עיר סיחון

	אישים באו קרית ספר
	בה כל מספר תוכלו לבחון
	את שם העיר אגיד לכם
	הלא כי חשבון עיר סיחון
Introduction
The author: Yoseph b. rabi Moshe ha-Ṣarfati [= the French] Ish Ḥay	אמר יוסף בר משה הצרפתי איש חי
Arithmetic contains signs for the unity of God	מאשר ראיתי כי חכמת החשבון היא חכמה מפוארה ונחמדת עד מאד והיוצר ברוך הוא שם בתכונת החשבון סוד אחדותו
Realizing that, the author decided to write a book on arithmetic in a clear and explicit language, drawn from the studies of the ancient scholars, for their way is hidden and concealed	יעצוני לבי וכליותי לחבר ממנה ספר אחד כאשר אוציא ממחקרי החכמים הקדומים בלשון גלוי ומבואר לכל משכיל למען אשר דרכה הנסתר ונעלם וצריכה דעת רחבה בפתחו של אולם
The author expects that all those who are interested in the words of wisdom of the book will benefit much from its additional interpretation	וירוחו בני אדם אשר נדב להם אל דברי החכמות בזה הספר מאד בתוספת הביאור
The author himself will benefit from writing the book: memorizing the wisdom properly when actualizing it by linguistic phrasing. Therefore, the author will gain learning as well as teaching	וארויח אנכי גם כן שתשתמר החכמה בקרבי היטב בהוציאי אותה במליצת לשוני ואזכה ללמוד וללמד
A short rhyme of praise to God – asking him for a shelter and for turning a good thought into act	ויוצרי יהיה לי למעוז ומחסה ומחשבתי הטובה יצרף אותה למעשה למען רחמיו וחסדיו אשר נפלאו ועצמו מספר כל מעמדיו יהי שמו משובח לעד ומפואר לנצח
The name of the work ʽIr Siḥon refers to biblical phrase in which Siḥon is associated with the Hebrew word ḥeshbon = arithmetic Numbers 21, 27: בֹּאוּ חֶשְׁבּוֹן; תִּבָּנֶה וְתִכּוֹנֵן, עִיר סִיחוֹן = "Come to Ḥeshbon, may it be built and established as the city of Siḥon"	וקראתי שם הספר הזה עיר סיחון על שם כי חשבון עיר סיחון
Table of Contents	ונחלק הספר הזה לאחד עשר חלקים
	השער הראשון ביסוד המספר ותולדת האחד
	השער השני במדרגת המספר וסכו' האותיות אשר ישתמשו בהם החכמים בזאת המלאכה
	השער השלישי במחברת חשבונות רבים זה עם זה
	השער הד' במגרעת חשבון קטן מחשבון גדול
	השער החמישי בכפילת הכאת האחדים על עצמם או על אחדים אחרים או בכפול הכאת כל חשבון או על חשבו' אחר
	השער הששי בחלוקת חשבון גדול על חשבון קטן ממנו ובזה השער אדבר על מאזני הכפל והחילוק והחיבור והמגרעת
	השער השביעי בלקיחת גדר המספר השלם היותר קרוב אליו
	השער הח' במערכת חשבון מחשבון אחר
	השער התשיעי בידיעת חלקי השבר מן השלם בין בכפל בין בחלוק [בין] במגרעת
	השער העשירי בידיעת צלעות המרובעים מחשבו' החדש וה[אלם] על דרך קרוב
	השער הי"א בכללים נחמדים והם פרפראות החכמה הזאת וקצת מהשאלות העמוקות והקשות אזכיר בשער הזה בעזרת האל אלהי ישראל

Chapter One – The Nature of the One and Foundation of Numbers	השער הראשון בתולדות האחד ויסוד כל המספרים
Numeration
Introduction – the nature of the one and the foundation of all numbers
One is not affected by change or multiplicity, but is the cause of any change and multiplicity	דבר ידוע ברור ואמתי הוא כי האחד אננו מקבל לא שנוי ולא ריבוי אבל הוא מקבל [סבת] כל ריבוי ושינוי
One is eternal and the origin of all numbers, by which all numbers are generated	והוא קדמון ואב לכל המספרים וכלם מתחדשים בעבורו כי הוא להם שורש ויסוד וממנו צומחים כל החשבונות
A learned person may draw hints from the numerical one regarding the secret of the unity of God	ומזה יוכל להבין כל משכיל קצת רמיזות מסוד אחדות הש' הנכבד והנורא
The names of the numbers
Units
Two	והנה כאשר נחבר אחד עם אחד והיא ההרכבה הראשונ' נקרא זה שנים
Three	וכשנוסיף על השנים אחד נקרא זה שלשה
Four	וכשנוסיף על השלשה אחד נקרא זה ארבעה
Five	וכן בתוספת אחד על הארבעה יקרא חמש'
Six	ובתוספת אחד על חמשה יקרא ששה
Seven	ובתוספת אחד על ששה יקרא שבעה
Nine	ובתוספת אחד על שמונה יקרא תשעה ואלה המספרים התשעה נקראים אחדים
Tens	וכאשר נוסף אחד על תשעה נקרא זה עשרה והוא ראשית כל חשבון עשרות
Ten ten in the rank of tens is like one in the rank of units	והנה חשבון העשרה בחשבון העשרות כמו האחד באחדים
Twenty	וכשיהיו לו שני עשרות נקרא אותם עשרים
Thirty	ונקרא לשלש עשרות שלשים
Forty	ולארבע עשרות ארבעים
Fifty	ולחמש חמשים
Sixty	ולשש ששים
Seventy	ולשבע שבעים
Eighty	ולשמנ' שמנים
Ninety	ולתשע עשרות תשעים
all the names of the tens are borrowed from the units	וכל השמות האלה הם מושאלים משמות האחדים והנה תשעים בעשרות כמו תשעה באחדים
Hundreds
Hundred as an inclusive name for ten tens	וכאשר יהיה לנו עשר עשרות נקרא להם בשם כולל מאה והוא ראשית חשבון המאות כמו האחד ראשית האחדים והעשרה ראשית העשרות
Thousands
Thousand as an inclusive name for ten hundreds	וכשיתקבצו עשרה מאו' נקרא להם בשם כולל אלף והוא ראשית האלפים כמו מאה שהוא ראשית המאות
	אמנם למאות אין להם שם כולל עד שנגיע לעשר מאות שיקראו אלף כאמור
	וכן האלפים אי להם שם כולל כלל
The twelve names of numbers	כי כל שמות המספרים החלוקים זה מזה הם שנים עשר לא פחות ולא יותר
the nine names of the units	ואלה הם תשעה שמות האחדים
ten	ושם העשרה
hundred	ושם המאה
thousand	ושם האלף
	והנה כל המספרים ילקחו מאלו השנים עשר שמות
	כי עשרי' ומאתים ואלפים הם כמו שני אחדים כל אחד ואחד כפי מעלתו
	וכן כאשר נאמר אחד עשר או שנים עשר הנה הם שמות מורכבים מאחדי' ומעשרות
	ועל הדרך הזה יתיילדו וילוו כל המספרים מאלו השמות השנים עשר המפורשים

Chapter Two – the Decimal Ranks and the Ten Digits	השער השני במדרגות המספר וסכום האותיות אשר ישתמשו בהם החכמים בזאת המלאכה
The names of the ranks
determined according to the principle that every rank is tithe of the subsequent rank	הנה התבאר בשער הקודם לזה כי כל א' שמות המספרים הם מושאלי' מתשעה שמות האחדי' עד אשר יבא החשבון העשירי ונקרא לו בשם אחד כולל ומפני זה נחלקו המספרים למדרגות מדרגות
	ויקראו האחדי' מדרגה ראשונה והעשרות מדרגה שניה והמאות מדרגה שלישית והאלפי' מדרגה רביעית וככה אי' קץ כי כל מדרגה היא עישור מדרגה הבאה אחריה ולפי זה נקרא לעשרת אלפים מדרגה חמישית ולמאה אלף מדרגת ששית וזהו דרך מדרגות המספר
The Positional Decimal System
The reason why there are nine numerals – in every rank there are nine numbers	ובעבור כי כל החשבונות מתגלגלים על תשעה באשר נמצא חשבונו' תשעה ממדרגת האחדים ותשעה חשבונות ממדרגות העשרות וכל וכן בכל המדרגות יש תשעה חשבונו' בכל אחד מהם יספיק לכתוב כל חשבון קטן או גדול בתשעה אותיות שנחשוב כל אחד מהם כמו האחדים שהם עד תשעה
The numerals	ואלה הם האותיות המשמשות בחכמה הזאת
1 2 3 4 5 6 7 8 9	ט ח ז ו ה ד ג ב א
tens	וכשנצטרך לכתוב חשבון העשרה נעשה על דרך הזה בידוע כי העשרות הם המדרגה השנית וכבר התבאר כי יחס העשרה אל העשרות כיחס האחד אל האחדים על כן אי אנו צריכי' כי אם לכתוב אות הא' המורה אחד לעשות הכר וסימן שהאות הזאת היא מדרגת שנית
Zero = sifra	והסכימו חשבו חכמי החשבון לעשות סימן הכר המדרגות בצורת עגול כדמות זה וקורי' לצורה הזאת סיפרא
Writing numbers with numerals, including zeroes or without them
twenty: 20	וכשנרצה לכתוב עשרים נכתוב סיפרא מתחילה ואחריה אות הב' במדרגה השנית ויורה זה שני עשרות
hundred: 100	וכאשר נבקש לכתוב מאה נכתוב שתי סיפראש ואות א' במדרגת שלישית ויורה זה מאה
units and tens	ולעולם כשיהיו לנו אחדים ועשרות נכתוב במדרגה הראשונה האחדים ואחריה במדרגת השנית העשרות
units and hundreds	ואם אי' לנו עשרות כי אם אחדים ומאות נכתוב האחדים במדרגה ראשונה וסיפרא אחת בשנית והמאות בשלישית
And so on for three of more zeros	וכן נשים שנים או שלשה סיפראש כאשר נצטרך לפי החשבון עד אין חקר ונכתוב לעולם כל חשבון וחשבון במדרגתו

Chapter Three – Addition	השער השלישי במחברת רבים זה עם זה
Written Addition
Description of the procedure:	דרך מחברת חשבונות כך היא נכתוב כל מספר ומספר מבקשת החיבור זה תחת זה כל כל אחד ואחד בטור בפני עצמו מדרגה אחר מדרגה הדומה לה ואחר נעביר קו הדיו
The procedure starts from the rank of units	ונתחיל במדרגה הראשונה ונקבץ כל האחדים
The sum of the digits in the rank is equal to units	והמקובץ נכתבנו תחת קו דוי אם לא יספיק לעשר
The sum of the digits in the rank is equal to tens	אמנם אם ילך בעשרות נכתוב אות בטורי המספר במדרגה השנייה כפי מספר עשרות המקובץ ונכתוב סיפרא בלבד תחת קו הדיו
The sum of the digits in the rank is equal to units and tens	ואם יעדיף המקובץ על עשרות אין אנחנו צריכים כי אם לכתוב תחת הקו העודף ההוא ובמדרגה השנית נכתוב כפי מספר העשרות כאמור
The result	ובדרך הזה נלך ונעשה גם כן כאשר עשינו במדרגת האחדים מכל שאר המדרגות ונכתוב כל קיבוץ המדרגות בזה אחר זה בסידור תחת קו הדיו ומה שיצא מקיבוץ המדרגות מסודר תחת הקו הוא המחובר
Summing the numerals in each rank as units	ולעולם כשנחבר אות עם אות נחשוב כל אחת ואחת מהן באזה מדרגה שתהיינה כאילו הן אחדים ואחר תמצא אמתתם במדרגתם
The reason for writing the tens of the sum of a certain rank in the following rank - every rank is tenth of the next rank	וכל משכיל יבין כי טעם מספר כתיבת מספר העשרות מהמתחבר באותיות המדרגה ההיא במדרגה הבאה אחריה הוא לפי שכל אות ואות מן המדרגות היא עישור מהמדרגה הבאה אחריה
The sum of the digits in the rank is zero	ואם יהיה בטורי מספר חשבונות החבור מדרגה אחת או שתים שכל טוריה סיפראש צריך לכתוב תחת קו הדיו סיפראש כאשר יבאו במקומן כפי מספר המדרגות ההם
Examples will be given in order to explain the procedure better	ולמען אשר יתבאר הטב אצל כל אדם מלאכת החיבור הזאת הנזכרת אדבר ממנה בדרך הנסיון בחשבונות אלו
$\scriptstyle9208+3801$	בקשנו לידע כמה מחובר תשע אלפים ומאתים ושמנה עם שלשת אלפים ושמנה מאות ואחד
	והנה נכתוב אלו השני חשבונות בשני טורים על זאת הצורה
	שני טורי החשבונות  ח 0 ב ט  א 0 ח ג סדור קבוץ המדרגות  ט 0 0 ג א

[Illustration of the procedure:]

9208	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8+1}}={\color{blue}{9}}}$	9208	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{0+0}}={\color{blue}{0}}}$	9208	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2+8}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{0}}}$	9208	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{green}{1}}{\color{red}{+9+3}}={\color{blue}{13}}}$	9208
3801		3801		3801		3801		3801
		9		09		1009		13009

	והנה מקובץ המדרגה הראשונה אינו מספיק לעשר ועל כן נכתוב העולה תחת קו הדיו והנה הוא ט‫'
	וכאשר אין במדרגה השנית אות כלל כי אם סיפראש לבדנה נכתוב תחת הקו סיפרא אחת אחרי הט' שכתבנו בעבור האותיות המדרגה הראשונה
	ובעבור שמקובץ המדרגה השלישית הוא עשר נכתוב תחת טורי חשבונות המספרים במדרגה הרביעית הבאה אחריה א' ותחת קו הדיו סיפרא אחרת בשלישית אצל הסיפרא שכתבנו אחר הט‫'
	והנה מקובץ המדרגה הרביעית הוא שלשה עשר ומפני זה נכתוב א' במדרגה חמישית בעבור העשרה ונשים העודף שהוא שלשה תחת הקו סמוך לסיפרא האחרונה ואחרי אלו השלשה נכתוב הא' אשר חדשנו ממנה מדרגה חמישית
	ונמצא שהמחובר הוא שלשה עשר אלף ותשעה

Chapter Four – Subtraction	השער הרביעי במגרעת חשבון קטן מחשבון הגדול
Written Subtraction
Description of the procedure:	כשנבקש לעשות זה נכתוב חשבון הגדול בטור אחד והתחתון הקטן תחתיו בטור שני מדרגה תחת מדרגה
Regarding the numerals in each rank as units	והנה נחשוב כל האותיות כאלו הם אחדים באזו מדרגה שיהיו
The procedure starts from the highest rank - the last digit on the left	ונתחיל בראשונה באות המדרגה האחרונה אשר בחשבון הטור השפל ונגרוע אותה מהאות שכנגדה בטור מספר החשבון העליון
The result of the subtraction in a certain rank is not zero	ונכתוב עליו הנשאר אם ישאר ממנה כלום
The result of the subtraction in a certain rank is zero	ואם אין נמחקנה והוא שנרשום על ראשה סיפרא
	ואחרי כן נעשה מכל המדרגות האחרות כמעשה המדרגה הזאת ונלך אחור אחורנית ממדרג' למדרגה עד תומם
The digit of the subtrahend is larger than the digit in the corresponding rank of the subtracted	ואם תהיה אות באחת מהמדרגות מחשבון הטור השפל גדולה מהאות שכנגדה בטור העליון אמנם בהכרח יש אות אחת בטור החשבון העליון סמוכה לזו אשר אנחנו עומדים במדרגתה מלאחריה
Loaning one unit from the next rank of the subtracted	נעשה על הדרך הזה נסיר א' מהאות שאחרי זאת המדרגה ונכתוב הנשאר מהאות ההיא אשר לקחנו הא' ממנה עליה ואם לא ישאר ממנה כלום כגון שלא היה שם כי אם א' נמחקנה
The borrowed one unit worth ten in the preceding rank	ובידוע כי הא' הזאת שיש לנו היא שוה עשר בהקש אל המדרגה שלפניה לכן נחשב זאת הא' עשרה ונחבר אל העשרה הזאת החשבון מהאות מהמדרגה העליונה אשר אנחנו עומדים עליה ויהיה לחשבון העשרה הנזכר כמו אחדים ועתה יספיק לנו בריוח להסיר מכל זה האות התחתונה ונכתוב הנשאר על האות העליונה שכנגדה
The result	וכן נעשה תמיד עד שנגיע אל המדרגה הראשונה ומה שישאר על טור המספר העליון הוא הנשאר מהמגרעת
Special case: a zero in the following rank or a few zeros in the following ranks of the subtracted	והנה בכל עת אשר לא נוכל להסיר האות התחתונה מהעליונה נסייע לה מהמדרגה הבאה אחריה על הדרך האמור ואפילו היו סיפראש מפסקות בינה ובין האות שאחריה או שיש לנו להסיר האות התחתונה מסיפרא אחת אשר תהיה כנגדה בטור העליון נשיב אחורנית על הדרך הזה שנסיר מהאות הקרובה א' ונכתוב עליה הנשאר אם ישאר ממנה כלום ונשי' זאת הא' על הסיפרא שלפניה ותהיה עשרה ונסיר מהם א' וישאר שמה על הסיפרא ט' ונשים זאת הא' על הסיפרא הקודמת לזה ויהיו עשרה ונסיר מהם א' וישאר תשעה על הסיפרא וכן נעשה לעולם עד שתגיע אל האות או אל הסיפרא מהמדרגה אשר אנחנו עומדים עליה ואז נעשה כמשפט האמור למעלה
$\scriptstyle5083-92$	המשל בזה בקשנו לגרוע מחמשת אלפים ושמונים ושלש ותשעים ושנים
	הנה נכתוב שני טורי החשבונות על זאת הצורה החשבון הגדול בטור העליון והחשבון הקטן בטור שפל כנגדו
	א ט ט ד  ג ח 0 ה ב ט

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-1}}={\color{blue}{4}}}$	4	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-1}}={\color{blue}{9}}}$	49	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{18-9}}={\color{blue}{9}}}$	499	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3-2}}={\color{blue}{1}}}$	4991
5083		1083		183		3
92		92		92		2

	ומאשר חשבון האות מהמדרגה התחתונה שבטור השפל גדול מחשבון האות אשר היא כנגדה בטור העליון נעשה על הדרך האמור ונסיר א' מהאות האחרונה מהטור העליון שהיא ה' הסמוכה לאות המדרגה העליונה שאנחנו עומדים עליה מאחריה אחר הסיפרא והנה ישאר ד' במקום הה‫'
	ותהיה האות הזאת עשרה כשנשים אותה על הסיפרא ונסיר מהעשרה אחד וישאר תשעה
	ונשים האחד הזה על המדרגה אשר עמדנו בה שהיא ח' ויהיה בין הכל שמונה עשר נסיר מהם האות האחרונה מהטור השפל שהיא ט' וישאר תשעה ונכתוב במקומם על הח' ט‫'
	אחרי כן נסיר הב' שהיא מהטור השפל מהג' שכנגדה בטור העליון וישאר א' ונכתבנה עליה
	ונמצא הנשאר ארבעת אלפים ותשע מאות ותשעים ואחד

Chapter Five – Multiplication	השער החמשי בכפילת [הכאת] האחדים על עצמם או על אחדים אחרים ובכפול כל חשבון על עצמו או על אחר
Definition of the multiplication operation multiplying one number by another	כוונת הכפילה הזאת היא לכפול החשבון האחד על חבירו
$\scriptstyle3\times4$	על דרך משל שלשה פעמים ארבעה
or multiplying one number by itself	או על עצמו
$\scriptstyle3\times3$	כאשר נאמר שלשה פעמי' שלשה
$\scriptstyle10\times20$	וכן נאמר עשר פעמי' עשרים
$\scriptstyle10\times10$	או עשר פעמים עשר
Multiplication of Units by Units
The need of memorizing the products of units by units	ובאמת כי בכפילת האחדים לבדם לא נמצא דרך בחכמה הזאת למצוא ההווה ולפיכך צריך להזכיר ולהסדיר כל כפולות האחדים הן על עצמם או על אחדים אחרים והוויתן
List of all the possible products of units by units	ואלה הם האחד שני פעמים שנים ושלשה פעמים שלשה
Multiplying a number by one does not affect the number	וכן כל המספרים האחרים שיכפלו באחד לא יקבלו שום שינוי וריבוי
	השנים בשנים ארבעה. שנים בשלשה ששה. שנים בארבעה שמנה. שנים בחמשה עשרה. שנים בששה שנים עשר. שנים בשבעה ארבעה עשר. שנים בשמנה ששה עשר. שנים בתשעה שמנה עשר
	השלשה בשלשה תשעה. שלשה בארבעה שנים עשר. שלשה בחמשה חמשה עשר. שלשה בששה שמנה עשר. שלשה בשבעה עשרים ואחד. שלשה בשמנה עשרים וארבעה. שלשה בתשעה עשרים ושבעה
	הארבעה בארבעה ששה עשר. הארבעה בחמשה עשרים ארבעה. בשש' עשרים וארבע. ארבעה בשמנה עשרים ושמנה. ארבעה בשמנה שלשים ושנים. ארבעה בתשעה ששה ושלשים
	החמשה בחמשה עשרים וחמשה. חמשה בששה שלשים. חמשה בשבעה שלשים וחמשה. חמשה בשמנה ארבעים. חמשה בתשעה ארבעים וחמש
	הששה בששה ששה ושלשים. ששה בשבעה שנים וארבעים. ששה בשמנ' שמנה וארבעים. ששה בתשעה ארבעה וחמשים
	השבעה בשבעה תשעה וארבעים. שבעה בשמנה ששה וחמשים. שבעה בתשעה שלשה וששים
	השמנה בשמנה ארבעה וששים. שמנה בתשעה שנים ושבעים
	התשעה בתשעה אחד ושמנים
	ובזה התבאר כל סדר כפילת האחדים ולא נפסד מהם דבר
Written Multiplication
Description of the procedure:	וכאשר נבקש חשבון על חשבון מהמדרגות האחרות נעשה על הדרך הזה נכתוב שני החשבונות אשר נרצה לכפול אלה על אלה טור תחת טור ומדרגה תחת חברתה ונעביר תחת שני טורי החשבונות קו דיו
The procedure starts from the lowest rank - the first digit on the right	והנה נתחיל באות הראשונה מהטור העליון ונכפיל כל האותיות העליונות על כל האותיות התחתונות הטור השפל זו אחר זו וכל הכפלים נכתוב תחת הקו במדרגות הראויות להם אות תחת האות כאשר יצטרך כי לעולם נמנה כמה מדרגות מהאות אשר נכפיל מהטור העליון עד הטור האות הנכפלת שבטור השפל ושתי האותיות בכלל המניין
The product of two digits is equal to tens	ואם יספיק כפל האות על חברתה לעשרות נכתוב אות כמספר העשרות כמספר מניין המדרגות
The product of two digits is equal to unit	ואם לא יספיק לעשר נכתוב הנכפל מדרגה אחת פחותה מהמספר
The product of two digits is equal to units and tens	ואם יעלה המספר להיות בו אחדי' ועשרות נכתוב העשרות כמספרם כמספר המדרגות שבין אות לאות והאחדי' מדרגה אחת אחורנית
Summing the interim multiples	וכשיכפלו כל אותיות הטור השפל בכל אותיות הטור העליון כמשפטן נעביר קו דיו תחת מדרגות הכפלה ונחבר ונקבץ כל האותיות מכל מדרגה ומדרגה בדרך עשיית החיבור כאשר
	התבאר במקומו במה שקדם והעולה הוא נכפל ועתה אדבר ממלאכת השער הזה על דרך הדמיון
$\scriptstyle902\times246$	בקשנו לכפול ולהכות שנים ותשע מאות על ששה וארבעים ושנים ומאתים ונכתבם על זאת הצורה
the lines of the numbers 2 0 9  6 4 2 the product  2 1 4 5 3 1    8 4 6 8   טורי המספרים ב 0 ט  ו ד ב הכפילה  ב א ד ה ג א    ח ד ו ח   המחובר  ב ט ח א ב ב [Illustration of the procedure:] 902 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times6}}={\color{blue}{12}}}$ 902 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times4}}={\color{blue}{8}}}$ 902 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times2}}={\color{blue}{4}}}$ 902 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\times6}}={\color{blue}{54}}}$  902 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\times4}}={\color{blue}{36}}}$   902 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\times2}}={\color{blue}{18}}}$    902 246 246 246 246  246   246    246  12  12 412 5412 35412 135412    8   8   48   648   8648  $\scriptstyle{\color{blue}{2\times6=12}}$ וכאשר נכפיל אות הב' על אות הו' אשר תחתיה בטור השפל יהיו שנים עשר והנה מספר המדרגות שתים לכן נכתוב אות ב' במדרגה ראשונה כנגד שני האחדים ואחריה במדרגה שנית נכתוב א' כנגד העשרה $\scriptstyle{\color{blue}{2\times4=8}}$ וכאשר נכפיל אות הב' הנזכרת על הד' מהטור השפל יהיו שמונה ומספר המדרגות שלש ואולם באשר אין הכפילה הזאת מגעת לעשר נשים אותה מדרגה אחת אחורנית ונכתוב כנגדן במדרגה השנייה ח' תחת הא‫' $\scriptstyle{\color{blue}{2\times2=4}}$ וכאשר נכפיל את האות הנזכרת על הב' מהטור השפל יהיו ארבעה וכאשר אין הכפילה הזאת מגעת לעשר נכתוב כנגד אלו הארבעה ד' במדרגה השלישית אשר נחדש עתה כשנכתבנה אחרי הא' שהיא במדרגה השנייה ובזה נשלם סדר כפילת האות מהמדרגה הראשונה שבטור העליון על כל אותיות הטור השפל ועתה אנחנו צריכים גם כן להכפיל אות הט' שהיא המדרגה האחרונה מהטור העליון על כל אותיות הטור השפל $\scriptstyle{\color{blue}{9\times6=54}}$ והנה כשנכפול האות ההיא על אות המדרגה הראשונה מהטור השפל שהיא ו' יעלה ארבעה וחמשים ומספר המדרגות הם ארבעה ולכן נכתוב במדרגה הרביעית ה' כנגד החמשים וכנגד הארבעה נכתוב תחת הד' הכתובה במדרגה השלישית ד' אחרת $\scriptstyle{\color{blue}{9\times4=36}}$ וכאשר נכפיל האות ההיא על הד' שבטור השפל יעלה ששה ושלשים ומספר המדרגות חמש ולכן נכתוב כנגד השלשים אחרי הה' הכתובה במדרגה הרביעית ג' ונחדש עתה מדרגה חמשית וכנגד הששה נכתוב אחורנית תחת הה' הקדומה ו‫' $\scriptstyle{\color{blue}{9\times2=18}}$ וכשנכפול אות הט' הנזכרת על המדרגה האחרונה שבטור השפל שהיא ב' יעלה שמנה עשר ומספר המדרגות שש ולכן נכתוב במדרגה ששית אשר נחדש א' כנגד העשרה וכנגד השמנה נכתוב ח' אחורנית תחת הג' הקדומה שהיא במדרגה החמישית ועם כל זה הוכפלו כל אותיות הטור העליון על אותיות הטור השפל כלנה אחת מהנה לא נעדרה ועתה נחל לקבץ כל האותיות שבכל מדרגה ומדרגה כמשפט מלאכת החיבור אחר אשר נעביר קו הדיו תחת הכפילה ונכתוב תחת הקו מה שיצא מן החיבור first rank: 2 וידוע כי מה שיוצא מן המדרגה הראשונה מן הכפילה הזאת תצא ב‫' second rank: 9 ומהשנייה ט‫' third rank: 8 ומהשלישית תצא ח‫' fourth rank: 1 ומהרביעית תשאר א' אחרי כתבנו העשרה בכפילה במדרגה הבאה אחרי זאת fifth rank: 2 ומהמדרגה החמשית תשאר ב' אחרי כתבנו העשרה במדרגה הבאה אחרי זאת שהיא ששית sixth rank: 2 ומהמדרגה הששית יצאו לנו ב' מאשר החברנו לה העשרה שנותר לנו מהמדרגה החמישית הקדומה אליה The result: 221892 ונמצא העולה מאתים ועשרים ואחד אלף ושמונה מאות ותשעים ושנים וככה הוא דרך וסדר כפילת כל החשבונות מערכה לקראת מערכה Chapter Six – Division השער הששי בחלוקת חשבון גדול על חשבון גדול קטן ממנו Written Division Description of the procedure: הרוצה לעשות זה יכתוב טור החשבון הגדול בתחלה ואחר יניח ריוח וחלק כמלא טור אחד ויכתוב בחשבון הקטן בטור אחר כנגד הטור הראשון מהחשבון הגדול מדרגה אחר מדרגה הדומה לה The procedure starts from the highest rank - the last digit on the left of the divisor ואחר יביט ויראה כמה פעמים יוכל להוציא מספר האות מהמדרגה האחרונה מטור החשבון הקטן מהאות מהמדרגה האחרונה שבטור החשבון הגדול ויוציאם ממנה ואולם צריך שיחכם ויראה אם ישאר שם חשבון שיוכל להסיר ממנו כל המדרגות האחרות מטור החשבון הקטן הקדומות לזו האחרונה כמספר הפעמים אשר הסיר המדרגה הזאת האחרונה מהאות האחרונה מטור החשבון הגדול ואם ראה שלא ישאר שם חשבון שיספיק לזה לא יסירנה כל כך פעמים אלא כאשר יראה שיספיק לעשות מה שאמור The result וכמספר הפעמים אשר תהיה ההסרה יכתוב אות כנגדן באמצע שני טורי החשבונות הקטן והגדול The decimal place of the result וימנה מהמדרגה האחרונה מטור החשבון הגדול כפי מניין המדרגות שבטור החשבון הקטן אחורנית ובמדרגה אשר יכלה החשבון שם יכתוב תחתיה המספר פעמי ההסרה The interim remainder ואם ישאר מהאות מההסרה מהחשבון הקטן כלום אחרי מה שהסיר ממנה יכתוב עליה הנשאר ואם לא נשאר ממנה כלום יכתוב עליה סיפרא ואחר יסיר כל שאר האותיות המדרגות שבטור החשבון הקטן הקדומות לאות המדרגה האחרונ' זו אחר זו מהאותיות אשר ימצא עתה כתובות בטור החשבון הגדול כמספר פעמי ההסרה מהאות האחרונה ובכל מקום יהיה זהיר לכתוב אחר ההסרה מה שישאר במקומו ואם לא ישאר עליו כלום יכתוב עליו סיפרא An interim digit of the dividend is smaller than the corresponding digit of the divisor or its multiple - loaning one unit from the next rank of the dividend - since every rank is ten times the preceding rank ואם יזדמן לו אות במדרגה אחת מטור החשבון שלא יוכל להסיר אותה מהאות הכתובה בטור החשבון הגדול כראוי אבל יש עדיין אותיות אחרי המדרגה שהוא עומד בה יעזור לה מאותיות מאותן המדרגות לפי שידוע שכל מדרגה ומדרגה הי' כפולה גדולה עשר פעמים מהמדרגה הקדומה לו כאשר נודע בשערים הקודמי' לזה ויקח ממספרם כאשר יצטרך ויכתוב מה שישאר במקומו' ההשארות וסיפראש במקומות אשר לא נשאר שם כלום ואחרי אשר ישלים פעמי ההסרה מיסוד החשבון הגדול כל אותיות מטור החשבון הקטן במספר שוה זו כזו שלא נתחלק מספרו רב ממספר טור החשבון הקטן ואם כן יחזור ויביט ויראה וישום וישער כמה פעמים יוכל להסיר האות שבמדרגה האחרונה מטור החשבון הקטן מהאות האחרונה ממה שנשאר בטור החשבון הגדול וכמספר הפעמים אשר יסיר אותה ממנה כך פעמים יצטרך להסיר שאר המדרגות שבטור הקטן ממה שישאר אחרי כן בטור החשבון הגדול לכן ישמור בתחלת הבטת השיעור והשומא שיכלול מעשיו כמשפט וצדק וכמספר הפעמים אשר יוציא את האותיות שבטור החשבון הקטן מטור אותיות החשבון הגדול יכתוב אות אחת כנגדן באמצע שני טורי החשבונות הקטן והגדול לכן ישמור בתחלת השיעור הבטת השיעור ויתחיל למטת מטור החשבון הגדול מהאות אשר התחיל להביט בה שנית כפי מניין המדרגות שבטור החשבון הקטן ובאותה מדרגה אשר תכלה מספרן שם יכתוב תחתיה מספר פעמי הסרת ההוצאה ויזהר שלא ישכח לכתוב בכל מקום מהטור מהחשבון הגדול מה שישאר בו או לכתוב סיפרא על מקום הכליון אשר לא נשאר שם כלום ואחרי זה יעיין אם רבה עדיין מה שנשאר בטור החשבון הגדול על מספר טור החשבון הקטן ואם הוא כן יחזור עוד ויביט כאשר עשינו זה פעמים ויעשה ככה הרבה פעמים עד שיהיה מה שישאר בטור החשבון הגדול מספרו קטן ממספר הטור מהחשבון הקטן The digit in the highest rank of the dividend is smaller than the digit of the highest rank of the divisor - shifting the divisor to the lower rank to the right ואם יזדמן לו בתחלת הבטה שיגדל מספר אות האחרונה ממדרגות טור החשבון הקטן מהאות האחרונה שבטור החשבון הגדול עד שלא נוכל להוציאה ממנו אפילו פעם אחת ישים את כל האות ההיא מדרגה אחת אחורנית ותהיה היא מספר עשרות לאותה מדרגה ואז יספיק להוצי' ממנה את האות מהחשבון הקטן הרבה פעמים ויחשוב ויביט וישום וישער כמה פעמי' יוכל להוציאנ' משם שיספיק הנשאר גם כן להסיר ממנו ככה פעמי האותיות האחרות שבטור החשבון הקטן ולעולם יכתוב פעמי מספר ההסרה באמצע שני טורי החשבונות מהקטן והגדול מהמדרגות מהחשבון הקטן ויתחיל * במספר מניין מספרם מהאות שבמדרגה אשר התחיל בה הבטת הסרת ההוצאה שבטור החשבון הגדול The result of the division = the number of times the divisor is found in the dividend והנה הטור המתהוה בין שני הטורים הוא מספר הפעמים אשר מספר טור החשבון הקטן בטור החשבון הגדול The remainder of the division ומה שנשאר על טור החשבון הגדול הוא מה שעודף עדיין מספר הטור מהחשבון העליון על מספר הטור מהחשבון השפל אחרי כפלת אותו עליו This is the procedure for dividing a large number by a smaller number וכן הוא דרך מלאכת חלוקת המספר הגדול על חשבון קטן ממנו וכאשר מלאכת השער הזה היא נכבדת ונחמדת עד מאד והיא עמוקה הרבה לרוב אכתוב בשער הזה עצמו בביאור דרך מלאכת החלוקה הזאת מהרבה חשבונות כדי להדריך ולהיישיר אל המתלמד שיבין כל העניינים הנזכרי' מלמעלה $\scriptstyle125\div11$ בקשנו לחלק חמשה ועשרים ומאה על אחד עשר והנה נכתוב שני טורי החשבו' על זאת הצורה נכתוב החשבון הגדול בראשונה בטור אחד ואחר כך נניח ריוח ונכתוב כנגדו החשבון הקטן בטור אחר [Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1-\left({\color{blue}{1}}\times1\right)}}={\color{green}{0}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2-\left(1\times1\right)}}={\color{green}{1}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1-\left({\color{blue}{1}}\times1\right)}}={\color{green}{0}}}$  0  $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-\left(1\times1\right)}}={\color{blue}{4}}}$  0  0   01  01  014 125 125 125 125 125  1   1   11  11  11  11  11  11  11 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle11\ the\ result\\&\scriptstyle4\ the\ remainder\\\end{align}}}$ 0    ד א 0  ה ב א א א א א וכאשר נביט וניקח א' שבמדרגה אחרונה מטור החשבון הקטן וגם הא' שבמדרגה אחרונה מטור החשבון הגדול הנה ידענו בבירור שלא נוכל להוציא להסיר האחת מחברתה כי אם פעם וכנגד הפעם הזאת כאשר מדרגות הטור מהחשבון הגדול הקטן הם שנים נכתוב א' תחת הב' שבטור החשבון הגדול באשר היא מדרגת שנית גם כן לאות הא' מהטור ההוא עצמו אשר התחלנו ההבטה ממנה וכאשר לא נשאר כלום מהא' הזאת נכתוב עליה סיפרא אחר כך נקח סיפרא שהמדרג' ראשון מטור החשבון הקטן הקדומה במכתב אל האחרת אשר התחלנו בה ונסיר אותה גם כן פעם אחרת מהב' שהיא בטור החשבון הגדול וישאר עליה א' ובזה השלמנו הסרת האותיות שבטור החשבון הקטן מטור החשבון החשבון הגדול בשוה פעם האחת בפעם חברתה וכאשר נעיין הנותר בטור החשבון הגדול ראינו שהוא ארבעה עשר והנה המספר הזה מרובה ממספר טור אותיות החשבון הקטן שאינו עולה כי אם אחד עשר ובעבור זה נחזור וניקח הא' אחרונה ממדרגות שבטור החשבון הקטן ונסיר אותה פעם אחת מהא' שנשארה על הב' שבטור החשבון הגדול א ואחר נכתוב עליה סיפרא וכנגד פעם ההסרה הזאת נכתוב א' תחת הה' שהיא המדרגה הראשונה מטור החשבון הגדול באשר היא שניה אל האות אשר התחלנו ממנה הבטת ההסרה ואחר נסיר גם כן הא' שבטור החשבון הקטן הראשונה פעם אחת מהה' שהיא המדרגה הראשונה מטו' החשבון הגדול וישאר ד' על הה' ועתה נראה וניכר לעין שמה שנשאר בטור החשבון הגדול מספרו קטן מאד ממספר טור החשבון הקטן והנה מספר הטור האמצעית אשר חדשנו ממספר פעמי ההסרות עולה אחד עשר ומה שנשאר בטור החשבון הגדול הוא ארבעה אם כן נוכל לומר זאת מצינו שהמספר הקטן הוא הא אחד עשר פעם במספר הגדול ועוד זולת זה עודף ארבעה $\scriptstyle100\div9$ עוד בקשנו לחלק מאה על תשעה הנה נכתבם על זאת הצורה $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-\left({\color{blue}{1}}\times9\right)}}={\color{green}{1}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-\left({\color{blue}{1}}\times9\right)}}={\color{green}{1}}}$  0  01  011 100 100 100  1   11   9   9   9 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle11\ the\ result\\&\scriptstyle1\ the\ remainder\\\end{align}}}$ 0    א א 0  ‫0 0 א א א ט וכאשר נקח הט' שהיא החשבון הקטן נראה שלא נוכל [ ] להסיר אותה מהא' שבמדרגה שלישית שהיא החשבון הגדול ועל כן נשים הא' על הסיפרא הקדומה לה במכתב ותהיה שוה עשר ומאלה העשר נסיר ט' וישאר א' על הסיפרא ההיא ונכתוב עליה א' תחתיה כנגד פעם אחת שהסירונו הט' מהעשר כאשר היא המדרגת הראשונה להבטת להתחלת הבטת ההסרה בחשבון הקטן גם כן אי' בו כי אם מדרגה א' על הא' אשר העתקנוה ממקומה ואחר נשוב עוד ונביט להסיר הט' שהיא החשבון הקטן מהא' שנשארה על הסיפרא בטור החשבון הגדול והנה צריכי' אנחנו גם כן לשים אותה על הסיפרא האחרת הדומה לה ותהיה שוה עשר וכשנסיר מהם ט' פעם אחת ישאר א' על הסיפרא הראשונה שבטור החשבון הגדול וכנגד הפעם הזאת שהסירונו הט' מהעשר נכתוב תחת הסיפרא הראשונ' א' באשר היא ראשונה להבטת ההסרה ובזה נגמרה החלוקה הזאת ומצאנו שיש במאה אחד עשר פעמים תשעה ועוד אחד מוסף עליהם $\scriptstyle100\div12$ עוד בקשנו לחלק מאה על שנים עשר ונכתבם על זאת הצורה $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-\left({\color{blue}{8}}\times1\right)}}={\color{green}{2}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20-\left(8\times2\right)}}={\color{green}{4}}}$  0  02  024 100 100 100   8   8  12  12  12 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle8\ the\ result\\&\scriptstyle4\ the\ remainder\\\end{align}}}$ 0    ד ב 0  ‫0 0 א ח ב א והנה כאשר נקח א' שהיא המדרגה האחרונה מטור החשבון הקטן ונביט להסיר אותה מהא' שבמדרגה השלישית בטור ה החשבון הגדול הנה אחרי כן לא נוכל להסיר הב' הקדומה במכתב לפני הא' מהחשבון הקטן מהחשבון אשר ישארו שם ולפיכך צריך לנו להבין אחרית דבר מראשיתו ובתחלת כל דבר נשים הא' שהיא החשבון העליון על הסיפר' הקדומ' לה במכתב ותהיה שוה עשר ואחר כך נביט כמה פעמים נסיר הא' מהחשבון הקטן מהעשר האלו והנה אם לא נסיר אותה תשע פעמים לא ישאר מכל העשר כי אם א' ולא יספיק לנו אחרי כן להסיר הב' שבטור החשבון הקטן גם כן תשע פעמי' ממה שנשאר בטור החשבון העליון לפי שהנשאר אינו שוה כי אם עשר באשר הא' היא במדרגת שנית ותשע פעמי' ב' עולה שמנה עשר ומפני זה לא נסיר הא' מהעשר אשר על הסיפרא שבמדרג' שנית מטור החשבון הגדול כי אם שמנה פעמים וישאר ב' על הסיפרא הזאת ונכתוב סיפרא על הא' שהייתה במדרג' השלישית שהרי שמנו אותה על הסיפרא ולא נשאר שם כלום וכנגד שמנה [מיני] ההסרה נכתוב ח' תחת הסיפרא הראשונה באשר מדרגת החשבון הקטן הם שתים ומניינם מתחיל מהסיפרא מהמדרגה השניה שבטור החשבון הגדול לפי שמשם התחלנו הבטת ההסרה הזאת ואחר זה נסיר גם כן הב' מהחשבון הקטן שמנה פעמי' ממה שנשאר בטור החשבון הגדול ונעשה על הדרך הזה הב' שנשארה לנו במקום הסיפרא השנית על הסיפרא הראשונה ותהיה שוה שני עשרות שהם עשרים נסיר מהם ששה עשר שהוא העולה מכפל פעמי ההסרה על הב' וישאר מהם ד' על ראש הסיפרא שבמדרגה הראשונה ונכתוב במקום שהייתה כתובה הב' אשר שמנו אותה על הסיפרא הראשונה סיפרא אחת לפי שלא נשאר ממנה שם כלל כלום והנה יצא לנו החלוקה שיש שמנה פעמים שנים עשר במאה ועודף עליהם עדנה ארבעה $\scriptstyle901\div32$ עוד בקשנו לחלק אחד ותשע מאות על שלשים ושתים ונכתב' על זאת הצורה  0 0   ב ב    ה ו ג  א 0 ט ח ב ב ג $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-\left({\color{blue}{2}}\times3\right)}}={\color{green}{3}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-\left({\color{blue}{2}}\times2\right)}}={\color{green}{6}}}$ 2   3   36  901 901 901  2   2   32  32  32 הנה אנחנו רואים שאם נסיר הג' שבטור השפל שהוא החשבון הקטן מהט' אשר בטור העליון שהוא החשבון הגדול שלשה פעמים לא נוכל אחרי כן לעשות תשלום לאות האחרת שבטור השפל לה להסיר אותה מהסיפרא לפי שלא ישאר מאומה מן הט' לכן לא נסירנה כי אם שני פעמים ונכתוב הג' הנותרת מהט' עליה וכנגד שני פעמים ההסרה האלה נכתוב ב' תחת הסיפרא באשר מדרגות הטור השפל הם שתים והסיפרא גם כן היא שנית אל האות אשר התחלנו בה ההסרה אחרי כן נסיר אות הב' שהיא המדרגה הראשונה שבטור השפל ג"כ ב' פעמי' מהסיפרא שבטור העליון והנה נעשה על הדרך הזה נקח א' מן הג' הנותרת על הט' וישאר עליה ב' והא' אשר לקחנו נשי' אותה על הסיפרא ותהיה שוה עשר נסיר מהם ב' פעמים ב' העולה כפלתם ארבעה וישאר ו' על הסיפרא ועתה עשינו תשלום שהסירונו כל האותיות הטור השפל מהטור העליון במספר פעמים שוה זו בזו $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{26-\left({\color{blue}{8}}\times3\right)}}={\color{green}{2}}}$ 0   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{21-\left({\color{blue}{8}}\times2\right)}}={\color{green}{5}}}$ 00  22  22  36  365 901 901  28  28  32  32 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle28\ the\ result\\&\scriptstyle5\ the\ remainder\\\end{align}}}$ אכן כאשר נעיין הנותר בטור העליון נראה שהוא רב יותר ממספר הטור השפל ומפני זה אנחנו צריכים לחזור ולהביט להסיר הג' שהיא המדרגה האחרונה שבטור השפל מהב' שנשארה לנו במדרגה האחרונה מהטור העליון ונעשה על דרך זה נשים הב' ההיא כלה על הו' אשר בראש הסיפרא יהיו עשרים וששה ועתה נשי' ונשער כמה פעמי' נוכל להסיר הג' מהששה ועשרים והנה נוכל להסיר אותה שמנה פעמים העולים עשרים וארבעה כשנסיר אותם מששה ועשרים ישאר [ ] על הו' ב' ונכתוב סיפרא על המדרגה האחרונה מהטור העליון שהרי לא נשאר שם כלום וכנגד שמנה פעמים ההסרה נכתו' ח' תחת הא' שהיא המדרגה הראשון מהטור העליון באשר היא שניה אל המדרגה אשר התחלנו הסרת ההבטה ממנה ועתה נסיר גם כן אות הב' מהטור השפל שמנה פעמים ממה שנשאר בטור העליון ונעשה על הדרך הזה נשים הב' שנשארה לנו במדרגה השניה מהטור העליון על הא' שמ שבמדרגה ראשונה ממנה יהיו עשרים ואחד נסיר מהם כפל ח' על ב' שהוא ששה עשר וישאר מהם ה' על ראש הא' שהיא המדרגה הראשונה מהטור העליון ונכתוב סיפרא על הב' הכתובה על המדרגה השנית שהרי שמנו את כלה במדרגה הראשונה ונשלמה החלוקה הזאת ומצאנו שהטור האמצעי עולה שמנים שמנה ועשרים והנותר על הטור העליון חמשה $\scriptstyle891\div40$ ועוד בקשנו לחלק שמנה מאות ותשעי' ואחד על ארבעים הנה נכתבם על זאת הצורה $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8-\left({\color{blue}{2}}\times4\right)}}={\color{green}{0}}}$ 0   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-\left(2\times4\right)}}={\color{green}{1}}}$ 01  891 891 891  2   22  40  40  40 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle22\ the\ result\\&\scriptstyle11\ the\ remainder\\\end{align}}}$  א 0    א ט ח ב ב ‫0 ד ונסיר הד' שבטור השפל שתי פעמים מהט' [מהח'] אשר בטור העליון ונכתוב עליה סיפרא באשר לא נשאר ממנה כלום וכנגד שני פעמים ההוצאה נכתוב ב' תחת הט' שבטור העליון באשר מדרגה שנית אל האות אשר התחלנו ממנה ההסרה ובטור השפל יש גם כן שתי מדרגות עוד נשוב ונסיר הד' הנודעת מן הט' שכנגדה בטור העליון שתי פעמים וישאר עליה א' וכנגד שני פעמי ההסרה נכתוב ב' תחת הא' שהיא המדרגה הראשונה מהטור העליון באשר היא שנית אל אות הט' אשר התחלנו עתה ההסרה ממנה והנה יצאת אלינו החלוקה שיש בת בשמנה מאות ותשעים ואחד שתים ועשרים פעמי ארבעים ועוד נוסף עליהם אחד עשר $\scriptstyle321\div9$ ועוד בקשנו לחלק שלש מאות ועשרים ואחד על תשעה ונכתו' אותם על זאת הצורה $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{32-\left({\color{blue}{3}}\times9\right)}}={\color{green}{5}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{51-\left({\color{blue}{5}}\times9\right)}}={\color{green}{6}}}$  0  05  056 321 321 321  3   35   9   9   9 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle35\ the\ result\\&\scriptstyle6\ the\ remainder\\\end{align}}}$ 0    ו ה 0  א ב ג ה ג ט וכאשר נסינו להסיר הט' שהיא החשבון הקטן מהג' שבמדרג' העליונה מהטור העליון יצטרך לו לשום את הג' כלה על הב' הקדומה לה במכתב ויהיו שלשי' ושתים ונסיר מהם הט' שלש פעמים שעולים ע עשרים ושבעה וישאר מהם חמשה על הב' וכנגד שלשה פעמים ההסרה אלה נכתוב ג' תחת הב' ש שבטור העליון לפי שמאותה מדרגה אנו מתחילי' ההסרה ואי' טור השפל השפל כי אם מדרגה אחת ונכתוב סיפרא על מדרג' הג' כאשר לא נשאר ממנה כלום ונשוב עוד להסיר הט' מהה' הנשארת על הב' בטור העליון וכאשר לא נוכל להסיר הט' מה' נשים כל הה' על הא' שהיא המדרגה הקדומ' הראשונה הקדומה במכתב ויהיו חמשים ואחד והנה נסיר מהם הט' חמש פעמים וישאר מהם ו' על המדרגה הראשונה ונכתוב סיפרא על הה' כאשר לא נשאר ממנה כלום וכנגד חמש פעמי ההסרה נכתוב ה' תחת המדרגה הראשונה שהתחלנו ההסרה ממנה כאשר אין בטור השפל כי אם מדרגה אחת והנה נשלמה המדרג החלוקה והטור האמצעי עולה שלשים וחמש והנותר על הטור העליון ששה $\scriptstyle583696\div764$ ועוד בקשנו לחלק חמש מאות ושמנים ושלשת אלפים ושש מאות ותשעים וששה על שבע מאות וששי' וארבעה     0 0       0 ג ב       ד ו 0 0     ה ח ב א   0 ט א ח ה 0 ה ח ג ו ט ו       ז ו ד       ז ו ד   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{58-\left({\color{blue}{7}}\times7\right)=58-49=}}{\color{green}{9}}}$ 09     583696 583696      7      764    764 והנה המבוקש הזה מלאכתו רבה ועמוקה מכל שזכרנו וזה תארו הנה כשנביט להסיר הז' שבטור התחתון מהה' שבטור העליון לא נוכל ועל כן נשים אותה על הח' שהיא המדרגה הקדומה לה כמכתב ונכתוב במקומה סיפרא כאשר לא נשאר שם כלום והנה יעלו חמשים ושמונה וכאשר נשים ונשער כמה פעמים נסיר מהם הז' נמצא שלא נוכל להוציאה כי אם ז' פעמים כדי שנוכל לעשות מהנשאר המשפט הצריך והנה שבע פעמי' ז' עולה תשע וארבעים וכשנסיר אותם משמנה וחמשים תשאר ט' על הח' ומהמדרגה הזאת נתחיל למנות שלש מדרגות שבטור השפל אחורנית ויכלה מספרן בו' שהיא מדרגה שלישית ושם נכתוב תחתיה ז' כנגד שבע פעמי ההסרה $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9-4=}}{\color{green}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{43-\left({\color{blue}{7}}\times6\right)=43-42=}}{\color{green}{1}}\\\end{align}}$  5     091    583696    7      764 אחרי כן נסיר הו' שבטור השפל גם כן ז' פעמים מהט' והעולה מכפל זה על זה הם ארבעים ושנים ונעשה על הדרך הזה נסיר מהט' ההיא ד' ונכתוב עליה הנשאר שהוא ה' ונשים הד' על הג' שהיא מדרגה קדומה במכתב למדרגה שהייתה הט' עליה והנה יהיו ארבעים ושלש נמצא שישאר מהם א' על הג' $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{5-1=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{11-3=}}{\color{green}{8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{36-\left({\color{blue}{7}}\times4\right)=36-28=}}{\color{green}{8}}\\\end{align}}$  4      58    0918   583696    7      764 אחרי כן נסיר הד' שבטור השפל שהיא המדרגה הראשונה ממנה גם כן ז' פעמים שעולה כפלתן שמונה ועשרים ונעשה על הדרך הזה נקח א' מן הה' שנשארה לנו בטור העליון במדרגה חמישית ונשים אותה על הא' שנשארה על הג' הקדומה למדרגה הזאת ויהיו אחד עשר נסיר מהם ג' ישאר על הא' ח' נשים הג' על המדרגה הקדומה למדרגתה במכתב שהיא ו' ויהיו ששה ושלשים נסיר מהם כפל הד' על הז' שהם שמונה ועשרים וישאר על הו' ח' ועתה השלמנו להסיר כל אותיות הטור השפל מהטור העליון בשוה זו כזו האחת כפעם חברתה $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{48-\left({\color{blue}{6}}\times7\right)=48-42=}}{\color{green}{6}}}$  0      46     58    0918   583696    76     764 וכשנעיין במה שנשאר בטור העליון נראה שהוא רב מאד על מספר הטור השפל ועל כן נחזור ונביט להסיר הז' שבטור השפל מהד' שנשארה בטור העליון במדרגה החמישית והנה צריכים אנחנו לשים על הח' שנשארה על המדרגה הקדומה לזו יהיו שמונה וארבעים וכאשר נשום ונשער נמצא שנוכל להסיר הז' מהם שש פעמים שעולה כפלתם שנים וארבעים ונמצא כשנסיר אותם מהם ישארו על הח' ו' ונכתוב סיפרא על הד' כאשר לא נשאר ממנה כלום ומהמדרגה אשר כתבנו הו' עליה נחל לספור אחורנית השלש מדרגות שבטור השפל ויכלו בט' שהיא המדרגה השנית מהטור העליון ושם נכתוב תחתיה ו' כנגד שש פעמי ההסרה $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{6-3=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{38-\left({\color{blue}{6}}\times6\right)=38-36=}}{\color{green}{2}}\\\end{align}}$  03     46     582   0918   583696    76     764 אחרי כן יש לנו להסיר הו' שבטור השפל גם כן ששה פעמים שעולה כפלתם ששה ושלשים ונעשה על הדרך הזה נסיר מהו' שנשארה לנו במדרגה רביעית שלשה וישאר על הו' ההיא ג' ונשים הג' אשר הסירונו מהם על הח' הנשארת לנו במדרגה הקדומה למדרגה הזאת ויהיו שמונה ושלשים כשנסיר מהם ששה ושלשים ישארו מהם ב' על הח' $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{29-\left({\color{blue}{6}}\times4\right)=29-24=}}{\color{green}{5}}}$  03     460    582   09185  583696    76     764 עוד יש לנו להוסיף להסיר הד' מהטור השפל גם כן שש פעמים והנה עולה כפלתם ארבעה ועשרים ונעשה על הדרך הזה נקח הב' שנשארה על הח' ונשים אותה על הט' שהיא המדרגה הקדומה במכתב לזאת המדרגה שהייתה הב' כתובה עליה ויהיו תשעה ועשרים נמצא כשנסיר מהם ארבע ועשרים ישאר על הט' ה' ונכתוב סיפרא על המדרגה אשר הב' כתובה עליה באשר לא נשאר ממנה כלום ובזה השלמנו להסיר שנית אותיות הטור השפל מהטור העליון במספר שוה פעמים זו בזו $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{30-\left({\color{blue}{4}}\times7\right)=30-28=}}{\color{green}{2}}}$   0     032    460    582   09185  583696    764    764 וכאשר נעיין בנשאר בטור העליון נמצא שמספרו מרובה עדיין ממספר הטור השפל ועל כן אנחנו צריכים עוד לחזור ולהביט ולהסיר הז' שהיא המדרגה האחרונה מהטור השפל מהג' שנשארה לנו במדרגה רביעית והנה מוכרח לשום את הג' הזאת על המדרגה השלישית הקדומה לה במכתב הכתוב עליה סיפרא ותהיה שוה הג' שלשים ונסיר הז' ד' פעמים כי כן יספיק לנו לעשות בנשאר המשפט הצריך ונכתוב סיפרא על הג' באשר לא נשאר שם מאומה והנה כאשר נסיר שמנה ועשרים משלשים ישאר ב' על הסיפרא שהיא במדרגה השלישית ומהמדרגה הזאת נמנה אחורנית מספר הג' מדרגות שבטור השפל ויכלה מספרן במדרגה הראשונה והנה נכתוב תחתיה ד' פעמי ההוצאה $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{25-\left({\color{blue}{4}}\times6\right)=25-24=}}{\color{green}{1}}}$   00    032    460    5821  09185  583696    764    764 אחרי זאת צריך גם כן שנסיר הו' שבטור השפל ד' פעמים שעולה כפלתם ארבעה ועשרים ונעשה על הדרך הזה נשים הב' אשר נשארה במדרגה השלישית על אות הה' הנשארת במדרגה הקדומה לה במכתב ויעלו חמשה ועשרים וכשנסיר מהם עשרים וארבע ישאר א' במקום הה' ועל הב' נכתוב סיפרא באשר לא נשאר ממנה כלום $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{16-\left({\color{blue}{4}}\times4\right)=16-16=}}{\color{green}{0}}}$   00    032    4600   5821  091850 583696    764    764 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle764\ the\ result}}$ עוד אנחנו צריכים להסיר הד' שהיא המדרגה הראשונה מהטור השפל גם כן ד' פעמים ועולה כפלתם ששה עשר ונעשה על זה הדרך נקח הא' הנשארת במדרגה השנית ונכתוב עליה סיפרא ונשים אותה על הו' הקדומה לזאת המדרגה יהיו ששה עשר ומזה נסיר כפלת הד' על הד' ונכתוב על הו' סיפרא באשר לא נשאר שם כלום ונמצא שכל הטור העליון הוא כלה בחלוקות אשר עשינו והטור האמצעי אשר נתחדש הוא כטור החשבון הקטן לא פחות ולא יתר $\scriptstyle583696\div1080$ ועוד בקשנו לחלק חמש מאות ושמנים ושלשת אלפים ושש מאות ותשעים וששה על אלף ושמנים ונכתבנו על זאת הצורה   0         0 ד 0 ד     ה ח ג ו ט ו       ה ד 0     א 0 ח 0   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-\left({\color{blue}{5}}\times1\right)=5-5=}}{\color{green}{0}}}$ 0      583696 583696      5     1080   1080 הנה אנחנו רואים שיש בידינו רשות להסיר הא' שבטור השפל חמש פעמים מהה' שבטור העליון ונעשה כדברינו ונכתוב עליה סיפרא באשר לא נשאר ממנה כלום ונמנה מהמדרגה הזאת שבטור העליון ארבע מדרגות אחורנית כנגד הארבע מדרגות שבטור השפל ויכלה מניינם בו' שבאותו טור ושם נכתוב תחתיה ה' כנגד חמש פעמי ההסרה $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{8-4=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{43-\left({\color{blue}{5}}\times8\right)=43-40=}}{\color{green}{3}}\\\end{align}}$ 04     583696    5     1080 ואחרי זאת יש לנו להסיר הח' שבטור השפל גם כן ה' פעמי' שכפלתם עולה ארבעים ונעשה על הדרך הזה נסיר ד' מהח' שבטור העליון ונשים הד' על המדרגה הקדומה במכתב אל הח' שהיא ג' והעולה ארבעים ושלש והארבעים יכלו ויתמו והג' תשאר במקומה ובזה הוסרו כל אותיות הטור השפל מהטור העליון כל אחת ואחת מהן פעמים שוות $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{4-\left({\color{blue}{4}}\times1\right)=4-4=}}{\color{green}{0}}}$  0     04     583696    54    1080 וכשנעיין הנותר בטור העליון נראה שמספרו מרובה עדנה ממספר הטור השפל ובעבור זה נחזור ונביט ונסיר הא' שבטור השפל ד' פעמי' מהד' שנשארה לנו במדרגה החמשית ותכלה כלה ונכתוב במקומה סיפרא וממנה נמנה ארבע מדרגות אחורנית ויכלו במדרגה השנייה ושם נכתוב תחתיה ד' כנגד ארבע פעמי ההסרה $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{36-\left({\color{blue}{4}}\times8\right)=36-32=}}{\color{green}{4}}}$  0     0404   583696    540   1080 ועוד יש לנו להסיר גם כן הח' מהטור השפל ד' פעמים וכפל ד' על ח' עולה שנים ושלשים והנה נעשה על הדרך הזה נקח הג' אשר נשארה במקומה בטור העליון במדרגה רביעית ונשים אותה על אות המדרגה השלישית שהוא ו' הקדומה לה במכתב ויעלה ששה ושלשים וכשנים מהם השנים ושלשים ישאר על הו' ד' ונכתוב סיפרא על הג' באשר לא נשאר ממנה כלום ובזה הוסרו כל אותיות הטור השפל מהטור העליון פעם שנייה והנה כאשר נעיין הנשאר בטור העליון נראה שהוא מועט במספרו ממספר הטור השפל וזהו אות שנגמרה החלוקה $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle540\ the\ result\\&\scriptstyle496\ the\ remainder\\\end{align}}}$ והטור האמצעי המתהוה ממספר פעמי הסרת אותיות המדרגות עולה חמש מאות וארבעים והנשאר על אותיות הטור העליון עולה ארבע מאות ותשעים ושש ומתוך כל אלו החשבונות הרבים שהזכרתי דרך חלוקתן בארוכה יוכל כל נבון וחכם להבין ולהשכיל אמיתות עשיית המלאכה הזאת בדקדוק Methods of Checking - Multiplication, Division, Addition, Subtraction The writer presents now the methods of checking of the four fundamental arithmetic operations - which are based on the inverse operations ועתה צריך אני לדבר בשער הזה ממאזני מלאכת החלוקה הזאת וממאזני מלאכת הכפל והחבור והמגרעת כאשר התנאתי בהתחילי בספר הזה בהזכרת פרטי כללי שעריו Checking the result of division: multiplication והנני אומר כי אין בכל המאזנים יותר צודקים וישרים כי אם מי שעשה מלאכת חלוקתו שיכפול ויכה במלאכת מעשה הכפילה הטור האמצעי המתהוה ממספר פעמי ההסרות על הטור השפל שהוא החשבון הקטן ואחר יקח כל מה שנותר למעלה בטור העליון אם נשאר שם כלום ויוסיף אותו תחת הכפילה כל אות ואות תחת מדרגה הראויה לה ואחרי כן יחבר ויקבץ כל הכפילה ובהכרח צריך שתצא טור הקבוץ והחיבור כטור החשבון הגדול אשר חלק דומה כדומה מספר הטור האחת כמספר חברתה אם זך ואם ישר פעלו Checking the result of multiplication: division וגם מאזני מלאכת הכפל הנה הם שיחלק העולה מהכפילה על האחד משני טורי החשבונות הנכפלים ויצא לו בחלוקה הטור השני אם בדרך ישר הולך Checking the result of addition: subtraction וכן כל מי שחיבר שני טורי חשבונות יחד זה עם זה יתעסק במלאכת המגרעת ויגרע מהמחובר אחד מן שני הטורים וישאר לו הטור השני אם היה מעשהו באמונה Checking the result of subtraction: addition ולפי דרכינו נבין ונלמוד שגם כן הגורע חשבון קטן מחשבון גדול שאם יחבר מה שנותר לו עם טור החשבון הקטן שבהכרח יצא לו המחובר טור אחת כטור החשבון הגדול במספר שוה זו לזו ועם זה התבארה כוונת כל מה שהתנאתי לבאר בזה השער והגיע העת לפסוק בו ולהתחיל באחר Chapter Seven – Roots השער השביעי בלקיחת גדר המספר השלם היותר קרוב אליו Definition of a square number [lit. a number that has a root] - the product of a number by itself, the root of which is the number multiplied by itself תדע כי בכל הכאת חשבון על עצמו הוא הנקרא חשבון נגדר או נשרש באשר גדרו אשר שרשו הוא החשבון הנכפל על עצמו One versus the integers For all integers - the product of an integer by itself is greater than the integer itself ובכל המספרים אשר יהיו שלמים תמצא לעולם כשתכפול המספר על עצמו שיתרבה פ' העולה מאשר היה המספר מתחלה Except for one - one is not affected or changing when multiplied by itself חוץ מן המספר האחד כי כשתכה האחד על עצמו לא יקבל שום תמורה וחלוף אך יעלה אחד כאשר היה בתחלה בלתי ריבוי ושינוי Therefore it is a square as well as the root of itself ועל כן נאמר שמספר האחד הוא נגדר וגם כן הוא גדר עצמו Another advantage of one over all other numbers עוד יש למספר האחד יתרון על שאר המספרים For all other numbers - the sum of the preceding number and the succeeding number is equal to twice the middle number $\scriptstyle\left(n-1\right)+\left(n+1\right)=2n$ שהנה כל המספרים זולתו שתקח שני קצוותיהם ר"ל המספר שלפניהם והמספר שלאחריהם יהיה המחובר מן שני הקצוות כפל המספר האמצעי One does not have a preceding extreme, only subsequent extreme - its single extreme is equal to its double $\scriptstyle2=2\sdot1$ ולמספ' האחד הנה אין לו קצה האחד לפניו ועם הקצה שלאחריו בלבד שהוא שנים יספיק לכפלו These properties are presented as a virtue and superiority of one over all the other numbers וזהו מעלת ורוממות מעלת האחד על שאר המספרים There are other virtues of one - but they are not the main issue of the present chapter ועוד דברים אחרים שאין מקומן להזכירם בזה והנה יצאתי מכוונת השער הזה כאשר הוצרכתי לדבר במעלות מספר האחד ועתה אשוב אל אשר הייתי בתחלה square numbers The product of a square by a square is a square ואומר בענייני הגדרים שאם תכפול ותכה מספר נגדר על מספר נגדר יהיה המספר גם כן מספר נגדר $\scriptstyle a^2\times b^2=\left(a\times b\right)^2$ וכאשר תרצה לדעת גדרו אינך צריך כי אם לקחת גדרי המספרים אשר הכית וכפלת זה על זה ותכה ותכפול גדר האחד על חבירו וההווה הוא גדר המספר השלישי $\scriptstyle{\color{blue}{4\times9=2^2\times3^2=\left(2\times3\right)^2=6^2=36}}$ דמיון הנה ארבעה הוא מספר נגדר וגם תשעה והעולה מכפל האחד על חבירו הוא ששה ושלשים והנה הוא גם כן מספר נגדר ואם נבקש לדעת גדרו נקח גדר הארבעה שהוא שנים וכן גדר התשעה שהוא שלשה ונכה אותם זה על זה יעלו ששה והוא המבוקש כי כאשר נכפול ששה על עצמו יהיו ששה ושלשים Square ranks and non-square ranks The odd ranks have roots; the even ranks have no root ותדע כי לעולם מדרגות החשבון הולכות על הסדר הזה זו אחר זו כעניין זה שהראשונה נגדרת והשניה לה אינה נגדרת והשלישית נגדרת והרביעית אינה נגדרת וככה אין קץ The first number of the units - the number one - is a square number ורצוני לומר בגדר המדרגות הזה כי כשסתכל המדרגה הראשונה שהיא מדרגת האחדים מספרם הראשון שהוא האחד הוא נגדר כמו שהתבאר במה שקדם The first number of the tens - the number ten - is not a square number והמדרגה השנית שהיא מדרגת העשרות מספרם הראשון שהוא עשר בלתי נגדר The first number of the hundreds - the number one hundred - is a square number וכן המדרגה השלישית מספרה הראשון שהוא מאה נגדר The first number of the thousands - the number one thousand - is not a square number והמדרגה הרביעית מספר הראשון שהוא אלף הוא בלתי נגדר And so on ובדרך הזו הולכות המדרגות כלנה Extracting roots - written procedure The procedure of extracting root is very complicated, with many aspects, and it cannot be explained through one inclusive rule for all numbers ודרך מציאת הגדר הנעלם מהמספר הידוע היא עמוקה עד מאד ויש בה צדדים רבים ומדות נחלקות זו מזו ולא אוכל לפרש אותם דרך כלל אחד לכל המספרים Therefore the author offers various elaborate examples from which an intelligent person is expected to deduce the extraction procedure in other cases ועל כן אכתוב חשבונות הרבה בלתי דומים זה לזה ואבאר בארוכה בכל אחת מהם דרך להוציא גדרו ומהם יבין כל משכיל ונבון אשר תנוח חכמה בלבו לעשות ככה במספרים אחרים זולתם $\scriptstyle\sqrt{225}$ הנה שבקשנו לדעת גדר מאתים ועשרי' וחמשה נכתבם על זאת הצורה $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{2>1^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2-{\color{blue}{1}}^2=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times1=}}{\color{blue}{2}}\\\end{align}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{12-\left(2\times{\color{blue}{5}}\right)=}}{\color{Orange}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{{\color{Orange}{2}}5-{\color{blue}{5}}^2=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$ 0   $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot2=}}{\color{blue}{1}}}$ 0   1   100 100 225 225 225 225 12   25  15 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle15\ the\ root}}$ 0      ‫0 0 א  ה ב ב ה ב ואחר נמנה מספר המדרגות וראינו שהאחרונה יש לה גדר באשר היא מדרגת שלישית ובעבור זה נתחיל ממנה והנה היא ב' נבקש הגדר היותר קרוב אל ב' ומצאנו א' ונכתבנו תחת הב' ההי' ונסיר הכאתו על עצמו ממנה וישאר עליה א' נכפול הב' שכתבנו תחת הב' פעמים ונכתוב העולה אחורנית תחת המדרגה הקדומה לזו ועל כן נכתוב ב' תחת הב' מהמדרגה האחרונה או נעביר עליה קולמוס לסימן שתהיה נמחקת משם כאלו לא נכתבה ואחרי זאת נשים א' הנשארת במדרגה הראשונה להתחלתינו על ב' הקדומ' לה במכתב יהיו שנים עשר נעיין כמה פעמים נוכל להסיר מהם הב' עד שישאר מהם מספר שנוכל להסיר ממנו אחרי כן כמספר העולה מהכאת מספר הפעמי' ההם על עצמו והנה נמצא שיספיק לזה המבוקש אם נסירנה מהם חמש פעמים ותשאר הב' במקומה ונכתוב סיפרא על הא' באשר לא ישאר ממנה כלום ונכתוב תחת המדרגה הראשונה ה' כנגד חמש פעמי ההסרה ואחר נכה ונכפול פעמי ההסרה על עצמו ויעלה חמשה ועשרים נסיר אותם מחמשה ועשרים שבטור החשבון הנחקר ונמצא שכלה הכל ולכן נכתוב סיפרא על הה' ועל הב' והנה חדשנו טור אחר תחתיו שהוא ה' ב' נסיר מהב' חציה וישאר ה' א' והוא גדר המספר המבוקש כי אם תכפול ותכה ה' א' על עצמו תמצא שיצא לך ה' ב' ב' $\scriptstyle\sqrt{925}$ ועוד בקשנו לדעת הגדר היותר קרוב אל המספר הזה שהוא $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{\sqrt{9}=3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9-{\color{blue}{3}}^2=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times3=}}{\color{blue}{6}}\\\end{align}}$ 0   $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{2<6}}}$ 0   $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot6=}}{\color{blue}{3}}}$ 0   925 925 925 925 36   60  30 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle30\ the\ root\\&\scriptstyle25\ the\ remainder\\\end{align}}}$ 0      ה ב ט  ‫0 ו הנה יש למדרגתו אחרונה גדר ולכן נתחיל ממנה וגדרה הוא ג' נכתבנה תחתיה ונסיר הכאת הג' ממנה ותכלה ולא תשאר ממנה כלום ולכן נכתוב עליה סיפרא נכפול הג' פעמים ונעביר עליה קולמוס ונכתוב ו' במדרגה אחת אחורנית והנה יצא אלינו הגדר הקרוב כי עתה לא נוכל עוד להסיר ו' מב' אשר על ראשה ומפני זה תחת המדרגה הראשונה ונמצא שהטור שנתחדש הוא סיפרא ו' נסיר מהו' חציה וישאר 0' ג' והוא הגדר הקרוב המבוקש כי אם תכפול ותכה סיפרא ג' על עצמו ותשים תחתיו הנשאר בטור הראשון שהוא ה' ב' יצא לך ה' ב' ט' $\scriptstyle\sqrt{7056}$ ועוד בקשנו לדעת גדר שבעת אלפים וחמשים וששה ונכתבם על זו הצורה $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{70>8^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{70-{\color{blue}{8}}^2=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times8=}}{\color{blue}{16}}\\\end{align}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{6-\left(4\times{\color{blue}{1}}\right)=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{25-\left(4\times{\color{blue}{6}}\right)=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{16-{\color{blue}{4}}^2=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$  0   $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot16=}}{\color{blue}{8}}}$  0      20   20  06   0610 0610 7056 7056 7056 7056  86   164  164  1       8  $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle84\ the\ root}}$   0       ב 0     ו א 0 ז 0 ה ו   א ו ד     ח   והנה מדרג' המספר הזה האחרונה בלתי נגדרת היא באשר היא רביעית ועל כן נשי' אותה על הסיפרא הקדומה לה במכתב ותהיה שבעים והגדר הקרוב אל שבעים הוא ח' שעולה הכאתו על עצמו ששים וארבעה נסיר אותם משבעים ישארו על הסיפרא ונכתוב סיפרא על המדרגה האחרונה באשר לא נשאר ממנה כלום וכנגד הקרוב אל שבעים נכתוב ח' תחת הסיפרא שבמדרגת השלישית אחרי זאת נכתוב הח' פעמים תהיה ששה עשר נכתוב אותם נכתוב אותם על דרך זה ו' כנגד הששה תחת המדרגה הקדומה לסיפרא וא' כנגד העשרה תחת הח' ונעביר עליה קולמוס אחרי כן נעיין כמה פעמים נוכל להסיר הא' והו' מהו' והה' אשר על ראשם בכדי שישאר מהם מספר שיספיק למה שיעלה מספר הכאת פעמי ההסרה על עצמם והנה נמצא שנוכל להסיר הא' ד' פעמים מהו' אשר על ראשה וישאר עליה ב' ואחר נסיר גם כן הו' ד' פעמי' שעולי' עשרים וחמשה וישאר א' על הה' ונכתוב על הב' סיפרא כאשר לא נשאר ממנה כלום וכנגד ארבע פעמי ההסרה נכתוב ד' תחת המדרגה הראשונה ואחר נכה הד' על עצמו ויהיה ההווה ששה עשר ונסיר אותם מששה עשר שבטור החשבון הנחקר ונמצא שתכלה הכל ולכן נכתוב על הו' ועל הב' סיפראש והטור שנתחדש אצלינו הוא ד' ו' א' נקח חצי מו' הו' והא' על הדרך הזה שנשים א' על הו' ויהיה ששה עשר ויהיה חציין ח' ונכתוב אותה תחת הו' ונמצא שהנשאר הוא ד' ח' והוא גדר המספר המבוקש שהנה אם תכנו ותכפלנו על עצמו יצא לך טור אחד שמספרו שבעת אלפים וחמשים וששה $\scriptstyle\sqrt{76543}$ ועוד בקשנו לדעת הגדר היותר קרוב אל המספר הזה הנה שהוא 0 ג       ג ח ו     ז ו ה ד ג   ד         א ד     $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{7>2^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7-{\color{blue}{2}}^2=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times2=}}{\color{blue}{4}}\\\end{align}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{36-\left(7\times{\color{blue}{4}}\right)=}}{\color{green}{8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-5=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{55-{\color{blue}{7}}^2=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times7=}}{\color{blue}{14}}\\\end{align}}$ 03    3     386   76543 76543 76543 24     47      14   הנה המדרגה האחרונה מהמספר הזה היא נגדרת באשר היא חמשית ועל כן נתחיל ממנה והנ' הגדר הקרוב אל ו' הוא ב' נכתבנה תחתיה ונסיר ממנה הכאת הב' על עצמה וישאר על הו' ג' נכפול הב' פעמים ונעביר עליה קולמוס ונכתוב עליה העולה שהוא ד' במדרגה אחת אחורנית תחת הו' שהיא המדרגה הרביעית ואחר כך נשים הג' הנשארת לנו על הז' על המדרגה קדומה לה במכתב יהיו ששה ושלשים נעיין כמה פעמים נוכל להסיר מהם הד' שכתבנו תחת המדרגה הרביעית בכדי שיספיק מה שישאר להסיר ממנו מספר פעמי הכאת ההסרה על עצמו והנה נמצא שלא נוכל להסיר אותה כי אם ו' פעמי העולים עשרים ושמנה נסיר אותם משלשים וששה ישאר על הו' ח' ונכתוב סיפרא על הג' כאשר נעתקה ממקומה וכנגד שבע פעמי ההסרה נכתוב ז' תחת המדרגה השלישית אחרי כן נכה ונכפול ז' על עצמה ויהיה העולה תשע וארבעים נסירם על הדרך הזה ממה שנשאר בטור המספר והנה נקח מהח' הנשארת על המדרגה הרביעית ה' וישאר עליה ג' ונשים הה' על הה' הקדומה לה במכתב שהיא המדרגה השלישית ויהיו חמשים וששה נסיר מהם תשע וארבעים ישארו על הה' ו' אחרי זאת נכפול השבע פעמי ההסרה פעמים ויהיה ארבעה עשר ונעביר הקולמוס על הז' ונכתבם על הדרך הזה ד' כנגד הארבעה תחת הז' אשר העברנו עליה קולמוס וא' כנגד העשר תחת הד' שהיא תחת המדרגה הרביעית ואחר כן נעתיק ממקום אחר מה שנשאר בטור המספר ונעשה ממנו טור אחר לבדו ואחר נכתוב תחתיו מה שנתחדש והנה יהיה טור מה שנותר ג' ד' ו' ג' ונכתוב תחתיו בטור אחר ד' תחת הד' שהיא במדרגה השנית וה' תחת הו' וכל זה הוא מה שנתחדש למעלה והיה יהיה מועתק על זאת הצורה   ג ו   0 ד 0 ז ג ו ד ג   ה ד ו $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4+1=}}{\color{blue}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{36-\left(6\times5\right)=6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-2=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{24-\left(6\times4\right)=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-1=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{10-4=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{43-{\color{blue}{6}}^2=}}{\color{green}{7}}\\\end{align}}$  36  $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot54=}}{\color{blue}{27}}}$  36  0407 0407 3643 3643  546  276 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle276\ the\ root\\&\scriptstyle367\ the\ remainder\\\end{align}}}$ ועתה נשים הג' שבטו' העליון במדרגה האחרונה על הו' הקדומה לה יהיו ששה ושלשים ונכתוב סיפרא על הג' כאשר נעתקה ממקומה ונעיין כמה פ פעמים נוכל להסיר האותיות הטור השפל מהטור העליון בכדי שישאר ממנו אחרי כן מספר שנוכל לומר להסיר ממנו המספר שיעלה מפ מהכאת פעמי ההסרות על עצמם והנה נראה שיספיק לכל זה אם נסיר אותם ששה פעמים בלבד וכשנסיר מהששה ושלשים הה' שש פעמים העולים שלשים תשאר הו' במקומה וגם אחרי זה נסיר הד' הכתובה תחת המדרגה השנית גם כן שש פעמים העולי' ארבעה ועשרים נעשה על הדרך הזה נקח ב' מן הו' וישאר עליה ד' ונשים הב' על הד' הקדומה למדרגה הזאת במכתב ויעלו עשרים וארבע ויסופו ויכלו ונכתוב על הד' סיפרא באשר לא נשאר שם וכנגד שש פעמי ההסרה נכתוב ו' תחת המדרגה הראשונה ונכה הו' על עצמה תעלה ששה ושלשים נסירם ממה שנשאר בטור העליון על דרך זה נסיר מן הד' הנשארת על המדרגה השלישית א' וישאר שמה ג' נשים הא' על הסיפרא אשר על המדרגה השנית הקדומה לה ותהיה שוה עשר נסיר מהם ארבעה וישאר על הסיפרא ו' נשים הארבעה על המדרגה הראשונה יעלו ארבעי' ושלש נסיר מהם הששה ושלשים ישארו ז' על הג' שבמדרגה הראשונה והנה הטור השפל אשר נתחדש הוא ו' ד' ה' נקח חצי הד' והה' ישאר מהם ז' ב' נמצא מה שנשאר אחר כל זה ו' ז' ב' והוא הגדר היותר קרוב אל המספר המבוקש ואם תכפול [ ] ו' ז' ב' על עצמו ותוסיף על כפילתו מה שנשאר בטור העליון שהוא ז' ו' ג' יצא לך טור המספר אשר דרשת גדרו $\scriptstyle\sqrt{583696}$ ועוד בקשנו לדעת גדר חמש מאות ושמנים ושלשת אלפי' ושש מאו' ותשעים וששה ונכתבנו על זאת הצורה   0           ג ו       0 ט ט 0     ה ח ג ו ט ו     ד         א א ב     $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{58>7^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{58-{\color{blue}{7}}^2=}}{\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times7=}}{\color{blue}{14}}\\\end{align}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9-\left(6\times{\color{blue}{1}}\right)=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{33-\left(6\times{\color{blue}{4}}\right)=}}{\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9-3=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{36-{\color{blue}{6}}^2=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times6=}}{\color{blue}{12}}\\\end{align}}$  0        36    09     0990   583696 583696 583696  74     746    1      112   באשר המדרגה מן המספר הזה הי' בלתי מוגדרת נגדרת צריך לשים את הה' על הח' הקדומה לה במכתב במדרגה חמשית ויעלו חמשים ושמנה והגדר הקרוב אל המספר הזה הוא שבעה שעולה הכאתו על עצמו תשעה וארבעים וכשנסיר אותה מחמשים יעלו [ ] על הח' ט' ונכתוב סיפרא על הה' באשר נעתקה ממקומה וכנגד הגדר הקרוב נכתוב ז' תחת הח' ונכפול הז' הזאת פעמי' ונעביר עליה קולמוס והנה יהיה העולה ארבעה עשר ונכתוב ד' תחת הארבעה תחת הג' שהיא המדרגה הרביעית וא' כנגד העשר תחת הז' אשר העברנו עליה הקולמוס ועתה אנחנו צריכי' לעיין כמה פעמים אנו צ נוכל להסיר הא' והד' ממה שנשאר בטור המספר בכדי שיספיק לנו אחרי כן מהוא להסיר מהמספר מהנשאר מספר הכאת פעמי ההסרה על עצמו והנה נמצא שיספיק לנו אם נסיר אותם ששה פעמים והנה כשנסיר הא' ששה פעמים מהט' הנשארת במדרגה החמשית ישאר עליה ג' וגם יש לנו להסיר הד' ששה פעמים שעולה כפלתם ארבעה ועשרים ונעשה על הדרך הזה נקח הג' הנשארת לנו על הט' ונכתוב סיפרא במקומה ונשים אותה על הג' הקדומה לה במדרגה רביעית ויעלו שלש ושלשים כשנסיר מהם הארבעה ועשרים ישארו על ה' ג' ט' וכנגד שש פעמי' ההסרה נכתוב תחת המדרג' השלישית ו' וכשנכפול ונכה אותם על עצמם יעלו ששה ושלשים וכשנסיר אותם מטור המשפט על הדרך הזה נקח מן הט' הנשארת לנו במדרג' רביעית ג' וישארו עליה ו' נשים זאת הג' על הו' הקדומה לה במדרג' שלישית יעלו ששה ושלשים ויסופו ויתמו כנגד הששה ושלשים שהם כפלת הכאת הו' על עצמה והנה נכתוב סיפרא על הו' באשר לא נשארה ממנה כלום אחרי זאת נכפול הששת פעמי ההסרה פעמים ויהיו שנים עשר ונכתבם על הדרך הזה ב' תחת הו' כנגד השנים ונעביר עליה הקולמוס וא' תחת הד' שאחריה כנגד העשר ואחר כל זה נעתיק במקום אחר מה שנשאר בטור המספר ונעשה ממנו טור אחד לבדו ואחר נכתוב תחתיו מה שנתחדש והנ' יהיה טור מה שנותר ו' ט' 0 ו' ונכתוב תחתיו בטור אחר ב' תחת הט' וה' תחת הסיפרא וא' תחת הו' וכל זה הוא מה שנתחדש למעלה והנ' יהי' המועתק על זו הצורה 0       ב   א 0 ו 0 ט ו א ה ב ד $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4+1=}}{\color{blue}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-\left(4\times1\right)=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{20-\left(4\times5\right)=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9-\left(4\times2\right)=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{16-{\color{blue}{4}}^2=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$ 0 0  $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot152=}}{\color{blue}{76}}}$  36  2 10 2 10 6096 6096 1524  764 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle764\ the\ root}}$ ועתה יש לנו לעיין כמה פעמים נוכל להסיר האותיות שכתבנו תחת הטור הראשון ממנו בכדי שיספיק לנו אחרי כן להסי מהנשאר כפל הכאת מספר ההסרות על עצמו והנה נמצא שיספיק לכל זה אם נסירם ארבע פעמים והנה כשנסיר הא' שהיא המדרג' האחרונה מהטור השפל מהו' אשר בטור העליון על ראשה ארבעה פעמי' ישאר עליה ב' וגם כן יש לנו להסיר ארבעה פעמים אשר בטור השפל שעולה כפלתם עשרים מהטור העליון ונעשה על דרך זה נקח ב' הנשארת לנו במדרגה האחרונה מהטור העליון ונשים אותה על הסיפרא הקדומה למדרג' ההיא ויהיו עשרים ויסופו ויכלו בעד העשרים מהכפלה ונכתוב על הב' אשר לקחנו סיפרא באשר נעתקה ממקומה ואחרי זאת נסיר גם כן ארבעה פעמי' הב' שבטור השפל מהט' אשר על ראשה וישאר עליה א' והנה כנגד ארבעה פעמי ההסרה נכתוב תחת המדרגה מהטור העליון ד' וכאשר נכפול ונכה הד' על עצמה יהיה ההוה ששה עשר נסירם מהששה עשר שבטור העליון שהרי נותרה א' על הט' במדרגה השניה והו' שבראשונ' ונמצא שכלה כל הטור העליון ועל כן נכתוב סיפראש על הו' ועל הא' שבראש הט' והטור התחתון אשר נתחדש הוא ד' ב' ה' א' נקח חצי הב' והה' והא' ותהיה ד' ו' ז' והוא הגדר מהמספר המבוקש ואם תכפול ד' ו' ז' על עצמו אני מבטיח לך שיצא מקיבוץ הכפילה ו' ט' ו' ג' ח' ה' $\scriptstyle\sqrt{824464}$ ועוד בקשנו לדעת גדר המספר הזה שהוא שמנה מאות ועשרים וארבעה אלף וארבעה מאות וששים וארבע ונכתוב אותו על זאת הצורה   0 0       0 א ו 0 0 0 ח ב ד ד ו ד   ט א ח 0 ח $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{82>9^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{82-{\color{blue}{9}}^2=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times9=}}{\color{blue}{18}}\\\end{align}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{14-\left(8\times{\color{blue}{1}}\right)=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{64-\left(8\times{\color{blue}{8}}\right)=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{64-{\color{blue}{8}}^2=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$  00    01     016000 824464 824464 824464  9180   91808 $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot18=}}{\color{blue}{9}}}$  00    016000 824464    908 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle908\ the\ root}}$ על אשר המדרג' האחרונה מהמספר הזה היא בלתי נגדרת צריך לשים אותה על הב' הקדומה לה במכתב שהיא המדרגה החמשית והנה יהיו שמנים ושנים והגדר היותר קרוב אליהם הוא תשעה כי כפלת הכאתו על עצמו עולה אחד ושמנים והנה כשנסיר אותם מהם תשאר על הב' א' ונכתוב על הח' סיפרא באשר נעתקה ממקומה והנה נכתוב תחת הב' ההיא ט' כנגד תשעה שהם הגדר היותר קרוב ואחר נעביר קולמוס על הט' ונכפול אותה ויהיו שמנה עשר ונכתבם על הדרך הזה א' תחת המדרג' רביעית כנגד העשר וח' כנגד השמנה במדרגה אחת אחורנית ואחרי זאת נכתוב סיפרא תחת המדרגה השנית ואחר נעיין כמה פעמים נוכל להסיר אותיות הטור השפל [ה]מתחדש ממה שנשאר בטור העליון בכדי שישאר שם מספר אחרי זאת שנוכל להסיר ממנו כמספר העולה כפלת פעמי ההסרות על עצמם והנה נמצא שיספיק להסיר אותם שמנה פעמים ונעשה על הדרך הזה נקח הא' הנשארת בטור העליון על המדרגה החמשית ונכתוב עליה סיפרא באשר נעתיקנה ממקומה ונשים אותה על הד' הנשארת במדרגה הרביעה הקדומה לה ויהיו ארבעה עשר נסיר מהם הא' שתחת המדרגה הרביעית שמנה פעמים וישאר על הד' ו' וכן גם כן יש לנו להסיר הח' שתחת המדרגה הרביעית שמנה פעמים שעולה כפלתם ששה וארבעי' שמנה פעמים שעולה כפלתם ששים וארבעה ונעשה על הדרך הזה נקח הו' הנשארת במדרג' הרביעית ונכתוב סיפרא עליה כאשר נעתיקנה ממקומה ונשים אותה על הד' שהיא המדרגה השלישית הקדומה לה ויהיו ששים וארבעה ויכלו ויתמו בעבור הסרת פעמי הח' ונכתוב על הד' באשר לא נשאר ממנה כלום וכנגד שמנה פעמי הסרת האותיות נכתוב תחת המדרגה הראשונה ח' וכאשר נכה ח' פעמים על עצמם יעלו ששים וארבעה נסירם מהששים והארבעה אשר על ראשם בטור המספר כי הנה נשארה עד כה הד' שהיא המדרגה הראשונה והו' שהיא המדרגה השנית ובזה תכלה כל הטור העליונה ועל כן נכתוב סיפראש על הד' ועל הו' והטור שנתחדש הוא ח' 0 ח' א' הוא 0 ט' והוא גדר המספר המבוקש ובחנני בזאת ונסני לכפול ח' 0' ט' על עצמו כי בהכרח יצא לך מקיבוץ הכפלה ד' ו' ד' ד' ב' ח' $\scriptstyle\sqrt{100}$ ועוד בקשנו לדעת שורש וגדר מאה הנה נכתבנו על זאת הצורה $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{1-{\color{blue}{1}}^2=}}{\color{green}{0}}}$ 0   100 100  1  $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle10\ the\ root}}$ 0      ‫0 0 א ‫0 א והנה המדרגה השלישית יש לה גדר ועל כן נתחיל ממנה וידוע כי גדר הא' הוא אחד ולכן נכתוב סיפרא על הא' באשר תכלה כשנסיר ממנה הכאת הגדר על עצמו וכנגד הגדר על * האחד שהוא עצמו נכתוב א' תחת הסיפרא השנית ותהיה שוה שם עשר והוא גדר המספר המבוקש $\scriptstyle\sqrt{400}$ וכן אם רצינו שורש ארבע מאות נכתבם על זאת הצורה $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{4-{\color{blue}{2}}^2=}}{\color{green}{0}}}$ 0   400 400  2  $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle20\ the\ root}}$ 0      ‫0 0 ד ‫0 ב וידוע כי גדר הד' הוא שנים ולכן נכתוב סיפרא על הד' באשר תכלה כלה כאשר נסיר ממנה הכאת הגדר על עצמו וכנגד השנים שהם הגדר נכתוב ב' תחת הסיפרא השנית ותהיה שוה שם עשרים והוא גדר המספר המבוקש $\scriptstyle\sqrt{4000}$ ואם רצינו לדעת הן הקרוב אל ארבעת אלפים $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{40>6^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{40-{\color{blue}{6}}^2=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times6=}}{\color{blue}{12}}\\\end{align}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4-\left(3\times{\color{blue}{1}}\right)=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{10-\left(3\times{\color{blue}{2}}\right)=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-1=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{10-{\color{blue}{3}}^2=}}{\color{green}{1}}\\\end{align}}$  0      13  04   0441 4000 4000 4000  62   623  1    1   $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot12=}}{\color{blue}{6}}}$  0    13  0441 4000   63 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle63\ the\ root\\&\scriptstyle31\ the\ remainder\\\end{align}}}$ נעשה על זה הדרך הנה המדרגה הרביעית היא בלתי נגדרת לפיכך נשים הד' על הסיפרא הקדומה לה ותהיה ארבעים והמרובע הקרוב אליהם הוא ששה כי כפלת הכאתו על עצמו תהיה שלשים וששה והנה ישארו ד' על הסיפרא השלישית ונכתוב סיפרא על הד' שהייתה במדרגה הרביעית כאשר נעתקה ממקומה וכנגד ששה שהוא הגדר היותר קרוב נכתוב ו' תחת הסיפרא השלישית אחרי זאת נכפול הו' פעמים ונעביר עליה קולמוס והנה יהיה ההווה שנים עשר ונכתוב ב' כנגד השנים תחת הסיפרא השניה וא' כנגד העשר תחת הו' אשר העברנו עליה קולמוס וכאשר נעיין כמה פעמים נוכל להסיר הב' והא' ההמה מהנשאר למעלה מן הטור נמצא שיספיק לנו בשלשה פעמים ונעשה בדרך הזה נסיר הא' שתחת הסיפרא השלישית שלשה פעמים מהד' הנשארת על ראשה וישאר במקומה א' וכן יש לנו להסיר הב' ג' פעמי' שעולה כפלתם ששה ונעשה בדרך הזה נקח הא' הנותרת במדרגה השלישית ונשי' אותה על הסיפרא השנית ותהיה שוה עשר נסיר מהם הששה ישארו שם ארבעה ונכתוב סיפרא על הא' שהייתה על המדרגה השלישית כי נעתקה ממקומה וכנגד שלשה פעמי ההסרה נכתוב תחת הסיפרא שבמדרגה ראשונה ג' וכאשר נכפול ונכה אותה בעצמה יהיה ההווה תשעה נסיר אותם מהטור העליון בדרך זה נקח א' מן הד' הנותרים במדרגה השנית וישארו עליה ג' ונשים הא' על הסיפרא הקדומה למדרגתה ותהיה שוה עשר נסיר מהם תשעה ישאר על הסיפרא ההיא א' והטור אשר נתחדש הוא ג' ב' א' וחצי ב' א' הוא ו' ונמצא שתהיה הגדר הקרוב המבוקש ג' ו' These examples are enough to deduce the extraction procedure for other cases in the same way ובדרכי כל אלו החשבונות הרבים שהזכרתי והארכתי הביאור בהם בכל אחד למצוא גדרו או הקרוב אליו יספיק לך לעשות באחרים זולתם כתבניתם אשר אתה מראה אם חכם אם נבון אתה Chapter Eight – Proportions השער השמיני במערכת חשבון מחשבון אחר Definition of finding the relation = method of finding a number whose relation to a given number is equal to the relation of the same given number to another given number כוונת ההערכה הזאת היא לבאר כשיהיו לנו שני חשבונות ידועים או יותר באזה דרך נוכל לחדש חשבון אחר שיהיה ערכו אל אחד מהם כערך האחד ההוא אל חבירו There are four kinds of relations: ותדע כי מלאכת השער הי' נחלקת לארבעה חלקים 1) Rule of Three $\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3$ החלק האחד הוא על דרך זה כשיהיו נודעי' לנו שני חשבונות ונרצה לחדש ולמצוא חשבון שלישי שיהיה ערכו אל אחד מהם כערך אחד מהם אל חבירו $\scriptstyle4:6=6:x$ המשל בזה כגון שנדע חשבון ארבעה וששה $\scriptstyle{\color{blue}{6:4=\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot4\right]:4}}$ ובידוע כשנערוך חשבון ששה על חשבון ארבעה יהיה כמוהו ומחציתו $\scriptstyle a_3=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6^2}{4}=\frac{36}{4}=9}}$ ואם נרצה לחדש חשבון שלישי שיהיה ערכו אל ששה כערך הששה אל הארבעה נעשה על הדרך הזה נקח חשבון הששה שהוא אמצעי בין החשבון הראשון הידוע ובין השלישי הנעלם ונכפול ונכה אותו על עצמו ויהיה העולה ששה ושלשים נחלק אותם על החשבון הראשון הנודע שהוא ארבעה ומצאנו בהם תשע פעמים והנה תשעה ערכם אל ששה כערך ששה אל ארבעה $\scriptstyle a_1=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_3}$ ואם ידענו החשבון האמצעי והחשבון האחרון והנעלם ממנו החשבון הראשון נכפול גם כן האמצעי על עצמו ונכפול ונחלקנו על החשבון האחרון הנודע והיוצ' בחילוק הוא החשבון הראשון $\scriptstyle x:6=6:9$ ולפי זה כשנדע חשבון הששה והתשעה ולא נדע הארבעה $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6^2}{9}=\frac{36}{9}=4}}$ נכפול הששה על עצמם ונחלקם על התשעה הנודעי' ונמצאנו בו ארבעה פעמים והנה הארבעה הוא החשבון המבוקש $\scriptstyle a_2=\sqrt{a_1\sdot a_2}$ ואם ידענו החשבון הראשון והשלישי ונעלם ממנו החשבון האמצעי נכפול ונכה השני חשבונות הנודעי' זה על זה ונקח גדר העולה וכמספר הגדר הוא החשבון האמצעי המבוקש $\scriptstyle4:x=x:9$ ועל הדרך הזה כשנדע חשבון הארבעה והתשעה ונעלם ממנו האמצעי $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}=6}}$ נכפול ארבעה על תשעה ויעלו ששה ושלשים וגדרם הוא ששה והוא החשבון האמצעי הנדרש 2) Rule of Four $\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4$ החלק השני כשיהיו לנו שלשה חשבונות מספרים נודעים ונרצה לחדש חשבון רביעי שיהא ערכו אל השלישי כערך הראשון אל השני $\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}$ $\scriptstyle6:10=3:x$ כגון שנדע החשבונות האלה השלשה ששה ועשר ושלשה ונבקש לעשו' למצוא חשבון שיהיה ערכו אל השלשה כערך עשרה אל הששה $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot3}{6}=\frac{30}{6}=5}}$ ונעשה ככה נכפול העשרה וחשבון השלשה זה על זה ושניהם נקראים אמצעיים לפי שהם נתוני' בין החשבון הראשון הנודע ובין החשבון הרביעי הנעלם וההוה הוא שלשים נחלקנו על החשבון הראשון הנודע שהוא ששה ונמצאנו בו חמשה פעמים והנה חמשה הוא החשבון המבוקש כי כערך ששה אל עשרה כן ערך ששה אל חמשה $\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}$ וכן אם נדע החשבונות האמצעיים והחשבון הרביעי ונעלם ממנו החשבון הראשון נכפול האמצעיים זה על זה ונחלק ההוה על החשבון הרביעי הנודע והיוצא בחילוק הוא המבוקש $\scriptstyle a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}$ $\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}$ ואם יעלם ממנו אחד מהשנים האמצעיים נכפול החשבון הראשון והרביעי אלו על אלו ונחלק ההוה על האמצעי הנודע והיוצא בחילוק הוא החשבון האמצעי הנעלם 3) Arithmetic proportion $\scriptstyle a_2-a_1=a_3-a_2$ החלק השלישי כשנרצה לכתוב ולחקוק חשבונות רבים מרחק אחד שוה למרחק חבירו 1; 2; 3; 4 כגון א'ב'ג'ד' 2; 4; 6 או ב'ד'ו' וכיוצא באלו This kind is clear and explained - thus, there is no need to elaborate on that והחלק הזה דרכו גלוי ומבואר ואין צריך עוד להאריך בו 4) Harmonic proportion $\scriptstyle a_1:a_3=\left(a_2-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)$ החלק הרביעי $\scriptstyle3;\ 4;\ 6\longrightarrow3:6=1:2=\left(4-3\right):\left(6-4\right)$ על אופן שלש אותיות אלו שהם ג'ד'ו' שערך ג' אל ו' כערך המרחק שמשלשה עד ארבעה אל המרחק שמארבעה ועד ששה שהנה מרחק ג' מד' אחד ומרחק ד' מו' שנים וכערך אחד אל השנים כן ערך הג' אל הו' $\scriptstyle a_2=2\sdot\frac{a_1\sdot a_3}{a_1+a_3}$ וכאשר נדע האות הראשונה והאחרונה ונעלמת ממנו האות השנית נכפול האחת על חברתה ונחלק העולה על המחובר משתיהן והיוצא בחילוק נכפלנו והוא המבוקש $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\frac{3\sdot6}{3+6}=2\sdot\frac{18}{9}=2\sdot2=4}}$ ועל דרך הזאת כשנדע הג' והו' ונרצה לדעת האמצעית נכפול ג' על ו' יהיו שמנה עשר נחלקנו על המחובר משתיהן שהוא ט' נמצאנו שם שני פעמים נכפלם יהיו ארבעה וככה הוא האות האמצעי להיות ד' $\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_2}{a_1-\left(a_2-a_1\right)}$ ואם נדע האות הראשונה והאמצעית ולא נדע האחרונה נכפול הראשונה על השניה שהיא אמצעית בין הראשונה הידועה ובין האחרונה הנעלמת והעולה נחלקנו על האות הראשונה הידועה אחר אשר נסיר ממנה העולה מהכאת המרחק שבין הראשונה לאמצעית על עצמו והיוצא מהחילוק הוא המבוקש $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot4}{3-\left(4-3\right)}=\frac{12}{3-1}=\frac{12}{2}=6}}$ ולפי זה כשנדע הג' והד' ונעלמת ממנו הו' נכפול הג' על ד' יהיו שנים עשר נחלקם [ ] על הג' אחרי אשר נסיר ממנה הכאת המרחק שבינה ובין הד' על עצמו והנה הוא אחד נסיר אותו מהג' ישאר ממנה ב' ונמצא ב הב' הזאת ו' פעמים בשנים עשר וככה היא האות השלישית האחרונה ו' $\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_3+\left(a_3-a_2\right)}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot6}{6+\left(6-4\right)}=\frac{24}{6+2}=\frac{24}{8}=3}}$ ואם ידענו הד' והו' ולא ידענו הג' נעשה בדרך זה נכפול הג' [הד'] על הו' ויהיו ארבע ועשרים נחלקם על המחובר מהאות השלישית עם המרחק שבין הד' ובינה יהיו שנים וכשנחברם אל הששה יהיו שמנה וכשנחלק הארבע ועשרים עליהם יצא לנו בחלוק ג' פעמים וכן הוא משפט האות הראשונה להיות ג' From these four kinds of proportions it is possible to find all the proportions of numbers ובאלו החלקים הארבעה המבוארים תוכל להבין ולהוציא כל ערכי החשבונות שתמצא כאשר התבאר בארוכה עניין כל חלק וחלק Chapter Nine – Fractions השער התשיעי בידיעת חלקי כל שבר מן השלם בין בכפל בין בחלוק או בחבור או במגרעת Introduction The product of fractions by themselves or by other fractions is less than their sum $\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}<\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ תדע באמת כי כפלת הכאת השברים על עצמם או על שברים אחרים זולתם פחותה ממחברתם $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{16}<\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}}$ כי כאשר נאמר כפול והכה רביע על רביע הרי זה כאלו נאמר קח רביע הרביע שהוא חלק אחד מששה עשר חלקים בשלם ואם נאמר חבר רביע עם רביע יהיה המחובר חצי שלם אחד This rule of fractions is opposite to the rule of integers - as the product of integers by themselves or by others is larger than their sum $\scriptstyle n+m<n\times m$ ומנהג השברים הזה הוא הפך ממנהג השלמים כי הנה הם יתרבו כאשר יוכו ויכפלו על עצמם או על זולתם יותר משלא תרבה אותם מחברתן On the other hand, this rule of fractions is somewhat similar to the rule of the unit - since its product by itself is less than its sum with itself $\scriptstyle1\times1<1+1$ ואולם הם דומים למנהג מעשה האחד השלם במקצת שאם נכפלנו ונכנו בעצמו לא יעלה כי אם אחד ומחברתו על עצמו תהיה שנים Therefore, the number two is mean between one and the fractions and all the other integers, since the product of two by itself is equal to it sum with itself $\scriptstyle2\times2=2+2$ ולזאת הושמו השנים האמצעיים ביניהם ובין כל שאר המספרים השלמים כי מחברת השנים עם עצמם וכפלת הכאתן בעצמן הכל עולה בשוה ארבעה המחברת כמו הכפלה Operations with fractions Since the operations with fractions are clear and known, the author describes various examples of operations with fractions from which one can learn the practice in other cases ובעבור שתהיה מלאכת השער הזה גלויה ומפורסמת לכל בביאור אכתוב מדרכי השברים חשבונות רבים עד שיודע וילמד מהם לעשות ככה מאחרים זולתם Multiplication of fractions Introduction והנני מתחיל בדרך הכאת כפלתן הכאתן אחר אשר אכתו' מעט הקדמה אשר אני צריך לבאר אותה לצורך המלאכה הזאת The proper way for dealing with fractions is to find their common denominator - an integer that consists of the denominators of all these fractions ואומר בזה כי הדרך הישר בשברים הוא לקחת מדומה רצוני לומר שיקח חשבון שלמים שימצאו בו חלקים שלמים כפי מספר השברים אשר יצטרך The method of finding the common denominator: וככה הוא דרך לקיחת המדומה a; b; c - the denominators of the fractions→ their common denominator is (a·b·c) the common denominator of the fractions $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{4};\ \frac{1}{11}}}$ is $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot11=6\sdot4\sdot11=24\sdot11=264}}$ כשנרצה למצוא חשבון שיהיו בו שברים אלו שהם מחצית ושלישית ורביעית וחלק אחד מאחד עשר הנה כל משכיל יבין כי החשבון הקדום שבכל החשבונות שנוכל למצוא בו חצי שתהיה שלמה הוא חשבון השנים ועל זה נקח בעבור המחצית שנים וכמו שהמחצית יוצא מהשנים כן תצא השלישית מהשלשה ולכן נקח בעבורה שלשה וכשנכפול השנים בשלשה יהיו ששה והנה ששה הוא החשבון הקרוב שנהיה בו מחצית ושלישית משלמים כשנכפול הששה בארבעה [ ] בעבור הרביעי' אשר תצא מהם יהיה העולה עשרים וארבעה וכשנכפול אותם באחד עשר כנגד החלק האחד שהוא מהם יהיה העולה מהם מאתים וששים וארבעה והוא החשבון המדומה המבוקש כי יש לו מחצית ושלישית ורביעית מ וחלק מאחד עשר וכמוהו לכל האחדים זולתו Multiplication of fractions by fractions $\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}$ $\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\sdot\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}{\left(b\sdot d\right)^2}$ We wish to multiply four fifths by four fifths $\scriptstyle\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}$ בקשנו לכפול ארבע חמשיות בארבע חמשיות $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{4\sdot4}{5\sdot5}=\frac{16}{25}=\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$ בידוע כי החמשית תצא מהחמשה והוא המדומה והכאתו בעצמו עולה עשרים וחמש ונכפול מספר החמשיות שהוא ארבע על עצמו ויהיה ששה עשר והנה ערך ששה עשר אל חמש ועשרים שהוא העולה מהכאת המדומה בעצמו שלש חמשיותיו וחמשית חמשית וככה הוא ערך השבר היוצא מכפלתם אל השלם We wish to multiply two quarters by three quarters $\scriptstyle\frac{2}{4}\times\frac{3}{4}$ בקשנו לכפול ולהכות שתי רביעיות על שלש רביעיות $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{2\sdot3}{4\sdot4}=\frac{6}{16}=\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$ מדומה הרביעיות הנה הוא ארבעה כי ממנו תצאן והכאתו על עצמו עולה עשר וכאשר נכפול השתי רביעיות בשלש יהיו ששה וערכם אל הכאת המדומה רביעיתו ושתי רביעיות רביעי' אחת וככה הוא ערכם אל השלם We wish to multiply three quarters by four fifths. $\scriptstyle\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}$ בקשנו לכפול שלש רביעיות בארבע חמשיות $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{3\sdot4}{4\sdot5}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}}}$ הנה מדומה הרביעיות ארבעה ומדומה החמשיות חמשה וכפלת המדומה האחד על חבירו ותהיה עשרים ועתה נכפול מספר השלש רביעיות במספר הארבע חמשיות יהיו שנים עשר וערך שנים עשר אל עשרי' שהוא העולה מכפלת המדומה האחד על חבירו שהוא שלש חמשיותיו וככה הוא העולה מכפלת השברים הנזכרים אלו על אלו שלש חמשיות השלם $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{\left(\frac{3}{4}\sdot20\right)\sdot\left(\frac{4}{5}\sdot20\right)}{20\sdot20}=\frac{15\sdot16}{400}=\frac{240}{400}=\frac{12}{20}}}$ או אם נרצה נעשה בדרך אחרת נקח מדומה אחד לשניהם ה והנה שלש רביעיותיו הם שלשה [חמשה] עשר וארבע חמשיותיו הם ששה עשר נכפול אלו על אלו יהיו מאתים וארבעים נכה המדומה שהוא עשרים ונכפול אותו על עצמו ויהיה ארבע מאות נעריך המאתים וארבעים אליהם ונמצא כי כערך שנים עשר אל עשרים כן ערך מאתים וארבעים אל ארבע מאות שוה בשוה והכל אחד $\scriptstyle\frac{5}{7}\times\frac{7}{8}$ בקשנו לכפול חמש שביעיות בשבע שמיניות $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\times\frac{7}{8}=\frac{5\sdot7}{7\sdot8}=\frac{35}{56}=\frac{5}{8}=\frac{4}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$ ידוע כי מדומה השמיניו' הוא שמנה ומדומה הוא השביעיות הוא שבעה וכאשר נכפול ונכה או אותם זה על זה יהיו חמשים וששה ואחר נכפול מספר החמש שביעיו' במספר השבע שמיניות ויעלו שלשים וחמש וערכם אל חמשים וששה חמש שמיניותיו או נוכל לומר שהם ארבע שביעיותיו ושלשה שמיניות שביעית $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\times\frac{7}{8}=\frac{\left(\frac{5}{7}\sdot56\right)\sdot\left(\frac{7}{8}\sdot56\right)}{56\sdot56}=\frac{40\sdot49}{3136}=\frac{1960}{3136}=\frac{35}{56}}}$ ובדרך אחרת הנה המדומה האחד לשנים הוא ששה וחמשים וחמש שביעיות והם ארבעי' ושבע שמיניות תשע וארבעים וכפלתם זה על זה הוא עולה אלף ותשע מאות וששים והכאת המדומה על עצמו עולה שלשת אלפים ומאה ושלשים וששה ותמצא כאשר נעריך אליהם האלף ותשע מאות וששים שיהיה מערכתם שוה למערכת שלשים וחמש אל החמשים וששה Both ways are proper ושני הדרכים האלה כאחד טובים וישרים $\scriptstyle\frac{4}{5}\times\frac{3}{13}$ בקשנו לכפול ארבע חמשיותיו על שלשה חלקים משלשה עשר בשלם $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{3}{13}=\frac{4\sdot3}{5\sdot13}=\frac{12}{65}=\frac{2}{13}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{13}\right)=\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$ הנה מדומה החמשיות חמשה ומדומה החלקים משלשה עשר הוא שלשה עשר וכפלתם ששים וחמש וכאשר נכפול מספר הארבע חמשיות על מספר השלשה חלקים יהיו שנים עשר והנם שנים עשר חלקים מששים וחמש בשלם ונוכל לקחת אותם בשני חלקים משלשה עשר ועוד שתי חמשיות חלק או נקראים חמשית אחת שלמה פחות ממנה חלק אחד משלשה עשר בה $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{3}{13}=\frac{\left(\frac{4}{5}\sdot65\right)\sdot\left(\frac{3}{13}\sdot65\right)}{65\sdot65}=\frac{52\sdot15}{4225}=\frac{780}{4225}=\frac{12}{65}}}$ ובדרך אחרת ידוע כי המדומה לשניהם הוא ששים ואחת וארבעת חמשיותיו המה חמשי' ושתים ושלשת חלקיו משלשת עשר הם חמשה עשר וכפלתם מזה על זה הם שבע מאות ושמנים והכאת המדומה על עצמו היא ארבעת אלפים ומאתים ועשרים וחמש וכאשר נערוך אליהם השבע מאות ושמנים נמצא שיהיה ערכם שוה לשנים עשר אל ששים וחמש והכל אחד $\scriptstyle\frac{9}{15}\times\frac{11}{17}$ בקשנו לכפול תשע חלקים מחמשה עשר בשלם על אחד עשר חלקים על משבעה עשר חלקים בשלם $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{15}\times\frac{11}{17}=\frac{9\sdot11}{15\sdot17}=\frac{99}{255}=\frac{6}{17}+\left(\frac{9}{15}\sdot\frac{1}{17}\right)=\frac{5}{15}+\left(\frac{14}{17}\sdot\frac{1}{15}\right)}}$ לקחנו מדומה האחד חמשה עשר והשני שבעה עשר כפלנום זה על זה עלו מאתים וחמשים וחמש כפלנו גם כן התשע חלקים על האחד עשר היו תשעים ותשעים וערכם אל מאתים וחמשים וחמש וששה חלקים משבע עשרה בשלם ועוד תשע חלקים מחמשה עשר בחלק אחד מהם וככה הם מהשלם או נוכל לקחת אותם חמשה חלקים מחמש עשרה בשלם ועוד ארבעת עשרה חלקים משבע עשרה בחלק אחד מהם $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{15}\times\frac{11}{17}=\frac{\left(\frac{9}{15}\sdot255\right)\sdot\left(\frac{11}{17}\sdot255\right)}{255\sdot255}=\frac{153\sdot165}{65025}=\frac{25245}{65025}=\frac{99}{255}}}$ ובדרך האחרת המדומה לשניהם הוא מאתים וחמשים וחמש ותשע חלקי[ו] מחמשה עשר הם מאה וחמשים ושלשה ואחד עשר חלקיו משבע עשרה הם מאה וששים וחמש כפלנו החשבון האחד על חבירו עלו עשרים וחמש אלף ומאתים וארבעים וחמשה וגם הכינו וכפלנו המדומ' על עצמו עלה ששים וחמש אלף ועשרים וחמשה וכאשר נערוך אליהם העשרים וחמש אלף ומאתים וארבעים וחמשה נמצא שערכם אליהם כערך תשעים ותשע אל המדומה לא פחות ולא יותר $\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\times\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)$ בקשנו לכפול שתי שלישיות מרביעי' [ ] חמשית על שש שביעיות שמינית This example is more complicated than the others, because there are more fractions involved המבוקש הזה הוא קשה להוציאו מכל האחרים הנזכרי' באשר נשבריהם רבים ואכין לך הדרך למצוא אותו בנקלה $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5=12\sdot5=60}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{\frac{2}{3}\sdot\left[\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)\right]}{60}=\frac{\frac{2}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}{60}=\frac{\frac{2}{3}\sdot3}{60}=\frac{2}{60}}}$ הנה כאשר נקח שלשה בעבור השלישית היוצא ממנו ונכפלנו בארבעה באשר תצא ממנו הרביעית יהיה שנים עשר נכפול אותם בחמשה בעבור החמישית יהיו ששים וזהו המדומה שתמצא בו שלישית ורביעית וחמשית והנה חמשיתו שנים עשר ורביעיתם שלשה ושתי שלישיתם שתים ואנחנו רואים ויודעים בבירור כי השתי שלישיות מרביעית חמשית הם שני חלקים מששים בשלם $\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot8=56}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{8}=\frac{\frac{6}{7}\sdot\left(\frac{1}{8}\sdot56\right)}{56}=\frac{\frac{6}{7}\sdot7}{56}=\frac{6}{56}}}$ נקח גם כן מדומה שיהיה בו שביעית ושמינית ויהיה זה חמשים וששה ושמיניתו שבעה ושש שביעיותיהם ששה והששה האלו הם חלקים מחמשים וששה בשלם $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\times\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)=\frac{2}{60}\times\frac{6}{56}=\frac{2\sdot6}{60\sdot56}=\frac{12}{3360}=\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$ והרי מבוקשינו הוא כמו אם אמרנו לכפול שני חלקים מששים על ששה חלקי' מחמשים וששה על כן נכפול המדומה האחד על חבירו ויהיו שלשת אלפים ושלש מאות וששים וכאשר נכפול השני חלקים על הששה יהיו שנים עשר והנה ערכם אל מספר הכאת המדומה האחד על חבירו חמשית שמינית שביעיתו Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left[\frac{1}{8}\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot3360\right)\right]=\frac{1}{5}\sdot\left(\frac{1}{8}\sdot480\right)=\frac{1}{5}\sdot60=12}}$ כי שביעי מספר ההכאה הם ארבע מאות ושמנים ושמיניתם ששים והשנים עשר הם חמשית ששים [ ] This can be solved also by using one common denominator for both products וגם כן תוכל למצא אותו בדרך אחרת לקחת מדומה אחד לשניהם ואתה תבין לעשות בחכמתך כאשר אתה רואה במבוקשים הקדומים עד הנה בארתי וכללתי דרך הכאת כפלת השברים על עצמם או על שברים אחרי' זולתם ועתה אבאר דרך כפלת שברים על שלמים או שלמים ושברים על שברם לבדם בין שיהיו השברים ממין אחד או משני מינין או כפלת שברים שלמים ושברים על שלמים ושברים בין שהשברים הם ממין אחד או משני מינין וזה לך ביאורם Multiplication of integers by fractions דמיון לכפלת שלמים על שברים $\scriptstyle5\times\frac{4}{6}$ רצינו לכפול חמשה שלמים בארבע ששיות $\scriptstyle n\times\frac{a}{b}=\frac{n\sdot a}{b}$ $\scriptstyle{\color{blue}{5\times\frac{4}{6}=\frac{5\sdot4}{6}=\frac{20}{6}=3+\frac{2}{6}=3+\frac{1}{3}}}$ הנה מדומה הששיו' הוא ששה נכפול מספר החמשה שלמים במספר הארבע הששיות יהיה עשרים נחלקם על המדומה יעלו שלשה שלמים ושתי ששיו' אחד שהם שלישיתו $\scriptstyle n\times\frac{a}{b}=\frac{\left(n\sdot b\right)\sdot a}{b^2}$ $\scriptstyle{\color{blue}{5\times\frac{4}{6}=\frac{\left(5\sdot6\right)\sdot4}{6\sdot6}=\frac{30\sdot4}{6\sdot6}=\frac{120}{6}\sdot\frac{1}{6}=\frac{108+12}{6}\sdot\frac{1}{6}=3+\frac{2}{6}}}$ ונוכל למצוא זה בדרך אחרת נכפול המדומה שהוא ששה על מספר השלמים שהם ששה ויהיו שלשים נכפול אותם על ארבע הששיות ויהיו מאה ועשרים ששיות ששית והמאה והשמנה מהם הם שלשה שלמים והשנים עשר הנשארים הם שני ששיות Both ways lead to the same answer ונמצא שני הדרכי האלה יוצאות אל כוון אחד Multiplication of integers and fractions by fractions of one type דמיון לכפלת שלמים ושברים על שברים לבדם שהם ממין אחד $\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\frac{3}{5}$ רצינו לכפול שלשה שלמים וארבע חמשיות על שלש חמשיות $\scriptstyle\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\frac{c}{b}=\frac{\left[\left(n\sdot b\right)+a\right]\sdot c}{b^2}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\frac{3}{5}&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot5\right)+4\right]\sdot3}{5\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{\left(15+4\right)\sdot3}{5\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{19\sdot3}{5\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{57}{5}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=2+\left(\frac{7}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}$ לקחנו מדומה החמשיות חמשה כפלנו אותם על השלשה שלמים יהיו חמשה עשר חמשיות נוסיף עליהם הארבע חמשיות ויהיו תשעה עשר חמשיות נכפול אותם על השלש חמשיות יהיו חמשים ושבע חמשיות חמשית והחמשים מהם הם שני שלמים והשבע חמשיות חמשית הנשארות הן הם חמשית אחת ושתי חמשיות חמשיות $\scriptstyle\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\frac{c}{b}=\frac{n\sdot c}{b}+\frac{a\sdot c}{b^2}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\frac{3}{5}&\scriptstyle=\frac{3\sdot3}{5}+\frac{4\sdot3}{5\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{9}{5}+\left(\frac{12}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{9}{5}+\frac{2}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{11}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}$ דרך אחרת נכפול מספר השלש שלמים על מספר שלש החמשיות ויהיו תשעה חמשיות וכשנכפול גם כן הארבע חמשיות על השלש חמשיות יהיו שנים עשר חמשיות חמשית שהם שני חמשיות שלמות ושתי חמשיות חמשית ותשע חמשיות שיש לנו הנה בין כלם אחד עשר חמשיות חמשית שהן שני שלמים וחמשית אחת ושתי חמשיות חמשית כאשר מצאנו בראשונה Multiplication of integers and fractions by fractions of different types דמיון לכפול שלמים ושברים על שברים לבדם שאינם ממין אחד $\scriptstyle{\color{red}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\frac{c}{d}=\frac{\left[\left(n\sdot b\right)+a\right]\sdot c}{b\sdot d}}}$ $\scriptstyle\left(4+\frac{2}{5}\right)\times\frac{3}{4}$ רצינו לכפול ארבעה שלמים ושתי חמשיות על שלש רביעיות $\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{2}{5}=\frac{\left(4\sdot5\right)+2}{5}=\frac{20+2}{5}=\frac{22}{5}}}$ נקח מדומ' החמשיות חמשה ונכפול אותו על הארבעה שלמים ויהיו עשרי' חמשיות נוסיף עליהם השתי חמשיות ויהיו עשרי' ושתים חמשיות $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22}{5}\sdot\frac{3}{4}=\frac{22\sdot3}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{66}{4}\sdot\frac{1}{5}}}$ נכפול אותם על השלש רביעיות יהיו ששים ושש רביעיות חמשית $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}$ והנה מדומה הרביעיות הוא ארבעה נכנו על המדומה החמשיות יהיו עשרים $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{2}{5}\right)\times\frac{3}{4}=\frac{66}{20}=3+\left(\frac{6}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=3+\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$ נחלק עליהם הששים ושש רביעיות ונמצאם שם שלשה פעמים והם שלשה שלמים ועדנה נשארו שם ששת רביעיות חמשית שלא נתחלקו שהם רביעית אחת חמשית אחת ושתי רבעיות חמשית $\scriptstyle{\color{red}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\frac{c}{d}=\frac{n\sdot c}{d}+\frac{a\sdot c}{b\sdot d}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\frac{3}{4}=\frac{4\sdot3}{4}=\frac{12}{4}=3}}$ ובדרך האחרת נכפול הארבע שלמים על שלשת הרביעיות ויהיו שנים עשר רביעיות שהם שלשה שלמים $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot\frac{3}{4}=\frac{2\sdot3}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{6}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$ ואחר נכפול השתי חמשיות על השלש רביעיות ויהיו ששה רביעיות חמשית שהיא חמשית אחת שלימה ושתי רביעיות חמשי' כאשר מצאנו בתחלה Multiplication of integers and fractions by integers and fractions of one type דמיון לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים ששבריהם ממין אחד $\scriptstyle{\color{red}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\left(m+\frac{c}{b}\right)=\frac{\left[\left(n\sdot b\right)+a\right]\sdot\left[\left(m\sdot b\right)+c\right]}{b^2}}}$ $\scriptstyle\left(2+\frac{3}{4}\right)\times\left(3+\frac{2}{4}\right)$ רצינו לכפול שני שלמים ושלש רביעיות על שלשה שלמים ושתי רביעיות $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)+3=8+3=11}}$ הנה מדומה הרביעית הוא ארבע על כן נכפול אותם על השנים שלמים יהיו שמנה רביעיות נוסיף עליהם השלש רביעיות ויהיו מספרן אחד עשר $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot4\right)+2=12+2=14}}$ וגם נכפול השלמי' השלשה על הארבעה ויהיו שנים עשר רביעיות נוסיף עליהם השתי רביעיות ויהיה מספרם אחד [ארבע] עשר $\scriptstyle{\color{blue}{11\sdot14=154}}$ נכנו על האחד עשר ויעלו מאה וחמשים וארבעה רביעיות רביעית $\scriptstyle{\color{blue}{4^2=16}}$ נחלק אותם על מספר הכאת המדומה על עצמו העולה ששה עשר $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{3}{4}\right)\times\left(3+\frac{2}{4}\right)=\frac{154}{16}=9+\left(\frac{10}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)=9+\frac{2}{4}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$ נמצאנו שם תשע פעמים והם תשע שלמים וישארו מהם שלא יתחלקו עליו עשרה רביעיות רביעית שהן שתי רביעיות שלמות ושתי רביעיות רביעית וככה הוא היוצא מהכפילה הזאת $\scriptstyle{\color{red}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\left(m+\frac{c}{b}\right)=\left(n\sdot m\right)+\frac{\left(n\sdot c\right)+\left(m\sdot a\right)}{b}+\frac{a\sdot c}{b^2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$ דרך אחרת נכפול השלמים על השלמים יהיו ששה שלמים $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\frac{2}{4}=\frac{4}{4}}}$ ונכפול גם כן השני שלמים על השתי רביעיות יהיו ארבעה רביעיות $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot3=\frac{9}{4}}}$ ואחר נכפול השלש רביעיות על השלשה השלמים יהיו תשע רביעיות $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{4}+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}}}$ נחברם אל הארבעת רביעיות שיש לנו כי כלם הם ממין אחד ויהיו שלשה עשר רביעיות $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{4}=\frac{6}{4}\sdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$ ואחרי ז נכפול השלש רביעיות על השתים ויהיו ששה רביעיות רביעית שהן רביעית אחת שלימה ושתי רביעיות רביעית $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13}{4}+\frac{1}{4}=\frac{14}{4}}}$ נוסיף הרביעית הזאת על השלשה עשר ויהיו ארבעה עשר רביעיות $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(2+\frac{3}{4}\right)\times\left(3+\frac{2}{4}\right)&\scriptstyle=6+\frac{14}{4}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=6+3+\frac{2}{4}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=9+\frac{2}{4}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}$ נחלקם על המדומה שהוא ארבעה ונמצאנו שם שלש' פעמים נחברם אל הששה יהיו תשעה שלמים ועדנה ישארו שם שתי רביעיו' שלא יתחלקו ושתי רביעיות רביעי' שיש לנו The second way leads to the same solution והנה נמצא שהדרך הזה היא מכוונת אל הראשונה Multiplication of integers and fractions by integers and fractions of different types דמיון לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שאינם השברי' ממין אחד $\scriptstyle{\color{red}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\left(m+\frac{c}{d}\right)=\frac{\left[\left(n\sdot b\right)+a\right]\sdot\left[\left(m\sdot d\right)+c\right]}{b\sdot d}}}$ $\scriptstyle\left(5+\frac{2}{3}\right)\times\left(2+\frac{3}{6}\right)$ רצינו לכפול [חמ]שה שלמים ושתי שלשיות על שני שלמים ושלש ששיות $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot3\right)+2=15+2=17}}$ ידוע כי המדומה השלישית הוא שלשה נכפול אותו על מספר החמשה שלמים ויהיו חמש עשרה שלישיות נוסיף עליהם השתי שלישיות יהיו מספרם שבעה עשר $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot6\right)+3=12+3=15}}$ וגם כן ידוע כי מדומה הששיות הוא ששה נכפול אותם על השני שלמים ויהיו שנים עשר שלשיות נוסיף עליהם השלש ששיות ויהיו מספרם חמשה עשר $\scriptstyle{\color{blue}{17\sdot15=255}}$ נכה מספר האחד על חבירו ויהיו מאתים וחמשים וחמש $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot6=18}}$ ואחרי זאת נכפול המדומה האחד על חבירו ויהיה [העולה] שמנה עשר $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{2}{3}\right)\times\left(2+\frac{3}{6}\right)=\frac{255}{18}=14+\left(\frac{3}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)=14+\frac{1}{6}}}$ נחלק עליהם המאתים וחמשי' וחמש ויהיה היוצא בחלוק ארבעה עשר והנה הם שלמים ונשאר שם שלא נתחלק שלש ששיות שלישית והן הם ששית אחת שלמה $\scriptstyle{\color{red}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\left(m+\frac{c}{d}\right)=\frac{\left[\left[n\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]\sdot\left[\left[m\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]}{\left(b\sdot d\right)^2}}}$ דרך אחרת נבקש מדומה אחד לשני מיני השברים $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot6=18}}$ ונמצא זה כשנכפול שלשה בששה ויהיו שמנה עשר $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot18\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot18\right)=90+12=102}}$ ונכפול המדומה הזה על החמשה שלמים ויהיו תשעים חלקים שכל שמנה עשר ח' חלקים מהם עולים שלם אחד והנה כנגד השתי שלישיות נוסיף עליהם שני שלישיות המדומה שהוא שנים עשר ויהיו מספר החלקים ההמה מאה ושנים $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot18\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot18\right)=36+9=45}}$ וכמו כן נכפול המדומה על השני שלמים יהיו ששה ושלשי' חלקים וכנגד השלש ששיות נוסיף עליהם שלש ששיות המדומה שהם תשעה והם נוספי' ויהיה מספר החלקים האלה ארבעים וחמשה $\scriptstyle{\color{blue}{102\sdot45=4590}}$ נכפול המספר האחד על חברו יהיה ההוה ארבעת אלפים וחמש מאות ותשעים $\scriptstyle{\color{blue}{18^2=324}}$ נחלקם על מספר הכאת המדומה על עצמו העולה שלש מאות ועשרים וארבעה $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{2}{3}\right)\times\left(2+\frac{3}{6}\right)=\frac{4590}{324}=14+\frac{54}{324}=14+\frac{1}{6}}}$ ויהיה היוצא בחלוק ארבעה עשר והנה הם שלמים ונשאר שם שלא נתחלק חמשים וארבעה שהם ששית מספר הכאת המדומה על עצמו נמצא מהכפלה הזאת ארבעה עשר שלמים וששית שלם אחד כאשר בתחלה וכל הדרכי' האלה הם טובי' ונכוחי' למוצאי דעת Division of fractions עתה אחל לדבר בדרך חלוקת השברים אלו על אלו או שלמים ושברים על שלמים ושברים Division of fractions by fractions דמיון בחלוקת שברים על שברים $\scriptstyle\frac{2}{3}\div\frac{2}{7}$ רצינו לחלק שני שלישיות על שני רביעיות שביעיו' $\scriptstyle\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)}{\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\div\frac{2}{7}=\frac{\frac{2}{3}\sdot\left(3\sdot7\right)}{\frac{2}{7}\sdot\left(3\sdot7\right)}=\frac{\frac{2}{3}\sdot21}{\frac{2}{7}\sdot21}=\frac{14}{6}=2+\frac{1}{3}}}$ הנה נבקש מדומה אחד לשני השברים ונכפול שבעה בשלשה ויהיו עשרים ואחד ושתי שלישיותיו ארבעה עם עשר ושני שביעיותיו ששה והנה נחלק הארבעה עשר עליהם והיוצא הוא שנים והנה היוצא מהחלוקה הזאת שנים ושלישית Division of integers and fractions by integers and fractions דמיון לחלק שלמים ושברים על שלמים ושברים $\scriptstyle\left(4+\frac{2}{3}\right)\div\left(2+\frac{2}{5}\right)$ רצינו לחלק ארבע' שלמים ושתי שלישיות על שני שלמים ושתי חמשיות $\scriptstyle\left(n+\frac{a}{b}\right)\div\left(m+\frac{c}{d}\right)=\frac{\left[n\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}{\left[m\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(4+\frac{2}{3}\right)\div\left(2+\frac{2}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(4\sdot15\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot15\right)}{\left(2\sdot15\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot15\right)}\\&\scriptstyle=\frac{60+10}{30+6}=\frac{70}{36}\\&\scriptstyle=2-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{3}{4}+\frac{2}{9}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}$ והנה המדומה לשניהם הוא חמשה עשר ועל כן נכפול אותו על הארבעה שלמים ויהיו ששים חלקים ובעבור השתי שלישיות נוסיף עליהם שתי שלשיות המדומה שהם עשרה ויהיה מספר החלקים שבעים וגם נכפיל מספר השני שלמים על המדומה ויהיה שלשים חלקים נוסיף עליהם ששה שהם שתי חמשיות המדומה ויהיה מספרן ששה ושלשים נחלק עליהם מספר השבעים ונמצאם שם שני פעמים פחות חצי תשיעי' החשבון אשר חלקנו עליו או נאמר שהיוצא מהחלוקה הוא פעם אחת ועוד שלש רביעיות ושתי תשיעיות פחות רובע תשיעית Addition of fractions אחרי אשר התבארו דרכי כפילת השברים וחלוקתם צריך לבאר גם כן דרכי מחברתם זה עם זה ודרך מגרעת שברים דקים וקטנים משברים גדולי' מהם ותדע כי כשנרצה לידע כמה מחברת שברים ידועים עם שברים ידועים $\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{5}{6}$ כאשר נאמר על דרך משל חברנו שלש רביעיות עם חמש ששיות כמה העולה $\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}{b\sdot d}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{5}{6}&\scriptstyle=\frac{\left(\frac{3}{4}\sdot24\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot24\right)}{24}\\&\scriptstyle=\frac{18+20}{24}=\frac{38}{24}\\&\scriptstyle=1+\frac{14}{24}\\&\scriptstyle=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}$ והנה נעשה על הדרך הזה נקח המדומה לשניהם והנה הוא עשרי' וארבעה ושלש רביעיותיו שמנה עשר וחמש ששיותיו עשרים נחברם זה עם זה יהיו שלשים ושמנה ונקח מהם בעבור העשרים וארבע שלם אחד ונשאר מהם ארבעה עשר שהם חצי שלם אחד וחצי ששותו או אם נרצה נקרא הנשאר חצי שלם ושלישית רביעיתו Subtraction of fractions וכאשר נבקש לגרוע משברים ידועים שברים ידועים קטנים ודקים מהם ולדעת הנשאר $\scriptstyle\frac{2}{4}-\frac{1}{5}$ כאשר נאמר על דרך משל גרענו משתי רביעיות חמשי' אחת כמה הנשאר $\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]-\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}{b\sdot d}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}-\frac{1}{5}=\frac{\left(\frac{2}{4}\sdot20\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)}{20}=\frac{10-4}{20}=\frac{6}{20}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$ נעשה ככה נקח מדומה אחד לשניהם והנה הוא כ ושתי רביעיותיו הם עשרה וחמשיתו הם ארבעה נסיר מהעשרה ארבעה וישאר מהם ששה והוא רביעית המדומה וחומש רביעיתו וככה ערך הנשאר אל השלם ובזה התבארה כוונת מה שרציתי לבאר בשער הזה תהלה לאל ברוך הוא Chapter Ten – Approximating the Roots of Non-Square Numbers השער העשירי בידיעת צלעות המרובעים מהחשבון החרש והאלם על דרך קרוב Introduction: square numbers and non-square numbers Definition of a number that has a root = square number, "wise number" תדע כי כל מספר נגדר הוא נקרא מרובע והנה הוא מספר פקח The reason for naming a square number "wise" - its root which is the measure of each of the four sides of the square, can be found truly וטעם היותו נקרא מספר פקח באשר גדרו שהוא מדת כל אחת ואחת מארבע צלעות המרובע יכול להמצא באמתות The numbers that do not have a real root are called deaf or mute, because their root cannot be found accurately only approximately ולזאת יקראו המספרים אשר אין להם גדר אמתי מספרים חרשים או אלמים באשר לא יוכל כל נברא למצוא גדרם בדקדוק כי אם בקרוב In every scientific discipline there are many hidden secrets ובכל חכמה יש הרבה דברים נסתרים ונעלמים מלבות בני האדם למצאם For example: in medicine - there are herb roots and stones that can cure the sick, but the reason for their curing quality is not known והנה נראה זה גם כן בחכמת הרפואה שיצוו הרופאים לקחת שורש עשב ידוע או אבן ידועה להיות מרפא בסגולה לחולה הנושאם ואין כח בשום חכם לדעת טעם סגולת האבן או שורש העשב למה היא ככה These hidden things are known to God alone ודברי' רבים כמו אלה אשר לא יודעו רק ליודע כל נסתרות לבדו ברוך הוא וברוך שמו Sexagesimal fractions The ancients extracted the approximate roots of deaf or mute numbers by using the method of the astronomers - therefore the author introduces first the method of the astronomers, before he discusses the extraction of roots of non-square numbers ועתה נשוב אל הראשונות ונאמר כי לבעבור רוב החכמים הקדומים הוציאו קרוב מדת הצלעות המרובעי' החרשים והאלמים על דרך חכמי המזלות צריך להקדים ולבאר קצת דרכיהם בתחלה בטרם שאדבר בדרך הוצאת מדת הצלעות The astronomers divided the zodiac into 12 zodiacal signs והנה חלקו חכמי המזלות הגלגל לשנים עשר צורות והמה הנקראות מזלות The reason for dividing by 12: twelve is the smallest number that has numerous fractions [= divisors, in modern terminology]: $\scriptstyle\frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{4};\ \frac{1}{6};\ \left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)$ וטעם החלוקה הזאת באשר אי' מספר קטן משנים עשר שיהיו לו חלקים רבים שלמים מבלי שבר כמוהו כי כן ימצא בו חצי ושלישית ורביעית וששית וחצי ששית Each zodiacal sign was divided into 30 degrees וחלקו כל מזל לשלשים חלקים קראו אותם מעלות The reason for dividing by 30: thirty is the smallest number that has as many fractions [= divisors, in modern terminology] as it has: $\scriptstyle\frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{5};\ \frac{1}{6};\ \frac{1}{10}$ וחלקוהו למספר זה לפי שאין מספר פחות ממנו אשר ימצאו בו חלקים רבים בלתי שבר כמוהו כי ימצא בו חצי ושלישית וחמשית וששית ועשירית Each degree was divided into 60 minutes וחלקו כל מעלה לששים חלקים וקראו אותם ראשונים The fractions [= divisors] of 60: $\scriptstyle\frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{5};\ \frac{1}{6};\ \frac{1}{10}$ ובמספר הזה ימצא בו חצי ושלישית וחמשית וששית ועשירית Each minute was divided into 60 seconds וחלקו כל ראשון לששים שניים Each second was divided into 60 thirds וכל שני לששים שלישיים Each third was divided into 60 fourths וכל שלישי לששים רביעיים And so on - every rank is 60 times of the subsequent rank and 60 of each rank are a unit of the preceding rank וכן יחלקו חלקיהם כפי הצורך עד תכלית כל אחד ואחד יהיה שוה ששים מהמדרגה השניה השניה לו וששים מכל אחד ואחד יעלו אחד מהמדרגה הקודמת לו Multiplication of Sexagesimal Fractions The degrees act as the integers: והנני מודיע לך כי המעלות הן הנה כמו השלמים The product of degrees by degrees are degrees $\scriptstyle\left(a\sdot60^0\right)\times\left(b\sdot60^0\right)=\left(a\sdot b\right)\sdot60^0$ ולעולם כשנכפול מעלו' ועל מעלה יעלה העולה מהכפלה מעלות The product of degrees by fractions of another sexagesimal rank are fractions of this other rank $\scriptstyle\left(a\sdot60^0\right)\times\left(b\sdot\frac{1}{60^n}\right)=\left(a\sdot b\right)\sdot\frac{1}{60^n}$ ואם נכפול אותם בכפלים אחרים בחלקי' אחרים כמו ראשונים או שניים או יתר לעולם יעמוד המין מהחלקים ההם בעצמו ולא ישתנו ממינם בעבור הכפלה הזאת All other sexagesimal ranks act as the simple fractions ואולם הראשונים והשניים או כל שאר המינים שאחריהם הנה משפטם כמשפט השברים $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}}$ כי כמו שאם נכפול חצי על חצי יהיה העולה רביע $\scriptstyle a^{''}\times b^{''}=\left(a\sdot b\right)^{''''}$ ככה אם נכפול חלקים שניים על חלקים שניים יהיה העולה מהכפלה רביעיים $\scriptstyle a^{'}\times b^{'}=\left(a\sdot b\right)^{''}$ וכפלת ראשונים על ראשונים יהיה העולה שניים $\scriptstyle a^{''}\times b^{'''}=\left(a\sdot b\right)^{'''''}$ ומכפלת שניים בשלישיים יהיה העולה חמשיים $\scriptstyle a^{''''''}\times b^{''}=a^{''''}\times b^{''''}=\left(a\sdot b\right)^{''''''''}$ וששים בשניים או רביעים על רביעים יהיה העולה שמיניים $\scriptstyle a^{''}\times b^{'''''}=\left(a\sdot b\right)^{'''''''}$ ושניים בחמשיים יהיה העולה שביעיים וככה כלם על דרך זה האמור Written procedure The procedure of multiplication of two numbers that consist of various sexagesimal fractions: ואכין לך דרך לכפלת החלקים הנזכרים האלה Converting all the fractions of each of the two numbers to the lowest sexagesimal rank and summing them to one fraction כשתבקש לכפול טור אחד מהחשבונות חלקים ידועים על טור אחד מחשבונות חלקים ידועים ויהיה בכל אחת מהטורים חלקים מהרבה מינים גדולים וקטנים תעשה ככה קח הטור האחד משתיהם ויצקת כל המינים הגדולים אל המין היותר קטן אל הטור ההוא וחבר אל שתיהם המין הקטן אל מה שיעלה לך מההתכה כי אז הם כלם ממין אחד וכמעשה הטור הזאת תעשה גם כן מהטור השנית Multiplying the two fractions received from the conversion and summing וכפול אלו על אלו ותראה איזה מין ראוי שיהיה היוצא מהכפלה כפי מה שיאמר שהתבאר לפנים Dividing the product by 60 repeatedly until receiving a number that consists of reduced sexagesimal fractions ואחר חלק אותם על ששים הרבה פעמים עד שתבא אל תכלית המין אשר לא תוכל לחלק אותו על ששים ותדע אם ישאר שום מספר שלא יתחלק בכל חלוקה וחלוקה יהיה הנשאר ממין המספר המחולק The author states that this multiplication technique is long as well as short, but it is well-guided ודרך הכפילה הזאת היא ארוכה וקצרה והיא סלולה ומיושרת בטוב Extracting Roots of Deaf Numbers The procedure of extracting roots of deaf numbers: ואחרי אשר בארתי והקדמתי מה שראוי למלאכת השער הזה אשוב לדבר בדרך הוצאת מדת הצלע' ממרובע שמספרו חרש Considering the number as a sum of a square number and an excess $\scriptstyle a^2+b$ והנה כאשר נרצה לבא אל תכלית המבוקש הזה נעיין המרובע שעבר מהמספר אשר אנחנו ונגיע לדעת על פי מה שהתבאר בשער השביעי ונראה כמה העודף על המרובע שעבר $\scriptstyle b<a$ ואם היה פחות מגדרו נעשה זאת 1) First approximation: $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}$ נשיב העודף ראשונים והוא שנכפול אותם בששים ואחר נחלקם על כפל הגדר מהמרובע שעבר ומה שיצא בחלוק נוסיף אותו על הגדר וככה יהיה מדת הצלעות בקרוב 2) Second approximation: $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}-\left[\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\sdot\frac{\left(\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\right)}\right]$ ואם נרצה עוד לדקדק אותה עוד נכה ונכפול המדה הזאת על עצמה ונראה מה יוסיף בהכאה על החשבון אשר אנחנו חוקרים עליו ונעיין מה ערך התוספת אל כפל המדה שמצאנו פעמים וכערך ההוא נוסיף מהמדה והנותר תהיה יותר מדה מדוקדקת מאשר לא הייתה בתחלה 3) Third approximation - repeating the procedure of the second approximation - the most accurate approximation ולדקדקה יותר נעשה מהמדה הזאת השנית כאשר עשינו מהמדה הראשונה ומה שישאר אחרי הסרת ערך התוספת בהכאה אל כפל המדה השנית פעמים ממנה יהיה מדוקדקת מכלנה No need for further approximation - this is compared to diving into deep water and drawing nothing from it ומכאן ואילך אל תיגע עצמך לדקדק כי אולי תצלול במים אדירים וחרס לא יעלה בידך $\scriptstyle b>a$ ואם מצאנו שהעודף מהמספר על המרובע שעבר הוא יתר מגדר המרובע שעבר נעשה בדרך אחרת Considering the number as the next square number minus an excess $\scriptstyle c^2-d$ נעיין כמה המרחק ממספרינו עד המרובע העתיד 1) First approximation: $\scriptstyle\sqrt{c^2-d}\approx c-\frac{\frac{60\sdot d}{2c}}{60}$ ונשיב המרחק ראשונים ונחלקם על כפל גדר המרובע העתיד פעמים ומה שיצא בחלוק נגרע אותו מגדר המרובע העתיד והנשאר הוא מדת הצלעות בקרוב Further approximations are as in the first case וכשנבקש לדקדק אותם נעשה בדרך המבואר בדקדוקיו שלפני $\scriptstyle b=a$ והנה אם מצאנו העודף ממספרינו על המרובע שעבר שהוא בגדרו לא פחות ולא יתר the number $\scriptstyle a^2+a$ is called mean number יקרא מספרינו ממוצע The approximation can be done as in both the above cases $\scriptstyle\sqrt{a^2+a}=\sqrt{\left(a+1\right)^2-\left(a+1\right)}$ ואם נרצה נוציא מדת הצלעות מהמרובע שעבר או מהמרובע העתיד והכל יהיה שוה רק שמעשה האחד בתוספת ומעשה האחר במגרעת $\scriptstyle b<a$ דמיון במספר שהעודף על המרובע שעבר פחות מגדר המרובע ההוא $\scriptstyle\sqrt{5}$ רצינו לכפול מדת כל צלע וצלע ממרובע שהוא חמשה $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}=\sqrt{2^2+1}\approx2+\frac{\frac{60\sdot1}{2\sdot2}}{60}=2+\frac{\frac{60}{4}}{60}=2+\frac{15}{60}}}$ והנה העודף על המרובע שעבר הוא אחד נשיב אותו ראשונים ויהיו ששים נחלק אותם על ארבעה שהם כפל מהגדר מהמרובע שעבר פעמים ויהיה היוצא מהחלוקה חמשה עשר ראשונים נוסיפם על הגדר מהמרובע שעבר ונמצא שיהיה מדת אחת לכל הצלעות שנים שלמים וחמשה עשר ראשונים בקרוב $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{15}{60}\right)^2-5=\left(5+\frac{225}{60^2}\right)=\frac{225}{60^2}}}$ ואם נרצה לדקדק המדה הזאת נכה ונכפול השנים שלמים והחמשה עשר ראשונים על עצמם ויהיו חמשה שלמים ומאתים ועשרים וחמש שניים כי מכפלת ראשונים על ראשונים כבר התבאר שיהיה העולה שניים $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{225}{60^2}}{2\sdot\left(2+\frac{15}{60}\right)}=\frac{1}{72}}}$ ועתה יש לנו לראות הנוסף על החמשה שלמים שהוא מאתים ועשרים וחמש שניים איזה ערך הוא מכפלת המדה שמצאנו פעמיים והנה ערכם אליה הוא כערך אחד משבעים ושנים $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{5}&\scriptstyle\approx\left(2+\frac{15}{60}\right)-\left(\frac{15}{60}\sdot\frac{1}{72}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{900}{60^2}-\frac{\frac{900}{72}}{60^2}\\&\scriptstyle=2+\frac{900}{60^2}-\left(\frac{12}{60^2}+\frac{\frac{36}{72}}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{900}{60^2}-\left(\frac{12}{60^2}+\frac{\frac{1}{2}}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{900}{60^2}-\left(\frac{12}{60^2}+\frac{30}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{887}{60^2}+\frac{30}{60^3}\\&\scriptstyle=2+\frac{14}{60}+\frac{47}{60^2}+\frac{30}{60^3}\\\end{align}}}$ ועל זה נשיב החמשה עשר ראשונים שיש לנו כלם שניים ויהיו תשע מאות שניים ונחלק אותם על שבעים ושנים ותצא לנו החלוק' שנים עשר וישארו שלשים וששה שניים שלא נתחלקו על השבעים ושנים ולכן נקח חצי האחד מהם שהוא חלק אחד מהשבעים ושנים ותהיה החצי שלשים שלישיים ונמצא שנחלק הכל על השבעים ושנים והיוצא הוא שניים ש עשר שניים ושלשים שלישיים נסיר אותם מהתשע מאות שניים ישארו שמנה מאות ושמנים ושבעה שניים ושלשה שלישיים שהם ארבעה עשר ראשונים וארבעים ושבעה שניים ושלשים שלישיים וזאת היא המדה המדוקדקת יותר מבראשונה וסימן שלה ב' י"ד מ"ז ל' והנה הם שלמים ראשונים שניים שלישיים $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{14}{60}+\frac{47}{60^2}+\frac{30}{60^3}\right)^2-5=\frac{2}{60}+\frac{48}{60^2}+\frac{47}{60^3}+\frac{36}{60^4}+\frac{15}{60^5}}}$ ואם תרצה לדקדק עוד זאת המדה תכה ותכפול אותה בעצמה ותמצא שיהיה החשבון על העודף על החשבון הנחקר ב' ראשונים מ"ח שניים מ"ז שלישיים ל"ו רביעיים ט"ו חמישיים ותראה מה ערך הנוסף הזאת אל כפול המדה פעמיים וכערכו אליה תסיר מהמדה שיש לך כאשר התבאר למעלה ותהיה הנשאר מדה מדוקדקת מהאחרות הקדומות $\scriptstyle b>a$ דמיון במספר שהעודף על המרובע שעבר יתר מגדרו $\scriptstyle\sqrt{7}$ רצינו לדעת מדת הצלעות ממרובע שהוא שבעה $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}=\sqrt{9-2}=\sqrt{3^2-2}\approx3-\frac{\frac{60\sdot2}{2\sdot3}}{60}=3-\frac{\frac{120}{6}}{60}=3-\frac{20}{60}=2+\frac{40}{60}}}$ ובאשר העודף על המרובע שעבר הוא יתר מגדרו נראה כמה מרחק יש ממספרינו עד המרובע העתיד והנה המרחק הוא שנים כי ככה רחוק שבעה מתשעה שהוא המרובע העתיד נשיבם ראשונים יהיו מאה ועשרים נחלקם על כפל גדר המרובע העתיד פעמים העולה ששה נמצאם שם עשרים פעמים והם ראשונים נסיר אותם מגדר המרובע העתיד שהוא שלשה וישארו שנים שלמים וארבעים ראשונים וזאת היא מדת צלעות המרובע הנחקר בקרוב $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{40}{60}\right)^2-7=\frac{6}{60}+\frac{40}{60^2}}}$ וכאשר תרצה לדקדק המדה הזאת ותכנה בכפלה על עצמה תמצא [שלא] שיהיה הנוסף על מספר המרובע הנחקר כי אם ששה ראשונים וארבעה שניים וגמור את המלאכה כאמור למעלה $\scriptstyle b=a$ דמיון במספר שהעודף על המרובע שעבר הוא כגדר המרובע ההוא שעבר $\scriptstyle\sqrt{6}$ רצינו לדעת מדת מרובע שהוא ששה $\scriptstyle\sqrt{a^2+a}=\sqrt{\left(a+1\right)^2-\left(a+1\right)}$ והנה מספר המרובע הזה צלעות הוא ממוצע ואם נרצה נוכל להוציא המדה מהמרובע העבר או מהמרובע העתיד והכל יבא אל כוון אחד כאשר יהיה מעשה האחד בתוספת ומספר אחד במגרעת $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}=\sqrt{4+2}=\sqrt{2^2+2}\approx2+\frac{\frac{60\sdot2}{2\sdot2}}{60}=2+\frac{\frac{120}{4}}{60}=2+\frac{30}{60}}}$ ונוציאנה בתחלה מהמרובע שעבר שהוא ארבעה והנה העודף שנים שהם מאה ועשרים ראשונים וחלקם על כפל הגדר שהוא ארבעה נמצאם שם שלשים פעמים והם שלשים ראשוני נוסיפם על הגדר שהוא שנים ותהיה זאת המדה הראשונה בקרוב $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}=\sqrt{9-3}=\sqrt{3^2-3}\approx3-\frac{\frac{60\sdot3}{2\sdot3}}{60}=3-\frac{\frac{180}{6}}{60}=3-\frac{30}{60}=2+\frac{30}{60}}}$ ואם נוציא המדה מהמרובע העתיד שהוא על תשעה נעשה על הדרך הזה הנה המרחק שלשה שהם מאה ושמנים ראשונים נחלקם על ששה שהוא כפל הגדר מהמרובע העתיד נמצאנו שם שלשים פעם והם ראשונים נסיר אותם משלשה שהם גדר המרובע העתיד וישארו שנים שלמים ושלשים ראשונים כאשר מצאנו בתחלה כאשר היינו מוציאים המדה מהמרובע שעבר The same result for both cases - therefore a number like this is called mean והכל אחד ועל כן יקרא כל חשבון כזה ממוצע ואם תרצה לדקדק המדות תעשה כאשר התבאר לפנינו Chapter Eleven – Word Problems השער האחד עשר הנה אכתוב לך בזה כללים נחמדי' בדרכי החשבון Multiplication of a number by itself ותדע כי כאשר תרצה לכפול חשבון אחד על עצמו בין שיהיה החשבון ההוא אחדים בלבד או שיש עמהם עשרות או עשרות לבד $\scriptstyle\left(3n\right)^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2$ אם הוא מספר שיש לו שלישית קח שלישיתו והכה אותה על עצמה וכפול מרובעה עשרה פעמים והסר מהם מרובעה והנשאר הוא המבוקש $\scriptstyle6^2$ דמיון בקשנו לכפול שש על שש $\scriptstyle{\color{blue}{6^2=\left(3\sdot2\right)^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2=\left(10\sdot2^2\right)-2^2=\left(10\sdot4\right)-4=40-4=36}}$ הנה השלישית שנים מרובעם ארבעה נכפול אותם עשרה פעמים יהיו ארבעים נסיר מהם הארבעה שהוא מרובע השלישית ישארו ששה ושלשים והוא הנכפל $\scriptstyle\left(3n+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]+3n+\left[\left(3n+1\right)\right]$ ואם לא היה למספר שלישית אך עודף ממנו שלישיות אחד נסירנו משם על ונחשוב המשולש בדרך המבואר ואחר נוסיף על חשבוננו המספר האחרון מהמשולש והמספר שאחריו שהסרונו והמחובר הוא המבוקש $\scriptstyle10^2$ דמיון בקשנו לכפול עשרה על עצמם $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle10^2&\scriptstyle=\left(9+1\right)^2=\left[\left(3\sdot3\right)+1\right]^2\\&\scriptstyle=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]+9+10\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot3^2\right)-3^2\right]+9+10\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot9\right)-9\right]+9+10=\left(90-9\right)+9+10=81+9+10=100\\\end{align}}}$ נסיר מהם אחד וישארו תשעה והם משולשים וקח מהם שלשה שהוא שלישיתם והנה מרובעם תשעה וכפלתם עשרה פעמים הם תשעים נסיר מהם מרובע השלישית וישארו שמנים ואחד נוסיף עליהם תשעה ועשרה יעלו מאה והוא הנכפל $\scriptstyle\left(3n-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]-\left(3n\right)-\left[\left(3n-1\right)\right]$ ואם היה המספר פחות משלישית אחד נוסיפנו ונחשוב אותו כמשפט ואחר נסיר ממנו החשבון שהוספנו עליו והחשבון אחרון שלו והושאר הוא המבוק' $\scriptstyle11^2$ דמיון בקשנו לכפול אחד עשר על עצמן $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle11^2&\scriptstyle=\left(12-1\right)^2=\left[\left(3\sdot4\right)-1\right]^2\\&\scriptstyle=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)^2\right]-11-12\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot4^2\right)-4^2\right]-11-12\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot16\right)-16\right]-11-12\\&\scriptstyle=\left(160-16\right)-11-12=144-12-11=144-23=121\\\end{align}}}$ נוסיף עליהם אחד ויהיו שנים עשר נחשבם בדרך לקיחת השלישית והנה מרובעה ששה עשר וכפלתם בעשרה מאה וששים נסיר מהם ששה עשר שהם מרובע השלישית ישארו מאה וארבעים וארבעה נסיר מהם אחד עשר ושנים עשר העולים עשרים ושלשה ישארו מאה ועשרים ואחד והוא הנכפל Multiplication of units and tens by units and tens $\scriptstyle\left(10+a\right)\times\left(10+b\right)=\left[10\sdot\left[\left(10+a\right)+b\right]\right]+\left(a\sdot b\right)$ דרך אחרת $\scriptstyle11\times11$ לדעת כפילת האחד עשר על אחד עשר $\scriptstyle{\color{blue}{11\times11=\left[\left(11-1\right)\sdot\left(11+1\right)\right]+\left(1\sdot1\right)=\left(10\sdot12\right)+1=120+1=121}}$ הנה נחשוב שהמספר הזה נכתוב בשני טורים ונקח האחד מן הטור האחת ונחברם אל הטור האחרת ויהיו שנים עשר נכפלם על העשרהים הנשארים יהיו מאה ועשרים נוסיף עליהם הכאת האחדים על עצמם ויהיו מאה ועשרים ואחד והוא הנכפל $\scriptstyle15\times12$ וככה אם נכפול חמשה עשר בשנים עשר $\scriptstyle{\color{blue}{15\times12=\left[\left(12-2\right)\sdot\left(15+2\right)\right]+\left(2\sdot5\right)=\left(10\sdot17\right)+10=170+10=180}}$ נקח השנים ונשים אותם על החמשה עשר ויהיו שבעה עשר נכפלם על המאה הנשמרים יהיו מאה ושבעים וככה השנים האחרים על החמשה ויהיו עשרה נחברם עם המאה ושבעים יהיה הנכפל מאה ושמנים Word Problems The author declares that he is going to present some difficult problems and explain their solutions at length ועתה אתחיל לדבר ואזכיר קצת מהשאלות הקשות ולהוציא תשובתן אאריך הביאור בכל אחת מהם Find a Number Problem - Sums Question: we summed all the consecutive numbers from one to twenty and it is the sum. How much is the sum? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{20} i$ שאלה חברנו כל המספרים הרצופים מאחד ועד עשרים והם בכלל ממה כמה המחובר $\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=\left(n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{20} i=\left(20+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)=21\sdot10=210}}$ הנה נוסיף על העשרה אחד ונכפלם על עשרה שהוא חצי עשרים ויהיה הנכפל מאתים ועשרה וככה המבוקש We want to know how much are the numbers summed up to eleven $\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} i$ ואם נרצה לדעת כמה עולים המספרים המחוברים עד אחד עשר $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i=\left(11+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)=12\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)=66}}$ נוסיף עליו אחד יהיו שנים עשר נכפלם על החצי האחד עשר שהוא חמשה וחצי ויהיה הנכפל ששים וששה וככה המחובר There are other ways, but the above is the easiest and the right way ויש דרכים אחרים ומה שכתבתי הוא היותר נקל ונכון הוא Reverse question: the sum of the consecutive numbers starting from one is 210. What is the last number of the summed [numbers]? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 210$ נהפוך השאלה ונאמר עלה המחובר ממספרם רצופים המתחילים מאחד מאתים ועשרה איזהו המחובר האחרון מהמחוברים $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=a\longrightarrow n^2+n=2a$ $\scriptstyle{\color{blue}{n^2+n=2\sdot210=420=20^2+20\longrightarrow n=20}}$ נעשה כדרך זה נכפול מאתים ועשרה פעמים יהיו ארבע מאות ועשרים נקח מהם הגדר היותר קרוב כאשר התבאר דרך לקיחתו בשער הרביעי והנה נמצ' שהוא עשרים והוא המספר האחרון [מ]המחוברים והנה נשאר מהמספר שהוא בלתי נגדר עשרים כמספר הגדר If there is no number such the $\scriptstyle2a=n^2+n$ - the calculation is mistaken וכן ראוי שיהיה בכל החשבונות הדומים לזה ואם אין טעה השואל בשאלתו כאשר חבר המספר כאשר עשה בטעות בלי ספק Triangulation Problem - Cane Question: a cane 5 cubits tall, is standing next to a wall of the same height. If we shift its [top] two cubits down from the top of the wall, so that it will stand on a slope, how far will be the bottom end of the cane from the foot of the wall? שאלה קנה המדה ארכה חמש אמות ועומדת זקופה בכותל אחת גבוהה כמדתה אם נשפיל אותה מראש הכותל אמתים כדי התעמד בשיפוע כמה הרחיק ראש הקנה התחתון מיסוד הכותל $\scriptstyle x=\sqrt{\left(height\ of\ the\ cane\right)^2-\left(height\ of\ the\ wall-2\right)^2}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{5^2-\left(5-2\right)^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4}}$ נעשה זאת נקח מרובע החמש אמות והם עשרים וחמש [ו]נקח גם כן ממרובעה שלש אמות הנשארות משם עד יסוד הכותל והנה הוא תשעה ומרחקו מעשרים וחמש ששה עשר וגדר ששה עשר הוא ארבעה וככה מרחק ראש הקנה התחתון מיסוד הכותל בלתי תוספת ומגרעת If the distance is a non-square number - using an approximation ואם היה המרחק ממרוב' אל מרובע מספר חרש ואלם תקח גדרו בקרוב כאשר התבאר בשער הקדו' לזה וככה יהיה מדת המרחק מראש הקנה התחתון אל יסוד הכותל Divide a Quantity Problem - Simple division Question: I gave a messenger 30 dinar and one pašuṭ and ordered him to hire workers as much as his money allows, so that the payment of the one equals the payment of his friend, there will be no worker whose payment is one pašuṭ, and there will be no fractions in one's payment. We want to know how many workers he could hire $\scriptstyle X^2=\left(12\sdot30\right)+1$ שאלה נתתי לשלוחי שלשים דינרים ופשוט וצויתי אותו שישכור פועלים כאשר יספיקו לו מעותיו ויהיה שכר האחד כשכר חבירו ולא יהיה בהם פועל ששכרו פשוט וגם לא יהיה בשכרו שום שבר שלם נרצה לדעת כמה פועלי' יוכל לשכור $\scriptstyle{\color{blue}{X=\sqrt{\left(12\sdot30\right)+1}=\sqrt{361}=19}}$ pešuṭim הנה נשיב הדינרים כולם פשוטי' ונחבר אליהם הפשוט הנוסף עליהם ויהיו שלש מאות וששים ואחד פשוטי' נקח גדרם בדרך השער השביעי ונמצא שהוא תשעה עשר 19 workers for at 19 pešuṭim each ונוכל להשיב שיוכל השליח לשכור תשעה פועלים וישכור [שכר] כל אחד ואחד תשעה עשר פשוטי' לא פחות ולא יתר How much Problem - Wall Question: a wall collapsed. We rebuild it with an extension, so that it will be higher than what it was by half the size it had at the beginning, and its sixth, and ninth. With the whole extension, its height was 50 cubits. How much was its original height? $\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{6}X+\frac{1}{9}X=50$ שאלה חומה שנפלה והוספנו עליה בבניין כדי שתהיה גבוהה הרבה חצי מדתה מאשר היתה בתחילה וששיתה ותשיעיתה ועם כל זה היתה מדת גבהה חמשים אמה כמה היתה מדתה בראשונה False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot9=12\sdot9=108}}$ נקח מדומה שיהיה לו חצי וששית ותשיעי' והוא שנקח שנים בעבור אשר יוצאה מהם החצי ונכפול אותם בששה בעבור הששית אשר תצא מהם יהיה שנים עשר ויהא גם כן תשעה ונכפול גם הם תשעה בעבור התשיעית ויהיה מדומה מאה ושמנה $\scriptstyle{\color{blue}{108+\left(\frac{1}{2}\sdot108\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot108\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot108\right)=108+54+18+12=108+84=192}}$ ומחציתו חמשים וארבע וששיתו שמנה עשר ותשיעיתו שנים עשר והמחובר מכל החלקים עולה שמנים וארבעה נוסיפם אל המדומה יהיו מאה ותשעים ושנים שהוא העולה מתוספת החלקים הנזכרים עליו Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{108:192=X:50}}$ כן ערך מדת החומה אשר הייתה בראשונה הנעלמת אל חמשים שהוא גבוה עתה אחרי תוספת הבניין $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{108\sdot50}{192}=\frac{5400}{192}=28+\frac{24}{192}}}$ cubits וכאשר נכפול המספר הראשון על הרביעי יהיו חמשת אלפים וארבע מאות נחלקם על האמצעי הנודע שהוא מאה ותשעים ושנים נמצאנו שם שמנה ועשרים פעמים וישארו מהם עשרים וארבעה חלקים שלא נתחלקו והמה חלקים ממאה ותשעים ושנים בשלם אשר חלקנו עליו ועל כן נוכל להשיב כי מדת גבהות החומה בראשונה היו שמנה ועשרים אמות ועשרים וארבעה חלקים ממאה ותשעים ושנים במאה Check: ונבחן זה אם הוא אמת בדרך זאת $\scriptstyle{\color{blue}{28+\frac{24}{192}=\frac{5400}{192}}}$ נתיך כל האמות ונעשה מכל אחת ואחת החלקים הנזכרים ונחבר העולה אל העשרי' וארבעה חלקים העודפים על האמות ויהיה המחובר חמשת אלפים וארבע מאות $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{5400}{192}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{5400}{192}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{5400}{192}\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{5400}{192}\right)&\scriptstyle=\frac{5400}{192}+\frac{2700}{192}+\frac{900}{192}+\frac{600}{192}\\&\scriptstyle=\frac{5400}{192}+\frac{4200}{192}\\&\scriptstyle=\frac{9600}{192}=50\\\end{align}}}$ מחציתם אלפים ושבע מאות ששיתם תשע מאות תשיעיתם שש מאות המחובר ארבעת אלפים ומאתים נוסיף זה על החמשת אלפים וארבע מאות ויהיו ותשע אלפים ושש מאות ואם תחלקם על מספר חלקי האמה השלמה תמצאנו שם חמשים פעמים כמכסת אמות גובה החומה עתה אחרי תוספת הבניין How much Problem - Wall Question: the town wall was 100 cubits high. Its third and its quarter had collapsed. How high is what remains $\scriptstyle X=100-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)\right]$ שאלה חומת העיר גבהה מאה האמה ונפרצה ממנה שלישיתה ורביעיתה כמה גובה הנשאר False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$ הנה המדומה שיש לו שלישית ורביעית הוא שנים עשר $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}$ נקח ממנו החלקים הנזכרים ונחברם יהיו שבעה נסירם מהמדומה ישארו חמשה Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{5:12=X:100}}$ ועתה נעריך ונאמר בערך חמשה אל שנים עשר כך ערך הנעלם אל מאה $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot100}{12}=\frac{500}{12}=41+\frac{8}{12}=41+\frac{2}{3}}}$ cubits כפלנו החשבון הראשון על הרביעי והיו חמש מאות נחלקם על האמצעי הנודע נמצאנו שם ארבעים ואחד פעמים ונשארו מהם שמנה שלה נתחלקו שהם חלקים משנים עשר באמה שהם שתי שלישיותיה Check: וכאשר נבחן זה $\scriptstyle{\color{blue}{100=\frac{1200}{12}}}$ ונעשה מהאמה אמות אשר היו שם בראשונה חלקים משנים עשר מכל אחת ואחת יהיו אלף ומאתים $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1200}{12}-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1200}{12}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1200}{12}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{1200}{12}-\left(\frac{400}{12}+\frac{300}{12}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1200}{12}-\frac{700}{12}=\frac{500}{12}=41+\frac{8}{12}\\\end{align}}}$ נקח שלישיתם שהם ארבע מאות ורביעיתם שהם שלש מאות והמחובר עולה שבע מאות נחסר אותם מהאלף ומאתי' ישארו חמש מאות שהם ארבעים ואחת אמה ושמנה חלקים משנים עשר כאשר זכרנו First from last Problem - Amount of grain Question: the landlord collected his grain and gave a heave offering by law from what he collected at first. Afterwards he gave the first tithe from what remained and from what remained then, he gave a second tithe, and he was left with 40 measures of grain. How much was the grain at first? $\scriptstyle\left(X-\frac{2}{100}X\right)-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-\frac{2}{100} X\right)\right]-\left[\frac{1}{10}\sdot\left[\left(X-\frac{2}{100}X\right)-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-\frac{2}{100} X\right)\right]\right]\right]=50$ שאלה בעל הבית שמכר תבואתו ותרם מה שאסף מכריו בתחלה גדולה כמשפט ואחרי כן הפריש מהנשאר מעשר ראשון ומהנשאר אחרי זאת הפריש מעשר שני ונשארה לו חמשים מדות חטה כמה היה הכרי מתחלה offering by law: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot100=50}}$ ידוע כי התרומה אמרו רבותי ז"ל שהיא תרי ממאה שהוא חלק אחד מחמשי' first tithe: $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot10=500}}$ על כן נקח החמשים ונכפלם בעשר בעבור המעשר ראשון היוצא ממנו ויהיו חמש מאות False Position - second tithe: $\scriptstyle{\color{blue}{500\sdot10=5000}}$ ונכפול גם הם בעשר בעבור המעשר שני ויהיו חמשת אלפים והוא המדומה after the offering by law: $\scriptstyle{\color{blue}{5000-100=4900}}$ והנה תרומתו מאה נסירנה ממנו ישארו ארבעת אלפים ות"ק after the first tithe: $\scriptstyle{\color{blue}{4900-\left(\frac{1}{10}\sdot4900\right)=4900-490=4410}}$ מעשר שלהם ארבע מאות ותשעים נסיר אותו מהם ישארו ארבעת אלפים וארבע מאות ועשרה after the second tithe: $\scriptstyle{\color{blue}{4410-\left(\frac{1}{10}\sdot4410\right)=4410-441=3969}}$ מעשר שלהם ארבע מאות וארבעים ואחד נסיר אותם מהם ישארו שלשת אלפים ותשע מאות וששים ותשעה Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{3969:5000=50:X}}$ ועתה נעריך ונאמר כערך שלשת אלפים ותשע מאות וששים ותשעה אל חמש' אלפים כן ערך חמשים אל הנעלם the amount of grain at first: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{50\sdot5000}{3969}=\frac{250000}{3969}=62+\frac{3922}{3969}}}$ כפלנו האמצעיים עלו מאתים וחמשים אלף נחלקם על החשבון הראשון הנודע נמצאנו שם ששים ושתים פעמי' ונשארו שם שלא נתחלקו שלשת אלפים ותשע מאות ועשרים ושנים והם חלקים משלשת אלפים ותשע מאות וששים ותשעה אשר חלקנו עליו וכזה היה סכום המדות אשר היו בכדי כשהתחיל בעל הבית לתרום How much Problem - Amount of money Question: Reuven demands from Shimon a hundred measures, which he says he owes him according to an oral [agreement]. Shimon says: I do not owe you a hundred measures, but as much as I owe you, with the same amount, and one-half of it, and a quarter of it, plus one will make a hundred. How much did he admit he owes him? $\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100$ שאלה ראובן תובע לשמעון מאה מנה שאומר שחיב לו על פה ויאמר אליו איני חייב לך מאה מנה אבל כאותם שאני חייב לך ואחדים כמותם ומחציתם ורביעיתם ועם אחד יהיו מאה נרצה לדעת כמה הודה לו מתביעתו False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$ ונעשה על דרך זה נקח מדומה שיש לו חצי ורביעית והנה נמצ' שמנה $\scriptstyle{\color{blue}{8+8+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)\right]=16+4+2=20+2=22}}$ נוסיף כמוהו ויהיו ששה עשר וגם נוסיף מחצית המדומה שהוא ארבעה יהיו עשרים ורביעיתו שהוא שנים יהיו עשרים ושנים Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{8:22=X:99}}$ ובהכרח כערך שמנה אל עשרים ושנים כן ערך הנעלם אל תשעים ותשעה $\scriptstyle{\color{blue}{99+1=100}}$ כי בידוע כי המחובר מחלקי ההודאה עמה לא יעלה כי אם תשעים ותשעה ועם האחד הם מאה the debt: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{8\sdot99}{22}=\frac{792}{22}=36}}$ וכאשר נכפול החשבון הראשון על הרביעי יעלו שבע מאות ותשעי' ושתים חלקנום על האמצעי הנודע שהוא עשרים ושנים ויצא בחילוק ששה ושלשים וככה הוא מספר המינים שהודה שחייב לו ובחון זה ותמצאנו באמת Purchase Problem - Moneychanger Question: a silversmith has sold to a moneychanger a silver chain that is worth three dinar of one coin or five dinar of another coin or seven dinar of yet another [coin]. The silversmith asked the moneychanger to pay him its price with these three coins an equal amount of each. How much is this amount? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X=1$ שאלה צורף כסף שמכר לשלחני רתוקות כסף ערכה ממטבע אחד שלשה דינרי' וממטבע אחר חמשה דינרים ומאחר חמשה דינרי' ושאל הצורף לשולחני שיתן לו בדמיו משלש המטבעות האלה מכל אחד בחלק שוה ונבקש לדעת מספר החלק ההוא Common Denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{105}}$ ונחקור על דרך זה נבקש שמדומה שיהיה לו לו שלישית וחמשית ושביעית והנה נמצא מאה וחמש $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot105\right)=35+21+15=71}}$ שלישיתו שלשים וחמשה וחמשיתו עשרים ואחד וחמשיתו חמשה עשר והמחובר מכל החלקים האלה שבעים ואחד והמה החלקים אשר נצטרך לחלק כל דינר אליהם $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{105}{71}=1+\frac{34}{71}}}$ dinar והנה נחלק המדומה על שבעים ואחד נמצאנו שם פעם אחת וישארו שלא נתחלקו ארבעה ושלשים והמה חלקים מהשבעים ואחד אשר חלקנו עליהם המדומה וככה יקח הצורף מכל מטבע דינר אחד ושלשים וארבעה חלקים משבעי' ואחד בדינר Check: ואתן לך מסלול איך תבחון זה $\scriptstyle{\color{blue}{105\sdot3=315}}$ תקח המדומה ודרך שהוא מאה וחמש וכדי שנשיב כל המטבעות ממטבע שלשה נכפלנו עליהם ויהיו שלש מאות וחמשה עשר parts of the coin of 5: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315}{5}=63}}$ נחלקם על חמשה כדי שנדע כמה חלקים הם ממטבע חמשה יצא בחלוק ששים ושלשה חלקים parts of the coin of 7: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315}{7}=45}}$ גם נחלק שלש מאות וחמשה עשר על שבעה למען נדע כמה חלקים הם ממטבע שבעה יצא בחילוק ארבעים וחמשה $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{315}{3}+\frac{315}{5}+\frac{315}{7}}{71}=\frac{105+63+45}{71}=\frac{213}{71}=3}}$ dinar וכאשר נחבר כל החלקים משלשה המטבעות שהם מאה וחמש וששים ושלשה וארבעים וחמשה יעלו מאתים ושלשה עשר נחלקם על שבעים ואחד שהם חלקי הדינר השלם ונמצאם שם שלשה פעמ' והנם שלשה והם דינרי' שלמים ועל הדרך הזה תעשה אם תרצה להשיב כל חשבון ממטבע חמשה או ממטבע שבעה ותמצא אמתות הדבר Find a Number Problem Question: a third, a fifth, and a seventh are summed together, how much is [their sum] in relation to the whole? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X$ שאלה שלישית וחמשית ושביעית מחוברים אזה ערך הם מהשלם Common Denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{105}}$ לקחנו להם מאה וחמש למדומה $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot105\right)=35+21+15=71}}$ שלישית חמשה ושלשים וחמשיתו עשרים ואחד ושביעיתו חמשה עשר נחבר את כלם יהיו שבעים ואחד $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{71}{105}=\frac{4}{7}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$ והנה ערכם אל המדומה ארבע שביעיותיו ושתי שבעיות שלישית ושלשית חמשית שביעיתו Purchase Problem - Buy and Sell Question: a buyer [bought] four fifths of a liṭra for one pašuṭ, and sold his possession at one pašuṭ for five ninths of a liṭra. He earned 11 pešuṭim How much was [his] money? $\scriptstyle\frac{4}{5}X-\frac{5}{9}X=11$ שאלה הקונה ארבע חמשיות ליטרא בפשוט מוכר קנייתו בערך חמש תשיעיות ליטרא בפשוט והרויח י"א פשוטי' כמה היה הממון Common Denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{45}}$ הנה המדומה לו שיש לו חמשית ותשיעית הוא ארבעים וחמשה $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot45=36}}$ וארבע חמשיותיו ששה ושלשים $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}\sdot45=25}}$ וחמש תשיעיותיו עשרים וחמשה the amount of money: $\scriptstyle{\color{blue}{X=45}}$ וככה הוא הממון If he earned 22 pešuṭim $\scriptstyle\frac{4}{5}X-\frac{5}{9}X=22$ ואם אמר שהרויח כ"ב פשוטים $\scriptstyle{\color{blue}{25\sdot22}}$ תכפול חמשה ועשרים שנים ועשרים פעמים If he earned 33 pešuṭim $\scriptstyle\frac{4}{5}X-\frac{5}{9}X=33$ ואם אמר שהרויח ל"ג פשוטים $\scriptstyle{\color{blue}{25\sdot33}}$ נכפלם שלשה ושלשים פעמים וככה עד אין קץ Purchase Problem - Buy and Sell - Peanuts Question: a seller bought 20 liṭra of peanut for 20 dinar. Then he went and sold 10 liṭra of them at one dinar for five quarters of a liṭra. It turned out that he lost in doing so. Afterwards many buyers came and overcharged and he sold the remaining 10 liṭra at one dinar for three quarters of a liṭra. Did he gain or lose? $\scriptstyle\left(\frac{10}{\frac{5}{4}}+\frac{10}{\frac{3}{4}}\right)-20$ שאלה סוחר קנה עשרים ליטראות בטנים בעשרים דינרי' והלך ומכר מהן עשרה ליטרי' לערך חמש רביעיות ליטר' בדינר ונמצא שהוא מפסיד בזה ואחר כן באו הרבה קונים והפקיעו השערים ומכר העשרה ליטרי הנשארות לערך שלש רביעיות ליטר' בדינר ועתה בא אלינו לשאול אם הרויח או הפסיד או אם יצא הפסדו בשכרו number of dinar for 10 liṭra at ⅘ for dinar: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{\frac{5}{4}}=\frac{4\sdot10}{5}=\frac{40}{5}=8}}$ dinar והנה נחקור על דרך זה ונשים הי' ליט' הראשונות שמכר כלם רביעיות ויהיו ארבעים נחלקם על הה' רביעיות שמכר בדינר נמצאם שם שמנה פעמים נמצא שהחמש שמכרם בשמנה דינרים number of dinar for 10 liṭra at ¾ for dinar: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{\frac{3}{4}}=\frac{4\sdot10}{3}=\frac{40}{3}=13+\frac{1}{3}}}$ dinar נעשה גם כן רביעיות מהעשר ליטר' האחרונות ונחלק על שלש רביעיות שמכר בדינר נמצאם שם שלשה עשר פעמים שהם שלשה עשר דינרים ועוד נשאר מהם שלא נתחלק רביעית אחת שהיא שלישית הדינר total number of dinar: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{\frac{5}{4}}+\frac{10}{\frac{3}{4}}=8+\left(13+\frac{1}{3}\right)=21+\frac{4}{12}}}$ = 21 dinar and 4 pešuṭim נחבר כל זה אל השמנה דינרים יהיו עשרי' ואחד דינרי' וארבעה פשוטי' the profit: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(21+\frac{4}{12}\right)-20=\frac{16}{12}}}$ = 16 pešuṭim נמצא שהרויח ששה עשר פשוטים Partnership Problem - For the Same Time Question: three invested 46 dinar - one contributed 12 dinar, the second contributed 15 dinar, the third contributed 19 dinar, and they earned together 20 dinar. How much should each one take [from the profit]? $\scriptstyle12+15+19=46$ שאלה שלשה שותפין בארבעה וששה דינרי' חלק האחד י"ב דינרים והחלק השני ט"ו דינרי' והחלק השלישי י"ט דינרים והרויחו בין כלם עשרים דינרים כמה יקח כל אחד מהם Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x_i:20=a_i:46}}$ ידוע כי אין ספק כי כל אחד ואחד יקח ערך מעשרים כערך חלקו אל הארבעי' וששה ותברר זה במשפטי הערכין בנקלה Payment Problem - two workers, two different daily wages, the same actual payment Question: one hired Reuven and Shimon for 10 days to do a work for him any one of them in turns so that the work will not cease. He agreed with Reuven that if he will do the work alone the whole 10 days he would pay him 2 dinar and to Shimon he said that if he will do the work alone the whole days he would pay him 5 dinar. What they did? They did the work together so that when one was tired his friend replaced him and did the work while the other was resting and if the second was tired, the first returned to his work and the second was resting. Each one wrote how many days, or parts of days, he worked. They did so the whole ten days, and then when they came to the employer he paid both of them and gave each of them money equally. How much money did they receive and how many days did each of them work? $\begin{cases}\scriptstyle\frac{2}{10}R=\frac{5}{10}S\\\scriptstyle R+S=10\end{cases}$ שאלה השוכר ראובן ושמעון שיעשו לו בין שניהם מלאכה עשרה ימים ולא תשבות המלאכה והתנה עם ראובן שאם יעסוק הוא במלאכה לבדו כל העשרה ימים שיתן לו ב' דינרים ולשמעון אמר שאם יעסוק הוא לבדו במלאכה כל מספר הימים ההם שיתן לו ה' דינרים מה עשו החזיקו שניהם במלאכה והוא שובת היה עיף השני והראשון חוזר למלאכתו והשני שובת וכל אחד ואחד כתב כמה ימים או חלקי ימים עבד ועשו זה כל העשרה ימי' וכשבאו אל השוכר פרע את שניהם ונתן להם מעות לכל אחד בשוה ונרצ' לדעת כמה מעות נטלו וכמה ימי עבודת כל אחד ואחד the total number of days that both work for one dinar: $\scriptstyle{\color{blue}{5+2=7}}$ והנה נחקור על דרך זה תדע כי ראובן יעבוד חמשה ימים בדינר ושמעון לא שימש בדינר כי אם שני ימים והמחובר מימי שניהם הוא שבעה $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{5+2}=\frac{10}{7}=1+\frac{3}{7}}}$ dinar for each נחלק העשרה ימים עליהם ויהיה היוצא אחד שלם ונשארו שלשה שלא נתחלקו וככה הוא סכום המעות אשר יקח כל אחד מהם דינר ושלשה שביעיות דינר ועתה נחקור כמה ימי משפט עבודת כל אחד ואחד בשכרו אשר לקח לפי ערך התנאי וצריך שיספיק בין שניהם לעשרה ימים Reuven must work 5 days for one dinar ונעשה ככה בידוע כי ראובן חייב לעבוד בדינר חמשה ימים ונבקש לדעת כמה ימים יעבוד בעבור השלשה שביעיות מהדינר ונגיע לידיעת זה כאשר נעשה במשפטי הערכין $\scriptstyle{\color{blue}{5=\frac{35}{7}}}$ ונשיב החמשה ימים חלקי שביעיות ויהיו חמשה ושלשים Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}:7=Reuven:35}}$ ונעריך ונאמר כערך שלשה אל שבעה כן ערך הנעלם אל חמשה ושלשים $\scriptstyle{\color{blue}{Reuven=\frac{\frac{3\sdot35}{7}}{7}=\frac{\frac{105}{7}}{7}=\frac{15}{7}=2+\frac{1}{7}}}$ days for $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ dinar נכפול החשבון הראשון על הרביעי ויהיו מאה וחמש נחלקם על האמצעי הנודע שהוא שבעה נמצאם שם חמשה עשר פעמים והנה הם חלקי שביעיות יום העולים שני ימים ושביעי יום אחד Reuven's working days: $\scriptstyle{\color{blue}{R=5+\left(2+\frac{1}{7}\right)=7+\frac{1}{7}}}$ days ונמצא כל ימי עבודת ראובן שבעה ימים ושביעית יום אחד Shimon must work 2 days for one dinar וידוע כי שמעון חייב לעבוד שני ימים בעבור הדינר שלקח $\scriptstyle{\color{blue}{2=\frac{14}{7}}}$ וכשנשיב השני ימים חלקי שביעיות יהיו ארבעה עשר Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}:7=Shimon:14}}$ והנה כערך השלשה שביעיות שלקח אל שבעה כן ערך הנעלם אל ארבעה עשר $\scriptstyle{\color{blue}{Shimon=\frac{\frac{3\sdot14}{7}}{7}=\frac{\frac{42}{7}}{7}=\frac{6}{7}}}$ days for $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ dinar כפלנו החשבון הראשו' על האמצעי היו ארבעים ושנים חלקנום על האמצעי הנודע שהוא שבעה נמצאם שם ששה פעמים והם חלקי שביעיות יום Shimon's working days: $\scriptstyle{\color{blue}{S=2+\frac{6}{7}}}$ ונמצא כל ימי עבודת שמעון שני ימים ושש שביעיות Check: $\scriptstyle{\color{blue}{R+S=\left(7+\frac{1}{7}\right)+\left(2+\frac{6}{7}\right)=10}}$ days וכאשר תחבר מספר הימים והחלקים מעבודת שניהם ותעשה משבעה חלקים יום אחד תמצא שהם עשרה ימים בכוון Payment Problem - Messenger Question: I hired a messenger for 13 dinar and we agreed that he will walk for me from now on for 20 days 11 parsa [1 parsa = ca. 4 kilometers] a day, but the messenger embezzled or got injured and walked only 5 parsa a day for 7 days. How much should his payment be according to the terms? $\scriptstyle\frac{x}{7\sdot5}=\frac{13}{20\sdot11}$ שאלה שכרתי שליח אחד בשלשה עשר דינרים והתנאתי עמו שילך לי מכאן ועד עשרים ימים אחד עשר פרסאות בכל יום והשליח מעל או שנאנס ולא הלך כי אם חמש פרסאות בכל יום עד שבעה ימים נרצה לידע כמה משפט דמי שכירותו לפי התנאי If he would have walked 5 parsa the whole 20 days: נעשה בדרך זאת בתחלה נחשוב כאלו הלך השליח החמש פרסאות כל העשרים ונראה מה יגיע אליו מהשכירות Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{5:11=a:13}}$ והנה נעריך ונאמר כערך חמשה אל אחד עשר כן ערך הנעלם אל שלשה עשר שהוא ערך השכירות $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{5\sdot13}{11}=5+\frac{10}{11}}}$ dinar וכאשר נכפול החשבון הראשון על הרביעי ונחלק על האמצעי הנודע נמצא שיגיע אליו מהשכירות ה' דינרי' וי' חלקים מי"א בדינר Since he walked 5 parsa for 7 days only: ובעבור שלא הלך החמש פרסאות כי אם שבעה ימים Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{7:20=X:\left(5+\frac{10}{11}\right)}}$ נחזור ונעריך ונאמ' כערך שבעה אל עשרים כן ערך הנעלם אל ה' דנרים וי' חלקים מי"א בדינר $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X&\scriptstyle=\frac{7\sdot\left(5+\frac{10}{11}\right)}{20}\\&\scriptstyle=\frac{35+\frac{70}{11}}{20}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{385+70}{11}}{20}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{455}{11}}{20}\\&\scriptstyle=\frac{455}{220}\\&\scriptstyle=2+\frac{15}{220}\\\end{align}}}$ נכפול החשבון הראשון שהוא שבעה על החשבון הרביעי שהוא ה' דינרי' יהיו ל"ה גם כן נכפול אותו על הי' חלקים יהיו שבעים חלקים וכאשר אנו צריכים לחלק העולה מהכפלה הזאת על האמצעי הנודע נשיב הכל ממתכונת אחת ונעשה מהל"ה חלקים מי"א ויהיו שפ"ה נחבר אליהם הע' חלקים שגם הם המה חלקים מי"א ויהיו תנ"ה ואחרי כן נשיב גם כן האמצעי הנודע שהוא עשרים חלקים מי"א ויהיו ר"כ נחלק תנ"ה עליהם נמצאם שם פעמים וישארו ט"ו שלא נתחלקו והם שלש רביעיות חלק אחד מאחד עשר חלקים מר"ך שהוא השלם אשר חלקנו עליו $\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow2+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{11}\right)}}$ dinar וככה הוא שיקח השליח בשכירותו שני דינרים ושלש רביעיות חלק אחד מאחד עשר חלקים בדינר שלם Divide a Quantity Problem - Proportional Division - Inheritance Question: Jacob's four wives married him on the same day. On that day, he prepared for each of them a ketuba [= Jewish marriage contract] according the Jewish law. The name of the one is Leah and her ketuba amount is 4000 zehuvim [= golden coins]; the name of the second is Zilpah and he ketuba amount is 3000 zehuvim; the name of the third is Rachel and her ketuba amount is 2000 zehuvim; and the name of the fourth is Bilhah and her ketuba amount is 1000 zehuvim. Later Jacob died and nothing was left of his property but 4000 zehuvim. The widows came to the court in order to divide the money that remained between them שאלה ארבעה נשי יעקב שנשאו לו ביום אחד ועשה לכל אחת כתובה בו ביום בתיקון חכמים שם האחת לאה וכתובתה ארבעת אלפים זהובים ושם השנית זלפה וכתובתה שלשת אלפים זהובים ושם השלישית רחל וכתובתה אלפים זהובים ושם הרביעית בלהה וכתובתה אלף זהובים לימים מת יעקב ולא נשאר מנכסיו כי אם ארבעת אלפים זהובים באו האלמנות לבית דין לחלוק להן הממון הנשאר The division according the sages of Israel: ואמרו חכמים ז"ל שמשפט הבית דין לחלוק להם המעות על דרך זה Bilhah: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot1000=250}}$ יאמרו אל בלהה שכתובתה מרובה מכלנה אין לך ערעור על חברותי' כי אם באלף זהובים וגם הנה יש להם משפט בהם על כן תקחי רביעית האלף שהוא מאתי' וחמשים ולכי לשלום ולכך יקחו ממנו כל אחת מהן Rachel: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot1000\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot1000\right)=250+\left(333+\frac{1}{3}\right)=583+\frac{1}{3}}}$ אחרי כן יאמרו גם כן בית דין אל רחל אין לך ערעור רק על אלפים שיש לשתי חברותיך מש גם כן משפט בהם וכבר לקחת חלקיך מהאלף המחולק על כן תקחי מהאלף אחרי שצריך לתשלום תביעתיך השליש שהוא שלש מאות ושלשים ושלשה זהובים ושליש זהוב ושובי לביתך ונמצא חלקה בין הכל חמש מאות ושמנים ושלשה זהובים ושליש זהוב וגם כן יקחו כל אחת משתיהן משתי מאותו האלף השני הנחלק שלש מאות ושלשים ושלש זהובים ושליש זהוב Zilpah: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot1000\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot1000\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot1000\right)=\left(583+\frac{1}{3}\right)+500=1083+\frac{1}{3}}}$ ואחרי כן יאמרו אל זלפה אין לך תביעה כי אם בשלשת אלפים שיש ללאה חברתך גם כן משפט בהם וכבר לקחת חלקך מהשני אלפים המחולקים על כן נחלק בין שתיכן האלף הצריך לתשלום תביעתך ונמצא שתהיה חלק זלפה בין הכל אלף ושמנים ושלשה זהובים ושלישית זהוב Leah: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot1000\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot1000\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot1000\right)+1000=\left(1083+\frac{1}{3}\right)+1000=2083+\frac{1}{3}}}$ ונשארו ללאה אלפים ושמנים ושלשה זהובי' ושלישית זהוב Check: $\scriptstyle{\color{blue}{250+\left(583+\frac{1}{3}\right)+\left(1083+\frac{1}{3}\right)+\left(2083+\frac{1}{3}\right)=4000}}$ ואם תחבר כל החלקים האלה כמשפט תמצא העולה ארבעת אלפים The division according to the arithmeticians: $\scriptstyle\frac{4000}{4000}X+\frac{3000}{4000}X+\frac{2000}{4000}X+\frac{1000}{4000}X=4000$ והנה חכמי החשבון חולקי' הממון הזה בדרך אחרת False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$ ויאמרו כי בעבור שבלהה שואלת חצי [רביעית] הממון ורחל חציו וזלפה שלש רביעיותיו ולאה כלו נקח מדומה שיש לו חצי ורביעית והנה נמצא שמנה $\scriptstyle{\color{blue}{8+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot8\right)=8+2+4+6=20}}$ ורביעיתם שנים וחציים ארבעה ושלש רביעיותיהם ששה והמחובר מכל החלקי' האלה עמו עולה עשרים Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=8:Leah}}$ והנה כערך עשרים אל ארבעת אלפים שהו' הממון הנשאר ליעקב ככה יהיה ערך שמנה אל חלק כתובת לאה הנעלם $\scriptstyle{\color{blue}{Leah=1600}}$ וכאשר נעשה כמשפט הערכין נמצא שתהיה חלקה אלף ושש מאות זהובים Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=6:Zilpah}}$ וכערך עשרים אל ארבעת אלפים ככה יהיה ערך ששה שהוא שלש רביעיות המדומה אל החלק שתקח זלפה בכתובתה $\scriptstyle{\color{blue}{Zilpah=1200}}$ וכאשר נחקור במשפט הערכין נמצא שתהיה חלקה אלף ומאתים זהובים Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=4:Rachel}}$ וגם נעריך ונאמר כערך עשרים אל ארבעת אלפים כן ערך ארבעה שהוא חצי המדומה אל החלק שתקח רחל בכתובתה $\scriptstyle{\color{blue}{Rachel=800}}$ ונמצא שיבאו לחלקה שמנה מאות זהובים Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=2:Bilhah}}$ והנה גם כן נעריך ונאמר כערך עשרים אל ארבעת אלפים כן יהיה ערך שנים אל החלק אשר תקח בלהה בכתובתה $\scriptstyle{\color{blue}{Bilhah=400}}$ ונמצא שתקח לחלקה ארבעה מאות זהובים Check: $\scriptstyle{\color{blue}{1600+1200+800+400=4000}}$ וכאשר תחבר כל החלקים האלה ארבעתם תמצא שיהיו עולי' ארבע אלפים מכוונים Motion Problem - Pursuit Question: a messenger was sent to walk a certain distance on land and he walks 12 parsa a day. After 10 days the sender changed his mind [and decided] to return the walking messenger. He sent another messenger after him to return him, walking 15 parsa a day. In how many days will he catch up with him? $\scriptstyle12X+\left(10\sdot12\right)=15X$ שאלה השולח ציר נאמן ללכת בארץ מרחק והוא הולך בכל יום ויום שנים עשר פרסאות אחר עשרה ימים נמלך המשלח להשיב השליח המהלך וישלח אחריו שליח אחר להשיבו שהוא הולך בכל יום חמשה עשר פרסאות נרצה לדעת בכמה ימים ישיגנו before the second started to walk, the first walked: $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot12=120}}$ parsa ונחקור בדרך זה ונחשוב כמה פרסאות הלך הראשון בטרם שנסע השני והנה הם מאה ועשרים $\scriptstyle X=\frac{parsa\ of\ first\ walking\ alone}{\left(parsa\ of\ second\ in\ one\ day\right)-\left(parsa\ of\ first\ in\ one\ day\right)}$ days $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot12}{15-12}=\frac{120}{3}=40}}$ days ונחלקם על יתרון הפרסאות שהולך השני מן הראשון ביום אחד שהם שלשה נמצאם שם ארבעים פעמים והנה ישיגנו בארבעים יום Check: parsa of the first $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot12}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot15}}$ parsa of the second ותוכל לבחון זה כשתחשוב כמה פרסאות הלך הראשון בחמשים כי ככה הלך השני בארבעים Motion Problem- Encounter Question: Reuven established his home in a certain town at the eastern border and his brother Shimon established his home in another town at the western border. Through letters they sent to each other they agreed on a time in which each one will leave his town to walk towards his brother, on Sunday of Nisan [the 7th month of the Hebrew year]. The walking distance between the two towns is 50 parsa. Reuven is walking 7 parsa a day and his brother Shimon is walking 9 parsa a day. In how many days will they meet? $\scriptstyle7X+9X=50$ שאלה ראובן קובע את דירתו בעיר אחת בקצה המזרח ושמעון אחיו קובע דירתו בעיר באחת הערים בקצה המערב ועל ידי אגרות ששלחו זה לזה יעדו להם זמן שיצאו כל אחת מעירו ללכת לקראת אחיו ביום ראשון של חדש ניסן והמהלך אשר בין שתי העיירות חמשים פרסאות והנה ראובן הלך בכל יום ויום שבעה פרסאות ושמעון אחיו הולך בכל יום תשעה פרסאות ונבקש לדעת בכמה ימים יתחברו זה עם זה The total distance they both walk in one day: $\scriptstyle{\color{blue}{7+9=16}}$ parsa ונעשה ככה נחבר פרסאות מהלך שניהם ביום אחד ויהיו ששה עשר $\scriptstyle X=\frac{distance\ between\ them}{parsa\ of\ both\ a\ day}$ $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{50}{16}=3+\frac{2}{16}=3+\frac{1}{8}}}$ days נחלק חמשים שהוא המרחק עליהם נמצאם שם שלשה פעמים וישארו שם שנים שלא נתחלקו נחשוב אותם שמינית ששה עשר והנה יתחברו זה עם זה בשלשה ימים ושמינית יום Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Cane Question: a third and a quarter of the cane are ingrained in the mud, its height is revealed two zeratot [spans] up [above the mud], what is the height of the tree? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+2=X$ שאלה קנה הנעוצה בטיט היון שלישיתה ורביעיתה ונראית קומתה למעלה שני זרתות כמה אורך הקנה False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$ נעשה כזאת נקח לנו שנים עשר למדומה יען ימצא בו שלישית ורביעית $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7}}$ ומחברת חלקים אלו ממנו הם שבעה $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}$ נסיר אותם מהמדומה ישארו חמשה Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{5:12=2:X}}$ ועתה נעריך ונאמר כערך חמשה אל שנים עשר כן ערך השנים זרתות אל הנעלם $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2\sdot12}{5}=\frac{24}{5}=4+\frac{4}{5}}}$ zeratot כפלנו האמצעיים עלו עשרים וארבעה חלקנו על החשבון הראשון הנודע שהוא חמשה מצאנוהו שם ארבעה ונשארו מהם שלא נתחלקו ארבעה והמה חמשיות וככה הוא אורך כל הקנה ארבע זרתות וארבעה חמשיות זרת Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{24-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)\right]}{5}=\frac{10}{5}=2}}$ zeratot above the mud ותוכל לבחון זה אם הוא אמת כשתסיר מעשרים וארבעה שלישיתו ורביעיתו וישארו לך עשרה כשיעור חלקי השני זרתות שלמות הנראות מעל הטיט Give and Take Problem - Earning and Spending Question: the money changer brought some money to a known town. Each day he earned so as doubling his money, but he had to pay a tax of 100 dinar every day. He stayed there five days. On the fifth day he rose up early at dawn, doubled his money, as in the previous days, then he had to pay his daily tax and he had nothing left. We want to know what the amount of money he brought to this town was $\scriptstyle2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left(2X-100\right)-100\right]-100\right]-100\right]=100$ שאלה שלחני שהביא ממון לעיר ידועה ובכל יום ויום הוא מרויח עד שכופל ממונו רק שצריך שיפרע למכס בכל יום מאה דינרי ונתעכב שם חמשה ימים ויהי ביום החמשי הסכים בשחר וכפל ממונו כשאר הימים וכלם נצטרכו לו לפרוע חוק מכס יומו ולא נשאר לו מאומה נרצה לדעת מכסת הממון שהביא לעיר on the fifth day: he had $\scriptstyle{\color{blue}{50}}$ dinar ונעשה על הדרך הזה בידוע כי ביום החמישי כשהסכום שלא היו לו כי אם חמשים דינרים he doubled them $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot50=100}}$ וכפלם והיו מאה he payed the tax $\scriptstyle{\color{blue}{100-100=0}}$ and nothing remained ופרעם למכס ולא נשאר לו מאומה on the fourth day: in the evening, after paying the tax, he had: $\scriptstyle{\color{blue}{50}}$ dinar ובהכרח החמשי' דינרי' נשארו לו מערב היום הרביעי אחרי אשר פרע מכס אותו יום in the morning he had: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(100+50\right)=\frac{1}{2}\sdot150}}$ dinar ונמצא שהיו לו בשחרית אותו היום מחצית מאה וחמשים דינרי' on the third day: in the evening he had: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot150=75}}$ dinar שהם שבעים וחמשה דינרי' שנשארו לו מערב היום השלישי before paying the tax he had: $\scriptstyle{\color{blue}{100+75=175}}$ dinar וקודם שפרע מכס היום ההוא היו לו מאה ושבעים וחמשה דינרים on the second day: in the evening he had: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot175=87+\frac{1}{2}}}$ dinar נקח מחציתם יהיו שמונים ושבעה דינרי' וחצי שהיו לו בשחר שנשארו לו מאמש יום תמולו שהוא היום השני before paying the tax he had: $\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(87+\frac{1}{2}\right)=187+\frac{1}{2}}}$ dinar ונמצא שיהיו לו קודם פריעת המכס מאה ושמונים ושבעה דינרים וחצי on the first day: in the evening he had: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(187+\frac{1}{2}\right)=93+\frac{9}{12}}}$ = 93 dinar and 9 pašuṭ נקח חציים יהיו תשעים ושלשה דינרים ותשעה פשוטים שהיו לו בשחר הנשארים לו מערב יום ראשון before paying the tax he had: $\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(93+\frac{9}{12}\right)=193+\frac{9}{12}}}$ = 193 dinar and 9 pašuṭ ונמצא שביום ההוא הראשון היו לו קודם פריעת המכס מאה ותשעים ושלשה דינרים ותשעה פשיטי' the amount of money he brought: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{2}\sdot\left(193+\frac{9}{12}\right)=96+\frac{10+\frac{1}{2}}{12}}}$ = 96 dinar and 10½ pašuṭ נקח חציים והם תשעים וששה דינרים ועשרה פשיטי' וחצי פשוט וככה הביא Epilogue Verses praising God ועד הנה הזכרתי הרבה מן השאלות ממינים רבים משונים בלתי דומים זה לזה ובארתי בכל אחת ואחת בארוכה דרך מציאת תשובתה וכל חכם לב יוכל לקחת מהנה תשובות לזולתן והגיע תור לחתום פה עתה את דברי זה הספר הנותן אמרי שפר‫ ונערוך תושבחות ותהלות ושירות ליודע כל נסתרות ברוך הוא כי לא יאותו לזולתו בעבור כי יקר תפארת גדולתו‫ יתברך ויתעלה שמו שפך אלינו חמלתו ויכון עולה עלינו לעולם ועד כבוד מלכותו גם ישפיע לעדתו ממימי מעייני ישועתו ימהר ויחיש יום יאמר חזות ישעיהו נביאו אשר כתב בספרו ואמרתם ביום ההוא הודו לי"י קראו בשמו הודיעו בעמים עלילותיו הזכירו כי נשגב שמו‫ תם תם ונשלם שבח לבורא עולם Notes Appendix: Bibliography Joseph Ben Moses Ṣarfati Before 1384 ‛Ir Siḥon Manuscripts: 1) Ithaca (NY), Cornell University A 26/1 (IMHM: f 46122), ff. 3r-29v (15th century) 2) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 138/2 (IMHM: f 6818), ff. 23r-65v (15th century) 3) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 68/5 (IMHM: f 1131), ff. 346r-374v (Roma, 1552) Cod.hebr. 68 4) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 995/5 (IMHM: f 14680), ff. 297r-300v (16th century) heb. 995 5) Philadelphia, University of Pennsylvania, Schoenberg Collection Ljs 312 (IMHM: f 4795); (15th-16th century) LJS 312 6) St. Petersburg, Inst. of Oriental Studies of the Russian Academy B 176 (IMHM: f 53314); (18th century) 7) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 397/3 (IMHM: f 475), ff. 51r-109v (Murcia, 1384/1385) Vat.ebr.397 Bibliography: Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, p. 188 (g101); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.