Difference between revisions of "אגרת המספר"

{{#annotpage: place="Sicily", time_from="1350", time_until="1429-1433"}}

== Prologue ==

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>אמר</span></big> יצחק בן שלמה בן צדיק בן אלאחדב ספרדי<ref>1v</ref>

|style="text-align:right;"|הנה אחד מחכמי הערב בקשו ממנו קצת אהביו לחבר להם כלל קטון יהיה מקיף בכל ענייני חכמת המספר בדרך קצרה

''הגדיל לעשות'' <ref>יואל ב, כ</ref> בדרכיה ובקצורה לפי עניניה וישלחה להם<br>

|style="text-align:right;"|ובהרגישו קוצר דעתם עשה גם הוא בערמה ויחבר להם פי' האגרת זר ועמוק לא יבינוהו כי אם הגיוני ומבין נתינת סבות הדברים ויקרא שמו ''מסיר המסוה'' <ref>שמות לד, לד</ref><br>

וישיבו אותו דבר לאמר ''משיב המסוה'' <ref>שמות לד, לה</ref> שמו<br>

|style="text-align:right;"|אחר כן פשטה האגרת בין חכמי הלבבות ותהי להם אגרת ''כלילת יופי'' <ref>יחזקאל כז, ג</ref>ויצא טבעה ביניהם ויעשו לה פי' רבים מפנים רבים וכולם ''באו בארוכה'' <ref>משנה, נזיקין, שבועות, ב, ג</ref> מאד

|style="text-align:right;"|וכאשר באתי אני בארצותם ''שכנתי עם אהלי קדר''<ref>תהלים קכ, ה</ref> באת לידי האגרת ההיא וקראתיה לפני חכם מחכמיהם<br>

Al-Aḥdab then went on a journey by sea to the Holy Land but the stormy sea brought him to the city of Syracuse in Sicily

|style="text-align:right;"|אחר כן בעברי דרך ים ללכת ''ארץ הצבי'' <ref>דניאל יא, מא</ref> ת"ו בימינו ויהמו עלינו גלי הים ''תהום אל'' ''תהום''  ''קורא''<ref>תהילים מב, ח</ref> ''ותשח לעפר'' <ref>ישעיה כט, ד</ref> נפשינו ''השגיח ממכון שבתו''<ref>תהילים לג, יד</ref> עלינו המשגיח על עולמו בכלל ובפרט ישתבח ויתעלה ויתנשא שמו וישכיח ''שאון גלי הים'' <ref>תהילים סה, ח</ref> ודכים<br>

|style="text-align:right;"|ואמצא שם אנשים ''אנשי שם'' <ref>במדבר, טו, ב</ref> רבים ונכבדים מתעסקים בתורה ובמצות<br>

ובתוכם ''זרעם נכון לפניהם'' <ref>איוב כא, ח</ref> בחורי חמד משכילים נשתעשעתי באהבתם בחרתי בחברתם ויקראו לפני קצתם בתלמוד תורתינו הקדושה

== [Section One: integers] ==

=== Introduction ===

|Following the Arab epistle Al-Aḥdab presents next some necessary preliminary definitions<br>

*The first definition: number = what is summed from the units

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>אמר המחבר</span></big> המספר מה שיתחבר מן האחדים

|According to Al-Aḥdab, the number is conceived by itself and therefore is difficult to define and describe

והוא אמר בפי' הנזכר למעלה כי רבים חתרו לגדור המספר ואחרים לתת לו רושם ולא באה פעולתם כהוגן<br>

ואמ' כי זה בעבור כי המספר מן הדברים המצויירים בעצמם אשר יקשה לתת להם גדר או רושם<br>

וכי כל מה שיעשה מזה הוא כדמות הערה על האמת לא גדר ולא רושם

|style="text-align:right;"|ויותר נכון בלשוננו להקרא זה ספירה ולא מספר כאשר תקנו חכמי האמת ז"ל על ספירת העומר

|two types of numbers:

*integer

*fraction

|two types of integers

*even

*odd

|style="text-align:right;"|והשלם שני פנים זוג ונפרד

|three types of evens:

*even-times even

*even-times odd

*even-times-even-times odd

|style="text-align:right;"|והזוג שלש מינים זוג הזוג וזוג הנפרד וזוג הזוג והנפרד

|two types of odds:

*prime number

*odd-times odd

|style="text-align:right;"|והנפרד ב' מינים ראשון ונפרד הנפרד

|

|even-times-even number

|style="text-align:right;"|ואם יחלק החצי ג"כ לחצאין וחצי החצי לחצאין עד שיגיע אל האחד יקרא '''זוג הזוג''' כמו ח' י"ו ול"ב כי הוא יחלק תמיד לחצאין כזוג עד שיגיע אל האחד

|even-times-odd number

|style="text-align:right;"|ואם יחלק לחצאין וכל אחד מהחצאין נפרד כששה שחציו ג' או עשרה שחציו ה' יקרא '''זוג הנפרד''' כי הוא מורכב מב' נפרדים

|even-times-even-times-odd number

|style="text-align:right;"|ואם יחלק תחלה לזוגות ואח"כ לנפרדים כי"ב כי יחלק לששה ששה א"כ לג' וכל הדומה לזה יקרא '''זוג הזוג והנפרד''' כי הורכב מב' זוגות המורכבים מנפרדים

|prime numbers

|style="text-align:right;"|ויש נפרדים שלא י^תחלקו כלל כי אם לאחד כמו ה' וז' וי"א וי"ג והם רבים ואלה יקראו '''מספרים ראשו'''' בעבור כי לא יחלקו כי אם על האחד שהוא ראשון לכל המספרים וקראו ג"כ המספרים החרשים בעבור כי לא ישמעו לקול מחלקים

|The threefold cycle of the decimal ranks – the three ranks that build all numbers – units, tens, hundreds

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>אמר</span></big> ולמה שהיה המספר יתוסף אל זולת תכלית הושמו לו ג' מדרגות ויקראו ג"כ מחנות תסובנה עליהם מעלות המספר בכל מדרגה מהם תשעה מספרים

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>פי'</span></big> מדרגות המספר הן אלו הג' כי אחרי אלף ישוב תמיד לספור באלפים אחדים עשרות מאות וכן באלפי אלפים וכן תמיד

|style="text-align:right;"|ונקראו מדרגות ומעלות בעבור כי יש להם סדר זו אחר זו

|style="text-align:right;"|ונקראו מחנות כי המספרים יחנו שם כאשר יתבאר בג"ה

|style="text-align:right;"|ואם לא היה בראשונה מספר נהגו לעשות שם עגולה כזו תקרא אצלם '''ספר''' תורה על מדרגה וישימו אחריה המספר

|style="text-align:right;"|וכן לו היו שתי עגולות <span style=color:red>200</span> היו השני' מאתי' כי הם במדרגה שלישית שהיא מדרגת המאות

|style="text-align:right;"|ואם ירצה מאות ואחדים ישים העגולה במקום העשרו'

|style="text-align:right;"|ומוסד האחדי' אחד

|style="text-align:right;"|והשם הוא סימן על המספר אשר יהיה במדרגה מה

|

*The value of the rank [= positional value]

|style="text-align:right;"|וידיעת הראשון יקרא מוסד כלומ' ידיעה ליסד מדרגות המספר ולכתבם<br>

ואמר כי תבת מוסד מועתקת להורות על ענין זה

*The name of the numeral [= numerical value]

|style="text-align:right;"|וידיעת השני יקרא שם כלומ' לדעת שם המספרים<br>

ואמ' כי תבת שם מועתקת להורות על ענין זה

|

|style="text-align:right;"|והאותיות אשר תשים עליהם יורו על ההשנות והמעלות אשר תחתיהן לעולם אחדים והנשאר פחות מג' או שלשה יורה על שם ההשנות

!style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>שער החבור</span></big>

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>אמר</span></big> '''החבור הוא קבוץ מספרי' קצתם לקצת אל שידובר בהם בדבור אחד והוא על חמשה פנים'''

|

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>פירוש</span></big> גדר מה הוא החיבור ואמר כי הוא קבוץ <ref>3r</ref>מספרים קצתם לקצת כלומ' שנים מספרי' או יותר אל שידובר בהם ר"ל שישובו כלם מספר אחד

|style="text-align:right;"|וכבר יתכן להיות מספרי' רבי' ובעת הקבצן ג"כ ידובר בכלם

|style="text-align:right;"|ועכ"ז ידוע כי יפלו מדרגות רבות בעת הקבוץ אשר היו הכרחיות במספרי' הנפרדי' כן אלף ומאה היו שם ב' ספרי' וק"כ אלף היו שם ד' ספרי' ועתה בקבוץ אין שם צפר כלל ועם כל זה הנכון אצלי לומ' בגדר אל שיהיו מספר אחד

|

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>אמר</span></big> אחד מהם החבור מבלי יחס ידוע והמכוון בו שתקבץ מספר ממחנות רבות אל מספר כמו כן

|style="text-align:right;"|וצריך שתניח אחד המחוברים בשטה ותניח המחובר האחר תחתיו כל מחנה תחת הדומה לה

|

|style="text-align:right;"|והראשון יהיו היחסי' רבי' מאד וזה הפך המזגים בספר הרפואה כי השוה אחד והבלתי שוים רבים [ובכאן המספרי' השוים רבים הם והשוים הם שיש להם יחס וכו']

|style="text-align:right;"|והמשל שלש מאות ושלשים וחמשה עם ארבע מאות וחמשים ושלשה וצריך שיונחו שתי שטות בצורה זו

|style="text-align:right;"|ויחובר כל מחנה אל הדומ' לה ויכתב כנגדה למעלה והנה יתחבר על האחדים ח' ועל העשרות ח' ועל המאות ז&#x202B;'

|style="text-align:right;"|ולכן אמ' כי המקובץ הוא התשובה וכן כשלא היה למדרגה דומה כמו בזה המספר שהמשלנו לאין לאחדים אחדים דומים כי עמם צפר הנה המחנה ההיא היתה התשובה כי כתבנו למעלה הד' עצמם וכן הדומה ^לזה

|style="text-align:right;"|וידוע כי באלו המשלים ההתחלה מראשיתם או אחריתם שוה בעבור כי האחדים בהתחברם לא יגיעו לעשרות וכן העשרות לא יגיעו למאות ולא המאות לאלפים

|style="text-align:right;"|והסבה בזה כי היותר שיתכן שיהיה בכל מחנה מהשני מחנות ט' ט' ובהתקבצם יוסיפו מדרגה לא יותר

==== Sum of Geometric Progression ====

!Sequence of even-times-even numbers

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>אמ'</span></big> '''והשני היו על יתרון כמו בתי הנרדשיר והדומים להם'''

:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=1\\\scriptstyle a_2=1+1={\color{red}{2}}\\\scriptstyle 1+a_1+a_2=\left(a_2\right)^2={\color{red}{2^2}}\\\scriptstyle 1+a_1+a_2+a_3+a_4=\left[\left(a_2\right)^2\right]^2={\color{red}{\left(2^2\right)^2}}\\\scriptstyle\sum_{i=1}^{2^n} a_i={\color{red}{2^{2^n}-1}}\end{cases}</math>

|style="text-align:right;"|'''על שיהיה בבית הא' אחד'''<br>

'''עוד תכה זה בעצמו ג"כ ומה שיגיע הוא מה שברביעי ומה שקודם לו בתוספת אחד'''<br>

|style="text-align:right;"|וכבר אמרנו כי הם יבואו על פנים רבים והתחיל באחד מהם קראו החבור על היתרון

|style="text-align:right;"|ופי' שהוא כמו בתי הנרדשיר או הדומה להם כלומ' מדרגות על סדר

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1\\\scriptstyle a_2=2\sdot a_1=2\\\scriptstyle a_3=2\sdot a_2=4\\\scriptstyle a_4=2\sdot a_3=2\sdot4=8\\\scriptstyle a_5=2\sdot a_4=2\sdot8=16\end{cases}}}</math>

|style="text-align:right;"|ושם בבתי הראשון של הנרדשיר אחד<br>

ובבית החמשי י"ו שהוא כפל ח'<br>

|

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=a_1+1=2}}</math>

|style="text-align:right;"|ואמר שתוסיף על הא' שבבית הא' אחד והוא יהיה מה שבבית השני כלומר ב'

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+a_1+a_2=1+1+2=1+3=4=2^2}}</math>

|style="text-align:right;"|וכאשר תכה אל הב' בעצמם יהיו ד' ואלה הד' הם קבוץ מה שבשני בתי' שבבית הא' והשני עם תוספת א' שהוספת<br>

וזה כי בבית הא' א' ובשני ב' הם ג' והאחד שהוספת היו ד'

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+a_1+a_2+a_3+a_4&\scriptstyle=1+\sum_{i=1}^{2\sdot2} 2^{i-1}\\&\scriptstyle=1+\sum_{i=1}^4 2^{i-1}\\&\scriptstyle=1+1+2+4+8=1+3=16=4^2\\\end{align}}}</math>

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\sum_{i=1}^{2\sdot4} 2^{i-1}=1+\sum_{i=1}^8 2^{i-1}=16^2=256}}</math>

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^8 2^{i-1}=\left(1+\sum_{i=1}^8 2^{i-1}\right)-1}}</math>

|

*this method is used when the number of terms is an even-times-even number

|

*the procedure used when the number of terms is not an even-times-even number is based on the above method by expressing the number of the terms as a sum of even-times-even numbers:<br>

|style="text-align:right;"|אבל כשיהיה הבית המונח בשאלה מה שאינו זוג הזוג יצטרך דרך אחרת<br>

והוא שתעשה על הדרך הראשון הנזכר עד שיגיע למקום שלא יתכן עוד במונח ההוא על דרך זוג הזוג ותשמור המקובץ מבלי שתסיר א אחד ותראה כמה בתים נשארו מן המונח ותעשה בהם לבדם כאלו הם בתים ראשונים כלומר שתתחיל בהם בא' עד שתגיע לתכליתם והמקובץ הכה אותו בשמור אצלך מן המעשה הראשון והיוצא מן ההכאה הוא המבוקש

:*<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} 2^{i-1}</math>

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>המשל</span></big> שואל השואל כמה המקובץ על דרך זה היתרון בי"א בתים

::::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot1=2\longrightarrow1+\sum_{i=1}^2 2^{i-1}=2^2=4}}</math>

|style="text-align:right;"|והנה במעשה הראשון תתחיל ותקח הא' תכפלנו ויהיה ב' בבית הב' תכה הב' בעצמה ויהיה ד' והם מה שבשני והראשון בתוספת א'

::::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4\longrightarrow1+\sum_{i=1}^4 2^{i-1}=4^2=16}}</math>

|style="text-align:right;"|והכה ד' בעצמם יהיו י"ו ותכפול הבתים יהיו ד' הנה י"ו הוא מה שבבית הד' וכל מה שלפניו בתוספת א'

::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8\longrightarrow1+\sum_{i=1}^8 2^{i-1}=16^2=256}}</math>

|style="text-align:right;"|תכה י"ו בעצמם יהיו רנ"ו תכפול הבתים יהיו ח' והנה רנ"ו הוא מה שבבית הח' וכל מה שלפניו בתוספת א'

|style="text-align:right;"|והנה הגענו בזה המעשה עד המקום אשר לא יתכן עוד במונח לכפול הבתים כי הבתים המונחים י"א והגענו עד הח' והיה המקובץ רנ"ו לכן <ref>4r</ref>שמרנו אותם

::::<math>\scriptstyle{\color{blue}{11-8=3}}</math>

|style="text-align:right;"|ושבנו אל הבתים הנשארים מצאנום ג'

::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot1=2\longrightarrow1+\sum_{i=1}^2 2^{i-1}=2^2=4}}</math>

|style="text-align:right;"|עשינו בהם כמעשה הזה שמנו בבית הראשון א' וכפלנוהו היה בבית הב' ב'<br>

הכינו אותם בעצמם היו ד' והם מה שבבית השני והראשון בתוספת אחד

::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot1=2}}</math>

|style="text-align:right;"|שמרנו ג"כ הד' נשאר בית אחד נעשה כמשפט הראשון נשים בו א' וכפלנו יהיה ב' והוא מה שבראשון בתוספת א'

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{11} 2^{i-1}&\scriptstyle=2\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{2} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}\right)\\&\scriptstyle=2\sdot4\sdot256=8\sdot256=2048\\\end{align}}}</math>

|style="text-align:right;"|הכינו ב' בד' השמורים הוא ח' הכינו ח' ברנ"ו השמורים היו ב' אלפים מ"ח והוא המבוקש בתוספת אחד

|style="text-align:right;"|ואלו היו בפעם השנית בתים יש לעשות בהם כראשונים וכן עד תומם

:*<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{29} 2^{i-1}</math>

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>והמשל</span></big> אלו הניח השואל כ"ט בתים

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{29} 2^{i-1}\\&\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{13+16} 2^{i-1}\\&\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{5+8+16} 2^{i-1}\\&\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{1+4+8+16} 2^{i-1}\\&\scriptstyle=2\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{4} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{16} 2^{i-1}\right)\\\end{align}}}</math>

|style="text-align:right;"|הנה זוג הזוג יגיע עד י"ו בתים ישמור המקובץ מהם<br>

והבתים הנשארים י"ג נעשה בהם כמעשה הראשון יגיע זוג הזוג עד ח' בתים ישמור המקובץ מהם גם כן<br>

והבתים הנשארים א' על כן תכפול המקובץ האחרון והוא יהיה המקובץ מהה' בתים תכה אותם בשמור מהח' והיוצא מן ההכאה תכה אותו בשמור מן הי"ו והיוצא הוא המבוקש בתוספת א'

|style="text-align:right;"|וכן תעשה תמיד כשישאר בית א' תכפול הנמצא בידיך בעבור הבית ההוא כלומר שתקח ב' בתים כי כן לשתי בתים ג' ולג' ד' ולד' ה' וכן כלם ותכה בשמור אצלך

|style="text-align:right;"|וידוע כי כאשר תקח לבית האחד ב' בתים<br>

הבית השני יש בו ב' תכה אותו בשמור אצלך כאלו כפלתו<br>

ואחרי כן כפלתו בתים שלשה השלישי יש בו ד' תכה אותם בשמור אצלך כאלו כפלתו<br>

ואחרי כן כפלתו וכן כלם ובהכרח במעשה הזה ישאר תמיד באחרונה בית אחד או יבא בשוה זוג הזוג

*<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{28} 2^{i-1}</math>

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>והמשל</span></big> לו היו הבתים המונחים כ"ח

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{28} 2^{i-1}\\&\scriptstyle=1+\sum_{i=1}^{4+8+16} 2^{i-1}\\&\scriptstyle=\left(1+\sum_{i=1}^{4} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{16} 2^{i-1}\right)\\\end{align}}}</math>

|style="text-align:right;"|תגיע בתחלת המעשה עד י"ו ובשניה עד ח' ובג' עד ד' והם כ"ח

*<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{30} 2^{i-1}</math>

|style="text-align:right;"|ואם היו הבתי' ל'

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle1+\sum_{i=1}^{30} 2^{i-1}\\&\scriptstyle=1+\sum_{i=1}^{2+4+8+16} 2^{i-1}\\&\scriptstyle=\left(1+\sum_{i=1}^{2} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{4} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}\right)\sdot\left(1+\sum_{i=1}^{16} 2^{i-1}\right)\\\end{align}}}</math>

|style="text-align:right;"|היה עוד מגיע לשנים וכן תעשה תמיד

|style="text-align:right;"|וזה הענין זכרו החכם המחבר בפי' לאגרת בקצרה ויותר קשה

*finding a specific term in the sequence of the even-times-even numbers

|style="text-align:right;"|ותפיל השאלה ביתרון זה על דרך אחרת וזה כי כבר ישאל השואל מה המספר אשר בבית ידוע מן הבתים

:<math>\scriptstyle a_{2^n}=2^{2^n-1}=\frac{2^{2^n}}{2}=\frac{1+\sum_{i=1}^{2^n} 2^{i-1}}{2}</math>

|style="text-align:right;"|ואם יהיה הבית המונח בשאלה זוג הזוג הנה המעשה הוא כנזכר למעלה וידוע כי יצא במעשה ההוא הבית אשר אחר זוג הזוג ולכן תחלק היוצא לשנים והחלק האחד הוא המבוקש

:*<math>\scriptstyle a_8=2^{8-1}</math>

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>והמשל</span></big> שאל השואל מה המספר הנמצא בבית הח'

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_8=2^{8-1}=\frac{2^{8}}{2}=\frac{1+\sum_{i=1}^{9-1} 2^{i-1}}{2}=\frac{a_9}{2}=\frac{256}{2}=128}}</math>

|style="text-align:right;"|הנה על דרך המעשה הראשון יצא מה שבבית הט'<br>

לכן תחלק היוצא בבית הט' שהוא רנ"ו יהיה החצי קכ"ח והוא מה שבבית הח' המבוקש

:<math>\scriptstyle a_{2^n+1}=2^{2^n}=1+\sum_{i=1}^{2^n} 2^{i-1}</math>

:*<math>\scriptstyle a_{11}=2^{11-1}</math>

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>אמ'</span></big> '''ואם תתחלף ההנחה הכה הנשאר בראשון יהיה המבוקש'''

|

|style="text-align:right;"|והמעשה בראשון הוא כפי שאומ': '''הכה הנשאר בראשון יהיה המבוקש'''<br>

:*<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} 2\sdot 2^{i-1}</math>

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>המשל</span></big> שאל שואל כמה המחובר בעשרה בתים עד שיהיה בבית הראשון ב'

|style="text-align:right;"|ואם היה הבית הא' ג'

:*<math>\scriptstyle a_{10}=2\sdot2^{10-1}</math>

|style="text-align:right;"|כאלו שאל: מה בבית העשירי והראשון ב'

|style="text-align:right;"|ואם היה בבית הא' ג'

|

*<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^n a\sdot q^{i-1}=\left(a\sdot q^{n-1}\right)+\frac{a\sdot\left[\left(a\sdot q^{n-1}\right)-a\right]}{\left(a\sdot q\right)-a}</math>

|style="text-align:right;"|'''אמר: ואם היו מספרים על יתרון אחר הכה הקטן שבהם ביתרון הגדול עליו וחלק על היתרון בין הקטן והמספר אשר אצלו והוסף היוצא על הגדול תהיה התשובה'''

|

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a;\; \; 3a;\; \; 9a;\; \; 27a;\; \; 81a}}</math>

|style="text-align:right;"|כלומר שיהיה השני מוסיף על הראשון שלשה פעמים כמוהו והשלישי שלשה פעמים מן השני כמה שהיה בבית הא' ^א' ובשני ג' ובשלישי ט' וברביעי כ"ז ובחמשי פ"א

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a;\; \; 4a;\; \; 16a;\; \; 64a;\; \; 256a}}</math>

|style="text-align:right;"|או יוסיף בד' כמו שהיה בראשון א' <ref>4v</ref>ובשני ד' ובשלישי י"ו וברביעי ס"ד ובחמשי רנ"ו וכן בשאר המספרים

:*<math>\scriptstyle1+3+9+27+81=\sum_{i=1}^5 3^{i-1}</math>

|style="text-align:right;"|והמשל במספרים בתוספת ג' פעמי' א' ג' ט' כ"ז פ"א

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+3+9+27+81=\sum_{i=1}^5 3^{i-1}&\scriptstyle=81+\frac{1\sdot\left(81-1\right)}{3-1}\\&\scriptstyle=81+\frac{1\sdot80}{2}\\&\scriptstyle=81+\frac{80}{2}=81+40=121\\\end{align}}}</math>

:*<math>\scriptstyle1+4+16+64+256=\sum_{i=1}^5 4^{i-1}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+4+16+64+256=\sum_{i=1}^5 4^{i-1}&\scriptstyle=256+\frac{1\sdot255}{4-1}\\&\scriptstyle=256+\frac{255}{3}\\&\scriptstyle=256+85=341\\\end{align}}}</math>

:*<math>\scriptstyle a_1\ne1</math>

:*<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=2\\\scriptstyle q=3\end{cases}\longrightarrow2;\; \; 6;\; \; 18;\; \; 54</math>

|style="text-align:right;"|המשל: היה הראשון ב' ובתוספת ג' יהיה השני ו' והשלישי י"ח והרביעי נ"ד

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2+6+18+54=\sum_{i=1}^4 2\sdot3^{i-1}&\scriptstyle=54+\frac{2\sdot\left(54-2\right)}{6-2}\\&\scriptstyle=54+\frac{2\sdot52}{4}\\&\scriptstyle=54+\frac{104}{4}=54+26=80\\\end{align}}}</math>

:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1\\\scriptstyle a_2=a_1+\frac{1}{2}a_1=1+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_3=a_2+\frac{1}{2}a_2=2+\frac{1}{4}\\\scriptstyle a_4=a_3+\frac{1}{2}a_3=3+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\\\scriptstyle a_4=a_3+\frac{1}{2}a_3=5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\end{cases}}}</math>

|style="text-align:right;"|והמשל בראשון א' ובשני א' וחצי ובג' ב' ורביע וברביעי ג' ורביע ושמינית ובחמשי חמשה וחצי שמינית<br>

כי זה הוא תוספת חצי ר"ל שהשני הוא מוסיף על הראשון חצי הראשון והשלישי חצי השני וכן כלם

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle1+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{4}\right)+\left(3+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)+\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\\&\scriptstyle=\sum_{i=1}^5 1\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)^{i-1}\\&\scriptstyle=\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{1\sdot\left[\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-1\right]}{\left(1+\frac{1}{2}\right)-1}\\&\scriptstyle=\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{1\sdot\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}{\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\left(8+\frac{1}{8}\right)=13+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}</math>

:*<math>\scriptstyle a_1\ne1</math>

|style="text-align:right;"|וכן אם היה בראשון זולת א'

:*<math>\scriptstyle16+24+36+54+81=\sum_{i=1}^5 16\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)^{i-1}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle16+24+36+54+81&\scriptstyle=\sum_{i=1}^5 16\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)^{i-1}\\&\scriptstyle=81+\frac{16\sdot\left(81-16\right)}{24-16}\\&\scriptstyle=81+\frac{16\sdot65}{8}\\&\scriptstyle=81+\frac{1040}{8}\\&\scriptstyle=81+130=211\\\end{align}}}</math>

|style="text-align:right;"|הכה יו' שהוא הקטן בס"ה שמוסיף עליו הגדול יהיה אלף ומ' חלקם על ח' שמוסיף השני על הראשון היוצא בחלוקה ק"ל הוסף אותם על פ"א שהוא הגדול המקובץ רי"א והוא המבוקש

|style="text-align:right;"|אמנם דע כי כל זה שהזכיר המחבר הוא בהיות הראשון והשני והאחרון ידועים

|style="text-align:right;"|והמשל כי כמו שאם תשים על דרך הכפל בבית א' א'<br>

|style="text-align:right;"|וכן אם תשים על דרך יתרון ג' פעמים<br>

בבית הא' א'<br>

|style="text-align:right;"|וכן ביתרון השברים כמו ביתרון החצי,br>

ואם תכה ב' ורביע בעצמם יהיו ה' וחצי שמינית והוא מה שבחמשי<br>

|style="text-align:right;"|הנה אם תרצה לדעת מה בבית ידוע והבית ההוא יהיה זוג הזוג המעשה הוא כמעשה הראשון אשר בבתי הנרדשיר מהכאת המספרים בעצמם וכפילת הבתים אשר הם זוג הזוג וידוע כי זה לך מה שבבית אשר אחר זוג הזוג חלק המספר ההוא אשר יצא על מספר היתרון והיוצא בחלוקה הוא אשר בבית זוג הזוג

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1\\\scriptstyle q=3\end{cases}\longrightarrow a_4=?}}</math>

|style="text-align:right;"|והמשל רצית לדעת מה בבית הד' על דרך יתרון ג' פעמים ובראשון א'

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1\\\scriptstyle a_2=3a_1=3\sdot1=3\\\scriptstyle a_3=\left(a_2\right)^2=3^2=9\\\scriptstyle a_5=\left(a_3\right)^2=9^2=81\end{cases}\longrightarrow a_4=\frac{a_5}{q}=\frac{81}{3}=27}}</math>

|style="text-align:right;"|כפלהו ג' פעמים יהיו ג' בשני תכה השני בעצמו יהיו ט' בבית הג' הכה ט' בעצמם יהיו פ"א בבית החמשי אשר הוא אחר זוג הזוג ובעבור כי היתרון בג' חלק פ"א בג' יצא כ"ז והוא אשר בבית הד'

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_5=a_{4+1}=\left(a_3\right)^2=81}}</math>

|style="text-align:right;"|ואם היה הבית אשר רצית בית אחר זוג הזוג אינך צריך לחלק כלל רק היוצא הוא המבוקש כאלו רצית הבית החמשי הנה יצא לך בהכאה פ"א והוא המבוקש

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_9=a_{8+1}=\left(a_5\right)^2=81^2=6561}}</math>

|style="text-align:right;"|וכן אם תכה פ"א בעצמו יצא לך הבית הט' שהוא בית אחר ח' שהם זוג הזוג והיוצא מהכאה הוא ו' אלפים ת"ק"סא

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_8=\frac{a_9}{q}=\frac{6561}{3}=218{\color{red}{7}}}}</math>

|style="text-align:right;"|ואלו רצית הח' שהוא זוג הזוג חלקת זה על ג' שהוא היתרון היה היוצא בבית הח' ב' אלפים קפ"'''ח''' וכן על דרך זה

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_{17}=a_{16+1}=\left(a_9\right)^2}}</math>

|style="text-align:right;"|וכאלו רצית בית י"ז שהוא אחרי י"ו שהוא זוג הזוג הכה הבית הט' בעצמו

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_{33}=a_{32+1}=\left(a_{17}\right)^2}}</math>

|style="text-align:right;"|ואם תכה הבית <ref>5r</ref>הי"ז יצא לך בית ל"ג שהוא אחר ל"ב שהוא זוג הזוג וכן תמיד

|style="text-align:right;"|וכל זה שהזכרנו עתה הוא בהיות בבית הראשון א'

|style="text-align:right;"|אבל אם היה בבית הא' זולת א' תעשה על הדרך הנזכר עד שתגיע לבית האחרון והכה היוצא במה שבבית הראשון יהיה המבוקש

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=4\\\scriptstyle q=3\end{cases}\longrightarrow a_5=?}}</math>

|style="text-align:right;"|המשל היה בבית הא' ד' על דרך יתרון ג' ורצינו לדעת מה בבית הה'

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_5=4\sdot81=324}}</math>

|style="text-align:right;"|עשינו על דרך הראשון היה היוצא פ"א הכינו אותם בד' שהוא בבית הא' היה היוצא הוא שכ"ד והוא המבוקש [וכן תמיד]

|style="text-align:right;"|והמשל בשברי': היה בראשון ח' על דרך יתרון החצי ורצינו הבית החמישי

|style="text-align:right;"|הנה יצא על דרך הראשון ה' וחצי שמינית הכינו אותם בח' והוא המבוקש וכן בכלם

|style="text-align:right;"|ואחר שתדע הבית האחרון ובאיזה יתרון שיהיה על דרך זאת שהזכרנו ותרצה לדעת המקובץ בבתים כלם עשה על דרך שהזכיר המחבר והיא אשר כבר פרשנוה והיא דרך כללת בכל היתרונות

|style="text-align:right;"|וכבר יתכן ג"כ למצא דרכים אחרים אבל אין לנו עתה לפרש אלה דברי הספר

*<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^n a\sdot q^{i-1}=a_n+\frac{a_1\sdot\left(a_n-a_1\right)}{a_2-a_1}=\left(a\sdot q^{n-1}\right)+\frac{a\sdot\left[\left(a\sdot q^{n-1}\right)-a\right]}{\left(a\sdot q\right)-a}</math>

|style="text-align:right;"|ודע כי גם זאת הדרך נוהגת כמעשה הראשון אשר בבתי הנרדשיר ר"ל כי בדעתך הבית האחרון תכה הראשון ביתרון האחרון עליו ותחלק היוצא על היתרון שבין הקטן והשני לו והיוצא מן החלוקה תוסיפנו על האחרון יהיה המבוקש

|style="text-align:right;"|ובעבור כי תוספת האחרון על הראשון הוא כלו זולת א' כי הראשון א' תסיר מהאחרון א' ואם תכנו בראשון לא יוסיף כלל ואם תחלקנו על יתרון השני היתרון הוא א' ע"כ לא יוסיף ולא יגרע א"כ תחסר מן האחרון א' ותוסיף הנשאר על האחרון עצמו יהיה המבוקש או כפל האחרון וחסר א' יהיה המבוקש

|style="text-align:right;"|והמשל רצינו המקובץ עד הבית הו' והיא בכלל ובה ל"ב הכינו ל"א שהוא תוספת האחרון על הראשון בא' שהוא הראשון היו ל"א חלקנום על תוספת הב' שהוא ב' על הראשון שהוא א' ובתוספת א' יצא נ"ב בחלוק ל"א הוספנום על ל"ב היו ס"ג והוא המקובץ בו' בתים ואלו חסרנו מן הל"ב א' נשארו ל"א הוספנום על ל"ב היו ס"ג או אם כפלנו ל"ב היו ס"ד הוצאנו א' היו ס"ג וידיעת מה שבבית האחרון על דרך בתי הנרדשיר ג"כ תדענו על הדרך שהזכרנו בידעתה בשאר היתרונות א"כ הדרך לכלם אחת היא

 

!style="text-align:right;"|אמר: ואם יהיה יתרון המספרים ידוע זולת הכפל

|-

|<math>\scriptstyle a_n=a_1+\left[d\sdot\left(n-1\right)\right]</math>

|style="text-align:right;"|'''הכה היתרון במספר המספר אלא א' והיוצא הוסף עליו המספר הראשון ומה שיהיה הוא סוף המספרים'''

|style="text-align:right;"|פירוש: דע כי כל היתרונות שזכרנו עד עתה יקראו כפל וזה כי בתי הנרדשיר אתה כופל תמיד המספר שתי פעמים ר"ל תקח שני פעמים כמוהו וביתרון ג' אתה כפלו ג' פעמים וביתרון ד' ארבעה פעמים ובשברים אתה כופל חציו או שלישיתו או רביעתו וכן כלם ע"כ יקראו כלם כפל

|style="text-align:right;"|ויתכן להיות היתרון על דרך אחרת והוא שיהיה היתרון תמיד א' או ב' או ג'

|style="text-align:right;"|ואם יהיה היתרון על דרך א' הוא דרך המספר א' אחרי כן תוסיף א' יהיו ב' תוסיף א' יהיו ג' ד' ה' ו' וכן כלם כי כל מספר יוסיף על כל אשר לפניו אחד הנה היתרון הוא מספר ידוע והוא הא'

|style="text-align:right;"|או על דרך הב' בראשון א' ואחריו ג' אחרי כן ה' אחרי כן ז' א"כ ט' וזה סדר הנפרדי' והתוספת תמיד מספר ידוע והוא ב'

|style="text-align:right;"|ועל דרך ג' א' אחר כן ד' אחר כן ז' אחר כן ח' וזה סדר הנפרדים והתוספת תמיד מספר ידוע והוא ג'

|style="text-align:right;"|וכמו כן אם יתחיל זולת הא' כמו שיהיה בגדר על ה' תוספת א' או ג' או ה' ז' ט' על דרך תוספת ב' או ב' ד' ו' ח' על תוספת ב' ג"כ הנה זהו פי' אמרו יתרון המספרים במספר ידוע זולת הכפל

|style="text-align:right;"|ואמר כי הדרך לדעת המקובץ במספרים אלה הוא שתדע כמה המספרים אשר שאל כפילתם ותגרע ממספרם אחד ותכה הנשאר ביתרון אשר שאל ומה שיצא מן ההכאה תוסיף עליו המספר הראשון והוא יהיה מה שבמספר האחרון הנה זה דרך לדעת הבית האחרון

|style="text-align:right;"|והמשל: שאל שואל כמה המקובץ בעשרה בתים על דרך תוספת הא' ובתחלת הבתים א'

|style="text-align:right;"|הנה המספרים אשר שאל עשרה חסרנו מהם א' נשארו ט' הכינו זה ביתרון שהוא א' [יהיו ט' הוספנום על המספר הראשון שהוא א' יהיו עשרה והוא מה שבבית העשירי<br>

רצינו לדעת המקובץ באלה העשרה בתים אמ' שתקבץ מה שבבי' האחרון והוא עשרה עם הראשון שהוא א'] יהיו י"א הכה אותם בחצי מספר המספרים אשר הם עשרה חצים ה' הכינו י"א בה' ויהיו נ"ה והיא התשובה לשאלה

|style="text-align:right;"|ואם הניח בבית הא' ב' הכינו ט' שהוא מספר המספרים אלא אחד בא' היו ט' הוספנום עליו ב' שהוא הראשון היה בבית האחרון י"א קבצנוהו עם הראשון היו י"ג הכינו זה בה' היו ס"ה והיא התשובה ואם היה הבית זולת זוג הזוג וזולת הבית אשר אחריו תעשה כמשפט הראשון תגיע לבית אשר אחרי זוג הזוג תשמור היוצא והסר בתי זוג הזוג והבתים הנשארים תעשה כן עד שישארו בהכרח בית א' או שנים אם שנים תקח להם מה שבבית השני לפי היתרון ואם אחד לא תקח מאומה כי הוא אחר זוג הזוג והנח המספר האחרון כאשר לפניו השמור והיוצא מן ההכאה תכה אותו בשמור אשר לפניו וכן בכלם והיוצא הוא המבוקש

|style="text-align:right;"|המשל רצינו לדעת מה בבית י"ד על יתרון ג' עשינו כמשפט הראשון הגענו עד הבית הט' שהוא אחר זוג הזוג והיה היוצא בו ו' אלפים ת"קס"א שמרנום הסרנו ח' בתים שהם זוג הזוג נשארו ו' בתים עשינו כמשפט הראשון הגענו עד הבית הה' שהוא אחר זוג הזוג והיה היוצא בו פ"א שמרנום ג"כ והסרנו בתי זוג הזוג שהם ד' נשארו ב' בתים לקחנו להם ג' שבבית השני הכינו הג' האלה בפ"א <ref>5v</ref>השמורים אשר לפניהם היה יוצא מההכאה רמ"ג הכינו רמ"ג בו' אלפי' תק"ס"א השמורים אשר לפניו היה היוצא אלף אלפי' ות"קצ"ד אלף ושכ"ג והוא המבוקש ואלו היו הבתים ט"ו היה היוצא בט' בתים ו' אלפי' ת"קס"א וחסרנו ח' בתים נשארו ז' יצאו בה' בתים פ"א והסרנו ד' בתים נשארו ג' בתים היוצא בהם ט' ואם נסיר ב' שהוא זוג ישאר אחד וכבר אמרנו שהאחד לא יוקח לו כלום אם כן נכה הט' בפ"א והיוצא נכה אותו בו' אלפים ת"קס"א והיוצא הוא המבוקש ואלו היו הבתים י"ו היוצאים ט' נסיר ח' ישארו ח' יצאו ח' נסיר ד' וישארו ד' יצאו ג' נסיר ב' וישארו ב' נקח להם מה שבבית השני נכה ג' בט' והיוצא בפ"א והיוצא בו' אלפים ת"קס"א יהיה המבוקש והוא י"ד אלפי' אלפים ורמ"ח אלף ותת"קס"ו והקש על זה ובעבור כי י"ו הם זוג הזוג אלו רצית בתחלה היה המגיע עד י"ז בתים שהם אחר זוג הזוג וחלקת היוצא בג' שהוא היתרון היה ג"כ זה המבוקש ועל דרך זה בכל היתרונות השלמים והנכון שתעשה תמיד על דרך זה ואפי' בזוג הזוג כדי שיהיה לכל דרך אחת ולא תצטרך לחלק על היתרון כי היתרונות יתחלפו ואמנם כאשר יהיה הבית אחר זוג הזוג אין צריך כי אם המעשה הראשון והיוצא הוא המבוקש ואם יהיה היתרון בשברים תעשה על הדרך הזו בעצמה אם היה הבית האחד זוג הזוג או זולתה עשה על זאת הנזכרת למעלה

|style="text-align:right;"|המשל היה התוספת בחצי ורצית לדעת מה שבבית הה' שהוא אחר זוג הזוג שמנו בבית הא' א' ובשני א' וחצי הכינו הא' וחצי בעצמו היה ב' ורביע והוא בבית השלישי הכינו ב' ורביע בעצמם היה היוצא ה' וחצי שמינית והוא מה שבבית החמשי המבוקש ואם תכה זה בעצמו יצא מה שבבית הט' שהוא אחר זוג הזוג ואלו רצית הבית הד' היינו מגיעים עד השלישי ויצא בו ב' ורביע שמרנו' הסרנו ב' בתים שהם זוג נשארו שני בתים לקחנו להם מה שבבית השני שהוא א' וחצי הכינו אותם בשמור שהם ב' ורביע יהיה היוצא ג' ורביע וחצי רביע והוא המבוקש ואלו רצינו הבית הששי הוצאנו החמשי והוא ה' וחצי שמינית שמרנום והסרנו ד' בתים שהם זוג הזוג נשארו ב' בתים לקחנו להם מה שבבית השני שהוא אחד וחצי הכינו אותם בה' וחצי שמינית ה[י]וצא ז' וחצי וג' רבעי שמינית וכן בכולם וכן אם היה התוספת ב' ע"י מספרים ובתחלה א' עוד ג' עוד ה' עוד ז' וכן עד עשרה כמה המקובץ? הכינו היתרון שהוא שנים במספר המספרים אלה אחד וזה ט' היה היוצא מההכאה י"ח הוספנו עליהם המספ'

|style="text-align:right;"|הראשון והוא א' היו י"ט והוא מה שבבית האחרון זה עם הראשון והוא א' היו כ' הכינו עשרים בחצי המספרים והוא היה היוצא מאה והוא המבוקש ואם היה ד' בראשו' על דרך תוספת ב' ובשני ו' עוד ח' עוד י' וכן עד עשרים הכינו היתרון שהוא ב' בי"ט שהוא מספר המספרים אלה אחד היה היוצא ל"ח הוספנו עליה הראשון והוא ד' היו מ"ב והוא מה שבבית האחרון קבצנו עם הראשון שהוא ד' היו מ"ו הכינו אותם בחצי המספרים שהם עשרה עלה ת"ס והוא המבוקש וכן בכל הדומה לזה

|style="text-align:right;"|'''אמר: ואמנם הקבוץ על סדר המספרי' הוא שתכה החצי המספר האחרון במספר האחרון ואחד ומרובעם בהכאת שני שלישי האחרון ותוספת שליש א' במקובץ ומעוקבם ברבוע המקובץ'''

|style="text-align:right;"|פירוש: דע כי המרובע יקרא הכאת מספר בעצמו כמו שנים בשנים היוצא ד' יאמר ארבעה כי מרובע השנים וכן ג' בג' ט' הנה ט' מרובע ג' וכן כל הדומה לזה והמספר אשר תכהו בעצמו ויבא ממנו המרובע יקרא שרש או גדר או עקר כלומר ב' מד' וג' מט' וד' מי"ו וכן כלם והמעוקב הוא הכאת השרש במרובעו

|style="text-align:right;"|המשל ב' שהוא שרש ד' כשתכה ב' בד' יהיו ח' הנה שמנה הוא מעוקב שנים וכן אם תכה ג' שהוא שרש ט' בט' יהיו כ"ז ואמר כי כ"ז מעוקב ג' וכן כל הדומה לזה ומנהג בעלי המספר כמה המקובץ על סדר המספר מאחד עד מספר ידוע? כלומר על סדר א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' עד עשרה או עשרים או יותר או פחות וכן מנהגם לשאול כמה המקובץ ממרובעי המספרים על סדר המספר מא' עד כך? כלומר מרובע א' שהוא א' ומרובע ב'

שהוא ד' ומרובע ג' שהוא ט' וכן על סדר המספר כמה המקובץ ממרובעיהם וכן ממעוקביהם? הנה אלה ג' שאלות עוד ישאלו כמה המקובץ מא' עד כך על סדר הנפרדים וכן כמה המקובץ ממרובע הנפרדים כלומר א' וג' וה' וז' עד מקום שירצה לדעת הנפרדים על סדר וכן כמה המקובץ ממרובע הנפרדים על סדר וכן מעוקביהם ואלו גם כן ג' שאלות עוד ישאלו גם כן כמה המקובץ מב' עד כך על סדר הזוגות כלומר ב' וד' וו' וח' עד מקום שירצה מהזוגות על סדר וכן כמה המקובץ ממרובעיהם ומעוקביהם וזה גם כן ג' שאלות הכל ט' שאלות והתחיל המחבר לתת דרך להוציא הג' שאלות הראשונות

|style="text-align:right;"|ואמר כי הקבוץ על סדר המספרים הוא שתקח המספר האחרון אשר עדיו תגיע השאלה ותכה חציו בכלו ואחד יהיה המבוקש

|style="text-align:right;"|המשל: כמה המקובץ מאחד עד ו' על סדר המספרים

|style="text-align:right;"|תקח חצי הששה שהם ג' תכה אותם בו' ואחד <ref>6r</ref>שהם ז' יהיו כ"א והוא המבוקש וכן תמיד כאלו אמר: עד עשרה תכה עשרה ואחד שהם י"א בה' שהם חצי עשרה יהיו נ"ה והוא המבוקש

|style="text-align:right;"|אחר כן '''אמר: ומרובעם בהכאת ב' שלישי האחרון ותוספת שליש אחד במקובץ'''

|style="text-align:right;"|פי': זו היא השאלה השנית אם כמה המקובץ המרובעים מא' עד י' על סדר המספר? תוציא בתחלה כמה המקובץ על סדר הראשון יצא לך נ"ה והוא הנקרא המקובץ ותקח ב' שלישי האחרון שהוא עשרה יהיו ו' וב' שלישים תוסיף שליש אחד יהיו הכל ז' הכה אותם במקובץ שהוא נ"ה יהיה היוצא שפ"ה והוא המבוקש והוא יקרא המקובץ באמרו תוספת שליש א' במקובץ המקובץ על הדרך הראשון

|style="text-align:right;"|א"כ אמר: ומעוקבם ברבוע המקובץ זו השאלה השלישית אם אמר: כמה מקובץ המעוקבים מא' עד עשרה על דרך סדר המספר הוצא בתחלה המקובץ על דרך הראשון ורבע אותו ר"ל אותו בנפשו יהיה המבוקש

|style="text-align:right;"|המשל המקובץ הוא נ"ה הכה אותו בעצמו יהיה ג' אלפי' כ"ה והוא המקובץ ממעוקבי עשרה וכן כל הדומה לזה

|

|style="text-align:right;"|'''אמר: ואמנם הקבוץ על סדר הנפרדים הוא שתרבע חצי האחרון המחובר עם האחד'''

|style="text-align:right;"|פירוש: התחיל לעשות ולתת דרך בשלש שאלות השניות והוא הקבוץ על דרך הנפרדים אשר מא' עד עשרה והוא א"ג ה"ז ט' ואמר כי המעשה בזה שתרבע ר"ל שתכה בעצמו חצי האחרון שהוא ט' אחר שיהיה האחרון הזה מחובר עם האחד והנה תחבר ט' עם א' יהיו י' וחציים ה' תרבעם תרבע ה' יהיו כ"ה והוא המבוקש ואם אמר מא' עד עשרים והם א"ג ה"ז ט' י"א י"ג ט"ו י"ז י"ט תחבר י"ט עם א' יהיו עשרים וחציים עשרה תרבעם יהיו ק' והוא המבוקש והקש על זה

*Sum of squares of odd numbers

|style="text-align:right;"|'''אמר: ורבועם בהכאת שתות האחרון בשטח שני המספרים הנלוים אליו ואחריו'''

|style="text-align:right;"|פי': זאת היא השאלה השנית כשישאל שואל כמה המקובץ ממרובע הנפרדים מא' עד עשרה ופי': השטח הוא הכאת מספר במספר שאינו כמוהו כמו ששה בשבעה או בשמנה או זולתו כי המרובע כמו שאמרנו הוא הכאת מספר במספר דומה לו ושאר ההכאות נקראות שטח או מרובע ארוך ואמרו כי שני מספרים הנלוים אליו אחריו ר"ל על דרך סדר המספר והמעשה בזה אם שאל כמה המקובץ ממרובעי הנפרדים מא' עד עשרה והם מרובעי א"ג ה"ז ט' תקח שתות ט' שהוא האחרון והוא אחד וחצי ותשמרם ואחר כן תעשה שטח מי' וי"א הנלוים לט' תכה א' וחצי שהוא שתות הט' באלה הק"י שהם שטח י' וי"א יהיה היוצא מן ההכאה ק"סה והוא המבוקש

*Sum of cubes of odd numbers

|style="text-align:right;"|'''אמר: ומעוקבם בהכאת המקובץ בכפלו זולת א''''

|style="text-align:right;"|פירוש: זאת היא השאלה השלישית כשישאל שואל כמה המקובץ ממעוקבים הנפרדים מא' עד עשרה ואמרו המקובץ בשאלה הראשונה בקבוץ על סדר הנפרדים והמעשה כשתקח המקובץ על סדר הנפרדים מא' עד עשרה אמרנו שהוא כ"ה כי הנפרדים א"ג ה"ז ט' ותכפלם יהיו נ' תוציא אחד יהיו מ"ט תכה כ"ה שהוא המקובץ במ"ט שהם כפלם זולת א' יהיה היוצא מן ההכאה אלף רכ"ה והוא המבוקש והקש על זה

*Sum of even numbers

|style="text-align:right;"|'''אמר: ואמנם הקבוץ על סדר הזוגות הוא כשתוסיף על האחרון תמיד שנים ותכה חצי המתקבץ מזה בחצי האחרון'''