Difference between revisions of "אגרת המספר"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎Double False Position)
(→‎Double False Position)
Line 8,615: Line 8,615:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\max(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)-\min(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)}{\max(\Delta_1,\Delta_2)-\min(\Delta_1,\Delta_2)}=\frac{120}{5}=24}}</math>
+
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\max(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)-\min(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)}{\max(\Delta_1,\Delta_2)-\min(\Delta_1,\Delta_2)}=\frac{120}{5}=24}}</math>
 
|style="text-align:right;"|תחלק הנשאר מן ההכאות שוה ק"ך על ה' והנשאר מן החטאים יהיה היוצא כ"ד והוא המספר המוסכל המבוקש
 
|style="text-align:right;"|תחלק הנשאר מן ההכאות שוה ק"ך על ה' והנשאר מן החטאים יהיה היוצא כ"ד והוא המספר המוסכל המבוקש
 
|-
 
|-
Line 8,631: Line 8,631:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\max(\Delta_3\sdot a_4,\Delta_4\sdot a_3)-\min(\Delta_3\sdot a_4,\Delta_4\sdot a_3)}{\max(\Delta_3,\Delta_4)-\min(\Delta_3,\Delta_4)}=\frac{60}{2+\frac{1}{2}}=24}}</math>
+
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\max(\Delta_3\sdot a_4,\Delta_4\sdot a_3)-\min(\Delta_3\sdot a_4,\Delta_4\sdot a_3)}{\max(\Delta_3,\Delta_4)-\min(\Delta_3,\Delta_4)}=\frac{60}{2+\frac{1}{2}}=24}}</math>
 
|style="text-align:right;"|תחלק אלה הס' על ב' וחצי שהוא הנשאר מן החטאים יהיה היוצא כ"ד כמו במעשה הה' והוא המבוקש
 
|style="text-align:right;"|תחלק אלה הס' על ב' וחצי שהוא הנשאר מן החטאים יהיה היוצא כ"ד כמו במעשה הה' והוא המבוקש
 
|-
 
|-
Line 8,690: Line 8,690:
 
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>אמ'</span></big> '''ואם רצית קח הכף השנית מן המספר הראשון או מזולתו והוציא חלקה אשר תקביל בו מה שעל הכיפה והכה אותו בשלם שבראשנה והכה חטא הראשונים בשלם שבשנית א"כ אם היה חטא הראשון חסר קבצת ההכאות'''
 
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>אמ'</span></big> '''ואם רצית קח הכף השנית מן המספר הראשון או מזולתו והוציא חלקה אשר תקביל בו מה שעל הכיפה והכה אותו בשלם שבראשנה והכה חטא הראשונים בשלם שבשנית א"כ אם היה חטא הראשון חסר קבצת ההכאות'''
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle a=\frac{\left(A_2\sdot a_1\right)+\left(\Delta_1\sdot a_2\right)}{A_2}</math>
 
|style="text-align:right;"|'''ואם היה יותר לקחת התוספת שביניהם ומה שיהיה תחלקנו על חלק הכף בשנית'''
 
|style="text-align:right;"|'''ואם היה יותר לקחת התוספת שביניהם ומה שיהיה תחלקנו על חלק הכף בשנית'''
 
|-
 
|-
Line 8,788: Line 8,788:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(A_2\sdot a_1\right)+\left(\Delta_1\sdot a_2\right)}{A_2}=\frac{240+240}{20}=\frac{480}{20}=24}}</math>
+
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(A_2\sdot a_1\right)+\left(\Delta_1\sdot a_2\right)}{A_2}=\frac{240+240}{20}=\frac{480}{20}=24}}</math>
 
|style="text-align:right;"|קבצנו ההכאות ר"מ ור"מ היו ת"פ<br>
 
|style="text-align:right;"|קבצנו ההכאות ר"מ ור"מ היו ת"פ<br>
 
חלקנום על כ' שהוא החלק שעל השנית יצא כ"ד והוא המבוקש וזו צורתו
 
חלקנום על כ' שהוא החלק שעל השנית יצא כ"ד והוא המבוקש וזו צורתו

Revision as of 12:58, 3 April 2019

Contents


Prologue
The Hebrew commentator: Issac b. Shlomo b. Ẓaddiq b. al-Aḥdab the Spaniard אמר יצחק בן שלמה בן צדיק בן אלאחדב ספרדי[1]
The circumstances in which the original Arabic treatise was written:

An Arab scholar [apparently Ibn al-Bannāʼ] was been asked by his friends to compose a short treatise including all issues of the wisdom of number

הנה אחד מחכמי הערב בקשו ממנו קצת אהביו לחבר להם כלל קטון יהיה מקיף בכל ענייני חכמת המספר בדרך קצרה
He did as they asked and wrote an extremely short epistle, but they could not comprehend this epistle and asked him to explain it ויעש את בקשתם ויחבר אגרת קטנה מאד

הגדיל לעשות [2] בדרכיה ובקצורה לפי עניניה וישלחה להם
ובבואה אליהם נבצרה מהם ונשגבה מעיני חכמתם ויבקשו ממנו לפרש אותה

Ignoring those who lack the knowledge, he composed a profound commentary, intelligible only for the gifted with logic who understand the reasons of matters ובהרגישו קוצר דעתם עשה גם הוא בערמה ויחבר להם פי' האגרת זר ועמוק לא יבינוהו כי אם הגיוני ומבין נתינת סבות הדברים ויקרא שמו מסיר המסוה [3]

וישיבו אותו דבר לאמר משיב המסוה [4] שמו
גם הוא כתב להם כדברים האלה: מחוייב אנכי להשתדל להוציא הדברים ממקור יסודותן ואינני מחוייב להשתדל שיבינו בהמות היערים

Later on the epistle spread among the wise and many commentaries were written about it אחר כן פשטה האגרת בין חכמי הלבבות ותהי להם אגרת כלילת יופי [5]ויצא טבעה ביניהם ויעשו לה פי' רבים מפנים רבים וכולם באו בארוכה [6] מאד
Al-Aḥdab learning about the epistle:

Traveling in Arab lands Al-Aḥdab got to know the epistle and studied it with a wise man. He read the commentary of its author as well as other commentaries and discovered its mysteries

וכאשר באתי אני בארצותם שכנתי עם אהלי קדר[7] באת לידי האגרת ההיא וקראתיה לפני חכם מחכמיהם

גם ראיתי פי' מחברה ופי' זולתו עד באתי גנזי חדריה וגליתי כל מסתוריה

Al-Aḥdab's arrival in Syracuse:

Al-Aḥdab then went on a journey by sea to the Holy Land but the stormy sea brought him to the city of Syracuse in Sicily

אחר כן בעברי דרך ים ללכת ארץ הצבי [8] ת"ו בימינו ויהמו עלינו גלי הים תהום אל תהום קורא[9] ותשח לעפר [10] נפשינו השגיח ממכון שבתו[11] עלינו המשגיח על עולמו בכלל ובפרט ישתבח ויתעלה ויתנשא שמו וישכיח שאון גלי הים [12] ודכים

ויביאנו שלמים אל העיר המהוללה סרג'וסה סקליה

In Syracuse Al-Aḥdab met honourable scholars and studied with them religious studies ואמצא שם אנשים אנשי שם [13] רבים ונכבדים מתעסקים בתורה ובמצות

ובתוכם זרעם נכון לפניהם [14] בחורי חמד משכילים נשתעשעתי באהבתם בחרתי בחברתם ויקראו לפני קצתם בתלמוד תורתינו הקדושה

Some of them were interested also in arithmetic and asked him to write for them a short but extensive book on this wisdom ולעתות הפנאי ק[רא]ו קצתם בחכמת המספר

ויהי היום בקשו ממני לחבר להם ספר קצר בחכמה הזאת יקיף בכל עניינים כפי היכלת

Consenting the request of his friends, he decided to translate the epistle for them and add his own explanation and illustration briefly ולאהבתם תרתי במחשבתי מה לעשות ומצאתי כי הנכון למלאת שאלתם הוא להעתיק להם האגרת הנזכרת ללשון הקודש ולפרשה בדבור ומשל בקצרה כפי יכלתי
והנני מחל בע"הו אדון הכל יתעלה ויתנשא שמו אמן
Al-Aḥdab confesses that he left out some parts of the epistle, which he thought are of no use והסכמתי להשמיט מן האגרת בקצת מקומות לראות לפי עיוני כי אין בהם תועלת
In order not to be caught red-handed by a reader who has read the original Arabic epistle, he indicates the missing parts in their place ואעורר על המקומות ההם במקומם כדי שלא ימהר לתפוש עלי מי שתבא האגרת ההיא לידו בלשון ערב
The first part that was omitted in Al-Aḥdab's translation is an elaborate list of contents which appears in the Arab epistle and according to Al-Aḥdab seems pointless especially in such a short treatise והנה בתחלה האריך להודיע אל כמה חלקים יחלק ספרו וכל חלק לכמה שערים וכל שער לכמה מינים

ואני השמטתי זה כי ענין כזה בחבור גדול מועיל תועלת מעוטה ובחבור קטן אינני רואה בזה תועלת אם לאריכות הפך המכוון לקצר

[Section One: integers]

Introduction
Following the Arab epistle Al-Aḥdab presents next some necessary preliminary definitions
  • The first definition: number = what is summed from the units
 אמר המחבר: המספר מה שיתחבר מן האחדים
According to Al-Aḥdab, the number is conceived by itself and therefore is difficult to define and describe פי': רצה להעיר על מהות המספר כי כך דרך כל חכם להודיע תחלה מהות הדבר אשר בו ירצה להתעסק בספרו

והוא אמר בפי' הנזכר למעלה כי רבים חתרו לגדור המספר ואחרים לתת לו רושם ולא באה פעולתם כהוגן
ואמ' כי זה בעבור כי המספר מן הדברים המצויירים בעצמם אשר יקשה לתת להם גדר או רושם
וכי כל מה שיעשה מזה הוא כדמות הערה על האמת לא גדר ולא רושם

The definition of number is based on the premise that all numbers originate in one and one is not a number ואמר כי מכל ההערות אשר נעשו בזה לא ישרו בעיניו הערה יותר מזאת שהזכיר וזאת ההערה בנויה על שכל המספרים יבואו מן האחד וכי האחד אינו מספר
Reference to Ibn Rushd's [Averroes] On Physics ותמצא הערה זו או קרובה לה בספר השמע לבן רשד
Arithmetic does not investigate the essence of number, but examines the matters of number from the aspect of its summing, dividing, multiplying, adding, subtracting and so on, giving the appropriate short methods to reach what is required from that והנכון אצלי כי אין על בעל החכמה הזאת לאמת ולהודיע מהות המספר כי אין על הרופא לאמת מהות האדם

וזה כי זאת החכמה לא תעיין במהות המספר אבל נעיין במספר מצד שיתקבץ ויתחלק ויכפל ויוסיף ויגרע וכדומה לזה לתת דרכים נאותים להגיע אל המבוקש מזה בדרך קצרה
ולכן יהיה זה גדרה כלומ' חכמה יודעו ממנה ענייני המספר מצד מה שיתקבץ ויחלק ושאר משיגיו מזה הצד לתת דרכים קצרים נאותים להגיע אל המבוקש מזה

Hence, [arithmetic] should be called [the wisdom of] counting and not [the wisdom] of number ויותר נכון בלשוננו להקרא זה ספירה ולא מספר כאשר תקנו חכמי האמת ז"ל על ספירת העומר
two types of numbers:
  • integer
  • fraction
 אמר: והוא יחלק לפי לקיחתו על שני חלקים שלם ושבר
two types of integers
  • even
  • odd
 והשלם שני פנים זוג ונפרד
three types of evens:
  • even-times even
  • even-times odd
  • even-times-even-times odd
 והזוג שלש מינים זוג הזוג וזוג הנפרד וזוג הזוג והנפרד
two types of odds:
  • prime number
  • odd-times odd
 והנפרד ב' מינים ראשון ונפרד הנפרד
פי': אמ' כי המספר לפי מה שילקח כלומ' מצד מה שיתקבץ ויחלק ושאר העניינים כפי מה שהזכרנו לא מצד שהוא מספר יחלק לשני חלקים שלם ושבר שלם כמו אחד שנים ושאר המספרי' ושבר כמו חצי ושליש ושאר החלקים ויתחיל בשלם והוא ב' פנים הידועים למספר כי כל מספר יהיה אם זוג אם נפרד
Three types of even numbers ואמ' כי הזוג ג' מינים ר"ל בהתבוננות הרכבתו מחלקים שנים שלמים הראשונים אשר יתכן
וזה כי החלק הראשון אשר יבוקש הוא החצי ואחריו השליש ואחריו הרביע וכן כולם והנה כל זוג יחלק לחצאים
even-times-even number ואם יחלק החצי ג"כ לחצאין וחצי החצי לחצאין עד שיגיע אל האחד יקרא זוג הזוג כמו ח' י"ו ול"ב כי הוא יחלק תמיד לחצאין כזוג עד שיגיע אל האחד
even-times-odd number ואם יחלק לחצאין וכל אחד מהחצאין נפרד כששה שחציו ג' או עשרה שחציו ה' יקרא זוג הנפרד כי הוא מורכב מב' נפרדים
even-times-even-times-odd number ואם יחלק תחלה לזוגות ואח"כ לנפרדים כי"ב כי יחלק לששה ששה א"כ לג' וכל הדומה לזה יקרא זוג הזוג והנפרד כי הורכב מב' זוגות המורכבים מנפרדים
והנפרד בעבור שלא יחלק לחצאין שלמים ולא לרביעיים ובכלל [15]לכל חלק זוג הנה הראשון שיתכן בו הוא השליש ואחריו חומש ואחריו שביע וכן כל הדומים להם
prime numbers ויש נפרדים שלא יתחלקו כלל כי אם לאחד כמו ה' וז' וי"א וי"ג והם רבים ואלה יקראו מספרים ראשו' בעבור כי לא יחלקו כי אם על האחד שהוא ראשון לכל המספרים וקראו ג"כ המספרים החרשים בעבור כי לא ישמעו לקול מחלקים
odd-times-odd number ואם יחלק לא יחלק כלל לחלקים שיהיו זוגות אחר שהוא לא יתחלק לחלקים שמניינם זוגות לכן הנפרד אשר יחלק יהיה תמיד לחלקים נפרדים כמו הט' הנחלק לג' ג' וט"ו הנחלק לה"ה וג"ג וכ"א בז"ז וג"ג וכ"ה בה"ה וכן הדומה לזה
וידיעת זה הוא מועיל לפנים כבקשת מספר מאיזה חלקים הורכב בשער החילוק

The Decimal System

Numeration
The threefold cycle of the decimal ranks – the three ranks that build all numbers – units, tens, hundreds אמר: ולמה שהיה המספר יתוסף אל זולת תכלית הושמו לו ג' מדרגות ויקראו ג"כ מחנות תסובנה עליהם מעלות המספר בכל מדרגה מהם תשעה מספרים
  • Units
 המדרגה הראשונה מהאחד עד תשעה ותקרא מדרגת האחדים
  • Tens
 והשנית מעשרה ועד תשעים ותקרא מדרגת העשרות
  • Hundreds
 והשלישית ממאה עד ט' מאות ותקרא מדרגת המאות
The ranks of the products of powers of thousands are counted as units, tens and hundreds פי': מדרגות המספר הן אלו הג' כי אחרי אלף ישוב תמיד לספור באלפים אחדים עשרות מאות וכן באלפי אלפים וכן תמיד
The reason why there are only three fundamental ranks – the number is added endlessly, but if there were endless [names] of ranks they were inconceivable ואמ' כי הסבה אשר שמו אלה הג' ולא יותר היה בעבור שהמספר יתוסף ללא תכלית אלו שמו ג"כ מדרגה אחרת לאחדי האלפים ומדרגה לעשרות האלפים וכן כולם היו המדרגות ללא תכלית
ומה שהוא ללא תכלית לא תקיף בו ידיעה
The number is added endlessly, yet every number is finite and limited at both ends ואמרו כי המספר יתוסף לזולת תכלית יר' כי כמו שיתקבץ עם האחד אחד ויהיו שנים עוד אחד ויהיו ג' עוד א' ויהיו ארבעה כן יצוייר זה התוספת ללא תכלית והאמת כי המספר יתוסף אל מה שיתוסף ואמנם תמיד יהיה בעל תכלית מוגבל משני קצותיו
Terminology – ranks ונקראו מדרגות ומעלות בעבור כי יש להם סדר זו אחר זו
ונקראו מחנות כי המספרים יחנו שם כאשר יתבאר בג"ה
The twelve names of numbers אמר: ולמספר שנים עשר שמות פשוטי' יתרכבו מהם כלל שמותיו התשעה הראשונים מהם לאחדים ועשירי לעשרות והי"א למאות והי"ב לאלפים והוא במדרגת האחדי' ומשם ישוב הסבוב
The twofold names פי': השם המורכב הוא כמו האחד עשר כי הוא מורכב מאחדים ועשרות וכן י"ב וכן כל הדומה להם
והפשוט הא' והשנים וכן העשר והמאה והאלף
ועשרים ושלשים הוא אצלו מורכב כאלו אמר עשרות שתים שלש עשרות, כמו שלש מאות ד' מאות
ואין לומ' ג"כ עשרה אחד אחד מאה ויהיו מורכבים כי אם לא יהיה מספר ששמו עשרה ומאה לא תפול עליו ההרכבה
The threefold cycle of the decimal ranks
The rank of the thousands functioning as the rank of units with respect to the tens of thousands and the hundreds of thousands ואמ' כי האלף במדרגת האחד כי כבר אמרנו למעלה שמדרגות המספר ג' וישוב בעבור זה האלף כמו אחד כי אחרי כן יספור עשרות אלפי' ומאות אלפי'
The Hebrew word Eleph meaning one thousand is written similarly to the name of the first Hebrew letter Aleph ומה נכבד לשון הקדש שקרא לצורה המורה על האחד אלף
The cycle of the decimal ranks ואמ': ומשם ישוב הסבוב יר' סבוב המדרגות כמו שאמרנו

The Positional Decimal System
The numerals אמר יצחק: צריך על כל פנים להאריך בכאן להודיע צורות המספר ומדרגותיו הצורות אשר שמו למספר ט' ואלה צורתם אשר אני מצייר לך בכתיבה

1 2 3 4 5 6 7 8 9

The written ranks [= decimal places]
Units ואם תרצה לעשות צורות אחרות עשה כל אחת מאלו בהיותה לבדה על האחדים
  • 1
 הנה 1 תורה על אחד
  • 2
 2 על שנים וכן כלם כי אין שם מדרגה כי אם היא
Units and Tens וכאשר תחזה אחת מאלו הצורות במדרגה שניה תורה על עשרות
  • 21
 הן שיהיה במדרגה מספר כמו זה 21

כי צורת השנים להיותה במדרגה שניה תהיה עשרים
והאחד להיותה במדרגה הראשונה יהיה אחד
לכן יהיו כ"א

Zero ואם לא היה בראשונה מספר נהגו לעשות שם עגולה כזו תקרא אצלם ספר תורה על מדרגה וישימו אחריה המספר
Tens
  • 20
 כזה 20 הנה השנים פה הם עשרים כי במדרגה השנית
Hundreds
  • 200
 וכן לו היו שתי עגולות 200 היו השני' מאתי' כי הם במדרגה שלישית שהיא מדרגת המאות
Thousands
  • 2000
וכן אם היו שלש עגולות 2000 יהיו השנים שני אחדי אלפים כי משם יחל לשוב לאחדים
Tens and Hundreds והרוצה לכתוב מאות ועשרות יעשה עגולה במדרגת האחדים ויכתוב אחרי כן
  • 340
 כאלו רצה רצה שלש מאות וארבעי' יעשה כזה 340 הנה הד' במדרגה שנייה ד' עשרות וג' בשלישית ג' מאות
Units and Hundreds ואם ירצה מאות ואחדים ישים העגולה במקום העשרו'
  • 903
 כאלו רצה תשע מאות ושלשה יעשה כזה 903 והנה השלשה בראשו' באחדים והתשעה בג' מאות
Units, Tens and Hundreds ואלו רצה מאות ועשרות ואחדי'
  • 535
 כחמש מאות שלשים וחמישה יעשה כזה 535 הנה החמשה הראשו' במדרגה ראשו' אחדים והג' בשניה עשרות והה' בג' מאות
Thousand and upwards וכן יעלו המדרגות תמיד לאלף ועשרת אלפים ומאת אלפים וא"כ אלף אלפים עשרת אלפי אלפים מאת אלפי אלפים וכן תמיד
Conversion from the Numeration to the Written Decimal System and vice versa
The positional value [= value of rank] (mosad) and the numerical value (šem) אמר: ויודע כל מספר מצד מוסדו ושמו המיוחד
‫[המוסד] הוא סימן בעבור מדרגות המספר
  • value of the rank of units = 1
 ומוסד האחדי' אחד
  • value of the rank of tens = 2
 ומוסד העשרות שני'
  • value of the rank of hundreds = 3
 ומוסד המאות ג' וכן כל מה שאחר זה
והשם הוא סימן על המספר אשר יהיה במדרגה מה
ושם האחד אחדים והשנים עשרות והשלשה מאות
פי' בידיעת מדרגות המספר אשר נזכרו למעלה שני עניינים
Writing a number requires knowing the value of its ranks [= positional value] האחד כאשר ירצה האדם לכתוב אי זה מספר שיהיה שידע מספר המדרגות שצריך לכתוב
Knowing the name of a number is based on the identification of the names of its ranks והשני אם ימצא מספר כתוב מדרגות רבות וירצה לדעת שם המספר ההוא
Terminology
  • The value of the rank [= positional value]
 וידיעת הראשון יקרא מוסד כלומ' ידיעה ליסד מדרגות המספר ולכתבם

ואמר כי תבת מוסד מועתקת להורות על ענין זה

  • The name of the numeral [= numerical value]
 וידיעת השני יקרא שם כלומ' לדעת שם המספרים

ואמ' כי תבת שם מועתקת להורות על ענין זה

The value of the ranks ואמרו מוסד האחדים אחד ירצה בעבור [16]כי המדרגות אשר למספר ג' כמו שנזכר וישובו בסבוב כאשר נראה ליסד ולכתוב מעלות מספר
  • units = first decimal place
 אם המספר אחדים המדרגה אחת
  • hundreds = third decimal place
 ואם מאות המדרגה ג'
  • thousands = fourth (3+1=4) decimal place
 ואם אלפים המדרגה א' יותר על שלשה כלומ' ד'
  • tens of thousands = fifth (3+2=5) decimal place
 ואם עשרות אלפים המדרגות ב' על ג' כלומ' ה'
  • hundreds of thousands = sixth (3+3=6) decimal place
 ואם מאות אלפים המדרגֹת ג' על שלשה כלומ' ו' וכן תמיד
The names of the ranks וכן בשם אם נמצא מדרגה כתובה
  • name of the first rank = units
 ידענו כי שם המדרגה ההיא אחדים
  • name of the second rank = tens
 ואם ב' הם עשרות
  • name of the third rank = hundreds
 ואם שלשה הם מאות
  • name of the fourth (3+1=4) rank = thousands
 ואם אחת יותר על שלשה כלומר ד' הנה היא אחדי אלפי'
  • name of the fifth (3+2=5) rank = tens of thousands
 ואם ב' יותר על ג' כלומ' ה' יהיו עשרות אלפים
  • name of the sixth (3+3=6) rank = hundreds of thousands
 ואם ג' יותר על ג' כלומ' ו' יהיו מאות אלפי' וכן תמיד
Conversion the written number to its numeration and vice versa: finding the number of ranks of a large number based on its name; and finding the name of a large number using the number of its ranks ועתה יפרש איך נדע כמה פעמים ג' אנו צריכים אם תהיינה המדרגות אשר נרצה לכתוב רבות
וכן במה נדע שמות המדרגות הכתובות אשר תהיינה רבות
אמ': כשתרצה לדעת המספר הנשנה תכה מספר ההשנות בשלשה ותוסיף על היוצא מוסד מין אותו המספר יהיה המבוקש
והפכו כאשר תהיינה עמך מחנות ותרצה שמותן חלק אותן על שלשה חלוקה ישאר לך ממנה ג' או פחות ומה שיצא הוא מספר ההשנות והמספר המורה עליו בנשאר
Method for finding the number of ranks of a large number: multiplying by three the number of times in which the word thousand appears in the number’s name, then adding the value of one of the fundamental ranks (units = thousands = 1, tens = 2, or hundreds = 3) included in the name of the given number פי' המספר הנשנה הוא מספר האלף בעבור כי הוא נשנה אחר כל ג' מדרגות המספר

כי אחר ג' מדרגות תאמ' אלף
ואחר שלש מדרגות אחרות תאמ' אלף אלפים נשנה שם האלף פעמים
ואחר שלש מדרגות אחרות תאמ' אלף אלפי אלפים ושנה האלף ג' פעמים וכן תמיד

ואין מספר שיקרא בו ככה כי אם האלף
ולכן כשתרצה לכתוב מדרגות רבות צריך שתדע כמה פעמי' נשנה האלף ועל כל פעם תקח ג'
  • thousands of thousands
 כאלו רצית לכתוב אלף אלפי' נשנה שני פעמים תקח ג' לכל פעם יהיו ששה מדרגות ומוסד אלף אלפי' הוא אחד תוסיפנו על הששה יהיו שבעה מדרגות כזה 1000000 והוא אלף אלפים
  • tens thousands of thousands
 ואלו רצית עשרות אלפי אלפים היית מוסיף על הששה שתי מדרגות אשר הוא מוסד מין העשרות והיו שמנה מדרגות
  • hundreds thousands of thousands
 ואלו רצית מאת אלף אלפים הית מוסיף על הששה שלשה שהוא מוסד מן המאות והיו תשעה מדרגות
וזהו שאמר: תכה מספר ההשנות בג' כלומ' על כל פעם ההשנות תקח ג' כי זה הוא עניין ההכאה כאשר יתבאר לפנים במקומו בג"ה
ואמר: ותוסיף על היוצא מוסד מין אותו מספר ר"ל היוצא בהכאה בג' תוסיף עליו מוסד מין אותו המספר

אם היו אחדי אלפים אחד
ואם עשרות אלפים ב'
ואם מאות אלפים ג' כמו שהמשלנו והוא המבוקש

Method for finding the name of a large number: counting every three ranks as 1, so that the sum indicates the number of times the word thousand appears in the number’s name; if two ranks remain they add the word ten to its name, if three remain they do not add the word thousand but the word hundred instead והפכו כאשר תהיינה עמך מחנות וכו' כאשר תהיינה המדרגות רבות כתובות ותרצה לדעת שמותן תספור אותן ותקח לכל שלשה אחד

ואשר יתקבץ הוא מספר ההשנות
ואשר יהיה לסוף פחות ג' או שלשה הוא המורה על שם ההשנות

  • seven ranks – thousand of thousands
 כאלו מצינו ששה מדרגות ובשביעית א' כזה 000000א

הנה לקחנו לכל שלשה א' היו ב' ונשאר א'
הנה השנים יורו כי האלף נשנה פעמי' כלומ' אלף אלפי'
ובעבור כי הנשאר מדרגה אחד ידענו כי הם אחדי אלפי אלפי' כי שם האחד אלפי' ואחדי'

  • eight ranks – tens thousands of thousands
 ואלו היו ח' מדרגות היה המספר הנשנה ב' אלפי אלפים והנשאר ב'

והנה שם השנים עשרות ידענו כי הם עשרות אלפי אלפים

  • nine ranks – hundreds thousands of thousands
 ואם היו ט' מדרגות לא ניקח ג' אחד לכל ג' אבל נקח לכל ג' ויהיה הנשאר ג'

הב' יורה שההשנות ב' אלפי אלפי' והג' הם שמות המאות הנה יהיו מאות אלפי אלפים וכן כלם

al-Ḥaṣṣār’s method (the preferable method according to al-Aḥdab) to identify the name of a large number having many ranks by marking every fourth rank with an alphabetic letter successively according to the number of cycles אמר יצחק: הדרך הנמצא בזה במספר הידוע לאל חצר יותר סלולה ונקלה מזאת
והיא כי כאשר תמצא מדרגות רבות כתובות ותרצה לדעת שמותן תמנה שלש מעלות ותשים על הד' א'

עוד תמנה מאותה המדרגה ששמת עליה א' ג' מדרגות ותשים ברביעית ב'
ותמנה ממנה ג' ותשים ברביעית וכן כלם

The letters above the number indicate the number of cycles – the re-occurrences of the word thousand in the name of the given number
 והאותיות אשר תשים עליהם יורו על ההשנות והמעלות אשר תחתיהן לעולם אחדים והנשאר פחות מג' או שלשה יורה על שם ההשנות
  • eight ranks – ten thousand of thousands
 המשל מצינו כתובות ח' מדרגות כזה
  2     1      
8 7 6 5 4 3 2 1
  ב     א      
ח ז ו ה ד ג ב א
מנינו ג' מדרגות וכתבנו על הד' א'

עוד ממנה ג' וכתבנו על הד' ב'
ונשאר מדרגה אחת אשר בה א'
והנה הב' אשר על הז' תורה כי במדרגה ההיא האלף נשנה פעמי' אלף אלפי' והיא אחדי אלפי אלפי'
והמדרגה הנשארת היא עשרת אלפי אלפי'
והא' אשר על הד' תורה כי היא ד' אלפים שהאלף נזכר פעם אחד והיא אחדי אלפי'
הנה יהיה פ"ז אלפי אלפי' ת"רנ"ד אלף שכ"א

  • nine ranks – hundred thousand of thousands
 ואלו היו ט' מעלות א ב ג ד ה ו ז ח ט
היה הנשנה ב' פעמי' והמספר מאות אלפי אלפי'
  • ten ranks – thousand of thousand of thousands
 ואלו היו עשרה כזה
3     2     1      
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
ג     ב     א      
י ט ח ז ו ה ד ג ב א
היה הנשנה ג' פעמי' והם אחדי אלפי אלפי אלפי' וכן כל הדומה לזה
הנה זאת הדרך יותר נקלה ונכונה
Al-Ḥaṣṣār did not mention the inverse method for finding the number of ranks of a large number. Al-Aḥdab offers here such a method which is inspired by al-Ḥaṣṣār’s aforesaid technique – marking the ranks using dots ואמנם למוסד לא הזכיר איך לעשות
והנכון לעשות נקודות רבות כזה
ג     ב     א      
• • • • • • • • • •
ולכתוב עליהם המורי' לסוף כל ג' כאלו היו מדרגות כתובות וכפי שתרצה לכתוב תכתוב
  • units thousands of thousand – the dot beneath the second letter [from the right]
 כאלו רצית לכתוב אחדי אלפי אלפי' שהנשנה פעמי' תתחיל תחת הב'
  • tens thousands of thousand – the dot to the left of the one beneath the second letter
 ואם עשרות אלפי אלפי' תתחיל בנקודה שאחרי הב'
  • hundreds thousands of thousand – the second dot to the left of the one beneath the second letter
 ואם מאות אלפי אלפי' בנקדה השנית שאחרי הב'
  • units of thousand – the dot beneath the first letter [from the right]
 ואם רצית אחדי אלפי' תכתוב אחת הא'
  • units thousands of thousand of thousand – the dot beneath the third letter [from the right]
 ואם אחדי אלפי אלפי אלפי' תתחיל תחת הג' וכן כולם

[Chapter Two:] Addition

 שער החבור
אמר: החיבור הוא קיבוץ מספרי' קצתם לקצת אל שידובר בהם בדבור אחד והוא על חמשה פנים
פירוש: גדר מה הוא החיבור ואמר כי הוא קבוץ [17]מספרים קצתם לקצת כלומ' שנים מספרי' או יותר אל שידובר בהם ר"ל שישובו כלם מספר אחד
המשל: ט"ו וי"ו וכ"א שהם ג' מספרי' ישובו נ"ב
וכבר יתכן להיות מספרי' רבי' ובעת הקבצן ג"כ ידובר בכלם
והמשל נ"ג ואלף ומאה ומאה ועשרים אלף כי בהקבצם יהיו קכ"א אלף קנ"ג והנה הם כלם
ועכ"ז ידוע כי יפלו מדרגות רבות בעת הקבוץ אשר היו הכרחיות במספרי' הנפרדי' כן אלף ומאה היו שם ב' ספרי' וק"כ אלף היו שם ד' ספרי' ועתה בקבוץ אין שם צפר כלל ועם כל זה הנכון אצלי לומ' בגדר אל שיהיו מספר אחד
אמר אחד מהם: החבור מבלי יחס ידוע והמכוון בו שתקבץ מספר ממחנות רבות אל מספר כמו כן
וצריך שתניח אחד המחוברים בשטה ותניח המחובר האחר תחתיו כל מחנה תחת הדומה לה
ואח"כ חבר כל מחנה מאחד המחוברי' על הדומה לה מן האחר
ואם לא ימצא לה דומה תהיה כאלו היא התשובה המחוברת ממנה ומן הדומה לה אלו היה לה דומה ומה שיתקבץ הוא התשובה
ויותחל בחבור מראשית המחנות או מהאחרונה
והמובחר ההתחלה מראשיתם והוא יותר נאות
ומה שיוסיף החבור מדרגה אחת
ומבחן החבור שתגרע אחת משטותיו מן התשובה ישאר אחרת
פירוש אמרו מבלי יחס ידוע כי הקבוץ יחלק תחלה לשני חלקים קבוץ מספרי' אין ביניהם יחס ידוע וקבוץ מספרי' על יחס ידוע
ואשר על יחס ידוע הוא כמו שיהיה המספר השני חצי הראשון והשלישי חצי השני והרביעי חצי השלישי כי הנה כולם הם הולכים על יחס אחד
והמשל הראשון כ"ד והשני י"ב והשלישי ו' והרביעי ג'
וזה יתכן לבא על פנים רבים כמו שיבא אחרי כן
ואשר איננו על יחס כחבור ג' לז' ולט' ולכ' כי אין יחס ביניהם כי יחס הז' אל הג' שהוא כמוהו ב' פעמים ושליש פעם ויחס הט' אל הז' שהוא כמוהו וב' שביעיות ממנו ויחס הכ' לט' שהוא כמוהו ב' פעמים וב' תשיעיות ממנו והנה אין כאן יחס אחד כלל
וזה אינו כי אם על דרך אחד והוא היותו בלתי יחס
והראשון יהיו היחסי' רבי' מאד וזה הפך המזגים בספר הרפואה כי השוה אחד והבלתי שוים רבים [ובכאן המספרי' השוים רבים הם והשוים הם שיש להם יחס וכו']
ולהיותו אחד התחיל ואמ' בו כי המכוון בו שתקבץ מספר ממחנות רבות אל מספר כמו כן ר"ל ממחנות רבות ג"כ
והמשל שלש מאות ושלשים וחמשה עם ארבע מאות וחמשים ושלשה וצריך שיונחו שתי שטות בצורה זו
ח ח ז
ה ג ג
ג ה ד
כל מחנה כנגד הדומה לה ר"ל אחדים עם אחדים ועשרות עם עשרות וכן שאר המדרגות
ויחובר כל מחנה אל הדומ' לה ויכתב כנגדה למעלה והנה יתחבר על האחדים ח' ועל העשרות ח' ועל המאות ז‫'
ואלו היה שם צפר כזה
ד ג ב ט
ד 0 0 ה
‫0 ג ב ד
הנה יתקבץ על האחדים ד' והוא מה שכתוב שם

ועל העשרות ג' והוא מה שכתוב שם
ועל המאות ב' והוא הכתו' שם
ועל האלפים ט'
וכן כל הדומה לזה

ונהגו לקחת היוצא מכל מספר הן בחבור הן בחלוק הן בכפל ובכל מספר תשובה
כלומ' אם ישאל השואל כמה הוא התשובה כך
ולכן אמ' כי המקובץ הוא התשובה וכן כשלא היה למדרגה דומה כמו בזה המספר שהמשלנו לאין לאחדים אחדים דומים כי עמם צפר הנה המחנה ההיא היתה התשובה כי כתבנו למעלה הד' עצמם וכן הדומה לזה
ואמר כי ההתחלה לחבר המחנות הוא לפי רצון המחבר כי מהאחדי' שהם ראשית המחנות
או מהצד האחר שהוא נקרא אחרית המחנות

כלומר המאות בצורה הראשונה שהמשלנו
והאלפים בצורה השנית שהמשלנו

וידוע כי באלו המשלים ההתחלה מראשיתם או אחריתם שוה בעבור כי האחדים בהתחברם לא יגיעו לעשרות וכן העשרות לא יגיעו למאות ולא המאות לאלפים
אבל אם היו בצורה הזאת
א ג ד א
ח ז ט
ג ה ד
אין הדרך הנאותה להתחיל כלל כי אם מהאחדים כי הנה מהאחדים יתחברו אחד עשר וצריך שתכתוב הא' על האחדים והעשרה תכתבם תחת העשרות

והנה כשתשוב לקבץ העשרות תקבץ העשרה שכתבת שהם אחד עם הה' והז' יהיו כלם שלשה עשר תכתוב ג' על העשרות והעשרה תחת המאות כי הם מאה
ותקבץ א' אל הד' ואל הט' יהיה מן המקובץ י"ד תכתוב ד' על המאות והעשרה לפניהם והם אלף

ואלו היתה ההתחלה מהאחרונה היה צורך לחבר שני פעמים וכן אפי' לא היה מוסיף על עשרה כי אם חבור מחנה אחד מהם לעולם הנאות להתחיל מהראש
ואמ' כי היותר שיוסיף מדרגה אחת
ר"ל כי [הם] מדרגות המספרים הנחברים הם ג' מדרגות כמו המשל הזה שעשינו היותר שיוסיף המחובר מדרגה אחת ר"ל כי הם מדרגות המספרים ותהיינה מדרגות המחובר ד'
והכלל המחובר יוסיף על גדול שבמספרים מדרגה אחת
והסבה בזה כי היותר שיתכן שיהיה בכל מחנה מהשני מחנות ט' ט' ובהתקבצם יוסיפו מדרגה לא יותר
וזה יצדק בהיות המספרי' שתי שיטות בלבד
אבל בהיות המספרים רבים כבר יוסיף הרבה מאד במדרגות המחובר
אמנם המחבר תפש בשתי שטות בלבד כי כן יתכן לעשות אפילו יהיו המספרי' רבים
כי אם יהיה ג' מספרי' יקבצו ב' מספרי' זה עם זה והמקובץ יקובץ עם המספ' השלישי והנה יהיה ג"כ חבור ב' מספרים
והנה בחבור הראשון או בחבור השני לא יתכן שיוסיף כי אם מדרגה אחת
ולו היו ד' [18]מספרים קבצתם ב"ב ואחרי כן המקובץ עם המקובץ יהיה קבוץ ב' מספרים וכן תמיד
וצריך התלמיד לדעת חבור כל שני מספר' אשר מא' על ט' בזריזות להיות שגורים על פיו

ב"ב ד'
ב"ג ה'
ב"ד ו'
והגדול שבהם ט"ט י"ח

ואמרו כי מבחן החיבור הוא אחת לגרוע אחת השטות מן התשובה תשאר האחרת
התשובה הוא המחובר כמו שאמרנו וזה ידוע כי בגרוע אחת השטות ראוי שתשאר האחרת
ויש להקשות אם עוד לא נזכר הגרעון ואיך דרכו איך יצוה לגרוע ואם יהיה המאוחר תנאי בידיעת הקודם יהיה זה סבוב כי המאחר יודע בקדם
ואמנם אין התשובה בזה בתימה שיקשה וזה כי אם יש במספר מה שהוא הולך מזולתו מדרגת ההקדמה כמו החיבור לכפל ושניהם לחלוק כמו שיראה לפנים מן הדרכים הנזכרים בכפל ובחלוק ובכזה יתכן שאין ראוי לנהוג המנהג ההוא ר"ל ויהיה המאוחר תנאי בידיעת הקודם
ויש מן המספר מה שאיננו מדרגה לזולתו כמו הגרעון לחבור ולא החבור לגרעון ואין שם סבה מכרחת להקדים החבור על הגרעון מזה הצד ואם היה שיוקדם מצד היותו נקל יותר וזה מדרך היותו נקל יותר וזה מדרך היותר טוב ובזה סרה הקושייא
ועוד כי אפי' במספרים ההולכים בהדרגה לא יפול בזה ספק כי האדם צריך שידע החכמה בשלמותה כפי האפשר והכלל המונח בה בספר להיותה לו לקנין שידע קצתה כי אז הוא ההתבכות הענין וכאשר ידע היודע החכמ' והקיף בה אע"ף שישמש המאוחר בקודם אינו מצד היותה לו תנאי אבל מצד השבת פרקי החכמה קצתם על קצתם וההקשרות אשר ביניהם
עוד כי המחבר לא אמ' שהגרעון ישמש בחבור אבל במבחן החבור והמבחן בדברים ילקחו על אי זה צד שיהיה מגיע אל האמת ואין בזה ספק והוא מבואר
ובזה יסור כל ספק דומה לזה שבשאר השערים ובזה השער ג"כ

Sum of Geometric Progression
Sequence of even-times-even numbers אמ': והשני היו על יתרון כמו בתי הנרדשיר והדומים להם
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=1\\\scriptstyle a_2=1+1={\color{red}{2}}\\\scriptstyle 1+a_1+a_2=\left(a_2\right)^2={\color{red}{2^2}}\\\scriptstyle 1+a_1+a_2+a_3+a_4=\left[\left(a_2\right)^2\right]^2={\color{red}{\left(2^2\right)^2}}\\\scriptstyle\sum_{i=1}^{2^n} a_i={\color{red}{2^{2^n}-1}}\end{cases}
 על שיהיה בבית הא' אחד

עוד יתדרג ההכפל מראשיתו לאחרית המונח
והוא שתוסיף על האחד שבבית הא' אחד להיות מה שבשני
עוד תכה זה בעצמו ג"כ ומה שמגיע הוא מה שבשני ומה שהקדם לו בתוספת אחד
עוד תכה זה בעצמו ג"כ ומה שיגיע הוא מה שברביעי ומה שקודם לו בתוספת אחד
עוד לא תסור מלהכות היוצא בנפשו ותכפול בתי היוצא עד שתכלה אל המונח ותגרע אחד מן המקובץ והנשאר הוא המבוקש

פרוש: אחר שהשלים הקבוץ במספרים שאין להם יחס שב לבאר הקבוץ שבמספרים אשר להם יחס
וכבר אמרנו כי הם יבואו על פנים רבים והתחיל באחד מהם קראו החבור על היתרון
ופי' שהוא כמו בתי הנרדשיר או הדומה להם כלומ' מדרגות על סדר
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1\\\scriptstyle a_2=2\sdot a_1=2\\\scriptstyle a_3=2\sdot a_2=4\\\scriptstyle a_4=2\sdot a_3=2\sdot4=8\\\scriptstyle a_5=2\sdot a_4=2\sdot8=16\end{cases}}}
 ושם בבתי הראשון של הנרדשיר אחד

ובשני ב' שהוא כפל האחד
ובבית השלישי ד' שהוא כפל הבית
ובבית הד' ח' שהוא כפל הד'
ובבית החמשי י"ו שהוא כפל ח'
וכן תמיד על זה הדרך עד אחרית המונח

כלומ' אם השואל יניח בשאלתו כמה יעלה המקובץ משמנה בתים או ארבעה או זולתם על זה היתרון הנה הבית השמיני נקרא אחרית המונח הנה זה פי' החבור על יתרון
ואחר שהודיע גדרו שב להודיע איך תקבץ
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=a_1+1=2}}
 ואמר שתוסיף על הא' שבבית הא' אחד והוא יהיה מה שבבית השני כלומר ב'
\scriptstyle{\color{blue}{1+a_1+a_2=1+1+2=1+3=4=2^2}}
 וכאשר תכה אל הב' בעצמם יהיו ד' ואלה הד' הם קבוץ מה שבשני בתי' שבבית הא' והשני עם תוספת א' שהוספת

וזה כי בבית הא' א' ובשני ב' הם ג' והאחד שהוספת היו ד'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+a_1+a_2+a_3+a_4&\scriptstyle=1+\sum_{i=1}^{2\sdot2} 2^{i-1}\\&\scriptstyle=1+\sum_{i=1}^4 2^{i-1}\\&\scriptstyle=1+1+2+4+8=1+3=16=4^2\\\end{align}}}
 ואחר שידעת שהמקובץ עד הבית השני ד' עם התוספת הכה אלה הד' בעצמם יהיו י"ו וכפל הבתים שהם ב' יהיו ד' הנה י"ו הוא קבוץ הבית הד' וכל מה שלפניו שהם ג' בתים עם האחד שהוספת בתחלה

וזה בבית הא' א' ובשני ב' ובשלישי ד' וברביעי ח' הנה הם כולם ט"ו והאחד שהוספת היו י"ו

\scriptstyle{\color{blue}{1+\sum_{i=1}^{2\sdot4} 2^{i-1}=1+\sum_{i=1}^8 2^{i-1}=16^2=256}}
 ואם תכה זה המספר בעצמו שהוא י"ו יעלה רנ"ו תכפול הבתים שהם ד' יהיו ח' הנה רנ"ו הוא מה שבשמנה הבתים כלם עם התוספת האחד
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^8 2^{i-1}=\left(1+\sum_{i=1}^8 2^{i-1}\right)-1}}
 גרע האחד מהקבוץ והנשאר הוא המקובץ
וכן תעשה עד שתגיע אל סוף השאלה המונחת
  • this method is used when the number of terms is an even-times-even number
 ודע כי זה המעשה הוא על דרך זו בהיות השאלה מספר בתים שהמספר ההוא זוג זוג כמו בתי הנרדשיר ולכן אמר בתי הנרדשיר והדומ' להם
  • the procedure used when the number of terms is not an even-times-even number is based on the above method by expressing the number of the terms as a sum of even-times-even numbers:
\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{2^m+2^n+1} 2^{i-1}=\left(\sum_{i=1}^{2^m} 2^{i-1}\right)\sdot\left(\sum_{i=1}^{2^n} 2^{i-1}\right)\sdot2
 אבל כשיהיה הבית המונח בשאלה מה שאינו זוג הזוג יצטרך דרך אחרת

והוא שתעשה על הדרך הראשון הנזכר עד שיגיע למקום שלא יתכן עוד במונח ההוא על דרך זוג הזוג ותשמור המקובץ מבלי שתסיר א אחד ותראה כמה בתים נשארו מן המונח ותעשה בהם לבדם כאלו הם בתים ראשונים כלומר שתתחיל בהם בא' עד שתגיע לתכליתם והמקובץ הכה אותו בשמור אצלך מן המעשה הראשון והיוצא מן ההכאה הוא המבוקש

  • \scriptstyle\sum_{i=1}^{11} 2^{i-1}
 המשל: שואל השואל כמה המקובץ על דרך זה היתרון בי"א בתים
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot1=2\longrightarrow1+\sum_{i=1}^2 2^{i-1}=2^2=4}}
 והנה במעשה הראשון תתחיל ותקח הא' תכפלנו ויהיה ב' בבית הב' תכה הב' בעצמה ויהיה ד' והם מה שבשני והראשון בתוספת א'
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4\longrightarrow1+\sum_{i=1}^4 2^{i-1}=4^2=16}}
 והכה ד' בעצמם יהיו י"ו ותכפול הבתים יהיו ד' הנה י"ו הוא מה שבבית הד' וכל מה שלפניו בתוספת א'
  • \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8\longrightarrow1+\sum_{i=1}^8 2^{i-1}=16^2=256}}
 תכה י"ו בעצמם יהיו רנ"ו תכפול הבתים יהיו ח' והנה רנ"ו הוא מה שבבית הח' וכל מה שלפניו בתוספת א'
והנה הגענו בזה המעשה עד המקום אשר לא יתכן עוד במונח לכפול הבתים כי הבתים המונחים י"א והגענו עד הח' והיה המקובץ רנ"ו לכן [19]שמרנו אותם
\scriptstyle{\color{blue}{11-8=3}}
 ושבנו אל הבתים הנשארים מצאנום ג'
  • \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot1=2\longrightarrow1+\sum_{i=1}^2 2^{i-1}=2^2=4}}
 עשינו בהם כמעשה הזה שמנו בבית הראשון א' וכפלנוהו היה בבית הב' ב'

הכינו אותם בעצמם היו ד' והם מה שבבית השני והראשון בתוספת אחד

  • \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot1=2}}
 שמרנו ג"כ הד' נשאר בית אחד נעשה כמשפט הראשון נשים בו א' וכפלנו יהיה ב' והוא מה שבראשון בתוספת א'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{11} 2^{i-1}&\scriptstyle=2\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{2} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}\right)\\&\scriptstyle=2\sdot4\sdot256=8\sdot256=2048\\\end{align}}}
 הכינו ב' בד' השמורים הוא ח' הכינו ח' ברנ"ו השמורים היו ב' אלפים מ"ח והוא המבוקש בתוספת אחד
ואלו היו בפעם השנית בתים יש לעשות בהם כראשונים וכן עד תומם
  • \scriptstyle\sum_{i=1}^{29} 2^{i-1}
 והמשל אלו הניח השואל כ"ט בתים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{29} 2^{i-1}\\&\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{13+16} 2^{i-1}\\&\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{5+8+16} 2^{i-1}\\&\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{1+4+8+16} 2^{i-1}\\&\scriptstyle=2\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{4} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{16} 2^{i-1}\right)\\\end{align}}}
 הנה זוג הזוג יגיע עד י"ו בתים ישמור המקובץ מהם

והבתים הנשארים י"ג נעשה בהם כמעשה הראשון יגיע זוג הזוג עד ח' בתים ישמור המקובץ מהם גם כן
והבתים הנשארים ה' נעשה בהם כמעשה הראשון יגיע זוג הזוג עד ד' ישמור גם כן המקובץ
והבתים הנשארים א' על כן תכפול המקובץ האחרון והוא יהיה המקובץ מהה' בתים תכה אותם בשמור מהח' והיוצא מן ההכאה תכה אותו בשמור מן הי"ו והיוצא הוא המבוקש בתוספת א'

וכן תעשה תמיד כשישאר בית א' תכפול הנמצא בידיך בעבור הבית ההוא כלומר שתקח ב' בתים כי כן לשתי בתים ג' ולג' ד' ולד' ה' וכן כלם ותכה בשמור אצלך
וידוע כי כאשר תקח לבית האחד ב' בתים

הבית השני יש בו ב' תכה אותו בשמור אצלך כאלו כפלתו
ואחרי כן כפלתו בתים שלשה השלישי יש בו ד' תכה אותם בשמור אצלך כאלו כפלתו
ואחרי כן כפלתו וכן כלם ובהכרח במעשה הזה ישאר תמיד באחרונה בית אחד או יבא בשוה זוג הזוג

  • \scriptstyle\sum_{i=1}^{28} 2^{i-1}
 והמשל: לו היו הבתים המונחים כ"ח
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{28} 2^{i-1}\\&\scriptstyle=1+\sum_{i=1}^{4+8+16} 2^{i-1}\\&\scriptstyle=\left(1+\sum_{i=1}^{4} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{16} 2^{i-1}\right)\\\end{align}}}
 תגיע בתחלת המעשה עד י"ו ובשניה עד ח' ובג' עד ד' והם כ"ח
  • \scriptstyle\sum_{i=1}^{30} 2^{i-1}
 ואם היו הבתי' ל'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{30} 2^{i-1}\\&\scriptstyle=1+\sum_{i=1}^{2+4+8+16} 2^{i-1}\\&\scriptstyle=\left(1+\sum_{i=1}^{2} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{4} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{16} 2^{i-1}\right)\\\end{align}}}
 היה עוד מגיע לשנים וכן תעשה תמיד
וזה הענין זכרו החכם המחבר בפי' לאגרת בקצרה ויותר קשה
ואנחנו הרוחנו בביאורו וקצרנו המעשה ועלה הכל לסגנון אחד המסתכל שם יבין זאת
  • finding a specific term in the sequence of the even-times-even numbers
 ותפיל השאלה ביתרון זה על דרך אחרת וזה כי כבר ישאל השואל מה המספר אשר בבית ידוע מן הבתים
\scriptstyle a_{2^n}=2^{2^n-1}=\frac{2^{2^n}}{2}=\frac{1+\sum_{i=1}^{2^n} 2^{i-1}}{2}
 ואם יהיה הבית המונח בשאלה זוג הזוג הנה המעשה הוא כנזכר למעלה וידוע כי יצא במעשה ההוא הבית אשר אחר זוג הזוג ולכן תחלק היוצא לשנים והחלק האחד הוא המבוקש
  • \scriptstyle a_8=2^{8-1}
 והמשל שאל השואל מה המספר הנמצא בבית הח'
\scriptstyle{\color{blue}{a_8=2^{8-1}=\frac{2^{8}}{2}=\frac{1+\sum_{i=1}^{9-1} 2^{i-1}}{2}=\frac{a_9}{2}=\frac{256}{2}=128}}
 הנה על דרך המעשה הראשון יצא מה שבבית הט'

בעבור כי המבוקש שם הוא מה שבשמיני וכל מה שלפניו
והשאלה פה מה שיש בבית הח' בלבד אשר הוא זוג הזוג
לכן תחלק היוצא בבית הט' שהוא רנ"ו יהיה החצי קכ"ח והוא מה שבבית הח' המבוקש

\scriptstyle a_{2^n+1}=2^{2^n}=1+\sum_{i=1}^{2^n} 2^{i-1}
 ואם היתה השאלה אשר אחר זוג הזוג לא יצטרך לחלק אלא היוצא הוא המבוקש
ואמנם הבית אם המונח בשאלה אינו זוג הזוג יצטרך הדרך האחרת עד שיצא לך היוצא ותחלקנו לחצאין והחצי הוא המבוקש
  • \scriptstyle a_{11}=2^{11-1}
 והמשל אם שאל בבית הי"א
\scriptstyle{\color{blue}{a_{11}=2^{11-1}=\frac{2^{11}}{2}=\frac{1+\sum_{i=1}^{12-1} 2^{i-1}}{2}=\frac{a_{12}}{2}=\frac{2048}{2}=1024}}
 עשינו כאשר למעלה ויצא בי"ב ב' אלפים ומ"ח וחצים אלף כ"ד והוא המבוקש
  • \scriptstyle a_{12}=2^{12-1}
 ואם היתה השאלה י"ב לא היה צריך לחלק אלא הוא המבוקש
Sequence of even-times-even-times-odd numbers אמ': ואם תתחלף ההנחה הכה הנשאר בראשון יהיה המבוקש
  • \scriptstyle a_1=1\longrightarrow a_n=a_1\sdot 2^{n-1}
 פירוש: דע כי המעשה הראשון הוא כשיהיה המונח בבית הא' א' ועליו יכפל היתרון
  • \scriptstyle a_1=a
 אבל אם יהיה המונח זולת א' בבית הראשון הוא כשיהיה המונח בבית הא' א' כלומ' מספר אחר ב' או ג' או ד' או זולתם יש לזה דרך אחרת וזהו אמרו ואם תתחלף ההנחה
Two issues are examined regarding the sequence of even-times-even-times-odd numbers:
  1. finding the sum of a sequence of even-times-even-times-odd numbers: \scriptstyle\sum_{i=1}^n a\sdot 2^{i-1}
  2. finding a specific term in a sequence of even-times-even-times-odd numbers: \scriptstyle a_n
 ויש בזה ג"כ שתי שאלות

אם ישאל השואל כמה המקובץ בבתים שירצה
או מה המספר בבית הידוע

  • \scriptstyle\sum_{i=1}^n a\sdot 2^{i-1}=a\sdot\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)=a\sdot\left(2^n-1\right)
 והמעשה בראשון הוא כפי שאומ': הכה הנשאר בראשון יהיה המבוקש

ואמרו הנשאר הוא שב אל מה שאמ' למעלה במעשה הראשון במאמ' האחר שאמר ותגרע אחד מן המקובץ והנשאר הוא המבוקש
ועתה אמר כי כאשר תתחלף ההנחה ויהיה בבית הא' זולת הא' שתעשה כאלו היה בבית הא' א' עד שתשלים המעשה כמו שנזכר למעלה תגרע אחד והנשאר תכה אותו במספר מה שבבית הראשון והיוצא מן ההכאה הוא המבוקש

  • \scriptstyle\sum_{i=1}^{10} 2\sdot 2^{i-1}
 המשל: שאל שואל כמה המחובר בעשרה בתים עד שיהיה בבית הראשון ב'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} 2\sdot 2^{i-1}&\scriptstyle=2\sdot\left[\left(1+\sum_{i=1}^{10} 2^{i-1}\right)-1\right]\\&\scriptstyle=2\sdot\left(1024-1\right)\\&\scriptstyle=2\sdot1023=2046\\\end{align}}}
 חברנו העשרה בתים כאלו היה בראשון א' היה המחובר אלף כ"ד גרענו א' נשארו אלף כ"ג בשלשה היה היוצא ג' אלפים ס"ט וכן על דרך זה תמיד הכינו אותם בב' שבבית הא' היה היוצא ב' אלפים מ"ו והוא המבוקש
  • \scriptstyle\sum_{i=1}^{10} 3\sdot 2^{i-1}
 ואם היה הבית הא' ג'
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 3\sdot 2^{i-1}=3\sdot1023=3069}}
 הכינו אלף כ"ג בשלשה היה היוצא ג' אלפים ס"ט וכן על דרך זה תמיד
  • \scriptstyle a_n=a\sdot2^{n-1}=\frac{a\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{n} 2^{i-1}\right)}{2}
 ובשאלה השנית תוציא המחובר ולא תגרע האחד ותחלק אותו לחצאין והחצי הוא המבוקש
  • \scriptstyle a_{10}=2\sdot2^{10-1}
 כאלו שאל: מה בבית העשירי והראשון ב'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_{10}=2\sdot2^{10-1}=&\scriptstyle=\frac{2\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{10} 2^{i-1}\right)}{2}\\&\scriptstyle=\frac{2\sdot1024}{2}\\&\scriptstyle=\frac{1028}{2}=1024\\\end{align}}}
 תוציא המחובר מהמעשה הראשון יהיה אלף כ"ד תכה אותם בב' שבראשון מבלי שתגרע הא' יצא ב' אלפים מ"ח וחציים אלף כ"ד והוא מה שבבית העשירי
  • \scriptstyle a_{10}=3\sdot2^{10-1}
 ואם היה בבית הא' ג'
\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=3\sdot2^{10-1}=\frac{3\sdot1024}{2}=\frac{3072}{2}=1536}}
 הכינו אלף כ"ד בג' יצא ג' אלפים ע"ב חציים אלף תקל"ו והוא המבוקש
Other geometric sequences
  • \scriptstyle\sum_{i=1}^n a\sdot q^{i-1}=\left(a\sdot q^{n-1}\right)+\frac{a\sdot\left[\left(a\sdot q^{n-1}\right)-a\right]}{\left(a\sdot q\right)-a}
 אמר: ואם היו מספרים על יתרון אחר הכה הקטן שבהם ביתרון הגדול עליו וחלק על היתרון בין הקטן והמספר אשר אצלו והוסף היוצא על הגדול תהיה התשובה
פירוש: אם היו המספרי' מוסף כל אחד על חברו בתוספת אחר זולת הכפל הנזכר
\scriptstyle{\color{blue}{a;\; \; 3a;\; \; 9a;\; \; 27a;\; \; 81a}}
 כלומר שיהיה השני מוסיף על הראשון שלשה פעמים כמוהו והשלישי שלשה פעמים מן השני כמה שהיה בבית הא' א' ובשני ג' ובשלישי ט' וברביעי כ"ז ובחמשי פ"א
\scriptstyle{\color{blue}{a;\; \; 4a;\; \; 16a;\; \; 64a;\; \; 256a}}
 או יוסיף בד' כמו שהיה בראשון א' [20]ובשני ד' ובשלישי י"ו וברביעי ס"ד ובחמשי רנ"ו וכן בשאר המספרים
המעשה בזה לדעת המקובץ מהמספרים שתכה הקטן שבהם במה שמוסיף הגדול שבהם על הקטן והיוצא מן ההכאה תחלק אותו על מה שמוסיף המספר השני על הראשון ומה שיצא מן החלוקה תוסיף אותו על המספר הגדול ומה שיהיה אחר זה הוא המבוקש
  • \scriptstyle1+3+9+27+81=\sum_{i=1}^5 3^{i-1}
 והמשל במספרים בתוספת ג' פעמי' א' ג' ט' כ"ז פ"א
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+3+9+27+81=\sum_{i=1}^5 3^{i-1}&\scriptstyle=81+\frac{1\sdot\left(81-1\right)}{3-1}\\&\scriptstyle=81+\frac{1\sdot80}{2}\\&\scriptstyle=81+\frac{80}{2}=81+40=121\\\end{align}}}
 הנה הגדול שהוא פ"א מוסיף על הקטן שהוא א' פ' הכה פ' בא' יהיו פ' חלק אותם על מה שמוסיף השני שהוא ג' על הקטן שהוא א' וזה ב' יצא מן החלוקה מ' הוסף אותם על הגדול שהוא פ"א יהיו כלם קכ"א והוא המקובץ מהמספרים ההם
  • \scriptstyle1+4+16+64+256=\sum_{i=1}^5 4^{i-1}
 וכן אם היו המספרים על תוספת ד' כמו א' ד' י"ו ס"ד רנ"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+4+16+64+256=\sum_{i=1}^5 4^{i-1}&\scriptstyle=256+\frac{1\sdot255}{4-1}\\&\scriptstyle=256+\frac{255}{3}\\&\scriptstyle=256+85=341\\\end{align}}}
 תכה רנ"ה בא' יהיו רנ"ה תחלקם על ג' שהוא תוספת ד' על א' יצא בחלוקה פ"ה תוסיפ' על רנ"ו יהיו כלם שמ"א והוא המבוקש
  • \scriptstyle a_1\ne1
 וכן יהיה זה בהיות הראשון זולת א' אי זה מספר שיהיה
  • \scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=2\\\scriptstyle q=3\end{cases}\longrightarrow2;\; \; 6;\; \; 18;\; \; 54
 המשל: היה הראשון ב' ובתוספת ג' יהיה השני ו' והשלישי י"ח והרביעי נ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2+6+18+54=\sum_{i=1}^4 2\sdot3^{i-1}&\scriptstyle=54+\frac{2\sdot\left(54-2\right)}{6-2}\\&\scriptstyle=54+\frac{2\sdot52}{4}\\&\scriptstyle=54+\frac{104}{4}=54+26=80\\\end{align}}}
 הכה נ"ב שהם תוספת הגדול על הקטן בב' שהוא הקטן יהיו ק"ד חלקם על ד' שהוא תוספת ו' שהוא השני על ב' שהוא הראשון היוצא מן החלוקה כ"ו הוסיפם על נ"ד העולה פ' והוא המבוקש
וכן כל מספר
  • \scriptstyle q<a_1\longrightarrow q<2
 ודע כי גם כן יתכן להיות היתרון בפחות מהראשון כלומר שיהיה התוספת פחות מכפל
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=a\\\scriptstyle a_2=a_1+\frac{1}{2}a_1=a\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\\\scriptstyle a_3=a_2+\frac{1}{2}a_2=a\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)^2\\\scriptstyle a_4=a_3+\frac{1}{2}a_3=a\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)^3\end{cases}}}
 כמו שיהיה התוספת השני על הראשון כחצי הראשון ובשלישי כחצי השני וברביעי כחצי השלישי וכן כלם
או יהיה התוספת שלישית או רביעית או חמשית או זולתו וזה יקרא תוספת השברים והמעשה באלה ג"כ הן שיהיה המספר הראשון א' או זולתו מן המספרים כמו שיהיה בתוספת השלמי' אשר קודם זה
  • \scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1\\\scriptstyle a_2=a_1+\frac{1}{2}a_1=1+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_3=a_2+\frac{1}{2}a_2=2+\frac{1}{4}\\\scriptstyle a_4=a_3+\frac{1}{2}a_3=3+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\\\scriptstyle a_4=a_3+\frac{1}{2}a_3=5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\end{cases}}}
 והמשל בראשון א' ובשני א' וחצי ובג' ב' ורביע וברביעי ג' ורביע ושמינית ובחמשי חמשה וחצי שמינית

כי זה הוא תוספת חצי ר"ל שהשני הוא מוסיף על הראשון חצי הראשון והשלישי חצי השני וכן כלם

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle1+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{4}\right)+\left(3+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)+\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\\&\scriptstyle=\sum_{i=1}^5 1\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)^{i-1}\\&\scriptstyle=\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{1\sdot\left[\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-1\right]}{\left(1+\frac{1}{2}\right)-1}\\&\scriptstyle=\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{1\sdot\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\left(8+\frac{1}{8}\right)=13+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}
 הכה הקטן שהוא א' בתוספת החמשי עליו שהוא ד' וחצי שמינית יהיה ד' וחצי שמינית חלקהו על חצי אחד שהוא תוספת השני על הראשון יהיה היוצא בחלוקה ח' ושמינית כאשר תדע לפנים בחלוק השלמים והשברים על השברים הוסף אותם על ה' וחצי שמינית שהוא הגדול יהיה המקובץ י"ג ושמינית וחצי שמינית והוא המבוקש
  • \scriptstyle a_1\ne1
 וכן אם היה בראשון זולת א'
  • \scriptstyle16+24+36+54+81=\sum_{i=1}^5 16\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)^{i-1}
 ויהיו המספרי' על דרך זה למשל י"ו כ"ד ל"ו נ"ד פ"א
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle16+24+36+54+81&\scriptstyle=\sum_{i=1}^5 16\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)^{i-1}\\&\scriptstyle=81+\frac{16\sdot\left(81-16\right)}{24-16}\\&\scriptstyle=81+\frac{16\sdot65}{8}\\&\scriptstyle=81+\frac{1040}{8}\\&\scriptstyle=81+130=211\\\end{align}}}
 הכה יו' שהוא הקטן בס"ה שמוסיף עליו הגדול יהיה אלף ומ' חלקם על ח' שמוסיף השני על הראשון היוצא בחלוקה ק"ל הוסף אותם על פ"א שהוא הגדול המקובץ רי"א והוא המבוקש
וכן בכל מספר
אמנם דע כי כל זה שהזכיר המחבר הוא בהיות הראשון והשני והאחרון ידועים
אבל אם ישאל השואל שמנה בתים או ט' בתים או זולתם והראשון כך ובתוספת כך כמה המקובץ מהם
זה צריך תחלה לדעת הבית האחרון וא"כ יועיל הדרך שהזכיר
ולכן אגיד לך איך תמצא הבית האחרון
וקודם זה דע כי את אשר נמצא עשה במעשה הראשון אשר בבתי הנרדשיר אשר בהיות תחלת הבתים אחד כן נמצא בשוה בכל היתרונות על אי זה דרך שיהיו שלמים או שברים בהיות בתחלה א' וזה כי כשתשים בבית הא' א' ותשים בבית השני הראוי לפי היתרון ותכה הבית השני בעצמו יצא השלישי ואם תכה השלישי בעצמו יצא החמשי וכן כלם
והמשל כי כמו שאם תשים על דרך הכפל בבית א' א'

ותכפלנו יהיה ב' בשני
ותכה ב' בעצמו יהיה ד' והוא מה שבבית הג'
תכה ד' בעצמם יהיו י"ו והם מה שבבית החמשי

וכן אם תשים על דרך יתרון ג' פעמים

בבית הא' א'
ובשני ג'
ותכה זה בעצמו יהיו ט' מה שבבית הג'
ותכה הט' בעצמם יהיו פ"א והם מה שבבית החמשי

וכן ביתרון השברים כמו ביתרון החצי,br>

בראשון א'
ובשני ב' וחצי
אם תכה א' וחצי בעצמו יהיו ב' ורביע והם מה שבשלישי
ואם תכה ב' ורביע בעצמם יהיו ה' וחצי שמינית והוא מה שבחמשי
וכן כלם והבן זה מאד וכל זה בהיות הא' בבית הא'

הנה אם תרצה לדעת מה בבית ידוע והבית ההוא יהיה זוג הזוג המעשה הוא כמעשה הראשון אשר בבתי הנרדשיר מהכאת המספרים בעצמם וכפילת הבתים אשר הם זוג הזוג וידוע כי זה לך מה שבבית אשר אחר זוג הזוג חלק המספר ההוא אשר יצא על מספר היתרון והיוצא בחלוקה הוא אשר בבית זוג הזוג
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1\\\scriptstyle q=3\end{cases}\longrightarrow a_4=?}}
 והמשל רצית לדעת מה בבית הד' על דרך יתרון ג' פעמים ובראשון א'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1\\\scriptstyle a_2=3a_1=3\sdot1=3\\\scriptstyle a_3=\left(a_2\right)^2=3^2=9\\\scriptstyle a_5=\left(a_3\right)^2=9^2=81\end{cases}\longrightarrow a_4=\frac{a_5}{q}=\frac{81}{3}=27}}
 כפלהו ג' פעמים יהיו ג' בשני תכה השני בעצמו יהיו ט' בבית הג' הכה ט' בעצמם יהיו פ"א בבית החמשי אשר הוא אחר זוג הזוג ובעבור כי היתרון בג' חלק פ"א בג' יצא כ"ז והוא אשר בבית הד'
\scriptstyle{\color{blue}{a_5=a_{4+1}=\left(a_3\right)^2=81}}
 ואם היה הבית אשר רצית בית אחר זוג הזוג אינך צריך לחלק כלל רק היוצא הוא המבוקש כאלו רצית הבית החמשי הנה יצא לך בהכאה פ"א והוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{a_9=a_{8+1}=\left(a_5\right)^2=81^2=6561}}
 וכן אם תכה פ"א בעצמו יצא לך הבית הט' שהוא בית אחר ח' שהם זוג הזוג והיוצא מהכאה הוא ו' אלפים ת"ק"סא
\scriptstyle{\color{blue}{a_8=\frac{a_9}{q}=\frac{6561}{3}=218{\color{red}{7}}}}
 ואלו רצית הח' שהוא זוג הזוג חלקת זה על ג' שהוא היתרון היה היוצא בבית הח' ב' אלפים קפ"ח וכן על דרך זה
\scriptstyle{\color{blue}{a_{17}=a_{16+1}=\left(a_9\right)^2}}
 וכאלו רצית בית י"ז שהוא אחרי י"ו שהוא זוג הזוג הכה הבית הט' בעצמו
\scriptstyle{\color{blue}{a_{33}=a_{32+1}=\left(a_{17}\right)^2}}
 ואם תכה הבית [21]הי"ז יצא לך בית ל"ג שהוא אחר ל"ב שהוא זוג הזוג וכן תמיד
וכל זה שהזכרנו עתה הוא בהיות בבית הראשון א'
אבל אם היה בבית הא' זולת א' תעשה על הדרך הנזכר עד שתגיע לבית האחרון והכה היוצא במה שבבית הראשון יהיה המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=4\\\scriptstyle q=3\end{cases}\longrightarrow a_5=?}}
 המשל היה בבית הא' ד' על דרך יתרון ג' ורצינו לדעת מה בבית הה'
\scriptstyle{\color{blue}{a_5=4\sdot81=324}}
 עשינו על דרך הראשון היה היוצא פ"א הכינו אותם בד' שהוא בבית הא' היה היוצא הוא שכ"ד והוא המבוקש [וכן תמיד]
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=8\\\scriptstyle q=1+\frac{1}{2}\end{cases}\longrightarrow a_5=?}}
 והמשל בשברי': היה בראשון ח' על דרך יתרון החצי ורצינו הבית החמישי
\scriptstyle{\color{blue}{a_5=8\sdot\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}}
 הנה יצא על דרך הראשון ה' וחצי שמינית הכינו אותם בח' והוא המבוקש וכן בכלם
ואחר שתדע הבית האחרון ובאיזה יתרון שיהיה על דרך זאת שהזכרנו ותרצה לדעת המקובץ בבתים כלם עשה על דרך שהזכיר המחבר והיא אשר כבר פרשנוה והיא דרך כללת בכל היתרונות
וכבר יתכן ג"כ למצא דרכים אחרים אבל אין לנו עתה לפרש אלה דברי הספר
  • \scriptstyle\sum_{i=1}^n a\sdot q^{i-1}=a_n+\frac{a_1\sdot\left(a_n-a_1\right)}{a_2-a_1}=\left(a\sdot q^{n-1}\right)+\frac{a\sdot\left[\left(a\sdot q^{n-1}\right)-a\right]}{\left(a\sdot q\right)-a}
 ודע כי גם זאת הדרך נוהגת כמעשה הראשון אשר בבתי הנרדשיר ר"ל כי בדעתך הבית האחרון תכה הראשון ביתרון האחרון עליו ותחלק היוצא על היתרון שבין הקטן והשני לו והיוצא מן החלוקה תוסיפנו על האחרון יהיה המבוקש
ובעבור כי תוספת האחרון על הראשון הוא כלו זולת א' כי הראשון א' תסיר מהאחרון א' ואם תכנו בראשון לא יוסיף כלל ואם תחלקנו על יתרון השני היתרון הוא א' ע"כ לא יוסיף ולא יגרע א"כ תחסר מן האחרון א' ותוסיף הנשאר על האחרון עצמו יהיה המבוקש או כפל האחרון וחסר א' יהיה המבוקש
והמשל רצינו המקובץ עד הבית הו' והיא בכלל ובה ל"ב הכינו ל"א שהוא תוספת האחרון על הראשון בא' שהוא הראשון היו ל"א חלקנום על תוספת הב' שהוא ב' על הראשון שהוא א' ובתוספת א' יצא נ"ב בחלוק ל"א הוספנום על ל"ב היו ס"ג והוא המקובץ בו' בתים ואלו חסרנו מן הל"ב א' נשארו ל"א הוספנום על ל"ב היו ס"ג או אם כפלנו ל"ב היו ס"ד הוצאנו א' היו ס"ג וידיעת מה שבבית האחרון על דרך בתי הנרדשיר ג"כ תדענו על הדרך שהזכרנו בידעתה בשאר היתרונות א"כ הדרך לכלם אחת היא

Sum of Arithmetic Progression

 אמר: ואם יהיה יתרון המספרים ידוע זולת הכפל
\scriptstyle a_n=a_1+\left[d\sdot\left(n-1\right)\right] הכה היתרון במספר המספר אלא א' והיוצא הוסף עליו המספר הראשון ומה שיהיה הוא סוף המספרים
\scriptstyle\sum_{i=1}^n a_i=\left(a_n+a_1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right) קבצנו עם הראשון והכה אותו בחצי מספר המספרים תהיה התשובה
פירוש: דע כי כל היתרונות שזכרנו עד עתה יקראו כפל וזה כי בתי הנרדשיר אתה כופל תמיד המספר שתי פעמים ר"ל תקח שני פעמים כמוהו וביתרון ג' אתה כפלו ג' פעמים וביתרון ד' ארבעה פעמים ובשברים אתה כופל חציו או שלישיתו או רביעתו וכן כלם ע"כ יקראו כלם כפל
ויתכן להיות היתרון על דרך אחרת והוא שיהיה היתרון תמיד א' או ב' או ג'
ואם יהיה היתרון על דרך א' הוא דרך המספר א' אחרי כן תוסיף א' יהיו ב' תוסיף א' יהיו ג' ד' ה' ו' וכן כלם כי כל מספר יוסיף על כל אשר לפניו אחד הנה היתרון הוא מספר ידוע והוא הא'
או על דרך הב' בראשון א' ואחריו ג' אחרי כן ה' אחרי כן ז' א"כ ט' וזה סדר הנפרדי' והתוספת תמיד מספר ידוע והוא ב'
ועל דרך ג' א' אחר כן ד' אחר כן ז' אחר כן ח' וזה סדר הנפרדים והתוספת תמיד מספר ידוע והוא ג'
וכמו כן אם יתחיל זולת הא' כמו שיהיה בגדר על ה' תוספת א' או ג' או ה' ז' ט' על דרך תוספת ב' או ב' ד' ו' ח' על תוספת ב' ג"כ הנה זהו פי' אמרו יתרון המספרים במספר ידוע זולת הכפל
ואמר כי הדרך לדעת המקובץ במספרים אלה הוא שתדע כמה המספרים אשר שאל כפילתם ותגרע ממספרם אחד ותכה הנשאר ביתרון אשר שאל ומה שיצא מן ההכאה תוסיף עליו המספר הראשון והוא יהיה מה שבמספר האחרון הנה זה דרך לדעת הבית האחרון
  • \scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1\\\scriptstyle d=1\end{cases}\longrightarrow \sum_{i=1}^{10} a_i=?}}
 והמשל: שאל שואל כמה המקובץ בעשרה בתים על דרך תוספת הא' ובתחלת הבתים א'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\begin{cases}\scriptstyle a_1=1\\\scriptstyle d=1\end{cases}&\scriptstyle\longrightarrow a_{10}=1+\left[1\sdot\left(10-1\right)\right]=1+\left(1\sdot9\right)=1+9=10\\&\scriptstyle\longrightarrow\sum_{i=1}^{10} a_i=\left(a_1+a_{10}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\left(1+10\right)\sdot5=11\sdot5=55\\\end{align}}}
 הנה המספרים אשר שאל עשרה חסרנו מהם א' נשארו ט' הכינו זה ביתרון שהוא א' [יהיו ט' הוספנום על המספר הראשון שהוא א' יהיו עשרה והוא מה שבבית העשירי

רצינו לדעת המקובץ באלה העשרה בתים אמ' שתקבץ מה שבבי' האחרון והוא עשרה עם הראשון שהוא א'] יהיו י"א הכה אותם בחצי מספר המספרים אשר הם עשרה חצים ה' הכינו י"א בה' ויהיו נ"ה והיא התשובה לשאלה

ואם הניח בבית הא' ב' הכינו ט' שהוא מספר המספרים אלא אחד בא' היו ט' הוספנום עליו ב' שהוא הראשון היה בבית האחרון י"א קבצנוהו עם הראשון היו י"ג הכינו זה בה' היו ס"ה והיא התשובה ואם היה הבית זולת זוג הזוג וזולת הבית אשר אחריו תעשה כמשפט הראשון תגיע לבית אשר אחרי זוג הזוג תשמור היוצא והסר בתי זוג הזוג והבתים הנשארים תעשה כן עד שישארו בהכרח בית א' או שנים אם שנים תקח להם מה שבבית השני לפי היתרון ואם אחד לא תקח מאומה כי הוא אחר זוג הזוג והנח המספר האחרון כאשר לפניו השמור והיוצא מן ההכאה תכה אותו בשמור אשר לפניו וכן בכלם והיוצא הוא המבוקש
המשל רצינו לדעת מה בבית י"ד על יתרון ג' עשינו כמשפט הראשון הגענו עד הבית הט' שהוא אחר זוג הזוג והיה היוצא בו ו' אלפים ת"קס"א שמרנום הסרנו ח' בתים שהם זוג הזוג נשארו ו' בתים עשינו כמשפט הראשון הגענו עד הבית הה' שהוא אחר זוג הזוג והיה היוצא בו פ"א שמרנום ג"כ והסרנו בתי זוג הזוג שהם ד' נשארו ב' בתים לקחנו להם ג' שבבית השני הכינו הג' האלה בפ"א [22]השמורים אשר לפניהם היה יוצא מההכאה רמ"ג הכינו רמ"ג בו' אלפי' תק"ס"א השמורים אשר לפניו היה היוצא אלף אלפי' ות"קצ"ד אלף ושכ"ג והוא המבוקש ואלו היו הבתים ט"ו היה היוצא בט' בתים ו' אלפי' ת"קס"א וחסרנו ח' בתים נשארו ז' יצאו בה' בתים פ"א והסרנו ד' בתים נשארו ג' בתים היוצא בהם ט' ואם נסיר ב' שהוא זוג ישאר אחד וכבר אמרנו שהאחד לא יוקח לו כלום אם כן נכה הט' בפ"א והיוצא נכה אותו בו' אלפים ת"קס"א והיוצא הוא המבוקש ואלו היו הבתים י"ו היוצאים ט' נסיר ח' ישארו ח' יצאו ח' נסיר ד' וישארו ד' יצאו ג' נסיר ב' וישארו ב' נקח להם מה שבבית השני נכה ג' בט' והיוצא בפ"א והיוצא בו' אלפים ת"קס"א יהיה המבוקש והוא י"ד אלפי' אלפים ורמ"ח אלף ותת"קס"ו והקש על זה ובעבור כי י"ו הם זוג הזוג אלו רצית בתחלה היה המגיע עד י"ז בתים שהם אחר זוג הזוג וחלקת היוצא בג' שהוא היתרון היה ג"כ זה המבוקש ועל דרך זה בכל היתרונות השלמים והנכון שתעשה תמיד על דרך זה ואפי' בזוג הזוג כדי שיהיה לכל דרך אחת ולא תצטרך לחלק על היתרון כי היתרונות יתחלפו ואמנם כאשר יהיה הבית אחר זוג הזוג אין צריך כי אם המעשה הראשון והיוצא הוא המבוקש ואם יהיה היתרון בשברים תעשה על הדרך הזו בעצמה אם היה הבית האחד זוג הזוג או זולתה עשה על זאת הנזכרת למעלה
המשל היה התוספת בחצי ורצית לדעת מה שבבית הה' שהוא אחר זוג הזוג שמנו בבית הא' א' ובשני א' וחצי הכינו הא' וחצי בעצמו היה ב' ורביע והוא בבית השלישי הכינו ב' ורביע בעצמם היה היוצא ה' וחצי שמינית והוא מה שבבית החמשי המבוקש ואם תכה זה בעצמו יצא מה שבבית הט' שהוא אחר זוג הזוג ואלו רצית הבית הד' היינו מגיעים עד השלישי ויצא בו ב' ורביע שמרנו' הסרנו ב' בתים שהם זוג נשארו שני בתים לקחנו להם מה שבבית השני שהוא א' וחצי הכינו אותם בשמור שהם ב' ורביע יהיה היוצא ג' ורביע וחצי רביע והוא המבוקש ואלו רצינו הבית הששי הוצאנו החמשי והוא ה' וחצי שמינית שמרנום והסרנו ד' בתים שהם זוג הזוג נשארו ב' בתים לקחנו להם מה שבבית השני שהוא אחד וחצי הכינו אותם בה' וחצי שמינית ה[י]וצא ז' וחצי וג' רבעי שמינית וכן בכולם וכן אם היה התוספת ב' ע"י מספרים ובתחלה א' עוד ג' עוד ה' עוד ז' וכן עד עשרה כמה המקובץ? הכינו היתרון שהוא שנים במספר המספרים אלה אחד וזה ט' היה היוצא מההכאה י"ח הוספנו עליהם המספ'
הראשון והוא א' היו י"ט והוא מה שבבית האחרון זה עם הראשון והוא א' היו כ' הכינו עשרים בחצי המספרים והוא היה היוצא מאה והוא המבוקש ואם היה ד' בראשו' על דרך תוספת ב' ובשני ו' עוד ח' עוד י' וכן עד עשרים הכינו היתרון שהוא ב' בי"ט שהוא מספר המספרים אלה אחד היה היוצא ל"ח הוספנו עליה הראשון והוא ד' היו מ"ב והוא מה שבבית האחרון קבצנו עם הראשון שהוא ד' היו מ"ו הכינו אותם בחצי המספרים שהם עשרה עלה ת"ס והוא המבוקש וכן בכל הדומה לזה
אמר: ואמנם הקבוץ על סדר המספרי' הוא שתכה החצי המספר האחרון במספר האחרון ואחד ומרובעם בהכאת שני שלישי האחרון ותוספת שליש א' במקובץ ומעוקבם ברבוע המקובץ
פירוש: דע כי המרובע יקרא הכאת מספר בעצמו כמו שנים בשנים היוצא ד' יאמר ארבעה כי מרובע השנים וכן ג' בג' ט' הנה ט' מרובע ג' וכן כל הדומה לזה והמספר אשר תכהו בעצמו ויבא ממנו המרובע יקרא שרש או גדר או עקר כלומר ב' מד' וג' מט' וד' מי"ו וכן כלם והמעוקב הוא הכאת השרש במרובעו
המשל ב' שהוא שרש ד' כשתכה ב' בד' יהיו ח' הנה שמנה הוא מעוקב שנים וכן אם תכה ג' שהוא שרש ט' בט' יהיו כ"ז ואמר כי כ"ז מעוקב ג' וכן כל הדומה לזה ומנהג בעלי המספר כמה המקובץ על סדר המספר מאחד עד מספר ידוע? כלומר על סדר א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' עד עשרה או עשרים או יותר או פחות וכן מנהגם לשאול כמה המקובץ ממרובעי המספרים על סדר המספר מא' עד כך? כלומר מרובע א' שהוא א' ומרובע ב'

שהוא ד' ומרובע ג' שהוא ט' וכן על סדר המספר כמה המקובץ ממרובעיהם וכן ממעוקביהם? הנה אלה ג' שאלות עוד ישאלו כמה המקובץ מא' עד כך על סדר הנפרדים וכן כמה המקובץ ממרובע הנפרדים כלומר א' וג' וה' וז' עד מקום שירצה לדעת הנפרדים על סדר וכן כמה המקובץ ממרובע הנפרדים על סדר וכן מעוקביהם ואלו גם כן ג' שאלות עוד ישאלו גם כן כמה המקובץ מב' עד כך על סדר הזוגות כלומר ב' וד' וו' וח' עד מקום שירצה מהזוגות על סדר וכן כמה המקובץ ממרובעיהם ומעוקביהם וזה גם כן ג' שאלות הכל ט' שאלות והתחיל המחבר לתת דרך להוציא הג' שאלות הראשונות

ואמר כי הקבוץ על סדר המספרים הוא שתקח המספר האחרון אשר עדיו תגיע השאלה ותכה חציו בכלו ואחד יהיה המבוקש
המשל: כמה המקובץ מאחד עד ו' על סדר המספרים
תקח חצי הששה שהם ג' תכה אותם בו' ואחד [23]שהם ז' יהיו כ"א והוא המבוקש וכן תמיד כאלו אמר: עד עשרה תכה עשרה ואחד שהם י"א בה' שהם חצי עשרה יהיו נ"ה והוא המבוקש
  • Sum of square numbers
 אחר כן אמר: ומרובעם בהכאת ב' שלישי האחרון ותוספת שליש אחד במקובץ
פי': זו היא השאלה השנית אם כמה המקובץ המרובעים מא' עד י' על סדר המספר? תוציא בתחלה כמה המקובץ על סדר הראשון יצא לך נ"ה והוא הנקרא המקובץ ותקח ב' שלישי האחרון שהוא עשרה יהיו ו' וב' שלישים תוסיף שליש אחד יהיו הכל ז' הכה אותם במקובץ שהוא נ"ה יהיה היוצא שפ"ה והוא המבוקש והוא יקרא המקובץ באמרו תוספת שליש א' במקובץ המקובץ על הדרך הראשון
  • Sum of cubes numbers
 א"כ אמר: ומעוקבם ברבוע המקובץ זו השאלה השלישית אם אמר: כמה מקובץ המעוקבים מא' עד עשרה על דרך סדר המספר הוצא בתחלה המקובץ על דרך הראשון ורבע אותו ר"ל אותו בנפשו יהיה המבוקש
המשל המקובץ הוא נ"ה הכה אותו בעצמו יהיה ג' אלפי' כ"ה והוא המקובץ ממעוקבי עשרה וכן כל הדומה לזה
  • Sum of odd numbers
 אמר: ואמנם הקבוץ על סדר הנפרדים הוא שתרבע חצי האחרון המחובר עם האחד
פירוש: התחיל לעשות ולתת דרך בשלש שאלות השניות והוא הקבוץ על דרך הנפרדים אשר מא' עד עשרה והוא א"ג ה"ז ט' ואמר כי המעשה בזה שתרבע ר"ל שתכה בעצמו חצי האחרון שהוא ט' אחר שיהיה האחרון הזה מחובר עם האחד והנה תחבר ט' עם א' יהיו י' וחציים ה' תרבעם תרבע ה' יהיו כ"ה והוא המבוקש ואם אמר מא' עד עשרים והם א"ג ה"ז ט' י"א י"ג ט"ו י"ז י"ט תחבר י"ט עם א' יהיו עשרים וחציים עשרה תרבעם יהיו ק' והוא המבוקש והקש על זה
  • Sum of squares of odd numbers
 אמר: ורבועם בהכאת שתות האחרון בשטח שני המספרים הנלוים אליו ואחריו
פי': זאת היא השאלה השנית כשישאל שואל כמה המקובץ ממרובע הנפרדים מא' עד עשרה ופי': השטח הוא הכאת מספר במספר שאינו כמוהו כמו ששה בשבעה או בשמנה או זולתו כי המרובע כמו שאמרנו הוא הכאת מספר במספר דומה לו ושאר ההכאות נקראות שטח או מרובע ארוך ואמרו כי שני מספרים הנלוים אליו אחריו ר"ל על דרך סדר המספר והמעשה בזה אם שאל כמה המקובץ ממרובעי הנפרדים מא' עד עשרה והם מרובעי א"ג ה"ז ט' תקח שתות ט' שהוא האחרון והוא אחד וחצי ותשמרם ואחר כן תעשה שטח מי' וי"א הנלוים לט' תכה א' וחצי שהוא שתות הט' באלה הק"י שהם שטח י' וי"א יהיה היוצא מן ההכאה ק"סה והוא המבוקש
  • Sum of cubes of odd numbers
 אמר: ומעוקבם בהכאת המקובץ בכפלו זולת א'
פירוש: זאת היא השאלה השלישית כשישאל שואל כמה המקובץ ממעוקבים הנפרדים מא' עד עשרה ואמרו המקובץ בשאלה הראשונה בקבוץ על סדר הנפרדים והמעשה כשתקח המקובץ על סדר הנפרדים מא' עד עשרה אמרנו שהוא כ"ה כי הנפרדים א"ג ה"ז ט' ותכפלם יהיו נ' תוציא אחד יהיו מ"ט תכה כ"ה שהוא המקובץ במ"ט שהם כפלם זולת א' יהיה היוצא מן ההכאה אלף רכ"ה והוא המבוקש והקש על זה
  • Sum of even numbers
 אמר: ואמנם הקבוץ על סדר הזוגות הוא כשתוסיף על האחרון תמיד שנים ותכה חצי המתקבץ מזה בחצי האחרון
פי': התחיל לתת דרך בג' השאלות השלישיות והוא הקבוץ על סדר הזוגות ורבועם ומעוקבם והתחיל בקבוץ כשישאל שואל כמה המקובץ מא' עד עשרה על דרך הזוגות והם ב"ד ו"ח י' והמעשה שתוסיף על האחרון שהוא עשרה שנים יהיו י"ב וזה שקראם המתקבץ תקח חצים והוא ו' תכה אותם בחצי האחרון שהוא י' וזה ה' יהיה היוצא מן ההכאה ל' והוא המבוקש ואם אמר: מאחד עד עשרים וזה ב"ד ו"ח י' י"ב י"ד י"ו י"ח כ' תוסיף על כ' שנים ויהיו כ"ב תקח חציים שהוא י"א תכה אותם בעשרה שהם חצי העשרים שהוא האחרון יהיה היוצא מן ההכאה ק"י והוא המבוקש והקש על זה
  • Sum of squares of even numbers
 אמ': ורבועם בהכאת ב' שלישי האחרון ושני שלישי אחד במקובץ או בהכאת שתות האחרון בשטח שני המספרים הנלוים אליו ואחריו
פירוש אמרו: המקובץ ר"ל המקובץ בשאלה ראשונה על סדר הזוגות וזאת היא השאלה השנית מן השאלות השלישיות כשישאל שואל כמה המקובץ במרובעי הזוגות מא' עד י"ב והם ב"ד ו"ח י' י"ב? והמעשה בזה שתקח שני שלישי האחרון שהוא י"ב והם ח' ותוסיף שני שלישי א' יהיו ח' וב' שלישי אחד יהיה היוצא היוצא מן ההכאה שס"ד והוא המבוקש ואמרו או בהכאת שתות האחרון וכו' הוא דרך שני לדעת המקובץ ממרובעי הזוגות והוא הדרך בעצמו שנתן במרובעי הנפרדים שתכה שתות האחרון שהוא ו השתות ב' בשטח ב' המספרים הנלוים לי"ב והם י"ג י"ד ושטחם ק"פ"ב והוא המבוקש
  • Sum of cubes of even numbers
 אמר: ומעוקבם בהכאת המקובץ בכפלו
פרוש: זאת היא השאלה האחרונה אשר בזה כשישאל השואל כמה המקובץ ממעוקבי הזוגות מא' עד ח' והם ב' ד' ו"ח והמעשה שתקח המקובץ מזה על דרך קבוץ הזוגות היה המקובץ עשרים תכה אותם בכפלם שהם מ' יהיה היוצא מן ההכאה ת"ת והוא המבוקש וכן בכל היוצא בזה

[Chapter Three:] Subtraction

 שער הגרעון[24]
אמר: הגרעון הוא שאלת הנשאר אחר השלכת אחד המספרים מן האחר והוא על ב' חלקי' האחד לגרוע המעט מן הרב יותר מפעם אחת עד שיכלה הרב או ישאר ממנו שארית פחות מן המעט וזה החלק יקרא המבחן על ידי הגרעון
פירוש אומרו הוא שאלת הנשאר אחר השלכת א' המספרי' מן האחר הוא גדר הגרעון ולפי דעתי שאמרו שאלת הנשאר הוא תוספת כי היא הסבה התכליתית ואין מביא לה בגדר כי החמריית והצוריית שהסוג וההבדל דומים ולכן השלכת מספר ממספר דיי ואמר כי זה על שני פנים האחד לגרוע המעט מן הרב פעם אחת פירוש אמרו המעט מן הרב כי לא יגרע הרב מן המעט כי איפשר אי ואמרו פעם אחת הן שיהיה ברב יותר מפעם אחת מן המעט כמי שגרע ג' מז' כי הנשאר בז' ד' ועדיין יש פעם אחרת ג' ובעשרה היה נשאר שבעה ועדיין יש שני פעמים שלשה וכל הדומה לזה וכן מששה כי היה הנשאר פעם אחת שלשה או שלא יהיה כי אם פעם אחת כמי שגרע שלשה מד' או מחמשה וכן כל הדומה לזה ועניין זה החלק שאין השואל מבקש כי אם להשליך המעט מן הרב פעם אחת וזה החלק הוא המיוחד הנקרא גרעון והנהוג והמשתמש תמיד אבל החלק השני איננו מה משתמש כי אם לחכמת המספר כמו שיבא אחר זה בענין החלוק וכמו שאמרנו הוא במבחן במלאכות המספר ובעבור כי המבחנים הם על ידי שאר המלאכות ג"כ ר"ל כי הכפל כבר יבחן על ידי החלוק והחלוק על ידי הכפל וכן יבחן הקבוץ על ידי הגרעון ר"ל על ידי החלוק הראשון שאמרתי והוא מיוסד בגרעון והוא גם הוא יבחן על ידי הקבוץ וכל המלאכות או רובם יבחנו על ידי זה החלק אמר כי זה החלק יקרא המבחן על ידי הגרעון ר"ל מבחן המלאכות על ידי הגרעון הזה וזה החלק השני אמר כי הוא לגרוע המעט מהרב יותר מפעם אחת עד שיכלה הרב כמו השלשה מששה או מתשעה כי הששה תגרע מהם שני פעמים שלשה ויכלו הששה ומהתשעה שלשה פעמי' שלשה ויכלו התשעה ואמרו כי ישאר ממנו שארית פחות מן המעט ר"ל כמו השלשה משבעה כי ישאר א' או משמנה כי ישאר שנים והאחד פחות מג' וכן השנים וכן כל הדומה לזה
אמר: והחלק הראשון צריך שתניח אשר ממנו תגרע בשטה ותחתיו הנגרע על תאר הקבוץ ותגרע כל מדרגה מן הדומה לה אם מצאתה לה דומה ואם לא תמצא לה דומה או יהיה בה פחות מן הנגרע גרע אשר ממנו אתה גורע מן הנגרע והנשאר גרע אותו מן המדרגה אשר אחריה ותניח הנשאר במקום אשר יתן אותו סדר המדרגות ואם תרצה הוסף על הדומה לנגרע עשרה תמיד ותגרע מן המתקבץ והוסף אחד במדרגה השנית מן הנגרע ועשה כן עד שתבא עד כלל המספר הנגרע ואשר ממנו תגרע
פירוש אמרו על תאר הקבוץ ר"ל כמו שעשית בקבוץ שעשית כל מדרגה תחת הדומה לה האחדי' תחת האחדים והעשרות תחת העשרות וכן כלם וזה וגם כן אמרו ותגרע כל מדרגה מן הדומה לה אם מצאת לה דומה ר"ל תגרע האחדים מן האחדים אם יש אחדים בשטה העליונה והעשרות מן העשרות אם יש עשרות בשטה העליונה וכן המאו' ושאר המדרגות ודע כי כמו כשתקבץ עם צפר לא יתוספו האחדים וכן העשרות עם צפר לא יתוספו העשרות וכן כלם ג"כ כשתגרע צפר מאחדים לא יחסרו האחדים כלום וכן העשרות וכן כל המדרגות והמדרגה שאין לה דומה היא אשר בשטה העליונה כנגדה צפר כאלו בשטה העליונה אין אחדים ויש במקומם צפר וכן כלם ובשטה התחתונה יש אחדים או עשרות כלומר יש מספר תחת הצפר בשטה התחתונה והמדרגה אשר יש לה דומה היא אשר עליה מספר העליונה וזה יהיה על ג' פנים אם שיהיה העליון יותר מהתחתון או שוה לו או פחות ממנו
המשל שהיו אחדי העליון ט' ואחדי התחתון ה' או מספר אחר פחות מט' וזהו שהעליון יותר או היו ט' למעלה וט' למטה או ב' או מספר אחר וזהו שהעליון שוה לתחתון או יהיה העליון ה' והתחתון ו' או ז' או זולת ז' יותר מה' וזה שהעליון פחות מהתחתון
והמשל לראשון שכל מדרגה מן השטה העליונה יותר מן הדומה בתחתונה רצינו לגרוע ג' אלפי' וארבע מאות וחמשים ושש מחמשה אלפים ושבע מאות ושמנים ושבעה תכתוב ה' אלפים ות"שפ"ז בשטה ותחתיהם הג' אלפים ת"רנ"ו ותשים קו למעלה משתי שטות כזאת הצורה:
א ג ג ב
ז ח ז ה
ו ה ד ג
תגרע הו' שהם אחדי התחתון מן הז' אשר עם אחדי העליונה ישאר א' תכתבנו למעלה מן הקו על הז' אחרי כן תגרע הה' אשר הם עשרות התחתונה מן הח' אשר כנגדם שהם עשרות העליונה ישאר ג' תכתבם על הקו על הח' אחרי כן תגרע הד' מהז' ישאר ג' תכתבם על הז'
אח"כ תגרע הג' מהה' ישארו ב' תכתבם על הה' והנה מה שעל הקו הוא הנשאר והם שני אלפים של"א וזאת הצורה וזה הסדר הוא נוהג בכל גרעון ודע כשיש צפר בתחתונה ומספר בעליונה לא יאמר שאין למדרגה ההיא דומה אבל תגרע הצפר מן המספר ההוא וישאר המספר ההוא בעצמו תכתבנו למעלה על הט' עצמם תגרע מן הקו
והמשל תגרע כ' מל"ט תכתבנם בזאת הצורה
ט א
ט ג
‫0 ב
תגרע צפר מט' ישאר ט' בעצמם תכתבם למעלה על הט' בעצמם תגרע ב' מג'
ישאר א' תכתבם על הג' וכן כל הדומה לזה ודע כי כשתגרע מספר ממספר שוה לו הנשאר הוא צפר תכתבנה למעלה מן הקו
והמשל לאשר יש מדרגות לעליונה שוות לתחתונה תגרע ג' אלפים רס"ח מד' אלפי' רפ"ח תכתבם כזו
‫0 ב 0 א
ד ב ח ח
ג ב ו ח
והנה מדרגות האחדים שוות שמנה וכן מדרגות המאות הב' שוים ב' [מאות] תגרע ח' מח' והנשאר צפר תכתבנה על הח' תגרע ו' מח' הנשאר ב' תכתבם על הח' תגרע ב' מב' הנשאר צפר תכתבנה על הב' תגרע ג' מד' ישאר א' תכתבם על הד' ומה שעל הקו הוא הנשאר והוא אלף ועשרים וכן כל הדומה לזה והכלל: כל מדרגה שבעליונה ואין כלום כנגדה בתחתונה או יש כנגדה צפר תכתבנה בעצמה על הקו ואשר כנגדה צפר כמו שביארנו בזה המשל ואשר אין כנגדה כלום כי כשמדרגות העליונה יותר מן התחתונה כמו שהיו מדרגות העליונה כ"א אלף של"ג זה והתחתונה רכ"ה כזו הצורה
ב א א א ב
ב א ג ג ג
    ב ב א
הנה תחת שני המדרגות האחרונות אין כלום כי אין שם צפר כי אם בתחלה כמו שהוא ידוע תגרע א' מג' הנשאר ב' תכתבנו על הג' עוד תגרע ב' מג' הנשאר א' תכתבם על הג' ישאר א' וב' ובאין תחתם כלום תכתבם על הקו כנגדם יהיה הנשאר ב א א א ב כמו שהוא בצורה וכן כל הדומה לזה ועתה נבאר דבריו
אמר: תגרע כל מדרגה מן הדומה לה אם מצאתה לה דומה ר"ל שאין למעלה הימינה צפר כמו שביארנו אמ': ואם לא תמצא לה דומה ר"ל כשיש למעלה ממנה צפר כמו שאמרנו או יהיה בה פחות מן הנגרע ר"ל שיש מין הנגרע המספר בעליונה פחות מן התחתונה ר"ל מדרגה אחת או שתים או יותר אבל מדרגה שבתחתונה גדולה מן העליונה או קצתן אבל האחרונה הכרח הוא שתהיה המדרגה יותר מן התחתונה תמיד או שלא יהיה תחתיה כלום
והמשל רצינו לגרוע ב' אלפים תמ"ה מג' אלפים של"ג תכתבם כזו הצורה והנה המדרגות התחתונות יתרות על העליונות זולתי האחרנה ואמר כי המעשה בזה שתגרע אשר ממנה אתה גורע מן הנגרע
והמשל בצורה הצורה שציירנו
0 ח ח  
ח ב ב ב
ג ג ג ג
ב ד ד ה
באנו לגרוע ה' מג' אי אפשר
אמר: שנגרע ג' מה' הנה ישארו ב'
אמר: והנשאר גרע אותו מהמדרג' אשר אחריה והנה המדרגה אשר אחריה ג' היא ג' ג"כ שהיא שלשים תגרע מהם הב' ישארו כ"ח אמר: ותניח הנשאר במקום שיתן אותו סדר המדרגות ר"ל תניח האחדים על המספר אשר אתה גורע והעשרות על המדרגה השנית אשר ממנה גרעת ובמשל הזה ב' שנשארו כ"ח נכתוב הח' שהם אחדים על הה' והג' והעשרות על הג' השנית שהיא שלשים אשר גרענו ממנה הב' ונשארו כ"ח אח"כ נשוב לגרוע הד' מן הב' אשר על הקו כי היא במקום הג' אי אפשר נגרע ב' מד' ישארו ב' נגרע אותם מן הג' אשר לפנים אשר ג"כ שלשים ר"ל שלשה עשרות ישארו כ"ח נכתוב אותם הח' על הד' והב' והעשרים על הג' אח"כ נשוב לגרוע ד' מב' אי אפשר נגרע ב' מד' ישארו ב' נגרע אותם הח' על הד' והב' והעשרים על הג' אח"כ נשוב לגרוע ד' מב' אי אפשר נגרע ב' מד' ישארו ב' נגרע אותם מג' אשר לפנים שהם שלשה עשרות הנשאר כ"ח נכתוב אותם ג"כ השמנה על הד' וב' והעשרים על ג' אחר כן נשוב ונגרע ב' מב' הנשאר צפר נכתוב צפר על הב' ומה שנשאר על הקו למעלה שהוא ח' ח' ח' והוא המבוקש
וזה משל אחר
ג   0  
ט ג ו ה
ו ה ד ג
ב ט ג ד
באנו לגרוע ד' מג' אי אפשר גרענו ג' מד' נשארו א' גרענו מן הד' שהוא ארבעים נשאר ל"ט כתבנום ט' שהם אחדים על הד' והג' אשר גרענו והג' על הג' והד' אחר כן שבנו לגרוע ט' מהא"א גרענו ה' מט' נשארו ד' גרענום מן הו' אשר לפנים והם ששים נשארו נ"ו כתבנום הו' שהם אחדים על הה' והה' על הו' שבנו לגרוע ב' מה' הנשאר ג' כתבנום על הה' ומה שנשאר על הקו והוא ט' 0 ו' ג' והוא המבוקש
אחר כן נתן המחבר דרך אחרת ואמר: או הוסף על הדומה לגרע תמיד עשרה ותגרע מן המתקבץ ר"ל כשהמספר התחתון גדול מן העליון כמו במשל הראשון שהה' גדול מהג' שהיא המדרגה הדומה לה כי שתיהן אחדים תוסיף על הי' שהן הדומה עשרה יהיו י"ג שהם המתקבץ תגרע מהם ה' ישארו ח' כתוב אותם למעלה
אמר: ותוסיף אחד במדרגה השנית מן הנגרע
ר"ל בעבור העשרה שהוספת תוסיף א' למטה בנגרע במדרגה השנית שהיא ד' תהיה ה' תגרע אותם הה' מן הג' א"א תוסיף גם כן עשרה יהיו י"ג תגרע ה' ישארו ח' תכתבם למעלה ותוסיף א' על ד' האחרת יהיו ה' תגרע אותם מן הג' א"א תוסיף עשרה יהיו י"ג תגרע מהם ה' ישארו ח' תכתוב אותם על הקו ותוסיף א' על הב' יהיו ג' תגרע אותם מן השלשה ישאר על הקו צפר ותכתוב אותה ותכתוב על הקו והוא ח' ח' ח' הוא המבוקש
ח ח ח ‫0
ג ג ג ג
ב ד ד ה
ואנחנו נהגנו זה הדרך בענין אחר וזה במשל עצמו באנו לגרוע ה' מג' א"א לקחנו אחד מן המדרגה השנית ושמנו עליו נקודה להורות שלקחנו אחד ואותם הא' הם עשרה קבצנום עם הג' היו י"ג גרענו ה' נשארו ח' כתבנום על הקו באנו לגרוע ד' מב' כי על הג' נקודה יורה כי לקחנו א' ונשאר ב' א"א לקחנו א' מהמדרגה השלישית קבצנום כי הן עשרה עם הב' היו י"ב גרענו ד' נשארו ח' וכן כל הנשאר וכל הדומה לזה
אמר: ותתחיל בגרעון מראשית המדרגות ומאחריתם וההנאות ההתחלה מאחריתם בחלוף הנאות בקבוץ והיותר שיחסר מחנה אחת
פירוש: פי' כבר ידעת בשער הקבוץ שראשית המדרגות הם אחדים ואחריתם המדרגה הגדולה ר"ל עשרות או מאות או אלפים או יותר ואמר כי הבחירה ביד הגורע להתחיל מן האחדים או מן הצד הגדול ומשל ההתחלה הוא מן האחדים הוא כל המשלי' שהמשלנו ואמ' כי יותר נאות להתחיל מן המדרגה האחרנה בחלוף מה שזכר בקבוץ כי שם זכר שיותר טוב הוא להתחיל לקבץ מן האחדים
ומשל הגרעון מן האחרית הוא כמו הצורה הזאת:
א   א    
א ה ב ט ב
ח ז ה ד ג
ו ח ג ט ב
גרענו ו' מח' נשאר ב' כתבנוה למעלה באנו לגרוע ח' מז' אי אפשר לקחנו מן הב' א' והנשאר כתבנוהו על הב' והאחד שלקחנו קבצנוהו עם הז' יהיו י"ז גרענו ח' נשאר ט' כתבנוהו על הקו עוד גרענו ג' מה' נשאר ב' כתבנום על הקו באנו לגרוע ט' מד' א"א לקחנו א' מב' נשארו א' כתבנוהו על הב' והא' שלקחנו קבצנוהו עם הד' אשר אצלו היו י"ד גרענו ט' נשאר ה' כתבנוהו על הקו עוד גרענו ב' מג' נשאר א' כתבנוהו על הקו והנה הנשאר למעלה מן הקו הוא המבוקש והוא א' ה' א' ט' א' ומה שאמר שהיותר שיחסר הוא מחנה אחת ר"ל כי לא יהיה הנשאר פחות מהמספר אשר גרעת ממנו כי אם מחנה [רל' מדרגה] אחת כמו המשל שהמשלנו למעלה כי המספר אשר ממנו גרענו ח ח ח ד' מחנות והנשאר שלש מחנות ח' ח' ח' ואי אפשר להיות יותר פחות אבל יהיה שוה כמו המשל שלמעלה מזה שמחנות המספר שממנו גרענו חמש ג' ד' ה' ז' ח' והנשאר ג"כ חמש והם א' ה' א' ט' א' וכל ה ד ד ב כל הדומה לזה
אמר: ומבחן הגרעון שתקבץ הנשאר הנשאר אל הנגרע יצא אשר ממנו גרעת
המשל בזה בצורה שלמעלה שהיא קבץ ח ח ח שהוא הנשאר עם הנגרע שהוא ה' ד' ו' ב' יהיה היוצא ג' ג' ג' ג' והוא אשר ממנו גרעת ח ח ח וכן תעשה בכל המשלים שהמשלנו למעלה
אמר: או תגרע הנשאר מאשר ממנו גרעת ישאר הנגרע
המשל ג ג ג ג בצורה ההיא ג"כ תגרע הנשאר שהוא ח' ח' ח' מג' ג' ג' ג' אשר ממנו גרעת ישאר ה' ד' ד' ב' והוא הנגרע וכן תעשה בשאר המשלים שנזכרו ואין זה נכון אצלי כי זה ממין הודעת הדבר בעצמו כי מה טעם להיות הגרעון מבחן לגרעון? הנה ראוי ג"כ לבחון הגרעון השני ואם תבחננו על זה הדרך צריך לבחון השלישי וישובו בסבוב או ילך לאין תכלית וזה ברור לכן הדרך הראשון במבחן הוא הנהוג והנאות וגם בדרך הראשון יש להקשות כי הוא אמר בשער הקבוץ כי מבחן הקבוץ הוא הגרעון ועתה אומר כי מבחן הגרעון הוא הקבוץ וזה סבוב גלוי והנכון כי המבחן לכל המלאכות הוא באופן השני מן הגרעון אשר יזכור אחר זה מט' ט' וח"ח וז"ז כי בו יבחנו מלאכות המספר וזה איננו צריך לבחינה ואין לנו דרך יותר קרוב מזה להתיר זה הספק
אמר: והחלק השני בו ג' גרעונות הם אשר רב העשותם במבחן המעשים האחד גרעון תשעה והשני גרעון ח' והשלישי גרעון ז'
פירוש: זה החלק מן הגרעון כבר זכר כי הוא נקרא המבחן ואמר עתה כי הוא המשתמש הרבה במבחן המעשים ר"ל במבחן הקבוץ והגרעון וההכאה ושאר כל מה שצריך מבחן אם היוצא אחר המעשה הוא אמתי כי כשיובחן באלה השלשה הם תשעה ושמנה ושבעה רחוק הוא מאד שימצא שוה ולא יהיה אמת ר"ל כי באחד מהם כבר אפשר שיהיה שוה ויצא כפי מה שיזכור המבחן ולא יהיה אמת וזה יתבאר לפנים בג"ה בזכרון איך יבחנו המעשים באלה השלשה גרעונות ועתה פרש תחלה איך תגרע כל המספר ותכלה אותו בקלות באלו הג' גרעונות וזכר הקל יותר תחלה שהוא התשעה
אמר: וגרעון תשעה תשעה ישאיר מכל קשר אחד קח המספר ממדרגותיו כאלו אחדים ותגרע אותו תשעה ישאר מכל עשרה אחד
פי': כשתרצה לגרוע מספר תשעה תשעה ר"ל לכלותו ולהשליך כל תשעה ולקחת הנשאר כמ' שצריך אחר זה כמחפש הדרך בזה הוא שתדע כי כל קשר אחר שתסיר ממנו כל תשעה ישאר אחד והקשר הוא עשרה ואלף ועשרת אלפים ועשרים יקראו שני קשרים וכן מאתים ואלפים ושלשים שלשה קשרים וכן שלש מאות וכן שלשה אלפים וכן כלם לכן כשתצטרך להשליך מעשרה תשעה ישאר א' ואם תשליך עשרים תשעה תשעה ישארו שנים כי העשרי' שני קשרים כמו שאמרנו וכן מאתים ישאירו שנים וכן אלפים ושלשים ישאירו שלשה וכן כלם ולכן הנשאר מכל מספר הוא צורת מדרגותיו כי כבר ידעת שצורת ל"ג וצורת ש"ג וכן צורת עשרים כ' כי אין הפרש ביניהם כי אם במדרגות ולכן אמר שהמספר אשר תרצה לכלותו ט"ט תקח אותו ממדרגותיו כאלו הוא אחדים ר"ל ותקבץ אותו ותשוב תגרענו ט"ט ונשאר מכל עשרה אחד
המשל רצינו להשליך ט' ט' ק'פ"ז אלף ושנ"ה תכתבם כך ה ה ג ז ח א והיא המדרגה הא' שהוא אחדים היא ה' ואין בה ט' והשנית היא חמשים והצורה ה וכשתשליך חמשים ט"ט ישארו ה' תקבץ ה' עם ה' יהיה המקובץ עשרה תשליך ט' ישאר א' והוא הנשאר ממספר ממספר נ"ה שהוא ה' והמדרגה השלישית ג' והיא שלש מאות והרביעית היא ז' והיא שבעת אלפים וצורה ג' ז' וכשתשליך הג' מאות ט"ט ישאר ג' וכשתשליך הז' אלפים ט"ט ישארו ז' והם ג"ז תחברם כאלו הם אחדים יהיו עשרה גרעת ט' נשאר א' וא' שנשאר מה' וה' נשארו ב' והם הנשאר מה"ה ג"ז תחברם כאלו הם אחדים יהיו עשרה גרעת ט' נשאר א' אחר שהשלכת כל ט' והמדרגה החמישית היא היא ח' והיא פ' אלפי' והששית א' והיא ק' אלף וכשתשליך שמנים אלף ט"ט ישארו ח' כי הם שמנה קשרים וממאה אלף ישאר א' כי הוא קשר א' וכשתקבץ הח' והאלף כאלו הם אחדים יהיו ט' תשליכם הנה הנשאר מכל המספר ה"ה ג"ז ח"א הוא שנים והנה אם תחבר המספר כאלו הם אחדים יעלה כ"ט תשליך הט' ותקח מן העשרים שנים והוא הנשאר אבל יותר נקל שתקבץ כל שתי אותיות או שלשה וכשיתקבץ עשרה תשליך מיד ט' וישאר א' ואם נקבצנו י"א תקח שנים וכן תמיד וישאר בידך פחות מט' ועל כן אמר המחבר:
וגרע אותו ט"ט ישאר מכל עשרה אחד ומספר ת ת ישאר ח' והקש על זה בכל מספר
אמר: וגרעון ח' ישאיר מכל עשרה ב' ומכל מאה ארבעה וזוגות המאות ז ה ב ט ו ב ואשר עליהם מוגרעים וישאר מופרד המאות ד' ותכה העשרות בשני' ותקבץ זה עם הד' ועם האחדים ותשליכם שמנה שמנה
פירוש: כשתרצה להשליך מספר ח"ח ולדעת הנשאר יש לך לדעת כי כל עשרה ישאירו ב' וכל מאה ישאר ד' וזוגות המאות כמו מאתים וד' מאות ושש מאות ושמנה מאות כלם יושלכו ח"ח ולא ישאירו כלום וכן כל האלפים יהיו מה שיהיו כלם יושלכו ח' ח' והוא מה שאמר המחבר וזוגות המאות ואשר עליהם ר"ל המאות והאלפים אשר למעלה מהם במדרגה כלם מוגרעים ולכן כל מספר שיש בו אלפים אינך צריך להסתכל באלפים ההם להשליכם כי מוגרעים הם בעבור כי הזוגות המאות מוגרעים לא ישאירו כלום ג"כ הנה לא ישאר מן המאות כי אם נפרדיהם שהם מאה ג' מאות ות"ק ות"ש ותת"ק ובעבור כי כל נפרד מאלה בין שני זוגות אין לך לקחת מכל נפרדי המאות כי אם ארבעה יהיו מה שיהיו
והמשל כי שלש מאות הנה מאתים מושלכים וד' מאות מושלכים לא נשאר כי אם מאה וכבר אמר כי כל מאה ישאיר ד' ולכן אמר: וישאר ממאות הזוגות ד' כי ש' ישאירו ד' ותת"ק ישאירו ד' וכן ת"ש וכן ת"ק הנה אין לך להשתדל כי אם בעשרות ובאחדים ואמר שתכה העשרות בשנים ר"ל מספר העשרות שאם היו עשרים תכה ב' בב' יהיו ד' והוא הנשאר מעשרים ואם היו שלשים תכה שלשה בשנים יהיו ו' וכן בכל המדרגות ולכן כשיהיה לך מספר ויש בו אחדים ועשרות ומאות שהם נפרדי' ואלפים יש לך להשליך האלפים ולקחת מנפרדי מאות ד' ותשמרם ותכה מספר העשרות בשנים והיוצא מן ההכאה תקבצנו עם הד' עוד תקבץ עמהם אחדי המספר ותשליך המקובץ ח"ח והנשאר הוא המקובץ והיותר שאיפשר שיהיה זה המספ' המקובץ הוא ל"ה וזה מנפרדי המאות ד' ואם היו עשרות תשעים תכה תשעים בשנים יהיו י"ח והאחדים יהיו ט' הנה הכל ל"א ואם תרצה לא תכה העשרות בשנים אלא כשיהיו פחות מד' כי ד' עשרות הם מוגרעים שמנה שמנה וכן ח' עשרות ולכן היותר שאתה צריך להכות שלשה עשרות וזה כשיהיה המספר שלשים וכן כשיהיה שבעים כי יצאו הארבעים וישארו שלשים וכשתכה אותם בשנים יהיו ו' ומן האחדים היותר שתקח ז' כי השמנה תשליכם ומט' תקח א' ולכן היותר שאפשר שיהיה לפי זה המקובץ יהיה ז' וששה וד' והם י"ז תשליכם ח"ח ישארו א' והוא המבוקש
והמשל רצינו לגרוע מספר ט"ו"ב ה"זה"ב כאלו נתון באוצר לא תשליך ממנו מאומה כי כלו אלפי' ישאר טוב הב' שהם מאתים מושלכים ישארו טו' תכה הששים שהם ששה עשרות בשנים יהיו י"ב תקבצם עם הט' שהם אחדים יהיו כ"א תשליכם ח"ח ישארו ה' והוא המבוקש ואם רצית לא הכית מן הששים כי אם עשרים שהם ב' עשרות בב' יהיו ד' ומן הט' לקחת א' היו הכל ח' והוא המבוקש
ואם היה המספר ה"ב זה"ב' הנה הב' האחרונים אלפים מושלכים והז' שבע מאות והם נפרדים תקח להם ד' ותכה ב' עשרות בב' היו ד' קבצם עם הד' יהיו ח' אם תרצה השליכם וישארו בידך הה' שהם אחדים או קבץ הח' עם הה' שהם אחדים יהיו י"ג תשליך מהם ח' ישארו ה' והוא המבוקש
אמר: וגרעון ז' הוא ישאר מכל עשרה שלשה שלשה ומכל מאה שנים ומכל אלף ששה ומכל עשרה אלפים ארבעה ומכל מאה אלף חמשה ומכל אלף אלף אחד ומכל עשרה אלף אלפים שלשה ומשם ישוב הסבוב ולכן תבחין באלה האותיות א' ג' ב' ו' ד' ה' ושנים תחת המחנות
פירוש: כשתרצה לגרוע מספר ולהשליכו שבעה שבעה ולדעת הנשאר דע כן מכל עשרה ישארו שלשה סימנם ג' ר"ל אות ג' שמספרה שלשה ומן המאה ישארו שנים סימנם ב' ר"ל אות ב' שמספרה שנים וכן כלם יתקבצו כסדר ששה אותיות שהם ג' ב' ו' ד' ה' א' הג' לעשרות הב' למאות והו' לאלפים והד' לעשרות אלפים והה' למאה אלפים והא' לאלפי אלפים אחרי כן ישוב בסבוב כי עשרת אלפי אלפים ישאירו ג' ומאה אלפי אלפים ישאירו ב' וכן כל המחנות בסדר ובעבור כי ג' היא לעשרה וא' לאלף אלף שוה דומה לאחד הנה יהיה א' סימן לאחדים ויהיו האותיות על סדר זה א' ג' ב' ו' ד' ה' ויחזרו חלילה על המדרגות ר"ל אם היו המדרגות עשרה תכתוב א' ג' ב' ו' ד' ה' עוד א' ג' ב' ו' ואם היו המדרגות י"ב תכתוב שתי פעמים א'ג"ב ו'ד"ה זהו אמרו ושנים תחת המדרגות
והמשל רצית לגרוע מספר ז"ז תכתוב המספר והאותיות תחתיהם ותעשה עליהם קו כזו הצורה:
אמ': ותכה כל מחנה במה שתחתיה ממספר אותיות ותגרע כשבעה ותניח הנשאר עליהם ותקבץ כל מה שבכל מחנה מן השיורים כמו האחדים ותשליכם ז"ז
פי': אחר שתכתוב המספר הנזכר שהוא ט' אלפים ותר"נ אלף וש'כ"ח ותכתוב תחתיו האותיות ותעשה להם קו כזאת הצורה תכה כל מחנה ר"ל כל אחת מן המחנות או אמור מדרגות כמה שתחתיה ממספר האותיות ותגרע בשבעה ותניח השאר עליה
והמשל הכית ח' בא' היו ח' גרעת ז' נשאר א' כתבת אותו על הקו על הח' א"כ הכה ב' בג' שתחתיו יהיו ח ב ג 0 ה ו ט ו' ואין שם להסיר ז' כתוב הו' למעלה וכן תכה ג' בב' שתחתיו יהיו ו' ואין בהם להסיר ז' תכתבם על הקו א ג ב ו ד ה א תכה צפר בששה הנשאר צפר תכתבנה על הקו תכה ה' בד' שתחתיו יהיו עשרים גרע כל ז' ישארו ו' כתבם על הקו עוד הכה ו' בה' שתחתיו יהיו שלשים גרע כל ז' הנשאר ב' כתוב על הקו תכה ט' בא' שתחתיו יהיו ט' גרע ז' הנשאר ב' כתוב על הקו והנה תמצא על הקו שיורים א ו ו 0 ו ב ב קבץ אותם כמו אחדים ר"ל א' וו' הם ז' תקבצם עם הו' השני והיו י"ג עם הו' השלישי יהיו י"ט ועם הב' יהיו כ"א ועם הב' השני יהיו כ"ג תסיר כ"א שהם ז"ז ישארו ב' והוא הנשאר מכל אותו המספר אחר שהשלכת אותו ז"ז וכן תעשה בכל הדומה לזה והסבה שתכה מה שבמדרגה באות שתחתיה היא כי העשרה שאמרנו שישאיר שלשה הוא עשרה אחד אבל שני עשרות ישאירו ו' ושלשה עשרות ישאירו ט' וכן כלם לכן במשל הזה שלמעלה שהיו העשרות שנים היו משאירים ולכן הכינו הב' שהוא מספר העשרות בג' שהוא שיור עשרה היה היוצא מן ההכאה ו' וכן מספר המאות הם ג' וכל מאה ישאיר ב' הנה הג' מאות ישאירו ו' לכן הכינו מספר המאות שהוא ג' בב' שהוא שיור מאה היה היוצא ו' והמדרגה החמשית שהוא חמשים אלף הנה כל עשרת אלפים ישאירו ד' הנה ישארו החמשים אלף עשרי' והוא הכאת ה' שהוא מספר העשרות אלפי' בד' שהוא שיור עשרת אלפים וגרעת י"ד מן העשרים היה הנשאר ו' וזה ידוע וכתוב הנשאר למעלה מן הקוים והשיורים
אמ': ואם תרצה הכה מה שבמחנה אחרונה בשלשה וגרע אותו ז"ז ותוסיף הנשאר על מה שקודם לו ותכה בשלשה ותגרענו ז"ז ותוסיף הנשאר על מה שקודם לו ותכה בג' ותגרענו ז ז ותוסיף הנשאר על מה שקדם לו ואם לא יהיה במחנה אשר קודם לו מספר הכה בשיור שבידך בשלשה וגרע בשבעה ועשה כן עד שתגיע אל האחדים
פירוש: זה דרך אחרת להגעת איך תגרע המספר שבעה שבעה
והמשל במספר הנזכ' תכתוב אותו ותעשה אותו עליו קו כזו הצורה ב' הכה הט' שהיא המחנה האחרנה בשלשה יהיו כ"ז תגרע כל ז' ישארו ו' קבצם עם הו' הקודם ח' ב' ג' 0 ה' ו' ט' לט' יהיו י"ב תכה אותם בג' יהיו ל"ו תסיר כל ז' הנשאר א' הוסף אותם על ה' הקודמים להם יהיו ששה הכה אותם בג' יהיו י"ח תסיר כל ז' ישארו ד' ובעבור שאין קודם לה מספר שתקבץ עמה כי אם צפר תכה הד' עצמה בג' יהיו י"ב גרע ז' הנשאר הוסף אותם על ג' הקודם לצפר יהיו ח' הכה אותם בג' יהיו כ"ד גרע כל ז' הנשאר ג' הוסף אותם על ב' הקודם לג' יהיו ה' תכה אותם בג' יהיו ט"ו גרע כל ז' הנשאר א' הוסף אותם על הח' שהם אחדים יהיו ט' אינך צריך להכותם בג' רק הוצא ז' ישארו שנים כתוב אותם על הקו והם הנשארים מן המספר אחר שתשליך אותו ז"ז הוא אמרו עד שתגיע אל האחדים והוא המבוקש והסבה בהכאה בג' בעבור כי כל מדרגה תחשב עשרות וכבר ידעת למעלה שכל עשרה ישאיר ג'
אמ': ואם תרצה שים המדרגה האחרונה עשרות וחבר אליה מה שקודם לה באחדי' וגרע כל ז' אח"כ שים הנשאר עשרות וחבר עליהם מה שקודם להם באחדים ותגרע כן
פירו': זה דרך אחרת לגרוע המספר ז"ז
והמשל במספר עצמו: כתוב אותו בזו הצורה ותשוב המדרגה האחרונה שהיא ט' עשרות וחבר לה אשר קודם לה על שהיא ו' אחדים יהיה הכל צ"ו גרע כל ז"ז הנשאר ה' חשוב הה' הנשארים עשרות וחבר עמם הה' הקודם להם כאלו הם אחדים יהיה המחובר נ"ה גרע כל ז' הנשאר ו' חשוב אותם עשרות ובעבור שקודם להם צפר אין לה מה שתחבר עמם להיות אחדים הנה יהיו ששים גרע כל ז' הנשאר ד' חשוב במ' וקבץ אליהם ג' יהיו מ"ג גרע כל ז' הנשאר א' חשוב אותו לעשרה וחבר עמם ב' הקודם להם יהיו י"ב גרע כל ז' הנשאר ה' חשוב אותם בעשרות והם נ' חבר אליהם ח' יהיו נ"ח גרע כל ז' הנשאר ב' כתוב אותו על הקו והוא הנשאר מן המספר אחר שתשליך אותו ז'ז' וכן תעשה בכל מספר וזה הדרך הוא היותר נהוג בגרעון מספר שבעה

Checking - Subtraction

 פרק באופן המבחן באלה הגרעונות
אמנם הקבוץ גרע כל שטה ממנו וקבץ הנשאר מהם ותגרענו ומה שנשאר הוא התשובה גרע המקובץ יסכים עם התשובה
פירו': אחר שהראה לך דרך בשלשה גרעונות ואמר כי הן צריכין לבחון בהם מיני המספר יגיד לך עתה איך תבחין בהם והתחיל בקבוץ ואמר כי כשתקבץ מספר אל מספר ותדע המקובץ מהם ותרצה להבחין באלה הגרעונות אם הוא אמת תכתוב השתי שטות אשר תרצה לקבץ וקבצם וכתוב המקובץ על הקו כאשר ידעת בשער הקבוץ ויהיה ע"דמ קבוץ נ"ב אלף ופ"ז עם מ"ז אלף רצ"ג היה המקובץ צ"ט אלף ש"פ כזו הצורה:
ותרצה לבחון ע"ד ט"ט תגרע השטה שהיא נ"ב אלף פ"ז ישארו ד' כתבם אצלם חוץ לשטה לצד שמאלך וגרע השטה השנית שהיא מ"ז אלף רצ"ג ישארו ז' כתבם חוץ לשטה תחת ד' קבץ הד' עם הז' יהיו י"א גרע ט' ישארו ב' והם יקראו התשובה כמו שידעת למעלה כתוב אלה השנים על הקו חוץ לשטה על הד' והז' א"כ גרע שטת המקובץ שהיא צ"ט אלף ש"פ יהיה הנשאר ד ב' מסכים עם התשובה לכן תדע כי מה שקבצת הוא כן ר"ל אמתי
ודע כי מה שלמד המחבר בזה המאמר שתגרע הוא מאמר סתם כי לא אמר: תגרע בט' ט' ולא בח' ח' ולא בז"ז רק אמר: תגרע סתם ורצונו שתגרע על דרך השלשה ב-ב גרעונות וכשיצא אמתי בשלשתם אז הוא אמת והרבה בזה כי אין די בגרעון ט' לבדו ולא באחד מן האחרים לבדם ז כי הוא אפשר קרוב שיהיה טעות ויצא במבחן שהוא אמת ר"ל יסכים המבחן מבלתי שיתוסף מדרגות במקובץ כי הוא אמר למעלה כי היותר שיוסיף המקובץ על מדרגות הגדולה שבשטות המתקבצות היא מדרגה אחת ואם יתוסף יותר וכן יש לומר אם יפחות ממנה כלום המעשה בלתי אמתי ולכן אמרתי כשתבחין בגרעון ט' לבדם ד"מ וכן באחת לבדו מח' או מז' א'ע"ף שלא יתוספו המדרגות ולא יפחתו מן הראוי אפשר קרוב הוא שיהיה במקובץ טעות ויסכים המבחן
והמשל בצורה שעשינו כי התשובה מהשטות השנים היה ב' והנשאר מן המקובץ שהוא צ"ט אלף ש"פ הוא ב' ג"כ מסכים עם התשובה וידוע כי אם נפל הטעות במקובץ שהקדים ג' לח' היה המקובץ צ"ט אלף תתג וכשתגרע זה ט"ט יהיה הנשאר גם כן ב' וכן אם הוספת במקובץ מדרגה אחת שזה אפשר והיית כותב בה ט' שהוא תת"ק אלף היה הנשאר מן הגרעון גם כן ב' מסכים עם התשובה ולכן צריך לגרוע בכל הגרעונות ואז אי אפשר כל כך קרוב שיסכי' המבחן ויהיה טעות אע"פ שהוא אפשר
והמשל: קבצת תק'ה עם אלף וט' היה המקובץ אלף תק"יד כזו הצורה וכשתגרע השטה האחת ט"ט ישאר א' וכן כשתגרע ח' ח' וכן כשתגרע ז' ז' הנשאר אחד וכן מן השטה השנית ה 0 ה בכל גרעון ישאר א' תקבץ אחד אל אחד יהיו ב' והיא התשובה בשלש גרעונות וכן כשתגרע אלף תק"י"ד שהוא המקובץ בשלש גרעונות יהיה הנשאר ב' מסכים עם התשובה וזה אמתי אבל אם טעות וכתבת על הקו במקום אלף תק'יד שני אלפים י"ח בזו הצורה: ח' א' 0' ב' היה מסכים ג"כ היה מסכים נ"ה במבחן עם התשובה ולא נתוספה מדרגה ומזה הרבה מאד אלא שבגרעון ט' לבדם יפול הטעות בפעל מֻעט כאלו תאמר שהקדמת ג' לח' כמו שכתבנו למעלה אבל בשלש גרעונות צריך להחליף רוב המספרים או כלם כמו שראית שנתחלף מספר ד"א ה"א במספר ח"א' 0' ב' וזה רחוק מאד להתחלף אע"פ שהוא אפשרי ולכן הראוי להבחין בכל השלשה ולכן אמר המחבר: תגרע סתם ורצונו בשלשה כלם יחד וכמו שהוא בקבוץ שצריך וראוי לעשות בשלשה גרעונות וכן בשאר המעשים
אמר: ואמנם הגרעון גרע הנגרע ממנו ושמור הנשאר וגרע המוגרע והשלך שיורו מן השמור ואם היה פחות הוסף עליו הגרעון והשלך מן המקובץ תשאר התשובה גרע הנשאר מן השאלה יסכים התשובה או תקבץ שיור המוגרע אל שיור השאר יסכים התשובה או תקבץ שיור המוגרע אל שיור הנשאר יסכים עם שיורה נגרע ממנו
פירוש: כשתגרע מספר ממספר ותרצה לדעת על ידי הגרעונות השלשה אם המעשה אמתי אמר שתגרע הנגרע ממנו ותשמור הנשאר וזה הנשאר יקרא שמור
והמשל: גרענו מן ח' אלפים תקמג' ד' אלפי' תקכ'ה היה הנשאר שלשת אלפים תש'יח כזו הצורה והנה הנגרע ממנו שהוא ג"ד ה"ח כשגרעונוהו ט"ט היה הנשאר ב' כתבנום חוץ לשטה ושמרנום א"כ אמר: וגרע המוגרע והשלך שיורו מן השמור ר"ל המוגרע שהוא ה"ב ח"ד גרענוהו ט'ט' היה שיורו א' ה ב ח ד א כתבנוהו ג"כ חוץ לשטה תחת הב' השמור השלכנו א' מב' הנשאר א' כתבנוהו למעלה מן הב' והא' חוץ לשטת הנשאר מן השאלה וגרענו הנשאר שהוא ח"א ז"ג בט"ט ונשאר א' מסכים עם הנשאר מן שתי השטות והוא המבוקש וזה כאשר היה הנשאר מן הנגרע ממנו יותר מן הנשאר מן המוגרע כמו בזה המשל שהשיור מן המוגרע ממנו ב' והשיור מן המוגרע א' והשלכנו א' מב' אבל אם היה בהפך שהיה השיור במוגרע יותר איך תגרע אותו מן המעט? לכן אמר המחבר: ואם היה פחות הוסף עליו הגרעון ר"ל אם היה השיור מן הנגרע ממנו פחות משיור המוגרע ולא תוכל לגרעו ממנו תוסף על שיור הנגרע ממנו שהוא הפחות הגרעון שהוא במשל הזה ט' כלומר הוסף עליו המספר שבו אתה גורע וא"כ תגרע ממנו שיור המוגרע
והמשל גרענו ה"ב ח"ד מן ג"ד ה"ח הנשאר ח"א ז"ג בצורה הזו גרענו בט"ט היה השיור הנגרע ממנו ושיור המוגרע ד' לא נוכל לגרוע ד' מב' נוסיף הגרעון שהוא ט' על הב' היו י"א גרענו ממנו ד' הנשאר ז' כתבנום למעלה חוץ לשטה וגרענו הנשאר למעלה מן הקו ט"ט הנשאר ז' הסכים עם הנשאר מן השטות וכן אלו היה הגרעון ז"ז היתה מוסיף ז' ואם ח"ח היית מוסיף ח' ויצא לך המבוקש אמר: או תקבץ שיור המוגרע שהוא ד' בזו הצורה עם שיור הנשאר ר"ל מן השאלה שהוא ז' יהיו י"א תוציא ממנו ט' הנשאר ב' מסכים עם שיור הנגרע ממנו וזה נוהג הן שיהיה השיור של הנגרע ממנו פחות או יותר ואם היו השיורים שוים כאלו היו המספרים על דרך משל כזו הצורה: גרענו אותם ט' יהיה הנשאר מן הנגרע ממנו א' וכן מן המוגרע ממנו א' גרענו א' מן א' הנשאר צפר כתבנוה למעלה גרענו הנשאר שעל הקו ט"ט לא נשאר כלום והוא צפר והוא צפר מסכים עם הנשאר מהשטות והקש על זה בשאר הגרעונות של ח"ח ושל ז"ז
אמר: ואמנם ההכאה נגרע המוכים ונכה הנשאר מן הא' מהם בשיור האחר ונגרע ומה שנשאר הוא התשובה נגרע היוצא מן ההכאה יסכים עם התשובה
פירוש: כשהכית מספר במיספר ותרצה לדעת אם היוצא אמתי על ידי אלה הגרעונות תגרע השני מספרים שהכית האחד באחר כל אחד לבדו ותדע שיורו
והמשל הכית מספר ז'ה"ב במספר ט'ו"ב שהם מאתים וחמשים ושבעה במאתים וששים ותשעה היוצא מן ההכאה ג' ג' א' ט' ו' גרענו ז'ה'ב' בגרעון ט' ט' הנשאר ה' וכן גרענו ט'ו"ב היה הנשאר ח' הכינו ה' שהוא שיור אחד המוכים בח' שהוא שיור השני היו מ' גרענום ט"ט נשאר ד' והיא התשובה גרעון ג"כ היוצא מן ההכאה שהוא ג"ג א' ט"ו בגרעון ט"ט נשאר ד' מסכים עם התשובה וכן בכל הדומה לזה וכן תעשה בגרעון ז"ז וגרעון ח"ח והקש על זה
אמר: וזה כולל בשלם ובשברים אחר הצעתם
פי': אמר כי מבחני הקבוץ והגרעון וההכאה הכל שוים בשלמים ובשברים אחר הצעת השברים והשברים והצעתם תדע הכל לפנים מן השער שלהם בג"ה יתעלה ויתברך שמו והמבחן שוה שתגרע כל הצעה כמו שעשינו בשלמים ויסכים הנשאר כי הצעת השברים ישוב המעשה בקבוצה וגרעונה והכאתה בשלמים
‫[25]אמר: ואמנם החילוק וקריאת השם תגרע היוצא ואשר עליו החילוק או אשר ממנו תקרא שם ותכה שיור האחד בשיור האחר ותגרענו והנשאר הוא התשובה וגרע המחולק יסכים עם התשובה וזה המעשה ג"כ כולל בשלמי' ובשברים אחר הצעתם
פי': לפנים בשער החילוק יתבאר כי החלוק על שני פנים חלוק הרב על המעט וזה נקרא חלוק סתם בשם זוגו והשני חלוק המעט על הרב ויקרא קריאת שם ובחילוק יש שלשה מספרים כמו בקיבוץ ובגרעון ובהכאה המספר האחד הוא הנקרא המחולק באופן הראשון ובשני נקרא הקרוי שם והמספר השני נקרא הנחלק עליו באופן הראשון ובשני נקרא אשר ממנו נקרא השם והמספר שלישי נקרא היוצא בשני פנים אלא שבראשון הוא או שלם או שלם ושברים ובשני הוא תמיד שברים
המשל לראשון נרצה לחלק מאתים על עשרה היוצא עשרים ומאתים הוא המספר המחולק עשרה הוא הנחלק עליו עשרים הוא היוצא ובאופן השני נרצה לחלק עשרים על כן היוצא בחילוק הוא שנקרא שם לעשרים מן הכ"ז ונאמר עשרים חלקים מכ"ז הנה עשרים הוא המחולק והוא הקרוי שם וכ"ז הוא אשר ממנו תקרא שם ועשרים חלקים מכ"ז הוא היוצא ואמר כי כשתחלק מספר על מספר ויצא היוצא בחלוק ותרצה לדעת אם הוא אמתי שתגרע היוצא ובמשל הזה של מאתים על עשרים הוא עשרה גרע אותו ט"ט הנשאר א' ותגרע ג"כ הנחלק עליו שהוא כ' ישארו ב' תכה הא' בב' יהיה ב' והוא התשובה א"כ גרע המחולק שהוא מאתים ישארו ב' יסכימו התשובה ובמשל השני שהוא עשרים על כ"ז והיוצא עשרים חלקים מכ"ז גרע היוצא שהוא עשרים חלקים מכ"ז ט"ט ישארו ב' וגרע הכ"ז שהוא הנחלק עליו או אמור אשר ממנו נקרא השם לא ישאר כלום הנה ב' היא התשובה וגרע המחולק שהוא עשרים ישארו שנים ויסכים התשובה וכן תעשה בחלוק השברים אשר הצעתם כמו שתדע בשער השברים ושם תדע כי ההצעה בשלמים ובזה המשל שהמשלנו פה באמרנו עשרים חלקים מכ"ז העשרים הם ההצעה לכן גרענום ט"ט ואלו רצית לומר במקום אמרך עשרים חלק מהעשרי' שני שלישים ושני שלישי שלישי שליש או ששה תשיעיות ושני שלישי תשיעית הרשות בידך ובזה ההצעה היא עשרי' תגרע אותם ט"ט ישארו שנים כמו שנזכר שיסכימו התשובה נשלם השער הג' ויבא שער הרביעי זה השער

Chapter Four: Multiplication

 השער הרביעי בהכאה והקרבת עניניו
ההכאה רמז על כפל אחד המספרים בשעור מה שבשני מן האחדים
והוא יחלק על שלשה: ההכאה הראשנה ההכאה בהעתק והשני בחצי ההעתק והשלישי בזולת ההעתק
פירוש ההכאה הנחתה בלשון [הקדש] ידועה וכאן היא מועתקת ורומזת על כפילת מספר פעמים רבות כמספר האחדים אשר במספר אחר
והמשל הכאת י"ח בט"ו
הרצון בזה לכפול י"ח פעמים שהם מספר האחדים שבמספר י"ח
כי אין האחדים הנזכרים פה הם מדרגות האחדים אלא כל אחד ואחד שבמספר יהיה מספרם עשרות או מאות או זולת זה מה שיהיה מן המספרים
כי מספר שכ"ג על דרך משל כל כך אחדים יש בו וכל כך פעמים וכפול המספר השני אשר נכה אותו בו זהו אמרו בשעור מה שבשני מן האחדים
ואמר כי יחלק לשלשה ר"ל שלשה מינים נבדלים במעשה ההכאה
אבל ההכאה והיוצא ממנה הכל אחד
החלק הא' יקרא הכאה בהעתק ר"ל שיכתוב תחלה מדרגות המספר האחד והשני לו בסדר ידוע ויתחיל להכות מדרגה אחת מן המספר האחד בכל מדרגו' המספר השני אח"כ יעתיק סדר המדרגות לתחת מדרגה אחרת זהו הנקרא העתק
והחלק השני בחצי העתק
והשלישי בזולת העתק
והוא יבאר אותם אחד אחד

Multiplication by shifting
אמר: החלק הראשון הוא הכאה בהעתק הוא המחיקה
Horizontal multiplication
 הנקרא שוכב
והוא שתניח המוכה והמוכה בו בשתי שטות ותהיה הראשונה שבמדרגות המוכה בו תחת האחרונה שבמדרגו' המוכה
  • \scriptstyle54\times45
 המשל רצינו להכות מספר נ"ד במספר מ"ה כתבנו אותם כך
  ה ד
ד ה  
הנה הראשנה שבמדרגות המוכה בו שהוא מ"ה והיא ה' היא תחת המדרגות האחרונה מהמוכה שהוא נ"ד והיא ה' גם כן
ונקרא זה המעשה שוכב בעבור ששתי שטות המספר שוכבות כאשר אתה רואה
  • \scriptstyle253\times1338
 ואם רצית להכות ר"נ'ג באלף של"ה ד"מ תכתוב אותם כך
      ב ה ג
א ג ג ח    
וכן כל הדומה לזה
אמ': והכה אותם בכלל המדרגות המוכה בו
ותתחיל בכתיבת היוצא משם הולך על השטה מתדבק בשטת המוכה
והעתיק המספר המוכה בו על הנחתו תחת המדרגה אשר תמשך לה היא קודם לה והכה אותה בכלל מדרגות התחתונה על דמיון הראשון
וכל מה שתכה במספר קבץ היוצא עם מה שעל ראש אותו המספר מן היוצא [26]קודם ותניחנו כמו שראוי
וזה המעשה כולל בענין ההכאה
calculation on the margins:
  • \scriptstyle2342\times3578
    7        
    6 9      
    5 6 6    
  3 3 · 3    
8 1 9 8 9 7  
7 · 7 7 8 6  
6 9 2 6 · 4 6
      3 5 7 8
2 3 4 2      
  • \scriptstyle534\times978
 פי': אומרו והכה אותה ר"ל המדרגה האחרונה שבמספר העליון הנקרא המוכה והיא ה' בזאת הצורה
ואמר שתכה אותה בכל מדרגות המוכה בו ר"ל בכל מדרגות המספר התחתון
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\times9=}}{\color{green}{45}}} 45    
   534    534
 978    978  
וזה כשתכה ה' בט' והתחיל בכתיבת היוצא שהוא מ"ה הולך על השטה מתדבק בשטת המוכה ר"ל שתכתוב האחדים מהיוצא שהם ה' על ט' והארבעים שהם ד' על שמאלך כראוי
\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{5\times7=}}3{\color{green}{5}}\\&\scriptstyle3+5={\color{green}{8}}\\\end{align}}  8    
45     455   
   534    534
 978    978  
וכן תכתוב היוצא מהכאת ה' הנזכרת בז' שהיוצא הוא ל"ה תכתוב הה' על הז' והשלשים שהם ג' לצד שמאלך על הט' והה'

ובזה המעשה אתה הולך להתדבק עם השטה העליונה שהוא המספר המוכה והג' שתכתוב על הה' צריך שתקבצם עם הה' ויהיו ח'

זהו מה שאמר א"כ וכל מה שתכה במספר קבץ היוצא עם מה שעל ראש אותו המספר מן היוצא קודם ותניחנו כמו שראוי ר"ל כמו שעשית עתה שקבצת הג' עם הה' שהיו קודם והיו ח' הנחתם שם
ואלו היו עד"מ י"א או י"ב היית כותב האחדים שם והעשרות לצד שמאלך אחר שהיית מקבץ עם אשר שם
וכל זה כמו שאתה רואה בצורה
    ב      
    א ב    
  ב ח ט    
  א ו ג ה  
ה ח ט א ב  
ב ד 0 ה ה ד
      ה ג ד
  ט ז ח    
    ט ז ח  
      ט ז ח
ואחר שתשלים להכות כל מדרגה האחרונה ההיא על כל המספר תעתיק המספר תעתיק המספר התחתון עד שתהיה המדרגה הראשנה שהיא ח' במשל תחת הג' העליונה שהיא נמשכת לאותה שהכית קודם ר"ל הה' ותשוב להכות המדרגה השנית בכל המספר וכן תעשה תמיד
ותמצא המספרים אשר למעלה מן הכל הוא היוצא מן ההכאה והוא בצורה הזאת ב'ה'ב'ב'ב'ה' וכן כל הדומה לזה
ודע כי זה המעשה נקרא המחיקה בעבור כי נהגו לכתוב בלוחות שועים ומשוחים בדרך שהנכתב בהם ימחק מחיקה שלא ישאר ממנה רושם כלל
ולכן כאשר יקבץ מספר עם מספר אשר על הראש כמו שנזכר במשל שקבצת הג' עם הה' והיו [ח'] מוחקים הה' וכותבים במקומה הח' וכן תמיד
וכשמעתיקים השטה התחתונה מוחקים אותה ממקום כתיבה שהיא ראשיתה עד סוף העליונה וכותבים אותה בדרך שתהיה הראשנה ההיא תחת השנית הקודמת לאחרונה מן השטה העליונה
ולכן כשישלם המעשה ימצאו האחדים שבמספר התחתון תחת האחדים אשר במספר העליון וכן העשרות תחת העשרות וכן כלם
ולמעלה לא ימצאו מן השטה העליונה כלום אבל ימצא במקומה היוצא מן ההכאה
ואלו היתה זאת הצורה בלוח היה הנשאר באחרונה כזו הצורה
וזה בנייר א"א לכתבו ולציירו ובעבור כי איננו נמחק ולכן תכתוב הכל זה למעלה מזה כמו שהוא באותה הצורה וכן תעתיק זה למטה מזה
והיותר נכון שלא לקבץ כלום אלא לכתוב כל היוצא במקום הראוי לו ולקבץ כל שיטה באחרונה כדין הקבוץ הכולל כמו שזה יעשה בהכאה שתזכר לפנים שהיא נעשית בלוח מחולק בבתים מרובעים ואלכסונים כי שם יכתבו כל המספרים היוצאים ואחר יקבצו יחד ויצא מהם המבוקש בהכאה
ולפי הדרך הזה תהיה הצורה בזה המספר הנזכר למעלה כזו הצורה
    ג ב    
    ב ו    
  ב ז ב ג  
  ג ד א ח  
ב ד 0 ה ה ד
      ה ג ד
  ט ז ח    
    ט ז ח  
       ח ז ט
ה ב ב ב ה ב
והיוצא נכתב למטה מן הכל
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\times9=}}{\color{green}{45}}} 45    
   534    534
 978    978  
ואתה רואה כי כשהכית ה' בט' היו מ"ה כתבת האחדים שהם ה' על הקו כנגד הט' והד' שהם מ' לצד שמאל כראוי
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\times7=}}{\color{green}{35}}}  3    
45     455   
   534    534
 978    978  
וא"כ הה' בז' היוצא ל"ה כתבת הה' שהם אחדים למעלה על הקו כנגד הז' והג' לצד שמאלך על הה' אשר על הט'
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\times8=}}{\color{green}{40}}}  34   
455    4550  
   534    534
 978    978  
וא"כ הכית הה' בח' היו מ' כתבת צפר שהיא מקום אחדים על הקו כנגד הח' והד' לצד שמאלך על הה' אשר כנגד הז'

ונשלמה ההכאה הה' שמת עליה נקודה

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times9=}}{\color{green}{27}}}  27   
 34     34   
4550   4550  
   534    534
  978    978 
והעתקת ח'ז'ט' לצד ימינך עד שהיתה ח' תחת ג'

הכית ג' בט' היה כ"ז כתבת הז' שהם אחדים כנגד הט' על הקו על הה' ועל הד' והעשרים שהם ב' לצד שמאלך על הה' ועל הג'

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times7=}}{\color{green}{21}}}   2   
 27     27   
 34     341  
4550   4550  
   534    534
  978    978 
עוד הכית ג' בז' היוצא כ"א כתבת הא' שהיא אחדים על הקו כנגד הז' על הצפר והכ' שהיא ב' על הה' והד' והז' לצד שמאלך
  2    \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times8=}}{\color{green}{24}}}   2   
 27     272  
 341    341  
4550   45504 
   534    534
  978    978 
הכית הג' בח' היו כ"ד כתבת על הקו הד' שהם אחדים כנגד הח' והכ' שהיה ב' על הצפר מעל הא'

ונשלמה הכאת הג' תעשה עליה נקודה

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4\times9=}}{\color{green}{36}}}   3   
  2      26  
 272    272  
 341    341  
45504  45504 
   534    534
   978    978
ותעתיק ח'ז'ט' לצד ימינך עד שתהיה הח' תחת הד' והז' תחת הג' והט' תחת הה'

ותכה ד' בט' יהיו ל"ו תכתוב הו' שהם אחדים כנגד הט' על הקו על הצפר ועל הא' ועל הב' והשלשים שהם הג' לצד שמאלך על הקו על הה' וד' וז' וב'

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4\times7=}}{\color{green}{28}}}   32  
  26     26  
 272    272  
 341    3418 
45504  45504 
   534    534
   978    978
עוד הכה הד' בז' יהיו כ"ח תכתוב הח' שהם אחדים כנגד הז' למעלה מן הקו על הד' והעשרים שהם ב' על הצפר וא' וב' וו' לצד שמאלך
  32   \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4\times8=}}{\color{green}{32}}}   32  
  26     26  
 272    2723 
 3418   3418 
45504  455042
   534    534
   978    978
הכית ד' בח' היו ל"ב כתבת הב' שהם אחדים כנגד הח' למעלה מן הקו והשלשים שהם ג' לצד שמאלך על הד' והח'
ונשלם כל המעשה [27]בהכאה
  32   \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2}}\longrightarrow {\color{blue}{2}}}   32  
  26     26  
 2723   2723 
 3418   3418 
455042 455042
   534    534
   978    978
     2
א"כ תתחיל לצד ימינך למעלה מן הקו תמצא ב' לבדם תכתוב אותם תחת הקו
  32   \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4+8+3}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{5}}}   32  
  26     26  
 2723   2723 
 3418   3418 
455042 455042
   534    534
   978    978
     2     52
תכנס בשורה השנית תמצא ד' וח' וג' תקבצם יהיו ט"ו תכתוב ה' למטה לצד שמאלך מן הד' וישארו בידך עשרה שהם א'
  32   \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1+2+6+2+}}{\color{green}{1}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}}   32  
  26     26  
 2723   2723 
 3418   3418 
455042 455042
   534    534
   978    978
    52    252
תכנס בו בשורה השלישי' תמצא א' וב' וו' וב' וא' שבידך תקבץ הכל יהיו י"ב תכתוב שנים אחר הה' והד' למטה מן הקו השפל לצד שמאלך וישארו בידך עשרה
תכנס בשורה הרביעית

וכן עד תשלום כל השורות ע"ד הקבוץ יצא לך המבוקש

ואנחנו נהגנו לעשות צורה מקוים כדמות מגדל למעלה ומדרגות למטה המדרגות להעתקה והמגדל להכאה וזו צורתו במשל הנזכר כדי שלא יתערבו המספרים וההעתקות
ג ב
ב ו
ב ז ב ג
ג ד א ח
ד ה ה 0 ד ב
      ה ג ד
ט ז ח    
  ט ז ח  
    ט ז ח
ותמיד כאשר תכה מספר במספר תעשה אחדים או הצפר על ראש המדרגה שתכה בה ר"ל אשר בשטה התחתונה והעשרות לצד שמאלה
ואם לא היו עשרות תכתב גם כן צפר
ואם תכה בצפר תכתוב שתי צפרות אחת במקום האחדים ואחת במקום העשרות כדי שתמיד תכתוב שתי מדרגות כי בזה הדבר יותר שוה ויותר שמור מן הטעות וזה ראוי בכל דרכי ההכאה
ולפנים תדע כי כשתכה מספר בא' לא יוסיף ולא יגרע
וכשתכה מספר בצפר היוצא צפר וראוי לכתוב בכל זה שתי צפרות כמו זכרתי להשמר מן הטעות
ואם תכה צפר בכל המספרים כל כך צפרות תכתוב כאלו הַיִתַ מכה מספר במספר
Vertical multiplication
 אמר: וממנו מין אחר יודע בעומד
והוא שתשים שטות המוכי' עומדים ותהיה הראשנה שבמדרגות המוכה בו נכה המדרגה האחרנה מן המוכה ותעשה בהם כמו שעשית בשוכב מהעתק ומחיקה
פי': אין בין זה ובין הדרך הראשון אלא שהמספרים בראשון שוכבים והיוצא יהיה למעלה במקום המספר המוכה ובזה הדרך המספרים עומדים
והמספר היוצא יהיה ג"כ לימין או לשמאל במקום המספר המוכה ג"כ
כי אתה תכתוב אותם במשל הנזכר למעלה ד'ג'ה' וח'ז"ט כזו הצורה
  • \scriptstyle534\times978
  ד
  ג
ח ה
ז  
ט  
או כזו הצורה
ד  
ג  
ה ח
  ז
  ט
וכשתהיה ההכאה כתובה בלוח מן הלוחות השועים שתוכל להעתיק ולמחוק יצא באחרנה כזו הצורה
ח ב
ז ה
ט ב
  ב
  ב
  ה
או כזו הצורה
ב ח
ה ז
ב ט
ב  
ב  
ה  
אבל כשתכתוב בנייר שלא תוכל למחוק הנה יצאו ההכאות כלם לצד ימין או לצד שמאל כפי מה שתרצה
וההעתקות לצד השני
ואנחנו קוראים זה בעל הכנפים והא' המגדל
ויבא בעל הכנפים כזו הצורה
  • \scriptstyle534\times978
        ב
    ג ח ד
ב ו ב א 0
ג ב ז ד ה
    ב ג ה
        ד
ד
ג
ה
 
 
 
    ח
  ח ז
ח ז ט
ז ט  
ט    
     
ב
ה
ב
ב
ב
ה
ואם תרצה לעשות שני אלה המינים בלא העתק
תכתוב המספרים בשוכב כהלכתם
ותתחיל להכות המדרגה האחרונה מהמוכה בכל מדרגו' המוכה בו
ותכתוב היוצא כמו שכתבת בנזכר למעלה
או תרשום נקודה על השורה השנית אשר למעלה מן הקו לסימן כי שם תתחיל לכתוב העשרות כשתכה המדרגה השנית מן המורה במספר המוכה בו
ומשם תלך על סדר עשרות ואחדים כמו שעשית בראשונה
ותרשום נקודה בשורה שלישית כי שם תתחיל לכתוב עשרות כשתכה מדרגה שלישית מן המוכה
וכן עד שתשלים ההכאה
וכן ג"כ תעשה בעומד בעל הכנפים ובכל הדומה לזה וזה יותר נקל ויותר נאות

Multiplication by partial shifting

 אמ': והחלק השני והוא הכאה בחצי העתק
ולא יצוייר אלא בשני מספרים מתדמים
וצורתו שתניח א המספרים מתדמים בשטה ותשים בין מדרגותיו סימנים כנקודות
ותכה המדרגה האחרנה בנפשה ותכתוב היוצא למעלה ממנו
עוד תכפול אותה ותעתיקנה במקום הסימן אשר קודם לה
א"כ תכה המדרגה השנית הקודמת לה במועתק ובנפשה ותרשום היוצא מכל הכאה על ראשה
עוד תכפול אותה מדרגה שהכית כמו שעשית תחלה
עוד תעתיקנה במקום הסימן הקודם לה ותעתיק המוכפל תחלה כראוי לו
והכה מה שבמדרגה אשר קודם הסימן שהמועתק במקומו בכלל המוכפל ועוד בנפשה כמו שעשית בתחילה
ולא תסור לעשות כן מהכפילה וההעתק וההכאה עד שתבא על כל השטה
פי': גם זה הדרך על דרך המחיקה
ואמר כי הוא על שני מספרים דומים כמו המרובע כאלו תאמר ת"שנ"ב בת"שנ"ב
  • \scriptstyle257\times257
 אמר שתכתוב אחד מהם בשטה אחת ותניח ריוח בין מדרגה למדרגה לשום שם סימן נקדה כזו הצורה
  ג      
ב ב ה    
ט ד ה 0 ד
ב ד ה 0 ז
    ה    
    ה    
ו ו 0 ד א
ואמר שתכה המדרגה האחרונה שהיא במשל ב' יצא מההכאה ד'
אמר שתכתוב זה היוצא למעלה מן הב'
א"כ אמר שתכפול אותה ר"ל הב' תהיה ד' ותעתיקנה במקום הסימן אשר קודם לה ר"ל תכתבנה במקום הנקודה שקודם הב' ותמחוק הב'
א"כ אמר שתכה המדרגה השנית שהיא [28]ה' במשל במועתק שהוא ד' יהיו עשרים ובנפשה יהיו כ"ה
ואמר שתכתוב היוצא מכל הכאה על ראשה תכתוב במשל העשרים על הד' ר"ל תכתוב על הד' צפר וב' על הד' אשר על הקו לצד שמאל
כי כן הוא מקומם האחדים על ראש המוכה בו והעשרות לשמאל
וכן תכתוב הכ"ה שהם מהכאת הה' בנפשה על ראשה ה' שהם האחדים ועל הצפר שעל הקו ב' שהם עשרות
אמר עוד תכפול אותה המדרגה שהכית שהיא ה' יהיו עשרה כמו שעשית בד' הראשון ותעתיקנה במקום הסימן שהיא הנקו' אשר קודם הה' תעשה צפר במקום הנקודה וה' במקום הה' ותמחוק הה'
א"כ תעתיק המוכפל תחלה כראוי לו ר"ל תעתיק הד' אל מקום הה' תמצא שם אחד תחברנה עם הד' יהיו ה' והצפר תשאר במקומה
וכן בכל זה המעשה כשתעתיק תחבר האחדי' המועתקים עם העשרות אשר לימין והעשרות אינם כי אם אחד תמיד
ואולם אם היתה במוכפלת הראשו' עשרה כאלו תאמר שהיה המוכפל הראשון י"ד הנה היית מעתיק הד' ומחברם עם הא' כמו שעשית אבל העשרה אשר לשמאל קודם הד' היית מעתיק הא' ג"כ במקום הד'
ועוד נביא משל שני יהיה בו זה
ואחר שהעתקת הד' במשל וחברתו עם א' והיו ה' אמר שתכה מה שבמדרגה אשר קודם הסימן והיא במשל ז'
ואמר: הסימן שהמועתק במקומו ר"ל ששם הצפר במקום הנקו'
ואם היה במוכפל אחדים היו שם כתובים מועתקים במקום הצפר ובמשל השני תמצא זה
ואמר שתכה אותה בכלל המוכפל ועוד בנפשה כאשר עשית תחלה
והנה תכה ז' בה' שהוא כלל המוכפל יהיו ל"ה תכתבם על ראש הה' על הקו תכתוב הה' שהם אחדים על הה' אשר על הקו והשלשים שהם ג' לצד שמאל על הצפר והב' שעל הקו
עוד תכה אותה בנפשה הז' יהיו מ"ט כתוב הט' על הראש הז' על הקו וארבעים שהם ד' לצד שמאל על הקו כנגד הצפר
ונשלם המעשה תקבץ מה שעל הקו יהיו ט'ד'0'ו'ז' והוא המבוקש
ואמר שתעשה כן תמיד הכאה וכפילה והעתקה תהיינה המדרגות מה שתהיינה
  • \scriptstyle763\times763
 עוד משל אחר תכתוב אותו כזו הצורה:
    א      
  ב ג      
  ו ג ה    
ט ו  ו ד ט ד
  ז ד ו ב ג
  א   א    
    א ה ב  
ומה שנכתב במשל הראשון ובמעשהו תבין איך המעשה בזה
וזה המעשה כמו שכותבים אותו בלוח וממחקים וכותבים על מקום המחק
ובנייר אי אפשר זה אלא כמו שתראה וכן מקבצים ומוחקים על הקו וישאר באחרנה היוצא מן ההכאה למעלה מן קו
וזה הדרך מן העתקת המוכפל וקבוץ האחדים עם העשרות אשר לימין בעת ההעתקה תמצא אותו מספר הטוב בלקיחת השרשים בה"י

Multiplication without shifting

 אמר: והחלק השלישי הכאה בלא העתק
יימצא על מינים רבים
Gelosia
 ומהם הכאה בלוח
וצורתו תעשה שטח מרובע ותחלק אותו בבתים ברוחב ובאורך בשעור מה שבשני המספרים המוכים מן המדרגות ותעשה אלכסונים הולכים בכל בתיו מן הימין השפל אל השמאל העליון
ותניח המוכה על ראש המרובע ותקביל כל מדרגה מן המספר נכח
עוד תניח המוכה בו על שמאל המרובע או על ימינו יורד עמו ותקביל כל מדרגה ממנו בית ג"כ
א"כ תכה מדרגה אחר מדרגה מן המוכה בכל מדרגות המוכה בו
ותשים היוצא לכל מדרגה בבית אשר תתחלק לה עליו
תשים האחדים למעלה מן הקוטר והעשרות למטה
א"כ תתחיל בקבוץ מן הזוית הימנית העליונה ותקבץ מה שבין הקטרים בלא מחיקה
ותניח כל מספר במדרגתו
ותשא עשרות כל מקובץ אל הקטר אשר אחריו תחברם בקבוץ עם מה שבו
ומה שיתקבץ לך הוא היוצא
  • the most accurate method of multiplication
 פי': זה הדרך הוא היותר נכון ויותר נאות שבכל דרכי ההכאה
  • it is unlikely that a mistake will occur and if an error is indeed made, it can be located immediately
 כי הוא רחוק שיפול בו טעות ואם יפול יודע מקומו מיד
  • it does not require shifting and erasing
 ואין בו לא העתקה ולא מחיקה והוא כדמות טבע
ונקרא הלוח וצורתו שתעשה תמונה בעלת צלעות ארבע זויותיה ותחלק אותה לבתים מרובעים שוים יהיה מספר הבתים באורך התמונה כמספר מדרגות המספר האחד מן המספרי' המוכים וברוחב יהיה מספר הבתים כמספר מדרגות המספר השני
  • if the numbers of ranks of both multiplicands are equal - the shape of the table is square
 ואם היה מספר מדרגות האחד כמספר מדרגות השני
  • \scriptstyle257\times269
 כאלו תאמר שתרצה להכות ז'ה"ב במספר ט'ו"ב תהיה התמונה מרובעת
AḤDAB - Gelosia 2 - I.png
AḤDAB - Gelosia 1 - I.png
  • if one multiplicand has more ranks than the other - the shape of the table is rectangle
 ואם היה המספר הא' מדרגותיו יותר מהאחר יהיה המרובע ארוך
  • \scriptstyle6543\times87
  • \scriptstyle6543\times542
 כאלו רצית להכות מספר ג"ד ה"ו במספר ז"ח או במספר ב'ד"ה הנה תצייר התמונות כן: מרובע כזו הצורה
AḤDAB - Gelosia 2 - III.png
AḤDAB - Gelosia 1 - III.png
AḤDAB - Gelosia 2 - II.png
AḤDAB - Gelosia 1 - II.png
  • \scriptstyle245\times9
AḤDAB - Gelosia 2 - IV.png
AḤDAB - Gelosia 1 - IV.png
וכן כולם
כפי המדרגות תעשה הבתים המרובעים אחרי כן תחלק כל בית קטנה המרובעת באלכסון מן הזוית הימין השפל לזוית השמאלית העליונה כמו שאתה רואה בכל אלה הצורות
הנה כל בית קטנה משותפת לשני מספרי'
כי הראשונה אשר תחת הז' במרובע משותפת עם הט' וכן אשר תחת ה' משותפת עם הט' ואשר לפני ו' משותפת עם הז' אשר למעלה ואשר אצלה משותפת עם הב' אשר למעלה ואשר אצלה משותפת [29]וכן כלם
ואמר שתניח א' המספרים על ראש המספרים

כמו שאתה רואה זה"ב על ראש המרובע
וכן ג"דה"ו על ראש המרובע הארוך
וכן ה'ד"ב

ואמר שתעשה המספר השני על ימין התמונה

כמו שאתה רואה ט'ו"ב במרובע
או ב'ד"ה בארוך

והוא יורד כי האחדים למעלה עם האחדים אשר על הראש וזה לא זכר המחבר ר"ל שלא זכר להשתדל שיהו אחדי המספר האחד עם אחדי המספר השני
ואם תרצה לעשות זה יורד לשמאלך תהפך אשר על הראש עד שיהיו האחדים עם האחדים
אבל הנהוג תמיד הוא לשום אותו לצד ימין כמו שהוא בצורות
ותעשה בדרך שכל מדרגות המספר תהיה מקבילה לבית אחד כמו שאתה רואה בצורות הן על [ה]ראש הן על הצד הימין
ותתחיל להכות באיזו מדרגה תרצה עם איזו מדרגה תרצה

ותכתוב היוצא בבית המשותפת בין אותם השתי מדרגות שהכית
האחדים תכתוב למעלה מן הקטר שהוא האלכסון
והעשרות למטה מן הקטר

אמנם הראוי להתחיל כסדר ותכה אחדי היורד עם אחדי המספר אשר על ראש המרובע ותשים היוצא בבית אשר תחתיו

אחר תכה בעשרות אשר על הראש ותכתוב בבית אשר תחתיו
וכן עד סוף מדרגותיו
א"כ תשוב להכות השני' שביורד בכלם
וכן עד שתשלים ההכאה

ואמרו בבית אשר תחלקנה ר"ל הבית המשותפת לשתי המדרגות
א"כ אמר שתתחיל הקבוץ מן הזוית הימנית העליונה ותקבץ מה שבין שני הקטרים בלא מחיקה
הנה תמצא במרובע הראשון במשל ג' תכתוב אותה תחת המרובע
תכנס בקוטר השני תמצא ב'ו'ה' תקבצם יהיו י"ג כתוב ג' תחת המרובע
והכנס בעשרה יהיו א' בקטר השלישי ד ד 0 ד ח תקבצם על הא' יהיו כ"א תכתוב א' תחת המרובע
ותכנס בעשרים שהם ב' בקטר הרביעי
וכן עד תשלום כדרך הקבוץ וכמו שעשית בשורות במגדל והיוצא הוא המבוקש
Horizontal multiplication
 אמר: ומין ממנו נקרא שוכב
והוא שתניח המוכים בשתי שטות נכחיות
ותכה כל מדרגה מאחד מהם בכל מדרגות האחר
ותשים היוצא במקום שיחייבהו סדר המוסדרים ויקרא ההכאה במוסדים
פי' אמרו נכחיות ר"ל האחדים תחת האחדים והעשרות תחת העשרות וכן כל המדרגות כזו הצורה
  • \scriptstyle257\times269
    ב ח    
    א 0    
  ד 0 ד ה  
  א ג ד ב  
ג ו  ד א א 0
      ב ה ז
       ט ו  ב
  ו ט א ג ג
ותכה כל מדרגה מן האחד מהם
המשל תכה הז' שבשטה העליונה תחלה בט' וא"כ בו' וא"כ בב'

וכן הב' תחלה בט' וא"כ בו' וא"כ בב' וכן בכל הדומה

ואמר שתשים היוצא במקום שיחייבהו סדר המוסדים וכבר ידעת סדר המוסד בתחלת הספר כי מוסד האחדים א' ומוסד העשרות ב' ומוסד המאות ג' וכן ישוב חלילה
ולכן כשהיוצא מן ההכאה אחדים תשים אותה במדרגה הראשנה

ואם עשרות בשנית וכן כלם

והדרך אשר לנו בזה הוא שתזכור תמיד העקר שכתבתי לך למעלה שכל מספר שתכה תשים היוצא שתי מדרגות
ואפילו לא יהיה כי אם צפר תכתוב שתי צפרות אחת במקום אחדים ואחת במקו' עשרות
ואפילו יהיה המספר אחדי' תכתבם וצפר אחריהם אע"פ שאינה צריכה
כ"ש כשהמספר עשרות שתכתוב צפר במקום האחדים והעשרות במקומם
ואחר שתשמור זה העקר קח לך זה כלל: שכל מדרגה שתכה אותה בשאר המדרגות תתחיל להכותה באחדי המספר השני ותשים תמיד האחדים על ראשה על הקו והעשרות על המדרגה אשר אצלה לשמאל ותשים נקודה על העשרות

א"כ תכה אותה בעשרות ותשים האחדים על העשרות שתכתוב אותה על הקו במקום הנקדה והעשרו' על המדרגה השלישית על הקו לשמאל ועליהם נקדה

והנקודות הם כדי שתדע באיזה מקום אתה עומד מן הכתיבה
וכשתשלים להכות המדרגה הראשנה תשים עליה קו קטן להורות שנשלם עניינה וכן תעשה בכל מדרגה משאר המדרגו'
והמשל בצורה הכית ז' בט' היו ס"ג כתבת הג' על ראש הז' וכתבת ו' על הה' לשמאל ועליה נקדה

א"כ הכית ז' בו' יהיו מ"ב תכתוב הב' על הו' והד' על המדרגה השלישית לשמאל
א"כ הכית ז' בב' יהיו י"ד כתבת הד' על הד' על הקו והא' לשמאל
ונשלמה הכאת הז' תעשה עליה קו קטן

ותשוב תכה הה' בט' יהיו מ"ה תכתוב הה' על ראשה ועל הו' והב' אשר שם ותכתוב הד' לשמאל על הד' והד' אשר שם ותעשה עליה נקודה

תכה הה' בב' יהיו שלשים תכתוב על הד' והד' במקום הנקדה צפר וג' לשמאל על הא' ועליה נקדה אשר שם
תכה הה' בב' יהיו עשרה תכתוב צפר על הג' שעליה הנקדה ותכתוב א' על הקו
ונשלמה הכאת הה' תעשה עליה קו קטן

ותשוב תכה הב' בט' יהיו י"ח כתוב הח' על ראשה והעשרה שהוא לשמאל ועליה נקדה

תכה הב' בו' יהיו י"ב תכתוב הב' על הא' שעליה הנקדה והעשרה שהוא אחד לצד שמאל על הא' אשר על הקו ותשים נקדה
תכה הב' בב' יהיו ד' כתוב אותם על הנקודה ואחריהם לצד שמאל צפר על הקו אע"פ שאינו צריך כדי לשמור הכלל שנתתי לך
ונשלמה ההכאה

אחר כן קבץ כל שוכב וכתוב למטה כמו שהורתיך במה שעבר במגדל ובכנף ובלוח כי בזה המעשה [30]אחד יהיה המעשה [המקובץ] ג' ג' א' ט' ו'
וזה הדרך תעשה בכל ההכאות שתכתוב האחדים לפניהם [א"כ על] העשרות תכתוב אחדים ולפניהם עשרות וכן תמיד
ואם תרצה כתוב המוכים המדרגה הראשנה של השפל תחת האחרנה שבעליון כמו שעשית במעשה מחיאה הרשות בידך והוא יותר נאות
Vertical multiplication
 אמ': וממנו מין אחר הנקרא העומד
והוא שתרשום שני קוים עומדים וביניהם ריוח
ותכתוב המוכים על צדיהם
ותכה מדרגה אחר מדרגה מאחד מהם בכלל [ה]מדרגות [ה]אחרות
ותשים היוצא בריוח בין הקוים במקום שיחייבהו סדר המוסדים
פי': זה והקודם הכל א' אלא שתכתוב וההכאה באמצע כזו הצורה:
  • \scriptstyle257\times269
 
ט
ו
ב
 
 
 
ו ט א ג ג
        ג
    ה ב ו
ח 0 ד ד ד
ב א 0 ג א
    ד א א
        0
 
ז
ה
ב
 
 
 
המקובץ שים אותו למעלה מן הקוים
והמחבר כתב מינים אחרים בהכאה ואינם כוללים רק במספרי' ידועים כמו בשני מספרים דומים בעצמם ובמספר מדרגותיהם
ומהם יותר קשים במעשיהם מן הכוללים
ולכן הנחתים כי לא ראיתי בם תועלת בחכמה הזאת ודי בדרכים שכתבתי
ואפי' באחד מהם כל אחד מהם מגיע אל תכלית המבוקש

Multiplication of numbers that have zeros in some of their ranks
אמ': ואם הכית מספר בעל צפרות במספר בעל צפרות
הכה קצתם בקצתם שלולים מן הצפרות
א"כ תכסה היוצא במספר כלל הצפרות והיוצא הוא המבוקש
פי': כשתהיינה במספר כל צפרות במקום האחדים והעשרות והמאות או בקצתם זו אחר זו ר"ל אחת במקום אחדים ואחת במקום מאות או יותר זו אחר זו וכן תהיינה במספר השני כראשון או צפרות יותר או פחות
  • \scriptstyle230\times1200
 כמו עד"מ רצית להכות מאתים ושלשים באלף ומאתים
הנה המאתים ושלשים יש בהם צפר אחת כזה 0'ג'ב'
ואלף ומאתים בו שתי צפרות כזה 00ב'א'
הכה המספרים קצתם בקצת והם ג"ב במספר ב"א יהיה היוצא ר'ע"ו
תכסה אותם ר"ל תשים בתחלתם מנין הצפרות שהם במספרים והם שלש צפרות יהיה המספר כן 000ו'ז"ב והוא המבוקש
  • \scriptstyle10000\times200
 ואם היו עשרת אלפים שהוא כן 0000א' במאתים שהוא כן 00ב
תכה ב' בא' יהיה ב' והצפרות ששה והוא כן 000000ב' וכן כל הדומה לזה
אמ': והיותר שתהיינה מדרגות היוצא קיבוץ מדרגות המורים
פי': כשתכה מספר במספר א"א שתהיינה מדרגות היוצא יותר ממספר מדרגות שני המספרים מקובצים
ואפשר שתהיינה פחות מדרגה אחת
  • \scriptstyle55\times47
 והמשל כשתכה נ"ה במ"ז עד"מ שהם ד' מדרגות יהיה היוצא ה'ח'ה'ב' גם כן ד' מדרגות
  • \scriptstyle25\times23
 ואם תכה כ"א בכ"ג שהם ד' מדרגות יהיה היוצא ה'ז'ה' שהם ג' מדרגות
וזה אחד ממבחני ההכאה כי אם יצאו לך מדרגות יותר מקבוץ מדרגות המוכים או יפחתו מדרגות היוצא יותר ממדרגה אחת דע כי שגגת ושוב ובחן

Checking - Multiplication

 אמר: ומבחן ההכאה
כשיתחלק היוצא על אחד המוכים יצא השני
פי': כשתרצה לבחון אם היוצא מן ההכאה אמת תחלק אותו היוצא על אחד מן המספרים אשר הכית איזה מהם תרצה יצא בחלוק המספר השני
המשל: הכית ז'ה'ב' במספ' ט'ו'ב' היה היוצא ג'ג'א'ט'ו'
חלק ג'ג'א'ט'ו על ז'ה'ב' יצא בחלוק ט'ו'ב'
או חלק ג'ג'א'ט'ו על ט'ו'ב' יצא ז'ה'ב' והקש על זה
אמר: ואין מנוס למבקש משמירת המֵירוץ וידיעתו ומן הצריך למבקשו בחכמה הזאת שישמור המרוץ וידיעתו
פירוש: המירוץ הוא הדבר אשר ינהג תמיד בדבר ומצוי בו
והמרוץ בהכאת המספרים הוא הכאת כל מספר מן התשעה מספרים הנוהגים תמיד בזאת החכמה בכל אחד מחבריו
'כי כשתכה מספר גדול יהיה גדול מה שיהיה במספר אחר גדול ג"כ כאלו תאמר הכאת א'ב'ג'ד'ה' במספר ה'ו'ז'ח'ט וכדומה לזה
ובכלל יותר מאחדים כאלו תאמר כ"ב במספר ט"ו אינך אומר כ"ב וט"ו הם כך אלא תכה ב' בה' וב' בא'
וכן במספר הגדול לא תאמר א'ב'ג'ד'ה' בו'ז'ח'ט' אבל תאמר א' בה' וה' בד' וז' בח' וכן כלם
והכלל כי לא תכה לעולם אלא אחדים באחדים
והיותר הוא שתכה הוא ט' בט' כי אחרי כן העשרה הם א' כמו שידעת
ולכן צריך התלמיד שידע על פה ושיהיו שגורים תמיד הכאת אלה המספרים אחד עם אחד כדי שיעשה מלאכתו במהירות
זהו אמרו שמירת המרוץ ר"ל שישמור על פה הכאת אלה המספרים שהם נוהגים תמיד
ועתה יפרש המרוץ
אמ': והוא שתכה מספר בא' או תכה א' בו אותו המספר על עניינו לא יכפל
פי': אמרו והוא ר"ל המרוץ והתחיל בהכאת האחד ואמ' כי כשתכה האחד באי זה מספר שיהיה לא יוסיף ולא יגרע וכן כשתכה המספר בו ר"ל באחד כי כשתכה א' בב' הם ב' ואם בג' הם ג' ואם בד' הם ד' וכן כלם וזה כדמות ראיה שהאחד אינו מספר
אמר: ושנים בשנים ד' וכמה שאחרי הם בתוספת שני'
פי': שנים בשנים הם ד' ובמה שאחריו על סדר המספר תוסיף ב' כי כשתכה ב' בג' יהיו ו' הנה התוספת ב' על ד' וב' בד' ח' התוספת ב' על הו' וכן כלם ועל דרך זה יזכיר המחבר שאר המספרים
אמ': ושלשה בג' תשעה ומה שאחריהם בתוספת ג"ג וארבעה בארבעה י"ו ומה שאחריהם בתוספת ד"ד והנה כ"ה ומה שאחריהם בתוספת חמשה חמשה וו' בו' ל"ו ומה שאחריהם בתוספת ו' ו' וז' בז' מ"ט ומה שאחריהם בתוספת ז' ז' וח' בח' ס"ד ומה שאחריהם בתוספת ח"ח וט' בט' פ"א ומה שאחריהם ט"ט ועשרה בעשרה מאה
‫[31]פירוש כל אחד מאלו כמו שפירשנו בשנים ומה שאמר עשרה בעשרה לומר כי התשעה אחדי' ישוב לאחד כי העשרה א' והמאה אחד ר"ל כי הכל יכתב אחרי כן ויורה בדרך האחדים ועשרה בעשרה כאלו אמרת אחד באחד ותכתוב הצפרות והנה לך חצי לוח לדעת אלה המספרים הנקראים מרוץ וכן תעשה: כל ב' מספרים שתרצה לדעת הכאתם בקש האחד למעלה מן הלוח אי זה שתרצה מהם והשני בירידת הלוח מדרגה אחר מדרגה ר"ל לימין הלוח ותרד מלמעלה למטה במספר האחד ותלך מימין מן הימין לשמאל במספר השני ובבית שיעשו הירידה וההליכה שם היוצא מהכאת ב' המספרים וכל המספרים שאצל התשעה מספרים היורדים כלם מרובע' והמספרים הם שרשים ר"ל כי אצל הא' א' והוא מרובע הא' והא' שרשו ואצל הב' ד' והוא מרובע הב' והב' שרשו ואצל הג' ט' והוא מרובע הג' והג' שרשו וכן כלם עד שאצל הט' פ"א והם מרובע הט' והט' שרשם וכשתוסף על כל מספ' מלה צפר ועל אשר לו שתי צפרות יהיה המספר שרש ואשר אצלו מרובע
והמשל תוסיף על א' צפר יהיו עשרה תוסיף על הא' אשר אצלו שתי צפרות יהיו מאה הנה העשרה יהיו שרש למאה והמאה מרובעו וכן אם תוסיף על הב' צפר יהיו עשרי' ותוסיף על הד' אשר אצל הב' שתי צפרות יהיו ד' מאות והנה עשרים שרש ד' מאות והד' מאות מרובע וכן כלם ואם תוסיף במספרים שתי צפרות ותוסיף כאשר אצלם כפל ר"ל ד' צפרות יהיה המספר שרש ואשר אצלו מרובעו וכן אם תוסיף ג' צפרות תוסיף באחר ששה ויהיה שרש ומרובעו
והמשל אם שמת עם הג' שתי צפרות היו ג' מאות תשים עם הט' אשר אצלם ד' צפרות יהיו תשעים אלף הנה שלש מאות שרש תשעים אלף ותשעים אלף מרובעם וכן אם שמת ג' צפרות יהיה הג' ג' אלפים תשים עם הט' ששה צפרות יהיו הט' תשעה אלפי אלפים 0 0 0 ג / 0 0 0 0 0 0 ט וכן כלם ודע כי בהכאת ט' בשאר המספרים יש סימן לדעת אותם מה שאין כן בשום אחד מהאחרים והסימן הוא כי כל היוצא מהכאת תשעה כשתכתב אותו ותקבץ על דרך האחדים יהיו תשעה
[והסבה בתוספת הצפר הוא מפני שכשתכה השרש בעצמו עם צפר יוצא צפר ר"ל אם היה שם צפר אחת היה יצא בהכאה ב' צפר ויוכה בשרש בעצמו הנה בהכרח הוא שיוצא ד' צפר כמו זה:]
והמשל ב' בט' י"ח תכתבם ח' א' תקבץ ח' א' יהיו ט' ושלש בט' יהיו כ"ז תכתבם ז"ב תקבץ ז' ב' הם תשעה וד' בט' הם ל"ו תכתבם ו' ג' תקבץ ו' ג' שניהם הם ט' וה' בט' הם מ"ה תכתבם ה"ד תקבץ ה' עם ד' יהיו ט' וכן כלם עד ט' בט' הם פ"א תכתבם א"ח תקבצם א' וח' יהיו ט' ושלום על ישראל אמן ואמן נשלם שער מין ההכאה בעזרת מקדי' רפואה למכה

Chapter Five: Division

 השער הה' בחלוק
אמר: החילוק הוא התכת המחולק אל חלקים שוים יהיה מספרם כדמות מה שבמחולק עליו מן האחדים
וירצה בחלוק יחס אחד המספרים מן האחר
וההמון ירצו בחלוק בסתם ידיעת מה שראוי לאחד השלם מאחדי המחולק עליו מן כלל המחולק
פירו': רשם המחבר מה הוא החלוק בג' רשמים השני' לפי הענין והשלישי לרצון ההמון ר"ל לפי המפורסם
וכשתחלק מספר על מספר כאלו תאמר עד"מ מאה על עשרה המאה יקראו המספר המחולק והעשרה יקראו המספר המחולק עליו
הרושם הראשון הוא מה שאמר החלוק הוא התכת המחולק
שההתכה סוג וענין ההתכה הנה על דרך העברה והרצון פירוד בדיבור דבר שהוא מחובר בדבר
כי חכמת המספר דבר ביארתי שאינ[ה] מעיינת במהות המספר אלא בשמוש המספר
ושמוש המספר הוא בדבור או ברמז המשותף בדבור בהודעת מה שבמחשבה
וחכמת המספר תתן דרכים בשמוש המספר להקל הענינים ולשומם במקומם על האמתות
ולכן אמרו התכה כאלו אמר להפריד בדבור המספר המחולק אל חלקים שוים יהיו אותם החלקים כמספר אחדי המחולק עליו
  • \scriptstyle200\div10
 והמשל: רצינו לחלק מאתים על עשרה
הנה אחדי המחולק עליו הם עשרה נתיך המאתים אל חלקים שוים יהיה מספרם עשרה

הנה כל חלק הוא עשרים והם עשרה חלקים שוים יהיה מספרם עשרה
הנה כל חלק הוא עשרים והם עשרה חלקים שוים מעשרים עשרים
ותהיה התשובה כי בחלוק מאתים על עשרה יצא עשרה חלקים מעשרים עשרים

וההתכה כבר אפשר שתה[יה] [בח]לקים שוי' ובלתי שוים
וההתכה בשוים הבדל מוציא הבלתי שוים
והשוים כבר אפשר להיות במספרים רבים
כי מאתים אפשר להתיכם אל חמשים חמשים ואל כ"ה כ"ה ואין זה חלוק על עשרה
ולכן אמר: יהיה מספרם כדמות מה שבמחולק עליו מן האחדים
הרושם השני אמר: וירצו בחלוק יחס אחד המספרים מן האחר
ר"ל כי יאמר מה יחס עשרה אל מאתי' ותהיה התשובה שעשרה חלק מעשרי' במאתים
וכן אם יאמר מה יחס מאתים אל עשרה ותהיה התשובה שהמאתים עשרים פעמים כמו העשרה
והרושם השלישי הוא [32]המפורסם אצל ההמון שהם ירצו לדעת כמה ראוי מן המחולק לחלק אחד שלם מן המספר המחולק עליו
והמשל כשההמון יאמרו חלק מאתים על עשרה רצונם כמה ראוי מהמאתים לאחד מעשרה
והתשובה כי ראוי לו עשרים
וכן לכל אחד עד שתהיה השאלה לחלק מספר על שברים
כאלו תאמר חלק עשרה שלמים הם חלק החצי הנה חלק האחד שלם יהיה עשרים
וכאלו ישאל כשחצי ראוי לחלקו עשרה מה ראוי לחלק השלם
וכן אם אמר: חלק שלשים על שני שלישים
היתה התשובה שהיוצא בחלוק הוא מ"ה כי כשיהיה חלק שני שלישים שלשים הנה חלק האחד השלם מ"ה
ואין הפרש בין הרשמים הג' אלא שבשנים תזכור מנין כל החלקים ובשלישי האחרון לא תזכור כי אם חלק אחד מהם
והמחולקים אפשר שיהיו מכמה מתדבק על כמה מתדבק
כמו קורה של תשע אמות על דרך משל על קורה משלש אמות
והתשובה בזה תהיה ברושם השני על הרוב בשיושב שיהא בקורת בעלת התשע אמות שלש פעמים מהקורה בעלת השלש אמות או כשהקורה בעלת שלש אמות חלק משלשה בבעלת ט' אמות
וכמו כן אפשר שיהיו המחולקים מכמה מתחלק על כמה מתחלק
כמו עשרה דינרים לחמשה אנשים וכדומה לזה
וכבר אפש' מכמה מתדבק על מתחלק
כמו בגד עשרה אמות לחמשה אנשים
והתשובה: חלק כל אחד שתי אמות מן הבגד
אלא שחכמת המספר אינה מביטה למתוארים כי אם לתארים
כמו שהלמודית אינה חוששת אם יהיה המשולש מעץ או מנחשת כי לא תעיין כי אם במשולש סתם פשוט מחומר
וכן חכמת המספר ולכן אין למעיין כי אם בחלוק סתם
וכדרך ההקש באותיות לא בחומר מיוחד וזה ידוע
אמר: והחלוק שני מינים חלוק מעט על רב וחלוק רב על מעט
וחלוק הרב על המעט הוא הנודע בשם קריאת שם
והמעשה הכולל בחלוק הרב על המעט הוא שתניח המחולק בשטה ותניח תחתיו המחולק עליו
והזהר מהיות הרב תחת המעט
ובקש מספר תניחהו תחת המדרגה הראשונה ממדרגות המחולק עליו ותכה אותו בכלל מדרגותיו תכלה בו המחולק כלו או תשאיר ממנו שארית פחות מן המחולק עליו ותקרא לה שם ממנו
פירוש אמר שהחלוק על ב' פנים:
האחד הוא חלוק מספר גדול על מספר קטן וזהו המבוקש על הרוב
והשני חלוק מספר קטן על מספר גדול
והיוצא בראשון שלמים או שלמים ושברים
ובזה השני היוצא לעולם הוא שברים
ועל זה כשיהיו שני המספרים מספרי' שלמים
והמשל לראשון: חלוק מאה על חמשים
היוצא לאחד הוא ב' והם שלמים
ואם היו מאה וכ"ה על נ'
היה היוצא ב' וחצי
והמשל לשני: חלוק מאה על מאה וחמשים
היוצא שני שלישי אחד לאחד
וכן כל כיוצא בזה
אבל כשיהיה זה בשני חלוק על שלמים שהם רב על השברים שהם מעט
כאלו תאמר עשרה על שני שלישים
יהיה היוצא לאחד השלם ט"ו והוא מספר שלם לא שברים
ואמ' כי חלוק הרב על המעט נודע שמו כקריאת שם ר"ל שתקרא שם לקטן מהגדול
והמשל חלק מאה על ק"נ קרא שם למאה מהק"ן ותאמר מאה חלקים מק"ן כנית הקטן בגדול
והתחיל לבאר המין הראשון שהוא היותר נהוג ואחרי ביאר השני

Division of a large number by a smaller number
אמר: והמעשה הכולל בחלוק הרב על המעט הוא שתניח המחולק בשטה אחת ותניח תחתיו המחולק ר"ל כמו שעשינו בהכאה בלי העתק
ואמ': והזהר שלא יהיה הרב תחת המעט כי אם המעט תחת הרב
והמשל רצית לחלק ב'ז'ח'ד' על ג'ב'ה'
אם נניח הה' תחת הד' והשאר כסדר הנה יהיה הרב ג'ב'ה' תחת המעט
לכן נניח הה' תחת הח' והב' תחת הז' והג' תחת הב'
ואלו היה המחולק ב'ז'ח'ו' הנחנו הה' תחת הו' והשאר כסדר
וכן אם היה המחולק ב'ז'א'ו' הנחנו הה' תחת הו' והשאר כסדר
אע"פ שהא' פחות מן הב' אשר תחתיו והסבה בזה כי אמרנו אשר למעלה מהראש הוא המספר אשר [על] הראש ואשר לפניו להשמאל שהם עשרות לו לא אשר על הראש לבד
והמשל כשהנחנו ג'ב'ה' תחת ב'ז'ח'ד' שהנחנו הה' תחת הח' כי לא יכולנו לשום אותה תחת הד' הנה הה' אינה תחת הח' לבד אבל תחת הח' והד' שהם מ"ח
ולפעמים יהיה המספר רחוק מן הראש ג' מדרגות או ארבעה או יותר
ותקח ממנו אחד ותחשוב אותו כעשרה כל המדרגה הקודם לה לימין

עוד תקח מן העשרה אחד ותניח תשעה ותחשוב אחד כעשרה על המדרגה הקודם לה ג"כ לימין
וכן תעשה עד שתגיע למדרגה שעל הראש בעצמה ויהיו לך שם עשרה ו[בהם] תעשה מה שיתן סדר המעשה לעשות

  • \scriptstyle48729\div523
 והמשל לחילוק רצינו לחלק ט'ב'ז'ח'ד' על ג'ב'ה' כתבנו אותם כזו הצורה
    0    
  0 א    
  א ו ט  
‫0 ה ט ג 0
ד ח ז ב ט
  ה ב ג  
    ה ב ג
  ט ג    
ושמנו הה' תחת הח' כי לא היה אפשר תחת הד'

והנה בקשנו מספר נכתוב אותו תחת הה' שהוא מדרגה ראשונה מן המחולק עליו כדי שנכלה בו מ"ח שעל ראש הה'
וענין הכלוי הוא שתוציא מן המ"ח חמשה חמשה עד שישאר פחות מה'
ותדע כמה פעמים הוצאת ה' ומספרם הוא כמספר אשר תניח אותו תחת הה' ותכה אותה בה' ותוציא היוצא בהכאה מן המ"ח
והנה פה יהיה ט' נכה ט' בה' יהיו מ"ה נוציא אותם [33]מהמ"ח יהיה הנשאר ג' תכתוב הג' על הח' למעלה מן הקו ונעשה ציפר על הד' כי לא נשאר ממנה כלום
עוד נכה הט' בב' יהיו י"ח והנה למעלה מן הב' יש ז' וקודם לה לצד שמאל ג' על הקו והנה הם ל"ז נוציא י"ח ויהיה הנשאר י"ט נכתוב א' על הג' אשר על הקו וט' על הז' למעלה מן הקו
עוד נכה הט' בג' הם כ"ז [והנה] יש לך על הראש הג' ב' וקודם לה לשמאל ט' וקודם לט' א' אבל להוציא כ"ז די שתקח מן הט' ג' וישארו ו' תכתבם למעלה מן הט' והשלשה שלקחת הם שלשים תקבצם עם השנים אשר על הב' יהיו ל"ב תוציא מהם כ"ז הנשאר ה' תכתבם על הג' למעלה מן הקו
אח"כ תעתיק גב"ה כסדר המדרגה אחת לצד ימין ותהיה הה' תחת הז' והב' תחת הב' וה[ג'] תחת הט'
וכל זמן שתכתוב מספר מעלה מן הקו תעשה קו קטן על המדרגה ההיא מן המספר המחולק כי אין לך לשוב אליו כלל כי אם למה שלמעלה מן הקו
וכן כשתעשה מספר על מספר אשר למעלה מן הקו תעשה קו קטן על המספר התחתון כי אינך צריך כי אם בעליון
ואחר שתעתיק ג'ב'ה' כמו שנזכר הנה תבקש מספר נשים אותו תחת הה' ונכה המספר ההוא בה' ונכלה מה שעל ראש הה' הוא ו' שעל הקו הו' הוא למעלה מן הה' והיא לצד שמאל קודם לה
והנה יהיה זה המספר ג' נכה אותו בה' יהיו ט"ו נוציא אותם מן הי"ו שהם הו'א' שהם על הקו ישאר א' תכתב צפר למעלה מן הא' והא' הנשאר תכתבנו למעלה מן הו'
עוד תכה הג' בב' יהיו ו' ולמעלה מן הב' על הקו יש ה' וקודם לה א' שהם ט"ו תסיר מהם ו' ישארו ט' נכתוב צפר על הא' והט' למעלה מן הקו [על הה'[
א"כ נכה הג' בג' יהיו ט' נסיר אותם מן הט' אשר על הששה ונכתוב צפר על הקו ונשלם המעשה

והנה היוצא בחלוק הוא תחת הכל והוא ג'ט'
וישארו על הקו ט' שלא נחלקו תקרא להם שם מן ג'ב'ה' ר"ל ט' חלקים מן ג'ב'ה' באחד השלם
ודע כי המעשה הזה מן ההעתק והכתיבה על הקו נהגו לכתבו בלוחות לוחות כמו שזכרתי בהכאה
ובנייר וקלף אי אפשר לכן נהגנו לעשות צורה מקוים ומדרגו' זו תחת זו ובתים למספרים למחולק ולמחלק עליו וליוצא מן החלוק ולהעתק ולמעלה מן הקו הנשאר כדמות המגדל שצייר לו להכאה על הקו שורות שורות
'והנה לך צורת המספר אשר המשלנו בו שהוא חלוק ט'ב'ז'ח'ד' על ג'ב'ה
    0    
  0 א    
  א ו ט  
0 ג ט ה ‫0
ד ח ז ב ט
  ט ג    
  ה ב ג  
    ה ב ג
והנה בבתים הראשנים הוא מספר המחולק עליו

והיוצא מן החלוק בבתים השניים בין שני המספרים
וההעתק למעלה מדרגה מדרגה פוחת והולך לימין
והכתיבות למעלה מן הקו והנשאר למעלה בין הצפרות הוא הנשאר שלא יתחלק והוא במשל הזה ט'

וזאת הצורה היא שמורה מן הטעו' יותר מן המחיקה ואם תשוב ותמצא מיד
והנה לך משל אחר צריך צריך בעבור הצפרות אשר יבואו בתוך המספרים או קודם להם
רצינו לחלק פ' אלף על ש'מ'ה' וזה צורתו:
  0 ג    
0 ב ו 0  
א א ח א  
ב ב 0 ה ה
ח 0 0 0 0
ב ג א    
ג ד ה    
  ג ד ה  
    ג ד ה
בקשנו מספר נכתוב אותו בין ג' וח' נכה אותו בג' ויכלה הח' הנה זה הוא ב'

הכינו ב' בג' היו ו' נשארו מן הח' ב' כתבנום על הקו
הכינו ב' בד' היו ח' הנה על ראש הד' צפר לקחנו מן הב' אשר קודם לה אחד ונשאר אחד כתבנוהו על הב' והא' שלקחנו הוא עשרה גרענו ח' נשאר ב' כתבנו ב' על הקו כנגד ד'
הכינו ב' בה' היו עשרה ועל הה' צפר לקחנו א' מן הב' אשר קודם לה נשארו א' כתבנוהו על הב' והא' אשר לקחנו הוא עשרה גרענוהו בעשרה וכתבנו על הקו צפר
א"כ העתקנו ה'ד'ג' על הסדר לימין ונבקש מספ' נכתבנו על הג' המועתק נכה אותו בג' ונכלה א'א' שעל ראשו יהיה זה ג'
נכה אותו בג' יהיו ט' נסיר אותו מא'א' הנשאר ב' נשים צפר על הא' האחד והב' נכתבנו על הב' ועל הא' אשר על הקו
עוד נכה ג' בד' יהיו ב"א ואין על ראשו כי אם צפר נקח הב' הקודם לה והיא עשרים נסיר ב"א ישארו ח' נכתוב צפר על הב' ונכתוב הח' על הצפר אשר על הקו
עוד נכה ג' בה' יהיו ה"א ואין ראשו כי אם צפר נקח מן השמנה אשר קודם לה ב' וישארו ו' נכתבם על הח' שלקנו הם עשרים נסיר מהם ה"א ישארו ה' נכתבם על הקו כנגד הה' המועתק
ונעתיק עוד ה'ד'ג' על סדר ונבקש מספר נכתבנו על ג' המועתק נכה אותו בג' ונכלה בו שעל ראשו על הקו יהיה זה א'
נכה א' בג' יהיה ג' נסיר אותו מן הו' ישאר ג' נכתבנו למעלה מן הקו
ואע"פ שב' היה מכלה כל הו' כלו שהכינוהו בג' לא לקחנו אלא א' בעבור כי אם היינו עושים כן לא היה נשאר כלום לשאר המספרים
עוד נכה א' בד' יהיה ד' גרענום מה' אשר על ראש הד' על הקו ישאר א' כתבנוהו על הה'
עוד נכה א' בה' היוצא ה' לקחנו הא' בעשרה ושמנו עליה צפר ומן העשרה גרענו הה' נשארו כתבנום על הקו

הנה היוצא בחלוק א'ג'ב'
ונשאר למעלה מן הקו ה'0'ג' שלא נחלקו תקרא להם שם מן ה'ד'ג' ותאמר שלש מאות וחמשה חלקים מן שלש מאות וחמשה וארבעים בשלם
וכשתהיינה הצפרות במחולק עליו הדרך ידוע כי כל מה שתכה בצפר הוא צפר והיוצא הוא צפר
ויש לנו דרך אחרת בחלוק [34]המספרים שיש בהן צפרות הן שתהיינה באמצע הן בתחלה הן במחולק עליו כדי שישוב דרך החלוק על המשל הראשון שאין בו צפר כלל
והוא שתקח תמיד א' מן המדרגה אשר קודם לצפר לצד שמאל ותמ[נה] אותו כעשרה ותשים עשרה כזו הצורה: 0א במקום הצפר
ואם היתה עוד צפר אחרת קרוב לה לימין תקח מן העשרה א' ותכתוב במקום העשרה ט' ובמקום הצפר הב' עשרה
והמשל בזה במשל שהמשלנו לחלק 0000ח' על ה'ד'ג'
וקח אחד מן הח' ישארו ז' וכתבם במקום הח'

והאחד הוא עשרה וקח מהם א' ונכתוב הט' בקרוב לח'
והא' כעשרה נקח ממנו אחד והט' הנשארים נכתבם במקום הצפר השני
וכן עד שישלמו הציפרות ויהיה באחרונה עשרה כזו הצורה 0אטטטז והנה כל זה שמנים אלפי'
תכתוב בתחתים בשורה השלישית ה'ד'ג' ותעתיק ותכה ותכתוב יצא לך המספר כמו שיצא למעלה אבל על הקו מספרים אחרים וזו צורתו

  0      
  א ג    
0 ‫0 ו 0  
א א ז ד ה
ז ט ט ט ‫0א
ב ג א    
ג ד ה    
  ג ד ה  
    ג ד ה
הנה היוצא בחלוק אחד עם מה שיצא בדרך אחרת אבל זאת יותר נקלה
ואם היו צפרות באמצע
אם היתה אחת כמו זה ב0ד תשיב אותו ב0אג
ואם היו שתי צפרות כמו זו ג00ה תשיב אותו ג0אטד
וכן 0א0ב תשיבם 0א0אטא
וכן מאה ואחד שהוא כן א0א תשיב אותו כן א0א
וכן דא0א תשיב אותו כן דא0א
וה[זר] שבזה [מ]חכמת המספר הוא שאנחנו כותבים עשרה במדרגה אחת ובמספר אין כי אם עד ט'
וכן שאנו מכים בעשרה כאלו היו מהט' מספרים ואין בזה הזק כאן שמגיע אל האמת
אמ': ואם תרצה שתחלק המחולק מפורד ותקבץ החצאים זה לצ לרצונך
פי': כשיהיה המספר המחולק גדול מאד ותרצה לחלק אותו כפי מה שתרצה מן החלקים ותכה כל חלק על המחולק עליו ותקבץ היוצא מכל חלק על חברו הרשות בידך ר"ל יצא לך המבוקש
  • \scriptstyle300\div60
 והמשל רצינו לחלק שלש מאות על ששים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle300\div60&\scriptstyle=\left(120\div60\right)+\left(120\div60\right)+\left(60\div60\right)\\&\scriptstyle=2+2+1=5\\\end{align}}}
 לקחנו חלק מג' מאות ויהיה זה מאה ועשרים נחלק על ששים היוצא ב'

עוד נקח מאה ועשרים ג"כ יהיה היוצא שנים
נשארו ס' נחלק על ששים היוצא א'
נקבץ היוצאים שהם ב' ב' וא' יהיו ה' והוא היוצא מחלוקת ש' על ס'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle300\div60&\scriptstyle=\left(100\div60\right)+\left(100\div60\right)+\left(100\div60\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{2}{3}\right)+\left(1+\frac{2}{3}\right)+\left(1+\frac{2}{3}\right)=5\\\end{align}}}
 וכן אם חלקתו מאה מאה היה היוצא לכל מאה אחד ושני שלישים תקבץ זה שלש פעמים יהיו ה' והוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle300\div60&\scriptstyle=\left(150\div60\right)+\left(150\div60\right)\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)=5\\\end{align}}}
 וכן אם חלקת ק"ן על ס' יהיו ב' וחצי וק"ן ב' וחצי תקבצם יהיו ה'
וכן תחלק כמו שתרצה המחולק ותחלק על המחולק עליו ותקבץ יהיה המבוקש
אמ': או התיך המחולק עליו אל מספריו אשר הורכב מהם תקחם למורים ותחלק עליהם המחולק
פי': נתן לך דרך אחד מצד המחולק והוא הנזכר קודם זה ועתה יתן דרך מצד המחולק עליו
ואמר שתתיכנו אל המספרים אשר ממנו הורכב וזה כי כבר ידעת בתחלת הספר כי יש מספרים שלא הורכבו אלא מהאחד לבד כמו ז' וי"א וי"ג וי"ז והדומים להם שהם רבים ויקראו חרשים
ויש מספרים מורכבים מזוגות כמו ד' וח'
ויש מורכבים מנפרדים כמו ו' שהוא מורכב מג' ג' שהוא ב' פעמים ג' וט' מג' פעמים ג'
[וב]כלל כל מספר יהיה או פשוט או מורכב
והדרך אשר יתן עתה בחלוק הוא במורכב בלבד
ולפנים יתן דרך איך נכיר המורכב ונדע החלקים אשר ממנו הורכב
ועתה ידבר איך תחלק על המורכב ואמר שתתיכנו אל המספרים אשר ממנו הורכב
ודרך ההתכה היא שתדע המספרים כשתכה אחד בחבירו והיוצא מהכאה בחבירו ויצא המספר אשר אתה מתיך
\scriptstyle{\color{blue}{12=4\sdot3=2\sdot6}}
 והמשל י"ב הוא מורכב מד' וג' כי כשתכה ד' וג' הם י"ב

וכן גם הוא מורכב מב' וו' כי ב' פעמים ו' הם י"ב

\scriptstyle{\color{blue}{30=2\sdot3\sdot5=6\sdot5}}
 ושלשים עד"מ הוא מורכב מב' וג' וה' כי כשתכה ב' בג' הם ו' וששה בה' הם ל'

וכן הוא מורכב מו' וה' כי ו' פעמים ה' הם ל'

\scriptstyle{\color{blue}{18=2\sdot9=2\sdot3\sdot3=6\sdot3}}
 וי"ח הוא מורכב מב' וט' או מב' וג' וג' כי ב' בג' ו' וששה בג' י"ח
וכן כל הדומה לזה ואלה המספרים אשר מהם הורכב המספר יקראם מהם שיורו אותך איך תגיע אל המבוקש מן החלוק
וכי הם יורו על החלקים כי הד' אשר תחת הקו יורה על הרביע והג' על השליש וכן כלם
ודרך החלוק על המורים הוא בשער השברים והוא שתכתוב המספרים אשר מהם הורכב המספר ותעשה עליהם קו ותחלק על המורה האחד מהם ותשמור היוצא והנשאר שהוא פחות ממנו תכתבו עליו על הקו וזהו קריאת שם שתקרא למספר הנשאר שם מן המספר ההוא שעליו חלקת

והיוצא השמור תחלקנו על המורה השני ותשמור היוצא ותכתבנו עליו הנשאר
ותחלק היוצא על השמורה השלישי
וכן עד שתשלים המורים וכאשר לא ישאר כלום תכתוב למעלה מן הקו צפר

  • \scriptstyle400\div15
 והמשל [בזה] רצינו לחלק ת' על ט"ו
\scriptstyle{\color{blue}{15=3\sdot5}}
 והנה ט"ו מורכב מג' וה' כי ג' פעמים ה' הם ט"ו
תכתוב אותם כן ר"ל הג' והה' שהם המורים ותעשה עליהם קו
ג א
ה ג
חלקת ת' על ג' שהוא המורה הראשון יצא לך קל"ג וישאר אחד תכתבנו על הג' למעלה מן הקו
תחלק קל"ג על ה' יהיה היוצא כ"ו וישארו ג' תכתבם על הה' הנה היוצא בחלוק הוא כזו הצורה
ג א וב
ג ה
ולפנים תדע שזה ששה ועשרי' ושלשה חומשים ושליש חומש מאחד שלם וכן כל הדומה לזה
  • \scriptstyle301\div15
 ואם חלקת ש"א על ט"ו היה היוצא כן
‫0 א ‫0ב
ג ה
והם עשרי' ושליש חומש
  • \scriptstyle153\div15
 ואם חלקת קנ"ג על ט"ו היה היוצא כזה
0 א ‫0א
ג ה
והוא עשרה וחומש והקש על זה
‫[35]אמר: או הסכים בין המחולק והמחולק עליו וחלק הסכמות על הסכמת המחולק עליו
פי': זה דרך אחר בחלוק ג"כ כשיהיו המספרים המחולק והמחולק עליו שניהם מורכבים
ואמר שתסכים ביניהם ר"ל תבקש הרכבה שיהיו שניהם מסכימים בה
  • \scriptstyle40\div15
 והמשל רצינו לחלק מ' על ט"ו
\scriptstyle{\color{blue}{15=3\sdot5}}
 הנה הרכבת ט"ו הוא ג' וה'
\scriptstyle{\color{blue}{40=4\sdot10}}
 ומ' הרכבתם ד' וי' ואין בו הרכבה כלל דבר מסכים עם הרכבת הט"ו
\scriptstyle{\color{blue}{40=8\sdot5}}
 ולכן נבקש הרכבה אחרת למ' והיא ח' וה' כי שמנה פעמים ה' הם ארבעים
הנה בזאת ההרכבה הם מסכימים כי המ' ח' פעמים ה' והט"ו ג' פעמים ה'
והח' והג' הם נקראים הסכימות כי הח' הוא ה' פעמים או אמור יוכה בה' וכן הג' הוא חמשה פעמים או אמור יוכה בה'
\scriptstyle{\color{blue}{40\div15=8\div3=2+\frac{2}{3}}}
 ולכן תחלק ח' שהם הסכמת המ' על הג' שהם הסכמת הט"ו היה היוצא ב' וב' שלישים והוא היוצא מחלוק מ' על ט"ו
  • \scriptstyle30\div9
 ואם רצית לחלק ל' על ט'
\scriptstyle{\color{blue}{30\div9=10\div3=3+\frac{1}{3}}}
 היה ההסכמה עשרה וג' יהיה היוצא ג' ושליש
  • \scriptstyle20\div16
 וחלוק כ' על י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{20\div16=5\div4=1+\frac{1}{4}}}
 ההסכמה ד' וה' היוצא א' ורביע
  • \scriptstyle16\div12
 וחלוק י"ו על י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{16\div12={\color{red}{8\div6=4\div3}}}}
 ההסכמה ו' ב' או ט' או ג' וכן כל היוצא בזה
אמ': ומן החלוק מין בשם המכס
וא[ו]פן המעשה בו שתקבץ חלקי המכס ותקח אותם למורה ותכה כל חלק מחלקי המכס במחולק ותחלק היוצא על המורים יצא המבוקש
פי': זה המין מן החלוק הוא לחלק ממון ידוע של עשיר שיש להם לכל אחד חלק ידוע בלתי שוה לחלק חבירו וזה נוהג הרבה אצל הישמעאלים בירושתם פי': כי היורשים אצלם יורשים כל הקרובים ולא בשוה כי האב ד"מ יקח החצי והבן השליש והאח הרביע והאחות החומש וזה ד"מ לא שהם יורשים כך כי אין לנו עסק בזה רק משל לחלקים בלתי שוים ונאמר כי האב ד"מ יש לו ל' מששים והבן יש לו כ' מששים והאח יש לו ט"ו מששים והאחות יש לה י"ב מששים ואין כל כך חלקים מס' ולכן השאלה היא שנתן לכל אחד כפי ערכו וכאלו אמר: ד' אנשים יש להם אצל איש חוב הא' ל' דינרים זהב והשני כ' והג' ט"ו והד' י"ב ובא לידם ממון החיב ק' דינרים כסף איך יחלקו אותם שיקח כל א' כפי המכס שלו ולכן יקרא זה המין חלוק המכס
ואמר שהמעשה בזה שתקבץ חלק המכס ר"ל מספר שיש לכל אחד שהם בזה המשל ל' וכ' וט"ו וי"ב יתקבץ מהם ע"ז תקח אלה הע"ז למורה א"כ תכה כל חלק מאלה בק' דינרים שהם המחולק והיוצא מן ההכאה תחלקנו על הע"ז שהם המורה יצא המבוקש
ובמשל אשר לנו תכה ל' כל חלק יהיו ג' אלפים תחלקם על ע"ז יהיה היוצא לבעל הל' ר"ל ל"ח דינרים וע"ד חלקים מע"ז וזהו הראוי לבעל הל' דינרי' עוד תכה הק' בכ' יהיו אלפים תחלקם על ע"ז היה היוצא לבעל הכ' ה"ב ה"ז זז ר"ל כ"ה דינרים וע"ה חלקים מע"ז עוד תכה הק' בט"ו יהיו אלף ת"ק תחלקם על ע"ז יהיה היוצא לבעל הט"ו ט"א זג זז ר"ל י"ט דינרים ול"ז חלקים מע"ז עוד תכה הק' בי"ב יהיה היוצא אלף ור' תחלקם על ע"ז יהיה היוצא לבעל הי"ב ה"א ה"ד זז ר"ל ט"ו דינרים ומ"ה חלקים מע"ז וכאשר תקבץ כל אלה יעלו ק' בשוה
ואם רצית לחלק ע"ז הנה הוא מורכב מז' וי"א היית מחלק על ז' וא"כ היוצא על י"א והיה היוצא לבעל הל' והם י' חלקים מי"א וד' שביעיות מחלק י"א וכן כלם
והמעשה הנמרץ בזה הוא שתביט בחלקי המכס ותבקש מספר יהיו בו אותם החלקים ותקח מן המספר ההוא אותם החלקים ותקבצם ותעשה כמו שנזכר
והמשל אם היו ג' אנשים לא' החצי ולאחר השליש ולאחר הרביע תבקש מספר שיהיה בו חצי שליש ורביע ויהיה ע'ד"מ י"ב תקח חציים והוא ו' ושלישם והוא ד' ורביעיתם והוא ג' תקבצם יהיו י"ג והוא המורה אשר עליו תחלק ותשלים המעשה
והדרך לדעת המורה שתכה החלק האחד מחלקי המכס בחברו והיוצא באחר וכן תמיד והיוצא הוא המספר שימצאו בו אותם החלקים
המשל חצי ושליש ורביע תכה החצי שהוא בו' בשלשה שהוא השליש יהיו ששה תכה ששה בארבעה שהם הרביע יהיו ארבעה ועשרים והנה ארבעה ועשרים יש לו חצי ושליש ורביע ואם הכית הששה בשבעה יהיו שנים וארבעים והוא המספר שיש לו חצי ושליש ושביעי' וב' אלפים חמש מאות ועשרים יקרא המורה הגדול כי יחלק לחצי ושליש ורביע וחמש וכלם עד עשרה
אמר: ואם היו בחלקי המכסי' שברים הכה השאלה כלה בפחות מספר יחלק על מוריהם ואם היו בו החלקים כלם שתוף הסר אותו בשתוף במקום חלקים הסכמתם
פי' אמרו מוריהם ר"ל מורי השברים אל המספרים אשר תחת הקוים בצורת השברים כי הם יורו על שמם ושעורם ויקראו ג"כ עמודי השברים ואמרו הסכמתם ר"ל הראוי להם לפי הענין אחר הסרת השתוף וזה שכתב המחבר פה אין זה מקומו לפרשו בשלמות כי צריך לדעת הצעת השלמים עם השברים והכאתם וכפלם וחלוקם והסרת השתוף וכל זה מבואר היטב בשער השברים באריכות ולכן לא נפרש פה זה המאמר אבל נביא משל אחד יקיף בכל מה שנזכר או ברבו [[א]ו ברבו] ובשער השלמים יודע בשלמות ואומר כבר נזכר כשיהיו המכסים מספרים שלמים איך המעשה בהם
ואמר עתה איך המעשה כשיהיה בחלקי המכסים שברים
והמשל שלשה אנשים נושים כאיש א' הא' ד' דינרים ושליש והשני חמשה ורביע והשלישי ו' ושתות ובא לידם ממון האיש ההוא ל"ו דינרים ירצו לחלקם ביניהם ויקח כל אחד לפי ערך חובו תקח המורים שהם שליש והמורה שלשה ורביע והמורה ד' ושתות והמורה ו' ותתחיל בד' ותמצא שהוא מספר מורכב מב'ב' א"כ תביט בשלשה ואין בו הרכבה גם אין לו שתוף עם חלקי הד' כי אין בחלקי הד' שלשה א"כ תביט בשלשה ואין בו הרכבה גם אין לו שתוף עם חלקי הד' כי אין בחלקי הד' שלשה א"כ תביט בו והנה הוא מורכב מב' וג' ולכן הוא משותף כלומ' הב' משותף עם הד' והג' עם השלשה לכן תשליכהו כלו ישארו בידך שני מספרים האחד שהוא הד' תקח הסכמתו שהוא ב' וב' והשלשה תקח אותם בעצמם כי הם הסכמת עצמם ובמקום הששה שהלכו להם תקח א' כי הוא הסכמתו ולכן תכה ב' בב' והיו ד' וד' בג' יהיו י"ב וי"ב בא' יהיו י"ב לא יוסיפו ולא יגרעו
לכן אמרו כי הוא הסכמת המספר המושלך כי כשתכה בו המספר כאלו לא הכית על דבר הנה ידעת מזה המשל מה שאמר שתסיר השתוף בין החלקים וידעת מה שאמ' בשתקח החלקים הסכמתם כי במקום הרביע לקחת ב' ב' ובמקום השליש לקחת שלשה ובמקום הו' שהלכו לקחת ו' ומספר הי"ב שיצאו לך בהכאה הוא הפחות מספר שיחלק על מורי זאת השאלה שהם שליש ורביע ושתות כי אם במספרים פחות מזה שיהיה לו שליש ורביע ושתות ואם היית עושה כמו שכתבתי למעלה לדעת המורה היית מכה ג' בד' היו י"ב וי"ב בו' היו ע"ב והוא ג"כ ע"ב מספר ימצאו בו שליש ורביע ושתות אבל אינו הפחות מספר שימצא בו זה
זהו אמרו בפחות מספר יחלק על מורה ר"ל על מורי השברים ואם לא היה בין השברים שתוף כשהיו עד"מ שליש וחומש ורביע לא היית מסיר כלום והיית מכה ג' בה' בט"ו וט"ו בד' בששים והוא היה המספר הפחות המבוקש
והסבת השתוף אינה כי אם להקל כמו שזכרתי מע"ב לי"ב ואחר שידעת כל זה מזה המשל תשוב תעשה מה שזכר המחבר ותכה כל השאלה שהיא ד' ושליש וה' ורביע ו' ושתות בי"ב שהם הפחות מספר כמו שנזכר והוא כשתכא ד' ושליש בי"ב יהיה היוצא נ"ב וכשתכא ה' ורביע בי"ב יהיה היוצא ס"ג וכשתכא ששה ושתות בי"ב יהיה היוצא ע"ד והנה שבה השאלה כאלו שאלת האחד יהיה נושה נ"ב והשני ס"ג והשלישי ע"ד ותשוב לעשות כמעשה הראשון הנזכר קודם זה שתקבץ חלקי המכס שהם נ"ב וס"ג וע"ד יהיו ק'פ"ט וקח אותם למורה והכה הראשון שהוא נ"ב בל"ו שהוא מספר הדינרי' שהם מחלקי' יהיה היוצא בהכאה ב"ז ח"א תחלקם על ק'פ"ט שהוא המורה יהיה היוצא לבעל הנ"ב מן הל"ו ט' דינרים וקע'א חלקים מקפט' ובעבור כי קפט' מורכב מג' וז' וט' תוכל לומר ט' דינרים וח' תשיעיות ושביע תשיעית דינר א"כ תכה סג' בל"ו יהיה היוצא ח"ו ב"ב חלקם על קפ'ט יהיה יוצא לשני י"ב דינרין עוד הכה ע'ד בל"ו יהיה היוצא ד"ו ו"ב חלקם על קפ'ט יהיה יוצא לשלישי י"ד דינרין ויח' חלקים מקפט' או אמור ששה שביעי תשיעית דנר וכשתקבץ כל אלה תמצאם ל"ו דינרים בשוה ואם היית מסיר השתוף והיית מכה כל השאלה בע"ב היית מכה ד' ושליש בע"ב היה היוצא ש"יב והיית מכה ה' ורביע בע"ב כאלו אמרת האחד נושה שי"ב והשני שע"ח והשלישי תמ"ד והיית מקבצם יהיו אלף קל"ד והם המורה תעשה השאר על הדרך הנזכר יהיה היוצא בשוה כמו בראשון ואלף קלד מורכב מו' וג' וז' וט' לכן יצוו החלקים ג"כ תשיעיות ושביעיות של תשעיות והוא נראה כי אין הסרת השתוף כי אם להקל ודע אם תתיך שי"ב לחלקים הראשונים שהרכב מהם יהיו י"ב וקי"ו ואם תתיך שע"ח יהיו ב' קפט' ואם תתיך תמ"ד יהיו ב' ורכ"ב תסיר השתוף והוא ב' ר"ל תסיר חצי מכל אחד ישארו קפ"ט' וקנ"ו ורכ"ב ותשוב תתיך את אלה לחלקים הראשונים שהורכבו מהם אם תתיך קפט' יהיו ג' וסג' ואם תתיך קנ"ו יהיו ג' זנ"ב ואם תתיך רכ"ב יהיו ג' ועד תסיר השתוף שהוא ג' ר"ל תסיר השליש מכל א' ישארו סג' ונב' ועד' והם בעצמם שיצאו לך כשהסרת השתוף מן השברים ואם תתיך סג' יהיו ג' וכ"א או ז' וט' ואם תתיך נ"ב יהיו ד' וי"ג ואם תתיך ע"ד יהיו ב' ול"ז והנה אין ביניהם שתוף ולכן לקחנו כלם והקש על זה ותתיך על זה תחלה החלקים הראשונים וגדולים שימצאו וא"כ תסיר השתוף אם ימצא ולפנים בשער השברים תדע הדבר בשלמות בג"ה יתעלה ויתעלה ויתברך שמו

Division of a small number by a larger number

 אמר: ואמנם קריאת שם המעשה המפורסם הכולל בה שתתיך הנקרא ממנו אל מספריו אשר הורכב מהם ותקח אותם למורים תחלק עליהם מה שתרצה קריאת שמו יצא המבוקש ויודע שעורו ביחס חלקיו אל אותם המורים המחולק עליהם
פי': זה המין הוא חלוק המעט על הרב שנזכר למעלה ואמר כי המעשה המפורסם הכולל בקריאת השם הוא שתתיך הנקרא ממנו ר"ל הרב כי ממנו תקרא שם למעט כי עד'מ כשתחלק שלשה על ארבעה תקרא שם לשלשה מן הארבעה ותאמר שלשה רביעים הנה קריאת שם לשלשה שהוא המעט מן הד' שהוא הרב ואמר שתתיך הרב אל המספרים אשר ממנו הורכב
ואם המספר איננו מורכב תקרא שם מכלו
והמשל רצינו לחלק ט' על י"ג וי"ג איננו מורכב תאמר ט' חלקים מי"ג וכן ט' חלקי' מק'כ"ג או יותר או פחות כשהמספר איננו מורכב וכן אם היה מורכב כמו כ"ד שהוא מורכב ו' וד' או מג' וח' או מג' וב' וד' או הדומה לזה ורצית לחלק עליהם י"ט ואמרת י"ט חלקים מכ"ד הרשות בידך ותהיה לפי זה קריאת השם נקל לעשותה הרבה אמנם ידוע כי השברים מחצי עד עשירית היא כדמות טבע ודבר מפורסם להמון שאמרים שליש ורביע וחומש וכן כלם עד עשירית ולא נהגו לומ' כן מי"א ולא מי"ב ולא מי"ג וג"כ אומרים חצי שלישית וחצי רביע וחצי שליש ואין זה זר אצלם כי אם תאמ' לאחד מהם שמינית השליש הנה יבין שתחלק אחד לשלשה וחלק ממנו ח' אבל אם תאמר חלק מכ"ד יבין שתחלק אותו לכ"ד ויראה כמשא דבר ומצד הענין בעצמו בעבור כי המספרים עד עשרה כנוי השברים מהם ג"כ ראוי להיות כן עד עשרה ובעבור זה יותר ראוי לומ' שלישי' ושמינית או רביע ששית ולא חלק אחד מכ"ד אלא כשאין המספר אשר ממנו תקרא שם מורכב כי אז אין דרך לנטות מלומר חלק מכך וכך והדרך לכתוב המספר ההוא ועל קו והמעט כתוב למעלה כמו שראית למעלה שכתבנו והדומה לזה וכבר ידעת למעלה ההתכה והחלוק על המורים כתב שיש דיי ואמרו ויודע שעורו ביחס חלקיו אל אותם המורים ר"ל כי המספר אשר אתה קורא לו שם תדע שעורו כמה הוא באשר תיחס חלקיו אל המורים
והמשל: ל' על ל"ו הנה ל"ו מורכב מו' על ו' או מד' וט' וכשתקח למורים הששה וששה ותחלקם תהיה הצורה
הנה קראת שם לשלשים מן ל"ו ותדע שעורו כשתיחס חלקי המספר שקראת לו שם שהוא שלשים אל המורים וחלקיו הם חמשה וכשניחס אלו הה' אל המורה שהוא ו' נדע שעורו שהוא חמשה שתותים ואם חלקת ל"ג על ל"ו ולקחת למורים ששה וששה היה היוצא כן
ואם לקחת למורה ט"ד היה היוצא כן והדבר שוה והשעור הראשון ה' שתותים ושלשה שתותי שתות ושעור השני ח' תשיעיו' ורביעית תשיעית הנה נדע שעור חלקי המחולק שאנחנו קורים לו שם מצד יחסם אל המורים שעליהם החלוק
אמר: ולהתכת המספרים הקדמה ראוי לשמרה והיא: כל מספר שאין בתחלת אחדים עשירית יש לו והחומש והחצי אשר בטבע כל זוג
פי': והידוע כי כל מדרגות המספר אחר האחדים הם עשרות לכן יותכו על עשרה כי הן הרכבתם וכן ידוע כי כל מספר אחר האחדים הוא זוג וכל זוג בטבע יש לו חצי והחצי העשרה חמשה לכן כל אותם המספרים מורכבים מעשרה וה' וחצי
והמשל ס' חציו ל' חמשו י"ב ועשיריתו ו' וע' חציו ל"ה וחמשו י"ד ועשיריתו ז' וכן כלם
אמ': ואם היו בראשיתו ה' החומש יש לו
פי': אם היו אחדי המספר ה' אותו המספר יש לו חומש וזה ידוע אחר שהעשרות יש להם חומש והאחדים הם ה' א"כ הכל יש לו חומש
אמ': ואם היו בראשיתו אחדים ר"ל זולתי החמשה אם היו זוגות יגרע בגרעונם השלשה ואם נגרע בט"ט יש לו תשיעית וששית ושלישית
המשל כמו י"ח ול"ו ונ"ד וע"ב וכדומה להם שהם נגרעים ט' ט' והאחדים זוגות
אמ': אם נשאר ממנו שלשה או ששה או שתות יש לו שליש
פי': הנגרע ט"ט אם נשארו ג' אחר הגרעון ששה או שלשה ואחדי המספר זוגות כמו הי"ב שאחדיו זוגות וכשתגרע ט' ישארו ג' או כמו כ"ד כי כשתגרע ט' ט' ישארו ו' הנה שני אלה יש להם שתות וכל שיש לו שתות יש לו שליש ולא יתהפך שכל מספר שיש לו שלישית יש לו שתות וזה ידוע
אמ': ואם נשאר זולת זה גרע אותו שמנה שמנה ואם נגרע שמינית יש לו
פי': זה ג"כ במספר שאחדיו זוגות וידוע שאם נגרע ח"ח כי יש לו שמינית ויראה שהיה לו לומר רביעית וחצי כי זה ידוע כי כל זוג יש לו חצי וכל מספר שיש לו שמינית יש לו רביעית ולא יתהפך והמחבר לא זכר החצי כי כבר אמר כי כך נודע כל זוג ולא זכר הרביע בעבור שיאמר בסמוך שאם נשאר ארבעה אחר גרעון ח"ח כי יש לו רביעית וידוע כי זה בעבור כי השמנה שמנה יש להם רביעי' והתוספת עליהם ד' שיש להם ג"כ רביע
אמר: ואם נשאר ממנו ארבעה רביעית יש לו ואם נשאר זולת זה גרע אותו שבעה שבעה ואם נגרע שביעית לו
פי': גם זה במספר שאחדיו זוגות וא"א שישארו כי אם ד' או ב' או ו' וכבר זכר כי כשנשארו ד' שיש לו רביעית כמו שנזכר ועתה יאמר כי אם נשארו זולת זה ר"ל ב' או ו' גרע אותו ז' ז' ואם נגרע שיש לו וזה ידוע
והמשל י"ד כי יוסיפו על הח' ו' ויגרעו ז' ז' וכן מ"ב כי יוסיפו על ח"ח שנים ויגרעו ז"ז ואלה יש להם שביעית
אמ': ואם לא נגרע חצי יש לו וחציו נפרד יבוקש בחלקיים
פי': המספר שיגרע שמנה שמנה וישאר ב' או ו' ולא יגרע בז' ח' הנה יש לו חצי שבטבע כל זוג אבל הזוג ההוא הוא זוג הנפרד כמו העשרה שיוסיפו ב' על הח' ולא יגרעו בז' הנה יש לו חצי והחצי הוא ה' שהוא נפרד וכן י"ד שמוסיפים על ח' ו' חציים נפרדים והחצי הוא ז' וה' וז' הם חלקיים ר"ל מספרים שרשים או ראשונים ואל תאמר הנה י"ח ישארו אחר ח"ח ב' וחצים ט' ואינם חלקיים ר"ל חרשים כי כל זה צריך שיהיה אחר שתגרע בט"ט וח"ח וי"ח כבר יגרע ט' על ט' וכבר נזכר משפטו
אמר: ואם היה נפרד יגרע בשני גרעוני' שבעה ותשעה ואם נגרע בתשעה יש לו תשיעית ושליש ואם נשאר ממנו שלשה או ששה שליש יש לו
פי': ואמרו ואם היה נפרד שב אל מה שאמר למעלה אם היו אחדי המספר זוגות ואחר שהשלים ענין המספרי' שאחדיהם זוגות שב לבאר שאחדיהם נפרדים ולא אמר אם היו נפרדים כמו שאמר בזוגות אלא אמר ואם היה נפרד ר"ל ואם היה נפרד המספר והסבה בזה כי המספר יהיה זוג באחדים בקצתם ובשאר המעלות בכלם אבל לא יהיה נפרד כי אם באחדים לבד ולכן כשאמר ואם יהיה המספר נפרד כאלו אמר באחדיו ואמרו שאם נגרע בט' יש לו שליש ותשיעית זה ידוע ואמרו אם נשאר ממנו שלשה
המשל י"ב כשתסיר ט' ישארו ג' ויש לו שליש ואם ישארו ששה כמו ט"ו יש לו ג"כ שליש וכן כל הדומה להם

והמשל האמתי בזה ל"ט ול"ג שאחדיהם נפרדים ומל"ט ישארו שלשה ומל"ג ישארו ו'

אמר: ואם היה זולת זה גרע אותו שבעה שבעה ואם נגרע שביעית יש לו
פי': אמרו ואם היה זולת זה ר"ל שלא נגרע בט' או שנגרע ונשאר זולת שלשה וששה ואחדי המספר נפרדים גרע אותו בשבעה שבעה ואם נגרע יש לו שביעית וזה ידוע
אמ': ואם לא יגרע אותו כחלקיים בחלוק עליהם ולא תסור על חלק המושאל כלו על החלקיים עד שתמצא המספר אשר יתחלק עליו או יגיע אל מספר יהיה מרובעו גדול ממספרך המונח או יהיה היוצא מן החלוק כמו המחולק עליו או פחות ממנו וישאר אחר החלוק שארית אז תדע שהוא מן החלקיים החרשיים ותהיה קריאת השם ממנו בהגזר ממנו
פי' אמרו ואם לא נגרע ר"ל כשבעה שבעה אחר כל הנזכר מגרעון ט' בקש אותו בחלקיים וכבר ידעת כי אין חרשים בזוגות כי אם בנפרדים זה נפרדי' כלם אינם חרשים אלא קצתם ושם החרשים כולל יותר משם החלקיים כי החרשים ימצאו ג"כ במדרגת האחדים כמו ג' וה' וז' כי ענין החרשים כבר אמרנו בתחלת הספר הוא שלא כי אם על האחד וכן הם אלו וכן כל החלקיים אבל אלה ג' וה' וז' לא יקראו חלקיים בעבור כי הם מן העשרה שאמרנו שהם כמו טבעיים ונתנו זה השם ר"ל חלקים לחרשים אשר למעלה מעשרה להבדיל ביניהם ובין החרשים אשר בתוך העשרה ולכן תחלת החלקיים הוא מספר י"א ואחריו י"ג ואחריו י"ז וי"ט וכ"ג וכ"ט וכן על הסדר כמו שתדע לפנים בגה' י"ת ולכן מה שאמר המחבר בקש אותו בחלקיים ר"ל בחרשים אשר למעלה מעשרה כי כבר זכר שלא יגרע בשבעה שהוא אחרון שבחרשי העשרה ואמרו בחלוק עליהם ולא תסור מלחלק המושאל כלו ר"ל המספר שאחדיו נפרדים ולא נגרע בז' ולא בכל הנזכר קודם בקש אותו בחלקיים והדרך אשר בו תבקשנו הוא בחלוק עליהם ר"ל בחלוק המספר ההוא על החלקים וזה כשתתחיל בי"א שהוא ראשית החלקיים ותחלק המספר עליו ואם נשאר דבר שלא נחלק ידעת כי המספר ההוא אינו מורכב מי"א תשוב לחלקו על י"ג ואם לא מצאתו שוה אלא נשאר ממנו מה שלא נחלק לי"ג תדע כי אינו מורכב מי"ג תשוב לחלקו על י"ז וכן תמיד עד שתמצא המספר אשר ממנו הרכב עוד אמר: או יגיע אל מספר יהיה מרובעו גדול ממספר המונח ר"ל כי כשתבא לחלק המספר המונח לך לחלק
ולדעת הרכבתו על אחד החלקיים תרבע החלקיי ההוא
ואם המרובע יהיה גדול מן המספר המונח אז תדע כי המספר חרש ואין לו הרכבה כלל כי אם הרכבת אחד
והמשל רצית לדעת מספר ר'פ"א אם הוא מורכב גרעת אותו בתשעה ושבעה לא מצאת כלום חזרת לבקשו בחלקיים התחלת לחלקו על י"א תרבע י"א יהיו ק"כא הנה ר'פ"א יותר על כן תחלקנו על י"א נשארו ו' ידעת כי אינו מורכב שבת וחלקת אותו על י"ג תרבע י"ג היו ק'ס"ט והנה ר'פ"א יותר על כן תחלקנו על י"ג ישארו ח' ידעת ג"כ כי אינו מורכב מי"ג תשוב לחלקו על י"ז תרבע י"ז יהיו ר'פ"ט והנה המרובע יותר מן ר'פ"א ידעת כי אינו מורכב לא מי"ז ולא מי"ג ולא מי"א וכבר ידעת שאין בו משאר ההרכבות כלום א"כ אינו מורכב כלל ואמרו אז יהיה היוצא מן החלוק כמו המחולק עליו או פחות וישאר אחר החלוק שארית ר"ל כשתחלק על אחד החלקיים ויצא בחלוק כמוהו ונשאר כלום שלא נחלק אז אינו מורכב המשל בזה חלקת ק'כ"ז על י"א היה היוצא י"א כמו המחולק ונשאר ו' וכן אם חלק ל"א על י"א היה היוצא ב' ונשארו ט' או לז' היה היוצא ג' והנשאר ד' וכן כלם אז תדע כי אינו מורכב כלל לא מחרשים ולא משומעים ואין דרך לקרוא השם ממנו כי אם ע"ד גזרת התארים מן שמות הענינים כי תאמר ע'ד"מ שלשה חלקים משלשים ואחד כמו שתאמר רביע נגזר מארבעה ויש לשונות שקוראים ע'ד"מ לאחד מעשרים עשירימי' וכדומה לזה
פרק
אמר: זה הפרק הוא במציאות החלק החרש והמלאכה בזה נקראת הנפה
פי': קריאת ענין זה המעשה נפה בעבור שיכתבו המספרים הנפרדים מורכבים וחרשים יחד מעורבים ובזה הדרך ינופה ויודעו החרשי' והמורכבים כמו שבנפה יודע הסולת הפסולת
אמ': והוא שתניח המספרים הנפרדים הנמשכים אחר השלשה אח"כ תמנה כל מספר מהם בשעור מה שבו מן האחדים על הסדר ובמקום שיגיע המספר מה שאחריו מורכב וימנה אותו המספר ההוא
פי': המשל בזה תכתוב בסדר הנפרדים תתחיל בג' ואחריו בה' ואחריו ז' ואחריו ט' ואחר י"א וכן עד המספר שתרצה ותכתוב ע'ד"מ עשרה מספרים שהם אלה: ג' ה' ז' ט' י"א י"ג ט"ו י"ז י"ט כ"ה וכשתקח מספר הראשון שהוא ג' ותמנה בסדר ישלם המספר במספר ז' הנה הט' אשר אחריו הוא מורכב וימנה אותו מספר הג' כי ג' פעמים ג' הם ט' וכן אם תקח הה' ותמנה כסדר חמשה מספרים מן הה' ישלם במספר י"ג וט"ו אשר אחריו מורכב וימנה אותו החמשה כי חמשה פעמים ג' הם ט"ו ואם תקח ז' ותמנה כסדר ז' המספרים ותתחיל מן הז' ישלם במספר י"ט הנה המספר אשר אחריו הוא כ"א ואם תקח ז' ותמנה כסדר ז' והוא מורכב וימנה אותו הז' כי ז' פעמים ג' הם כ"א וכן כל הדומה לזה וכשתגיע למורכב תרשום עליו

אמר: ולא תסור תעשה כן עד שתגיע אל מספר יהיה מרובעו גדול מן המספר האחרון שבנפה ואז תדע שהמספר נשלם וכל מספר עליו רושם הוא מורכב וכל מספר שאין עליו רושם הוא חדש

פי': כשתכתוב המספרים הנפרדים הרבה כסדר ותתחיל למנות משלשה הרביעי הוא מורכב תשוב למנות שלשה שלשה ותרשום על הרביעי עד כלות כל המספרים שכתבת ובידך לעשות הנפה גדולה כשתכתוב מספרים הרבה או קטנה כשתכתוב מספרים מעט ואחר שתשלים הרשמים במספר השלשה תשוב ותעשה כן במספר החמשה והששי תרשום ומן הרשום ההוא תמנה חמשה והששי תרשום עד כלות הנפה וכן תשוב תעשה במספר ז' וכן בכל מספר וכל אחד תצטרך לרשום רשמים שלא ירשמו ע"י הראשנים ואחר שתרשום הנפה כלה כמספר שלשה שלשה ותשוב לרשום במספר ה' תפגע בקצת מספרים שכבר רשמת אותם במספר השלשה ולא תצטרך לרשום אותם אבל תמנה לפנים עד שתפגע במספרי' שאינם רשומים תרשום אותם וכן כשתחשוב א"כ במספר ז' תפגע בהרבה מספרים מאשר רשמת כג' וה' ולא תצטרך לרושמם עד שתפגע בבלתי רשומים ולעולם הראשון שתפגע בבלתי רשום הוא מרובע המספר ההוא
המשל בזה התחלת לרשום בג' רשמת ט' וטו' וכ"א וכ"ז ול"ג ול"ט ומ"ה ונ"א ונ"ז וס"ג וס"ט וע"ה וכן כלם עד תשלום הנפה וכשב[א]ת לחשוב בה' התחלת ממספר ה' ופגעת תחלה במספר ט"ו וכבר נרשם על ידי ג' מנית משם ה' פגעת בכ"ה ולא נרשם ע"י הג' תרשמהו וכ"ה הוא מרובע מספר הה' אחריו תפגע במספר ל"ה ולא נרשם תרשמהו וכן עד סוף הנפה כל מספר שאחריו ה' תרשמהו אם לא נרשם בג' כי אחרי הל"ה תפגע במ"ה וכבר נרשם בג' אח"כ תפגעו בנ"ה ולא נרשם א"כ בס"ה ולא נרשם אח"כ בע"ה וכבר נרשם וכן כלם א"כ תשוב תתחיל במספר ז' תפגע במספר כ"א וכבר נרשם בג' א"כ תפגע בל"ה וכבר נרשם בה' א"כ תפגע במ"ט ולא נרשם תרשמהו והוא מרובע ז' וכן תבקש עד תשלום הנפה ותרשום בז' א"כ תבא לחשוב במספר ט' ואין צורך כי הוא מורכב מג' וכבר נרשמו כל מספרי הנפה בג' והן בט"ו אין צורך למנות וכן בכל מספר שכבר נרשם לא תמנה בו כי לא תמצא שתצטרך לרשום כלום על ידו תשוב למספר י"א והוא הראשון [פי': שאם תמנה בעבו' הי"א מיג' בתים כמו הג' לא תמצא שתרשום כלל כי כבר רשומים הם פי' מספרים אחדים שקדמו ליא' ולא תמצא לרשום רק מרובעו והלאה ודרך זו שוה לכל המספר' שלא תמצא לרשום רק מרובעו והלאה ודע שזו הנפה לא יתכן רק י"ג בתים שמרובעו קס"ט אבל לא לט"ו שמרובעו רכ"ה ואין הנפה רק עד רי"א] שאתה ראוי לפגוע בלי רשום הוא מרובע י"א ומרובעו הוא קכ"א ולא כתבת בנפה כי אם עד ע"ה א"כ לא תוכל להוסיף רושם יותר בנפה זו היא עד ע"ה ולכן נדע שנשלם מעשה זו הנפה [נראה שהנפה היא אז עד ע"ה בתים בלבד ושוב הוסיפו עליו כ"ה בתים ועשאוהו למאה בתים] ולכן מספר שאתה רוצה לרשום בו תרבע אותו ותראה אם המספר שבסוף הנפה הוא גדול מן המרובע ההוא מנה בו ורשום כי תמצא מה שתצטרך לרשמו אבל אם המרובע יותר מן המספר האחרון אין בו צורך לרשום בו כלל ונשלמה הנפה ומעשה הנפה נהגו לעשות מרובע מחולק לבתים מרובעים יהיה המרובע שוה הצלעות או ארוך ויעשו בתים רבים או מעטים כפי מה שירצו ובכל בית יכתבו מספר על הסדר הנפרדים א"כ ימנו וירשומו וזו צורת הנפה ובה מאה בתים: ובזו הנפה תוכל למנות בכל המספרים ולרשום עד י"ג כי מרובע קס"ט ותמצאנו בנפה אבל כשתבא למספר י"ז [ר"ל ט"ו שמרובעו רכה] הנה מרובעו רפ"ט והוא גדול ממספר ר"א שהוא אחרון בנפה ולכן לא תמצא מ"ה שתרשום בי"ז ולכן במספר י"ג נשלם מעשה זו הנפה וכל מספר תמצאהו רשום בנפה הוא מורכב ואשר תמצאנו בלתי רשום הוא חרש לא יחלק כי אם על אחד בלבד

Chapter Six: Completion and Reduction

 שער השלישי בהשלמה וההורדה
אמר: והשלמה היא התיקון וההורדה היא הפכו והרצון בהשלמה וההורדה ידיעת מה שיוכה במספר מה ויבא ממנו המבוקש ולא תהיה ההשלמה אלא מן המעט אל הרב וההורדה בהפך
פירוש: כשיהיה מספר מה כאלו [36]תאמר ד' עד"מ ויושאל להשלימו לח' כלומר באיזה מספר נכה ד' ויהיה היוצא מן ההכאה ח' ויהיה המספר דרך משל ב' וכשתכה ב' בד' יהיה היוצא מן ההכאה ח' והוא המבוקש זהו ענין ההשלמה
וההורדה הפך זה
  • \scriptstyle a\sdot8=4
 כאלו תאמר רצינו ע"ד להוריד שמנה לד'
כלומר באי זה מספר נכה ח' ויהיה היוצא ד' מן המבוקש ויהיה זה על ד"מ חצי וכשתכה חצי בח' יהיה היוצא חצי השמנה שהם ד' והוא המבוקש ולעולם המושלם אליו [ד"מ ח'] הוא יותר מאשר תרצה [ד"מ ד'] להשלימו והיורד הוא [ד"מ ח'] יותר מן אשר אליו תרצה להוריד [ד"מ ד']
אמר: והמעשה בהשלמה הוא שתחלק המושלם אליו אל המושלם המבוקש
פי' המשל בזה רצינו להשלים ד' להיות ח'
הנה ד' הוא המושלם וח' הוא המושלם אליו תחלק ח' שהוא המושלם אליו על ד' שהוא המושלם יצא בחלוקה ב' והוא המספר המבוקש אשר אם תכה אותו בד' שהוא המושלם ר"ל שתרצה להשלימו יצא בהכאה ח' והוא המבוקש
אמ': והמעשה בהורדה שתקרא שם המורד אליו מן המורד והיוצא הוא המבוקש
פי': המשל בזה רצית להוריד שמנה להיות ד' הוא המורד אליו וח' הוא המורד תקרא לד' שהוא המורד אליו מן שמנה שהוא המורד וזה כשתכתוב הח' ועליהם קו ותכתוב עליהם הד' בזו הצורה
והנה הם ד' שמניות או אמור שם [שני] רביעים או אמור חצי והוא המספר המבוקש אשר אם תכה אותו בח' יצא בהכאה ד' והוא המבוקש כי ד' שמניות שמנה הם ד' וכן שני רביעי ח' הם ד' וכן חצי ח' הם ד' וע"ל א"ם עי"א

Section Two: Fractions

 החלק השני בשברים
אמר: השבירה היא היחס אשר בין שני מספרים כשיהיה חלק או חלקים הנה היחס אשר בין החלק וכנויו יקרא שבירה
פי': כל מה שהוא פחות מאחד שלם יקרא אצל חכמי המספר שבר
הן שיהיה חלק אחד כמו רביע ושליש ודומיהם
או שנים חלקים ויותר [כמו] שני שלישים וג' רביעיים ודומיהם איזה חלק שיהיה מן השלם
וכאלו השלם נחלק או אמור נשבר ונעשה חלקים חלקים או שברים שברים
ורצון המחבר כי החלק מן השלם לא יקרא שבר מצד עצמו כי החלק הוא מספר מה כמו השלם ויקרא נשבר והחלק ממנו יקרא שבר
והשבירה הוא היחס אשר בין שני אלה המספרים ובעבור כי בין שני המספרים אפשר להיות יחסים אחרים כמו שזה רב וזה מעט [כי הוא מהמצטרפי'] וכדומה לזה
אמר כי היחס הזה יקרא שבירה כשהיחס הוא ע"ד החלוק ר"ל חלוקת השלם אל חלקים רבים או מעטים או היחס ההוא יקרא שבירה והיחס הזה הוא אשר בין החלק וכנויו ר"ל כי הרביע עד"מ הוא אחד מד' ושני רביעיים הם ב' מד' וכן כל החלקי' הנה הא' והב' הם מספר החלקים והד' הם המספר אשר בו יכונו ויתוארו הא' והב' ויקראו רביע ורביעים והיחס אשר בין החלק וכנויו יקרא השבירה ויאמר כי השנים שברים מן הד'
אמ': ויבואו בהם מן המעשים לפי אותינו ששה שערים
פירוש: ויבאו ר"ל בשברים מן המעשים ששה שברים

Chapter One: The names and forms of fractions

 השער הא' בשמות השברים והצעתם לשברים
עשרה שמות פשוטי' הראשון הוא החצי והוא הגדול שבהם, עוד השליש, עוד הרביע, עוד החומש, עוד השתות, עוד השביעי, עוד השמין, עוד התשיעי, עוד העשירית, עוד החלק
פי': השברים יש להם שמות עשרה מונחים בלשון ונקראים על אחדי המספר: חצי, שליש, רביע, חומש
ופי': אחד משנים, א' משלשה, אחד מד', אחד מה', וכן כלם
ולמעלה מן עשרה אין שֵם יורה על השבר כי אם על צד החלק או הרכבת אלה העשרה שברים
וזה כי תאמר חלק אחד מי"א וחלק אחד מי"ב וחלק אחד מי"ג
וזהו אמרנו עוד החלקי' והוא אחד מן העשרה שמות הפשוטים
ולא תאמר אֶחַד עַשִׂירִיִ, שְׁנֵים עַשִׂירִיִ וכדומה להם
או תאמר בחלק אחד מי"ב חצי שתות או שליש רביע או רביע שליש וזה שם מורכב משני שמות שברים פשוטים יתברר לפנים בג"ה
וצורת אלה השברים הפשוטים הן כן: תעשה קו ישר ולמעלה מן הקו תכתוב מספר השברים ולמטה מן הקו המספר אשר בו יכונו [ויתוארו] השברים
א
ב
משל: החצי תצייר זו בזו הצורה
הנה הא' אשר למעלה מן הקו תורה על השבר שהוא א' והב' תורה שזה האחד הוא אחד משנים שהוא החצי
א
ג
והשליש תצייר אותו כזו הצורה
א
ד
והרביע
א
ה
וחומש
א
ו
ושתות
א
ג
ושביע
א
ח
ושמין
א
ט
ותשיע
א
‫0א
ועשירית
א
אא
והחלק תצייר אותו בזו הצורה חלק אחד מי"א
וכן כל החלקים אשר למעלה מעשרה
אמ': וְיַשְנוּ אלה המספרים ויתקבצו ויכלו בקבוץ כל שבר מהם אל פחות מכנויו בחלק
פי': אמר כי אלה השברים ישנו ותאמ' שני שלישים ושני רביעיים וכן כלם
ב
ג
עד תצייר שני שלישים בזו הצורה
2
4
ושני רביעיים כזו הצורה
2
5
ושני חמשיי' כזו
וכן כלם
עוד יתקבצו על ההשנות ותאמר שלשה רביעיים ושלשה חומשים וארבעה חומשים
ג
ד
ותצייר שלשה רביעיי' כזו הצורה
ג
ה
ושלשה חמשים כזו
ד
ה
וארבעה חומשים כזו
וכן כלם עד שיהיה המקובץ פחות מן הכנוי בחלק אחד
וזה כי תאמר ארבעה ח[ו]משים ולא תאמר חמשה חומשים
כי באמרך שלשה רביעיים קבצת מן השברים עד חלק אחד פחות מן [37]הכנוי שהוא ארבעה
ואם תאמר ד' רביעים אינם שברים כי הוא הכנוי בעצמו והוא האחד השלם ואלו כלם יקראו נפרדי'
והכינויים והם אשר תחת הקוים בצורות יקראו המורים במעשה המספר [ויש מי שיקרא האותיות תחת הקו איכויות בהעברה והאותיות שעל הקו כמויות ואם שניהם כמו']
אמ': ויוחסו אלה השמות הפשוטים קצתם אל קצתם ויהיה מהם שם מחובר משני שמות ומיותר מזה
פי': אחר שהזכיר אלה השמות הפשוטים קצתם אל קצתם ויהיה מהם שם מחובר משני הפשוטים יזכור המורכבים
ואמר כי יוחסו אלה השמות קצתם לקצתם ויבואו על ג' מינים
ותאמר שליש חצי
א  
ב ג
האחד וזה צורתו
א  
ג ב
או חצי שליש
א  
ד ג
או שליש רביע
א  
ג ד
או רביע שליש
וזה השם מורכב משני שמות
א    
ד ג ב
או תאמר חצי שליש רביע
א    
ט ה ו
או שתות חומש תשיעית
וזה השם מורכב משלשה שמות וכן מיותר מזה ואלה יקראו שבר השבר ושבר שברי השבר
א א
ב ג
או תאמר חצי ושליש החצי
וזה יקרא שבר ושבר השבר
ב ג
ג ד
וכן תאמר שני שלישיי' ושלשה רביעי שליש
ויקראו שברים ושברי שבר
ג ב ג
ה ז ח
או תאמר שלשה חומשים ושני שביעיות חומש ושלשה שמיניות שביעית החומש
ויקראו שברים ושברי השבר ושברי שבר השבר
ג   ה
ט ו ז
או תאמר שלשה תשיעיות וחמשה שביעיות שתות התשיע
ויקראו שברים ושברי שבר השבר וכן כל מה שיהיה יותר מזה מן הדומה לו וכל אלה יקראו מתייחסי' לשבר אחד
ג ב
ד ה
או תאמר שני חמישיים משלשה רביעיים ויקראו שברי השברים כזו הצורה
ה ג ה
ט ח ו
או חמשה שתותים משלשה שמניות מחמשה תשיעיות
וכן כל הדומה לזה ויקראו שברי שברי השברים וזה המין יקרא חלקיי כי הוא חלקי חלקי' לא חלקי חלק אחד כמו המתייחסים
א   ד
ג ו ד
או תאמר שליש ורביע ר"ל שליש של אחד ורביע של אחד כזו הצורה
ו"ו העטף באמצעי וזה יקרא מתחלף ויבא על פנים רבים
כי זה המשל שעשינו הוא מתפרד וכן אפשר להיות מן המתייחס ומן החלקים ומנפרד ומתיחס ונפרד וחלק וחלקיי ומתייחס ומשל כלם נקל וצורתו ידועה
א פחות א
ד ג
או תאמר שליש פחות רביע ויקרא נזור וצורתו
וזה משל מן הנפרד ואפשר לבא מכל המינים כמו המתחלף והוא יחלק לנזור מתפרד ולנזור מתדבק
והמתפרד הוא מה שזכרתי שתקח איזה שני מינים תרצה ותכתוב ביניהם פחות ויהיה השני מועט מן הראשון
והמתדבק הוא מה שתאמר שני שלישים פחות שני רביעים מהשני השלישים וזו צורתו
ב פחות ב
ד ג
אמ': וההצעה הוא שנשיב כל מה שהונח בשאלה בעינה אל פחות שבר שבה והיא תתחלף בהתחלפות השברים והם חמשה פנים: נפרד ומתיחס ומתחלף וחלקיי ונזוריי
פי': הוא אמר בתחלת השער שזה השער כולל שמות השברים והצעתם שזכר שמות כל השברים למיניהם יזכור הצעתם
ואמ' כי ההצעה היא שנשיב כל השברים שיהיו לנו בחשבוננו אל הפחות שבר שבהם עד שנדע מספרם ונאמר כך וכך שברים מן השבר ההוא יש בכל החשבון
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)<\frac{3}{4}\longrightarrow\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)=\frac{16}{5}\sdot\frac{1}{4}}}
 המשל שאם היה לנו שלשה רביעיות וחומש רביעית הנה השבר הפחות הוא חומש רביעית ולכן נשיבם כלפי חומשי רביעיות ונאמר כי הם י"ו חומשי רביעית
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{7}\right)<\frac{2}{7}\longrightarrow3+\frac{2}{7}+\left(\frac{3}{9}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{210}{9}\sdot\frac{1}{7}}}
 וכן אם היו לנו שלמים ושברים כמו שלשה שלמים ושני שביעיות ושלשה תשיעיות השביעית הנה הפחות שבר הוא תשיעית השביעית נשים כל החשבון לו ויהיו ר"י תשיעיות שביעית
וכן כל הדומה לזה
ואמר כי הדרך בהצעה לא תהיה בכל השברים אחת אבל תתחלף כפי חלוף מיני השברי' כי כל מין מהם יש לו דרך בפני עצמו להשיבו אל הפחות שבר שבו
אמר כי השברים יבאו בשאלות על חמשה מינים
1) separated
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{5}{9}}}
 האחד הנפרד כי כבר יאמר בשאלה בקבוץ עד"מ קבץ רביע עם שליש או שני שלישיות עם חמשה תשיעיות וכל אחד מאלו יקרא נפרד כי הוא לבדו שבר או שברים
2) related
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{2}\right)}}
 והשני המתייחס כי יאמר קבץ שני רביעי חומש עם חמשה שביעיות חצי וכדומה לזה מן המתייחסים
3) partial
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{6}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{3}{9}\right)}}
 והשלישי החלקיי כי יאמר קבץ שלשה רביעיות של שלשה ששיות עם חמשה שביעיות של שלשה תשיעיות וכדומה לזה מכל החלקיים
4) subtractive
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)}}
 והרביעי הנזוריי אשר יאמר קבץ רביע פחות חומש עם שליש פחות שתות וכדומה לזה וזה יחלק לשני פנים וכו'
והחמשי המתחלף וזה אפשר קבץ רביע ושליש עם חומש ושתות וכן מן המתייחס קבץ רביע שליש ושבע שמניות עם שתות חומש וחומש שביעית וכן בכלם ויתרכבו אלה עם אלה כמתחלף כי יאמר קבץ נפרד ומתייחס עם נזור או חלקיי ומתיחס עם נפרד ונזור וכן מפנים רבים ויקראו כלם מתחלפים כי הם מינים ואלה דרכי ההצעות
אמ': הצעת הנפרד מה שעליו
פי': כשתרצה להשיב השבר הנפרד לפחות מה שיש בו קח המספר אשר על הקו והוא המבוקש
א
ג
והמשל רצית להציע שצורתו זו
הנה הצעתו הא' אשר על הקו
ג
ה
ואם רצית להציע שלשה חמשיות שצורתם זו
הצעתם ג' אשר על הקו וכן בכלם
וכן תעשה בשבר השבר במתיחס וכן בשבר שבר השבר או שברי השבר בעבור כי אין על הקו כי אם מספר אחד כמו הנפרד
א  
ג ד
המשל רביע שליש שצורתו זאת
הצעתו א' שעל הקו
א    
ט ז ה
וכן חומש שביעית תשיעי' שצורתו זו
ב  
ד ה
או שני חומשי רביע שזו צורתו
בכלם ההצעה היא האות אשר על הקו
‫[38]אמר: והצעת המתיחס מה שעל המורה הראשון במוכפל במורה הסמוך לו במשא עד סוף השטה או מה שעל המורה הראשון מוכפל מה שאחריו מן המורים ומה שעל השני בכל מה שאחריו מן המורים וכן עד שתכלה השטה ותקבץ הכלל
פירוש: זהו המתיחס אשר לו שברים ושברי שברים
ואמרו במשא ר"ל שתכפול המספר אשר על הראשון מן השברים במורה אשר אחריו

ומה שיתקבץ תוסיף עליו המספר אשר על המורה ההוא השני וזו התוספת תקרא משא
ומה שיתקבץ תכפלנו במורה השלישי ותוסיף על המקובץ מה שעל ראש המורה ההוא וכן עד סוף השטה

ואמרו או מה שעל המורה היא דרך אחרת להציע המתיחס
  • \scriptstyle\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)
 המשל לראשון: רצית להציע שלשה רביעיות ושני חומשי רביע ושתות חומש רביע וזו צורתם
ג ב א
ד ה ו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\left(3\sdot5\right)+2\right]\sdot6\right]+1&\scriptstyle=\left[\left(15+2\right)\sdot6\right]+1\\&\scriptstyle=\left(17\sdot6\right)+1=102+1=103\\\end{align}}}
 כפלנו ג' שעל המורה הראשון בה' שהם המורה השני היו ט"ו הוספנו עליהם ב' אשר על הה' היו י"ז

כפלנו הי"ז בו' שהם המורה השלישי היו ק"ב הוספנו עליהם א' שעל הו' היה המקובץ ק"ג והם הצעת אלה השברים תכתוב אותם למעלה מהם תמיד

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(3\sdot5\right)\sdot6\right]+\left[\left(2\sdot6\right)+1\right]&\scriptstyle=\left(15\sdot6\right)+\left(12+1\right)\\&\scriptstyle=90+13=103\\\end{align}}}
 ובדרך השנית כפלנו ג' בה' היו ט"ו וט"ו בו' היו צ'

עוד כפלנו ב' בו' היו י"ב הוספנו עליהם הא' שעל הו' היו י"ג קבצתם עם הצ' היו ק"ג

והמחבר לא זכר בדרך הזאת השנית שצריך להוסיף המספר האחרון שעל המורה האחרון עם המקובץ והוא כבר הכרתי וכן תעשה בכל דומה לזה
  • \scriptstyle\frac{4}{5}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)
 וצריך משל שני שתהיה סיפרא למעלה מן הקו והוא ד' חומשים וג' חומשי רביע חומש וה' שתות חומש רביע החומש וזו צורתם
ד 0 ג ה
ה ד ה ו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\left[\left(4\sdot4\right)\sdot5\right]+3\right]\sdot6\right]+5&\scriptstyle=\left[\left[\left(16\sdot5\right)+3\right]\sdot6\right]+5\\&\scriptstyle=\left[\left(80+3\right)\sdot6\right]+5\\&\scriptstyle=\left(83\sdot6\right)+5=498+5=503\\\end{align}}}
 תכפל ד' בד' יהיו י"ו ולא תוסיף כלום כי אין על הד' כלום אבל תכפול הי"ו בה' ויהיו פ' תוסיף ג' ויהיו פ"ג תכפול אותם בו' יהיו תצ"ח תוסיף ה' יהיו תק"ג
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\left(4\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6\right]+\left[\left(3\sdot6\right)+5\right]&\scriptstyle=\left[\left(16\sdot5\right)\sdot6\right]+\left(18+5\right)\\&\scriptstyle=\left(80\sdot6\right)+23=480+23=503\\\end{align}}}
 ובדרך השנית תכפול ד' בד' יהיו י"ו ותכפול י"ו בה' יהיו פ' ופ' בו' יהיו ת"פ

עוד ג' בו' יהיו י"ח תוסיף עליהם ה' יהיו כ"ג תקבצם על הת"פ יהיו תק"ג

אמ': והצעת המתחלף תכפול הצעת כל חלק במורים אשר בזולתו ותקבץ הכלל
פי' המתחלף כל שברים שאינם ממין אחד
כמו רביע ושליש ר"ל רביע אחד ושליש אחד
וכן שני חומשים ושלשה רביעיים
וכן אם היו שלשה או ארבעה מתחלפי' או יותר
כמו שני שלישים וארבעה חומשים וה' שביעיות וז' תשיעיות
וכן שנים מתיחסים או שלשה או יותר וכן מן הנזוריי' ומן החלקיים או נפרדים ומתיחס וכן מכלם
  • \scriptstyle\frac{2}{4}+\frac{3}{5}
 משל מן הנפרדים: שני רביעים ושלשה חומשים שזו צורתם
ב ג
ד ה
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot5\right)+\left(3\sdot4\right)=10+12=22}}
 וכבר ידעת כי הצעת המספר הוא מן אשר על הקו לכן תכפול הב' שהם הצעת האחד בה' שהם המורה השני יהיו עשרה ותכפול הג' שהם הצעת הא' בה' שהם המורה השני יהיו עשרה ותכפול הג' שהם הצעת האחד בד' שהם המורה והראשון יהיו י"ב קבצם עם העשרה יהיו כ"ב וזה המבוקש והם כ"ב רביעיות חמישית או חמישיות רביעית
  • \scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{5}{6}+\frac{2}{3}
 והמשל לשלשה מתחלפים והם אלה
ג ה ב
ד ו ג
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(3\sdot6\right)\sdot3\right]+\left[\left(5\sdot4\right)\sdot3\right]+\left[\left(2\sdot6\right)\sdot4\right]&\scriptstyle=\left(18\sdot3\right)+\left(20\sdot3\right)+\left(12\sdot4\right)\\&\scriptstyle=54+60+48=162\\\end{align}}}
 תכפול ג' בו' יהיו י"ח תכפול י"ח בג' יהיו נ"ד

עוד תכפול הה' בד' יהיו כ' ועשרים בג' יהיו ס'
עוד תכפול ב' בו' יהיו י"ב והי"ב בד' יהיו מ"ח
תקבץ מ"ח ונ"ד וס' יהיו הכל קס"ב והוא המבוקש והם קס"ב שלישיות רביעית ששית

  • \scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{6}\right)
 והמשל מן המתיחסים שני שליש רביע וד' חומשי שתות וזו צורתם
ד   ב  
ו ה ד ג
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(2\sdot6\right)\sdot5\right]+\left[\left(4\sdot3\right)\sdot4\right]&\scriptstyle=\left(12\sdot5\right)+\left(12\sdot4\right)\\&\scriptstyle=60+48=108\\\end{align}}}
 תכפול הצעת הראשון שהוא ב' בו' יהיו י"ב והי"ב בה' יהיו ס'

ותכפול הצעת השני שהוא ד' בג' יהיו י"ב והי"ב בד' יהיו מ"ח
קבצם עם הס' יהיו ק"ח והוא המבוקש והן ק"ח רביעי שליש חומש שתות

  • \scriptstyle\left[\frac{4}{5}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]+\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]
 משל שני מן המתיחסים: ד' חומשים ושני תשיעיות חומש וה' ששיות וו' שביעית ששית וזו צורתם
ה ו ד ב
ו ז ה ט
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\left(4\sdot9\right)+2\right]\sdot6\sdot7\right]+\left[\left[\left(5\sdot7\right)+6\right]\sdot9\sdot5\right]\\&\scriptstyle=\left[\left(36+2\right)\sdot6\sdot7\right]+\left[\left(35+6\right)\sdot9\sdot5\right]\\&\scriptstyle=\left(38\sdot6\sdot7\right)+\left(41\sdot9\sdot5\right)\\&\scriptstyle=\left(228\sdot7\right)+\left(369\sdot5\right)=1596+1845=3441\\\end{align}}}
 תציע כל אחד מהם כפי מה שידעת בהצעת המתיחס ותכתוב על כל אחד הצעתו

והנה תהיה הצעת הראשון כשתכפול ד' בט' יהיו ל"ו ותוסיף עליהם ב' יהיו ל"ח תכתבם עליו
עוד תציע השני כשתכפול ה' בז' יהיו ל"ה ותוסיף ו' יהיו מ"א תכתבם עליו
א"כ תכפול הצעת הראשונים במורים שבשני כשתכפול ל"ח בו' יהיו רכ"ח תכפלם בז' יהיו אלף ת"קצ"ו
עוד תכפול מ"א שהם הצעת השני בט' יהיו שס"ט תכפלם בה' יהיו אלף ת"תמ"ה
תקבצם על אלף ת"קצ"ו יהיו ג' אלפי' תמ"א והוא המבוקש

וכן תעשה בכל השאר המינים נזוריים [ו]חלקיים בשתציע כל אחד מהם ותכה הצעת האחד במורה השני
ואם היו ג' או ד' מתיחסים או איזה מין תעשה כמו שעשית בג' הנפרדים בשתכה הצעת כל אחד בכל המורים אשר באחרים ותקבץ הכל והוא המבוקש
אמ': והצעת החלקיי בשתכפול מה שעל הקו קצתו בקצתו
  • \scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\frac{5}{6}\sdot\frac{4}{9}
 פי': כבר ידעת כי החלקיי הוא שתאמר שלשה רביעיות מחמשה שתותים מד' תשיעיות וזו צורתם
ג ה ד
ד ו ט
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5\sdot4=15\sdot4=60}}
 והמשל בהצעתם תכפול ג' שעל הקו בה' הסמוכה לה יהיו ט"ו כפלם בד' שעל הקו שאחרי הה' יהיו ס' והוא המבוקש
אמ': והצעת הנזוריי אמנם המתפרד כמו המתחלף ותגרע המעט מן הרב ואמנם המתדבק תכפול הצעת המספר הראשון בהצעת השני הנזור ותכפול אותה ג"כ במורים אשר לו וגרע המעט מן הרב
פירוש: כבר ביארנו מה פירוש הוא הנזור והמתפרד והמתדבק ממנו ואמר כי הצעת המתפרד הוא בהצעת המתחלף שתכפול הצעת האחד במורי השני כי זה ג"כ ר"ל הנזורי [39]יש בו שברים מתחלפים אלא שבמתחלף תקבץ יחד שני הכפלים ובכאן במקום הקבוץ תגרע הפחות מן היתר
  • \scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{2}{5}
 והמשל רצית להציע שלשה רבעים של אחד פחות שני חומש אחד שזהו המתפרד וזה צורתו
ב פחות ג
ה ד
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot5\right)-\left(2\sdot4\right)=15-8=7}}
 כפלנו ג' בה' היו ט"ו וכפלנו ב' בד' היו ח' גרענו ח' מט"ו הנשאר ז' והוא המבוקש והם ז' רביעי חומש
וכן אם היו שני המספרים מתיחסים
  • \scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]-\left[\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]
 המשל שלשה רביעי' ושליש רביע פחות ג' חומשים וב' שלישי חומש וזו צורתם
ג ב פחות ג א
ה ג ד ג
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\left(3\sdot3\right)+1\right]\sdot5\sdot3\right]-\left[\left[\left(3\sdot3\right)+2\right]\sdot3\sdot4\right]\\&\scriptstyle=\left(10\sdot5\sdot3\right)-\left(10\sdot3\sdot4\right)\\&\scriptstyle=\left(50\sdot3\right)-\left(33\sdot4\right)=150-132=18\\\end{align}}}
 תציע כל אחד כמו שידעת בהצעת המתיחס וכתוב על כל אחד הצעתו

יהיה הצעת הראשון י' והצעת השני י"א
תכפול י' בה' יהיו נ' עוד תכפול נ' בג' יהיו ק"ן
א"כ תכפול י"א בג' יהיו ל"ג וכפול ל"ג בד' יהיו יהיו קל"ב
תגרע קל"ב מן ק"ן הנשאר י"ח והוא המבוקש והם י"ח שלישי שליש רביעי חומש

וכן תעשה בכל שאר המינים ונקל לעשות
  • \scriptstyle\frac{2}{3}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{2}{3}\right)
 והמשל בנזור המתדבק ב' שלישים פחות רביע הב' שלישים וזה צורתו
ב פחות א
ג      ד
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)-\left(2\sdot1\right)=8-2=6}}
 תכפול הצעת הראשון שהוא ב' בהצעת הנזור שהוא א' יהיה ב' עוד תכפול הב' במורה הנזור שהוא ד' יהיו ח' גרע מהם השנים ישארו ו' והוא המבוקש והם ו' רביעי שליש
  • \scriptstyle\left[\frac{4}{5}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]-\left[\left[\frac{2}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot\left[\frac{4}{5}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\right]
 והמשל במתיחס: ד' חומשים ושני שלישי חומש פחות ב' שביעיות וג' שמניות שביעית מן הראשונים וזו צ[ו]רתם
ב ג פחות ד ב
ז ח ה ג
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\left(4\sdot3\right)+2\right]\sdot7\sdot8\right]-\left[\left[\left(4\sdot3\right)+2\right]\sdot\left[\left(2\sdot8\right)+3\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(14\sdot7\sdot8\right)-\left(14\sdot19\right)\\&\scriptstyle=\left(98\sdot8\right)-266=784-266=518\\\end{align}}}
 הצענו הראשון ע"ד המתייחס היתה הצעתו י"ד כתבנוה למעלה והצענו השני הנזור ג"כ ע"ד המתיחס היתה הצעתו י"ט

כפלנו י"ד בי"ט היו רס"ו
עוד כפלנו י"ד בז' היו צ"ח כפלנום בח' היו תשפ"ד
גרענו מהם רס"ו הנשאר ת"קי"ח והם המבוקש והם ת"קי"ח שלישיות חמישיות שביעית שמינית

אמר: והשלם אם יהיה עם אלה השברים בשאלה בראשיתה תכפלנו במורים וקבץ עם ההצעה

ואם היתה באחריתה תכפול בו ההצעה
ואם היה באמצע בהצטרפו אל הקודם לו יהיה מאוחר ובהצטרפו אל מה שאחריו יהיה מוקדם תציענו אל אחד מהמצטרפים ועם הנשאר במתחלף באיחור ובהקדמה תכפלנו בהצעת הנשאר

פירוש: והשלם אם היה עם אלה השברים בשאלה בראשיתה אם בא מספר שלם עם אחד מכל אלה המינים
וידוע כי יבא על ג' פנים
אם שיהיה השלם הראשון
  • \scriptstyle2+\frac{2}{3}
 כמו ששאל השואל הציע לי שנים וב' שלישים וזו צורתם
ב ב
ג
או שיהיה השלם אחרון
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\sdot4
 כמו ששאל השואל הציע לי שני שלישי ארבעה וזו צורתם
ד ב
ג
זהו אמרו ואם היה באחריתה כלומר שיהיה השלם ששאלת אחר השברים
או שיהיה השלם באמצע שני שברים וזהו אמרו ואם היה באמצע וזה יבא על ב' פנים
האחד שיצטרף השלם אל הקודם לו ואז הוא מאוחר
  • \scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot2\right)+\frac{4}{6}
 כגון ששאל הציע לי ג' רביעי שנים וד' שתותים ופי': כאלו היו שברים מתחלפים כלומ' ג' רביעי שנים לבדם וד' שתותים לבדם וזו צורתם
ד ב ג
ו ד
וזהו אמרו [וזהו אמרו בהצטרפו אל הקודם יהיה המאוחר כי הוא דומה לאשר יבא השלם באחדי השברים והשני שיצטרף השלם אל המאוחר ואז הוא מוקדם]
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\left(3+\frac{3}{5}\right)
 [כגון ששאל הציע לי שני שלישים משלשה ושלשה חומשים ופי': כאלו היו שברים חלקיי' כלומ' ששני שלישים מן השלשה ומן הג' [ג'] חומשים וזו צורתם
ג ג/ ב
ה ג
[וזהו אומרו ובהצטרפו] ובהצטרפו אל מה שאחריו יהיה מוקדם כי הוא דומה לאשר יבא השלם קודם השברים
ואמ' כי כשיהיה השלם עם השברים בראשית השאלה שההצעה היא שתציע תחלה השברים על הדרך הראויה להם ותשמור היוצא אח"כ תכפול השלם במורים אשר בשברים ותקבץ היוצא עם השמור מן ההצעה
  • \scriptstyle2+\frac{2}{3}
 המשל רצית להציע ב' וב' שלישים וזו צורתו
ב ב
ג
\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{2}{3}=\frac{\left(2\sdot3\right)+2}{3}=\frac{6+2}{3}=\frac{8}{3}}}
 הצענו השבר והוא שנים שמרנום א"כ כפלנו הב' שלמים בג' שהוא מורה השבר היו ו' קבצנום עם השנים והיו ח' והוא המבוקש והם ח' שלישיות
  • \scriptstyle3+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)
 ואם היה השבר מתיחס והמשל ג' ורביע חומש זו צורתם
א   ג
ה ד
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot5\sdot4\right)+1=\left(15\sdot4\right)+1=60+1=61}}
 הנה הצעת השבר א' תכפול ג' בה' ט"ו וט"ו בד' ס' תקבצם עם הא' יהיו ס"א והוא המבוקש והם ס"א רביעי חומש
  • \scriptstyle4+\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)
 והמשל במתיחס השני: ד' וב' חומשים וג' רביעי חומש וזו צורתם
ב ג ד
ה ד
\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot5\sdot4\right)+\left[\left(2\sdot4\right)+3\right]=\left(20\sdot4\right)+11=80+11=91}}
 תציע השבר תהיה ההצעה י"א תשמרם

ותכפול הד' שלמים במורים ד' בה' כ' ד' בכ' פ' תקבצם עם הי"א יהיו צ"א והוא המבוקש והם צ"א רביעי חומש

  • \scriptstyle3+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}
 והמשל במתחלף ג' ורביע וחומש וזו צורתם
א א ג
ה ד
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot4\sdot5\right)+\left[\left(1\sdot5\right)+\left(1\sdot4\right)\right]=\left(12\sdot5\right)+9=60+9=69}}
 הצענו השברים היתה ההצעה ט' וכפלנו הג' בד' י"ב וי"ב בה' ס' קבצנום עם הט' היו ס"ט והוא המבוקש והם ס"ט רביעי חומש
וכן תעשה בחלקיי ונזוריי תציע כל אחד מהם בדרך הראויה לו ותכפול השלם במורה השברים ותקבץ היוצא עם ההצעה
ואמר כי כשיהיה השלם אחר השברים תציע השברים תחלה והיוצא בהצעה תכפלנו בשלם
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\sdot4
 המשל שני שלישי ארבעה וזו צורתם
ד ב
ג
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot4=\frac{2\sdot4}{3}=\frac{8}{3}}}
 הנה הצעת השברי' ב' תכפול אותם בד' יהיו ח' והוא המבוקש והם ח' שלישים
וכן במתיחס אשר הצעתו מספר אחד לבד כלומר שבר השבר
  • \scriptstyle\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot6
 כמו שליש רביע ששה בזו הצורה
ו ‫0 א
ד ג
\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot6=6}}
 תכה אחד בששה והוא המבוקש והם ששה שלישי רביע
  • \scriptstyle\left[\frac{3}{9}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot6
 והמשל במתיחס ג' תשיעיו' וה' ששיות תשיעיות חמשה וזא' צורתם
ה ג ה
ט ו
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot6\right)+5\right]\sdot5=23\sdot5=115}}
 הנה הצעת השברים כ"ג תכפול אותם בה' יהיו ק"ט"ו והוא המבוקש והם ששיות תשיעיות
ונקל לדעת שאר המינים
וכשיהיה השלם בין שני שברים ויהיה השלם מצטרף אל השבר הקודם לו אשר אז יקרא מאוחר ר"ל שדומה לשלם כאשר יבא אחר השברים
אמר: שהצעתו היא שתציענו על המצטרף לו שהוא הקודם לו שהוא הקודם לו כן תציענו עם השבר הנשאר שהוא אחרון כאלו היו שני מתחלפים
  • \scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot2\right)+\frac{4}{6}
 המשל בזה שלשה רביעי שנים וד' ששיות כי השנים מצטרף אל הראשון וזו צורתו
ד /ב ג
ו ד
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot2\right)+\frac{4}{6}=\frac{3\sdot2}{4}+\frac{4}{6}=\frac{6}{4}+\frac{4}{6}}}
 תציע השבר הראשון עם השלם כמו שהראיתיך בבא השלם אחר השברים והוא שתכפול [40]שלשה שהם הצעת השבר בשלם שהוא ב' יהיו ו' והם ו' רביעיים תכתבם על השבר והשלם שהצעת ויהיו לך אז שני שברים מתחלפי' וזו צורתם
ד ב ו
ו ד
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot2\right)+\frac{4}{6}=\frac{6}{4}+\frac{4}{6}=\frac{\left(4\sdot4\right)+\left(6\sdot6\right)}{4\sdot6}=\frac{16+36}{4\sdot6}=\frac{52}{4\sdot6}}}
 תעשה בהם כמו במתחלפים תכפול ד' בד' יהיו י"ו ותכפול ו' בו' יהיו ל"ו תקבצם יהיו נ"ב והוא המבוקש והם [נ"ב] ששיות רביעית או רביעי[ו]ת ששית וכן תעשה בשאר המינים
וכשיהיה השלם בין שני שברים ויהיה השלם מצטרף אל השבר המאוחר שאז יקרא מוקדם ר"ל שדומה לשלם כאשר יבא קודם השברים
אמר: שהצעתו היא שתציע השלם עם המצטרף לו שהוא המאוחר וא"כ תכפול ההצעה עם הצעת השבר הנשאר שהוא הקודם כאלו היו שני שברים חלקים שהדרך הראויה להם לכפול ההצעה עם ההצעה כמו שידעת
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\left(3+\frac{3}{5}\right)
 המשל בזה שני שלישים משלשה ושלשה חומשים וזו צורתם
ג \ג ב
ה ג
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot5\right)+3=15+3=18}}
 תכפול השלשה שלמים בה' שהוא המורה השבר יהיו ט"ו קבצנום עם הג' שהם הצעת השבר כמו שהראיתיך בבוא השלם קודם השברים יהיו י"ח כתבנום למעלה והנה יהיה לך שני שברים חלקיים וזו צורתם
ב יח
ג [ה‫]
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot18=36}}
 תכפול הב' בי"ח יהיו ל"ו והוא המבוקש והם שלישי חמישית וכן תעשה בשאר המינים
ובעבור שהמחבר אמר: שני אלה הפנים יחד ע"כ אמר: תציענו עם אחד מהמצטרפים ושעור דבריו כשיבא השלם באמצע שני שברים הוא יצטרף אל אחד מהם
אם הצטרף אל הקודם הנה הוא כשלם הבא אחר השברי'
ואם הצטרף אל המאוחר הנה הוא כשלם הבא קודם השברים
והצעתו היא שתציע השלם על אחד מן המצטרפים ר"ל על השבר אשר הוא מצטרף בשאלה
וא"כ אם זה השלם המצטרף היה מאוחר ר"ל שהצטרף אל הקודם תציע ההצעה ההיא עם השבר השני כאלו היו מתחלפים
ואם היה קודם ר"ל שהצטרף אל המאוחר תכפול ההצעה ההיא בהצעת השבר הנשאר כאלו היו שם שברים חלקיים
ואלו הם כל מיני ההצעות וראוי שיהיו ידועים לבעל החכמה הזאת בשלמות
אמר: וראוי שיוסר השתוף בין ההצעה והמורים
פירוש: כבר ידעת כל דרכי ההצעות וידעת כי המורים הם מספרי' אשר תחת קוי השברים
ואתה תמצא בשערים שלאחר זה שאתה צריך לחלק ההצעה או מספר מה על המורים או מורים על מורים או הצעה על הצעה
והדרך בחלוקה על מורים היא אחת: והיא שתכתוב המורים כלם תקדים איזה שתרצה ואחר איזה שתרצה
והיותר טוב שתכתוב לצד ימינך הגדולים שבמורים ותלך בהדרגה עד שיהיה קטן שבהם לצד שמאלך
ותרשום עליהם קו
א"כ תחלק המספר אשר יש לך לחלוק או ההצעה על המורה הראשון אשר לצד שמאלך ותשמור היוצא בחלוקה
והנשאר שלא יתחלק שהוא פחות מן המורה תכתבנו על הקו כנגד המורה
ואם לא ישאר כלום תרשום צפר למעלה מן הקו
ותשמור אצלך שיצא לך בחלוקה תחלק על המורה השני אשר בצדו ותשמור היוצא
והנשאר הוא פחות מן המורה תכתבנו עליו
וכן עד שתחלק על כל המורים או על קצתם אם יכלה המספר המחולק וזו היא דרך החלוק בכלם
  • \scriptstyle\frac{\frac{\frac{\frac{518}{3}}{5}}{7}}{8}
 והמשל בזה: רצית לחלק תקי"ח על ח"ז ה"ג מורים תכתוב אותם על הסדר הזה
ד ו ב ב
ח ז ה ג
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{\frac{\frac{518}{3}}{5}}{7}}{8}&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{172+\frac{2}{3}}{5}}{7}}{8}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{172}{5}}{7}}{8}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\frac{34+\frac{2}{5}}{7}}{8}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\frac{34}{7}}{8}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=\frac{4+\frac{6}{7}}{8}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=\frac{4}{8}+\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}
 ותעשה עליהם קו ותתחיל ותחלק ת"קי"ח על ג' היוצא קע"ב וישארו ב' כתבם על הג' למעלה מן הקו

א"כ חלק קע"ב על ה' היוצא ל"ד וישארו ב' תכתבם על הה'
א"כ חלק ל"ד על ז' היוצא ד' וישארו ו' כתבם על הז'
א"כ חלק ד' על ח' ובעבור כי הם פחות מן המורה כתבם עליו וזהו המבוקש והם ד' שמניות וו' שבעיות שמינית וב' חמשיו' שביעית השמינית ושני שלישי חמישית השביעית השמינית

  • \scriptstyle\frac{\frac{\frac{360}{2}}{3}}{4}
 משל אחר: רצית לחלק ש"ס על
0 0 0
ד ג ב
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{\frac{360}{2}}{3}}{4}&\scriptstyle=\frac{\frac{180}{3}}{4}\\&\scriptstyle=\frac{60}{4}=15\\\end{align}}}
 כתבנום והקו עליהם חלקנום ש"ס על ב' היוצא ק"ף ולא נשאר כלום

חלקנו ק"פ על ג' היוצא ס' ולא שמנו כלום נשאר צפר על הג'
חלקנו ס' על ד' היוצא ט"ו ולא נשאר כלום שמנו על הד' צפר
והנה היוצא מזה בחלוק ט"ו שלמים בלי שבר

  • \scriptstyle\frac{\frac{\frac{\frac{360}{7}}{2}}{3}}{4}
 ואלו היו המורים
‫0 א א ג
ד ג ב ז
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{\frac{\frac{360}{7}}{2}}{3}}{4}&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{51+\frac{3}{7}}{2}}{3}}{4}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{51}{2}}{3}}{4}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\frac{25+\frac{1}{2}}{3}}{4}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\frac{25}{3}}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{8+\frac{1}{3}}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{8}{4}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=2+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}
 חלקנו ש"ס על ז' היוצא נ"א והנשאר ג' כתבנום על הז'

חלקנו נ"א על ב' היוצא כ"ה והנשאר א' כתבנום על הב'
חלקנו כ"ה על ג' היוצא היוצא ח' והנשאר א' כתבנום על הג'
חלקנו ח' על ד' היוצא ב' ולא נשאר כלום
והנה היוצא ב' שלמים ושלישית רביעית וחצי שלישית רביעית וג' שביעיות חצי שלישית רביעית

  • \scriptstyle\frac{\frac{\frac{\frac{360}{3}}{4}}{7}}{2}
 ואלו כתבנום המורים על סדר זה
א 0 0 0
ב ז ד ג
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{\frac{360}{3}}{4}}{7}}{2}=2+\frac{1}{7}}}
 היה היוצא שנים שלמים ושביעית ואחר זה נפרש דברי המחבר שאמר וראוי שיוסר השתוף בין ההצעה והמורים ר"ל כשרצה לחלק שום
הצעה או מספר על המורים בזה המספר אם הוא מורכב ויש בהרכבתו מן המורים תסיר המורה ההוא ותקח הראוי לו מן ההצעה ותחלק על המורים הנשארים
והמשל כשחלקנו למעלה ת"קי"ח על ח"זה"ג הנה נביט הרכבת תקי"ח הנה נמצא הרכבתו מן ז' וע"ד כי ז' פעמים ע"ד הם תקי"ח ולכן נסיר מן המורים ז' וישארו המורים
ד ה ב
ח ה ג
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{\frac{\frac{518}{7}}{3}}{5}}{8}&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{74}{3}}{5}}{8}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{24+\frac{2}{3}}{5}}{8}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{24}{5}}{8}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=\frac{4+\frac{4}{5}}{8}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=\frac{4}{8}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}
 ונקח מן תקי"ח הראוי לז' ר"ל שביעית ת"קי"ח והם ע"ד

נחלקם על ג' היוצא כ"ד וישארו ב' נכתבם על הג'
נחלק כ"ד על ה' היוצא ד' והנשאר ד' נכתבם על הה' והד' נכתבם על הח' והוא המבוקש ושוה הוא

ד ד ב
ח ה ג
אל
ד ו ב ב
ח ז ה ג
לא פחות ולא יתר אלא שהוא יותר נאות להיות השברים יותר מעטים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{\frac{\frac{360}{2}}{3}}{4}}{7}&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{180}{3}}{4}}{7}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{60}{4}}{7}\\&\scriptstyle=\frac{15}{7}=2+\frac{1}{7}\\\end{align}}}
 ‫[41]ובמשל השני שהוא ש"ס ד' ג' ב"ז חפשנו ש"ס והנה הוא מורכב מב' ומג' ומד'

כי כשתחלק ש"ס לב' יהיו ק"ף
וק"ף נחלקם לג' יהיו ס'
וס' לד' יהיו ט"ו ולכן נסיר מהמורים ד"גב
וישארו ז' ונקח הראוי לדג"ב מן ש"ס הוא ט"ו כפי מה שנזכר נחלקם על

א
ז
יהיה היוצא ב' שלמים והנשאר אחד נכתבנו על הז'
וכשהמספר אינו מורכב אין דרך למעט בשברים מזה הצד אבל יש צד אחר למעט בשברים ואינו נוהג בכלם כי אם בקצתם
וזה כי כשתמצא במורים שני פעמים ב' תוכל להשיבם ו' וב'
וד' תוכל להשיבם ח'
וג' ג' תוכל להשיבם ט'
וב' ה' תוכל להשיבם 0"א
אבל שאר המורים לא תוכל למעט אותם
והמשל אם היו המורים כזו הצורה
       
ד ג ב ב
תוכל להשיבם ח"ו או דג"ד או דו"ב
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{\frac{48}{2}}{2}}{3}}{4}=\frac{\frac{\frac{24}{2}}{3}}{4}=\frac{\frac{12}{3}}{4}=\frac{4}{4}=1}}
 כי אם תחלק מ"ח על ב' יהיו כ"ד וכ"ד על ב' יהיו י"ב וי"ב על ג' יהיו ד' היוצא אחד
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{48}{6}}{8}=\frac{8}{8}=1}}
 וכן אם תחלק המ"ח על ו' היוצא ח' וח' על ח' היוצא אחד וכן אם תחלק המ"ח על ד' היוצא י"ב וי"ב על ג' היוצא ד' וד' על ד' היוצא אחד
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{48}{2}}{6}}{4}=\frac{\frac{24}{6}}{4}=\frac{4}{4}=1}}
 וכן אם תחלק המ"ח על ב' יהיו כ"ד וכ"ד על ו' ד' וד' על ד' היוצא אחד והקש על זה
וכל מקום שיאמר שתחלק הצעה על הצעה המעשה בזה כחלוקת השלמים זה בזה
וכל שיאמר שתחלק מורים על מורים המעשה שתכפול המורים שתרצה לחלק הראשון בשני והיוצא בשלישי וכן כלם ותקבץ היוצא ותחלקנו על המורים האחרים
המשל: רצית לחלק דג"ה על ב"ה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{4\sdot3\sdot5}{5}}{2}=\frac{\frac{12\sdot5}{5}}{2}=\frac{\frac{60}{5}}{2}=\frac{12}{2}=6}}
 כפלנו ד' בג' היו י"ב וי"ב בה' היו ס' והוא המספר המחולק חלקנו אותו על ה' היוצא י"ב ולא נשאר כלום כתבנו על הה' צפר חלקנו י"ב על ב' היה היוצא ו' ולא נשאר כלום וזהו המבוקש והקש על זה

Chapter Two: Addition and Subtraction of Fractions

 השער הב' בקבוץ השברים וגריעתם
והמעשה בקבוץ שתכפול הצעת כל שטה במורה האחרת ותחלק המקובץ על המורים ובגרעון תגרע המעט מן הרב קודם החלוק על המורים
פירו': עם ידעתך כל מה שקדם מן ההצעות והחלוקים זה השער נקל להבין וגם השערים הבאים אחריהם
ואמר כי המעשה בקבוץ שברים עם שברים הוא שתכתוב בשניהם ותכפול הצעת כל אחד מהם במורים אשר בשני ותקבץ היוצא ותחלקנו על כל המורים אשר בשברים
  • \scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{5}{9}
 המשל בנפרדים: רצית לקבץ ב' שלישיות לה' תשיעיות
ה ב
ט ג
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{5}{9}=\frac{\frac{\left(2\sdot9\right)+\left(5\sdot3\right)}{3}}{9}=\frac{\frac{18+15}{3}}{9}=\frac{\frac{33}{3}}{9}=\frac{11}{9}=1+\frac{2}{9}}}
 כפלנו ב' שהם הצעת הראשון עם ט' שהם מורי השנית היו י"ח וכפלנו ה' שהם הצעת השני בג' שהם המורה הראשון היו ט"ו קבצנו ט"ו וי"ח היה ל"ג חלקנום על ג' היוצא י"א ולא נשאר כלום
ב 0 א
ט ג
שמנו על הג' סיפרא חלקנו י"א על ט' היוצא אחד שלם ונשארו שנים כתבנום על הט' והנה היוצא אחד וב' תשיעיות
  • \scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]+\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]
 והמשל במתיחס: ג' רביעים וחומש רביעית עם ד' תשיעיות ושלשה שביעיות תשיעית
ד ג ג א
ט ז ד ה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]+\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\frac{16}{5}}{4}+\frac{\frac{31}{9}}{7}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{\frac{\left(16\sdot9\sdot7\right)+{\color{red}{\left(31\sdot4\sdot5\right)}}}{7}}{9}}{5}}{4}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{\frac{\left(144\sdot7\right)+{\color{red}{620}}}{7}}{9}}{5}}{4}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{\frac{1008+{\color{red}{620}}}{7}}{9}}{5}}{4}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{\frac{1628}{7}}{9}}{5}}{4}\\&\scriptstyle=1+\frac{1}{4}+\left(\frac{7}{9}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}
 הצענו כל אחד וכתבנו עליו הצעתו והיתה הצעת הראשון י"ו והצעת השני ל"א כפלנו י"ו בט' וז' שהם המורים השני י"ו בט' קמ"ד בז' יהיה היוצא אלף ח' היו הכל אלף ת"רכ"ח חלקנום על המורים ד ה ט ז הנה היוצא אחד שלם ושברים אלה
א 0 ו ד א
ד ה ט ז
והכלל בקבוץ שתציע כל השברים שתרצה לקבץ כאלו היו שברים מתחלפים ותחלק ההצעה על כל המורים וכשתרצה לגרוע מספר שברים ממספר שברים תציע האחד בפני עצמו והשני בפני עצמו ותכפול כל אחד במורי השני ותגרע הכפל אשר הוא מעט מן הכפל אשר הוא רב והנשאר תחלק על המורים
  • \scriptstyle\frac{7}{9}-\frac{2}{3}
 המשל בנפרד רצינו לגרוע
ז מן ב
ט ג
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}-\frac{2}{3}=\frac{\frac{\left(7\sdot3\right)-\left(2\sdot9\right)}{9}}{3}=\frac{\frac{21-18}{9}}{3}=\frac{\frac{3}{9}}{3}=\frac{1}{9}}}
 כפלנו ב' בט' היו י"ח וז' בג' היו כ"א גרענו י"ח מן כ"א הנשאר ג' חלקנום על ט' ג' שהם המורים היוצא
א
ט
והוא המבוקש
  • \scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]-\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]
 והמשל במתיחסים: רצינו לגרוע מן
ג א מן ד ג
ד ה ט ז
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]-\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\frac{16}{5}}{4}+\frac{\frac{31}{9}}{7}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{\frac{\left(16\sdot9\sdot7\right)+\left(31\sdot4\sdot5\right)}{5}}{4}}{7}}{9}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{\frac{1008-620}{5}}{4}}{7}}{9}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{\frac{388}{5}}{4}}{7}}{9}\\&\scriptstyle=\frac{2}{9}+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 הצעת הראשון ל"א במוכפל במורי' השני יהיה תר"ך והצעת השני י"ו ומוכפל במורי' הראשון אלף ח' גרענו תר"ך מאלף ח' הנשאר שפ"ח חלקנום [על] ט"זד"ה שהם המורים יהיה היוצא זה
ב ה א ג
ט ז ד ה
והקש על זה בשאר המינים

Chapter Three: Multiplication of Fractions

 השער הג' בכפל השברים
והוא חלוק אחד השברים בשיעור האחר
פי': זהו גדר כפל השברים כי כפל השלם הוא שתקח מן המספר האחד פעמים כשיעור כל אחדי המספר השני וכפל השבר הוא שתשבר האחד במספ' השני
המשל כפל חצי בחצי
הוא שתקח מן החצי חציו והוא רביע
וכפל שני שלישים בה' תשיעיות
הוא שתקח מכל תשיעית שני שלישיתו יהיו י' שלישים תשיעית שהם ג' תשיעיות ושליש תשיעית
או תקח מכל שליש ה' תשיעיות ויהיו י' תשיעיות שליש שהוא שליש ותשיעית שליש
הנה אתה משבר האחד על מספר השני וכן בכל השברים
אמ': והמעשה בזה שתכפול הצעת אחד השטות בהצעה האחרת ותחלק היוצא על המורים
  • \scriptstyle\frac{2}{9}\times\frac{5}{7}
 והמשל בנפרדים: רצית לכפול ב' תשיעיות בה' שביעיות כתבנום כן
ב ה
ט ז
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}\times\frac{5}{7}=\frac{\frac{2\sdot5}{9}}{7}=\frac{\frac{10}{7}}{9}=\frac{1}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)}}
 כפלנו ב' בה' שהם ההצעות היוצא י' חלקנום על ט"ז שהם מורים היה היוצא
א ג
ט ז

והוא המבוקש

  • \scriptstyle\left[\frac{2}{3}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{4}{8}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]
 ובמתיחסים רצית לכפול שני שלישים וד' חומשי שליש בד' שמניות וה' ששיות שמינית וזו צורתם
ד ה ב ד
ח ו ג ה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{2}{3}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{4}{8}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{\frac{14\sdot29}{6}}{8}}{5}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{\frac{406}{6}}{8}}{5}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\right)\\\end{align}}}
 והנה הצעת הראשון י"ד והצעת השני כ"ט כפלנו י"ד בכ"ט היוצא ת"ו חלקנום על
א ג ג ד
ג ה ח ו

והוא המבוקש וכן תעשה בשאר המינים

Chapter Four: Division of Fractions

 השער הד' בחלוק השברים
והמעשה בהם שתכפול הצעת כל שטה במורה האחרת ותחלק היוצא מן המחולק על היוצא מן אשר עליו תחלק או תקרא לו שם ממנו
‫[42]פירוש: כבר ידעת כי כשהמחולק יותר מן אשר עליו תחלק יקרא חלוק ואם הוא פחות ממנו הוא קריאת שם
והמשל כשתחלק עשרה עד חמשה יקרא חלוק כי היוצא ב' לכל אחד אבל אם תחלק ה' על עשרה יקרא קריאת שם כי תכתוב העשרה ועליהם קו ותכתוב הה' למעלה והם ה' עשריות
א
‫0א

והוא אשר יבא לכל אחד

והסבה בזה בעבור כי בחלוק המעט על הרב אין שם שלם שיצא בחלוק מן המחולק לו אחד שלם מן המספר המחולק ולא שבר משבריו אם היו שברים
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\div\frac{1}{4}
 והמשל בחלוקת השברים הנפרדים: רצית לחלק ב' שלישים על רביע והרצון בזה שנדע למה חלק האחד השלם

ואחר אשר הרביע יש לו שני שלישים האחד השלם יהיו לו ח' שלמים והם ב' שלמים וב' שלישים והדרך במספר כן נכתבם כזו הצורה

ב א
ג ד
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\div\frac{1}{4}=\frac{2\sdot4}{3\sdot1}=\frac{8}{3}=2+\frac{2}{3}}}
 ונכפול הא' בג' היוצא ג' והוא אשר עליו החלוק ונכפול ב' בד' והם ח' והוא המחולק חלקנו ח' על שלשה היוצא ב' ושני שלישים והוא המבוקש
אמ': וכאשר ישתוו מורי השתי שטות תחולק ההצעה או יקרא לה שם מבלתי כפל במורים
פי': אמר כי כאשר היו מורי המספ' המחולק דומים למורי המספר אשר עליו תחלק
  • \scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\frac{2}{4}+\left(\frac{{\color{red}{6}}}{8}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]
 כאלו רצית לחלק שלשה רביעים וז' שמניות רביעית על שני רביעים ושני שמיניות רביע וזו צורתם
ב ו / ג ז
ד ח ד ח
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\frac{2}{4}+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{3{\color{red}{1}}}{22}=1+\frac{9}{22}}}
 והנה מורי האחד ד"ח וכן השני ואמר כי אינך צריך בזה לכפול הצעת כל אחד במורי השני אלא תחלק הצעת זה על הצעת זה ט' היה ל"ה והשנית כ"ב חלקנום ל"ה על כ"ב יהיה היוצא אחד שלם וט' חלקים מכ"ב
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\frac{2}{4}+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{3{\color{red}{1}}\sdot4\sdot8}{22\sdot4\sdot8}=1+\frac{288}{704}}}
 ובדרך הראשון היה היוצא אחד שלם ורפ"ח חלקים מתש"ד והכל שוה אלא שזה נקל כשיהיו המורים שוים והקש על זה
אמ': וכאשר השתוו שתי ההצעות תחלק מורי המחלק עליו על מורי המחולק או תקרא לו שם מבלי כפל בהצעה
פי': כבר אומר הדרך להקל כשיהיו המורים דומים ועתה נותן דרך להקל כשישתנו ההצעות שלא תצטרך גם כן לכפול
  • \scriptstyle\left[\frac{4}{5}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\div\left[\frac{2}{6}+\left(\frac{8}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]
 כאלו רצית ד' חמישיות וב' ששיות חומש על שני ששיות וח' תשיעיות ששית וזו צורתם
ב ח ד ב
ו ט ה ו
והנה הצעת האחד כ"ו וכן הצעת השני ואמר כי אינך צריך לכפול הצעת האחד במורי השני אלא שתחלק מורי הנחלק עליו שהם ו"ט על מורי המחולק שהם ה"ו והיוצא הוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{4}{5}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\div\left[\frac{2}{6}+\left(\frac{8}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=\frac{26}{5\sdot6}\div\frac{26}{6\sdot9}=\frac{\frac{6\sdot9}{6}}{5}=\frac{\frac{54}{6}}{5}=\frac{9}{5}=1+\frac{4}{5}}}
 והדרך בזה תכפול ו' בט' יהיו נ"ד תחלק על ו' היוצא ט' וט' על ה' היוצא אחד שלם וד' חמשיות
ד 0
ה ו
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{4}{5}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\div\left[\frac{2}{6}+\left(\frac{8}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=\frac{26\sdot6\sdot9}{26\sdot5\sdot6}=1+\frac{624}{780}}}
 ובדרך הראשון יהיה היוצא אחד שלם ות"רכ"ד חלקי' מתש"פ הם ד' חמשיות אלא שזה הדרך נקל והקש על זה

Chapter Five: Completion and Reduction

 השער הה' בהשלמה והירידה
אמר: והמעשה בהם שתחלק המושלם אליו אל המושלם ויקרא המורד אליו מן המורד
פירוש: וכבר ביארתי עניינם בשלמים כי ההשלמה היא ידיעת מספר יכפל במספר ויבא ממנו המבוקש
  • \scriptstyle a\sdot4=8
 והמשל רצינו להשלים ד' עד שיהיו ח'
נבקש מספר נכפול בו הח' ויהיו ד' וזה המספר הוא חצי תכפול החצי בשמנה והיוצא ד' והדרך למצוא זה המספר אשר בו תכפול הוא בהשלמה שתחלק המספר אשר אליו תשלים על המספר אשר תרצה להשלימו והיוצא בחלוקה הוא המבוקש
והמשל מה שקדם מהשלמת ד' עד שיהיו ח' תחלק הח' אשר אליו תרצה להשלים על ד' אשר אתה רוצה להשלים יהיה היוצא בחלוקה ב' והוא המספר אשר אם תכפול הד' בו יהיו ח' והדרך בירידה הוא שתקרא שם למספר אשר אתה רוצה להוריד אליו מן המספר אשר אתה רוצה להוריד והוא המבוקש
והמשל מה שקדם מהורדת ח' עד שיהיו ד' תקרא שם לד' אשר אתה רוצה להוריד אליו מן הח' אשר אתה רוצה להורידם והוא שם הד' מן הח' הוא חצי והוא המספר אשר תכפול בו ח' ויהיו ד' והוא המבוקש
ובקש על זה בשלמים והוא הדרך עצמו בשברי' לא פחות ולא יותר אחר שכבר ידעת איך תחלק שברים על שברים ואיך תקרא שם לשברים מן השברים ולעולם המושלם אליו הוא יותר מן אשר תרצה להשלים והיורד הוא יותר מן אשר אליו תרצה להוריד

Chapter Six:

 השער הו' בהתכה
והוא שתתיך שבר גדול לשברים קטנים כלומר רביע כמה תשיעיות יש בו או שליש כמה רביעיות יש בו וכל מכל השברים
אמ': והמעשה בו שתכפול הצעת המותך במורי המותך אליו ויחלק המקובץ על מורי המותך ראשנה ומה שיצא על מורי המותך אליו באחרונה
פירוש: רצית להתיך שליש אל רביע כפלנו א' שהוא הצעת השליש על ד' שהוא מורה הרביע היוצא ד' חלקנו ד' על ג' היוצא א' נשאר א' נכתוב אותו על ג' נחלק הא' אשר יצא בחלוקה כשתכתבנו על הד' וזו צורתו והוא המבוקש
וכן תעשה בכל שאר השברים כי כבר ידעת הצעתם ומוריהם

Roots

 החלק השלישי בשרשים
אמר: השורש הוא רמז על כל מספר יוכה בדומה לו ויבא ממנו המבוקש שרשו והוא יחלק לב' חלקים: מדובר ובלתי מדובר ויבואו בו מן המעשים לפי כונתינו ארבעה שערים
פי': אמר כי מלת שורש היא מלה מועתקת בזאת המלאכה על צד קצת דמיון כי כמו שהשורש הוא העקר אשר עליו ויעמוד יבנה הדבר כן המספר הנקרא שורש בזאת החכמה הוא עקר אשר עליו יובנה המספ' המרובע וע"כ אמר רמז
והמשל כשתכה חמשה בחמשה היוצא כ"ה הנה כ"ה הוא מספר המרובע זהו השרש וזה החלק הוא יודיע לנו כשיהיה לנו מספר ונרצה לדעת שרשו אשר ממנו נהוה איך נעשה כי ידיעת המספר מן השורש הוא מענין שער ההכאה אשר כבר התבאר עניינו ואמרו מדובר ובלתי מדובר ר"ל כי כל מספר לפי הסברא יש לו שרש אבל לפי סדור המספר וחלקיו וחלקי חלקיו המוגבלים א"א לתת שרשם מצומצם ידובר בלשון לכל מספר אלא קצת המספרים יש להם שרש מצומצם כמו ד' שהשרש ב' וט' שהשרש ג' וי"ו שהשרש ד' וכן כל הדומה לזה אבל ג' וה' וו' וז' וח' אין להם שרש מצומצם ידובר אלא בקירוב והוא הנקרא בלתי מדובר

Chapter One: Extraction of Roots

 השער הא' בלקיחת שרש המספ' השלם
אמר והמעשה בזה שתספור מדרגות המספר בשרש ולא שרש עד סוף השטה א"כ תבא אל סוף בעלת שרש בשטה ותניח תחתיה מספר שתכה אותו בעצמו ותכלה בו מה שעליו או ישאר מה שאי אפשר בשלם שישאר פחות ממנו אח"כ תתיכנו כשתכפלנו אל תחת לא שרש ותבקש מספר תניחנו תחת בעלת שורש הקודמת לה ותכה אותו בנתך הכפול ועוד בעצמו תכלה בו מה שעל ראשו אז ישאר מה שאי אפשר בשלם שישאר פחות ממנו א"כ לא תסור תעשה כזה מכפילת המותך וההעתק עד שתבא אל על הגלגל הכלל ומה שיצא בשטה השנית קודם הכפילה הוא השרש
פי': תכתוב כל מספר שתרצה שרשו בשטה אחת כסדר כל אות רחוק מעט מחברתה ותעשה קו למעלה וקו למטה ותניח למטה מקום פנוי כדי שתכתוב שם הגדר וכפילת ההתכה וכן תניח למעלה מקום פנוי תכתוב כל מה שישאר שלא יכלה
והמשל: רצינו לדעת תתקפ"ז אלף תרנ"ד תכתוב אותם כסדר זו הצורה
  0 א      
  א ד א    
0 ח א ח 0  
א ז ה ה א ה
ט ח ז  ו  ה ד
  ט   ט   ג
  א ח א    
    א ט ח  
בין שני קוים ותספור המדרגות תקרא הראשונה שרש והשנית לא שרש והג' שרש והרביעי' לא שרש והה' שרש והו' לא שרש הנה האחרונה שבבעלות השרש היא המדרגה החמשית אשר בה ח' ונהגו לעשות תחת בעל השרש נקדה
ודע כי מה שאמר המחבר תבקש מספר תכה אותו בנפשו ויכלה מה שעליו ר"ל מה שעליו מה שבמדרגה והקודם לה אם היה שם מספר כמו בזו הצורה כי מדרגת השרש היא ח' וקודם לה ט' וכן בכל מקום שאמר מה שעליו

לכן נבקש מספר נניח אותו תחת הח' ונכה המספר ההוא בעצמו ויהיה כשעור ח"ט שעליו או ישאר פחות מן המספר ההוא ר"ל שאינך יכול להוסיף במספר שתכה אותו בעצמו יותר ממספר שלם שאלו היית מוסיף היה יוצא מן ההכאה יותר מן המספרים אשר על הראש אשר אתה רוצה לכלותם
והנה המספר הזה יהיה ט' נניח אותו תחת ה[ח']
ונכה ט' בעצמו יהיה פ"א חסרנוהו מח"ט שהם צ"ח יהיה הנשאר י"ז נכתבם למעלה מן הקו א' על הט' וז' על הח'
ואלו היית מוסיף על הט' אחד שלם היו עשרה וכשהכית אותם בעצמם היו מאה והם יותר מן צ"ח ושמור הענין תמיד
א"כ נתיך אלה הט' כשנכפלם ויהיו י"ח נכתוב אותם הח' תחת המדרגה אשר היה לה שורש בסמוך לראשונה והיא ז' והא' שהיא עשרה תחת הט'

א"כ נבקש מספר נכתוב אותו במדרגת שרש והיא המדרגה השלישית נכה אותו בנתך הכפול שהוא ח"א תחלה על א' וכלה במספר ההוא המוכה בא' מה שעליו והוא ז"א עוד נכה אותו על ח' ונכלה מה שעליו עוד נכה אותו בעצמו ונכלה מה שעליו והנה המספר הזה יהיה ג"כ ט'

נכה אותו בא' יהיה ט' וחסרנו מזה שעליו [יכ]לה הא' נכתוב עליו צפר וישאר מן הז"א ח' נכתבם על הז'
עוד נכה הט' בח' אשר מן הח"א הכפול יהיה ע"ב שהוא ב"ז נחסר זה מן הז' אשר עליו ומן הח' אשר קודם לה ישאר מן הח' א' ומן הז' ישאר ה' נכתוב הא' על הח' והה' על הז'
עוד נכה הט' בעצמם יהיו פ"א שהם א"ח נחסר מן הנשאר עליו ומן הה' והא' אשר קודם לו והם הכל קנ"ו שהם ו"ה"א הסר מהם פ"א הנשאר ע"ה שהם ה"ז נשים צפר אשר על הא' שכבר כלתה ונכתוב ז' על הה' וה' על הו'
א"כ נתיך הט' בשנכפלנו יהיו י"ח שהם ח"א נשים הח' תחת לא' השרש שהיא המדרגה השנית שיש בה ה' והא' תחת שרש שהיא המדרגה השלישית
א"כ תעתיק המותך שהוא ח"א ותשים הא' מן המותך אשר במעלה החמשית תחת הח' אשר במעלה הרביעית והא' אשר במעלה השלישית תחברנה עם הח' אשר במעלה הרביעית ויהיו ט' נכתוב אותם תחת הא' במעלה השלישית והח' אשר במעלה השני תעתיק אותה במעלה עצמה הנה יהיה לנו למטה ח"ט"א

נבקש מספר נניח אותו תחת הבעלת שרש שהיא הראשנה אשר שם ד' נכה המספר ההוא בכל אחת מן חט"א ויכלה כל מה שעליהם א"כ בעצמו ויכלה כל מה שעליו וקודם לו והמספר ההוא יהיה ג'

בהכותו בא' יהיה ג' וחסרנו מאשר עליו שהוא ז' ישאר ד' נכתבם על הז'
עוד נכה הג' בח' מן חט"א יהיו כ"ד שהם ה"ב נכלה אותו ממה שעליו והוא הח"א שהם קפ"ה יהיה הנשאר קס"א שהם או"א תשאר הא' במקומה על הד' ועל הח' נכתוב ו' ועל הה' נכתוב א'
א"כ נכה ג' בעצמו יהיה ט' נחסר אותה ממה שעליו וקודם לו והוא אלפ תרי"ד שהוא ד"או"א ישאר אלפ ת"ר"ה שהוא ה"0ו"א ישאר הא' במקומה על הד' והו' במקומו על הח' והא' כלה נכתוב עליו צפר והה' על הד' ונשלם המעשה

והנה השרש הוא מה שבשטה השנית והם ג'ט'ט'
וכשתכפול זה בעצמו יהיה היוצא ט ד 0 ו ח ט
וכשתקבץ עמהם ה 0 ו א הנשארים על הקו יהיה הכל ד ה ו ז ח ט והוא השרש היותר קרוב היותר קרוב שאי אפשר להיות שיהיה שלם ואנחנו נהגנו לעשות צורה אחת כל המדרגות לצד שמאל השתי שורות הראשונות שאות האחת עם האחדי' והבתים אשר הם לעולם זוגות אע"פ שלא תהיינה מדרגות המבוקש שרשו זוגות וזה כדי שתבא תמיד הצורה על דרך אחת אחר זה נגרע ותרד השורות מדרגות מדרגות בשורה הראשנה תכתוב המספר בכל בית מדרגה אחת ובשורה השנית נעשה נקודות בבתים בבעלות השרש ושם יכתב השרש ובשורה השלישית יכתב הניתך הכפול כפל כל ניתך תחתיו בשוה העשרות תחתיו והאחדים תחת הבית הנקראת לא שרש ואם לא יהיה בכפילה עשרות נשים במקומם תחת המותכת צפר ונכתוב האחדים תחת מדרגות לא שרש א"כ בשורה הרביעית תכתוב המועתק וקבץ העשרות עם האחדים אם יהיו שם כמו שחברנו הח' עם הא' והיה ט' וכן בשורה החמישית אם המספר גדול נכתוב גם כן המועתק בחסרון מדרגה וכן בששית וכן בכל וזאת היא הצורה במספר הוא בעצמו

והמעשה אחד בעצמו ולא שבזו הצורה בשורה השלישית הכפילות כמשפטן ובג' ג"כ מקובצים העשרות עם האחדים ובלתי מתערבות עם הצורות האחרות של הכפילה

ונמשיל משל אחד שיהיה המספר יותר רב כדי שתהיינה יותר שורות יתבאר העניין יותר זאת צורתו
      0 0          
  0 0 א א ה        
  א א ד ח ב 0      
  ב ט ז ו ד א ד    
0 ט ח ח ט ה ז ה    
0 0 0 ה ו ז ט 0 ז  
א ח ז ו ד ד 0 ד ד ו
ט ט ח ז ו ה ד ג ב א
  ט   ט   ט    ג   ח
  א ח א ח א ח 0    
    א ט ח          
      א ט ט ח      
        א ט ט      
הנה הגדר בשורה השנית והכפילות כל זה בשלישית כסדר ברביעית שתי כפילות הראשות והאחדים מחוברים עם העשרות הסמוכות להם לימין וכן בחמישית וכן בששית וישאר על הקו ז"ז ד 0 ה
ובזה המשל יש בכפילה צפר והאחדים והעשרות כדי שתדע איך תעשה כשיש אחדים ועשרות תקבצם וכשיש צפר במקום העשרות תכתוב האחדים לבדם
כמו שתראה בשורה הרביעית העתקנו הכפילה למדרגה אחת לימין בשורה הרביעית והח' והא' חברנום והיו ט' והא' כתבנוה עמם
א"כ בחמשית העתקנו א' שבשורה הכפילה שתי מדרגות לימין וחברנו ח"א היו ט' עוד ח"א היו ט' וכתבנו הח' האחרנה עמהם
ובשורה השנית העתקנו א' שבשורת הכפילה ג' מדרגות לימין וחברנו ח"א היו ט' עוד ח' וצפרא היו ח' וכתבנו הו' עמם כסדר
וכאשר כפלנו האות הראשון שהיו ט' והיתה ח"א הכינו בה הט' השנית וא"כ בעצמה
וכאשר העתקנו הכפילה בשורה הרביעית הכינו בכל מה שבאותה השורה הט' השלישית וא"כ בעצמה
וכאשר העתקנו כפילה לשורה הששית הכינו בה הח' בכל מה שבשורה ההיא וא"כ בעצמה
ואתה רואה כי כל כפילה תחלתה היא או א' או צפר
ולכן כאשר תניח המספר אשר תניח בעלת השרש להכותו בכפילה אם תצטרך להכותה בא' על הכפילה לכלות מה שעל ראש הא' ולא תמצא למעלה ממנה כלום כי אם צפר הנה אינך צריך להניח מספר בבעלת השרש כי אם צפר ותניח כל אשר למעלה כאשר הוא ותכפול הצפר ותכתוב בשורות הכפילה שתי צפרות אחת תחת הצפר שבבעלת השרש ואחת סמוכה לה תחת לא השרש ותעתיק הכפילה וכל מה שתמצא בכפילה אחדים ועשרות כי אם צפר תקבץ הצפר עם האחדים כשתשליך הצפר ותכתוב האחדים לבדם ואם תמצא במקום האחדים צפר וכן במקום העשרות צפר ר"ל שתמצא בשורות הכפילה שתי צפרות סמוכות במקום המספרים שהיית ראוי לקבץ תכתוב במקום השתי צפרות צפר אחד
והנה לך צורה למשל אחר והמעשה בכל זה אחד
      0 א          
  0   א ז ה ד ה    
  ב 0 ד ד ט ה ו ה  
0 ה א ח ו ה ז א 0 ו
ח ו ה ז ח ט ח ז ו ד
  ט   ג   0   ד   ז
  א ח 0 ו 0 0 0 ח  
    א ח ו          
      א ח ו 0      
        א ח ו 0 ח  
והנה לך משל אחר ולא תהיינה מדרגות המספר המבוקש שרשו זוגות כדי שתראה כי הצורות העשויות אחת וכדי שתדע איך תתחיל לקחת השרש וזו צורתו
        ו 0      
    0 0 א א      
    א ד ג ה ח    
  0 ב ו ה ז א ד  
0 ב ו ח ט ח ט ח ה
ט ח ז ו ה ד ג ב א
ג   א   ד   ב   ו 
0 ו 0 ב 0 ח 0 ד  
  0 ו ב          
    0 ו ב ח      
      0 ו ב ח ד  
הנה בזאת הצורה ג"כ אין בכל הכפילה עשרות כי אם צפרות ואחדים ואתה רואה איך קבוצם בכל השורות שמור והבן והנה לך צורה שכל המבוקש שרשו צפר זולתי האחרונה בכל הצורות תוכל להבין איך תעשה בכל מספר שתבקש שרשו כי יש לך משלי' לכל הפנים הראויים שיש ביניהם חלוף תמו שרשי השלמים ויבואו שרשי שלמים ושברים בעזרת צור מחסה חולים ושברי'
אמר: ואם נשאר כלום קרא לו שם מכפל השרש השלם אם היה כמו השרש או פחות ממנו ואם יותר מן השרש הוסף בו אחד ובשרש הכפול שנים וקרא לו שם ממנו והוסף השם על השרש עם השלם ומה שיהיה הוא השרש אשר יוכה בעצמו ויבא ממנו המבוקש שרשו בקירוב
פירוש אמרו: ואם נשאר ממנו כלום ר"ל אחר אשר יצא השרש במעשה הנזכר אם נשאר על הקו מספר או מספרים שלא יכללם השרש היוצא כי כבר ידעת שיש שרש מדובר שיש לו שרש ממספר שלם מצומצם ויש שרש בלתי מדובר והוא אשר השרש אינו מצומצם אבל ישאר מן המספר כמו בו
על דרך משל הכ"ה מכ"ו שרשם ה' וישארו א' או יהיה השרש יותר מן המספר כמו ע"דמ כ"ד ואם ישאר ואם יאמר ששרשו ה' הנה השרש יותר כי הוא שרש כ"ה
ובמעשה הנזכר בלקיחת השרש לא יקרה זה לעולם שיהיה השרש יותר מן המספר אלא המספר יותר מהשרש והנשאר מן המספר יותר על השרש הוא הנמצא למעלה מן כל המספרים אשר על קו בצורה אשר ללקיחת הגדר
ועל זה אמר: ואם נשאר כלום
ודע כי זה הנשאר על הקו לעולם יהיה פחות מכפל השרש [ואחד] שאם היה בכפל השרש [ואחד] היה נתוסף בשרש אחד שלם ואמרו קרא לו שם כבר ידעת קריאת השם בשער החלוקה והוא ע'ד"מ שתקרא שם לה' מכ' והנה שם הה' מכ' רביע כ' ושם ידעתך איך תעשה לידיעת זה השם וידעת גם כן קריאת השם הוא שתקרא שם למעט מן הרב ואמרו הוסף עליו אחד ר"ל על המספר הנשאר ואמרו וקרא לו שם ממנו ר"ל קרא שם למספר הנשאר עם תוספת אחד מכפל השרש ותוספת שנים ואמרו על השרש עם השלם בעבור כי זה התוספת לעולם איננו אחד שלם לכן להיותו שבר או שברים יחוברו עם השלם ואמרו ואם היה כמו השרש ר"ל אם היה הנשאר כמו השרש כאלו היה השרש עשרה שהוא שרש מאה והיה המספר המבוקש שרשו מאה ועשרה יהיה הנשאר עשרה כמו השרש
ואם היה המספר המבוקש שרשו ק"ה יהיה הנוסף שהוא ה' פחות מהשרש
ואם היה המבוקש קט"ו היה הנשאר ט"ו שהם יותר מן השרש
ואמר שאם היה כמו השרש או פחות תקרא לו שם מכפל שרש המשל היה המספר המבוקש שרשו ק"י והשרש השלם יצא במעשה הנזכר י' וישארו י' שהם כמו השרש והשרש הכפול הוא כ' הנה נקרא שם לי' הנוספים מן הכ' והשם הוא חצי כי עשרה חצי עשרים ונחבר החצי עם השרש יהיה השרש עשרה וחצי והוא השרש הקרוב אשר כשתכה אותו בעצמו יהיה ק"י כי לא יוסיף כי אם רביע אחד
ואם היה המספר המבוקש שרשו ק"ה יצא השרש שלם עשרה והנשאר חמשה שהם פחות מן השרש והשרש הכפול הוא עשרים וקרא לו שם לה' מכ' והוא רביע כי ה' רביע כ' וחבר רביע עם העשרה שהם השרש יהיה השרש עשרה ורביע והוא השרש הקרוב אשר כשתכה אותו בעצמו יהיה ק"ה כי לא יוסיף כי אם [חצי] שמינית אחד
ואם היה המספר המבוקש ששרשו ק"ט'ו יצא השרש השלם עשרה וישאר ט"ו שהם יותר מן השרש בזה אמר שתוסיף אחד על הט"ו יהיו י"ו ותוסיף ב' על השרש כפול יהיו כ"ב תקרא שם לי"ו מכ"ב יהיה השם ח' חלקים מי"א נחבר אותם עם העשרה שהוא השרש יהיה השרש עשרה וח' חלקים מי"א והנה השרש הקרוב אשר כשתכה אותו בעצמו יהיה קט"ו כי זה השרש יבא חשבונו קי"ד וששה חלקים מי"א וחלק אחד מקכ"א וכן בכל הדומה על זה
אמ': ואם רצית לדקדק הקרוב קרא לו שם מכפל השרש וגרע היוצא מן השרש ישאר שרש שמרו דעו קרוב אל המספר המבוקש ששרשו יותר מן המרובע הראשון
פי' אמרו: ואם רצית לדקדק ר"ל להתקרב יותר אל האמת וכנוי לו באמרו קרא לו שם רומז לשבר שתוספת על השרש במעשה שלפני זה ואמרו מכפל השרש ר"ל השרש הראשון השלם ואמרו גרע היוצא מן השרש ר"ל מן השרש השני אשר הוא השלם והשבר ואמרו המרובע הראשון ר"ל הראשון אשר קודם זה שתוציא עתה בזה המעשה והוא המרובע ההוא מן השרש והשבר כשתכה אותם בעצמם כי בכאן ג' מרובעים האחד המרובע השלם היוצא במעשה הראשון והב' אשר נזכר קודם זה אשר שרשו השלם הראשון והשבר והג' היוצא עתה בזה המעשה ואמר שתקח השבר שיצא לך במעשה אשר קודם זה ותקרא לו שם מכפל השרש השלם והמשל בשרש ק"י שהמשלנו ויצא שהשרש במעשה הראשון עשרה וכפלנו ב' ובמעשה השני נתוסף עליו חצי והיה עשרה וחצי תקרא שם לזה השבר שהוא חצי מכפל השרש השלם שהוא עשרים יהיה שמו חלק א' מארבעים או אמור רביעית עשירית נגרע אותם מהחצי אשר בשרש ישאר השרש עשרה וארבעה עשיריות ושלישי רביעי עשירית וכשתכה זה השרש בעצמו יהיה זה המרובע היוצא יותר קרוב מן המרובע ההוה מן העשרה וחצי כי מרובע עשרה וחצי היו ק"י ורביע ומרובע זה השרש הוא ק"ט או אמור ק"ט והנה זה המרובע יותר קרוב מן הראשון א"ע'פ שהוא קרוב הוא מועט וזה כי הראשון הנה נוסף רביע וזה פחות רביע וג' עשיריות רביע הרביע וט' עשיריות עשירית רביע הרביע ויותר קרוב הוא הפחות מן הנוסף והקש על זה בשאר
אמר: ובקירוב אופן אחר והוא שתכה המספר המבוקש שרשו במספר מרובע גדול ממנו וילקח שרש המקובץ בקירוב ויחולק על שרש המרובע אשר בו הכית ומה שיצא הוא הקרוב
פי' אמרו במספר מרובע גדול ממנו ר"ל במספר שיהיה מרובע כלומר שתדע שרשו ויהיה גדול אותו המספר מן המספר שתבקש שרשו
כאלו רצית לדעת שרש כ'
תכה אותם בכ"ה שהוא מספר גדול מן העשרי' ושרש כ"ה ידוע שהוא ה' יהיה היוצא מן ההכאה ת"ק קח גדרם בקרוב וזה כ"ב וחצי חלק אותם על שרש המרובע אשר הכית בו וזה השרש הוא ה' כי המרובע כ"ה יצא בחלוקה שרש עשרים המבוקש והם ד' וחצי וכשתכה אותם בעצמם יהיו עשרים ורביע והוא השרש הקרוב הרבה מעשרים וכן תעשה בכל הדומה לזה
ואמתת זה יודע כשתקח מספר שיהיה מרובע ושרשו ידוע כאלו תאמר ד' ששרשו ב' ותכה הד' במספר מרובע ששרשו ידוע גם כן כאלו תאמר ט' ששרשו ג' יהיה היוצא בהכאה ל"ו תקח שרשם והוא ו' תחלק אותו על ג' יהיה היוצא בחלוקה ב' והוא המבוקש בשוה
ודע כי כשתרצה לדעת קירוב שרש אי זה מספר שתרצה על זה הדרך אשר יש לך להכותו במספר מרובע גדול ממנו כי הרשות בידך לקחת אי זה מרובע תרצה קרוב היה למספר המבוקש שרשו או רחוק בתנאי שיהיה גדול ממנו
והמשל כשרצינו לדעת שרש כ' ולקחת מרובע כ"ה קח במקום מרובע כ"ה מרובע ק' שהוא רחוק הרבה ושרשו ידוע והוא עשרה תכה כ' בק' היוצא אלפים תקח שרשם בקירוב וזה מ"ה בקירוב וכשתחלק זה על שרש מאה שהוא עשרה יהיה היוצא ד' וחצי הוא שרש עשרים כמו שיצא בראשנה וכן בכל הדומה לזה והדרך לקחת המרובע היותר קרוב לשרש אשר תרצה הקרבתו הוא שתוסיף על השרש אחד ותכה אותו בעצמו יהיה מרובע קרוב לשרש ההוא וגדול ממנו

Extracting the Root of Fractions
\scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a\sdot b}}{b} אמר ואמנם לקיחת שרש השברים הוא שתכה ההצעה במורים ותחלק שרש היוצא על המורים
The root of integer is necessarily smaller than the integer \scriptstyle\sqrt{n}<n
 פי' כבר ידעת כי שרש השלם הוא פחות מן המספר בהכרח
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{25}=5<25}}
 כי ה' הם שרש כ"ה וה' פחות מכ"ה
and so on
 וכן בכלם
Vice versa in fractions: the root is greater than the fraction whose root is sought \scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b}}>\frac{a}{b}
 ובשברים בהפך כי השרש יותר מן השבר שתבקש שרשו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}}
 כי שרש רביע הוא חצי
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}}
 וכשתכה חצי בחצי יהיה היוצא רביע
and so on
 וכן כלם
The method of determining the numerator and denominator of all [types of] fractions is known
 וכבר ידעת דרך ההצעה בכל השברים ולקיחת המורה
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{2}{8}}
 והמשל בלקיחת שרש השבר רצית לקחת שרש שני שמניות
numerator = \scriptstyle{\color{blue}{2}}
 הנה ההצעה הוא ב‫'
denominator = \scriptstyle{\color{blue}{8}}
 והמורה ח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{8}}=\frac{\sqrt{2\sdot8}}{8}=\frac{{\color{red}{\sqrt{16}}}}{8}=\frac{4}{8}}}
 הכינו ב' בח' היוצא י"ו

נרשם ד‫'
חלק ד' על המורה שהוא ח‫'

by denomination: denominating the 4 by the 8 \scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{8}=\frac{1}{2}}}
 וזה מקריאת השם כמו שידעת בשער החלוק ולכן תקרא שם לד' מן שמנה והוא חצי או אמור ד' שמניות וזה כשתכתוב הד' על הח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=\frac{2}{8}}}
 וכשתכה חצי בחצי יהיה זה רביע שהוא ב' שמניות
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{8}\sdot\frac{4}{8}=\frac{16}{8}\sdot\frac{1}{8}=\frac{2}{8}}}
 או הכה ד' שמינית בד' שמיניות היוצא י"ו שמיניות השמינית שהם שני שמיניות שלמות והוא המבוקש
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{3}{4}}
 ואם רצית שרש ג' רביעיות
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3\sdot4}}{4}=\frac{\sqrt{12}}{4}\approx\frac{3+\frac{1}{2}}{4}=\frac{7}{8}=\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)}}
 תכה ג' בד' היוצא י"ב

ושרשם בקירוב ג' וחצי
קרא להם שם מד' והם ז' שמיניות
או אמור ג' רביעיים וחצי רביעית

their written form:
 כשתכתוב אותם על הד' ויהיו כזו הצורה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\frac{3}{4}}}
א ג
ב ד
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}\sdot\frac{7}{8}=\frac{49}{8}\sdot\frac{1}{8}=\frac{2}{8}}}
 וכשתכה ז' שמניות בז' שמניות הם מ"ט שמניות שמינית
with an excess since among the roots of fractions some are expressible and some inexpressible, as in the roots of integers.
 תוספת כי שרשי השברים יש בהם גם כן מדובר ובלתי מדובר כמו בשרשי השלמים
The same is done for all [types of] fractions
 וכן תעשה בכל השברים
The methods are already known of determining the numerator and denominator, the multiplication, the extraction of roots, and the division by denomination, therefore this is a general method for [extracting] the roots of all [types of] fractions
 כי כבר ידעת דרכי ההצעות והמורים וההכאה ושרשי השלמי' והחלוק הנקרא בקריאת השם וזה הדרך כולל בכל שרשי השברים
If the numerator and the denominator have expressible roots: (root of numerator)÷(root of denominator) \scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} אמ' ואם היה להצעה שרש מדובר והמורה כמוריו חלק שרש ההצעה על שרש המורים
If the numerator and the denominator have reduced roots, there is no need to multiply the numerator by the denominator, only to extract the root of the numerator and divide it the the root of the denominator.
 פי' אם היה להצעה שורש מצומצם וכן גם כן למורים לא תצטרך להכות ההצעה במורים רק שרש קח ההצעה וחלקהו על שרש המורה והוא המבוקש
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{4}{9}}
 המשל רצית לדעת שרש ד' תשיעיות
numerator = \scriptstyle{\color{blue}{4}}
 הנה ד' שהוא ההצעה
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2}}
 שרשו ב‫'
denominator = \scriptstyle{\color{blue}{9}}
 וט' שהוא המורה
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=3}}
 ששרשו ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}}}
their written form:
 חלק שנים על שלשה כשתכתבם עליהם כך
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}
ב
ג
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}}}
 והם שני שלישיות והם שרש ד' תשיעיות
  • \scriptstyle\sqrt{2+\frac{7}{9}}
 וכן שרש שנים שלמים וז' תשיעיות
numerator = \scriptstyle{\color{blue}{25}}
 ההצעה כמו שידעת היה כ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{25}=5}}
 ושרשה ה‫'
denominator = \scriptstyle{\color{blue}{9}}
 והמורה ט‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=3}}
 ושרשם ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2+\frac{7}{9}}=\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}}}
 חלק ה' על ג' היוצא אחד שלם וב' שלישיות והוא שרש שנים שלמים וז' תשיעיות
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}
 ומשל אחר רצית שרש שני רביעים ורביע רביעית
their written form:
 וזו צורתם
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\frac{2}{4}}}
א ב
ד ד
numerator = \scriptstyle{\color{blue}{9}}
 הנה ההצעה תשעה
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=3}}
 ושרשם ג‫'
the root of the denominator = \scriptstyle{\color{blue}{4}}
 והמורים שרשם ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}=\frac{3}{4}}}
 תחלק ג' על ד' הם ג' רביעיות והוא שרש ב' רביעיים ורביע הרביע
The denominators are a number divided into parts
 ואמרנו שהמורים שרשם ד' כי כבר ידעת כי המורים הם מספר מחולק לחלקים
the number of the given denominators is 16, divided into 4 and 4
 ואלה המורים מספרם י"ו מחולקים והם ד' וד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}
 וכשתכה ד' בד' יהיו י"ו הנה בד' הם י"ו
4 and 4 are denominators of 16
 וד' בד' הם מורים לי"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}=4}}
 וי"ו שרשם ד‫'
If the numerator and the denominator do not have expressible roots, or if one of them has an expressible root but the other one does not have - the first general method should be applied.
 וכשתכה ההצעה ואין לה שרש מדובר ולא המורים או יש לאחד מהם שרש מדובר ואין לשני תעשה בדרך הראשון הכולל
Even if both have expressible roots the first method can still be applied.
 וכן אפי' היה לשניהם שרש מדובר אם תעשה עשה בדרך הראשון
Since the second method was given only to make it easier.
 כי הדרך הראשון השני איננו כי אם להקל

Extracting the Root of Binomials and Apotomes
for \scriptstyle a>b:\quad a+b\quad a-b:
\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{2}a+\sqrt{\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2}}
\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{2}a-\sqrt{\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2}}
 אמ' ואמנם לקיחת שרש בעלי השני שמות והמתפרדים היא שתגרע רבע מרובע קטן השמות מן רבע מרובע הגדול שבהם ותקח שרש הנשאר ותוסיף אותו על חצי גדול השמות ותגרע אותו ג"כ מחצי גדול השמות ותפיל שרש על כל אחד מהם
\scriptstyle\sqrt{a+b}=\sqrt{\frac{1}{2}a+\sqrt{\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2}}+\sqrt{\frac{1}{2}a-\sqrt{\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2}} ואם היה המבוקש שרשו בעל השני שמות הנה שרשו הוא קבוץ אלה השני שרשים
\scriptstyle\sqrt{a-b}=\sqrt{\frac{1}{2}a+\sqrt{\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2}}-\sqrt{\frac{1}{2}a-\sqrt{\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2}} ואם היה מתפרד הנה שרשו תוספת מה שבין שני אלה השרשים
  • every root of a number is called a root in relation to its square
 פי' כבר ידעת כי כל שרש מספר מה נקרא שרש ביחס אל המרובע ההוא ממנו
  • every number is a root to its square
 וכל מספר ג"כ הוא שרש למרובע ההוא ממנו
  • every number is a square by assumption, yet it is not called a square indefinitely, only the number whose root is known and expressible [is called a square]
 וכל מספר לפי הסברא מרובע אבל לא נקרא מרובע בסתם אלא המספר ששרשו ידוע ומדובר
Therefore every square is a number, but not every number is a square.
 ולכן כל מרובע מספר ולא כל מספר מרובע
However, since every number is a square by assumption, the number that does not have an exact known root is also called a square, when it is mentioned with the root.
 ועכ"ז לפי מה שאמרנו שלפי הסברא כל מספר הוא מרובע יקרא ג"כ המספר שאין לו שרש ידוע בדקדוק מרובע כשיהיה נזכר עם השרש
For example: when saying "the root of 21" - 21 is called a square that is mentioned with its root, but by itself it is called only a number, not a square
 והמשל כי כשאמר אומר שרש כ"א הנה כ"א יקרא מרובע שנזכר עם שרש ולבדו היה נקרא מספר לבד ולא מרובע
On the other hand, 16, or 25, each of them is called a square without mentioning the root, since their root is known - \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}=4\quad\sqrt{25}=5}}; all the more so they are called a square when mentioning their root; and they are also called numbers.
 אבל י"ו או כ"ה יקרא כל אחד מרובע בלא זכירת שרש כי שרשם ידוע ד' לי"ו וה' לכ"ה וכ"ש בזכירת השרש ויקראו גם כן מספרים
There are two names:
 ואתה רואה כי השמות בזה שנים
1) number alone, whether a square or non-square - e.g. 11, 16, and all the other numbers
 האחד מספר לבדו יהיה מרובע או בלתי מרובע כאמרך זה או י"א או י"ו וכל המספרים
2) root of a number, whether that number is a square or not - e.g. √8, √11, √25
 והשני שרש מספר יהיה המספר גם כן מרובע או לאו כאמרך שרש ח' או שרש י"א או שרש כ"ה וכן כל המספרים
This is what the author meant by "having two names" [= binomial], i.e. knowing the root of two numbers together, that have two names
 וזהו מה שאמר המחבר בעל השני שמות ר"ל כשתרצה לדעת יחד שרש שני מספרים שיש להם שני שמות
  • number and a root of a number
 שהם מספר ושרש מספר
  • \scriptstyle\sqrt{20}+\sqrt{\sqrt{30}}
 המשל רצית לדעת שרש כ' שהוא מספר ושרש שרש ל‫'
  • two roots of two different numbers
 וכן שני שרשים של שני מספרים מתחלפים יקראו שני שמות
  • \scriptstyle\sqrt{40+9}
 כאלו רצית לדעת שרש מספר מ' ומספר ט' יחד
It was stated above that every root is a number and every number is a root
 אלא שכבר אמרנו שכל שרש מספר וכל מספר שרש
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{16}+\sqrt{25}}=\sqrt{4+5}}}
 וכשרצינו לדעת שרש לשרש י"ו ול[שר]ש כ"ה כאלו אמרנו רצי' לדעת שרש ד' וה' יחד
When the roots of each number are known, it is easier to extract the root [of their roots]
 והיודע להוציא שרש שני מספרים יותר נקל להוציא שרש שני המספרים
These questions, i.e. knowing the root of both roots of two different numbers, or the root of a number with the root of the root of a number, and all that is mentioned here - are used extensively in mathematics
 ואלו השאלות רצוני לומר לדעת מה הוא שרש שני שרשי שני מספרים שמתחלפים או שרש מספר עם שרש שרש מספר וכל הנזכר מזה פה הוא משתמש בו הרבה בלמודיות
Therefore, it is necessary to offer a method to ease the extraction of these numbers
 ולכן צריך לתת דרך להקל על המעיין להוציא אותם המספרים
In addition, ratios, restoration and reduction, summing roots together, dividing them, subtracting a root from a root - all are used in this science
 וכן הערכים וההשלמה וההקבלה וכן לקבץ שרשים יחד ולחלקם ולגרוע גדר מגדר הכל משתמש בחכמה ההיא
  • the binomial appears always with the conjunctive waw [= plus]
 ובעל השני שמות שזכרנו יבואו תמיד בשאלה עם אות וו הנקרא וו העטף
  • How much is the root of seven plus the root of 5: \scriptstyle{\color{blue}{7+\sqrt{5}}}
 כי תאמר שבעה ושרש ה' כמה הוא שרשם
  • How much is the root of the root of 6 plus the root of 11: \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}+\sqrt{11}}}
 או שרש ו' ושרש י"א כמה הם שרשם
  • the apotomes are binomial themselves with the particle of subtraction, which is the word minus
 והמתפרדי' שזכר החכם המחבר הם בעצמם בעלי השני שמות במלת הנזורות שהיא מלת אלא כמו שכתבתי בשער השברים
  • How much is the root of seven minus the root of 12: \scriptstyle{\color{blue}{7-\sqrt{12}}}
 ותאמ' שבעה אל שרש י"ב כמה שרשם
  • How much is the root of 8 minus the root of 4: \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}-\sqrt{4}}}
 או שרש ח' אלא שרש ד' כמה הוא שרשם
The number that is mentioned with the root - such as √21 or √12 - is called a square
 ודע כי המספר הנזכר עם שרש כאמרך שרש כ"א או שרש י"ב וכן כלם המספר ההוא יקרא מרובע כמו שנזכר למעלה והוא מרובע החלק ההוא מן השאלה
The number that is mentioned without a root - such as 7 or 8 - its square is the product of that number by itself
 והמספ' הנזכר בשאלה בלא זכירת שרש כאמרך ז' או ח' וכן כלם מרובעם הוא היוצא מהכאת המספר ההוא בעצמו
  • the root of \scriptstyle8\quad\sqrt{60}
 המשל מספ' שמנה ושרש ששים רצית לדעת שרשם
the square of the number 8 is 64: \scriptstyle{\color{blue}{8^2=8\sdot8=64}}
 הנה מרובע מספר השמנה הוא ס"ד הכאת שמנה בשמנה
the square of the root of 60 is 60: \scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{60}\right)^2=60}}
 ומרובע אמרך שרש ששים הנה הששים כי הם מרובע לשרשים כמו שנזכר
one name = the square of the number 8 - is called large
 ובזאת השאלה מרובע מספר השמנה שהוא השם האחד יקרא גדול
second name = the root of 60 - is called small
 ושרש ששים שהוא השם השני יקרא קטן
\scriptstyle{\color{blue}{8^2=64>60=\left(\sqrt{60}\right)^2}}
 כי מרובע שם השמנה ס"ד והוא גדול מששים שהוא מרובע השם השני
  • the root of \scriptstyle5\quad\sqrt{49}
 ואם היתה השאלה חמשה ושרש מ"ט כמה שרשם
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{49}\right)^2=49>25=5^2}}
 היה המרובע השם השני שהוא שרש מ"ט גדול ממרובע השם הראשון שהוא חמשה כי זה ]מ"ט וזה כ"[ה
Examples for the given procedure ועתה נפרש דברי המחבר ונמשל משלים אמר שתגרע רביע מרובע קטן השמות מן רביע מרובע הגדול שבהם וכו‫'
  • \scriptstyle4\quad\sqrt{32}
 המשל בזה רצית לדעת מספר ד' ושרש ל"ב כמה שרשם
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{32}\right)^2=32>16=4^2}}
 הנה משלשים ושנים הם מרובע גדול כי הוא גדול השמות ומספר ד' הוא קטן השמות כי מרובע י"ו הכאת ד' בד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left(\frac{1}{4}\sdot32\right)-\left[\frac{1}{4}\sdot\left(4^2\right)\right]}&\scriptstyle=\sqrt{8-\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{8-4}\\&\scriptstyle=\sqrt{4}=2\\\end{align}}}
 גרענו רביע י"ו שהוא מרובע קטן השמות וזה ד' מח' שהוא רביע ל"ב וחציו י"ו ושרשו ד' שהוא מרבע גדול השמות הנשאר ד‫'

לקחנו שרשם והוא ב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{4+\sqrt{32}}&\scriptstyle=\sqrt{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot32}+2}+\sqrt{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot32}-2}\\&\scriptstyle=\sqrt{\sqrt{16}+2}+\sqrt{\sqrt{16}-2}\\&\scriptstyle=\sqrt{4+2}+\sqrt{4-2}\\&\scriptstyle=\sqrt{6}+\sqrt{2}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{4}{10}\right)+\left(1+\frac{4}{10}\right)=3+\frac{8}{10}\\\end{align}}}
 הוספנו הב' על הד' שהוא שרש חצי הגדול כי הגדול ל"ב וחציו ושרשו ד' היה המקובץ ו‫'

גרענו ג"כ השנים מן הד' נשארו ב‫'
והנה בידינו ששה וב' נפיל עליהם השרש כמו שאמר המחבר
ר"ל שנקח שרש הששה והוא ב' וד' עשיריות
ושרש השנים והוא א' וד' עשיריות
נקבץ אלה השני גדרים והמקובץ ג' ושמנה עשריות והוא המבוקש

In the apotome, which is a binomial with the particle of subtraction, the subtracted must be smaller than the [subtrahend]
 וכבר ידעת כי המתפרד שהוא שני שמות במלת הנזורות צריך שיהיה הנזור יותר קטן מן האחר
Therefore in the above example there is no way to express the apotome
 ולכן במשל שהמשלנו למעלה אין דרך לומר בו מתפרד
  • \scriptstyle\sqrt{4-\sqrt{32}}
 כי איך יאמר ד' אלא שרש ל"ב כמה שרשם
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{32}=5+\frac{7}{10}}}
 כי שרש ל"ב הם ה' וז' עשריות
how can 4 minus 5 be expressed?
 ואיך יאמרו ד' אלא ה‫'
In the binomials, the first can be smaller or the second - all is the same
 אבל בבעלי השני שמות הן שיהיה הראשון קטן או השני הכל אחד
The following is an example in which the second is smaller than the first - which is an example for both binomial and apotome:
 ולכן נמשול משל שני שיהיה השני קטן מן הראשון ויהיה משל לבעלי השני שמות ולמתפרדים
  • \scriptstyle\sqrt{8-\sqrt{16}}
 והוא זה רצית לדעת מספר ח' אלא שרש י"ו כמה שרשם
the subtracted is smaller than the subtrahend: \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}=4<8}}
 כי שרש י"ו שהוא הנזור הוא ד' והוא קטן מן השמנה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[\frac{1}{4}\sdot\left(8^2\right)\right]-\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\sdot64\right)-4}\\&\scriptstyle=\sqrt{16-4}\\&\scriptstyle=\sqrt{12}=3+\frac{5}{10}\\\end{align}}}
 והמעשה בזה כמו שעשינו בראשון והוא מרובע הא' הוא ס"ד והוא הגדול

והמרובע השני י"ו והוא הקטן
גרענו רביע הקטן שהוא ד' מרביע הגדול שהוא י"ו הנשאר י"ב
לקחנו שרשו והוא ג' וה' עשיריות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{8+\sqrt{16}}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(3+\frac{5}{10}\right)}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)-\left(3+\frac{5}{10}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{4+\left(3+\frac{5}{10}\right)}+\sqrt{4-\left(3+\frac{5}{10}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{7+\frac{5}{10}}+\sqrt{\frac{5}{10}}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{8}{10}\right)+\frac{7}{10}=3+\frac{5}{10}\\\end{align}}}
 הוספנו אלה הג' וה' עשיריו' על ד' שהוא חצי השמנה שהוא שרש ס"ד גדול שבשמות והיו ז' וה' עשיריות

וגרענו הג' וה' עשיריות ג"כ מן הד' נשאר ה' עשיריות
הפלנו עליהם השרש כמו שאמר המחבר ר"ל שנקח שרש כ"ז והוא ב' וח' עשיריות
ושרש הד' עשיריות שהוא ז' עשיריות
קבצנו אלה השנים שרשים שרשים והיה המקובץ ג' וה' עשריות והוא המבוקש בבעלי השמות

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8-\sqrt{16}}=\left(2+\frac{7}{10}\right)-\frac{7}{10}=2}}
 ולמתפרד תגרע הקטן שהוא ז' עשיריות מן הגדול שהוא ב' וז' עשיריות הנשאר ב' והוא המבוקש
This is the meaning of the author's saying that if it is apotome, its root is the difference between the two roots
 זהו מה שאמר המחבר ואם היה מתפרד היה שרשו התוספת שבין אלה השנים שרשים
  • \scriptstyle\sqrt{10+\sqrt{36}}
 משל אחר רצינו לדעת מספר עשרה ושרש ל"ו כמה שרשם
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[\frac{1}{4}\sdot\left(10^2\right)\right]-\left(\frac{1}{4}\sdot36\right)}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)-9}\\&\scriptstyle=\sqrt{25-9}\\&\scriptstyle=\sqrt{16}=4\\\end{align}}}
 הנה עשרה גדול המרובעים והוא ק' ורביעיתו כ"ה

יוציא מכ"ה רביעית ל"ו שהוא ט' הנשאר י"ו
נקח שרשם והוא ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{10+\sqrt{36}}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+4}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-4}\\&\scriptstyle=\sqrt{5+4}+\sqrt{5-4}\\&\scriptstyle=\sqrt{9}+\sqrt{1}=3+1=4\\\end{align}}}
 הוספנו אותם על ה' שהוא חצי העשרה שהוא שרש ק' שגדול שבשמות היו ט‫'

גרענו אותם ג"כ מן הה' נשאר א‫'
לקחנו שרש הט' והוא ג‫'
ושרש הא' והוא א‫'
חברנום היה המקובץ ד' והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10-\sqrt{36}}={\color{red}{5-3=2}}}}
 ובמתפרד גרענו ה' מן ג' הנשאר ד' והוא המבוקש
  • \scriptstyle\sqrt{\sqrt{81}+\sqrt{49}}
 משל אחר שרש פ"א ושרש מ"ט כמה שרשם
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left(\frac{1}{4}\sdot81\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot49\right)}&\scriptstyle=\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)-\left(12+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{8}=2+\frac{8}{9}\\\end{align}}}
 הנה המרובעים לפנינו שהם פ"א הגדול ורביעיתו כ' ורביע

ומ"ט הקטן ורביעיתו י"ב ורביע
גרענו הקטן מן הגדול הנשאר ח‫'
לקחנו שרשו והוא ב' וח' תשיעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\sqrt{81}+\sqrt{49}}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{81}\right)+\left(2+\frac{8}{9}\right)}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{81}\right)-\left(2+\frac{8}{9}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)+\left(2+\frac{8}{9}\right)}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)-\left(2+\frac{8}{9}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(4+\frac{5}{10}\right)+\left(2+\frac{8}{9}\right)}+\sqrt{\left(4+\frac{5}{10}\right)-\left(2+\frac{8}{9}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{7+\frac{3}{10}}+\sqrt{1+\frac{7}{10}}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{7}{10}\right)+\left(1+\frac{3}{10}\right)=4\\\end{align}}}
 הוספנו אותם על ד' וה' עשיריות שהוא חצי ש[ר]ש הגדול שהוא פ"א ושרשו ט' היה המקובץ ז' וג' עשריות

ושרש הא' וז' עשריו‫'
וגרענו אותם ג"כ מן הד' וה' עשיריות נשאר א' וז' עשריות
לקחנו שרש הז' וג' עשריות והוא ב' וז' עשריות
ושרש הא' וז' עשריות והוא א' וג' עשריות
קבצנו אלה השני שרשים והם ד' שלמים והוא המבוקש

  • \scriptstyle\sqrt{\sqrt{81}-\sqrt{49}}
 ואם היתה השאלה במתפרד שרש פ"א אלא השרש מ"ט כמה שרשם
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{81}-\sqrt{49}}=\left(2+\frac{7}{10}\right)-\left(1+\frac{3}{10}\right)=1+\frac{4}{10}}}
 גרענו הקטן שהוא א' וג' עשיריות מן הגדול שהוא ב' וז' עשריות הנשאר א' וד' עשריות והוא המבוקש
Based on the above examples, the meaning of the author's saying "add it to half the name" is the half the large name
 ולפי כל אלה המשלים מה שאמר המחבר ותוסיף אותו על חצי השמות פירוש על חצי גדול השמות
and his saying "subtract it also from half the large name" meaning from half the root of the large name.
 וכן מה שכתב תגרע אותו גם כן מחצי גדול השמות פי' מחצי שרש גדול השמות
It is possible that this is actually what he wrote.
 ואפשר שכן כתבו המחבר
Or, perhaps he relied on what he wrote before: "take the root of the remainder", and said "half the large name" as referring back to the aforementioned root, in order to abbreviate.
 או סמך על מה שכתב תחלה ותקח שרש הנשאר ואמר חצי גדול השמות חוזר אל שורש הנזכר כדי לקצר
The procedure requires:
  • taking the root of the square that is given in the question, whose root is unknown
 ואתה רואה כי בזה המעשה צריך לקחת שרש המרבע הבלתי ידוע שרשו והוא אשר יאמר בו בשאלה
  • when the square of the number is the larger, the root is expressible, since the number is the root, yet it should be transformed into a square
 ושרש כך כשיהיה הגדולים כאשר מרובע המספר הוא הגדול הנה השרש מדובר כי המספר הוא השרש אלא שצריך להשיבו מרובע
  • taking the root of the difference between the two roots
 עוד צריך לקחת שרש מה שבין שני הרבועים
  • taking the root of the second number
 עוד צריך לקחת שרשי המספרים האחרונים
Hence, a root is taken sometimes four times and sometimes three times
 הנה ילקח השרש לפעמי' ד' פעמים ולפעמים ג‫'
  • taking the quarters of the squares, subtracting and adding
 עוד צריך לקחת רביעי המרובעים ולגרוע ולהוסיף
Therefore an easier method is given:
 ולכן ראיתי לכתוב דרך יותר נקלה
  • taking the root of the square number given in the question, adding it to the given number, then taking the root of the sum
[\scriptstyle\sqrt{a+\sqrt{b^2}}=\sqrt{a+b}]
 והוא שתקח שרש המספר המרובע הנזכר בשאלה ותקבצנו עם המספר הנזכר שם ותקח שרש המקובץ והוא המבוקש
1) \scriptstyle4\quad\sqrt{32}
 והמשל בזה המשלים שהמשלנו הנה הראשון והוא מספר ד' ושרש ל"ב כמה שרשם
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4+\sqrt{32}}=\sqrt{4+\left(5+\frac{7}{10}\right)}=\sqrt{9+\frac{7}{10}}=3+\frac{1}{10}}}
 לקחנו שרש ל"[ב] והוא ה' וז' עשריות קבצנום עם ד' שהוא המספר היו ט' וז' עשריות לקחנו שרשם והוא ג' ועשירית והוא המבוקש והנה יצא כאשר יצא במעשה הראשון
2) \scriptstyle8\quad\sqrt{16}
 והמשל השני שהוא מספר ח' ושרש י"ו כמה שרשם
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8+\sqrt{16}}=\sqrt{8+4}=\sqrt{12}=3+\frac{5}{10}}}
 לקחנו שרש י"ו והוא ד' קבצנום עם הח' היה י"ב לקחנו שרשו והוא ג' וה' עשריות והוא המבוקש
for the apotome: subtracting the root of the given square from the given number, then taking the root of the remainder
[\scriptstyle\sqrt{a-\sqrt{b^2}}=\sqrt{a-b}]
 והמתפרד נגרע שרש המרובע הנזכר שם מן המספר ונקח גדר הנשאר
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8-\sqrt{16}}=\sqrt{8-4}=\sqrt{4}=2}}
 המשל בזה הנזכר למעלה נגרע ד' שהוא שרש י"ו מח' שהם המספר הנשאר ד' וקח שרשו והוא ב' והוא והוא המבוקש
3) \scriptstyle10\quad\sqrt{36}
 והמשל השלישי שהוא מספר עשרה ושרש ל"ו
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10+\sqrt{36}}=\sqrt{10+6}=\sqrt{16}=4}}
 לקחנו שרש ל"ו והוא ששה קבצנוהו עם עשרה היו י"ו לקחנו שרשו והוא ד' והוא המבוקש
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10-\sqrt{36}}=\sqrt{10-6}=\sqrt{4}=2}}
 והמתפרד גרענו ו' מעשרה הנשאר ד' לקחנו שרשו ב' והוא המבוקש
4) \scriptstyle\sqrt{81}\quad\sqrt{49}
 והמשל הד' שרש פ"א ושרש מ"ט כמה שרשם
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{81}+\sqrt{49}}=\sqrt{9+7}=\sqrt{16}=4}}
 לקחנו שרש פ"א והוא ט' ושרש מ"ט והוא ז' חברנו אותם היו י"ו לקחנו שרשם והוא ד' והוא המבוקש
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{81}-\sqrt{49}}=\sqrt{9-7}=\sqrt{2}=1+\frac{4}{10}}}
 ובמתפרד גרענו ז' מט' הנשאר ב' לקחנו גדרו והוא א' וד' עשריות והוא המבוקש וכן כל הדומה לזה

Chapter Two: Addition and Subtraction of Roots

 השער הב' בקבוץ שרשי המספרים וגריעתם
If \scriptstyle a\sdot b is a square, then \scriptstyle\sqrt{a}\;\sqrt{b} are summed and subtracted

If \scriptstyle a\sdot b is non-square, then \scriptstyle\sqrt{a}\;\sqrt{b} are not summed and subtracted

אמ' תכה שני המספרים אשר תרצה לקבץ שרשיהם או לגרעם האחד באחד ואם יצא מרובע הנה שרשי שני המספרים יקובצו ויגורעו אם לא היה המרובע לא יקבצו ולא יגרעו
\scriptstyle\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)+\left(2\sdot\sqrt{a\sdot b}\right)} וכאשר תדע שהם יקובצו תחת שני שרשי היוצא והוסף אותם על המקובץ השני מספרים ומה שיתקבץ [43]קח שרשו יהיה המבוקש
The meaning of addition here is that the result of addition of two roots is a root of an integer
for example: \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}+\sqrt{9}=\sqrt{25}}}
 פירו' דע כי הרצון בזה הקבוץ הוא שאם שאל שואל עד"מ קבץ שרש ד' עם שרש ט' שתהיה התשובה במספר השלם שיהיה שרשו כשם השרשים מתקבצים[44] עד שתהיה התשובה בזה השאלה ששרשי אלה מקובצי' הוא שרש כ"ה ותקח שרשם הוא המבוקש
This cannot happen if the product of one of the numbers by the other is not a square number
 וזה לא יבא כלל אלא אם יבא מהכאת המספר האחד בשני מספר מרובע
The same for subtraction
 וכן בגרעון
Therefore, it is stated that if the product is a square, the roots are summed and subtracted, meaning that their sum or the remainder from their subtraction is an integer.
 ולכן אמר כי כשיהיה היוצא בהכאה מרובע כי אותם השרשים יקובצו ויוגרעו ר"ל אלה שיהיה המקובץ או הנשאר מן הגרעון שרש למספר שלם
Otherwise, every two roots can certainly be added and be subtracted the smaller from the larger.
 ולולי זה יודע כי כל שני שרשים ודאי יקובצו וודאי יוגרעו הקטן מן הגדול
If their product is a square, take two of its roots and add it the the sum of the two numbers.
\scriptstyle\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)+\left(2\sdot\sqrt{a\sdot b}\right)}
 אמ' וכאשר תדע שיקובצו קח שני שרשי היוצא ר"ל היוצא מהכאת המספר האחד באחר שהוא מרובע תקח ממנו שני שרשים ותוסיף אותם על שני המספרים מקובצים
  • \scriptstyle\sqrt{4}+\sqrt{9}
 והמשל בזה קבץ שרש ד' אל שרש ט‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{4}+\sqrt{9}&\scriptstyle=\sqrt{\left(4+9\right)+\left(2\sdot\sqrt{4\sdot9}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{13+\left(2\sdot\sqrt{36}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{13+\left(2\sdot6\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5\\\end{align}}}
 הכינו הד' בט' היו ל"ו והוא מרובע ששה לקחנו שני שרשים ממנו היו י"ב קבצנו הי"ב עם הד' והט' מקובצים שהם י"ג היה הכל כ"ה לקחנו שרשם והוא ה' וזהו היוצא משרש ד' ושרש ט' מקובצים והוא שרש מספר כ"ה שהוא שלם וזהו המבוקש
  • \scriptstyle\sqrt{3}+\sqrt{12}
 וכן אם אמר שרש ג' ושרש י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{3}+\sqrt{12}&\scriptstyle=\sqrt{\left(3+12\right)+\left(2\sdot\sqrt{3\sdot12}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{15+\left(2\sdot\sqrt{36}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{15+\left(2\sdot6\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{15+12}=\sqrt{27}\\\end{align}}}
 הכינו ג' בי"ב היו ל"ו והשרש ו' לקחנו שני שרשים ממנו והם י"ב קבצנום עם י"ב וג' שהם ט"ו המקובץ כ"ז ושרש כ"ז והוא המבוקש
  • \scriptstyle\sqrt{2}+\sqrt{18}
 וכן אם אמר שרש ב' ושרש י"ח
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}+\sqrt{18}&\scriptstyle=\sqrt{\left({\color{red}{2}}+18\right)+\left(2\sdot\sqrt{2\sdot18}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{20+\left(2\sdot\sqrt{36}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{20+\left(2\sdot6\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{20+12}=\sqrt{32}\\\end{align}}}
 הכינו ב' בי"ח היו ל"ו לקחנו שני שרשיו והם י"ב קבצנום עם ד' וי"ח שהם כ' היה המקובץ ל"ב ושרש ל"ב הוא המבוקש
  • \scriptstyle\sqrt{3}+\sqrt{27}
 וכן אם אמר שרש ג' ושרש כ"ז
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{3}+\sqrt{27}&\scriptstyle=\sqrt{\left(3+27\right)+\left(2\sdot\sqrt{3\sdot27}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{30+\left(2\sdot\sqrt{81}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{30+\left(2\sdot9\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{30+18}=\sqrt{48}\\\end{align}}}
 הכינו ג' בכ"ז היו פ"א והוא מרובע ט' לקחנו שני שרשיו י"ח קבצנום עם ג' וכ"ז שהם ל' המקובץ מ"ח ושרש מ"ח הוא המבוקש וכן כל כיוצא בזה
[Rules for identifying perfect squares] ויש כללים לדעת הדבר ממרובעים
  • every number whose units are 2, 3, 7, or 8 - is not a [perfect] square.
 וזה כי כל מספר שבו אחדים האחדים אשר לו ב' או ג' או ז' או ח' איננו מרובע
  • if [its units are] 1, 4, 5, 6, or 9, one should check if it is a [perfect] square by extracting its root until nothing remains - if there is a remainder - it is not a [perfect] square.
 ואם א' או ד' או ה' או ו' או ט' יש לך לחפש אם הוא מרובע כשתקח שרשו עד לקיחת השרש ולא ישאר כלום על הקו ואם נשאר איננו מרובע
  • every number that does not have units, but has tens of any kind, i.e. its first [numeral] is one zero - is not a [perfect] square.
 וכן כל מספר שאין בו אחדים והוא יש לו עשרות איזה מין שיהיה מן העשרות כלומר שתחלתו צפר אחד איננו מרובע
  • if the end of the number is any type of thousands, i.e. its three first [digits] are three zeros - it is not a [perfect] square.
 וכן אם סוף המספר ר"ל הקטן אחריו אלפים איזה מין שיהיה כלומר שתחלתו ג' צפרות איננו מרובע
  • if the smallest rank of the number is not a root - it is not a [perfect] square.
 וכן כל מדרגה שהיא לא שרש בהיות היא קטן המספר איננו מרובע
  • from 1 to 100, there are no [perfect] squares other than: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
 ומאחד עד מאה אין שם מרובעים כי אם א' וד' וט' וי"ו וכ"ה ול"ו ומ"ט וס"ד ופ"א
  • for the hundreds, which is a rank of root, add two zeros to each of the numbers above: 100, 400, 900, 1600, and so on - they are [perfect] squares
 וכן במאות שהם מדרגת השרש תשים בכל אחד מאלה שתי צפרות יהיה האחד מאה והד' ארבע מאות והט' תשע מאות והי"ו אלף ושש מאות וכן כלם והם מרובעים
  • if four zeros are added to each of the numbers above, they are of another rank that has a root and they are [perfect] squares [10000, 40000, 90000, ...]
 וכן אם תוסיף ד' צפרות בכל אחד יהיו מן המדרגה האחרת הבעלת שרש והם מרובעים
\scriptstyle\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)-\left(2\sdot\sqrt{a\sdot b}\right)} אמ' ובגרעון תגרע שני שרשי היוצא מן הכאת המספרים ממקובץ המספרים ותקח שרש הנשאר יהיה המבוקש
When subtracting the root of a number from the root of a number, the same procedure is used, except that instead of adding two roots of the product to the sum, they are subtracted from the sum, and the root of the remainder is extracted
 פירוש כשיבוקש לגרוע שרש מספר משרש מספר תעשה כמעשה הראשון אלא שבמקום שאתה מוסיף שני שרשי היוצא מן המקובץ תגרעם ותקח שרש הנשאר
  • \scriptstyle\sqrt{64}-\sqrt{4}
 המשל רצית לגרוע שרש ד' משרש ס"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{64}-\sqrt{4}&\scriptstyle=\sqrt{\left(64+4\right)-\left(2\sdot\sqrt{64\sdot4}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(64+4\right)-\left(2\sdot\sqrt{256}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(64+4\right)-\left(2\sdot16\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(64+4\right)-32}=\sqrt{36}=6\\\end{align}}}
 הכינו ד' בס"ד היו רנ"ו והוא מרובע י"ו תקח שני שרשיו שהם ל"ב תגרעם מד' וס"ד יהיה הנשאר ל"ו ושרשם שהוא ו' והוא המבוקש
The same should be done in all the examples mentioned above - it is enough to subtract instead of adding
 וכן תעשה בכל מה שנזכר והמשלים ההם די לך אלה שתגרע במקום שהיית מוסיף זהו ענין זה השער
Yet, if the question involves addition of roots of a number, whether expressible or inexpressible, there is no need for this [procedure], but rather one should extract the root of one number and of the other number, or its half if it is asked, and sum them together
[\scriptstyle\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}=a+b]
 אבל אם הייתה השאלה קבוץ שרשי איזה מספר שיהיה ויהיו השרשים כפי מה שיהיו המספרים מדוברים או בלתי מדוברים אין צורך לכל זה אלא שתוציא שרש המספר האחד ושרש השני או חציו כפי המבוקש ממך ותקבצם יחד
  • \scriptstyle\sqrt{10}+\sqrt{20}
 והמשל רצית לקבץ שרש עשרה עם שרש עשרים
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}+\sqrt{20}\approx\left(3+\frac{2}{10}\right)+\left(4+\frac{5}{10}\right)=7+\frac{7}{10}}}
 וקח שרש עשרה שהם ג' וב' עשריות בקרוב ושרש עשרים והוא ד' וה' עשריות בקירוב וקבצם יחד יהיו ז' וז' עשריות בקירוב
Or, if one root is approximated with a deficit and the other root is approximated with an increment:
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}+\sqrt{20}\approx\left(3+\frac{1}{10}\right)+\left(4+\frac{5}{10}\right)=7+\frac{6}{10}}}
 ואם תקח שרש האחד בקירוב בחסרון כגון כשתקח שרש העשרה ג' ועשירי' שיחסרו מן העשרה ותקח שרש השני בקירוב בתוספת כגון שתקח שרש העשרים ד' וה' עשריות שיתוסף על העשרים ויהיה השרש המקובץ ז' וששה עשריות בלבד
this is closer to the truth, since the deficiency is only by:
וזה יותר קרוב אל האמת כי אין החסרון כי אם
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{10}\frac{1}{10}}}
ד א
‫0א ‫0א
והקש על זה בכל מה שישאל מזה המין

Chapter Three: Multiplication of Roots

 השער הג' בהכאת השרשים
The procedure: multiplying one of the numbers by the other, then extracting the root of the product - the result is the product of the root of one of them by the other.
\scriptstyle\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{a\times b}
 והמעשה בזה שתכה אחד המספרים בשני ותקח שרש היוצא ומה שיהיה הוא היוצא מהכאת שרש האחד מהם בשני
meaning, if multiplying the root of a number by a root of a number
 פירוש אם יבוקש להכות שרש מספר בשרש מספר
  • \scriptstyle\sqrt{4}\times\sqrt{9}
 והמשל תכה שרש ד' בשרש ט‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}\times\sqrt{9}=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}=6}}
 תכה ד' בט' שהם המספרים יצאה בהכאה ל"ו קח שרשם והוא א' [ו‫'][45] והוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}\times\sqrt{9}=2\sdot3=6}}
 כי שרש ד' ב' ושרש ט' ג' וכשתכה ג' בג' יהיו ו‫'
  • \scriptstyle\sqrt{2}\times\sqrt{8}
 ומשל שני הכה שרש שנים בשרש ח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{2\sdot8}=\sqrt{16}=4}}
 הכה ב' בח' יהיו י"ו

קח שרשם והוא ד' והוא המבוקש

  • \scriptstyle\sqrt{5}\times\sqrt{7}
 ומשל אחר הכה שרש ה' בשרש ז‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\times\sqrt{7}=\sqrt{5\sdot7}=\sqrt{35}}}
 הכה ה' בז' היוצא ל"ה ושרשם הוא המבוקש
When the product is not a perfect square approximate the root as aforesaid, because there is no other way [to extract the root]
 קח אותם בקרוב כמו שנזכר בשער שלפני זה כשהיוצא מן המקובץ אינו מרובע שלם כי אין דרך לעשות זולת זה
Multiplication of a number by a root of a number: squaring the number, then proceeding with two [roots] as before. אמר ואם תרצה להכות מספר בשרש מספר תרבע המספר ותעשה בשני מרובעים כמו שנזכר
Meaning: transforming the question into a multiplication of the root of a number by a root of a number and applying the previous procedure.
 פי' זה המעשה הוא שתשיב השאלה עד הכאת שרש מספר בשרש מספר ותעשה כמעשה הראשון
  • \scriptstyle10\times\sqrt{49}
 ומשל הכה מספר עשרה בשרש מ"ט
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle10\times\sqrt{49}&\scriptstyle=\sqrt{10^2}\sdot\sqrt{49}\\&\scriptstyle=\sqrt{10^2\sdot49}\\&\scriptstyle=\sqrt{100\sdot49}=\sqrt{4900}=70\\\end{align}}}
 תרבע העשרה יהיו ק‫'

הנה יש לך השאלה כאלו אמרנו נכה שרש מאה בשרש מ"ט
ולכן נכה מאה במ"ט היוצא ד' אלפים תת"ק ושרשם ע' והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{10\times\sqrt{49}=10\sdot7=70}}
 כי שרש מ"ט הוא ז' וז' בעשרה הם ע‫'

Chapter Four: Division of Roots

 השער הד' בחלוק שרשי המספרים וקריאת שמם
Division of a root by a root = dividing a number by a number and denominating it, then extracting the root of the result
\scriptstyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}
 אמ' תחלק מספר על מספר ותקרא לו שם ותקח שרש היוצא ומה שיהיה הוא היוצא מחלוקת שרש המחולק על שרש המחולק עליו
"divide the number", i.e. the square number whose root is the dividend, and the square number [whose root] is the divisor - if the the dividend is greater than the divisor
 פי' תחלק המספר ר"ל המספר המרובע שאתה רוצה לחלק שרשו על המספר המרובע שאתה רוצה לחלק עליו אם היה המחולק יותר מהמספר אשר אתה מחלק עליו
If the dividend is smaller than the divisor - it should be denominated, as explained in the division of integers and fractions.
 ואם היה מעט ממנו תקרא לו שם כמו שידעת בשער החלוק בשלמים ובשברים
  • \scriptstyle\sqrt{16}\div\sqrt{{\color{red}{4}}}
 והמשל רצית לחלק שרש י"ו על שרש ב‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}\div\sqrt{4}=\sqrt{\frac{16}{4}}=\sqrt{4}=2}}
 תחלק י"ו שהוא המספר האחד על ד' שהוא המספר השני יהיה היוצא ד‫'

קח שרש ד' והוא היוצא מן החלוק והוא ב‫'

  • \scriptstyle\sqrt{16}\div\sqrt{4}
 ומשל אחר רצית לחלק שרש י"ו על שרש ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}\div\sqrt{4}=\sqrt{\frac{16}{4}}=\sqrt{4}=2}}
 תחלק י"ו שהוא המספר האחד על ד' שהוא המספר השני יהיה היוצא ד‫'

קח שרש ד' והוא היוצא מן החלוק והוא ב‫'

  • \scriptstyle\sqrt{25}\div\sqrt{16}
 ומשל אחר רצית לחלק שרש כ"ה על שרש י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{25}\div\sqrt{16}\approx\sqrt{1+\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{4}}}
 היוצא אחד וחצי בקירוב ושרשו אחד ורביע והוא המבוקש
  • \scriptstyle\sqrt{4}\div\sqrt{16}
 ואם אמר השואל חלק שרש ד' על שרש י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}\div\sqrt{16}=\sqrt{\frac{4}{16}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}}
 קרא שם לד' מן הי"ו והוא רביע

קח שרשו והוא חצי והוא המבוקש

The same for similar cases
 וכן כל הדומה לזה
Operations with more or less than one root, and roots of dissimilar degrees
In the discussion of addition, multiplication, and division [of roots], if there are more than one root, or less than one root, or dissimilarity of degrees of roots - they should be restored to one root and one degree אמ' וכאשר בא הדבור באלו השערים השלשה ר"ל הקבוץ וההכאה והחילוק ביותר משרש אחד או בפחות משרש אחד או חלוף מדרגת השרשים השב זה אל שרש אחד ומדרגה אחת
The chapters on addition, multiplication, and division of roots dealt with one order: addition of a root to a root, multiplication of a root by a root, or division of a root by a root.
 כל מה שזכרנו בשער הקיבוץ לשרשים וההכאה והחילוק היה בסדר אחד והוא קבוץ שרש אל שרש או הכאת שרש בשרש או חלוק שרש על שרש
A root and a root are one degree.
 ושרש עם שרש היא מדרגה אחת
A question of one degree can involve two other types:
 וכבר איפשר לבא השאלה במדרגה הזאת האחת על שני פנים אחרים
1) one of the addends is more than one root
 האחד שיהיה אחד מהמקובצים יותר משרש אחד
  • add a root of a number to roots of a number \scriptstyle\sqrt{a}+c\sqrt{b}
 כמו שיאמר קבץ שרש מספר אל שני שרשי מספר יותר משרש אחד
such as: \scriptstyle\sqrt{a}+2\sqrt{b}; \scriptstyle\sqrt{a}+3\sqrt{b}; \scriptstyle\sqrt{a}+4\sqrt{b}; \scriptstyle2\sqrt{a}+2\sqrt{b}, etc.
 כמו שיאמר קבץ שרש מספר אל שני שרשי מספר או שלשה או ארבעה או יותר או שני שרשים אל שני שרשים או יותר
the same for multiplication and division
 וכן בהכאה וכן בחלוק
2) one of the addends is less than one root
 וכן אפשר לבא השאלה בפחות משרש אחד
such as: \scriptstyle\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{b}; \scriptstyle\sqrt{a}+\frac{1}{4}\sqrt{b}
 שיאמר קבץ שרש מספר אל חצי שרש מספר או רביע או חלק אחד על חצי שרש
the same for multiplication and division
 וכן בהכאה ובחלוק
In all these cases the degrees are the same, since all of them involve with a root of a number, whether numerous, or few roots, or less than one root.
 ובכל אלה יקראו מדרגות שוות כי כלם שרש מספר כן יהיו רבים או מעטים או פחות משרש
A question that involve dissimilarity of degrees is possible:
 ואי אפשר שתבוא השאלה בחלוף מדרגות
  • adding a number to a root of a number - the number is a degree by itself, and the root is a degree by itself \scriptstyle a+\sqrt{b}
 כשיאמר קבץ מספר אל שרש מספר כי המספר מדרגה לעצמה והשרש מדרגה לעצמה
  • adding a root of a number to a root of a root of a number - the root of a root of a number is also a different degree by itself \scriptstyle\sqrt{a}+\sqrt{\sqrt{b}}
 או שיאמר קבץ שרש מספר אל שרש שרש מספר כי שרש שרש המספר ג"כ מדרגה אחרת לעצמה
  • adding a number to a root of a root of a number \scriptstyle a+\sqrt{\sqrt{b}}
 וכן קבץ מספר אל שרש שרש מספר
  • adding a root of a root of a number to a root of a root of a number \scriptstyle\sqrt{\sqrt{a}}+\sqrt{\sqrt{b}}
 או שרש שרש מספר אל שרש שרש מספר
All these for less or for more
 וכל זה בפחות ויותר
  • half a root of a root of a number \scriptstyle\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{a}}
 כמו שיאמר חצי שרש שרש מספר
  • a root of half a root of a number \scriptstyle\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt{a}}
 או שרש חצי שרש מספר
  • two roots of a root of a number \scriptstyle2\sqrt{\sqrt{a}}
 או שני שרשי שרש מספר
  • a root of two roots of a number \scriptstyle\sqrt{2\sqrt{a}}
 או שרש שני שרשי מספר
or more
 או יותר
All this also in multiplication and in division
 וכן כל זה בהכאה ובחלוק
This is the meaning of "more than one root, or less than one root, or dissimilarity of degrees of roots"
 זהו שאמר המחבר ביותר משרש אחד או בפחות משרש אחד או חלוף מדרגת השרשים
The procedure is based on restoring all to one degree, if the degrees are dissimilar, and restoring all to one root, if the roots are more than one or less than one, then proceeding with the procedures mentioned in the three chapters [on addition, subtraction, multiplication, and division of roots]
 ואמר שהמעשה בזה שנשיב הכל עד שתהיה מדרגה אחת אם היה שם חלוף מדרגות וישוב הכל אל שרש אחד אם היו השרשי' יותר מאחד או פחות מאחד וישוב אל המעשים הנזכרים בג' השערים
The author did not present a method to restore the dissimilarity [of degrees], or the more, or the less, to one root and one degree.
 ולא נתן המחבר דרך איך להשיב החלוף או היותר או הפחות אל שרש אחד ומדרגה אחת
Except for one case, in which there is dissimilarity between a number and a root, when adding a number to a root of a number, which is one of the cases of dissimilarity mentioned here
לבד בדבר אחד והוא כשיהיה החלוף בין מספר ושרש שיאמר קבץ מספר אל שרש מספר שזה אחד מן הפנים שזכרתי עתה בחלוף
This method was given above in the chapter on multiplication: squaring the number so that the question is restored to [adding] a root of a number to a root of a number.
\scriptstyle a+\sqrt{b}=\sqrt{a^2}+\sqrt{b}
 וכבר נזכר למעלה הדרך בזה השער ההכאה וזה כשתרבע המספר ותשוב השאלה שרש מספר אל שרש מספר
Therefore a method will be presented henceforth for all the other cases
 ולכן נביא אנחנו דרך לכל שאר הפנים כפי האפשר
  • If the question involves more than one root
 ונאמר כאשר תהיה השאלה יותר משרש
  • \scriptstyle\sqrt{25}+2\sqrt{16}
 כאלו אמר קבץ שרש כ"ה אל שני שרש י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{16}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot16}=\sqrt{4\sdot16}=\sqrt{64}=4+4=8}}
 המעשה בזה שתכה מספר השרשים שהוא ב' בעצמו יהיה ד‫'

תכה ד' במספר שהוא י"ו יהיו ס"ד
והנה שני שרשי י"ו שהם ד' וד' מקובצים הם ח' הם שרש ס"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{25}+2\sqrt{16}=\sqrt{25}+\sqrt{64}}}
 ותשוב השאלה קבץ שרש כ"ה אל שרש ס"ד
If there are three of four roots
 ואם היו השרשים ג' או ד‫'
  • \scriptstyle\sqrt{49}+3\sqrt{25}
 כגון שאמר קבץ שרש מ"ט אל שלשה שרשי כ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{25}=\sqrt{\left(3\sdot3\right)\sdot25}=\sqrt{9\sdot25}=\sqrt{225}}}
 תכה ג' בעצמם יהיו ט‫'

תכה ט' בכ"ה יהיו רכ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{49}+3\sqrt{25}=\sqrt{49}+\sqrt{225}}}
 תשוב השאלה קבץ שרש מ"ט אל שרש רכ"ה וכן כל הדומה לזה
  • If the question involves less than one root
 וכן אם היתה השאלה פחות משרש
  • \scriptstyle\sqrt{9}+\frac{1}{2}\sqrt{16}
 כאלו אמר שרש ט' אל חצי שרש י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sqrt{16}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2\sdot16}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot16}=\sqrt{4}}}
 תכה החצי בעצמו יהיה הרביע

תכה רביע בי"ו יהיו ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\frac{1}{2}\sqrt{16}=\sqrt{9}+\sqrt{4}}}
 תהיה השאלה קבץ שרש ט' אל שרש ד‫'
  • \scriptstyle\frac{1}{4}\sqrt{a}=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot a}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot a}=\sqrt{\frac{1}{16}\sdot a}
 ואם היה רביע הכית רביע ברביע היה חצי שמינית במספר או אמור חלק מי"ו או רביעית רביע מן המספר
All this is the same in addition, multiplication, and division
 וכן כל הדומה לזה וזה שוה בקבוץ ובהכאה ובחלוק
  • Sometimes two numbers should be equalized
 ולפעמים תצטרך להשוות שני מספרים
  • \scriptstyle9+3\sqrt{25}
 כמו אם שאל קבץ מספר ט' אל שלשה שרש כ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{25}=\sqrt{3^2\sdot25}=\sqrt{9\sdot25}=\sqrt{225}}}
 תכה ג' בעצמם יהיו ט‫'

תכה ט' בכ"ה יהיו רכ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{9+3\sqrt{25}=9+\sqrt{225}}}
 ויהיו לך בשאלה מספר ט' אל שרש רכ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{9=\sqrt{9^2}=\sqrt{81}}}
 תרבע מספר ט' יהיו פ"א
\scriptstyle{\color{blue}{9+3\sqrt{25}=\sqrt{81}+\sqrt{225}}}
 תהיה השאלה שרש פ"א אל שרש רכ"ה
  • \scriptstyle2\sqrt{9}+3\sqrt{4}
 וכן אם אמר שני שרשי ט' אל ג' שרשי ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{9}=\sqrt{2^2\sdot9}=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}}}
 תכה ב' בעצמם יהיו ד‫'

תכה ד' בט' יהיו ל"ו

\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{4}=\sqrt{3^2\sdot4}=\sqrt{9\sdot4}=\sqrt{36}}}
 וכן תכה ג' בעצמם יהיו ט‫'

וט' בד' יהיו ל"ו

\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{9}+3\sqrt{4}=\sqrt{36}+\sqrt{36}}}
 תהיה שרש ל"ו אל שרש ל"ו וכן כל הדומה לזה
  • \scriptstyle\frac{1}{2}\sqrt{4}+\frac{1}{2}\sqrt{16}
 וכן אם אמר חצי שרש ד' אל חצי שרש י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sqrt{4}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2\sdot4}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot4}=\sqrt{1}}}
 תכה חצי בעצמו יהיה רביע ורביע בד' יהיו א‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sqrt{16}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2\sdot16}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot16}=\sqrt{4}}}
 וכן תכה חצי בחצי יהיה רביע ורביע בי"ו יהיו ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sqrt{4}+\frac{1}{2}\sqrt{16}=\sqrt{1}+\sqrt{4}}}
 תהיה השאלה שרש א' אל שרש ד‫'
and so on
 וכן כל הדומה לזה
This is the meaning of restoring to one root
 וזהו שאמר המחבר השב אל שרש אחד
When the question involves dissimilarity of degrees:
 וכאשר תבא השאלה בחלוף מדרגות
  • a number and a root
אם החלוף מספר עם שרשו
  • \scriptstyle5+\sqrt{36}
 כמו קבץ ה' אל שרש ל"ו
\scriptstyle{\color{blue}{5=\sqrt{5^2}=\sqrt{25}}}
 כבר נזכר למעלה במקומו כשהדרך בזה שתרבע המספר ויהיו כ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{5+\sqrt{36}=\sqrt{25}+\sqrt{36}}}
 ותהיה השאלה קבץ שרש כ"ה אל שרש ל"ו
  • a root of a root
 ואם היה החלוף בשרש שרש אחד
  • \scriptstyle6+\sqrt[4]{81}
 כגון שאמר קבץ ו' אל שרש שרש פ"א
  • \scriptstyle\sqrt{25}+\sqrt[4]{36}
 או שרש כ"ה אל שרש שרש ל"ו
  • \scriptstyle\sqrt{16}+\sqrt[4]{49}
 אם שרש י"ו אל שרש שרש מ"ט
The rule concerning the root of a root: there is no way to restore the root of a root to one root, only to extract the root of the number and replace the number by it \scriptstyle\sqrt[4]{a^2}=\sqrt{\sqrt{a^2}}=\sqrt{a}
 והכלל שיזכיר שרש שרש אין דרך אתנו להשיב שרש השרש אל שרש אחד אלא בשתשים שרש המספר ותשים אותו במקום מספר
  • \scriptstyle{\color{red}{\sqrt{6}}}+\sqrt[4]{81}
 והמשל בזה שאמרתי תקבץ ו' אל שרש שרש פ"א
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[4]{81}=\sqrt{9}}}
 תוציא שרש פ"א והוא ט‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}+\sqrt[4]{81}=\sqrt{6}+\sqrt{9}}}
 ותהיה השאלה קבץ שרש ו' אל שרש ט‫'
The same for the other examples and their similar
 וכן בשאר המשלים והדומים להם
The reason for this is that there are no number of roots, so as to multiply that number by itself, as is done when there are two roots of a number.
 והסבה בזה בעבור כי אין שם מספר שרשים שתכה המספר ההוא בעצמו כמו שעשית כשהייתה השאלה שני שרשי מספר
There are no parts of a root also, so as to multiply that part by itself, as is done when there is half a root of a number.
 ואין גם חלקי שרש שתכה החלק ההוא בעצמו כמו שעשית כשהיתה השאלה חצי שרש מספר
Since the number of the roots here is one, and when 1 is multiplied by 1 it does not add nor subtract
 כי מספר השרשים בכאן הוא א' וכשתכה א' בא' לא יגרע ולא יוסיף
  • \scriptstyle\sqrt{6}+\sqrt[4]{81}
 כי תאמר בשאלה קבץ שרש ו' אל שרש פ"א
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[4]{81}=1\sdot\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{\left(1^2\right)^2\sdot81}=\sqrt[4]{1^2\sdot81}=\sqrt[4]{1\sdot81}=\sqrt[4]{81}}}
 הכה א' שהוא מספר השרש בא' יהיה א'

עוד א' בא' בעבור השרש השני יהיה גם כן א'
תכה א' בפ"א יהיו פ"א והנה תצטרך לקחת שרש פ"א עצמם

the multiplications did not add nor subtract
 בעבור כי ההכאות לא הוסיפו ולא גרעו
Instead, the questions should be restored to one degree, that is the root of a root, then the root of the root of the result is extracted:
 אבל נשים השאלות אל מדרגה אחת שהיא שרש השרש וכן תקח מן היוצא שרש השרש
  • \scriptstyle3\times\sqrt[4]{16}
 והמשל בהכאה תכה מספר ג' בשרש שרש י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{3=\sqrt[4]{\left(3^2\right)^2}=\sqrt[4]{9^2}=\sqrt[4]{81}}}
 רבע שלשה יהיו ט‫'

רבע ט' יהיו פ"א

\scriptstyle{\color{blue}{3\times\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{81}\times\sqrt[4]{16}}}
 תהיה השאלה הכה שרש שרש פ"א בשרש שרש י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{3\times\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{81}\times\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{1296}=\sqrt{36}}}
 יהיה היוצא אלף רצ"ו קח שרשם והוא ל"ו ושרש ל"ו והוא המבוקש
This is more proper, so that there will be one method
 וזה יותר נכון כדי שיהיה הדרך אחד
The same should be done in division and
וכן תעשה בחלוק ובקבוץ אחר שתשיבם לשרש שרש
This is the meaning of [restoring] to one degree
 ועל זה אמר המחבר ולמדרגה אחת
  • When there are more or less than one root
וביותר משרש או פחות משרש
As before, they should be restored to one root, whatever their degree is
 תעשה כמו שנזכר להשיבם אל שרש אחד יהיו באיזו מדרגה שיהיו
  • \scriptstyle\sqrt[{\color{red}{4}}]{16}\times2\sqrt[4]{81}
 והמשל הכה שרש י"ו אל שני שרשי שרש פ"א
the degrees are the same - a root of a root, but the number of the roots of one term is 2
 הנה המדרגות שוות שרש שרש אבל מספר השרשים בצד האחד שנים
the number of the roots is multiplied by itself and the product is multiplied by itself, then by the number, and then the root of the root is extracted as above
 תעשה כמו שנזכר למעלה אלא שתכה מספר השרשים בעצמו והיוצא בהכאה בעצמו א"כ במספר וכן תקח שרש השרש
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2\sqrt[4]{81}&\scriptstyle=\sqrt[4]{\left(2^2\right)^2\sdot81}\\&\scriptstyle=\sqrt[4]{4^2\sdot81}\\&\scriptstyle=\sqrt[4]{16\sdot81}=\sqrt[4]{1296}\\\end{align}}}
 והמעשה כן תכה שנים [ב]שנים יהיו ד‫'

תכה ד' בד' יהיו י"ו
תכה בפ"א שהם המספר יהיה היוצא אלף רצ"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[4]{16}\times2\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{16}\times\sqrt[4]{1296}}}
 והנה תהיה השאלה הכה שרש שרש י"ו בשרש שרש אלף רצ"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt[4]{16}\times2\sqrt[4]{81}&\scriptstyle=\sqrt[4]{16}\times\sqrt[4]{1296}\\&\scriptstyle=\sqrt[4]{16\sdot1296}\\&\scriptstyle=\sqrt[4]{20736}=\sqrt{144}=12\\\end{align}}}
 תכה י"ו באלף רצ"ו היוצא כ' אלפים תשל"ו

קח שרשם והוא קמ"ד
ושרש קמ"ד י"ב והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[4]{16}\times2\sqrt[4]{81}=2}}
 כי שרש שרש י"ו הוא ב‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[4]{81}=3}}
 ושרש שרש פ"א הוא ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt[4]{81}=6}}
 ושני שרשיו הם ו‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[4]{16}\times2\sqrt[4]{81}=2\sdot6=12}}
 הכה ב' בו' יהיו י"ב
  • \scriptstyle\sqrt{36}\times2\sqrt[4]{16}
 ומשל אחר הכה שרש ל"ו בשתי שרשי שרש י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{36}\times2\sqrt[4]{16}&\scriptstyle=\sqrt[4]{{\color{red}{36}}^2}\times\sqrt[4]{\left(2^2\right)^2\sdot16}\\&\scriptstyle=\sqrt[4]{1296}\times\sqrt[4]{4^2\sdot16}\\&\scriptstyle=\sqrt[4]{1296}\times\sqrt[4]{16\sdot16}\\&\scriptstyle=\sqrt[4]{1296}\times\sqrt[4]{256}\\\end{align}}}
 הכה י"ו בעצמם יהיה אלף ומאתים ותשעים וששה

והכה שנים בשנים ד‫'
וד' בעצמם י"ו
וי"ו במספר י"ו יהיו רנ"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{36}\times2\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{1296}\times\sqrt[4]{256}}}
 הנה השאלה הכה שרש שרש אלף בשרש שרש רנ"ו
they are of one degree
 והם במדרגה אחת
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{36}\times2\sqrt[4]{16}&\scriptstyle=\sqrt[4]{1296}\times\sqrt[4]{256}\\&\scriptstyle=\sqrt[4]{1296\sdot256}\\&\scriptstyle=\sqrt[4]{331776}=\sqrt{576}=24\\\end{align}}}
 תכה רנ"ו באלף רצ"ו היוצא של"א אלף ותשע"ו

וקח שרשם והוא תקע"ו
ושרש תקע"ו והוא כ"ד והוא המבוקש

The same should be done when there is less than one root: restoring to a root of a root.
 וכן תעשה כשיהיה פחות משרש תשיבנו אל שרש שרש
After the questions are restored to one root and one degree, one should proceed as mentioned in the chapters of addition, multiplication, and division.
 ואחר שתשיב השאלות אל שרש אחד ומדרגה אחת תעשה בכל הנזכר בשלשת השערים הקבוץ וההכאה ובחלוק
The method of extracting the root of the number [whose degree is] the root of the root is easier, all the more so in division and addition
 והדרך שזכרתי תחלה מלקיחת השרש ממספר השרש השרש הוא יותר נקל וכ"ש בחלוק ובקבוץ

Book Two: Obtaining the Unknown from the Known

 החלק השני בסדורים אשר אפשר ההגעה אל המוסכל המבוקש מן הידוע המונח
והוא יחלק לשני חלקים חלק מעשה ביחס וחלק בהשלמה ובהקבלה

Section One: Ratio

 החלק הא' במעשה ביחס
והוא שני חלקים בארבעה מספרים המתיחסים ובמאזני‫'

Rule of four
the four proportional numbers = the ratio of the first to the second is the same as the ration of the third to the fourth \scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4 אמר והארבעה מספרים המתיחסים הם אשר יחס הראשון מהם אל השני כיחס השלישי אל הרביעי
פי' ידיעת המוסכל המבוקש ר"ל שישאל בשאלה דבר בלתי יודע עם הנחת דבר מה ידוע
  • How much is an amount of money such that when we subtract its third, its quarter and its seventh, ten remain?
\scriptstyle a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}a-\frac{1}{7}a=10
 והמשל שישאל כמה הממון כאשר גרענו אם שלישיתו ורביעיתו ושביעיתו וישארו עשרה
הנה אמרו שלישית ורביעית ועשרה הם דברי' ידועי' אשר מהם יש לנו להגיע לדעת כמה הממון וכן כל הדומה לזה
ואמר כי זה יודע בשני דרכים במספרים המתיחסים ואחרי כן במאזנים
ואמר כי ד' מספרים המתיחסים הם ד' מספרים שיחס הראשון מהם וכו‫'
  • Example: 2; 3; 4; 6
 והמשל ב ג ד ו
\scriptstyle{\color{blue}{a_1:a_2=2:3}}
 כי יחס הב' שהוא הראשון אל השני שהוא ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{2=\frac{2}{3}\sdot3}}
 הוא שב' שני שלישי ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{a_3:a_3=4:6}}
\scriptstyle{\color{blue}{4=\frac{2}{3}\sdot6}}
 וכן ד' שהוא השלישי הוא ב' שלישי ו' שהוא הרביעי
וכן כל מספר שיהיה כן בזה היחס
  • Example: 12; 18; 20; 30
 כמו י"ב י"ח כ' ל‫'
  • Example: 3; 4; 6; 8
 או על יחס אחר כמו ג ד ו ח
\scriptstyle{\color{blue}{3=\frac{3}{4}\sdot4}}
 כי ג' שלשה רביעי ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{6=\frac{3}{4}\sdot8}}
 וכן ו' שלשה רביעי ח‫'
  • Example: 3; 6; 7; 14
 וכן אי זה יחס שתרצה כמו ג' ו' ז' י"ד וכן כלם
\scriptstyle a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3 אמר והכאת הראשון בד' כהכאת השני בשלישי
1) \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6=12}}
 המשל הכית ב' בו' היו י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}
 וכן ג' בד' י"ב
2) \scriptstyle{\color{blue}{12\sdot30=360}}
 ובשני הכית י"ב בל' יהיו ש"ס
\scriptstyle{\color{blue}{18\sdot20=360}}
 וכן י"ח בכ' ש"ס
3) \scriptstyle{\color{blue}{8\sdot{\color{red}{3}}=24}}
 ובשלישי הכית ח' בו' הם כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot6=24}}
 וכן ד' בו' כ"ד
2) \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot14=42}}
 והרביעי ג' בי"ד מ"ב
\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot7=42}}
 וכן ו' בז' מ"ב
וכן בכל הדומה לזה
\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2} אמ' כאשר הוכה בראשון ברביעי וחולק על השני יצא השלישי
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot6}{4}=\frac{12}{4}=3}}
 פי' הכית ב' בו' יצא י"ב

חלקת י"ב על ד' יצא ג' שהוא השני

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot6}{3}=\frac{12}{3}=4}}
 חלק י"ב על ג' יצא בחלוקה ד‫'
וכן תמצא בשאר המספרים ובכל הדומה להם ובזה יודע השלישי אם היה מוסכל

\scriptstyle a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}

אמר או על השלישי יצא השני
ר"ל אם חולק היוצא מהכאת הראשון ברביעי על הג' יצא השני
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot6}{4}=\frac{12}{4}=3}}
 והמשל הכית ב' בו' יצא י"ב חלקת י"ב על ד' יצא ג' שהוא השני
וכן כלם וכל הדומה ובזה יודע השני אם היה מוסכל
\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1} אמ' וכאשר הוכה השני בשלישי וחולק על הראשון יצא הרביעי
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot4}{2}=\frac{12}{2}=6}}
 המשל הכית ג' בד' היוצא י"ב

חלקתו על ב' שהוא הראשון יצא ו' והוא הרביעי

ובזה יודע הרביעי אם היה מוסכל
\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4} אמ' או על הרביעי ויצא הראשון
ר"ל אם חולק מהכאת השני בשלישי על הרביעי יצא הראשון
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot4}{6}=\frac{12}{6}=2}}
 והמשל הכית ג' בד' היה י"ב

חלקתו על ו' שהוא הרביעי יצא לך ב' והוא הראשון

ובזה יודע הראשון אם היה מוסכל
אמ' ואי זה מהם שיהיה מוסכל יצא בזה המעשה מן השלשה הנשארים הידועים
פי' זה מבואר כי כל אחד נודע מצד השלשה הנשארים הידועים
אמר ואופן המעשה בזה שתכה המספר הבודד המתחלף לסוג האחרים במספר המוסכל יחסו ותחלק על המספר השלישי יצא המוסכל
פי' דע כי אלה הארבעה מספרים יחלקו לשני סוגים שנים בסוג אחד הם ב' וד' ושנים בסוג אחר והם ג' וו' כלומר הראשון והשלישי סוג אחד והשני והרביעי סוג שני
וסבת היות הראשון והשלישי מסוג אחד כי הם דומים שהם יקחו היחס כי הראשון יחס ידוע מהשני
וכן השלישי יש לו אותו היחס עצמו מן הרביעי כי הראשון שני שלישי השני והשלישי שני שלישי הרביעי
והשני והרביעי ג"כ מסוג אחד כי הם דומים כי מהם ילקח היחס
וכאשר יעדר אחד המספרים ויהיה מוסכל ישאר חברו אשר מסוגו בודד והוא מתחלף לסוג האחרים השנים אשר עמו
והמשל אם נעדר הראשון ישאר השלישי שהוא מסוגו בודד ומתחלף לשני ולרביעי כי אינו מסוגם וישאר גם כן השני יחסו מוסכל כי הראשון אשר היה מתיחס עמו נעדר
ולכן אמר המחבר כי כאשר יעדר אחד מהארבעה מספרים ויהיה מוסכל ונרצה לדעתו
כאלו תאמר שנעדר השני והוא מספר ג' הנה יהיה הרביעי שהוא ו' בודד כי חברו אשר עמו בסוגו והוא השני נעדר וזה הרביעי מתחלף לראשון ולשלישי בסוג כי אינו מסוגם וכן ישאר הראשון מוסכל היחס כי אין מתיחס כי השני שהיה מתיחס לו נעדר
נכה הרביעי שהוא בודד המתחלף בסוג לאחרים והוא מספר ו' במשל הראשון שיחסו מוסכל והוא מספר ב' והיה היוצא י"ב נחלק אותו על המספר השלישי הנשאר שהוא ד' ישאר ג' והוא השני שהיה מוסכל וכן בכל הדומה לזה
ודע כי כל מספר שיהיה מקצתו מוסכל ומקצתו נודע וביניהם יחס ידוע יצא במעשה הזה כשתקח אי זה מספר שתרצה ותחלק אותו על היחס ההוא ויהיו לך שלשה מספרים שנים מתיחסים ואחד בלתי מתיחס ובהם תוציא חברו המוסכל
והמשל בזה מה שכתבנו בתחלת השער ממון גרענו שלישיתו ורביעיתו ונשאר עשרה כמה היה הממון
כי הנה שלישית ורביעית הממון מוסכל והנשאר ידוע שהוא עשרה ולכן נקח ממון אי זה ממון שנרצה ויהיה עד"מ ששים ונעשה בזה הממון מה שזכר בעל השאלה ונגרע שלישיתו והוא כ' ורביעיתו ט"ו ויהיו ל"ה וישארו כ"ה הנה כ"ה דומה לעשרה שבשאלה והוא מסוגו כי הוא נשאר גם כן אחר הוצאת השליש והרביע ומספר ל"ה דומה למספר המוסכל בשאלה והוא בודד כי רעהו אשר מסוגו נעדר והוא מתחלף בסוג לכ"ה ועשרה ומספר עשרה יחסו מוסכל יהיה היוצא ש"נ נחלק זה על המספר השלישי הנשאר והוא כ"ה יצא בחלוקה י"ד והוא המוסכל וכשתחבר י"ד עם י' יהיו כ"ד והוא הממון כי שלישיתו ח' ורביעיתו ו' והם י"ד והנשאר עשרה
וכן תעשה בכל שאלה שיהיה לך יחס ידוע למוסכל או תוכל להשיבה עד שיהיו שני מספרים אחד מוסכל ואחד ידוע וביניהם יחס ידוע על אי זה דרך שיהיה

Double False Position
The double false position [lit. scales] is of the mathematical skills and its form is to draw scales like this figure אמר והמאזנים הם מן המלאכות הלמודיות וצורתם היא שתצייר מאזניים כזו הצורה
מאזניים 1.png
מאזניים 1.png
The given known is placed on the fulcrum ותניח הידוע המונח על כיפתו
Any desired number is assigned to one of the pans ותקח אחת הכפות מאיזה מספר שתרצה
The given procedure, whether addition, subtraction, or other, is applied on it ותעשה בו מה שהונח מן הקבוץ או הגרעון או זולת זה מן המעשים
The result is compared with what is on fulcrum אח"כ תקביל בו מה שעל הכיפה
If they are the same, what is in the pan is the unknown number ואם מצאתום כי היה אותה הכף הוא מספר המוסכל
It is a mathematical skill because it extract the mean between the more and the less, and this is found in mathematics, for example in tables of the close, the far, and the mean distance etc.
 אמר שזה ממלאכת הלמודיות בעבור כי פעם יוסיף ופעם יגרע וילקח האמצעי מצד שניהם וזה ימצא בלמודיות כמו המרחק האמצעי והקרוב והרחק בלוחות והדומה לזה
  • the fulcrum = the upper part of the scales, which is called level.
 וכבר אתה מכיר בצורה הכיפה כי היה עליון המאזנים ויקרא פלס
  • the pans are hung by threads
 והכפות והם התלויין בחוטין
Its drawn shape:
 ואם צייר אותו כזה
Scales.png
מאזניים.png
Or in any desirable form
 או באי זו צורה שתרצה
Using the example given above for proportional numbers:
 ונמשל במשל שהמשלנו במספרים המתיחסים
  • An amount of money, we subtract its third and its quarter and ten remain
\scriptstyle a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}a=10
 והוא ממון גרענו שלישיתו ורביעיתו ונשאר עשרה הממון
Its drawn shape:
 תצייר המאזני' כזו הצורה
Scales 1.png
מאזניים 2.png
  • the given known - 10 is written on the fulcrum
 ותכתוב על הכיפה עשרה שהוא המונח הידוע בשאלה
  • any desired number is written in one of the pans
 אחר כך תקח אי זה מספר שתרצה ותכתוב אותו באחת הכפות
  • the problem is applied on the number: \scriptstyle{\color{blue}{a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}a}}
 ותעשה מה שנזכר בשאלה שתוציא שלישיתו ורביעיתו
  • the remainder is compared with the 10 on the fulcrum - checking whether it is the same, or it is less or more
 ותקח השאר תקביל בו העשרה שעל הכיפה ר"ל תעיין אם הוא כמוהו או פחות או יותר
  • If the chosen number is the sought number:
 ואם קרה מקרה שלקחת לך המספר המבוקש
In the above example: if 24 is written in one of the pans \scriptstyle{\color{blue}{a=24}}
 כגון בזה שלקחת בזה המספר כ"ד וכתבת אותו באחת הכפות
\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)=24-8-6=10}}
 והוצאת שלישיתו והוא ח' ורביעיתו שהוא ו' יהיה הנשאר עשרה
When it is compared to the number on the fulcrum - they are the same, therefore 24 is the sought number
 כשתקביל אותו עם המספר אשר על הקו תמצא אותו כמהו הנה כ"ד הוא המספר המבוקש
This is the meaning of the saying "if they are the same, what is in the pan is the unknown number"
 זהו מה שזכר המחבר ואם לא מצאת הנה אותו הכף הוא המספר המוסכל
If [the result is not the same as the number on the fulcrum]:

The error is written above the pan, if it is surplus; or underneath, if it is deficient.
Then, another number is chosen for the other pan, and the same is applied on it as was done with the first number.

אמר ואם החטיא רשום החטא על הכף אם היה יותר או תחתיה אם היה חסר עוד קח בכף האחרת מאי זה מספר שתרצה זולת הראשון ועשה בו כמו שעשית בראשון
The error of each pan is multiplied by the chosen number in the other pan.

If the errors are surplus or deficient, the smaller is subtracted from the greater.
The smaller product is subtracted from the greater.
Then the remainder from the products is divided by the remainder from the errors.
[for \scriptstyle a_1\;a_2 = the two chosen numbers;
and \scriptstyle\Delta_1\;\Delta_2 = the two corresponding errors
The procedure described: \scriptstyle a=\frac{\max(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)-\min(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)}{\max(\Delta_1,\Delta_2)-\min(\Delta_1,\Delta_2)}]

אח"כ הכה חטא על כל השלם שבאחרת אח"כ עיין ואם היו החטאים יתרים או חסרים גרע המעט מהם מהרב והמעוטה שבהכאות מהרבה שבהם וחלק הנשאר ההכאות על הנשאר מן החטאים
When the chosen number is not the sought number itself - this is usually the case, because the accidental is scarce
 פי' ואם לא קרה שלקחת המספר עצמו אבל לקחת זולת זה וזה יהיה על הרוב כי אשר במקרה הוא המעט
In this case \scriptstyle{\color{blue}{a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}a}} is less or more than 10 that on the fulcrum
 הנה על כל פנים אחר שתסיר שלישיתו ורביעיתו יחטא מן העשרה אשר על הכיפה והוא יהיה או יותר מעשרה או פחות מהם
This is the meaning of the saying "if erred"
 זהו אמרו ואם החטיא
  • For example, the scales illustrated below:
 והמשל תצייר המאזנים כזו הצורה
Scales 3.png
מאזניים 3.png
1) false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_1=36}}
 ותקח עד"מ מספר ל"ו תכתוב אותו בכף האחת
\scriptstyle{\color{blue}{36-\left(\frac{1}{3}\sdot36\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot36\right)=36-12-9=36-21=15}}
 ותוציא שלישיתו שהוא י"ב רביעיתו שהוא ט' יהיה הכל כ"א והנשאר ט"ו
  • the error: \scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1=15-10=5}}
 תקביל אותם עם העשרה והנה יחטא כי יש חמשה יתרים תרשום החמשה שהם החטא על הכף בעבור שהם יתרים
If the remainder were 8, which is less than 10 - it were written underneath the pan
 ואם היה הנשאר שהוא הח' פחות מי' היית כותב אותו למטה מן הכף
Then another number, other than 36, is chosen for the other pan:
 אחרי כן קח הכף האחרת מאיזה מספר שתרצה זולת ל"ו שלקחת
2) false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_2=48}}
 ויהיה עד"מ מ"ח תכתוב אותם בכף השנית
\scriptstyle{\color{blue}{48-\left(\frac{1}{3}\sdot48\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot48\right)=48-16-12=48-28=20}}
 הוצאת שלישיתו והיו י"ו ורביעיתו הוא י"ב והכל כ"ח היה הנשאר כ‫'
  • the error: \scriptstyle{\color{blue}{\Delta_2=20-10=10}}
 תקביל [אותם עם] העשרה שעל הכפה הנה יחטא גם כן כי יש עשרה יותר תכתוב אותם על הכף בעבור שהם יתרים ג"כ
3) false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_3=12}}
 ואם לקח[ת] [...] י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=5}}
 הוצאת שלישיתו ורביעיתו היה ה' נשאר
  • the error: \scriptstyle{\color{blue}{\Delta_3=10-5=5}}
 והנה ה' חטאו מן העשרה היית כותב החמשה תחת הכף
4) false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_4=18}}
 וכן אם לקחת במקום המ"ח י"ח
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle18-\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot18\right)&\scriptstyle=18-6-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=18-\left(10+\frac{1}{2}\right)=7+\frac{1}{2}\\\end{align}}}
 הוצאת שלישיתו שהוא ששה ורביעיתו והוא ד' וחצי יהיו עשרה וחצי והנשאר הוא ז' וחצי מן העשרה
  • the error: \scriptstyle{\color{blue}{\Delta_4=10-\left(7+\frac{1}{2}\right)=2+\frac{1}{2}}}
 והחטא הוא ב' וחצי והם פחותים מן העשרה כתבת אותם ג"כ תחת הכף
The error of each pan is multiplied by the chosen number in the other pan:
 א"כ הכה חטא כל כף בשלם שבאחרת
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1\sdot a_2=5\sdot48=240}}
 ר"ל תכה הה' אשר על הכ' שהוא חטא הכף האחרת בשלם שבאחרת שהוא מ"ח יהיה היוצא מן ההכאה ר"מ
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_2\sdot a_1=10\sdot36=360}}
 וכן תכה העשרה שעל הכף השנית והוא החטא שלה בל"ו שהוא השלם שבאחרת יהיו ש"ס ור"מ וש"ס נקראים הכאות
This is the procedure when the errors are written above the pans
 זהו המעשה הראשון שהחטאים למעלה מן הכפות
If the errors are written underneath the pans, as they both deficient:
 ואם היו החטאים למטה מן הכפות כי הם חסרים
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_3\sdot a_4=5\sdot18=90}}
 הכית ה' בי"ח גם כן היו צ‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_4\sdot a_3=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot12=30}}
 והכית ב' וחצי בי"ב היו ל‫'
90 and 30 are called products
 וצ' ול' הם נקראות הכאות
Checking if the errors are surplus, i.e. both surplus as in the first example, or deficient, i.e. both deficient as in the second example - the smaller is subtracted from the greater
 אמר א"כ עיין ואם היו [ה]חטאים יתרים ר"ל שניהם כמו במשל הראשון או חסרים ר"ל שניהם כמו במשל השני גרע המעט מהם מהרב
\scriptstyle{\color{blue}{\max(\Delta_1,\Delta_2)-\min(\Delta_1,\Delta_2)=\Delta_2-\Delta_1=10-5=5}}
 ר"ל מעט החטאים שהוא ה' במשל הראשון מעשרה שעל הכף השנית ישארו ה‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\max(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)-\min(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)\\&\scriptstyle=\Delta_2\sdot a_1-\Delta_1\sdot a_2=360-240=120\\\end{align}}}
 והמעוטה שבהכאות ר"ל וגרע המעוטה שבהכאות שהיו ר"מ במשל הראשון מן הרבה שהיא ש"ס יהיה הנשאר ק"ך
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\max(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)-\min(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)}{\max(\Delta_1,\Delta_2)-\min(\Delta_1,\Delta_2)}=\frac{120}{5}=24}}
 תחלק הנשאר מן ההכאות שוה ק"ך על ה' והנשאר מן החטאים יהיה היוצא כ"ד והוא המספר המוסכל המבוקש
In the second example both errors are deficient:
 ובמשל השני שהיו החטאים שניהם חסרים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\max(\Delta_3,\Delta_4)-\min(\Delta_3,\Delta_4)&\scriptstyle=\Delta_3-\Delta_4\\&\scriptstyle=5-\left(2+\frac{1}{2}\right)=2+\frac{1}{2}\\\end{align}}}
 תגרע המעט מהם שהוא ב' וחצי מן הרב שהוא חמשה ישאר ב' וחצי
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\max(\Delta_3\sdot a_4,\Delta_4\sdot a_3)-\min(\Delta_3\sdot x_4,\Delta_4\sdot a_3)\\&\scriptstyle=\Delta_3\sdot a_4-\Delta_4\sdot a_3=90-30=60\\\end{align}}}
 ותגרע ההכאה המעוטה שהיא ל' מן הרבה שהיא צ' ישאר ס‫'
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\max(\Delta_3\sdot a_4,\Delta_4\sdot a_3)-\min(\Delta_3\sdot a_4,\Delta_4\sdot a_3)}{\max(\Delta_3,\Delta_4)-\min(\Delta_3,\Delta_4)}=\frac{60}{2+\frac{1}{2}}=24}}
 תחלק אלה הס' על ב' וחצי שהוא הנשאר מן החטאים יהיה היוצא כ"ד כמו במעשה הה' והוא המבוקש
If one of the errors is surplus and the other is deficient - the sum of both products is divided be the sum of the errors.

[\scriptstyle a=\frac{\left(\Delta_1\sdot a_2\right)+\left(\Delta_2\sdot a_1\right)}{\Delta_1+\Delta_2}

אמ' ואם היה האחד מהם יותר והאחר חסר חלק המקובץ מן שני ההכאות על המקובץ מן החטאים
If one of the errors is surplus, and it is written above the pan
 פי' ואם היה אחד החטאים יותר ונכתב למעלה מן הכ‫'
  • as in the example above: 10 is written on the fulcrum
כמו שהיה במשל הנזכר על הכפה עשרה
1) false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_1=36}}
 ובכף האחרת ל"ו
  • the error: \scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1=5}}
 יהיה החטא ה' וכתוב על הכף
2) false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_2=20}}
 ובכף השנית עשרים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle20-\left(\frac{1}{3}\sdot20\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)&\scriptstyle=20-\left(6+\frac{2}{3}\right)-5\\&\scriptstyle=20-\left(11+\frac{2}{3}\right)=8+\frac{1}{3}\\\end{align}}}
 תסיר רביעיתם והוא ה' ושלישיתם ו' ושני שלישים והם י"א ושני שלישים הנשאר ח' ושליש
  • the error: \scriptstyle{\color{blue}{\Delta_2=10-\left(8+\frac{1}{3}\right)=1+\frac{2}{3}}}
 יחטא מן העשרה א' וב' שלישים
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_2\sdot a_1=\left(1+\frac{2}{3}\right)\sdot36=60}}
 הכינו א' וב' שלישים בל"ו שהוא השלם שבכף השני היה היוצא מן ההכאה ס‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1\sdot a_2=5\sdot20=100}}
 והכינו ה' בעשרים היו ק‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_2\sdot a_1+\Delta_1\sdot a_2=60+100=160}}
 וס' וק' הם ההכאות קבצנו אותם היו ק"ס
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1+\Delta_2=5+\left(1+\frac{2}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}
 וקבצנו החטאים והם ה' וא' ושני שלישים היו ו' ושני שלישים
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\Delta_2\sdot a_1+\Delta_1\sdot a_2}{\Delta_1+\Delta_2}=\frac{160}{6+\frac{2}{3}}=24}}
 חלקנו ק"ס שהוא מקובץ ההכאות על ו' ושני שלישים שהוא מקובץ החטאים היוצא כ"ד והוא המקובץ וכן בכל הדומה לזה

\scriptstyle a=\frac{\left(A_2\sdot a_1\right)-\left(\Delta_1\sdot a_2\right)}{A_2}

אמ' ואם רצית קח הכף השנית מן המספר הראשון או מזולתו והוציא חלקה אשר תקביל בו מה שעל הכיפה והכה אותו בשלם שבראשנה והכה חטא הראשונים בשלם שבשנית א"כ אם היה חטא הראשון חסר קבצת ההכאות
\scriptstyle a=\frac{\left(A_2\sdot a_1\right)+\left(\Delta_1\sdot a_2\right)}{A_2} ואם היה יותר לקחת התוספת שביניהם ומה שיהיה תחלקנו על חלק הכף בשנית
פי' זו היא דרך אחרת במעשה המאזני' והוא שתקח אי זה מספר שתרצה ותכתוב אותו בכף האחת ותעשה בו כמו שעשית במעשה הראשון ותכתוב החטא זו למעלה אם היה יותר או למטה אם היה חסר
ונמשיל במשל עצמו ויהיה על הכפה העשרה
1) false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_1=36}}
 ונשים בכף הראשון ל"ו
  • the error: \scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1=5}}
 ונעשה כמו שעשינו שם יהיה החטא למעלה מן הכף ה‫'
2) false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_2=12}}
 עוד נקח המשל השני ויהיה בכף י"ב
  • the error: \scriptstyle{\color{blue}{\Delta_2=5}}
 ויהיה החטא למטה מן הכף ה' ג"כ כמו שעשינו שם
עוד נשוב אל הכף השנית ונכתוב בו מ"ח כמו שעשינו שם או מספר אחר או נקח ג"כ י"ב כמו בכף הראשנה או ל"ו
false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_2=48}}
 והם אם לקחנו מ"ח
\scriptstyle{\color{blue}{A_2=48-\left(\frac{1}{3}\sdot48\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot48\right)=20}}
 גרענו שלישיתו ורביעיתו ישאר כ' והוא הנקרא אשר בו נקביל
ובזה המעשה לא נכתוב על הכף ולא תחתיו מה שיחטא החלק הזה מן העשרה שעל הכפה אבל נכתוב אותו כלו או למעלה או למטה כמו שנרצה
  • \scriptstyle{\color{blue}{a_1=12}}
 ואם היה בכף י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{A_1=5}}
 היה החלק הזה ה‫'
  • false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_1=36}}
 ואם היה בכף הראשונה ל"ו
\scriptstyle{\color{blue}{A_1=15}}
 היה החלק הזה ט"ו
והכה החלק הזה בזה שהוא כ' כשיהיה הכתוב בכף מ"ח
\scriptstyle{\color{blue}{A_2\sdot a_1=20\sdot36=720}}
 ואם היה בכף בכף הראשונה ל"ו הכינו כ' בל"ו היה תש"כ
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1\sdot a_2=5\sdot48=240}}
 והכינו ה' שהוא החטא מעל הראשנה במ"ח היו ר"מ
ובעבור שהחטא הוא למעלה מן הכף והוא יותר לקחנו בתוספת שבין שתי ההכאות
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(A_2\sdot a_1\right)-\left(\Delta_1\sdot a_2\right)}{A_2}=\frac{720-240}{20}=\frac{480}{20}=24}}
 ר"ל גרענו ר"מ מתש"כ היה הנשאר ת"פ

חלקנום על כ' שהוא הנקרא חלק שעל הכף השנית יהיה היוצא כ"ד והוא המבוקש וזו צורתו

Scales 4.png
מאזניים 4.png
  • false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_1=12}}
 ואם היה בכף הראשנה י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{A_1=5}}
 והיה החטא ה' למטה מן הכף
\scriptstyle{\color{blue}{A_2\sdot a_1=20\sdot12=240}}
 הכינו כ' שהוא החלק השנית בי"ב שהוא שלם הראשונה היה ר"מ
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1\sdot a_2=5\sdot48=240}}
 וחטא הראשנה שהוא במ"ח שהוא שלם השנית היה היוצא ר"מ ג"כ
ובעבור שהחטא חסר ולמטה מן הכף
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(A_2\sdot a_1\right)+\left(\Delta_1\sdot a_2\right)}{A_2}=\frac{240+240}{20}=\frac{480}{20}=24}}
 קבצנו ההכאות ר"מ ור"מ היו ת"פ

חלקנום על כ' שהוא החלק שעל השנית יצא כ"ד והוא המבוקש וזו צורתו

Scales 5.png
מאזניים 5.png
  • false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_1=a_2=12}}
 ואם היה י"ב בראשנה וי"ב בשניה
  • the error: \scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1=5}}
 היה חטא הראשנה ה' חסר ולמטה מן הכף
\scriptstyle{\color{blue}{A_2=5}}
 וחלק השנית ה‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1\sdot a_2=5\sdot12=60}}
 הכינו ה' שהוא חטא הראשנה בי"ב שבשנית היו ס‫'
\scriptstyle{\color{blue}{A_2\sdot a_1=5\sdot12=60}}
 וכן ה' שהוא חלק השנית בי"ב שבראשנה היו ס‫'
ובעבור שהחטא למטה מן הכף חסר
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(\Delta_1\sdot a_2\right)+\left(A_2\sdot a_1\right)}{A_2}=\frac{60+60}{5}=\frac{120}{5}=24}}
 קבצנו ס' עם ס' שהם ההכאות היו ק"ך

חלקנום על ה' שהוא חלק השנית היוצא כ"ד והוא [המבוקש וזו] צורתו

Scales 6.png
מאזניים 6.png
  • false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_1=a_2=36}}
 ואם היה בראשנה ל"ו וכן ל"ו בשניה
  • the error: \scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1=5}}
 היה חטא הראשנה ה' יתרים למעלה מן הכף
\scriptstyle{\color{blue}{A_2=15}}
 וחלק השני[ת ט"ו]
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1\sdot a_2=5\sdot36=180}}
 הכינו ה' [ש]הוא החטא הראשנה בלו שבשנית היו ק"ף
\scriptstyle{\color{blue}{A_2\sdot a_1=15\sdot36={\color{red}{540}}}}
 וכן ט"ו שהוא החלק שבשנית בל"ו שבראשנה היה תש"כ
ובעבור שהחטא יותר ו[ל]מעלה מן הכף לקחנו תוספת שבין שני ההכאות
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(A_2\sdot a_1\right)-\left(\Delta_1\sdot a_2\right)}{A_2}=\frac{{\color{red}{540}}-180}{15}=\frac{360}{15}=24}}
 ר"ל גרענו ק"ף מן תש"כ הנשאר ש"ס

חלקנום על ט"ו שהוא חלק הש[נית] היוצא כ"ד והוא המבוקש

והנה כל הדרכים אחדים וזו צורתו
Scales 7.png
מאזניים 7.png
וכן תעשה בכל הדומה
ואם ישאל שואל ממון קבצנו שלישיתו ורביעיתו והיה י"ד כמה הממון
1) false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_1=36}}
 הנה נקח אי זה סך שנרצה ויהיה עד"מ ל"ו תכתוב אותו בכף האחת
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot36\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot36\right)=21}}
 וקבץ שלישיתו ורביעיתו והוא כ"א
  • the error: \scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1=21-14=7}}
 תקביל אותם עם הי"ד והנה יחטא כי יש שבעה יתרים תרשום אותם על הכף
ואם היה הנקבץ פחות מן י"ד היינו כותבים אותו למטה מן הכף
א"כ נקח אי זה מספר שנרצה זולת מספר ל"ו שלקחנו
2) false position: \scriptstyle{\color{blue}{a_2=48}}
 ויהיה על ד"מ מ"ח נכתוב אותו בכף השנית
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot48\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot48\right)=28}}
 נקבץ שלישיתו ורביעיתו והוא כ"ח
  • the error: \scriptstyle{\color{blue}{\Delta_2=28-14=14}}
 תקביל אותם ג"כ עם הי"ד והנה יחטא כי יש י"ד יתרים תרשום אותם על הכף בעבור שהם ג"כ יתרים
Scales 8.png
מאזניים 8.png
א"כ הכה חטא על הכף בשלם שבאחרת
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_1\sdot a_2=7\sdot48=336}}
 ר"ל הכה ז' אשר על הכף האחרת בשלם שבאחרת שהוא מ"ח ויהיה היוצא מן ההכאה של"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\Delta_2\sdot a_1=14\sdot36=504}}
 וכן תכה י"ד שעל הכף השנית בל"ו שהם השלם שבאחרת ויהיה היוצא מן ההכאה תק"ד
ותק"ד נקראים הכאות
א"כ הסתכל אם היו החטאים שניהם יתרים או שניהם חסרים
\scriptstyle{\color{blue}{\max(\Delta_1,\Delta_2)-\min(\Delta_1,\Delta_2)=\Delta_2-\Delta_1=14-7=7}}
 גרע המעט שהוא ז' מהרב שהוא י"ד וישאר ז' וגרע
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\max(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)-\min(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)\\&\scriptstyle=\Delta_2\sdot a_1-\Delta_1\sdot a_2=504-336=168\\\end{align}}}
 ג"כ המעוטה שבהכאות שהיה של"ו מן הרבה שהוא תק"ד וישאר קס"ח
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\max(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)-\min(\Delta_1\sdot a_2,\Delta_2\sdot a_1)}{\max(\Delta_1,\Delta_2)-\min(\Delta_1,\Delta_2)}=\frac{168}{7}=24}}
 תחלק אותו על ז' שהוא הנשאר מן החטאים ויהיה היוצא כ"ד והוא המספר המוסכל המבוקש
ואם היו החטאים אחד מהם יותר והאחר חסר ותצטרך לשים היותר למעלה מהכף והחסר למטה תעשה כמעשה שעשית בשאלה הראשונה ותמצא גם כן המבוקש
בס"ד ב'נ'ל'ך' וא'ע'י' א'ס'ה‫'
והנה נשלם ושלום על ישראל מאת אדון השלום ית' וית' שמו ומרומם לכל ברכה ותהלה
תם ונשלם החלק הראשון ויבא החלק השני בהשלמה והקבלה
ושלום רב על כל ישראל אמן

Section Two: Restoration and Reduction

 החלק השני בהשלמה והקבלה
the operations are described in five chapters אמר ויבואו בו מן המעשים כפי כונותינו ה' שערים
this section is the second section concerning the procedures through which the unknown is extracted from the given
 פי' זה החלק הוא החלק השני שזכר למעלה בדרכים אשר יודע בהם הנעלם מן הנגלה המונח

Chapter One: Restoration and Reduction - basic definitions

 אמ' השער הראשון בהשלמה וההקבלה וביאור חלקיהם
equalization is one of the principles of this craft - the author explains it through the restoration and reduction
 פי' ידוע כי ההשואה היה ג"כ עקר מעקרי המלאכה הזאת כמו שזכרה המחבר מיד וביאר מה היא עם ההשלמה וההקבלה
  • the restoration exists without reduction
 אמנם בעבור כי ההשלמה תמצא בלא הקבלה
  • the reduction exists without restoration
 וכן ההקבלה בלא השלמה
the equalization does not exist without reduction and restoration
 ולא תמצא ההשואה כי עם עמהם
therefore the craft was named "restoration and reduction" or sometimes only "restoration"
 ייחס המלאכה אל ההשלמה וההקבלה בלבד והן שם המלאכה ולפעמים יקרא אותם בשם ההשלמה בלבד כמו שיאמר לפנים
Restoration
  • the restoration consists of cycle of three species
 וסבוב ההשלמה על ג' מינים והוא דרך קצרה
Restoration = correction אמ' ההשלמה הוא התיקון כמו שזכרנו בחלק הראשון מן הספר
the word "restoration" in arithmetic = completion of the incomplete number
 פי' אין רצונו בהשלמה פה אותה ההשלמה בעצמה שזכר בחלק הראשון אבל רצונו שתיבת ההשלמה בחכמת המספר ענינה התיקון ר"ל השלמת המספר החסר והיא על שני דרכים
1) completing the smaller number to a larger number by multiplication
 הא' שנזכר בחלק הראשון ושם נתבאר כמה נשלים המספר הקטן להיותו גדול בדרך הכאה
completing 4 to 8 - multiplying it by 2: \scriptstyle{\color{blue}{4\sdot a=8}}
\scriptstyle{\color{blue}{a=2}}
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot 2=8}}
 ר"ל על דרך משל באיזה מספר נכה ד' להשלימו שיהיה שמנה

וזה יהיה בשנים
כי כשנכה ד' בשנים יהוו שמנה

2) completing the incomplete number to a complete number by adding what it is missing
 והדרך השני הוא הנזכר פה והוא שנשלים המספר החסר להיותו שלם כשנוסיף עליו מה שחסר ממנו
completing 10-2, which is 8, to 10 by adding the missing 2
 ועד"מ עשרה פחות שנים שזה יקרא מספר חסר והוא שמנה נשלים אותו להיות עשרה כשנוסיף שנים החסרים ויהיו שלם
in this craft:
completing \scriptstyle{\color{blue}{x^2-x}} to a whole \scriptstyle{\color{blue}{x^2}} by adding \scriptstyle{\color{blue}{x}}
 וכן בזאת המלאכה כשנאמר עד"מ מרובע פחות שרש נשלימנו כשנוסיף השרש ויהיה המרובע שלם
restoration includes both procedures
 הנה ההשלמה הוא סוג לשני אלה הדרכים
its meaning is correction - the incorrect should be restored by any procedure
 וענינה התיקון כי החסר תקון הוא בהשלמתו על אי זה דרך שיהיה
it will be explained below
 ולפנים בג"ה יתבאר היטב איך היא ההשלמה הזאת המבוקשת פה ואיך תעשה
Reduction
reduction [al-Bannāʼ] = subtracting each species from its similar until there are no two types of the same species on the sides [of the equation] אמ': וההקבלה היא לגרוע כל מין מהדומה לו עד שלא יהיה בצדדין שני מינים מסוג אחד
restoration, reduction, and equalization
this craft consists of three operations: restoration, reduction, and equalization
 פי': דע כי שלש פעולות יש בזאת המלאכה וזכרם תחלה המחבר והן: ההשלמה וההקבלה וההשואה
it operates upon three objects, that will be mentioned below, of which the restoration cycle consists
 ובשלשה דברים היא פועלת והם נפעלים והם אשר יזכור אחרי כן ואומר שסבוב ההשלמה הוא עליהם
the author [al-Bannāʼ] mentioned the operations in brief
 והמחבר זכר הפעולות תחלה לפי קצורו
the restoration was already explained
 וכבר ביארתי מה היא ההשלמה בדברי המחבר
in order to explain the reduction, and equalization - first the objects that are operated upon are explained together with other issues that should be presented, by which the reduction, and equalization will be clarified
 ולבאר ההקבלה וההשואה ראיתי להקדים ולבאר הדברים הנפעלים ועמהם קצת עניינים שצריך להקדים ועל ידם יתבאר בקלות ענין ההקבלה וההשואה ואתחיל בזה
The Fundamental Algebraic Species
the restoration consists of cycle of three species: numbers, roots [lit. things], and squares [lit. money] אמ': וסבוב ההשלמה על שלשה מינים: המספרים והדברים והממונות
  • things are roots
 הדברים הם השרשים
  • squares are the product of the root multiplied by itself
 והממונות מה שיתקבץ מן השרש מוכה בעצמו
[In arithmetic], the number has three [fundamental] rank: units, tens, and hundreds - the rest of the ranks are composed of them.
In this craft the ranks are: numbers, roots, and squares - the rest of the ranks are composed of them
 פי': דע כי כמו שנתבאר שיש למספר שלש מדרגות האחדים והעשרות והמאות והשאר מורכבות מהן

כן במלאכה הזאת שמו מדרגות והם המספרים והשרשים והמרובעים והשאר מורכבות מהן

  • the restoration consists of cycle of three species - though there are many species (cubes etc.), the essence of this craft is to reduce all of them to the three species - numbers, roots, and squares
 זהו אמרו: וסבוב ההשלמה על ג' מינים כי אע"פ שיש מינים רבים מעוקבים וזולתם

הנה עקר זאת המלאכה להשיבם כולם אל אלה המינים השלשה
והשלשה מינים הם מספרים ודברים וממונות

  • things are roots = in this craft they are called "things"
ואמר שהדברים הם השרשים שנזכרו בספר ובזאת המלאכה יקראום דברים
  • squares are the product of the root multiplied by itself = when the root is multiplied by itself the result of this multiplication is called in this craft "money", which is the square
והממונות מה שיתקבץ מן השרש מוכה בעצמו ר"ל כשתכה השרש בעצמו היוצא [מ]ן ההכאה יקראה בזאת המלאכה ממון והוא המרובע אשר נזכר בספר
[al-Bannāʼ] explained the two terms [= roots and squares] and not the term "number", because they are named in this craft by different names, unlike the number.
ופי' אלה השנים והניח המספר בעבור כי אלה השנים נקראים בזאת המלאכה בשם אחר ולא כן המספר
the complete meaning of the three species:
 ופי' אלה השלשה מינים בשלימות הוא זה
  • numbers = any number whether of the units, tens, or hundreds, or the rest of the ranks, or a combination of them; be it a large number or a small number.
such as: 5; 9; 11; 120
 המספרים הם כל מספר שיהיה מן האחדים או העשרות או המאות או שאר המדרגות או מהרכבתם

גדול או קטן
כמו ה' וט' וי"א ק"כ
ובכלל כל מספר רב או מעט
ובעבור זה קראו זאת המדרגה בשם המספר

  • roots = the roots of the squares
 והשרשים הם שרשי המרובעים
any number can be a root of a square, since the root has no sense of multiplication of a number, except as the number that is multiplied by itself, from which the square is formed.
That number is a root of the square.
וידוע כי כל מספר הוא אפשר להיות שורש למרובע

כי אין ענין לשרש בהכאת המספר אלא מספר שתכה אותו בעצמו ויהיה ממנו מרובע
והמספר ההוא שרש למרובע ההוא

the number by itself is called a "number"
 וכל מספר לזה אלא שהמספר יקרא מספר מצד עצמו
it is called a "root" only in relation to a square
ולא יקרא שרש אלא בהצטרף למרובע
  • the term "number" in this respect is a number as it is a number
 ולכן המספר המונח בזה הוא מספר מצד מה שהוא מספר
  • the term "root" in this respect is a number which is a root that is extracted from a certain square, and does not have a known value
 והשרש המונח בזה הוא מספר שהוא שרש לקוח ממרובע מה ואין לו מספר ידוע
therefore it is called a "thing" - a certain thing of the numbers, that is a root of a certain square
 ולכן קראוהו דבר כלומר דבר מה מהמספרים שהוא שרש למרובע מה
in general: indefinite root
 והכלל שרש סתם
  • squares = numbers also, but they are square numbers, i.e. they have a root, so that when the root is multiplied by itself it is a square
 והמרובעים הם ג"כ מספרים אלא שהם מספרים מרובעים ר"ל שיש להם שרש כשהוכה השרש ההוא בעצמו היה מרובע
any number is a square;
whether its root is rational - as 16 whose root is 4 \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}=4}}
or its root is approximate - as 10 which has no rational root, but its approximate root is three and one sixth \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\approx3+\frac{1}{6}}}
 וידוע ג"כ מספרים כי כל מספר ג"כ הוא מרובע

הן יהיה שרשו מדובר כמו י"ו ע"ד'מ ששרשו ד‫'
או שיהיה שרשו בקרוב כמו י' ע"ד'מ שאין שרשו מדובר אבל בקרוב יהיה שרשם ג' ושתות

for the square has no sense in arithmetic except as the product of the number that is multiplied by itself
 כי אין ענין למרובע בחכמת המספר אלא המתקבץ מהמספר שהוכה בעצמו
  • the term "square" in this respect is an indefinite square
 ולכן המרובע המונח בזה הוא מרובע סתם
therefore it is called a "money"
 ולכן קראום ממון
the roots, that are called "things", and the squares, that are called "money", are always indefinite in the questions
 וכן תמיד השרשים שנקראים דברים והמרובעים שנקראם ממונות יונחו בסתם בשאלות
the numbers cannot be indefinite, but are known [in their value]
 והמספרים אין דרך להניחם בסתם כי אם ידועים
since the number is not related to the other as the root related to the square, or the square related to the root
 בעבור כי אין למספר התייחסות עם זולתו כמו שיש לשרש עם המרובע או למרובע עם השרש
the number is a number by itself
 כי המספר כמו שאמרתי הוא מספר מצד עצמו
while the root is a root to the square, and the square is a square to the root, as all that are relating
והשרש שרש למרובע והמרובע מרובע לשרש כדרך כל המתייחסים
these are the three species of which the restoration consists
 זהו ביאור שלשת מינים שעליהם תסוב ההשלמה
as the hundreds are formed from the tens and the units;
the thousands are formed from the hundreds, the tens and the units;
and the rest ranks are formed from the preceding ranks
 וכמו שהמאות מקובצות מן העשרות והאחדים

והאלפים מקובצים מן המאות והעשרות ומהאחדים
וכל שאר המדרגות מקובצות מאשר קודם להם

so in this craft:
 כן בזאת המלאכה
  • the squares, which are called "money", are formed from the product of the root by the root \scriptstyle x\times x=x^2
 המרובעים מקובצי' מהכאת השרש בשרש ונקראים ממונות
  • the cube [is formed] from the product of the root by the square
\scriptstyle x\times x^2=x^3
 והמעוקב מהכאת השרש בממון
  • square square: root×cube; or square×sqaure
\scriptstyle x\times x^3=x^2\times x^2
 ואם תכה השרש במעוקב תהיה מדרגה אחרת תקרא ממון מממון והוא בהכאת ממון בממון
  • square cube: square×cube \scriptstyle x^2\times x^3
 ואם תכה ממון במעוקב יהיה היוצא מדרגה אחרת תקרא ממון מעוקב
  • cube cube: cube×cube \scriptstyle x^3\times x^3
 ומעוקב במעוקב יהיה מעוקב מעוקב
  • so on for the upper ranks
 וכן השאר המדרגות למעלה
the squares and the cubes are recurring: "square square square"; "cube cube cube";
or combined together: "square square cube"; "square cube cube" etc.
 בהשנות הממונות והמעוקבים תאמר ממון ממון ממון ומעוקב מעוקב מעוקב

או מורכבים יחד ממון ממון ומעוקב ממון מעוקב מעוקב וכן השאר

  • as the numerical ranks have values of the ranks, so do the algebraic ranks have values
 וכמו ששמו למדרגות המספר מוסדים כן גם כן לאלו המדרגות
  • as the addition, subtraction, multiplication and division operations applied to numbers, they are also applied to algebraic species
 וכמו שהמספרים יקובצו ויוגרעו ויוכו ויחלקו כן המספרים והשרשים והמרובעים ושאר המדרגות יקובצו אלו עם אלו ויוגרעו אלה מאלה ויוכו אלה באלה ויחלקו אלה על אלה
  • as it is said: 5 plus 7 [are equal] to 8 plus 4 \scriptstyle{\color{blue}{5+7=8+4}}
 וכמו שיאמר במספר שה' וז' מקובצים ד"מ לח' וד' מקובצים
so it is said that a number or roots are equal to a square; or roots and square [are equal] to a number, etc.
 כן יאמר ששרשים שוים למספר או שרשים שוים לממון

או שרשים וממון למספר וכדומה לזה

  • as numbers are added to one another, subtracted from one another, multiplied or divided from one another, or are equal to one another, in the numeral ranks.
 וכמו שיש במדרגות המספר מספרים יקובצו האחד עם האחר או יוגרעו ממנו או יוכה או יחלק עליו או ישתוה לו
in this craft there are sides [= the sides of the equation]
it is said that one side is added to the other, subtracted from it, multiplied, or divided by it, or is equal to it
 כן יש במלאכה הזאת ויקראו צדדין

ויאמר שהצד האחד יקובץ עם השני או יוגרע ממנו או יוכה בו או יחלק עליו או ישתוה עליו לו

the equality of one side to the other is the essence of the reduction and equalization
 ובזה החלק האחרון ר"ל שהצד שוה לצד הוא כל ענין ההקבלה וההשואה כמו שיתבאר בסמוך בג"ה יתעלה ויתברך
four types of numbers - [and four corresponding types of algebraic species] וכמו שהמספרים על ד' פנים
1) number by itself - such as 5, or 30 - called integer
 האחד שיהיה מספר לבדו כמו ה' או ל' או זולת זה ויקרא שלם
in this craft - a root, or a square by themselves
 כן במלאכה הזאת יש שרש לבדו או ממון
the side that contains one of these is called complete
 ויקרא הצד אשר בו אחד מאלה שלם
2) added
for numbers
two numbers of more, each of which is exists by itself - such as \scriptstyle{\color{blue}{4+5}}, or \scriptstyle{\color{blue}{8+12}}
one number does not relate to the other
 השני וכמו שני מספרים או יותר וכל אחד עומד בעצמו כמו ד' וה' או ח' וי"ב וזולת זה

שהמספר האחד בלתי נמשך לחברו ויקרא מחובר

in this craft:
on one side, for example: a root, a square, and a cube, each of which exists by itself, i.e. the roots are not of the squares and the squares are not of the cubes, each is indefinite and added to the other
[the intention here is probably to cases such as \scriptstyle{\color{blue}{x+y^2+z^3}}]
 כן במלאכה הזאת יאמר בצד ד"מ שורש ומרובע ומעוקב וכל אחד עומד בעצמו

ר"ל שאין השרשים מהמרובעים ולא המרובעים מהמעוקבים רק כל אחד סתם ומחובר עם האחר ויקרא ג"כ צד מחובר

it is rarely found in this craft - except for the numbers that are unrelated
 וזה נמצא מעט בזאת המלאכה כי אם במספרים בעבור שהם בלתי מתייחסים

ויקרא נוסף כמו המתיחס לא המחובר

3) additive
for numbers:
  • \scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{4}}} the quarter is a quarter of one, therefore it relates to one
  • \scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}
it is called additive since the part is added to the integer
 הג' כמו שיאמר אחד ורביע ואחד וחצי שהרביע נמשך לאחד וכן החצי כי הרביע הוא רביע מן האחד

וזה יקרא הנוסף כי החלק נוסף על השלם

in this craft:
  • squares and roots \scriptstyle{\color{blue}{ax^2+bx}}
  • a cube and a square \scriptstyle{\color{blue}{x^3+x^2}}
they relate since the roots are roots of the square and the square is square of the cube
 כן בזאת המלאכה יאמר בצד מרובעים ושרשים ר"ל ממון ודברים

או מעוקב וממון
והם נמשכים ר"ל שהדברים דברים מן הממון והממון ממון מהמעוקב ויקרא הנוסף

  • a square and a number \scriptstyle{\color{blue}{x^2+c}}
  • a root and a number \scriptstyle{\color{blue}{x+c}}
are also called additive, although they do not relate
 וכן ממון ומספר דבר ומספר יקרא נוסף אע"פ שאינו מתיחס ונמשך
4) subtractive
for numbers:
\scriptstyle{\color{blue}{10-2}}
\scriptstyle{\color{blue}{30-5}}
\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{1}{3}}}
 הד' כמו שיאמר במספר עשה פחות ב‫'

או ל' פחות ה‫'
או אחד פחות שליש
ויקרא חסר או נזור

in this craft:
  • a square minus a root \scriptstyle{\color{blue}{x^2-x}}
  • a cube minus a square \scriptstyle{\color{blue}{x^3-x^2}}
 כן במלאכה הזאת יאמר בצד ממון פחות דבר

או מעוקב פחות ממון
ויקרא חסר או נזור

so, there are four types of sides in this craft: complete, added, additive and subtractive
נמצאו הצדדין במלאכה הזאת ד' שלם ומחובר ונוסף ונזור
as for the numbers: [when one number is added to the other or subtracted from the other] - one of them or both could consist of many ranks - units, tens, hundreds, thousands etc.
 וכמו שהמספרים המקובצים או מוגרעים וזולת זה אפשר להיות הצד האחד או שניהם מדרגות רבות אחדים ועשרות ומאות אלפים וזולתם
so in this craft one of the sides or both could consist of many species - cubes, squares, and roots
 כן במלאכה הזאת אפשר להיות הצדדין כל אחד מהם או שניהם ממדרגות רבות מעוקבים וממונות ודברים
when the sides are joined together they receive as many forms as the numbers
 וכשיתרכבו הצדדין אלה עם אלה יבואו על פנים רבים מאד כמו במספרים
these issues concerning the algebraic species and the sides are relevant to the operations of addition, subtraction, multiplication, and division in this craft. וכל אלה העניינים שזכרתי מן המדרגות והצדדין נוהגים בכל חלקי הקבוץ והגרעון וההכאה והחלוק שבזאת המלאכה
Necessary conditions for restoration and reduction
restoration and reduction, in which one side is equal to the other, require the fulfilling of other conditions:
 אבל בשני חלקים הראשונים שהם חלקי ההשלמה וההקבלה לפי שהשאלה בהם שהצד ישוה לצד יש בהם תנאים אחרים והם אלה
1) there is no species in one side that is similar to those in the other side
 התנאי הא': שלא יהיה בצד האחד מין מהמדרגות דומה למה שבצד השני
2) one side has always of one species and the other side has one or two species no more
 התנאי השני: שהצד האחד יהיה תמיד מדרגה אחת והשני מדרגה אחת או שתים לא יותר
[3)] the additive side must relate - i.e. the roots must be roots of the square, the square must be square of the cube
 התנאי הד': שהצד הנוסף תהיה התוספת מתייחסת

ר"ל שאם היה ממון ודברים שיהיו הדברים מהממון
וכן מעוקב וממון הממון מהמעוקב

except for the numbers - if a number is additive it should not relate, since it does not relate to the other algebraic species - roots, squares etc.
 לבד מהמספרים שאם היה הנוסף מספר אין צריך להיות מתיחס כי כבר נזכר שהמספר לא יתיחס לדברים ולממונות ולשאר המדרגות
[4] there is no other species but the three species - numbers, roots, and squares
 התנאי הה': שלא יהיה שום מין מהמדרגות אלה השלש שהם מספרים ודברים וממונות
the restoration and reduction consist of these three species - one species is equal to the other either to one of them or to both
 וכל ענייני ההשלמה וההקבלה הם בשלש מדרגות אלה איזה מדרגה שוה לחברתה או אחת או לשתים
these conditions require restoration, reduction, and equalization
 ומאלה התנאים מתחייבות ההשלמה וההקבלה וההשואה
since when the problem indicates that one side equals the other side these conditions must be pursued
 וזה כי כשיאמר בשאלה שהצד האחד ישוה לצד האחר צריך לחתור ולהשיב השאלה אל התנאים הנזכרים
if this is impossible, then the problem cannot be solved by restoration and reduction, possibly by other methods
 ואם לא יהיה אפשר הנה השאלה ההיא אי אפשר לדעת אותה ע"ד ההשלמה וההקבלה ואפשר שתודיע על דרכים אחרי‫'
explanation of the author's [al-Bannāʼ] conception concerning restoration, reduction, and equalization ואחר כל ההקדמה הזאת נבאר דברי המחבר על הסדר
  • Reduction [al-Bannāʼ] = subtracting each species from its similar until there are no two types of the same species on the sides [of the equation]
אמ': וההקבלה היא לגרוע כל מין מן הדומה לו עד שלא יהיה בצדדים שני מינים מסוג אחד
  • Equalization [al-Bannāʼ] = completing the subtractive to additive, and subtracting the subtractive from the subtractive and the additive from the additive for the things that are of the same species
 וההשואה היא שתשלים החסר לנוסף ותגרע החסר מן החסר והנוסף מן הנוסף מן הדברים שהם תחת סוג אחד
the author [al-Bannāʼ] does not use the term "complete", but he includes it in the term "additive"
 פי': דע כי המחבר לא זכר הצד השלם שזכרתי למעלה רק קראו ג"כ נוסף
so, subtracting "the additive from the additive" = subtracting the complete species from the complete species
 ולכן זה שאמר בהשואה והנוסף מן הנוסף כאלו אמר והשלם מן השלם ר"ל המין השלם מן המין השלם
there only six categories [= the six canonical equations] in which numbers, roots, and squares equal one another, as will be explained below
 ובמאמר הסמוך יתבאר כי המספרי' והדברים והממונות ישוו קצתם לקצת וכי יבאו על ששה פנים ולא יותר כפי התנאים הנזכרים למעלה
through these six categories all equations are solved by converting the equation into one of these categories using restoration and equalization, or reduction and equalization, of restoration, reduction and equalization
 ובאלה הששה פנים יודעו כל השאלות כשתשוב השאלה עד אחד מהם והשבת השאלה להם יהיה בהשלמה ובהשואה או בהקבלה והשואה או בכלם
Reduction [Al-Aḥdab] = if one species in one side of the equation is similar to one species on the other side of the equation, one of them should be removed, but then this side is subtractive and the sides are not equal to each other, hence the same should be removed from the other side, so they will be equal again
 וההקבלה היא שאם יהיה בצד האחד מן השאלה מן המדרגות דומה למין אחד בצד השני מן השאלה מין מהמדרגות דומה למין אחר בצד השני שתסיר אחד מהם והנה יהיה הצד ההוא חסר מהשני ולא ישוו זה לזה לכן אתה צריך להסיר מהצד השני כמוהו ואז ישובו שוים
known proposition: if equals are subtracted from equals, equals remain
 כי הקדמה ידועה היא שאם תסיר מן השוים שוים ישארו שוים
reduction - when the similar species is removed from one side, since [only one] species remains of this type.
 והנה כשתסיר המין הדומה מן הצד האחד היא ההקבלה כי לא ישאר אז בצדדין שני מינים מסוג אחד כמו שאמר המחבר
equalization - when its similar is removed from the other side, since by that the [two sides] are equal again.
 ובהסירך כמוהו מן הצד השני היא ההשואה כי בזה ישובו להיות שוים
  • the similar species are equal in number
 ואלה המינים הדומים אם יהיו שוים במספרם
  • reduction - subtracting one of them
equalization - subtracting the other one
 הנה תקביל כשתסיר האחד ותשוב להשוות ותסיר השני
or -
  • reduction & equalization - subtracting one from the other, so that both are removed
 וידוע שאם תגרע האחד מן האחר כי יוסרו שניהם ותעשה הקבלה והשואה יחד
  • the similar species are not equal in number
 וכן אם יהיו בלתי שוים במספרם
  • reduction - subtracting the smaller
equalization - subtracting the smaller from the larger, so that the remainder remains
 תסיר המעט והיא ההקבלה ותסיר מן הרב במספר המעט וישאר הנשאר והיא ההשואה
or -
  • reduction & equalization - subtracting the smaller from the larger and the remainder remains
 וכן אם תגרע המעט מן הרב ישאר הנשאר ותעשה ההקבלה וההשואה יחד
reduction means subtracting each species from its similar - i.e. whether equal in number or unequal in number, because the reduction and equalization are performed together
 ולכן אמר המחבר ההקבלה היא לגרוע כל מין מהדומה לו ר"ל הן יהיו שוים במספרם או בלתי שוי' כי תעשה בזה הקבלה והשואה יחד
the similar species require also reduction, so the equalization of similar species is subtracting the additive from the additive, the species from its similar, since the reduction and equalization are performed together ואמר: בהשואה בדברים הדומים שצריכין ג"כ הקבלה ותגרע הנוסף מן הנוסף מן הדברים שהם תחת סוג אחד ר"ל תגרע המין מן הדומה לו ותעשה ההשואה וההקבלה יחד
again by "additive" the author [al-Bannāʼ] means "complete"
 וכבר אמרתי שרצון המחבר באמרו נוסף הוא השלם
Examples of restoration, reduction, and equalization
reduction and equalization
  • similar species equal in number
 המשל למינים הדומים והם שוים במספרם
  • \scriptstyle x^2+2x=16+2x
 ממון וב' דברים ישוו י"ו מן המספרים וב' דברים
roots equal in number on both sides
[\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x=16+2x\quad/-2x}}]
 הנה הדברים דומים בשני הצדדים ושוים במספרם
\scriptstyle{\color{blue}{2x-2x}}
 ולכן תגרע ב' דברים מב' דברים
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}
 וישאר ממון ישוה י"ו מן המספר
  • \scriptstyle x^2+12=4x+12
 משל אחר: ממון וי"ב מהמספר ישוו ד' דברים וי"ב מן המספר
equal numbers on both sides
[\scriptstyle{\color{blue}{x^2+12=4x+12\quad/-12}}]
 הנה המספר דומה בשני הצדדין ושוה במספרו
\scriptstyle{\color{blue}{12-12}}
 לכן תגרע י"ב מן י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4x}}
 ישאר ממון ישוה ד' דברים
  • \scriptstyle x^2+8x=x^2+32
 משל אחר: ממון וח' דברים ישוו ממון ול"ב מן המספר
squares equal in number on both sides
[\scriptstyle{\color{blue}{x^2+8x=x^2+32\quad/-x^2}}]
 הנה הממון דומה בשני הצדדים ושוה במספרו
\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x^2}}
 לכן תגרע ממון מממון
\scriptstyle{\color{blue}{8x=32}}
 ישאר ח' דברים ישוו ל"ב מן המספר
  • \scriptstyle x^2+2x=2x+16
 משל אחר: ממון וב' דברים ישוו ב' דברים וי"ו מן המספר
equal roots in both sides
[\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x=2x+16\quad/-2x}}]
 הנה הדברים דומים בשני הצדדין ושוים במספרם
\scriptstyle{\color{blue}{2x-2x}}
 לכן תגרע ב' דברי' מב' דברים
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}
 ישאר ממון ישוה י"ו מן המספר
all these examples were solved by reduction and equalization together
 ובכל אלה עשית ההקבלה וההשואה יחד
the last example is the same as the first example - it was given again in order to demonstrate that the position of the similar species in each side - whether at the beginning, at the end, or one at the beginning and one at the end - does not affect the procedure, the procedure is the same for all these cases
 וזה המשל האחרון הוא בעצמו הראשון אלא להודיעך כי בכל מקום שיהיו הדומים הן בתחלה הן בסוף הן אחד בתחלה ואחד בסוף בכלם תעשה כפי מה שנזכר
this is the explanation of the reduction and equalization
 זהו ביאור ההקבלה וההשואה
restoration and equalization ונבאר ההשלמה וההשואה
restoration is completing
 ההשלמה היא התיקון
  • if there is a subtractive side in the equation it should be completed by adding the subtractives, i.e. what is missing, so that it will be complete.
 שאם ימצא בשאלה צד נזור שתשלימנו כשתוסיף בו הנזורות ר"ל מה שחסר ואז יהיה שלם
  • \scriptstyle x^2-x
 והמשל: ממון פחות דבר
\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x+x=x^2}}
 תוסיף הדבר החסר ויהיה ממון שלם
  • \scriptstyle x-5
 וכן דבר פחות חמשה
\scriptstyle{\color{blue}{x-5+5=x}}
 תוסיף הה' ויהיה דבר שלם
  • \scriptstyle x^2-2
 וכן ממון פחות ב‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x^2-2+2=x^2}}
 תוסיף הב' ויהיה ממון שלם
when the subtractive is added and the other side is restored - then this side is larger than the other side by what was added, so the sides are not equal
 וידוע כי כשתוסיף החסר ותשלים הצד האחר כי אז יהיה הצד ההוא יתר על הצד האחר אותה התוספת ולכן לא יהיו שוים
therefore the same addition should be added also on the other side and then the sides will be equal
 לכן צריך שתוסיף בצד אחר בתוספת ההיא ואז ישוו זה לזה
known proposition: if equals are added to equals, equals are resulted כי הקדמה ידועה היא כי כשתוסיף על השוים שוים יהיו שוים
this is the restoration and equalization
 וזאת היא ההשואה אשר עם ההשלמה
the author joint them by saying that "the equalization is completing the subtractive to additive" - i.e. completing the subtractive to be additive so that the deficit becomes excess on both sides
 וקבצם המחבר ואמר: ההשואה היא שתשלים החסר לנוסף ר"ל שתשלים החסר להיותו נוסף כשישוב החסרון ההוא תוספת בשני הצדדין
  • if both sides are subtractive they should be restored, then the subtractives of each should be added to the other - whether the subtractives are of similar species or not similar, equal in number or unequal in number
 וכן אם היו שני הצדדין נזורים תשלימם ותוסיף נזורות כל אחד על האחר הן שיהיו הנזורים מינים דומים או מתחלפים שוים במספרם או בלתי שוים
usually, after the restoration and equalization another reduction and equalization are needed
in particular, when both sides are subtractives as could be seen in the examples
 ועל הרוב אחר ההשואה וההשלמה תצטרך עוד להקביל עוד ולהשוות

ובפרט כששני הצדדין נזורים כמו שתראה במשליהם

yet, the author [al-Bannāʼ] [only] mentioned [the cases in which] the subtractives are similar either equal or unequal in number
 אלא שהמחבר זכר כשהנזורים דומים שוים או בלתי שוים במספרם
another short method: subtracting the subtractive from the subtractive דרך אחרת והיא לגרוע החסר מן החסר ר"ל הנזורות מן הנזורות והיא דרך קצרה
Examples:
 ותתבאר עתה במשלים בג"ה יתברך וית‫'
  • one side is subtractive and the other one is additive
 המשל כשהצד האחד נזור והאחר [והשני] נוסף
  • \scriptstyle x^2-x=2x+4
 ממון פחות דבר ישוה ב' דברים וד' מן המספרים
\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x=2x+4\quad/+x}}
\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x+x=x^2}}
 תוסיף הדבר החסר ויהיה ממון שלם
add \scriptstyle{\color{blue}{x}} on the other side
 ותשוב להשוות ולהוסיף ותוסיף הדבר בצד השני
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}
 יהיה ממון ישוה ג' דברים וד' מן המספרים
  • \scriptstyle x^2-x=3x
 משל אחר: ממון פחות דבר ישוה ג' דברים
\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x=3x\quad/+x}}
\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x+x=x^2}}
 תוסיף הדבר החסר ויהיה ממון שלם
add \scriptstyle{\color{blue}{x}} on the other side
 תשוב להשוות ותוסיף הדבר ההוא בצד השני
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4x}}
 יהיה ממון ישוה ד' דברים
  • \scriptstyle x^2-4=x+8
 משל אחר: ממון פחות ד' מן המספר ישוה דבר וח' מן המספר
\scriptstyle{\color{blue}{x^2-4=x+8\quad/+4}}
\scriptstyle{\color{blue}{x^2-4+4=x^2}}
 תוסיף הד' ויהיה ממון שלם
\scriptstyle{\color{blue}{x+8+4}}
 ותשוב להשוות ותוסיף הד' עם הח' בצד השני
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=x+12}}
 יהיה ממון ישוה דבר וי"ב מן המספר
  • \scriptstyle4x^2-2x=3x^2+2x
 משל אחר: ד' ממונות פחות ב' דברים ישוו ג' ממונות וב' דברים
\scriptstyle{\color{blue}{4x^2-2x=3x^2+2x\quad/+2x}}
\scriptstyle{\color{blue}{4x^2-2x+2x=4x^2}}
 תוסיף ב' דברים החסרים יהיו ד' ממונות שלמים
\scriptstyle{\color{blue}{3x^2+2x+2x}}
 ותשוב להשוות ותוסיף הב' דברים עם הב' דברים שבצד השני
\scriptstyle{\color{blue}{4x^2=3x^2+4x}}
 יהיו ד' ממונות ישוו ג' דברים ממונות וד' דברים
squares on both sides - equalizing and reducing again
ובזה אתה צריך לשוב ולהשוות ולהקביל בעבור כי יש ממונות בשני הצדדין
\scriptstyle{\color{blue}{4x^2=3x^2+4x\quad/-3x^2}}
\scriptstyle{\color{blue}{4x^2-3x^2=x^2}}
 ולכן תגרע ג' ממונות מן הד' ממונות
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4x}}
 וישאר ממון ישוה ד' דברים
  • both sides are subtractive and not similar
 והמשל כששני הצדדין נזורים ובלתי דומים
  • \scriptstyle x^2-x=4x-4
 ממון פחות דבר ישוה ד' דברים פחות ד' מן המספר
\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x=4x-4\quad/+x}}
\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x+x=x^2}}
 תוסיף הדבר החסר ויהיה ממון שלם
\scriptstyle{\color{blue}{4x-4+x=5x-4}}
 ותשוה ותוסיף הדבר ההוא עם הד' דברים אשר בצד השני יהיה הצד השני ה' דברים פחות ד' מהמספר
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=5x-4\quad/+4}}
\scriptstyle{\color{blue}{5x-4+4=5x}}
 תוסיף הד' מן המספר החסרים יהיו ה' דברים שלמים
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4}}
 ותשוב להשוות כשתוסיף הד' מן המספר עם הממון שבצד הראשון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4=5x}}
 יהיה ממון וד' מן המספר ישוו ה' דברים
  • \scriptstyle2x^2-2x=3x^2-24
 משל אחר: ב' ממונות פחות ב' דברים ישוו שלשה ממונות פחות כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2-2x=3x^2-24\quad/+2x}}
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2-2x+2x=2x^2}}
 תוסיף השני דברים החסרים יהיו ב' ממונות שלמים
\scriptstyle{\color{blue}{3x^2+2x-24}}
 ותשוה כשתוסיף הב' דברים בצד השני יהיו הצד השני ג' ממונות וב' דברים פחות כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2=3x^2+2x-24\quad/+24}}
\scriptstyle{\color{blue}{3x^2+2x-24+24=3x^2+2x}}
 תוסיף הכ"ד יהיו ג' ממונות וב' דברים שלמים
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+24}}
 ותשוב להשוות ותוסיף הכ"ד עם הב' ממונות שבצד הראשון
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+24=3x^2+2x}}
 יהיו ב' ממונות וכ"ד ישוו ג' ממונות וב' דברים
squares on both sides, and four species - equalizing and reducing again
ובזה אתה צריך להשוות ולהקביל בעבור כי יש ממונות בשני הצדדין גם המדרגות ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{3x^2-2x^2=x^2}}
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x=24}}
 לכן תגרע ב' ממונות מג' ממונות ישאר ממון וב' דברים ישוו כ"ד מן המספר
a shorter method: removing the subtractives and switching between them without the particle of subtraction [= without "minus"] ויש דרך קצרה בכל זה והוא שתסיר הנזורים ותחליפם בלי תיבת הנזורות
  • \scriptstyle2x^2-2x=3x^2-24
 והמשל הנזכר: ב' ממונות פחות ב' דברים ישוו ג' ממונות פחות כ"ד
remove \scriptstyle{\color{blue}{2x}} on one side, \scriptstyle{\color{blue}{2x^2}} remain
 תסיר הב' דברים ישארו ב' ממונות
remove \scriptstyle{\color{blue}{24}} on the other side, \scriptstyle{\color{blue}{3x^2}} remain
 ותסיר הכ"ד ישארו ג' ממונות
switch \scriptstyle{\color{blue}{24}} with \scriptstyle{\color{blue}{2x}}:
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+24}}
\scriptstyle{\color{blue}{3x^2+2x}}
then reduce and equalize
אח"כ תחליף ותשיב הכ"ד עם הב' ממונות

ותסיר הכ"ד ישארו ג' ממונות
אח"כ תחליף ותשיב הכ"ד עם הב' ממונות והב' דברים עם הג' ממונות
אח"כ תקביל ותשוה

so on for all the subtractives
 וכן בכל הנזורים
in any case, every subtractive requires restoration and equalization in any method used מכל מקום בכל נזור יש השלמה והשואה באי זה דרך שתעשה
every reduction implies an equalization in any method used ובכל הקבלה יש השואה באי זה דרך שתעשה
the reason:
  • in the restoration procedure - adding to one side, then it should be equalized to the second side
  • in the reduction procedure - subtracting from one side, then it should be equalized to the second side
 וכבר זכרתי הסבה

כי בהשלמה אתה מוסיף בצד וצריך להשוות לו הצד השני
ובהקבלה אתה מחסר מן הצד וצריך להשוות לו הצד השני

according to the author, this procedure is completing the subtractive to additive
 ועל זה הדרך אמר המחבר: תשלים החסר לנוסף
the aforementioned method should be used when the subtractives are similar, either equal or unequal in number
 וכאשר הנזורים דומים ושוים במספרם או בלתי שוים תעשה ג"כ בכל הדרך הנזכר
but the author mentioned a shorter method: subtracting the subtractive from the subtractive of the same species אבל המחבר זכר דרך יותר קצרה ואמר שתגרע החסר מן החסר בדברים שהם תחת סוג אחד
  • similar and equal in number
 והמשל לדומים ושוים במספרם
  • \scriptstyle2x^2-3x=32-3x
 ב' ממונות פחות ג' דברים ישוו ל"ב מן המספר פחות ג' דברים
  • according to the first method:
completing: \scriptstyle{\color{blue}{2x^2-3x+3x=2x^2}}
\scriptstyle{\color{blue}{32+3x}}
completing \scriptstyle{\color{blue}{32-3x+3x=32}}
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+3x}}
 לפי הדרך הראשון תשלים הב' ממונות ותוסיף הג' דברים עם הל"ב

ותשלים הל"ב ותוסיף הג' דברים עם הב' ממונות

\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+3x=32+3x}}
 יהיו ב' ממונות וג' דברים ישוו ל"ב וג' דברים
equal roots in both sides - reducing and equalizing again
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+3x=32+3x\quad/-3x}}
 תשוב להקביל ותשוה ותסיר הג' דברים מהשני צדדין כי הם דומים
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2=32}}
 ישאר ב' ממונות ישוו ל"ב
  • according to the author's method:
 ובדרך שנתן המחבר
\scriptstyle{\color{blue}{3x-3x}}
 תגרע ג' דברים החסרים מן הג' דברים החסרים
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2=32}}
 ישארו ב' ממונות ישוו ל"ב מן המספר
this is a shorter method
 וזהו דרך קצרה
  • similar unequal in number
 והמשל לדומים בלתי שוים במספרם
  • \scriptstyle2x^2-3x=48-7x
 ב' ממונות פחות ג' דברים ישוו מ"ח פחות ז' דברים
  • according to the first method:
completing: \scriptstyle{\color{blue}{2x^2-3x+3x=2x^2}}
\scriptstyle{\color{blue}{48+3x}}
completing \scriptstyle{\color{blue}{48-7x+7x=48}}
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+7x}}
 לפי הדרך הראשון תשלים ב' ממונות ותוסיף הג' דברים עם המ"ח

ותשלים המ"ח ותוסיף הז' דברים עם הב' ממונות

\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+{\color{red}{7x}}=48+3x}}
 יהיו שני ממונות ישוו מ"ח וג' דברים
reducing and equalizing again:
 תשוב להקביל ולהשוות
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+4x=48}}
 יהיו ב' ממונות ישוו מ"ח וד' דברים ישוו מ"ח
  • according to the author's method:
 ובדרך המחבר
\scriptstyle{\color{blue}{7x-3x}}
 תגרע הג' דברים מן הז' דברים
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2=48-4x}}
 ישארו ב' ממונות ישוו מ"ח פחות ד' דברים
restoring and equalizing again:
 תשוב להשלים ולהשוות
completing: \scriptstyle{\color{blue}{48-4x+4x=48}}
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+4x}}
 תשלים המ"ח ותוסיף הד' דברים עם הב' ממונות
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+4x=48}}
 יהיו ב' ממונות וד' דברים ישוו מ"ח
this is a shorter method
 והוא דרך קצרה
הנה נתבארו בשלמות ההשלמה וההקבלה וההשואה על פי דברי המחבר ונשוב לבאר שאר דבריו בג"ה ית' וית‫'
the reduction and equalization for cases in which there are other algebraic species on the sides of the equation, such cubes and square squares - are explained in the chapter of multiplication ואמנם איך תהיה ההקבלה וההשואה כשיהיה בצדדי השאלה מן שאר המדרגות כמו מעוקבים וממוני ממונות זה יתבא' לפנים בעזרת השם יתעלה ויתנשא שמו במקומו בשער ההכאה
The six canonical equations
the three [fundamental species] are equal to each other separately and jointly אמר: ואלה השלשה ישוו קצתם לקצת בפירוד ובהרכבה
the three = numbers, roots, and squres פירו': השלשה שהם מספרים ודברים וממונות
[the two types of canonical equations:]
  • separately = one of them is equal to another - each side of the equations contains only one of the three species
 יאמר בשאלות שאחד מהם ישוה לאחר וזהו בפירוד

כי על צד מהשאלה אין בו כי אם אחד מהשלשה

  • jointly = one of them is equal to the two others - on one side of the equations there is one species and on the other side the two other species
 ויאמר שאחד מהם ישוה לשנים וזהו בהרכבה

שיהיה בצד האחד מין מהשלשה ובצד השני שני מינים
וזה נזכר בתנאי השני שזכרתי למעלה

the first simple canonical equation: \scriptstyle ax^2=bx
the first of the separates [= simple canonical equations] according to the common convention אמ': וראשון הנפרדים לפי מה שתרוץ עליו ההסכמה: ממונות ישוו דברים
the people that are experts of this science agreed to start with this type not because it deserves by itself to be first or last פירוש: כי אנשים בעלי זאת החכמה התחילו בזה לחלק הסכמה מהם לא שהוא ראוי מצד עצמו להיות ראשון או אחרון
they agreed to begin with this type because its [solving] procedure is easier than for the other types ויראה לי שהסכימו להתחיל בו בעבור כי מעשהו יותר נקל משאר החלקים כמו שיראה בסמוך
squares equal roots ואמר כי זה החלק הוא ממונות ישוו שרשים
  • \scriptstyle x^2=10x
when one asks which square equals ten roots?
 ר"ל שישאל השואל איזה ממון הוא שהוא ישוה לעשרה שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{100}=10}}
 כי שרש מאה הוא עשר
\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}
 וכשתכה עשרה בעשרה יהיו מאה
  • \scriptstyle2x^2=20x
 וכן יאמר ששני ממונות ישוו עשרים שרשים מן הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=100}}
 והממון ג"כ מאה
\scriptstyle{\color{blue}{x=10}}
 והשרש עשרה
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2=20x}}
 ובשני ממונות יש עשרים שרשים
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x^2=5x
 וכן יאמר שחצי ממון שוה חמשה שרשים מן הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=100}}
 והממון הזה גם כן מאה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2=50=5\sdot10=5x}}
 וחציו חמשים וגם חמשה שרשים משרשי המאה הם חמשים שהשרש עשרה
  • \scriptstyle x^2+\frac{1}{2}x^2=15x
 וכן יאמר שממון וחצי ישוו ט"ו שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=100}}
 והממון הזה גם כן מאה
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\frac{1}{2}x^2=10x+5x}}
 והוא ישוה עשרה וחציו ה' שרשים
  • \scriptstyle x^2+\frac{1}{2}x^2=12x
 וכן אם יאמר ממון וחצי ישוו י"ב שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=64}}
 הממון ס"ד
\scriptstyle{\color{blue}{x=8}}
 והשרש אשר לו ח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot8=64}}
 ושמנה פעמים שמנה הם ס"ד
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\frac{1}{2}x^2=8x+4x=12x}}
 הנה בממון ח' שרשים ובחציו ד' שרשים והן י"ב
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x^2=10x
 וכן אם יאמר חצי ממון ישוה עשרה שרשים משרשי הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}
 הנה הממון הוא ד' מאות
\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}
 ושרשו כ‫'
\scriptstyle{\color{blue}{20\sdot20=400}}
 וכ' פעמים כ' הם ת‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}\sdot400=10\sdot20=10x}}
 וחצי הממון הזה הוא עשרה שרשים שכל שרש כ' והקש על זה
the second simple canonical equation: \scriptstyle ax^2=c
the second of the separates [= simple canonical equations]: squares equal numbers אמר: והחלק השני מן הנפרדים: הממונות ישוו המספרים
when one asks which square equals a certain number?
 פי': שישאל שואל איזה ממון הוא שהוא שוה למספר מה
  • \scriptstyle x^2=4
 והמשל: ממון ישוה ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4}}
 הנה המספר בעצמו הוא הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}
 ושרשו ב‫'
  • \scriptstyle2x^2=8
 ואם יאמר ב' ממונות ישוו ח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4}}
 הממון ג"כ ישוה ד‫'
  • \scriptstyle3x^2=48
 וכן אם יאמר ג' ממונות ישוו מ"ח
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}
 הנה הממון י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{3x^2=3\sdot16=48}}
 כי שלשה פעמים י"ו הם מ"ח
\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}
 ושרש הממון ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}
 כי ד' פעמים ד' הם י"ו
probably refers to the next equation - in which the square is not a perfect square והוא הדין אע"פ שלא היה הממון מרובע מדובר בו כמו ד' וי"ו אלא בקרוב
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x^2=20
 והמשל: חצי ממון ישוה עשרים
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=40}}
 הנה הממון ישוה מ‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x{\color{red}{\approx}}6+\frac{1}{3}}}
 ושרשו ו' ושליש והקש על זה
the third simple canonical equation: \scriptstyle bx=c
the third of the separates [= simple canonical equations]: roots equal numbers אמ': והשלישי שרשים ישוו מספרים
when one asks which root of a certain square equals a certain number?
 פי': שישאל שואל איזה שרש ממרובע מה ישוה למספר מה
  • \scriptstyle x=20
 והמשל: שורש ישוה עשרים
\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}
 הנה המספר בעצמו הוא השרש
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=20\sdot20=400}}
 והממון אשר הוא שרש לו הוא ת' כי כ' פעמים כ' הם ת‫'
  • \scriptstyle3x=12
 וכן אם יאמר ג' שרשים ישוו י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}
 הממון הוא י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}
 זה שרש ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{3x=3\sdot4=12}}
 וג' שרשים ממנו הם י"ב
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x=3
 ואם אמרת חצי שרש ישוה ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}
 הנה השרש ו‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6\sdot6=36}}
 והוא שרש לממון ל"ו כי ו' פעמים ו' הם ל"ו וכן כל הדומה לזה
the first compound canonical equation: \scriptstyle x^2+bx=c
the three compounds [= compound canonical equations] - the first of which is the fourth type in which the number is set apart אמ': והשלשה מורכבים: הראשון מהם החלק הרביעי יתייחד בו המספר
in the fourth type the number is set apart = the number is alone on one side [of the equation] and a square and roots are on the other side פי': שהחלק הד' ר"ל מן הששת יתייחד בו המספר ר"ל שבצד האחד יהיה מספר לבדו ובצד השני ממון ודברים
square and roots equal a number = a square and roots of the square equal a certain number והוא ממון ודברים ישוו מספר כלומר ממון ושרשים מן הממון ההוא ישוו מספר מה
  • \scriptstyle x^2+10x=24
 והמשל: ממון ועשרה שרשים מן הממון ישוו כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x=4+\left(10\sdot2\right)=4+20=24}}
 הנה הממון ד' ועשרה שרשים ממנו כל שרש ב' הם כ"ד כ' יהיו הכל כ"ד
  • \scriptstyle x^2+10x=39
 ואם אמר ממון ועשרה שרשים ממון ישוו ל"ט
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}
 הממון יהיה ט‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x=3}}
 והשרש ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x=9+30=39}}
 ועשרה שרשים הם ל' ישוו ל' יהיו הכל ל"ט
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x^2+4x=10
 ואם אמר חצי ממון וד' שרשים ממון ישוו עשרה
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4}}
 הממון יהיה ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2=2=x}}
 וחציו ב' והוא ג"כ שרש
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+4x=2+8=10}}
 וד' שרשים ממנו הם ח' עם חצי הממון והכל עשרה
the second compound canonical equation: \scriptstyle x^2+c=bx
in the fifth type the root is set apart אמ': והחמשי יתייחד בו השרש
a square and a number equal roots פי': זה החלק הוא ממון ומספר ישוו שרשים
the square and the number are joined together on one side [of the equation] and the root is set apart on the other side התחברו הממון והמספר בצד האחד ויתייחד השרש בצד השני
  • \scriptstyle x^2+21=10x
 והרצון בזה ממון וכ"א ישוו עשרה שרשים משרשי הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=49}}
 הנה הממון הוא מ"ט
\scriptstyle{\color{blue}{x=7}}
 ושרשו ז‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21=7x+3x=10x}}
 והממון ז' שרשים וכ"א הם ג' שרשים הנה הם עשרה שרשים ממנו
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21=49+21=70=10\sdot7=10x}}
 והממון שהוא מ"ט עם הכ"א הוא ע' וכן עשרה שרשים הם ע' עשרה פעמים ז‫'
  • \scriptstyle2x^2+6=8x
 וכן אם יאמר שני ממונות וששה ישוו ח' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}
 הנה הממון ט‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x=3}}
 ושרשו ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+6=\left(2\sdot9\right)+6=18+6=24=3\sdot8=8x}}
 ושני ממונות הם י"ח ועם הששה יהיו כ"ד וכן הם ח' שרשים שג' פעמים ח' הם כ"ד
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x^2+12=5x
 וכן אם יאמר חצי ממון וי"ב ישוו ה' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}
 הממון ל"ו
\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}
 והשרש ו‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+12=\left(\frac{1}{2}\sdot36\right)+12=18+12=30=5x}}
 וחצי הממון הם י"ח ועם הי"ב הם ל' וכן ה' שרשים הם ל‫'
the third compound canonical equation: \scriptstyle bx+c=x^2
in the sixth type the square is set apart אמ': והששי יתייחד בו הממון
roots and a number equal a square פי': זה החלק הוא שרשים ומספר ישוו ממון
the roots and the number are joined together on one side [of the equation] and the square is set apart on the other side הנה התחברו יחד השרשים והמספר בצד האחד והממון לבדו בצד השני
a known number and roots of the square equal the square והרצון בזה כי מספר ידוע ושרשים משרשי הממון ישוו הממון
  • \scriptstyle3x+10=x^2
 והמשל: ג' שרשים ועשרה ישוו ממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=25}}
 הנה הממון כ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{x=5}}
 ושרשו ה‫'
\scriptstyle{\color{blue}{3x+10=\left(3\sdot5\right)+10=15+10=25=x^2}}
 וג' שרשים הם ט"ו ועם העשרה הם כ"ה
  • \scriptstyle x+6=x^2
 ואם אמר שרש וששה ישוו ממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}
 הממון י"ו והשרש ד' וחציו ב' ועם הי"ד יהיו י"ו הממון ט‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x=3}}
 והשרש ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x+6=3+6=9=x^2}}
 והשרש עם הו' הם ט' כמו הממון
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x+14=x^2
 ואם אמר: חצי שרש וי"ד ישוו ממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}
 הממון י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}
 והשרש ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+14=\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+14=2+14=16=x^2}}
 וחציו ב' ועם הי"ד יהיו י"ו כמו הממון
these are the six types [of equations] used in this craft to which all equations are restored אלה הם הששה פנים שישתמשו בהם בזאת המלאכה שעליהם ישובו כל השאלות
Normalization
though in the above examples there were sometimes more or less than one square - in the six types [of equations] to which all equations are restored there is one square, no less and no more ודע כי אע"פ שבאלה המשלים שזכרתי לפעמים יותר ממון אחד ולפעמי' חצי ממון [..] כ"ב כ"ו בששת מינים אשר אליהם ישובו השאלות אין בהם כי אם ממון אחד לא פחות ולא יתר
  • when there is less than one square in the equation - such as \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2}} or \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}x^2}} - the equation should be raised to one square
 וכשיהיה בשאלה פחות ממון כמו חצי ממון או שליש צריך להשיב השאלה כלה עד הממון
  • when there are more than one square in the equation - such as \scriptstyle{\color{blue}{2x^2}} or \scriptstyle{\color{blue}{3x^2}} or more - the equation should be reduced to one square
 וכן אם יהיו בו יותר ממון אחד כמו ב' ממונות או ג' או יותר צריך להוריד השאלה עד ממון
the normalization method will be presented below ולפנים בג"ה ית' תדע הדרך איך תשיב השאלה עד ממון כשתהיה השאלה פחות מממון או יותר ממון
the six canonical equations by order: ולכן הששה מינים על הסדר הם אלה
1) a square equals roots: \scriptstyle x^2=bx
 הראשון: ממון ישוה שרשים
2) a square equals a number: \scriptstyle x^2=c
 השני: ממון ישוה מספר
3) roots equal a number: \scriptstyle bx=c
 השלישי: שרשים ישוו מספר
4) a square and roots equal a number: \scriptstyle x^2+bx=c
 הרביעי: ממון ושרשים ישוו מספר
5) a square and a number equal roots: \scriptstyle x^2+c=bx
 החמישי: ממון ומספר ישוו שרשים
6) roots and a number equal a square: \scriptstyle bx+c=ax^2
 והששי: שרשים ומספר ישוו ממון

Chapter Two: The Solving Procedures of the Six Canonical Equations

 השער השני במעשה במינים השלשה[46]
after introducing the three types of canonical equations - three of them are simple, and three of them are compound - to which all equations are restored פי': אחר שהזכיר בששה מינים שלשה מהם נפרדים ושלשה מהם מורכבים אשר כאשר כל השאלות והמעשים ישובו עליהם
now the solving procedure of the canonical equations is described, in order to find the sought after restoring the equation to one of the six types of equations יודיע עתה איך תעשה באלה המינים אחר שתשוב השאלה לאחד מהם כדי שתדע מהם המבוקש
the written abbreviations of the fundamental algebraic species
  • the experts of this craft agreed to use the Hebrew letter ש [Shin] as an indicator for a root
 וקודם שנבאר בדבריו נאמר כי אנשי המלאכה הסכימו לשים במקום השרש ש‫'
  • the letter מ [Mem] - for a square
 ובמקום הממון מ‫'
  • the letter כ [Kaf] - for a cub, which is called in Arabic kaʼab
 ובמקום המעוקב הנקרא בלשון ערב כעב ישימו כ‫'
and replaced by the letter ע [ʼayin] for the Hebrew word ʼaqev
ואנחנו ששמו בלשוננו עקב נשים ע‫'
  • one root \scriptstyle x
 והדרך בזה הוא כי כשתרצה לצייר שרש אחד תכתוב א' ועליו ש' כמו זאת הצורה
R
1
ש
א
  • two roots \scriptstyle2x
 ושני שרשים כמו זאת הצורה
R
2
ש
ב
  • three roots \scriptstyle 3x
 וג' שרשים כמו זאת הצורה
R
3
ש
ג
  • one square \scriptstyle x^2
 וכשתרצה לצייר ממון א' תכתוב א' ועליו מ' בזאת הצורה
S
1
מ
א
  • two squares \scriptstyle2x^2
 ושני ממונות כזו
S
2
מ
ב
  • three squares \scriptstyle3x^2
 וג' ממונות כזו
S
2
מ
ג
  • one cube \scriptstyle x^3
 וכן כלם וכשתרצה לצייר מעוקב אחד תכתוב א' ועליו ע' כזאת
C
1
ע
א
  • two cubes \scriptstyle2x^3
 ושני מעוקבים כזו
C
2
ע
ב
  • three cubes \scriptstyle3x^3
 וג' מעוקבים כזו
C
3
ע
ג
וכן כלם
  • the numbers have no indicator, but as they are [= the numerals]
 והמספרים אין להם שום סימן כי אם המספרים עצמן
  • a square square \scriptstyle x^4
 וכשתרצה לצייר ממון מממון תצייר כן
SS
1
ממ
א
  • two square squares \scriptstyle2x^4
 וכן
SS
2
ממ
ב
  • three square squares \scriptstyle3x^4
 וכן
SS
3
ממ
ג
וכן כלם
  • a square cube \scriptstyle x^5
 וממון מעוקב תצייר
SC
1
מע
א
  • a cube cube \scriptstyle x^6
 ומעוקב מעוקב תצייר כן
CC
1
עע
א
והקש על זה
the addition, subtraction, multiplication, and division operations mentioned in this chapter are the same operations of numbers that were mentioned at the first section of the book and not the addition, subtraction, multiplication, and division operations that will be mentioned in the following chapters, which concerned algebraic species and are used for restoring the equations to the six canonical equations and not for the procedures described in this chapter ועתה דע כי הקבוץ והגרעון וההכאה והחילוק הנזכרים בזה השער השני

הם הקבוץ וההכאה והחלוק הנזכרים בראש הספר בקבוץ המספר וגרענונו והכאתו וחלוקו
לא הקבוץ והגרעון וההכאה והחלוק אשר יזכרו בשערים הבאים
שהם קבוץ המינים קצתם עם קצתם וגרעון קצתם מקצתם וחלוק קצתם על קצתם
כי הם נוהגים בהשבת השאלות עד הששה מינים אבל לא במעשה אשר בזה השער

Examples of cases that are not dealt with in this chapter:
  • division of a square by roots
 ולכן תמצא בכל זה השער כי לא יאמר חלק ממון על שרשים
  • multiplication of a square by a square
 ולא הכה ממון על ממון
  • multiplication of roots by roots
 ולא שרשים על שרשים
the same for subtraction and addition וכן בגרעון ובקבוץ
yet it does deal with:
  • multiplying the number of the roots by the number of the squares
 אבל יאמר הכה מספר השרשים במספר הממון
  • dividing the [number] of the squares by the number of the roots
 או חלק הממון על מספר השרשים
it does not deal with subtraction of roots from a square ולא יאמר גרע שרשים מממון
but it deals with subtraction of the number of the roots from the number of the square אבל גרע מספר השרשים במספר הממון
וכן כלם וזכור זה ונשוב לדברי המחבר
The three simple canonical equations
  • the solving procedure of three simple canonical equations:
dividing what is equal to the squares by the [number of] squares
or dividing by the [number of] the roots when the squares are absent
 אמר: אמנם השלשה נפרדים הוא שתחלק על הממונות בהשויתם ועל השרשים בהעדרם
the result of division:
  • first and third types - root
  • second type - square
ויצא לך בחלוק מן המין הראשון והשלישי השרש ומן השני הממון
when the root is known - the square is known by multiplying the root by itself
 וכשנודע השרש נודע הממון בהכאת השרש בדומה לו
when the square is known - the root is known from the square
 וכשנודע הממון נודע ממנו השרש
after defining the six types of canonical equations - three of which are simple, and three are compound, and stating that all the procedures and equations are restored to them פי': אחר שהזכיר הששה מינים שלשה נפרדים ושלשה מורכבים ואמר כי עליהם תסובב ההשלמה ר"ל כי כל המעשים והשאלות ישובו אליהם
now the author presents the solving procedure of each type of equation, to which the equations are restored until the solution is received בא להודיע כשישוב המעשה עד כל אחד מהם איך המעשה במין ההוא אשר אליו תשוב השאלה עד שתודיע תשובת השאלה על ידו
he starts with the three simple types of equations, saying that their procedure is to divide what is equal to the squares by the [number] of the squares והתחיל בג' הנפרדים ואמר כי המעשה בהם שתחלק על הממונות השוייתם
in the first and second types there is a square on one side of the equation
 ר"ל כי החלק הראשון והשני יש בצד האחד ממון
1) a square equals roots \scriptstyle x^2=bx
 כי הראשון הוא ממון ישוה שרשים
2) a square equals a number \scriptstyle x^2=c
 והשני ממון ישוה מספר
in the first type the square is equalized to the roots
 והשווית הממון בראשון היא השרשים אשר בצד השני
in the second type the square is equalized to the number
 והשווית השני הוא המספר
in the third type the square is absent
 ובמין השלישי נעדר הממון
3) roots equal a number \scriptstyle bx=c
 כי הוא שרשים ישוו מספר
so, dividing what is equal to the squares by the [number] of the squares - for the first and second types לכן אמרו שתחלק על הממונות השווייתם ר"ל בחלק הראשון והשני
i.e. dividing the number of what is equal to the squares on one side of the equation by the number of the squares on the other side ופי' על הממונות השוויתם על מספר הממונות שבצד האחד תחלק השווייתם אשר בצד השני ור"ל מספר השוויתם ג"כ
  • first type: number of the roots ÷ number of the squares \scriptstyle\frac{b}{a}
 והנה בראשון תחלק מספר השרשים על מספר הממונות
  • first type: the number ÷ number of the squares \scriptstyle\frac{c}{a}
 ובשני תחלק המספר על מספר הממונות
in the third type - there is no square - dividing what is equal to the roots, which is the number, by the number of the roots ובשלישי שאין שם ממון תחלק על מספר השרשים השויתם שהוא המספר
when the squares are absent from the equation - dividing by the [number] of the roots instead ויהיו השרשים במקום הממון זהו אמרו ועל השרשים בהעדרם ר"ל בהעדר הממון מן המין תחלק על השרשים במקומו
the division here is a division of a number by a number, and the result of division is also a number, therefore it is necessary to determine of which species is the number that is the result of the division ובעבור כי כל זה החילוק הוא חלוק מספר על מספר כמו שזכרתי למעלה והיוצא בחלוק הוא גם כן מספר הוצרך המחבר להודיע המספר היוצא בחלוק מהו מן המינים
  • the result of the first and third types - the root
  • the result of the second type - the square
אמר: ויצא לך בחלוק מן המין הראשון והשלישי השרש ומן השני הממון
  • the first type: [\scriptstyle ax^2=bx]
the root of the square = number of roots ÷ number of squares
\scriptstyle x=\frac{b}{a}
 ר"ל כי כשתחלק במין הראשון מספר השרשים על מספר הממונות יהיה המספר היוצא בחלוק שרש הממון הנזכר בשאלה
the square = the product of the resulting root by itself
 וכשתכה אותו בעצמו תדע הממון
  • the third type: [\scriptstyle bx=c] which has no square
the root = number ÷ number of roots
\scriptstyle x=\frac{c}{b}
 וכן כשתחלק המספר על מספר השרשים בשלישי אשר אין בו ממון יהיה המספר היוצא בחלוק ג"כ שרש
the square of the root is known from the root
 וממנו יודע הממון אשר לו השרש
  • the second type: [\scriptstyle ax^2=c]
the square = number ÷ number of squares
\scriptstyle x^2=\frac{c}{a}
 וכשתחלק המספר על מספר הממונות בשני יהיה המספר היוצא בחלוק הוא הממון הנזכר בשאלה
the root of the square is known from the square by the root extraction procedure
 וממנו יודע השרש לו כמו מה שנזכר בידיעת השרשים בתחלת הספר
examples for the first type
  • \scriptstyle x^2=6x
 והמשל למין הראשון: ממון ישוה ששה שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6}{{\color{red}{1}}}=6}}
 תחלק מספר השרשים שהם ו' על מספר הממונות שהוא ה' יהיה היוצא בחלוק ו' והוא שרש הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6^2=36}}
 הכה אותם בעצמם יהיה היוצא ל"ו והוא הממון אשר ישוה ו' שרשים
Check: \scriptstyle{\color{blue}{x^2=6\sdot6=6x}}
 כי ששה שרשים יש בל"ו משרשי ו‫'
  • \scriptstyle2x^2=14x
 משל שני: ב' ממונות ישוו י"ד שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{14}{2}=7}}
 תחלק י"ד שהוא מספר השרשים שהם י"ד על ב' שהם מספר הממונות יצא בחלוק ז' ואלה הז' הם שרשי הממון הנזכר בשאלה
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=7^2=49}}
 וכשתכה הז' בעצמו יהיו מ"ט והוא הממון
Check: \scriptstyle{\color{blue}{2x^2=49+49=14\sdot7=14x}}
 ושני ממונות מ"ט מ"ט יש בהם י"ד שרשים משרשי ז‫'
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x^2=4x
 משל אחר: חצי ממון ישוה ד' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8}}
 תחלק ד' על חצי הממון יצא בחלוק ח' והם שרש הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=8^2=64}}
 וכשתכה אותם בעצמם יעלה ס"ד והוא שרש הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=64=8\sdot8=8x}}
 והנה בס"ד ח' שרשים משרשי ח‫'
Check: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2=4\sdot8=4x}}
 וחצי הממון ל"ב ויש בו ד' שרשים משרשי ח‫'
the result of division in the first type is the root of the square from which the square itself is known והנה היוצא בחלוק בכל זה המין הראשון הוא שרש הממון כמו שאמר המחבר שממנו יודע הממון
examples for the second type
  • \scriptstyle x^2=25
 המשל למין השני: ממון ישוה מספר כ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{25}{1}=25}}
 תחלק הכ"ה על מספרי הממונות שהוא א' יהיה היוצא כ"ה והוא הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x=5}}
 ושרשו ה‫'
  • \scriptstyle4x^2=64
 משל אחר: ד' ממונות ישוו מספר ס"ד
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{64}{4}=16}}
 תחלק הס"ד על מספר הממונות שהוא ד' יהיה היוצא י"ו והוא הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x=5}}
 והשרש ד‫'
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x^2=18
 משל אחר: חצי ממון ישוה י"ח
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{18}{\frac{1}{2}}=36}}
 נחלק הי"ח על מספר הממונות שהוא חצי יצא בחלוק ל"ו והוא הממון
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2=18}}
 והחצי הוא י"ח
\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}
 והשרש ו‫'
the result of division in the second type is [the square] from which the root is known והוא בזה המין היוצא בחלוק תמיד הוא ממין כמו שאמ' המחבר וממנו יודע השרש
examples for the third type
  • \scriptstyle x=13
 והמשל למין השלישי: שרש שוה מספר י"ג
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{13}{1}=13}}
 תחלק י"ג על מספר השרשים שהוא א' יהיה היוצא י"ג והוא השרש
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=13\sdot13=169}}
 והממון קס"ט י"ג פעמים י"ג יעלו קס"ט
  • \scriptstyle4x=20
 משל שני: ארבעה שרשים ישוו עשרים
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{20}{4}=5}}
 תחלק עשרים על ד' שהם מספר השרשים ויצא בחלוק ה' זהו השרש
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=25}}
 והממון כ"ה
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x=10
 משל אחר: חצי שרש ישוה עשרה
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{\frac{1}{2}}=20}}
 תחלק עשרה על מספר השרשים שהוא חצי יהיה היוצא כ' והוא השרש
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}
 והממון ת‫'
the result of division in the third type is the root from which the square itself is known והנה בזה המין היוצא תמיד מן החלוק הוא השרש כמו שאמר המחבר ומן השרש נדע הממון
sometimes the result is a fraction, i.e. a fraction of the root - the procedure is the same for fractions as for integers:
 ולפעמים יהיה היוצא שבר שבר מן השרשים והדרך שוה בשלמים ובשברים
  • \scriptstyle4x^2=2x
 והמשל: ד' ממונות ישוו ב' שרשים וזה מן המין הראשון
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2}{4}=\frac{1}{4}}}
 תחלק מספר השרשים שהוא ב' על מספר הממונות שהם ד' יהיה היוצא בחלוק חצי והוא שרש הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{4}}}
 והממון רביע
Check: \scriptstyle{\color{blue}{4x^2=4\sdot\frac{1}{4}=1=2\sdot\frac{1}{2}=2x}}
 והנה ד' ממונות כל ממון רביע הם א' שלם והם ישוו שרשים שכל שרש חצי כי הם גם כן אחד שלם
והקש על זה בשלשה מינים הנפרדים
The fourth type
\scriptstyle x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}-\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)
 אמר: והמעשה החלק הד' שתקח חצי המספר שרשיו ותרבענו ותוסיף אותו על המספר ותקח שרש המקובץ ותגרע ממנו חצי מספר השרש' ישאר השרש
the first of the three compound canonical equations, which is the fourth of the the six, is: a square and roots equal a number \scriptstyle x^2+bx=c פי': יזכור גם כן המעשה במינים המורכבים השלשה והראשון מהם הוא הרביעי מהששה והוא ממון ושרשים ישוו מספר
  • \scriptstyle x^2+10x=56
 והמשל: ממון ועשרה שרשים ישוו מספר נ"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+56}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{5^2+56}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{25+56}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{81}-5\\&\scriptstyle=9-5=4\\\end{align}}}
 תקח חצי מספר שרשיו שהם עשרה חציים הם ה‫'

תרבענו לזה חצי ר"ל שתכה ה' על עצמו היה כ"ה
תוסיף אותם על המספר שהוא נ"ו היו פ"א המקובץ מהם
תקח שרש זה המקובץ והוא ט' כי ט' פעמים ט' הם פ"א
ותגרע מזה השרש שהוא ט' חצי מספר השרשים שהוא ה' ישארו ד' והם שרש הממון

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}
 אם כן הממון הוא י"ו
Check: \scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x=16+40=56}}
 והשרש ד' ועשרה שרשים הם מ' תקבצם עם הממון שהוא י"ו יהיו נ"ו כמו המספר

הנה הממון י"ו ועשרה שרשים ממנו ישוו מספר נ"ו והקש על זה

Normalization
in all equations there should be one square, no more.
  • when there are more than one square, the equation should be reduced to one square
  • when there is less than one square, the equation should be restored to one square
 ודע כי מה שזכרתי בסוף השער הראשון כי באלה הששה מינים

כשיהיה בהם יותר ממון אחד צריך להוריד השאלה עד ממון
וכשיהיה פחות ממון אחד צריך להשיב השאלה עד ממון
עד שיהיו כל השאלות שיש בהם ממון ממון אחד ולא יותר

it is necessary for the three compound canonical equations כי זה מוכרח באלה השלשה מינים מורכבי‫'
is is not necessary for the three simple canonical equations - so the experts of this craft agreed not to normalize all the equations אבל בשלשה הנפרדים אינו צריך ואנשי המלאכה הסכימו שלא לחלוק ולעשות זה בכלם
the shorter solving method for the three simple types is not to normalize the equation, as seen above: ועם כל זה בג' הנפרדים יותר דרך קצרה היא שלא לעשות זה וכן יראה במה שיבא מדברי המחבר
for the three simple types examples were brought with one square, more than one square, and less than one square. The equations with more than one square were not reduced, and the equations with less than one square were not restored - the solution is the same [with or without normalization] ולפיכך בג' הנפרדים הבאתי משלים ממון אחד ויותר מממון ופחות מממון ולא הורדתי השאלה שהיא יותר מממון ולא העליתי שהוא פחות מממון כי הדבר שוה
it is not the case for the three compound types - therefore only one example with one square will be given for each type of them מה שאין כן באלה השלשה מורכבים ולכן לא אביא בכל אחד כי אם משל אחד ממון אחד
other examples will be given thereafter in the discussion concerning normalization וכשנדבר א"כ בהשבת השאלות אל ממון אחד נביא שאר משלים בע"ה ית' וית' ונבארם בבאור
The sixth type
the solving procedure of the sixth type is similar to that of the fourth, except for adding half the number of the roots to the root of the sum at the end and this is the root אמ': והששי דומה לו במעשה אלא שאתה תוסיף חצי מספר שרשים באחרונה על שרש המקובץ יהיה השרש
the sixth type is described before the fifth type because its solving procedure is similar to that of the fourth type, only that in the procedure of the fourth, half the number of the roots is subtracted from the root of the sum, whereas in the procedure of the sixth, half the number of the roots is added to the root of the sum פי': זכר המחבר המין הששי קודם המין החמשי בעבור כי הוא דומה לרביעי במעשה

אלא שברביעי יגרע חצי מספר השרשים מן השרש של המקובץ ובששי יוסיף על השרש החצי

\scriptstyle x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}+\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)
 וכאלו אמר והמין הששי תקח חצי מספר שרשיו ותגרענו ותרבענו ותוסיף אותו על המספר ותקח שרש המקובץ ותוסיף עליו חצי מספר השרשים יהיה המקובץ השרש
the sixth type: roots and a number equal a square \scriptstyle bx+c=x^2 וזה המין הוא שרשים ומספר ישוו ממון
  • \scriptstyle10x+56=x^2
 והמשל: עשרה שרשים ומספר נ"ו ישוו ממון
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+56}+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{5^2+56}+5\\&\scriptstyle=\sqrt{25+56}+5\\&\scriptstyle=\sqrt{81}+5\\&\scriptstyle=9+5=14\\\end{align}}}
 תקח חצי השרשים שהם ה‫'

תרבעם יהיו כ"ה
תחברם עם המספר והוא נ"ו יהיה המקובץ פ"א
קח שרשם והוא ט‫'
והוסיף אותם על חצי מספר השרשים שהם ה' יהיה המקובץ י"ד הוא שרש הממון

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=14\sdot14=196}}
 והממון קצ"ו י"ד פעמים י"ד
Check: \scriptstyle{\color{blue}{10x+56=\left(10\sdot14\right)+56=140+56=196=x^2}}
 וכשתקח עשרה פעם [..] י"ד שהוא השרש יהיה ק"מ ותחברם עם נ"ו שהוא המספר יעלו קצ"ו

הנה הממון קצ"ו ישוה עשרה שרשי י"ד ונ"ו מן המספר והקש על זה

The fifth type
\scriptstyle x_{\rm{large}}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c}
\scriptstyle x_{\rm{small}}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)-\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c}
 אמר: והמין החמשי תגרע המספר ממרובע חצי מספר השרשים ותקח שרש הנשאר ואם תוסיף אותו על המחצית יהיה שרש הממון הגדול ואם גרעת אותו יהיה שרש הממון הקטן
if \scriptstyle \left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c →
\scriptstyle x=\frac{1}{2}\sdot b
\scriptstyle x^2=c
 ואם יצא מרובע חצי כמו המספר הנה החצי הוא השרש והממון הוא המספר
the fifth type: a square and a number equal roots \scriptstyle x^2+c=bx פי': זה המין הוא ממון ומספר ישוו שרשים
  • \scriptstyle x^2+8=6x
 והמשל: ממון וח' מן המספר ישוו ו' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2-8}\\&\scriptstyle=3\pm\sqrt{3^2-8}\\&\scriptstyle=3\pm\sqrt{9-8}\\&\scriptstyle=3\pm\sqrt{1}=3\pm1\\\end{align}}}
 תקח חצי מספר השרשים והם ג‫'

תרבעם יהיו ט‫'
תגרע מהם המספר שבשאלה שהם ח' ישאר א‫'
תקח שרש זה הנשאר והוא ג"כ א'

\scriptstyle{\color{blue}{3+1=4}}
 א"כ הרשות בידך אם תרצה להוסיף זה הא' על הג' שהוא חצי השרשים ויהיו ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{3-1=2}}
 או תגרע א' מן הג' וישארו ב‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{large}}=3+1=4}}
 והנה אם תוסיף הא' ויהיו ד' יהיה יהיו אלה הד' שרש הממון הגדול
\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{large}}^2=16}}
 והממון י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{large}}^2=4\sdot4=4x}}
 והוא ד' שרשים מד' ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{8=2\sdot4=2x}}
 וח' שהוא המספר הוא שני שרשים מד' ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{large}}^2+8=6x}}
 יהיו כלם ו' שרשי‫'
Check: \scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{large}}^2+8=16+8=24=6\sdot4=6x}}
 הנה הממון י"ו וח' מן המספר הרי כ"ד ישוו ששה שרשים שכל שרש ד' והם ג"כ כ"ד כמו ששאל
\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{small}}=3-1=2}}
 ואם תגרע הא' מן הג' וישארו ב' יהיו אלה השנים שרש הממון הקטן
\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{small}}^2=4}}
 והוא ד‫'
Check: \scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{small}}^2+8=\left(2\sdot2\right)+\left(4\sdot2\right)=6\sdot2=6x}}
 ובו ב' שרשים מב' ב' וח' שהוא המספר הוא ד' שרשים מב' ב' הנה הכל ו' שרשי' כמו ששאל
\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{small}}^2+8=4+8=12=6\sdot2=6x}}
 וממון ד' וח' מן המספר שהכל י"ב ישוו ו' שרשים מב' ב' שהם ג"כ י"ב
  • \scriptstyle x^2+16=8x
 ואם אמר האומר ממון וי"ו מן המספר ישוו ח' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2-16=4^2-16=16-16=0}}
 תקח חצי מספר השרשים וזה ד‫'

תרבעם יהיו י"ו
תגרע ממנו המספר והוא ג"כ י"ו לא ישאר כלום

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{2}\sdot8=4}}
 ולכן חצי מספר שרשים שהוא ד' הוא השרש
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4^2=16}}
 וי"ו שהוא המספר הוא בעצמו הממון
Check: \scriptstyle{\color{blue}{x^2+16=16+16=32=8\sdot4=8x}}
 וכשתקח הממון שהוא י"ו והמספר שהוא י"ו יהיו ל"ב והם ישוו ח' שרשים מד' כי הם ג"כ מל"ב ואינך צריך לעשות יותר
  • if \scriptstyle \left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c →
\scriptstyle x=\frac{1}{2}\sdot b
\scriptstyle x^2=c
 זהו שאמר המחבר ואם יצא מרובע החצי כמו המספר הנה החצי הוא השרש והממון הוא המספר והקש על זה
  • if \scriptstyle c>\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2 → the equation is incorrect
 ודע כי אם היה המספר שאתה רוצה לגרוע ממרובע חצי השרשים יותר ממנו הנה השאלה בלתי אמתית
  • \scriptstyle x^2+20=8x
 כאלו אמר ממון וכ' מן המספר ישוו ח' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2-20=16-20}} impossible
 כי מרובע חצי השרשי' י"ו והמספר שאתה צריך לגרוע ממנו הוא כ' וזה בלתי אפשר והקש על זה
Normalization
if there is more than one square the three compound types the equation should be reduced to one square, so that all the equation should be completed by the same [number], using the procedure of restoration and reduction אמ': וכל מה שיבא לך במינים השלשה המורכבים יותר ממון אחד הורידהו אל ממון אחד והשלם באותו השם כלל ההשוויה ואופן המעשה בהשלמה וההורדה כמו שקדם
normalization is needed only for the three compound types of equations פי': הנה זכר פה המחבר שהורדת השאלה יש בה יותר ממון אחד או השבת השאלה שהיא פחות ממון אחד אל ממון אחד שזה איננו צריך כי אם במינים השלשה הנפרדים המורכבים ואלה בג' הנפרדים כמו שזכרתי
Restoration and Reduction
  • for integers and fractions
  • restoration for integers and fractions [= completion]: seeking for a number such that when multiplied by a smaller number will complete it to a greater number
וכבר נזכר בשלמים ושברים כי ההשלמה היא לבקש מספר יוכה במספר קטן וישלם למספר גדול
Example: by how much should 4 be multiplied to be completed to 8 \scriptstyle 4\sdot a=8
 כמו ד' כמה יוכה להשלימם לח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{a=2}}
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2=8}}
 וזה יהיה בב' ב' פעמים ד' הם ח‫'
  • reduction [for integers and fractions] = [seeking for] a number such that when multiplied by a greater number will restore it to a smaller [number]
 וההורדה באי זה מספר יוכה מספר גדול וישוב קטן והוא הפך ההשלמה
Example: by how much should 8 be multiplied to become 4 \scriptstyle 8\sdot a=4
 כמו באיזה מספר יוכה ח' ויהיה ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{2}}}
\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\frac{1}{2}=4}}
 וזה יהיה חצי א' כי כשתכה ח' בחצי אחד ישובו ד‫'
  • restoration and reduction for the compound types of equations - examples:
 והמשל בהשלמה והורדת המינים המורכבים בזאת המלאכה
  • \scriptstyle3x^2+6x=24
 הנה במין הראשון מהם: ג' ממונות וששה שרשים ישוו כ"ד
restoration of \scriptstyle{\color{blue}{3x^2}}
 תוריד הג' ממונות לממון אחד
\scriptstyle{\color{blue}{3x^2\sdot\frac{1}{3}=x^2}}
 וזה כשתכה אותם בשליש אחד או אמור תקח שלישיתם והוא ממון אחד
reduction: \scriptstyle{\color{blue}{3x^2+6x=24\quad/\times\frac{1}{3}}}
 וכן תעשה בשאר השאלה להורידה לשלישיתה
\scriptstyle{\color{blue}{6x\sdot\frac{1}{3}=2x}}
 וישובו הו' שרשים שבשאלה ב' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot\frac{1}{3}=8}}
 וכ"ד ישובו ח‫'
\scriptstyle x^2+2x=8
 ותשוב השאלה: ממון וב' שרשים ישוו ח‫'
solving procedure:
 וא"כ תעשה בזה המעשה הראוי במין ההוא
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2+8}-\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{1^2+8}-1\\&\scriptstyle=\sqrt{1+8}-1\\&\scriptstyle=\sqrt{9}-1\\&\scriptstyle=3-1=2\\\end{align}}}
 שתקח חצי מספר השרשים והוא א‫'

ותרבענו ויהיה א‫'
ג"כ תוסיף אותו על הח' יהיו ט‫'
תקח שרשם והוא ג‫'
תגרע ממנו אחד שהוא חצי מספר השרשים ישאר ב' והוא השרש

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4}}
 והממון ד‫'
Check: \scriptstyle{\color{blue}{3x^2+6x=12+12=24}}
 וג' ממונות הם י"ב וששה שרשים מב' ב' הם ג"כ י"ב המקובץ כ"ד שוה כ"ד שבשאלה
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x^2+4x=24
 משל אחר: חצי ממון וד' שרשים ישוו כ"ד
restoration of \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2}}
 תשלים חצי הממון לממון
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2\sdot2=x^2}}
 כשתכה אותו בשנים או תכפול אותו ויהיה ממון אחד
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+4x=24\quad/\times2}}
 וכן תכפול השאר
\scriptstyle{\color{blue}{4x\sdot2=8x}}
 והד' שרשים יהיו ח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot2=48}}
 והכ"ד יהיו מ"ח
\scriptstyle x^2+8x=48
 ותשוב השאלה ממון וח' שרשים ישוו מ"ח
solving procedure: as mentioned above
 ותעשה כפי מה שנזכר
the same for the two other types - completing them, or reducing them to one square, and proceeding by the solving procedure according to the type וכן תעשה בשני המינים הנשארים להעלותם אל ממון אחד או להורידם וא"כ תעשה בכל מין כפי הראוי לו מן המעשה
Another normalization method
dividing all the [species] in the equations by the number of the squares - the result is the normalized equation - reducing one by the other אמר: ואם תרצה חלק כנוי השאלה על מה שבא ממספר הממונות ומה שיצא הוא השבת השאלה

הקבל קצתו עם קצת

this is another method to complete the equation to one square, if it has less than one square, or to reduce it, if it has more than one square פי': זה דרך אחר להשלמת ההשואה אל ממון אחד אם היה פחות מממון אחד ולהורידה אם היה יותר מממון
dividing all the [species] in the equations = dividing the number of each species by the number of the squares in the equation והוא שתחלק כנויי השאלה ר"ל מספר כל מין ממיניה על מספר הממונות שבה
the result of division of each species is named by that species והיוצא מכל מין יהיה מכונה במין ההוא
  • number of squares ÷ number of squares = squares
 שאם אתה תחלק מספר הממונות על מספר הממונות יהיה היוצא ממונות
  • number of roots ÷ number of squares = roots
 ואם תחלק מספר שרשים על מספר ממונות יהיה היוצא שרשים
  • numbers ÷ number of squares = numbers
 ואם מספרים יהיה היוצא מספרים
the result of division is the normalized equation reduced to one of the six types ומה שיצא בחלוק הוא השבת השאלה אל אחד מן המינים הששה
reducing and proceeding according to the type ותקביל א"כ ותעשה כפי הראוי למין ההוא
as seen in the same examples given above for the restoration and reduction: והמשל מה שהמשלנו בהשלמה וההורדה כדי שיתבאר שהענין אחד
  • \scriptstyle3x^2+6x=24
 והוא: ג' ממונות וששה שרשים ישוו כ"ד
dividing all species by the number of the squares: \scriptstyle{\color{blue}{3x^2+6x=24\quad/\div3}}
 וחלק כל כנויי השאלה על ג' שהוא מספר הממונות
\scriptstyle{\color{blue}{3x^2\div3=x^2}}
 תחלק ג' ממונות על ג' היוצא א‫'
\scriptstyle{\color{blue}{6x\div3=2x}}
 וששה שרשים על ג' היוצא ב' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{24\div3=8}}
 וכ"ד על ג' היוצא ח‫'
\scriptstyle x^2+2x=8
 הנה כל היוצא בחלוק ממון אחד וב' שרשים ישוו ח' וכך שבה השאלה ע"ד ההורדה
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x^2+4x=24
 המשל השני: חצי ממון וד' שרשים ישוו כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2\div\frac{1}{2}=x^2}}
 תחלק חצי ממון על חצי שהוא מספר הממונות היוצא ממנו אחד
\scriptstyle{\color{blue}{4x\div\frac{1}{2}=8x}}
 וד' שרשים על חצי ח' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{24\div\frac{1}{2}=48}}
 וכ"ד על חצי היוצא מ"ח וכן שבה השאלה ע"ד ההשלמה
since the division is by the number of the squares, not by the squares, the result of division for each species is named by that species ובעבור שבזה החלוק אתה מחלק על מספר הממונות לא על הממונות לכן היוצא מכל מין יכונה במינו
in the chapter on division below it will be explained that the result of division of any species by a number belong to that species כי במה שיבא תדע בשער החלוק בע"הו כי כל מין שתחלק על מספר היוצא בחלוקה הוא מן המין ההוא והקש על זה
Solving procedure without normalization
one of the Arab scholars of this craft invented another solving procedure for the three compound types that do not involve restoration and reduction ואחד מפקחי ישמעאל במלאכה הזאת המציא דרך אחרת במעשה השלשת מינים המורכבים בלא השלמה ולא הורדה וראיתי לכתוב הדרך ההיא והיא זאת
  • for the first of the three compound types: a square and roots equal a number
\scriptstyle ax^2+bx=c
 המין הא' מהשלשה המורכבי' ממון ושרשים ישוו מספר
\scriptstyle x=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+\left(c\sdot a\right)}-\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)}{a}
 המעשה בזה שתרבע חצי מספר השרשים ותשמור היוצא

ותכה המספר במספר הממונות
והיוצא תקבצנו עם מרובע מספר חצי השרשים
וקח שרש המקובץ
וגרע ממנו חצי מספר השרשים
וחלק הנשאר על מספר הממונות יצא השרש

Examples:
 ונמשיל הג' משלים הראויים
  • \scriptstyle x^2+10x=56
 הראשון: ממון ועשרה שרשים ישוו נ"ו מן המספר
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+\left(56\sdot1\right)}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)}{1}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{5^2+56}-5}{1}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{25+56}-5}{1}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{81}-5}{1}\\&\scriptstyle=\frac{9-5}{1}=\frac{4}{1}=4\\\end{align}}}
 תרבע חצי מספר השרשים שהוא ה' יהיה המרובע כ"ה

תכה המספר שהוא נ"ו בא' שהוא מספר הממונות יהיו נ"ו
תקבצם עם הכ"ה יהיו פ'א
תקח שרשם והוא ט‫'
תגרע מהם חצי מספר השרשים שהוא ה' ישארו ד‫'
חלק אותם על מספר הממונות שהוא א' היוצא ד' והם השרש

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}
 והממון י"ו
this is similar to the author's [al-Bannāʼ] method, since there is one square in the equation הנה זה שוה לדרך המחבר בעבור כי הממון בשאלה אחד
  • \scriptstyle3x^2+6x=24
 משל שני ג' ממונות וששה שרשים ישוו כ"ד
in this case according to the author's [al-Bannāʼ] method the equation should be reduced to one square then use the solving procedure and the result is \scriptstyle{\color{blue}{x=2}} הנה זה בדרך המחבר צריך להוריד השאלה אל ממון אחד וא"כ לעשות המעשה ויצא השרש ב'
but in this method only the solving procedure is required: ובדרך הזאת אין צריך כי אם לעשות המעשה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2+\left(24\sdot3\right)}-\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)}{3}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{3^2+72}-3}{3}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{9+72}-3}{3}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{81}-3}{3}\\&\scriptstyle=\frac{9-3}{3}=\frac{6}{3}=2\\\end{align}}}
 וזה שתרבע חצי מספר השרשים שהוא ג' יהיה המרובע ט‫'

ותכה המספר שהוא כ"ד בג' שהוא מספר הממונות יהיה היוצא ע"ב
תקבצם עם הט' יהיו פ"א
תקח שרשם והוא ט‫'
תגרע מהם חצי מספר השרשים שהוא הג' הנשאר ו‫'
חלק אותם על ג' שהוא מספר הממונות יצא בחלוקה ב' והוא השרש

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4}}
 והממון ד‫'
Check: \scriptstyle{\color{blue}{3x^2+6x=12+12=24}}
 וג' ממונות י"ב ישוו כ"ד מן המספר הנה במעשה הזה יצא השרש בלא הורדה
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x^2+4x=24
 משל שלישי חצי ממון וד' שרשים ישוו כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+\left(24\sdot\frac{1}{2}\right)}-\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{2^2+12}-2}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{4+12}-2}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{16}-2}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\frac{4-2}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4\\\end{align}}}
 תרבע חצי השרשים שהוא ב' יהיה המרובע ד‫'

והכה המספר שהוא כ"ד במספר הממונות שהוא חצי יהיה היוצא י"ב
תקבצם עם הד' יהיו י"ו
תקח שרשם והוא ד‫'
תגרע מהם חצי מספר השרשים שהוא ב' ישאר ב‫'
תחלק אותם על חצי שהוא מספר הממונות יצא ד' והוא השרש

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}
 והממון י"ו
Check: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+4x=8+16=24}}
 והנה חצי הממון ח' וד' שרשים הם י"ו הכל כ"ד ישוו כ"ד
  • for the second of the three compound types: a square and a number equal roots
\scriptstyle ax^2+c=bx
 המין השני מהג' המורכבים והוא ממון ומספר ישוו שרשים
the larger root =
\scriptstyle x_1=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-\left(c\sdot a\right)}}{a}
 תרבע חצי מספר השרשים ותשמור היוצא

ותכה המספר במספר הממונות
והיוצא מההכאה תגרע אותו ממרוב חצי השרשים
והנשאר תקח שרשו
והוסף אותו על מספר חצי השרשים
וחלק המקובץ על מספר הממונות יהיה היוצא שרש הממון הגדול

the smaller root =
\scriptstyle x_2=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-\left(c\sdot a\right)}}{a}
 ואם תגרע השרש מחצי מספר השרשים

ותחלק המקובץ על מספר הממונות יהיה היוצא הוא שרש הממון הקטן

  • \scriptstyle3x^2+9=12x
 והמשל ג' ממונות וט' מהמספר ישוו י"ב שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_{\rm{large}}&\scriptstyle=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2-\left(9\sdot3\right)}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{6+\sqrt{6^2-27}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{6+\sqrt{36-27}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{6+\sqrt{9}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{6+3}{3}=\frac{9}{3}=3\\\end{align}}}
 תרבע חצי מספר השרשים שהוא ו' יהיה המרובע ל"ו תשמרנו

ותכה המספר שהוא ט' במספר הממון שהוא ג' יהיו כ"ז
תגרעם מן המרובע שהוא ל"ו ישארו ט‫'
תקח שרשם והוא ג‫'
הוסף אותם על חצי מספר השרשים שהוא ו' יהיה ט‫'
חלקם על מספר הממונות שהם ג' יהיה היוצא ג' והוא שרש הממון הגדול

\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{large}}^2=9}}
 והממון ט‫'
Check: \scriptstyle{\color{blue}{3x_{\rm{large}}^2+9=27+9=36=12\sdot3=12x_{\rm{large}}}}
 וג' ממונות ממנו ישוו כ"ז וט' מן המספר יהיו ל"ו והם ישוו י"ב שרשים כל שרש ג' מהם ל"ו גם כן
\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{small}}=\frac{6-3}{3}=\frac{3}{3}=1}}
 ואם היית גורע ג' מחצי המספר השרשים שהוא ו' היה הנשאר ג‫'

תחלק ג' שהוא מספר הממונות יהיה היוצא א' והוא שרש הממון הקטן

\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{small}}^2=1}}
 והממון א‫'
Check: \scriptstyle{\color{blue}{3x_{\rm{small}}^2+9=3+9=12=12\sdot1=12x_{\rm{small}}}}
 וג' ממונות ממנו הם ג' וט' מן המספר יהיו י"ב והם ישוו י"ב שרשים כל שרש א' כי הם ג"כ י"ב הנה יצא המבוקש בלא הורדה
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x^2+16=6x
 משל שני חצי ממון וי"ו ישוו ו' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_{\rm{large}}&\scriptstyle=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2-\left(16\sdot\frac{1}{2}\right)}}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\frac{3+\sqrt{3^2-8}}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\frac{3+\sqrt{9-8}}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\frac{3+\sqrt{1}}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\frac{3+1}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8\\\end{align}}}
 תרבע חצי מספר השרשים שהוא ג' יעלו ט' תשמרנו

תכה י"ו בחצי שהוא מספר הממונות יהיה היוצא בהכאה ח‫'
תגרעם מן הט' שהוא המרובע ישאר א‫'
קח שרשו והוא ג"כ אחד
הוסיף אותו על ג' שהוא חצי השרשים יהיו ד‫'
חלקם על חצי שהוא מספר הממונות יצא בחלוק ח' והוא שרש הממון הגדול

\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{large}}^2=64}}
 והממון ס"ד
Check: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x_{\rm{large}}^2+16=\left(\frac{1}{2}\sdot64\right)+16=32+16=48=6x_{\rm{large}}}}
 וחציו ל"ב וי"ו הם מ"ח וכן הם ו' שרשים כל שרש ח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{small}}=\frac{3-1}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4}}
 ואם היית גורע הא' מהג' היה הנשאר ב‫'

תחלק אותו על החצי יהיה היוצא בחלוקה [ד'] והוא שרש הממון הקטן

\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{small}}^2=16}}
 והממון י"ו
Check: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x_{\rm{small}}^2+16=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+16=8+16=24=6\sdot4=6x_{\rm{small}}}}
 וחציו ח' וי"ו הם כ"ד וכן הם ו' שרשים כל שרש ד' הנה יצא המבוקש בלא השלמה
  • \scriptstyle x^2+8=6x
 משל שלישי שתהיה השאלה ממון אחד ממון וח' ישוו ו' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_{\rm{large}}&\scriptstyle=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2-\left(8\sdot1\right)}}{1}\\&\scriptstyle=\frac{3+\sqrt{3^2-8}}{1}\\&\scriptstyle=\frac{3+\sqrt{9-8}}{1}\\&\scriptstyle=\frac{3+\sqrt{1}}{1}\\&\scriptstyle=\frac{3+1}{1}=\frac{4}{1}=4\\\end{align}}}
 תרבע חצי השרשים יהיו ט‫'

תכה המספר שהוא ח' בממון היוצא בחלוקה ד' הנה יצא המבוקש ח‫'
תגרעם מט' הנשאר א‫'
ושרשו א‫'
תוסיף אותם על ג' היו ד‫'
ונחלקם על ממון יהיו ג"כ ד' והוא שרש הממון הגדול

Check: \scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{large}}^2+8=16+8=24=6\sdot4=6x_{\rm{large}}}}
 והם י"ו וח' והם כ"ד וכן הם ו' שרשים השרש ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{small}}=\frac{3-1}{1}=\frac{2}{1}=2}}
 ואם היית גורע א' מחצי השרשים היה הנשאר ב‫'

תחלק על ממון אחד יהיו ג"כ ב' והם שרש הממון הקטן

\scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{small}}^2=4}}
Check: \scriptstyle{\color{blue}{x_{\rm{small}}^2+8=4+8=12=6\sdot2=6x_{\rm{small}}}}
 והממון ד' וח' יהיו י"ב וכן הם ו' שרשי' כשהשרש ב' והקש על זה
  • for the third of the three compound types: roots and a number equal a square
\scriptstyle bx+c=ax^2
 המין הג' מהג' המורכבים והוא שרשים ומספר ישוו ממון
\scriptstyle x=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+\left(c\sdot a\right)}+\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)}{a}
 המעשה בזה המעשה במין הראשון אלא שבמקום שתגרע חצי מספר השרשים משורש המקובץ תוסיף אותו עליו ותחלק המקובץ על מספר הממונות
  • \scriptstyle8x+16=3x^2
 והמשל ח' שרשים וי"ו מן המספר ישוו ג' הממונות
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2+\left(16\sdot3\right)}+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)}{3}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{4^2+48}+4}{3}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{16+48}+4}{3}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{64}+4}{3}\\&\scriptstyle=\frac{8+4}{3}=\frac{12}{3}=4\\\end{align}}}
 תרבע חצי השרשים שהוא ד' ויהיו י"ו

תכה י"ו שהוא המספר בג' שהוא מספר הממונות יהיו מ"ח
תקבצם יהיו ס"ד
תקח שרשם והוא ח‫'
תוסיף אותו על חצי מספר השרשים שהוא ד' יהיו י"ב
תחלקם על ג' מספר הממונות יהיה היוצא בחלוק ד' והוא שרש הממון

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=14}}
 והממון י"ו
Check: \scriptstyle{\color{blue}{8x+16=\left(8\sdot4\right)+16=32+16=48=3\sdot16=3x^2}}
 והכה ח' שרשים כל שרש ד' יהיו ל"ב וי"ו מן המספר הם מ"ח וכן הם ג' ממונות כל ממון י"ו הם מ"ח
  • \scriptstyle2x+6=\frac{1}{2}x^2
 משל שני ב' שרשים וששה מן המספר ישוו חצי ממון
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2+\left(6\sdot\frac{1}{2}\right)}+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{1^2+3}+1}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{1+3}+1}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{4}+1}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\frac{2+1}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6\\\end{align}}}
 תרבע חצי מספר השרשים שהוא א' והמרובע א‫'

תכה ו' שהוא המספר בחצי שהוא מספר הממונות יהיה היוצא בהכאה ג‫'
תחברם עם המרובע יהיו ד‫'
תקח שרש המקובץ יהיו ב‫'
תוסיף אותם על חצי מספר השרשים יהיו ג‫'
תחלקם על חצי שהוא מספר שהוא מספר השרשים יהיה היוצא בחלוקה ו' והם שרש

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}
 הממון ל"ו
Check: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2=18=12+6=2x+6}}
 וחציו י"ח ישוו ב' שרשים שהם י"ב וששה מן המספר שהם כלם י"ח ג"כ הנה יצא המבוקש בלא השלמה והורדה
  • \scriptstyle10x+56=x^2
 משל שלישי שתהיה בשאלה ממון אחד עשרה שרשים ונ"ו מן המספר ישוו ממון
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+\left(56\sdot1\right)}+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)}{1}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{5^2+56}+5}{1}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{25+56}+5}{1}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{81}+5}{1}\\&\scriptstyle=\frac{9+5}{1}=\frac{14}{1}=14\\\end{align}}}
 תרבע חצי השרשים יהיה המרובע כ"ה

תכה נ"ו במספר הממונות שהוא אחד יהיה ג"כ נ"ו
קבצם עם כ"ה יהיה המקובץ פ"א
תקח שרשו יהיה ט‫'
הוסף אותו על חצי מספר השרשים שהוא ה' יהיו י"ד
תחלקם על מספר הממונות שהוא א' יהיו ג"כ י"ד והם שרש הממון

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=14\sdot14=194}}
 והממון קצ"ו י"ד פעמים י"ד ישוו לממון שהוא קצ"ו
הנה נתבאר כל זה בארוכה באר היטב ונשלם השער הב' תהלה לשם ית' ומרומ' על כל ברכה ותהלה

Chapter Three: Addition and Subtraction of algebraic expressions

 השער השלישי
the algebraic species - numbers, roots, squares, cubes, and the rest - are added to each other, subtracted from each other, multiplied by each other, and divided by each other. כבר זכרנו בהקדמה שכל אלה המינים שהם מספרים ודברים וממונות ומעוקבים וזולתם המחוברים מאלה יקובצו קצתם בקצת ויוגרעו קצתם מקצתם ויכו קצתם בקצתם ויחלקו קצתם על קצתם
the operations of addition, subtraction, multiplication, and division of algebraic species are by the way of integers and fractions - as they are operations of numbers on numbers. וראית כמו שזכרתי ג"כ כי כל קבוץ וגרעון והכאה וחלוק שנזכרו בשער השני שלפני זה כלם הם ע"ד השלמים והשברים אשר בתחלת הספר כי כלם מספרים עם מספרים
the author describes in this chapter how the algebraic species are added to each other and subtracted from each other ועתה יתחיל להודיע איך יקובצו אלה המינים קצתם בקצתם ואיך יוגרעו קצתם מקצתם
  • [in addition: both terms are called the added to each other]
 ודע כי המקובצים זה עם זה נקראים שני צדדין
  • in subtraction: the subtrahend and the minuend
 וכן בגרעון שני צדדין המוגרע ואשר ממנו יוגרע
  • in multiplication: the multiplier and the multiplicand
 וכן בהכאה הצד המוכה ואשר בו יוכה
  • in division: the dividend and the divisor
 וכן בחלוק המחולק ואשר עליו החלוק
roots and a square refer to the roots of that square ודע כי אע"פ שבמאמרינו ממון ושרשים הרצון בו שרשים מן הממון ההוא
cubes and squares refer to squares of the cube וכן המעוקבים וממונות הרצון בו ממונות מן המעוקב
Addition
the lower algebraic species is added to the higher algebraic species not by the way of the numbers - by which the units are summed to tens, the tens are summed to hundreds and thousands - each algebraic species simply stands by itself, because they are indefinite. וכן השפל מצטרף לעליון עכ"ז אין זה כמו המספר שהאחדים מתקבצים ויהיו עשרות והעשרות יתקבצו למאות ולאלפים רק כל אחד עומד בעצמו בעבור שהם סתם כמו שאמרתי
the square is unknown until its roots are summed with a number of other roots and the total sum is a certain number of roots and so for the rest ואין הממון ידוע עד שתקבץ עם שרשיו מספר השרשים הנוספים ויהיו כלם מספר מה משרשים וכן השאר
  • a square and six roots: \scriptstyle x^2+6x
 והמשל כי באמרנו ממון וששה שרשים
it is unknown how many roots are the square until the additional six roots are added to them
 לא נדע הממון כמה שרשים הוא עד שנחבר עמהם הששה הנוספים
if \scriptstyle{\color{blue}{x^2=4x}}
 כמו שאלו היה הממון ד"מ ד' שרשים
then \scriptstyle{\color{blue}{x^2+6x=10x}}
 וקבץ עמהם הששה ויהיו עשרה שרשים
as summing the units \scriptstyle{\color{blue}{5+10=15}}
 כמו שנקבץ האחדי' החמשה עד"מ אל העשרה ויהיו ט"ו
Hence, each algebraic species stands by itself in the operations of addition, subtraction, multiplication, and division ולכן כל אחד מאלה המינים עומד בעצמו בקבוץ ובגרעון ובהכאה ובחלוק
  • \scriptstyle\left(3x^2+4x\right)+\left(x^2+8x\right)
 כי אם תחבר דרך משל ג' ממונות וד' שרשים עם ממון וח' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3x^2+4x\right)+\left(x^2+8x\right)=4x^2+12x}}
 יהיה המקובץ ד' ממונות וי"ב שרשים
  • \scriptstyle\left(x^2+50x\right)+\left(100x^2+75x\right)
 ואם קבצנו ממון ונ' שרשי' עם מאה ממונות וע"ה שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2+50x\right)+\left(100x^2+75x\right)=101x^2+125x}}
 היה המקובץ ק"א ממונות וקכ"ה שרשים
the roots are not transformed to squares in order to sum them with the squares, since the number of roots of the square is unknown ולא נעשה מן השרשים ממונות ותקבצם עם הממונות כי אין מספר שרשי הממון ידוע
the same for subtraction, multiplication, and division וכן בגרעון ובהכאה ובחלוק כמו שזה יתבאר במה שיבא בג"ה ית' ויתברך
the addition of dissimilar species is done by the conjunctive waw [= plus, "and"] אמ': קבוץ הסוגים המתחלפים בוו' ההעטף
addition of similar species
if the species are similar - such as squares and squares, roots and roots - they are summed as integers פי': הסוגים אשר בשני הצדדין או אמור המינים אם היו דומים כלומר ממונות עם ממונות או שרשים עם שרשים או זולתם הנה הקבוץ בהם הוא כמו בשלמים
וזה לא זכר המחבר כי אין צורך כי כבר נזכר בתחלת הספר
  • \scriptstyle2x+50x=52x
 והמשל ב' שרשים עם נ' שרשים יקובצו ויהיו נ"ב שרשים
  • \scriptstyle121x^2+296x^2=417x^2
 וכן קכ"א ממונות עם רצ"ו ממונו' יקובצו ויהיו תי"ז ממונות
וכן במספרים ושאר הסוגים
addition of dissimilar species
if the species on both terms are dissimilar - such as squares on one term and on the other term roots, or cubes, or numbers - they are summed with the the conjunctive waw written between them ואם הצדדין מתחלפים כמו שיהיה בצד האחד ממונות ובשני שרשי' או מעוקבים או מספרים או זולתם אמר המחבר שהקבוץ בהם בו"ו ההעטף ר"ל שתוסיף ביניהם ו"ו ההעטף
  • \scriptstyle100x^2+75x
 והמשל מאה ממונות וע"ה שרשים וכן במספרים ובשאר הסוגים
  • more than one species in both terms
 ואם היו בצדדין יותר מסוג אחד
  • \scriptstyle\left(3x^2+5x\right)+\left(8x^2+16x\right)
 כמו ד"מ בצד האחד ג' ממונות וה' שרשי' ובשני ח' ממונות וי"ו שרשים
summing the similar as integers:
 תקבץ תחלה הדומים כשלמים
\scriptstyle{\color{blue}{3x^2+8x^2=11x^2}}
 יהיה הממונות י"א
\scriptstyle{\color{blue}{5x+16x=21x}}
 והשרשים כ"א
summing the dissimilar with the conjunctive waw:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3x^2+5x\right)+\left(8x^2+16x\right)=11x^2+21x}}
 א"כ תשים ביניהם וו' ההעטף ויהיו י"א ממונות וכ"א שרשים וכן בשאר הסוגים
  • diversity of all species of both terms
 ואם היה החלוף בכל סוגי הצדדין
  • \scriptstyle\left(8x^2+3x\right)+\left(4x^3+15\right)
 והמשל ח' ממונות וג' שרשים עם ד' מעוקבים וט"ו מספרים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(8x^2+3x\right)+\left(4x^3+15\right)=8x^2+3x+4x^3+15}}
 תשים בין הצדדין וו' ההעטף ויהיו ח' ממונות וג' שרשים וד' מעוקבים וט"ו מספרים
  • some species are similar and some are dissimilar
 ואם היו קצתם דומים וקצתם מתחלפים
  • \scriptstyle\left(3x^2+4x\right)+\left(4x^2+16\right)
 והמשל ג' ממונות וד' שרשים עם ד' ממונות וי"ו מן המספר
summing the similar as integers:
\scriptstyle{\color{blue}{3x^2+4x^2=7x^2}}
 תקבץ הדומים כשלמים יהיו ז‫'
summing the dissimilar with the conjunctive waw:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3x^2+4x\right)+\left(4x^2+16\right)=7x^2+4x+16}}
 ותקבצם עם השאר בוו' ההעטף ותאמר ז' ממונות וד' שרשים וי"ו מן המספר
וכן אם היו הסוגים רבים בכל צד או בצד אחד על הדרך הזה תקבצם
Subtraction
the subtractive which is dissimilar is not subject to subtraction, whereas the subtraction of the similar is by subtracting the smaller from the larger אמר והנזור והמתחלף בלא גרעון והמסכים בגרוע המעט מן הרב
  • \scriptstyle2x^2-4x
 פי' כשתאמר עד"מ ב' ממונו' פחות ד' שרשים
\scriptstyle4x is the subtractive species
 הנה הד' שרשים יקראו המין והנזור או הסוג הנזור
\scriptstyle2x^2 is the non-subtractive species
 והב' ממונות נקראם המין הבלתי נזור
  • the subtrahend = the subtractive
 ובכלל המחוסר יקרא נזור
  • the minuend = the non-subtractive
 ואשר יוחסר ממנו בלתי נזור
the expressions in a term that has no subtractive are called non-subtractive וכן הצד שאין בו נזורות חלקיו יקראו בלתי נזורים
  • when the subtractive on one term is the same species as the subtractive on the other term - they are called similar
 וכשהנזור שבצד האחד יהיה ממין הנזור שבצד השני יקראו דומים
  • when the non-subtractive on one term is the same species as the non-subtractive on the other term - they are called similar
 וכן כשתחלק הבלתי נזור שבצד האחדר דומה לחלק הבלתי נזור שבצד השני יקראו דומים
the addition of the similar species is as integers וקבוץ כל אלה כשלמים ולכן לא זכרם המחבר
  • \scriptstyle\left(3x^2-7x\right)+\left(x^3-15x\right)
 והמשל לראשון ג' ממונות פחות ז' שרשים עם מעוקב פחות טו' שרשים
summing the subtractives as integers:
\scriptstyle{\color{blue}{-\left(7x+15x\right)=-22x}}
 תקבץ הנזורים כשלמים ויהיו כ"ב שרשים פחותים
summimh the dissimilar non-subtractives with the conjunctive waw
 ותקבץ הבלתי נזורים שהם מתחלפים בוו' ההעטף כמו שנזכר למעלה
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3x^2-7x\right)+\left(x^3-15x\right)=x^3+3x^2-22x}}
 יהיה המקובץ מעוקב וג' ממונות פחות כ"ב שרשים
  • \scriptstyle\left(3x^2-6x\right)+\left(7x^2-5x\right)
 והמשל לשני ג' ממונות פחות ו' שרשים עם ז' ממונות פחות ה' שרשים
summing the similar non-subtractives as integers:
\scriptstyle{\color{blue}{3x^2+7x^2=10x^2}}
 תקבץ הבלתי נזורים כשלמים כי הם דומים יהיו עשרה ממונות
summing the subtractives as integers:
\scriptstyle{\color{blue}{-\left(6x+5x\right)=-11x}}
 תקבץ גם כן הנזורים כשלמים יהיו י"א שרשי' פחותים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3x^2-6x\right)+\left(7x^2-5x\right)=10x^2-11x}}
 ויהיה המקובץ עשרה ממונות פחות י"א שרשים
all expressions that are similar in their species and subtractiveness, or in their species and non-subtractiveness - are summed as integers ובכלל כל החלקים הדומים במין ובנזורות או במין ובלתי נזורות תקבצם כשלמים ואח"כ תשלים הקבוץ
subtraction of similar species
when the species of the subtractive in one term is the species of the non-subtractive in the other term - it is called similar subtractive וכשהמין הנזור בצד האחד ממין הבלתי נזור שבצד השני זה יקרא הנזור המסכי‫'
the subtraction of the similar is by subtracting the smaller from the larger, i.e. first subtracting the smaller from the larger of the similar subtractive and non-subtractive, then summing the rest as required ועליו אמר המחבר המסכים בגרוע המעט מן הרב ר"ל שתתחיל ותגרע המעט מן הרב מן הנזור והבלתי נזור הדומים ואח"כ תקבץ הנשאר כפי מה שצריך
  • \scriptstyle\left(x^2-7x\right)+5x
 והמשל ממון פחות ז' שרשים עם ה' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{-\left(7x-5x\right)=-2x}}
 תגרע הה' מן הז' וישארו ב' שרשים פחותי‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-7x\right)+5x=x^2-2x}}
 ותקבץ ותאמר ממון פחות ב' שרשים
  • \scriptstyle\left(x^2-7x\right)+11x
 משל אחר ממון פחות ז' שרשים עם י"א שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{11x-7x=4x}}
 תגרע הז' שרשים מן הי"א ישארו ד‫'
summing with with the conjunctive waw:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-7x\right)+11x=x^2+4x}}
 תקבץ ותאמר בוו' ההעטף ממון וד' שרשים
  • \scriptstyle\left({\color{red}{x^2}}-4x\right)+\left(x^3+8x\right)
 משל אחר פחות ד' שרשים עם מעוקב וח' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{8x-4x=4x}}
 תגרע הד' מן הח' ישארו ד‫'
summing with the conjunctive waw:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-4x\right)+\left(x^3+8x\right)=x^2+x^3+4x}}
 תקבץ בוו' ההעטף ותאמר ממון ומעוקב וד' שרשים
  • \scriptstyle\left(x^2-8x\right)+\left(x^3+4x\right)
 משל אחר ממון פחות ח' שרשים עם מעוקב וד' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{-\left(8x-4x\right)=-4x}}
 תגרע ד' מח' ישארו ד' שרשים פחותים
summing with the conjunctive waw:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-8x\right)+\left(x^3+4x\right)=x^2+x^3-4x}}
 ותחבר הממון והמעוקב בוו' ההעטף ותאמר מעוקב וממון פחות ד' שרשים
  • \scriptstyle\left(x^2-4x\right)+\left(5x+15\right)
 משל אחר ממון פחות ד' שרשים עם ה' שרשים וט"ו
\scriptstyle{\color{blue}{5x-4x=x}}
 תגרע הד' מן הה' ישאר שרש א‫'
summing with the conjunctive waw:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-4x\right)+\left(5x+15\right)=x^2+x+15}}
 קבץ בוו' ההעטף ותאמר ממון ושרש וט"ו
  • \scriptstyle\left(x^2-4x\right)+\left(5x-15\right)
 משל אחר ממון פחות פחות ד' שרשים עם ה' שרשים פחות ט"ו
\scriptstyle{\color{blue}{5x-4x=x}}
 תגרע הד' מן הה' ישאר שרש א‫'
summing with the conjunctive waw:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-4x\right)+\left(5x-15\right)=x^2+x-15}}
 קבץ בוו' ההעטף ותאמר ממון ושרש פחות ט"ו
  • \scriptstyle\left(x^2-6x\right)+\left(4x-15\right)
 משל אחר ממון פחות ו' שרשים עם ד' שרשים פחות ט"ו
\scriptstyle{\color{blue}{-\left(6x-4x\right)=-2x}}
 תגרע הד' מן הוו' ישארו ב' שרשים פחותים
summing with the conjunctive waw:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-6x\right)+\left(4x-15\right)=x^2-2x-15}}
 וקבץ הנשאר בוו' ההעטף ותאמר ממון פחות שני שרשים וט"ו
\scriptstyle{\color{blue}{-\left[6x-\left(4x-15\right)\right]=-\left(2x+15\right)}}
 ואם תרצה בזה תאמר גרע ד' שרשים פחות ט"ו מו' שרשים ישאר ב' שרשים וט"ו פחותים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-6x\right)+\left(4x-15\right)=x^2-\left(2x+15\right)}}
 תקבצם עם הממון והכל אחד
subtraction of dissimilar species
when the species of the subtractive in one term is different from the species of all expressions in the other term, whether they are subtractive or non-subtractive - it is called dissimilar subtractive וכאשר הנזור אשר בצד האחד יתחלף לכל חלק מחלקי הצד השני נזור ובלתי נזור יקרא הנזור המתחלף
the subtractive which is dissimilar is not subject to subtraction, i.e. summing the dissimilar subtractive with the conjunctive waw as dissimilar species without subtracting the smaller from the larger ועליו אמר המחבר והנזור המתחלף בלא גרעון ר"ל הנזור המתחלף יקובץ בו"ו ההעטף כסוגים המתחלפים ובלא גרעון המעט מן הרב שכבר ביארתיו
  • \scriptstyle\left(x^2-4x\right)+21
 והמשל ממון פחות ד' שרשים עם כ"א מספרים
summing with the conjunctive waw:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-4x\right)+21=x^2+21-4x}}
 תקבץ בו"ו ההעטף ותאמר ממון וכ"א מספרים פחות ד' שרשים
  • \scriptstyle\left(x^2-6x\right)+\left(x^3+2x^2\right)
 משל אחר ממון פחות ו' שרשים עם מעוקב וב' ממונות
summing the squares as integers: \scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x^2=3x^2}}
 תקבץ הממונות כשלמים יהיו ג‫'
summing the rest with the conjunctive waw
 והשאר בוו' ההעטף
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-6x\right)+\left(x^3+2x^2\right)=x^3+3x^2-6x}}
 ותאמר מעוקב וג' ממונות פחות ו' שרשים
  • \scriptstyle\left(x^2-5x\right)+\left(x^3-2\right)
 משל אחר ממון פחות ה' שרשי' עם מעוקב פחות ב' מספרים
summing the subtractives with the conjunctive waw:
\scriptstyle{\color{blue}{5x+2}}
 תקבץ הנזורים בו"ו ההעטף יהיו ה' שרשים וב' מספרים פחותים
summing the non-subtractives with the conjunctive waw:
\scriptstyle{\color{blue}{x^3+x^2}}
 ותקבץ הבלתי נזורים ג"כ בו"ו ההעטף יהיה מעוקב וממון
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-5x\right)+\left(x^3-2\right)=x^3+x^2-\left({\color{red}{5}}x+2\right)}}
 תקבץ הכל ותאמר מעוקב וממון פחות ד' שרשים וב' מספרים
when there are more than two species in both terms, or more than two terms - summing two terms as described above, so that they become one term, then summing this term with another term, until all terms are summed to one term וכאשר יהיו יותר משני מינים בצדדין או הצדדין יהיו יותר מב' הכל יקובץ על דרך הנזכר ולהקל תקבץ ב' צדדין יחד וישובו צד אחד תקבץ זה הצד היוצא עם צד אחר ישובו כלם צד אחד וכן תעשה ע"ד שתקבץ כל הצדדין
the rule: זה הכלל
  • all the similar in species that are subtractives, or the similar in species that are non-subtractive - are summed as integers
 כל הדומים במין ונזורים או דומים במין ובלתי נזורים קבוצם כשלמים
  • the similar in species that are different in the sense that one is subtractive and the other is non-subtractive - are summed by subtracting the smaller from the larger
 והדומים במין ומתחלפים שהאחד נזור והשני בלתי נזור קבוצם בגרוע המעט מן הרב
  • the dissimilar in species that are both subtractive, or both non-subtractive, or one is subtractive and the other is non-subtractive - all are summed with the conjunctive waw
 והמתחלפים במין ששניהם נזורים או בלתי נזורים או אחד נזור והשני בלתי נזור כלם קבוצם בו"ו ההעטף
ונשלם ענין הקבוץ ת"ל ית' וית' וית' וית' וית' אמן
the subtraction of dissimilar species is done by the particle of subtraction [= minus] אמר וגרעון הסוגים המתחלפים באות הנזורות
the particle of subtraction = the word minus פי' אות הנזורות היא תבת פחות
  • \scriptstyle x^2-3x
 כשאנו אומרים ממון פחות שלשה שרשים על דרך משל
the word minus for the subtraction of dissimilar species is the same as the conjunctive waw in addition ותבת פחות בגרעון במינים המתחלפים היא בדמות ו"ו ההעטף בקבוץ
the subtraction of similar species is as integers וזה כי גרעון המינים הדומים הוא ע"ד השלמים ולכן לא חברם המחבר
  • \scriptstyle3x^2-2x^2=x^2
 והמשל גרע שני ממונות משלשה ממונות הנשאר ממון אחד
וכן כל שאר המינים
the dissimilar species are subtracted one from the other by placing the particle of subtraction with the subtrahend אבל המינין המתחלפים גרעון זה מזה הוא כשתשים אות הנזורות עם המגורע
  • \scriptstyle2x^2-5x
 והמשל גרע חמשה שרשים מב' ממונות
placing the particle of subtraction with the five roots:
\scriptstyle{\color{blue}{5x^2-5x}}
 תשים אות הנזורות עם הה' שרשים ותאמר שני ממונות פחות ה' שרשים
  • \scriptstyle\left(x^3-4x\right)-5x^2
 משל אחר גרע חמשה ממונות ממעוקב וד' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^3-4x\right)-5x^2=x^3+4x-5x^2}}
 תאמר מעוקב וד' שרשים פחות ה' ממונות
  • \scriptstyle\left(x^3-4x^2\right)-\left(5x+15\right)
 משל אחר גרע חמשה שרשים וטו' ממעוקב וד' ממונות
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^3-4x^2\right)-\left(5x+15\right)=x^3+4x^2-\left(5x+15\right)}}
 תאמר מעוקב וארבעה ממונות פחות ה' שרשים וטו
the subtrahend term should always be less than the term from which it is subtracted ולעולם יודע כי הצד המגורע צריך שיהיה פחות מן הצד אשר תגרע ממנו
if the greatest species in the subtrahend term is less than the greatest species in the term from which it is subtracted - the subtrahend term is always smaller וכשהמין הגדול אשר בצד המגורע פחות מן המין הגדול אשר בצד השני אשר ממנו תגרע אין לבקש יותר כי לעולם הוא פחות ממנו
  • \scriptstyle x^3-\left(5x^2+11x+15\right)
 והמשל גרע חמשה ממונות וי"א שרשים וט"ו מספרים מן מעוקב אחד
the cube is greater than the square
 כיון שהמעוקב גדול מן הממון
the squares are always less, no matter how many they are - since the roots, the squares, the cubes, and all other algebraic species in one equation are all related, i.e. the roots are the roots of the square, the squares are the squares of the cube and so on.
 ולו היו הממונות כמה שהיו לעולם הם פחות כי כבר זכרתי לך כי שרשים והממונות והמעוקבים ושאר המדרגות הנזכרים בשאלה אחת כלם מתיחסים ר"ל שהשרשים כי הם שרשי הממון והממונות ממוני המעוקב וכן כלם
\scriptstyle{\color{blue}{x^3-\left(5x^2+11x+15\right)}}
 והיוצא בשאלה הזאת הוא מעוקב פחות ה' ממונות וי"א שרשים וט"ו מספרים
the root in this equation cannot be smaller than 7 \scriptstyle{\color{blue}{x\nless7}}
 ואי אפש' להיות השרש בזאת השאלה פחות מז‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x=7\longrightarrow\; x^2=49}}
 ויהיה הממון מ"ט
\scriptstyle{\color{blue}{x=7\longrightarrow\; x^3=7x^2=7\sdot49}}
 והמעוקב ז' ממונות ממ"ט מ"ט
\scriptstyle{\color{blue}{7x^2-5x^2=2x^2}}
 וכשתגרע ה' ממונות ישארו ב' ממונות
\scriptstyle{\color{blue}{x=7\longrightarrow2x^2=14x}}
\scriptstyle{\color{blue}{14x-11x=3x}}
 והם י"ד שרשים תגרע י"א שרשים ישארו ג' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{x=7\longrightarrow3x=21}}
\scriptstyle{\color{blue}{21-15=6}}
 שהם כ"א מספרים תגרע ט"ו ישארו ו' מספרים
so, since the greatest species in the subtrahend term is less than the greatest species in the other term - the subtrahend term is always smaller הנה לעולם כיון שהמין הגדול שבצד המגורע פחות מן המין הגדול שבצד השני הנה הוא פחות ממנו
when similar and dissimilar species are intermixed in the equation - subtracting the similar from the similar as integers, then proceeding with the rest by the rule as in the addition וכשיתערבו בשאלה מינים דומים ומתחלפים תגרע הדומים מן הדומים כשלמים ותעשה בשאר כמשפטו כמו בקבוץ
  • \scriptstyle\left(x^2+7x\right)-\left(4x+15\right)
 והמשל גרע ד' שרשים וט"ו מממון וז' שרשים
subtracting the similar: \scriptstyle{\color{blue}{7x-4x}}
 גרע הד' שרשים מן הז' הדומים
\scriptstyle\left(x^2+{\color{red}{3}}x\right)-15
 תשאר השאלה כאלו אמר גרע ט"ו מספרים מממון וז' שרשים
placing the particle of subtraction:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2+7x\right)-\left(4x+15\right)=\left(x^2+{\color{red}{3}}x\right)-15}}
 תשים אות הנזורות ותאמר ממון וז' שרשי' פחות ט"ו
  • \scriptstyle\left(x^2+4x\right)-\left(7x+15\right)
 משל אחר גרע ז' שרשים וט"ו מממון וד' שרשים
subtracting the similar from the similar
 תגרע הדומים מן הדומים
\scriptstyle{\color{blue}{7x-4x=3x}}
 וזה שתגרע ד' מן הז' שרשים שבמגורע מן הד' שבצד השני
\scriptstyle{\color{blue}{-\left(3x+15\right)}}
 ותשאר השאלה כאלו אמר גרע ג' שרשים וט"ו מממון
subtracting with the particle of subtraction
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2+4x\right)-\left(7x+15\right)=x^2-\left(3x+15\right)}}
 תגרעם באות הנזורות ותאמר ממון פחות ג' שרשים וט"ו
וכן כל הדומה לזה
the subtraction of dissimilar species is always with the particle of subtraction and the subtraction of similar species is always as integers נמצא תמיד הסוגים המתחלפים גרעונם באות הנזורות והדומים כשלמים
the subtractives are either in both terms or in one of them, either of one species or of two dissimilar species - the procedure is to add the subtractives of each term to both terms together, then to subtract אמ' והנזורות אם שיהיה משני הצדדין או מאחד מהם ויהיה מין אחד או שני מינים מתחלפים והמעשה בזה שתוסיף נזורות כל צד על שני הצדדין יחד ואז תגרע
  • when the two terms - the subtrahend and the minuend - are both subtractives, there are two cases:
 פי' כשיהיו שני הצדדין הגורע ואשר תגרע ממנו שניהם נזורים יהיו על שני פנים
1) the subtractives are of the same species
 האחד שהנזור ממין הנזור
2) one is dissimilar to the other in species
 והשני שהאחד מתחלף אל אחר במינו
  • when the subtractive is in one term and the other term is non-subtractive, there are to cases:
וכן כשיהיה הנזור באחד הצדדין והשני בלתי נזור הם ג"כ על שני פנים
1) both are of one species
 האחד שיהיו ממין אחד
2) they are dissimilar
 והשני שיהיו מתחלפים
all in all, four cases והם ד' פנים
the procedure in all cases is to remove the subtractive from its term and add it to the other term, so that the equation is restored without subtractives, then to proceed as with similar and dissimilar non-subtractives, i.e. as integers or with the particle of subtraction ואמר כי המעשה בכלם הוא שתסיר הנזור מן הצד אשר הוא בו ותוסיף אותו בצד השני ותשוב השאלה בלא נזורות ותעשה כמו בדומים או במתחלפים הבלתי נזורים שזכרנו ר"ל או כמו השלמי' או באות הנזורות
if there are subtractives in both terms - remove the subtractive from one term and add it to the other term, and remove the subtractive from the second term and add it to the other term - so the equation is restored without subtractives ואם שני צדדין נזורים תסיר הנזור שבצד האחד ותוסיפנו בשני ותסיר הנזור שבשני ותוספנו באחר ותשוב השאלה בלא נזורות
examples for all these cases ונביא משלים לכל אלה
example for subtractive and non-subtractive:
 משל לנזור ובלתי נזור
  • \scriptstyle\left(2x^2+5x\right)-\left(x^2-3x\right)
 גרע ממון פחות ג' שרשים מב' ממונות וה' שרשים
removing the subtractive by adding it to the five roots in the other term:
\scriptstyle{\color{blue}{5x+3x=8x}}
 תסיר הנזור שהוא ג' ותוסיף אותו עם החמשה שרשים שבצד השני
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2x^2+5x\right)-\left(x^2-3x\right)=\left(2x^2+8x\right)-x^2}}
 תשוב השאלה גרע ממון מב' ממונות ושמנה שרשים
subtracting as integers:
\scriptstyle{\color{red}{2x^2-x^2=x^2}}
 תגרע כשלמים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2x^2+5x\right)-\left(x^2-3x\right)=x^2+8x}}
 ישאר ממון וח' שרשים
  • \scriptstyle\left(2x^2-2x\right)-\left(x^2+8x\right)
 משל אחר גרע ממון וח' שרשים מב' ממונות פחות שני שרשים
removing the subtractive and adding it to the other term:
\scriptstyle{\color{blue}{8x+2x=10x}}
 ותסיר הנזור שהוא ב' שרשים ותוסיף אותם בצד השני עם הח' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2x^2-2x\right)-\left(x^2+8x\right)=2x^2-\left(x^2+10x\right)}}
 תשוב השאלה גרע ממון ועשרה שרשים מב' ממונות
subtracting the square as integers
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2-x^2=x^2}}
 גרע ממון מב' ממונות כשלמים
subtracting with the particle of subtraction
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2x^2-2x\right)-\left(x^2+8x\right)=x^2-10x}}
 תשוב השאלה עוד גרע עשרה שרשים מממון גרע באות הנזורות יהיה ממון עשרה שרשים
  • \scriptstyle\left(x^3+21\right)-\left(x^2-10x\right)
 משל אחר גרע ממון פחות עשרה שרשים ממעוקב וכ"א
adding the subtractive to the cube and 21:
\scriptstyle{\color{blue}{x^3+21+10x}}
 תוסיף הנזור עם המעוקב וכ"א
subtracting with the particle of subtraction
 תגרע באות הנזורות
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^3+21\right)-\left(x^2-10x\right)=x^3+10x+21-x^2}}
 יהיה היוצא מעוקב ועשרה שרשים וכ"א פחות ממון
  • \scriptstyle\left(x^3-9x\right)-\left(2x^2+25\right)
 משל אחר גרע שני ממונות וכ"ה ממעוקב פחות ט' שרשים
adding the subtractive to the two squares and 25:
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+25+9x}}
 תוסיף הנזור עם הב' ממונות וכ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{x^3-\left(2x^2+9x+25\right)=x^3-\left(2x^2+9x+25\right)}}
 תשוב השאלה גרע ב' ממונות וט' שרשים וכ"ה ממעוקב
subtracting with the particle of subtraction
 תגרע באות הנזורות
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^3-9x\right)-\left(2x^2+25\right)=x^3-\left(2x^2+9x+25\right)}}
 יהיו מעוקב פחות ב' ממונות וט' שרשים וכ"ה
  • \scriptstyle\left(x^2-15\right)-\left(6x-12\right)
 משל אחר לשני הצדדין נזורים גרע ו' שרשים פחות י"ב מממון פחות ט"ו
adding the subtractive to the other term:
\scriptstyle{\color{blue}{6x+15}}
 תוסיף הנזור שבצד האחד שהוא ט"ו בצד השני
adding the subtractive to the other term:
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+12}}
 והנזור שבצד השני שהוא י"ב תוסיף אותו בצד האחר
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-15\right)-\left(6x-12\right)=\left(x^2+12\right)-\left(6x+15\right)}}
 תשוב השאלה גרע ו' שרשים וט"ו מממון וי"ב
subtracting 12 as integers
\scriptstyle{\color{blue}{15-12=3}}
 תקח י"ב מן הט"ו ותגרעם מן היב' השלמים
subtracting with the particle of subtraction
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-15\right)-\left(6x-12\right)=x^2-\left(6x+3\right)}}
 תשאר השאלה גרע ו' שרשים ממעוקב פחות כ"ד תסיר כל נזור מן הצד ותוסיף וג' מממון תגרע באות הנזורות יהיו ממון פחות ו' שרשים וג‫'
  • \scriptstyle\left(x^3-14\right)-\left(x^2-6x\right)
 משל אחר גרע ממון פחות ו' שרשים ממעוקב פחות כ"ד
removing the subtractive on each term by adding it to the other term:
 תסיר כל נזור מן הצד ותוסיף אותו בצד השני
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^3-14\right)-\left(x^2-6x\right)=\left(x^3+6x\right)-\left(x^2+14\right)}}
 תשוב השאלה גרע ממון וי"ד ממעוקב וששה שרשים
subtracting with the particle of subtraction
 תגרע באות הנזורות
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^3-14\right)-\left(x^2-6x\right)=\left(x^3+6x\right)-\left(x^2+14\right)}}
 יהיו מעוקב וששה שרשים פחות ממון וי"ד
another example for subtractive and non-subtractive:
 משל אחר לנזור ובלתי נזור
  • \scriptstyle2x^2-\left(x^2-7x\right)
 גרע ממון פחות ז' שרשים מב' ממונות
removing the subtractive by adding it to the two squares:
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+7x}}
 תסיר הנזור ותוסיף אותו עם הב' ממונות
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2-\left(x^2-7x\right)=2x^2+7x-x^2}}
 תשוב השאלה גרע ממון מב' ממונות וז' שרשים
subtracting the square as integers:
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2-x^2=x^2}}
 תגרע כשלמים ממון מב' ממונות
\scriptstyle{\color{blue}{2x^2-\left(x^2-7x\right)=x^2+7x}}
 ישאר ממון וז' שרשים
  • \scriptstyle{\color{red}{x^2-\left(2x-5\right)}}
 משל אחר ממון רשים פחות ה' ממון
removing the subtractive and adding it to the square:
 תסיר הנזור ותוסיף אותו עם הממון
\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{x^2-\left(2x-5\right)}}=\left(x^2+5\right)-2x}}
 תשוב השאלה: גרע ב' שרשים ממון וה‫'
subtracting with the particle of subtraction
 תגרע באות הנזורות
\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{x^2-\left(2x-5\right)}}=\left(x^2+5\right)-2x}}
 ישאר ממון וה' פחות ב' שרשים
the subtractive in the equation should be the smaller species ודע כי אע"פ שהנכון והנהוג הוא להיות הנזור בשאלה המין הקטן מן המין הגדול
for example:
  • square minus roots \scriptstyle x^2-bx
 כמו ממון פחות שרשים
  • square minus a number \scriptstyle x^2-c
 וממון פחות מספר
  • roots minus a number \scriptstyle bx-c
 ושרשים פחות מספר
  • cube minus all these species
 ומעוקב פחות כלם עכ"ז
yet, cases such as:
  • a number of roots minus a square \scriptstyle bx-x^2
  • a number of squares minus a cube \scriptstyle ax^2-x^3

are possible, provided that the roots are roots of the square and the squares are squares of the cube.

אם ירצה השואל לשאול מספר שרשים פחות ממון או מספר ממונות פחות מעוקב אפשר הוא

אבל יהיו תמיד שרשים משרשי הממון והממונו' ממוני המעוקב

example for roots that are greater than the squares of the cube:
 אלא שהשרשים יותר מממוני המעוקב
  • \scriptstyle10x-2x^2 for \scriptstyle x=3
 כמו עד"מ עשרה שרשים מג' בממון פחות ב' ממונות מן הממון ההוא
\scriptstyle{\color{blue}{x=3\longrightarrow10x-2x^2=4x}}
 כי ישארו לפי זה ד' שרשים
although this is not according the common procedure, the method of restoring the equation to one of the six types of canonical equations is the same ואע"פ שאין הולך על המנהג הנהוג עכ"ז הדרך בהשבת השאלה אל אחד מהו' מעשים אחת היא
  • \scriptstyle6x-x^2=20-4x
 ונמשיל משל אחר לזה ו' שרשים פחות ממון ישוו עשרים פחות ד' שרשים
removing the subtractive on each side and adding it on the other side
 תסיר הנזור מכל צד ותוסיף על השני
\scriptstyle10x=x^2+20
 תשוב השאלה י' שרשים ישוו ממון ועשרים
the procedure for equalized [sides of an equation] that include subtractives is the same אמר וכן המעשה במשתוים כשיהיה ביניהם נזורות
the procedure - adding the subtractives of each side to both sides, but not subtracting, because there is no need for subtraction in the equalization, but for reduction פי' וכן המעשה חוזר אל אומרו שתוסיף נזורות כל צד על שני צדדין לא על אמרו ואז תגרע כי אין צורך בהשוואה אל גרעון כי אם הקבלה כמו שכבר נזכר
this is the same as saying: "restoring the subtractive to additive by equalization" וזה שאמר פה המחבר כבר נתבאר כשפרשנו אמרו: בהשוואה תשלים החסר לנוסף
meaning that the subtractive side is restored by removing the subtractive and adding it to the other side, since by this the sides are equalized שפי' הצד החסר ר"ל הנזור תשלימנו כשתסיר הנזור ותוסיפנו בצד השני כי בזה ישתוו הצדדין
when there are subtractives on both equalized sides, i.e. one side equals the other - removing the subtractive from the one side and adding it to the second side; removing the subtractive from the second side and adding it to the one side - and by that the sides are equalized ואמר עתה כי כשיהיה הנזורות בשני הצדדין במשתוים ר"ל שהאחד ישוה לשני שתעשה כמו שזכר פה בגרעון שתסיר הנזור מן הצד האחת ותוסיף בשני וכן תסיר הנזור מן הצד השני ותוסיף אותו בצד האחד ובזה ישתוו
  • \scriptstyle3x^2-8=4x^2-6x
 והמשל ג' ממונות פחות ח' מן המספר ישוו ד' ממונות פחות ו' שרשים
removing the eight on one side and adding them to the four squares
\scriptstyle{\color{blue}{4x^2+8}}
 תסיר הח' מן הצד האחד ותוסיף אותם עם הד' ממונות
removing the six roots and adding the to the three squares
\scriptstyle{\color{blue}{3x^2+6x}}
 ותסיר הו' שרשים ותוסיף אותם עם הג' ממונות
\scriptstyle 3x^2+6x=4x^2+8
 תשוב השאלה ג' ממונות וששה שרשים ישוו ד' ממונות וח‫'
restoration: subtracting three squares from four squares
\scriptstyle{\color{blue}{4x^2-3x^2=x^2}}
 תקביל בשתסיר ג' ממונות מד‫'
\scriptstyle x^2+8=6x
 ישאר ממון וח' ישוו ששה שרשים
which is the second of the three compound types of canonical equations
 והוא המין השני מהשלשה המורכבים

Chapter Four: Multiplication of algebraic expressions

 השער הד' בהכאה וידיעת המוסד והשם
Degree and exponent of algebraic species
  • for integers:
  • position (mosad) = the position of the ranks of the written number
  • name (šem) = the name of the rank
 כבר פרשתי מהו המוסד והשם בשלמים כי הרוצה לכתוב מדרגות מהמספר יכתוב אותם על ידי המוסד והרוצה לדעת המדרגה ידע אותה מצד השם
  • writing roots = the number of the roots and above it the exponent of the roots
 וכן בזה כשתרצה לכתוב דברי' תכתוב מספרם ועליהם מוסד הדברים
  • writing squares = the number of the squares and above it the exponent of the squares
 וכשתרצה לכתוב ממונות תכתוב את מספרם ועליהם מוסד הממונות
  • the same for cubes
 וכן המעוקבים
the name of the degree of an algebraic species - roots, squares, etc. - is indicated by what is written above it
 וכשתמצא אחד מהם ותרצה לדעת אי זה מדרגה היא אם דברים או ממונות וזולת זה תראה הכתוב עליה ותדע שמה
the exponents:
  • the exponent of the roots = 1
 אמ' אמנם המוסד הנה מוסד הדברים אחד
  • the exponent of the squares = 2
 ומוסד הממונות שנים
  • the exponent of the cubes = 3
 ומוסד המעוקבים שלשה
the names:
  • the name of the first [degree] = roots
 ואמנם השם הנה שם האחד דברים
  • the name of the second [degree] = squares
 ושם השני' ממונות
  • the name of the third [degree] = cubes
 ושם השלשה מעוקבים
  • for every three [degrees] = cube; for every two [degrees] = square
 ומה שאחר זה שלשה לכל מעוקב ושנים לממון
[the root is a root of a square, the cube is a product of a root by a square ?] פי' כבר ידעת כי הדבר שרש הוא מרובע מה והממון הוא מרובע מה והמעוקב הוא מהכאת שרש במרובע
  • first degree = root [\scriptstyle x] - its exponent is 1
 ולכן השרש הוא מדרגה ראשנה ומוסדו סימן א‫'
  • second degree = square [\scriptstyle x^2] - its exponent is 2
 והמרובע הוא מדרגה שנית והוא הממון וסימנו ב‫'
  • third degree = cube [\scriptstyle x^3] - its exponent is 3
 והמעוקב מדרגה שלישית וסימנו ג‫'
Example:
  • root = \scriptstyle {\color{blue}{x=2}}
 והמשל מספר ב' יהיה שרש והוא דבר
  • square = \scriptstyle {\color{blue}{x^2=2\sdot2=4}}
 וכשתכה אותו בעצמו יהיו ד' והוא מרובע והוא ממון
  • cube = \scriptstyle {\color{blue}{x^3=x\sdot x^2=2\sdot4=8}}
 וכשתכה השרש שהוא ב' במרובע שהוא ד' יהיו ח' והוא מעוקב
these are the three [fundamental] degrees - all the other degrees consist of them
 ואלה הם ג' מדרגות וכל השאר מורכבות מהן
  • square square = \scriptstyle {\color{blue}{x^4=x\sdot x^3=2\sdot8=16}}
\scriptstyle {\color{blue}{x^4=x^2\sdot x^2=4\sdot4=16}}
 כי אם תכה השרש במעוקב יהיו י"ו

וזה כאלו הכית המרובע שהוא ד' בעצמו
ותקרא המדרגה הזאת ממון ממון

the exponent of a square square = the exponent of a square + the exponent of a square = 2 + 2 = 4
 כי מוסד הממון ב' ולממון השני ב' יהיו ד‫'
for species of compound degree: each square indicates 2 in the exponent and each cube indicates 3 in the exponent
 וזהו מה שאמר המחבר ומה שאמר זה שלשה לכל מעוקב ושנים לממון ר"ל המורכבים תראה כמו ממונות בהרכבה ותתן לכל ממון ב' ותראה כמה מעוקבים ותתן לכל מעוקב ג‫'
  • square cube = \scriptstyle {\color{blue}{x^5=x^2\sdot x^3=4\sdot8=32}}
 ולכן אם תכה המרובע שהוא ד' במעוקב שהוא שמנה יהיה היוצא ל"ב ויקרא ממון מעוקב
the exponent of a square cube = the exponent of a square + the exponent of a cube = 2 + 3 = 5
 תתן לממון ב' ולמעוקב ג' יהיה הסימן ה‫'
  • cube cube = \scriptstyle {\color{blue}{x^6=x^3\sdot x^3=8^2=64}}
 ואם תכה המעוקב שהוא ח' בעצמו יהיו ס"ד ויקרא מעוקב מעוקב
the exponent of a cube cube = the exponent of a cube + the exponent of a cube = 3 + 3 = 6
 תתן לכל מעוקב ג' יהיה הסימן המוסד ו‫'
? והנך רואה כי לא תשמש בכל המוסדים כי אם א'ב'ג' בלבד יותר [...] אלה עם אלה זהו שאמרנו שהם מוסד מעוקב כמו כן אם תרצה ממון ממון ממון
the rule is based on the classification of four types of numbers: והכלל בזה הוא כי המספרים בזה הם על ד' פנים
  • number divisible by 2 but not by 3
 יש מספר יחלק בשנים ולא יחלק בג‫'
such as: 4; 8; 10
 כמו ארבעה ושמנה ועשרה והדומים להם
exponent which is of this type of number indicates a repetitive combination of [squares \scriptstyle x^2]
כאשר ימצאו אלה סימן למוסדם היה ההשנות בהרכבה
4 the exponent of a square square \scriptstyle x^4=x^2\sdot x^2
 הד' ממון ממון
8 the exponent of a square square square square \scriptstyle x^8=x^2\sdot x^2\sdot x^2\sdot x^2
 והח' ממון ממון ממון ממון וכן כלם
  • number divisible by 3 but not by 2: [\scriptstyle3\sdot\left(2n-1\right)]
 ויש מספר יחלק על ג' ולא יחלק על שנים
such as: 9; 15; 21
 כמו ט' וט"ו וכ"א והדומים להם
exponent which is of this type of number indicates a repetitive combination of cubes \scriptstyle x^3
 וכאשר ימצאו אלה סימן למוסד יהיה ההשנות בהרכבה במעוקבים
9 the exponent of a cube cube cube
\scriptstyle x^9=x^3\sdot x^3\sdot x^3
 ויהיו הט' מעוקב מעוקב מעוקב וכן כלם
  • number divisible by 2 and by 3: [\scriptstyle2n\sdot3m]
 ויש מספר יחלק על ב' ועל ג‫'
such as: 6; 12; 18
 כמו ו' וי"ב וי"ח והדומים להם
exponent which is of this type of number indicates a repetitive combination of squares as well as a repetitive combination of cubes
 וכאשר ימצאו אלה לסימן המוסד יהיה ההשנות כפי מה שתרצה הן בממונות הן במעוקבים
square square square [= cube cube]
 כמו שאמרנו כי אם תרצה תאמר ממון ממון ממון
  • number that is a sum of twos and threes: [\scriptstyle2n+3m]
 ויש מספר שיחלק קצתו לב' וקצתו לג‫'
such as: 5; 7; 11
 כמו ה' וז' וי"א והדומים להם
5 the exponent of a square cube or a cube square
\scriptstyle x^5=x^3\sdot x^2=x^2\sdot x^3
 וכשימצאו אלה לסימן המוסד תאמר בה' ממון מעוקב או מעוקב ממון
7 the exponent of a square square cube or a cube square square
\scriptstyle x^7=x^2\sdot x^2\sdot x^3=x^3\sdot x^2\sdot x^2
 ובז' תאמר ממון ממון מעוקב או מעוקב ממון ממון
11 the exponent of a cube cube cube square or a square square square square cube
\scriptstyle x^11=x^3\sdot x^3\sdot x^3\sdot x^2=x^2\sdot x^2\sdot x^2\sdot x^2\sdot x^3
 ובי"א אם תתחיל בג' מעוקב מעוקב מעוקב ממון ובז' תאמר ממון ממון מעוקב או מעוקב ממון ממון

ואם תתחיל ב' תאמר ממון ממון ממון ממון מעוקב

as for the algebraic species whose exponents are 7 and 13 - when they are called by name - it is not recommended to start with a cube [whose exponent is 3], since then 1 remains, which is the exponent of the root, and the roots themselves are being used in the combination [of squares and cubes].
therefore one should start with a square [whose exponent is 2], and then 3 will remain, which indicates a cube.
אמנם בז' וי"ג אין ראוי לך שתתחיל במעוקב כי יהיה הנשאר בהם א' שהוא מוסד השרש והשרשים הם משתמשים בהם בהרכבה ולכן תתחיל בהם בב' וישארו ג' שהוא מעוקב
והקש על זה ובזה תדע המוסד והשם
Example: 25 square squares \scriptstyle25x^4
how to write \scriptstyle25x^4: writing 25 and above them 4
 שאם רצית לכתוב ד"מ כ"ה ממוני ממונות הנה תכתוב הכ"ה ועליהם ד‫'
how to name \scriptstyle25x^4 when it is written: the name of the 25 is "squares squares"
 וכן אם מצאת אותם כתובים תדע כי הכ"ה שמם ממוני ממונות וכן כלם
Exponent of a product
(exponent of multiplicand) + (exponent of multiplier) = exponent of the product
\scriptstyle x^n\times x^m=x^{n+m}
 אמר וכאשר תכה אלה המינים קבץ מוסד המוכה ומוסד אשר בו תכה יהיה חבור המוסדים מוסד ליוצא
the sign of the roots is the Hebrew letter ש [Shin], the sign of the squares is the letter מ [Mem], and the sign of the cubes is the letter ע [ʼayin] - they indicate these species
פי' דע כי מה שנזכר למעלה שסימן השרשים ש' וסימן הממונות מ' והמעוקבים ע' הוא להכיר אותם בלבד
but the multiplication and the division described in the chapters above are by the way of integers, while in the present chapter these operations are not by the way of integers
כי ההכאה והחלוק וכל שאר העניינים היו שם כשלמי' אמנם ההכאה פה והחלוק אינו ע"ד השלמים
since the multiplication here is not simply a multiplication of a number by a number as it was above, but it is a multiplication of a degree by itself of by another degree
 כי אינו הכאת מספר במספר בלבד כאשר שם רק הכאת כל מדרגה בעצמה או בזולתה
so, the exponent is introduced here to indicate the result of multiplication and division
 ולכן המוסד פה כדי לדעת היוצא בהכאה והיוצא בחלוק
when an algebraic species is multiplied by itself or by another - the exponent indicates the result of multiplication
 לכן אמר כי מן המוסד תדע כשתכה מין מן המינים בעצמם או בזולתם מהו היוצא בהכאה
  • root × root = square: the exponent is 2
\scriptstyle x^1\times x^1=x^{1+1}=x^2
 וזה שאם תכה דבר בדבר הנה מוסד המוכה א' וכן מוסד אשר תכה בו והוא א' וכשתקבץ המוסדים יהיו ב' והם מוסד הממון
the product = square
 ולכן תדע כי הכאת דבר בדבר היוצא מן ההכאה ממון
  • root × square = cube: the exponent is 3
\scriptstyle x^1\times x^2=x^{1+2}=x^3
 ואם תכה דבר שמוסדו א' בממון שמוסדו ב' יהיה המחובר מן המוסדים ג' שהוא מוסד מעוקב והוא היוצא מן ההכאה
  • root × cube = square square: the exponent is 4
\scriptstyle x^1\times x^3=x^{1+3}=x^4
 ואם תכה דבר שמוסדו א' במעוקב שמוסדו ג' יהיו ד' וזה מוסד ממון ממון
  • square × square = square square: the exponent is 4
\scriptstyle x^2\times x^2=x^{2+2}=x^4
 וכן אם הכית ממון שמוסדו ב' בממון שמוסדו ב' יהיה המקובץ מן המוסדים ד' והוא מוסד ממון ממון ג"כ
the product = square square
 ולכן תדע כי היוצא מהכאת ממון בממון הוא ממון ממון
  • square × cube = square cube: the exponent is 5
\scriptstyle x^2\times x^3=x^{2+3}=x^5
 ואם הכית ממון שמוסדו ב' במעוקב שמוסדו ג' יהיו המוסדים ה' והם מוסד ממון מעוקב
the name of the product is of the species of a cube
 ולכן תדע כי שם היוצא מן ההכאה ממין מעוקב
  • cube × cube = cube cube: the exponent is 6
\scriptstyle x^3\times x^3=x^{3+3}=x^6
 ואם הכית מעוקב שמוסדו ג' במעוקב שמוסדו ג' ג"כ יהיו במוסד' ו‫'
the name of the product = cube cube or square square square
 ולכן תדע כי שם היוצא מן ההכאה מעוקב מעוקב או אמור ממון ממון ממון וכן כל הדומה לזה
the product of a number by an algebraic species is of that same species אמ' וכאשר תכה מספר באחד מאלה המינין היוצא אותו המין בעצמו
multiplication of roots, squares, and cubes, that have exponents, by numbers, that do not have an exponent
 פי' אחר שזכר הכאת השרשים והמרובעים והמעוקבים שיש להם מוסדים זכר עתה הכאתם כלם עם המספרים אשר אין הם מוסד
number does not have an exponent
 כי המספר אין לו מוסד כמו שנזכר
for each of these algebraic species - the name of the species of its product by a number stays the same
 ואמר כי כל אחד מאלה שתכה אותו עם מספר יהיה שם היוצא הוא בעינו
  • roots × number = roots
 אם הכית דברים במספר יהיה היוצא דברים
  • squares × number = squares
 ואם הכית ממונות במספר היוצא ממון
  • cubes × number = cubes
 וכן אם הכית מעוקבים במספר היוצא מעוקבים
example:
  • \scriptstyle9\times2x^2
 והמשל ט' זוזים בשני ממונות
\scriptstyle{\color{blue}{9\times2x^2=18x^2}}
 היוצא י"ח והם ממונות
  • \scriptstyle9\times2x
 ואם הכית אותם בשני דברים
\scriptstyle{\color{blue}{9\times2x=18x}}
 היוצא י"ח דברים
  • \scriptstyle9\times2x^3
 ואם הכית אותם בשני מעוקבים
\scriptstyle{\color{blue}{9\times2x^3=18x^3}}
 היוצא י"ח מעוקבים
וכן כל הדומה לזה
when there is no number in the equation - such as \scriptstyle ax^4=bx^2, or \scriptstyle ax^3=bx - the equation is reduced by subtracting the lowest exponent from each of the exponents אמ' וכאשר תשוה בין ממוני ממונות לממונות ומעוקבים לדברים או הדומה לזה ולא יהיה עמך מספר גרע פחות המוסדים ממוסד כל אחד מהם והנשאר הוא השבת השאלה השוה קצתה עם קצת לפי מה שהיה ההשואה
the three simple and the three compound types of canonical equations involve only squares, roots, and numbers, but not squares squares, cubes, and other degrees
 פי' בעבור כי ההשואה הנזכר בתחלת זה המאמ' בשלשה מינים הנפרדים ושלשה המורכבים אין בהם ממוני ממונות ומעוקבים ולא שאר המדרגות כי ממנות ושרשים ומספרים
therefore, a method is given now for reducing equations that involve cubes, squares squares, squares, and roots, to one of the six types of canonical equations
 נתן עתה הדרך כשיבאו בשאלה מן השאלות מעוקבים וממוני ממונות וממונות ודברים ישוו קצתם לקצת איך תו[שב] השאלה עד הששה הנזכרים בתחלה
the condition of this method is that the equation does not include a number, since the instruction is to subtract the lowest exponent from all the exponents of the equation, but a number does not have an exponent
 ואמרו ולא יהיה עמך מספר ר"ל כי תנאו הוא בזה המעשה שלא תהיה בשאלה מספר כי הוא מצוה לגרוע פחות המוסדים מכל ההשואה והמספר אין לו מוסד
in general, when there is a number in an equation that involves these [higher] degrees - it is impossible to reduce the equation to [the canonical types], and it is not solvable by restoration and reduction
 ובכלל כשתהיה בהשואה עם המדרגות האלה מספר א"א להשיבה למעשים הנזכרים ולא תודע ע"י ההשלמה וההקבלה
Provided that there is no number in the equation, the procedure is to reduce it to one of the six types by subtracting the lowest exponent, then by restoration and reduction of what remains
 ואמנם כשתהיה ההשואה בלא מספר הנה המעשה בזה להשיבה אל אחד הששה פנים הוא שתסיר פחות כל המוסדים והנשאר תשיב אותו על דרך ההשלמה וההקבלה אל הפנים הששה
when the lowest exponent is subtracted from all the exponents it is required that no cube will remain in the equation and all the more so any higher degree
 ובכלל בזה המעשה צריך כי כשתסיר המוסד הפחות מכל המוסדים שלא ישאר בשאלה מעוקב וכ"ש שאר המדרגות העליונות
so that when the lowest exponent is subtracted from itself - a number remains instead - provided that there was no number in the [original] equation
 בעבור כי כשתסיר פחות המוסדים ממקומו ישאר מקומו מספר וכבר הותנא שלא תהיה בשאלה מספר
  • \scriptstyle x^4=4x^3+12x^2
 והמשל ממון ממונות ישוה ד' מעוקבים וי"ב ממונות
  • the exponent of the square squares = 4
כבר ידעת כי מוסד ממון ממונות הוא ד‫'
  • the exponent of the cubes = 3
ומוסד המעוקבים ג‫'
  • the exponent of the squares = 2
ומוסד הממונות ב‫'
2 - is the lowest exponent
 הנה הב' הוא הפחות המוסדים
12 squares are reduced to 12 zuzim [= numbers]
\scriptstyle{\color{blue}{12x^{2-2}=12}}
 וכשתגרענו מן הי"ב ממונות ישארו בלא מוסד ויהיו י"ב זוזים
4 cubes are reduced to 4 roots
\scriptstyle{\color{blue}{4x^{3-2}=4x}}
 וכן כשתגרע ב' ג"כ משלשה מוסד המעוקבים ישאר אחד והוא מוסד השרשים הנה ד' מעוקבים יהיו ד' שרשים
square square is reduced to a square
\scriptstyle{\color{blue}{x^{4-2}=x^2}}
 וכשתגרע ב' מן ד' שהוא מוסד ממון ממונות ישאר ב' והם מוסד הממון הנה ממון ממונות יהיו ממון
\scriptstyle x^2=4x+12
 והנה שבה השאלה ממון ישוה ד' שרשים וי"ב זוזים
which is the sixth of the six types of canonical equations and the third of the three compound types
 והוא הששי מן הששה פנים והוא השלישי מן המורכבים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+12}+\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{2^2+12}+2\\&\scriptstyle=\sqrt{4+12}+2\\&\scriptstyle=\sqrt{16}+2\\&\scriptstyle=4+2=6\\\end{align}}}
 וכשתעשה לפי הנזכר שם תקח חצי השרשים שהוא ב‫'

‫[תרבענו ויהיו ד‫'
תקבצם עם המספר יהיו י"ו
ותקח שרשם יהיה ד‫'
תקבצם עם חצי השרשים שהוא ב' יהיו ו' וזה‫][47] יהיו ו' וזה שרש הממון

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}
 והממון ל"ו
\scriptstyle{\color{blue}{x^4=1296=4x^3+12x^2}}
 ויהיה לפי זה ממון הממונות אלף רצ"ו ישוה ד' מעוקבים וי"ב ממונות
\scriptstyle{\color{blue}{x^3=x\sdot x^2=6\sdot36=216}}
 וכל מעוקב לפי זה רי"ו מהכאת הו' שהוא השרש בל"ו שהם הממון
\scriptstyle{\color{blue}{4x^3+12x^2=864+432=1296}}
 וד' מעוקבים יהיו תתס"ד וי"ב ממונות הם תל"ב יהיו כלם אלף רצ"ו והקש על זה
  • \scriptstyle x^2+x^3=12x
 משל שני ממון ומעוקב ישוו י"ב שרשים
1 - is the lowest exponent
 הנה הא' שהוא מוסד השרשים הוא פחות המוסדים
the cube is reduced to a square \scriptstyle{\color{blue}{x^{3-1}=x^2}}
 וכשתגרענו מכל מוסדי ההשואה ישוב המעוקב ממון
the square is reduced to a root \scriptstyle{\color{blue}{x^{2-1}=x}}
 והממון שרש
the roots are reduced to a number \scriptstyle{\color{blue}{12x^{1-1}=12}}
 והשרשים מספר
\scriptstyle x^2+x=12
 ותהיה השאלה ממון ושרשו י"ב ישוו זוזים
which is the first of the three compound types of canonical equations
 והוא הראשון משלשה פנים המורכבים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)^2+12}-\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+12}-\frac{1}{2}\\&\scriptstyle=\sqrt{\frac{1}{4}+12}-\frac{1}{2}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}=3\\\end{align}}}
 וכשתעשה לפי הנזכר שם תקח חצי מספר השרשים וזה חצי אחד

תרבענו יהיה רביע
תוסיף על מספר שהוא י"ב יהיה י"ב וחצי
תקח שרשם והוא ג' וחצי
תגרע מהם חצי מספר השרשים שהוא חצי ישארו שלשה והם השרש

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}
 והממון ט‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x=9+3=12}}
 הנה הממון שהוא ט' ושרש שהוא ג' הם ישוו הי"ב
\scriptstyle{\color{blue}{x^3=x\sdot x^2=3\sdot9=27}}
 ויהיה לפי זה המעוקב כ"ז מהם הג' שהוא השרש בט' שהוא הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x^3=36=12\sdot3=12x}}
 והמעוקב מקובצים הם ל"ו וכן הם י"ב שרשים כל שרש ג' הם ל"ו והקש על זה
the product of additives or subtractives one by the other = additive

the product of additive by subtractive = subtractive

אמ' והכאת הנוספים או החסרים האחד מהם באחר נוסף והכאת הנוסף בחסר חסר
the complete species [= monomial] is a degree by itself - such as a square, a root, a number
 פי' כבר ידעת כי השלם הוא המדרגה לבדה כמו ממון או דבר או מספר
monomial × monomial = monomial
 וכבר נזכר כשתכה שלם עם שלם היוצא שלם
  • square × square = square squares
 כי הכאת ממון בממון היוצא ממון ממונות
  • square × root = cube
 והכאת ממון בשרש היוצא מעוקב וכן כלם
the additive consists of two complete species [= monomial] or more - such as (square + root) to (square +number)
 והנוסף המורכב משני שלמים או יותר כמו ממון ושרש אל ממון ומספר וכדומה לזה
compound degree × compound degree = additive ואמר המחבר כי כשתכה מדרגה מורכבת עם מדרגה מורכבת
  • (square + number) × (square + root)
\scriptstyle\left(x^2+a\right)\times\left(x^2+x\right)
 כאלו תאמר תכה ממון ומספר בממון ושרש
the result is additive: square squares + cube + square + root
 שהיוצא ג"כ נוסף כי היוצא מזה ממון ממונות והמעוקב והממון ושרש
the procedure: multiplying each part of the compound [species] by each part of the other, then summing the products
 והמעשה בזה שתכה כל אחד מחלקי המורכב בכל אחד מחלקי השני ותקבץ על היוצא
square × square = square square
\scriptstyle x^2\times x^2=x^4
 והנה במשל הנזכר תכה ממון עם ממון יהיה ממון ממונות
square × root = cube
\scriptstyle x^2\times x=x^3
 תכה ממון עם שרש יהיה מעוקב
number × square = square
\scriptstyle a\times x^2=ax^2
 תכה מספר בממון יהיה ממון
[number] × root = root
\scriptstyle {\color{red}{a}}\times x=ax
 תכה ממון בשרש יהיה שרש
summing the products
square squares + cube + square + root
 ותקבץ הכל יהיה היוצא ממון ממונות ומעוקב וממון ושרש
if the [interim] product of some parts by some parts is similar to another [interim product] - they are summed together
 ואם יהיה היוצא מהכאת החלקים בחלקים מה שידמה לאחר תקבצם
  • (square + cube) × (square + cube)
\scriptstyle\left(x^2+x^3\right)\times\left(x^2+x^3\right)
 והמשל בזה תכה ממון ומעוקב בממון ומעוקב
square × square = square square
\scriptstyle x^2\times x^2=x^4
 וכשתכה ממון עם ממון יהיה ממון ממונות
square × cube = square cube
\scriptstyle x^2\times x^3=x^5
 וכשתכה ממון במעוקב היוצא ממון מעוקב
square × cube = square cube
\scriptstyle x^2\times x^3=x^5
 ועוד תכה ג"כ ממון במעוקב יהיה ממון ומעוקב ג"כ
cube × cube = cube cube = square square square
\scriptstyle x^3\times x^3=x^2\sdot x^2\sdot x^2=x^6
 ותכה מעוקב במעוקב יהיה מעוקב מעוקב או ממון ממון ממון
summing the similar interim products
\scriptstyle{\color{blue}{x^5+x^5=2x^5}}
 והוא ביוצא יש דומה ממון מעוקב לממון מעוקב לכן תקבצם ותאמר שני ממוני מעוקבים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2+x^3\right)\times\left(x^2+x^3\right)=x^4+x^6+2x^5}}
= square square + square square square + 2 square cube
 ויהיה היוצא ממון ממון ממון ממון ממון וב' ממוני מעוקבים
all these products consist of compound degrees
 וכן כל היוצא באלה ההכאות הם מדרגות נוספות ר"ל מורכבות
[1)] additive × additive = additive
 זהו אמרו והכאת הנוספים אחד מהם באחר נוסף ר"ל היוצא יהיה ג"כ נוסף
the subtractives are opposite of the additives
 והחסרים כבר ידעת שהם הנזורים והם הפך הנוספים
for example:
a square minus a root
a root minus a number
 כי תאמר ד"מ ממון פחות שרש או שרש פחות זוז וכן כל הדומה לזה
[2)] subtractive × subtractive = additive
 וכשתכה זה עם זה אמר המחבר כי היוצא מן ההכאה יהיה ג"כ נוסף
  • \scriptstyle\left(x-10\right)\times\left(x-10\right)
 והמשל דבר פחות עשרה זוזים בדבר פחות עשרה זוזים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-10\right)\times\left(x-10\right)=x^2+100-{\color{red}{2}}0x}}
 יהיה היוצא ממון ומאה זוז פחות עשרה דברים
the result is additive
 והנה זה היוצא נוסף
\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}
 והמעשה בזה שתכה דבר בדבר יהיה ממון
\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}
 ותכה י' זוזים בי' זוזים יהיו ק‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-10\right)=-10x}}
 ותכה דבר בפחות עשרה זוזים יהיו עשרה דברים חסרים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-10\right)\times\left(x-10\right)=x^2+100-20x}}
 ג"כ תקבץ הכל יהיו ממון וק' זוזים פחות עשרים דברים
example: \scriptstyle{\color{blue}{x=30}}
 ואתן לך משל תבין זה הניח שהדבר ההוא מספר ל‫'
\scriptstyle{\color{blue}{30\times30=900}}
 וכשתכה ל' בל' יהיו תת"ק
\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}
 וכשתכה עשרה בעשרה יהיו מאה
\scriptstyle{\color{blue}{900+100=1000}}
 הנה הכל אלף
\scriptstyle{\color{blue}{30\times\left(-10\right)=-300}}
 תכה הל' בפחות י' יהיו ש' פחותים
\scriptstyle{\color{blue}{30\times\left(-10\right)=-300}}
 וכן הל' בי' יהיו ש' פחותים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(30-10\right)\times\left(30-10\right)=1000-600=400}}
 תקבץ יהיו ת"ר פחותים מאלף ישארו ת‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\left(30-10\right)\times\left(30-10\right)=20\times20=400}}
 וכן יהיה הדבר שוה אם תקח הדבר שהוא ל' בהנחה ותחסר מהם הי' שהם פחות ישארו כ‫'

וכן בצד השני ישארו כ‫'
וכשתכה עשרים בעשרי' יהיו ת‫'

this practice should be understood and kept, as it is a common practice for [solving] equations - i.e. multiplying the additive by the additive, and the subtractive by the subtractive
 והבן זה ושמרהו כי נוהג הרבה בשאלות ר"ל להכות הנוסף עם הנוסף והחסר עם החסר
3) additive × subtractive = subtractive
 והחלק השלישי והוא הכאת הנוסף בחסר אמר כי היוצא הוא חסר
  • \scriptstyle\left(x-10\right)\times\left(x+10\right)
 והמשל דבר פחות י' זוזים בדבר וי' זוזים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-10\right)\times\left(x+10\right)=x^2-100}}
 היוצא ממון פחות ק' זוזים
the result is subtractive
 והדבר היוצא חסר
\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}
 והמעשה בזה שתכה דבר בדבר יהיה ממון
\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-10\right)=-10x}}
 ודבר בעשרה זוזים פחותים יהיו עשרה דברים חסרים
\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}
 ותכה דבר בעשרה זוזים הנוספים יהיו עשרה דברים נוספים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(-10\right)\times10=-100}}
 תכה עשרה זוזים פחותים בעשרה הנוספים יהיו ק' זוזים חסרים
\scriptstyle{\color{blue}{10x-10x}}
 תסיר עשרה דברים הנוספים כנגד החסרים העשרה
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-10\right)\times\left(x+10\right)=x^2-100}}
 יהיה הנשאר ממון פחות ק' זוזים והקש על זה
  • monomial × monomial = monomial
 וכן כשתכה שלם עם שלם יהיה שלם
  • monomial × additive = additive
 ושלם עם נוסף נוסף
  • monomial × subtractive = subtractive
 ושלם עם החסר חסר
example: \scriptstyle{\color{blue}{x=30}}
 וכשתניח שדבר שלשים
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=900}}
 יהיה הממון תת"ק
\scriptstyle{\color{blue}{30^2-100=900-100=800}}
 ותסיר מהם הק' החסרים ישארו ת"ת
\scriptstyle{\color{blue}{\left(30-10\right)\times\left(30+10\right)=20\times40=800}}
 וכן אם תסיר הי' מן הל' ישארו כ‫'

ותוסיף הי' עם הל' יהיו מ‫'
תכה מ' במ' יהיו ת"ת

the monomial is additive
the subtracted is subtractive
 והנכון בפירוש דברי החכם המחבר כמו שאמרתי בתחלת הספר כי הוא יקרא השלם נוסף והנזורות חסר
additive × additive = additive
 ואמרו הכאת הנוספים בנוספים נוסף זה מבואר
subtractive × subtractive = additive
since their multiplication is from the aspect of their being monomials
 וכן הכאת החסר בחסר יהיה ג"כ נוסף כי הכאתם מצד היותם שלמים
monomial × subtractive = subtractive:
 והכאת השלם בחסר נראה גם שהיוצא חסר
  • \scriptstyle\left(x-10\right)\times\left(x-10\right)
 והמשל בזה מה שהמשלתי דבר פחות י' זוזים בדבר פחות י' זוזים
additive × additive = additive: \scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}
 תכה דבר בדבר וזו היא הכאת הנוסף בנוסף יהיה ממון שהוא ג"כ נוסף
subtractive × subtractive = additive:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(-10\right)\times\left(-10\right)=10\times10=100}}
 ותכה עשרה זוזים בי' זוזים וזו היא הכאת חסר בחסר כי הזוזים הם חסרים אבל בהכאתם עתה הם כשלמים הנוספי' והיוצא ק' זוזים נוספים
additive × subtractive = subtractive:
\scriptstyle{\color{blue}{\left[x\times\left(-10\right)\right]+\left[x\times\left(-10\right)\right]=-20x}}
 א"כ תכה הדבר בי' זוזים הפחותים והדבר השני בי' זוזים הפחותים יהיו עשרים דברים חסרי‫'

וזו היא הכאת נוסף בחסר והיוצא חסר

\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-10\right)\times\left(x-10\right)=x^2+100-{\color{red}{2}}0x}}
 א"כ תקבץ ההכאות ותאמר ממון וק' זוזים פחות עשרה דברים
the rule:
when multiplying minus this by minus that, the particle of subtraction should not be considered in the result \scriptstyle\left(-a\right)\times\left(-b\right)=a\times b
 והכלל בכל זה כי בכל מקום שתכה פחות כך בפחות כך תחשוב כאלו מלת הנזורות שהיא פחות איננה שם והיוצא מהם תקיימנו
when an additive is multiplied by a subtractive the result is a subtractive
וכשתכה נוסף בחסר היוצא יהיה חסר
this is true, as seen in the example
 כמו שראית במשל כל זה הוא הנכון בפי' דברי המחבר
ואמנם הפירוש הראשון ואע"פ שאינו נאות לדברי המחבר כל מה שנזכר ובמשליו למוד ממנו ועשה
Multiplication of degrees by degrees [= polynomial by polynomial] ומנהג כשנרצה להכות מדרגות במדרגות
  • the [coefficients of both polynomials] are written in two rows, one beneath the other
 לכתוב באותם בב' שטות זו תחת זו
  • the exponents of the polynomial in the first row are written above [from the highest on the right to the lowest on the left]
 ומוסדי השטה העליונה למעלה
  • the exponents of the polynomial in the second row are written below
 ומוסדי התחתונה למטה
  • \scriptstyle\left(3x^3+7x^2+10x\right)\times\left(9x^3+6x^2+5x\right)
 והמשל רצית להכות ג' מעוקבים ושבעה ממונות ועשרה דברים בט' מעוקבים וששה ממונות וה' דברים
[first table: the multiplied polynomials]
 כתבנום כזו הצורה
1 2 3
10 7 3
5 6 9
1 2 3
א ב ג
י ז ג
ה ו ט
א ב ג
[second table: the result of the multiplication of the two polynomials]
 א"כ עשינו למטה שלש שטות
  • middle row: all [possible] exponents [which can be obtained from the multiplication of the polynomials] - from the highest [on the right] to the lowest [on the left]
 האמצעית לכתוב בה המוסדים על סדר ר"ל שנתחיל בגדול ונשלים בקטון
  • bottom row: the coefficients obtained from the multiplication of the additives
 ובשטה התחתונה נכתוב היוצא מהכאת הנוספים
  • upper row: the coefficients obtained from the multiplication of the subtractives
 ובעליונה היוצא מהכאת החסרים
each coefficient is written in the column corresponding to its exponent in the resulting product
[the above instructions do not exactly match the following table, since there are no subtractives in the multiplied polynomials]
 כל אחת תחת המוסד הראוי לו או למעלה כזו הצורה
0 1 2 3 4 5 6
   
50
 
 
35
60
 
15
42
90
18
63
 
27
 
 
    50 95 147 88[48] 27
0 א ב ג ד ה ו
   
נ
 
 
לה
ס
 
טו
מב
צ
יח
סג
 
כז
 
 
    נ צה קמז פח כז
[on the right]: the highest possible exponent of the product is 6
 והתחלנו במוסדים בו' כי הוא הגדול בהכאה הזאת
[on the left end]: the lowest possible exponent of the product is 0, which is the exponent of a number in the product
 ובסוף עשינו סיפרא כי כן ראוי כשיש מספר בהכאה
  • \scriptstyle{\color{blue}{3x^3\times9x^3}}
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot9=27}}
 א"כ תכה ג' בט' היוצא כ"ז
their exponent: \scriptstyle{\color{blue}{3+3=6}}
 וקבצנו מוסדיהם שהם ו' לכן כתבנו הכ"ז תחת הו‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{3x^3\times6x^2}}
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot6=18}}
 א"כ הכינו ג' בו' הם י"ח
their exponent: 5
 ומוסדיהם ה' לכן כתבנום תחת הה‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{3x^3\times5x}}
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}
 אח"כ הכינו ג' בה' הם טו‫'
their exponent: 4
 ומוסדיהם ד' לכן כתבנום תחת ד‫'
these are the three interim products of \scriptstyle{\color{blue}{3x^3}}
 ונשלמו הכאות ג‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{7x^2\times9x^3}}
\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot9=63}}
 נשוב אל הז' נכה אותה בט' יהיו ס'ג
their exponent: \scriptstyle{\color{blue}{2+3=5}}
 ומוסדיהם מקובצים ה' לכן כתבנום תחת הה‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{7x^2\times6x^2}}
\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot6=42}}
 א"כ הכינו ז' בו' היו מ"ב
their exponent: \scriptstyle{\color{blue}{2+2=4}}
 ומוסדיהם מקובצים ד' ולכן כתבנום תחת הד‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{7x^2\times5x}}
\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot5=35}}
 א"כ הכינו ז' בה' היו ל"ה
their exponent: 3
 ומוסדיהם ג' כתבנום תחת הג‫'
these are the interim products of \scriptstyle{\color{blue}{7x^2}}
 ונשלמה הכאת הז‫'
the interim products of \scriptstyle{\color{blue}{10x}}:
 נשוב אל הי‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{10x\times9x^3}}
\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot9=90}}
 נכה אותה בט' היו צ‫'
their exponent: 4
 ומוסדיהם ד' ולכן כתבנו הצ' תחת
  • \scriptstyle{\color{blue}{10x\times6x^2}}
\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot6=60}}
 א"כ הכינו י' בו' היו ס‫'
their exponent: 3
 ומוסדיהם ג' כתבנו הס' תחת הג‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{10x\times5x}}
\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot5=50}}
 א"כ הכינו י' בה' היו נ‫'
their exponent: 2
 ומוסדיהם ב' כתבנו הנ' תחת הב‫'
summing the similar species [of the interim products]
 א"כ קבצנו כל מין עם מינו
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3x^3+7x^2+10x\right)\times\left(9x^3+6x^2+5x\right)}}
\scriptstyle{\color{blue}{=27x^{\color{red}{6}}+81x^5+147x^4+95x^3+50x^2}}
 והיה היוצא כ"ז ממוני ממונות ופ"א ממוני מעוקבים וקמ"ז ממונות ממונות וצ"ה מעוקבים ונ' ממונות כתבנו אותם כל מין תחת מינו
  • \scriptstyle\left(2x^2-3x\right)\times\left(3x^3-4x^2\right)
 משל אחר רצית להכות ב' ממונות פחות ג' דברים בג' מעוקבים פחות ד' ממונות
בזו הצורה
1   2
 
3 minus 2
4 minus 3
 
2   3
א   ב
 
ג פחות ב
ד פחות ג
 
ב   ג
  • \scriptstyle{\color{blue}{2x^2\times3x^3}}
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}
 הכינו ב' בג' והם נוסף בנוסף או אמור שלם בשלם היו ו‫'
their exponent: 5
 וקבוץ מוסדיהם ה' לכן כתבנום [‫תחת הה‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{2x^2\times\left(-4x^2\right)}}
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(-4\right)=-8}}
 א"כ הכינו ב' בפחות ד' היו ח‫'
their exponent: 4
 הד' חסרים לכן כתבנום למעלה‫][49] למעלה מן הד' כי קבוץ מוסדיהם ד‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(-3x\right)\times3x^3}}
\scriptstyle{\color{blue}{\left(-3\right)\sdot3=-9}}
 א"כ הכינו פחות ג' בג' היו ט' חסרים
their exponent: 4
 ומוסדיהם ד' לכן כתבנום על הד' ג"כ
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(-3x\right)\times\left(-4x^2\right)}}
\scriptstyle{\color{blue}{\left(-3\right)\sdot\left(-4\right)=12}}
 א"כ הכינו פחות ג' בפחות ד' כאלו לא היתה שם מלת הנזורות והיו י"ב
their exponent: 3
 ומוסדיהם ג' לכן כתבנום תחת הג‫'
summing the similar species [of the interim products]
 א"כ קבצנו כל מין עם מינו
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2x^2-3x\right)\times\left(3x^3-4x^2\right)=6x^5-17x^4+12x^3}}
 והיה היוצא ו' ממונות מעוקבים פחות י"ז ממוני ממונות וי"ב מעוקבים נוספים כתבנום מתחת כל מין למינהו
 
9
8
 
3 4 5
12   6
12 minus17 6
 
ט
ח
 
ג ד ה
יב   ו
יב פחו‫' יז ו
  • \scriptstyle\left(5x^3+3x^2\right)\times\left(4x^2-2x\right)
 משל אחר רצית להכות ה' מעוקבים וג' ממונות פחות י"ו בד' ממונות פחות ב' שרשים
כתבנום בזו הצורה
2   3
 
3   5
2 minus 4
 
1   2
ב   ג
 
ג   ה
ב פחו‫' ד
 
א   ב
  • \scriptstyle{\color{blue}{5x^3\times4x^2}}
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot4=20}}
 הכינו ה' בד' היו כ‫'
their exponent: 5
 ומוסדיהם ה' לכן כתבנום למעלה מן הד‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{3x^2\times\left(-2x\right)}}
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(-2\right)=-6}}
 א"כ הכינו ג' בפחות ב' היו ו' חסרים
their exponent: 3
 ומוסדיהם ג' לכן כתבנום למעלה מן הג‫'
summing the similar species [of the interim products]
 אח"כ קבצנו המינים
  • \scriptstyle x^5: 20 square cubes
 ומצאנו תחת הה' כ' כתבנום למטה והם עשרים ממוני מעוקבים
  • \scriptstyle x^4: 12 - 10 = 2 square squares
 ותחת הד' מצאנו י"ב ולמעלה י' חסרים לכן גרענו כנגדם מן הי"ב הנוספים ונשארו ב' נוספים כתבנום למטה והם ממוני ממונות
  • \scriptstyle x^3: -6 cubes
 ועל הג' מצאנו ו' הם חסרים לכן כתבנו למטה פחות ו' והם מעוקבים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(5x^3+3x^2\right)\times\left(4x^2-2x\right)=20x^5+2x^4-6x^3}}
 נמצא היוצא כ' ממוני מעוקבים וב' ממוני ממונות פחות ו' מעוקבים
6 10  
3 4 5
  12 [50]4
6[51] minus[52] 20
ו י  
ג ד ה
  יב ד
ו פחות כ
general rule: when there are [coefficients] numbers written above and below, i.e. subtractives and additives - the smaller is subtracted from the larger, and the remainder is written on the bottom row וכן תעשה תמיד כשנמצא כתוב למעלה ולמטה שהם חסרים ונוספי' תגרע המעט מן הרב ותכתוב למטה הנשאר
  • if the remainder is additive - it is written as is
 אם נוספים כתוב אותם סתם
  • if the remainder is subtractive - it is written with the particle of subtraction [minus]
 ואם הם חסרים כתוב אותם עם מלת הנזורות

Chapter Five: Division of algebraic expressions

 השער הה' בחלוק
when a species is divided by a lower species:
exponent of the result of division = (exponent of the dividend) - (exponent of the divisor)
\scriptstyle \frac{x^n}{x^m}=x^{n-m}
[for \scriptstyle n>m]
 אמר כאשר תחלק מין מאלה המינין על השפל ממנו גרע ממוסד המחולק מוסד הנחלק עליו והנשאר הוא מוסד היוצא מן החלוק
the lowest species that has an exponent is the root [\scriptstyle x]; then the square [\scriptstyle x^2]; the cube [\scriptstyle x^3]; and so on
 פי' כבר ידעת כי השפל שבמינים שיש להם מוסד הוא השרש ואחריו עליון מרובע הוא הממון ואחריו המעוקב וכן כלם
division of integers - two types:
 וידעת בחלוק השלמים כי החלוק על שני פנים
1) simple division: division of a large number by a smaller number
 חלוק מספר גדול על מספר קטן או אמור מספר עליון על מספר שלם וזה יקרא חלוק בסתם
2) denomination: division of a small number by a larger number
 והשני חלוק מספר קטן על מספר גדול ויקרא קריאת שם
the second type is not used in the present section
 וזה השני אינו נוהג בשערים האלה
based on the condition prescribed by the author according to which the exponent of the result of division is obtained by subtracting the exponent of the divisor from the exponent of the dividend
 וזה יודע מהתנאי שהתנא המחבר פה בידיעת היוצא מן החלוק שתגרע ממוסד המחולק מוסד הנחלק עליו
since this requires that the exponent of the divisor will be smaller than the exponent of the dividend
 כי זה יחייב שיהיה מוסד הנחלק עליו קטן ממוסד המחולק
the author also states later that a lower species should not be divided by a higher species
 וכן יאמר המחבר לפנים שלא יחלק השפל מן המינים על העליון
the division of algebraic species [= of their coefficients] is as the division of integers, i.e. a number by a number, except that the dividend must be larger and the divisor smaller
 ואמרו כאשר תחלק ר"ל שתחלק בחלוק השלמים ר"ל מספר על מספר אלא שיהיה המחולק עליון והנחלק עליו שפל
  • \scriptstyle10x^2\div5x
 והמשל רצית לחלק עשרה ממונות על ה' שרשים
[the coefficients]: \scriptstyle{\color{blue}{10\div5=2}} as integers
 תחלק עשרה על ה' כמו בשלמים יהיה היוצא בחלוק ב‫'
[their exponents]: \scriptstyle{\color{blue}{x^{2-1}=x}}
 ולדעת מה הם אלה הב' גרע ממוסד המחולק שהוא ממונות והמוסד ב' מוסד הנחלק שהוא שרשים והמוסד א' ישאר א' והוא מוסד השרשים
\scriptstyle{\color{blue}{10x^2\div5x=2x}}
 הנה הב' שיצאו בחלוק הם ב' שרשים
Check: multiplication

dividend = result of division × divisor

ואם תרצה בחינת זה כבר ידעת כי מבחינות החלוק שתכה היוצא בנחלק יצא המחולק
\scriptstyle{\color{blue}{2x\times5x=10x^2}}
 וכן בזה המשל הכה היוצא שהוא ב' שרשים בה' שרשים שהוא הנחלק עליו יהיה עשרה ומוסדיהם ב' הנה הם עשרה שרשים כמו המחולק
  • \scriptstyle10x^3\div5x^2
 וכן הדין אלו היה עשרה מעוקבים על ה' ממונות
[the coefficients]: \scriptstyle{\color{blue}{10\div5=2}}
 כי היוצא מן החלוק ב‫'
[their exponents]: \scriptstyle{\color{blue}{x^{3-2}=x}}
 וכשתגרע מוסד הממונות ממוסד המעוקבים שהוא ג' ישאר א' והוא מוסד השרשים
\scriptstyle{\color{blue}{10x^3\div5x^2=2x}}
 הנה השנים שיצאו בחלוק ב' שרשים
Check:
[the coefficients]: \scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}
 ואם תכה אותם בה' ממונות שהיה הנחלק עליו יהיו עשרה
[their exponents]: \scriptstyle{\color{blue}{x^{1+2}=x^3}}
 ומוסד השרשים א' ומוסד הממונות ב' הנה מוסד העשרה ג' והוא מוסד המעוקבים
\scriptstyle{\color{blue}{2x\times5x^2=10x^3}}
 לכן העשרה הם מעוקבים והם המחולק
  • cubes ÷ roots = square[s]
 ואם היה המשל מעוקבים על שרשי' היה היוצא בחלוק ממון
[their exponents]: \scriptstyle\frac{x^3}{x}=x^{3-1}=x^2
כי מוסד השרשים א' ומוסד המעוקבים ג' וכשתגרע אחד מג' ישארו ב' והם מוסד הממונו' והקש על זה
species ÷ same species = number אמ' וכאשר תחלק מין מהם על מין כמוהו היוצא מספר
  • roots ÷ roots
 פי' כשתחלק שרשים על שרשים
(exponent of dividend) - (exponent of divisor) = no remainder
 ותגרע מוסד הנחלק עליו ממוסד המחולק לא ישאר כלום
the result of this type of division is a number, that has no exponent
 ולכן היוצא בחלוק הוא מספר שאין לו מוסד
  • \scriptstyle10x\div5x
 והמשל עשרה שרשים על חמשה שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{10x\div5x=2}}
 היוצא בחלוק שנים והם זוזים
[their exponents]: \scriptstyle\frac{x}{x}=x^{1-1}=x^{\rm{no\; remainder}}
 כי שרש הנחלק עליו א' וכן שרש המחולק א' וכשתגרע א' מא' לא ישאר כלום
the same for square by square \scriptstyle\frac{x^2}{x^2}, cube by cube \scriptstyle\frac{x^3}{x^3}, and so on
 וכן ממון עם ממון ומעוקב על מעוקב וכן כלם
species ÷ number = same species אמ' וכאשר תחלק אחד מאלה המינין על המספר היוצא אותו המין בעינו
the number has no exponent, therefore, when any algebraic species is divided by a number, the divisor, which is the number has no exponent to be subtracted from the exponent of the dividend, so [the exponent of the result of the division] remains the exponent of the dividend
[exponent of the result = (exponent of the dividend) - nothing]
 פי' בעבור כי המספר אין לו מוסד כשתחלק עליו שום מין מאלו אין לנחלק עליו שהוא המספר מוסד שתגרענו ממוסד המחולק לכן ישאר מוסד המחולק במקומו
  • \scriptstyle12x^3\div4
 והמשל י"ב מעוקבים על ד' זוזים
\scriptstyle{\color{blue}{12x^3\div4=3x^3}}
 היוצא ג' מעוקבים
  • \scriptstyle15x\div3
 וכן ט"ו שרשים על ג' זוזים
\scriptstyle{\color{blue}{15x\div3=5x}}
 היוצא ה' שרשים וכן כלם
if there are subtractives in the dividend, each of the subtrahends and the minuend should be divided by the divisor, then the quotients of the subtrahends are subtracted from the quotient of the minuend and what remains is the result of division אמ' ואם היה במחולק נזורות חלק כל א' הנזור ואשר ממנו הנזורות על הנחלק עליו וגרע היוצא מאשר ממנו הנזורות ומה שיהיה הוא היוצא מן החלוק
the author states that an algebraic species cannot be divided by a species that consists of subtractives [= the divisor cannot consist of subtractives]
 פירו' המחבר יזכר בסמוך כי לא יתחלק שום מין על מין שיש בו נזורות
yet, the dividend can be divided even if it is subtractive
 אבל המחולק אע"פ שיהיה נזור יתחלק
the method is to divide the subtrahend and the minuend separately by the divisor, then subtract the quotient of the first from the quotient of the second, and the remainder is what is sought
 ונתן הדרך בזה שתחלק הנזור לבדו על הנחלק וכן אשר ממנו הנזורות וא"כ תגרע היוצא מן הראשון מן היוצא מן השני והנשאר הוא המבוקש
  • \scriptstyle\left(4x^2-6x\right)\div2x
 המשל בזה רצית לחלק ד' ממונות פחות ו' שרשים על שני שרשים
the subtractive: \scriptstyle{\color{blue}{6x\div2x=3}}
 וחלק הנזור שהם ו' שרשים על הנחלק שהם ב' שרשים יהיה היוצא ג' זוזים
the minuend: \scriptstyle{\color{blue}{4x^2\div2x=2x}}
 א"כ נחלק אשר ממנו הנזורות והוא ד' ממונות על הנחלק שהוא ב' שרשים והיה היוצא ב' שרשים
\scriptstyle{\color{blue}{2x-3}}
 ‫[גרע היוצא מן הראשון שהוא ג' זוזים מן היוצא מן השני שהוא ב' שרשי‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\left(4x^2-6x\right)\div2x=2x-3}}
 יהיה היוצא ב' שרשי' פחות ג' זוזים‫][53]
Check: multiplication
result of divison × divisor = dividend
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2x-3\right)\times2x=4x^2-{\color{red}{6}}x}}
 פחות ג' זוזים שהוא היוצא מן החילוק בנחלק עליו שהוא ב' שרשים על הדרך שידעת בשער ההכאה יהיה היוצא ד' ממונות פחות ג' שורשים והוא המחולק והקש על זה
a lower species should not be divided by a higher species אמ' ולא יחלק השפל מן המינין על העליון
explained above
 פי' זה כבר נתבאר בתחלת זה השער
[an algebraic species] should not be divided by a subtractive אמ' ולא יחלק על הנזור ממנו
the divisor cannot be minuend
 פי' כי הנחלק עליו לא יהיה הנזור ממנו
the definition of division = disassembling the dividend into equal parts, the number of which is the same as the number of the units in the divisor
 והסבה בזה כי כבר ידעת כי גדר החלוק לפי מה שכתב המחבר בשער החלוק הוא התכת המחולק אל חלקים שוים יהיה מספרם כדמות מה שבנחלק עליו מן האחדים וכבר בארתי שם זה הגדר
it follows from this that the [number of] units of the divisor is known, while the algebraic species in the present section are indefinite
ויתחייב ממנו ידיעת אחדי הנחלק עליו וכל אלה המינין שבשערים האלה הם סתם
when the species is subtractive, it is unknown what remains from the minuend, in order to divide by this remainder
 וכשיהיה המין נזור אין אנו יודעים מה הנשאר בנזור ממנו כדי שנחלק על הנשאר ההוא
  • the dividend is \scriptstyle x^2-2x
 והמשל אם היה הנחלק ממון פחות שני שרשים
it is unknown how many roots are left of the square in order to divide by them
 הנה כשנסיר שני שרשים מן הממון ולא נדע כמה שרשים נשארו בממון כדי שנחלק עליו
the same for all species
 וכן בכל המינין וזה מבואר
אמ' ופה נשלם מה שרצינו והשבח לאל יתעלה ויתברך
פי' נתן שבח לשם יתעלה אשר עזרו להשלים כונתו
כי המשכילים המחברים ישמחו בהשלימם חבורם ויודו לשם ית' אשר חפץ בהם ועזרם להניח להם שם יקר במציאות
ואנחנו מהללים לאלהי ישראל המרומם על כל ברכה ותהלה[54] שעזרנו על באורו והוא יעזרנו ברחמיו על דבר כבוד שמו ויצילנו ויספר על חטאתינו למען שמו[55] הגדול והנורא ית' ויתעלה אמן

Additional Segment
אמר המפרש ראיתי לכתוב בכאן שאלות מצאתים לאחד מחכמי ישמעאל הולכות על ששה מיני ההשלמה והם אלו
1) We divided ten into two parts.
We multiplied one part by itself.
We multiplied the one part by the second [part].
The product of the one part by itself is the same as four times the product of the one part by the second [part].
How much is the part of ten?
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=4\sdot\left(a\sdot b\right)\\\end{cases}
 הראשנה עשרה חלקנו אותם לשני חלקים

והכינו החלק האחד בעצמו
עוד הכינו החלק האחד בשני
והיה היוצא מהכאת החלק האחד בעצמו כשיעור היוצא מהכאת החלק האחד בשני ד' פעמים
כמה הוא המחולק מי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}
 המעשה בזה שתשים החלק האחד דבר
\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}
 וישאר החלק השני עשרה פחות דבר
\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}
 תכה הדבר שהוא החלק האחד בעצמו יהיה היוצא ממון
\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}
 עוד תכה הדבר שהוא החלק האחד בעשרה פחות דבר שהוא החלק השני יהיה היוצא עשרה דברים פחות ממון
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(10x-x^2\right)=40x-4x^2}}
 תכה אותם בד' כי כן אמר בשאלה שהכאת החלק בעצמו יהיה שוה לזה ד' פעמים
\scriptstyle{\color{blue}{40x-4x^2=x^2}}
 יהיה היוצא מ' דברים פחות ד' ממונות ישוו ממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x^2}}
 תשלים ותקביל תשלים המ' דברים כשתוסיף הד' ממונות על הממון
\scriptstyle{\color{blue}{5x^2=40x}}
 יהיו לך ה' ממונות ישוו מ' דברים
Normalization: \scriptstyle{\color{blue}{5x^2=40x\quad/\div5}}
 תחזיר אותם לממון כמו שידעת כשתחלק הכל על ה‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=8x}}
 יצא בחלוק ממון ישוה ח' דברים
the first of the six types of canonical equations
 וזהו המין הראשון מששה מיני ההשלמה
\scriptstyle{\color{blue}{a=x=\frac{8}{1}=8}}
 תעשה כמו שתכתוב שם שתחלק מספר השרשים על מספר הממונות יהיה היוצא ח' והוא שרש הממון

והוא הדבר אשר הכית בעצמו שהוא החלק האחד מן העשרה ששאל

\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=2}}
 ולכן החלק השני הוא ב‫'
Check:
\scriptstyle{\color{blue}{8^2=64}}
 וכשתכה ח' בעצמו יהיו ס"ד
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(8\sdot2\right)=4\sdot16=64}}
 וכשתכה ב' בח' יהיו י"ו וס"ד הוא ד' פעמים י"ו כמו ששאל
2) We divided ten into two parts.
We multiplied ten by itself.
We multiplied one of the parts by itself also.
The first product, which is the product of ten by itself, is the same as sixteen times the product of one of the part by itself.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle 10^2=16\sdot a^2\\\end{cases}
 השנית עשרה חלקנום לשני חלקים

והכינו עשרה בעצמם
והכינו אחד החלקים בעצמו ג"כ
והיה היוצא מן ההכאה הראשונה שהיא הכאת העשרה בעצמם כשיעור הכאת אחד החלקים בעצמו ששה עשר פעמים

\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}
 המעשה בזה תשים החלק האחד דבר
\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}
 וישאר החלק השני עשרה פחות דבר
\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}
 תכה העשרה בעצמם יהיו מאה
\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}
 ותכה הדבר שהוא אחד מן החלקים בעצמו ג"כ יהיה ממון
\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot x^2}}
 תכה הממון י"ו פעמים
\scriptstyle{\color{blue}{16x^2=100}}
 יהיו י"ו ממונות ישוו המאה
the second of the six types of canonical equations
 וזה המין השני מן ההשלמה
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{100}{16}=6+\frac{1}{4}}}
 תעשה כמו שידעת שם שתחלק המאה על מספר הממונות יהיה היוצא ששה ורביע והוא הממון
\scriptstyle{\color{blue}{a=x=2+\frac{1}{2}}}
 ושרשו ב' וחצי והוא החלק האחד מן העשרה
\scriptstyle{\color{blue}{b=7+\frac{1}{2}}}
 והחלק השני שבעה וחצי
Check:
\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)^2=16\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)=100}}
 וכשתכה ב' וחצי בעצמם יהיו ששה ורביע וכשתכה ו' ורביע י"ו פעמים יהיו מאה והוא המבוקש
3) We divided ten into two parts.
We divided one [part] by the other [part] and the result of division is 4.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=4\\\end{cases}
 השלישית עשרה חלקנום לשני חלקים

וחלקנו האחד על השני
יצא בחלוקה ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}
 המעשה בזה שתשים החלק האחד
\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}
 והשני עשרה פחות דבר
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=4}}
 חלק עשרה פחות דבר על הדבר ותניח שהחילוק היוצא ממנו ד' כמו שאמר בשאלה
\scriptstyle{\color{blue}{4x=10-x}}
 וכשתכה אלה הד' שיצאו בחלוק בדבר שעליו חלקת יהיה היוצא ד' דברים והם במקום העשרה פחות דבר כלומר ישוו אותם
restoring: \scriptstyle{\color{blue}{4x+x}}
 השלם והקבל כשתשלים העשרה ותוסיף הדבר עם הד' דברים
\scriptstyle{\color{blue}{5x=10}}
 יהיה לפי זה ה' דברים ישוו עשרה
the third of the six types of canonical equations
 וזהו המין השלישי מן הששה מיני ההשלמה
\scriptstyle{\color{blue}{a=x=\frac{10}{5}=2}}
 תעשה כמו שידעת שם שתחלק העשרה על הה' דברים יצא בחלוק ב' והוא הדבר שהוא החלק האחד
\scriptstyle{\color{blue}{b=8}}
 והחלק השני לפי זה ח‫'
Check: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{2}=4}}
 וכשתחלק ח' על שנים היוצא ד' והוא המבוקש
4) We divided ten into two parts.
We multiplied one part by itself, we multiplied the other part by the nine, and the [products] are equal.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=9b\\\end{cases}
 הרביעית עשרה חלקנום לשני חלקים

והכינו החלק האחד בעצמו והשני הכינוהו בתשעה והם שוים

\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}
 והמעשה בזה שתניח החלק האחד דבר
\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}
 וישאר החלק השני עשרה פחות דבר
\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}
 תכה הדבר בעצמו יהיה הממון
\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot\left(10-x\right)=90-9x}}
 ותכה העשרה פחות דבר בט' יהיו תשעים פחות ט' דברים
restoring: \scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x}}
 תשלים ותקביל בשתשלים העשרה ותוסיף ט' דברים עם הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x=90}}
 יצא לך ממון וט' דברים ישוו תשעי' זוז
the fourth of the six types of canonical equations
 וזהו המין הרביעי מששה מיני ההשלמה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2+90}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)^2+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{1}{2}\right)-\left(4+\frac{1}{2}\right)=6\\\end{align}}}
 תעשה כמו שידעת שם [ש]תקח חצי מספר הדברים והוא ד' וחצי

תרבעם יהיו עשרים ורביע
תחברם עם הצ' זוז יהיה ק"י ורביע
תקח שרשם והוא י' וחצי
תגרע מהם חצי מספר השרשים שהוא ד' וחצי ישאר ו' והוא החלק האחד מן העשרה

\scriptstyle{\color{blue}{b=4}}
 והשני ד‫'
Check: \scriptstyle{\color{blue}{6^2=36=9\sdot{\color{red}{4}}}}
 וכשתכה ששה בעצמם יהיו ל"ו וכן ט' פעמים הם ל"ו והוא המבוקש
5) We divided ten into two parts.
We multiplied one part by the other [part] and [the product] was 21.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=21\\\end{cases}
 החמישית עשרה חלקנום לשני חלקים והכינו אחד מהם בשני והיה כ"א
\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}
 המעשה בזה שתשים החלק האחד דבר
\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}
 וישאר החלק השני עשרה פחות דבר
\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)}}
 תכה דבר בעשרה פחות דבר
\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2=21}}
 היוצא עשרה דברים פחות ממון ישוו כ"א
restoring: \scriptstyle{\color{blue}{21+x^2}}
 תשלים ותקביל כשתשלים עשרה שרשי' ותוסיף הממון עם הכ"א
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21=10x}}
 יצא לך ממון וכ"א ישוו עשרה שרשים
the fifth of the six types of canonical equations
 וזהו המין החמשי מששה מיני ההשלמה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x_1&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5+\sqrt{5^2-21}\\&\scriptstyle=5+\sqrt{25-21}\\&\scriptstyle=5+\sqrt{4}\\&\scriptstyle=5+2=7\\\end{align}}}
 תעשה כמו שידעת שם שתקח חצי מספר הדברים וזה ה‫'

ותרבעם יהיו כ"ה
תגרע מהם הכ"א ישארו ד‫'
תקח שרשם וזה ב‫'
תוסיף אותם על חצי מספר השרשים שהוא חמשה יהיו ז' והוא החלק האחד

\scriptstyle{\color{blue}{b=x_2=5-2=3}}
 או גרע הב' מחצי מספר השרשים ישארו ג' והוא החלק השני והוא המבוקש
6) \scriptstyle4\sdot\left(x^2+8\right)=\left(x^2\right)^2
 הששית ממון הוספת עליו ח' זוזים והכית המקובץ בארבעה והיה היוצא הכאת הממון בעצמו
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}
 המעשה בזה שתשים הממון שזכר כאלו הוא דבר
\scriptstyle{\color{blue}{y+8}}
 תקבץ אליו הח' יהיו דבר וח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(y+8\right)=4y+32}}
 תכה זה בארבעה כמו שהתנה יהיו ד' דברים ול"ב זוזים
\scriptstyle{\color{blue}{y\sdot y=y^2}}
 והכה הדבר בעצמו יהיה ממון
\scriptstyle4y+32=y^2
 יהיו לך ד' דברים ול"ב זוזים ישוו ממון
the sixth of the six types of canonical equations
 וזהו המין הו' מששה מיני ההשלמה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{x^2}=y&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{2^2+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{4+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{36}\\&\scriptstyle=2+6=8\\\end{align}}}
 תעשה כמו שידעת שם תקח חצי מספר השרשים והוא ב‫'

תרבעם יהיו ד‫'
תחברם עם הל"ב יהיו ל"ו
תקח שרשם והוא ו‫'
תוסיף אותם על חצי מספר השרשים שהוא ב' יהיו ח' והוא שרש הממון

Check:
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(8+8\right)=4\sdot16=64}}
 וכשתקבץ עמו הח' יהיו י"ו תכה י"ו בד' יהיו ס"ד
\scriptstyle{\color{blue}{8^2=64}}
 וכן אם תכה שרש הממון שהוא ח' בעצמו יהיו ס"ד והוא המבוקש
והקש על זה כל בכל ממיני ההשלמה ושבח לאדון הכל ית' וית' אמן
פרק
אמר המפרש ג"כ ראיתי לכתוב בפרק זה מחובר מדברי פקחיהם בחכמה זו לראותי כי הוא הכרחי ומועיל בכל מיני ההשלמה
In the previous section it was stated that one should not divide by a subtractive and that a small species should not be divided by a larger species. כבר ידעת מה שנזכר בחלוק בהשלמה כי לא יחלק על נזור וכמו כן שלא יחלק מין שפל על מין עליון
Yet there are problems that require division of a smaller by a larger, or division by a subtractive. וידוע כי כבר יבואו בשאלות מקומות ישאל לחלק השפל על עליון וכמו כן לחלק על נזור
When this is required in the problem, it should be carried out by using the following rule:
  • Rule (1): \scriptstyle\frac{a}{b}\sdot b=a
 ולכן כשיונח כזה בשאלה יש לך לקרות זה מן הכלל הידוע כי כשתכה היוצא מן החלוק במחולק עליו יצא בהכאה המחולק
the given result of division should be multiplied by the divisor, and the product should be equal to the dividend
 ולכן תכה אתה מה שהניח שיצא מן החלוק בנחלק עליו ומה שיצא מן ההכאה הוא ישווה למחולק
  • problem no. 3 above: divide one part of ten by the other and the result is 4
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=4\\\end{cases}
 והמשל שנזכר בשאלה השלישית שאמר כי כשתחלק החלק האחד מן העשרה על השני יהיה היוצא בחלוקה ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}
 כי כשהנחנו החלק האחד דבר
\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}
 והשני עשרה פחות דבר
[\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}}}] this is a division by a subtractive
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}}} this is a division of a smaller by a larger
 כי זה חלוק על נזור כי העשרה פחות דבר על דבר הוא חלוק שפל על עליון
the result of division is given in the problem as 4
 והוא הניח בשאלה שהיוצא בחלוק ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=4}}
 ולכן תעשה כמו שנזכר שם שתניח שהמחולק עשרה פחות דבר והנחלק עליו עליו הוא הדבר ויהיה היוצא ד‫'
given result × divisor = dividend
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot x=10-x}}
 תכה אלה הד' בדבר שהוא הנחלק עליו צריך שיצא המחולק והיוצא אמר אמר שהוא ד' דברים והם ישוו עשרה פחות דבר
restoring: \scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{5}}x=10}}
 וכשתשלים ותקביל יצא לך עשרה ישוו דברים
\scriptstyle{\color{blue}{a=x=2}}
 ויצא לך כשתשלי' העניין שנים שהם החלק האחד מן העשרה
\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=8}}
 והאחר הוא ח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}}} this is a division by a subtractive
 אם שמת הדבר הוא המחולק על עשרה פחות דבר היה חלוק על נזור ולא יחלק
the result of division is given in the problem as 4
 אמנם הוא הניח שהיוצא מן החלוקה הוא ד‫'
given result × divisor = dividend
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(10-x\right)=40-4x}}
\scriptstyle{\color{blue}{40-4x=x}}
 ולכן תכה הד' בעשרה פחות דבר שהוא הנחלק עליו יהיה היוצא מ' פחות ד' דברים והם ישוו הדבר המחולק
restoring: \scriptstyle{\color{blue}{40=5x}}
 וכשתשלים ותקביל יהיו מ' ישוו ה' דברים
\scriptstyle{\color{blue}{b=x=8}}
 וכשתשלים הענין יצא לך ח' והוא החלק האחד מן עשרה
\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x=2}}
 והאחר שנים
apply it in similar problems והקש על זה בכל הדומה לזה בשאלות
there are problems that cannot be solved by this rule, therefore another rule is needed ולפעמים יבואו מקומות בשאלות כאלה ולא תוכל להוציאם בזה הכלל ולכן אתה צריך לדעת כלל אחר
  • We divided ten into two [parts].
We divided each one of them by the other.
We summed the two quotients and the sum is two and one sixth
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2+\frac{1}{6}\\\end{cases}
 והמשל בזה אם ישאל עשרה חלקנום על שנים

וחלקנו כל אחד מהם על האחר
וקבצנו היוצא משני החלוקים והיה המקובץ ב' ושתות

\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}
 והנה אם תשים החלק האחד דבר
\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}
 והשני עשרה פחות דבר
dividing one by the other is impossible:
 אין דרך לחלק זה על זה
[\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}}}] division of a smaller by a larger
 כי האחד הוא חלוק שפל על עליון
[\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}}}] division by a subtractive
 והשני הוא חלוק על נזור כמו שנזכר
the problem cannot be solved by the rule mentioned above, since the given result is the sum of the two divisions
 ואין דרך לדעת זה על ידי הכלל הנזכר בעבור שהמונח בשאלה היה היוצא משני החלוקים מקובצים
the result of each division is unknown, therefore it cannot be multiplied by the divisor in order that the result would be the dividend
 ולא נדע מה שיצא מכל חלוק כדי שנכה אותו בנחלק עליו ויצא המחולק
another rule is needed:
 ולכן בזה צריך כלל אחר
  • Rule (2): \scriptstyle a^2+b^2=\left(a\sdot b\right)\sdot\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)
 והוא כי כל שם מספרים שתחלק האחד באחר ר"ל כי זה בזה ותקבץ היוצא מן שני החלוקים ותשמרנו

וא"כ תכה כל אחד מן המספרים ההם בעצמו ותקבץ היוצא יהיה זה השו היוצא שוה אל הכאת אחד המספרים באחר והיוצא בשמור

Example: \scriptstyle{\color{blue}{a=6\quad b=4}}
 והמשל לזה הכלל ד' וששה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=\frac{6}{4}=1+\frac{1}{2}}}
 חלקנו הששה על הארבעה יצא בחלוק אחד וחצי
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}=\frac{4}{6}}}
 חלקנו הד' על הששה היה היוצא ד' שתותי‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\frac{4}{6}=2+\frac{1}{6}}}
 תקבצם עם האחד וחצי יהיו ב' ושתות והוא היוצא מן החלוקים תשמרנו
\scriptstyle{\color{blue}{a^2+b^2=6^2+4^2=36+16=52}}
 ותכה ד' בעצמם יהיו י"ו וששה בעצמם יהיו ל"ו קבצת י"ו ול"ו יהיו נ"ב
\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot b=6\sdot4=24}}
 וכן כשתכה ד' בששה יהיה זה כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\left(a\sdot b\right)\sdot\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=24\sdot\left(2+\frac{1}{6}\right)=52}}
 הכה אותו בב' ושתות השמורים יהיו נ"ב וזה שוה אל המקובץ משני ההכאות כי הוא ג"כ נ"ב
returning to the above problem:
 ואחר שידעת זה הכלל תשוב אל השאלה שהניח
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}+\frac{10-x}{x}=2+\frac{1}{6}}}
 ואמר כי כשחלק החלק האחד מן העשרה שהוא דבר בחלק השני שהוא עשרה פחות דבר ועוד חלק העשרה פחות דבר על הדבר וקבץ היוצא משני החלוקים היה היוצא ב' ושתות
applying the rule:
 ותעשה כמו שנזכר בכלל על ידי ההכאה
\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}
 ותכה הדבר בעצמו יהיה ממון
\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)^2=100-20x+x^2}}
 ותכה העשרה פחות דבר בעצמם יהיה היוצא ק' פחות כ' דבר וממון
\scriptstyle{\color{blue}{100-20x+x^2+x^2=100-20x+2x^2}}
 תקבצם עם הממון שיצא מהכאת הדבר בעצמו יהיה זה ק' פחות כ' דבר ושני ממונות
\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot x=10x-x^2}}
 א"כ תכה העשרה פחות דבר בדבר יצא לך עשרה הדברים פחות ממון
\scriptstyle{\color{blue}{\left(10x-x^2\right)\sdot\left(2+\frac{1}{6}\right)}}
 תכה זה בשנים ושתות כמו שזכר שהוא היוצא משני החלוקים יהיה היוצא משני החלוקים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(21+\frac{2}{3}\right)x-\left(2+\frac{1}{6}\right)x^2=100-20x+2x^2}}
 יצא בהכאה כ"א דבר ושני שלישי דבר פחות ב' ממונות ושתות ממון ישוו הק' פחות כ' דבר וב' ממונות
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+24=10x}}
 וכשתשלים ותקביל יצא לך ממון וכ"ד זוזים ישוו עשרה דברי‫'
restoring: \scriptstyle{\color{blue}{\left(21+\frac{2}{3}\right)x-\left(2+\frac{1}{6}\right)x^2+20x=\left(41+\frac{2}{3}\right)x-\left(2+\frac{1}{6}\right)x^2}}
 וכן תעשה תשלים הק' וב' ממונות ותוסיף העשרים דברים החסרים בצד השני עם כ"א הדברים ושני שלישי דבר יהיו מ"א דברים ושני שלישי דבר פחות שני ממונות ושתות ממון
restoring: \scriptstyle{\color{blue}{100+2x^2+\left(2+\frac{1}{6}\right)x^2=100+\left(4+\frac{1}{6}\right)x^2}}
 תשלימם ותוסיף הב' ממונות ושתות ממון בצד השני יהיה הצד השני ק' זוזים וד' ממונות ושתות ממון
\scriptstyle{\color{blue}{\left(41+\frac{2}{3}\right)x}}
 והצד האחר מ"א דברים ושני שלישי דבר
Normalization:
 וכשתוריד הכל לממון אחד כמו שצריך
\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{6}\right)x^2=\frac{25}{6}x^2}}
 תעשה כן ידוע כי ד' ממונות ושתות עם כ"ה שתותים
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{6}{25}\sdot\left(4+\frac{1}{6}\right)x^2}}
 ולכן הממון האחד הוא ו' מכ"ה
taking 6 for every 25: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{25}\sdot100=24}}
 תקח מן המאה זוזים מכל כ"ה ו' יהיו כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{25}\sdot\left(4+\frac{1}{6}\right)x^2=x^2}}
 ומן הד' ממונות ושתות ממון תקח הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+24}}
 יהיה הצד הזה ממון וכ"ד זוזים
taking 6 for every 25: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{25}\sdot\left(41+\frac{2}{3}\right)x=\frac{6}{25}\sdot\frac{12{\color{red}{5}}}{3}x=\frac{30}{3}x=10x}}
 והמ"א דברים וב' שלישי דבר הם קכ"א שלישים

תקח מכל כ"ה שלישים ששה שלישים יהיו ל' שלישים והם עשרה דברים

\scriptstyle{\color{blue}{10x=x^2+24}}
 נמצאו עשרה דברים ישוו ממון וכ"ד זוזים
the sixth of the six types of canonical equations
 וזה המין מששה מיני ההשלמה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-24}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-24}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-24}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{1}\\&\scriptstyle=5-1=4\\\end{align}}}
 תעשה כמו שכתוב שם כשתקח חצי השרשים שהוא ה‫'

תרבענו יהיו כ"ה
תגרע מזה המספר הזוזים שהוא כ"ד ישארו א‫'
תקח שרשו והוא ג"כ א‫'
תגרע אותו ממספר חצי השרשים שהוא ה' הנשאר ארבעה והוא החלק האחד מעשרה

\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=6}}
 והשני ששה
or:
\scriptstyle{\color{blue}{a=x=5+1=6}}
 וכן אם התוספת האחד על מספר חצי השרשי' היו ו' והוא החלק מן העשרה
\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}
 והשני ד‫'
Additional rule:
 ועוד כלל אחר
  • Rule (3): \scriptstyle a^2-b^2=\left(a\sdot b\right)\sdot\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)
 והוא כי כל שני מספרים שתחלק כל אחד מהם על האחר ותגרע המעט מהרב ותשמרנו

הנה הכאת כל אחד בעצמו וגרעון המעט מן הרב מן ההכאות יהיה שוה להכאת אחד מהם באחר ואל היוצא מן ההכאה מוכה בשמור שיצא מן החלוק

Example: \scriptstyle{\color{blue}{a=20\quad b=10}}
 והמשל לכלל מספר עשרה ומספר עשרים
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=\frac{20}{10}=2}}
 תחלק עשרים על עשרה היוצא ב‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}}}
 ותחלק עשרה על עשרים היוצא חצי
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=2-\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}}}
 גרע החצי שהוא המעט מן הב' שהם הרב ישאר אחד וחצי תשמור זה
\scriptstyle{\color{blue}{a^2-b^2=20^2-10^2=400-100=300}}
 אחר כן תכה העשרה בעצמם יהיו ק' והעשרים בעצמם יהיו ת' וכשתגרע המאה מן הת' ישארו ש‫'
\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot b=20\sdot10=200}}
 וכן אם תכה העשרה בעשרים יהיו מאתים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(a\sdot b\right)\sdot\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)=200\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=300}}
 ותכה המאתים בשמור אצלך והוא אחד וחצי יהיה היוצא ש' שוה למה שיצא תחלה
This rule is needed in the following problem:
 וזה הכלל צריך בשאלה זו והיא
  • We divided ten into two parts.
We divided each one of them by the other.
We subtracted the smaller [quotient] from the larger and three and three quarters remain.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=3+\frac{3}{4}\\\end{cases}
 עשרה חלקנום לשני חלקים

וחלקנו כל אחד מהם על השני וגרענו המעט מן הרב ונשארו ג' ושלשה רביעים

\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}
 הנה נשים החלק האחד דבר
\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}
 והשני עשרה פחות דבר
There is no way to divide one part by the other
 וכבר ידעת כי אין דרך לחלק האחד על האחר
The result of division of each is unknown - [so the first rule cannot be applied]
 גם היוצא מהחלוק כל אחד מהם אינך יודע עד שתדע המחולק בכלל הראשון
The sum of the divisions is unknown - [so the second rule cannot be applied]
 גם המקובץ מן החלוקים אינך יודע עד שתדע הענין בכלל השני
Therefore [the problem] should be solved by applying the third rule:
 ולכן צריך שתוציא זה בזה הכלל השלישי וכן תעשה
\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}
 הדבר בעצמו יהיה ממון
\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)^2=100-20x+x^2}}
 תכה העשרה פחות דבר בעצמם יהיו ק' פחות כ' דבר וממון
\scriptstyle{\color{blue}{\left(100-20x+x^2\right)-x^2=100-20x}}
 תגרע הממון שהוא המעט מק' פחות כ' דבר וממון שהוא הרב ישאר ק' פחות כ' דברים
\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10{\color{red}{x}}-x^2}}
 א"כ תכה הדבר בעשרה פחות דבר יהיה היוצא עשרה פחות ממון
\scriptstyle{\color{blue}{\left(10x-x^2\right)\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)}}
 תכה זה היוצא בג' ושלשה רביעים שאמר בשאלה שנשארו מן החלוקים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(37+\frac{1}{2}\right)x-\left(3+\frac{3}{4}\right)x^2=100-20x}}
 יהיה היוצא ל"ז דברים וחצי דבר פחות ג' ממונות וג' רביע ממון ואלה ישוו ק' פחות כ' דבר
\scriptstyle{\color{blue}{\left(57+\frac{1}{2}\right)x=100+\left(3+\frac{3}{4}\right)x^2}}
 וכשתשלים ותקביל יצא לך נ"ז דברים וחצי דבר ישוו מאה ושלשה ממונות וג' רביעי ממון
restoring: \scriptstyle{\color{blue}{\left(37+\frac{1}{2}\right)x+20x=\left(57+\frac{1}{2}\right)x}}
 וכן תעשה תשלים המאה ותוסיף העשרים דברים על הל"ז וחצי יהיו נ"ז וחצי
restoring: \scriptstyle{\color{blue}{100+\left(3+\frac{{\color{red}{3}}}{4}\right)x^2}}
 עוד תשלים הנ"ז וחצי ותוסיף ג' ממונות ורביעי ממון עם הק‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\left(57+\frac{1}{2}\right)x=100+\left(3+\frac{3}{4}\right)x^2}}
 יהיו נ"ז וחצי ישוו ק' וג' ממונות וג' רביעי ממון
Normalization: taking 4 for every 15
 כמו שנזכר תוריד השאלה אל ממון כשתקח מכל ט"ו ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\left(26+\frac{2}{3}\right)+x^2=\left({\color{red}{15}}+\frac{1}{3}\right)}}
 ישארו לך כ"ו זוזי' ושני שלישי זוז וממון ישוו ט' דברים ושליש
the fifth of the six types of canonical equations
 וזהו המין החמשי מן הששה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(15+\frac{1}{3}\right)\right]-\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(15+\frac{1}{3}\right)\right]^2-\left(26+\frac{2}{3}\right)}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{2}{3}\right)-\sqrt{\left(7+\frac{2}{3}\right)^2-\left(26+\frac{2}{3}\right)}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{2}{3}\right)-\sqrt{\left[58+\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\right)\right]-\left(26+\frac{2}{3}\right)}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{2}{3}\right)-\sqrt{32+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\right)}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{2}{3}\right)-\left(5+\frac{2}{3}\right)=8\\\end{align}}}
 תעשה כמו שידעת שם כשתקח חצי השרשים והוא ז' וב' שרשים

תרבעם יהיו נ"ח וב' שלישים ושליש שליש
תגרע מהם כ"ו זוזים וב' שלישים ישארו ל"ב ושליש שליש
תקח שרשם והוא ה' ושני שלישים
תגרעם מן הז' ושני שלישים שהם חצי השרשים ישארו ב' והוא החלק האחד מן העשרה

\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=8}}
 והחלק השני ח' והוא המבוקש
The three rules are sufficient for all the problems that require division of a smaller by a larger or division by a subtractive, if the result of division, or the sum of two divisions, or the result of subtraction of the one [quotient] from the other are given. ואלה השלשה כללים מספיקים בכל השאלות שיזכור בהן חלוקת שפל על עליון או חלוקה על נזור

ויזכור בשאלה היוצא מן החלוק או משני חלוקים מקובצים או האחד נגרע מהאחר כמו שנזכר

These rules should be kept in mind, since they are major principle in the problems that include a division לכן שמור אלה הכללים כי הם עקר גדול בכל ענייני השאלות שיזכר בהם חלוק והמה שראיתי לכתוב פה
ותהלה להשם ית' וית' אשר עזרנו ברחמיו אמן ואמן

Word Problems
  • Question: a man had money.
He bartered and earned so that [the money] was doubled and he donated two zuzim to the poor.
He earned again double of what remained and he donated three zuzim to the poor.
Then he earned once more double of what remained and he donated four zuzim to the poor and 50 zuzim remained in his hands.
How much was the money at the beginning?
 שאלה איש היה לו ממון נשא ונתן והרויח עד שנכפל ונתן לעניים שני זוזים

עוד הרויח כפל הנשאר ונתן לעניים ג' זוזים
עוד הרויח כפל הנשאר ונתן לעניים ד' זוזים ונשארו בידו נ' זוזים
כמה היה הממון בתחלה

the money = \scriptstyle{\color{blue}{x}}
 המעשה בזה שתניח הממון דבר
double the money = \scriptstyle{\color{blue}{2x}}
 ונכפל היו ב' דברים
after he gave two zuzim = \scriptstyle{\color{blue}{2x-2}}
 נתן שני זוזים נשארו ב' דברים פחות ב' זוזים
double of what remained = \scriptstyle{\color{blue}{4x-4}}
 נכפלנו היו ד' דברים פחות ד' זוזים
after he gave three zuzim = \scriptstyle{\color{blue}{4x-7}}
 נתן ג' זוזים נשארו ד' דברי' פחות ז' זוזים
double of what remained = \scriptstyle{\color{blue}{8x-14}}
 נכפלו היו ח' דברים פחות י"ד זוזים
after he gave four zuzim = \scriptstyle{\color{blue}{8x-18=50}}
 נתן ד' זוזים נשארו ח' דברים פחות י"ח זוזים ישוו נ' זוזים שזכר בשאלה שנשארו בידו
\scriptstyle{\color{blue}{8x=68}}
 וכשתשלים ותקביל בשתשלים הח' דברים ישוו ס"ח זוזים
the third of the six types of canonical equations
 תעשה כמו שידעת במין השלישי מן הששה
the money at the beginning:
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{68}{8}=8+\frac{1}{2}}}
 וזה שתחלק הס"ח זוזים על מספר השרשים יהיה היוצא ח' וחצי והוא היה הממון בתחלה
  • if no [money] was left at the end:
 ואם היה אומר בסוף לא נשאר כלום
\scriptstyle{\color{blue}{8x-18=0}}
 תעשה ככל מה שעשית ויצא באחרונה ח' דברים פחות י"ח זוזים ישוו לא כלום ר"ל שאין בצד השני כלום
restoring the \scriptstyle{\color{blue}{8x}}
 ולכן תשלים הח' דברים
\scriptstyle{\color{blue}{8x=18}}
 ותשים הי"ח זוזים ישוו שמנה דברים
the money at the beginning:
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{18}{8}=2+\frac{1}{4}}}
 תחלק בי"ח על ח' היוצא ב' ורביע והוא היה הממון תחלה
The same should be done in similar [cases]. וכן תעשה בכל הדומה
If there is a subtractive on one side and on the other side there is nothing, the subtractive should be restored and it should be added on the other side as a monomial. וזכור זה כי כשיהיה בצד האחד מן חסר ולא יהיה בשני כלום תשלים החסר ותשים החסרון בצד השני ישוה לשלם
  • Question: a man left his town walking 20 milin a day.
He walked for 5 days, then a messenger came after him running 30 milin a day.
In how many days will he catch up with him?
 שאלה איש יצא מעירו ללכת כ' מילין בכל יום

ואחר שהלך ה' ימים יצא אחריו רץ ל' מילין בכל יום
בכמה ישיג השני את הראשון

the walking days [of the second] = \scriptstyle{\color{blue}{x}}
 המעשה בזה שתשים ימי ההליכה דבר
the walking days of the first = \scriptstyle{\color{blue}{x+5}}
 וכן לראשון ובעבור שהלך ה' ימים הנה תשים דבר וה' מספרים
[the total number of milin that the first walked] = \scriptstyle{\color{red}{\left(x+5\right)\sdot20=20x+100}}
 תכה דבר בה' וה' מספרים במספר המילין שלו שהם עשרים ביום וק' מספרים
[the total number of milin that the second walked] = \scriptstyle{\color{blue}{x\sdot30=30x}}
 ותכה דבר אשר לשני במספר המילין אשר לו שהם ל' ביום ל' דברים
\scriptstyle{\color{blue}{30x=20x+100}}
 והם ישוו עשרים דברים ומאה מספרים
\scriptstyle{\color{blue}{30x-20x}}
 הקבל ביניהם כשתחסר הכ' דברים מן השלשים
\scriptstyle{\color{blue}{10x=100}}
 ישארו עשרה דברים ישוו מאה מספרים
the third of the six types of canonical equations
the second will catch up with the first in \scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{100}{10}=10}} days
 תחלק המאה על העשרה כמו שידעת במין השלישי מן הששה

יצא לך עשרה והם הימים אשר בהם ישיג השני את הראשון

  • Question: two men, between them one hundred milin in straight line.
They agreed to walk each towards the other on the same day, at the first hour of the day.
One will walk 9 milin a day, and the other will walk 5 milin a day.
In how many days will they meet?
 שאלה שני אנשים ביניהם מאה מילין בקו שוה ונתעסקו ביום אחד בשעה ראשנה מן היום ללכת כל אחד לקראת רעהו

האחד ילך בכל יום ט' מילין והשני ילך בכל יום ה' מילין
בכמה ימים יפגשו

the number of milin walked by the one who walks 5 milin a day =
\scriptstyle{\color{blue}{x}}
 המעשה בזה שתתן לאחד מהם דבר מן המאה מילין והנח שיהיה ההלך ה' מילין ביום אחד
the number of milin walked by the second = \scriptstyle{\color{blue}{100-x}}
 ישאר שילך השני מאה פחות דבר
\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot5=5x}}
 הנה הדבר בה' יהיו ה' דברים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(100-x\right)\sdot9=900-9x}}
 וככה הק' פחות דבר בט' יהיה תת"ק פחות ט' דברים
restoring: \scriptstyle{\color{blue}{5x+9x=14x}}
 תקביל ותשלים התת"ק ותוסיף הט' דברים עם הה' יהיו י"ד
\scriptstyle{\color{blue}{900=14x}}
 יהיו לך לפי זה תת"ק ישוו י"ד דברים
\scriptstyle{\color{blue}{5x+9x=14x}}
 ותוסיף הט' דברים עם הה' יהיו י"ד
\scriptstyle{\color{blue}{900=14x}}
 יהיו לך לפי זה תת"ק ישוו י"ד דברים
the first of the six types of canonical equations
 וזהו הראשון מששה מיני ההשלמה
the total number of milin that the walker of 9 milin a day should walk =
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{900}{14}=64+\frac{2}{7}}}
 תעשה ככתוב שם שתחלק תת"ק על י"ד יצא בחלוק ס"ד ושני שביעיות וזה מספר המילין שצריך ללכת ההולך ט' מילין ביום
the [total number of milin] left for second = \scriptstyle{\color{blue}{100-x=35+\frac{5}{7}}}
 ישאר לשני ל"ה מילין וה' שביעיות
for each:
number of walking days = (total number of milin walked) ÷ (number of milin a day)
 חלק איזה מהם שתרצה על מספר המילין שילך ביום והיוצא הוא מספר הימים וחלקי היום שילכו ויפגשו
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35+\frac{5}{7}}{5}=7+\frac{1}{7}}} days
 וזה שאם תחלק ל"ה וה' שביעיות על ה' יצא בחלוק ז' ימים ושביעית
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64+\frac{2}{7}}{9}=7+\frac{1}{7}}} days
 וכן תחלק ס"ד וב' שביעיות על ט' יצא בחלוק ג"כ ז' ימים ושביעית יום והוא המבוקש והקש על זה
  • Question: three [people], each has an unknown amount of money.
They bought a horse at an unknown price.
The first asked the two [others] for half of what they have, and with what he has it sums up to the price of the horse.
The second asked the [other] two for a third only.
The third asked for a quarter.
How much is the price of the horse and how much money does each of them have?
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)=n\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)=n\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)=n\\\end{cases}
 שאלה שלשה יש לכל אחד ממון בלתי ידוע

וקנו סוס בסכום בלתי ידוע
והראשון שאל לשנים חצי מה שיש להם ועם אשר לו יהיה סכום הסוס
והשני שאל לשנים השליש בלבד
והשלישי שאל לרביע
כמה הסכום של הסוס וכמה ממון כל אחד מהם

the solving procedure: והמעשה בזה
  • middle row:
each is given a thing [= x], marked by the first Hebrew letter א [Aleph]
 שתשים לכל אחד דבר וסימן הדבר א' ותשים על שלשתם קו וכן תחתיהם כזו הצורה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{3}}} \scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{2}}} x
x x x
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{3}x}} \scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{2}x}} 2x
א
ג
א
ב
א
א א א
א א
ג
א א
ב
ב
  • first row:
  • the first who asked for a half: had half the price of the horse, and lacked a half
 אחר כך הניח שהראשון ששאל החצי היה לו חצי סכום הסוס ויחסר לו החצי
\scriptstyle{\color{blue}{x}} [for what is missing]
 לכן שים עליו על הקו דבר כמו שהיה לו
  • the second who asked for a [third]: had two thirds of the price of the horse, and lacked a third
 והשני ששאל החצי הניח שהיו לו שני שלישי הסתם ויחסר לו השליש שהוא חצי דבר
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x}} [for what is missing]
 לכן שים עליו חצי
  • the third who asked for a quarter: had three quarters of the price of the horse, and lacked a quarter
 והשלישי ששאל הרביע הניח שהיו לו שלשה רביעי הסכום ויחסר לו רביע שהוא שליש דבר
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}x}} [for what is missing]
 לכן שים עליו שליש דבר
  • third row: the sum of what each has
 א"כ קבץ אשר לכל אחד מהם וכתוב המקובץ תחת הקו אשר למטה תסתכל אחד אשר לו
summing the third row
 א"כ קבץ כל אשר למטה מן הקו אשר למטה
then multiplying:
(what the first has) × (the number of the other people with him)
 וקח מה שיש לראשון והכה אותו בשנים שהוא מספר האנשים אשר עמו
  • if the product is greater than the sum [of the third row] - the question is incorrect
 וראה אם היוצא בהכאה יותר מן המקובץ השאלה איננה אמיתית
  • if the product is less than the sum [of the third row] - the question is correct
 ואם הוא פחות מן המקובץ השאלה אמיתית
the sum of the third row:
\scriptstyle{\color{blue}{2x+\left(1+\frac{1}{2}\right)x+\left(1+\frac{1}{3}\right)x=\left(4+\frac{5}{6}\right)x}}
 והנה בזאת השאלה המקובץ מכלם הם ד' דברים וה' שתות דבר
  • for the first:
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2x=4x}}
 והיוצא מהכאת הראשון בשנים הוא ד' דברים
\scriptstyle{\color{red}{4x<\left(4+\frac{5}{6}\right)x}}: the question is correct
 ולכן השאלה אמת
the money of the first: \scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{5}{6}\right)x-4x=\frac{5}{6}x}}
 הקבל היוצא מן ההכאה עם המקובץ ישאר ה' שתותי דבר וזהו הממון שהיה לראשון
  • for the second:
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)x=3x}}
 א"כ הכה מה שיש לשני בשנים מספר האנשים אשר עמו יהיה היוצא מן ההכאה ג' דברים
the money of the second: \scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{5}{6}\right)x-3x=\left(1+\frac{5}{6}\right)x}}
 הקבל אותם עם המקובץ ישאר דבר וה' שתותי' דבר וזה אשר היה לשני
  • for the third:
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)x=\left(2+\frac{4}{6}\right)x}}
 א"כ מה שיש לשלישי בשנים יצא מן ההכאה שני דברים וד' שתותים
the money of the third: \scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{5}{6}\right)x-\left(2+\frac{4}{6}\right)x=\left(2+\frac{1}{6}\right)x}}
 הקבל אותם עם המקובץ ישאר ב' דברים ושתות והוא אשר לשלישי
the price of the horse:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}x+\frac{1}{2}\left[\left(1+\frac{5}{6}\right)x+\left(2+\frac{1}{6}\right)x\right]=\left(2+\frac{5}{6}\right)x}}
 וסכום הסוס ב' דברים וה' שתותים
General rule:
  • checking if the question is correct
  • multiplying each by the number of people with him, then restoring with the total sum
[for n people: \scriptstyle{\color{red}{man_i=R_3-\left[\left(R_3C_i\right)\times\left(n-1\right)\right]}}]
 וכן תעשה תמיד לבחון השאלה האמת היא אם לא וא"כ להכות כל אחד במספר האנשים אשר עמו ולהקבילו עם המקובץ
if there are 2 people with him - multiply by 2; if 3 - multiply by 3; if 4 - multiply by 4; and so on
 אם אנשים אשר עמו ב' תכה בב' ואם ג' בג' וד' בד' וכן תמיד
  • Example: four people.
One asked for half.
The second asked for a third.
The third asked for a quarter.
The fourth asked for a fifth.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(b+c+d\right)=n\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot\left(a+c+d\right)=n\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot\left(a+b+d\right)=n\\\scriptstyle d+\frac{1}{5}\sdot\left(a+b+c\right)=n\\\end{cases}
 והמשל ד' אנשים

אחד שאל החצי
והשני שליש
והשלישי רביע
והרביעי חומש

  • middle row:
each is given a thing [= x]
 תכתוב לכל אחד דבר ושים קוים למעלה ולמטה הראשון כזו הצורה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{4}}} \scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{3}}} \scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{2}}} x
x x x x
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{4}x}} \scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{3}x}} \scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{2}x}} 2x
א
ד
א
ג
א
ב
א
א א א א
א א
ד
א א
ג
א א
ב
ב
  • first row: for the same reason above -
the first has \scriptstyle{\color{blue}{x}}
the second has \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x}}
the third has \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}x}}
the fourth has \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}x}}
 תן לראשון א‫'

ולשני חצי
ולשלישי שליש
ולרביעי רביע
כמו שידעת למעלה הסבה בזה

the rule: the one who asks for \scriptstyle\frac{1}{n} will be given \scriptstyle\frac{1}{n-1} והכלל תתן לכל אחד תמיד החלק אשר לפני החלק ששאל
the one who asks for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}} will be given \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2-1}=1}}
 ר"ל לשואל החצי תתן אחד שלם
the one who asks for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}} will be given \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}}}
 ולשואל השליש תתן חצי שהוא קודם לשליש
[the one who asks for] \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}} [will be given] \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}
 ולרביע שליש
[the one who asks for] \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}} [will be given] \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}
 ולחומש רביע
and so on
 וכן תמיד
the one who asks for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}}} will be given \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}}}
 עד כאלו תאמר לשואל חלק מעשרה תתן לו תשיעית
the one who asks for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{100}}} will be given \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{99}}}
 ולשואל חלק ממאה תתן לו חלק מצ"ט
the one who asks for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{80}}} will be given \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{79}}}
 ולשואל חלק מפ' תתן לו חלק מע"ט
the one who asks for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{1000}}} will be given \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{999}}}
 ולשואל חלק מאלף תתן לו חלק מתתקצ"ט וכן כלם
in the present example: the first is given one, the second a half, the third a third, and the fourth a quarter.
 והנה המשל הזה תתן לראשון אחד ולשני חצי ולשלישי תתן שליש ולרביע רביע
the sum of third row:
\scriptstyle{\color{blue}{2x+\left(1+\frac{1}{2}\right)x+\left(1+\frac{1}{3}\right)x+\left(1+\frac{1}{4}\right)x=\left[6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x}}
 וכאשר קבצת כל אשר למטה מן הקו ואשר למטה יהיה המקובץ ו' דברים וחצי שתות
  • for the first:
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2x=6x}}
 ותכה הראשון בג' בעבור שהאנשים אשר עמו שלשה יצא מן ההכאה ו' דברים
\scriptstyle{\color{red}{6x<\left[6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x}}: the question is correct
 ולכן השאלה אמת
the money of the first: \scriptstyle{\color{blue}{\left[6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x-6x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)x}}
 תקביל ו' דברים אלה עם המקובץ וכן ישאר חצי שתות וזה היה ממון הראשון
  • for the second:
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)x\right]=\left(4+\frac{1}{2}\right)x=\left(4+\frac{3}{6}\right)x}}
 א"כ הכה א' וחצי אשר לשני בג' מספר אנשים יצא מן ההכאה ד' דברים וחצי שהם ד' דברים וג' שתותים
the money of the second: \scriptstyle{\color{blue}{\left[6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x-\left(4+\frac{3}{6}\right)x=\left[1+\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x}}
 הקבילם עם המקובץ ישאר דבר וג' שתות וחצי שתות וזה היה לשני
  • for the third:
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left[\left(1+\frac{1}{3}\right)x\right]=4x}}
 א"כ הכה דבר ושליש בג' יהיה היוצא ד' דברים
the money of the third: \scriptstyle{\color{blue}{\left[6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x-4x=\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x}}
 הקבילם עם המקובץ ישארו ב' דברים וחצי שתות וזה היה לשלישי
  • for the fourth:
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left[\left(1+\frac{1}{4}\right)x\right]=\left[3+\frac{4}{6}+\left(\frac{1}{2}{\color{red}{\sdot\frac{1}{6}}}\right)\right]x}}
 א"כ הכה דבר ורביע אשר לרביעי בג' יהיה היוצא מן ההכאה ג' דברים וד' שתותים וחצי
the money of the fourth: \scriptstyle{\color{blue}{\left[6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x-\left[3+\frac{4}{6}+\left(\frac{1}{2}{\color{red}{\sdot\frac{1}{6}}}\right)\right]x=\left(2+\frac{2}{6}\right)x}}
 הקבל אותם עם המקובץ ישארו ב' דברים וב' שתותים וזה היה לרביעי
the price of the horse: \scriptstyle{\color{blue}{\left[3+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]{\color{red}{x}}}}
 וסכום הסוס ג' וחצי שתות והקש על זה
In all these cases a number can be assigned instead of the thing [= x], but this number should be divisible by all or by most of the parts that are asked for in the question ואם תרצה בכל אלה תשים במקום הדבר מספר שתרצה ובקש מספר שימצאו החלקים בו הנשאלים שלמים או רובם
in both examples given above the number that should be assigned is 12, since it consist of one integer, a half, a third and a quarter [=it is divisible by 1, 2, 3, 4]
והמשל בשני אלה המעשים שהמשלנו תקח מספר י"ב כי יש בו שלם וחצי ושליש ורביע
  • the first example:
 ויהיה הראשון כזו הצורה
4 6 12
12 12 12
16 18 24
ד ו יב
יב יב יב
טז יח כד
the sum of third row: \scriptstyle{\color{blue}{24+18+16=58}}
 תקבץ מה שתחת הקוים יהיו נ"ח
  • for the first: \scriptstyle{\color{blue}{58-\left(2\sdot24\right)=58-48=10}}
 תכה כ"ד אשר לראשון בב' יהיה מ"ח גרע אותם מן הנ"ח ישאר י' לראשון
  • for the second: \scriptstyle{\color{blue}{58-\left(2\sdot18\right)=58-36=22}}
 א"כ הכה י"ח בב' יהיו ל"ו גרע אותם מנ"ח ישארו [כ"ב] לשני
  • for the third: \scriptstyle{\color{blue}{58-\left(2\sdot16\right)=58-32=26}}
 א"כ הכה י"ו בב' יהיו ל"ב גרע אותם מנ"ח ישארו כ"ו לשלישי
the price of the horse: \scriptstyle{\color{blue}{10+\frac{1}{2}\left(22+26\right)=34}}
 וסכום הסוס ל"ד
  • the second example:
 והמשל השני כזו הצורה
3 4 6 12
12 12 12 12
15 16 18 24
ג ד ו יב
יב יב יב יב
טו יו יח כד
the sum of third row: \scriptstyle{\color{blue}{24+18+16+15=73}}
 תקבץ אשר תחת הקוים היה ע"ג
  • for the first: \scriptstyle{\color{blue}{73-\left(3\sdot24\right)=1}}
 תכה כ"ד בג' תגרעם מן הע"ג ישאר א' לראשון
  • for the second: \scriptstyle{\color{blue}{73-\left(3\sdot18\right)=73-54=19}}
 תכה י"ח אשר לשני בג' יהיו נ"ד תגרעם מן הע"ג ישארו י"ט לשני
  • for the third: \scriptstyle{\color{blue}{73-\left(3\sdot16\right)=73-48=25}}
 תכה י"ו אשר לשלישי בג' יהיו מ"ח תגרעם מן הע"ג ישארו כ"ה לשלישי
  • for the fourth: \scriptstyle{\color{blue}{73-\left(3\sdot15\right)=73-45=28}}
 תכה ט"ו אשר לרביעי בג' יהיו מ"ה תגרעם מן הע"ג ישארו כ"ח לרביעי
the price of the horse: \scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}\left(19+25+28\right)=37}}
 וסכום ל"ז
[When replacing the thing [= x] in parts received in the above examples by the given number the result will be the same] ודע כי כשתציע הדברים לחלק הפחות שבהם אשר יצאו במשלים הראשנים הם ג"כ כזה המספר
  • for the first: \scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\frac{5}{6}=2\sdot5=10}}
 והמשל יצא במשל הראשון לראשון ה' שתותים וכששמנו המספר י"ב יצא לראשון עשרה והוא כפל החמשה
  • for the second: \scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(1+\frac{5}{6}\right)=12\sdot\frac{11}{6}=2\sdot11=22}}
 ולשני יצא דבר וה' שתותים שהם י"א שתותים וכששמנו המספר י"ב יצא לשני כ"ב והוא כפל הי"א
  • for the third: \scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(2+\frac{1}{6}\right)=12\sdot\frac{13}{6}=2\sdot13=26}}
 ולשלישי יצא ב' דברים ושתות והם י"ג שתותים וכששמנו י"ב יצא לשלישי כ"ו והוא כפל הי"ג
  • If six is assigned instead of the thing [= x]:
ואלו שמנו המספר במקום הדבר הששה כזו הצורה
2 3 6
6 6 6
8 9 12
ב ג ו
ו ו ו
ח ט יב
? היה היוצא מן השניה בשוה
the same for the second example and for similar cases
 וכן במשל השני והקש על זה בכל היוצא בזה
  • Another example: three people.
One asked for a half.
The second asked for a tenth.
The third asked for one part of a hundred.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)=n\\\scriptstyle b+\frac{1}{10}\sdot\left(a+c\right)=n\\\scriptstyle c+\frac{1}{100}\sdot\left(a+b\right)=n\\\end{cases}
 משל אחר שלשה אנשים

אחד שאל החצי והאחד
והשני אחד מעשרה
והשליש אחד ממאה

the one who asks for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{100}}} will be given \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{99}}}
כבר ידעת כי השואל חלק ממאה יש לך לתת לו חלק מצ"ט
  • middle row:
each is given 99 instead of a thing [= x]
 ולכן שים לכל אחד צ"ט במקום הדבר כזו הצורה
1 11 99
99 99 99
100 110 198
א יא צט
צט צט צט
ק ק"י קצ"ח
  • first row:
the first who asked for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}} is given \scriptstyle{\color{blue}{99}}
 לראשון ששאל החצי צ"ט כמוהו
the second who asked for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}}} is given \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot99=11}}
 והשני ששאל אחד מעשרה תתן לו תשיעית צ"ט שהם י"א
the third who asked for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{100}}} is given \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{99}\sdot99=1}}
 ולשואל אחד ממאה תתן לו אחד מצ"ט והוא א‫'
the sum of third row: \scriptstyle{\color{blue}{198+110+100=408}}
 וקבץ מה שתחת הקוים יהיו ת"ח
  • multiplying each by 2, then restoring, i.e. subtracting it from the total sum
 והכה כל אחד בב' והקבל עם המקובץ ר"ל תגרענו ממנו
  • for the first: \scriptstyle{\color{blue}{408-\left(2\sdot198\right)=12}}
 לראשון י"ב
  • for the second: \scriptstyle{\color{blue}{408-\left(2\sdot110\right)=188}}
 ולשני קפ"ח
  • for the third: \scriptstyle{\color{blue}{408-\left(2\sdot100\right)=208}}
 לשלישי ר"ח
the price of the horse: \scriptstyle{\color{blue}{12+\frac{1}{2}\left(188+208\right)=210}}
 וסכום הסוס ר"י והוא המבוקש
  • Another example: three people.
One asked for a tenth.
The second asked for one part of a hundred.
The third asked for one part of a ten thousand.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{10}\sdot\left(b+c\right)=n\\\scriptstyle b+\frac{1}{100}\sdot\left(a+c\right)=n\\\scriptstyle c+\frac{1}{10000}\sdot\left(a+b\right)=n\\\end{cases}
 משל אחר שלשה אנשים

אחד שאל אחד מעשרה
והשני אחד ממאה
והג' אחד מעשרה אלפים

the one who asks for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10000}}} will be given \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9999}}}
 וכבר ידעת כי לשואל אחד מעשרה אלפים צריך לתת לו חלק מט' אלפים תתקצ"ט
  • middle row:
each is given [9999]
 לכן שים לכל אחד כן כזו הצורה
1 101 1111
9999 9999 9999
10000 10100 10100[56]
א קא אלף וקי"א
ט' אלפים
תתקצ"ט
ט' אלפים
תתקצ"ט
ט' אלפים
תתקצ"ט
י' אלפים י' אלפים וק‫' י' אלפי' וק‫'
  • first row:
the first who asked for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}}} is given: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot9999=1111}}
 תתן לראשון ששאל הי' תשיעית מט' אלפים תתקצ"ט והוא אלף וקי"א
  • the second who asked for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{100}}} is given: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{99}\sdot9999=101}}
 ולשני ששאל אחד ממאה תתן לו חלק מצ"ט מט' אלפים תתקצ"ט וזה ק"א
  • the third who asked for \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10000}}} is given: \scriptstyle{\color{blue}{1}}
 ולשואל אחד מי' אלפים תתן לו אחד
the sum of third row: \scriptstyle{\color{blue}{11110+10100+10000=31210}}
 א"כ קבץ הכל יהיו ל"א אלפים ר"י
  • multiplying each by 2, then restoring, i.e. subtracting the product from the total sum
 הכה כל אחד בשנים והקבל כשתגרע היוצא מן ההכאה מן המקובץ
  • for the first: \scriptstyle{\color{blue}{31210-\left(2\sdot11110\right)=8990}}
 ישאר לראשון ח' אלפים תתק"ץ
  • for the [third]: \scriptstyle{\color{blue}{31210-\left(2\sdot10000\right)=11210}}
 ולשני י"א אלפים ר"י
the price of the horse: \scriptstyle{\color{blue}{8990+\frac{1}{10}\left(11010+11210\right)=112{\color{red}{1}}2}}
 וסכום הסוס י"א אלפים רכ"ב והוא המבוקש
  • Another example: four people.
One asked for a tenth.
The second asked for one part of a hundred.
The fourth asked for one part of a thousand.
The third asked for one part of a ten thousand.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{10}\sdot\left(b+c+d\right)=n\\\scriptstyle b+\frac{1}{100}\sdot\left(a+c+d\right)=n\\\scriptstyle c+\frac{1}{1000}\sdot\left(a+b+d\right)=n\\\scriptstyle d+\frac{1}{10000}\sdot\left(a+b+c\right)=n\\\end{cases}
 ומשל אחר ד' אנשים

אחד שאל עשירית
והשני אחד ממאה
והשלישי אחד מאלף
והרביעי אחד מעשרת אלפים

each is given 9999
 תשים לכל אחד תתקצ"ט ותעשה כל אשר נזכר
  • multiplying each by 3, then [the product] from the total sum
 ותכה היוצא בג' ותגרע מן המקובץ
  • for the first: \scriptstyle{\color{red}{\left(41219+\frac{1}{111}\right)-\left(3\sdot11110\right)=}}{\color{blue}{7889+\frac{1}{111}}}
 יצא לראשון ז' אלפים תתפ"ט וחלק אחד מקי"א
  • for the second: \scriptstyle{\color{red}{\left(41219+\frac{1}{111}\right)-\left(3\sdot10100\right)=}}{\color{blue}{10919+\frac{1}{111}}}
 ולשני עשרה אלפים תתק"יט וחלק אחד מקי"א
  • for the third: \scriptstyle{\color{red}{\left(41219+\frac{1}{111}\right)-\left[3\sdot\left(10009+\frac{1}{111}\right)\right]=}}{\color{blue}{11191+\frac{109}{111}}}
 ולשלישי י"א אלפים קצ"א וק"ט חלקים מקי"א
  • for the fourth: \scriptstyle{\color{red}{\left(41219+\frac{1}{111}\right)-\left(3\sdot10000\right)=}}{\color{blue}{11219+\frac{1}{111}}}
 ולרביעי י"א אלפים רי"ט וחלק אחד מקי"א
the price of the horse: \scriptstyle{\color{blue}{11222+\frac{1}{111}}}
 וסכום הסוס י"א אלפים רכ"ב וחלק אחד מקי"א
והקש על זה בכל השאלות הדומות לאלו
Another procedure:
  • dividing the total sum by the number of people minus 1 -
if there are 3 people - dividing by 2
if there are 4 people - dividing by 3
if there are 5 people - dividing by 4
  • then subtracting what is assigned to each from the quotient
[for n people: \scriptstyle{\color{red}{man_i=\frac{R_3}{n-1}-\left(R_3C_i\right)}}]
ואם תרצה בכל אלו חלק המקובץ מכל האנשים על מספר אנשי' פחות אחד

ר"ל אם הם ג' חלק על שנים
ואם הם ד' חלק על ג‫'
ואם הם ה' חלק על ד' וכן כלם
ושמור היוצא מן החלוק וגרע ממנו מה שיש לכל אחד והנשאר הוא אשר היה לו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5{\color{red}{8}}}{2}=29}}
 והמשל במעשה הראשון שהמקובץ נ"ט חלקם על ב' יצא בחלוק כ"ט
  • for the first: \scriptstyle{\color{blue}{29-24=5}}
 גרע מזה מה שיצא לראשון שהוא כ"ד ישאר לו ה‫'
  • for the second: \scriptstyle{\color{blue}{29-18=11}}
 וגרע מן הכ"ט מה שיש לשני שהוא י"ח ישארו לו י"א
  • for the third: \scriptstyle{\color{blue}{29-16=13}}
 וגרע מן הכ"ט מה שיש לשלישי שהוא י"ו ישארו י"ג והוא המקובץ
the price of the horse: \scriptstyle{\color{blue}{5+\frac{1}{2}\left(11+13\right)=17}}
 וסכום הסוס י"ז
the same for all וכן תעשה בכלם
The price of the horse = the sum of the first row + one of the numbers on the second row ואם תרצה קח מה שעל הקו ואחד מן המספרים יהיה תמיד סכום הסוס
  • first example:
the sum of the first row =\scriptstyle{\color{blue}{12+6+4=22}}
[the price of the horse = \scriptstyle{\color{red}{22+12=34}}
 והמשל בראשון יש על הקו י"ב ו' ד' שהם כ"ב
  • second example:
the sum of the first row = \scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{12}}+6+4+3=25}}
 ו' ד' ג‫'
the price of the horse: \scriptstyle{\color{blue}{25+12=37}}
 שהם כ"ה וי"ב הם ל"ז והוא סכום הסוס וכן תמיד
The sum of the first row is usually the same as the amount that one of the [people] has וכן כל מה שיש על הקו הוא על הרוב כשיעור מה שיש לאחד מהם
  • in the first example: the sum of the first row = 22 = what the second man has
 והמשל בראשון אשר על הקו יהיו כ"ב וכן הוא מה שיש לשני
  • in the second example: the sum of the first row = 25 = what the third man has
 ובמשל השני יהיה מה שעל הקו כ"ה וכן היה לשלישי
similarly in most [cases] וכן תמצאהו על הרוב
Another procedure:
  • dividing the price of the horse, which is the sum of the first row plus one of the numbers on the second row, by the number of people minus 1
  • then subtracting from the quotient what is assigned to each on the first row
[for n people: \scriptstyle{\color{red}{man_i=\frac{horse\; price}{n-1}-\left(R_1C_i\right)}}]
ואם תרצה קח סכום הסוס שהוא מה שהוא על הקו ואחד מן המספרים וחלק אותו על מספר האנשים פחות אחד ושמור היוצא בחלוק

וגרע ממנו מה שיש לכל אחד על הקו והנשאר הוא אשר היה לו

  • first example:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{34}{2}=17}}
 המשל בראשון הסכום הוא ל"ד חלקהו על ב' יצא בחלוק י"ז
  • for the first: \scriptstyle{\color{blue}{17-12=5}}
 גרע ממנו י"ב שעל הקו לראשון ישארו לו ה‫'
  • for the second: \scriptstyle{\color{blue}{17-6=11}}
 גרע ממנו ו' שעל הקו השני ישארו לו י"א
  • for the third: \scriptstyle{\color{blue}{17-4=13}}
 וגרע ממנו ד' שעל הקו לשלישי ישארו לו י"ג וכן תמיד
  • second example:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{37}{3}=12+\frac{1}{3}}}
 והמשל בשני הסכום הוא ל"ז חלקהו לג' היוצא בחלוק י"ב ושליש שמרהו
  • for the first: \scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{1}{3}\right)-12=\frac{1}{3}}}
 וגרע ממנו י"ב אשר לראשון על הקו ישארו לו שליש
  • for the second: \scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{1}{3}\right)-6=6+\frac{1}{3}}}
 וגרע ממנו ו' אשר על הקו לשני ישארו לו ו' ושליש
  • for the third: \scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{1}{3}\right)-4=8+\frac{1}{3}}}
 גרע ממנו ד' אשר על הקו לשלישי ישארו לו ח' ושליש
  • for the fourth: \scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{1}{3}\right)-3=9+\frac{1}{3}}}
 וגרע ממנו ג' שעל הקו לרביעי ישארו לו ט' ושליש
converting into thirds:
 וכשתציע הכל לשלישים
  • for the first: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}
 יהיה הראשון שליש א‫'
  • for the second: \scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{3}=\frac{19}{3}}}
 והשני י"ט
  • for the third: \scriptstyle{\color{blue}{8+\frac{1}{3}=\frac{25}{3}}}
 והשלישי כ"ה
  • for the fourth: \scriptstyle{\color{blue}{9+\frac{1}{3}=\frac{28}{3}}}
 והד' כ"ח
the price of the horse: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{19}{3}+\frac{25}{3}+\frac{28}{3}\right)=\frac{37}{3}}}
 וסכום הסוס ל"ז שלישים והכל שוה
Another method, for three people only:
the sum of what is assigned to two men minus the assigned to the third man [on the third row] = what the third has.
ויש דרך אחרת ואינה נוהגת כי אם בג' אנשים בלבד והיא שתקח המקובץ לשנים מהם ותגרע השלישי ישאר מה שהיה לו
  • for the third:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_2\right)-a_3=\left({\color{red}{2}}4+18\right)-16=42-16=26}}
 והמשל בראשון הם ד' וי"ח אשר לראשון ולשני יהיו מ"ב וגרע י"ו אשר לשלישי ישארו כ"ו והוא אשר לו ר"ל לשלישי
  • for the second:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_3\right)-a_2=\left(24+16\right)-18=40-18=22}}
 עוד קח כ"ד אשר לראשון וי"ו אשר לשלישי יהיו מ' גרע מהם י"ח אשר לשני ישארו כ"ב והם אשר היו לו
  • for the first:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2+a_3\right)-a_1=\left(18+16\right)-24=34-24=10}}
 עוד קח י"ח אשר לשני וי"ו אשר לשלישי יהיו ל"ד גרע מהם כ"ד אשר לראשון ישארו י' והם אשר היו לו וכן תמיד
משל אחר

Notes

  1. ↑ 1v
  2. ↑ יואל ב, כ
  3. ↑ שמות לד, לד
  4. ↑ שמות לד, לה
  5. ↑ יחזקאל כז, ג
  6. ↑ משנה, נזיקין, שבועות, ב, ג
  7. ↑ תהלים קכ, ה
  8. ↑ דניאל יא, מא
  9. ↑ תהילים מב, ח
  10. ↑ ישעיה כט, ד
  11. ↑ תהילים לג, יד
  12. ↑ תהילים סה, ח
  13. ↑ במדבר, טו, ב
  14. ↑ איוב כא, ח
  15. ↑ 2r
  16. ↑ 2v
  17. ↑ 3r
  18. ↑ 3v
  19. ↑ 4r
  20. ↑ 4v
  21. ↑ 5r
  22. ↑ 5v
  23. ↑ 6r
  24. ↑ 6v
  25. ↑ 10r
  26. ↑ 10v
  27. ↑ 11r
  28. ↑ 11v
  29. ↑ 12r
  30. ↑ 12v
  31. ↑ 13r
  32. ↑ 13v
  33. ↑ 14r
  34. ↑ 14v
  35. ↑ 15r
  36. ↑ 17v
  37. ↑ 18r
  38. ↑ 18v
  39. ↑ 19r
  40. ↑ 19v
  41. ↑ 20r
  42. ↑ 20v
  43. ↑ 24r
  44. ↑ marg.: מקובצי‫'
  45. ↑ marg.
  46. ↑ copying error: three instead of six
  47. ↑ marg.
  48. ↑ should be 81
  49. ↑ marg.
  50. ↑ should be 20
  51. ↑ should be minus 6
  52. ↑ should be 2
  53. ↑ marg.
  54. ↑ נחמיה ט, ה
  55. ↑ תהילים עט, ט
  56. ↑ should be 11110
  57. ↑ the rest of the text is missing

Appendix: Bibliography

Talkhīṣ Aʽmāl al-Ḥisāb / by Abū al-ʽAbbās Aḥmad b. Muḥammad b. ʽUthmān al-Azdī Ibn al-Bannāʼ al-Marrākushī (Morocco, 1256-1321)
– Hebrew translation & commentary –
by Isaac Ben Solomon Ben Al-Aḥdab Ben Ṣaddiq Ha-Sefaradi (b. Castile, Spain, ca. 1350 – d. Palermo?, ca. 1429-1433)
Igeret ha-Mispar (The Epistle of the Number)
Syracuse, Sicily

Manuscript:

  • Cambridge, University Library Add. 492, 1 (IMHM: f 16786), (16th century)
The Epistle of the Number

Bibliography:

  • Lévy, Tony. 2003. L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (I). Un ouvrage inédit d’Isaac ben Salomon al-Aḥdab (XIVe siècle), Arabic Sciences and Philosophy 13, pp. 269–301.
Edition:
  • Wartenberg. Ilana Johanna. 2007. The Epistle of the Number by Isaac ben Solomon ben al-Ahdab (Sicily, 14th century): an Episode of Hebrew Algebra, PhD. Thesis, Tel Aviv University.
Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=אגרת_המספר&oldid=36949"