חשבון השטחים
חשבון השטחים | |
---|---|
Contents
Introduction |
|
The reader of this book should first know three categories [of algebraic species] introduced by Muḥammad al-Khwārizmī in his book that are: roots, squares, and numbers | [1]תחלת מה שצריך לדעת קורא זה הספר הוא שלשה חלקים אשר אמרם כבר מהומר אלכוארזמי[2] בספרו והם שרשים ראדיש ומרובעי' אלגוש ומספרים קונטאש |
Definitions: | |
|
והשרש הוא כל דבר שיוכה [שיתרבה][3] על עצמו |
|
והאלגו הוא המתקבץ מהתרבות זה השרש על עצמו שלם יהיה או נשבר |
|
והמנין הוא הצומח מאליו אשר לא יכל ליפול בו לא שם שורש ולא שם אלגו והוא המתיחס אל מה שבו מן האחדים |
Each of these species can be equal to one of the other species, or to the two other species: | ואלו השלשה חלקים כבר יהיה כל אחד מהם [יהיה שוה לכל אחד מהחלקי' הנשארים וכבר יהיה][4] שישוה כמו שני חלקי' שנשארו |
Whether one species is equal to one of the other species, as if you are told: | [אם שיהיה שוה לכל אחד מהנשארים][5] זה כמו שיאמרו לך |
|
אלגוש ישוו שרשים |
|
ואלאגוש ישוו מספרים |
|
ושרשים ישוו מספרים |
Or, one species is equal to the two other species, as if you say: | [ואם שיהיה שוה החלק האחד לשני החלקי' הנשארי' הוא כמו שתאמר |
|
מרובעי' ושרשי' ישוו למספרים |
|
ומרובעים ומספרי' ישוו לשרשים |
|
ושרשים ומספרי' ישוו למרובעים |
These are the six categories and they should be explained. | ואלו הם ששה חלקים וצריך לבארם][6] |
The Six Canonical Equations |
|
The Simple Canonical Equations |
|
Squares Equal Roots: ax2=bx |
|
|
והאלגוש שישוו שרשים הוא כאלו תאמר אלגו ישוה חמשה שרשים |
|
בעבור כי האלגו הוא שוה לחמשת שרשיו |
|
כי שרש האלגו יהיה לעולם כפי סכום השרשים מהאלגו ושוה אליהם |
|
והוא בזה המשל חמשה והאלגו עשרים וחמשה והוא כמו חמשה שרשיו[7] |
I will explain why the root of the square is as the amount of the roots and I will present the explanation using this problem: | ועוד אבאר למה היה שרש האלגו כפי סכום השרשים ואשים באורו בזאת השאלה [רצוני בזה המשל][8] |
Geometric illustration | |
---|---|
|
|
|
ואשים האלגו שטח מרובע עליו אבג"ד |
|
וצלעיו א"ב ב"ג ג"ד ד"א |
|
וכל אחד מצלעיו מורבה על אחד מסכום אורך זה השטח הוא שרש זה השטח האחד |
|
והעולה מכפל א"ב על אחד והוא קו ב"ה ויהיה שטח א"ה הוא שרש א"ג |
|
ושטח א"ג הוא כפי חמשה שרשיו |
|
ושטח א"ג חמשה כפלי שטח א"ה |
|
וחלק שטח א"ג לחמשה חלקים שוים ויהיו שטחי א"ה ט"ו ס"ז מ"ח ע"ג |
|
וקו ב"ג חמשה והוא שרש האלגו |
|
והאלגו הוא עשרים וחמשה |
|
וזה מה שרצינו לבאר |
|
וכמו כן אם יאמר חצי אלגו ישוה עשרה שרשים |
|
והאלגו כלו ישוה עשרים שרשים |
|
הנה שרש האלגו עשרים |
|
והאלגו ארבע מאות |
|
וכמו שתאמר חמשה אלגוש ישוו עשרים שרשים |
|
והאלגו ישוה ארבעה שרשים |
|
ושרש האלגו הוא ארבעה |
|
והאלגו הוא ששה עשר |
Normalization: As much as we augment or reduce the squares, we should always restore them to a single square. | וכן כמה שנרבה מהאלגוש או שנחסר נשיבם לעולם לאלגו אחד |
Apply this [procedure] to the restored roots [equalized] to the square. | וכן תעשה לכל מה שישובו מן השרשים אל האלגו |
Squares Equal Numbers: ax2=c |
|
|
והאלגוש שישוו מספרים כמו אלגו שישוה שש עשרה |
|
והנה הוא אלגו |
|
ושרשו ארבעה |
|
וכן חמשה אלגוש ישוו חמשה וארבעים |
|
והאלגו האחד הוא חמישיתם והוא תשעה |
|
וכן אם תאמר שלישית אלגו שוה [9]שבעה ועשרים |
|
והאלגו שמונים ואחד |
Normalization: You should always restore all the squares, whether they are more or less [than one], into a single square. | וכן כל האלגוש איזה שיהיו יותר או פחות השיבם לעולם אל אלגו אחד |
Apply [the original procedure] to the restored numbers [equalized to the square]. | וכן תעשה לאשר ישובו אליו מהמספרים |
Roots Equal Numbers: bx=c |
|
|
והשרשים שישוו מספרים כמו שתאמר שרש ישוה ארבעה |
|
והשרש הוא ארבעה |
|
והאלגו שש עשרה |
|
וכמו אם תאמר חמשה שרשים ישוו שלשים |
|
והשרש ישוה ששה |
|
והאלגו ששה ושלשים |
|
וכמו אם תאמר חצי שרש ישוה עשרה |
|
והשרש ישוה עשרים |
|
והאלגו ארבע מאות |
Normalization: You should always restore all the squares, whether they are more or less [than one], into a single square. | וכן כל השרשים איזה שיהיו יותר או פחות השיבם לעולם אל שרש אחד |
Apply [the original procedure] to the restored numbers [equalized to the square]. | וכן תעשה לאשר ישובו אליו מהמספרים |
The Compound Canonical Equations |
|
You find these three categories, which are as you say: | ותמצא אלו שלשה חלקים והם כמו שתאמר |
|
אלגוש ושרשי' ישוו מספרי' |
|
ואלגוש ומספרי' ישוו שרשים |
|
ושרשים ומספרים ישוו אלגוש |
Squares and Roots Equal Numbers: ax2+bx=c |
|
|
והאלגוש והשרשים שישוו מספרים הוא כאלו תאמר אלגו ועשרה שרשים ישוו תשעה ושלשים דרהמיש |
|
נאמר כי כאשר נחבר על האלגו |
The [answer to this] question is [obtained] by two methods: one method reveals the root of the square to you, the other reveals the square to you. | ובזאת השאלה ובזה המבוקש יש שנים טיטוליש [אופנים][10] האחד יראך שרש האלגו והאחר יראך האלגו |
Their rules will be explained with geometric figures, which are understood by geometricians who are well versed in Euclid's book [= the Elements]. | ועוד אבאר לך משפטיהן עם תמונות גימאטריות |
The solution method that yields the root of the square | |
---|---|
Already stated by Muḥammad al-Khwārizmī in his book. | והטיטולו והאופן אשר יראך שרש האלגו כבר אמרו מהומר אלכוארזמי בספרו |
והוא שתקח לעולם חצי השרשים והוא בזה המבוקש בזאת השאלה חמשה ותרבם על עצמם ויהיו עשרים וחמשה | |
| |
|
והאלגו תשעה |
The solution method that yields the square | |
והטיטולו אשר יראך האלגו | |
הוא שתרבה העשרה על עצמו ויהיה מאה ותרבם על הל"ט ויהיו ג' אלפים תת"ק | |
| |
Normalization: if there are two squares, or three, or more, or less, they should always be restored to one square. | וכן שנים אלגוש או שלשה או יותר או פחות השיבם לעולם אל אלגו אחד והשיב עמו אשר תוכל מהשרשים ומהמספרים |
|
וזה כמו שתאמר שנים אלגוש ועשרה שרשים [11]ישוו מ"ח אדרהמיש |
|
נאמר ששני אלגוש כאשר נחברם ונקבצם על שרשיו עשרה מאחד מהם יהיה מ"ח אדרהמיש |
|
ויצטרך שתשיב השני אלגוש לאלגוש אחד |
|
וכבר ידעת כי אחד משנים הוא החצי |
Normalization: restoring each item of the proposition to its half.
|
והשיב כל דבר אשר החזקת במבוקש אל חציו |
|
כאלו אמרת אלגוש וחמשה שרשים ישוו כ"ד אדרהמיש ומשפטו כי כאשר תחבר על האלגוש שרשיו החמשה יהיו כ"ד |
It was already shown how to find the root and the square by both solution methods. | וכבר הראיתיך כיצד תמצא השורש וכיצד תמצא האלגוש בשני האופני' האמורים |
|
ואם אמרו לך חצי אלגוש וחמשה שרשים ישוו כ"ח אדרהמיש נאמר כי כאשר חברנו על חצי האלגוש חמשה שרשי האלגוש יהיו כ"ח אדרהמיש |
Normalization: restoring the square to one by doubling it, and doubling the roots that are with it.
|
וצריך שתשיב האלגוש שלך שלם והוא שתכפלהו ותכפול השרשים שיהיו עמו |
|
ויהיה האלגוש ועשרה שרשים ישוו נ"ו |
וכבר הראית מה לעשות לך עמהם | |
Geometric illustrations of the example: | |
והמשפט והסבה אשר בזה רצוני שאלגוש ועשרה שרשים שישוו ל"ט אדרהמיש | |
Geometric illustration of the solution method that yields the root of the square | |
illustrating the equation
|
|
|
הנה האופן הטיטולי אשר יראך השורש הוא שתשים שטח מרובע עליו אבג"ד |
|
ותחבר אליו השרשים אשר הנחת היותם עם האלגו והיו עשרה והם שטח אבו"ה |
|
וידוע כי קו ב"ה עשרה |
|
בעבור כי צלע א"ב משטח אבג"ד מורבה באחד יהיה שורש שטח אבג"ד |
|
והוא מרובה בעשרה יהיו עשרה שרשים משטח אבג"ד |
|
הנה קו ב"ה עשרה |
|
וכל שטח והג"ד שלשים ותשע בעבור כי הנחנו האלגוש ועשרה שרשיו והוא מהכאת קו ה"ג בקו ג"ד |
|
אבל קו ג"ד כמו קו ג"ב |
|
הנה הכאת קו ה"ג על קו ג"ב ל"ט |
|
וקו ה"ב עשרה |
|
ונחלק אותו לחציים על נקודת ח' |
|
ונוסף באורכו קו ג"ב |
|
ולכן יהיה השטח העולה מהכאת ה"ג בקו ב"ג עם מרובע ההווה מהכאת ח"ב על עצמו כמו מרובע ההוה מהכאת ח"ג על עצמו |
|
כמו שאמר אקלידס במאמר שיני בספרו |
|
אבל הכאת הקו ה"ג בקו ג"ב הנחנוה שלשים ותשע |
|
והכאת קו ח"ב על עצמו הוא עשרים וחמשה |
|
ומקובצם ששים וארבעה |
|
וכן יהיה הכאת קו ח"ג על עצמו ס"ד |
|
ושורש ששים וארבע הוא שמונה ולכן קו ח"ג שמונה |
|
וידוע שקו ח"ב חמשה |
|
וישאר קו ב"ג שלשה והוא שורש האלגוש |
|
והאלגוש תשעה |
|
ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי עשה על קו ח"ג שטח מרובע והוא שטח חכנ"ג |
|
ותוציא קו א"ב ביושר עד נקודת ע' |
|
הנה קו ח"ג כמו קו נ"ג |
|
וקו ב"ג כמו קו ד"ג |
|
ישאר קו ב"ח כמו קו ד"נ |
|
ושטח ח"א כמו שטח א"נ |
|
אבל שטח ח"א כמו שטח מ"ה |
|
לכן שטח מ"ה כמו שטח א"נ |
|
ושטחי א"ח א"נ ד"ב השלשה שלשים ותשעה |
|
אבל שטח א"כ עשרים וחמשה |
|
בעבור כי הוא שוה להכאת ח"ב על עצמו |
|
הנה שטח כ"ג כלו ששים וארבעה |
|
וקו ח"ג שרשו והוא שמונה |
|
וקו ב"ח היה חמשה |
|
וישאר קו ג"ב שלשה |
Q.E.D. | ומש"ל |
Geometric illustration of the solution method that yields the square | |
|
|
|
ומשפט האופן אשר יראך האלגו הוא שתשים האלגוש קו א"ב |
|
ותחבר עמו עשרה שרשיו והוא קו ב"ג |
|
ויהיה קו א"ג שלשים ותשעה |
|
ואם תרצה לדעת כמות א"ב עשה על קו ב"ג שטח מרובע והוא שטח דהב"ג והוא מאה פעמים כמו קו א"ב מוכה על אחד מאחדיו[12] |
|
בעבור כי קו ב"ג עשרה שרשים מקו א"ב |
|
ועשרה שרשים מהדבר מוכה על עצמו הוא כמו אותו הדבר מאה פעמים |
|
ונשים קו א"מ מאה מן אשר בם קו א"ג שלשים ותשעה |
|
ונשלים שטח א"נ |
|
והנה הוא שלשת אלפים תת"ק |
|
בעבור כי קו א"ג שלשים ותשעה וקו א"מ מאה |
|
ונמשיך קו ב"ח נכחי לא"מ |
|
ויהיה שטח א"ח שוה למרובע ב"ה |
|
כי הוא גם כן מאה פעמים כמו קו א"ב מוכה על אחד מאחדיו |
|
בעבור כי אורך קו א"מ מאה |
|
ויהיה מפני זה שטח ד"נ גם כן שלשת אלפים תת"ק והוא מהכאת קו ג"ה בקו ה"נ |
|
כי ה"ג כמו ה"ד |
|
והנה קו ג"נ מאה מפני שהוא שוה לא"מ |
|
ונחלק אותו לחציים על נקודת ל' |
|
וכבר נוסף עליו קו ג"ה |
|
ויהיה מפני זה שטח הכאת נ"ה על קו ה"ג ומרובע קו ג"ל יחד כמו מרובע קו ל"ה |
|
כמו שאמר אקלידס במאמר שיני מספרו |
|
אבל שטח נ"ה על ה"ג שלשת אלפים תת"ק |
|
ומרובע קו ג"ל שני אלפים ת"ק |
|
ונחברם יחד ויהיו ששת אלפים ות' והם כמו הכאת קו ל"ה על עצמו |
|
לכן יהיה קו ל"ה שמונים |
|
וקו ג"ה כמו קו ב"ג |
|
הנה כי קוי ל"ג ב"ג שמונים |
|
וכאשר נחסר קוי ב"ג ג"ל שהם שמונים מקוי א"ג ג"ל שהם שמונים ותשעה ישאר קו א"ב שהוא האלגוש תשעה |
Q.E.D. | ומש"ל |
Squares and Numbers Equal Roots: ax2+c=bx |
|
|
והאלגוש והמספרים שישוו שרשים כאלו תאמר אלגוש ועשרים ואחד אדרהמיש ישוו עשרה שרשים |
|
רצוני כי כאשר תחבר עם האלגו עשרים ואחד יהיה המחובר כמו עשרה שרשים מהאלגוש |
There are two solution methods in this category: | ובזאת החלוקה שני אופנים |
|
האחד יראך שורש האלגוש |
|
והאחר יראך האלגוש |
Each is done in two ways: one by adding and the other by subtracting | וכל אחד מהם יעשה בשני פנים האחד עם תוספת והאחד עם מגרעת |
The solution method that yields the root of the square | |
והאופן אשר יראך שורש האלגוש הוא שתקח חצי השרשים והם חמשה ותרבם על עצמם ויהיו עשרים וחמשה | |
| |
|
והאלגוש תשעה |
|
ואם תרצה הוסיף השנים על חצי השרשים ויהיו שבעה והוא שורש האלגו |
|
והאלגו ארבעים ותשעה |
|
ודע כי כאשר תחצה השרשים באופן הזה ותרבם על עצמם ויהיה המתקבץ ממנו פחות מהאדרהמיש אשר עם האלגוש שאז תשתנה החלוקה מוטעה השאלה |
|
וכן פעמים יהיה כמו האדרהמיש בעצמם ויהיה שורש האלגו כמו חצי השרשים מבלי מגרעת ומבלי תוספת |
This category will be illustrated below with geometric figure | ועוד אבאר לך כל אשר אמרנו בזאת החלוקה עם תמונת גימטריאות |
The solution method that yields the square | |
והאופן אשר אראך האלגו הוא אשר נרבה העשרה שרשים על עצמם ויהיה מאה ונרבה אלו המאה על עשרים ואחד ויהיו אלפיים ומאה | |
| |
|
ואם תרצה תוסיף העשרים על החמישים ויהיו שבעים ותגרע מהם העשרים ואחד וישאר ארבעים ותשעה והוא האלגו |
Normalization: if one has two squares, or more, or less, they should always be restored to one square - as demonstrated in the previous case. | וכן כל אשר יבא לידך משני אלגו או יותר או פחות השיבם לעולם אל אלגו אחד כמו שהראתיך באופן הראשון |
The rule that demonstrates how | |
והמשפט שיראך כיצד אלגו וכ"א אדרהם ישוו כמו עשרה שרשים מהאלגו | |
The method that yields the root: the square may be more than the dirham , or less than [the dirham] | הנה האופן אשר יראך השרש שיוכל להיות האלגו יותר מהאדרהמיש אשר הנחנו עמו או פחות מהם |
Yet, the square can be the same as the dirham only if the product of half the roots by itself is the same as the dirham | ולא יוכל להיות האלגו כמו האדרמהיש כי אם בהיות הכאת חצי השרשים על עצמו כמו האדרמהיש אשר עם האלגו ויהיה מהאלגוש |
Geometric illustration of the solution method | |
ואבאר כל זה ואראהו | |
for | ואניח האדרמהיש אשר שמת עם האלגו שהם עשרים ואחד שיהיו יותר מהאלגו |
|
|
|
ואניח האלגו שטח מרובע עליו אבג"ד |
|
ונוסיף עליו העשרים ואחד והוא שטח אבה"ל |
|
וזה השטח גדול משטח אבג"ד כי כן הנחנוהו |
|
וקו ב"ל מפני זה גדול מקו ב"ד |
|
ושטח ה"ד עשרה שרשים משטח אבג"ד |
|
אם כן קו ל"ד עשרה |
|
ושטח ה"ב כ"א והוא שוה להכאת ל"ב בב"ד |
|
כי ב"ד שוה לב"א |
|
ונחלק קו ל"ד לחציים בנקודת ח' |
|
וכבר נחלק גם כן לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב' |
|
ולכן הכאת על ל"ב בב"ד עם מרובע ח"ב ישוו למרובע ח"ד |
|
כמו שאמר אקלידס בספרו במאמר השיני |
|
אבל הכאת קו ח"ד על עצמו עשרים וחמשה |
|
בעבור כי אורכו חמשה |
|
וקו ל"ב בב"ד עשרים ואחד כאמור |
|
וישאר מרובע קו ח"ב ארבעה |
|
וצלעו שנים |
|
אבל קו ח"ד הוא חמשה |
|
וישאר קו ב"ד הוא שלשה והוא שורש האלגוש |
|
והאלגוש תשעה |
|
ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי אשים על קו ח"ד מרובע והוא שטח כ"ד |
|
ושטח כ"ד עשרים וחמשה |
|
כי קו ח"ד הוא חמשה |
|
ושטח ח"ג כמו שטח ח"ה |
|
בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד |
|
ושטח א"ח כמו שטח א"נ |
|
ולכן שטחי א"ח א"ד א"נ השלשה ישוו לשטח ה"ב שהוא מהכאת ל"ב בב"ד והוא עשרים ואחד |
|
ולכן ישאר שטח כ"א ארבעה |
|
והוא מרובע |
|
בעבור כי קו כ"נ כמו קו כ"ח |
|
וקו ח"ס כמו קו נ"מ |
|
וישאר קו כ"ס כמו קו כ"מ |
|
וקו מ"כ שנים והוא שוה לקו ח"ב |
|
אם כן קו ח"ב שנים |
|
וישאר קו ב"ד שלשה והוא שורש האלגוש |
|
והאלגוש תשעה |
Q.E.D. | ומש"ל |
Geometric illustration of the solution method | |
ואבאר בזאת השאלה כאשר תקח חצי השרשים ויהיה העולה מהכאתם על עצמם יותר מהאדרהמיש שהנחת עם האלגוש שהם כ"א ופחות מן האלגוש ר"ל שאדרהמיש פחות מהאלגו | |
|
|
|
ואשים האלגו שטח מרובע עליו אבג"ד |
|
ואחבר עמו העשרים ואחד והוא שטח אבה"ו |
|
ושטח א"ד גדול משטח א"ו כי כן הנחנו |
|
וקו ד"ב ארוך מקו ב"ו |
|
ושטח ה"ד עשרה שרשים משטח א"ד |
|
ולכן קו ד"ו עשרה |
|
והכאת קו ו"ב בב"ד הוא עשרים ואחד |
|
ותחלק קו ו"ד לחציים על נקודת ח' |
|
והנה הוא כבר נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב' |
|
ולכן יהיה הכאת ו"ב בב"ד והכאת ב"ח על עצמו יחד כמו הכאת ח"ד על עצמו |
|
כמו שאמר אקלידס במאמר שיני בספרו |
|
והכאת ח"ד על עצמו הוא עשרים וחמשה |
|
והכאת ו"ב בב"ד הוא עשרים ואחד |
|
וישאר הכאת קו ח"ב על עצמו ארבעה |
|
וקו ח"ב הוא שורש ארבע והוא שנים |
|
ותחברם עם קו ח"ד שהוא חמשה ויהיה קו ב"ד שבעה והוא שורש האלגוש |
|
והאלגוש ארבעים ותשעה |
Hence it is clarified that when the square is less than the number it should be extracted by subtraction | הנה שביארנו לך כי כאשר הנחנו האלגוש פחות מהאדרהמיש שאז נוציאהו עם מגרעת |
and when it is greater than the number it should be extracted by addition. | וכאשר נניחיהו יותר מהאדרמהיש הנה אז נוציאהו עם התוספת |
|
ואם תרצה שאבאר לך לעין כל מה שאמרתי תצייר על קו ו"ח שטח מרובע עליו ו"נ |
|
ותוציא קו ח"נ על יושר עד נקודת כ' |
|
ושטח ב"נ כמו שטח נ"ה |
|
בעבור כי קו ל"נ שוה לקו נ"ח |
|
וקו ב"ח שוה לקו נ"ב |
|
כי שטח א"נ מרובע כמו שנבאר |
|
ושטח ו"נ הוא עשרים וחמשה |
|
ושטח א"ו עשרים ואחד |
|
וישאר שטח א"נ ארבעה |
|
והוא מרובע |
|
בעבור כי קו א"ב כמו קו א"ג |
|
וכ"ג כמו קו ב"ס |
|
מפני שקו כ"ג כמו קו ח"ד |
|
וח"ד כמו ח"ו |
|
וח"ו כמו ח"נ |
|
וח"נ כמו ב"ס |
|
הנה שקו ב"ס כמו קו כ"ג |
|
וישאר קו א"כ כמו קו א"ס |
|
ושטח א"נ מרובע |
|
וקו ס"נ שנים |
|
אבל קו ס"נ כמו קו ב"ח |
|
ויהיה קו ב"ח שנים |
|
ותחברם עם קו ח"ד שהוא חמשה ויהיה קו ב"ד שבעה והוא שורש האלגו |
|
והאלגוש ארבעים ותשעה |
|
ונתבאר עוד בזאת השאלה כי כאשר הכינו חצי השרשים על עצמם היה העולה יותר מהאדרמיש אשר שמת עם האלגו כמו שטח א"נ |
Q.E.D. | וזה מש"ל |
|
ועוד ביארנו כי כאשר הנחנו האלגו פחות מהאדרמהיש אשר עמו יצא המבוקש עם מגרעת |
|
ואם הנחנוהו יותר מהדרמהיש יצא המבוקש עם תוספת |
What was said concerning the two methods is further explained, i.e. the method of subtraction and the method of addition, when the product of half the roots by itself exceeds the dirham that are given with the square . | וביארתי עוד מה שנאמר בשתי צורות רצוני צורת הגירעון וצורת התוספת כאשר היה הכאת חצי השרשים על עצמו יותר מן האדרהמיש אשר הנחנוהו עם האלגוש |
The case that is further explained is when the product of half the roots by itself is the same as the numbers. | ואבאר עוד כאשר יהיה העולה מהכאת חצי השרשים על עצמו שוה אל האדרמהיש אשר עם האלגוש |
In that case, the square is the same as the numbers. | שאז יהיה האלגו כמו האדרמהיש ממש |
And the root of the square is the same as half the roots. | ושורש האלגוש כמו חצי השרשים[13] |
|
ואמשיל זה בשאילה אחרת ואניחנה שכ"ה אדרהמיש ואלגוש ישוו עשרה שרשים |
|
ואניח האלגוש שטח מרובע עליו אבג"ד |
|
ואחבר עמו הכ"ה אדרהמיש והם שטח אבה"ו |
|
וכל שטח ג"ו עשרה שרשים משטח אבג"ד |
|
וקו ד"ו עשרה |
|
וכאשר נחלק קו ד"ו לשני חציים על נקודת ח' |
|
לא ימלט הדבר מאחד משלשה ענינים |
|
אם שתפול נקודת ח' מלמעלה מנקודת ב' |
|
או למטה ממנה |
|
או בה |
|
ונניח ראשנה שתפול נקודת ח' למעלה |
|
אם יתכן זה הנה קו ד"ו נחלק לחציים על נקודת ח' |
|
ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב' |
|
ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו ומרובע ח"ב על עצמו ישוו להכאת ח"ו על עצמו |
|
כדמבואר בשני לאקלידס |
|
אבל הכאת ו"ח על עצמו הוא עשרים וחמשה |
|
בעבור כי הנחנוהו חצי ו"ד שהוא עשרה |
|
לכן הכאת ו"ב בב"ד עם מרובע ב"ח עשרים וחמשה |
Finzi: these are the words of the translated book [Abū Kāmil's book], but it seems that its words are not enough. | אמ"פ[14] המעתיק אלו הם דברי הספר שהעתקתי ממנו במופת הזה ונראה לי שדבריו אינם מספיקים בזה |
It should be stated that:
|
אבל הראוי יותר שיאמר כי כאשר נפלה נקודת ח' החולקת למעלה מנקודת ב' אז האדרמהיש יותר מהאלגוש |
|
וכאשר תפול למטה ממנה יהיה האלגוש יותר מהאדרמהיש |
as explained above | וזה כולו מבואר למעלה |
|
ונשאר שאם תפול עליה ובה בהכרח יהיו אז שוים |
[Abū Kāmil] continues his discussion, which is not precise according to Finzi: | עוד המשיך דבריו בדברים בלתי מתוקנים אצלי והם אלו |
[for: ]
|
וביארנו במה שאמרתי כי כאשר תרבה השרשים אשר ישוו האלגוש והמספרים בחלק הזה משלשה חלקים על עצמם ותקח חצי העולה |
|
והאלגו הוא כמו האדרהמיש ומה שעלה מהכאת השרשים על עצמם והיה מחצי אשר עלה הכאת חצי השרשים על עצמו ותצא השאלה |
All that concerns this method was already explained so far. | וכבר ביארנו כל אשר בזה האופן עד כאן |
Finzi: it seems that the author of the book [Abū Kāmil] intended to explain here the second solving method in this category, i.e. the method that yields the square, as promissed above, but it was omitted from the translated book. | ונראה לי כי היה רצונו של בעל הספר לבאר בזה המקום האופן השני מזאת החלוקה רצוני האופן אשר יראה לנו האלגוס כאשר ייעד למעלה ומופתו אבל נשמט מהספר אשר העתקתי ממנו |
Finzi states that he will explain it when he will further adapt the book | ואבארהו בעבדי עוד על זה הספר בע"ה |
Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax2 |
|
|
והשרשים ומספרים שישוו אלגוש כמו אם יאמר שלשה שרשים וארבעה מספרים ישוו אלגו |
This type also has two solution methods: | בזאת השאלה שני אופנים |
|
האחד יראך שורש האלגוש |
|
והאחר יראך האלגוש |
Which will be further illustrated through geometric figures | ועוד אבארם בתמונת גימטרייאות |
The solution method that yields the root of the square | |
והאופן אשר יראך השורש הוא אשר תחצה השרשים ויהיה אחד וחצי ותרבהו על עצמו ויהיו שנים ורביע | |
| |
|
והאלגוש ששה עשר |
The solution method that yields the square | |
והאופן אשר יראך האלגוש הוא שתרבה השלשה שרשים על עצמם ויהיה תשעה ותרבה אילו התשעה על הארבעה האדרהמיש אשר הנחת עם השרשים ויעלו ל"ו | |
| |
Normalization: the squares should always be restored to one square, whether they exceed one, or less than one - as demonstrated in the first case | וכאשר תניח מן האלגוש יותר או פחות השיבם תמיד אל אלגוש אחד כאשר עשינו בשאילה הראשנה |
The cause of this question is | והעלה בזאת השאלה שהיו שלשה שרשים וארבעה מספרים שוים אל האלגוש |
Geometric illustration of the solution method that yields the root of the square | |
|
|
|
הנה האופן אשר יראך השורש הוא שתשים האלגוש שטח מרובע עליו אבג"ד והוא שלשה שרשים וארבעה מספרים |
והוא ידוע ממה שאמרנו שלשה שרשים וארבעה מספרים שוים אל האלגוש | |
|
ונקח משטח א"ד שטח אהג"נ ונניחהו שלשה שרשים משטח א"ד והוא ידוע ממה שאמרנו שלשה שרשים |
|
ושטח ה"ד נשאר ארבעה מספרים |
|
ותחצה קו א"ה על נקודת ח' והנה לך קו א"ה נחלק לחציים על נקודת ח' |
|
ונוסף באורכו קו ב"ה |
|
ולכן הכאת א"ב בב"ה עם מרובע ה"ח ישוו להכאת ח"ב על עצמו |
|
כדמבואר בשני לאקלידס |
|
אבל הכאת א"ב בב"ה ארבעה |
|
בעבור כי קו א"ב שוה לקו ב"ד |
|
והכאת קו ה"ח על עצמו הוא שנים ורביע[15] |
|
וחיבורם ששה ורביע |
|
והנה שרשו שנים וחצי |
|
ולכן קו ח"ב שנים וחצי |
|
אבל קו ח"ה אחד וחצי |
|
ומפני זה יהיה כל קו א"ב ארבעה והוא שורש האלגוש |
|
והאלגו שש עשרה |
|
ולבאר הדבר יותר נניח על קו ח"ב שטח מרובע עליו ח"כ |
|
והוא ידוע שקו מ"ע כמו קו כ"ד |
|
בעבור כי קו א"ב כמו קו ב"ד |
|
וקו ב"ח כמו קו כ"ב |
|
ונשאר כ"ד כמו א"ח |
|
וא"ח כמו ח"ה |
|
וח"ה כמו מ"ע |
|
אם כן מ"ע כמו כ"ד |
|
ונניח קו מ"ט כמו קו נ"ד |
|
ולכן יהיה שטח ע"ט כמו שטח מ"ד |
|
ונשים שטח ה"כ משותף |
|
ויהיה שטח ה"ד כולו כמו שטח ע"ט מ"ב |
|
ושטח ה"ד ארבעה |
|
אם כן שטחי ע"ט מ"ב ארבעה |
|
והוא ידוע כי שטח ח"ט מרובע |
|
בעבור כי קו ב"ח כמו קו מ"ה |
|
וקו מ"ט כמו קו ה"ב |
|
וישאר קו ח"ה כמו קו ה"ט |
|
וקו ח"ה אחד וחצי |
|
ולכן שטח ח"ט שנים ורביע |
|
וכל שטח ח"כ ששה ורביע |
|
וקו ב"ח שנים וחצי |
|
וקו א"ח אחד וחצי |
|
וכל קו א"ב ארבעה והוא שורש האלגוש |
|
והאלגו ששה עשר |
There is another way for the proof of this method | ולזה האופן דרך אחרת |
|
|
|
והוא שנניח שטח מרובע עליו אבג"ד יהיה שלשה שרשים וארבעה מספרים |
|
ונבדיל מקו ג"א קו א"ח ונניחיהו אחד וחצי |
|
ונוציא קו ח"מ על נכחות הקו א"ב |
|
ושטח א"מ הוא שורש וחצי |
|
ונניח קו ע"ד אחד וחצי |
|
ונוציא ע"ט על נכחות ב"ד |
|
ושטח ע"ב הוא שורש וחצי |
|
וידוע כי שטח א"מ ושטח נ"ד ושטח נ"ב שלשה שרשים |
|
וישאר שטח ח"ע ארבעה מספרים וכמו שטח נ"ב |
|
ושטח נ"ב שנים ורביע |
|
ולכן יהיה שטח ע"ח ששה ורביע |
|
וקו ג"ח שנים וחצי |
|
וקו ח"א אחד וחצי |
|
וקו א"ג כלו ארבעה והוא שורש האלגו |
|
והאלגו ששה עשר |
Q.E.D. | ומש"ל |
Geometric illustration of the solution method that yields the square | |
|
|
|
ועלת האופן אשר יראך האלגוש הוא שנשים צלע האלגו קו א"ב והוא צלע שלשה שרשים וארבעה מספרים |
|
ויהיה קו ג"ב ממנו ארבעה מספרים |
|
וישאר קו א"ג שלשה שרשים מקו א"ב |
|
ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו אגד"ה |
|
וידוע כי הוא כמו תשעה פעמים קו א"ב מוכה על אחד |
|
ונשים קו א"נ תשעה מאחדי קו א"ב |
|
ונשלים שטח א"ח ויהיה מפני זה שטח א"ח שוה למרובע א"ה[16] |
|
ונמשיך קו ג"כ נכחי לקו ב"ח |
|
ונבדיל מקו א"ד קו א"ע שוה לקו א"נ |
|
ונוציא קו ע"ל נכחי לקו ד"ה |
|
והנה שטח ע"ג שוה לשטח א"כ |
|
וישאר שטח ע"ה שוה לשטח כ"ב |
|
אבל שטח כ"ב הוא שלשים ושש |
|
מפני כי קו ג"ב ארבעה |
|
וקו ג"כ השוה לקו א"נ תשעה |
|
ולכן שטח ע"ה גם הוא שלשים וששה |
|
וקו ע"א תשעה בעבור כי הוא שוה לקו א"נ |
|
ותחצה קו א"ע על נקודת מ' והנה כי קו ע"א נחלק לחצאים על נקודת מ' |
|
ונוסף בארכו קו ע"ד |
|
ולכן יהיה הכאת קו א"ד בקו ד"ע והכאת ע"מ על עצמו שוים להכאת ד"מ על עצמו |
|
כמבואר באקלידס במאמר שיני |
|
אבל הכאת א"ד בד"ע הוא כמו שטח ע"ה |
|
בעבור כי קו א"ד כמו קו ד"ה |
|
ושטח ע"ה הוא שלשים ושש |
|
הנה הכאת א"ד בד"ע הוא שלשים וששה |
|
והכאת ע"מ על עצמו הוא עשרים ורביע |
|
ותחברם יחד ויהיו חמישים ושש ורביע |
|
אם כן הכאת קו מ"ד על עצמו חמשים ושש ורביע |
|
ולכן יהיה קו מ"ד שבעה וחצי |
|
וקו א"מ ארבעה וחצי |
|
אם כן קו א"ד כלו שנים עשר והוא שוה לקו א"ג |
|
וקו ג"ב הוא ארבעה |
|
הנה כי קו א"ב ששה עשר והוא האלגו |
Q.E.D. | והוא מש"ל |
These are the six types of canonical equations discussed in the book. Their solution procedures and their reasons were explained | ואלו הששה חלקים אשר הגדנו בזה הספר וביארנו מלאכתם ועלותיהם |
|
הנה השלשה מהם נפרדים והם אלגוש ישוו שרשים והאלגו ישוו מספרים ושרשים ישוו מספרים |
|
ושלשה מחוברים והם אלגוש ושרשים ישוו מספרים ואלגוש ומספרים ישוו שרשים ושרשים ומספרים ישוו אלגוש |
Many of the algebraists [lit. the writers of "al-jabber and al-muqabala"] necessarily teach some of them | והרבה מסופרי האלג'בר ואלמקאבלא לא יוכל להיות שלא יורוך קצת מהם |
For each canonical equation of these six canonical equations there are questions of restoration [lit. cobramiento] and reduction [lit. confrontamiento = confrontation] that are taught by the arithmeticians | ולכל חלק מאילו הששה חלקים שאלות אשר יורוך אותם בעלי המספר מהקובראמיינטו ומהקונפרונטאמיינטו |
Multiplication of Algebraic Expressions |
|
|
ואתחיל ראשונה מהכאת הדברי' האחד באחר |
|
והדברים והמספרים על עצמם |
|
ועל הדברים |
|
ועל המספרים |
מלבד אילו אשר אמרנו ובענין אחר אשר לא יתכן בלעדי ידיעתו מי שירצה לקרות בספר הזה | |
It will be explained how the things are multiplied by each other when they are alone, or with numbers, whether they are subtracted from the numbers or the numbers are subtracted from them; | ואבאר לך באיזה צד יתרבו הדברים והם השרשים האחד באחד כאשר יהיו נפרדים או כאשר יהיו עם מספרים בין שיהיו נגרעים מהמספרים בין שיהיו המספרי' נגרעים מהם |
How they are added to each other; | ובאיזה צד יתחברו אלו עם אלו |
How one is subtracted from the other. | וכיצד יגרע האחד מן האחר |
|
וכאשר יהיו הדברים נוספים על המספרים |
|
יהיה החלק רביעי נוסף |
|
והחלק הרביעי אז הוא הכאת הדברי' זה עם זה והכאת המספרים האחד עם האחר |
Every two numbers that are multiplied by two numbers necessarily involve four multiplications | בעבור כי כל שני מספרים שיוכו בשני מספרים אחרים לא יתכן מבלעדי שיתרבו ארבע פעמים |
Each of the first two numbers is multiplied by each of the two other numbers, so there are four multiplications | והוא שיוכו שני המספרים הראשונים בכל אחד מן השנים המספרים האחרים ותהיה ההכאה ארבע פעמים |
|
וכאשר יהיו הדברים נגרעים מהמספרים |
|
יהיה החלק הרביעי נוסף |
|
והוא הכאת הדברים האחד באחר |
|
וכאשר היו האחד נוסף והאחר נגרע |
|
יהיה החלק הרביעי נגרע |
|
והוא הכאת הדברים האחד באחר |
|
וכאשר היו המספרים נגרעים מהדברים |
|
יהיה החלק הרביעי נוסף |
|
והחלק הרביעי אז הוא הכאת אחד המספרים באחר |
|
וכאשר היו אחד משני המספרים נוסף על הדברים והאחר נגרע מהדברים |
|
יהיה החלק הרביעי נגרע |
|
והוא הכאת אחד משני המספרים באחר |
|
וכאשר היו הדברים נוספי' על המספרי' ויהיה מספר אחד נגרע מהדברי' |
|
יהיה החלק הרביעי נגרע |
|
והוא הכאת הדברים נוספים במספר הנגרע |
What should be done with the fourth interim product was described here, since the author saw that the arithmeticians start the multiplication with it. | וכבר הגדנו עם החלק רביעי מה הוא הראוי כפי מה שראיתי שבעלי המספר מתחילין עמו ובכפל |
The fourth interim product can be other than the described above, yet the general rule is that the product of subtractives one by the other is additive [(-)×(-) = +], subtractive by additive is subtractive [(-)×(+) = -], and additive by additive is additive [(+)×(+) = +]. | ואפשר שיהיה החלק הרביעי מבלעדי אשר ספרנו אלא כי כלל הדבר שהכאת הנשנים האחד באחר תוספת והנשנה בנוסף נגרע והנוסף בנוסף נוסף |
|
ודע שהדברים בדברים אלגוש |
|
והדברים במספרים דברים ושרשים בעבור כי הדבר הוא השורש והשורש הוא הדבר והם שני שמות נופלים על ענין אחד |
|
ואם יאמרו לך כמה יהיה דבר אחד בעשרה אדרהמיש |
|
תאמר עשרה דברים |
|
וביאור זה שתשים הדבר בדמיון האחד ותכה האחד בעשרה ויהיו עשרה |
|
והם עשרה דברים |
|
ואם יאמרו כמה יהיו שני דברים על עשרה אהדרמיש |
|
תאמר עשרים |
|
וביאור זה שתשים השני דברים בדימיון שנים ממספר ותכה שנים בעשרה ויהיו עשרים דברים |
For any given amount things, each thing is conceived as one, then the sum of units of the things is multiplied by the number of dirham and the result are things. | וכן כמה שתרצה מהדברים תשים לעולם כל דבר בדימיון האחד ותכה כל מספרי הדבר במספר האדרהמיש והעולה יהיו דברים |
Since, for any number that is multiplied by a certain algebraic species, each unit of the species is conceived as one. | בעבור כי כל מספר מהמספרים שיוכה במין אחד מהמינים יהיה כל אחד מהמינים בדמיון האחד |
|
אם היה דבר תשים אחד |
|
ואם היו שנים תשים שנים |
Also if there are squares, or whichever species one wishes to multiply by numbers - the product is of that same species. | וכן אם היה אלגוש או דבר אחר איזה דבר שתרצה ותכהו על המספרים והעולה הוא מאותו המין |
Examples: | ואשים לך על זה תמונה לבאר לך לעין אשר אמרתי |
|
ואם יאמרו לך כמה יהיה דבר על דבר |
|
תאמר אלגוש |
Conceiving the thing as one, then multiplying it by one, which is one
|
ואופנו שתשים הדבר בדימיון האחד ותכהו על אחד ויהיה אחד והוא אלגוש |
|
ואם יאמרו כמה יהיו שני דברים על שני דברים |
|
תאמר ארבעה אלגוש כמו שבארתי לך |
|
וכן שלשה דברים בשני דברים |
|
תכה שלשה בשנים |
|
ויהיו ששה אלגו |
|
וכן חצי דבר על חצי דבר |
|
יהיה רביע מאלגוש |
For any amount of things added or subtracted, each thing is conceived as a one, then these units are multiplied by the other units, and their product are squares | וכן כמה שתוסיף מהדברים או תגרע תשים כל דבר בדימיון האחד ותכה אילו האחדים עם האחדים האחרים והעולה מהם יהיה אלגוש |
Geometric illustration of the "rule of the square and the thing" | |
ואשים לך על זה ענין אשר בו תבין משפט האלגוש והדבר | |
|
ואשים ענין זה בהכאת שני דברים בשני דברים |
|
|
|
נניח קו א"ג שני דברים |
|
וקו ה"ג שני דברים |
|
והכינו קו א"ג בקו ג"ה והיה שטח א"ה |
Supposition: AH□ = | ונאמר ששטח א"ה הוא ארבעה אלגוש |
Proof | ומופת זה |
|
שנחלק קו א"ג על מספר מה שבו מן הדברים ויהיו חלקיו א"ב ב"ג |
|
ותחלק קו ג"ה על מספר מה שבו מן הדברים ויהיו חלקיו ג"ד ד"ה |
|
ותוציא מנקודת ב' קו אחד עד ע' על נכחות קו ג"ה |
|
ותוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ד"ח |
|
ונתחדשו מפני זה בשטח א"ה ד' מרובעים שוים והם מרובע ח"ב ומרובעי ב"ד וד"ע וח"ע |
|
וכל אחד מאילו המרובעים אלגו |
|
וכל אחד מקוי א"ב ב"ג ג"ד ד"ה מוכה באחד הוא דבר |
This is the "rule of the square and the thing" | וזה הוא משפט האלגוש והדבר |
|
ושטח א"ה ארבעה אלגוש |
Q.E.D. | ומש"ל |
|
ואם יאמרו כמה יהיו שלשה דברים בששה אדרהמיש |
|
תשים השלשה דברים בדימיון שלשה ותכה שלשה בששה ויהיו שמונה עשרה |
|
והם שמנה עשר דברים |
|
|
|
ודימיון זה שנשים קו א"ב ששה מהמספרים |
|
וקו ב"ד שלשה דברים |
|
ותכה קו א"ב בב"ד ויהיה שטח א"ד |
Supposition: AD□ = | ונאמר ששטח א"ד שמנה עשר דברים |
Proof | ומופת זה |
|
שנחלק קו א"ב שהוא ששה על מה שבו מן האחדים ויצאו ששה חלקים והם א"ג ג"ה ה"ו ו"ז ז"ח ח"ב |
|
ותחלק קו ד"ב אל מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו ב"ט ט"כ כ"ד[17] |
|
ותוציא מנקדות ג'ה'ו'ז'ח' קוים נכחיים לקו ב"ד והם קוי ג"ע ה"פ ו"נ ז"מ ח"ל |
|
ועוד תוציא מנקודות ט"כ שני קוים נכחיים לקו א"ב והם קוי ט"ק כ"ס |
|
ויהיה בשטח א"ד שמנה עשר שטחים שוים כמו שנגלה בתמונה כל שטח מהם שוה לשטח ח"ט |
|
ושטח ח"ט הוא מהכאת הדבר שהוא ב"ט באחד שהוא קו ב"ח |
|
ושטח ח"ט דבר |
|
ושטח א"ד כולו יהיה שמונה עשר דברי' |
This is the "rule of the multiplication of the numbers by things" | וזהו משפט הכאת המספרים בדברים |
Q.E.D. | וזהו מה שאנו בבאורו |
|
ואם יאמרו לך כמה יהיה עשרה אהדרמיש ודבר בדבר אחד |
|
תאמר שהם עשרה דברים ואלגו |
The procedure:
|
ואופן מעשהו שתכה דבר בעשרה אדרהמיש ויהיו עשרה דברים |
|
ותכה דבר בדבר ויהיה אלגו |
|
ותקבצם ויהיו עשרה דברים ואלגוש אחד |
Geometric illustration | |
ואבארהו לך בזאת התמונה | |
|
|
|
והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמיש |
|
וקו ב"ג דבר אחד |
|
ותכה קו א"ג בקו ב"ג ויצא שטח א"ד |
Supposition: AD□ = | ונאמר ששטח א"ד עשרה דברים ואלגוש אחד |
Proof: | ומופת זה |
|
שקו ב"ה כמו קו ג"ד |
|
וקו ג"ד כמו קו ב"ג |
|
אם כן קו ב"ה כמו קו ב"ג |
|
אבל קו ב"ג דבר אחד |
|
אם כן קו ב"ה דבר אחד |
|
וקו א"ב עשרה |
|
ושטח א"ה הוא מהכאת א"ב בקו ב"ה ולכן הנה הוא עשרה דברים |
|
ושטח ב"ד הוא אלגו |
|
כי הנה הוא מרובע והוא מהכאת ב"ג שהוא דבר על עצמו |
|
ויהיה כל שטח א"ד עשרה דברים ואלגו אחד |
Q.E.D. | והוא מה שאנחנו בבאורו |
|
ואם יאמרו לך עשרה אדרהמיש פחות דבר אחד על דבר אחד |
|
תאמר עשרה דברים פחות אלגו אחד |
The procedure:
|
ומעשהו שתכה עשרה אדרהמיש בדבר ויהיה עשרה דברים |
|
ותכה דבר על דבר ויהיה אלגו |
|
תגרעהו מהעשרה דברי' וישאר עשרה דברים פחות אלגו |
Geometric illustration | |
ואבאר זה בזאת התמונה | |
|
|
|
והוא שנשים העשרה אדרהמיש קו א"ג |
|
ונניח קו ב"ג דבר אחד |
|
וישאר קו א"ב עשרה אדרהמיש פחות דבר |
|
ותכה קו א"ג בקו ב"ג ויצא שטח א"ד |
|
ונוציא מנקדת ב' קו נכחי לקו ג"ד והוא קו ב"ה |
Supposition: AH□ = | ונאמר כי שטח א"ה עשרה דברים פחות אלגו |
Proof: | ומופת זה |
|
כי היה שטח א"ד עשרה דברים |
|
בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא עשרה בקו ג"ד שהוא דבר |
|
בעבור כי ג"ד שוה לב"ג |
|
ומרובע ב"ד אלגו בעבור כי הוא מהכאת קו ב"ג שהוא דבר בקו ג"ד השוה אליו |
|
ולכן ישאר שטח א"ה עשרה דברים פחות אלגו |
Q.E.D. | ומש"ל |
|
ואם יאמרו לך כמה יהיו עשרה אדרהמיש ודבר בעשרה אדרהמיש ודבר |
|
תאמר מאה אדרהמיש ואלגו ועשרים דברים |
The procedure:
|
ומעשיהו הוא שתכה עשרה על עשרה ויהיו מאה אדרהמיש |
|
עוד תכה עשרה על דבר ויהיו עשרה דברים |
|
וחזור ותכה דבר על עשרה אדרהמיש ויהיו עשרה דברים |
|
ותכה עוד דבר על דבר ויהיה אלגוש |
|
ותקבצם ויהיה כלו מאה אדרהמיש ואלגוש ועשרים דברים |
Geometric illustration | |
ואבאר זה בזאת התמונה | |
|
|
|
והוא שנשים קו א"ב עשרה אדרהמיש ודבר |
|
וא"ג ממנו עשרה |
|
וג"ב דבר |
|
וכן תשים קו ב"ד עשרה דרהמיש ודבר |
|
ב"ה ממנו דבר |
|
וה"ד עשרה |
|
ותכה קו א"ב בקו ב"ד ויצא שטח א"ד |
Supposition: AD□ = | ונאמר כי שטח א"ד מאה אדרהמיש ואלגוש ועשרים דברים |
Proof: | ומופת זה |
|
שנוציא מנקודת ג' קו נכחי לקו ב"ד והוא קו ג"ח |
|
ונוציא מנקודת ה' קו נכחי לקו א"ב והוא קו ה"ז |
|
הנה שטח ג"ה מרובע |
|
וז"ח מרובע |
|
כמו שביאר זה אקלידס |
|
ושטח ג"ז כמו שטח ה"ח |
|
אבל שטח ז"ח מאה |
|
כי הוא הווה מהכאת א"ג שהוא עשרה בקו ה"ד שהוא גם כן עשרה |
|
ושטח ז"ג עשרה דברים |
|
כי הנה הוא מהכאת ב"ה שהוא דבר בקו א"ג שהוא עשרה |
|
ושטח ח"ה עשרה דברים |
|
בעבור כי הוא הוה מהכאת ב"ה שהוא דבר בקו ה"ד שהוא עשרה |
|
ושטח ג"ה המרובע הוא אלגו בעבור כי הוא מהכאת קו ג"ב שהוא דבר בקו ב"ה שהוא גם כן דבר |
|
ותקבץ הארבעה שטחים ויהיו כמו שטח א"ד והוא מאה אהדרהמיש ואלגוש ועשרים דברים |
Q.E.D. | ומש"ל |
|
ואם יאמרו לך כמה יהיה עשרה אדרהמיש פחות דבר בעשרה אדרהמיש פחות דבר |
|
תאמר מאה אדרהמיש ואלגוש פחות עשרים דברים |
The procedure:
|
ואופן מעשיהו שתרבה עשרה אדרהמיש על עשרה אדרהמיש ויהיו מאה |
|
תכה דבר נגרע בעשרה אדרהמיש ויהיו עשרה דברים נגרעים |
|
עוד תשוב להכות עשרה אדרהמיש בדבר נגרע ויהיו עשרה דברים נגרעים |
|
ותרבה דבר נגרע בדבר נגרע ויהיה אלגו נוסף |
|
ותקבץ כל זה ויהיה מאה ואלגו פחות עשרים דברים |
Geometric illustration | |
ואבארהו לך בזאת התמונה | |
|
|
|
והוא שתשים קו א"ב עשרה אדרהמיש פחות דבר שהוא ב"ג |
|
ונשים קו ג"ד עשרה |
|
וג"ה ממנו דבר |
|
ותכה קו א"ב שהוא עשרה אדרהמיש פחות דבר על קו ה"ד שהוא גם כן עשרה אדרהמיש פחות דבר ויהיה מרובע ז"ח |
Supposition: ZC□ = | ונאמר שמרובע ז"ח מאה אדרהמיש ואלגו פחות עשרים דברים |
Proof: | ומופת זה |
|
שנשלים שטח א"ד |
|
ונוציא מנקודת ב' קו ישר נכחי לקו ג"ד והוא קו ב"ח |
|
ונוציא מנקודת ה' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ה"ז |
|
ושטח א"ד מאה |
|
בעבור כי קו א"ג עשרה |
|
וג"ד עשרה |
|
ושטח ז"ג עשרה דברים |
|
בעבור כי קו א"ג עשרה |
|
וג"ה דבר |
|
וכן שטח ב"ד עשרה דברים |
|
בעבור כי קו ג"ד עשרה |
|
וקו ג"ב דבר |
|
ושטח מרובע ב"ה הוא אלגוש |
|
בעבור כי הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בג"ה שהוא גם כן דבר |
|
וישאר ה"ח עשרה דברים פחות אלגוס |
|
ושטח א"ה עשרה דברים |
|
ושטח ג"ז ושטח ה"ח יחד עשרים דברים פחות אלגוס |
|
ושטח א"ד הוא מאה |
|
וישאר שטח ז"ח מאה אדרהמיש ואלגו פחות עשרים דברים |
Q.E.D. | והוא מש"ל[18] |
|
ואם יאמרו לך עשרה אדרהמיש ודבר על עשרה אדרהמיש פחות דבר |
|
תאמר מאה אדרהמיש פחות אלגוש |
The procedure:
|
ואופן מעשהו שתכה עשרה על עשרה ויהיה מאה אדרהמיש |
|
ותכה הדבר הנוסף על עשרה ויהיה עשרה דברים נוספים |
|
ותכה הדבר הגורע על עשרה ויהיה עשרה דברים נגרעים |
|
ותחסר הנוספים כנגד הנגרעים וישארו מאה אדרהמיש |
|
ותכה הדבר הנוסף בדבר הגורע ויהיה אלגו גורע |
|
ותגרע מהמאה אדרהמיש וישארו מאה פחות אלגוש |
Geometric illustration | |
ואבאר זה בזאת התמונה | |
|
|
|
והיא שנשים קו א"ב עשרה ודבר |
|
א"ג עשרה |
|
וג"ב דבר |
|
ונשים קו ב"ה עשרה דרהמיש פחות דבר |
|
קו ב"ד עשרה |
|
וקו ה"ד דבר |
|
ונכה קו א"ב שהוא עשרה אדרהמיש ודבר בקו ב"ה שהוא עשרה פחות דבר ויהיה שטח א"ה |
Supposition: AH□ = | ונאמר ששטח א"ה הוא מאה אדרהמיש פחות אלגוש |
Proof: | ומופת זה |
|
שנשלים שטח א"ד והנה שטח א"ד מאה אדרהמיש ועשרה דברים |
|
בעבור כי שטח א"ח מאה |
|
כי הוא מהכאת א"ג שהוא עשרה בג"ח שהוא גם כן עשרה |
|
ושטח ג"ד עשרה דברים |
|
בעבור כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא עשרה |
|
ויהיה כל שטח א"ד מאה אדרהמיש ועשרה דברים |
|
ושטח ז"ח כמו שטח ח"ב |
|
ותבדיל משטח ז"ח כמו שטח מ"ד המרובע והוא שטח כ"ח |
|
ויהיה מפני זה שטח כ"ד שנים מרובעים ושנים אלגוש |
|
וישאר שטח ז"ט כמו שטח מ"ב |
|
ויהיה שטח א"מ ושטח ז"ט מאה אדרהמיש פחות אלגוש |
|
בעבור כי שטח כ"ח אלגוש |
|
ולכן שטח א"ה יהיה מאה אדרהמיש פחות אלגוש |
|
ואם יאמרו לך כמה יהיה עשרה אדרהמיש ודבר על דבר פחות עשרה אדרהמיש |
|
תאמר אלגוש פחות מאה אדרהמיש |
The procedure:
|
ואופן מעשיהו שתכה הדבר פחות עשרה אדרהמיש על עצמו ויהיה אלגוש |
|
ותכה עשרה אדרהמיש נוספים על דבר ויהיה עשרה דברים נוספים |
|
ותכה הדבר על העשרה אדרהמיש נגרעים ויהיה עשרה דברים נגרעים |
|
ותשליך העשרה דברים הנוספים כנגד העשרה דברים הנגרעים וישאר אלגו |
|
ותכה העשרה אדרהמיש נוספים בעשרה אדרהמיש נגרעים ויהיה מאה אדרהמיש נגרעים |
|
ותגרעם מהאלגו וישאר אלגו פחות מאה אדרהמיש |
Geometric illustration | |
ואבאר זה בזאת התמונה | |
|
|
|
והוא שתשים קו א"ב עשרה אדרהמיש ודבר |
|
א"ג עשרה |
|
וג"ב דבר |
|
ונניח קו ב"ה דבר פחות עשרה |
|
ב"ד הוא הדבר |
|
וד"ה עשרה |
|
ותכה קו א"ב שהוא עשרה אדרהמיש ודבר על קו ב"ה שהוא דבר פחות עשרה ויהיה השטח א"ה |
Supposition: AH□ = | ונאמר ששטח א"ה אלגו פחות מאה אדרהמיש |
Proof | ומופת זה |
|
שנשלים שטח א"ד ויהיה שטח א"ד עשרה דברים ואלגוס |
|
בעבור כי קו א"ב עשרה אדרהמיש ודבר |
|
וקו ב"ד דבר |
|
ונוציא קו ג"ח נכחי לקו ב"ד |
|
ויהיה שטח ג"ד מרובע והוא אלגו' בעבור כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא גם כן דבר |
|
ויהיה שטח א"ח כמו שטח ח"ה |
|
בעבור כי קו ח"ג כמו קו ח"ד |
|
וקו א"ג כמו קו ה"ד |
|
ומפני זה יהיה שטח א"ח ושטח ג"ה יחד אלגוש |
|
אבל שטח כ"ח מאה |
|
בעבור כי א"ג כמו כ"ל |
|
וא"ג עשרה |
|
לכן כ"ל עשרה |
|
ול"ח כמו ה"ד |
|
וה"ד עשרה |
|
לכן ל"ח עשרה |
|
ולכן שטח כ"ח מאה |
|
וישאר שטח א"ה אלגו פחות מאה אדרהמיש |
Q.E.D. | ומש"ל |
|
ואם יאמרו לך כמה יהיו עשרה אדרהמיש ושני שלישי דבר על שלשה אדרהמיש פחות ששה דברים |
|
תאמר שלשים אדרהמיש פחות ארבעה אלגוש ופחות חמשים ושמנה דברים |
|
ואופן מעשיהו שתכה עשרה אדרהמיש על שלשה אדרהמיש ויהיו שלשים אדרהמיש |
The procedure:
|
ותכה שני שלישי דבר על שלשה אדרהמיש ויהיו שני דברים נוספים |
|
ותכה ששה דברים נגרעים על עשרה אדרהמיש ויהיו שישים דברים נגרעים |
|
ותשליך שני הדברים הנוספים כנגד השני דברים מן הנגרעים וישארו שלשים אדרהמיש פחות חמישים ושמנה דברים |
|
ותכה הששה דברים נגרעים על שני שלישי דבר הנוספים ויהיו ארבעה אלגוש נגרעים |
|
ותגרעם משלשים אדרהמיש וישארו שלשים אדרהמיש פחות ארבעה אלגו ופחות נ"ח דברים |
Based on the explanation of the multiplication of things and numbers one by the other, one can solve all that is presented in this section. | ואשר ביארתי והוספתי ביאור מכפל הדברים והמספרים האחד באחר הוא אשר ממנו תוכל לעשות כל אשר יפול מידך מזה השער |
Roots |
|
Multiplication of Roots by Numbers |
|
|
וכאשר תרצה לכפול שורש ממספר ידוע או מאלגוש בלתי ידוע |
|
ורצוני בהכפלה הנה לקיחת שני שרשיו |
|
וכאשר תרצה שיהיו שני שרשי המספר הידוע או מהאלגוש הבלתי ידוע שורש מספר אחר או מאלגו אחר |
|
תניח השני שרשים בדמיון שנים ותכה שנים על שנים והעולה תכהו על המספר הידוע או על האלגו הבלתי ידוע |
|
וכאשר תרצה שלשה שרשים |
|
תכה שלשה על שלשה ועל האלגוש הבלתי ידוע או על המספר הידוע ויהיה שורש העולה שלשה שרשים מהמספר הידוע או מהאלגוש הבלתי ידוע |
|
וכאשר תרצה לחצות השורש |
|
תכה חצי על חצי ויהיה רביע ותכה רביע על האלגו הידוע או על הבלתי ידוע ויהיה שורש העולה מההכאה הוא חצי שורש המספר הידוע או מהבלתי ידוע |
So on for augmenting or reducing the roots | וכן כל מה שתוסיף או תגרע מהשרשים כמו שאמרנו |
|
ודמיון זה כאשר רצינו לכפול שורש ששה עשר |
|
תכה שנים על שנים ויהיו ארבעה ותכה הארבעה בששה עשר ויהיו שישים וארבעה |
Geometric illustration | |
ואבאר זה בזאת התמונה | |
|
|
|
והוא שנניח הששה עשר שטח מרובע עליו אבג"ד |
|
וקו ג"ד הנה הוא שורש מרובע א"ד |
|
וכאשר נרצה לכפול זה השטח נוציא קו ג"ד על יושר עד ה' |
|
ונשים ג"ה שוה לג"ד |
|
ויהיה קו ה"ד שני שרשים משטח א"ד |
|
וכאשר נרצה לדעת שורש איזה מספר הוא |
|
נשים על קו ה"ד שטח מרובע עליו ה"ז |
Supposition: HZ□ = 4×GB□ | ונאמר ששטח ה"ז ארבעה דימיוני שטח ג"ב |
Proof: | ומופת זה |
|
שנוציא קו ג"א על יושר עד נקודת ח' |
|
וקו א"ב על יושר עד נקודת ט' |
|
ויהיה בשטח ה"ז ארבעה מרובעים שוים והם מרובעים ג"ב ב"ח ח"ט ט"ג |
|
והוא מבואר שמרובע ה"ז ארבעה דימיוני מרובע ג"ב |
|
ומרובע ג"ב שש עשרה |
|
ולכן יהיה מרובע ה"ז ששים וארבע |
|
ויהיה קו ה"ד שורש ששים וארבע והוא שמנה |
Q.E.D. | ומש"ל |
|
וכאשר תרצה לקחת חצי שורש תשעה |
|
תכה חצי על חצי ויהיה רביע ותכהו על תשעה ויהיה שנים ורביע |
|
וכאשר תרצה לקחת שני שלישי שורש תשעה |
|
תכה שני שלישים על שני שלישים והם ארבע תשיעיות ותכם על תשעה ויהיו ארבעה |
Geometric illustration | |
ואבאר לך זה בזאת התמונה | |
|
|
|
והוא שנשים התשעה שטח מרובע עליו אבג"ד |
|
ויהיה קו ג"ד שורש תשעה והוא שורש שטח מרובע א"ד |
|
וכאשר נרצה לדעת שורש איזה מספר הוא |
|
נעשה על קו ז"ד שטח מרובע עליו כזל"ד |
Supposition: KZLD□ = ⁴/₉GB□ = | ונאמר ששטח כזל"ד ארבע תשיעיות שטח ג"ב והם ארבעה ממספר |
Proof: | ומופת זה |
|
שנוציא קו ז"כ על יושר עד נקודת ט' |
|
ותוציא מנקודת ה' קו ה"ח נכחי לקו ב"ד |
|
ותוציא מע' קו ע"פ נכחי לקו א"ב |
|
ובזה יעשו בשטח ג"ב תשעה שטחים שוים והם ה"ע ע"מ מ"ב מ"ט ט"ס כ"נ כ"פ פ"ז ז"נ |
|
ויהיה שטח ז"ל ארבעה מאילו התשעה השטחים וזה השטח יהיה ארבעה תשיעיות משטח ג"ב |
|
ושטח ג"ב תשעה |
|
ויהיה שטח ז"ל ארבעה |
|
וקו ז"ד שורש ארבעה |
Q.E.D. | ומש"ל |
The same should be done with all that is of this kind | וכל מה שיפול בידך מזה המין תעשה בו ככה |
Multiplication of Roots |
|
|
ואם תרצה להכות שורש תשעה על שורש ארבעה |
|
תכה ארבעה על תשעה ויהיו שלשים ושש תקח שורשו והוא ששה והוא הכאת שורש תשעה על שורש ארבעה |
Geometric illustration | |
ואבאר זה בזאת התמונה | |
|
|
|
והוא שתשים קו א"ב שורש תשעה |
|
וקו ב"ג שורש ארבעה |
|
וכאשר תרצה להכות קו א"ב על קו ב"ג |
|
תשים על קו א"ג שטח מרובע עליו א"ח |
|
ותוציא מנקודת ב' על קו ב"ג קו נכחי לקוי א"ה ג"ח והוא קו ב"ז |
|
וכל אחד מקוי א"ה ג"ח שורש תשעה ושורש ארבעה |
|
ונשים קו מ"ג שורש תשעה |
|
וישאר קו מ"ח שורש ארבעה |
|
ונוציא מנקודת מ' קו ישר נכחי לקוי א"ג ה"ח והוא קו מ"כ |
|
ויהיה שטח ע"א תשעה |
|
וקו ב"ע שורש תשעה |
|
ושטח ע"ח ארבעה |
|
וקו ז"ע שורש ארבעה |
|
כי ז"ע שוה לע"מ |
|
וקו ע"מ כמו קו ב"ג |
|
וע"ב כמו ע"כ |
|
ויחס מ"ע אל ע"כ כיחס ז"ע אל ע"ב |
|
ויחס ז"ע אל ע"ב כיחס שטח ז"כ אל שטח ע"א |
|
ולכן יהיה הכאת המספרים אשר בשטח ז"מ אל המספרים אשר בשטח ע"א כמו הכאת המספרים אשר בשטח ז"כ על עצמם |
Euclid: when there are three proportional numbers, the product of the first number by the third is the same as the product of the second by itself. | וכבר ביאר זה אקלידס ואמר כי כאשר היו שלשה מספרים מתייחסים יהיה הכאת המספר הראשון בשלישי כמו הכאת השיני על עצמו |
|
אבל הכאת מה שבשטח ע"ח מהאחדים שהם ארבעה על אחדי שטח ע"א שהם תשעה יהיה שלשים ושש |
|
והכאת מה שבשטח ז"כ מהאחדים על עצמם יהיה כמו כן שלשים ושש |
|
ושטח ז"כ שורש שלשים ושש והוא ששה |
|
והוא הוה מהכאת שורש תשעה על שרש ארבעה בעבור כי קו כ"ע שרש תשעה וע"ז שרש ארבעה |
Q.E.D. | ומש"ל |
|
ואם יאמרו לך כמה יהיו הכאת שני שרשי עשרה על חצי שורש חמשה |
|
תסתכל שני שרשי עשרה שורש של איזה מספר הם על הדרך שהראיתיך |
|
ותמצא שהם שרש לארבעים |
|
ותחפש לאי זה המספר הוא שורש חצי שורש חמשה |
|
ותמצא שהוא שורש לאחד ורביע |
|
ויהיה כאלו שאלו כמה יהיה הכאת שורש ארבעים על שורש אחד ורביע |
|
ותכה ארבעים על אחד ורביע ויהיו חמישים |
|
ותאמר שורש חמישים הוא הכאת שני שרשי עשרה על חצי שורש חמשה |
Geometric illustration | |
ואניח לך על זה המעשה תמונה כוללת | |
|
|
For every number multiplied by a number, the root of the product is the same as the product of the root of one of the numbers multiplied by the root of the other number | כל מספר שיוכה על מספר ונקח שורש העולה יהיה כמו הכאת שורש מספר אחד מהם לשרש מספר האחר |
|
משל זה שנשים ב' א' שני מספרים |
|
ושורש ב' ג' |
|
ושורש א' ד' |
|
ונכה ב' על א' ויהיה ז' |
|
ונכה ג' על ד' ויהיה ח' |
Supposition: C = H = √Z | ונאמר שח' כמו ה' שהוא שורש ז' |
Proof | ומופת זה |
|
שג' מוכה על עצמו היה ב' |
|
ומוכה על ד' היה ח' |
|
ויהיה יחס ג' אל ד'[19] כיחס ח' אל א' |
|
והיה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח' |
|
ולכן יהיה יחס ב' אל ח' כיחס ח' אל א' |
|
והכאת ב' על א' יהיה כמו הכאת ח' על עצמו |
|
אבל הכאת ב' על א' הוא ז' |
|
והכאת ח' על עצמו יהיה כמו הכאת ה' על עצמו |
|
וח' כמו ה' |
Q.E.D. | ומש"ל |
What was added and explained of this type is enough. | ובמה שהוספתי וביארתי מזה המין בו השלמה |
Division of Roots |
|
When the divisor is multiplied by the result of division, the dividend returns. | גם דע כי כאשר תכה המחלק על העולה לחֶלק ישוב המספר שחלקת |
|
משל זה כאשר חלקת עשרה על שנים ויצא לכל חלק חמשה |
|
ותכה חמשה על שנים ויהיו עשרה והוא המספר הנחלק |
Geometric illustration | |
ואשים לזה המעשה תמונה כללית | |
|
|
For every number divided by another number, the product of the quotient by the divisor is the same as the dividend | כל מספר שיהיה נחלק על מספר אחר יהיה הכאת העולה לכל חלק על המספר המחלק כמו מספר הנחלק |
|
משל זה שא' המספר הנחלק וב' הוא המחלק וחלקנו א' על ב' ועלה לכל חלק ג' |
Supposition: B × G = A | ואומר שהכאת ב' על ג' הוא א' |
Proof | ומופת זה |
|
כי כבר נחלק א' על ב' ועלה הג' |
|
ולכן יהיה ג' בא' כל כך פעמים כמו שהוא בב' מן האחדים |
|
ויהיה מפני זה יחס ג' אל א' כיחס האחד אל ב' |
|
והכאת האחד על א' כהכאת ג' על ב' |
|
אבל הכאת האחד על א' הוא א' |
|
אם כן הכאת ב' על ג' הוא גם כן א' |
Q.E.D. | ומש"ל |
|
ואם יאמרו תחלק שורש תשעה על שורש ארבעה |
|
תחלק תשעה על ארבעה ויגיע לכל חלק שנים ורביע תקח שורשו והוא אחד וחצי והוא שורש תשעה מחולק על שורש ארבעה |
|
ואם יאמרו תחלק שורש עשרה על שורש שנים |
|
תחלק עשרה על שנים ויעלה אל החלק חמשה וקח שורשו |
|
ואם יאמרו לך תחלק שנים שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה |
|
תחפש שנים שרשים מעשרים לאיזה מספר הם שורש |
|
וידענו ממה שביארנו שהם שורש לשמנים |
|
ותחפש כמו כן שלשה שרשים מששה לאיזה מספר הם |
|
ותמצא שהם שורש לחמישים וארבעה |
|
ותחלק שמנים על חמישים וארבעה ויעלה אל החלק אחד וארבעה תשיעיות ושלישית התשיעית ושורש זה הוא מה שיעלה אל החלק מחלוקת שנים שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה |
Proceed with all that is of this kind as done in this procedure. | וכן כל אשר יפול בידך מזה המין עשה כן כמעשה הזה |
Geometric illustration | |
ואמשיל לך מזה המין בתמונה כוללת | |
For every two numbers, one of which is divided by the other, the root of the quotient is the same as the quotient of the root of the dividend divided by the root of the divisor | והוא זה כל שני מספרים שיחלק האחד על האחר יהיה שורש העולה אל החלק כמו העולה מחלוקת שורש המספר הנחלק על שורש המספר המחלק |
|
משל זה שמספר א' נחלק על מספר ב' ועלה מספר ג' |
|
ושורש מספר א' הוא ח' |
|
ושורש מספר ב' הוא ד' |
|
וחלקנו ח' על ד' ועלה ע' |
Supposition: E = √G | ונאמר שע' הוא שורש ג' |
Proof: | ומופת זה |
|
שא' נחלק על ב' ועלה ג' |
|
ויהיה מפני זה ג' ימנה א' במספר מה שבב' מן האחדים |
|
וכן יהיו אחדי ד' במספר דימיוני ע' בח' |
ואחד מוכה על אחד הוא אחד | |
|
וד' מוכה על עצמו הוא ב' |
|
וע' מוכה על עצמו הוא מ' |
|
ומספר אחדי ב' יהיו כמו דימיוני מ' בא' |
|
אבל מספר אחדי ב' יהיה כמספר דימיוני ג' בא' |
|
הנה כי מספר דימיוני ג' בא' יהיה כמספר דימיוני מ' בא' |
|
וג' ישוה למ' |
|
וע' הוא שורש מ' |
|
הנה כי ע' שורש ג' |
Q.E.D. | ומש"ל[20] |
Addition of Roots |
בחבור השרשים האחד עם האחר |
Adding a root of a number to a root of another number so that they are summed to a root of a certain square: | וכאשר תרצה לחבר שורש מספר מהמספרים אל שורש מספר אחר עד שיחובר שורש איזה אלגוש |
This cannot be done with every number, | הנה זה לא יתכן בכל מספר |
|
אבל יתכן בשני מספרים מרובעים רצוני במספרים המרובעים שיחזיקו שורש |
|
או בשני מספרים שכאשר נחלק האחד על האחר עלה אל החלק שורש וכאשר תכה האחד על האחר היה המקובץ שורש |
For numbers other than these it is not possible to sum their two roots to a single root | ובמספרי' אחרים מבלעדי אילו לא יתכן שתחבר שני שרשיהם עד שתשיבנה שורש אחד |
The same for the subtraction of roots one from the other | וכן בגרוע האחד מן האחר |
This is especially clear. | ואלו יהיו הרבה מבוארים |
|
ויהיו שני המספרים המרובעים תשעה וארבעה וכאשר תרצה לחבר שורש תשעה ושורש ארבעה עד שיהיו שורש למספר אחד |
|
תחבר תשעה וארבעה ויהיו י"ג |
|
ותכה תשעה על ארבעה ויהיו שלשים וששה |
|
וקח שני שרשיו והם שנים עשר |
|
תחברם עם שלש עשרה ויהיו עשרים וחמשה ושרשו חמשה והם שורש תשעה ושורש ארבעה מקובצים |
Geometric illustration | |
ואבאר זה בזאת התמונה | |
|
|
|
וזה שנניח קו א"ב שורש תשעה |
|
וקו א"ג שורש ארבעה |
|
וכאשר נרצה לדעת קו ג"ב שורש איזה מספר הוא |
|
נעשה על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ז |
|
ויהיה קו ג"ב שורש ג"ז |
|
ונעשה על קו א"ב שטח מרובע עליו אבכ"ל |
|
ונוציא א"כ על יושר עד נקודת ח' |
|
וקו ל"כ על יושר עד נקודת ע' |
|
ויהיה שטח כ"ב תשעה |
|
בעבור כי קו א"ב הוא שורש תשעה |
|
ושטח ע"ח ארבעה |
|
בעבור כי א"ג הוא שורש ארבעה |
|
וא"ג כמו ע"כ |
|
ושטח א"ע ששה כי הוא מהכאת שורש תשעה שהוא קו א"ב על שורש ארבעה שהוא קו א"ג |
|
ושטח ג"ז עשרים וחמשה |
|
וקו ג"ב הוא שורשו והוא חמשה |
Q.E.D. | ומש"ל |
Subtraction of Roots |
בגרעון השרשים האחד מן האחר |
|
וכאשר תרצה לגרוע שרש ארבעה משורש תשעה עד שיהיה מה שישאר משורש תשעה שורש מספר אחד פחות שורש מהמספר האחר |
|
תחבר התשעה עם הארבעה ויהיו שלשה עשר |
|
ותכה תשעה על ארבעה ויהיו שלשים וששה |
|
קח שני שרשיו והם שנים עשר |
|
ותחסרם מן השלשה עשר וישאר אחד ושורש האחד הוא יהיה הנשאר משורש תשעה בחסרך ממנו שורש ארבעה והוא אחד |
Geometric illustration | |
ואבארהו לך בזאת התמונה | |
|
|
|
והוא שנניח קו א"ב שורש תשעה |
|
ושורש א"ג שורש ארבעה |
|
וכאשר נגרע קו א"ג מקו א"ב ישאר קו ג"ב |
|
וכאשר נרצה לדעת מספר קו ג"ב שורש איזה מספר הוא |
|
נשים על קו א"ב שטח מרובע עליו א"ז |
|
ויהיה שטח א"ז תשעה |
|
ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו א"מ |
|
ויהיה שטח א"מ ארבעה |
|
ותוציא קו ח"מ על יושר עד נ' |
|
וקו ג"מ על יושר עד כ' |
|
והוא ידוע כי מרובע מ"ז הוא מהכאת קו ג"ב על עצמו |
|
ושטח ח"כ שנים |
|
בעבור כי כל שטח א"כ ששה כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שורש ארבעה בא"ה שהוא שורש תשעה |
|
ושטח א"מ ארבעה |
|
וישאר שטח ח"כ שנים |
|
ולזה יהיה שטח מ"ב שנים |
|
וישאר מרובע מ"ז אחד |
|
וקו מ"נ הוא שורשו והוא אחד |
|
וכבר היה קו מ"נ כמו קו ג"ב |
Q.E.D. | ומש"ל |
|
וכאשר תרצה לחבר שרש שמנה עשר ושרש שמנה עד שיהיו שורש המספר האחד פחות שורש המספר האחר |
|
זה המספר יתכן לחברו בעבור כי כאשר תחלק שמנה עשר על שמנה יגיע לחלק שנים ורביע ומחזיק שורש ושורשו הוא אחד וחצי |
|
ואם תחלק שמנה על שמנה עשר יגיע לחלק ארבע תשיעיות ומחזיק שורש ושורשו הוא שני שלישים |
|
ואם תכה י"ח על ח' יהיו קמ"ד ומחזיק שורש ושרשו י"ב |
For every number whose root is added to a root of another number, which obeys this rule, their two roots can be summed to a root of a single number. | וכל מספר שתחבר שורשו אל שורש מספר אחר ויהיה משפטו זה המשפט יהיו שני שרשיהם מחוברים עד שיהיו שורש מספר אחד |
If one of the three sufficient conditions, which are said to occur in numbers, holds, then the three sufficient conditions hold. | וכאשר היה ספק אחד מאלו השלש ספקות אשר אמרנו אשר ימצאו במספרים יהיו השלשה ספיקות נמצאים |
|
וכאשר תרצה לדעת שורש איזה מספר הוא תעשה כאשר אמרנו |
|
והוא שתחבר ח' עם י"ח ויהיו כ"ו ותשמרם |
|
ותכה ח' על י"ח ויהיו קמ"ד |
|
ותקח שני שרשיו והוא כ"ד |
|
ותחברם על הכ"ו ששמרת ויהיו נ' ושורשו הוא שורש ח' ושורש י"ח מקובצים |
|
ואם רצונך לגרוע שורש ח' משורש י"ח |
|
תגרע הכ"ד מהכ"ו וישארו שנים ושורש שנים הוא שרש י"ח פחות שורש ח' |
|
ואם באת לחבר שורש עשרה עם שורש שנים |
|
זה לא יתכן לחברו ולא יתכן היותו שורש למספר אחד |
|
בעבור כי כאשר תחלק עשרה על שנים יגיע לחלק חמשה והחמשה אינם מחזיקים שורש |
|
וכאשר תחלק שנים על עשרה יגיע לחלק חומש ואין שורש לחומש |
|
ואם תכה שנים על עשרה יהיו עשרים ואין שורש לעשרים |
|
ואם תחברם כאשר הראיתיך יהיו שנים שרשים מעשרים מחוברים עם שנים עשר ושורשו הוא שורש עשרה ושורש שנים |
|
ואם בקשת לחסר האחד מן האחר תעשה כאשר אמרתי ויצא שנים עשר פחות שנים שרשים מעשרים ושורש הנשאר הוא שרש עשרה פחות שורש שנים |
The question is more proper than the answer | והשאלה בזה יותר נכונה מהתשובה |
When you are asked a thing of this kind, your answer should be exactly similar to what was introduced to you | וראוי לך כאשר ישאלו ממך איזה דבר מזה הסוג שתהיה תשובתך עליה על דמיון אשר יוציאו לפניך בשוה |
It is more proper to say "the root of ten and the root of two", than to say "twelve and two roots of twenty, their root extracted". | כי כאשר תאמר שורש עשרה ושורש שנים יותר נכון מלאמר שנים עשר ושנים שרשים מעשרים ולקוח שורשו |
Also, for subtracting one from the other: it is more proper to say "the root of ten minus the root of two", than to say "twelve minus two roots of twenty - the extracted root of the remainder", which is the root of ten minus the root of two. | ויותר נכון לומר בגרעון האחד מן האחר שורש עשרה פחות שורש שנים מלומר שנים עשר פחות שני שרשים מעשרים ולקוח שורש הנשאר שיהיה שורש עשרה פחות שורש שנים |
|
ושנים שרשים מעשרים יהיה שורש משמנים |
What was explained is complete. | ועם אשר ביארתי מזה בו השלמה |
Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations |
|
For each of the six principles I have shown you, I will give you a question taught by the algebraists. | ואלו הששה בקשות אשר הראיתיך הנני עושה לך לכל חלק מהששה חלקים שאלה אשר כבר יורוך אותם חכמי האלג'בר |
|
והשאלה הראשונה מן הששה היא אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים
ותכה החלק האחד על האחר ותכה החלק הגדול על עצמו ויהיה החלק המוכה על עצמו כמו הכאת החלק האחד על האחר וכמו חציו |
The procedure:
|
והמעשה בזה שנניח החלק הגדול דבר |
|
והחלק האחר עשרה פחות דבר |
|
ותכה דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו |
|
ותכה החלק הגדול על עצמו והוא דבר ויהיה אלגו |
|
וזה האלגו יהיה כמו עשרה דברים פחות אלגו וכמו חצי זה |
|
ותכה עשרה דברים פחות אלגו על אחד וחצי ויעלה חמשה עשר דברים פחות אלגו וחצי ואלו ישוו אלגו |
|
ותניח[21] החמשה עשר עם האלגו וחצי עד שיהיו ט"ו דברי' ותחבר האלגו וחצי עם האלגו |
|
ויהיה אז שני אלגוש וחצי ישוו חמשה עשר דברי' |
|
ולכן האלגו |
|
והדבר ישוה ששה והוא החלק הגדול |
|
והחלק האחר יהיה ארבעה והוא הנשאר מהעשרה |
this problem demonstrates the first of the six canonical equations: | וזאת השאלה אראך לחלק הראשון מהששה חלקים והוא אלגו ישוו שרשים |
Geometrical illustration of the problem | |
---|---|
ואבאר זאת השאלה בתמונה מהתמונות | |
|
|
|
והוא שנניח קו א"ב עשרה |
|
א"ג החלק הגדול |
|
וג"ב החלק הקטן |
|
ונכה קו א"ג על קו ג"ב ויהיה [22]שטח ג"ד |
|
בעבור שהנחנו קו ג"ה כמו קו א"ג |
|
ונכה קו א"ג על עצמו ויהיה שטח מרובע א"ה |
|
אבל שטח א"ה כמו שטח ג"ד וכמו חציו |
|
ולכן קו ג"א יהיה כמו קו ג"ב וכמו חציו |
|
וקו א"ב כלו יהיה כמו קו ג"ב שני פעמים וחצי |
|
אבל קו א"ב עשרה |
|
יהיה קו ב"ג ארבעה |
|
וקו א"ג ששה |
Q.E.D. | והוא מה שרצינו לבאר |
2) The second problem | והשאלה השנית |
|
עשרה תחלקהו לשני חלקים ותכה אחד מהם על עצמו ותכה העשרה על עצמו |
The procedure:
|
והמעשה בזה שתשים החלק האחד דבר |
|
ותכהו על עצמו והוא אלגו |
|
ותכה העשרה על עצמו ויהיה מאה |
|
ואלו המאה יהיו כמו האלגו ששה פעמים ורביע ותכה האלגו על ששה ורביע ויהיה ששה אלגוש ורביע ישוו מאה |
|
והשיבם אל אלגו אחד והוא ארבעה חלקים מעשרים וחמשה והם ארבעה חומשים מהחומש |
|
וקח מהמאה ארבעה חומשים מהחומש ויהיו שש עשרה ואלו הששה עשר ישוו אלגו |
|
ושרשו ארבעה והוא החלק המבוקש |
this problem demonstrates the second of the six canonical equations: | וזאת השאלה הראיתיך לחלק שני מהששה חלקים שהוא אלגוש ישוו מספרים |
Geometrical illustration of the problem | |
ואבארה לך בזאת התמונה | |
|
|
|
והוא שנניח קו א"ב עשרה |
|
וג"ב המספר המבוקש |
|
ואכה קו א"ב שהוא עשרה על עצמו ויהיה מאה והוא שטח א"מ |
|
ואכה קו ג"ב שהוא החלק המבוקש על עצמו ויהיה מרובע ג"ד |
|
ושטח א"מ שהוא מאה הוא ששה פעמי' ורביע מרובע ג"ד |
|
ותחלק מרובע ג"ד לארבעה חלקים שוים כל אחד מהם כמו שטח ב"ח |
|
ויהיה שטח א"מ עשרים [וחמשה][23] פעמים כמו שטח ח"ב |
|
ושטח א"מ מאה |
|
ושטח ב"ח ארבעה |
|
וג"ד שש עשרה |
|
וקו ג"ב ארבעה והוא החלק המבוקש |
Q.E.D. | וזה מה שרצינו לבארו |
3) The third problem | והשאלה השלישית |
|
תחלק עשרה לשני חלקים ותחלק החלק הגדול על החלק הקטן ויגיע לחלק ארבעה |
The procedure:
|
והמעשה בזה שנשים החלק הקטן דבר |
|
והגדול עשרה פחות דבר |
|
ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויגיע לחלק ארבעה |
It was already shown that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend | כבר הראיתיך כי כאשר תכה המגיע לחלק על המחלק שיעלה המספר המחולק |
|
אחרי כן תכה דבר על ארבעה ויהיו ארבעה דברים ישוו עשרה פחות דבר |
|
ותכלול[24] העשרה עם הדבר עד שיהיו עשרה אדרהמיש ותחבר דבר עם הארבעה דברים |
|
ויהיה עשרה ישוו חמשה דברים |
|
והדבר ישוה שני אדרהמיש |
this problem demonstrates the third of the six canonical equations: | וזאת השאלה הוצאתיה לחלק שלישי מהששה חלקים והוא הדברים ישוו המספרים |
Geometrical illustration of the problem | |
ואבארה בזאת התמונה | |
|
|
|
והוא שנניח קו א"ב עשרה |
|
וג"ב החלק הקטן |
|
וקו א"ג החלק הגדול |
|
וכאשר נחלק קו א"ג על קו ג"ב יעלה לחלק ארבעה |
|
וא"ג יהיה ארבעה כפלי ג"ב |
|
וא"ב יהיה חמשה כפלי ג"ב |
|
וג"ב הוא חמישית א"ב |
|
אבל א"ב עשרה |
|
וג"ב שנים |
Q.E.D. | ומש"ל |
4) The fourth problem | והשאלה הרביעית |
|
חלקנו עשרה לשני חלקים והכינו החלק הקטן על תשעה והגדול על עצמו והיו שוים |
The procedure:
|
והמעשה בזה שנשים החלק הגדול דבר |
|
והקטן עשרה פחות דבר |
|
ותכה דבר על עצמו והוא אלגוש |
|
ותכה עשרה פחות דבר על תשעה ויהיו תשעים אדרהמיש פחות תשעה דברים ישוו אלגוש |
|
ותציעם[25] עם התשעה דברים ותוסיפם על האלגוש |
|
ויהיה אלגוש ותשעה דברים ישוו תשעים אדרהמיש |
|
והאופן אשר יוציא לך הדבר הוא שתקח חצי הדברים ויהיו ארבעה וחצי ותכם על עצמם ויהיו עשרים ורביע |
|
והאופן אשר יוציא לך האלגו הוא שתכה התשעה דברים על עצמם ויהיה שמנים ואחד ותכם על התשעים ויהיה שבעת אלפים ומאתים ותשעים |
this problem demonstrates the fourth of the six canonical equations: | וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק הרביעי מהששה חלקים והוא האומר אלגוש ושרשים ישוו מספרים |
Geometrical illustration of the problem | |
ואבארה לך בתמונה זו | |
|
|
|
והוא שנשים קו ב"א עשרה |
|
וקו א"ג החלק הגדול |
|
וג"ב החלק הקטן |
|
והיה א"ג על עצמו כמו ג"ב על תשעה |
|
וא"ג על תשעה וג"ב על תשעה יחד הם תשעים |
|
ונניח א"ד תשעה |
|
וא"ג על עצמו ועל א"ד יהיה תשעים והוא כמו ד"ג על ג"א |
|
וד"ג על ה"א יהיה תשעים |
|
וקו ד"א תשעה |
|
ונחלק לחצאים על נקדת ה' |
|
ונוסף על עצמו לארכו קו א"ג |
|
והיה הכאת ד"ג על א"ג תשעים |
|
והכאת א"ה על עצמו יהיה עשרים ורביע |
|
ותקבצם עם תשעים ויהיו מאה ועשר ורביע |
|
ולכן יהיה הכאת קו ה"ג על עצמו הוא מאה ועשר ורביע |
|
ושרשו עשרה וחצי |
|
אם כן קו ה"ג עשרה וחצי |
|
אבל ה"א ארבעה וחצי |
|
וישאר א"ג ששה והוא החלק הגדול |
|
וג"ב ארבעה והוא החלק הקטן |
Q.E.D. | ומש"ל |
5) The fifth problem | והשאלה החמישית |
|
חלקנו עשרה לשני חלקים והכינו האחד על האחר והיה עשרים ואחד |
The procedure:
|
והמעשה בזה שנשים החלק האחד דבר |
|
והאחר עשרה פחות דבר |
|
ונכה דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו וישוו עשרים ואחד אדרהמיש |
|
ותכלול העשרה פחות אלגו עם האלגו והוסיף אותו על העשרים ואחד |
|
ויהיה אלגו ועשרים ואחד ישוו עשרה שרשים |
|
והאופן אשר יוציא לך הדבר הוא שתקח חצי הדברים ויהיו חמשה ותכם על עצמם ויהיו עשרים וחמשה |
|
והחלק הגדול הוא הנשאר מעשרה והם שבעה |
|
ואם תרצה תוסיף השנים על החמשה ויהיו שבעה והוא החלק הגדול |
|
והחלק הקטן הוא הנשאר מעשרה והוא שלשה |
|
והאופן אשר יוציא לך האלגו הוא שתכה העשרה שרשים על עצמם ויהיו מאה ותכם על הכ"א אשר עם אלגו ויהיו אלפיים ומאה |
|
והמעשה עם תוספת הוא שתוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים תגרע מהם העשרים ואחד ישארו ארבעים ותשע והם האלגו |
this problem demonstrates the fifth of the six canonical equations: | וזאת השאלה הוציאתך אל החלק החמישי מהששה חלקים שהוא אלגוש ומספרים ישוו שרשים |
Geometrical illustration of the problem | |
ואבאר זה בתמונה זו | |
|
|
|
והוא שנניח קו א"ג על ג"ב עשרים ואחד |
|
ותחלק קו א"ב לשני חצאים על ה' |
|
ויהיה הכאת א"ג בג"ב וה"ג על עצמו כמו הכאת ה"ב על עצמו |
|
והכאת ה"ב על עצמו עשרים וחמשה |
|
וא"ג על ג"ב הוא עשרים ואחד |
|
וישאר ה"ג על עצמו ארבעה |
|
וה"ג יהיה שנים |
|
וה"ב היה חמשה |
|
וישאר ג"ב שלשה |
|
ויהיה א"ג שבעה |
Q.E.D. | ומש"ל |
6) The sixth problem | והשאלה הששית |
|
אלגו תוסיף עליו שמנה אדרהם ותכה המקובץ על ארבעה אדרהם והיה כמו האלגו על עצמו |
The procedure:
|
והמעשה בזה שנשים האלגוש דבר |
|
ותחבר עמו שמנה אדרהם ויהיה דבר ושמנה אדרהמיש ותכם על ארבעה ויהיה ארבעה דברים ול"ב דרהמיש |
|
והכה האלגו והוא דבר על עצמו ויהיה אלגו וישוה ל"ב אדרהם וארבעה דברים |
|
והאופן אשר יוציא לך הדבר הוא שתקח מחצית הדברים ויהיה שנים ותכם על עצמם ויהיו ארבעה |
|
והאופן אשר יוציא האלגו הוא שתכה הארבעה שרשים על עצמם ויהיו ששה עשר ותכם על האדרהמיש שהם ל"ב ויהיו תקי"ב |
|
וקח שרשו והוא שמנה והוא המספר המבוקש |
this problem demonstrates the sixth of the six canonical equations: | וזאת השאלה הוציאתך אל החלק הששי מהחלקים הששה והוא האומר מספרים ושרשים ישוו אלגוש |
Geometrical illustration of the problem | |
ואבאר מזה בתמונה זו | |
|
|
|
והוא [26]שנשים האלגו קו א"ב |
|
והשמנה אדרהם קו א"ג |
|
ונשים קו ב"ד ארבעה |
|
ונכה קו ג"ב בקו ב"ד ויהיה שטח ג"ד |
|
ותכה האלגו הוא קו א"ב על עצמו ויהיה מרובע א"ה |
|
ושטח ג"ד הוא כמו שטח א"ה |
|
ותגרע שטח א"ד המשותף |
|
וישאר שטח מ"ה כמו שטח ג"מ |
|
ושטח ג"מ שלשים ושנים |
|
בעבור כי א"ג שמנה |
|
וא"מ ארבעה |
|
ולכן שטח מ"ה הוא שלשים ושנים |
|
ושטח מ"ה הוא מהכאת א"ז על ז"מ |
|
אם כן הכאת א"ז על ז"מ הוא שלשים ושנים |
|
וא"מ הוא ארבעה |
|
וחלקהו לשני חצאים על ח' |
|
והכאת א"ז על ז"מ ומ"ח על עצמו יהיה כמו ח"ז על עצמו |
|
אבל מ"ח על עצמו ארבעה |
|
ומהכאת ח"ז על עצמו יהיה שלשים ושש |
|
וח"ז יהיה ששה |
|
וא"ח שנים |
|
וא"ז שמנה |
|
והוא כמו א"ב |
|
וא"ב שמנה והוא האלגו |
Q.E.D. | וזה מה שרצינו לבאר |
Various Problems |
|
|
א) שאלה ואם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים ותכה כל חלק על עצמו ותגרע הכאת החלק הקטן מהכאת החלק הגדול וישאר שמנים |
[first solution method] | |
---|---|
|
המעשה בזה שתשים החלק הקטן דבר והגדול עשרה פחות דבר |
|
ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים דברים |
|
ותכה הדבר על עצמו ויהיה אלגו |
|
ותגרעהו ממאה ואלגו פחות עשרים דברים וישאר מאה דרהמי פחות עשרים דברים ישוו שמנים אדרהמיש |
|
|
|
ותכלול[27] המאה דרהמי עם |
|
ויהיה עשרים דברים ושמנים דרהמי ישוו מאה אדרהמיש |
|
תגרע שמנים ממאה וישאר עשרים אדרהמיש ישוו עשרים דברים |
|
והדבר ישוה אחד והוא החלק הקטן |
|
והגדול תשעה והוא מה שנשאר מן העשרה |
[second solution method] | |
|
ואם נרצה נעשה החלק הגדול דבר והקטן עשרה פחות דבר |
|
תגרע מאה ואלגו פחות עשרים דברי' מאלגו וישאר [עשרים דברים פחות][28] מאה אדרהמיש |
|
|
|
ותכלול[29] העשרים דברים עם המאה אדרהמיש ותוסיפם על השמנים |
|
ויהיה מאה ושמנים אדרהמיש ישוה עשרים דברים |
|
והדבר ישוה [30]תשעה והוא החלק הגדול |
|
והנשאר מהעשרה יהיה החלק הקטן והוא אחד |
[third solution method] | |
|
ואם תרצה תחלק העשרה לשני חלקים בחלוקה נבדלת מהחלוקה הנוהגים אותה בעלי המספר לחלוק בה העשרה ויתאמת בה המעשה |
|
ותדע החלק הגדול מהקטן |
|
ותלך בו ברוב מה שיפלו לפניך מהשאלות בקצרה וזה בחצות השרשים |
|
והוא שנניח החלק האחד |
|
ותכה כל אחד מהם על עצמו ותגרע העולה מהחלק הקטן מהעולה מהחלק הגדול וישאר עשרים דברים ישוו שמנים אדרהמיש |
|
והדבר ישוה ארבעה |
|
ותוסיף הארבעה על החמשה והוא תשעה והוא החלק הגדול |
|
ותגרע הארבעה מן החמשה וישאר אחד והוא החלק הקטן |
|
ואם יאמרו לך עשרה תחלק אותו לשני חלקים ותחלק כל אחד מהם על האחר ויגיעו החלקי' ארבעה ורביע |
[first solution method] | |
|
והמעשה בזה שתשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר |
|
ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגו |
|
ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה ואלגו פחות עשרי' דברי' |
|
ותחברם ויהיו מאה ושני אלגו פחות עשרים דברים ותשמרם |
|
ותכה החלק האחד על האחר והוא דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו |
|
ותכם על העולה אל החלקי' והוא ארבעה ורביע ויהיה מ"ב דברים וחצי דבר פחות ארבעה אלגוש ורביע אלגו ישוו מאה אדרהמיש ושני אלגוש פחות עשרים שרשים |
| |
Because, for every two numbers divided by each other, the sum of the products of each of them by itself is the same as the product of one by the other multiplied by the sum of the quotients of each divided by the other
|
בעבור כי כל שני מספרים שיתחלקו כל אחד מהם על האחר יהיה הכאת כל אחד מהם על עצמו מחוברים כמו הכאת האחד על האחר וההוה על החלק העולה מחלוקת כל אחד מהם על האחר |
I will explain to you the reason for this, after I finish the calculation of this question. | ועוד אבאר לך סבת זה אחר שאשלים חשבון השאלה |
|
|
|
ותכלול[31] המאה אדרהמיש ושני אלגוש עם העשרים דברים ותוסיפם על הארבעים ושנים דברים וחצי דבר פחות ארבעה אלגוש ורביע |
|
ויהיה ס"ב דברים וחצי דבר פחות ארבעה אלגוש ורביע ישוו מאה אדרהמיש ושני אלגוש |
|
ותכלול הס"ב דברים וחצי עם הארבעה אלגוש ורביע ותוסיפם על המאה אדרהמיש ושני אלגוש |
| |
|
ויהיה מאה אדרהמיש וששה אלגוש ורביע ישוו ס"ב דברים וחצי |
|
|
|
והשיבם אל אלגו אחד |
|
וכבר ידעת כי האלגו מששה ורביע אלגו הוא ארבעה חמשים מחומש |
|
ותקח מכל אשר תחזיק ארבעה חומשים מחומש |
| |
|
ויהיה אלגו וששה עשר אדרהמיש ישוה עשרה דברים[32] |
|
ומחצית הדברים [33]יהיה חמשה ותכם על עצמם ויהיה כ"ה |
|
ותגרע מהם הי"ו וישאר ט' |
|
ותקח שרשו והוא שלשה |
|
תגרעם ממחצית השרשים שהוא חמשה וישאר שנים והוא החלק האחד |
| |
|
והאחר שמנה |
[second solution method] | |
|
ואם תרצה חלק העשרה לשני החלקים שהראיתיך אשר לא ינהגו החשבנים לחלוק בם העשרה ויתאמת לך המעשה ולך בחצאת השרשי' |
|
והוא שנשים החלק האחד חמשה ודבר והאחר חמשה פחות דבר |
|
ותכה כל אחד מהם על עצמו ותחברם יחד ויהיה חמשים אדרהמיש ושני אלגוש |
|
ותכה החלק האחד על האחר ויהיה כ"ה אדרהמיש פחות אלגו |
|
ותכם על ארבעה ורביע ויהיה מאה ושש ורביע פחות ארבעה אלגוש ורביע אלגו ישוו חמשים אדרהמיש ושני אלגוש |
| |
|
|
|
ותכללם עם הארבעה אלגוש ורביע ותוסיפם על השני אלגוש וחמשים |
| |
|
ותגרע חמשים כנגד חמשים וישאר חמשים ושש ורביע |
|
והאלגו ישוה תשעה |
|
והדבר הוא שרשו והוא שלשה |
|
ותגרעם מחמשה ותוסיפם על חמשה בעבור שהנחנו החלק האחד חמשה פחות דבר והאחר חמשה ודבר ויהיה החלק האחד שמנה והאחר שנים |
For every number divided by another, the quotient is equal to the quotient of the product of the dividend multiplied by itself, when you divide it by the product of the dividend multiplied by the divisor.
|
כל מספר שיחלק האחד על האחר הנה המגיע אל החלק יהיה שוה לאשר יגיע אל החלק בחלקך העולה מהכאת המספר הנחלק על עצמו על העולה מהכאת המספר הנחלק על המחלק |
|
משל זה שמספר א' נחלק על מספר ב' והגיע לחלק מספר ג' |
|
והכינו א' על עצמו והיה ח' |
|
והכינו א' על ב' והיה ד' |
|
ונאמר שכאשר נחלק ח' על ד' יגיע ג' |
|
ומופת זה |
|
שא' נחלק על ב' והיה ג' |
|
הנה ב' ימנה א' בְשִעור מה שבג' מן האחדים |
|
והאחד ימנה ג' בשעור מה שבג' מן האחדים |
|
ולכן[34] יהיה האחד ימנה ב' בשעור מה שימנה ג' א' |
|
וא' הוכה על עצמו והיה ח' |
|
והוכה על ב' והיה ד' |
|
ולכן[35] יהיה ד' בח' כמו ב' בא' |
|
ושעור ב' בא' היה כמו שעור האחד בג' |
|
ושעור ד' בח' כשעור האחד בג' |
|
והאחד ימנה ג' בשעור מה שבג' מן האחדים |
|
ויתבאר מזה שכאשר נחלק ח' על ד' עלה ג' |
|
והוא מש"ל |
For every two numbers divided by each other, [the sum of] the quotients is equal to the quotient of [the sum of] the products of each of the numbers multiplied by itself divided by the product of one of the numbers multiplied by the other.
|
כל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר הנה המגיע לחלק יהיה שוה לאשר יגיע לחלק בהחלק העולה מהכאת כל אחד מהמספרים על עצמו על העולה מהכאת אחד המספרים על האחר |
|
משל זה שמספר א' נחלק על מספר ב' ועלה ד' |
|
ומספר ב' נחלק על מספר א' ועלה ז' |
|
והוכה א' על עצמו ועלה ג' |
|
והוכה ב' על עצמו ועלה ח' |
|
והוכה א' על ב' ועלה ע' |
|
ונאמר שג' וח' כאשר נחלק כל אחד מהם על ע' יעלה ד' ז' |
|
מופת זה |
|
שא' נחלק על ב' ועלה ד' |
|
והוכה א' על עצמו ועלה ג' |
|
והוכה א' על ב' ועלה ע' |
|
וכאשר נחלק ג' על ע' יעלה ד' כמו שנתבאר בתמונה שלפניה |
|
וב' נחלק על א' ועלה ז' |
|
וב' הוכה על עצמו והיה ח' |
|
וב' הוכה על א' והיה ע' |
|
וכאשר נחלק ח' על ע' יגיע ז' כמו שבארנו |
|
והוא מבואר שכאשר נחלק ח' וג' על ע' יעלו ד'ז' |
|
וכאשר נכה ד' וז' על ע' יעלו ח' וג' |
It is now clear that for every two numbers divided by each other, the sum of the products of each of them by itself is the same as the product of one by the other multiplied by [the sum of] the quotients of each divided by the other.
|
וכבר הוא מבואר שכל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר הנה הכאת כל אחד מהם על עצמו מחוברים יהיה כמו הכאת אחד המספרי' על האחר ועל העולה לחלק מחלוקת כל אחד מהם על האחר |
Q.E.D. | והוא מש"ל |
For every two numbers, each divided by other, the product of the quotients multiplied one by the other is always one dirham.
|
כל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר יהיה הכאת מה שהגיע לחלקים האחד על האחר אדרהם אחד לעולם |
|
משל זה שחלקנו מספר א' על מספר ב' והגיע ג' |
|
וחלקנו מספר ב' על מספר א' ועלה ד' |
|
ונאמר שהכאת ג' על ד' אדרהם אחד |
|
המופת |
|
שא' נחלק על ב' ועלה ג' |
|
הנה שב' ימנה א' בשעור מה שבג' מן האחדים |
|
ושעור האחד אל ג' כשעור ב' אל א' |
|
וכאשר הפכנו יהיה שעור א' אל ב' כשעור ג' אל אחד |
|
ועוד ב' נחלק על א' והיה ד' |
|
הנה שעור א' אל ב' כשעור האחד אל ד' |
|
וכבר היה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל אחד |
|
ולכן יחס האחד אל ד' כיחס ג' אל האחד |
|
והכאת ג' על ד' כמו הכאת האחד על עצמו והוא אחד |
|
ומש"ל |
[third solution method] | |
|
ואם תרצה תכוין חשבונך האמור במעשה אחר כזה |
|
ונשוב אל השאלה והיא כאשר אמרו לך עשרה חלקנום לשני חלקים וחלקנו כל אחד מהשני חלקים על האחר ועלה ארבעה ורביע |
|
תשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר |
|
ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה לחלק שעור שכאשר נכהו על דבר יהיה עשרה פחות דבר |
|
ותכה הארבעה ורביע על דבר ויהיה ארבעה דברים ורביע |
|
תגרע מהם עשרה פחות דבר וישאר חמשה ורביע פחות עשרה אדרהמיש |
|
ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגו |
|
ותחלק אותו על עשרה אדרהמיש פחות דבר ויעלה חמשה דברים ורביע פחות עשרה אדרהמיש |
We already explained that when we multiply the quotient by the divisor, the result is the dividend.
|
וכבר בארנו שכאשר נכה העולה לחלק על המחלק שישוב השעור הנחלק |
|
ונכה חמשה דברים ורביע פחות עשרה אדרהמי' על עשרה אדרהמיש פחות דבר ויהיה ס"ב דברים וחצי פחות חמשה אלגוש ורביע ופחות מאה אדרהמיש ישוו אלגו |
| |
|
|
|
ותכונהו[36] עמו ויהיה ששה אלגוש ורביע ומאה אדרהמיש ישוו ס"ב דברים וחצי |
|
ותעשה כאשר הראיתיך ויהיה החלק האחד שמנה והאחר שנים |
[fourth solution method] | |
|
ולחשבון זה אופן אחר |
|
והוא שנשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר |
|
וחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה דינר אחד |
|
וכאשר תכה דינר על דבר יהיה עשרה אדרהמיש פחות דבר |
|
ותחלק דבר על עשרה פחות דבר ויעלה ארבעה ורביע פחות דינר |
|
ותכה ארבעה ורביע פחות דינר על עשרה פחות דבר ויהיה נ"ב אדרהמיש וחצי פחות חמשה דברים ורביע ופחות עשרה דינרין ישוו דבר |
|
|
|
ותכוין עמו כאשר אמרתי ויהיה עשרה דינרין ישוו נ"ב אדרהמיש וחצי פחות חמשה דברים ורביע |
והדבר עשרה דינרין ישוו דבר | |
|
|
|
ותכונהו עמו כאשר אמרתי ויהיה עשרה דינרין ישוו נ"ב וחצי פחות ששה דברים ורביע |
|
ישוו חמשה ורביע פחות חמשה שמיניות דבר |
|
וכבר ידעת שכאשר נחלק עשרה אדרהמיש פחות דבר על דבר יעלה לחלק חמשה ורביע פחות חמשה שמיניות דבר |
|
ותכה חמשה ורביע פחות חמשה שמיניות דבר על דבר ויהיה חמשה דברים ורביע פחות חמשה שמיניות ישוה עשרה אדרהמיש פחות דבר |
|
|
|
ותכונהו עמו ויהיה ששה דברים ורביע |
|
|
|
ותוסיף על כל דבר שתחזיק שלשה חמישיותיו |
|
ויהיה עשרה אדרהמיש ישוו עשרה דברים |
|
ומחצית הדברים יהיה חמשה ותכם על עצמם ויהיו כ"ה |
|
תגרע מהם הי"ו וישאר ט' |
|
תקח שרשו והוא ג' |
|
תגרעו ממחצית השרשים שהוא חמשה וישאר שנים והוא החלק האחד |
| |
|
והאחר שמנה |
[fifth solution method] | |
|
וכבר בארנו שכל שני מספרים שיחלקו כל אחד מהם על האחר שהכאת העולה לחלקים האחד באחר יהיה אדרהם אחד |
|
ומה שעלה לשני החלקים בזאת השאלה ארבעה אדרהמיש ורביע |
|
ותשים האחד מהשנים דבר והאחר ארבעה ורביע פחות דבר |
|
ותכה אחד מהם באחר ויהיה ארבעה דברים ורביע פחות אלגו ישוה אדרהם אחד |
|
|
|
ותכונהו עמו ויהיה הדבר אם תרצה ארבעה או אם תרצה רביע |
|
ותשוב להתחלת השאלה ותאמר נשים החלק האחד מהשני חלקים דבר והאחר עשרה פחות דבר |
|
ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה ארבעה |
|
ותכה ארבעה על דבר ויהיה ארבעה דברים ישוו עשרה אדרהמיש פחות דבר |
|
|
|
ותכונהו עמו ויהיה הדבר שמנה והוא החלק האחד מהשנים והאחר שנים |
|
ג) שאלה ואם יאמרו לך עשרה חלקנום לשני חלקים |
|
והמעשה בזה שנשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר |
|
ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגו |
|
ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה אדרהמיש ואלגו פחות עשרים דברים |
|
ותגרע האחד מן האחר וישאר מאה אדרהמיש פחות עשרים דברים ושמרם |
|
ותכה החלק האחד על האחר והוא דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה פחות אלגו |
|
ותכם על מה שנשאר מהשני חלקים אחר שגרענו החלק האחד מן האחר והיה חמשה ששיות אדרהם ויהיה שמנה דברים ושליש פחות חמשה ששיות מאלגו ישוו מאה אדרהמיש פחות עשרים שרשים |
|
|
|
ותאסוף המאה אדרהמיש עם השרשים ותוסיפם על שמנה דברים ושליש פחות חמשה ששיות מאלגו |
|
ויהיה עשרים ושמנה דברים ושליש פחות חמשה ששיות מאלגו ישוו מאה אדרהמיש |
|
ותאסוף הדברים עם החמשה ששיות מאלגו ותוסיפם על המאה אדרהמיש |
|
ויהיה מאה אדרהמיש וחמשה ששיות מאלגו ישוו עשרים ושמנה דברים ושליש |
|
|
|
ותשלים החמשה ששיות מאלגו עד שיהיו אלגו שלם והוא שתוסיף עליהם חמישיתם ותוסיף על כל דבר שתחזיק כמו חמישיתו |
|
ויהיה אלגו ומאה ועשרים אדרהמיש ישוו שלשים וארבעה דברים |
|
וקח מחצית השרשים והוא שבע עשרה ותכם על עצמם |
|
ותגרע מהעולה מאה ועשרים אדרהמיש וישאר קס"ט |
|
ותקח שרשו והוא י"ג |
|
ותגרעם ממחצית הדברים והם שבע עשרה וישארו ארבעה והם החלק האחד מהשני חלקים |
| |
|
והאחר הוא ששה |
The reason of this problem is similar to the reason of the previous problem. | ועלת זאת השאלה דומה לעלת השאלה שלפניה |
The difference between the two [problems] is that the previous problem required the reason of [the proposition]: for every two numbers, each divided by other, the sum of the products of each of them by itself is the same as the product of one by the other multiplied by the sum of the quotients of each divided by the other. I have already explained this reason.
|
וההבדל בין שניהם הוא שבשאלה הראשונה הוצרך לדעת הסבה לכל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר שהכאת המגיע לחלקים כל אחד על עצמו מקובצים יהיה כמו הכאת האחד מהם על האחר ועל מה שעלה לחלק מחלוקת כל אחד מהשני מספרים על האחר וכבר בארתי סבת זה |
In the present problem we need to know the reason of [the proposition]: for every two numbers, each of which is multiplied by itself, then one [product] is subtracted from the other, the remainder is the same as the product of one by the other multiplied by the difference between the quotients of each of the two numbers divided by the other.
|
ובשאלה הזאת נצטרך לדעת הסבה לכל שני מספרים שיוכה כל אחד משניהם על עצמו ונגרע האחד מן האחר שיהיה הנשאר כמו הכאת האחד באחר ועל העודף אשר יעדיף בין אשר עלה לחלק מחלוקת כל אחד מהשני מספרים על האחר |
Add to it the first [proposition] and the reason of this question is obtained, because it is similar. | ותוסיף עליה השאלה הראשונה ותצא עלת זאת השאלה יען שהיא דומה אליה |
Apply the three solution methods of the first question in this question as well. | והשלשה אופנים מהשאלה הראשונה תעשם גם כן בזאת השאלה |
|
שאלה ואם יאמרו לך חלקנו חמשים אדרהמיש על אנשים ועלה לאחד דבר |
|
והמעשה בזה שתכה האנשים הראשונים בשעור הגרעון אשר בין מה שעלה לכל אחד מהראשונים ובין האחרונים |
|
ומה שיעלה מן ההכאה תחלק על מה שהעדיף מן האנשים הראשונים לשניים ומה שיעלה לחלק תכה אותו על האנשים השניים ומה שיעלה הוא המחלק |
|
ואשים לך עלת זה האופן |
|
|
|
והוא שנשים המספר המחולק והוא חמשים אדרהמיש שטח אבג"ד |
|
והאנשים הראשונים קו ג"ד |
|
ויעלה לכל אחד מהאנשים הראשונים קו א"ג |
|
בעבור כי הכאת קו א"ג בקו ג"ד הוא שטח ג"ב וכאשר חלקנו שטח אבג"ד על קו ג"ד שהוא האנשי' הראשוני' עלה לכל אחד מהם קו א"ג |
|
ותוסיף על האנשים הראשונים והוא קו ג"ד שלשה אנשים והוא קו ד"ה ויהיה קו ג"ה האנשים האחרונים |
|
ותשים שטח גזה"ח חמשים |
|
ותחלקהו על קו ג"ה שהוא האנשים האחרונים ויעלה קו ג"ז והוא מה שיעלה לכל אחד מהאנשים השניים |
|
וקו א"ז יהיה שלשה ושלשה רביעים בעבור כי הוא השעור אשר בין מה שעלה לאחד מהראשונים ובין מה שעלה לאחד מהשניים |
|
ותכה האנשים הראשונים והם קו ז"מ כי הוא כמו ד"ג על קו א"ז שהוא היתרון אשר בין מה שעלה לכל אחד מהראשונים ובין כל אחד מן השניים ויהיה שטח ב"ז |
|
ושטח ב"ז כמו שטח ד"ח |
|
בעבור כי שטח א"ד הוא כמו שטח ג"ח כי כל אחד משניהם חמשים |
|
ושטח ג"מ משותף |
|
וישאר שטח ז"ב כמו שטח ד"ח |
|
וחלק שטח ד"ח על קו ד"ה שהוא שלשה ושעורו הוא ההבדל אשר בין האנשים הראשונים לשניים ויעלה לחלק קו ד"מ |
|
והוא כמו קו ג"ז והוא מה שעלה לכל אחד מהאחרונים |
|
ויהיה שטח ג"ח והוא חמשים |
|
ומש"ל |
|
ואחר שזה מבואר יתבאר העלה באופן הזה |
|
שאנחנו נשים האנשי' הראשונים דבר |
|
ותכהו על הגרעון שהוא שלש ושלשה רביעיות ויעלה שלשה דברים ושלשה רביעים |
|
ותחלקם על שלשה שהוא שעור ההבדל אשר בין האנשים הראשונים לשניים ועלה לחלק דבר ורביע |
|
ותכם על האנשים השניים והם דבר ושליש ויהיה אלגו ורביע ושלשה דברים ושלש רביעיות דבר ישוו חמשים אדרהמיש |
|
|
|
ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד ויהיה אלגו ושלש דברים ישוו ארבעים אדרהמיש |
|
וקח מחצית הדברים והוא אחד וחצי |
|
ותכם על עצמם ותוסיף העולה על הארבעים ויהיה מ"ב ורביע |
|
וקח שרשו והוא ששה וחצי |
|
וגרע מהם מחצית הדברים שהוא אחד וחצי וישאר חמשה והם האנשים הראשונים |
| |
|
ואם יאמרו לך חלקנו עשרה אדרהמיש על אנשים ועלה לכל אחד מהם דבר |
|
והמעשה בזה שתכה האנשים הראשונים על הגרעון אשר בין הראשון והאחרון |
|
והוסיף על העולה מההכאה שעור ההבדל אשר בין המספר הנחלק ראשונה ובין השניה |
|
ומה שיתקבץ חלק על ההבדל אשר בין האנשים הראשונים והשניים |
|
והעולה תכה על האנשים השניים ומה שיעלה הוא המספר הגדול שנחלק והוא בזאת השאלה שלשים |
|
ואשים לך עלת זה האופן |
|
|
|
והוא שנשים המספר הקטן הנחלק שהוא עשרה שטח אבג"ד |
|
והאנשים הראשונים קו ג"ד |
|
ומה שעלה לאחד מהראשונים קו א"ג |
|
והוספנו על הראשונים שהוא קו ג"ד ארבעה אנשים והוא קו ד"ה ויהיה קו ג"ה האנשים השניים |
|
ונשים שטח גהז"ח שלשים אדרהמי' |
|
ותחלקהו על קו ג"ה ויעלה קו ג"ז והוא מה שיעלה לאחד מהשניים |
|
וישאר קו א"ז ארבעה בעבור כי הוא שעור ההבדל אשר בין מה שעלה לאחד מהראשונים ובין אחד מהשניים |
|
ותכה האנשים הראשונים והם קו ז"מ השוה לקו ג"ד על קו ז"א ויהיה שטח ז"ב |
|
ותוסיף על שטח ז"ב שעור ההבדל אשר בין השלשים והעשרה והוא עשרים ויהיה שטח ד"ח |
|
והיה שטח ד"ח יותר משטח ז"ב בעשרים והוא יתרון השני מספרים הנחלקים בעבור כי שטח א"ד עשרה ושטח ג"ח שלשים |
|
ויהיה שטח ג"ח יותר משטח ד"א בעשרים |
|
ותגרע שטח ג"מ המשותף |
|
וישאר שטח ד"ח יותר גדול משטח ז"ב בעשרים |
|
ותחלק שטח ד"ח על קו ד"ה שהוא ארבעה ויעלה לחלק קו ד"מ והוא כמו קו ג"ז והוא כמו מה שיעלה לאחד מהשניים |
|
ותכה קו ג"ז על קו ג"ה ויהיה שטח ג"ח והוא שלשים אדרהמיש |
|
ומש"ל |
|
ואחר שבארנו עלת זה האופן |
|
נשים האנשי' הראשוני' דבר |
|
ותכהו על ארבעה אדרהמיש שהוא מה שיגרע חלק השניים מחלק הראשונים ויהיה ארבעה דברים |
|
ותוסיף עליהם עשרים אדרהמיש ותחלקם על יתרון ההבדל אשר בין האנשים הראשוני' לשניים והוא ארבעה ויגיע לחלק דבר וחמשה |
|
ותכם על האנשים השניים והם דבר וארבעה ויהיה אלגו ותשעה דברים ועשרים ישוה המספר הגדול הנחלק והוא שלשים |
|
ותגרע העשרים מהשלשים וישאר אלגו ותשעה דברים ישוו עשרה |
|
תקח מחצית הדברים והוא ארבעה וחצי |
|
ותכם על עצמם ויהיה עשרים ורביע |
|
תוסיף עליהם העשרה אדרהמיש ויהיו שלשים ורביע |
|
תקח שרשו והוא חמשה וחצי |
|
תגרע מהם מחצית השרשים והוא ארבעה וחצי וישאר אחד והוא היה האנשים הראשונים |
| |
|
ואם יאמרו לך חלקנו עשרה אדרהמיש על אנשים ועלה לכל אחד דבר |
|
המעשה בזה שתכה האנשים השניים על ההבדל אשר בין חלק האחד מהשניים אל חלק אחד מהראשונים |
|
ותוסיף על העולה המספר הנחלק הקטן |
|
והמקובץ תגרע מהמספר הנחלק הגדול |
|
ומה שישאר תחלקהו על יתרון האנשים השניים לראשונים |
|
והעולה לחלק תכה על האנשים הראשונים והמגיע הוא המספר הנחלק הקטן |
|
ואשים עלת זה האופן |
|
|
|
והוא שאשים המספר הנחלק הקטן שהוא עשרה שטח אבג"ד |
|
והאנשים הראשונים קו ג"ד |
|
והוספנו על האנשים הראשונים ארבעה אנשים והם קו ד"ה ויהיה קו ג"ה האנשים השניים |
|
ונשים שטח גהמ"ל ששים |
|
ותחלקם על קו ג"ה שהוא האנשים השניים ויעלה קו ג"ל והוא מה שיעלה לחלק לאנשים האחרונים |
|
ויהיה קו א"ל חמשה בעבור כי הוא יתרון החלק מאחד מהשניים על חלק אחד מהראשונים |
|
ותכה האנשים השניים והם קו א"ע השוה לקו ג"ה על קו א"ל שהוא העודף ויהיה שטח א"מ |
|
ותוסיף עליו שטח ג"ב שהוא המספר הנחלק הקטן והוא עשרה ומה שיתקבץ תגרעהו משטח ג"מ שהוא השטח הנחלק הגדול והוא ששים וישאר שטח ד"ע |
|
תחלקהו על קו ד"ה שהוא ארבעה והוא יתרון האנשים השניים על הראשונים ויעלה קו ד"ב והוא שוה לקו א"ג וזה הוא החלק שהגיע לאחד מהראשונים |
|
ותכהו על קו ג"ד שהוא האנשים הראשונים ויהיה שטח ג"ב עשרה |
|
ומש"ל |
|
ואחר שבארנו עלת זה האופן |
|
נשים האנשים השניים דבר וארבעה |
|
תכם על השעור אשר בין החלק מאחד מהשניים לראשונים והוא חמשה ויעלה חמשה דברים ועשרים אדרהמיש |
|
תוסיף עליהם המספר הנחלק הקטן והוא עשרה ויקובץ חמשה דברים ושלשים אדרהמיש |
|
ותגרעם מהמספר הנחלק הגדול הוא ששים אדרהמיש וישאר שלשים אדרהמיש פחות חמשה דברים |
|
ותחלקם על יתרון האנשים השניים על הראשונים והוא ארבעה ויגיע לחלק שבעה וחצי פחות דבר ורביע |
|
תכם על האנשים הראשונים והם דבר ויהיה שבעה דברים פחות אלגו ורביע ישוו המספר הנחלק הקטן והוא עשרה |
|
|
|
והשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד ויהיה ששה דברים פחות אלגו ישוה שמנה |
|
|
|
ותשלים הדברי' עם האלגו ותוסיפם על השמנה |
|
ויהיה אלגו ושמנה ישוה ששה דברים |
|
וקח מחצית הדברים והוא שלשה |
|
ותכהו על עצמו ויהיה תשעה |
|
תגרע מהם השמנה ישאר אחד |
|
תקח שרשו והוא אחד |
|
תגרעהו ממחצית השרשים שהם שלשה וישאר שנים והם האנשים הראשונים |
| |
|
ואם תרצה תוסיף האחד על מחצית השרשים ויקובץ ארבעה והם האנשים האחרונים[37] |
|
ואם יאמרו לך חלקנו ששים אדרהמיש ועלה לאחד דבר |
|
והמעשה בזה שנכה האנשים הראשונים בפחת החלק מהשניים שהוא כ"ו |
|
והעולה תגרע מהעודף משני מספרים הנחלקים שהוא ארבעים |
|
והנשאר תחלק על יתרון האנשים שהוא שלשה |
|
והמגיע תכה על האנשים השניים ומה שיעלה הוא המספר הנחלק הקטן |
|
ואשים עלת זה האופן |
|
|
|
והוא שנשים המספר הנחלק הגדול שהוא ששים אדרה"מיש שטח אבג"ד |
|
והאנשים הראשונים קו ג"ד |
|
ומה שעלה לאחד מהראשונים קו א"ג |
|
והוספנו על האנשים הראשונים שהוא קו ג"ד שלשים אנשים והוא קו ד"ה ויהיה קו ג"ה האנשים השניים |
|
ונשים שטח גהח"ז עשרים |
|
וחלקם על קו ג"ה שהוא האנשים השניים ויהיה קו א"ז עשרים ושש בעבור כי הוא יתרון החלק האחד על האחר |
|
ותכה האנשים הראשונים והם קו ז"מ בקו א"ז ויהיה שטח י"ב |
|
תגרע ממנו יתרון שני המספרים הנחלקים שהוא ארבעים וישאר שטח ד"ח |
|
והוא ידוע כי שטח ז"ב הוא גדול משטח ד"ח בארבעים |
|
בעבור כי שטח א"ד הוא ששים ושטח ג"ח הוא עשרים |
|
והוא יעדיף בארבעים |
|
ותגרע שטח ז"ד המשותף |
|
וישאר שטח ז"ב יעדיף על שטח ד"ח בארבעים |
|
תחלקהו על קו ד"ה שהוא שלשה ויעלה קו ד"מ השוה לקו ג"ז והוא המגיע לאחד מהאנשים האחרונים |
|
ותכה קו ג"ז על קו ג"ה שהוא האנשים השניים ויהיה ג"ח שהוא המספר הנחלק הקטן שהוא עשרים |
|
ואחר שבארנו עלת זה האופן |
|
נניח האנשים הראשונים דבר |
|
ותכה אותו על גרעון חלק האחד שני מחלק האחד ראשון שהוא כ"ו אדרהמיש ויהיה כ"ו דברים |
|
תגרע מהם יתרון שני המספרים הנחלקים והוא ארבעים וישאר כ"ו דברים פחות ארבעים אדרהמיש |
|
ותחלקם על יתרון האנשים שהוא שלשה ויעלה שמנה דברים ושני שלישים פחות י"ג אדרהמיש ושליש |
|
ותכם על האנשים השניים והם דבר ושלשה ויהיה שמנה אלגוש ושני שלישי ושנים עשר דברים ושני שלישי דבר פחות ארבעים אדרהמיש ישוה המספר הנחלק הקטן והוא עשרים |
| |
|
|
|
ותאספם עם הארבעים אדרהמיש ותוסיפם על העשרים אדרהמיש |
|
ויהיו שמנה אלגוש ושני שלישי אלגוש וי"ב דברים ושני שלישי דבר ישוו ששים אדרהמיש |
|
|
|
והשיב כל דבר שתחזיק לאלגוש אחד |
|
וכבר ידעת שהאלגוש משמנה אלגוש ושני שלישים אלגוש הוא שלשה חלקים מעשרים וששה חלקים מאחד |
|
וקח מכל דבר שתחזיק שלשה דברים מכ"ו חלקים |
|
ויהיה אלגוש ודבר וי"ב חלקים מכ"ו חלקים ישוה ששה וכ"ד חלקים מכ"ו חלקים מאדרהם |
|
ומחצית הדברים יהיה תשע עשרה חלקים מכ"ו חלקים בדבר |
|
ותכם על עצמם ויהיה שלשה עשר חלקים מכ"ו חלקים מתרע"ו חלקים מאחד |
|
ותוסיפם על האדרהמיש והם ששה וכ"ד חלקים מכ"ו יהיה שבעה וי"א חלקים מכ"ו וכ"ג חלקים מתרע"ו |
|
וקח שרשו והוא שני אדרהמיש וי"ט חלקים מכ"ו |
|
וישאר שנים והם האנשים הראשונים |
| |
There are two solving methods for these four questions and their like, and they are similar to other methods I have demonstrated to you. | ולאלה הארבעה שאלות ודומיהן יש שני אופנים והם דומים לאופנים שונים אשר הראיתיך |
|
כחשבון האומר בו חלקנו עשרה לשני חלקים וחלקנו אחד מהם על האחר ועלה ארבעה ורביע |
I will show you one of [these methods], so that you can learn the others from it. | והנה אראך אחד מהם למען תתלמד בו לאחרים |
|
והוא כי כאשר יאמרו לך עשרים אדרהמיש חלקנום על אנשים והגיע לכל אחד מהם דבר |
|
ומעשהו שנשים האנשים הראשונים דבר |
|
וחלק עליהם עשרים אדרהמיש ויגיע לאחד דינר אחד |
|
וכאשר תכה דינר על דבר יהיה עשרים אדרהמיש |
|
ונוסיף על האנשים הראשונים שהם דבר שנים ויהיו דבר ושנים הם האנשים האחרונים |
|
ותחלק ששים אדרהמיש על דבר ושנים ויגיע דינר אחד וחמשה |
|
וכאשר נכה דינר וחמשה על דבר ושנים יהיה שישים אדרהמיש |
|
והכאת דינר וחמשה על דבר ושנים יהיה שלשים אדרהמיש וחמשה דברים ודינר אחד ישוו ששים אדרהמיש |
|
ותגרע שלשים אדרהמיש וחמשה דברים מששים וישאר שלשים אדרהמיש פחות חמשה דברים ישוו שני דינרין |
|
והדינר ישוה ט"ו אדרהמיש פחות שני דברים וחצי |
|
ותשוב אל תחלת השאלה הראשונה ותאמר תחלק עשרים אדרהמיש על דבר ויהיה ט"ו אדרהמיש פחות שני דברים וחצי |
|
ויהיה ט"ו דברים פחות שני אלגוש וחצי ישוו עשרים אדרהמיש |
|
|
|
תשיב כל דבר שתחזיק אל אלגוש אחד |
|
וכבר ידעת ששני אלגוש משני אלגוש וחצי חמשה |
|
ותקח לכל דבר שתחזיק חמשה |
|
ויהיה ששה פחות אלגוש ישוה שמנה אדרהמיש |
|
|
|
ותאסוף הששה פחות אלגוש עם האלגוש ותוסיפיהו על השמונה אדרהמיש |
|
ויהיה אלגוש ושמנה אדרהמיש ישוה ששה דברים |
|
וקח מחצית הדברים והוא שלשה |
|
תכם על עצמם ויהיה תשעה |
|
תגרע מהם השמנה וישאר אחד |
|
תקח שורשו והוא אחד |
|
תגרעיהו ממחצית הדברים שהוא שלשה וישאר שנים והם האנשים הראשונים |
| |
|
ואם תרצה תוסיף האחד על מחצית השרשים שהוא שלשה ויהיו ארבעה והם האנשים השניים והבן זה |
|
ואם יאמרו לך חלקנו עשרה אדרהמיש על אנשים והגיע לאחד דבר |
|
ומעשיהו שתכה המספר הנחלק הקטן על יתרון האנשים השניים על הראשונים |
|
והעולה מההכאה תחלק על יתרון שני המספרים הנחלקים ומה שיעלה הם האנשים הראשונים |
|
ותכה המספר הנחלק הקטן והוא עשרה על יתרון האנשים שהוא ששה ויהיה ששים |
|
ותחלק ששים על יתרון שני המספרים הנחלקים שהוא שלשים ויעלה שנים והם האנשים הראשונים |
|
ואם תרצה תחלק יתרון שני המספרים הנחלקים והוא שלשים על יתרון האנשים והוא ששה ויגיע לחלק חמשה |
|
תחלק עליהם המספר הנחלק הקטן שהוא עשרה ויגיע שנים והם האנשים הראשונים |
The reason of this question is already clarified. | וכבר הוא מבואר עלת זאת השאלה |
|
ולזאת השאלה פנים אחרים והוא שיחס מספר האנשים הראשונים אל האנשים השניים הוא כמו מספר חלק אחד מהראשונים אל חלק אחד מהשניים |
|
וכבר ידעת שחלק אחד מהראשונים הוא עשרה וחלק אחד מהשניים הוא ארבעים |
|
ושיעור עשרה אצל ארבעים הוא הרביע והאנשים הראשונים הם הרביע מהאנשים השניים |
|
ותשים האנשים הראשונים דבר |
|
והאנשים השניים דבר וששה |
|
וכבר ידעת כי הרביע מדבר וששה הוא דבר |
|
ולכן תקח הרביע מדבר וששה ויהיה אדרהם וחצי ורביע דבר ישוה דבר |
|
ותגרע רביע דבר מדבר וישאר שלשה רביעי דבר ישוו אחד וחצי |
|
והדבר שנים והם האנשים הראשונים |
|
ואם יאמרו לך עשרה בגדים קנום בין שני אנשים בשכר שבעים ושנים אדרהמיש וכל אחד מהם הוציא שלשים וששה אדרהמיש |
|
|
|
ומעשהו שנשים העשרה בגדים קו א"ב |
|
בעלי השומה הגדולה קו א"ג |
|
והאחרים קו ג"ב |
|
ונשים שומת כל בגד מקו ג"ב קו ג"ד |
|
וכל שומת הבגדים מקו ג"ב שטח ד"ב ושטח ד"ב הוא שלשים וששה |
|
ותשים שומת כל בגד מקו א"ג קו ג"ה |
|
וכל שומת הבגדים מקו ג"א יהיה שטח א"ה והוא שלשים ושש |
|
וקו ד"ה שלשה בעבור כי הוא יתרון שומת כל בגד מאחד מהם על שומת כל בגד מהאחר |
|
ונשים קו ג"ב דבר והוא כמו קו ד"ז |
|
וקו ד"ה שלשה |
|
ושטח ה"ז יהיה מפני זה שלשה דברים |
|
וכל שטח ב"ע יהיה שבעים ושנים ושלשה דברים |
|
וקו א"ב עשרה |
|
ולכן יהיה קו א"ע שבעה וחומש ושלשה עשיריות דבר |
|
אבל הוא כמו קו ג"ה |
|
וקו ה"ד ממנו שלשה |
|
וישאר קו ג"ד ארבעה וחומש ושלשה עשיריות דבר |
|
ונכה אותו על קו ג"ב והוא דבר ויהיה ארבעה דברים וחומש ושלש עשיריות מאלגו ישוו שלשים ושש אדרהמיש |
| |
|
|
|
ותשלים שלש עשיריות מאלגו והשלמתך הוא עד שיהיו אלגו שלם והוא שתכם על שלשה ושליש |
|
ותכה כל דבר שתחזיק על שלשה ושליש |
|
ויהיה אלגו וארבעה עשר דברים ישוו מאה ועשרים אדרהמיש |
|
ועשה כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר ששה והוא מספר הבגדים מאחד מהם והוא קו ג"ב |
|
והחלק האחר הוא מה שנשאר מהעשרה בגדים והוא ארבעה |
|
וזה הוא מה שרצינו לבאר |
This question has another method, which is as we add: | ולזאת השאלה פנים אחרים והוא כמו שהוספנו |
|
שנשים הבגדים שלקח אחד מהם דבר והאחרים עשרה פחות דבר |
|
וכבר ידעת שאם נכה דבר על שומת כל בגד מהחלק האחד יהיה ל"ו דרהמי' |
|
ואם נכה עשרה פחות דבר על שומת כל בגד מהחלק האחר יהיה כמו כן ל"ו דרהמי' |
|
ואם תכה כל הבגדים על שומת כל בגד ושלשה יותר מהבגדים מהדבר ושלשה יהיה שבעים ושנים דרהמי' ושלשה דברים |
|
וכאשר תחלקם על העשרה יהיה שומת כל בגד מהעשרה פחות דבר יעלה לחלק שבעה ושני חומשים ושלש עשיריות דבר |
|
ויהיה שומת כל בגד מהבגדים מהדבר ארבעה וחומש ושלש עשיריות מדבר |
|
ותעשה כמו שאמרתי לך במה שעבר ויעלה הדבר ששה בגדים והוא מה שלקח האחד |
|
והאחר לקח מה שנשאר מהעשרה והוא ארבעה בגדים |
|
וזאת השאלה היא כמו השאלה שאומר בה עשרה חלקנום לשני חלקים והכינו החלק האחד על דבר ויהיה שלשים ושש והכינו החלק האחר על דבר ושלשה ויהיה שלשים ושש |
|
ותעשה אותה כמו שאמרתי לך לפנים |
|
ואם יאמרו לך חלקנו עשרה לשני חלקים והכינו החלק האחד על ששה וחלקנו מה שעלה מההכאה על החלק האחר ומה שעלה לחלק לקחנו ממנו השליש והוספנו על מה שעלה הכאת החלק האחד על ששה והיה חמשים וששה |
|
ומלאכתו שנשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר |
|
ותכה דבר על ששה ויהיה ששה דברים |
|
ותחלק ששה דברים על עשרה פחות דבר והשלישית מאשר יעלה לחלק יהיה נ"ו אדרהמיש פחות ששה דברים |
|
וזה כי כבר אמר שאם קבצנוהו עם הששה דברים יהיה נ"ו אדרהמיש |
|
ומה שעלה לחלק הוא מפני זה קס"ח אדרהמיש פחות י"ח דברים |
|
ותכם על עשרה פחות דבר |
|
ויהיה אלף תר"פ אדרהמיש וי"ח אלגוש פחות שמ"ח דברים ישוו ששה דברים |
|
|
|
ותאספם עם שמ"ח דברים ותוסיפם על הששה דברים |
|
ויהיה אלף תר"פ אדרהמיש וי"ח אלגוש ישוו שנ"ד דברי' |
|
|
|
ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד |
|
וכבר ידעת כי האלגו הוא מי"ח אלגוש חצי תשיעית |
|
ותקח מכל דבר שתחזיק חצי תשיעית |
|
ויהיה אלגו וצ"ג אדרהמיש ושליש ישוו י"ט דברי' ושני שלישי דבר |
|
|
|
ותכונם עמו ויהיה הדבר שמנה והוא החלק האחד והאחר שנים |
|
ואם יאמרו לך אלגו גרעת ממנו שלישיתו ושני אדרהמיש ומה שנשאר הכית אותו על עצמו ושב האלגו וכ"ד אדרהמיש יותר |
[first solution method] | |
|
ופעולתו שנשים האלגו דבר |
|
ותגרע ממנו שלישיתו ושני דרהמי וישאר שני שלישי דבר פחות שני דרהמיש |
|
ותכם על עצמם ויהיה ארבעה תשיעיות מאלגו וארבעה דרהמי פחות שני דברי' ושני שלישי דבר ישוו דבר וכ"ד אדרהמיש |
|
|
|
ותאסוף הארבעה תשיעיות עם השני דברים ושני שלישי דבר ותוסיפם על האדרהמיש והדבר |
|
ויהיה עשרים אדרהמי ושלשה דברים ושני שלישי דבר ישוו ארבעה תשיעיות מאלגו |
|
|
|
ותשלים האלגו עד שיהיה אלגו שלם |
|
והשלמתך הוא שתכהו על שנים ורביע ותכה כל אשר תחזיק על שנים ורביע |
|
ועשה כאשר אמרתי לך ויהיה שנים עשר והוא האלגו |
[second solution method] | |
|
ולה פנים אחרים והוא שתשים האלגו אלגו פחות כ"ד דרהמי |
|
ותגרע ממנו שלישיתו ושני דרהמי וישאר שני שלישי אלגו פחות כ"ב דרהמי ישוו שרש |
|
|
|
ותכוין עמו כמו שאמרתי לך ויעלה האלגו ל"ו |
|
וישאר י"ב והוא האלגו הנשאל |
|
ואם יאמרו לך שלשה שרשים מהאלגו וארבעה שרשים ממה שנשאר מהאלגו יהיה עשרים דרהמי' |
|
ומלאכתו שנשים האלגו אלגו |
|
ותאמר שלשה שרשיו וארבעה שרשים פחות שלשה שרשי' ישוו עשרים דרהמי |
|
ותגרע השלשה שרשים מהעשרים דרהמי וישאר עשרים דרהמי פחות שלשה שרשים ישוו ארבעה שרשים מן האלגו פחות שלשה שרשים |
|
והוא חמשה דרהמי פחות שלשה רביעים משרש |
|
ותכהו על עצמו ויהיה חצי אלגו וחצי שרש ישוה אלגו פחות שלשה שרשים |
| |
|
|
|
ותאספהו עם תשעה שרשים וחצי ותוסיפהו על האלגו פחות ושלשה שרשים |
| |
|
ויהיה אלגו וארבעה שרשים וחצי ישוה חצי אלגו וחצי שמינית אלגו וכ"ה |
|
ותגרע חצי אלגו ושתות מאלגו שלם וישאר שלשה שמיניות וששית אלגו וארבעה שרשים וחצי ישוה כ"ה דרהמיש |
|
|
ותשלים האלגו שלך וזה בשתוסיף עליו כמהו וכמו שני שביעיותיו ויהיה אלגו שלם ותוסיף על כל דבר שתחזיק כמהו וכמו שתי שביעיותיו | |
| |
|
ויהיה אלגו ועשרה דברים ושתי שביעיות דבר ישוה נ"ז דרהמי |
ושלש שביעיות ושביעית השביעית | |
|
ותוסיפם על החמשים ושביעית ויהיה פ"ג וארבע שביעיות ושביעית השביעית |
|
ותקח שרשו והוא תשעה ושביעית |
|
תגרע מהם מחצית השרשים והוא חמשה ושביעית וישאר ארבעה והוא שרש האלגו |
| |
|
ואם תרצה תאמר שלשה שרשים מאלגו וארבעה שרשים מאלגו פחות שלשה שרשים ישוו עשרים דרהמי |
|
וארבעה שרשים מאלגו פחות שלשה שרשים הוא שרש י"ו פחות מ"ח שרשים |
|
|
|
ותכה עשרים פחות שלשה שרשים על עצמו ותכוין[38] העולה מההכאה שש עשרה אלגוש פחות מ"ח שרשים |
|
ותעשה כמו שאמרתי לך ויעלה האלגו ששה עשר |
|
ואם תרצה תשים הנשאר מהאלגו אחר שנגרע ממנו שלשת שרשי האלגו אלגו |
|
וקח ארבעה שרשיו והוא ארבעה שרשים והוא ידוע כי כאשר תוסיף אלו הארבעה שרשים על שלשה שרשי האלגו יהיה עשרים דרהמי |
|
ויתחיב שיהיו שלשת שרשי האלגו עשרים דרהמי פחות ארבעה שרשים |
|
ויהיה שרש האלגו ששה דרהמי ושני שלישים פחות שרש ושליש |
ותכהו על עצמו ויהיה אלגו ושבע תשיעיות מאלגו ומ"ד דרהמי וד' תשיעיות מדרהמי פחות י"ז דברים וז' תשיעיות דבר והוא האלגו הנשאל | |
| |
ותגרע ממנו שלשת שרשיו שהם עשרים דרהמי פחות ארבעה שרשים וישאר כ"ד דרהמי וד' תשיעיות מדרהמי ואלגו ושבע תשיעיות מאלגו פחות י"ג שרשים וז' תשיעיות משרש ישוו אלגו | |
| |
|
ותעשה כאשר אמרתי לך ויעלה הדבר שנים והוא שרש מה שנשאר מהאלגו אחר שנגרע ממנו שלשת שרשיו |
|
ותכם על עצמם ויהיה ארבעה והוא מה שנשאר מהאלגו |
|
וקח ארבעה שרשים מארבעה והם שמנה ותגרעם מעשרים וישאר י"ב והם שלשה שרשים מהאלגו |
|
ושלישיתם הוא שרש האלגו והוא ארבעה |
|
והאלגו יהיה ששה עשר והוא האלגו הנשאל |
|
ואם יאמרו לך גרענו מן האלגו שלישיתו והכינו הנשאר על שלשה שרשים מהאלגו הראשון ושב האלגו הראשון |
|
כבר ידעת שכאשר תגרע מן האלגו שלישיתו שיהיה הנשאר שני שלישיו |
|
|
|
ואלו השני שלישיות תכם על אדרהם וחצי עד שישוב האלגו אל מה שהיה |
|
והאדרהם וחצי שלשה שרשים מהאלגו |
|
ושרש האלגו חצי אדרהם |
|
והאלגו רביע אחד |
|
ואם יאמרו לך אלגו גרענו ממנו שלישיתו והכינו הנשאר על שלשה שרשים מהנשאר מהאלגו וישוב האלגו |
[first solution method] | |
|
וכבר ידעת שכאשר גרענו מן האלגו שלישיתו יהיה הנשאר שני שלישיו |
|
|
|
ואלו שני שלישיות תכם על אדרהם וחצי עד שישוב האלגו הראשון |
|
והאדרהם וחצי הם שלשה שרשים ממה שנשאר מהאלגו והם שני שלישים מהאלגו |
|
ושרש שני שלישיות חצי אדרהם |
|
והשני שלישיות הם רביע דרהם |
|
והאלגו שלשה שמיניות |
[second solution method] | |
|
ותעשה כמעשה הזה והוא שתשים האלגו דבר |
|
ותגרע ממנו שלישיתו וישאר שני שלישיו |
|
ותכה שני שלישיות דבר על שלשה שרשים מאלו השני שלישיות והוא שרש מששה דברים |
|
ויהיה שרש משני מעוקבים משני קוביקש ושני שלישיות ישוו האלגו והוא דבר |
|
תכה הדבר על עצמו ויהיה אלגו |
|
ותכה שרש שני קוביקש ושני שלישיות על עצמו ויהיה שני קוביקש ושני שלישיות ישוו אלגו |
|
תחלקהו על אלגו |
|
ויהיה ס"ב שלישיות ישוה אדרהם אחת |
|
והדבר ישוה שלשה שמיניות מאדרהם |
|
ואם יאמרו לך אלגו שלשת שרשיו ושני שרשי הנשאר ישוו האלגו |
|
וכבר ידעת כי שני שרשים מהנשאר מהאלגו ישוה הנשאר מהאלגו |
|
ומה שנשאר מהאלגו הוא ארבעה דרהמי וזה הוא אלגו תגרע ממנו שלשת שרשיו וישאר ארבעה דרהמי |
|
והאלגו ששה עשר דרהמי |
|
ואם יאמרו לך אלגו שלשת שרשיו וארבעה שרשים ממה שנשאר מהאלגו יהיה כמו האלגו וארבעה דרהמי' יותר |
|
וכבר ידעת כי הנשאר מהאלגו אחר שגרעת ממנו שלשת שרשיו יהיה כמו ארבעה שרשיו פחות ארבעה דרהמי |
|
ותמנה מה שנשאר מהאלגו אחר שגרעת ממנו שלשת שרשיו אלגו |
|
ותאמר אלגו שארבעת שרשיו פחות ארבעה דרהמי ישוה האלגו |
|
והאלגו ארבעה דרהמיש |
|
ותאמר אלגו תגרע ממנו שלשת שרשיו וישאר ארבעה דרהמי |
|
והאלגו ששה עשר דרהמי והוא האלגו הנשאל |
|
ואם יאמרו לך עשרה דרהמי חלקנום לשני חלקים וחלקנו החלק האחד על האחר ויהיה המגיע לחלק עם המחלק יהיה חמשה וחצי |
|
וחכמתו שתשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר |
|
וכבר ידעת שכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר יהיה המגיע לחלק כאשר תוסיפהו על דבר חמשה וחצי |
|
וכאשר תגרע הדבר מהחמשה וחצי יהיה הנשאר הוא המגיע לחלק והוא חמשה וחצי פחות דבר |
|
ותאמר חלקנו עשרה פחות דבר על דבר והגיע חמשה וחצי פחות דבר |
You already know that when you multiply the quotient by the divisor, the result is the dividend.
|
וכבר ידעת שכאשר תכה המגיע לחלק על המחלק שישוב האלגו הנחלק |
|
|
|
ותכה חמשה וחצי פחות דבר על דבר ותכוין העולה מההכאה עשרה פחות דבר |
|
ויעלה הדבר ארבעה |
|
ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשני חלקים וחלק החלק האחד על האחר וקח המגיע לחלק והוסיפהו על המספר הנחלק והמקובץ תכהו על המחלק ויהיה שלשים |
|
וחכמתו שתשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר |
|
וכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר כבר ידעת שאשר יגיע לחלק כאשר תכהו על דבר יהיה עשרה פחות דבר |
|
וכאשר תכה עשרה פחות דבר על דבר יהיה עשרה דברים פחות אלגו |
|
והוסף עליו עשרה פחות דבר ויהיה עשרה אדרהמי ותשעה דברים פחות אלגו ישוו שלשים דרהמי |
|
|
|
ותכוין כמו שאמרתי ויעלה הדבר ארבעה דרהמיש והוא חלק אחד והוא המחלק |
|
ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשני חלקים ותחלק החלק האחד על האחר ותכה המגיע לחלק על המספר הנחלק ויהיה תשעה דרהמי' |
|
וחכמתו שתשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר |
|
וכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר יהיה המגיע לחלק כאשר הוכה על עשרה פחות דבר יהיה תשעה |
|
וכאשר תחברם יהיו תשעה עשר פחות דבר |
|
והוא מבואר ממה שאמרתי שכאשר נכה מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר על עשרה דרהמי יהיה תשע עשרה דרהמי פחות דבר |
|
על עשרה יעלה דרהם אחת |
|
ותשוב ותאמר חלקנו עשרה דרהמי פחות דבר על דבר ועלה דרהם אחד ותשעה עשיריות מאדרהם פחות עשירית דבר |
|
ועשה כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר ארבעה והוא החלק האחד והוא המחלק |
|
ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת החלק האחד על האחר והכית מה שהגיע לחלק על עצמו ועל המחלק ויהיה ל"ב אדרהמי' |
|
משל[39] זה י' נחלק לח' וב' וחלקנו ח' על ב' והגיע ד' והכינו ד' על עצמו ועלה י"ו עוד הכינו י"ו על ב' המחלק והיה ל"ב |
|
וחכמתו שתשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר |
|
וכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר והכית מה שיגיע לחלק על דבר יהיה עשרה פחות דבר והוא המספר הנחלק |
|
וכאשר תכה עשרה פחות דבר על מה שהגיע לחלק יהיה ל"ב דרהמי |
Since, for every number you multiply by itself, then by another number, [the product] is the same as the product of the first number multiplied by the other number, then the result by the first number, and this is known.
|
בעבור כי כל מספר שתכהו על עצמו ועל מספר אחר העולה הוא כמו הכאת המספר הראשון על המספר האחר ומה שיתקבץ על המספר הראשון וזה הוא ידוע |
|
ואחר שהתישב זה יהיה כאלו אמרו לך חלקנו עשרה לשני חלקים וחלקנו החלק האחד על האחר והכינו מה שהגיע לחלק על המספר הנחלק ועלה ל"ב |
|
וכבר בארנו זה בשאלה שקדמה |
|
ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת החלק האחד על האחר והכית מה שהגיע לחלק על ההבדל אשר יעדיף המספר הנחלק את המחלק ויהיה כ"ד דרהמי' |
|
וחכמתו שתשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר |
|
וכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר כבר ידעת שמה שיגיע לחלק כאשר תכהו על הבדל השני חלקים שהוא עשרה פחות שני דברים יהיה כ"ד דרהמי |
|
וכבר ידעת כי הכאת העולה לחלק על דבר יהיה עשרה פחות דבר |
|
ועל שני דברים יהיה עשרים פחות שני דברים |
|
ותוסיפם על הכ"ד ויהיה מ"ד פחות שני דברים |
|
והוא ידוע ממה שאמרנו שהכאת מה שיגיע לחלק על עשרה הוא מ"ד פחות שני דברים |
|
וחלק מ"ד פחות שני דברים על עשרה |
|
ויעלה ארבעה דרהמי ושני חמשי דרהם פחות חמישית דבר והוא מה שיגיע לחלק ותשוב ותאמר חלקת עשרה פחות דבר על דבר ויעלה ארבעה דרהמי ושני חומשי דרהם פחות חמישית דבר |
|
ותעשה כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר שנים והוא החלק האחד והוא המחלק |
|
והחלק האחר הוא שמנה |
|
ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר וקבצת מה שעלה לחלק משניהם והכית אותו על החלק האחד משני חלקי העשרה והיה ל"ד אדרהמיש |
[first solution method] | |
|
וכבר ידעת כי כאשר תכה מה שהגיע מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר על עשרה פחות דבר יהיה דבר |
|
ותגרע דבר מל"ד וישאר ל"ד פחות דבר והוא ידוע ממה שאמרנו שכאשר נחלק עשרה פחות דבר על דבר ונכה המגיע לחלק מן החלוקה על עשרה פחות דבר יהיה ל"ד פחות דבר |
|
וכאשר נכה מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר יהיה עשרה פחות דבר |
|
תוסיפם על ארבעה ושני שלישיות פחות דבר ויהיה מ"ד פחות שני דברים והוא כמו הכאת מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על עשרה |
|
ותחלק מ"ד פחות שני דברים על עשרה |
|
ויעלה לחלק ארבעה דרהמי ושני חומשים פחות חמישית דבר ותשוב ותאמר חלקת עשרה דרהמי פחות דבר על דבר ועלה ארבעה דרהמי ושני חומשים פחות חמישית דבר |
It is already known that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend | וכבר ידענו שכאשר נכה מה שעלה לחלק מהנחלק על המחלק ישוב האלגו הנחלק |
|
ותכה ארבעה דרהמי ושני חומשים פחות חמישית דבר על דבר |
|
ויהיה ארבעה דברים וחומש פחות חמישית אלגו ישוו עשרה דרהמי פחות דבר |
|
|
|
ותכוין עמו כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר שנים והוא החלק האחד |
|
והאחר הוא שמנה |
[second solution method] | |
|
ואם תרצה תשים החלק האחד דבר |
|
והאחר עשרה פחות דבר |
|
ותאמר חלקנו דבר על עשרה פחות דבר ויעלה דינר אחד |
|
וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר ועלה פלס אחד |
|
וקבצנו מה שעלה לכל חלק והיה דינר אחד ופלס אחד |
|
וכבר ידענו כי כאשר הכינו דינר אחד ופלס אחד על דבר יהיה ל"ד |
|
וכאשר נכה פלס על דבר יהיה עשרה דרהמי פחות דבר |
|
ותגרע עשרה פחות דבר מל"ד |
|
ישאר כ"ד ודבר וכבר ידענו שכאשר נכה דינר על דבר יהיה כ"ד ודבר |
|
וכאשר נכה דינר אחד על עשרה פחות דבר יהיה דבר |
|
ותוסיפהו על כ"ד ודבר |
|
ויהיה כ"ד ושני דברים וכבר הוא מבואר שכאשר נכה דינר על עשרה יהיה כ"ד דרהמי ושני דברים |
|
ותחלק כ"ד ושני דברים על עשרה |
|
ויעלה שני אדרהמי ושני חומשים וחמישית דבר והוא הדינר |
|
ותשוב ותאמר חלקנו דבר על עשרה פחות דבר ועלה שני אדרהמי ושני חומשים וחמישית דבר |
It is already known that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend | וכבר ידענו שכאשר נכה מה שעלה לחלק על המחלק ישוב האלגו הנחלק |
|
ותכה שני אדרהמי ושני חומשים ושני חומשי דבר על עשרה פחות דבר |
|
יהיה כ"ד דרהמי פחות חמישית דבר ופחות חמישית אלגו ישוה דבר |
|
|
|
ותכוין עמו כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר שמנה והוא החלק האחד |
|
והאחר שנים |
|
ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת הגדול על הקטן והוספת העולה לחלק על עשרה והכית המקובץ על החלק הקטן והיה מ"ו אדרהמיש |
|
וחכמתו שתשים החלק הקטן דבר |
|
והגדול עשרה פחות דבר |
|
וכבר ידענו שכאשר נחלק עשרה פחות דבר על דבר והוספנו העולה לחלק על העשרה ונכה המקובץ על עצמו יהיה מ"ו דרהמי |
|
והוא ידוע שאם נכה העשרה על דבר יהיה עשרה דברים ואם נגרעם ממ"ו ישאר מ"ו פחות עשרה דברים והוא הכאת מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר |
|
ויהיה עשרה פחות דבר ישוה מ"ו פחות עשרה דברים |
|
|
|
ותכוין עמו כמו שבארתי לך ויהיה הדבר ארבעה |
|
ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת הגדול על הקטן והוספת מה שעלה לחלק על העשרה ותכה מה שיתקבץ על החלק הגדול ויהיה ששים ותשעה אדרהמי' |
[first solution method] | |
|
וחכמתו שנשים החלק הקטן דבר |
|
והגדול עשרה פחות דבר |
|
וכאשר נחלק עשרה פחות דבר על דבר יהיה ס"ט דרהמי |
|
ותכה עשרה דרהמי על עשרה פחות דבר ויהיה מאה דרהמי פחות עשרה דברים |
|
ותגרעם מס"ט אדרהמי וישאר עשרה דברים פחות ל"א דרהמי |
|
והוא כמו הכאת מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על עשרה פחות דבר |
|
והכאת מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר הוא עשרה פחות דבר |
|
ותוסיפם על עשרה דברים פחות ל"א דרהמי |
|
ויהיה תשעה דברים פחות כ"א דרהמי והוא כמו הכאת מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על עשרה |
|
ותחלק תשעה דברים פחות כ"א דרהמי על עשרה |
|
ויעלה תשעה עשיריות דבר פחות שני דרהמי ועשירית והוא מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר |
|
ותכה תשעה עשיריות דבר פחות שני דרהמי ועשירית על דבר |
|
ויהיה תשעה עשיריות מאלגו פחות שני דברים ועשירית דבר ישוו עשרה דברים |
|
|
|
ותכוין עמהם וישלם האלגו שלך ויהיה אלגו ישוה י"א דרהמי ותשיעית ודבר אחד ושני תשיעיות דבר |
וקח מחצית הדבר ושני תשיעיות דבר ויהיה חצי ותשיעית ותכהו על עצמו ויהיה רביע ותשיעית ותשיעית התשיעית | |
| |
[second solution method] | |
|
ואם תרצה תשים החלק האחד דבר והוא הקטן |
|
והגדול עשרה פחות דבר |
|
וכאשר חלקנו עשרה פחות דבר על דבר יעלה דינר אחד |
|
תוסיפהו על עשר ויהיה עשרה דרהמי ודינר אחד וכאשר נכה עשרה ודינר על עשרה דרהמי פחות דבר יהיה ס"ט דרהמי |
|
והכאת עשרה דרהמי פחות דבר על עצמו יהיה מאה דרהמי פחות עשרה דברים |
|
ותגרעם מן הס"ט וישאר עשרה דברים פחות ל"א דרהמי |
|
וכבר התבאר שהכאת הדינר על עשרה פחות דבר הוא עשרה דברים פחות ל"א דרהמי |
|
והכאת דינר אחד על דבר הוא עשרה דרהמי פחות דבר |
|
ותוסיפם על עשרה דברים פחות ל"א ויהיה תשעה דברים פחות כ"א |
|
וכבר ידענו שהכאת הדינר על עשרה דרהמי הוא תשעה דברים פחות כ"א |
|
ותחלק תשעה דברים פחות כ"א על עשרה |
|
ויעלה תשעה עשיריות דבר פחות ב' דרהמי ועשירית והוא הדינר |
|
והוא כמו שתאמר חלקנו עשרה דרהמי פחות דבר על דבר ויעלה תשעה עשיריות דבר פחות שני דרהמי ועשירית |
|
ותעשה כאשר אמרתי לך ויעלה הדבר ארבעה והוא החלק הקטן |
|
והגדול הוא ששה |
|
ואם יאמרו לך עשרה חלקנום לשני חלקים וחלקנו הגדול על הקטן והקטון על הגדול וקבצת מה שעלה לכל חלק והוספתם על העשרה והכית המקובץ על החלק הגדול והיה שבעים ושלש דרהמי' |
|
וחכמתו שתשים החלק הגדול דבר |
|
והקטון דבר פחות עשרה |
|
וכאשר נחלק דבר פחות עשרה על דבר והדבר על עשרה פחות דבר והוספנו מה שעלה לכל חלק על העשרה והכינו המקובץ על הדבר היה ע"ג דרהמי |
|
וכבר ידענו שאם הכינו עשרה על דבר הוא עשרה דברים תגרעם מע"ג וישאר ע"ג פחות עשרה דברים והוא כמו הנקבץ ממה שעלה לחלק מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר ומחלוקת עשרה פחות דבר בדבר ועל דבר מורבה |
|
והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר הוא עשרה פחות דבר |
|
תגרעם מע"ג פחות עשרה דברים ישאר ס"ג פחות ט' דברים |
|
והוא כמו הכאת מה שעלה לחלק מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר על דבר |
|
וכאשר הכינו מה שעלה לחלק מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר על עשרה פחות דבר יהיה דבר |
|
ותוסיף זה הדבר על ס"ג פחות תשעה דברים ויהיה ס"ג פחות ח' דברים |
|
והוא כמו הכאת מה שעלה לחלק מחלוקת דבר בעשרה דרהמי פחות דבר על עשרה |
|
ותחלק הס"ג פחות ח' דברים על עשרה |
|
ויעלה ששה דרהמי ושלש עשיריות מדרהם פחות ארבעה חומשי' מדבר והוא ידוע ממה שהנחנו שכאשר נחלק דבר בעשרה פחות דבר יעלה ששה דרהמי ושלש עשיריות מדרהם פחות ארבעה חומשי דבר |
It is already known that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend | וכבר ידוע שכאשר נכה מה שעלה לחלק מהחלוקה על המחלק ישוב האלגו הנחלק |
|
ותכה ששה דרהמי ושלש עשיריות פחות ארבעה חומשי דבר על עשרה פחות דבר |
|
ויהיה ס"ג דרהמי וארבעה חומשי אלגו פחות י"ד דברים ושלש עשיריות דבר ישוה דבר |
|
|
|
ותכוין עמו ויהיה ט"ו דברים ושלש עשיריות דבר ישוה ארבעה חומשי אלגו וס"ג דרהמי |
|
|
|
ותשלים האלגו שלך ויהיה אלגו וע"ח[40] דרהמי וחצי ורביע ישוה י"ט דברים ושמינית |
וקח מחצית הדברים והם תשעה וחצי וחצי שמינית ותכם על עצמם ויהיה צ"א וחצי ושמינית וחצי שמינית וחלק אחד מרנ"ו | |
| |
|
וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול |
|
ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת כל אחד על האחר ותקח הבדל השני חלקים שעלו לכל חלק מחלוקת האחד על האחר ותכהו על החלק האחד ויהיה חמשה דרהמי |
The method:
|
וחכמתו שתניח החלק האחד דבר |
|
והאחר עשרה פחות דבר |
|
וכבר ידענו שכאשר נחלק דבר על עשרה פחות דבר ועשרה פחות דבר על דבר ונקח הבדל החלקים שעלו לכל חלק והכינוהו על דבר יהיה חמשה דרהמי |
|
וכאשר נכה מה שנשאר מהחלק שלקחנו ההבדל מהחלק האחד על האחר על דבר יהיה עשרים דרהמי פחות שני דברים |
בעבור כי תשלום החלק המעדיף הוא כמו שני פעמים מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר | |
| |
|
ותוסיפם על חמשה דרהמי ויהיה כ"ה דרהמי פחות שני דברים |
|
וכבר התבאר עתה שהכאת מה שעלה לחלק מחלוקת כל אחד על האחר מקובצים על דבר הוא כ"ה דרהמי פחות שני דברים |
|
והוא כמו שאמר עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת כל אחד על האחר וקבצת מה שעלה לכל חלק והכית אותו על חלק אחד משני חלקי העשרה והיה כ"ה דרהמי פחות שני דברים והוא כ"ה פחות הדבר האחד |
It should be solved as explained previously | ועשית כאשר בארנו לפני זה |
[first solution method] | |
|
ואם תרצה תניח החלק האחד דבר |
|
והחלק האחר עשרה פחות דבר |
|
ותאמר חלקנו דבר על עשרה פחות דבר ועלה דינר אחד |
|
וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר ויעלה פלס |
|
ותקח ההעדף שהוא בין הדינר והפלס והוא דינר פחות פלס ותכהו על דבר ויהיה חמשה דרהמי בעבור כי ככה השאלה |
|
וכבר ידענו כי מה שבין הדינר והפלס אשר יעלו לכל חלק מהשני חלקים ובין הדינר פחות פלס הוא שני פלסים |
|
והכאת שני פלסים על דבר הוא עשרים דרהמי פחות שני דברים |
|
ותוסיף עליהם החמשה דרהמי ויהיה כ"ה דרהמי פחות שני דברים |
|
והוא כאלו תאמר עשרה חלקנום לשני חלקי' וחלקנו כל אחד על האחר וקבצנו מה שעלה לכל חלק והכינוהו על חלק אחד מהעשרה ויהיה כ"ה דרהמי פחות שני דברים |
It should be solved as said before. | ותעשהו כאשר כבר אמרתי |
|
ואם אמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת הרב על המעט והוספת מה שעלה לחלק על הרב וחלקת המעט על הרב והוספת מה שעלה לחלק על המעט והכית האחד על האחר והיה שלשים וחמשה דרהמי' |
|
וחכמתו שתשים החלק הגדול דבר |
|
והקטון עשרה פחות דבר |
|
ותחלק דבר על עשרה פחות דבר והעולה תוסיפהו על דבר ויהיה דבר ומה שיעלה לחלק מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר ותחלק עשרה פחות דבר על דבר והעולה תוסיפהו על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה פחות דבר ומה שיעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר |
|
והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר |
|
הוא כמו הכאת דבר על עשרה פחות דבר |
|
והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר |
|
והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר בעשרה דברים |
|
והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר במה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר |
|
וכבר ידעת שהכאת דבר בעשרה פחות דבר הוא עשרה דברים פחות אלגו |
|
והכאת מה שיעלה לחלק מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר בעשרה פחות דבר הוא דבר |
|
ושהכאת מה שיעלה לחלק מחלוקת עשרה דרהמי פחות דבר על דבר בדבר היא עשרה פחות דבר |
|
ושהכאת מה שעלה מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר במה שעלה מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר הוא אדרהם אחד |
For every two numbers, each divided by other, the product of the quotients multiplied one by the other is always one | בעבור כי בארנו שכל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר הכאת מה שיעלה לחלקים האחד על האחר הוא אחד לעולם |
|
ותקבץ המוכה כלו והוא עשרה דברים פחות אלגו ודבר ועשרה פחות דבר ודרהם אחד ויהיה זה כלו י"א אדרהמי ועשרה דברים פחות אלגו ישוה ל"ה דרהמי |
|
|
|
ותכוין עמהם כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר ששה והוא החלק הגדול |
|
והקטון ארבעה |
[second solution method] | |
|
ואם תרצה תשים החלק הגדול דבר |
|
והשני עשרה פחות דבר |
|
ותחלק דבר על עשרה פחות דבר ויעלה דינר אחד |
|
תוסיפהו על הדבר ויהיה דבר ודינר אחד |
|
ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה פלס אחד |
|
ותוסיפהו על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה ופלס אחד פחות דבר |
|
ותכהו בדבר ודינר אחד |
|
תכה דינר אחד ועשרה דרהמי פחות דבר ויהיה דבר |
|
ותכה פלס אחד בדבר ויהיה עשרה דרהמי פחות דבר |
|
ותכה דינר בפלס ויהיה אדרהם אחד |
|
ותקבץ כל זה ויהיה ט"ו דרהמי ועשרה דברים פחות אלגו ישוו ל"ה דרהמי |
|
|
|
ותכוין עמהם כמו שבארתי לך |
|
ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשני חלקים ותחלק הרב על המעט ותוסיף העולה על העשרה ותחלק המעט על הרב והוסיף העולה על העשרה ומה שיתקבץ מכל חלק תכה האחד על האחר ויהיה מאה ועשרים ושנים דרהמי ושני שלישים |
|
וחכמתו שנניח מה שעלה מהרב על המעט דבר גדול |
|
ותוסיפהו על העשרה ויהיה עשרה ודבר גדול |
|
ותניח מה שעלה מהמעט על הרב דבר קטון |
|
ותוסיפהו על העשרה ויהיה עשרה ודבר קטון |
|
ותכהו על עשרה ודבר גדול |
|
תכה עשרה על עשרה ויהיה מאה |
|
ותכה דבר גדול על עשרה ויהיה עשרה דברים גדולים |
|
תכה דבר קטון על עשרה ויהיה עשרה דברים קטנים |
|
ותכה דבר קטון על דבר גדול ויהיה דרהם אחד |
|
ותקבץ כל זה ויהיה מאה דרהמי ודרהם אחד ועשרה דברים גדולים ועשרה דברים קטנים ישוו קכ"ב דרהמי ושני שלישים |
|
ותגרע ק"א דרהמי מקכ"ב ושני שלישים וישאר כ"א דרהמי ושני שלישים ישוו עשרה דברים גדולים ועשרה דברים קטנים |
|
והדבר הגדול והדבר הקטון יחד הם שנים דרהמי ושתות |
|
והוא כאלו שאלו חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל חלק על האחר ועלה שני דרהמי ושתות |
This has already been clarified. | וכבר התבאר זה |
|
ואם יאמרו חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת הרב על המעט והוספת העולה על העשרה וחלקת המעט על הרב וגרעת מה שעלה לחלק מן העשרה והכית האחד על האחר ויהיה מאה ושבעה ושני שלישיות |
|
וחכמתו שתניח מה שעלה מן הרב על המעט דבר גדול |
|
ותוסיפהו על העשרה ויהיה עשרה ודבר גדול |
|
ותניח מה שעלה מחלוקת המעט על הרב דבר קטן |
|
ותגרעהו מן העשרה וישאר עשרה פחות דבר קטן |
|
ותכם על עשרה ודבר גדול |
|
ויהיה צ"ט דרהמי ועשרה דברים גדולים פחות עשרה דברים קטנים ישוו ק"ז דרהמי ושני שלישיו' |
|
|
|
ותכונם עמהם וישארו עשרה דברים גדולים פחות עשרה דברים קטנים ישוו שמנה ושני שלישיות |
|
והדבר הגדול פחות הדבר הקטן ישוה חמשה ששיות דרהם |
|
והוא כאלו אמר חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל חלק על האחר וגרעת המעט מן הרב וישאר חמשה ששיות דרהמי |
It should be Solved as explained. | ותעשה כאשר בארתי לך |
|
ואם יאמרו לך תחלק עשרה דרהמי על שנים ושרש שלשה |
|
וחכמתו שנשים מה שיעלה לאחד דבר וכאלו אמר חלקנו עשרה על שני דרמי ושרש שלשה ועלה דבר |
It is already known that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend | וכבר ידעת שכאשר תכה מה שעלה לחלק במחלק ישוב האלגו הנחלק |
|
ותכה דבר בשנים ושרש שלשה ויהיה שני דברים ושרש שלשה אלגוש ישוו עשרה דרהמי |
|
ותגרע שני דברים מעשרה וישאר עשרה פחות שני דברים ישוו שלשה אלגוש |
|
ותכה עשרה פחות שני דברים על עצמו ויהיה מאה דרהמי וארבעה אלגוש פחות ארבעים דברים ישוו שלשה אלגוש |
|
|
|
ותכוין עמהם ויהיה אלגו ומאה דרהמי ישוו ארבעים דברים |
וקח מחצית הדברים והוא עשרים ותכהו על עצמו ויהיה ארבע מאות | |
| |
|
וכאשר חלקנו עשרה על שנים ושרש שלשה יעלה לאחד עשרים פחות שרש שלש מאות |
Many questions of the algebraic calculations are found, that reach beyond the six canonical types of equations introduced in this book. | ומצאתי שאלות הרבה מחשבונות הכוון אשר יוציאוך ליותר מהששה חלקים אשר אמרנו בזה הספר |
They will be explained in order to be well taught in the algebraic calculations. | ואבאר לך מהם למען תתלמד בהם היטב מחשבונות הכוון |
|
ואם יאמרו לך אלגו תכהו על עצמו ושרש אחד מעשרה דרהמי ויהיה תשעה דמיוני האלגו |
|
וחכמתו שתשים האלגו דבר |
|
ותכהו בדבר ושרש עשרה דרהמי |
|
ויהיה אלגו ושרש עשרה אלגוש ישוו תשעה דברים |
|
ותגרע שרש עשרה אלגוש מתשעה דברים וישאר תשעה דברי' פחות שרש עשרה אלגוש ישוה אלגו |
|
והדבר ישוה תשעה דרהמי פחות שרש עשרה דרהמי והוא האלגו |
|
ואם יאמרו לך אלגו תרבה שרש משמנה דמיוני האלגו בשרש משלשה דמיוני האלגו והוספת על העולה עשרים דרהמי ויהיה כמו האלגו על עצמו |
|
וחכמתו שתשים האלגו דבר |
|
ותכה שרש שמנה דמיוני האלגו בשרש שלשה דמיוני האלגו ויהיה שרש עשרים וארבעה דרהמי ישוה אלגו בעבור שאמר כי יהיה המקובץ כמו האלגו על עצמו והאלגו יהיה דבר |
וקח שרש כ"ד אלגוש ויהיה שרש ששה על עצמו | |
| |
|
ואם יאמרו לך אלגו תרבה שרש מששה דמיוניו בשרש חמשה דמיוניו והוספת על מה שעלה מההכאה עשרה דמיוני האלגו ועשרים דרהמי יותר ויהיה כמו האלגו על עצמו |
|
וחכמתו שתשים האלגו דבר |
|
ותכה שרש ששה דמיוניו על שרש חמשה דמיוניו ויהיה שרש שלשים אלגוש |
|
ותוסיף עליו עשרה דברים ועשרים דרהמיש ויהיה עשרה דברים ועשרים דרהמי ושרש שלשים דרהמי ישוה אלגו |
ותקח מחצית הדברים ושרש שלשים אלגוש ויהיה חמשה ושרש שבעה וחצי | |
| |
|
ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים והכית האחד על האחר וחלקת מה שהתקבץ על העודף משני חלקי העשרה ועלה שרש ששה |
|
וחכמתו שתשים החלק האחד דבר |
|
והאחר עשרה פחות דבר |
|
ותכה האחד באחר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו |
|
ותחלקהו על ההעדףמשני החלקים והוא עשרה פחות שני דברים ויעלה שרש ששה |
It is already known that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend | וכבר ידעת שכאשר תכה מה שעלה לחלק במחלק ישוב הנחלק |
|
ותכה שרש ששה בעשרה פחות שני דברים ויהיה שרש שש מאות פחות שרש עשרים וארבע אלגוש ישוה עשרה דברים פחות אלגו |
|
|
|
ותאסוף שרש ת"ר עם שרש כ"ד אלגוש ותוסיפהו על העשרה פחות דבר פחות אלגו |
|
ותאסוף העשרה פחות דבר עם האלגו ותוסיפהו על שרש ת"ר |
|
ויהיה אלגו ושרש ת"ר ישוה עשרה דברים ושרש כ"ד אלגוש |
וקח מחצית השרשים עשרת הדברים ושרש כ"ד אלגוש והוא חמשה דברים ושרש ששה ותכם על עצמם ויהיה ל"א דרהמי ושרש ת"ר דרהמי | |
| |
|
והאחר הוא מה שנשאר מהעשרה והוא חמשה ושרש ל"א פחות שרש ששה |
|
ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותם לשני חלקים והכית החלק האחד על עצמו והאחר על שרש שמנה וגרעת המקובץ מהכאת החלק האחד בשרש שמנה מן המקובץ מהכאת החלק האחר על עצמו וישאר ארבעים דרהמי |
|
|
|
וחכמתו שנניח החלק האחד דבר |
|
והאחר עשרה פחות דבר |
|
ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים דברים |
|
ותכה דבר בשרש שמנה ויהיה שרש שמנה אלגוש |
|
ותגרע אותו ממאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים וישאר מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים ופחות שרש שמנה אלגוש ישוה ארבעים דרהמי |
|
|
|
ותאסוף המאה דרהמי ואלגו עם העשרים שרשים ועם שרש שמנה אלגוש ותוסיפם על הארבעים |
|
ויהיה מאה ואלגו ישוו ארבעים דרהמי ועשרים דברים ושרש שמנה אלגוש |
|
ותגרע ארבעים מהמאה וישאר ששים דרהמי ואלגו ישוה עשרים דברים ושרש שמנה אלגוש |
ותקח מחצית עשרים הדברים ושרש שמנה אלגוש והוא עשרה דברים ושרש שני אלגוש ותכם על עצמם ויהיה מאה דרהמי ושני דרהמי ושרש שמנה מאות | |
| |
|
והאחר הוא הנשאר מהעשרה והוא ארבעים דרהמי ושרש ת"ת שלקחנו שרשו וגרענו ממנו שרש שנים |
|
|
|
ואם תרצה תכה הדבר על עצמו ויהיה אלגו |
|
ותכה החלק האחר שהוא עשרה פחות דבר בשרש שמנה ויהיה שרש ת"ת פחות שרש שמנה אלגוש |
|
ותגרע שרש ת"ת דרהמי פחות שרש שמנה אלגוש מאלגו וישאר אלגו ושרש שמנה אלגוש פחות שרש שמנה מאות דרהמיש ישוו ארבעים דרהמי |
|
|
|
ותאסוף האלגו ושרש שמנה אלגוש עם שרש ת"ת דרהמי ותוסיפהו על הארבעי' |
|
ויהיה ארבעי' דרהמי ושרש ת"ת דרהמי ישוה אלגו ושרש שמנה אלגוש |
ותחצה שמנה אלגוש ויהיה שרש שנים ותכהו על עצמו ויהיה שנים | |
| |
|
ואם יאמרו לך עשרה חלקת לשני חלקים והכית האחד בשרש עשרה והאחר על עצמו ויהיו שוים |
|
וחכמתו שנניח החלק האחד דבר |
|
והאחר עשרה פחות דבר |
|
ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגו |
|
ותכה עשרה פחות דבר על שרש עשרה |
|
ויהיה שרש אלף דרהמי פחות שרש עשרה אלגוש ישוה אלגו |
|
|
|
ותאסוף שרש אלף דרהמי עם שרש עשרה אלגוש ותוסיפהו על האלגו |
|
ויהיה אלגו ושרש עשרה אלגוש ישוה שרש אלף דרהמי |
ותחצה שרש עשרה אלגוש ויהיה שרש שנים וחצי ותכהו על עצמו ויהיה שנים וחצי | |
| |
|
והחלק האחר הוא הנשאר מהעשרה והוא שנים וחצי ושרש אלף כשלוקח שרשו ונגרע מעשרה ושרש שנים וחצי |
|
ואם יאמרו לך אלגו הוספת עליו עשרה דרהמי והכית המקובץ בשרש חמשה ויעלה כמו הכאת האלגו על עצמו |
|
וחכמתו שנניח האלגו דבר |
|
ותוסיף עליו עשרה דרהמי ויהיה עשרה דרהמי ודבר תכם בשרש חמשה דרהמי ויהיה שרש ת"ק דרהמי ושרש חמשה אלגוש ישוה אלגו |
ותחצה חמשה אלגוש ויהיה שרש אחד ורביע ושרש ת"ק דרהמי | |
| |
|
ואם יאמרו לך שנים אלגוש וביניהם חמשה דרהמי והכית הגדול בעשרה דמיוניו ולקחת שרש המקובץ ויהיה כמו הכאת הקטן על עצמו |
|
וחכמתו שתניח האלגו האחד דבר |
|
והאחר דבר פחות חמשה |
|
ותכה הגדול והוא דבר בעשרה דמיוניו ויהיה עשרה אלגוש |
|
ותקח שרש עשרה אלגו וישוה כ"ה דרהמי ואלגו אחד פחות עשרה שרשים |
|
|
|
ותאסוף הכ"ה עם האלגו עם העשרה שרשים ותוסיפהו על שרש עשרה אלגוש |
|
ויהיה עשרה דברים ושרש עשרה אלגוש ישוה אלגו וכ"ה דרהמי |
ותחצה העשרה דברים ותקח שרש עשרה אלגוש ויהיה חמשה ושרש שנים וחצי ותכם על עצמם ויהיה כ"ה וחצי ושרש מאתים וחמשים | |
| |
|
והאלגו הקטן הוא פחות מהגדול חמשה דרהמי והוא שני דרהמי וחצי ושרש מאתים וחמשים כשלוקח שרשו ונוסף על שרש שני דרהמי וחצי |
|
ואם יאמרו לך אלגו תכהו על שני דמיוניו ותקח שרש העולה ותוסיף עליו שני דרהמי ותכה הכל באלגו ההוא ויהיה שלשים דרהמי |
The method:
|
וחכמתו שתניח האלגו דבר |
|
ותכהו על שני דמיוניו ויהיה שני אלגוש |
|
ותקח שרשו ותוסיפהו על השני דרהמי ותכה שני דרהמי ושרש שני אלגוש בדבר ויהיה שני דברים ושרש שני אלגוש אלגו ישווה שלשים דרהמי |
|
|
|
והשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד והוא שתכה שני שרשים מאלגו אלגו |
|
ושרש אלגו אלגו כאשר תכהו בשרש חצי דרהם יעלה שרש אלגו אלגו ושרש מאלגו אלגו הוא אלגו |
|
ותכה כל דבר שתחזיק בחצי דרהם |
|
ותכה שרש חצי דרהם בשרש מאלגו אלגו ויהיה אלגו |
|
ותכה שני דברים בשרש חצי דרהם ויהיה שרש שני אלגוש בעבור כי הכית שני דברים על עצמם ויהיה ארבעה אלגוש |
|
ותכה שלשים דרהמי בשרש חצי דרהמי ויהיה שרש ארבע מאות וחמשי' |
|
ותקבץ כל זה ויהיה אלגו ושרש שני אלגוש ישוה שרש ת"נ דרהמי |
ותחצה שרש שני אלגוש ויהיה שרש חצי תכהו על עצמו ויהיה חצי | |
| |
|
ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל חלק על האחר וקבצת מה שעלה לכל חלק ויהיה שרש חמשה דרהמי |
[first solution method] | |
The method:
|
וחכמתו שתניח החלק האחד דבר |
|
והאחר עשרה פחות דבר |
|
תכה כל חלק בעצמו ותקבצם ויהיה מאה דרהמי ושני אלגוש פחות עשרים דברים ותשמרם |
|
ותכה החלק האחד על האחר והוא דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו |
|
תכם בשרש חמשה ויהיה שרש ת"ק אלגוש פחות שרש מחמשה אלגו אלגו ישוה מאה דרהמי ושני אלגוש פחות עשרים שרשים |
|
|
|
ותאסוף שרש ת"ק אלגוש עם שרש חמשה אלגוש ותוסיפהו על מאה דרהמי ושני אלגוש פחות עשרים דברים |
|
ותאסוף המאה דרהמי ושני אלגוש עם העשרים דברים ותוסיפם על שרש ת"ק |
|
ויהיו עשרים דברים ושרש ת"ק אלגוש ישוה מאה דרהמי ושני אלגוש ושרש מחמשה אלגוש אלגו |
|
|
|
והשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד והוא שתכה השני אלגוש ושרש מחמשה אלגוש אלגו בשרש חמשה דרהמי פחות שני דרהמי |
|
ואתה מכה אותם בשרש חמשה דרהמי פחות שני דרהמי בעבור כי כאשר תחלק דרהם אחד על שנים ושרש חמשה יעלה לאחד שרש חמשה פחות שני דרהמי וכבר בארנו זה |
|
ותכה כל דבר שתחזיק בשרש חמשה דרהמי פחות שנים דרהמי |
|
ויהיה אלגו ושרש חמשים אלפים דרהמי פחות מאתים דרהמי ישוו עשרה דברים |
ותחצה הדברים ויהיה חמשה תכם על עצמם ויהיה כ"ה | |
| |
[second solution method] | ואם תרצה תמנהו עם המעשה האחר |
|
והוא שתחלק שרש חמשה לשני חלקים יהיה האחד באחר דרהם אחד |
|
תשים החלק האחד דבר |
|
והאחר שרש חמשה פחות דבר |
|
ותכה האחד באחר ויהיה שרש חמשה אלגוש פחות אלגו ישוה דרהם אחד |
|
|
|
ותאסוף שרש חמשה אלגוש עם האלגו ותוסיפהו על הדרהם |
|
ויהיה אלגו ודרהם אחד ישוה שרש חמשה אלגוש |
|
ותחצה השרש מהחמשה אלגוש ויהיה שרש אחד ורביע |
|
תכהו על עצמו ויהיה אחד ורביע |
|
תגרע האדרהם וישאר רביע אחד |
|
ותקח שרשו והוא חצי |
|
תגרעהו משרש אחד ורביע פחות חצי דרהם |
| |
It was already explained that the things among the three algebraic species, when half of them is multiplied by itself, the product is a number | וכבר בארנו שהדברים אשר הם בשלשה החלקים כאשר יוכה חצים על עצמו יהיה העולה מההכאה מספר |
The root of the square are things | ושרש האלגוש הוא דברים |
When half of them is multiplied by itself it is a number | וכאשר תקח מחציתם ותכה אותם בעצמם יהיה מספר |
Returning to the question: | ונשוב אל השאלה |
|
ותניח החלק האחד דבר |
|
והאחר עשרה פחות דבר |
|
ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויהיה כמו שבארנו שרש אחד ורביע פחות חצי דרהם |
|
ותכהו בדבר |
|
ויהיה שרש מאלגו ורביע פחות חצי דבר ישוה עשרה דברים |
|
|
|
ותאסוף שרש מאלגו ורביע עם החצי דבר ותוסיפהו על עשרה פחות דבר |
|
ויהיה עשרה פחות חצי דבר ישוה שרש מאלגו ורביע |
|
ותכה עשרה פחות חצי דבר בעצמו ויהיה מאה דרהמי ורביע אלגו פחות עשרה שרשים ישוה אלגו ורביע |
|
|
|
ותאסוף המאה דרהמי ורביע אלגו עם העשרה דברים ותוסיפהו על האלגו ורביע |
|
ויהיה אלגו ורביע אלגו ועשרה שרשים ישוו מאה דרהמי |
|
והדבר ישוה שרש קכ"ה דרהמי פחות חמשה דרהמי והוא החלק האחד |
|
והחלק האחר הוא הנשאר מהעשרה והוא ט"ו דרהמי פחות שרש קכ"ה דרהמי |
[third solution method] | |
The procedure: | ואם תרצה תמנהו עם המעשה האחרון |
|
והוא שתניח חלק אחד דבר |
|
והאחר עשר פחות דבר |
|
וחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה דינר אחד |
|
וכאשר תכה דינר אחד בדבר יהיה עשרה פחות דבר |
|
ותחלק דבר על עשרה פחות דבר ויעלה שרש חמשה פחות דינר אחד |
|
וכאשר תכה שרש חמשה פחות דינר אחד בעשרה פחות דבר יהיה דבר |
|
ותרבה שרש חמשה דרהמיש פחות דינר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דרהמי פחות דבר ושרש ת"ק דרהמי פחות שרש חמשה אלגוש ופחות עשרה דינרין ישוה דבר |
|
|
|
ותאספם עם העשרה דינרים ותוסיפם על הדבר |
|
ויהיה דבר ועשר דינרי' ישוה עשרה דרהמי פחות דבר ושרש ת"ק דרהמי פחות שרש חמשה אלגוש |
|
ותגרע דבר אחד מהם וישאר עשרה פחות שני דברים ושרש ת"ק דרהמי |
|
פחות חמישית דבר ופחות שרש מחצי עשירית מאלגו |
|
ותשוב ותאמר חלקנו עשרה דרהמי פחות דבר על דבר ועלה אדרהם אחד ושרש חמשה דרהמי פחות חמישית דבר ופחות שרש מחצי עשירית מאלגו |
|
וכאשר הכינוהו בדבר יהיה עשרה דרהמי פחות דבר |
ותכה דרהם אחד ושרש חמשה דרהמי פחות חמישית דבר ופחות שרש מחצי עשירית מאלגו בדבר ויהיה דבר ושרש חמשה אלגוש פחות חמישית אלגו ופחות שרש מחצי עשירית מאלגו אלגו ישוה עשרה פחות דבר | |
| |
|
|
|
ותאספם עם חמישית אלגו ועם שרש חצי עשירית מאלגו אלגו ותוסיפם על עשרה דרהמי פחות דבר |
|
ותאסוף העשרה דרהמי עם הדבר ותוסיפהו על דבר ושרש חמשה אלגוש |
|
ויהיה שני דברים ושרש חמשה אלגוש ישוה עשרה דרהמי וחמישית אלגו ושרש חצי עשירית מאלגו אלגו |
|
|
|
ותשלים האלגו שלך עד שיהיה אלגו שלם והשלימך אותו הוא שתכהו בשרש ת"ק דרהמיש פחות עשרים דרהמיש |
|
ויהיה עשרה דברים ישוה אלגו ושרש חמשים אלף דרהמי פחות מאתים דרהמי |
|
ותחצה הדברים ויהיו חמשה |
|
ותכם על עצמם ויהיו כ"ה |
|
תגרע מהם שרש חמשים אלף פחות מאתים דרהמי וישאר רכ"ה פחות שרש חמשים אלף |
|
שרש זה כשיגרע מחמשה הוא החלק האחד |
| |
|
ושרש רכ"ה דרהמי פחות שרש חמשים אלף דרהמי הוא שרש קכ"ה פחות עשרה דרהמי |
|
תגרעם מחמשה וישאר ט"ו דרהמי פחות שרש קכ"ה והוא החלק האחד |
|
והאחר הוא הנשאר מן העשרה והוא שרש קכ"ה דרהמי פחות חמשה דרהמי |
|
ואם יאמרו לך עשרה חלקת לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר והכית כל אחד מהם שיעלו לחלק על האחר בעצמו ויהיה שלשה דרהמי |
|
וכבר ידעת שהכאת חלק אחד מהשנים שיעלו לחלק באחר הוא דרהם אחד |
|
והכאתו באחר שני פעמים הוא שני דרהמי |
|
ותוסיף השני דרהמי על השלשה ויהיה חמשה |
according to Euclid | והוא ידוע ממה שאמר אקלידס |
|
שהכאת שני החלקים שיעלו לחלק מחלוקת חלק אחד מהעשרה על האחר בעצמו חמשה דרהמי |
|
והם שרש מחמשה |
|
והוא כמו שאמרנו חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר ועלה שרש חמשה |
This question has already been explained. | וכבר בארנו זאת השאלה |
|
ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר וגרעת מה שעלה לחלק מחלוקת המעט על הרב ממה שעלה לחלק מחלוקת הרב על המעט ונשאר חמשה ששיות מאדרהם |
|
וחכמתו שתשים מה שעלה לחלק מחלוקת המעט על הרב דבר |
|
ותוסיפהו על חמשה ששיות מאדרהם ויהיה דבר וחמשה ששיות מאדרהם והוא מה שעלה מחלוקת הרב על המעט |
|
ותכהו על דבר ויהיה אלגו וחמשה ששיות מדבר ישוה דרהם אחד |
This question has already been explained in what was introduced earlier in this book apart form this procedure. | וכבר בארנו זאת השאלה במה שהקדמנו בזה הספר בלעדי זה המעשה |
If one wishes, it can be solved by the other procedure. | ואם תרצה תעשה אותה עם המעשה האחר |
|
ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר ומה שעלה לכל חלק הכית על עצמו וגרעת המעט מהרב ונשאר שני דרהמי |
The procedure:
|
ומלאכתו שתשים מה שעלה לחלק מחלוקת המעט על הרב דבר |
|
ותכהו על עצמו ויהיה אלגו |
|
ותוסיפהו על השני דרהמי ויהיה אלגו ושני דרהמי |
|
והוא ידוע ממה שאמרנו שהכאת מה שעלה לחלק מחלוקת הרב על המעט בעצמו הוא אלגו ושני דרהמי |
|
ותכה אלגו באלגו ושני דרהמי ויהיה אלגו אלגו ושני אלגוש ישוו דרהם אחד |
|
בעבור כי כבר בארנו שהאחד מאשר הוא באחר דרהם אחד |
|
והכאת מרובע האחד במרובע האחר הוא כמו אותו אדרהם בעצמו והכאת האדרהם בעצמו הוא דרהם אחד |
|
ותחצה שני האלגוש ויהיה אחד |
|
תכהו בעצמו ויהיה אחד |
|
תוסיפהו על האדרהם ויהיה שנים |
|
ויהיה שרש שנים תגרע ממנו אחד |
| |
|
ותקח שרש הנשאר ותכהו בדבר |
|
וכאשר תרצה זה תכה עשרה פחות דבר בעצמו ויהיה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרה שרשים |
|
ותכה דבר בעצמו ויהיה אלגו |
|
ותכה שרש שנים הנגרע ממנו אחד |
|
ותאמר תחלק מאה דרהמיש ואלגו פחות עשרים דברים על אלגו ויעלה שרש שנים הנגרע ממנו אחד ותאמר חלקנו מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים דברים על אלגו ועלה שרש שנים הנגרע ממנו אלגו אחד |
|
ישוה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים |
|
|
|
ותכוין עמהם והוא שתאסוף המאה דרהמי והאלגו עם העשרים שרשים ותוסיפהו על שרש מאלגו אלגו |
|
ותאסוף שרש מאלגו אלגו עם האלגו ותוסיפהו על מאה דרהמי ואלגו |
|
ותגרע שרש מאלגו אלגו ממאה דרהמי ושני אלגוש |
|
ויהיה מאה דרהמי ושני אלגוש פחות שרש מאלגו אלגו ישוה עשרים שרשים |
|
|
|
והשב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתכה כל דבר שתחזיק באחד ובשרש חצי אחד |
|
ותרבה שני אלגוש פחות שרש אלגו אלגו באדרהם ושרש חצי אדרהם ויהיה אלגו |
|
ותרבה עשרים דברים באדרהם ושרש חצי אדרהם ויהיה עשרים דברים ושרש מאתים אלגוש |
|
ותרבה מאה דרהמי באדרהם ושרש חצי דרהם ויהיה מאה דרהמי ושרש חמשת אלפים דרהמי ישוה עשרים דברים ושרש מאתים אלגוש |
|
ותחצה העשרים דברים ושרש מאתים אלגוש יהיה עשרה ושרש חמשים |
|
תרבהו על עצמו יהיה מאה וחמשים דרהמי ושרש עשרים אלף |
|
ותגרע מהם מאה דרהמי ושרש חמשת אלפים דרהמי וישאר חמשים דרהמי ושרש חמשת אלפים דרהמי |
|
ושרש זה כשנגרע מעשרה ושרש חמשים הוא החלק הגדול |
| |
|
והחלק הקטון הוא הנשאר מהעשרה |
|
ואם תרצה תחשבה כפי זה המעשה האחר והוא ידוע שמרובע כל דבר הוא החלק האחד מהחלקים שיעלו מחלוקת כל חלק מהעשרה על האחר ונגרע המעט מהרב שמה שישאר הוא שני דרהמי |
For every number divided by a number, the product of the quotient multiplied by itself is the same as the quotient of the product of the dividend by itself divided by the product of the divisor by itself | בעבור כי כל מספר שיחלק על מספר כאשר תכה מה שעלה לחלק בעצמו יהיה העולה ממנו כמו מה שיעלה לחלק מחלוקת הכאת המספר המחולק בעצמו על הכאת המספר שהוא המחלק בעצמו |
|
ותשים מה שיעלה לחלק מחלוקת מרובע [41]הרב על מרובע המעט שני דרהמי ודבר |
|
ומה שיעלה לחלק מחלוקת מרובע המעט על מרובע הרב |
|
וכבר בארנו כי הכאת האחד באחר הוא דרהם אחד |
|
ותכה דבר בשני דרהמי ודבר יהיה שני דברים ואלגו |
|
|
|
ותכוין עמו אחד |
|
ויעלה הדבר שרש שנים הנגרע ממנו אחד |
|
ותשוב אל העשרה ותשים החלק האחד דבר |
|
והאחר עשרה פחות דבר |
|
ומרובע אחד מהם אלגו |
|
ומרובע האחר מאה ואלגו פחות עשרים שרשים |
|
ותחלק מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים על אלגו ויעלה שרש שנים הנגרע ממנו אחד |
|
ותכהו באלגו |
|
ויהיה שני שרשים מאלגו אלגו הנגרע ממנו אלגו אחד ישוה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים |
|
|
|
ותכוין עמו כמו שבארתי לך בשאלה |
Section Three |
[המאמר השלישי][42] |
|
ואם יאמרו לך אלגו תגרע ממנו שני שרשיו ועשרה דרהמי ותכה מה שישאר בעצמו ויהיה שמנה דמיוני האלגו |
|
ומלאכתו שתשים האלגו שלך אלגו |
|
ותגרע ממנו שני שרשיו ועשרה דרהמי ישאר אלגו פחות שני אלגוש ופחות עשרה דרהמי ישוה שרש שמנה אלגוש |
|
בעבור כי הוא אלגו תכה מה שנשאר על עצמו יהיה שמנה דמיוני האלגו ומה שנשאר הוא שרש השמנה |
|
|
|
וקח מחצית הדברים ויהיה אחד ושרש שנים |
|
ותכהו על עצמו ויהיה שלשה ושרש שמנה |
|
תוסיפם על העשרה ויהיה שלש עשרה ושרש שמנה |
|
ושרש זה יתוסף על אחד ושרש שנים וההוה הוא שרש האלגו |
| |
|
תכהו בעצמו והעולה הוא האלגו |
|
ואם יאמרו לך אלגו אשר שני שרשיו ושרש חצי האלגו ושרש שלישיתו ישוו האלגו כמה הוא האלגו |
|
ומלאכתו שתניח האלגו שלך אלגו |
|
ותאמר שני שרשים ושרש חצי אלגו ושרש שלישית אלגו ישוו אלגו |
|
והדבר ישוה שנים ושרש חצי ושרש שלישית והוא שרש האלגו |
|
והאלגו ארבעה וחצי ושלישית ושרש שמנה ושרש חמשה ושליש ושרש שנים |
|
ואם יאמר אלגו אשר שני שרשיו ושרש חציו ושרש שלישיתו עשרים דרהמי כמה הוא האלגו |
|
מלאכתו שתניח האלגו אלגו |
|
ותקח שני שרשיו ושרש מחציתו ושרש שלישיתו ויהיו שני דברים ושרש חצי האלגו ושרש שלישיתו ישוו עשרים דרהמי |
|
תגרע שני דברים מעשרים דרהמי ישאר עשרים דרהמי פחות שני דברים [43]תכם בעצמם ויהיה ארבע מאות דרהמי וארבע אלגוש פחות שמנים דברים ישוו שרש חצי אלגו ושרש שלישיתו מוכה בעצמו |
|
והוא חצי אלגו ושלישית אלגו ושרש שני שלישים מאלגו אלגו |
|
|
|
ותכוין עמהם ויהיה שמנים דברים ישוו ארבע מאות דרהמי ושלשה אלגוש וששית אלגו פחות שרש שני שלישיות מאלגו אלגו |
|
ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד |
|
ותעשה עמו כמו שאמרתי לך |
|
ואם יאמר לך אלגו תוסיף עליו ארבעה שרשיו ושרש חציו ושרש שלישיתו ויהיה עשרה דרהמי כמה הוא האלגו |
|
מלאכתו שתניח האלגו אלגו |
|
ותוסיף עליו ארבעה שרשיו ושרש חציו ושרש שלישיתו |
|
יהיה אלגו וארבעה דברים ושרש חצי אלגו ושרש שני שלישי אלגו ישוו עשרה דרהמי |
|
ותעשה כמו שאמרתי לך |
|
ואם יאמרו לך אלגו תוסיף עליו שרשו ושרש חציו ותכה המקובץ על עצמו ויהיה חמשה דמיוני האלגו |
|
וזה הוא אלגו ושרשו ושרש חציו ישוו שרש חמשה אלגוש |
|
ויהיה הדבר שישוה שרש חמשה דרהמי פחות דרהם אחד ופחות שרש חצי דרהם והוא שרש האלגו |
|
והאלגו ששה דרהמי וחצי ושרש שנים פחות שרש עשרים ופחות שרש עשרה |
|
ואם יאמרו לך אלגו הוסף עליו שרשו ושרש חציו ותכה המקובץ בעצמו ויהיה עשרים דרהמי |
|
זה הוא אלגו ודבר ושרש חצי אלגו ישוו שרש עשרים דרהמי |
|
ותחצה הדבר ושרש חצי אלגו ויהיה חצי ושרש שמינית אחד |
|
תכהו בעצמו יהיה שלשה שמיניות דרהם ושרש משמינית אדרהם |
|
תוסיפהו על שרש עשרים דרהמי יהיה שלשה שמיניות ושרש עשרים דרהמי ושרש שמינית דרהם |
|
ותקח שרשו ותגרע ממנו חצי ושרש שמינית ומה שישאר הוא שרש האלגו |
| |
|
ואם יאמרו לך אלגו הוספת עליו שרש חציו והכית העולה בעצמו ויהיה ארבעה דמיוני האלגו |
[first solution method] | |
---|---|
|
מלאכתו שתניח האלגו דבר |
|
ותוסיף עליו שרש חציו ויהיה דבר ושרש חצי דבר |
|
תכהו בעצמו ויהיה אלגו וחצי דבר ושרש שני קוביקש [מעוקבים][44] ישוו ארבעה דברים |
|
ודע שהאלגו הוא מהכאת הדבר בעצמו |
|
והקוביקא הוא מהכאת הדבר באלגו |
|
ואלגו אלגו הוא מהכאת האלגו באלגו |
|
וקוביקא מקוביקא הוא מהכאת קוביקא בקוביקא |
|
והאלגו וחצי הדבר ושרש שני [45]מעוקבים ישוו ארבעה דברים |
|
ותגרע אלגו וחצי דבר מארבעה דברים |
|
ישאר שלשה דברים וחצי פחות אלגו |
|
ותכם בעצמם ויהיה אלגו אלגו וי"ב אלגוש ורביע פחות שבעה מעוקבים ישוו שני מעוקבים |
|
|
|
תאספם עם השבעה מעוקבים ותוסיפם על השני מעוקבים |
|
ויהיה אלגו אלגו וי"ב אלגוש ורביע ישוו תשעה |
|
והשב כל דבר שתחזיק אל אלגו יהיה אלגו וי"ב דרהמי ורביע ישוו תשעה דברים |
|
ותחצה הדברים יהיו ארבעה וחצי |
|
תכם בעצמם יהיה עשרים ורביע |
|
תגרע מהם הי"ב ורביע ישאר שמנה |
|
ושרשו כשיגרע מארבעה וחצי הנה מה שישאר הוא האלגו והוא ארבעה וחצי פחות שרש שמנה |
| |
[second solution method] | |
|
ואם תרצה תשים האלגו שלך אלגו |
|
ותוסיף עליו שרש חציו ויהיה אלגו ושרש חצי אלגו ישוה שרש ארבעה אלגוש |
|
בעבור שאמר שכאשר תכהו על עצמו יהיה ארבעה דמיוני האלגו |
|
ויהיה אלגו ושרש חצי אלגו ישוה שרש ארבעה דמיוני האלגו |
|
והוא שני דברים |
|
ותגרע שרש חצי אלגו משרש ארבעה אלגוש |
|
ישאר שרש ארבעה אלגוש פחות שרש חצי אלגו ישוה אלגו |
|
ויהיה שרש האלגו שרש ארבעה פחות שרש חציו והוא שני אדרהמי פחות שרש חצי דרהם |
|
והאלגו ארבעה וחצי פחות שרש שמנה |
[third solution method] | |
|
ואם תרצה תניח האלגו שלך שני אלגוש |
|
תוסיף עליו שרש חציו ויהיה שני אלגוש ודבר |
|
תכם בעצמם ויהיה ארבעה אלגוש אלגו ואלגו וארבעה מעוקבים ישוו שמנה אלגוש |
|
ותגרע אלגו משמנה אלגוש |
|
ישאר ארבעה אלגוש אלגו וארבעה מעוקבים ישוו שבעה אלגוש |
|
|
|
ותשב כל דבר שתחזיק אל אלגו אלגו |
|
ויהיה אלגו אלגו ומעוקב ישוה אלגו ושלשה רבעי אלגו |
|
והשב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתחלק כל דבר שתחזיק על אלגו וחלקת כל דבר שתחזיק על אלגו |
|
בעבור שכאשר תחלק אלגו אלגו על אלגו יעלה אלגו |
|
ותחלק מעוקב על אלגו ויהיה דבר |
|
ותחלק אלגו ושלשה רבעי אלגו על אלגו ויעלה דרהם אחד ושלשה רביעי אדרהם |
|
ותחצה השרשים ויהיה חצי |
|
תכהו על עצמו ויהיה רביע |
|
תוסיפהו על האדרהם ושלשה רביעים ויהיה שני דרהמי |
|
ותגרע משרש שני דרהמי חציו ישאר שרש חצי האלגו |
| |
|
תכהו בעצמו יהיה שני דרהמי ורביע פחות שרש שנים והוא חצי האלגו |
|
ותכפלהו יהיה ארבעה דרהמי וחצי פחות שרש שמנה |
|
ואם יאמרו לך שני אלגוש שוים תוסיף על אחד מהם שרש שלשה ועל האחר שרש שנים ותכה האחד באחר ויהיה עשרים |
|
תניח כל אחד מהאלגוש דבר |
|
ותוסיף על כל אחד מה שהנחת והוא דבר ושרש שלשה בדבר ושרש שנים אדרהמי |
|
יהיה אלגו ושרש ששה דרהמי ושרש שלשה אלגוש ושרש שני אלגוש ישוו עשרים דרהמי |
|
ותגרע שרש ששה דרהמי מעשרים דרהמי |
|
ישאר עשרים דרהמי פחות שרש ששה דרהמי ישוה אלגו ושרש שלשה אלגוש ושרש שני אלגוש |
|
ותחצה שרש שלשה אלגוש ושרש שני אלגוש ויהיה שרש משלשה רביעים ושרש מחצי |
|
תכם בעצמו יהיה דרהם אחד ורביע ושרש אדרהם וחצי |
|
ותוסיפהו על עשרים דרהמי ורביע ושרש דרהם וחצי פחות שרש ששה דרהמיש והוא עשרים ואחד ורביע פחות שרש אחד וחצי |
|
ושרש זה כשיגרע ממנו שרש שלשה רביעיו ושרש חצי הנשאר הוא אלגו אחד מהשנים והאחר הוא כמו הראשון |
| |
|
ואם יאמרו לך אלגו תוסיף עליו שבעה דרהמי ותכה המקובץ בשרש שלשה דמיוני האלגו ויהיה עשרה דמיוני האלגו |
[first solution method] | |
|
מלאכתו שתניח האלגו שלך דבר |
|
תוסיף עליו שבעה דרהמי יהיה שבעה דרהמי ודבר |
|
תכהו בשרש שלשה דמיוני האלגו והוא שרש שלשה דברים |
|
ויהיה שרש שלשה מעוקבים ושרש קמ"ז דברים ישוו עשרה דמיוני האלגו והוא עשרה דברים |
|
|
|
ותחלק כל דבר שתחזיק על שרש שלשה דברים |
|
ויעלה דבר ושרש מ"ט דרהמי ישוה שרש ל"ג דברים ושליש דבר |
|
ותכה דבר ושרש מ"ט דרהמי בעצמו |
|
יהיה אלגו ומ"ט בעצמו ושרש קצ"ו אלגוש ישוו ל"ג דברים ושליש |
|
ותגרע שרש קצ"ו אלגוש מל"ג ושליש |
|
ישאר ל"ג דברים ושליש פחות שרש קצ"ו אלגוש ישוה אלגו ומ"ט דרהמי |
|
ואם תרצה תחצה הדברים פחות שרש קצ"ו אלגוש |
|
ותעשה כמו שאמרתי לך |
|
ואם תרצה תקח שרש קצ"ו אלגוש והוא י"ד דברים |
|
תגרעם מל"ג דברים ושליש |
|
ישאר י"ט דברים ושליש ישוה אלגו ומ"ט דרהמי |
|
ותחצה הדברים יהיה תשעה ושני שלישים |
|
תכם בעצמם ויהיה צ"ג וארבעה תשיעיות |
|
תגרע מהם האדרהמי והם מ"ט ישאר מ"ד וארבעה תשיעיות |
|
ותקח שרשו והוא ששה ושני שלישיות |
|
תגרעם מחצי הדברים שהם תשעה ושני שלישים ישארו שלשה והם האלגו |
| |
[second solution method] | |
|
ואם תרצה כאשר תחבר מן השאלה אל הדבר ושרש מ"ט דרהמי |
|
תקח שרש מ"ט והוא שבעה |
ותכה דבר ושבעה בעצמו | |
|
|
|
ותכוין עם מה שיעלה ל"ג דברים ושליש ותעשה כאשר אמרתי לך |
|
ויעלה לך האלגו שלשה או ששה עשר ושליש איזה מהם שתרצה |
[third solution method] | |
If one wishes, the calculation of this question is done by the other procedure: | ואם תרצה תמנה חשבון זאת השאלה על המעשה האחר |
|
והוא שתניח האלגו שלך דבר |
|
תוסיף עליו שבעה דרהמי יהיה דבר ושבעה דרהמי |
|
וכבר ידעת שכאשר תכהו בשרש שלשה דברים יהיה עשרה דברים |
|
ותחלק עשרה דברים על שרש שלשה דברים |
|
ויעלה ל"ג דברים ושליש ישוו דבר ושבעה דרהמי תכם בעצמם |
|
ויהיה אלגו ומ"ט דרהמי וי"ד דברים ישוו ל"ג דרהמי ושליש דבר |
[fourth solution method] | |
|
ואם תרצה תניח האלגו שלך שליש אלגו |
|
ותוסיף עליו שבעה דרהמי יהיה שלישית מאלגו ושבעה דרהמי |
|
תכם בשרש שלשה דמיוניו והוא דבר |
|
יהיה שלישית מעוקב ושבעה דברים ישוו שלשה אלגוש ושליש |
|
בעבור כי כאשר הוא אלגו יהיה עשרה דמיוני האלגו כמו כן כאשר הנחנו האלגו שלישית מאלגו יהיה עשרה דמיוניו שלשה אלגוש ושליש |
|
ותחלק כל דבר שתחזיק על דבר |
|
ויעלה שלישית אלגו ושבעה דרהמי ישוה שלשה דברים ושליש |
|
|
|
ותשלים שלישית האלגו עד שיהיה אלגו והשלמתך הוא שתכהו בשלשה אחר תכה כל מה שתחזיק בשלשה |
|
יהיה אלגו וכ"א דרהמי ישוו עשרה שרשים |
|
ותחצה השרשים ויהיו חמשה |
|
תכם בעצמם יהיו כ"ה |
|
תגרע מהם הכ"ב דרהמי ישאר שלשה והוא שרש האלגו |
| |
|
והאלגו תשעה |
|
וכל מה שהנחנו האלגו שלישית האלגו תקח שלישיתו יהיה שלשה והוא האלגו |
|
ואם תרצה תוסיף השנים על חצי השרשים שהם חמשה ויהיה שבעה והוא שרש האלגו |
|
והאלגו מ"ט |
|
וכן כמו שהנחנו האלגו שלנו שלישית מאלגו תקח שלישית אלו ויהיה י"ו ושליש |
|
ואם יאמרו לך אלגו תוסיף עליו שרש שלשה דמיוניו ותכה המקובץ בשרש האלגו יהיה ארבעה דמיוני האלגו |
[first solution method] | |
|
ומלאכתו שתניח האלגו שלך דבר |
|
ותוסיף עליו שרש שלשה דמיוניו יהיה דבר ושרש שלשה דברים |
|
תכהו בשרש שני דברים |
|
יהיה שרש שני מעוקבים ושרש ששה אלגוש ישוו ארבעה דברים |
|
בעבור כי הוא אלגו ויהיה ארבעה דמיוני האלגו |
|
ותחלק כל דבר שתחזיק על דבר |
|
יהיה שרש ששה דרהמי ישוה שרש שני דברים |
|
ותכה ארבעה דרהמי פחות שרש ששה דרהמי בעצמו |
|
יהיה כ"ב דרהמי פחות שרש שפ"ד דרהמי ישוו שני דברים |
|
והדבר ישוה אחד עשר דרהמי פחות שרש צ"ו והוא האלגו |
[second solution method] | |
|
ואם תרצה תגרע שרש ששה אלגוש מארבעה דברים |
|
ישאר ארבעה דברים פחות שרש ששה אלגוש ישוו שרש שני מעוקבים |
|
ותכה ארבעה דברים פחות שרש ששה אלגוש בעצמו |
|
יהיה כ"ב אלגוש פחות שרש שפ"ד אלגוש אלגו ישוו שני מעוקבים |
|
|
|
ותאספהו עם שרש שפ"ד אלגוש אלגו ישוה כ"ב אלגוש |
|
ותחלק כל דבר שתחזיק על אלגו אחד |
|
תחלק שני מעוקבי' על אלגו ויעלה שני דברים |
|
ותחלק שרש שפ"ד אלגוש אלגו על אלגו |
|
ויעלה כ"ב דרהמי |
|
ויהיה שני דברים ושרש שפ"ד דרהמי ישוה כ"ב דרהמי |
|
והדבר ישוה אחד עשר דרהמי פחות שרש צ"ו והוא האלגו |
[third solution method] | |
|
ואם תרצה תגרע השני מעוקבים מכ"ב |
|
ישאר כ"ב אלגוש פחות שני מעוקבים ישוו שרש שפ"ד אלגוש אלגו |
|
ותכה כ"ב אלגוש פחות שני מעוקבי' בעצמו |
|
ויהיה תפ"ד אלגוש אלגו וארבעה מעוקבים ממעוקב פחות פ"ח מעוקבים מוכים באלגו ואם תרצה תאמר פחות פ"ח אלגוש אלגו מוכים בדבר ישוו שפ"ד אלגוש אלגו |
|
|
|
ותאספם עם פ"ח אלגוש אלגו מוכים בדבר ותוסיפם על שפ"ד אלגוש אלגו |
|
ויהיה שפ"ד אלגוש אלגו ופ"ח אלגוש אלגו מוכים בדבר ישוו תפ"ד אלגוש אלגו וארבעה מעוקבים ממעוקב |
|
ותגרע שפ"ד אלגוש אלגו מתפ"ד אלגוש אלגו |
|
ישאר ארבעה מעוקבים ממעוקב ומאה אלגוש אלגו ישוו פ"ח אלגוש אלגו מוכים בדבר |
|
|
|
והשב כל דבר שתחזיק אל מעוקב ממעוקב וכ"ה אלגוש אלגו ישוו כ"ב אלגוש אלגו מוכים בדבר |
|
ותחלק כל דבר שתחזיק על אלגו אלגו |
|
ותחלק מעוקב ממעוקב על אלגו אלגו ויעלה אלגו |
|
ונחלק כ"ה אלגוש אלגו על אלגו אלגו ויעלה כ"ה דרהמי |
|
ותחלק כ"ב אלגוש אלגו מוכים בדבר על אלגו אלגו ויעלה כ"ב דברי' |
|
ויהיה אלגו וכ"ה דרהמי ישוו כ"ב דברים |
|
ותחצה השרשים ויהיו אחד עשר |
|
תכם בעצמם יהיה קכ"א |
|
תגרע מהם הכ"ה ישאר צ"ו |
|
ושרש אלו כשיגרע מאחד עשר הוא האלגו והוא אחד עשר פחות שרש צ"ו |
| |
[fourth solution method] | |
|
ואם תרצה תשים האלגו שלך חצי אלגו |
|
תוסיף עליו שלשה דמיוניו יהיה חצי אלגו ושרש מאלגו וחצי |
תכהו בשרש האלגו והוא דבר | |
| |
|
יהיה חצי מעוקב ושרש אלגו אלגו וחצי אלגו אלגו ישוו שני אלגוש |
|
בעבור כי הוא אלגו יהיה ארבעה דמיוני האלגו והנה האלגו חצי אלגו ויהיה ארבעה דמיוני האלגו שני אלגוש |
|
ותחלק כל דבר שתחזיק על אלגו |
|
יהיה חצי דבר ושרש מאדרהם וחצי ישוו שני דרהמי |
|
והדבר ישוה ארבעה פחות שרש ששה |
|
תכהו בעצמו |
|
יהיה כ"ב אלגוש פחות שרש שפ"ד והוא האלגו |
|
וכמו שהנחנו האלגו שלנו חצי אלגו כן תקח חציו ויהיה אחד עשר פחות שרש מצ"ו והוא האלגו |
[fifth solution method] | |
|
ואם תרצה תגרע חצי מעוקב משני אלגוש |
|
ישאר שני אלגוש פחות חצי מעוקב ישוה שרש אלגו אלגו וחצי אלגו אלגו |
|
תכה שני אלגוש פחות חצי מעוקב בעצמו |
|
יהיה ארבעה אלגוש מאלגו ורביע ורביע מעוקב ממעוקב פחות אלגו אלגו מוכה בדבר ישוה אלגו אלגו וחצי אלגו אלגו |
|
|
|
ותאספם עם אלגו אלגו מוכה בדבר ותוסיפהו על אלגו אלגו וחצי אלגו אלגו |
|
ויהיה אלגו אלגו וחצי אלגו אלגו ואלגו אלגו מוכה באלגו אלגו מארבעה אלגוש אלגו ורביע מעוקב ממעוקב |
|
ישאר רביע מעוקב ואלגו אלגו וחצי אלגו אלגו ישוה אלגו אלגו מוכה במעוקב ואלגו אלגו מוכה בדבר |
|
|
|
ותשלים רביע מעוקב ממעוקב עד שיהיה מעוקב ממעוקב והשלמתך הוא שתכהו בארבעה ותכה כל דבר שתחזיק בארבעה |
|
ויהיה מעוקב ממעוקב ועשרה אלגוש מאלגו ישוה שמנה אלגוש מאלגו מוכה בדבר |
|
ותחלק כל דבר שתחזיק על אלגו אלגו |
|
יהיה אלגו ועשרה דרהמי ישוו שמנה דברים |
|
ותחצה הדברים ויהיו ארבעה |
|
תכם בעצמם יהיה שש עשרה |
|
תגרע מהם העשרה דרהמי ישאר ששה |
|
תקח שרשו ותגרעהו מארבעה והנשאר הוא הדבר והוא ארבעה פחות שרש ששה |
| |
|
ויהיה האלגו כ"ב דרהמי פחות שרש שפ"ד דרהמי |
|
וכמו שהנחנו האלגו שלנו חצי אלגו כן תקח חצי זה והוא י"א דרהמי פחות שרש צ"ו והוא האלגו הנשאל |
|
ואם יאמרו לך אלגו תוסיף על שרש חציו שלשה דרהמי ועל שרש שלישיתו שני דרהמי ותכה האחד באחר ויהיה עשרים דרהמי |
[first solution method] | |
|
מלאכתו שתשים האלגו שלך דבר |
|
ותוסיף על שרש חציו שלשה דרהמי יהיה שלשה דרהמי ושרש חציו דבר |
|
ותוסיף על שרש שלישיתו שנים דרהמי יהיה שני דרהמי ושרש שלישית דבר |
|
תכה שלשה דרהמי ושרש חצי דבר בשני דרהמי ושרש שלישית דבר |
|
וכאשר תרצה זה תכה שרש חצי דבר בשרש שלישית דבר ויהיה שרש ששית אלגו |
|
ותכה שלשה דרהמי בשרש שלישית דבר ויהיה שרש שלשה דברים |
|
ותכה שרש שני דרהמי בשרש חצי דבר ויהיה שרש שני דברים |
|
ותכה שלשה דרהמי בשני דרהמי יהיה ששה דרהמי |
|
ותקבץ כל זה ויהיה ששה דרהמי ושרש ששית אלגו ושרש משלשה דברים ושרש משני דברים ישוו עשרים דרהמי |
|
ותגרע ששה דרהמי מעשרים דרהמי |
|
ישארו י"ד דרהמי ישוו שרש מששית אלגו ושרש משלשה דברים ושרש משני דברים |
|
ותגרע שרש מששית אלגו מי"ד דרהמי |
|
ישאר י"ד דרהמיש פחות שרש ששית אלגו ישוה שרש שלשה דברים ושרש שני דברים |
|
תכה י"ד דרהמי פחות שרש ששית אלגו בעצמו |
יהיה קצ"ו דרהמי וששית אלגו פחות שרש ק"ל אלגו ושני שלישים מאלגו ישוה שרש משלשה דברים ושרש משני דברים מוכים בעצמם והוא חמשה דברים ושרש כ"ד אלגוש | |
| |
|
|
|
ותאסוף הקצ"ו דרהמי וששית אלגו עם שרש ק"ל אלגוש ושני שלישיות מאלגו ותוסיפהו על חמשה דברים ושרש כ"ד אלגוש |
|
ויהיה חמשה דברים ושרש כ"ד אלגוש ושרש ק"ל אלגוש ושני שלישי אלגו ישוה קצ"ו וששית אלגו |
|
|
|
ותשלים הששית אלגו עד שיהיה אלגו והשלמתך הוא שתכהו בששה אחר זה תכה כל דבר שתחזיק בששה |
|
ויהיה אלגו ואלף קע"ו דרהמי ישוו שלשים דברים ושרש תתס"ד אלגוש ושרש ארבעת אלפי' תש"ד אלגוש |
|
ותחצה הדברים ושרש ארבעת אלפים תש"ד אלגוש ושרש תתס"ד אלגוש ויהיה ט"ו ושרש אלף קע"ו ושרש רי"ו |
|
תכם בעצמם יהיה אלף תרי"ז ושרש אלף אלפים ונ"ח אלפים ות' ושרש אלף אלפים וי"ו אלפים וס"ד ושרש מאה אלף וצ"ד אלפי' ות' |
|
ותגרע מהם אלף קע"ו ישאר תמ"א דרהמי ושרש אלף אלפים ונ"ח אלפים ות' ושרש אלף אלפים וי"ו אלפים וס"ד ושרש מאה אלף וצ"ד אלפים ות' |
|
תקח שרש זה וההוה תגרעהו מט"ו ושרש אלף קע"ו ושרש רי"ו ומה שישאר הוא האלגו |
| |
[second solution method] | |
|
ואם תרצה תעשה כמו שאומר לך עתה והוא שכאשר תכה ממספרי זאת השאלה בחמשה דברים ושרש כ"ד אלגוש ושרש ק"ל אלגוש ושני שלישי אלגו ישוו קצ"ו דרהמי וששית אלגו |
|
ותקבץ שרש כ"ד אלגוש ושרש ק"ל אלגו ושני שלישי אלגו כאשר בארתי לך ויהיה אז חמשה דברים ושרש רס"ו אלגוש ושני שלישי אלגו ישוו קצ"ו דרהמי וששית אלגו |
|
|
|
ותשלים האלגו שלך והוא שתכהו בששה |
|
ויהיה אלגו ואלף קע"ו דרהמי ישוה שלשים דברים ושרש תשעה אלפים ות"ר אלגוש |
ותחצה הדברים ושרש ט' אלפים ות"ר אלגוש ויהיה ט"ו ושרש אלפיים ות' תכם בעצמם יהיה אלפיים ותרכ"ה ושרש אלף אלפים וק"ס אלף | |
| |
[third solution method] | |
|
ואם תרצה תניח האלגו שלך שני אלגוש |
|
ותוסיף על שרש חציו שלשה ויהיה דבר ושלשה דרהמי |
|
ותוסיף על שרש שלישיתו שני דרהמי ויהיה שני דרהמי ושרש אלגו אלגו |
|
ותכה דבר ושלשה דרהמי בשני דרהמי ושרש שני שלישי אלגו |
|
ויהיה שני דברים וששה ושרש שני שלישי אלגו אלגו ושרש ששה אלגוש ישוו עשרים דרהמי |
|
ותגרע ששה דרהמי מעשרים דרהמי |
|
ישאר י"ד דרהמי ישוה שני דברים ושרש שני שלישי אלגו אלגו ושרש ששה אלגוש |
|
|
|
ותשלים שרש שני שלישי אלגו עד שיהיה שרש אלגו אלגו והשלמתך אותו הוא בשתכה אותו בשרש אחד וחצי ותכה כל דבר שתחזיק בשרש אחד וחצי |
|
ויהיה שרש אלגו אלגו ושרש ששה אלגוש ושרש תשעה אלגוש והוא שלשה דברים ישוו שרש רצ"ד דרהמי |
|
ושרש אלגו אלגו הוא אלגו |
|
ויהיה אלגו ושרש ששה אלגוש ושרש תשעה אלגוש והוא שלשה דברים ישוו שרש רצ"ד דרהמי |
ותחצה השלשה דברים ושרש ששה אלגוש ויהיה אחד וחצי ושרש אחד וחצי ותכם בעצמם יהיה שליש אחד וחצי ורביע ושרש י"ג אדרהמי וחצי | |
| |
|
ומה שישאר הוא חצי שרש האלגו בעבור שהנחנו שני אלגוש |
|
תכהו בעצמו וההוה הוא חצי האלגו |
|
כפלהו ויהיה האלגו |
|
ואם יאמרו לך אלגו תכהו בשרש עשרה ותחלק מה שיעלה על שנים ושרש שלשה ויעלה לאחד כל כך כמו שהוא האלגו פחות עשרה |
|
ואם תרצה תאמר אדם אחד קנה לחשבון שרש עשרה ומכר לחשבון שנים ושרש חמשה עשר כמה יהיה אלגו מהקרן |
|
מלאכתו הוא שתשים האלגו שלך דבר |
|
תכהו בשרש עשרה ויהיה שרש עשרה אלגוש |
|
ותחלק שרש עשרה אלגוש על שנים ושרש שלשה ויעלה שרש ארבעים אלגוש פחות שרש שלשים אלגוש |
|
וכאשר תרצה לדעת כיצד עלה שרש ארבעים אלגוש פחות שרש שלשים אלגוש תאמר חלקת שרש עשרה על שנים ושרש שלשה ועלה דבר |
|
וכאשר נכה דבר בשנים ושרש שלשה אלגוש ישוה שרש עשרה |
|
תגרע שני דברים משרש עשרה וישאר שרש עשרה פחות שני דברים ישוה שרש שלשה אלגוש |
|
תכה שרש עשרה פחות שני דברים בעצמו |
|
יהיה עשרה דרהמי וארבעה אלגוש פחות שרש ק"ס אלגוש ישוו שלשה אלגוש |
|
|
|
ותאספהו עם שרש ק"ס אלגוש ותוסיפהו על שלשה אלגוש |
|
ותגרע שלשה אלגוש מארבעה אלגוש |
|
ישאר אלגו ועשרה דרהמי ישוו שרש ק"ס אלגוש |
ותחצה שרש ק"ס יהיה שרש ארבעים תכהו בעצמו יהיה ארבעים | |
| |
|
וכבר התבאר שכבר חלקנו שרש עשרה דרהמי על עשרה ושרש שלשה יהיה העולה לאחד שרש ארבעים פחות שרש שלשים אלגוש |
For every number divided by a number - if the dividend is multiplied by a certain number, whatever it may be, and the product is divided by the same divisor, the quotient is equal to the first quotient multiplied by the certain number
|
בעבור כי כל מספר שיחלק על מספר יהיה המספר הנחלק כאשר נכהו במספר המספרים איזה מספר שיהיה ונחלק מה שיתהוה מההכאה על המספר הראשון והוא המחלק יהיה העולה לחלק כמו מה שיעלה מהחלק הראשון כאשר תכהו במספר שהכית בו המספר הנחלק |
|
ואנחנו חלקנו שרש עשרה דרהמי על שני דרהמי ושרש שלשה ועלה שרש ארבעים דרהמי פחות שרש שלשים דרהמי |
|
וכאשר נחלק שרש עשרה אלגוש על שנים ושרש שלשה יהיה מה שיעלה שרש ארבעים אלגוש פחות שרש שלשים אלגוש |
|
וכבר התבאר שכאשר נחלק שרש עשרה אלגוש על דבר ושרש שלשה יהיה מה שיעלה לאחד שרש ארבעים אלגוש פחות שרש שלשים אלגוש |
|
ושרש ארבעי' אלגוש פחות שרש שלשים אלגוש ישוה דבר פחות עשרה |
|
בעבור שאמר ועלה לאחד כמו אותו אחד פחות עשרה |
|
והאלגו הוא דבר |
|
ותכה דבר פחות עשרה בעצמו |
|
ויהיה אלגו ומאה דרהמי פחות עשרים דברי' ישוה שרש ארבעים אלגוש פחות שרש שלשים אלגוש מוכה בעצמו |
|
והוא שבעים אלגוש פחות שרש ארבעת אלפים ת"ת אלגוש אלגו |
|
ותגרע אלגו משבעים אלגוש ישאר ס"ט אלגוש |
|
|
|
ותאסוף המאה דרהמי עם עשרים דברים ותוסיפם על הס"ט אלגוש |
|
ותאסוף הס"ט אלגוש עם שרש ארבעת אלפים ות"ת אלגוש אלגו ותוסיפם על המאה דרהמי |
|
יהיה מאה דרהמי ושרש ארבעת אלפים ות"ת אלגוש ישוה ס"ט אלגוש ועשרים דברים |
|
ותגרע הס"ט אלגוש ממאה דרהמי ושרש ארבעת אלפים ת"ת אלגוש אלגו |
|
ישאר עשרים דברים ישוה מאה דרהמי ושרש ארבעת אלפים ת"ת אלגוש אלגו ועשרים דברים פחות ס"ט אלגוש |
|
|
והשב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתכה כל דבר שתחזיק באדרהם אחד ושלשים חלקים מל"ט חלקים מדרהם ושרש שלשה דרהמי ורל"ז חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדרהם | |
| |
|
בעבור שחלקנו אדרהם אחד על שרש ארבעת אלפים ותתצ"ו יהיה העולה לאחד אדרהם אחד ושלשים חלק מל"ט חלקים מאדרהם ושרש שלשה דרהמי ורל"ז חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדרהם |
|
והוא ידוע ממה שאמרנו שכאשר נחלק אחד על שרש ארבעת אלפים ות"ת אלגוש אלגו פחות ס"ט אלגוש יהיה העולה אל האלגו דרהם אחד ושלשים חלק מל"ט חלקים מאדרהם ושרש שלשה דרהמי ורל"ז חלקים מאלף תקכ"א חלקים מאדרהם יהיה אלגו |
ותכה מאה אדרהמיש באדרהם ושלשים חלק מל"ט חלקים מאדרהם ושרש שלשה ורל"ז חלקים מאלף תקכ"א חלקים מאחד ויהיה קע"ו דרהמי ול"ו חלקים מל"ט חלקים מדרהם ושרש ל"א אלפים ותקנ"ח אדרהמי ורפ"ב חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדרהם | |
| |
ותכה עשרים דברים באדרהם ושלשים חלק מל"ט חלקים מאדרהם ושרש שלשה דרהמיש ורל"ז חלקים מאלף תקכ"א חלקים מאחד ויהיה ל"ה דברים וט"ו חלקים משלשי' ותשע חלקים מדבר ושרש אלף רס"ב אלגוש ותצ"ח חלקים מאלף תקכ"א חלקים מאלגו אחד | |
| |
ויהיה אלגו וקע"ו דרהמי ול"ו חלקים מל"ט חלקים מדרהם ושרש מל"א אלפים ותקנ"ח דרהמי ורנ"ב חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדרהם ישוו ל"ה דברים וט"ו חלקים מל"ט חלקים מדבר ושרש מאלף רס"ב אלגוש ותצ"ח חלקים מאלף תקכ"א חלקים מאלגו | |
| |
ותחצה ל"ה דברים וט"ו חלקים מל"ט חלקים מדבר ושרש מאלף רס"ב אלגוש ותצ"ח חלקים מאלף תקכ"א חלקים מאלגו ויהיה י"ז דברים וחצי ושבעה חלקים וחצי מל"ט חלקים בדבר ושרש משט"ו אלגוש וחצי ותתפ"ה[46] חלקים מאלף תקכ"א חלקי' מאלגו תכם בעצמם יהיה תרכ"ח דרהמי ותתקי"ב חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדבר ושרש משצ"ה אלפים וק"ל דרהמי ואלף אלפים ונ"ז אלפים ותר"ע חלקים מן 1300441 חלקים מאדרהם | |
| |
|
ואם יאמרו שני אלגוש והאחד שלשה דמיוני האחר הוספת על כל אחד מהם שרשו שלו והכית האחד באחר והיה עשרה דמיוני האלגו הגדול |
|
מלאכתו שתניח האלגו האחד דבר |
|
והאחר שלשה דברים |
|
ותוסיף על הדבר שרשו ויהיה דבר ושרש דבר |
|
ותוסיף על השלשה דברים שרשו ויהיה שלשה דברים ושרש שלשה דברים |
|
ותכה דבר ושרש דבר בשלשה דברים ושרש שלשה דברים |
|
יהיה שלשה אלגוש ושרש שלשה אלגוש ושרש תשעה מעוקבים ושרש שלשה מעוקבים ישוו עשרה דמיוני האלגו הגדול |
|
והוא שלשים דברים |
|
תחלק כל דבר שתחזיק על דבר |
|
ויהיה שלשה דברים ושרש שלשה דרהמי ושרש תשעה דברים ושרש שלשה דברים ישוו שלשים דרהמי |
|
ותגרע שלשה דברים ושרש שלשה דרהמי משלשים דרהמי |
|
ישאר שלשים דרהמי פחות שלשה דברים ושרש שלשה דרהמי ישוה שרש תשעה דברים ושרש שלשה דברי' |
|
ותכה שלשים דרהמי פחות שלשה דברים ושרש שלשה דרהמי בעצמו |
יהיה תתק"ג דרהמי ותשעה אלגוש ושרש מק"ח אלגוש פחות ק"פ דברים ופחות שרש עשרת אלפים ות"ת דרהמי ישוו עשרה דברים ושרש מק"ח אלגוש | |
| |
|
ישאר תתק"ג דרהמי ותשעה אלגוש פחות ק"פ דברים ופחות שרש עשרת אלפים ות"ת דרהמי ישוה שנים עשר דברים |
|
|
|
ותאספם עם הק"פ דברים ותוסיפם על השנים עשר דברים |
|
ויהיה קצ"ב דברים ישוו תתק"ג דרהמי ותשעה אלגוש פחות שרש מעשרת אלפים ת"ת דרהמי |
|
ותעשה כאשר בארתי לך |
|
ואם יאמרו לך אלגו אשר שרשו ושרש שרשו ושרש שני שרשיו ושרש חמשה דמיוני האלגו יהיה עשרה דרהמי |
|
מלאכתו שתניח האלגו שלך אלגו |
|
תקח שרשו ושרש שרשו ושרש שני שרשיו ושרש חמשה דמיוני האלגו |
|
ויהיה דבר ושרש דבר ושרש שני דברים ושרש חמשה אלגוש ישוו עשרה דרהמי |
|
ותגרע דבר ושרש חמשה מעשרה דרהמי |
|
ישאר עשרה דרהמי פחות דבר ופחות שרש מחמשה אלגוש ישוה שרש מדבר ושרש משני דברים |
|
ותכה עשרה דרהמי פחות דבר ופחות שרש מחמשה אלגוש בעצמו |
ויהיה מאה דרהמי וששה אלגוש ושרש מעשרים אלגוש אלגו פחות עשרים דברים ופחות שרש אלפיים אלגוש אלגו ישוה שרש מדבר ושרש משני דברים מוכה בעצמו | |
| |
|
והוא שלשה דברים ושרש משמנה אלגוש |
|
|
|
ותכוין עמהם ויהיה אחר הכוון כ"ג דברים ושרש אלפיים אלגוש ושרש משמנה אלגוש ישוו מאה דרהמי וששה אלגוש ושרש מעשרים אלגוש אלגו |
|
|
והשב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד והוא שתכהו בשלשה שמיניות מדרהם פחות שרש מחמשה שמיניות משמינית ויהיה אלגו | |
| |
|
ותכה מאה דרהמי בשרש שלשה שמיניו' פחות שרש מחמשה שמיניות שמינית ויהיה שלשים ושבעה דרהמי וחצי פחות שרש תשפ"א דרהם ורביע |
ותכה כ"ג בשלשה שמיניות פחות שרש מחמשה שמיניות שמינית יהיה שמנה דברים וחמשה שמיניות מדבר פחות שרש ממ"א אלגו ורביע מאלגו וחמשה שמיניות משמינית מאלגו | |
| |
ותכה שרש אלפיים אלגוש בשלשה שמיניות פחות שרש חמשה שמיניות ויהיה שרש רפ"א אלגוש ורביע פחות י"ב דברים וחצי | |
| |
ותכה שרש משמנה אלגוש בשלשה שמיניות פחות שרש חמשה שמיניות משמינית ויהיה שרש מאלגו ושמינית פחות שרש מחמשה שמיניות מאלגו | |
| |
ויהיה זה כלו אלגו ול"ז דרהמי וחצי פחות שרש תשפ"א דרהמי ורביע ישוה שרש מרפ"א אלגוש ורביע ושרש מאלגו ושמינית פחות שלשה דברים ושבעה שמיניות מדבר פחות שרש ממ"א אלגוש ורביע וחמשה שמיניות משמינית מאלגו ופחות שרש מחמשה שמיניות מאלגו | |
| |
|
ותעשה כמו שהראיתיך |
|
ואם יאמרו לך שלשה אלגוש בלתי שוים אם תכה הקטן בעצמו והאמצעי בעצמו יהיו כמו הגדול בעצמו |
|
מלאכתו שתניח הקטן דבר |
|
ויהיה האמצעי עשרה דרהמי נחלקים על דבר |
|
ויהיה הגדול מאה דרהמי נחלקים על מעוקב |
|
בעבור כי מרובע האמצעי כאשר חולק על הקטון יעלה הגדול |
|
ומרובע האמצעי מאה דרהמי נחלקים על אלגו |
|
וכאשר חולקו על הקטן והוא דבר יעלה האלגו הגדול והוא מאה דרהמי נחלקים על מעוקב |
|
וכבר התבאר כי האלגו הקטן כאשר הונח דבר יהיה האלגו האמצעי עשרה דרהמי נחלקים על דבר |
|
ותכה הקטן והוא דבר בעצמו ויהיה אלגו |
|
ותכה האמצעי והוא עשרה דרהמי נחלקים על דבר בעצמו ויהיו מאה דרהמי נחלקים על אלגו |
|
ותחברם ויהיה אלגו ומאה דרהמי נחלקים על אלגו |
|
ותכה האלגו באלגו יהיה אלגו מאלגו |
|
וכבר התבאר שכאשר נחלק אלגו אלגו אלגו אלגו ומאה אלגוש מאלגו על מעוקב ממעוקב יעלה מרובע האלגו האמצעי ומרובע האלגו הקטן |
|
ותכה האלגו הגדול והוא מאה דרהמי נחלקים על מעוקב בעצמו ויהיה מרובע האלגו הגדול עשרת אלפים דרהמי נחלקי' על מעוקב ממעוקב |
|
וישוה כמו מרובע האמצעי וכמו מרובע הקטן והוא אלגו אלגו אלגו אלגו ומאה אלגו אלגו נחלקים על מעוקב ממעוקב |
|
ויהיה עשרת אלפים דרהמי ישוו אלגו אלגו אלגו אלגו ומאה אלגו אלגו |
ותחצה המאה אלגו אלגו ויהיה חמשים ותכם בעצמם יהיה אלפיים ת"ק | |
| |
|
ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשלשה חלקים ותכה הקטן בעצמו והאמצעי בעצמו ויהיו כמו הגדול בעצמו |
ואמור עתה העשרה דרהמי ואמור כאשר אמרו לך שלשה אלגוש בלתי שוים אם הכית הקטן בעצמו והאמצעי בעצמו יהיו כמו הגדול בעצמו וכאשר הכית הקטון בגדול יהיה כמו האמצעי בעצמו | |
|
ומלאכתו שתניח הקטן דרהם אחת והאמצעי דבר והגדול אלגו |
|
בעבור כי כאשר הכינו הקטון בגדול יהיה כמו האמצעי בעצמו |
|
ותכה הקטן בעצמו והאמצעי בעצמו ויהיה חבורם אלגו ודרהם אחת ישוו אלגו אלגו שהוא כמו הכאת הגדול בעצמו |
|
ותעשה כמו שאמרתי לך |
|
ויהיה האלגו חצי דרהם ושרש מאחד ורביע והוא האלגו הגדול |
|
ושרש זה הוא האלגו האמצעי והוא חצי דרהם ושרש מאחד ורביע הנלקח שרשו |
|
והאלגו הקטן הוא דרהם אחד |
|
ותקבץ השלשה אלגוש ויהיו אדרהם וחצי ושרש מאחד ורביע וחצי דרהם ושרש אחד ורביע הנלקח שרשו |
|
ותשוב אל העשרה דרהמי ותאמר חלקנו עשרה דרהמי על דרהם וחצי ושרש אחד ורביע הנלקח ממנו שרשו ויעלה דבר |
|
וכבר ידעת כי כאשר תכה מה שעלה לחלק על המחלק יהיה עשרה דרהמי |
|
ותכה דבר באדרהם וחצי ושרש אחד ורביע הנלקח שרשו |
יהיה דבר וחצי דבר ושרש מאלגו ורביע וחצי אלגו ושרש מאלגו אלגו ורובע אלגו אלגו הנלקח ממנו שרשו ישוו עשרה דרהמי | |
| |
|
ותגרע הדבר וחצי ושרש מאלגו ורביע מעשרה דרהמי |
וישאר עשרה דרהמי פחות דבר וחצי פחות שרש מאלגו ורביע ישוה חצי אלגו ושרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו הנלקח ממנו שרשו | |
| |
|
ותכה עשרה דרהמי פחות דבר וחצי ופחות שרש מאלגו ורביע בעצמו |
יהיה מאה דרהמי ושלשה אלגוש וחצי ושרש אחד עשר אלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות שלשים דברים ופחות שרש מת"ק אלגוש ישוה חצי אלגו ושרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו | |
| |
|
|
|
ותאסוף המאה דרהמי עם שלשים דברים ועם שרש ת"ק אלגוש ותוסיפם עם חצי אלגו ושרש אלגו אלגו ורביע אלגו אלגו |
|
ותגרע חצי אלגו משלשה אלגו וחצי |
|
ותגרע שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו משרש י"א אלגו אלגו ורביע אלגו אלגו |
|
ישאר מאה דרהמי ושלשה אלגוש ושרש מחמשה אלגוש אלגו ישוה שלשים דברים ושרש מת"ק אלגוש |
|
|
ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתכם בשלשה רביעים פחות שרש רביע וחצי שמינית | |
| |
|
ויהיה אלגו וע"ה דרהמי פחות שרש משלשת אלפים וקכ"ה דרהמי ישוה עשרה דברים |
|
ותחצה הדברים ותכם בעצמם יהיה כ"ה |
|
ותגרע מהם הע"ה פחות שרש מג' אלפים וקכ"ה ישאר שרש מג' אלפים וקכ"ה דרהמי פחות חמשים דרהמי |
|
ותגרע מזה שרשו ומה שישאר הוא החלק הקטן מהשלשה חלקים שהם כלם עשרה דרהמי |
| |
Finding the larger part:
|
וכאשר תרצה לדעת החלק הגדול תניח האלגו הגדול מהשלשה אלגוש הבלתי שוים דרהם אחד והקטן דבר והאמצעי שרש מדבר |
|
והנחנו אלו השלשה אלגוש כאשר אמרנו בעבור כי הכאת הקטן בגדול הוא כמו האמצעי בעצמו |
|
ותכה הקטן בעצמו ויהיה אלגו והאמצעי בעצמו ויהיה דבר ותקבצם ויהיה כמו הגדול בעצמו והוא דרהם אחד |
|
ודבר ישוה שרש מאחד ורביע פחות חצי דרהם והוא האלגו הקטון |
|
והאמצעי הוא שרש זה ושרש מאחד ורביע פחות חצי הנלקח שרשו |
|
והגדול דרהם אחד |
|
ותקבץ השלשה אלגוש ויהיו חצי דרהם ושרש מאחד ורביע ושרש מאחד ורביע פחות חצי גרוע שרשו |
|
ותעשה כמו שעשית בחלק הקטן והוא שתשוב אל העשרה דרהמי ותאמר חלקנו עשרה דרהמי על חצי דרהם ושרש מאחד ורביע ושרש מאחד ורביע פחות חצי גרוע שרשו ועלה דבר |
|
וכאשר נכה מה שעלה לחלק במחלק יהיה עשרה דרהמי |
|
אחר כן תכה דבר בחצי דרהם ושרש מאחד ורביע ושרש מאחד ורביע פחות חצי לקוח שרשו |
|
ויהיה חצי דבר ושרש מאלגו ורביע ושרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות חצי אלגו אלגו לקוח שרשו ישוה עשרה דרהמי |
|
ותגרע חצי דבר ושרש מאלגו ורביע אלגו מעשרה דרהמי |
ישאר עשרה דרהמי פחות חצי דבר ופחות שרש מאלגו ורביע ישוה שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות חצי אלגו לקוח שרשו | |
| |
|
ותכה עשרה פחות חצי דבר ופחות שרש מאלגו ורביע בעצמו |
ויהיה מאה דרהמי ואלגו וחצי אלגו ושרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות עשרה דברים ופחות שרש מת"ק אלגוש ישוה שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות חצי אלגו | |
| |
|
|
|
ותאסוף המאה דרהמי עם העשרה דברים ושרש מת"ק אלגוש ותוסיפם על שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות חצי אלגו |
|
ותאסוף שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו עם החצי אלגו ותוסיפם על האלגו וחצי |
|
ותגרע שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו משרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו |
|
ישאר מאה דרהמי ושני אלגוש ישוה עשרה דברים ושרש מת"ק אלגוש |
|
ותשיב השני אלגוש לאלגו אחד וכבר ידעת שאלגו אחד משני אלגוש הוא חציו |
|
|
|
ותקח מכל דבר שתחזיק מחציתו |
|
ויהיה אלגו וחמשים דרהמי ישוו חמשה דברים ושרש מקכ"ה אלגוש |
|
ותחצה הדברים ושרש מקכ"ה אלגוש ויהיה שנים וחצי ושרש מל"א ורביע |
|
תכם בעצמם ויהיה ל"ז וחצי ושרש מן תשפ"א ורביע |
|
ותגרע מהם החמשים דרהמי ישאר שרש מתשפ"א ורביע פחות שנים עשר וחצי |
|
ושרש זה כשנגרע משנים וחצי ושרש מל"א ורביע הנה מה שישאר הוא החלק הגדול האמור |
| |
|
וכבר בארנו כי החלק הקטן הוא שרש משלשת אלפים וקכ"ה פחות חמשים דרהמי לקוח שרשו ונגרע מחמשה |
והוא ידוע כי החלק האמצעי הוא מה שישאר מן העשרה והוא שני דרהמי וחצי ושרש מתשפ"א ורביע פחות י"ב וחצי לקוח שרשו ושרש משלשת אלפים וקכ"ה דרהמי פחות חמשים דרהמי לקוח שרשו הנגרע מזה שרש מל"א ורביע וזה החלק יהיה מלבד זאת התשובה והוא מה שיגיע לדבר אחד | |
| |
|
והוא שאומר שהחלק האמצעי הוא י"ב וחצי ושרש מתשפ"א ורביע לקוח שרשו ונגרע ממנו שרש מל"א ורביע פחות שני דרהמי וחצי |
|
ואם תרצה אמור שני דרהמי וחצי וי"ב דרהמי וחצי ושרש מתשפ"א ורביע לקוח שרשו וגרוע מכל זה שרש מל"א ורביע |
As was done for the smaller part and for the larger part, the same should be done for the middle part. | ואם תרצה לעשות בחלק האמצעי כמו שעשית בחלק הקטן ובחלק הגדול |
|
תשים האלגו האמצעי מהשלשה אלגוש הבלתי שוים שנים דרהמי והאלגו הקטן דבר |
|
ותכה דבר בשרש מאלגו וארבעה דרהמי ויהיה שרש מאלגו אלגו וארבעה אלגוש ישוה ארבעה דרהמי |
|
ותכה ארבעה דרהמי בעצמם |
|
ויהיה שש עשרה דרהמי ישוה אלגו אלגו וארבעה אלגוש |
|
והאלגו ישוה שרש מעשרים פחות שני דרהמי |
|
ושרש זה כלו הוא האלגו הקטן |
|
והאלגו האמצעי הוא שני דרהמי |
|
והאלגו הגדול הוא שני דרהמי ושרש מעשרים לקוח שרשו |
|
ותחלק עשרים על אלו שלשה אלגוש שאמרנו |
The reason for dividing by twenty and not by any other number is that the middle part was defined as two dirham. | והסבה אשר בעבורה חלקנו עשרים ולא מספר אחר בעבור שהנחנו האלגו האמצעי שני דרהמי |
|
ועלה דבר |
|
ותכה דבר בשני דרהמי ושרש עשרים לקוח שרשו ושני דרהמי ושרש מעשרים פחות שני דרהמי לקוח שרשו |
|
ויהיה שני דברים ושרש מעשרים אלגו אלגו פחות שני אלגוש לקוח שרשו ושני אלגוש ושרש מעשרים אלגוש אלגו לקוח שרשו ישוה עשרים דרהמי |
|
ותגרע שני דברים מעשרים דרהמי |
|
ישאר עשרים דרהמי פחות שני דברים ישוה שני אלגוש ושרש מעשרים אלגוש מאלגו לקוח שרשו ושרש מעשרים אלגוש מאלגו פחות שני אלגוש לקוח שרשו |
ומוכה בעצמו והוא שמנה אלגוש ושרש משמנים אלגוש מאלגו | |
| |
|
ויהיה שמנה אלגוש ושרש משמנים אלגוש מאלגו ישוה ת' דרהמי וארבעה אלגוש פחות שמנים דברים |
|
|
|
ותאסוף הארבע מאות והד' אלגוש עם הפ' דברים ותוסיפם על השמנה אלגוש ושרש משמנים אלגוש מאלגו |
|
ותגרע ארבעה אלגוש משמנה אלגוש |
|
ישאר ת' אדרהמי ישוה ארבעה אלגוש ופ' דברים ושרש מפ' אלגוש מאלגו |
|
|
ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד והוא שתכה כל דבר שתחזיק בשרש משמינית השמינית ורביעית משמינית השמינית פחות חצי שמינית אדרהם | |
| |
|
ויהיה אלגו ושרש מקכ"ה אלגוש וגרוע ממנו חמשה דברים ישוה שרש משלשת אלפים וקכ"ה פחות כ"ה |
|
ותחצה הדברים ויהיו שרש מל"א ורביע פחות שנים וחצי |
|
תכהו בעצמו יהיה ל"ז וחצי פחות שרש מת"ש פ"א ורביע |
|
תוסיף עליהם שרש משלשת אלפים וקכ"ה דרהמי פחות כ"ה יהיה י"ב וחצי ושרש מן 781 ורביע |
|
ושרש זה גרוע ממנו שרש מל"א ורביע פחות שנים וחצי |
| |
|
וישאר החלק האמצעי והוא שני דרהמי וחצי ושרש מתשפ"א ורביע ומוסף עליו י"ב וחצי ולקוח שרשו וגרוע מכל זה שרש מל"א ורביע |
|
ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותם לשני חלקים והוספת על החלק האחד שני שרשיו וגרעת מן החלק האחר שני שרשיו והשתוו החלקים |
[first solution method] | |
|
ומלאכתו שתשים החלק האחד חמשה ודבר |
|
והאחר חמשה פחות דבר |
|
ותוסיף על חמשה פחות דבר שני שרשיו ויהיה חמשה פחות דבר ושרש עשרים פחות ארבעה דברים |
|
ותגרע מחמשה ודבר שני שרשיו |
|
וישאר חמשה ודבר פחות שרש מעשרים דרהמי וארבעה דברים ישוה חמשה פחות דבר ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים |
|
|
|
ותאסוף החמשה ודבר עם שרש עשרים ועם ארבעה דברים ותוסיפם על חמשה פחות דבר ושרש מעשרי' דרהמי וארבעה דברים ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים ישוה חמשה ודבר |
|
ותאסוף החמשה פחות דבר ושרש מעשרים דרהמי וארבעה דברים ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים |
|
תכה שני דברים בשני דברים ויהיה ארבעה אלגוש |
|
ותכה שרש מעשרים דרהמי וארבעה דברים ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים בעצמו |
|
וכאשר תרצה זה תכה שרש מעשרים פחות ארבעה דברים בעצמו ויהיה עשרים פחות ארבעה דברים |
|
ותכה שרש מעשרים וארבעה דברים בעצמו יהיה עשרים וארבעה דברים |
|
ותקבצם ויהיה ארבעים דרהמי |
|
ותכה עשרים פחות ארבעה דברים בשרש עשרים דרהמי וארבעה דברים ויהיה שרש מארבע מאות פחות ששה עשר אלגוש |
|
ותכפלם ויהיה שרש מאלף ות"ר פחות ס"ד אלגוש |
|
ושרש זה כשיתוסף על ארבעים הוא שרש מעשרים דרהמי וארבעה דברים ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים בעצמו |
|
ויהיה ארבעים דרהמי ושרש מאלף ות"ר פחות ס"ד אלגוש ישוה ארבעה אלגוש |
|
ותגרע ארבעי' דרהמי מארבעה אלגוש |
|
וישאר ארבעה אלגוש פחות ארבעים דרהמי ישוה שרש מאלף ות"ר פחות ס"ד אלגוש |
|
ותכה ארבעה אלגוש פחות ארבעה דרהמי בעצמו |
|
ויהיה ששה עשר אלגוש מאלגו ואלף ות"ר דרהמי פחות ש"כ אלגוש ישוה אלף ות"ר פחות ס"ד אלגוש |
|
|
|
ותכוין עמהם ויהיה ששה עשר אלגוש ישוה רנ"ו אלגוש |
|
והאלגו מהאלגו ישוה ששה עשר אלגוש |
|
והאלגו ישוה ששה עשר דרהמי |
|
והדבר ישוה ארבעה דרהמי |
|
תוסיפם על חמשה ותגרעם מחמשה בעבור שהנחת החלק האחד חמשה ודבר והחלק האחר חמשה פחות דבר ויהיה החלק האחד תשעה והאחר אחד |
[second solution method] | |
|
ואם תרצה תעשה לפי זה המעשה והוא שתשים החלק האחד חמשה ודבר |
|
והאחר [47]חמשה פחות דבר |
|
ותוסיף על הקטן שני שרשיו ויהיה חמשה פחות דבר ושני שרשים מחמשה פחות דבר |
|
ותגרע מהחלק האחד שני שרשיו |
|
וישאר חמשה ודבר פחות שני שרשים מחמשה ודבר ישוה חמשה פחות דבר [ושני שרשי' מחמשה פחות דבר][48] |
|
|
|
ותאסוף חמשה ודבר עם שני שרשים מחמשה ודבר ותוסיף [שני שרשי' מחמשה ודבר][49] על חמשה פחות דבר ושני שרשים מחמשה פחות דבר |
|
ויהיה חמשה פחות דבר ושני שרשים מחמשה ודבר ושני [שרשי' מחמשה][50] פחות דבר ישוה חמשה ודבר |
|
ותאסוף החמשה עם הדבר ותוסיפהו על חמשה ודבר |
|
ותגרע חמשה מחמשה |
|
ישאר שני דברים ישוה שני שרשים מחמשה פחות דבר ושני שרשים מחמשה ודבר |
|
והדבר האחד ישוה שרש מחמשה ודבר ושרש מחמשה פחות דבר |
|
ותכה דבר בדבר ויהיה אלגו |
|
ותכה שרש מחמשה ודבר ושרש מחמשה פחות דבר בעצמו |
|
ויהיה עשרה דרהמי ושרש ממאה דרהמי פחות ארבעה אלגוש ישוה אלגו |
|
ותגרע עשרה דרהמי מאלגו |
|
ישאר אלגו פחות עשרה דרהמי ישוה שרש ממאה דרהמי פחות ארבעה אלגוש |
|
ותכה אלגו פחות עשרה דרהמי בעצמו |
|
ויהיה אלגו אלגו ומאה דרהמי פחות עשרים אלגוש ישוה מאה דרהמי פחות ארבעה אלגוש |
|
|
|
ותכוין עמהם ויהיה הדבר ישוה ארבעה דרהמי |
|
תוסיפם על חמשה |
[third solution method] | |
|
ואם תרצה כאשר |
|
שתגרע שרש מחמשה ודבר מדבר |
|
ישאר דבר פחות שרש מחמשה ודבר בעצמו |
|
וכאשר תרצה זה תכה דבר בעצמו ויהיה אלגו |
|
ותכה שרש מחמשה ודבר בדבר ויהיה שרש מחמשה אלגוש ומעוקב נגרע |
|
ותכה שרש מחמשה ודבר בעצמו ויהיה חמשה ודבר נוסף |
|
ותקבצם ויהיה אלגו וחמשה דרהמי ודבר פחות שרש מעשרים אלגוש וארבעה מעוקבים ישוה חמשה דרהמי פחות דבר |
|
|
|
ותאסוף החמשה דרהמי פחות דבר עם הדבר ותוסיפהו על האלגו וחמשה |
|
ותאסוף האלגו והחמשה והדבר עם שרש מעשרים אלגוש וארבעה מעוקבים ותוסיפהו על החמשה |
|
ותגרע חמשה מחמשה |
|
ישאר אלגו ושני דברים ישוה שרש מעשרי' אלגוש וארבעה מעוקבים |
|
ותכה אלגו ושני דברים בעצמו |
|
יהיה אלגו אלגו וארבעה אלגוש וארבעה מעוקבים ישוה עשרים דרהמי וארבעה מעוקבים |
|
ותגרע ארבעה מעוקבים מארבעה מעוקבים |
|
וארבעה אלגוש מארבעה אלגוש |
|
ישאר אלגו מאלגו ישוה שש עשרה אלגוש |
|
והאלגו ישוה ששה עשר דרהמי |
|
[51]והדבר ישוה ארבעה דרהמי |
|
תוסיפם על חמשה ותגרעם מן החמשה ויהיה החלק האחד תשעה והאחר אחד |
If one wishes, it is done by the following procedure: | ואם תרצה תעשה כמעשה הזה |
|
והוא שכל שני מספרים בלתי שוים שתגרע מהגדול שרשו ותוסיף על הקטון שרשו ויהיו שוים |
|
הנה שרש מהמספר הגדול יותר משרש המספר הקטן באחד לעולם בעבור שאמר שרש ושרש |
|
ואם אמר תגרע מהגדול שני שרשיו ותוסיף על הקטון שני שרשיו ויהיו שוים |
|
אז יהיה שרש המספר הגדול יותר משרש ממספר הקטון בשנים |
|
ואם אמר שלשה שרשים ושלשה שרשי' |
|
יהיה שרש המספר הגדול גדול משרש המספר הקטן בשלשה |
And so on, → for two roots as well as for more or less, when the roots are equal in addition and subtraction as said. | וכן יהיה לעולם כפי כמות מספר השרשים שישוו עמהם וכן עם השנים שרשי' מהמספר וכן כל אשר |
Geometric Illustration | |
|
והמשל בזה שאשים השני אלגוש מרובעי אגב"ד הדו"ז על קו אחד הוא קו גדז"פ |
|
ואשים האלגו הגדול מרובע אגב"ד |
|
והאלגו הקטון מרובע הדו"ז |
|
ואשים המרובע הגדול כאשר יגרע ממנו שני שרשיו ונוסיף על המרובע הקטון שני שרשיו שאז ישתוו |
|
והוא ידוע שצלע מרובע אבג"ד יותר ארוך מצלע מרובע הדו"ז בשעור קו ב"ה |
|
ואומר שקו ה"ב שנים |
|
ואם לא יוכל יהיה יותר או פחות משנים |
|
ותניחהו ראשונה יותר משנים |
|
ותניח קו ב"ל ממנו שנים |
|
ותוציא קו ל"ט שוה לקו ג"ד |
|
ויהיה שטח א"ל שני שרשים משטח א"ד |
|
ותוסיף על קו ה"ו והוא קו ו"ע |
|
וישאר שטח ו"פ ויהיה שטח ו"פ מרובע ה"ז |
|
ויהיה שטח ל"ג ו"ה שוים |
|
וקו ד"ל יותר ארוך מקו ה"ד |
|
וקו ה"ד הוא כמו קו ז"פ |
|
ויהיה קו ב"ד יותר ארוך מקו ד"פ |
|
וד"ל יותר ארוך מקו ד"ה |
|
ויהיה שטח ל"ג גדול משטח ה"פ אבל כבר הנחנום שוים |
|
הנה לא יתכן שיהיו יותר משנים |
|
ואומר שלא יתכן היותו פחות משנים |
|
ואם אפשר נניחהו |
|
ויהיה קו ב"ח שנים |
|
ויהיה שטח א"ח שני שרשים ממרובע א"ד |
|