Difference between revisions of "ספר מעשה חושב"

Prologue

1) it is a practical craft

2) it encompasses many categories and each category includes many diverse issues – knowing the reasons guarantees the comprehensive knowledge of the practice in all categories, while ignorance of the reasons requires numerous cognitions in accordance with the diversity of the issues

ובהיות הענין כן הוא מבואר שלא תשלם ההשגה בזאת המלאכה בזולת ידיעת הסבות כי אם בקושי גדול
ואולם עם ידיעת הסבות אפשר שתשלם בקלות והיה זה כן לפי שמי שידע הסבות ידע בידיעה אחת תכונת המעשה במינים הרבים אשר תקיף במלאכותיהם סבה אחת בעינה
ומי שיסכיל הסבות יצטרך בידיעה אחת בעינה לידיעות רבות לפי השתנות החמרים

1) The rules for the issues of this craft that will be demonstrated in the book

2) The methods of the craft for each of the types of numbers and their reasons

כי לא היה רצוננו להשיב בזה הספר דבריו אבל נניחם במדרגת השרשים אחר שהתבארו שם במופת

Section One

Introduction to Section One – basic definitions

• product of numbers

• number of the terms in a sequence

• The sequence of the natural numbers

• preceding number in the sequence: (n-1) for n

• consecutive number in the sequence: (n+1) for n

• sum of natural numbers

• sum of odd numbers

• sum of even numbers

Theorems in Euclidean style

2)

AB = AH+HD+DB

→ AB×G = (AH×G) +(HD×G) + (DB×G)

3)

AB = AH+HB

GD = GZ+ZC+CD

→ [AH×(GZ+ZC+CD)]+[HB×(GZ+ZC+CD)] = AB×GD

• Proof

AH×(GZ+ZC+CD)=AH×GD

HB×(GZ+ZC+CD)=HB×GD

(AH×GD)+(HB×GD)=AB×GD

→ [AH×(GZ+ZC+CD)]+[HB×(GZ+ZC+CD)] = AB×GD

4)

AB = AG+GB

→ AB×GB = (AG×GB)+BG²

• Proof

(AG×GB)+(GB×GB) = AB×GB

GB×GB = BG²

→ AB×GB = (AG×GB)+BG²

5)

AB = AG+GB

AG = GB = ½AB

AD = AB+BD

→ (AD×DB)+GB² = GD²

• Proof

AD×DB = (GD×DB)+(AG×DB)

AG×DB = BG×DB

(AD×DB)+GB² = (GD×BD)+(BG×BD)+GB²

GD×GD = (GD×BD)+(GD×GB)

GD×GB = (GB×BD)+BG²

→GD² = (GD×DB)+(GB×BD)+BG² = (AD×DB)+GB²

6)

AG = AB+BG

→ AG² = AB²+BG²+[2×(AB×BG)]

• Proof

AG×AG = (AB×AG)+(BG×AG)

AB×AG = (AB×BG)+AB²

BG×AG = (AB×BG)+BG²

→ AG² = AB²+BG²+[2×(AB×BG)]

7)

AG = AB+BG

→ AG² = (AG×AB)+(AB×BG)+BG²

• Proof

AG×AG = (AB×AG)+(BG×AG)

BG×AG = (AB×BG)+BG²

→ AG² = (AB×AG)+(AB×BG)+BG²

8)

AB = AG+GB

AG = GB = ½AB

AB = AD+DB

→ AG² = (AD×DB)+GD²

• Proof

AG² = (AG×GD)+(AG×DB)

AD×DB = (AG×DB)+(GD×DB)

AG²-(AG×DB) = AG×GD = GB×GD

(AD×DB)-(AG×DB) = GD×DB

(GB×GD)-(GD×DB) = GD²

→ AG² = (AD×DB)+GD²

9)

A×(B×G) = HD

→B×(A×G) = HD

• Proof

10)

A×(G×D×H) = ZC

→D×(A×G×H) = ZC

• Proof

11)

12)

13)

14) = the product of when i=1,2,…,n and j=1,2,…,n each appears exactly once, but are not necessarily equal on the same product.

15) if is relatively prime to , then is relatively prime to for each i=1,2,…,n

16. if is relatively prime to all integers less than , then is prime

17) if a fraction is taken from a given number, then another fraction is taken from the remainder and so on, the final remainder will be the same no matter in what order the fractions were taken. In addition, the sum of all fractions will be the same

18) if a fraction is taken from a product, then another fraction is taken from the remainder and so on, the final remainder will be the same no matter in what order the fractions were taken or in what order the factors of the product were multiplied

Arithmetic progressions and sums

19) definition of the number of terms in a progression

אג + גד + דה + הב = אב

20) in a series of natural numbers beginning from 1 if the number of terms is even, then the number of the odds is equal to the number of the evens

אג + גד + דה + הב = אב

אב is even

אה is odd

אה + 1 = אב

אד is even

אג is odd

ו + 1 = ז

1 = א

assertion: א + ב + ג + ד + ה + ו = ז ×½

ז = ו + א → 1 = א

(א + ב + ג + ד + ה = א + (ב + ג + ד + ה

(א + ב + ג + ד + ה = (א + ב) + (ג + ד + ה

(א + ב + ג + ד + ה = (א + ב + ג) + (ד + ה

א + ב + ג + ד + ה = (א + ב + ג + ד) + ה

ו ‫× (א + ב + ג + ד + ה + ו) =

= ‫ א + (א + ב) + (א + ב + ג) + (א + ב + ג + ד) + (א + ב + ג + ד + ה)

+ ‫ (א + ב + ג + ד + ה + ו) + (ב + ג + ד + ה + ו) + (ג + ד + ה + ו) + (ד + ה + ו) + (ה + ו) + ו

53) We want to find three numbers such that the first with a given part of the remaining numbers is the same as the second with a second given part of the remaining that is smaller than the first given part and the same as the third with a third given part of the remaining that is smaller than the second given part.

_א/‫¹>_ב/‫¹>_ג/‫¹

ג>ב>א

א - ב = ד

ב - ג = ז

‫1 - ג = ח

‫1 - ב = ל

א≥2

• ‫2 = א

ג + ד = ג + (א - ב) = ה

ה + (ח·ד)·2 = ה + (1 – ג)·(א – ב)·2 = ט

ט + (1 – א)·ז·2 = ט + (1 – א)·(ב – ג)·2 = כ

general solution:

מ = (ל·ח)·2

• ‫2 < א

‫2 - א = ד

א - ב = ה

ב - ג = ז

‫1 - א = ח

‫1 - ב = ט

‫1 - ג = ל

ג + ה + [ד·(ב·ג)] = ג + (א - ב) + [(2 – א)·(ב·ג)] = מ

מ + (ל·ה)·2 = מ + (1 – ג)·(א – ב)·2 = נ

נ + (ח·ז)·2 = נ + (1 – א)·(ב – ג)·2 = ס

general solution:

Combinatorics

for example: (d;a;b;c); (e;a;b;c)

63)

64)

65)

66)

67)

68)

Section Two

Introduction to Section Two

• analogy between God and the numerical one

• one is the origin and the cause of all numbers

• one is not a number, for it is indivisible

the absence of the one necessarily require the absence of all numbers, but the absence of all numbers does not require the absence of the one

the one has no limits (no beginning nor end), for it is numerically indivisible, but every number has limits (beginning and end)

every geometrical unit (line, surface, substance) has limits, but these are not numerical limits, since the geometrical unit is not divided by them nor composed from them

all numbers have one origin from which they are generated and to which they are reduced

Numeration

• Tens and their resemblance to the units

• Hundreds and their resemblance to the units

• Thousands and upwards

• units

• tens

• hundreds

• thousands

• Each unit of a certain rank is in ratio of ten to one of the units of the preceding rank 

• To every number another number can be added, yet every number has an end which is one

the essence of the number is to indicate the limit of the parts of what is encompassed by it, hence the rational impossibility of an infinite number

every number is either even of odd

• The opposite is impossible – a number cannot be divided endlessly, for this process necessarily ends when arriving to one

• The numerical one can still be divided to fractions from the aspect of the object

• minutes

• seconds

• thirds

• conjunction

• identical numbers

• nonidentical numbers

nonidentical numbers

• differ in their quantity

• differ in their elements, but similar in quantity - combinations and variations

• differ in order, but similar in their quantity and their elements - permutations

differ in quantity

• known numbers - addition

• unknown numbers - summation

unknown numbers

• arithmetic progression

• geometric progression

• reduction

• subtraction

• division

Chapter One – Addition and Subtraction

Addition

מ"ה מ"ד 0 ל"ז 0 | 0 ג ב

Subtraction

בטור התחתון במקומותיהם ועשינו רושם בין השלמים לשברים. והנה המדרגה היותר דקה היו מה ט ז י 0 ששיים ומה שכננדה בטור העליון נג 0 מז לה מו 0 | 0 ח 0 א ג הוא נ״ג ששיים ונגרע מהם מה לז 0 נ | ו 0 ב שכנגדם בטור התחתון ואין שם בטור נג 0 מז נח מה י | ג ז ח 0 ג התחתון דבר על כן תכתוב נ״ג בטור העולה במדרגת הששיים נשוב לגרוע מהגלגל הבא אחר נ"ג מה שכנגדו בטור התחתון ואין שם בטור התחתון דבר על כן תכתוב גלגל בטור העולה במדרגת החמשיים נשיב לגרוע ממ״ז מה שכנגדו בטור התחתון ואין שם דבר ולכן תכתוב מ"ז בטור העולה במדרגת הרביעיים נשוב לגרוע מל״ה שבטור העליון מה שכנגדו בטור התחתון והנה כנגדו ל״ז ולא נוכל לגרוע מל״ה ל״ז על כן נקח אחד ממדרגה הבאה אחר ל"ה ויהיה ששים בה נחברם עם ל"ה ויהיו צ"ח נגרע מהם ל"ז נשארו נ״ח וכתבנום בטור העולה במדרגת השלישיים ולזה נשארו במדרגה הבאה אחריה מ"ה נגרע מהם מה שכנגדם בטור התחתון ואין שם דבר ולזה תכתוב מ"ה בטור העולה במדרגת השניים נשוב לגרע מהגלגל מה שכנגדו בטור התחתון והנה כנגדו ג׳ ולא נוכל לגרוע מגלגל ג׳ וגם במדרגה הסמוכה לה מהשלמים אין מספר מה להוריד אליה ואולם בשלישית לה מספר והוא ח׳ ונוריד מהם אחד אל המעלה שלפניה ונכתוב על הח׳ ז׳ והאחד שנוריד יהיה עשרה בראשונה נוריד מהם א׳ אל מעלת הראשונים וישארו ט׳ בראשונה ונכתבם על הגלגל והאחד שהורדנו יהיה ששים במדרגת הראשונים נגרע מהם ג׳ וישארו י' ונכתבם בטור העולה במדרגת הראשונים נשוב לגרוע מט׳ מה שבעדה בטור התחתון שהוא ו׳ ונשארו ג׳ ונכתבם בטור העולה במדרגת האחדים נשוב לגרוע מז׳ מה שכנגדו בטור התחתון וישארו ז׳ כי אין בו דבר ונכתבם בטור העולה במדרגה השנית נשוב לגרוע מגלגל מה שכנגדו בטור התחתון והיה כנגדו ב׳ ולא נוכל לגרוע ב׳ מגלגל ובמעלה השנית לה א׳ ונורידנו אליו יהיה עשרה בה ונכתוב על הא' גלגל ונגרע מי' ב' ונשארו ח׳ ונכתבם בטור העולה במדרגה השלישית נשוב לגרוע מגלגל מה שכנגדו בטור התחתון ואין שם דבר ונכתוב גלגל בטור העולה במדרגה הרביעית נשוב לגרוע מג' מה שכנגדו בטור התחתון ואין שם בו דבר ולזה נכתוב ג׳ בטור העולה במעלה החמשית והנה העולה הוא שלשים אלף ושמנה מאות ושבעים ושלשה שלמים י׳ ראשונים מ״ה שניים נ"ח שלישיים מ״ז רביעיים נ״ג ששיים והקש על זה ופעמים יבואך החשבון בחכמת התכונה לגרוע מספר רב ממספר מעט וזה במלאכות הככבים ואז תוסיף מעלת הגלגל שהם שלש מאות וששים על המספר המעט שבאת לגרוע ממנו ותוכל לגרוע מה שתרצה לפי שאין להם מספר משלמים במקומות הככבים מוסיף על שלש מאות וששים כי כאשר יהיה להם יותר משלש מאות וששים ישליכו ויקחו הנשאר ובזה יבואך החשבון בחשבון מולד הלבנה המתפשט בהמון לגרוע ממספר מעט מספר רב ואז תוסיף על המספר המעט ז׳ ימים ותוכל לגרוע מה שתרצה וסבת זה כי מחשבי המולדות כאשר יהיה להם מספר מוסיף על ז׳ ימים ישליכו ממנו ז׳ ימים ויקחו הנשאר והקש על זה

Chapter Two – Multiplication

כי כאשר היו ארבעה מספרים מתיחסים רצוני שיחס הראשון אל השני כיחס השלישי אל הרביעי הנה שטח הראשון ברביעי כמו שטח השני בשלישי ולזה יתבאר שהכאת אחד מהשנית באחד מהרביעית הוא אחד מהחמישית וזה שיחס אחד מהראשונה אל אחד מהשנית כיחס אחד מהרביעית אל אחד מהחמישית מעלה חמישית : מעלה רביעית = מעלה שנייה : מעלה ראשונה א״כ שטח אחד מהשנית באחד מהרביעית הוא כמו שטח אחד מהראשונה באחד מעלה חמישית · מעלה ראשונה = מעלה שנייה · מעלה רביעית מהחמשית אבל שטח אחד מהראשונה באחד מהחמשית הוא אחד מהחמשית לפי שהוא אחד מהחמשית פעם אחת אם כן שטח אחד מהשנית באחד מהרביעית הוא אחד מהחמשית ובזה התבאר ששטח אחד מהשלישית באחד מהרביעית הוא אחד מהששית לפי שביחס השוי יהיה יחס אחד מהראשונה אל אחד מהשלישית כיחס אחד מהרביעית אל אחד מהששית וכאשר תנהיג זה יבואר לך שכל אחד ממעלה אי זו שתהיה שיוכה על אחד ממעלה אי זו שתהיה הוא אחד מהמעלה אשר מרחקה מאחד המוכה לאחריה כמרחק מעלת האחד המכה מהראשונה וזה שוה למספר מעלת המכה והמוכה פחות אחד לפי שאחת מהמעלות תמנה שתי פעמים משל זה שיחס הראשונה אל הרביעית כיחס החמשית אל השמינית כי השמינית רביעית לחמשית בהמנות החמשית וכבר נמנית החמשית במספר מעלותיה אם כן החמשית נמנית שתי פעמים ולזה תחסר אחת ממספר מעלות המקובץ ואם הוכה מספר מה מאחדי מעלה מה על אחדי מספר מה מאחדי מעלה מה בזה בעצמו יתבאר שהעולה יושם במעלה אשר מרחקה מהמעלה המוכה לאחריה כמרחק המכה מהראשונה והמשל שיהיה לנו להכות ששה מהשלישית על שבעה מהשנית והוא מבואר שיחס אחד מהראשונה אל אחד מהשלישית כיחס אחד מהשנית אל אחד מהרביעית אבל יחס ששה מהראשונה אל ששה מהשלישית הוא כיחס אחד מהראשונה אל אחד מהשלישית לפי שהכפלים שוים ויחס שבעה מהשנית אל שבעה מהרביעית הוא כיחס אחד מהשנית אל אחד מהרביעית אם כן יחס ששה מהראשונה אל ששה מהשלישית כיחס שבעה מהשנית אל שבעה מהרביעית אם כן שטח ששה מהשלישית בשבעה מהשנית כמו שטח ששה מהראשונה בשבעה מהרביעית ואולם שטח אחד מהראשונה בשבעה מהרביעית הוא מהרביעית אם כן שטח ששה מהראשונה בשבעה מהרביעית הוא מאחדי הרביעית וזה כי הוא ששה דמיוני שבעה מהרביעית ובזה המופת בעינו יתבאר שהכאת שברים משברי חכמי התכונה בשברים הם מהמעלה אשר מרחקה מהמוכה לפניה כמרחק המכה ממעלת השלמים לפי שהמדרגות ההם הם מתיחסות גם כן ולזה יהיה העולה בהכאת מספר ממדרגת שברים על מספר ממדרגת שברים מהמדרגה אשר מספר מעלותיה כמספר המכה והמוכה מקובצים והסבה בזה שלא נמנית בשברים מדרגת האחדים אשר ממנה התחלתם אך התחלת מנין המעלות מהשברים הראשונים וזה מבואר מאד וכזה התבאר מזה שהעולה בהכאת האחדים מהמעלה הראשונה על שברים ממעלה מה הוא ממעלת השברים בעצמם וזה מה שרצינו להציע הנה יתבאר בו מה שרצה לבאר ואולם הכאת שברים בשברים או בשלמים הוא חלוק ע"ד האמת ולזה לא נבאר ענינו בזה השער. הדרך אשר תלך בה בהכאת מספר על מספר ראוי לך שתכתוב המכה בטור אחד כפי מעלותיו והמוכה בטור אחד תחתיו כפי מעלותיו גם כן ולהקל מעליך שים המספר אשר יותר מעט במעלות אחז בטור הראשון ואם הוא רב בכמות כי הכל הולך אל מקום אחד רצוני שהכאת האחד באחר כהכאת האחר בו וזה התבאר באקלידס אחר כן עשה טורים תחת אלו שני הטורים כמספר המעלות אשר יש בהם מספר בטור הראשון והם יהיו הטורים אשר תכתוב בהם העולה בהכאת אלו המספרים איש אל אחיו ואחר עשותך זה הכה המספר הראשון שבטור העליון על המספר הראשון שבטור התחתון והעולה תשים בראשון מטורי העולה במעלה הראויה לפי מה שקדם ולהקל מעליך שלא תצטרך לחשוב אנה תשים העולה כפעם בפעם הכה המספר הראשון שבטור העליון על מה שבמדרגה הראשונה שבטור התחתון וכתוב העולה בטור הראשון מטורי העולה במדרגת המכה תשוב להכותו על מה שבמדרגה במעלה השנית בטור התחתון ותכתוב העולה במעלה הנמשכת למעלה שהחילות לכתוב בה העולה וכזה תכה המספר הראשון שבטור העליון על כל מה שבמדרגות הטור התחתון ותכתוב העולה כפעם בפעם במעלה הנמשכת אחר המעלה אשר כתבת בה קודם זאת ההכאה אחר כן תשוב להכות המספר השני שבטור העליון על כל מה שבמדרגות הטור התחתון על הסדר ותחל לכתוב העולה במעלת המכה בטור השני מטורי העולה ואחר ימשכו מעלות הטור העולה על הסדר אחר כן תשוב להכות המספר השלישי שבטור העליון על כל מה שבמדרגות הטור התחתון על הסדר ותכתוב העולה על הסדר שקדם וכן עד כלות כל מספרי הטור העליון אחר כן תחבר כל מספרי טורי העולה ותכתוב העולה בטור אחד תחת טורי העולה והוא שטח המספר האחר בשני כי כבר הוכו כל חלקי זה בכללם על חלקי זה בכללם. דמיון נרצה בזאת הצורה להכות ז׳ אלפי אלפים ושלשים על מאה ושמנים אלף ושש מאות וארבעים והנה המספר אשר החזוק היותר מעט מהמעלות הוא ז׳ אלפי אלפים ושלשים ונכתבהו בטור העליון במקומותיו והמספר האחר כתבנו בטור אחר תחתיו והנה המספר הראשון שבטור העליון הוא ג׳ בשנית הכינו ג׳ על מה שבמדרגה הראשונה מהטור התחתון שהוא גלגל ועלה גלגל וכתבנוהו במעלה השנית בראשון שבטורי העולה הכינו ג׳ על מה שבמדרגה השנית מהטור התחתון שהוא ד׳ ועלה י"ב ונכתוב ב׳ במדרגה השלישית בטור העולה והעשרה יהיו אחד בשנית לה הכינו ג׳ על מה שבמדרגה השלישית מהטור התחתון שהוא ו׳ ועלה י״ח ואחד שנשאר לנו שם והנה י"ט ונכתוב ט׳ במדרגה הרביעית בטור העולה והעשרה יהיו אחד בשנית לה הכינו ג׳ על מה שבמדרגה הרביעית שהוא גלגל ועלה גלגל ואחד שנשאר לנו שם והנה א׳ וכתבנוהו בטור העולה אחר ט׳ הכינו ג׳ על מה שבמדרגה החמישית שהוא ח׳ ועלה ועלה כ"ד וכתבנו ד׳ אחר הא׳ והכ׳ יהיו שנים בשנית לה הכינו ג׳ על מה שבמדרגה הששית שהוא א׳ ועלה ג׳ וב׳ שנשארו לנו שם והנה ה׳ ונכתוב ה׳ אחר ד׳ בטור העולה ופה נשלמה הכאת ג׳ על כל מה שבמדרגות הטור התחתון. ונכה המספר הבא אחר הג' בטור העליון שהוא ז׳ על כל מה שבטור התחתון הכינו ז׳ על גלגל ועלה גלגל ונשימהו בטורי העולה בטור השני במעלה השביעית כנגד ז׳ במעלה השביעית הכינו ז׳ על ד׳ ועלה כ״ח ונכתוב ח׳ אחר הגלגל והכ' תהיינה ב׳ במעלה השנית לה הכינו ז׳ על ו׳ ועלה מ"ב וב׳ שנשארו לנו 0 ג 0 0 0 0 ז שם והנה מ"ד ונכתוב ד׳ אחר הח' 0 ד ו 0 ח א והמ׳ תהיינה ד׳ בשנית לה הכינו 0 0 ב ט א ד ה ז׳ על גלגל ועלה גלגל וד' שנשארו 0 ח ד ד ו ב א שם והנה ד׳ ונכתבם אחר הד' 0 0 ב ט א ד ה ח ד ד ו ב א הכינו ז׳ על ח' ועלה נ"ו ונכתוב ו׳ אחר הד׳ והג' תהיינה ה׳ בשנית לה הכינו ז' על א' ועלה ז׳ וה' שנשארו לנו שם והנה י"ב ונכתוב ב׳ אחר הו׳ והי' נעשו א׳ במעלה השנית לה ופה נשלמה הכאת כל מספרי הטור התחתון והנה העולה הוא גלגל בראשונה גלגל בשנית ב׳ בשלישית ט׳ ברביעית א׳ בחמשית ד׳ בששית ה׳ בשביעית ה׳ בשמינית ד׳ בתשיעית ד׳ בעשירית ו׳ באחד עשרה ב בשנים עשרה א׳ בשלש עשרה והקש על זה. ואם רצינו לדעת כמה יעלה מספר המרובע ההוה ממספר מונח נכתוב חישוב ריבוע המספר המספר אשר רצינו לדעת מרובעו בטור אחד ותחתיו תשוב ותכתבנו בטור אחר תחת הטור הזה והכה כל מספרי הטור העליון על כל מה שבמדרגות הטור השפל ויצא לך המבוקש ואם רצית לדעת כמה יעלה המספר המעוקב ההוה ממספר מונח חישוב מעוקב המספר תצטרך לעשות שתי תמונות ראשונה תכה המספר ההוא על עצמו ויצא לך מרובע המספר שרצית לדעת מעוקבו עוד תעשה תמונה אחרת ותכה המספר המונח שרצית לדעת מעוקבו על מרובעו שיצא לך והעולה הוא המבוקש. ולהקל מעליך אתן לך דרכים רבים לחשוב בהם הכאת מספר במספר קיצורי דרך בקלות כבר ידעת שהכאת מספר במעלה הראשונה במספר ממעלה הראשונה הוא קל המעשה וכן הכאת מספר נשבר רצוני מספר מה ממעלה ראשונה ושניה על מספר מעלה ראשונה ואם היה לך להכות מספר נשבר על מספר נשבר השלם המספר האחד מהם אל הצד אשר הוא היותר קרוב ואם הוספת על זה המספר להשלימו אל הכלל הקרוב גרע מהמספר האחר כשיעור מה שהוספת על המספר הראשון והנשאר הכה אותו על המספר השלם אשר בידך ושמור העולה ואם גרעת מזה המספר להשלימו הוסף על המספר האחר כשיעור מה שגרעת מזה המספר הראשון והנשאר בידך הכה אותו על המספר השלם אשר בידך ושמור העולה אחר כן ראה המספר הגדול אחר התוספות או אחר הגרעון כמה הוא מוסיף על המספר הקטן טרם התקון והתוספת ההוא ערוך על שיעור המספר שהוספת על אחד מהמספרים והעולה שמור והוא השמור השני וראה אחר כן מאי זה מספר שגרעת ואם גרעת מהמספר הגדול תגרע השמור השני מהשמור הראשון והנשאר בידך הוא המבוקש ואם הוספת על המספר הגדול הוסף השמור השני על השמור הראשון והוא המבוקש. ואתן לך איזה משלים נרצה להכות ל"ד על נ"ז השלמנו מספר נ״ז אל הכלל הקרוב ויהיה ס׳ ולפי שס׳ מוסיף על נ"ז שלשה נגרע מל"ד שלשה ויהיו ל"א ונכה ל"א על ס׳ יהיו אלף ושמנה מאות וששים והוא השמור הראשון ולפי שס׳ מוסיף על ל"ד כ"ו נערוך כ״ו על שלשה והנה ע״ח והוא השמור השני ולפי שהוספנו על המספר הגדול נוסיף השמור השני על השמור הראשון והוא אלף ותשע מאות ול"ח והוא המבוקש ובמשלנו זה אם הורדנו נ"ז אל הכלל שלמטה ממנו יהיה נ׳ הוספנו על ל"ד ז׳ והנה מ"א ערכנו מ"א על נ׳ והנה אלפים וחמשים והוא השמור הראשון ומפני שנ׳ מוסיף על ל"ד י"ו נערוך י"ו על ז׳ והנה קי״ב והוא השמור השני ולפי שגרענו מהמספר הגדול נגרע השמור השני מהשמור הראשון ונשאר אלף וט' מאות ול"ח והוא המבוקש וגם במשלנו זה אם הורדת ל״ד אל הכלל הקרוב אליו יהיה ל׳ הוספת על נ"ז ד׳ והנה ס"א ערכת ל׳ על ס"א והנה אלף ושמנה מאות ושלשים והוא השמור הראשון והנה יתרון ס"א על ל״ד הוא כ"ז ערכנו כ״ז על ד׳ והנה ק"ח והוא השמור השני ולפי שהוספת על המספר הגדול תוסיף השמור השני על השמור הראשון והנה אלף ותתקל"ח והוא המבוקש ואם העלית ל"ד אל מ׳ תגרע מנ״ז ו' והנה נ"א תערכם על מ׳ והנה אלפים וארבעים והוא השמור הראשון והנה יתרון נ"א על ל״ד הוא י"ז תערכם על ו׳ והנה ק״ב והוא השמור השני ולפי שגרעת מהמספר הגדול תגרע השמור השני מהשמור הראשון וישאר אלף ותתקל"ח והוא המבוקש ופעמים יצא לך לפי זה הדרך שיהיה לך להכות מספר על עצמו ואז יקל מאד זה הדרך משל זה שיהיה לך להכות מ"ג על נ"ז ואם תשלים מ"ג על נ׳ תחסר מנ"ז שיעור ההשלמה ויהיה נ׳ ויהיה לך להכות נ׳ על נ׳ ולחסר מהעולה מרובע ז׳ והנשאר הוא המבוקש וזה מבואר מאד ממה שקדם בראש המאמר הראשון מזה הספר והבן ותמצא. דרך אחרת בזה השלם המספר האחד אל הכלל הקרוב ועל העולה ערוך המספר האחר ושמור העולה גם ערוך המספר האחר על שיעור ההשלמה ושמור העולה והוא השמור השני ואם היתה ההשלמה לתוספת נגרע השמור השני מהשמור הראשית והנשאר הוא המבוקש ואם היתה ההשלמה למגרעת תוסיף השמור השני על השמור הראשון והעולה הוא המבוקש דמיון זה במשלנו הקודם השלמנו נ"ז אל הכלל הקרוב והנה ס׳ ערכנו ס׳ על ל"ד והנה אלפים וארבעים והוא השמור הראשון והנה שיעור ההשלמה הוא שלשה ערכנו שלשה על ל"ד והנה ק"ב והוא השמור השני ולפי שהשלמה היתה לתוספת נגרע השמור השני מהשמור הראשון ונשאר אלף ותתקל״ח והוא המבוקש וג"כ במשלנו זה אם השלמנו ל"ד אל הכלל הקרוב יהיו ל׳ ערכנו ל׳ על נ"ז ועולה אלף ת"ש והוא השמור הראשון והנה שיעור ההשלמה הוא ד׳ ערכנו ד׳ על נ״ז ועלה רכ"ח והוא השמור השני ולפי שההשלמה היתה למגרעת נוסיף השמור השני על השמור הראשון ויעלה אלף ותתקל"ח והוא המבוקש ואם תרצה לדעת מרובע מספר נשבר מונח הנה תשלים המספר אל הכלל הקרוב ושיעור ההשלמה תגרע מהמספר המונח והנשאר תכה על המספר המושלם והוסף על העולה מרובע מספר ההשלמה והנה המבוקש משל זה אם רצית לדעת מרובע מ"ז הנה הכלל הקרוב הוא נ׳ ומרחקו ממ"ז הוא שלשה תגרעם ממ״ז והנה מ״ד ערכת מ"ד על נ׳ והנה אלפים ומאתים והנה המרחק הוא שלשה שהוא תשעה והנה אלפים ור"ט והוא המבוקש. דרך לדעת בקלות מרובע מספר ממעלה אחת ראה יחס המספר אל יחס אחד ממעלה הנמשכת וקח כמו היחס ההוא מהמספר שרצית לדעת מרובעו וערכהו על אחת מהמעלה הנמשכת והוא המבוקש דמיון רצית לדעת כמה מרובע שלשים והנה יחס שלשים אל מאה שהוא אחד מהמעלה הנמשכת הוא שלש עשיריות קח שלש עשיריות שלשים והנה ט׳ ערכם על מאה והנה ט׳ מאות והוא המבוקש והיה זה כן לפי ששלשים אמצעי בין ט׳ ובין ק׳ ואם היה המספר שרצית לדעת מרובעו משתי מעלות נמשכות השלם המספר אל הכלל הקרוב ותדע מרובעו ושמור העולה אח"כ חבר המספר השלם אם המספר הנשבר וערכהו על שיעור ההשלמה והוא יהיה השמור השני ואם היתה ההשלמה לתוספת גרע השמור השני מהשמור הראשון ואם היתה ההשלמה לגרעון תוסיף השמור השני על השמור הראשון והעולה הוא המבוקש דמיון זה אם רצית לדעת מרובע שלשים ושלשה הנה תשלים המספר אל הכלל הקרוב והוא ל׳ ומרובע ל׳ הוא ט׳ מאות ושמור אח"ז תחבר שלשים עם שלשים ושלשה והנה ס״ג ערכנום על ג׳ שהוא שיעור ההשלמה והנה קס"ט והוא השמור השני ולפי שההשלמה היתה לגרעון נוסיף קפ"ט על השמור הראשון והנה אלף ופ"ט והוא הדרוש ואם השלמת ל״ג אל מ׳ במשלנו זה הנה היה מרובעו י״ו מאות ושמור ותחבר ל"ג עם מ׳ והנה ע"ג תערכם על ו׳ והנה תקי״א ולפי שההשלמה היתה לתוספת תגרע תקי״א מהשמור הראשון וישאר לך אלף ופ״ט והוא הדרוש והיה זה כן לפי שיתרון מרובע מ׳ על מרובע ל"ג הוא כמו שטח ז׳ במ׳ ושטח ז׳ בל"ג וזה שוה לשטח ז׳ בע"ג והקש. דרך אחרת קח שלישית המספר שרצית לדעת מרובעו קח מרובעו ושמור אח"כ העלהו אל המעלה הנמשכת ותגרע מהעולה השמור והנשאר הוא המבוקש דמיון רצינו לדעת מרובע ל"ג לקחנו שלישיתו והוא י"א ומרובעו קכ"א העלינו קכ״א אל המעלות הנמשכות והנה אלף ומאתים ועשר גרענו מהם קכ"א וישאר אלף ופ״ט והוא המבוקש והיה זה כן לפי שאלף ומאתים ועשר הוא עשרה דמיוני מספר קכ״א והנה יחס מרובע ל״ג אל מרובע י״א הוא יחס צלעו אל צלעו שנוי ביחס אבל יחס צלעו אל צלעו שנוי ביחס הוא יחס תשעה אל אחד א"כ מרובע ל"ג הוא תשעה דמיוני מרובע י"א וכבר היה אלף ור"י עשרה דמיוני מרובע י״א א"כ כאשר גרענו מאלף ור"י מרובע י"א יהיה הנשאר שוה למרובע ל"ג והקש על זה

Chapter Three – Sums

נמשכים מן האחד עד מספר מונח קח חצי מרובע המספר המונח וחברהו עם חצי המספר המונח והוא המבוקש דמיון אם רצית לחבר אחד ושנים ושלשה וארבעה וכן עד עשרה ועשרה עמהם קח חצי מרובע עשרה וחציו והנה נ״ה וככה המבוקש. דרך אחרת ערוך המספר ההוא על חצי המספר הנמשך לו לאחריו או חצי המספר ההוא על המספר הנמשך לו לאחריו והוא המבוקש והנה במשלנו זה ערוך י׳ על חצי י"א או חצי י׳ על י"א והנה נ"ה וככה המבוקש ואם היו המספרים נמשכים בזולת דרך המספר ר"ל שהיה הראשון מספר מונח והשני שני דמיוני המספר המונח והשלישי שלשה דמיוניו וכן בזה הדרך עד מספר מה תחבר הנמשכים עד המספר ההוא בדרך הקודמת והעולה תערוך על המספר הראשון המונח וככה המבוקש. דמיון זה שיהיה הראשון שבעה והשני י"ד והשלישי כ"א והרביעי כ"ח וימשכו בזה הדרך עד תשעה מספרים כבר ידעת כי הנמשכים מן האחד עד תשעה הם מ"ה ערכם על ז׳ שהוא הראשון והנה שט"ו והוא המבוקש ויהיה זה כן לפי שיחס האחד אל הראשון כיחס השנים אל השני וכיחס השלשה אל השלישי וביחס הארבעה אל הרביעי וביחס החמשה אל החמישי וכיחס הששה אל הששי וכיחס השבעה אל השביעי וכיחס השמנה אל השמיני וביחס התשעה אל התשיעי אבל יחס האחד אל קרובו כיחס הכל אל הכל א״כ יחס אחד אל שבעה כיחס הכל אל הכל אבל שבעה ימנהו אחד כמנין אחדי שבעה א"כ כלל אלו המספרים ימנהו מ"ה כמספר אחדי שבעה א״כ כבר יוכה מספר מ"ה בשבעה ויהיה העולה שוה לאלו המספרים המקובצים והקש על זה. אם רצית לחבר נפרדים הנמשכים מתחילים מן האחד עד מספר מונח קח מרובע המספר האמצעי בין האחד והמספר המונח והנה המבוקש דמיון זה אם רצית לחבר הנפרדים הנמשכים עד תשעה והאחד עמהם הנה המספר האמצעי בין אחד ובין תשעה הוא חמשה קח מרובעו והוא כ"ה וככה המבוקש ואם רצית לחבר הזוגות הנמשכים עד מספר מה והנה יהיה המספר הראשון שנים והשני שני דמיוניו והשלישי שלשה דמיוניו וכן ימשכו נמשכים בזולת דרך המספר וכבר קדם דרכו ולזה תקח חצי המספר האחרון לפי שהוא כמספר מספרי הזוגות הנחברים ותדע מה עלו הנמשכים מן האחד עדיו ותערוך העולה על שנים שהוא הראשון והנה המבוקש דמיון זה אם רצית לחבר הזוגות עד עשרה כבר ידעת שהנמשכים עד חמשה הם ט"ו ערכת אותם על שנים שהוא הראשון והנה ל' וככה המבוקש. אם רצית לחבר מרובעי מספרים נמשכים מן האחד עד מספר מונח קח המספר המונח פחות שלישית המספר הנמשך לפניו וערכהו על נקבץ הנמשכים עד המספר המונח דמיון זה אם רצית לדעת מרובעי המספרים הנמשכים עד חמשה הנה המספר הנמשך לחמשה לפניו היא ארבעה גרענו ממנו שלישית ארבעה שהוא ד' שלישית ונשארו ארבעה פחות שלישית ערכנום על ט"ו שהוא נקבץ הנמשכים עד חמשה ועלה נ"ה וככה המבוקש. ואם רצית לחבר מרובעי הנפרדים הנמשכים מן האחד או מרובעי הזוגות הנמשכים עד מספר מונח רצוני שיהיה המספר המונח הוא האחרון קח נקבץ הנמשכים עד המספר הנמשך אחר המספר המונח וערכהו על שלישית המספר המונח דמיון זה רצינו לדעת מרובעי הנפרדים הנמשכים עד תשעה הנה נקבץ הנמשכים מן האחד עד עשרה הוא נ"ה ערכנום על שלישית תשעהו הנה קס"ה וככה המבוקש ואם רצית לחבר מרובעי מספרים נמשכים בזולת דרך המספר עד מספר מונח ערוך מרובעי המספרים הנמשכים מן האחד עד המספר המונח על מרובע המספר הראשון והעולה הוא המבוקש דמיון זה אם רצית לחבר מרובעי מספרים נמשכים שהראשון ארבעה והשני שמנה והשלישי שנים עשר וימשכו בזה הדרך עד שבעה מספרים הנה כבר ידעת שמרובעי כל המספרים עד שבעה הם ק״מ ערכת אותם על י"ו שהוא מרובע המספר הראשון והנה אלפים ר״מ וככה המבוקש והיה זה כן לפי שיחס אחד אל הראשון הוא כיחס שנים אל השני וכיחס כל אחד אל גילו א"כ יהיה יחס מרובע אחד אל מרובע הראשון כיחס מרובע כל אחד מהם אל מרובע גילו ולזה יהיה יחס מרובע האחד אל מרובע גילו כיחס מרובעי הכל אל מרובעי הכל אם רצית לחבר מעוקבי מספרים נמשכים מן האחד עד מספר מונח קח מרובע נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר המונח והעולה הוא המבוקש. דמיון זה אם רצית לדעת מעוקבי המספרים הנמשכים מן האחד עד ששה והנה נקבץ הנמשכים מן האחד עד ששה הוא כ״א לקחנו מרובעו והנה תמ״א והוא המבוקש ואם היו המספרים נמשכים בזולת דרך המספר עד מספר מונח ורצינו לדעת מעוקביהם תוציא מעוקבי המספרים הנמשכים מן האחד עד המספר המונח ותערוך העולה על מעוקב המספר הראשון והוא המבוקש וכבר התבארה סבת זה במה שקדם דמיון זה שיהיה הראשון ארבעה והשני שמנה ונמשך בזה הדרך עד חמשה כבר ידוע שמעוקבי המספרים הנמשכים עד חמשה הם רכ"ה ערכנום על ס״ד שהוא מעוקב המספר הראשון ועלה י"ד אלפים וד' מאות וככה המבוקש. ואם רצינו לדעת מעוקבי הזוגות ממספרים נמשכים מן האחד עד מספר מונח קח מעוקבי הנמשכים עד חצי המספר המונח וערוך העולה על מעוקב המספר הראשון שהוא שנים ומעוקבו שמנה וככה המבוקש וכבר התבארה סבת זה במה שקדם רצו׳ שאלו המספרים שבים אל המספרים הנמשכים בזולת דרך המספר דמיון זה אם רצית לדעת מעוקבי הזוגות הנמשכים עד ששה הנה מעוקבי המספרים הנמשכים עד שלשה הם ל"ו ערכנום על שמנה שהוא מעוקב המספר הראשון ועלה רפ"ח וככה המבוקש ומזה תוכל לדעת מעוקבי הנפרדים הנמשכים מן האחד עד מספר מונח רצוני שתדע תחלה מעוקבי כל המספרים עד המספר המונח ותוצא מן העולה מעוקבי הזוגות והנשאר הוא מעוקבי הנפרדים. אם רצינו לחבר מספרים נמשכים בדרך המספר בלתי מתחילין מן האחד אבל יתחילו ממספר מונח ויכלו במספר מונח שני נקח נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר המונח השני ושמור ונגרע מהשמור נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר הנמשך לפני המספר הראשון דמיון זה שהיה המספר הראשון ששה ורצינו לחבר הנמשכים לו לאחריו עד מספר אחד עשר והנה נקבץ הנמשכים מן האחד עד אחד עשר הוא ס"ו נגרע ממנו מספר הנמשכים מן האחד עד חמשה שהוא ט״ו ונשארו נ"א וככה המבוקש וכן תעשה במרובעי המספרים הנמשכים כאשר לא יתחילו מן האחד או המעוקבים והסבה בזה מבוארת וכן תעשה במרובעי הנפרדים הנמשכים כאשר לא יתחילו מן האחד או במרובעי הזוגות כאשר לא יתחילו משנים לזאת הסבה בעינה. אם רצית לחבר מספר מונח ממספרים נמשכים בזולת דרך המספר והיה הראשון בלתי שוה למספר ההמשך אבל הוא פחות ממנו או יותר עליו מספר מונח שני ערוך המספר המונח השני על המספר המונח הראשון והעולה הוא השמור הראשון גם קח נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר המונח הראשון וערכהו על מספר ההמשך והוא השמור השני ואם היה הראשון פחות ממספר ההמשך תוצא השמור הראשון מהשמור השני והנשאר הוא המבוקש דמיון זה אם רצית לחבר שבעה מספרים שכל אחד מהם מוסיף על המספר שלפניו שלשה והראשון פחות שנים משלשה או מוסיף שנים על שלשה הנה שטח שנים בשבעה הוא י"ד והוא השמור הראשון ונקבץ הנמשכים עד שבעה הוא כ"ח ערכנום על שלשה והנה פ"ד ואם היה הראשון פחות שנים משלשה תגרע י״ד מפ"ד וישאר ע׳ והוא המבוקש והסבה שאם הוספנו חסרון הראשון משלשה על כל אחד מהמספרים היו נמשכים מיחס שלשה ולזה נגרע מהעולה שטח שנים בשבעה ואם היה הראשון מוסיף על שלשה שנים הוסף י"ד על פ"ד והיו צ"ח והוא המבוקש והסבה שאם נגרע תוספת הראשון על שלשה מכל אחד מהמספרים היו נמשכים בזולת דרך המספר והקש על זה... אם רצית לחבר מרובעי מספר מונח ממספרים נמשכים בזולת דרך המספר אלא שהמספר הראשון מתחלף ממספר ההמשך בשיעור מספר מונח שני ערוך המונח השני על כפל נקבץ אלו המספרים והעולה תחבר עם שטח המספר המונח הראשון במרובע המספר המונח השני אם היה הראשון פחות ממספר ההמשך ואם היה הראשון מוסיף על מספר ההמשך תגרע זה השטח שזכרנו מהעולה ומה שישאר בידך אחר התוספת או אחר הגרעון הוא השמור הראשון אח"כ קח מרובעי המספרים הנמשכים מן האחד עד המספר המונח הראשון וערוך העולה על מרובע מספר ההמשך והוא השמור השני ואם היה המספר הראשון פחות ממספר ההמשך גרע השמור הראשון מהשמור השני והנשאר הוא המבוקש ואם היה המספר הראשון מוסיף על המספר המונח השני הוסף השמור הראשון על השמור השני והוא המבוקש. דמיון זה אם רצית לחבר מרובעי ז׳ מספרים שכל אחד מהם מוסיף על המספר שלפניו שלשה והראשון מהם מוסיף שנים על שלשה או פחות ממנו שנים ויהיה תחלה הראשון מוסיף שנים על שלשה הנה ידענו שנקבץ אלו המספרים הוא צ״ח וכפלהו והנה קצ"ו ערכנום על שנים והנה שצ״ב ואולם שטח מרובע שנים שהוא ארבעה בשבעה הוא כ"ח גרענום משצ"ב והנה שס"ד והוא השמור הראשון או אם תערוך שנים על כפל נקבץ שבעה מספרים נמשכים בזולת דרך המספר שכל אחד מהם מוסיף שלשה על שלפניו והראשון שלשה ותחבר עם העולה שטח מרובע שנים בשבעה יעלה שס"ד ג"כ וזה ששטח כפל שנים בפ״ד הוא של"ו חברנו עמו שטח ארבעה בשבעה שהוא כ"ח ועלה שס"ד הנה אלו שני הדרכים יביאוך אל מספר אחד בעינו וזה מבואר מראש המאמר הראשון עם מעט עיון ואולם מרובעי המספרים הנמשכים עד שבעה הם ק״מ ערכנום על תשעה שהוא מרובע מספר ההמשך והנה אלף ור"ס חברנום עם שס"ד והנה אלף ותרכ"ד והוא המבוקש ויהיה גם כן הראשון פחות שנים משלשה במשלנו זה הנה ידענו שנקבץ המספרים האלו הוא ע׳ והנה ק"מ ערכנום על ט׳ שהוא מרובע מספר ההמשך והנה אלף ור"ס גרענו מהם ש"ח והנה תתקנ"ב והוא המבוקש והיה זה כן לפי שאם הוסף שנים על כל אחד מהמספרים היו נמשכים בזולת דרך המספר ואולם יתרון מרובע כל מספר מהם באשר חובר עם שנים על מרובעו הוא כפל שטח שנים במספרו ומרובע שנים וכאשר חובר זה התוספות מכל אלו המספרים היה כמו שטח שנים בכל אלו המספרים נחברים וכמו שטח מרובע שנים במספר המספרים גרענו העולה ממרובעי המספרים הנמשכים בזולת דרך המספר בשיעור זה ההמשך ועד המספר המונח הראשון ונשאר המבוקש ובזה התבאר מקביל זה עם מעט עיון והבן ותמצא. אם רצית לחבר מעוקבי מספר מונח ממספרים נמשכים בזולת דרך המספר אלא שהמספר הראשון מתחלף למספר ההמשך בשיעור מספר מונח שני הנה אם יהיה המספר הראשון פחות ממספר ההמשך תקח מרובעי אלו המספרים ותערוך העולה על שלשה דמיוני המספר המונח השני ותשמור עוד תערוך שלשה מרובעי המספר המונח השני על נקבץ אלו המספרים ושמור עוד תערוך מעוקב המספר המונח השני על המספר המונח הראשון ותחבר העולה עם שני השמורים ויהיה בידך השמור הראשון המתוקן אחר כך קח מעוקבי המספרים הנמשכים מן האחד עד המספר המונח הראשון וערכם על מעוקב מספר ההמשך ומהעולה גרע השמור הראשון המתוקן והנשאר הוא המבוקש דמיון זה אם רצינו לחבר מעוקבי שבעה מספרים שכל אחד מהם מוסיף על שלפניו שלשה והראשון פחות משלשה שנים הנה כבר ידענו שמרובעי אלו המספרים הם תתקנ"ב ערכנו זה על שלשה דמיוני שנים שהוא ו׳ והנה ה׳ אלפים ותשי"ב ונשמרם וגם כן הנה נקבץ אלו המספרים הוא ע׳ ערכנום על שלשה דמיוני מרובע שנים שהוא י"ב והנה תת"מ ונשמרם גם כן ערכנו מעוקב שנים שהוא שמנה על ז׳ והנה נ"ו חברנום עם שני השמורים והנה ו׳ אלפים ותר"ח והוא השמור הראשון המתוקן הוצאנו מעוקב המספרים הנמשכים מן האחד עד ז׳ והנה תשפ״ד ערכנום על כ"ז שהוא מעוקב שלשה והנה כ״א אלפים וקס"ח גרענו מהם השמור הראשון המתוקן ונשאר י"ד אלפים ותק״ס והוא המבוקש. ואם היה המספר הראשון מוסיף על מספר ההמשך מספר מונח שני הוצא נקבץ המספר המונח הראשון ממספרים נמשכים בזולת דרך המספר בשיעור זה ההמשך המונח וכבר ידעת אופן זה המעשה במה שקדם ערוך העולה על שלשה דמיוני מרובע המונח השני והעולה שמור גם קח מרובעי המספר המונח הראשון ממספרים נמשכים בזולת דרך המספר בשיעור זה ההמשך המונח וערוך העולה על שלשה דמיוני המספר המונח השני ושמור העולה עוד תערוך מעוקב המספר המונח השני על המספר המונח הראשון וחבר העולה עם שני השמורים והעולה יהיה השמור הראשון המתוקן אחר כך הוצא מעוקבי המספר הראשון המונח ממספרים נמשכים בזולת דרך המספר בשיעור ההמשך המונח וחבר עם העולה השמור הראשון המתוקן והנה המבוקש דמיון זה במשלנו הקודם רצוני שיהיה המספר הראשון מוסיף שנים על שיעור ההמשך הנה ידענו כי מרובעי שבעה מספרים נמשכים בהמשך שלשה שלשה הם אלף ור"ס ערכנו אלף ור"ס על שלשה דמיוני המספר המונח השני שהוא ו׳ ועלה ז׳ אלפים ותק"ס ונשמור העולה וג"כ הנה נקבץ המספרים הנמשכים בהמשך שלשה עד שבעה הוא פ"ד ערכנום על שלשת דמיוני מרובע המספר המונח השני שהוא י״ב ועלה אלף וח' ונשמרם גם כן וג"כ הנה מעוקב המספר המונח השני הוא ח' ערכנוהו על המספר המונח הראשון שהוא ז׳ ועלה נ"ו חברנום עם שני השמורים ועלה ח׳ אלפים ותרכ"ד והוא השמור הראשון המתוקן וגם כן הנה מעוקבי שבעה מספרים נמשכים בהמשך שלשה הוא כ"א אלפים וקס״ח חברנום עם השמור המתוקן הראשון ועלה כ"ט אלפים ותשצ"ב והוא המבוקש והיה זה כן שאם נגרע מכל אחד מאלו המספרים שנים היו נמשכים בהמשך שלשה ואולם מעוקב כל מספר מהם פחות ממעוקב המספר כשהוסף עליו שנים כמו שלשה דמיוני שטח מרובע המספר ההוא על שנים וכמו שלשה דמיוני שטח המספר ההוא על מרובע מספר שנים וכמו מעוקב שנים וכאשר קבצנו זה בכל המספרים היה מה שזכרנו והבן ותמצא ובזה התבאר הסבה במקביל זה עם מעט עיון. אם רצית לדעת מה יעלה המספר האחרון ממספר מונח ממספרים מתיחסים על יחס מונח מתחילין מן האחד קח מרובע היחס והנה השלישי קח מרובע השלישי והנה החמשי קח מרובע החמשי והנה התשיעי ובזה הדרך תוכל לדעת ממרובע כל מספר מהם מספר קצהו וכאשר תגיע אל מספר קרוב ממספר המונח שמור מספרו אח"כ תדע מרחקו ממספר המונח כמה גם תדע מה יעלה המספר מאלו המתיחסים אשר מרחקו ככה מן האחד ועל מספרו תערוך השמור והנה המבוקש משל זה אם רצית לדעת מה יעלה המספר האחרון מחמשה עשר מספרים מתיחסים על יחס מונח מתחילין מן האחד והיה היחס המונח שלשה ובזה יהיה המספר השני שלשה לקחנו מרובע ג׳ שהוא ט׳ והנה השלישי לקחנו מרובע ט׳ שהוא פ"א והנה החמישי לקחנו מרובע פ״א שהוא ו׳ אלפים ותקס״א והנה התשיעי ואם נקח מרובע התשיעי יהיה לנו השבעה עשר ויעבור המספר המונח ולזה נראה כמה מרחק התשיעי מן החמשה עשר והנה החמשה עשר הוא השביעי לו ולזה ראוי שנדע כמה מספר המספר השביעי לאחד וידענו כי המספר

• וג״כ נקבץ שבעה מספרים נמשכים בהמשך שלשה הוא פ"ד ערכנום על שלשה דמיוני מרובע

המונח השני שהוא י״ב ועלה אלף וח' ונשמרם ג״כ וג״כ הנה מעוקבי המספר המונח השני הוא ח' ערכנום על המספר המונח הראשון שהוא ו׳ ועלה נ״ו חברנום עם שני השמורים ועלה ח' אלפים תרכ"ד והוא השמור הראשון המתוקן וג"כ הנה מעקבי שבעה מספרים נמשכים האחד עד ז' הם תשפ״ד ערכנום על כ"ח שהוא מעוקב שלשה עד כ״ז שהוא מעוקב שלשה החמשי לאחד הוא פ״א והשביעי הוא שלישי לחמשי ערכנו פ"א על ט' שהוא השלישי והנה תשכ״ט והוא השביעי ערוך השביעי על התשיעי ויעלה בידך המספר החמשה עשר והוא ד׳ אלפי אלפים וז׳ מאות אלף ושמנים ושמנה אלף ותתקס״ט והוא החמשה עשר והקש על זה והיה זה כן לפי שיחס הראשון אל השני ביחס השני אל השלישי ולזה יהיה שטח הראשון בשלישי כמו שטח השני בעצמו אבל שטח הראשון בשלישי הוא השלישי לפי שהראשון הוא אחד א"כ שטח השני בעצמו הוא שטח השלישי ובזה יתבאר ששטח הראשון בחמשי כמו שטח השלישי בעצמו וכן יתבאר מה שימשוך לזה וגם כן הנה יחס הראשון אל השלישי כמו יחס החמשי אל השביעי א״כ שטח השביעי בתשיעי הוא כמו שטח הראשון בשביעי שהוא כמו השביעי וגם כן הנה יחס הראשון אל השביעי כיחס התשיעי אל החמשה עשר אם כן שטח השביעי בתשיעי הוא כמו שטח הראשון בחמשה עשר שהוא כמו החמשה עשר והקש על זה. ואם רצית לדעת מה יעלה המספר האחרון ממספר מונח ממספרים מתיחסים על יחס מונח בלתי מתחילין מן האחד דע תחלה מה יעלה המספר האחרון ממספר המונח ממספרים מתיחסים על היחס המונח מתחילין מן האחד וערכהו על המספר הראשון וככה המבוקש.. דמיון זה שיהיו המספרים המתיחסים חמשה והיחס שלשה והראשון חמשה ורצית לדעת כמה האחרון הנה כבר ידענו שהחמשי מזה היחס אם היו מתחילין מן האחד הוא פ״א ערכת פ״א על המספר הראשון שהוא חמשה ועלה ת"ה וככה המבוקש והיה זה כן כי ביחס השווי יחס הראשון שהוא אחד אל החמשי לו כיחס החמשי אל החמשי לו מזה היחס וכאשר המירונו הנה יחס הראשון אל הראשון כיחס החמשי אל החמשי ואולם יחס הראשון אל הראשון הוא חמשה הנה יחס החמשי אל החמשי הוא חמשה והקש על זה. אם רצית לחבר מספר מה ממספרים מתיחסים על יחס מונח גרע הראשון מהשני וראה יחס הנשאר מהשני אל הראשון וככה יחס הנשאר מן האחרון כשנגרע ממנו הראשון של כל המספרים שלפניו וזה כבר התבאר בסוף המאמר התשיעי מאקלידס דמיון זה אם רצית לחבר ששה מספרים מתיחסים על יחס ג׳ והראשון ד׳ כבר ידעת שהשני הוא י"ב והאחרון הוא תתקע"ב גרענו מהשני הראשון שהוא ד׳ ונשארו שמנה והנה יחס ד׳ אל ח׳ הוא חצי גרענו מהאחרון ד׳ ונשארו תתקס״ח לקחנו חצים והנה תפ"ד חברנוהו עם תתקע"ב והנה אלף תנ״ו והוא המבוקש

Chapter Four – Combinatorics

מספר מחברות מספר מונח מנושאים מתחלפים המתחלפות בסדר לבד קח המספר המורכב מהמספרים הנמשכים מן האחד עד המספר ההוא וככה המבוקש דמיון זה אם רצית לדעת בכמה דרכים יתחברו ה׳ נושאים ותהיינה המחברות מתחלפות בסדר הנה המספרים הנמשכים מן האחד עד ה׳ הם א'ב'ג'ד'ה' והמספר המורכב ממספרי א'ב'ג'ד'ה' הוא ק"ך וככה המבוקש והיה זה כן לפי שמחברות ב׳ הם ב׳ וזה שוה למורכב א׳ב׳ ומחברות שלשה הם כמו שטח ג׳ בב׳ שהוא מורכב א׳ב׳ג׳ וכזה התבאר זה עד אין תכלית. אם רצית לדעת כמה תהיינה מחברות מספר מונח שני ממספר מונח ראשון מנושאים מתחלפים המתחלפות אם בסדר אם בנושאיהן כבר ידעת שמחברות השנים הם כמו שטח המספר המונח הראשון במספר הנמשך לו לפניו ומחברות שלשה ממנו יחסם אל מחברות השנים כמו הנשאר מן המספר המונח הראשון כשנגיע ממנו שנים ומחברות הארבעה ממנו יחסם אל מחברות השלשה כמו הנשאר מן המספר המונח הראשון כשנגרע ממנו שלשה וכזה ימשך הענין לאין תכלית ומפני זה יהיה הדרך בזה שתקח המספר המורכב מהמספר המונח השני ממספרים נמשכים שיהיה האחרון מהס שוה אל המספר המונח הראשון והעולה הוא המבוקש דמיון זה אם רצית לדעת מחברות החמשה מח׳ נושאים המתחלפות אם בסדר אם בנושאיהם הנה מפני שהמספר המונח השני הוא חמשה תקח מורכב חמשה מספרים נמשכים שיהיה האחרון מהם שמנה והם ד'ה'ו'ז'ח' והמספר המורכב מהם הוא ו׳ אלפים תש״כ וככה מחברות החמשה המתחלפות אם בסדר אם בנושאיהם משמנה נושאים מתחלפים והיה זה כן לפי שמחברות השנים ממנו הוא שטח ז' בח׳ ומחברות השלשה ממנו הוא שטח ו׳ בשטח ז׳ בח' לפי מה שהוא במה שקדם ומחברות הארבעה ממנו הוא שטח ה׳ במורכב ממספרי ו'ז'ח' ומחברות החמשה ממנו הוא שטח ד׳ במורכב ממספרי ה׳ו׳ז׳ח׳ וכזה יתבאר לאין קץ וזה כלו מבואר ממה שקדם. אם רצית לדעת כמה תהיינה מחברות מספר מונח שני המתחלפות בנושאיהן ממספר מונח ראשון מנושאים מתחלפים קח מחברות המספר המונח השני המתחלפות אם בסדר אם בנושאיהם מהמספר המונח הראשון מנושאים מתחלפים ושמור העולה קח מחברות המספר המונח השני המתחלפות בסדר לבד וכמו שיעור אחדי המספר שימנה השמור העולה וככה המבוקש דמיון זה אם רצית לדעת מחברות החמשה המתחלפות בנושאיהן משמנה נושאים מתחלפים ראה כמה פעמים ימנה מורכב ד'ה'ו'ז'ח' מורכב א'ב'ג'ד'ה' והנה מורכב ד׳ה׳ו׳ז׳ח׳ הוא ו׳ אלפים תש"כ ומורכב א'ב'ג'ד'ה' הוא ק"ך וו' אלפים תש"כ ימנה ק״ך נ״ו פעמים והנה נ"ו הוא המבוקש וכבר יבוא לך דרך החשבון בזאת החלוקה במה שאחר זה ולהקל מעליך כבר ידעת שמחברות החמשה המתחלפות בנושאיהן משמנה נושאים מתחלפים הם כמספר מחברות השלשה המתחלפות בנושאיהן מאלו הנושאים ולזה תעיין כמה פעמים ימנה מורכב ו׳ז׳ח׳ שהוא של״ו מורכב א'ב'ג' שהוא ו׳ והנה ימנהו נ״ו פעמים וככה מחברות השלשה המתחלפות בנושאיהן משמנה נושאים גם ככה מחברות החמשה שהוא שאריתם וזה כבר התבאר ממה שקדם.

• ר״ל מחברות שנים שנים או שלשה שלשה מן מנין נושאים מתחלפים

כאלו תומר עמנו עשרה נושאים והוא שקראו מספר ראשון ורצינו חבור שלשה שלשה מהם והוא שקראו מספר שני

Chapter Five – Division

מצלעיו כמספר אחדי הצלע השנית על כן אם ידעת מספר השטח וידעת אחת מצלעותיו תוכל להוציא הצלע השנית והנה אופן המעשה בזה שתכתוב מספר השטח בטור אחד ותחתיו תכתוב בטור אחר הצלע הידוע ותחלוק הטור העליון על הטור השפל והעולה בידך הוא הצלע השנית ואולם איך תחלוק הטור העליון על הטור השפל הנה כפי מה שאומ׳ תסתכל תחלה במספר האחרון שבטור התחתון ובמספר שבמעלה הקודמת לו וכל המספרים שלפני המעלה הקודמת לו בטור התחתון תחשוב כאלו הם אחד לבד במעלה הקודמת לו ומה שיעלה בידך מן האחדים במעלה האחרונה שבטור התחתון יהיו לאחדים בידך ומה שיעלה בידך מן האחדים במעלה שלפני האחרונה יהיו לעשיריות אחד שלם ומה שיהיה בידך מן האחדים והעשיריות שמרם אח"כ התבונן במספר התחתון שבטור העליון והיו לאחדים בידך והאחדים שבמעלה שלפניו יהיו עשיריות ולא תחוש לשאר המספרים והעולה בידך מן האחדים והעשיריות אם הם יותר מהשמור או כדי השמור תחשוב כמה פעמים יהיה בו השמור בשלמות והעולה בידך תשימהו בטור אמצעי בין שני הטורים במעלה אשר מרחקה מהמעלה האחרונה שבטור העליון לפניו כמרחק המעלה האחרונה שבטור התחתון ממדרגת האחדים אחר כך ערוך המספר ההוא אשר בטור העולה על הטור התחתון והעולה בידך תגרענו מהטור העליון ותכתוב הנשאר בידך על הטור העליון ותמחוק הטור העליון הקודם ואם לא היה המספר האחרון אשר בטור העליון עם העשיריות אשר שם כמו השמור תוריד המעלה האחרונה אל שלפניה וממנה תחשוב האחדים והעשיריות משלפניה והעולה בידך תראה כמה פעמים ימנהו השמור בשלמות והעולה תכתוב במעלה אשר מרחקה לאחור מהמעלה האחרונה אחר ההורדה שבטור העליון כמרחק המעלה האחרונה שבטור התחתון מהמדרגה הראשונה ותנהג הענין על המנהג הקודם. אח״כ תשוב לעשות מהטור העליון הנשאר בידך כמו מה שעשית מהטור העליון הקודם וכן תעשה עד שלא ישאר לך בטור העליון דבר או שישאר לך פחות מהטור התחתון אם היה שלא ימנה הטור העליון הטור התחתון ועוד נודיעך במה שיבא מה תעשה מהנשאר ההוא ופעמים יקרה שנצטרך לכתוב בטור העולה שתי פעמים במעלה אחת ומעט מה שיקרה זה. דמיון זה רצינו לחלק טור א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט' על טור ז'ג'ד'ט' והנה המספר האחרון שבטור התחתון והוא ז'ג'ד'ט' הוא ט׳ והם שלמים ובמעלה שלפניו מספר ד׳ וכל מה שלפניו הוא אחד בה על צד האומד והקרוב ויהיו ה׳ והם עשיריות ולזה יהיה השמור ט׳ שלמים וה' עשיריות והנה ט׳ שלמים וח׳ עשיריות ימנם ט׳ שלמים וה׳ עשיריות פעם אחת ולזה נכתוב א׳ בטור האמצעי בין שני אלו הטורים במעלה הרביעית לאחרונה שבטור העליון לפניה לפי שמספר האחרון שבטור התחתון הוא מרביעית ולפי זה יהיה הא׳ שבטור האמצעי מהמעלה הששית הכינו א׳ על הטור התחתון ועלה ז׳ מהששית ג׳ מהשביעית ד׳ מהשמינית ט׳ מהתשיעית גרענו העולה מהטור העליון ונשאר בטור העליון א'ב'ג'ד'ה'ט'ג'ד' ונכתוב זו על הטור העליון ונמחק הטור הקודם והנה במעלה האחרונה שבטור העליון עם מה שלפניו ד׳ שלמים וג׳ עשיריות והוא פחות מהשמור ולזה תוריד ד' אל שלפניו יהיו מ׳ בה וג' שהיו בה והנה מ"ג וט׳ עשיריות במעלה שלפניו חלקנו מ״ג וט' עשיריות על ט׳ וה' עשיריות שהוא השמור ועלה ד׳ בשלמות ונכתוב ד' בטור האמצעי במעלה הרביעית לאחור למעלת המ"ג ולזה יהיו הד׳ מהרביעית הכינו ד׳ על הטור התחתון ועלה ח׳ ברביעית ד׳ בחמשית ז׳ בששית ז׳ בשביעית ג' בשמינית גרענו העולה מהטור העליון השני ונשאר א'ב'ג'ו'0ב'ו' והנה מה שבמעלה האחרונה עם מה שבמעלה שלפניה הוא פחות מהשמור ולזה נוריד הו׳ שבמעלה האחרונה אל שלפניה יהיו ששים בה וב׳ שהיו בה והנה ס"ב ואין במעלה שלפניה דבר נחלק ס"ב על השמור ועלה ו׳ ונשימם בשלישית לפי שהיו ברביעית לאחור ממעלת ס״ב שחלקנו ערכנו ו׳ מהשלישית על הטור התחתון ועלה ב׳ מהשלישית ב' מהרביעית ו׳ בחמשית ו׳ בששית ה׳ בשביעית גרענו העולה מהטור העליון השלישי ונשאר הטור העליון הרביעי א׳ב׳א׳ד׳ד׳ה׳ ונוריד ה׳ אל המעלה שלפניה וד' אשר בה והנה נ"ד וד׳ שבמעלה שלפניה יהיו ד׳ עשיריות חלקנו ג"ד וד׳ עשיריות על השמור ועלה ה׳ ונשימם בטור האמצעי בשנית שהיא הרביעית לאחור מהמעלה שחלקנו ערכנו ה׳ מהשנית על הטור התחתון ועלה ה'ח'א'ז'ד' גרענו העולה מהטור העליון הרביעי ונשאר א'ז'ב'ב'ז' והוא הטור העליון החמשי ונוריד ז' אל המעלה שלפניה וב׳ אשר בה והנה ע"ב חלקנו על השמור ועלה ז׳ ונשימם בטור האמצעי בראשונה שהיא הרביעית לאחור מהעלה אשר חלקנו ערכנו ז' מהראשונה על הטור התחתון ועלה ט'ה'0ו'ו' גרענום מהטור העליון החמשי ונשאר ב'א'ב'ו' והוא פחות מהטור התחתון והוא הנשאר שלא הגיע לחלוק והנה ב א ב ו א ז ב ב ז א ב א ד ד ה א ב ג ו 0 ב ו א ב ג ד ה ט ג ד הטור העליון א ב ג ד ה ו ז ח ט טור העולה ז ה ו ד 0 א הטור שחלקנו עליו ז ג ד ט ז ג ד ט

       ח ד ז  ז ג
    ב ב ו  ו ה
 ה ח א  ז ד
             ט ה 0 ו  ו

העולה בטור האמצעי הוא ז'ה'ו'ד'0א' והנשאר בטור העליון הוא ב׳א׳ב׳ו׳ וכתבנום בטור ששי והקש על זה. וראוי שתדע שאם היו המספרים אשר בטור העליון עד המעלה אשר מרחקה מהמעלה האחרונה ממנו כמרחק המעלה האחרונה שבטור התחתון מן הראשונה כשהורדנום כלם אל המעלה ההיא כמספר הטור התחתון כשהורדנוהו אל המעלה הראשונה או יותר הנה ראוי שתשים אחד בטור העולה במעלה הראויה לפי מה שקדם ואע״פ שלא תשיג בטור העליון על הצד שהיישרנו בשלמות... משל שיהיה לך לחלק טור ג׳ז׳ד׳ט׳ על טור ג'ד'ט' ויהיה השמור לפי מה שהיישרנו אליו ט׳ אחדים וה׳ עשיריות ובטור העליון ט׳ אחדים וד׳ עשיריות ולזה יחשב לפי מה שקדם שיצטרך להוריד ט׳ אל שלפניו ואמנם כשהורדנו ג׳ד׳ט׳ שבטור העליון אל המעלה השלישית לאחור למעלת ט׳ היו תשע מאות ומ״ג וכזה מספר הטור התחתון כשהורד אל הראשונה ולזה תשים בטור העולה אחד במעלה השניה ותערכהו על הטור התחתון ותגרע העולה מהטור העליון ולא ישאר לך בטור העליון כי אם ז׳ מהראשונה והקש על זה ואתה צריך לחוש לזה כשיהיה המספר האחרון שבטור התחתון שוה למספר האחרון שבטור העליון והמספר השני לו לאחור שוה למספר השני אל האחור לאחר. ולפי שראוי שנבאר מה יעשה מהנשאר בטור העליון ואין דרך לזה הביאור אלא אם כן התבאר קודם דרך כפל השברים בשלמים הנה נבאר ראשונה דרך כפל השברים ושברי שברים בכל אופניהם. דע שיחס כל חלק אל אחד כיחס אחד אל המספר המורה אל החלק ההוא והמשל שיהיה יחס שלישית אל אחד כיחס אחד אל שלשה שהוא מורה על שלישית לפי שהאחד הוא שלישית שלשה וכאשר התישב זה הנה יתבאר שיחס שטח שבר מונח באחד אל שטח אחד באחד הוא כיחס אחד אל המורה על השבר המונח והמשל שיחס שטח שלישית באחד אל שטח אחד באחד הוא כיחס אחד אל שלשה וזה שיחס שטח שלישית באחד אל שטח אחד באחד הוא כיחס שלישית אל אחד אבל יחס שלישית אל אחד הוא כיחס אחד אל שלשה ויחס אחד אל שלשה הוא שלישית א״כ שטח שלישית באחד הוא שלישית אחד לפי ששטח אחד באחד הוא אחד וגם כן יתבאר בכמו זה הביאור ששטח מספר מונח משלמים או שלם אחד במספר מונח משברים או בשבר אחד הם חלקים מהמורה באחד כמספר שטח מספר המכה במספר המוכה והמשל שנרצה להכות ה׳ שביעיות על מ׳ שלמים ונאמר שהעולה הוא חלקים משבע באחד כמספר שטח ה׳ במ' שהוא ר׳ והוא שיחס שטח ה׳ שביעיות במ׳ שלמים אל שטח שביעית באחד מחובר משני יחסים מיחס חמשה אל אחד ומיחס מ׳ אל אחד והנה היחס המחובר משני אלו היחסים הוא יחס מאתים אל אחד אבל שטח שביעית באחד הוא שביעית אם כן שטח ה׳ שביעיות במ׳ שלמים הוא ר׳ חלקים משבעה באחד שהם כ"ח שלמים וד׳ שביעיות ואין ספק שבזה הביאור בעצמו התבאר הענין אם לא היה מספר כי אם באחד מהם ר"ל בשברים או בשלמים והקש על זה. ואחר שהתבאר אופן הכאת שברים בשלמים בכל אופניהם הנה נבאר אופן הכאת שברים בשברים ונבאר שיחס שטח שבר בשבר אל אחד כיחס אחד אל השטח ההוה מהמורה האחד במורה האחר והמשל שיחס שטח שלישית בחמשית אל אחד כיחס אחד אל שטח שלשה בחמשה שהוא ט״ו וזה שיחס שטח שלישית בחמשית אל שטח אחד באחד שהוא אחד מחובר משני יחסים מיחס שלישית אל אחד ומיחס חמשית אל אחד וכן יחס שטח אחד באחד שהוא אחד אל שטח שלשה בחמשה מחובר משני יחסים מיחס שלישית אל אחד ומיחס חמשית אל אחד וכבר היה יחס שטח שלישית בחמשית אל שטח אחד באחד מחובר משני אלו היחסים בעצמם א"כ יחס שטח שלישית בחמשית אל אחד כיחס אחד אל שטח שלשה בחמשה אבל יחס אחד אל שטח שלשה בחמשה הוא חלק מט״ו באחד א"כ שטח שלישית בחמשית הוא חלק מט"ו באחד והקש על זה. ובזה התבאר ששטח שלישית בשלישית הוא תשיעית אחד ובזה יתבאר בכמו זה הביאור ששטח מספר מונח משברים מה או שבר מה במספר מונח משברים מה או בשבר מה הוא חלקים משטח המורה האחד באחר כמספר שטח המספר המכה במספר המוכה והמשל שנרצה להכות ד׳ שביעיות על ה׳ תשיעיות ונאמר שהעולה הוא חלקים מס"ג באחד שהוא שטח המורה האחד באחר כמספר שטח ד׳ בה׳ שהוא כ׳ וזה שיחס שטח שביעית בתשיעית אל שטח ד׳ שביעיות בה' תשיעיות מחובר משני יחסים מיחס אחד אל ד׳ ומיחס אחד אל ה׳ אבל זה היחס המחובר הוא יחס אחד אל כ׳ אם כן יחס שטח שביעית בתשיעית אל שטח ד' שביעיות בה׳ תשיעיות הוא יחס אחד אל כ' אבל שטח שביעית בתשיעית הוא חלק מס״ג חלקים באחד א"כ ד׳ שביעיות בה' תשיעיות הוא כ׳ חלקים מס"ג חלקים באחד והקש על זה ואין ספק שבזה הביאור בעצמו יתבאר אם לא היה מספר כי אם באחד מהם. וכאשר התבאר זה כלו נודיעך דרך לקיחת המורה בשבר השבר ונאמר שהמורה על שבר השבר הוא המספר המורכב מהמספרים המורים על השברים ההם והמשל ששלישית חמשית שלישית הוא אחד ממורכב ממספרי שלשה חמשה שלשה באחד ולזה יהיה חלק ממ"ה באחד וזה שיחס שטח חמשית בשלישית אל שטח אחד באחד כיחס שטח אחד באחד אל שטח חמשה בשלשה אם כן חמשית שלישית הוא חלק מט"ו באחד וגם כן הנה יחס שטח שלישית בחלק מט"ו באחד אל שטח אחד באחד כיחס שטח אחד באחד אל שטח שלשה בט"ו א"כ שלישית חמשית שלישית הוא חלק ממ״ה באחד והקש על זה ואחר שידענו המורה תנהיג ההכאה באופן הקודם בין בשברים בין בשלמים דמיון זה אם רצינו להכות ה׳ שביעיות שלישיות על ז׳ שמיניות הנה המורה לשביעית שלישית הוא כ"א והמורה לשמינית הוא שמנה והמורכב משני המורים הוא קס״ח ערכנו ה׳ על ז׳ ועלה ל״ה והם ל"ה חלקים מקס״ח באחד שלם והקש על זה. דרך חבור השברים השונים. קח המספר המעט שימנוהו כל המורים לשברים ההם והוא המורה הנה וממנו תקח השברים ההם בכללם והעולה תחלקהו על המורה והוא המבוקש דמיון זה אם רצינו לחבר ב׳ שלישיות עם ד׳ חמשיות ועם ה׳ ששיות ועם ג׳ רביעיות ששית כבר ידענו שהמספר המעט שימנוהו שלשה וה' וו' וכ"ד הוא ק"כ וכבר התבאר דרך לקיחתו מאקלידס והנה ב׳ שלישיותיו הם פ׳ וזה יתבאר כשנחלק ק״כ על שלשה ונקח ב׳ דמיוני העולה וד׳ חמשיותיו הם צ"ו וה׳ ששיותיו הם ק׳ וג׳ רביעיות ששיותיו הם ט"ו חברנו כל אלו המספרים ועלה רצ״א חלקנו רצ"א על ק״כ ועלה ב׳ שלמים נ״א חלקים מק״כ באחד והיה זה כן לפי שיחס ב׳ שלישיות אחד אל אחד כיחס ב׳ שלישיות ק"כ אל ק"כ וכזה יתבאר בנשאר וכאשר קבצנו הנה יחס כל אלו השברים אל אחד כיחס רצ"א אל ק״כ והקש על זה. דרך לדעת העולה מהכאת השברים בשברים או בשברי השברים. כבר ידעת שהכאת השברים בשברים הם חלקים מהמורה המורכב ממוריהם וכבר התבאר שהמספר המורכב ממספרים מה ימנהו אחד מהמספרים בכמו אחדי המספר המורכב מהמספרים הנשארים וכן ימנהו המספר המורכב ממספרים מה ממנו בכמו אחדי המספר המורכב מהמספרים הנשארים ובהיות הענין כן אם תחלק המספר אשר בידך על אחד מהמספרים יהיה העולה חלקים מהמספר המורכב מהנשארים משל זה אם תכה ו׳ שביעיות על ז׳ שמיניות עלה מ״ב ואם תחלק מ״ב על שבעה יהיה העולה בידך שמיניות לפי שהמספר המורכב מז׳ וח' ימנהו ז׳ כשיעור אחדי ח׳ ולזה יהיה העולה ו׳ שמיניות ואם תחלק על שמנה יעלה בידך שביעיות ולזה יהיה העולה ה׳ שביעיות וב׳ שמיניות שביעית דמיון אחר אם רצית להכות כ"ח חלקים מכ"ט באחד על ו׳ שביעיות שלישית תערוך כ"ח על ו׳ ועלה קס״ח הנה אם תחלק קס״ח על כ"ט יעלו בידך שביעיות שלישית שהם השברים הנשארים ויהיה העולה ה׳ שביעיות שלישית וכ״ג חלקים מכ"ט שביעיות שלישית ואם חלקת על המספר המורכב מז' וג' יעלו בידך חלקים מכ״ט ויהיה העולה ח׳ חלקים מכ"ט באחד ואם תחלוק על ז׳ יעלו בידך שלישיות חלק מכ"ט חלקים באחד ולזה יהיה העולה כ"ד שלישיות חלק מכ"ט באחד ולזה יהיה העולה ח׳ חלקים מכ״ט ואם תחלוק על ג׳ יעלו בידך שביעיות חלק מכ"ט חלקים באחד ולזה יהיה העולה נ"ו שביעיות חלק מכ"ט חלק באחד שהם ח׳ חלקים מכ"ט באחד והקש על זה. דרך להכות שברים על שברים והעולה על שברים וכן מה שיהיה ערוך מספרי השברים הראשונים על מספרי השברים השניים והעולה בידך ערכהו על מספר השברים השלשיים וכן עד כלות כל השברים אחר כך תחלוק העולה על המורה לאחד מהשברים או על המורכב ממספרי מורים מה מהם והעולה בידך יהיו חלקים מה ממורכב מהמורים לשברים הנשארים ואתה תבחר היותר נכון לחלק עליו דמיון זה נרצה להכות ו' שביעיות על ה׳ ששיות והעולה על ג׳ רביעיות והעולה על ז' שמיניות והעולה על ב׳ שלישיות והעולה על ב׳ שביעיות והעולה על שלישיות שלישית הכינו ו׳ על ה׳ ועלה ל׳ הכינו ל׳ על ג׳ ועלה צ׳ הכינו צ׳ על ז׳ ועלה תר"ל הכינו תר״ל על ב׳ ועלה אלף ור״ס הכינו אלף ור״ס על ב׳ ועלה אלפים ותק"כ ערכנו אלפים ותק"כ על אחד ועלה אלפים ותק"כ והנה השברים אשר בידך הם שביעית ששית רביעית שמינית שלישית שביעית שלישית שלישית ואם תחלק אלפים ותק״כ על המורה לאחד מאלו השברים יהיה העולה בידך חלקים מהמספר המורכב ממורי השברים הנשארים והנה מפני שהמספר רב ראוי שתחלקהו על המספר המורכב מקצת המורים אשר יראה בעיניך שהוא יותר נאות לחלק עליו חלקנו אותו על המורכב משבעה וו׳ וג׳ וד׳ שהוא תק"ד ועלה ה׳ והם חלקים ממורכב מורי השברים הנשארים ואולם הנשארים הם שמינית שביעית שלישית שלישית א"כ העולה מזאת ההכאה הם ה׳ שמיניות שביעית שלישית שלישית והקש על זה והיה זה כן לפי שכבר יתבאר ממה שקדם במעט עיון שהעולה שהוא אלפים תק"כ הם חלקים ממורכב מכל מורי השברים באחד והבן ותמצא דרך אחרת קלה לזה דע כי המספר המורכב ממספרים מונחים ומשברים מונחים יחסו אל אחד היחס המחובר מיחסי מספרי השברים ההם כשיושמו קודמים אל מספרי מוריהם כשיושמו נמשכים משל זה שיחס הכאת שלשה שביעיות בד׳ חמשיות והעולה בב׳ חמשיות רביעית להכאת אחד באחד והעולה באחד שהוא אחד לעולם כמה שהגיע הכפל הוא מחובר משלשה יחסים מיחס שלשה שביעיות אל שבעה שביעיות שהוא אחד ומיחס ארבעה חמשיות אל ה׳ חמשיות שהוא אחד ג״כ ומיחס ב' חלקים מי״ב אל י״ב חלקים מי"ב שהוא אחד וכבר ידעת שכאשר הומר סדור הקודמים או הנמשכים או שניהם יחד נשאר היחס המחובר בעינו ובהיות הענין כן אם היה לך להכות מספר שברים על מספר מה משברים וכן מה שהגיע ההרכבה תוכל להמיר מספרי אלה השברים במספר אחר מהשברים האחרים אם היה יותר נאות אל ההכאה משל זה שאם היה לך להכות ג׳ שביעיות על ז׳ שמיניות תוכל להמיר השבעה אל השביעיות ויהיה לך להכות ג׳ שמיניות על ז׳ שביעיות שהוא אחד והעולה הוא ג׳ שמיניות וככה המבוקש . . . . דמיון אחר אם רצית להכות ד׳ שביעיות על ה׳ שמיניות תוכל להמיר הד׳ אל השמיניות ויהיה לך להכות ד׳ שמיניות שהוא חצי אחד על ה׳ שביעיות ויעלה ב׳ שביעיות וחצי וככה המבוקש דמיון אחר אם היה לך להכות ג׳ רביעיות על ד׳ חמשיות והעולה על ו׳ שביעיות והעולה על ז׳ שמיניות תמיר המספרים שהם ג׳ ד׳ ו' ז׳ במקומות היותר נאותים ולזה תשים הז' אצל השביעיות והד׳ אצל הרביעיות והו׳ אצל השמיניות והג׳ אצל החמשיות ולזה תכה ז׳ שביעיות שהוא אחד על ד׳ רביעיות שהוא אחד ויעלה אחד והעולה שהוא אחד תכה על ו׳ שמיניות ויהיו בידך ג׳ רביעיות והעולה תכה על ג׳ חמשיות ויעלה בידך ט׳ רביעיות חמשית ואם תחלקנו על ארבעה יהיה העולה חמשיות ויעלה בידך ב׳ חמשיות ורביעית חמשית ואם תחלקנו על ה׳ יהיה העולה רביעיות ויעלה בידך רביעית וד׳ חמשיות רביעית וככה העולה דמיון אחר אם היה לך להכות ג׳ חמשיות על ששית והעולה על ז' שמיניות והעולה על ד׳ תשיעיות תמיר המספרים שהם ג׳ ד׳ ז׳ במקומות היותר נאותים ולזה תשים הג׳ אצל הששיות וארבעה אצל השמיניות והז' אצל התשיעיות וישאר חמשית בזולת מספר ותכה ג׳ ששיות שהם חצי על ארבעה שמיניות שהם חצי ויעלה בידך רביעית תכהו על חמשית ויהיה רביעית חמשית תכה רביעית חמשית על ז׳ תשיעיות ויעלה בידך ז׳ רביעיות חמשית תשיעית והקש על זה. דרך הכאת שברים מה בשברים שונים אם היה לך להכות שבר מונח או מספר שברים מונחים על שברים מונחים ערוך השבר המונח או השברים המונחים על המין הראשון מהשברים השונים וחלק העולה על המורה על השבר המוכה כדי שיהיה העולה בידך חלקים מהמכה וכן תעשה עד שיוכה הראשון המכה על כל הנמשכים ובזה יהיו כל החלקים אשר בידך בעולה משברי המכה דמיון רצינו להכות ב׳ שלישיות על ו׳ שביעיות ועל ז׳ שמיניות ועל ח׳ תשיעיות נכה ב׳ על ו׳ יהיו י"ב נחלקם על שבעה שהוא מורה לשבר המוכה ועלה אחד וה' שביעיות והוא שלישית וה׳ שביעיות שלישית ערכנו ב׳ על ז׳ ועלה י״ד נחלקם על שמנה שהוא שבר המוכה ועלה א׳ וו׳ שמיניות והוא שלישית וג׳ רביעיות שלישית ערכנו ב׳ על ח׳ ועלה ט״ז נחלקם על תשעה ועלה אחד וז׳ תשיעיות והוא שלישית וז׳ תשיעיות שלישית חברנו כל השברים אשר בעולה שהם ג שלישיות וה' שביעיות שלישית וג׳ רביעיות שלישית וז׳ תשיעיות שלישית ועלה אחד שלם וב׳ שלישיות וס"א חלקים מתשנ״ו באחר והקש על זה ואם היה לך להכות שלמים ושברים כמה שיהיו על שלמים ושברים כמה שיהיו הנה כבר ידעת אופן הכאת שלמים בשלמים ואופן הכאת שלמים בשברים ואופן הכאת שברים בשברים ולזה תכה כל השלמים שבטור המכה על כל השלמים והשברים אשר בטור המוכה עוד תכה כל השברים שבטור המכה על כל השלמים והשברים אשר בטור המוכה דמיון זה אם היה לך להכות י״ב וג' חמשיות וד׳ תשיעיות על כ״א וב׳ שלישיות וג׳ רביעיות הכה י"ב על כ״א ועלה רנ"ב הכה י"ב על ב׳ שלישיות ועלה ח׳ שלמים הכה י"ב על ג׳ רביעיות ועלה ט׳ שלמים הכית ג׳ חמשיות על כ״א שלמים ועלה י״ב שלמים וג׳ חמשיות הכית ג׳ חמשיות על ב׳ שלישיות ועלה ב׳ חמשיות הכית ג׳ חמשיות על ג׳ רביעיות ועלה ב׳ חמשיות הכית ג׳ חמשיות על ג׳ רביעיות ועלה ב׳ חמשיות ורביעית חמשית הכית ד׳ תשיעיות על כ"א ועלה ט׳ שלמים ושלישית הכית ד' תשיעיות על ב׳ שלישיות ועלה ב׳ תשיעיות וב׳ שלישיות תשיעית הכית ד׳ תשיעיות על ג׳ רביעיות ועלה שלישית חברנו כל העולה ועלה רצ"ו שלמים וב׳ חמשיות וז׳ חלקים מתק״ם באחד וזה המבוקש וכן ההקש אם היו שם שברי שברים כי כבר ידעת אופן הכאתם ופעמים תצטרך למלאכות רבות כמו שיהיה לך להכות מספר שלמים ושברים ושטח שברים בשברים או בשלמים גם כן על שלמים ושברים ושטח שברים בשברים והדרך בזה שתוציא ראשונה המספר המכה כשתדע העולה מהשטח ההוא ותחברהו עם השלמים והשברים וסוף דבר תחבר ראשונה כל מה שבמכה עוד תחבר מה שבמוכה ותכה אח"כ הטור האחד על האחר באופן הקודם. ואם היה לך לגרוע שברים כמה שיהיו משברים שונים מהם תקח המספר המעט שימנוהו המורים לכל השברים והוא המורה הנה וממנו תקח השברים שתרצה לגרוע ותשימם בטור אחד עוד תקח ממנו השברים שתרצה לגרוע מהם ומהם תגרע הטור האחר והנשאר בידך הם חלקים מהמורה אשר לקחנו וזה מבואר . . . . דרך אחרת לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים קח המספר המעט שימנוהו המורים לכל השברים והוא המורה הנה ועליו תערוך הטור המכה ותשים העולה בטור אחד ראשון גם על המורה תכה הטור המוכה ותשים העולה בטור אחד שני ותערוך הטור העליון על הטור השפל והעולה בידך הוא המבוקש . . . והמשל אם היה לך להכות י״ב וג׳ חמשיות וד׳ תשיעיות על כ"א וב׳ שלישיות וג׳ רביעיות הנה ידעת שהמספר הראשון שימנה כל אחד מאלו השברים הוא ק"פ לקחת י״ב דמיוני ק"פ וג' חמשיות ק״פ וד׳ תשיעיות ועלה ב׳ אלפים וג׳ מאות וארבעים ושמנה ותשימם בטור אחד לקחת כ"א דמיוני ק"פ וב׳ שלישיותיו וג׳ רביעיותיו ועלה ד׳ אלפים ול"ה ונשימם בטור האחר הכית הטור האחד על הטור האחר ועלה 0 ח׳ א׳ ד׳ ז׳ ד׳ ט׳ חלקת העולה על מרובע ק"פ ועלה רצ"ב שלמים ונשארו 0 ח׳ ג׳ ג׳ א׳ והם חלקים ממרובע ק״פ באחד וכאשר נבחן תמצא הנשאר ב׳ חמשיות ות"ך חלקים ממרובע ק"פ שהם ב׳ חמשיות וז׳ חלקים מתק"ס וזה מסכים לחשבון הראשון והקש על זה. והיה זה כן לפי שנכפל כל אחת מצלעות השטח על ק״פ היה יחס השטח אל השטח יחס צלעו אל צלעו שנוי ביחס לפי שהשטחים מתדמים אבל יחס צלעו אל צלעו הוא ק"פ אם כן יחס השטח אל השטח הוא כמו מרובע ק"פ אם כן השטח אשר צלעיו נכפלים על ק"פ ימנהו מרובע ק"פ במספר אחדי השטח הראשון . . . ואחר שהתבאר אופן כפל השברים בכל מיניהם הנה נבאר לך מה תעשה ממה שלא הגיע לחלוק והדרך בזה שתחלוק כל מה שתוכל לחלקו והנשאר הם חלקים מהמספר הטור שתחלוק עליו באחד . . . דמיון זה אם רצית לחלק נ"ג על י"ד יעלה ג׳ וישארו י"א והם י"א חלקים מי"ד באחד והיה זה כן לפי שהחלק מי״ד כשהוכה על י"ד היה י״ד חלקים מי"ד באחד שהוא אחד שלם אם כן הי״א חלקים כשהוכו על י"ד היו י״א שלמים והוא מה שנשאר לנו והקש על זה. ואם רצית לחלק שלמים ושברים על שלמים ושברים קח המורה הראשון למורה כל השברים ועליו תערוך הטור שרצית לחלק ותשים העולה בטור אחד עוד תערוך על המורה הטור שרצית לחלק עליו ותשים העולה בטור שני תחת הטור האחד בדרך שתוכל לשום טור העולה בין שני הטורים וכאשר ישלם זה חלק הטור העליון על הטור התחתון והעולה הוא המבוקש דמיון זה אם רצית לחלק פ״ד וג׳ חמשיות וג׳ רביעיות על י׳ וב׳ שלישיות וג׳ שמיניות הנה המורה הראשון לכל אלו השברים הוא ק״כ ערכנו פ"ד וג׳ חמשיות וג׳ רביעיות על ק"כ ועלה עשרת אלפים רמ״ב והוא הטור שתחלק ערכנו י׳ וב׳ שלישיות וג׳ שמיניות על ק"כ ועלה אלף שכ"ה והוא הטור שתחלק עליו חלקת הטור העליון על הטור התחתון ועלה ז׳ שלמים ותתקס"ז חלקים מאלף שכ"ה באחד וככה המבוקש והיה זה כן לפי שכבר לוקחו לפ"ד וג׳ חמשיות וג׳ רביעיות והוא הראשון ולמספר י׳ וב׳ שלישיות וג׳ שמיניות והוא השני כפלים שוים והם ק"כ אם כן יחס כפלי הראשון הלקוחים אל כפלי השני כיחס הראשון אל השני אבל יחס כפלי הראשון אל כפלי השני הוא ז׳ שלמים ותתקס"ז חלקים מאלף שכ״ה באחד אם כן יחס הראשון אל השני הוא ז׳ שלמים ותתקס"ז חלקים מאלף שכ"ה באחד והקש על זה ואם תרצה לבחון זה הכה ז׳ שלמים ותתקס"ז חלקים מאלף שכ"ה באחד על י׳ וב׳ שלישיות וג׳ שמיניות ויצא לך פ"ד וג׳ חמשיות וג׳ רביעיות. ואחר שהתבאר זה ראוי שנבאר לך אופן החלוק לפי שברי חכמי התכונה וכבר ידעת שהכאת שברים על שברים הוא מהמעלה אשר מרחקה מהמכה לפניה כמרחק המוכה ממעלת האחדים וכאשר התישב זה אתן לך דרך לכפול שלמים ושברים ומזה תוכל לדעת אופני הכפלת שברים בכל אופניהם . . . כאשר תרצה לכפול שלמים ושברים משברי חכמי התכונה על שלמים ושברים משבריהם ג"כ ראוי שנכתוב המספר אשר אחז יותר מעט מהמדרגות בטור אחד כפי מדרגתו ותעשה רושם בין השלמים והשברים על הדרך אשר זכרנו במה שקדם ואחר תכתוב המספר האחר בטור אחד תחתיו כפי מדרגותיו ותכה הראשון שבטור העליון על הראשון שבטור התחתון ותשים העולה במעלה הראויה ואם עלה יותר מששים תחלוק העולה על ששים והעולה בידך יהיו אחדים במעלה שלאחריו והנשאר תשים במעלה הראויה ואם עלה יותר מששים במעלה שלאחריה תשוב לחלק העולה על ששים וכן עד הגיעך למעלות האחדים ומשם והלאה לא תחלוק כי אם על עשרה והסבה מבוארת וכזה תעשה עד שיוכו כל מספרי הטור העליון על כל מספרי הטור התחתון ויהיו טורי העולה כמספר המדרגות שבטור העליון אשר בהם מספר זולת השלמים שלא יהיה להם כי אם טור אחד כמה שיהיו עוד תחבר כל מה שבטורי העולה בטור שפל תחתיהם והעולה הוא המבוקש וכאשר תגיע להכות השברים על השלמים תכה אותם יחד על כל השלמים שבטור התחתון כדי שלא יתבלבל עליך ותחלק העולה על ששים על הצד הקודם ותשים הנשאר כפעם בפעם במקום הראוי וכן כשתגיע להכות השלמים על השברים תכה גם כן כל השלמים שבטור העליון יחד על השברים שבטור התחתון כפעם בפעם דמיון זה רצינו בזאת הצורה להכות נ״ז שניים וט׳ ראשונים ופ״ג שלמים על שבעת אלפים ותשעים ומ׳ שניים ונ״א שלישיים וג׳ רביעיים הכינו נ״ז שניים על ג׳ רביעיים ועלה ב׳ חמשיים ונ"א ששיים הכינו נ"ז שניים על נ״א שלישיים ועלה מ"ח רביעיים וכ"ז חמשיים הכינו נ״ז שניים על מ׳ שניים ועלה ל"ח שלישיים הכינו נ"ז שניים על ז' אלפים וצ' שלמים ועלה ל׳ שניים ט״ו ראשונים וב' בראשונה א׳ בשנייה א׳ בשלישית וכאשר הנהגו בכמו זאת ההנהגה עד שיוכו כל מספרי הטור העליון על מספרי הטור התחתון תמצא העולה נ"א ששיים נ״ו חמשיים ל"ו רביעיים כ״ג שלישיים ז׳ שניים ל"ב ראשונים ה׳ שלמים ד׳ ו׳ ט׳ ח׳ ה׳ והקש על זה. נז ט ג ח ג נא מ 0 0 ט 0 ז נג ב כז מח 0 לח 0 ל 0 טו ב א א

    כז	לט    0 	ז     0 	ו	ל    0 	ג  ו 0 א

ט ד לג י כ א נה 0 ז ד ח ח ה נא נו לו כג ז לב ה ד ו ט ח ה ואם תרצה לחלק מספר מה על שלמים ושברים מאלה השברים אשר אנחנו בהם תכתוב המספר שרצית לחלק בטור העליון במקומותיו בדרך שתוכל לכתוב העולה בין שני אלו הטורים כמו שעשית במה שקדם אחר כך תראה מה שבמעלה האחרונה שבטור התחתון והיו לאחדים בידך וכל המספרים אשר לפני המעלה הנמשכת לה לפניה תחשוב אחד במעלה הנמשכת לה לפניה ותחברהו עם המספר שבה ואם היתה זאת המעלה שלפני האחרונה שלמים יהיה זה המספר עשיריות ואם היתה זאת המעלה שלפני האחרונה שברים יהיה זה המספר חלקים מששים וחברהו עם האחדים שבמעלה האחרונה והוא השמור ועליו תחלוק המעלה האחרונה שבטור העליון עם מה שבמעלה לפניה אם עשיריות ואם חלקים מששים והעולה תשים במעלה הראויה לפי מה שקדם וערכהו על הטור התחתון והעולה גרע מהטור העליון וכן תעשה עד שישאר לך פחות מהטור שחלקת עליו . . . . דמיון זה רצינו שנחלוק ז׳ מאות ומ׳ ראשונים ונ' שניים על ט׳ שלמים וכ׳ ראשונים ול' שלישיים והנה נחשוב המספרים שלפני המעלה הנמשכת לאחרונה שבטור התחתון אחד בה וכ' שמצאנו בה והנה כ״א והם חלקים מששים ובמעלה האחרונה ט׳ והם אחדים והנה השמור הוא ט׳ אחדים וכ"א חלקים מששים חלקנו על השמור המספר שבמעלה האחרונה שבטור העליון שהוא שבעים אחר שהורדנוהו אל המעלה שלפניה ועלה ז׳ מהמעלה השניה לפי מה שקדם ונכתוב ז׳ בטור האמצעי במעלה השניה ונערכהו על הטור התחתון ובאשר הנהגנו זה על הצד שזכרנו תמצא העולה ז׳ מהמעלה השניה ה׳ מהמעלה הראשונה ונשאר בטור העליון שלא הגיע לחלוק מ׳ ראשונים י"ב שניים ל׳ שלישיים והקש על זה. כח ד כח נב ב ל יב מ 0 0 טו כ ז ד טור הנחלק נ מ 0 0 ד טור העולה יח ד ח ז טור שחלקנו עליו ל 0 כ ט לה כ ג ה ו ל ב 0 מ ו ד ב כ א לו 0 ו מב ב דרך לחלק מה שלא הגיע לחלוק כשהיו בטור התחתון שלמים ונציע לביאור זה שחלוק שברים אי זה שיהיו על שלמים הם שברים מהמעלה ההיא בעינה וזה מבואר מצד הכפל וכאשר התישב לך זה הנה תראה כמה מן הראשונים נשארו לך בטור העליון כשתשיב האחרון שבטור העליון למדרגת הראשונים והמספר ההוא שיהיה לך מן הראשונים יהיו לאחדים בידך ומה שבמדרגה שלפניה יהיו חלקים מששים והעולה תחלוק על השמור והעולה בידך הם ראשונים כתבם במקומותם בטור העולה וערכם על כל הטור התחתון שתחלוק עליו והעולה תגרע מהטור העליון עוד תחלוק האחרון שבטור העליון על השמור ואם לא תוכל לחלק תורידהו אל המדרגה שלפניו ובזה הדרך תוכל לדקדק עד אין קץ ואולם דרך לקיחת השמור הנה יהיה שתוריד כל מה שבטור התחתון מן השלמים אל המעלה הראשונה והעולה יהיה לאחדים בידך ומה שלפני המעלה הראשונה יהיו חלקים מששים על הצד הקודם וזה יהיה לך דרך לקיחת השמור במה שלא הגיע לחלוק כאשר היו בטור התחתון שלמים דמיון זה במה שנשאר במשל הקודם שלא הגיע לחלוק חלקנו מ׳ וי"ב חלקים על השמור שהוא ט׳ וכ"א מששים ועלה ד׳ חלקים והם ראשונים מפני שחלקנו ראשונים על שלמים ערכנו ד׳ ראשונים על הטור התחתון ועלה ל"ז ראשונים כ׳ שניים ב׳ שלישיים וגרענו זה מהטור העליון ונשאר שם ב' ראשונים נ"ב שניים כ"ח שלישיים ולא נוכל לחלק ב׳ ראשונים על השמור הורדנום אל השניים והנה קע״ב וכ"ח חלקים מששים חלקנום על השמור וגרענו העולה מהטור העליון ונשאר שם ד׳ שניים כ"ח שלישיים נ"א רביעיים ובזה הדרך תוכל לדקדק עוד לשלישיים ורביעיים ולזולתם ואין צורך לדקדק אחר שתגיע אל החשבון בקירוב. דרך החלוקה כאשר היתה המדרגה האחרונה שבטור התחתון ממדרגת השברים דע כי חלוק שברים על שברים ממינם הוא שלמים וחלוק שברים יותר גבוהים מהם הוא מהמדרגה אשר מרחקה מהשלמים לפניה כמרחק השברים המחולקים מהשברים אשר חולק עליהם והסבה מבוארת ממה שקדם דמיון זה אם נחלק שניים על שניים יהיה העולה שלמים ואם נחלק שלישיים על ראשונים יהיה העולה שניים והקש על זה. אם רצית לחלק מספר מה על מספר מה והיתה המדרגה האחרונה שבטור שתחלוק עליו ממדרגת השברים הסתכל על המדרגה האחרונה שבטור העליון אם היא יותר גבוהה ממדרגה האחרונה שבטור התחתון אז תורידהו אל המדרגה שבטור התחתון עד שתהיה המדרגה האחרונה שבטור העליון היא בעינה המדרגה האחרונה שבטור התחתון ואז תחלק האחרונה שבטור העליון עם החלקים מששים אשר לפניה על הצד הקודם על השמור והעולה יהיו שלמים ותערכם על הטור התחתון ותגרע העולה מהטור העליון עוד תחלק הנשאר במעלה האחרונה שבטור העליון על השמור והעולה תשים במעלה הראויה ותערכהו על הטור התחתון ותגרע העולה מהטור העליון וכן תעשה עד שתגיע שלא ישאר לך בטור העליון דבר או שיהיה מעט מה שישאר לך שם . . . . דמיון זה רצית לחלק שבעה עשר שלמים ול' ראשונים ומ' שניים על מ"א שניים ונ"ב שלישיים ומ"ה רביעיים ולפי שהמעלה האחרונה שבטור התחתון היא שניים נוריד מה שאחר השניים בטור העליון אל מדרגת השניים ולזה נוריד השבעה עשר אל מדרגת הראשונים ויהיו אלף וכ׳ ול' שהיו שם והנה אלף וג׳ ראשונים הורדנום אל מדרגת השניים ועלה ס"ג אלפים ומ' שניים ואלה יהיו לאחדים בידך והנה מה שבמדרגה האחרונה שבטור התחתון הוא מ"א ונחשבו כמו אחדים ומה שלפניהם הוא לפי מה שקדם נ"ג חלקים מששים ולזה יהיה השמור מ"א ונ״ג חלקים מששים חלקנו ס״ג אלפים ומ׳ על מ״א ונ"ג חלקים מששים ועלה אלף וחמש מאות וחמשה ערכנו אלף ותק״ה על הטור התחתון ועלה י"ז שלמים ל׳ ראשונים כ"ה שניים ח׳ שלישיים מ"ה רביעיים גרענו העולה מהטור העליון ונשאר י״א שניים נ"א שלישיים ט"ו רביעיים ולא נוכל לחלק מה שבמדרגה האחרונה שבטור העליון על השמור ולזה נוריד אל השלישיים ויהיו לנו תשי"א וט"ו חלקים מששים חלקנום על השמור ועלה י"ו והם ראשונים לפי מה שקדם ערכנו י"ו ראשונים על הטור התחתון וגרענו העולה מהטור העליון ונשאר בטור העליון מ״א שלישיים י"א רביעיים ולא נוכל לחלק מ"א וי"א חלקים מששים על השמור ולזה נוריד השלישיים על הרביעיים ויהיו לנו אלפים תע"א ונחלקם על השמור ועלה נ״ח והם שניים לפי מה שקדם ערכנום על הטור התחתון וגרענו העולה מהטור העליון ונשאר בטור העליון ל׳ ששיים מ"ב רביעיים והנה נוכל לחלק האחרון שבטור העליון על השמור ועלה אחד והוא שני לפי מה שקדם ערכנוהו על הטור התחתון וגרענו העולה מהטור העליון ונשארו בטור העליון ז' חמשיים מ"ה ששיים ואם תרצה תוכל לדקדק עוד ולהוריד חמשיים אל הששיים ולחלק על השמור ויהיה העולה רביעיים לפי מה שקדם ואין צורך כי כבר הגענו אל קירוב גדול . . . . ובכאן נשלם הביאור בחלוק מספר על מספר בכל אופני החלוקה. מה ז ל 0 מב יא מא טו נא יא טור הנחלק מ ל ז א טור העולה נח יו ה 0 ה א א טור שחלקנו עליו מה נב מא מה ח כח ל ז א יב נב יב ז ל מג יו נ לח לט מה נד מא

Dividing a known number by an unknown number

Extraction of Square Roots

one is a square

• Check:

Extraction of Cubic Roots

Chapter Six – Ratios

Word Problems

Find a Number Problems

• Inquirer asks: we took a given part, or given parts of an unknown number and the result was a given number. How much is the unknown number?
  

כמה מספר הנעלם

Rule of Four:

ערוך המורה על המספר המונח השני וחלק העולה על השמור והנה המספר המבוקש

• Example: two fifths, three quarters and one third of a number are twenty and we wish to know how much is the whole number?
  

False position =

Rule of Four:

חלקנום על השמור ועלה י"ג שלמים ומ"ג חלקים מפ"ט באחד שלם וככה המבוקש

• Question: given parts of an unknown number exceed other given parts of the unknown number by a given number. How much is the whole number?
  

גם קח ממנו החלקים המונחים השניים והוא השמור השני
הוצא השמור השני מהשמור הראשון והנשאר הוא השמור המתוקן
ערוך המורה על המספר המונח וחלק העולה על השמור המתוקן והעולה הוא המבוקש

• Example: three sevenths and four fifths of the unknown number exceed two thirds and a quarter of the unknown number by twenty and we wish to know how much is the number?
  

Rule of Four:

Pricing Problems - Find the Price

• Question: the price of a given amount of merchandise is so and so, how much is the price of another given amount of this merchandise?
  

Rule of Four:

• Example: the price of 11 measures of grain is 7 dinar and you wish to know how much is the price of 15 measures of grain?
  

Rule of Four:

Conversion: day-hours, liṭra-dinar-pašuṭ

• Example: we wish to know how many hours and fractions of an hour are in 83 of 109 parts of a day?

1 day = 24 hours

• same example for a liṭra

1 liṭra = 20 dinar

[1 dinar = 12 pašuṭ]

Motion Problems

• Question: that which moves walks at a fixed velocity a given part of the road in a given time, how far will he walk on the road in another given time?
  

Rule of Four:

• If there are hours involved - both times should be converted into hours as whole units

• Example: that which moves walks 7 parts, 36 minutes and 56 seconds of the road in 13 days. We wish to know how far will he walk on the road in 3 days, 17 hours, 52 minutes and 16 seconds?
  

first time converted into hours:

second time converted into hours:

Rule of Four:

For fixed velocity: if the times are equal - the distances are equal

Inverse question - inquirer asks: that which moves walks at a fixed velocity a given part of the road in a given time, in how much time will he walk another given part of the road?

Rule of Four:

• Example: that which moves walks 7 parts, 36 minutes and 57 seconds of the road in 13 days. We wish to know in how much time will he walk 3 parts of the road?
  

Rule of Four:

Motion Problems - Pursuit

• Question: if there are two movers walking at a fixed velocity, one is faster than the other and the distance between the faster, who is behind, and the slower is a given measure of the road, in how much time will the faster catch up with the slower?
  

• Example: the faster walks 2 measures and 37 seconds in one hour, the slower walks 30 minutes and 24 seconds in one hour, and the distance between the slower, who is in front, and the faster is 29 measures and 45 minutes

Shared Work Problems

• Question: a given full container has different holes. All the content of the container is drained through one of them in a given time, through the second, all the content of the container is drained in a second given time, and so on for each of the holes. All the holes are opened together. In how much time will the container be entirely drained?
  

יצא מאחד מהם כל מה שבכלי בזמן מונח
ומהשני יצא מה שבכלי בזמן מונח שני
וכן ימשך הענין בכל הנקבים
ונפתחו נקבי הכלי יחד
בכמה מן הזמן יורק הכלי בכללו

Rule of Four:

• Example: a barrel has different holes. Through one hole all the content of the barrel is drained in 3 days. Through the second hole all the content of the barrel is drained in 5 days. Through another hole all the content of the barrel is drained in 20 hours. Through another hole all the content of the barrel is drained in 12 hours
  

בנקב האחד יצא מלא החבית בג' ימים
ומהנקב השני יצא מלא החבית בה' ימים
ובנקב האחר יצא מלא החבית בכ' שעות
ובנקב האחר יצא מלא החבית בי"ב שעות

Rule of Four:

Pricing Problems

• Question: the price of a given [amount of] merchandise is a given number of dinar. How much is the price of certain given parts of [the merchandise]?
  

כמה ערך חלקים מה מונחים ממנו

Rule of Four:

• Example: the price of a gold dinar is 25 dinar and we wish to know how much is the price of the dinar plus its 2 sevenths and 3 quarters?
  

Rule of Four:

ערכת ע"א על כ"ה ועלה אלף תשע"ה שהוא ערך החלקים הלקוחים מהמורה
ערכת זה המספר על מספר המסחר שהוא אחד וחלקת העולה על כ"ח ועלה ס"ג שלמים וי"א חלקים מכ"ח באחד וככה הערך ר"ל ס"ג די' וי"א חלקים מכ"ח בדי'

• Example: the price of 7 measures of grain is 25 dinar and we wish to know how much is their price with their half, their 2 sevenths and their 3 quarters?
  

והנה ערכם רנ"ג די' וד' שביעיות הדינר
ערכת אותם על מספר המסחר שהוא ז' וחלקת העולה על המורה שהוא כ"ח ועלה ס"ג די' וי"א חלקים מכ"ח בדי' והקש על זה

Purchase Problems - Equal Amounts

• Question: a merchant sells commodities of different prices and the buyer wants to buy the same amount from each commodity for a certain amount of money
  

• Example: the merchant is selling four drugs -
  

the price of the first drug is 7 pašuṭ for a liṭra,

the price of the second drug is 8 pašuṭ for a liṭra,

the price of the third drug is 10 pašuṭ for a liṭra,

and the price of the fourth drug is 15 pašuṭ for a liṭra.

The buyer comes to buy the same weight of each for 3 dinar

ערך הסם הראשון ז' פשו' הליט'
וערך הסם השני ח' פשו' הליט'
וערך הסם השלישי י' פשו' הליט
וערך הסם הרביעי ט"ו פשו' הליט'
ובא הקונה לקנות בג' די' משקל שוה מכל אחד מהסמים

one liṭra from each for

from each: of a liṭra

(what is taken from each liṭra):liṭra =

(the price of what is taken from each liṭra):(the price of the liṭra)

(what is taken from one of the liṭra):liṭra =

(what is taken from each liṭra):liṭra

(the price of what is taken from one of them):(the price of the liṭra) =

(the price of what is taken from each of them):(the price of the liṭra)

(what is taken from all together):(the amount of liṭra) =

(the price of what is taken from all together):(the price of the amount of liṭra)

If the moneychanger wants to buy coins of different prices for one gold dinar and he wishes to take the same amount from each of them, how many should he take from each?

• Example: the price of one coin is 3 dinar for a golden coin, the price of the second is 5 dinar for a golden coin, and the price of the third is 7 for a golden coin. The moneychanger wants to take the same amount from each coin for one golden coin
  

וערך השני ה' די' הזהוב
וערך השלישי ז' די' הזהוב
ורצה השולחני לקחת בזהוב אחד שעור שוה מכל אחד מהמטבעות

one dinar from coin 1 = for golden coin

one dinar from coin 2 = for golden coin

one dinar from coin 3 = for golden coin

from each:

• Question: a merchant sells commodities of different prices. How much is the smallest number of measures to be taken from each of them so that the price of what is taken from this one is the same as the price of what is taken from that one
  

The solution is based on the arrangement of a table:

• first line: the prices one after the other
  
• for each [pair of] consecutive price[s] in a [separate] line, each price below the other
  
• [in the last line]: the smallest numbers in the ratio of those [immediately above them] - the result is the number of measures to be taken of each commodity below each price

וכנגדם תמיד בטור אחד המספר האחד תחת האחר וכן תעשה לכל המספרים
ואחר זה תקח קטני המספרים על יחס אלו והעולה בידך תחת כל אחד מן הערכים הוא מספר המדות שילקח מהמסחר ההוא

• Example: the merchant is selling four drugs -
  

the price of the first drug is 2 dinar for a liṭra,

the price of the other drug is 3 dinar for a liṭra,

the price of the another drug is 12 dinar for a liṭra,

and the price of the other drug is 20 dinar for a liṭra.

We wish to know how many liṭra should be taken from each of the drugs so that the price of what is taken from this one is the same as the price of what is taken from that one

ערך הסם האחד ב' די' הליטרא
וערך הסם האחר ג' די' הליט
וערך הסם האחר י"ב די' הליטרא
וערך הסם האחר כ' די' הליטרא
ורצינו לדעת כמה מן הליטראות ילקח מאחד אחד מהסמים ויהיה ערך מה שילקח מזה כמו ערך מה שילקח מזה

20	12	3	2
12 3	3 20 5	2 12   20	3     30

• 30 liṭra from the drug of 2 dinar

• 20 liṭra from the drug of 3 dinar

• 5 liṭra from the drug of 12 dinar

• 3 liṭra from the drug of 20 dinar

if one of the prices is given in pešuṭim - the values of all prices should be converted to pešuṭim

= the price of 30 liṭra at 2 dinar for a liṭra

= the price of 20 liṭra at 3 dinar for a liṭra

the price of 30 liṭra at 2 dinar for a liṭra = the price of 20 liṭra at 3 dinar for a liṭra

the price of 20 liṭra at 3 dinar for a liṭra = the price of 5 liṭra at 12 dinar for a liṭra

the price of 5 liṭra at 12 dinar for a liṭra = the price of 3 liṭra at 20 dinar for a liṭra

• Question: a merchant sells commodities of different prices. The buyer comes to buy one measure from all so that the price of what he takes from this is equal to the price of what he takes from that.
  

How much of the measure will he take from each and how much is the price of the measure?

כמה מן המדה יקח מכלם וכמה ערך המדה ההיא

the sum of the smallest numbers of amounts to be taken from each kind so that their total prices will be equal = the parts into which the purchased measure is divided

the smallest amount of a specific kind ÷ the sum = the parts of the measure to be taken from that specific kind

the total price of the purchased measure = the sum of the prices of the smallest numbers of amounts divided by the aforementioned sum

• Example: the merchant is selling three drugs -
  

the price of the first drug is 7 pašuṭ for a liṭra,

the price of the second drug is 10 pašuṭ for a liṭra,

and the price of the third drug is 20 pašuṭ for a liṭra.

The buyer comes to buy one liṭra from all so that the price of what he takes from one of them is the same as the price of what he takes from each of the others

ערך האחד ז' פשו' הליט'
וערך השני י' פשו' הליטרא
וערך השלישי כ' פשו' הליטרא
ובא הקונה לקנות ליטרא מכלם ויהיה ערך מה שיקח מאחד מהם כמו ערך מה שיקח מכל אחד מן האחרים

• from the drug of 7 pašuṭ for a liṭra

• from the drug of 10 pašuṭ for a liṭra

• from the drug of 20 pašuṭ for a liṭra

Purchase Problems - Unequal Amounts

• Question: a merchant sells two commodities of different prices. The buyer wants to buy one measure of both so that its price will be higher than the lower price and lower than the higher price.
  

ואחר תקח מספר חסרון המחסיר והוא יהיה מספר החלקים שיקח מהמוסיף
ומספר יתרון המוסיף הוא יהיה מספר החלקים שיקח מהמחסיר

• Example: the merchant sells two drugs: the price of one drug is 17 pašuṭ for a liṭra and the price of the second drug is 24 pašuṭ for a liṭra. The buyer comes to buy one measure of both so that its price is 19 pašuṭ.
  

ערך הסם האחד י"ז פשו' הליטרא
וערך הסם האחר כ"ד פשו' הליטרא
ובא הקונה לקנות מדה משניהם יהיה ערכה י"ט פשו'

the parts of the measure to be taken from the drug the price of which is 24 pašuṭ for a liṭra:

the parts of the measure to be taken from the drug the price of which is 17 pašuṭ for a liṭra:

the price of the measure:

2 liṭra at the price of 24 pašuṭ for a liṭra + 5 liṭra at the price of 17 pašuṭ for a liṭra =

7 liṭra for 19 pašuṭ each

the price of a liṭra

• Question: a merchant sells some commodities of different prices. The buyer comes to buy one measure from all of them so that its price is greater than the lowest price and lower than the highest price. How much of the measure will he take from each
  

• pairing each of the lower prices with one of the higher prices

if the lower or the higher prices are not enough - each of the remaining prices is matched up with one of the corresponding numbers that is closest to the requested price - so that the number will be as small as possible

• the parts of the measure = the sum of the excesses of the larger number over the smaller number in each pair

if one of the commodities has a price that is equal to the requested price and has no pair - one can take as many parts as one wishes from this commodity and these parts should be included in the total number of parts of the measure

• Example: the merchant sells 7 drugs:
  

the price of the first drug is 3 pašuṭ for a liṭra

the price of the second drug is 5 pašuṭ

the price of the third drug is 8 pašuṭ

the price of the fourth drug is 11 pašuṭ

the price of the fifth drug is 15 pašuṭ

the price of the sixth drug is 19 pašuṭ

the price of the seventh drug is 28 pašuṭ.

The buyer wants to buy one liṭra from all of them for 15 pašuṭ

ערך הסם הראשון ג' פשו' הליטרא
וערך הסם השני ה' פשו'
וערך הסם השלישי ח' פשו'
וערך הרביעי י"א פשו'
וערך החמישי ט"ו פשו'
וערך השישי י"ט פשו'
וערך השביעי כ"ח פשו'
ורצה הקונה לקנות ליטרא מכלם בט"ו פשו'

two prices are higher than 15 = 19 and 28

הסם אשר ערכו י"ט פשו' הליטרא
והסם אשר ערכו כ"ח פשו' הליטרא

four prices are lower than 15 = 3; 5; 8; 11

הסם אשר ערכו ג' פשו'
ואשר ערכו ה' פשו'
ואשר ערכו ח' פשו'
ואשר ערכו י"א פשו'

• 3 is paired with 19

• 5 is paired with 28

since the higher prices are not enough, the rest of the lower prices will be matched to 19 which is the higher price closest to 15

15	10	8	5	3
	19	19	28	19

4 parts from drug 3

13 parts from drug 5

4 parts from drug 8

4 parts from drug 11

2 parts from drug 15

23 parts from drug 19

10 parts from drug 28

the price of the liṭra is 15 pašuṭ

the price of 4 liṭra at 3 for a liṭra + the price of 12 liṭra at 19 for a liṭra =

the price of 2 liṭra at 15 for a liṭra =

the price of all liṭra multiplied by 15 =

liṭra : liṭra = price of liṭra : price of liṭra

(the price of the sum of all the parts) : (the price of the sum of the liṭra) =

the price of all the parts together = 15 pašuṭ =

Payment Problem

Question: one man hired another man to do his work a given number of days for a given amount of money. The work that he should do is to hire for him a given number of men, each of whom should lead a given number of beasts, each of which should carry a given number of measures and walk a given part of the road. The hired man changed some or all of the numbers. How much should his salary be?

(the product of all stipulated numbers) : (the product of all actual numbers) = (stipulated salary) : (actual salary)

גם קח המספר המורכב מכל המספרים שהשלים
וכיחס השמור אל זה המספר המורכב כן יחס השכירות שהתנה לתת לו אל מה שהוא חייב לתת לו

• Example: Reuven hired Shimon to do his work 9 days for 10 liṭra. The work is to hire for him each day 13 men, each of whom should lead seven beasts, each of which should carry 15 measure and walk 6 parsa. He hired for him for 8 days 17 men, each of whom led 6 beasts, each of which carried 11 measures and walked 7 parsa.

(actual payment): (stipulated payment) = (the work that was done) : (the work that was stipulated)

(the work that was done) : (the work that was stipulated) = the ratios of the stipulated numbers to their corresponding actual numbers = (the product of the stipulated numbers) : (the product of the actual numbers)

וזה היחס המחובר כבר התבאר שהוא כמו יחס המספר המורכב מהמספרים שהתנה אל המספר המורכב מהמספרים שהשלים והקש על זה

• If a man made an agreement with another man to fill with some commodity a container of which the length is a given number, the width is a given number, and the depth is a given number, for a certain amount of money, but he filled for him another container the dimensions of which are different from those of the container agreed upon. How much does he owe him?

כמה חייב לו

(the product of the three stipulated dimensions) : (the product of the three actual dimensions) = (the stipulated price) : (the actual price)

• Example: the seller sold to the buyer a container filled with oil at a price of 20 dinar.
  

The length of the container is 10 measures, its width is 9 [measures] and its depth is 12 [measures].

He filled for him another container, the length of which is 11 [measures], its width is 6 [measures] and its depth is 17 [measures]

ארך הכלי עשרה מדות ורחבו תשעה ועמקו י"ב
ומלא לו כלי אחר ארכו אחד עשר ורחבו ששה ועמקו שבעה עשר

Rule of Four:

Buy and Sell Problems

Question: Reuven bought some parts of the measure for some number of dinar and sold so and so of the measure for so and so dinar and the money was so and so.

We wish to know if he gained or lost and how much?

ורצינו לדעת אם הרויח או הפסיד וכמה

• find the total amount of dinars for each price of a measure

• deduce a profit or loss for each measure and how many dinars per measure

• find the total number of measures of the trade

• the total number of measures × the profit or loss = the total number of dinar that were gained or lost

• Reverse problem: if he gained or lost a certain number of dinar and you want to know how much was the amount of money or the total number of measures in the trade

• the total number of dinar that were gained or lost ÷ the profit or loss per measure= the total number of measures

• the total number of measures × buying price = amount of money

• Example: Reuven bought ⅖ and ³/₇ of a measure for 7⁸/₁₁ dinar.
  

He sold ⁴/₉ of a measure for 8³/₇ of a dinar.

The amount of money was a hundred dinar.

We wish to know whether he lost or gained, and how much?

ומכר ד' תשיעותיה ח' דינרין וג' שביעיות הדינ'
והיה הממון מאה דינרין
ורצינו לדעת אם הפסיד או הרויח וכמה

buying price per measure=

selling price per measure=

total number of measures purchased =

profit for one measure =

total profit =

• If the questioner said that Reuven gained or lost 100 dinar in the bargain and you wish to know how much is the amount of money

total number of measures purchased =

total number of measures × total number of dinar according to the buying price = amount of money

• Question: a man bought some part or some parts of the measure or a liṭra for a certain number of dinar and sold other parts less than the first for the same number of dinar and he gained so and so.
  

How much is the amount of money?

כמה הממון

• Example: Reuven bought ⅖ and [²]/₇ of a measure for 2 dinar.
  

He sold ⁴/₉ of a measure for 2 dinar.

He gained a hundred dinar.

We wish to know: how much was the amount of money?

ומכר ד' תשיעיותיה ב' די'
והרויח ק' די'
ורצינו לדעת כמה הממון

False position = the measure =

buying parts of the measure for one dinar =

selling parts of the measure for one dinar =

gaining parts of the measure for one dinar =

true gaining parts of the measure =

Rule of Four:

the amount of money + the profit =

the amount of money =

• Reverse problem: he lost 100 dinar by buying ⁴/₉ of a measure for 2 dinar and selling ⅖ and [²]/₇ of a measure for 2 dinar.

the amount of money =

what remains after the loss =

buying measure =

• If the numbers of dinar are not the same

• If he bought some parts of the measure for 3 dinar and sold some parts of it for 25 dinar and he gained or lost 100 dinar

buying parts of the measure for one dinar = the buying parts of the common denominator

selling parts of the measure for one dinar = the selling parts of the common denominator

• If the parts of the measure are the same, but the number of dinars are different

• Example: he bought ⁴/₇ and ⁵/₁₁ of a liṭra for 7⁸/₁₁ dinar and sold these parts for 9³/₁₃ dinar and he gained 100 dinar.
  

The questioner asks: how much is the amount of money or how much is merchandise?

ושאל שואל כמה הממון או כמה המקח

• common denominator = the parts of the liṭra

• deduce the parts that are bought for one dinar and the parts that are sold for one dinar

• deduce the amount of money and the quantity of the merchandise

• If a man asks: how much is an amount of a certain measure such that its ²/₇ plus its ⅗ exceed or exceeded by its ⁴/₉ by a certain measure?

The method is explained in theorem 49

• Buy and Sell Problem

Question: Reuven bought some part of a measure for a certain number of dinar and the amount of money was a certain number of dinar.

He sold some of the merchandise at a price of a certain number of dinar per some parts of a measure, and sold the rest at a price of a certain number dinars per some parts of a measure.

He neither gained nor lost.

We wish to know: how much of the merchandise did he sell for the first price and how much for the second price?

ומכר קצת המסחר חלקים ככה מהמדה במספר ככה מהדי' וקצתו האחר מכר חלקים ככה מהמדה במספר ככה מהדי'
ולא הרויח ולא הפסיד
ורצינו לדעת כמה מהמסחר מכר לערך הראשון וכמה לערך השני

• find the price of the measure for each price

• deduce how much he lost for one measure at one price and how much he gained for one measure at the second price

• loss : profit = (what is sold for higher price) : (what is sold for lower price)

The method is explained in theorem 39 of the first section

• loss : (loss + profit) = (what is sold for higher price) : (the whole bargain)

• Rule of Four: deducing the fourth value from the three known values

• Example: Reuven bought ²/₇ of a measure for 3¼ dinar.
  

The amount of money was a hundred dinar.

He sold some of the merchandise at 6⅓ dinar per ⁴/₉ of a measure for, and some he sold at 4⅕ dinar per ⁵/₁₁ of a measure

והיה הממון ק' דינ'
ומכר קצת המסחר ד' תשיעיות המדה ו' דינרין ושליש
וקצתו מכר ה' חלקים מי"א במדה ד' דינ' וחומש דינר

buying price =

selling price 1 =

selling price 2 =

total number of measures purchased =

profit for one measure at price 1 =

loss for one measure at price 2 =

profit + loss =

• the number of measures sold for the higher price =

the number of measures sold for the higher price =

• the remaining measures = the number of measures sold for the lower price

• If the questioner said that he gained or lost a certain number of dinar

• set apart the number of measures that account for the profit or loss, and divide the rest as before to find the measures sold for the higher price

• the remaining measures = the number of measures sold for the lower price

• if he lost, add the number of measures set apart to the measures sold for the lower price, if he gained, add the number of measures set apart to the measures sold for the higher price

• Question: he sold 20 measures at the higher price.
  

We wish to know: how many measures did he sell at the lower price so that he neither gained nor lost?

ורצינו לדעת כמה מן המדות מכר לערך המחסיר בדרך שלא ירויח ולא יפסיד

Rule of Four:

Barter Problem

If a man bartered a certain merchandise for another merchandise.

The price of certain parts of the measure that he offered is a certain number of dinar.

The price of other parts of the merchandise that he received is so and so.

He sold a certain number of measures.

How much should he receive?

וערך החלקים מן המדה ממה שנתן מספר ככה מן הדינ'
וערך חלקים אחרים מן המסחר שקבל ככה
ונתן מספר ככה מן המדות
כמה ראוי שיקבל

• find the price of the measure for each price

• (the price of the offered measure) : (the price of the received measure) = (the number of received measures) : (the number of offered measures)

• Rule of Four: deducing the fourth value from the three known values

• If the sum of the total number of measures offered and received is known, you can deduce how many measures were offered and how many were received

• find the price of the measure for each price

• (the price of the offered measure) : (the sum of the prices of the offered and received measure) = (the total number of received measures) : (the sum of all offered and received measures)

• Rule of Four: deducing the fourth value from the three known values

• If a man bartered a certain merchandise for two commodities.
  

The price of certain parts of the measure that he offered is a certain number of dinar.

The price of other parts of the measure of one of the commodities that he received is so and so.

The price of other parts of the measure of the two commodities that he received is so and so.

He sold a certain number of measures and received a certain number of measures of the two commodities.

You wish to know: how many measures did he receive from the first merchandise and how many from the second merchandise?

וערך חלקים מה מן המדה ממה שנתן מספר ככה מן הדינר'
וערך חלקים אחרים מן המדה מאחד מן המסחרים שקבל ככה
וערך חלקים אחרים מן המדה משני המסחרים שקבל ככה
ונתן מספר ככה מהמדות
וקבל מספר ככה מהמדות בין שני המסחרים
ורצית לדעת כמה מן המדות קבל מהמסחר האחד וכמה מן המסחר השני

• the combined price of the measure of the two received commodities =

• find as above how many parts of the measure will be taken from the two commodities so that the price of the measure will be so and so

• the parts of the measure received from the first commodity = (the parts of the measure taken from the first commodity) × (the measures of both received commodities)

• the remainder = what he received from the second commodity

• Example: Reuven gave Shimon 7 measures of a certain merchandise, the price of the measure is 2⅐.
  

He received from Shimon 9 measures of two commodities - the price of the measure of one merchandise is 1½ dinar and the price of the measure of the second merchandise is 2¾ dinar.

The total price of the 9 measures he received is the same as the total price of the 7 measures he gave.

We wish to know: how many measures did he receive from the first merchandise and how many from the second merchandise?

וקבל משמעון ט' מדות משני מסחרים ערך המדה מהמסחר האחד דינר וחצי וערך המדה מהמסחר השני ב' דינ' וג' רביעיות
ויהיה ערך הט' מדות שקבל כערך הז' מדות שנתן
ורצינו לדעת כמה מדות קבל מהמסחר האחד וכמה מהמסחר השני

the price of what he received =

the price of the measure of what he received =

the parts of the measure taken from the merchandise of which the price is 2¾ dinar =

the parts of the measure taken from the merchandise of which the price is 1½ dinar =

הנה יקח ב' חלקים מט"ו במדה מהמסחר אשר ערך המדה ממנו ב' דינ' וג' רביעיות
וי"ג חלקים מהמדה מהמסחר האחר

converting all the parts of the dinar (half, third, quarter) to a common denominator: the lower price will be smaller than the price of the measure (1⅔) by 2 parts; and the higher price will exceed it by 13 parts

the number of measures he should take from the the merchandise of which the price is 1½ dinar =

the remainder should be taken from the other merchandise

Give and Take Problem

If a man made an agreement to pay a certain man a salary of certain number of dinar for a certain amount of time.

For each day that he does not work, the worker will pay the employer a certain number of dinar.

The worker did his work a certain number of days, and did not work for some time, and lost as much as he gained.

How much of the time did he not work?

ובכל יום שיבטל הפועל יתן לשוכר מספר ככה מהדינ'
ועשה הפועל מלאכתו מספר מונח מהימים ובטל זמן מה
ויצא שכרו בהפסדו
כמה מהזמן בטל

• find the total number of dinar earned in a working day and the total number of dinar lost in a day off

• (total number of lost dinar) : (total number of earned dinar) = (time off work) : (working time)

• Rule of Four: deduce the fourth value from the three known values

• If the sum of both times is known - deduce the time off work and the working time as above

Barter Problem

Question: a man bartered a certain merchandise for another merchandise.

The price of some parts of the measure that he offered is so and so.

The price of other parts of the merchandise that he received is so and so.

He gave a certain number of measures.

How much should he receive?

וערך חלקים מה מן המדה ממה שנתן ככה
וערך חלקים אחרים מהמסחר שקבל ככה
ונתן מספר ככה מהמדות
כמה ראוי שיקבל

• Example: the merchandise that he offered is worth 2 dinar for ⅗ plus ²/₉ of a measure.
  

The merchandise that he received is worth 3 dinar for ³/₁₁ plus ²/₇ of a measure.

He gave 20 measures.

We wish to know: how much should he receive?

והמסחר שקבל ישוו ג' חלקים מי"א במדה עם ב' שביעיותיה ג' די'
ונתן לו כ' מדות
ורצינו לדעת כמה ראוי שיקבל

• find the common denominator of all the parts (of the measure and of the dinar)

• for each price - find the parts of that [common denominator], which are taken for one dinar

• Rule of Four: (the parts offered for a dinar) : (the parts received for a dinar) = (what he offered) : (what he received)

common denominator =

parts offered for two dinar =

parts offered for one dinar =

parts received for three dinar =

parts received for one dinar =

Rule of Four:

Give and Take Problems

• If a man made an agreement to pay a certain man a salary of certain number of dinar for a certain amount of time.
  

For each day that he does not work, the worker will pay the employer a certain number of dinar.

The worker worked some time, then stopped working, and lost as much as he gained.

How much of the time was he unemployed?

ובכל יום שיבטל הפועל יתן לשוכר מספר ככה מהדינ'
ועשה הפועל זמן מה ובטל ויצא שכרו בהפסדו
כמה בטל

• Example: Reuven hired Shimon to do his work, and would give him a payment of 20 dinar for 7⅕ days. Shimon would give Reuaven ⁴/₁₁ of a dinar for each day he did not work.
  

Shimon worked 2³/₇ days and stopped working, and he lost as much as he gained.

We wish to know: how long did he not work?

ושמעון יתן לראובן בכל יום שיבטל ד' חלקים מי"א בדי'
ועשה שמעון ב' ימים וג' שביעיות יום ובטל ויצא שכרו בהפסדו
ורצינו לדעת כמה הבטול

parts of the day = common denominator =

Rule of Four: (parts of the day earning one dinar) : (parts of the day losing one dinar) = (2³/₇ days) : (time off)

parts of the day earning one dinar =

parts of the day losing one dinar =

Rule of Four

Find a Number Problems

Two Numbers

• If a man asks you: how much is the number that some parts of it are the same as given parts of a given number?

The method is explained in theorem 51

• Question: we multiplied a number by a certain number and the result was so and so.
  

The sum of both numbers is so and so.

How much is each of them?

ומקובץ שני המספרים ככה
כמה כל אחד מהם

ואם גרענו מהחצי יהיה לך המספר השני

• Example: the two numbers summed together are 13 and their product one by the other is 17.
  

הוצאנו שרשם והנה ה' שלמים וראשון אחד כ"ט שניים מ"ו ל"ד

Check:

it is impossible to find the exact number since 25¼ does not have a real root [= it is not a perfect square]

if the ratio of 100:101 was a ratio of a square to a square, then 101 should have been a square, as 100 is a square number

but then the square of 101 would have been an integer - that is false.

• We multiplied a given number by its given part, then we summed the result with the product of the given part by the remaining part of the given number and it was so and so.
  

How much is each of the parts?

כמה כל אחד מהחלקים

• Example: the product of ten by its given part plus the product of that part by the other part are 80 and we wish to know: how much is the given part?
  

ורצינו לדעת כמה החלק המונח

גרענו מהם שמונים ונשארו עשרים
הוצאנו שרשם והוא בדרך קירוב ד' שלמים כ"ח י"ט מ"א כ"א והוא החלק האחד

Check:

• We multiplied a given number by its given part and summed the result with a square of the remaining part and it was so and so.
  

We wish to know: how much is each of the parts?

ורצינו לדעת כמה כל אחד מהחלקים

והנשאר מהמספר הוא החלק השני

• Example: the product of ten by one part of it plus the square of the remaining is 80 and we wish to know: how much is each of the parts?
  

ורצינו לדעת כמה כל אחד מהחלקים

גרענו עשרים מכ"ה ונשארו חמשה
הוצאנו שרשם והוא בקירוב ב' שלמים י"ד ט' נ' מ'
הוספנום על חמשה והנה החלק האחד ז' שלמים י"ד ט' נ' מ'

Check:

• Question: we added one given number to given parts of a second given number and the result is equal to the second given number with different parts of the first given number and the result is a certain number.
  

How much is each of the numbers?

כמה כל אחד מהמספרים

• converting the fractions into a unit fraction
  

• extracting the numbers according to the way that was explained in theorem 52
  

• what was explained in theorems 47, 48, and 53 is correct also for fractions that are converted to a unit fraction

• False Position:

• Rule of Four: find the proportional numbers corresponding to the two numbers

• Example: the first given number will be added to ²/₇ and ⅑ of the second given number and it is 20.
  

If the second given number is added to ⅖ of the first given number they are 20 also.

We wish to know: how much is each of the numbers?

ואם יחובר המספר המונח השני עם ב' חמישיות המספר המונח הראשון יהיו עשרים גם כן
ורצינו לדעת כמה כל אחד מהמספרים

extracting two numbers according to the way that was explained in theorem 52

False Position:

וככה המספר השני עם ב' חמישיות המספר הראשון

Rule of Four:

Explanation:

Rule of Four:

ולזה יהיה יחס השני וב' חומשי הראשון מקובצים אל המונח השני וב' חומשי המונח הראשון מקובצים כיחס העולה שהוא ה' שלמים וג' עשיריות אל עשרים

הנה אם כן המונח השני וב' חומשי המונח הראשון הוא עשרים

• If the question was to add some multiples of the second to the first and some multiples of the first to the second and the result was the same
  

וכזה תוציא ממספר כפלי השני אחד והנשאר הוא הראשון
ותמצא שאלו המספרים ינהגו המנהג שזכר

• Example: the first with 2½ of the second is the same as the second with 3¼ of the first.
  

• If the first is 20
  

Rule of Four:

Three Numbers

• this is explained in theorems 48, and 53 for fractions and for unit fractions by converting the fractions to a unit fraction
  

• it is explained also in theorems 47, where the first number was 2, after converting the fractions to a unit fraction:

• it is not explained there for a number that is less than 2:

• it is a reverse case of the case where the first number is greater than 2:
  

וזה שאז היה הראשון מאלו המספרים השלישי ויתרון השני על הראשון כשחסרנו ממנו השטח ההווה מחסרון הראשון משנים בשטח השני בשלישי והשני והשלישי יוצאו על הצד שהתבאר שם

• Example: א =

‫א - ‫2 = ד

א - ב = ה

ב - ג = ז

‫1 - ב = ח

‫1 - ג = ט

‫1 - א = ל

א = כ + ל

→1 = כ

a₁ = ‫(ד×ב×ג) - (ג + ה) = מ

a₂ = ‫(ה×ט)·2 + מ = נ

a₃ = ‫(ל×ז)·2 + נ = ס

• Assertion: these are the three requested numbers

• Proof:
  

a₁ = ‫(ד×ב×ג) - (ג + ה) = מ

a₂ = ‫(ה×ט)·2 + מ = נ

= ‫(ה×ט)·2 + ‫(ד×ב×ג) - (ג + ה)

a₃ = ‫(ל×ז)·2 + נ = ס

= ‫(ל×ז)·2 + ‫(ה×ט)·2 + ‫(ד×ב×ג) - (ג + ה)

• Assertion: ‫(ח×ט)·2 = _א/‫^{(נ + ס)}

Proof:

½(a₂+a₃) = ½(נ + ס) =

= ‫(ד×ב×ג) - ‫(ל×ז) + ‫(ה×ט)·2 + (ג + ה)

adding the product ‫[ל×(ח + ג)]:

= ‫[ל×(ח + ג)] + ‫(ל×ז) + ‫(ה×ט)·2 + (ג + ה)

‫[ל×(ח + ג)] - ‫(ד×ב×ג) -

• ‫[ח×(ה + ז)] = ‫(ל×ז) + (ה×ט)

ה = ל - ח

ז = ח - ט

ט = ה + ז + ל

• ‫(ח×ט) = ‫(ח×ל) + ‫[ח×(ה + ז)]

• ‫(ל×ג) = ‫(ל×ח) - ‫[ל×(ח + ג)]

• Assertion:
  

‫(ל×ח×ט) = ‫[ל×(ח + ג)] - ‫(ד×ב×ג) - ‫(ה×ט) + ה + ג

• Proof:
  

‫(ה×ג) = ‫(ה×ט) + ה

‫[(ה + כ)×ג] = ‫(ה×ט) + ה + ג

‫[(ה + כ + ל)×ג] = ‫(ה×ט) + ה + ג + ‫(ל×ג)

= ב×ג

= ‫1×‫(ב×ג)

= ‫(ד + ל)×‫(ב×ג)

‫(ל×ב×ג) = ‫(ד×ב×ג) - ‫[(ד + ל)×(ב×ג)]

• ‫[ל×(ח + ג)] = ‫(ל×ח×ט) - ‫(ל×ב×ג)

‫(ל×ח×ג) = ‫[(ל×ח)×ט] + ‫(ל×ח)

= ‫[ח×(ל×ג)]

‫[ב×(ל×ג)] = ‫[ח×(ל×ג)] + ‫(ל×ג)

‫(ל×ח×ט) = ‫[ל×(ח + ג)] - ‫(ל×ב×ג)

½(a₂+a₃) = ½(נ + ס)

= ‫(ל×ח×ט) + ‫(ח×ט)

=‫(ל×ח×ט) + ‫(כ×ח×ט)

=‫(כ + ל) × ‫(ח×ט)

= א × ‫(ח×ט)

½(a₃+a₂) = ‫(א×ח×ט) = ‫½‫(נ + ס)

_א/‫^{½(נ + ס)} = ‫(ח×ט)

_א/‫^{(נ + ס)} = ‫(ח×ט)·2 = ע

ונשים העולה מספר ע'

½(a₃+a₁) = ½(מ + ס)

= ‫(ל×ב) - ‫(ד×ב×ג) - ‫(ל×ב) + ‫(ל×ז) + ‫(ה×ט) + (ה + ג)

• Assertion:
  

‫(ל×ב×ט) = ‫(ל×ב) - ‫(ד×ב×ג) - ‫(ל×ב) + ‫(ל×ז) + ‫(ה×ט) + (ה + ג)

• Proof:
  

‫(ה×ג) = ‫(ה×ט) + ה

‫[(ה + כ)×ג] = ‫(ה×ג) + ג = ‫(ה×ט) + ה + ג

‫(ל×ג) = ‫(ל×ב) + ‫(ל×ז)

ב = ‫(ה + כ + ל)

‫(ב×ג) = ‫[(ה + כ)×ג] + ‫(ל×ג)

= ‫1×‫(ב×ג)

= ‫(ל + ד)×‫(ב×ג)

לפי של'ד' הוא אחד

‫(ל×ב×ג) = ‫(ד×ב×ג) - ‫(ל + ד)×‫(ב×ג)

‫ט×(ל×ב) = ‫(ל×ב) - ‫(ל×ב×ג)

½(a₃+a₁) = ‫(ב×ל×ט) = ‫½‫(מ + ס)

_ב/‫^{½(מ + ס)} = ‫(ל×ט)

_ב/‫^{(מ + ס)} = ‫(ל×ט)·2 = פ

ונשים העולה מספר פ'

½(a₂+a₁) = ½(מ + נ)

= ‫(ל×ג) - ‫(ד×ב×ג) - ‫(ל×ג) + ‫(ה×ט) + (ה + ג)

• Assertion:
  

‫(ל×ח×ג) = ‫(ל×ג) - ‫(ד×ב×ג) - ‫(ל×ג) + ‫(ה×ט) + (ה + ג)

• Proof:
  

‫[(ה + כ)×ג] = ‫(ה×ט) + ה + ג

‫[(ה + כ + ל)×ג] = ‫[(ה + כ)×ג] + ‫(ל×ג)

=‫(ב×ג)

= ‫1×‫(ב×ג)

= ‫(ל + ד)×‫(ב×ג)

שהוא שוה לשטח ב' בג'
יהיה אם כן זה שוה לשטח ל'ד' במורכב ב'ג'
לפי של'ד' הוא אחד

‫ב×(ל×ג) = ‫(ל×ב×ג) = ‫(ד×ב×ג) - ‫(ל + ד)×‫(ב×ג)

‫ג×(ל×ח) = ‫(ל×ח×ג) = ‫ח×(ל×ג) = ‫(ל×ג) - ‫ב×(ל×ג)

_ג/‫^{½(מ + נ)} = ‫(ל×ח)

_ג/‫^{(מ + נ)} = ‫(ל×ח)·2 = צ

ונשים העולה מספר צ'

• Assertion: מ + ע = נ + פ = ס + צ

• Proof:
  

מ + ‫(ח×ט)·2 = מ + ע

מ + ‫(ה×ט)·2 + ‫(ל×ט)·2= נ + פ

מ + ‫(ח×ט)·2 = נ + פ

מ + ‫(ה×ט)·2 + ‫(ז×ל)·2 + ‫(ח×ל)·2= ס + צ

‫(ט×ל)·2 = ‫[(ז + ח)×ל]·2 = ‫(ז×ל)·2 + ‫(ח×ל)·2

‫[ט×(ל + ה)]·2 = ‫(ט×ה)·2 + ‫(ט×ל)·2

‫(ט×ח)·2 = ‫[ט×(ל + ה)]·2

מ + ‫(ח×ט)·2 = ס + צ

• We want to find three numbers such that the one with ²/₇ of the rest is the same as another with ⅖ of the rest and the same as another with ³/₁₁ of the rest
  

Check:

• We want to find three numbers such that the one with ½ of the rest is the same as another with ⅖ of the rest and the same as another with ³/₁₁ of the rest
  

Check: :

• We want to find three numbers such that the one with ⅗ of the rest is the same as another with ⁴/₁₁ of the rest and the same as another with ²/₇ of the rest