חשבון של שברים

	בטוב גדול אתחיל ד"א
Calculation of Fractions	לכתוב חשבון של שברים
Division, Addition, Multiplication, Subtraction	בחילוק ובחיבור ובכפל ובחיסור
	והא לך שברים בחיסור
Eight types for each operation:	ותמצא בו ח' שערי'
1) Fractions by fractions	ראשונה דהיינו שברים בשברים
2) Integers by fractions	ב דהיינו שלמים בשברים
3) Fractions by integers	ג דהיינו שברים בשלמים
4) Integers and fractions by fractions	ד שלמים ושברים בשברים
5) Integers and fractions by integers	ה שלימים ושברים בשלימים
6) Integers by integers and fractions	ו שלימים בשלימים ושברים
7) Fractions by integers and fractions	ז שברים בשלימים ושברים
8) Integers and fractions by integers and fractions	ח שלימים ושברים בשלימים ושברים
	והא לך הדומיון
Two letters one above the other with a dividing line between them - indicate a fraction	וידוע ליהוי לך כל מקום שתמצא ב' אותיות זו על גב זו והעברת קולמוס בנתיים
	כזה מורה על ג רבעיות
	אבל כשתמצא אות אחד אז הוא מרמז על שלימים
	והוא הדין אם תמצא ב' אותיות זו על גב זו ודומין בצורותיהן
	כזה והעברת קולמוס בנתיהן מרמזין חמשה חומשין
	אבל אם תמצא ב' אותיות אלפין זו על גב זו ולא תמצא העברת קולמוס בנתיים אז הוא מרמז על שלימים
	כזה ר"ל אחד שלם ול"ד

Addition of Fractions	והא לך לכפול לחבר שברים בשברי'
Eight types	‫[ב]‫ח' עניינים
$\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$	ז   ותמצא א   עם א   בא   ד   ג
$\scriptstyle9+\frac{4}{5}=9+\frac{4}{5}$	ד ט ותמצא ד   עם ט   ה ה
$\scriptstyle\frac{1}{3}+5=5+\frac{1}{3}$	א ה ותמצא   ה עם א   ג   ג
$\scriptstyle\left(6+\frac{2}{4}\right)+\frac{2}{3}=7+\frac{1}{6}$	א ז ותמצא ב   עם ב ו ו ג   ד
$\scriptstyle\left(4+\frac{3}{4}\right)+9=13+\frac{3}{4}$	ג גא ותמצא   ט עם ג ד ד   ד
$\scriptstyle5+\left(4+\frac{3}{4}\right)=9+\frac{3}{4}$	ג ט ותמצא ג ד עם   ה ד ד
$\scriptstyle\frac{6}{10}+\left(2+\frac{4}{9}\right)=3+\frac{4}{90}$	ד ג ותמצא ד ב עם ו ‫0ט ט ‫0א
$\scriptstyle\left(9+\frac{3}{4}\right)+\left(8+\frac{2}{3}\right)=18+\frac{5}{12}$	ה חא ותמצא ב ח עם ג ט בא ג ד
The first type:	והא לך הדומיון אם תרצה לחבר עם יחד
	עשה כאשר אראך איה כפול אותו בשתי וערב ר"ל ב פ' ד דהיינו ח' כתוב ח' לפניך ואחר כך כפול השנית ג"כ בשתי וערב ג פ' ג דהיינו ט' וחבר ט' וח' שמצאת ותמצא ז"א כתוב אותו למעלה ואחר כך כפול הַב' אותיות התחתונות כגון ג פ' ד דהיינו ב"א כתוב תחת ז"א כזה דהיינו ז"א חלקים שתגיעו ב"א לשלם חסור ב"א ממנו דהיינו שלם וכתוב בצדו וישאר לך [ ] חלקים שמגיעי' ב"א לשלם כזה [ ]
The second and third types - no need to elaborate	השער השני והשער השלישי אין [צריך] לכתוב
The fourth type - the fractions are summed as in the first type, then the integers are summed together	השער הרביעי עש דהיינו ו שלימים עם עשה השברים בכפל שתי וערב כדלעיל ואחר כך חיבר השלימים יחד ותמצא מכוון
The fifth and the sixth types - the integers are summed together, then the fractions are added	השער החמישי והשישי כפול השלימים יחד ואחר כך עשה השברים ג"כ להמניין
The seventh type - as in the fourth type	השער השביעי חשוב כאשר הראתיך לעיל בשער הרביעי
The eighth type - the integers are summed together, then the fractions are summed together, as in the first type	השער השמיני דהיינו עם חבור כפול השלימים בחיבור בכפל ותמצא זא ואחר כך כפול השברים כמו שעשית בראשונה ותמצא חא שלימים
A sum of three fractions	אבל כשתמצא ג' פ' שברים בשברים בבת אחת כגון א"ת לחבר
Two of the fractions are summed together as in the first type, then the third fraction is added to the resulted sum	חשוב ב' שברים בשברים הראשונים והה' האחרונים כמו שהראתיך בראשונה ואחר כך חבר השלישי ג"כ לזה כגון א"ת לחשוב דומיון שלמעלה חשוב ב' הראשונות דהיינו בשתי וערב ותמצא ואחר כך תרצה לחבר עם כפול אותו בשתי וערב ותמצא ובזה תמצא ב שלימים או ומכוון

Subtraction of Fractions	[והא לך לחסר שברים] משברים
Eight types	בח' עניינים
$\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{1}{3}=\frac{5}{12}$	ה   ותשאר ג   מן א   בא   ד   ג
$\scriptstyle\frac{3}{8}-5=\varnothing$	אי אפשר נמנה ולא תוכל לחסר ממנו ג   מן ה   ח
$\scriptstyle3-\frac{9}{12}=2+\frac{1}{4}$	א ב ותשאר לך   ג מן ט   ד   בא
$\scriptstyle\frac{1}{4}-\left(7+\frac{5}{6}\right)=\varnothing$	ג"כ לא תוכל לחסר ממנו א   מן ה ז ד ו
$\scriptstyle9-\left(2+\frac{2}{3}\right)=6+\frac{1}{3}$	א ו ותשאר לך   ט מן ב ב ג   ג
$\scriptstyle\left(4+\frac{1}{7}\right)-3=1+\frac{1}{7}$	א א ותשאר לך א ד מן   ג ז ז
$\scriptstyle\left(4+\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}=3+\frac{5}{6}$	ה ג ותשאר לך א ד מן א   ו ג ב
$\scriptstyle\left(18+\frac{1}{5}\right)-\left(8+\frac{3}{7}\right)=9+\frac{27}{35}$	זב ט ותשאר לך א חא מן ג ח הג ה ז
	והא לך הדומיון לחסר הח' חשבונות הרשומים למעלה על דרך זו
The first type:	ובראשונה אם תרצה לחסר מן לעולם תקח בראשונה האות התחתון שבצד ימין והאות העליון שבצד שמאל בכפל דהיינו ג פ' ג הרי ט' הט שמצאת כתוב כתוב למעלה לפניך ואחר כך האחרים דהיינו א פ' ד כתוב אות הד' תחת הט' שמצאת [ ] כזה ואחר כך חסור האות התחתונה מהאות העליונה דהיינו ה' מן ט ותשאר ה כתוב אותן לפניך שלא תשכח ואחר כך כפול האותיות התחתונות דהיינו ג פ' ד הרי בא כתוב בא תחת ה' ותמצא מכוון
Note: the line should not be forgotten lest the fractions will be considered as integers	והזהר בנפשך שתעבור בקולמוס ביניהם שלא תטעה ותאמר שהן שלימים כזה
The second type - impossible to subtract integers from fractions	השנית השלימים מן לא תמצא לחסר ממנו
But it is possible to subtract fractions from integers	אלא א"כ תהפוך אותו כגון מן ה' שלמים אז הוא אפשר
The third type - the integer is converted to fractions	השלישית לחסר מן ג שלימים אז תשבר השלימים לשברי' לשלישי' כמו שתמצא בחסרון שתרצה לחסר דהיינו כל אחד לשנים עשר חלקי' ותמצא [ מן ] בראשונה חסור מן ותשאר לך דהיינו או או וד"ל
The fourth type - impossible	הרביעית אי אפשר
The fifth type - the fraction is subtracted from one unit taken from the integer, then the integer is subtracted from the remaining integer	החמישית עשה בעניין הזה מן ט שלימים קח אחד מִט' ושבור אותו בשברו דהיינו בשלישים כמו שתמצא בחיסור שתרצה לחסור והוא מן בראשון חסור מן ותשאר ואחר כך חסור ב מן ח ותשאר לך ו' ותמצא שנשאר לך מן הכל וד"ל
The sixth type:	השישית לחסר ג מן חסור ג מן ד וישאר לך א ו והשברים נשארים כולם והוא וד"ל
The seventh type:	השביעית לחסר מן חסור מן כמו שהראתיך לעיל וזה אי אפשר לעשות קח א מן ד שלימים ושבור אותו בשברו דהיינו וכבר והוא ועכשיו חסור מן וישאר לך וד"ל
The eighth type - the integers are summed together, then the fractions are summed together, as in the first type	השמינית לחסר מן לעולם תחסר בראשונה השברים מן השברים והוא מן אי אפשר קח א מן המושבר אותו בשברו דהיינו חמישיות וכבר הוא ותחסור מן על דרך זה ז פ' ו הוא בד כתוב אותן למעלה לפניך ואחר כך ג פ' ה הוא הא כתוב אותן תחתיה כזה וחסור ה"א מן ב"ד וישאר לך זב כתוב זב לפניך והעבר בד הא בקולמוס כזה ואחר כך כפול האותיות התחתונות והוא ז פ' ה הרי הג כתוב אותן תחת זב והעבר בקולמוס ביניהן כזה וד"ל
	אבל אם תרצה לחסר מן שכולן יש להן שם אחד דהיינו השברים יש להן שם אחד חסור האותיות העליונים זה מן זה והוא ה מן ז וישאר לך ב והתחתונות אינם צריכין לחסר והוא שנשאר לך וד"ל
	אם תרצה לחסר מן בראשונה חבור יחד כמו שהראתיך לעיל והוא ואחר כך חבור והוא ועכשיו חסור מן כמו שהראתיך לעיל בשתי וערב ותמצא או וד"ל
	והוא הדין תמצא לחסר בעניין הזה שאר חשבונות בהאי גוונא

Multiplication of Fractions	והא לך לכפול שברים בשברים
Eight types	בח' עניינים'
$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$	א או ו   הוא ג   פעמי' ב   ב בא   ד   ג
$\scriptstyle6\times\frac{1}{3}=\frac{6}{3}=2$	ב או ו   הוא א   פעמי' ו   ג   ג
$\scriptstyle\frac{2}{3}\times19=12+\frac{2}{3}$	ב בא הוא   טא פעמי' ב   ג   ג
$\scriptstyle\left(6+\frac{1}{3}\right)\times\frac{1}{2}=3+\frac{1}{6}$	א ג הוא א   פעמי' א ו ו ב   ג
$\scriptstyle\left(6+\frac{1}{5}\right)\times9=55+\frac{4}{5}$	ד הה הוא   ט פעמי' א ו ה   ה
$\scriptstyle6\times\left(8+\frac{1}{2}\right)=51$	אה הוא א ח פעמי'   ו ב
$\scriptstyle\left(9+\frac{2}{3}\right)\times\frac{1}{4}=2+\frac{5}{12}$	ה ב הוא א פעמי' ט ב בא ד ג
$\scriptstyle\left(6+\frac{5}{7}\right)\times\left(7+\frac{1}{2}\right)=50+\frac{5}{14}$	ה ‫0ה הוא א ז פעמי' ה ו דא ב ז
	והא לך הדומיון ללכפול ח' שורות הרשומים לפניך על דרך זו
The first type:	בראשונה אם תרצה לכפול פ' כפול האותיות העליוני למעלה יחד ואחר כך האותיות התחתונות ג"כ[ ] כזה כפול בראשונה ב פ' ג דהיינו האותיות העליונות מן השאילה ששאלתי והוא ו' ואחר כך האותיות התחתונות דהיינו ג פ' ד הרי ב"א כתוב למטה מה ו' כזה והעבר בקולמוס ביניהן וה"ה חשבון אחר בעניין הזה ודווקא השברי בשברים
The second type:	השני' ו פ' כפול הַ ו' באות העליון וכתוב לפניך ואחר כך האותיות התחתונות אין אתה צריך לכפול אלא בהווייתו תהא כזה שרשמתי ו' פ א הוא א פעם ו' וכתוב הַג למטה מִ ו כזה הוא ב' שלימים
	ואם תרצה לשבור השלימים דהיינו ו' בשברו והוא חא ג"כ תוכל לחשוב בכפל כלעיל חא פ' א הוא חא ג כתוב למעלה ואחר כך ג פ ג ט הרי חא הוא וד"ל
The third type - as the second type	השלישית כשנייה
The fourth type:	הרביעית הוא פעמי' שבר השלימים בשברו דהיינו שלישים ותמצא ואחר כך חבור ג"כ לזה והוא ואמור פעמי' ועשה כראשון והוא וד"ל
The fifth type:	החמישית הוא פעמי' ט כפול ו עם ט והוא דה ואחר כך כפול עם ט שלימים כמו שהראתיך לעיל בשער השני' ותמצא הוא וכבר מצאת דה ועכשיו תמצא ס"ה וה"ה תמצא לחשוב אם תשבר השלימי' לשברים לעשות מן ומן ט כל מה שתרצה שניים שלשי' רביעיות חמשיות וד"ל
The sixth type - as the fifth type	השישית כחמישית
The seventh type - as the fourth type	השביעית כרביעי
The eighth type:	השמינית והוא פעמי' שבר הַו בשברו דהיינו ו' שביעיות והוא והַ תמצא יחד ואחר כך שבר ג"כ ז בשברו דהיינו חציין והוא דא וכבר יש לך הרי עכשיו כפול פעמי' כפול זד עם הא והוא ה 0 ז ואחר כך כפול ז עם ב והוא דא והוא ובו תמצא 0ה שלים וד"ל
Whenever there is a product of integers and fractions by integers and fractions the integers should be converted into fractions	צריך אתה לידע כל מקו' שמגיע לידך חשבון שלימי' ושברים בשלימי' ושברים כמו שהראתיך שבור השלימים בשברו כלעיל ואחר כך תמצא החשבון מכוון
	אבל אם אתה תרצה לכפול שלימים בשלימים בראשונה ואחר כך שברים בשברים אז הוא בודאי טעות ו"א

Division of Fractions	והא לך לחלוק שברים בשברים בחילוק
	אם תחלקו בחשבון יבא
	בחשבון יבא
Word Problem - Find a Number Problem - dividing ¾ into four fifths	אם ישאלך אדם ג' רביעיות אם תרצה לחלקו לד' חלקים לד' חמשיות כמה לחלק ד' חמשיות יש בו
	חלק תשיב לו ג' תשעה חלקי' מ
Word Problem - Divide a Quantity Problem - dividing 20 peraḥim among four brothers - three of the brothers will receive ¾ of the amount, i.e. 15 peraḥim	דהיינו אם יש בכאן עשרים פרחי' לחלק בין ד' אחים לג' אחי' יגיע ג' רביעיות והם ט"ו פרחי'
Dividing the 15 peraḥim into five	ואם תרצה לחלק אלו ט"ו פרחי' שהם רביעיות עוד לב' חלקים יגיע לכל חלק מהם ג שהוא ג' חלקי' קטני' שהם ג' פרחי' מאלו העשרי' וכן עד"ז כולם
The first type:	והא לך הדומיון לחלק שברים בשברים כגון הרוצה לחלק בחשבון חלוק אותו בשתי וערב על דרך זה לעולם קח בצד ימין העליון וכפול אותו עם אות התחתון שבצד שמאל וכתוב אותו למעלה לפניך ואחר כך כפול האות התחתון שבצד ימין וכפלתו באות העליון של שמאל
	כמשל כאמרך לכמה חלקי' שוים לְ יחלקו הַ או כאמרך אם תחלק השני שלישיו' לארבע חמשיות כמה תמצא באלו
	והא לך הדומיון בזה החשבון שרשמתי דהיינו בחשבון כפול ב פ ה הוא 0א תכתוב למעלה לפניך ואחר כך ג פ' ד הוא בא תכתוב למטה כזה
	אבל הרוצה לחסר בחשבון ג"כ כפלתו כלעיל ד פ' ג הוא בא תכתוב למעלה לפניך ואחר כך ה פ' ב 0א תכתוב למטה כזה והוא וד"ל
The second type:	השנית והוא בחשבון כתוב לפניך כזה והוא מרמז על שלם ר"ל אחד חלק מאחת וכתוב לפניך כזה וכפולתו בשתי וערב כלעיל א פ' ב והוא ב תכתוב לפניך למעלה ואחר כך א פ' א הוא א תכתוב למטה כזה וד"ל
According to the writing conventions presented by the author: Writing a zero or one below the number indicates an integer	השלישית אבל אם תרצה לחסר (לחלק) בחשבון ולא תרצה לעשות אלא בהווייתו תהא כזה דע כי הא' נחשב לפני האות שלמעלה ולא לפני האות שלמטה ולמטה עשה ציפור במקום אות התחתון כזה כפול א פ' ב הוא ב ואחר כך חבר 0' עם א והוא א' תכתוב למטה וד"ל
Note: the zero that indicates that the dividend is an integer should not be multiplied by the numerator of the divisor, for a product of zero is zero and therefore the denominator of the result will then be a zero, which will indicate erroneously that the result is an integer	והזהר בנפשך שלא תכפול הַ 0 עם הא כי 0 פ' א הוא 0 ואז תמצא והן ב שלימי' וד"ל
The third type	השלישית לחלוק בחשבון זכור נא שתצטרך לחלוק אות העליון שבצד ימין עם האות התחתון שבצד שמאל והַ ה נחשב בלפני אות העליון כלעיל ואם תרצה לעשות למטה מהַ ה א כזה כפול ג פ' א הוא ג תכתוב למעלה ואחר כך ד פ' ה הוא 0ב והוא אבל אם תרצה לכתוב תחת הַה 0 כזה חבר ג עם 0 כלעיל והוא ג' ואחר כך ד פ' ה הרי 0ב וד"ל
The fourth type - as the first type	הרביעית הוא בחשבון ועשה כבראשונה עשה הַ ג לשבעיות והם וכבר ב הרי הם בחשבון חשוב גב פ' גא הרי ט ט ב תכתוב למעלה ואחר כך ז פ' 0א הרי 0ז תכתוב למלמטה כזה ובו תמצא ד' פ' 0ז דהיינו ד' שלימי' וישאר לך טא דהיינו ד שלימי' וד"ל
The fifth type - as the fourth type	החמישית והוא בחשבון כרביעית אך הזהר שתכתוב תחת הו' א' או 0' ועשה כמו שהראתיך לעיל
The sixth type - as the second type	השישית והוא ב בחשבון שבר גא בשברו והוא וכבר שהם כתוב לפניך בחשבון חשוב אותו כחשבון השנית וכתוב דב 0 או א ואל תשכח לחבר עם 0' ולכפול עם א ותמצא וד"ל
The seventh type - as the first type	השביעית והוא בחשבון שבר הַ ז בשברו וחשוב אותו כחשבון הראשון וד"ל
The eighth type - as the first type	השמינית והוא בחשבון שבור השלימי' בשברם דהיינו מן טא עשה שלישים ומן א' עשה רביעיות וחשוב אותו כבראשון ותמצא מכוון וד"ל

Fractions of Fractions
The four basic operations with fractions of fractions	אם ישאלך אדם לחבור לו בארבע חשבונות הללו חציין שברים ל[ש ]
	כגון חצי שליש עם שאר שברים [ ] או שליש מרביעית עם שאר שברים
When fractions of fractions are involved - the simple fractions should be converted to the lower fractions, i.e. to fractions of fractions	שבור השברים בשברים קטנים דהיינו בשברו
	כגון אם ישאלך אדם תרצה לחבר עם (ו)שליש עשה מן השלישים חצי שלישים והן ב חצי שלישי' וכבר חצי שליש הרי הן ג חצי שלישים שהן עכשיו חבר עם כמו שהראתיך בחשבון בשברים בחיבור ותמצא או או ומכוון וד"[ל]
	הרוצה לחבר ועוד רביעית ועוד מרביעית עם (צריך להיות ) ועוד (צריך להיות ) משמינית עשה מן רביעי' ומן מרביעית כל אחד לששה עשר חלקי' דהיינו מרביעית * ותמצא סך הכל ואחר כך עשה * שהוא סך מהסך השני חד חלקי' ותמצא תתכתוב לפניך הקטון מכולם כזה עם ותמצא (צריך להיות ) והוא א' שלם (צריך להיות ) חלקי'
	ובכל השערים בכפל בחיבור בחיסור ובחילוק תעשה כלעיל וד"ל

Checking Methods of Operations with Fractions	ועתה אכתוב לך מאזני צדק על השברים
The author states that he did not find other checking methods in all arithmetic books	ולא מצאתי אחרת בכל ספרי חשבונות
Check - addition
	והא לך הדומיון הרוצה לחבר עם
	וכבר כתבתי לאיזה צד תפנה ת שתמצא החשבון והוא
	ותרצה לידע אם חשבונך מכוון אם לאו כפול הַב אותיות התחתונות מן השאילה ומה שתמצא קח ממנו שלישיות כמה שתוכל ואחר כך קח ממנו רביעיות כמה שתוכל כזה ג פ' ד בא ראה מה השליש מן בא והוא ד תכפלתו עם הַ ב כי בשאילה תמצא ד פ' ב הוא ח' תכתוב לפניך ואחר כך ראה מה הרביעיות מן בא והוא ג' תכפלתו עם ג' כי בשאילה תמצא ג"כ ואמר ג פ' ג הוא ט' תכתוב תחת ח' כזה ח וחברתו יחד והוא * כמו שתמצאת כבר וזה ט * שהוא הוא בודאי יושר
	ואם לא תמצא מכוון אז הוא ודאי טעות
Check - subtraction	ומאזני צדק בחיסור
	כגון הרוצה לחסר מן
	כפלתו בשתי וערב כלעיל ג פ' ג ט תכתוב לפניך ואחר כך ב פ' ד הוא ח חסור ח מן ט ותשאר לך א' ואחר כך אמור ג פ' ד הוא בא תכתוב למטה מֵהַ א כזה
	ומאזני צדק כלעיל בחיסור
Check - division	ומאזני צדק בחילוק
	ג"כ כמו בראשונה ובמקום שחסרת בחיסור ח מן ט חלק ח בחשבון ט ותמצא ומכוון וד"ל

Appendix: Bibliography

Anonymous
(Ḥeshbon shel Shevarim)

Manuscript:

• Budapest, Magyar Tudományos Akadámia, Ms. Kaufmann A 520/15 (IMHM: f 15170), ff. 216; 219-229 (16th century)
  

Kaufmann A 520/15