Difference between revisions of "חשבון השטחים"

Revision as of 08:17, 23 May 2022

	חשבון השטחים
Contents 1 Introduction 2 The Six Canonical Equations 2.1 The Simple Canonical Equations 2.1.1 Squares Equal Roots: ax²=bx 2.1.2 Squares Equal Numbers: ax²=c 2.1.3 Roots Equal Numbers: bx=c 2.2 The Compound Canonical Equations 2.2.1 Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c 2.2.2 Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx 2.2.3 Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax² 3 Multiplication of Algebraic Expressions 4 Roots 4.1 Multiplication of Roots by Numbers 4.2 Multiplication of Roots 4.3 Division of Roots 4.4 Addition of Roots 4.5 Subtraction of Roots 5 Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations 6 Various Problems 7 Section Three 8 Notes 9 Appendix I: Glossary of Terms 10 Appendix II: Bibliography Introduction
The reader should know three algebraic species introduced by Muḥammad al-Khwārizmī in his book:	תחלת מה שצריך לדעת קורא זה הספר הוא שלשה חלקים אשר אמרם כבר מהומר אלבוארזמי^[1] בספרו והם
Roots	שרשים ^ראדיש
Squares	ומרובעים ^אלגוש
Numbers	ומספרים ^{קוונטאש}
Definitions:
Root = everything that is multiplied by itself - as the one and upwards as well as its fractions and its fractions of fractions endlessly.	והשורש הוא כל דבר שיתרבה על עצמו כמו האחד ומן האחד ולמעלה ושבריו ושברי שבריו עד אין להם סוף
Square = what is produced from the multiplication of the root by itself - be it an integer or a fraction.	והאלגוש הוא המתקבץ מהתרבות זה השורש על עצמו שלם יהיה או נשבר
Number = what increases by itself, which cannot be named a root nor a square and is related to the units comprised in it.	והמנין הוא הצומח מאליו אשר לא יוכל יפול בו לא שם שורש ולא שם אלגו והוא המתיחס אל מה שבו מן האחדים
each of these species can be equal to one of the other species, or to the two other species:	ואלו השלשה חלקים כבר יהיה כל אחד מהם יהיה שוה לכל אחד מהחלקים הנשארים וכבר יהיה שישוה כמו השני חלקים שנשארו
One species is equal to one of the other species	אם שיהיה שוה לכל אחד מהחלקי' מהנשארים
squares equal to roots $\scriptstyle ax^2=bx$	זה כמו שיאמרו לך אלגוש ישוו שרשים
squares equal to numbers $\scriptstyle ax^2=c$	ואלאגו ישוו מספרים
roots equal to numbers $\scriptstyle bx=c$	ושרשים ישוו מספרים
One species is equal to the two other species	ואם שיהיה שוה החלק האחד לשני החלקים הנשארים
squares and roots equal to numbers $\scriptstyle ax^2+bx=c$	הוא כמו שתאמר מרובעים ושרשים ישוו למספרים
squares and numbers equal to roots $\scriptstyle ax^2+c=bx$	ומרובעים ומספרים ישוו לשרשים
roots and numbers equal to squares $\scriptstyle bx+c=ax^2$	ושרשים ומספרים ישוו למרובעים
these six categories should be explained	ואלו הם ששה חלקים וצריך לבארם

The Six Canonical Equations
The Simple Canonical Equations
Squares Equal Roots: ax²=bx	והאלגוש שישוו שרשים
$\scriptstyle x^2=5x$	הוא כאילו תאמר אלגו ישוה חמשה שרשים
the square is equal to its five roots	בעבור כי האלגו הוא שוה לחמשת שרשיו
the root of the square is always as the amount of the roots in the square and equal to them $\scriptstyle x^2=ax\longrightarrow x=a$	כי שורש האלגו יהיה לעולם כפי סכום השרשים מהאלגו ושוה אליהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x=5}}$	והוא בזה המשל חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=25}}$	והאלגו עשרים וחמשה והוא כמו חמשה שרשיו‫^[2]
Explanation why the root of the square is as the amount of the roots: Geometric illustration	ועוד אבאר למה היה שורש האלגו כפי סכום השרשים ואשים ביאורו בזאת השאלה רצוני בזה המשל

constructing: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ואניח האלגו שטח מרובע עליו אבג"ד
AB, BG, GD, DA - the sides of the square	וצלעיו א"ב ב"ג ג"ד ד"א
side × (unit of the length) = √(area [of the square])	וכל אחד מצלעיו מרובה על אחד מסכום אורך זה השטח הוא שורש זה השטח האחד
AB × 1 = BH	והעולה מכפל א"ב על אחד והוא קו ב"ה
AH□ = √AG	ויהיה שטח א"ה הוא שורש א"ג
AG□ = 5·√AG	ושטח א"ג הוא כפי חמשה שרשיו
AG□ = 5·AH□	ושטח א"ג חמשה כפלי שטח א"ה
dividing AG□ into five equal quadrangles: AH□; TW□; SZ□; MC□; EG□	וחלק שטח א"ג לחמשה חלקים שוים ויהיו שטחי א"ה ט"ו ס"ז מ"ח ע"ג
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}=x=5}}$	וקו ב"ג חמשה והוא שורש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=25}}$	והאלגו הוא עשרים וחמשה
Q.E.D.	ומש"ל
$\scriptstyle\frac{1}{2}x^2=10x$	וכמו כן אם יאמר חצי אלגו ישוה עשרה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=20x}}$	והאלגו כלו ישוה עשרים שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}$	הנה שרש האלגו עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}$	והאלגו ארבע מאות
$\scriptstyle5x^2=20x$	וכמו שתאמר חמשה אלגו ישוו עשרים שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4x}}$	והאלגו ישוה ארבעה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ושרש האלגו הוא ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו הוא ששה עשר
Normalization: if the square is augmented or reduced it should be restored to a single square.	וכן כמה שנרבה מהאלגו או שנחסר נשיבם לעולם לאלגו אחד
Apply the [original] procedure to the restored roots [equalized] to the square.	וכן תעשה לכל מה שישובו מן השרשים אל האלגו
Squares Equal Numbers: ax²=c	והאלגוש שישוו מספרים
$\scriptstyle x^2=16$	כמו אלגו שישוה שש עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והנה הוא אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ושרשו ארבעה
$\scriptstyle5x^2=45$	וכן חמשה אלגו ישוו חמשה וארבעים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot45=9}}$	והאלגו האחד הוא חמישיתם והוא תשעה
$\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=27$	וכן אם תאמר שלישית אלגו ישוו שבעה ועשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=81}}$	והאלגוש שמונים ואחד
Normalization: if the squares are more or less they should be transformed into a single square	וכן כל האלגוש איזה שיהיו יותר או פחות השיבם לעולם אל אלגו אחד
Apply the [original] procedure to the restored numbers [equalized to the square].	וכן תעשה לאשר ישובו אליו מהמספרים
Roots Equal Numbers: bx=c	והשרשים שישוו מספרים
$\scriptstyle x=4$	כמו שתאמר שורש ישווה ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	והשורש הוא ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגוש שש עשרה
$\scriptstyle5x=30$	וכמו אם תאמר חמשה שרשים ישוו שלשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}$	והשורש ישווה ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}$	והאלגוש ששה ושלשים
$\scriptstyle\frac{1}{2}x=10$	וכמו אם תאמר חצי שורש ישוה עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}$	והשורש ישוה עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}$	והאלגוש ארבע מאות
Normalization: if the roots are more or less they should be transformed into a single root	וכן כל השרשים איזה שיהיו יותר או פחות השיבם לעולם אל שורש אחד
Apply the [original] procedure to the restored numbers [equalized to the root].	וכן תעשה לאשר ישובו אליו מהמספרים

The Compound Canonical Equations
These are of three types:	ותמצא אלו שלשה חלקים והם כמו שתאמר
Squares and root equal numbers: ax²+bx=c	אלגוש ושרשי' ישוו מספרים
Squares and numbers equal roots: ax²+c=bx	ואלגוש ומספרים ישוו שרשים
Roots and numbers equal squares: bx+c=ax²	ושרשים ומספרים ישוו אלגוש
Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c	והאלגוש והשרשים שישוו מספרים
$\scriptstyle x^2+10x=39$	הוא כאלו תאמר אלגוש ועשרה שרשים ישוו תשעה ושלשים דרהמיש
i.e.: adding to the square its ten roots, so that they equal 39 dirham.	נאמר כי כאשר נחבר על האלגוש שרשיו העשרה ישוו תשעה ושלשים אדרהמיש
There are two solution methods for this question:	ובזאת השאלה יש שנים אופנים
1) yields the root of the square	האחד יראך שורש האלגו
2) yields the square	והאחר יראך האלגוש
Their rules will be explained with geometric figures, which are understood by geometricians who are well versed in Euclid's book [= the Elements].	ועוד אבאר לך משפטיהן עם תמונות גימטריות יבינום חכמי הגימטריא אשר ישכילו בספר אוקלידס
The solution method that yields the root of the square	והאופן אשר יראך שורש האלגוש
Already stated by Muḥammad al-Khwārizmī in his book.	כבר אמרו מהומר אלבוארזמי בספרו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{5^2+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{25+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{64}-5\\&\scriptstyle=8-5=3\\\end{align}}}$	והוא שתקח לעולם חצי השרשים והוא בזאת השאלה חמשה ותרבם על עצמם ויהיו עשרים וחמשה ותקבצם על התשעה ושלשים ויהיו ס"ד וקח שורשו ויהיה שמונה חסר ממנו חצי השרשים והם חמשה ישארו שלשה והם שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והאלגוש תשעה
The solution method that yields the square	והאופן אשר יראך האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)+39\right]-\sqrt{\left(10^2\sdot39\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2}\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)+39\right]-\sqrt{\left(100\sdot39\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(50+39\right)-\sqrt{3900+50^2}\\&\scriptstyle=89-\sqrt{3900+2500}\\&\scriptstyle=89-\sqrt{6400}\\&\scriptstyle=89-80=9\\\end{align}}}$	הוא שתרבה העשרה על עצמו ויהיה מאה ותרבם על הל"ט ויהיו ג' אלפים ותת"ק וקח חצי המאה והם חמישים תרבם על עצמם והם אלפים ות"ק ותחברם על ג' אלפים תת"ק ויהיו ששת אלפים ות‫' תקח שרשו והוא שמונים נחסרם מהחמישים שהם חצי המאה ומן הל"ט המשוים האלגו שהם יחד פ"ט וישארו תשעה והם האלגוש
Normalization: if there are two squares, or three, or more, or less, they should always be restored to one square.	וכן שנים אלגוש או שלשה או יותר או פחות השיבם לעולם אל אלגוש אחד והשיב עמו אשר תוכל מהשרשים ומהמספרים בדרך שהשיבות האלגוש
$\scriptstyle2x^2+10x=48$	וזה כמו שתאמר שנים אלגוש ועשרה שרשים ישוו מ"ח אדרהמיש
i.e.: adding the two squares to the ten roots of one of them, which will be 48 dirham.	נאמר ששני אלגוש כאשר נחברם ונקבצם על שרשיו עשרה מאחד מהם יהיה מ"ח אדרהמיש
the two squares should be restored into one square	ויצטרך שתשיב השני אלגוש לאלגוש אחד
one of two is a half	וכבר ידעת כי אחד משנים הוא החצי
Normalization: restoring each item of the proposition to its half. $\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+10x=48 /\sdot\frac{1}{2}}}$	והשיב כל דבר אשר החזקת במבוקש אל חציו
$\scriptstyle x^2+5x=24$	כאלו אמרת אלגוש וחמשה שרשים ישוו כ"ד אדרהמיש ומשפטו כי כאשר תחבר על האלגוש שרשיו החמשה יהיו כ"ד
It was already shown how to find the root and the square by both solution methods.	וכבר הראיתיך כיצד תמצא השורש וכיצד תמצא האלגוש בשני האופני' האמורים
$\scriptstyle\frac{1}{2}x^2+5x=28$	ואם אמרו לך חצי אלגוש וחמשה שרשים ישוו כ"ח אדרהמיש נאמר כי כאשר חברנו על חצי האלגוש חמשה שרשי האלגוש יהיו כ"ח אדרהמיש
Normalization: restoring the square to one by doubling it, and doubling the roots that are with it. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+5x=28 /\sdot2}}$	וצריך שתשיב האלגוש שלך שלם והוא שתכפלהו ותכפול השרשים שיהיו עמו
$\scriptstyle x^2+10x=56$	ויהיה האלגוש ועשרה שרשים ישוו נ"ו
	וכבר הראית מה לעשות לך עמהם
Geometric illustrations of the example: $\scriptstyle x^2+10x=39$	והמשפט והסבה אשר בזה רצוני שאלגוש ועשרה שרשים שישוו ל"ט אדרהמיש
Geometric illustration of the solution method that yields the root of the square	הנה האופן הטיטולי אשר יראך השורש
illustrating the equation $\scriptstyle x^2+10x=39$
constructing: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	הוא שתשים שטח מרובע עליו אבג"ד
adding to it ABHW□ = 10√ABGD = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ותחבר אליו השרשים אשר הנחת היותם עם האלגו והיו עשרה והם שטח אבו"ה
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וידוע כי קו ב"ה עשרה
AB × 1 = √ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	בעבור כי צלע א"ב משטח אבג"ד מורבה באחד יהיה שורש שטח אבג"ד
AB × 10 = 10√ABGD	והוא מרובה בעשרה יהיו עשרה שרשים משטח אבג"ד
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	הנה קו ב"ה עשרה
WHGD□ = [ABGD□ + ABWH□] = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{39}}$ = HG × GD	וכל שטח והג"ד שלשים ותשע בעבור כי הנחנו האלגוש ועשרה שרשיו והוא מהכאת קו ה"ג בקו ג"ד
GD = GB	אבל קו ג"ד כמו קו ג"ב
HG × GB = $\scriptstyle{\color{blue}{39}}$	הנה הכאת קו ה"ג על קו ג"ב ל"ט
HB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וקו ה"ב עשרה
halving line HB on point C [= C midpoint of BH]	ונחלק אותו לחציים על נקודת ח‫'
GB is added to HB	ונוסף באורכו קו ג"ב
(HG × BG) + CB² = CG²	ולכן יהיה השטח העולה מהכאת ה"ג בקו ב"ג עם מרובע ההווה מהכאת ח"ב על עצמו כמו מרובע ההוה מהכאת ח"ג על עצמו
according to Euclid, Elements II	כמו שאמר אקלידס במאמר שיני בספרו
HG × BG = [HG × DG = WHDG□ =] $\scriptstyle{\color{blue}{39}}$	אבל הכאת הקו ה"ג בקו ג"ב הנחנוה שלשים ותשע
CB² = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	והכאת קו ח"ב על עצמו הוא עשרים וחמשה
(HG × BG) + CB² = $\scriptstyle{\color{blue}{39+25=64}}$	ומקובצם ששים וארבעה
CG² = $\scriptstyle{\color{blue}{64}}$	וכן יהיה הכאת קו ח"ג על עצמו ס"ד
CG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}=8}}$	ושורש ששים וארבע הוא שמונה ולכן קו ח"ג שמונה
CB = $\scriptstyle{\color{blue}{5}}$	וידוע שקו ח"ב חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BG = CG - CB = $\scriptstyle{\color{blue}{8-5=3}}$	וישאר קו ב"ג שלשה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והאלגוש תשעה
constructing: CKNG = CG²	ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי עשה על קו ח"ג שטח מרובע והוא שטח חכנ"ג
extending line AB straight to point E	ותוציא קו א"ב ביושר עד נקודת ע‫'
CG = NG	הנה קו ח"ג כמו קו נ"ג
BG = DG	וקו ב"ג כמו קו ד"ג
BC = DN	ישאר קו ב"ח כמו קו ד"נ
CA□ = AN□	ושטח ח"א כמו שטח א"נ
CA□ = MH□	אבל שטח ח"א כמו שטח מ"ה
MH□ = AN□	לכן שטח מ"ה כמו שטח א"נ
AC□ + AN□ + DB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{39}}$	ושטחי א"ח א"נ ד"ב השלשה שלשים ותשעה
AK□ = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	אבל שטח א"כ עשרים וחמשה
AK□ = CB²	בעבור כי הוא שוה להכאת ח"ב על עצמו
KG□ = $\scriptstyle{\color{blue}{64}}$	הנה שטח כ"ג כלו ששים וארבעה
CG = √KG□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}=8}}$	וקו ח"ג שרשו והוא שמונה
BC = $\scriptstyle{\color{blue}{5}}$	וקו ב"ח היה חמשה
GB = [CG - BC] = $\scriptstyle{\color{blue}{8-5=3}}$	וישאר קו ג"ב שלשה
Q.E.D.	ומש"ל
Geometric illustration of the solution method that yields the square	ומשפט האופן אשר יראך האלגו
illustrating the equation $\scriptstyle x^2+10x=39$
defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	הוא שתשים האלגוש קו א"ב
BG = 10√AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ותחבר עמו עשרה שרשיו והוא קו ב"ג
AG = [AB + BG = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x}}$ ] = $\scriptstyle{\color{blue}{39}}$	ויהיה קו א"ג שלשים ותשעה
constructing: DHBG□ = BG² = 100 × (AB × 1)	ואם תרצה לדעת כמות א"ב עשה על קו ב"ג שטח מרובע והוא שטח דהב"ג והוא מאה פעמים כמו קו א"ב מוכה על אחד מאחדיו‫^[3]
BG = 10√AB	בעבור כי קו ב"ג עשרה שרשים מקו א"ב
$\scriptstyle\left(10\sqrt{x}\right)^2=100x$	ועשרה שרשים מהדבר מוכה על עצמו הוא כמו אותו הדבר מאה פעמים
AM = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$ of [the units] by which AG = $\scriptstyle{\color{blue}{39}}$	ונשים קו א"מ מאה מן אשר בם קו א"ג שלשים ותשעה
completing AN□	ונשלים שטח א"נ
AN□ = $\scriptstyle{\color{blue}{3900}}$	והנה הוא שלשת אלפים תת"ק
AN□ = AG × AM = $\scriptstyle{\color{blue}{39\times100}}$	בעבור כי קו א"ג שלשים ותשעה וקו א"מ מאה
extending line BC parallel to AM	ונמשיך קו ב"ח נכחי לא"מ
AC□ = BH□	ויהיה שטח א"ח שוה למרובע ב"ה
AC□ = 100 × (AB × its unit)	כי הוא גם כן מאה פעמים כמו קו א"ב מוכה על אחד מאחדיו
AM = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	בעבור כי אורך קו א"מ מאה
DN□ = GH × HN = $\scriptstyle{\color{blue}{39\sdot100=3900}}$	ויהיה מפני זה שטח ד"נ גם כן שלשת אלפים תת"ק והוא מהכאת קו ג"ה בקו ה"נ
HG = HD	כי ה"ג כמו ה"ד
GN = AM = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	והנה קו ג"נ מאה מפני שהוא שוה לא"מ
halving line GN on point L [= L midpoint of GN]	ונחלק אותו לחציים על נקודת ל‫'
GH is added to GN	וכבר נוסף עליו קו ג"ה
(NH × HG) + GL² = LH²	ויהיה מפני זה שטח הכאת נ"ה על קו ה"ג ומרובע קו ג"ל יחד כמו מרובע קו ל"ה
as noted by Euclid in Elements II	כמו שאמר אקלידס במאמר שיני מספרו
HN × GH = $\scriptstyle{\color{blue}{3900}}$	אבל שטח נ"ה על ה"ג שלשת אלפים תת"ק
GL² = $\scriptstyle{\color{blue}{2500}}$	ומרובע קו ג"ל שני אלפים ת"ק
(NH × HG) + GL² = LH² = $\scriptstyle{\color{blue}{3900+2500=6400}}$	ונחברם יחד ויהיו ששת אלפים ות' והם כמו הכאת קו ל"ה על עצמו
LH = $\scriptstyle{\color{blue}{80}}$	לכן יהיה קו ל"ה שמונים
GH = BG	וקו ג"ה כמו קו ב"ג
→LG + BG = $\scriptstyle{\color{blue}{80}}$	הנה כי קוי ל"ג ב"ג שמונים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$ = AB = (AG + GL) - (BG + GL) = $\scriptstyle{\color{blue}{89-80=9}}$	וכאשר נחסר קוי ב"ג ג"ל שהם שמונים מקוי א"ג ג"ל שהם שמונים ותשעה ישאר קו א"ב שהוא האלגוש תשעה
Q.E.D.	ומש"ל
Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx	והאלגוש והמספרים שישוו שרשים
$\scriptstyle x^2+21=10x$	כאלו תאמר אלגוש ועשרים ואחד אדרהמיש ישוו עשרה שרשים
i.e. adding 21 to the square, so that the sum is the same as ten roots of the square.	רצוני כי כאשר תחבר עם האלגו עשרים ואחד יהיה המחובר כמו עשרה שרשים מהאלגוש
There are two solution methods in this category:	ובזאת החלוקה שני אופנים
1) yields the root of the square	האחד יראך שורש האלגוש
2) yields the square	והאחר יראך האלגוש
Each is done in two ways: one by adding and the other by subtracting	וכל אחד מהם יעשה בשני פנים האחד עם תוספת והאחד עם מגרעת
The solution method that yields the root of the square	והאופן אשר יראך שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{4}\\&\scriptstyle=5-2=3\\\end{align}}}$	הוא שתקח חצי השרשים והם חמשה ותרבם על עצמם ויהיו עשרים וחמשה גרע מהם העשרים ואחד וישארו ארבעה תקח שורשו והוא שנים וחסרם מחצי השרשים שהם חמשה וישארו שלשה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1^2=9}}$	והאלגוש תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5+2=7\\\end{align}}}$	ואם תרצה הוסיף השנים על חצי השרשים ויהיו שבעה והוא שורש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=49}}$	והאלגו ארבעים ותשעה
If the product of half the roots by itself is less than the dirhams that are with the square $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<c$ → the problem is false.	ודע כי כאשר תחצה השרשים באופן הזה ותרבם על עצמם ויהיה המתקבץ ממנו פחות מהאדרהמיש אשר עם האלגוש שאז תשתנה החלוקה ^{מוטעה השאלה}
Sometimes [the product of half the square by itself] is equal to the dirham themselves - then, the root of the square is the same as half the roots, no more and no less. $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c$ → $\scriptstyle x=\frac{1}{2}\sdot b$	וכן פעמים יהיה כמו האדרהמיש בעצמם ויהיה שורש האלגו כמו חצי השרשים מבלי מגרעת ומבלי תוספת
This category will be illustrated below with geometric figure	ועוד אבאר לך כל אשר אמרנו בזאת החלוקה עם תמונת גימטריאות
The solution method that yields the square	והאופן אשר אראך האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{2500-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{400}-21\\&\scriptstyle=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}$	הוא אשר נרבה העשרה שרשים על עצמם ויהיה מאה ונרבה אלו המאה על עשרים ואחד ויהיו אלפיים ומאה ונקח חצי מאה והוא חמישים ונרבם על עצמם ויהיו אלפיים ות"ק ותגרע מהם האלפים ומאה וישארו ארבע מאות וקח שרשם והוא עשרים ותגרעם מן החמישים וישארו שלשים תגרע עוד מהם העשרים ואחד וישארו תשעה והם האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=\left(50+20\right)-21=70-21=49}}$	ואם תרצה תוסיף העשרים על החמישים ויהיו שבעים ותגרע מהם העשרים ואחד וישאר ארבעים ותשעה והוא האלגו
Normalization: if one has two squares, or more, or less, they should always be restored to one square - as demonstrated in the previous case.	וכן כל אשר יבא לידך משני אלגו או יותר או פחות השיבם לעולם אל אלגו אחד כמו שהראתיך באופן הראשון
The rule that demonstrates how $\scriptstyle x^2+21=10x$	והמשפט שיראך כיצד אלגו וכ"א אדרהם ישוו כמו עשרה שרשים מהאלגו
The method that yields the root: the square may be more than the dirham $\scriptstyle x^2>c$ , or less than [the dirham] $\scriptstyle x^2<c$	הנה האופן אשר יראך השרש שיוכל להיות האלגו יותר מהאדרהמיש אשר הנחנו עמו או פחות מהם
Yet, the square can be the same as the dirham $\scriptstyle x^2=c$ only if the product of half the roots by itself is the same as the dirham $\scriptstyle x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c$	ולא יוכל להיות האלגו כמו האדרמהיש כי אם בהיות הכאת חצי השרשים על עצמו כמו האדרמהיש אשר עם האלגו ויהיה מהאלגוש
Geometric illustration of the solution method $\scriptstyle x^2<c$	ואבאר כל זה ואראהו
for $\scriptstyle x^2<21$	ואניח האדרמהיש אשר שמת עם האלגו שהם עשרים ואחד שיהיו יותר מהאלגו

defining: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ואניח האלגו שטח מרובע עליו אבג"ד
ABHL□ = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	ונוסיף עליו העשרים ואחד והוא שטח אבה"ל
ABHL□ > ABGD□	וזה השטח גדול משטח אבג"ד כי כן הנחנוהו
BL > BD	וקו ב"ל מפני זה גדול מקו ב"ד
HD□ = 10√ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח ה"ד עשרה שרשים משטח אבג"ד
LD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	אם כן קו ל"ד עשרה
HB□ = LB × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	ושטח ה"ב כ"א והוא שוה להכאת ל"ב בב"ד
BD = BA	כי ב"ד שוה לב"א
LD is halved on C [= C midpoint of LD]	ונחלק קו ל"ד לחציים בנקודת ח‫'
LD is cut into two unequal segments on B	וכבר נחלק גם כן לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב‫'
(LB × BD) + CB² = CD²	ולכן הכאת על ל"ב בב"ד עם מרובע ח"ב ישוו למרובע ח"ד
according to Euclid, Elements II	כמו שאמר אקלידס בספרו במאמר השיני
CD² = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	אבל הכאת קו ח"ד על עצמו עשרים וחמשה
CD = $\scriptstyle{\color{blue}{5}}$	בעבור כי אורכו חמשה
LB × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	וקו ל"ב בב"ד עשרים ואחד כאמור
CB² = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וישאר מרובע קו ח"ב ארבעה
CB = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וצלעו שנים
CD = $\scriptstyle{\color{blue}{5}}$	אבל קו ח"ד הוא חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BD = $\scriptstyle{\color{blue}{3}}$	וישאר קו ב"ד הוא שלשה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והאלגוש תשעה
KD□ = CD²	ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי אשים על קו ח"ד מרובע והוא שטח כ"ד
KD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	ושטח כ"ד עשרים וחמשה
CD = $\scriptstyle{\color{blue}{5}}$	כי קו ח"ד הוא חמשה
CG□ = CH□	ושטח ח"ג כמו שטח ח"ה
LC = CD	בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
AC□ = AN□	ושטח א"ח כמו שטח א"נ
AC□ + AD□ + AN□ = HB = LB × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	ולכן שטחי א"ח א"ד א"נ השלשה ישוו לשטח ה"ב שהוא מהכאת ל"ב בב"ד והוא עשרים ואחד
KA□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ולכן ישאר שטח כ"א ארבעה
KA□ is a square	והוא מרובע
KN = KC	בעבור כי קו כ"נ כמו קו כ"ח
CS = NM	וקו ח"ס כמו קו נ"מ
KS = KM	וישאר קו כ"ס כמו קו כ"מ
CB = KM = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וקו מ"כ שנים והוא שוה לקו ח"ב
CB = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	אם כן קו ח"ב שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BD = $\scriptstyle{\color{blue}{3}}$	וישאר קו ב"ד שלשה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והאלגוש תשעה
Q.E.D.	ומש"ל
Geometric illustration of the solution method $\scriptstyle c<\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<x^2$	ואבאר בזאת השאלה כאשר תקח חצי השרשים ויהיה העולה מהכאתם על עצמם יותר מהאדרהמיש שהנחת עם האלגוש שהם כ"א ופחות מן האלגוש ר"ל שאדרהמיש פחות מהאלגו

defining: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ואשים האלגו שטח מרובע עליו אבג"ד
ABHW□ = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	ואחבר עמו העשרים ואחד והוא שטח אבה"ו
AD□ > AW□	ושטח א"ד גדול משטח א"ו כי כן הנחנו
DB > BW	וקו ד"ב ארוך מקו ב"ו
HD□ = 10√AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח ה"ד עשרה שרשים משטח א"ד
DW = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	ולכן קו ד"ו עשרה
WB × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	והכאת קו ו"ב בב"ד הוא עשרים ואחד
WD is halved on C [= C midpoint of WD]	ותחלק קו ו"ד לחציים על נקודת ח‫'
WD is cut into two unequal segments on B	והנה הוא כבר נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב‫'
(WB × BD) + BC² = CD²	ולכן יהיה הכאת ו"ב בב"ד והכאת ב"ח על עצמו יחד כמו הכאת ח"ד על עצמו
according to Euclid, Elements II	כמו שאמר אקלידס במאמר שיני בספרו
CD² = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	והכאת ח"ד על עצמו הוא עשרים וחמשה
WB × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	והכאת ו"ב בב"ד הוא עשרים ואחד
CB² = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וישאר הכאת קו ח"ב על עצמו ארבעה
CB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2}}$	וקו ח"ב הוא שורש ארבע והוא שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BD = CB + CD = $\scriptstyle{\color{blue}{2+5=7}}$	ותחברם עם קו ח"ד שהוא חמשה ויהיה קו ב"ד שבעה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=49}}$	והאלגוש ארבעים ותשעה
Hence it is clarified that when the square is less than the number $\scriptstyle x^2<c$ it should be extracted by subtraction	הנה שביארנו לך כי כאשר הנחנו האלגוש פחות מהאדרהמיש שאז נוציאהו עם מגרעת
and when it is greater than the number $\scriptstyle x^2>c$ it should be extracted by addition.	וכאשר נניחיהו יותר מהאדרמהיש הנה אז נוציאהו עם התוספת
WN□ = WC²	ואם תרצה שאבאר לך לעין כל מה שאמרתי תצייר על קו ו"ח שטח מרובע עליו ו"נ
line CN is extended straight to point K	ותוציא קו ח"נ על יושר עד נקודת כ‫'
BN□ = NH□	ושטח ב"נ כמו שטח נ"ה
LN = NC	בעבור כי קו ל"נ שוה לקו נ"ח
BC = NB	וקו ב"ח שוה לקו נ"ב
AN□ is a square	כי שטח א"נ מרובע כמו שנבאר
WN□ = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	ושטח ו"נ הוא עשרים וחמשה
AW□ = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	ושטח א"ו עשרים ואחד
AN□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וישאר שטח א"נ ארבעה
AN□ is a square	והוא מרובע
AB = AG	בעבור כי קו א"ב כמו קו א"ג
KG = BS	וכ"ג כמו קו ב"ס
KG = CD	מפני שקו כ"ג כמו קו ח"ד
CD = CW	וח"ד כמו ח"ו
CW = CN	וח"ו כמו ח"נ
CN = BS	וח"נ כמו ב"ס
BS = KG	הנה שקו ב"ס כמו קו כ"ג
AK = AS	וישאר קו א"כ כמו קו א"ס
AN□ is a square	ושטח א"נ מרובע
SN = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וקו ס"נ שנים
SN = BC	אבל קו ס"נ כמו קו ב"ח
CB = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ויהיה קו ב"ח שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BD = BC + CD = $\scriptstyle{\color{blue}{2+5=7}}$	ותחברם עם קו ח"ד שהוא חמשה ויהיה קו ב"ד שבעה והוא שורש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=49}}$	והאלגוש ארבעים ותשעה
$\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2$ = c + AN□	ונתבאר עוד בזאת השאלה כי כאשר הכינו חצי השרשים על עצמם היה העולה יותר מהאדרמיש אשר שמת עם האלגו כמו שטח א"נ
Q.E.D.	וזה מש"ל
It is clarified that when the square is less than the number $\scriptstyle x^2<c$ the sought after is extracted by subtraction [ $\scriptstyle{\color{red}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c}}}$ ]	ועוד ביארנו כי כאשר הנחנו האלגו פחות מהאדרמהיש אשר עמו יצא המבוקש עם מגרעת
If it is greater than the number $\scriptstyle x^2>c$ the sought after is extracted by addition [ $\scriptstyle{\color{red}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c}}}$ ]	ואם הנחנוהו יותר מהדרמהיש יצא המבוקש עם תוספת
What was said concerning the two methods is further explained, i.e. the method of subtraction and the method of addition, when the product of half the roots by itself exceeds the dirham that are given with the square $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2>c$ .	וביארתי עוד מה שנאמר בשתי צורות רצוני צורת הגירעון וצורת התוספת כאשר היה הכאת חצי השרשים על עצמו יותר מן האדרהמיש אשר הנחנוהו עם האלגוש
The case that is further explained is when the product of half the roots by itself is the same as the numbers. $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c$	ואבאר עוד כאשר יהיה העולה מהכאת חצי השרשים על עצמו שוה אל האדרמהיש אשר עם האלגוש
In that case, the square is the same as the numbers. $\scriptstyle x^2=c$	שאז יהיה האלגו כמו האדרמהיש ממש
And the root of the square is the same as half the roots. $\scriptstyle x=\frac{1}{2}\sdot b$	ושורש האלגוש כמו חצי השרשים‫^[4]
$\scriptstyle25+x^2=10x$	ואמשיל זה בשאילה אחרת ואניחנה שכ"ה אדרהמיש ואלגוש ישוו עשרה שרשים
constructing: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ואניח האלגוש שטח מרובע עליו אבג"ד
ABHW□ = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	ואחבר עמו הכ"ה אדרהמיש והם שטח אבה"ו
GW□ = ABGD□ + ABHW□ = 10√ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	וכל שטח ג"ו עשרה שרשים משטח אבג"ד
DW = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וקו ד"ו עשרה
DW is cut into two equal segments on C [= C midpoint of DW]	וכאשר נחלק קו ד"ו לשני חציים על נקודת ח‫'
there are three possible cases:	לא ימלט הדבר מאחד משלשה ענינים
C is above B	אם שתפול נקודת ח' מלמעלה מנקודת ב‫'
C is below B	או למטה ממנה
C = B	או בה
defining: C is above B	ונניח ראשנה שתפול נקודת ח' למעלה
If this is possible: DW is cut into two equal segments on C [= C midpoint of DW]	אם יתכן זה הנה קו ד"ו נחלק לחציים על נקודת ח‫'
DW is cut into two unequal segments on B	ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב‫'
(DB × BW) + CB² = CW²	ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו ומרובע ח"ב על עצמו ישוו להכאת ח"ו על עצמו
according to Euclid, Elements II	כדמבואר בשני לאקלידס
WC² = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=25}}$	אבל הכאת ו"ח על עצמו הוא עשרים וחמשה
WC = ½WD	בעבור כי הנחנוהו חצי ו"ד שהוא עשרה
(WB × BD) + BC² = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	לכן הכאת ו"ב בב"ד עם מרובע ב"ח עשרים וחמשה
Finzi: these are the words of the translated book [Abū Kāmil's book], but it seems that its words are not enough.	אמ"פ^[5] המעתיק אלו הם דברי הספר שהעתקתי ממנו במופת הזה ונראה לי שדבריו אינם מספיקים בזה
It should be stated that: If C is above B: $\scriptstyle c>x^2$	אבל הראוי יותר שיאמר כי כאשר נפלה נקודת ח' החולקת למעלה מנקודת ב' אז האדרמהיש יותר מהאלגוש
If C is beneath B: $\scriptstyle x^2>c$	וכאשר תפול למטה ממנה יהיה האלגוש יותר מהאדרמהיש
as explained above	וזה כולו מבואר למעלה
If C = B: $\scriptstyle c=x^2$	ונשאר שאם תפול עליה ובה בהכרח יהיו אז שוים
[Abū Kāmil] continues his discussion, which is not precise according to Finzi:	עוד המשיך דבריו בדברים בלתי מתוקנים אצלי והם אלו
[for: $\scriptstyle x^2+c=bx$ ] $\scriptstyle \left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2=c\sdot b^2$	וביארנו במה שאמרתי כי כאשר תרבה השרשים אשר ישוו האלגוש והמספרים בחלק הזה משלשה חלקים על עצמם ותקח חצי העולה ותרבהו על עצמו הנה יהיה כמו הכאת האדרמהיש על מה שעלה מהכאת השרשים על עצמם
$\scriptstyle x^2=c=\left(\frac{1}{2}b\right)^2$ ??	והאלגו הוא כמו האדרהמיש ומה שעלה מהכאת השרשים על עצמם והיה מחצי אשר עלה הכאת חצי השרשים על עצמו ותצא השאלה
All that concerns this method was already explained so far.	וכבר ביארנו כל אשר בזה האופן עד כאן
Finzi: it seems that the author of the book [Abū Kāmil] intended to explain here the second solving method in this category, i.e. the method that yields the square, as promissed above, but it was omitted from the translated book.	ונראה לי כי היה רצונו של בעל הספר לבאר בזה המקום האופן השני מזאת החלוקה רצוני האופן אשר יראה לנו האלגוס כאשר ייעד למעלה ומופתו אבל נשמט מהספר אשר העתקתי ממנו
Finzi states that he will explain it when he will further adapt the book	ואבארהו בעבדי עוד על זה הספר בע"ה
Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax²	והשרשים ומספרים שישוו אלגוש
$\scriptstyle3x+4=x^2$	כמו אם יאמר שלשה שרשים וארבעה מספרים ישוו אלגו
This type also has two solution methods:	בזאת השאלה שני אופנים
1) yields the root of the square	האחד יראך שורש האלגוש
2) yields the square	והאחר יראך האלגוש
Which will be further illustrated through geometric figures	ועוד אבארם בתמונת גימטרייאות
The solution method that yields the root of the square	והאופן אשר יראך השורש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{6+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}$	הוא אשר תחצה השרשים ויהיה אחד וחצי ותרבהו על עצמו ויהיו שנים ורביע ותחברם עם הארבעה ויהיו ששה ורביע ותקח שרשם והוא שנים וחצי ותחברם עם חצי השרשים ויעלו ארבעה והוא שורש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגוש ששה עשר
The solution method that yields the square	והאופן אשר יראך האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)+\sqrt{\left(3^2\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)+\sqrt{\left(9\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(20+\frac{1}{4}\right)}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{56+\frac{1}{4}}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)+4=16\\\end{align}}}$	הוא שתרבה השלשה שרשים על עצמם ויהיה תשעה ותרבה אילו התשעה על הארבעה האדרהמיש אשר הנחת עם השרשים ויעלו ל"ו ותחצה התשעה ויהיו ארבעה וחצי ותרבם על עצמם ויהיו עשרים ורביע ותחברם עם השלשים וששה ויהיו חמישים וששה ורביע וקח שרשם והוא ז' וחצי ותחברם עם הארבעה וחצי שהם חצי תשעה ועם הארבעה האדרמהיש שיהיו עם השרשים ויהיה הכל ששה עשר והוא האלגוש
Normalization: the squares should always be restored to one square, whether they exceed one, or less than one - as demonstrated in the first case	וכאשר תניח מן האלגוש יותר או פחות השיבם תמיד אל אלגוש אחד כאשר עשינו בשאילה הראשנה
The cause of this question is $\scriptstyle3x+4=x^2$	והעלה בזאת השאלה שהיו שלשה שרשים וארבעה מספרים שוים אל האלגוש
Geometric illustration of the solution method that yields the root of the square	הנה האופן אשר יראך השורש

constructing: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}$	הוא שתשים האלגוש שטח מרובע עליו אבג"ד והוא שלשה שרשים וארבעה מספרים
	והוא ידוע ממה שאמרנו שלשה שרשים וארבעה מספרים שוים אל האלגוש
AHGN□ = 3√ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	ונקח משטח א"ד שטח אהג"נ ונניחהו שלשה שרשים משטח א"ד והוא ידוע ממה שאמרנו שלשה שרשים
HD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ושטח ה"ד נשאר ארבעה מספרים
AH is cut into halfs on C [= C midpoint of AH]	ותחצה קו א"ה על נקודת ח‫' והנה לך קו א"ה נחלק לחציים על נקודת ח‫'
BH is added to AH	ונוסף באורכו קו ב"ה
(AB × BH) + HC² = CB²	ולכן הכאת א"ב בב"ה עם מרובע ה"ח ישוו להכאת ח"ב על עצמו
according to Euclid, Elements II	כדמבואר בשני לאקלידס
AB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	אבל הכאת א"ב בב"ה ארבעה
AB = BD	בעבור כי קו א"ב שוה לקו ב"ד
HC² = $\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{4}}}$	והכאת קו ה"ח על עצמו הוא שנים ורביע‫^[6]
(AB × BH) + HC² = $\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}$	וחיבורם ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6+\frac{1}{4}}=2+\frac{1}{2}}}$	והנה שרשו שנים וחצי
CB = $\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{2}}}$	ולכן קו ח"ב שנים וחצי
CH = $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}$	אבל קו ח"ה אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ומפני זה יהיה כל קו א"ב ארבעה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו שש עשרה
constructing: CK□ = CB²	ולבאר הדבר יותר נניח על קו ח"ב שטח מרובע עליו ח"כ
ME = KD	והוא ידוע שקו מ"ע כמו קו כ"ד
AB = BD	בעבור כי קו א"ב כמו קו ב"ד
BC = KB	וקו ב"ח כמו קו כ"ב
KD = AC	ונשאר כ"ד כמו א"ח
AC = CH	וא"ח כמו ח"ה
CH = ME	וח"ה כמו מ"ע
ME = KD	אם כן מ"ע כמו כ"ד
defining: MT = ND	ונניח קו מ"ט כמו קו נ"ד
ET□ = MD□	ולכן יהיה שטח ע"ט כמו שטח מ"ד
constructing HK□ added to both	ונשים שטח ה"כ משותף
HD□ = ET□ + MB□	ויהיה שטח ה"ד כולו כמו שטח ע"ט מ"ב
HD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ושטח ה"ד ארבעה
ET□ + MB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	אם כן שטחי ע"ט מ"ב ארבעה
CT□ is a square	והוא ידוע כי שטח ח"ט מרובע
BC = MH	בעבור כי קו ב"ח כמו קו מ"ה
MT = HB	וקו מ"ט כמו קו ה"ב
CH = HT	וישאר קו ח"ה כמו קו ה"ט
CH = $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}$	וקו ח"ה אחד וחצי
CT□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{4}}}$	ולכן שטח ח"ט שנים ורביע
CK□ = $\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}$	וכל שטח ח"כ ששה ורביע
BC = $\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{2}}}$	וקו ב"ח שנים וחצי
AC = $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}$	וקו א"ח אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וכל קו א"ב ארבעה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו ששה עשר
There is another way for the proof of this method	ולזה האופן דרך אחרת

defining: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}$	והוא שנניח שטח מרובע עליו אבג"ד יהיה שלשה שרשים וארבעה מספרים
AC = $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}$	ונבדיל מקו ג"א קו א"ח ונניחיהו אחד וחצי
drawing line CM parallel to AB	ונוציא קו ח"מ על נכחות הקו א"ב
AM = [1½√ABGD□] = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$	ושטח א"מ הוא שורש וחצי
ED = $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}$	ונניח קו ע"ד אחד וחצי
drawing line ET parallel to BD	ונוציא ע"ט על נכחות ב"ד
EB□ = [1½√ABGD□] = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$	ושטח ע"ב הוא שורש וחצי
AM□ + ND□ + NB□ = 3√ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	וידוע כי שטח א"מ ושטח נ"ד ושטח נ"ב שלשה שרשים
CE□ = 4 + NB□	וישאר שטח ח"ע ארבעה מספרים וכמו שטח נ"ב
NB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{4}}}$	ושטח נ"ב שנים ורביע
EC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}$	ולכן יהיה שטח ע"ח ששה ורביע
GC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{2}}}$	וקו ג"ח שנים וחצי
CA = $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}$	וקו ח"א אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AG = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וקו א"ג כלו ארבעה והוא שורש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו ששה עשר
Q.E.D.	ומש"ל
Geometric illustration of the solution method that yields the square	ועלת האופן אשר יראך האלגוש

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}$	הוא שנשים צלע האלגו קו א"ב והוא צלע שלשה שרשים וארבעה מספרים
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ויהיה קו ג"ב ממנו ארבעה מספרים
AG = 3√AB = $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	וישאר קו א"ג שלשה שרשים מקו א"ב
constructing: AGDH□ = AG²	ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו אגד"ה
AGDH□ = 9×(AB × 1)	וידוע כי הוא כמו תשעה פעמים קו א"ב מוכה על אחד
defining: AN = 9×1	ונשים קו א"נ תשעה מאחדי קו א"ב
AH□ = AC□	ונשלים שטח א"ח ויהיה מפני זה שטח א"ח שוה למרובע א"ה‫^[7]
drawing line GK parallel to BC	ונמשיך קו ג"כ נכחי לקו ב"ח
subtracting from line AD line AE equal to AN	ונבדיל מקו א"ד קו א"ע שוה לקו א"נ
drawing line EL parallel to DH	ונוציא קו ע"ל נכחי לקו ד"ה
EG□ = AK□	והנה שטח ע"ג שוה לשטח א"כ
EH□ = KB□	וישאר שטח ע"ה שוה לשטח כ"ב
KB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{36}}$	אבל שטח כ"ב הוא שלשים ושש
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	מפני כי קו ג"ב ארבעה
GK = AN = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	וקו ג"כ השוה לקו א"נ תשעה
EH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{36}}$	ולכן שטח ע"ה גם הוא שלשים וששה
EA = AN = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	וקו ע"א תשעה בעבור כי הוא שוה לקו א"נ
AE is cut into halfs on M [= M midpoint of AE]	ותחצה קו א"ע על נקודת מ‫' והנה כי קו ע"א נחלק לחצאים על נקודת מ‫'
ED is added to AN	ונוסף בארכו קו ע"ד
(AD × DE) + EM² = DM²	ולכן יהיה הכאת קו א"ד בקו ד"ע והכאת ע"מ על עצמו שוים להכאת ד"מ על עצמו
according to Euclid, Elements II	כמבואר באקלידס במאמר שיני
AD × DE = EH□	אבל הכאת א"ד בד"ע הוא כמו שטח ע"ה
AD = DH	בעבור כי קו א"ד כמו קו ד"ה
EH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{36}}$	ושטח ע"ה הוא שלשים ושש
AD × DE = $\scriptstyle{\color{blue}{36}}$	הנה הכאת א"ד בד"ע הוא שלשים וששה
EM² = $\scriptstyle{\color{blue}{20+\frac{1}{4}}}$	והכאת ע"מ על עצמו הוא עשרים ורביע
(AD × DE) + EM² = $\scriptstyle{\color{blue}{36+\left(20+\frac{1}{5}\right)=56+\frac{1}{4}}}$	ותחברם יחד ויהיו חמישים ושש ורביע
MD² = $\scriptstyle{\color{blue}{56+\frac{1}{4}}}$	אם כן הכאת קו מ"ד על עצמו חמשים ושש ורביע
MD = $\scriptstyle{\color{blue}{7+\frac{1}{2}}}$	ולכן יהיה קו מ"ד שבעה וחצי
AM = $\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{1}{2}}}$	וקו א"מ ארבעה וחצי
AG = AD = $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$	אם כן קו א"ד כלו שנים עשר והוא שוה לקו א"ג
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וקו ג"ב הוא ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$ = AB = $\scriptstyle{\color{blue}{16}}$	הנה כי קו א"ב ששה עשר והוא האלגו
Q.E.D.	והוא מש"ל
These are the six types of canonical equations discussed in the book. Their solution procedures and their reasons were explained	ואלו הששה חלקים אשר הגדנו בזה הספר וביארנו מלאכתם ועלותיהם
Three of them are simple: $\scriptstyle ax^2=bx$ ; $\scriptstyle ax^2=c$ ; $\scriptstyle bx=c$	הנה השלשה מהם נפרדים והם אלגוש ישוו שרשים והאלגו ישוו מספרים ושרשים ישוו מספרים
Three of them are compound: $\scriptstyle ax^2+bx=c$ ; $\scriptstyle ax^2+c=bx$ ; $\scriptstyle bx+c=ax^2$	ושלשה מחוברים והם אלגוש ושרשים ישוו מספרים ואלגוש ומספרים ישוו שרשים ושרשים ומספרים ישוו אלגוש
Many of the algebraists [lit. the writers of "al-jabber and al-muqabala"] necessarily teach some of them	והרבה מסופרי האלג'בר ואלמקאבלא לא יוכל להיות שלא יורוך קצת מהם
For each canonical equation of these six canonical equations there are questions of restoration [lit. cobramiento] and reduction [lit. confrontamiento = confrontation] that are taught by the arithmeticians	ולכל חלק מאילו הששה חלקים שאלות אשר יורוך אותם בעלי המספר מהקובראמיינטו ומהקונפרונטאמיינטו
Multiplication of Algebraic Expressions
things×things	ואתחיל ראשונה מהכאת הדברי' האחד באחר
(things+numbers)²	והדברים והמספרים על עצמם
(things+numbers)×things	ועל הדברים
(things+numbers)×numbers	ועל המספרים
	מלבד אילו אשר אמרנו ובענין אחר אשר לא יתכן בלעדי ידיעתו מי שירצה לקרות בספר הזה
It will be explained how the things are multiplied by each other when they are alone, or with numbers, whether they are subtracted from the numbers or the numbers are subtracted from them;	ואבאר לך באיזה צד יתרבו הדברים והם השרשים האחד באחד כאשר יהיו נפרדים או כאשר יהיו עם מספרים בין שיהיו נגרעים מהמספרים בין שיהיו המספרי' נגרעים מהם
How they are added to each other;	ובאיזה צד יתחברו אלו עם אלו
How one is subtracted from the other.	וכיצד יגרע האחד מן האחר
$\scriptstyle\left(a+x\right)\times\left(b+x\right)$	וכאשר יהיו הדברים נוספים על המספרים
the fourth [interim product] is additive:	יהיה החלק רביעי נוסף
it is the product of the things by each other $\scriptstyle x\times x$ or the product of the numbers by each other $\scriptstyle a\times b$	והחלק הרביעי אז הוא הכאת הדברי' זה עם זה והכאת המספרים האחד עם האחר
Every two numbers that are multiplied by two numbers necessarily involve four multiplications	בעבור כי כל שני מספרים שיוכו בשני מספרים אחרים לא יתכן מבלעדי שיתרבו ארבע פעמים
Each of the first two numbers is multiplied by each of the two other numbers, so there are four multiplications	והוא שיוכו שני המספרים הראשונים בכל אחד מן השנים המספרים האחרים ותהיה ההכאה ארבע פעמים
$\scriptstyle\left(a-x\right)\times\left(b-x\right)$	וכאשר יהיו הדברים נגרעים מהמספרים
the fourth [interim product] is additive	יהיה החלק הרביעי נוסף
it is the product of the things by each other $\scriptstyle x\times x$	והוא הכאת הדברים האחד באחר
$\scriptstyle\left(a+x\right)\times\left(b-x\right)$	וכאשר היו האחד נוסף והאחר נגרע
the fourth [interim product] is subtractive	יהיה החלק הרביעי נגרע
it is the product of the things one by the other $\scriptstyle x\times x$	והוא הכאת הדברים האחד באחר
$\scriptstyle\left(x-a\right)\times\left(x-b\right)$	וכאשר היו המספרים נגרעים מהדברים
the fourth [interim product] is additive	יהיה החלק הרביעי נוסף
it is the product of one of the numbers by the other $\scriptstyle a\times b$	והחלק הרביעי אז הוא הכאת אחד המספרים באחר
$\scriptstyle\left(x+a\right)\times\left(x-b\right)$	וכאשר היו אחד משני המספרים נוסף על הדברים והאחר נגרע מהדברים
the fourth [interim product] is subtractive	יהיה החלק הרביעי נגרע
it is the product of one of the numbers by the other $\scriptstyle a\times b$	והוא הכאת אחד משני המספרים באחר
$\scriptstyle\left(a+x\right)\times\left(x-b\right)$	וכאשר היו הדברים נוספי' על המספרי' ויהיה מספר אחד נגרע מהדברי‫'
the fourth [interim product] is subtractive	יהיה החלק הרביעי נגרע
it is the product of the added things by the subtracted number $\scriptstyle x\times\left(-b\right)$	והוא הכאת הדברים נוספים במספר הנגרע
What should be done with the fourth interim product was described here, since the author saw that the arithmeticians start the multiplication with it.	וכבר הגדנו עם החלק רביעי מה הוא הראוי כפי מה שראיתי שבעלי המספר מתחילין עמו ובכפל
The fourth interim product can be other than the described above, yet the general rule is that the product of subtractives one by the other is additive [(-)×(-) = +], subtractive by additive is subtractive [(-)×(+) = -], and additive by additive is additive [(+)×(+) = +].	ואפשר שיהיה החלק הרביעי מבלעדי אשר ספרנו אלא כי כלל הדבר שהכאת הנשנים האחד באחר תוספת והנשנה בנוסף נגרע והנוסף בנוסף נוסף
the result of multiplication of things by things is a square $\scriptstyle x\times x=x^2$	ודע שהדברים בדברים אלגוש
things by numbers are things and roots, because the thing is a root and the root is a thing, they are two names that are denoting the same meaning.	והדברים במספרים דברים ושרשים בעבור כי הדבר הוא השורש והשורש הוא הדבר והם שני שמות נופלים על ענין אחד
$\scriptstyle x\times10$	ואם יאמרו לך כמה יהיה דבר אחד בעשרה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	תאמר עשרה דברים
conceiving the thing as one: $\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot10=10}}$	וביאור זה שתשים הדבר בדמיון האחד ותכה האחד בעשרה ויהיו עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	והם עשרה דברים
$\scriptstyle2x\times10$	ואם יאמרו כמה יהיו שני דברים על עשרה אהדרמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{2x\times10=20x}}$	תאמר עשרים
conceiving the two things as two: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10=20}}$	וביאור זה שתשים השני דברים בדימיון שנים ממספר ותכה שנים בעשרה ויהיו עשרים דברים
For any given amount things, each thing is conceived as one, then the sum of units of the things is multiplied by the number of dirham and the result are things.	וכן כמה שתרצה מהדברים תשים לעולם כל דבר בדימיון האחד ותכה כל מספרי הדבר במספר האדרהמיש והעולה יהיו דברים
Since, for any number that is multiplied by a certain algebraic species, each unit of the species is conceived as one.	בעבור כי כל מספר מהמספרים שיוכה במין אחד מהמינים יהיה כל אחד מהמינים בדמיון האחד
if there is one thing it is conceived as one	אם היה דבר תשים אחד
if there are two things they are conceived as two	ואם היו שנים תשים שנים
Also if there are squares, or whichever species one wishes to multiply by numbers - the product is of that same species.	וכן אם היה אלגוש או דבר אחר איזה דבר שתרצה ותכהו על המספרים והעולה הוא מאותו המין
Examples:	ואשים לך על זה תמונה לבאר לך לעין אשר אמרתי
$\scriptstyle x\times x$	ואם יאמרו לך כמה יהיה דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	תאמר אלגוש
Conceiving the thing as one, then multiplying it by one, which is one $\scriptstyle{\color{blue}{1\times1=1}}$ and this is a square	ואופנו שתשים הדבר בדימיון האחד ותכהו על אחד ויהיה אחד והוא אלגוש
$\scriptstyle2x\times2x$	ואם יאמרו כמה יהיו שני דברים על שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{2x\times2x=4x^2}}$	תאמר ארבעה אלגוש כמו שבארתי לך
$\scriptstyle3x\times2x$	וכן שלשה דברים בשני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{3\times2}}$	תכה שלשה בשנים
$\scriptstyle{\color{blue}{3x\times2x=6x^2}}$	ויהיו ששה אלגו
$\scriptstyle\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x$	וכן חצי דבר על חצי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x^2}}$	יהיה רביע מאלגוש
For any amount of things added or subtracted, each thing is conceived as a one, then these units are multiplied by the other units, and their product are squares	וכן כמה שתוסיף מהדברים או תגרע תשים כל דבר בדימיון האחד ותכה אילו האחדים עם האחדים האחרים והעולה מהם יהיה אלגוש
Geometric illustration of the "rule of the square and the thing"	ואשים לך על זה ענין אשר בו תבין משפט האלגוש והדבר
$\scriptstyle2x\times2x$	ואשים ענין זה בהכאת שני דברים בשני דברים

defining: AG = $\scriptstyle{\color{blue}{2x}}$	נניח קו א"ג שני דברים
HG = $\scriptstyle{\color{blue}{2x}}$	וקו ה"ג שני דברים
AG × GH = AH□	והכינו קו א"ג בקו ג"ה והיה שטח א"ה
Supposition: AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4x^2}}$	ונאמר ששטח א"ה הוא ארבעה אלגוש
Proof	ומופת זה
dividing line AG by the number of things in it: its segments are AB, BG	שנחלק קו א"ג על מספר מה שבו מן הדברים ויהיו חלקיו א"ב ב"ג
dividing line GH by the number of things in it: its segments are GD, DH	ותחלק קו ג"ה על מספר מה שבו מן הדברים ויהיו חלקיו ג"ד ד"ה
drawing a line from point B to E, parallel to GH	ותוציא מנקודת ב' קו אחד עד ע' על נכחות קו ג"ה
drawing line DC from point D, parallel to AG	ותוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ד"ח
equal quadrangles were generated by this in AH□, which are: CB□ = BD□ = DE□ = CE□	ונתחדשו מפני זה בשטח א"ה ד' מרובעים שוים והם מרובע ח"ב ומרובעי ב"ד וד"ע וח"ע
each of which is a square: CB□ = BD□ = DE□ = CE□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וכל אחד מאילו המרובעים אלגו
each of the lines AB; BG; GD; DH multiplied by one is a thing $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וכל אחד מקוי א"ב ב"ג ג"ד ד"ה מוכה באחד הוא דבר
This is the "rule of the square and the thing"	וזה הוא משפט האלגוש והדבר
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4x^2}}$	ושטח א"ה ארבעה אלגוש
Q.E.D.	ומש"ל
$\scriptstyle3x\times6$	ואם יאמרו כמה יהיו שלשה דברים בששה אדרהמיש
conceiving the three things as three $\scriptstyle{\color{blue}{3\times6=18}}$	תשים השלשה דברים בדימיון שלשה ותכה שלשה בששה ויהיו שמונה עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{3x\times6=18x}}$	והם שמנה עשר דברים

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{6}}$	ודימיון זה שנשים קו א"ב ששה מהמספרים
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	וקו ב"ד שלשה דברים
AB × BD = AD□	ותכה קו א"ב בב"ד ויהיה שטח א"ד
Supposition: AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{18x}}$	ונאמר ששטח א"ד שמנה עשר דברים
Proof	ומופת זה
dividing line AB, which is six, by the units in it: the result are six segments, which are AG, GH, HW, WZ, ZC, CB	שנחלק קו א"ב שהוא ששה על מה שבו מן האחדים ויצאו ששה חלקים והם א"ג ג"ה ה"ו ו"ז ז"ח ח"ב
dividing line DB by the number of things in it: its segments are BT, TK, KD	ותחלק קו ד"ב אל מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו ב"ט ט"כ כ"ד‫^[8]
drawing from points G, H, W, Z, C lines GE, HP, WN, ZM, CL parallel to BD	ותוציא מנקדות ג'ה'ו'ז'ח' קוים נכחיים לקו ב"ד והם קוי ג"ע ה"פ ו"נ ז"מ ח"ל
drawing from points T, K two lines TQ, KS parallel to AB	ועוד תוציא מנקודות ט"כ שני קוים נכחיים לקו א"ב והם קוי ט"ק כ"ס
AD□ consists of 18 equal quadrangles each is equal to CT□	ויהיה בשטח א"ד שמנה עשר שטחים שוים כמו שנגלה בתמונה כל שטח מהם שוה לשטח ח"ט
CT□ = BT × BC = $\scriptstyle{\color{blue}{x\times1}}$	ושטח ח"ט הוא מהכאת הדבר שהוא ב"ט באחד שהוא קו ב"ח
CT□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ושטח ח"ט דבר
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{18x}}$	ושטח א"ד כולו יהיה שמונה עשר דברי‫'
This is the "rule of the multiplication of the numbers by things"	וזהו משפט הכאת המספרים בדברים
Q.E.D.	וזהו מה שאנו בבאורו
$\scriptstyle\left(10+x\right)\times x$	ואם יאמרו לך כמה יהיה עשרה אהדרמיש ודבר בדבר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}$	תאמר שהם עשרה דברים ואלגו
The procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	ואופן מעשהו שתכה דבר בעשרה אדרהמיש ויהיו עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה דבר בדבר ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}$	ותקבצם ויהיו עשרה דברים ואלגוש אחד
Geometric illustration	ואבארהו לך בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמיש
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וקו ב"ג דבר אחד
AG × BG = AD□	ותכה קו א"ג בקו ב"ג ויצא שטח א"ד
Supposition: AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}$	ונאמר ששטח א"ד עשרה דברים ואלגוש אחד
Proof:	ומופת זה
BH = GD	שקו ב"ה כמו קו ג"ד
GD = BG	וקו ג"ד כמו קו ב"ג
BH = BG	אם כן קו ב"ה כמו קו ב"ג
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	אבל קו ב"ג דבר אחד
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	אם כן קו ב"ה דבר אחד
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וקו א"ב עשרה
AH□ = AB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח א"ה הוא מהכאת א"ב בקו ב"ה ולכן הנה הוא עשרה דברים
BD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ושטח ב"ד הוא אלגו
BD□ = BG² = $\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	כי הנה הוא מרובע והוא מהכאת ב"ג שהוא דבר על עצמו
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}$	ויהיה כל שטח א"ד עשרה דברים ואלגו אחד
Q.E.D.	והוא מה שאנחנו בבאורו
$\scriptstyle\left(10-x\right)\times x$	ואם יאמרו לך עשרה אדרהמיש פחות דבר אחד על דבר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}$	תאמר עשרה דברים פחות אלגו אחד
The procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	ומעשהו שתכה עשרה אדרהמיש בדבר ויהיה עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה דבר על דבר ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}$	תגרעהו מהעשרה דברי' וישאר עשרה דברים פחות אלגו
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנשים העשרה אדרהמיש קו א"ג
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ונניח קו ב"ג דבר אחד
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}$	וישאר קו א"ב עשרה אדרהמיש פחות דבר
AG × BG = AD□	ותכה קו א"ג בקו ב"ג ויצא שטח א"ד
drawing line BH from point B, parallel to GD	ונוציא מנקדת ב' קו נכחי לקו ג"ד והוא קו ב"ה
Supposition: AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2}}$	ונאמר כי שטח א"ה עשרה דברים פחות אלגו
Proof:	ומופת זה
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	כי היה שטח א"ד עשרה דברים
AD□ = AG × GD = $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot x=10x}}$	בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא עשרה בקו ג"ד שהוא דבר
GD = BG	בעבור כי ג"ד שוה לב"ג
BD□ = BG × GD = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ומרובע ב"ד אלגו בעבור כי הוא מהכאת קו ב"ג שהוא דבר בקו ג"ד השוה אליו
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2}}$	ולכן ישאר שטח א"ה עשרה דברים פחות אלגו
Q.E.D.	ומש"ל
$\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)$	ואם יאמרו לך כמה יהיו עשרה אדרהמיש ודבר בעשרה אדרהמיש ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}$	תאמר מאה אדרהמיש ואלגו ועשרים דברים
The procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	ומעשיהו הוא שתכה עשרה על עשרה ויהיו מאה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	עוד תכה עשרה על דבר ויהיו עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	וחזור ותכה דבר על עשרה אדרהמיש ויהיו עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה עוד דבר על דבר ויהיה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}$	ותקבצם ויהיה כלו מאה אדרהמיש ואלגוש ועשרים דברים
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}$	והוא שנשים קו א"ב עשרה אדרהמיש ודבר
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וא"ג ממנו עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ב דבר
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}$	וכן תשים קו ב"ד עשרה דרהמיש ודבר
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ב"ה ממנו דבר
HD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וה"ד עשרה
AB × BD = AD□	ותכה קו א"ב בקו ב"ד ויצא שטח א"ד
Supposition: AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2+20x}}$	ונאמר כי שטח א"ד מאה אדרהמיש ואלגוש ועשרים דברים
Proof:	ומופת זה
drawing line GC from point G, parallel to BD	שנוציא מנקודת ג' קו נכחי לקו ב"ד והוא קו ג"ח
drawing line HZ from point H, parallel to AB	ונוציא מנקודת ה' קו נכחי לקו א"ב והוא קו ה"ז
GH□ is a square	הנה שטח ג"ה מרובע
ZC□ is a square	וז"ח מרובע
according to Euclid	כמו שביאר זה אקלידס
GZ□ = HC□	ושטח ג"ז כמו שטח ה"ח
ZC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	אבל שטח ז"ח מאה
ZC□ = AG × HD = $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}$	כי הוא הווה מהכאת א"ג שהוא עשרה בקו ה"ד שהוא גם כן עשרה
ZG□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח ז"ג עשרה דברים
ZG□ = BH × AG = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}$	כי הנה הוא מהכאת ב"ה שהוא דבר בקו א"ג שהוא עשרה
CH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח ח"ה עשרה דברים
CH□ = BH × HD = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}$	בעבור כי הוא הוה מהכאת ב"ה שהוא דבר בקו ה"ד שהוא עשרה
GH□ = GB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ושטח ג"ה המרובע הוא אלגו בעבור כי הוא מהכאת קו ג"ב שהוא דבר בקו ב"ה שהוא גם כן דבר
AD□ = the sum of the four surfaces = $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2+20x}}$	ותקבץ הארבעה שטחים ויהיו כמו שטח א"ד והוא מאה אהדרהמיש ואלגוש ועשרים דברים
Q.E.D.	ומש"ל
$\scriptstyle\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)$	ואם יאמרו לך כמה יהיה עשרה אדרהמיש פחות דבר בעשרה אדרהמיש פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}$	תאמר מאה אדרהמיש ואלגוש פחות עשרים דברים
The procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	ואופן מעשיהו שתרבה עשרה אדרהמיש על עשרה אדרהמיש ויהיו מאה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times10=-10x}}$	תכה דבר נגרע בעשרה אדרהמיש ויהיו עשרה דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-x\right)=-10x}}$	עוד תשוב להכות עשרה אדרהמיש בדבר נגרע ויהיו עשרה דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times\left(-x\right)=x^2}}$	ותרבה דבר נגרע בדבר נגרע ויהיה אלגו נוסף
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}$	ותקבץ כל זה ויהיה מאה ואלגו פחות עשרים דברים
Geometric illustration	ואבארהו לך בזאת התמונה

defining: AB = AG - BG = $\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}$	והוא שתשים קו א"ב עשרה אדרהמיש פחות דבר שהוא ב"ג
GD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	ונשים קו ג"ד עשרה
GH = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ה ממנו דבר
ZC□ = AB × HD = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)}}$	ותכה קו א"ב שהוא עשרה אדרהמיש פחות דבר על קו ה"ד שהוא גם כן עשרה אדרהמיש פחות דבר ויהיה מרובע ז"ח
Supposition: ZC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2-20x}}$	ונאמר שמרובע ז"ח מאה אדרהמיש ואלגו פחות עשרים דברים
Proof:	ומופת זה
completing AD□	שנשלים שטח א"ד
drawing a straight line BC from point B, parallel to GD	ונוציא מנקודת ב' קו ישר נכחי לקו ג"ד והוא קו ב"ח
drawing line HZ from point H, parallel to AG	ונוציא מנקודת ה' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ה"ז
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	ושטח א"ד מאה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	בעבור כי קו א"ג עשרה
GD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וג"ד עשרה
ZG□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח ז"ג עשרה דברים
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	בעבור כי קו א"ג עשרה
GH = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ה דבר
BD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	וכן שטח ב"ד עשרה דברים
GD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	בעבור כי קו ג"ד עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וקו ג"ב דבר
BH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ושטח מרובע ב"ה הוא אלגוש
BH□ = BG × GH = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	בעבור כי הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בג"ה שהוא גם כן דבר
HC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2}}$	וישאר ה"ח עשרה דברים פחות אלגוס
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח א"ה עשרה דברים
GZ□ + HC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{20x-x^2}}$	ושטח ג"ז ושטח ה"ח יחד עשרים דברים פחות אלגוס
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	ושטח א"ד הוא מאה
ZC□ = AD□ - (AH□ + HD□) = $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2-20x}}$	וישאר שטח ז"ח מאה אדרהמיש ואלגו פחות עשרים דברים
Q.E.D.	והוא מש"ל‫^[9]
$\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)$	ואם יאמרו לך עשרה אדרהמיש ודבר על עשרה אדרהמיש פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}$	תאמר מאה אדרהמיש פחות אלגוש
The procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	ואופן מעשהו שתכה עשרה על עשרה ויהיה מאה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	ותכה הדבר הנוסף על עשרה ויהיה עשרה דברים נוספים
$\scriptstyle{\color{blue}{-x\times10=-10x}}$	ותכה הדבר הגורע על עשרה ויהיה עשרה דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(10x-10x\right)=100}}$	ותחסר הנוספים כנגד הנגרעים וישארו מאה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-x\right)=-x^2}}$	ותכה הדבר הנוסף בדבר הגורע ויהיה אלגו גורע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}$	ותגרע מהמאה אדרהמיש וישארו מאה פחות אלגוש
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}$	והיא שנשים קו א"ב עשרה ודבר
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	א"ג עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ב דבר
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}$	ונשים קו ב"ה עשרה דרהמיש פחות דבר
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	קו ב"ד עשרה
HD= $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וקו ה"ד דבר
AH□ = AB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\sdot\left(10-x\right)}}$	ונכה קו א"ב שהוא עשרה אדרהמיש ודבר בקו ב"ה שהוא עשרה פחות דבר ויהיה שטח א"ה
Supposition: AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}$	ונאמר ששטח א"ה הוא מאה אדרהמיש פחות אלגוש
Proof:	ומופת זה
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+10x}}$	שנשלים שטח א"ד והנה שטח א"ד מאה אדרהמיש ועשרה דברים
AC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	בעבור כי שטח א"ח מאה
AC□ = AG × GC = $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}$	כי הוא מהכאת א"ג שהוא עשרה בג"ח שהוא גם כן עשרה
GD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח ג"ד עשרה דברים
GD□ = GD × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}$	בעבור כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא עשרה
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+10x}}$	ויהיה כל שטח א"ד מאה אדרהמיש ועשרה דברים
ZC□ = CB□	ושטח ז"ח כמו שטח ח"ב
KC□ = ZC□ - MD□	ותבדיל משטח ז"ח כמו שטח מ"ד המרובע והוא שטח כ"ח
KD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2+2x^2}}$	ויהיה מפני זה שטח כ"ד שנים מרובעים ושנים אלגוש
ZT□ = MB□	וישאר שטח ז"ט כמו שטח מ"ב
AM□ + ZT□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}$	ויהיה שטח א"מ ושטח ז"ט מאה אדרהמיש פחות אלגוש
KC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	בעבור כי שטח כ"ח אלגוש
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}$	ולכן שטח א"ה יהיה מאה אדרהמיש פחות אלגוש
$\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)$	ואם יאמרו לך כמה יהיה עשרה אדרהמיש ודבר על דבר פחות עשרה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}$	תאמר אלגוש פחות מאה אדרהמיש
The procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ואופן מעשיהו שתכה הדבר פחות עשרה אדרהמיש על עצמו ויהיה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	ותכה עשרה אדרהמיש נוספים על דבר ויהיה עשרה דברים נוספים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-10\right)=-10x}}$	ותכה הדבר על העשרה אדרהמיש נגרעים ויהיה עשרה דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\left(10x-10x\right)=x^2}}$	ותשליך העשרה דברים הנוספים כנגד העשרה דברים הנגרעים וישאר אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-10\right)=-100}}$	ותכה העשרה אדרהמיש נוספים בעשרה אדרהמיש נגרעים ויהיה מאה אדרהמיש נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}$	ותגרעם מהאלגו וישאר אלגו פחות מאה אדרהמיש
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}$	והוא שתשים קו א"ב עשרה אדרהמיש ודבר
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	א"ג עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ב דבר
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{x-10}}$	ונניח קו ב"ה דבר פחות עשרה
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ב"ד הוא הדבר
DH = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וד"ה עשרה
AH□ = AB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\sdot\left(x-10\right)}}$	ותכה קו א"ב שהוא עשרה אדרהמיש ודבר על קו ב"ה שהוא דבר פחות עשרה ויהיה השטח א"ה
Supposition: AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2-100}}$	ונאמר ששטח א"ה אלגו פחות מאה אדרהמיש
Proof	ומופת זה
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}$	שנשלים שטח א"ד ויהיה שטח א"ד עשרה דברים ואלגוס
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10x+x}}$	בעבור כי קו א"ב עשרה אדרהמיש ודבר
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וקו ב"ד דבר
drawing line GC parallel to BD	ונוציא קו ג"ח נכחי לקו ב"ד
GD□ = GB × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ויהיה שטח ג"ד מרובע והוא אלגו' בעבור כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא גם כן דבר
AC□ = CH□	ויהיה שטח א"ח כמו שטח ח"ה
CG = CD	בעבור כי קו ח"ג כמו קו ח"ד
AG = HD	וקו א"ג כמו קו ה"ד
AC□ + GH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ומפני זה יהיה שטח א"ח ושטח ג"ה יחד אלגוש
KC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	אבל שטח כ"ח מאה
AG = KL	בעבור כי א"ג כמו כ"ל
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וא"ג עשרה
KL = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	לכן כ"ל עשרה
LC = HD	ול"ח כמו ה"ד
HD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וה"ד עשרה
LC = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	לכן ל"ח עשרה
KC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	ולכן שטח כ"ח מאה
AH□ = (GH□ + AC□) - KC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2-100}}$	וישאר שטח א"ה אלגו פחות מאה אדרהמיש
Q.E.D.	ומש"ל
$\scriptstyle\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)$	ואם יאמרו לך כמה יהיו עשרה אדרהמיש ושני שלישי דבר על שלשה אדרהמיש פחות ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}$	תאמר שלשים אדרהמיש פחות ארבעה אלגוש ופחות חמשים ושמנה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times3=30}}$	ואופן מעשיהו שתכה עשרה אדרהמיש על שלשה אדרהמיש ויהיו שלשים אדרהמיש
The procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times3=2x}}$	ותכה שני שלישי דבר על שלשה אדרהמיש ויהיו שני דברים נוספים
$\scriptstyle{\color{blue}{-6x\times10=-60x}}$	ותכה ששה דברים נגרעים על עשרה אדרהמיש ויהיו שישים דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(60x-2x\right)=30-58x}}$	ותשליך שני הדברים הנוספים כנגד השני דברים מן הנגרעים וישארו שלשים אדרהמיש פחות חמישים ושמנה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{-6x\times\frac{2}{3}x=-4x^2}}$	ותכה הששה דברים נגרעים על שני שלישי דבר הנוספים ויהיו ארבעה אלגוש נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}$	ותגרעם משלשים אדרהמיש וישארו שלשים אדרהמיש פחות ארבעה אלגו ופחות נ"ח דברים
Based on the explanation of the multiplication of things and numbers one by the other, one can solve all that is presented in this section.	ואשר ביארתי והוספתי ביאור מכפל הדברים והמספרים האחד באחר הוא אשר ממנו תוכל לעשות כל אשר יפול מידך מזה השער
Roots
Multiplication of Roots by Numbers
doubling a root of a known number or an unknown square	וכאשר תרצה לכפול שורש ממספר ידוע או מאלגוש בלתי ידוע
doubling = taking its two roots	ורצוני בהכפלה הנה לקיחת שני שרשיו
two roots of a known number or an unknown square	וכאשר תרצה שיהיו שני שרשי המספר הידוע או מהאלגוש הבלתי ידוע שורש מספר אחר או מאלגו אחר
$\scriptstyle2\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot a}$	תניח השני שרשים בדמיון שנים ותכה שנים על שנים והעולה תכהו על המספר הידוע או על האלגו הבלתי ידוע
three roots	וכאשר תרצה שלשה שרשים
$\scriptstyle3\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(3\sdot3\right)\sdot a}$	תכה שלשה על שלשה ועל האלגוש הבלתי ידוע או על המספר הידוע ויהיה שורש העולה שלשה שרשים מהמספר הידוע או מהאלגוש הבלתי ידוע
halving the root	וכאשר תרצה לחצות השורש
$\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot a}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot a}$	תכה חצי על חצי ויהיה רביע ותכה רביע על האלגו הידוע או על הבלתי ידוע ויהיה שורש העולה מההכאה הוא חצי שורש המספר הידוע או מהבלתי ידוע
So on for augmenting or reducing the roots	וכן כל מה שתוסיף או תגרע מהשרשים כמו שאמרנו
$\scriptstyle2\sdot\sqrt{16}$	ודמיון זה כאשר רצינו לכפול שורש ששה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{16}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot16}=\sqrt{4\sdot16}=\sqrt{64}=8}}$	תכה שנים על שנים ויהיו ארבעה ותכה הארבעה בששה עשר ויהיו שישים וארבעה ושורשו הוא שמנה והם שני שרשי ששה עשר
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

defining ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{16}}$	והוא שנניח הששה עשר שטח מרובע עליו אבג"ד
GD = √AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}}}$	וקו ג"ד הנה הוא שורש מרובע א"ד
extending line GD straight to H	וכאשר נרצה לכפול זה השטח נוציא קו ג"ד על יושר עד ה‫'
GH = GD	ונשים ג"ה שוה לג"ד
HD = 2√AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{16}}}$	ויהיה קו ה"ד שני שרשים משטח א"ד
the root of which number is it?	וכאשר נרצה לדעת שורש איזה מספר הוא
constructing: HZ□ = HD²	נשים על קו ה"ד שטח מרובע עליו ה"ז
Supposition: HZ□ = 4×GB□	ונאמר ששטח ה"ז ארבעה דימיוני שטח ג"ב
Proof:	ומופת זה
extending line GA straight to C	שנוציא קו ג"א על יושר עד נקודת ח‫'
extending line AB straight to T	וקו א"ב על יושר עד נקודת ט‫'
HZ□ consists of four equal quadrangulars: GB□, BC□, CT□, TG□	ויהיה בשטח ה"ז ארבעה מרובעים שוים והם מרובעים ג"ב ב"ח ח"ט ט"ג
HZ□ = 4×GB□	והוא מבואר שמרובע ה"ז ארבעה דימיוני מרובע ג"ב
GB² = $\scriptstyle{\color{blue}{16}}$	ומרובע ג"ב שש עשרה
HZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{64}}$	ולכן יהיה מרובע ה"ז ששים וארבע
HD = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}=8}}$	ויהיה קו ה"ד שורש ששים וארבע והוא שמנה
Q.E.D.	ומש"ל
$\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}$	וכאשר תרצה לקחת חצי שורש תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot9}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	תכה חצי על חצי ויהיה רביע ותכהו על תשעה ויהיה שנים ורביע וקח שורשו והוא אחד וחצי והוא יהיה חצי שורש תשעה
$\scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}$	וכאשר תרצה לקחת שני שלישי שורש תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{2}{3}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{4}{9}\sdot9}=\sqrt{4}=2}}$	תכה שני שלישים על שני שלישים והם ארבע תשיעיות ותכם על תשעה ויהיו ארבעה ושורשו שנים והם שני שלישי שורש תשעה
Geometric illustration	ואבאר לך זה בזאת התמונה

defining ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	והוא שנשים התשעה שטח מרובע עליו אבג"ד
GD = √AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	ויהיה קו ג"ד שורש תשעה והוא שורש שטח מרובע א"ד
the root of which number is it?	וכאשר נרצה לדעת שורש איזה מספר הוא
defining: KZLD□ = ZD²	נעשה על קו ז"ד שטח מרובע עליו כזל"ד
Supposition: KZLD□ = ⁴/₉GB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ונאמר ששטח כזל"ד ארבע תשיעיות שטח ג"ב והם ארבעה ממספר
Proof:	ומופת זה
extending line ZK straight to T	שנוציא קו ז"כ על יושר עד נקודת ט‫'
drawing line HC from point H, parallel to BD	ותוציא מנקודת ה' קו ה"ח נכחי לקו ב"ד
drawing line EP from point E, parallel to AB	ותוציא מע' קו ע"פ נכחי לקו א"ב
By this, nine equal surfaces are generated in GB□: HE□, EM□, MB□, MT□, TS□, KN□, KP□, PZ□, ZN□	ובזה יעשו בשטח ג"ב תשעה שטחים שוים והם ה"ע ע"מ מ"ב מ"ט ט"ס כ"נ כ"פ פ"ז ז"נ
ZL□ = ⁴/₉GB□	ויהיה שטח ז"ל ארבעה מאילו התשעה השטחים וזה השטח יהיה ארבעה תשיעיות משטח ג"ב
GB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	ושטח ג"ב תשעה
ZL□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ויהיה שטח ז"ל ארבעה
ZD= $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וקו ז"ד שורש ארבעה
Q.E.D.	ומש"ל
The same should be done with all that is of this kind	וכל מה שיפול בידך מזה המין תעשה בו ככה
Multiplication of Roots
$\scriptstyle\sqrt{9}\times\sqrt{4}$	ואם תרצה להכות שורש תשעה על שורש ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}=6}}$	תכה ארבעה על תשעה ויהיו שלשים ושש תקח שורשו והוא ששה והוא הכאת שורש תשעה על שורש ארבעה
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	והוא שתשים קו א"ב שורש תשעה
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וקו ב"ג שורש ארבעה
AB × BG	וכאשר תרצה להכות קו א"ב על קו ב"ג
constructing: AC□ = AG²	תשים על קו א"ג שטח מרובע עליו א"ח
drawing line BZ from point B, parallel to AH and GC	ותוציא מנקודת ב' על קו ב"ג קו נכחי לקוי א"ה ג"ח והוא קו ב"ז
AH = GC = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}}}$	וכל אחד מקוי א"ה ג"ח שורש תשעה ושורש ארבעה
MG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	ונשים קו מ"ג שורש תשעה
MC = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וישאר קו מ"ח שורש ארבעה
drawing straight line MK from point M, parallel to AG and HC	ונוציא מנקודת מ' קו ישר נכחי לקוי א"ג ה"ח והוא קו מ"כ
EA□ = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	ויהיה שטח ע"א תשעה
BE = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	וקו ב"ע שורש תשעה
EC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ושטח ע"ח ארבעה
ZE = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וקו ז"ע שורש ארבעה
ZE = EM	כי ז"ע שוה לע"מ
EM = BG	וקו ע"מ כמו קו ב"ג
EB = EK	וע"ב כמו ע"כ
ME : EK = ZE : EB	ויחס מ"ע אל ע"כ כיחס ז"ע אל ע"ב
ZE : EB = ZK□ : EA□	ויחס ז"ע אל ע"ב כיחס שטח ז"כ אל שטח ע"א
(the numbers of ZM□) × (the numbers of EA□) = (the numbers of ZK□)²	ולכן יהיה הכאת המספרים אשר בשטח ז"מ אל המספרים אשר בשטח ע"א כמו הכאת המספרים אשר בשטח ז"כ על עצמם
Euclid: when there are three proportional numbers, the product of the first number by the third is the same as the product of the second by itself. $\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2$	וכבר ביאר זה אקלידס ואמר כי כאשר היו שלשה מספרים מתייחסים יהיה הכאת המספר הראשון בשלישי כמו הכאת השיני על עצמו
(the units of EC□) × (the units of EA□) = $\scriptstyle{\color{blue}{4\times9=36}}$	אבל הכאת מה שבשטח ע"ח מהאחדים שהם ארבעה על אחדי שטח ע"א שהם תשעה יהיה שלשים ושש
ZK□² = $\scriptstyle{\color{blue}{36}}$	והכאת מה שבשטח ז"כ מהאחדים על עצמם יהיה כמו כן שלשים ושש
ZK□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{36}=6}}$	ושטח ז"כ שורש שלשים ושש והוא ששה
ZK□ = KE × EC = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}}}$	והוא הוה מהכאת שורש תשעה על שרש ארבעה בעבור כי קו כ"ע שרש תשעה וע"ז שרש ארבעה
Q.E.D.	ומש"ל
$\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)$	ואם יאמרו לך כמה יהיו הכאת שני שרשי עשרה על חצי שורש חמשה
the root of which number is $\scriptstyle2\sdot\sqrt{10}$ ?	תסתכל שני שרשי עשרה שורש של איזה מספר הם על הדרך שהראיתיך
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{10}=\sqrt{40}}}$	ותמצא שהם שרש לארבעים
the root of which number is $\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}$ ?	ותחפש לאי זה המספר הוא שורש חצי שורש חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}$	ותמצא שהוא שורש לאחד ורביע
$\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{40}\times\sqrt{1+\frac{1}{4}}$	ויהיה כאלו שאלו כמה יהיה הכאת שורש ארבעים על שורש אחד ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)=50}}$	ותכה ארבעים על אחד ורביע ויהיו חמישים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{50}}}$	ותאמר שורש חמישים הוא הכאת שני שרשי עשרה על חצי שורש חמשה
Geometric illustration	ואניח לך על זה המעשה תמונה כוללת

For every number multiplied by a number, the root of the product is the same as the product of the root of one of the numbers multiplied by the root of the other number $\scriptstyle\sqrt{A\times B}=\sqrt{A}\times\sqrt{B}$	כל מספר שיוכה על מספר ונקח שורש העולה יהיה כמו הכאת שורש מספר אחד מהם לשרש מספר האחר
A; B are numbers	משל זה שנשים ב' א' שני מספרים
G = √B	ושורש ב' ג‫'
D = √A	ושורש א' ד‫'
Z = B × A	ונכה ב' על א' ויהיה ז‫'
C = G × D	ונכה ג' על ד' ויהיה ח‫'
Supposition: C = H = √Z	ונאמר שח' כמו ה' שהוא שורש ז‫'
Proof	ומופת זה
B = G²	שג' מוכה על עצמו היה ב‫'
C = G × D	ומוכה על ד' היה ח‫'
G : D = C : A	ויהיה יחס ג' אל ד‫'^[10] כיחס ח' אל א‫'
G : D = B : C	והיה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח‫'
B : C = C : A	ולכן יהיה יחס ב' אל ח' כיחס ח' אל א‫'
B × A = C²	והכאת ב' על א' יהיה כמו הכאת ח' על עצמו
B × A = Z	אבל הכאת ב' על א' הוא ז‫'
C² = H²	והכאת ח' על עצמו יהיה כמו הכאת ה' על עצמו
C = H	וח' כמו ה‫'
Q.E.D.	ומש"ל
What was added and explained of this type is enough.	ובמה שהוספתי וביארתי מזה המין בו השלמה
Division of Roots
When the divisor is multiplied by the result of division, the dividend returns. $\scriptstyle\frac{A}{B}\times B=A$	גם דע כי כאשר תכה המחלק על העולה לחֶלק ישוב המספר שחלקת
$\scriptstyle{\color{blue}{10\div2=5}}$	משל זה כאשר חלקת עשרה על שנים ויצא לכל חלק חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}$	ותכה חמשה על שנים ויהיו עשרה והוא המספר הנחלק
Geometric illustration	ואשים לזה המעשה תמונה כללית

For every number divided by another number, the product of the quotient by the divisor is the same as the dividend $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	כל מספר שיהיה נחלק על מספר אחר יהיה הכאת העולה לכל חלק על המספר המחלק כמו מספר הנחלק
A ÷ B = G	משל זה שא' המספר הנחלק וב' הוא המחלק וחלקנו א' על ב' ועלה לכל חלק ג‫'
Supposition: B × G = A	ואומר שהכאת ב' על ג' הוא א‫'
Proof	ומופת זה
A ÷ B = G	כי כבר נחלק א' על ב' ועלה הג‫'
G is in A as many times as the units in B.	ולכן יהיה ג' בא' כל כך פעמים כמו שהוא בב' מן האחדים
G : A = 1 : B	ויהיה מפני זה יחס ג' אל א' כיחס האחד אל ב‫'
1 × A = G × B	והכאת האחד על א' כהכאת ג' על ב‫'
1 × A = A	אבל הכאת האחד על א' הוא א‫'
B × G = A	אם כן הכאת ב' על ג' הוא גם כן א‫'
Q.E.D.	ומש"ל
$\scriptstyle\sqrt{9}\div\sqrt{4}$	ואם יאמרו תחלק שורש תשעה על שורש ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\div\sqrt{4}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	תחלק תשעה על ארבעה ויגיע לכל חלק שנים ורביע תקח שורשו והוא אחד וחצי והוא שורש תשעה מחולק על שורש ארבעה
$\scriptstyle\sqrt{10}\div\sqrt{2}$	ואם יאמרו תחלק שורש עשרה על שורש שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\div\sqrt{2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}$	תחלק עשרה על שנים ויעלה אל החלק חמשה וקח שורשו
$\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}$	ואם יאמרו לך תחלק שנים שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה
the root of which number is $\scriptstyle2\sdot\sqrt{20}$ ?	תחפש שנים שרשים מעשרים לאיזה מספר הם שורש
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{20}=\sqrt{80}}}$	וידענו ממה שביארנו שהם שורש לשמנים
the root of which number is $\scriptstyle3\sdot\sqrt{6}$ ?	ותחפש כמו כן שלשה שרשים מששה לאיזה מספר הם
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt{6}=\sqrt{54}}}$	ותמצא שהם שורש לחמישים וארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{\frac{80}{54}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\right)}}}$	ותחלק שמנים על חמישים וארבעה ויעלה אל החלק אחד וארבעה תשיעיות ושלישית התשיעית ושורש זה הוא מה שיעלה אל החלק מחלוקת שנים שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה
Proceed with all that is of this kind as done in this procedure.	וכן כל אשר יפול בידך מזה המין עשה כן כמעשה הזה
Geometric illustration	ואמשיל לך מזה המין בתמונה כוללת
For every two numbers, one of which is divided by the other, the root of the quotient is the same as the quotient of the root of the dividend divided by the root of the divisor $\scriptstyle\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$	והוא זה כל שני מספרים שיחלק האחד על האחר יהיה שורש העולה אל החלק כמו העולה מחלוקת שורש המספר הנחלק על שורש המספר המחלק

A ÷ B = G	משל זה שמספר א' נחלק על מספר ב' ועלה מספר ג‫'
C = √A	ושורש מספר א' הוא ח‫'
D = √B	ושורש מספר ב' הוא ד‫'
C ÷ D = E	וחלקנו ח' על ד' ועלה ע‫'
Supposition: E = √G	ונאמר שע' הוא שורש ג‫'
Proof:	ומופת זה
A ÷ B = G	שא' נחלק על ב' ועלה ג‫'
G counts A by the number of units in B	ויהיה מפני זה ג' ימנה א' במספר מה שבב' מן האחדים
the units of D = the number of times that E is in C	וכן יהיו אחדי ד' במספר דימיוני ע' בח‫'
$\scriptstyle1\times1=1$	ואחד מוכה על אחד הוא אחד
D²=B	וד' מוכה על עצמו הוא ב‫'
E²=M	וע' מוכה על עצמו הוא מ‫'
the number of units of B = the times that M is in A	ומספר אחדי ב' יהיו כמו דימיוני מ' בא‫'
the number of units of B = the times that G is in A	אבל מספר אחדי ב' יהיה כמספר דימיוני ג' בא‫'
the number of times that G is in A = the number of times that M is in A	הנה כי מספר דימיוני ג' בא' יהיה כמספר דימיוני מ' בא‫'
M = G	וג' ישוה למ‫'
E = √M	וע' הוא שורש מ‫'
E = √G	הנה כי ע' שורש ג‫'
Q.E.D.	ומש"ל‫^[11]
Addition of Roots	בחבור השרשים האחד עם האחר
Adding a root of a number to a root of another number so that they are summed to a root of a certain square:	וכאשר תרצה לחבר שורש מספר מהמספרים אל שורש מספר אחר עד שיחובר שורש איזה אלגוש
This cannot be done with every number,	הנה זה לא יתכן בכל מספר
but it is possible for two [perfect] square numbers, i.e. numbers that have a root;	אבל יתכן בשני מספרים מרובעים רצוני במספרים המרובעים שיחזיקו שורש
or for two numbers, such that when one of them is divided by the other, the quotient has a root, and when one of them is multiplied by the other, the product has a root.	או בשני מספרים שכאשר נחלק האחד על האחר עלה אל החלק שורש וכאשר תכה האחד על האחר היה המקובץ שורש
For numbers other than these it is not possible to sum their two roots to a single root	ובמספרי' אחרים מבלעדי אילו לא יתכן שתחבר שני שרשיהם עד שתשיבנה שורש אחד
The same for the subtraction of roots one from the other	וכן בגרוע האחד מן האחר
This is especially clear.	ואלו יהיו הרבה מבוארים
$\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}$	ויהיו שני המספרים המרובעים תשעה וארבעה וכאשר תרצה לחבר שורש תשעה ושורש ארבעה עד שיהיו שורש למספר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{9+4=13}}$	תחבר תשעה וארבעה ויהיו י"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}$	ותכה תשעה על ארבעה ויהיו שלשים וששה
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{36}=12}}$	וקח שני שרשיו והם שנים עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}$	תחברם עם שלש עשרה ויהיו עשרים וחמשה ושרשו חמשה והם שורש תשעה ושורש ארבעה מקובצים
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	וזה שנניח קו א"ב שורש תשעה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וקו א"ג שורש ארבעה
the root of which number is GB?	וכאשר נרצה לדעת קו ג"ב שורש איזה מספר הוא
constructing: GZ□ = GB²	נעשה על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ז
GB = √GZ□	ויהיה קו ג"ב שורש ג"ז
ABKL□ = AB²	ונעשה על קו א"ב שטח מרובע עליו אבכ"ל
extending line AK straight to C	ונוציא א"כ על יושר עד נקודת ח‫'
extending line LK straight to E	וקו ל"כ על יושר עד נקודת ע‫'
KB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	ויהיה שטח כ"ב תשעה
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	בעבור כי קו א"ב הוא שורש תשעה
EC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ושטח ע"ח ארבעה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	בעבור כי א"ג הוא שורש ארבעה
AG = EB	וא"ג כמו ע"כ
AE□ = AB × AG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=6}}$	ושטח א"ע ששה כי הוא מהכאת שורש תשעה שהוא קו א"ב על שורש ארבעה שהוא קו א"ג
GZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	ושטח ג"ז עשרים וחמשה
BG = √GZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{25}=5}}$	וקו ג"ב הוא שורשו והוא חמשה
Q.E.D.	ומש"ל
Subtraction of Roots	בגרעון השרשים האחד מן האחר
$\scriptstyle\sqrt{9}-\sqrt{4}$	וכאשר תרצה לגרוע שרש ארבעה משורש תשעה עד שיהיה מה שישאר משורש תשעה שורש מספר אחד פחות שורש מהמספר האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{9+4=13}}$	תחבר התשעה עם הארבעה ויהיו שלשה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}$	ותכה תשעה על ארבעה ויהיו שלשים וששה
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{36}=12}}$	קח שני שרשיו והם שנים עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}-\sqrt{4}=\sqrt{13-12}=\sqrt{1}=1}}$	ותחסרם מן השלשה עשר וישאר אחד ושורש האחד הוא יהיה הנשאר משורש תשעה בחסרך ממנו שורש ארבעה והוא אחד
Geometric illustration	ואבארהו לך בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	והוא שנניח קו א"ב שורש תשעה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	ושורש א"ג שורש ארבעה
GB = AB - AG	וכאשר נגרע קו א"ג מקו א"ב ישאר קו ג"ב
the root of which number is GB?	וכאשר נרצה לדעת מספר קו ג"ב שורש איזה מספר הוא
constructing: AZ□ = AB²	נשים על קו א"ב שטח מרובע עליו א"ז
AZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	ויהיה שטח א"ז תשעה
constructing: AM□ = AG²	ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו א"מ
AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ויהיה שטח א"מ ארבעה
extending line CM straight to N	ותוציא קו ח"מ על יושר עד נ‫'
extending line GM straight to K	וקו ג"מ על יושר עד כ‫'
MZ□ = GB²	והוא ידוע כי מרובע מ"ז הוא מהכאת קו ג"ב על עצמו
CK□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ושטח ח"כ שנים
AC□ = AG × AH = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}\times\sqrt{9}=6}}$	בעבור כי כל שטח א"כ ששה כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שורש ארבעה בא"ה שהוא שורש תשעה
AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ושטח א"מ ארבעה
CK□ = AC□ - AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וישאר שטח ח"כ שנים
MB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ולזה יהיה שטח מ"ב שנים
MZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{1}}$	וישאר מרובע מ"ז אחד
MN = √MZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1}=1}}$	וקו מ"נ הוא שורשו והוא אחד
GB = MN	וכבר היה קו מ"נ כמו קו ג"ב
Q.E.D.	ומש"ל
$\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$	וכאשר תרצה לחבר שרש שמנה עשר ושרש שמנה עד שיהיו שורש המספר האחד פחות שורש המספר האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	זה המספר יתכן לחברו בעבור כי כאשר תחלק שמנה עשר על שמנה יגיע לחלק שנים ורביע ומחזיק שורש ושורשו הוא אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{8}{18}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}}}$	ואם תחלק שמנה על שמנה עשר יגיע לחלק ארבע תשיעיות ומחזיק שורש ושורשו הוא שני שלישים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18\sdot8}=\sqrt{144}=12}}$	ואם תכה י"ח על ח' יהיו קמ"ד ומחזיק שורש ושרשו י"ב
For every number whose root is added to a root of another number, which obeys this rule, their two roots can be summed to a root of a single number.	וכל מספר שתחבר שורשו אל שורש מספר אחר ויהיה משפטו זה המשפט יהיו שני שרשיהם מחוברים עד שיהיו שורש מספר אחד
If one of the three sufficient conditions, which are said to occur in numbers, holds, then the three sufficient conditions hold.	וכאשר היה ספק אחד מאלו השלש ספקות אשר אמרנו אשר ימצאו במספרים יהיו השלשה ספיקות נמצאים
$\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}$	וכאשר תרצה לדעת שורש איזה מספר הוא תעשה כאשר אמרנו
$\scriptstyle{\color{blue}{18+8=26}}$	והוא שתחבר ח' עם י"ח ויהיו כ"ו ותשמרם
$\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot18=144}}$	ותכה ח' על י"ח ויהיו קמ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{144}=24}}$	ותקח שני שרשיו והוא כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}+\sqrt{8}=\sqrt{26+24}=\sqrt{50}}}$	ותחברם על הכ"ו ששמרת ויהיו נ‫' ושורשו הוא שורש ח' ושורש י"ח מקובצים
$\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}$	ואם רצונך לגרוע שורש ח' משורש י"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}}}$	תגרע הכ"ד מהכ"ו וישארו שנים ושורש שנים הוא שרש י"ח פחות שורש ח‫'
$\scriptstyle\sqrt{10}+\sqrt{2}$	ואם באת לחבר שורש עשרה עם שורש שנים
It cannot be summed to a root of a single number	זה לא יתכן לחברו ולא יתכן היותו שורש למספר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}$ no root	בעבור כי כאשר תחלק עשרה על שנים יגיע לחלק חמשה והחמשה אינם מחזיקים שורש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{10}}=\sqrt{\frac{1}{5}}}}$ no root	וכאשר תחלק שנים על עשרה יגיע לחלק חומש ואין שורש לחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10}=\sqrt{20}}}$ no root	ואם תכה שנים על עשרה יהיו עשרים ואין שורש לעשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}+\sqrt{2}=\sqrt{12+2\sqrt{20}}}}$	ואם תחברם כאשר הראיתיך יהיו שנים שרשים מעשרים מחוברים עם שנים עשר ושורשו הוא שורש עשרה ושורש שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}-\sqrt{2}=\sqrt{12-2\sqrt{20}}}}$	ואם בקשת לחסר האחד מן האחר תעשה כאשר אמרתי ויצא שנים עשר פחות שנים שרשים מעשרים ושורש הנשאר הוא שרש עשרה פחות שורש שנים
The question is more proper than the answer	והשאלה בזה יותר נכונה מהתשובה
When you are asked a thing of this kind, your answer should be exactly similar to what was introduced to you	וראוי לך כאשר ישאלו ממך איזה דבר מזה הסוג שתהיה תשובתך עליה על דמיון אשר יוציאו לפניך בשוה
It is more proper to say "the root of ten and the root of two", than to say "twelve and two roots of twenty, their root extracted".	כי כאשר תאמר שורש עשרה ושורש שנים יותר נכון מלאמר שנים עשר ושנים שרשים מעשרים ולקוח שורשו
Also, for subtracting one from the other: it is more proper to say "the root of ten minus the root of two", than to say "twelve minus two roots of twenty - the extracted root of the remainder", which is the root of ten minus the root of two.	ויותר נכון לומר בגרעון האחד מן האחר שורש עשרה פחות שורש שנים מלומר שנים עשר פחות שני שרשים מעשרים ולקוח שורש הנשאר שיהיה שורש עשרה פחות שורש שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{20}=\sqrt{80}}}$	ושנים שרשים מעשרים יהיה שורש משמנים
What was explained is complete.	ועם אשר ביארתי מזה בו השלמה

Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations
For each of the six principles I have shown you, I will give you a question taught by the algebraists.	ואלו הששה בקשות אשר הראיתיך הנני עושה לך לכל חלק מהששה חלקים שאלה אשר כבר יורוך אותם חכמי האלג'בר

The first problem of the six is: If you are told: divide ten into two parts, then multiply one part by the other and multiply the larger part by itself. The [product] of the part that is multiplied by itself is the same as the product of the one part by the other and as its half. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=\left(a\sdot b\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(a\sdot b\right)\end{cases}$	והשאלה הראשונה מן הששה היא אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים ותכה החלק האחד על האחר ותכה החלק הגדול על עצמו ויהיה החלק המוכה על עצמו כמו הכאת החלק האחד על האחר וכמו חציו
The procedure: defining: the larger part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שנניח החלק הגדול דבר
the other part as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והחלק האחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$	ותכה דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה החלק הגדול על עצמו והוא דבר ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(10x-x^2\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(10x-x^2\right)}}$	וזה האלגו יהיה כמו עשרה דברים פחות אלגו וכמו חצי זה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10x-x^2\right)=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}$	ותכה עשרה דברים פחות אלגו על אחד וחצי ויעלה חמשה עשר דברים פחות אלגו וחצי ואלו ישוו אלגו
Restoration of $\scriptstyle15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)$ : $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}$	ותניח^[12] החמשה עשר עם האלגו וחצי עד שיהיו ט"ו דברי' ותחבר האלגו וחצי עם האלגו
$\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot x^2=15x$	ויהיה ^אז שני אלגוש וחצי ישוו חמשה עשר דברי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6x}}$	ולכן האלגו ~~הוא~~ ^ישוה ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	והדבר ישוה ששה והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}$	והחלק האחר יהיה ארבעה והוא הנשאר מהעשרה
this problem demonstrates the first of the six canonical equations: $\scriptstyle ax^2=bx$	וזאת השאלה אראך לחלק הראשון מהששה חלקים והוא אלגו ישוו שרשים
Geometrical illustration of the problem	ואבאר זאת השאלה בתמונה מהתמונות

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	א"ג החלק הגדול
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	וג"ב החלק הקטן
GD□ = AG × GB	ונכה קו א"ג על קו ג"ב ויהיה ^[13]שטח ג"ד
GH = AG	בעבור שהנחנו קו ג"ה כמו קו א"ג
AH□ = AG²	ונכה קו א"ג על עצמו ויהיה שטח מרובע א"ה
AH□ = GD□ + ½GD□	אבל שטח א"ה כמו שטח ג"ד וכמו חציו
GA = GB + ½GB	ולכן קו ג"א יהיה כמו קו ג"ב וכמו חציו
AB = 2½GB	וקו א"ב כלו יהיה כמו קו ג"ב שני פעמים וחצי
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	אבל קו א"ב עשרה
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	יהיה קו ב"ג ארבעה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{6}}$	וקו א"ג ששה
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
2) The second problem	והשאלה השנית
You divide ten into two parts, then multiply one of them by itself and multiply the ten by itself. The product of ten by itself is the same as the product of one of the parts by itself 6¼ times. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle10^2=a^2\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\end{cases}$	עשרה תחלקהו לשני חלקים ותכה אחד מהם על עצמו ותכה העשרה על עצמו ויהיה העולה מהכאת עשרה על עצמו כמו העולה מהכאת אחד החלקים על עצמו ששה פעמים ורביע
The procedure: defining one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכהו על עצמו והוא אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}$	ותכה העשרה על עצמו ויהיה מאה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100}}$	ואלו המאה יהיו כמו האלגו ששה פעמים ורביע ותכה האלגו על ששה ורביע ויהיה ששה אלגוש ורביע ישוו מאה
Normalization of $\scriptstyle\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100 /\sdot\frac{4}{25}=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	והשיבם אל אלגו אחד והוא ארבעה חלקים מעשרים וחמשה והם ארבעה ח^ומשים מהחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=100\sdot\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)=16}}$	וקח מהמאה ארבעה חומשים מהחומש ויהיו שש עשרה ואלו הששה עשר ישוו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ושרשו ארבעה והוא החלק המבוקש
this problem demonstrates the second of the six canonical equations: $\scriptstyle ax^2=c$	וזאת השאלה הראיתיך לחלק שני מהששה חלקים שהוא אלגוש ישוו מספרים
Geometrical illustration of the problem	ואבארה לך בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
GB is the sought number	וג"ב המספר המבוקש
AM□ = AB² = $\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100}}$	ואכה קו א"ב שהוא עשרה על עצמו ויהיה מאה והוא שטח א"מ
GD□ = GB²	ואכה קו ג"ב שהוא החלק המבוקש על עצמו ויהיה מרובע ג"ד
AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$ = 6¼GD□	ושטח א"מ שהוא מאה הוא ששה פעמי' ורביע מרובע ג"ד
GD□ is cut into four identical segments each is equal to BC□	ותחלק מרובע ג"ד לארבעה חלקים שוים כל אחד מהם כמו שטח ב"ח
AM□ = 25CB□	ויהיה שטח א"מ עשרים [וחמשה]^[14] פעמים כמו שטח ח"ב
AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	ושטח א"מ מאה
BC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ושטח ב"ח ארבעה
GD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{16}}$	וג"ד שש עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וקו ג"ב ארבעה והוא החלק המבוקש
Q.E.D.	וזה מה שרצינו לבארו
3) The third problem	והשאלה השלישית
Divide ten into two parts, then divide the larger part by the smaller part and the result is four. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=4\end{cases}$	תחלק עשרה לשני חלקים ותחלק החלק הגדול על החלק הקטן ויגיע לחלק ארבעה
The procedure: defining: the smaller part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שנשים החלק הקטן דבר
the larger [part] as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והגדול עשרה פחות דבר
$\scriptstyle\frac{10-x}{x}=4$	ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויגיע לחלק ארבעה
It was already shown that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	כבר הראיתיך כי כאשר תכה המגיע לחלק על המחלק שיעלה המספר המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{10-x=4x}}$	אחרי כן תכה דבר על ארבעה ויהיו ארבעה דברים ישוו עשרה פחות דבר
Restoration of $\scriptstyle10-x$ : $\scriptstyle{\color{blue}{4x+x}}$	ותכלול^[15] העשרה עם הדבר עד שיהיו עשרה אדרהמיש ותחבר דבר עם הארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{10=5x}}$	ויהיה עשרה ישוו חמשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}$	והדבר ישוה שני אדרהמיש
this problem demonstrates the third of the six canonical equations: $\scriptstyle bx=c$	וזאת השאלה הוצאתיה לחלק שלישי מהששה חלקים והוא הדברים ישוו המספרים
Geometrical illustration of the problem	ואבארה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וג"ב החלק הקטן
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	וקו א"ג החלק הגדול
AG ÷ GB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וכאשר נחלק קו א"ג על קו ג"ב יעלה לחלק ארבעה
AG = 4×GB	וא"ג יהיה ארבעה כפלי ג"ב
AB = 5×GB	וא"ב יהיה חמשה כפלי ג"ב
GB = ⅕AB	וג"ב הוא חמישית א"ב
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	אבל א"ב עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וג"ב שנים
Q.E.D.	ומש"ל
4) The fourth problem	והשאלה הרביעית
We divided ten into two parts, then we multiplied the smaller part by nine and the larger part by itself and the [products] were equal. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=9b\end{cases}$	חלקנו עשרה לשני חלקים והכינו החלק הקטן על תשעה והגדול על עצמו והיו שוים
The procedure: defining the larger part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שנשים החלק הגדול דבר
the smaller [part] as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והקטן עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה דבר על עצמו והוא אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot9=90-9x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{90-9x=x^2}}$	ותכה עשרה פחות דבר על תשעה ויהיו תשעים אדרהמיש פחות תשעה דברים ישוו אלגוש
Restoration of $\scriptstyle90-9x$ : $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x}}$	ותציעם^[16] עם התשעה דברים ותוסיפם על האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x=90}}$	ויהיה אלגוש ותשעה דברים ישוו תשעים אדרהמיש
The method that yields the thing: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2+90}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)^2+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{1}{2}\right)-\left(4+\frac{1}{2}\right)=6\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא לך הדבר הוא שתקח חצי הדברים ויהיו ארבעה וחצי ותכם על עצמם ויהיו עשרים ורביע ותוסיפם על התשעים ויהיו מאה ועשר ורביע ושרשו הוא עשרה וחצי ותגרע מהם מחצית השרשים שהוא ארבעה וחצי וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול
The method that yields the square: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)+90-\sqrt{\left(9^2\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)+90-\sqrt{\left(81\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(40+\frac{1}{2}\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(1640+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{8930+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\left(94+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(130+\frac{1}{2}\right)-\left(94+\frac{1}{2}\right)=36\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא לך האלגו הוא שתכה התשעה דברים על עצמם ויהיה שמנים ואחד ותכם על התשעים ויהיה שבעת אלפים ומאתים ותשעים וקח מחצית שמנים ואחד ויהיה ארבעים וחצי ותכם על עצמם ויהיה אלף תר"מ ורביע ותחברם עם 0טבז ויהיו שמנת אלפים ותשע מאות ושלשים ורביע ותקח שרשו והוא תשעים וארבעה וחצי וגרעם מן הארבעים וחצי שהוא מחצית פ"א ומן התשעים שישוו האלגו והשרש והם ק"ל וחצי וישאר ל"ו והם האלגו
this problem demonstrates the fourth of the six canonical equations: $\scriptstyle ax^2+bx=c$	וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק הרביעי מהששה חלקים והוא האומר אלגוש ושרשים ישוו מספרים
Geometrical illustration of the problem	ואבארה לך בתמונה זו

defining: BA = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנשים קו ב"א עשרה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וקו א"ג החלק הגדול
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	וג"ב החלק הקטן
AG² = GB × 9	והיה א"ג על עצמו כמו ג"ב על תשעה
(AG × 9) + (GB × 9) = $\scriptstyle{\color{blue}{90}}$	וא"ג על תשעה וג"ב על תשעה יחד הם תשעים
defining: AD = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	ונניח א"ד תשעה
AG² + (AG × AD) = 90 = DG × GA	וא"ג על עצמו ועל א"ד יהיה תשעים והוא כמו ד"ג על ג"א
DG × HA = $\scriptstyle{\color{blue}{90}}$	וד"ג על ה"א יהיה תשעים
DA = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	וקו ד"א תשעה
DA is halved on H [= H midpoint of DA]	ונחלק לחצאים על נקדת ה‫'
AG is added to DA	ונוסף על עצמו לארכו קו א"ג
DG × AG = $\scriptstyle{\color{blue}{90}}$	והיה הכאת ד"ג על א"ג תשעים
AH² = $\scriptstyle{\color{blue}{20+\frac{1}{4}}}$	והכאת א"ה על עצמו יהיה עשרים ורביע
(DG × AG) + AH² = $\scriptstyle{\color{blue}{90+\left(20+\frac{1}{4}\right)=110+\frac{1}{4}}}$	ותקבצם עם תשעים ויהיו מאה ועשר ורביע
HG² = $\scriptstyle{\color{blue}{110+\frac{1}{4}}}$	ולכן יהיה הכאת קו ה"ג על עצמו הוא מאה ועשר ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{110+\frac{1}{4}}=10+\frac{1}{2}}}$	ושרשו עשרה וחצי
HG = $\scriptstyle{\color{blue}{10+\frac{1}{2}}}$	אם כן קו ה"ג עשרה וחצי
HA = $\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{1}{2}}}$	אבל ה"א ארבעה וחצי
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	וישאר א"ג ששה והוא החלק הגדול
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}$	וג"ב ארבעה והוא החלק הקטן
Q.E.D.	ומש"ל
5) The fifth problem	והשאלה החמישית
We divided ten into two parts, then we multiplied the one [part] by the other and the result was 21. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=21\end{cases}$	חלקנו עשרה לשני חלקים והכינו האחד על האחר והיה עשרים ואחד
The procedure: defining: one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שנשים החלק האחד דבר
the other part as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2=21}}$	ונכה דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו וישוו עשרים ואחד אדרהמיש
Restoration of $\scriptstyle10x-x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{21+x^2}}$	ותכלול העשרה פחות אלגו עם האלגו והוסיף אותו על העשרים ואחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21=10x}}$	ויהיה אלגו ועשרים ואחד ישוו עשרה שרשים
The method that yields the thing: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x_1&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{4}\\&\scriptstyle=5-2=3\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא לך הדבר הוא שתקח חצי הדברים ויהיו חמשה ותכם על עצמם ויהיו עשרים וחמשה תגרע מהם העשרים ואחד וישארו ארבעה תקח שרשו והוא שנים ותגרעם מן החמשה וישארו שלשה והם החלק הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x_1=7}}$	והחלק הגדול הוא הנשאר מעשרה והם שבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=x_2=5+2=7}}$	ואם תרצה תוסיף השנים על החמשה ויהיו שבעה והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x_2=3}}$	והחלק הקטן הוא הנשאר מעשרה והוא שלשה
The method that yields the square: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{2500-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{400}-21\\&\scriptstyle=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא לך האלגו הוא שתכה העשרה שרשים על עצמם ויהיו מאה ותכם על הכ"א אשר עם אלגו ויהיו אלפיים ומאה וקח חצי המאה והם חמשים ותכם על עצמם ויהיו אלפיים וחמש מאות תגרע מהם האלפיים ומאה וישארו ארבע מאות וקח שרשם והוא עשרים תגרעם מן החמשים שהם חצי המאה וישארו שלשים ותגרע מהם העשרים ואחד וישאר תשעה והוא האלגו
the addition procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=50+20-21=70-21=49}}$	והמעשה עם תוספת הוא שתוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים תגרע מהם העשרים ואחד ישארו ארבעים ותשע והם האלגו
this problem demonstrates the fifth of the six canonical equations: $\scriptstyle ax^2+c=bx$	וזאת השאלה הוציאתך אל החלק החמישי מהששה חלקים שהוא אלגוש ומספרים ישוו שרשים
Geometrical illustration of the problem	ואבאר זה בתמונה זו

defining: AG × GB = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	והוא שנניח קו א"ג על ג"ב עשרים ואחד
AB is halved on H [= H midpoint of AB]	ותחלק קו א"ב לשני חצאים על ה‫'
(AG × GB) + HG² = HB²	ויהיה הכאת א"ג בג"ב וה"ג על עצמו כמו הכאת ה"ב על עצמו
HB² = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	והכאת ה"ב על עצמו עשרים וחמשה
AG × GB = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	וא"ג על ג"ב הוא עשרים ואחד
HG² = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וישאר ה"ג על עצמו ארבעה
HG = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וה"ג יהיה שנים
HB = $\scriptstyle{\color{blue}{5}}$	וה"ב היה חמשה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{3}}$	וישאר ג"ב שלשה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{7}}$	ויהיה א"ג שבעה
Q.E.D.	ומש"ל
6) The sixth problem	והשאלה הששית
$\scriptstyle4\sdot\left(X^2+8\right)=\left(X^2\right)^2$	אלגו תוסיף עליו שמנה אדרהם ותכה המקובץ על ארבעה אדרהם והיה כמו האלגו על עצמו
The procedure: defining the square as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{X^2=x}}$	והמעשה בזה שנשים האלגוש דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+8\right)\sdot4=4x+32}}$	ותחבר עמו שמנה אדרהם ויהיה דבר ושמנה אדרהמיש ותכם על ארבעה ויהיה ארבעה דברים ול"ב דרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=32+4x}}$	והכה האלגו והוא דבר על עצמו ויהיה אלגו וישוה ל"ב אדרהם וארבעה דברים
The method that yields the thing: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X^2=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{2^2+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{4+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{36}\\&\scriptstyle=2+6=8\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא לך הדבר הוא שתקח מחצית הדברים ויהיה שנים ותכם על עצמם ויהיו ארבעה ותוסיפם על הל"ב ויהיו ל"ו תקח שרשו והוא ששה תוסיפם על מחצית השרשי' והוא שנים ויהיו שמנה והוא האלגו בעבור שהנחנו האלגו דבר
The method that yields the square: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)+\sqrt{\left(4^2\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)^2}+32\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\sqrt{\left(16\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+8^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+64}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{576}+32\\&\scriptstyle=8+24+32=64\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא האלגו הוא שתכה הארבעה שרשים על עצמם ויהיו ששה עשר ותכם על האדרהמיש שהם ל"ב ויהיו תקי"ב וקח מחצית הי"ו ויהיו ח‫' ותכם על עצמם ויהיו ס"ד ותוסיפם על התקי"ב ויהיו תקע"ו וקח שרשו והוא כ"ד ותחברם עם השמנה שהם מחצית הששה עשר ועם הל"ב ויהיו ס"ד והוא האלגו שישוה השרשים והמספרי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X^2=\sqrt{64}=8}}$	וקח שרשו והוא שמנה והוא המספר המבוקש
this problem demonstrates the sixth of the six canonical equations: $\scriptstyle c+bx=ax^2$	וזאת השאלה הוציאתך אל החלק הששי מהחלקים הששה והוא האומר מספרים ושרשים ישוו אלגוש
Geometrical illustration of the problem	ואבאר מזה בתמונה זו

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	והוא שנשים האלגו קו א"ב
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	והשמנה אדרהם קו א"ג
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ונשים קו ב"ד ארבעה
GD□ = GB × BD	ונכה קו ג"ב בקו ב"ד ויהיה שטח ג"ד
AH□ = AB² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2}}$	ותכה האלגו הוא קו א"ב על עצמו ויהיה מרובע א"ה
GD□ = AH□	ושטח ג"ד הוא כמו שטח א"ה
subtracting AD□ which is shared by both	ותגרע שטח א"ד המשותף
MH□ = GM□	וישאר שטח מ"ה כמו שטח ג"מ
GM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{32}}$	ושטח ג"מ שלשים ושנים
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	בעבור כי א"ג שמנה
AM = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וא"מ ארבעה
MH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{32}}$	ולכן שטח מ"ה הוא שלשים ושנים
MH□ = AZ × ZM	ושטח מ"ה הוא מהכאת א"ז על ז"מ
AZ × ZM = $\scriptstyle{\color{blue}{32}}$	אם כן הכאת א"ז על ז"מ הוא שלשים ושנים
AM = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וא"מ הוא ארבעה
AM is halved on C [= C midpoint of AM]	וחלקהו לשני חצאים על ח‫'
(AZ × ZM) + MC² = CZ²	והכאת א"ז על ז"מ ומ"ח על עצמו יהיה כמו ח"ז על עצמו
MC² = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	אבל מ"ח על עצמו ארבעה
CZ² = $\scriptstyle{\color{blue}{36}}$	והכאת ח"ז על עצמו יהיה שלשים ושש
CZ = $\scriptstyle{\color{blue}{6}}$	וח"ז יהיה ששה
AC = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וא"ח שנים
AZ = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	וא"ז שמנה
AZ = AB	והוא כמו א"ב
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=8}}$	וא"ב שמנה והוא האלגו
Q.E.D.	ומש"ל

[fifth solution method]
Various Problems
1) Question. If you are told: divide ten into two parts, then multiply each part by itself and subtract the product of the smaller from the product of the larger, and 80 remain. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle b^2-a^2=80\end{cases}$	א) שאלה ואם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים ותכה כל חלק על עצמו ותגרע הכאת החלק הקטן מהכאת החלק הגדול וישאר שמנים
[first solution method]
The procedure: defining: the smaller part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	המעשה בזה שתשים החלק הקטן דבר
the larger as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והגדול עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)^2=100+x^2-20x}}$	ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה הדבר על עצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(100+x^2-20x\right)-x^2=100-20x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{100-20x=80}}$	ותגרעהו ממאה ואלגו פחות עשרים דברים וישאר מאה דראהמי פחות עשרים דברים ישוו שמנים אדרהמיש
Restoration of $\scriptstyle100-20x$ : $\scriptstyle{\color{blue}{80+20x}}$	ותכלול^[17] המאה דרהמי עם עשרים הדברים ותוסיפם על השמונים
$\scriptstyle{\color{blue}{20x+80=100}}$	ויהיה עשרים דברים ושמנים דרהמי ישוו מאה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{100-80=20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{20=20x}}$	תגרע שמנים ממאה וישאר עשרים אדרהמיש ישוו עשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=1}}$	והדבר ישווה אחד והוא החלק הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=9}}$	והגדול תשעה והוא מה שנשאר מן העשרה
[second solution method]
defining: the larger part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=x}}$	ואם נרצה נעשה החלק הגדול דבר
the smaller [part] as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x}}$	והקטן עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(100+x^2-20x\right)=20x-100}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{20x-100=80}}$	תגרע מאה ואלגו פחות עשרים דברי' מאלגו וישאר עשרים דברים פחות מאה אדרהמיש ישוו שמנים אדרהמיש
Restoration of $\scriptstyle20x-100$ : $\scriptstyle{\color{blue}{80+100}}$	ותכלול^[18] העשרים דברים עם המאה אדרהמיש ותוסיפם על השמנים
$\scriptstyle{\color{blue}{180=20x}}$	ויהיה מאה ושמנים אדרהמיש ישוה עשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{b=x=9}}$	והדבר ישוה תשעה והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x=1}}$	והנשאר מהעשרה יהיה החלק הקטן והוא אחד
[third solution method]
Dividing the ten into two parts by a division other than the one that is used by the arithmeticians to divide the ten.	ואם תרצה תחלק העשרה לשני חלקים בחלוקה נבדלת מהחלוקה הנוהגים אותה בעלי המספר לחלוק בה העשרה
The procedure is verified by this.	ויתאמת בה המעשה
The larger part is distinguished from the smaller [by this procedure]	ותדע החלק הגדול מהקטן
One should apply it briefly for most of the questions presented, by halving the roots.	ותלך בו ברוב מה שיפלו לפניך מהשאלות בקצרה וזה בחצות השרשים
defining: one part as a thing plus five $\scriptstyle{\color{blue}{a=x+5}}$	והוא שנניח החלק האחד דבר וחמשה
the other part as five minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x}}$	והחלק האחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+5\right)^2-\left(5-x\right)^2}}$	ותכה כל אחד מהם על עצמו ותגרע העולה מהחלק הקטן מהעולה מהחלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{20x=80}}$	וישאר עשרים דברים ישוו שמנים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	והדבר ישוה ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x+5=4+5=9}}$	ותוסיף הארבעה על החמשה והוא תשעה והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x=5-4=1}}$	ותגרע הארבעה מן החמשה וישאר אחד והוא החלק הקטן
If you are told: divide ten into two parts, then divide each of them by the other and [the sum of] the quotients is 4¼. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4+\frac{1}{4}\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה תחלק אותו לשני חלקים ותחלק כל אחד מהם על האחר ויגיעו החלקי' ארבעה ורביע
[first solution method]
The procedure: defining: one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שתשים החלק האחד דבר
the other [part] as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)^2=100+x^2-20x}}$	ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה ואלגו פחות עשרי' דברי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\left(100+x^2-20x\right)=100+2x^2-20x}}$	ותחברם ויהיו מאה ושני אלגו פחות עשרים דברים ותשמרם
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$	ותכה החלק האחד על האחר והוא דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10x-x^2\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)=\left(42+\frac{1}{2}\right)x-\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(42+\frac{1}{2}\right)x-\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2=100+2x^2-20x}}$	ותכם על העולה אל החלקי' והוא ארבעה ורביע ויהיה מ"ב דברים וחצי דבר פחות ארבעה אלגוש ורביע אלגו ישוו מאה אדרהמיש ושני אלגוש פחות עשרים שרשים
For every two numbers divided by each other, the sum of the products of each of them by itself is the same as the product of one by the other multiplied by the sum of the quotients of each divided by the other $\scriptstyle A^2+B^2=\left(A\sdot B\right)\sdot\left(\frac{A}{B}+\frac{B}{A}\right)$	בעבור כי כל שני מספרים שיתחלקו כל אחד מהם על האחר יהיה הכאת כל אחד מהם על עצמו מחוברים כמו הכאת האחד על האחר וההוה על החלק העולה מחלוקת כל אחד מהם על האחר
The reason for this will be explained once the calculation of this question has been completed	ועוד אבאר לך סבת זה אחר שאשלים חשבון השאלה
Restoration of $\scriptstyle100+2x^2-20x$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\left(42+\frac{1}{2}\right)x-\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2+20x}}$	ותכלול^[19] המאה אדרהמיש ושני אלגוש עם העשרים דברים ותוסיפם על הארבעים ושנים דברים וחצי דבר פחות ארבעה אלגוש ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right)x-\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2=100+2x^2}}$	ויהיה ס"ב דברים וחצי דבר פחות ארבעה אלגוש ורביע ישוו מאה אדרהמיש ושני אלגוש
Restoration of $\scriptstyle\left(62+\frac{1}{2}\right)x-\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{100+2x^2+\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2}}$	ותכלול הס"ב דברים וחצי עם הארבעה אלגוש ורביע ותוסיפם על המאה אדרהמיש ושני אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(6+\frac{1}{4}\right)x^2=\left(62+\frac{1}{2}\right)x}}$	ויהיה מאה אדרהמיש וששה אלגוש ורביע ישוו ס"ב דברים וחצי
Normalization of $\scriptstyle\left(6+\frac{1}{4}\right)x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(6+\frac{1}{4}\right)x^2=\left(62+\frac{1}{2}\right)x\; /\times\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	והשיבם אל אלגו אחד וכבר ידעת כי האלגו מששה ורביע אלגו הוא ארבעה חמשים מחומש ותקח מכל אשר תחזיק ארבעה חומשים מחומש
$\scriptstyle x^2+16=10x$	ויהיה אלגו וששה עשר אדרהמיש ישוה עשרה דברים‫^[20]
	ומחצית הדברים יהיה חמשה ותכם על עצמם ויהיה כ"ה ותגרע מהם הי"ו וישאר ט‫' ותקח שרשו והוא שלשה תגרעם ממחצית השרשים שהוא חמשה וישאר שנים והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-16}=5-\sqrt{5^2-16}=5-\sqrt{25-16}=5-\sqrt{9}=5-3=2}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=8}}$	והאחר שמנה
[second solution method]
Dividing the ten into the two parts shown above, which are other than those that are used by the arithmeticians to divide the ten.	ואם תרצה חלק העשרה לשני החלקים שהראיתיך אשר לא ינהגו החשבנים לחלוק בם העשרה ויתאמת לך המעשה ולך בחצאת השרשי‫'
defining one part as five plus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x}}$	והוא שנשים החלק האחד חמשה ודבר
the other [part] as five minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x}}$	והאחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+5\right)^2+\left(5-x\right)^2=50+2x^2}}$	ותכה כל אחד מהם על עצמו ותחברם יחד ויהיה חמשים אדרהמיש ושני אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+5\right)\sdot\left(5-x\right)=25-x^2}}$	ותכה החלק האחד על האחר ויהיה כ"ה אדרהמיש פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(25-x^2\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)=\left(106+\frac{1}{4}\right)-\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(106+\frac{1}{4}\right)-\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2=50+2x^2}}$	ותכם על ארבעה ורביע ויהיה מאה ושש ורביע פחות ארבעה אלגוש ורביע אלגו ישוו חמשים אדרהמיש ושני אלגוש
Restoration of $\scriptstyle\left(106+\frac{1}{4}\right)-\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{50+2x^2+\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2}}$	ותכללם עם הארבעה אלגוש ורביע ותוסיפם על השני אלגוש וחמשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(106+\frac{1}{4}\right)-50=56+\frac{1}{4}}}$	ותגרע חמשים כנגד חמשים וישאר חמשים ושש ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והאלגו ישוה תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{9}=3}}$	והדבר הוא שרשו והוא שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x=5+3=8}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x=5-3=2}}$	ותגרעם מחמשה ותוסיפם על חמשה בעבור שהנחנו החלק האחד חמשה פחות דבר והאחר חמשה ודבר ויהיה החלק האחד שמנה והאחר שנים
For every number divided by another, the quotient is equal to the quotient of the product of the dividend multiplied by itself, divided by the product of the dividend multiplied by the divisor $\scriptstyle\frac{A}{B}=\frac{A^2}{A\sdot B}$	כל מספר שיחלק האחד על האחר הנה המגיע אל החלק יהיה שוה לאשר יגיע אל החלק בחלקך העולה מהכאת המספר הנחלק על עצמו על העולה מהכאת המספר הנחלק על המחלק

A ÷ B = G	משל זה שמספר א' נחלק על מספר ב' והגיע לחלק מספר ג‫'
C = A²	והכינו א' על עצמו והיה ח‫'
D = A × B	והכינו א' על ב' והיה ד‫'
Supposition: C ÷ D = G	ונאמר שכאשר נחלק ח' על ד' יגיע ג‫'
Proof:	ומופת זה
A ÷ B = G	שא' נחלק על ב' והיה ג‫'
B counts A by the measure of units in G	הנה ב' ימנה א' בְשִעור מה שבג' מן האחדים
1 counts G by the measure of units in G	והאחד ימנה ג' בשעור מה שבג' מן האחדים
1 counts B by the measure that G counts A	ולכן^[21] יהיה האחד ימנה ב' בשעור מה שימנה ג' א‫'
A² = C	וא' הוכה על עצמו והיה ח‫'
A × B = D	והוכה על ב' והיה ד‫'
D is in C as B is in A	ולכן^[22] יהיה ד' בח' כמו ב' בא‫'
the measure of B in A = the measure of 1 in G	ושעור ב' בא' היה כמו שעור האחד בג‫'
the measure of D in C = the measure of 1 in G	ושעור ד' בח' כשעור האחד בג‫'
1 counts G by the measure of units in G	והאחד ימנה ג' בשעור מה שבג' מן האחדים
C ÷ D = G	ויתבאר מזה שכאשר נחלק ח' על ד' עלה ג‫'
Q.E.D.	והוא מש"ל
For every two numbers divided by each other, the sum of the quotients is equal to the quotient of the sum of the products of each of the numbers multiplied by itself divided by the product of one of the numbers multiplied by the other $\scriptstyle\frac{A}{B}+\frac{B}{A}=\frac{A^2+B^2}{A\sdot B}$	כל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר הנה המגיע לחלק יהיה שוה לאשר יגיע לחלק בהחלק העולה מהכאת כל אחד מהמספרים על עצמו על העולה מהכאת אחד המספרים על האחר

A ÷ B = D	משל זה שמספר א' נחלק על מספר ב' ועלה ד‫'
B ÷ A = Z	ומספר ב' נחלק על מספר א' ועלה ז‫'
A² = G	והוכה א' על עצמו ועלה ג‫'
B² = C	והוכה ב' על עצמו ועלה ח‫'
A × B = E	והוכה א' על ב' ועלה ע‫'
Supposition: (G + C) ÷ E = D + Z	ונאמר שג' וח' כאשר נחלק כל אחד מהם על ע' יעלה ד' ז‫'
Proof:	מופת זה
A ÷ B = D	שא' נחלק על ב' ועלה ד‫'
A² = G	והוכה א' על עצמו ועלה ג‫'
A × B = E	והוכה א' על ב' ועלה ע‫'
G ÷ E = D	וכאשר נחלק ג' על ע' יעלה ד' כמו שנתבאר בתמונה שלפניה
B ÷ A = Z	וב' נחלק על א' ועלה ז‫'
B² = C	וב' הוכה על עצמו והיה ח‫'
B × A = E	וב' הוכה על א' והיה ע‫'
C ÷ E = Z	וכאשר נחלק ח' על ע' יגיע ז' כמו שבארנו
(C + G) ÷ E = Z + D	והוא מבואר שכאשר נחלק ח' וג' על ע' יעלו ד'ז‫'
(D + Z) × E = G + C	וכאשר נכה ד' וז' על ע' יעלו ח' וג‫'
It is now clear that for every two numbers divided by each other, the sum of the products of each of them by itself is the same as the product of one by the other multiplied by the sum of the quotients of each divided by the other $\scriptstyle A^2+B^2=\left(A\sdot B\right)\sdot\left(\frac{A}{B}+\frac{B}{A}\right)$	וכבר הוא מבואר שכל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר הנה הכאת כל אחד מהם על עצמו מחוברים יהיה כמו הכאת אחד המספרי' על האחר ועל העולה לחלק מחלוקת כל אחד מהם על האחר
Q.E.D.	והוא מש"ל
For every two numbers, each divided by other, the product of the quotients multiplied one by the other is always one dirham $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot\frac{B}{A}=1$	כל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר יהיה הכאת מה שהגיע לחלקים האחד על האחר אדרהם אחד לעולם

A ÷ B = G	משל זה שחלקנו מספר א' על מספר ב' והגיע ג‫'
B ÷ A = D	וחלקנו מספר ב' על מספר א' ועלה ד‫'
Supposition: G × D = 1	ונאמר שהכאת ג' על ד' אדרהם אחד
Proof:	המופת
A ÷ B = G	שא' נחלק על ב' ועלה ג‫'
B counts A by the measure of units in G	הנה שב' ימנה א' בשעור מה שבג' מן האחדים
the measure of 1 to G = the measure of B to A	ושעור האחד אל ג' כשעור ב' אל א‫'
the measure of A to B = the measure of G to 1	וכאשר הפכנו יהיה שעור א' אל ב' כשעור ג' אל אחד
B ÷ A = D	ועוד ב' נחלק על א' והיה ד‫'
the measure of A to B = the measure of 1 to D	הנה שעור א' אל ב' כשעור האחד אל ד‫'
A : B = G : 1	וכבר היה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל אחד
1 : D = G : 1	ולכן יחס האחד אל ד' כיחס ג' אל האחד
G × D = 1² = 1	והכאת ג' על ד' כמו הכאת האחד על עצמו והוא אחד
Q.E.D.	ומש"ל
[third solution method]
If one wishes, the aforementioned calculation can be reduced by another procedure, as follows:	ואם תרצה תכוין חשבונך האמור במעשה אחר כזה
If you are told: divide ten into two parts, then divide each of them by the other and [the sum of] the quotients is 4¼. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4+\frac{1}{4}\end{cases}$	ונשוב אל השאלה והיא כאשר אמרו לך עשרה חלקנום לשני חלקים וחלקנו כל אחד מהשני חלקים על האחר ועלה ארבעה ורביע
defining one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	תשים החלק האחד דבר
the other [part] as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה לחלק שעור שכאשר נכהו על דבר יהיה עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{4}\right)\sdot x=\left(4+\frac{1}{4}\right)x}}$	ותכה הארבעה ורביע על דבר ויהיה ארבעה דברים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{4}\right)x-\left(10-x\right)=\left(5+\frac{1}{4}\right)x-10}}$	תגרע מהם עשרה פחות דבר וישאר חמשה ורביע פחות עשרה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x^2}{10-x}=\left(5+\frac{1}{4}\right)x-10}}$	ותחלק אותו על עשרה אדרהמיש פחות דבר ויעלה חמשה דברים ורביע פחות עשרה אדרהמיש
It was already explained that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	וכבר בארנו שכאשר נכה העולה לחלק על המחלק שישוב השעור הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)x-10\right]\sdot\left(10-x\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right)x-\left(5+\frac{1}{4}\right)x^2-100=x^2}}$	ונכה חמשה דברים ורביע פחות עשרה אדרהמי' על עשרה אדרהמיש פחות דבר ויהיה ס"ב דברים וחצי פחות חמשה אלגוש ורביע ופחות מאה אדרהמיש ישוו אלגו
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)x^2+100=\left(62+\frac{1}{2}\right)x}}$	ותכונהו^[23] עמו ויהיה ששה אלגוש ורביע ומאה אדרהמיש ישוו ס"ב דברים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=8}}$	ותעשה כאשר הראיתיך ויהיה החלק האחד שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=2}}$	והאחר שנים
[fourth solution method]	ולחשבון זה אופן אחר
defining one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והוא שנשים החלק האחד דבר
the other [part] as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{d=\frac{10-x}{x}}}$	וחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה דינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot x=10-x}}$	וכאשר תכה דינר על דבר יהיה עשרה אדרהמיש פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=\left(4+\frac{1}{4}\right)-d}}$	ותחלק דבר על עשרה פחות דבר ויעלה ארבעה ורביע פחות דינר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\left[\left(4+\frac{1}{4}\right)-d\right]\sdot\left(10-x\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(52+\frac{1}{2}\right)-\left(5+\frac{1}{4}\right)x-10d=x}}$	ותכה ארבעה ורביע פחות דינר על עשרה פחות דבר ויהיה נ"ב אדרהמיש וחצי פחות חמשה דברים ורביע ופחות עשרה דינרין ישוו דבר
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{10d{\color{red}{+x}}=\left(52+\frac{1}{2}\right)-\left(5+\frac{1}{4}\right)x}}$	ותכוין עמו כאשר אמרתי ויהיה עשרה דינרין ישוו נ"ב אדרהמיש וחצי פחות חמשה דברים ורביע
	והדבר עשרה דינרין ישוו דבר
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{10d=\left(52+\frac{1}{2}\right)-\left(6+\frac{1}{4}\right)x}}$	ותכונהו עמו כאשר אמרתי ויהיה עשרה דינרין ישוו נ"ב וחצי פחות ששה דברים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{d}}=\left(5+\frac{1}{4}\right)-\frac{5}{8}x}}$	ישוו חמשה ורביע פחות חמשה שמיניות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\left(5+\frac{1}{4}\right)-\frac{5}{8}x}}$	וכבר ידעת שכאשר נחלק עשרה אדרהמיש פחות דבר על דבר יעלה לחלק חמשה ורביע פחות חמשה שמיניות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{10-x=\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)-\frac{5}{8}x\right]\sdot x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{4}\right)x-\frac{5}{8}x^2=10-x}}$	ותכה חמשה ורביע פחות חמשה שמיניות דבר על דבר ויהיה חמשה דברים ורביע פחות חמשה שמיניות ישוה עשרה אדרהמיש פחות דבר
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{4}\right)x+x=\left(6+\frac{1}{4}\right)x}}$	ותכונהו עמו ויהיה ששה דברים ורביע
Normalization of $\scriptstyle\frac{5}{8}x^2$ : $\scriptstyle{\color{red}{10+\frac{5}{8}x^2=\left(6+\frac{1}{4}\right)x\; /{\color{blue}{\times\left(1+\frac{3}{5}\right)}}}}$	ותוסיף על כל דבר שתחזיק שלשה חמישיותיו
$\scriptstyle{\color{red}{x^2+16=10x}}$	ויהיה עשרה אדרהמיש ישוו עשרה דברים
	ומחצית הדברים יהיה חמשה ותכם על עצמם ויהיו כ"ה תגרע מהם הי"ו וישאר ט‫' תקח שרשו והוא ג‫' תגרעו ממחצית השרשים שהוא חמשה וישאר שנים והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-16}=5-\sqrt{5^2-16}=5-\sqrt{25-16}=5-\sqrt{9}=5-3=2}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=8}}$	והאחר שמנה
For every two numbers, each divided by other, the product of the quotients multiplied one by the other is one dirham $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot\frac{B}{A}=1$	וכבר בארנו שכל שני מספרים שיחלקו כל אחד מהם על האחר שהכאת העולה לחלקים האחד באחר יהיה אדרהם אחד
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4+\frac{1}{4}$	ומה שעלה לשני החלקים בזאת השאלה ארבעה אדרהמיש ורביע
defining one of the two as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x}}$	ותשים האחד מהשנים דבר
the other as four and a quarter minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}=\left(4+\frac{1}{4}\right)-x}}$	והאחר ארבעה ורביע פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}\sdot\frac{b}{a}=x\sdot\left[\left(4+\frac{1}{4}\right)-x\right]=\left(4+\frac{1}{4}\right)x-x^2=1}}$	ותכה אחד מהם באחר ויהיה ארבעה דברים ורביע פחות אלגו ישוה אדרהם אחד
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x_1=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x_2=\frac{1}{4}}}$	ותכונהו עמו ויהיה הדבר אם תרצה ארבעה או אם תרצה רביע
defining one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ותשוב להתחלת השאלה ותאמר נשים החלק האחד מהשני חלקים דבר
the other [part] as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=4}}$	ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{4x=10-x}}$	ותכה ארבעה על דבר ויהיה ארבעה דברים ישוו עשרה אדרהמיש פחות דבר
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{a=x={\color{red}{2}}}}$	ותכונהו עמו ויהיה הדבר שמנה והוא החלק האחד מהשנים
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x={\color{red}{8}}}}$	והאחר שנים
3) Question. If you are told: divide ten into two parts, then divide each one of them by the other and subtract one [quotient] from the other [quotient], and five sixths of a dirham remain. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{5}{6}\end{cases}$	ג) שאלה ואם יאמרו לך עשרה חלקנום לשני חלקים וחלקנו כל אחד מהם על האחר וגרענו האחד מן האחר ונשאר חמשה ששיות מאדרהם
The procedure: defining one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שנשים החלק האחד דבר
the other [part] as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)^2=100+x^2-20x}}$	ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה אדרהמיש ואלגו פחות עשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)^2-x^2=100-20x}}$	ותגרע האחד מן האחר וישאר מאה אדרהמיש פחות עשרים דברים ושמרם
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10{\color{red}{x}}-x^2}}$	ותכה החלק האחד על האחר והוא דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10x-x^2\right)\sdot\frac{5}{6}=\left(8+\frac{1}{3}\right)x-\frac{5}{6}x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{100-20x=\left(8+\frac{1}{3}\right)x-\frac{5}{6}x^2}}$	ותכם על מה שנשאר מהשני חלקים אחר שגרענו החלק האחד מן האחר והיה חמשה ששיות אדרהם ויהיה שמנה דברים ושליש פחות חמשה ששיות מאלגו ישוו מאה אדרהמיש פחות עשרים שרשים
Restoration of $\scriptstyle100-20x$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{1}{3}\right)x-\frac{5}{6}x^2+20x}}$	ותאסוף המאה אדרהמיש עם השרשים ותוסיפם על שמנה דברים ושליש פחות חמשה ששיות מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{100=\left(28+\frac{1}{3}\right)x-\frac{5}{6}x^2}}$	ויהיה עשרים ושמנה דברים ושליש פחות חמשה ששיות מאלגו ישוו מאה אדרהמיש
Restoration of $\scriptstyle\left(28+\frac{1}{3}\right)x-\frac{5}{6}x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{100+\frac{5}{6}x^2}}$	ותאסוף הדברים עם החמשה ששיות מאלגו ותוסיפם על המאה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{100+\frac{5}{6}x^2=\left(28+\frac{1}{3}\right)x}}$	ויהיה מאה אדרהמיש וחמשה ששיות מאלגו ישוו עשרים ושמנה דברים ושליש
Normalization of $\scriptstyle\frac{5}{6}x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{100+\frac{5}{6}x^2=\left(28+\frac{1}{3}\right)x\; /\times\left(1+\frac{1}{5}\right)}}$	ותשלים החמשה ששיות מאלגו עד שיהיו אלגו שלם והוא שתוסיף עליהם חמישיתם ותוסיף על כל דבר שתחזיק כמו חמישיתו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+120=34x}}$	ויהיה אלגו ומאה ועשרים אדרהמיש ישוו שלשים וארבעה דברים
	וקח מחצית השרשים והוא שבע עשרה ותכם על עצמם ותגרע מהעולה מאה ועשרים אדרהמיש וישאר קס"ט ותקח שרשו והוא י"ג ותגרעם ממחצית הדברים והם שבע עשרה וישארו ארבעה והם החלק האחד מהשני חלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=\left(\frac{1}{2}\sdot34\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot34\right)^2-120}=17-\sqrt{17^2-120}=17-\sqrt{169}=17-13=4}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=6}}$	והאחר הוא ששה
The cause of this problem is similar to the cause of the previous problem	ועלת זאת השאלה דומה לעלת השאלה שלפניה
The difference between them is that the cause of the previous problem consists of the proposition: for every two numbers, each divided by other, the sum of the products of each of them by itself is the same as the product of one by the other multiplied by the sum of the quotients of each divided by the other $\scriptstyle A^2+B^2=\left(A\sdot B\right)\sdot\left(\frac{A}{B}+\frac{B}{A}\right)$	וההבדל בין שניהם הוא שבשאלה הראשונה הוצרך לדעת הסבה לכל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר שהכאת המגיע לחלקים כל אחד על עצמו מקובצים יהיה כמו הכאת האחד מהם על האחר ועל מה שעלה לחלק מחלוקת כל אחד מהשני מספרים על האחר וכבר בארתי סבת זה
The cause of the present problem consists of the proposition: for every two numbers, each of which is multiplied by itself, then one [product] is subtracted from the other, the remainder is the same as the product of one by the other multiplied by the difference between the quotients of each of the two numbers divided by the other $\scriptstyle A^2-B^2=\left(A\sdot B\right)\sdot\left(\frac{A}{B}-\frac{B}{A}\right)$	ובשאלה הזאת נצטרך לדעת הסבה לכל שני מספרים שיוכה כל אחד משניהם על עצמו ונגרע האחד מן האחר שיהיה הנשאר כמו הכאת האחד באחר ועל העודף אשר יעדיף בין אשר עלה לחלק מחלוקת כל אחד מהשני מספרים על האחר
Adding to it the first [proposition] - the cause of this question is obtained, because it is similar.	ותוסיף עליה השאלה הראשונה ותצא עלת זאת השאלה יען שהיא דומה אליה
The three solution methods of the first question should be used in this question as well.	והשלשה אופנים מהשאלה הראשונה תעשם גם כן בזאת השאלה
If you are told: we divided fifty dirham among people. Each one received a thing. Then we added to them three [people] and divided the fifty dirham among all. Each one of the latter received 3¾ dirham less than each one of the former. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{50}{a}=x\\\scriptstyle\frac{50}{a+3}=x-\left(3+\frac{3}{4}\right)\end{cases}$	שאלה ואם יאמרו לך חלקנו חמשים אדרהמיש על אנשים ועלה לאחד דבר והוספנו על האנשים עוד שלשה וחלקנו עליהם החמשים אדרהמיש ועלה לכל אחד מהאחרונים פחות מאשר עלה לכל אחד מהראשונים שלשה אדרהמיש ושלשה רביעים
The procedure
the former people multiplied by the difference between the share of each of the former and the share of each of the latter the product is divided by the excess of the latter people over the former people the quotient is multiplied by the latter people $\scriptstyle\frac{a\times\left(\frac{50}{a}-\frac{50}{a+3}\right)}{\left(a+3\right)-a}\times\left(a+3\right)=50$	והמעשה בזה שתכה האנשים הראשונים בשעור הגרעון אשר בין מה שעלה לכל אחד מהראשונים ובין האחרונים ומה שיעלה מן ההכאה תחלק על מה שהעדיף מן האנשים הראשונים לשניים ומה שיעלה לחלק תכה אותו על האנשים השניים ומה שיעלה הוא המחלק
The reason for this method	ואשים לך עלת זה האופן

defining: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{50}}$	והוא שנשים המספר המחולק והוא חמשים אדרהמיש שטח אבג"ד
GD = the former people	והאנשים הראשונים קו ג"ד
AG = the share of each of the former	ויעלה לכל אחד מהאנשים הראשונים קו א"ג
AG × GD = GB□	בעבור כי הכאת קו א"ג בקו ג"ד הוא שטח ג"ב
ABGD□ ÷ GD = AG	וכאשר חלקנו שטח אבג"ד על קו ג"ד שהוא האנשי' הראשוני' עלה לכל אחד מהם קו א"ג
DH = the three people	ותוסיף על האנשים הראשונים והוא קו ג"ד שלשה אנשים והוא קו ד"ה
GH = GD + DH = the latter people	ויהיה קו ג"ה האנשים האחרונים
GZHC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{50}}$	ותשים שטח גזה"ח חמשים
GZHC□ ÷ GH = GZ	ותחלקהו על קו ג"ה שהוא האנשים האחרונים ויעלה קו ג"ז
GZ = the share of each of the latter	והוא מה שיעלה לכל אחד מהאנשים השניים
AZ = $\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{3}{4}}}$	וקו א"ז יהיה שלשה ושלשה רביעים
AZ = the difference between the share of each of the former and the share of each of the latter	בעבור כי הוא השעור אשר בין מה שעלה לאחד מהראשונים ובין מה שעלה לאחד מהשניים
ZM = DG = the former people BZ□ = ZM × AZ	ותכה האנשים הראשונים והם קו ז"מ כי הוא כמו ד"ג על קו א"ז שהוא היתרון אשר בין מה שעלה לכל אחד מהראשונים ובין כל אחד מן השניים ויהיה שטח ב"ז
BZ□ = DC□	ושטח ב"ז כמו שטח ד"ח
AD□ = GC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{50}}$	בעבור כי שטח א"ד הוא כמו שטח ג"ח כי כל אחד משניהם חמשים
GM□ is shared by both	ושטח ג"מ משותף
ZB□ = DC□	וישאר שטח ז"ב כמו שטח ד"ח
DC□ ÷ DH = DM	וחלק שטח ד"ח על קו ד"ה שהוא שלשה ושעורו הוא ההבדל אשר בין האנשים הראשונים לשניים ויעלה לחלק קו ד"מ
DM = GZ = the share of each of the latter	והוא כמו קו ג"ז והוא מה שעלה לכל אחד מהאחרונים
GC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{50}}$	ויהיה שטח ג"ח והוא חמשים
Q.E.D.	ומש"ל
Since this is clear, the reason of this method is clarified.	ואחר שזה מבואר יתבאר העלה באופן הזה
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	שאנחנו נשים האנשי' הראשונים דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)=\left(3+\frac{3}{4}\right)x}}$	ותכהו על הגרעון שהוא שלש ושלשה רביעיות ויעלה שלשה דברים ושלשה רביעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(3+\frac{3}{4}\right)x}{3}=\left(1+\frac{1}{4}\right)x}}$	ותחלקם על שלשה שהוא שעור ההבדל אשר בין האנשים הראשונים לשניים ועלה לחלק דבר ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+\frac{1}{4}\right)x\right]\sdot\left(x+{\color{red}{3}}\right)=\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2+\left(3+\frac{3}{4}\right)x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2+\left(3+\frac{3}{4}\right)x=50}}$	ותכם על האנשים השניים והם דבר ושליש ויהיה אלגו ורביע ושלשה דברים ושלש רביעיות דבר ישוו חמשים אדרהמיש
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x=40}}$	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד ויהיה אלגו ושלש דברים ישוו ארבעים אדרהמיש
the former people =	וקח מחצית הדברים והוא אחד וחצי ותכם על עצמם ותוסיף העולה על הארבעים ויהיה מ"ב ורביע וקח שרשו והוא ששה וחצי וגרע מהם מחצית הדברים שהוא אחד וחצי וישאר חמשה והם האנשים הראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+40}-\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)=\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+40}-\left(1+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{42+\frac{1}{4}}-\left(1+\frac{1}{2}\right)=\left(6+\frac{1}{2}\right)-\left(1+\frac{1}{2}\right)=5}}$
If you are told: we divided ten dirham among people. Each one received a thing. Then we added to them four people and divided thirty dirham among all. Each one of them received 4 dirham less than each one of the former. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{10}{a}=x\\\scriptstyle\frac{30}{a+4}=x-4\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה אדרהמיש על אנשים ועלה לכל אחד מהם דבר והוספנו עליהם ארבעה אנשים וחלקנו על כלם שלשים אדרהמיש ועלה לכל אחד מהם פחות מאשר עלה לראשונים ארבעה אדרהמיש
The procedure
the former people multiplied by the difference between the share of each of the former and the share of each of the latter the difference between the first divided amount and the second divided amount is added the sum is divided by the excess of the latter people over the former people the quotient is multiplied by the latter people the result is the larger divided amount $\scriptstyle\frac{\left[a\times\left(\frac{10}{a}-\frac{30}{a+4}\right)\right]+\left(30-10\right)}{\left(a+4\right)-a}\times\left(a+4\right)=30$	והמעשה בזה שתכה האנשים הראשונים על הגרעון אשר בין הראשון והאחרון והוסיף על העולה מההכאה שעור ההבדל אשר בין המספר הנחלק ראשונה ובין השניה ומה שיתקבץ חלק על ההבדל אשר בין האנשים הראשונים והשניים והעולה תכה על האנשים השניים ומה שיעלה הוא המספר הגדול שנחלק והוא בזאת השאלה שלשים
The reason for this method	ואשים לך עלת זה האופן

defining: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנשים המספר הקטן הנחלק שהוא עשרה שטח אבג"ד
GD = the former people	והאנשים הראשונים קו ג"ד
AG = the share of each of the former	ומה שעלה לאחד מהראשונים קו א"ג
DH = the four people	והוספנו על הראשונים שהוא קו ג"ד ארבעה אנשים והוא קו ד"ה
GH = GD + DH = the latter people	ויהיה קו ג"ה האנשים השניים
GHZC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{30}}$	ונשים שטח גהז"ח שלשים אדרהמי‫'
GHZC□ ÷ GH = GZ = the share of each of the latter	ותחלקהו על קו ג"ה ויעלה קו ג"ז והוא מה שיעלה לאחד מהשניים
AZ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וישאר קו א"ז ארבעה
AZ = the difference between the share of each of the former and the share of each of the latter	בעבור כי הוא שעור ההבדל אשר בין מה שעלה לאחד מהראשונים ובין אחד מהשניים
ZM = GD = the former people ZB□ = ZM × ZA	ותכה האנשים הראשונים והם קו ז"מ השוה לקו ג"ד על קו ז"א ויהיה שטח ז"ב
DC□ = ZB□ + (30-10) = ZB□ + 20	ותוסיף על שטח ז"ב שעור ההבדל אשר בין השלשים והעשרה והוא עשרים ויהיה שטח ד"ח
DC□ - ZB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{20=30-10}}$ = GC□ - AD□	והיה שטח ד"ח יותר משטח ז"ב בעשרים והוא יתרון השני מספרים הנחלקים בעבור כי שטח א"ד עשרה ושטח ג"ח שלשים
GC□ - DA□ = $\scriptstyle{\color{blue}{20}}$	ויהיה שטח ג"ח יותר משטח ד"א בעשרים
subtracting GM□ that is shared by both	ותגרע שטח ג"מ המשותף
DC□ - ZB□ = (GC□ - GM□) - (DA□ - GM□) = $\scriptstyle{\color{blue}{20}}$	וישאר שטח ד"ח יותר גדול משטח ז"ב בעשרים
DC□ ÷ DH = DC□ ÷ 4 = DM	ותחלק שטח ד"ח על קו ד"ה שהוא ארבעה ויעלה לחלק קו ד"מ
DM = GZ = the share of each of the latter	והוא כמו קו ג"ז והוא כמו מה שיעלה לאחד מהשניים
GC□ = GZ × GH = $\scriptstyle{\color{blue}{30}}$	ותכה קו ג"ז על קו ג"ה ויהיה שטח ג"ח והוא שלשים אדרהמיש
Q.E.D.	ומש"ל
After clarifying the reason for this method	ואחר שבארנו עלת זה האופן
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	נשים האנשי' הראשוני' דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot4=4x}}$	ותכהו על ארבעה אדרהמיש שהוא מה שיגרע חלק השניים מחלק הראשונים ויהיה ארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4x+20}{4}=x+5}}$	ותוסיף עליהם עשרים אדרהמיש ותחלקם על יתרון ההבדל אשר בין האנשים הראשוני' לשניים והוא ארבעה ויגיע לחלק דבר וחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+5\right)\sdot\left(x+4\right)=x^2+9x+20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x+20=30}}$	ותכם על האנשים השניים והם דבר וארבעה ויהיה אלגו ותשעה דברים ועשרים ישוה המספר הגדול הנחלק והוא שלשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x=10}}$	ותגרע העשרים מהשלשים וישאר אלגו ותשעה דברים ישוו עשרה
the former people =	תקח מחצית הדברים והוא ארבעה וחצי ותכם על עצמם ויהיה עשרים ורביע תוסיף עליהם העשרה אדרהמיש ויהיו שלשים ורביע תקח שרשו והוא חמשה וחצי תגרע מהם מחצית השרשים והוא ארבעה וחצי וישאר אחד והוא היה האנשים הראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2+10}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)=\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)^2+10}-\left(4+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)+10}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{30+\frac{1}{4}}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(5+\frac{1}{2}\right)-\left(4+\frac{1}{2}\right)=1\\\end{align}}}$
If you are told: we divided ten dirham among people. Each one received a thing. Then we added to them four people and divided sixty dirham among all. Each one of them received 5 dirham more than each one of the former. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{10}{a}=x\\\scriptstyle\frac{60}{a+4}=x+5\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה אדרהמיש על אנשים ועלה לכל אחד דבר והוספנו עליהם ארבעה אנשים וחלקנו עליהם ששים אדרהמיש ועלה לאחד יותר ממה שעלה לאחד מהראשונים חמשה אדרהמיש
The procedure
the latter people multiplied by the difference between the share of each of the former and the share of each of the latter the smaller divided amount is added the sum is subtracted from the larger divided amount the remainder is divided by the excess of the latter people over the former people the quotient is multiplied by the former people the result is the smaller divided amount $\scriptstyle\frac{60-\left[\left[\left(a+4\right)\times\left(\frac{10}{a}-\frac{60}{a+4}\right)\right]+10\right]}{\left(a+4\right)-a}\times a=10$	המעשה בזה שתכה האנשים השניים על ההבדל אשר בין חלק האחד מהשניים אל חלק אחד מהראשונים ותוסיף על העולה המספר הנחלק הקטן והמקובץ תגרע מהמספר הנחלק הגדול ומה שישאר תחלקהו על יתרון האנשים השניים לראשונים והעולה לחלק תכה על האנשים הראשונים והמגיע הוא המספר הנחלק הקטן
The reason for this method	ואשים עלת זה האופן

defining: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שאשים המספר הנחלק הקטן שהוא עשרה שטח אבג"ד
GD = the former people	והאנשים הראשונים קו ג"ד
DH = the four people	והוספנו על האנשים הראשונים ארבעה אנשים והם קו ד"ה
GH = GD + DH = the latter people	ויהיה קו ג"ה האנשים השניים
GHML□ = $\scriptstyle{\color{blue}{60}}$	ונשים שטח גהמ"ל ששים
GHML□ ÷ GH = GL = the share of each of the latter	ותחלקם על קו ג"ה שהוא האנשים השניים ויעלה קו ג"ל והוא מה שיעלה לחלק לאנשים האחרונים
AL = $\scriptstyle{\color{blue}{5}}$	ויהיה קו א"ל חמשה
AL = the excess of the share of each of the latter and the share of each of the former	בעבור כי הוא יתרון החלק מאחד מהשניים על חלק אחד מהראשונים
AE = GH = the former people AM□ = AE × AL	ותכה האנשים השניים והם קו א"ע השוה לקו ג"ה על קו א"ל שהוא העודף ויהיה שטח א"מ
DE□ = GM□ - (AM□ + GB□) = 60 - (AM□ + 10)	ותוסיף עליו שטח ג"ב שהוא המספר הנחלק הקטן והוא עשרה ומה שיתקבץ תגרעהו משטח ג"מ שהוא השטח הנחלק הגדול והוא ששים וישאר שטח ד"ע
DH = 4 = the excess of the latter over the former DB = DE□ ÷ DH	תחלקהו על קו ד"ה שהוא ארבעה והוא יתרון האנשים השניים על הראשונים ויעלה קו ד"ב
DB = AG = the share of each of the former	והוא שוה לקו א"ג וזה הוא החלק שהגיע לאחד מהראשונים
GB□ = DB × GD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	ותכהו על קו ג"ד שהוא האנשים הראשונים ויהיה שטח ג"ב עשרה
Q.E.D.	ומש"ל
After clarifying the reason for this method	ואחר שבארנו עלת זה האופן
the latter people = $\scriptstyle{\color{blue}{x+4}}$	נשים האנשים השניים דבר וארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+4\right)\sdot5=5x+20}}$	תכם על השעור אשר בין החלק מאחד מהשניים לראשונים והוא חמשה ויעלה חמשה דברים ועשרים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5x+20\right)+10=5x+30}}$	תוסיף עליהם המספר הנחלק הקטן והוא עשרה ויקובץ חמשה דברים ושלשים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(5x+30\right)=30-5x}}$	ותגרעם מהמספר הנחלק הגדול הוא ששים אדרהמיש וישאר שלשים אדרהמיש פחות חמשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30-5x}{4}=\left(7+\frac{1}{2}\right)-\left(1+\frac{1}{4}\right)x}}$	ותחלקם על יתרון האנשים השניים על הראשונים והוא ארבעה ויגיע לחלק שבעה וחצי פחות דבר ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(7+\frac{1}{2}\right)-\left(1+\frac{1}{4}\right)x\right]\sdot x=\left(7+\frac{1}{2}\right)x-\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+{\color{red}{\frac{1}{2}}}\right)x-\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2=10}}$	תכם על האנשים הראשונים והם דבר ויהיה שבעה דברים פחות אלגו ורביע ישוו המספר הנחלק הקטן והוא עשרה
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{6x-x^2=8}}$	והשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד ויהיה ששה דברים פחות אלגו ישוה שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+8=6x}}$	ותשלים הדברי' עם האלגו ותוסיפם על השמנה ויהיה אלגו ושמנה ישוה ששה דברים
the former people =	וקח מחצית הדברים והוא שלשה ותכהו על עצמו ויהיה תשעה תגרע מהם השמנה ישאר אחד תקח שרשו והוא אחד תגרעהו ממחצית השרשים שהם שלשה וישאר שנים והם האנשים הראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2-8}=3-\sqrt{3^2-8}=3-\sqrt{9-8}=3-\sqrt{1}=3-1=2}}$
the latter people = $\scriptstyle{\color{blue}{3+1=4}}$	ואם תרצה תוסיף האחד על מחצית השרשים ויקובץ ארבעה והם האנשים האחרונים‫^[24]
If you are told: we divided sixty dirham [among people]. Each one received a thing. Then we added to them three people and divided twenty dirham among all. Each one of them received 26 dirham less than each one of the former. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{60}{a}=x\\\scriptstyle\frac{20}{a+3}=x-26\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו ששים אדרהמיש ועלה לאחד דבר והוספנו עליהם שלשה אנשים וחלקנו עליהם עשרים אדרהמיש ועלה לאחד פחות מאשר עלה לאחד מהראשונים עשרים וששה אדרהמיש
The procedure
the latter people multiplied by the deficit of the share of each of the latter, which is 26 the product is subtracted from difference between the two divided amounts, which is 40 the remainder is divided by the excess of the latter people over the former people, which is 3 the quotient is multiplied by the latter people the result is the smaller divided amount $\scriptstyle\frac{\left(60-20\right)-\left[a\times\left(\frac{60}{a}-\frac{20}{a+3}\right)\right]}{\left(a+3\right)-a}\times\left(a+3\right)=20$	והמעשה בזה שנכה האנשים הראשונים בפחת החלק מהשניים שהוא כ"ו והעולה תגרע מהעודף משני מספרים הנחלקים שהוא ארבעים והנשאר תחלק על יתרון האנשים שהוא שלשה והמגיע תכה על האנשים השניים ומה שיעלה הוא המספר הנחלק הקטן
The reason for this method	ואשים עלת זה האופן

defining: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{60}}$	והוא שנשים המספר הנחלק הגדול שהוא ששים אדרה"מיש שטח אבג"ד
GD = the former people	והאנשים הראשונים קו ג"ד
AG = the share of each of the former	ומה שעלה לאחד מהראשונים קו א"ג
DH = the [three] people	והוספנו על האנשים הראשונים שהוא קו ג"ד שלשים אנשים והוא קו ד"ה
GH = GD + DH = the latter people	ויהיה קו ג"ה האנשים השניים
GHCZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{20}}$	ונשים שטח גהח"ז עשרים
GHCZ□ ÷ GH	וחלקם על קו ג"ה שהוא האנשים השניים
AZ = $\scriptstyle{\color{blue}{26}}$	ויהיה קו א"ז עשרים ושש
it is the excess of one part over the other	בעבור כי הוא יתרון החלק האחד על האחר
ZB□ = ZM × AZ	ותכה האנשים הראשונים והם קו ז"מ בקו א"ז ויהיה שטח י"ב
DC□ = ZB□ - 40	תגרע ממנו יתרון שני המספרים הנחלקים שהוא ארבעים וישאר שטח ד"ח
ZB□ = DC□ + 40	והוא ידוע כי שטח ז"ב הוא גדול משטח ד"ח בארבעים
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{60}}$	בעבור כי שטח א"ד הוא ששים
GC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{20}}$	ושטח ג"ח הוא עשרים
AD□ exceeds by 40	והוא יעדיף בארבעים
subtracting ZD□ that is shared by both	ותגרע שטח ז"ד המשותף
ZB□ = DC□ + 40	וישאר שטח ז"ב יעדיף על שטח ד"ח בארבעים
DM = ZB□ ÷ DH = ZB□ ÷ 3 DM = GZ = the share of each of the latter	תחלקהו על קו ד"ה שהוא שלשה ויעלה קו ד"מ השוה לקו ג"ז והוא המגיע לאחד מהאנשים האחרונים
GC = GZ × GH = $\scriptstyle{\color{blue}{20}}$	ותכה קו ג"ז על קו ג"ה שהוא האנשים השניים ויהיה ג"ח שהוא המספר הנחלק הקטן שהוא עשרים
After clarifying the reason for this method	ואחר שבארנו עלת זה האופן
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	נניח האנשים הראשונים דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot26=26x}}$	ותכה אותו על גרעון חלק האחד שני מחלק האחד ראשון שהוא כ"ו אדרהמיש ויהיה כ"ו דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{26x-40}}$	תגרע מהם יתרון שני המספרים הנחלקים והוא ארבעים וישאר כ"ו דברים פחות ארבעים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{26x-40}{3}=\left(8+\frac{2}{3}\right)x-\left(13+\frac{1}{3}\right)}}$	ותחלקם על יתרון האנשים שהוא שלשה ויעלה שמנה דברים ושני שלישים פחות י"ג אדרהמיש ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(8+\frac{2}{3}\right)x-\left(13+\frac{1}{3}\right)\right]\sdot\left(x+3\right)=\left(8+\frac{2}{3}\right)x^2+\left(12+\frac{2}{3}\right)x-40}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{2}{3}\right)x^2+\left(12+\frac{2}{3}\right)x-40=20}}$	ותכם על האנשים השניים והם דבר ושלשה ויהיה שמנה אלגוש ושני שלישי ושנים עשר דברים ושני שלישי דבר פחות ארבעים אדרהמיש ישוה המספר הנחלק הקטן והוא עשרים
Restoration of $\scriptstyle\left(8+\frac{2}{3}\right)x^2+\left(12+\frac{2}{3}\right)x-40$ : $\scriptstyle{\color{blue}{20+40}}$	ותאספם עם הארבעים אדרהמיש ותוסיפם על העשרים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{2}{3}\right)x^2+\left(12+\frac{2}{3}\right)x=60}}$	ויהיו שמנה אלגוש ושני שלישי אלגוש וי"ב דברים ושני שלישי דבר ישוו ששים אדרהמיש
Normalization of $\scriptstyle\left(8+\frac{2}{3}\right)x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{2}{3}\right)x^2+\left(12+\frac{2}{3}\right)x=60\; /\times\frac{3}{26}}}$	והשיב כל דבר שתחזיק לאלגוש אחד וכבר ידעת שהאלגוש משמנה אלגוש ושני שלישים אלגוש הוא שלשה חלקים מעשרים וששה חלקים מאחד וקח מכל דבר שתחזיק שלשה דברים מכ"ו חלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\left(1+\frac{12}{26}\right)x=6+\frac{24}{26}}}$	ויהיה אלגוש ודבר וי"ב חלקים מכ"ו חלקים ישוה ששה וכ"ד חלקים מכ"ו חלקים מאדרהם
the former people =	ומחצית הדברים יהיה תשע עשרה חלקים מכ"ו חלקים בדבר ותכם על עצמם ויהיה שלשה עשר חלקים מכ"ו חלקים מתרע"ו חלקים מאחד ותוסיפם על האדרהמיש והם ששה וכ"ד חלקים מכ"ו יהיה שבעה וי"א חלקים מכ"ו וכ"ג חלקים מתרע"ו וקח שרשו והוא שני אדרהמיש וי"ט חלקים מכ"ו וישאר שנים והם האנשים הראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{12}{26}\right)\right]^2+\left(6+\frac{24}{26}\right)}-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{12}{26}\right)\right]\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{19}{26}\right)^2+\left(6+\frac{24}{26}\right)}-\frac{19}{26}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{13}{26}+\frac{{\color{red}{23}}}{676}\right)+\left(6+\frac{24}{26}\right)}-\frac{19}{26}\\&\scriptstyle=\sqrt{7+\frac{11}{26}+\frac{23}{26}}-\frac{19}{26}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{19}{26}\right)-\frac{19}{26}=2\\\end{align}}}$
There are two solving methods to these four questions, and they are similar to other demonstrated methods.	ולאלה הארבעה שאלות ודומיהן יש שני אופנים והם דומים לאופנים שונים אשר הראיתיך
As in: we divided ten into two parts, then we divided one of them by the other and the result is four and a quarter. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}=4+\frac{1}{4}\end{cases}$	כחשבון האומר בו חלקנו עשרה לשני חלקים וחלקנו אחד מהם על האחר ועלה ארבעה ורביע
One of [these methods] will be shown in order that others will be taught from it	והנה אראך אחד מהם למען תתלמד בו לאחרים
We divided twenty dirham among people. Each one received a thing. Then we added to them two people and divided sixty dirham among all. Each one of them received 5 dirham more than each one of the former. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{20}{a}=x\\\scriptstyle\frac{60}{a+2}=x+5\end{cases}$	והוא כי כאשר יאמרו לך עשרים אדרהמיש חלקנום על אנשים והגיע לכל אחד מהם דבר והוספנו עליהם שני אנשים וחלקנו עליהם ששים אדרהמיש ועלה לאחד מהם יותר מאשר עלה לאחד מהראשונים בחמשה אדרהמיש
The procedure: defining: the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ומעשהו שנשים האנשים הראשונים דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{d=\frac{20}{x}}}$	וחלק עליהם עשרים אדרהמיש ויגיע לאחד דינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot x=20}}$	וכאשר תכה דינר על דבר יהיה עשרים אדרהמיש
the latter people = $\scriptstyle{\color{blue}{x+2}}$	ונוסיף על האנשים הראשונים שהם דבר שנים ויהיו דבר ושנים הם האנשים האחרונים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{x+2}=d+5}}$	ותחלק ששים אדרהמיש על דבר ושנים ויגיע דינר אחד וחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d+5\right)\sdot\left(x+2\right)=60}}$	וכאשר נכה דינר וחמשה על דבר ושנים יהיה שישים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d+5\right)\sdot\left(x+2\right)=30+5x+{\color{red}{2}}d}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{30+5x+{\color{red}{2}}d=60}}$	והכאת דינר וחמשה על דבר ושנים יהיה שלשים אדרהמיש וחמשה דברים ודינר אחד ישוו ששים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{30-5x=2d}}$	ותגרע שלשים אדרהמיש וחמשה דברים מששים וישאר שלשים אדרהמיש פחות חמשה דברים ישוו שני דינרין
$\scriptstyle{\color{blue}{d=15-\left(2+\frac{1}{2}\right)x}}$	והדינר ישוה ט"ו אדרהמיש פחות שני דברים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{x}=15-\left(2+\frac{1}{2}\right)x}}$	ותשוב אל תחלת השאלה הראשונה ותאמר תחלק עשרים אדרהמיש על דבר ויהיה ט"ו אדרהמיש פחות שני דברים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{15x-\left(2+\frac{1}{2}\right)x^2=20}}$	ויהיה ט"ו דברים פחות שני אלגוש וחצי ישוו עשרים אדרהמיש
Normalization of $\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{15x-\left(2+\frac{1}{2}\right)x^2=20\; /\times{\color{red}{\frac{2}{5}}}}}$	תשיב כל דבר שתחזיק אל אלגוש אחד וכבר ידעת ששני אלגוש משני אלגוש וחצי חמשה ותקח לכל דבר שתחזיק חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{6x-x^2=8}}$	ויהיה ששה פחות אלגוש ישוה שמנה אדרהמיש
Restoration of $\scriptstyle6x-x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{8+x^2}}$	ותאסוף הששה פחות אלגוש עם האלגוש ותוסיפיהו על השמונה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+8=6x}}$	ויהיה אלגוש ושמנה אדרהמיש ישוה ששה דברים
the former people =	וקח מחצית הדברים והוא שלשה תכם על עצמם ויהיה תשעה תגרע מהם השמנה וישאר אחד תקח שורשו והוא אחד תגרעיהו ממחצית הדברים שהוא שלשה וישאר שנים והם האנשים הראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2-8}=3-\sqrt{3^2-8}=3-\sqrt{9-8}=3-\sqrt{1}=3-1=2}}$
the latter people = $\scriptstyle{\color{blue}{x+2=3+1=4}}$	ואם תרצה תוסיף האחד על מחצית השרשים שהוא שלשה ויהיו ארבעה והם האנשים השניים והבן זה
If you are told: we divided ten dirham among people. Each one received a thing. Then we added to them six people and divided forty dirham among all. Each one of them received as much as each one of the former equally. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{10}{a}=x\\\scriptstyle\frac{40}{a+6}=x\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה אדרהמיש על אנשים והגיע לאחד דבר והוספנו עליהם ששה אנשים וחלקנו בין כולם ארבעים אדרהמיש והגיע לאחד מהם כמו שהגיע לאחד מהראשונים בשוה
The procedure
the smaller divided amount is multiplied by the excess of the latter people over the former people the product is divided by the difference between the two divided amounts the result is the former people $\scriptstyle\frac{10\times\left[\left(a+6\right)-a\right]}{40-10}=a$	ומעשיהו שתכה המספר הנחלק הקטן על יתרון האנשים השניים על הראשונים והעולה מההכאה תחלק על יתרון שני המספרים הנחלקים ומה שיעלה הם האנשים הראשונים
the former people: $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10\times6}{40-10}=\frac{60}{30}=2}}$	ותכה המספר הנחלק הקטן והוא עשרה על יתרון האנשים שהוא ששה ויהיה ששים ותחלק ששים על יתרון שני המספרים הנחלקים שהוא שלשים ויעלה שנים והם האנשים הראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{\frac{40-10}{\left(a+6\right)-a}}=\frac{10}{\frac{30}{6}}=\frac{10}{5}=2}}$	ואם תרצה תחלק יתרון שני המספרים הנחלקים והוא שלשים על יתרון האנשים והוא ששה ויגיע לחלק חמשה תחלק עליהם המספר הנחלק הקטן שהוא עשרה ויגיע שנים והם האנשים הראשונים
The reason for this question is already clarified.	וכבר הוא מבואר עלת זאת השאלה
(former people) : (latter people) = [divided amount of the former] : [divided amount of the latter]	ולזאת השאלה פנים אחרים והוא שיחס מספר האנשים הראשונים אל האנשים השניים הוא כמו מספר חלק אחד מהראשונים אל חלק אחד מהשניים
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{40}=\frac{1}{4}}}$ of the latter people	וכבר ידעת שחלק אחד מהראשונים הוא עשרה וחלק אחד מהשניים הוא ארבעים ושיעור עשרה אצל ארבעים הוא הרביע והאנשים הראשונים הם הרביע מהאנשים השניים
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ותשים האנשים הראשונים דבר
the latter people = $\scriptstyle{\color{blue}{x+6}}$	והאנשים השניים דבר וששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(x+6\right)=x}}$	וכבר ידעת כי הרביע מדבר וששה הוא דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}x=x}}$	ולכן תקח הרביע מדבר וששה ויהיה אדרהם וחצי ורביע דבר ישוה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}x=1+\frac{1}{2}}}$	ותגרע רביע דבר מדבר וישאר שלשה רביעי דבר ישוו אחד וחצי
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=2}}$	והדבר שנים והם האנשים הראשונים
If you are told: ten garments were purchased by two people at a price of 72 dirham. Each one of them paid 36 dirham. The garments are varied in their prices. One of the men took from the garments for his 36 dirham and the other one took the remainder of the garments for his 36 dirham. The price of each garment of the first man is higher than the price of each garment of the other man by three dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot c=36\\\scriptstyle b\sdot\left(c+3\right)=36\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה בגדים קנום בין שני אנשים בשכר שבעים ושנים אדרהמיש וכל אחד מהם הוציא שלשים וששה אדרהמיש והבגדים מתחלפי השומה ואחד מהאנשים לקח מהבגדים בעד הל"ו דרהמי שלו ולקח האחר הנשאר מהבגדים בעד הל"ו דרהמי שלו ושומת כל בגד מהאיש האחד יותר משווי כל בגד מהאחר שלשה דרהמי

The procedure: defining: AB = 10 garments	ומעשהו שנשים העשרה בגדים קו א"ב
AG = the number of garments of the higher price $\scriptstyle{\color{blue}{b}}$	בעלי השומה הגדולה קו א"ג
GB = [the number of garments of the lower price] $\scriptstyle{\color{blue}{a}}$	והאחרים קו ג"ב
GD = the price of each garment of line GB [= the lower price]	ונשים שומת כל בגד מקו ג"ב קו ג"ד
DB□ = the total price of the garments of line GB $\scriptstyle{\color{blue}{=36}}$	וכל שומת הבגדים מקו ג"ב שטח ד"ב ושטח ד"ב הוא שלשים וששה
GH = the price of each garment of line AG [= the higher price]	ותשים שומת כל בגד מקו א"ג קו ג"ה
AH□ = the total price of the garments of line AG $\scriptstyle{\color{blue}{=36}}$	וכל שומת הבגדים מקו ג"א יהיה שטח א"ה והוא שלשים ושש
DH = the difference of the price of each garment [of line AG] and the price of each garment of [line GB] $\scriptstyle{\color{blue}{=3}}$	וקו ד"ה שלשה בעבור כי הוא יתרון שומת כל בגד מאחד מהם על שומת כל בגד מהאחר
GB = DZ = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ונשים קו ג"ב דבר והוא כמו קו ד"ז
DH = $\scriptstyle{\color{blue}{3}}$	וקו ד"ה שלשה
HZ□ = DZ×DH = $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	ושטח ה"ז יהיה מפני זה שלשה דברים
BE□ = $\scriptstyle{\color{blue}{72+3x}}$	וכל שטח ב"ע יהיה שבעים ושנים ושלשה דברים
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וקו א"ב עשרה
AE = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{72+3x}{10}=7+\frac{1}{5}+\frac{3}{10}x}}$	ולכן יהיה קו א"ע שבעה וחומש ושלשה עשיריות דבר
AE = line GH	אבל הוא כמו קו ג"ה
HD = $\scriptstyle{\color{blue}{3}}$	וקו ה"ד ממנו שלשה
GD = GH-HD = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{1}{5}+\frac{3}{10}x\right)-3=4+\frac{1}{5}+\frac{3}{10}x}}$	וישאר קו ג"ד ארבעה וחומש ושלשה עשיריות דבר
GD×GB = [DB□] = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{5}+\frac{3}{10}x\right)\sdot x=\left(4+\frac{1}{5}\right)x+\frac{3}{10}x^2=36}}$	ונכה אותו על קו ג"ב והוא דבר ויהיה ארבעה דברים וחומש ושלש עשיריות מאלגו ישוו שלשים ושש אדרהמיש
Normalization of $\scriptstyle\frac{3}{10}x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{5}\right)x+\frac{3}{10}x^2=36\; /\times\left(3+\frac{1}{3}\right)}}$	ותשלים שלש עשיריות מאלגו והשלמתך הוא עד שיהיו אלגו שלם והוא שתכם על שלשה ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+14x=120}}$	ותכה כל דבר שתחזיק על שלשה ושליש ויהיה אלגו וארבעה עשר דברים ישוו מאה ועשרים אדרהמיש
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}$	ועשה כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר ששה והוא מספר הבגדים מאחד מהם והוא קו ג"ב
[AG] = $\scriptstyle{\color{blue}{10-x=4}}$	והחלק האחר הוא מה שנשאר מהעשרה בגדים והוא ארבעה
Q.E.D.	וזה הוא מה שרצינו לבאר
This question has another method	ולזאת השאלה פנים אחרים
the number of garments that one of them took = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והוא כמו שהוספנו שנשים הבגדים שלקח אחד מהם דבר
[the number of garments that the other one took] = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחרים עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\rm{price}_1=36}}$	וכבר ידעת שאם נכה דבר על שומת כל בגד מהחלק האחד יהיה ל"ו דרהמי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot\rm{price}_2=36}}$	ואם נכה עשרה פחות דבר על שומת כל בגד מהחלק האחר יהיה כמו כן ל"ו דרהמי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[x+\left(10-x\right)\right]\sdot \rm{price}_2=\left[x+\left(10-x\right)\right]\sdot\left(\rm{price}_1+3\right)=72+3x}}$	ואם תכה כל הבגדים על שומת כל בגד ושלשה יותר מהבגדים מהדבר ושלשה יהיה שבעים ושנים דרהמי' ושלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\rm{price}_2=\frac{72+3x}{10}=7+\frac{{\color{red}{1}}}{5}+\frac{3}{10}x}}$	וכאשר תחלקם על העשרה יהיה שומת כל בגד מהעשרה פחות דבר יעלה לחלק שבעה ושני חומשים ושלש עשיריות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\rm{price}_1=4+\frac{1}{5}+\frac{3}{10}x}}$	ויהיה שומת כל בגד מהבגדים מהדבר ארבעה וחומש ושלש עשיריות מדבר
the number of garments that one of them took = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	ותעשה כמו שאמרתי לך במה שעבר ויעלה הדבר ששה בגדים והוא מה שלקח האחד
the number of garments that the other one took = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}$	והאחר לקח מה שנשאר מהעשרה והוא ארבעה בגדים
This is like: We divided ten into two parts, then we multiplied one part by a thing and [the product] was thirty six and we multiplied the other part by a thing plus three and [the product] was thirty six. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot x=36\\\scriptstyle b\sdot\left(x+3\right)=36\end{cases}$	וזאת השאלה היא כמו השאלה שאומר בה עשרה חלקנום לשני חלקים והכינו החלק האחד על דבר ויהיה שלשים ושש והכינו החלק האחר על דבר ושלשה ויהיה שלשים ושש
It should be solved as said before.	ותעשה אותה כמו שאמרתי לך לפנים
If you are told: we divided ten into two parts, then we multiplied one part by six, divided the product by the other part, took a third of the quotient and added it the product and [the result] was fifty six. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle6a+\frac{1}{3}\sdot\frac{6a}{b}=56\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה לשני חלקים והכינו החלק האחד על ששה וחלקנו מה שעלה מההכאה על החלק האחר ומה שעלה לחלק לקחנו ממנו השליש והוספנו על מה שעלה הכאת החלק האחד על ששה והיה חמשים וששה
The procedure: defining: one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ומלאכתו שנשים החלק האחד דבר
the other [part] as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{6x}{10-x}=56-6x}}$	ותכה דבר על ששה ויהיה ששה דברים ותחלק ששה דברים על עשרה פחות דבר והשלישית מאשר יעלה לחלק יהיה נ"ו אדרהמיש פחות ששה דברים
because $\scriptstyle{\color{blue}{6x+\frac{1}{3}\sdot\frac{6x}{10-x}=56}}$	וזה כי כבר אמר שאם קבצנוהו עם הששה דברים יהיה נ"ו אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6x}{10-x}=168-18x}}$	ומה שעלה לחלק הוא מפני זה קס"ח אדרהמיש פחות י"ח דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6x}{10-x}=168-18x\; /\times\left(10-x\right)}}$	ותכם על עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{6x=1680+18x^2-348x}}$	ויהיה אלף תר"פ אדרהמיש וי"ח אלגוש פחות שמ"ח דברים ישוו ששה דברים
Restoration of $\scriptstyle1680+18x^2-348x$ : $\scriptstyle{\color{blue}{6x+348x}}$	ותאספם עם שמ"ח דברים ותוסיפם על הששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{354x=1680+18x^2}}$	ויהיה אלף תר"פ אדרהמיש וי"ח אלגוש ישוו שנ"ד דברי‫'
Normalization of $\scriptstyle18x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{354x=1680+18x^2\; /\times\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד וכבר ידעת כי האלגו הוא מי"ח אלגוש חצי תשיעית ותקח מכל דבר שתחזיק חצי תשיעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(19+\frac{2}{3}\right)x=\left(93+\frac{1}{3}\right)+x^2}}$	ויהיה אלגו וצ"ג אדרהמיש ושליש ישוו י"ט דברי' ושני שלישי דבר
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=8}}$	ותכונם עמו ויהיה הדבר שמנה והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=2}}$	והאחר שנים
$\scriptstyle\left[x^2-\left(\frac{1}{3}x^2+2\right)\right]^2=x^2+24$	ואם יאמרו לך אלגו גרעת ממנו שלישיתו ושני אדרהמיש ומה שנשאר הכית אותו על עצמו ושב האלגו וכ"ד אדרהמיש יותר
[first method]
The procedure: defining the square as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	ופעולתו שנשים האלגו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[y-\left(\frac{1}{3}y+2\right)\right]^2=y+24}}$	ותגרע ממנו שלישיתו ושני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}y-2\right)^2=y+24}}$	וישאר שני שלישי דבר פחות שני דרהמיש ותכם על עצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}y^2+4-\left(2+\frac{2}{3}\right)y=y+24}}$	ויהיה ארבעה תשיעיות מאלגו וארבעה דרהמי פחות שני דברי' ושני שלישי דבר ישוו דבר וכ"ד אדרהמיש
Restoration of $\scriptstyle\frac{4}{9}y^2+4-\left(2+\frac{2}{3}\right)y$ : $\scriptstyle{\color{blue}{y+24+\left(2+\frac{2}{3}\right)y}}$	ותאסוף הארבעה תשיעיות עם השני דברים ושני שלישי דבר ותוסיפם על האדרהמיש והדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}y^2=20+\left(3+\frac{2}{3}\right)y}}$	ויהיה עשרים אדרהמי ושלשה דברים ושני שלישי דבר ישוו ארבעה תשיעיות מאלגו
Normalization of $\scriptstyle\frac{4}{9}y^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}y^2=20+\left(3+\frac{2}{3}\right)y\; /\times\left(2+\frac{1}{4}\right)}}$	ותשלים האלגו עד שיהיה אלגו שלם והשלמתך הוא שתכהו על שנים ורביע ותכה כל אשר תחזיק על שנים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=12}}$	ועשה כאשר אמרתי לך ויהיה שנים עשר והוא האלגו
[second method]
Another method: defining the square as a square minus 24 dirham $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y-24}}$	ולה פנים אחרים והוא שתשים האלגו אלגו פחות כ"ד דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(y-24\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot\left(y-24\right)+2\right)\right]^2=y}}$	ותגרע ממנו שלישיתו ושני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}y-{\color{red}{18}}\right)^{\color{red}{2}}=y}}$	וישאר שני שלישי אלגו פחות כ"ב דרהמי ישוו שרש
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{y=36}}$	ותכוין עמו כמו שאמרתי לך ויעלה האלגו ל"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=12}}$	וישאר י"ב והוא האלגו הנשאל
$\scriptstyle3\sqrt{x^2}+4\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=20$	ואם יאמרו לך שלשה שרשים מהאלגו וארבעה שרשים ממה שנשאר מהאלגו יהיה עשרים דרהמי‫'
The procedure: defining the square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y^2}}$	ומלאכתו שנשים האלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{y^2}+4\sqrt{y^2-3\sqrt{y^2}}=20}}$	ותאמר שלשה שרשיו וארבעה שרשים פחות שלשה שרשי' ישוו עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sqrt{y^2-3\sqrt{y^2}}=20-3\sqrt{y^2}}}$	ותגרע השלשה שרשים מהעשרים דרהמי וישאר עשרים דרהמי פחות שלשה שרשים ישוו ארבעה שרשים מן האלגו פחות שלשה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{y^2-3\sqrt{y^2}}=5-\frac{3}{4}\sqrt{y^2}}}$	והוא חמשה דרהמי פחות שלשה רביעים משרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{y^2-3\sqrt{y^2}}\right)^2=\left(5-\frac{3}{4}\sqrt{y^2}\right)^2}}$	ותכהו על עצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2-3\sqrt{y^2}={\color{red}{25+\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]y^2-\left(7+\frac{1}{2}\right)\sqrt{y^2}}}}}$	ויהיה חצי אלגו וחצי שרש ישוה אלגו פחות שלשה שרשים
Restoration of $\scriptstyle25+\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]y^2-\left(7+\frac{1}{2}\right)\sqrt{y^2}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{y^2-3\sqrt{y^2}+\left(7+\frac{1}{2}\right)\sqrt{y^2}}}$	ותאספהו עם תשעה שרשים וחצי ותוסיפהו על האלגו פחות ושלשה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+\left(4+\frac{1}{2}\right)\sqrt{y^2}=25+\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]y^2}}$	ויהיה אלגו וארבעה שרשים וחצי ישוה חצי אלגו וחצי שמינית אלגו וכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{8}+{\color{red}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}\right]y^2+\left(4+\frac{1}{2}\right)\sqrt{y^2}=25}}$	ותגרע חצי אלגו ושתות מאלגו שלם וישאר שלשה שמיניות וששית אלגו וארבעה שרשים וחצי ישוה כ"ה דרהמיש
Normalization of $\scriptstyle\left[\frac{3}{8}+{\color{red}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}\right]y^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{8}+{\color{red}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}\right]y^2+\left(4+\frac{1}{2}\right)\sqrt{y^2}=25\; /\times\left(2+\frac{2}{7}\right)}}$	ותשלים האלגו שלך וזה בשתוסיף עליו כמהו וכמו שני שביעיותיו ויהיה אלגו שלם ותוסיף על כל דבר שתחזיק כמהו וכמו שתי שביעיותיו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+\left(10+\frac{2}{7}\right)y=57+{\color{red}{\frac{1}{7}}}}}$	ויהיה אלגו ועשרה דברים ושתי שביעיות דבר ישוה נ"ז דרהמי
	ושלש שביעיות ושביעית השביעית ותוסיפם על החמשים ושביעית ויהיה פ"ג וארבע שביעיות ושביעית השביעית ותקח שרשו והוא תשעה ושביעית תגרע מהם מחצית השרשים והוא חמשה ושביעית וישאר ארבעה והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle y&\scriptstyle{\color{red}{=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+\frac{2}{7}\right)\right]^2+\left(57+\frac{1}{7}\right)}-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+\frac{2}{7}\right)\right]}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left[26+\frac{3}{7}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]+\left(57+\frac{1}{7}\right)}-\left(5+\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{83+\frac{4}{7}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}-\left(5+\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=\left(9+\frac{1}{7}\right)-\left(5+\frac{1}{7}\right)=4\\\end{align}}}$
$\scriptstyle3\sqrt{x^2}+4\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=20$	ואם תרצה תאמר שלשה שרשים מאלגו וארבעה שרשים מאלגו פחות שלשה שרשים ישוו עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=\sqrt{16x^2-48\sqrt{x^2}}}}$	וארבעה שרשים מאלגו פחות שלשה שרשים הוא שרש י"ו פחות מ"ח שרשים
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20-3\sqrt{x^2}\right)^2=16x^2-48\sqrt{x^2}}}$	ותכה עשרים פחות שלשה שרשים על עצמו ותכוין‫^[25] העולה מההכאה שש עשרה אלגוש פחות מ"ח שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	ותעשה כמו שאמרתי לך ויעלה האלגו ששה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=x^2-3\sqrt{x^2}}}$	ואם תרצה תשים הנשאר מהאלגו אחר שנגרע ממנו שלשת שרשי האלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{x^2}+4\sqrt{y^2}=20}}$	וקח ארבעה שרשיו והוא ארבעה שרשים והוא ידוע כי כאשר תוסיף אלו הארבעה שרשים על שלשה שרשי האלגו יהיה עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{x^2}=20-4\sqrt{y^2}}}$	ויתחיב שיהיו שלשת שרשי האלגו עשרים דרהמי פחות ארבעה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}=\left(6+\frac{2}{3}\right)-\left(1+\frac{1}{3}\right)\sqrt{y^2}}}$	ויהיה שרש האלגו ששה דרהמי ושני שלישים פחות שרש ושליש
	ותכהו על עצמו ויהיה אלגו ושבע תשיעיות מאלגו ומ"ד דרהמי וד' תשיעיות מדרהמי פחות י"ז דברים וז' תשיעיות דבר והוא האלגו הנשאל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(6+\frac{2}{3}\right)-\left(1+\frac{1}{3}\right)\sqrt{y^2}\right]^2=\left(1+\frac{7}{9}\right)y^2+\left(44+\frac{4}{9}\right)-\left(17+\frac{7}{9}\right)y}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(1+\frac{7}{9}\right)y^2+\left(44+\frac{4}{9}\right)-\left(17+\frac{7}{9}\right)y}}$
	ותגרע ממנו שלשת שרשיו שהם עשרים דרהמי פחות ארבעה שרשים וישאר כ"ד דרהמי וד' תשיעיות מדרהמי ואלגו ושבע תשיעיות מאלגו פחות י"ג שרשים וז' תשיעיות משרש ישוו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-3\sqrt{x^2}=\left[\left(1+\frac{7}{9}\right)y^2+\left(44+\frac{4}{9}\right)-\left(17+\frac{7}{9}\right)y\right]-\left(20-4y\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(24+\frac{4}{9}\right)+\left(1+\frac{7}{9}\right)y^2-\left(13+\frac{7}{9}\right)y=y^2}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=y=2}}$	ותעשה כאשר אמרתי לך ויעלה הדבר שנים והוא שרש מה שנשאר מהאלגו אחר שנגרע ממנו שלשת שרשיו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-3\sqrt{x^2}=y^2=2^2=4}}$	ותכם על עצמם ויהיה ארבעה והוא מה שנשאר מהאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{x^2}=20-4\sqrt{2^2}=20-4\sqrt{4}=20-8=12}}$	וקח ארבעה שרשים מארבעה והם שמנה ותגרעם מעשרים וישאר י"ב והם שלשה שרשים מהאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}=\frac{1}{3}\sdot12=4}}$	ושלישיתם הוא שרש האלגו והוא ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו יהיה ששה עשר והוא האלגו הנשאל
$\scriptstyle\left(x^2-\frac{1}{3}x^2\right)\sdot3\sqrt{x^2}=x^2$	ואם יאמרו לך גרענו מן האלגו שלישיתו והכינו הנשאר על שלשה שרשים מהאלגו הראשון ושב האלגו הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x^2\sdot3\sqrt{x^2}=x^2}}$	כבר ידעת שכאשר תגרע מן האלגו שלישיתו שיהיה הנשאר שני שלישיו
Normalization of $\scriptstyle\frac{2}{3}x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x^2\sdot3\sqrt{x^2}=x^2\; /\times\left(1+\frac{1}{2}\right)}}$	ואלו השני שלישיות תכם על אדרהם וחצי עד שישוב האלגו אל מה שהיה
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{x^2}=1+\frac{1}{2}}}$	והאדרהם וחצי שלשה שרשים מהאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}=\frac{1}{2}}}$	ושרש האלגו חצי אדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{4}}}$	והאלגו רביע אחד
$\scriptstyle\left(x^2-\frac{1}{3}x^2\right)\sdot3\sqrt{x^2-\frac{1}{3}x^2}=x^2$	ואם יאמרו לך אלגו גרענו ממנו שלישיתו והכינו הנשאר על שלשה שרשים מהנשאר מהאלגו וישוב האלגו
[first method]
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x^2\sdot3\sqrt{\frac{2}{3}x^2}=x^2}}$	וכבר ידעת שכאשר גרענו מן האלגו שלישיתו יהיה הנשאר שני שלישיו
Normalization of $\scriptstyle\frac{2}{3}x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x^2\sdot3\sqrt{\frac{2}{3}x^2}=x^2\; /\times\left(1+\frac{1}{2}\right)}}$	ואלו שני שלישיות תכם על אדרהם וחצי עד שישוב האלגו הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{\frac{2}{3}x^2}=1+\frac{1}{2}}}$	והאדרהם וחצי הם שלשה שרשים ממה שנשאר מהאלגו והם שני שלישים מהאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{3}x^2}=\frac{1}{2}}}$	ושרש שני שלישיות חצי אדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x^2=\frac{1}{4}}}$	והשני שלישיות הם רביע דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{3}{8}}}$	והאלגו שלשה שמיניות
[second method]
The procedure: defining: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	ותעשה כמעשה הזה והוא שתשים האלגו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(y-\frac{1}{3}y\right)\sdot3\sqrt{y-\frac{1}{3}y}=\frac{2}{3}y\sdot3\sqrt{\frac{2}{3}y}=\frac{2}{3}y\sdot\sqrt{6y}}}$	ותגרע ממנו שלישיתו וישאר שני שלישיו ותכה שני שלישיות דבר על שלשה שרשים מאלו השני שלישיות והוא שרש מששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2y^3+\frac{2}{3}y^3}=y}}$	ויהיה שרש משני מעוקבים משני קוביקש ושני שלישיות ישוו האלגו והוא דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{2y^3+\frac{2}{3}y^3}\right)^2=y^2}}$	תכה הדבר על עצמו ויהיה אלגו ותכה שרש שני קוביקש ושני שלישיות על עצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{2y^3+\frac{2}{3}y^3=y^2}}$	ויהיה שני קוביקש ושני שלישיות ישוו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{2y^3+\frac{2}{3}y^3=y^2\; /\div y^2}}$	תחלקהו על אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{2y+\frac{2}{3}y}}=1}}$	ויהיה ס"ב שלישיות ישוה אדרהם אחת
$\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{3}{8}}}$	והדבר ישוה שלשה שמיניות מאדרהם
$\scriptstyle3\sqrt{x^2}+2\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=x^2$	ואם יאמרו לך אלגו שלשת שרשיו ושני שרשי הנשאר ישוו האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=x^2-3\sqrt{x^2}}}$	וכבר ידעת כי שני שרשים מהנשאר מהאלגו ישוה הנשאר מהאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-3\sqrt{x^2}=4}}$	ומה שנשאר מהאלגו הוא ארבעה דרהמי וזה הוא אלגו תגרע ממנו שלשת שרשיו וישאר ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו ששה עשר דרהמי
$\scriptstyle3\sqrt{x^2}+4\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=x^2+4$	ואם יאמרו לך אלגו שלשת שרשיו וארבעה שרשים ממה שנשאר מהאלגו יהיה כמו האלגו וארבעה דרהמי' יותר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-3\sqrt{x^2}=4\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}-4}}$	וכבר ידעת כי הנשאר מהאלגו אחר שגרעת ממנו שלשת שרשיו יהיה כמו ארבעה שרשיו פחות ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=x^2-3\sqrt{x^2}}}$	ותמנה מה שנשאר מהאלגו אחר שגרעת ממנו שלשת שרשיו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=4\sqrt{y^2}-4}}$	ותאמר אלגו שארבעת שרשיו פחות ארבעה דרהמי ישוה האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=4}}$	והאלגו ארבעה דרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-3\sqrt{x^2}=4}}$	ותאמר אלגו תגרע ממנו שלשת שרשיו וישאר ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו ששה עשר דרהמי והוא האלגו הנשאל
If you are told: we divided ten into two parts, then we divided one part by the other, and the sum of the quotient with the divisor is five and a half. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}+a=5+\frac{1}{2}\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה דרהמי חלקנום לשני חלקים וחלקנו החלק האחד על האחר ויהיה המגיע לחלק עם המחלק יהיה חמשה וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}+x=5+\frac{1}{2}}}$	וכבר ידעת שכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר יהיה המגיע לחלק כאשר תוסיפהו על דבר חמשה וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\left(5+\frac{1}{2}\right)-x}}$	וכאשר תגרע הדבר מהחמשה וחצי יהיה הנשאר הוא המגיע לחלק והוא חמשה וחצי פחות דבר ותאמר חלקנו עשרה פחות דבר על דבר והגיע חמשה וחצי פחות דבר
It is already known that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	וכבר ידעת שכאשר תכה המגיע לחלק על המחלק שישוב האלגו הנחלק
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ותכה חמשה וחצי פחות דבר על דבר ותכוין העולה מההכאה עשרה פחות דבר ויעלה הדבר ארבעה
If you are told: divide ten into two parts, then divide one part by the other, take the quotient and add it to the dividend and multiply the sum by the divisor and [the result] is thirty. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}+b\right)\sdot a=30\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשני חלקים וחלק החלק האחד על האחר וקח המגיע לחלק והוסיפהו על המספר הנחלק והמקובץ תכהו על המחלק ויהיה שלשים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	וכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר כבר ידעת שאשר יגיע לחלק כאשר תכהו על דבר יהיה עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot x=10x-x^2}}$	וכאשר תכה עשרה פחות דבר על דבר יהיה עשרה דברים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)+\left(10x-x^2\right)=10+9x-x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10+9x-x^2=30}}$	והוסף עליו עשרה פחות דבר ויהיה עשרה אדרהמי ותשעה דברים פחות אלגו ישוו שלשים דרהמי
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=4}}$	ותכוין כמו שאמרתי ויעלה הדבר ארבעה דרהמיש והוא חלק אחד והוא המחלק
If you are told: divide ten into two parts, then divide one part by the other, and multiply the quotient by the dividend and [the result] is nine dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}\sdot b=9\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשני חלקים ותחלק החלק האחד על האחר ותכה המגיע לחלק על המספר הנחלק ויהיה תשעה דרהמי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot\left(10-x\right)=9}}$	וכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר יהיה המגיע לחלק כאשר הוכה על עשרה פחות דבר יהיה תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=19-x}}$	וכאשר תחברם יהיו תשעה עשר פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\left(1+\frac{9}{10}\right)-\frac{1}{10}x}}$	והוא מבואר ממה שאמרתי שכאשר נכה מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר על עשרה דרהמי יהיה עשרה דרהמי פחות דבר על עשרה יעלה דרהם אחת ותשעה עשיריות מדרהם פחות עשירית דבר והוא מה שיגיע לחלק ותשוב ותאמר חלקנו עשרה דרהמי פחות דבר על דבר ועלה דרהם אחד ותשעה עשיריות מאדרהם פחות עשירית דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=4}}$	ועשה כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר ארבעה והוא החלק האחד והוא המחלק
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided one part by the other, and multiplied the quotient by itself and by the divisor and [the result] is 32 dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}\right)^2\sdot a=32\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת החלק האחד על האחר והכית מה שהגיע לחלק על עצמו ועל המחלק ויהיה ל"ב אדרהמי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{8}{2}\right)^2\sdot2=4^2\sdot2=16\sdot2=32}}$	משל^[26] זה י' נחלק לח' וב' וחלקנו ח' על ב' והגיע ד' והכינו ד' על עצמו ועלה י"ו עוד הכינו י"ו על ב' המחלק והיה ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	וכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר והכית מה שיגיע לחלק על דבר יהיה עשרה פחות דבר והוא המספר הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot\left(10-x\right)=32}}$	וכאשר תכה עשרה פחות דבר על מה שהגיע לחלק יהיה ל"ב דרהמי
For every number multiplied by itself, then by another number, [the product] is the same as the product of the first number multiplied by the other number, then by the first number $\scriptstyle A^2\sdot B=A\sdot\left(A\sdot B\right)$	בעבור כי כל מספר שתכהו על עצמו ועל מספר אחר העולה הוא כמו הכאת המספר הראשון על המספר האחר ומה שיתקבץ על המספר הראשון וזה הוא ידוע
This is like: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}\sdot b=32\end{cases}$	ואחר שהתישב זה יהיה כאלו אמרו לך חלקנו עשרה לשני חלקים וחלקנו החלק האחד על האחר והכינו מה שהגיע לחלק על המספר הנחלק ועלה ל"ב
This is already clarified in the previous question.	וכבר בארנו זה בשאלה שקדמה
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided one part by the other, and multiplied the quotient by excess of the dividend over the divisor and [the result] is 24 dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}\sdot\left(b-a\right)=24\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת החלק האחד על האחר והכית מה שהגיע לחלק על ההבדל אשר יעדיף המספר הנחלק את המחלק ויהיה כ"ד דרהמי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot\left(10-2x\right)=24}}$	וכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר כבר ידעת שמה שיגיע לחלק כאשר תכהו על הבדל השני חלקים שהוא עשרה פחות שני דברים יהיה כ"ד דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	וכבר ידעת כי הכאת העולה לחלק על דבר יהיה עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot2x=20-2x}}$	ועל שני דברים יהיה עשרים פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{24+\left(20-2x\right)=44-2x}}$	ותוסיפם על הכ"ד ויהיה מ"ד פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=44-2x}}$	והוא ידוע ממה שאמרנו שהכאת מה שיגיע לחלק על עשרה הוא מ"ד פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=44-2x\; /\div 10}}$	וחלק מ"ד פחות שני דברים על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\left(4+\frac{2}{5}\right)-\frac{1}{5}x}}$	ויעלה ארבעה דרהמי ושני חמשי דרהם פחות חמישית דבר והוא מה שיגיע לחלק ותשוב ותאמר חלקת עשרה פחות דבר על דבר ויעלה ארבעה דרהמי ושני חומשי דרהם פחות חמישית דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=2}}$	ותעשה כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר שנים והוא החלק האחד והוא המחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=8}}$	והחלק האחר הוא שמנה
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided each part by the other, summed both quotients and multiplied [the sum] by one of the two parts of ten and [the result] is 34 dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\sdot b=34\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר וקבצת מה שעלה לחלק משניהם והכית אותו על החלק האחד משני חלקי העשרה והיה ל"ד אדרהמיש
[first method]
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot\left(10-x\right)=x}}$	וכבר ידעת כי כאשר תכה מה שהגיע מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר על עשרה פחות דבר יהיה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot\left(10-x\right)=34-x}}$	ותגרע דבר מל"ד וישאר ל"ד פחות דבר והוא ידוע ממה שאמרנו שכאשר נחלק עשרה פחות דבר על דבר ונכה המגיע לחלק מן החלוקה על עשרה פחות דבר יהיה ל"ד פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	וכאשר נכה מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר יהיה עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=\left({\color{red}{34-x}}\right)+\left(10-x\right)=44-2x}}$	תוסיפם על ארבעה ושני שלישיות פחות דבר ויהיה מ"ד פחות שני דברים והוא כמו הכאת מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=44-2x\; /\div 10}}$	ותחלק מ"ד פחות שני דברים על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\left(4+\frac{2}{5}\right)-\frac{1}{5}x}}$	ויעלה לחלק ארבעה דרהמי ושני חומשים פחות חמישית דבר ותשוב ותאמר חלקת עשרה דרהמי פחות דבר על דבר ועלה ארבעה דרהמי ושני חומשים פחות חמישית דבר
It is already known that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	וכבר ידענו שכאשר נכה מה שעלה לחלק מהנחלק על המחלק ישוב האלגו הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\left(4+\frac{2}{5}\right)-\frac{1}{5}x\; /\times x}}$	ותכה ארבעה דרהמי ושני חומשים פחות חמישית דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{10-x=\left(4+\frac{2}{5}\right)x-\frac{1}{5}x^2}}$	ויהיה ארבעה דברים וחומש פחות חמישית אלגו ישוו עשרה דרהמי פחות דבר
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=2}}$	ותכוין עמו כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר שנים והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=8}}$	והאחר הוא שמנה
[second method]
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ואם תרצה תשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=d}}$	ותאמר חלקנו דבר על עשרה פחות דבר ויעלה דינר אחד
fals = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=f}}$	וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר ועלה פלס אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}+\frac{10-x}{x}=d+f}}$	וקבצנו מה שעלה לכל חלק והיה דינר אחד ופלס אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d+f\right)\sdot x=34}}$	וכבר ידענו כי כאשר הכינו דינר אחד ופלס אחד על דבר יהיה ל"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{f\sdot x=10-x}}$	וכאשר נכה פלס על דבר יהיה עשרה דרהמי פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot x=34-\left(10-x\right)}}$	ותגרע עשרה פחות דבר מל"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot x=24+x}}$	ישאר כ"ד ודבר וכבר ידענו שכאשר נכה דינר על דבר יהיה כ"ד ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot\left(10-x\right)=x}}$	וכאשר נכה דינר אחד על עשרה פחות דבר יהיה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot10=\left(24+x\right)+x}}$	ותוסיפהו על כ"ד ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot10=24+2x}}$	ויהיה כ"ד ושני דברים וכבר הוא מבואר שכאשר נכה דינר על עשרה יהיה כ"ד דרהמי ושני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot10=24+2x\; /\times10}}$	ותחלק כ"ד ושני דברים על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{d=\left(2+\frac{2}{5}\right)+\frac{1}{5}x}}$	ויעלה שני אדרהמי ושני חומשים וחמישית דבר והוא הדינר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=\left(2+\frac{2}{5}\right)+\frac{1}{5}x}}$	ותשוב ותאמר חלקנו דבר על עשרה פחות דבר ועלה שני אדרהמי ושני חומשים וחמישית דבר
It is already known that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	וכבר ידענו שכאשר נכה מה שעלה לחלק על המחלק ישוב האלגו הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=\left(2+\frac{2}{5}\right)+\frac{1}{5}x\; /\times\left(10-x\right)}}$	ותכה שני אדרהמי ושני חומשים ושני חומשי דבר על עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=24-\frac{{\color{red}{2}}}{5}x-\frac{1}{5}x^2}}$	יהיה כ"ד דרהמי פחות חמישית דבר ופחות חמישית אלגו ישוה דבר
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=8}}$	ותכוין עמו כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר שמנה והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=2}}$	והאחר שנים
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided the larger [part] by the smaller [part], added the quotient to ten and multiplied the sum by the smaller part and [the result] is 46 dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}+10\right)\sdot a=46\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת הגדול על הקטן והוספת העולה לחלק על עשרה והכית המקובץ על החלק הקטן והיה מ"ו אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק הקטן דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והגדול עשרה פחות דבר
$\scriptstyle\left(\frac{10-x}{x}+10\right)\sdot{\color{red}{x}}=46$	וכבר ידענו שכאשר נחלק עשרה פחות דבר על דבר והוספנו העולה לחלק על העשרה ונכה המקובץ על עצמו יהיה מ"ו דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=46-10x}}$	והוא ידוע שאם נכה העשרה על דבר יהיה עשרה דברים ואם נגרעם ממ"ו ישאר מ"ו פחות עשרה דברים והוא הכאת מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{10-x=46-10x}}$	ויהיה עשרה פחות דבר ישוה מ"ו פחות עשרה דברים
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=4}}$	ותכוין עמו כמו שבארתי לך ויהיה הדבר ארבעה
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided the larger [part] by the smaller [part], and added the quotient to ten and multiplied the sum by the larger part and [the result] is sixty nine dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}+10\right)\sdot b=69\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת הגדול על הקטן והוספת מה שעלה לחלק על העשרה ותכה מה שיתקבץ על החלק הגדול ויהיה ששים ותשעה אדרהמי‫'
[first method]
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שנשים החלק הקטן דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והגדול עשרה פחות דבר
$\scriptstyle\left(\frac{10-x}{x}+10\right)\sdot{\color{red}{10-x}}=69$	וכאשר נחלק עשרה פחות דבר על דבר יהיה ס"ט דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(10-x\right)=100-10x}}$	ותכה עשרה דרהמי על עשרה פחות דבר ויהיה מאה דרהמי פחות עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{69-\left(100-10x\right)=10x-31}}$	ותגרעם מס"ט אדרהמי וישאר עשרה דברים פחות ל"א דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot\left(10-x\right)=10x-31}}$	והוא כמו הכאת מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	והכאת מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר הוא עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=\left(10x-31\right)+\left(10-x\right)}}$	ותוסיפם על עשרה דברים פחות ל"א דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=9x-21}}$	ויהיה תשעה דברים פחות כ"א דרהמי והוא כמו הכאת מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=9x-21\; /\div10}}$	ותחלק תשעה דברים פחות כ"א דרהמי על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\frac{9}{10}x-\left(2+\frac{1}{10}\right)}}$	ויעלה תשעה עשיריות דבר פחות שני דרהמי ועשירית והוא מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\frac{9}{10}x-\left(2+\frac{1}{10}\right)\; /\times x}}$	ותכה תשעה עשיריות דבר פחות שני דרהמי ועשירית על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{10{\color{red}{-x}}=\frac{9}{10}x^2-\left(2+\frac{1}{10}\right)x}}$	ויהיה תשעה עשיריות מאלגו פחות שני דברים ועשירית דבר ישוו עשרה דברים
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(11+\frac{1}{9}\right)+\left(1+\frac{2}{9}\right)x}}$	ותכוין עמהם וישלם האלגו שלך ויהיה אלגו ישוה י"א דרהמי ותשיעית ודבר אחד ושני תשיעיות דבר
	וקח מחצית הדבר ושני תשיעיות דבר ויהיה חצי ותשיעית ותכהו על עצמו ויהיה רביע ותשיעית ותשיעית התשיעית ותוסיפהו על י"א דרהמי ותשיעית ויהיה י"א דרהמי ורביע ושתות וחצי תשיעית ותשיעית התשיעית וקח שרשו ויהיה שלשה דרהמי ושני שלישים וקח מחצית הכל והוא ותוסיף עליו מחצית השרשים והוא חצי ותשיעית ויהיה ארבעה והוא הדבר והוא החלק הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{2}{9}\right)\right]^2+\left(11+\frac{1}{9}\right)}+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{2}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\right)^2+\left(11+\frac{1}{9}\right)}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]+\left(11+\frac{1}{9}\right)}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{11+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{9}\right)}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=3+{\color{red}{\frac{2}{3}}}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\right)=4\\\end{align}}}$
[second method]
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ואם תרצה תשים החלק האחד דבר והוא הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והגדול עשרה פחות דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=d}}$	וכאשר חלקנו עשרה פחות דבר על דבר יעלה דינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d+10\right)\sdot\left(10-x\right)=69}}$	תוסיפהו על עשר ויהיה עשרה דרהמי ודינר אחד וכאשר נכה עשרה ודינר על עשרה דרהמי פחות דבר יהיה ס"ט דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(10-x\right)=100-10x}}$	והכאת עשרה דרהמי פחות דבר על עצמו יהיה מאה דרהמי פחות עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{69-\left(100-10x\right)=10x-31}}$	ותגרעם מן הס"ט וישאר עשרה דברים פחות ל"א דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot\left(10-x\right)=10x-31}}$	וכבר התבאר שהכאת הדינר על עשרה פחות דבר הוא עשרה דברים פחות ל"א דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot x=10-x}}$	והכאת דינר אחד על דבר הוא עשרה דרהמי פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10x-31\right)+\left(10-x\right)=9x-21}}$	ותוסיפם על עשרה דברים פחות ל"א ויהיה תשעה דברים פחות כ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot10=9x-21}}$	וכבר ידענו שהכאת הדינר על עשרה דרהמי הוא תשעה דברים פחות כ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot10=9x-21\; /\div10}}$	ותחלק תשעה דברים פחות כ"א על עשרה
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{d=\frac{9}{10}x-\left(2+\frac{1}{10}\right)}}$	ויעלה תשעה עשיריות דבר פחות ב' דרהמי ועשירית והוא הדינר
$\scriptstyle\frac{10-x}{x}=\frac{9}{10}x-\left(2+\frac{1}{10}\right)$	והוא כמו שתאמר חלקנו עשרה דרהמי פחות דבר על דבר ויעלה תשעה עשיריות דבר פחות שני דרהמי ועשירית
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=4}}$	ותעשה כאשר אמרתי לך ויעלה הדבר ארבעה והוא החלק הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=6}}$	והגדול הוא ששה
If you are told: we divided ten into two parts, then we divided the larger [part] by the smaller [part] and the smaller [part] by the larger [part], summed the quotients and added them to ten and multiplied the sum by the larger part and [the result] is seventy three dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+10\right)\sdot a=73\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקנום לשני חלקים וחלקנו הגדול על הקטן והקטון על הגדול וקבצת מה שעלה לכל חלק והוספתם על העשרה והכית המקובץ על החלק הגדול והיה שבעים ושלש דרהמי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק הגדול דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b={\color{red}{10-x}}}}$	והקטון דבר פחות עשרה
$\scriptstyle\left(\frac{{\color{red}{10-x}}}{x}+\frac{x}{10-x}+10\right)\sdot x=73$	וכאשר נחלק דבר פחות עשרה על דבר והדבר על עשרה פחות דבר והוספנו מה שעלה לכל חלק על העשרה והכינו המקובץ על הדבר היה ע"ג דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{10-x}{x}+\frac{x}{10-x}\right)\sdot x=73-10x}}$	וכבר ידענו שאם הכינו עשרה על דבר הוא עשרה דברים תגרעם מע"ג וישאר ע"ג פחות עשרה דברים והוא כמו הנקבץ ממה שעלה לחלק מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר ומחלוקת עשרה פחות דבר בדבר ועל דבר מורבה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר הוא עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(73-10x\right)-\left(10-x\right)=63-9x}}$	תגרעם מע"ג פחות עשרה דברים ישאר ס"ג פחות ט' דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot x=63-9x}}$	והוא כמו הכאת מה שעלה לחלק מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot\left(10-x\right)=x}}$	וכאשר הכינו מה שעלה לחלק מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר על עשרה פחות דבר יהיה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(63-9x\right)+x=63-8x}}$	ותוסיף זה הדבר על ס"ג פחות תשעה דברים ויהיה ס"ג פחות ח' דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot10=63-8x}}$	והוא כמו הכאת מה שעלה לחלק מחלוקת דבר בעשרה דרהמי פחות דבר על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot10=63-8x\; /\div10}}$	ותחלק הס"ג פחות ח' דברים על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=\left(6+\frac{3}{10}\right)-\frac{4}{5}x}}$	ויעלה ששה דרהמי ושלש עשיריות מדרהם פחות ארבעה חומשי' מדבר והוא ידוע ממה שהנחנו שכאשר נחלק דבר בעשרה פחות דבר יעלה ששה דרהמי ושלש עשיריות מדרהם פחות ארבעה חומשי דבר
It is already known that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	וכבר ידוע שכאשר נכה מה שעלה לחלק מהחלוקה על המחלק ישוב האלגו הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=\left(6+\frac{3}{10}\right)-\frac{4}{5}x\; /\times\left(10-x\right)}}$	ותכה ששה דרהמי ושלש עשיריות פחות ארבעה חומשי דבר על עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=63+\frac{4}{5}x^2-\left(14+\frac{3}{10}\right)x}}$	ויהיה ס"ג דרהמי וארבעה חומשי אלגו פחות י"ד דברים ושלש עשיריות דבר ישוה דבר
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(15+\frac{3}{10}\right)x=\frac{4}{5}x^2+63}}$	ותכוין עמו ויהיה ט"ו דברים ושלש עשיריות דבר ישוה ארבעה חומשי אלגו וס"ג דרהמי
Normalization of $\scriptstyle\frac{4}{5}x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\left(19+\frac{1}{8}\right)x=x^2+78+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}}$	ותשלים האלגו שלך ויהיה אלגו וע"ח^[27] דרהמי וחצי ורביע ישוה י"ט דברים ושמינית
	וקח מחצית הדברים והם תשעה וחצי וחצי שמינית ותכם על עצמם ויהיה צ"א וחצי ושמינית וחצי שמינית וחלק אחד מרנ"ו ותגרע ממנו מ"ח ומחציתו והוא כ"ד וששיתו והוא ח' וישאר י"א וחצי ושמינית וחצי שמינית וחלק אחד מרנ"ו ותקח שרשו והוא שלשה וחצי וחצי שמינית תגרעם ממחצית הדברים שהוא תשעה וחצי וחצי שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left(19+\frac{1}{8}\right)-\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(19+\frac{1}{8}\right)\right]^2-{\color{red}{\left(78+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)}}}\\&\scriptstyle=\left[9+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\sqrt{\left[9+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]^2-{\color{red}{\left(78+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)}}}\\&\scriptstyle=\left[9+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\sqrt{\left[91+\frac{1}{{\color{red}{4}}}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{256}\right]-{\color{red}{\left(78+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)}}}\\&\scriptstyle=\left[9+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\sqrt{1{\color{red}{2}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{256}}\\&\scriptstyle=\left[9+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\left[3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided each [part] by the the other [part] and took the difference between the two quotients and multiplied it by the [larger] part and [the result] is five dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\sdot a=5\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת כל אחד על האחר ותקח הבדל השני חלקים שעלו לכל חלק מחלוקת האחד על האחר ותכהו על החלק האחד ויהיה חמשה דרהמי
The method: defining: one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתניח החלק האחד דבר
the other part as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle\left(\frac{x}{10-x}-\frac{10-x}{x}\right)\sdot x=5$	וכבר ידענו שכאשר נחלק דבר על עשרה פחות דבר ועשרה פחות דבר על דבר ונקח הבדל החלקים שעלו לכל חלק והכינוהו על דבר יהיה חמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot2x=20-2x}}$	וכאשר נכה מה שנשאר מהחלק שלקחנו ההבדל מהחלק האחד על האחר על דבר יהיה עשרים דרהמי פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{x}{10-x}+\frac{10-x}{x}\right)\sdot x\right]-\left[\left(\frac{x}{10-x}-\frac{10-x}{x}\right)\sdot x\right]=2\sdot\left(\frac{10-x}{x}\sdot x\right)}}$	בעבור כי תשלום החלק המעדיף הוא כמו שני פעמים מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{5+\left(20-2x\right)=25-2x}}$	ותוסיפם על חמשה דרהמי ויהיה כ"ה דרהמי פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{x}{10-x}+\frac{10-x}{x}\right)\sdot x=25-2x}}$	וכבר התבאר עתה שהכאת מה שעלה לחלק מחלוקת כל אחד על האחר מקובצים על דבר הוא כ"ה דרהמי פחות שני דברים
This is like: you divided ten into two parts, then you divided each [part] by the the other [part], you summed the two quotients and multiplied [the sum] by one of the two parts of ten and [the result] is twenty five dirham minus two things. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\sdot a=25-2a\end{cases}$	והוא כמו שאמר עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת כל אחד על האחר וקבצת מה שעלה לכל חלק והכית אותו על חלק אחד משני חלקי העשרה והיה כ"ה דרהמי פחות שני דברים והוא כ"ה פחות הדבר האחד
It should be solved as explained previously	ועשית כאשר בארנו לפני זה
[second method]
defining: one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ואם תרצה תניח החלק האחד דבר
the other part as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והחלק האחר עשרה פחות דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=d}}$	ותאמר חלקנו דבר על עשרה פחות דבר ועלה דינר אחד
fals= $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=f}}$	וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר ויעלה פלס
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d-f\right)\sdot x=5}}$	ותקח ההעדף שהוא בין הדינר והפלס והוא דינר פחות פלס ותכהו על דבר ויהיה חמשה דרהמי בעבור כי ככה השאלה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d+f\right)-\left(d-f\right)=2f}}$	וכבר ידענו כי מה שבין הדינר והפלס אשר יעלו לכל חלק מהשני חלקים ובין הדינר פחות פלס הוא שני פלסים
$\scriptstyle{\color{blue}{2f\sdot x=20-2x}}$	והכאת שני פלסים על דבר הוא עשרים דרהמי פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{5+\left(20-2x\right)=25-2x}}$	ותוסיף עליהם החמשה דרהמי ויהיה כ"ה דרהמי פחות שני דברים
This is like: we divided ten into two parts, then we divided each [part] by the the other [part], we summed the two quotients and multiplied [the sum] by one [of the two] parts of ten and [the result] is twenty five dirham minus two things. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\sdot a=25-2x\end{cases}$	והוא כאלו תאמר עשרה חלקנום לשני חלקי‫' וחלקנו כל אחד על האחר וקבצנו מה שעלה לכל חלק והכינוהו על חלק אחד מהעשרה ויהיה כ"ה דרהמי פחות שני דברים
It should be solved as said before.	ותעשהו כאשר כבר אמרתי
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided the larger [part] by the smaller [part] and added the quotient to the larger [part], and you divided the smaller [part] by the larger [part] and added the quotient to the smaller [part] and multiplied one [sum] by the other and the result was thirty five. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+a\right)\sdot\left(\frac{b}{a}+b\right)=35\end{cases}$	ואם אמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת הרב על המעט והוספת מה שעלה לחלק על הרב וחלקת המעט על הרב והוספת מה שעלה לחלק על המעט והכית האחד על האחר והיה שלשים וחמשה דרהמי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק הגדול דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והקטון עשרה פחות דבר
$\scriptstyle\left(\frac{x}{10-x}+x\right)\sdot\left[\frac{10-x}{x}+\left(10-x\right)\right]={\color{red}{35}}$	ותחלק דבר על עשרה פחות דבר והעולה תוסיפהו על דבר ויהיה דבר ומה שיעלה לחלק מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר ותחלק עשרה פחות דבר על דבר והעולה תוסיפהו על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה פחות דבר ומה שיעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר ותכהו על דבר ועל מה שיעלה מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{red}{\left(\frac{x}{10-x}+x\right)\sdot\left[\frac{10-x}{x}+\left(10-x\right)\right]=}}$	והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)}}$	הוא כמו הכאת דבר על עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x}}$	והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot{\color{red}{\left(10-x\right)}}}}$	והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר בעשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot\frac{10-x}{x}}}$	והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר במה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$	וכבר ידעת שהכאת דבר בעשרה פחות דבר הוא עשרה דברים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot\left(10-x\right)=x}}$	והכאת מה שיעלה לחלק מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר בעשרה פחות דבר הוא דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	ושהכאת מה שיעלה לחלק מחלוקת עשרה דרהמי פחות דבר על דבר בדבר היא עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot\frac{10-x}{x}=1}}$	ושהכאת מה שעלה מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר במה שעלה מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר הוא אדרהם אחד
For every two numbers, each divided by other, the product of the quotients multiplied one by the other is always one $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot\frac{B}{A}=1$	בעבור כי בארנו שכל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר הכאת מה שיעלה לחלקים האחד על האחר הוא אחד לעולם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10x-x^2\right)+x+\left(10-x\right)+1=11+10x-x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{11+10x-x^2=35}}$	ותקבץ המוכה כלו והוא עשרה דברים פחות אלגו ודבר ועשרה פחות דבר ודרהם אחד ויהיה זה כלו י"א אדרהמי ועשרה דברים פחות אלגו ישוה ל"ה דרהמי
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	ותכוין עמהם כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר ששה והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}$	והקטון ארבעה
[second method]
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ואם תרצה תשים החלק הגדול דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והשני עשרה פחות דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=d}}$	ותחלק דבר על עשרה פחות דבר ויעלה דינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}+x=d+x}}$	תוסיפהו על הדבר ויהיה דבר ודינר אחד
fals= $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=f}}$	ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה פלס אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}+\left(10-x\right)=10+f-x}}$	ותוסיפהו על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה ופלס אחד פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d+x\right)\sdot\left(10+f-x\right)=}}$	ותכהו בדבר ודינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot\left(10-x\right)=x}}$	תכה דינר אחד ועשרה דרהמי פחות דבר ויהיה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{f\sdot x=10-x}}$	ותכה פלס אחד בדבר ויהיה עשרה דרהמי פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot f=1}}$	ותכה דינר בפלס ויהיה אדרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{1{\color{red}{1}}+10x-x^2=35}}$	ותקבץ כל זה ויהיה ט"ו דרהמי ועשרה דברים פחות אלגו ישוו ל"ה דרהמי
Reduction as explained	ותכוין עמהם כמו שבארתי לך
If you are told: divide ten into two parts, then divide the larger [part] by the the smaller [part] and add the result to ten, divide the smaller [part] by the the larger [part] and add the result to ten, and multiply the sum of each part by the other and [the result] is one hundred twenty two dirham and two thirds. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}+10\right)\sdot\left(\frac{a}{b}+10\right)=122+\frac{2}{3}\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשני חלקים ותחלק הרב על המעט ותוסיף העולה על העשרה ותחלק המעט על הרב והוסיף העולה על העשרה ומה שיתקבץ מכל חלק תכה האחד על האחר ויהיה מאה ועשרים ושנים דרהמי ושני שלישים
defining the quotient of the greater by the smaller as a large thing $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=X}}$	וחכמתו שנניח מה שעלה מהרב על המעט דבר גדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}+10=X+10}}$	ותוסיפהו על העשרה ויהיה עשרה ודבר גדול
defining the quotient of the smaller by the greater as a small thing $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}=x}}$	ותניח מה שעלה מהמעט על הרב דבר קטון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}+10=x+10}}$	ותוסיפהו על העשרה ויהיה עשרה ודבר קטון
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(X+10\right)\sdot\left(x+10\right)=}}$	ותכהו על עשרה ודבר גדול
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}$	תכה עשרה על עשרה ויהיה מאה
$\scriptstyle{\color{blue}{X\sdot10=10X}}$	ותכה דבר גדול על עשרה ויהיה עשרה דברים גדולים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}$	תכה דבר קטון על עשרה ויהיה עשרה דברים קטנים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot X=1}}$	ותכה דבר קטון על דבר גדול ויהיה דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{100+1+10X+10x=122+\frac{2}{3}}}$	ותקבץ כל זה ויהיה מאה דרהמי ודרהם אחד ועשרה דברים גדולים ועשרה דברים קטנים ישוו קכ"ב דרהמי ושני שלישים
$\scriptstyle{\color{blue}{122+\frac{2}{3}-101=21+\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10X+10x=21+\frac{2}{3}}}$	ותגרע ק"א דרהמי מקכ"ב ושני שלישים וישאר כ"א דרהמי ושני שלישים ישוו עשרה דברים גדולים ועשרה דברים קטנים
$\scriptstyle{\color{blue}{X+x=2+\frac{1}{6}}}$	והדבר הגדול והדבר הקטון יחד הם שנים דרהמי ושתות
This is like: you divided ten into two parts, then you divided each part by the other and [the sum of the quotients] is two dirham and a fifth. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=2+\frac{1}{6}\end{cases}$	והוא כאלו שאלו חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל חלק על האחר ועלה שני דרהמי ושתות
This has already been clarified.	וכבר התבאר זה
If you are told: you divided ten into two parts, then divided the larger [part] by the the smaller [part] and added the result to ten, divided the smaller [part] by the the larger [part] and subtracted the result from ten, and multiplied the [sum of each part] by the other and [the result] is one hundred and seven and two thirds. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}+10\right)\sdot\left(10-\frac{a}{b}\right)=107+\frac{{\color{red}{1}}}{3}\end{cases}$	ואם יאמרו חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת הרב על המעט והוספת העולה על העשרה וחלקת המעט על הרב וגרעת מה שעלה לחלק מן העשרה והכית האחד על האחר ויהיה מאה ושבעה ושני שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}=X}}$	וחכמתו שתניח מה שעלה מן הרב על המעט דבר גדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}+10=10+X}}$	ותוסיפהו על העשרה ויהיה עשרה ודבר גדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x}}$	ותניח מה שעלה מחלוקת המעט על הרב דבר קטן
$\scriptstyle{\color{blue}{10-\frac{a}{b}=10-x}}$	ותגרעהו מן העשרה וישאר עשרה פחות דבר קטן
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+X\right)\sdot\left(10-x\right)}}$	ותכם על עשרה ודבר גדול
$\scriptstyle{\color{blue}{99+10X-10x=107+\frac{{\color{red}{1}}}{3}}}$	ויהיה צ"ט דרהמי ועשרה דברים גדולים פחות עשרה דברים קטנים ישוו ק"ז דרהמי ושני שלישיו‫'
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{10X-10x=8+\frac{{\color{red}{1}}}{3}}}$	ותכונם עמהם וישארו עשרה דברים גדולים פחות עשרה דברים קטנים ישוו שמנה ושני שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{X-x=\frac{5}{6}}}$	והדבר הגדול פחות הדבר הקטן ישוה חמשה ששיות דרהם
This is like: you divided ten into two parts, then divided each part by the other and subtracted the smaller [quotient] from the the larger [quotient] and five sixths remain. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{5}{6}\end{cases}$	והוא כאלו אמר חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל חלק על האחר וגרעת המעט מן הרב וישאר חמשה ששיות דרהמי
It should be Solved as explained.	ותעשה כאשר בארתי לך
If you are told: divide ten dirham by two and a root of three $\scriptstyle10\div\left(2+\sqrt{3}\right)$	ואם יאמרו לך תחלק עשרה דרהמי על שנים ושרש שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=10\div\left(2+\sqrt{3}\right)}}$	וחכמתו שנשים מה שיעלה לאחד דבר וכאלו אמר חלקנו עשרה על שני דרמי ושרש שלשה ועלה דבר
It is already known that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	וכבר ידעת שכאשר תכה מה שעלה לחלק במחלק ישוב האלגו הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(2+\sqrt{3}\right)=2x+\sqrt{3x^2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2x+\sqrt{3x^2}=10}}$	ותכה דבר בשנים ושרש שלשה ויהיה שני דברים ושרש שלשה אלגוש ישוו עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{10-2x=\sqrt{3x^2}}}$	ותגרע שני דברים מעשרה וישאר עשרה פחות שני דברים ישוו שלשה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-2x\right)^2=100+4x^2-40x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{100+4x^2-40x=3x^2}}$	ותכה עשרה פחות שני דברים על עצמו ויהיה מאה דרהמי וארבעה אלגוש פחות ארבעים דברים ישוו שלשה אלגוש
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+100=40x}}$	ותכוין עמהם ויהיה אלגו ומאה דרהמי ישוו ארבעים דברים
	וקח מחצית הדברים והוא עשרים ותכהו על עצמו ויהיה ארבע מאות ותגרע מהם המאה ששוו השלשה אלגוש וישאר שלש מאות תקח שרשו ותגרע אותו מעשרים ומה שישאר הוא מה שיעלה לאחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=\left(\frac{1}{2}\sdot40\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot40\right)^2-100}=20-\sqrt{20^2-100}=20-\sqrt{400-100}=20-\sqrt{300}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{10\div\left(2+\sqrt{3}\right)=20-\sqrt{300}}}$	וכאשר חלקנו עשרה על שנים ושרש שלשה יעלה לאחד עשרים פחות שרש שלש מאות
Many questions of the algebraic calculations are found, that reach beyond the six canonical types of equations introduced in this book.	ומצאתי שאלות הרבה מחשבונות הכוון אשר יוציאוך ליותר מהששה חלקים אשר אמרנו בזה הספר
They will be explained in order to be well taught in the algebraic calculations.	ואבאר לך מהם למען תתלמד בהם היטב מחשבונות הכוון
$\scriptstyle x^2\sdot\left(x^2+\sqrt{10}\right)=9x^2$	ואם יאמרו לך אלגו תכהו על עצמו ושרש אחד מעשרה דרהמי ויהיה תשעה דמיוני האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	וחכמתו שתשים האלגו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{y\sdot\left(y+\sqrt{10}\right)=9y}}$	ותכהו בדבר ושרש עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+\sqrt{10y^2}=9y}}$	ויהיה אלגו ושרש עשרה אלגוש ישוו תשעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=9y-\sqrt{10y^2}}}$	ותגרע שרש עשרה אלגוש מתשעה דברים וישאר תשעה דברי' פחות שרש עשרה אלגוש ישוה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y=9-\sqrt{10}}}$	והדבר ישוה תשעה דרהמי פחות שרש עשרה דרהמי והוא האלגו
$\scriptstyle\left(\sqrt{8x^2}\sdot\sqrt{3x^2}\right)+20=\left(x^2\right)^2$	ואם יאמרו לך אלגו תרבה שרש משמנה דמיוני האלגו בשרש משלשה דמיוני האלגו והוספת על העולה עשרים דרהמי ויהיה כמו האלגו על עצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	וחכמתו שתשים האלגו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8x^2}\sdot\sqrt{3x^2}=\sqrt{24}{\color{red}{x^2}}}}$ $\scriptstyle{\color{red}{\sqrt{24}y+20=y^2}}$	ותכה שרש שמנה דמיוני האלגו בשרש שלשה דמיוני האלגו ויהיה שרש עשרים וארבעה דרהמי ישוה אלגו בעבור שאמר כי יהיה המקובץ כמו האלגו על עצמו והאלגו יהיה דבר
	וקח שרש כ"ד אלגוש ויהיה שרש ששה על עצמו ותוסיפם על האדרהמי שהם כ' ויהיה כ"ו דרהמי וקח שרשם והוסף עליו שרש ששה והמתקבץ הוא האלגו והוא שרש כ"ו ושרש ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y=\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{24}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{24}\right)^2+20}=\sqrt{6}+\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^2+20}=\sqrt{6}+\sqrt{6+20}=\sqrt{6}+\sqrt{26}}}$
$\scriptstyle\left(\sqrt{6x^2}\sdot\sqrt{5x^2}\right)+10x^2+20=\left(x^2\right)^2$	ואם יאמרו לך אלגו תרבה שרש מששה דמיוניו בשרש חמשה דמיוניו והוספת על מה שעלה מההכאה עשרה דמיוני האלגו ועשרים דרהמי יותר ויהיה כמו האלגו על עצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	וחכמתו שתשים האלגו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6y}\sdot\sqrt{5y}=\sqrt{30y^2}}}$	ותכה שרש ששה דמיוניו על שרש חמשה דמיוניו ויהיה שרש שלשים אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{10y+20+\sqrt{30{\color{red}{y^2}}}=y^2}}$	ותוסיף עליו עשרה דברים ועשרים דרהמיש ויהיה עשרה דברים ועשרים דרהמי ושרש שלשים דרהמי ישוה אלגו
	ותקח מחצית הדברים ושרש שלשים אלגוש ויהיה חמשה ושרש שבעה וחצי ותכהו על עצמו ויהיה ל"ב דרהמי ושרש תש"נ דרהמי ותוסיפם על העשרים דרהמי ויהיה נ"ב דרהמי ושרש תש"נ ותקח שרשם ותוסיף עליו חמשה ושרש שבעה וחצי והוא האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2=y&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+\sqrt{30}\right)\right]+\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+\sqrt{30}\right)\right]^2+20}\\&\scriptstyle=\left(5+\sqrt{7+\frac{1}{2}}\right)+\sqrt{\left(5+\sqrt{7+\frac{1}{2}}\right)^2+20}\\&\scriptstyle=\left(5+\sqrt{7+\frac{1}{2}}\right)+\sqrt{\left(32+{\color{red}{\frac{1}{2}}}+\sqrt{750}\right)+20}\\&\scriptstyle=\left(5+\sqrt{7+\frac{1}{2}}\right)+\sqrt{52+{\color{red}{\frac{1}{2}}}+\sqrt{750}}\\\end{align}}}$
If you are told: you divided ten into two parts, then you multiplied one [part] by the other and divided the product by the difference between the two parts of ten and the result is a root of six. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a\sdot b}{b-a}=\sqrt{6}\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים והכית האחד על האחר וחלקת מה שהתקבץ על העודף משני חלקי העשרה ועלה שרש ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$	ותכה האחד באחר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10x-x^2}{\left(10-x\right)-x}=\frac{10x-x^2}{10-2x}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10x-x^2}{10-2x}=\sqrt{6}}}$	ותחלקהו על ההעדףמשני החלקים והוא עשרה פחות שני דברים ויעלה שרש ששה
It is already known that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	וכבר ידעת שכאשר תכה מה שעלה לחלק במחלק ישוב הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2=\sqrt{6}\sdot\left(10-2x\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{600}-\sqrt{24x^2}=10x-x^2}}$	ותכה שרש ששה בעשרה פחות שני דברים ויהיה שרש שש מאות פחות שרש עשרים וארבע אלגוש ישוה עשרה דברים פחות אלגו
Restoration of $\scriptstyle\sqrt{600}-\sqrt{24x^2}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2+\sqrt{24x^2}}}$	ותאסוף שרש ת"ר עם שרש כ"ד אלגוש ותוסיפהו על העשרה פחות דבר פחות אלגו
Restoration of $\scriptstyle10x-x^2+\sqrt{24x^2}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{600}+x^2}}$	ותאסוף העשרה פחות דבר עם האלגו ותוסיפהו על שרש ת"ר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\sqrt{600}=10x+\sqrt{24x^2}}}$	ויהיה אלגו ושרש ת"ר ישוה עשרה דברים ושרש כ"ד אלגוש
	וקח מחצית השרשים עשרת הדברים ושרש כ"ד אלגוש והוא חמשה דברים ושרש ששה ותכם על עצמם ויהיה ל"א דרהמי ושרש ת"ר דרהמי תגרע מהם שרש ת"ר אשר הם עם האלגו וישאר ל"א דרהמי ושרש ל"א גרוע מחמשה ושרש ששה הוא החלק האחד מהשני חלקים מהעשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left(10+\sqrt{24}\right)-\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+\sqrt{24}\right)\right]^2-\sqrt{600}}\\&\scriptstyle=\left(5+\sqrt{6}\right)-\sqrt{\left(5+\sqrt{6}\right)^2-\sqrt{600}}\\&\scriptstyle=\left(5+\sqrt{6}\right)-\sqrt{\left(31+\sqrt{600}\right)-\sqrt{600}}\\&\scriptstyle=\left(5+\sqrt{6}\right)-\sqrt{31}\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=\left(5+\sqrt{31}\right)-\sqrt{6}}}$	והאחר הוא מה שנשאר מהעשרה והוא חמשה ושרש ל"א פחות שרש ששה
If you are told: you divided ten into two parts, then multiplied one part by itself and the other [part] by the root of eight, and subtracted the product of the part that is multiplied by the root of eight from the product of the part that is multiplied by itself, and forty dirham remain. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle b^2-\left(a\sdot\sqrt{8}\right)=40\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותם לשני חלקים והכית החלק האחד על עצמו והאחר על שרש שמנה וגרעת המקובץ מהכאת החלק האחד בשרש שמנה מן המקובץ מהכאת החלק האחר על עצמו וישאר ארבעים דרהמי
one option:
defining: one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שנניח החלק האחד דבר
the other [part] as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)^2=100+x^2-20x}}$	ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\sqrt{8}=\sqrt{8x^2}}}$	ותכה דבר בשרש שמנה ויהיה שרש שמנה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(100+x^2-20x\right)-\sqrt{8x^2}=100+x^2-20x-\sqrt{8x^2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2-20x-\sqrt{8x^2}=40}}$	ותגרע אותו ממאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים וישאר מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים ופחות שרש שמנה אלגוש ישוה ארבעים דרהמי
Restoration of $\scriptstyle100+x^2-20x-\sqrt{8x^2}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{40+20x+\sqrt{8x^2}}}$	ותאסוף המאה דרהמי ואלגו עם העשרים שרשים ועם שרש שמנה אלגוש ותוסיפם על הארבעים
$\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2=40+20x+\sqrt{8x^2}}}$	ויהיה מאה ואלגו ישוו ארבעים דרהמי ועשרים דברים ושרש שמנה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{60+x^2=20x+\sqrt{8x^2}}}$	ותגרע ארבעים מהמאה וישאר ששים דרהמי ואלגו ישוה עשרים דברים ושרש שמנה אלגוש
	ותקח מחצית עשרים הדברים ושרש שמנה אלגוש והוא עשרה דברים ושרש שני אלגוש ותכם על עצמם ויהיה מאה דרהמי ושני דרהמי ושרש שמנה מאות תגרע מהם הששים אשר הם עם האלגו וישאר מ"ב דרהמי ושרש ת"ת ושרשו גרוע מעשרה ושרש שנים הוא החלק המוכה בשרש שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left(20+\sqrt{8}\right)-\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(20+\sqrt{8}\right)\right]^2-60}\\&\scriptstyle=\left(10+\sqrt{2}\right)-\sqrt{\left(10+\sqrt{2}\right)^2-60}\\&\scriptstyle=\left(10+\sqrt{2}\right)-\sqrt{\left(102+\sqrt{800}\right)-60}\\&\scriptstyle=\left(10+\sqrt{2}\right)-\sqrt{42+\sqrt{800}}\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=\sqrt{4{\color{red}{2}}+\sqrt{800}}-\sqrt{2}}}$	והאחר הוא הנשאר מהעשרה והוא ארבעים דרהמי ושרש ת"ת שלקחנו שרשו וגרענו ממנו שרש שנים
second option:
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ואם תרצה תכה הדבר על עצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot\sqrt{8}=\sqrt{800}-\sqrt{8x^2}}}$	ותכה החלק האחר שהוא עשרה פחות דבר בשרש שמנה ויהיה שרש ת"ת פחות שרש שמנה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(\sqrt{800}-\sqrt{8x^2}\right)=x^2+\sqrt{8x^2}-\sqrt{800}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\sqrt{8x^2}-\sqrt{800}=40}}$	ותגרע שרש ת"ת דרהמי פחות שרש שמנה אלגוש מאלגו וישאר אלגו ושרש שמנה אלגוש פחות שרש שמנה מאות דרהמיש ישוו ארבעים דרהמי
Restoration of $\scriptstyle x^2+\sqrt{8x^2}-\sqrt{800}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{40+\sqrt{800}}}$	ותאסוף האלגו ושרש שמנה אלגוש עם שרש ת"ת דרהמי ותוסיפהו על הארבעי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{40+\sqrt{800}=x^2+\sqrt{8x^2}}}$	ויהיה ארבעי' דרהמי ושרש ת"ת דרהמי ישוה אלגו ושרש שמנה אלגוש
	ותחצה שמנה אלגוש ויהיה שרש שנים ותכהו על עצמו ויהיה שנים ותוסיפם על הארבעים דרהמי ושרש ת"ת דרהמי ויהיה מ"ב דרהמי ושרש ת"ת דרהמי ושרש זה תגרע ממנו שרש שנים ויהיה החלק המוכה על עצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{8}\right)^2+\left(40+\sqrt{800}\right)}-\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{8}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(40+\sqrt{800}\right)}-\sqrt{2}\\&\scriptstyle=\sqrt{2+\left(40+\sqrt{800}\right)}-\sqrt{2}\\&\scriptstyle=\sqrt{42+\sqrt{800}}-\sqrt{2}\\\end{align}}}$
If you are told: you divided ten into two parts, then multiplied one part by the root of ten, and the other [part] by itself, and [the products] are equal. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot\sqrt{10}=b^2\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת לשני חלקים והכית האחד בשרש עשרה והאחר על עצמו ויהיו שוים
defining: one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שנניח החלק האחד דבר
the other [part] as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot\sqrt{10}=\sqrt{1000}-\sqrt{10x^2}}}$	ותכה עשרה פחות דבר על שרש עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1000}-\sqrt{10x^2}=x^2}}$	ויהיה שרש אלף דרהמי פחות שרש עשרה אלגוש ישוה אלגו
Restoration of $\scriptstyle\sqrt{1000}-\sqrt{10x^2}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\sqrt{10x^2}}}$	ותאסוף שרש אלף דרהמי עם שרש עשרה אלגוש ותוסיפהו על האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\sqrt{10x^2}=\sqrt{1000}}}$	ויהיה אלגו ושרש עשרה אלגוש ישוה שרש אלף דרהמי
	ותחצה שרש עשרה אלגוש ויהיה שרש שנים וחצי ותכהו על עצמו ויהיה שנים וחצי ותוסיף אותו על שרש אלף ויהיה שני דרהמי וחצי ושרש אלף דרהמי ומשרשו נגרע שנים וחצי ויהיה החלק המוכה על עצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{10}\right)^2+\sqrt{1000}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{10}\right)=\sqrt{\left(\sqrt{2+\frac{1}{2}}\right)^2+\sqrt{1000}}-\sqrt{2+\frac{1}{2}}=\sqrt{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{1000}}-\sqrt{2+\frac{1}{2}}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=10+\sqrt{2+\frac{1}{2}}-\sqrt{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{1000}}}}$	והחלק האחר הוא הנשאר מהעשרה והוא שנים וחצי ושרש אלף כשלוקח שרשו ונגרע מעשרה ושרש שנים וחצי
$\scriptstyle\left(x^2+10\right)\sdot\sqrt{5}=\left(x^2\right)^2$	ואם יאמרו לך אלגו הוספת עליו עשרה דרהמי והכית המקובץ בשרש חמשה ויעלה כמו הכאת האלגו על עצמו
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	וחכמתו שנניח האלגו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(y+10\right)\sdot\sqrt{5}=\sqrt{500}+\sqrt{5y^2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{500}+\sqrt{5y^2}=y^2}}$	ותוסיף עליו עשרה דרהמי ויהיה עשרה דרהמי ודבר תכם בשרש חמשה דרהמי ויהיה שרש ת"ק דרהמי ושרש חמשה אלגוש ישוה אלגו
	ותחצה חמשה אלגוש ויהיה שרש אחד ורביע ושרש ת"ק דרהמי ושרש זה נוסיף עליו שרש אחד ורביע ויהיה האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y=\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)^2+\sqrt{500}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}+\sqrt{\left(\sqrt{1+\frac{1}{4}}\right)^2+\sqrt{500}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}+\sqrt{{\color{red}{\left(1+\frac{1}{4}\right)}}+\sqrt{500}}}}$
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X^2=x^2+5\\\scriptstyle\sqrt{X^2\sdot10X^2}=\left(x^2\right)^2\end{cases}$	ואם יאמרו לך שנים אלגוש וביניהם חמשה דרהמי והכית הגדול בעשרה דמיוניו ולקחת שרש המקובץ ויהיה כמו הכאת הקטן על עצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{X^2=y}}$	וחכמתו שתניח האלגו האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y-5}}$	והאחר דבר פחות חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{y\sdot10y=10y^2}}$	ותכה הגדול והוא דבר בעשרה דמיוניו ויהיה עשרה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10y^2}=25+y^2-10y}}$	ותקח שרש עשרה אלגו וישוה כ"ה דרהמי ואלגו אחד פחות עשרה שרשים
Restoration of $\scriptstyle25+y^2-10y$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10y^2}+10y}}$	ותאסוף הכ"ה עם האלגו עם העשרה שרשים ותוסיפהו על שרש עשרה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{10y+\sqrt{10y^2}=y^2+25}}$	ויהיה עשרה דברים ושרש עשרה אלגוש ישוה אלגו וכ"ה דרהמי
	ותחצה העשרה דברים ותקח שרש עשרה אלגוש ויהיה חמשה ושרש שנים וחצי ותכם על עצמם ויהיה כ"ה וחצי ושרש מאתים וחמשים ותקח שרש ותוסיפהו על חמשה ושרש שנים וחצי ויהיה האלגו הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X^2=y&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+\sqrt{10}\right)\right]+\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+\sqrt{10}\right)\right]^2{\color{red}{-25}}}=\left(5+\sqrt{2+\frac{1}{2}}\right)+\sqrt{\left(5+\sqrt{2+\frac{1}{2}}\right)^2{\color{red}{-25}}}\\&\scriptstyle=\left(5+\sqrt{2+\frac{1}{2}}\right)+\sqrt{\left[25+\left({\color{red}{2}}+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{250}\right]{\color{red}{-25}}}\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y-5=\sqrt{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{250}}+\sqrt{2+\frac{1}{2}}}}$	והאלגו הקטן הוא פחות מהגדול חמשה דרהמי והוא שני דרהמי וחצי ושרש מאתים וחמשים כשלוקח שרשו ונוסף על שרש שני דרהמי וחצי
$\scriptstyle\left(\sqrt{x^2\sdot2x^2}+2\right)\sdot x^2=30$	ואם יאמרו לך אלגו תכהו על שני דמיוניו ותקח שרש העולה ותוסיף עליו שני דרהמי ותכה הכל באלגו ההוא ויהיה שלשים דרהמי
The method: defining the square as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	וחכמתו שתניח האלגו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{y\sdot2y=2y^2}}$	ותכהו על שני דמיוניו ויהיה שני אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{2y^2}+2\right)\sdot y=2y+\sqrt{2y^4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2y+\sqrt{2y^4}=30}}$	ותקח שרשו ותוסיפהו על השני דרהמי ותכה שני דרהמי ושרש שני אלגוש בדבר ויהיה שני דברים ושרש שני אלגוש אלגו ישווה שלשים דרהמי
Normalization of $\scriptstyle\sqrt{2y^4}$ :	והשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד והוא שתכה שני שרשים מאלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{{\color{red}{2}}y^4}\sdot\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{y^4}=y^2}}$	ושרש אלגו אלגו כאשר תכהו בשרש חצי דרהם יעלה שרש אלגו אלגו ושרש מאלגו אלגו הוא אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{2y+\sqrt{{\color{red}{2}}y^4}=30\; /\times\sqrt{\frac{1}{2}}}}$	ותכה כל דבר שתחזיק בחצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{{\color{red}{2}}y^4}\sdot\sqrt{\frac{1}{2}}=y^2}}$	ותכה שרש חצי דרהם בשרש מאלגו אלגו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{2y\sdot\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\left(2y\right)^2\sdot\frac{1}{2}}=\sqrt{4y^2\sdot\frac{1}{2}}=\sqrt{2y^2}}}$	ותכה שני דברים בשרש חצי דרהם ויהיה שרש שני אלגוש בעבור כי הכית שני דברים על עצמם ויהיה ארבעה אלגוש ותכה ארבעה אלגוש בחצי דרהם ויהיה שני אלגוש ושרש זה הוא שרש חצי דרהם ושרש חצי ויהיה שרש שני אלגוש ושרש שני אלגוש הוא שרש חצי דרהם בשני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{30\sdot\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{450}}}$	ותכה שלשים דרהמי בשרש חצי דרהמי ויהיה שרש ארבע מאות וחמשי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+\sqrt{2y^2}=\sqrt{450}}}$	ותקבץ כל זה ויהיה אלגו ושרש שני אלגוש ישוה שרש ת"נ דרהמי
	ותחצה שרש שני אלגוש ויהיה שרש חצי תכהו על עצמו ויהיה חצי ותוסיפהו על שרש ת"נ ותקח שרשו ותגרע ממנו שרש חצי דרהם ויהיה האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{2}\right)^2+\sqrt{450}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{2}\right)=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2+\sqrt{450}}-\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{450}}-\sqrt{\frac{1}{2}}}}$
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided each part by the other, and summed the quotients, and [the sum] is a root of five dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\sqrt{5}\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל חלק על האחר וקבצת מה שעלה לכל חלק ויהיה שרש חמשה דרהמי
[first solution method]
The method: defining one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתניח החלק האחד דבר
the other part as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\left(10-x\right)^2=100+2x^2-20x}}$	תכה כל חלק בעצמו ותקבצם ויהיה מאה דרהמי ושני אלגוש פחות עשרים דברים ותשמרם
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$	ותכה החלק האחד על האחר והוא דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\sdot\left(10x-x^2\right)=\sqrt{500x^2}-\sqrt{5x^4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{500x^2}-\sqrt{5x^4}=100+2x^2-20x}}$	תכם בשרש חמשה ויהיה שרש ת"ק אלגוש פחות שרש מחמשה אלגו אלגו ישוה מאה דרהמי ושני אלגוש פחות עשרים שרשים
Restoration of $\scriptstyle\sqrt{500x^2}-\sqrt{5x^4}$ $\scriptstyle{\color{blue}{100+2x^2-20x+\sqrt{5x^4}}}$	ותאסוף שרש ת"ק אלגוש עם שרש חמשה אלגוש ותוסיפהו על מאה דרהמי ושני אלגוש פחות עשרים דברים
Restoration of $\scriptstyle100+2x^2-20x+\sqrt{5x^4}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{500x^2}+20x}}$	ותאסוף המאה דרהמי ושני אלגוש עם העשרים דברים ותוסיפם על שרש ת"ק
$\scriptstyle{\color{blue}{20x+\sqrt{500x^2}=100+2x^2+\sqrt{5x^4}}}$	ויהיו עשרים דברים ושרש ת"ק אלגוש ישוה מאה דרהמי ושני אלגוש ושרש מחמשה אלגוש אלגו
Normalization:	והשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד והוא שתכה השני אלגוש ושרש מחמשה אלגוש אלגו בשרש חמשה דרהמי פחות שני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2}}$	ואתה מכה אותם בשרש חמשה דרהמי פחות שני דרהמי בעבור כי כאשר תחלק דרהם אחד על שנים ושרש חמשה יעלה לאחד שרש חמשה פחות שני דרהמי וכבר בארנו זה
$\scriptstyle{\color{blue}{20x+\sqrt{500x^2}=100+2x^2+\sqrt{5x^4}\; /\times\left(\sqrt{5}-2\right)}}$	ותכה כל דבר שתחזיק בשרש חמשה דרהמי פחות שנים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\sqrt{50000}-200=10x}}$	ויהיה אלגו ושרש חמשים אלפים דרהמי פחות מאתים דרהמי ישוו עשרה דברים
	ותחצה הדברים ויהיה חמשה תכם על עצמם ויהיה כ"ה תגרע מהם שרש חמשים אלף דרהמי וישאר מאתים וכ"ה דרהמי פחות שרש חמשים אלף ושרש זה כשיגרע מחמשה הוא החלק האחד וכשיתוסף על חמשה הוא החלק האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-\left(\sqrt{50000}-200\right)}=5-\sqrt{5^2-\left(\sqrt{50000}-200\right)}=5-\sqrt{25-\left(\sqrt{50000}-200\right)}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{225-\sqrt{50000}}\\\end{align}}}$
[second solution method]	ואם תרצה תמנהו עם המעשה האחר
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle A+B=\sqrt{5}\\\scriptstyle A\sdot B=1\end{cases}$	והוא שתחלק שרש חמשה לשני חלקים יהיה האחד באחר דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{A=x}}$	תשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{A=\sqrt{5}-x}}$	והאחר שרש חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(\sqrt{5}-x\right)=\sqrt{5x^2}-x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5x^2}-x^2=1}}$	ותכה האחד באחר ויהיה שרש חמשה אלגוש פחות אלגו ישוה דרהם אחד
Restoration of $\scriptstyle\sqrt{5x^2}-x^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{1+x^2}}$	ותאסוף שרש חמשה אלגוש עם האלגו ותוסיפהו על הדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1=\sqrt{5x^2}}}$	ויהיה אלגו ודרהם אחד ישוה שרש חמשה אלגוש
	ותחצה השרש מהחמשה אלגוש ויהיה שרש אחד ורביע תכהו על עצמו ויהיה אחד ורביע תגרע האדרהם וישאר רביע אחד ותקח שרשו והוא חצי תגרעהו משרש אחד ורביע פחות חצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle A=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)^2-1}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\sqrt{\left(\sqrt{1+\frac{1}{4}}\right)^2-1}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)-1}\\&\scriptstyle=\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\sqrt{\frac{1}{4}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\\\end{align}}}$
It was already explained that the things among the three algebraic species, when half of them is multiplied by itself, the product $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}b\right)^2$ is a number	וכבר בארנו שהדברים אשר הם בשלשה החלקים כאשר יוכה חצים על עצמו יהיה העולה מההכאה מספר
The root of the square $\scriptstyle\sqrt{ax^2}$ are things	ושרש האלגוש הוא דברים
When half of them is multiplied by itself it is a number	וכאשר תקח מחציתם ותכה אותם בעצמם יהיה מספר
Returning to the question:	ונשוב אל השאלה
defining: one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ותניח החלק האחד דבר
the other part as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}}}$	ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויהיה כמו שבארנו שרש אחד ורביע פחות חצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\; /\times x}}$	ותכהו בדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+\frac{1}{4}x^2}-\frac{1}{2}x=10-x}}$	ויהיה שרש מאלגו ורביע פחות חצי דבר ישוה עשרה דברים
Restoration of $\scriptstyle\sqrt{x^2+\frac{1}{4}x^2}-\frac{1}{2}x$ $\scriptstyle{\color{blue}{10-x+\frac{1}{2}x}}$	ותאסוף שרש מאלגו ורביע עם החצי דבר ותוסיפהו על עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{10-\frac{1}{2}x=\sqrt{x^2+\frac{1}{4}x^2}}}$	ויהיה עשרה פחות חצי דבר ישוה שרש מאלגו ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-\frac{1}{2}x\right)^2=100+\frac{1}{4}x^2-10x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{100+\frac{1}{4}x^2-10x=x^2+\frac{1}{4}x^2}}$	ותכה עשרה פחות חצי דבר בעצמו ויהיה מאה דרהמי ורביע אלגו פחות עשרה שרשים ישוה אלגו ורביע
Restoration of $\scriptstyle100+\frac{1}{4}x^2-10x$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\frac{1}{4}x^2+10x}}$	ותאסוף המאה דרהמי ורביע אלגו עם העשרה דברים ותוסיפהו על האלגו ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{x^2}}+10x=100}}$	ויהיה אלגו ורביע אלגו ועשרה שרשים ישוו מאה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=\sqrt{125}-5}}$	והדבר ישוה שרש קכ"ה דרהמי פחות חמשה דרהמי והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=15-\sqrt{125}}}$	והחלק האחר הוא הנשאר מהעשרה והוא ט"ו דרהמי פחות שרש קכ"ה דרהמי
[third solution method]
The procedure:	ואם תרצה תמנהו עם המעשה האחרון
defining: one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והוא שתניח חלק אחד דבר
the other part as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשר פחות דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{d=\frac{10-x}{x}}}$	וחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה דינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot x=10-x}}$	וכאשר תכה דינר אחד בדבר יהיה עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=\sqrt{5}-d}}$	ותחלק דבר על עשרה פחות דבר ויעלה שרש חמשה פחות דינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{5}-d\right)\sdot\left(10-x\right)=x}}$	וכאשר תכה שרש חמשה פחות דינר אחד בעשרה פחות דבר יהיה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{5}-d\right)\sdot\left(10-x\right)=10-x+\sqrt{500}-\sqrt{5x^2}-10d}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10-x+\sqrt{500}-\sqrt{5x^2}-10d=x}}$	ותרבה שרש חמשה דרהמיש פחות דינר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דרהמי פחות דבר ושרש ת"ק דרהמי פחות שרש חמשה אלגוש ופחות עשרה דינרין ישוה דבר
Restoration of $\scriptstyle10-x+\sqrt{500}-\sqrt{5x^2}-10d$ $\scriptstyle{\color{blue}{x+10d}}$	ותאספם עם העשרה דינרים ותוסיפם על הדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x+10d=10-x+\sqrt{500}-\sqrt{5x^2}}}$	ויהיה דבר ועשר דינרי' ישוה עשרה דרהמי פחות דבר ושרש ת"ק דרהמי פחות שרש חמשה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{10d}}=10-2x+\sqrt{500}{\color{red}{-\sqrt{5x^2}}}}}$	ותגרע דבר אחד מהם וישאר עשרה פחות שני דברים ושרש ת"ק דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{d=1+\sqrt{5}}}-\frac{1}{5}x-\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^2}}}$	פחות חמישית דבר ופחות שרש מחצי עשירית מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=1+\sqrt{5}-\frac{1}{5}x-\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^2}}}$	ותשוב ותאמר חלקנו עשרה דרהמי פחות דבר על דבר ועלה אדרהם אחד ושרש חמשה דרהמי פחות חמישית דבר ופחות שרש מחצי עשירית מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	וכאשר הכינוהו בדבר יהיה עשרה דרהמי פחות דבר
	ותכה דרהם אחד ושרש חמשה דרהמי פחות חמישית דבר ופחות שרש מחצי עשירית מאלגו בדבר ויהיה דבר ושרש חמשה אלגוש פחות חמישית אלגו ופחות שרש מחצי עשירית מאלגו אלגו ישוה עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\sqrt{5}-\frac{1}{5}x-\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^2}\right)\sdot x=x+\sqrt{5x^2}-\frac{1}{5}x^2-\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x+\sqrt{5x^2}-\frac{1}{5}x^2-\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^4}=10-x}}$
Restoration of $\scriptstyle x+\sqrt{5x^2}-\frac{1}{5}x^2-\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^4}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10-x+\frac{1}{5}x^2+\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^4}}}$	ותאספם עם חמישית אלגו ועם שרש חצי עשירית מאלגו אלגו ותוסיפם על עשרה דרהמי פחות דבר
Restoration of $\scriptstyle10-x+\frac{1}{5}x^2+\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^4}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x+\sqrt{5x^2}+x}}$	ותאסוף העשרה דרהמי עם הדבר ותוסיפהו על דבר ושרש חמשה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+\sqrt{5x^2}=10+\frac{1}{5}x^2+\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^4}}}$	ויהיה שני דברים ושרש חמשה אלגוש ישוה עשרה דרהמי וחמישית אלגו ושרש חצי עשירית מאלגו אלגו
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{2x+\sqrt{5x^2}=10+\frac{1}{5}x^2+\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^4}\; /\times\left(\sqrt{500}-20\right)}}$	ותשלים האלגו שלך עד שיהיה אלגו שלם והשלימך אותו הוא שתכהו בשרש ת"ק דרהמיש פחות עשרים דרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{10x=x^2+\sqrt{50000}-200}}$	ויהיה עשרה דברים ישוה אלגו ושרש חמשים אלף דרהמי פחות מאתים דרהמי
	ותחצה הדברים ויהיו חמשה ותכם על עצמם ויהיו כ"ה תגרע מהם שרש חמשים אלף פחות מאתים דרהמי וישאר רכ"ה פחות שרש חמשים אלף שרש זה כשיגרע מחמשה הוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-\left(\sqrt{50000}-200\right)}=5-\sqrt{5^2-\left(\sqrt{50000}-200\right)}=5-\sqrt{25-\left(\sqrt{50000}-200\right)}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{225-\sqrt{50000}}\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{225-\sqrt{50000}}=\sqrt{125}-10}}$	ושרש רכ"ה דרהמי פחות שרש חמשים אלף דרהמי הוא שרש קכ"ה פחות עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5-\left(\sqrt{125}-10\right)=15-\sqrt{125}}}$	תגרעם מחמשה וישאר ט"ו דרהמי פחות שרש קכ"ה והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=10-\left(15-\sqrt{125}\right)=\sqrt{125}-5}}$	והאחר הוא הנשאר מן העשרה והוא שרש קכ"ה דרהמי פחות חמשה דרהמי
If you are told: you divided ten into two parts, then divided each part by the other, and multiplied each quotient of one part divided by the other by itself, and [the sum of the products] is 3 dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2=3\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר והכית כל אחד מהם שיעלו לחלק על האחר בעצמו ויהיה שלשה דרהמי
$\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{b}{a}=1$	וכבר ידעת שהכאת חלק אחד מהשנים שיעלו לחלק באחר הוא דרהם אחד
$\scriptstyle2\sdot\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{b}{a}\right)=2$	והכאתו באחר שני פעמים הוא שני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{2+3=5}}$	ותוסיף השני דרהמי על השלשה ויהיה חמשה
according to Euclid	והוא ידוע ממה שאמר אקלידס
$\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2=5$	שהכאת שני החלקים שיעלו לחלק מחלוקת חלק אחד מהעשרה על האחר בעצמו חמשה דרהמי
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\sqrt{5}$	והם שרש מחמשה
This is as if we said: you divided ten into two parts, then divided each part by the other, and [the sum of the quotients] is the root of five. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\sqrt{5}\end{cases}$	והוא כמו שאמרנו חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר ועלה שרש חמשה
This question has already been explained.	וכבר בארנו זאת השאלה
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided each part by the other, and subtracted the quotient of the smaller divided by the larger from the quotient of the larger divided by the smaller, and five sixths of a dirham remain. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{5}{6}\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר וגרעת מה שעלה לחלק מחלוקת המעט על הרב ממה שעלה לחלק מחלוקת הרב על המעט ונשאר חמשה ששיות מאדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x}}$	וחכמתו שתשים מה שעלה לחלק מחלוקת המעט על הרב דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}=x+\frac{5}{6}}}$	ותוסיפהו על חמשה ששיות מאדרהם ויהיה דבר וחמשה ששיות מאדרהם והוא מה שעלה מחלוקת הרב על המעט
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+\frac{5}{6}\right)\sdot x=x^2+\frac{5}{6}x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\frac{5}{6}x=1}}$	ותכהו על דבר ויהיה אלגו וחמשה ששיות מדבר ישוה דרהם אחד
This question has already been explained in what was introduced earlier in this book apart form this procedure.	וכבר בארנו זאת השאלה במה שהקדמנו בזה הספר בלעדי זה המעשה
If one wishes, it can be solved by the other procedure.	ואם תרצה תעשה אותה עם המעשה האחר
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided each part by the other, multiplied each quotient by itself, subtracted the smaller [product] from the larger [product], and 2 dirham remain. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}\right)^2-\left(\frac{a}{b}\right)^2=2\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר ומה שעלה לכל חלק הכית על עצמו וגרעת המעט מהרב ונשאר שני דרהמי
The procedure: defining the quotient of the division of the smaller by the larger as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x}}$	ומלאכתו שתשים מה שעלה לחלק מחלוקת המעט על הרב דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{a}{b}\right)^2=x^2}}$	ותכהו על עצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{a}{b}\right)^2+2=x^2+2}}$	ותוסיפהו על השני דרהמי ויהיה אלגו ושני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{b}{a}\right)^2=x^2+2}}$	והוא ידוע ממה שאמרנו שהכאת מה שעלה לחלק מחלוקת הרב על המעט בעצמו הוא אלגו ושני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2\sdot\left(x^2+2\right)=x^4+2x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^4+2x^2=1}}$	ותכה אלגו באלגו ושני דרהמי ויהיה אלגו אלגו ושני אלגוש ישוו דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}\sdot\frac{b}{a}=1}}$	בעבור כי כבר בארנו שהאחד מאשר הוא באחר דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{a}{b}\right)^2\sdot\left(\frac{b}{a}\right)^2=1^2=1}}$	והכאת מרובע האחד במרובע האחר הוא כמו אותו אדרהם בעצמו והכאת האדרהם בעצמו הוא דרהם אחד
	ותחצה שני האלגוש ויהיה אחד תכהו בעצמו ויהיה אחד תוסיפהו על האדרהם ויהיה שנים ויהיה שרש שנים תגרע ממנו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2+1}-\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)=\sqrt{1^2+1}-1=\sqrt{1+1}-1=\sqrt{2}-1}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{x=}}\sqrt{\sqrt{2}-1}}}$	ותקח שרש הנשאר ותכהו בדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)^2=100+x^2-{\color{red}{2}}0x}}$	וכאשר תרצה זה תכה עשרה פחות דבר בעצמו ויהיה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה דבר בעצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2}-1}\right)^2={\color{red}{\sqrt{2}-1}}}}$	ותכה שרש שנים הנגרע ממנו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100+x^2-20x}{x^2}=\sqrt{2}-{\color{red}{1}}}}$	ותאמר תחלק מאה דרהמיש ואלגו פחות עשרים דברים על אלגו ויעלה שרש שנים הנגרע ממנו אחד ותאמר חלקנו מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים דברים על אלגו ועלה שרש שנים הנגרע ממנו אלגו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2-20x={\color{red}{\sqrt{2x^4}-x^2}}}}$	ישוה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים
Restoration of $\scriptstyle100+x^2-20x$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2x^4}-x^2+20x}}$	ותכוין עמהם והוא שתאסוף המאה דרהמי והאלגו עם העשרים שרשים ותוסיפהו על שרש מאלגו אלגו
Restoration of $\scriptstyle\sqrt{2x^4}-x^2+20x$ $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2+x^2}}$	ותאסוף שרש מאלגו אלגו עם האלגו ותוסיפהו על מאה דרהמי ואלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{100+2x^2-\sqrt{{\color{red}{2}}x^4}}}$	ותגרע שרש מאלגו אלגו ממאה דרהמי ושני אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{100+2x^2-\sqrt{{\color{red}{2}}x^4}=20x}}$	ויהיה מאה דרהמי ושני אלגוש פחות שרש מאלגו אלגו ישוה עשרים שרשים
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{100+2x^2-\sqrt{{\color{red}{2}}x^4}=20x\; /\times\left(1+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}$	והשב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתכה כל דבר שתחזיק באחד ובשרש חצי אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2x^2-\sqrt{{\color{red}{2}}x^4}\right)\sdot\left(1+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=x^2}}$	ותרבה שני אלגוש פחות שרש אלגו אלגו באדרהם ושרש חצי אדרהם ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{20x\sdot\left(1+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=20x+\sqrt{200x^2}}}$	ותרבה עשרים דברים באדרהם ושרש חצי אדרהם ויהיה עשרים דברים ושרש מאתים אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot\left(1+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=100+\sqrt{5000}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{x^2}}+100+\sqrt{5000}=20x+\sqrt{200x^2}}}$	ותרבה מאה דרהמי באדרהם ושרש חצי דרהם ויהיה מאה דרהמי ושרש חמשת אלפים דרהמי ישוה עשרים דברים ושרש מאתים אלגוש
	ותחצה העשרים דברים ושרש מאתים אלגוש יהיה עשרה ושרש חמשים תרבהו על עצמו יהיה מאה וחמשים דרהמי ושרש עשרים אלף ותגרע מהם מאה דרהמי ושרש חמשת אלפים דרהמי וישאר חמשים דרהמי ושרש חמשת אלפים דרהמי ושרש זה כשנגרע מעשרה ושרש חמשים הוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(20+\sqrt{200}\right)\right]-\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(20+\sqrt{200}\right)\right]^2-\left(100+\sqrt{5000}\right)}\\&\scriptstyle=\left(10+\sqrt{50}\right)-\sqrt{\left(10+\sqrt{50}\right)^2-\left(100+\sqrt{5000}\right)}\\&\scriptstyle=\left(10+\sqrt{50}\right)-\sqrt{\left(150+\sqrt{20000}\right)-\left(100+\sqrt{5000}\right)}\\&\scriptstyle=\left(10+\sqrt{50}\right)-\sqrt{50+\sqrt{5000}}\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-a}}$	והחלק הקטון הוא הנשאר מהעשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{b}{a}\right)^2-\left(\frac{a}{b}\right)^2=2}}$	ואם תרצה תחשבה כפי זה המעשה האחר והוא ידוע שמרובע כל דבר הוא החלק האחד מהחלקים שיעלו מחלוקת כל חלק מהעשרה על האחר ונגרע המעט מהרב שמה שישאר הוא שני דרהמי
For every number divided by a number, the product of the quotient multiplied by itself is the same as the quotient of the product of the dividend by itself divided by the product of the divisor by itself $\scriptstyle\left(\frac{A}{B}\right)^2=\frac{A^2}{B^2}$	בעבור כי כל מספר שיחלק על מספר כאשר תכה מה שעלה לחלק בעצמו יהיה העולה ממנו כמו מה שיעלה לחלק מחלוקת הכאת המספר המחולק בעצמו על הכאת המספר שהוא המחלק בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b^2}{a^2}=2+x}}$	ותשים מה שיעלה לחלק מחלוקת מרובע הרב על מרובע המעט שני דרהמי ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a^2}{b^2}={\color{red}{x}}}}$	ומה שיעלה לחלק מחלוקת מרובע המעט על מרובע הרב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{a}{b}\right)^2\sdot\left(\frac{b}{a}\right)^2=1}}$	וכבר בארנו כי הכאת האחד באחר הוא דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(2+x\right)=2x+x^2}}$	ותכה דבר בשני דרהמי ודבר יהיה שני דברים ואלגו
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{2x+x^2=1}}$	ותכוין עמו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{2}-1}}$	ויעלה הדבר שרש שנים הנגרע ממנו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ותשוב אל העשרה ותשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2=x^2}}$	ומרובע אחד מהם אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{b^2=\left(10-x\right)^2=100+x^2-20x}}$	ומרובע האחר מאה ואלגו פחות עשרים שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100+x^2-20x}{x^2}=\sqrt{2}-1}}$	ותחלק מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים על אלגו ויעלה שרש שנים הנגרע ממנו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100+x^2-20x}{x^2}=\sqrt{2}-1\; /\times x^2}}$	ותכהו באלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2x^4}-x^2=100+x^2-20\sqrt{x^2}}}$	ויהיה שני שרשים מאלגו אלגו הנגרע ממנו אלגו אחד ישוה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים
Reduction as explained	ותכוין עמו כמו שבארתי לך בשאלה

Section Three	‫[המאמר השלישי]‫^[28]
$\scriptstyle\left[x^2-\left(2\sqrt{x^2}+10\right)\right]^2=8x^2$	ואם יאמרו לך אלגו תגרע ממנו שני שרשיו ועשרה דרהמי ותכה מה שישאר בעצמו ויהיה שמנה דמיוני האלגו
The procedure: determining the square	ומלאכתו שתשים האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-2\sqrt{x^2}-10=\sqrt{8x^2}}}$	ותגרע ממנו שני שרשיו ועשרה דרהמי ישאר אלגו פחות שני אלגוש ופחות עשרה דרהמי ישוה שרש שמנה אלגוש בעבור כי הוא אלגו תכה מה שנשאר על עצמו יהיה שמנה דמיוני האלגו ומה שנשאר הוא שרש השמנה
	וקח מחצית הדברים ויהיה אחד ושרש שנים ותכהו על עצמו ויהיה שלשה ושרש שמנה תוסיפם על העשרה ויהיה שלש עשרה ושרש שמנה ושרש זה יתוסף על אחד ושרש שנים וההוה הוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+\sqrt{8}\right)\right]+\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+\sqrt{8}\right)\right]^2+10}\\&\scriptstyle=\left(1+\sqrt{2}\right)+\sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right)^2+10}\\&\scriptstyle=\left(1+\sqrt{2}\right)+\sqrt{\left(3+\sqrt{8}\right)+10}\\&\scriptstyle=\left(1+\sqrt{2}\right)+\sqrt{13+\sqrt{8}}\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left[\left(1+\sqrt{2}\right)+\sqrt{13+\sqrt{8}}\right]^2}}$	תכהו בעצמו והעולה הוא האלגו
$\scriptstyle2\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}+\sqrt{\frac{1}{3}x^2}=x^2$	ואם יאמרו לך אלגו אשר שני שרשיו ושרש חצי האלגו ושרש שלישיתו ישוו האלגו כמה הוא האלגו
The procedure: determining the square	ומלאכתו שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}+\sqrt{\frac{1}{3}x^2}=x^2}}$	ותאמר שני שרשים ושרש חצי אלגו ושרש שלישית אלגו ישוו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=2+\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{3}}}}$	והדבר ישוה שנים ושרש חצי ושרש שלישית והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\sqrt{8}+\sqrt{5+\frac{1}{3}}+\sqrt{{\color{red}{\frac{2}{3}}}}}}$	והאלגו ארבעה וחצי ושלישית ושרש שמנה ושרש חמשה ושליש ושרש שנים
$\scriptstyle2\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}+\sqrt{\frac{1}{3}x^2}=20$	ואם יאמר אלגו אשר שני שרשיו ושרש חציו ושרש שלישיתו עשרים דרהמי כמה הוא האלגו
The procedure: determining the square	מלאכתו שתניח האלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}+\sqrt{\frac{1}{3}x^2}=20}}$	ותקח שני שרשיו ושרש מחציתו ושרש שלישיתו ויהיו שני דברים ושרש חצי האלגו ושרש שלישיתו ישוו עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(20-2x\right)^2=400+4x^2-80x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{400+4x^2-80x=\left(\sqrt{\frac{1}{2}x^2}+\sqrt{\frac{1}{3}x^2}\right)^2}}$	תגרע שני דברים מעשרים דרהמי ישאר עשרים דרהמי פחות שני דברים תכם בעצמם ויהיה ארבע מאות דרהמי וארבע אלגוש פחות שמנים דברים ישוו שרש חצי אלגו ושרש שלישיתו מוכה בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{400+4x^2-80x=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^2+\sqrt{\frac{2}{3}x^4}}}$	והוא חצי אלגו ושלישית אלגו ושרש שני שלישים מאלגו אלגו
Restoration: $\scriptstyle{\color{blue}{80x=400+3x^2+\frac{1}{6}x^2-\sqrt{\frac{2}{3}x^4}}}$	ותכוין עמהם ויהיה שמנים דברים ישוו ארבע מאות דרהמי ושלשה אלגוש וששית אלגו פחות שרש שני שלישיות מאלגו אלגו
Normalization: restoring to one square	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד
proceeding as stated	ותעשה עמו כמו שאמרתי לך
$\scriptstyle x^2+4\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}+\sqrt{\frac{1}{3}x^2}=10$	ואם יאמר לך אלגו תוסיף עליו ארבעה שרשיו ושרש חציו ושרש שלישיתו ויהיה עשרה דרהמי כמה הוא האלגו
The procedure: determining the square	מלאכתו שתניח האלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}+\sqrt{\frac{1}{3}x^2}}}$	ותוסיף עליו ארבעה שרשיו ושרש חציו ושרש שלישיתו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}+\sqrt{\frac{{\color{red}{1}}}{3}x^2}=10}}$	יהיה אלגו וארבעה דברים ושרש חצי אלגו ושרש שני שלישי אלגו ישוו עשרה דרהמי
proceeding as stated	ותעשה כמו שאמרתי לך
$\scriptstyle\left(x^2+\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}\right)^2=5x^2$	ואם יאמרו לך אלגו תוסיף עליו שרשו ושרש חציו ותכה המקובץ על עצמו ויהיה חמשה דמיוני האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}=\sqrt{5x^2}}}$	וזה הוא אלגו ושרשו ושרש חציו ישוו שרש חמשה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=\sqrt{5}-1-\sqrt{\frac{1}{2}}}}$	ויהיה הדבר שישוה שרש חמשה דרהמי פחות דרהם אחד ופחות שרש חצי דרהם והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6+\frac{1}{2}+\sqrt{2}-\sqrt{20}-\sqrt{10}}}$	והאלגו ששה דרהמי וחצי ושרש שנים פחות שרש עשרים ופחות שרש עשרה
$\scriptstyle\left(x^2+\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}\right)^2=20$	ואם יאמרו לך אלגו הוסף עליו שרשו ושרש חציו ותכה המקובץ בעצמו ויהיה עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}=\sqrt{20}}}$	זה הוא אלגו ודבר ושרש חצי אלגו ישוו שרש עשרים דרהמי
	ותחצה הדבר ושרש חצי אלגו ויהיה חצי ושרש שמינית אחד תכהו בעצמו יהיה שלשה שמיניות דרהם ושרש משמינית אדרהם תוסיפהו על שרש עשרים דרהמי יהיה שלשה שמיניות ושרש עשרים דרהמי ושרש שמינית דרהם ותקח שרשו ותגרע ממנו חצי ושרש שמינית ומה שישאר הוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x=\sqrt{x^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right]^2+\sqrt{20}}-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right]\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{8}}\right)^2+\sqrt{20}}-\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{8}}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{3}{8}+\sqrt{\frac{1}{8}}\right)+\sqrt{20}}-\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{8}}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\frac{3}{8}+\sqrt{20}+\sqrt{\frac{1}{8}}}-\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{8}}\right)\\\end{align}}}$
$\scriptstyle\left(x^2+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}\right)^2=4x^2$	ואם יאמרו לך אלגו הוספת עליו שרש חציו והכית העולה בעצמו ויהיה ארבעה דמיוני האלגו
[first solution method]
The procedure: defining the square as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	מלאכתו שתניח האלגו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{y+\sqrt{\frac{1}{2}y}}}$	ותוסיף עליו שרש חציו ויהיה דבר ושרש חצי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(y+\sqrt{\frac{1}{2}y}\right)^2=y^2+\frac{1}{2}y+\sqrt{2y^3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{y^2+\frac{1}{2}y+\sqrt{2y^3}=4y}}$	תכהו בעצמו ויהיה אלגו וחצי דבר ושרש שני קוביקש ישוו ארבעה דברים
$\scriptstyle x^2=x\sdot x$	ודע שהאלגו הוא מהכאת הדבר בעצמו
$\scriptstyle x^3=x\sdot x^2$	והקוביקא הוא מהכאת הדבר באלגו
$\scriptstyle x^4=x^2\sdot x^2$	ואלגו אלגו הוא מהכאת האלגו באלגו
$\scriptstyle x^6=x^3\sdot x^3$	וקוביקא מקוביקא הוא מהכאת קוביקא בקוביקא
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+\frac{1}{2}y+\sqrt{2y^3}=4y}}$	והאלגו וחצי הדבר ושרש שני מעוקבים ישוו ארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{4y-\left(y^2+\frac{1}{2}y\right)}}$	ותגרע אלגו וחצי דבר מארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{2}\right)y-y^2}}$	ישאר שלשה דברים וחצי פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)y-y^2\right]^2=y^4+\left(12+\frac{1}{4}\right)y^2-7y^3}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{y^4+\left(12+\frac{1}{4}\right)y^2-7y^3=2y^3}}$	ותכם בעצמם ויהיה אלגו אלגו וי"ב אלגוש ורביע פחות שבעה מעוקבים ישוו שני מעוקבים
Restoration of $\scriptstyle y^4+\left(12+\frac{1}{4}\right)y^2-7y^3$ $\scriptstyle{\color{blue}{2y^3+7y^3}}$	תאספם עם השבעה מעוקבים ותוסיפם על השני מעוקבים
$\scriptstyle{\color{blue}{y^4+\left(12+\frac{1}{4}\right)y^2=9y^3}}$	ויהיה אלגו אלגו וי"ב אלגוש ורביע ישוו תשעה ~~קוביקש~~ מעוקבים
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+\left(12+\frac{1}{4}\right)=9y}}$	והשב כל דבר שתחזיק אל אלגו יהיה אלגו וי"ב דרהמי ורביע ישוו תשעה דברים
	ותחצה הדברים יהיו ארבעה וחצי תכם בעצמם יהיה עשרים ורביע תגרע מהם הי"ב ורביע ישאר שמנה ושרשו כשיגרע מארבעה וחצי הנה מה שישאר הוא האלגו והוא ארבעה וחצי פחות שרש שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle y&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2-\left(12+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)^2-\left(12+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)-\left(12+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{8}\\\end{align}}}$
[second solution method]
determining the square	ואם תרצה תשים האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}=\sqrt{4x^2}}}$	ותוסיף עליו שרש חציו ויהיה אלגו ושרש חצי אלגו ישוה שרש ארבעה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}\right)^2=4x^2}}$	בעבור שאמר שכאשר תכהו על עצמו יהיה ארבעה דמיוני האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}=\sqrt{4x^2}}}$	ויהיה אלגו ושרש חצי אלגו ישוה שרש ארבעה דמיוני האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4x^2}=2x}}$	והוא שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4x^2}-\sqrt{\frac{1}{2}x^2}}}$	ותגרע שרש חצי אלגו משרש ארבעה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4x^2}-\sqrt{\frac{1}{2}x^2}=x^2}}$	ישאר שרש ארבעה אלגוש פחות שרש חצי אלגו ישוה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}=\sqrt{4}-\sqrt{\frac{1}{2}}=2-\sqrt{\frac{1}{2}}}}$	ויהיה שרש האלגו שרש ארבעה פחות שרש חציו והוא שני אדרהמי פחות שרש חצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(4+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{8}}}$	והאלגו ארבעה וחצי פחות שרש שמנה
[third solution method]
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=2y^2}}$	ואם תרצה תניח האלגו שלך שני אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{2y^2+\sqrt{\frac{1}{2}\sdot2y^2}=2y^2+y}}$	תוסיף עליו שרש חציו ויהיה שני אלגוש ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2y^2+y\right)^2=4y^4+y^2+4y^3}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4y^4+y^2+4y^3=8y^2}}$	תכם בעצמם ויהיה ארבעה אלגוש אלגו ואלגו וארבעה מעוקבים ישוו שמנה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{8y^2-y^2}}$	ותגרע אלגו משמנה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{4y^4+4y^3=7y^2}}$	ישאר ארבעה אלגוש אלגו וארבעה מעוקבים ישוו שבעה אלגוש
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{4y^4+4y^3=7y^2\quad/\div4}}$	ותשב כל דבר שתחזיק אל אלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^4+y^3=\left(1+\frac{3}{4}\right)y^2}}$	ויהיה אלגו אלגו ומעוקב ישוה אלגו ושלשה רבעי אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^4+y^3=\left(1+\frac{3}{4}\right)y^2\quad/\div y^2}}$	והשב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתחלק כל דבר שתחזיק על אלגו וחלקת כל דבר שתחזיק על אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^4\div y^2=y^2}}$	בעבור שכאשר תחלק אלגו אלגו על אלגו יעלה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^3\div y^2=y}}$	ותחלק מעוקב על אלגו ויהיה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{3}{4}\right)y^2\div y^2=1+\frac{3}{4}}}$	ותחלק אלגו ושלשה רבעי אלגו על אלגו ויעלה דרהם אחד ושלשה רביעי אדרהם
	ותחצה השרשים ויהיה חצי תכהו על עצמו ויהיה רביע תוסיפהו על האדרהם ושלשה רביעים ויהיה שני דרהמי ותגרע משרש שני דרהמי חציו ישאר שרש חצי האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}x^2}=y=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)^2+\left(1+\frac{3}{4}\right)}-\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(1+\frac{3}{4}\right)}-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\left(1+\frac{3}{4}\right)}-\frac{1}{2}=\sqrt{2}-\frac{1}{2}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2=\left(\sqrt{2}-\frac{1}{2}\right)^2=\left(2+\frac{1}{4}\right)-\sqrt{2}}}$	תכהו בעצמו יהיה שני דרהמי ורביע פחות שרש שנים והוא חצי האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=2\sdot\left[\left(2+\frac{1}{4}\right)-\sqrt{2}\right]=\left(4+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{8}}}$	ותכפלהו יהיה ארבעה דרהמי וחצי פחות שרש שמנה
$\scriptstyle\left(x^2+\sqrt{3}\right)\sdot\left(x^2+\sqrt{2}\right)=20$	ואם יאמרו לך שני אלגוש שוים תוסיף על אחד מהם שרש שלשה ועל האחר שרש שנים ותכה האחד באחר ויהיה עשרים
defining the square as a thing: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	תניח כל אחד מהאלגוש דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(y+\sqrt{3}\right)\sdot\left(y+\sqrt{2}\right)}}$	ותוסיף על כל אחד מה שהנחת והוא דבר ושרש שלשה בדבר ושרש שנים אדרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+\sqrt{6}+\sqrt{3y^2}+\sqrt{2y^2}=20}}$	יהיה אלגו ושרש ששה דרהמי ושרש שלשה אלגוש ושרש שני אלגוש ישוו עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{20-\sqrt{6}}}$	ותגרע שרש ששה דרהמי מעשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{20-\sqrt{6}=y^2+\sqrt{3y^2}+\sqrt{2y^2}}}$	ישאר עשרים דרהמי פחות שרש ששה דרהמי ישוה אלגו ושרש שלשה אלגוש ושרש שני אלגוש
	ותחצה שרש שלשה אלגוש ושרש שני אלגוש ויהיה שרש משלשה רביעים ושרש מחצי תכם בעצמו יהיה דרהם אחד ורביע ושרש אדרהם וחצי ותוסיפהו על עשרים דרהמי ורביע ושרש דרהם וחצי פחות שרש ששה דרהמיש והוא עשרים ואחד ורביע פחות שרש אחד וחצי ושרש זה כשיגרע ממנו שרש שלשה רביעיו ושרש חצי הנשאר הוא אלגו אחד מהשנים והאחר הוא כמו הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2=y&\scriptstyle=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\right]^2+\left(20-\sqrt{6}\right)}-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\right]\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{3}{4}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2+\left(20-\sqrt{6}\right)}-\left(\sqrt{\frac{3}{4}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left[\left(1+\frac{1}{4}\right)+\sqrt{1+\frac{1}{2}}\right]+\left(20-\sqrt{6}\right)}-\left(\sqrt{\frac{3}{4}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(21+\frac{1}{4}\right)-\sqrt{1+\frac{1}{2}}}-\left(\sqrt{\frac{3}{4}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\\\end{align}}}$
$\scriptstyle\left(x^2+7\right)\sdot\sqrt{3x^2}=10x^2$	ואם יאמרו לך אלגו תוסיף עליו שבעה דרהמי ותכה המקובץ בשרש שלשה דמיוני האלגו ויהיה עשרה דמיוני האלגו
[first solution method]
The procedure: defining the square as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	מלאכתו שתניח האלגו שלך דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{7+y}}$	תוסיף עליו שבעה דרהמי יהיה שבעה דרהמי ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+y\right)\sdot\sqrt{3y}}}$	תכהו בשרש שלשה דמיוני האלגו והוא שרש שלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3y^3}+\sqrt{147y}=10y}}$	ויהיה שרש שלשה מעוקבים ושרש קמ"ז דברים ישוו עשרה דמיוני האלגו והוא עשרה דברים
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3y^3}+\sqrt{147y}=10y\quad/\div\sqrt{3y}}}$	ותחלק כל דבר שתחזיק על שרש שלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{y+\sqrt{49}=\sqrt{\left(33+\frac{1}{3}\right)y}}}$	ויעלה דבר ושרש מ"ט דרהמי ישוה שרש ל"ג דברים ושליש דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(y+\sqrt{49}\right)^2}}$	ותכה דבר ושרש מ"ט דרהמי בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+49+\sqrt{196y^2}=\left(33+\frac{1}{3}\right)y}}$	יהיה אלגו ומ"ט בעצמו ושרש קצ"ו אלגוש ישוו ל"ג דברים ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(33+\frac{1}{3}\right)y-\sqrt{196y^2}}}$	ותגרע שרש קצ"ו אלגוש מל"ג ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(33+\frac{1}{3}\right)y-\sqrt{196y^2}=y^2+49}}$	ישאר ל"ג דברים ושליש פחות שרש קצ"ו אלגוש ישוה אלגו ומ"ט דרהמי
first option: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(33+\frac{1}{3}\right)-\sqrt{196}\right]}}$	ואם תרצה תחצה הדברים פחות שרש קצ"ו אלגוש
proceeding as stated	ותעשה כמו שאמרתי לך
second option: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{196y^2}=14y}}$	ואם תרצה תקח שרש קצ"ו אלגוש והוא י"ד דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(33+\frac{1}{3}\right)y-14y}}$	תגרעם מל"ג דברים ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(19+\frac{1}{3}\right)y=y^2+49}}$	ישאר י"ט דברים ושליש ישוה אלגו ומ"ט דרהמי
	ותחצה הדברים יהיה תשעה ושני שלישים תכם בעצמם ויהיה צ"ג וארבעה תשיעיות תגרע מהם האדרהמי והם מ"ט ישאר מ"ד וארבעה תשיעיות ותקח שרשו והוא ששה ושני שלישיות תגרעם מחצי הדברים שהם תשעה ושני שלישים ישארו שלשה והם האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2=y&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(19+\frac{1}{3}\right)\right]-\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(19+\frac{1}{3}\right)\right]^2-49}\\&\scriptstyle=\left(9+\frac{2}{3}\right)-\sqrt{\left(9+\frac{2}{3}\right)^2-49}\\&\scriptstyle=\left(9+\frac{2}{3}\right)-\sqrt{\left(93+\frac{4}{9}\right)-49}\\&\scriptstyle=\left(9+\frac{2}{3}\right)-\sqrt{44+\frac{4}{9}}\\&\scriptstyle=\left(9+\frac{2}{3}\right)-\left(6+\frac{2}{3}\right)=3\\\end{align}}}$
[second solution method]
$\scriptstyle{\color{blue}{y+\sqrt{49}=\sqrt{\left(33+\frac{1}{3}\right)y}}}$	ואם תרצה כאשר תחבר מן השאלה אל הדבר ושרש מ"ט דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{49}=7}}$	תקח שרש מ"ט והוא שבעה
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(y+7\right)^2=\left(33+\frac{1}{3}\right)y}}$	ותכה דבר ושבעה בעצמו ותכוין עם מה שיעלה ל"ג דברים ושליש
proceeding as stated	ותעשה כאשר אמרתי לך
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1^2=3}}$	ויעלה לך האלגו שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=16+\frac{1}{3}}}$	או ששה עשר ושליש איזה מהם שתרצה
[third solution method]
If one wishes, the calculation of this question is done by the other procedure:	ואם תרצה תמנה חשבון זאת השאלה על המעשה האחר
defining the square as a thing: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	והוא שתניח האלגו שלך דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{y+7}}$	תוסיף עליו שבעה דרהמי יהיה דבר ושבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(y+7\right)\sdot\sqrt{3y}=10y}}$	וכבר ידעת שכאשר תכהו בשרש שלשה דברים יהיה עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{10y\div\sqrt{3y}}}$	ותחלק עשרה דברים על שרש שלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(33+\frac{1}{3}\right)y=\left(y+7\right)^2}}$	ויעלה ל"ג דברים ושליש ישוו דבר ושבעה דרהמי תכם בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+49+14y=\left(33+\frac{1}{3}\right)y}}$	ויהיה אלגו ומ"ט דרהמי וי"ד דברים ישוו ל"ג דרהמי ושליש דבר
[fourth solution method]
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{3}y^2}}$	ואם תרצה תניח האלגו שלך שליש אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}y^2+7}}$	ותוסיף עליו שבעה דרהמי יהיה שלישית מאלגו ושבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}y^2+7\right)\sdot\sqrt{3\sdot\frac{1}{3}y^2}=\left(\frac{1}{3}y^2+7\right)\sdot y}}$	תכם בשרש שלשה דמיוניו והוא דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}y^3+7y=\left(3+\frac{1}{3}\right)y^2}}$	יהיה שלישית מעוקב ושבעה דברים ישוו שלשה אלגוש ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{10x^2=10\sdot\frac{1}{3}y^2=\left(3+\frac{1}{3}\right)y^2}}$	בעבור כי כאשר הוא אלגו יהיה עשרה דמיוני האלגו כמו כן כאשר הנחנו האלגו שלישית מאלגו יהיה עשרה דמיוניו שלשה אלגוש ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}y^3+7y=\left(3+\frac{1}{3}\right)y^2\quad/\div y}}$	ותחלק כל דבר שתחזיק על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}y^2+7=\left(3+\frac{1}{3}\right)y}}$	ויעלה שלישית אלגו ושבעה דרהמי ישוה שלשה דברים ושליש
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}y^2+7=\left(3+\frac{1}{3}\right)y\quad/\times3}}$	ותשלים שלישית האלגו עד שיהיה אלגו והשלמתך הוא שתכהו בשלשה אחר תכה כל מה שתחזיק בשלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+21=10y}}$	יהיה אלגו וכ"א דרהמי ישוו עשרה שרשים
	ותחצה השרשים ויהיו חמשה תכם בעצמם יהיו כ"ה תגרע מהם הכ"ב דרהמי ישאר שלשה והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y_1=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5-\sqrt{5^2-21}=5-\sqrt{25-21}=3}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{y_1^2=9}}$	והאלגו תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1^2=\frac{1}{3}y_1^2=\frac{1}{3}\sdot9=3}}$	וכל מה שהנחנו האלגו שלישית האלגו תקח שלישיתו יהיה שלשה והוא האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y_2=5+2=7}}$	ואם תרצה תוסיף השנים על חצי השרשים שהם חמשה ויהיה שבעה והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y_2^2=49}}$	והאלגו מ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=\frac{1}{3}y_2^2=\frac{1}{3}\sdot49=16+\frac{1}{3}}}$	וכן כמו שהנחנו האלגו שלנו שלישית מאלגו תקח שלישית אלו ויהיה י"ו ושליש
$\scriptstyle\left(x^2+\sqrt{3x^2}\right)\sdot\sqrt{{\color{red}{2}}x^2}=4x^2$	ואם יאמרו לך אלגו תוסיף עליו שרש שלשה דמיוניו ותכה המקובץ בשרש האלגו יהיה ארבעה דמיוני האלגו
[first solution method]
The procedure: defining the square as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	ומלאכתו שתניח האלגו שלך דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{y+\sqrt{3y}}}$	ותוסיף עליו שרש שלשה דמיוניו יהיה דבר ושרש שלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(y+\sqrt{3y}\right)\sdot\sqrt{2y}}}$	תכהו בשרש שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2y^3}+\sqrt{6y^2}=4y}}$	יהיה שרש שני מעוקבים ושרש ששה אלגוש ישוו ארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{4x^2=4y}}$	בעבור כי הוא אלגו ויהיה ארבעה דמיוני האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2y^3}+\sqrt{6y^2}=4y\quad/\div y}}$	ותחלק כל דבר שתחזיק על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{4-}}\sqrt{6}=\sqrt{2y}}}$	יהיה שרש ששה דרהמי ישוה שרש שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4-\sqrt{6}\right)^2}}$	ותכה ארבעה דרהמי פחות שרש ששה דרהמי בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{22-\sqrt{384}=2y}}$	יהיה כ"ב דרהמי פחות שרש שפ"ד דרהמי ישוו שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y=11-\sqrt{96}}}$	והדבר ישוה אחד עשר דרהמי פחות שרש צ"ו והוא האלגו
[second solution method]
$\scriptstyle{\color{blue}{4y-\sqrt{6y^2}}}$	ואם תרצה תגרע שרש ששה אלגוש מארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{4y-\sqrt{6y^2}=\sqrt{2y^3}}}$	ישאר ארבעה דברים פחות שרש ששה אלגוש ישוו שרש שני מעוקבים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4y-\sqrt{6y^2}\right)^2}}$	ותכה ארבעה דברים פחות שרש ששה אלגוש בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{22y^2-\sqrt{384y^4}=2y^3}}$	יהיה כ"ב אלגוש פחות שרש שפ"ד אלגוש אלגו ישוו שני מעוקבים
Restoration of $\scriptstyle22y^2-\sqrt{384y^4}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2y^3+\sqrt{384y^4}=22y^2}}$	ותאספהו עם שרש שפ"ד אלגוש אלגו ישוה כ"ב אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{2y^3+\sqrt{384y^4}=22y^2\quad/\div y^2}}$	ותחלק כל דבר שתחזיק על אלגו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{2y^3\div y^2=2y}}$	תחלק שני מעוקבי' על אלגו ויעלה שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{384y^4}\div y^2={\color{red}{\sqrt{384}}}}}$	ותחלק שרש שפ"ד אלגוש אלגו על אלגו
$\scriptstyle{\color{red}{22y^2\div y^2=22}}$	ויעלה כ"ב דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{2y+\sqrt{384}=22}}$	ויהיה שני דברים ושרש שפ"ד דרהמי ישוה כ"ב דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y=11-\sqrt{96}}}$	והדבר ישוה אחד עשר דרהמי פחות שרש צ"ו והוא האלגו
[third solution method]
$\scriptstyle{\color{blue}{22y^2-2y^3}}$	ואם תרצה תגרע השני מעוקבים מכ"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{22y^2-2y^3=\sqrt{384y^4}}}$	ישאר כ"ב אלגוש פחות שני מעוקבים ישוו שרש שפ"ד אלגוש אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(22y^2-2y^3\right)^2}}$	ותכה כ"ב אלגוש פחות שני מעוקבי' בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{384y^4={\color{red}{484y^4}}+4y^6-88y^3y^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{384y^4={\color{red}{484y^4}}+4y^6-88y^4y}}$	ויהיה תפ"ד אלגוש אלגו וארבעה מעוקבים ממעוקב פחות פ"ח מעוקבים מוכים באלגו ואם תרצה תאמר פחות פ"ח אלגוש אלגו מוכים בדבר ישוו שפ"ד אלגוש אלגו
Restoration of $\scriptstyle484y^4+4y^6-88y^4y$ $\scriptstyle{\color{blue}{384y^4+88y^4y}}$	ותאספם עם פ"ח אלגוש אלגו מוכים בדבר ותוסיפם על שפ"ד אלגוש אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{384y^4+88y^4y=484y^4+4y^6}}$	ויהיה שפ"ד אלגוש אלגו ופ"ח אלגוש אלגו מוכים בדבר ישוו תפ"ד אלגוש אלגו וארבעה מעוקבים ממעוקב
$\scriptstyle{\color{blue}{484y^4-384y^4}}$	ותגרע שפ"ד אלגוש אלגו מתפ"ד אלגוש אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{4y^6+100y^4=88y^4y}}$	ישאר ארבעה מעוקבים ממעוקב ומאה אלגוש אלגו ישוו פ"ח אלגוש אלגו מוכים בדבר
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{y^6+25y^4=22y^4y}}$	והשב כל דבר שתחזיק אל מעוקב ממעוקב וכ"ה אלגוש אלגו ישוו כ"ב אלגוש אלגו מוכים בדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{y^6+25y^4=22y^4y\quad/\div y^4}}$	ותחלק כל דבר שתחזיק על אלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^6\div y^4=y^2}}$	ותחלק מעוקב ממעוקב על אלגו אלגו ויעלה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{25y^4\div y^4=25}}$	ונחלק כ"ה אלגוש אלגו על אלגו אלגו ויעלה כ"ה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{22y^4y\div y^4=22y}}$	ותחלק כ"ב אלגוש אלגו מוכים בדבר על אלגו אלגו ויעלה כ"ב דברי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+25=22y}}$	ויהיה אלגו וכ"ה דרהמי ישוו כ"ב דברים
	ותחצה השרשים ויהיו אחד עשר תכם בעצמם יהיה קכ"א תגרע מהם הכ"ה ישאר צ"ו ושרש אלו כשיגרע מאחד עשר הוא האלגו והוא אחד עשר פחות שרש צ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y=\left(\frac{1}{2}\sdot22\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot22\right)^2-25}=11-\sqrt{11^2-25}=11-\sqrt{121-25}=11-\sqrt{96}}}$
[fourth solution method]
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{2}y^2}}$	ואם תרצה תשים האלגו שלך חצי אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}y^2+\sqrt{3\sdot\frac{1}{2}y^2}=\frac{1}{2}y^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)y^2}}}$	תוסיף עליו שלשה דמיוניו יהיה חצי אלגו ושרש מאלגו וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}y^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)y^2}\right)\sdot\sqrt{y^2}=\left(\frac{1}{2}y^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)y^2}\right)\sdot y}}$	תכהו בשרש האלגו והוא דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}y^3+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)y^4}=2y^2}}$	יהיה חצי מעוקב ושרש אלגו אלגו וחצי אלגו אלגו ישוו שני אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{4x^2=4\sdot\frac{1}{2}y^2=2y^2}}$	בעבור כי הוא אלגו יהיה ארבעה דמיוני האלגו והנה האלגו חצי אלגו ויהיה ארבעה דמיוני האלגו שני אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}y^3+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)y^4}=2y^2\quad/\div y^2}}$	ותחלק כל דבר שתחזיק על אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}y+\sqrt{1+\frac{1}{2}}=2}}$	יהיה חצי דבר ושרש מאדרהם וחצי ישוו שני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{y=4-\sqrt{6}}}$	והדבר ישוה ארבעה פחות שרש ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4-\sqrt{6}\right)^2}}$	תכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=22-\sqrt{384}}}$	יהיה כ"ב אלגוש פחות שרש שפ"ד והוא האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}\sdot\left(22-\sqrt{384}\right)=11-\sqrt{96}}}$	וכמו שהנחנו האלגו שלנו חצי אלגו כן תקח חציו ויהיה אחד עשר פחות שרש מצ"ו והוא האלגו
[fifth solution method]
$\scriptstyle{\color{blue}{2y^2-\frac{1}{2}y^3}}$	ואם תרצה תגרע חצי מעוקב משני אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{2y^2-\frac{1}{2}y^3=\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)y^4}}}$	ישאר שני אלגוש פחות חצי מעוקב ישוה שרש אלגו אלגו וחצי אלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2y^2-\frac{1}{2}y^3\right)^2}}$	תכה שני אלגוש פחות חצי מעוקב בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{4y^4+\frac{1}{4}y^6-{\color{red}{2}}y^4y=\left(1+\frac{1}{2}\right)y^4}}$	יהיה ארבעה אלגוש מאלגו ורביע ורביע מעוקב ממעוקב פחות אלגו אלגו מוכה בדבר ישוה אלגו אלגו וחצי אלגו אלגו
Restoration of $\scriptstyle4y^4+\frac{1}{4}y^6-2y^4y$	ותאספם עם אלגו אלגו מוכה בדבר ותוסיפהו על אלגו אלגו וחצי אלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{red}{\left(1+\frac{1}{2}\right)y^4+2y^4y}}$	ויהיה אלגו אלגו וחצי אלגו אלגו ואלגו אלגו מוכה באלגו אלגו מארבעה אלגוש אלגו ורביע מעוקב ממעוקב
$\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{4}y^6+\left(2+\frac{1}{2}\right)y^4=2y^4y}}$	ישאר רביע מעוקב ואלגו אלגו וחצי אלגו אלגו ישוה אלגו אלגו מוכה במעוקב ואלגו אלגו מוכה בדבר
Normalization: $\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{4}y^6+\left(2+\frac{1}{2}\right)y^4=2y^4y}}\quad{\color{blue}{/\times4}}$	ותשלים רביע מעוקב ממעוקב עד שיהיה מעוקב ממעוקב והשלמתך הוא שתכהו בארבעה ותכה כל דבר שתחזיק בארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{y^6+10y^4=8y^4y}}$	ויהיה מעוקב ממעוקב ועשרה אלגוש מאלגו ישוה שמנה אלגוש מאלגו מוכה בדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{y^6+10y^4=8y^4y\quad/\div y^4}}$	ותחלק כל דבר שתחזיק על אלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+10=8y}}$	יהיה אלגו ועשרה דרהמי ישוו שמנה דברים
	ותחצה הדברים ויהיו ארבעה תכם בעצמם יהיה שש עשרה תגרע מהם העשרה דרהמי ישאר ששה תקח שרשו ותגרעהו מארבעה והנשאר הוא הדבר והוא ארבעה פחות שרש ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{y=\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2-10}=4-\sqrt{4^2-10}=4-\sqrt{16-10}=4-\sqrt{6}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=22-\sqrt{384}}}$	ויהיה האלגו כ"ב דרהמי פחות שרש שפ"ד דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}\sdot\left(22-\sqrt{384}\right)=11-\sqrt{96}}}$	וכמו שהנחנו האלגו שלנו חצי אלגו כן תקח חצי זה והוא י"א דרהמי פחות שרש צ"ו והוא האלגו הנשאל
$\scriptstyle\left(\sqrt{\frac{1}{2}x^2}+3\right)\sdot\left(\sqrt{\frac{1}{3}x^2}+2\right)=20$	ואם יאמרו לך אלגו תוסיף על שרש חציו שלשה דרהמי ועל שרש שלישיתו שני דרהמי ותכה האחד באחר ויהיה עשרים דרהמי
[first solution method]
The procedure: defining the square as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	מלאכתו שתשים האלגו שלך דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{3+\sqrt{\frac{1}{2}y}}}$	ותוסיף על שרש חציו שלשה דרהמי יהיה שלשה דרהמי ושרש חציו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{2+\sqrt{\frac{1}{3}y}}}$	ותוסיף על שרש שלישיתו שנים דרהמי יהיה שני דרהמי ושרש שלישית דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\sqrt{\frac{1}{2}y}\right)\sdot\left(2+\sqrt{\frac{1}{3}y}\right)}}$	תכה שלשה דרהמי ושרש חצי דבר בשני דרהמי ושרש שלישית דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}y}\sdot\sqrt{\frac{1}{3}y}=\sqrt{\frac{1}{6}y^2}}}$	וכאשר תרצה זה תכה שרש חצי דבר בשרש שלישית דבר ויהיה שרש ששית אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt{\frac{1}{3}y}=\sqrt{3y}}}$	ותכה שלשה דרהמי בשרש שלישית דבר ויהיה שרש שלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{\frac{1}{2}y}=\sqrt{2y}}}$	ותכה שרש שני דרהמי בשרש חצי דבר ויהיה שרש שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2=6}}$	ותכה שלשה דרהמי בשני דרהמי יהיה ששה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{6+\sqrt{\frac{1}{6}y^2}+\sqrt{3y}+\sqrt{2y}=20}}$	ותקבץ כל זה ויהיה ששה דרהמי ושרש ששית אלגו ושרש משלשה דברים ושרש משני דברים ישוו עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{20-6}}$	ותגרע ששה דרהמי מעשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{14=\sqrt{\frac{1}{6}y^2}+\sqrt{3y}+\sqrt{2y}}}$	ישארו י"ד דרהמי ישוו שרש מששית אלגו ושרש משלשה דברים ושרש משני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{14-\sqrt{\frac{1}{6}y^2}}}$	ותגרע שרש מששית אלגו מי"ד דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{14-\sqrt{\frac{1}{6}y^2}=\sqrt{3y}+\sqrt{2y}}}$	ישאר י"ד דרהמיש פחות שרש ששית אלגו ישוה שרש שלשה דברים ושרש שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(14-\sqrt{\frac{1}{6}y^2}\right)^2}}$	תכה י"ד דרהמי פחות שרש ששית אלגו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{196+\frac{1}{6}y^2-\sqrt{\left(130+\frac{2}{3}\right)y^2}=\left(\sqrt{3y}+\sqrt{2y}\right)^2=5y+\sqrt{24y^2}}}$	יהיה קצ"ו דרהמי וששית אלגו פחות שרש ק"ל אלגו ושני שלישים מאלגו ישוה שרש משלשה דברים ושרש משני דברים מוכים בעצמם והוא חמשה דברים ושרש כ"ד אלגוש
Restoration of $\scriptstyle196+\frac{1}{6}y^2-\sqrt{\left(130+\frac{2}{3}\right)y^2}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{5y+\sqrt{24y^2}+\sqrt{\left(130+\frac{2}{3}\right)y^2}}}$	ותאסוף הקצ"ו דרהמי וששית אלגו עם שרש ק"ל אלגוש ושני שלישיות מאלגו ותוסיפהו על חמשה דברים ושרש כ"ד אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{5y+\sqrt{24y^2}+\sqrt{\left(130+\frac{2}{3}\right)y^2}=196+\frac{1}{6}y^2}}$	ויהיה חמשה דברים ושרש כ"ד אלגוש ושרש ק"ל אלגוש ושני שלישי אלגו ישוה קצ"ו וששית אלגו
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{5y+\sqrt{24y^2}+\sqrt{\left(130+\frac{2}{3}\right)y^2}=196+\frac{1}{6}y^2\quad/\times6}}$	ותשלים הששית אלגו עד שיהיה אלגו והשלמתך הוא שתכהו בששה אחר זה תכה כל דבר שתחזיק בששה
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+1176=30y+\sqrt{864y^2}+\sqrt{4704y^2}}}$	ויהיה אלגו ואלף קע"ו דרהמי ישוו שלשים דברים ושרש תתס"ד אלגוש ושרש ארבעת אלפי' תש"ד אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2=y&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(30+\sqrt{864}+\sqrt{4704}\right)\right]-\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(30+\sqrt{864}+\sqrt{4704}\right)\right]^2-1176}\\&\scriptstyle=\left(15+\sqrt{216}+\sqrt{1176}\right)-\sqrt{\left(15+\sqrt{216}+\sqrt{1176}\right)^2-1176}\\&\scriptstyle=\left(15+\sqrt{216}+\sqrt{1176}\right)-\sqrt{\left(1617+\sqrt{1058400}+\sqrt{1016064}+\sqrt{194400}\right)-1176}\\&\scriptstyle=\left(15+\sqrt{216}+\sqrt{1176}\right)-\sqrt{441+\sqrt{1058400}+\sqrt{1016064}+\sqrt{194400}}\\\end{align}}}$
	ותחצה הדברים ושרש ארבעת אלפים תש"ד אלגוש ושרש תתס"ד אלגוש ויהיה ט"ו ושרש אלף קע"ו ושרש רי"ו תכם בעצמם יהיה אלף תרי"ז ושרש אלף אלפים ונ"ח אלפים ות' ושרש אלף אלפים וי"ו אלפים וס"ד ושרש מאה אלף וצ"ד אלפי' ות‫' ותגרע מהם אלף קע"ו ישאר תמ"א דרהמי ושרש אלף אלפים ונ"ח אלפים ות' ושרש אלף אלפים וי"ו אלפים וס"ד ושרש מאה אלף וצ"ד אלפים ות‫' תקח שרש זה וההוה תגרעהו מט"ו ושרש אלף קע"ו ושרש רי"ו ומה שישאר הוא האלגו
[second solution method]
$\scriptstyle{\color{blue}{5y+\sqrt{24y^2}+\sqrt{\left(130+\frac{2}{3}\right)y^2}=196+\frac{1}{6}y^2}}$	ואם תרצה תעשה כמו שאומר לך עתה והוא שכאשר תכה ממספרי זאת השאלה בחמשה דברים ושרש כ"ד אלגוש ושרש ק"ל אלגוש ושני שלישי אלגו ישוו קצ"ו דרהמי וששית אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{5y+\sqrt{\left(266+\frac{2}{3}\right)y^2}=196+\frac{1}{6}y^2}}$	ותקבץ שרש כ"ד אלגוש ושרש ק"ל אלגו ושני שלישי אלגו כאשר בארתי לך ויהיה אז חמשה דברים ושרש רס"ו אלגוש ושני שלישי אלגו ישוו קצ"ו דרהמי וששית אלגו
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{5y+\sqrt{\left(266+\frac{2}{3}\right)y^2}=196+\frac{1}{6}y^2\quad/\times6}}$	ותשלים האלגו שלך והוא שתכהו בששה
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+1176=30y+\sqrt{9600y^2}}}$	ויהיה אלגו ואלף קע"ו דרהמי ישוה שלשים דברים ושרש תשעה אלפים ות"ר אלגוש
	ותחצה הדברים ושרש ט' אלפים ות"ר אלגוש ויהיה ט"ו ושרש אלפיים ות‫' תכם בעצמם יהיה אלפיים ותרכ"ה ושרש אלף אלפים וק"ס אלף ותגרע מהם האלף קע"ו שהם עם האלגו ישאר אלף ותמ"ט ושרש אלף אלפים וק"ס אלף תקח שרש זה וההוה תגרעהו מט"ו ושרש אלפיים ות' ומה שישאר הוא האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2=y&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(30+\sqrt{9600}\right)\right]-\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(30+\sqrt{9600}+\right)\right]^2-1176}\\&\scriptstyle=\left(15+\sqrt{2400}\right)-\sqrt{\left(15+\sqrt{2400}\right)^2-1176}\\&\scriptstyle=\left(15+\sqrt{2400}\right)-\sqrt{\left(2625+\sqrt{{\color{red}{2}}160000}\right)-1176}\\&\scriptstyle=\left(15+\sqrt{2400}\right)-\sqrt{1449+\sqrt{{\color{red}{2}}160000}}\\\end{align}}}$
[third solution method]
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=2y^2}}$	ואם תרצה תניח האלגו שלך שני אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot2y^2}+3=y+3}}$	ותוסיף על שרש חציו שלשה ויהיה דבר ושלשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{3}\sdot2y^2}+2=2+\sqrt{{\color{red}{\frac{2}{3}}}y^2}}}$	ותוסיף על שרש שלישיתו שני דרהמי ויהיה שני דרהמי ושרש אלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(y+3\right)\sdot\left(2+\sqrt{\frac{2}{3}y^2}\right)}}$	ותכה דבר ושלשה דרהמי בשני דרהמי ושרש שני שלישי אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{2y+6+\sqrt{\frac{2}{3}y^4}+\sqrt{6y^2}=20}}$	ויהיה שני דברים וששה ושרש שני שלישי אלגו אלגו ושרש ששה אלגוש ישוו עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{20-6}}$	ותגרע ששה דרהמי מעשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{14=2y+\sqrt{\frac{2}{3}y^4}+\sqrt{6y^2}}}$	ישאר י"ד דרהמי ישוה שני דברים ושרש שני שלישי אלגו אלגו ושרש ששה אלגוש
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{14=2y+\sqrt{\frac{2}{3}y^4}+\sqrt{6y^2}\quad/\times\sqrt{1+\frac{1}{2}}}}$	ותשלים שרש שני שלישי אלגו עד שיהיה שרש אלגו אלגו והשלמתך אותו הוא בשתכה אותו בשרש אחד וחצי ותכה כל דבר שתחזיק בשרש אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{y^4}+\sqrt{6y^2}+\sqrt{9y^2}=\sqrt{294}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9y^2}=3y}}$	ויהיה שרש אלגו אלגו ושרש ששה אלגוש ושרש תשעה אלגוש והוא שלשה דברים ישוו שרש רצ"ד דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{y^4}=y^2}}$	ושרש אלגו אלגו הוא אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+\sqrt{6y^2}+3y=\sqrt{294}}}$	ויהיה אלגו ושרש ששה אלגוש ושרש תשעה אלגוש והוא שלשה דברים ישוו שרש רצ"ד דרהמי
	ותחצה השלשה דברים ושרש ששה אלגוש ויהיה אחד וחצי ושרש אחד וחצי ותכם בעצמם יהיה שליש אחד וחצי ורביע ושרש י"ג אדרהמי וחצי על שרש רצ"ד ויהיה שלשה וחצי ורביע ושרש רצ"ד דרהמי ושרש י"ג וחצי ושרש רצ"ד הוא שרש תל"ג וחצי ויהיה חצי ושליש ורביע ושרש תל"ג וחצי ותקח שרש אלו ומה שיעלה תגרע ממנו אחד וחצי ושרש אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle y&\scriptstyle=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(3+\sqrt{6}\right)\right]^2+\sqrt{294}}-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(3+\sqrt{6}\right)\right]\\&\scriptstyle=\sqrt{\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{1+\frac{1}{2}}\right]^2+\sqrt{294}}-\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{1+\frac{1}{2}}\right]\\&\scriptstyle=\sqrt{\left[\left(3+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\sqrt{13+\frac{1}{2}}\right]+\sqrt{294}}-\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{1+\frac{1}{2}}\right]\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(3+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\sqrt{433+\frac{1}{2}}}-\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{1+\frac{1}{2}}\right]\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}x^2}=y}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=2y^2}}$	ומה שישאר הוא חצי שרש האלגו בעבור שהנחנו שני אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2=y^2}}$	תכהו בעצמו וההוה הוא חצי האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=2y^2}}$	כפלהו ויהיה האלגו
$\scriptstyle\frac{\sqrt{10}x^2}{2+\sqrt{3}}=x^2-10$	ואם יאמרו לך אלגו תכהו בשרש עשרה ותחלק מה שיעלה על שנים ושרש שלשה ויעלה לאחד כל כך כמו שהוא האלגו פחות עשרה
A man bought at a price of a root of ten and sold at a price of two and a root of fifteen. How much was the square of the fund?	ואם תרצה תאמר אדם אחד קנה לחשבון שרש עשרה ומכר לחשבון שנים ושרש חמשה עשר כמה יהיה אלגו מהקרן
The procedure: defining the square as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	מלאכתו הוא שתשים האלגו שלך דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{y\sdot\sqrt{10}=\sqrt{10y^2}}}$	תכהו בשרש עשרה ויהיה שרש עשרה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{10y^2}}{2+\sqrt{3}}=\sqrt{40y^2}-\sqrt{30y^2}}}$	ותחלק שרש עשרה אלגוש על שנים ושרש שלשה ויעלה שרש ארבעים אלגוש פחות שרש שלשים אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{10}}{2+\sqrt{3}}=u}}$	וכאשר תרצה לדעת כיצד עלה שרש ארבעים אלגוש פחות שרש שלשים אלגוש תאמר חלקת שרש עשרה על שנים ושרש שלשה ועלה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{u\sdot\left(2+\sqrt{3}\right)=\sqrt{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2u+\sqrt{3u^2}=\sqrt{10}}}$	וכאשר נכה דבר בשנים ושרש שלשה אלגוש ישוה שרש עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}-2u=\sqrt{3u^2}}}$	תגרע שני דברים משרש עשרה וישאר שרש עשרה פחות שני דברים ישוה שרש שלשה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{10}-2u\right)^2}}$	תכה שרש עשרה פחות שני דברים בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{10+4u^2-\sqrt{160u^2}=3u^2}}$	יהיה עשרה דרהמי וארבעה אלגוש פחות שרש ק"ס אלגוש ישוו שלשה אלגוש
Restoration of $\scriptstyle10+4u^2-\sqrt{160u^2}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{3u^2+\sqrt{160u^2}}}$	ותאספהו עם שרש ק"ס אלגוש ותוסיפהו על שלשה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{4u^2-3u^2}}$	ותגרע שלשה אלגוש מארבעה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{u^2+10=\sqrt{160u^2}}}$	ישאר אלגו ועשרה דרהמי ישוו שרש ק"ס אלגוש
	ותחצה שרש ק"ס יהיה שרש ארבעים תכהו בעצמו יהיה ארבעים תגרע מהם עשרה ישאר שלשים ושרשו תגרעהו משרש ארבעים ומה שישאר הוא הדבר והוא מה שיעלה לאחד והוא שרש ארבעים פחות שרש שלשים
$\scriptstyle{\color{blue}{u=\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{160}\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{160}\right)^2-10}=\sqrt{40}-\sqrt{\left(\sqrt{40}\right)^2-10}=\sqrt{40}-\sqrt{40-10}=\sqrt{40}-\sqrt{30}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{10{\color{red}{y^2}}}}{{\color{red}{2}}+\sqrt{3}}=\sqrt{40{\color{red}{y^2}}}-\sqrt{30y^2}}}$	וכבר התבאר שכבר חלקנו שרש עשרה דרהמי על עשרה ושרש שלשה יהיה העולה לאחד שרש ארבעים פחות שרש שלשים אלגוש
For every number divided by a number - if the dividend is multiplied by a certain number, whatever it may be, and the product is divided by the same divisor, the quotient is equal to the first quotient multiplied by the certain number $\scriptstyle\frac{c\sdot A}{B}=c\sdot\frac{A}{B}$	בעבור כי כל מספר שיחלק על מספר יהיה המספר הנחלק כאשר נכהו במספר המספרים איזה מספר שיהיה ונחלק מה שיתהוה מההכאה על המספר הראשון והוא המחלק יהיה העולה לחלק כמו מה שיעלה מהחלק הראשון כאשר תכהו במספר שהכית בו המספר הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{10}}{2+\sqrt{3}}=\sqrt{40}-\sqrt{30}}}$	ואנחנו חלקנו שרש עשרה דרהמי על שני דרהמי ושרש שלשה ועלה שרש ארבעים דרהמי פחות שרש שלשים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{10y^2}}{2+\sqrt{3}}=\sqrt{40y^2}-\sqrt{30y^2}}}$	וכאשר נחלק שרש עשרה אלגוש על שנים ושרש שלשה יהיה מה שיעלה שרש ארבעים אלגוש פחות שרש שלשים אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{10y^2}}{2+\sqrt{3}}=\sqrt{40y^2}-\sqrt{30y^2}}}$	וכבר התבאר שכאשר נחלק שרש עשרה אלגוש על דבר ושרש שלשה יהיה מה שיעלה לאחד שרש ארבעים אלגוש פחות שרש שלשים אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{40y^2}-\sqrt{30y^2}=y-10}}$	ושרש ארבעי' אלגוש פחות שרש שלשים אלגוש ישוה דבר פחות עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{10}x^2}{2+\sqrt{3}}=x^2-10}}$	בעבור שאמר ועלה לאחד כמו אותו אחד פחות עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	והאלגו הוא דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(y-10\right)^2}}$	ותכה דבר פחות עשרה בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+100-20y=\left(\sqrt{40y^2}-\sqrt{30y^2}\right)^2}}$	ויהיה אלגו ומאה דרהמי פחות עשרים דברי' ישוה שרש ארבעים אלגוש פחות שרש שלשים אלגוש מוכה בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+100-20y=70y^2-\sqrt{4800y^4}}}$	והוא שבעים אלגוש פחות שרש ארבעת אלפים ת"ת אלגוש אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{70y^2-y^2=69y^2}}$	ותגרע אלגו משבעים אלגוש ישאר ס"ט אלגוש
Restoration of $\scriptstyle y^2+100-20y$ : $\scriptstyle{\color{blue}{69y^2+20y}}$	ותאסוף המאה דרהמי עם עשרים דברים ותוסיפם על הס"ט אלגוש
Restoration of $\scriptstyle69y^2+20y-\sqrt{4800y^4}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{100+\sqrt{4800y^4}}}$	ותאסוף הס"ט אלגוש עם שרש ארבעת אלפים ות"ת אלגוש אלגו ותוסיפם על המאה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{100+\sqrt{4800y^4}=69y^2+20y}}$	יהיה מאה דרהמי ושרש ארבעת אלפים ות"ת אלגוש ישוה ס"ט אלגוש ועשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{100+\sqrt{4800y^4}-69y^2}}$	ותגרע הס"ט אלגוש ממאה דרהמי ושרש ארבעת אלפים ת"ת אלגוש אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{20y=100+\sqrt{4800y^4}-69y^2}}$	ישאר עשרים דברים ישוה מאה דרהמי ושרש ארבעת אלפים ת"ת אלגוש אלגו ועשרים דברים פחות ס"ט אלגוש
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{20y=100+\sqrt{4800y^4}-69y^2\quad/\times\left(1+\frac{30}{39}+\sqrt{3+\frac{237}{1521}}\right)}}$	והשב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתכה כל דבר שתחזיק באדרהם אחד ושלשים חלקים מל"ט חלקים מדרהם ושרש שלשה דרהמי ורל"ז חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{4800}-69}=1+\frac{30}{39}+\sqrt{3+\frac{237}{1521}}}}$	בעבור שחלקנו אדרהם אחד על שרש ארבעת אלפים ותתצ"ו יהיה העולה לאחד אדרהם אחד ושלשים חלק מל"ט חלקים מאדרהם ושרש שלשה דרהמי ורל"ז חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{{\color{red}{y^2}}}{\sqrt{4800y^4}-69y^2}=1+\frac{30}{39}+\sqrt{3+\frac{237}{1521}}}}$	והוא ידוע ממה שאמרנו שכאשר נחלק אחד על שרש ארבעת אלפים ות"ת אלגוש אלגו פחות ס"ט אלגוש יהיה העולה אל האלגו דרהם אחד ושלשים חלק מל"ט חלקים מאדרהם ושרש שלשה דרהמי ורל"ז חלקים מאלף תקכ"א חלקים מאדרהם יהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{100\times\left(1+\frac{30}{39}+\sqrt{3+\frac{237}{1521}}\right)=176+\frac{36}{39}+\sqrt{31558+\frac{282}{1521}}}}$	ותכה מאה אדרהמיש באדרהם ושלשים חלק מל"ט חלקים מאדרהם ושרש שלשה ורל"ז חלקים מאלף תקכ"א חלקים מאחד ויהיה קע"ו דרהמי ול"ו חלקים מל"ט חלקים מדרהם ושרש ל"א אלפים ותקנ"ח אדרהמי ורפ"ב חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{20y\times\left(1+\frac{30}{39}+\sqrt{3+\frac{237}{1521}}\right)=\left(35+\frac{15}{39}+\sqrt{1262+\frac{498}{1521}}\right)y}}$	ותכה עשרים דברים באדרהם ושלשים חלק מל"ט חלקים מאדרהם ושרש שלשה דרהמיש ורל"ז חלקים מאלף תקכ"א חלקים מאחד ויהיה ל"ה דברים וט"ו חלקים משלשי' ותשע חלקים מדבר ושרש אלף רס"ב אלגוש ותצ"ח חלקים מאלף תקכ"א חלקים מאלגו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+176+\frac{36}{39}+\sqrt{31558+\frac{2{\color{red}{8}}2}{1521}}=\left(35+\frac{15}{39}+\sqrt{1262+\frac{498}{1521}}\right)y}}$	ויהיה אלגו וקע"ו דרהמי ול"ו חלקים מל"ט חלקים מדרהם ושרש מל"א אלפים ותקנ"ח דרהמי ורנ"ב חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדרהם ישוו ל"ה דברים וט"ו חלקים מל"ט חלקים מדבר ושרש מאלף רס"ב אלגוש ותצ"ח חלקים מאלף תקכ"א חלקים מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(35+\frac{15}{39}+\sqrt{1262+\frac{498}{1521}}\right)\right]+\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(35+\frac{15}{39}+\sqrt{1262+\frac{498}{1521}}\right)\right]^2-\left(1{\color{red}{7}}6+\frac{36}{39}+\sqrt{31558+\frac{282}{1521}}\right)}\\&\scriptstyle=\left(17+\frac{1}{2}+\frac{7+\frac{1}{2}}{39}+\sqrt{315+\frac{885}{1521}}\right)+\sqrt{\left(17+\frac{1}{2}+\frac{7+\frac{1}{2}}{39}+\sqrt{315+\frac{885}{1521}}\right)^2-\left(1{\color{red}{7}}6+\frac{36}{39}+\sqrt{31558+\frac{282}{1521}}\right)}\\&\scriptstyle=\left(17+\frac{1}{2}+\frac{7+\frac{1}{2}}{39}+\sqrt{315+\frac{885}{1521}}\right)+\sqrt{\left(628+\frac{912}{1521}+\sqrt{395130+\frac{{\color{red}{2}}057670}{{\color{red}{2313}}441}}\right)-\left(1{\color{red}{7}}6+\frac{36}{39}+\sqrt{31558+\frac{282}{1521}}\right)}\\&\scriptstyle=\left(17+\frac{27}{39}+\sqrt{315+\frac{8{\color{red}{8}}5}{1521}}\right)+\sqrt{451+\frac{1029}{1521}+\sqrt{395130+\frac{{\color{red}{2}}05{\color{red}{7}}670}{{\color{red}{2}}313441}-\sqrt{31558+\frac{282}{1521}}}}\\\end{align}}}$
	ותחצה ל"ה דברים וט"ו חלקים מל"ט חלקים מדבר ושרש מאלף רס"ב אלגוש ותצ"ח חלקים מאלף תקכ"א חלקים מאלגו ויהיה י"ז דברים וחצי ושבעה חלקים וחצי מל"ט חלקים בדבר ושרש משט"ו אלגוש וחצי ותתפ"ה^[29] חלקים מאלף תקכ"א חלקי' מאלגו תכם בעצמם יהיה תרכ"ח דרהמי ותתקי"ב חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדבר ושרש משצ"ה אלפים וק"ל דרהמי ואלף אלפים ונ"ז אלפים ותר"ע חלקים מן 1300441 חלקים מאדרהם ותגרע מהם הדרהמי שהם עם האלגו והם קצ"ו דרהמי ול"ו חלקים מל"ט חלקים בדרהם ושרש ל"א אלפים תקנ"ח דרהמי ורפ"ב חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדרהם ישאר תנ"א דרהמי ואלף כ"ט חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדרהם ושרש משצ"ה אלפים וק"ל דרהמי ואלף אלפים ונ"ט אלפים ותר"ע חלקים מן 1313441 חלקים מדרהם פחות שרש מל"א אלפים ותקנ"ח דרהמי ורפ"ב חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדרהם אחד ותקח שרש זה וההוה תוסיף עליו שבעה עשר וכ"ז חלקים מל"ט חלקים מדרהם ושרש משט"ו דרהמי ותתנ"ה חלקים מאלף תקכ"א חלקים מדרהם ומה שיהיה הוא האלגו
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b^2=3a^2\\\scriptstyle\left(a^2+\sqrt{a^2}\right)\sdot\left(b^2+\sqrt{b^2}\right)=10b^2\end{cases}$	ואם יאמרו שני אלגוש והאחד שלשה דמיוני האחר הוספת על כל אחד מהם שרשו שלו והכית האחד באחר והיה עשרה דמיוני האלגו הגדול
The procedure: defining: one square as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a^2=y}}$	מלאכתו שתניח האלגו האחד דבר
the other as three things $\scriptstyle{\color{blue}{b^2=3y}}$	והאחר שלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{y+\sqrt{y}}}$	ותוסיף על הדבר שרשו ויהיה דבר ושרש דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{3y+\sqrt{3y}}}$	ותוסיף על השלשה דברים שרשו ויהיה שלשה דברים ושרש שלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(y+\sqrt{y}\right)\sdot\left(3y+\sqrt{3y}\right)}}$	ותכה דבר ושרש דבר בשלשה דברים ושרש שלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{3y^2+\sqrt{3y^2}+\sqrt{9y^3}+\sqrt{3y^3}=10\sdot3y}}$	יהיה שלשה אלגוש ושרש שלשה אלגוש ושרש תשעה מעוקבים ושרש שלשה מעוקבים ישוו עשרה דמיוני האלגו הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot3y=30y}}$	והוא שלשים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{3y^2+\sqrt{3y^2}+\sqrt{9y^3}+\sqrt{3y^3}=30y\quad/\div y}}$	תחלק כל דבר שתחזיק על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{3y+\sqrt{3}+\sqrt{9y}+\sqrt{3y}=30}}$	ויהיה שלשה דברים ושרש שלשה דרהמי ושרש תשעה דברים ושרש שלשה דברים ישוו שלשים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(3y+\sqrt{3}\right)}}$	ותגרע שלשה דברים ושרש שלשה דרהמי משלשים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(3y+\sqrt{3}\right)=\sqrt{9y}+\sqrt{3y}}}$	ישאר שלשים דרהמי פחות שלשה דברים ושרש שלשה דרהמי ישוה שרש תשעה דברים ושרש שלשה דברי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[30-\left(3y+\sqrt{3}\right)\right]^2}}$	ותכה שלשים דרהמי פחות שלשה דברים ושרש שלשה דרהמי בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{903+9y^2+\sqrt{108y^2}-180y-\sqrt{10800}={\color{red}{12}}y+\sqrt{108y^2}}}$	יהיה תתק"ג דרהמי ותשעה אלגוש ושרש מק"ח אלגוש פחות ק"פ דברים ופחות שרש עשרת אלפים ות"ת דרהמי ישוו עשרה דברים ושרש מק"ח אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{903+9y^2-180y-\sqrt{10800}=12y}}$	ישאר תתק"ג דרהמי ותשעה אלגוש פחות ק"פ דברים ופחות שרש עשרת אלפים ות"ת דרהמי ישוה שנים עשר דברים
Restoration of $\scriptstyle903+9y^2-180y-\sqrt{10800}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{12y+180y}}$	ותאספם עם הק"פ דברים ותוסיפם על השנים עשר דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{192y=903+9y^2-\sqrt{10800}}}$	ויהיה קצ"ב דברים ישוו תתק"ג דרהמי ותשעה אלגוש פחות שרש מעשרת אלפים ת"ת דרהמי
proceeding as explained	ותעשה כאשר בארתי לך
$\scriptstyle\sqrt{x^2}+\sqrt{\sqrt{x^2}}+\sqrt{2\sqrt{x^2}}+\sqrt{5x^2}=10$	ואם יאמרו לך אלגו אשר שרשו ושרש שרשו ושרש שני שרשיו ושרש חמשה דמיוני האלגו יהיה עשרה דרהמי
The procedure: determining the square	מלאכתו שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}+\sqrt{\sqrt{x^2}}+\sqrt{2\sqrt{x^2}}+\sqrt{5x^2}}}$	תקח שרשו ושרש שרשו ושרש שני שרשיו ושרש חמשה דמיוני האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\sqrt{x}+\sqrt{2x}+\sqrt{5x^2}=10}}$	ויהיה דבר ושרש דבר ושרש שני דברים ושרש חמשה אלגוש ישוו עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(x+\sqrt{5x^2}\right)}}$	ותגרע דבר ושרש חמשה מעשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(x+\sqrt{5x^2}\right)=\sqrt{x}+\sqrt{2x}}}$	ישאר עשרה דרהמי פחות דבר ופחות שרש מחמשה אלגוש ישוה שרש מדבר ושרש משני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[10-\left(x+\sqrt{5x^2}\right)\right]^2}}$	ותכה עשרה דרהמי פחות דבר ופחות שרש מחמשה אלגוש בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{100+6x^2+\sqrt{20x^4}-20x-\sqrt{2000x^2}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{2x}\right)^2}}$	ויהיה מאה דרהמי וששה אלגוש ושרש מעשרים אלגוש אלגו פחות עשרים דברים ופחות שרש אלפיים אלגוש אלגו ישוה שרש מדבר ושרש משני דברים מוכה בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{2x}\right)^2=3x+\sqrt{8x^2}}}$	והוא שלשה דברים ושרש משמנה אלגוש
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{23x+\sqrt{2000x^2}+\sqrt{8x^2}=100+6x^2+\sqrt{20x^4}}}$	ותכוין עמהם ויהיה אחר הכוון כ"ג דברים ושרש אלפיים אלגוש ושרש משמנה אלגוש ישוו מאה דרהמי וששה אלגוש ושרש מעשרים אלגוש אלגו
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{23x+\sqrt{2000x^2}+\sqrt{8x^2}=100+6x^2+\sqrt{20x^4}\quad/\times\left(\frac{3}{8}-\sqrt{\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}}\right)}}$	והשב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד והוא שתכהו בשלשה שמיניות מדרהם פחות שרש מחמשה שמיניות משמינית ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{100\times\left(\frac{3}{8}-\sqrt{\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}}\right)=37+\frac{1}{2}-\sqrt{781+\frac{1}{4}}}}$	ותכה מאה דרהמי בשרש שלשה שמיניו' פחות שרש מחמשה שמיניות שמינית ויהיה שלשים ושבעה דרהמי וחצי פחות שרש תשפ"א דרהם ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{23x\times\left(\frac{3}{8}-\sqrt{\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}}\right)=\left(8+\frac{5}{8}\right)x-\sqrt{\left[41+\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]x^2}}}$	ותכה כ"ג בשלשה שמיניות פחות שרש מחמשה שמיניות שמינית יהיה שמנה דברים וחמשה שמיניות מדבר פחות שרש ממ"א אלגו ורביע מאלגו וחמשה שמיניות משמינית מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2000x^2}\times\left(\frac{3}{8}-\sqrt{\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}}\right)=\sqrt{\left(281+\frac{1}{4}\right)x^2}-\left(12+\frac{1}{2}\right)x}}$	ותכה שרש אלפיים אלגוש בשלשה שמיניות פחות שרש חמשה שמיניות ויהיה שרש רפ"א אלגוש ורביע פחות י"ב דברים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8x^2}\times\left(\frac{3}{8}-\sqrt{\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}}\right)=\sqrt{\left(1+\frac{1}{8}\right)x^2}-\sqrt{\frac{5}{8}x^2}}}$	ותכה שרש משמנה אלגוש בשלשה שמיניות פחות שרש חמשה שמיניות משמינית ויהיה שרש מאלגו ושמינית פחות שרש מחמשה שמיניות מאלגו
	ויהיה זה כלו אלגו ול"ז דרהמי וחצי פחות שרש תשפ"א דרהמי ורביע ישוה שרש מרפ"א אלגוש ורביע ושרש מאלגו ושמינית פחות שלשה דברים ושבעה שמיניות מדבר פחות שרש ממ"א אלגוש ורביע וחמשה שמיניות משמינית מאלגו ופחות שרש מחמשה שמיניות מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+37+\frac{1}{2}-\sqrt{781+\frac{1}{4}}=\sqrt{\left(281+\frac{1}{4}\right)x^2}+\sqrt{\left(1+\frac{1}{8}\right)x^2}-\left(3+\frac{7}{8}\right)x-\sqrt{\left[41+\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]x^2}-\sqrt{\frac{5}{8}x^2}}}$
proceeding as shown	ותעשה כמו שהראיתיך
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b^2=c^2\\\scriptstyle a\sdot c=b^2\\\scriptstyle a\sdot b=10\end{cases}$	ואם יאמרו לך שלשה אלגוש בלתי שוים אם תכה הקטן בעצמו והאמצעי בעצמו יהיו כמו הגדול בעצמו ואם תכה הקטון בגדול יהיה כמו האמצעי בעצמו ואם תכה הקטן באמצעי יהיה עשרה דרהמי
The procedure: defining: the smaller as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	מלאכתו שתניח הקטן דבר
the middle as ten dirham divided by a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{10}{x}}}$	ויהיה האמצעי עשרה דרהמי נחלקים על דבר
the larger as a hundred dirham divided by a cube $\scriptstyle{\color{blue}{c=\frac{100}{x^3}}}$	ויהיה הגדול מאה דרהמי נחלקים על מעוקב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b^2}{a}=c}}$	בעבור כי מרובע האמצעי כאשר חולק על הקטון יעלה הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{b^2=\frac{100}{x^2}}}$	ומרובע האמצעי מאה דרהמי נחלקים על אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{c=\frac{b^2}{a}=\frac{\frac{100}{x^2}}{x}=\frac{100}{x^3}}}$	וכאשר חולקו על הקטן והוא דבר יעלה האלגו הגדול והוא מאה דרהמי נחלקים על מעוקב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=x\\\scriptstyle b=\frac{10}{x}\\\scriptstyle c=\frac{100}{x^3}\end{cases}}}$	וכבר התבאר כי האלגו הקטן כאשר הונח דבר יהיה האלגו האמצעי עשרה דרהמי נחלקים על דבר והאלגו הגדול מאה דרהמי נחלקים על מעוקב
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2=x^2}}$	ותכה הקטן והוא דבר בעצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{b^2=\left(\frac{10}{x}\right)^2=\frac{100}{x^2}}}$	ותכה האמצעי והוא עשרה דרהמי נחלקים על דבר בעצמו ויהיו מאה דרהמי נחלקים על אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+b^2=x^2+\frac{100}{x^2}}}$	ותחברם ויהיה אלגו ומאה דרהמי נחלקים על אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2\sdot x^2=x^4}}$	ותכה האלגו באלגו יהיה אלגו מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+b^2=\frac{x^8+100x^4}{x^6}}}$	וכבר התבאר שכאשר נחלק אלגו אלגו אלגו אלגו ומאה אלגוש מאלגו על מעוקב ממעוקב יעלה מרובע האלגו האמצעי ומרובע האלגו הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{c^2=\left(\frac{100}{x^3}\right)^2=\frac{10000}{x^6}}}$	ותכה האלגו הגדול והוא מאה דרהמי נחלקים על מעוקב בעצמו ויהיה מרובע האלגו הגדול עשרת אלפים דרהמי נחלקי' על מעוקב ממעוקב
$\scriptstyle{\color{blue}{c^2=a^2+b^2=\frac{x^8+100x^4}{x^6}}}$	וישוה כמו מרובע האמצעי וכמו מרובע הקטן והוא אלגו אלגו אלגו אלגו ומאה אלגו אלגו נחלקים על מעוקב ממעוקב
$\scriptstyle{\color{blue}{10000=x^8+100x^4}}$	ויהיה עשרת אלפים דרהמי ישוו אלגו אלגו אלגו אלגו ומאה אלגו אלגו
	ותחצה המאה אלגו אלגו ויהיה חמשים ותכם בעצמם יהיה אלפיים ת"ק ותוסיפם על העשרת אלפים ויהיו י"ב אלפים ת"ק תקח שרשו וההוה תגרע מהם החמשים דרהמי ומה שישאר תקח שרשו ומה שיעלה הוא האלגו הקטון
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt[{\color{red}{4}}]{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2+10000}-\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt[{\color{red}{4}}]{\sqrt{50^2+10000}-50}\\&\scriptstyle=\sqrt[{\color{red}{4}}]{\sqrt{2500+10000}-50}\\&\scriptstyle=\sqrt[{\color{red}{4}}]{\sqrt{12500}-50}\\\end{align}}}$
If you are told: divide ten into three parts, then multiply the smaller by itself and the middle by itself and they are the same as the larger by itself. Multiply the smaller by the larger and it yields the same as the middle by itself. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c=10\\\scriptstyle a^2+b^2=c^2\\\scriptstyle a\sdot c=b^2\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשלשה חלקים ותכה הקטן בעצמו והאמצעי בעצמו ויהיו כמו הגדול בעצמו ותכה הקטון בגדול ויהיה כמו האמצעי בעצמו
	ואמור עתה העשרה דרהמי ואמור כאשר אמרו לך שלשה אלגוש בלתי שוים אם הכית הקטן בעצמו והאמצעי בעצמו יהיו כמו הגדול בעצמו וכאשר הכית הקטון בגדול יהיה כמו האמצעי בעצמו
The procedure: defining the smaller as one dirham, the middle as a thing, and the larger a square $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1\\\scriptstyle b_1=x\\\scriptstyle c_1=x^2\end{cases}}}$	ומלאכתו שתניח הקטן דרהם אחת והאמצעי דבר והגדול אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot c=b^2}}$	בעבור כי כאשר הכינו הקטון בגדול יהיה כמו האמצעי בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+b^2=c^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{1+x^2=x^4}}$	ותכה הקטן בעצמו והאמצעי בעצמו ויהיה חבורם אלגו ודרהם אחת ישוו אלגו אלגו שהוא כמו הכאת הגדול בעצמו
proceeding as stated	ותעשה כמו שאמרתי לך
$\scriptstyle{\color{blue}{c_1=x^2=\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}$	ויהיה האלגו חצי דרהם ושרש מאחד ורביע והוא האלגו הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{b_1=x=\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}}$	ושרש זה הוא האלגו האמצעי והוא חצי דרהם ושרש מאחד ורביע הנלקח שרשו
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1}}$	והאלגו הקטן הוא דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+b_1+c_1=1+\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{4}}+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}}$	ותקבץ השלשה אלגוש ויהיו אדרהם וחצי ושרש מאחד ורביע וחצי דרהם ושרש אחד ורביע הנלקח שרשו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{1+\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{4}}+{\color{red}{\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}}}=y=a}}$	ותשוב אל העשרה דרהמי ותאמר חלקנו עשרה דרהמי על דרהם וחצי ושרש אחד ורביע הנלקח ממנו שרשו ויעלה דבר
$\scriptstyle\frac{10}{A}\sdot A=10$	וכבר ידעת כי כאשר תכה מה שעלה לחלק על המחלק יהיה עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{y\sdot\left(1+\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{4}}+{\color{red}{\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}}\right)}}$	ותכה דבר באדרהם וחצי ושרש אחד ורביע הנלקח שרשו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)y+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^2}+\sqrt{\frac{1}{2}y^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}}=10}}$	יהיה דבר וחצי דבר ושרש מאלגו ורביע וחצי אלגו ושרש מאלגו אלגו ורובע אלגו אלגו הנלקח ממנו שרשו ישוו עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)y+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^2}\right]}}$	ותגרע הדבר וחצי ושרש מאלגו ורביע מעשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)y+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^2}\right]=\sqrt{\frac{1}{2}y^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}}}}$	וישאר עשרה דרהמי פחות דבר וחצי פחות שרש מאלגו ורביע ישוה חצי אלגו ושרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו הנלקח ממנו שרשו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[10-\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)y+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^2}\right]\right]^2}}$	ותכה עשרה דרהמי פחות דבר וחצי ופחות שרש מאלגו ורביע בעצמו
	יהיה מאה דרהמי ושלשה אלגוש וחצי ושרש אחד עשר אלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות שלשים דברים ופחות שרש מת"ק אלגוש ישוה חצי אלגו ושרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(3+\frac{1}{2}\right)y^2+\sqrt{\left(11+\frac{1}{4}\right)y^4}-30y-\sqrt{500y^2}=\frac{1}{2}y^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}}}$
Restoration of $\scriptstyle100+\left(3+\frac{1}{2}\right)y^2+\sqrt{\left(11+\frac{1}{4}\right)y^4}-30y-\sqrt{500y^2}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}y^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}+30y+\sqrt{500y^2}}}$	ותאסוף המאה דרהמי עם שלשים דברים ועם שרש ת"ק אלגוש ותוסיפם עם חצי אלגו ושרש אלגו אלגו ורביע אלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{2}\right)y^2-\frac{1}{2}y^2}}$	ותגרע חצי אלגו משלשה אלגו וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(11+\frac{1}{4}\right)y^4}-\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}}}$	ותגרע שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו משרש י"א אלגו אלגו ורביע אלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{100+3y^2+\sqrt{5y^4}=30y+\sqrt{500y^2}}}$	ישאר מאה דרהמי ושלשה אלגוש ושרש מחמשה אלגוש אלגו ישוה שלשים דברים ושרש מת"ק אלגוש
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{100+3y^2+\sqrt{5y^4}=30y+\sqrt{500y^2}\quad/\times\left[\frac{3}{4}-\sqrt{\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}\right]}}$	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתכם בשלשה רביעים פחות שרש רביע וחצי שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+75-\sqrt{3125}=10y}}$	ויהיה אלגו וע"ה דרהמי פחות שרש משלשת אלפים וקכ"ה דרהמי ישוה עשרה דברים
	ותחצה הדברים ותכם בעצמם יהיה כ"ה ותגרע מהם הע"ה פחות שרש מג' אלפים וקכ"ה ישאר שרש מג' אלפים וקכ"ה דרהמי פחות חמשים דרהמי ותגרע מזה שרשו ומה שישאר הוא החלק הקטן מהשלשה חלקים שהם כלם עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=y&\scriptstyle={\color{red}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-}}\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-\left(75-\sqrt{3125}\right)}\\&\scriptstyle={\color{red}{5-}}\sqrt{5^2-\left(75-\sqrt{3125}\right)}\\&\scriptstyle={\color{red}{5-}}\sqrt{25-\left(75-\sqrt{3125}\right)}\\&\scriptstyle={\color{red}{5-}}\sqrt{\sqrt{3125}-50}\\\end{align}}}$
Finding the larger part: defining the larger as one dirham, the smaller as a thing, and the middle a root of a thing $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle c_2=1\\\scriptstyle a_2=x\\\scriptstyle b_2=\sqrt{x}\end{cases}}}$	וכאשר תרצה לדעת החלק הגדול תניח האלגו הגדול מהשלשה אלגוש הבלתי שוים דרהם אחד והקטן דבר והאמצעי שרש מדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot c=b^2}}$	והנחנו אלו השלשה אלגוש כאשר אמרנו בעבור כי הכאת הקטן בגדול הוא כמו האמצעי בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+b^2=c^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x=1}}$	ותכה הקטן בעצמו ויהיה אלגו והאמצעי בעצמו ויהיה דבר ותקבצם ויהיה כמו הגדול בעצמו והוא דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=x=\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}}}$	ודבר ישוה שרש מאחד ורביע פחות חצי דרהם והוא האלגו הקטון
$\scriptstyle{\color{blue}{b_2=\sqrt{x}=\sqrt{\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}}}}$	והאמצעי הוא שרש זה ושרש מאחד ורביע פחות חצי הנלקח שרשו
$\scriptstyle{\color{blue}{c_2=1}}$	והגדול דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2+b_2+c_2=\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{4}}+\sqrt{\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}}}}$	ותקבץ השלשה אלגוש ויהיו חצי דרהם ושרש מאחד ורביע ושרש מאחד ורביע פחות חצי גרוע שרשו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{4}}+\sqrt{\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}}}=y=c}}$	ותעשה כמו שעשית בחלק הקטן והוא שתשוב אל העשרה דרהמי ותאמר חלקנו עשרה דרהמי על חצי דרהם ושרש מאחד ורביע ושרש מאחד ורביע פחות חצי גרוע שרשו ועלה דבר
$\scriptstyle\frac{10}{A}\sdot A=10$	וכאשר נכה מה שעלה לחלק במחלק יהיה עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{y\sdot\left(\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{4}}+\sqrt{\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}}\right)}}$	אחר כן תכה דבר בחצי דרהם ושרש מאחד ורביע ושרש מאחד ורביע פחות חצי לקוח שרשו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}y+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^2}+\sqrt{\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}-\frac{1}{2}y^2}=10}}$	ויהיה חצי דבר ושרש מאלגו ורביע ושרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות חצי אלגו אלגו לקוח שרשו ישוה עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\frac{1}{2}y+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^2}\right]}}$	ותגרע חצי דבר ושרש מאלגו ורביע אלגו מעשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\frac{1}{2}y+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^2}\right]=\sqrt{\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}-\frac{1}{2}y^2}}}$	ישאר עשרה דרהמי פחות חצי דבר ופחות שרש מאלגו ורביע ישוה שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות חצי אלגו לקוח שרשו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[10-\left[\frac{1}{2}y+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^2}\right]\right]^2}}$	ותכה עשרה פחות חצי דבר ופחות שרש מאלגו ורביע בעצמו
	ויהיה מאה דרהמי ואלגו וחצי אלגו ושרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות עשרה דברים ופחות שרש מת"ק אלגוש ישוה שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות חצי אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(1+\frac{1}{2}\right)y^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}-10y-\sqrt{500y^2}=\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}-\frac{1}{2}y^2}}$
Restoration of $\scriptstyle100+\left(1+\frac{1}{2}\right)y^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}-10y-\sqrt{500y^2}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}-\frac{1}{2}y^2+10y+\sqrt{500y^2}}}$	ותאסוף המאה דרהמי עם העשרה דברים ושרש מת"ק אלגוש ותוסיפם על שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות חצי אלגו
Restoration of $\scriptstyle\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}-\frac{1}{2}y^2+10y+\sqrt{500y^2}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(1+\frac{1}{2}\right)y^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}+\frac{1}{2}y^2}}$	ותאסוף שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו עם החצי אלגו ותוסיפם על האלגו וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}-\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}}}$	ותגרע שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו משרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{100+2y^2=10y+\sqrt{500y^2}}}$	ישאר מאה דרהמי ושני אלגוש ישוה עשרה דברים ושרש מת"ק אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=\frac{1}{2}\sdot2y^2}}$	ותשיב השני אלגוש לאלגו אחד וכבר ידעת שאלגו אחד משני אלגוש הוא חציו
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{100+2y^2=10y+\sqrt{500y^2}\quad/\times\frac{1}{2}}}$	ותקח מכל דבר שתחזיק מחציתו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+50=5y+\sqrt{125y^2}}}$	ויהיה אלגו וחמשים דרהמי ישוו חמשה דברים ושרש מקכ"ה אלגוש
	ותחצה הדברים ושרש מקכ"ה אלגוש ויהיה שנים וחצי ושרש מל"א ורביע תכם בעצמם ויהיה ל"ז וחצי ושרש מן תשפ"א ורביע ותגרע מהם החמשים דרהמי ישאר שרש מתשפ"א ורביע פחות שנים עשר וחצי ושרש זה כשנגרע משנים וחצי ושרש מל"א ורביע הנה מה שישאר הוא החלק הגדול האמור
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle c=y&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+\sqrt{125}\right)\right]-\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+\sqrt{125}\right)\right]^2-50}\\&\scriptstyle=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{31+\frac{1}{4}}\right]-\sqrt{\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{31+\frac{1}{4}}\right]^2-50}\\&\scriptstyle=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{31+\frac{1}{4}}\right]-\sqrt{\left[\left(37+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{781+\frac{1}{4}}\right]-50}\\&\scriptstyle=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{31+\frac{1}{4}}\right]-\sqrt{\sqrt{781+\frac{1}{4}}-\left(12+\frac{1}{2}\right)}\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5-\sqrt{\sqrt{3125}-50}}}$	וכבר בארנו כי החלק הקטן הוא שרש משלשת אלפים וקכ"ה פחות חמשים דרהמי לקוח שרשו ונגרע מחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-a-c=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\sqrt{781+\frac{1}{4}}-\left(12+\frac{1}{2}\right)}+\sqrt{\sqrt{3125}-50}-\sqrt{31+\frac{1}{4}}}}$
	והוא ידוע כי החלק האמצעי הוא מה שישאר מן העשרה והוא שני דרהמי וחצי ושרש מתשפ"א ורביע פחות י"ב וחצי לקוח שרשו ושרש משלשת אלפים וקכ"ה דרהמי פחות חמשים דרהמי לקוח שרשו הנגרע מזה שרש מל"א ורביע וזה החלק יהיה מלבד זאת התשובה והוא מה שיגיע לדבר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=\sqrt{\left(12+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{781+\frac{1}{4}}}-\left[\sqrt{31+\frac{1}{4}}-\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]}}$	והוא שאומר שהחלק האמצעי הוא י"ב וחצי ושרש מתשפ"א ורביע לקוח שרשו ונגרע ממנו שרש מל"א ורביע פחות שני דרהמי וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(12+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{781+\frac{1}{4}}}-\sqrt{31+\frac{1}{4}}}}$	ואם תרצה אמור שני דרהמי וחצי וי"ב דרהמי וחצי ושרש מתשפ"א ורביע לקוח שרשו וגרוע מכל זה שרש מל"א ורביע
As was done for the smaller part and for the larger part, the same should be done for the middle part.	ואם תרצה לעשות בחלק האמצעי כמו שעשית בחלק הקטן ובחלק הגדול
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle b_3=2\\\scriptstyle a_3=x\\\scriptstyle c_3=\sqrt{x^2+4}\end{cases}}}$	תשים האלגו האמצעי מהשלשה אלגוש הבלתי שוים שנים דרהמי והאלגו הקטן דבר והגדול שרש מאלגו וארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{red}{a\sdot c=b^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\sqrt{x^2+4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^4+4x^2}=4}}$	ותכה דבר בשרש מאלגו וארבעה דרהמי ויהיה שרש מאלגו אלגו וארבעה אלגוש ישוה ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{4^2}}$	ותכה ארבעה דרהמי בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{16=x^4+4x^2}}$	ויהיה שש עשרה דרהמי ישוה אלגו אלגו וארבעה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\sqrt{20}-2}}$	והאלגו ישוה שרש מעשרים פחות שני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=x=\sqrt{\sqrt{20}-2}}}$	ושרש זה כלו הוא האלגו הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{b_3=2}}$	והאלגו האמצעי הוא שני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{c_3=\sqrt{x^2+4}=\sqrt{2+\sqrt{20}}}}$	והאלגו הגדול הוא שני דרהמי ושרש מעשרים לקוח שרשו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{a_3+b_3+c_3}}}$	ותחלק עשרים על אלו שלשה אלגוש שאמרנו
The reason for dividing by twenty and not by any other number is that the middle part was defined as two dirham.	והסבה אשר בעבורה חלקנו עשרים ולא מספר אחר בעבור שהנחנו האלגו האמצעי שני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{\sqrt{\sqrt{20}-2}+2+\sqrt{2+\sqrt{20}}}=y=b}}$	ועלה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{y\sdot\left(\sqrt{2+\sqrt{20}}+2+\sqrt{\sqrt{20}-2}\right)}}$	ותכה דבר בשני דרהמי ושרש עשרים לקוח שרשו ושני דרהמי ושרש מעשרים פחות שני דרהמי לקוח שרשו
$\scriptstyle{\color{blue}{2y+\sqrt{\sqrt{20y^4}-2y^2}+\sqrt{2y^2+\sqrt{20y^4}}=20}}$	ויהיה שני דברים ושרש מעשרים אלגו אלגו פחות שני אלגוש לקוח שרשו ושני אלגוש ושרש מעשרים אלגוש אלגו לקוח שרשו ישוה עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{20-2y}}$	ותגרע שני דברים מעשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{20-2y=\sqrt{2y^2+\sqrt{20y^4}}+\sqrt{\sqrt{20y^4}-2y^2}}}$	ישאר עשרים דרהמי פחות שני דברים ישוה שני אלגוש ושרש מעשרים אלגוש מאלגו לקוח שרשו ושרש מעשרים אלגוש מאלגו פחות שני אלגוש לקוח שרשו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sqrt{2y^2+\sqrt{20y^4}}+\sqrt{\sqrt{20y^4}-2y^2}\right]^2=8y^2+\sqrt{80y^4}}}$	ומוכה בעצמו והוא שמנה אלגוש ושרש משמנים אלגוש מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{8y^2+\sqrt{80y^4}=400+4y^2-80y}}$	ויהיה שמנה אלגוש ושרש משמנים אלגוש מאלגו ישוה ת' דרהמי וארבעה אלגוש פחות שמנים דברים
Restoration of $\scriptstyle400+4y^2-80y$ : $\scriptstyle{\color{blue}{8y^2+\sqrt{80y^4}+80y}}$	ותאסוף הארבע מאות והד' אלגוש עם הפ' דברים ותוסיפם על השמנה אלגוש ושרש משמנים אלגוש מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{8y^2-4y^2}}$	ותגרע ארבעה אלגוש משמנה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{400=4y^2+80y+\sqrt{80y^4}}}$	ישאר ת' אדרהמי ישוה ארבעה אלגוש ופ' דברים ושרש מפ' אלגוש מאלגו
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{400=4y^2+80y+\sqrt{80y^4}\quad/\times\left[\sqrt{\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}}$	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד והוא שתכה כל דבר שתחזיק בשרש משמינית השמינית ורביעית משמינית השמינית פחות חצי שמינית אדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+\sqrt{125y^2}-5y=\sqrt{3125}-25}}$	ויהיה אלגו ושרש מקכ"ה אלגוש וגרוע ממנו חמשה דברים ישוה שרש משלשת אלפים וקכ"ה פחות כ"ה
	ותחצה הדברים ויהיו שרש מל"א ורביע פחות שנים וחצי תכהו בעצמו יהיה ל"ז וחצי פחות שרש מת"ש פ"א ורביע תוסיף עליהם שרש משלשת אלפים וקכ"ה דרהמי פחות כ"ה יהיה י"ב וחצי ושרש מן 781 ורביע ושרש זה גרוע ממנו שרש מל"א ורביע פחות שנים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle b=y&\scriptstyle=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\sqrt{125}-5\right)\right]^2+\left(\sqrt{3125}-25\right)}-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\sqrt{125}-5\right)\right]\\&\scriptstyle=\sqrt{\left[\sqrt{31+\frac{1}{4}}-\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]^2+\left(\sqrt{3125}-25\right)}-\left[\sqrt{31+\frac{1}{4}}-\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\\&\scriptstyle=\sqrt{\left[\left(37+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{781+\frac{1}{4}}\right]+\left(\sqrt{3125}-25\right)}-\left[\sqrt{31+\frac{1}{4}}-\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(12+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{781+\frac{1}{4}}}-\left[\sqrt{31+\frac{1}{4}}-\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\sqrt{781+\frac{1}{4}}+\left(12+\frac{1}{2}\right)}-\sqrt{31+\frac{1}{4}}}}$	וישאר החלק האמצעי והוא שני דרהמי וחצי ושרש מתשפ"א ורביע ומוסף עליו י"ב וחצי ולקוח שרשו וגרוע מכל זה שרש מל"א ורביע
If you are told: you divided ten into two parts, then you added to one part its two roots and subtracted from the other part its two roots and the parts became equal. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a+2\sqrt{a}=b-2\sqrt{b}\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותם לשני חלקים והוספת על החלק האחד שני שרשיו וגרעת מן החלק האחר שני שרשיו והשתוו החלקים
[first solution method]
The procedure: defining: one part as five plus a thing $\scriptstyle a=5+x$	ומלאכתו שתשים החלק האחד חמשה ודבר
the other [part] as five minus a thing $\scriptstyle b=5-x$	והאחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5-x\right)+2\sqrt{5-x}=5-x+\sqrt{20-4x}}}$	ותוסיף על חמשה פחות דבר שני שרשיו ויהיה חמשה פחות דבר ושרש עשרים פחות ארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+x\right)-2\sqrt{5+x}}}$	ותגרע מחמשה ודבר שני שרשיו
$\scriptstyle{\color{blue}{5+x-\sqrt{20+4x}=5-x+\sqrt{20-4x}}}$	וישאר חמשה ודבר פחות שרש מעשרים דרהמי וארבעה דברים ישוה חמשה פחות דבר ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים
Restoration of $\scriptstyle5+x-\sqrt{20+4x}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{5-x+\sqrt{20-4x}+\sqrt{20+4x}=5+x}}$	ותאסוף החמשה ודבר עם שרש עשרים ועם ארבעה דברים ותוסיפם על חמשה פחות דבר ושרש מעשרי' דרהמי וארבעה דברים ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים ישוה חמשה ודבר
Restoration of $\scriptstyle5-x+\sqrt{20-4x}+\sqrt{20+4x}$ :	ותאסוף החמשה פחות דבר ושרש מעשרים דרהמי וארבעה דברים ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2x\right)^2=4x^2}}$	תכה שני דברים בשני דברים ויהיה ארבעה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{20+4x}+\sqrt{20-4x}\right)^2}}$	ותכה שרש מעשרים דרהמי וארבעה דברים ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{20-4x}\right)^2=20-4x}}$	וכאשר תרצה זה תכה שרש מעשרים פחות ארבעה דברים בעצמו ויהיה עשרים פחות ארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{20+4x}\right)^2=20+4x}}$	ותכה שרש מעשרים וארבעה דברים בעצמו יהיה עשרים וארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(20-4x\right)+\left(20+4x\right)=40}}$	ותקבצם ויהיה ארבעים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{20-4x}\right)\sdot\left(\sqrt{20+4x}\right)=\sqrt{400-16x^2}}}$	ותכה עשרים פחות ארבעה דברים בשרש עשרים דרהמי וארבעה דברים ויהיה שרש מארבע מאות פחות ששה עשר אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{400-16x^2}=\sqrt{1600-64x^2}}}$	ותכפלם ויהיה שרש מאלף ות"ר פחות ס"ד אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left(\sqrt{20+4x}+\sqrt{20-4x}\right)^2=40+\sqrt{1600-64x^2}}}$	ושרש זה כשיתוסף על ארבעים הוא שרש מעשרים דרהמי וארבעה דברים ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{4x^2=40+\sqrt{1600-64x^2}}}$	ויהיה ארבעים דרהמי ושרש מאלף ות"ר פחות ס"ד אלגוש ישוה ארבעה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{4x^2-40}}$	ותגרע ארבעי' דרהמי מארבעה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{4x^2-40=\sqrt{1600-64x^2}}}$	וישאר ארבעה אלגוש פחות ארבעים דרהמי ישוה שרש מאלף ות"ר פחות ס"ד אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4x^2-4{\color{red}{0}}\right)^2}}$	ותכה ארבעה אלגוש פחות ארבעה דרהמי בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{16x^4+1600-320x^2=1600-64x^2}}$	ויהיה ששה עשר אלגוש מאלגו ואלף ות"ר דרהמי פחות ש"כ אלגוש ישוה אלף ות"ר פחות ס"ד אלגוש
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{16x^4=256x^2}}$	ותכוין עמהם ויהיה ששה עשר אלגוש ישוה רנ"ו אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4=16x^2}}$	והאלגו מהאלגו ישוה ששה עשר אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו ישוה ששה עשר דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	והדבר ישוה ארבעה דרהמי
$\scriptstyle a=5+x=5+4=9$ $\scriptstyle b=5-x=5-4=1$	תוסיפם על חמשה ותגרעם מחמשה בעבור שהנחת החלק האחד חמשה ודבר והחלק האחר חמשה פחות דבר ויהיה החלק האחד תשעה והאחר אחד
[second solution method]
The procedure: defining one part as five plus a thing $\scriptstyle a=5+x$	ואם תרצה תעשה לפי זה המעשה והוא שתשים החלק האחד חמשה ודבר
the other [part] as five minus a thing $\scriptstyle b=5-x$	והאחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5-x\right)+2\sqrt{5-x}=5-x+2\sqrt{5-x}}}$	ותוסיף על הקטן שני שרשיו ויהיה חמשה פחות דבר ושני שרשים מחמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+x\right)-2\sqrt{5+x}}}$	ותגרע מהחלק האחד שני שרשיו
$\scriptstyle{\color{blue}{5+x-2\sqrt{5+x}=5-x+2\sqrt{5-x}}}$	וישאר חמשה ודבר פחות שני שרשים מחמשה ודבר ישוה חמשה פחות דבר ושני שרשי' מחמשה פחות דבר
Restoration of $\scriptstyle5+x-2\sqrt{5+x}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{5-x+2\sqrt{5-x}+2\sqrt{5+x}}}$	ותאסוף חמשה ודבר עם שני שרשים מחמשה ודבר ותוסיף שני שרשי' מחמשה ודבר על חמשה פחות דבר ושני שרשים מחמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{5-x+2\sqrt{5+x}+2\sqrt{5-x}=5+x}}$	ויהיה חמשה פחות דבר ושני שרשים מחמשה ודבר ושני שרשי' מחמשה פחות דבר ישוה חמשה ודבר
Restoration of $\scriptstyle5-x+2\sqrt{5+x}+2\sqrt{5-x}$ : $\scriptstyle{\color{blue}{5+x+x}}$	ותאסוף החמשה עם הדבר ותוסיפהו על חמשה ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{5-5}}$	ותגרע חמשה מחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{2x=2\sqrt{5-x}+2\sqrt{5+x}}}$	ישאר שני דברים ישוה שני שרשים מחמשה פחות דבר ושני שרשים מחמשה ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}}}$	והדבר האחד ישוה שרש מחמשה ודבר ושרש מחמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה דבר בדבר ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}\right)^2}}$	ותכה שרש מחמשה ודבר ושרש מחמשה פחות דבר בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{10+\sqrt{100-4x^2}=x^2}}$	ויהיה עשרה דרהמי ושרש ממאה דרהמי פחות ארבעה אלגוש ישוה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-10}}$	ותגרע עשרה דרהמי מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-10=\sqrt{100-4x^2}}}$	ישאר אלגו פחות עשרה דרהמי ישוה שרש ממאה דרהמי פחות ארבעה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-10\right)^2}}$	ותכה אלגו פחות עשרה דרהמי בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4+100-20x^2=100-4x^2}}$	ויהיה אלגו אלגו ומאה דרהמי פחות עשרים אלגוש ישוה מאה דרהמי פחות ארבעה אלגוש
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר ישוה ארבעה דרהמי
$\scriptstyle a=5+x=5+4=9$ $\scriptstyle b=5-x=5-4=1$	תוסיפם על חמשה ותגרעם מחמשה ויהיה החלק האחד תשעה והאחר אחד
[third solution method]
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}}}$	ואם תרצה כאשר הגעת אל הדבר ישוה שרש מחמשה ודבר ושרש מחמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x-\sqrt{5+x}}}$	שתגרע שרש מחמשה ודבר מדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x-\sqrt{5+x}=\sqrt{5-x}}}$	ישאר דבר פחות שרש מחמשה ודבר בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	וכאשר תרצה זה תכה דבר בעצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{-\sqrt{5+x}\sdot x=-\sqrt{5x^2+x^3}}}$	ותכה שרש מחמשה ודבר בדבר ויהיה שרש מחמשה אלגוש ומעוקב נגרע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{5+x}\right)^2=5+x}}$	ותכה שרש מחמשה ודבר בעצמו ויהיה חמשה ודבר נוסף
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+5+x-\sqrt{20x^2+4x^3}=5-x}}$	ותקבצם ויהיה אלגו וחמשה דרהמי ודבר פחות שרש מעשרים אלגוש וארבעה מעוקבים ישוה חמשה דרהמי פחות דבר
Restoration of $\scriptstyle5-x$ : $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+5+x-\sqrt{20x^2+4x^3}+x}}$	ותאסוף החמשה דרהמי פחות דבר עם הדבר ותוסיפהו על האלגו וחמשה ודבר
Restoration of $\scriptstyle x^2+5+x-\sqrt{20x^2+4x^3}+x$ : $\scriptstyle{\color{blue}{5+\sqrt{20x^2+4x^3}}}$	ותאסוף האלגו והחמשה והדבר עם שרש מעשרים אלגוש וארבעה מעוקבים ותוסיפהו על החמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{5-5}}$	ותגרע חמשה מחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x=\sqrt{20x^2+4x^3}}}$	ישאר אלגו ושני דברים ישוה שרש מעשרי' אלגוש וארבעה מעוקבים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2+2x\right)^2}}$	ותכה אלגו ושני דברים בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4+4x^2+4x^3=20{\color{red}{x^2}}+4x^3}}$	יהיה אלגו אלגו וארבעה אלגוש וארבעה מעוקבים ישוה עשרים דרהמי וארבעה מעוקבים
$\scriptstyle{\color{blue}{4x^3-4x^3}}$	ותגרע ארבעה מעוקבים מארבעה מעוקבים
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{20}}x^2-4x^2}}$	וארבעה אלגוש מארבעה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4=16x^2}}$	ישאר אלגו מאלגו ישוה שש עשרה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו ישוה ששה עשר דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	והדבר ישוה ארבעה דרהמי
$\scriptstyle a=5+x=5+4=9$ $\scriptstyle b=5-x=5-4=1$	תוסיפם על חמשה ותגרעם מן החמשה ויהיה החלק האחד תשעה והאחר אחד
If one wishes, it is done by the following procedure:	ואם תרצה תעשה כמעשה הזה
$\scriptstyle a-\sqrt{a}=b+\sqrt{b}$	והוא שכל שני מספרים בלתי שוים שתגרע מהגדול שרשו ותוסיף על הקטון שרשו ויהיו שוים
$\scriptstyle\sqrt{a}=\sqrt{b}+1$	הנה שרש מהמספר הגדול יותר משרש המספר הקטן באחד לעולם בעבור שאמר שרש ושרש
$\scriptstyle a-2\sqrt{a}=b+2\sqrt{b}$	ואם אמר תגרע מהגדול שני שרשיו ותוסיף על הקטון שני שרשיו ויהיו שוים
$\scriptstyle\sqrt{a}=\sqrt{b}+2$	אז יהיה שרש המספר הגדול יותר משרש מספר הקטון בשנים
$\scriptstyle a-3\sqrt{a}=b+3\sqrt{b}$	ואם אמר שלשה שרשים ושלשה שרשי‫'
$\scriptstyle\sqrt{a}=\sqrt{b}+3$	יהיה שרש המספר הגדול גדול משרש המספר הקטן בשלשה
And so on, $\scriptstyle a-n\sqrt{a}=b+n\sqrt{b}$ → $\scriptstyle\sqrt{a}=\sqrt{b}+n$ for two roots as well as for more or less, when the roots are equal in addition and subtraction as said.	וכן יהיה לעולם כפי כמות מספר השרשים שישוו עמהם וכן עם השנים שרשי' מהמספר וכן כל אשר יוסיפו ויגרעו כאשר ישוו השרשים בתוספת ובמגרעת כפי זה אשר אמרנו
Geometric Illustration

Constructing: AGBD□ and HDWZ□ on line GDZP	והמשל בזה שאשים השני אלגוש מרובעי אגב"ד הדו"ז על קו אחד הוא קו גדז"פ
defining: the large square: AGBD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{a}}$	ואשים האלגו הגדול מרובע אגב"ד
the small square: HDWZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{b}}$	והאלגו הקטון מרובע הדו"ז
determining: $\scriptstyle{\color{blue}{a-2\sqrt{a}=b+2\sqrt{b}}}$	ואשים המרובע הגדול כאשר יגרע ממנו שני שרשיו ונוסיף על המרובע הקטון שני שרשיו שאז ישתוו
√ABGD□ = √HDWZ□ + BH	והוא ידוע שצלע מרובע אבג"ד יותר ארוך מצלע מרובע הדו"ז בשעור קו ב"ה
lemma: HB = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ואומר שקו ה"ב שנים
Otherwise it should be greater or smaller than $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ואם לא יוכל יהיה יותר או פחות משנים
assuming: HB > $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ותניחהו ראשונה יותר משנים
defining: BL = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ותניח קו ב"ל ממנו שנים
drawing line LT equal to GD	ותוציא קו ל"ט שוה לקו ג"ד
AL□ = 2√AD□	ויהיה שטח א"ל שני שרשים משטח א"ד
Add WE [=2] to HW	ותוסיף על קו ה"ו קו ו"ע
[H]P□ = WP□ + HZ□	וישאר שטח ו"פ ויהיה שטח ו"פ מרובע ה"ז
LG□ = [P]H□	ויהיה שטח ל"ג ו"ה שוים
DL > HD	וקו ד"ל יותר ארוך מקו ה"ד
HD = [DZ ; BL] = ZP	וקו ה"ד הוא כמו קו ז"פ
BD > DP	ויהיה קו ב"ד יותר ארוך מקו ד"פ
DL > HD	וד"ל יותר ארוך מקו ד"ה
→ LG□ > HP□ but they were defined as equal	ויהיה שטח ל"ג גדול משטח ה"פ אבל כבר הנחנום שוים
→ [HB] cannot be greater than $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	הנה לא יתכן שיהיו יותר משנים
assertion: [HB] cannot be smaller than $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ואומר שלא יתכן היותו פחות משנים
assuming: HB < $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ואם אפשר נניחהו
BC = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ויהיה קו ב"ח שנים
AC□ = 2√AD□	ויהיה שטח א"ח שני שרשים ממרובע א"ד
SD□ = DE□	ויהיה שטח ס"ד כמו שטח ד"ע
DH = DZ	וקו ד"ה כמו קו ד"ז
DZ > CD	ויהיה קו ד"ז יותר ארוך מקו ח"ד
BC = ZP = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וקו ב"ח הוא כמו קו ז"פ בעבור כי כל אחד מהם הוא שנים
DP > DB	וקו ד"פ יותר ארוך מקו ד"ב
BD = GD	וקו ב"ד כמו קו ג"ד
DP > GD	ויהיה קו ד"פ יותר ארוך מקו ג"ד
GS < GD	וקו ג"ס פחות מקו ג"ד
→ D[E]□ > DS□ but they were defined as equal	ויהיה שטח ד"ג גדול משטח ד"ס וכבר היו שוים
→ BH is not smaller than $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$ and not greater than $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	הנה אין קו ב"ה פחות משנים ולא יותר משנים
→ BH = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ולכן אם כן יהיה קו ב"ה אז שנים
drawing line HB perpendicular to DG	וכאשר נוציא קו ה"ב על יושר קו ד"ג
AH□ = 2√AD□	יהיה שטח א"ה שני שרשי מרובע א"ד
BH = Z[P]	וקו ב"ה הוא קו ז"ה
[DB] = DG	ו"ד הוא כמו קו ד"ג
BD = DP	ויהיה ב"ד כמו ד"פ
GK = DH	וג"כ כמו ד"ה
→ DK□ = DE□	ויהיה שטח ד"כ כמו שטח ד"ע
$\scriptstyle a-2\sqrt{a}=b+2\sqrt{b}$	ובזה התבאר שכאשר תגרע מהאלגו הגדול שני שרשיו ותוסיף על הקטון שני שרשיו
$\scriptstyle\sqrt{a}=\sqrt{b}+2$	שיהיה שרש הגדול יותר משרש הקטן בשנים
$\scriptstyle a-3\sqrt{a}=b+3\sqrt{b}$	ועם זה המעשה תדע שכאשר תגרע מהגדול שלשה שרשיו ותוסיף על הקטן שלשת שרשיו ויהיו שוים
$\scriptstyle\sqrt{a}-\sqrt{b}=3$	שיהיה בין הגדול והקטן שלשה דרהמי
[The difference between the root of the larger and the root of the smaller] is equal to the number of the roots added and subtracted $\scriptstyle a-n\sqrt{a}=b+n\sqrt{b}\longrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}=n$	ויהיה כפי מספר כמות‫^[30] האנשים כאשר ישתוו בתוספת ובגרעון
?	וסבת זה יפרד מהקובראמיינטו שאנה אי שון ליבאנטאדה
$\scriptstyle\sqrt{a}=\sqrt{b}+1$	והוא כן שכל שני אלגוש שיהיה שרש האחד גדול משרש האחר בדרהם אחד
$\scriptstyle a-\sqrt{a}=b+\sqrt{b}$	כאשר תגרע מהאחד שרשו ותוסיף על הקטון שרשו שישתוו כאמור
defining one square as a thing: $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וכן הוא שתניח האלגו האחד דבר
the other one as a thing and one dirham $\scriptstyle{\color{blue}{b=x+1}}$	והאחר דבר ודרהם אחד
multiplying each by itself	ותכה כל אחד מהם בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2=x^2}}$	ויהיה הקטן אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{b^2=x^2+2x+1}}$	והגדול אלגו ושני דברים ודרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+a=x^2+x}}$	וכאשר תוסיף על הקטן שרשו והוא דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b^2-b=x^2+2x+1-\left(x+1\right)}}$	ותגרע מהגדול שרשו והוא דבר ודרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+a=x^2+x=b^2-b}}$	ישאר מהגדול אלגו ודבר ויעלה הקטן אלגו ודבר והשתוו
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{b=x}}$	וכן אם נניח שרש הקטן דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x+2}}$	והאחר דבר ושני דרהמי
multiplying each by itself	ונכה כל אחד מהם בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{b^2=x^2}}$	ויהיה הקטן אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2=x^2+4x+4}}$	והגדול אלגו וארבעה דברים וארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{b^2+2b=x^2+2x}}$	וכאשר נוסיף על הקטן שני שרשיו והם שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2-2a=x^2+4x+4-\left(2x+4\right)}}$	ונגרע מהאחר שני שרשיו והוא שני דברים וארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2-2a=x^2+2x=b^2+2b}}$	ישאר מהגדול אלגו ושני דברי' ועלה הקטן אלגו ושני דברים והשתוו
So on, for more or for less - returning to what was said for roots that are equal by their addition and subtraction [ $\scriptstyle a-n\sqrt{a}=b+n\sqrt{b}$ ]	וכן כל מה שתניח מזה רב או מעט תשוב אל אשר אמרתי אחר שישתוו השרשים בתוספתם ובגרעונם
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{b}=x}}$	וכאשר הנחנו זה כן נניח שרש החלק הקטן משני חלקי העשרה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=x^2}}$	ויהיה החלק הקטן אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a}=x+2}}$	ונניח שרש החלק הגדול והוא מה שנשאר מעשרה דבר ושני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(x+2\right)^2=x^2+4x+4}}$	ותכהו על עצמו ויהיה אלגו וארבעה דברים וארבעה דרהמי והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{a+b=\left(x^2+4x+4\right)+x^2}}$	תחברהו אל החלק הקטן שהוא אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+4x+4=10}}$	יהיו שני אלגוש וארבעה שרשי' וארבעה דרהמי ישוו עשרה דרהמי
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{b}=x=1}}$	ותכוונהו כפי אשר בארתי ויהיה הדבר אחד והוא שרש החלק הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a}=x+2=3}}$	ויהיה שרש החלק הגדול יותר ממנו שני דרהמי והוא שלשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=9}}$	ויהיה החלק הגדול תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=1}}$	והקטון אחד
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided the ten by each of the parts and [the sum of the quotients] is 6¼. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{10}{a}+\frac{10}{b}=6+\frac{1}{4}\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת העשרה על כל חלק מהם ועלה ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)-2=4+\frac{1}{4}}}$	ותגרע מהששה ורביע שנים לעולם ישאר ארבעה ורביע
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4+\frac{1}{4}\end{cases}$	והוא כמו שאמר חלקת עשרה לשני חלקי‫' וחלקת כל חלק על האחר ועלה ארבעה ורביע
proceeding as stated	ותעשה כמו שאמרתי לך
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x}}$	וסבת זה בגרעון השנים שאנא אישון ליבאנטארה די פרטי דילאש שינייאש הוא בעבור כי כבר ידעת כי כאשר תחלק החלק האחד על האחר יעלה מהחלוקה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{b}=x+1}}$	וכאשר תחלק העשרה על אותו הדבר יעלה לחלק דבר ואדרהם בעבור כי העשרה הם כמו אותו החלק הנחלק והמחלק וכן יעלה מהחלק האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{a}-\frac{b}{a}=1}}$	והנה כאשר תחלק העשרה על אחד החלקי' יהיה מה שיעלה לחלק יעדיף על מה שיעלה לחלק מחלוקת החלק האחר על זה החלק שחלקת העשרה באחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{10}{a}+\frac{10}{b}\right)-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=2}}$	ומזה יתבאר כי כאשר נחלק העשרה על כל אחד משני החלקי' יהיה מה שיעלה יעדיף בשנים על מה שיעלה מחלוקת כל אחד משני החלקי' האחד על האחר
Geometric Illustration	ונבאר זה מחלק הגימטריא
For every number divided into two parts, if this number is divided by one of the parts, the quotient exceeds the quotient of the other part divided by the divisor part by one $\scriptstyle\frac{A+B}{A}=1+\frac{{\color{red}{B}}}{A}$	וזה שאומר כל מספר שיהא נחלק לשני חלקי' וחלקנו המספר ההוא על אחד מן החלקי' הנה מה שיעלה לחלק יעדיף באחד על מה שיעלה לחלק מחלוקת החלק הזה שעליו חלקנו המספר
AG = AB + BG	דמיון זה שחלקנו מספר א"ג לשני חלקי' על נקודת ב' וחלקיו א"ב ב"ג

AG ÷ BG = DH AB ÷ BG = ZH	וחלקנו א"ג על ב"ג ועל ז"ה
DH - HZ = DZ	וד"ה הוא גדול מה"ז בשיעור ד"ז
assertion: DZ = $\scriptstyle{\color{blue}{1}}$	ואומר שד"ז הוא אחד
proof: AG ÷ BG = DH	מופת זה שא"ג נחלק על ב"ג ועלה ד"ה
DH × BG = AG	ומהכאת ד"ה על ב"ג הוא א"ג כמבואר למעלה
AB ÷ BG = ZH	וא"ב כבר נחלק על ב"ג ועלה ז"ה
ZH × BG = AB	ויהיה הכאת ז"ה על ב"ג הוא א"ב
DH × BG = AG	וכבר היה כפל ד"ה בב"ג א"ג
DZ × BG = BG	וישאר כפל ד"ז בב"ג הוא ב"ג
DZ = $\scriptstyle{\color{blue}{1}}$	הנה יהיה ד"ז שוה לאחד והוא מש"ל
DH × BG = AG	ואם תרצה כבר ידעת כי כפל ד"ה בב"ג הוא א"ג
AG ÷ BG = DH	ויהיה מפני זה ב"ג בא"ג כמנין אחדי ד"ה
ZH × BG = AB	וכפל ז"ה בב"ג הוא א"ב
DZ = $\scriptstyle{\color{blue}{1}}$	ויהיה מפני זה ד"ז הוא אחד
Q.E.D.	והוא מה שרצינו ביאורו
AG ÷ BG = 1 + (BG ÷ AB)	ועם המעשה הזה תדע כי כאשר תחלק א"ג על ב"ג יהיה העולה לחלק יעדיף באחד על מה שיעלה לחלק מחלוקת ב"ג אל א"ב
For every number divided into two parts, if this number is divided by each of the parts, the [sum of the] quotients exceeds the [sum of the] quotients of the each part divided by the other part by two $\scriptstyle\left(\frac{A+B}{A}+\frac{A+B}{B}\right)-\left(\frac{A}{B}+\frac{B}{A}\right)=2$	ועם זה יתבאר שכל מספר שנחלק לשני חלקי' וחלקו המספר ההוא על אחד משני החלקי' יהיה העולה יעדיף בשנים לעולם על מה שיעלה מחלוקת כל אחד משני החלקי' האחד על האחר
If you are told: we divided ten into two parts, then we divided the ten by each of the parts and multiplied the quotients one by the other and it yields 6¼. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}=6+\frac{1}{4}\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה לשני חלקי‫' וחלקנו העשרה על כל חלק מהם והכינו מה שעלה לכל חלק האחד על האחר והיה ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}=\frac{10}{a}+\frac{10}{b}}}$	ואומר שהכית העולה לחלק מחלוקת העשרה לשני החלקי' האחד על האחר הוא שוה לנקבץ שני אילו החלקי' וסבת זה שאנא אישון ליבאנטארא די פארטי די לאש שיטיאש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{a}=1+\frac{b}{a}}}$ ; $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{b}=1+\frac{a}{b}}}$	וזה כי כבר ביארתי לך כי כאשר תחלק העשרה על כל אחד משני החלקי' יהיה מה שיעלה לחלק יעדיף על כל אחד מהם על מה שיעלה לחלק מחלוקת שני חלקי העשרה כל אחד מהם על האחד אדרהם אחד
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4+\frac{1}{4}$	והוא מבואר ממה שאמרנו כי מה שיעלה לחלקי' מחלוקת שני העשרה האחד על האחר הוא ארבעה ורביע
defining: one quotient as a thing: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x}}$	וכאשר נניח חלק אחד מן העשרה דבר
the other one: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}=\left(4+\frac{1}{4}\right)-x}}$	והחלק האחר ארבעה ורביע פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{a}=x+1}}$	יהיה מה שיעלה לחלק מחלוקת העשרה על כל אחד משני החלקי' האחד דבר ואדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{b}=\left(5+\frac{1}{4}\right)-x}}$	והאחר חמשה ורביע פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+x\right)\sdot\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)-x\right]}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{=\left[x\sdot\left[\left(4+\frac{1}{4}\right)-x\right]\right]+{\color{red}{\left[1\sdot\left[\left(4+\frac{1}{4}\right)-x\right]\right]}}+\left(1\sdot x\right)+\left(1\sdot1\right)}}$	ואומר שהכאת אדרהם ודבר על חמשה ורביע פחות דבר הוא כמו הכאת דבר בארבעה ורביע פחות דבר ואדרהם בדבר ואדרהם באדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[x\sdot\left[\left(4+\frac{1}{4}\right)-x\right]\right]+{\color{red}{\left[1\sdot\left[\left(4+\frac{1}{4}\right)-x\right]\right]}}+\left(1\sdot x\right)+\left(1\sdot1\right)=6+\frac{1}{4}}}$	וכבר ביארנו שאם הכינו דבר בארבעה ורביע פחות דבר ואדרהם בדבר ואדרהם באדרהם וקבצנום יהיה ששה ורביע
Geometric Illustration	ואבאר זה עם חלק הגימטריא
For every number divided into two parts, if this number is divided by each of the parts, the product of the quotients multiplied one by the other is the same as the sum of the quotients $\scriptstyle\frac{A+B}{A}\sdot\frac{A+B}{B}=\frac{A+B}{A}+\frac{A+B}{B}$	והוא שאמר כי כל מספר שיהיה נחלק לשני חלקים וחולק המספר עם כל אחד משני החלקי' הנה הכאת מה שיעלה לחלק מחלוקת שני החלקי' האחד על האחר יהיה כמו מה שיעלה נקבץ שני החלקים יחד
A = B + G	ודימיון זה כי מספר א' חלקנוהו לשני חלקי' והם מספר ב' ומספר ג‫'

A ÷ B = H	וחלקנו א' על ב' ועלה ה‫'
A ÷ G = D	נחלקנו עוד א' על ג' ועלה ד‫'
assertion: H × D = H + D	ואומר כי הכאת ה' בד' הוא כמו ה' וד' מקובצי‫'
proof: A ÷ B = H	מופת זה כי א' נחלק על ב' ועל ה‫'
H × B = A	ומפני זה יהיה הכאת ה' בב' א‫'
D × G = A	ובעבור כל זה יהיה הכאת ד' בג' א‫'
H × B = A = D × G	ויהיה אם כן הכאת ה' בב' ישוה להכאת ד' בג' הוא א‫'
1 × A = A	והכאת האחד בא' הוא א‫'
1 × A = D × G	והכאת האחד בא' ישוה להכאת ד' בג‫'
1 : D = G : A	ויצדק שיהיה יחס האחד אל ד' כיחס ג' אל א‫'
A = B + G	וא' שוה לב' וג‫'
1 : D = G : (B + G) = H : (H + D)	ויחס האחד אל ד' כיחס ג' אל ב' וג' הוא כיחס ה' אל ה' וד‫'
G : B = H : D	כי כבר ביארנו כי יחס ג' אל ב' כיחס ה' אל ד‫'
G : (B + G) = H : (H + D)	וכאשר יחס ג' אל ב' וג' כיחס ה' אל ה' וד‫'
1 : D = H : (H + D)	והיה יחס האחד אל ד' כיחס ה' אל ה' וד‫'
H + D = 1 × (H + D) = H × D	יהיה הכאת האחד בה' וד' ישוה להכאת ה' בד' והוא ה' וד‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו ביאורו
Geometric Illustration
For every number divided into two parts - if each of them is divided by a number, then both quotients are multiplied one by the other, the product is equal to the quotient of the product of the two dividends multiplied one by the other divided by the product of the two [divisors] multiplied one by the other $\scriptstyle\frac{A}{C}\sdot\frac{B}{D}=\frac{A\sdot B}{{\color{red}{C\sdot D}}}$	ואומר עוד כי כל מספר שיחלק לשני חלקי' ונחלק כל אחד מהם על מספר והוכה מה שעלה לחלק מחלוקת שני המספרי' על שני המספרים האחד על האחר יהיה מה שיעלה מן ההכאה ישוה אל מה שיעלה מחלוקת הכאת שני המספרי' הנחלקים האחד באחר על הכאת שני המספרי' הנחלקים האחד באחר
Example: A ÷ G; B ÷ D	דמיון זה שנחלק מספר א' ומספר ב' על מספר ג' וד‫'

A ÷ G = H	וחלקנו א' על ג' ועלה ה‫'
B ÷ D = Z	וחלקנו ב' על ד' ועלה ז‫'
A × B = C	והכינו א' על ב' ועלה ח‫'
H × Z = M	והכינו ה' על ז' ועלה מ‫'
G × D = L	והכינו ג' בד' ועלה ל‫'
assertion: C ÷ L = M	ואומר כי כאשר נחלק ח' על ל' יעלה מ‫'
proof: A ÷ G = H	מופת זה כי א' נחלק על ג' ועלה ה‫'
G × H = A	הנה הכאת ג' בה' הוא א‫'
H × Z = M	והכאת ה' בז' הוא מ‫'
H × (G + Z) = A + M	הנה הכינו ה' בשני מספרי' והם ג' וז' ועלה מהכאת א' ומ‫'
G : A = Z : M	ומפני זה יהיה יחס ג' אל ה' כיחס ז' אל מ‫'
Z : G = M : A	אמור יחס ז' אל ג' כיחס מ' אל א‫'
Z × A = M × G	וכפל ז' בא' ככפל מ' בג‫'
(Z × A) × D = (M × G) × D	ונשים ד' משותף בהכאה ונכה ז' בא' ומה שיעלה נכה בד' ויהיה כמו הכאת מ' בג' והעולה בד‫'
(M × G) × D = (G × D) × M	אבל הכאת מ' בג' והעולה בד' יהיה כמו הכאת ג' בד' והעולה במ‫'
G × D = L	והכאת ג' בד' הוא ל‫'
M × L = (G × D) × M	ויהיה הכאת מ' בל' כמו הכאת ג' בד' ובמ‫'
(G × D) × M = (M × G) × D	והכאת ג' בד' ובמ' כמו הכאת מ' בג' ובד‫'
(M × G) × D = (Z × A) × D	והכאת מ' בג' ובד' כמו הכאת ז' בא' ובד‫'
M × L = (Z × A) × D	ויהיה הכאת מ' בל' כמו הכאת ז' בא' ובד‫'
(Z × A) × D = M × L	והכאת ז' בא' ובד' כמו הכאת מ' בל‫'
M × L = A × B	ויהיה הכאת מ' בל' כמו הכאת א' בב‫'
A × B = C	אבל הכאת א' בב' הוא ח‫'
M × L = C	הנה הכאת מ' בל' הוא ח‫'
C ÷ L = M	וכבר התבאר כי כאשר נחלק ח' על ל' יעלה מ‫'
For every two numbers multiplied one by the other - when the product is divided by one of the numbers the result is the other number $\scriptstyle\frac{A\sdot B}{A}=B$	בעבו' כי כל שני מספרי' שנכה האחד באחר הנה העולה מן ההכאה כאשר חלקנוהו על המספר האחד יעלה המספר האחר ומש"ל
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{10}{a}+\frac{10}{b}=6+\frac{1}{4}\end{cases}$	וכבר התבאר ממה שאמרנו שכאשר נחלק עשרה לשני חלקי‫' וחלקנו העשרה כל אחד משני החלקים ועלה ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a\sdot b\right)\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)=10^2}}$	וכאשר נכה שיעור אחד החלקי' באחר ונכה העולה בששה ורביע יהיה כמו הכאת העשרה בעצמו
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{20}{a}+\frac{20}{b}=12+\frac{1}{2}\end{cases}$	ויתחייב שיהיה ממה שאמרנו שכאשר תחלק העשרה לשני חלקי‫' וחלקת עשרי' אדרהמי על כל חלק משני החלקי' ועלה י"ב וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{a}+\frac{10}{b}=\frac{1}{2}\sdot\left(12+\frac{1}{2}\right)=6+\frac{1}{4}}}$	יהיה כאשר תחלק העשרה על כל חלק משני החלקים העולה החצי משנים עשר וחצי והוא ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{1}{2}\sdot20}}$	בעבור כי כל העשרה הם חצי עשרים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{5}{a}+\frac{5}{b}=3+\frac{1}{8}\end{cases}$	וגם כן יחוייב שיהיה שכאשר תחלק עשרה לשני חלקים וחלקת חמשה על כל חלק משני החלקי' ועלה שלשי' ושמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{a}+\frac{10}{b}=2\sdot\left(3+\frac{1}{8}\right)=6+\frac{1}{4}}}$	יהיה כאשר תחלק העשרה על כל אחד משני החלקי' יהיה העולה הכפול משלשה ושמינית והוא ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{10=2\sdot5}}$	בעבור כי העשר' כפל החמשה
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{20}{a}\sdot\frac{20}{b}=25\end{cases}$	ויתחייב שיהיה כאשר נחלק עשרה לשני חלקים וחלקת עשרי' על כל אחד משני החלקי' והכית העולה לחלק האחד באחר והיה העולה עשרים וחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}=\frac{1}{4}\sdot25=6+\frac{1}{4}}}$	יהיה כאשר תחלק העשר' על כל אחד מן החלקי' יעלה הרביע מעשרי' וחמשה והוא ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{red}{10=\frac{1}{2}\sdot20}}$	בעבור כי עשרים הוא חצי עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}a\right)^2=\frac{1}{4}a^2}}$	והחצי כאשר יוכה בעצמו יהיה כמו הרביע מהדבר שלקחו חציו כאשר הוכה בעצמו
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{30}{a}\sdot\frac{30}{b}=56+\frac{1}{4}\end{cases}$	ויתחייב שיהיה כאשר תחלק עשרה לשני חלקי‫' ותחלק שלישי' על כל חלק מהשני חלקי' ותכה מה שיעלה לחלק האחד באחר ויצא חמישי' וששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}=\frac{1}{9}\sdot\left(56+\frac{1}{4}\right)=6+\frac{1}{4}}}$	יהיה כאשר תחלק העשרה על כל חלק מהשני חלקי' ותכה מה שיעלה לחלק האחד באחר יעלה התשיעי' מחמישי' וששה ורביע והוא ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{1}{3}\sdot30}}$	בעבור כי העשרה שלישי' בשלישי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}a\right)^2=\frac{1}{9}a^2}}$	ושלישי' הדבר כאשר יוכה בעצמו יהיה כמו תשיעית הדבר ההוא כאשר הוכה בעצמו
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{5}{a}\sdot\frac{5}{b}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\end{cases}$	ויחוייב שיהיה כאשר תחלק עשרה לשני חלקי‫' וחלקת כל חמשה על כל חלק משני החלקי' ותכה העולה לחלק האחד באחר ויצא אדרהם וחצי וחצי שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}=4\sdot\left[1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]=6+\frac{1}{4}}}$	שיהיה כאשר תחלק העשרה על כל אחד משני החלקי' ותכה העולה לחלק האחד באחר יעלה ארבעה דימיוני אדרהם וחצי וחצי שמיניות והוא ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{10=2\sdot5}}$	בעבור כי עשרה כפל חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2a\right)^2=4a^2}}$	וכפל הדבר כאשר יוכה בעצמו יהיה ארבעה דימיוני החצי מוכה בעצמו
For every number divided into two parts, if this number is divided by each of the parts, the product of the quotients multiplied one by the other is equal to the sum of the quotients $\scriptstyle\frac{A+B}{A}\sdot\frac{A+B}{B}=\frac{A+B}{A}+\frac{A+B}{B}$	וכבר ביארנו כי כאשר נחלק מספר לשני חלקי' ונחלק המספר על כל אחד משני החלקי' והכינו העולה לחלק האחד באחר שהעולה ישוה לנקבץ מן החלקים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}=6+\frac{1}{4}=\frac{10}{a}+\frac{10}{b}\end{cases}$	וכאשר נניח זה כפי אשר אמרנו יהיה ידוע כי כאשר נחלק עשרה לשני חלקי' וחלקת העשרה על כל חלק מהשנים והכית העולה לחלק האחד באחר והיה ששה ורביע ומה שיעלה לחלק מחלוקת כל חלק מהשנים על האחר יהיה ששה ורביע
If it is said: you divided ten into two parts, then you divided forty by each part of the two and multiplied the quotients one by the other and it yields 100 dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{40}{a}\sdot\frac{40}{b}=100\end{cases}$	והוא ידוע ממה שאמרנו כי כאשר אמרו חלקת עשרה לשני חלקי‫' וחלקת ארבעים על כל חלק מהשנים והכית מה שעלו אל החלקים האחד על האחר והיה מאה אהדרהמיש
defining: one part as five plus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x}}$	שנניח החלק האחד חמשה ודבר
the other [part] as five minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x}}$	והחלק האחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\left(5+x\right)\sdot\left(5-x\right)}}=25-x^2}}$	ויהיה כ"ה אדרהמיש פחות אלגוש ישוה ארבעי' אדרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(25-x^2\right)\sdot100=2500-100x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{40^2=2500-100x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{1600=2500-100x^2}}$	ותכה זה במאה אדרהמיש ויהיה אלפים ות"ק פחות מאה אלגוש ישוה ארבעי' אדרהמי ותכה אותו על עצמו ויהיה אלף ות"ר
proceeding as stated	ותעשה כאשר אמרנו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	ויהיה האלגוש ישוה תשעה אדרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{9}=3}}$	והדבר יהיה שרשו והוא שלשה אדרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x=8}}$	תוסיפם על חמשה ותגרעם מחמשה ויהיה החלק האחד שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x=2}}$	והאחר שנים
For every two numbers divided by numbers, then both quotients are multiplied one by the other, the product is equal to the quotient of the product of the two dividends multiplied one by the other divided by the product of the two divisors multiplied one by the other $\scriptstyle\frac{A}{C}\sdot\frac{B}{D}=\frac{A\sdot B}{C\sdot D}$	ועשינו זה ככה בעבור כי כבר ביארנו שכל שני מספרי' שחולקו שניהם על מספרי' והוכו העולה לחלק מחלוקת שני המספרי' על שני המספרים האחרי' האחד באחר שהעולה הוא שוה לעולה לחלקי' מחלוקת הכאת שני המספרי' הנחלקי' האחד באחר על העולה מהכאת שני המספרי' המחלקי' האחד באחר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=8;\;b=2}}$	ואמרנו שחלק אחד מהשני חלקי' מהעשרה הוא שמנה והאחר שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{40}{8}}}$ ; $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{40}{2}}}$ both 40 are the dividends; 8 and 2 are the divisors	וכאשר נחלק ארבעים על שמנה וארבעי' על שנים יהיה ארבעי' וארבעי' שיני המספרי' הנחלקי' ושמנה ושני' יהיה שני המחלקי‫'
If one says: we divided ten into two parts, then we divided fifty by one of the parts and forty by the other and multiplied the quotients one by the other and it yields 125. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{50}{a}\sdot\frac{40}{b}=125\end{cases}$	וגם כן התבאר מאשר אמרנו שאם יאמר אומר חלקנו עשרה לשני חלקי‫' וחלקנו חמישי' על החלק האחד וארבעי' על האחר והכינו העולה לחלק האחד באחר והיה קכ"ה
defining: one part as five plus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x}}$	שנשים החלק האחד מהעשרה חמשה ודבר
the other [part] as five minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x}}$	והאחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+x\right)\sdot\left(5-x\right)=25-x^2}}$	ותכה האחד באחר ויהיה כ"ה אדרהמי פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(25-x^2\right)\sdot1{\color{red}{25}}=3125{\color{red}{-125}}x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot40=3125-125x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2000=3125-125x^2}}$	ותכה אותו במאה וחמשי' ויהיה שלשת אלפי' וקכ"ה אלגוש ישוה חמשים בארבעים והוא אלפים
proceeding as stated	ותעשה כאשר אמרנו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	ויהיה האלגו ישוה תשעה אדרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{9}=3}}$	והדבר ישוה שורש תשעה והוא שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x=8}}$	תוסיפם על החמשה ותגרעם מחמשה ויהיה החלק האחד שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x=2}}$	והאחר שנים
$\scriptstyle\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot125=6+\frac{1}{4}$	ואם תרצה כבר ידעת כי כאשר חלקנו העשרה על כל אחד מהשני החלקים והכינו מה שעלו לחלקי' האחד באחר והעולה הוא חצי עשירית מקכ"ה והוא ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{1}{4}\sdot40}}$	בעבור כי עשרה הוא רביעית ארבעים
$\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{1}{5}\sdot50}}$	וחמשית חמשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}}}$	וכאשר הכינו רביעית בחמישית יהיה העולה חצי עשירית הדבר ההוא כאשר הוכה בעצמו
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4+\frac{1}{4}\end{cases}$	והוא ידוע מאשר אמרנו קודם ביאורו ותוספתו מן האומר חלקנו עשרה לשני חלקים וחלקת כל חלק על האחר ועלה ארבעה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{4}\right)+2=6+\frac{1}{4}}}$	ונוסיף לעולם על הארבעה ורביע שנים ויהיה ששה ורביע
defining: one part as five plus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x}}$	ונניח החלק האחד חמשה ודבר
the other [part] as five minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x}}$	והאחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+x\right)\sdot\left(5-x\right)=25-x^2}}$	ותכה האחד באחר יהיה כ"ה דרהמי פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(25-x^2\right)\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)=156+\frac{1}{4}-\left(6+\frac{1}{4}\right)x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{100=156+\frac{1}{4}-\left(6+\frac{1}{4}\right)x^2}}$	תכה זה בששה ורביע יהיה קנ"ו ורביע פחות ששה אלגו ורביע ישוה מאה אדרהמי
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	ותנכחם‫^[31] עמם יהיה אלגוש ישוה תשעה אדרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{9}=3}}$	והדבר ישוה שורשו והוא שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x=8}}$	תוסיפם על חמשה ותגרעם מחמשה יהיה החלק האחד שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x=2}}$	והאחר שנים
If you are told: we divided ten into two parts, then you divided the ten by each of the parts and multiplied the [one by the other and then the result by itself] and it yields 20¼ dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left({\color{red}{\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}}}\right)^2=20+\frac{1}{4}\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה לשני חלקים וחלקת עשרה על כל חלק מהם והכית החלק האחד ממה שיעלה לחלק בעצמו והיה עשרים אדרהמי ורביע
$\scriptstyle\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}=\sqrt{20+\frac{1}{4}}=4+\frac{1}{2}$	ושרשו יהיה החלק האחד ממה שעלה לחלק בעצמו והיה עשרי' אדרהמי ורביע ושרשו יהיה החלק האחד ממה שעלה לחלק והוא ארבעה וחצי
This procedure is already explained.	וכבר בארנו המעשה הזה
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{a+b=10}}\\\scriptstyle\left({\color{red}{\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}}}\right)^2=30\end{cases}$	ואם יאמרו לך הכינו החלק האחד ממה שעלה לחלק בעצמו והיה שלשים
$\scriptstyle\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}=\sqrt{30}$	הנה שרש שלשים הוא מה שיעלה לחלק בעצמו והיה שלשי‫' הנה שרש שלשים הוא מה שעלה לחלק משני החלקים
Proceeding as said in order to know the measure of each of the two parts:	וכאשר תרצה לדעת שעור כל חלק מהשני חלקים תעשה כמו שאמרנו
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x}}$	והוא שנאמר שהחלק האחד חמשה ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x}}$	והאחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+x\right)\sdot\left(5-x\right)=25-x^2}}$	ותכה האחד באחר ויהיה כ"ה אדרהמי פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(25-x^2\right)\sdot\sqrt{30}}}$ =	ותכה זה בשרש שלשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(25-x^2\right)^2=625+x^4-50x^2}}$	וכאשר תרצה זה תכה עשרים וחמשה אדרהמי פחות אלגו בעצמו ויהיה תרכ"ה דרהמי ואלגו אלגו פחות חמשים אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(625+x^4-50x^2\right)\sdot30=30x^4+{\color{red}{18}}750-1500x^2}}$	ותכה זה בשלשים [ישווה שלושים] אלגוש מאלגו וט"ו אלפים ותש"נ אדרהמי פחות אלף ות"ק אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{100=\sqrt{30x^4+{\color{red}{18}}750-1500x^2}}}$	ושרש זה ישוה מאה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{100^2=\left(\sqrt{30x^4+{\color{red}{18}}750-1500x^2}\right)^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10000=30x^4+18750-1500x^2}}$	ותכה מאה דרהמי בעצמו ויהיה עשרת אלפים אדרהמי ישוו שלשים אלגוש מאלגו וי"ח אלפים ותש"נ אדרהמי פחות אלף ות"ק אלגוש
Restoration and Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x^4+\left(2{\color{red}{9}}1+\frac{2}{3}\right)=50x^2}}$	ותאסוף ותנכח איקובראראש איקונפרונטאראש ותוסיף על כל דבר שתחזיק אלגו אלגו ויהיה אלגו אלגו ורע"א אדרהמי ושני שלישים ישוה חמשים אלגוש
	ותחצה האלגוש ויהיו כ"ה תכם בעצמם ויהיו תרכ"ה תגרע מהם הרע"א אדרהמי ושני שלישים והנשאר שלשים וש"ג ושליש ושרש זה כשיגרע מכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot50\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot50\right)^2-\left(2{\color{red}{9}}1+\frac{2}{3}\right)}\\&\scriptstyle=25-\sqrt{25^2-\left(2{\color{red}{9}}1+\frac{2}{3}\right)}\\&\scriptstyle=25-\sqrt{625-\left(2{\color{red}{9}}1+\frac{2}{3}\right)}\\&\scriptstyle=25-\sqrt{333+\frac{1}{3}}\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+\sqrt{x^2}}}$	ושרש הנשאר יתוסף על חמשה הוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-\sqrt{x^2}}}$	וכשיגרע מחמשה הוא החלק האחר
If you are told: we divided ten into two parts, then you divided forty by each of the parts and multiplied each of the quotients by itself and they are 625. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{40}{a}\right)^2+\left(\frac{40}{b}\right)^2=625\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה לשני חלקים וחלקת על כל אחד מהם ארבעים ומה שעלו לחלקים הכית כל חלק על עצמו והיו תרכ"ה
$\scriptstyle\left(\frac{10}{a}\right)^2+\left(\frac{10}{b}\right)^2=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\sdot625=39+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)$	וכאשר תחלק העשרה על כל חלק משני חלקי העשרה והעולה לחלק הכית כל חלק בעצמו זה צריך שיהיה חצי שמינית מתרכ"ה והוא ל"ט וחצי שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{1}{4}\sdot40}}$	בעבור כי עשרה רביעית ארבעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}$	וכאשר נכה רביע הדבר בעצמו יהיה חצי שמינית הדבר מוכה בעצמו
This procedure is already explained.	וכבר בארנו המעשה בזה
If one wishes, many other questions can be extracted from these questions, according to these ways, and other that are similar, their solving procedure is clear from the ways described previously, and those added in this book.	וכאשר תרצה תוציא מאלו השאלות שאלות אחרות רבות כפי אלו הדרכים וכפי אחרי' כמוהם יתבאר המעשה בהם מהדרכים שאמרנו קודם ושהוספנו בזה הספר
Glory to God alone, the risen and exalted, the Almighty, from whom the guidance is.	והתהילה לאל לבדו ית' וית' היכול אשר מאתו ההישרה

Notes

↑ marg.: Mahomar Alboarzami
↑ marg.: וזה כי שורש האלגו ימנה האלגו במספר מה שימנה האחד לשורש ומפני זה כאשר תדע סכום השרשי' שיהיו שוים לאלגו תכם על עצמם והעולה הוא האלגו אמ' ומופת זה כי השורש אמצעי בייחס בין האחד והמרובע ולכן ימנה השורש מרובע כמו מה שימנהו האחד
↑ marg.: בי' מפני כי יחס המרובע אל המרובע כיחס הצלע אל הצלע שינוי ושורש א"ב עשירי' ב"ג אם כן א"ב המרובע הוא עשירית העשירית מן המרובע ההוה מן ב"ג והוא ב"ה אם כן ב"ה מאה דימיוני קו א"ב מוכה באחד מאחדיו
↑ marg. אמ' כבר יתבאר זה ביותר נקל וזה כי כאשר יהיה הכאת השרשי' על עצמם כמו האדרהמיש יחוייב שיהיה השרשי' האמצעיי ביחס בין האחד והאדרהמיש ואבאר ששרשים המרובעי אמצעיים ג"כ בין האחד והמרובע הנה האדרהמיש והמרובע שוים כי הדברי' אשר יחס שוה לדבר אחד הם שוים
↑ marg.: אמר מרדכי פינצי
↑ וזה כי שטח א"נ שלשה שרשי' ולכן שטח א"נ כמו העולה מהכאת א"ג משלשה מספרי' ומהמא' שלשה וה"ח אחד וחצי
↑ marg. להיות יחס מרובע אל מרובע יחס צלע אל צלעו שינוי
↑ marg.: אמ"פ זכור כי לא היה צריך לעשות קוי ב"ט ט"כ ד"כ שוים לקוי ב"ח ח"ז וה"ו בזה המופת כי לא התנה שיהיו דימיוני ה"ט רק דברי' לא אלגוש שהם מרובעים
↑ marg.: וזה כי נניח אלגו ב"ה משותף יחד יהיה א"כ מרובע ז"ח כמו מרובע א"ד עם מרובע ב"ה פחות כפל שטח א"ה
↑ marg. כיחס ב' אל ח' וגם כן הנה ד' מוכה על עצמו היה א' ומוכה על ג' היה ח' ויתכה יחס ג' אל ד'
↑ marg. כי כבר התבאר שאחדי ד' כמס[פר] דימיוני ע' בד' א"כ יחס האחד אל ד' כיחס ע' על ח' וכאשר היה זה כך המרובעי' ההוי' מהם מתיחסי' כמו שהתבאר באקליד' אם כן יחס האחד מוכה על אחד והוא אחד אל מרובע ד' והוא ב' כיחס מרובע ע' והוא מ' אל מרובע ח' והוא א' אם כן אחד ב' הם כמו דימיוני מ' בא'
↑ marg. איקובריאש כלומ' ותאסוף
↑ 14r
↑ marg.
↑ marg. איקוברא
↑ marg. איקוברלוש ותאספם
↑ marg. נ"ד ותאסוף
↑ marg. נ"ד ותאסוף
↑ marg. נ"ד ותאסוף
↑ marg. אמ"פ זכור כי זה הוא המכוון אשר יזכור תמיד בלעז קונפרונטאמינטו כי בו יכוין במה ישוה הדבר
↑ marg. מט"ו מז' לאקלידס
↑ marg. מי"ח מז' לאקלי'
↑ marg. איקונפרונטלו
↑ marg. נ"ל שז"ל הראשונים
↑ marg. נ' ויהיה מכוון
↑ marg.
↑ marg. נ"ל ע"ח
↑ marg.
↑ marg. נ"ל רמ"ט
↑ marg. דיקואנטיאה די לוש אדיניש
↑ marg. איקונפרונטלוש קונילייוש

Appendix I: Glossary of Terms

Arithmetic Operations
addition	חבור (ה), תוספת
to add to	לחבר, לחברו, חברנו על, נחבר על, תחבר (אל / על / עם), תחברהו (אל), תחברם (על‫)
to add to	הוסף (עליו), הוסיף (אותו על / ה / על), הוסיפהו (על), הוספנו (על), הוספת (על), הוספתם (על), נוסיף (על), תוסיף (עליו), תוסיפהו על, תוסיפם (על‫)
to sum (with)	נחברם (יחד), תחברם (יחד), קבצנו, קבצנוהו (עם), קבצנום, תקבץ (ה / כל זה), נקבצם (על), תקבצם (על / עם‫)
to be added to	יוסיפו, יתוסף (על‫)
added	מוסף (עליו), נוסף (ב / על), נוספים (על‫)
to be added, to be summed	יתחברו (אלו עם אלו), מחוברים (עם), יתקבץ
to be summed up	יחובר, יקובץ, מקובצים
sum	חבורם, חיבורם, המחובר, הכל
sum, total sum	המקובץ, מקובצם, המתקבץ (מ), נקבץ (מ / מן), מה שיתקבץ
additive	נוסף, נוספים
division	בהחלק, חלוקה
dividing	החולקת, בחלקך
to divide	לחלוק, חלק (על) , חלקו, חלקם על, חלקנו (עליהם / בין), חלקנוהו (ל / על), חלקנום (ל / על), חלקת (על), נחלק, נחלקנו, תחלק (ל / על), תחלקהו (ל / על), תחלקם (על‫)
to be divided (by/into)	חולק (על), חולקו (על), יחלק (על) , יתחלקו, מחולק (על), נחלק (על), נחלקים (על‫)
dividend	המספר המחולק, המספר הנחלק, מספר הנחלק, נחלק (על) , הנחלק (על), הנחלקים, המספר שחלקת, השעור הנחלק
divisor	המחלק, המספר המחלק, המספר שהוא המחלק
quotient, result of division	הגיע, (מה ש) הגיע לחלק (מחלוקת), (מה ש) הגיע לחלקים, (אשר / מה ש)יגיע לחלק, יגיע לכל חלק, המגיע אל החלק, המגיע לחלק (מן החלוקה על), המגיע לחלקים, יגיעו החלקי', יגיע ל
quotient, result of division	ויצא לכל חלק
quotient, result of division	עלה (אל החלק, לכל חלק), מה שעלה (ל, לחלק, מחלוקת), אשר עלה לחלק מחלוקת, מה שעלו (אל החלקים, לחלקים‫)
quotient, result of division	יעלה (אל החלק, אל החלק מחלוקת, לחלק, מהחלוקה) מה שיעלה (לחלק, לחלק מחלוקת, לחלקי' מחלוקת, מחלוקת), החלקים שיעלו לחלק מחלוקת
quotient, result of division	העולה (אל החלק, אל החלקי', ל, לחֶלק, לחלק מחלוקת, לחלקים, לכל חלק, מחלוקת), עולה לחלקי' מחלוקת
to divide the greater by the smaller	חלקת הרב על המעט
to divide the smaller by the greater	וחלקת המעט על הרב
division of the smaller by the greater	חלוקת המעט על הרב
to be divided into two parts	יהיה נחלק לשני חלקים, יהא נחלק לשני חלקי‫'
doubling	הכפלה
to double	לכפול, כפלהו, תכפול, תכפלהו, תכפלם
twice	כפל, שני דמיוניו
squared number	מספרים מרובעים, מרובע
extracting (root)	לקיחת
to extract a root	לקחת שרש, לקחת שורש, לקחנו שרשו, נקח שורש, קח שרשו
to have a root	מחזיק שורש, יחזיקו שורש
not having a root	אינם מחזיקים שורש, אין שורש ל
to be a root of	היותו שורש ל, יהיו שורש (ה / ל‫)
extracted root	לקוח שורשו, לקוח שרשו, הנלקח שרשו, הנלקח ממנו שרשו
root	שרשים (מ), שרש (מ), שורש מ
halving	בחצות ה, בחצאת ה
to halve	והשיב כל דבר אשר החזקת במבוקש אל חציו
to halve	לקחת חצי, נקח חצי, קח חצי, קח מחצית, תקח מחצית
to halve	לחצות ה, תחצה (ה‫)
to be halved	לקחו חציו
half of	מחצית ה
multiplication	ההכאה, הכאת
multiplication	כפל
multiplication	התרבות
to multiply	להכות, אכה, הכינו, הכינוהו (על), הכית (ב / ה), מכה (אותם ב), נכה (אותו על), נכהו (ב / על), תכה (אותו ב / אותו על), תכהו (ב / על), תכם (ב / על‫)
to multiply	תרבה
to be multiplied by	הוכה (על), הוכו, יוכה (ב / על) , יוכו (ב), מוכה (על), מוכים (ב‫)
to be multiplied	יתרבו
to multiply it by itself	נרבם על עצמם, תרבה (... על עצמם), תרבהו על עצמו, תרבם על עצמם
to multiply it by itself	הכית (אותו על עצמו / על עצמו), תכהו (בעצמו / על עצמו), תכם (בעצמם / על עצמם)
to be multiplied by itself	הוכה (בעצמו / על עצמו), יוכה בעצמו, מוכה בעצמו
product, result of multiplication	הכאת, מהכאת, אשר עלה הכאת, שהוא מהכאת, מה שעלה (מההכאה / מהכאת), העולה (מההכאה / מן ההכאה / מהכאת), מה שיעלה מן ההכאה, עולה מהכאת, מה שיתהוה מההכאה
product, result of multiplication	המקובץ, המתקבץ מ, מה שהתקבץ, מה שיתקבץ
	העולה מהכאתם על עצמם
product, result of multiplication	העולה מכפל, כפל
multiplied by	מורבה ב, מרובה (ב / על‫)
multiplied by itself	יתרבה על עצמו
times	דמיוני, דימיוני, דמיוניו
number of times	מספר דימיוני
times	כפלי
times	פעמים
common factor	משותף בהכאה
interim product, interim term of multiplication	חלק
multiplied	שינוי
subtraction	מגרעת, בגרוע (ה), בגרעון (ה), בחסרך (מ‫)
to subtract	לגרוע, גרע מ, תגרע, גרעת (מ / מן) , גרענו (מן), גרעם מן
to subtract from	לחסר (ה), חסר (מ), נחסר, נחסרם מ, תחסר, תחסרם מן
to subtract	תשליך
to subtract the smaller from the greater	גרעת המעט מהרב
to be subtracted from	יגרע (ה), יגרעו, נגרע (מ), נגרעים (מ‫)
subtracted	גרוע (מ‫)
minuend	הנגרע ממנו
subtractive	מספר הנגרע, נגרע, נגרעים, גורע
subtractive	הנשנים, הנשנה
the subtractive and the additive are equal	ישוו ... בתוספת ובמגרעת, ישתוו בתוספת ובגרעון, ישתוו... בתוספתם ובגרעונם
plus	עם
minus	פחות
less, less than, smaller than	פחות (מ / מן‫)
more, more than, greater than	יותר (מ / ... מ‫)
more or less	יותר או פחות
Arithmetic Terms
arithmeticians	בעלי המספר, החשבנים
fractions	שבריו
fractions of fractions	שברי שבריו
integer	שלם
fraction	נשבר
number	מנין, מספר, מספרים
units	אחדים, אחדיו, אחדי
ratio of… to…	יחס... אל‫...
proportional numbers	מספרים מתייחסים
proportional	מתיחסי‫'
to be related to	המתיחס אל
by the number that	במספר מה ש
by the number of … in it	על מספר מה שבו מן, אל מספר מה שבו מ
Calculation Terms
calculation	חשבון, חשבונך
to calculate	תחשבה
measure	כמות
amount	כמות
amount, total	סכום (ה‫)
quantity, measure, amount, value	שעור, שיעור
by the measure of	בשעור
to count	ימנה, ימנהו
the sought, the required	המבוקש
deficit	פחת
excess	יתרון
excess	העודף (מ), אשר יעדיף, מה שהעדיף
to exceed, to be greater than… by…	יעדיף (ב / על‫)
exceeding	המעדיף
difference	ההעדף, ההעדף מ
difference between	הגרעון (אשר בין‫)
difference between	ההבדל בין, ההבדל אשר בין
false, erroneous, incorrect	מוטעה
correct, proper	נכונה, נכון
known	ידוע, המספר הידוע
unknown	בלתי ידוע, הבלתי ידוע
result	העולה, המגיע, מה שיתקבץ, מה שיעלה (ל / מ), מה שעלה
to result	יהיה, יהיו
to result	הגיע, יגיע
to result, to be derived, to be produced	יצא (ה), יצאו, תצא
to result, to be derived, to be produced	יעלה (מ), יעלו, עלה (ל‫)
technique, procedure, solving procedure	מלאכתם, ומלאכתו ש
technique, procedure, solving procedure	פעולתו ש
technique, procedure, solving procedure	מעשה, המעשה (ב / בזה ש), מעשהו ש, אופן מעשהו ש
to proceed (with), to do, to operate, to solve a problem	לעשות (ב), עשה, עשינו, עשית (ב), תעשה (אותה עם / ב / עם), תעשהו, תעשם
to define, to specify, to set up, to lay out, to determine	נעשה
to set up, to lay out	עושה לך
to construct on	עשה על, נעשה על
to be done, to be carried out	יעשה
the rest, remainder	הנשארים, הנשאר (מ), מה שנשאר (מן ה / מ / מה), מה שישאר מ, נשאר (מ‫)
to remain, to be left	ישאר, ישארו, נשאר, נשארו
equal to	השוה (אל / ל), שוה (אל / ל), שוים (ל‫)
to equal to, to be equal to, to be equalized to	ישוה (אל / ל / כמו), ישווה, ישוו (ל / עמהם‫)
to be equalized	השתוו (ה), ישתוו (ה‫)
equalized	המשוים
to keep, to retain	שמרת, תשמרם, שמרם
Algebraic Operations
completion	בו השלמה
completion	השלמתך (הוא ש / אותו הוא בש‫)
to complete	אשלים, תשלים, השלימך אותו
normalization	השלמתך הוא עד שיהיו אלגו שלם
to normalize	השיבם (אל אלגו אחד / לעולם אל אלגוש אחד / לעולם אל אלגו אחד / תמיד אל אלגוש אחד‫)
	נשיבם לעולם לאלגו אחד
	תשיב (... לאלגוש אחד / ... לאלגו אחד, האלגוש שלך שלם / כל דבר שתחזיק אל אלגו / כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד / כל דבר שתחזיק אל אלגוש אחד‫)
	תשב כל דבר שתחזיק אל אלגו
	השיב (כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד / כל דבר שתחזיק לאלגוש אחד‫)
	השב (כל דבר שתחזיק אל אלגו / כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד‫)
to be normalized	ישוב האלגו אל מה שהיה
reduction [lit. confrontamiento = confrontation] = combining like terms	הקונפרונטאמיינטו
to reduce	תכוין, תכוין עם, תכוין עמו, תכוונהו, תכונהו עמו, תכונם עמו, תכוין עמהם, תכונם עמהם
to reduce	איקונפרונטאראש, איקונפרונטלוש, איקונפרונטלו
to reduce	קונפרונטאמינטו
to reduce	תנכח, תנכחם עמם
to reduce	נחסר
reduced	המכוון
restoration [lit. cobramiento]	קובראמיינטו, קובראמיינטו
to restore	תאסוף, תאספם עם, תאספהו
to restore	תכלול, תכללם עם
to restore	איקובריאש, איקובראראש, איקוברא, איקוברלוש
to restore	תציעם עם
to normalize	תשיבנה, השיבות
to be converted	ישובו מן, לאשר ישובו אליו מ
Algebraic Terms
algebraists	חכמי האלג'בר, סופרי האלג'בר ואלמקאבלא
algebraic calculations	חשבונות הכוון
algebraic species	חלקים
number	מספרים קוונטאש, מספר
square	מרובעים, אלגוש, אלגו
thing, root	דבר, דברים, שרשים, ראדיש
dinar (coin) = 2nd unknown	דינר
fals (coin) = 3rd unknown	פלס
dirham (coin) = number	דרהמיש, דרהם
cube x³	קוביקא, קוביקש, מעוקב, מעוקבים
square square x⁴	אלגו אלגו, אלגוש אלגו, האלגו מהאלגו, אלגוש מאלגו
square square multiplied by a root x⁵	אלגו אלגו מוכה בדבר
cube cube, x⁶	קוביקא מקוביקא, מעוקב ממעוקב, מעוקבים ממעוקב
square square square square x⁸	אלגו אלגו אלגו אלגו
canonical equation	חלק
six types of canonical equations	הששה חלקים, הששה בקשות
simple (equation)	נפרדים
compound (equation)	שלשה מחוברים
Geometric Terms
geometry	גימטריא
geometric figure	תמונות גימטריות, תמונת גימטריאות, תמונת גימטרייאות, תמונה, התמונה, תמונה כוללת, בתמונה מהתמונות
geometricians	חכמי הגימטריא
part	חלק, חלקים
segment, section	חלקים, חלקיו
point	נקודת
figure	צורות, צורת
line	קו, קוים
straight line	קו ישר
side	צלע, צלעיו
length	אורך, אורכו
added to its length	נוסף באורכו, נוסף בארכו
area	שטח
surface	שטח
square surface	שטח מרובע עליו, מרובע
straight	על יושר, ביושר
parallel to	על נכחות, נכחי ל , נכחיים ל
parallel to line	על נכחות קו
on a common line	על קו אחד
to cut off	נבדיל מ, תבדיל מ
to cut a line	תחלק קו, נחלק קו
to halve (line), cut to half at the point	ונחלק קו... לחציים בנקודת, ונחלק אותו לחציים על נקודת, ותחלק קו... לחציים על נקודת
to be halved (line), cut to half at the point	נחלק לחציים על נקודת, נחלק לחצאים על נקדת
cut into two unequal segments at the point	נחלק.. לשני חלקים בלתי שוים על נקודת, נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת
to draw a line, to extend a line	נמשיך קו
to draw (a line) from, to extend a line	תוציא מ
to draw a line	תוציא קו, נוציא קו, נוציא, נוציא מנקדת
to be located, to be situated	תפול, נפלה
joint, common (surface)	משותף, המשותף
to draw	תצייר
to draw a line	לעשות קוי
to complete a surface	נשלים שטח
Logical Terms
to introduce, to state	אמרם, אמר
to assert, to argue	אומר ש, אומר כי
to say, to state, to be told	לאמר, לומר, אומר (ב / לך), אמרתי (לך), אמרו (לך), יאמרו (לך), תאמר (ש), אמרנו (ב / ש), יאמר (כי), נאמר (ש / כי), אמר (ש / כי), אמור, אמ
to be said	נאמר
one says that	יאמר אומר
saying	האומר
for instance, as if saying, as one says	הוא כאילו תאמר, כאלו תאמר, כאלו אמרת, כאלו אמרו לך, כאלו אמר
demonstration, explanation	ביאורו, וביאור זה ש
to explain, to demonstrate	לבארם, ביאר, אבאר (לך / ש), אבארה, אבארהו, אבארם ב, נבאר, ביארנו (כי / לך כי / ש), בארנו (כי / ש), ביארתי, בארתי (לך), לבאר (ה), לבאר הדבר יותר
	הוספתי ביאור, הוספתי וביארתי
to be explained, to be demonstraited, to be clarified	התבאר (כי / ש), נתבאר, יתבאר (ש / כי‫)
demonstrated, proved, explained, clear	מבואר (ש), מבוארים
as explained	כמבואר, כדמבואר
Q.E.D., this is what we wanted to explain	ומש"ל, וזה מש"ל, וזה הוא מה שרצינו לבאר, והוא מה שרצינו ביאורו, וזהו מה שאנו בבאורו, והוא מה שאנחנו בבאורו
to declare, to announce	הגדנו
to describe	ספרנו
knowledge	ידיעתו
to know (that)	לדעת, ידענו (כי / ש), ידעת (כי / ש), דע (כי / ש), תדע (כי / ש‫)
it is known that	הוא ידוע (מ / ש / כי), ידוע (כי / ש), וזה הוא ידוע
to understand	והבן זה, יבינום, תבין
example	משל, המשל, המשל בזה ש, משל זה ש, משל זה
to give an example	ואמשיל זה, ואמשיל לך
to define, to specify, to set up, lay out, to determine	הנחנו עמו, הנחת עם, הנחנוהו עם, שמת עם, הנחנו, הנחנוהו, נניחיהו, נניחהו, תניחהו, תניח, נניח, הנחנום, הנחת, נניח זה
to be defined, to be specified	הונח
to construct	נניח על
to demonstrate, to show	הראיתיך, הראית , הראתיך, ואראהו, אראך, הראיתיך כי
to demonstrate	אראך לעין, לבאר לך לעין
to reveal, to show	אשר יראה לנו, אשר יראך, שיראך
to indicate	יראך (ה‫)
to teach	יורוך (אותם‫)
to be taught	תתלמד (ב‫)
to observe, to examine	תסתכל
to seek, to wish	בקשת
to search	תחפש
method	אופן, אופנים
words, saying	דברי, דבריו, דברים
for example	ודימיון זה ש, ודימיון זה כי, דמיון זה
way, method	דרך, דרכים
wisdom	חכמתו ש
general rule	כלל הדבר ש
proof, demonstration	מופת, ומופתו
category, section	חלוקה
species	מין, מינים
type	מין
type	סוג
rule	משפט, המשפט, משפטיהן, משפטו
reason	הסבה (ל), סבת זה
reason, cause	עלותיהם, העלה, עלת
example, instance	ענין
matter	ענין
cases	ענינים
manner, way, method	פנים
aspect	צד
question, problem, equation	שאלה, שאלות, השאלה, השאלה בזה, שאילה
to be completed, to be executed	תצא השאלה
to ask	ישאלו ממך
as if one asks	כאלו שאלו, והוא כאלו שאלו
sought, requested	הנשאל
answer	התשובה, תשובתך עליה
Economic Terms
to spend, to put out, to pay	הוציא
to take, to buy	לקח
to sell	מכר
to purchase, to buy	קנה, קנום
cloth, garment	בגד, בגדים
those that have	בעלי ה
fund, initial amount	קרן
price, rate, cost	שווי
price, rate, cost	השומה, שומת ה
higher price	השומה הגדולה
at a price of	בשכר
at a price of	לחשבון
for	בעד
Literary Terms
to read	לקרות
reader	קורא
book	הספר
chapter	שער
section	מאמר
the translator	המעתיק
to translate	העתקתי מ
the author	בעל הספר
Authors
	מהומר אלבוארזמי
	מרדכי פינצי, אמ"פ
Euclid	אקלידס
the Elements	ספר אוקלידס
Element II	אמר אקלידס במאמר שיני בספרו, אמר אקלידס בספרו במאמר השיני , בשני לאקלידס
	התבאר באקליד‫'
	מטו מז' לאקלידס
	מיח מז' לאקלי‫'
General Terminology
	.א.מ.ת •
to be confirmed, to be approved	יתאמת
	.ב.ו.א •
to intend	באת
fell in the hands of	יבא לידך מ
	.ה.י.ה •
to be formed from, generated from	הוה מ, ההווה מ, הווה מ, ההוה, ההוה מן, ההוי' מ
being	היותם
	.ה.ל.כ •
to follow	תלך בו
	.ה.פ.כ •
to reverse	הפכנו
	.ז.כ.ר •
to remember	זכור כי
to mention	יזכור
	.ח.ד.ש •
to be formed, to be generated	ונתחדשו
	.ח.ז.ק •
to have, to hold, to keep	תחזיק
	.ח.ז.ר •
to repeat (the verb) again, do … again	וחזור ו
	.ח.י.ב •
necessarily, it is necessary that	יתחיב ש, יתחייב ש, יחוייב ש
	.י.כ.ל •
may be, can be	שיוכל להיות ה
whatever possible	אשר תוכל
to be able	תוכל
cannot, impossible to	לא יוכל
can only be, may only be	ולא יוכל להיות... כי אם בהיות
impossible that, connot be that	לא יוכל להיות ש
	.י.ע.ד •
to promise, to pledge	ייעד
	.י.צ.א •
to bring, to present	הוצאתיה ל, הוצאתי לך, הוציאתך אל, יוציאו לפניך
to yield, to produce	יוציא, יוציאוך ל
to extract, to obtain, to draw	נוציאהו, תוציא
	.י.ש.ב •
to be established, to be confirmed, to be explained	התישב
	.ל.ק.ח •
to take	לקחת, לקחנו מ, לקחנו, נקח, קח מ, תקח (ל / מ‫)
	.מ.נ.ה •
to define, to specify, to set up, to lay out, to determine	תמנה, תמנהו עם
	.מ.צ.א •
to find that	ותמצא
to find	תמצא ה, מצאתי
to discover that	תמצא ש
to exist, to occur	ימצאו ב, נמצאים
	.מ.ש.כ •
to continue	המשיך
	.נ.ג.ע •
owed to, due to	המגיע ל
to arrive to	הגעת אל
	.נ.ה.ג •
to be used to	ינהגו
used by	הנוהגים אותה
	.נ.ו.ח •
to lay, to put	אניח
	.נ.פ.ל •
fell in the hands of	יפול מידך / בידך
to encounter with	מה שיפלו לפניך מ
to be subject to	יפול בו
to denote, to signify	נופלים על
	.ע.ש.ה •
to be formed, to be generated	יעשו
	.צ.ד.ק •
to be true, to be correct	יצדק ש
	.צ.מ.ח •
increases	הצומח
	.צ.ר.כ •
to be necessary, to be needed	הוצרך ל
to be necessary, to need	נצטרך ל
necessary, to need	צריך (ל / ש‫)
it is necessary that	ויצטרך ש
there was no need to	לא היה צריך (ל‫)
	.ק.ד.מ •
to introduce earlier	הקדמנו
	.ר.א.ה •
it seems	ונראה לי ש / כי
to observe, to see	ראיתי ש
	.ר.ב.ה •
to augment	נרבה מ
	.ר.צ.ה •
to wish to	תרצה (ש / ל), ירצה, רצינו, נרצה
wish	רצונך, רצונו
	.ש.ו.ב •
to return to	ישוב (ה), נשוב אל, תשוב (אל / ל‫)
to repeat (the verb) again, do … again	תשוב ו, עוד תשוב
to return, to get back, to be regained	שב, ישוב
	.ש.י.מ •
to set up, to dispose	אשים
to define, to set up, lay out, to determine	אשים, נשים, תשים
to construct on	אשים (על), נשים (על‫)
	.ש.כ.ל •
to be well versed	ישכילו
	.ש.ל.מ •
to be completed	ישלם
complement	תשלום
	.ש.מ.ט •
to be omitted, to be left out	נשמט מ
	.ש.נ.ה •
to be changed	תשתנה
	.ת.ח.ל •
beginning	התחלת, תחלת
to start with, to begin with	ואתחיל ראשונה מ, מתחילין עמו
should	וראוי לך
	האופן הטיטולי
no other possibility except for	לא ימלט הדבר מ
processing, elaboration	בעבדי
with God's help	בע"ה
name	שם, שמות
sufficient condition	ספק, ספקות, ספיקות
people, men	אנשים
a man	אדם אחד
part of, fraction	חלק מ, חלקים מ
	יפרד מ ?
by the realm of	מחלק, עם חלק ה
supplement	תוספתו
	והתהילה לאל לבדו ית' וית' היכול אשר מאתו ההישרה
	אמצעיי ביחס
to limit, to restrict	התנה ש
	ויתכה ?
	היה זה כך
	נ"ל שזל הראשונים
	נ'
	שאנא אישון ליבאנטארה די פרטי דילאש שינייאש ?
	שאנה, שאנא
	אי שון, אישון
	ליבאנטאדה, ליבאנטארה, ליבאנטארא
	די פרטי דילאש שינייאש, די פארטי די לאש שיטיאש ?
	דיקואנטיאה די לוש אדיניש
Demonstratives
the same	אותו ה
these	אילו ה, אילו
these are	אלו הם
that	ההוא
	זה הוא
this	זה, הזה, זה, זה ה, זאת ה
	וזהו, וזה, והוא
	מזה ה
by this, from this	מזה, בזה
in this, for this	בזה
thereby, in this regard, relating to this	בזה
	ובזה
	וזה ש, וזה כי
	ולזה
all this	וזה כולו
all that	כל זה
Pronouns
which	איזה
whichever, any	איזה ש, איזה ... ש, איזה ... שיהיה, איזה מ
for which	לאיזה
I am	הנני
we	אנחנו, אנו
you	אתה
is that	הוא אשר, הוא ש, ש
	הוא אשר
it is	הוא
this is that	והוא ש, הוא ש
	והוא כי
formed from, generated from	הוא מ
it is, which is (result)	והוא, הוא מ
they are, which are (result)	והם, הם
these are	והם אלו
all, the total	הכל
what	מה, מה ש
of the	מה‫...
the… in it	מה שבו מן
in what, by what	במה ש
	ממה ש, מאשר
from what	ממה ש
whoever	מי ש
by itself	על עצמו , בעצמו
them selves	בעצמם
Adjectives
one of	אחד מ
another	אחר, אחרת, אחרים
other	אחר, אחרים, אחרות
latter, last	האחרונים, האחרון
middle, mean	האמצעי, אמצעי, אמצעיים
longer than	ארוך מ, יותר ארוך מ
aforementioned	האמורים, האמור
greater than	גדול מ
larger	הגדול
different	נבדלת מ
similar to	דומה (ל / אל), דומיהן, דומים ל
possible (that)	ואפשר ש, אפשר
possible	יתכן (ב / ל‫)
impossible	לא יתכן היותו, לא יתכן (ש‫)
whole, entire	כלו, וכל
all, every	כל
each	כל
each of	כל אחד מ / מן
all	כולם
	כל מה ש
for all that	לכל מה ש
for all that	כל אשר, כל מה ש
every thing, all that	כל דבר ש
varied, diverse	מתחלפי
sufficient, adequate	מספיקים
precise, exact	מתוקנים
visible, apparent, can be seen in	נגלה ב
alone	נפרדים
the smaller	המעט
preceding, previous	שלפניה
previous, preceding	שקדמה
smaller	הקטן, הקטון
some of	קצת מ
appropriate, suitable	הראוי
first	ראשון, ראשנה, ראשונה, ראשונים
former	הראשונים
large or small, larger or smaller	רב או מעט
the larger	הרב
many (of)	רבות, הרבה (מ‫)
unequal	בלתי שוים
various	שונים
latter, last	השניים, שניה
Adverbs
then	אז, שאז
then, afterwards	אחר זה
then, afterwards	אחר כן
after	אחר ש
by itself	מאליו
in the opinion of, according to	אצלי
between	בין ה, ביניהם
properly, well	היטב
hither	הנה
much	הרבה
together	יחד
as	כ, כמו (ה / ש), והוא כמו
already	כבר, וכבר
as follows, such as	כזה
how	כיצד
so	ככה
so, so and so, so much	כל כך
namely, that is to say	כלומ‫'
as much as	כמה ש
how much	כמה, כמה יהיו
also, moreover	וכמו כן, וכן
so, like that	כן
as, since	להיות
why	למה
above	מלמעלה מ, למעלה, למעלה מ
upwards	ולמעלה
here, at this stage	בזה המקום
according to	על, לפי
now	עתה
also	גם כן, ג"כ
as aforesaid	כאמור
therefore, hence	ולכן, לכן
always	לעולם
always	תמיד
as, like	על דמיון
in the image of	בדימיון
below	למטה ממנה, למטה מ
briefly, in brief	בקצרה
endlessly	עד אין להם סוף
exactly	ממש
exactly, precisely	בשוה
furthermore, moreover, further	ועוד, עוד
in a foreign language	בלעז
necessarily	בהכרח
previously	במה שעבר
previously	לפנים
previously, before	קודם, לפני זה
	ביותר נקל
therefore, because of this	מפני זה
most of	ברוב
namely, i.e.	רצוני, רצוני ב
just, only	רק
first	תחלת
Conjunction
but	אבל
since, as	אחר ש
but	אלא כי
if	אם
or, whether… or	אם... ואם
either… or	אם ש... או
then, if so	אם כן
what, that, which	אשר, ש
by which	אשר בו
with it	אשר עמו
whether… or	בין ש... בין ש
	יען ש
when	כאשר, כש
that	כי, ש
according to, as, like	כפי, כפי מה ש
in order that	למען
because, since	מפני ש, מפני כי
because, since	בעבור כי, בעבור ש, ובעבור כל זה, כי
because of which, for which	בעבורה
until	עד ש
Preposition
in	אצל
on	בה, עליה
among	בין
apart from, other than	בלעדי, מבלעדי (ש‫)
without	בלעדי, מבלעדי
as itself	כמהו
	כמוהם
in exchange to, for	כנגד
according to, as	כפי זה אשר, כפי אשר
without	מבלי
apart from, besides, aside from	מלבד
of which	מן אשר בם
from it	ממנו
to	עד
up to this point	עד כאן
concerning this	על זה
with	עם, ועם אשר
with regard to	עם ה
by this	ועם זה, ועם

Appendix II: Bibliography

Kitāb fī al-Jābr wa'l-Muqābala (the first section) / by Abū Kāmil Shujāʽ Ibn Aslam Ibn Muḥammad ibn Shujāʽ (Egypt, ca. 850-930)
– Hebrew translation –
by Mordecai (Angelo) Finzi (Mantua, d. 1475)
Ḥeshbon ha-Sheṭaḥim (First Hebrew version)

Manuscripts:

1) Mantova, Comunita Israelitica MS ebr. 17/1 (IMHM: f 797), ff. 1r-51r (15th century; autograph)

[Mantova17]

2) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 225/2 (IMHM: f 1118), ff. 95r-154r (15th century)

[München225]

The transcript is based mainly on manuscript München 225

Critical Edition (of the first section):

Abu Kamil Shuja' ibn Aslam. The algebra of Abu Kamil: Kitab fi al-jabr wa'l-muqabala in a commentary by Mordecai Finzi. Ed. Martin Levey. Madison, Milwaukee, and London: The University of Wisconsin Press, 1966.

Bibliography:

Lévy, Tony. 2007. L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (II). Dans l’Italie des XVe et XVIe siècles, sources arabes et sources vernaculaires, Arabic Sciences and Philosophy 17, pp. 81-107.
Yadegari, Mohammad. 1978. The Use of Mathematical Induction by Abū Kāmil Shujā‘ Ibn Aslam (850-930), Isis, vol. 69, no. 2 (Jun., 1978), pp. 259-262.

[1] rg.: Mahomar Alboarzami

[2] rg.: וזה כי שורש האלגו ימנה האלגו במספר מה שימנה האחד לשורש ומפני זה כאשר תדע סכום השרשי' שיהיו שוים לאלגו תכם על עצמם והעולה הוא האלגו אמ' ומופת זה כי השורש אמצעי בייחס בין האחד והמרובע ולכן ימנה השורש מרובע כמו מה שימנהו האחד

[3] rg.: בי' מפני כי יחס המרובע אל המרובע כיחס הצלע אל הצלע שינוי ושורש א"ב עשירי' ב"ג אם כן א"ב המרובע הוא עשירית העשירית מן המרובע ההוה מן ב"ג והוא ב"ה אם כן ב"ה מאה דימיוני קו א"ב מוכה באחד מאחדיו

[4] rg. אמ' כבר יתבאר זה ביותר נקל וזה כי כאשר יהיה הכאת השרשי' על עצמם כמו האדרהמיש יחוייב שיהיה השרשי' האמצעיי ביחס בין האחד והאדרהמיש ואבאר ששרשים המרובעי אמצעיים ג"כ בין האחד והמרובע הנה האדרהמיש והמרובע שוים כי הדברי' אשר יחס שוה לדבר אחד הם שוים

[5] rg.: אמר מרדכי פינצי

[6] וזה כי שטח א"נ שלשה שרשי' ולכן שטח א"נ כמו העולה מהכאת א"ג משלשה מספרי' ומהמא' שלשה וה"ח אחד וחצי

[7] rg. להיות יחס מרובע אל מרובע יחס צלע אל צלעו שינוי

[8] rg.: אמ"פ זכור כי לא היה צריך לעשות קוי ב"ט ט"כ ד"כ שוים לקוי ב"ח ח"ז וה"ו בזה המופת כי לא התנה שיהיו דימיוני ה"ט רק דברי' לא אלגוש שהם מרובעים

[9] rg.: וזה כי נניח אלגו ב"ה משותף יחד יהיה א"כ מרובע ז"ח כמו מרובע א"ד עם מרובע ב"ה פחות כפל שטח א"ה

[10] rg. כיחס ב' אל ח' וגם כן הנה ד' מוכה על עצמו היה א' ומוכה על ג' היה ח' ויתכה יחס ג' אל ד'

[11] rg. כי כבר התבאר שאחדי ד' כמס[פר] דימיוני ע' בד' א"כ יחס האחד אל ד' כיחס ע' על ח' וכאשר היה זה כך המרובעי' ההוי' מהם מתיחסי' כמו שהתבאר באקליד' אם כן יחס האחד מוכה על אחד והוא אחד אל מרובע ד' והוא ב' כיחס מרובע ע' והוא מ' אל מרובע ח' והוא א' אם כן אחד ב' הם כמו דימיוני מ' בא'

[12] rg. איקובריאש כלומ' ותאסוף

[13] 14r

[14] rg.

[15] rg. איקוברא

[16] rg. איקוברלוש ותאספם

[17] rg. נ"ד ותאסוף

[18] rg. נ"ד ותאסוף

[19] rg. נ"ד ותאסוף

[20] rg. אמ"פ זכור כי זה הוא המכוון אשר יזכור תמיד בלעז קונפרונטאמינטו כי בו יכוין במה ישוה הדבר

[21] rg. מט"ו מז' לאקלידס

[22] rg. מי"ח מז' לאקלי'

[23] rg. איקונפרונטלו

[24] rg. נ"ל שז"ל הראשונים

[25] rg. נ' ויהיה מכוון

[26] rg.

[27] rg. נ"ל ע"ח

[28] rg.

[29] rg. נ"ל רמ"ט

[30] rg. דיקואנטיאה די לוש אדיניש

[31] rg. איקונפרונטלוש קונילייוש

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

@@ Line 10,071: / Line 10,071: @@
 |-
 |
+|style="text-align:right;"|יהיה מאה דרהמי ושלשה אלגוש וחצי ושרש אחד עשר אלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות שלשים דברים ופחות שרש מת"ק אלגוש ישוה חצי אלגו ושרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו
+|-
+|colspan=2|
 ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(3+\frac{1}{2}\right)y^2+\sqrt{\left(11+\frac{1}{4}\right)y^4}-30y-\sqrt{500y^2}=\frac{1}{2}y^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}}}</math>
-|style="text-align:right;"|יהיה מאה דרהמי ושלשה אלגוש וחצי ושרש אחד עשר אלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות שלשים דברים ופחות שרש מת"ק אלגוש ישוה חצי אלגו ושרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו
 |-
 |
@@ Line 10,166: / Line 10,168: @@
 |-
 |
+|style="text-align:right;"|ויהיה מאה דרהמי ואלגו וחצי אלגו ושרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות עשרה דברים ופחות שרש מת"ק אלגוש ישוה שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות חצי אלגו
+|-
+|colspan=2|
 ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(1+\frac{1}{2}\right)y^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}-10y-\sqrt{500y^2}=\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)y^4}-\frac{1}{2}y^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויהיה מאה דרהמי ואלגו וחצי אלגו ושרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות עשרה דברים ופחות שרש מת"ק אלגוש ישוה שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו פחות חצי אלגו
 |-
 |

Difference between revisions of "חשבון השטחים"

Revision as of 08:17, 23 May 2022

Contents

Introduction

The Six Canonical Equations

The Simple Canonical Equations

Squares Equal Roots: ax²=bx

Squares Equal Numbers: ax²=c

Roots Equal Numbers: bx=c

The Compound Canonical Equations

Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c

Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx

Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax²

Multiplication of Algebraic Expressions

Roots

Multiplication of Roots by Numbers

Multiplication of Roots

Division of Roots

Addition of Roots

Subtraction of Roots

Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations

Various Problems

Section Three

Notes

Appendix I: Glossary of Terms

Appendix II: Bibliography

Navigation menu

Personal tools

Namespaces

Variants

Views

More

Search

Navigation

Tools

Difference between revisions of "חשבון השטחים"

Revision as of 08:17, 23 May 2022

Contents

Introduction

The Six Canonical Equations

The Simple Canonical Equations

Squares Equal Roots: ax2=bx

Squares Equal Numbers: ax2=c

Roots Equal Numbers: bx=c

The Compound Canonical Equations

Squares and Roots Equal Numbers: ax2+bx=c

Squares and Numbers Equal Roots: ax2+c=bx

Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax2

Multiplication of Algebraic Expressions

Roots

Multiplication of Roots by Numbers

Multiplication of Roots

Division of Roots

Addition of Roots

Subtraction of Roots

Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations

Various Problems

Section Three

Notes

Appendix I: Glossary of Terms

Appendix II: Bibliography

Navigation menu

Search

Squares Equal Roots: ax²=bx

Squares Equal Numbers: ax²=c

Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c

Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx

Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax²