Commentary on the two lines that do not meet / Simon Moṭoṭ

	‫באור הר' שמעון מוטוט ז"ל על יציאת ב' קוים שלא יפגשו
	נרצה להוציא שני קוים [נ"ל נכוחיים] יהיה ביניהם בתחלת יציאתם רחק אחד וכל אשר ירחקו יחסר הרחק ההוא ויקרב אחד מהם אל האחר ולא יפגשו לעולם ואפי' יוצאו לבלתי תכלית ואע"פ שכל אשר ירחקו יתקרבו ושני קוים אלו יהיה אחד מהם מעוקם והאחר ישר
	המופת על זה נצייר חצי מחודד בדרך שהראנו אקלידס בפתיחת מאמר י"א בדרך שיהיה הצלע העומד שוה לצלע האחר המקיף בנצבה
	ובהכרח יהיה המחודד ההוא נצב ‫הזוית ויהיה עליו אב"ג וזוית בא"ג ממנה נצבת
	ונחלק זוית בא"ג בשני חצאים בקו א"ד
	ובהכרח יהיה קו א"ד עמוד על קו ב"ג
	ונדמה שטח אחד יחתוך המחודד בקו ה"ו בנכחות קו א"ד
	ויהיה קו ה"ו הקו המעוקם ומיתרו קו ה"ז
	ולפי שקוי א"ב וה"ז אינם נכחיים
	לפי שזוית אב"ד חצי נצבת
	וזוית הז"ב נצבת אחר שקו ה"ז נכחי לקו א"ד בהכרח אם תוציאם לאין תכלית יתחברו ונוציאם חוץ למחודד ויתחברו בנקדת ח‫'
	ויהיה קו ה"ח קוטר
	עוד נחלק קו ה"ח לחצאים בנקדת ט' ותקרא זאת הנקדה מרכז הקוטר
	ונוציא מהקו המעוקם עמוד על קו ה"ז מאיזו נקדה שתרצה והוא י"ב
	ויהיה מבואר שהעולה מקו ה"ב בה"כ שוה למרובע י"ב
	והראיה על זה נוציא מן נקדת כ' קו נכחי לקו ב"ג והוא ל"מ
	ונדמה עליו עגול יעבור על שטח המחודד ועל נקדת י‫'
	ויהיה מבואר ששטח ל"ב בכ"מ שוה למרובע י"כ מהתבארות צורת ח' מששי מאקלידס
	ול"כ שוה לח"כ לפי שזוית חל"ב חצי נצבה וזוית לכ"ח נצבה משאר זוית כח"ל חצי נצבה
	ואם כן ל"כ וח"כ שוים
	וקו כ"מ שוה לקו ה"כ גם כן מטעם זה
	ואם כן העולה מח"כ בה"כ שוה למרובע י"כ
	ובזה יתבאר באיזה מקום שתוציא העמוד מן הקו המעוקם אל קו ה"ז
	ואם כן יהיה העולה מקו ח"כ בה"כ שוה למרובע י"ב וזה מה שרצינו לבאר
	כל מחותך מעוגל שיחתוך בשטח שוה על משולש יעבור על חצו וימשך מנקדת ראשו ביושר אחד מצלעיו עד נקדה אחרת חוץ למחודד
	עוד ימשך מאותה נקדה שהוציא חוץ למחודד קו אחד ביושר יגיע תוך המחודד הנחתך יעמוד על תושבת המשולש
	ויוצאו עמודים מאיזו נקדה שירצה על זה הקו שהוציא
	עוד יגיעו העמודים ההם על שטח המחודד
	אומר שיהיה יחס השטח אשר מזה הקו כלו שהוא חוץ מן הנקדה אשר היה חוץ למחודד עד נקדת איזה עמוד שיהיה בחלק הקו המגיע בתוך המחודד עד העמוד אל מרובע אותו עמוד ביחס השטח אשר יהיה מן הנקדה ההיא בעצמה שהיא חוץ למחודד עד נקדת העמוד האחר בחלק הקו אשר מגיע בתוך המחודד עד העמוד האחר אל מרובע זה העמוד האחר
	וכל עמוד מהעמודי' הרחוק הנקדה שהיה חוץ המחודד הוא גדול מן העמוד הקרוב אל הנקדה ההיא בעצמה
	המשל בזה נחדש הצורה בעצמה אך שנוציא עמוד אחד מקו המעוקם באיזו נקדה שתזדמן שם על קו ה"ז ויהיה עמוד ע"ס
	ונוציא מנקדת ס' קו נכחי לקו ב"ג והוא קו בס"צ
	ובהכרח לפי מה שאמרנו בצורה הקודמת יהיה העולה מקו ח"ס בה"ס שוה למרובע ס"ע
	והעולה מקו ח"כ בה"כ שוה למרובע י"כ
	ואם כן יחס ח"כ בה"כ אל מרובע י"כ ביחס ח"ס בה"ס אל מרובע ע"ס
	וכמו כן יתבאר מכל עמוד שתוציא על זה הסדר בקו ה"ז
	וזה מה שרצינו לבאר
	ואחר שהוא כן נציר בשטח קטר חט"ה הנזכר במקומו
	ואמנם נחדש צורה אחרת כדי שלא יתבלבל התלמיד
	ונוציאהו לאין תכלית
	ונוציא מנקדת ה' עמוד חוץ לשטח והוא ה"נ שוה לקו ה"ט שהוא חצי הקטר
	ונוציא הקו המעוקם לאין תכלית
	ונוציא מנקדת ט' עד נקדת ראש עמוד ה"נ בנקדת נ' קו ישר והוא קו ט"נ
	ונוציאהו לאין תכלית
	ונאמר שיקרב אחד מהם אל האחר ולא יפגשו לעולם ואפי' יוצאו לאין תכלית ואע"פ שכל אשר יתרחקו ויתקרבו
	המופת על זה נוציא מהקו המעוקם עמודים על הקוטר אשר הוצאנו אותו לאין תכלית כאשר יפלו והם ע"פ ף"צ ט"ק ר"ש
	ונוציא אלו העמודים כלם חוץ למחודד עד שיתחברו בקו הישר שהוצאנו מנקדת ט' ע"א ף"ב ט"ג ר"ד
	עוד נוציא עמודים מנקדת ע"ף צ"ר על הקו הישר והם ע"ל ף"מ ט"נ ר"ס
	ונאמר כי כבר נחלק קו ישר לחצאים והוא קו חט"ה
	ונוסיף עליו קו על יושר והוא ה"פ
	יהיה העולה מקו ח"פ כלו בקו ה"פ עם מרובע ט"פ שוה למרובע קו ט"פ
	וט"פ שוה לפ"א
	לפי שזוית חפ"א נצבה
	וזוית פט"א חצי נצבה לשווי עמוד ה"נ לה"ט כי כך הוצאנו
	ישאר זוית פא"ט חצי נצבה
	ואם כן פ"ט ישוה לפ"א אחר שהזויות שהן על התושבת הם שוות
	ואחר שהוא כן יהיה העולה מח"פ בה"פ עם מרובע ט"ה שוה למרובע קו ס"א אחר שהוא שוה לקו ט"פ
	עוד נאמר שיש לנו קוי ט"פ פ"א והם שוים
	ונדמה שהם עומדים ביושר בקו אחד
	ונחלק לשני חלקי' שוים על נקדת פ‫'
	ולשני חלקים שאינם שוים על נקדת ע‫'
	ובהכרח יהיה העולה מקו טפ"ע בקו ע"א עם מרובע קו ע"פ שהוא בין שני מקומות החלקים שוה למרובע קו פ"א שהוא שוה למרובע קו ט"פ כאשר בארנו
	ואם כן העולה מח"פ בפ"ה עם מרובע ט"ה שוה לעולם מקו טפ"ע בקו ע"א עם מרובע ע"פ
	והעולה מח"פ בה"פ שוה למרובע קו ע"פ כמו שהבאנו מופת בצורה הקודמת
	אם כן נצייר משתיהן דבר שוה
	והוא שמהעולה מקו טפ"ע בקו ע"א עם מרובע ע"פ נסיר ממנו מרובע ע"פ
	ומהעולה מקו ח"פ בה"פ עם מרובע ט"ה שהוא שוה לעולם מקו טפ"ע לקו ע"א עם מרובע ע"ס נסיר ממנו העולה מקו ח"פ בה"פ שהוא שוה למרובע ע"פ
	ישאר העולה מקו טפ"ע בקו ע"א שוה למרובע ט"ה
	וכענין הזה יתבאר שהעולה מקו טץ"ף בפ"כ שוה למרובע ט"ה
	ובזה עוד יתבאר בדרך הזה שהעולה מקו טק"ץ בץ"ג שוה למרבע ט"ה
	ועוד בזה יתבאר מכל הקוים שתוציא במחודד וחוץ למחודד בענין שהוצאת אלו האחרים ואם תוציאם לאין תכלית לא יתחברו הקו המעוקם והקו הישר ואמנם יתקרבו לעולם
	ואם יתחברו יצא ממנו ההמנעות והוא זה שאם נאמר שיתחברו יתחברו בנקדת ן' בקו ו"ת ולפי מה שהקדמנו ‫למעלה יהיה העולה מקו ח"ת בה"ת שוה למרובע ת"ן
	והעולה מקו ח"ת בה"ת עם מרובע ה"ט שוה למרובע ט"ת שהוא שוה למרובע ת"ן אחר שהוא מגיע בקו ט' הישר שהוצאנו והוא שוה לקו ט"ת כפי מה שהראנו למעלה בקוים האחרים
	ואם כן יהיה העולה מקו ח"ת בקו ה"ת עם מרובע ט"ה שוה לעולם מקו ח"ת בד"ת הגדול שוה לקטן זה חלוף לא יתכן
	ואם כן לא יתחברו לעולם ואם יוצאו לאין תכלית וזה מה שרצינו לבאר
	ולהביא ראיה שכל אשר יתרחקו הקו המעוקם והקו הישר יתקרבו נאמר שעמוד ע"ל גדול מעמוד ף"מ ועמוד ף"מ מעמוד ץ"נ ועמוד ץ"נ מעמוד ס"ד לפי מה שבארנו למעלה
	כי העולה מטפ"ע בצ"א שוה לעולם ממרובע ט"ה וכן העולה מטצ"ף בף"כ שוה לעולה ממרובע ט"ד וכן כלם בסדר
	יהיה אם כן העולה מקו טפ"ע בקו ע"א שוה לעולה מקו טצ"ף בף"כ וכן כלם בסדר תדעוה מן המושכל[ות] הראשונות
	וידוע שקו טפ"ע קצר מקו טצ"ף וקו טצ"ף קצר מקו טק"ץ וכן כלם
	לפי שעמוד פ"ע קצר מעמוד ץ"ף ועמוד ץ"ף קצר מקו ק"ץ וכן כלם כפי מה שהבאנו ראיה מן הצורה השנית
	ומבואר הוא כי קו ט"פ קצר מקו ט"צ וכן ט"צ קצר מקו ט"ק וכן כלם
	ולזה קו טפ"ע קצר מקו טצ"ף וקו טצ"ף קצר מקו טק"ץ וכל כלם
	ואם כן בהכרח קו פ"א ארוך מקו ף"כ וקו ף"כ ארוך מקו ץ"ג וכן כלם בסדר
	אחר ששטחי הראשונים בשטחי הנמשכים כלם שוים למרובע אחד
	והשטח הראשון האחד קצר מן השטח הראשון השני והשטח הראשון קצר מן השלישי וכן כלם
	יהיה בהכרח השטח הנמשך מן הראשון גדול מן השטח הנמשך השני וכן השטח הנמשך מן השני יהיה גדול מן השלישי וכן כלם על הסדר
	ולזה יהיה קו ט"א גדול מקו ף"ב וקו ף"ב גדול מקו ץ"ג
	ועוד נודע לפי מה שהנחנו בצורות שעברו שזוית עא"ל חצי נצבת וזוית אל"ע נצבה כי היא עמוד
	תשאר זוית לע"א חצי נצבת
	ולזה עמוד ע"ל שוה לקו ל"א
	ואם כן מרובע ע"א כפל מרובע ע"ל
	וכזה נאמר שמרובע ף"כ כפל מרובע ף"מ
	ומרובע ץ"ג כפל מרובע ץ"נ
	ומרובע ע"א גדול ממרובע ף"ב
	ומרובע ף"ב גדול ממרובע ץ"ג
	לפי שקו ע"ג גדול מקו ף"ב
	וקו ף"ב גדול מקו ץ"ג
	ולזה בהכרח קו ע"ל גדול מקו ף"מ
	וקו ף"מ גדול מקו ץ"נ
	וכן כלם בסדר
	ולזה כל אשר יתרחקו יתקרבו
	וכבר הבאנו ראיה שלא יפגשו ואם יוצאו לאין תכלית
	וזה מה שרצינו לבאר
	ואחר שנתבארו לנו אלו ההקדמות נבאר איך נוציא שני הקוים אשר האחד מהם ישר והאחר מעוקם אשר דברנו עליהם תחלה
	ויהיה מחודד עליו אב"ג ותושבתו עגלת ב"ג
	ויחתך בשטח יעבור בחצו ויחדש בו משולש אב"ג
	ונוציא קו א"ב ביושר אל נקדת ד‫'
	ונוציא מנקדת ד' אל תושבת ב"ג קו דה"ז
	ונוציא מנקדת ה' עמוד אל משולש אב"ג והוא עמוד ה"א
	ונוציא שטח דח"ה ויחתוך המחודד על קו ה"כ
	ויהיה עמוד ה"ח ממשש לחתוך ה"כ
	ויהיה שטח דח"ה עומד על משולש אב"ג על החתוך המשותף בינו ובין שטח משולש אב"ג והוא קו ה"ז
	וזה הקו אם נוציאהו לאין תכלית יהיה בין קוי א"ב א"ג אם נוציא קוי א"ב א"ג לאין תכלית קו ה"ז אם יצא לאין תכלית יהיה בתוך מחודד אב"ג אם יצא לאין תכלית
	וכבר יצא עליו שטח והוא אשר יגיע בשטח דה"ח עד לאין תכלית
	וזה השטח יחתוך צלע המחודד על קו לאין תכלית
	ויחתוך אותו על ה"כ עם מה שיגיע בו לאין תכלית
	וכל שתי נקדות יונחו על קוי ה"כ אינם הולכים ביושר על קו ה"כ
	לפי שכל שתי נקדות יונחו בו בשטח דח"ה
	וראש המחודד אשר הוא נקדת א' בעומק השטח
	והשתי נקדות אינם כנגד ראש המחודד
	והקו המגיע ביניהם יפול בתוך המחודד
	ואם כן אין קו ה"כ אשר בשטח המחודד הולך ביושר כנגד איזה שתי נקדות שיושמו בו
	ואם כן קו ה"כ מעוקם
	ונשים בו נקדת מ' ונוציא ממנה עמוד על שטח משלש אב"ג והוא עמוד מ"ג
	ומן המבואר שהוא יפול על החתוך המשותף לשטח דה"ח ולמשולש אב"ג אשר הוא ד"ז
	ויפול על החלק אשר מזה הקו בתוך המחודד
	לפי שהוא יפול בצד נקדת ה' אשר יצא ממנה עמוד ה"ח הממשש
	ונחלוק קו ד"ה בשני חצאים על נקדת צ‫'
	ונשים יחד השטח אשר יהיה מ"ת בנ"ה אל מרובע נ"מ כיחס מרובע צ"ה אל מרובע ה"ח
	ונגיע קו צ"ח
	ונאמר שקו צ"ח מעוקם ה"כ אם יוצאו עד לאין תכלית לא יפגשו לעולם
	מופת זה שלא יתכן שיפגשו
	ואם יפגשו על נקדת ע‫'
	ונוציא מנקדת ע' עמוד על קו ד"ה והוא עמוד ע"ף ויהיה עמוד על משולש אב"ג
	ויחס שטח ד"נ בנ"ה אל מרובע נ"מ כיחס שטח ד"ף בף"ה אל מרובע ף"ע
	ושטח ד"ף בף"ה כמו מרובע צ"ף
	וזה לא יתכן כי הוא יוסיף עליו מרובע ה"ץ
	ואם כן קו צ"ח לא יפגוש מעוקם ה"כ ואם יוצאו לאין תכלית
	ונאמר עוד שכל מה שיצאו יתקרבו
	וזה כי אנחנו כשנוציא קו נ"מ אל נקדת ף‫'
	ונשים נקדה אחרת אל מעוקם ה"כ והיא נקדת ש‫'
	ונוציא עמוד ש"ו
	ויחס השטח אשר יהיה מנ"ד בג"ה אל מרובע נ"מ כיחס מרובע צ"ה אל מרובע ה"ח וכיחס מרובע צ"ג אל מרובע נ"ק ויחס תוספת מרובע צ"ג על שטח ד"נ בנ"ה אשר הוא מרובע צ"ה אל תוספת מרובע נ"ק על מרובע נ"מ אשר הוא מרובע מ"ק
	והעולה ממ"ק במ"נ שני פעמים כיחס מרובע צ"ה אל מרובע ה"ח
	ומרובע ה"ח שוה למרובע מ"ק והעולה ממ"ק במ"נ שתי פעמים
	ובזה יתבאר כי מרובע ה"ח שוה למרובע ו"ש והעולה מו"ש בש"ת שתי פעמים
	ומרובע מ"ק והעולה ממ"ק ג"במ"נ שתי פעמים שוה למרובע ו"ש והעולה מו"ש בש"ת שתי פעמים
	וקו מ"נ קטן מש"ת
	ואם כן קו מ"ק גדול מקו ו"ש
	וכזה עוד העמוד המוצא ממ' אל קו ‫צ"ח גדול מהעמוד המוצא מנקדת ש'
	ואם כן נקדת ש' קרובה אל קו צ"ח מנקדת מ‫'
	וכזה יתבאר בכל נקדה שתהיה על קו מעוקם ה"כ לאין תכלית
	וזה מה שרצינו לבאר
	תם ונשלם
	תהלה לאל עולם