חשבון השטחים

95א חשבון השטחים

תחלת מה שצריך לדעת קורא זה הספר הוא שלש

חלקים אשר אמרם כבר מהומר אלבוארזמי Mahomar Alboarzami

בספרו והם שרשים ראדיש ומרובעים אלגוש ומספרים קוונטאש והשורש הוא כל דבר שיתרבה {שיוכה} על עצמו כמו האחד ומן האחד ולמעלה ושבריו ושברי שבריו עד אין להם סוף והאלגוש הוא המתקבץ algo בספרדית עתיקה, ריבוע, square, מקביל ל-مال בערבית, הון מהתרבות זה השורש על עצמו שלם יהיה או נשבר והמנין הוא הצומח מאליו אשר לא יוכל לפול בו לא שם שורש ולא שם אלגו והוא המתיחס אל מה שבו מן האחדי' ואלו השלשה חלקים כבר יהיה כל אחד מהם יהיה שוה לכל אחד מהחלקים הנשארים וכבר יהיה שישוה כמו השני חלקים שנשארו אם שיהיה שוה לכל אחד מהחלקי' מהנשארים זה כמו שיאמרו לך אלגוש ישוו שרשים ולאגו ישוו מספרים ושרשים ישוו מספרים ואם שיהיה שוה החלק האחד לשני החלקים הנשארים הוא כמו שתאמר מרובעים ושרשים ישוו למספרים ומרובעים ומספרים ישוו לשרשים ושרשים ומספרים ישוו למרובעים ואלו הם ששה חלקים וצריך לבארם וזה כי שורש האלגו והאלגוש שישוו שרשים הוא כאילו תתאמר אלגו ישוה חמש' ימנה האלגו במספר א שרשים בעבור כי האלגו הוא שוה לחמשת שרשיו כי שורש מה שימנה האחד האלגו יהיה לעולם כפי סכום השרשים מהאלגו ושוה אליה' לשורש ומפני זה והוא בזה חמשה והאלגו עשרים וחמשה והוא כמו כאשר תדע סכום חמשה שרשיו ועוד אבאר למה היה שורש האלגוש השרשי' שיהיו שוים כפי סכום השרשים ואשים ביאורו בזאת השאלה לאלגו תכם על ע

עצמם והעולה הוא
האלגו 
אמ' ומופת זה כי 
השורש אמצעי 
בייחס בין האחד
והמרובע ולכן ימ
ימנה השורש מרובע כמו מה
שימנהו האחד 

194

95ב רצוני בזה המשל ואניח האלגו שטח מרובע עליו א"בג"ד וצלעיו א"ב ב"ג ג"ד ד"א וכל אחד מצלעיו מרובה על אחד מס מסכום אורך זה השטח הוא שורש זה השטח האחד והע והעולה מכפל א"ב על אחד והוא קו ב"ה ויהיה שטח א"ה הוא שורש א"ג ושטח א"ג (נחלק) לחמשה חלקים שוים ויהיו שטחי א"ה ט"ו ס"ז מ"ס (מ"ח) ע"ג וקו ב"ג חמשה והוא שורש האלגו והאלגו הוא עשרי' א ב וחמשה ומש"ל וכמו כן אם יאמר ט ה ומש"ל= וזהו מה שרצינו לבארו חצי אלגו ישוה עשרה שרשים ס ו נרמול המשוואות והאלגו כלו ישער עשרים שרשי' הנה מ ז ← שרש האלגו עשרים והאלגו ארבע מאו' ע ח ← וכמו שתאמר חמשה אלגו ישוו עשרי' ד ג שרשים והאלגו ישוה ארבע שרשים ← ושרש האלגוש הוא ארבעה והאלגוש הוא ששה עשר ← וכן כמו שנרבה מהאלגו או שנחסר ישיבם לעולם לאלגו אחד וכן תעשה לכל מה שישובו מן השרשים אל האלגו והאלגו ישוו מספרי' כמו אלגו שישוה שש עשרה והנה הוא אלגו ושרשיו ארבעה וכן חמשה אלגו ישוו חמשה ← וארבעים והאלגו האחד הוא חמישיתם והוא תשעה וכן ← אם תאמר שלישית אלגו ישוו שבעה ועשרים והאלגוש שמונים ואחד וכן כל האלגוש איזה שיהיה יותר או פחות ← השיבם לעולם אל אלגו אחד וכן תעשה לאשר ישובו אליו מהמספרים והשרשים שישוו מספרים כמו

195

96א שתאמר שורש ישווה ארבע והשורש הוא ארבעה והאלגוש שש עשרה וכמו אם תאמר חמשה שרשים ישוו שלשי' ← והשורש ישווה ששה והאלגוש ששה ושלשי' וכמו אם ← תאמר חצי שורש ישוה עשרה והשורש ישוה עשרים והאלגוש ← ארבע מאות וכן כל השרשים איזה שיהיו יותר או פחו' השיבם לעולם אל שורש אחד וכן תעשה לאשר ישובו אליו מהמספרים ותמצא אלו שלשה חלקים והם כמו שתאמר אלגוש ושרשיו ישוו מספרים ואלגוש ומספרים ישוו שרשים ושרשים ומספרים ישוו אלגוש והאלגוש והשרשים שישוו מספרים הוא כאלו תאמר אלגוש ועשרה שרשים ישוו תשעה ושלשים דרה"מיש נאמר כי כאשר נחנחבר דרהם = מספר, a pure number על האלגוש שרשיום העשרה ישוו תשעה ושלשי' אדרה"מיש ובזאת השאלה יש שנים אופנים האחד יראך שורש האלגו והאחר יראך (שורש) האלגוש ועוד אבאר לך משפטן עם תמונות גימטר"יות יבינום חכמי הגימט"ריא אשר ישכילו בספר אקלידס והאופן אשר יראך שורש האלגוש כבר אמרו מהומר אלבוארזמי בספרו והוא שתקח לעולם חצי השרשים והוא בזאת השאלה חמשה ותרבם על עצמם ויהיו עשרים וחמשה ותקבצם על התשעה ושלשים ויהיו ס"ד וקח שורשו ויהיה שמונה חסר ממנו (ו)חצי השרשים והם חמש' ישארו שלשה והם שורש האלגוש והאלגוש תשעה והאופן – ← אשר יראך האלגוש הוא שתרבה העשרה על עצמו ויהיה מאה ותרבם על הל"ט ויהיו ג' אלפים ותת"ק וקח חצי המאה והם חמישים תרבם על עצמם והם אלפים ות"ק ותחברם על

196

96ב ג' אלפים תת"ק ויהיו ששת אלפים וח' (ת') תקח שרשיו והוא שמוני' נחסרם מהחמישים שהם חצי המאה ומן הל"ט המשוים האלגו שהם יחד פ"ט וישארו תשעה והם האלגוש וכן שנים אלגוש או שלשה או יותר או פחות השיבם לעולם אל א אלגוש אחד והשיב עמו אשר תוכל מהשרשים ומהמספרים נרמול המשוואות בדרך שהשיבות האלגוש וזה כמו שתאמר שנים אלגוש ועשר' שרשים ישוו מ"ח אדרה"מיש נאמר ששני אלגוש כאשר נזכרם ונקבצם על שרשיו עשרה מאחד מהם יהיה מ"ח אדרה"מיש ויצטרך שתשיב השני אלגוש לאלגוש אחד וכבר ידעת כי א אחד משנים הוא החצי והשיב כל דבר אשר החזקת במבוקש אל חציו כאלו תאמרת אלגוש וחמשה שרשים ישוו כ"ד אדר ← אדרה"מיש ומשפטו כי כאשר תחבר על האלגוש שרשיו החמשה יהיו כ"ד וכבר הראתיך כיצד תמצא השורש וכיצד תמצא האלגוש בשני האופני' האמורים ואם אמרו לך חצי אלגוש וחמשה שרשים ישוו כ"ח אדרה"מיש נאמר כי כאשר חברנו על חצי האלגוש חמשה שרשי האלגוש יהיו כ"ח אדרהמיש וצריך שתשיב האלגוש שלך שלם והוא שתכפלהו ותכפול ה נרמול המשוואה השרשים שיהיו עמו ויהיה האלגוש ועשרה שרשי' ישוו נ"ו וכבר ← הראת מה לעשות לך עמהם והמשפט והסבה הסבר גיאומטרי למשוואה: אשר בזה רצוני שאלגוש ועשרה שרשי' שישוו ל"ט אדרה"מיש הנה האופן הטיטולי אשר יראך השורש הוא שתשים שטח מרובע עליו א"ב ג"ד ותחבר אליו השרשים אשר הנחת היותם עם האלגו והיו עשרה והם ששה (שטח) א"ב ו"ה וידוע כי קו ב"ה עשרה בעבור כי צלע א"ב משטח אב"ג"ד מורבה באחד יהיה שורש ששטח ←

אב"ג"ד

197

97א א"ב"ג"ד (ויורבה באחחד יהיה שורש שטח א"בג"ד) ו ה והוא מרובה בעשרה יהיו עשרה שרשים משטח אב"ג"ד הנה קו ב"ה עשרה וכל שטח ו"ה ג"ד שלשי' ותשע בעבור כי מ ח הנחנו האלגוש ועשרה שרשיו והוא מה כ מהכאת קו ה"ג בקו ג"ד אבל קו ג"ד כמו ז' (קו ג"ב) קו גם כן הנה הבכאת קו ה"ג על קו ג"ב ל"ט ע א ב ←

וקו ה"ב עשרה ונחלק אותו לחציי' על     

נקודת ס' (ח') ונוסף באורנו קו ג"ב ולכן נ ד ג יהיה השטח העולה מהכאת (ח"ג על עצמו כמו השטח העולה מהכאת) ה"ג בקו ב"ג עם מרובע ההווה מהכאת ח"ב על עצ עצמו כמו שאמר אקלידס במאמר שיני בספרו אבל הכאת הקו ה"ג בקו הספר השני של אוקלידס ג"ב הנחנוה שלשי' ותשע והכאת קו ח"ב על עצמו הוא עוסק בעיקר באלגברה גיאומטרית עשרים וחמשה ומקובצים ששים וארבעה וכן יהיה הכאת קו ← ← ח"ג על עצמו ס"ד ושורש ששים וארבע הוא שמונה ולכן קו ח"ג שמונה וידוע שקו ח"ב חמשה וישאר קו ב"ג שלשה והוא שורש האלגוש והאלגוש תשעה ואם תרצה ← ← לעין שאראך מה שאמרתי עשה על קו ח"ג שטח מרובע והוא שטח ח"כ נ"ג ותוציא קו א"ב ביושר עד נקודת ע' הנה קו ח"ג כמו קו נ"ג וקו ב"ג כמו קו ד"ג ישאר קו ב"ח כמו קו (ד"נ) ושטח ← ח"א כמו שטח א"נ אבל שטח ה"א (ח"א) כמו שטח (כמו שטח) מ"ה ← לכן שטח מ"ה כמו שטח א"נ (ולכן) ה"א (ח"א) כשטחי אם כן א"נ ד"ב הש ← השלשה שלשי' ותשעה אבל שטח א"כ עשרים וחמשה בעבור ←

198

97ב כי הוא שוה להכאת ח"ב על עצמו הנה שטח כ"ג כלו ששים וא וארבע וקו ח"ג שרשו והוא שמונה וקו ב"ח היה חמשה וישאר קו ג"ב שלשה ומש"ל ומשפט האופן אשר יראך האלגו' הוא ← שתשים האלגוש קו א"ב ותחבר עמו עשרה שרשיו והוא קו ב"ג ויהיה קו א"ג שלשים ותשעה ואם תרצה ← לדעת כמות א"ב עשה על קו ב"ג שטח מרובע והוא שטח ד"ה ב"ג והוא מאה פעמי' כמו קו א"ב מוכה על אחד מאח ממאחדיו בעבור כי קו ב"ג עשרה שרשים מקו א"ב ועשרה שרשי' מהדבר מוכה על עצמו הוא כמו אותו הדבר מאה פעמים בי' מפני כי יחס ונשים קו א"מ מאה מן אשר בםם קו א"ג שלשי' ותשעה ונשלים המרובע אל המ' שטח א"נ והנה הוא שלשת אלפים תת"ק בעבור כי קו א"ג של המרובע כיחס שלשים ותשעה וקו (א"מ) ארוך מאה ונמשיך קו ב"ח נכחי למאה הצלע אל הצלע ויהיה שטח א"ח(ד) שוה למרובע ב"ה כי הוא גם כן מאה פ שינוי ושורש פעמים כמו קו א"ב מוכה על אחד מאחדיו בעבור כי אורך א"ב עשירי' ב"ג קו א"מ(ה) מאה ויהיה מפני זה שטח ד"נ גם כן שלשת אלפים אם כן א"ב ה תת"ק והוא מהכאת קו ג"ה בקו ה"נ כי ה"ג כמו ה"ד והנה המרובע הוא קו ג"נ מאה מפני שהוא שוה לא"מ(ה) ונחלק אותה לחציים על עשירית הע נקודת ל' וכבר נוסף על קו נ"ה ויהיה מפני זה שטח הכאת נ"ה העשירית מן על קו ה"ג ומרובע קו ג"ל יחד כמו מרובע קו ל"ה כמו שאמר המרובע ההוה אקלידס במאמר שיני מספרו אבל שטח נ"ה על ה"ג שלשת מן כ"ג והוא

ד ה אלפים תת"ק ומרובע קו ג"ל שני אלפי' ת"ק ונחברם   ב"ה אם כן ב"ה
יחד ויהיו ששת אלפים ות' והם הכאת קו ל"ה   מאה דימיוני

א ב ג על עצמו לכן יהיה קו ל"ה שמונים וקו ג"ה כמו קו קו א"ב מוכה ב"ג הנה כי קוי ל"ג ל"ג ב"ג שמונים וכאשר באחד מאחדיו

  ←  
ל ←  
 

מ ח נ נחסר

199

98א נחסר קוי ב"ג ג"ל שהם שמונים מקוי א"ג ג"ל שהם שמונים ותשעה ישאר קו א"ב שהוא האלגוש תשעה ומש"ל והאלגוש והמספרים שישוו שרשים כאלו תאמר אלגוש ועשרים ואחד אדר הראשון מי"ש (ישוו) עשרה שרשים רצוני כי כאשר תחבר עם האלגו עשרים ואח' יהיה המחובר כמו עשרה שרשים מהאלגוש ובזאת החלוקה הוא שני אופנים האחד יראך שורש האלגוש (והאחר יראך האלגוש) וכל אחד מהם יעשה בשני פנים האחד עם תוספת והאחד עם מגרעת והאופן אשר יראך שורש האלגוש הוא שתקח חצי השרשים והם חמשה ותרבה על עצמם ויהיו עשרים וחמשה גרע מהם העשרים ואחד וישארו ארבע תקח שורשו והוא שנים וחסרם מחצי השרשים שהם חמשה וישארו שלש' והוא שורש האלגוש והאלגוש תשעה ואם תרצה הוסיף השנים ← על חצי השרשים ויהיו שבעה והוא שורש האלגו והאלגו ארבעי' ותשעה ודע כי כאשר תחצה השרשים באופן הזה ותרבם על ← עצמם ויהיה המתקבץ ממנו פחות מהאדרה"מיש אשר עם האלגוש שאז מוטעה השאלה תשתנה החלוקה וכן פעמים יהיה כמו האדרה"מיש בעצמם ויהיה שורש האלגו כמו חצי השרשים מבלי מגרעת ← ומבלי תוספת ועוד אבאר לך כל אשר אמרנו בזאת החלוקה עם תמונת גימטריאות והאופן אשר אראך האלגו הוא אשר נרבה העשרה שרשים על עצמם ויהיה מאה ונרבה אלו המאה על עשרים ואחד ויהיו אלפיים ומאה ונקח חצי מאה והוא חמישים ונרבם על עצמם ויהיו אלפיים ות"ק ותגרע מהם אלפים ומאה וישארו ארבע מאות וקח שרשים והוא עשרים ותגרעם מן החמישים וישארו שלשים תגרע עוד מהם העשרים ואחד וישארו תשעה והם האלגו ואם תרצה תוסיף העשרים על החמישים ויהיו שבעים ותגרע מהם העשרים

200

98ב אחד ואחד וישאר ארבעים ותשעה והוא האלגו וכן כל אשר יבא לידך משני אלגו או יותר או פחות השיבם לעולם אל אלגו אחד נרמול המשוואה כמו שהראתיך באופן הראשון והמשפט שיראך כיצד אלגו וכ"א אדרה"ם אשר הנחת עמו או פחות מהם ולא יוכל להיות האלגו כמו האדר"מהיש כי אם בהיות הכאת חצי השרשים על ← ← עצמו כמו האדרמ"היש אשר עם האלגו ויהיה מהאלגוש ← ←

ואבאר כל זה ואראהו ואניח האדרמ"היש אשר שמת עם האלגו הסבר גיאומטרי למשוואה:

שהם עשרים ואחד שיהיו יותר מהאלגו ואניח האלגו שטח מרובע עליו א"ב ג"ד ונוסיף עליו העשרים ואחד והוא שטח א"ב ה"ל וזה השטח הגדול משטח א"ב ג"ד כי כן הנחנוהו וקו ב"ל גדול מפני זה ← ← גדול מקו ב"ד ושטח ה"ד עשרה שרשים משטח א"בג"ד אם כן קו ל"ד עשרה ושטח ה"ב כ"א והוא שוה להכאת ל"ב בב"ד כי ב"ד שוה לב"א ונ ← ונחלק קו ל"ד לחציים בנקודת ח' וכבר נחלק גם כן לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב' ולכן הכאת על ל"ב בב"ד עם מרובע ח"ב ישוו למרובע ח"ד כמו שאמר אקלידס בספרו במאמר שיני אבל –

ה [ל] הכאת קו ח"ד על עצמו עשרים וחמשה בעבור  
כי אורכו חמשה וקו ל"ב בב"ד עשרים ואחד כאמור  
וישאר מרובע קו ח"ב ארבעה וצלעו שנים אבל     ←

כ ס ח קו ח"ד הוא חמשה וישאר קו ב"ד הוא שלשה ← מ א ב והוא שורש האלגוש והאלגוש תשעה ואם תרצה ←

שאראך לעין מה שאמרתי אשים על קו ח"ד מרובע 

נ ג ד והוא שטח כ"ד ושטח כ"ד עשרים וחמשה כי קו

ח"ד הוא חמשה ושטח ח"ג כמו שטח ח"ה בעבור  ←  
כי קו ל"ח כמו קו ח"ד ושטח א"ח כמו שטח א"נ ולכן     ←
שטחי א"ח א"ד א"נ השלשה ישוו לשטח ה"ב שהוא  
←  

מהכאת

201

99א מהכאת ל"ב בב"ד והוא עשרים ואחד ולכן ישאר שטח כ"א ארבע והוא מרובע בעבור כי קו כ"נ כמו קו כ"ח וקו ח"ס כמו קו נ"מ וישאר קו כ"ס כמו קו כ"מ וקו מ"כ שנים והוא שוה לקו ח"ב אם כן קו ח"ב שנים וישאר קו ב"ד שלשה והוא שורש האלגוש והאלגוש תשעה ← ← ומש"ל ואבאר בזאת השאלה כאשר תקח חצי ← ← השרשים ויהיה העולה מהכאתם על עצמם יותתר מהאד ← ← מהאדרהמיש שהנחת עם האלגוש שהם כ"א ופחות מן האלגוש ואשים האלגו שטח מרובע עליו א"בג"ד ואחבר עמו העשרים ר"ל שאדרה"מיש ואחד והוא שטח א"בה"ו ושטח א"ד ו ב ח ד פחות מהאלגו גדול משטח א"ו כי כן הנחנו וקו ד"ב ארוך מקו ב"ו ושטח ח"ג (ו"ג) עשרה שרשי' ← משטח א"ד ולכן קו ד"ו עשרה והכאת ל ס נ קו וב"ב (ו"ב) בב"ד הוא עשרים ואחד ←

ה א כ ג  

ותחלק קו ו"ד לחציים על נקודת ח' והנה הוא כבר נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב' ולכן יהיה הכאת ו"ב בב"ד והכאת ב"ח על עצמו יחד כמו הכאת ח"ד על עצמו כמו שאמר אקל אקלידס במאמר שיני בספרו והכאת ח"ד על עצמו הוא עשרים וחמשה והכאת ו"ב ובד בב"ד הוא עשרים ואחד ויש ← וישאר הכאת קו ח"ב על עצמו ארבעה וקו ח"ב הוא שורש שורש ארבע והוא שנים ותחברם עם קו ח"ד שהוא חמשה ← ויהיה קו ב"ד שבעה והוא שורש האלגוש והאלגוש ארבעים ← ← ותשעה הנה שביארנו לך כי כאשר הנחנו האלגוש פחות מהאדרה"מיש שאז נוציאהו עם מגרעת וכאשר נניחיהו יותר מהאדרמ"היש הנה אז נוציאהו עם התוספת

202

99ב

ואם תרצה שאבאר לך לעין כל מה שאמרתי תצייר על קו ו"ח שטח  

מרובע עליו ו"נ ותוציא קו ח'נ' על יושר עד נקודת כ' ושטח כנ"ג (ב"נ כמו) שטח נ"ה בעבור כי קו ל"נ שוה לקו נ"ח וקו כ"ח (כ"נ) שוה לקו נ"ב (נ"ס) כי ש ← שטח א"נ מרובע כמו שנבאר ושטח ו"נ הוא עשרי' וחמשה ושטח א"ו עשרי' ואחד וישאר שטח א"נ ארבעה והוא מרובע בעבור כי קו א"ב כמו קו א"ג וכ"ג כמו קו ב"ס מפני שקו כ"ג כמו ← ח"ד וח"ד כמו ח"ו וח"ו כמו ח"נ וח"נ כמו ב"ס הנה שקו ב"ס כמו קו ← קו כ"ג וישאר קו א"כ כמו קו א"ס ושטח א"נ מרובע וקו א"נ (ס"נ) שני' ← אבל קו ס"נ כמו קו ב"ח ויהיה קו ב"ח שנים ותחברם עם קו ח"ד ← שהוא חמשה ויהיה קו ב"ד שבעה והוא שורש האלגו והאלגוש ארבעים ותשעה ונתבאר עוד בזאת השאלה כי ← כאשר הכינו (חצי מספר) השרשים על עצמם היה העולה יותר מהאד"רמיש {בטופס היה} אשר שמת עם האלגו כמו שנים (שטח) א"נ וזה {בכאן גם חלק} מש"ל ועוד ביארנו כי כאשר הנחנו

האלגו פחות מהאדרמ"היש אשר עמו
יצא המבוקש עם מגרעת ואם הנחנו (יותר)

מהדרמ"היש יצא המבוקש עם תוספת וביארתי עוד מה שנאמ' בשתי צורות רצוני צורת הגירעון וצורת התוספת כאשר היה הכאת (חצי) השרשים על עצמו יותר מן האדרה"מיש אשר הנחנ הנחנוהו עם האלגוש ואבאר עוד כאשר יהיה העולה מה מהכאת חצי השרשים על עצמן שוה אל האדרמ"היש אשר ← עם האלגוש יהיה האלגו כמו האדרמ"היש ממש ושורש האלגוש

203

ה א ג

(חסר בכתב היד)

ו ח ב ד

100א כמו חצי השרשים ואמשיל זה בשאילה אחרת ואניחנה שכ"ה א"ח (אמ"פ) כבר יתבאר אדרה"מיש ואלגוש ישוו עשרה שרשים ואניח האלגוש שטח זה ביותר נקל מרובע אלגוש עליו א"בג"ד ואבאר (ואחבר) עמו כ"ה אדרה"מיש והם ש וזה כי כאשר שטח א"ב ה"ו וכל שטח ג"ו עשרה שרשים משטח א"ב ג"ד וקו ד"ו יהיה הכאת עשרה וכאשר נחלק קו ד"ו לשני חציים על נקודת ח' לא ימלט הד השרשי' על עצמם הדבר מאחד משלשה עינייני' אם שתפול נקודת ח' מלמעלה מ ← כמו האדרה"מיש מנקודת ב' או למטה ממנה או בה ונניח ראשנה שתפול נקודת יחוייב שיהיה ח' למעלה אם יתכן זה הנה קו ד"ו נחלק לחציים על נקודת ח' ו השרשי' האמצעיי' ושני חלקים בלתי שוים על נקודת ב' ולכן יהיה הכאת ד"ב ב"ס (בב"ו) ביחס בין האחד ומרובע ח"ב על עצמו ישוו להכאת ה"ו (ח"ו) על עצמו כדמבואר והאדרה"מיש ואבאר בשני לאקלידס אבל הכאת ו"ח על עצמו הוא עשרים וחמשה ששרשים המרובעי' בעבור כי הנחנוהו חצי ו"ד שהוא עשרה לכן הכאת ו"ב בב"ד עם אמצעיים ג"כ בין מרובע ב"ח עשרים וחמשה אמ"פ (אמר מרדכי פינצי) המעתיק (א)לה הם האחד והמרובע דברי הספר שהעתקתי ממנו במופת הזה ונר' לי שדבריו אינ' הנה האדרה"מיש מספיקי' בזה אבל הראוי יותר שיאמר כי כאשר נפלה נקודת והמרובע שוים ח' החולקת למעלה מנקודת ב' אז הוא האדרמ"היש יותר מהאלגוש ← כי הדברי' אשר יחס' וכאשר תפול למטה ממנה יהיה האלגוש יותר מהאדרמ"היש וזה ← שוה לדבר אחד כולו מבואר למעלה ונשאר שאם תפול עליה ובה בהכרח יה הם שוים יהיו אז שוים עוד המשיך דבריו בדברים בלתי מתוקנים ← אצלי והם אילו {וביארנו במה שאמרתי כי כאשר תרבה השרשים אשר ישוו האלגוש והמספרי' בחלק הזה משלשה ← חלקים על עצמם ותקח חצי העולה ותרבהו על עצמו ←

204

100ב הנה יהיה כמו הכאת האדרמ"היש על מה שעלה מהכאת השר השרשים על עצצמם והיה מחצי אשר עלה הכאת חצי השרשי' על עצמו ותצא השאלה וכבר ביארנו כל אשר בזה האופן – ע"כ} ונ"ל כי היה רצונו של בעל הספר לבאר בזה המקום האופן השני מזאת החלוקה רצוני האופן אשר יראה לנו האלגוס כאשר ייער למעלה ומופתו אבל נשמט מהספר אשר העתקתי ממנו ואבארהו בעבדי עוד על זה הספר בע"ה והשרשי' ומספרים שישוו אלגוש כמו אם יאמר שלשה שרשים וארבעה מספרים ישוו אלגש בזאת השאלה שני אופני' האחד יראך שורש האלגוש והאחר יראך האלגוש ועוד אבארם בתמונת גימטרייאות והא והאופן אשר יראך השורש הוא אשר תחצה השרשי' ויהיה אחד וחצי ותרבהו על עצמו ויהיו שנים ורביע ותחברם עם הארבע ויהיו ששה ורביע ותקח שרשם והוא שנים וחצי ותחברם עם חצי השרשים ויעלו ארבעה והוא שורש האלגו והאלגוש ← ששה עשר והאופן אשר יראך האלגוש הוא שתרבה השלש' שרשים על עצמם ויהיה תשעה ותרבה אילו התשעה על הארבעה האדרה"מיש אשר הנחת עם השרשי' ויעלו ל"ו ותחצ' התשעה ויהיו ארבעה וחצי ותרבעם על עצמם ויהיו עשרי' ורביע ותחברם עם השלשי' וששה ויהיו חמישי' וששה ור ורביע וקח שרשם והוא ז' וחצי ותחברם עם הארבעה וחצי שהם חצי תשעה ועם הארבעה האדרמ"היש שיהיו עם הש השרשים ויהיה הכל ששה עשר והוא האלגוש וכאשר תניח מן האלגוש יותר או פחות השיבם תמיד אל אלגוש נרמול המשוואה

אחד

205

101א אחד כאשר עשינו בשאילה הראשנה והעלה בזאת הסבר גיאומטרי למשוואה: השאלה שהיו שלשה שרשים וארבעה מספרי' שוים אל האלגוש הנה האופן אשר יראך השורש הוא שתשים האלגוש שטח מרובע עליו א"בג"ד והוא שלשה שרשים וארבע מספרים ונקח משטח א"ד (והוא ידוע ממה שאמרנו שלשה שרשים וארבעה מספרים שוים אל האלגוש הנה האואופן אשר יראך השורש הוא שתשים האלגוש שטח מרובע עליו א"בג"ד והוא שלשה ששרשים וארבעה מספרים ונקח משטח א"ד) שטח א"ה נו ג"נ ונניחיהו שלשה שרשים משטח א"ד והוא ידוע ממה שאמרנו שלשה שרשים ושטח הרביעי נשאר ארבעה מספרים ות' ותחצה קו א"ה על נקודת ח' והנה לך קו א"ה נחלק לחציים על נקודת ח' ונוסף באורכו קו ב"ה ולכן הכאת א"ב בב"ה עם מרובע ה"ח ישוו להכאת ח"ב על עצמו כדמבואר בשני לאקלידס א ח ה ב אבל הכאת א"ב בב"ה ארבעה ← בעבורם כי קו א"ב שוה לקו ב"ד ט ← והכאת קו ה"ח על עצמו הוא ← שנים ורביע וחיבורם ששה ע מ כ ← ורביע והנה שרשו שנים וחצי וזה כי שטח א"נ ← ולכן קו ח"ב שנים וחצי אבל קו ג נ ד א"נ שלשה שרשי' ח"ה אחד וחחצי ומפני זה יהיה כל ולכן שטח א"נ כמו העולה ← קו (א"ב) ארבעה והוא שורש האלגוש והאלגו שש עשרה ולבאר מהכאת א"ג משלשה הדבר יותר נניח על קו ח"ב שטח מרובע עליו ח"כ והוא יד' מספרי' ומהמא' (וא"ה) ← שקו מ"ע כמו קו כ"ד בעבור כי קו א"ב כמו קו ב"ד וקו ב"ח שלשה וה"ח

אחד וחצי  
   
←  

206

101ב כמו קו כ"ב ונשאר כ"ד כמו א"ח וא"ח כמו ח"ה וח"ה כמו מ"ע אם ← כן מ"ע כמו כ"ד ונניח קו מ"ט כמו קו נ"ד ולכן יהיה שטח ע"ט כמו שטח מ"ד ונשים שטח ה"כ משותף ויהיה שטח ה"ד כולו ← כמו שטח(י) ע"ט מ"ב ארבעה והוא ידוע כי שטח ח"ט מרובע ← בעבור כי קו ב"ח כמו קו מ"ה וקו מ"ט כמו קו ה"ב וישאר קו ח"ה ← כמו קו ה"ט וקו ח"ה אחד וחצי ולכן שטח ח"ט שנים ורביע וכל ← שטח ח"כ ששה ורביע וקו ב"ח שנים וחצי וקו א"ח אחד וחצי וכל קו א"ב ארבעה והוא שורש האלגושרבעה והאלגו ששה עשר ←

ולזה האופן דרך אחרת והוא שנניח שטח מרובע עליו –  ←  ←  

א"בג"ד יהיה שלשה שרשים וארבע מספרי ונבדיל מקו ג"א קו אחד (א"ח) ונניחיהו אחד וחצי ונוציא קו ח"מ על נכחות הקו א"ב ושטח א"מ הוא שורש וחצי ונניח קו ע"ד אחד וחצי ונו ונוציא ע"ט על נכחות ב"ד ושטח ע"ב הוא שורש וחצי וידוע כי שטח א"מ (ושטח נ"ד נ"ד) ושטח נ"ב (ע"ב) שלשה שרשים וישאר שטח מ(ח)"ע ארבעה מספרי' וכמו א ט ב שטח נ"ב ושטח נ"ב שנים ורביע ולכן יהיה שטח ע"ז(ח) ששה ורביע ח נ מ וקו ג"ז(ח) שנים וחצי וקו ח"א אחד ← וחצי וקו א"ג כלו ארבעה והוא ← ← שורש האלגו והאלגו ששה עשר ← ←

ג ע ד

ומש"ל ועלת האופן אשר יראך האלגוש הוא שנשים (צלע) האלגו קו א"ב והוא (צלע) שלשה חלקים שרשי' וארבעה מספרים ויהיה קו ג"ב ממנו ארבע מספרי' וישאר קו א"ג שלשה שרשים מקו א"ב ונעשה על קו א"ג שטח מרובע ←

207

102א עליו א"ג ד"ה וידוע כי הוא כמו תשעה פעמים קו אם כן (א"ב) מוכה להיות יחס מרובע על אחד ונשים קו א"נ תשעה מאחורי קו א"ב ונשלים שטח א"חד אל מרובע יחס צלע ויהיה מפני זה שטח א"ח שוה למרובע א"ה ונמשיך קו ג"כ אל צלעו שינוי נכחי לקו ב"ח ונבדיל מקו א"ד קו א"ע שוה לקו א"נ ונוציא קו ע"ל נכחי לקו ד"ה והנה שטח ע"ג שוה לשטח א"כ וישאר שטח ע"ה ← שוה לשטח כ"ב אבל שטח כ"ב הוא שלשים ושש מפני כי קו ← ג"ב ארבעה וקו ג"כ (השוה לקו א"נ) תשעה בעבור כי הוא שוה ← לקו א"נ ותחצ' קו א"נ (א"ע) על נקודת מ' והנה כי קו ע"א נחלק לחציי' על נקודת מ' ונוסף בארכו קו ע"ד ולכן יהיה הכאת קו א"ד בקו ד"ע והכאת ע"מ על עצמו שוים להכאת ד"א (מ"ד) על עצמו במ כמבו' באקלידס במאמר שיני אבל הכאת א"ד בד"ע הוא ← כמו שטח ע"ה בעבור כי קו א"ד כמו קו ד"ה ושטח ע"ה הוא שלשי' ושש הנה הכאת א"ד בד"ע הוא שלשים וששה והכא' ע"א (ע"מ) על עצמו הוא עשרי' ורביע ותחברם יחד ויהיו חמישי' ← ושש ורביע ולכן יהיה קו מ"ד שבעה וחצי וקו א"מ ארבעה ← וחצי אם כן קו א"ד כלו שנים עשר והוא האלגו שוה לקו (א"ג) וקו ← ג"ב הוא ארבעה הנה כי קו א"ב ששה עשר והוא האלגו והוא ← מש"ל ואלו הששה חלקי' אשר ד ה ← הגדנו בזה הספר וביארנו מלא מלאכתם ועלותיהם הנה השלשה ע ל מהם נפרדי' והם אלגוש ישוו ש שרשים והאלגו ישוו מספרי' ושר מ ושרשי' ישוו מספרי' ושלשה מחוברים מהם אלגוש ושרשים א ג ב

נ כ ח

208

קובראמיונטו = cobramiento בספרדית עתיקה, confrontation, הקבלה 
איקונפרונטאראש = confrontar בספרדית עתיקה, مقابلة, confront, להקביל 

102ב ישוו מספרים ואלגוש ומספרים ישוו שרשים ושרשים ומספרים ישוו אלגוש והרבה מסופרי האלגב"ר ואלמקבל"א לא יוכל להיות שלא יורוך קצת מהם ולכל חלק מאילו הששה חלקים שאלות אשר יורוך אותם בעלי המספר מהקו בראמיינטו ומהקונפרונטאמינטו ההשלמה וההקבלה מהאסיפ'

ואתחיל ראשונה מהכאות הדברי' האחד באחד והדברי' ומהכיוון

והמספרי' על עצמם ועל הדברים ועל המספרים מלבד אילו אשר אמרנו ובעיניין אחר אשר לא יתכן בלעדי ידיעתו מי שירצה לקרות בספר הזה ואבאר לך באיזה צד יתרבו הדברי' והם הש השרשים האחד באחד כאשר יהיו נפרדי' או כאשר יהיו עם מספרים בין שיהיו נגרעי' מהמספרי' בין שיהיו המספרי' נגרעי' מהם ובאיזה צד יתחברו אלו עם אלו וכיצד יגרע האחד מן האחר וכאשר יהיו הדברי' נוספי' על ד המספרים נגרעים מהם ובאיזה צד יתחברו יהיה חלק רביעי כמ' שית' נוסף והחלק רביעי אז הוא הכאת הדברי' זה עם זה והכאת החלק הרביעי ב"ה מזה המספרי' האחד עם האחר בעבור כי כל שני מספרי' שיוכו בשני מספרי' אחרי' לא יתכן מבלעדי שיתרבו ארבע פעמים והוא שיוכו שני המספרי' הראשוני' בכל אחד מן השני' המספרי' האחרי' ותהיה הההכאה ארבע פעמי' וכאשר יהיו הדברים נגרעי' מהמספרי' יהיה החלק הרביעי נוסף והוא הכאת החלק הרביעי כמו שיתב' הדברי' אחד באחר וכאשר היו האחד נוסף והאחר נגרע בו מזה יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת הדברי' אחד באחר תמ"ז מ"ז

וכאשר היו המספרי' נגרעי' מהדברי' יהיה החלק הרביעי   החלק הרביעי

נוסף והחלק הרביעי אז הוא הככאת אחד המספרי' באחר

וכאשר היו אחד משני המספרי' נוסף על הדברי' והאחר  
  החלק הרביעי
 
 
או  
 

209

103א נגרע מהדברים יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת אחד משני ה החלק הרביעי המספרים באחר וכאשר היו הדברי' נוספי' על המספרי' ויהיה מספר אחד נגרע מהדברי' יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכ הכאת הדברי' נוספי' במספר הנגרע וכבר הגדנו עם ה החלק הרביעי החלק רביעי מה הוא הראוי כפי מה שראיתי שבעלי המספר מתחילין עמו ובכפל ואפשר שיהיה החלק הרביעי מבלעדי אשר ספרנו אלא כי כלל הדבר שהכאת השני' (נגרעים) האחד באחר כלל הכפל: תוספת והנשנה (נגרע) בנוסף נגרע והנוסף בנוסף נוסף

ודע שהדברי' בדברי' אלגוש והדברי' במספרי' דברי'  

ושרשים בעבור כי הדבר הוא השורש והשורש הוא הדבר והם שני שמות נופלים על עיניין אחד ואם יאמרו לך כמה יהיה דבר אחד בעשרה אדרה"מיש תאמר עשרה דברים וביאור זה שתשים הדבר בדמיון האחד ותכה האחד בעשרה ויהיו עשרה והם עשרה דברי' ואם יאמרו כמה יהיו שני – דברי' על עשרה אהדר"מיש תאמר עשרים וביאור זה שתש שתשים השני דברי' בדימיון שנים ממספר ותכה שנים בעשרה ויהיו עשרים דברים וכן כמה שתרצה מהדברי' תשי' לעולם על (כל) דבר בדימיון האחר ותכה כל מספרי הדבר כדבר במספר האדרה"מיש והעולה יהיו דברים בעבור כי כל מספר מהמספרים שיוכה במין אחר מהמינים יהיה כל אחד מהמיני' בדימיון האחר אם היה דבר תשים אחד ואם היו שנים תשי' שנים וכן אם היה אלגוש או דבר אחד איזה דבר שתרצה ותכהו על המספרים והעולה הוא מאותו המין ואשים לך על זה תמונה לבאר לך לעין אשר אמרתי ואם

210

103ב (יאמרו) לך כמה יהיה דבר על דבר תאמר אלגוש ואופנו שתשים הדבר בדימיון האחד ותכהו על אחר ויהיה אחד והוא אלגוש ואם יאמרו כמה יהיו שני דברים על שני דברי' תאמר ארבעה אלגוש כמו שבארתי לך וכן שלשה דברים בשני דברי' תכה שלשה (על שנים) ויהיו ששה אלגו וכן חצי דבר מחצי דבר יהיה רביע מאלגוש וכן כמה שתוסיף מהדברי' או תגרע תשים כל דבר בדימיון האחד ותכה אילו האחדים עם האחדי' האחרים והעולה מהם יהיה אלגוש ואשים לך על זה עיניין אשר בו תבין משפט האלגוש והדבר ואשים עיניין זה בהכאת שני דברי' בשני דברי' נניח קו א"ג שני דברי' וקו ה"ג שני דברי' והכינו קו א"ג בקו ג"ה והיה שטח א"ה ונאמר ששטח א"ה הוא ארבעה אלגוש ומופת זה שנחלק קו א"ג על מספר מה שבו מן הדברי' ויהיו חלקיו א"ב ב"ג ותחלק קו ג"ה על מספר מה שבו מן הדברי' ויהיו חלקיו א"ב ב"ג ג"ד ד"ה ותוציא מנקודת ב' קו אחד עד ע' על נכחות קו ג"ה ותוציא מנקודת ד("ה) קו נכחי לקו א"ג והוא קו ד"ח ונתח ונתחדשו מפני זה הבשטח א"ה ד' מרובעי' שוים והם מרובע א ב ג ח"ב ומרובעי ב"ד וד"ע וח"ע וכל אחד

מאילו המרובעי' אלגו וכל אחד מקו א"ב

ח ד ב"ג ג"ד ד"ה מוכה באחר (באחד) הוא דבר וזה הוא משפט האלגוש והדבר ושטח א"ה

ע ה ארבעה אלגוש ומש"ל ואם

יאמרו כמה יהיו שלשה דברי' בששה אדרה"מיש תשים הש השלשה דברי' בדימיון שלשה ותכה שלשה בששה ויהיו שמונה עשרה והם שמנה עשר דברי' ודימיון זה שנשי'

קו

211

104א קו א"ב ששה מהמספרי' וקו ב"ד שלשה דברי' ותכה קו א"ב בב"ד ויהיה שטח א"ד ונאמר ששטח א"ד שמנה עשר דברים ומופת כ"ו כי לא היה צריך זה שנחלק קו א"ב שהוא ששה על מה שבו מן האחדי' ויצא לעשות קו ב"ט ט"כ ששה חלקי' והם א"ג ג"ה ה"ו ו"ז ו"ז ז"ח ח"ב ותחלק קו ד"ב אל ד"כ שוים לקוי ב"ח מספר מה שבו מהדברי' ויהיה חלקיו ב"ט ט"כ כ"ד ותוציא ח"ז וה"ו בזה המו מנקוד(ו)ת ג"ה ו"ז ח' קוים נכחיים לקו (ב"ד והם קוי ג"ע ה"פ ו"נ ז"מ ח"ל המופת כ"ו לא ועוד תוציא מנקודות ט"כ ד' קוים נכחיים לקו) א"ב והם קוי ט"ק כ"ס התנה שיהיו – ויהיה בשטח שמנה עשר שטחי' ב ט כ ד דימיוני ה"ט רק שוים כמו שנגלה בתמונה כל – דברי' לא אלגוש שטח מהם שוה לשטח ח"ט ושט ח ל שהם מרובעים ושטח ח"ט הוא מהכאת הדבר שהוא ב"ט באחד שהוא בקו ב"ח ז מ (זיהוי מוטעה של עם  : ושטח ח"ט דבר ושטח א"ד כולו מוצג כזהה ל- ו- יהיה שמונה עשר דברי' וזהו מש ו נ אותה הטעות מופיעה בכל הדוגמאות עד עמוד 110ב) משפט הכאת המספרי' בדברי' וזהו מה שאבו(א) בבי' ואם ה פ (אבוא בביאורו) יאמרו לך כמה עשרה אהדר"מיש

ג ע

א ק ס [צ]

ודבר בדבר אחד תאמר שהם עשרה דברים ואלגו ואופן מעשהו שתכה דבר בעשרה אדרה"מיש ויהיו עשרה דברים ותכה דבר בדבר ויהיה אלגו ותקבצם ויהיו עשרה דברי' ואלגוש אחד ואבאריהריהו לך בזאת התמונה והוא שנניח קו א"ב עשרה דרה"מיש וקו ב"ג דבר אחד ותכה קו א"ג בקו ב"ג ויצא שטח ע"ד א"ד ונאמר ששטח א"ד עשרה דברי' ואלגוש אחד ומופת זה שקו ב"ה א ב ג כמו קו ג"ד וקו ג"ד כמו קו ב"ג

ה ד

212

104ב שהוא דבר בקו ג"ד השוה אליו ולכן ישאר שטח א"ה עשרה דברים (פחות אלגוש) ומשל ואם יאמרו לך כמה יהיו א ב ג עשרה אדרה"מיש ודבר בעשרה אדרה"מיש ודבר תאמר מאה אדרה"מיש ואלגו ועשרה (עשרים) דברי' ומעשיהו הוא שתכה עשרה ה ד על עשרה ויהיו מאה אדרה"מיש עוד תכה עשרה על דבר (ויהיו עשרה דברים ותשוב ותכה עשרה על דבר) ויהיו עשרה דברי' וחזור ותכה דבר על דבר ויהיה אלגוש ותקבצם ויהיה כלו מאה אדרה"מיש ואלגוש ועשרים דברים

ואבאר זה בזאת התמונה והוא שנשים קו א"ב עשרה   

אדרהמיש ודבר וא"ג ממנו עשרה וג"ב דבר וכן תשים קו ב"ד עשרה דרה"מיש ודבר ב"ה ממנו דבר וה"ד עשרה ותכה קו א"ב בקו ב"ד ויצא שטח א"ד ונאמר כי שטח א"ד מאה אדרהמ"יש ואלגוש ועשרי' דברים ומופת זה שנוציא מנקוד' ג' קו נכחי לקו ב"ד והוא קו ג"ח ונוציא מנקודת ה' קו נכחי לקו א"ב והוא קו ה"ז הנה שטח ג"ה מרובע וז"ח מרובע כמו שביאר זה אקלידס ושטח ג"ו (ג"ז) כמו שטח ג"ח (ה"ח) אבל שטח אוקלידס II 4 ו-I 4← ו"ח (ז"ח) מאה כי הוא הווה מהכאת א"ג שהוא עשרה בקו ה"ד ש שהוא ג"כ עשרה ושטח ז"ג עשרה דברי' כי הנה הוא מהכאת ב"ה שהוא דבר בקו א"ג שהוא עשרה ושטח ח"ה עשרה דברים בעבור כי הוא הוה מהכאת ב"ה שהוא דבר בקו ה"ד שהוא עשרה ושטח ג"ה המרובע א ג ב הוא אלגו בעבור כי הוא מהכאת קו ג"ב שהוא דבר בקו ב"ה שהוא גם כן דבר ותקבץ הארב' ז ה שטחים ויהיו כמו שטח א"ד והוא מאה אהדרה"מיש ואלגוש ועשרי' דברי' ומש"ל ואם יאמרו לך כמ' יהיה עשרה אדרה"מיש פחות דבר בעשרה אדרה

ח ד

213

105א אדרהמיש פחות דבר תאמר מאה אדרה"מיש ואלגוש פחות עשרי' דברי' (ואופן מעשיהו שתרבה עשרה אדרה"מיש ואלגו פחות עשרי' דברי') ואופן מעשיהו שתרבה עשרה אדרה"מיש על עשרה אדרה"מיש ויהיו מאה תכה דבר נגרע בעשרה אדרה"מיש ויהיו עשרה דברי' נגרעים עוד תשוב להכות עשרה אדרה"מיש בדבר נגרע ויהיו עשרה דברים נגרעים ותרבה דבר נגרע בדבר נגרע ויהיה אלגו נוסף ותקבץ כל זה ויהיה מאה ואלגוס פחות עשירית (עשרים) דבר

ואבארהו לך בזאת התמונה והוא שתשים קו (א"ג עשרה וב"ג ממנו דבר ונמצא קו) א"ב   

עשרה אדרהמיש פחות דבר שהוא ב"ג ונשים קו ג"ד עשר' וג"ה ממנו דבר ותכה קו א"ב שהוא עשרה אדרה"מיש (פחות דבר) על קו ה"ד שהוא גם כן עשרה אדרה"מיש פחות דבר ויהיה ויהיה מרובע ז"חח ונאמר שמרובע ז"ח מאה אדרהמיש ואלגו פחות עשרים דברי' ומופת זה שנשלים שטח א"ד ונוציא מנקודת (ב') קו ישר נכחי לקו ג"ד והוא קו ב"ח ונוציא מנקודת ה' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ה"ז ושטח א"ד מאה בעבור כי קו א"ג עשרה (וקו ג"ד עשרה ושטח א"ה עשרה דברים בעבור כי קו א"ג עשרה) וג"ה דבר וכן שטח ב"ד עשרה דברים בעבור כי קו ג"ד עשרה וג"ב דבר ושטח מרובע ב"ה הוא אלגוש בעבור כי הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בג"ה שהוא גם כן דבר וישאר ה"ח עשרה א ב ג דברים פחות אלגוס ושטח א"ה עשרה דברים ושטח ג"ז ושטח ה"ח יחד עשרים ז ה דברים פחות אלגוס ושטח א"ד הוא מאה וישאר שטח ז"ח מאה אדרה"מיש וזה כי נניח אלגו

  ב"ה משותף יחד
ח ד יהיה א"ב (א"כ) מרובע ט"ו

ואלגו פחות עשרים דברי' והוא מש"ל ואם יאמרו לך עשרה ז"ח כמו מרובע א"ד אדרה"מיש ודבר על עשרה אדרה"מיש פחות דבר תאמר מאה עם מרובע ב"ח (ב"ה")

פחות כפל שטח א"ה
 

214

105ב אדרהמיש פחות אלגוש ואופן מעשיהו שתכה עשרה על עשרה ויהיה מאה אדרה"מיש ותכה הדבר הנוסף על עשרה ויהיה עשרה דברים נוספים ותכה הדבר הגורע על עשרה ויהיה עשרה דברי' נגרעים ותחסר הנוספים כנגד הנגרעי' וישארו מאה אדרהמיש ותכה הדבר הנוסף בדברי הגורע ויהיה אלגו גורע ותגרע מהמאה אדרה"מיש וישארו מאה פחות אלגוש ואבאר זה בזאת התמונה והיא שנשים קו א"ב עשרה ודבר א"ג עשרה וג"ב דבר ונשים קו ב"ה עשרה דרה"מיש פחות דבר קו א ג ב ב"דבד עשרה וקו ה"ד דבר ונכה

קו א"ב שהוא עשרה אדרה"מיש
ודבר בקו ב"ה שהוא עשרה פ
פחות דבר ויהיה שטח א"ה ונ
ונאמר ששטח א"ה הוא מאה  

ז כ מ ה אדרה"מיש פחות אלגוש ומופת

זה שנשלים שטח א"ד והנה
ט ח ד שטח א"ד מאה אדרהמיש  

ועשרה דברים בעבור כי שטח א"ח מאה כי הוא מהכאת א"ג שהוא עשרה בג"ח שהוא ג"כ עשרה (בגחח שהוא ג"כ עשר') כי הוא שוה לב"ד שהוא עשרה ושטח ג"ד עשרה דברים בעבור כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא עשרה ויהיה כל שטח א"ד מאה אדרה"מיש ועשרה דברי' ושטח ז"ח כמו שטח ח"ב ותבדיל משטח זה כמו שטח מ"ד המרובע והוא שטח ח"ב ב"ח (כ"ח) ויהיה מפני זה שטח כ"ד שנים מרובעים ו ← ושנים אלגוש וישאר שטח ז"ט כמו שטח א"ב (מ"ב) ויהיה שטח ← א"מ ושטח ז"ט מאה אדרה"מיש פחות אלגוש בעבור כי שטח כ"ח אלגוש ולכן שטח א"ה יהיה מאה אדרהמיש פחות אלגוש

ואם

215

106א

ואם יאמרו לך כמה יהיה עשרה אדרהמי"ש ודבר על דבר פחות  

עשרה אדרהמי"ש תאמר אלגוש פחות מאה אדרהמי"ש ואופן מעשיהו שתכה הדבר (פחות עשרה אדרהמי"ש) על עצמו ויהיה אלגוש ותכה עשרה אדרהמי"ש נוספים על דבר ויהיה עשרה (ו)דברי' נוספים ותכה הדבר על העשרה אדרהמי"ש נגרעים ויהיה עשרה דברים נגרעים ותשליך העשרה דברים הנוספי' בעשרה (דברי' הנגרעי' ותכה עשרה אדרהמיש הנוספי' על עשרה אדרהמיש הנגרעי' ויהיה מאה) אדרהמי"ש נגרעי' ותגרעם מהאלגו' וישאר אלגו פחות (מאה) אדרהמי"ש ואבאר זה בזאת התמונה והוא שתשים קו א"ב עשרה אדרהמיש ודבר א"ג עשרה וג"ב דבר ונניח קו ב"ה דבר פחות עשרה ב"ד הוא הדבר וד"ה עשרה ותכה קו א"ב שהוא עשרה אדרהמיש ודבר על קו ב"ה שהוא דבר פחות עשרה א ג ב ויהיה השטח א"ה ונאמר ששטח א"ה אלגו פחות מאה אדרהמי"ש ומופת זה שנשלים שטח א"ד ויהיה שטח א"ד עשרה דברים ואלגוס בעבור כי קו א"ב עשרה אדרה"מי כ ל ה ודבר וקו ב"ד דבר ונוציא קו ג"ח נכחי לקו ב"ד ויהיה שטח ג"ד מרובע והוא אלגו' ח ד בעבור כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא גם כן ד' דבר ויהיה שטח א"ח כמו שטח ח"ה בעבור כי קו ח"ג הוא (כמו) קו ח"ד וקו א"ג כמו קו ה"ד ומפני זה יהיה שטח א"ח ושטח ג"ה יחד אלגוש אבל שטח כ"ח מאה בעבור כי א"ג כמו כ"ל וא"ג עשרה לכן כ"ל עשרה ול"ח כמו ה"ד וה"ד עשרה לכן ל"ח עשרה ← ולכן שטח כ"ח מאה וישאר שטח א"ה אלגו פחות מאה אדר אדרהמי"ש ומש"ל ואם יאממרו לך כמה יהיו עשרה אדרהמי"ש ושני שלישי דבר על שלשה אדרהמי"ש פחות ששה דברים תאמר שלישית (שלושים) אדרהמי"ש פחות ארבעה אלגוש ופחות חמשים ושמנה דברים ואופן מעשיהו

216

106ב שתכה עשרה אדרהמי"ש על שלשה אדרהמי"ש ויהיו שלשים אדרהמי"ש ותכה שני שלישי דבר על שלשה (עשרה) אדרהמי"ש ויהיו ש שני דברי' נוספים ותכה ששה דברים נגרעים על שלשה אדרהמי"ש ויהיו שישים דברים נגרעים ותשליך שני הד הדברים הנוספים כנגד השני (השישים) דברים מן הנגרעים וישארו שלשים אדרהמי"ש פחות חמישים ושמנה דברי' ותכה השש' דברים נגרעים על שני שלישי דבר הנוספי' ויהיו ארבעיםה אלגוש נגרעים ותגרעם משלשים אדרהמי"ש (פחות נ"ח דברים וישארו שלשים אדרהמי"ש) פחות ארבעה אלגו ופחות נ"ח דברי' ואשר ביארתי והוספתי ביאור מכפל הדברים והמספרים האחד באחר הוא אשר ממנו תוכל לעשות כל אשר יפול מידך מזה השער וכאשר תרצה לכפול שורש ממספר ידוע או מאלגוש בלתי ידוע ורצוני בהכפלה הנה לקיחת שני שרשיו וכאשר תרצה שיהיו שני שרשי המספר הידוע או מהאלגוש הבלתי ידוע שורש מספר אלגוש כאן = ממון, مال = אחר או מאלגו אחר תניח השני שרשים בדמיון שנים ותכה שנים על שנים והעולה תכהו על המספר הידוע או על האלגו בלתי ידוע וכאשר תרצה שלשה שרשים תכה ג שלשה על שלשה ועל האלגוש הבלתי ידוע או על המספר הידוע ויהיה שורש העולה שלשה שרשים מהמספר הידוע או מהאלגוש הבלתי ידוע וכאשר תרצה לחצות השו השורש תכה חצי על חצי ויהיה רביע ותכה רביע על האלגו הידוע או על הבלתי ידוע ויהיה שורש העולה מההכאה הוא חצי שורש המספר הידוע או מהבלתי ידוע וכן כל מה שתוסיף או תגרע מהשרשי' שאמרנו ודמיון זה כאשר רצינו לכפול שורש ששה עשר תכה שנים על שנים ויהיו ארבעים (ארבעה) ותכה הארבעה בששה עשר ויהיו שישים וארבע

217

107א ושורשו הוא שמנה והם שני שרשי ששה עשר ואבאר זה בזאת התמונה והוא שנניח הששה עשר שטח מרובע עליו א"ב ג"ד וקו ג"ד הנה הוא שורש מרובע א"ד וכאשר נרצה לכפול זה השטח נוציא קו ג"ד על יושר עד ה' ונשים ג"ה שוה לג"ד ויהיה קו ה"ד שני שרשי' משטח א"ד (וכאשר נרצה לדעת זה השטח נוציא קו ג"ד על יושר עד ה' ונשים ג"ה שוה לג"ד ויהיה קו ה"ד שני שרשים משטח א"ד ) וכאשר נרצה לדעת שורש איזה מספר הוא נשים על קו ה"ד שטח מרובע עליו ה"ז ונאמר ששטח ה"ז ארבעה דימיוני שטח ג"ב ומופת זה שנוציא קו ג"א על יושר עד נקודת ח' וקו א"ב על יושר עד נקודת ט' ויהיה בשטח ה"ז ארבעה מרובעים ח ז שוים והם מרובעים ג"ב ב"ח ח"ט ט"ג והוא מבואר שמרובע ה"ז ארבעה דימיוני מרובע ט א ב ג"ב ומרובע ג"ב שש עשרה ולכן יהיה מרובע ה"ז ששים וארבע ויהיה קו ה"ד שורש ששים ה ג ד וארבע והוא שמנה ומש"ל וכאשר תרצה לקחת חצי שורש תשעה תכה חצי על חצי ויהיה רביע ותכהו על תשע' ויהיה שנים ורביע וקח שורשו והוא אחד וחצי והוא יהיה חצי שורש תשעה וכאשר תרצה לקחת שני שלישי שורש תשעה תכה שני שלישי' על שני שלישים והם ארבע תשיעי' ותכם על תשעה ויהיו ארבעה ושורשו שנים והם שני שלישי' שורש תשעה ואבאר לך זה בזאת התמונה והוא שנשים התשעה שטח מרובע עליו א'ב'ג'ד' ויהיה קו ג"ד שורש תשעה והוא שורש שטח מרובע א"ד וכאשר

218

107ב נרצה לדעת שורש איזה מספר הוא (שני שלישיו) נעשה על קו ז"ד שטח מרובע עליו כ"ז ל"ד ארבע תשיעיות שטח ג"ב והם ארבעה ממספר

ומופת זה שנוציא קו ז"כ על יושר עד נקודת ט' ותוציא [א ]  

א ט ח ב מנקודת ה' קו ה"ח נכחי לקו ב"ד ותוציא קו

(א"ע) ע"פ נכחי לקו א"ב וכזה יעשו בשטח ג"ב  

ס כ מ ל תשעה שטחים שוים והם ה"ע ע"א (ע"מ) מ"ב מ"ט

ט"ס כ"נ כ"פ פ"ז ז"נ ויהיה שטח ז"ל ארבעה  

פ נ ע ארבעה מאילו השטחי' וזה השטח יהיה ארבעה

תשיעיות משטח ג"ב ושטח ג"ב תשעה (ויהיה  

ג ז ה ד שטח ז"ל ארבעה תשיעיות משטח ג"ב ושטח ג"ב תשעה) וקו ז"ד שורש ארבעה ומש"ל ואם תרצה להכות שורש תשעה על שורש ארבעה תכה ארבעה על תשעה ויהיו של שלשים ושש תקח שורשו והוא ששה והוא הכאת שורש תשעה על שורש ארבעה ואבאר זה בזאת התמונה והוא שתשים קו א"ב שורש תשעה וקו ב"ג שורש ארבעה וכאשר תרצה להכות קו א"ב על קו ב"ג תשים על קו א"ג שטח מרובע עליו א"ח ותוציא מנקודת ב' על קו ב"ג (תשים על קו א"ג שטח מרובע עליו א"ח) קו נכחי לקוי א"ה ג"ח והוא קו ב"ז וכל אחד מקוי א"ה ג"ח שורש תשעה ושורש ארבעה ונשים קו מ"ג שורש תשעה וישאר קו מ"ח שורש ארבעה ← ה ז ח ונוציא מנקודת מ' קו ישר נכחי לקוי א"ג

ה"ח והוא קו מ"כ ויהיה שטח ע"א תשעה  

כ ע מ וקו ב"ע שורש תשעה ושטח ע"ח ארבעה

וקו ז"ע שורש ארבעה כי ז"ע שוה לע"מ  
 

א ב ג

וקו

219

108א וקו ע"א (ע"מ) כמו קו ב"ג וע"ב כמו ע"כ ויחס מ"ע אל ע"כ כיחס ז"ע אל ע"ב ויחס מ"ע אל ע"ב כיחס שטח ז"א (ז"מ) אל שטח ז"כ ויחס ז"ע אל ע"ב כיחס שנים (שטח) ז"כ אל שטח ע"א ולכן יהיה הכאת המ ← המספרים אשר בשטח ז"א (ז"מ) אל המספרים אשר בשטח ע"א כמו הכאת המספרים אשר בשטח ז"כ על עצמם וכבר ביאר זה אקלידס ואמר כי כאשר היו שלשה מספרים מתייחסי' יהיה vii, 19 ← הכאת המספר הראשון בשלישי כמו הכאת השיני על עצמו

אבל הכאת מה שבשנים (שבשטח) ע"ח מהאחדים שהם ארבעה על אחד     ←

ושטח ע"א שהם תשעה יהיה שלשים ושש והכאת מה שבשטח ז"כ מהאחחדים על עצמם יהיה כמו שלשים ושש ושטח ז"כ שורש שלשים ושש והוא ששה והוא הוה מהכאת שורש תשעה ועו' שורש ארבעה ומש"ל ואם יאמרו לך כמה יהיו הכאת שני שרשי עשרה על חצי שורש חמשה תסתכל שני שרשי עשרה שורש של איזה מספר הם על הדרך שהראיתיך ותמצא שהם לארבעים ותחפש לאי זה המספר הוא שורש חצי שורש חמשה ותמצא שהוא שורש לאחד ורביע ויהיה כאלו שאלו כמה יהיה הכאת שורש ארבעים על שורש אחד ורביע ותכה ארבעי' על אחד ורביע ויהיו חמישים ותאמר שורש חמישים הוא הכאת שני שרשי עשרה על חצי שורש חמשה ואניח לך על זה המעשה תמונה כוללת כל מספר שמכה (שיוכה) על מספר ונקח שורש העולה יהיה כמו הכאת שורש מספר אחד מהם לשרש מספר האחר משל זה שנשים ב"א שני מספרי' ושורש ב"ג ושורש א"ד ונכה ב' על א' ויהיה ז' ונכה ג' על ד' ויהיה ח' ונ ונאמר שח' כמו ה' שהוא שורש ז' ומופת זה שג' מוכה על

220

108ב עצמו היה ב' ומוכה על ד' היה ח' (ויהיה יחס ג' אל ד' כיחס ח' אל א') *כיחס ב'

ח והיה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח' * ולכן יהיה יחס ב' אל ח' וגם  
ג ד אל ח' כיחס ח' אל א' והכאת ב' על א' יהיה כמו הכ כן הנה ד'  
ב א הכאת ח' על עצמו אבל הכאת ב' על א' הוא ז' ו מוכה על ע   ( )
ז והכאת ח' על עצמו יהיה כמו הכאת ה' על עצמו עצמו היה  
ה וח' כמו ה' ומש"ל וכמה שהוספתי וביארתי מזה א' ומוכה  

המין בו השלמה גם דע כי כאשר (תכה) המחלק על העולה לחֶלק על ג' היה ישוב המספר שחלקת' משל זה כאשר חילקתם עשרה על שנים ח' וי[הי]ה ← ויצא לכל חלק חמשה ותכה חמשה על שנים ויהיו עשרה והוא יחס ג' אל המספר הנחלק ואשים לזה המעשה תמונה כללית ד' (כיחס ח' אל א')

כל מספר שיהיה נחלק על מספר אחר יהיה הכאת העולה   

לכל חלק על המספר המחלק כמו מספר הנחלק משל זה שא' המספר הנחלק וב' הוא המחלק וחלקנו א' על ב' ועלה לכל חלק

א ג' ואומר שהכאת ב' על ג' הוא א' ומופת זה  
ב כי כבר נחלק א' על ב' ועל(ה) הג' ולכן יהיה ג' בא'   ←  
ג כל כך פעמים כמו שהוא בב' מן האחדי' ויהיה  

מפני זה יחס ג' אל א' כיחס האחד על ב' והכאת האחֵר על א' כהכאת ג' על ב' אבל הכאת האח' על א' הוא א' אם כן ← הכאת ב' על ג' הוא גם כן אחד ומש"ל ואם יאמרו תחלק שורש תשעה על שורש ארבעה תחלק תשעה על ארבע ויגיע לכל חלק שנים ורביע תקח שורשו והוא אחד וחצי והוא שורש תשעה מחולק על שורש ארבעה ואם יאמרו תחלק שורש ארבעה (עשרה) על שורש שנים תחלק עשר' על שנים ויעלה אל החלק חמשה וקח שורשו ואם יאמרו

221

109א לך תחלק שנים שרשים מעשרים על שלשה שרשי' מששה תחפש שנים שרשים מעשרים לאיזה מספר הם שורש וידענו ממה שביארנו שהם שורש לשמנים ותחפש כמו כן שלשה שרשים מששה לאיזה מספר הם (שורש) ותמצא שהם שורש לחמישי' וארבע ות ותחלק לשנים שמנים על חמישי' וארבע ויעלה אל החלק אחד וארב' תשיעיות ושלישית התשיעית (ושורש זה מה שיעלה אל החלק אחד וארבע תשיעיות ושלישית התשיעית) ושורש זה הוא מה שיעלה אל החלק מחלוקת שנים שרשים מעשרים על שלשה שרשי' מששה וכן כל אשר יפול בידך מזה המין עשה כן כמעשה הזה ואמשיל לך מזה המין בתמונה כוללת והוא זה כל שני מספרים שיחלק האחד על האחר יהיה שורש העולה אל החלק כמו העולה מחלוקת שורש המספר הנחלק על שורש המספר המחלק משל זה זה שמספר א' נחלק על מספר ב' ועלה מספר ג' ושורש מספר א' הוא ח' ושורש מספר ב' הוא ד' וחלקנו ח' על ד' ועלה ע' ונאמר שע' הוא שורש ג' ומופת זה שא' נחלק על ב' ועלה ג' ויהיה מפני זה ג' ימנה בו' (בא') כמספר א 64 ח 8 ← מה שבב' מן האחדי' וכן יהיו אחדים (בד') כמספר ב 16 ד 4 ← דימיוני ע' בח' בח' ואחד מוכה על אחד ההוא אחד ג 4 ע 2 וד' מוכה על עצמו הוא ב' וע' מוכה על עצמו הוא א' (ג') ומספר מ 4 אחדי' ב' יהיו כמו דימיוני מ' בא' אבל מספר (א') ב' יהיה כמספר ( ) דימיוני ג' בא' הנה כי מספר דימיוני ג' בא' יהיה כמספר ← (דימיוני ג' בא' הנה כי מספר דימיוני ג' בא' יהיה כמספר) דימיוני כי כבר התבאר א' (מ') בא' וג' ישוה לא' (למ') וע' הוא שורש מ' הנה כי ע' שורש ג' ומש"ל שאחדי ד' כמס[פר]

____________________   דימיוני ע' בד' (בח')
בחבור השרשים אחד עם אחר א"כ יחס האחד

וכאשר תרצה לחבר שורש מספר מהמספרי' אל שורש מספר אל ד' כיחס ע' על

ח' וכאשר היה
זה כך המרובעי'
  ההוי' מהם מתיחסי'
כמו שהתבאר באקליד' אם כן יחס
האחד מוכה על אחד והוא אחד
אל מרובע ד' והוא ב' כיחס מרובע 
ע' והוא מ' אל מרובע ח' והוא א'
אם כן אחד (ב)ב' הם כמו דימיוני 
  מ' בא' ו (אבל אחד בב' הם ג"כ 
 כמו דימיוני ג' בא' וג' שוה למ') 
 

222

109ב אחר עד שיחובר שורש איזה אלגוש הנה זה לא יתכן בכל מספר אבל יתכן בשני מספרי' מרובעים רצוני במספרים המרובעים שיחזיקו שורש או בשני מספרים שכאשר נחלק האחד על האחר עלה אל החלק (מספר מרובע אשר יחזיק) שורש וכאשר תכה האחד על ← האחר היה המקובץ (מספר מרובע אשר יחזיק) שורש ובמספרי' אחרים מבלעדי אילו לא יתכן שתחבר שני שרשיהם עד שתשיבנה שורש אחד וכן בגירוע האחר (האחד) מן האחר ואלו יהיו הרבה מבוארים ויהיו הש השני מספרים מרובעי' תשעה וארבעה וכאשר תרצה לחבר שורש תשעה ושורש ארבעה עד שיהיו שורש למספר אחד תחבר תשעה וארבעה ויהיו י"ג ותכה תשעה על ארבעה ויהיו שלשי' ותשעה ששה וקח שני שרשיו והם שנים עשר תחברם עם שלש עשרה ויהיו עשרים וחמשה ושרשו חמשה והם שורש תשעה ושורש ארבעה מקובצי' ואבאר זה בזאת התמונה וזה שנניח קו א"ב שורש תשעה וקו א"ג ש שורש ארבעה וכאשר נרצה לדעת קו אג"ב שורש איזה מספר הוא נעשה על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ז ויהיה קו ג"ב שורש ג"ז ונעשה על קו (על קו) א"ב שטח ז ח מרובע עליו א"ב כ"ל ונוציא א"כ על יושר ל כ ע עד נקודת ח' וקו ל"כ על יושר עד נקודת ע' ויהיה שטח קו כ"ב תשעה בעבור כי קו א"ב ב א ג שורש תשעה ושטח ע"בח ע"ח ארבעה בעבור כי א"ג הוא ש ← שורש ארבעה וא"ג כמו ע"כ ושטח א"ע ששה כי הוא מהכ מהכאת שורש תשעה שהוא קו א"ב על שורש ארבעה ← ← שהוא קו א"ג (ושטח כ"ז ג"כ ששה) ושטח ג"ז עשרים וחמשה וקו ג"ב הוא שורשו והוא חמשה ומש"ל ___________________________ בגרעון השרשים האחר (האחד) מן האחר

וכאשר 

223

110א

וכאשר תרצה לגרוע (שורש) ארבעה משורש תשעה עד שיהיה מה  

שישאר משורש תשעה שורש מספר אחר (אחד) פחות (שורש) מהמספ' האחר תחבר התשעה עם הארבעה ויהיו ששה (שלושה) עשר ותכה תשעה על ארבעה ויהיו שלשים ושנים (וששה) קח שני שרשיו והם שני' עשר ותחסרם מן השלשה עשר וישאר אחד ושורש האחד הוא יהיה הנשאר משורש תשעה בחסרך ממנו שורש הארבע והוא אחד ואבארהו לך בזאת התמונה והוא שנניח קו – א"ב שורש תשעה ושורש (וקו) א"ג שורש ארבעה וכאשר נגרע קו א"ג מקו א"ב ישאר קו ג"ב וכאשר נרצה לדעת מספר קו ג"ב שורש איזה מספר הוא נשים על קו א"ב (א"ג) שטח מרובע עליו א"מ ויהיה שטח א"מ ארבעה ותוציא קו ח"מ על יושר עד נ' וקו ה כ ז ג"מ על יושר עד כ' והוא ידוע כי מרובע מ"ז הוא מהכאת קו ג"ב על עצמו ושטח ח"כ שנים בעבור כי כל שטח א"ח א"כ – ח מ נ שששה כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שורש ארבעה בא"ה שהוא שורש תשעה ושטח א"ח (א"מ) ארבעה וישאר שטח ח"כ שנים ולזה יהיה שטח מ"ב שנים וישאר מרובע מ"ז אחד וקו מ"נ הוא ← ← שורשו והוא אחד וכבר היה קו מ"נ כמו כקו ג"ב ומש"ל א ג ב

   ←  
וכאשר תרצה לחבר שרש שמנה עשר ושרש שמנה  

עד שיהיו שורש המספר האחד (פחות שורש המספר האחר) זה המספר יתכן לחברו בעבור כי כאשר תתחלק שמנה עשר על שמנה יגיע לחלק שנים ורביע ומחזיק שורש ושורשו הוא אחד וחצי ואם תחלק שמנה על שמנה (עשר) יגיע לחלק ארבע תשיעיות ומחזיק שורש ושורשו הוא שני שלישים ואם תכה י"ח על ח' יהיו קו מ"ד (קמ"ד) ומחזיק שורש ושרשו י"ב וכל מספר שתחסר שתחבר שורשו אל שורש מספר אחר ויהיה משפטו זה המשפט יהיו שני שרשיהם

224

110ב מחוברים עד שיההיו שורש מספר אחר (אחד) וכאשר היה ספק* אחד *אולי הכוונה ל"משפט" ו"משפטים" מאלו הספקות אשר אמרנו אשר ימצאו במספרים יהיו השלשה בכתב-יד MS Paris נכתב "סגולה" ספיקות נמצאים וכאשר תרצה לדעת שורש איזה מספר במקום "ספק" ו"סגולות" במקום הוא תעשה כאשר אמרנו והוא שתחבר ח' עם י"ח ויהיו כ"ו – "ספוקות" ותשמרם ותכה ח' עליהם (על י"ח) ויהיו קמ"ד ותקח שני שרשיו והוא כ"ד ותחברם על הכ"ו ששמרת ויהיו נ' ושורשו הוא שורש ח' ושורש י"ח מקובצים ואם רצונך לגרוע שורש ח' משורש י"ח תגרע הכ"ד מהם מהכ"ו וישארו שנים ושורש שנים הוא שרש י"ח פחות (שורש) ח' ואם באת לחבר שורש עשרה עם שורש ש שנים זה לא יתכן לחברו ולא יתכן היותו שורש למספר אחר (אחד) בעבור כי כאשר תחלק עשרה על שנים יגיע לחלק חמש' והחמשה אינם מחזיקי' שורש וכאשר תחלק שנים על עשרה יגיע לחלק חומש ואין שורש לחומש ואם תכה שנים על עשרה יהיו עשרי' ואין שורש (ל)עשרים ואם תחברם כאשר הראתיך יהיו שנים שרשים מעשרים מחוברי' עם שני' עשר ושורשו הוא שורש עשרה ושורש שנים ואם בקשת לח לחסר האחר מן האחד תעשה כאשר אמרתי ויצא שנים עשר פחות שנים שרשים מעשרים ושורש הנשאר הוא שרש עשרה פחות שורש שנים והשאלה בזה יותר נכונה מהתשובה וראוי לך כאשר ישאלו ממך איזה דבר מזה הסוג שתהיה תשובתך עליה על דימיון אשר יוציאו עליך לפניך עדיף להשתמש בביטוי באגף השמאלי כפי שהוא בשוה כי כאשר תאמר שורש עשרה ושורש שנים יותר נכון מאשר בביטוי באגף הימני: מלאמר שנים עשר ושנים שרשים מעשרים ולקוח שורשו ויותר נכון לאמר בגרעון האחד מן האחר שורש עשרה פחות שורש שנים מלאמר שנים עשר פחות שני ש שרשים מעשרי'

ולקוח 

225

111א ולקוח שורש הנשאר שיהיה שורש עשרה פחות שורש שנים ושנים שרשים מעשרים יהיה שורש שמנים ועם אשר ביארתי מזה השלמה ואלו הששה בקשות אשר הראיתיך הנני עושה לך לכל חלק מהששה חלקים שאלה אשר כבר יורוך אותם חכמי האלגב"ר והשאלה הראשנה מן הש (1) הששה היא אם יאמרו לך תחלק עשרה לשנים חלקים ותכה האח' על האחר ותכה חלק הגדול על עצמו ויהיה החלק המוכה על ע עצמו כמו הכאת החלק האחד על האחר וכמו חציו והמעשה בזה שנניח חלק הגדול דבר והחלק האחר עשרה פחות דבר ותכה דבר על עשרה פחות דבר ויהיו עשרה דברים פחות אלגו ותכה החלק הגדול על עצמו והוא דבר ויהיה אלגו וזה האלגו יהיה כמו עשרה דברי' פחות אלגו וכמו חצי זה ותכה עשרה דברים פחות אלגוס על אחד וחצי ויעלה חמשה עשר דברים פחות אלגו וחצי ואלו ישוו אלגוש ותניח החמשה עשר (דברים) עם האלגו איקובריאש וחצי עד שיהיו ט"ו דברים ותחבר האלגו וחצי עם האלגו ויהיה כלומ' ותאסוף אז שני אלגוס וחצי ישוו חמשה עשר דברי' ולכן האלגוס ← ישוה ששה דברי' והדבר ישוה ששה והוא החלק הגדול והחלק ← ← האחר יהיה ארבעה והוא הנשאר מעשרה וזאת השאלה א ← אראך לחלק הראשון מהששה חלקי' והוא אלגוש ישוו שרשים ואבאר זאת השאלה בתמונה מהתמונות והוא שנניח קו א"ב הסבר גיאומטרי: עשרה א"ג החלק הגדול וג"ב החלק הקטן ונכה קו א"ג על קו ג"ב ויהיה שטח ג"ד בעבור שהנחנו קו ג"ה כמו קו א"ג ב ג א ונכה קו א"ג על עצמו ויהיה שטח מרובע א"ה אבל שטח א"ה כמו שטח ג"ד וכמו חציו ולכן שט'

ד ה 

226

111ב קו ג"א יהיה כמו קו ג"ב וכמו חציו וקו א"ב כולו יהיה כמו קו ג"ב ← שני פעמי' וחצי אבל קו א"ב עשרה יהיה קו ב"ג ארבעה וקו א"ג ששה ומש"ל והשאלה השנית עשרה תח (2) תחלקיהו לשני חלקי' ותכה אחד מהם על עצמו ותכה העשרה על עצמו (ויהיה) כמו העולה מהכאת אחד החלקים על עצמו ששה פעמי' ורביע והמעשה הזה שתשים החלק האחד דבר ותכהו על עצמו והוא אלגו ותכה העשרה על עצמו ויהיה מאה ואלו המאה יהיה כמו האלגו ששה פעמי' ורביע ותכה האלגו על ששה ורביע ויהיה ששה אלגוש ורביע יישוו מאה והשיבם אל אלגו אחד והוא ארבע חלקי' מעשרים וחמשה והם ארבעה חומשי' מהחומש וקח מהמאה ארבע חומשי' מהחומש ויהיו י"ו ואלו הששה עשר ישוו אלגו ושורשו ארבע והוא החלק המבוקש וזאת ← השאלה הראתיך לחלק שיני מהששה חלקים שהוא אלגוש ישוו מספרים ואבאר לך בזאת התמונה והוא שנניח קו א"ב עשרה הסבר גיאומטרי: וג"ב המספר המבוקש ואכה קו א"ב שהוא עשרה על עצמו ויהיה מאה והוא שטח א"מ(ה) ואכה קו ג"ב שהוא החלק המבוקש על עצמו ויהיה מרובע ג"ד ושטח א"מ(ה) שהוא מאה (ש)הוא שש'

מ פעמים ורביע מרובע ג"ד ותחלק מרובע  
ג"ד לארבע חלקים שוים כל אחד מהם שטח  
ב"ח ויהיה שטח א"מ(ה) כ"ה פעמים כמו שטח  
ח"ב ושטח א"מ מאה ושטח ב"ח ארבעה  ←  
ד וג"ד שש עשרה וקו ג"ב ארבעה והוא החלק  
ח המבוקש ומש"ל והשאלה   ←  

א ג ב השלישית תחלק עשרה לשני חלקים ותחלק (3)

החלק

227

112א החלק הגדול על החלק הקטן ויגיע לחלק ארבעה והמעשה בזה שנשים החלק הקטן דבר והגדול עשרה פחות דבר ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויגיע לחלק ארבעה כבר הראתיך כי כאשר תכה המגיע לחלק על המחלק שיעלה המספר המחולק אחרי כן תכה דבר על ארבעה ויהיו ארבעה דברי' ישוו עשרה פחות דבר ← ותכלול {איקוברא} העשרה עם הדבר עד שיהיו עשרה אדרה"מיש ותחבר דבר תכלול = איקוברא = תאסוף = add עם הארבע דברי' ויהיו עשרה ישוו חמשה דברי' והדבר ישווה ← שני אדרה"מיש (ותחבר דבר עם הארבע דברי' ויהיו עשרה ישוו חמ ← חמשה דברי' והדבר ישווה שני אדרה"מיש) וזאת ← השאלה הוצאתיה לחלק שלישי מהששה חלקי' והוא הדברי' ישוו מ מספרים ואבארה בזאת התמונה והוא שנניח קו א"ב עשרה הסבר גיאומטרי: וג"ב החלק הקטן וקו א"ג החלק הגדול וכאשר נחלק קו א"ג על קו ג"ב יעלה לחלק ארבעה וא"ג יהיה ארבעה כפלי ג"ב וא"ב יהיה ← א ג ב חמשה כפלי ג"ב וג"ב הוא חמישי' א"ב אבל ← א"ב עשרה וג"ב שנים ומש"ל והשאלה ← הרביעית חלקנו עשרה לשני חלקיו והרבנו החלק הקטן על (4) תשעה והגדול על עצמו והיו שוים והמעשה בזה שנשים החלק הגדול דבר והקטן עשרה פחות דבר ותכה דבר על עצמו והוא אל אלגוש ותכה עשרה פחות דבר על תשעה ויהיו תשעים פחות (עם) הדרה"מיש פחות תשעה דברי' ישוו אלגוש ותציעם {איקוברלוש ותאספם} עם התשעה ← דברי' ותוסיפם על האלגוש ויהיה אלגוש ותשעה דברי' ישוו תשעים תציע = איקוברלוש = תאסוף = add אדרה"מיש והאופן אשר נוציא לך הדבר ← הוא שתקח חצי הדברי' ויהיו ארבעה וחצי ותכם על עצמם ויהיו עשרים ורביע(ם) ותוסיפם על התשעים ויהיו מאה ועשר

228

112ב ורביע ושורשו הוא עשרה וחצי תגרע מהם מחצית השרשים שהוא ארבע וחצי וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול ←

והאופן אשר יוציא לך האלגוש הוא שתכה התשעה דברי' על  

עצמם ויהיו שמנים ואחד ותכם על התשעים ויהיה שבע' אלפים ומאתים ותשעים וקח מחציים (מחצית) שמונים ואחד ויהיה ארב ארבעים וחצי ותכם על עצמם ויהיה אלף תר"ם ורביע ותחב ותחברם עם ג * ט ב ז ויהיו שמנת אלפים ותשע מאות *הג' מסמנת אולי את המילה גלגל ושלשים ורביע ותקח שורשו והוא תשעים וארבע וחצי וגרעם מן הארבעים וחצי שהוא מחצית פ"א פ"א ומן התשעים שישוו האלגוש והשורש(ים) והם ק"ל וחצי וישאר ל"ו והם האלגוש וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק הרביעי מהשלשה (שישה) חלקי' והוא האומר ← אלגוש ושרשים ישוו מספרים ואבארה לך בתמ בתמונה זו* והוא שנשי' קו ב"א עשרה וקו א"ג עשרה החלק הסבר גיאומטרי: הגדול וג"ב החלק הקטן והיה א"ג על עצמו כמו ג"ב על תשעה וא"ג על תשעה וג"ב על תשעה יחד הם תשעים ונניח א"ד תשעה וא"ג על עצמו ועל א"ד (ו)הוא כמו ד"ג על ג"א וד"ג על להיות א"ג ה"א (ג"א) יהיה תשעי' וקו ד"א תשעה ונחלק לחציים על נקודת ה' ונוסף על עצמו לאורכו קו א"ג והיה הכאת ד"ג על א"ג תשעים והכאת א"ה על כמו ג"ב עצמו יהיה עשרים ורביע ותקבצם עם תשעים ויהיו מאה על תשעה ועשר ורביע ולכן יהיה הכאת קו ה"ג על עצמו הוא ק"י ורביע ושרשו עשרה (וחצי) אם כן קו ה"ג עשרה וחצי אבל ה"א ארבע ← וחצי וישאר א"ג ששה והוא החלק הגדול וג"ב ארבעה והוא ← החלק הקטן ומש"ל … והשאלה

החמישית   ←  
← 

• הציור חסר: ד ה א ג ב

229

113א החמישית חלקנו עשרה לשני חלקים והכינו האחד על האחר והיה (5) עשרים ואחד והמעשה בזה שנשים החלק האחד דבר וה' והאחר עשרה פחות דבר ונכה (עשרה) דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברי' פחות אלגו ויישוו עשרים ואחד אדרה"מיש ותכלול העשרה (דברי') פחות אלגו עם האלגו והוסיף אותו על הע העשרים ואחד ויהיה אלגו ועשרים ואחד ישוו עשרה שרשים והאופן אשר נוציא לך הדבר הוא שתקח חצי הדברי' ויהיו חמשה ותכם על עצמם ויהיו עשרים וחמשה תגרע מהם העשרים ואחד וישארו ארבעה תקח שרשו והוא שנים ותגרעם מן החמשה וישארו שלשה והם החלק הקטן והחלק הגדול הוא הנשאר מעשרה ← והם שבעה ואם תרצה תוסיף השנים על חמשה ויהיו שבע' או והוא החלק הגדול והחלק הקטן הוא הנשאר מעשרה והוא שלשה

והאופן אשר יוציא לך האלגוש הוא שתכה העשרה  

שרשים על עצמן ויהיו מאה ותכם על הכ"א(ה) אשר עם אלגוש ויהיה אלפים ומאה וקח חצי המאה והם חמישים ותכם על עצמם והם אלפים וחמש מאות תגרע מהם האלפיים (ומאה) וישארו ארבע מאות וקח שרשם והוא עשרים תגרעם מן החמישים שהם חצי מאה וישארו שלשים ותגרע מהם העשרים ואחד וישאר תשעה ויהיה אלגו והמעשה עם תוספת הוא שתוסיף העשרים על החמישי' ויהיו שבעי' ← או תגרע מהם העשרים ואחד ישארו ארבעי' ותשע והם האלגוש

וזאת השאלה הוציאך אל החלק החמישי מהששה חלקים

שהוא אלגוש ומספרים ישוו שרשים ואבאר זה בתמונה זו והוא שנניח קו א"ג על קו ב"ה (ג"ב) עשרים ואחד ותחלק קו א"ב לשני חציים הסבר גיאומטרי: על ה' ויהיה הכאת א"ג בא"ב בג"ב וה"ג על עצמו כמו הכאת ( )

230

113ב א ה (ו) ג ב ה"ב על עצמו והכאת ה"ב על עצמו עשרים וחמשה וא"ג על ג"ב הוא עשרים ואחד וישאר ה"ג על עצמו ארבעה וה"ג יהיה שנים וה"ב היה חמשה וישאר ג"ב שלשה ויהיה א"ג ← ← שבעה ומש"ל והשאלה הששית אלגוש תוסיף עליו שמנה ← אדרה"מיש ותכה המקובץ על ארבעה אדרה"מיש והיה כמו האלגוש (6) על עצמו והמעשה בזה שנשים האלגוש דבר ותחבר עמו שמונה האלגוש=דבר אדרהם ויהיה דבר ושמנה אדרה"מיש ותכם על ארבעה ויהיה ארבע' דברים ול"ב דרה"מיש והכה האלגוש והוא דבר על עצמו ויהיה אלגוש וישוה ל"ב דרה"ם וארבע דברי' והאופן אשר נוציא לך הדבר הוא שתקח מחצית הדברים ויהיה שנים ותכם על עצמם ויהיו ארבע' ותוסיפם על הל"ב ויהיו ל"ו תקח שרשו והוא ששה תוסיפם על מחצית השרשים וזהו שנים ויהיו שמנה והוא האלגו בעבור שהנחנו האלגוש דבר והאופן אשר יוציא האלגוש הוא שתכה הארבע שרשים על עצמם ויהיו ששה עשר ותכם על האדרה"מיש שהם ל"ב ויהיו תקי"ב וקח מחצית הא' (האלגוש?) ויהיו ח' ותכם על עצמם ויהיו ס"ד ותוסיפ' על התקי"ב ויהיו תקע"ו וקח שורשו והוא כ"ד ותחברם עם השמנה שהם מחצית הששה עשר ועם הל"ב ויהיו ס"ד והוא האלגוש ש שישוה השרשי' והמספרי' וקח שרשו והוא שמנה והוא המספר המבוקש וזאת השאלה הוצאתיך אל החלק מהחלקי' הששה והוא האומר מספרי' ושרשי' ישוו אלגוש ואבאר מזה בתמונה זו הסבר גיאומטרי: והוא שנשים האלגוש קו א"ב והשמנה אדרה"ם קו א"ג ונשים קו ב"ד האלגוש=דבר ארבע ונכה קו ג"ב בקו ב"ד ויהיה שטח ג"ד ותכה האלגוש הוא קו א"ב על עצמו ויהיה מרובע א"ה ושטח ג"ד הוא כמו שטח א"ה ות ותגרע שטח א"ד וישאר שטח מ"ה כמו שטח ג"מ ושטח ג"מ שלשים ושנים בעבור כי א"ג שמונה ז ה

(מ)( ) (מ) ד
ח
ג א ב

231

114א וא"מ שמנה ארבעה ולכן שטח מ"ה שלשי' ושנים ושטח מ"ה הוא מ ← מהכאת א"ז על ז"מ אם כן הכאת א"ז על ז"מ הוא שלשים ← ושנים וא"מ הוא ארבעה וחלקהו לשני חציים על ח' והכאת מ"ז על ← ז"א ומ"ח על עצמו יהיה כמו ח"ז על עצמו אבל מ"ח על עצמו ארבעה והכאת ח"ז על עצמו יהיה שלשי' ושש וח"ז יהיה ששה וא"ח שנים וא"ז שמנה והוא כמו א"ב וא"ב שמנה והוא האלגוש ← ומש"ל שאלה ואם יאמרו לך תחלק ← עשרה לשני חלקי' ותכה כל חלק על עצמו ותגרע הכאת החלק הקטן מהכאת החלק הגדול וישאר שמנים המעשה בזה שתשים החלק הקטן דבר והגדול עשרה פחות דבר ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה דרה"מיש ואלגוש פחות עשרים דברים וישאר מאה דראה"מיש פחות עשרים דברים יהיו שמני' אדרה"מיש ותכלול המאה דרה"מי (ו)עם העשרי' הדברי' ותוסיפם על השמונים ויהיה עשרים דברי' ושמני' דרה"מיש ישוו מאה אדרה"מיש ← תגרע שמנים ממאה וישאר עשרים אדרה"מיש ישוו עשרי' דברי' והדב' ישווה אחד והוא החלק הקטן והגדול תשעה והוא מה שנשאר מן העשר' ←

ואם נרצה נעשה החלק הגדול (עשרה) דבר והקטן עשרה פחות דבר  

תגרע מאה ואלגוש פחות עשרים דברים מאלגו וישאר עשרי' דברים פחות מאה אדרה"מיש (ותוסיפם על השמנים ויהיה מאה ושמנים אדרה"מיש) ותתכלול העשרים דברי' עם המאה אדרהמיש ותוסיפם על ← השמנים ויהיה מאה ושמנים אדרה"מיש ישווה עשרים דברי' והדבר ישוו ישווה תשעה והוא החלק הגדול והנשאר מהעשרה יהיה החלק הקטן ← והוא אחד ואם תרצה תחלק העשרה לשני חלקי' בחלוקה הנבדלת שיטה נוספת לפתרון: פתרון דיאופנטי מהחלוקה הנוהגת אותה בעלי המספר לחלוק בה העשרה ויתאמת בה המעשה ותדע החלק הגדול מהקטן ותלך ברוב מה שיפלו לפניך שיטה זו ניתנת לשימוש ברוב השאלות

232

114ב מהשאלות בקצרה וזה בחצית השרשים והוא שנניח החלק האחד דבר וחמשה והחלק האחר חמשה פחות (דבר) ותכה כל אחד מהם על ע' עצמו ותגרע העולה מהחלק הקטן מהעולה מהחלק הגדול וישאר עשרים דברים ישוו שמנים אדרה"מיש והדבר ישווה ארבע ← ותוסיף הארבע על החמשה והוא תשעה והוא החלק הגדול ותגרע ← הארבע מן החמשה וישאר אחד והוא החלק הגדול (הקטן) ואם יאמרו לך עשרה תחלק אותו לשני חלקי' ותחלק כל אחד מהם על האחר ויגיעו החלקי' ארבע ורביע והמעשה בזה שתשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגוש ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה ואלגוש פחו' עשרים דברים ותחברם ויהיו מאה ושני אלגוש פחות עשרים דברי' ותשמרם ותכה החלק האחד על האחר והוא דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברי' פחות אלגוש ותכה על העולה אל החלקים והוא ארבע ורביע יהיה מ"ב דברים וחצי דבר פחות ארבע אלגוש ורביע אלגוש ישוו מאה אדרה"מיש ושני אלגו' פחות עשרים שרשים בעבור כי כל שני מספרי' שיחלקו כל אחד מהם על האחר יהיה הכאת כל אחד מהם על עצמן מחוברי' כמו הכאת האחד על האחר וההווה על החלק העולה מחלקות כל אחד מהם על האחר ועוד אבאר לך סבת זה אחר שאשלים חשבון השאלה כלל זה ניתן על ידי אל-ח'וארזמי ותכלול המאה אדרה"מיש ושני אלגוש עם העשרים דברי' ותוסיפ' על הארבעי' ושנים דברי' וחצי דבר פחות ארבעה אלגוש ורביע ישוו מאה אדרה"מיש ושני אלגוש ותכלול הס"ב דברי' וחצי עם הארבעה אלגוש ורביע ותוסיפם על המאה אדרה"מיש ושני אלגוש ויהיה מאה אדרה"מיש וששה אלגוש ורביע יישוו כ"ב (ס"ב) דברים וחצי והשיבם אל אלגוש אחד וכבר ידעת כי האלגוש מששה נרמול:

233

115א ורביע אלגוש הוא ארבע ח(ו)משים מחומש (ותקח מכל אשר תחזיק ארבע חומשים מחומש) ותקח מכל אשר תחזיק ארבעה חומשים מחומש ויהיה אלגוש וששה עשר אדרה"מיש ישוה עשרה דברי' ומחצית ^ הדברים יהיה חמשה ותכם על עצמם ויהיה כ"ה ותגרע זכו' כי זה הוא מהם הי"ו וישאר תשעה ותקח שורשו והוא שלשה תגרעם ממחצית המכוון אשר השרשים שהוא חמשה וישאר שנים והוא החלק האחד והאחר יזכור תמיד שמנה ואם תרצה חלק העשרה לשני החלקים שהר בלעז קונפרו ← שהראיתיך אשר לא ינהגו החשבנים לחלוק בם העשרה ויתאמר נטאמי' בו יבי' confront, להקביל לך המעשה ולך בחצאת השרשים והוא שנשים החלק חמשה במה ישוה הדב' ודבר והאחר חמשה פחות דבר ותכה כל אחד מהם על עצמו ות ותחברם יחד ויהיה חמשי' אדרה"מיש ושני אלגוש ותכה חלק האחד על האחר ויהיה כ"ה אדרה"מיש פחות אלגוש ותכה על ארבע' ורביע ויהיה מאה ושש ורביע פחות ארבעה אלגוש ורביע אלגוש ישוו חמישים אדרה"מיש ושני אלגוש ותכללם עם הארבע אלגוש ורביע ותוסיפם על השני אלגוש וחמשי' ותגרע חמישי' כנגד חמישי' וישאר חמישי' ושש ורביע ישוו ששה אלגוש ורביע והאל והאלגוש ישווה תשעה (תשעה) והדבר הוא שורשו והוא שלשה ← ותגרעם מהחמשה ותוסיפם על חמשה בעבור שהנחנו החלק ← האחד חמשה פחות דבר והאחר חמשה ודבר ויהיה החלק האחד שמנה והאחר שנים כל מספר שיחלק האחד על האחר הנה המגיע אל החלק יהיה שוה לאשר יגיע אל החלק בחלקך העולה (מהכאת המספר על עצמו על העולה) מהכאת המספר הנחלק על – המחלק משל זה שמספר א' נחלק למספר ב' והגיע לחלק מספר ג' והכינו (א') על עצמו ויהיה ח' והכינו א' על ב' ויהיה ד' ונאמר שכאשר נחלק ח' על ד' יגיע ג' ומופת זה שא' נחלק על ב' ונהיה ג' הנה ב' ימנה א' בְשִעור מה שב"ג מן האחדים ←

234

115ב והאחד ימנה ג' בשעור מה שבג' מן האחדים ולכן יהיה האחד ימנה מט"ו מז' לאקליד' (היסודות vii, 15) ב' בשעור מה שימנה ג' (ב)א' וא' הוכה על עצמו והיה ח' והוכ' א ח על ב' והיה ד' ולכן יהיה ד' בח' ב ד מי"ח מז' כמו ב' בא' ושעור ב' בא' – ג ג לאקלי' (היסודות vii, 18) היה כמו שיעור האחד בג' אחד ושעור ד' בח' כשעור האחד בג' והאחד ימנה ג' בשיעור מה שבג' מן האחדים ויתבאר מזה שכאשר נחלק ח' על ד' עלה ג' ← והוא מש"ל כל שני מספרי' שיחלק כל אחד מהם על האחר הנה המגיע לחלק יהיה שוה לאשר יגיע לחלק בהחלק העול' מהכאת כל אחד מהמספרי' על עצמו על העולה מהכאת אחד המספרי' על האחר משל זה שמספר א' נחלק על מספר ב' ועלה ד' ומספר ב' נחלק על מספר א' ועלה ז' והוכה א' על עצמו ועלה ג' והוכה ב' על עצמו ועלה ח' והוכה א' על ב' ועל(ה) (ה)ע' ונאמר שמ' (שג') וח' כאשר נחלק כל אחד מהם על ע' יעלה ר"ד (ז' וד') מופת זה שא' נחלק על ב' ועל(ה) הע' (ד) וכאשר נחלק ג' על ע' יעלה ד' כמו שנתבאר בתמונה שלפניה וב' נחלק על ע' א' (ו)על(ה) ז' וב' הוכה על עצמו ועלה ח' וב' הוכה על א' והיה ע' וכאשר

נחלק ח' על ע' יגיע ז' כמו שביארנו והוא מבואר שכאשר  
נחלק ח' וג' על ע' יעלו ד"ז וכאשר  
       נכה ד' וז' על ע' יעלו ח' וג' וכבר  
הוא מבואר שכל שני מספרים

שיחלק כל אחחד מהם על האחר

    הנה הכאת כל אחד על עצמו מחוברים
יהיה כמו הכאת אחד המספרים על האחר

ועל העולה לחלק מחלוקת כל אחד מהם על האחר והוא מש"ל

כל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר והוא משל

235

116א יהיה הכאת מה שהגיע לחלקי' האחד על האחר אדרהם אחד לעולם משל זה שחלקנו מספר א' על מספר ב' והגיע ג' וחלקנו מספ' ב' על מספר א' ועלה ד' ונאמר שהכאת ג' על ד' אדרהם אחד המופת שא' נחלק על ב' ועלה ג' הנה שב' ימנה א' בשיעור מה שבג' מן האחדי' ושיעור האחד על ג' כשעור ב' אל א' וכאש ← וכאשר הפכנו יהיה שיעור א' אל ב' כשעור (האחד) ג' אל א' ו ← ועוד ב' נחלק על א' והיה ד' הנה שיעור א' אל ב' כשיעור האחד ← אל ד' וכבר היה יחס א' אל ד א ב ג ב' כיחס ג' אל אחד ולכן יחס האחד אל ד' כיחס ג' אל האחד ← והכאת ג' על ד' כמו הכאת האחד על עצמו והוא אחד ומש"ל ←

… ואם תרצה תכוין חשבונך האמור במעשה אחר

כזה ונשוב אל השאלה והיא כאשר אמרו לך עשרה חלקנום לשני חלקים וחלקנו כל אחד מהשני חלקים על האחד (האחר) ועל(ה) (ה)ארבעה ורביע תשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר פתרון (1): ותחלק עשרה פחות דבר (על דבר) ותכה הארבעה ורביע על דבר ויהיה ארבבעה דברים ורביע תגרע מהם עשרה פחות דבר (דבר) וישאר חמשה ורביע (דבר) פחות עשרה אדרה"מיש ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגוש ותחלק אותו על עשרה אדרה"מיש פחות דבר דבר ויעלה חמשה דברים ורביע פחות עשרה אדרה"מיש וכבר ביארנו שכאשר נכה העולה על לחלק על המחלק שישוב השיעור הננחלק ונכה חמשה דברי' ורביע פחות עשרה אדרה"מיש על עשרה אדרה"מיש פחות דבר ויהיה ס"ב דברים וחצי פחות חמשה אלגוש ורביע ופחות מאה אדרה"מיש ישוו אלגוש ותכווניהו עמו ויהיה ששה אלגוש ורביע ומאה אדרה"מיש איקונפרונטלו confront, להקביל ישוו ס"ב דברי' וחצי ותעשה כאשר הראיתיך ויהיה החלק האחד

236

116ב שמנה והאחר שנים ולחשבון זה אופן אחר והוא שנשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר וחלק עשרה פחות פתרון (2): דבר על דבר ויעלה דינר אחד וכאשר תכה דינר על דבר יהיה דינר=מספר נעלם עשרה אדרה"מיש פחות דבר ותחלק דבר על עשרה פחות דבר ויעלה ארבע ורביע פחות דינר ותכה ארבע ורביע פחות דינ' ← על עשרה פחות דבר ויהיה נ"ב אדרה"מיש וחצי פחות (דינר על עשרה) חמשה דברי' ורביע פחות עשרה דינרין ישוו דבר ותכוין עמו כאשר אמר(תי) (כי) ויהיה עשרה דינרין (ודבר) ישוו נ"ב אדרה"מיש וחצי פחות חמשה דברי' ורביע (והדבר עשרה דינרין ישוו דבר) ותכוונהו עמו כ כאשר אמרתי ויהיה עשרה דינרי' ישוו נ"ב וחצי פחות ששה דברי' ורביע (והדינר) ישוו(ה) חמשה ורביע פחות חמשה שמיניות דבר וכבבר ידעת שכאשר נחלק עשרה אדרהמיש פחות דבר על דבר יעלה לחלק חמ חמשה ורביע פחות חמשה שמיניות דבר ותכה חמשה ורביע פחו' חמשה שמיניות דבר על דבר ויהיה חמשה דברי' ורביע פחות חמשה שמיניות (אלגוש) ישווה עשרה אדרה"מיש פחות אהדרמ"יש דבר דבר ותכוונהו עמו ויהיה ששה דברי' ורביע (ישוו חמשה שמיניות האלגוש ועשרה אדרהמיש) ←

ותוסיף (ותכה) על דבר (ועל האדרהמיש) שתחזיק (אחד)  

(ו)שלשה חמישיותיו ויהיה (אלגוש וששה) עשרה אדרה"מיש ישוו עשרה דברי' ומחצית הדברי' יהיה חמשה ותכם על עצמם ויהיה כ"ה תגרע מהם הי"ו וישאר ט' תקח שורשו והוא ג' תגרעו ממחצית השרשי' שהוא חמש' וישאר שנים והוא החלק האחד והאחר שמנה וכבר ביארנו שכל ← שני מספרי' שיחלקו כל אחד מהם על האחר שהכאת העולה (על) (ה)חלקים האחד באחד יהיה אדרהם אחד ומה שעלה לשני החלקים בזאת השאלה ארבעה אהדרה"מיש ורביע ותשים האחד מה מהשנים דבר והאחר ארבעה ורביע פחות דבר ותכה אחד מהם פתרון (3): באחר ויהיה ארבעה דברי' ורביע פחות אלגוש ישוה אדרה"מיש אחד ותכוונהו עמו ויהיה הדבר אם תרצה ארבעה או אם תרצ

 ←  

תרצה

237

117א תרצה רביע ותשוב להתחלת הששה (השאלה) ותאמר נשים החלק האחד מהשני או חלקי' דבר והאחר עשרה פחות דבר ותחלק עשרה פחות דבר על ד דבר ויעלה ארבעה ותכה ארבעה על דבר ויהיה ארבע דברים ישוו עשרה א(ד)דרה"מי(י)ש פחות דבר ותכוונהו עמו ויהיה הדבר שמנה (שנים) והוא החלק האחד מהשנים והאחר שנים (שמונה) שאלה ואם יאמרו לך עשרה חלקנום לשני חלקים וחלקנו כל אחד מהם על האחר וגרענו האחד מן האחר ונשאר חמשה שישיות מאדרה"ם והמעשה בזה שנשים החלק האחד דבר והאחר עשרה פחות דבר ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגוש ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה אהדר"מיש ואלגוש פחות עשרים דברים ותגרע האחד מן האחחר וישאר מאה אדרה"מיש פחות עשרים דברי' ותכה (אל) חלק האחד על האחר והוא דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה (דברים) פחות אלגוש ותכם על מה שנשאר מהשנים חלקים אחחר שגרענו חלק האחד מן האחר ויהיה חמשה שישיות אדרה"ם ויהיה שמנה דברי' ושליש פחות חמש' ששיות מאלגוש ויהיה עשרים ושמנה (דברי') ישוו מאה אדרה"מיש פחות עשרים שרשים ותאסוף המאה אדרה"מיש עם (העשרים) (ה)שרשים ותוסיפם על שמנה דברי' ושליש פחות חמשה שלישיות מאלגוש ויהיה עשרים ושמנה דברי' ושליש פחות חמשה שישיות מאלגוש ישוו מאה אדרה"מיש ותאסוף הדברי' עם חמשה שישיות מאלגו ותוסיפם על המאה אדרהמיש ויהיה מאה אדרהמיש וחמשה שישיות מאלגוש ישוו עשרים ושמנה דברי' ושליש ותשלים החמשה שישיות מאלגוש עד שיהיה אלגוש שלם והוא נרמול: שתוסיף עליהם (אחד ו)חמישיתם ותוסיף על כל דבר שתחזיק כמו (אחד ו)חמישיתו ויהיה אלגוש ומאה ועשרי' אדרה"מיש ישוו שלשי'

238

117ב וארבע דברים וקח מחצית השרשים והוא שבע עשרה ותכם על עצמם ותגרע מהעולה מאה ועשרים אדרה"מיש וישאר קס"ט ותקח שורשו והוא י"ג ותגרעם ממחצית הדברי' והם שבע עשר וישארו ארבעה והם החלק האחד מהשני חלקים והאחר הוא ש ששה ועלת זאת השאלה דומה לעלת השאלה שלפניה וההבדל בין שניהם הוא כי בשאלה הראשנה הוצרך לדעת הפכה לכל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר שהכאת המגיע לחלקים כל אחד על עצמו מקובצים יהיה כמו כמו הכאת האחד מהם על האחר ועל מה שעלה לחלק מחלוקת כל אחד מהשני מספרי' על האחד וכבר ביארתי סבת זה

ובשאלה הזאת נצטרך לדעת הסיבה לכל שני מספרי'

שיוכה כל אחד משניהם על עצמו ונגרע האחד מן האחר ועל העודף אשר יעדיף בו בין אשר עלה לחלק מחלוקת כל אחד מהשני מספרי' על האחר ותוסיף עליה השאלה הר הראשנה ותצא עילת זאת השאלה יען שהיא דומה אליה והשלשה אופני' מהשאלה הראשנה תעשה גם כן בזאת השאלה

שאלה ואם יאמרו לך חלקנו חמישים אד

אדרה"מיש על אנשים ועלה לאחד דבר והוספנו על האנשים דבר = סכום נעלם עוד שלשה וחלקנו עליהם החמישים אדרהמיש ועלה כל אחד מהאחרוני' פחות מאשר עלה לכל אחד מהראשונים שלשה אדרה"מיש ושלשה רביעית והמעשה בזה שתכה האנשי' הראשוני' בשעור הגרעון אשר בין מה שעלה לכל אחד מהראשוני' ובין האחרוני' ומה שיעלה מן ההכאה (תחלוק) על מה שהעדיף מן האנשי' הראשוני' לשניי' ומה שיעלה לחלק תכה אותו על האנשי' השניים ומה שיעלה הוא המחלק ואשים לך עילת זה האופן והוא שנשים המספר המחולק והוא חמישי'

אדרהמיש

118א אדרה"מיש שטח א"בג"ד והאנשים הראשוני' קו ג"ד ויעלה לכל אחד מהאנשים הראשוני' קו א"ג בעבור כי הכאת קו א"ג בקו ג"ד הוא שטח ג"ב וכאשרשר חלקנו שטח אב"ג"ד על ג"ד שהוא האנשים הראשוני' עלה לכל אחד מהם קו א"ג ותוסיף על האנשים הר הראשוני' והוא קו גד שלשה אנשים והוא קו דה ויהיה קו ג"ה האנשים הראשוני' ותשים ג"ז ה"ח חמשים ותחלקיהו על קו ג"ה שהוא האנשים הראשוני' ויעלה על קו גד והוא מה שיעלה לכל אחד מהאנשים השניים וקו א"ז יהיה שלשה ושלשה רביעי' בעבור כי הוא השיעור אשר בין מה שעלה לאחד מהראשונים ובין מה שעלה לאחד מהשניים ותכה האנשי' הראשוני' והם קו ז"מ כי הוא כמו ד"ג על קו א"ז שהוא היתרון בין מה שעלה לכל אחד מהראשוני' ובין כל אחד מהשניי' ויהיה שטח ב"ז ושטח ב"ו כמו שטח ד"ז בעבור כי שטח א"ד הוא כמו שטח ג"ח כי כל אחד משניהם חמישים ושטח ג"מ משותף ויש וישאר שטח ז" כמו שטח ד"ח וחלק שטח דח על קו ד"ה שהוא שלשה ושיעורו הוא ההבדל אשר בין האנשים הרא הראשוני' לשניי' ויעלה לחלק קו ר"מ והוא כמו קו ג"ז והוא מה שעלה לכל אחד מהראשוני' ויהיה שטח ג והוא חמישי' ומשל ואחר שזה מ ב א מבואר יתבאר העולה באופן זה שאנחנו נשים האנשים הראשו' ח מ ד דבר ותכהו על הגרעון שהוא שלש ושלשה רביעיות ויעלה שלשה דברים ושלשה רביעים ותחלקם על שלשה שהוא שיעור ההבדל אשר בין האנשים הראשונים ה ד ג

118ב לשניים ועלה לחלק דבר ורבוע ותכם על האנשים השניי' והם דבר ושליש ויהיה אלגוש ורביע ושלשה דברי' ושליש רביעיות דבר ישוו חמישים אדרה"מיש ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגוש אחד ויהיה אלגוש ושלש דברי' ישוו ארבעי' אדרה"מיש וקח מחצית הדברי' והוא אחד וחצי ותכם על עצמם ותוסיף העולה על הארבעי' ויהיה מ"ב ורביע וקח שרשו והוא ששה וחצי וג וגרע מהם הדברי' שהוא אחד וחצי וישאר חמשה והם האנשים הראשוני' ואם יאמרו לך חלקנו עשרה אדרה"מיש על אנשים ועלה לכל אחד מהם דבר והוספנו עליהם ארבע אנשים וחלקנו על כלם שלשים אדרה"מיש ועלה לכל אחד מהם פחות מאשר עלה לראשוני' ארבעה אדרה"מיש והמעש' בזה שתכה האנשי' הראשוני' על הגרעון אשר בין הראשון והא והאחרון ותוסיף על העולה מההכאה שעור ההבדל אשר בין המספר הנחלק ראשנה ובין השנייה ומה שיתקבץ חלק על ההבדל אשר בין האנשי' ההראשוני' וההשניי' והעולה תכה על האנשים השנייה ומה שיעלה הוא המספר הגדול ש שנחלק והוא בזאת השאלה שלשים ואשים לך על זה האופן והוא שנשים המספר הקטן הנחלק שהוא עשרה שטח א"ב ג"ד והאנשי' הראשוני' קו ג"ד ומה שעלה לאחד מן הראשוני' קו א"ג והוספנו על הראשוני' שהוא קו ג"ד ארבע' אנשים והוא קו ד"ה ויהיה קו ג"ה האנשי' השניי' ונשים שטח ג"ה ז"ח שלשים אדרה"מיש ותחלקיהו על קו ג"ה ויעלה קו ג"ז והוא מה שיעלה לאחד מהשניי' וישאר קו א"ז ארבע בעבור כי הוא שיעור ההבדל אשר בין מה שעלה לאחד מן הרא הראשוני' ובין אחד מהשניים ותכה האנשי' הראשונים

והם 

119א והם קו ז"א השוה לקו ג"ד על קו ז"א ויהיה שטח ז"ב ב א ותוסיף על שטח ז"ב שיעור ההבדל אשר בין הש השלישית והעשרה והוא עשרים ויהיה ח מ ז שטח ד"ח והיה שטח ד"ח יותר משטח ז"ב בעשרים והוא יתרון השני מספרי' הנחלקים בעבור כי שטח א"ז ושטח ה ד ג גח שלישית ויהיה שטח ג"ח יותר משטח מ"א בעשרים ותגרע שטח ג"מ המשותף וישאר שטח ד"ח יותר גדול משטח ז"ב בעשרים ותחלק שטח ד"ח על קו ד"ה שהוא ארבעה ויעלה לחלק קו ר"מ ר"מ והוא כמו קו ג' והוא כמו מה שיעלה לאחד מהשנים ותכה קו ג"ז על קו ג"ה ויהיה שטח ג"ח והוא שלישית אדרהמיש ומש"ל ואחר שבארנו עילת זה האופן נשים האנשים הראשוני' דבר ותכה על ארבעה אדרהמיש שהוא מה שיגרע חלק השניים מחלק הראשוני' ויהיה ארבעה דברים ותוסיף עליהם עשרים אדרהמיש ותחלקם על יתרון ההבדל אשר בין האנשים הארשוני' לשניים והוא ארבעה ויגיע לחלק דבר וחמשה ותכם על האנששים השניים והם דבר וארבעה ויהיה אלגוש ותשעה דברים ועשרים יהיה המספר הגדול הנחלק והוא שלישית ותגרע העשרים מהשלשים וישאר אלגוש ותשעה דברי' ישוו עשרה יקח מחצית הדברי' ויהיו ארבעה וחצי ותכה על עצמם ויהיה עשרי' ורביע תוסיף עליהם העשרה אדרהמיש ויהיו שלשים ורביע תקח שורשו וה והוא חמשה וחצי תגרע מההם מחצית השרשים והוא אר ארבעה וחצי וישאר אחד והוא היה האנשים הראשונים

ואם יאמרו לך חלקנו עשרה אדרהמיש

על אנשים ועלה לכל אחד דבר והוספנו עליהם ארבעה

119ב אנשים וחלקנו עליהם ששים אדרה"מיש ועלה לאחד יותר ממה שעלה לאחד מן הראשונים חמשה אדרהמיש המעשה בזה שתכה הא האנשים השניים על ההבדל אשר בין חלק האחד מן השנייה אל חלק אחד מהראשונים ותוסיף על העולה המספר הנחלק הקטן והמקובץ תגרע מהמספר הנחלק הגדול ומה שישאר תחלקיהו על יתרון האנשים הראשוני' והמגיע הוא הוא המספר הנחלק הקטן ואשים עילת זה האופן והוא שאשים המספר הנחלק הקטן שהוא עשרה שטח א"בג"ד והאנשי' הראשוני' קו ג"ד והוספנו על האנשים הראשוני' ארבעה אנשי' והם קו ד"ה ויהיה נ מ ויהיה קו ג"ה האנשים השניים ונניח שנים גה מל

ששים ותחלקם על קו ג"ה שהוא האנשים השניי'
ויעלה קו ג"ל והוא מה שיעלה לחלק לאנשים האחרוני'

א ב ע ויהיה קו א"ל חמשה בעבור כי הוא יתרון החלק

מאחד מהשניי' על חלק מאחד מהראשוני' ותכה

ג ד ה האנשים השניים והם קו א"ע השוה לקו ג"ה על קו א"ל שהוא העודף ויהיה שטח א"ח ותוסיף עליו שטח ג"ב שהוא המספר הנחלק הקטן שהוא עשרה ומה שיתקבץ תגרעהו משטח ג"מ שהוא השטח הנחלק הגדול והוא ששים וישאר שטח ד"ע תחלקיהו על קו ב"ה שהוא ארבעה והוא יתרון האנשים השניים על הראשונים ויעלה קו ד"ב והוא שוה לקו א"ג וזהו החלק שהגיע לאחד מהראשוני' ותכהו על קו ג"ד שהוא האנשי' הראשוני' ויהיה שטח ג"ב עשרה ומש"ל

ואחר שבארנו עלת זה האופן נשים האנשים השניים דבר

וארבעה תכם על השיעור אשר בין החלק מאחד מהשניי' לראשוני' והוא חמשה ויעלה חמשה דברי' ועשרי' אדרה"מיש תוסיף עליה המספר הנחלק הקטן והוא עשרה ויקובץ חמשה דברי' ושלשים אדרה"מיש ותגרעם מהמספר הנחלק הגדול הוא ששי' אדרהמיש וישאר שלשי' אדרה"מיש פחות חמשה דברי' ותחלקם על יתרון האנשים השניי' על הראשוני' והוא ארבעה ויגיע לחלק שבעה

וחצי

120א וחצי פחות דבר ורביעיתם על האנשים הראשונים והם דבר ויהיה שבעה דברים פחות אלגוש ורביע ישוו המספר הנחלק הקטן והוא עשר' והשיב כל דבר שתחזיק אל אלגוש אחד ויהיה ששה דברי' פחות אלגוש ישוה שמנה ותשלים הדברי' עם האלגוש ותוסיפם על השמנה ויהיה אלגוש ושמנה ישוה ששה דברי' וקח מחצית הדברי' והוא שלשה ותכהו על עצמו ויהיה תשעה תגרע מהם השמנה שהם שלשה וישאר שנים והם האנשים הראשוני' ואם תרצה תוסיף האחד על מחצית השרשים ויקובץ ארבעה והם האנשים האחרוני' ואם יאמרו לך חלקנו ששי' אדרהמיש ועלה לאחד דבר והוספנו עליהם שלשה אנשים וחלקנו עליה' עשרים אדרהמיש ועלה לאחד פחות מאשר עלה לאחד מהראשונים עשרים וששה אדרה"מיש והמעשה בזה שנכה האנשי' הראשונים בפחת החלק מהשניים שהוא כ"ו והעולה תגרע מהעודף משני מס מספרים הנחלקים שהוא ארבעים והנשאר תחלק על יתרון האנשים שהוא שלשה והמגיע תככה על האנשים השניים ומה שיעלה הוא ה המספר הנחלק הקטן ואשים עילת זה האופן והוא שנשים המספר הנחלק הגדול שהוא ששים אדרה"מיש שטח א"בג"ד והאנשים הראשוני' קו גד ומה שעלה לאחד מן הראשונים קו א"ג והוספנו על האנשים הראשונים שהוא קו גד שלשים אנשים והוא קו ד"ה ויהיה קו ג"ה שהוא האנשים השניים ונשים שטח ג"ה ח"ז עשרים וחלקם על קו ג"ה שהוא האנשים השניים ויהיה קו אז עשרים ושש בעבור א כי הוא יתרון החלק האחד על האחר ותכה האנשי' הרא הראשוני' והם קו ז"מ בקו א"ז ויהיה שטח י"ב תגרע ממנו יתרון שני המספרים הנחלקים שהוא ארבעים וישאר שטח ד"ח והוא ידוע כי שטח ז"ב הוא גדול משטח ד"ח בארבעים בעבור כי שטח א"ד הוא ששים ושטח ג"ח הוא עשרים והוא יעדיף בארבעים ותגרע שטח ז"ד ד מ ח

ג ה

120ב המשותף וישאר שטח ז"ב יעדיף על שטח ד"ח בארבעים תחלקיהו על קו ד"ה שהוא שלשה ויעלה קו ד"מ השוה לקו ג"ז והוא המגיע לאחד מהאנשים האחרוני' ותכה קו ג"ו על גה שהוא האנשים השניי' ויהיה ג"ה שהוא המספר הנחלק הקטן שהוא עשרים ואחר שביארנו עילת זה האופן נניח האנשי' הראשוני' דבר ותכה אותו על גרעון חלק אחד שני מחלק האחד ראשון שהוא כ"ו אדרהמי ויהיה כ"ו דברים תגרע מהם יתרון שני המספרים הנחלקים והוא ארבעים וישאר כ"ו דברים פחות ארבעים אדרהמיש ותחלקם על יתרון האנשים שהוא שלשה ויעלה שמנה דברים ושני שלישי' פחות י"ג אדרהמיש ושליש ותכם על האנשים השניים והם דבר ושלשה ויהיה שמנה אלגוש ושני שלישי ושנים עשר דברים ושני שלישי דבר פחות ארבעים אדרהמיש ישוה המספר הנחלק הקטן והוא עשרים ותאספם עם הארבעים אדרה"מיש ותוסיפם על העשרי' אדרה"מיש ויהיו שמנה אלגוש ושני שלישי אלגוש וי"ב דברי' ושני שלישי דבר ישוו ששי' אדרה"מיש והשיב כל דבר שתחזיק לאלגוש אחד וכבר ידעת שהאלגוש משמנה אלגוש ושני שלישים אלגוש הוא שלשה חלקים מעשרים וששה חלקי' מאחד וקח מכל דבר שתחזיק שלשה דברי' מכ"ו חלקים ויהיה אלגוש ודבר וי"ב חלקים מכ"ו חלקים ישוה ששה וכ"ד חלקים מכ"ו חלקים מאדרהם ומחצית הדברים יהיה תשע עשרה חלקים מכ"ו חלקים בדבר ישוה ששה וכ"ד חלקים ותכם על עצמם ויהיה שלשה עשר חלקים מכ"ו חלקים מתרע"ו חלקים מאחד ותוסיפם על האדרה"מיש והם ששה וכ"ד חלקים מכ"ו יהיה שבעה וי"א חלקים מכ"ו וי"ג חלקים מתרע"ו וקח שרשו והוא שני אדרהמיש ויש חלקים מכ"ו וישאר שנים והם האנשים הראשונים

ולאלה הארבעה שאלות ודומיהן יש שני אופני' והם דומים

לאופנים שונים אשר הראיתיך בחשבון האומר בו חלקנו עשרה

לשני

245

121א לשני חלקים וחלקנו אחד מהם על האחר ועל הארבע ורביע והנה אראך אחד מהם למען תתלמד בו לאחרים והוא כי כאשר יאמרו לך עשרים אדרהמיש חלקנום על אנשים והגיע לכל אחד מהם דבר והוספנו עליהם שנים אנשים וחלקנו עליכם ששים אדרהמי"ש ועלה לאחד מהם יותר מאשר עלה לאחד מהראשונים בחמשה אדרהמיש והמעשהו שנשים האנשים הראשוני' דבר וחלק עליהם עשרים אדרהמי"ש ונוסיף על האנשים הראשונים שהם דבר שנים ויהיו דבר שנים הם האנשים האחרונים ותחלק ש ששים אדרהמי"ש על דבר ושנים הם האנשים האחרונים ותחלק על דבר ושנים יהיה שישים אדרהמיש והכאת דינר וחמשה על דבר ושנים יהיה ששים אדרהמיש והכאת ויגיע דינר ואחדחמשה עליהם דבר ושנים וכאשר תכה דינר וחמשה על דבר ושנים יהיה שלשים אדרהמיש וחמשה דברי' ודינר אחד ישוו ששים אדרהמיש ותגרע שלשים אדרהמיש וחמשה דברים מששים וישאר שלשים אדרהמיש פחות חמשה דברים ישוו שני דינרין והדינר ישוה ט"ו אדרהמי"ש פחות שני דברי' וחצי ותשוב אל השאלה הראשנה ותאמר תחלק עשרים אדרהמי"ש על דבר ויהיה ט"ו אדרהמיש פחו פחות שני דברי' וחצי ויהיה ט"ו דברי' פחות שני אלגוש וחצי ישוו עשרים אדרהמי"ש תשיב כל דבר שתחזיק אל אלגוש אחד וכבר ידעת ששני אלגוש משני אלגוש וחצי חמשה ותקח לכל דבר שתחזי' חמשה ויהיה ששה פחות אלגוש ישוה שמנה אדרהמיש ותאסוף הששה פחות אלגוש עם האלגוש ותוסיפיהו על השמונה אדרהמיש ויהיה אלגוש ושמנה אדרהמי"ש ישוה ששה דברים וקח מחצית הדברים והוא שלשה תכם על עצמם ויהיה תשעה תגרע מהם

246

121ב השמנה וישאר אחד תקח שורשו והוא אחד תגרעיהו ממחצית הדברים שהוא שלשה ושיאר שנים וההם האנשים הראשונים

ואם תרצה תוסיף האחד על מחצית השרשים שהוא שלשה ויהיו

ארבע והם האנשים השניים והבן זה ואם יאמרו לך חלקנו חלקנו עשרה אדרהמי"ש על ענשים והגיע לאחד דבר והוספנו עליה' ששה אנשים וחלקנו בין כולם ארבעים אדרהמי"ש והגיע לאחד מהם כמו שהגיע לאחר מהראשוני' בשוה ומעשיהו שתכה המספר הנחלק הקטן על יתרון האנשים השניים על הראשונים והעולה מההכאה תחלק על יתרון שני המספרי' הנחלקים ומה שיעלה הם האנשים הראשוני' ותכה המספר הנחלק הקטן והוא עשרה על יתרון האנשים שהוא ששה ויהיה ששים ותחלק ששים על יתרון שני המספרים הנחלקים שהוא שלשים ויעלה שנים והם האנשים הראשונים והוא ששה ויגיע לחלק חמשה תחלק עליהם המספר הנחלק הקטן שהוא עשרה ויגיע שנים והם האנשים הראש הראשונים וכבר הוא מבואר עלת זאת השאלה ולזאת השאלה פנים אחרים והוא שיחחס מספר האנשים הראשונים אל האנשים השניים וכבר ידעת שחלק אחד מהראשוני' הוא עשרה וחלק אחד מהשניים הוא ארבעים ושיעור עשרה אצל ארבעים הוא הרביע והאנשים הראשוני' הם הרביע מהאנשי' השניים ותשים מהאנשי' הראשוני' דבר והאנשים השניים דבר וששה וכבר ידעת כי הרביע מדבר וששה הוא דבר ולכן תקח הרביע מדבר וששה ויהיה אדרהם וחצי ורביע דבר ישוה דבר ותגרע רביע דבר מדבר וישאר שלשה רביעי דבר דבר ישוו אחד וחצי והדבר שנים והם האנשים הראשונים ואם יאמרו לך עשרה בגדים קנום בין שני אנשים בשכר שבעים ושנים אדרהמי"ש וכל אחד

247

153ב לחלק בעצמו והיה שלשי' הנה שורש שלשי' הוא מה מה שעלה לחלק מהשני חלקי' וכאשר תרצה לדעת שיעור כל חלק מהשני חלקי' תעשה כמו שאמרנו והוא שנאמר שהחלק האחד חמשה ודבר והאחר חמשה פחות דבר ותכה האחד באחד ויהיה כ"ה אדרהמי פחות אלגוש ותכה האחד באחד ויהיה כ"ה אדרהמי פחות אלגוש ותכה זה בשורש שלישי וכאשר תרצה זה תכה עשרים וחמשה אדרהמי פחות אלגוש בעצמו ויהיה תר'כ"ה דרהמי ואלגוש אלגו פחות פחות חמישי' אלגוש ותכה זה בשלשי' אלגוש מאלגו וט"ו אלפי' ות"ש'נ אדרהמי פחות 0 0 4 1 אלגוש ושורש זה ישוה מאה אדרהמיש ותכה מאה דרהמי' בעצמו – ויהיה 0 0 0 0 1 דרהמי ישוו שלשים אלגוש מאלגו וי"ח אלפים ותש"נ אדרהמי פחות 0 0 9 1 אלגוש ותאסוף אוקבראשיש איקונפרונטאראש ותוסיף על כל דבר שתחזיק אלגוש אלגו ויהיה אלגו אלגו ורע"א אדרהמי ושני שלישית ישוה חמישי' אלגוש ותחצה האלגוש ויהיה כ"ה תכם בעצמם ויהיו תרכ"ה תגרע מהם הרע"א אדרהמ ושני שלישי' והנשאר שלישי' וש"ג ושליש ושרש זה כש כשיגרע מכ"ה ושרש הנשאר יתוסף על חמשה והוא החלק האחד וכשיגרע מחמשה הוא החלק האחר ואם יאמרו לך חלקנו עשרה לשני חלקי' וחלקת על כל אחד מהם ארבעי' ומה ומה שעלו לחלק הכית כל חלק על עצמו והיו תרכ"ה וכאשר תחלק העשרה על כל חלק משני חלקי העשרה והעולה לחלק הכית כל חלק זה צריך שיהיה חצי שמינית מתר'כ"ה והוא

ל"ט 

311

154א ל"ט וחצי שמינית בעבור כי עשרה עלה רביעית מ' וכאשר נכה רביע הדבר בעצמו יהיה חצי שמינית הדבר מוכה בעצמו וכבר ביארנו המעשה בזה וכאשר תרצה תוציא אילו הש השאלות [מ]שאלות אחרות רבות כפי אילו הדרכים וכפי אחרים כמו הם יתבאר המעשה בהם מהדרכים שאמרנו קודם ושהוספנו בזה הספר והתהילה לאל – לבדו ית' וית' היכול אשר מאתו ההישרה

312