Difference between revisions of "חשבון השטחים"

Revision as of 13:51, 27 February 2019

חשבון השטחים

	תחלת מה שצריך לדעת קורא זה הספר הוא שלשה חלקים אשר אמרם כבר מהומר אלבוארזמי^[1] בספרו והם שרשים ^ראדיש ומרובעים ^אלגוש ומספרים ^{קוונטאש}
	והשורש הוא כל דבר שיתרבה על עצמו כמו האחד ומן האחד ולמעלה ושבריו ושברי שבריו עד אין להם סוף
	והאלגוש הוא המתקבץ מהתרבות זה השורש על עצמו שלם יהיה או נשבר
	והמנין הוא הצומח מאליו אשר לא יוכל יפול בו לא שם שורש ולא שם אלגו והוא המתיחס אל מה שבו מן האחדים
	ואלו השלשה חלקים כבר יהיה כל אחד מהם יהיה שוה לכל אחד מהחלקים הנשארים
	וכבר יהיה שישוה כמו השני חלקים שנשארו
	אם שיהיה שוה לכל אחד מהחלקי' מהנשארים
$\scriptstyle ax^2=bx$	זה כמו שיאמרו לך אלגוש ישוו שרשים
$\scriptstyle ax^2=c$	ואלאגו ישוו מספרים
$\scriptstyle bx=c$	ושרשים ישוו מספרים
	ואם שיהיה שוה החלק האחד לשני החלקים הנשארים
$\scriptstyle ax^2+bx=c$	הוא כמו שתאמר מרובעים ושרשים ישוו למספרים
$\scriptstyle ax^2+c=bx$	ומרובעים ומספרים ישוו לשרשים
$\scriptstyle bx+c=ax^2$	ושרשים ומספרים ישוו למרובעים
Contents 1 The Six Canonical Equations 1.1 The Simple Canonical Equations 1.1.1 ax²=bx 1.1.2 ax²=c 1.1.3 bx=c 1.2 The Compound Canonical Equations 1.2.1 ax²+bx=c 1.2.2 ax²+c=bx 1.2.3 bx+c=ax² 2 Multiplication of Algebraic Expressions 3 Roots 3.1 Doubling of Roots 3.2 Multiplication of Roots 3.3 Division of Roots 3.4 Addition of Roots 3.5 Subtraction of Roots 4 Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations 5 Various Problems 6 Section Three 7 Appendix: Bibliography The Six Canonical Equations
	ואלו הם ששה חלקים וצריך לבארם
The Simple Canonical Equations
ax²=bx	והאלגוש שישוו שרשים
$\scriptstyle x^2=5x$	הוא כאילו תאמר אלגו ישוה חמשה שרשים
	בעבור כי האלגו הוא שוה לחמשת שרשיו
$\scriptstyle x^2=ax\longrightarrow x=a$	כי שורש האלגו יהיה לעולם כפי סכום השרשים מהאלגו ושוה אליהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x=5}}$	והוא בזה המשל חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=25}}$	והאלגו עשרים וחמשה והוא כמו חמשה שרשיו^[2]
Geometric illustration	ועוד אבאר למה היה שורש האלגו כפי סכום השרשים ואשים ביאורו בזאת השאלה רצוני בזה המשל

ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ואניח האלגו שטח מרובע עליו אבג"ד
AB, BG, GD, DA - the sides of the square	וצלעיו א"ב ב"ג ג"ד ד"א
side × (unit of the length) = √(area [of the square])	וכל אחד מצלעיו מרובה על אחד מסכום אורך זה השטח הוא שורש זה השטח האחד
AB × 1 = BH	והעולה מכפל א"ב על אחד והוא קו ב"ה
AH□ = √AG	ויהיה שטח א"ה הוא שורש א"ג
AG□ = 5·√AG	ושטח א"ג הוא כפי חמשה שרשיו
AG□ = 5·AH□	ושטח א"ג חמשה כפלי שטח א"ה
AG□ = AH□ + TW□ + SZ□ + MC□ + EG□ AH□ = TW□ = SZ□ = MC□ = EG□	וחלק שטח א"ג לחמשה חלקים שוים ויהיו שטחי א"ה ט"ו ס"ז מ"ח ע"ג
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}}}$ = 5	וקו ב"ג חמשה והוא שורש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=25}}$	והאלגו הוא עשרים וחמשה ומש"ל
$\scriptstyle\frac{1}{2}x^2=10x$	וכמו כן אם יאמר חצי אלגו ישוה עשרה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=20x}}$	והאלגו כלו ישוה עשרים שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}$	הנה שרש האלגו עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}$	והאלגו ארבע מאות
$\scriptstyle5x^2=20x$	וכמו שתאמר חמשה אלגו ישוו עשרים שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4x}}$	והאלגו ישוה ארבעה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ושרש האלגו הוא ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו הוא ששה עשר
Normalization: if the square is multiple or incomplete it should be transform into a single square	וכן כמה שנרבה מהאלגו או שנחסר נשיבם לעולם לאלגו אחד
	וכן תעשה לכל מה שישובו מן השרשים אל האלגו
ax²=c	והאלגוש שישוו מספרים
$\scriptstyle x^2=16$	כמו אלגו שישוה שש עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והנה הוא אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ושרשו ארבעה
$\scriptstyle5x^2=45$	וכן חמשה אלגו ישוו חמשה וארבעים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot45=9}}$	והאלגו האחד הוא חמישיתם והוא תשעה
$\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=27$	וכן אם תאמר שלישית אלגו ישוו שבעה ועשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=81}}$	והאלגוש שמונים ואחד
Normalization: if the square is multiple or incomplete it should be transform into a single square	וכן כל האלגוש איזה שיהיו יותר או פחות השיבם לעולם אל אלגו אחד
	וכן תעשה לאשר ישובו אליו מהמספרים
bx=c	והשרשים שישוו מספרים
$\scriptstyle x=4$	כמו שתאמר שורש ישווה ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	והשורש הוא ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגוש שש עשרה
$\scriptstyle5x=30$	וכמו אם תאמר חמשה שרשים ישוו שלשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}$	והשורש ישווה ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}$	והאלגוש ששה ושלשים
$\scriptstyle\frac{1}{2}x=10$	וכמו אם תאמר חצי שורש ישוה עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}$	והשורש ישוה עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}$	והאלגוש ארבע מאות
Normalization: if the root is multiple or incomplete it should be transform into a single root	וכן כל השרשים איזה שיהיו יותר או פחות השיבם לעולם אל שורש אחד
	וכן תעשה לאשר ישובו אליו מהמספרים
The Compound Canonical Equations
	ותמצא אלו שלשה חלקים והם כמו שתאמר אלגוש ושרשי' ישוו מספרים ואלגוש ומספרים ישוו שרשים ושרשים ומספרים ישוו אלגוש
ax²+bx=c	והאלגוש והשרשים שישוו מספרים
$\scriptstyle x^2+10x=39$	הוא כאלו תאמר אלגוש ועשרה שרשים ישוו תשעה ושלשים דרהמיש
	נאמר כי כאשר נחבר על האלגוש שרשיו העשרה ישוו תשעה ושלשים אדרהמיש
two solution methods	ובזאת השאלה יש שנים אופנים
1) yields the root of the square	האחד יראך שורש האלגו
2) yields the square	והאחר יראך האלגוש
	ועוד אבאר לך משפטיהן עם תמונות גימטריות יבינום חכמי הגימטריא אשר ישכילו בספר אוקלידס
The solution method that yields the root of the square	והאופן אשר יראך שורש האלגוש
already discussed by al-Khwārizmī	כבר אמרו מהומר אלבוארזמי בספרו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{5^2+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{25+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{64}-5\\&\scriptstyle=8-5=3\\\end{align}}}$	והוא שתקח לעולם חצי השרשים והוא בזאת השאלה חמשה ותרבם על עצמם ויהיו עשרים וחמשה ותקבצם על התשעה ושלשים ויהיו ס"ד וקח שורשו ויהיה שמונה חסר ממנו חצי השרשים והם חמשה ישארו שלשה והם שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והאלגוש תשעה
The solution method that yields the square	והאופן אשר יראך האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)+39\right]-\sqrt{\left(10^2\sdot39\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2}\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)+39\right]-\sqrt{\left(100\sdot39\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(50+39\right)-\sqrt{3900+50^2}\\&\scriptstyle=89-\sqrt{3900+2500}\\&\scriptstyle=89-\sqrt{6400}\\&\scriptstyle=89-80=9\\\end{align}}}$	הוא שתרבה העשרה על עצמו ויהיה מאה ותרבם על הל"ט ויהיו ג' אלפים ותת"ק וקח חצי המאה והם חמישים תרבם על עצמם והם אלפים ות"ק ותחברם על ג' אלפים תת"ק ויהיו ששת אלפים ות' תקח שרשו והוא שמונים נחסרם מהחמישים שהם חצי המאה ומן הל"ט המשוים האלגו שהם יחד פ"ט וישארו תשעה והם האלגוש
Normalization	וכן שנים אלגוש או שלשה או יותר או פחות השיבם לעולם אל אלגוש אחד והשיב עמו אשר תוכל מהשרשים ומהמספרים בדרך שהשיבות האלגוש
$\scriptstyle2x^2+10x=48$	וזה כמו שתאמר שנים אלגוש ועשרה שרשים ישוו מ"ח אדרהמיש נאמר ששני אלגוש כאשר נחברם ונקבצם על שרשיו עשרה מאחד מהם יהיה מ"ח אדרהמיש
	ויצטרך שתשיב השני אלגוש לאלגוש אחד
one of two is a half	וכבר ידעת כי אחד משנים הוא החצי
Normalization of $\scriptstyle2x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+10x=48 /\sdot\frac{1}{2}}}$	והשיב כל דבר אשר החזקת במבוקש אל חציו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+5x=24}}$	כאלו אמרת אלגוש וחמשה שרשים ישוו כ"ד אדרהמיש ומשפטו כי כאשר תחבר על האלגוש שרשיו החמשה יהיו כ"ד
	וכבר הראיתיך כיצד תמצא השורש וכיצד תמצא האלגוש בשני האופני' האמורים
$\scriptstyle\frac{1}{2}x^2+5x=28$	ואם אמרו לך חצי אלגוש וחמשה שרשים ישוו כ"ח אדרהמיש נאמר כי כאשר חברנו על חצי האלגוש חמשה שרשי האלגוש יהיו כ"ח אדרהמיש
Normalization of $\scriptstyle\frac{1}{2}x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+5x=28 /\sdot2}}$	וצריך שתשיב האלגוש שלך שלם והוא שתכפלהו ותכפול השרשים שיהיו עמו
$\scriptstyle x^2+10x=56$	ויהיה האלגוש ועשרה שרשים ישוו נ"ו
	וכבר הראית מה לעשות לך עמהם
Geometric illustrations of the example: $\scriptstyle x^2+10x=39$	והמשפט והסבה אשר בזה רצוני שאלגוש ועשרה שרשים שישוו ל"ט אדרהמיש
Geometric illustration of the solution method that yields the root of the square	הנה האופן הטיטולי אשר יראך השורש

ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	הוא שתשים שטח מרובע עליו אבג"ד
ABWH□ = 10√ABGD = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ותחבר אליו השרשים אשר הנחת היותם עם האלגו והיו עשרה והם שטח אבו"ה
BH = 10	וידוע כי קו ב"ה עשרה
AB × 1 = √ABGD	בעבור כי צלע א"ב משטח אבג"ד מורבה באחד יהיה שורש שטח אבג"ד
AB × 10 = 10√ABGD	והוא מרובה בעשרה יהיו עשרה שרשים משטח אבג"ד
BH = 10	הנה קו ב"ה עשרה
WHGD□ = [ABGD□ + ABWH□] = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{39}}$ = HG × GD	וכל שטח והג"ד שלשים ותשע בעבור כי הנחנו האלגוש ועשרה שרשיו והוא מהכאת קו ה"ג בקו ג"ד
GD = GB	אבל קו ג"ד כמו קו ג"ב
HG × GB = 39	הנה הכאת קו ה"ג על קו ג"ב ל"ט
HB = 10	וקו ה"ב עשרה
C midpoint of HB	ונחלק אותו לחציים על נקודת ח'
(HG × BG) + CB² = CG²	ונוסף באורכו קו ג"ב ולכן יהיה השטח העולה מהכאת ה"ג בקו ב"ג עם מרובע ההווה מהכאת ח"ב על עצמו כמו מרובע ההוה מהכאת ח"ג על עצמו
according to Euclid, Elements II	כמו שאמר אקלידס במאמר שיני בספרו
HG × GB = 39	אבל הכאת הקו ה"ג בקו ג"ב הנחנוה שלשים ותשע
CB² = 25	והכאת קו ח"ב על עצמו הוא עשרים וחמשה
(HG × BG) + CB² = 64	ומקובצם ששים וארבעה
CG² = 64	וכן יהיה הכאת קו ח"ג על עצמו ס"ד
CG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}}}$ = 8	ושורש ששים וארבע הוא שמונה ולכן קו ח"ג שמונה
CB = 5	וידוע שקו ח"ב חמשה
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}}}$ = 3	וישאר קו ב"ג שלשה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והאלגוש תשעה
CKNG = CG²	ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי עשה על קו ח"ג שטח מרובע והוא שטח חכנ"ג
line AB is extended straight to point E	ותוציא קו א"ב ביושר עד נקודת ע'
CG = NG	הנה קו ח"ג כמו קו נ"ג
BG = DG	וקו ב"ג כמו קו ד"ג
BC = DN	ישאר קו ב"ח כמו קו ד"נ
CA□ = AN□	ושטח ח"א כמו שטח א"נ
CA□ = MH□	אבל שטח ח"א כמו שטח מ"ה
MH□ = AN□	לכן שטח מ"ה כמו שטח א"נ
AC□ + AN□ + DB□ = 39	ושטחי א"ח א"נ ד"ב השלשה שלשים ותשעה
AK□ = CB² = 25	אבל שטח א"כ עשרים וחמשה בעבור כי הוא שוה להכאת ח"ב על עצמו
KG□ = 64	הנה שטח כ"ג כלו ששים וארבעה
CG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}}}$ = 8	וקו ח"ג שרשו והוא שמונה
BC = 5	וקו ב"ח היה חמשה
GB = 3	וישאר קו ג"ב שלשה ומש"ל
Geometric illustration of the solution method that yields the square	ומשפט האופן אשר יראך האלגו

AB = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	הוא שתשים האלגוש קו א"ב
BG = 10√AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ותחבר עמו עשרה שרשיו והוא קו ב"ג
AG = [AB + BG = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x}}$ ] = $\scriptstyle{\color{blue}{39}}$	ויהיה קו א"ג שלשים ותשעה
DHBG□ = BG² = 100 × (AB × 1)	ואם תרצה לדעת כמות א"ב עשה על קו ב"ג שטח מרובע והוא שטח דהב"ג והוא מאה פעמים כמו קו א"ב מוכה על אחד מאחדיו^[3]
BG = 10√AB	בעבור כי קו ב"ג עשרה שרשים מקו א"ב
$\scriptstyle\left(10\sqrt{x}\right)^2=100x$	ועשרה שרשים מהדבר מוכה על עצמו הוא כמו אותו הדבר מאה פעמים
AM = 100	ונשים קו א"מ מאה מן אשר בם קו א"ג שלשים ותשעה
AN□ = AG × AM = $\scriptstyle{\color{blue}{39\sdot100}}$ = 3900	ונשלים שטח א"נ והנה הוא שלשת אלפים תת"ק בעבור כי קו א"ג שלשים ותשעה וקו א"מ מאה
BC \|\| AM	ונמשיך קו ב"ח נכחי לא"מ
AC□ = BH□	ויהיה שטח א"ח שוה למרובע ב"ה
AC□ = 100 × (AB × 1)	כי הוא גם כן מאה פעמים כמו קו א"ב מוכה על אחד מאחדיו
AM = 100	בעבור כי אורך קו א"מ מאה
DN□ = GH × HN = $\scriptstyle{\color{blue}{39\sdot100}}$ = 3900	ויהיה מפני זה שטח ד"נ גם כן שלשת אלפים תת"ק והוא מהכאת קו ג"ה בקו ה"נ
HG = HD	כי ה"ג כמו ה"ד
GN = AM = 100	והנה קו ג"נ מאה מפני שהוא שוה לא"מ
L midpoint of GN	ונחלק אותו לחציים על נקודת ל'
(NH × HG) + GL² = LH²	וכבר נוסף עליו קו ג"ה ויהיה מפני זה שטח הכאת נ"ה על קו ה"ג ומרובע קו ג"ל יחד כמו מרובע קו ל"ה
according to Euclid, Elements II	כמו שאמר אקלידס במאמר שיני מספרו
NH × HG = 3900	אבל שטח נ"ה על ה"ג שלשת אלפים תת"ק
GL² = 2500	ומרובע קו ג"ל שני אלפים ת"ק
(NH × HG) + GL² = LH² = $\scriptstyle{\color{blue}{3900+2500}}$ = 6400	ונחברם יחד ויהיו ששת אלפים ות' והם כמו הכאת קו ל"ה על עצמו
LH = 80	לכן יהיה קו ל"ה שמונים
GH = BG	וקו ג"ה כמו קו ב"ג
LG + BG = 80	הנה כי קוי ל"ג ב"ג שמונים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$ = AB = (AG + GL) - (BG + GL) = $\scriptstyle{\color{blue}{89-80=9}}$	וכאשר נחסר קוי ב"ג ג"ל שהם שמונים מקוי א"ג ג"ל שהם שמונים ותשעה ישאר קו א"ב שהוא האלגוש תשעה ומש"ל
ax²+c=bx	והאלגוש והמספרים שישוו שרשים
$\scriptstyle x^2+21=10x$	כאלו תאמר אלגוש ועשרים ואחד אדרהמיש ישוו עשרה שרשים
	רצוני כי כאשר תחבר עם האלגו עשרים ואחד יהיה המחובר כמו עשרה שרשים מהאלגוש
two solution methods	ובזאת החלוקה שני אופנים
1) yields the root of the square	האחד יראך שורש האלגוש
2) yields the square	והאחר יראך האלגוש
	וכל אחד מהם יעשה בשני פנים האחד עם תוספת והאחד עם מגרעת
The solution method that yields the root of the square	והאופן אשר יראך שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{4}\\&\scriptstyle=5-2=3\\\end{align}}}$	הוא שתקח חצי השרשים והם חמשה ותרבם על עצמם ויהיו עשרים וחמשה גרע מהם העשרים ואחד וישארו ארבעה תקח שורשו והוא שנים וחסרם מחצי השרשים שהם חמשה וישארו שלשה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1^2=9}}$	והאלגוש תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5+2=7\\\end{align}}}$	ואם תרצה הוסיף השנים על חצי השרשים ויהיו שבעה והוא שורש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=49}}$	והאלגו ארבעים ותשעה
$\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<c$ → the problem is false	ודע כי כאשר תחצה השרשים באופן הזה ותרבם על עצמם ויהיה המתקבץ ממנו פחות מהאדרהמיש אשר עם האלגוש שאז תשתנה החלוקה ^{מוטעה השאלה}
$\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c$ → $\scriptstyle x=\frac{1}{2}\sdot b$	וכן פעמים יהיה כמו האדרהמיש בעצמם ויהיה שורש האלגו כמו חצי השרשים מבלי מגרעת ומבלי תוספת
	ועוד אבאר לך כל אשר אמרנו בזאת החלוקה עם תמונת גימטריאות
The solution method that yields the square	והאופן אשר אראך האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{2500-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{400}-21\\&\scriptstyle=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}$	הוא אשר נרבה העשרה שרשים על עצמם ויהיה מאה ונרבה אלו המאה על עשרים ואחד ויהיו אלפיים ומאה ונקח חצי מאה והוא חמישים ונרבם על עצמם ויהיו אלפיים ות"ק ותגרע מהם האלפים ומאה וישארו ארבע מאות וקח שרשם והוא עשרים ותגרעם מן החמישים וישארו שלשים תגרע עוד מהם העשרים ואחד וישארו תשעה והם האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=\left(50+20\right)-21=70-21=49}}$	ואם תרצה תוסיף העשרים על החמישים ויהיו שבעים ותגרע מהם העשרים ואחד וישאר ארבעים ותשעה והוא האלגו
Normalization - as demonstrated in the previous case	וכן כל אשר יבא לידך משני אלגו או יותר או פחות השיבם לעולם אל אלגו אחד כמו שהראתיך באופן הראשון
	והמשפט שיראך כיצד אלגו וכ"א אדרהם ישוו כמו עשרה שרשים מהאלגו
$\scriptstyle x^2>c$ $\scriptstyle x^2<c$	הנה האופן אשר יראך השרש שיוכל להיות האלגו יותר מהאדרהמיש אשר הנחנו עמו או פחות מהם
$\scriptstyle x^2=c$ ↔ $\scriptstyle x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c$	ולא יוכל להיות האלגו כמו האדרמהיש כי אם בהיות הכאת חצי השרשים על עצמו כמו האדרמהיש אשר עם האלגו ויהיה מהאלגוש
Geometric illustration of the solution method $\scriptstyle x^2<c$	ואבאר כל זה ואראהו
$\scriptstyle x^2<21$	ואניח האדרמהיש אשר שמת עם האלגו שהם עשרים ואחד שיהיו יותר מהאלגו
ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ואניח האלגו שטח מרובע עליו אבג"ד

ABHL□ = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$ > ABGD□	ונוסיף עליו העשרים ואחד והוא שטח אבה"ל וזה השטח גדול משטח אבג"ד כי כן הנחנוהו
BL > BD	וקו ב"ל מפני זה גדול מקו ב"ד
HD□ = 10√ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח ה"ד עשרה שרשים משטח אבג"ד
LD = 10	אם כן קו ל"ד עשרה
HB□ = LB × BD = 21	ושטח ה"ב כ"א והוא שוה להכאת ל"ב בב"ד
BD = BA	כי ב"ד שוה לב"א
C midpoint of LD	ונחלק קו ל"ד לחציים בנקודת ח'
(LB × BD) + CB² = CD²	וכבר נחלק גם כן לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב' ולכן הכאת על ל"ב בב"ד עם מרובע ח"ב ישוו למרובע ח"ד
according to Euclid, Elements II	כמו שאמר אקלידס בספרו במאמר השיני
CD² = 25	אבל הכאת קו ח"ד על עצמו עשרים וחמשה
CD = 5	בעבור כי אורכו חמשה
LB × BD = 21	וקו ל"ב בב"ד עשרים ואחד כאמור
CB² = 4	וישאר מרובע קו ח"ב ארבעה
CB = 2	וצלעו שנים
CD = 5	אבל קו ח"ד הוא חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BD = $\scriptstyle{\color{blue}{3}}$	וישאר קו ב"ד הוא שלשה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והאלגוש תשעה
KD□ = CD²	ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי אשים על קו ח"ד מרובע והוא שטח כ"ד
KD□ = 25	ושטח כ"ד עשרים וחמשה
CD = 5	כי קו ח"ד הוא חמשה
CG□ = CH□	ושטח ח"ג כמו שטח ח"ה
LC = CD	בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
AC□ = AN□	ושטח א"ח כמו שטח א"נ
AC□ + AD□ + AN□ = HB = LB × BD = 21	ולכן שטחי א"ח א"ד א"נ השלשה ישוו לשטח ה"ב שהוא מהכאת ל"ב בב"ד והוא עשרים ואחד
KA□ = 4	ולכן ישאר שטח כ"א ארבעה
KA□ is a square	והוא מרובע
KN = KC	בעבור כי קו כ"נ כמו קו כ"ח
CS = NM	וקו ח"ס כמו קו נ"מ
KS = KM	וישאר קו כ"ס כמו קו כ"מ
CB = MK = 2	וקו מ"כ שנים והוא שוה לקו ח"ב
CB = 2	אם כן קו ח"ב שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BD = $\scriptstyle{\color{blue}{3}}$	וישאר קו ב"ד שלשה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והאלגוש תשעה ומש"ל
Geometric illustration of the solution method $\scriptstyle c<\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<x^2$	ואבאר בזאת השאלה כאשר תקח חצי השרשים ויהיה העולה מהכאתם על עצמם יותר מהאדרהמיש שהנחת עם האלגוש שהם כ"א ופחות מן האלגוש ר"ל שאדרהמיש פחות מהאלגו

ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ואשים האלגו שטח מרובע עליו אבג"ד
ABHW□ = 21	ואחבר עמו העשרים ואחד והוא שטח אבה"ו
AD□ > AW□	ושטח א"ד גדול משטח א"ו כי כן הנחנו
DB > BW	וקו ד"ב ארוך מקו ב"ו
HD□ = 10√AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח ה"ד עשרה שרשים משטח א"ד
DW = 10	ולכן קו ד"ו עשרה
WB × BD = 21	והכאת קו ו"ב בב"ד הוא עשרים ואחד
C midpoint of WD	ותחלק קו ו"ד לחציים על נקודת ח'
(WB × BD) + BC² = CD²	והנה הוא כבר נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב' ולכן יהיה הכאת ו"ב בב"ד והכאת ב"ח על עצמו יחד כמו הכאת ח"ד על עצמו
according to Euclid, Elements II	כמו שאמר אקלידס במאמר שיני בספרו
CD² = 25	והכאת ח"ד על עצמו הוא עשרים וחמשה
WB × BD = 21	והכאת ו"ב בב"ד הוא עשרים ואחד
CB² = 4	וישאר הכאת קו ח"ב על עצמו ארבעה
CB = √4 = 2	וקו ח"ב הוא שורש ארבע והוא שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BD = CB + CD = $\scriptstyle{\color{blue}{2+5=7}}$	ותחברם עם קו ח"ד שהוא חמשה ויהיה קו ב"ד שבעה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=49}}$	והאלגוש ארבעים ותשעה
	הנה שביארנו לך כי כאשר הנחנו האלגוש פחות מהאדרהמיש שאז נוציאהו עם מגרעת
	וכאשר נניחיהו יותר מהאדרמהיש הנה אז נוציאהו עם התוספת
WN□ = WC²	ואם תרצה שאבאר לך לעין כל מה שאמרתי תצייר על קו ו"ח שטח מרובע עליו ו"נ
line CN is extended straight to point K	ותוציא קו ח"נ על יושר עד נקודת כ'
BN□ = NH□	ושטח ב"נ כמו שטח נ"ה
LN = NC	בעבור כי קו ל"נ שוה לקו נ"ח
BC = NB	וקו ב"ח שוה לקו נ"ב
AN□ is a square	כי שטח א"נ מרובע כמו שנבאר
WN□ = 25	ושטח ו"נ הוא עשרים וחמשה
AW□ = 21	ושטח א"ו עשרים ואחד
AN□ = 4	וישאר שטח א"נ ארבעה
AN□ is a square	והוא מרובע
AB = AG	בעבור כי קו א"ב כמו קו א"ג
KG = BS	וכ"ג כמו קו ב"ס
KG = CD	מפני שקו כ"ג כמו קו ח"ד
CD = CW	וח"ד כמו ח"ו
CW = CN	וח"ו כמו ח"נ
CN = BS	וח"נ כמו ב"ס
BS = KG	הנה שקו ב"ס כמו קו כ"ג
AK = AS	וישאר קו א"כ כמו קו א"ס
AN□ is a square	ושטח א"נ מרובע
SN = 2	וקו ס"נ שנים
SN = BC	אבל קו ס"נ כמו קו ב"ח
CB = 2	ויהיה קו ב"ח שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BD = BC + CD = $\scriptstyle{\color{blue}{2+5=7}}$	ותחברם עם קו ח"ד שהוא חמשה ויהיה קו ב"ד שבעה והוא שורש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=49}}$	והאלגוש ארבעים ותשעה
	ונתבאר עוד בזאת השאלה כי כאשר הכינו חצי השרשים על עצמם היה העולה יותר מהאדרמיש אשר שמת עם האלגו כמו שטח א"נ וזה מש"ל
	ועוד ביארנו כי כאשר הנחנו האלגו פחות מהאדרמהיש אשר עמו יצא המבוקש עם מגרעת
	ואם הנחנוהו יותר מהדרמהיש יצא המבוקש עם תוספת
	וביארתי עוד מה שנאמר בשתי צורות רצוני צורת הגירעון וצורת התוספת
	כאשר היה הכאת חצי השרשים על עצמו יותר מן האדרהמיש אשר הנחנוהו עם האלגוש
	ואבאר עוד כאשר יהיה העולה מהכאת חצי השרשים על עצמו שוה אל האדרמהיש אשר עם האלגוש שאז יהיה האלגו כמו האדרמהיש ממש ושורש האלגוש כמו חצי השרשים
	א"ח (אמ"פ) כבר יתבאר זה ביותר נקל וזה כי כאשר יהיה הכאת השרשי' על עצמם כמו האדרהמיש יחוייב שיהיה השרשי' האמצעיי ביחס בין האחד והאדרהמיש ואבאר ששרשים המרובעי אמצעיים ג"כ בין האחד והמרובע הנה האדרהמיש והמרובע שוים כי הדברי' אשר יחס שוה לדבר אחד הם שוים
$\scriptstyle25+x^2=10x$	ואמשיל זה בשאילה אחרת ואניחנה שכ"ה אדרהמיש ואלגוש ישוו עשרה שרשים
ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ואניח האלגוש שטח מרובע עליו אבג"ד
ABHW□ = 25	ואחבר עמו הכ"ה אדרהמיש והם שטח אבה"ו
GW□ = 10√ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	וכל שטח ג"ו עשרה שרשים משטח אבג"ד
DW = 10	וקו ד"ו עשרה
C midpoint of DW	וכאשר נחלק קו ד"ו לשני חציים על נקודת ח'
there are three possible cases:	לא ימלט הדבר מאחד משלשה ענינים
C is above B	אם שתפול נקודת ח' מלמעלה מנקודת ב'
C is below B	או למטה ממנה
C = B	או בה
C is above B	ונניח ראשנה שתפול נקודת ח' למעלה
C midpoint of DW	אם יתכן זה הנה קו ד"ו נחלק לחציים על נקודת ח'
(DB × BW) + CB² = CW²	ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב' ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו ומרובע ח"ב על עצמו ישוו להכאת ח"ו על עצמו
according to Euclid, Elements II	כדמבואר בשני לאקלידס
WC² = 25	אבל הכאת ו"ח על עצמו הוא עשרים וחמשה
WC = ½WD	בעבור כי הנחנוהו חצי ו"ד שהוא עשרה
(WB × BD) + BC² = 25	לכן הכאת ו"ב בב"ד עם מרובע ב"ח עשרים וחמשה
	אמ"פ ^[4] המעתיק אלו הם דברי הספר שהעתקתי ממנו במופת הזה ונראה לי שדבריו אינם מספיקים בזה
	אבל הראוי יותר שיאמר כי כאשר נפלה נקודת ח' החולקת למעלה מנקודת ב' אז האדרמהיש יותר מהאלגוש
	וכאשר תפול למטה ממנה יהיה האלגוש יותר מהאדרמהיש
	וזה כולו מבואר למעלה
	ונשאר שאם תפול עליה ובה בהכרח יהיו אז שוים
	עוד המשיך דבריו בדברים בלתי מתוקנים אצלי והם אלו
	וביארנו במה שאמרתי כי כאשר תרבה השרשים אשר ישוו האלגוש והמספרים בחלק הזה משלשה חלקים על עצמם ותקח חצי העולה ותרבהו על עצמו הנה יהיה כמו הכאת האדרמהיש על מה שעלה מהכאת השרשים על עצמם והאלגו הוא כמו האדרהמיש ומה שעלה מהכאת השרשים על עצמם והיה מחצי אשר עלה הכאת חצי השרשים על עצמו ותצא השאלה
	וכבר ביארנו כל אשר בזה האופן
	עד כאן
	ונראה לי כי היה רצונו של בעל הספר לבאר בזה המקום האופן השני מזאת החלוקה רצוני האופן אשר יראה לנו האלגוס כאשר ייעד למעלה ומופתו אבל נשמט מהספר אשר העתקתי ממנו
	ואבארהו בעבדי עוד על זה הספר בע"ה
bx+c=ax²	והשרשים ומספרים שישוו אלגוש
$\scriptstyle3x+4=x^2$	כמו אם יאמר שלשה שרשים וארבעה מספרים ישוו אלגו
two solution methods	בזאת השאלה שני אופנים
1) yields the root of the square	האחד יראך שורש האלגוש
2) yields the square	והאחר יראך האלגוש
	ועוד אבארם בתמונת גימטרייאות
The solution method that yields the root of the square	והאופן אשר יראך השורש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{6+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}$	הוא אשר תחצה השרשים ויהיה אחד וחצי ותרבהו על עצמו ויהיו שנים ורביע ותחברם עם הארבעה ויהיו ששה ורביע ותקח שרשם והוא שנים וחצי ותחברם עם חצי השרשים ויעלו ארבעה והוא שורש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגוש ששה עשר
The solution method that yields the square	והאופן אשר יראך האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)+\sqrt{\left(3^2\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)+\sqrt{\left(9\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(20+\frac{1}{4}\right)}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{56+\frac{1}{4}}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)+4=16\\\end{align}}}$	הוא שתרבה השלשה שרשים על עצמם ויהיה תשעה ותרבה אילו התשעה על הארבעה האדרהמיש אשר הנחת עם השרשים ויעלו ל"ו ותחצה התשעה ויהיו ארבעה וחצי ותרבם על עצמם ויהיו עשרים ורביע ותחברם עם השלשים וששה ויהיו חמישים וששה ורביע וקח שרשם והוא ז' וחצי ותחברם עם הארבעה וחצי שהם חצי תשעה ועם הארבעה האדרמהיש שיהיו עם השרשים ויהיה הכל ששה עשר והוא האלגוש
Normalization - as demonstrated in the first case	וכאשר תניח מן האלגוש יותר או פחות השיבם תמיד אל אלגוש אחד כאשר עשינו בשאילה הראשנה
	והעלה בזאת השאלה שהיו שלשה שרשים וארבעה מספרים שוים אל האלגוש
Geometric illustration of the solution method that yields the root of the square	הנה האופן אשר יראך השורש

ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}$	הוא שתשים האלגוש שטח מרובע עליו אבג"ד והוא שלשה שרשים וארבעה מספרים
	והוא ידוע ממה שאמרנו שלשה שרשים וארבעה מספרים שוים אל האלגוש
AHGN□ = 3√ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	ונקח משטח א"ד שטח אהג"נ ונניחהו שלשה שרשים משטח א"ד והוא ידוע ממה שאמרנו שלשה שרשים
HD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ושטח ה"ד נשאר ארבעה מספרים
C midpoint of AH	ותחצה קו א"ה על נקודת ח' והנה לך קו א"ה נחלק לחציים על נקודת ח'
(AB × BH) + HC² = CB²	ונוסף באורכו קו ב"ה ולכן הכאת א"ב בב"ה עם מרובע ה"ח ישוו להכאת ח"ב על עצמו
according to Euclid, Elements II	כדמבואר בשני לאקלידס
AB × BH = 4	אבל הכאת א"ב בב"ה ארבעה
AB = BD	בעבור כי קו א"ב שוה לקו ב"ד
HC² = 2¼	והכאת קו ה"ח על עצמו הוא שנים ורביע^[5]
(AB × BH) + HC² = 6¼	וחיבורם ששה ורביע
√6¼ = 2½	והנה שרשו שנים וחצי
CB = 2½	ולכן קו ח"ב שנים וחצי
CH = 1½	אבל קו ח"ה אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ומפני זה יהיה כל קו א"ב ארבעה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו שש עשרה
CK□ = CB²	ולבאר הדבר יותר נניח על קו ח"ב שטח מרובע עליו ח"כ
ME = KD	והוא ידוע שקו מ"ע כמו קו כ"ד
AB = BD	בעבור כי קו א"ב כמו קו ב"ד
BC = KB	וקו ב"ח כמו קו כ"ב
KD = AC	ונשאר כ"ד כמו א"ח
AC = CH	וא"ח כמו ח"ה
CH = ME	וח"ה כמו מ"ע
ME = KD	אם כן מ"ע כמו כ"ד
MT = ND	ונניח קו מ"ט כמו קו נ"ד
ET□ = MD□	ולכן יהיה שטח ע"ט כמו שטח מ"ד
HD□ = ET□ + MB□	ונשים שטח ה"כ משותף ויהיה שטח ה"ד כולו כמו שטח ע"ט מ"ב
HD□ = 4	ושטח ה"ד ארבעה
ET□ + MB□ = 4	אם כן שטחי ע"ט מ"ב ארבעה
CT□ is a square	והוא ידוע כי שטח ח"ט מרובע
BC = MH	בעבור כי קו ב"ח כמו קו מ"ה
MT = HB	וקו מ"ט כמו קו ה"ב
CH = HT	וישאר קו ח"ה כמו קו ה"ט
CH = 1½	וקו ח"ה אחד וחצי
CT□ = 2¼	ולכן שטח ח"ט שנים ורביע
CK□ = 6¼	וכל שטח ח"כ ששה ורביע
BC = 2½	וקו ב"ח שנים וחצי
AC = 1½	וקו א"ח אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וכל קו א"ב ארבעה והוא שורש האלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו ששה עשר
	ולזה האופן דרך אחרת

ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}$	והוא שנניח שטח מרובע עליו אבג"ד יהיה שלשה שרשים וארבעה מספרים
AC = 1½	ונבדיל מקו ג"א קו א"ח ונניחיהו אחד וחצי
CM \|\| AB	ונוציא קו ח"מ על נכחות הקו א"ב
AM = 1½√ABGD□	ושטח א"מ הוא שורש וחצי
ED = 1½	ונניח קו ע"ד אחד וחצי
ET \|\| BD	ונוציא ע"ט על נכחות ב"ד
EB□ = 1½√ABGD□	ושטח ע"ב הוא שורש וחצי
AM□ + ND□ + NB□ = 3√ABGD□	וידוע כי שטח א"מ ושטח נ"ד ושטח נ"ב שלשה שרשים
CE□ = 4 + NB□	וישאר שטח ח"ע ארבעה מספרים וכמו שטח נ"ב
NB□ = 2¼	ושטח נ"ב שנים ורביע
EC□ = 6¼	ולכן יהיה שטח ע"ח ששה ורביע
GC = 2½	וקו ג"ח שנים וחצי
CA = 1½	וקו ח"א אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AG = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וקו א"ג כלו ארבעה והוא שורש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו ששה עשר ומש"ל
Geometric illustration of the solution method that yields the square	ועלת האופן אשר יראך האלגוש

AB = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}$	הוא שנשים צלע האלגו קו א"ב והוא צלע שלשה שרשים וארבעה מספרים
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ויהיה קו ג"ב ממנו ארבעה מספרים
AG = 3√AB = $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	וישאר קו א"ג שלשה שרשים מקו א"ב
AGDH□ = AG²	ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו אגד"ה
AGDH□ = 9×(AB × 1)	וידוע כי הוא כמו תשעה פעמים קו א"ב מוכה על אחד
AN = 9×1	ונשים קו א"נ תשעה מאחדי קו א"ב
AH□ = AC□	ונשלים שטח א"ח ויהיה מפני זה שטח א"ח שוה למרובע א"ה^[6]
GK \|\| BC	ונמשיך קו ג"כ נכחי לקו ב"ח
AE = AN	ונבדיל מקו א"ד קו א"ע שוה לקו א"נ
EL \|\| DH	ונוציא קו ע"ל נכחי לקו ד"ה
EG□ = AK□	והנה שטח ע"ג שוה לשטח א"כ
EH□ = KB□	וישאר שטח ע"ה שוה לשטח כ"ב
KB□ = 36	אבל שטח כ"ב הוא שלשים ושש
GB = 4	מפני כי קו ג"ב ארבעה
GK = AN = 9	וקו ג"כ השוה לקו א"נ תשעה
EH□ = 36	ולכן שטח ע"ה גם הוא שלשים וששה
EA = AN = 9	וקו ע"א תשעה בעבור כי הוא שוה לקו א"נ
M midpoint of AE	ותחצה קו א"ע על נקודת מ' והנה כי קו ע"א נחלק לחצאים על נקודת מ'
(AD × DE) + EM² = DM²	ונוסף בארכו קו ע"ד ולכן יהיה הכאת קו א"ד בקו ד"ע והכאת ע"מ על עצמו שוים להכאת ד"מ על עצמו
according to Euclid, Elements II	כמבואר באקלידס במאמר שיני
AD × DE = EH□	אבל הכאת א"ד בד"ע הוא כמו שטח ע"ה
AD = DH	בעבור כי קו א"ד כמו קו ד"ה
EH□ = 36	ושטח ע"ה הוא שלשים ושש
AD × DE = 36	הנה הכאת א"ד בד"ע הוא שלשים וששה
EM² = 20¼	והכאת ע"מ על עצמו הוא עשרים ורביע
(AD × DE) + EM² = 36 + 20¼ = 56¼	ותחברם יחד ויהיו חמישים ושש ורביע
MD² = 56¼	אם כן הכאת קו מ"ד על עצמו חמשים ושש ורביע
MD = 7½	ולכן יהיה קו מ"ד שבעה וחצי
AM = 4½	וקו א"מ ארבעה וחצי
AD = AG = 12	אם כן קו א"ד כלו שנים עשר והוא שוה לקו א"ג
GB = 4	וקו ג"ב הוא ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$ = AB = $\scriptstyle{\color{blue}{16}}$	הנה כי קו א"ב ששה עשר והוא האלגו והוא מש"ל
	ואלו הששה חלקים אשר הגדנו בזה הספר וביארנו מלאכתם ועלותיהם
	הנה השלשה מהם נפרדים והם אלגוש ישוו שרשים והאלגו ישוו מספרים ושרשים ישוו מספרים
	ושלשה מחוברים והם אלגוש ושרשים ישוו מספרים ואלגוש ומספרים ישוו שרשים ושרשים ומספרים ישוו אלגוש
	והרבה מסופרי האלג'בר ואלמקאבלא לא יוכל להיות שלא יורוך קצת מהם
	ולכל חלק מאילו הששה חלקים שאלות אשר יורוך אותם בעלי המספר מהקובראמיינטו ומהקונפרונטאמיינטו
Multiplication of Algebraic Expressions
	ואתחיל ראשונה מהכאות הדברי' האחד באחר והדברים והמספרים על עצמם ועל הדברים ועל המספרים מלבד אילו אשר אמרנו ובענין אחר אשר לא יתכן בלעדי ידיעתו מי שירצה לקרות בספר הזה
	ואבאר לך באיזה צד יתרבו הדברים והם השרשים האחד באחד כאשר יהיו נפרדים או כאשר יהיו עם מספרים בין שיהיו נגרעים מהמספרים בין שיהיו המספרי' נגרעים מהם
	ובאיזה צד יתחברו אלו עם אלו
	וכיצד יגרע האחד מן האחר
	נגרעים מהם ובאיזה צד יתחברו כמ' שית' החלק הרביעי ב"ה מזה החלק הרביעי כמו שיתב' בו מזה תמ"ז מ"ז החלק הרביעי החלק הרביעי או
	וכאשר יהיו הדברים נוספים על המספרים יהיה החלק רביעי נוסף והחלק הרביעי אז הוא הכאת הדברי' זה עם זה והכאת המספרים האחד עם האחר
	בעבור כי כל שני מספרים שיוכו בשני מספרים אחרים לא יתכן מבלעדי שיתרבו ארבע פעמים
	והוא שיוכו שני המספרים הראשונים בכל אחד מן השנים המספרים האחרים ותהיה ההכאה ארבע פעמים
	וכאשר יהיו הדברים נגרעים מהמספרים יהיה החלק הרביעי נוסף והוא הכאת הדברים האחד באחר
	וכאשר היו האחד נוסף והאחר נגרע יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת הדברים האחד באחר
	וכאשר היו המספרים נגרעים מהדברים יהיה החלק הרביעי נוסף והחלק הרביעי אז הוא הכאת אחד המספרים באחר
	וכאשר היו אחד משני המספרים נוסף על הדברים והאחר נגרע מהדברים יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת אחד משני המספרים באחר
	וכאשר היו הדברים נוספי' על המספרי' ויהיה מספר אחד נגרע מהדברי' יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת הדברים נוספים במספר הנגרע
	וכבר הגדנו עם החלק רביעי מה הוא הראוי כפי מה שראיתי שבעלי המספר מתחילין עמו ובכפל
	ואפשר שיהיה החלק הרביעי מבלעדי אשר ספרנו אלא כי כלל הדבר שהכאת הנשנים האחד באחר תוספת והנשנה בנוסף נגרע והנוסף בנוסף נוסף
	ודע שהדברים בדברים אלגוש
	והדברים במספרים דברים ושרשים
	בעבור כי הדבר הוא השורש והשורש הוא הדבר והם שני שמות נופלים על ענין אחד
$\scriptstyle x\times10$	ואם יאמרו לך כמה יהיה דבר אחד בעשרה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	תאמר עשרה דברים
	וביאור זה שתשים הדבר בדמיון האחד ותכה האחד בעשרה ויהיו עשרה והם עשרה דברים
$\scriptstyle2x\times10$	ואם יאמרו כמה יהיו שני דברים על עשרה אהדרמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{2x\times10=20x}}$	תאמר עשרים
	וביאור זה שתשים השני דברים בדימיון שנים ממספר ותכה שנים בעשרה ויהיו עשרים דברים
	וכן כמה שתרצה מהדברים תשים לעולם כל דבר בדימיון האחר ותכה כל מספרי הדבר במספר האדרהמיש והעולה יהיו דברים
	בעבור כי כל מספר מהמספרים שיוכה במין אחד מהמינים יהיה כל אחד מהמינים בדמיון האחד
	אם היה דבר תשים אחד
	ואם היו שנים תשים שנים
	וכן אם היה אלגוש או דבר אחר איזה דבר שתרצה ותכהו על המספרים והעולה הוא מאותו המין
	ואשים לך על זה תמונה לבאר לך לעין אשר אמרתי
$\scriptstyle x\times x$	ואם יאמרו לך כמה יהיה דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	תאמר אלגוש
	ואופנו שתשים הדבר בדימיון האחד ותכהו על אחד ויהיה אחד והוא אלגוש
$\scriptstyle2x\times2x$	ואם יאמרו כמה יהיו שני דברים על שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{2x\times2x=4x^2}}$	תאמר ארבעה אלגוש כמו שבארתי לך
$\scriptstyle3x\times2x$	וכן שלשה דברים בשני דברים
	תכה שלשה בשנים ויהיו ששה אלגו
$\scriptstyle\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x$	וכן חצי דבר על חצי דבר
	יהיה רביע מאלגוש
	וכן כמה שתוסיף מהדברים או תגרע תשים כל דבר בדימיון האחד ותכה אילו האחדים עם האחדים האחרים והעולה מהם יהיה אלגוש
	ואשים לך על זה ענין אשר בו תבין משפט האלגוש והדבר
$\scriptstyle2x\times2x$	ואשים ענין זה בהכאת שני דברים בשני דברים

AG = $\scriptstyle{\color{blue}{2x}}$	נניח קו א"ג שני דברים
HG = $\scriptstyle{\color{blue}{2x}}$	וקו ה"ג שני דברים
AG × GH = AH□	והכינו קו א"ג בקו ג"ה והיה שטח א"ה
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4x^2}}$	ונאמר ששטח א"ה הוא ארבעה אלגוש
Proof	ומופת זה
AG = AB + BG	שנחלק קו א"ג על מספר מה שבו מן הדברים ויהיו חלקיו א"ב ב"ג
GH = GD + DH	ותחלק קו ג"ה על מספר מה שבו מן הדברים ויהיו חלקיו ג"ד ד"ה
BE \|\| GH	ותוציא מנקודת ב' קו אחד עד ע' על נכחות קו ג"ה
DC \|\| AG	ותוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ד"ח
CB□ = BD□ = DE□ = CE□	ונתחדשו מפני זה בשטח א"ה ד' מרובעים שוים והם מרובע ח"ב ומרובעי ב"ד וד"ע וח"ע
CB□ = BD□ = DE□ = CE□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וכל אחד מאילו המרובעים אלגו
AB × 1 = BG × 1 = GD × 1 = DH × 1 = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וכל אחד מקוי א"ב ב"ג ג"ד ד"ה מוכה באחד הוא דבר
	וזה הוא משפט האלגוש והדבר
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4x^2}}$	ושטח א"ה ארבעה אלגוש ומש"ל
$\scriptstyle3x\times6$	ואם יאמרו כמה יהיו שלשה דברים בששה אדרהמיש
	תשים השלשה דברים בדימיון שלשה ותכה שלשה בששה ויהיו שמונה עשרה והם שמנה עשר דברים

AB = $\scriptstyle{\color{blue}{6}}$	ודימיון זה שנשים קו א"ב ששה מהמספרים
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	וקו ב"ד שלשה דברים
AB × BD = AD□	ותכה קו א"ב בב"ד ויהיה שטח א"ד
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{18x}}$	ונאמר ששטח א"ד שמנה עשר דברים
Proof	ומופת זה
AB = AG + GH + HW + WZ + ZC + CB	שנחלק קו א"ב שהוא ששה על מה שבו מן האחדים ויצאו ששה חלקים והם א"ג ג"ה ה"ו ו"ז ז"ח ח"ב
DB = BT + TK + KD	ותחלק קו ד"ב אל מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו ב"ט ט"כ כ"ד^[7]
GE \|\| HP \|\| WN \|\| ZM \|\| CL \|\| BD	ותוציא מנקדות ג'ה'ו'ז'ח' קוים נכחיים לקו ב"ד והם קוי ג"ע ה"פ ו"נ ז"מ ח"ל
TQ \|\| KS \|\| AB	ועוד תוציא מנקודות ט"כ שני קוים נכחיים לקו א"ב והם קוי ט"ק כ"ס
AD□ consists of 16 equal quadrangles each is equal to CT□	ויהיה בשטח א"ד שמנה עשר שטחים שוים כמו שנגלה בתמונה כל שטח מהם שוה לשטח ח"ט
CT□ = BT × BC = $\scriptstyle{\color{blue}{x\times1}}$	ושטח ח"ט הוא מהכאת הדבר שהוא ב"ט באחד שהוא קו ב"ח
CT□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ושטח ח"ט דבר
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{18x}}$	ושטח א"ד כולו יהיה שמונה עשר דברי'
	וזהו משפט הכאת המספרים בדברים
	וזהו מה שאנו בבאורו
$\scriptstyle\left(10+x\right)\times x$	ואם יאמרו לך כמה יהיה עשרה אהדרמיש ודבר בדבר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}$	תאמר שהם עשרה דברים ואלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	ואופן מעשהו שתכה דבר בעשרה אדרהמיש ויהיו עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה דבר בדבר ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}$	ותקבצם ויהיו עשרה דברים ואלגוש אחד
Geometric illustration	ואבארהו לך בזאת התמונה

AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמיש
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וקו ב"ג דבר אחד
AG × BG = AD□	ותכה קו א"ג בקו ב"ג ויצא שטח א"ד
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}$	ונאמר ששטח א"ד עשרה דברים ואלגוש אחד
Proof:	ומופת זה
BH = GD	שקו ב"ה כמו קו ג"ד
GD = BG	וקו ג"ד כמו קו ב"ג
BH = BG	אם כן קו ב"ה כמו קו ב"ג
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	אבל קו ב"ג דבר אחד
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	אם כן קו ב"ה דבר אחד
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וקו א"ב עשרה
AH□ = AB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח א"ה הוא מהכאת א"ב בקו ב"ה ולכן הנה הוא עשרה דברים
BD□ = BG² = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ושטח ב"ד הוא אלגו כי הנה הוא מרובע והוא מהכאת ב"ג שהוא דבר על עצמו
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}$	ויהיה כל שטח א"ד עשרה דברים ואלגו אחד והוא מה שאנחנו בבאורו
$\scriptstyle\left(10-x\right)\times x$	ואם יאמרו לך עשרה אדרהמיש פחות דבר אחד על דבר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}$	תאמר עשרה דברים פחות אלגו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	ומעשהו שתכה עשרה אדרהמיש בדבר ויהיה עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה דבר על דבר ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}$	תגרעהו מהעשרה דברי' וישאר עשרה דברים פחות אלגו
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנשים העשרה אדרהמיש קו א"ג
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ונניח קו ב"ג דבר אחד
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}$	וישאר קו א"ב עשרה אדרהמיש פחות דבר
AG × BG = AD□	ותכה קו א"ג בקו ב"ג ויצא שטח א"ד
BH \|\| GD	ונוציא מנקדת ב' קו נכחי לקו ג"ד והוא קו ב"ה
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2}}$	ונאמר כי שטח א"ה עשרה דברים פחות אלגו
Proof:	ומופת זה
AD□ = AG × GD = $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot x=10x}}$	כי היה שטח א"ד עשרה דברים בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא עשרה בקו ג"ד שהוא דבר
GD = BG	בעבור כי ג"ד שוה לב"ג
BD□ = BG × GD = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ומרובע ב"ד אלגו בעבור כי הוא מהכאת קו ב"ג שהוא דבר בקו ג"ד השוה אליו
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2}}$	ולכן ישאר שטח א"ה עשרה דברים פחות אלגו ומש"ל
$\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)$	ואם יאמרו לך כמה יהיו עשרה אדרהמיש ודבר בעשרה אדרהמיש ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}$	תאמר מאה אדרהמיש ואלגו ועשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	ומעשיהו הוא שתכה עשרה על עשרה ויהיו מאה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	עוד תכה עשרה על דבר ויהיו עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	וחזור ותכה דבר על עשרה אדרהמיש ויהיו עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה עוד דבר על דבר ויהיה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}$	ותקבצם ויהיה כלו מאה אדרהמיש ואלגוש ועשרים דברים
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}$	והוא שנשים קו א"ב עשרה אדרהמיש ודבר
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וא"ג ממנו עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ב דבר
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}$	וכן תשים קו ב"ד עשרה דרהמיש ודבר
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ב"ה ממנו דבר
HD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וה"ד עשרה
AB × BD = AD□	ותכה קו א"ב בקו ב"ד ויצא שטח א"ד
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2+20x}}$	ונאמר כי שטח א"ד מאה אדרהמיש ואלגוש ועשרים דברים
Proof:	ומופת זה
GC \|\| BD	שנוציא מנקודת ג' קו נכחי לקו ב"ד והוא קו ג"ח
HZ \|\| AB	ונוציא מנקודת ה' קו נכחי לקו א"ב והוא קו ה"ז
GH□ is a square	הנה שטח ג"ה מרובע
ZC□ is a square	וז"ח מרובע
according to Euclid	כמו שביאר זה אקלידס
GZ□ = HC□	ושטח ג"ז כמו שטח ה"ח
ZC□ = AG × HD = $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}$	אבל שטח ז"ח מאה כי הוא הווה מהכאת א"ג שהוא עשרה בקו ה"ד שהוא גם כן עשרה
ZG□ = BH × AG = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}$	ושטח ז"ג עשרה דברים כי הנה הוא מהכאת ב"ה שהוא דבר בקו א"ג שהוא עשרה
CH□ = BH × HD = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}$	ושטח ח"ה עשרה דברים בעבור כי הוא הוה מהכאת ב"ה שהוא דבר בקו ה"ד שהוא עשרה
GH□ = GB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ושטח ג"ה המרובע הוא אלגו בעבור כי הוא מהכאת קו ג"ב שהוא דבר בקו ב"ה שהוא גם כן דבר
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2+20x}}$	ותקבץ הארבעה שטחים ויהיו כמו שטח א"ד והוא מאה אהדרהמיש ואלגוש ועשרים דברים ומש"ל
$\scriptstyle\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)$	ואם יאמרו לך כמה יהיה עשרה אדרהמיש פחות דבר בעשרה אדרהמיש פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}$	תאמר מאה אדרהמיש ואלגוש פחות עשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	ואופן מעשיהו שתרבה עשרה אדרהמיש על עשרה אדרהמיש ויהיו מאה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times10=-10x}}$	תכה דבר נגרע בעשרה אדרהמיש ויהיו עשרה דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-x\right)=-10x}}$	עוד תשוב להכות עשרה אדרהמיש בדבר נגרע ויהיו עשרה דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times\left(-x\right)=x^2}}$	ותרבה דבר נגרע בדבר נגרע ויהיה אלגו נוסף
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}$	ותקבץ כל זה ויהיה מאה ואלגו פחות עשרים דברים
Geometric illustration	ואבארהו לך בזאת התמונה

AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}$	והוא שתשים קו א"ב עשרה אדרהמיש פחות דבר שהוא ב"ג
GD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	ונשים קו ג"ד עשרה
GH = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ה ממנו דבר
ZC□ = AB × HD = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)}}$	ותכה קו א"ב שהוא עשרה אדרהמיש פחות דבר על קו ה"ד שהוא גם כן עשרה אדרהמיש פחות דבר ויהיה מרובע ז"ח
ZC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2-20x}}$	ונאמר שמרובע ז"ח מאה אדרהמיש ואלגו פחות עשרים דברים
	ומופת זה שנשלים שטח א"ד
BC \|\| GD	ונוציא מנקודת ב' קו ישר נכחי לקו ג"ד והוא קו ב"ח
HZ \|\| AG	ונוציא מנקודת ה' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ה"ז
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	ושטח א"ד מאה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	בעבור כי קו א"ג עשרה
GD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וג"ד עשרה
ZG□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח ז"ג עשרה דברים
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	בעבור כי קו א"ג עשרה
GH = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ה דבר
BD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	וכן שטח ב"ד עשרה דברים
GD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	בעבור כי קו ג"ד עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וקו ג"ב דבר
BH□ = BG × GH = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ושטח מרובע ב"ה הוא אלגוש בעבור כי הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בג"ה שהוא גם כן דבר
HC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2}}$	וישאר ה"ח עשרה דברים פחות אלגוס
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח א"ה עשרה דברים
GZ□ + HC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{20x-x^2}}$	ושטח ג"ז ושטח ה"ח יחד עשרים דברים פחות אלגוס
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	ושטח א"ד הוא מאה
ZC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2-20x}}$	וישאר שטח ז"ח מאה אדרהמיש ואלגו פחות עשרים דברים והוא מש"ל^[8]
$\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)$	ואם יאמרו לך עשרה אדרהמיש ודבר על עשרה אדרהמיש פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}$	תאמר מאה אדרהמיש פחות אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	ואופן מעשהו שתכה עשרה על עשרה ויהיה מאה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	ותכה הדבר הנוסף על עשרה ויהיה עשרה דברים נוספים
$\scriptstyle{\color{blue}{-x\times10=-10x}}$	ותכה הדבר הגורע על עשרה ויהיה עשרה דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(10x-10x\right)=100}}$	ותחסר הנוספים כנגד הנגרעים וישארו מאה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-x\right)=-x^2}}$	ותכה הדבר הנוסף בדבר הגורע ויהיה אלגו גורע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}$	ותגרע מהמאה אדרהמיש וישארו מאה פחות אלגוש
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}$	והיא שנשים קו א"ב עשרה ודבר
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	א"ג עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ב דבר
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}$	ונשים קו ב"ה עשרה דרהמיש פחות דבר
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	קו ב"ד עשרה
HD= $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וקו ה"ד דבר
AH□ = AB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\sdot\left(10-x\right)}}$	ונכה קו א"ב שהוא עשרה אדרהמיש ודבר בקו ב"ה שהוא עשרה פחות דבר ויהיה שטח א"ה
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}$	ונאמר ששטח א"ה הוא מאה אדרהמיש פחות אלגוש
Proof:	ומופת זה
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+10x}}$	שנשלים שטח א"ד והנה שטח א"ד מאה אדרהמיש ועשרה דברים
AC□ = AG × GC = $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}$	בעבור כי שטח א"ח מאה כי הוא מהכאת א"ג שהוא עשרה בג"ח שהוא גם כן עשרה
GD□ = GB × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}$	ושטח ג"ד עשרה דברים בעבור כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא עשרה
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+10x}}$	ויהיה כל שטח א"ד מאה אדרהמיש ועשרה דברים
ZC□ = CB□	ושטח ז"ח כמו שטח ח"ב
KC□ = MD□ squares	ותבדיל משטח ז"ח כמו שטח מ"ד המרובע והוא שטח כ"ח
KD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2+2x^2}}$	ויהיה מפני זה שטח כ"ד שנים מרובעים ושנים אלגוש
ZT□ = MB□	וישאר שטח ז"ט כמו שטח מ"ב
AM□ + ZT□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}$	ויהיה שטח א"מ ושטח ז"ט מאה אדרהמיש פחות אלגוש
KC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	בעבור כי שטח כ"ח אלגוש
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}$	ולכן שטח א"ה יהיה מאה אדרהמיש פחות אלגוש
$\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)$	ואם יאמרו לך כמה יהיה עשרה אדרהמיש ודבר על דבר פחות עשרה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}$	תאמר אלגוש פחות מאה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ואופן מעשיהו שתכה הדבר פחות עשרה אדרהמיש על עצמו ויהיה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	ותכה עשרה אדרהמיש נוספים על דבר ויהיה עשרה דברים נוספים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-10\right)=-10x}}$	ותכה הדבר על העשרה אדרהמיש נגרעים ויהיה עשרה דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\left(10x-10x\right)=x^2}}$	ותשליך העשרה דברים הנוספים כנגד העשרה דברים הנגרעים וישאר אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-10\right)=-100}}$	ותכה העשרה אדרהמיש נוספים בעשרה אדרהמיש נגרעים ויהיה מאה אדרהמיש נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}$	ותגרעם מהאלגו וישאר אלגו פחות מאה אדרהמיש
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}$	והוא שתשים קו א"ב עשרה אדרהמיש ודבר
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	א"ג עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ב דבר
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{x-10}}$	ונניח קו ב"ה דבר פחות עשרה
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ב"ד הוא הדבר
DH = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וד"ה עשרה
AH□ = AB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\sdot\left(x-10\right)}}$	ותכה קו א"ב שהוא עשרה אדרהמיש ודבר על קו ב"ה שהוא דבר פחות עשרה ויהיה השטח א"ה
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2-100}}$	ונאמר ששטח א"ה אלגו פחות מאה אדרהמיש
Proof	ומופת זה
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}$	שנשלים שטח א"ד ויהיה שטח א"ד עשרה דברים ואלגוס
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10x+x}}$	בעבור כי קו א"ב עשרה אדרהמיש ודבר
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וקו ב"ד דבר
GC \|\| BD	ונוציא קו ג"ח נכחי לקו ב"ד
GD□ = GB × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ויהיה שטח ג"ד מרובע והוא אלגו' בעבור כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא גם כן דבר
AC□ = CH□	ויהיה שטח א"ח כמו שטח ח"ה
CG = CD	בעבור כי קו ח"ג כמו קו ח"ד
AG = HD	וקו א"ג כמו קו ה"ד
AC□ + GH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ומפני זה יהיה שטח א"ח ושטח ג"ה יחד אלגוש
KC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	אבל שטח כ"ח מאה
AG = KL	בעבור כי א"ג כמו כ"ל
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וא"ג עשרה
KL = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	לכן כ"ל עשרה
LC = HD	ול"ח כמו ה"ד
HD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וה"ד עשרה
LC = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	לכן ל"ח עשרה
KC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	ולכן שטח כ"ח מאה
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2-100}}$	וישאר שטח א"ה אלגו פחות מאה אדרהמיש ומש"ל
$\scriptstyle\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)$	ואם יאמרו לך כמה יהיו עשרה אדרהמיש ושני שלישי דבר על שלשה אדרהמיש פחות ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}$	תאמר שלשים אדרהמיש פחות ארבעה אלגוש ופחות חמשים ושמנה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times3=30}}$	ואופן מעשיהו שתכה עשרה אדרהמיש על שלשה אדרהמיש ויהיו שלשים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times3=2x}}$	ותכה שני שלישי דבר על שלשה אדרהמיש ויהיו שני דברים נוספים
$\scriptstyle{\color{blue}{-6x\times10=-60x}}$	ותכה ששה דברים נגרעים על עשרה אדרהמיש ויהיו שישים דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(60x-2x\right)=30-58x}}$	ותשליך שני הדברים הנוספים כנגד השני דברים מן הנגרעים וישארו שלשים אדרהמיש פחות חמישים ושמנה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{-6x\times\frac{2}{3}x=-4x^2}}$	ותכה הששה דברים נגרעים על שני שלישי דבר הנוספים ויהיו ארבעה אלגוש נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}$	ותגרעם משלשים אדרהמיש וישארו שלשים אדרהמיש פחות ארבעה אלגו ופחות נ"ח דברים
	ואשר ביארתי והוספתי ביאור מכפל הדברים והמספרים האחד באחר הוא אשר ממנו תוכל לעשות כל אשר יפול מידך מזה השער
Roots
Doubling of Roots	וכאשר תרצה לכפול שורש ממספר ידוע או מאלגוש בלתי ידוע
	ורצוני בהכפלה הנה לקיחת שני שרשיו
	וכאשר תרצה שיהיו שני שרשי המספר הידוע או מהאלגוש הבלתי ידוע שורש מספר אחר או מאלגו אחר תניח השני שרשים בדמיון שנים ותכה שנים על שנים והעולה תכהו על המספר הידוע או על האלגו הבלתי ידוע
	וכאשר תרצה שלשה שרשים תכה שלשה על שלשה ועל האלגוש הבלתי ידוע או על המספר הידוע ויהיה שורש העולה שלשה שרשים מהמספר הידוע או מהאלגוש הבלתי ידוע
	וכאשר תרצה לחצות השורש תכה חצי על חצי ויהיה רביע ותכה רביע על האלגו הידוע או על הבלתי ידוע ויהיה שורש העולה מההכאה הוא חצי שורש המספר הידוע או מהבלתי ידוע
	וכן כל מה שתוסיף או תגרע מהשרשים כמו שאמרנו
$\scriptstyle2\sdot\sqrt{16}$	ודמיון זה כאשר רצינו לכפול שורש ששה עשר
	תכה שנים על שנים ויהיו ארבעה ותכה הארבעה בששה עשר ויהיו שישים וארבעה ושורשו הוא שמנה והם שני שרשי ששה עשר
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה
ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{16}}$	והוא שנניח הששה עשר שטח מרובע עליו אבג"ד
GD = √AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}}}$	וקו ג"ד הנה הוא שורש מרובע א"ד
extending line GD straight to H	וכאשר נרצה לכפול זה השטח נוציא קו ג"ד על יושר עד ה'
GH = GD	ונשים ג"ה שוה לג"ד
HD = 2√ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{16}}}$	ויהיה קו ה"ד שני שרשים משטח א"ד
	וכאשר נרצה לדעת שורש איזה מספר הוא
HZ□ = HD²	נשים על קו ה"ד שטח מרובע עליו ה"ז
HZ□ = 4×GB□	ונאמר ששטח ה"ז ארבעה דימיוני שטח ג"ב
Proof:	ומופת זה
extending line GA straight to C	שנוציא קו ג"א על יושר עד נקודת ח'
extending line AB straight to T	וקו א"ב על יושר עד נקודת ט'
HZ□ = GB□ + BC□ + CT□ + TG□ GB□ = BC□ = CT□ = TG□	ויהיה בשטח ה"ז ארבעה מרובעים שוים והם מרובעים ג"ב ב"ח ח"ט ט"ג
HZ□ = 4×GB□	והוא מבואר שמרובע ה"ז ארבעה דימיוני מרובע ג"ב
GB² = 16	ומרובע ג"ב שש עשרה
HZ□ = 64	ולכן יהיה מרובע ה"ז ששים וארבע
HD = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}=8}}$	ויהיה קו ה"ד שורש ששים וארבע והוא שמנה ומש"ל
$\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}$	וכאשר תרצה לקחת חצי שורש תשעה
	תכה חצי על חצי ויהיה רביע ותכהו על תשעה ויהיה שנים ורביע וקח שורשו והוא אחד וחצי והוא יהיה חצי שורש תשעה
$\scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}$	וכאשר תרצה לקחת שני שלישי שורש תשעה
	תכה שני שלישים על שני שלישים והם ארבע תשיעיות ותכם על תשעה ויהיו ארבעה ושורשו שנים והם שני שלישי שורש תשעה
Geometric illustration	ואבאר לך זה בזאת התמונה
ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	והוא שנשים התשעה שטח מרובע עליו אבג"ד
GD = √AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	ויהיה קו ג"ד שורש תשעה והוא שורש שטח מרובע א"ד
	וכאשר נרצה לדעת שורש איזה מספר הוא
KZLD□ = ZD²	נעשה על קו ז"ד שטח מרובע עליו כזל"ד
KZLD□ = ⁴/₉GB□	ונאמר ששטח כזל"ד ארבע תשיעיות שטח ג"ב והם ארבעה ממספר
Proof:	ומופת זה
extending line ZK straight to T	שנוציא קו ז"כ על יושר עד נקודת ט'
HC \|\| BD	ותוציא מנקודת ה' קו ה"ח נכחי לקו ב"ד
EP \|\| AB	ותוציא מע' קו ע"פ נכחי לקו א"ב
GB□ = HE□ + EM□ + MB□ + MT□ + TS□ + KN□ + PK□ + PZ□ + ZN□ HE□ = EM□ = MB□ = MT□ = TS□ = KN□ = PK□ = PZ□ = ZN□	ובזה יעשו בשטח ג"ב תשעה שטחים שוים והם ה"ע ע"מ מ"ב מ"ט ט"ס כ"נ כ"פ פ"ז ז"נ
ZL□ = ⁴/₉GB□	ויהיה שטח ז"ל ארבעה מאילו התשעה השטחים וזה השטח יהיה ארבעה תשיעיות משטח ג"ב
GB□ = 9	ושטח ג"ב תשעה
ZL□ = 4	ויהיה שטח ז"ל ארבעה
ZD= $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וקו ז"ד שורש ארבעה ומש"ל
	וכל מה שיפול בידך מזה המין תעשה בו ככה
Multiplication of Roots
$\scriptstyle\sqrt{9}\times\sqrt{4}$	ואם תרצה להכות שורש תשעה על שורש ארבעה
	תכה ארבעה על תשעה ויהיו שלשים ושש תקח שורשו והוא ששה והוא הכאת שורש תשעה על שורש ארבעה
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	והוא שתשים קו א"ב שורש תשעה
BG□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וקו ב"ג שורש ארבעה
	וכאשר תרצה להכות קו א"ב על קו ב"ג
AC□ = AG²	תשים על קו א"ג שטח מרובע עליו א"ח
BZ \|\| AH; GC	ותוציא מנקודת ב' על קו ב"ג קו נכחי לקוי א"ה ג"ח והוא קו ב"ז
AH = GC = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}}}$	וכל אחד מקוי א"ה ג"ח שורש תשעה ושורש ארבעה
MG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	ונשים קו מ"ג שורש תשעה
MC = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וישאר קו מ"ח שורש ארבעה
NK \|\| AG; HC	ונוציא מנקודת מ' קו ישר נכחי לקוי א"ג ה"ח והוא קו מ"כ
EA□ = 9	ויהיה שטח ע"א תשעה
BE = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	וקו ב"ע שורש תשעה
EC□ = 4	ושטח ע"ח ארבעה
ZE = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וקו ז"ע שורש ארבעה
ZE = EM	כי ז"ע שוה לע"מ
EM = BG	וקו ע"מ כמו קו ב"ג
EB = EK	וע"ב כמו ע"כ
ME : EK = ZE : EB	ויחס מ"ע אל ע"כ כיחס ז"ע אל ע"ב
ZE : EB = ZK□ : EA□	ויחס ז"ע אל ע"ב כיחס שטח ז"כ אל שטח ע"א
	ולכן יהיה הכאת המספרים אשר בשטח ז"מ אל המספרים אשר בשטח ע"א כמו הכאת המספרים אשר בשטח ז"כ על עצמם
	וכבר ביאר זה אקלידס ואמר כי כאשר היו שלשה מספרים מתייחסים יהיה הכאת המספר הראשון בשלישי כמו הכאת השיני על עצמו
	אבל הכאת מה שבשטח ע"ח מהאחדים שהם ארבעה על אחדי שטח ע"א שהם תשעה יהיה שלשים ושש
	והכאת מה שבשטח ז"כ מהאחדים על עצמם יהיה כמו כן שלשים ושש
	ושטח ז"כ שורש שלשים ושש והוא ששה והוא הוה מהכאת שורש תשעה על שרש ארבעה בעבור כי קו כ"ע שרש תשעה וע"ז שרש ארבעה ומש"ל
$\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)$	ואם יאמרו לך כמה יהיו הכאת שני שרשי עשרה על חצי שורש חמשה
	תסתכל שני שרשי עשרה שורש של איזה מספר הם על הדרך שהראיתיך
	ותמצא שהם שרש לארבעים
	ותחפש לאי זה המספר הוא שורש חצי שורש חמשה
	ותמצא שהוא שורש לאחד ורביע
	ויהיה כאלו שאלו כמה יהיה הכאת שורש ארבעים על שורש אחד ורביע
	ותכה ארבעים על אחד ורביע ויהיו חמישים
	ותאמר שורש חמישים הוא הכאת שני שרשי עשרה על חצי שורש חמשה
Geometric illustration	ואניח לך על זה המעשה תמונה כוללת
	כל מספר שיוכה על מספר ונקח שורש העולה יהיה כמו הכאת שורש מספר אחד מהם לשרש מספר האחר
A; B are numbers	משל זה שנשים ב' א' שני מספרים
G = √B	ושורש ב' ג'
D = √A	ושורש א' ד'
Z = B × A	ונכה ב' על א' ויהיה ז'
C = G × D	ונכה ג' על ד' ויהיה ח'
C = H H = √Z	ונאמר שח' כמו ה' שהוא שורש ז'
Proof	ומופת זה
B = G²	שג' מוכה על עצמו היה ב'
C = G × D	ומוכה על ד' היה ח'
G : D = C : A	ויהיה יחס ג' אל ד' כיחס ח' אל א'
G : D = B : C	והיה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח'
B : C = C : A	ולכן יהיה יחס ב' אל ח' כיחס ח' אל א'
B × A = C²	והכאת ב' על א' יהיה כמו הכאת ח' על עצמו
B × A = Z	אבל הכאת ב' על א' הוא ז'
C² = H²	והכאת ח' על עצמו יהיה כמו הכאת ה' על עצמו
C = H	וח' כמו ה' ומש"ל
	וכמה שהוספתי וביארתי מזה המין בו השלמה
	גם דע כי כאשר תכה המחלק על העולה לחֶלק ישוב המספר שחלקת
	משל זה כאשר חלקת עשרה על שנים ויצא לכל חלק חמשה ותכה חמשה על שנים ויהיו עשרה והוא המספר הנחלק
Geometric illustration	ואשים לזה המעשה תמונה כללית
	כל מספר שיהיה נחלק על מספר אחר יהיה הכאת העולה לכל חלק על המספר המחלק כמו מספר הנחלק
A ÷ B = G	משל זה שא' המספר הנחלק וב' הוא המחלק וחלקנו א' על ב' ועלה לכל חלק ג'
B × G = A	ואומר שהכאת ב' על ג' הוא א'
Proof	ומופת זה
A ÷ B = G	כי כבר נחלק א' על ב' ועלה הג'
	ולכן יהיה ג' בא' כל כך פעמים כמו שהוא בב' מן האחדים
G : A = 1 : B	ויהיה מפני זה יחס ג' אל א' כיחס האחד אל ב'
1 × A = G × B	והכאת האחד על א' כהכאת ג' על ב'
1 × A = A	אבל הכאת האחד על א' הוא א'
B × G = A	אם כן הכאת ב' על ג' הוא גם כן א' ומש"ל
Division of Roots
$\scriptstyle\sqrt{9}\div\sqrt{4}$	ואם יאמרו תחלק שורש תשעה על שורש ארבעה
	תחלק תשעה על ארבעה ויגיע לכל חלק שנים ורביע תקח שורשו והוא אחד וחצי והוא שורש תשעה מחולק על שורש ארבעה
$\scriptstyle\sqrt{10}\div\sqrt{2}$	ואם יאמרו תחלק שורש עשרה על שורש שנים
	תחלק עשרה על שנים ויעלה אל החלק חמשה וקח שורשו
$\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}$	ואם יאמרו לך תחלק שנים שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה
	תחפש שנים שרשים מעשרים לאיזה מספר הם שורש
	וידענו ממה שביארנו שהם שורש לשמנים
	ותחפש כמו כן שלשה שרשים מששה לאיזה מספר הם
	ותמצא שהם שורש לחמישים וארבעה
	ותחלק שמנים על חמישים וארבעה ויעלה אל החלק אחד וארבעה תשיעיות ושלישית התשיעית
	ושורש זה הוא מה שיעלה אל החלק מחלוקת שנים שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה
	וכן כל אשר יפול בידך מזה המין עשה כן כמעשה הזה
Geometric illustration	ואמשיל לך מזה המין בתמונה כוללת
	והוא זה כל שני מספרים שיחלק האחד על האחר יהיה שורש העולה אל החלק כמו העולה מחלוקת שורש המספר הנחלק על שורש המספר המחלק
A ÷ B = G	משל זה שמספר א' נחלק על מספר ב' ועלה מספר ג'
C = √A	ושורש מספר א' הוא ח'
D = √B	ושורש מספר ב' הוא ד'
C ÷ D = E	וחלקנו ח' על ד' ועלה ע'
E = √G	ונאמר שע' הוא שורש ג'
Proof:	ומופת זה
A ÷ B = G	שא' נחלק על ב' ועלה ג'
	ויהיה מפני זה ג' ימנה א' במספר מה שבב' מן האחדים
	וכן יהיו אחדי ד' במספר דימיוני ע' בח'
$\scriptstyle1\times1=1$	ואחד מוכה על אחד הוא אחד
D²=B	וד' מוכה על עצמו הוא ב'
E²=M	וע' מוכה על עצמו הוא מ'
	ומספר אחדי ב' יהיו כמו דימיוני מ' בא'
	אבל מספר אחדי ב' יהיה כמספר דימיוני ג' בא'
	הנה כי מספר דימיוני ג' בא' יהיה כמספר דימיוני מ' בא'
	וג' ישוה למ' וע' הוא שורש מ' הנה כי ע' שורש ג' ומש"ל^[9]
Addition of Roots	בחבור השרשים האחד עם האחר
	וכאשר תרצה לחבר שורש מספר מהמספרים אל שורש מספר אחר עד שיחובר שורש איזה אלגוש
	הנה זה לא יתכן בכל מספר אבל יתכן בשני מספרים מרובעים
	רצוני במספרים המרובעים שיחזיקו שורש
	או בשני מספרים שכאשר נחלק האחד על האחר עלה אל החלק שורש וכאשר תכה האחד על האחר היה המקובץ שורש
	ובמספרי' אחרים מבלעדי אילו לא יתכן שתחבר שני שרשיהם עד שתשיבנה שורש אחד
	וכן בגרוע האחד מן האחר
	ואלו יהיו הרבה מבוארים
$\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}$	ויהיו שני המספרים המרובעים תשעה וארבעה וכאשר תרצה לחבר שורש תשעה ושורש ארבעה עד שיהיו שורש למספר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}&\scriptstyle=\sqrt{\left(9+4\right)+2\sqrt{9\sdot4}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13+2\sqrt{36}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13+12}\\&\scriptstyle=\sqrt{25}=5\\\end{align}}}$	תחבר תשעה וארבעה ויהיו י"ג ותכה תשעה על ארבעה ויהיו שלשים וששה וקח שני שרשיו והם שנים עשר תחברם עם שלש עשרה ויהיו עשרים וחמשה ושרשו חמשה והם שורש תשעה ושורש ארבעה מקובצים
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	וזה שנניח קו א"ב שורש תשעה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וקו א"ג שורש ארבעה
	וכאשר נרצה לדעת קו ג"ב שורש איזה מספר הוא
GZ□ = GB²	נעשה על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ז
GB = √GZ□	ויהיה קו ג"ב שורש ג"ז
ABKL□ = AB²	ונעשה על קו א"ב שטח מרובע עליו אבכ"ל
extending line AK straight to C	ונוציא א"כ על יושר עד נקודת ח'
extending line LK straight to E	וקו ל"כ על יושר עד נקודת ע'
KB□ = 9	ויהיה שטח כ"ב תשעה
	בעבור כי קו א"ב הוא שורש תשעה
	ושטח ע"ח ארבעה בעבור כי א"ג הוא שורש ארבעה וא"ג כמו ע"כ
	ושטח א"ע ששה כי הוא מהכאת שורש תשעה שהוא קו א"ב על שורש ארבעה שהוא קו א"ג
	ושטח ג"ז עשרים וחמשה
	וקו ג"ב הוא שורשו והוא חמשה ומש"ל
Subtraction of Roots	בגרעון השרשים האחד מן האחר
$\scriptstyle\sqrt{9}-\sqrt{4}$	וכאשר תרצה לגרוע שרש ארבעה משורש תשעה עד שיהיה מה שישאר משורש תשעה שורש מספר אחד פחות שורש מהמספר האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{9}-\sqrt{4}&\scriptstyle=\sqrt{\left(9+4\right)-2\sqrt{9\sdot4}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13-2\sqrt{36}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13-12}\\&\scriptstyle=\sqrt{1}=1\\\end{align}}}$	תחבר התשעה עם הארבעה ויהיו שלשה עשר ותכה תשעה על ארבעה ויהיו שלשים וששה קח שני שרשיו והם שנים עשר ותחסרם מן השלשה עשר וישאר אחד ושורש האחד הוא יהיה הנשאר משורש תשעה בחסרך ממנו שורש ארבעה והוא אחד
Geometric illustration	ואבארהו לך בזאת התמונה
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	והוא שנניח קו א"ב שורש תשעה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	ושורש א"ג שורש ארבעה
GB = AB - AG	וכאשר נגרע קו א"ג מקו א"ב ישאר קו ג"ב
GB = ?	וכאשר נרצה לדעת מספר קו ג"ב שורש איזה מספר הוא
AZ□ = AB²	נשים על קו א"ב שטח מרובע עליו א"ז
AZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	ויהיה שטח א"ז תשעה
AM□ = AG²	ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו א"מ
AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ויהיה שטח א"מ ארבעה
extending line CM straight to N	ותוציא קו ח"מ על יושר עד נ'
extending line GM straight to K	וקו ג"מ על יושר עד כ'
	והוא ידוע כי מרובע מ"ז הוא מהכאת קו ג"ב על עצמו
	ושטח ח"כ שנים בעבור כי כל שטח א"כ ששה כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שורש ארבעה בא"ה שהוא שורש תשעה
	ושטח א"מ ארבעה
	וישאר שטח ח"כ שנים
	ולזה יהיה שטח מ"ב שנים
	וישאר מרובע מ"ז אחד
	וקו מ"נ הוא שורשו והוא אחד
	וכבר היה קו מ"נ כמו קו ג"ב ומש"ל
$\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$	וכאשר תרצה לחבר שרש שמנה עשר ושרש שמנה עד שיהיו שורש המספר האחד פחות שורש המספר האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	זה המספר יתכן לחברו בעבור כי כאשר תחלק שמנה עשר על שמנה יגיע לחלק שנים ורביע ומחזיק שורש ושורשו הוא אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{8}{18}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}}}$	ואם תחלק שמנה על שמנה עשר יגיע לחלק ארבע תשיעיות ומחזיק שורש ושורשו הוא שני שלישים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18\sdot8}=\sqrt{144}=12}}$	ואם תכה י"ח על ח' יהיו קמ"ד ומחזיק שורש ושרשו י"ב
	וכל מספר שתחבר שורשו אל שורש מספר אחר ויהיה משפטו זה המשפט יהיו שני שרשיהם מחוברים עד שיהיו שורש מספר אחד
	וכאשר היה ספק אחד מאלו השלש ספקות אשר אמרנו אשר ימצאו במספרים יהיו השלשה ספיקות נמצאים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}&\scriptstyle=\sqrt{\left(18+8\right)+2\sqrt{18\sdot8}}\\&\scriptstyle=\sqrt{26+2\sqrt{144}}\\&\scriptstyle=\sqrt{26+24}\\&\scriptstyle=\sqrt{50}\\\end{align}}}$	וכאשר תרצה לדעת שורש איזה מספר הוא תעשה כאשר אמרנו והוא שתחבר ח' עם י"ח ויהיו כ"ו ותשמרם ותכה ח' על י"ח ויהיו קמ"ד ותקח שני שרשיו והוא כ"ד ותחברם על הכ"ו ששמרת ויהיו נ' ושורשו הוא שורש ח' ושורש י"ח מקובצים
$\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}$	ואם רצונך לגרוע שורש ח' משורש י"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}}}$	תגרע הכ"ד מהכ"ו וישארו שנים ושורש שנים הוא שרש י"ח פחות שורש ח'
	ואם באת לחבר שורש עשרה עם שורש שנים זה לא יתכן לחברו ולא יתכן היותו שורש למספר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}$ no root	בעבור כי כאשר תחלק עשרה על שנים יגיע לחלק חמשה והחמשה אינם מחזיקים שורש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{10}}=\sqrt{\frac{1}{5}}}}$ no root	וכאשר תחלק שנים על עשרה יגיע לחלק חומש ואין שורש לחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10}=\sqrt{20}}}$ no root	ואם תכה שנים על עשרה יהיו עשרים ואין שורש לעשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}+\sqrt{2}=\sqrt{12+2\sqrt{20}}}}$	ואם תחברם כאשר הראיתיך יהיו שנים שרשים מעשרים מחוברים עם שנים עשר ושורשו הוא שורש עשרה ושורש שנים
	ואם בקשת לחסר האחד מן האחר
	תעשה כאשר אמרתי ויצא שנים עשר פחות שנים שרשים מעשרים ושורש הנשאר הוא שרש עשרה פחות שורש שנים
	והשאלה בזה יותר נכונה מהתשובה
	וראוי לך כאשר ישאלו ממך איזה דבר מזה הסוג שתהיה תשובתך עליה על דמיון אשר יוציאו לפניך בשוה
	כי כאשר תאמר שורש עשרה ושורש שנים יותר נכון מלאמר שנים עשר ושנים שרשים מעשרים ולקוח שורשו
	ויותר נכון לומר בגרעון האחד מן האחר שורש עשרה פחות שורש שנים מלומר שנים עשר פחות שני שרשים מעשרים ולקוח שורש הנשאר שיהיה שורש עשרה פחות שורש שנים
	ושנים שרשים מעשרים יהיה שורש משמנים
	ועם אשר ביארתי מזה בו השלמה

Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations
	ואלו הששה בקשות אשר הראיתיך הנני עושה לך לכל חלק מהששה חלקים שאלה אשר כבר יורוך אותם חכמי האלג'בר
1) The first problem	והשאלה הראשנה מן הששה היא
If you are told: divide ten into two parts, then multiply one part by the other and multiply the larger part by itself. The [product] of the part that is multiplied by itself is the same as the product of the one part by the other and as its half. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=\left(a\sdot b\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(a\sdot b\right)\end{cases}$	אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים ותכה החלק האחד על האחר ותכה החלק הגדול על עצמו ויהיה החלק המוכה על עצמו כמו הכאת החלק האחד על האחר וכמו חציו
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שנניח החלק הגדול דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והחלק האחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$	ותכה דבר על עשרה פחות דבר ויהיו עשרה דברים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה החלק הגדול על עצמו והוא דבר ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(10x-x^2\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(10x-x^2\right)}}$	וזה האלגו יהיה כמו עשרה דברים פחות אלגו וכמו חצי זה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10x-x^2\right)=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}$	ותכה עשרה דברים פחות אלגוס על אחד וחצי ויעלה חמשה עשר דברים פחות אלגו וחצי ואלו ישוו אלגוש
$\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot x^2=15x$	ותניח^[10] החמשה עשר עם האלגו וחצי עד שיהיו ט"ו דברים ותחבר האלגו וחצי עם האלגו ויהיה אז שני אלגוש וחצי ישוו חמשה עשר דברי'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6x}}$	ולכן האלגו ישוה ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	והדבר ישוה ששה והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}$	והחלק האחר יהיה ארבעה והוא הנשאר מעשרה
this problem demonstrates the first of the six canonical equations: $\scriptstyle ax^2=bx$	וזאת השאלה אראך לחלק הראשון מהששה חלקים והוא אלגוש ישוו שרשים
Geometrical illustration of the problem	ואבאר זאת השאלה בתמונה מהתמונות
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	א"ג החלק הגדול
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	וג"ב החלק הקטן
GD□ = AG × GB	ונכה קו א"ג על קו ג"ב ויהיה שטח ג"ד
GH = AG	בעבור שהנחנו קו ג"ה כמו קו א"ג
AH□ = AG²	ונכה קו א"ג על עצמו ויהיה שטח מרובע א"ה
AH□ = GD□ + ½GD□	אבל שטח א"ה כמו שטח ג"ד וכמו חציו
GA = GB + ½GB	ולכן קו ג"א יהיה כמו קו ג"ב וכמו חציו
AB = 2½GB	וקו א"ב כולו יהיה כמו קו ג"ב שני פעמים וחצי
AB = 10	אבל קו א"ב עשרה
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ = 4	יהיה קו ב"ג ארבעה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ = 6	וקו א"ג ששה ומש"ל
2) The second problem	והשאלה השנית
You divide ten into two parts, then multiply one of them by itself and multiply the ten by itself. The product of ten by itself is the same as the product of one of the parts by itself 6¼ times. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle10^2=a^2\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\end{cases}$	עשרה תחלקהו לשני חלקים ותכה אחד מהם על עצמו ותכה העשרה על עצמו ויהיה העולה מהכאת עשרה על עצמו כמו העולה מהכאת אחד החלקים על עצמו ששה פעמים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכהו על עצמו והוא אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}$	ותכה העשרה על עצמו ויהיה מאה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100}}$	ואלו המאה יהיו כמו האלגו ששה פעמים ורביע ותכה האלגו על ששה ורביע ויהיה ששה אלגוש ורביע יישוו מאה
Normalization of $\scriptstyle\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100 /\sdot\frac{4}{25}=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	והשיבם אל אלגו אחד והוא ארבעה חלקים מעשרים וחמשה והם ארבעה חומשים מהחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	וקח מהמאה ארבעה חומשים מהחומש ויהיו שש עשרה ואלו הששה עשר ישוו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ושרשו ארבעה והוא החלק המבוקש
this problem demonstrates the second of the six canonical equations: $\scriptstyle ax^2=c$	וזאת השאלה הראיתיך לחלק שני מהששה חלקים שהוא אלגוש ישוו מספרים
Geometrical illustration of the problem	ואבאר לך בזאת התמונה
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
	וג"ב המספר המבוקש
AM□ = AB² = $\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100}}$	ואכה קו א"ב שהוא עשרה על עצמו ויהיה מאה והוא שטח א"מ
GD□ = GB²	ואכה קו ג"ב שהוא החלק המבוקש על עצמו ויהיה מרובע ג"ד
AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$ = 6¼GD□	ושטח א"מ שהוא מאה הוא ששה פעמים ורביע מרובע ג"ד
dividing GD□ into four identical parts each is equal to BC□	ותחלק מרובע ג"ד לארבעה חלקים שוים כל אחד מהם כמו שטח ב"ח
AM□ = 25CB□	ויהיה שטח א"מ עשרים וחמשה פעמים כמו שטח ח"ב
AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	ושטח א"מ מאה
BC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ושטח ב"ח ארבעה
GD = $\scriptstyle{\color{blue}{16}}$	וג"ד שש עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וקו ג"ב ארבעה והוא החלק המבוקש ומש"ל
3) The third problem	והשאלה השלישית
Divide ten into two parts, then divide the larger part by the smaller part and the result is four. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=4\end{cases}$	תחלק עשרה לשני חלקים ותחלק החלק הגדול על החלק הקטן ויגיע לחלק ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שנשים החלק הקטן דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והגדול עשרה פחות דבר
$\scriptstyle\frac{10-x}{x}=4$	ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויגיע לחלק ארבעה
	כבר הראיתיך כי כאשר תכה המגיע לחלק על המחלק שיעלה המספר המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{10-x=4x}}$	אחרי כן תכה דבר על ארבעה ויהיו ארבעה דברים ישוו עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{10=4x+x}}$	ותכלול ^[11] העשרה עם הדבר עד שיהיו עשרה אדרהמיש ותחבר דבר עם הארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{10=5x}}$	ויהיה עשרה ישוו חמשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}$	והדבר ישוה שני אדרהמיש
this problem demonstrates the third of the six canonical equations: $\scriptstyle bx=c$	וזאת השאלה הוצאתיה לחלק שלישי מהששה חלקים והוא הדברים ישוו המספרים
Geometrical illustration of the problem	ואבארה בזאת התמונה
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וג"ב החלק הקטן
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	וקו א"ג החלק הגדול
AG ÷ GB = 4	וכאשר נחלק קו א"ג על קו ג"ב יעלה לחלק ארבעה
AG = 4×GB	וא"ג יהיה ארבעה כפלי ג"ב
AB = 5×GB	וא"ב יהיה חמשה כפלי ג"ב
GB = ⅕AB	וג"ב הוא חמישית א"ב
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	אבל א"ב עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וג"ב שנים ומש"ל
4) The fourth problem	והשאלה הרביעית
We divided ten into two parts, then we multiplied the smaller part by nine and the larger part by itself and the [products] were equal. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=9b\end{cases}$	חלקנו עשרה לשני חלקים והכינו החלק הקטן על תשעה והגדול על עצמו והיו שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שנשים החלק הגדול דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והקטן עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה דבר על עצמו והוא אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot9=90-9x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{90-9x=x^2}}$	ותכה עשרה פחות דבר על תשעה ויהיו תשעים אדרהמיש פחות תשעה דברים ישוו אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x=90}}$	ותציעם ^[12] עם התשעה דברים ותוסיפם על האלגוש ויהיה אלגוש ותשעה דברים ישוו תשעים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2+90}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)^2+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{1}{2}\right)-\left(4+\frac{1}{2}\right)=6\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא לך הדבר הוא שתקח חצי הדברים ויהיו ארבעה וחצי ותכם על עצמם ויהיו עשרים ורביע ותוסיפם על התשעים ויהיו מאה ועשר ורביע ושרשו הוא עשרה וחצי ותגרע מהם מחצית השרשים שהוא ארבעה וחצי וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)+90-\sqrt{\left(9^2\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)+90-\sqrt{\left(81\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(40+\frac{1}{2}\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(1640+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{8930+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\left(94+\frac{1}{2}\right)=\left(130+\frac{1}{2}\right)-\left(94+\frac{1}{2}\right)=36\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא לך האלגו הוא שתכה התשעה דברים על עצמם ויהיה שמנים ואחד ותכם על התשעים ויהיה שבעת אלפים ומאתים ותשעים וקח מחצית שמנים ואחד ויהיה ארבעים וחצי ותכם על עצמם ויהיה אלף תר"מ ורביע ותחברם עם 0טבז ויהיו שמנת אלפים ותשע מאות ושלשים ורביע ותקח שרשו והוא תשעים וארבעה וחצי וגרעם מן הארבעים וחצי שהוא מחצית פ"א ומן התשעים שישוו האלגו והשרש והם ק"ל וחצי וישאר ל"ו והם האלגו
this problem demonstrates the fourth of the six canonical equations: $\scriptstyle ax^2+bx=c$	וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק הרביעי מהששה חלקים והוא האומר אלגוש ושרשים ישוו מספרים
Geometrical illustration of the problem	ואבארה לך בתמונה זו
BA = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנשים קו ב"א עשרה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וקו א"ג החלק הגדול
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	וג"ב החלק הקטן
AG² = GB × 9	והיה א"ג על עצמו כמו ג"ב על תשעה
(AG × 9) + (GB × 9) = 90	וא"ג על תשעה וג"ב על תשעה יחד הם תשעים
AD = 9	ונניח א"ד תשעה
AG² + (AG × AD) = 90 = DG × GA	וא"ג על עצמו ועל א"ד יהיה תשעים והוא כמו ד"ג על ג"א
DG × HA = 90	וד"ג על ה"א יהיה תשעים
DA = 9	וקו ד"א תשעה
H midpoint of DA	ונחלק לחצאים על נקדת ה'
DG × AG = 90	ונוסף על עצמו לארכו קו א"ג והיה הכאת ד"ג על א"ג תשעים
AH² = 20¼	והכאת א"ה על עצמו יהיה עשרים ורביע
(DG × AG) + AH² = 90 + 20¼ = 110¼	ותקבצם עם תשעים ויהיו מאה ועשר ורביע
HG² = 110¼	ולכן יהיה הכאת קו ה"ג על עצמו הוא מאה ועשר ורביע
√110¼ = 10½	ושרשו עשרה וחצי
HG = 10½	אם כן קו ה"ג עשרה וחצי
HA = 4½	אבל ה"א ארבעה וחצי
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	וישאר א"ג ששה והוא החלק הגדול
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}$	וג"ב ארבעה והוא החלק הקטן ומש"ל
5) The fifth problem	והשאלה החמישית
We divided ten into two parts, then we multiplied the one [part] by the other and the result was 21. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=21\end{cases}$	חלקנו עשרה לשני חלקים והכינו האחד על האחר והיה עשרים ואחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שנשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2=21}}$	ונכה דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו וישוו עשרים ואחד אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21=10x}}$	ותכלול העשרה פחות אלגו עם האלגו והוסיף אותו על העשרים ואחד ויהיה אלגו ועשרים ואחד ישוו עשרה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x_1&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{4}\\&\scriptstyle=5-2=3\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא לך הדבר הוא שתקח חצי הדברים ויהיו חמשה ותכם על עצמם ויהיו עשרים וחמשה תגרע מהם העשרים ואחד וישארו ארבעה תקח שרשו והוא שנים ותגרעם מן החמשה וישארו שלשה והם החלק הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x_1=7}}$	והחלק הגדול הוא הנשאר מעשרה והם שבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=x_2=5+2=7}}$	ואם תרצה תוסיף השנים על החמשה ויהיו שבעה והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x_2=3}}$	והחלק הקטן הוא הנשאר מעשרה והוא שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{2500-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{400}-21\\&\scriptstyle=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא לך האלגו הוא שתכה העשרה שרשים על עצמם ויהיו מאה ותכם על הכ"א אשר עם אלגו ויהיו אלפיים ומאה וקח חצי המאה והם חמשים ותכם על עצמם ויהיו אלפיים וחמש מאות תגרע מהם האלפיים ומאה וישארו ארבע מאות וקח שרשם והוא עשרים תגרעם מן החמשים שהם חצי המאה וישארו שלשים ותגרע מהם העשרים ואחד וישאר תשעה והוא האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=50+20-21=70-21=49}}$	והמעשה עם תוספת הוא שתוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים תגרע מהם העשרים ואחד ישארו ארבעים ותשע והם האלגו
this problem demonstrates the fifth of the six canonical equations: $\scriptstyle ax^2+c=bx$	וזאת השאלה הוציאתך אל החלק החמישי מהששה חלקים שהוא אלגוש ומספרים ישוו שרשים
Geometrical illustration of the problem	ואבאר זה בתמונה זו
AG × GB = 21	והוא שנניח קו א"ג על ג"ב עשרים ואחד
H midpoint of AB	ותחלק קו א"ב לשני חצאים על ה'
(AG × GB) + HG² = HB²	ויהיה הכאת א"ג בג"ב וה"ג על עצמו כמו הכאת ה"ב על עצמו
HB² = 25	והכאת ה"ב על עצמו עשרים וחמשה
AG × GB = 21	וא"ג על ג"ב הוא עשרים ואחד
HG² = 4	וישאר ה"ג על עצמו ארבעה
HG = 2	וה"ג יהיה שנים
HB = 5	וה"ב היה חמשה
GB = 3	וישאר ג"ב שלשה
AG = 7	ויהיה א"ג שבעה ומש"ל
6) The sixth problem	והשאלה הששית
$\scriptstyle\left(x^2+8\right)\sdot4=\left(x^2\right)^2$	אלגו תוסיף עליו שמנה אדרהם ותכה המקובץ על ארבעה אדרהם והיה כמו האלגו על עצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=x*}}$	והמעשה בזה שנשים האלגוש דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+8\right)\sdot4=4x+32}}$	ותחבר עמו שמנה אדרהם ויהיה דבר ושמנה אדרהמיש ותכם על ארבעה ויהיה ארבעה דברים ול"ב דרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=32+4x}}$	והכה האלגו והוא דבר על עצמו ויהיה אלגו וישוה ל"ב אדרהם וארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2=x*&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{2^2+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{4+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{36}\\&\scriptstyle=2+6=8\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא לך הדבר הוא שתקח מחצית הדברים ויהיה שנים ותכם על עצמם ויהיו ארבעה ותוסיפם על הל"ב ויהיו ל"ו תקח שרשו והוא ששה תוסיפם על מחצית השרשי' והוא שנים ויהיו שמנה והוא האלגו בעבור שהנחנו האלגו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x*^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)+\sqrt{\left(4^2\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)^2}+32\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\sqrt{\left(16\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+8^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+64}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{576}+32\\&\scriptstyle=8+24+32=64\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא האלגו הוא שתכה הארבעה שרשים על עצמם ויהיו ששה עשר ותכם על האדרהמיש שהם ל"ב ויהיו תקי"ב וקח מחצית הי"ו ויהיו ח' ותכם על עצמם ויהיו ס"ד ותוסיפם על התקי"ב ויהיו תקע"ו וקח שרשו והוא כ"ד ותחברם עם השמנה שהם מחצית הששה עשר ועם הל"ב ויהיו ס"ד והוא האלגו שישוה השרשים והמספרי'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\sqrt{64}=8}}$	וקח שרשו והוא שמנה והוא המספר המבוקש
this problem demonstrates the sixth of the six canonical equations: $\scriptstyle c+bx=ax^2$	וזאת השאלה הוציאתך אל החלק הששי מהחלקים הששה והוא האומר מספרים ושרשים ישוו אלגוש
Geometrical illustration of the problem	ואבאר מזה בתמונה זו
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	והוא שנשים האלגו קו א"ב
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	והשמנה אדרהם קו א"ג
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ונשים קו ב"ד ארבעה
GD□ = GB × BD	ונכה קו ג"ב בקו ב"ד ויהיה שטח ג"ד
AH□ = AB² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2}}$	ותכה האלגו הוא קו א"ב על עצמו ויהיה מרובע א"ה
GD□ = AH□	ושטח ג"ד הוא כמו שטח א"ה
MH□ = GM□	ותגרע שטח א"ד המשותף וישאר שטח מ"ה כמו שטח ג"מ
GM□ = 32	ושטח ג"מ שלשים ושנים
AG = 8	בעבור כי א"ג שמנה
AM = 4	וא"מ ארבעה
MH□ = 32	ולכן שטח מ"ה הוא שלשים ושנים
MH□ = AZ × ZM	ושטח מ"ה הוא מהכאת א"ז על ז"מ
AZ × ZM = 32	אם כן הכאת א"ז על ז"מ הוא שלשים ושנים
AM = 4	וא"מ הוא ארבעה
C midpoint of AM	וחלקהו לשני חצאים על ח'
(AZ × ZM) + MC² = CZ²	והכאת א"ז על ז"מ ומ"ח על עצמו יהיה כמו ח"ז על עצמו
MC² = 4	אבל מ"ח על עצמו ארבעה
CZ² = 36	והכאת ח"ז על עצמו יהיה שלשים ושש
CZ = 6	וח"ז יהיה ששה
AC = 2	וא"ח שנים
AZ = 8	וא"ז שמנה
AZ = AB	והוא כמו א"ב
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=8}}$	וא"ב שמנה והוא האלגו ומש"ל
Various Problems
1) Question. If you are told: divide ten into two parts, then multiply each part by itself and subtract the product of the smaller from the product of the larger, and 80 remain. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle b^2-a^2=80\end{cases}$	א) שאלה ואם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים ותכה כל חלק על עצמו ותגרע הכאת החלק הקטן מהכאת החלק הגדול וישאר שמנים
first solution method
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	המעשה בזה שתשים החלק הקטן דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והגדול עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)^2=100+x^2-20x}}$	ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה הדבר על עצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(100+x^2-20x\right)-x^2=100-20x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{100-20x=80}}$	ותגרעהו ממאה ואלגו פחות עשרים דברים וישאר מאה דראהמי פחות עשרים דברים ישוו שמנים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{20x+80=100}}$	ותכלול^[13] המאה דרהמי עם עשרים הדברים ותוסיפם על השמונים ויהיה עשרים דברים ושמנים דרהמי ישוו מאה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{100-80=20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{20=20x}}$	תגרע שמנים ממאה וישאר עשרים אדרהמיש ישוו עשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=1}}$	והדבר ישווה אחד והוא החלק הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=9}}$	והגדול תשעה והוא מה שנשאר מן העשרה
second solution method
$\scriptstyle{\color{blue}{b=x}}$	ואם נרצה נעשה החלק הגדול דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x}}$	והקטן עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(100+x^2-20x\right)=20x-100}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{20x-100=80}}$	תגרע מאה ואלגו פחות עשרים דברי' מאלגו וישאר עשרים דברים פחות מאה אדרהמיש ישוו שמנים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{20x=80+100}}$	ותכלול^[14] העשרים דברים עם המאה אדרהמיש ותוסיפם על השמנים
$\scriptstyle{\color{blue}{180=20x}}$	ויהיה מאה ושמנים אדרהמיש ישוה עשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{b=x=9}}$	והדבר ישוה תשעה והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x=1}}$	והנשאר מהעשרה יהיה החלק הקטן והוא אחד
third solution method
	ואם תרצה תחלק העשרה לשני חלקים בחלוקה נבדלת מהחלוקה הנוהגים אותה בעלי המספר לחלוק בה העשרה
	ויתאמת בה המעשה ותדע החלק הגדול מהקטן ותלך בו ברוב מה שיפלו לפניך מהשאלות בקצרה
	וזה בחצות השרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x+5}}$	והוא שנניח החלק האחד דבר וחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x}}$	והחלק האחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+5\right)^2-\left(5-x\right)^2}}$	ותכה כל אחד מהם על עצמו ותגרע העולה מהחלק הקטן מהעולה מהחלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{20x=80}}$	וישאר עשרים דברים ישוו שמנים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	והדבר ישוה ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x+5=4+5=9}}$	ותוסיף הארבעה על החמשה והוא תשעה והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x=5-4=1}}$	ותגרע הארבעה מן החמשה וישאר אחד והוא החלק הקטן
If you are told: divide ten into two parts, then divide each of them by the other and [the sum of] the quotients is 4¼. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4+\frac{1}{4}\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה תחלק אותו לשני חלקים ותחלק כל אחד מהם על האחר ויגיעו החלקי' ארבעה ורביע
first solution method
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)^2=100+x^2-20x}}$	ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה ואלגו פחות עשרי' דברי'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\left(100+x^2-20x\right)=100+2x^2-20x}}$	ותחברם ויהיו מאה ושני אלגו פחות עשרים דברים ותשמרם
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$	ותכה החלק האחד על האחר והוא דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10x-x^2\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)=\left(42+\frac{1}{2}\right)x-\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(42+\frac{1}{2}\right)x-\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2=100+2x^2-20x}}$	ותכם על העולה אל החלקי' והוא ארבעה ורביע ויהיה מ"ב דברים וחצי דבר פחות ארבעה אלגוש ורביע אלגו ישוו מאה אדרהמיש ושני אלגוש פחות עשרים שרשים
	בעבור כי כל שני מספרים שיתחלקו כל אחד מהם על האחר יהיה הכאת כל אחד מהם על עצמו מחוברים כמו הכאת האחד על האחר וההוה על החלק העולה מחלוקת כל אחד מהם על האחר
	ועוד אבאר לך סבת זה אחר שאשלים חשבון השאלה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right)x-\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2=100+2x^2}}$	ותכלול^[15] המאה אדרהמיש ושני אלגוש עם העשרים דברים ותוסיפם על הארבעים ושנים דברים וחצי דבר פחות ארבעה אלגוש ורביע ויהיה ס"ב דברים וחצי דבר פחות ארבעה אלגוש ורביע ישוו מאה אדרהמיש ושני אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(6+\frac{1}{4}\right)x^2=\left(62+\frac{1}{2}\right)x}}$	ותכלול הס"ב דברים וחצי עם הארבעה אלגוש ורביע ותוסיפם על המאה אדרהמיש ושני אלגוש ויהיה מאה אדרהמיש וששה אלגוש ורביע ישוו ס"ב דברים וחצי
Normalization of $\scriptstyle\left(6+\frac{1}{4}\right)x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(6+\frac{1}{4}\right)x^2=\left(62+\frac{1}{2}\right)x\; /\times\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	והשיבם אל אלגו אחד וכבר ידעת כי האלגו מששה ורביע אלגו הוא ארבעה חמשים מחומש ותקח מכל אשר תחזיק ארבעה חומשים מחומש
$\scriptstyle x^2+16=10x$	ויהיה אלגו וששה עשר אדרהמיש ישוה עשרה דברים^[16]
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-16}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-16}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-16}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{9}\\&\scriptstyle=5-3=2\\\end{align}}}$	ומחצית הדברים יהיה חמשה ותכם על עצמם ויהיה כ"ה ותגרע מהם הי"ו וישאר ט' ותקח שרשו והוא שלשה תגרעם ממחצית השרשים שהוא חמשה וישאר שנים והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=8}}$	והאחר שמנה
second solution method
	ואם תרצה חלק העשרה לשני החלקים שהראיתיך אשר לא ינהגו החשבנים לחלוק בם העשרה ויתאמת לך המעשה ולך בחצאת השרשי'
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x}}$	והוא שנשים החלק האחד חמשה ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x}}$	והאחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+5\right)^2+\left(5-x\right)^2=50+2x^2}}$	ותכה כל אחד מהם על עצמו ותחברם יחד ויהיה חמשים אדרהמיש ושני אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+5\right)\sdot\left(5-x\right)=25-x^2}}$	ותכה החלק האחד על האחר ויהיה כ"ה אדרהמיש פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(25-x^2\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)=\left(106+\frac{1}{4}\right)-\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(106+\frac{1}{4}\right)-\left(4+\frac{1}{4}\right)x^2=50+2x^2}}$	ותכם על ארבעה ורביע ויהיה מאה ושש ורביע פחות ארבעה אלגוש ורביע אלגו ישוו חמשים אדרהמיש ושני אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(106+\frac{1}{4}\right)-50=56+\frac{1}{4}}}$	ותכללם עם הארבעה אלגוש ורביע ותוסיפם על השני אלגוש וחמשים ותגרע חמשים כנגד חמשים וישאר חמשים ושש ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והאלגו ישוה תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{9}=3}}$	והדבר הוא שרשו והוא שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x=5+3=8}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x=5-3=2}}$	ותגרעם מחמשה ותוסיפם על חמשה בעבור שהנחנו החלק האחד חמשה פחות דבר והאחר חמשה ודבר ויהיה החלק האחד שמנה והאחר שנים
	כל מספר שיחלק האחד על האחר הנה המגיע אל החלק יהיה שוה לאשר יגיע אל החלק בחלקך העולה מהכאת המספר הנחלק על עצמו על העולה מהכאת המספר הנחלק על המחלק
A ÷ B = G	משל זה שמספר א' נחלק על מספר ב' והגיע לחלק מספר ג'
C = A²	והכינו א' על עצמו והיה ח'
D = A × B	והכינו א' על ב' והיה ד'
C ÷ D = G	ונאמר שכאשר נחלק ח' על ד' יגיע ג'
Proof:	ומופת זה
A ÷ B = G	שא' נחלק על ב' והיה ג'
	הנה ב' ימנה א' בְשִעור מה שבג' מן האחדים
	והאחד ימנה ג' בשעור מה שבג' מן האחדים
	ולכן^[17] יהיה האחד ימנה ב' בשעור מה שימנה ג' א'
A² = C	וא' הוכה על עצמו והיה ח'
A × B = D	והוכה על ב' והיה ד'
	ולכן^[18] יהיה ד' בח' כמו ב' בא'
	ושעור ב' בא' היה כמו שעור האחד בג'
	ושעור ד' בח' כשעור האחד בג'
	והאחד ימנה ג' בשעור מה שבג' מן האחדים
	ויתבאר מזה שכאשר נחלק ח' על ד' עלה ג' והוא מש"ל
	כל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר הנה המגיע לחלק יהיה שוה לאשר יגיע לחלק בהחלק העולה מהכאת כל אחד מהמספרים על עצמו על העולה מהכאת אחד המספרים על האחר
A ÷ B = D	משל זה שמספר א' נחלק על מספר ב' ועלה ד'
B ÷ A = Z	ומספר ב' נחלק על מספר א' ועלה ז'
A² = G	והוכה א' על עצמו ועלה ג'
B² = C	והוכה ב' על עצמו ועלה ח'
A × B = E	והוכה א' על ב' ועלה ע'
(G + Z) ÷ E = D + Z	ונאמר שג' וח' כאשר נחלק כל אחד מהם על ע' יעלה ד' ז'
Proof:	מופת זה
A ÷ B = D	שא' נחלק על ב' ועלה ד'
A² = G	והוכה א' על עצמו ועלה ג'
A × B = E	והוכה א' על ב' ועלה ע'
G ÷ E = D	וכאשר נחלק ג' על ע' יעלה ד' כמו שנתבאר בתמונה שלפניה
B ÷ A = Z	וב' נחלק על א' ועלה ז'
B² = C	וב' הוכה על עצמו והיה ח'
B × A = E	וב' הוכה על א' והיה ע'
C ÷ E = Z	וכאשר נחלק ח' על ע' יגיע ז' כמו שבארנו
(C + G) ÷ E = Z + D	והוא מבואר שכאשר נחלק ח' וג' על ע' יעלו ד'ז'
(D + Z) × E = G + C	וכאשר נכה ד' וז' על ע' יעלו ח' וג'
	וכבר הוא מבואר שכל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר הנה הכאת כל אחד מהם על עצמו מחוברים יהיה כמו הכאת אחד המספרי' על האחר ועל העולה לחלק מחלוקת כל אחד מהם על האחר והוא מש"ל
	כל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר יהיה הכאת מה שהגיע לחלקים האחד על האחר אדרהם אחד לעולם
A ÷ B = G	משל זה שחלקנו מספר א' על מספר ב' והגיע ג'
B ÷ A = D	וחלקנו מספר ב' על מספר א' ועלה ד'
G × D = 1	ונאמר שהכאת ג' על ד' אדרהם אחד
Proof:	המופת
A ÷ B = G	שא' נחלק על ב' ועלה ג'
	הנה שב' ימנה א' בשעור מה שבג' מן האחדים
	ושעור האחד אל ג' כשעור ב' אל א'
	וכאשר הפכנו יהיה שעור א' אל ב' כשעור ג' אל אחד
B ÷ A = D	ועוד ב' נחלק על א' והיה ד'
	הנה שעור א' אל ב' כשעור האחד אל ד'
A : B = G : 1	וכבר היה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל אחד
1 : D = G : 1	ולכן יחס האחד אל ד' כיחס ג' אל האחד
G × D = 1² = 1	והכאת ג' על ד' כמו הכאת האחד על עצמו והוא אחד ומש"ל
third solution method
	ואם תרצה תכוין חשבונך האמור במעשה אחר כזה
If you are told: divide ten into two parts, then divide each of them by the other and [the sum of] the quotients is 4¼. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4+\frac{1}{4}\end{cases}$	ונשוב אל השאלה והיא כאשר אמרו לך עשרה חלקנום לשני חלקים וחלקנו כל אחד מהשני חלקים על האחר ועלה ארבעה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	תשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה לחלק שעור שכאשר נכהו על דבר יהיה עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{4}\right)\sdot x=\left(4+\frac{1}{4}\right)x}}$	ותכה הארבעה ורביע על דבר ויהיה ארבעה דברים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{4}\right)x-\left(10-x\right)=\left(5+\frac{1}{4}\right)x-10}}$	תגרע מהם עשרה פחות דבר וישאר חמשה ורביע פחות עשרה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x^2}{10-x}=\left(5+\frac{1}{4}\right)x-10}}$	ותחלק אותו על עשרה אדרהמיש פחות דבר ויעלה חמשה דברים ורביע פחות עשרה אדרהמיש
	וכבר בארנו שכאשר נכה העולה לחלק על המחלק שישוב השעור הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)x-10\right]\sdot\left(10-x\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right)x-\left(5+\frac{1}{4}\right)x^2-100=x^2}}$	ונכה חמשה דברים ורביע פחות עשרה אדרהמי' על עשרה אדרהמיש פחות דבר ויהיה ס"ב דברים וחצי פחות חמשה אלגוש ורביע ופחות מאה אדרהמיש ישוו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)x^2+100=\left(62+\frac{1}{2}\right)x}}$	ותכונהו^[19] עמו ויהיה ששה אלגוש ורביע ומאה אדרהמיש ישוו ס"ב דברים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=8}}$	ותעשה כאשר הראיתיך ויהיה החלק האחד שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=2}}$	והאחר שנים
fourth solution method	ולחשבון זה אופן אחר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והוא שנשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{d=\frac{10-x}{x}}}$	וחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה דינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot x=10-x}}$	וכאשר תכה דינר על דבר יהיה עשרה אדרהמיש פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=\left(4+\frac{1}{4}\right)-d}}$	ותחלק דבר על עשרה פחות דבר ויעלה ארבעה ורביע פחות דינר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\left[\left(4+\frac{1}{4}\right)-d\right]\sdot\left(10-x\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(52+\frac{1}{2}\right)-\left(5+\frac{1}{4}\right)x-10d=x}}$	ותכה ארבעה ורביע פחות דינר על עשרה פחות דבר ויהיה נ"ב אדרהמיש וחצי פחות חמשה דברים ורביע ופחות עשרה דינרין ישוו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{10d{\color{red}{+x}}=\left(52+\frac{1}{2}\right)-\left(5+\frac{1}{4}\right)x}}$	ותכוין עמו כאשר אמרתי ויהיה עשרה דינרין ישוו נ"ב אדרהמיש וחצי פחות חמשה דברים ורביע
	והדבר עשרה דינרין ישוו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{10d=\left(52+\frac{1}{2}\right)-\left(6+\frac{1}{4}\right)x}}$	ותכונהו עמו כאשר אמרתי ויהיה עשרה דינרין ישוו נ"ב וחצי פחות ששה דברים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{d}}=\left(5+\frac{1}{4}\right)-\frac{5}{8}x}}$	ישוו חמשה ורביע פחות חמשה שמיניות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\left(5+\frac{1}{4}\right)-\frac{5}{8}x}}$	וכבר ידעת שכאשר נחלק עשרה אדרהמיש פחות דבר על דבר יעלה לחלק חמשה ורביע פחות חמשה שמיניות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{10-x=\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)-\frac{5}{8}x\right]\sdot x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{4}\right)x-\frac{5}{8}x^2=10-x}}$	ותכה חמשה ורביע פחות חמשה שמיניות דבר על דבר ויהיה חמשה דברים ורביע פחות חמשה שמיניות ישוה עשרה אדרהמיש פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{4}\right)x+x=\left(6+\frac{1}{4}\right)x}}$	ותכונהו עמו ויהיה ששה דברים ורביע
Normalization of $\scriptstyle\frac{5}{8}x^2$ : $\scriptstyle{\color{red}{10+\frac{5}{8}x^2=\left(6+\frac{1}{4}\right)x\; /{\color{blue}{\times\left(1+\frac{3}{5}\right)}}}}$	ותוסיף על כל דבר שתחזיק שלשה חמישיותיו
$\scriptstyle{\color{red}{x^2+16=10x}}$	ויהיה עשרה אדרהמיש ישוו עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-16}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-16}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-16}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{9}\\&\scriptstyle=5-3=2\\\end{align}}}$	ומחצית הדברים יהיה חמשה ותכם על עצמם ויהיו כ"ה תגרע מהם הי"ו וישאר ט' תקח שרשו והוא ג' תגרעו ממחצית השרשים שהוא חמשה וישאר שנים והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=8}}$	והאחר שמנה
fifth solution method
$\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot\frac{B}{A}=1$	וכבר בארנו שכל שני מספרים שיחלקו כל אחד מהם על האחר שהכאת העולה לחלקים האחד באחר יהיה אדרהם אחד
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4+\frac{1}{4}$	ומה שעלה לשני החלקים בזאת השאלה ארבעה אדרהמיש ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x}}$	ותשים האחד מהשנים דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}=\left(4+\frac{1}{4}\right)-x}}$	והאחר ארבעה ורביע פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}\sdot\frac{b}{a}=x\sdot\left[\left(4+\frac{1}{4}\right)-x\right]=\left(4+\frac{1}{4}\right)x-x^2=1}}$	ותכה אחד מהם באחר ויהיה ארבעה דברים ורביע פחות אלגו ישוה אדרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x_1=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x_2=\frac{1}{4}}}$	ותכונהו עמו ויהיה הדבר אם תרצה ארבעה או אם תרצה רביע
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ותשוב להתחלת השאלה ותאמר נשים החלק האחד מהשני חלקים דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=4}}$	ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{4x=10-x}}$	ותכה ארבעה על דבר ויהיה ארבעה דברים ישוו עשרה אדרהמיש פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x={\color{red}{2}}}}$	ותכונהו עמו ויהיה הדבר שמנה והוא החלק האחד מהשנים
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x={\color{red}{8}}}}$	והאחר שנים
3) Question. If you are told: divide ten into two parts, then divide each one of them by the other and subtract one [quotient] from the other [quotient], and five sixths of a dirham remain. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{5}{6}\end{cases}$	ג) שאלה ואם יאמרו לך עשרה חלקנום לשני חלקים וחלקנו כל אחד מהם על האחר וגרענו האחד מן האחר ונשאר חמשה ששיות מאדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שנשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)^2=100+x^2-20x}}$	ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה אדרהמיש ואלגו פחות עשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)^2-x^2=100-20x}}$	ותגרע האחד מן האחר וישאר מאה אדרהמיש פחות עשרים דברים ושמרם
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10{\color{red}{x}}-x^2}}$	ותכה החלק האחד על האחר והוא דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10x-x^2\right)\sdot\frac{5}{6}=\left(8+\frac{1}{3}\right)x-\frac{5}{6}x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{100-20x=\left(8+\frac{1}{3}\right)x-\frac{5}{6}x^2}}$	ותכם על מה שנשאר מהשני חלקים אחר שגרענו החלק האחד מן האחר והיה חמשה ששיות אדרהם ויהיה שמנה דברים ושליש פחות חמשה ששיות מאלגו ישוו מאה אדרהמיש פחות עשרים שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{100=\left(28+\frac{1}{3}\right)x-\frac{5}{6}x^2}}$	ותאסוף המאה אדרהמיש עם השרשים ותוסיפם על שמנה דברים ושליש פחות חמשה ששיות מאלגו ויהיה עשרים ושמנה דברים ושליש פחות חמשה ששיות מאלגו ישוו מאה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{100+\frac{5}{6}x^2=\left(28+\frac{1}{3}\right)x}}$	ותאסוף הדברים עם החמשה ששיות מאלגו ותוסיפם על המאה אדרהמיש ויהיה מאה אדרהמיש וחמשה ששיות מאלגו ישוו עשרים ושמנה דברים ושליש
Normalization of $\scriptstyle\frac{5}{6}x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{100+\frac{5}{6}x^2=\left(28+\frac{1}{3}\right)x\; /\times\left(1+\frac{1}{5}\right)}}$	ותשלים החמשה ששיות מאלגו עד שיהיו אלגו שלם והוא שתוסיף עליהם חמישיתם ותוסיף על כל דבר שתחזיק כמו חמישיתו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+120=34x}}$	ויהיה אלגו ומאה ועשרים אדרהמיש ישוו שלשים וארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot34\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot34\right)^2-120}\\&\scriptstyle=17-\sqrt{17^2-120}\\&\scriptstyle=17-\sqrt{169}=17-13=4\\\end{align}}}$	וקח מחצית השרשים והוא שבע עשרה ותכם על עצמם ותגרע מהעולה מאה ועשרים אדרהמיש וישאר קס"ט ותקח שרשו והוא י"ג ותגרעם ממחצית הדברים והם שבע עשרה וישארו ארבעה והם החלק האחד מהשני חלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=6}}$	והאחר הוא ששה
	ועלת זאת השאלה דומה לעלת השאלה שלפניה
	וההבדל בין שניהם הוא שבשאלה הראשונה הוצרך לדעת הסבה לכל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר שהכאת המגיע לחלקים כל אחד על עצמו מקובצים יהיה כמו הכאת האחד מהם על האחר ועל מה שעלה לחלק מחלוקת כל אחד מהשני מספרים על האחר וכבר בארתי סבת זה
	ובשאלה הזאת נצטרך לדעת הסבה לכל שני מספרים שיוכה כל אחד משניהם על עצמו ונגרע האחד מן האחר שיהיה הנשאר כמו הכאת האחד באחר ועל העודף אשר יעדיף בין אשר עלה לחלק מחלוקת כל אחד מהשני מספרים על האחר
	ותוסיף עליה השאלה הראשונה ותצא עלת זאת השאלה יען שהיא דומה אליה
	והשלשה אופנים מהשאלה הראשונה תעשם גם כן בזאת השאלה
If you are told: we divided fifty dirham among people. Each one received a thing. Then we added to them three [people] and divided the fifty dirham among all. Each one of the latter received 3¾ dirham less than each one of the former. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{50}{a}=x\\\scriptstyle\frac{50}{a+3}=x-\left(3+\frac{3}{4}\right)\end{cases}$	שאלה ואם יאמרו לך חלקנו חמשים אדרהמיש על אנשים ועלה לאחד דבר והוספנו על האנשים עוד שלשה וחלקנו עליהם החמשים אדרהמיש ועלה לכל אחד מהאחרונים פחות מאשר עלה לכל אחד מהראשונים שלשה אדרהמיש ושלשה רביעים
The procedure
the former people multiplied by the difference between the share of each of the former and the share of each of the latter the product is divided by the excess of the latter people over the former people the quotient is multiplied by the latter people $\scriptstyle\frac{a\times\left(\frac{50}{a}-\frac{50}{a+3}\right)}{\left(a+3\right)-a}\times\left(a+3\right)$	והמעשה בזה שתכה האנשים הראשונים בשעור הגרעון אשר בין מה שעלה לכל אחד מהראשונים ובין האחרונים ומה שיעלה מן ההכאה תחלק על מה שהעדיף מן האנשים הראשונים לשניים ומה שיעלה לחלק תכה אותו על האנשים השניים ומה שיעלה הוא המחלק
	ואשים לך עלת זה האופן
ABGD□ = 50	והוא שנשים המספר המחולק והוא חמשים אדרהמיש שטח אבג"ד
GD = the former people	והאנשים הראשונים קו ג"ד
AG = the share of each of the former	ויעלה לכל אחד מהאנשים הראשונים קו א"ג
AG × GD = GB□	בעבור כי הכאת קו א"ג בקו ג"ד הוא שטח ג"ב
ABGD□ ÷ GD = AG	וכאשר חלקנו שטח אבג"ד על קו ג"ד שהוא האנשי' הראשוני' עלה לכל אחד מהם קו א"ג
DH = the three people	ותוסיף על האנשים הראשונים והוא קו ג"ד שלשה אנשים והוא קו ד"ה
GH = GD + DH = the latter people	ויהיה קו ג"ה האנשים האחרונים
GZHC□ = 50	ותשים שטח גזה"ח חמשים
GZHC□ ÷ GH = GZ	ותחלקהו על קו ג"ה שהוא האנשים האחרונים ויעלה קו ג"ז
GZ = the share of each of the latter	והוא מה שיעלה לכל אחד מהאנשים השניים
AZ = 3¾	וקו א"ז יהיה שלשה ושלשה רביעים
AZ = the difference between the share of each of the former and the share of each of the latter	בעבור כי הוא השעור אשר בין מה שעלה לאחד מהראשונים ובין מה שעלה לאחד מהשניים
ZM = DG = the former people BZ□ = ZM × AZ	ותכה האנשים הראשונים והם קו ז"מ כי הוא כמו ד"ג על קו א"ז שהוא היתרון אשר בין מה שעלה לכל אחד מהראשונים ובין כל אחד מן השניים ויהיה שטח ב"ז
BZ□ = DC□	ושטח ב"ז כמו שטח ד"ח
AD□ = GC□ = 50	בעבור כי שטח א"ד הוא כמו שטח ג"ח כי כל אחד משניהם חמשים
GM□ is common	ושטח ג"מ משותף
ZB□ = DC□	וישאר שטח ז"ב כמו שטח ד"ח
DC□ ÷ DH = DM	וחלק שטח ד"ח על קו ד"ה שהוא שלשה ושעורו הוא ההבדל אשר בין האנשים הראשונים לשניים ויעלה לחלק קו ד"מ
DM = GZ = the share of each of the latter	והוא כמו קו ג"ז והוא מה שעלה לכל אחד מהאחרונים
GC□ = 50	ויהיה שטח ג"ח והוא חמשים ומש"ל
	ואחר שזה מבואר יתבאר העלה באופן הזה
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	שאנחנו נשים האנשי' הראשונים דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)=\left(3+\frac{3}{4}\right)x}}$	ותכהו על הגרעון שהוא שלש ושלשה רביעיות ויעלה שלשה דברים ושלשה רביעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(3+\frac{3}{4}\right)x}{3}=\left(1+\frac{1}{4}\right)x}}$	ותחלקם על שלשה שהוא שעור ההבדל אשר בין האנשים הראשונים לשניים ועלה לחלק דבר ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+\frac{1}{4}\right)x\right]\sdot\left(x+{\color{red}{3}}\right)=\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2+\left(3+\frac{3}{4}\right)x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2+\left(3+\frac{3}{4}\right)x=50}}$	ותכם על האנשים השניים והם דבר ושליש ויהיה אלגו ורביע ושלשה דברים ושלש רביעיות דבר ישוו חמשים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x=40}}$	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד ויהיה אלגו ושלש דברים ישוו ארבעים אדרהמיש
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+40}-\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+40}-\left(1+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{42+\frac{1}{4}}-\left(1+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(6+\frac{1}{2}\right)-\left(1+\frac{1}{2}\right)=5\\\end{align}}}$	וקח מחצית הדברים והוא אחד וחצי ותכם על עצמם ותוסיף העולה על הארבעים ויהיה מ"ב ורביע וקח שרשו והוא ששה וחצי וגרע מהם מחצית הדברים שהוא אחד וחצי וישאר חמשה והם האנשים הראשונים
If you are told: we divided ten dirham among people. Each one received a thing. Then we added to them four people and divided thirty dirham among all. Each one of them received 4 dirham less than each one of the former. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{10}{a}=x\\\scriptstyle\frac{30}{a+4}=x-4\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה אדרהמיש על אנשים ועלה לכל אחד מהם דבר והוספנו עליהם ארבעה אנשים וחלקנו על כלם שלשים אדרהמיש ועלה לכל אחד מהם פחות מאשר עלה לראשונים ארבעה אדרהמיש
The procedure
the former people multiplied by the difference between the share of each of the former and the share of each of the latter the difference between the first divided amount and the second divided amount is added the sum is divided by the excess of the latter people over the former people the quotient is multiplied by the latter people the result is the larger divided amount $\scriptstyle\frac{\left[a\times\left(\frac{10}{a}-\frac{30}{a+4}\right)\right]+\left(30-10\right)}{\left(a+4\right)-a}\times\left(a+4\right)=30$	והמעשה בזה שתכה האנשים הראשונים על הגרעון אשר בין הראשון והאחרון והוסיף על העולה מההכאה שעור ההבדל אשר בין המספר הנחלק ראשונה ובין השניה ומה שיתקבץ חלק על ההבדל אשר בין האנשים הראשונים והשניים והעולה תכה על האנשים השניים ומה שיעלה הוא המספר הגדול שנחלק והוא בזאת השאלה שלשים
	ואשים לך עלת זה האופן
ABGD□ = 10	והוא שנשים המספר הקטן הנחלק שהוא עשרה שטח אבג"ד
GD = the former people	והאנשים הראשונים קו ג"ד
AG = the share of each of the former	ומה שעלה לאחד מהראשונים קו א"ג
DH = the four people	והוספנו על הראשונים שהוא קו ג"ד ארבעה אנשים והוא קו ד"ה
GH = GD + DH = the latter people	ויהיה קו ג"ה האנשים השניים
GHZC□ = 30	ונשים שטח גהז"ח שלשים אדרהמי'
GHZC□ ÷ GH = GZ = the share of each of the latter	ותחלקהו על קו ג"ה ויעלה קו ג"ז והוא מה שיעלה לאחד מהשניים
AZ = 4	וישאר קו א"ז ארבעה
AZ = the difference between the share of each of the former and the share of each of the latter	בעבור כי הוא שעור ההבדל אשר בין מה שעלה לאחד מהראשונים ובין אחד מהשניים
ZM = GD = the former people ZB□ = ZM × ZA	ותכה האנשים הראשונים והם קו ז"מ השוה לקו ג"ד על קו ז"א ויהיה שטח ז"ב
DC□ = ZB□ + (30-10) = ZB□ + 20	ותוסיף על שטח ז"ב שעור ההבדל אשר בין השלשים והעשרה והוא עשרים ויהיה שטח ד"ח
DC□ - ZB□ = 20 = 30 - 10 = GC□ - AD□	והיה שטח ד"ח יותר משטח ז"ב בעשרים והוא יתרון השני מספרים הנחלקים בעבור כי שטח א"ד עשרה ושטח ג"ח שלשים
DC□ - DA□ = 20	ויהיה שטח ג"ח יותר משטח ד"א בעשרים
	ותגרע שטח ג"מ המשותף וישאר שטח ד"ח יותר גדול משטח ז"ב בעשרים
DC□ ÷ DH = DC□ ÷ 4 = DM	ותחלק שטח ד"ח על קו ד"ה שהוא ארבעה ויעלה לחלק קו ד"מ
DM = GZ = the share of each of the latter	והוא כמו קו ג"ז והוא כמו מה שיעלה לאחד מהשניים
GC□ = GZ × GH = 30	ותכה קו ג"ז על קו ג"ה ויהיה שטח ג"ח והוא שלשים אדרהמיש ומש"ל
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ואחר שבארנו עלת זה האופן נשים האנשי' הראשוני' דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot4=4x}}$	ותכהו על ארבעה אדרהמיש שהוא מה שיגרע חלק השניים מחלק הראשונים ויהיה ארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4x+20}{4}=x+5}}$	ותוסיף עליהם עשרים אדרהמיש ותחלקם על יתרון ההבדל אשר בין האנשים הראשוני' לשניים והוא ארבעה ויגיע לחלק דבר וחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+5\right)\sdot\left(x+4\right)=x^2+9x+20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x+20=30}}$	ותכם על האנשים השניים והם דבר וארבעה ויהיה אלגו ותשעה דברים ועשרים ישוה המספר הגדול הנחלק והוא שלשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x=10}}$	ותגרע העשרים מהשלשים וישאר אלגו ותשעה דברים ישוו עשרה
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2+10}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)^2+10}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)+10}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{30+\frac{1}{4}}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(5+\frac{1}{2}\right)-\left(4+\frac{1}{2}\right)=1\\\end{align}}}$	תקח מחצית הדברים והוא ארבעה וחצי ותכם על עצמם ויהיה עשרים ורביע תוסיף עליהם העשרה אדרהמיש ויהיו שלשים ורביע תקח שרשו והוא חמשה וחצי תגרע מהם מחצית השרשים והוא ארבעה וחצי וישאר אחד והוא היה האנשים הראשונים
If you are told: we divided ten dirham among people. Each one received a thing. Then we added to them four people and divided sixty dirham among all. Each one of them received 5 dirham more than each one of the former. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{10}{a}=x\\\scriptstyle\frac{60}{a+4}=x+5\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה אדרהמיש על אנשים ועלה לכל אחד דבר והוספנו עליהם ארבעה אנשים וחלקנו עליהם ששים אדרהמיש ועלה לאחד יותר ממה שעלה לאחד מהראשונים חמשה אדרהמיש
The procedure
the latter people multiplied by the difference between the share of each of the former and the share of each of the latter the smaller divided amount is added the sum is subtracted from the larger divided amount the remainder is divided by the excess of the latter people over the former people the quotient is multiplied by the former people the result is the smaller divided amount $\scriptstyle\frac{60-\left[\left[\left(a+4\right)\times\left(\frac{10}{a}-\frac{60}{a+4}\right)\right]+10\right]}{\left(a+4\right)-a}\times a=10$	המעשה בזה שתכה האנשים השניים על ההבדל אשר בין חלק האחד מהשניים אל חלק אחד מהראשונים ותוסיף על העולה המספר הנחלק הקטן והמקובץ תגרע מהמספר הנחלק הגדול ומה שישאר תחלקהו על יתרון האנשים השניים לראשונים והעולה לחלק תכה על האנשים הראשונים והמגיע הוא המספר הנחלק הקטן
	ואשים עלת זה האופן
ABGD□ = 10	והוא שאשים המספר הנחלק הקטן שהוא עשרה שטח אבג"ד
GD = the former people	והאנשים הראשונים קו ג"ד
DH = the four people	והוספנו על האנשים הראשונים ארבעה אנשים והם קו ד"ה
GH = GD + DH = the latter people	ויהיה קו ג"ה האנשים השניים
GHML□ = 60	ונשים שטח גהמ"ל ששים
GHML□ ÷ GH = GL = the share of each of the latter	ותחלקם על קו ג"ה שהוא האנשים השניים ויעלה קו ג"ל והוא מה שיעלה לחלק לאנשים האחרונים
AL = 5	ויהיה קו א"ל חמשה
AL = the excess of the share of each of the latter and the share of each of the former	בעבור כי הוא יתרון החלק מאחד מהשניים על חלק אחד מהראשונים
AE = GH = the former people AM□ = AE × AL	ותכה האנשים השניים והם קו א"ע השוה לקו ג"ה על קו א"ל שהוא העודף ויהיה שטח א"מ
DE□ = GM□ - (AM□ + GB□) = 60 - (AM□ + 10)	ותוסיף עליו שטח ג"ב שהוא המספר הנחלק הקטן והוא עשרה ומה שיתקבץ תגרעהו משטח ג"מ שהוא השטח הנחלק הגדול והוא ששים וישאר שטח ד"ע
DH = 4 = the excess of the latter over the former DB = DE□ ÷ DH	תחלקהו על קו ד"ה שהוא ארבעה והוא יתרון האנשים השניים על הראשונים ויעלה קו ד"ב
DB = AG = the share of each of the former	והוא שוה לקו א"ג וזה הוא החלק שהגיע לאחד מהראשונים
GB□ = DB × GD = 10	ותכהו על קו ג"ד שהוא האנשים הראשונים ויהיה שטח ג"ב עשרה ומש"ל
	ואחר שבארנו עלת זה האופן
the latter people = $\scriptstyle{\color{blue}{x+4}}$	נשים האנשים השניים דבר וארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+4\right)\sdot5=5x+20}}$	תכם על השעור אשר בין החלק מאחד מהשניים לראשונים והוא חמשה ויעלה חמשה דברים ועשרים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5x+20\right)+10=5x+30}}$	תוסיף עליהם המספר הנחלק הקטן והוא עשרה ויקובץ חמשה דברים ושלשים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(5x+30\right)=30-5x}}$	ותגרעם מהמספר הנחלק הגדול הוא ששים אדרהמיש וישאר שלשים אדרהמיש פחות חמשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30-5x}{4}=\left(7+\frac{1}{2}\right)-\left(1+\frac{1}{4}\right)x}}$	ותחלקם על יתרון האנשים השניים על הראשונים והוא ארבעה ויגיע לחלק שבעה וחצי פחות דבר ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(7+\frac{1}{2}\right)-\left(1+\frac{1}{4}\right)x\right]\sdot x=\left(7+\frac{1}{2}\right)x-\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+{\color{red}{\frac{1}{2}}}\right)x-\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2=10}}$	תכם על האנשים הראשונים והם דבר ויהיה שבעה דברים פחות אלגו ורביע ישוו המספר הנחלק הקטן והוא עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{6x-x^2=8}}$	והשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד ויהיה ששה דברים פחות אלגו ישוה שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+8=6x}}$	ותשלים הדברי' עם האלגו ותוסיפם על השמנה ויהיה אלגו ושמנה ישוה ששה דברים
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2-8}\\&\scriptstyle=3-\sqrt{3^2-8}\\&\scriptstyle=3-\sqrt{9-8}\\&\scriptstyle=3-\sqrt{1}=3-1=2\\\end{align}}}$	וקח מחצית הדברים והוא שלשה ותכהו על עצמו ויהיה תשעה תגרע מהם השמנה ישאר אחד תקח שרשו והוא אחד תגרעהו ממחצית השרשים שהם שלשה וישאר שנים והם האנשים הראשונים
the latter people = $\scriptstyle{\color{blue}{3+1=4}}$	ואם תרצה תוסיף האחד על מחצית השרשים ויקובץ ארבעה והם האנשים האחרונים^[20]
If you are told: we divided sixty dirham [among people]. Each one received a thing. Then we added to them three people and divided twenty dirham among all. Each one of them received 26 dirham less than each one of the former. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{60}{a}=x\\\scriptstyle\frac{20}{a+3}=x-26\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו ששים אדרהמיש ועלה לאחד דבר והוספנו עליהם שלשה אנשים וחלקנו עליהם עשרים אדרהמיש ועלה לאחד פחות מאשר עלה לאחד מהראשונים עשרים וששה אדרהמיש
The procedure
the latter people multiplied by the deficit of the share of each of the latter, which is 26 the product is subtracted from difference between the two divided amounts, which is 40 the remainder is divided by the excess of the latter people over the former people, which is 3 the quotient is multiplied by the latter people the result is the smaller divided amount $\scriptstyle\frac{\left(60-20\right)-\left[a\times\left(\frac{60}{a}-\frac{20}{a+3}\right)\right]}{\left(a+3\right)-a}\times\left(a+3\right)=20$	והמעשה בזה שנכה האנשים הראשונים בפחת החלק מהשניים שהוא כ"ו והעולה תגרע מהעודף משני מספרים הנחלקים שהוא ארבעים והנשאר תחלק על יתרון האנשים שהוא שלשה והמגיע תכה על האנשים השניים ומה שיעלה הוא המספר הנחלק הקטן
	ואשים עלת זה האופן
ABGD□ = 60	והוא שנשים המספר הנחלק הגדול שהוא ששים אדרה"מיש שטח אבג"ד
GD = the former people	והאנשים הראשונים קו ג"ד
AG = the share of each of the former	ומה שעלה לאחד מהראשונים קו א"ג
DH = the [three] people	והוספנו על האנשים הראשונים שהוא קו ג"ד שלשים אנשים והוא קו ד"ה
GH = GD + DH = the latter people	ויהיה קו ג"ה האנשים השניים
GHCZ□ = 20	ונשים שטח גהח"ז עשרים
GHCZ□ ÷ GH	וחלקם על קו ג"ה שהוא האנשים השניים
AZ = 26	ויהיה קו א"ז עשרים ושש
	בעבור כי הוא יתרון החלק האחד על האחר
ZB□ = ZM × AZ	ותכה האנשים הראשונים והם קו ז"מ בקו א"ז ויהיה שטח י"ב
DC□ = ZB□ - 40	תגרע ממנו יתרון שני המספרים הנחלקים שהוא ארבעים וישאר שטח ד"ח
ZB□ = DC□ + 40	והוא ידוע כי שטח ז"ב הוא גדול משטח ד"ח בארבעים
AD□ = 60	בעבור כי שטח א"ד הוא ששים
GC□ = 20	ושטח ג"ח הוא עשרים
	והוא יעדיף בארבעים
ZB□ = DC□ + 40	ותגרע שטח ז"ד המשותף וישאר שטח ז"ב יעדיף על שטח ד"ח בארבעים
DM = ZB□ ÷ DH = ZB□ ÷ 3 DM = GZ = the share of each of the latter	תחלקהו על קו ד"ה שהוא שלשה ויעלה קו ד"מ השוה לקו ג"ז והוא המגיע לאחד מהאנשים האחרונים
GC = GZ × GH = 20	ותכה קו ג"ז על קו ג"ה שהוא האנשים השניים ויהיה ג"ח שהוא המספר הנחלק הקטן שהוא עשרים
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ואחר שבארנו עלת זה האופן נניח האנשים הראשונים דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot26=26x}}$	ותכה אותו על גרעון חלק האחד שני מחלק האחד ראשון שהוא כ"ו אדרהמיש ויהיה כ"ו דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{26x-40}}$	תגרע מהם יתרון שני המספרים הנחלקים והוא ארבעים וישאר כ"ו דברים פחות ארבעים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{26x-40}{3}=\left(8+\frac{2}{3}\right)x-\left(13+\frac{1}{3}\right)}}$	ותחלקם על יתרון האנשים שהוא שלשה ויעלה שמנה דברים ושני שלישים פחות י"ג אדרהמיש ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(8+\frac{2}{3}\right)x-\left(13+\frac{1}{3}\right)\right]\sdot\left(x+3\right)=\left(8+\frac{2}{3}\right)x^2+\left(12+\frac{2}{3}\right)x-40}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{2}{3}\right)x^2+\left(12+\frac{2}{3}\right)x-40=20}}$	ותכם על האנשים השניים והם דבר ושלשה ויהיה שמנה אלגוש ושני שלישי ושנים עשר דברים ושני שלישי דבר פחות ארבעים אדרהמיש ישוה המספר הנחלק הקטן והוא עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{2}{3}\right)x^2+\left(12+\frac{2}{3}\right)x=60}}$	ותאספם עם הארבעים אדרהמיש ותוסיפם על העשרים אדרהמיש ויהיו שמנה אלגוש ושני שלישי אלגוש וי"ב דברים ושני שלישי דבר ישוו ששים אדרהמיש
Normalization of $\scriptstyle\left(8+\frac{2}{3}\right)x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{2}{3}\right)x^2+\left(12+\frac{2}{3}\right)x=60\; /\times\frac{3}{26}}}$	והשיב כל דבר שתחזיק לאלגוש אחד וכבר ידעת שהאלגוש משמנה אלגוש ושני שלישים אלגוש הוא שלשה חלקים מעשרים וששה חלקים מאחד וקח מכל דבר שתחזיק שלשה דברים מכ"ו חלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\left(1+\frac{12}{26}\right)x=6+\frac{24}{26}}}$	ויהיה אלגוש ודבר וי"ב חלקים מכ"ו חלקים ישוה ששה וכ"ד חלקים מכ"ו חלקים מאדרהם
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{12}{26}\right)\right]^2+\left(6+\frac{24}{26}\right)}-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{12}{26}\right)\right]\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{19}{26}\right)^2+\left(6+\frac{24}{26}\right)}-\frac{19}{26}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{13}{26}+\frac{{\color{red}{23}}}{676}\right)+\left(6+\frac{24}{26}\right)}-\frac{19}{26}\\&\scriptstyle=\sqrt{7+\frac{11}{26}+\frac{23}{26}}-\frac{19}{26}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{19}{26}\right)-\frac{19}{26}=2\\\end{align}}}$	ומחצית הדברים יהיה תשע עשרה חלקים מכ"ו חלקים בדבר ותכם על עצמם ויהיה שלשה עשר חלקים מכ"ו חלקים מתרע"ו חלקים מאחד ותוסיפם על האדרהמיש והם ששה וכ"ד חלקים מכ"ו יהיה שבעה וי"א חלקים מכ"ו וכ"ג חלקים מתרע"ו וקח שרשו והוא שני אדרהמיש וי"ט חלקים מכ"ו וישאר שנים והם האנשים הראשונים
	ולאלה הארבעה שאלות ודומיהן יש שני אופנים והם דומים לאופנים שונים אשר הראיתיך
We divided ten into two parts, then we divided one of them by the other and the result is four and a quarter. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}=4+\frac{1}{4}\end{cases}$	כחשבון האומר בו חלקנו עשרה לשני חלקים וחלקנו אחד מהם על האחר ועלה ארבעה ורביע
	והנה אראך אחד מהם למען תתלמד בו לאחרים
We divided twenty dirham among people. Each one received a thing. Then we added to them two people and divided sixty dirham among all. Each one of them received 5 dirham more than each one of the former. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{20}{a}=x\\\scriptstyle\frac{60}{a+2}=x+5\end{cases}$	והוא כי כאשר יאמרו לך עשרים אדרהמיש חלקנום על אנשים והגיע לכל אחד מהם דבר והוספנו עליהם שני אנשים וחלקנו עליהם ששים אדרהמיש ועלה לאחד מהם יותר מאשר עלה לאחד מהראשונים בחמשה אדרהמיש
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ומעשהו שנשים האנשים הראשונים דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{d=\frac{20}{x}}}$	וחלק עליהם עשרים אדרהמיש ויגיע לאחד דינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot x=20}}$	וכאשר תכה דינר על דבר יהיה עשרים אדרהמיש
the latter people = $\scriptstyle{\color{blue}{x+2}}$	ונוסיף על האנשים הראשונים שהם דבר שנים ויהיו דבר ושנים הם האנשים האחרונים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{x+2}=d+5}}$	ותחלק ששים אדרהמיש על דבר ושנים ויגיע דינר אחד וחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d+5\right)\sdot\left(x+2\right)=60}}$	וכאשר נכה דינר וחמשה על דבר ושנים יהיה שישים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d+5\right)\sdot\left(x+2\right)=30+5x+{\color{red}{2}}d}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{30+5x+{\color{red}{2}}d=60}}$	והכאת דינר וחמשה על דבר ושנים יהיה שלשים אדרהמיש וחמשה דברים ודינר אחד ישוו ששים אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{30-5x=2d}}$	ותגרע שלשים אדרהמיש וחמשה דברים מששים וישאר שלשים אדרהמיש פחות חמשה דברים ישוו שני דינרין
$\scriptstyle{\color{blue}{d=15-\left(2+\frac{1}{2}\right)x}}$	והדינר ישוה ט"ו אדרהמיש פחות שני דברים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{x}=15-\left(2+\frac{1}{2}\right)x}}$	ותשוב אל תחלת השאלה הראשונה ותאמר תחלק עשרים אדרהמיש על דבר ויהיה ט"ו אדרהמיש פחות שני דברים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{15x-\left(2+\frac{1}{2}\right)x^2=20}}$	ויהיה ט"ו דברים פחות שני אלגוש וחצי ישוו עשרים אדרהמיש
Normalization of $\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{15x-\left(2+\frac{1}{2}\right)x^2=20\; /\times{\color{red}{\frac{2}{5}}}}}$	תשיב כל דבר שתחזיק אל אלגוש אחד וכבר ידעת ששני אלגוש משני אלגוש וחצי חמשה ותקח לכל דבר שתחזיק חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{6x-x^2=8}}$	ויהיה ששה פחות אלגוש ישוה שמנה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+8=6x}}$	ותאסוף הששה פחות אלגוש עם האלגוש ותוסיפיהו על השמונה אדרהמיש ויהיה אלגוש ושמנה אדרהמיש ישוה ששה דברים
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2-8}\\&\scriptstyle=3-\sqrt{3^2-8}\\&\scriptstyle=3-\sqrt{9-8}\\&\scriptstyle=3-\sqrt{1}=3-1=2\\\end{align}}}$	וקח מחצית הדברים והוא שלשה תכם על עצמם ויהיה תשעה תגרע מהם השמנה וישאר אחד תקח שורשו והוא אחד תגרעיהו ממחצית הדברים שהוא שלשה וישאר שנים והם האנשים הראשונים
the latter people = $\scriptstyle{\color{blue}{x+2=3+1=4}}$	ואם תרצה תוסיף האחד על מחצית השרשים שהוא שלשה ויהיו ארבעה והם האנשים השניים והבן זה
If you are told: we divided ten dirham among people. Each one received a thing. Then we added to them six people and divided forty dirham among all. Each one of them received as much as each one of the former equally. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{10}{a}=x\\\scriptstyle\frac{40}{a+6}=x\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה אדרהמיש על אנשים והגיע לאחד דבר והוספנו עליהם ששה אנשים וחלקנו בין כולם ארבעים אדרהמיש והגיע לאחד מהם כמו שהגיע לאחד מהראשונים בשוה
The procedure
the smaller divided amount is multiplied by the excess of the latter people over the former people the product is divided by the difference between the two divided amounts the result is the former people $\scriptstyle\frac{10\times\left[\left(a+6\right)-a\right]}{40-10}=a$	ומעשיהו שתכה המספר הנחלק הקטן על יתרון האנשים השניים על הראשונים והעולה מההכאה תחלק על יתרון שני המספרים הנחלקים ומה שיעלה הם האנשים הראשונים
the former people: $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10\times6}{40-10}=\frac{60}{30}=2}}$	ותכה המספר הנחלק הקטן והוא עשרה על יתרון האנשים שהוא ששה ויהיה ששים ותחלק ששים על יתרון שני המספרים הנחלקים שהוא שלשים ויעלה שנים והם האנשים הראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{\frac{40-10}{\left(a+6\right)-a}}=\frac{10}{\frac{30}{6}}=\frac{10}{5}=2}}$	ואם תרצה תחלק יתרון שני המספרים הנחלקים והוא שלשים על יתרון האנשים והוא ששה ויגיע לחלק חמשה תחלק עליהם המספר הנחלק הקטן שהוא עשרה ויגיע שנים והם האנשים הראשונים
	וכבר הוא מבואר עלת זאת השאלה
(former people) : (latter people) = [divided amount of the former] : [divided amount of the latter]	ולזאת השאלה פנים אחרים והוא שיחס מספר האנשים הראשונים אל האנשים השניים הוא כמו מספר חלק אחד מהראשונים אל חלק אחד מהשניים
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{40}=\frac{1}{4}}}$ of the latter people	וכבר ידעת שחלק אחד מהראשונים הוא עשרה וחלק אחד מהשניים הוא ארבעים ושיעור עשרה אצל ארבעים הוא הרביע והאנשים הראשונים הם הרביע מהאנשים השניים
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ותשים האנשים הראשונים דבר
the latter people = $\scriptstyle{\color{blue}{x+6}}$	והאנשים השניים דבר וששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(x+6\right)=x}}$	וכבר ידעת כי הרביע מדבר וששה הוא דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}x=x}}$	ולכן תקח הרביע מדבר וששה ויהיה אדרהם וחצי ורביע דבר ישוה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}x=1+\frac{1}{2}}}$	ותגרע רביע דבר מדבר וישאר שלשה רביעי דבר ישוו אחד וחצי
the former people = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=2}}$	והדבר שנים והם האנשים הראשונים
If you are told: ten garments were purchased by two people at a price of 72 dirham. Each one of them paid 36 dirham. The garments are varied in their prices. One of the men took from the garments for his 36 dirham and the other one took the remainder of the garments for his 36 dirham. The price of each garment of the first man is higher than the price of each garment of the other man by three dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot c=36\\\scriptstyle b\sdot\left(c+3\right)=36\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה בגדים קנום בין שני אנשים בשכר שבעים ושנים אדרהמיש וכל אחד מהם הוציא שלשים וששה אדרהמיש והבגדים מתחלפי השומה ואחד מהאנשים לקח מהבגדים בעד הל"ו דרהמי שלו ולקח האחר הנשאר מהבגדים בעד הל"ו דרהמי שלו ושומת כל בגד מהאיש האחד יותר משווי כל בגד מהאחר שלשה דרהמי
AB = 10 garments	ומעשהו שנשים העשרה בגדים קו א"ב
AG = the number of garments of the higher price $\scriptstyle{\color{blue}{b}}$	בעלי השומה הגדולה קו א"ג
GB = [the number of garments of the lower price] $\scriptstyle{\color{blue}{a}}$	והאחרים קו ג"ב
GD = the price of each garment of line GB [= the lower price]	ונשים שומת כל בגד מקו ג"ב קו ג"ד
DB□ = the total price of the garments of line GB $\scriptstyle{\color{blue}{=36}}$	וכל שומת הבגדים מקו ג"ב שטח ד"ב ושטח ד"ב הוא שלשים וששה
GH = the price of each garment of line AG [= the higher price]	ותשים שומת כל בגד מקו א"ג קו ג"ה
AH□ = the total price of the garments of line AG $\scriptstyle{\color{blue}{=36}}$	וכל שומת הבגדים מקו ג"א יהיה שטח א"ה והוא שלשים ושש
DH = the difference of the price of each garment [of line AG] and the price of each garment of [line GB] $\scriptstyle{\color{blue}{=3}}$	וקו ד"ה שלשה בעבור כי הוא יתרון שומת כל בגד מאחד מהם על שומת כל בגד מהאחר
GB = DZ = x	ונשים קו ג"ב דבר והוא כמו קו ד"ז
DH = $\scriptstyle{\color{blue}{3}}$	וקו ד"ה שלשה
HZ□ = DZ×DH = $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	ושטח ה"ז יהיה מפני זה שלשה דברים
AA'□ = $\scriptstyle{\color{blue}{72+3x}}$	וכל שטח ב"ע יהיה שבעים ושנים ושלשה דברים
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וקו א"ב עשרה
AA' = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{72+3x}{10}=7+\frac{1}{5}+\frac{3}{10}x}}$	ולכן יהיה קו א"ע שבעה וחומש ושלשה עשיריות דבר
AA' = line GH	אבל הוא כמו קו ג"ה
HD = $\scriptstyle{\color{blue}{3}}$	וקו ה"ד ממנו שלשה
GD = GH-HD = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{1}{5}+\frac{3}{10}x\right)-3=4+\frac{1}{5}+\frac{3}{10}x}}$	וישאר קו ג"ד ארבעה וחומש ושלשה עשיריות דבר
GD×GB = [DB□] = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{5}+\frac{3}{10}x\right)\sdot x=\left(4+\frac{1}{5}\right)x+\frac{3}{10}x^2=36}}$	ונכה אותו על קו ג"ב והוא דבר ויהיה ארבעה דברים וחומש ושלש עשיריות מאלגו ישוו שלשים ושש אדרהמיש
Normalization of $\scriptstyle\frac{3}{10}x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{5}\right)x+\frac{3}{10}x^2=36\; /\times\left(3+\frac{1}{3}\right)}}$	ותשלים שלש עשיריות מאלגו והשלמתך הוא עד שיהיו אלגו שלם והוא שתכם על שלשה ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+14x=120}}$	ותכה כל דבר שתחזיק על שלשה ושליש ויהיה אלגו וארבעה עשר דברים ישוו מאה ועשרים אדרהמיש
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}$	ועשה כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר ששה והוא מספר הבגדים מאחד מהם והוא קו ג"ב
[AG] = $\scriptstyle{\color{blue}{10-x=4}}$	והחלק האחר הוא מה שנשאר מהעשרה בגדים והוא ארבעה וזה הוא מה שרצינו לבאר
	ולזאת השאלה פנים אחרים
the number of garments that one of them took = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והוא כמו שהוספנו שנשים הבגדים שלקח אחד מהם דבר
[the number of garments that the other one took] = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחרים עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\rm{price}_1=36}}$	וכבר ידעת שאם נכה דבר על שומת כל בגד מהחלק האחד יהיה ל"ו דרהמי'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot\rm{price}_2=36}}$	ואם נכה עשרה פחות דבר על שומת כל בגד מהחלק האחר יהיה כמו כן ל"ו דרהמי'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[x+\left(10-x\right)\right]\sdot \rm{price}_2=\left[x+\left(10-x\right)\right]\sdot\left(\rm{price}_1+3\right)=72+3x}}$	ואם תכה כל הבגדים על שומת כל בגד ושלשה יותר מהבגדים מהדבר ושלשה יהיה שבעים ושנים דרהמי' ושלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\rm{price}_2=\frac{72+3x}{10}=7+\frac{{\color{red}{1}}}{5}+\frac{3}{10}x}}$	וכאשר תחלקם על העשרה יהיה שומת כל בגד מהעשרה פחות דבר יעלה לחלק שבעה ושני חומשים ושלש עשיריות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\rm{price}_1=4+\frac{1}{5}+\frac{3}{10}x}}$	ויהיה שומת כל בגד מהבגדים מהדבר ארבעה וחומש ושלש עשיריות מדבר
the number of garments that one of them took = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	ותעשה כמו שאמרתי לך במה שעבר ויעלה הדבר ששה בגדים והוא מה שלקח האחד
the number of garments that the other one took = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}$	והאחר לקח מה שנשאר מהעשרה והוא ארבעה בגדים
We divided ten into two parts, then we multiplied one part by a thing and [the product] was thirty six and we multiplied the other part by a thing plus three and [the product] was thirty six. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot x=36\\\scriptstyle b\sdot\left(x+3\right)=36\end{cases}$	וזאת השאלה היא כמו השאלה שאומר בה עשרה חלקנום לשני חלקים והכינו החלק האחד על דבר ויהיה שלשים ושש והכינו החלק האחר על דבר ושלשה ויהיה שלשים ושש
	ותעשה אותה כמו שאמרתי לך לפנים
If you are told: we divided ten into two parts, then we multiplied one part by six, divided the product by the other part, took a third of the quotient and added it the quotient and [the result] was fifty six. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle6a+\frac{1}{3}\sdot\frac{6a}{b}=56\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה לשני חלקים והכינו החלק האחד על ששה וחלקנו מה שעלה מההכאה על החלק האחר ומה שעלה לחלק לקחנו ממנו השליש והוספנו על מה שעלה הכאת החלק האחד על ששה והיה חמשים וששה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ומלאכתו שנשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{6x}{10-x}=56-6x}}$	ותכה דבר על ששה ויהיה ששה דברים ותחלק ששה דברים על עשרה פחות דבר והשלישית מאשר יעלה לחלק יהיה נ"ו אדרהמיש פחות ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{6x+\frac{1}{3}\sdot\frac{6x}{10-x}=56}}$	וזה כי כבר אמר שאם קבצנוהו עם הששה דברים יהיה נ"ו אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6x}{10-x}=168-18x}}$	ומה שעלה לחלק הוא מפני זה קס"ח אדרהמיש פחות י"ח דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6x}{10-x}=168-18x\; /\times\left(10-x\right)}}$	ותכם על עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{6x=1680+18x^2-348x}}$	ויהיה אלף תר"פ אדרהמיש וי"ח אלגוש פחות שמ"ח דברים ישוו ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{354x=1680+18x^2}}$	ותאספם עם שמ"ח דברים ותוסיפם על הששה דברים ויהיה אלף תר"פ אדרהמיש וי"ח אלגוש ישוו שנ"ד דברי'
Normalization of $\scriptstyle18x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{354x=1680+18x^2\; /\times\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד וכבר ידעת כי האלגו הוא מי"ח אלגוש חצי תשיעית ותקח מכל דבר שתחזיק חצי תשיעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(19+\frac{2}{3}\right)x=\left(93+\frac{1}{3}\right)+x^2}}$	ויהיה אלגו וצ"ג אדרהמיש ושליש ישוו י"ט דברי' ושני שלישי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=8}}$	ותכונם עמו ויהיה הדבר שמנה והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=2}}$	והאחר שנים
$\scriptstyle\left[x^2-\left(\frac{1}{3}x^2+2\right)\right]^2=x^2+24$	ואם יאמרו לך אלגו גרעת ממנו שלישיתו ושני אדרהמיש ומה שנשאר הכית אותו על עצמו ושב האלגו וכ"ד אדרהמיש יותר
first method:
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	ופעולתו שנשים האלגו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[y-\left(\frac{1}{3}y+2\right)\right]^2=y+24}}$	ותגרע ממנו שלישיתו ושני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}y-2\right)^2=y+24}}$	וישאר שני שלישי דבר פחות שני דרהמיש ותכם על עצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}y^2+4-\left(2+\frac{2}{3}\right)y=y+24}}$	ויהיה ארבעה תשיעיות מאלגו וארבעה דרהמי פחות שני דברי' ושני שלישי דבר ישוו דבר וכ"ד אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}y^2=20+\left(3+\frac{2}{3}\right)y}}$	ותאסוף הארבעה תשיעיות עם השני דברים ושני שלישי דבר ותוסיפם על האדרהמיש והדבר ויהיה עשרים אדרהמי ושלשה דברים ושני שלישי דבר ישוו ארבעה תשיעיות מאלגו
Normalization of $\scriptstyle\frac{4}{9}y^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}y^2=20+\left(3+\frac{2}{3}\right)y\; /\times\left(2+\frac{2}{4}\right)}}$	ותשלים האלגו עד שיהיה אלגו שלם והשלמתך הוא שתכהו על שנים ורביע ותכה כל אשר תחזיק על שנים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=12}}$	ועשה כאשר אמרתי לך ויהיה שנים עשר והוא האלגו
second method:
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y-24}}$	ולה פנים אחרים והוא שתשים האלגו אלגו פחות כ"ד דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(y-24\right)-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(y-24\right)+2\right)\right]^2=y}}$	ותגרע ממנו שלישיתו ושני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}y-{\color{red}{18}}\right)^{\color{red}{2}}=y}}$	וישאר שני שלישי אלגו פחות כ"ב דרהמי ישוו שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{y=36}}$	ותכוין עמו כמו שאמרתי לך ויעלה האלגו ל"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=12}}$	וישאר י"ב והוא האלגו הנשאל
$\scriptstyle3\sqrt{x^2}+4\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=20$	ואם יאמרו לך שלשה שרשים מהאלגו וארבעה שרשים ממה שנשאר מהאלגו יהיה עשרים דרהמי'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y^2}}$	ומלאכתו שנשים האלגו אלגו
	ותאמר שלשה שרשיו וארבעה שרשים פחות שלשה שרשי' ישוו עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sqrt{y^2-3\sqrt{y^2}}=20-3\sqrt{y^2}}}$	ותגרע השלשה שרשים מהעשרים דרהמי וישאר עשרים דרהמי פחות שלשה שרשים ישוו ארבעה שרשים מן האלגו פחות שלשה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{y^2-3\sqrt{y^2}}=5-\frac{3}{4}\sqrt{y^2}}}$	והוא חמשה דרהמי פחות שלשה רביעים משרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{y^2-3\sqrt{y^2}}\right)^2=\left(5-\frac{3}{4}\sqrt{y^2}\right)^2}}$	ותכהו על עצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2-3\sqrt{y^2}={\color{red}{25+\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]y^2-\left(7+\frac{1}{2}\right)\sqrt{y^2}}}}}$	ויהיה חצי אלגו וחצי שרש ישוה אלגו פחות שלשה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+\left(4+\frac{1}{2}\right)\sqrt{y^2}=25+\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]y^2}}$	ותאספהו עם תשעה שרשים וחצי ותוסיפהו על האלגו פחות ושלשה שרשים ויהיה אלגו וארבעה שרשים וחצי ישוה חצי אלגו וחצי שמינית אלגו וכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{8}+{\color{red}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}\right]y^2+\left(4+\frac{1}{2}\right)\sqrt{y^2}=25}}$	ותגרע חצי אלגו ושתות מאלגו שלם וישאר שלשה שמיניות וששית אלגו וארבעה שרשים וחצי ישוה כ"ה דרהמיש
Normalization of $\scriptstyle\left[\frac{3}{8}+{\color{red}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}\right]y^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{8}+{\color{red}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}\right]y^2+\left(4+\frac{1}{2}\right)\sqrt{y^2}=25\; /\times\left(2+\frac{2}{7}\right)}}$	ותשלים האלגו שלך וזה בשתוסיף עליו כמהו וכמו שני שביעיותיו ויהיה אלגו שלם ותוסיף על כל דבר שתחזיק כמהו וכמו שתי שביעיותיו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+\left(10+\frac{2}{7}\right)y=57+{\color{red}{\frac{1}{7}}}}}$	ויהיה אלגו ועשרה דברים ושתי שביעיות דבר ישוה נ"ז דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle y&\scriptstyle{\color{red}{=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+\frac{2}{7}\right)\right]^2+\left(57+\frac{1}{7}\right)}-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+\frac{2}{7}\right)\right]}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left[26+\frac{3}{7}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]+\left(57+\frac{1}{7}\right)}-\left(5+\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{83+\frac{4}{7}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}-\left(5+\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=\left(9+\frac{1}{7}\right)-\left(5+\frac{1}{7}\right)=4\\\end{align}}}$	ושלש שביעיות ושביעית השביעית ותוסיפם על החמשים ושביעית ויהיה פ"ג וארבע שביעיות ושביעית השביעית ותקח שרשו והוא תשעה ושביעית תגרע מהם מחצית השרשים והוא חמשה ושביעית וישאר ארבעה והוא שרש האלגו
$\scriptstyle3\sqrt{x^2}+4\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=20$	ואם תרצה תאמר שלשה שרשים מאלגו וארבעה שרשים מאלגו פחות שלשה שרשים ישוו עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=\sqrt{16x^2-48\sqrt{x^2}}}}$	וארבעה שרשים מאלגו פחות שלשה שרשים הוא שרש י"ו פחות מ"ח שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(20-3\sqrt{x^2}\right)^2=16x^2-48\sqrt{x^2}}}$	ותכה עשרים פחות שלשה שרשים על עצמו ותכוין^[21] העולה מההכאה שש עשרה אלגוש פחות מ"ח שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	ותעשה כמו שאמרתי לך ויעלה האלגו ששה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=x^2-3\sqrt{x^2}}}$	ואם תרצה תשים הנשאר מהאלגו אחר שנגרע ממנו שלשת שרשי האלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{x^2}+4\sqrt{y^2}=20}}$	וקח ארבעה שרשיו והוא ארבעה שרשים והוא ידוע כי כאשר תוסיף אלו הארבעה שרשים על שלשה שרשי האלגו יהיה עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{x^2}=20-4\sqrt{y^2}}}$	ויתחיב שיהיו שלשת שרשי האלגו עשרים דרהמי פחות ארבעה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}=\left(6+\frac{2}{3}\right)-\left(1+\frac{1}{3}\right)\sqrt{y^2}}}$	ויהיה שרש האלגו ששה דרהמי ושני שלישים פחות שרש ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(6+\frac{2}{3}\right)-\left(1+\frac{1}{3}\right)\sqrt{y^2}\right]^2=\left(1+\frac{7}{9}\right)y^2+\left(44+\frac{4}{9}\right)-\left(17+\frac{7}{9}\right)y}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(1+\frac{7}{9}\right)y^2+\left(44+\frac{4}{9}\right)-\left(17+\frac{7}{9}\right)y}}$	ותכהו על עצמו ויהיה אלגו ושבע תשיעיות מאלגו ומ"ד דרהמי וד' תשיעיות מדרהמי פחות י"ז דברים וז' תשיעיות דבר והוא האלגו הנשאל
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-3\sqrt{x^2}=\left[\left(1+\frac{7}{9}\right)y^2+\left(44+\frac{4}{9}\right)-\left(17+\frac{7}{9}\right)y\right]-\left(20-4y\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(24+\frac{4}{9}\right)+\left(1+\frac{7}{9}\right)y^2-\left(13+\frac{7}{9}\right)y=y^2}}$	ותגרע ממנו שלשת שרשיו שהם עשרים דרהמי פחות ארבעה שרשים וישאר כ"ד דרהמי וד' תשיעיות מדרהמי ואלגו ושבע תשיעיות מאלגו פחות י"ג שרשים וז' תשיעיות משרש ישוו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=y=2}}$	ותעשה כאשר אמרתי לך ויעלה הדבר שנים והוא שרש מה שנשאר מהאלגו אחר שנגרע ממנו שלשת שרשיו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-3\sqrt{x^2}=y^2=2^2=4}}$	ותכם על עצמם ויהיה ארבעה והוא מה שנשאר מהאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{x^2}=20-4\sqrt{2^2}=20-4\sqrt{4}=20-8=12}}$	וקח ארבעה שרשים מארבעה והם שמנה ותגרעם מעשרים וישאר י"ב והם שלשה שרשים מהאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}=\frac{1}{3}\sdot12=4}}$	ושלישיתם הוא שרש האלגו והוא ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו יהיה ששה עשר והוא האלגו הנשאל
$\scriptstyle\left(x^2-\frac{1}{3}x^2\right)\sdot3\sqrt{x^2}=x^2$	ואם יאמרו לך גרענו מן האלגו שלישיתו והכינו הנשאר על שלשה שרשים מהאלגו הראשון ושב האלגו הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x^2\sdot3\sqrt{x^2}=x^2}}$	כבר ידעת שכאשר תגרע מן האלגו שלישיתו שיהיה הנשאר שני שלישיו
Normalization of $\scriptstyle\frac{2}{3}x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x^2\sdot3\sqrt{x^2}=x^2\; /\times\left(1+\frac{1}{2}\right)}}$	ואלו השני שלישיות תכם על אדרהם וחצי עד שישוב האלגו אל מה שהיה
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{x^2}=1+\frac{1}{2}}}$	והאדרהם וחצי שלשה שרשים מהאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}=\frac{1}{2}}}$	ושרש האלגו חצי אדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{4}}}$	והאלגו רביע אחד
$\scriptstyle\left(x^2-\frac{1}{3}x^2\right)\sdot3\sqrt{x^2-\frac{1}{3}x^2}=x^2$	ואם יאמרו לך אלגו גרענו ממנו שלישיתו והכינו הנשאר על שלשה שרשים מהנשאר מהאלגו וישוב האלגו
first method: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x^2\sdot3\sqrt{\frac{2}{3}x^2}=x^2}}$	וכבר ידעת שכאשר גרענו מן האלגו שלישיתו יהיה הנשאר שני שלישיו
Normalization of $\scriptstyle\frac{2}{3}x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x^2\sdot3\sqrt{\frac{2}{3}x^2}=x^2\; /\times\left(1+\frac{1}{2}\right)}}$	ואלו שני שלישיות תכם על אדרהם וחצי עד שישוב האלגו הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{\frac{2}{3}x^2}=1+\frac{1}{2}}}$	והאדרהם וחצי הם שלשה שרשים ממה שנשאר מהאלגו והם שני שלישים מהאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{3}x^2}=\frac{1}{2}}}$	ושרש שני שלישיות חצי אדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x^2=\frac{1}{4}}}$	והשני שלישיות הם רביע דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{3}{8}}}$	והאלגו שלשה שמיניות
second method: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	ותעשה כמעשה הזה והוא שתשים האלגו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(y-\frac{1}{3}y\right)\sdot3\sqrt{y-\frac{1}{3}y}=\frac{2}{3}y\sdot3\sqrt{\frac{2}{3}y}=\frac{2}{3}y\sdot\sqrt{6y}}}$	ותגרע ממנו שלישיתו וישאר שני שלישיו ותכה שני שלישיות דבר על שלשה שרשים מאלו השני שלישיות והוא שרש מששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2y^3+\frac{2}{3}y^3}=y}}$	ויהיה שרש משני מעוקבים משני קוביקש ושני שלישיות ישוו האלגו והוא דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{2y^3+\frac{2}{3}y^3}\right)^2=y^2}}$	תכה הדבר על עצמו ויהיה אלגו ותכה שרש שני קוביקש ושני שלישיות על עצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{2y^3+\frac{2}{3}y^3=y^2}}$	ויהיה שני קוביקש ושני שלישיות ישוו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{2y^3+\frac{2}{3}y^3=y^2\; /\div y^2}}$	תחלקהו על אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{2y+\frac{2}{3}y}}=1}}$	ויהיה ס"ב שלישיות ישוה אדרהם אחת
$\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{3}{8}}}$	והדבר ישוה שלשה שמיניות מאדרהם
$\scriptstyle3\sqrt{x^2}+2\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=x^2$	ואם יאמרו לך אלגו שלשת שרשיו ושני שרשי הנשאר ישוו האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=x^2-3\sqrt{x^2}}}$	וכבר ידעת כי שני שרשים מהנשאר מהאלגו ישוה הנשאר מהאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-3\sqrt{x^2}=4}}$	ומה שנשאר מהאלגו הוא ארבעה דרהמי וזה הוא אלגו תגרע ממנו שלשת שרשיו וישאר ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו ששה עשר דרהמי
$\scriptstyle3\sqrt{x^2}+4\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}=x^2+4$	ואם יאמרו לך אלגו שלשת שרשיו וארבעה שרשים ממה שנשאר מהאלגו יהיה כמו האלגו וארבעה דרהמי' יותר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-3\sqrt{x^2}=4\sqrt{x^2-3\sqrt{x^2}}-4}}$	וכבר ידעת כי הנשאר מהאלגו אחר שגרעת ממנו שלשת שרשיו יהיה כמו ארבעה שרשיו פחות ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=x^2-3\sqrt{x^2}}}$	ותמנה מה שנשאר מהאלגו אחר שגרעת ממנו שלשת שרשיו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=4\sqrt{y^2}-4}}$	ותאמר אלגו שארבעת שרשיו פחות ארבעה דרהמי ישוה האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=4}}$	והאלגו ארבעה דרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-3\sqrt{x^2}=4}}$	ותאמר אלגו תגרע ממנו שלשת שרשיו וישאר ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו ששה עשר דרהמי והוא האלגו הנשאל
If you are told: we divided ten into two parts, then we divided one part by the other, and the sum of the quotient with the divisor is five and a half. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}+a=5+\frac{1}{2}\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה דרהמי חלקנום לשני חלקים וחלקנו החלק האחד על האחר ויהיה המגיע לחלק עם המחלק יהיה חמשה וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}+x=5+\frac{1}{2}}}$	וכבר ידעת שכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר יהיה המגיע לחלק כאשר תוסיפהו על דבר חמשה וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\left(5+\frac{1}{2}\right)-x}}$	וכאשר תגרע הדבר מהחמשה וחצי יהיה הנשאר הוא המגיע לחלק והוא חמשה וחצי פחות דבר ותאמר חלקנו עשרה פחות דבר על דבר והגיע חמשה וחצי פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\left(5+\frac{1}{2}\right)-x\; /\times x}}$	וכבר ידעת שכאשר תכה המגיע לחלק על המחלק שישוב האלגו הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ותכה חמשה וחצי פחות דבר על דבר ותכוין העולה מההכאה עשרה פחות דבר ויעלה הדבר ארבעה
If you are told: divide ten into two parts, then divide one part by the other, take the quotient and add it to the dividend and multiply the sum by the divisor and [the result] is thirty. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}+b\right)\sdot a=30\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשני חלקים וחלק החלק האחד על האחר וקח המגיע לחלק והוסיפהו על המספר הנחלק והמקובץ תכהו על המחלק ויהיה שלשים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	וכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר כבר ידעת שאשר יגיע לחלק כאשר תכהו על דבר יהיה עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot x=10x-x^2}}$	וכאשר תכה עשרה פחות דבר על דבר יהיה עשרה דברים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)+\left(10x-x^2\right)=10+9x-x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10+9x-x^2=30}}$	והוסף עליו עשרה פחות דבר ויהיה עשרה אדרהמי ותשעה דברים פחות אלגו ישוו שלשים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=4}}$	ותכוין כמו שאמרתי ויעלה הדבר ארבעה דרהמיש והוא חלק אחד והוא המחלק
If you are told: divide ten into two parts, then divide one part by the other, and multiply the quotient by the dividend and [the result] is nine dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}\sdot b=9\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשני חלקים ותחלק החלק האחד על האחר ותכה המגיע לחלק על המספר הנחלק ויהיה תשעה דרהמי'
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot\left(10-x\right)=9}}$	וכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר יהיה המגיע לחלק כאשר הוכה על עשרה פחות דבר יהיה תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=19-x}}$	וכאשר תחברם יהיו תשעה עשר פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\left(1+\frac{9}{10}\right)-\frac{1}{10}x}}$	והוא מבואר ממה שאמרתי שכאשר נכה מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר על עשרה דרהמי יהיה עשרה דרהמי פחות דבר על עשרה יעלה דרהם אחת ותשעה עשיריות מדרהם פחות עשירית דבר והוא מה שיגיע לחלק ותשוב ותאמר חלקנו עשרה דרהמי פחות דבר על דבר ועלה דרהם אחד ותשעה עשיריות מאדרהם פחות עשירית דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=4}}$	ועשה כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר ארבעה והוא החלק האחד והוא המחלק
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided one part by the other, and multiplied the quotient by itself and by the divisor and [the result] is 32 dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}\right)^2\sdot a=32\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת החלק האחד על האחר והכית מה שהגיע לחלק על עצמו ועל המחלק ויהיה ל"ב אדרהמי'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{8}{2}\right)^2\sdot2=4^2\sdot2=16\sdot2=32}}$	משל^[22] זה י' נחלק לח' וב' וחלקנו ח' על ב' והגיע ד' והכינו ד' על עצמו ועלה י"ו עוד הכינו י"ו על ב' המחלק והיה ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	וכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר והכית מה שיגיע לחלק על דבר יהיה עשרה פחות דבר והוא המספר הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot\left(10-x\right)=32}}$	וכאשר תכה עשרה פחות דבר על מה שהגיע לחלק יהיה ל"ב דרהמי
$\scriptstyle A^2\sdot B=A\sdot\left(A\sdot B\right)$	בעבור כי כל מספר שתכהו על עצמו ועל מספר אחר העולה הוא כמו הכאת המספר הראשון על המספר האחר ומה שיתקבץ על המספר הראשון וזה הוא ידוע
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}\sdot b=32\end{cases}$	ואחר שהתישב זה יהיה כאלו אמרו לך חלקנו עשרה לשני חלקים וחלקנו החלק האחד על האחר והכינו מה שהגיע לחלק על המספר הנחלק ועלה ל"ב
	וכבר בארנו זה בשאלה שקדמה
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided one part by the other, and multiplied the quotient by excess of the dividend over the divisor and [the result] is 24 dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}\sdot\left(b-a\right)=24\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת החלק האחד על האחר והכית מה שהגיע לחלק על ההבדל אשר יעדיף המספר הנחלק את המחלק ויהיה כ"ד דרהמי'
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot\left(10-2x\right)=24}}$	וכאשר תחלק עשרה פחות דבר על דבר כבר ידעת שמה שיגיע לחלק כאשר תכהו על הבדל השני חלקים שהוא עשרה פחות שני דברים יהיה כ"ד דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	וכבר ידעת כי הכאת העולה לחלק על דבר יהיה עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot2x=20-2x}}$	ועל שני דברים יהיה עשרים פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{24+\left(20-2x\right)=44-2x}}$	ותוסיפם על הכ"ד ויהיה מ"ד פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=44-2x}}$	והוא ידוע ממה שאמרנו שהכאת מה שיגיע לחלק על עשרה הוא מ"ד פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=44-2x\; /\div 10}}$	וחלק מ"ד פחות שני דברים על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\left(4+\frac{2}{5}\right)-\frac{1}{5}x}}$	ויעלה ארבעה דרהמי ושני חמשי דרהם פחות חמישית דבר והוא מה שיגיע לחלק ותשוב ותאמר חלקת עשרה פחות דבר על דבר ויעלה ארבעה דרהמי ושני חומשי דרהם פחות חמישית דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=2}}$	ותעשה כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר שנים והוא החלק האחד והוא המחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=8}}$	והחלק האחר הוא שמנה
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided each part by the other, summed both quotients and multiplied [the sum] by one of the two parts of ten and [the result] is 34 dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\sdot b=34\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר וקבצת מה שעלה לחלק משניהם והכית אותו על החלק האחד משני חלקי העשרה והיה ל"ד אדרהמיש
first method
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot\left(10-x\right)=x}}$	וכבר ידעת כי כאשר תכה מה שהגיע מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר על עשרה פחות דבר יהיה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot\left(10-x\right)=32-x}}$	ותגרע דבר מל"ד וישאר ל"ד פחות דבר והוא ידוע ממה שאמרנו שכאשר נחלק עשרה פחות דבר על דבר ונכה המגיע לחלק מן החלוקה על עשרה פחות דבר יהיה ל"ד פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	וכאשר נכה מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר יהיה עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=\left({\color{red}{32-x}}\right)+\left(10-x\right)=44-2x}}$	תוסיפם על ארבעה ושני שלישיות פחות דבר ויהיה מ"ד פחות שני דברים והוא כמו הכאת מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=44-2x\; /\div 10}}$	ותחלק מ"ד פחות שני דברים על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\left(4+\frac{2}{5}\right)-\frac{1}{5}x}}$	ויעלה לחלק ארבעה דרהמי ושני חומשים פחות חמישית דבר ותשוב ותאמר חלקת עשרה דרהמי פחות דבר על דבר ועלה ארבעה דרהמי ושני חומשים פחות חמישית דבר
$\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	וכבר ידענו שכאשר נכה מה שעלה לחלק מהנחלק על המחלק ישוב האלגו הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\left(4+\frac{2}{5}\right)-\frac{1}{5}x\; /\times x}}$	ותכה ארבעה דרהמי ושני חומשים פחות חמישית דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{10-x=\left(4+\frac{2}{5}\right)x-\frac{1}{5}x^2}}$	ויהיה ארבעה דברים וחומש פחות חמישית אלגו ישוו עשרה דרהמי פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=2}}$	ותכוין עמו כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר שנים והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=8}}$	והאחר הוא שמנה
second method
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ואם תרצה תשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=d}}$	ותאמר חלקנו דבר על עשרה פחות דבר ויעלה דינר אחד
fals = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=f}}$	וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר ועלה פלס אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}+\frac{10-x}{x}=d+f}}$	וקבצנו מה שעלה לכל חלק והיה דינר אחד ופלס אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d+f\right)\sdot x=34}}$	וכבר ידענו כי כאשר הכינו דינר אחד ופלס אחד על דבר יהיה ל"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{f\sdot x=10-x}}$	וכאשר נכה פלס על דבר יהיה עשרה דרהמי פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot x=34-\left(10-x\right)}}$	ותגרע עשרה פחות דבר מל"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot x=24+x}}$	ישאר כ"ד ודבר וכבר ידענו שכאשר נכה דינר על דבר יהיה כ"ד ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot\left(10-x\right)=x}}$	וכאשר נכה דינר אחד על עשרה פחות דבר יהיה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot10=\left(24+x\right)+x}}$	ותוסיפהו על כ"ד ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot10=24+2x}}$	ויהיה כ"ד ושני דברים וכבר הוא מבואר שכאשר נכה דינר על עשרה יהיה כ"ד דרהמי ושני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot10=24+2x\; /\times10}}$	ותחלק כ"ד ושני דברים על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{d=\left(2+\frac{2}{5}\right)+\frac{1}{5}x}}$	ויעלה שני אדרהמי ושני חומשים וחמישית דבר והוא הדינר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=\left(2+\frac{2}{5}\right)+\frac{1}{5}x}}$	ותשוב ותאמר חלקנו דבר על עשרה פחות דבר ועלה שני אדרהמי ושני חומשים וחמישית דבר
$\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	וכבר ידענו שכאשר נכה מה שעלה לחלק על המחלק ישוב האלגו הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=\left(2+\frac{2}{5}\right)+\frac{1}{5}x\; /\times\left(10-x\right)}}$	ותכה שני אדרהמי ושני חומשים ושני חומשי דבר על עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=24-\frac{{\color{red}{2}}}{5}x+\frac{1}{5}x^2}}$	יהיה כ"ד דרהמי פחות חמישית דבר ופחות חמישית אלגו ישוה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=8}}$	ותכוין עמו כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר שמנה והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=2}}$	והאחר שנים
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided the larger [part] by the smaller [part], added the quotient to ten and multiplied the sum by the smaller part and [the result] is 46 dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}+10\right)\sdot a=46\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת הגדול על הקטן והוספת העולה לחלק על עשרה והכית המקובץ על החלק הקטן והיה מ"ו אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק הקטן דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והגדול עשרה פחות דבר
$\scriptstyle\left(\frac{10-x}{x}+10\right)\sdot{\color{red}{x}}=46$	וכבר ידענו שכאשר נחלק עשרה פחות דבר על דבר והוספנו העולה לחלק על העשרה ונכה המקובץ על עצמו יהיה מ"ו דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=46-10x}}$	והוא ידוע שאם נכה העשרה על דבר יהיה עשרה דברים ואם נגרעם ממ"ו ישאר מ"ו פחות עשרה דברים והוא הכאת מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{10-x=46-10x}}$	ויהיה עשרה פחות דבר ישוה מ"ו פחות עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=4}}$	ותכוין עמו כמו שבארתי לך ויהיה הדבר ארבעה
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided the larger [part] by the smaller [part], and added the quotient to ten and multiplied the sum by the larger part and [the result] is sixty nine dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}+10\right)\sdot b=69\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת הגדול על הקטן והוספת מה שעלה לחלק על העשרה ותכה מה שיתקבץ על החלק הגדול ויהיה ששים ותשעה אדרהמי'
first method
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שנשים החלק הקטן דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והגדול עשרה פחות דבר
$\scriptstyle\left(\frac{10-x}{x}+10\right)\sdot{\color{red}{10-x}}=69$	וכאשר נחלק עשרה פחות דבר על דבר יהיה ס"ט דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(10-x\right)=100-10x}}$	ותכה עשרה דרהמי על עשרה פחות דבר ויהיה מאה דרהמי פחות עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{69-\left(100-10x\right)=10x-31}}$	ותגרעם מס"ט אדרהמי וישאר עשרה דברים פחות ל"א דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot\left(10-x\right)=10x-31}}$	והוא כמו הכאת מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	והכאת מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר הוא עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=\left(10x-31\right)+\left(10-x\right)}}$	ותוסיפם על עשרה דברים פחות ל"א דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=9x-21}}$	ויהיה תשעה דברים פחות כ"א דרהמי והוא כמו הכאת מה שהגיע לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot10=9x-21\; /\div10}}$	ותחלק תשעה דברים פחות כ"א דרהמי על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\frac{9}{10}x-\left(2+\frac{1}{10}\right)}}$	ויעלה תשעה עשיריות דבר פחות שני דרהמי ועשירית והוא מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\frac{9}{10}x-\left(2+\frac{1}{10}\right)\; /\times x}}$	ותכה תשעה עשיריות דבר פחות שני דרהמי ועשירית על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{10{\color{red}{-x}}=\frac{9}{10}x^2-\left(2+\frac{1}{10}\right)x}}$	ויהיה תשעה עשיריות מאלגו פחות שני דברים ועשירית דבר ישוו עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(11+\frac{1}{9}\right)+\left(1+\frac{2}{9}\right)x}}$	ותכוין עמהם וישלם האלגו שלך ויהיה אלגו ישוה י"א דרהמי ותשיעית ודבר אחד ושני תשיעיות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{2}{9}\right)\right]^2+\left(11+\frac{1}{9}\right)}+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{2}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\right)^2+\left(11+\frac{1}{9}\right)}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]+\left(11+\frac{1}{9}\right)}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{11+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{9}\right)}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=3+{\color{red}{\frac{2}{3}}}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\right)=4\\\end{align}}}$	וקח מחצית הדבר ושני תשיעיות דבר ויהיה חצי ותשיעית ותכהו על עצמו ויהיה רביע ותשיעית ותשיעית התשיעית ותוסיפהו על י"א דרהמי ותשיעית ויהיה י"א דרהמי ורביע ושתות וחצי תשיעית ותשיעית התשיעית וקח שרשו ויהיה שלשה דרהמי ושני שלישים וקח מחצית הכל והוא ותוסיף עליו מחצית השרשים והוא חצי ותשיעית ויהיה ארבעה והוא הדבר והוא החלק הקטן
second method
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ואם תרצה תשים החלק האחד דבר והוא הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והגדול עשרה פחות דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=d}}$	וכאשר חלקנו עשרה פחות דבר על דבר יעלה דינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d+10\right)\sdot\left(10-x\right)=69}}$	תוסיפהו על עשר ויהיה עשרה דרהמי ודינר אחד וכאשר נכה עשרה ודינר על עשרה דרהמי פחות דבר יהיה ס"ט דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(10-x\right)=100-10x}}$	והכאת עשרה דרהמי פחות דבר על עצמו יהיה מאה דרהמי פחות עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{69-\left(100-10x\right)=10x-31}}$	ותגרעם מן הס"ט וישאר עשרה דברים פחות ל"א דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot\left(10-x\right)=10x-31}}$	וכבר התבאר שהכאת הדינר על עשרה פחות דבר הוא עשרה דברים פחות ל"א דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot x=10-x}}$	והכאת דינר אחד על דבר הוא עשרה דרהמי פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10x-31\right)+\left(10-x\right)=9x-21}}$	ותוסיפם על עשרה דברים פחות ל"א ויהיה תשעה דברים פחות כ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot10=9x-21}}$	וכבר ידענו שהכאת הדינר על עשרה דרהמי הוא תשעה דברים פחות כ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot10=9x-21\; /\div10}}$	ותחלק תשעה דברים פחות כ"א על עשרה
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{d=\frac{9}{10}x-\left(2+\frac{1}{10}\right)}}$	ויעלה תשעה עשיריות דבר פחות ב' דרהמי ועשירית והוא הדינר
$\scriptstyle\frac{10-x}{x}=\frac{9}{10}x-\left(2+\frac{1}{10}\right)$	והוא כמו שתאמר חלקנו עשרה דרהמי פחות דבר על דבר ויעלה תשעה עשיריות דבר פחות שני דרהמי ועשירית
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=4}}$	ותעשה כאשר אמרתי לך ויעלה הדבר ארבעה והוא החלק הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=6}}$	והגדול הוא ששה
If you are told: we divided ten into two parts, then we divided the larger [part] by the smaller [part] and the smaller [part] by the larger [part], summed the quotients and added them to ten and multiplied the sum by the larger part and [the result] is seventy three dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+10\right)\sdot a=73\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקנום לשני חלקים וחלקנו הגדול על הקטן והקטון על הגדול וקבצת מה שעלה לכל חלק והוספתם על העשרה והכית המקובץ על החלק הגדול והיה שבעים ושלש דרהמי'
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק הגדול דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b={\color{red}{10-x}}}}$	והקטון דבר פחות עשרה
$\scriptstyle\left(\frac{{\color{red}{10-x}}}{x}+\frac{x}{10-x}+10\right)\sdot x=73$	וכאשר נחלק דבר פחות עשרה על דבר והדבר על עשרה פחות דבר והוספנו מה שעלה לכל חלק על העשרה והכינו המקובץ על הדבר היה ע"ג דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{10-x}{x}+\frac{x}{10-x}\right)\sdot x=73-10x}}$	וכבר ידענו שאם הכינו עשרה על דבר הוא עשרה דברים תגרעם מע"ג וישאר ע"ג פחות עשרה דברים והוא כמו הנקבץ ממה שעלה לחלק מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר ומחלוקת עשרה פחות דבר בדבר ועל דבר מורבה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר הוא עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(73-10x\right)-\left(10-x\right)=63-9x}}$	תגרעם מע"ג פחות עשרה דברים ישאר ס"ג פחות ט' דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot x=63-9x}}$	והוא כמו הכאת מה שעלה לחלק מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot\left(10-x\right)=x}}$	וכאשר הכינו מה שעלה לחלק מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר על עשרה פחות דבר יהיה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(63-9x\right)+x=63-8x}}$	ותוסיף זה הדבר על ס"ג פחות תשעה דברים ויהיה ס"ג פחות ח' דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot10=63-8x}}$	והוא כמו הכאת מה שעלה לחלק מחלוקת דבר בעשרה דרהמי פחות דבר על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot10=63-8x\; /\div10}}$	ותחלק הס"ג פחות ח' דברים על עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=\left(6+\frac{3}{10}\right)-\frac{4}{5}x}}$	ויעלה ששה דרהמי ושלש עשיריות מדרהם פחות ארבעה חומשי' מדבר והוא ידוע ממה שהנחנו שכאשר נחלק דבר בעשרה פחות דבר יעלה ששה דרהמי ושלש עשיריות מדרהם פחות ארבעה חומשי דבר
$\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	וכבר ידוע שכאשר נכה מה שעלה לחלק מהחלוקה על המחלק ישוב האלגו הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=\left(6+\frac{3}{10}\right)-\frac{4}{5}x\; /\times\left(10-x\right)}}$	ותכה ששה דרהמי ושלש עשיריות פחות ארבעה חומשי דבר על עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=63+\frac{4}{5}x^2-\left(14+\frac{3}{10}\right)x}}$	ויהיה ס"ג דרהמי וארבעה חומשי אלגו פחות י"ד דברים ושלש עשיריות דבר ישוה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(15+\frac{3}{10}\right)x=\frac{4}{5}x^2+63}}$	ותכוין עמו ויהיה ט"ו דברים ושלש עשיריות דבר ישוה ארבעה חומשי אלגו וס"ג דרהמי
Normalization of $\scriptstyle\frac{4}{5}x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\left(19+\frac{1}{8}\right)x=x^2+78+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}}$	ותשלים האלגו שלך ויהיה אלגו וע"ח^[23] דרהמי וחצי ורביע ישוה י"ט דברים ושמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left(19+\frac{1}{8}\right)-\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(19+\frac{1}{8}\right)\right]^2-{\color{red}{\left(78+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)}}}\\&\scriptstyle=\left[9+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\sqrt{\left[9+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]^2-{\color{red}{\left(78+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)}}}\\&\scriptstyle=\left[9+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\sqrt{\left[91+\frac{1}{{\color{red}{4}}}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{256}\right]-{\color{red}{\left(78+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)}}}\\&\scriptstyle=\left[9+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\sqrt{1{\color{red}{2}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{256}}\\&\scriptstyle=\left[9+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\left[3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\\\end{align}}}$	וקח מחצית הדברים והם תשעה וחצי וחצי שמינית ותכם על עצמם ויהיה צ"א וחצי ושמינית וחצי שמינית וחלק אחד מרנ"ו ותגרע ממנו מ"ח ומחציתו והוא כ"ד וששיתו והוא ח' וישאר י"א וחצי ושמינית וחצי שמינית וחלק אחד מרנ"ו ותקח שרשו והוא שלשה וחצי וחצי שמינית תגרעם ממחצית הדברים שהוא תשעה וחצי וחצי שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided each [part] by the the other [part] and took the difference between the two quotients and multiplied it by the [larger] part and [the result] is five dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\sdot a=5\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת כל אחד על האחר ותקח הבדל השני חלקים שעלו לכל חלק מחלוקת האחד על האחר ותכהו על החלק האחד ויהיה חמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתניח החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle\left(\frac{x}{10-x}-\frac{10-x}{x}\right)\sdot x=5$	וכבר ידענו שכאשר נחלק דבר על עשרה פחות דבר ועשרה פחות דבר על דבר ונקח הבדל החלקים שעלו לכל חלק והכינוהו על דבר יהיה חמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot2x=20-2x}}$	וכאשר נכה מה שנשאר מהחלק שלקחנו ההבדל מהחלק האחד על האחר על דבר יהיה עשרים דרהמי פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{x}{10-x}+\frac{10-x}{x}\right)\sdot x\right]-\left[\left(\frac{x}{10-x}-\frac{10-x}{x}\right)\sdot x\right]=2\sdot\left(\frac{10-x}{x}\sdot x\right)}}$	בעבור כי תשלום החלק המעדיף הוא כמו שני פעמים מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{5+\left(20-2x\right)=25-2x}}$	ותוסיפם על חמשה דרהמי ויהיה כ"ה דרהמי פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{x}{10-x}+\frac{10-x}{x}\right)\sdot x=25-2x}}$	וכבר התבאר עתה שהכאת מה שעלה לחלק מחלוקת כל אחד על האחר מקובצים על דבר הוא כ"ה דרהמי פחות שני דברים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\sdot a=25-2a\end{cases}$	והוא כמו שאמר עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת כל אחד על האחר וקבצת מה שעלה לכל חלק והכית אותו על חלק אחד משני חלקי העשרה והיה כ"ה דרהמי פחות שני דברים והוא כ"ה פחות הדבר האחד ועשית כאשר בארנו לפני זה
second method:
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ואם תרצה תניח החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והחלק האחר עשרה פחות דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=d}}$	ותאמר חלקנו דבר על עשרה פחות דבר ועלה דינר אחד
fals= $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=f}}$	וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר ויעלה פלס
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d-f\right)\sdot x=5}}$	ותקח ההעדף שהוא בין הדינר והפלס והוא דינר פחות פלס ותכהו על דבר ויהיה חמשה דרהמי בעבור כי ככה השאלה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d+f\right)-\left(d-f\right)=2f}}$	וכבר ידענו כי מה שבין הדינר והפלס אשר יעלו לכל חלק מהשני חלקים ובין הדינר פחות פלס הוא שני פלסים
$\scriptstyle{\color{blue}{2f\sdot x=20-2x}}$	והכאת שני פלסים על דבר הוא עשרים דרהמי פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{5+\left(20-2x\right)=25-2x}}$	ותוסיף עליהם החמשה דרהמי ויהיה כ"ה דרהמי פחות שני דברים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\sdot a=25-2x\end{cases}$	והוא כאלו תאמר עשרה חלקנום לשני חלקי' וחלקנו כל אחד על האחר וקבצנו מה שעלה לכל חלק והכינוהו על חלק אחד מהעשרה ויהיה כ"ה דרהמי פחות שני דברים ותעשהו כאשר כבר אמרתי
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided the larger [part] by the smaller [part] and added the quotient to the larger [part], and you divided the smaller [part] by the larger [part] and added the quotient to the smaller [part] and multiplied one [sum] by the other and the result was thirty five. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+a\right)\sdot\left(\frac{b}{a}+b\right)=35\end{cases}$	ואם אמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים וחלקת הרב על המעט והוספת מה שעלה לחלק על הרב וחלקת המעט על הרב והוספת מה שעלה לחלק על המעט והכית האחד על האחר והיה שלשים וחמשה דרהמי'
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק הגדול דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והקטון עשרה פחות דבר
$\scriptstyle\left(\frac{x}{10-x}+x\right)\sdot\left[\frac{10-x}{x}+\left(10-x\right)\right]={\color{red}{35}}$	ותחלק דבר על עשרה פחות דבר והעולה תוסיפהו על דבר ויהיה דבר ומה שיעלה לחלק מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר ותחלק עשרה פחות דבר על דבר והעולה תוסיפהו על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה פחות דבר ומה שיעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר ותכהו על דבר ועל מה שיעלה מחלוקת דבר בעשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{red}{\left(\frac{x}{10-x}+x\right)\sdot\left[\frac{10-x}{x}+\left(10-x\right)\right]=}}$	והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)}}$	הוא כמו הכאת דבר על עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x}}$	והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר בדבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot{\color{red}{\left(10-x\right)}}}}$	והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר בעשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot\frac{10-x}{x}}}$	והכאת מה שעלה לחלק מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר במה שעלה לחלק מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$	וכבר ידעת שהכאת דבר בעשרה פחות דבר הוא עשרה דברים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot\left(10-x\right)=x}}$	והכאת מה שיעלה לחלק מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר בעשרה פחות דבר הוא דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	ושהכאת מה שיעלה לחלק מחלוקת עשרה דרהמי פחות דבר על דבר בדבר היא עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}\sdot\frac{10-x}{x}=1}}$	ושהכאת מה שעלה מחלוקת דבר על עשרה פחות דבר במה שעלה מחלוקת עשרה פחות דבר על דבר הוא אדרהם אחד
$\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot\frac{B}{A}=1$	בעבור כי בארנו שכל שני מספרים שיחלק כל אחד מהם על האחר הכאת מה שיעלה לחלקים האחד על האחר הוא אחד לעולם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10x-x^2\right)+x+\left(10-x\right)+1=11+10x-x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{11+10x-x^2=35}}$	ותקבץ המוכה כלו והוא עשרה דברים פחות אלגו ודבר ועשרה פחות דבר ודרהם אחד ויהיה זה כלו י"א אדרהמי ועשרה דברים פחות אלגו ישוה ל"ה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	ותכוין עמהם כמו שאמרתי לך ויעלה הדבר ששה והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}$	והקטון ארבעה
second method:
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ואם תרצה תשים החלק הגדול דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והשני עשרה פחות דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=d}}$	ותחלק דבר על עשרה פחות דבר ויעלה דינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}+x=d+x}}$	תוסיפהו על הדבר ויהיה דבר ודינר אחד
fals= $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=f}}$	ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה פלס אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}+\left(10-x\right)=10+f-x}}$	ותוסיפהו על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה ופלס אחד פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(d+x\right)\sdot\left(10+f-x\right)=}}$	ותכהו בדבר ודינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot\left(10-x\right)=x}}$	תכה דינר אחד ועשרה דרהמי פחות דבר ויהיה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{f\sdot x=10-x}}$	ותכה פלס אחד בדבר ויהיה עשרה דרהמי פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot f=1}}$	ותכה דינר בפלס ויהיה אדרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{1{\color{red}{1}}+10x-x^2=35}}$	ותקבץ כל זה ויהיה ט"ו דרהמי ועשרה דברים פחות אלגו ישוו ל"ה דרהמי
	ותכוין עמהם כמו שבארתי לך
If you are told: divide ten into two parts, then divide the larger [part] by the the smaller [part] and add the result to ten, divide the smaller [part] by the the larger [part] and add the result to ten, and multiply the sum of each part by the other and [the result] is one hundred twenty two dirham and two thirds. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}+10\right)\sdot\left(\frac{a}{b}+10\right)=122+\frac{2}{3}\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשני חלקים ותחלק הרב על המעט ותוסיף העולה על העשרה ותחלק המעט על הרב והוסיף העולה על העשרה ומה שיתקבץ מכל חלק תכה האחד על האחר ויהיה מאה ועשרים ושנים דרהמי ושני שלישים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=X}}$	וחכמתו שנניח מה שעלה מהרב על המעט דבר גדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}+10=X+10}}$	ותוסיפהו על העשרה ויהיה עשרה ודבר גדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}=x}}$	ותניח מה שעלה מהמעט על הרב דבר קטון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}+10=x+10}}$	ותוסיפהו על העשרה ויהיה עשרה ודבר קטון
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(X+10\right)\sdot\left(x+10\right)=}}$	ותכהו על עשרה ודבר גדול
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}$	תכה עשרה על עשרה ויהיה מאה
$\scriptstyle{\color{blue}{X\sdot10=10X}}$	ותכה דבר גדול על עשרה ויהיה עשרה דברים גדולים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}$	תכה דבר קטון על עשרה ויהיה עשרה דברים קטנים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot X=1}}$	ותכה דבר קטון על דבר גדול ויהיה דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{100+1+10X+10x=122+\frac{2}{3}}}$	ותקבץ כל זה ויהיה מאה דרהמי ודרהם אחד ועשרה דברים גדולים ועשרה דברים קטנים ישוו קכ"ב דרהמי ושני שלישים
$\scriptstyle{\color{blue}{122+\frac{2}{3}-101=21+\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10X+10x=21+\frac{2}{3}}}$	ותגרע ק"א דרהמי מקכ"ב ושני שלישים וישאר כ"א דרהמי ושני שלישים ישוו עשרה דברים גדולים ועשרה דברים קטנים
$\scriptstyle{\color{blue}{X+x=2+\frac{1}{6}}}$	והדבר הגדול והדבר הקטון יחד הם שנים דרהמי ושתות
You divided ten into two parts, then you divided each part by the other and [the sum of the quotients] is two dirham and a fifth. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=2+\frac{1}{6}\end{cases}$	והוא כאלו שאלו חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל חלק על האחר ועלה שני דרהמי ושתות
	וכבר התבאר זה
If you are told: you divided ten into two parts, then divided the larger [part] by the the smaller [part] and added the result to ten, divided the smaller [part] by the the larger [part] and subtracted the result from ten, and multiplied the [sum of each part] by the other and [the result] is one hundred and seven and two thirds. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}+10\right)\sdot\left(10-\frac{a}{b}\right)=107+\frac{{\color{red}{1}}}{3}\end{cases}$	ואם יאמרו חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת הרב על המעט והוספת העולה על העשרה וחלקת המעט על הרב וגרעת מה שעלה לחלק מן העשרה והכית האחד על האחר ויהיה מאה ושבעה ושני שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}=X}}$	וחכמתו שתניח מה שעלה מן הרב על המעט דבר גדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}+10=10+X}}$	ותוסיפהו על העשרה ויהיה עשרה ודבר גדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x}}$	ותניח מה שעלה מחלוקת המעט על הרב דבר קטן
$\scriptstyle{\color{blue}{10-\frac{a}{b}=10-x}}$	ותגרעהו מן העשרה וישאר עשרה פחות דבר קטן
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+X\right)\sdot\left(10-x\right)}}$	ותכם על עשרה ודבר גדול
$\scriptstyle{\color{blue}{99+10X-10x=107+\frac{{\color{red}{1}}}{3}}}$	ויהיה צ"ט דרהמי ועשרה דברים גדולים פחות עשרה דברים קטנים ישוו ק"ז דרהמי ושני שלישיו'
$\scriptstyle{\color{blue}{10X-10x=8+\frac{{\color{red}{1}}}{3}}}$	ותכונם עמהם וישארו עשרה דברים גדולים פחות עשרה דברים קטנים ישוו שמנה ושני שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{X-x=\frac{5}{6}}}$	והדבר הגדול פחות הדבר הקטן ישוה חמשה ששיות דרהם
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{5}{6}\end{cases}$	והוא כאלו אמר חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל חלק על האחר וגרעת המעט מן הרב וישאר חמשה ששיות דרהמי
	ותעשה כאשר בארתי לך
If you are told: divide ten dirham by two and a root of three $\scriptstyle10\div\left(2+\sqrt{3}\right)$	ואם יאמרו לך תחלק עשרה דרהמי על שנים ושרש שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=10\div\left(2+\sqrt{3}\right)}}$	וחכמתו שנשים מה שיעלה לאחד דבר וכאלו אמר חלקנו עשרה על שני דרמי ושרש שלשה ועלה דבר
Failed to parse (syntax error): \scriptstyle B\times\frac{A}{B}=A}}	וכבר ידעת שכאשר תכה מה שעלה לחלק במחלק ישוב האלגו הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(2+\sqrt{3}\right)=2x+\sqrt{3x^2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2x+\sqrt{3x^2}=10}}$	ותכה דבר בשנים ושרש שלשה ויהיה שני דברים ושרש שלשה אלגוש ישוו עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{10-2x=\sqrt{3x^2}}}$	ותגרע שני דברים מעשרה וישאר עשרה פחות שני דברים ישוו שלשה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-2x\right)^2=100+4x^2-40x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{100+4x^2-40x=3x^2}}$	ותכה עשרה פחות שני דברים על עצמו ויהיה מאה דרהמי וארבעה אלגוש פחות ארבעים דברים ישוו שלשה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+100=40x}}$	ותכוין עמהם ויהיה אלגו ומאה דרהמי ישוו ארבעים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot40\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot40\right)^2-100}\\&\scriptstyle=20-\sqrt{20^2-100}\\&\scriptstyle=20-\sqrt{400-100}\\&\scriptstyle=20-\sqrt{300}\\\end{align}}}$	וקח מחצית הדברים והוא עשרים ותכהו על עצמו ויהיה ארבע מאות ותגרע מהם המאה ששוו השלשה אלגוש וישאר שלש מאות תקח שרשו ותגרע אותו מעשרים ומה שישאר הוא מה שיעלה לאחד
$\scriptstyle{\color{blue}{10\div\left(2+\sqrt{3}\right)=20-\sqrt{300}}}$	וכאשר חלקנו עשרה על שנים ושרש שלשה יעלה לאחד עשרים פחות שרש שלש מאות
	ומצאתי שאלות הרבה מחשבונות הכוון אשר יוציאוך ליותר מהששה חלקים אשר אמרנו בזה הספר ואבאר לך מהם למען תתלמד בהם היטב מחשבונות הכוון
$\scriptstyle x^2\sdot\left(x^2+\sqrt{10}\right)=9x^2$	ואם יאמרו לך אלגו תכהו על עצמו ושרש אחד מעשרה דרהמי ויהיה תשעה דמיוני האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	וחכמתו שתשים האלגו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{y\sdot\left(y+\sqrt{10}\right)=9y}}$	ותכהו בדבר ושרש עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+\sqrt{10y^2}=9y}}$	ויהיה אלגו ושרש עשרה אלגוש ישוו תשעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=9y-\sqrt{10y^2}}}$	ותגרע שרש עשרה אלגוש מתשעה דברים וישאר תשעה דברי' פחות שרש עשרה אלגוש ישוה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y=9-\sqrt{10}}}$	והדבר ישוה תשעה דרהמי פחות שרש עשרה דרהמי והוא האלגו
$\scriptstyle\left(\sqrt{8x^2}\sdot\sqrt{3x^2}\right)+20=x^2$	ואם יאמרו לך אלגו תרבה שרש משמנה דמיוני האלגו בשרש משלשה דמיוני האלגו והוספת על העולה עשרים דרהמי ויהיה כמו האלגו על עצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	וחכמתו שתשים האלגו דבר
	ותכה שרש שמנה דמיוני האלגו בשרש שלשה דמיוני האלגו ויהיה שרש עשרים וארבעה דרהמי ישוה אלגו בעבור שאמר כי יהיה המקובץ כמו האלגו על עצמו והאלגו יהיה דבר וקח שרש כ"ד אלגוש ויהיה שרש ששה על עצמו ותוסיפם על האדרהמי שהם כ' ויהיה כ"ו דרהמי וקח שרשם והוסף עליו שרש ששה והמתקבץ הוא האלגו והוא שרש כ"ו ושרש ששה
$\scriptstyle\left(\sqrt{6x^2}\sdot\sqrt{5x^2}\right)+10x^2+20=x^2$	ואם יאמרו לך אלגו תרבה שרש מששה דמיוניו בשרש חמשה דמיוניו והוספת על מה שעלה מההכאה עשרה דמיוני האלגו ועשרים דרהמי יותר ויהיה כמו האלגו על עצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=y}}$	וחכמתו שתשים האלגו דבר
	ותכה שרש ששה דמיוניו על שרש חמשה דמיוניו ויהיה שרש שלשים אלגוש ותוסיף עליו עשרה דברים ועשרים דרהמיש ויהיה עשרה דברים ועשרים דרהמי ושרש שלשים דרהמי ישוה אלגו
	ותקח מחצית הדברים ושרש שלשים אלגוש ויהיה חמשה ושרש שבעה וחצי ותכהו על עצמו ויהיה ל"ב דרהמי ושרש תש"נ דרהמי ותוסיפם על העשרים דרהמי ויהיה נ"ב דרהמי ושרש תש"נ ותקח שרשם ותוסיף עליו חמשה ושרש שבעה וחצי והוא האלגו
If you are told: you divided ten into two parts, then you multiplied one [part] by the other and divided the product by the difference between the two parts of ten and the result is a root of six. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a\sdot b}{b-a}=\sqrt{6}\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים והכית האחד על האחר וחלקת מה שהתקבץ על העודף משני חלקי העשרה ועלה שרש ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$	ותכה האחד באחר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10x-x^2}{\left(10-x\right)-x}=\frac{10x-x^2}{10-2x}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10x-x^2}{10-2x}=\sqrt{6}}}$	ותחלקהו על ההעדף משני החלקים והוא עשרה פחות שני דברים ויעלה שרש ששה
	וכבר ידעת שכאשר תכה מה שעלה לחלק במחלק ישוב הנחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2=\sqrt{6}\sdot\left(10-2x\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{600}-\sqrt{24x^2}=10x-x^2}}$	ותכה שרש ששה בעשרה פחות שני דברים ויהיה שרש שש מאות פחות שרש עשרים וארבע אלגוש ישוה עשרה דברים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\sqrt{600}=10x+\sqrt{24x^2}}}$	ותאסוף שרש ת"ר עם שרש כ"ד אלגוש ותוסיפהו על העשרה פחות דבר פחות אלגו ותאסוף העשרה פחות דבר עם האלגו ותוסיפהו על שרש ת"ר ויהיה אלגו ושרש ת"ר ישוה עשרה דברים ושרש כ"ד אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left(10+\sqrt{24}\right)-\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+\sqrt{24}\right)\right]^2-\sqrt{600}}\\&\scriptstyle=\left(5+\sqrt{6}\right)-\sqrt{\left(5+\sqrt{6}\right)^2-\sqrt{600}}\\&\scriptstyle=\left(5+\sqrt{6}\right)-\sqrt{\left(31+\sqrt{600}\right)-\sqrt{600}}\\&\scriptstyle=\left(5+\sqrt{6}\right)-\sqrt{31}\\\end{align}}}$	וקח מחצית השרשים עשרת הדברים ושרש כ"ד אלגוש והוא חמשה דברים ושרש ששה ותכם על עצמם ויהיה ל"א דרהמי ושרש ת"ר דרהמי תגרע מהם שרש ת"ר אשר הם עם האלגו וישאר ל"א דרהמי ושרש ל"א גרוע מחמשה ושרש ששה הוא החלק האחד מהשני חלקים מהעשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=\left(5+\sqrt{31}\right)-\sqrt{6}}}$	והאחר הוא מה שנשאר מהעשרה והוא חמשה ושרש ל"א פחות שרש ששה
If you are told: you divided ten into two parts, then multiplied one part by itself and other [part] by the root of eight, and subtracted the product of the part that is multiplied by the root of eight from the product of the part that is multiplied by itself, and forty dirham remain. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle b^2-\left(a\sdot\sqrt{8}\right)=40\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותם לשני חלקים והכית החלק האחד על עצמו והאחר על שרש שמנה וגרעת המקובץ מהכאת החלק האחד בשרש שמנה מן המקובץ מהכאת החלק האחר על עצמו וישאר ארבעים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שנניח החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
	ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים דברים ותכה דבר בשרש שמנה ויהיה שרש שמנה אלגוש ותגרע אותו ממאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים וישאר מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים ופחות שרש שמנה אלגוש ישוה ארבעים דרהמי ותאסוף המאה דרהמי ואלגו עם העשרים שרשים ועם שרש שמנה אלגוש ותוסיפם על הארבעים ויהיה מאה ואלגו ישוו ארבעים דרהמי ועשרים דברים ושרש שמנה אלגוש
	ותגרע ארבעים מהמאה וישאר ששים דרהמי ואלגו ישוה עשרים דברים ושרש שמנה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left(20+\sqrt{8}\right)-\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(20+\sqrt{8}\right)\right]^2-60}\\&\scriptstyle=\left(10+\sqrt{2}\right)-\sqrt{\left(10+\sqrt{2}\right)^2-60}\\&\scriptstyle=\left(10+\sqrt{2}\right)-\sqrt{\left(102+\sqrt{800}\right)-60}\\&\scriptstyle=\left(10+\sqrt{2}\right)-\sqrt{42+\sqrt{800}}\\\end{align}}}$	ותקח מחצית עשרים הדברים ושרש שמנה אלגוש והוא עשרה דברים ושרש שני אלגוש ותכם על עצמם ויהיה מאה דרהמי ושני דרהמי ושרש שמנה מאות תגרע מהם הששים אשר הם עם האלגו וישאר מ"ב דרהמי ושרש ת"ת ושרשו גרוע מעשרה ושרש שנים הוא החלק המוכה בשרש שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=\sqrt{4{\color{red}{2}}+\sqrt{800}}-\sqrt{2}}}$	והאחר הוא הנשאר מהעשרה והוא ארבעים דרהמי ושרש ת"ת שלקחנו שרשו וגרענו ממנו שרש שנים
	ואם תרצה תכה הדבר על עצמו ויהיה אלגו ותכה החלק האחר שהוא עשרה פחות דבר בשרש שמנה ויהיה שרש ת"ת פחות שרש שמנה אלגוש ותגרע שרש ת"ת דרהמי פחות שרש שמנה אלגוש מאלגו וישאר אלגו ושרש שמנה אלגוש פחות שרש שמנה מאות דרהמיש ישוו ארבעים דרהמי ותאסוף האלגו ושרש שמנה אלגוש עם שרש ת"ת דרהמי ותוסיפהו על הארבעי' ויהיה ארבעי' דרהמי ושרש ת"ת דרהמי ישוה אלגו ושרש שמנה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{8}\right)^2+\left(40+\sqrt{800}\right)}-\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{8}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(40+\sqrt{800}\right)}-\sqrt{2}\\&\scriptstyle=\sqrt{2+\left(40+\sqrt{800}\right)}-\sqrt{2}\\&\scriptstyle=\sqrt{42+\sqrt{800}}-\sqrt{2}\\\end{align}}}$	ותחצה שמנה אלגוש ויהיה שרש שנים ותכהו על עצמו ויהיה שנים ותוסיפם על הארבעים דרהמי ושרש ת"ת דרהמי ויהיה מ"ב דרהמי ושרש ת"ת דרהמי ושרש זה תגרע ממנו שרש שנים ויהיה החלק המוכה על עצמו
If you are told: you divided ten into two parts, then multiplied one part by the root of ten, and the other [part] by itself, and [the products] are equal. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot\sqrt{10}=b^2\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת לשני חלקים והכית האחד בשרש עשרה והאחר על עצמו ויהיו שוים
	וחכמתו שנניח החלק האחד דבר
	והאחר עשרה פחות דבר
	ותכה דבר על עצמו ויהיה אלגו ותכה עשרה פחות דבר על שרש עשרה ויהיה שרש אלף דרהמי פחות שרש עשרה אלגוש ישוה אלגו
	ותאסוף שרש אלף דרהמי עם שרש עשרה אלגוש ותוסיפהו על האלגו ויהיה אלגו ושרש עשרה אלגוש ישוה שרש אלף דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{10}\right)^2+\sqrt{1000}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{10}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\sqrt{2+\frac{1}{2}}\right)^2+\sqrt{1000}}-\sqrt{2+\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{1000}}-\sqrt{2+\frac{1}{2}}\\\end{align}}}$	ותחצה שרש עשרה אלגוש ויהיה שרש שנים וחצי ותכהו על עצמו ויהיה שנים וחצי ותוסיף אותו על שרש אלף ויהיה שני דרהמי וחצי ושרש אלף דרהמי ומשרשו נגרע שנים וחצי ויהיה החלק המוכה על עצמו
	והחלק האחר הוא הנשאר מהעשרה והוא שנים וחצי ושרש אלף כשלוקח שרשו ונגרע מעשרה ושרש שנים וחצי
$\scriptstyle\left(x^2+10\right)\sdot\sqrt{5}=x^2$	ואם יאמרו לך אלגו הוספת עליו עשרה דרהמי והכית המקובץ בשרש חמשה ויעלה כמו הכאת האלגו על עצמו
	וחכמתו שנניח האלגו דבר ותוסיף עליו עשרה דרהמי ויהיה עשרה דרהמי ודבר תכם בשרש חמשה דרהמי
	ויהיה שרש ת"ק דרהמי ושרש חמשה אלגוש ישוה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)^2+\sqrt{500}}\\&\scriptstyle=\sqrt{1+\frac{1}{4}}+\sqrt{\left(\sqrt{1+\frac{1}{4}}\right)^2+\sqrt{500}}\\&\scriptstyle=\sqrt{1+\frac{1}{4}}+\sqrt{{\color{red}{\left(1+\frac{1}{4}\right)}}+\sqrt{500}}\\\end{align}}}$	ותחצה חמשה אלגוש ויהיה שרש אחד ורביע ושרש ת"ק דרהמי ושרש זה נוסיף עליו שרש אחד ורביע ויהיה האלגו
	ואם יאמרו לך שנים אלגוש וביניהם חמשה דרהמי והכית הגדול בעשרה דמיוניו ולקחת שרש המקובץ ויהיה כמו הכאת הקטן על עצמו
	וחכמתו שתניח האלגו האחד דבר
	והאחר דבר פחות חמשה
	ותכה הגדול והוא דבר בעשרה דמיוניו ויהיה עשרה אלגוש ותקח שרש עשרה אלגו וישוה כ"ה דרהמי ואלגו אחד פחות עשרה שרשים
	ותאסוף הכ"ה עם האלגו עם העשרה שרשים ותוסיפהו על שרש עשרה אלגוש ויהיה עשרה דברים ושרש עשרה אלגוש ישוה אלגו וכ"ה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+\sqrt{10}\right)\right]+\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+\sqrt{10}\right)\right]^2{\color{red}{-25}}}\\&\scriptstyle=\left(5+\sqrt{2+\frac{1}{2}}\right)+\sqrt{\left(5+\sqrt{2+\frac{1}{2}}\right)^2{\color{red}{-25}}}\\&\scriptstyle=\left(5+\sqrt{2+\frac{1}{2}}\right)+\sqrt{\left[25+\left({\color{red}{2}}+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{250}\right]{\color{red}{-25}}}\\\end{align}}}$	ותחצה העשרה דברים ותקח שרש עשרה אלגוש ויהיה חמשה ושרש שנים וחצי ותכם על עצמם ויהיה כ"ה וחצי ושרש מאתים וחמשים ותקח שרש ותוסיפהו על חמשה ושרש שנים וחצי ויהיה האלגו הגדול
	והאלגו הקטן הוא פחות מהגדול חמשה דרהמי והוא שני דרהמי וחצי ושרש מאתים וחמשים כשלוקח שרשו ונוסף על שרש שני דרהמי וחצי
$\scriptstyle\left(\sqrt{x^2\sdot2x^2}+2\right)\sdot x^2=30$	ואם יאמרו לך אלגו תכהו על שני דמיוניו ותקח שרש העולה ותוסיף עליו שני דרהמי ותכה הכל באלגו ההוא ויהיה שלשים דרהמי
	וחכמתו שתניח האלגו דבר ותכהו על שני דמיוניו ויהיה שני אלגוש ותקח שרשו ותוסיפהו על השני דרהמי ותכה שני דרהמי ושרש שני אלגוש בדבר ויהיה שני דברים ושרש שני אלגוש אלגו ישווה שלשים דרהמי
	והשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד והוא שתכה שני שרשים מאלגו אלגו ושרש אלגו אלגו כאשר תכהו בשרש חצי דרהם יעלה שרש אלגו אלגו ושרש מאלגו אלגו הוא אלגו ותכה כל דבר שתחזיק בחצי דרהם ותכה שרש חצי דרהם בשרש מאלגו אלגו ויהיה אלגו ותכה שני דברים בשרש חצי דרהם ויהיה שרש שני אלגוש בעבור כי הכית שני דברים על עצמם ויהיה ארבעה אלגוש ותכה ארבעה אלגוש בחצי דרהם ויהיה שני אלגוש ושרש זה הוא שרש חצי דרהם ושרש חצי ויהיה שרש שני אלגוש ושרש שני אלגוש הוא שרש חצי דרהם בשני דברים ותכה שלשים דרהמי בשרש חצי דרהמי ויהיה שרש ארבע מאות וחמשי'
	ותקבץ כל זה ויהיה אלגו ושרש שני אלגוש ישוה שרש ת"נ דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{2}\right)^2+\sqrt{450}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2+\sqrt{450}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{450}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\\\end{align}}}$	ותחצה שרש שני אלגוש ויהיה שרש חצי תכהו על עצמו ויהיה חצי ותוסיפהו על שרש ת"נ ותקח שרשו ותגרע ממנו שרש חצי דרהם ויהיה האלגו
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided each part by the other, and summed the quotients, and [the sum] is a root of five dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\sqrt{5}\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל חלק על האחר וקבצת מה שעלה לכל חלק ויהיה שרש חמשה דרהמי
first solution method
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וחכמתו שתניח החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\left(10-x\right)^2=100+2x^2-20x}}$	תכה כל חלק בעצמו ותקבצם ויהיה מאה דרהמי ושני אלגוש פחות עשרים דברים ותשמרם
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$	ותכה החלק האחד על האחר והוא דבר על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\sdot\left(10x-x^2\right)=\sqrt{500x^2}-\sqrt{5x^4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{500x^2}-\sqrt{5x^4}=100+2x^2-20x}}$	תכם בשרש חמשה ויהיה שרש ת"ק אלגוש פחות שרש מחמשה אלגו אלגו ישוה מאה דרהמי ושני אלגוש פחות עשרים שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{20x+\sqrt{500x^2}=100+2x^2+\sqrt{5x^4}}}$	ותאסוף שרש ת"ק אלגוש עם שרש חמשה אלגוש ותוסיפהו על מאה דרהמי ושני אלגוש פחות עשרים דברים ותאסוף המאה דרהמי ושני אלגוש עם העשרים דברים ותוסיפם על שרש ת"ק ויהיו עשרים דברים ושרש ת"ק אלגוש ישוה מאה דרהמי ושני אלגוש ושרש מחמשה אלגוש אלגו
Normalization:	והשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד והוא שתכה השני אלגוש ושרש מחמשה אלגוש אלגו בשרש חמשה דרהמי פחות שני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2}}$	ואתה מכה אותם בשרש חמשה דרהמי פחות שני דרהמי בעבור כי כאשר תחלק דרהם אחד על שנים ושרש חמשה יעלה לאחד שרש חמשה פחות שני דרהמי וכבר בארנו זה
$\scriptstyle{\color{blue}{20x+\sqrt{500x^2}=100+2x^2+\sqrt{5x^4}\; /\times\left(\sqrt{5}-2\right)}}$	ותכה כל דבר שתחזיק בשרש חמשה דרהמי פחות שנים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\sqrt{50000}-200=10x}}$	ויהיה אלגו ושרש חמשים אלפים דרהמי פחות מאתים דרהמי ישוו עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-\left(\sqrt{50000}-200\right)}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-\left(\sqrt{50000}-200\right)}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-\left(\sqrt{50000}-200\right)}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{225-\sqrt{50000}}\\\end{align}}}$	ותחצה הדברים ויהיה חמשה תכם על עצמם ויהיה כ"ה תגרע מהם שרש חמשים אלף דרהמי וישאר מאתים וכ"ה דרהמי פחות שרש חמשים אלף ושרש זה כשיגרע מחמשה הוא החלק האחד וכשיתוסף על חמשה הוא החלק האחר
second solution method	ואם תרצה תמנהו עם המעשה האחר
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle A+B=\sqrt{5}\\\scriptstyle A\sdot B=1\end{cases}$	והוא שתחלק שרש חמשה לשני חלקים יהיה האחד באחר דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{A=x}}$	תשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{A=\sqrt{5}-x}}$	והאחר שרש חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(\sqrt{5}-x\right)=\sqrt{5x^2}-x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5x^2}-x^2=1}}$	ותכה האחד באחר ויהיה שרש חמשה אלגוש פחות אלגו ישוה דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1=\sqrt{5x^2}}}$	ותאסוף שרש חמשה אלגוש עם האלגו ותוסיפהו על הדרהם ויהיה אלגו ודרהם אחד ישוה שרש חמשה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle A=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)^2-1}\\&\scriptstyle=\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\sqrt{\left(\sqrt{1+\frac{1}{4}}\right)^2-1}\\&\scriptstyle=\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)-1}\\&\scriptstyle=\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\sqrt{\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\\\end{align}}}$	ותחצה השרש מהחמשה אלגוש ויהיה שרש אחד ורביע תכהו על עצמו ויהיה אחד ורביע תגרע האדרהם וישאר רביע אחד ותקח שרשו והוא חצי תגרעהו משרש אחד ורביע פחות חצי דרהם
	וכבר בארנו שהדברים אשר הם בשלשה החלקים כאשר יוכה חצים על עצמו יהיה העולה מההכאה מספר ושרש האלגוש הוא דברים וכאשר תקח מחציתם ותכה אותם בעצמם יהיה מספר
	ונשוב אל השאלה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ותניח החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}}}$	ותחלק עשרה פחות דבר על דבר ויהיה כמו שבארנו שרש אחד ורביע פחות חצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\; /\times x}}$	ותכהו בדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+\frac{1}{4}x^2}-\frac{1}{2}x=10-x}}$	ויהיה שרש מאלגו ורביע פחות חצי דבר ישוה עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{10-\frac{1}{2}x=\sqrt{x^2+\frac{1}{4}x^2}}}$	ותאסוף שרש מאלגו ורביע עם החצי דבר ותוסיפהו על עשרה פחות דבר ויהיה עשרה פחות חצי דבר ישוה שרש מאלגו ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-\frac{1}{2}x\right)^2=100+\frac{1}{4}x^2-10x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{100+\frac{1}{4}x^2-10x=x^2+\frac{1}{4}x^2}}$	ותכה עשרה פחות חצי דבר בעצמו ויהיה מאה דרהמי ורביע אלגו פחות עשרה שרשים ישוה אלגו ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{x^2}}+10x=100}}$	ותאסוף המאה דרהמי ורביע אלגו עם העשרה דברים ותוסיפהו על האלגו ורביע ויהיה אלגו ורביע אלגו ועשרה שרשים ישוו מאה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=\sqrt{125}-5}}$	והדבר ישוה שרש קכ"ה דרהמי פחות חמשה דרהמי והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=15-\sqrt{125}}}$	והחלק האחר הוא הנשאר מהעשרה והוא ט"ו דרהמי פחות שרש קכ"ה דרהמי
third solution method
	ואם תרצה תמנהו עם המעשה האחרון
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והוא שתניח חלק אחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשר פחות דבר
dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{d=\frac{10-x}{x}}}$	וחלק עשרה פחות דבר על דבר ויעלה דינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{d\sdot x=10-x}}$	וכאשר תכה דינר אחד בדבר יהיה עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x}{10-x}=\sqrt{5}-d}}$	ותחלק דבר על עשרה פחות דבר ויעלה שרש חמשה פחות דינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{5}-d\right)\sdot\left(10-x\right)=x}}$	וכאשר תכה שרש חמשה פחות דינר אחד בעשרה פחות דבר יהיה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{5}-d\right)\sdot\left(10-x\right)=10-x+\sqrt{500}-\sqrt{5x^2}-10d}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10-x+\sqrt{500}-\sqrt{5x^2}-10d=x}}$	ותרבה שרש חמשה דרהמיש פחות דינר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דרהמי פחות דבר ושרש ת"ק דרהמי פחות שרש חמשה אלגוש ופחות עשרה דינרין ישוה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x+10d=10-x+\sqrt{500}-\sqrt{5x^2}}}$	ותאספם עם העשרה דינרים ותוסיפם על הדבר ויהיה דבר ועשר דינרי' ישוה עשרה דרהמי פחות דבר ושרש ת"ק דרהמי פחות שרש חמשה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{10d}}=10-2x+\sqrt{500}{\color{red}{-\sqrt{5x^2}}}}}$	ותגרע דבר אחד מהם וישאר עשרה פחות שני דברים ושרש ת"ק דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{d=1+\sqrt{5}}}-\frac{1}{5}x-\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^2}}}$	פחות חמישית דבר ופחות שרש מחצי עשירית מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=1+\sqrt{5}-\frac{1}{5}x-\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^2}}}$	ותשוב ותאמר חלקנו עשרה דרהמי פחות דבר על דבר ועלה אדרהם אחד ושרש חמשה דרהמי פחות חמישית דבר ופחות שרש מחצי עשירית מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}\sdot x=10-x}}$	וכאשר הכינוהו בדבר יהיה עשרה דרהמי פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\sqrt{5}-\frac{1}{5}x-\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^2}\right)\sdot x=x+\sqrt{5x^2}-\frac{1}{5}x^2-\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x+\sqrt{5x^2}-\frac{1}{5}x^2-\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^4}=10-x}}$	ותכה דרהם אחד ושרש חמשה דרהמי פחות חמישית דבר ופחות שרש מחצי עשירית מאלגו בדבר ויהיה דבר ושרש חמשה אלגוש פחות חמישית אלגו ופחות שרש מחצי עשירית מאלגו אלגו ישוה עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+\sqrt{5x^2}=10+\frac{1}{5}x^2+\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^4}}}$	ותאספם עם חמישית אלגו ועם שרש חצי עשירית מאלגו אלגו ותוסיפם על עשרה דרהמי פחות דבר ותאסוף העשרה דרהמי עם הדבר ותוסיפהו על דבר ושרש חמשה אלגוש ויהיה שני דברים ושרש חמשה אלגוש ישוה עשרה דרהמי וחמישית אלגו ושרש חצי עשירית מאלגו אלגו
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{2x+\sqrt{5x^2}=10+\frac{1}{5}x^2+\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot x^4}\; /\times\left(\sqrt{500}-20\right)}}$	ותשלים האלגו שלך עד שיהיה אלגו שלם והשלימך אותו הוא שתכהו בשרש ת"ק דרהמיש פחות עשרים דרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{10x=x^2+\sqrt{50000}-200}}$	ויהיה עשרה דברים ישוה אלגו ושרש חמשים אלף דרהמי פחות מאתים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-\left(\sqrt{50000}-200\right)}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-\left(\sqrt{50000}-200\right)}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-\left(\sqrt{50000}-200\right)}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{225-\sqrt{50000}}\\\end{align}}}$	ותחצה הדברים ויהיו חמשה ותכם על עצמם ויהיו כ"ה תגרע מהם שרש חמשים אלף פחות מאתים דרהמי וישאר רכ"ה פחות שרש חמשים אלף שרש זה כשיגרע מחמשה הוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{225-\sqrt{50000}}=\sqrt{125}-10}}$	ושרש רכ"ה דרהמי פחות שרש חמשים אלף דרהמי הוא שרש קכ"ה פחות עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5-\left(\sqrt{125}-10\right)=15-\sqrt{125}}}$	תגרעם מחמשה וישאר ט"ו דרהמי פחות שרש קכ"ה והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=10-\left(15-\sqrt{125}\right)=\sqrt{125}-5}}$	והאחר הוא הנשאר מן העשרה והוא שרש קכ"ה דרהמי פחות חמשה דרהמי
If you are told: you divided ten into two parts, then divided each part by the other, and multiplied each quotient of one part divided by the other by itself, and [the sum of the products] is 3 dirham. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2=3\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר והכית כל אחד מהם שיעלו לחלק על האחר בעצמו ויהיה שלשה דרהמי
$\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{b}{a}=1$	וכבר ידעת שהכאת חלק אחד מהשנים שיעלו לחלק באחר הוא דרהם אחד
$\scriptstyle2\sdot\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{b}{a}\right)=2$	והכאתו באחר שני פעמים הוא שני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{2+3=5}}$	ותוסיף השני דרהמי על השלשה ויהיה חמשה
	והוא ידוע ממה שאמר אקלידס שהכאת שני החלקים שיעלו לחלק מחלוקת חלק אחד מהעשרה על האחר בעצמו חמשה דרהמי והם שרש מחמשה
If we said: you divided ten into two parts, then divided each part by the other, and [the sum of the quotients] is the root of five. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\sqrt{5}\end{cases}$	והוא כמו שאמרנו חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר ועלה שרש חמשה
	וכבר בארנו זאת השאלה
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided each part by the other, and subtracted the quotient of the smaller divided by the larger from the quotient of the larger divided by the smaller, and five sixths of a dirham remain. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{5}{6}\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר וגרעת מה שעלה לחלק מחלוקת המעט על הרב ממה שעלה לחלק מחלוקת הרב על המעט ונשאר חמשה ששיות מאדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x}}$	וחכמתו שתשים מה שעלה לחלק מחלוקת המעט על הרב דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b}{a}=x+\frac{5}{6}}}$	ותוסיפהו על חמשה ששיות מאדרהם ויהיה דבר וחמשה ששיות מאדרהם והוא מה שעלה מחלוקת הרב על המעט
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+\frac{5}{6}\right)\sdot x=x^2+\frac{5}{6}x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\frac{5}{6}x=1}}$	ותכהו על דבר ויהיה אלגו וחמשה ששיות מדבר ישוה דרהם אחד
	וכבר בארנו זאת השאלה במה שהקדמנו בזה הספר בלעדי זה המעשה
	ואם תרצה תעשה אותה עם המעשה האחר
If you are told: you divided ten into two parts, then you divided each part by the other, multiplied each quotient by itself, subtracted the smaller [product] from the larger [product], and 2 dirham remain. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}\right)^2-\left(\frac{a}{b}\right)^2=2\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת כל אחד מהם על האחר ומה שעלה לכל חלק הכית על עצמו וגרעת המעט מהרב ונשאר שני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a}{b}=x}}$	ומלאכתו שתשים מה שעלה לחלק מחלוקת המעט על הרב דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{a}{b}\right)^2=x^2}}$	ותכהו על עצמו ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{a}{b}\right)^2+2=x^2+2}}$	ותוסיפהו על השני דרהמי ויהיה אלגו ושני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{b}{a}\right)^2=x^2+2}}$	והוא ידוע ממה שאמרנו שהכאת מה שעלה לחלק מחלוקת הרב על המעט בעצמו הוא אלגו ושני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2\sdot\left(x^2+2\right)=x^4+2x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^4+2x^2=1}}$	ותכה אלגו באלגו ושני דרהמי ויהיה אלגו אלגו ושני אלגוש ישוו דרהם אחד
	בעבור כי כבר בארנו שהאחד מאשר הוא באחד דרהם אחד והכאת מרובע האחד במרובע האחר הוא כמו אותו אדרהם בעצמו והכאת האדרהם בעצמו הוא דרהם אחד
	ותחצה שני האלגוש ויהיה אחד תכהו בעצמו ויהיה אחד תוסיפהו על האדרהם ויהיה שנים ויהיה שרש שנים תגרע ממנו אחד ותקח שרש הנשאר ותכהו בדבר וכאשר תרצה זה תכה עשרה פחות דבר בעצמו ויהיה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרה שרשים ותכה דבר בעצמו ויהיה אלגו ותכה שרש שנים הנגרע ממנו אחד ותאמר תחלק מאה דרהמיש ואלגו פחות עשרים דברים על אלגו ויעלה שרש שנים הנגרע ממנו אחד ותאמר חלקנו מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים דברים על אלגו ועלה שרש שנים הנגרע ממנו אלגו אחד ישוה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים ותכוין עמהם והוא שתאסוף המאה דרהמי והאלגו עם העשרים שרשים ותוסיפהו על שרש מאלגו אלגו ותאסוף שרש מאלגו אלגו עם האלגו ותוסיפהו על מאה דרהמי ואלגו ותגרע שרש מאלגו אלגו ממאה דרהמי ושני אלגוש ויהיה מאה דרהמי ושני אלגוש פחות שרש מאלגו אלגו ישוה עשרים שרשים והשב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתכה כל דבר שתחזיק באחד ובשרש חצי אחד ותרבה שני אלגוש פחות שרש אלגו אלגו באדרהם ושרש חצי אדרהם ויהיה אלגו ותרבה עשרים דברים באדרהם ושרש חצי אדרהם ויהיה עשרים דברים ושרש מאתים אלגוש ותרבה מאה דרהמי באדרהם ושרש חצי דרהם ויהיה מאה דרהמי ושרש חמשת אלפים דרהמי ישוה עשרים דברים ושרש מאתים אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(20+\sqrt{200}\right)\right]-\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(20+\sqrt{200}\right)\right]^2-\left(100+\sqrt{5000}\right)}\\&\scriptstyle=\left(10+\sqrt{50}\right)-\sqrt{\left(10+\sqrt{50}\right)^2-\left(100+\sqrt{5000}\right)}\\&\scriptstyle=\left(10+\sqrt{50}\right)-\sqrt{\left(150+\sqrt{20000}\right)-\left(100+\sqrt{5000}\right)}\\&\scriptstyle=\left(10+\sqrt{50}\right)-\sqrt{50+{\color{red}{\sqrt{20000}}}-\sqrt{5000}}\\\end{align}}}$	ותחצה העשרים דברים ושרש מאתים אלגוש יהיה עשרה ושרש חמשים תרבהו על עצמו יהיה מאה וחמשים דרהמי ושרש עשרים אלף ותגרע מהם מאה דרהמי ושרש חמשת אלפים דרהמי וישאר חמשים דרהמי ושרש חמשת אלפים דרהמי ושרש זה כשנגרע מעשרה ושרש חמשים הוא החלק הגדול
	והחלק הקטון הוא הנשאר מהעשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{b}{a}\right)^2-\left(\frac{a}{b}\right)^2=2}}$	ואם תרצה תחשבה כפי זה המעשה האחר והוא ידוע שמרובע כל דבר הוא החלק האחד מהחלקים שיעלו מחלוקת כל חלק מהעשרה על האחר ונגרע המעט מהרב שמה שישאר הוא שני דרהמי
$\scriptstyle\left(\frac{A}{B}\right)^2=\frac{A^2}{B^2}$	בעבור כי כל מספר שיחלק על מספר כאשר תכה מה שעלה לחלק בעצמו יהיה העולה ממנו כמו מה שיעלה לחלק מחלוקת הכאת המספר המחולק בעצמו על הכאת המספר שהוא המחלק בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{b^2}{a^2}=2+x}}$	ותשים מה שיעלה לחלק מחלוקת מרובע הרב על מרובע המעט שני דרהמי ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a^2}{b^2}={\color{red}{x}}}}$	ומה שיעלה לחלק מחלוקת מרובע המעט על מרובע הרב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{a}{b}\right)^2\sdot\left(\frac{b}{a}\right)^2=1}}$	וכבר בארנו כי הכאת האחד באחר הוא דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(2+x\right)=2x+x^2}}$	ותכה דבר בשני דרהמי ודבר יהיה שני דברים ואלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+x^2=1}}$	ותכוין עמו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{2}-1}}$	ויעלה הדבר שרש שנים הנגרע ממנו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	ותשוב אל העשרה ותשים החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והאחר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2=x^2}}$	ומרובע אחד מהם אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{b^2=\left(10-x\right)^2=100+x^2-20x}}$	ומרובע האחר מאה ואלגו פחות עשרים שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100+x^2-20x}{x^2}=\sqrt{2}-1}}$	ותחלק מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים על אלגו ויעלה שרש שנים הנגרע ממנו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100+x^2-20x}{x^2}=\sqrt{2}-1\; /\times x^2}}$	ותכהו באלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2x^4}-x^2=100+x^2-20\sqrt{x^2}}}$	ויהיה שני שרשים מאלגו אלגו הנגרע ממנו אלגו אחד ישוה מאה דרהמי ואלגו פחות עשרים שרשים
	ותכוין עמו כמו שבארתי לך בשאלה

Section Three	המאמר השלישי
$\scriptstyle\left[x^2-\left(2\sqrt{x^2}+10\right)\right]^2=8x^2$	ואם יאמרו לך אלגו תגרע ממנו שני שרשיו ועשרה דרהמי ותכה מה שישאר בעצמו ויהיה שמנה דמיוני האלגו
	ומלאכתו שתשים האלגו שלך אלגו ותגרע ממנו שני שרשיו ועשרה דרהמי ישאר אלגו פחות שני אלגוש ופחות עשרה דרהמי ישוה שרש שמנה אלגוש בעבור כי הוא אלגו תכה מה שנשאר על עצמו יהיה שמנה דמיוני האלגו ומה שנשאר הוא שרש השמנה וקח מחצית הדברים ויהיה אחד ושרש שנים ותכהו על עצמו ויהיה שלשה ושרש שמנה תוסיפם על העשרה ויהיה שלש עשרה ושרש שמנה ושרש זה יתוסף על אחד ושרש שנים וההוה הוא שרש האלגו תכהו בעצמו והעולה הוא האלגו
$\scriptstyle2\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}+\sqrt{\frac{1}{3}x^2}=x^2$	ואם יאמרו לך אלגו אשר שני שרשיו ושרש חצי האלגו ושרש שלישיתו ישוו האלגו כמה הוא האלגו
	ומלאכתו שתניח האלגו שלך אלגו ותאמר שני שרשים ושרש חצי אלגו ושרש שלישית אלגו ישוו אלגו והדבר ישוה שנים ושרש חצי ושרש שלישית והוא שרש האלגו והאלגו ארבעה וחצי ושלישית ושרש שמנה ושרש חמשה ושליש ושרש שנים
$\scriptstyle2\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}+\sqrt{\frac{1}{3}x^2}=20$	ואם יאמר אלגו אשר שני שרשיו ושרש חציו ושרש שלישיתו עשרים דרהמי כמה הוא האלגו
	מלאכתו שתניח האלגו אלגו ותקח שני שרשיו ושרש מחציתו ושרש שלישיתו ויהיו שני דברים ושרש חצי האלגו ושרש שלישיתו ישוו עשרים דרהמי תגרע שני דברים מעשרים דרהמי ישאר עשרים דרהמי פחות שני דברים תכם בעצמם ויהיה ארבע מאות דרהמי וארבע אלגוש פחות שמנים דברים ישוו שרש חצי אלגו ושרש שלישיתו מוכה בעצמו והוא חצי אלגו ושלישית אלגו ושרש שני שלישים מאלגו אלגו ותכוין עמהם ויהיה שמנים דברים ישוו ארבע מאות דרהמי ושלשה אלגוש וששית אלגו פחות שרש שני שלישיות מאלגו אלגו ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אחד ותעשה עמו כמו שאמרתי לך
$\scriptstyle x^2+4\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}+\sqrt{\frac{1}{3}x^2}=10$	ואם יאמר לך אלגו תוסיף עליו ארבעה שרשיו ושרש חציו ושרש שלישיתו ויהיה עשרה דרהמי כמה הוא האלגו
	מלאכתו שתניח האלגו אלגו ותוסיף עליו ארבעה שרשיו ושרש חציו ושרש שלישיתו יהיה אלגו וארבעה דברים ושרש חצי אלגו ושרש שני שלישי אלגו ישוו עשרה דרהמי ותעשה כמו שאמרתי לך
$\scriptstyle\left(x^2+\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}\right)^2=5x^2$	ואם יאמרו לך אלגו תוסיף עליו שרשו ושרש חציו ותכה המקובץ על עצמו ויהיה חמשה דמיוני האלגו
	וזה הוא אלגו ושרשו ושרש חציו ישוו שרש חמשה אלגוש ויהיה הדבר שישוה שרש חמשה דרהמי פחות דרהם אחד ופחות שרש חצי דרהם והוא שרש האלגו והאלגו ששה דרהמי וחצי ושרש שנים פחות שרש עשרים ופחות שרש עשרה
$\scriptstyle\left(x^2+\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}\right)^2=20$	ואם יאמרו לך אלגו הוסף עליו שרשו ושרש חציו ותכה המקובץ בעצמו ויהיה עשרים דרהמי
	זה הוא אלגו ודבר ושרש חצי אלגו ישוו שרש עשרים דרהמי ותחצה הדבר ושרש חצי אלגו ויהיה חצי ושרש שמינית אחד תכהו בעצמו יהיה שלשה שמיניות דרהם ושרש משמינית אדרהם תוסיפהו על שרש עשרים דרהמי יהיה שלשה שמיניות ושרש עשרים דרהמי ושרש שמינית דרהם ותקח שרשו ותגרע ממנו חצי ושרש שמינית ומה שישאר הוא שרש האלגו
$\scriptstyle\left(x^2+\sqrt{\frac{1}{2}x^2}\right)^2=4x^2$	ואם יאמרו לך אלגו הוספת עליו שרש חציו והכית העולה בעצמו ויהיה ארבעה דמיוני האלגו
$\scriptstyle\left(x^2+\sqrt{3}\right)\sdot\left(x^2+\sqrt{2}\right)=20$	ואם יאמרו לך שני אלגוש שוים תוסיף על אחד מהם שרש שלשה ועל האחר שרש שנים ותכה האחד באחר ויהיה עשרים
$\scriptstyle\left(x^2+7\right)\sdot\sqrt{3x^2}=10x^2$	ואם יאמרו לך אלגו תוסיף עליו שבעה דרהמי ותכה המקובץ בשרש שלשה דמיוני האלגו ויהיה עשרה דמיוני האלגו
$\scriptstyle\left(x^2+\sqrt{3x^2}\right)\sdot\sqrt{x^2}=4x^2$	ואם יאמרו לך אלגו תוסיף עליו שרש שלשה דמיוניו ותכה המקובץ בשרש האלגו יהיה ארבעה דמיוני האלגו
$\scriptstyle\left(\sqrt{\frac{1}{2}x^2}+3\right)\sdot\left(\sqrt{\frac{1}{3}x^2}+2\right)=20$	ואם יאמרו לך אלגו תוסיף על שרש חציו שלשה דרהמי ועל שרש שלישיתו שני דרהמי ותכה האחד באחר ויהיה עשרים דרהמי
$\scriptstyle\frac{\sqrt{10}x^2}{2+\sqrt{3}}=x^2-10$	ואם יאמרו לך אלגו תכהו בשרש עשרה ותחלק מה שיעלה על שנים ושרש שלשה ויעלה לאחד כל כך כמו שהוא האלגו פחות עשרה
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b^2=3a^2\\\scriptstyle\left(a^2+\sqrt{a^2}\right)\sdot\left(b^2+\sqrt{b^2}\right)=10b^2\end{cases}$	ואם יאמרו שני אלגוש והאחד שלשה דמיוני האחר הוספת על כל אחד מהם שרשו שלו והכית האחד באחר והיה עשרה דמיוני האלגו הגדול
$\scriptstyle\sqrt{x^2}+\sqrt{\sqrt{x^2}}+\sqrt{2\sqrt{x^2}}+\sqrt{5x^2}=10$	ואם יאמרו לך אלגו אשר שרשו ושרש שרשו ושרש שני שרשיו ושרש חמשה דמיוני האלגו יהיה עשרה דרהמי
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b^2=c^2\\\scriptstyle a\sdot c=b^2\\\scriptstyle a\sdot b=10\end{cases}$	ואם יאמרו לך שלשה אלגוש בלתי שוים אם תכה הקטן בעצמו והאמצעי בעצמו יהיו כמו הגדול בעצמו ואם תכה הקטון בגדול יהיה כמו האמצעי בעצמו ואם תכה הקטן באמצעי יהיה עשרה דרהמי
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c=10\\\scriptstyle a^2+b^2=c^2\\\scriptstyle a\sdot c=b^2\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשלשה חלקים ותכה הקטן בעצמו והאמצעי בעצמו ויהיו כמו הגדול בעצמו ותכה הקטון בגדול ויהיה כמו האמצעי בעצמו
	ואמור עתה העשרה דרהמי ואמור כאשר אמרו לך שלשה אלגוש בלתי שוים אם הכית הקטן בעצמו והאמצעי בעצמו יהיו כמו הגדול בעצמו וכאשר הכית הקטון בגדול יהיה כמו האמצעי בעצמו
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a+2\sqrt{a}=b-2\sqrt{b}\end{cases}$	ואם יאמרו לך עשרה חלקת אותם לשני חלקים והוספת על החלק האחד שני שרשיו וגרעת מן החלק האחר שני שרשיו והשתוו החלקים
$\scriptstyle a=5+x$	ומלאכתו שתשים החלק האחד חמשה ודבר
$\scriptstyle b=5-x$	והאחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5-x\right)+2\sqrt{5-x}=5-x+\sqrt{20-4x}}}$	ותוסיף על חמשה פחות דבר שני שרשיו ויהיה חמשה פחות דבר ושרש עשרים פחות ארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+x\right)-2\sqrt{5+x}=5+x-\sqrt{20+4x}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{5-x+\sqrt{20-4x}=5+x-\sqrt{20+4x}}}$	ותגרע מחמשה ודבר שני שרשיו וישאר חמשה ודבר פחות שרש מעשרים דרהמי וארבעה דברים ישוה חמשה פחות דבר ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{5-x+\sqrt{20-4x}+\sqrt{20+4x}=5+x}}$	ותאסוף החמשה ודבר עם שרש עשרים ועם ארבעה דברים ותוסיפם על חמשה פחות דבר ושרש מעשרי' דרהמי וארבעה דברים ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים ישוה חמשה ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{2x=\sqrt{20-4x}+\sqrt{20+4x}}}$	ותאסוף החמשה פחות דבר ושרש מעשרים דרהמי וארבעה דברים ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2x\right)^2=4x^2}}$	תכה שני דברים בשני דברים ויהיה ארבעה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\sqrt{20-4x}+\sqrt{20+4x}\right)^2\\&\scriptstyle=\left(\sqrt{20-4x}\right)^2+\left(\sqrt{20+4x}\right)^2\\&\scriptstyle=\left(20-4x\right)+\left(20+4x\right)+2\sdot\left[\left(\sqrt{20-4x}\right)\sdot\left(\sqrt{20+4x}\right)\right]\\&\scriptstyle=40+2\sdot\sqrt{400-16x^2}\\&\scriptstyle=40+\sqrt{1600-64x^2}\\\end{align}}}$	ותכה שרש מעשרים דרהמי וארבעה דברים ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים בעצמו וכאשר תרצה זה תכה שרש מעשרים פחות ארבעה דברים בעצמו ויהיה עשרים פחות ארבעה דברים ותכה שרש מעשרים וארבעה דברים בעצמו יהיה עשרים וארבעה דברים ותקבצם ויהיה ארבעים דרהמי ותכה עשרים פחות ארבעה דברים בשרש עשרים דרהמי וארבעה דברים ויהיה שרש מארבע מאות פחות ששה עשר אלגוש ותכפלם ויהיה שרש מאלף ות"ר פחות ס"ד אלגוש ושרש זה כשיתוסף על ארבעים הוא שרש מעשרים דרהמי וארבעה דברים ושרש מעשרים פחות ארבעה דברים בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{4x^2=40+\sqrt{1600-64x^2}}}$	ויהיה ארבעים דרהמי ושרש מאלף ות"ר פחות ס"ד אלגוש ישוה ארבעה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{4x^2-40=\sqrt{1600-64x^2}}}$	ותגרע ארבעי' דרהמי מארבעה אלגוש וישאר ארבעה אלגוש פחות ארבעים דרהמי ישוה שרש מאלף ות"ר פחות ס"ד אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4x^2-40\right)^2=\left(\sqrt{1600-64x^2}\right)^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{16x^4+1600-320x^2=1600-64x^2}}$	ותכה ארבעה אלגוש פחות ארבעה דרהמי בעצמו ויהיה ששה עשר אלגוש מאלגו ואלף ות"ר דרהמי פחות ש"כ אלגוש ישוה אלף ות"ר פחות ס"ד אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{16x^4=256x^2}}$	ותכוין עמהם ויהיה ששה עשר אלגוש ישוה רנ"ו אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4=16x^2}}$	והאלגו מהאלגו ישוה ששה עשר אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והאלגו ישוה ששה עשר דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	והדבר ישוה ארבעה דרהמי
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{10}{a}+\frac{10}{b}=6+\frac{1}{4}\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקת עשרה לשני חלקים וחלקת העשרה על כל חלק מהם ועלה ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)-2=4+\frac{1}{4}}}$	ותגרע מהששה ורביע שנים לעולם ישאר ארבעה ורביע
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4+\frac{1}{4}\end{cases}$	והוא כמו שאמר חלקת עשרה לשני חלקי' וחלקת כל חלק על האחר ועלה ארבעה ורביע ותעשה כמו שאמרתי לך
	וסבת זה בגרעון השנים שאנא אישון ליבאנטארה די פרטי דילאש שינייאש הוא בעבור כי כבר ידעת כי כאשר תחלק החלק האחד על האחר יעלה מהחלוקה דבר
	וכאשר תחלק העשרה על אותו הדבר יעלה לחלק דבר ואדרהם בעבור כי העשרה הם כמו אותו החלק הנחלק והמחלק וכן יעלה מהחלק האחר
	והנה כאשר תחלק העשרה על אחד החלקי' יהיה מה שיעלה לחלק יעדיף על מה שיעלה לחלק מחלוקת החלק האחר על זה החלק שחלקת העשרה באחר
	ומזה יתבאר כי כאשר נחלק העשרה על כל אחד משני החלקי' יהיה מה שיעלה יעדיף בשנים על מה שיעלה מחלוקת כל אחד משני החלקי' האחד על האחר
	ונבאר זה מחלק הגימטריא וזה שאומר כל מספר שיהא נחלק לשני חלקי' וחלקנו המספר ההוא על אחד מן החלקי' הנה מה שיעלה לחלק יעדיף באחד על מה שיעלה לחלק מחלוקת החלק הזה שעליו חלקנו המספר
AG = AB + BG	דמיון זה שחלקנו מספר א"ג לשני חלקי' על נקודת ב' וחלקיו א"ב ב"ג
AG ÷ BG = DH AB ÷ BG = ZH	וחלקנו א"ג על ב"ג ועל ז"ה
DH - HZ = DZ	וד"ה הוא גדול מה"ז בשיעור ד"ז
assertion: DZ = 1	ואומר שד"ז הוא אחד
proof: AG ÷ BG = DH	מופת זה שא"ג נחלק על ב"ג ועלה ד"ה
DH × BG = AG	ומהכאת ד"ה על ב"ג הוא א"ג כמבואר למעלה
AB ÷ BG = ZH	וא"ב כבר נחלק על ב"ג ועלה ז"ה
ZH × BG = AB	ויהיה הכאת ז"ה על ב"ג הוא א"ב
DH × BG = AG	וכבר היה כפל ד"ה בב"ג א"ג
DZ × BG = BG	וישאר כפל ד"ז בב"ג הוא ב"ג
DZ = 1	הנה יהיה ד"ז שוה לאחד והוא מש"ל
DH × BG = AG	ואם תרצה כבר ידעת כי כפל ד"ה בב"ג הוא א"ג
AG ÷ BG = DH	ויהיה מפני זה ב"ג בא"ג כמנין אחדי ד"ה
ZH × BG = AB	וכפל ז"ה בב"ג הוא א"ב
DZ = 1	ויהיה מפני זה ד"ז הוא אחד והוא מה שרצינו ביאורו
	ועם המעשה הזה תדע כי כאשר תחלק א"ג על ב"ג יהיה העולה לחלק יעדיף באחד על מה שיעלה לחלק מחלוקת ב"ג אל א"ב
	ועם זה יתבאר שכל מספר שנחלק לשני חלקי' וחלקו המספר ההוא על אחד משני החלקי' יהיה העולה יעדיף בשנים לעולם על מה שיעלה מחלוקת כל אחד משני החלקי' האחד על האחר
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}=6+\frac{1}{4}\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה לשני חלקי' וחלקנו העשרה על כל חלק מהם והכינו מה שעלה לכל חלק האחד על האחר והיה ששה ורביע
	ואומר שהכית העולה לחלק מחלוקת העשרה לשני החלקי' האחד על האחר הוא שוה לנקבץ שני אילו החלקי' וסבת זה שאנא אישון ליבאנטארא די פארטי די לאש שיטיאש
	וזה כי כבר ביארתי לך כי כאשר תחלק העשרה על כל אחד משני החלקי' יהיה מה שיעלה לחלק יעדיף על כל אחד מהם על מה שיעלה לחלק מחלוקת שני חלקי העשרה כל אחד מהם על האחד אדרהם אחד
	והוא מבואר ממה שאמרנו כי מה שיעלה לחלקי' מחלוקת שני העשרה האחד על האחר הוא ארבעה ורביע וכאשר נניח חלק אחד מן העשרה דבר והחלק האחר ארבעה ורביע פחות דבר יהיה מה שיעלה לחלק מחלוקת העשרה על כל אחד משני החלקי' האחד דבר ואדרהם והאחר חמשה ורביע פחות דבר
	ואומר שהכאת אדרהם ודבר על חמשה ורביע פחות דבר הוא כמו הכאת דבר בארבעה ורביע פחות דבר ואדרהם בדבר ואדרהם באדרהם
	וכבר ביארנו שאם הכינו דבר בארבעה ורביע פחות דבר ואדרהם בדבר ואדרהם באדרהם וקבצנום יהיה ששה ורביע
	ואבאר זה עם חלק הגימטריא והוא שאמר כי כל מספר שיהיה נחלק לשני חלקים וחולק המספר עם כל אחד משני החלקי' הנה הכאת מה שיעלה לחלק מחלוקת שני החלקי' האחד על האחר יהיה כמו מה שיעלה נקבץ שני החלקים יחד
A = B + G	ודימיון זה כי מספר א' חלקנוהו לשני חלקי' והם מספר ב' ומספר ג'
A ÷ B = H	וחלקנו א' על ב' ועלה ה'
A ÷ G = D	נחלקנו עוד א' על ג' ועלה ד'
assertion: H × D = H + D	ואומר כי הכאת ה' בד' הוא כמו ה' וד' מקובצי'
proof: A ÷ B = H	מופת זה כי א' נחלק על ב' ועל ה'
H × B = A	ומפני זה יהיה הכאת ה' בב' א'
D × G = A	ובעבור כל זה יהיה הכאת ד' בג' א'
H × B = A = D × G	ויהיה אם כן הכאת ה' בב' ישוה להכאת ד' בג' הוא א'
1 × A = A	והכאת האחד בא' הוא א'
1 × A = D × G	והכאת האחד באחד ישוה להכאת ד' בג'
1 : D = G : A	ויצדק שיהיה יחס האחד אל ד' כיחס ג' אל א'
A = B + G	וא' שוה לב' וג'
1 : D = G : (B + G) = H : (H + D)	ויחס האחד אל ד' כיחס ג' אל ב' וג' הוא כיחס ה' אל ה' וד'
G : B = H : D	כי כבר ביארנו כי יחס ג' אל ב' כיחס ה' אל ד'
G : (B + G) = H : (H + D)	וכאשר יחס ג' אל ב' וג' כיחס ה' אל ה' וד'
1 : D = H : (H + D)	והיה יחס האחד אל ד' כיחס ה' אל ה' וד'
H + D = 1 × (H + D) = H × D	יהיה הכאת האחד בה' וד' ישוה להכאת ה' בד' והוא ה' וד' והוא מה שרצינו ביאורו
	ואומר עוד כי כל מספר שיחלק לשני חלקי' ונחלק כל אחד מהם על מספר והוכה מה שעלה לחלק מחלוקת שני המספרי' על שני המספרים האחד על האחר יהיה מה שיעלה מן ההכאה ישוה אל מה שיעלה מחלוקת הכאת שני המספרי' הנחלקים האחד באחר על הכאת שני המספרי' הנחלקים האחד באחר
	דמיון זה שנחלק מספר א' ומספר ב' על מספר ג' וד'
A ÷ G = H	וחלקנו א' על ג' ועלה ה'
B ÷ D = Z	וחלקנו ב' על ד' ועלה ז'
A × B = C	והכינו א' על ב' ועלה ח'
H × Z = M	והכינו ה' על ז' ועלה מ'
G × D = L	והכינו ג' בד' ועלה ל'
assertion: C &divide L = M	ואומר כי כאשר נחלק ח' על ל' יעלה מ'
proof: A ÷ G = H	מופת זה כי א' נחלק על ג' ועלה ה'
G × H = A	הנה הכאת ג' בה' הוא א'
H × Z = M	והכאת ה' בז' הוא א'
H × (G + Z) = A + M	הנה הכינו ה' בשני מספרי' והם ג' וז' ועלה מהכאת א' ומ'
G : A = Z : M	ומפני זה יהיה יחס ג' אל ה' כיחס ז' אל מ'
Z : G = M : A	אמור יחס ז' על ג' כיחס א' אל א'
Z × A = M × G	וכפל ז' בא' ככפל א' בג'
(Z × A) × D = (M × G) × D	ונשים ד' משותף בהכאה ונכה זז' במ' ומה שיעלה נכה בד' ויהיה כמו הכאת א' בג' והעולה בד'
(M × G) × D = (G × D) × M	אבל הכאת א' בג' והעולה בד' יהיה כמו הכאת ג' בד' והעולה במ'
G × D = L	והכאת ג' בד' הוא ל'
M × L = (G × D) × M	ויהיה הכאת מ' בל' כמו הכאת ג' בד' ובמ'
(G × D) × M = (M × G) × D	והכאת ג' בד' ובמ' כמו הכאת א' בג' ובד'
(M × G) × D = (Z × A) × D	והכאת א' בג' ובד' כמו הכאת ז' בא' ובד'
M × L = (Z × A) × D	ויהיה הכאת מ' בל' כמו בהכאת ז' במ' ובד'
(Z × A) × D = A × B	והכאת ז' בא' ובד' כמו הכאת א' בל'
M × L = A × B	ויהיה הכאת מ' בל' כמו הכאת א' בב'
A × B = C	אבל הכאת א' בב' הוא ח'
M × L = C	הנה הכאת א' בל' הוא ח'
C ÷ L = M	וכבר התבאר כי כאשר נחלק ח' על ל' יעלה מ'
	בעבו' כי כל שני מספרי' שנכה האחד באחר הנה העולה מן ההכאה כאשר חלקנוהו על המספר האחר יעלה המספר האחר ומש"ל
	וכבר התבאר ממה שאמרנו שכאשר נחלק עשרה לשני חלקי' וחלקנו העשרה כל אחד משני החלקים ועלה ששה ורביע וכאשר נכה שיעור אחד החלקי' באחר ונכה העולה בששה ורביע יהיה כמו הכאת העשרה בעצמו
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{20}{a}+\frac{20}{b}=12+\frac{1}{2}\end{cases}$	ויתחייב שיהיה ממה שאמרנו שכאשר תחלק העשרה לשני חלקי' וחלקת עשרי' אדרהמי על כל חלק משני החלקי' ועלה י"ב וחצי
	יהיה כאשר תחלק העשרה על כל חלק משני החלקים ועלה י"ב וחצי יהיה כאשר תחלק העשרה על כל חלק משני החלקי' העולה החצי משנים עשר וחצי והוא ששה ורביע בעבור כי כל העשרה הם חצי עשרים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{5}{a}+\frac{5}{b}=3+\frac{1}{8}\end{cases}$	וגם כן יחוייב שיהיה שכאשר תחלק עשרה לשני חלקים וחלקת חמשה על כל חלק משני החלקי' ועלה שלשי' ושמינית
	יהיה כאשר תחלק העשרה על כל אחד משני החלקי' יהיה העולה הכפול משלשה ושמינית והוא ששה ורביע בעבור כי העשר' כפל החמשה
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{20}{a}\sdot\frac{20}{b}=25\end{cases}$	ויתחייב שיהיה כאשר נחלק עשרה לשני חלקים וחלקת עשרי' על כל אחד משני החלקי' והכית העולה לחלק האחד באחר והיה העולה עשרים וחמשה
	יהיה כאשר תחלק העשר' על כל אחד מן החלקי' יעלה הרביע מעשרי' וחמשה והוא ששה ורביע בעבור כי עשרים הוא חצי עשרה והחצי כאשר יוכה בעצמו יהיה כמו הרביע מהדבר שלקחו חציו כאשר הוכה בעצמו
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{30}{a}\sdot\frac{30}{b}=56+\frac{1}{4}\end{cases}$	ויתחייב שיהיה כאשר תחלק עשרה לשני חלקי' ותחלק שלישי' על כל חלק מהשני חלקי' ותכה מה שיעלה לחלק האחד באחר ויצא חמישי' וששה ורביע
	יהיה כאשר תחלק העשרה על כל חלק מהשני חלקי' ותכה מה שיעלה לחלק האחד באחר יעלה התשיעי' מחמישי' וששה ורביע והוא ששה ורביע בעבור כי העשרה שלישי' בשלישי' ושלישי' הדבר כאשר יוכה בעצמו יהיה כמו תשיעית הדבר ההוא כאשר הוכה בעצמו
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{5}{a}\sdot\frac{5}{b}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\end{cases}$	ויחוייב שיהיה כאשר תחלק עשרה לשני חלקי' וחלקת כל חמשה על כל חלק משני החלקי' ותכה העולה לחלק האחד באחר ויצא אדרהם וחצי וחצי שמיניות
	שיהיה כאשר תחלק העשרה על כל אחד משני החלקי' ותכה העולה לחלק האחד באחר יעלה ארבעה דימיוני אדרהם וחצי וחצי שמיניות והוא ששה ורביע בעבור כי עשרה כפל חמשה וכפל הדבר כאשר יוכה בעצמו יהיה ארבעה דימיוני החצי מוכה בעצמו
	וכבר ביארנו כי כאשר נחלק מספר לשני חלקי' ונחלק המספר על כל אחד משני החלקי' והכינו העולה לחלק האחד באחר שהעולה ישוה לנקבץ מן החלקים
	וכאשר נניח זה כפי אשר אמרנו יהיה ידוע כי כאשר נחלק עשרה לשני חלקי' וחלקת העשרה על כל חלק מהשנים והכית העולה לחלק האחד באחר והיה ששה ורביע ומה שיעלה לחלק מחלוקת כל חלק מהשנים על האחר יהיה ששה ורביע
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{40}{a}\sdot\frac{40}{b}=100\end{cases}$	והוא ידוע ממה שאמרנו כי כאשר אמרו חלקת עשרה לשני חלקי' וחלקת ארבעים על כל חלק מהשנים והכית מה שעלו אל החלקים האחד על האחר והיה מאה אהדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x}}$	שנניח החלק האחד חמשה ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x}}$	והחלק האחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\left(5+x\right)\sdot\left(5-x\right)}}=25-x^2}}$	ויהיה כ"ה אדרהמיש פחות אלגוש ישוה ארבעי' אדרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(25-x^2\right)\sdot100=2500-100x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{40^2=2500-100x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{1600=2500-100x^2}}$	ותכה זה במאה אדרהמיש ויהיה אלפים ות"ק פחות מאה אלגוש ישוה ארבעי' אדרהמי ותכה אותו על עצמו ויהיה אלף ות"ר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	ותעשה כאשר אמרנו ויהיה האלגוש ישוה תשעה אדרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{9}=3}}$	והדבר יהיה שרשו והוא שלשה אדרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x=8}}$	תוסיפם על חמשה ותגרעם מחמשה ויהיה החלק האחד שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x=2}}$	והאחר שנים
	ועשינו זה ככה בעבור כי כבר ביארנו שכל שני מספרי' שחולקו שניהם על מספרי' והוכו העולה לחלק מחלוקת שני המספרי' על שני המספרים האחרי' האחד באחר שהעולה הוא שוה לעולה לחלקי' מחלוקת הכאת שני המספרי' הנחלקי' האחד באחר על העולה מהכאת שני המספרי' המחלקי' האחד באחר
	ואמרנו שחלק אחד מהשני חלקי' מהעשרה הוא שמנה והאחר שנים וכאשר נחלק ארבעים על שמנה וארבעי' על שנים יהיה ארבעי' וארבעי' שיני המספרי' הנחלקי' ושמנה ושני' יהיה שני המחלקי'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{50}{a}\sdot\frac{40}{b}=125\end{cases}$	וגם כן התבאר מאשר אמרנו שאם יאמר אומר חלקנו עשרה לשני חלקי' וחלקנו חמישי' על החלק האחד וארבעי' על האחר והכינו העולה לחלק האחד באחר והיה קכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x}}$	שנשים החלק האחד מהעשרה חמשה ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x}}$	והאחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+x\right)\sdot\left(5-x\right)=25-x^2}}$	ותכה האחד באחר ויהיה כ"ה אדרהמי פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(25-x^2\right)\sdot1{\color{red}{25}}=3{\color{red}{125}}-125x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot40=3{\color{red}{125}}-125x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2000=3{\color{red}{125}}-125x^2}}$	ותכה אותו במאה וחמשי' ויהיה שלשת אלפי' וקכ"ה אלגוש ישוה חמשים בארבעים והוא אלפים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	ותעשה כאשר אמרנו ויהיה האלגו ישוה תשעה אדרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{9}=3}}$	והדבר ישוה שורש תשעה והוא שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x=8}}$	תוסיפם על החמשה ותגרעם מחמשה ויהיה החלק האחד שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x=2}}$	והאחר שנים
$\scriptstyle\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot125=6+\frac{1}{4}$	ואם תרצה כבר ידעת כי כאשר חלקנו העשרה על כל אחד מהשני החלקים והכינו מה שעלו לחלקי' האחד באחר והעולה הוא חצי עשירית מקכ"ה והוא ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{1}{4}\sdot40}}$	בעבור כי עשרה הוא רביעית ארבעים
$\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{1}{5}\sdot50}}$	וחמשית חמשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}}}$	וכאשר הכינו רביעית בחמישית יהיה העולה חצי עשירית הדבר ההוא כאשר הוכה בעצמו
	והוא ידוע מאשר אמרנו קודם ביאורו ותוספתו מן האומר חלקנו עשרה לשני חלקים וחלקת כל חלק על האחר ועלה ארבעה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{4}\right)+2=6+\frac{1}{4}}}$	ונוסיף לעולם על הארבעה ורביע שנים ויהיה ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x}}$	ונניח החלק האחד חמשה ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x}}$	והאחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+x\right)\sdot\left(5-x\right)=25-x^2}}$	ותכה האחד באחר יהיה כ"ה דרהמי פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(25-x^2\right)\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)=156+\frac{1}{4}-\left(6+\frac{1}{4}\right)x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{100=156+\frac{1}{4}-\left(6+\frac{1}{4}\right)x^2}}$	תכה זה בששה ורביע יהיה קנ"ו ורביע פחות ששה אלגו ורביע ישוה מאה אדרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	ותנכחם^[24] עמם יהיה אלגוש ישוה תשעה אדרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{9}=3}}$	והדבר ישוה שורשו והוא שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x=8}}$	תוסיפם על חמשה ותגרעם מחמשה יהיה החלק האחד שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x=2}}$	והאחר שנים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left({\color{red}{\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}}}\right)^2=20+\frac{1}{4}\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה לשני חלקים וחלקת עשרה לכל חלק מהם והכית החלק האחד ממה שעלה לחלק בעצמו והיה עשרי' אדרהמי ורביע
$\scriptstyle\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}=\sqrt{20+\frac{1}{4}}=4+\frac{1}{5}$	ושרשו יהיה החלק האחד ממה שעלה לחלק בעצמו והיה עשרי' אדרהמי ורביע ושרשו יהיה החלק האחד ממה שעלה לחלק והוא ארבעה וחצי וכבר ביארנו המעשה הזה
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{a+b=10}}\\\scriptstyle\left({\color{red}{\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}}}\right)^2=30\end{cases}$	ואם יאמרו לך הכינו החלק האחד ממה שיעלה לחלק בעצמו והיה שלשים
$\scriptstyle\frac{10}{a}\sdot\frac{10}{b}=\sqrt{30}$	הנה שורש שלשי' הוא מה שיעלה לחלק בעצמו והיה שלשי' הנה שורש שלשי' הוא מה מה שעלה לחלק מהשני חלקי'
	וכאשר תרצה לדעת שיעור כל חלק מהשני חלקי' תעשה כמו שאמרנו
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+x}}$	והוא שנאמר שהחלק האחד חמשה ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-x}}$	והאחר חמשה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+x\right)\sdot\left(5-x\right)=25-x^2}}$	ותכה האחד באחר ויהיה כ"ה אדרהמי פחות אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(25-x^2\right)\sdot\sqrt{30}}}$ =	ותכה זה בשורש שלישי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(25-x^2\right)^2=625+x^4-50x^2}}$	וכאשר תרצה זה תכה עשרים וחמשה אדרהמי פחות אלגוש בעצמו ויהיה תרכ"ה דרהמי ואלגוש אלגו פחות פחות חמישי' אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(625+x^4-50x^2\right)\sdot30=30x^4+{\color{red}{18}}750-1500x^2}}$	ותכה זה בשלשי' אלגוש מאלגו וט"ו אלפי' ותש"נ אדרהמי פחות 1500 אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{100=\sqrt{30x^4+{\color{red}{18}}750-1500x^2}}}$	ושורש זה ישוה מאה אדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{100^2=\left(\sqrt{30x^4+{\color{red}{18}}750-1500x^2}\right)^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10000=30x^4+18750-1500x^2}}$	ותכה מאה דרהמי' בעצמו ויהיה 10000 דרהמי ישוו שלשים אלגוש מאלגו וי"ח אלפים ותש"נ אדרהמי פחות 1500 אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4+\left(2{\color{red}{9}}1+\frac{2}{3}\right)=50x^2}}$	ותאסוף אוקבראשיש איקונפרונטאראש ותוסיף על כל דבר שתחזיק אלגוש אלגו ויהיה אלגו אלגו ורע"א אדרהמי ושני שלישית ישוה חמישי' אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot50\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot50\right)^2-\left(2{\color{red}{9}}1+\frac{2}{3}\right)}\\&\scriptstyle=25-\sqrt{25^2-\left(2{\color{red}{9}}1+\frac{2}{3}\right)}\\&\scriptstyle=25-\sqrt{625-\left(2{\color{red}{9}}1+\frac{2}{3}\right)}\\&\scriptstyle=25-\sqrt{333+\frac{1}{3}}\\\end{align}}}$	ותחצה האלגוש ויהיה כ"ה תכם בעצמם ויהיו תרכ"ה תגרע מהם הרע"א אדרהמ ושני שלישי' והנשאר שלישי' וש"ג ושליש ושרש זה כשיגרע מכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5+\sqrt{x^2}}}$	ושרש הנשאר יתוסף על חמשה והוא החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b=5-\sqrt{x^2}}}$	וכשיגרע מחמשה הוא החלק האחר
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{40}{a}\right)^2+\left(\frac{40}{b}\right)^2=625\end{cases}$	ואם יאמרו לך חלקנו עשרה לשני חלקי' וחלקת על כל אחד מהם ארבעי' ומה שעלו לחלק הכית כל חלק על עצמו והיו תרכ"ה
$\scriptstyle\left(\frac{10}{a}\right)^2+\left(\frac{10}{b}\right)^2=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\sdot625=39+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)$	וכאשר תחלק העשרה על כל חלק משני חלקי העשרה והעולה לחלק הכית כל חלק זה צריך שיהיה חצי שמינית מתרכ"ה והוא ל"ט וחצי שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{1}{4}\sdot40}}$	בעבור כי עשרה עלה רביעית מ'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}$	וכאשר נכה רביע הדבר בעצמו יהיה חצי שמינית הדבר מוכה בעצמו וכבר ביארנו המעשה בזה
	וכאשר תרצה תוציא אילו השאלות [מ]שאלות אחרות רבות כפי אילו הדרכים וכפי אחרים כמו הם יתבאר המעשה בהם מהדרכים שאמרנו קודם ושהוספנו בזה הספר
	והתהילה לאל לבדו ית' וית' היכול אשר מאתו ההישרה

Appendix: Bibliography

Kitāb fī al-Jābr wa'l-Muqābala (the first section) / by Abū Kāmil Shujāʽ Ibn Aslam Ibn Muḥammad ibn Shujāʽ (Egypt, ca. 850-930)
– Hebrew translation –
by Mordecai (Angelo) Finzi (Mantua, d. 1475)
Ḥeshbon ha-Sheṭaḥim (First Hebrew version)

Manuscripts:

1) Mantova, Comunita Israelitica MS ebr. 17/1 (IMHM: f 797), ff. 1r-44v (15th century; autograph)

[Mantova17]

2) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 225/2 (IMHM: f 1118), ff. 95r-154r (15th century)

[München225]

Critical Edition (of the first section):

Abu Kamil Shuja' ibn Aslam. The algebra of Abu Kamil: Kitab fi al-jabr wa'l-muqabala in a commentary by Mordecai Finzi. Ed. Martin Levey. Madison, Milwaukee, and London: The University of Wisconsin Press, 1966.

Bibliography:

Lévy, Tony. 2007. L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (II). Dans l’Italie des XVe et XVIe siècles, sources arabes et sources vernaculaires, Arabic Sciences and Philosophy 17, pp. 81-107.
Yadegari, Mohammad. 1978. The Use of Mathematical Induction by Abū Kāmil Shujā‘ Ibn Aslam (850-930), Isis, vol. 69, no. 2 (Jun., 1978), pp. 259-262.

↑ marg.: Mahomar Alboarzami

↑ marg.: וזה כי שורש האלגו ימנה האלגו במספר מה שימנה האחד לשורש ומפני זה כאשר תדע סכום השרשי' שיהיו שוים לאלגו תכם על עצמם והעולה הוא האלגו אמ' ומופת זה כי השורש אמצעי בייחס בין האחד והמרובע ולכן ימנה השורש מרובע כמו מה שימנהו האחד

↑ marg.: בי' מפני כי יחס המרובע אל המרובע כיחס הצלע אל הצלע שינוי ושורש א"ב עשירי' ב"ג אם כן א"ב המרובע הוא עשירית העשירית מן המרובע ההוה מן ב"ג והוא ב"ה אם כן ב"ה מאה דימיוני קו א"ב מוכה באחד מאחדיו

↑ marg.: אמר מרדכי פינצי

↑ וזה כי שטח א"נ שלשה שרשי' ולכן שטח א"נ כמו העולה מהכאת א"ג משלשה מספרי' ומהמא' שלשה וה"ח אחד וחצי

↑ marg. להיות יחס מרובע אל מרובע יחס צלע אל צלעו שינוי

↑ marg.: אמ"פ זכור כי לא היה צריך לעשות קוי ב"ט ט"כ ד"כ שוים לקוי ב"ח ח"ז וה"ו בזה המופת כי לא התנה שיהיו דימיוני ה"ט רק דברי' לא אלגוש שהם מרובעים

↑ marg.: וזה כי נניח אלגו ב"ה משותף יחד יהיה א"כ מרובע ז"ח כמו מרובע א"ד עם מרובע ב"ה פחות כפל שטח א"ה

↑ marg. כי כבר התבאר שאחדי ד' כמס[פר] דימיוני ע' בד' א"כ יחס האחד אל ד' כיחס ע' על ח' וכאשר היה זה כך המרובעי' ההוי' מהם מתיחסי' כמו שהתבאר באקליד' אם כן יחס האחד מוכה על אחד והוא אחד אל מרובע ד' והוא ב' כיחס מרובע ע' והוא מ' אל מרובע ח' והוא א' אם כן אחד ב' הם כמו דימיוני מ' בא'

↑ marg. איקובריאש כלומ' ותאסוף

↑ marg. איקוברא

↑ marg. איקוברלוש ותאספם

↑ marg. נ"ד ותאסוף

↑ marg. אמ"פ זכור כי זה הוא המכוון אשר יזכור תמיד בלעז קונפרונטאמינטו כי בו יכוין במה ישוה הדבר

↑ marg. מט"ו מז' לאקלידס

↑ marg. מי"ח מז' לאקלי'

↑ marg. איקונפרונטלו

↑ marg. נ"ל שז"ל הראשונים

↑ marg. נ' ויהיה מכוון

↑ marg.

↑ marg. נ"ל ע"ח

↑ marg. איקונפרונטלוש קונילייוש

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

@@ Line 6,626: / Line 6,626: @@
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+a\right)\sdot\left(\frac{b}{a}+b\right)=35\end{cases}</math>
+*If you are told: you divided ten into two parts, then you divided the larger [part] by the smaller [part] and added the quotient to the larger [part], and you divided the smaller [part] by the larger [part] and added the quotient to the smaller [part] and multiplied one [sum] by the other and the result was thirty five.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+a\right)\sdot\left(\frac{b}{a}+b\right)=35\end{cases}</math>
 |style="text-align:right;"|ואם אמרו לך עשרה חלקת אותו לשני חלקים<br>
 וחלקת הרב על המעט והוספת מה שעלה לחלק על הרב וחלקת המעט על הרב והוספת מה שעלה לחלק על המעט והכית האחד על האחר והיה שלשים וחמשה דרהמי'
@@ Line 6,804: / Line 6,805: @@
 |-
 |
+:*You divided ten into two parts, then you divided each part by the other and [the sum of the quotients] is two dirham and a fifth.
 ::<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=2+\frac{1}{6}\end{cases}</math>
 |style="text-align:right;"|והוא כאלו שאלו חלקת עשרה לשני חלקים<br>
-וחלקת כל חלק על האחר ועלה שני דרהמי ושתות וכבר התבאר זה
+וחלקת כל חלק על האחר ועלה שני דרהמי ושתות
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|וכבר התבאר זה
 |-
 |
 *If you are told: you divided ten into two parts, then divided the larger [part] by the the smaller [part] and added the result to ten, divided the smaller [part] by the the larger [part] and subtracted the result from ten, and multiplied the [sum of each part] by the other and [the result] is one hundred and seven and two thirds.
-<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}+10\right)\sdot\left(10-\frac{a}{b}\right)=107+\frac{{\color{red}{1}}}{3}\end{cases}</math>
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{b}{a}+10\right)\sdot\left(10-\frac{a}{b}\right)=107+\frac{{\color{red}{1}}}{3}\end{cases}</math>
 |style="text-align:right;"|ואם יאמרו חלקת עשרה לשני חלקים<br>
 וחלקת הרב על המעט והוספת העולה על העשרה וחלקת המעט על הרב וגרעת מה שעלה לחלק מן העשרה והכית האחד על האחר ויהיה מאה ושבעה ושני שלישיות
@@ Line 6,855: / Line 6,860: @@
 |-
 |
+*If you are told: divide ten dirham by two and a root of three
+:<math>\scriptstyle10\div\left(2+\sqrt{3}\right)</math>
 |style="text-align:right;"|ואם יאמרו לך תחלק עשרה דרהמי על שנים ושרש שלשה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וחכמתו שנשים מה שיעלה לאחד דבר
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=10\div\left(2+\sqrt{3}\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחכמתו שנשים מה שיעלה לאחד דבר<br>
+וכאלו אמר חלקנו עשרה על שני דרמי ושרש שלשה ועלה דבר
+|-
+|
+::<math>\scriptstyle B\times\frac{A}{B}=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר ידעת שכאשר תכה מה שעלה לחלק במחלק ישוב האלגו הנחלק
+|-
+|
+:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(2+\sqrt{3}\right)=2x+\sqrt{3x^2}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2x+\sqrt{3x^2}=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה דבר בשנים ושרש שלשה ויהיה שני דברים ושרש שלשה אלגוש ישוו עשרה דרהמי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכאלו אמר חלקנו עשרה על שני דרמי ושרש שלשה ועלה דבר
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-2x=\sqrt{3x^2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותגרע שני דברים מעשרה וישאר עשרה פחות שני דברים ישוו שלשה אלגוש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכבר ידעת שכאשר תכה מה שעלה לחלק במחלק ישוב האלגו הנחלק ותכה דבר בשנים ושרש שלשה ויהיה שני דברים ושרש שלשה אלגוש ישוו עשרה דרהמי ותגרע שני דברים מעשרה וישאר עשרה פחות שני דברים ישוו שלשה אלגוש ותכה עשרה פחות שני דברים על עצמו ויהיה מאה דרהמי וארבעה אלגוש פחות ארבעים דברים ישוו שלשה אלגוש
+:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-2x\right)^2=100+4x^2-40x}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100+4x^2-40x=3x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה עשרה פחות שני דברים על עצמו ויהיה מאה דרהמי וארבעה אלגוש פחות ארבעים דברים ישוו שלשה אלגוש
 |-
 |
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+100=40x}}</math>
 |style="text-align:right;"|ותכוין עמהם ויהיה אלגו ומאה דרהמי ישוו ארבעים דברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וקח מחצית הדברים והוא עשרים ותכהו על עצמו ויהיה ארבע מאות ותגרע מהם המאה ששוו השלשה אלגוש וישאר שלש מאות תקח שרשו ותגרע אותו מעשרים ומה שישאר הוא מה שיעלה לאחד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot40\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot40\right)^2-100}\\&\scriptstyle=20-\sqrt{20^2-100}\\&\scriptstyle=20-\sqrt{400-100}\\&\scriptstyle=20-\sqrt{300}\\\end{align}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח מחצית הדברים והוא עשרים<br>
+ותכהו על עצמו ויהיה ארבע מאות<br>
+ותגרע מהם המאה ששוו השלשה אלגוש וישאר שלש מאות<br>
+תקח שרשו ותגרע אותו מעשרים ומה שישאר הוא מה שיעלה לאחד
 |-
 |
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\div\left(2+\sqrt{3}\right)=20-\sqrt{300}}}</math>
 |style="text-align:right;"|וכאשר חלקנו עשרה על שנים ושרש שלשה יעלה לאחד עשרים פחות שרש שלש מאות
 |-

Difference between revisions of "חשבון השטחים"

Revision as of 13:51, 27 February 2019

Contents

The Six Canonical Equations

The Simple Canonical Equations

ax²=bx

ax²=c

bx=c

The Compound Canonical Equations

ax²+bx=c

ax²+c=bx

bx+c=ax²

Multiplication of Algebraic Expressions

Roots

Doubling of Roots

Multiplication of Roots

Division of Roots

Addition of Roots

Subtraction of Roots

Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations

Various Problems

Section Three

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Personal tools

Namespaces

Variants

Views

More

Search

Navigation

Tools

Difference between revisions of "חשבון השטחים"

Revision as of 13:51, 27 February 2019

Contents

The Six Canonical Equations

The Simple Canonical Equations

ax2=bx

ax2=c

bx=c

The Compound Canonical Equations

ax2+bx=c

ax2+c=bx

bx+c=ax2

Multiplication of Algebraic Expressions

Roots

Doubling of Roots

Multiplication of Roots

Division of Roots

Addition of Roots

Subtraction of Roots

Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations

Various Problems

Section Three

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Search

ax²=bx

ax²=c

ax²+bx=c

ax²+c=bx

bx+c=ax²