Difference between revisions of "Sums"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎Sum of Natural Numbers)
 
(53 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 4: Line 4:
  
 
=== even number of terms = last term is even ===
 
=== even number of terms = last term is even ===
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^6 i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: 1-6]]
 +
}}</div></div><br>
  
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^8 i</math><div class="mw-collapsible-content">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^8 i</math><div class="mw-collapsible-content">
Line 15: Line 21:
 
[[category: #sum of natural numbers]]
 
[[category: #sum of natural numbers]]
 
[[comment: 1-10]]
 
[[comment: 1-10]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=4}^{10} i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: 4-10]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=5}^{10} i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: 5-10]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=6}^{11} i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: 6-11]]
 
}}</div></div><br>
 
}}</div></div><br>
  
Line 21: Line 45:
 
[[category: #sum of natural numbers]]
 
[[category: #sum of natural numbers]]
 
[[comment: 1-12]]
 
[[comment: 1-12]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{14} i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: 1-14]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{16} i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: 1-16]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{18} i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: 1-18]]
 
}}</div></div><br>
 
}}</div></div><br>
  
Line 27: Line 69:
 
[[category: #sum of natural numbers]]
 
[[category: #sum of natural numbers]]
 
[[comment: 1-20]]
 
[[comment: 1-20]]
−
}}
+
}}</div></div><br>
  
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{100} i</math><div class="mw-collapsible-content">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{100} i</math><div class="mw-collapsible-content">
Line 34: Line 76:
 
[[comment: 1-100]]
 
[[comment: 1-100]]
 
}}</div></div><br>
 
}}</div></div><br>
−
 
  
 
=== odd number of terms = last term is odd ===
 
=== odd number of terms = last term is odd ===
Line 48: Line 89:
 
[[category: #sum of natural numbers]]
 
[[category: #sum of natural numbers]]
 
[[comment: 1-9]]
 
[[comment: 1-9]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: 1-11]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{13} i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: 1-13]]
 
}}</div></div><br>
 
}}</div></div><br>
  
Line 60: Line 113:
 
[[category: #sum of natural numbers]]
 
[[category: #sum of natural numbers]]
 
[[comment: 1-19]]
 
[[comment: 1-19]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{25} i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: 1-25]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
=== Find the last term ===
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=55</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: aₙ, 1, 55]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=5}^{n} i=45</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: aₙ, 5, 45]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=120</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: aₙ, 1, 120]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=210</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: aₙ, 1, 210]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=465</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: aₙ, 1, 465]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
=== Find the first term ===
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=m}^{10} i=45</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of natural numbers]]
 +
[[comment: a₁, 10, 45]]
 
}}</div></div><br>
 
}}</div></div><br>
  
Line 68: Line 167:
 
[[category: #sum of evens]]
 
[[category: #sum of evens]]
 
[[comment: 2-8]]
 
[[comment: 2-8]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} 2i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of evens]]
 +
[[comment: 2-10]]
 
}}</div></div><br>
 
}}</div></div><br>
  
Line 74: Line 179:
 
[[category: #sum of evens]]
 
[[category: #sum of evens]]
 
[[comment: 2-12]]
 
[[comment: 2-12]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=3}^{6} 2i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of evens]]
 +
[[comment: 6-12]]
 
}}</div></div><br>
 
}}</div></div><br>
  
Line 80: Line 191:
 
[[category: #sum of evens]]
 
[[category: #sum of evens]]
 
[[comment: 2-20]]
 
[[comment: 2-20]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
=== Find the last term ===
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 2i=42</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of evens]]
 +
[[comment: aₙ, 2, 42]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 2i=30</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of evens]]
 +
[[comment: aₙ, 2, 30]]
 
}}</div></div><br>
 
}}</div></div><br>
  
Line 102: Line 227:
 
}}</div></div><br>
 
}}</div></div><br>
  
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=4}^{7} \left(2i-1\right)</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of odds]]
 +
[[comment: 7-13]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{15} \left(2i-1\right)</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of odds]]
 +
[[comment: 1-15]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} \left(2i-1\right)</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of odds]]
 +
[[comment: 1-19]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
=== Find the last term ===
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=25</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of odds]]
 +
[[comment: aₙ, 1, 25]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=36</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of odds]]
 +
[[comment: aₙ, 1, 36]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
== Sum of Sevens ==
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^9 7i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum]]
 +
[[comment: 7i,1-9]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 +
== Sum of Triples==
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} 3i</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum[0] ]]
 +
[[comment: 3i, 1-7]]
 +
}}</div></div><br>
  
 
== Sum of Powers of Two = Sum of Even-Times-Even Numbers ==
 
== Sum of Powers of Two = Sum of Even-Times-Even Numbers ==
Line 121: Line 293:
 
[[category: #sum of powers of two]]
 
[[category: #sum of powers of two]]
 
[[comment: 1-128]]
 
[[comment: 1-128]]
−
}}
+
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} 2^{i-1}</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of powers of two]]
 +
[[comment: 1-4095]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=3}^{6} 2^{i-1}</math><div class="mw-collapsible-content">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=3}^{6} 2^{i-1}</math><div class="mw-collapsible-content">
 
{{#annotask:
 
{{#annotask:
Line 130: Line 309:
 
== Sum of Powers of Three ==
 
== Sum of Powers of Three ==
  
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} 3^{i-1}</math><div class="mw-collapsible-content">
 
{{#annotask:
 
{{#annotask:
 
[[category: #sum of powers of three]]
 
[[category: #sum of powers of three]]
 
[[comment: 1-27]]
 
[[comment: 1-27]]
−
}}
+
}}</div></div><br>
  
 
== Sum of Powers of Four ==
 
== Sum of Powers of Four ==
  
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{3} 4^{i-1}</math><div class="mw-collapsible-content">
 
{{#annotask:
 
{{#annotask:
 
[[category: #sum of powers of four]]
 
[[category: #sum of powers of four]]
 
[[comment: 1-16]]
 
[[comment: 1-16]]
−
}}
+
}}</div></div><br>
 +
 
 +
== Sum of Squares ==
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} i^2</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of squares]]
 +
[[comment: 1-4]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} i^2</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of squares]]
 +
[[comment: 1-5]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^2</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of squares]]
 +
[[comment: 1-7]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=4}^{8} i^2</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of squares]]
 +
[[comment: 4-8]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i^2</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of squares]]
 +
[[comment: 1-10]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i^2</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of squares]]
 +
[[comment: 1-12]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=5}^{12} i^2</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of squares]]
 +
[[comment: 5-12]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
=== Squares of Evens ===
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i\right)^2</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #squares of evens]]
 +
[[comment: 2-8]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i\right)^2</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #squares of evens]]
 +
[[comment: 2-10]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=3}^{8} \left(2i\right)^2</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #squares of evens]]
 +
[[comment: 6-16]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
=== Squares of Odds ===
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i-1\right)^2</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #squares of odds]]
 +
[[comment: 1-7]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)^2</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #squares of odds]]
 +
[[comment: 1-9]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(4i\right)^2</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of squares]]
 +
[[comment: 4i,1-7]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
== Sum of Cubes ==
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} i^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of cubes]]
 +
[[comment: 1-5]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} i^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of cubes]]
 +
[[comment: 1-6]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of cubes]]
 +
[[comment: 1-7]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of cubes]]
 +
[[comment: 1-10]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=4}^{10} i^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of cubes]]
 +
[[comment: 4-10]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=5}^{10} i^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of cubes]]
 +
[[comment: 5-10]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=5}^{12} i^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of cubes]]
 +
[[comment: 5-12]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
=== Find the last term ===
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^3=225</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of cubes]]
 +
[[comment: aₙ, 1, 225]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^3=3025</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of cubes]]
 +
[[comment: aₙ, 1, 3025]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
=== Cubes of Odds ===
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #cubes of odds]]
 +
[[comment: 1-9]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #cubes of odds]]
 +
[[comment: 1-13]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=3}^{5} \left(2i-1\right)^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #cubes of odds]]
 +
[[comment: 5-9]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=4}^{6} \left(2i-1\right)^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #cubes of odds]]
 +
[[comment: 7-11]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
==== Find the last term ====
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^3=256</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #cubes of odds]]
 +
[[comment: aₙ, 1, 256]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^3=1225</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #cubes of odds]]
 +
[[comment: aₙ, 1, 1225]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
=== Cubes of Evens ===
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{3} \left(2i\right)^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #cubes of evens]]
 +
[[comment: 2-6]]
 +
}}</div></div><br>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i\right)^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #cubes of evens]]
 +
[[comment: 2-10]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #cubes of evens]]
 +
[[comment: 2-12]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=2}^{6} \left(2i\right)^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #cubes of evens]]
 +
[[comment: 4-12]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=4}^{8} \left(2i\right)^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #cubes of evens]]
 +
[[comment: 8-16]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
==== Find the last term ====
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^3=400</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #cubes of evens]]
 +
[[comment: aₙ, 2, 400]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^3=1800</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #cubes of evens]]
 +
[[comment: aₙ, 2, 1800]]
 +
}}</div></div><br>
 +
 
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(4i\right)^3</math><div class="mw-collapsible-content">
 +
{{#annotask:
 +
[[category: #sum of cubes]]
 +
[[comment: 4i,1-5]]
 +
}}</div></div><br>

Latest revision as of 16:24, 1 July 2023

Sum of Natural Numbers

even number of terms = last term is even

\scriptstyle\sum_{i=1}^6 i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-6לקוטים_מספר_פראלוקא#hPlCExample: we wish to sum from 1 to 6. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} i משל נרצה לחבר מא' עד ו‫'

\scriptstyle\sum_{i=1}^8 i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-8ספר_הכללים_במספר#zy8k77) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. :\scriptstyle1+2+3+4+5+6+7+8=\sum_{i=1}^{8} i עז א ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח‫'

\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-10קצת_מענייני_חכמת_המספר#mfsNTo know the numbers that are set in succession. :\scriptstyle\sum_{i=1}^n i לידע מספרים מונחים על סדר המספר |- | ::Such as: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i כגון אבג"ד ה"ו זחט"י
sum/sum of natural numbers1-10ספר_מעשה_חושב#oa4iExample: if you want to sum one, two, three, four, and so on up to ten, including ten. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i דמיון אם רצית לחבר אחד ושנים ושלשה וארבעה וכן עד עשרה ועשרה עמהם
sum/sum of natural numbers1-10ספר_חשבון#QIjGIf a person says: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 - how much is the total? :\scriptstyle1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=\sum_{i=1}^{10} i אם יאמר אדם א' וב' וג' וד' וה' וו' וז' וח' וטי' וי' כמה שוי בין כלם
sum/sum of natural numbers1-10ספר_החשבון_והמדות#4op2Example: we wish to add the numbers that are from 1 up to 10 one by the one. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i דמיון רצינו להוסיף המספרים שהם מא' עד י' [זה על זה]‫P1031 om.
sum/sum of natural numbers1-10ספר_החשבון_לאל_חצאר#4THNWhen you are told: sum from one to ten in arithmetic succession. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i כשיאמר לך קבץ מאחד עד עשרה על המשך המספר
sum/sum of natural numbers1-10ספר_החשבון_והמדות#QkuVExample: we wish to know how much is the sum of the numbers that are from 1 up to 10. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i דמיון רצינו לדעת כמה תוספת המספרים שהם מא' עד י‫'

\scriptstyle\sum_{i=4}^{10} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers4-10ספר_דיני_ממונות#mA7A20) Question: sum from 1 to 10 without the [first] three. :\scriptstyle\sum_{i=3+1}^{10} i=\left(3+1\right)+\ldots+10=\sum_{i=1}^{10}-\sum_{i=1}^{3} כ) שאלה קבץ מא' עד י' ולא יהיו הג' בכלל
sum/sum of natural numbers4-10ספר_החשבון_והמדות#A9ShQuestion: I summed from 4 up to 10. How much are they? :\scriptstyle\sum_{i=4}^{10} i שאלה חברתי מד' עד י' כמה יהיו

\scriptstyle\sum_{i=5}^{10} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers5-10ספר_החשבון_לאל_חצאר#hJtLIf you are told: sum from five to ten. :\scriptstyle\sum_{i=5}^{10} i ואם אמר לך קבץ מחמשה עד עשרה
sum/sum of natural numbers5-10קצת_מענייני_חכמת_המספר#6eLrIf the numbers that are given in succession do not start from 1. ואם המספרים המונחים על סדר המספר לא יתחילו מהא‫' |- | :\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=m}^{n} i=\sum_{i=1}^{n} i-\sum_{i=1}^{m-1} i}} | |- | ::As saying: from 5 to 10. ::\scriptstyle\sum_{i=5}^{10} i כאמרך מה' עד י‫'

\scriptstyle\sum_{i=6}^{11} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers6-11ספר_מעשה_חושב#uFgwExample: The first number is six, and we want to sum the successive numbers that follow it up to eleven. ::\scriptstyle\sum_{i=6}^{11} i דמיון זה שיהיה המספר הראשון ששה ורצינו לחבר הנמשכים לו לאחריו עד מספר אחד עשר

\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-12ספר_חשבון#kTQbIf he continues his question until 12. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i ואם הלך בשאלתו עד י"ב
sum/sum of natural numbers1-12ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#xE2FExample: we wish to know how much is the sum up to 12? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i דמיון רצינו לדעת כמה המחברים עד י"ב
sum/sum of natural numbers1-12מלאכת_המספר#V836Example: we wish to know the sum from one to 12. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i=1+\ldots+12 המשל שנרצה לדעת קבוץ אחד מאחד עד י"ב
sum/sum of natural numbers1-12לקוטים_מספר_פראלוקא#GKFVExample: we wish to know the sum of all the numbers from 1 to 12. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i דמיון נרצה לדעת חבור כל המספרי' מא' עד י"ב

\scriptstyle\sum_{i=1}^{14} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-14ספר_דיני_ממונות#EW6C17) Question: if you want to sum from 1 to 14, i.e. 1 with 2, with 3, and so on until 14. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{14} i=1+2+3+\ldots+14 יז) שאלה אם תרצה לקבץ מא' עד י"ד ר"ל א' עם ב' ועם ג' וכן עד י"ד

\scriptstyle\sum_{i=1}^{16} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-16ספר_דיני_ממונות#afC8Example: we want to know [the sum] from 1 to 16. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{16} i=1+\ldots+16 דמיון ‫230vזה נרצה לדעת מא' עד י"ו

\scriptstyle\sum_{i=1}^{18} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-18ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#IeC7Another example for an even number [of terms]: how much is the sum up to 18? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{18} i דמיון אחר בזוגות כמה המחובר עד סוף י"ח

\scriptstyle\sum_{i=1}^{20} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-20ספר_חשבון#u3dYIf he continues his question until 20. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{20} i ואם הלך בשאלתו עד כ‫'
sum/sum of natural numbers1-20עיר_סיחון#2hegQuestion: we summed all the successive numbers from one to twenty and it is the sum. How much is the sum? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{20} i שאלה חברנו כל {{#annot:term|2576,1835|ETrE}}המספרים הרצופים{{#annotend:ETrE}} מאחד עד עשרים והם הכלל כמה המחובר

\scriptstyle\sum_{i=1}^{100} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-100ספר_חשבון#YfUqIf he continues his question until one hundred. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{100} i ואם הלך עד מאה

odd number of terms = last term is odd

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-7לקוטים_מספר_פראלוקא#xJHjIf you want to sum from 1 to 7. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i ואם תרצה לחבר מא' עד ז‫'
sum/sum of natural numbers1-7ספר_הכללים_במספר#bsMG78) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. :\scriptstyle1+2+3+4+5+6+7=\sum_{i=1}^{7} i עח א ב' ג' ד' ה' ו' ז‫'
sum/sum of natural numbers1-7ספר_חשבון#HvdzAs the one who says: I continue my calculation until 7. How much is the total? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i כגון האומר הלכתי בחשבוני עד ז' כמה יהיו כלם

\scriptstyle\sum_{i=1}^{9} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-9ספר_חשבון#2b1tIf he continues his question until 9. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{9} i וכן אם הלך בשאלתו עד ט‫'
sum/sum of natural numbers1-9ספר_החשבון_והמדות#vKJfAnother example for an odd [number of terms]: we wish to know how much is the sum of the numbers from 1 up to 9. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{9} i דמיון אחר לנפרדים רצינו לדעת כמה תוספת המספרים זה על זה מא' עד ט‫'

\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-11עיר_סיחון#pHD6If we want to know how much are the numbers summed up up to eleven. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} i ואם נרצה לדעת כמה עולים {{#annot:term|787,1220|my36}}המספרים המחוברים{{#annotend:my36}} על אחד עשר
sum/sum of natural numbers1-11ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#OprPExample: we wish to know how much are the numbers that are summed from 1 to 11? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} i דמיון רצינו לדעת כמה הם המספרים המחוברים מא' עד סוף י"א

\scriptstyle\sum_{i=1}^{13} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-13מלאכת_המספר#3sxYExample: we wish to know the sum from one to 13. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{13} i=1+\ldots+13 המשל נרצה לדעת ה{{#annot:term|388,1217|NXBw}}מקובץ{{#annotend:NXBw}} מאחד עד י"ג

\scriptstyle\sum_{i=1}^{17} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-17ספר_חשבון#T2rfIf he continues until 17. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{17} i ואם הלך עד י"ז

\scriptstyle\sum_{i=1}^{19} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-19ספר_חשבון#CIoTIf he continues until 19. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{19} i ואם הלך עד י"ט

\scriptstyle\sum_{i=1}^{25} i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbers1-25ספר_דיני_ממונות#uz7FExample: we want to know the sum from 1 to 25. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25 דמיון זה נרצה לדעת המחובר מא' עד כ"ה

Find the last term

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=55
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbersaₙ, 1, 55ספר_החשבון_לאל_חצאר#Q7I1Sum from one up to an unknown number by the succession of the numbers and the result is fifty five, how much is the unknown number? :\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=55 קבץ מאחד עד {{#annot:term|941,2010|HeCs}}מספר בלתי ידוע{{#annotend:HeCs}} על המשך המספר והגיע חמשה וחמישים כמה המספר הבלתי ידוע
sum/sum of natural numbersaₙ, 1, 55ספר_החשבון_והמדות#GzAyQuestion: if a person asks you: I summed numbers and they are 55, how much are the numbers? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=55 ‫36rשאלה אם ישאלך אדם חברתי מספרים והיו נ"ה כמה יהיו המספרים
sum/sum of natural numbersaₙ, 1, 55קצת_מענייני_חכמת_המספר#2wMiNumbers that are summed successively and the result is a known number. :\scriptstyle\sum_{i=1}^n i =a חשבון שחובר על הסדר ועלה מספר ידוע |- | ::Such as the number 55, how much is the last number? ::\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^n i =55}} כגון מספר נ"ה כמה הוא מספר האחרון

\scriptstyle\sum_{i=5}^{n} i=45
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbersaₙ, 5, 45קצת_מענייני_חכמת_המספר#xRiDNumbers that are summed from a known number. :\scriptstyle\sum_{i=m}^n i=a חשבון שחובר מתחלת מספר ידוע |- | ::As saying: from 5 and the sum is 45, how much is the last number? ::\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^n i=45}} כאמרך מה' ועלה מ"ה כמה הוא סוף המספר

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=120
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbersaₙ, 1, 120ספר_דיני_ממונות#ZASk21) Question: we sum up all the numbers until an unknown number and the sum is 120. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=120 כא) שאלה חברנו כל המספרים עד מספר נעלם ועלה המחובר ק"כ

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=210
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbersaₙ, 1, 210עיר_סיחון#Xl23Reverse question: the sum of the successive numbers starting from one is 210. What is the last number of the summed [numbers]? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=210 נהפוך השאלה ונאמר עלה המחובר ממספרים {{#annot:term|2576,1835|h4eV}}רצופים{{#annotend:h4eV}} המתחילים מאחד מאתים ועשרה
איזה הוא המספר האחרון מהמחוברים

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=465
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbersaₙ, 1, 465ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#GXqnExample: one asks: I sum all the numbers until they reach a known number and the sum is 465. How much is the last number? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=465 דמיון שאל שואל חברתי מספרים עד שהגיעו למספר ידוע ועלה המחובר תס"ה כמה הוא סוף החשבון

Find the first term

\scriptstyle\sum_{i=m}^{10} i=45
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of natural numbersa₁, 10, 45קצת_מענייני_חכמת_המספר#Sm0lWe know the 10, which is [the last] summed number, and that the sum is 45, but the 5 is unknown. ::\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=m}^{10} i=45}} ידענו הי' שהוא המספר שהנקבץ עד מ"ה ונעלם הה‫'

Sum of Evens

\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} 2i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even numbers2-8ספר_הכללים_במספר#zzdV80) 2, 4, 6, 8 - that are evens. :\scriptstyle2+4+6+8=\sum_{i=1}^{4} 2i פ ב ד' ו' ח' שהם כלם זוגות

\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} 2i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even numbers2-10ספר_מעשה_חושב#Cm3WExample: if you want to sum the evens up to ten. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} 2i דמיון זה אם רצית לחבר הזוגות עד עשרה
sum/sum of even numbers2-10ספר_החשבון_לאל_חצאר#6jslWhen you are told: sum from two to ten by the sequence of the evens. :\scriptstyle\sum_{i=1}^5 2i כשיאמר לך קבץ משנים עד עשרה על המשך הזוגות

\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} 2i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even numbers2-12ספר_חשבון#GsfnAs 2, 4, 6, 8, 10, 12 - how much is the total? :\scriptstyle2+4+6+8+10+12=\sum_{i=1}^{6} 2i כמו ב' וד' וו' וח' וי' וי"ב כמה יהיה בין כלם
sum/sum of even numbers2-12מלאכת_המספר#voapExample of this: if the last even number is 12. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^6 2i=2+\ldots+12 המשל בזה שאם הזוג האחרון יהיה י"ב
sum/sum of even numbers2-12ספר_דיני_ממונות#WfgD23) Question: if you want to know the sum of all the evens from 2 to 12. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)=2+\ldots+12 כג) שאלה אם תרצה לדעת חבור כל הזוגות אשר הם מב' עד י"ב

\scriptstyle\sum_{i=3}^{6} 2i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even numbers6-12ספר_החשבון_לאל_חצאר#tzpRIf he said: sum from six to twelve by the sequence of the evens. :\scriptstyle\sum_{i=3}^6 2i ואם אמר קבץ מששה עד שנים עשר על המשך הזוגות

\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} 2i
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even numbers2-20ספר_חשבון#qYPEIf he says: I continued until twenty. :\scriptstyle2+\ldots+20=\sum_{i=1}^{10} 2i ואם אומר הלכתי עד עשרי‫'

Find the last term

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 2i=42
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even numbersaₙ, 2, 42ספר_דיני_ממונות#U8Ey25) Question: we summed up all the evens from 1 to an unknown number and the sum is 42. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)=42 כה) שאלה חברנו כל הזוגות מא' עד מספר בלתי ידוע ועלה המחובר מ"ב

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 2i=30
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even numbersaₙ, 2, 30ספר_החשבון_לאל_חצאר#F8buIf he said: sum from two up to an even number by the succession of the evens and the sum is thirty, how much is the unknown number up to which it is summed? :\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=30 ואם אמר קבץ משנים אל מספר זוג על המשך הזוגות והתקבץ שלשים כמה המספר הבלתי ידוע אשר התקבץ אליו

Sum of Odds

\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd numbers1-9ספר_הכללים_במספר#djRx79) 1, 3, 5, 7, 9 - that are odds. :\scriptstyle1+3+5+7+9=\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right) עט א ג' ה' ז' ט' שהם פרדים
sum/sum of odd numbers1-9ספר_חשבון#rGAnAs 1, 3, 5, 7, 9 - how much is the total? :\scriptstyle1+3+5+7+9=\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right) כגון א' וג' וה' וז' וט' כמה הם בין כלם
sum/sum of odd numbers1-9ספר_מעשה_חושב#Mp2kExample: If you want to sum the successive odds up to nine including one. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right) דמיון זה אם רצית לחבר הנפרדים הנמשכים עד תשעה והאחד עמהם
sum/sum of odd numbers1-9ספר_דיני_ממונות#2PiX22) Question: sum all the odds from 1 to 9. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)=1+\ldots+9 כב) שאלה קבץ מא' עד ט' כל הנפרדים

\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} \left(2i-1\right)
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd numbers1-11ספר_חשבון#NxSyIf he continues his question until 11. :\scriptstyle1+\ldots+11=\sum_{i=1}^{6} \left(2i-1\right) ואם הלך בשאלתו עד י"א

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd numbers1-13ספר_חשבון#2g6vIf he continues until 13. :\scriptstyle1+\ldots+13=\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right) ואם הלך עד י"ג

\scriptstyle\sum_{i=4}^{7} \left(2i-1\right)
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd numbers7-13ספר_החשבון_לאל_חצאר#TVilIf he said: sum from seven to thirteen by the sequence of the odds. :\scriptstyle\sum_{i=4}^{7} \left(2i-1\right) ואם אמר קבץ משבעה עד שלשה עשר על המשך הנפרדים

\scriptstyle\sum_{i=1}^{15} \left(2i-1\right)
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd numbers1-15מלאכת_המספר#FKIIExample of this: we wish to know the sum of all the odd numbers from one to 15. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^8 \left(2i-1\right)=1+\ldots+15 המשל בזה נרצה לדעת המקובץ מכל הנפרדים מהאחד עד ט"ו

\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} \left(2i-1\right)
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd numbers1-19ספר_החשבון_לאל_חצאר#RTIOSum from one to nineteen by the sequence of the odds. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} \left(2i-1\right) קבץ מאחד עד תשעה עשר על המשך הנפרדים

Find the last term

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=25
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd numbersaₙ, 1, 25ספר_דיני_ממונות#nd1424) Question: we sum up all the odds until an unknown numbers and the sum is 25. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=25 כד) שאלה חברנו כל הנפרדים עד מספר נעלם ועלה כ"ה

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=36
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd numbersaₙ, 1, 36ספר_החשבון_לאל_חצאר#YciwIf he said: sum from one up to an unknown number by the succession [of the odds] and the sum is 36, how much is the [unknown] number? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=36 ואם אמר קבץ מאחד עד מספר בלתי ידוע על המשך והתקבץ ששה ושלשים כמה המספר הנפרד

Sum of Sevens

\scriptstyle\sum_{i=1}^9 7i
Category Comment Link Annotated text
addition/sum7i,1-9ספר_מעשה_חושב#sEo5Example: the first is seven, the second fourteen, the third 21, the fourth 28, and so on in this way up to nine numbers. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{9} \left(7\sdot i\right) דמיון זה שיהיה הראשון שבעה והשני ארבעה עשר והשלישי כ"א והרביעי כ"ח וימשכו בזה הדרך עד תשעה מספרים

Sum of Triples

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} 3i
Category Comment Link Annotated text
addition/sum3i, 1-7ספר_דיני_ממונות#7GpuQuestion: sum for me seven numbers successively, such that each exceeds over the one that precedes it by 3. שאלה תחבר לי ז' מספרים על דרך ההמשך שכל אחד יוסיף על חבירו ג‫'

Sum of Powers of Two = Sum of Even-Times-Even Numbers

\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} 2^{i-1}
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of powers of two1-32ספר_חשבון#y2atAs 1, 2, 4, 8, 16, 32. :\scriptstyle1+2+4+8+16+32=\sum_{i=1}^{6} 2^{i-1} כגון א' וב' וד' וח' וי"ו ול"ב
sum/sum of powers of two1-32ספר_חשבון#6kg5Example: one says: I summed the doubles from 1 to 32. How much is their sum? :\scriptstyle1+\ldots+32=\sum_{i=1}^{6} 2^{i-1} דמיון זה האומר קבצתי מספרים כפולי' מא' ועד ל"ב כמה הם

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} 2^{i-1}
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of powers of two1-64ספר_חשבון#WJGnIf he says: I started from 1 and doubled until 64. How much is [their sum]? :\scriptstyle1+\ldots+64=\sum_{i=1}^{7} 2^{i-1} ואם יאמ' התחלתי מא' וכפלתי עד ס"ד‫ס"ד: MS Ithaca קכ"ח כמה יהיו

\scriptstyle\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of powers of two1-128ספר_חשבון#IUR1If he says: I started from one and doubled until 128. How much is [their sum]? :\scriptstyle1+\ldots+128=\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1} ואם יאמר התחלתי מאחד וכפלתי עד ס"ד קכ"ח כמה יהיו
sum/sum of powers of two1-128ספר_דיני_ממונות#29bw40) Question: if you want to know the sum of 1, 2, 4, 8, 16, and so on, each consecutive number is double the preceding number, and the last number is 128. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots+128 מ) שאלה אם תרצה לדעת המחובר מא' עם ב' עם ד' עם ח' ועם י"ו וכן לעולם ‫232rמוסיף המספר הבא על המספר העבר ב' פעמים כמוהו והמספר האחרון עולה קכ"ח

\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} 2^{i-1}
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of powers of two1-4095ספר_דיני_ממונות#GokE[41)] If you want to sum 1 with 2, 4, 8, 16, and so on double 12 times. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots ‫MS L: מ"אואם תרצה לחבר א' עם ב' ועם ד' ועם ח' ועם י"ו וכן תמיד תכפול עד י"ב פעמים

\scriptstyle\sum_{i=3}^{6} 2^{i-1}
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of powers of two4-32ספר_חשבון#ghpPIf he says: I started from 4 and doubled until 32. How much is their sum? :\scriptstyle4+\ldots+32=\sum_{i=3}^{6} 2^{i-1} ואם יאמר התחלתי מד' וכפלתי עד ל"ב כמה יהיו

Sum of Powers of Three

\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} 3^{i-1}
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of powers of three1-27ספר_חשבון#mIQmAs 1, 3, 9, 27. :\scriptstyle1+3+9+27=\sum_{i=1}^{4} 3^{i-1} כגון א' ג' ט' כ"ז

Sum of Powers of Four

\scriptstyle\sum_{i=1}^{3} 4^{i-1}
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of powers of four1-16ספר_חשבון#aAn8As 1, 4, 16. :\scriptstyle1+4+16=\sum_{i=1}^{3} 4^{i-1} כגון א' ד' י"ו

Sum of Squares

\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} i^2
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of square numbers1-4ספר_דיני_ממונות#JRLl26) Question: if you want to sum up all the squares [of the numbers] from 1 to 4. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} i^2=1^2+\ldots+4^2 כו) שאלה אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' ועד ד‫'
sum/sum of square numbers1-4ספר_החשבון_והמדות#pOlaExample: how much are the squares that are summed from 1 up to 4? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} i^2 דמיון כמה הם המרובעים המחוברים מא' עד ד‫'

\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} i^2
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of square numbers1-5ספר_מעשה_חושב#WmsvExample: If you want to know [the sum of] the squares of the successive numbers up to five. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} i^2 דמיון זה אם רצית לדעת מרובעי המספרים‫המספרים: MS P2271 המספר הנמשכים עד חמשה
sum/sum of square numbers1-5ספר_דיני_ממונות#HKRB27) Question: if you want to sum up all the squares [of the numbers] from 1 to 25 :\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} i^2=1+\ldots+25 כז) שאלה אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' עד כ"ה

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^2
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of square numbers1-7ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#ad1QExample: we wish to know how much are the squares up to seven? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^2 דמיון רצינו לדעת כמה המרובעים שהם עד סוף שבעה

\scriptstyle\sum_{i=4}^{8} i^2
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of square numbers4-8ספר_דיני_ממונות#VWnE28) Question: sum up [the squares] from the square of [4] to the square of 8. :\scriptstyle\sum_{i=4}^{8} i^2=4^2+\ldots+8^2 כח) שאלה ואלו אמר קבץ ממרובע ג' עד מרובע ח‫'

\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i^2
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of square numbers1-10קצת_מענייני_חכמת_המספר#EiRmTo know the squares of the natural numbers [that are set] in succession until whichever number you wish. :\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^2 לידע מרובעי המספרים הטבעיי' על הסדר עד איזה מספר שתרצה |- | ::Such as from 1 to 10. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i^2 כגון מהא' עד י‫'
sum/sum of square numbers1-10ספר_החשבון_לאל_חצאר#6e94Sum from the square of one to the square of ten by the succession of the numbers.\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i^2 קבץ ממרובע אחד עד מרובע עשרה על המשך המספר

\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i^2
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of square numbers1-12ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#nrnyAnother example: how much is the sum of the squares up to 12? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i^2 דמיון אחר כמה המחובר מהמרובעים שהם עד סוף י"ב

\scriptstyle\sum_{i=5}^{12} i^2
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of square numbers5-12ספר_החשבון_לאל_חצאר#YeOSIf he said: sum from the square of five to the square of twelve. :\scriptstyle\sum_{i=5}^{12} i^2 ואם אמר קבץ ממרובע חמשה עד מרובע שנים עשר

Squares of Evens

\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i\right)^2
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even squares2-8ספר_דיני_ממונות#FdKc29) Question: if you want to sum up all the squares of the even numbers from 2 to 8. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i\right)^2=2^2+\ldots+8^2 כט) שאלה אם תרצה לקבץ כל המרובעים אשר הם מב' עד ח' {{#annot:term|2494,1976|hVPL}}על המשך{{#annotend:hVPL}} הזוגות

\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i\right)^2
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even squares2-10ספר_החשבון_לאל_חצאר#2XeoSum from the square of two to the square of ten by the sequence of the evens. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i\right)^2 קבץ ממרובע שנים עד מרובע עשרה על המשך הזוגות

\scriptstyle\sum_{i=3}^{8} \left(2i\right)^2
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even squares6-16ספר_החשבון_לאל_חצאר#UbTzIf he said: sum from the square of six to the square of sixteen. :\scriptstyle\sum_{i=3}^{8} \left(2i\right)^2 ואם אמר קבץ ממרובע ששה עד מרובע ששה עשר

Squares of Odds

\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i-1\right)^2
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd squares1-7ספר_דיני_ממונות#sUpB30) Question: sum up the squares of the odd numbers from 1 to 7 :\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i-1\right)^2=1^2+\ldots+7^2 ל) שאלה קבץ ממרובע א' עד מרובע ז' על המשך הנפרדים

\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)^2
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd squares1-9ספר_החשבון_לאל_חצאר#gBq8If he said: sum from the square of one to the square of nine by the sequence of the odds. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)^2 ואם אמר קבץ ממרובע אחד עד מרובע תשעה על המשך הנפרד
sum/sum of odd squares1-9קצת_מענייני_חכמת_המספר#l12RTo know [the sum of] the squares of the odd numbers [that are set] in succession. :\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left (2k-1\right)^2 לידע מרובעי הנפרדים על הסדר |- | ::As if you say: 1; 3; 5; 7; 9. ::\scriptstyle\sum_{k=1}^5\left(2k-1\right)^2 כאלו תאמר א' ג' ה' ז' ט‫'
sum/sum of odd squares1-9ספר_מעשה_חושב#24CcExample: We want to know [the sum of] the squares of the successive odd numbers up to nine. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)^2 דמיון זה רצינו לדעת מרובעי הנפרדים הנמשכים עד תשעה


\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(4i\right)^2
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of square numbers4i,1-7ספר_מעשה_חושב#UjwoExample: If you want to sum the squares of the successive numbers, the first number of which is four, the second is eight, the third is twelve, and so on they follow each other this way up to seven numbers. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left(4\sdot i\right)^2=4^2+8^2+12^2+\ldots דמיון זה אם רצית לחבר מרובעי מספרים נמשכים‫מרובעי מספרים נמשכים: MS P2271 מספרי ‫38vשהראשון ארבעה והשני שמנה והשלישי שנים עשר וימשכו בזה הדרך עד שבעה מספרים

Sum of Cubes

\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} i^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of cubic numbers1-5ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#mhj4Example: we wish to know how much is the sum of the cubes up to 5? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} i^3 דמיון רצינו לידע כמה מספר המעוקבים המחוברים עד ה‫'

\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} i^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of cubic numbers1-6ספר_מעשה_חושב#T9BIExample: We want to know [the sum of] the cubes of the successive numbers from one up to six. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} i^3 דמיון זה רצינו לדעת מעוקבי‫מעוקבי: MS P2271 מעוקב המספרים הנמשכים מן האחד עד ששה

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of cubic numbers1-7ספר_דיני_ממונות#nV2h31) Question: sum up from the cube of 1 to the cube of 7 :\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^3=1^3+\ldots+7^3 לא) שאלה קבץ לי ממעוקב א' עד מעוקב ז‫'

\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of cubic numbers1-10ספר_החשבון_לאל_חצאר#NfklSum from the cube of one to the cube of ten by the succession of the numbers. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i^3 קבץ מן מעוקב אחד עד מעוקב עשרה על המשך המספר

\scriptstyle\sum_{i=4}^{10} i^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of cubic numbers4-10ספר_החשבון_לאל_חצאר#KOJ6If he said: sum from the cube of four to the cube of ten. :\scriptstyle\sum_{i=4}^{10} i^3 ואם אמר קבץ ממעוקב ארבעה עד מעוקב עשרה

\scriptstyle\sum_{i=5}^{10} i^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of cubic numbers5-10קצת_מענייני_חכמת_המספר#JGReAs if you wish to know [the sum of] the cube numbers from 5 to 10. כגון שרצית לידע מעוקבי מספרים מה' עד הי‫'

\scriptstyle\sum_{i=5}^{12} i^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of cubic numbers5-12ספר_דיני_ממונות#SUpM32) Question: sum up from the cube of 5 to the cube of 12. :\scriptstyle\sum_{i=5}^{12} i^3=5^3+\ldots+12^3 לב) שאלה קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב י"ב

Find the last term

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^3=225
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of cubic numbersaₙ, 1, 225ספר_דיני_ממונות#mrIH33) Question: we summed up all the cubes from 1 to an unknown number and the sum is 225. :How much is the unknown number? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^3=225 לג) שאלה אם אמר קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם ועלה המחובר רכ"ה
כמה הוא המספר הנעלם

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^3=3025
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of cubic numbersaₙ, 1, 3025ספר_החשבון_לאל_חצאר#SivdIf he said: sum from the cube of one to the cube of an unknown number and the result is 3025, how much is the unknown number? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^3=3025 ואם אמר קבץ ממעוקב אחד עד מעוקב מספר מושכל והגיע חמשה ועשרים ושלשת אלפים כמה {{#annot:term|941,1806|Ye6i}}המספר המוסכל{{#annotend:Ye6i}}

Cubes of Odds

\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd cubes1-9ספר_החשבון_לאל_חצאר#ZShxSum from the cube of one to the cube of nine by the succession of the odds. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)^3 קבץ ממעוקב אחד עד מעוקב תשעה על המשך הנפרד

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd cubes1-13ספר_דיני_ממונות#kjWM34) Question: sum up the cubes of the odd numbers from 1 to 13. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)^3=1^3+\ldots+13^3 לד) שאלה אם נשאל לך קבץ לי ממעוקב א' עד מעוקב י"ג כדרך הנפרדים

\scriptstyle\sum_{i=3}^{5} \left(2i-1\right)^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd cubes5-9ספר_דיני_ממונות#79pn35) Question: sum up the cubes of the odd numbers from 5 to 9. :\scriptstyle\sum_{i=3}^{5} \left(2i-1\right)^3=5^3+\ldots+9^3 לה) שאלה אם ישאל לך אדם קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב ט' על המשך הנפרדים

\scriptstyle\sum_{i=4}^{6} \left(2i-1\right)^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd cubes7-11ספר_החשבון_לאל_חצאר#OrOMIf he said: sum from the cube of seven to the cube of eleven. :\scriptstyle\sum_{i=4}^{6} \left(2i-1\right)^3 ואם אמר קבץ ממעוקב שבעה עד מעוקב אחד עשר

Find the last term

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^3=256
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd cubesaₙ, 1, 256ספר_דיני_ממונות#3zw436) Question: we sum up all the cubes of the odds from 1 until an unknown number and the result is 256. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^3=256 לו) שאלה קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם על דרך הנפרדים ועלה רנ"ו

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^3=1225
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of odd cubesaₙ, 1, 1225ספר_החשבון_לאל_חצאר#HsvyIf he said: sum from the cube of one to the cube of an unknown number by the sequence of the odds and the result is 1225, how much is the unknown number? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^3=1225 קבץ ממעוקב אחד עד מעוקב {{#annot:term|941,1804|pNEK}}מושכל{{#annotend:pNEK}} על המשך הנפרדים והתקבץ חמשה ועשרים ומאתים ואלף כמה המספר המושכל

Cubes of Evens

\scriptstyle\sum_{i=1}^{3} \left(2i\right)^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even cubes2-6ספר_מעשה_חושב#ve6GExample: If you want to know [the sum of] the cubes of the successive even numbers up to six. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{3} \left(2i\right)^3 דמיון זה‫זה: MS P2271 om. אם ‫39rרצית לדעת מעוקבי הזוגות הנמשכים עד ששה

\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i\right)^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even cubes2-10ספר_החשבון_לאל_חצאר#V9riSum from the cube of two to the cube of ten by the sequence of the evens. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i\right)^3 קבץ ממעוקב שנים עד מעוקב עשר' על המשך הזוגות

\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even cubes2-12ספר_דיני_ממונות#jOk337) Question: sum up the cubes of the even numbers from 2 to 12. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)^3=2^3+\ldots+12^3 לז) שאלה קבץ ממעוקב ב' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות

\scriptstyle\sum_{i=2}^{6} \left(2i\right)^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even cubes4-12ספר_דיני_ממונות#mv1u38) Question: sum up the cubes of the even numbers from 4 to 12. :\scriptstyle\sum_{i=2}^{6} \left(2i\right)^3=4^3+\ldots+12^3 לח) שאלה קבץ ממעוקב ד' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות

\scriptstyle\sum_{i=4}^{8} \left(2i\right)^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even cubes8-16ספר_החשבון_לאל_חצאר#cBXrIf he said: sum from the cube of eight to the cube of sixteen. :\scriptstyle\sum_{i=4}^{8} \left(2i\right)^3 ואם אמר קבץ ממעוקב שמנה עד מעוקב ששה עשר

Find the last term

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^3=400
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even cubesaₙ, 2, 400ספר_דיני_ממונות#aCf539) Question: we sum up all the cubes of the evens from 2 until an unknown number and the sum is 400. :\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^3=400 לט) שאלה אם יאמר לך קבצנו כל המעוקבים מב' עד מספר נעלם על דרך הזוגות ועלה המחובר ד' מאות

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^3=1800
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of even cubesaₙ, 2, 1800ספר_החשבון_לאל_חצאר#6aQ3If he said: sum from the cube of two to the cube of an unknown number by the sequence of the evens and the result is [1]800, how much is the unknown number? :\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^3={\color{red}{1}}800 ואם אמר קבץ ממעוקב שנים עד מעוקב {{#annot:term|941,1806|LGBq}}מספר מוסכל{{#annotend:LGBq}} על המשך הזוגות והגיע שני אלפים ושמנה מאות כמה המספר המוסכל


\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(4i\right)^3
Category Comment Link Annotated text
sum/sum of cubic numbers4i,1-5ספר_מעשה_חושב#P0RkExample: Let the first number be four, the second eight, and so on according to this way up to five numbers. ::\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(4i\right)^3=4^3+8^3+\ldots דמיון זה שיהיה הראשון‫הראשון: MS P2271 ראשון ארבעה והשני שמנה ונמשכו בזה הדרך עד חמשה

Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=Sums&oldid=62062"