Difference between revisions of "ספר מעשה חושב"

Latest revision as of 17:25, 3 July 2023

	ספר מעשה חושב
	להחכם הפילוסוף האלקי ר‫'
	לוי בר גרשום
Prologue
Levi ben Gershom said:	‫^[1]אמר לוי בן גרשום
Since the complete perfection in a practical craft consists on knowing, in addition to the way of executing each craft, why it is done in this way, and since the practical part of arithmetic is one of the practical crafts, it is clear that we should investigate its reasons.	בעבור שההשגה השלמה בעשיית המלאכה היא שנדע במלאכה מלאכה עם ידיעת אופן המעשה בה למה נעשה אותה בזה האופן והיה החלק המעשי ממלאכת המספר אחת מהמלאכות המעשיות [הוא מבואר]‫^[2] שראוי שנחקר בה בסבותיה
Another reason compels us to investigate the reasons of this science: It is clear that this science encompasses many types of operations and that each type deals with most varied materials, so that one could think that they do not belong to one type of operation.	ועוד סבה אחרת תחייב [לחקור בזאת המל]אכה‫^[3] בנתינת הסבות וזה שהוא מבואר שזאת המלאכה מ[קפת במינים רבים מאד]‫^[4] וכל מין ומין ממנה מקיף בחמרים רבים מתחלפים [התחלפות רב יביא]‫^[5] לחשוב שאינם תחת מין אחד
Hence, it is clear that the perfection in this science can be complete without knowing the the reasons only with the greatest difficulty.	ובהיות הענין כן הוא מבואר שלא תשלם ההשגה בזאת המלאכה בזולת ידיעת הסבות כי אם בקושי גדול
But with the knowledge of the reasons it can be complete easily, for whoever knows the reasons knows with one knowledge the property of the operation in many ways, the execution of which has one and the same reason, while whoever does not know the reasons needs to have a most varied of knowledge in one and the same knowledge, depending on the diversity of the materials.	ואולם עם ידיעת הסבות אפשר שתשלם בקלות והיה זה כן לפי שמי שידע הסבות ידע בידיעה אחת תכונת המעשה במינים רבים אשר תקיף במלאכותיהם סבה אחת בעינה ומי שיסכל הסבות יצטרך בידיעת מלאכה אחת בעינה לידיעות רבות לפי השתנות החמרים
Accordingly, we have considered it right to give a brief exposition of the properties of numbers and their reasons in this work.	וכאשר היה זה כן ראינו בזה הספר להודיע דרכי המספרים בסבותיהם לפי קצורנו
We have divided this book, according to this investigation, into two sections:	וחלקנו זה הספר לפי זאת החקירה לשני מאמרים
The first section contains the fundamentals that apply to what we want to explain about this science.	המאמר הראשון יקיף על השרשים אשר נתן למה שנרצה לבארו מזאת המלאכה
The second section deals with the methods of the science for each type of arithmetic operation and giving the reasons.	המאמר השני יקיף על דרכי המלאכה במין מין ממיני המספר ונתינת הסבות
Since this work discusses comprehensively both the practice [= maʽase] and the speculation [= ḥoshev], we called it Maʽase Ḥoshev [meaning: the practice of an arithmetician, as a pun on a biblical phrase – "the work of a skilful workman" (Exodus 26, 1; 31; and more)]	ולפי שהיה זה הספר^[6] מקיף על המעשה והעיון קראנוהו מעשה חושב
Yet, before learning the teaching of the book, he who studies it should precede the study of the 7th, 8th and 9th books of Euclid, for it is not our intention to repeat his words in this book, we will rather set them at the level of principles, since they are already explained there with proofs.	ואולם מדרגת הלמוד הנעשה בזה הספר הנה ראוי שיקדם העיון למעין‫^[7] בו במאמר השביעי והשמיני והתשיעי מאקלידס כי לא היה רצוננו להשיב בזה הספר דבריו‫^[8] אבל נניחם במדרגת השרשים אחר שכבר התבארו שם במופת
Introduction to Section One – basic definitions	פתיחת המאמר הראשון
Product of numbers $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\prod_{i=1}^n a_i}}$ The number that is composed of several numbers [is formed] when the first is multiplied by the second, the result by the third, and so on.	המספר המורכב ממספרים מה הוא כשהוכה הראשון בשני והעולה על השלישי וכן עד כלותם
Number of the terms in a sequence The number of the given numbers and parts is the number of given numbers and parts contained therein.	מספר המספרים והחלקים המונחים הוא מספר מה שבהם ממספרים או מהחלקים ‫^[9]מונחים
The ratio that is formed from given numbers to given numbers is the ratio that is formed from the ratio of the first of the anteriors to the first of the posteriors, and from the ratio of the second of the anteriors to the second of the posteriors, and so on.	ויחס המחובר ממספרים מה מונחים אל מספרים [מה מונחים]‫^[10] הוא יחס המחובר מיחס הראשון מהקודמים אל הראשון מהנמשכים [ומיחס]‫^[11] השני מהקודמים אל השני מהנמשכים וכן עד כלותם
The sequence of the natural numbers The successive numbers starting from one are: one, two, three, and so on.	המספרים הנמשכים מתחילים מן האחד הם אחד ושנים ושלשה וכן מה שהגיע ההמשך
Preceding number in the sequence: (n-1) for n The number preceding the number is the number that is smaller than that number by one.	המספר הנמשך למספר מה לפניו הוא מה שיחסר מהמספר ההוא אחד
Consecutive number in the sequence: (n+1) for n The number succeeding the number is the number that exceeds over that number by one.	המספר הנמשך למספר מה לאחריו הוא מה שיוסיף על המספר ההוא אחד
Sum of natural numbers: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n i=1+2+3+\ldots+n}}$ The sum of the successive natural numbers starting from one is [formed] when one is summed with two and with three and so on successively.	נקבץ הנמשכים בדרך המספר מתחילים מן האחד הוא כשחובר אחד עם שנים ועם שלשה וכן מה שהגיע
Sum of odd numbers: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=1+3+5+\ldots+\left(2n-1\right)}}$ The sum of the successive odd numbers starting from one is [formed] when one is summed with three and with five and so on successively.	נקבץ הנפרדים הנמשכים בדרך המספר מתחילין מן האחד הוא כשחובר אחד עם שלשה ועם חמשה וכן מה שהגיע
Sum of even numbers: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n 2i=2+4+6+\ldots+2n}}$ The sum of the successive even numbers is [formed] when two, which is the first even, is summed with four and with six and so on successively.	נקבץ הזוגות הנמשכים בדרך המספר הוא כשחובר שנים שהוא הזוג הראשון עם ארבעה ועם ששה וכן מה שהגיע
Arithmetic series the successive numbers that are not the series of the natural numbers are when the second exceeds over the first by the measure that the third exceeds over the second and so on.	המספרים הנמשכים בזולת דרך המספר הוא שיהיה השני מוסיף על הראשון בשיעור מה שיוסיף השליש[י] על השני וכן מה שהגיע
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n=\left(1+2+3+\ldots+n\right)+\left(2+3+\ldots+n\right)+\ldots+\left[\left(n-1\right)+n\right]+n}}$
The sum of the sums of the successive natural numbers, whose beginnings are sequential starting from one, are the sums whose end is the same and the first of which begins with one, the second with two, and so on, their beginnings are always successive.	והמשך חבור נקבצי הנמשכים בדרך המספר נמשכים בראשיהם ומתחילים מן האחד הם נקבצי הנמשכים‫^[12] אשר תכליתם אחת והראשון מהנקבצים מתחיל מן האחד והשני משנים וכן לא יסורו נמשכים בראשיתם עד התכלית
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i=1+\left(1+2\right)+\left(1+2+3\right)+\ldots+\left(1+2+3+\ldots+n\right)}}$
The sum of the sums of the successive natural numbers, whose ends are sequential starting from one, are the sums that start with one, the first of which is one, the second is one plus two, the third is one plus two plus three and so on, their ends are always successive.	חבור נקבצי הנמשכים בדרך המספר נמשכים בתכליתם ומתחילים מן האחד הם נקבצי הנמשכים אשר כל אחד מהם מתחיל מן האחד‫^[13] והאחד מהם הוא אחד לבד והשני נקבץ אחד ושנים והשלישי נקבץ אחד ושנים ושלשה וכן לא יסורו נמשכים באחרית עד התכלית וכן מה שהגיע
Arithmetic mean The number is mean between a given number and one, if the given number exceeds over it by as much as it exceeds over one.	המספר יהיה אמצעי בין מספר מונח ובין האחד אם היה המספר המונח מוסיף עליו בשעור מה שהוא מוסיף על האחד
The given number is called the extreme of this mean number.	והמספר המונח קרא הקצווי לזה המספר האמצעי
The types of numbers are the even and the odd	מיני המספר הם הזוג והנפרד
The fraction whose denominator is greater is smaller.	החלק היותר גדול המספר אשר הוא נקרא בו הוא יותר קטן
Example: half is greater than fifth and the denominator of half is two, which is smaller than five that is the denominator of fifth.	והמשל שחצי הוא יותר גדול מחומש והמספר אשר נקרא בו חצי הוא שנים והוא קטן מחמשה אשר נקרא בו חומש
We can see this by a proof: let A be any number, let its fractions be B and G, and let B be greater than G.	וכבר אפשר שנראה זה במופת בשנניח מספר מה והוא א' ויהיו החלקים ממנו מספר ב' ומספר ג' ויהיה מספר ב' יותר גדול ממספר ג‫'
Let D be the denominator of the fraction of A that is called B. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{A}{D}=B}}$	ויהיה מספר ד' המספר ‫^[14][הקורא לחלק]‫^[15] הנקרא בב' ממספר א‫'
Let H be the denominator of the fraction of A that is called G. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{A}{H}=G}}$	ויהיה מספר ה' המספר הקורא לחלק הנקרא [בג' מ]מספר‫^[16] א‫'
Supposition: I say that number D is smaller than number H.	ואומר שמספר ד' יותר קטן ממספר ה‫'
Proof: Since number D is the denominator of the fraction of A that is called B, [the product of] D multiplied by B is A. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{A}{D}=B\longrightarrow D\times B=A}}$	המופת כי מפני שמספר ד' הוא המספר הקורא לחלק הנקרא בב' ממספר א' הנה ד' יוכה בב' ויהיה א‫'
Likewise it is clear that [the product of] number G multiplied by H is A. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{A}{H}=G\longrightarrow}}{\color{blue}{G\times H=A}}$	וכזה יתבאר שמספר ג' יוכה בה' ויהיה א‫'
So, [the product of] B by D is the same as [the product of] G by H. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times D=G\times H}}$	ואם כן ב' בד' כמו ג' בה‫'
Therefore, their factors are in the same ratio: [the ratio of] B to G is as the ratio of H to D. $\scriptstyle{\color{blue}{B:G=H:D}}$	הנה אם כן צלעותיהם מספיקות יחס ב' אל ג' כיחס ה' אל ד‫'
But, number B is greater than number G, so number H is greater than number D. $\scriptstyle{\color{blue}{B>G\longrightarrow H>D}}$	אבל ממספר ב' יותר גדול ממספר ג' אם כן מספר ה' יותר גדול‫^[17] ממספר ד‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
The fraction or the sum of fractions is greater than [another] fraction or a sum of fractions, if this fraction or sum of fractions, when taken from any number, are greater than the other fraction or the sum of the other fractions, when taken from that same number.	החלק או נקבץ החלקים יהיה גדול מחלק או מנקבץ החלקים אם יהיה החלק ההוא או נקבץ החלקים ההם ממספר מה יותר גדול מהחלק האחר או נקבץ החלקים האחר הלקוח מהמספר ההוא בעינו
The division is applied to one from the aspect of an item, which is a different aspect from the investigation of one as an abstract number; however, this book is comprehensive concerning both matters, so we should not mind if one is divided in some of the proofs in Section One.	יקרה לאחד החלוקה מצד הנושא והוא צד אחר מהעיון באחד מספר המופשט מנושא אבל זה הספר מקיף בשני הענינים יחד ולזה לא נחוש אם יחלק האחד בקצת תמונות המאמר הראשון
Section One	המאמר הראשון
It encompasses the foundations given for this craft.	והוא מקיף על השרשים אשר נתן בזאת המלאכה
Theorems in Euclidean style
1) The product resulting from the multiplication of two numbers one by the other is counted by each number as the number of units of the other number.	א השטח ההוה מהכאת שני מספרים האחד באחד ימנהו כל מספר מהם במנין אחדי המספר השני‫^[18]
2) Euclid, Elements, Book II, proposition 1: When there are two given numbers and one of them is divided into parts, as many as they may be, the product of the first number by the second is equal to the [sum of] the products of each of the parts of the first number by the second. $\scriptstyle a\sdot\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)=\sum_{i=1}^n \left(a\sdot b_i\right)$	ב כאשר היו שני מספרים מונחים וחולק המספר האחד לחלקים כמה שיהיו הנה שטח המספר האחד בשני שוה לשטחי כל אחד מחלקי המספר האחד בשני מקובצים
Let the given numbers be AB and G	ויהיו המספרים המונחים מספר א"ב ג‫'
Let number AB be divided into parts AH, HD, DB $\scriptstyle{\color{blue}{AB=AH+HD+DB}}$	וחולק מספר א"ב לחלקים א"ה ה"ד ד"ב
Supposition: I say that the product of AB by G equals the sum of the product of AH by G, the product of HD by G, and the product of DB by G $\scriptstyle{\color{blue}{AB\times G=\left(AH\times G\right)+\left(HD\times G\right)+\left(DB\times G\right)}}$	ואומר ש שטח א"ב בג' שוה לשטח א"ה בג' ולשטח ה"ד בג' ולשטח ד"ב‫^[19] בג' מקובצים
The proof: G counts the product of AH by G by the number of units in AH. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AH\times G\right)\div G=AH}}$	המופת ששטח א"ה בג' ימנהו ג' במנין מה שבא"ה מן האחדים
G counts the product of HD by G by the number of units in HD. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(HD\times G\right)\div G=HD}}$	ושטח ה"ד בג' ימנהו ג' במנין מה שבה"ד מן האחדים
G counts the product of DB by G by the number of units in DB. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(DB\times G\right)\div G=DB}}$	ושטח ד"ב בג'^[20] ימנהו ג' במנין מה שבד"ב מן האחדים
Therefore, G counts the sum of these products by the number of units in AH, HD, DB.	הנה אם כן אלו השטחים מקובצים ימנם ג' במנין מה שבא"ה ה"ד ד"ב מן האחדים
But, the number of units in AH, HD, DB is the number of units in AB.	אבל מנין מה שבא"ה ה"ד ד"ב מן האחדים הוא מנין מה שבא"ב מן האחדים‫^[21]
Therefore, G counts the sum of these products by the number of units in AB. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(AH\times G\right)+\left(HD\times G\right)+\left(DB\times G\right)\right]\div G=AB}}$	אם כן אלו השטחים כלם ימנם ג' במנין מה שבא"ב מן האחדים
G counts the product of AB by G by the number of units in AB. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AB\times G\right)\div G=AB}}$	אבל שטח א"ב בג' ימנהו ג' במנין מה שבא"ב מן האחדים
The product of AB by G equals the sum of these products. $\scriptstyle{\color{blue}{AB\times G=\left(AH\times G\right)+\left(HD\times G\right)+\left(DB\times G\right)}}$	אם כן שטח א"ב בג' שוה לאלו השטחים מקובצים
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
3) When two numbers are given and each is divided into parts, as many as they may be, the product of the one number by the other is equal to the sum of the products of the parts of one number by each part of the other number. $\scriptstyle \left(\sum_{i=1}^m a_i\right)\sdot\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n\left(a_i\sdot b_j\right)$	ג כאשר היו שני מספרים מונחים וחולק כל אחד מהם לחלקים כמה שיהיו הנה שטח המספר האחד באחר שוה לשטח ‫^[22]חלקי המספר האחד בכל אחד מחלקי המספר האחר
Let the given numbers be AB and GD.	ויהיו המספרים המונחים מספרי א"ב ג"ד
Let number AB be divided into parts AH, HB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=AH+HB}}$	וחולק מספר א"ב לחלקים א"ה ה"ב
Let number GD be divided into parts GZ, ZC, CD. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=GZ+ZC+CD}}$	וחולק מספר ג"ד לחלקים ג"ז ז"ח ח"ד
Supposition: I say that [the sum of] the products of AH by each of the numbers GZ, ZC, CD, plus the products of HB by each of the numbers GZ, ZC, CD is equal to the product of AB by GD.	ואומר ששטחי א"ה בכל אחד ממספרי ג"ז ז"ח ח"ד עם שטחי ה"ב בכל אחד ממספרי ג"ז ז"ח ח"ד שוים לשטח א"ב בג"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[AH\times\left(GZ+ZC+CD\right)\right]+\left[HB\times\left(GZ+ZC+CD\right)\right]=AB\times GD}}$
The proof: The [sum of the] products of AH by the parts GZ, ZC, CD equals the product of the product of AH by GD. $\scriptstyle{\color{blue}{AH\times\left(GZ+ZC+CD\right)=AH\times GD}}$	המופת ששטחי א"ה בחלקי ג"ז ז"ח ח"ד שוים לשטח א"ה בג"ד
Similarly, it is clear that the [sum of the] products of HB by the parts GZ, ZC, CD equals the product of the product of HB by GD. $\scriptstyle{\color{blue}{HB\times\left(GZ+ZC+CD\right)=HB\times GD}}$	וכזה‫^[23] התבאר ששטחי ה"ב בחלקי ג"ז ז"ח ח"ד שוים לשטח ה"ב בג"ד‫^[24]
But, [the sum of] the products of AH by GD and HB by GD equals the product of AB by GD. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AH\times GD\right)+\left(HB\times GD\right)=AB\times GD}}$	ואולם שטחי א"ה בג"ד וה"ב בג"ד שוים לשטח א"ב בג"ד
Therefore, [The sum of] the products of the parts of AB by each part of the number GD is equal to the product of AB by GD.	אם כן שטחי חלקי מספר א"ב בכל אחד מחלקי מספר ג"ד שוים לשטח א"ב בג"ד
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
4) Euclid, Elements, Book II, proposition 3: When a number is divided into two parts, the product of the whole number by one of its parts is equal to the product of the one part by the other plus the square of the mentioned part. $\scriptstyle \left(a+b\right)\sdot b=\left(a\sdot b\right)+b^2$	ד כאשר חולק מספר מה בשני חלקים הנה שטח כל המספר באחד מחלקיו שוה לשטח החלק האחד באחר ולמרובע החלק אשר זכרנו
Let AB be divided into two parts AG and GB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=AG+GB}}$	ויתחלק מספר א"ב בשני חלקים ויהיו חלקים א"ג ג"ב
Supposition: I say that the product of AB by GB is equal to the product of AG by GB plus the square of BG. $\scriptstyle{\color{blue}{AB\times GB=\left(AG\times GB\right)+BG^2}}$	ואומר ששטח א"ב בג"ב שוה לשטח א"ג בג"ב ולמרובע ב"ג
Proof: The [sum of the] product of AG by GB with the product of GB by GB, which is the square of GB, equals the product of AB by GB.	המופת ששטח א"ג בג"ב עם שטח ג"ב בג"ב שהוא מרובע ג"ב שוה לשטח א"ב בג"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG\times GB\right)+\left(GB\times GB\right)=\left(AG\times GB\right)+GB^2=AB\times GB}}$
Therefore, the product of AB by GB equals the [sum of the] product of AG by GB plus the square of GB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB\times GB=\left(AG\times GB\right)+GB^2}}$	אם כן שטח א"ב בג"ב שוה לשטח א"ג בג"ב ולמרובע ג"ב
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
5) Euclid, Elements, Book II, proposition 6: When a number is divided into two halves and a number is added to it, [the sum of] the product of the additional [number] by the whole number plus the additional [number] and the square of half the number is equal to the square of half the number and the additional [number] summed together. $\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2$	ה כאשר חולק מספר מה לחציין והוסף עליו מספר מה הנה שטח התוספת במספר כלו עם התוספת עם מרובע חצי המספר שוה למרובע חצי המספר והתוספת מקובצים
Let the number AB be divided into halves and let its parts be AG and GB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=AG+GB\quad AG=GB=\frac{1}{2}\sdot AB}}$	ויחולק מספר א"ב לחציין ויהיו חלקיו א"ב ג"ב
Let the number BD be added to it.	והוסף עליו מספר ב"ד
Supposition: I say that [the sum of] the product of AD by DB with the square of GB equals the square of GD. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AD\times DB\right)+GB^2=GD^2}}$	ואומר ששטח א"ד בד"ב עם מרובע ג"ב שוה למרובע ג"ד
Proof: The product of AD by BD equals [the sum of] the product of GD by BD and the product of AG by BD, which equals the product of BG by BD.	המופת ששטח א"ד בב"ד שוה לשטח ג"ד בב"ד ולשטח א"ג בב"ד שהוא שוה לשטח ב"ג בב"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{AD\times BD=\left(GD\times BD\right)+\left(AG\times BD\right)=\left(GD\times BD\right)+\left(BG\times BD\right)}}$
When the square of GB is added to it, the sum equals the product of GD by BD, the product of BG by BD, and the square of GB.	וכאשר חובר עמו מרובע ג"ב היה המקובץ שוה לשטח ג"ד בב"ד ולשטח ב"ג בב"ד ולמרובע ג"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(AD\times DB\right)+GB^2=\left(GD\times DB\right)+\left(BG\times DB\right)+GB^2}}$
Also, the product of GD by GD equals [the sum of] the product of GD by BD and the product of GD by GB. $\scriptstyle{\color{blue}{GD\times GD=\left(GD\times BD\right)+\left(GD\times GB\right)}}$	וגם כן הנה שטח ג"ד בג"ד שוה לשטח ג"ד בב"ד ולשטח ג"ד בג"ב
But, the product of GD by GB equals [the sum of] the product of GB by BD and the square of BG. $\scriptstyle{\color{blue}{GD\times GB=\left(GB\times BD\right)+BG^2}}$	אבל שטח ג"ד בג"ב שוה לשטח ג"ב בב"ד ולמרובע ב"ג
Therefore, the square of GD equals [the sum of] the product of GD by BD, the product of GB by BD, and the square of BG, which is equal, according to what we have explained, to [the sum of] the product of AD by BD and the square of GB.	אם כן מרובע ג"ד שוה לשטח ג"ד בב"ד ולשטח ג"ב בב"ד ולמרובע ב"ג וזה שוה לפי מה שבארנו לשטח א"ד‫^[25] בב"ד ‫^[26]ולמרובע ג"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{GD^2=\left(GD\times BD\right)+\left(GB\times BD\right)+BG^2=\left(AD\times BD\right)+BG^2}}$
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
6) Euclid, Elements, Book II, proposition 4: When a number is added to a number, the square of the two numbers that are summed together is equal to [the sum of] the squares of these numbers and twice the product of the one by the other. $\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]$	ו כאשר נוסף על מספר מונח מספר מה הנה מרובע שני המספרים מחוברים שוה למרובעי המספרים ההם ולכפל שטח זה בזה
Let the number be AB and number BG is added to it.	ויהיה המספר מספר א"ב ונוסף עליו מספר ב"ג
Supposition: I say that the square of AG equals [the sum of] the squares of AB and BG plus double the product of AB by BG. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=AB^2+BG^2+\left[2\sdot\left(AB\times BG\right)\right]}}$	הנה אומר שמרובע א"ג שוה למרובעי א"ב וב"ג ולכפל שטח א"ב בב"ג
Proof: The product of AG by AG equals [the sum of] the product of AB by AG and the product of BG by AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times AG=\left(AB\times AG\right)+\left(BG\times AG\right)}}$	המופת ששטח א"ג בא"ג שוה לשטח א"ב בא"ג ולשטח ב"ג בא"ג
But, the product of BG by AG equals [the sum of] the product of AB by BG and the square of BG. $\scriptstyle{\color{blue}{BG\times AG=\left(AB\times BG\right)+BG^2}}$	ואולם שטח ב"ג בא"ג שוה לשטח א"ב בב"ג ולמרובע ב"ג‫^[27]
The product of BA by AG equals [the sum of] the product of AB by BG and the square of AB. $\scriptstyle{\color{blue}{BA\times AG=\left(AB\times BG\right)+AB^2}}$	ואולם שטח ב"א בא"ג שוה לשטח א"ב בב"ג ולמרובע א"ב‫^[28]
Therefore, the square of AG equals [the sum of] the squares of AB and BG plus double the product of AB by BG. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=AB^2+BG^2+\left[2\sdot\left(AB\times BG\right)\right]}}$	יהיה אם כן מרובע א"ג שוה לשני מרובעי א"ב ב"ג ולכפל שטח א"ב בב"ג
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
7) When any number is added to any number, the square of the sum of the two numbers is equal to the product of the sum of the numbers by one of them, with the product of them by each other and the square of the other number. $\scriptstyle\left(a+b\right)^2=\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left(a\sdot b\right)+b^2$	ז כאשר נוסף על מספר מה מספר מה הנה מרובע שני המספרים מחוברים שוה לשטח שני המספרים מחוברים באחד מהם ולשטח זה בזה ולמרובע החלק הנשאר
Let the number be AB and the number BG is added to it.	ויהיה המספר מספר א"ב ונוסף עליו מספר ב"ג
Supposition: I say that the square of AG equals [the sum of] the product of AG by AB, the product of AB by BG and the square of BG. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=\left(AG\times AB\right)+\left(AB\times BG\right)+BG^2}}$	ואומר שמרובע א"ג שוה לשטח א"ג בא"ב ולשטח‫^[29] א"ב בב"ג ולמרובע ב"ג
Proof: The product of AG by AG equals [the sum of] the product of AB by AG and the product of BG by AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times AG=\left(AB\times AG\right)+\left(BG\times AG\right)}}$	המופת ששטח א"ג בא"ג שוה לשטח א"ב בא"ג ולשטח ב"ג בא"ג
But, the product of BG by AG equals [the sum of] the product of AB by BG and the square of BG. $\scriptstyle{\color{blue}{BG\times AG=\left(AB\times BG\right)+BG^2}}$	אבל שטח ב"ג בא"ג שוה לשטח א"ב בב"ג ולמרובע ב"ג
Therefore, the square of AG equals [the sum of] the product of AB by AG, the product of AB by BG and the square of BG. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=\left(AB\times AG\right)+\left(AB\times BG\right)+BG^2}}$	אם כן מרובע א"ג שוה לשטח א"ב בא"ג ולשטח א"ב בב"ג ולמרובע ב"ג‫^[30]
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
8) Euclid, Elements, Book II, proposition 5: The product of half the given number by itself is equal to [the sum of] the product of a part of that number by the other part and the square of the difference between one of the [unequal] parts and half of the [whole] given number.	ח השטח ההוה מחצי המספר המונח בעצמו שוה לשטח ההוה מחלק מה מהמספר ההוא בחלק השני ולמרובע יתרון אחד מן החלקים על חצי המספר המונח
$\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2=\left(a\sdot b\right)+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2=\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2$
Let AB be the given number and let it be divided into half at G and randomly at D.	ויהיה המספר המונח מספר א"ב וחולק לחציין בנקודת ג' וחולק איך שקרה בנקודת ד‫'
Supposition: I say that the square of the number AG equals [the sum of] the product of the number AD by the number DB and the square of the number GD. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=\left(AD\times DB\right)+GD^2}}$	ואומר שמרובע מספר א"ג שוה לשטח ההווה ממספר א"ד במספר ד"ב ולמרובע ההוה ממספר ג"ד
Proof: The square of AG equals the sum of the product of AG by GD and the product of AG by DB. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=\left(AG\times GD\right)+\left(AG\times DB\right)}}$	המופת שמרובע א"ג שוה לשטח א"ג בג"ד ולשטח א"ג בד"ב מקובצים
But, the product of AD by DB equals [the sum of] the product of AG by DB and the product of GD by DB. $\scriptstyle{\color{blue}{AD\times DB=\left(AG\times DB\right)+\left(GD\times DB\right)}}$	אבל שטח א"ד בד"ב שוה לשטח א"ג בד"ב ולשטח ג"ד בד"ב
We subtract the product of AG by DB shared by both; the remainder from the square of AG equals the product of AG by GD, which is equal to the product of GB by GD. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2-\left(AG\times DB\right)=AG\times GD=GB\times GD}}$	ונחסר שטח א"ג בד"ב המשותף והיה הנשאר למרובע א"ג שוה לשטח‫^[31] א"ג בג"ד שהוא שוה לשטח ג"ב בג"ד
The remainder from the product of AD by DB is the product of GD by DB. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AD\times DB\right)-\left(AG\times DB\right)=GD\times DB}}$	והנשאר לשטח א"ד בד"ב הוא שטח ג"ד בד"ב
The excess of the product of GB by GD over the product of GD by DB is the same as the square of GD. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(GB\times GD\right)-\left(GD\times DB\right)=GD^2}}$	והנה יתרון שטח ג"ב בג"ד על שטח ג"ד בד"ב הוא כמו מרובע ג"ד
Therefore, the square of AG equals [the sum of] the product of AD by DB and the square of GD. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=\left(AD\times DB\right)+GD^2}}$	אם כן מרובע א"ג שוה לשטח א"ד בד"ב ולמרובע ג"ד
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
9) When a number is multipled by a number that is composed of two given numbers and the result is a certain number, if the number that is composed of two numbers of these three, whichever they are, is multiplied by the third, the result is that same number. $\scriptstyle a\sdot\left(b\sdot c\right)=b\sdot\left(a\sdot c\right)=c\sdot\left(a\sdot b\right)$	ט כאשר הוכה מספר אחד על מספר מורכב ‫^[32]משני מספרים מונחים והיה העולה מספר מה הנה אם הוכה המספר המורכב משני מספרים איזהו שיהיו מאלו השלשה על השלשה יהיה המספר ההוא בעינו
Let the number A be multiplied by the product of B by G and the result is the number DH. $\scriptstyle{\color{blue}{A\times\left(B\times G\right)=DH}}$	ויוכה מספר א' על שטח ב' בג' ויהיה העולה מספר ד"ה
Supposition: I say that if the number B is multiplied by the product of A by G, the result is also the number DH. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times\left(A\times G\right)=HD}}$	ואומר שאם הוכה מספר ב' על שטח א' בג' יהיה גם כן העולה מספר ד"ה
Proof: The product of B by G counts the number DH by the number of the units of A. $\scriptstyle{\color{blue}{DH\div\left(B\times G\right)=A}}$	המופת שמספר ד"ה ימנהו שטח ב' בג' בשעור אחדי א‫'
We divide DH by the times of the product of B by G [in it], so that its parts that are equal to the product of B by G are DZ, ZC, CH. $\scriptstyle{\color{blue}{DH=DZ+ZC+CH}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{DZ=ZC=CH=B\times G}}$	הנה נחלק ד"ה על דמיוני שטח ב' בג' ויהיו חלקיו השוים לשטח ב' בג' חלקי ד"ז ז"ח ח"ה
The number of these parts is the same as the number of the units in A.	והנה מספר אלו החלקים הוא כמספר מה שבא' מן האחדים
It is clear that B counts each of the parts DZ, ZC, CH by the number of the units in G, since each of them is equal to the product of B by G. $\scriptstyle{\color{blue}{DZ\div B=ZC\div B=CH\div B=\left(B\times G\right)\div B=G}}$	והוא מבואר שכל אחד מחלקי ד"ז ז"ח ח"ה ימנהו ב' בשעור אחדי ג' לפי שכל אחד מהם שוה לשטח ב' בג‫'
Therefore, B counts the whole DH by the number that it counts all its parts together. $\scriptstyle{\color{blue}{DH\div B=\left(DZ+ZC+CH\right)\div B}}$	הנה ד"ה כלו ימנהו ב' במספר מה שימנה כל חלקיו יחד
But, it counts all of its parts together as their number multiplied by G, and their number is as the number of the units of A. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(DZ+ZC+CH\right)\div B=A\times G}}$	אבל כל חלקיו יחד ימנם במספרם מוכה על ג' ומספרם הוא כמספר אחדי א' שטח
Hence, B counts the whole DH by the product of A by G. $\scriptstyle{\color{blue}{DH\div B=A\times G}}$	אם כן ד"ה כלו ימנהו ב' במספר שטח א' בג‫'
Therefore, the number B is multiplied by the product of A by G and the result is DH. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times\left(A\times G\right)=HD}}$	אם כן כבר יוכה מספר ב' בשטח א' בג' ויהיה ד"ה
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
Thus, it is clear that the product of whichever of these three numbers multiplied by the product of one of the two remaining numbers by the other is DH and accordingly, any of these numbers counts DH by the number of the product of one of the remaining numbers by the other.	ובזה יתבאר שאיזה מספר‫^[33] שיוכה מאלו השלשה על השטח ההווה מהאחד המספרים הנשארים בשני היה עולה ד"ה ולזה גם כן ימנה ד"ה איזה שיהיה מאלו המספרים במספר שטח אחד מהנשארים בשני
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
10) When a number is multipled by a number that is composed of three given numbers and the result is a certain number, if any number of them is multiplied by the number that is composed of the remaining three, the result is this same number. $\scriptstyle a\sdot\left(b\sdot c\sdot d\right)=b\sdot\left(a\sdot c\sdot d\right)=c\sdot\left(a\sdot b\sdot d\right)=d\sdot\left(a\sdot b\sdot c\right)$	י כאשר הוכה מספר אחד על מספר מורכב משלשה מספרים מונחים והיה העולה מספר מה הנה אם הוכה איזה מספר שיהיה מאלו על המספר המורכב מהשלשה הנשארים יהיה המספר ההוא בעינו
Let the number A be multiplied by the product of the numbers G, D, H and the result is ZC. $\scriptstyle{\color{blue}{A\times\left(G\times D\times H\right)=ZC}}$	ויוכה מספר א' על המספר המורכב ממספרי ג'ד'ה' ויהיה ז"ח
Supposition: I say that if the number D is multiplied by the product of the numbers A, G, H, the result is also ZC. $\scriptstyle{\color{blue}{D\times\left(A\times G\times H\right)=ZC}}$	הנה אומר שאם הוכה מספר ד' על המספר המורכב ממספרי א'ג'ה' יהיה העולה ז"ח גם כן
Proof: We divide ZC by the times of the product of the numbers G, D, H [in it], so that its parts are ZT, TL, LC. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC=ZT+TL+LC}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{ZT=TL=LC=G\times D\times H}}$	המופת שאנחנו נחלק ז"ח בדמיוני המספר המורכב ממספרי‫^[34] ג'ד'ה' ויהיו חלקיו ז"ט ט"ל ל"ח
The number of these parts is as the number of units of A.	הנה מספר אלו החלקים הוא כמספר אחדי א‫'
Because the product of the numbers G, D, H counts ZC as the number of units of A. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC\div\left(G\times D\times H\right)=A}}$	מפני שז"ח ימנהו המספר המורכב ממספרי ג'ד'ה' כמספר אחדי א‫'
It is clear from what preceded that D counts each of the parts ZT, TL, CL as the number of the product of G by H. $\scriptstyle{\color{blue}{ZT\div D=TL\div D=CL\div D=G\times H}}$	וכל אחד מחלקי ז"ט ט"ל ח"ל ימנהו ד' בשעור שטח ג' בה' וזה מבואר ממה שקדם
So, D counts the whole ZC as the number by which it counts all its parts together. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC\div D=\left(ZT+TL+CL\right)\div D}}$	הנה ז"ח כלו ימנהו ד' במספר ^מה שימנהו כל חלקיו יחד
But, D counts all its parts together by the number of the product of G by H multiplied by their number, which is the number A. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(ZT+TL+CL\right)\div D=\left(G\times H\right)\times A}}$	אבל כל חלקיו יחד ‫^[35]ימנם‫^[36] ד' בשיעור שטח ג' בה' מוכה על מספרם שהוא מספר א‫'
Hence, D counts the whole ZC by the number of the product of G by H multiplied by A. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC\div D=\left(G\times H\right)\times A}}$	הנה אם כן ז"ח כלו ימנהו ד' בשעור שטח ג' בה' מוכה על א‫'
So, D counts the whole ZC by the product of the numbers A, G, H. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC\div D=A\times G\times H}}$	אם כן ז"ח כלו ימנהו ד' כשעור המספר המורכב ממספרי א'ג'ה‫'
Therefore, when D is multiplied by the product of the numbers A, G, H, the result is also ZC. $\scriptstyle{\color{blue}{D\times\left(A\times G\times H\right)=ZC}}$	הנה ד' כשהוכה על המספר המורכב ממספרי‫^[37] א'ג'ה' הוא ז"ח גם כן
Thus, it is clear that the product of whichever of these numbers multiplied by the number composed of the remaining numbers is ZC.	וכזה התבאר שאיזה שיהיה מאלו המספרים שיוכה על המורכב מהמספרים הנשארים יהיה העולה ז"ח
With this graduation it is clarified endlessly, that is to say, that if a number is multiplied by a number composed of four numbers and the result is a certain number, then if any of these numbers is multiplied by the number composed of the remaining numbers the result is this same number.	ובזאת ההדרגה יתבאר לבלתי תכלית רצוני שאם הוכה מספר מה על מספר מורכב מארבעה מספרים והיה מספר מה הנה אם הוכה איזה מספר שיהיה מהם על המספר המורכב מהמספרים הנשארים יהיה העולה המספר ההוא בעינו וכן לאין תכלית
Therefore, the number results from the multiplication of a number by the number composed of the remaining numbers, counts whichever of these numbers, as the number composed of the remaining numbers.	ומפני זה ימנה המספר העולה מהכאת המספר האחד במספר מורכב מהנשארים איזה שיהיה מהמספרים ההם בשעור המספר המורכב מהמספרים הנשארים
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
11) When a number is multipled by a number that is composed of three given numbers and the result is a certain number, if a number that is composed of two of them is multiplied by the number that is composed of the remaining numbers, the result is this same number. $\scriptstyle a\sdot\left(b\sdot c\sdot d\right)=\left(a\sdot b\right)\sdot\left(c\sdot d\right)=\left(a\sdot c\right)\sdot\left(b\sdot d\right)=\left(a\sdot d\right)\sdot\left(b\sdot c\right)$	י"א כאשר הוכה מספר מה על מספר מורכב משלשה מספרים והיה העולה מספר מה הנה אם הוכה המספר המורכב משני מספרים מהם על המספר המורכב מהמספרים הנשארים יהיה העולה המספר ההוא בעינו
Let the number A be multiplied by the product of the numbers G, D, H and the result is ZC. $\scriptstyle{\color{blue}{A\times\left(G\times D\times H\right)=ZC}}$	ויוכה מספר א' על המספר המורכב ממספרי ג'ד'ה' והיה ז'ח‫'
Supposition: I say that if the product of A by D is multiplied by the product of G by H, the result is also ZC. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A\times D\right)\times\left(G\times H\right)=ZC}}$	ואומר שאם הוכה שטח א' בד' על שטח ג' בה' יהיה העולה ז'ח' גם כן
Proof: We divide ZC by the times of the product of the numbers G, D, H [in it], so that its parts are ZT, TL, CL. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC=ZT+TL+CL}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{ZT=TL=CL=G\times D\times H}}$	המופת שאנחנו נחלוק ז'ח' בדמיוני המספר המורכב ממספרי ג'ד'ה' ויהיו חלקיו ז'ט' ט'ל' ח'ל‫'
The number of these parts is as the number of units of A.	הנה מספר חלקיו הוא כמספר מה שבא' מן האחדים
The product of G by H counts each of these parts as the number of units in D. $\scriptstyle{\color{blue}{ZT\div\left(G\times H\right)=TL\div\left(G\times H\right)=CL\div\left(G\times H\right)=D}}$	וכל אחד מאלו החלקים ימנהו שטח ג' בה' בשעור מה שבד' מן האחדים‫^[38]
So, the product of G by H counts the whole ZC as the number by which it counts all its parts together. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC\div\left(G\times H\right)=\left(ZT+TL+CL\right)\div\left(G\times H\right)}}$	הנה ז'ח' כלו ימנהו שטח ג' בה' בשעור מה שימנה כל חלקיו יחד
But, it counts all its parts together by their number multiplied by D, and their number is as the number of the units of A. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(ZT+TL+CL\right)\div\left(G\times H\right)=A\times D}}$	אבל כל חלקיו יחד ימנם כמספרם מוכה על ד' והיה מספרם הוא כמספר אחדי א‫'
Hence, the product of G by H counts the whole ZC by the number of the product of A by D. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC\div\left(G\times H\right)=A\times D}}$	אם כן ז'ח' כלו ימנהו שטח ג' בה' כשעור שטח א' בד‫'
Therefore, if the product of A by D is multiplied by the product of G by H, the result is ZC. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A\times D\right)\times\left(G\times H\right)=ZC}}$	אם כן כבר יוכה שטח א' בד' על שטח ג' בה' ויהיה העולה ז'ח‫'
Thus, it is clear that when the number composed of any two of these numbers is multiplied by the number composed of the remaining two numbers the result is ZC.	וכזה התבאר שכאשר הוכה המספר המורכב משנים מאלו המספרים איזה שיהיו על המספר המורכב מהשנים הנשארים יהיה העולה ז'ח' גם כן
From the same explanation it is clear that if a number is multiplied by a number composed of four numbers and the result is a certain number, then if a number composed of any two of these numbers is multiplied by the number composed of the remaining three numbers the result is this same number.	ובזה הבאור ‫^[39]בעינו התבאר שאם הוכה מספר מה על המספר המורכב מארבעה‫^[40] מספרים והיה מספר מה הנה אם הוכה המספר המורכב מהשנים מהם איזה שיהיו על המורכב מהשלשה הנשארים יהיה העולה המספר ההוא בעינו
Likewise it is clarified endlessly from the same explanation.	וכזה התבאר לאין תכלית בכמו זה הבאור בעינו
Therefore, the number composed of any two numbers of them counts the product as the units of the number composed of the remaining numbers.	ומפני זה ימנה המספר העולה המספר‫^[41] המורכב משני מספרים איזה שיהיו מהמספרים ההם כשעור מה שבמספר המורכב מהמספרים הנשארים מן האחדים
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
12) When a number is multiplied by a number that is composed of numbers, as many as they may be, and the result is a certain number, if a number that is composed of any of these numbers is multiplied by the number that is composed of the remaining numbers, then the result is as this same number. $\scriptstyle a\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)=\left(a\sdot b_m\sdot b_k\right)\left(\prod_{i=1;i\ne m,k}^n b_i\right)$	י"ב כאשר הוכה מספר מה על המורכב ממספרים כמה שיהיו והיה מספר מה הנה אם הוכה המורכב מאיזה שיהיו מהמספרים ההם על המורכב מהמספרים הנשארים יהיה העולה כמספר ההוא בעינו
Let the number A be multiplied by the product of the numbers B, G, D, H, Z, C and the result is TK. $\scriptstyle{\color{blue}{A\times\left(B\times G\times D\times H\times Z\times C\right)=TK}}$	ויוכה מספר א' על המורכב ממספרי ב'ג'ד'ה'ז'ח' והיה העולה ט'כ‫'
Supposition: I say that if the product of the numbers B, G, H, Z is multiplied by the product of the numbers A, D, C, the result is also TK. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(B\times G\times H\times Z\right)\times\left(A\times D\times C\right)=TK}}$	ואומ' שאם הוכה המורכב ממספרי ב'ג'ה'ז'‫^[42] על המורכב ממספרי א'ד'ח'‫^[43] יהיה העולה ט'כ' גם כן
Proof: The product of B, G counts TK by the units of the product of the numbers A, D, H, Z, C. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{TK}{B\times G}=A\times D\times H\times Z\times C}}$	המופת שמספר ט'כ'‫^[44] ימנהו המספר המורכב ממספרי ב'ג' כשעור אחדי המספר המורכב ממספרי א'ד'ה'ז'ח‫'‫^[45]
We divide TK by the times of the product of A, D, H, Z, C [in it], so that its parts are TL, LM, MS, SK. $\scriptstyle{\color{blue}{TK=TL+LM+MS+SK}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{TL=LM=MS=SK=A\times D\times H\times Z\times C}}$	הנה נחלק ט'כ' בדמיוני א'ד'ה'ז'ח'‫^[46] ויהיו חלקיו ט'ל' ל'מ' מ'ס' ס'כ‫'
The number of these parts is as the number of units of the product of B by G.	הנה מספר אלו החלקים כשעור אחדי שטח ב' בג‫'
The product of A, D, C counts each of these parts as the number of units in the product of H by Z, since each of them is equal to the product of A, D, H, Z, C.	וגם כן הנה כל אחד מאלו החלקים ימנהו מורכב א'ד'ח'‫^[47] כשעור אחדי שטח ה'‫^[48] בז' לפי שכל אחד מהם שוה למורכב א'ד'ה'ז'ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle TL\div\left(A\times D\times C\right)&\scriptstyle=LM\div\left(A\times D\times C\right)=MS\div\left(A\times D\times C\right)=SK\div\left(A\times D\times C\right)\\&\scriptstyle=\left(A\times D\times H\times Z\times C\right)\div\left(A\times D\times C\right)=H\times Z\\\end{align}}}$
So, the product of A, D, C counts the whole TK as the number by which it counts all its parts together.	והנה ט'כ' כלו ימנהו מורכב א'ד'ח'‫^[49] כשעור מה שימנה כל חלקיו יחד
$\scriptstyle{\color{blue}{TK\div\left(A\times D\times C\right)=\left(TL+LM+MS+SK\right)\div\left(A\times D\times C\right)}}$
But, the product of A, D, C counts all its parts together by the product of H by Z multiplied by their number, which is as the number of the product of B by G and it has already been clarified that the result is the product of the numbers B, G, H, Z.	אבל חלקיו יחד ימנם מורכב א'ד'ח' בשעור שטח ה'‫^[50] בז' מוכה על מספרם שהוא כמספר שהוא שטח ב' בג' והעולה כבר התבאר שהוא המספר המורכב ממספרי ב'ג'ה'ז‫'‫^[51]
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(TL+LM+MS+SK\right)\div\left(A\times D\times C\right)=\left(H\times Z\right)\times\left(B\times G\right)=B\times G\times H\times Z}}$
Hence, the product of the numbers A, D, C counts the whole TK by the number of the product of H by Z multiplied by the product of B by G and it has already been clarified that the result is the product of the numbers B, G, H, Z.	אם כן ט'כ' כלו ימנהו המספר‫^[52] המורכב ממספרי א'ד'ח'‫^[53] כמספר שטח ה' בז' מוכה על שטח ב' בג' והעולה כבר התבאר שהוא המספר המורכב ממספרי ב'ג'ה'ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{TK\div\left(A\times D\times C\right)=\left(H\times Z\right)\times\left(B\times G\right)=B\times G\times H\times Z}}$
So, the product of the numbers A, D, C counts the whole TK by the number of units of the product of the numbers B, G, H, Z. $\scriptstyle{\color{blue}{TK\div\left(A\times D\times C\right)=B\times G\times H\times Z}}$	אם כן ט'כ' כלו ימנהו המורכב ממספרי א'ד'ח' כשעור אחדי המספר המורכב ממספרי ב'ג'ה'ז‫'
Therefore, when the product of A, D, C is multiplied by the product of B, G, H, Z, the result is the number TK. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A\times D\times C\right)\times\left(B\times G\times H\times Z\right)=TK}}$	אם כן כבר יוכה מורכב א'ד'ח' במורכב ב'ג'ה'ז' ויהיה העולה מספר ט'כ'‫^[54]
Thus, it is clear that if a number composed of any of these numbers is multiplied by the number composed of the remaining numbers the result is ZC.	וכזה התבאר שאם הוכה מורכב איזה שיהיו מאלו ‫^[55]המספרים על המורכב מהמספרים הנשארים יהיה העולה ט'כ‫'
By this it is clear for any number composed of as many numbers as they may be that if the number composed of any numbers of them is multiplied by the number composed of the remaining numbers, the result is the same number.	ובזה התבאר באיזה מספר מורכב מכמה מספרים שיהיו שאם הוכה המספר המורכב ממספרים מה מהם על המספר המורכב מהמספרים הנשארים יהיה‫^[56] העולה המספר ההוא בעינו
Therefore, the number composed of whichever numbers of them counts the product by the number of the units of the number composed of the remaining numbers.	ולזה ימנה המספר העולה המספר המורכב מאיזה‫^[57] שיהיו מהמספרים ההם כמספר אחדי המורכב מהמספרים הנשארים
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
13) The ratio of a number composed of any numbers to a number composed of as many numbers is the same as the ratio that is composed of the ratios of the anterior numbers to the posterior numbers. $\scriptstyle\left(\prod_{i=1}^n a_i\right):\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)=\prod_{i=1}^n \left(a_i:b_i\right)$	י"ג המספר המורכב ממספרים מה יחסו אל המספר המורכב ממספרים אחרים מספרם כמספר המספרים הקודמים כמו היחס המחובר מהמספרים הקודמים אל המספרים הנמשכים
Let the number A be the product of the numbers B, G, D, H, Z. $\scriptstyle{\color{blue}{A=B\times G\times D\times H\times Z}}$	ויהיה מספר א' מורכב ממספרי ב'ג'ד'ה'ז‫'
Let the number C be the product of the numbers T, K, L, M, N. $\scriptstyle{\color{blue}{C=T\times K\times L\times M\times N}}$	ומספר ח' מורכב ממספר ט'כ'ל'מ'נ‫'
Supposition: I say that the ratio of A to C consists of five ratios: the ratio of B to T, the ratio of G to K, the ratio of D to L, the ratio of H to M, and the ratio of Z to N. $\scriptstyle{\color{blue}{A:C=\left(B:T\right)\sdot\left(G:K\right)\sdot\left(D:L\right)\sdot\left(H:M\right)\sdot\left(Z:N\right)}}$	ואומר שיחס א' אל ח' מחובר מחמשה יחסים מיחס ב' אל ט' ומיחס ג' אל כ' ומיחס ד' אל ל' ומיחס ה' אל מ' ומיחס ז' אל נ‫'
Proof: We multiply the product of the numbers G, D, H, Z by the number T and define the result as S. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(G\times D\times H\times Z\right)\times T=S}}$	המופת שאנחנו נכה המורכב ממספר ג'ד'ה'ז' במספר ט' ונשים העולה ס‫'
The product of G, D, H, Z multiplied by B is A. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(G\times D\times H\times Z\right)\times B=A}}$	הנה מורכב ג'ד'ה'ז' הוכה בב' והיה א‫'
It is multiplied by T and the result is S. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(G\times D\times H\times Z\right)\times T=S}}$	והוכה בט' ויהיה‫^[58] ס‫'
So, the ratio of A to S is the same as the ratio of B to T. $\scriptstyle{\color{blue}{A:S=B:T}}$	הנה אם כן יחס א' אל ס' כיחס ב' אל ט‫'
We multiply also the product of T, D, H, Z by K and define the result as the number E. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(T\times D\times H\times Z\right)\times K=E}}$	וגם כן הנה נכה מורכב ט'ד'ה'ז' בכ' ונשים העולה מספר ע‫'
The product of T, D, H, Z multiplied by G is S. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(T\times D\times H\times Z\right)\times G=S}}$	הנה מורכב ט'ד'ה'ז' הוכה בג' והיה ס‫'‫^[59]
It is multiplied by K and the result is E. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(T\times D\times H\times Z\right)\times K=E}}$	והוכה בכ' והיה ע‫'
So, the ratio of S to E is the same as the ratio of G to K. $\scriptstyle{\color{blue}{S:E=G:K}}$	הנה יחס ס' אל ע' כיחס ג' אל כ‫'
We multiply also the product of T, K, H, Z by L and define the result as the number P. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(T\times K\times H\times Z\right)\times L=P}}$	וגם כן הנה נכה מורכב ט'כ'ה'ז' בל' ונשים העולה‫^[60] מספר פ‫'‫^[61]
It is clear from the previous explanation that the ratio of E to P is the same as the ratio of D to L. $\scriptstyle{\color{blue}{E:P=D:L}}$	ויתבאר כמו הבאור הקודם שיחס ע' אל פ' הוא כיחס ד' אל ל‫'‫^[62]
We multiply also the product of T, K, L, Z by the number M and the result is X. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(T\times K\times L\times Z\right)\times M=X}}$	וגם כן הנה נכה מורכב ט'כ'ל'ז' במספר מ' והיה צ‫'
It is also clear that the ratio of P to X is the same as the ratio of H to M. $\scriptstyle{\color{blue}{P:X=H:M}}$	ויתבאר גם כן שיחס פ' אל צ' הוא כיחס ה'‫^[63] אל מ‫'
Likewise, it is clear that the ratio of X to C is the same as the ratio of Z to N. $\scriptstyle{\color{blue}{X:C=Z:N}}$	וכזה התבאר שיחס צ' אל ח'‫^[64] כיחס ז'‫^[65] אל נ‫'
Since the matter is so, it is clear that the ratio of A to C consists of five ratios: the ratio of A to S, the ratio of S to E, the ratio of E to P, the ratio of P to X, and the ratio of X to C. $\scriptstyle{\color{blue}{A:C=\left(A:S\right)\sdot\left(S:E\right)\sdot\left(E:P\right)\sdot\left(P:X\right)\sdot\left(X:C\right)}}$	ובהיות הענין כן הוא מבואר שיחס א'‫^[66] אל ח' מחובר מחמשה יחסים מיחס א' אל ס' ומיחס ס'‫^[67] אל ע' ומיחס ע' אל פ' ומיחס פ' אל צ' ומיחס צ' אל ח‫'
It is clear that each of these ratios is the same as its corresponding ratio of the numbers B, G, D, H, Z to the numbers T, K, L, N, M.	וכבר התבאר שכל יחס מאלו היחסים הוא כמו גילו מיחסי מספרי ב'ג'ד'ה'ז' אל מספרי ט'כ'ל'נ'מ‫'
Therefore, the ratio of A to C consists of five ratios: the ratio of B to T, the ratio of G to K, the ratio of D to L, the ratio of H to M, and the ratio of Z to N. $\scriptstyle{\color{blue}{A:C=\left(B:T\right)\sdot\left(G:K\right)\sdot\left(D:L\right)\sdot\left(H:M\right)\sdot\left(Z:N\right)}}$	אם כן יחס א' אל ח' מחובר מחמשה יחסים מיחס ב' אל ט' ומיחס ג' אל כ' ומיחס ד' אל ל' ומיחס ה' אל מ' ומיחס ז' אל נ‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
14) When a ratio is composed of ratios of any anterior numbers to any posterior numbers, and the order of the corresponding numbers is changed so that the anterior numbers remain anterior and the posterior numbers remain posterior numbers, the composite ratio remains the same as the previous ratio. $\scriptstyle\prod_{i=1}^n\left(a_i:b_i\right)=\prod_{j=1}^n\left(a_j:b_j\right)$	י"ד היחס המחובר ממספרים ‫^[68]מה קודמים אל מספרים מה נמשכים הנה כאשר הומר סדור המספרים הגיליים ונשארו הקודמים קודמים והנמשכים נמשכים ישאר היחס המחובר כמו היחס המחובר הראשון
Let the anterior numbers be: A, B, G, D	ויהיו המספרים הקודמים מספרי א'ב'ג'ד‫'
Let the posterior numbers be: H, Z, C, T	והמספרים הנמשכים מספרי ה'ז'ח'ט‫'
Let the ratio composed of the ratio of A to H, the ratio of B to Z, the ratio of G to C, and the ratio of D to T, be equal to the ratio of K to L. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A:H\right)\sdot\left(B:Z\right)\sdot\left(G:C\right)\sdot\left(D:T\right)=K:L}}$	והיה היחס המחובר מיחס א' אל ה' ומיחס ב' אל ז' ומיחס ג' אל ח' ומיחס ד' אל ט' כיחס כ' אל ל‫'
Supposition: I say that if the order of the corresponding terms is interchanged and the ratio composed of the ratio of A to H, the ratio of B to C, the ratio of G to T and the ratio of D to Z, is taken, then this is also equal to the ratio of K to L. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A:H\right)\sdot\left(B:C\right)\sdot\left(G:T\right)\sdot\left(D:Z\right)=K:L}}$	ואומר שאם הומר סדור הגיליים ולוקח היחס המחובר מיחס א' אל ה'‫^[69] ומיחס ב' אל ח'‫^[70] ומיחס ג' אל ט' ומיחס ד' אל ז' יהיה גם כן כיחס כ' אל ל‫'
Proof: We define the number composed of the numbers A, B, G, D as the number M; and the number composed of the numbers H, Z, C, T as the number N. $\scriptstyle{\color{blue}{A\times B\times G\times D=M}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{H\times Z\times C\times T=N}}$	המופת שאנחנו נשים המספר המורכב ממספרי א'ב'ג'ד'‫^[71] מספר מ' והמספר המורכב ממספרי ה'ז'ח'ט' מספר משלפניה נ‫'
Then, the ratio of M to N is the same as the ratio composed of the numbers A, B, G, D to the numbers H, Z, C, T. $\scriptstyle{\color{blue}{M:N=\left(A:H\right)\sdot\left(B:Z\right)\sdot\left(G:C\right)\sdot\left(D:T\right)}}$	הנה יחס מ' אל נ' הוא כמו היחס המחובר ממספרי א'ב'ג'ד' אל מספרי ה'ז'ח'ט‫'
The number composed of the numbers H, Z, C, T is the same as the number composed of the numbers C, H, T, Z. $\scriptstyle{\color{blue}{H\times Z\times C\times T=H\times C\times T\times Z}}$	ומספר המורכב ממספרי ה'ז'ח'ט' הוא כמו המספר המורכב ממספרי ח'ה'ט'ז‫'
So, the ratio of M to N is the same as the ratio composed of the numbers A, B, G, D to the numbers C, H, T, Z. $\scriptstyle{\color{blue}{M:N=\left(A:H\right)\sdot\left(B:C\right)\sdot\left(G:T\right)\sdot\left(D:Z\right)}}$	אם כן יחס מ' אל נ' הוא כמו היחס המחובר ממספרי א'ב'ג'ד' אל מספרי ח'ה'ט'ז‫'
But, the ratio of M to N is the same as the ratio composed of the numbers A, B, G, D to the numbers H, Z, C, T. $\scriptstyle{\color{blue}{M:N=\left(A:H\right)\sdot\left(B:Z\right)\sdot\left(G:C\right)\sdot\left(D:T\right)}}$	וכבר היה יחס מ' אל נ' כמו היחס המחובר ממספרי א'ב'ג'ד' אל מספרי ה'ז'ח'ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{K:L=\left(A:H\right)\sdot\left(B:Z\right)\sdot\left(G:C\right)\sdot\left(D:T\right)=\left(A:H\right)\sdot\left(B:C\right)\sdot\left(G:T\right)\sdot\left(D:Z\right)}}$
So, (according to Euclid's introduction) the ratio composed of the numbers A, B, G, D to the numbers H, Z, C, T is the same as the ratio composed of the numbers A, B, G, D to the numbers H, Z, C, T, the same as the ratio of K to L.	א"כ (מפתיחת אקלידיס) היחס המחובר ממספרי א'ב'ג'ד' אל מספרי ה'ז'ח'ט' הוא כמו היחס‫^[72] המחובר ממספרי א'ב'ג'ד' אל מספרי ה'ז'ח'ט' כיחס כ' אל ל‫'
Therefore, the ratio composed of the numbers A, B, G, D to the numbers C, H, T, Z is also the same as the ratio of K to L. $\scriptstyle{\color{blue}{K:L=\left(A:H\right)\sdot\left(B:C\right)\sdot\left(G:T\right)\sdot\left(D:Z\right)}}$	אם כן היחס המחובר ממספרי א'ב'ג'ד' אל מספרי ח'ה'ט'ז' הוא כיחס כ' אל ל' גם כן
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
This proves that if the order of the anteriors is changed, but the anteriors remain anteriors, the composite ratio remains the same.	ובזה התבאר שאם הומר סדר הקודמים ונשארו הקודמים קודמים שהיחס המחובר ישאר אחד בעינו‫^[73]
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
15) Any number that is relatively prime to a number composed of any given numbers is relatively prime to each of these numbers. [If $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a}}$ is relatively prime to $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\prod_{i=1}^n b_i}}$ , then $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a}}$ is relatively prime to $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b_i}}$ for each i=1,2,…,n]	ט"ו כל מספר שיהיה ראשון אצל המורכב ממספרים מה מונחים הנה הוא ראשון אצל כל אחד מהם
Let number A be relatively prime to number H and let number H be composed of the numbers B, G, D. $\scriptstyle{\color{blue}{H=B\times G\times D}}$	ויהיה מספר א' ראשון אצל מספר ה' ויהיה מספר ה' מורכב ממספרי ב'ג'ד‫'
Supposition: I say that the number A is relatively prime to each of the numbers B, G, D.	ואומר שמספר א' ראשון אצל כל אחד ממספרי ב'ג'ד‫'
Proof: Otherwise is impossible.	המופת שאי אפשר זולת זה
Because if it were possible, let A and G be relatively composite, having a number that counts them, and let this number be Z.	שאם היה אפשר הנה יהיו מספרי א'ג' משותפים וימנם בהכרח מספר מה ונניחהו מספר ז‫'
But, G counts H, because it counts it as the number of the units of the number composed of B, D.	אבל ג' ימנה ה' וזה שהוא ימנהו כמספר מה שבמורכב ב'ד'‫^[74] מן האחדים
Therefore, Z counts H.	הנה ז' ימנה ה‫'
But, it counts A.	וכבר היה מונה א‫'
So, A and H are relatively composite.	אם כן יהיו א'ה' משותפים
But, A was assumed to be relatively prime to H - this is false.	אבל כבר הונח א' ראשון אצל מספר ה' זה שקר
Therefore, A is relatively prime to each of the numbers B, G, D.	אם כן מספר א' ראשון אצל כל אחד ממספרי ב'ג'ד‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
16) Any number that is relatively prime to all numbers that are smaller than the root of the closest greater square number is a prime number. [If $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2-b}}$ is relatively prime to all integers less than $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a}}$ , then $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2-b}}$ is prime]	י"ו כל מספר שיהיה ראשון אצל כל המספרים הראשונים הקטנים משרש המרובע המוסיף עליו היותר קרוב לו הנה הוא ראשון
Let A be relatively prime to all numbers that are smaller than the root of B, which is the closest succeeding square number after A.	ויהיה מספר א' ראשון ‫^[75]אצל כל המספרים הקטנים משרש מספר ב' והוא המרובע היותר קרוב למספר א' המוסיף עליו
Let G be the root of B.	ויהיה יסוד מספר ב' מספר ג‫'
Let the prime numbers that are smaller than G be D, H, Z.	ויהיו המספרים הראשונים הקטנים ממספר ג' מספרי ד'ה'ז‫'
Let A be relatively prime to each of them.	ויהיה א' ראשון אצל כל אחד מהם
Supposition: I say that the number A is prime.	ואומר שמספר א' הוא ראשון
Proof: If it were possible otherwise, then there would have been a number C that counts it and let it count it as the number of units of T.	המופת שאם היה‫^[76] אפשר זולת זה ימנהו מספר מה והוא ח' וימנהו כמספר אחדי ט‫'
It is clear that it is impossible that both numbers C and T are greater than G.	והוא מבואר שאין כל אחד ממספרי ח'ט' בלתי קטן מג‫'
Because if that were possible, then it was not possible for the product of C by T, which is A, to be smaller than the product of G by G, which is B. $\scriptstyle{\color{blue}{C\times T=A<G\times G=B}}$ .	שאם היה אפשר זה לא יהיה שטח ח' בט' והוא א' קטן משטח ג' בג' והוא ב‫'
But, it was assumed that A is smaller than B - this is false.	וכבר הונח א' קטן מב' זה שקר
Therefore, one of the numbers C or T must be smaller than G.	הנה אם כן אחד ממספרי ח'ט' קטן מג‫'
Let C be the number that is smaller than G.	ויהיה הקטן מג' מספר ח‫'
Then, C must either be a prime number or a composite number.	הנה מספר ח'‫^[77] אם שיהיה ראשון ואם שיהיה מורכב
If it were prime and smaller than G, then a would not be relatively prime to all the prime numbers smaller than G, but it was assumed that it was relatively prime to all - this is false.	ואם היה ראשון והוא קטן מג' יהיה א' בלתי ראשון אצל כל הראשונים הקטנים מג' וכבר הונח ראשון אצל כלם זה שקר
If it were composite, there would have necessarily been a prime number that counts it, which is smaller than C and therefore also smaller than G, so the previous false would result.	ואם היה מורכב הנה ימנהו בהכרח מספר ראשון קטן‫^[78] ממספר ח' ולזה יהיה קטן מג' ויתחייב השקר הקודם בעינו
No number counts A, and therefore A is a prime number.	אם כן לא ימנה שום מספר מספר א' ולזה יהיה מספר א' מספר ראשון
Q.E.D.	וזה הוא מה שרצינו
17) When a given fraction or given fractions are taken from a given number, then another given fraction or given fractions are taken from the remainder and so on, if the order [of the fractions taken] is changed, the final remainder is the same and the sum of all fractions is the same.	י"ז כאשר לוקח ממספר‫^[79] מונח חלק מה מונח או חלקים מונחים ולוקח‫^[80] עוד מהנשאר חלק אחר‫^[81] מונח או חלקים אחרים‫^[82] מונחים‫^[83] וכן בזה הדרך מה שהגיע הנה אם הומר הסדור יהיה הנשאר באחרונה אחד בעינו ומקובץ החלקים אחד בעינו
Let A be the given number.	ויהיה המספר המונח מספר א‫'
Let the denominators of the fractions be the numbers B, G, D: one part of B of the number A [ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{B}\sdot A}}$ ]; H parts of G [ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{H}{G}}}$ ] of the remainder; and Z parts of D [ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{Z}{D}}}$ ] of its remainder.	והחלקים הם הנקראים במספרי ב'ג'ד' והם חלק מב' במספר א' וה'‫^[84] חלקים מג' בנשאר וז' חלקים‫^[85] מד' בנשאר
Supposition: I say that the whole sum of one part of B of A [ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{B}\sdot A}}$ ] with H parts of G [ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{H}{G}}}$ ] of the remainder and Z parts of D [ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{Z}{D}}}$ ] of its remainder is equal to [the sum of] Z parts of D of the number A [ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{Z}{D}\sdot A}}$ ] with one part of B [ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{B}}}$ ] of the remainder and H parts of G [ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{H}{G}}}$ ] of its remainder.	ואומר שחלק אחד מב' מא'‫^[86] עם ה' חלקים מג' בנשאר ועם ז' חלקים מד' בנשאר הנה כשהתקבץ זה כלו יהיה שוה לז' חלקים מד' במספר א' וחלק אחד מב' בנשאר וה' חלקים מג' בנשאר
Proof: We define number C as the number B minus one. $\scriptstyle{\color{blue}{C=B-1}}$	המופת שאנחנו נשים מספר ח' פחות אחד מספר ב‫'
We define [the sum of] numbers C, T as equal to G. $\scriptstyle{\color{blue}{C+T=G}}$	ונשים מספרי ח'ט'‫^[87] שוים לג‫'
The [sum of the] numbers Z, K as equal to D. $\scriptstyle{\color{blue}{Z+K=D}}$	ומספרים ז'כ' שוים לד‫'
Let one part of B of [the number] A be the number P. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{B}\sdot A=P}}$	ויהיה חלק מב' מא' מספר פ‫'
Let the remainder be the number L. $\scriptstyle{\color{blue}{A-P=L}}$	וישאר מספר ל‫'
Let H parts of G of the number L be the number M. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{H}{G}\sdot L=M}}$	ויהיו ה'‫^[88] חלקים מג'‫^[89] במספר ל' מספר מ‫'
Let the remainder be the number N. $\scriptstyle{\color{blue}{L-M=N}}$	וישאר מספר נ‫'
Let Z parts of D of the number N be the number S. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{Z}{D}\sdot N=S}}$	ויהיו ז' חלקים מד' במספר ‫^[90]נ'‫^[91] מספר ס‫'
Let the remainder be the number E. $\scriptstyle{\color{blue}{N-S=E}}$	וישאר מספר ע‫'
Also, let Z parts of D of the number A be the number X. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{Z}{D}\sdot A=X}}$	וגם כן הנה ז'‫^[92] חלקים מד' במספר א' מספר צ‫'
Let the remainder be the number Q. $\scriptstyle{\color{blue}{A-X=Q}}$	ויהיה הנשאר מספר ק‫'
Let one part of B of the number Q be the number R. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{B}\sdot Q=R}}$	ויהיה חלק מב' ממספר ק' מספר‫^[93] ר‫'
Let the remainder be the number Ŝ. $\scriptstyle{\color{blue}{Q-R=\hat{S}}}$	ויהיה הנשאר מספר ש‫'
Let H parts of G of the number Ŝ be the number Ť. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{H}{G}\sdot\hat{S}=\hat{T}}}$	ויהיו ה'‫^[94] חלקים מג' במספר ש' מספר ת‫'
Let the remainder be the number Ẑ. $\scriptstyle{\color{blue}{\hat{S}-\hat{T}=\hat{Z}}}$	ויהיה הנשאר מספר ץ‫'
Supposition: I say that the numbers E and Ẑ are equal. $\scriptstyle{\color{blue}{E=\hat{Z}}}$	ואומר שמספרי‫^[95] ע'ץ' שוים
Proof: Since the number P is one part of B of the number A: $\scriptstyle{\color{blue}{P=\frac{1}{B}\sdot A}}$	המופת בו מפני שהמספר פ' אחד מב' במספר א‫'
The number A contains as many parts of P as the units of the number B. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{A}{P}=\frac{B}{1}}}$	יהיה במספר א' מדמיוני‫^[96] פ' כמו מה שבמספר ב' מן האחדים
Therefore, the number L contains as many parts of P as the units of B minus one. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{L}{P}=\frac{B}{1}-1}}$	ולזה יהיה במספר ל' מדמיוני פ' כמו מה שבמספר ב' מן האחדים‫^[97] פחות אחד
But, C is B minus one. $\scriptstyle{\color{blue}{C=B-1}}$	אבל ח' הוא פחות אחד מב‫'
So, the number L contains as many parts of P as the units of the number C. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{L}{P}=\frac{C}{1}}}$	אם כן במספר ל' מדמיוני פ' כמו מה שבמספר ח'‫^[98] מן האחדים
Therefore, the ratio of A to L is the same as the ratio of B to C. $\scriptstyle{\color{blue}{A:L=B:C}}$	אם כן יחס א' אל ל' כיחס ב' אל ח‫'
Because the numbers B and C, multiplied by the number P, are the numbers A and L. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times P=A\quad C\times P=L}}$	לפי שמספרי ב'ח' הוכו במספר פ' ויהיו מספרי א'ל‫'
Likewise we define one part of G of the number L as the number F. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{G}\sdot L=F}}$	וגם כן הנה נשים חלק מג' במספר ל' מספר ף‫'
Hence, the number M contains as many parts of F as the units of the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{M}{F}=\frac{H}{1}}}$	ולזה יהיה במספר מ'‫^[99] מדמיוני ף'‫^[100] כמו מה שבמספר ה' מן האחדים
Therefore, the number N contains as many parts of F as the units of the number T. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{N}{F}=\frac{T}{1}}}$	ולזה יהיה גם כן במספר נ' מדמיוני ף' כמו מה שבמספר ט'‫^[101] מן האחדים
It is clear by the previous way that the ratio of L to N as the ratio of G to T. $\scriptstyle{\color{blue}{L:N=G:T}}$	ויתבאר על האופן הקודם שיחס ל' אל נ' כיחס ג'‫^[102] אל ט‫'
Likewise, it is clear that the ratio N to E is the same as the ratio of D to K. $\scriptstyle{\color{blue}{N:E=D:K}}$	וכזה התבאר שיחס נ' אל ע' הוא כיחס ד' אל כ‫'
So, the ratio A to E consists of [the ratio of] the numbers B, G, D to the numbers C, T, K. $\scriptstyle{\color{blue}{A:E=\left(B\sdot G\sdot D\right):\left(C\sdot T\sdot K\right)}}$	אם כן יחס א' אל ע' מחובר ממספרי ב'ג'ד' אל מספרי ח'ט'כ‫'
Likewise, it is clear that the ratio of A to Ž consists of the ratio of the numbers D, B, G to the numbers K, C, T. $\scriptstyle{\color{blue}{A:\hat{Z}=\left(D\sdot B\sdot G\right):\left(K\sdot C\sdot T\right)}}$	וכזה יתבאר שיחס א' אל מספר ץ' מחובר מיחס מספרי‫^[103] ד'ב'ג' אל מספרי כ'ח'ט‫'
But, the ratio that consists of the numbers B, G, D to the numbers C, T, K is equal to the ratio that consists of the numbers D, B, G to the numbers K, C, T. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(B\sdot G\sdot D\right):\left(C\sdot T\sdot K\right)=\left(D\sdot B\sdot G\right):\left(K\sdot C\sdot T\right)}}$	אבל היחס המחובר ממספרי ב'ג'ד' אל מספרי ח'ט'כ' שוה אל היחס המחובר ממספרי ד'ב'ג' אל מספרי כ'ח'ט‫'
So, the ratio of A to E and [the ratio of A] to Ž are the same. $\scriptstyle{\color{blue}{A:E=A:\hat{Z}}}$	אם כן יחס א' אל ע' ואל ץ' אחד
Hence, E is the same as Ž. $\scriptstyle{\color{blue}{E=\hat{Z}}}$	ולזה יהיה ע' כמו ץ‫'
Therefore, the sum of the numbers P, M, S must be equal to the sum of the numbers X, R, Ť. $\scriptstyle{\color{blue}{P+M+S=X+R+\hat{T}}}$	ולזה גם כן יחויב שיהיו מספרי פ'מ'ס' מקובצים שוים למספרי צ'ר'ת' מקובצים
Because the excess of A over E is [equal to the sum of] the numbers P, M, S. $\scriptstyle{\color{blue}{A-E=P+M+S}}$	וזה שיתרון א'‫^[104] על ע' הוא מספרי פ'מ'ס‫'
The excess of A over Ž is [equal to the sum of] the numbers X, R, Ť. $\scriptstyle{\color{blue}{A-\hat{Z}=X+R+\hat{T}}}$	ויתרון א' על ץ'‫^[105] הם מספרי צ'ר'ת'‫^[106]
But, it was proved that the number E is equal to the number Ž. $\scriptstyle{\color{blue}{E=\hat{Z}}}$	וכבר התבאר שמספר ע' שוה למספר ץ'‫^[107]
So, [the sum of] the numbers P, M, S is equal to [the sum of] the numbers X, R, Ť. $\scriptstyle{\color{blue}{P+M+S=X+R+\hat{T}}}$	אם כן מספרי פ'מ'ס' שוים למספרי צ'ר'ת'‫^[108]
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
18) When a given number is multiplied by a given number and a given fraction or fractions are taken from the product and so on from the remainder, if the order is changed, the final remainder is the same.	י"ח כאשר הוכה מספר מונח במספר מה מונח ולוקח מהעולה מההכאה‫^[109] חלק מה מונח או חלקים מה‫^[110] מונחים וכן מה שהגיע מלקיחת החלק או החלקים ומההכאות‫^[111] הנה אם הומר הסדור יהיה הנשאר באחרונה אחד בעינו
Let A be the given number.	ויהיה המספר המונח מספר א‫'
Let it be multiplied by B.	ויוכה במספר ‫^[112]ב‫'
H parts of G are taken from the product, then Z parts of D are taken from the remainder and a certain number remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{H}{G}\sdot\left(A\times B\right)\right]\sdot\frac{Z}{D}}}$	וילקח מהעולה ה'‫^[113] חלקים מג' וילקח מהנשאר ז' חלקים מד' וישאר מספר מה
Supposition: I say that if the order is changed so that Z parts of D are taken from A, the remainder is multiplied by B, and H parts of G are taken from the remainder, then the same number remains as from the other order. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{Z}{D}\sdot A\right)\sdot B\right]\sdot\frac{H}{G}=\left[\frac{H}{G}\sdot\left(A\times B\right)\right]\sdot\frac{Z}{D}}}$	ואומר שאם הומר הסדור שילקח ממספר א' ז' חלקים מד'‫^[114] ויוכה הנשאר במספר ב'‫^[115] וילקח מהנשאר ה' חלקים מג' הנה ישאר המספר ההוא בעינו שנשאר בסדור האחר
We add one to B.	וזה שאנחנו נשים על מספר ב'‫^[116] אחד
We define [the sum of] the numbers H and T equals G. $\scriptstyle{\color{blue}{H+T=G}}$	ונשים מספרי ה'ט' שוים לג‫'
[The sum of] the numbers Z and K equals D. $\scriptstyle{\color{blue}{Z+K=D}}$	ומספרי ז'כ' שוים לד‫'
Let A be multiplied by B and the result is L. $\scriptstyle{\color{blue}{A\times B=L}}$	ויוכה א' על ב' ויהיה העולה ל‫'
Let H parts of G of the number L be the number M. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{H}{G}\sdot L=M}}$	ויהיו ה' חלקים מג' במספר ל' מספר מ‫'
Let the remainder be the number N. $\scriptstyle{\color{blue}{L-M=N}}$	וישאר מספר נ‫'
Let Z parts of D of the number N be the number S. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{Z}{D}\sdot N=S}}$	ויהיו ז' חלקים מד' במספר נ' מספר ס‫'
Let the remainder be the number E. $\scriptstyle{\color{blue}{N-S=E}}$	וישאר מספר ע‫'
We also take Z parts of D of the number A; let it be the number P. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{Z}{D}\sdot A=P}}$	וגם כן הנה נקח ז' חלקים מד' במספר א' ויהיה מספר פ‫'
Let the remainder be the number X. $\scriptstyle{\color{blue}{A-P=X}}$	וישאר מספר צ‫'
Let X be multiplied by B and the result is Q. $\scriptstyle{\color{blue}{X\times B=Q}}$	ויוכה צ' בב' ויהיה ק‫'
Let H parts of G of the number Q be the number R. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{H}{G}\sdot Q=R}}$	ויהיו ה'‫^[117] חלקים מג' במספר ק' מספר ר‫'
Let the remainder be the number Ŝ. $\scriptstyle{\color{blue}{Q-R=\hat{S}}}$	וישאר מספר ש‫'
Supposition: I say that the numbers Ŝ and E are equal. $\scriptstyle{\color{blue}{\hat{S}=E}}$	ואומר שמספרי ש'ע' שוים
Proof: A multiplied by B is L. $\scriptstyle{\color{blue}{A\times B=L}}$	המופת כי א' הוכה בב' והיה ל‫'
So, the ratio of A to L is as the ratio of one to B. $\scriptstyle{\color{blue}{A:L=1:B}}$	הנה יחס א' אל ל' כיחס אחד‫^[118] אל ב‫'
It is clear from the previous proposition that the ratio of L to N is as the ratio of G to T. $\scriptstyle{\color{blue}{L:N=G:T}}$	ויתבאר ממה שקדם בתמונה הקודמת שיחס ל' אל נ' הוא כיחס ג' אל ט‫'
Also, the ratio of N to E is as the ratio of D to K. $\scriptstyle{\color{blue}{N:E=D:K}}$	ויחס נ' אל ע'‫^[119] הוא כיחס ד' אל כ‫'
Hence, the ratio of A to E consists of the numbers one, G, D to the numbers B, T, K. $\scriptstyle{\color{blue}{A:E=\left(1\sdot G\sdot D\right):\left(B\sdot T\sdot K\right)}}$	הנה אם כן יחס א' אל ע' מחובר ממספרי אחד ג'ד'‫^[120] אל מספרי ב'ט'כ‫'
So, it is clear that the ratio of A to Ŝ consists of the numbers D, one, G to the numbers K, B, T. $\scriptstyle{\color{blue}{A:\hat{S}=\left(D\sdot 1\sdot G\right):\left(K\sdot B\sdot T\right)}}$	ובזה התבאר שיחס א' אל ש'‫^[121] מחובר ממספרי ד' אחד ג' אל מספרי כ'ב'ט'‫^[122]
But, the ratio that consists of the numbers one, G, D to the numbers B, T, K is the same as the ratio that consists of the numbers D, one, G to the numbers K, B, T. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot G\sdot D\right):\left(B\sdot T\sdot K\right)=\left(D\sdot 1\sdot G\right):\left(K\sdot B\sdot T\right)}}$	אבל היחס המחובר ממספרי אחד ג'ד'‫^[123] אל מספרי ב'ט'כ' הוא כמו היחס המחובר ממספרי ד' אחד ג' אל מספרי כ'ב'ט‫'
Therefore, the ratios of A to E and to Ŝ are the same. $\scriptstyle{\color{blue}{A:E=A:\hat{S}}}$	אם כן יחס א' אל ע' ואל ש' אחד
Then, E is the same as Ŝ. $\scriptstyle{\color{blue}{E=\hat{S}}}$	אם כן ע' כמו ש‫'
Q.E.D.	והוא מה‫^[124] שרצינו לבאר
We have called one a number, although it is not a number, as a metaphor, for the proof does not change by that, and this is clarified by the proof in proposition 13 of this section.	והנה קראנו האחד מספר ואם איננו מספר על צד ההעברה‫^[125] כי צד המופת לא יתחלף בזה וזה מבואר מהמופת הנעשה בזה בתמונת י"ג מזה המאמר
Arithmetic progressions and sums
19) Definition of the number of terms in a progression: For every given number, the number of the successive numbers starting from one up to the given number is as the number of the units in the given number.	י"ט כל מספר מונח הנה מספר המספרים הנמשכים המתחילים מן האחד עד שהגיע ההמשך אל המספר המונח הוא‫^[126] כמספר מה שבמספר המונח‫^[127] מן האחדים
Let AB be the given number	ויהיה המספר המונח מספר א'ב‫'
Supposition: I say that the number of the successive numbers starting from one up to AB is as the number of units in AB.	ואומר שמספר המספרים הנמשכים מתחילין מן האחד עד שהגיע ההמשך‫^[128] אל מספר א'ב' הוא‫^[129] כמספר ‫^[130]מה שבמספר א'ב' מן האחדים
The proof: We divide AB into parts equal to the units in it, which are AG, GD, DH, HB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=AG+GD+DH+HB}}$	המופת שאנחנו נחלוק א'ב' בדמיוני מה שיש בו מן האחדים והם א'ג' ג'ד' ד'ה' ה'ב‫'
AG is one. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=1}}$	הנה א'ג' הוא אחד
When GD, which is one, is added to it, the sum is AD, which is the successive number that follows AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=AG+GD=AG+1}}$	וכאשר חובר עמו ג'ד' שהוא אחד היה א'ד' המספר הנמשך לא'ג' לאחריו
Similarly, it is clear that the number AH is the successive number that follows AD; and the number AB is the successive number that follows AH	וכזה התבאר שמספר א'ה' הוא הנמשך למספר א'ד' לאחריו ושמספר א'ב' הוא המספר הנמשך למספר א'ה' לאחריו
Hence, the numbers AG, AD, AH, AB are successive numbers starting from one, and their number is as the number of the units in AB.	הנה אם כן מספרי א'ג' א'ד' א'ה' א'ב' נמשכים ומתחילים מן האחד ומספרם כמספר מה שבא'ב' מן האחדים
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
From this diagram itself it is clear that the last [term] among the successive numbers starting from one is the same as the number of these numbers.	ובזה התבאר מזאת התמונה בעצמה שמספר אחדי האחרון מהמספרים הנמשכים מתחילים מן האחד הוא כמספר המספרים ההם מתחילים מן האחד
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
20) For every even number, the number of the successive odd numbers beginning from one including one is equal to the number of the successive evens up to [that even number].	כ כל מספר זוג הנה מספר‫^[131] המספרים הנפרדים הנמשכים מן האחד והאחד עמהם עדיו שוה למספר הזוגות הנמשכים עדיו‫^[132]
Let AB be an even number.	ויהיה מספר א'ב' מספר זוג‫^[133]
Supposition: I say that the number of the successive evens up to AB is equal to the number of the successive odd numbers up to AB including one.	ואומר‫^[134] שמספר הזוגות הנמשכים עד מספר א'ב' שוה למספר המספרים הנפרדים הנמשכים עד מספר א'ב' והאחד עמהם
The proof: We divide AB by the number of units in it, which are AG, GD, DH, HB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=AG+GD+DH+HB}}$	המופת שנחלק א'ב' במנין מה שבו מן האחדים והם א'ג' ג'ד' ד'ה' ה'ב‫'
Since AB is even, AH is odd	הנה מפני שא'ב' הוא זוג יהיה א'ה' נפרד
For AB exceeds over AH by one. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=AH+1}}$	לפי שא'ב' מוסיף על א'ה' אחד‫^[135]
Therefore, AD is even and AG is odd and it is one.	ובזה התבאר שא'ד' זוג וא'ג' נפרד והוא האחד
It follows that the number of the successive evens up to [AB] is the same as the number of the [successive] odd numbers.	הנה אם כן מספר הזוגות הנמשכים עדיו הם כמו מספר הנפרדים
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
From this diagram it is clear that for every given odd number, the number of the successive odd numbers beginning from one exceeds over the number of the successive evens by one.	ומזאת התמונה התבאר שכל מספר נפרד מונח יהיה מספר המספרים הנפרדים מתחילים מן האחד הנמשכים עדיו מוסיף על מספר הזוגות אחד
This is because, when we subtract the [last] odd number from them, the last [number] will be even, so the number of the evens will be equal to the number of the odds.	וזה שכאשר נגרע מהם זה המספר הנפרד היה האחרון זוג ויהיה מספר הזוגות שוה למספר המספרים הנפרדים
Therefore, the number of the successive odd numbers exceeds over the number of the successive evens by one.	יהיה אם כן מספר הנפרדים מוסיף אחד על מספר‫^[136] הזוגות
21) When some numbers follow a given number, the last number among these numbers exceeds the given number by a number of units that is similar to the number of these successive numbers	כ"א כאשר נמשכו אחר מספר מונח מספרים מה הנה מספר האחרון שבמספרים ההם‫^[137] מוסיף על המספר המונח מן האחדים כמו מספר המספרים הנמשכים ההם
Let AG, AD, AH be the successive numbers that follow the number AB.	וימשכו אחר ‫^[138]מספר א'ב' המונח מספרי א'ג' א'ד' א'ה‫'
Let Z be the number of these numbers.	ויהיה מספר אלו המספרים מספר ז‫'
Supposition: I say that the number AH exceeds over the number AB by the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{AH-AB=Z}}$	ואומר שמספר‫^[139] א'ה' מוסיף על מספר א'ב' מספר ז‫'
The proof: We define the number of the successive numbers up to AB as the number C.	המופת שאנחנו נשים מספר המספרים הנמשכים עד א'ב' מספר ח‫'
So, the number of the units of AB is C.	הנה אם כן מספר אחדי א'ב' הם ח‫'
The number of the successive numbers up to AH exceeds over the number of the successive numbers up to AB by the number Z.	וגם כן הנה מספר המספרים הנמשכים עד א'ה' מוסיף על מספר המספרים הנמשכים עד א'ב' מספר ז‫'
Hence, the number of the successive numbers up to AH is the sum of the numbers C and Z.	הנה אם כן מספר המספרים הנמשכים עד א'ה' הם מספרי ח'ז' מקובצים
So, the number of the units in AH is the same as the sum of the numbers C and Z.	אם כן מספר מה שבא'ה' מן האחדים הוא כמו מספרי ח'ז' מקובצים
But, the number of the units of AB is C.	ואולם מספר אחדי א'ב' הוא ח‫'
Therefore, the number AH exceeds over AB by the number Z.	אם כן מספר א'ה' מוסיף על א'ב' כמו מספר ז‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
22) When the number of the successive numbers before a given number is equal to the number of the successive numbers following it, the excess of the given number over the first number the successive numbers before it is equal to the excess of the last number of the successive numbers following it over the given one.	כ"ב כאשר היה מספר הנמשכים לפני מספר מונח כמו מספר הנמשכים לאחריו הנה יתרון המספר המונח על הראשון מהנמשכים לו לפניו‫^[140] הוא כמו יתרון האחרון מהנמשכים לו‫^[141] לאחריו על המספר המונח
Let the number AB be the given number.	ויהיה המספר המונח מספר א'ב‫'
Let the numbers AG, AD, AH be the successive numbers that precede it.	ויהיו המספרים הנמשכים לפניו מספרי א'ג' א'ד' א'ה‫'
Let the numbers AZ, AC, AT be the successive numbers that follow it.	והמספרים הנמשכים לו לאחריו מספרי א'ז' א'ח' א'ט‫'
Supposition: I say that the excess of the number AB over the number AH is equal to the excess of the number AT over the number AB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB-AH=AT-AB}}$	ואומר שיתרון מספר א'ב' על‫^[142] מספר א'ה' שוה ליתרון מספר‫^[143] א'ט' על מספר א'ב‫'
The proof: The number of the numbers AH AD AG is equal to the number of the numbers AZ, AC, AT.	המופת שמספר מספרי א'ה' א'ד' א'ג' שוה‫^[144] למספר מספרי א'ז' א'ח' א'ט‫'
But, the number of the numbers AD, AG, AB is equal to the number of the numbers AH, AD, AG.	אבל מספר מספרי א'ד' א'ג' א'ב' שוה למספר מספרי א'ה' א'ד' א'ג‫'
So, the number of the numbers AD, AG, AB is equal to the number of the numbers AZ, AC, AT.	יהיה אם כן מספר מספרי א'ד' א'ג' א'ב' שוה למספר מספרי א'ז' א'ח' א'ט‫'
The excess of AB over AH is as the number of the numbers AD, AG, AB.	ויתרון א'ב' על א'ה' הוא כמספר מספרי א'ד' א'ג' א'ב‫'
The excess of AT over AB is as the number of the numbers AZ, AC, AT.	ויתרון א'ט' על א'ב' הוא כמספר מספרי א'ז' א'ח' א'ט‫'
Therefore, the excess of AB over AH is equal to the excess of AT over AB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB-AH=AT-AB}}$	אם כן יתרון א'ב' על א'ה' שוה ליתרון א'ט' על א'ב‫'
Q.E.D.	והוא מש"ל
23) When the number of the successive numbers before a given number is equal to the number of the successive numbers following it, then if the first number the successive numbers before it is an even number, the last number of the successive numbers following it is an even number, and if the former is an odd number, the last is an odd number.	כ"ג כאשר היה מספר המספרים הנמשכים לפני מספר מונח כמו מספר הנמשכים לאחריו הנה אם היה הראשון מהנמשכים לפניו זוג הנה האחרון מהנמשכים לאחריו זוג ואם נפרד נפרד
Let the number D be the given number.	ויהיה המספר המונח מספר ד‫'
Let G, B, A the successive numbers that precede it.	והנמשכים לו לפניו מספרי ג'ב'א‫'
Let H, Z, C the successive numbers that follow it.	והנמשכים לו לאחריו מספרי ה'ז'ח‫'
Supposition: I say that if the number A is even, then the number C is even; and if the number A is odd, then the number C is odd.	ואומר שאם היה מספר א' זוג שמספר ח' זוג ואם היה מספר א' נפרד היה ‫^[145]מספר ח' נפרד
The proof: We define the excess of the number D over the number A as the number T. $\scriptstyle{\color{blue}{D-A=T}}$	המופת שאנחנו נשים יתרון מספר ד' על מספר א' מספר ט‫'
So, the excess of the number C over the number D is the number T. $\scriptstyle{\color{blue}{C-D=T}}$	ולזה היה יתרון מספר ח' על מספר ד' מספר ט‫'
Therefore, the excess of the number C over the number A is the same as two times the number T. $\scriptstyle{\color{blue}{C-A=2\sdot T}}$	הנה אם כן יתרון מספר ח' על מספר א' הוא כמו שני דמיוני מספר ט‫'
But, two times number T is an even number, therefore, the excess of the number C over the number A is an even number.	אבל שני דמיוני מספר ט' הוא זוג הנה אם כן יתרון מספר ח' על מספר א' הוא זוג
Hence, if A is an even number, C is an even number.	ולזה אם יהיה א'‫^[146] זוג יהיה ח' זוג
If A is an odd number, C is an odd number.	ואם היה א' נפרד יהיה ח' נפרד
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
24) When two numbers are summed, so that the excess of one of them over one is the same as the subtraction of the other from a given number, the sum of the two numbers is equal to the successive number that follows the given number. $\scriptstyle a-1=n-b\longrightarrow a+b=n+1$	כ"ד כאשר חוברו שני מספרים והיה יתרון מספר מה ^מהם על אחד כמו חסרון המספר השני ממספר מה מונח הנה שני המספרים מחוברים שוים אל המספר הנמשך אל המספר המונח לאחריו
Let the excess of A over one be the same as the difference from the number B to the given number G. $\scriptstyle{\color{blue}{A-1=G-B}}$	ויהיה תוספת א' על אחד כמו חסרון מספר ב' ממספר ג' המונח
Let the number DH be the successive number that follows G. $\scriptstyle{\color{blue}{DH=G+1}}$	ויהיה המספר הנמשך אל ג' לאחריו מספר ד'ה‫'
Supposition: I say that the sum of the numbers A and B is equal to the number DH. $\scriptstyle{\color{blue}{A+B=DH}}$	ואומר שמספרי א'ב' מחוברים שוים למספר ד'ה‫'
The proof: We subtract one, which is HZ, from DH; DZ remains equal to G. $\scriptstyle{\color{blue}{G=DH-1=DH-HZ=DZ}}$	המופת שנגרע מד'ה' אחד והוא ה'ז' וישאר ד'ז' ‫^[147]שוה לג‫'
We define the difference from B to G as the number ZC. $\scriptstyle{\color{blue}{G-B=ZC}}$	ונשים חסרון ב' מג' מספר ז'ח‫'
Then, DC remains equal to B. $\scriptstyle{\color{blue}{DC=B}}$	וישאר ד'ח' שוה לב‫'
But, CZ is also the excess of A over one. $\scriptstyle{\color{blue}{CZ=A-1}}$	אבל ח'ז' הוא גם כן תוספת א' על אחד
ZH is one. $\scriptstyle{\color{blue}{ZH=1}}$	וז'ה' הוא אחד
So, HC is equal to A. $\scriptstyle{\color{blue}{CH=A}}$	אם כן יהיה ח'ה' שוה לא‫'
DC is equal to B. $\scriptstyle{\color{blue}{DC=B}}$	וכבר היה ד'ח' שוה לב‫'
Therefore, DH is equal to the sum of B and A. $\scriptstyle{\color{blue}{DH=B+A}}$	אם כן ד'ה' שוה לב'א' מחוברים
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
25) When two numbers are summed, so that the excess of one of them over a given number is equal to the subtraction of the other from the given number, the sum of the two [numbers] is equal to double the given number. $\scriptstyle a-n=n-b\longrightarrow a+b=2n$	כ"ה כאשר חוברו שני מספרים והיה תוספת אחד מהם על מספר מונח שוה לחסרון האחר מהמספר המונח הנה שניהם מחוברים שוים לכפל המספר המונח
Let the difference from the number A to the given number B be equal to the excess of GH over the given number B. $\scriptstyle{\color{blue}{B-A=GH-B}}$	ויהיה חסרון מספר א' ממספר ב' המונח שוה לתוספת ג'ה' על מספר ב' המונח
Supposition: I say that the sum of A and GH is equal to double the number B. $\scriptstyle{\color{blue}{A+GH=2B}}$	ואומר שא' וג'ה' נחברים שוים לכפל מספר ב' המונח
The proof: We subtract from GH its excess over the given B, which is HZ. $\scriptstyle{\color{blue}{GH-B=HZ}}$	המופת שנבדיל מג'ה' מה שהוסיף על ב' המונח והוא ה'ז‫'
GZ remains equal to B. $\scriptstyle{\color{blue}{GZ=B}}$	וישאר ג'ז' שוה לב‫'
Also, since HZ is the difference from the number A to the number B, the sum of HZ plus A is the same as B. $\scriptstyle{\color{blue}{HZ=B-A\longrightarrow HZ+A=B}}$	וגם כן הנה מפני שה'ז' הוא חסרון מספר א' ממספר ב' כבר יחובר ה'ז' עם א' ויהיה כמו ב‫'
But, GZ is equal to B. $\scriptstyle{\color{blue}{GZ=B}}$	וכבר היה ג'ז' שוה לב‫'
Therefore, the sum of A and GH is equal to double the number B. $\scriptstyle{\color{blue}{A+GH=2B}}$	אם כן מספרי א'‫^[148] וג'ה' נחברים שוים לשני כפלי מספר ב‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
26) When the successive numbers are summed by the sequence of the [natural] numbers beginning from one and the number of the terms that are summed is even, the sum is equal to the product of half the number of the terms by the number that follows the last term. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n} i=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\sdot\left(2n+1\right)$	כ"ו כאשר נקבצו המספרים הנמשכים בדרך המספר מתחילים מן האחד והיה מספר המספרים ‫^[149]שחוברו זוג הנה העולה שוה אל שטח חצי מספר המספרים ההם במספר הנמשך אחר האחרון
Let the numbers A, B, G, D, H, W be the successive numbers.	ויהיו המספרים הנמשכים א'ב' ג'ד' ה'ו‫'
Let the number Z be the successive number that follows W. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=W+1}}$	ויהיה המספר הנמשך אחר ו' מספר ז‫'
Let A be one and we call it a number in this whole investigation as a metaphor. $\scriptstyle{\color{blue}{A=1}}$	וא' הוא אחד ונקראהו מספר בכל זאת החקירה על צד ההעברה
Supposition: I say that the sum of A, B, G, D, H, W is equal to the product of half their number by the number Z.	ואומר שא'ב' ג'ד' ה'ו' מקובצים שוה אל הנערך מחצי מספרם על מספר ז‫'
The proof: Since A is one, the sum of W and A is equal to Z. $\scriptstyle{\color{blue}{A=1\longrightarrow W+A=Z}}$	המופת כי מפני שא' הוא אחד יהיו ו' וא' מקובצים שוים לז‫'
But, the excess of B over one is equal to the difference between H and W, since the excess is one. $\scriptstyle{\color{blue}{B-1=W-H}}$	אבל תוספת ב' על אחד שוה לחסרון ה' ממספר ו' מפני שהתוספת הוא אחד
So, the sum of B and H is equal to Z. $\scriptstyle{\color{blue}{B+H=Z}}$	אם כן ב'ה' נחברים שוה לז‫'
But, the excess of G over one is equal to the difference between D and W, since the excess is two. $\scriptstyle{\color{blue}{G-1=W-D}}$	אבל תוספת ג' על אחד שוה לחסרון ד' מו'‫^[150] לפי שהתוספת הוא שנים
So, the sum of G and D is equal to Z. $\scriptstyle{\color{blue}{G+D=Z}}$	אם כן ג'ד' מחוברים שוים לז‫'
Hence, the sum of numbers A, B, G, D, H, W, is counted by Z as the measure of half their number, because every two are counted once by [Z].	אם כן נקבץ מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו' ימנהו ז' כשעור חצי מספרם לפי שכל שנים מהם ימנוהו פעם אחת
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
It is clear that this proof applies to the infinite [series of numbers], and there is no doubt that [with this procedure] we finally arrive at two consecutive numbers, such as G and D in our example.	והוא מבואר שבזה הבאור בעינו יתבאר לאין תכלית ואין ספק שהוא מחוייב שנגיע בזאת ההדרגה באחרונה אל שני מספרים נמשכים כמו ג'ד' במשלנו זה
Because if it were otherwise possible, there would have to be a number between them, so the greater number would have to exceed the number corresponding to it by two.	שאם היה אפשר זולת זה יהיה ביניהם באחרונה מספר אחר אם כן המספר הגדול מהם מוסיף על גילו שנים
We define the difference between the greatest [of the two] and the last number as the number T.	ונשים חסרון הגדול מהם ממספר האחרון מספר ט‫'
Then, the excess of the smaller of these two corresponding numbers over 1 will be the number T.	ולזה יהיה יתרון הקטן מאלו שני המספרים הגיליים על האחד מספר ט‫'
But, the excess of the greater over the smaller is two.	וכבר היה יתרון הגדול על הקטן שנים
So, the excess of the greater over one is the number T plus two.	יהיה א"כ יתרון הגדול על האחד מספר ט'‫^[151] נחבר עם שנים
But, the excess of the final [term] over the greater is the number T.	וכבר היה יתרון האחרון על הגדול מספר ט‫'
So, the excess of the final [term] over one is twice the number T summed with two.	יהיה אם כן יתרון האחרון על האחד כמו שני דמיוני מספר ט' מקובצים עם שנים
But twice number T plus two is an even number.	אבל שני דמיוני מספר ט' מקובצים עם שנים הוא זוג
Therefore, the excess of the final [term] over one is an even number.	יהיה אם כן יתרון האחרון על האחד‫^[152] מספר‫^[153] זוג
Hence, the final [term] is odd, but [according to the assumption] it is even - contradiction.	אם כן האחרון נפרד וכבר היה זוג זה שקר
So, one necessarily arrive eventually at two consecutive numbers, and thus the theorem is proven to be true.	אם כן הוא מחוייב שיגיע באחרונה אל שני מספרים נמשכים ובזה התאמת הספור
27) When the successive numbers are summed by the sequence of the [natural] numbers including one and the number of the terms that are summed is odd, the sum is equal to the product of the mean term amoung them by the last term. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n-1} i=n\sdot\left(2n-1\right)$	כ"ז כאשר חוברו המספרים הנמשכים בדרך המספר והאחד‫^[154] עמהם והיה מספר המספרים שחוברו נפרד הנה העולה שוה אל שטח המספר האמצעי מהם במספר האחרון
Let A, B, G, D, H, W, Z be the successive numbers and A is one.	ויהיו המספרים הנמשכים א'ב' ג'ד' ה'ו' ז' וא' הוא אחד
Supposition: I say that the sum of the numbers A, B, G, D, H, W, Z is equal to the product of D by Z. $\scriptstyle{\color{blue}{A+B+G+D+H+W+Z=D\times Z}}$	ואומר שמספרי א'ב' ג'ד' ה'ו' ז' נחברים שוים אל שטח ד' בז‫'
The proof: The difference from G to D is equal to the excess of H over D. $\scriptstyle{\color{blue}{D-G=H-D}}$	המופת שחסרון ג' מד' שוה לתוספת ה' על ד‫'
So, the sum of G and H is equal to two times D. $\scriptstyle{\color{blue}{G+H=2D}}$	‫^[155]אם כן ג'ה' מקובצים שוים לשני כפלי ד‫'
Also the difference from B to D is equal to the excess of W over D. $\scriptstyle{\color{blue}{D-B=W-D}}$	וגם כן חסרון ב' מד' שוה לתוספת ו' על ד‫'
So, the sum of B and W is equal to two times D. $\scriptstyle{\color{blue}{B+W=2D}}$	אם כן ב'ו' נחברים שוים לשני כפלי ד‫'
Similarly, it is clear that the sum of A and Z is equal to two times D. $\scriptstyle{\color{blue}{A+Z=2D}}$	ובזה התבאר שא'ז' נחברים שוים לשני כפלי ד‫'
So, D counts the sum of the numbers A, B, G, D, H, W, Z as many times as the number of these numbers.	אם כן נקבץ מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו'ז' ימנהו ד' כמספר המספרים ההם
Because D counts any two of them twice and D counts itself once.	לפי שכל שנים מהם ימנם ד' שני פעמים וד' ימנה עצמו פעם אחת
So, D counts the sum of the numbers A, B, G, D, H, W, Z as many times as the number of these numbers.	אם כן נקבץ מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו'ז' ימנהו ד' כמספר המספרים ההם
But, the number of these numbers is Z.	אבל מספר המספרים ההם הם כמו מספר ז‫'
So, D counts the sum of the numbers A, B, G, D, H, W, Z as the number of units of Z.	אם כן נקבץ מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו'ז' ימנהו ד' כמספר אחדי ז‫'
Therefore, D multiplied by Z is equal to the sum of the numbers A, B, G, D, H, W, Z.	אם כן כבר יוכה ד' בז' ויהיה שוה לנקבץ מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו'ז‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
There is no doubt that by this procedure one arrives at the last [term] as at the first, because the number D is the mean between the first and the last, and therefore the number of the successive numbers before the mean is equal to the number of the successive [numbers] after it.	ואין ספק שבזאת ההדרגה נגיע אל האחרון כהגיענו אל הראשון לפי שמספר ד' הוא אמצעי בין האחרון והראשון ולזה יהיה מספר המספרים הנמשכים לפני האמצעי כמו מספר המספרים הנמשכים לאחריו
28) When there are successive numbers beginning from one and the number of the terms is odd, if half the last number is multiplied by the succeeding number after it, the result is equal to the sum of these numbers. $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]\sdot2n=\sum_{i=1}^{2n-1} i$	כ"ח כאשר היו מספרים נמשכים מתחילים מן האחד והיה מספר המספרים נפרד הנה אם הוכה חצי מספר האחרון במספר הנמשך לו לאחריו יהיה העולה שוה אל נקבץ המספרים ההם
Let the numbers A, B, G, D, H, W, Z be the [successive] numbers.	ויהיו המספרים מספרי‫^[156] א'ב' ג'ד' ה'ו'ז‫'
A is one. $\scriptstyle{\color{blue}{A=1}}$	וא' הוא אחד‫^[157]
Let number C be the successive number that follows number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{C=Z+1}}$	ויהיה המספר הנמשך למספר ז' לאחריו מספר ח‫'
Supposition: I say that the product of half the number Z by the number C is equal to the sum of the numbers A, B, G, D, H, W, Z. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot Z\right)\sdot C=A+B+G+D+H+W+Z}}$	ואומר ששטח חצי מספר ז' במספר ח' שוה אל נקבץ מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו'ז‫'
The proof: Since the sum of A and Z is equal to twice D, because A is one. $\scriptstyle{\color{blue}{A=1\longrightarrow A+Z=2\sdot D}}$	המופת כי מפני שא' עם ז' נחברים שוים לשני כפלי ד' לפי שא' הוא אחד
And C is equal to the sum of A, Z, because A is one. $\scriptstyle{\color{blue}{A=1\longrightarrow C=A+Z}}$	וח' שוה לא'ז' מקובצים לפי שא' הוא אחד
Then, C is equal to double D. $\scriptstyle{\color{blue}{C=2\sdot D}}$	יהיה ח' שוה לכפל ד‫'
It has already been proven that the sum of the numbers A, B, G, D, H, W, Z equals the product of D by Z; but the product of D by Z equals the product of double D by half the number Z.	וכבר התבאר שנקבץ מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו'ז' שוה לשטח ד' בז' ושטח ד' בז'‫^[158] שוה לשטח כפל ד' בחצי מספר ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{A+B+G+D+H+W+Z=D\sdot Z=\left(2\sdot D\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot Z\right)}}$
Because the factors are proportional, meaning the ratio of D to double D is the same as the ratio of half the number Z to [Z]. $\scriptstyle{\color{blue}{D:\left(2\sdot D\right)=\left(\frac{1}{2}\sdot Z\right):Z}}$	לפי שהצלעות מספיקות רצוני לומר שיחס ד' אל כפל ד' כיחס חצי מספר ז' אל ז‫'
Hence the product of D by Z equals the product of C by half the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{D\sdot Z=C\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot Z\right)}}$	אם כן שטח ד' בז' שוה לשטח ח' בחצי מספר ז‫'
Therefore, the product of C by half the number Z is equal to the sum of the numbers A, B, G, D, H, W, Z. $\scriptstyle{\color{blue}{C\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot Z\right)=A+B+G+D+H+W+Z}}$	ואם כן שטח ח' בחצי מספר ז' שוה לנקבץ מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו'ז‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
29) The sum of the successive odd numbers by the sequence of the [natural] numbers including one is equal to the square of the mean number between the last odd number and one. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=n^2$	כ"ט נקבץ הנפרדים הנמשכים בדרך המספר‫^[159] והאחד‫^[160] עמהם שוה למרובע המספר האמצעי בין הנפרד האחרון והאחד
Let A, B, G, D, H, W, Z, C, T be the [successive] numbers.	ויהיו המספרים מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו' ז'ח'ט‫'
The numbers A, G, Z, H, T are odd.	ומספרי א'ג'ז' ה'ט' הם נפרדים
Supposition: I say that the sum of the odd [numbers] A, G, H, Z, T is equal to the square of the mean number between T and A.	ואומר ‫^[161]שנקבץ נפרדי א'ג' ה'ז'ט' שוה למרובע האמצעי בין ט' ובין א‫'
The proof: The mean number is either even or odd.	המופת שהמספר האמצעי אם שיהיה זוג ואם שיהיה נפרד
Let it be odd first, as is the case in our example.	ויהיה תחלה נפרד כמו הענין במשלינו זה
Supposition: I say that the sum of the numbers A, G, Z, H, T is equal to the square of the number H, which is the mean. $\scriptstyle{\color{blue}{A+G+H+Z+T=H^2}}$	ואומר שמספרי א'ג'ז' ה'ט' מקובצים שוים למרובע מספר‫^[162] ה' שהוא האמצעי
The proof: The sum of A and T is the same as double H. $\scriptstyle{\color{blue}{A+T=2\sdot H}}$	המופת שא' יחובר עם ט' ויהיה כמו כפל ה‫'
The sum of G and Z is the same as double H. $\scriptstyle{\color{blue}{G+Z=2\sdot H}}$	וג' יחובר עם ז' ויהיה כמו כפל ה‫'‫^[163]
So, H counts the sum of the numbers A, G, Z, H, T as the number of the odd numbers.	אם כן נקבץ מספרי א'ג'ז' ה'ט' ימנהו ה' כשעור מספר הנפרדים
It has already been proved that no odd term can remain in one side, which could not be connected to its corresponding term on the other side, because the number of terms following the middle term is the same as the number of terms preceding it.	והוא מבואר‫^[164] שלא ישאר נפרד באחד הפאות שלא יתחבר עם גילו בפאה האחרת‫^[165] לפי שמספר המספרים ההם אשר אחר המספר האמצעי הוא כמו מספר המספרים אשר לפניו
The even [numbers] are connected to the even [numbers] and the odd to the odd.	והזוגות יתחברו עם הזוגות והנפרדים עם הנפרדים כמו שקדם
So, the number of the odd [numbers] preceding the middle term is the same as the number of the odd [numbers] following it.	אם כן מספר הנפרדים אשר לפני האמצעי כמו מספר הנפרדים אשר לאחריו
But, the number of the odd numbers preceding H is the same as half the number H when one is subtracted from it.	אבל מספר הנפרדים אשר לפני ה' הוא כמו חצי מספר ה' כשנגרע ממנו אחד
So, the number of the numbers A, G, Z, T is as the number H minus one.	יהיה אם כן מספר מספרי א'ג' ז'ט' כמו מספר ה' פחות אחד
Hence, H counts the sum of the numbers A, G, Z, T as the number of the units of H minus one.	אם כן נקבץ מספרי א'ג'ז'ט'‫^[166] ימנהו ה' כשעור אחדי ה' פחות אחד
H counts itself once.	וה' ימנה עצמו פעם אחת
Therefore, H counts the sum of the numbers A, G, H, Z, T by the number of the units of H.	אם כן נקבץ מספרי א'ג'ה' ז'ט' ימנהו ה' בשעור אחדי ה‫'
So, the sum of the numbers A, G, H, Z, T equals the square of H. $\scriptstyle{\color{blue}{A+G+H+Z+T=H^2}}$	אם כן נקבץ מספרי א'ג'ה' ז'ט' שוה למרובע ה‫'
If the middle term is even, as the case of the numbers A, B, G, D, H, W, Z:	ויהיה גם כן האמצעי זוג כמו הענין במספרי א'ב' ג'ד' ה'ו' ז‫'
Supposition: I say that the sum of the numbers A, G, H, Z is equal to the square of the number D, which is the mean. $\scriptstyle{\color{blue}{A+G+H+Z=H^2}}$	ואומר שנקבץ מספרי א'ג' ה'ז' שוה‫^[167] למרובע מספר ד' שהוא האמצעי
It is clear, as in the previous proof, that D count the sum of the numbers A, G, H, Z as the number of the odd terms.	והנה יתבאר בכמו הבאור הקודם שנקבץ מספרי א'ג' ה'ז' ימנהו ד' כשעור מספר‫^[168] המספרים הנפרדים
Since the number D is an even number, the [number of] odd numbers preceding it is equal to half its number.	ולפי שהיה מספר ד' זוג יהיו הנפרדים שלפניו שוים לחצי מספרו
It has already been proven that the number of odd [numbers] following it is equal to the number of odd [numbers] preceding it.	וכבר התבאר שמספר הנפרדים אשר אחריו שוה למספר הנפרדים לפניו
So, the number of odd [numbers] following it is equal to half its number.	א"כ מספר הנפרדים לאחריו‫^[169] שוה לחצי מספרו
Therefore, the number of odd [numbers] preceding and following it is equal to the number D.	ולזה יהיה מספר הנפרדים אשר לפניו ולאחריו שוה למספר ד‫'
It has already been proved that D counts the sum of the numbers A, G, H, Z by the number of these odd [numbers], which is equal to the number D.	וכבר התבאר שנקבץ מספרי א'ג' ה'ז' ימנהו ד' במספר הנפרדים‫^[170] ההם אשר הוא שוה למספר ד‫'
So, the sum of the numbers A, G, H, Z equals the square of D. $\scriptstyle{\color{blue}{A+G+H+Z=D^2}}$	אם כן נקבץ מספרי א'ג' ה'ז' שוה למרובע ד‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
30) When the sum of the successive numbers by the sequence of the [natural] numbers beginning from one up to a given number is summed with the sum of the successive numbers beginning from one up to the succeeding number after the given number, the result is equal to the square of the succeeding number after the given number. $\scriptstyle\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)+\left(\sum_{i=1}^{n+1} i\right)=\left(n+1\right)^2$	ל כאשר חובר נקבץ הנמשכים בדרך המספר מתחילים מן האחד עד‫^[171] מספר מה מונח עם נקבץ הנמשכים ‫^[172]מתחילים מן האחד עד המספר הנמשך אחר המספר המונח הנה העולה שוה למרובע המספר הנמשך אחר המספר המונח
Let the sum of the numbers A, B, G, D, H added to the sum of the numbers A, B, G, D, H, W,.	ויחובר נקבץ מספרי א'ב' ג'ד' ה' עם נקבץ מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו‫'
Let A be one. $\scriptstyle{\color{blue}{A=1}}$	ויהיה א' אחד
Supposition: I say that the sum is equal to the square of W.	ואומר שהעולה שוה למרובע ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D+H\right)+\left(A+B+G+D+H+W\right)=W^2}}$
The proof: We define the number that follows W as the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=W+1}}$	המופת שאנחנו נשים המספר הנמשך אחר ו' מספר ז‫'
It is clear that the sum of the numbers A, B, G, D, H is equal to the product of half the number H by W. $\scriptstyle{\color{blue}{A+B+G+D+H=\left(\frac{1}{2}\sdot H\right)\sdot W}}$	והוא מבואר שנקבץ מספרי א'ב' ג'ד' ה' שוה לשטח חצי מספר ה' בו‫'
The sum of the numbers A, B, G, D, H, W is equal to the product of half the number W by Z. $\scriptstyle{\color{blue}{A+B+G+D+H+W=\left(\frac{1}{2}\sdot W\right)\sdot Z}}$	ונקבץ א'ב'ג'ד'ה'ו' שוה לשטח חצי מספר‫^[173] ו' בז‫'
But, the product of half the number W by Z is equal to the product of half the number Z by W, because the factors are proportional. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot W\right)\sdot Z=\left(\frac{1}{2}\sdot Z\right)\sdot W}}$	אבל שטח חצי מספר ו' בז' שוה לשטח חצי מספר ז' בו' מפני שהצלעות מספיקות
Therefore, the sum of the sums of the numbers A, B, G, D, H and A, B, G, D, H, W is equal to the product of half the number H by W plus the product of half the number Z by W, which is the same as the product of half the number H plus Z by W.	אם כן נקבצי א'ב'ג'ד'ה' א'ב'ג'ד'ה'ו' מחוברים שוים לשטח חצי מספר ה' בו' ולשטח חצי מספר ז' בו' והוא כמו שטח חצי מספרי ה'ז' בו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(A+B+G+D+H\right)+\left(A+B+G+D+H+W\right)&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot H\right)\sdot W\right]+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot Z\right)\sdot W\right]\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(H+Z\right)\right]\sdot W\\\end{align}}}$
Since H plus Z is the same as double Z, half [their sum] is the same as W.	ומפני שה' וז' הוא כמו כפל ו' יהיה חצים כמו ו‫'
So, the sum of the sums of A, B, G, D, H and A, B, G, D, H, W is equal to the product of W by W, which is the same as the square of W.	אם כן נקבצי א'ב' ג'ד'ה' א'ב' ג'ד' ה'ו' מחוברים שוים לשטח ו' בו'‫^[174] והוא כמו מרובע ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D+H\right)+\left(A+B+G+D+H+W\right)=W\sdot W=W^2}}$
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
31) Twice the sum of the successive numbers by the sequence of the [natural] numbers beginning from one up to a given number is equal to the given number summed with its square. $\scriptstyle2\sdot\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)=n+n^2$	ל"א שני דמיוני נקבץ הנמשכים בדרך המספר מן האחד עד מספר מונח שוים אל המספר המונח מחובר עם מרובעו
Let A, B, G, D, H be the successive numbers	ויהיו המספרים הנמשכים מספרי א'ב' ג'ד' ה‫'
Let A be one. $\scriptstyle{\color{blue}{A=1}}$	והיה א' אחד
Supposition: I say that twice the sum of A, B, G, D, H is equal to the number H and the square of H. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(A+B+G+D+H\right)=H+H^2}}$	ואומר ששני דמיוני נקבץ מספרי א'ב' ג'ד' ה' שוה למספר ה' ולמרובע ה‫'
The proof: When the sum of A, B, G, D, H is added to the sum A, B, G, D, the result is equal to the square of H.	המופת שכאשר חובר נקבץ א'ב'ג'ד'ה' עם נקבץ א'ב'ג'ד' היה העולה שוה למרובע ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G+D+H\right)=H^2}}$
Therefore, the sum of the sum of A, B, G, D, H with the sum A, B, G, D, H exceeds over the square of H by an additional number H.	יהיה אם כן נקבץ א'ב'ג'ד'ה' מחובר עם נקבץ א'ב'ג'ד'ה' מוסיף על מרובע‫^[175] ה' כמו מספר ה' המוסף
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D+H\right)+\left(A+B+G+D+H\right)=H^2+H}}$
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
From this proposition it is clear that the sum of the successive [natural] numbers from one to a given number is equal to the square of the given number plus its half. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n^2\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}$	ומזאת התמונה יתבאר שנקבץ הנמשכים מן האחד עד מספר מונח שוה לחצי מרובע המספר המונח ולחציו
32) When the sums of the successive numbers that begin with one, whose last terms are successive numbers, starting from one up to a certain number, are summed, then the result is equal to the sum of the squares of the successive numbers of the type of the given number, from one up to the given number, I mean that if the given number is an odd number, the result is equal to the sum of the squares of the successive odd numbers up to the given number, including one, and if the given number is an even number, the sum is equal to the square of the successive even numbers up to the given number.	ל"ב כאשר חוברו נקבצי המספרים הנמשכים מן האחד‫^[176] נמשכים בתכליתם ומתחילים מן האחד עד מספר מונח הנה העולה שוה למרובעי מין המספר המונח הנמשכים בדרך המספר מן האחד‫^[177] עד המספר המונח רצוני שאם היה המספר המונח נפרד‫^[178] יהיה העולה שוה למרובעי הנפרדים הנמשכים עד המספר המונח והאחד עמהם ואם היה המספר המונח זוג יהיה העולה שוה למרובעי הזוגות הנמשכים עד המספר המונח
Let A be one. $\scriptstyle{\color{blue}{A=1}}$	ויהיה א' ‫^[179]אחד
Let it summed with the sum of A, B, with the sum A, B, G, the sum A, B, G, D, the sum A, B, G, D, H, and with the sum A, B, G, D, H, W.	ויחובר עם נקבץ א'ב' ועם נקבץ א'ב'ג' ועם נקבץ א'ב'ג'ד' ועם נקבץ א'ב' ג'ד' ה' ועם נקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו‫'
Let W be an even [number].	ויהיה ו' זוג
Supposition: I say that the sum is equal to [the sum of] the squares of B, D, W, which are even [numbers].	ואומר שהעולה שוה למרובעי ב'ד'ו' שהם הזוגות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle A+\left(A+B\right)+\left(A+B+G\right)+\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G+D+H\right)&\scriptstyle+\left(A+B+G+D+H+W\right)\\&\scriptstyle=B^2+D^2+W^2\\\end{align}}}$
The proof: The sum of the sums A, B, G, D, H, W and A, B, G, D, H is equal to the square of W.	המופת שנקבצי‫^[180] א'ב' ג'ד' ה'ו' א'ב' ג'ד' ה' מחוברים שוים למרובע ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D+H+W\right)+\left(A+B+G+D+H\right)=W^2}}$
The sum of the sums A, B, G, D and A, B, G is equal to the square of D. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G\right)=D^2}}$	ונקבצי א'ב' ג'ד' א'ב'ג' מחוברים שוים למרובע ד‫'
The sum of the sum A, B with A is equal to the square of B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B\right)+A=B^2}}$	ונקבצי א'ב' א'‫^[181] נחברים שוים למרובע ב‫'
Therefore, the sum of the sums A; A, B; A, B, G; A, B, G, D; A, B, G, D, H; A, B, G, D, H, W is equal to [the sum of] the squares B, D, W and the latter is also an odd [number].	אם כן נחבר נקבצי א' א'ב'‫^[182] א'ב'ג' א'ב'ג'ד' א'ב'ג'ד'ה' א'ב' ג'ד' ה'ו'‫^[183] שוים למרובעי ב'ד'ו' ויהיה האחרון גם כן נפרד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle A+\left(A+B\right)+\left(A+B+G\right)+\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G+D+H\right)&\scriptstyle+\left(A+B+G+D+H+W\right)\\&\scriptstyle =B^2+D^2+W^2\\\end{align}}}$
Supposition: I say that the sum is equal to [the sum of] the squares of the successive odd [numbers] until the given number including one.	ואומר שהעולה שוה למרובעי הנפרדים הנמשכים עד המספר המונח והאחד עמהם
The example: let the last [sum] be A, B, G, D, H, W, Z and let Z be an odd [number]	המשל שיהיה האחרון א'ב' ג'ד' ה'ו'ז'‫^[184] ויהיה ז' נפרד
Supposition: I say that the sum is equal to [the sum of] the squares of B, G, H, Z, which are odd [numbers].	ואומר שהעולה שוה למרובעי א'ג' ה'ז' הנפרדים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle A+\left(A+B\right)+\left(A+B+G\right)&\scriptstyle+\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G+D+H\right)+\left(A+B+G+D+H+W\right)\\&\scriptstyle +\left(A+B+G+D+H+W+Z\right)=A^2+G^2+H^2+Z^2\\\end{align}}}$
The proof: The sum of the sums A, B, G, D, H, W, Z and A, B, G, D, H, W is equal to the square of Z.	המופת שנקבצי א'ב' ג'ד' ה'ו' ז' א'ב' ג'ד' ה'ו' מחוברים שוה למרובע ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D+H+W+Z\right)+\left(A+B+G+D+H+W\right)=Z^2}}$
The sum of the sums A, B, G, D, H and A, B, G, D is equal to the square of H. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D+H\right)+\left(A+B+G+D\right)=H^2}}$	ונקבצי א'ב' ג'ד' ה' א'ב' ג'ד' מחוברים שוים למרובע ה‫'
The sum of the sums A, B, G and A, B is equal to the square of G. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G\right)+\left(A+B\right)=G^2}}$	ונקבצי א'ב'ג' א'ב' מחוברים‫^[185] שוים למרובע ג‫'
A remains, which is clearly equal to its square, because it is one. $\scriptstyle{\color{blue}{A=1=1^2=A^2}}$	וישאר א' והוא מבואר שהוא‫^[186] שוה למרובעו מפני שהוא אחד
Therefore, the sum is equal to [the sum of] the squares A, G, H, Z.	אם כן העולה שוה למרובעי א'ג' ה'ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle A+\left(A+B\right)+\left(A+B+G\right)&\scriptstyle+\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G+D+H\right)+\left(A+B+G+D+H+W\right)\\&\scriptstyle +\left(A+B+G+D+H+W+Z\right)=A^2+G^2+H^2+Z^2\\\end{align}}}$
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
33) When the sums of the successive numbers that begin with one, whose first terms are successive numbers, starting from one up to the last term, are summed, then the result is equal to the sum of the squares of all these numbers.	ל"ג כאשר חוברו נקבצי המספרים הנמשכים מן האחד נמשכים בראשיתם עד שהגיע ההמשך‫^[187] אל האחרון מהם הנה העולה שוה למרובעי כל המספרים ההם
Let the sum A, B, G, D, H be summed with the sum of B, G, D, H, with the sum G, D, H, the sum D, H, and with the number H.	ויחובר נקבץ א'ב' ג'ד' ה' עם נקבץ ב'ג' ד'ה' ועם נקבץ ג'ד'ה' ועם נקבץ ד'ה' ועם מספר ה‫'
Supposition: I say that the sum is equal to [the sum of] the squares of A, B, G, D, H.	ואומר שהעולה שוה למרובעי א'ב'ג'ד'ה‫'‫^[188]
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D+H\right)+\left(B+G+D+H\right)+\left(G+D+H\right)+\left(D+H\right)+H=A^2+B^2+G^2+D^2+H^2}}$
The proof: Each of the numbers A, B, G, D, H is found in these numbers as many times as the number of units in it.	המופת שכל אחד ממספרי א'ב' ג'ד'ה' הוא באלו המספרים כמספר מה שבו מן האחדים
For every number, the number of the successive numbers up to it is the same as the number [of its units].	וזה שכל מספר יהיה מספר המספרים הנמשכים עדיו כמספרו‫^[189]
But every number is found in the sums beginning with the successive numbers up to it, and not in the sums beginning with the numbers after it.	אבל המספר ימצא בכל אחד מהנקבצים המתחילים מן המספרים‫^[190] הנמשכים עדיו ואיננו בנקבצים המתחילים מהמספרים‫^[191] אשר אחריו
Because it is impossible that the smaller number will follow the larger [number].	כי הוא בלתי אפשר שימשך המספר הקטן אחר הגדול
So, each of the numbers A, B, G, D, H is found in these sums as many times as the number of the units in it, which is equal to its square.	הנה אם כן כל מספר‫^[192] ממספרי א'ב' ג'ד' ה' הוא באלו הנקבצים כמנין מה שבו מן האחדים בשוה וזה שוה למרובעו‫^[193]
Therefore, the sum of these sums is equal to [the sum of] the squares of the numbers A, B, G, D, H.	אם כן אלו הנקבצים מחוברים שוים למרובעי מספרי א'ב' ג'ד'ה‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
34) When the sums of the successive numbers starting from one, whose beginnings [correspond to the succession of the natural numbers] up to the last term, are summed with the sums of the successive numbers starting from one, whose ends [correspond to the succession of the natural numbers], from one up to the number that precedes the last term that we have mentioned, then the result is equal to the product of the last number by the sum of the successive numbers from one up to it.	ל"ד כאשר חובר נחבר נקבצי הנמשכים מן האחד נמשכים ‫^[194]בראשיתם עד שהגיע ההמשך אל האחרון עם נחבר נקבצי הנמשכים מן האחד נמשכים בתכליתם ומתחילין מן האחד עד שהגיע ההמשך אל המספר הנמשך לפני האחרון אשר זכרנו הנה העולה שוה לשטח המספר האחרון בנקבץ הנמשכים מן האחד עדיו
Let the sum of the sums A, B, G, D, H; B, G, D, H; G, D, H; D, H; H be summed with the sum of the sums A; A, B; A, B, G; A, B, G, D.	ויחובר נחבר נקבצי א'ב' ג'ד' ה' ב'ג'ד'ה' ג'ד'ה' ד'ה' ה' עם נחבר נקבצי א' א'ב' א'ב'ג' א'ב'ג'ד‫'
Supposition: I say that the sum is equal to the product of H by the sum of the numbers A, B, G, D, H.	ואומר שהעולה שוה לשטח ה' בנקבץ מספרי א'ב'ג'ד'ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(A+B+G+D+H\right)+\left(B+G+D+H\right)+\left(G+D+H\right)+\left(D+H\right)+H\right]\\&\scriptstyle+\left[A+\left(A+B\right)+\left(A+B+G\right)+\left(A+B+G+D\right)\right]=H\sdot\left(A+B+G+D+H\right)\\\end{align}}}$
The proof: The first sum of the successive numbers is A, B, G, D, H.	המופת שנקבץ הראשון מהנמשכים בראשיתם הוא א'ב' ג'ד'ה‫'
A is added to the sum of B, G, D, H and it becomes A, B, G, D, H. $\scriptstyle{\color{blue}{A+\left(B+G+D+H\right)=A+B+G+D+H}}$	וא' יחובר עם נקבץ ב'ג' ד'ה' ויהיה א'ב' ג'ד'ה‫'
A, B is added to G, D, H and it becomes A, B, G, D, H. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B\right)+\left(G+D+H\right)=A+B+G+D+H}}$	וא'ב' יחובר עם ג'ד'ה' ויהיה א'ב' ג'ד'ה‫'
A, B, G is added to D, H and it becomes A, B, G, D, H. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G\right)+\left(D+H\right)=A+B+G+D+H}}$	וא'ב'ג' יחובר עם ד'ה' ויהיה א'ב' ג'ד'ה‫'
A, B, G, D is added to H and it becomes A, B, G, D, [H]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D\right)+H=A+B+G+D+H}}$	וא'ב' ג'ד' יחובר עם ה' ויהיה א'ב' ג'ד'ה‫'
So, when the sums, whose beginnings [correspond to the succession of the natural numbers], are summed with their corresponding sums, whose ends [correspond to the succession of the natural numbers], each [sum] is equal to the sum A, B, G, D, H.	הנה אם כן כאשר חוברו הנקבצים הנמשכים בראשיתם עם גילם מהנקבצים הנמשכים באחריתם היה כל אחד מהם שוה לנקבץ א'ב' ג'ד'ה‫'
But the number of the sums, whose beginnings [correspond to the succession of the natural numbers], is the same as the number of units of the last term, which is H.	אבל מספר נקבצי הנמשכים בראשיתם הוא כמספר אחדי האחרון שהוא ה‫'
Because the number of successive numbers from one to H is the same as the number of units in it.	מפני שמספר המספרים הנמשכים מן האחד עד ה' הם כמספר מה שבה מן האחדים
Hence, the sum A, B, G, D, H counts the result by the number of units in H.	אם כן העולה ימנהו נקבץ א'ב' ג'ד'ה' במספר אחדי ה‫'
Therefore, the sum A, B, G, D, H is multiplied by the number H and it equals the resulting sum.	אם כן כבר יוכה נקבץ א'ב'ג'ד'ה'‫^[195] במספר ה' ויהיה שוה אל העולה מזה החבור‫^[196]
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
35) When two consecutive numbers are subtracted from [the sum of] their squares, the remainder is equal to twice the square of the smaller number. $\scriptstyle n^2+\left(n+1\right)^2-n-\left(n+1\right)=2n^2$	ל"ה כאשר חוסרו שני מספרים נמשכים ממרובעיהם הנה הנשאר שוה לשני כפלי מרובע המספר הקטן
Let D and H be two consecutive numbers and let H be the greater. $\scriptstyle{\color{blue}{H=D+1}}$	ויהיו שני מספרי ד'ה' נמשכים ויהיה ה' הוא הגדול
Supposition: I say that when the numbers D and H are subtracted from their squares, the remainder is equal to two times the square of D. $\scriptstyle{\color{blue}{D^2+H^2-D-H=2D^2}}$	ואומר כי כשחוסרו ממרובעיהם מספרי ד'ה' היה הנשאר שוה לשני דמיוני מרובע ד‫'
The proof: The square of H exceeds over the square of D by double the product of one by D plus the square of one, which is one. $\scriptstyle{\color{blue}{H^2-D^2=2\sdot\left(D\sdot1\right)+1^2=2\sdot\left(D\sdot1\right)+1}}$	המופת שמרובע ה' מוסיף על מרובע ד' כפל שטח אחד בד' ומרובע אחד שהוא אחד
So, the square of H exceeds over the square of D by two times D plus one. $\scriptstyle{\color{blue}{H^2-D^2=2D+1}}$	אם כן מרובע ה' מוסיף על מרובע ד'‫^[197] שני דמיוני ד'‫^[198] ואחד
But, two times D plus one equals the sum of D and H. $\scriptstyle{\color{blue}{2D+1=D+H}}$	אבל שני דמיוני ד' ואחד שוים לד' וה' מקובצים
Because H exceeds over D by one. $\scriptstyle{\color{blue}{H-D=1}}$	לפי שה' מוסיף על ד' אחד
Therefore, the square of H equals the square of D plus the numbers D and H. $\scriptstyle{\color{blue}{H^2=D^2+D+H}}$	אם כן מרובע ה' שוה למרובע ד' ולמספרי ד'ה‫'
Hence the squares of D and H are equal to two times the sqaure of D plus the numbers D and H. $\scriptstyle{\color{blue}{D^2+H^2=2D^2+D+H}}$	אם כן מרובעי ד'ה' שוים לשני כפלי מרובע ד' ולמספרי ד'ה‫'
When we subtract the numbers D and H from them, the remainder equals two times the square of D. $\scriptstyle{\color{blue}{D^2+H^2-D-H=2D^2}}$	וכאשר גרענו מהם מספרי ד'ה' היה הנשאר שוה לשני דמיוני מרובע ד‫'‫^[199]
Q.E.D.	‫^[200]והוא מה שרצינו לבאר
36) When the sums of the successive numbers that begin with one, whose first terms are successive numbers up to the last term, are summed, if [the sum of] these successive numbers is subtracted, the remainder is equal to twice [the sum of] the successive squares of the numbers of the type of the number that precedes the last term, if it is even, [they are] even, if it is odd, [they are] odd, including one.	ל"ו כאשר חובר נקבץ‫^[201] הנמשכים מן האחד ונמשכים בראשיתם עד שהגיע ההמשך‫^[202] אל האחרון הנה אם הוסרו ממנו המספרים ההם הנמשכים יהיה הנשאר שוה לכפל מרובעי המין שלפני האחרון הנמשכים עדיו אם זוג זוג ואם נפרד נפרד והאחד עמהם
Let the sums A, B, G, D, H; B, G, D, H; G, D, H; D, H; H be summed and the sum of the numbers A, B, G, D, H be subtracted from the result.	ויחוברו נקבצי א'ב' ג'ד'ה' ב'ג'ד'ה' ג'ד'ה'‫^[203] ד'ה' ה' ויחוסרו‫^[204] מהעולה מספרי א'ב' ג'ד'ה' מקובצים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(A+B+G+D+H\right)+\left(B+G+D+H\right)+\left(G+D+H\right)+\left(D+H\right)+H\right]-\left(A+B+G+D+H\right)}}$
Supposition: I say that If the number before the last is even, the remainder is equal to double the [sum of the] squares of the even numbers up to it; and if the number before the last is odd, the remainder is equal to double the [sum of the] squares of the odd numbers up to it including one.	ואומר שאם היה המספר שלפני האחרון זוג שהנשאר שוה לכפל מרובעי הזוגות הנמשכים עדיו ואם היה המספר שלפני האחרון נפרד הנה הנשאר שוה לכפל מרובעי הנפרדים הנמשכים עדיו והאחד עמהם
First, let it be even, as is the case in our example.	ויהיה תחלה זוג כמו הענין במשלינו זה
I say that the remainder is equal to double the sum of the squares of the even numbers up to H, which are B and D.	ואומר שהנשאר שוה לכפל מרובעי הזוגות הנמשכים עד ה' והם ב' ד‫'
The proof: The result is equal to the [sum of the] squares of A, B, G, D, H minus [the sum of] the numbers A, B, G, D, H.	המופת שהעולה שוה למרובעי א'ב' ג'ד'ה' פחות מספרי א'ב' ג'ד'ה‫'
But the remainder of the squares of D, H, when the numbers D, H are subtracted from them, is equal to double the square of D. $\scriptstyle{\color{blue}{D^2+H^2-\left(D+H\right)=2D^2}}$	אבל הנשאר ממרובעי ד'ה' כשחוסר מהם מספרי ד'ה' שוה‫^[205] לכפל מרובע ד‫'
The remainder of the squares of B, G, when the numbers B, G are subtracted from them, is equal to double the square of B. $\scriptstyle{\color{blue}{B^2+G^2-\left(B+G\right)=2B^2}}$	והנשאר ממרובעי ב'ג' כשחוסר מהם מספרי ב'ג'‫^[206] שוה לכפל מרובע ב‫'
The remaining square of A is subtracted entirely, when a is subtracted, because A is one.	ומרובע א' הנשאר לוקח כלו בהלקח א' מפני שא' הוא אחד
So, the remainder is equal to double the squares of D, B.	אם כן הנשאר שוה לכפל מרובעי ד'ב‫'
Let now the number before the last be odd.	ויהיה גם כן המספר שלפני האחרון נפרד
Supposition: I say that the remainder is equal to double [the sum of] the squares of the odd numbers up to the last.	ואומר שהנשאר שוה לכפל מרובעי הנפרדים הנמשכים עד האחרון
Let the numbers be A, B, G, D, H, W and let the number before W be an odd number, which is H.	ויהיו המספרים א'ב' ג'ד' ה'ו'‫^[207] והמספר הנמשך לו' לפניו הוא‫^[208] נפרד והוא‫^[209] ה‫'
Supposition: I say that the remainder is equal to double [the sum of] the squares of the odd numbers up to W, which are A, G, H.	ואומר שהנשאר שוה לכפל מרובעי הנפרדים הנמשכים עד ו' והם א'ג'ה‫'
The proof: The result is equal to [the sum of] the squares of A, B, G, D, H, W minus the numbers A, B, G, D, H, W.	המופת שהעולה שוה למרובעי א'ב' ג'ד' ה'ו' פחות מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו‫'‫^[210]
But, the remainder from the squares of H, W, when the numbers H, W are subtracted from them, is equal to double the square of H. $\scriptstyle{\color{blue}{H^2+W^2-\left(H+W\right)=2H^2}}$	אבל הנשאר ממרובעי ה'ו' כשלוקח מהם מספרי ה'ו'‫^[211] שוה לכפל מרובע ה‫'
The remainder from the squares of G, D, when the numbers G, D are subtracted from them, is equal to double the square of G. $\scriptstyle{\color{blue}{G^2+D^2-\left(G+D\right)=2G^2}}$	והנשאר ממרובעי ג'ד' כשלוקח מהם מספרי ג'ד' שוה לכפל מרובע ג‫'
The remainder from the squares of A, B, when the numbers A, B are subtracted from them, is equal to double the square of A. $\scriptstyle{\color{blue}{A^2+B^2-\left(A+B\right)=2A^2}}$	והנשאר ממרובעי א'ב' כשלוקח מהם מספרי א'ב' שוה לכפל מרובע א‫'
So, the whole remainder is equal to double [the sum of] the squares of A, G, H.	אם כן הנשאר כלו שוה לכפל מרובעי א'ג'ה‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
37) When a given number is multiplied by the sum of the successive numbers from one to the successive number that follows it, the product is equal to three times [the sum of] the squares of the successive numbers up to it, which are of its type. $\scriptstyle n\sdot\left(\sum_{i=1}^{n+1} i\right)$	ל"ז כאשר הוכה מספר מונח על נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר הנמשך לו לאחריו הנה העולה שוה למרובעי מין המספר המונח הנמשכים עדיו שלשה פעמים
Let the number H be multiplied by the sum of the numbers A, B, G, D, H, W.	ויוכה מספר ה' על ‫^[212]נקבץ מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו‫'
Supposition: I say that the result is equal to three times [the sum of] the squares of the numbers up to it, which are the numbers A, G, H.	ואומר שהעולה שוה לשלשה דמיוני מרובעי מין ה' הנמשכים עדיו והם מספרי א' ג' ה‫'
The proof: The product of W by the sum of A, B, G, D, H, W is equal to the sums of A; A, B; A, B, G; A, B, G, D; A, B, G, D, H; summed with the sums of A, B, G, D, H, W; B, G, D, H, W; G, D, H, W; D, H, W; H, W; W.	המופת ששטח‫^[213] ו' בנקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו' שוה לנקבצי א' א'ב' א'ב'ג' א'ב'ג'ד' א'ב'ג'ד'ה' מחוברים עם נקבצי א'ב' ג'ד' ה'ו' ב'ג'ד'ה'ו' ג'ד' ה'ו' ד'ה'ו' ה'ו' ו‫'‫^[214]
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle W\times\left(A+B+G+D+H+W\right)\\&\scriptstyle=\left[A+\left(A+B\right)+\left(A+B+G\right)+\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G+D+H\right)\right]\\&\scriptstyle+\left(A+B+G+D+H+W\right)+\left(B+G+D+H+W\right)+\left(G+D+H+W\right)\\&\scriptstyle+\left(D+H+W\right)+\left(H+W\right)+W\\\end{align}}}$
But, the [sum of the] sums of A; A, B; A, B, G; A, B, G, D; A, B, G, D, H; is equal to [the sum of] the squares A, G, H.	אבל נקבצי א' א'ב' א'ב'ג' א'ב'ג'ד' א'ב'ג'ד'ה' שוים למרובעי א'ג'ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{A+\left(A+B\right)+\left(A+B+G\right)+\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G+D+H\right)=A^2+G^2+H^2}}$
The [sum of the] sums of A, B, G, D, H, W; B, G, D, H, W; G, D, H, W; D, H, W; H, W; W; when [the sum of] A, B, G, D, H, W is subtracted from it, the remainder is equal to double [the sum of] the squares of A, G, H.	ונקבצי א'ב' ג'ד' ה'ו' ב'ג'ד' ה'ו' ג'ד'ה'ו' ד'ה'ו' ה'ו' ו'‫^[215] כשחוסר מהם א'ב' ג'ד' ה'ו' יהיה הנשאר שוה לשני כפלי מרובעי א'ג'ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(A+B+G+D+H+W\right)+\left(B+G+D+H+W\right)+\left(G+D+H+W\right)\\&\scriptstyle+\left(D+H+W\right)+\left(H+W\right)+W-\left(A+B+G+D+H+W\right)\\&\scriptstyle=2\sdot\left(A^2+G^2+H^2\right)\\\end{align}}}$
So, the product of W by [the sum of] the numbers A, B, G, D, H, W is equal to three times [the sum of] the squares of A, G, H, and the sum of A, B, G, D, H, W.	אם כן שטח ו' במספרי א'ב' ג'ד' ה'ו' מקובצים שוה לשלשת דמיוני מרובעי א'ג'ה' ולנקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{W\times\left(A+B+G+D+H+W\right)=3\sdot\left(A^2+G^2+H^2\right)+\left(A+B+G+D+H+W\right)}}$
Since, the product of H by the sum of A, B, G, D, H, W is counted by the sum of A, B, G, D, H, W as the units in the number H.	ולפי ששטח ה' בנקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו' ימנהו נקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו' במספר אחדי ה‫'
And, the product of W by the sum of A, B, G, D, H, W is counted by the sum of A, B, G, D, H, W as the number of units of W, which exceeds over H by one.	ושטח ו' בנקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו' ימנהו נקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו' במספר אחדי ו'ו' מוסיף על ה' אחד
Then, the product of W by the sum of A, B, G, D, H, W exceeds over the product of H by the sum of A, B, G, D, H, W as the sum of A, B, G, D, H, W.	אם כן שטח ו' בנקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו' מוסיף על שטח ה' בנקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו' כמו נקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו‫'
But, the product of W by the sum of A, B, G, D, H, W exceeds over three times [the sum of] the squares of A, G, H by the sum of A, B, G, D, H, W.	אבל שטח ו' בנקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו' מוסיף על שלשת דמיוני מרובעי א'ג'ה' כמו נקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו‫'
So, the product of H by the sum of A, B, G, D, H, W is equal to three times [the sum of] the squares of A, G, H.	יהיה אם כן שטח ה' בנקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו' שוה לשלשת דמיוני מרובעי א'ג'ה‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
From this proof it is clear that if the third of a given number is multiplied by the sum of the successive numbers from one up to the number that follows [the given number], the result is equal to [the sum of] the squares of [the even or odd] numbers [depending on the type of the given number] up to the given number.	ומזאת התמונה התבאר שאם הוכה שלישית המספר המונח על נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר הנמשך לו לאחריו שהעולה שוה למרובעי מין המספר המונח הנמשכים עדיו
For, if this given number is multiplied by this sum, the result is equal to [three times the sum of] those squares up to it.	וזה שכאשר הוכה המספר ההוא המונח בנקבץ ההוא היה העולה שוה לשלשת דמיוני מרובעי מין המספר המונח הנמשכים עדיו
Therefore, the product of a third of that given number by that sum is equal to a third of three times [the sum of] the squares of [the even or odd] numbers [depending on the type of the given number] up to it, which is the same as the sum of the squares of [the even or odd] numbers [depending on the type of the given number] up to it.	יהיה אם כן שטח שלישית המספר ההוא המונח בנקבץ ההוא שוה לשלישית שלשה כפלי מרובעי מין‫^[216] המספר המונח הנמשכים עדיו שהוא כמו מרובעי המין ההוא הנמשכים עדיו
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
38) When a given number minus a third of the successive number that precedes it is multiplied by the sum of the successive numbers from one to the given number the product is equal to [the sum of] the squares of all the successive numbers from one to the given number. $\scriptstyle\left[n-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(n-1\right)\right]\right]\sdot\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)=\sum_{i=1}^{n} i^2$	ל"ח כאשר הוכה מספר מונח פחות שלישית המספר הנמשך לו לפניו על נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר המונח הנה העולה שוה למרובעי כל המספרים הנמשכים מן האחד עד המספר המונח‫^[217]
Let the number W minus a third of the number H by be multiplied by the sum of A, B, G, D, H, W.	ויוכה מספר ו' פחות שלישית מספר ה' על נקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו‫'
Supposition: I say that the result is equal to [the sum of] the squares of the numbers A, B, G, D, H, W.	ואומר שהעולה שוה למרובעי מספרי‫^[218] א'ב' ג'ד' ה'ו‫'
The proof: The product of W by the sum of the numbers A, B, G, D, H, W is equal to [the sum of] the sums A, B, G, D, H, W; B, G, D, H, W; G, D, H, W; D, H, W;H, W; W; summed with the sums of A; A, B; A, B, G; A, B, G, D; A, B, G, D, H; A, B, G, D, H, W.	המופת ששטח ו' במספרי א'ב' ג'ד' ה'ו' מקובצים שוה‫^[219] לנקבצי א'ב' ג'ד' ה'ו' ב'ג' ד'ה' ו'‫^[220] ג'ד' ה'ו' ד'ה'ו' ה'ו' ו' מחוברים עם נקבצי א' א'ב' א'ב'ג' א'ב'ג'ד' א'ב'ג'ד'ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle W\times\left(A+B+G+D+H+W\right)\\&\scriptstyle=\left(A+B+G+D+H+W\right)+\left(B+G+D+H+W\right)+\left(G+D+H+W\right)\\&\scriptstyle+\left(D+H+W\right)+\left(H+W\right)+W\\&\scriptstyle+\left[A+\left(A+B\right)+\left(A+B+G\right)+\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G+D+H\right)\right]\\\end{align}}}$
But [the sum of] the sums A, B, G, D, H, W; B, G, D, H, W; G, D, H, W; D, H, W;H, W; W; is equal to [the sum of] the squares of A, B, G, D, H, W.	אבל נקבצי א'ב'ג'ד'ה'ו' ב'ג'ד'ה'ו' ג'ד'ה'ו' ד'ה'ו' ה'ו' ו'‫^[221] שוים למרובעי א'ב' ג'ד' ה'ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(A+B+G+D+H+W\right)+\left(B+G+D+H+W\right)+\left(G+D+H+W\right)\\&\scriptstyle+\left(D+H+W\right)+\left(H+W\right)+W\\&\scriptstyle=A^2+B^2+G^2+D^2+H^2+W^2\\\end{align}}}$
The [sum of the] sums of A; A, B; A, B, G; A, B, G, D; A, B, G, D, H; A, B, G, D, H, W; is equal to [the sum of] the squares of A, G, H.	ונקבצי א' א'ב' א'ב'ג'‫^[222] א'ב' ‫^[223]ג'ד' א'ב' ג'ד' ה'‫^[224] שוים למרובעי א'ג'ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{A+\left(A+B\right)+\left(A+B+G\right)+\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G+D+H\right)=A^2+G^2+H^2}}$
So the product of W by the sum of the numbers A, B, G, D, H, W is equal to [the sum of] the squares of A, B, G, D, H, W, and [the sum of] the squares of A, G, H.	אם כן שטח ו' במספרי א'ב' ג'ד' ה'ו' מקובצים שוה למרובעי א'ב' ג'ד' ה'ו' ולמרובעי א'ג'ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{W\times\left(A+B+G+D+H+W\right)=\left(A^2+B^2+G^2+D^2+H^2+W^2\right)+\left(A^2+G^2+H^2\right)}}$
But the product of a third of H by the sum of A, B, G, D, H, W is equal to [the sum of] the squares of A, G, H.	אבל שטח שלישית ה' בנקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו' שוה למרובעי א'ג'ה‫'
The remainder is the product of W minus a third of H by the sum of A, B, G, D, H, W equals [the sum of] the squares of A, B, G, D, H, W.	וישאר שטח ו' פחות שלישית ה' בנקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו' שוה למרובעי א'ב' ג'ד' ה'ו‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
39) When a given number is subtracted from its square, half the remainder is equal to the sum of the successive numbers from one to the successive number that precedes the given number. $\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\left(n^2-n\right)=\sum_{i=1}^{n-1} i$	ל"ט כאשר חוסר מספר מונח ממרובעו‫^[225] הנה חצי הנשאר שוה אל נקבץ הנמשכים מן האחד עד מספר מה הנמשך לפני המספר המונח
Let the number W be subtracted from the square of W.	וילקח מספר ו' ממרובע ו‫'
Let the number before W be the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{W-1=H}}$	ויהיה המספר הנמשך לו' לפניו מספר ה‫'
Let half the remainder from the square of W be the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=\frac{1}{2}\sdot\left(W^2-W\right)}}$	ויהיה חצי הנשאר ממרובע ו' מספר ז‫'
Supposition: I say that the number Z is equal to the sum of the successive numbers from one up to the number H.	ואומר שמספר ז' שוה אל נקבץ הנמשכים מן האחד עד מספר ה‫'
The proof: The square of W is equal to the sum of A, B, G, D, H, summed with the sum of A, B, G, D, H, W.	המופת שמרובע ו' שוה לנקבץ א'ב' ג'ד' ה' מחובר עם נקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו‫'
When the number W is subtracted from the sum, the remainder is equal to the sum of A, B, G, D, H, which is summed with the sum of A, B, G, D, H.	וכאשר חוסר מהמחובר מספר ו' היה הנשאר שוה לנקבץ א'ב' ג'ד' ה' והוא מחובר עם נקבץ א'ב' ג'ד' ה‫'
Therefore, half the remainder is equal to the sum of A, B, G, D, H.	אם כן חצי מספר הנשאר שוה לנקבץ א'ב' ג'ד' ה‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
40) When a certain given number is added to half the remainder of its square minus the given number, the result is equal to the sum of the successive [numbers] from one up to the given number $\scriptstyle n+\frac{1}{2}\sdot\left(n^2-n\right)=\sum_{i=1}^n i$	מ כאשר חובר מספר מה מונח עם חצי הנשאר כשחוסר המספר המונח ממרובעו הנה העולה שוה אל נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר המונח
Let the number W be added to a half of what remains from its square, when the number W is subtracted from it. $\scriptstyle{\color{blue}{W+\frac{1}{2}\sdot\left(W^2-W\right)}}$	ויחובר מספר‫^[226] ו' עם חצי הנשאר ממרובעו כשחוסר ממנו מספר ו‫'
Supposition: I say that the result is equal to the sum of A, B, G, D, H, W. $\scriptstyle{\color{blue}{W+\frac{1}{2}\sdot\left(W^2-W\right)=A+B+G+D+H+W}}$	ואומר שהעולה שוה לנקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו‫'
The proof: The square of W is equal to the sum of A, B, G, D, H, W summed with the sum of A, B, G, D, H.	המופת שמרובע ו' שוה לנקבץ א'ב' ג'ד' ה'ו' מחובר עם נקבץ א'ב' ג'ד' ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{W^2=\left(A+B+G+D+H+W\right)+\left(A+B+G+D+H\right)}}$
When the number W is subtracted from [the sum], and added to half the remainder, which is the sum of A, B, G, D, H, the result is [the sum of] A, B, G, D, H, W that are the successive numbers from one up to W.	וכאשר לוקח מזה ו'‫^[227] וחובר עם חצי הנשאר שהוא נקבץ א'ב' ג'ד' ה' היה‫^[228] העולה א'ב' ג'ד' ה'ו' והם המספרים הנמשכים מן האחד עד ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle W+\frac{1}{2}\sdot\left[\left[\left(A+B+G+D+H+W\right)+\left(A+B+G+D+H\right)\right]-W\right]\\&\scriptstyle=W+\left(A+B+G+D+H\right)\\&\scriptstyle=A+B+G+D+H+W\\\end{align}}}$
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
41) The square of the sum of the successive numbers from one up to a given number is equal to the cube of the given number plus the square of the sum of the successive numbers from one up to the number that precedes the given number. $\scriptstyle\left(\sum_{i=1}^n i\right)^2=n^3+\left(\sum_{i=1}^{n-1} i\right)^2$	מ"א המרובע ההווה מנקבץ הנמשכים מן האחד עד מספר מונח הוא שוה למעוקב המספר המונח ולמרובע נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר הנמשך לפני המספר המונח
Let the sum of the of the successive numbers be the sum of A, B, G, D, H.	ויהיה נקבץ הנמשכים נקבץ א'ב' ג'ד' ה‫'
Supposition: I say that the square of the sum of A, B, G, D, H equals the cube of H plus the square of the sum of A, B, G, D. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D+H\right)^2=H^3+\left(A+B+G+D\right)^2}}$	ואומר שמרובע נקבץ א'ב' ג'ד'ה' שוה למעוקב ה' ולמרובע נקבץ א'ב' ג'ד‫'
H counts the cube of H as the number of units of its square.	וזה שמעוקב ה' ימנהו ה' כמספר מה שבמרובעו מן האחדים
But, the square of H equals the sum of the sums A, B, G, D and A, B, G, D, H. $\scriptstyle{\color{blue}{H^2=\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G+D+H\right)}}$	אבל מרובע ה' שוה לנקבצי א'ב' ג'ד' א'ב' ג'ד' ה' מחוברים
So, when H is multiplied by the sums A, B, G, D and A, B, G, D, H, the [result] is the same as the cube of H. $\scriptstyle{\color{blue}{H\sdot\left[\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G+D+H\right)\right]=H^3}}$	אם כן ה' הוכה בנקבצי א'ב' ג'ד' א'ב' ג'ד' ה' והיה כמו מעוקב ה‫'
But, the product of H by the sums A, B, G, D and A, B, G, D, H, equals the product of H by H, which is the same as the square of H, plus the product of H by the sums A, B, G, D and A, B, G, D, H, which is double the product of H by the sum A, B, G, D.	‫^[229]אבל שטח ה' בנקבצי א'ב' ג'ד' א'ב' ג'ד' ה' שוה לשטח ה' בה' שהוא כמו מרובע ה' ולשטח ה' בנקבצי א'ב' ג'ד' א'ב' ג'ד' ה' שהוא כפל שטח ה' בנקבץ א'ב' ג'ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle H\sdot\left[\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G+D+H\right)\right]&\scriptstyle=\left(H\sdot H\right)+H\sdot\left[\left(A+B+G+D\right)+\left(A+B+G+D\right)\right]\\&\scriptstyle=H^2+\left[2\sdot H\sdot\left(A+B+G+D\right)\right]\\\end{align}}}$
Therefore, the cube of H equals the square of H plus double the product of H by the sum A, B, G, D. $\scriptstyle{\color{blue}{H^3=H^2+\left[2\sdot H\sdot\left(A+B+G+D\right)\right]}}$	אם כן מעוקב ה' שוה למרובע ה' ולכפל שטח ה' בנקבץ א'ב'ג'ד‫'‫^[230]
But, the square of the sum A, B, G, D, H equals the square of H, plus double the product of H by the sum A, B, G, D, plus the square of the sum A, B, G, D.	ואולם מרובע נקבץ א'ב' ג'ד' ה' שוה למרובע ה' ולכפל שטח ה' בנקבץ א'ב' ג'ד' ולמרובע נקבץ א'ב' ג'ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D+H\right)^2=H^2+\left[2\sdot H\sdot\left(A+B+G+D\right)\right]+\left(A+B+G+D\right)^2}}$
Hence the cube of H plus the square of the sum A, B, G, D equals the square of the sum A, B, G, D, H. $\scriptstyle{\color{blue}{H^3+\left(A+B+G+D\right)^2=\left(A+B+G+D+H\right)^2}}$	אם כן מעוקב ה' עם מרובע נקבץ א'ב' ג'ד' שוה למרובע נקבץ‫^[231] א'ב' ג'ד' ה‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
However, one does not have a number before it, but its cube is equal to the square of the sum [of the numbers] up to it, because it is itself the sum [of the numbers] up to it and the square of the sum [of the numbers] up to it, and it itself is its cube and this is very clear.	ואולם האחד אין מספר לפניו אבל מעוקבו‫^[232] שוה אל מרובע הנקבץ עדיו כי היה ההוא בעינו הנקבץ עדיו ומרובע הנקבץ‫^[233] עדיו והוא בעינו מעוקבו וזה מבואר מאד
42) The square of the sum of the successive numbers from one up to a given number is equal to the [sum of the] cubes of the successive numbers from one up to the given number. $\scriptstyle\left(\sum_{i=1}^n i\right)^2=\sum_{i=1}^{n} i^3$	מ"ב המרובע ההווה מנקבץ הנמשכים מן האחד עד מספר מונח הנה הוא שוה אל המעוקבים ההוים מהנמשכים מן האחד עד המספר המונח
Let the sum be the sum of A, B, G, D, H.	ויהיה הנקבץ‫^[234] נקבץ א'ב' ג'ד' ה‫'
Supposition: I say that the square of the sum of A, B, G, D, H equals [the sum of] the cubes of A, B, G, D, H. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D+H\right)^2=A^3+B^3+G^3+D^3+H^3}}$	ואומר שהמרובע ההוה מנקבץ א'ב' ג'ד' ה' שוה למעוקבים ההוים ממספרי א'ב' ג'ד' ה‫'
The proof: The square of the sum of A, B, G, D, H equals the cube of H plus the square of the sum of A, B, G, D. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D+H\right)^2=H^3+\left(A+B+G+D\right)^2}}$	המופת שמרובע נקבץ א'ב' ג'ד' ה' שוה למעוקב ה' ולמרובע נקבץ א'ב'ג'ד‫'‫^[235]
But, the square of the sum of A, B, G, D equals the cube of D plus the square of the sum of A, B, G. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D\right)^2=D^3+\left(A+B+G\right)^2}}$	אבל מרובע נקבץ א'ב'ג'ד'‫^[236] שוה למעוקב ד' ולמרובע נקבץ א'ב'ג‫'
The square of the sum of A, B, G equals the cube of G plus the square of the sum of A, B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G\right)^2=G^3+\left(A+B\right)^2}}$	והנה מרובע נקבץ א'ב'ג' שוה למעוקב ג' ולמרובע נקבץ א'ב‫'‫^[237]
The square of the sum of A, B equals the cube of B plus the square of A. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B\right)^2=B^3+A^2}}$	והנה מרובע נקבץ א'ב' שוה למעוקב ב' ולמרובע א‫'
The square of A equals the cube of A. $\scriptstyle{\color{blue}{A^2=A^3}}$	והנה מרובע א' שוה למעוקב א‫'
Therefore, the sum of A, B, G, D, H equals [the sum of] the cubes of A, B, G, D, H. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B+G+D+H\right)^2=A^3+B^3+G^3+D^3+H^3}}$	אם כן מרובע נקבץ א'ב' ג'ד' ה' שוה למעוקבים ההווים ממספרי א'ב' ג'ד' ה‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
43) When a given number is equal to the sum of given successive numbers from one, and if the given number is mean between the successive numbers from one, I mean that it is mean between the last of them and the one, then [the sum of] the cubes of the given successive numbers is equal to the [sum of the] odd numbers of the other successive numbers, including one.	מ"ג כאשר היה המספר מונח שוה לנקבץ הנמשכים מן האחד מונחים והיה המספר המונח אמצעי בין הנמשכים מן האחד רצוני שהוא אמצעי בין האחרון מהם ובין האחד הנה מעוקבי הנמשכים המונחים שוים לנפרדי הנמשכים האחרים והאחד עמהם
Let the number W be equal to the sum of A, B, G. $\scriptstyle{\color{blue}{W=A+B+G}}$	ויהיה מספר ו' שוה לנקבץ א'ב'ג‫'
Let W be mean between the successive numbers A, B, G, D, H, W, Z, C, T, I, K, starting from one.	ויהיה ו' אמצעי בין מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו' ז'ח' ט'י' כ' הנמשכים מן האחד
Supposition: I say that [the sum of] the odd numbers among the numbers A, B, G, D, H, W, Z, C, T, I, K, is equal to [the sum of] the cubes of A, B, G.	ואומר שנפרדי מספרי‫^[238] א'ב' ג'ד' ה'ו' ז'ח' ט'י'כ' שוים למעוקבי א'ב'ג‫'
The proof: [The sum of] the cubes of A, B, G is equal to the square of W. $\scriptstyle{\color{blue}{A^3+B^3+G^3=W^2}}$	המופת שמעוקבי א'ב'ג' שוים למרובע ו‫'
[The sum of] the odd numbers among the numbers A, B, G, D, H, W, Z, C, T, I, K, is also equal to the square of W, because it is mean number.	ונפרדי א'ב' ג'ד' ה'ו' ז'ח' ט'י'כ' שוים גם כן למרובע ו'‫^[239] שהוא האמצעי
So, [The sum of] the cubes of A, B, G is equal to [the sum of] the odd numbers [among the numbers] A, B, G, D, H, W, Z, C, T, I, K.	אם כן מעוקבי א'ב'ג' שוים לנפרדי א'ב' ג'ד' ה'ו' ז'ח' ט'י'כ‫'
Q.E.D.	והוא מה ‫^[240]שרצינו לבאר
44) For a product of a certain number by a certain, if a given number of these numbers is added to the result, the number that follows the [other] number counts the resulting [sum] as number of units of the given number.	מ"ד השטח ההווה ממספר מה במספר מה אם חובר אליו מספר אחר מונח מהמספרים ההם הנה העולה ימנהו המספר הנמשך אל המספר הנשאר הנמשך לאחריו כמנין אחדי המספר המונח
Let A be multiplied by B, then A is added to the result, and it makes G. $\scriptstyle{\color{blue}{G=\left(A\times B\right)+A}}$	ויוכה א' בב' ויחובר עם העולה א' ויהיה ג‫'
Let the number that follows B be D. $\scriptstyle{\color{blue}{B+1=D}}$	ויהיה המספר הנמשך אחר ב' ד‫'
Supposition: I say that G is counted by D as the number of units of A. $\scriptstyle{\color{blue}{G\div D=A}}$	ואומר שג' ימנהו ד'‫^[241] במספר אחדי א'‫^[242]
The proof: The product of A by B counts A as the number of units of B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A\times B\right)\div A=B}}$	המופת ששטח א' בב' ימנהו א' כשעור אחדי ב‫'
When A is added to it, the result is counted by A as the number of units of B plus one, which is the number of units of D. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(A\times B\right)+A\right]\div A=B+1=D}}$	וכאשר יחובר עמו א' הנה העולה ימנהו א' בשיעור אחדי ב'‫^[243] ותוספת אחד והיא כמספר אחדי ד‫'‫^[244]
So, the result is counted by A as the number of units of D and therefore D counts it as the number of units of A.	אם כן העולה ימנהו א' כשעור אחדי ד' ולזה ימנהו ד' כשעור אחדי א‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
45) When there are three different numbers and the product of the greatest number by the excess of the mean over the smallest is added to the product of the smallest number by the excess of the greatest over the mean, then the result is counted by the mean number as the number of the units of the excess of the greatest over the smallest.	מ"ה כאשר היו שלשה מספרים מתחלפים וחובר שטח המספר הגדול ביתרון האמצעי על הקטן עם שטח המספר הקטון ביתרון הגדול על האמצעי הנה העולה ימנהו המספר האמצעי במספר אחדי יתרון הגדול על הקטן
$\scriptstyle a<b<c\longrightarrow\left[\left[c\sdot\left(b-a\right)\right]+\left[a\sdot\left(c-b\right)\right]\right]\div b=c-a$
Let A, B, G be three different numbers.	ויהיו שלשה מספרי א'ב'ג' מתחלפים
Let B be greater than A by the number of units of D. $\scriptstyle{\color{blue}{B-A=D}}$	והיה ב' מוסיף על א' בשעור אחדי ד‫'
Let G be greater than B by the number of units of H. $\scriptstyle{\color{blue}{G-B=H}}$	ויהיה ג' מוסיף על ב' בשעור אחדי ה‫'
Supposition: I say that the sum of the product of G by D with the product of A by H be counted by B as the number of units of the sum of H, D, which is the excess of G over A.	ואומר ששטח ג' בד' עם שטח א' בה' מקובצים ימנם ב' בשעור אחדי ה'ד' מקובצים שהם יתרון ג' על א‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(G\times D\right)+\left(A\times H\right)\right]\div B=H+D=G-A}}$
The proof: The product of G by D is counted by G as the number of units of D. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(G\times D\right)\div G=D}}$	המופת ששטח ג' בד' ימנהו ג' בשעור אחדי ד‫'
We divide the product of D by B into parts that are equal to G and let its parts, which are equal to G, be ZC, TK, LM. $\scriptstyle{\color{blue}{D\times B=ZC+TK+LM}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{G=ZC=TK=LM}}$	הנה נחלק שטח ד' בב'‫^[245] בדמיוני ג' ויהיו חלקיו השוים לג' מספרי ז'ח' ט'כ' ל'מ‫'‫^[246]
The number of these parts is equal to the units of D.	הנה מספר אלו החלקים הוא כמספר אחדי ד‫'
Similarly, the product of H by A is divided into parts that are equal to A and let its parts, which are equal to A, be NS, EP. $\scriptstyle{\color{blue}{H\times A=NS+EP}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{A=NS=EP}}$	וכזה יתחלק שטח ה' בא' בדמיוני א' ויהיו חלקיו השוים לא' מספרי נ'ס' ע'פ‫'‫^[247]
The number of these parts is equal to the number of units of H, and therefore the number of the parts ZC, TK, LM, NS, EP is equal to the number of units of D, H together, which is the excess of G over A.	הנה מספר אלו החלקים הוא‫^[248] כמספר אחדי ה' ולזה יהיה מספר חלקי ז'ח' ט'כ' ל'מ' נ'ס' ע'פ' כמספר אחדי ד'ה' יחד והוא תוספת ג' על א‫'
We separate ZṠ from ZC, which is equal to B; ṠC remains equal to H.	הנה נבדיל מז'ח' ז'צ' בשעור ב' וישאר צ'ח'‫^[249] בשעור ה‫'
Likewise let TW, LṪ equal to B.	וכזה יהיו ט'ו' ל'ת' בשעור ב‫'
Each of the remaining [parts] WK, ṪM is equal to H.	וישאר כל אחד מן ו'כ' ת'מ' בשעור ה‫'
We divide ṠC into parts that are equal to its units; let its parts that are equal to the unit be ṠQ, QC, and their number is equal to the number of units of H.	ונחלוק צ'ח' בדמיון מה שבו מן האחדים ויהיו חלקיו השוים לאחד צ'ק' ק'ח' ומספרם כמספר אחדי ה‫'
Likewise WK is divided into parts equal to the unit; let its parts be WR, RK.	וכזה יתחלק ו'כ' בדמיוני האחד ויהיו חלקיו ו'ר' ר'כ‫'
Let the parts of ṪM that are equal to the unit be ṪŜ, ŜM.	ויהיו חלקי ת'מ' השוים לאחד ת'ש' ש'מ‫'
The number of the numbers ZC, TK, LM is equal to the number of units of D.	וכבר היה מספר מספרי ז'ח' ט'כ' ל'מ' כמספר מה שבד' מן האחדים
So, the number of the units ṠQ, WD, ṪŜ is equal to the number of units of D.	אם כן מספר אחדי צ'ק' ו'ד' ת'ש' הוא כמספר מה שבד' מן האחדים‫^[250]
The sum of ṠQ, WR, ŜṪ with NS is equal to B.	הנה יתחברו ‫^[251]צ'ק' ו'ר' ש'ת'‫^[252] עם נ'ס' ויהיה שוה לב‫'
Because the number of units ṠQ, WR, ŜṪ is equal to the number of units in D.	לפי שמספר אחדי צ'ק' ו'ר' ש'ת'‫^[253] הוא כמספר מה שבד' מן האחדים
Therefore, the sum of the units ṠQ, WR, ŜṪ is equal to D.	יהיו א"כ אחדי צ'ק' ו'ר' ש'ת' מקובצים שוים לד‫'‫^[254]
NS equals A.	ונ'ס' שוה לא‫'
So, NS added to the units ṠQ, WR, ŜṪ equals the sum of A, D.	יהיה א"כ נ'ס' מקובץ עם‫^[255] אחדי צ'ק' ו'ר' ש'ת'‫^[256] שוה לא'ד' מקובצים
But, the sum of A, D is equal to B.	ואולם א'ד' מקובצים שוים לב‫'‫^[257]
So, NS with the units ṠQ, WR, ŜṪ equals B.	יהיה א"כ‫^[258] נ'ס' מקובץ עם אחדי צ'ק' ו'ר' ש'ת'‫^[259] שוה לב‫'
Likewise it is proven that EP added to the units QC, RK, ŜM equals B.	וכזה התבאר שע'פ' מקובץ עם אחדי ק'ח' ר'כ' ש'מ' שוה לב‫'
But it was already shown that the number of the numbers NS, EP is equal to the number of units ṠQ, QC, because both are equal to the number H.	וכבר התבאר שמספר מספרי נ'ס' ע'פ' שוה למספר אחדי צ'ק' ק'ח' לפי שכל אחד מהם שוה למספר ה‫'
Therefore, the total sum of the numbers NS, EP is equal to the units of ṠQ, QC and their corresponding [parts].	אם כן סכום‫^[260] מספרי נ'ס' ע'פ' כמו‫^[261] אחדי צ'ק' ק'ח' והנמשך להם
So, it is already proven that [the sum of] the product of G by D, with the product of H by A is counted by B as the number of the parts ZC, TK, LM, NS, EP, which is equal to the sum of the numbers D, H, which is the excess of G over A.	הנה כבר התבאר ששטח ד' בג' עם שטח ה' בא' ימנם ב' במספר‫^[262] חלקי ז'ח' ט'כ' ל'מ' נ'ס' ע'פ' והוא כמספר ד'ה' מקובצים שהוא תוספת ג' על א‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
46) When there are three different numbers, the smallest of which is two, and double the product of the greatest number minus one by the excess of the mean over the smallest is summed with the greatest number, the excess of the mean over the smallest, and the excess of the greatest over the mean, then this whole sum is equal to twice the product of the mean minus one by the greatest minus one.	מ"ו כאשר היו שלשה מספרים מתחלפים והיה הקטון שנים הנה כשחובר עם כפל השטח ההווה ממספר הגדול פחות אחד ביתרון האמצעי על הקטן המספר הגדול ויתרון האמצעי על הקטן ויתרון הגדול על האמצעי הנה זה כלו שוה לכפל שטח ההווה מהאמצעי פחות אחד על הגדול פחות אחד
$\scriptstyle 2\sdot\left[\left(a-2\right)\sdot\left(b-1\right)\right]+b+\left(a-2\right)+\left(b-a\right)=2\sdot\left[\left(a-1\right)\sdot\left(b-1\right)\right]$
Let the three different numbers be two, A and B and let B be the greatest.	ויהיו המספרים המתחלפים‫^[263] שלשה והם מספרי שנים א' ב' ויהיה ב' הגדול
Let A be greater than two by the number G. $\scriptstyle{\color{blue}{A-2=G}}$	ויהיה א' מוסיף על שנים מספר ג‫'
Let A minus one be the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{A-1=Z}}$	ויהיה א' פחות אחד מספר ז‫'
Let B minus one be the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{B-1=D}}$	ויהיה ב' פחות אחד‫^[264] מספר ד‫'
Let the excess of B over A be the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{B-A=H}}$	ויהיה יתרון ב' על א' מספר ה‫'
Supposition: I say that double the product of G by D summed with the numbers B, G, H equals double the product of Z by D. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(G\times D\right)+B+G+H=2\sdot\left(Z\times D\right)}}$	ואומר שכפל‫^[265] שטח ג' בד' מחובר עם מספרי ב' ג' ה' שוה לכפל שטח ז' בד‫'
The proof: The product of G by D is counted by D as the number of units of G. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(G\times D\right)\div D=G}}$	המופת ששטח ג' בד' ימנהו ד' כמספר אחדי ג‫'
The product of Z by D is counted by D as the number of units of Z. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(Z\times D\right)\div D=Z}}$	ושטח ז' בד' ימנהו ד' כמספר אחדי ז‫'
Z is greater than G by one. $\scriptstyle{\color{blue}{Z-G=1}}$	וז' מוסיף על ג' אחד
Because A is greater than G by two. $\scriptstyle{\color{blue}{A-G=2}}$	מפני שא' מוסיף על ג' שנים
So, the excess of the product of Z by D over the product of G by D is the product of one by D. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(Z\times D\right)-\left(G\times D\right)=1\times D=D}}$	אם כן יתרון שטח ז' בד' על שטח ג'‫^[266] בד' הוא‫^[267] שטח אחד בד' שהוא ד‫'‫^[268]
Therefore, the excess of the product of Z by D over the product of G by D is as the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(Z\times D\right)-\left(G\times D\right)=D}}$	אם כן יתרון שטח ז' בד' על שטח ג' בד'‫^[269] הוא כמספר ד‫'
So, the excess of double the product of Z by D over double the product of G by D is the same as twice D. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(Z\times D\right)-2\sdot\left(G\times D\right)=2D}}$	ולזה יהיה יתרון כפל שטח ז' בד' על כפל שטח ג' בד' כמו שני כפלי ד‫'
Supposition: I say that the sum of the numbers B, G, D is equal to twice D. $\scriptstyle{\color{blue}{B+G+D=2D}}$	ואומר שמספרי ב'ג'ד'‫^[270] נחברים שוים לשני כפלי ד‫'
The proof: The number B is greater than the number D by one.	המופת שמספר ב' הוא מוסיף על מספר ד' אחד
The excess of the number B over the number A is H. $\scriptstyle{\color{blue}{B-A=H}}$	והנה יתרון מספר ב' על מספר א' הוא ה‫'
So, the sum of the numbers A, H equals B. $\scriptstyle{\color{blue}{A+H=B}}$	אם כן מספרי א'ה' נחברים שוים לב‫'
Therefore, the sum of the numbers B, A, H is equal to double B. $\scriptstyle{\color{blue}{B+A+H=2B}}$	ולזה יהיו מספרי ‫^[271]ב'א'ה' נחברים שוים לכפל ב‫'
But, the excess of double the number B over double the number D is two. $\scriptstyle{\color{blue}{2B-2D=2}}$	אבל יתרון כפל מספר ב' על כפל מספר ד' הוא שנים
So, [the sum of] the numbers B, A, H is equal to double the number D plus two. $\scriptstyle{\color{blue}{B+A+H=2D+2}}$	אם כן מספרי ב'א'ה' שוים לכפל מספר ד' ולשנים
But, G is smaller that A by two.	אבל ג' פחות מא' שנים
So, the sum of the numbers B, G, H is equal to double the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{B+G+H=2D}}$	יהיו אם כן מספרי ב'ג'ה' מקובצים שוים לכפל מספר ד‫'
But, the excess of double the product of Z by D over double the product of G by D is the same as twice D. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(Z\times D\right)-2\sdot\left(G\times D\right)=2D}}$	וכבר היה יתרון כפל שטח ז' בד' על כפל שטח ג' בד' כמו כפל מספר ד‫'
Therefore, the sum of double the product of G by D with the numbers B, G, H is equal to double the product of Z by D. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(G\times D\right)+B+G+H=2\sdot\left(Z\times D\right)}}$	אם כן כפל‫^[272] שטח ג' בד' עם מספרי ב'ג'ה' מקובצים שוים לכפל שטח ז' בד‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
47) When there are two different numbers, then the product of the smaller by the greater, plus the excess of the greater over the smaller, is equal to the product of the smaller minus one by the greater minus one, summed with the greater number and the preceding number. $\scriptstyle\left(b-a\right)+\left(a\sdot b\right)=\left(b-1\right)+b+\left[\left(a-1\right)\sdot\left(b-1\right)\right]$	מ"ז כאשר היו שני מספרים מתחלפים הנה שטח הקטון בגדול עם יתרון הגדול על הקטן שוה לשטח ההווה מהקטן פחות אחד בגדול פחות אחד כשחובר עמו המספר הגדול והמספר הנמשך לו לפניו‫^[273]
Let the two numbers be A and B.	ויהיו שני המספרים מספרי א'ב‫'
Let G be the number before A. $\scriptstyle{\color{blue}{A-1=G}}$	ויהיה מספר ג' נמשך לא' לפניו
Let D be the number before B. $\scriptstyle{\color{blue}{B-1=D}}$	ומספר ד' נמשך לב' לפניו
Let the excess of B over A be the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{B-A=H}}$	ויהיה יתרון ב' על א' מספר ה‫'
Supposition: I say that the number H summed with the product of A by B equals the numbers D, B summed with the product of G by D. $\scriptstyle{\color{blue}{H+\left(A\times B\right)=D+B+\left(G\times D\right)}}$	ואומר שמספר ה' מחובר עם שטח א' בב' שוה למספרי ד'ב' מחוברים עם שטח ג' בד‫'
The proof: The product of G by D, when summed with D, is counted by A as the number of units of D. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(G\times D\right)+D\right]\div A=D}}$	המופת ששטח ג' בד' כשחובר עמו ד' ימנהו א' כמספר אחדי ד‫'
Since A exceeds over G by one. $\scriptstyle{\color{blue}{A-G=1}}$	לפי שא' מוסיף על ג' אחד
So, the product of G by D, when summed with D, equals the product of A by D. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(G\times D\right)+D=A\times D}}$	אם כן שטח ג' בד' כשחובר עם ד' שוה לשטח א' בד‫'
Also, since the excess of B over A is H, B is equal to the sum of A, H. $\scriptstyle{\color{blue}{B-A=H\longrightarrow B=A+H}}$	וגם כן הנה מפני שיתרון ב' על א' הוא ה' יהיה ב' שוה לא'ה' נחברים
So, the product of A by D, summed with A, equals the product of A by B.	והנה יהיה שטח א' בד' נחבר עם א' שוה לשטח א' בב‫'
Therefore, the product of A by D, summed with the numbers A, H, equals the product of A by B plus the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A\times D\right)+A+H=\left(A\times B\right)+H}}$	הנה מפני זה יהיה שטח א' בד' מחובר עם מספרי א'ה' שוה לשטח א' בב' ולמספר ה‫'
Hence, the product of G by D, summed with the numbers D, B, equals the product of A by B plus the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(G\times D\right)+D+B=\left(A\times B\right)+H}}$	א"כ‫^[274] שטח ג' בד' מחובר‫^[275] עם מספרי ד'ב' שוה לשטח א' בב' ולמספר ה‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
48) When there are three different numbers, the smallest of which is two, and double the product of the greatest minus one by the excess of the mean over the smallest is summed with the greatest, the excess of the mean over the smallest and the excess of the greatest over the mean, then the sum is equal to the product of the mean minus one by the greatest, plus the product of the greatest minus one by the excess of the mean over the smallest, plus the excess of the greatest over the mean.	מ"ח כאשר היו שלשה מספרים מתחלפים והיה הקטון שנים הנה כפל השטח ההוה מהגדול פחות אחד ביתרון האמצעי על הקטן כשחובר עם הגדול‫^[276] ויתרון האמצעי על הקטן‫^[277] ויתרון הגדול על האמצעי הנה העולה שוה לשטח האמצעי פחות אחד בגדול ולשטח הגדול פחות אחד ביתרון האמצעי על הקטן וליתרון הגדול על האמצעי
$\scriptstyle 2\sdot\left[\left(b-1\right)\sdot\left(a-2\right)\right]+b+\left(a-2\right)+\left(b-a\right)=\left[\left(a-1\right)\sdot b\right]+\left[\left(b-1\right)\sdot\left(a-2\right)\right]+\left(b-a\right)$
Let the different numbers be two, A and B and let B be the greatest.	ויהיו המספרים המתחלפים מספרי שנים א' ב' והיה ב' הגדול
Let A exceeds over two by the number G. $\scriptstyle{\color{blue}{A-2=G}}$	והיה א' מוסיף על שנים מספר ג‫'
Let D be the number before A. $\scriptstyle{\color{blue}{A-1=D}}$	וד' הוא הנמשך לא' לפניו
Let H be the number before B. $\scriptstyle{\color{blue}{B-1=H}}$	וה' הוא הנמשך לב' לפניו
Let Z be the excess of B over A. $\scriptstyle{\color{blue}{B-A=Z}}$	וז' הוא יתרון ‫^[278]ב' על א‫'
Supposition: I say that double the product of H by G summed with the numbers G, B, Z equals the product of D by B with the product of G by H plus Z. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(H\times G\right)+G+B+Z=\left(D\times B\right)+\left(G\times H\right)+Z}}$	ואומר שכפל שטח ה' בג' מחובר עם מספרי ג' ב' ז' שוה לשטח ד' בב' ולשטח ג' בה' ולז‫'
The proof: We separate the product of G by H and the number Z.	המופת שאנחנו נבדיל שטח ג' בה' ומספר ז' המשותפים
Supposition: We say that the product of D by B equals [the sum of] the product of G by H and the numbers G, B. $\scriptstyle{\color{blue}{D\times B=\left(G\times H\right)+G+B}}$	ונאמר ששטח ד' בב' שוה לשטח ג' בה' ולמספרי ג'ב‫'
This is because the product of G by H, summed with G, equals the product of B by G. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(G\times H\right)+G=B\times G}}$	וזה ששטח ג' בה' מחובר עם ג' שוה לשטח ב' בג‫'
Since the number B exceeds over H by one. $\scriptstyle{\color{blue}{B-H=1}}$	לפי שמספר ב' מוסיף על ה' אחד
So, the product of B by G, summed with B, equals the product of D by B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(B\times G\right)+B=D\times B}}$	ולזה יהיה שטח ב' בג' מחובר עם ב' שוה לשטח ד' בב‫'
Therefore, the product of H by G, summed with the numbers G, B, equals the product of D by B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(H\times G\right)+G+B=D\times B}}$	אם כן שטח ה' בג' מחובר עם מספרי ג'ב' שוה לשטח ד' בב‫'
Hence, double the product of H by G, summed with the numbers G, B, Z, equals [the sum of] the product of D by B, the product of G by H, and Z. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(H\times G\right)+G+B+Z=\left(D\times B\right)+\left(G\times H\right)+Z}}$	אם כן כפל שטח ה' בג' מחובר עם מספרי‫^[279] ג' ב' ז'‫^[280] שוה לשטח ד' בב' ולשטח ג' בה' ולז‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
49) When there are three different numbers, the excess of the smallest over two is a given number, and double the product of the greatest minus one by the excess of the mean over the smallest is summed with the product of the greatest by the given number, the product of the greatest minus one by the given number, the greatest number, the excess of the mean over the smallest and the excess of the greatest over the mean, then the result is equal to twice the product of the mean minus one by the greatest minus one.	מ"ט כאשר היו שלשה מספרים מתחלפים והיה יתרון הקטן על שנים מספר מונח הנה כפל השטח ההווה מהגדול פחות אחד ביתרון האמצעי על הקטן כשחובר עם שטח הגדול במספר המונח ועם שטח הגדול פחות אחד במספר המונח והתחבר זה כלו עם המספר הגדול ויתרון האמצעי על הקטן ועם יתרון הגדול על האמצעי הנה העולה שוה לכפל שטח ההווה מהאמצעי פחות אחד בגדול פחות אחד
$\scriptstyle2\sdot\left[\left(a-1\right)\sdot\left(b-c\right)\right]+\left[a\sdot\left(c-2\right)\right]+\left[\left(a-1\right)\sdot\left(c-2\right)\right]+a+\left(b-c\right)+\left(a-b\right)=2\sdot\left[\left(b-1\right)\sdot\left(a-1\right)\right]$
Let the different numbers be G, A and B; and let G be the smallest and B be the greatest.	ויהיו המספרים המתחלפים‫^[281] מספרי ג' א'ב' ויהיה ג' הוא הקטן וב' הוא‫^[282] הגדול
Let the excess of G over two be the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{G-2=D}}$	ויהיה יתרון ג' על שנים מספר ד‫'
Let the excess of A over G be the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{A-G=H}}$	והיה יתרון א' על ג' מספר ה‫'
Let B be the number before the number A. $\scriptstyle{\color{blue}{A-1=Z}}$	והיה מספר ז' נמשך למספר א' לפניו
Let C be the number before the number B. $\scriptstyle{\color{blue}{B-1=C}}$	ומספר ח' נמשך למספר ב' לפניו
Let the excess of B over A be the number T. $\scriptstyle{\color{blue}{B-A=T}}$	והיה יתרון ב' על א' מספר ט‫'
Let the number K be equal to the sum of the numbers H, D. $\scriptstyle{\color{blue}{H+D=K}}$	והיה מספר כ' שוה למספרי ה'ד' מקובצים
It is clear that the number K is less than A by two. $\scriptstyle{\color{blue}{K=A-2}}$	והוא מבואר שמספר כ' הוא פחות שנים מא‫'
Since [the sum of] the numbers G, H equals A. $\scriptstyle{\color{blue}{G+H=A}}$	לפי שמספרי ג'ה' שוים לא‫'
D is less than G by two. $\scriptstyle{\color{blue}{D=G-2}}$	וד' הוא פחות מג' שנים
So, the number Z follows the number K. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=K+1}}$	ולזה גם כן יהיה מספר ז' נמשך למספר כ' לאחריו
Since the number Z is less than A only by one. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=A-1}}$	לפי שמספר ז' הוא פחות מא' אחד לבד
Supposition: I say that when double the product of C by H is summed with the product of D by B and with the product of D by C, then all this is summed with the numbers B, H, T, the result is equal to double the product of Z by C.	ואומר שכפל שטח ח' בה' כשהתחבר עם שטח ד' בב' ועם שטח ד' בח' והתחבר זה כלו עם מספרי ב'ה'ט' הנה העולה שוה לכפל שטח ז' בח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(C\times H\right)+\left(D\times B\right)+\left(D\times C\right)\right]+B+H+T=2\sdot\left(Z\times C\right)}}$
The proof: The product of C by H, when H is added to it, equals the product of H by B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(C\times H\right)+H=H\times B}}$	המופת ששטח ח' בה' כשחובר ‫^[283]עמו ה' שוה לשטח ה' בב‫'
When the product of H by B is added to the product of D by B, the result is equal to the product of the sum of the numbers H, D by B, which is the same as the product of K by B.	וכאשר חובר שטח ה' בב' עם שטח ד' בב' היה העולה שוה לשטח ההווה ממספרי ה'ד' מקובצים בב' והוא כמו שטח כ' בב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(H\times B\right)+\left(D\times B\right)=\left(H+D\right)\times B=K\times B}}$
When B is added to the result, the [sum] is equal to the product of Z by B.	וכשהתחבר עם העולה ב' יהיה העולה שוה לשטח ז' בב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(H\times B\right)+\left(D\times B\right)+B=\left[\left(H+D\right)\times B\right]+B=\left(K\times B\right)+B=Z\times B}}$
But, the product of C by H with the product of C by D equals the product of H by the sum of D, H, which is the product of C by B.	ואולם שטח ח' בה' עם שטח ח' בד' שוה לשטח ה' בד'ה' ‫^[284]מקובצים שהוא‫^[285] שטח ח' בב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(C\times D\right)+\left(C\times D\right)=H\times\left(D+H\right)=C\times B}}$
So, double the product of C by H, with the product of D by B, with the product of C by D, and with the numbers B, H, T, equals the product of Z by B, the product of K by C and the number T.	אם כן כפל שטח ח' בה' עם שטח ד' בב' ועם שטח ח' בד' ועם מספרי ב'ה'ט' שוה לשטח ז' בב' ולשטח כ' בח' ולמספר ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(C\times H\right)+\left(D\times B\right)+\left(C\times D\right)+B+H+T=\left(Z\times B\right)+\left(K\times C\right)+T}}$
A is the mean number.	וא' הוא המספר האמצעי
K is its excess over the smaller, which is two, according to the assumed in the previous proposition. $\scriptstyle{\color{blue}{K=A-2}}$	וכ' הוא יתרונו על הקטן שהוא שנים לפי מה שהונח בתמונה הקודמת‫^[286]
But, the product of Z by B, with the product of K by C, and with the number T, equals the product of K by H and the numbers B, K, T.	אבל שטח ז' בב' עם שטח כ' בח' ועם מספר ט' שוה לכפל שטח כ' בה'‫^[287] ולמספרי ב'כ'ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(Z\times B\right)+\left(K\times C\right)+T=\left(K\times H\right)+B+K+T}}$
Therefore, double the product of C by H, with the product of D by B, with the product of C by D, and with the numbers B, H, T, equals double the product of K by H and the numbers B, K, T.	אם כן כפל שטח ח' בה' עם שטח ד' בב' ועם שטח ח' בד' ועם מספרי ב'ה'ט' שוה לכפל שטח כ' בה'‫^[288] ולמספרי ב'כ'ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(C\times H\right)+\left(D\times B\right)+\left(C\times D\right)+B+H+T=2\sdot\left(K\times H\right)+B+K+T}}$
But, double the product of K by C, with the numbers B, K, T, is equal to double the product of Z by C. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(K\times C\right)+B+K+T=2\sdot\left(Z\times C\right)}}$	אבל כפל שטח כ' בח' עם מספרי ב'כ'ט' שוה לכפל שטח ז' בח‫'
Since [the sum of] the numbers B, K, T is equal to twice C. $\scriptstyle{\color{blue}{B+K+T=2C}}$	לפי שמספרי ב'כ'ט' שוים לשני דמיוני ח‫'
Z follows K. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=K+1}}$	וז' הוא הנמשך לכ' לאחריו
Therefore, when the number C is added to the product of K by C, it is equal to the product of Z by C. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(K\times C\right)+C=Z\times C}}$	אם כן כאשר חובר עם שטח כ' בח' מספר ח' יהיה שוה לשטח ז' בח‫'
So, double the product of K by C with the numbers B, K, T, which are twice C, equals double the product of Z by C.	אם כן כפל שטח כ' בח' עם מספרי ב'כ'ט' שהם שני דמיוני ח' שוים לכפל שטח ז' בח‫'‫^[289]
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(K\times C\right)+B+K+T=2\sdot\left(K\times C\right)+\left(2\sdot C\right)=2\sdot\left(Z\times C\right)}}$
Hence, double the product of H by C, with the product of D by B, with the product of C by D, and with the numbers B, H, T, equals double the product of Z by C.	אם כן כפל שטח ה' בח' עם שטח ד' בב' ועם שטח ח' בד' ועם מספרי ב'ה'ט' שוה לכפל שטח ז' בח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(H\times C\right)+\left(D\times B\right)+\left(C\times D\right)\right]+B+H+T=2\sdot\left(Z\times C\right)}}$
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
50) When there are three different numbers, the excess of the smallest over two is a given number, and double the product of the greatest minus one by the excess of the mean over the smallest, summed with the product of the given number by the greatest as many times as the units are in the given number, and with the product of the excess of the greatest over the mean by the smallest minus one, the greatest number and the excess of the mean over smallest, then the whole sum is counted by the product of the mean minus one by the greatest minus one as the number of the units that are in the smallest.	נ כאשר היו שלשה מספרים מתחלפים והיה‫^[290] יתרון הקטן על שנים מספר מונח הנה כפל שטח הגדול פחות אחד ביתרון האמצעי על הקטן עם דמיוני שטחי האמצעי בגדול כמספר מה שבמספר המונח מן האחדים ועם השטח ההווה מיתרון הגדול על האמצעי בקטן פחות אחד ועם המספר הגדול ועם יתרון האמצעי על‫^[291] הקטן הנה כשהתחבר זה כלו יהיה המקובץ ימנהו השטח ההווה מהאמצעי פחות אחד בגדול פחות אחד כמספר מה שבמספר הקטון מן האחדים
Let the different numbers be G, A, B and let G be the smallest.	ויהיו המספרים המתחלפים מספרי ג' א'ב' והיה ג' הוא הקטון
Let the excess of G over two be the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{G-2=D}}$	והיה יתרון ג' על שנים מספר ד‫'
Let the excess of A over G be the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{A-G=H}}$	והיה יתרון א' על ג' מספר ה‫'
Let Z be the number before the number A. $\scriptstyle{\color{blue}{A-1=Z}}$	והיה מספר ז' נמשך למספר א' לפניו
Let C be the number before the number B. $\scriptstyle{\color{blue}{B-1=C}}$	ומספר ח' נמשך למספר ב' לפניו
Let the excess of B over A be the number T. $\scriptstyle{\color{blue}{B-A=T}}$	והיה יתרון ב' על א' מספר ט‫'
Let K be the number before the number G. $\scriptstyle{\color{blue}{G-1=K}}$	והיה מספר כ' נמשך למספר ג' לפניו
Supposition: I say that double the product of C by H, with the product of A by B times the number of units in D, with the product of T by B, and with the numbers B, H, is counted by the product of Z by C as the number of units of G.	ואומר שכפל שטח ח' בה' עם כפלי ‫^[292]שטחי א' בב' במנין מה שבד' מן האחדים ועם שטח ט' בב' ועם מספרי ב'ה' ימנהו שטח ז' בח' כמספר אחדי ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(C\times H\right)\right]+\left[D\times\left(A\times B\right)\right]+\left(T\times B\right)+B+H\right]\div\left(Z\times C\right)=G}}$
The proof: Since the product of A by B with T equals the product of Z by H and the numbers B, C, then D times the product of A by B with D times the number T equals D times the product of Z by H, with D times the number B, and D times the number C.	המופת כי בעבור שהיה שטח א' בב' עם ט' שוה לשטח ז' בה'‫^[293] ולמספרי ב'ח' יהיו כפלי ד' משטחי א' בב' עם כפלי ד' ממספרי ט' שוה לכפלי‫^[294] ד' משטח ז' בה'‫^[295] ולכפלי ד' ממספרי ב' וכפלי ד'‫^[296] ממספרי ח‫'‫^[297]
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(A\times B\right)+T=\left(Z\times H\right)+B+C}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left[D\times\left(A\times B\right)\right]+\left(D\times T\right)=\left[D\times\left(Z\times H\right)\right]+\left(D\times B\right)+\left(D\times C\right)}}$
So, D times the product of A by B summed with the product of D by T equals D times the product of Z by H, with the product of D by B, and the product of D by C.	יהיה אם כן כפלי ד' משטחי א' בב' מחובר עם שטח ד' בט' שוה לכפלי ד' משטחי ז' בה'‫^[298] ולשטח ד' בב' ולשטח ד' בח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[D\times\left(A\times B\right)\right]+\left(D\times T\right)=\left[D\times\left(Z\times H\right)\right]+\left(D\times B\right)+\left(D\times C\right)}}$
But, the product of T by K exceeds over the product of T by D by the number T. $\scriptstyle{\color{blue}{T\times K=\left(T\times D\right)+T}}$	אבל שטח ט' בכ' מוסיף על שטח ט' בד' מספר ט‫'
Since the number K exceeds over the number D by one. $\scriptstyle{\color{blue}{K=D+1}}$	לפי שמספר כ' מוסיף אחד על‫^[299] מספר ד‫'
So, D times the product of A by B, with the product of T by K, equals D times the product of Z by C, the product of D by K, the product of D by C and the number T.	אם כן כפלי ד' משטחי א' בב' עם שטח ט' בכ' שוה לכפלי ד' משטחי ז' בח' ולשטח ד' בכ' ולשטח ד' בח' ולמספר ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[D\times\left(A\times B\right)\right]+\left(T\times B\right)=\left[D\times\left(Z\times C\right)\right]+\left(D\times K\right)+\left(D\times C\right)+T}}$
When we add the product of D by K, the product of D by C, and the number T to double the product of C by H and the numbers B, H that were left for us, we receive double the product of C by H, the product of D by K, the product of D by C and the numbers C, H, T. But, when all this is summed up, it is equal to double the product of Z by C, according to what was explained above.	וכאשר חברנו שטח ד' בכ' ושטח ד' בח' ומספר ט' עם כפל שטח ח' בה' ומספרי ב'ה' שנשארו בידינו היה בידינו כפל שטח ח' בה' ושטח ד' בכ' ושטח ד' בח' ומספרי ב'ה'ט' אבל כאשר התחבר זה כלו הוא שוה לשני שטחי ז' בח' לפי מה שהתבאר בשלפניה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(C\times H\right)\right]+\left(D\times K\right)+\left(D\times C\right)+B+H+T=Z\times C}}$
So, double the product of C by H, with the product of A by B times the number of units of D, with the product of T by K, and with the numbers B, H is counted by the product of Z by C as the number of units of [the sum of] D with two.	אם כן כפל שטח ח' בה' עם דמיוני שטחי א' בב' במה‫^[300] שבמספר ד' מן האחדים ועם שטח ט' בכ' ועם מספרי ב'ה' ימנהו שטח ז' בח' כמספר אחדי ד' נחבר עם שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(C\times H\right)\right]+\left[D\times\left(A\times B\right)\right]+\left(T\times B\right)+B+H\right]\div\left(Z\times C\right)=D+2}}$
But, [the sum of] the number D with two is G. $\scriptstyle{\color{blue}{D+2=G}}$	אבל מספר ד' נחבר עם‫^[301] שנים הוא ג‫'
Hence, double the product of C by H, with the product of A by B times the number of units of D, with the product of T by K, and with the numbers B, H, is counted by the product of Z by C as the number of units of G.	אם כן כפל שטח ח' בה' עם דמיוני שטחי א' בב' כמו מה שבמספר ד' מן האחדים ועם שטח ט' בכ' ועם מספרי ב'ה' ימנהו שטח ז' בח' כמספר אחדי ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(C\times H\right)\right]+\left[D\times\left(A\times B\right)\right]+\left(T\times B\right)+B+H\right]\div\left(Z\times C\right)=G}}$
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
This proves that the result of this addition is counted by G as the number of units of the product of Z by C.	ובכאן התבאר שהעולה מזה המקובץ ימנהו ג' כמספר אחדי שטח ז' בח‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
51) When there are three different numbers and the product of the largest [number] minus one by the excess of the mean over the smallest is added to the largest and to the excess of the mean over the smallest, then the result is counted by the largest number as the number of units of the number that follows the excess of the mean over the smallest.	נ"א כאשר היו שלשה מספרים מתחלפים וחובר השטח ההווה מהגדול פחות אחד ביתרון האמצעי על הקטן עם המספר הגדול ועם יתרון האמצעי על הקטן הנה העולה ימנהו המספר הגדול כמספר אחדי המספר הנמשך למספר יתרון האמצעי על הקטן לאחריו
Let the three different numbers be A, B, G; let A be the smallest, B the mean, and G the greatest.	‫^[302]ויהיו השלשה מספרים המתחלפים מספרי א'ב'ג' ויהיה א' הקטן וב' האמצעי וג' הגדול
Let the excess of B over A be the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{B-A=D}}$	ויהיה יתרון ב' על מספר א' מספר ד‫'
Let H be the number before G. $\scriptstyle{\color{blue}{G-1=H}}$	ויהיה המספר הנמשך לג' לפניו מספר ה‫'
Let Z be the number that follows D. $\scriptstyle{\color{blue}{D+1=Z}}$	והנמשך לד' לאחריו מספר ז‫'
Supposition: I say that the product D by H, with the numbers G, D, is counted by G as the number of units of Z. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(D\times H\right)+G+D\right]\div G=Z}}$	ואומר ששטח ד' בה' עם מספרי ג' ד' ימנהו ג' במספר אחדי ז‫'
The proof: The product of D by H, when D is added to it, is equal to the product of D by G. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(D\times H\right)+D=D\times G}}$	המופת ששטח ד' בה' כשהתחבר עמו ד' שוה לשטח ד' בג‫'
When the number G is added to the product of D by G, then the result is equal to the product of Z by G. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(D\times G\right)+G=Z\times G}}$	וכאשר‫^[303] חובר עם שטח ד' בג' מספר ג' היה העולה שוה לשטח ז' בג‫'
So, [the sum of] the product of D by H, with the numbers G, D, equals the product of Z by G. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(D\times H\right)+G+D=Z\times G}}$	אם כן שטח ד' בה' עם מספרי ג' ד' שוה לשטח ז' בג‫'
Therefore, [the sum of] the product of D by H, with the numbers G, D, is counted by G as the number of units of Z. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(D\times H\right)+G+D\right]\div G=Z}}$	אם כן שטח ד' בה' עם מספרי ג' ד' ימנהו ג' כמספר אחדי ז‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
52) When there are three different numbers, if the product of the largest minus one by the excess of the mean over the smallest is added to the product of the smallest minus one by the excess of the largest over the mean, and with the largest number and the excess of the mean over the smallest, then the result of the whole sum is counted by the mean [number] as the number of units of the number that follows the excess of the largest over the smallest.	נ"ב כאשר היו שלשה מספרים מתחלפים הנה אם חובר השטח ההווה מהגדול פחות אחד ביתרון האמצעי על הקטן עם שטח ההווה מהקטון פחות אחד ביתרון הגדול על האמצעי ועם המספר הגדול ועם יתרון האמצעי על הקטן הנה העולה כשהתחבר זה כלו ימנהו האמצעי כמספר אחדי המספר הנמשך אחרי יתרון הגדול על הקטן
Let the different numbers be A, B, G; let the number A be the smallest and the number G be the greatest.	ויהיו המספרים המתחלפים מספרי א' ב' ג' ויהיה מספר א' הקטן ומספר ג' הוא הגדול
Let the excess of B over A be the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{B-A=D}}$	והיה יתרון ב' על א' מספר ד‫'
Let the excess of G over B be the number T. $\scriptstyle{\color{blue}{G-B=T}}$	והיה יתרון ג' על ב' מספר ט‫'
Let H be the number before A. $\scriptstyle{\color{blue}{A-1=H}}$	והיה המספר הנמשך למספר א' לפניו מספר ה‫'
Let L be the number before G. $\scriptstyle{\color{blue}{G-1=L}}$	והנמשך למספר ג' לפניו מספר ל‫'
Let the excess of G over A be the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{G-A=Z}}$	והיה יתרון ג' על א' מספר ז‫'
Let C be the number that follows Z. $\scriptstyle{\color{blue}{Z+1=C}}$	והנמשך למספר ז' לאחריו מספר ח‫'
Supposition: I say that the product D by L, with the product T by H, and with the numbers G, D, is counted by the number B as the number of units of C.	ואומר ששטח ד' בל' עם שטח ט'‫^[304] בה' ועם מספרי ג' ד' ימנהו מספר ב' כמספר‫^[305] אחדי ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(D\times L\right)+\left(T\times H\right)+G+D\right]\div B=C}}$
The proof: The product of D by L, when D is added to is, is equal to the product of D by G. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(D\times L\right)+D=D\times G}}$	המופת ששטח ד' בל' כשחובר עמו ד' הוא שוה לשטח ד' בג‫'
The product of T by H, when G is added to it, is equal to [the sum of] the product of T by A and the number B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(T\times H\right)+G=\left(T\times A\right)+B}}$	ושטח ט' בה' כשחובר עמו ג' הוא שוה לשטח ט' בא'‫^[306] ולב‫'
Because the number G is equal to [the sum of] the numbers B, T. $\scriptstyle{\color{blue}{G=B+T}}$	מפני שמספר ג' שוה למספרי ב' ט‫'
When T is added to the product of T by H, it equals the product of T by A. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(T\times H\right)+T=T\times A}}$	וכאשר חובר ט' עם‫^[307] שטח ט' בה' היה שוה לשטח ט' בא
So, when [the sum of] B, T together, which is equal to G, is added to the product of T by H, the result is equal to the product of T by A plus B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(T\times H\right)+B+T=\left(T\times H\right)+G=\left(T\times A\right)+B}}$	א"כ כאשר חובר ב'ט' יחד שהוא ג' עם שטח ט' בה' היה העולה שוה לשטח ט' בא'‫^[308] ולב‫'
Therefore, [the sum of] the product of D by L with the product of T by H and the numbers G, D, is equal to [the sum of] the product of G by D, the product of T by A, and the number B.	אם כן שטח ד' בל' עם שטח ט' בה' ועם מספרי ג' ד' שוה לשטח ד' בג' ולשטח ט' בא' ולמספר ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(D\times L\right)+\left(T\times H\right)+G+D=\left(D\times G\right)+\left(T\times A\right)+B}}$
But [the sum of] the product of D by G with the product of T by A is equal to the product of Z by B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(D\times G\right)+\left(T\times A\right)=Z\times B}}$	אבל שטח ד' בג' עם שטח ט' בא' שוה לשטח ז' בב‫'
So, [the sum of] the product of D by L, with the product of T by H, and the numbers G, D, equals the product of Z by B and the number B.	‫^[309]אם כן שטח ד' בל' עם שטח ט' בה' ועם מספרי ג'ד'‫^[310] שוה לשטח ז' בב' ולמספר ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(D\times L\right)+\left(T\times H\right)+G+D=\left(Z\times B\right)+B}}$
But the product of Z by B, when B is added to it, is equal to the product of C by B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(Z\times B\right)+B=C\times B}}$	אבל שטח ז' בב' כשחובר עמו ב' הוא שוה לשטח ח' בב‫'
Hence, [the sum of] the product of D by L with the product of T by H and the numbers G, D is counted by B as the number of units C.	אם כן שטח ד' בל' עם שטח ט' בה' ועם מספרי ג'ד' ימנהו ב' כמספר אחדי ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(D\times L\right)+\left(T\times H\right)+G+D\right]\div B=C}}$
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
53) We want to find three numbers such that the first with a given part of the remaining numbers is the same as the second with a second given part of the remaining that is smaller than the first given part and the same as the third with a third given part of the remaining that is smaller than the second given part. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{n}\sdot\left(b+c\right)=b+\frac{1}{m}\sdot\left(a+c\right)=c+\frac{1}{g}\sdot\left(a+b\right)\\\scriptstyle\frac{1}{g}<\frac{1}{m}<\frac{1}{n}\end{cases}$	נ"ג נרצה שנמצא שלשה מספרים יהיה הראשון עם חלק מונח מהמספרים הנשארים כמו השני עם חלק מונח שני מהנשארים יותר קטן מהחלק המונח הראשון‫^[311] וכמו השלישי עם חלק מונח שלישי מהנשארים יותר קטן מהחלק המונח השני
Let the numbers by which these parts are denominated be A, B, G.	ויהיו המספרים אשר אלו החלקים נקראים בהם מספרי א' ב' ג‫'
Let the greatest part be the part denominated by A, and the smallest part be the part denominated by G. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{G}<\frac{1}{B}<\frac{1}{A}}}$	ויהיה החלק היותר גדול החלק הנקרא בא' והחלק היותר קטן החלק הנקרא בג‫'
So, the smallest number is the number A, and the greatest number is the number G. $\scriptstyle{\color{blue}{A<B<G}}$	ולזה יהיה המספר היותר קטן מספר א' והמספר היותר גדול מספר ג‫'
Let the excess of B over A be the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{D=B-A}}$	ויהיה יתרון ב' על א' מספר ד‫'
Let the excess of G over B be the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=G-B}}$	ויתרון ג' על ב'‫^[312] מספר ז‫'‫^[313]
Let C be the number before G. $\scriptstyle{\color{blue}{C=G-1}}$	והמספר הנמשך לג' לפניו מספר ח‫'
Let L be the number before B. $\scriptstyle{\color{blue}{L=B-1}}$	והמספר הנמשך לב' לפניו מספר ל‫'
The number A must be either two or greater than two. $\scriptstyle{\color{blue}{A\ge2}}$	הנה בהכרח שיהיה מספר א' אם‫^[314] שנים אם מוסיף על שנים
Let it first be two. $\scriptstyle{\color{blue}{A=2}}$	ויהיה תחלה שנים
We add the last number, which is G, to D, which is the excess of B over A; we receive the sum of the numbers G, D. We define the result as H, which is the first number. $\scriptstyle{\color{blue}{H=G+\left(B-A\right)=G+D}}$	הנה נחבר המספר האחרון והוא ג' עם ד' שהוא יתרון ב' על א' ויהיה העולה בידינו מספרי ג'ד' מקובצים ונשים העולה ה' והוא יהיה המספר הראשון
We also add H to double the product of the largest number minus one by the excess of the mean over the smallest, which is double the product of D by C. We define the result as T, which is the second number. $\scriptstyle{\color{blue}{T=H+2\sdot\left[\left(G-1\right)\sdot\left(B-A\right)\right]=H+2\sdot\left(D\sdot C\right)}}$	עוד נחבר ה' עם שני שטחי המספר הגדול פחות אחד ביתרון האמצעי על הקטן והם שני שטחי ד' בח' ונשים העולה ט' והוא יהיה המספר‫^[315] השני
We also add T to double the product of the smallest number minus one by the excess of the largest over the mean, which is double the product of Z by A minus one. We define the result as K, which is the third number. $\scriptstyle{\color{blue}{K=T+2\sdot\left[\left(A-1\right)\sdot\left(G-B\right)\right]=T+2\sdot\left[Z\sdot\left(A-1\right)\right]}}$	עוד נחבר עם ט' כפל שטח הקטן פחות אחד ביתרון הגדול על האמצעי והוא כפל שטח ז' בא' פחות אחד ונשים העולה כ' והוא יהיה המספר השלישי
general solution: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a=g+\left(m-n\right)\\\scriptstyle b=a+\left[2\sdot\left(g-1\right)\sdot\left(m-n\right)\right]\\\scriptstyle c=b+\left[2\sdot\left(n-1\right)\sdot\left(g-m\right)\right]\end{cases}}}$
Supposition: We say that the numbers H, T, K are the required numbers.	ונאמר שמספרי ה' ט' כ' הם המספרים המבוקשים
The proof: T equals H plus double the product of D by C. $\scriptstyle{\color{blue}{T=H+2\sdot\left(D\sdot C\right)}}$	המופת שט' שוה לה' ולשני שטחי ד' בח‫'
K equals H plus double the product of D by C and double [the product of] Z by A minus one, which is twice Z.	וכ' שוה לה' ולשני שטחי ד' בח'‫^[316] ולכפל ז' בא' פחות אחד שהוא שני דמיוני ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{K=H+2\sdot\left(D\sdot C\right)+2\sdot\left[Z\sdot\left(A-1\right)\right]=H+2\sdot\left(D\sdot C\right)+\left(2\sdot Z\right)}}$
Because A minus one is one. $\scriptstyle{\color{blue}{A-1=1}}$	לפי שא' פחות אחד הוא אחד
So, half [the sum of] T, K equals H plus double the product of D by C and the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(T+K\right)=H+2\sdot\left(D\sdot C\right)+Z}}$	אם כן חצי מספרי ט'כ' שוה לה' ולשני שטחי ד' בח' ולמספר ז‫'
But H equals [the sum of] G, D. $\scriptstyle{\color{blue}{H=G+D}}$	אבל ה' שוה למספרי ג'ד‫'
So, half [the sum of] T, K is equal to double the product of D by C and the numbers G, D, Z. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(T+K\right)=2\sdot\left(D\sdot C\right)+G+D+Z}}$	אם כן חצי מספרי‫^[317] ט'כ' שוה לשני שטחי ד' בח' ‫^[318]ולמספרי ג'ד'ז‫'
But, double the product of D by C, with the numbers G, D, Z, is equal to double the product of L by C. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(D\sdot C\right)+G+D+Z=2\sdot\left(L\sdot C\right)}}$	אבל שני שטחי ד' בח' עם מספרי ג'ד'ז' שוה לכפל שטח ל' בח‫'
So, half [the sum of] the numbers T, K is equal to double the product of L by C. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(T+K\right)=2\sdot\left(L\sdot C\right)}}$	אם כן חצי מספרי ט'כ' שוה לכפל שטח ל' בח‫'
So, two is multiplied by twice the product of L by C, and the result is equal to the sum of T, K. $\scriptstyle{\color{blue}{T+K=2\sdot\left[2\sdot\left(L\sdot C\right)\right]}}$	אם כן כבר יוכה שנים בשני דמיוני שטח ל' בח' ויהיה העולה שוה למספרי ט'כ' מקובצים
Therefore, [the sum of] T, K is counted by A, which is two, as the number of twice the product of L by C. $\scriptstyle{\color{blue}{T+K=A\sdot\left[2\sdot\left(L\sdot C\right)\right]}}$	הנה אם כן ט'כ' ימנם א' שהוא שנים כמספר שני דמיוני שטח ל' בח‫'
We define double the product of L by C as the number M. $\scriptstyle{\color{blue}{M=2\sdot\left(L\sdot C\right)}}$	ונשים שני דמיוני שטח‫^[319] ל' בח' מספר מ‫'
So, the number M is the part denominated by A of the sum of the numbers T, K. $\scriptstyle{\color{blue}{M=\frac{T+K}{A}}}$	הנה מספר מ' הוא חלק הנקרא בא' ממספרי ט'כ' מקובצים
Furthermore, [the sum of] H, K equals [the sum of] double H, double the product of D by C, and double Z. $\scriptstyle{\color{blue}{H+K=\left(2\sdot H\right)+2\sdot\left(D\sdot C\right)+\left(2\sdot Z\right)}}$	וגם כן הנה ה' כ' שוים לכפל ה' ולשני שטחי ד' בח' ולכפל ז‫'
So, half [the sum of] H, K is equal to [the sum of] H, the product of D by C and Z. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(H+K\right)=H+\left(D\sdot C\right)+Z}}$	אם כן חצי מספרי ה'כ' שוה לה' ולשטח ד' בח' ולז‫'‫^[320]
But, H is equal to [the sum of] G, D. $\scriptstyle{\color{blue}{H=G+D}}$	ואולם ה' שוה למספרי ג' ד‫'
So, half [the sum of] H, K is equal to the product of D by C and the numbers G, D, Z. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(H+K\right)=\left(D\sdot C\right)+G+D+Z}}$	אם כן חצי מספרי ה' כ' שוה לשטח ד' בח' ולמספרי ג'ד'ז‫'
But, [the sum of] the numbers G, D, Z is equal to the product of A by C. $\scriptstyle{\color{blue}{G+D+Z=A\sdot C}}$	אבל מספרי‫^[321] ג'ד'ז' שוים לשטח א' בח‫'
Because A is two. $\scriptstyle{\color{blue}{A=2}}$	לפי שא' הוא שנים
[The sum of] G, D, Z is equal to twice the number C. $\scriptstyle{\color{blue}{G+D+Z=2\sdot C}}$	ומספרי ג'ד'ז' שוים לשני דמיוני מספר ח‫'
So, half [the sum of] H, K is equal to [the sum of] the product of D by C and the product of A by C, and this is equal to the product of B by C. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(H+K\right)=\left(D\sdot C\right)+\left(A\sdot C\right)=B\sdot C}}$	אם כן חצי מספרי ה'כ' שוה לשטח ד' בח' ולשטח א' בח' וזה שוה לשטח ב' בח‫'
Because B is equal to [the sum of] D, A. $\scriptstyle{\color{blue}{B=D+A}}$	לפי שב' שוה לד'א‫'
Therefore, half [the sum of] the numbers H, K is equal to the product of B by C. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(H+K\right)=B\sdot C}}$	אם כן חצי מספרי ה'כ' שוה לשטח ב' בח‫'
Thus, half [the sum of] the numbers H, K is counted by B as the number of units of C. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(H+K\right)=B\sdot C}}$	הנה אם כן חצי מספרי ה'כ' ימנהו ב' כמספר אחדי ח‫'‫^[322]
So, B counts [the sum of] the numbers H, K as the number of units of double C. $\scriptstyle{\color{blue}{H+K=B\sdot\left(2\sdot C\right)}}$	ולזה ימנה ב' מספרי ה'כ' כמספר אחדי שני דמיוני ח‫'
We define double C as N. $\scriptstyle{\color{blue}{N=2\sdot C}}$	ונשים שני דמיוני ח' כמו נ‫'
So, the number N is the part denominated by B of the sum of the numbers H, K. $\scriptstyle{\color{blue}{N=\frac{H+K}{B}}}$	הנה מספר נ' הוא חלק הנקרא בב' ממספרי ה'כ' מקובצים
Also [the sum of] H, T is equal to double H and double the product of D by C. $\scriptstyle{\color{blue}{H+T=\left(2\sdot H\right)+2\sdot\left(D\sdot C\right)}}$	וגם כן הנה יהיו ה' וט' שוים לכפל ה' ולשני שטחי ד' בח‫'
So, half [the sum of] the numbers H, T is equal to H and the product of D by C. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(H+T\right)=H+\left(D\sdot C\right)}}$	א"כ חצי מספרי ה'ט' שוה לה' ולשטח ד' בח‫'
But, H is equal to [the sum of] the numbers G, D. $\scriptstyle{\color{blue}{H=G+D}}$	ואולם ה' שוה למספרי ג'ד‫'‫^[323]
So, half [the sum of] the numbers H, T is equal to [the sum of] the product of D by C and the numbers G, D. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(H+T\right)=\left(D\sdot C\right)+G+D}}$	אם כן חצי מספרי ה'ט' שוה לה' ולשטח‫^[324] ד' בח' ולמספרי ג' ד‫'
However, [the sum of] the product of D by C and the numbers G, D is counted by G as the number of units of [the number] that follows D, which is L. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(D\sdot C\right)+G+D=G\sdot\left(D+1\right)=G\sdot L}}$	ואולם שטח ד' בח' עם מספרי ג'ד' ימנהו ג' כמספר אחדי הנמשך אחר ד' והוא ל‫'
So, half [the sum of] the numbers H, T is counted by G as the number of units of L. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(H+T\right)=G\sdot L}}$	אם כן חצי מספרי ה'ט' ימנהו ג' כמספר אחדי ל‫'
Therefore, [the sum of] the numbers H, T is counted by G as the number of units of double L. $\scriptstyle{\color{blue}{H+T=G\sdot\left(2\sdot L\right)}}$	אם כן מספרי ה'ט' ימנם ג' כמספר אחדי שני כפלי ל‫'
We define double L as S. $\scriptstyle{\color{blue}{S=2\sdot L}}$	ונשים שני כפלי ל' כמו ס‫'
Then, the number S is the part denominated by G of the sum of the numbers H, T. $\scriptstyle{\color{blue}{S=\frac{H+T}{G}}}$	הנה מספר ס' הוא חלק נקרא בג' ממספרי ה'ט' מקובצים
Supposition: We say that the sum of the numbers H, M equals the sum of the numbers T, N and [equals] the sum of K, S. $\scriptstyle{\color{blue}{H+M=T+N=K+S}}$	ונאמר שמספרי ה'מ' מקובצים שוים למספרי ט'נ' מקובצים או למספרי כ'ס' מקובצים
This is because the sum of H, M equals [the sum of] double the product of L by C and the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{H+M=2\sdot\left(L\sdot C\right)+H}}$	וזה שה'מ' מקובצים שוים‫^[325] לשני דמיוני שטח ל' בח' ולמספר ה‫'
The sum of the numbers T, N equals [the sum of] the number H, double the product of D by C and twice C, as explained above. $\scriptstyle{\color{blue}{T+N=H+\left[2\sdot\left(D\sdot C\right)\right]+\left(2\sdot C\right)}}$	ומספרי ט'נ' מקובצים שוים לפי מה שהתבאר למספר ה' ולשני דמיוני שטח ד' בח' ולשני דמיוני ח‫'
C is added to the product of D by C; it equals the product of L by C. $\scriptstyle{\color{blue}{C+\left(D\sdot C\right)=L\sdot C}}$	הנה יחובר ח' עם שטח ד' בח' ויהיה שוה לשטח ל' בח‫'
Hence, [the sum of] double the product of D by C, with twice C, equals double the product of L by C. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(D\sdot C\right)\right]+\left(2\sdot C\right)=2\sdot\left(L\sdot C\right)}}$	ולזה יהיו שני דמיוני שטח ד' בח' עם שני דמיוני ח' שוים לשני דמיוני ‫^[326]ל' בח‫'‫^[327]
So, the sum of the numbers T, N equals the sum of the numbers H, M. $\scriptstyle{\color{blue}{T+N=H+M}}$	אם כן מספרי ט'נ' מקובצים שוים למספרי ה'מ' מקובצים
Likewise, according to the above, [the sum of] the numbers K, S equals [the sum of] the number H, double the product of D by C, [double Z], and double L. $\scriptstyle{\color{blue}{K+S=H+\left[2\sdot\left(D\sdot C\right)\right]+{\color{red}{\left(2\sdot Z\right)}}+\left(2\sdot L\right)}}$	וגם כן הנה מספרי כ'ס' שוים לפי מה שקדם למספר ה' ולשני דמיוני שטח ד' בח' ולכפל ל‫'‫^[328]
Since the sum of the numbers Z, B equals the number G; and L equals B minus B; the sum of the numbers Z, L equals G minus one. $\scriptstyle{\color{blue}{Z+B=G\quad L=B-1\longrightarrow Z+L=G-1}}$	הנה מפני שמספרי ז'ב' מקובצים שוים למספר ג' ול' פחות אחד מב' יהיו מספרי ז'ל' מקובצים פחות אחד מג‫'
So, the sum of the numbers Z, L equals C. $\scriptstyle{\color{blue}{Z+L=C}}$	אם כן מספרי ז'ל' מקובצים שוים לח‫'
Therefore, [the sum of] the numbers K, S equals [the sum of] the number H, double the product of D by C, and double the sum of Z, L, which is equal to double C.	אם כן מספרי‫^[329] כ'ס' שוים למספר ה' ולשני‫^[330] שטחי ד' בח' ולכפל ז'ל' מקובצים שהוא כמו כפל ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{K+S=H+\left[2\sdot\left(D\sdot C\right)\right]+\left[2\sdot\left(Z+L\right)\right]=H+\left[2\sdot\left(D\sdot C\right)\right]+\left(2\sdot C\right)}}$
But, [the sum of] double the product of D by C with double C equals double the product of L by C. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(D\sdot C\right)\right]+\left(2\sdot C\right)=2\sdot\left(L\sdot C\right)}}$	אבל שני שטחי ד' בח' עם כפל ח' שוים לשני שטחי ל' בח‫'
So, the sum of the numbers K, S also equals the numbers H, M. $\scriptstyle{\color{blue}{K+S=H+M}}$	אם כן שני‫^[331] מספרי כ'ס' מקובצים שוים גם כן‫^[332] לשני מספרי ה'מ‫'
Thus, we have found three numbers, which are H, T, K: the first of which, which is H, with a part of A of [the sum of] the others, is equal to the second, which is T, with a part of B of [the sum of] the others, and to the third, which is K, with a part of G of [the sum of] the others.	הנה כבר מצאנו שלשה מספרים והם מספרי ה'ט'כ' הראשון והוא ה' עם חלק מא' מהנשארים שוה לשני והוא ט' עם חלק מב' מהנשארים ולשלישי והוא כ' עם חלק מג' מהנשארים
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
Let the number A also be greater than two. $\scriptstyle{\color{blue}{A>2}}$	ויהיה גם כן מספר א' מוסיף על שנים
Let its excess over two be the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{D=A-2}}$	ויהיה יתרונו על שנים מספר ד‫'
Let the excess of B over A be the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{H=B-A}}$	ויהיה יתרון ב' על א' מספר ה‫'
Let the excess of G over B be the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=G-B}}$	ויתרון ג' על ב' מספר ז‫'
Let C be the number before A. $\scriptstyle{\color{blue}{C=A-1}}$	והמספר הנמשך לא' לפניו הוא מספר ח‫'
Let T be the number before B. $\scriptstyle{\color{blue}{T=B-1}}$	והמספר הנמשך לפני ב' הוא מספר‫^[333] ט‫'
Let L be the number before G. $\scriptstyle{\color{blue}{L=G-1}}$	והמספר הנמשך לפני ג' הוא ל‫'
The required remains the same.	ונשאר‫^[334] הדרוש על ענינו
We take [equal parts] of the product of the mean by the greatest as the number of the excess of the smallest over two, and add to the result the greatest number and the excess of the mean over the smallest. I mean, we take [equal parts] of the product of B by G as the number of units of D, and we add the numbers G, H to the result. We define the result as the number M; it is the first number.	הנה נקח מדמיוני שטח האמצעי בגדול כשעור יתרון הקטן על שנים ונחבר עם העולה המספר הגדול ויתרון האמצעי על הקטן רצוני שנקח מדמיוני שטח ב' בג' כמנין מה שבמספר ד' מן האחדים ונחבר עם העולה‫^[335] מספרי ג' ה' ונשים העולה מספר מ' והוא יהיה המספר הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{M=\left[\left(B\sdot G\right)\sdot\left(A-2\right)\right]+G+\left(B-A\right)=\left[\left(B\sdot G\right)\sdot D\right]+G+H}}$
We also add the number M to double product of the largest number minus one by the excess of the mean over the smallest. I mean, we add M to double the product of H by L and we define the result as N; it is the second number. $\scriptstyle{\color{blue}{N=M+\left[2\sdot\left[\left(G-1\right)\sdot\left(B-A\right)\right]\right]=M+2\sdot\left(H\sdot L\right)}}$	עוד נחבר מספר מ' עם שני שטחי המספר הגדול פחות אחד ביתרון האמצעי על הקטן רצוני שנחבר מ' עם שני שטחי ה' בל' ונשים העולה נ' והוא יהיה המספר‫^[336] השני
We also add N to twice the product of the smallest number minus one by the excess of the largest over the mean. I mean, we add N to double the product of Z by C and we define the result as S; it is the third number. $\scriptstyle{\color{blue}{S=N+\left[2\sdot\left[\left(A-1\right)\sdot\left(G-B\right)\right]\right]=N+2\sdot\left(Z\sdot C\right)}}$	עוד נחבר נ' עם שני שטחי הקטן פחות אחד ביתרון הגדול על האמצעי רצוני שנחבר נ' עם שני שטחי ז' בח' ונשים העולה ס' והוא יהיה המספר השלישי
general solution: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a=g+\left(m-n\right)+\left[\left(n-2\right)\sdot m\sdot g\right]\\\scriptstyle b=a+\left[2\sdot\left(g-1\right)\sdot\left(m-n\right)\right]\\\scriptstyle c=b+\left[2\sdot\left(n-1\right)\sdot\left(g-m\right)\right]\end{cases}}}$
Supposition: I say that the numbers M, N, S are the required numbers.	ואומר שמספרי מ' נ' ס' הם המספרים‫^[337] המבוקשים
The proof: The number N is equal to [the sum of] the number M and double the product of H by L. $\scriptstyle{\color{blue}{N=M+2\sdot\left(H\sdot L\right)}}$	המופת שמספר נ' שוה למספר ‫^[338]מ' ולשני שטחי ה' בל‫'
The number S is equal to [the sum of] the number M, double the product of H by L and double the product of Z by C. $\scriptstyle{\color{blue}{S=M+2\sdot\left(H\sdot L\right)+2\sdot\left(Z\sdot C\right)}}$	ומספר ס' שוה למספר מ' ולשני שטחי ה' בל' ולשני שטחי ז' בח‫'
So, half [the sum of] the numbers N, S is equal to [the sum of] the number M, double the product of H by L and double the product of Z by C. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(N+S\right)=M+2\sdot\left(H\sdot L\right)+\left(Z\sdot C\right)}}$	אם כן חצי מספרי נ'ס' שוה למספר מ' ולשני שטחי ה' בל' ולשטח ז' בח‫'
But, the number M is equal to [the sum of] the product of B by G multiplied by the number D, and the numbers G, H. $\scriptstyle{\color{blue}{M=\left[D\sdot\left(B\sdot G\right)\right]+G+H}}$	אבל מספר מ' שוה לכפלי מספר ד' מדמיוני שטח ב' בג' ולמספרי ג'ה‫'
So, half [the sum of] the numbers N, S is equal to [the sum of] D times the product of B by G, double the product of H by L, the product of Z by C, and the numbers G, H.	אם כן חצי מספרי נ'ס' שוה לכפלי ד' מדמיוני שטח ב' בג' ולשני שטחי ה' בל' ולשטח ז' בח' ולמספרי ג'ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(N+S\right)=\left[D\sdot\left(B\sdot G\right)\right]+2\sdot\left(H\sdot L\right)+\left(Z\sdot C\right)+G+H}}$
But, [the sum of] D times the product of B by G, with double the product of H by L, with the product of Z by C, and with the numbers G, H, is counted by A as the number of units of the product of T by L.	אבל כפלי ד' מדמיוני שטח ב' בג' עם שני שטחי ה' בל' ועם שטח ז' בח' ועם מספרי ג'ה' ימנהו א' כמספר אחדי שטח ט' בל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[D\sdot\left(B\sdot G\right)\right]+2\sdot\left(H\sdot L\right)+\left(Z\sdot C\right)+G+H=A\sdot\left(T\sdot L\right)}}$
So, A counts [the sum of] N, S as the number of double the product of T by L. $\scriptstyle{\color{blue}{N+S=A\sdot\left[2\sdot\left(T\sdot L\right)\right]}}$	ולזה ימנה א' מספרי נ'ס' כמספר כפל שטח ט' בל‫'
We define double the product of T by L as the number E. $\scriptstyle{\color{blue}{E=2\sdot\left(T\sdot L\right)}}$	ונשים כפל שטח ט' בל' מספר ע‫'
So, the number E is the part denominated by A of the sum of the numbers N, S. $\scriptstyle{\color{blue}{E=\frac{N+S}{A}}}$	הנה מספר ע' הוא חלק נקרא בא' ממספרי‫^[339] נ'ס' מקובצים
Also [the sum of] M and S equals [the sum of] double M, double the product of Z by C, and double the product of H by L. $\scriptstyle{\color{blue}{M+S=\left(2\sdot M\right)+2\sdot\left(Z\sdot C\right)+2\sdot\left(H\sdot L\right)}}$	וגם כן הנה מ'ס' שוים לכפל מ' ולשני שטחי ז' בח' ולשני שטחי ה' בל‫'
So, half [the sum of] M and S equals [the sum of] the number M, the product of H by L, and the product of Z by C. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(M+S\right)=M+\left(H\sdot L\right)+\left(Z\sdot C\right)}}$	ולזה יהיה חצי מספרי מ'ס' שוה למספר מ' ולשטח ה' בל' ולשטח ז' בח‫'
But, the number M equals [the sum of] D times the product of B by G and the numbers G, H. $\scriptstyle{\color{blue}{M=\left[D\sdot\left(B\sdot G\right)\right]+G+H}}$	אבל מספר מ' שוה לכפלי ד' משטחי ב' בג' ולמספרי ג'ה‫'
So, half [the sum of] M and S is equal to [the sum of] the product of H by L, the product of Z by C, the numbers G, H, and D times the product of B by G.	אם כן חצי מספרי מ'ס' שוה לשטח ה' בל' ולשטח ז' בח' ולמספרי ג'ה' ולכפלי ד' מדמיוני שטח ב' בג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(M+S\right)=\left(H\sdot L\right)+\left(Z\sdot C\right)+G+H+\left[D\sdot\left(B\sdot G\right)\right]}}$
But, [the sum of] the product of H by L, with the product of Z by C, and with the numbers G, H, is counted by B as the number that follows the excess of G over A, which is the number that follows the sum of H, Z.	אבל שטח ה' בל' עם שטח ז' בח' ועם מספרי ג'ה' ימנהו ב' כמספר הנמשך אחר יתרון ג' על א' והוא המספר הנמשך אחר ה' ז' מקובצים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(H\sdot L\right)+\left(Z\sdot C\right)+G+H=B\sdot\left[\left(G-A\right)+1\right]=B\sdot\left[\left(H+Z\right)+1\right]}}$
We define it as the number Q. $\scriptstyle{\color{blue}{Q=\left(H+Z\right)+1}}$	ונשימהו מספר ק‫'
But, D times the product of B by G is counted by B as the number of units of the product of D by G. $\scriptstyle{\color{blue}{D\sdot\left(B\sdot G\right)=B\sdot\left(D\sdot G\right)}}$	והנה כפלי ד' מדמיוני שטח ב' בג' ימנהו ב' כמספר אחדי שטח ד' בג‫'
Because D times the product of B by G [is a product] of the numbers D, B, G. $\scriptstyle{\color{blue}{D\sdot\left(B\sdot G\right)=D\sdot B\sdot G}}$	לפי שכפל ד' מדמיוני שטח ב' בג' הוא מורכב ממספרי ד' ב' ג‫'
So half [the sum of] M and S is counted by B as [the sum of] the product of D by G and the number Q. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(M+S\right)=B\sdot\left[\left(D\sdot G\right)+Q\right]}}$	אם כן חצי מספרי מ'ס' ימנהו ב' כמספר שטח ד' בג' וכמספר ק‫'
So, it is clear that the sum of the numbers M, S is counted by B as [the sum of] the units of double the product of D by G and double the number Q. $\scriptstyle{\color{blue}{M+S=B\sdot\left[2\sdot\left(D\sdot G\right)+\left(2\sdot Q\right)\right]}}$	ולזה התבאר שמספרי מ'ס' מקובצים ימנם ב' כמספר אחדי כפל שטח ד' בג' וכמספר‫^[340] כפל ק‫'
We define [the sum of] double the product of D by G and double the number Q as the number P. $\scriptstyle{\color{blue}{P=2\sdot\left(D\sdot G\right)+\left(2\sdot Q\right)}}$	ונשים כפל שטח ד' בג' וכפל מספר ק' מספר פ‫'
Then, the number P is the part denominated by B of the sum of the numbers M, S. $\scriptstyle{\color{blue}{P=\frac{M+S}{B}}}$	הנה מספר פ' הוא חלק נקרא בב' ממספרי מ'ס' מקובצים
Furthermore, [the sum of] M and N is equal to [the sum of] double M and double the product of H by L. $\scriptstyle{\color{blue}{M+N=\left(2\sdot M\right)+2\sdot\left(H\sdot L\right)}}$	וגם כן הנה מ' ונ' שוים לכפל מ' ולשני שטחי ה' בל‫'
So, half [the sum of] the numbers M, N is equal to [the sum of] the product of H by L plus M. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(M+N\right)=\left(H\sdot L\right)+M}}$	אם כן חצי מספרי מ'נ' שוה לשטח ה' בל' ולמ‫'
But, the number M is equal to [the sum of] D times the product of B by G and the numbers G, H. $\scriptstyle{\color{blue}{M=\left[D\sdot\left(B\sdot G\right)\right]+G+H}}$	ואולם מספר מ' שוה לכפלי ד' משטח ב' בג' ולמספרי ג'ה‫'
So, half [the sum of] the numbers M, N is equal to [the sum of] the product of H by L, the numbers G, H, and D times the product of B by G. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(M+N\right)=\left(H\sdot L\right)+G+H+\left[D\sdot\left(B\sdot G\right)\right]}}$	אם כן חצי מספרי מ'נ' שוה לשטח ה' בל' ולמספרי ג'ה' ולכפלי ד' משטח ב' בג‫'
But, [the sum of] the product of H by L with the numbers G, H is counted by G as the number of units of the number that follows H. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(H\sdot L\right)+G+H=G\sdot\left(H+1\right)}}$	אבל שטח ה' בל' עם מספרי ג'ה' ימנהו ג'‫^[341] ‫^[342]כמספר אחדי הנמשך אחר ה‫'
We define it as the number R. $\scriptstyle{\color{blue}{R=H+1}}$	ונשימהו מספר ר‫'
D times the product of B by G is counted by G as the number of units of the product of D by B. $\scriptstyle{\color{blue}{D\sdot\left(B\sdot G\right)=G\sdot\left(D\sdot B\right)}}$	וכפלי ד' משטח ב' בג' ימנהו ג' כמספר אחדי שטח ד' בב‫'
So, half [the sum of] the numbers M, N is counted by G as [the sum of] the number of units of the product D by B and the number R. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(M+N\right)=G\sdot\left[\left(D\sdot B\right)+R\right]}}$	אם כן חצי מספרי מ'נ' ימנהו ג' כמספר אחדי‫^[343] שטח ד' בב' וכמספר ר‫'‫^[344]
So, [the sum of] the numbers M, N is counted by G as [the sum of] double the product of D by B and double the number R. $\scriptstyle{\color{blue}{M+N=G\sdot\left[2\sdot\left(D\sdot B\right)+\left(2\sdot R\right)\right]}}$	אם כן מספרי מ'נ' ימנהו ג'‫^[345] כמספר כפל שטח ד' בב' וככפל מספר ר‫'‫^[346]
We define [the sum of] double the product of D by B and double the number R as the number Ĉ. $\scriptstyle{\color{blue}{\hat{C}=2\sdot\left(D\sdot B\right)+\left(2\sdot R\right)}}$	ונשים כפל שטח ד' בב' וכפל מספר ר'‫^[347] מספר צ‫'
Then, the number Ĉ is the part denominated by G of the sum of the numbers M, N. $\scriptstyle{\color{blue}{\hat{C}=\frac{M+N}{G}}}$	הנה מספר צ' הוא חלק נקרא בג' ממספרי מ'נ' מקובצים
Supposition: We say that the sum of the numbers M, E, the sum of the numbers N, P, and the sum of the numbers S, Ĉ are equal to each other. $\scriptstyle{\color{blue}{M+E=N+P=S+\hat{C}}}$	ונאמר שמספרי מ'ע' מקובצים ומספרי נ'פ'‫^[348] מקובצים ומספרי ס'צ'‫^[349] מקובצים שוים קצתם לקצת
The proof: [The sum of] M, E is equal to the number M and double the product of T by L. $\scriptstyle{\color{blue}{M+E=M+2\sdot\left(T\sdot L\right)}}$	המופת שמ'ע' שוים למספר מ' ולכפל שטח ט' בל‫'
[The sum of] the numbers N, P is equal to [the sum of] the number M, double the product of H by L, double the product of D by G, and double the number Q. $\scriptstyle{\color{blue}{N+P=M+2\sdot\left(H\sdot L\right)+2\sdot\left(D\sdot G\right)+2\sdot Q}}$	ומספרי נ'פ' שוים למספר מ' ולשני שטחי ה' בל' ולשני שטחי ד' בג' ולכפל מספר ק‫'
We subtract the common number M.	ונשליך מספר מ' המשותף
Supposition: We say that double the product of T by L is equal to [the sum of] double the product of H by L with double the product of D by G and with double the number Q. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(T\sdot L\right)=2\sdot\left(H\sdot L\right)+2\sdot\left(D\sdot G\right)+2\sdot Q}}$	ונאמר שכפל שטח ט' בל' שוה לשני שטחי ה' בל' מחוברים עם שני שטחי ד' בג' ועם כפל מספר ק‫'
Because the excess of T over H is C. $\scriptstyle{\color{blue}{T-H=C}}$	וזה שיתרון ט' על ה' הוא ח‫'
For the sum of A, H is equal to B. $\scriptstyle{\color{blue}{A+H=B}}$	לפי שא'ה' מקובצים שוים לב‫'
Therefore, the sum of C, H is equal to T. $\scriptstyle{\color{blue}{C+H=T}}$	ויהיו אם כן ח'ה'‫^[350] מקובצים‫^[351] שוים לט‫'
So, the excess of the product of T by L over the product of H by L is [equal to] the product of C by L. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(T\sdot L\right)-\left(H\sdot L\right)=C\sdot L}}$	אם כן יתרון שטח ט' בל' על שטח ה' בל' הוא שטח ח' בל‫'
Supposition: We also say that [the sum of] Q, D is equal to L. $\scriptstyle{\color{blue}{Q+D=L}}$	ונאמר שק'ד' שוים לל‫'
Because, the number Q is equal to [the sum of] H, Z, and one. $\scriptstyle{\color{blue}{Q=\left(H+Z\right)+1}}$	וזה שמספר ק' שוה לה'ז' ולאחד
But, [the sum of] the numbers H, Z, A is equal to G. $\scriptstyle{\color{blue}{H+Z+A=G}}$	אבל מספרי ה'ז'א' שוים לג‫'
So, [the sum of] Q, A must exceed over G by one. $\scriptstyle{\color{blue}{Q+A=G+1}}$	אם כן ק'א' מוסיף על ג' אחד
Therefore, [the sum of] Q, C equals G. $\scriptstyle{\color{blue}{Q+C=G}}$	אם כן ק'ח' שוה לג‫'
Hence, [the sum] of Q, C exceeds over L by one. $\scriptstyle{\color{blue}{Q+C=L+1}}$	ולזה יהיה ק'ח' מוסיף על ל' אחד
So [the sum] of Q, D equals L. $\scriptstyle{\color{blue}{Q+D=L}}$	אם כן ק'ד' שוה לל‫'
Having proved this, it is also proved that double the product of T by L equals [the sum of] double the product of H by L, double the product of D by G, and double the number Q. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(T\sdot L\right)=2\sdot\left(H\sdot L\right)+2\sdot\left(D\sdot G\right)+2\sdot Q}}$	וכאשר התבאר זה הנה יתבאר שכפל שטח ט' בל' שוה לכפל שטח ה' בל' ולשני שטחי ד' בג' ולכפל מספר ק‫'
Since [the sum of] double the product of D by L plus D equals the product of D by G. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(D\sdot L\right)+D=D\sdot G}}$	וזה ששטח ד' בל' עם ד' שוה לשטח ד' בג‫'
So, double the product of D by G is equal to [the sum of] double the product of D by L plus double D. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(D\sdot G\right)=2\sdot\left(D\sdot L\right)+2\sdot D}}$	א"כ שני שטחי ד' בג' שוים לשני שטחי ד' בל' ולכפל ד‫'‫^[352]
Hence, [the sum of] double the product of D by G and double the number Q is equal to [the sum of] double the product of D by L and double [the sum of] D, Q, which is the same as double L.	אם כן שני שטחי ד' בג' וכפל מספר‫^[353] ק' שוים לשני שטחי ד' בל' ולכפל ד'ק' שהוא כמו כפל ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(D\sdot G\right)+2\sdot Q=2\sdot\left(D\sdot L\right)+2\sdot\left(D+Q\right)=2\sdot\left(D\sdot L\right)+2\sdot L}}$
But, double the product of D by L, when double L is added to it, equals double the product of C by L. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(D\sdot L\right)+2\sdot L=2\sdot\left(C\sdot L\right)}}$	אבל שני שטחי ד' בל' כאשר חובר עמהם כפל ל' שוים לכפל שטח ח' בל‫'
Double the product of D by G with double the number Q equals double the product of C by L. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(D\sdot G\right)+2\sdot Q=2\sdot\left(C\sdot L\right)}}$	אבל כפל שטח ד' בג' עם כפל מספר ק' שוה לכפל שטח ח' בל‫'‫^[354]
When double the product of H by L is added to this, the result is equal to [the sum of] double the product of H by L and double the product of C by L.	וכאשר חובר עם זה כפל שטח ה' בל' היה העולה‫^[355] שוה לכפל שטח ה' בל' ולכפל שטח ח' בל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(H\sdot L\right)+2\sdot\left(D\sdot G\right)+2\sdot Q=2\sdot\left(H\sdot L\right)+2\sdot\left(C\sdot L\right)}}$
But, [the sum of] double the product of H by L and double the product of C by L equals double the product of T by L. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(H\sdot L\right)+2\sdot\left(C\sdot L\right)=2\sdot\left(T\sdot L\right)}}$	אבל כפל שטח ה' בל' עם כפל שטח ח' בל' שוה לכפל שטח ט' בל‫'
So, the sum of the numbers M, E equals the sum of the numbers N, P. $\scriptstyle{\color{blue}{M+E=N+P}}$	אם כן מספרי מ'ע' מקובצים שוים למספרי נ'פ' מקובצים
Likewise, [the sum of] the numbers S, Ĉ equals [the sum of] the number M, double the product of H by L, double the product of Z by C, double the product of D by B, and double the number R.	וגם כן הנה מספרי ס'צ' שוים למספר מ' ולשני שטחי ה' בל' ועם שני שטחי ז' בח' ולשני שטחי ד' בב' ולכפל מספר ר‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{S+\hat{C}=M+2\sdot\left(H\sdot L\right)+2\sdot\left(Z\sdot C\right)+2\sdot\left(D\sdot B\right)+\left(2\sdot R\right)}}$
The [sum of the] numbers M, E equals [the sum of] the number M and double the product of T by L. $\scriptstyle{\color{blue}{M+E=M+2\sdot\left(T\sdot L\right)}}$	ומספרי מ'ע'‫^[356] שוים למספר מ' ולכפל שטח ט' בל‫'
We subtract the common number M.	ונשליך מספר מ' המשותף
Supposition: We say that [the sum of] double the product of H by L, double the product of Z by C, double the product of D by B and double the number R, is equal to double the product of T by L.	ונאמר ששני שטחי ה' בל' ושני שטחי ז' בח' ושני שטחי ‫^[357]ד' בב'‫^[358] וכפל מספר ר' שוים לכפל שטח ט' בל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(H\sdot L\right)+2\sdot\left(Z\sdot C\right)+2\sdot\left(D\sdot B\right)+\left(2\sdot R\right)=2\sdot\left(T\sdot L\right)}}$
This is because the number R exceeds over H by one. $\scriptstyle{\color{blue}{R=H+1}}$	וזה כי לפי שר' מוסיף על ה' אחד
So, [the sum of] Z, R exceeds over [the sum of] Z, H by one. $\scriptstyle{\color{blue}{Z+R=\left(Z+H\right)+1}}$	יהיה מוסיף ז'ר' על ז'ה'‫^[359] אחד
Therefore, [the sum of] Z, R equals Q. $\scriptstyle{\color{blue}{Z+R=Q}}$	אם כן ז'ר' שוה לק‫'
It has already been proved that the excess of the product of T by L over the product of H by L is [equal to] the product of C by L. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(T\sdot L\right)-\left(H\sdot L\right)=C\sdot L}}$	וכבר התבאר שיתרון שטח ט' בל' על שטח ה' בל' הוא שטח ח' בל‫'
As all this is proved, we explain that [the sum of] double the product of Z by C, with double the product of D by B, and double the number R equals double the product of C by L. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(Z\sdot C\right)+2\sdot\left(D\sdot B\right)+\left(2\sdot R\right)=2\sdot\left(C\sdot L\right)}}$	וכאשר התישב זה כלו הנה נבאר ששני שטחי ז' בח' עם שני שטחי ד' בב' וכפל מספר ר' שוה לכפל שטח ח' בל‫'
Because the product of Z by D plus Z equals the product of C by Z. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(Z\sdot D\right)+Z=C\sdot Z}}$	וזה ששטח ז' בד' עם מספר ז' שוה לשטח ח' בז‫'
So, double the product of Z by C is equal to double the product of D by Z plus double the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(Z\sdot C\right)=2\sdot\left(D\sdot Z\right)+\left(2\sdot Z\right)}}$	יהיו אם כן שני שטחי ז' בח' שוים לשני שטחי ד' בז' ולכפל מספר ז‫'
Also the product of D by B is equal to the product of D by T plus the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{D\sdot B=\left(D\sdot T\right)+D}}$	וגם כן הנה שטח ד' בב' שוה לשטח ד' בט' ולמספר ד‫'
So, double the product of D by B is equal to double the product of D by T plus double the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(D\sdot B\right)=2\sdot\left(D\sdot T\right)+\left(2\sdot D\right)}}$	אם כן שני שטחי ד' בב' שוים לשני שטחי ד' בט' ולכפל מספר ד‫'
Therefore, [the sum of] double the product of Z by C with double the product of D by B and double the number R is equal to [the sum of] double the product of D by the sum of Z, T, and double [the sum of] the numbers Z, R, D.	אם כן שני שטחי ז' בח' עם שני שטחי ד' בב' וכפל מספר ר' שוה לשני שטחי ד' בז'ט' מקובצים ולכפל מספרי ז'ר'ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(Z\sdot C\right)+2\sdot\left(D\sdot B\right)+\left(2\sdot R\right)=\left[2\sdot\left[D\sdot\left(Z+T\right)\right]\right]+2\sdot\left(Z+R+D\right)}}$
Since [the sum of] Z, B equals G, [the sum of] Z, T equals L. $\scriptstyle{\color{blue}{Z+B=G\longrightarrow Z+T=L}}$	ולפי שז'ב' מקובצים‫^[360] שוים לג' יהיו ז'ט' שוים לל‫'
Since [the sum of] the numbers Z, R equals Q, [the sum of] the numbers Z, R, D equals [the sum of] Q, D. $\scriptstyle{\color{blue}{Z+R=Q\longrightarrow Z+R+D=Q+D}}$	ולפי שמספרי ז'ר' שוים למספר ק' יהיו מספרי ז'ר'ד' שוים לק'ד‫'
But [the sum of] Q, D is equal to L. $\scriptstyle{\color{blue}{Q+D=L}}$	אבל ק'ד' שוה לל‫'
Therefore, [the sum of] the numbers Z, R, D equals L. $\scriptstyle{\color{blue}{Z+R+D=L}}$	אם כן מספרי ז'ר'ד' שוים לל‫'
So, [the sum of] double the product of Z by C with double the product of D by B and double the number R equals double the product of D by L and double the number L.	אם כן שני שטחי ז' בח' עם שני שטחי ד' בב' וכפל מספר ר'‫^[361] שוה לשני שטחי ד' בל' ולכפל מספר ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(Z\sdot C\right)+2\sdot\left(D\sdot B\right)+\left(2\sdot R\right)=2\sdot\left(D\sdot L\right)+\left(2\sdot L\right)}}$
But, [the sum of] double the product of D by L and double the number L equals double the product of C by L. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(D\sdot L\right)+\left(2\sdot L\right)=2\sdot\left(C\sdot L\right)}}$	אבל שני שטחי ד' בל' וכפל מספר ל' שוה לשני שטחי ח' בל‫'
When double the product of H by L is added to this, the result is equal to double the product of C by L and double the product of H by L, which is proved to be equal to double the product of T by L.	וכאשר חובר זה עם כפל שטח ה' בל' יהיה העולה שוה לשני שטחי ח' בל' ולשני שטחי ה' בל'‫^[362] וזה כבר התבאר שהוא שוה לכפל שטח ט' בל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(H\sdot L\right)+2\sdot\left(Z\sdot C\right)+2\sdot\left(D\sdot B\right)+\left(2\sdot R\right)=2\sdot\left(C\sdot L\right)+2\sdot\left(H\sdot L\right)=2\sdot\left(T\sdot L\right)}}$
So, the sum of the numbers S, Ĉ equals the sum of the numbers N, P. $\scriptstyle{\color{blue}{S+\hat{C}=N+P}}$	אם כן מספרי ס'צ' מקובצים שוים למספרי נ'פ'‫^[363] מקובצים
We have found three numbers, the first of which, which is M, with a part of A of [the sum of] the others, is equal to the second, which is N, with a part of B of [the sum of] the others, and is also equal to the third, which is S, with a part of G of [the sum of] the others.	הנה כבר מצאנו שלשה מספרים והראשון והוא מ' עם חלק מא' מהנשארים הוא כמו השני והוא נ' עם חלק מב' מהנשארים‫^[364] וכמו השלישי והוא ס' עם חלק מג' מהנשארים
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
54) We wish to find a number such that a certain part or a sum of certain parts of it exceeds by a given number over another given part or a sum of other given parts, which are smaller than the first part or the sum of the first parts.	נ"ד נרצה שנמצא מספר יוסיף חלק מה ממנו או נקבץ חלקים מה ממנו מספר מונח על חלק אחר ממנו או נקבץ חלקים ממנו יותר קטן מן החלק הראשון או מנקבץ החלקים הראשון
Let the parts whose sum is greater be B parts of A of the required number and G parts of D of it and one part of H of it.	ויהיו החלקים אשר מקובצם יותר גדול ב' חלקים מא' במספר הדרוש וג' חלקים מד' בו ואחד מה' בו
[Let] the parts whose sum is smaller be Z parts of C of the required number and T parts of K of it.	והחלקים אשר מקובצם יותר קטן ז' חלקים מח' ‫^[365]במספר הדרוש‫^[366] וט' חלקים מכ' בו
We want to find a number, such that [the sum of] the first parts exceeds over the sum of the second parts, which is smaller, by the number M.	ורצינו שנמצא מספר יהיו החלקים הראשונים ממנו מוסיפים על החלקים השניים אשר נקבצם יותר קטן מספר מ‫'
Let the smallest number divided by all the denominators of these fractions, which are A, D, H, C, K, be the number L.	ויהיה קטן המספר שימנוהו כל אלה המספרים הקוראים לאלו החלקים בכללם והם א'ד'ה' ח'כ' מספר ל‫'
Let B parts of A of it be the number N. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{B}{A}\sdot L=N}}$	ויהיו ב' חלקים מא' בו מספר נ‫'
[Let its] G parts of D be the number S. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{G}{D}\sdot L=S}}$	וג' חלקים מד' מספר ס‫'
[Let] its one part of H be the number E. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{H}\sdot L=E}}$	ואחד מה' בו מספר ע‫'
So, the sum of the greater parts is the sum of the numbers N, S, E. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{B}{A}+\frac{G}{D}+\frac{1}{H}\right)\sdot L=N+S+E}}$	וכזה יהיה מקובץ החלקים המוסיפים מספרי‫^[367] נ'ס'ע' מקובצים
Let Z parts of C of the number L be the number P. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{Z}{C}\sdot L=P}}$	ויהיו ז' חלקים מח' במספר ל' מספר פ‫'
[Let its] T parts of K be the number Ĉ. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{T}{K}\sdot L=\hat{C}}}$	וט' חלקים מכ' בו מספר צ‫'
So, the sum of the smaller parts is the sum of the numbers P, Ĉ. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{Z}{C}+\frac{T}{K}\right)\sdot L=P+\hat{C}}}$	וכזה יהיה מקובץ החלקים היותר קטן מספרי פ'צ'‫^[368] מקובצים
Let the excess of the sum of the numbers N, S, E over the sum of P, Ĉ be the number Q. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(N+S+E\right)-\left(P+\hat{C}\right)=Q}}$	ויהיה יתרון מספרי נ'ס'ע' מקובצים על מספרי פ'צ' מקובצים מספר ק‫'
We define the ratio of L to R the same as the ratio of Q to M. $\scriptstyle{\color{blue}{L:R=Q:M}}$	ונשים יחס ל' אל ר' כיחס ק'‫^[369] אל מ‫'
Supposition: We say that the number R is the required.	ונאמר שמספר ר' הוא המספר המבוקש
The proof: Let B parts of A of the number R be the number Ŝ. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{B}{A}\sdot R=\hat{S}}}$	המופת שאנחנו נשים ב' חלקים מא' במספר ר' מספר ש‫'
Let G parts of D of it be the number Ť. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{G}{D}\sdot R=\hat{T}}}$	וג' חלקים מד' בו מספר ת‫'
Let one part of H of it be the number W. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{H}\sdot R=W}}$	ואחד מה' בו מספר ו‫'
Then, the sum of these parts is the numbers Ŝ, Ť, W. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{B}{A}+\frac{G}{D}+\frac{1}{H}\right)\sdot R=\hat{S}+\hat{T}+W}}$	וכזה יהיה מקובץ אלו החלקים מספרי ש'ת'ו‫'
Let Z parts of C of the number R be the number Y. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{Z}{C}\sdot R=Y}}$	ונשים ז' חלקים מח' במספר ר' מספר י‫'‫^[370]
Let T parts of K of it be the number Ǩ. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{T}{K}\sdot R=\hat{K}}}$	וט' חלקים מכ'‫^[371] בו מספר ך‫'
So, the sum of these parts is Y, Ǩ. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{Z}{C}+\frac{T}{K}\right)\sdot R=Y+\hat{K}}}$	וכזה יהיה מקובץ אלו החלקים מספרי י'ך‫'
It is clear that the ratio of B parts of A of the number L to the number L is the same as the ratio of B parts of A of the number R to the number R. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{B}{A}\sdot L\right):L=\left(\frac{B}{A}\sdot R\right):R}}$	והוא מבואר שיחס ב' חלקים מא' במספר ל' אל מספר ל' כיחס ב' חלקים מא' במספר ר' אל מספר ר‫'‫^[372]
Since the ratio of these parts is the same as the ratio of B parts of A of the number A to the number A. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{B}{A}\sdot L\right):L=\left(\frac{B}{A}\sdot R\right):R=\left(\frac{B}{A}\sdot A\right):A}}$	לפי שיחס כל‫^[373] אחד מאלו החלקים‫^[374] הוא כיחס ב' חלקים מא' במספר א'‫^[375] אל מספר‫^[376] א‫'
Therefore, it is clear that the ratio of B parts of A of the number L to B parts of A of the number R is the same as the ratio of L to R by alternation. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{B}{A}\sdot L\right):\left(\frac{B}{A}\sdot R\right)=L:R}}$	ולזה יתבאר שיחס ב' חלקים מא' במספר ל' אל ב' חלקים מא' במספר ר' הוא כיחס ל' אל ר' על התמורה
So, the ratio of N to Ŝ is the same as the ratio of L to R. $\scriptstyle{\color{blue}{N:\hat{S}=L:R}}$	אם כן יחס נ' אל ש' כיחס ל' אל ר‫'
Likewise, it is clear that the ratio of S to Ť is the same as the ratio of L to R. $\scriptstyle{\color{blue}{S:\hat{T}=L:R}}$	ובזה התבאר שיחס ס' אל ת' הוא כיחס ל' אל ר‫'
Also the ratio of E to W is the same as the ratio of L to R. $\scriptstyle{\color{blue}{E:W=L:R}}$	ושיחס ע' אל ו' הוא כיחס ל' אל ר‫'
When we sum them up, the ratio of the sum of the numbers N, S, E to the sum of the numbers Ŝ, Ť, W is the same as the ratio of L to R. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(N+S+E\right):\left(\hat{S}+\hat{T}+W\right)=L:R}}$	וכאשר קבצנו הנה יחס מספרי נ'ס'ע' מקובצים אל מספרי ש'ת'ו' מקובצים הוא‫^[377] כיחס ל' אל ר‫'
Similarly, it is clear that the ratio of the sum of the numbers P, Ĉ to the sum of the numbers Y, Ǩ is the same as the ratio of L to R. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(P+\hat{C}\right):\left(Y+\hat{K}\right)=L:R}}$	וכמו כן יתבאר שיחס מספרי פ'ץ' מקובצים‫^[378] אל מספרי י'ך' מקובצים הוא‫^[379] כיחס ל' אל ר‫'
Therefore, the ratio of the numbers N, S, E to the numbers Ŝ, Ť, W is the same as the ratio of the numbers P, Ĉ to the numbers Y, Ǩ. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(N+S+E\right):\left(\hat{S}+\hat{T}+W\right)=\left(P+\hat{S}\right):\left(Y+\hat{K}\right)}}$	הנה אם כן יחס מספרי נ'ס'ע' אל מספרי ש'ת'ו' כיחס מספרי פ'ץ' אל מספרי י'ך‫'
When we alternate, the ratio of the numbers N, S, E to the numbers P, Ĉ is the same as the ratio of the numbers Ŝ, Ť, W to the numbers Y, Ǩ. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(N+S+E\right):\left(P+\hat{S}\right)=\left(\hat{S}+\hat{T}+W\right):\left(Y+\hat{K}\right)}}$	וכאשר המירונו הנה יחס מספרי נ'ס'ע' אל מספרי פ'ץ' כיחס מספרי ש'ת'ו' אל מספרי י'ך‫'
But, the numbers N, S, E exceed over the numbers P, Ĉ. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(N+S+E\right)>\left(P+\hat{C}\right)}}$	אבל מספרי נ'ס'ע' מוסיפים על מספרי פ'ץ‫'
So, the numbers Ŝ, Ť, W exceed over the numbers Y, Ǩ. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\hat{S}+\hat{T}+W\right)>\left(Y+\hat{K}\right)}}$	א"כ מספרי ש'ת'ו' מוסיפים על מספרי י'ך‫'‫^[380]
We define the excess of the numbers Ŝ, Ť, W over the numbers Y, Ǩ as the number F. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\hat{S}+\hat{T}+W\right)-\left(Y+\hat{K}\right)=F}}$	ונשים יתרון מספרי ש'ת'ו' על מספרי י'ך' מספר ף‫'
Since the ratio of N, S, E to Ŝ, Ť, W is the same as the ratio of L to R. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(N+S+E\right):\left(\hat{S}+\hat{T}+W\right)=L:R}}$	ולפי שהיה יחס נ'ס'ע' אל ש'ת'ו' כיחס ל' אל ר‫'
Also, the ratio of P, Ĉ to Y, Ǩ is the same as the ratio of L to R. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(P+\hat{C}\right):\left(Y+\hat{K}\right)=L:R}}$	ויחס פ'ץ'‫^[381] אל י'ך' הוא גם כן כיחס ל' אל ר‫'
When we reduce, the ratio of Q to F is the same as the ratio of L to R. $\scriptstyle{\color{blue}{Q:F=L:R}}$	הנה כאשר הבדלנו יהיה יחס ק' אל ף' כיחס ל' אל ר‫'
So, the ratio of Q to M and [the ratio of Q] to F are the same. $\scriptstyle{\color{blue}{Q:M=Q:F}}$	אם כן יחס ק' אל מ' ואל ף' אחד
Therefore, the numbers F and M are equal. $\scriptstyle{\color{blue}{F=M}}$	אם כן מספרי ף'מ' שוים
But, the numbers Ŝ, Ť, W exceed over the numbers Y, Ǩ by the number F. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\hat{S}+\hat{T}+W\right)-\left(Y+\hat{K}\right)=F}}$	וכבר היו מספרי ש'ת'ו' ‫^[382]מוסיפים על מספרי י'ך' מספר ף‫'
So, the numbers Ŝ, Ť, W exceed over the numbers Y, Ǩ by the number M. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\hat{S}+\hat{T}+W\right)-\left(Y+\hat{K}\right)=M}}$	אם כן מספרי ש'ת'ו' מוסיפים על מספרי י'ך' מספר מ‫'
Thus, we have found a number, which is R, such that B parts of A of it with G parts of D of it and one part of H of it exceed by the number M over Z parts of C of it and T parts of K of it.	הנה כבר מצאנו מספר והוא ר' וב' חלקים מא' בו עם ג' חלקים מד' בו ואחד מה' בו מוסיפים מספר מ' על ז' חלקים מח' בו וט' חלקים מכ' בו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{B}{A}+\frac{G}{D}+\frac{1}{H}\right)\sdot R=\left(\frac{Z}{C}+\frac{T}{K}\right)\sdot R+M}}$
Q.E.D.	והוא מה שרצינו
55) When a number and a given part or sum of parts of a given second number are less than the second number with a smaller part or sum of parts of the first number by a certain number, it is possible to find a third number such that the first given number, with the greater part or sum of parts of the remaining two numbers, equals the second given number with the smaller part or sum of parts of the remaining two numbers.	נ"ה כאשר היה מספר מה מונח עם חלק גדול או נקבץ חלקים גדול ממספר מונח שני פחות מספר מה‫^[383] מהמספר השני עם חלק קטן או נקבץ חלקים קטן מהמספר הראשון הנה כבר אפשר שימצא מספר שלישי יהיה מספר הראשון המונח עם החלק הגדול או נקבץ החלקים הגדול משני המספרים הנשארים שוה למספר השני המונח עם החלק הקטן או נקבץ החלקים הקטן משני המספרים הנשארים
Let the number A be the first given number.	ויהיה המספר הראשון המונח מספר א‫'
The number B the second number.	והמספר השני מספר ב‫'
Let The larger sum of parts be G parts of D and one part of H.	ויהיה נקבץ החלקים הגדול ג' חלקים מד' ואחד מה‫'
And the smaller sum of parts be Z parts of C.	ונקבץ החלקים הקטן ז' חלקים מח‫'
Let the number A with G parts of D of the number B plus one [part] of H of it be less than the number B with Z parts of H of the number A by the number T. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[B+\left(\frac{Z}{H}\sdot A\right)\right]-\left[A+\left[\left(\frac{G}{D}+\frac{1}{H}\right)\sdot B\right]\right]=T}}$	ויהיה מספר א' עם ג' חלקים מד' במספר ב' ואחד מה' ממנו פחות מספר ב' עם ז' חלקים מה'‫^[384] במספר א' כמו מספר ט‫'
Supposition: We say that it is possible to find a third number such that the number A with G parts of D plus one [part] of H of the other two [numbers] equals the number B with Z parts of C of the two other numbers.	ונאמר שכבר אפשר שימצא מספר שלישי יהיה מספר א' עם ג' חלקים מד' ואחד מה' בשני המספרים הנשארים שוה למספר ב' עם ז' חלקים מח' במספרים הנשארים
Proof: Since the sum of G parts of D plus one [part] of H is greater than the sum of Z parts of H, it is possible to find a number of which G parts of D plus one [part] of H exceed over Z parts of C by the number T.	המופת כי מפני שנקבץ ג' חלקים מד' ואחד מה' יותר גדול מנקבץ ז' חלקים מה'‫^[385] הנה כבר אפשר שימצא מספר יוסיפו ג' חלקים מד' ואחד מה' בו על ז' חלקים מח' בו כמו מספר ט‫'
Let this number be the number K.	ונשים המספר ההוא‫^[386] מספר כ‫'
Supposition: We say that the number K is the required.	ונאמר שמספר כ' הוא המבוקש
The proof: Let Z parts of C of the number K be the number L. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{Z}{C}\sdot K=L}}$	המופת שאנחנו נשים ז' חלקים מח' במספר כ' מספר ל‫'
Then, G parts of D of the number K and one [part] of H of it equals the numbers L, T. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{G}{D}+\frac{1}{H}\right)\sdot K=L+T}}$	יהיו אם כן ג' חלקים מד' במספר כ' ואחד מה' בו שוה למספרי ל'ט‫'
Because G parts of D and one [part] of H of the number K exceed over Z parts of C of it by T. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{G}{D}+\frac{1}{H}\right)\sdot K=\left(\frac{Z}{C}\sdot K\right)+T}}$	מפני שג' חלקים מד' ואחד מה' במספר כ' מוסיפים ט' על ז' חלקים מח' בו
We define the number A with G parts of D and one part of H of the number B as the number M. $\scriptstyle{\color{blue}{A+\left[\left(\frac{G}{D}+\frac{1}{H}\right)\sdot B\right]=M}}$	ונשים מספר א' עם ג' חלקים מד' במספר ב' ואחד מה' במספר ב' שוה למספר מ‫'
So, the number B with Z parts of C of the number A equals the numbers M, T. $\scriptstyle{\color{blue}{B+\left(\frac{Z}{C}\sdot A\right)=M+T}}$	אם כן מספר ב' עם ז' חלקים מח' במספר א' שוה למספרי מ'ט‫'
With all this considered, we explain that the number A with G parts of D and one part of H of the numbers K, B equals the number B with Z parts of C of the numbers A, K: $\scriptstyle{\color{blue}{A+\left[\left(\frac{G}{D}+\frac{1}{H}\right)\sdot\left(K+B\right)\right]=B+\left[\frac{Z}{C}\sdot\left(A+K\right)\right]}}$	וכאשר התישב זה כלו הנה נבאר שמספר א' עם ג' חלקים מד' ואחד מה' במספרי כ'ב' שוה למספר ב' עם ז' חלקים ‫^[387]מח' ממספרי א'כ‫'
Since the number A with G parts of D and one part of H of the number B equals M. $\scriptstyle{\color{blue}{A+\left[\left(\frac{G}{D}+\frac{1}{H}\right)\sdot B\right]=M}}$	וזה שמספר א' עם ג' חלקים מד' ואחד מה' במספר ב' שוה למ‫'‫^[388]
But, G parts of D and one part of H of the number K equals the numbers K, T. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{G}{D}+\frac{1}{H}\right)\sdot K=L+T}}$	ואולם ג' חלקים מד' ואחד מה' במספר כ' שוה למספרי ל'ט‫'
So, the number A with G parts of D and one part of H of the numbers K, B equals the numbers M, L, T. $\scriptstyle{\color{blue}{A+\left[\left(\frac{G}{D}+\frac{1}{H}\right)\sdot\left(K+B\right)\right]=M+L+T}}$	אם כן מספר א' עם ג' חלקים מד' ואחד מה' במספרי כ'ב' שוים‫^[389] למספרי מ'ל'ט‫'
Also, the number B with Z parts of C of the number A equals the numbers M, T. $\scriptstyle{\color{blue}{B+\left(\frac{Z}{C}\sdot A\right)=M+T}}$	וגם כן הנה מספר‫^[390] ב' עם ז' חלקים מח' במספר א'‫^[391] שוה למספרי מ'ט‫'
But, Z parts of C of the number K equals the number L. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{Z}{C}\sdot K=L}}$	ואולם ז' חלקים מח' במספר כ' שוה למספר ל‫'
So, the number B with Z parts of C of the numbers A, K equals the numbers M, L, T. $\scriptstyle{\color{blue}{B+\left[\frac{Z}{C}\sdot\left(A+K\right)\right]=M+L+T}}$	הנה אם כן מספר ב' עם ז' חלקים מח' במספרי א'כ' שוה למספרי מ'ל'ט‫'
But, the number A with G parts of D and one part of H of the numbers K, B equals the numbers M, L, T. $\scriptstyle{\color{blue}{A+\left[\left(\frac{G}{D}+\frac{1}{H}\right)\sdot\left(K+B\right)\right]=M+L+T}}$	וכבר היה מספר א' עם ג' חלקים מד' ואחד מה' במספרי כ'ב' שוה גם כן למספרי מ'ל'ט‫'
Therefore, the number A with G parts of D and one part of H of the numbers K, B equals the number B with Z parts of C of the numbers A, K. $\scriptstyle{\color{blue}{A+\left[\left(\frac{G}{D}+\frac{1}{H}\right)\sdot\left(K+B\right)\right]=B+\left[\frac{Z}{C}\sdot\left(A+K\right)\right]}}$	אם כן מספר א' עם ג' חלקים מד' ואחד מה' במספרי ב'כ' שוה למספר ב' עם ז' חלקים מח' במספרי א'כ‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
56) We want to find a number such that a certain part of it, or a certain sum of parts of it, is equal to a certain part, or sum of parts, different from the first part or the first sum of parts, of a given number .	נ"ו נרצה שנמצא מספר מה יהיה חלק מה או‫^[392] נקבץ חלקים מה ממנו שוה לחלק מה או לנקבץ חלקים מה מתחלף לחלק הראשון או לנקבץ החלקים הראשון ויהיה לקוח ממספר מה מונח
Example: We want to find a number such that one part of A of it plus B parts of G of it are equal to D parts of H of a given number Z.	המשל שאנחנו נרצה שנמצא מספר יהיה חלק מא' בו וב' חלקים מג' בו שוה לד' חלקים מה' במספר ז' המונח
We define D parts of H of the number Z as the number C. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{D}{H}\sdot Z=C}}$	הנה נשים ד' חלקים מה' במספר ז' מספר ח‫'
We define one part of A plus B parts of G of the number Z as the number T. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{A}+\frac{B}{G}\right)\sdot Z=T}}$	ונשים חלק מא' וב' חלקים מג' במספר ז'‫^[393] מספר ט‫'
We establish the ratio of Z to K as the ratio of T to C. $\scriptstyle{\color{blue}{Z:K=T:C}}$	ונשים יחס ז' אל כ' כיחס ט' אל ח‫'
Supposition: We say that the number K is the required.	ונאמר שמספר כ' הוא המספר המבוקש
The proof: Let one part of A and B parts of G of the number K be the number L. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{A}+\frac{B}{G}\right)\sdot K=L}}$	המופת שאנחנו נשים חלק מא' וב' חלקים מג' במספר כ' מספר ל‫'
It is clear that the ratio of one part of A and B parts of G of the number Z to one part of A and B parts of G of the number K is the same as the ratio of Z to K.	והוא מבואר שיחס חלק מא' וב' חלקים מג' במספר ז' אל חלק מא' וב' חלקים מג' במספר כ' הוא כיחס מספר ז' אל מספר‫^[394] כ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{A}+\frac{B}{G}\right)\sdot Z:\left(\frac{1}{A}+\frac{B}{G}\right)\sdot K=Z:K}}$
So, the ratio of T to L is the same as the ratio of Z to K. $\scriptstyle{\color{blue}{T:L=Z:K}}$	אם כן יחס ט' אל ל' הוא כיחס ז'‫^[395] אל כ‫'
But, the ratio of T to C is also the same as the ratio Z to K. $\scriptstyle{\color{blue}{T:C=Z:K}}$	וכבר היה גם כן יחס ט' אל ח' כיחס ז' אל כ‫'
Therefore, the ratio of T to C and [the ratio of T] to L are the same. $\scriptstyle{\color{blue}{T:C=T:L}}$	אם כן יחס ט' אל ח' ואל ל' אחד
Hence, C is equal to L. $\scriptstyle{\color{blue}{C=L}}$	אם כן ח' שוה לל‫'
Therefore, one part of A plus B parts of G of the number K are equal to D parts of H of the given number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{A}+\frac{B}{G}\right)\sdot K=\frac{D}{H}\sdot Z}}$	הנה אם כן חלק מא' וב' חלקים מג' במספר כ' שוה לד' חלקים מה' במספר ז' המונח
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
57) We want to find two numbers such that the first with a given part of the second is the same as the second with a different part of the first.	נ"ז נרצה שנמצא שני מספרים יהיה האחד עם חלק מה מהשני כמו האחר עם חלק אחר מהמספר הראשון
Let the numbers by which these parts are denominated be A, B.	הנה יהיו המספרים אשר בהם נקראים החלקים האלו מספרי א' ב‫'
We want to find two numbers such that the first [number] with one part of A of the second is the same as the second number with one part of B of the first number.	ונרצה שנמצא שני מספרים יהיה‫^[396] האחד עם חלק מא' מהאחר כמו המספר השני עם חלק מב' מהמספר ‫^[397]הראשון
We define the number that precedes the number A as the number G. $\scriptstyle{\color{blue}{G=A-1}}$	הנה נשים מספר הנמשך‫^[398] למספר א' לפניו מספר ג‫'
And the number that precedes the number B as the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{D=B-1}}$	והמספר הנמשך למספר ב'‫^[399] לפניו מספר ד‫'
We define the product of G by B as H. Let it be the first number. $\scriptstyle{\color{blue}{H=G\sdot B}}$	ונקח שטח ג' בב' ונשימהו ה' והוא יהיה המספר‫^[400] הראשון
We define the product of D by A as Z. Let it be the second number. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=D\sdot A}}$	ונקח שטח ד' בא' ונשימהו ז' והוא יהיה המספר השני
Supposition: We say that the number H with one part of A of Z is equal to the number Z with one part of B of the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{H+\frac{1}{A}\sdot Z=Z+\frac{1}{B}\sdot H}}$	ונאמר שמספר ה' עם חלק מא' מז' שוה למספר ז' עם חלק מב' ממספר ה‫'
The proof: One part of A of Z is D. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{A}\sdot Z=D}}$	המופת שחלק מא' מז' הוא ד‫'
Because the product of A by D is Z. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=A\sdot D}}$	מפני שא' הוכה בד' והיה ז‫'
Also, one part of B of H is G. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{B}\sdot H=G}}$	וחלק מב' מה' הוא ג‫'
Because the product of B by G is H. $\scriptstyle{\color{blue}{H=B\sdot G}}$	מפני שב' הוכה בג' והיה ה‫'
So, the number H with one part of A of Z equals the product of G by B plus the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{H+\frac{1}{A}\sdot Z=\left(G\sdot B\right)+D}}$	אם כן מספר ה' עם חלק מא' מז' שוה לשטח ג' בב' ולמספר ד‫'
But, the sum of the product of G by B with B equals the product of A by B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(G\sdot B\right)+B=A\sdot B}}$	אבל שטח ג' בב' כשחובר עם ב' ישוה לשטח א' בב‫'
So, the product of A by B exceeds over the product of G by B plus the number D by one. $\scriptstyle{\color{blue}{A\sdot B=\left(G\sdot B\right)+D+1}}$	אם כן שטח א' בב' מוסיף אחד על שטח ג' בב' עם מספר ד‫'
Because B exceeds over D by one. $\scriptstyle{\color{blue}{B=D+1}}$	לפי שב' מוסיף על ד'‫^[401] אחד
So, the product of A by B exceeds over the number H plus one part of A of Z by one. $\scriptstyle{\color{blue}{A\sdot B=H+\frac{1}{A}\sdot Z+1}}$	אם כן שטח א' בב' מוסיף אחד על מספר ה' עם חלק מא' מז‫'
Furthermore, the number Z with one part of B of the number H equals the product of D by A plus the number G. $\scriptstyle{\color{blue}{Z+\frac{1}{B}\sdot H=\left(D\sdot A\right)+G}}$	וגם כן הנה מספר ז' עם חלק מב' ממספר ה' שוה לשטח ד' בא' ולמספר ג‫'
But, the sum of the product of D by A with A is equal to the product of A by B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(D\sdot A\right)+A=A\sdot B}}$	אבל שטח ד' בא' כשחובר עם א' שוה לשטח א' בב‫'
So, the product of A by B exceeds over the product of D by A plus the number G by one. $\scriptstyle{\color{blue}{A\sdot B=\left(D\sdot A\right)+G+1}}$	אם כן שטח א' בב' מוסיף‫^[402] אחד על שטח ד' בא' עם מספר ג‫'
Because the number A exceeds over G by one. $\scriptstyle{\color{blue}{A=G+1}}$	לפי שמספר‫^[403] א' מוסיף על מספר ג' אחד
So, the product of A by B exceeds over the number Z with one part of B of the number H by one. $\scriptstyle{\color{blue}{A\sdot B=Z+\frac{1}{B}\sdot H+1}}$	אם כן שטח א' בב' מוסיף אחד על מספר ז' עם חלק מב' ממספר ה‫'
But, the product of A by B also exceeds over the number H with one part of A of the number Z by one. $\scriptstyle{\color{blue}{A\sdot B=H+\frac{1}{A}\sdot Z+1}}$	ושטח א' בב' גם כן מוסיף אחד על מספר ה' עם חלק מא' במספר ז‫'
Therefore, the number H with one part of A of the number Z equals the number Z with one part of B of the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{H+\frac{1}{A}\sdot Z=Z+\frac{1}{B}\sdot H}}$	אם כן מספר ה' עם חלק מא' במספר ז' שוה למספר ז' עם חלק מב' במספר ה‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
58) We want to find three numbers such that the sum of the first number with the third [number] is counted by the second [number] as the number of units of a given number, and the sum of the second number with the third [number] is counted by the first [number] as the number of units of a second given number.	נ"ח נרצה שנמצא שלשה מספרים יהיה המספר הראשון כשחובר עם השלישי ימנהו השני כמספר אחדי מספר מונח ויהיה המספר השני כשחובר עם השלישי ימנהו הראשון כשעור אחדי מספר מונח שני
Let the given numbers be A, B.	ויהיו המספרים המונחים מספרי א'ב‫'
We define the number that follows the number A as the number G; let it be the first number. $\scriptstyle{\color{blue}{G=A+1}}$	הנה נשים המספר הנמשך למספר א' לאחריו מספר ג' ונשימהו המספר הראשון
We define the number that follows the number B as the number D; let it be the second number. $\scriptstyle{\color{blue}{D=B+1}}$	ונשים המספר הנמשך למספר ב' לאחריו מספר ד' ונשימהו המספר השני
We multiply A by B and subtract one from the product; we define the remainder as the number Z; let it be the third number. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=\left(A\sdot B\right)-1}}$	ונכה א' בב' ונגרע מהעולה אחד ונשים הנשאר ממנו מספר ז' ונשימהו המספר השלישי
Supposition: We say that the numbers G, D, Z are the required numbers.	ונאמר שמספרי ג' ד' ז' הם המספרים המבוקשים
I mean that the sum of G, Z is counted by D as the number of units of A and the sum of D, Z is counted by G as the number of units of B. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{G+Z}{D}=A\quad\frac{D+Z}{G}=B}}$	רצוני שג'ז' מקובצים ימנם ד' כמספר אחדי א' וד'ז' מקובצים ימנם ג' כמספר אחדי ב‫'
The proof: Z is one less than the product of A by B. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=\left(A\sdot B\right)-1}}$	המופת שז' פחות אחד משטח א' בב‫'
G is equal to one plus A. $\scriptstyle{\color{blue}{G=A+1}}$	וג' שוה לאחד ולא‫'
So, [the sum of] the numbers Z, G is equal to the product of A by B plus A. $\scriptstyle{\color{blue}{Z+G=\left(A\sdot B\right)+A}}$	אם כן ‫^[404]מספרי ז'ג' שוים לשטח א' בב' ולא‫'
But, the sum of the product of A by B with A is equal to the product of A by D. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A\sdot B\right)+A=A\sdot D}}$	אבל שטח א' בב' כשחובר עם א' שוה לשטח א' בד‫'
So, [the sum of] the numbers G, Z is equal to the product of A by D. $\scriptstyle{\color{blue}{G+Z=A\sdot D}}$	אם כן מספרי ג'ז' שוים לשטח א' בד‫'
Therefore, it is counted by D as the number of the units of A. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{G+Z}{D}=A}}$	ולזה ימנם ד' כמספר אחדי א‫'
Also, since Z is one less than the product of A by B and D equals one plus B, then [the sum of] the numbers D, Z equals the product of A by B plus B.	וגם כן מפני שז' פחות אחד משטח א' בב' וד' שוה לאחד ולב' יהיו מספרי ד' ז' שוים לשטח א' בב' ולב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{Z=\left(A\sdot B\right)-1\quad D=1+B\quad \longrightarrow D+Z=\left(A\sdot B\right)+B}}$
But, the sum of the product of A by B with B equals the product of G by B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A\sdot B\right)+B=G\sdot B}}$	אבל שטח א' בב' כשחובר עם ב' הוא שוה לשטח ג' בב‫'
So, [the sum of] the numbers D, Z equals the product of G by B. $\scriptstyle{\color{blue}{D+Z=G\sdot B}}$	אם כן מספרי ד'ז' שוים לשטח ג' בב‫'
But, the product G by B is counted by G as the number of units of B. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{G\sdot B}{G}=B}}$	אבל שטח ג' בב' ימנהו ג' כמספר אחדי ב‫'‫^[405]
So, [the sum of] the numbers D, Z is counted by G as the number of units of B. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{D+Z}{G}=B}}$	אם כן מספרי ד'ז' ימנם ג' כמספר אחדי ב‫'
Therefore, [the sum of] the numbers G, Z is counted by D as the number of units of A and [the sum of] the numbers D, Z is counted by G as the number of units of B. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{G+Z}{D}=A\quad\frac{D+Z}{G}=B}}$	הנה אם כן מספרי ג'ז' ימנם ד' במספר אחדי א' ומספרי ד'ז' ימנם ג' כמספר אחדי ב‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
59) The number that consists of the squares of given numbers is equal to the square of the number that consists of the given numbers.	נ"ט המספר המורכב מהמרובעים ההווים ממספרים מונחים שוה למרובע ההווה מהמספר המורכב מהמספרים המונחים ההם
Let the given numbers be A, B, G.	ויהיו המספרים המונחים א'ב'ג‫'
Let the number composed of the squares of the numbers A, B, G be the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{D=A^2\sdot B^2\sdot G^2}}$	ויהיה המספר המורכב ממרובעי מספרי‫^[406] א' ב' ג' מספר ד‫'
Let the number composed of the numbers A, B, G be the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{H=A\sdot B\sdot G}}$	ויהיה המספר‫^[407] המורכב ממספרי א' ב' ג' מספר ה‫'
Supposition: I say that the number D is equal to the square of the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{D=H^2}}$	ואומר שמספר ד' שוה למרובע ההווה ממספר ה‫'
The proof: Since every square number is composed of twice its root, the number D is composed of the numbers A, A, B, B, G, G. $\scriptstyle{\color{blue}{D=A\sdot A\sdot B\sdot B\sdot G\sdot G}}$	המופת כי מפני שכל מספר מרובע מורכב משני דמיוני יסודו הנה‫^[408] יהיה מספר ד' מורכב‫^[409] ממספרי א'א' ב'ב' ג'ג‫'
But, it is clear from what preceded that the product of the number composed of the numbers A, B, G, by the number composed of the numbers A, B, G, is the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{D=\left(A\sdot B\sdot G\right)\sdot\left(A\sdot B\sdot G\right)}}$	ויתבאר לפי מה שקדם ששטח המספר המורכב ממספרי א' ב' ג' במורכב ממספרי‫^[410] א' ב' ג' הוא מספר ד‫'
So, the product of the number composed of the numbers A, B, G, which is the number H, multiplied by itself is D. $\scriptstyle{\color{blue}{D=\left(A\sdot B\sdot G\right)^2=H^2}}$	אם כן המספר המורכב ממספרי א' ב' ג' והוא ה' הוכה על עצמו והיה ד‫'
Therefore, the number D equals the square formed by the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{D=H^2}}$	אם כן מספר ד' שוה למרובע ההווה ממספר ה‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
60) The number that consists of the cubic of given numbers is equal to the cubic of the number that consists of the given numbers.	ס המספר המורכב ממעוקבי מספרים‫^[411] מונחים שוה למעוקב ההווה ממספר המורכב מהמספרים המונחים ההם
Let the numbers A, B, G be the given numbers.	ויהיו המספרים המונחים מספרי א' ב' ג‫'
Let the number composed of the cubes of the numbers A, B, G be the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{D=A^3\sdot B^3\sdot G^3}}$	ויהיה המורכב ממעוקבי מספרי א'ב'ג' מספר ד‫'
Let the number composed of the numbers A, B, G be the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{H=A\sdot B\sdot G}}$	ויהיה המספר המורכב ממספרי א'ב'ג' מספר ה‫'
Supposition: I say that the number D is equal to the cube of the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{D=H^3}}$	ואומר שמספר ד' שוה למעוקב ההווה ממספר ה‫'
The proof: Since every cube is composed of three times its cube root, the number D consists of the numbers A, A, A, B, B, B, G, G, G.	המופת מפני שכל מעוקב מורכב משלשה דמיוני יסודו יהיה מספר ד' מורכב ממספרי א'א'א' ב'ב'ב' ג'ג'ג‫'
So, the number D is equal to the product of the composite number of the numbers A, B, G by the composite number of the numbers A, B, G, A, B, G.	אם כן מספר ד' שוה לשטח ההווה ממורכב מספרי א'ב'ג' על מורכב מספרי א'ב'ג' א'ב'ג‫'
But, the composite number of the numbers A, B, G, A, B, G is equal to the product of the composite number of the numbers of A, B, G by the composite number of the numbers A, B, G, which is equal to the square of the composite number of the numbers A, B, G.	אבל מורכב מספרי א'ב'ג' א'ב'ג' שוה לשטח ההווה ממורכב מספרי א'ב'ג' על מורכב מספרי ‫^[412]א'ב'ג' שהוא כמו מרובע מספר המורכב ממספרי א'ב'ג‫'
So, the number D is equal to the product of the composite number of the numbers A, B, G by the square of the composite number of the numbers A, B, G.	אם כן מספר ד' שוה לשטח ההווה ממורכב מספרי א'ב'ג' על מרובע מורכב מספרי א'ב'ג‫'
Therefore, the number D is equal to the product of the number H by the square of the number H.	ולזה יהיה מספר ד' שוה לשטח ההווה ממספר ה' על מרובע מספר ה‫'
Hence, the cube of the number H is equal to the number D.	אם כן מעוקב מספר ה' שוה למספר ד‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
61) When the product of a given number by a square of a second given number is added to the product of the second given [number] by the square of the first number, the result is equal to the product of the product of one of the given numbers by the other multiplied by the sum of the given numbers.	ס"א כאשר חובר שטח ההווה ממספר מונח במרובע מספר מונח‫^[413] שני עם השטח ההוה מהמונח השני במרובע המספר המונח הראשון הנה העולה שוה לשטח ההווה משטח אחד מהמספרים‫^[414] המונחים באחר על מקובץ המספרים המונחים
Let the numbers A and B be the given numbers.	ויהיו המספרים המונחים מספרי א'ב‫'
Let the square of the number A be the number G. $\scriptstyle{\color{blue}{G=A^2}}$	והיה מרובע מספר א' מספר‫^[415] ג‫'
And the square of the number B be the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{D=B^2}}$	ומרובע מספר‫^[416] ב' מספר ד‫'
The product of A by D is added to the product of B by G; it is H. $\scriptstyle{\color{blue}{H=\left(A\sdot D\right)+\left(B\sdot G\right)}}$	וחובר שטח א' בד' עם שטח ב' בג' והיה ה‫'
Let the product of A by B be the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=A\sdot B}}$	והיה שטח א' בב' מספר ז‫'
Supposition: I say that the number H is equal to the product of the number Z by the sum of the numbers A and B.	ואומר שמספר ה' שוה לשטח ההווה ממספר ז' במספרי א'ב' מקובצים
The proof: The product of A by D consists of the numbers A, B, B. $\scriptstyle{\color{blue}{A\sdot D= A\sdot B\sdot B}}$	המופת ששטח א' בד' מורכב ממספרי א' ב' ב‫'
Since the number D is the square of B. $\scriptstyle{\color{blue}{A\sdot D=B^2}}$	לפי שמספר ד' הוא מרובע ב‫'
So, the product of A by D equals the product of the composite number of A by B by B. $\scriptstyle{\color{blue}{A\sdot D=\left(A\sdot B\right)\sdot B}}$	אם כן שטח א' בד' שוה לשטח ההווה ממורכב מספרי א'ב' ב'ב‫'
But, the product of the composite number A by B is the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{A\sdot B=Z}}$	וכבר היה מורכב א'ב' מספר ז‫'
So, the product of A by D equals the product of Z by B. $\scriptstyle{\color{blue}{A\sdot D=Z\sdot B}}$	אם כן שטח א' בד' שוה לשטח ז' בב‫'
Therefore, it is clear that the product of B by G equals the product of the composite number A by B by the number A. $\scriptstyle{\color{blue}{B\sdot G=\left(A\sdot B\right)\sdot A}}$	ובזה התבאר ששטח ב' בג' שוה לשטח ההווה ממורכב א'ב' במספר א‫'
So, the product of B by G equals the product of Z by A. $\scriptstyle{\color{blue}{B\sdot G=Z\sdot A}}$	אם כן שטח‫^[417] ב' בג' שוה לשטח ז' בא‫'
Therefore, [the sum of] the product of A by D with the product of B by G equals the sum of the product of Z by A with the product of Z by B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A\sdot D\right)+\left(B\sdot G\right)=\left(Z\sdot A\right)+\left(Z\sdot B\right)}}$	אם כן שטח א' בד' עם שטח ב' בג' שוים לשטח ז' בא' מחובר עם שטח ז' בב‫'
But, the sum of the product of Z by A with the product of Z by B equals the product of the number Z by the sum of the numbers A and B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(Z\sdot A\right)+\left(Z\sdot B\right)=Z\sdot\left(A+B\right)}}$	אבל שטח ז' בא' מחובר עם שטח ז' בב' שוה לשטח ההווה ממספר ז' במספרי א'ב' מקובצים
Hence, [the sum of] the product of A by D with the product of B by G equals the product of Z by the sum of A and B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A\sdot D\right)+\left(B\sdot G\right)=Z\sdot\left(A+B\right)}}$	אם כן שטח א' בד' עם שטח ב' בג' שוה לשטח ז' בא'ב' מקובצים
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
62) When two numbers are given, the cube of their sum exceeds over the cube of the first number by three times the product of the first given number by the second multiplied by their sum plus the cube of the second number. $\scriptstyle\left(a+b\right)^3=a^3+3\sdot\left(a\sdot b\right)\sdot\left(a+b\right)+b^3$	ס"ב כאשר היו שני מספרים מונחים הנה המעוקב ההווה ממקובצם‫^[418] מוסיף על המעוקב ההווה מהמספר הראשון מהם כמו שלשה דמיוני השטח ההווה משטח המספר הראשון המונח בשני על מקובצם‫^[419] וכמו מעוקב המספר השני
Let A, B be the given numbers.	ויהיו המספרים המונחים מספרי א' ב‫'
Let the product of A by B be the number G. $\scriptstyle{\color{blue}{A\sdot B=G}}$	והיה שטח א' בב' מספר ג‫'
Let the cube of A be the number D. $\scriptstyle{\color{blue}{A^3=D}}$	והיה מעוקב א' מספר ד‫'
Let the cube of the sum of A and B be the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B\right)^3=H}}$	ומעוקב א'ב' מקובצים מספר ה‫'
Let the cube of B be the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{B^3=Z}}$	ומעוקב ב' מספר ז‫'
Supposition: I say that the number H exceeds over the number D by three times the product of G by the sum of A and B, plus the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{H-D=3\sdot\left[G\sdot\left(A+B\right)\right]+Z}}$	ואומר שמספר ה' מוסיף על מספר ד' ‫^[420]כמו שלשת דמיוני שטח ג' בא'ב' מקובצים וכמו מספר ז‫'
The proof: [The sum of] A [and] B, multiplied by itself, equals the squares of the numbers A and B plus double the product of A by B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B\right)^2=A^2+B^2+2\sdot\left(A\sdot B\right)}}$	המופת שא'ב' הוכה על עצמו והיה שוה למרובעי מספרי‫^[421] א'ב' ולכפל שטח א' בב‫'
So, the square of the sum of A and B equals the squares of A and B plus double the number G. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B\right)^2=A^2+B^2+2G}}$	אם כן מרובע‫^[422] א'ב' מקובצים שוה למרובעי א'ב' ולכפל מספר ג‫'
The squares of A and B, plus double the number G, multiplied by the sum of A and B, is H. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[A^2+B^2+2G\right]\sdot\left(A+B\right)=H}}$	וכבר הוכה מרובעי א'ב' וכפל מספר ג' על מספרי א'ב' מקובצים והיה ה‫'
Because the square of the sum of A and B, multiplied by the sum of A and B, is H. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B\right)^2\sdot\left(A+B\right)=H}}$	לפי שמרובע א'ב' מקובצים יוכה על א'ב' מקובצים ויהיה ה‫'
Supposition: I say that the number H exceeds over the number D by three times the product of G by the sum of A and B plus the number Z. $\scriptstyle{\color{blue}{H-D=3\sdot\left[G\sdot\left(A+B\right)\right]+Z}}$	ואומר שמספר ה' מוסיף על מספר ד' כמו שלשה דמיוני שטח‫^[423] ג' בא'ב' מקובצים‫^[424] וכמו מספר ז‫'
This is because when the square of A is multiplied by [the sum of] A and B, the result is equal to the product of A by the square of A, which is the number D, plus the product of the square of A by the number B.	וזה שמרובע א' כבר הוכה בא'ב' והיה העולה שוה לשטח א' במרובע א' שהוא מספר ד' ולשטח ההווה ממרובע א' במספר ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{A^2\sdot\left(A+B\right)=\left(A^2\sdot A\right)+\left(A^2\sdot B\right)=D+\left(A^2\sdot B\right)}}$
Similarly, when the square of B is multiplied by [the sum of] A and B, the result is equal to the product of the square of B by B, which is the number Z, plus the product of the square of B by the number A.	וגם כן הנה מרובע ב' כבר הוכה בא'ב' והיה העולה שוה לשטח ההווה ממרובע ב' בב' שהוא מספר ז' ולשטח ההווה ממרובע ב' במספר‫^[425] א‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{B^2\sdot\left(A+B\right)=\left(B^2\sdot B\right)+\left(B^2\sdot A\right)=Z+\left(B^2\sdot A\right)}}$
Hence, when [the sum of] the squares of A and B is multiplied by [the sum of] A and B, the result is equal to [the sum of] the number D, the number Z, the product of the square of A by the number B, and the product of the square of B by the number A.	אם כן מרובעי א'ב' כאשר הוכו על א'ב' היה העולה שוה למספר ד'‫^[426] ולמספר ז' ולשטח מרובע א' במספר ב' ולשטח מרובע ב' במספר א‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(A^2+B^2\right)\sdot\left(A+B\right)=D+Z+\left(A^2\sdot B\right)+\left(B^2\sdot A\right)}}$
But, [the sum of] the product of the square of A by the number B with the product of the square of B by the number A is equal to the product of G by [the sum of] A and B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A^2\sdot B\right)+\left(B^2\sdot A\right)=G\sdot\left(A+B\right)}}$	אבל שטח מרובע א' במספר ב' עם שטח מרובע ב' במספר א' שוה לשטח ג' בא'ב‫'
So, when the squares of A and B are multiplied by A and B, the result is equal to [the sum of] the number D, the number Z, and the product of G by A and B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A^2+B^2\right)\sdot\left(A+B\right)=D+Z+\left[G\sdot\left(A+B\right)\right]}}$	אם כן מרובעי א'ב' כאשר הוכו על א'ב' היה העולה שוה למספר ד' ולמספר ז' ולשטח ג' בא'ב‫'
But, when the number G is multiplied by A and B, the result is the product of G by A and B.	ואולם מספר ג' כאשר הוכה בא'ב' היה העולה שטח ג' בא'ב‫'
So, when double G is multiplied by A and B, the result is two times the product of G by A and B.	אם כן כפל ג' כאשר הוכה בא'ב' היה העולה שני דמיוני שטח ג' בא'ב‫'
Yet, when the squares of the numbers A and B are multiplied by A and B, the result is [the sum of] the number D, the number Z, and the product of G by A and B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A^2+B^2\right)\sdot\left(A+B\right)=D+Z+\left[G\sdot\left(A+B\right)\right]}}$	אבל כאשר הוכו מרובעי מספרי א'ב' על א'ב' היה העולה שוה למספר ד' ולמספר ז' ולשטח ג' בא'ב‫'
So, when [the sum of] the squares of the numbers A and B plus double the number G is multiplied by A and B, the result is [the sum of] the number D, the number Z, and three times the product of G by A and B.	אם כן כאשר הוכו מרובעי מספרי א'ב' וכפל מספר ג' על א'ב' היה העולה שוה למספר ד' ולמספר ז' ולשלשת דמיוני שטח ג' בא'ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[A^2+B^2+2G\right]\sdot\left(A+B\right)=D+Z+3\sdot\left[G\sdot\left(A+B\right)\right]}}$
But, when [the sum of] the squares of the numbers A and B plus double the number G is multiplied by A and B, the result is H.	אבל מרובעי מספרי א'ב' וכפל מספר ג' כאשר הוכו על א'ב' היה העולה ה‫'
So, the number H equals [the sum of] the number D, the number Z, and three times the product of G by A and B.	אם כן מספר ה' שוה למספר ד' ולמספר ז' ולשלשת דמיוני שטח ג' בא'ב‫'
Therefore, the number H exceeds over the number D by [the sum of] three times the product of G by the sum of A and B plus the number Z.	אם כן מספר ה' מוסיף על מספר ד' כמו שלשת דמיוני שטח ג' בא'ב' מקובצים וכמו מספר ז‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
It has already been proven from this proposition itself that the cube of A, B is equal to [the sum of] the number D, the number Z, three times the product of the square of A by B and three times the product of the square of B by A.	וכבר יתבאר מזאת התמונה בעצמה שמעוקב א'ב' שוה למספר ד' ולמספר ז' ולשלשת דמיוני שטח מרובע א' בב' ולשלשת דמיוני שטח מרובע ב' בא'‫^[427]
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B\right)^3=D+Z+3\sdot\left(A^2\sdot B\right)+3\sdot\left(B^2\sdot A\right)}}$
This is because the cube of A, B is equal to [the sum of] the number D, the number Z, and three times the product of G by A, B. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B\right)^3=D+Z+3\sdot\left[G\sdot\left(A+B\right)\right]}}$	‫^[428]וזה שמעוקב א'ב' שוה למספר ד' ולמספר ז' ולשלשת דמיוני שטח ג' בא'ב‫'
But, the product of G by A, B is equal to [the sum of] the product of the square of A by the number B and the product of the square of B by the number A. $\scriptstyle{\color{blue}{G\sdot\left(A+B\right)=\left(A^2\sdot B\right)+\left(B^2\sdot A\right)}}$	אבל שטח ג' בא'ב' שוה לשטח מרובע א' במספר ב' עם שטח מרובע ב' במספר א‫'
So, three times the product of G by A, B is equal to [the sum of] three times the product the square of A by b and three times the product of the square of B by A. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left[G\sdot\left(A+B\right)\right]=3\sdot\left(A^2\sdot B\right)+3\sdot\left(B^2\sdot A\right)}}$	ואם כן שלשת דמיוני שטח ג' בא'ב' שוים לשלשת דמיוני שטח מרובע א' בב' ולשלשת דמיוני שטח מרובע ב' בא‫'
Threfore, the cube of A, B is equal to [the sum of] the number D, the number Z, three times the product of the square of A by B and three times the product of the square of B by A.	א"כ‫^[429] מעוקב א'ב' שוה למספר ד' ולמספר ז' ולשלשה דמיוני שטח מרובע א' בב' ולשלשה דמיוני שטח מרובע ב' בא‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+B\right)^3=D+Z+3\sdot\left(A^2\sdot B\right)+3\sdot\left(B^2\sdot A\right)}}$
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
Combinatorics
Introduction	הקדמה
Two elements differ in the order in which they are combined in two ways: either one precedes the other or the other precedes it.	שני נושאים‫^[430] יתחלפו בסדר בחבורם בשני דרכים אם שיקדים האחד לאחר אם שיקדים האחר לו
The diversity of the combinations of elements is in two ways: either they differ in their elements, but are identical in their number, or they differ only in their arrangement.	החלוף בחבורי‫^[431] הנושאים הוא בשני דרכים אם שיתחלפו בנושאיהם וישתתפו בכמות מספרם אם שיתחלפו בסדר לבד
When one and the same element is added to two combinations of elements that differ from each other in some way, the [new] combinations are likewise different.	חבור הנושאים המתחלף חלוף מה לחבור נושאים אחד כשחובר עוד עם כל אחד מהם נושא אחד בעינו הנה הם מתחלפים גם כן
Example: the combination A, B, G differs from the combination B, G, D, by the elements.	והמשל שיהיה חבור א'ב'ג' מתחלף לחבור ב'ג'ד' בנושאים
H is added to each combination, so that the combinations are: H, A, B, G, and H, B, G, D.	וחובר עם כל אחד מהחבורים ה'‫^[432] והיו החבורים ה'א'ב'ג' ה'ב'ג'ד‫'
So, the [combinations] differ also by [the elements] as the previous diversity.	הנה הם מתחלפים בהם‫^[433] גם כן כמו החלוף הקודם
Likewise, if the combinations differ only in their order:	וכן הענין אם היו החבורים מתחלפים רק‫^[434] בסדר לבד
If H is added to each of the combinations A, B, G, and B, A, G, and their arrangement remains as it was.	וזה שאם חובר ה' עם כל אחד מחבורי א'ב'ג' ב'א'ג' ונשאר סדרם כמו שהיה
So that the combinations are: H, A, B, G, and H, B, A, G.	והיו החבורים ה'א'ב'ג' ה'ב'א'ג‫'
So, the [combinations] differ also as the previous diversity.	הנה הם מתחלפים גם כן כמו החלוף הקודם
The number of combinations generated from a given number of elements is equal to the number of combinations generated from the same given number of other elements, when the combinations are of the same kind, meaning if the first combinations differ by their elements, the other combinations differ also by their elements, and if the first differ only by the order [of elements], the other differ only by the order [of their elements] as well	מספר החבורים ההווים ממספר מונח מנושאים מה שוה למספר החבורים ההווים מהמספר המונח מנושאים אחרים כשהיו החבורים על דמיון החבורים הקודמים רצוני שאם היו החבורים הקודמים מתחלפים בנושאיהם יהיו החבורים האחרים מתחלפים בנושאיהם ואם היו החבורים‫^[435] הקודמים מתחלפים בסדר לבד יהיו החבורים האחרים מתחלפים בסדר לבד
Combinatorial Identities
63) When different elements are added [each separately] to a given combination of elements, the [new] combinations differ by their elements.	ס"ג כאשר חוברו‫^[436] עם חבור נושאים מונח נושאים מתחלפים הנה החבורים מתחלפים בנושאיהם
Example: the combination A, B, G, is connected with H and becomes H, A, B, G; it is connected with D and becomes D, A, B, G.	משל זה שחבור א'ב'ג' נתחבר עם ה' והיה ה'א'ב'ג' ונחבר עם ד' והיה ד'א'ב'ג‫'
Then, the combinations D, A, B, G and H, A, B, G, differ by their elements.	הנה חבורי ד'א' ב'ג' ה'א' ב'ג' מתחלפים בנושאיהם
64) When the number of permutations of a given number of different elements is a certain number, then the number of permutations of the consecutive number of different elements is equal to the product of the number of permutations of the preceding number by the number that follows the given number. $\scriptstyle P_{n+1}=\left(n+1\right)\sdot P_n$	ס"ד כאשר היו מחברות מספר מונח מנושאים מתחלפים המתחלפות‫^[437] בסדר לבד מספר מה ‫^[438]הנה מחברות המספר הנמשך אחר המספר המונח מנושאים מתחלפים המתחלפות בסדר לבד הם כמו שטח מספר המחברות הקודמות‫^[439] במספר הנמשך אחר המספר המונח
Let the elements be A, B, G, D, H; and their number is Z.	ויהיו הנושאים א'ב' ג'ד'ה' ומספרם ז‫'
Let the number that follows Z be the number C. $\scriptstyle{\color{blue}{Z+1=C}}$	והיה המספר הנמשך אחר ז' מספר ח‫'
Let the number of permutations of the elements A, B, G, D, H be T. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{P_Z=T}}$	והיה מספר מחברות נושאי א'ב'ג'ד'ה' המתחלפות בסדר לבד מספר ט‫'
Let the elements A, B, G, D, H, W, be one more than the elements A, B, G, D, H, so their number is equal to C.	ויהיו נושאים א'ב' ג'ד' ה'ו' מוסיפים נושא אחד על מספר נושאי א'ב'ג'ד'ה' ולזה יהיה מספרם מספר ח‫'
Supposition: We say that the number of permutations of the elements A, B, G, D, H, W is as the product of T by C. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{P_{Z+1}=T\times C}}$	ונאמר שמספר מחברות נושאי א'ב' ג'ד' ה'ו' המתחלפות בסדר לבד הוא כמספר שטח ט' בח‫'
Proof: When W is added to each of the permutations of A, B, G, D, H, and is placed first, the permutations still differ only in their arrangement.	המופת שכבר יחובר ו' ויושם ראשון עם כל אחת ממחברות א'ב'ג'ד'ה' המתחלפות בסדר ותשארנה המחברות מתחלפות בסדר‫^[440]
Hence, when W is the first element, the number of permutations is T. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{P_Z=T}}$	ולזה תהיינה המחברות בהיות ו' ראשון מספר ט‫'
Since the number of the permutations of A, B, G, D, H is T, the number of the permutations of A, B, G, D, W is also T. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{P_Z=T}}$	וגם כן הנה מפני שמחברות א'ב'ג'ד'ה' המתחלפות בסדר לבד הם כמספר ט תהיינה מחברות א'ב'ג'ד'ו' ג"כ מספר ט‫'
When H is added to them and placed first in each of these permutations, then the permutations still differ only in their arrangement, and therefore the number of permutations, when H is in the first place, is also T. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{P_Z=T}}$	וכבר יחובר ה' ויושם ראשון עם כל אחת מאלו המחברות ותשארנה המחברות מתחלפות בסדר לבד ולזה תהיינה‫^[441] המחברות בהיות ה' ראשון כמספר ט‫'
Likewise, it is clear that when any of these element is placed first, the number of the permutations in which it is first is T. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{P_Z=T}}$	וכזה התבאר שכל אחד מאלו הנושאים יושם ראשון תהיינה המחברות המתחלפות בסדר לבד בהיותו ראשון כמספר ט‫'
So the number of all these permutations is T multiplied by the number [of elements], but their number is C.	תהיינה אם כן אלו המחברות בכללם כמו ט' מוכה על מספרם ואולם מספרם הוא ח‫'
Therefore, the number of the permutations of A, B, G, D, H, W is as the product of C by T.	אם כן מספר מחברות א'ב' ג'ד' ה'ו' המתחלפות בסדר לבד הוא כמספר שטח ח' בט‫'
It is clear that among all these permutations there are no two identical.	והוא מבואר שאין בכל אלו‫^[442] המחברות שמנינו שתים דומות
Because when one of the elements is placed first, there are no two identical permutations, as the permutations to which it is added are different, so when it is added to them, they remain different.	וזה כי בהיות אחד מהנושאים ראשון אין שם‫^[443] שתי מחברות דומות כי המחברות אשר יתחבר עמהם הם מתחלפות וכן תתחלפנה בהתחברו עמהן
There is no doubt that when the first element is not the same the permutations are different in their arrangement.	ואין ספק שכאשר לא היה הנושא ראשון אחד שהמחברות מתחלפות בסדר
So it is clear that among the permutations that were counted there are no two identical permutations.	ובהיות הענין כן הוא מבואר שאין באלו המחברות שמנינו שתי מחברות דומות
We also claim that there are no permutations other than those.	ונאמר גם כן שאין שם מחברות זולת אלו
Because if it was possible, let this permutation be D, H, W, G, A, B.	שאם היה אפשר הנה תהיה המחברת ההיא מחברת ד'ה'ו'ג'א'ב‫'
But D was added to the rest of the elements in all the [possible] kinds of permutations, and one of the permutations of the rest of the elements was W, H, A, G, B.	אבל ד' התחבר עם הנשארים בכל מיני חבורם ואחת ממחברות‫^[444] הנשארים ו' ה' א' ג' ב‫'
So D, W, H, G, A, B is one of the permutations counted.	אם כן ד'ו'ה'ג'א'ב'‫^[445] היא אחת מהמחברות שמנינו
Accordingly, meaning that there are no two identical permutations among them and there are none other than these, then the number of permutations of A, B, G, D, H, W is as the product of T by C.	ואחר שכן הוא רצוני שאין באלו המחברות שתים דומות ואין שם מחברת זולת אלו הנה אם כן מספר מחברות א'ב' ג'ד' ה'ו' המתחלפות בסדר לבד הוא כמו שטח ט' בח‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
It is proven that the number of permutations of certain elements is equal to the number that is composed of the successive numbers starting from one, whose number is as the number of these elements. $\scriptstyle P_n=n!$	‫^[446]ובכאן התבאר שמספר מחברות נושאים מה המתחלפות‫^[447] בסדר לבד הוא כמספר המורכב מהמספרים הנמשכים מתחילים מן האחד מספרם כמספר הנושאים ההם
Because, the number of the 2-permutations is 2, which is equal to the number composed of one and two. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{P_2=2}}$	וזה שמחברות שניים הם שנים וזה שוה למספר המורכב מאחד ושנים
The [number of the] 3-permutations is as the product of three by two, which is equal to the number composed of 1, 2, 3. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{P_3=3\times2}}$	ומחברות השלשה הם כמו השטח ההווה משלשה בשנים וזה שוה למורכב א'ב'ג‫'
Likewise, it is proven endlessly.	ובזה התבאר לאין תכלית
65) The number of 2-permutations of a given number of different elements is equal to the product of the given number by the preceding number. $\scriptstyle P_{n,2}=n\sdot\left(n-1\right)$	ס"ה מספר מחברות השנים המתחלפות אם בסדר אם בנושאיהם‫^[448] במספר מונח‫^[449] מנושאים מתחלפים הוא שוה לשטח ההווה מהמספר המונח במספר הנמשך לו לפניו
Let the elements be A, B, G, D, H, whose number is Z.	ויהיו הנושאים א'ב' ג'ד'ה' ויהיה מספרם מספר ז‫'
Let the number that precedes Z is C $\scriptstyle{\color{blue}{Z-1=C}}$	והמספר הנמשך לז' לפניו הוא ח‫'
Supposition: We say that the number of 2-permutations of the elements A, B, G, D, H, is as the product of Z by C. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{P_{Z,2}=Z\times C}}$	ונאמר שמחברות השנים המתחלפות אם בסדר אם בנושאיהן מנושאי א'ב' ג'ד'ה' הם כמספר שטח ז' בח‫'
Proof: When A is placed first and added to each of the remaining elements, whose number is C, the number of the different combinations, in which A is first, is C. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{P_{C,1}=C}}$	המופת שכבר יושם א' ראשון ויתחבר עם כל אחד מהנשארים אשר מספרם מספר ח' אם כן המחברות המתחלפות בהיות א' ראשון הם כמספר ח‫'
Thus, it is proven that when any of these elements is placed first, the number of combinations formed when it is first is C. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{P_{C,1}=C}}$	ובזה התבאר שכל אחד מאלו הנושאים יושם ראשון ותהיינה המחברות המתחדשות‫^[450] בהיותו ראשון כמספר ח‫'
Hence the number of all these combinations is equal to C multiplied by the number of these elements.	אם כן מספר אלו המחברות בכללם כמו מספר‫^[451] ח' מוכה על מספר אלו הנושאים
But, the number of these elements is Z.	ואולם מספר אלו הנושאים הוא מספר ז‫'
So, the number of these combinations is as the product of Z by C.	תהיינה אם כן אלו המחברות כמספר שטח ז' בח‫'
Supposition: We say that there are no two identical combinations among these combinations counted.	ונאמר שאין באלו המחברות אשר מנינו שתי מחברות דומות שלא תתחלפנה אם בסדר ואם בנושאיהן
For if one of the [elements] is first, there are no two identical combinations, because the elements that are connected to it are different.	וזה כי בהיות האחד מהם ראשון אין שם שתי מחברות דומות לפי שהנושאים אשר התחבר עמהם הם מתחלפים
There is no doubt that they could not be identical if the first element in both is not the same, because they differ at least in their order.	ואין ספק שלא תהיינה דומות אם לא יהיה הנושא הראשון‫^[452] אחד בשניהם כי לכל הפחות יתחלפו בסדר
So, there are no two identical combinations among these combinations.	הנה אם כן אין באלו המחברות שתים דומות
Supposition: We say that there is no combination other than those counted.	ונאמר שאין שם מחברת זולת אלו אשר מנינו
Because if that were possible, let this combination be G, H.	שאם היה אפשר זה נניח שתהיה המחברת ההיא ג'ה‫'
But, G is added to each of the remaining [elements], and one of the remaining [elements] is H.	ואולם ג' התחבר עם כל אחד מהנשארים ואחד מהנשארים הוא ה‫'
So, one of the combinations that were counted is G, H.	אם כן אחת מאלו המחברות אשר מנינו היא ג'ה‫'
Hence, there is no combination other than those counted.	אם כן אין שם מחברת זולת אלו אשר ‫^[453]מנינו
It has already been proven, that among these combination there is no two identical combinations.	וכבר התבאר שאין באלו המחברות שתי מחברות דומות
Therefore, the number of these combinations is as the product of Z by C.	אם כן מספר אלו המחברות הוא כמו מספר שטח ז' בח‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
66) When the number of different elements is given; and the number of permutations of a second given number of these elements, which is different from the number first given number and smaller than it, is equal to a third given number; then the number of permutations of the number that follows the second given number of these elements is equal to the product of the third given number by the excess of the first given number over the second number. $\scriptstyle P_{n,m+1}=P_{n,m}\sdot\left(n-m\right)$	ס"ו כאשר היה מספר מונח מנושאים מתחלפים והיה מספר מחברות מספר מונח שני מאותם הנושאים מתחלף למספר המונח הראשון‫^[454] וקטן ממנו המתחלפות אם בסדר אם בנושאיהן מספר מונח שלישי הנה מספר מחברות המספר הנמשך אחר המונח השני מאלו הנושאים המתחלפות אם בסדר ואם בנושאיהן הם כמספר השטח ההווה מהמספר המונח השלישי ביתרון המספר המונח הראשון על המספר השני
Let the elements be A, B, G, D, H, W, Z and the number of these elements be C.	ויהיו הנושאים א'ב' ג'ד' ה'ו'ז' ויהיה מספר אלו הנושאים מספר ח‫'
Let T be a number different from C and smaller than it.	ויהיה מספר ט' מתחלף למספר ח' וקטן ממנו
Let the number of the permutations of T of these elements be L.	ויהיו‫^[455] מחברות מספר ט' מאלו הנושאים המתחלפות‫^[456] אם בסדר אם בנושאיהן כמספר ל‫'
Let [the number] that follows T be M. $\scriptstyle{\color{blue}{M=T+1}}$	והיה מ' נמשך אחרי ט‫'
Let the excess of C over T be the number N. $\scriptstyle{\color{blue}{C-T=N}}$	והיה יתרון ח' על ט' מספר נ‫'
Supposition: We say that the number of the permutations of M of these elements is as the product of L by N.	ונאמר שמחברות מספר מ' מאלו הנושאים המתחלפות אם בסדר אם בנושאיהן הם כמספר שטח ל' בנ‫'
Proof: We set one of the combinations of T of these elements A, B, G.	המופת שאנחנו נשים אחת‫^[457] ממחברות מספר ט' מאלו הנושאים מחברת א'ב'ג‫'
The rest of these elements are then D, H, W, Z, and their number N.	והנה הנושאים הנשארים הם נושאי ד'ה'ו'ז' ומספרם כמספר נ‫'
When each of the remaining elements D, H, W, Z, is placed first, before the combination A, B, G, the [new] combinations are different, and the number of elements in the combination is M, because an element was added to the number of elements of the first combination.	הנה כבר יושם כל אחד מנושאי ד'ה'ו'ז' הנשארים ראשון עם מחברת א'ב'ג' ותהיינה המחברות מתחלפות ויהיה מספר נושאי המחברת מספר מ' לפי שכבר הוסף על מספר נושאי המחברת הראשונה נושא אחד
Since the number of elements D, H, W, Z is N, the number of the [new] combinations resulting from the combination A, B, G is N.	ולפי שהיה מספר ד'ה' ו'ז' כמו מספר נ' תהיינה המחברות המתחדשות ממחברת א'ב'ג' כמספר‫^[458] נ‫'
Thus, it has been proven that the number of combinations resulting from each permutation of T of these elements is N.	ובזה התבאר שמספר המחברות המתחדשות עם כל מחברת ממחברות ט' מאלו הנושאים המתחלפות‫^[459] אם בסדר ואם בנושאיהן הם כמספר נ‫'
Hence, the total number of these combinations, meaning the M-combinations of these elements, is as the number N multiplied by the number of the T-combinations of these elements.	ולזה‫^[460] יהיה מספר אלו המחברות בכללם רצוני מספר מחברות מ'‫^[461] מאלו הנושאים כמו מספר נ' מוכה על מספר מחברות ט' מאלו הנושאים
But, the number of the T-combinations of these elements is L.	אבל מספר מחברות ט' מאלו הנושאים ‫^[462]הוא ל‫'
So, [the number of] M-combinations of these elements is as the product of N by L.	אם כן מחברות מ' מאלו הנושאים הוא כמספר שטח נ' בל‫'
Supposition: We say that there are no two identical combinations among all the combinations counted.	ונאמר שאין בכל אלו‫^[463] המחברות שמנינו שתי מחברות דומות
That is so, because other different elements are always added to one combination.	וזה שהמחברת האחת כבר חוברו עמה נושאים מתחלפים כפעם בפעם
So these [new] combinations are necessarily different.	ולזה יחוייב שתהיינה המחברות ההם מתחלפות
There is no doubt that different combinations associated with an element, whichever it may be, cannot be identical.	ואין ספק שהמחברות המתחלפות לא תהיינה דומות עם איזה נושא שיחוברו
Therefore there are no two identical combinations among these combinations.	הנה אם‫^[464] כן אין באלו המחברות שתי מחברות‫^[465] דומות
Supposition: We say that there is no combination other than those counted.	ונאמר שאין שם מחברת זולת אלו אשר מנינו
Because if that were possible, then let this combination be W, D, B, Z.	שאם היה אפשר זה תהיה המחברת ההיא מחברת ו'ד' ב'ז‫'
But, each of the remaining elements was placed first before combination D, B, Z, and one of those elements is W.	אבל מחברת ד'ב'ז' כבר הושם כל אחד מהנושאים הנשארים ראשון עמה ואחד מהנושאים ההם הוא ו‫'
So W, D, B, Z, is one of the combinations counted.	אם כן מחברת ו'ד'ב'ז' היא אחת מהמחברות‫^[466] אשר מנינו‫^[467]
Since there are no two identical combinations among the combinations counted and there is no combination other than those, the number of the permutations of M of these elements is as the product of N by L.	ואחר שאין שם שתי מחברות דומות באלו המחברות אשר מנינו ואין שם מחברת זולת אלו הנה אם כן מחברות מ'‫^[468] מאלו הנושאים המתחלפות אם בסדר אם בנושאיהם הוא כמספר שטח נ' בל‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
It has been proven here that the number of permutations of a first given number of a second given number of elements is equal to the number that is composed of successive numbers, whose number is as the first given number.	ובכאן התבאר שמחברות מספר מונח ראשון ממספר מונח שני מנושאים מתחלפים המתחלפות אם בסדר ואם בנושאיהן הוא שוה למספר המורכב ממספרים נמשכים מספרם כמו המספר המונח הראשון
Let the last of which be the second given number.	ויהיה האחרון מהם המספר המונח השני
Let Z be the number of elements.	ויהיה מספר הנושאים מספר ז‫'
Let the numbers A, B, G, D, H, W, Z be successive numbers starting from one.	ויהיו מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו'ז' נמשכים מתחילים מן האחד
It is clear that the number of permutations of two of them is as the product of W by Z.	והוא מבואר שמחברות השנים מהם הם כמספר שטח ו' בז‫'
But these are two successive numbers, the last of which is Z.	ואולם המספרים מספרם שנים והם נמשכים והאחרון מהם הוא ז‫'
The number of permutations of three of them is as the product of H by the product of W by Z.	ומחברות השלשה מהם הוא כמו השטח ההווה מה' בשטח ו' בז‫'
Since the excess of Z over two is H. $\scriptstyle{\color{blue}{Z-2=H}}$ .	לפי שיתרון ז' על שנים הוא ה‫'
So, it is equal to the composite number H, W, Z	וזה שוה למורכב ה'ו'ז‫'
These are also three successive numbers, the last of which is Z.	ואלו המספרים מספרם שלשה גם כן והם נמשכים והאחרון מהם הוא ז‫'
Likewise, it is proven that the number of permutations of four of them is equal to the composite D, H, W, Z.	וכזה יתבאר בארבעה שמספר המחברות מהם הוא שוה למורכב ד'ה' ו'ז‫'
And so on it is proven for every number.	וכזה התבאר זה באיזה מספר שיהיה
67) When the number of different elements is given; the number of combinations of a second given number of these elements is equal to a given third number; and the number of permutations of the second given number of these elements is equal to a fourth given number; then the number of permutations of the second given number of elements, whose number is the first given number, is equal to the product of the third given number by the fourth given. $\scriptstyle P_{n,m}=C{n,m}\sdot P_m$	ס"ז כאשר היה מספר מונח מנושאים מתחלפים והיו מחברות מספר מונח שני מאלו הנושאים המתחלפות בנושאיהם כמו מספר ‫^[469]מונח שלישי והיו מחברות המספר המונח‫^[470] השני מנושאים מתחלפים בסדר לבד‫^[471] כמו מספר מונח רביעי הנה מחברות המספר המונח השני מאלו הנושאים המתחלפים אשר מספרם המספר‫^[472] המונח הראשון המתחלפות אם בסדר ואם בנושאיהן הם כמספר השטח‫^[473] ההווה מהמספר המונח השלישי במספר המונח הרביעי
Let the elements be A, B, G, D, H, W, whose number is Z.	ויהיו הנושאים ההם‫^[474] נושאי א'ב' ג'ד' ה'ו' והיה מספרם ז‫'
Let the number of C-combinations of them be T.	והיו מחברות מספר ח' מהם‫^[475] המתחלפות בנושאיהן כמו מספר ט‫'
Let the number of permutations of C elements be L.	והיו‫^[476] מחברות הנושאים המתחלפים‫^[477] אשר מספרם ח'‫^[478] המתחלפות בסדר לבד כמו מספר ל‫'
Supposition: I say that the number of variations of C of the elements A, B, G, D, H, W is as the product of T by L.	ואומר שמחברות מספר ח' מנושאי א'ב' ג'ד' ה'ו' המתחלפות אם בסדר אם בנושאיהן הם כמספר שטח ט' בל‫'
Proof: We set one of the C-combinations of Z of these elements be B, G, D.	המופת שאנחנו נשים אחת ממחברות ח' מאלו ז'‫^[479] הנושאים המתחלפות בנושאיהן מחברת ב'ג'ד‫'‫^[480]
Then, the number of permutations that result from it is L.	ויתחדשו‫^[481] ממנה מחברות מתחלפות בסדר לבד כמו מספר ל‫'
Likewise, it is clear that the number of permutations that are formed from each of the combinations of C of these elements is L.	וכזה התבאר שמספר המחברות המתחלפות בסדר המתחדשות מכל מחברת ממחברות ח' מאלו הנושאים המתחלפות בנושאיהן הוא כמו מספר ל‫'
Therefore, the total number of these combinations is as the number of the combinations of C of these elements multiplied by L.	אם כן מספר אלו המחברות בכללם הם כמספר מחברות ח' מאלו הנושאים המתחלפות‫^[482] בנושאיהן מוכה על ל‫'
But their number is T, so the total number of these combinations is as the product of T by L.	ואולם מספרם הוא ט' אם כן מספר אלו המחברות בכללם הוא כמספר שטח ט' בל‫'
Supposition: We say that there are no two identical combinations among those that we counted.	ונאמר שאין באלו המחברות שמנינו שתים דומות
Because, when there are other elements, the combinations are different.	לפי שבהיות הנושאים אחרים כבר התחלפו המחברות בסדר
And their number is L, as we had assumed.	והיה מספרם מספר‫^[483] ל' לפי מה שהנחנו
There is no doubt that when the elements are different the combinations are not identical.	ואין ספק שבהיות הנושאים מתחלפים לא תהיינה המחברות דומות
So, there are no two identical combinations among those that we counted.	אם כן אין באלו המחברות אשר מנינו שתי מחברות דומות
Supposition: We say that there is no combination other than those counted.	ונאמר שאין שם מחברת זולת אלו אשר מנינו
Because, if that were possible, let this combination be W, D, B.	שאם היה אפשר תהיה המחברת ההיא מחברת ו'ד'ב‫'
But, all elements B, D, W have already been combined in all kind of permutations, and one of their permutations is W, D, B.	אבל כל‫^[484] נושאי ב'ד'ו' התחברו מכל מיני סדורם ואחד ממיני סדורם הוא מחברת ו'ד'ב‫'
So, W, D, B, is one of the combinations we counted.	אם כן מחברת ו'ד'ב' היא אחת מהמחברות אשר מנינו
Hence, there is no combination other than those.	אם כן אין שם מחברת זולת אלו
If so, meaning that there are no two identical combinations among the combinations that were counted and there is no combination other than those, then the number of C-permutations of the elements A, B, G, D, H, W is as the product of T by L.	ובהיות הענין כן רצוני שאין באלו המחברות אשר מנינו שתי מחברות דומות ואין שם מחברת זולת אלו אם כן מספר מחברות ח' המתחלפות אם בסדר ואם בנושאיהן מנושאי א'ב'ג'ד' ‫^[485]ה'ו' הוא כמו מספר שטח ט' בל‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
68) When the number of different elements is given; the number of permutations of a second given number of these elements is equal to a third number; the number of permutations of the second number of these elements is equal to a given fourth number; then the number of combinations of the second number of these elements is as the number of the units that the fourth given number counts the third given number. $\scriptstyle C_{n,m}=\frac{P_{n,m}}{P_m}$	ס"ח כאשר היה מספר מונח מנושאים מתחלפים והיה מספר מחברות מספר מונח שני המתחלפות‫^[486] אם בסדר אם בנושאיהן כמו מספר מונח שלישי והיו מחברות המספר המונח השני מנושאים מתחלפים המתחלפות‫^[487] בסדר לבד מספר מונח רביעי הנה מספר מחברות המספר המונח השני ממספר הנושאים‫^[488] המונח המתחלפות‫^[489] בנושאיהן הוא כמספר אחדי מה שימנה המונח הרביעי המונח השלישי
Let the different elements be A, B, G, D, H, whose number is Z.	ויהיו הנושאים המתחלפים נושאי א'ב' ג'ד'ה' ויהיה מספרם מספר ז‫'
Let the number of C-permutations of these elements be T.	ותהיינה מחברות ח' מאלו הנושאים המתחלפות אם בסדר אם בנושאיהן מספר ט‫'
Let the number of permutations of C elements be L.	ותהיינה מחברות הנושאים אשר מספרם ח' המתחלפות בסדר לבד כמו מספר ל‫'
Supposition: We say that L counts T by the number of C-combinations of the elements A, B, G, D, H.	ונאמר שמספר ט' ימנהו ל' במספר אחדי מחברות ח' מנושאי א'ב'ג'ד'ה' המתחלפות בנושאיהם‫^[490]
Proof: We set the number of C-combinations of these elements as M.	המופת שאנחנו נשים‫^[491] מחברות ח' מאלו הנושאים‫^[492] המתחלפות בנושאיהן כמו מספר‫^[493] מ‫'
So, the number of C-permutations of these elements is as the product of L by M.	אם כן מחברות ח' מאלו הנושאים המתחלפות אם בסדר ואם בנושאיהן כמספר שטח ל' במ‫'
The number of permutations of C elements is L.	ואולם מחברות הנושאים אשר מספרם ח' המתחלפות בסדר לבד הם כמספר ל‫'
The number of C-permutations of these elements is T.	והנה‫^[494] מחברות ח' מאלו הנושאים המתחלפות אם בסדר אם בנושאיהן הם כמספר ט‫'
So, the number T is equal to the product of L by M. $\scriptstyle{\color{blue}{T=L\times M}}$	אם כן מספר ט' שוה לשטח ל'‫^[495] במ‫'
Hence, L counts T as the units of M, which is the number of C-combinations of these elements.	ולזה‫^[496] ט' ימנהו מספר ל' כמספר אחדי מ' והוא מספר מחברות ח' מאלו הנושאים המתחלפות בנושאיהן
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
69) When a number of different elements is given; the number of combinations of a second given number of these elements is equal to a given third number; and the excess of the first given number over the second given number is equal to a given fourth number; then the combinations of a fourth given number of the elements are equal to the given third number. $\scriptstyle C_{n,n+m}=C_{n,m}$	ס"ט כאשר היה מספר מונח מנושאים מתחלפים והיה מספר מחברות מספר מונח שני מאלו הנושאים המתחלפות בנושאיהם כמו מספר מונח שלישי והיה יתרון המספר המונח הראשון על המספר המונח השני מספר מונח רביעי הנה מחברות המספר המונח הרביעי מאלו הנושאים המתחלפות בנושאיהם הם כמו המספר המונח השלישי
Let the elements be A, B, G, D, H, W, Z, and their number C.	ויהיו הנושאים המתחלפים נושאי א'ב' ג'ד' ה'ו'ז' והיה מספרם מספר ח‫'
Let the number of T-combinations of these elements be L.	והיו מחברות מספר ט' מאלו הנושאים המתחלפות בנושאיהם‫^[497] מספר ל‫'
Let the excess of C over T be the number M. $\scriptstyle{\color{blue}{C-T=M}}$ .	ויהיה יתרון ח' על מספר ט' מספר מ‫'
Supposition: I say that the number of M-combinations of these elements is also L.	ואומר שמחברות מספר מ' מאלו הנושאים המתחלפות בנושאיהן הם גם כן כמו מספר ל‫'
First, we explain that when two of the combinations of these elements are different, then the combinations of the rest of the elements must also be different.	ונבאר תחלה שכאשר היו שתי מחברות מתחלפות מאלו הנושאים ‫^[498]שמחברות שאריתם מאלו הנושאים מתחלפות בנושאיהן גם כן
We set the two combinations A, B, G, D and A, G, D, H as different combinations.	וזה שאנחנו נשים מחברות א'ב' ג'ד' א'ג' ד'ה' מאלו הנושאים מתחלפות בנושאיהן
The combination of the rest of the elements for the combination A, B, G, D is the combination H, W, Z.	ואולם שארית מחברת א'ב'ג'ד' מאלו הנושאים היא מחברת ה'ו'ז‫'
The combination of the rest of the elements for the combination A, G, D, H is the combination B, W, Z.	ושארית מחברת א'ג' ד'ה' היא מחברת ב'ו'ז‫'
Supposition: We say that the combinations B, W, Z and H, W, Z are different.	ונאמר שמחברות‫^[499] ב'ו'ז' ה'ו'ז' מתחלפות בנושאיהן
Because if it were possible otherwise, then H were B. $\scriptstyle{\color{blue}{H=B}}$ .	וזה שאם היה אפשר זולת זה יהיה ה' הוא ב‫'
But, then A, B, G, D and A, G, D, H were not different combinations, and they were assumed to be different - false.	ואם יהיה הענין כן לא תהיינה מחברות א'ב' ג'ד' א'ג' ד'ה' מתחלפות בנושאיהן וכבר הונחו מתחלפות זה שקר
Therefore, the combinations H, W, Z and B, W, Z must be different.	אם כן כבר יחוייב שתהיינה מחברות ה'ו'ז' ב'ו'ז' מתחלפות בנושאיהן
Hence, it has been proven that the combinations of the remainders of any two different combinations are also different.	ובזה התבאר ששאריות כל שתי מחברות מתחלפות מהם הם מתחלפות
As this is established, we shall prove that the number of the M-combinations of these elements is also L.	וכאשר התישב זה הנה נבאר שמספר מחברות מ' מאלו הנושאים המתחלפות בנושאיהם גם כן כמו מספר ל‫'
This, by that we take for each T-combination of these elements the combination of the rest of the elements, the number of which is M, meaning of the rest of the elements.	וזה שאנחנו נקח לכל מחברת מספר ט' מאלו הנושאים מחברת שארית הנושאים שהוא כמו מספר מ' רצוני שארית הנושאים
But, since the first combinations are different, those of the rest of the elements are also different.	אבל המחברות הראשונות מתחלפות בנושאיהן הנה מחברות‫^[500] שאריותיהן מתחלפות בנושאיהן
And since we have taken for each T-combination of these elements, the combination of the rest [of the elements], the number of combinations that are generated from the rest [of the elements] is the same as that of the former combinations.	ולפי שלקחנו לכל מחברת ט' מאלו הנושאים מחברת שאריתה הנה מספר המחברות‫^[501] המתחדשות מהשאריות הוא כמספר המחברות הראשונות
Since the number of T-combinations of these elements is L, the number of combinations of the rest of the elements, which are M-combinations of those elements, is also L.	ואולם מחברות ט' מאלו הנושאים המתחלפות בנושאיהן הם כמו מספר ל' אם כן מחברות השאריות שהם מחברות מ'‫^[502] מאלו הנושאים הם כמו מספר ל' גם כן
Thus, it is proven that these combinations are different.	והוא מבואר שכל מחברות השאריות מתחלפות
Supposition: We say that there is no M-combination of these elements other than those that were counted.	ונאמר שאין שם מחברת זולת אלו אשר מנינו ממספר מ' מאלו הנושאים
Because if that were possible, let this combination be G, H, Z.	שאם היה אפשר תהיה המחברת היא מחברת ג'ה'ז‫'
We take the rest of the elements, which are A, B, D, W.	ונקח שארית הנושאים והיא א'ב'ד'ו‫'
But A, B, D, W, is one of the T-combinations of the elements, and we have already taken for each of these combinations those of the rest, and the rest of this combination are G, H, Z, so G, H, Z, is one of the combinations that were counted.	אבל א'ב'ד'ו' היא אחת ממחברות ט' מאלו הנושאים וכבר לקחנו לכל מחברת מהם שאריתה ושארית זאת המחברת היא מחברת ג'ה'ז' אם כן מחברת ג'ה'ז' היא אחת מהמחברות הנמנות
If so, meaning if there is no combination other than those that were counted, and if all the counted combinations are different, then the number of different M-combinations of these elements is L.	וכאשר היה זה כן רצוני שאין שם מחברת זולת אלו אשר מנינו ושכל המחברות אשר‫^[503] מנינו הם מתחלפות בנושאיהם אם כן מחברות מספר מ' מאלו הנושאים המתחלפות בנושאיהם הוא מספר ל‫'
Q.E.D.	‫^[504]והוא מה שרצינו לבאר
It can be proven by another proof:	וכבר יתבאר זה במופת אחר
We let the number of elements be C.	זה שאנחנו נניח שיהיה מספר הנושאים מספר ח‫'
Let the successive numbers up to C be: A, B, G, D, H, W, Z, C.	ויהיו המספרים הנמשכים עד ח'‫^[505] מספרי א'ב' ג'ד' ה'ו' ז'ח‫'
The number of combinations of a certain number of these elements is equal to the number of combinations of the rest of the elements. Let this number be G.	ונאמר שמחברות מספר מה מאלו הנושאים המתחלפות בנושאיהם הם כמספר מחברות שארית המספר הזה ממספר אלו הנושאים המתחלפות בנושאיהן ויהיה המספר מספר ג‫'
Let the excess of C over G be the number H. $\scriptstyle{\color{blue}{C-G=H}}$ .	והיה יתרון ח' על ג' מספר ה‫'
Supposition: I say that the number of G-combinations of these elements is as the number of H-combinations of these elements.	ואומר שמחברות מספר ג' מאלו הנושאים המתחלפות בנושאיהם הם כמספר מחברות מספר ה' מאלו הנושאים המתחלפות בנושאיהן
The number of G-combinations of these elements is as the number by which the composite of A, B, G counts the composite of W, Z, C.	וזה שמחברות‫^[506] מספר ג' מאלו הנושאים הם כמספר מה שימנם מורכב א'ב'ג' מורכב ו'ז'ח‫'
The number of H-combinations of these elements is as the number by which the composite of A, B, G, D, H counts the composite of D, H, W, Z, C.	ומחברות מספר ה' ר"ל המתחלפות בנושא לבד מאלו הנושאים הם כמספר מה שימנה מורכב א'ב'ג'ד'ה' מורכב ד'ה'ו'ז'ח‫'
Supposition: I say that the composite of A, B, G, D, H counts the composite of D, H, W, Z, C as the number by which the composite of A, B, G counts the composite of W, Z, C.	ואומר שמורכב א'ב' ג'ד' ה' ימנה מורכב ד'ה'ו'ז'ח' כמספר מה שימנה מורכב א'ב'ג' מורכב ו'ז'ח‫'
This is because the composite of A, B, G, D, H is equal to the product of the composite of D, H by the composite of A, B, G. $\scriptstyle{\color{blue}{A\sdot B\sdot G\sdot D\sdot H=\left(D\sdot H\right)\times\left(A\sdot B\sdot G\right)}}$	וזה שמורכב א'ב' ג'ד' ה' הוא שוה לשטח ההווה ממורכב ד'ה' במורכב א'ב'ג‫'
Also the composite of D, H, W, Z, C is equal to the product of the composite of D, H by the composite of W, Z, C. $\scriptstyle{\color{blue}{D\sdot H\sdot W\sdot Z\sdot C=\left(D\sdot H\right)\times\left(W\sdot Z\sdot C\right)}}$	ומורכב ד'ה'ו'ז'ח' הוא שוה לשטח ההווה ממורכב ד'ה' במורכב ו'ז'ח‫'
So, both composites of A, B, G and of W, Z, C are multiplied by D, H and become the composites of A, B, G, D, H and of D, H, W, Z, C.	הנה ד'ה' הוכו בו שני מורכבי א'ב'ג' ו'ז'ח' והיה מזה מורכבי א'ב' ג'ד'ה' ד'ה' ו'ז'ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(D\sdot H\right)\times\left[\left(A\sdot B\sdot G\right)+\left(W\sdot Z\sdot C\right)\right]=\left(A\sdot B\sdot G\sdot D\sdot H\right)+\left(D\sdot H\sdot W\sdot Z\sdot C\right)}}$
Therefore, the ratio of the composite of A, B, G, D, H to the composite of D, H, W, Z, C is the same as the ratio of the composite of A, B, G to the composite of W, Z, C.	אם כן יחס מורכב א'ב' ג'ד'ה' אל מורכב ד'ה'ו'ז'ח' הוא כמו יחס מורכב א'ב'ג' אל מורכב ו'ז'ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(A\sdot B\sdot G\sdot D\sdot H\right):\left(D\sdot H\sdot W\sdot Z\sdot C\right)=\left(A\sdot B\sdot G\right):\left(W\sdot Z\sdot C\right)}}$
Hence, the composite of A, B, G, D, H counts the composite of D, H, W, Z, C by the number that the composite of A, B, G counts the composite of W, Z, C.	אם כן מורכב א'ב'ג'ד'ה' ימנה מורכב ד'ה'ו' ז'ח' כשעור מה שימנה מורכב א'ב'ג' מורכב ו'ז'ח‫'
So, the number of G-combinations of these elements is equal to the number of H-combinations of these elements.	ולזה יהיה מספר מחברות ג' המתחלפות בנושאיהם מאלו הנושאים שוה למספר מחברות ה' המתחלפות בנושאיהם מאלו הנושאים
By this it is proven that the number of combinations of any number of a given number of different elements is equal to the number of the combinations of the remainder of the given number of these elements.	ובזה התבאר שמחברות איזה מספר שיהיה ממספר מונח מנושאיהם מתחלפים המתחלפות בנושאיהם שוה למספר מחברות שארית המספר המונח מהנושאים ההם
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
By this the first section is complete, Praise be to God the Blessed.	ובכאן נשלם המאמר הראשון תהלה לי' יתברך‫^[507]

Section Two

‫^[508]המאמר השני

Introduction to the Section

הצעת המאמר

Know that the wise men have compared God in the world of separate intellects with the one among numbers, even if it is an accident.

דע כי החכמים המשילו השם יתעלה בעולם השכלים הנפרדים לאחד במספר ואם הוא מקרה

Since the foundation of all numbers is one; it is the cause of their existence; it is their creator; it is present in all, yet it is not of their species.

לפי שיסוד כל המספרים הוא אחד הוא עלת מציאותם והוא ממציאם והוא עם כלם ואיננו ממינם

For, it is not a number itself, only by its division, but then it is no longer one.

כי הוא בעצמו איננו ממספר כי אם בהתחלקו ואז איננו אחד

If its absence is imagined, then all [the numbers] would disappear, but if their absence is imagined, [the one] would not disappear.

אם ידומה העדרו יעדרו כלם ואם ידומה העדרם לא יעדר

As a number, it has no upper and lower limit, although it is the lower limit of all numbers and, in a certain sense, an upper limit as well.

ואין לו מצד המספר קצה ראשון ולא קצה אחרון עם היות לכל המספרים קצה ראשון וקצה‫^[509] אחרון בפנים מה

If a lower limit is ascribed to the one as a number, that would only be by its division, but then it is no longer one.

ואם יתואר לאחד קצה מצד המספר לא יהיה זה כי אם בהחלקו ואז איננו אחד

We have said "as a number", because insofar as its being a line, a surface, or a body, it has limits, namely the points for a line, the lines for a surface, and the surfaces that surround it for a body.

ואמרנו מצד המספר כי מצד היותו קו או שטח או גשם יש לו קצוות והם בקו הנקדות ובשטח הקוים ובגשם השטחים המקיפים בו

But, as a number, it does not have this, because the line cannot be divided into points and it is not composed of them; and the surface cannot be divided into lines and it is not composed of them.

אמנם אין זה‫^[510] לו מצד המספר כי הקו לא יתחלק לנקודות ולא יורכב מהם והשטח לא יתחלק לקוים ולא יורכב מהם

Thus, all numbers have one origin, from which they are generated and to which they return.

הנה כל המספרים אב אחד לכלם ממנו יצאו אליו ישובו

Numeration

The resemblance of the ranks to the rank of units

Because if the units are added up to ten, then ten becomes a unit, and twenty is like two and thirty like three and forty like four and so on, until reaching to a hundred, then it becomes a unit and two hundred is like two and three hundred is like three and so on, until reaching to a thousand and it becomes a unit, and so it goes on to infinity.

כי כאשר יתוספו האחדים עד עשרה ישוב עשרה להיות אחד ויהיו עשרים כשנים ושלשים כשלשה וארבעים כארבעה וכזה ימשך הענין עד שיגיע אל מאה ויהיה הוא אחד ומאתים כשנים ושלש מאות כשלשה וכן ימשך עד שיגיע לאלף והוא ישוב להיות אחד וככה עד אין קץ

So it is clear that all numbers end at nine.

הנה התבאר בזה שכל המספרים יכלו אל תשעה

The names of the ranks

Thus, the one and the following numbers up to nine are called the first rank.

והנה האחד ומה שימשך אליו מן האחדים עד תשעה יקרא המעלה הראשונה

The ten and the following tens up to ninety are called the second rank.

והעשרה ומה שימשך אליו מן העשיריות עד תשעים יקרא המעלה השנית

One hundred and the following hundreds up to nine hundred are called the third rank.

והמאה ומה שימשך אליו מהמאות עד תשע מאות‫^[511] יקרא המעלה השלישית

One thousand and the following thousands up to nine [thousands] are called the fourth rank.

והאלף ומה שימשך אליו מן האלפים עד תשעה יקרא המעלה הרביעית

In this way the units of the rank proceed in proportion to infinity; meaning the ratio of each one of them to the unit of the preceding rank is ten.

ובזה הדרך ימשכו אחדי המעלות מתיחסים עד אין קץ רצוני שכל אחד מהם יחסו אל אחד מהמעלה שלפניו עשרה

We said: "to infinity", because the number increase as much as it may, that is, as much as you add to it, you can add more, but there will not be a number that is infinite.

ואמרנו עד אין קץ לפי שהמספר ‫^[512]יתוסף אל מה שיתוסף ר"ל שכל מה שתוסיף עליו תוכל להוסיף עוד לא שיהיה שם מספר אין תכלית לו

For, it is clear that every number has an end and its end is the unit through which it is completed.

כי מן המבואר באיזה מספר שיהיה שיש לו תכלית ותכליתו הוא האחד אשר בו ישלם

Finally, we say concerning the number that what is infinite, its impossibility is clear in its essence, for the true meaning of the number and its essence is to indicate the limit of the parts it comprises.

סוף דבר אמרנו במספר מה שאין לו תכלית מבואר בנפשו המנעו כי אמתת דבר המספר ומהותו הוא להודיע תכלית חלקי מה שיקיף בו

Furthermore, every number is necessarily either even or odd.

ועוד כי כל מספר הוא אם זוג ואם נפרד בהכרח וזה תכליתו

Therefore, it cannot be the other way around, meaning that [one] can be divided always, as much as it may, as can be said for a line, because we necessarily arrive to one, and stop there.

על כן לא יהיה הענין בהפך רצוני שיתחלק אל מה שיתחלק תמיד כמו שיאמר זה בקו כי היה מן המחוייב שנגיע לאחד ושם נעמד

Yet, the numerical one can still be divided as much as it may, in the sense of the object.

ואולם קרה לאחד המספרי שיתחלק אל מה שיתחלק‫^[513] מצד הנושא

As the astrologers do when they want to make the calculation accurate:

כמו שיעשו חכמי התכונה בבאם לדקדק חשבון מה

They divide the first part into sixty parts that are called primes.

יחלקו החלק האחד לששים ויקראו שברים ראשונים

Each of these fractions is divided into sixty parts called seconds.

וכל אחד מהשברים ההם יחלקו לששים ויקראו שניים

Each of the seconds is divided into sixty parts called thirds.

וכל אחד מהשניים יחלקו לששים ויקראו שלישיים

In this way these proportional fractions proceed to infinity, and their foundation, i.e. their beginning is the first rank, meaning its unit.

ובזה‫^[514] הדרך ימשכו אליו השברים המתיחסים עד לאין קץ ויסודם ר"ל התחלותם היא המעלה הראשונה רצוני לומר האחד ממנה

The required number is [found] in one of two ways: by addition or by subtraction, and whatever else there is, is known by itself.

המספר הדרוש הוא באחד משני דרכים אם במחברת ואם במגרעת ומה שהיה ממנו בזולת אלו הוא נודע בעצמו

By addition there are two ways: either we add identical or nonidentical numbers.

ואשר במחברת הם בשני דרכים אם שנחבר מספרים דומים אם בלתי דומים

There are three ways of addition of nonidentical numbers: either they differ in their quantity; or they differ in their elements, but are the same in their quantity [= combinations and variations]; or they are the same in their quantity and their elements, and differ only in their order [= permutations].

ואשר בחבור מספרים בלתי דומים הם בשלשה דרכים אם שיתחלפו בכמותם אם שיתחלפו‫^[515] בנושאיהם וישתתפו בכמותם אם שישתתפו בכמותם ובנושאיהם ולא יתחלפו כי אם בסדר לבד

Those that differ in their quantity are in two ways: either the numbers or the number we add are known [= addition] or unknown [= summation].

ואשר יתחלפו בכמותם הם בשני דרכים אם שיהיו המספרים או המספר שנוסיף ידועים או בלתי ידועים

Those that are unknown are in two ways: either they increase by an equal amount that is indicated, and this is when they are successive [= arithmetic progression]; or they increase in an amount that is not indicated, but they are proportional, i.e. the ratio of one to the other is as the ratio of another to another [= geometric progression].

ואשר הם בלתי ידועים הם בשני דרכים אם שיתוספו בשעור שוה רמוז אליו ויהיה ז' כשיהיו נמשכים או שיתוספו בשעור בלתי רמוז אליו אבל יהיו מתיחסים רצוני שיהיה יחס זה אל זה כיחס זה אל זה

By subtraction there are two ways: either we subtract a number or numbers from a number [= subtraction], or we divide a number by a number [= division].

ואשר במגרעת בשני דרכים אם שנגרע מספר או מספרים ממספר או שנחלק מספר על מספר

Those that are by division of a number by a number are in two ways: either the divisor is known or unknown, as in the extraction of the square and cube roots.

ואשר הוא בחלק מספר על מספר הוא בשני דרכים אם שיהיה המספר הנחלק ‫^[516]עליו ידוע אם‫^[517] בלתי ידוע כהוצאת שרשי המרובעים והמעוקבים

These are the simple parts generated by division.

אלו הם החלקים הפשוטים אשר תפשטם‫^[518] החלוקה

There is one operation that is used with most of these species, or with all of them, which is to extract the number whose ratio to a number is as the ratio of a given number to a given number, and any similar extraction of the unknown from the known.

וכבר תהיה שם מלאכה ישתמשו בה ברוב אלו המינים או בכלם והיא הוצאת המספר אשר ערכו למספר מה כערך מספר מונח אל מספר מונח ומה שידמה לזה מהוצאת הנעלם מן הידוע בזה האופן

We shall explain these operations and the ways, by which the sought is obtained, in this section with God's help.

ואנחנו בג"ה נבאר ענין אלו המלאכות והדרכים אשר בהם יושג הדרוש בהם בזה המאמר

We have divided this section into six chapters in accordance with this investigation:

וחלקנו זה המאמר לפי זאת החקירה לששה שערים

The first chapter: on adding a known number or known numbers to a number and subtracting a known number or known numbers from a number.

השער הראשון בהוסיף מספר או מספרים ידועים למספר ובגרוע מספר‫^[519] או מספרים ידועים ממספר

The second chapter: on the addition of identical numbers [= sums].

השער השני בחבור מספרים דומים

The third chapter: on the addition of successive or proportional numbers [= arithmetic and geometric series].

השער השלישי בחבור מספרים נמשכים או מתיחסים

The fourth chapter: on the addition of a number of items in combinations, or permutations, or variations.

השער הרביעי בחבור מספר מנושאים מה תתחלפנה המחברות בנושאיהם או בסדרם לבד או בשניהם יחד

The fifth chapter: on dividing a number by a number, whether the divisor is known [= division] or unknown [= extraction of roots].

השער החמישי בחלק מספר על מספר היה שיהיה המספר שיתחלק עליו ידוע או בלתי ידוע

The sixth chapter: on proportions.

השער הששי בערכין

Chapter One on the Addition of Numbers to one another and the Subtraction of Numbers from one another

השער הראשון בחבור המספרים קצתם עם קצת ובמגרעת המספרים קצתם מקצת

Addition

It has already been clarified that all numbers end at 9.

כבר התבאר כי כל המספרים יכלו אל תשעה

Therefore, the number that is at the end of any rank is nine.

ואחר שכן הוא הנה יהיה המספר אשר בתכלית המעלה אחת מן המעלות הוא תשעה

The addition of numbers that do not exceed nine is of the first knowledge for anyone who has an intellect.

וחבור המספרים שלא יעברו תשעה קצת עם קצת הוא מן הידיעות הראשונות לכל בעל שכל

When you wish to add up numbers, as many as they may be, you should write each number of them in a row and divide the rows into rubrics.

כאשר תרצה לחבר מספרים כמה שיהיו ראוי שתכתוב כל מספר ומספר מהם בטור אחד ותחלק הטורים לאבנים

In the first rubric you write what is in the first rank of that number.

האבן הראשה תכתוב בה מה שבמספר ההוא מהמעלה הראשונה

If there is nothing in its the first rank, you write a zero there, to indicate that there is no number in this rank.

ואם אין בו מהמעלה הראשונה מאומה תכתוב בה גלגל להורות שאין בזאת המעלה שום מספר

In the second rubric you write what is in the second rank of that number.

והאבן השנית תכתוב בה מה שבמספר ההוא מהמעלה השנית

If there is nothing in this rank, you write a zero there.

ואם אין בו בזאת המעלה מאומה תעשה שם גלגל

In the third rubric you write what is in the third rank of that number.

והאבן השלישית תכתוב בה מה שבמספר ההוא מהמעלה השלישית

And so on endlessly.

ובזה הדרך עד אין קץ

You write the rows one beneath the other.

ותעשה הטורים איש ‫^[520]תחת אחיו

And the rubrics are one corresponding the other in all the rows.

והאבנים תהיינה אשה נגדה מכוונות לכל הטורים

When this is done, you write the result of the addition of these numbers beneath these rows in a row in the appropriate places corresponding to the ranks.

וכאשר ישלם לך זה כתוב‫^[521] העולה בחברך אלו המספרים תחת הטורים ההם בטור אחד במקומות הראויות לו לפי מעלותיו

The way you should go about when adding these numbers up:

הדרך תלך בה בחבור אלו המספרים

Add up what is in all the rows in the first rubric.

חבר מה שבכל הטורים באבן הראשה

If the sum is greater than ten, convert the tens into units of the second [rank], because every unit of it is ten units of the first rank.

ואם עלה יותר‫^[522] מעשרה תעשה מהעשיריות אחדים בשנית כי היה כל אחד ממנה עשרה מאחדי המעלה הראשונה

Write the remainder in the row that is beneath all the rows in the first rubric; it is what we call the row of the result.

והנשאר תכתוב בטור אשר תחת כל הטורים באבן הראשה גם כן והוא אשר נקראהו טור העולה

Then, add up what is in the second rubric of all rows.

אחרי כן תשוב לחבר מה שבאבן השנית בכל הטורים

If the sum is greater than ten, convert the tens into units of the third [rank].

ואם עולה יותר מעשרה תעשה מהעשיריות אחדים בשלישית

Write the remainder in the second rubric of the row of the result.

והנשאר תכתוב באבן השנית בטור העולה

Then, add up what is in the third rubric of all the rows.

אחר כן תשוב לחבר מה שבאבן השלישית בכל הטורים

Write the sum in the row of the result in the manner we have mentioned.

ותכתוב העולה בדרך שזכרנו בטור העולה

And so on until all the numbers in all the ranks have come to an end.

וככה עד כלות כל המספרים שבכל המעלות

When this has been completed, it is clear that the result is the sum of all the numbers, because all the parts of the one are already added to all the parts of the other and the whole is equal to [the sum of] all its parts.

וכאשר ישלם זה הוא מבואר שהעולה הוא המקובץ מכל המספרים כי כבר חוברו חלקי זה בכללם עם חלקי זה בכללם וכלל הדבר שוה לכל חלקיו

Example: We wish to sum 209 with 3089 and with 7639.

\scriptstyle209+3089+7639

דמיון נרצה לחבר מאתים ותשע עם שלשת אלפים ושמנים ותשע ועם ז' אלפים ושש מאות ושלשים ותשע

We write them in 3 rows, according to the following diagram:

ונכתבם בג' טורים בזאת הצורה

	2	0	9
3	0	8	9
7	6	3	9

1

0

9

3

7

	ב	0	ט
ג	0	ח	ט
ז	ו	ג	ט

א

0

ט

ג

ז

The first row: 9 in the first [rank], zero in the second [rank], 2 in the third [rank].

הטור הראשון ט' בראשון גלגל בשנית ב' בשלישית

The second row: 9 in the first [rank], 8 in the second [rank], zero in the third [rank], 3 in the fourth [rank].

הטור השנית ט' בראשונה ח' בשנית גלגל בשלישית ג' ברביעית

The third row: 9 in the first [rank], 3 in the second [rank], 6 in the third [rank], 7 in the fourth [rank].

הטור השלישי ט' בראשונה ג' בשנית ו' בשלישית ז' ברביעית

We add up what is in the first [rank] in all the rows; the result is 27.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{9+9+9}}{\color{blue}{=27}}

חברנו מה שבראשונה בכל הטורים ועלה כ"ז

We write 7 in first [rank] in the row of the result; the 20 becomes 2 in the second [rank].

ונכתב בטור העולה‫^[523] ז' בראשונה והכ' תהיינה ב' בשנית

We add up what is in the second [rank] of all rows; the result is 11, and with 2 that remains there, it is 13.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{0+8+3}}{\color{blue}{+2=11+2=13}}

חברנו מה שבשנית מכל הטורים ועלה י"א וב' שנשארו לנו שם והנה י"ג

We write 3 in second [rank] in the row of the result; the ten becomes 1 in the third [rank].

ונכתוב בטור העולה ג' בשנית והעשרה תהיינה א' בשלישית

We add up what is in the third rubric in all rows; the result is 8, and with 1 that remains there, it is 9.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2+0+6}}{\color{blue}{+1=9}}

חברנו מה שבאבן השלישית בכל הטורים ועלה ח' וא' שנשאר לנו שם והנה ט‫'

We write it in the row of the result in the third rubric.

ונכתבם בטור העולה באבן השלישית

We add up what is in the fourth rank in all rows; the result is 10.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{3+7}}{\color{blue}{=10}}

חברנו מה שבמעלה הרביעית בכל הטורים ועלה עשרה

So we write 0 in the row of the result in the fourth [rank]; and we write the ten as one in the fifth [rank] in the row of the result.

על כן נכתוב גלגל בטור ‫^[524]העולה מרביעית ומהעשרה נכתוב אחד בחמישית בטור העולה

Here the addition of the parts these numbers to one another is complete, and the result of the addition of these numbers is ten thousand nine hundred and 37.

ופה נשלם חבור חלקי אלו המספרים קצתם עם קצת והנה העולה בחברך אלו המספרים הוא רבוא ותשע מאות ול"ז

Apply this.

והקש על זה

If you want to add up fractions to fractions, and the fractions are sexagesimal fractions:

ואם תרצה לחבר שברים עם שברים ויהיו השברים משברי חכמי התכונה

Write the fractions of one number in a row according to their ranks.

כתב השברים ממספר האחד בטור אחד כפי מדרגתם

I mean that if they are primes, write them in the last rubric of the row, opposite to what you did with integers.

רצוני שאם הם ראשונים תכתבם באבן האחרונה שבטור הפך מה שעשית בשלמים

If they are not primes, write a zero there.

ואם אינם ראשונים תכתב שם גלגל

Write the seconds in the second [rubric] backwards.

והשניים תכתוב בשנית לאחרונה לאחור

The thirds in the third [rubric] backwards.

והשלישיים‫^[525] בשלישית לאחור לאחרונה

And so on, until you have finished writing down all the fractions that are in the first number.

וכן עד השלימך לכתוב כל השברים שבמספר האחד

Do likewise with the fractions of all the numbers - write them, each one in its place, in this way.

וכן תעשה לשברי כל המספרים תכתבם איש על מקומו בזה הדרך

This is so, because the rule of the ranks of fractions is opposite to that of the ranks of integers.

והיה זה כן כי מנהג מדרגות השברים הם בהפך מדרגות השלמים

For in the ranks of integers there is only one end, which is the lowest rank, but in the case of the fractions it is the other way round, as the end that is found for them is the highest [rank], hence we should begin from it.

כי מדרגת השלמים‫^[526] ימצא בהם הקצה האחד לבד והוא המדרגה היותר מעטה ובשברים ימצא הענין בהפך כי הקצה הנמצא בהם הוא היותר גדולה ולזה ראוי שנתחיל ממנה

Since, according to the previous order the highest rank was after the lowest [rank] and the primes were of the highest rank, so it is appropriate that the primes will be in the last rank of the fractions.

ולפי שעל הסדר הקודם היתה המדרגה היותר גדולה אחר היותר‫^[527] מעטה והיו הראשונים מהמדרגה היותר גדולה במוחלט ראוי שיהיו ראשונים במדרגה האחרונה מהשברים ההם במוחלט

When you have finished that, add up everything that you find in all the rows in the rank the lowest fractions.

וכאשר ישלם לך זה חבר כל מה שתמצא בכל הטורים במדרגות השברים היותר דקים

If the result is greater than sixty, subtract [the sixty] from it; convert the sixty into one in the rank that is second to it, and write the remainder in that rank in the row of the result.

ואם עלה יותר מששים גרעם מהם ומהששים תעשה אחד במדרגה השנית לה והנשאר כתב במדרגה ההיא בטור העולה

And so on, until you have added up all the fractions.

וככה עד חברך כל השברים

When you add up the primes, if the result is in greater than sixty or sixty, convert the sixty into one integer in the row of the result.

ובחברך הראשונים אם עלה יותר מששים או ששים תעשה מהששים אחד שלם בטור העולה

Example: if you want to sum 56 seconds with 20 primes, 40 seconds, and 30 thirds, and with 46 primes, 27 seconds, and 55 thirds.

\scriptstyle56^{\prime\prime}+\left(20^\prime+40^{\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}\right)+\left(46^\prime+27^{\prime\prime}+55^{\prime\prime\prime}\right)

דמיון נרצה לחבר נ"ו שנים ול' שלישים עם כ' ראשונים ומ' שניים ול' שלישיים ועם מ"ו ראשונים כ"ז שניים כ"ה שלישיים

Write them in 3 rows, according to the following diagram:

וכתבנום בג' טורים בזאת הצורה

0	56	30
20	40	30
46	27	25

1

8

4

25

0	נו	ל
כ	מ	ל
מו	כז	כה

א

ח

ד

כה

The first row: zero in the last [rank], 56 in the second [rank] backwards.

הטור הראשון גלגל באחרונה נ"ו בשנית ל' בשלישית לאחור

The second row: 20 in the last [rank], 40 in the second [rank], 30 in the third [rank].

הטור השני כ' באחרונה מ' בשנית לה ל' בשלישית

The third row: 46 in the last [rank], 27 in the second [rank], 55 in the third [rank].

הטור השלישי מ"ו באחרונה כ"ז בשנית לה כ"ה בשלישית

The rank, whose fractions are the smallest in these rows, is the third.

^[528]והנה המדרגה אשר שבריה יותר דקים באלו הטורים היא השלישית

We add up what is in all these rows [in the third rank]; the result is 85.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{30+55}}{\color{blue}{=85}}

חברנו מה שבכל אלו הטורים בשלישית‫^[529] ועלה פ"ה

We subtract 60 from it; 25 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{85-60=25}}

נגרע מהם ס' ונשארו כ"ה

Write it in the row of the result beneath the third rank, and the 60 [that we subtract] becomes 1 in the second rank.

ותכתבם^[530] בטור העולה תחת המדרגה השלישית והס' שגרענו יהיה^[531] א' במדרגה השנית

We add up what is in all the rows in the second [rank] with the 1 that remains there; the result is 124.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{56+40+27}}{\color{blue}{+1=124}}

עוד חברנו מה שבכל הטורים אשר בשנית עם הא' שנשאר לנו שם ועלה קכ"ד

We write 4 in the row of the result, and the 120 are 2 in the last [rank].

ונכתב ד' בטור העולה והק"ב תהיינה ב' באחרונה

We add up what is in all these rows in the last [rank] with the 2 that remain there; the result is 68.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{20+46}}{\color{blue}{+2=68}}

חברנו מה שבכל אלו הטורים באחרונה עם הב' שנשארו לנו שם והנה ס"ח

We write 8 in the row of the result in the last [rank], and the 60 are one integer.

ונכתוב ח' בטור העולה באחרונה והס' יהיה אחד שלם

We write it after the last [rank] and make a mark there, to separate between the integers and the fractions.

ונכתבהו אחר האחרונה ונעשה שם רושם אחד יבדיל בין השלמים לשברים

The result is one integer, 8 primes, 4 seconds, 25 thirds.

והנה העולה הוא אחד שלם ח' ראשונים ד' שניים כ"ה שלישיים

Apply this.

והקש על זה

If there are integers and fractions among the numbers you want to add up:

ואם יהיה במספרים שבאת לחברם שלמים ושברים

Write first the integers in the way I have shown you, and draw a mark between the rank of the units and fractions, so as not to be confused.

תכתוב תחלה השלמים בדרך שהראיתיך ותעשה רושם בין מעלת האחדים לשברים כדי שלא יתבלבל עליך

Then write first the units of the primes and before the primes the seconds, and so on as above.

ותכתוב קודם האחדים השברים הראשונים ולפני הראשונים השניים וכן מה שהגיעו השברים כמו שקדם

When you have finished that, start adding up from the smallest fractions, adding fractions to fractions and integers to integers, as we have mentioned, and write the result in a row beneath these rows in the corresponding places.

וכאשר ישלם לך זה תחל לחבר מהשברים היותר דקים ותחבר השברים עם השברים והשלמים עם השלמים בדרך שזכרנו ותכתוב העולה בטור אחד תחת אלו הטורים במקומותם

I shall give you an example how you should write the row in which there are fractions and integers:

ואתן לך משל איך תכתוב הטור שבו שברים ושלמים

If you wish to write 230 integers, 37 seconds, 44 fourths, 45 fifths.

\scriptstyle230+37^{\prime\prime}+44^{iv}+45^v

אם רצית לכתוב מאתים ושלשים שלמים ל"ז שניים מ"ד רביעים מ"ה חמישיים

The integers are: a zero in the first [rank], 3 in the second [rank], 2 in the third [rank].

הנה השלמים יהיו גלגל בראשונה ג' בשנית ב' בשלישית

Draw a mark between the first [rank] and the fractions.

ותעשה רושם בין הראשונה והשברים

Write a zero after the mark before the first [rank] of the integers, for there are no primes in this number.

ותכתוב אחר הרושם קודם הראשונה מהשלמים גלגל לפי שאין בזה המספר ראשונים

In the second [rank] backwards write 37, which are seconds.

ובשנית לה לאחור תכתוב ל"ז שהם שנים

In the third [rank] backwards write a zero, for there are no thirds in this number.

ובשלישית לה לאחור תעשה גלגל לפי שאין בזה המספר שלישיים

In the fourth [rank] backward write 44.

וברביעית לה לאחור תכתוב מ"ד

In the fifth [rank] backward write 45.

ובחמישית לה לאחור תכתוב מ"ה

According to the following diagram:

וזאת היא הצורה

230

0

37

0

44

45

‫0גב

0

ל"ז

0

מ"ד

מ"ה

You already know the addition itself from the above.

ואולם החבור הנה כבר ידעתו ממה שקדם

Subtraction

If you wish to subtract a number from a number, write the number you [want to] subtract from in a row according to its ranks, and beneath it in another row the number you want to subtract.

אם רצית לגרוע מספר ממספר כתב המספר שממנו תגרע בטור אחד כפי מדרגותיו ותחתיו תכתוב בטור אחר המספר שרצית ‫^[532]לגרוע

Then, see which rank is the lowest in all the rows, and start subtracting from the lowest rank of the top row what corresponds it in the lower row; write the remainder in the row of the result, in the same rank.

והנה תראה איזו מדרגה היא יותר דקה בכל הטורים ותחל לגרוע במה שבמדרגה היותר דקה בטור העליון מה שכנגדה בטור התחתון והנשאר תכתוב בטור העולה במדרגה ההיא

If there is not enough there to subtract and you are dealing with fractions, lower one unit from the next rank, so they are sixty in that [rank]; then you can subtract whatever you want.

ואם לא היה שם די לגרוע אם היית בשברים הורד אחד במדרגה הבאה אחריה אליה יהיו ששים בה ואחר תוכל לגרוע מה שתרצה

If you are dealing with integers, lower one from the next rank, so they are ten in that [rank]; then you can subtract whatever you want.

ואם היית בשלמים הורד אחד מהמדרגה הבאה אחריה אליה יהיו עשרה בה ואחר תוכל לגרוע מה שתרצה

You do so until the whole bottom row is subtracted from the top row.

וכן תעשה עד שיגרע כל הטור התחתון מהטור העליון

Write the remainder in its [appropriate] places, in the row of the result.

והנשאר תכתוב כפעם בפעם בטור העולה במקומותיו

When it is complete, it is clear that you have already subtracted the whole bottom number from the top number.

וכאשר ישלם זה הוא מבואר שכבר גרעת המספר התחתון בכללו ממספר העליון

For the parts of a thing in their totality are equal to the whole thing.

כי חלקי הדבר בכללם שוים לכל הדבר

It is necessary that the row, from which you subtract, is a greater number than the number in the other row, for it is impossible to subtract the larger from the smaller.

וראוי שיהיה הטור שתגרע ממנו רב הכמות מהטור השני כי אי אפשר לגרוע הרב מהמעט

Example: if we want to subtract two hundred and six and fifty primes, and 37 thirds from 31 thousands and eighty and 46 seconds, 35 thirds, 47 fourths, and 53 sixths.

דמיון נרצה לגרוע מאתים ושש ונ' ראשונים ל"ז שלישים מל"א אלפים ושמנים ומ"ו שניים ל"ה שלישיים מ"ז רביעים כ"ג ששיים

\scriptstyle\left(31080+46^{\prime\prime}+35^{\prime\prime\prime}+47^{iv}+23^{vi}\right)-\left(206+50^\prime+37^{\prime\prime\prime}\right)

0

10

7

9

0

45

3	1	0	8	0
		2	0	6

0	46	35	47	0	53
50	0	37

3

0

8

7

3

10

45

58

47

0

53

0

י

ז

ט

0

מה

ג	א	0	ח	0
		ב	0	ו

0	מו	לה	מז	0	נג
נ	0	לז

ג

0

ח

ז

ג

י

מה

נח

מז

0

נג

We write the number from which we subtract in the upper row and the number we want to subtract in the bottom row by their ranks and we make a mark between the fractions and the integers.

והנה כתבנו המספר שממנו נגרע בטור הטור העליון והמספר שרצינו לגרוע בטור התחתון במקומותיהם ועשינו רושם בין השברים לשלמים

The lowest rank are sixths; it is in the upper row 53 sixths.

והנה המדרגה היותר דקה שהיא ששים והיא שכנגדה בטור העליון היא כ"ג ששים

We subtract from them what corresponds to them in the bottom row, but there is nothing there, so we write 53 in the row of the result in the rank of the sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{53-0=53}}

ונגרע מהם מה שכנגדם בטור התחתון ואין שם בטור התחתון דבר על כן נכתב כ"ג בטור העולה במדרגת הששיים

Then, we subtract from the zero that comes after 53 what corresponds to it in the bottom row, but there is nothing there in the bottom row, so we write a zero in the row of the result in the rank of the fifths.

\scriptstyle{\color{blue}{0-0=0}}

נשוב לגרוע מהגלגל הבא אחר כ"ג מה שכנגדו בטור התחתון ואין שם בטור התחתון‫^[533] דבר על כן נכתב גלגל בטור העולה במדרגת החמישיים

We subtract from the 47 what corresponds to it in the bottom row, but there is nothing there, so we write in the row of the result 47 in the rank of the fourths.

\scriptstyle{\color{blue}{47-0=47}}

נשוב לגרוע ממ"ז מה שכנגדו בטור התחתון ואין שם בו דבר ולזה נכתב מ"ז בטור התחתון במדרגת הרביעים

We subtract from the 35 in the top row what corresponds to it in the bottom row; 37 corresponds to it, but we cannot subtract 37 from 35, so we take one from the rank that comes after 35; it becomes 60 in that rank. We add them to 35; it is 95. We subtract 37 from it; 58 remain. We write them in the row of the result in the rank of the thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(35+60\right)-37=95-37=58}}

נשוב לגרוע מל"ה שבטור העליון‫^[534] מה שכנגדו בטור התחתון והנה כנגדו ל"ז ולא נוכל לגרוע מל"ה ל"ז על כן נקח אחד מהמדרגה ‫^[535]הבאה אחר ל"ה ויהיו ששים בה נחברם עם ל"ה ויהיה צ"ה נגרע מהם ל"ז נשארו נ"ח וכתבנום בטור העולה במדרגת השלישיים

Therefore only 45 remain in the next rank. We subtract from them what corresponds to them in the bottom row, but there is nothing there, so write 45 in the row of the result in the rank of the seconds.

\scriptstyle{\color{blue}{45-0=45}}

ולזה נשארו במדרגה הבאה אחר ל"ה מ"ה נגרע מהם מה שכנגדם בטור התחתון והנה אין שם בו דבר ולזה נכתב מ"ה בטור העולה במדרגת השניים

We turn to subtract from the zero what corresponds to it in the bottom row, but there is 50 corresponding it, and we cannot subtract 50 from a zero. There is no number also in the rank next to it of the integers, to lower to it. But in the rank that is third to it there is the number 8. We lower one from it to the preceding rank. We write 7 above the 8, and the one that we lowered becomes ten in the first rank.

\scriptstyle{\color{blue}{8-1=7}}

נשוב לגרוע מגלגל מה שכנגדו בטור התחתון והנה כנגדו נ' ולא נוכל לגרוע מהגלגל נ' וגם במדרגה הסמוכה לה מהשלמים אין מספר מה להוריד אליה ואולם בשלישית לה הוא מספר ח' נוריד מהם אחד אל המעלה שלפניה ונכתוב על הח' ז‫'

We lower one of these to the rank of the primes; 9 remains in the first [rank]. We write it above the zero, and the one that we lowered becomes sixty in the rank of the primes.

\scriptstyle{\color{blue}{10-1=9}}

והאחד שהורדנו יהיה עשרה בראשונה נוריד מהם אל מעלת הראשונים אחד וישארו ט' בראשונה ונכתבם על הגלגל והאחד שהורדנו יהיה ששים במדרגת הראשונים

We subtract 50 from them; 10 remains. We write [it] in the row of the result in the rank of the primes.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(0+60\right)-50=60-50=10}}

נגרע מהם נ' נשארו י' ונכתוב בטור העולה במדרגת הראשונים

We subtract from 9 what corresponds to it in the bottom row; 6 corresponds to it. We subtract it from 9; 3 remains. We write it in the row of the result, in the first rank of the integers.

\scriptstyle{\color{blue}{9-6=3}}

נשוב לגרוע מט' מה שכנגדו בטור התחתון והנה כנגדו ו' נגרע אותם מט' נשארו ג' ונכתב אותם בטור העולה במדרגה הראשונה מהשלמים

We also subtract from 7 what corresponds to it in the bottom row, but there is nothing corresponding to it. So, we write 7 in the row of the result in its appropriate place.

\scriptstyle{\color{blue}{7-0=7}}

נשוב לגרוע מז' מה שכנגדו בטור התחתון והנה אין כנגדו דבר ולזה נכתב ז' בטור העולה במקומם הראוי להם

Next we subtract 2 that is in the bottom row from what corresponds to it in the upper row, but there is only a zero corresponding to it. We cannot subtract 2 from a zero. In the rank next to it there is 1. We take the one that is in the rank next to it and write a zero instead of it, since nothing remains in that rank.

\scriptstyle{\color{blue}{1-1=0}}

נשוב לגרוע ב' אשר בטור התחתון ממה שכנגדם בטור העליון והנה אין כנגדם כי אם גלגל ולא נוכל לגרוע ב' מגלגל ובמעלה השנית לה א'‫^[536] נקח האחד אשר במעלה הסמוכה לה ונכתב במקומו גלגל לפי שלא ישאר במדרגה ההיא דבר

When we lower the one we took to the preceding rank, it becomes ten. We subtract from it the 2 that is in the bottom row; 8 remains. We write it in its appropriate place in the third rank of the row of the result.

\scriptstyle{\color{blue}{10-2=8}}

ויהיה האחד אשר לקחנו כשנורידהו אל המעלה אשר לפניה עשרה נגרע מהם ב' אשר בטור התחתון ונשארו ח' ונכתב אותם במקומם הראוי להם בטור העולה במדרגה השלישית‫^[537]

We subtract from the zero what corresponds to it in the bottom row, but there is nothing there, so we write a zero in the row of the result, in the fourth rank.

\scriptstyle{\color{blue}{0-0=0}}

נשוב לגרוע מהגלגל מה שכנגדו בטור השפל ואין שם דבר ונכתב גלגל בטור העולה במדרגה הרביעית

Then, we subtract from 3 what corresponds to it in the bottom row, but there is nothing there, so we write it in the row of the result, in the fifth rank.

\scriptstyle{\color{blue}{3-0=3}}

נשוב לגרוע מג' מה שכנגדו בטור התחתון ואין שם בו דבר‫^[538] ונשאר ג' ונכתבם בטור העולה במעלה החמישית

Therefore, the result is thirty thousand, eight hundred and seventy-three integers, 10 primes, 45 seconds, 58 thirds, 47 fourths, 53 sixths.

והנה העולה הוא שלשים אלף ושמנה מאות ושבעים ושלשה שלמים י' ראשונים מ"ה שניים נ"ח שלישיים מ"ז רביעיים כ"ג ששיים

Deduce from this.

והקש על זה

Sometimes the calculation in astronomy brings you to subtract a larger number from a smaller one, this happens in the motions of the stars.

ופעמים יביאך החשבון בחכמת התכונה לגרוע מספר ^[539]רב ממספר מעט וזה במהלכות הכוכבים

So, you add the degrees of the circle, which are three hundred and sixty, to the smaller number you want to subtract from, and then you can subtract whatever you want.

ואז תוסיף מעלות הגלגל שהם שלש מאות וששים על המספר המעט שבאת לגרוע ממנו ותוכל לגרוע מה שתרצה

As there is no number that is greater than three hundred and sixty in the positions of the stars.

לפי שאין להם מספר משלימים במקומות הכוכבים מוסיף על שלש מאות וששים

Because when a number is greater than three hundred and sixty, they [= the astronomers] subtract [360] and take only the remainder.

כי כאשר היה להם יותר משלש מאות וששים ישליכום ויקחו הנשאר

Likewise, the common calculation of the new moon brings you to subtract a larger number from a smaller number.

ובזה יביאך החשבון בחשבון מולד הלבנה המתפשט בהמון לגרוע ממספר מעט מספר רב

So, you add 7 days to the smaller number, and then you can subtract whatever you like.

ואז תוסיף על המספר המעט ז' ימים ותוכל לגרוע מה שתרצה

The reason is that when those who calculate the new moon have a number greater than 7 days, they subtract the 7 days from it and keep only the remainder.

וסבת זה כי מחשבי המולדות כאשר יהיה להם מספר מוסיף על ז' ימים ישליכו ממנו ז' ימים ויקחו הנשאר

Deduce from this.

והקש על זה

Chapter Two on the Addition of Equal Numbers, which is the Multiplication of a Number by a Number

השער השני בחבור מספרים דומים והוא הכאת מספר על מספר

You already know that when there are four proportional numbers, meaning that the ratio of the first to the second is as the ratio of the third to the fourth, the product of the first to the fourth is as the product of the second to the third.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3}}

כבר ידעת שכאשר היו ארבעה מספרים מתיחסים רצוני שיחס הראשון אל השני כיחס השלישי אל הרביעי הנה שטח הראשון ברביעי כמו שטח השני בשלישי

Hence it is clear that the product of a unit of the second [rank] by a unit of the fourth [rank] is a unit of the fifth [rank].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10\times1000=10000}}

ולזה יתבאר שהכאת אחד מהשנית באחד מהרביעית הוא אחד מהחמישית

For, the ratio of a unit of the first [rank] to a unit of the second [rank] is as the ratio of a unit of the fourth [rank] to a unit of the fifth [rank].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1:10=1000:10000}}

וזה שיחס אחד מהראשונה אל אחד מהשנית כיחס אחד מהרביעית אל אחד מהחמישית

Thus, the product of a unit of the second [rank] by a unit of the fourth [rank] is as the product of a unit of the first [rank] by a unit of the fifth [rank].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10\times1000=1\times10000}}

אם כן שטח אחד מהשנית באחד מהרביעית הוא כמו שטח אחד מהראשונה באחד מהחמישית

But, the product of a unit of the first [rank] by a unit of the fifth [rank] is a unit of the fifth [rank], since it is one time the unit of the fifth [rank].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1\times10000=10000}}

אבל שטח אחד מהראשונה באחד מהחמישית הוא אחד מהחמישית לפי שהוא אחד מהחמישית פעם אחת

Therefore, the product of a unit of the second [rank] by a unit of the fourth [rank] is a unit of the fifth [rank].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10\times1000=10000}}

אם כן שטח אחד מהשנית באחד מהרביעית הוא אחד מהחמישית

Likewise, it is clear that the product of 1 of the third [rank] by 1 of the fourth [rank] is 1 of the sixth [rank].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{100\times1000=100000}}

וגם יתבאר שהכאת א' מהשלישית בא' מהרביעית הוא א' מהששית

Since, according to the equivalence ratio, the ratio of a unit of the first [rank] to a unit of the third [rank] is equal to the ratio of a unit of the fourth [rank] to a unit of the sixth [rank].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1:100=1000:100000}}

לפי שביחס השווי יהיה יחס‫^[540] אחד מהראשונה אל אחד מהשלישית כיחס אחד מהרביעית אל אחד מהששית

When you apply that, it becomes clear to you that for any unit of any rank, which is multiplied by a unit of any rank, [the unit of the product] is a unit of the rank, whose distance from the unit of the multiplicand is as far backwards as the distance of the rank of the unit of the multiplier [from the first rank], which is equal to the sum of the ranks of the multiplier and the multiplicand minus one.

וכאשר תנהיג זה יתבאר לך שכל אחד ממעלה איזו שתהיה שיוכה על אחד ממעלה איזו שתהיה הוא אחד מהמעלה אשר מרחקה מהאחד המוכה לאחריה כמרחק מעלת‫^[541] האחד המכה מהראשונה‫^[542] וזה שוה למספר מעלת‫^[543] המכה והמוכה ‫^[544]פחות אחת

Because one of the ranks is counted twice.

לפי שאחת המעלות תמנה שתי פעמים

Example for this: the ratio of the first [rank] to the fourth [rank] is the as the ratio of the fifth [rank] to the eighth [rank], because the eighth [rank] is the fourth after the fifth [rank], when the fifth [rank] is alrady counted.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1:1000=10000:10000000}}

משל זה שיחס הראשונה אל הרביעית כיחס החמישית אל השמינית כי השמינית רביעית לחמישית בהמנות החמישית וכבר נמנית החמישית במספר מעלותיה

So, the fifth [rank] is already counted twice, therefore you subtract one from the total number of the ranks.

אם כן החמישית נמנית שתי פעמים ולזה תחסר אחת ממספר מעלות המקובץ

If any number of units of any rank is multiplied by any number of units of any rank, it has already been clarified that the product must be placed in the rank whose distance from the rank of the multiplicand is as far backwards as the distance of the multiplier from the first [rank].

ואם הוכה מספר מה מאחדי מעלה מה על מספר מה מאחדי מעלה מה בזה בעצמו יתבאר שהעולה יושם במעלה אשר מרחקה מהמעלה המוכה‫^[545] לאחריה כמרחק המכה מהראשונה

Example: Suppose we have to multiply six of the third [rank] by seven of the second [rank].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{600\times70}}

והמשל שיהיה לנו להכות ששה מהשלישית על שבעה מהשנית

It is clear that the ratio of the unit of the first to the unit of the third is the same as the ratio of the unit of the second to the unit of the fourth.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1:100=10:1000}}

והוא מבואר שיחס אחד מהראשונה אל אחד מהשלישית כיחס אחד מהשנית אל אחד מהרביעית

But, the ratio of six of the first to six of the third is the same as the ratio of the unit of the first to the unit of the third, because the multiples [of the terms] are equal.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{6:600=1:100}}

אבל יחס הששה מהראשונה אל ששה מהשלישית הוא כיחס אחד מהראשונה אל אחד מהשלישית לפי שהכפלים שוים

The ratio of seven of the second to seven of the fourth is the same as the ratio of the unit of the second to the unit of the fourth.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{70:7000=10:1000}}

ויחס שבעה מהשנית אל שבעה מהרביעית הוא כיחס אחד מהשנית אל אחד מהרביעית

So, the ratio of six of the first to six of the third is the same as the ratio of seven of the second to seven of the fourth.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{6:600=70:7000}}

אם כן יחס ששה מהראשונה אל ששה מהשלישית כיחס שבעה מהשנית אל שבעה מהרביעית

Therefore, the product of six of the third by seven of the second is the same as the product of six of the first by seven of the fourth.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{600\times70=6\times7000}}

אם כן שטח ששה מהשלישית בשבעה מהשנית כמו שטח ששה מהראשונה בשבעה מהרביעית

But, the product of a unit of the first by seven of the fourth belongs to the fourth.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1\times7000}}

ואולם שטח אחד מהראשונה בשבעה מהרביעית הוא‫^[546] מהרביעית

So, the product of six of the first by seven of the fourth belongs to the units of the fourth, because six times seven belongs to the fourth.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{6\times7000}}

אם כן שטח ששה מהראשונה בשבעה מהרביעית הוא מאחדי הרביעית וזה כי הוא ששה דמיוני שבעה מהרביעית

By this proof itself it is clear that the product of "geometrical fractions" belongs to the rank whose distance from the rank of the multiplicand is as the distance of the multiplier from that of the rank of the integers, because these ranks are also proportional, and therefore the result of multiplication of a number from one rank of fractions by a number from one rank of fractions is of the rank whose positional number is the same as the sum of the ranks of the multiplier and the multiplicand.

ובזה המופת בעינו התבאר שהכאת שברים משברי חכמי התכונה בשברים הם מהמעלה אשר מרחקה מהמוכה לפניה כמרחק המכה ממעלות האחדים השלמים לפי שהמדרגות ההם הם מתיחסות גם כן ולזה יהיה העולה מהכאת מספר ממדרגת‫^[547] שברים על מספר ממדרגת‫^[548] שברים מהמדרגה אשר מספר מעלותיה כמספר מעלות המכה והמוכה מקובצים

The reason for this is that the rank of the units from which the fractions start is not counted [in the number of their ranks], but the counting of the ranks starts from the primes. This is very clear.

והסבה בזה שלא נמנות בשברים מדרגת האחדים אשר ממנה התחלתם אך התחלת מנין המעלות מהשברים הראשונים וזה מבואר ‫^[549]מאד

It is clear from this that the result of multiplying units of the first rank by fractions of any rank belongs to the rank of the fractions themselves.

וכזה התבאר מזה שהעולה בהכאת האחדים מהמעלה הראשונה על השברים ממעלה מה הוא ממעלת השברים בעצמה

This is what we wanted to explain, therefore what we wanted to explain is clarified by this.

וזה מה שראינו להציע הנה יתבארו בו‫^[550] מה שנרצה לבארו

However, the multiplication of fractions by fractions or integers is actually division, so we will not explain it in this chapter.

ואולם הכאת השברים בשברים או בשלמים הוא חלוק על דרך האמת ולזה לא נבאר ענינו בזה השער

The way you should apply when multiplying a number by a number:

הדרך אשר תלך בה בהכאת מספר על מספר

You should write down the multiplier in a row according to its ranks, and the multiplicand in a row below it, also according to its ranks.

ראוי לך שתכתוב המכה בטור אחד כפי מעלותיו והמוכה בטור אחד תחתיו כפי מעלותיו גם כן

To make it easier for you, write the number that has fewer ranks in the first row, even if they have greater numerical values, for it all leads to the same thing, meaning the multiplication of the one by the other is the same as the multiplication of the other by the former [= the order of the factors does not matter]; this is proved by Euclid.

ולהקל מעליך שים המספר אשר יותר מעט במעלות אחז בטור הראשון ואם הוא רב בכמות כי הכל הולך אל מקום אחד רצוני שהכאת האחד באחר כמו הכאת האחר בו וזה התבאר‫^[551] מאקלידיס

Then, create as many rows under these two rows as the number of ranks, in which there is a number, in the first row. These should be the rows in which you should write the result of the [individual] multiplications of the numbers by each other.

אחר כן תעשה טורים תחת אלו שני הטורים כמספר המעלות אשר יש בהם מספר בטור הראשון והם יהיו‫^[552] הטורים אשר תכתוב בהם העולה בהכות אלו המספרים איש אל אחיו

After you have done that, multiply the first number of the upper row by the first number of the lower row, and write the result in the first of the result rows, in the corresponding rank, according to what preceded.

ואחר עשותך זה הכה המספר הראשון שבטור העליון על המספר הראשון שבטור התחתון והעולה תשים בראשון מטורי העולה במעלה הראויה לפי מה שקדם

To make it easier for you, so that you do not have to calculate where to write the result each time, multiply the first number of the upper row by what is in the first rank of the bottom row, and write the result in the first result row, in the rank of the multiplier.

ולהקל מעליך שלא תצטרך לחשוב אנה‫^[553] תשים העולה כפעם בפעם הכה המספר הראשון שבטור העליון על מה שבמדרגה הראשונה שבטור התחתון וכתוב העולה בטור הראשון מטורי‫^[554] העולה במדרגת המכה

Then, multiply it again by what is in the second rank of the bottom row, and write the result in the rank that is next to the rank in which you started writing the result.

תשוב להכותו על מה שבמדרגה במעלה השנית בטור התחתון ותכתוב העולה במעלה הנמשכת למעלה שהחלות לכתוב בה‫^[555] העולה

And so multiply the first number of the upper row by everything that is in the ranks of the lower row, and write the result each time in the rank following the rank in which you wrote before this multiplication.

וכזה תכה המספר הראשון שבטור העליון על כל מה שבמדרגות הטור התחתון ותכתוב העולה כפעם בפעם‫^[556] במעלה הנמשכת אחר המעלה אשר כתבת בה קודם זאת ההכאה

Then, multiply the second number of the upper row by everything that is in the ranks of the lower row successively and start writing the result in the multiplier rank, in the second of the result rows, followed by the ranks of this result row successively.

אחר כן תשוב להכות המספר השני שבטור העליון על כל מה שבמדרגות הטור התחתון על הסדר ותחל לכתוב העולה במעלת המכה בטור השני מטורי‫^[557] העולה ואחר ימשכו מעלות הטור העולה על הסדר

Then, multiply the third number of the upper row by everything that is in the ranks of the bottom row successively, and write down the result in the order given above.

‫^[558]אחר כן תשוב להכות המספר השלישי שבטור העליון על כל מה שבמדרגות הטור התחתון על הסדר ותכתוב העולה על הסדר שקדם

And so on until all the numbers in the upper row are gone.

וכן עד כלות כל מספרי הטור העליון

Then, add up all the numbers of the result rows and write the result in one row below the result rows; this is the product of the first number by the other [number], because all the parts of one has been multiplied by all the parts of the other.

אחר כן תחבר כל מספרי טורי‫^[559] העולה ותכתוב העולה בטור אחד‫^[560] תחת טורי העולה והוא שטח המספר האחד בשני כי כבר הוכו כל‫^[561] חלקי זה בכללם על חלקי זה בכללם

Example: we wish, in this diagram, to multiply 7 thousand of thousand and thirty by one hundred and eighty thousand, six hundred and forty.

\scriptstyle7000030\times180640

דמיון נרצה בזאת הצורה להכות ז' אלפי אלפים ושלשים על מאה ושמנים אלף ושש מאות וארבעים

						7	0	0	0	0	3	0
							1	8	0	6	4	0

5

4

1

9

2

0

1

2

6

4

8

0

1

2

6

4

8

5

4

1

9

2

0

						ז	0	0	0	0	ג	0
							א	ח	0	ו	ד	0

ה

ד

א

ט

ב

0

א

ב

ו

ד

ח

0

א

ב

ו

ד

ח

ה

ד

א

ט

ב

0

The number that has fewer ranks with numbers is 7 thousand of thousand and thirty; we write it in the upper row in the appropriate places.

והנה המספר אשר החזיק ביותר מעט מהמעלות הוא ז' אלפי אלפים ושלשים ונכתבהו בטור העליון במקומותיו

We write the other number in another row below.

והמספר האחר כתבנו בטור אחר תחתיו

[Illustration of the procedure:]

7000030	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(3\times0\right)}}={\color{blue}{0}}}$	7000030	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(3\times4\right)}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}}$	7000030	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(3\times6\right)}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{18+1}}={\color{green}{1}}+{\color{blue}{9}}}$	7000030
180640		180640		180640		180640
		00		200		9200

The first number of the upper row is 3 in the second rank.

והנה המספר הראשון שבטור העליון הוא ג' בשנית

We multiply 3 by what is in the first rank of the lower row, which is a zero; the result is a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times0=0}}

הכינו ג' על מה שבמדרגה הראשונה מהטור התחתון שהוא גלגל ועלה גלגל

We write it in the second rank of the first of the result rows.

וכתבנוהו במעלה השנית בראשון שבטורי‫^[562] העולה

We multiply 3 by what is in the second rank of the bottom row, which is 4; the result is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times4=12}}

הכינו ג' על מה שבמדרגה השנית מהטור התחתון שהוא ד' ועלה י"ב

We write 2 in the third rank of the result row, and the ten becomes one in the rank that follows it.

ונכתב ב' במדרגה השלישית בטור העולה והעשרה יהיו אחד בשנית לה

We multiply 3 by what is in the third rank of the bottom row, which is 6; the result is 18; with the one we have left there, it is 19.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\times6\right)+1=18+1=19}}

הכינו ג' על מה שבמדרגה השלישית מהטור התחתון שהוא ו'‫^[563] ועלה י"ח ואחד שנשאר לנו שם והנה י"ט

We write 9 in fourth rank of the the result row, and the ten becomes one in the following rank.

ונכתב ט' במדרגה הרביעית בטור העולה והעשרה יהיו אחד בשנית לה

We multiply 3 by what is in the fourth rank, which is a zero; the result is a zero; with the one we have left there, it is 1.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\times0\right)+1=0+1=1}}

הכינו ג' על מה שבמדרגה הרביעית שהוא גלגל ועלה גלגל ואחד‫^[564] שנשאר לנו שם והנה א‫'

We write it after the 9 in the result row.

וכתבנוהו בטור העולה אחר ט‫'

We multiply 3 by what is in the fifth rank, which is 8; the result is 24.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times8=24}}

הכינו ג' על מה שבמדרגה החמישית שהוא ח' ועלה כ"ד

We write 4 after the 1 and the 20 becomes two in the next rank.

ונכתב ד' אחר הא' והכ' יהיו שנים בשנית לה

We multiply 3 by what is in the sixth rank, which is 1; the result is 3; with the 2 we have left there, it is 5.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\times1\right)+2=3+2=5}}

הכינו ג' על מה שבמדרגה הששית שהוא א' ועלה ג' וב' שנשארו לנו שם והנה ה‫'

We write 5 after the 4 in the result row.

ונכתב ה' אחר הד' בטור העולה

By this the multiplication of 3 by everything that is in the ranks of the bottom row is complete.

ופה נשלמה הכאת ג' על כל מה שבמדרגות הטור התחתון

We multiply the number that comes after 3 in the upper row, which is 7, by everything that is in the bottom row.

ונכה המספר הבא אחר הג'‫^[565] בטור העליון שהוא ז'‫^[566] על כל מה שבטור התחתון

We multiply 7 by a zero; the result is a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{7\times0=0}}

הכינו ז' על גלגל ועלה גלגל

We write it in the second of the result rows in the seventh rank, corresponding to 7, which is in the seventh rank.

ונשימהו בטורי‫^[567] העולה בטור השני ‫^[568]במעלה השביעית כנגד ז' שהיא במעלה השביעית‫^[569]

We multiply 7 by 4; the result is 28.

\scriptstyle{\color{blue}{7\times4=28}}

הכינו ז' על ד' ועלה כ"ח

We write 8 after the zero, and the 20 becomes 2 in the next rank.

ונכתב ח' אחר הגלגל והכף תהיינה ב' במעלה השנית לה

We multiply 6 by 7; the result is 42; with the 2 we have left there, it is 44.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\times6\right)+2=42+2=44}}

הכינו ז' על ו'‫^[570] ועלה מ"ב וב' שנשארו לנו שם והנה מ"ד

We write 4 after the 8, and the 40 becomes 4 in the next rank.

ונכתב ד' אחר הח' והמ' תהיינה ד' בשנית לה

We multiply 7 by a zero; the result is a zero; with the 4 that was left there, it is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\times0\right)+4=0+4=4}}

הכינו ז' על גלגל ועלה גלגל וד' שנשארו לנו שם והנה ד‫'

We write it after the 4.

ונכתבם אחר הד‫'

We multiply 7 by 8; the result is 56.

\scriptstyle{\color{blue}{7\times8=56}}

הכינו ז' על ח' ועלה נ"ו‫^[571]

We write 6 after the 4, and the 50 becomes 5 in the next rank.

ונכתב ו'‫^[572] אחר הד' והנ' תהיינה ה' בשנית לה

We multiply 7 by 1; the result is 7; with the 5 we have left there, it is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\times1\right)+5=7+5=12}}

הכינו ז' על א' ועלה ז' וה'‫^[573] שנשארו לנו שם והנה י"ב

We write 2 after the 6, and the 10 becomes 1 in the next rank.

ונכתב ב' אחר הו' והי'‫^[574] נעשה א' במעלה השנית לה

By this the multiplication of all the numbers of the upper row by all the numbers in the bottom row.

ופה נשלמה הכאת כל מספרי הטור העליון על כל מספרי הטור התחתון

The result is 0 in the first [rank], 0 in the second, 2 in the third, 9 in the fourth, 1 in the fifth, 4 in the sixth, 5 in the seventh, 5 in the eighth, 4 in the ninth, 4 in the tenth, 6 in the eleventh, 2 in the twelfth, 1 in the thirteenth.

והנה העולה הוא‫^[575] גלגל בראשונה גלגל בשנית ב' בשלישית ט' ברביעית א' בחמישית ד' בששית ה' בשביעית ה'‫^[576] בשמינית ד' בתשיעית ד' בעשירית ו' באחד עשרה ב' בשנים עשרה א' בשלש עשרה

Deduce from this.

והקש על זה

If you want to know how much is the square of a given number:

ואם רצית לדעת כמה יעלה מספר המרובע ההווה ממספר מונח‫^[577]

Write the number whose square you want to know in a row, then write it again in another row under this row and multiply all the digits of the upper row by everything that is in the ranks of the bottom row; you will receive the required.

תכתוב המספר אשר רצית לדעת מרובעו בטור אחד ותחתיו תשוב ותכתבהו בטור אחר תחת הטור הזה ותכה כל מספרי הטור העליון על כל מה שבמדרגות הטור השפל ויצא לך המבוקש

If you want to know how much is the cube number of a given number:

ואם רצית לדעת כמה יעלה המספר המעוקב ההווה ממספר מונח

You need to make two diagrams:

תצטרך לעשות שתי תמונות

First you multiply this number by itself, so you receive the square of the number whose cube you want to know.

ראשונה תכה המספר ההוא על עצמו ויצא לך מרובע המספר שרצית לדעת מעוקבו

Then, you do a second diagram and multiply the number whose cube you are looking for by its square you received; the result is the required.

עוד תעשה תמונה אחרת ותכה המספר המונח שרצית לדעת מעוקבו על מרובעו שיצא לך והעולה הוא המבוקש

To make it easier for you, I will give you many ways by which to calculate the product of a number by a number easily.

ולהקל מעליך אתן‫^[578] לך דרכים רבים לחשוב בהם הכאת מספר במספר בקלות

Multiplication by Rounding

You already know that multiplying a number in the first rank by a number in the first rank is an easy procedure and so is the multiplication of a fractional number, meaning of a number in the first and second rank by a number in the first rank.

כבר ידעת שהכאת מספר ממעלה ראשונה במספר ממעלה ראשונה הוא קל המעשה וכן הכאת מספר נשבר רצוני מספר מהמעלה הראשונה והשנייה על מספר מעלה ראשונה

If you have to multiply a fractional number by a fractional number, round one of the numbers to the nearest side.

ואם היה לך ‫^[579]להכות מספר נשבר על מספר נשבר השלים המספר האחד מהם אל הצד אשר הוא היותר‫^[580] קרוב

If you have added to that number, to round it to the nearest unit, subtract from the other number what you added to the first number, multiply the remainder by the rounded number you have, and keep the result.

ואם הוספת על זה המספר להשלימו אל הכלל הקרוב גרע מהמספר‫^[581] האחר כשיעור מה שהוספת על המספר הראשון והנשאר הכה אותו על המספר השלם אשר בידך ושמור העולה

If you have subtracted from the number, to round it, add to the other number what you subtracted from the first number, multiply what you are left with by the rounded number you have, and keep the result.

ואם גרעת מזה המספר להשלימו הוסף על המספר האחר כשעור מה שגרעת מזה המספר הראשון והנשאר בידך הכה אותו על המספר השלם אשר בידך ושמור העולה

Then, see how much the larger number after the addition or subtraction exceeds the smaller number before the rounding, multiply the excess by the number you added to one of the numbers, and keep the result; it is the second reserved.

אחר כן ראה‫^[582] המספר הגדול אחר התוספת או אחר הגרעון כמה הוא מוסיף על המספר הקטן טרם התקון והתוספת ההוא ערוך על שעור המספר שהוספת על אחד מהמספרים והעולה שמור והוא השמור השני

Then, see from which number you subtracted:

וראה‫^[583] אחר כן מאי זה מספר גרעת

If you have subtracted from the larger number, subtract the second reserved from the first reserved; the remainder you receive is the required.

ואם גרעת מהמספר הגדול תגרע השמור השני מהשמור הראשון והנשאר בידך הוא המבוקש

If you have added to the larger number, add the second reserved to the first reserved; this is the required.

ואם הוספת על המספר הגדול הוסף השמור השני על השמור הראשון‫^[584] והוא המבוקש

I shall give you examples for this:

ואתן לך על זה משלים

Example: we wish to multiply 34 by 57.

\scriptstyle34\times57

נרצה להכות ל"ד על נ"ז

We round the number 57 to the nearest unit, which is 60.

השלמנו מספר נ"ז אל הכלל הקרוב ויהיה ס‫'

Since 60 exceeds 57 by three, we subtract three from 34; it is 31. We multiply 31 by 60; it is one thousand, eight hundred and sixty, and this is the first reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(34-3\right)\times\left(57+3\right)=31\times60=1860}}

ולפי שס' מוסיף על נ"ז שלשה נגרע מל"ד שלשה ויהיו ל"א ונכה ל"א על ס' יהיו אלף ושמנה מאות וששים והוא השמור הראשון

Since 60 exceeds 34 by 26, we multiply 26 by three; it is 78, and this is the second reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(60-34\right)\times3=26\times3=78}}

ולפי שס' מוסיף על ל"ד כ"ו נערך כ"ו על שלשה והנה ע"ח והוא השמור השני

Since we have added to the larger number, we add the second reserved to the first reserved; it is one thousand, nine hundred and 38, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{34\times57=1860+78=1938}}

ולפי שהוספנו על המספר הגדול נוסיף השמור השני על השמור הראשון והנה אלף ותשע מאות ול"ח והוא המבוקש

In our example, if we round 57 down to the unit that precedes it, it is 50.

ובמשלינו זה אם הורדנו נ"ז אל הכלל שלמטה ממנו יהיה נ‫'

We add 7 to 34; it is 41. We multiply 41 by 50; it is two thousand and fifty, and this is the first reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(34+7\right)\times\left(57-7\right)=41\times50=2050}}

הוספנו על ל"ד ז'‫^[585] והנה מ"א ערכנו מ"א על נ' והנה אלפים וחמשים והוא השמור הראשון

Since 50 exceeds 34 by 16, multiply 16 by 7; it is 112, and this is the second reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(50-34\right)\times7=16\times7=112}}

.

ומפני שנ' מוסיף על ל"ד י"ו‫^[586] תערך י"ו על ז' והנה קי"ב והוא השמור השני

Since we have subtracted from the larger number, we subtract the second reserved from the first reserved; the remainder is one thousand, 9 hundred and 38, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{34\times57=2050-112=1938}}

ולפי שגרענו מהמספר הגדול נגרע השמור השני מהשמור הראשון ונשאר אלף וט' מאות ול"ח והוא המבוקש

In our example, if you round 34 down to the closest unit, it is 30.

וגם כן במשלינו זה אם הורדת‫^[587] ל"ד אל הכלל הקרוב אליו יהיה ‫^[588]ל‫'

You add 4 to 57; it is 61. You multiply 30 by 61; it is one thousand, eight hundred and thirty, and this is the first reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(34-4\right)\times\left(57+4\right)=30\times61=1830}}

הוספת על נ"ז ד' והנה ס"א ערכת ל' על ס"א והנה אלף ושמנה מאות ושלשים והוא השמור הראשון

The excess of 61 over 34 is 27. We multiply 27 by 4; it is 108, and this is the second reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(61-34\right)\times4=27\times4=108}}

והנה יתרון ס"א על ל"ד הוא כ"ז ערכנו‫^[589] כ"ז על ד' והנה ק"ח והוא השמור השני

Since you have added to the larger number, add the second reserved to the first reserved; it is one thousand and 938, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{34\times57=1830+108=1938}}

ולפי שהוספת על המספר הגדול תוסיף השמור‫^[590] השני על השמור הראשון והנה אלף ותתקל"ח‫^[591] והוא המבוקש

If you round 34 up to 40:

ואם העלית ל"ד אל מ‫'

Subtract 6 from 57; it is 51. Multiply it by 40; it is two thousand and forty, and this is the first reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(34+6\right)\times\left(57-6\right)=40\times51=2040}}

תגרע מנ"ז ו' והנה נ"א‫^[592] תערכם על מ' והנה אלפים וארבעים והוא השמור הראשון

The excess of 51 over 34 is 17. Multiply it by 6; it is 102, and this is the second reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(51-34\right)\times6=17\times6=102}}

והנה יתרון נ"א על ל"ד הוא י"ז תערכם על ו' והנה‫^[593] ק"ב והוא‫^[594] השמור השני

Since you have subtracted from the larger number, subtract the second reserved from the first reserved; the remainder is one thousand and 938, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{34\times57=2040-102=1938}}

ולפי שגרעת מהמספר‫^[595] הגדול תגרע השמור השני מהשמור הראשון ונשאר בידך אלף‫^[596] ותתקל"ח‫^[597] והוא המבוקש

Sometimes this procedure leads you to multiply a number by itself, then this procedure is very easy for you.

ופעמים יצא לך לפי זה הדרך שיהיה לך להכות המספר על עצמו ואז יקל מאד זה הדרך

Example: you have to multiply 43 by 57.

\scriptstyle43\times57

משל זה שיהיה לך להכות מ"ג על נ"ז‫^[598]

If you round 43 up to 50:

ואם תשלים‫^[599] מ"ג אל נ‫'

Subtract the rounding number from 57; it is 50. Then you have to multiply 50 by 50 and subtract the square of 7 from the result; the remainder is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{43\times57=\left(50\times50\right)-7^2}}

תחסר מנ"ז‫^[600] שעור ההשלמה ויהיה נ' ויהיה לך להכות נ' על נ' ולחסר מהעולה מרובע ז' והנשאר הוא המבוקש‫^[601]

This is very clear from what preceded at the beginning of the first section of this book, note it and you will find it.

וזה מבואר מאד‫^[602] ממה שקדם בראש המאמר הראשון מזה הספר והבן ותמצא

Another way of doing this: round one number to the nearest unit, multiply the result by the other number and keep the result. Multiply the other number also by the round number and keep the result; it is the second reserved.

דרך אחרת בזה השלים המספר האחד אל הכלל הקרוב ועל העולה ערוך המספר האחר‫^[603] ושמור העולה גם ערוך המספר האחר על שעור ההשלמה‫^[604] ושמור העולה והוא השמור השני

If the rounding was done by addition, then we subtract the second reserved from the first reserved; the remainder is the required.

ואם היתה ההשלמה לתוספת נגרע השמור השני מהשמור הראשון והנשאר הוא המבוקש

But, if the rounding was done by subtraction, then add the second reserved to the first reserved; the result is the required.

ואם היתה ההשלמה למגרעת תוסיף השמור השני על השמור הראשון והעולה הוא המבוקש

The reason for this is easily deduced from the second [proposition] of the first section.

והסבה בזה תצא מב' מהמאמר הראשון בקלות

Applying to our previous example: we round 57 up to the next unit, it is 60.

דמיון זה במשלינו הקודם השלמנו נ"ז‫^[605] אל הכלל הקרוב והנה ס‫'

We multiply 60 by 34; it is two thousand and forty, and this is the first reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{34\times\left(57+3\right)=34\times60=2040}}

ערכנו ס' על ל"ד והנה אלפים וארבעים והוא השמור הראשון

The rounding number is three. We multiply three by 34; it is 102, and this is the second reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{34\times3=102}}

והנה שעור ההשלמה הוא שלשה ערכנו שלשה על ל"ד והנה ק"ב והוא השמור השני

Since the rounding is done by addition, we subtract the second reserved from the first reserved; the remainder is one thousand and 938, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{34\times57=2040-102=1938}}

ולפי שההשלמה היתה לתוספת נגרע השמור השני מהשמור הראשון ונשאר אלף ותתקל"ח והוא המבוקש

In our example, if we round 34 to the next unit, it is 30.

וגם כן במשלינו זה אם השלמנו ל"ד אל הכלל הקרוב יהיו ל‫'

We multiply 30 by 57; the result is one thousand 710, and this is the first reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(34-4\right)\times57=30\times57=1710}}

ערכנו ל'‫^[606] על נ"ז ‫^[607]עלה אלף ת"ש‫^[608] ועשר והוא השמור הראשון

The rounding number is now 4. We multiply 4 by 57; the result is 228, and this is the second reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{57\times4=228}}

והנה שעור ההשלמה הוא ד' ערכנו ד' על נ"ז ועלה רכ"ח‫^[609] והוא השמור השני

Since the rounding is done by subtraction, we add the second reserved to the first reserved; the result is one thousand and 938, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{34\times57=1710+228=1938}}

ולפי שההשלמה היתה למגרעת נוסיף השמור השני על השמור הראשון ויעלה אלף ותתקל"ח והוא‫^[610] המבוקש

Squaring

If you want to know the square of a given "fractional" number: round the number to the nearest unit, subtract the rounding number from the given number, multiply the remainder by the rounded number, and add the square of the rounding number to the result; it is the required.

ואם רצית לדעת מרובע מספר נשבר מונח הנה תשלים המספר אל הכלל הקרוב וכשעור ההשלמה תגרע מהמספר המונח והנשאר תכה על המספר המושלם והוסף על העולה מרובע מספר ההשלמה והנה המבוקש

Example: if you wish to know the square of 47.

\scriptstyle47^2

משל זה אם רצית לדעת מרובע מ"ז

The closest round number is 50. Its distance from 47 is three. Subtract it from 47; it is 44. Multiply 44 by 50; it is two thousand and two hundred.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(47-3\right)\times\left(47+3\right)=44\times50=2200}}

הנה הכלל הקרוב הוא נ' ומרחקו ממ"ז הוא שלשה תגרעם ממ"ז והנה מ"ד ערכת‫^[611] מ"ד על נ' והנה אלפים ומאתים

The distance is three; that makes 9.

\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9}}

והנה המרחק הוא שלשה שהוא תשעה

So it is two thousand and 209, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{47^2=2200+9=2209}}

והנה אלפים ור"ט‫^[612] והוא המבוקש

Another way to easily find the square of a number of one rank: see the ratio of that number to the unit of the next rank, take the part determined by this ratio from the number you want to square and multiply it by the unit of the next rank, and this is the required.

דרך לדעת בקלות מרובע מספר ממעלה אחת ראה יחס המספר אל אחד מהמעלה הנמשכת וקח כמו היחס ההוא מהמספר‫^[613] שרצית לדעת מרובעו וערכהו על אחת מהמעלה הנמשכת והוא‫^[614] המבוקש

Example: we wish to know how much is the square of thirty.

\scriptstyle30^2

דמיון רצינו לדעת כמה מרובע שלשים

The ratio of thirty to one hundred, which is the unit of the next rank, is its three-tenths.

\scriptstyle{\color{blue}{30:100=\frac{3}{10}}}

והנה יחס שלשים אל מאה שהוא אחד מהמעלה הנמשכת הוא שלש עשיריותיו

Take three-tenths of thirty; it is 9. Multiply it by one hundred; it is 9 hundred, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{30^2=\left(\frac{3}{10}\sdot30\right)\sdot100=9\sdot100=900}}

קח שלש עשיריות שלשים והנה ט' ערכם על מאה והנה ט' מאות והוא‫^[615] המבוקש

This is because thirty is the proportional mean between 9 and 100.

והיה זה כן‫^[616] לפי ששלשים הוא אמצעי ביחס בין ט' ובין ק‫'

If the number you want to square consists of two successive ranks, round the number to the nearest unit, find its square and keep the result.

ואם היה המספר שרצית לדעת מרובעו משתי מעלות נמשכות השלים המספר אל הכלל הקרוב ותדע מרובעו ושמור העולה

Then, add the rounded number to the fractional number and multiply it by the rounding number, and it is the second reserved.

אחר כן חבר המספר השלם אם‫^[617] המספר הנשבר וערכהו על שעור ההשלמה והוא יהיה השמור השני

If the rounding was done by addition, subtract the second reserved from the first reserved.

ואם היתה ההשלמה לתוספת תגרע השמור השני מהשמור הראשון

If the rounding was done by subtraction, add the second reserved to the first reserved; the result is the required.

ואם היתה ההשלמה‫^[618] לגרעון תוסיף השמור השני על השמור הראשון והעולה הוא המבוקש

Example: you wish to know the square of thirty-three.

\scriptstyle33^2

דמיון זה אם רצית לדעת מרובע שלשים ושלשה

Round the number down to the nearest unit; it is 30.

הנה תשלים המספר אל הכלל הקרוב והוא‫^[619] ל‫'

The square of 30 is 9 hundred. Keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(33-3\right)^2=30^2=900}}

ומרובע ל' הוא ט' מאות והוא השמור ‫^[620]הראשון

Then, add thirty to thirty-three; it is 63. Multiply it by 3, which is the rounding number; it is 189 and it is the second reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(33-3\right)+33\right]\sdot3=\left(30+33\right)\sdot3=63\sdot3=189}}

אחר זה תחבר שלשים עם שלשים ושלשה והנה ס"ג ערכם על‫^[621] ג' שהוא שעור ההשלמה והנה‫^[622] קפ"ט והוא השמור השני

Since the rounding was done by subtraction, we add 189 to the first reserved; it is one thousand and 89, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{33^2=900+189=1089}}

ולפי שההשלמה היתה לגרעון נוסיף‫^[623] קפ"ט על השמור הראשון והנה אלף ופ"ט והוא הדרוש

If you had rounded 33 to 40 in our example:

ואם השלמת ל"ג אל מ' במשלינו זה

Its square is 16 hundred; keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(33+7\right)^2=40^2=1600}}

הנה יהיה מרובעו י"ו מאות ושמור

Add 33 to 40; it is 78. Multiply it by 7; it is 511.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(33+7\right)+33\right]\sdot7=\left(40+33\right)\sdot7=73\sdot7=511}}

ותחבר ל"ג עם מ' והנה ע"ג תערכם על‫^[624] ז' והנה‫^[625] תקי"א

Since the rounding was done by addition, subtract 511 from the first reserved; you are left with one thousand and 89, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{33^2=1600-511=1089}}

ולפי שההשלמה היתה לתוספת תגרע‫^[626] תקי"א מהשמור הראשון וישאר לך‫^[627] אלף ופ"ט והוא הדרוש

This is because the excess of the square of 40 over the square of 33 is as [the sum of] the product of 7 by 40 and the product of 7 by 33, but this is equal to the product of 7 by 73.

\scriptstyle{\color{blue}{40^2-33^2=\left(7\sdot40\right)+\left(7\sdot33\right)=7\sdot73}}

והיה זה כן לפי שיתרון מרובע מ' על מרובע ל"ג הוא כמו שטח ז' במ' ושטח ז' בל"ג וזה‫^[628] שוה לשטח ז' בע"ג

Deduce from this.

והקש על זה

Another way: take a third of the number whose square you are looking for, take its square and keep it. Then, raise it to the next rank and subtract the reserved from the result; the remainder is the required.

דרך אחרת קח שלישית המספר שרצית לדעת מרובעו קח מרובעו ושמור אחר כן העלהו אל המעלה הנמשכת וגרע מהעולה השמור והנשאר‫^[629] הוא‫^[630] המבוקש

Example: you wish to know the square of 33.

\scriptstyle33^2

דמיון רצית לדעת מרובע ל"ג

We take its third; it is 11. Its square is 121. We raise 121 to the next ranks; it is one thousand, two hundred and ten. We subtract 121 from it; the remainder is one thousand and 89, and this is the required.

לקחנו שלישיתו והוא‫^[631] י"א ומרובעו קכ"א העלינו קכ"א אל המעלות הנמשכות והנה אלף ומאתים ועשר גרענו מהם קכ"א וישאר אלף ופ"ט והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle33^2&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{3}\sdot33\right)^2\sdot10\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot33\right)^2=\left(11^2\sdot10\right)-11^2=\left(121\sdot10\right)-121\\&\scriptstyle=1210-121=1089\\\end{align}}}

This is so, because one thousand, two hundred and ten is ten times the number 121.

\scriptstyle{\color{blue}{1210=10\sdot121}}

והיה זה כן לפי שאלף ומאתים ועשר הוא‫^[632] עשרה דמיוני מספר קכ"א

The ratio of the square of 33 to the square of 11 is the ratio of its root to its root duplicated. But, the ratio of its root to its root duplicated is the ratio of nine to one.

\scriptstyle{\color{blue}{33^2:11^2=\left(33:11\right)^2=9:1}}

והנה יחס מרובע ל"ג אל מרובע י"א הוא יחס צלעו אל צלעו שנוי ביחס אבל יחס צלעו אל צלעו שנוי ביחס הוא יחס תשעה אל אחד

So, the square of 33 is as nine times the square of 11.

\scriptstyle{\color{blue}{33^2=9\sdot\left(11^2\right)}}

אם כן מרובע ל"ג הוא כמו תשעה דמיוני מרובע י"א

One thousand and 210 is ten times the square of 11.

\scriptstyle{\color{blue}{1210=10\sdot121}}

וכבר היה אלף ור"י עשרה דמיוני מרובע י"א‫^[633]

So, when we subtract the square of 11 from one thousand, two hundred and ten, the remainder is equal to the square of 33.

\scriptstyle{\color{blue}{1210-11^2=33^2}}

א"כ כאשר גרענו‫^[634] מאלף ומאתים ועשר מרובע י"א‫^[635] היה הנשאר שוה למרובע ל"ג

Deduce from this.

והקש על זה

Chapter Three – Summing Successive or Proportional Numbers

השער השלישי בחבור מספרים נמשכים או מתיחסים

If you want to sum successive numbers from one up to a given number.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i

אם רצית לחבר מספרים נמשכים מן האחד עד מספר מונח

Take half the square of the given number, add it to half the given number and it is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=\left(\frac{1}{2}\sdot n^2\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}

קח חצי מרובע המספר המונח וחברהו עם‫^[636] חצי המספר המונח והוא‫^[637] המבוקש

Example: if you want to sum one, two, three, four, and so on up to ten, including ten.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i

דמיון אם רצית לחבר אחד ושנים ושלשה וארבעה וכן עד עשרה ועשרה עמהם

Take half the square of ten plus its half; it is 55 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=55}}

קח חצי מרובע עשרה וחציו והנה נ"ה וככה המבוקש

Another way: multiply that number by half the successive number that follows it.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=n\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n+1\right)\right]}}

‫^[638]דרך אחרת ערוך המספר ההוא על חצי המספר הנמשך לו לאחריו

Or half that number by the successive number that follows it and it is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)\sdot\left(n+1\right)}}

או חצי המספר ההוא על המספר הנמשך לו לאחריו והוא‫^[639] המבוקש

In our example: multiply 10 by half 11, or half 10 by 11; it is 55 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=10\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot11=55}}

והנה במשלינו זה תערוך י' על חצי י"א או חצי י' על י"א והנה נ"ה‫^[640] וככה המבוקש

If the numbers are in a succession that is not the sequence of the natural numbers, i.e. that the first is a given number, the second is twice the given number, the third is its thrice and so on in this way up to a certain number.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(a\sdot i\right)

ואם היו המספרים הנמשכים בזולת דרך המספר ר"ל שהיה הראשון מספר מונח והיה השני שני דמיוני המספר המונח והשלישי שלשה דמיוניו‫^[641] וכן בזה הדרך עד מספר מה

Sum the successive numbers up to that number according to the previous way, multiply the result by the first given number and so is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(a\sdot i\right)=\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\sdot a}}

תחבר הנמשכים עד המספר ההוא בדרך הקודמת והעולה תערוך על המספר הראשון המונח וככה המבוקש

Example: the first is seven, the second fourteen, the third 21, the fourth 28, and so on in this way up to nine numbers.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{9} \left(7\sdot i\right)

דמיון זה שיהיה הראשון שבעה והשני ארבעה עשר והשלישי כ"א והרביעי כ"ח וימשכו בזה הדרך עד תשעה מספרים

You already know that [the sum of] the successive numbers from one to nine is 45. Multiply it by 7, which is the first number; it is 315 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{9} \left(7\sdot i\right)=\left(\sum_{i=1}^{9} i\right)\sdot7=45\sdot7=315}}

כבר ידעת כי הנמשכים מן האחד עד תשעה הם מ"ה ערכם על‫^[642] ז' שהוא הראשון והנה שט"ו והוא‫^[643] המבוקש

This is because the ratio of one to the first number is the same as the ratio of two to the second, as the ratio of three to the third, as the ratio of four to the fourth, as the ratio of five to the fifth, as the ratio of six to the sixth, as the ratio of seven to the seventh, as the ratio of eight to the eighth, and as the ratio of nine to the ninth.

ויהיה זה כן לפי שיחס אחד אל הראשון כיחס שנים אל השני וכיחס שלשה אל השלישי וכיחס ארבעה אל הרביעי וכיחס חמשה אל החמישי וכיחס ששה אל הששי וכיחס שבעה אל השביעי וכיחס שמנה אל השמיני וכיחס תשעה אל התשיעי

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1:a_1=2:a_2=3:a_3=4:a_4=5:a_5=6:a_6=7:a_7=8:a_8=9:a_9}}

But, the ratio of the one to its corresponding is the same as the ratio of the sum [of the antecedents] to the sum [of their corresponding].

אבל יחס האחד אל קרובו כיחס הכל אל הכל

So, the ratio of one to seven, which is the first, is the same as the ratio of the sum [of all antecedents] to the sum [of their corresponding].

אם כן יחס אחד אל שבעה שהוא הראשון כיחס הכל אל הכל

But, seven is counted by one as the units of seven.

אבל שבעה ימנהו אחד כמספר אחדי שבעה

So, the total sum of these numbers is counted by 45 as the units of seven.

אם כן כלל כל אלו המספרים ימנהו מ"ה כמספר אחדי שבעה

Therefore, the number 45 is multiplied by seven and the result is equal to the sum of these numbers.

אם כן כבר יוכה מספר‫^[644] מ"ה בשבעה ויהיה העולה שוה לאלו המספרים מקובצים

Deduce from this.

והקש על זה

Sum of Odd Numbers

If you want to sum the successive odd numbers beginning from one up to a given number.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)

אם רצית לחבר הנפרדים הנמשכים מתחילים מן האחד עד מספר מונח

Take the square of the mean number between one and the given number and it is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=n^2}}

קח מרובע המספר‫^[645] האמצעי בין האחד והמספר המונח והנה המבוקש

Example: If you want to sum the successive odds up to nine including one.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)

דמיון זה אם רצית לחבר הנפרדים הנמשכים עד תשעה והאחד עמהם

The mean number between one and nine is five. Take its square; it is 25 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)=5^2=25}}

הנה המספר האמצעי בין תשעה ואחד הוא חמשה קח מרובעו והוא‫^[646] כ"ה וככה המבוקש

Sum of Even Numbers

If you want to sum the successive evens up to a given number.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 2i

ואם רצית לחבר הזוגות הנמשכים ‫^[647]עד מספר מה

The first number is two; the second is its double; the third is its thrice; and so on they follow each other in a succession that is not the sequence of the natural numbers, as already explained.

והנה יהיה המספר הראשון שנים והשני שני דמיוניו והשלישי שלשה דמיוניו וכן ימשכו נמשכים בזולת דרך המספר וכבר קדם דרכו

Take half the last number, as it is the same as the number of the even terms that are summed, know how much are the successive numbers from one up to it, multiply the sum by two, which is the first term and so is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} 2i=\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\sdot2}}

ולזה תקח חצי המספר האחרון לפי שהוא כמספר מספרי הזוגות הנחברים ותדע מה יעלו הנמשכים מן האחד עדיו ותערוך העולה על שנים שהוא הראשון והנה המבוקש

Example: if you want to sum the evens up to ten.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} 2i

דמיון זה אם רצית לחבר הזוגות עד עשרה

You already know that [the sum of] the successive numbers up to five is 15. Multiply it by two, which is the first term; it is 30 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} 2i=\left(\sum_{i=1}^{5} i\right)\sdot2=15\sdot2=30}}

כבר ידעת שהנמשכים עד חמשה הם ט"ו ערכת אותם על שנים שהוא הראשון והנה ל' וככה המבוקש

Sum of Square Numbers

If you want to sum the squares of the successive numbers from one to a given number:

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^2

אם רצית לחבר מרובעי מספרים נמשכים מן האחד עד מספר מונח

Take the given number minus one-third of the number preceding it and multiply it by the sum of the successive numbers from one up to the given number.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i^2=\left[n-\frac{1}{3}\sdot\left(n-1\right)\right]\sdot\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)}}

קח המספר המונח פחות שלישית המספר הנמשך לפניו וערכהו על נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר המונח

Example: If you want to know [the sum of] the squares of the successive numbers up to five.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} i^2

דמיון זה אם רצית לדעת מרובעי המספרים‫^[648] הנמשכים עד חמשה

The number before five is four. We subtract a third of four from [five], which is 4-thirds; the remainder is four minus one-third. We multiply it by 15, which is the sum of the successive numbers up to five; the result is 55, and this is the required.

הנה המספר הנמשך לחמשה לפניו הוא ארבעה גרענו ממנו שלישית ארבעה שהוא ד' שלישיות ונשארו ארבעה פחות שלישית ערכנום על‫^[649] ט"ו שהוא נקבץ הנמשכים עד חמשה ועלה נ"ה וככה המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} i^2=\left[5-\frac{1}{3}\sdot\left(5-1\right)\right]\sdot\left(\sum_{i=1}^{5} i\right)=\left(5-\frac{1}{3}\sdot4\right)\sdot15=\left(4-\frac{1}{3}\right)\sdot15=55}}

If you want to sum the squares of the successive odd numbers from one, or the squares of the successive even numbers up to a given number, meaning that the given number is the last:

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^2

ואם רצית לחבר מרובעי הנפרדים הנמשכים מן האחד או מרובעי הזוגות הנמשכים עד מספר מונח רצוני שיהיה המספר המונח הוא האחרון‫^[650]

Take the sum of the successive numbers up to the number that follows the given number, and multiply it by one-third of the given number.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{2n} i\right)\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(2n-1\right)\right]}}

קח נקבץ הנמשכים עד המספר הנמשך אחר המספר המונח וערכהו על שלישית המספר המונח

Example: We want to know [the sum of] the squares of the successive odd numbers up to nine.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)^2

דמיון זה רצינו לדעת מרובעי הנפרדים הנמשכים עד תשעה

The sum of the successive numbers up to ten is 55. We multiply it by a third of nine; it is 165 and this is the required.

הנה נקבץ הנמשכים מן האחד עד עשרה הוא נ"ה ערכנום על שלישית תשעה והנה קס"ה וככה המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{10} i\right)\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)=55\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)=165}}

If you want to sum the squares of numbers in a succession that is not the sequence of the natural numbers, up to a given number:

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(a\sdot i\right)^2

ואם רצית לחבר מרובעי מספרים נמשכים בזולת דרך המספר עד מספר מונח

Multiply [the sum of] the squares of the successive numbers from one up to the given number by the square of the first number; the result is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(a\sdot i\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{n} i^2\right)\sdot a^2}}

ערוך מרובעי המספרים הנמשכים מן האחד עד המספר המונח על מרובע‫^[651] המספר הראשון והעולה הוא המבוקש

Example: If you want to sum the squares of the successive numbers, the first number of which is four, the second is eight, the third is twelve, and so on they follow each other this way up to seven numbers.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left(4\sdot i\right)^2=4^2+8^2+12^2+\ldots

דמיון זה אם רצית לחבר מרובעי מספרים נמשכים‫^[652] ‫^[653]שהראשון ארבעה והשני שמנה והשלישי שנים עשר וימשכו בזה הדרך עד שבעה מספרים

You already know that the sum of the squares of all the numbers up to seven is 140. Multiply it by 16, which is the square of the first number; it is two thousand and 240, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} \left(4\sdot i\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{7} i^2\right)\sdot4^2=140\sdot16=2240}}

הנה כבר ידעת שמרובעי כל המספרים עד שבעה הם ק"מ ערכת אותם על י"ו שהוא מרובע המספר הראשון והנה אלפים ר"מ וככה המבוקש

This is because the ratio of one to the first number is the same as the ratio of two to the second and the same as the ratio of each number to its corresponding one.

והיה זה כן לפי שיחס אחד אל הראשון הוא כיחס שנים אל השני וכיחס כל אחד אל גילו

So, the ratio of the square of one to the square of the first number is the same as the ratio of the square of each number to the square of the corresponding one.

אם כן יהיה יחס מרובע אחד אל מרובע הראשון‫^[654] כיחס מרובע כל אחד מהם אל מרובע‫^[655] גילו

Therefore, the ratio of the square of one to the square of [the first number] is the same as the ratio of the sum of the squares [of all antecedents] to the sum of the squares [of their corresponding].

ולזה יהיה יחס מרובע האחד אל מרובע גילו כיחס מרובעי הכל אל מרובעי הכל

Sum of Cube Numbers

If you want to sum the cubes of the successive numbers from one up to a given number:

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^3

ואם רצית לחבר מעוקבי מספרים נמשכים מן האחד עד מספר מונח

Take the square of the sum of the successive numbers from one up to the given number; the result is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i^3=\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)^2}}

קח מרובע נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר המונח והעולה הוא המבוקש

Example: We want to know [the sum of] the cubes of the successive numbers from one up to six.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} i^3

דמיון זה רצינו לדעת מעוקבי‫^[656] המספרים הנמשכים מן האחד עד ששה

The sum of the successive numbers from one up to six is 21. We take its square; it is 441, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} i^3=\left(\sum_{i=1}^{6} i\right)^2=21^2=441}}

והנה נקבץ הנמשכים מן האחד‫^[657] עד ששה הוא כ"א לקחנו מרובעו והנה תמ"א והוא‫^[658] המבוקש

If the numbers are in a succession that is not the sequence of the natural numbers, up to a given number, and you want to know [the sum of] their cubes:

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(a\sdot i\right)^3

ואם היו המספרים נמשכים בזולת דרך המספר עד מספר מונח ורצית לדעת מעוקביהם

Find [the sum of] the cubes of the successive numbers from one up to the given number. Multiply the result by the cube of the first number, and this is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(a\sdot i\right)^3=\left(\sum_{i=1}^{n} i^3\right)\sdot a^3}}

תוציא מעוקבי המספרים הנמשכים מן האחד עד המספר המונח ותערוך העולה על מעוקב המספר הראשון והוא‫^[659] המבוקש

The reason for this has already been explained in what preceded.

וכבר התבארה סבת זה במה שקדם

Example: Let the first number be four, the second eight, and so on according to this way up to five numbers.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(4i\right)^3=4^3+8^3+\ldots

דמיון זה שיהיה הראשון‫^[660] ארבעה והשני שמנה ונמשכו בזה הדרך עד חמשה

We already know that [the sum of] the cubes of the successive numbers up to five is 225. We multiply it by 64, which is the cube of the first number, the result is 14 thousand and 4 hundred, and this is the required.

כבר ידענו שמעוקבי המספרים הנמשכים עד חמשה הם רכ"ה ערכנום על ס"ד שהוא מעוקב המספר הראשון ועלה י"ד אלפים וד' מאות וככה המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} \left(4i\right)^3=\left(\sum_{i=1}^{5} i^3\right)\sdot4^3=225\sdot64=14400}}

If you want to know [the sum of] the cubes of the successive even numbers from [two] up to a given number:

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^3

ואם רצית לדעת מעוקבי הזוגות ממספרים נמשכים מן האחד עד מספר מונח

Take [the sum of] the cubes of the successive numbers up to half the given number. Multiply the result by the cube of the first number, which is two, whose cube is 8, and this is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^3=\left(\sum_{i=1}^{n} i^3\right)\sdot 2^3=\left(\sum_{i=1}^{n} i^3\right)\sdot8}}

קח מעוקבי המספרים הנמשכים עד חצי המספר המונח וערוך העולה על מעוקב המספר הראשון שהוא שנים ומעוקבו שמנה וככה המבוקש

The reason for this has already been explained in what preceded, meaning that these numbers are in a succession that is not the sequence of the natural numbers.

וכבר התבארה סבת זה במה שקדם רצוני שאלו המספרים הם שבים אל המספרים הנמשכים בזולת דרך המספר

Example: If you want to know [the sum of] the cubes of the successive even numbers up to six.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{3} \left(2i\right)^3

דמיון זה‫^[661] אם ‫^[662]רצית לדעת מעוקבי הזוגות הנמשכים עד ששה

The [sum of the] cubes of the successive numbers up to three is 36. We multiply it by eight, which is the cube of the first number; the result is 288, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{3} \left(2i\right)^3=\left(\sum_{i=1}^{3} i^3\right)\sdot8=36\sdot8=288}}

הנה מעוקבי המספרים הנמשכים עד שלשה הם‫^[663] ל"ו‫^[664] ערכנום על שמנה שהוא מעוקב המספר הראשון ועלה רפ"ח וככה המבוקש

From this you can find [the sum of] the cubes of the successive odd numbers from one up to a given number, I mean first find [the sum of] the cubes of all numbers up to the given one, then subtract from the result [the sum of] the cubes of the even numbers; the remainder is [the sum of] the cubes of the odd numbers.

ומזה תוכל לדעת מעוקבי הנפרדים הנמשכים מן האחד עד מספר מונח רצוני שתדע תחלה מעוקבי כל המספרים עד המספר המונח ותוציא מהעולה מעוקבי הזוגות והנשאר הוא מעוקבי הנפרדים

The First Term is Not One

If you want to sum numbers of a natural sequence of numbers that does not start from one, but begin with a given number and that end with a second given number:

\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} i

אם רצית לחבר מספרים נמשכים בדרך המספר בלתי מתחילים מן האחד אבל יתחילו ממספר מונח ויכלו במספר מונח שני

Take the sum of the successive numbers up to the second given number, and keep it. Then, subtract from the reserved the sum of the successive numbers from one up to the number before the first given number.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=m}^{n} i=\sum_{i=1}^{n} i-\sum_{i=1}^{m-1} i}}

קח נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר המונח השני ושמור וגרע מהשמור נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר הנמשך לפני המספר הראשון המונח

Example: The first number is six, and we want to sum the successive numbers that follow it up to eleven.

\scriptstyle\sum_{i=6}^{11} i

דמיון זה שיהיה המספר הראשון ששה ורצינו לחבר הנמשכים לו לאחריו עד מספר אחד עשר

The sum of the successive numbers from one up to eleven is 66. We subtract from it the sum of the successive numbers from one up to five, which is 15; 51 remains, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=6}^{11} i=\sum_{i=1}^{11} i-\sum_{i=1}^{5} i=66-15=51}}

והנה נקבץ הנמשכים מן האחד עד אחד עשר הוא ס"ו גרענו ממנו מספר הנמשכים מן האחד עד חמשה שהוא ט"ו ונשארו נ"א וככה המבוקש

Do the same with the sum of the squares of the successive numbers that do start from one, or their cubes, and the reason for this is clear.

וכן תעשה במרובעי המספרים הנמשכים כאשר לא יתחילו מן האחד או במעוקביהם והסבה בזה מבוארת

Do the same with the sum of the squares of the successive odd numbers, when they do not start from one, or the squares of even numbers, when they do not start from two, for the same reason.

וכן תעשה במרובעי הנפרדים הנמשכים כאשר לא יתחילו מן האחד או במרובעי הזוגות כאשר לא יתחילו משנים לזאת הסבה בעינה

If you wish to sum a given number of numbers that are in a succession that is not the sequence of the natural numbers, and the first of which is not equal to the increment, but is less than it or greater than it by a given second number:

\scriptstyle a_1\ne d;\;\sum_{i=1}^{n} \left[a_1+d\sdot\left(i-1\right)\right]

אם רצית לחבר מספר מונח ממספרים נמשכים בזולת דרך המספר והיה הראשון בלתי שוה למספר ההמשך אבל הוא פחות ממנו או יתר עליו מספר מונח שני

Multiply the second given number by the first given number; the result is the first reserved.

ערוך המספר המונח השני על המספר המונח הראשון והעולה הוא השמור הראשון

Take also the sum of the successive numbers from one up to the first given number and multiply it by the increment; this is the second reserved.

גם כן קח נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר המונח הראשון וערכהו על מספר ההמשך והוא השמור השני‫^[665]

If the first term is greater than the increment, add the first reserved to the second reserved.

ואם היה המספר הראשון מוסיף על מספר ההמשך תוסיף השמור הראשון על השמור השני

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1>d\longrightarrow\sum_{i=1}^{n} \left[a_1+d\sdot\left(i-1\right)\right]=d\sdot\sum_{i=1}^{n} i+\left(a_1-d\right)\sdot n}}

If the first [term] is less than the increment, subtract the first reserved from the second reserved; the remainder is the sought-after.

ואם היה הראשון פחות ממספר ההמשך תוציא השמור הראשון מהשמור השני והנשאר הוא המבוקש

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1<d\longrightarrow\sum_{i=1}^{n} \left[a_1+d\sdot\left(i-1\right)\right]=d\sdot\sum_{i=1}^{n} i-\left(d-a_1\right)\sdot n}}

Example: If you want to sum seven numbers, each of which exceeds over the one that precedes it by three, the first term is less than three by two, or greater than three by two.

‫^[666]דמיון זה אם רצית לחבר שבעה מספרים שכל אחד מהם מוסיף על המספר שלפניו שלשה והראשון פחות שנים משלשה או מוסיף שנים על שלשה

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left[\left(3-2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left[\left(3+2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]

The product of two by seven is 14 and this is the first reserved.

הנה שטח שנים בשבעה הוא י"ד והוא השמור הראשון

The sum of the successive numbers up to seven is 28. We multiply it by three; it is 84.

ונקבץ הנמשכים עד שבעה הוא כ"ח ערכנום על שלשה והנה פ"ד

If the first term is less than three by two, subtract 14 from 84; 70 remains, and this is the sought-after.

ואם היה הראשון פחות שנים משלשה תגרע י"ד מפ"ד וישאר ע' והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} \left[\left(3-2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]=3\sdot\sum_{i=1}^{7} i-\left(3-1\right)\sdot7=\left(3\sdot28\right)-\left(2\sdot7\right)=84-14=70}}

The reason is that if we added the difference between three and the first term to each of the numbers, they would be in the sequence of the triple ratio, so we need to subtract the product of two by seven from the result.

והסבה שאם הוספנו חסרון הראשון מהשלשה על כל אחד מהמספרים היו נמשכים מיחס שלשה ולזה נגרע מהעולה שטח שנים בשבעה

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} \left[\left[\left(3-2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]+\left(3-1\right)\right]=\sum_{i=1}^{7} 3i}}

If the first term is greater than three by two, we add 14 to 84; it is 98, and this is the sought-after.

ואם היה הראשון מוסיף על שלשה שנים נוסיף י"ד על פ"ד ויהיו צ"ח והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} \left[\left(3+2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]=3\sdot\sum_{i=1}^{7} i-\left(5-3\right)\sdot7=\left(3\sdot28\right)+\left(2\sdot7\right)=84+14=98}}

The reason is that if we subtracted the difference between the first term and three from each of the numbers, they would by in a succession that is not the sequence of the natural numbers.

והסבה שאם גרענו תוספת הראשון על שלשה מכל אחד מהמספרים היו נמשכים בזולת דרך המספר

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} \left[\left[\left(3+2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]-\left(5-3\right)\right]=\sum_{i=1}^{7} 3i}}

Deduce from this.

והקש על זה

If you want to sum the squares of a given number of numbers in a succession that is not the sequence of the natural numbers, such that the first number differs from the increment by a second given number.

אם רצית לחבר מרובעי מספר מונח ממספרים נמשכים בזולת דרך המספר אלא שהמספר הראשון מתחלף ממספר ההמשך בשעור מספר מונח שני

Multiply the second given number by twice the sum of those numbers, then add the result to the product of the first given number by the square of the second given number, if the first number is less than the increment.

ערוך המונח השני על כפל נקבץ אלו המספרים והעולה תחבר עם שטח המספר המונח הראשון במרובע המספר המונח השני אם היה הראשון פחות ממספר ההמשך

If the first number is greater than the increment, subtract the product we mentioned from the result.

ואם היה הראשון מוסיף על מספר ההמשך תגרע זה השטח שזכרנו מהעולה

What you are left with after the addition or subtraction is the first reserved.

ומה שישאר בידך אחר התוספת או הגרעון הוא השמור הראשון

Then, take [the sum of] the squares of the successive numbers from one up to the first given number and multiply the result by the square of the increment, and this is the second reserved.

אחר כן קח מרובעי המספרים הנמשכים‫^[667] מן האחד עד המספר המונח הראשון וערוך העולה על מרובע מספר ההמשך והוא השמור השני

If the first number is less than the increment, subtract the first reserved from the second reserved, and the remainder is the required.

ואם היה המספר הראשון פחות ממספר ההמשך גרע השמור הראשון מהשמור השני והנשאר הוא המבוקש

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1<d\longrightarrow}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left[a_1+d\sdot\left(i-1\right)\right]^2=\left[\left(\sum_{i=1}^{n} i^2\right)\sdot d^2\right]-\left[\left[\left(d-a_1\right)\sdot2\sdot\sum_{i=1}^{n} \left[a_1+d\sdot\left(i-1\right)\right]\right]+\left(d-a_1\right)^2\sdot n\right]}}

If the first term is greater than the second given number, add the first reserved to the second reserved, and this is the required.

ואם היה המספר הראשון‫^[668] מוסיף על המספר המונח השני הוסף השמור הראשון על השמור השני והוא‫^[669]המבוקש

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1>d\longrightarrow}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left[a_1+d\sdot\left(i-1\right)\right]^2=\left[\left(\sum_{i=1}^{n} i^2\right)\sdot d^2\right]+\left[\left[\left(a_1-d\right)\sdot2\sdot\sum_{i=1}^{n} \left[a_1+d\sdot\left(i-1\right)\right]\right]-\left(a_1-d\right)^2\sdot n\right]}}

Example: If you want to sum the squares of seven numbers, each of which exceeds over the number preceding it by 3, the first is greater than three by two or less than it by two.

דמיון זה אם רצית לחבר מרובעי ז' מספרים שכל אחד מהם מוסיף על המספר שלפניו ג' והראשון מהם מוסיף שנים על ‫^[670]שלשה או פחות שנים ממנו

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left[\left(3+2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]^2

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left[\left(3-2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]^2

First, let the first term be greater than three by two.

ויהיה תחלה הראשון מוסיף שנים על שלשה

We know from the previous [proposition] that the sum of these numbers is 98. Double it; it is 196. We multiply it by two; it is 392. But the product of the square of two, which is four, by seven is 28. We subtract it from 332; it is 364, and this is the first reserved.

הנה ידענו שנקבץ אלו המספרים מאשר לפניה הוא צ"ח וכפלהו והנה קצ"ו ערכנום על שנים והנה שצ"ב ואולם שטח מרובע שנים שהוא ארבעה בשבעה הוא כ"ח גרענום משצ"ב והנה שס"ד‫^[671] והוא השמור הראשון

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(5-3\right)\sdot2\sdot\sum_{i=1}^{7} \left[5+3\sdot\left(i-1\right)\right]\right]-\left(5-3\right)^2\sdot 7=\left(2\sdot2\sdot98\right)-2^2\sdot 7=\left(2\sdot196\right)-4\sdot 7=392-28=364}}

Or, if you multiply two by double the sum of seven numbers in a succession that is not the sequence of the natural numbers, each of which exceeds the previous one by three and the first of which is three, and add to the result the product of the square of two by seven, the result is also 364.

או אם תערוך‫^[672] שנים על כפל‫^[673] נקבץ‫^[674] שבעה מספרים נמשכים בזולת דרך המספר שכל אחד מהם מוסיף שלשה על שלפניו והראשון שלשה ותחבר עם העולה שטח מרובע שנים בשבעה יעלה שס"ד גם כן

Because the product of two by 84 is 336. We add to it the product of four by seven, which is 28; the result is 364.

וזה ששטח כפל שנים בפ"ד הוא של"ו חברנו עמו שטח ארבעה בשבעה שהוא כ"ח ועלה שס"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(5-3\right)\sdot2\sdot\sum_{i=1}^{7} \left[3+3\sdot\left(i-1\right)\right]\right]+\left(5-3\right)^2\sdot 7=\left(2\sdot2\sdot84\right)+2^2\sdot 7=336+4\sdot 7=336+28=364}}

These two ways bring you to the same number. This is clear with just a little investigation from the beginning of the first section.

הנה אלו שתי הדרכים יביאוך אל מספר אחד בעינו וזה מבואר מראש המאמר הראשון עם מעט עיון

But, [the sum of] the squares of the successive numbers up to seven is 140. We multiply is by nine, which is the square of the increment; it is one thousand and 260.

ואולם מרובעי המספרים הנמשכים עד שבעה הם ק"מ ערכנום על תשעה שהוא מרובע מספר ההמשך והנה אלף ור"ס

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sum_{i=1}^{7} i^2\right)\sdot3^2=140\sdot9=1260}}

We add it to 364; it is one thousand and 624, and this is the required.

חברנום עם שס"ד והנה אלף ותרכ"ד והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left[\left(3+2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]^2&\scriptstyle=\left[\left(\sum_{i=1}^{7} i^2\right)\sdot3^2\right]+\left[\left[\left(5-3\right)\sdot2\sdot\sum_{i=1}^{7} \left[5+3\sdot\left(i-1\right)\right]\right]-\left(5-3\right)^2\sdot 7\right]\\&\scriptstyle=1260+364=1624\\\end{align}}}

Let the first term be less than three by two in our example.

ויהיה גם כן‫^[675] הראשון פחות שנים משלשה במשלינו זה

We know that the sum of these numbers is 70. We double it; it is 140. We multiply it by two; it is 280. But the product of the square of two by seven is 28. We add it to 280; it is 308, and this is the first reserved.

הנה ידענו שנקבץ המספרים‫^[676] האלו הוא‫^[677] ע' כפלנוהו והנה ק"מ ערכנום על שנים והנה ר"פ ואולם שטח מרובע שנים בשבעה הוא כ"ח חברנום עם ר"פ והנה ש"ח והוא השמור הראשון

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3-1\right)\sdot2\sdot\sum_{i=1}^{7} \left[1+3\sdot\left(i-1\right)\right]\right]+\left(3-1\right)^2\sdot 7=\left(2\sdot2\sdot70\right)+2^2\sdot 7=\left(2\sdot140\right)+4\sdot 7=280+28=308}}

But, [the sum of] the squares of the successive numbers up to seven is 140. We multiply it by 9, which is the square of the increment; it is one thousand and 260.

ואולם מרובעי המספרים הנמשכים עד שבעה הם ק"מ ערכנום על ט' שהוא מרובע מספר ההמשך והנה אלף ור"ס

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sum_{i=1}^{7} i^2\right)\sdot3^2=140\sdot9=1260}}

We subtract 308 from it; it is 952, and this is the required.

גרענו מהם ש"ח והנה תתקנ"ב‫^[678] והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left[\left(3-2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]^2&\scriptstyle=\left[\left(\sum_{i=1}^{7} i^2\right)\sdot3^2\right]-\left[\left[\left(3-1\right)\sdot2\sdot\sum_{i=1}^{7} \left[1+3\sdot\left(i-1\right)\right]\right]+\left(3-1\right)^2\sdot 7\right]\\&\scriptstyle=1260-308=953\\\end{align}}}

This is so because if two is added to each of the numbers, they would be in a succession that is not the sequence of the natural numbers.

והיה זה כן לפי שאם הוסף שנים על כל אחד מהמספרים היו נמשכים בזולת דרך המספר

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} \left[\left[\left(3-2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]^2+\left(3-1\right)\right]}}

But, the excess of the square of each number when added to two over its square is twice the number plus the square of two.

ואולם יתרון מרובע כל מספר מהם כאשר חובר עם שנים על מרובעו הוא כפל שטח שנים במספרו ומרובע שנים

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3-2\right)+3\sdot\left(i-1\right)+2\right]^2-\left[\left(3-2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]^2=2\sdot2\sdot\left[\left(3-2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]+2^2}}

When these excesses of all the numbers are summed, it is the same as the product of two by [the sum] of all these numbers plus the product of the square of two by the number of these numbers.

וכאשר חובר זה התוספת מכל אלו המספרים היה כמו כפל שטח שנים בכל אלו המספרים נחברים וכמו שטח מרובע שנים במספר המספרים

We subtract the result from [the sum of] the squares of the numbers that follow each other, not in the sequence of the natural numbers, but by this increment, up to the first given number; the remainder is the required.

גרענו העולה ממרובעי המספרים הנמשכים בזולת דרך המספר בשעור זה ההמשך עד המספר המונח הראשון ונשאר המבוקש

By this similar [cases] are proven with a little investigation.

ובזה התבאר מקביל זה עם מעט ‫^[679]עיון

Understand, and you will find it.

והבין ותמצא

If you wish to sum the cubes of a given number of numbers that follow each other, not in the sequence of the natural numbers, such that the first number differs from the increment by a second given number:

אם רצית לחבר מעוקבי מספר מונח ממספרים נמשכים בזולת דרך המספר אלא שהמספר הראשון מתחלף למספר ההמשך בשעור מספר מונח שני

If the first number is less than the increment, take [the sum of] the squares of those numbers, multiply the result by three times the second given number and keep it.

הנה אם היה המספר הראשון פחות ממספר ההמשך‫^[680] תקח מרובעי אלו המספרים ותערוך העולה על שלשה דמיוני המספר המונח השני ותשמור

Then, multiply thrice the square of the second given number by the sum of the numbers and keep it.

עוד תערוך שלשה מרובעי המספר המונח השני על נקבץ אלו המספרים ושמור

Then, multiply the cube of the second given number by the first given number and add the result to the two reserved, so you have the first "corrected" reserved.

עוד תערוך מעוקב המספר המונח השני על המספר המונח הראשון ותחבר העולה עם שני השמורים ויהיה‫^[681] בידך השמור הראשון המתוקן

Then, take [the sum of] the cubes of the successive numbers from one up to the first given number, multiply it by the cube of the increment and subtract the first "corrected" reserved from it; the remainder is the required.

אחר כן קח מעוקבי המספרים הנמשכים מן האחד עד‫^[682] המספר המונח הראשון וערכם על מעוקב מספר ההמשך ומהעולה גרע השמור הראשון המתוקן והנשאר הוא המבוקש

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1<d\longrightarrow}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left[a_1+d\sdot\left(i-1\right)\right]^3&\scriptstyle=\left[\left(\sum_{i=1}^{n} i^3\right)\sdot d^3\right]+\left[3\sdot\left(d-a_1\right)\sdot\sum_{i=1}^{n} \left[a_1+d\sdot\left(i-1\right)\right]^2\right]\\&\scriptstyle+\left[3\sdot\left(d-a_1\right)^2\sdot\sum_{i=1}^{n} \left[a_1+d\sdot\left(i-1\right)\right]\right]+\left(d-a_1\right)^3\sdot n\\\end{align}}}

Example: If you want to sum the cubes of seven numbers, each of which exceeds the previous one by three, and the first term is less than three by two.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left[\left(3-2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]^3

דמיון זה אם רצית לחבר מעוקבי שבעה מספרים שכל אחד מהם מוסיף על שלפניו שלשה והראשון פחות משלשה שנים

You already know that [the sum of] the squares of these numbers is 952. We multiply that by three times two, which is 6; it is 5 thousand and 712. We keep it.

הנה כבר ידעת שמרובעי אלו המספרים הם תתקנ"ב ערכנו זה על שלשה דמיוני שנים שהוא ו' והנה ה' אלפים ותשי"ב ונשמרם

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(3-1\right)\sdot\sum_{i=1}^{7} \left[1+3\sdot\left(i-1\right)\right]^2=3\sdot2\sdot952=6\sdot952=5712}}

The sum of these numbers is 70. We multiply it by three times the square of two, which is 12; it is 840. We keep it also.

וגם כן הנה נקבץ אלו המספרים הוא ע' ערכנום על שלשה דמיוני מרובע שנים שהוא י"ב והנה תת"מ ונשמרם גם כן

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(3-1\right)^2\sdot\sum_{i=1}^{7} \left[1+3\sdot\left(i-1\right)\right]=3\sdot2^2\sdot70=12\sdot70=840}}

We multiply the cube of two, which is eight, by 7; it is 56.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3-1\right)^3\sdot7=2^3\sdot7=8\sdot7=56}}

ערכנו מעוקב שנים שהוא שמנה על ז' והנה נ"ו

We add it to the two reserved; it is 6 thousand and 608, and this is the first "corrected" reserved.

חברנום‫^[683] עם שני השמורים והנה ו' אלפים ותר"ח והוא השמור הראשון המתוקן

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[3\sdot\left(3-1\right)\sdot\sum_{i=1}^{7} \left[1+3\sdot\left(i-1\right)\right]^2\right]+\left[3\sdot\left(3-1\right)^2\sdot\sum_{i=1}^{7} \left[1+3\sdot\left(i-1\right)\right]\right]+\left(3-1\right)^3\sdot7\\&\scriptstyle=5712+840+56=6608\\\end{align}}}

We take the sum of the cubes of the successive numbers from one up to 7; it is 784. We multiply it by 27, which is the cube of three; it is 21 thousand and 168.

הוצאנו מעוקבי המספרים הנמשכים מן האחד עד ז' והנה תשפ"ד ערכנום על כ"ז שהוא מעוקב שלשה והנה כ"א אלפים וקס"ח

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sum_{i=1}^{7} i^3\right)\sdot3^3=784\sdot27=21168}}

We subtract the first "corrected" reserved from it; the remainder is two thousand and 560 and this is the reserved.

גרענו מהם השמור הראשון המתוקן ונשאר י"ד אלפים ותק"ס‫^[684] והוא המבוקש

If the first term is greater than the increment by a second given number, take the sum of the first given number of numbers that follow each other, not in the sequence of the natural numbers, but by the given increment. You already know the procedure from what preceded. Multiply the result by three times the square of the second given number and keep the result.

ואם היה המספר הראשון מוסיף על מספר ההמשך מספר מונח שני הוצא נקבץ המספר המונח הראשון ממספרים‫^[685] נמשכים בזולת דרך המספר בשעור זה ההמשך המונח וכבר ידעת אופן זה המעשה במה שקדם ערוך ‫^[686]העולה על שלשה דמיוני מרובע המונח השני ושמור העולה

Take also [the sum of] the squares of the first given number of numbers that follow each other, not in the sequence of the natural numbers, but by the given increment. Multiply the result by three times the second given number and keep the result.

גם קח מרובעי המספר המונח הראשון ממספרים נמשכים בזולת דרך המספר בשעור זה ההמשך המונח וערוך העולה על שלשה דמיוני המספר המונח השני ושמור העולה

Multiply the cube of the second given number by the first given number and add the result to the two reserved; the result is the first "corrected" reserved.

עוד תערוך מעוקב המספר המונח השני על המספר המונח הראשון וחבר העולה עם שני‫^[687] השמורים והעולה יהיה השמור הראשון המתוקן

Then, take [the sum of] the cubes of the first given number of numbers that follow each other, not in the sequence of the natural numbers, but by the given increment, and add the first "corrected" reserved to the result; it is the required.

אחר כן הוצא מעוקבי המספר המונח הראשון ממספרים נמשכים בזולת דרך המספר בשעור ההמשך המונח וחבר עם העולה השמור הראשון המתוקן והנה המבוקש

Example of this from our previous example, meaning when the first number is greater than the increment by two:

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left[\left(3+2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]^3

דמיון זה במשלינו הקודם רצוני שיהיה המספר הראשון מוסף שנים על שעור ההמשך

We know that [the sum of] the squares of the seven numbers that follow each other by threes is one thousand and 260. We multiply one thousand and 260 by three times the second given number, which is 6; the result is 7 thousand and 560. We keep the result.

הנה ידענו כי מרובעי שבעה מספרים נמשכים בהמשך שלשה שלשה הם אלף ור"ס ערכנו אלף ור"ס על שלשה דמיוני המספר המונח השני שהוא ו' ועלה ז' אלפים ותק"ס‫^[688] ונשמור העולה

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(5-3\right)\sdot\sum_{i=1}^{7} \left(3i\right)^2=3\sdot2\sdot1260=6\sdot1260=7560}}

Furthermore, the sum of the sequence of numbers with an increment of three up to seven is 84. We multiply it by three times the square of the second given number, which is 12; the result is one thousand and 8. We keep it also.

וגם כן הנה נקבץ המספרים‫^[689] הנמשכים בהמשך שלשה עד שבעה הוא פ"ד ערכנום על שלשה דמיוני מרובע המספר המונח השני שהוא י"ב ועלה אלף וח' ונשמרם גם כן

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(5-3\right)^2\sdot\sum_{i=1}^{7} 3i=3\sdot2^2\sdot84=12\sdot84=1008}}

Also, the cube of the second given number is 8. We multiply it by the first given number, which is 7; the result is 56.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5-3\right)^3\sdot7=2^3\sdot7=8\sdot7=56}}

וגם כן הנה מעוקב המספר המונח השני הוא ח' ערכנוהו‫^[690] על המספר המונח הראשון שהוא ז' ועלה נ"ו

We add it to the two reserved; the result is 8 thousand and 514, and this is the first "corrected" reserved.

חברנום עם שני השמורים ועלה ח' אלפים ותרכ"ד והוא השמור הראשון המתוקן

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[3\sdot\left(5-3\right)\sdot\sum_{i=1}^{7} \left(3i\right)^2\right]+\left[3\sdot\left(5-3\right)^2\sdot\sum_{i=1}^{7} 3i\right]+\left(5-3\right)^3\sdot7\\&\scriptstyle=7560+1008+56=8624\\\end{align}}}

The [sum of the] cubes of the seven numbers in the sequence of numbers with an increment of three is 21 thousand and 168.

וגם כן הנה מעוקבי שבעה מספרים נמשכים בהמשך שלשה הוא כ"א אלפים וקס"ח

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} \left(3i\right)^3=21168}}

We add it to the first "corrected" reserved; the result is 29 thousand and 792, and this is the required.

חברנום עם השמור הראשון המתוקן ועלה כ"ט אלפים ותשצ"ב‫^[691] והוא המבוקש

This is so, because if we subtract two from each of these numbers, they are in the sequence of numbers with an increment of three. The cube of each number of them is, however, less than the cube of the number, when two is added to it, by three times the product of the square of that number by 2, plus three times the product of that number by the square of two, and the cube of two. When we add this to all the numbers, it is what we have mentioned.

והיה זה כן שאם נגרע מכל‫^[692] אחד מאלו המספרים שנים היו נמשכים בהמשך שלשה ואולם מעוקב כל מספר מהם פחות ממעוקב המספר כשהוסף עליו שנים כמו שלשה דמיוני שטח‫^[693] מרובע המספר ההוא על שנים וכמו שלשה דמיוני שטח‫^[694] המספר ההוא‫^[695] על מרובע שנים וכמו מעוקב שנים וכאשר קבצנו זה בכל המספרים היה מה שזכרנו

Understand it and you will find it.

ותבין ותמצא

By this the reason of similar cases is clarified with a little investigation.

ובזה ‫^[696]התבארה הסבה במקביל זה עם מעט עיון

Finding the Last Term

If you want to know how much is the last number of a given number of proportional numbers in a given ratio, beginning from one:

אם רצית לדעת מה יעלה המספר האחרון ממספר מונח ממספרים מתיחסים על יחס מונח מתחילים מן האחד

Take the square of the ratio; then you have the third term, take the square of the third; then you have the fifth term, take the square of the fifth; then the ninth - this way you can find, through the square of each term, the term that is the extreme. When you come to a term that is nearer to the given term, keep it.

קח מרובע היחס והנה השלישי קח מרובע השלישי והנה החמישי קח מרובע החמישי והנה התשיעי ובזה הדרך תוכל לדעת ממרובע כל מספר מהם מספר קצהו וכאשר תגיע אל מספר קרוב מהמספר המונח שמור מספרו

Then, find its distance from the given number. Find also how much is the term of these proportional numbers, whose distance from one is the same. Multiply the reserved by this number, and this is the required.

אחר כן תדע כמה מרחקו מהמספר המונח‫^[697] גם דע מה יעלה המספר מאלו המתיחסים‫^[698] אשר מרחקו ככה מן האחד ועל מספרו תערוך השמור והנה המבוקש

Example of this: If you want to know how much is the last term of fifteen proportional numbers in a given ratio beginning from one and let the given ratio be three.

משל זה אם רצית לדעת מה יעלה המספר האחרון מחמשה עשר מספרים מתיחסים על יחס‫^[699] מונח מתחילים מן האחד והיה היחס המונח שלשה

So, the second term is three.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=3}}

ובזה יהיה המספר השני שלשה

We take the square of 3, which is 9, and this is the third term.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=a_2^2=3^2=9}}

לקחנו מרובע ג' שהוא ט' והנה השלישי

We take the square of 9, which is 81, and this is the fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{a_5=a_3^2=9^2=81}}

לקחנו מרובע ט' שהוא פ"א והנה החמישי

We take the square of 81, which is 6 thousand and 561, and this is the ninth.

\scriptstyle{\color{blue}{a_9=a_5^2=81^2=6561}}

לקחנו מרובע פ"א שהוא ו' אלפים ותקס"א והנה התשיעי

If we take the square of the ninth, we get the seventeenth, and it exceeds over the given number, therefore we see how much is the distance of the ninth from the fifteenth; and the fifteenth is the seventh after it.

\scriptstyle{\color{blue}{a_{17}=a_9^2}}

ואם נקח מרובע התשיעי יהיה לנו השבעה עשר ויעבור המספר המונח

\scriptstyle{\color{blue}{a_{9+6}=a_{15}}}

ולזה נראה כמה מרחק התשיעי מן החמש עשרה והנה החמש עשרה הוא השביעי לו

Therefore, we should find how much is the seventh term from one. We know that the number that is the fifth from one is 81 and the seventh is third from the fifth.

ולזה ראוי שנדע כמה מספר המספר השביעי לאחד וידענו כי המספר החמישי לאחד הוא פ"א והשביעי הוא שלישי לחמשי

We multiply 81 by 9, which is the third term; it is 729 and this is the seventh term.

\scriptstyle{\color{blue}{a_7=a_5\sdot a_3=81\sdot9=729}}

ערכנו פ"א על ט' שהוא השלישי והנה תשכ"ט והוא השביעי

Multiply the seventh by the ninth; you receive the fifteenth number, which is 4 thousand of thousand, 7 hundred of thousand, eighty-two thousand and 969, and this is the fifteenth term.

\scriptstyle{\color{blue}{a_{15}=a_7\sdot a_9=4782969}}

ערוך השביעי על התשיעי ויעלה בידך‫^[700] המספר החמש עשרה והוא ד' אלפי אלפים וז' מאות אלף ושמנים ושנים אלף ותתקס"ט‫^[701] והוא החמשה עשר

Deduce from this.

והקש על זה

This is so because the ratio of the first to the second is the same as the ratio of the second to the third, and therefore the product of the first by third is the same as the product of the second by itself.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2}}

והיה זה כן לפי שיחס‫^[702] הראשון אל השני כיחס השני אל השלישי ולזה יהיה שטח הראשון בשלישי כמו שטח השני בעצמו

But, the product of the first by the third is the third, because the first is one. So, the product of the second by itself is the third.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1\sdot a_3=1\sdot a_3=a_3\longrightarrow a_2^2=a_3}}

אבל שטח הראשון בשלישי הוא השלישי לפי שהראשון הוא אחד אם כן שטח השני בעצמו הוא השלישי

Likewise, it is clear that the product of the first by the fifth is as the product of the third by itself.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1\sdot a_5=a_3^2}}

ובזה יתבאר ששטח הראשון בחמישי כמו שטח השלישי בעצמו

And so also for what follows.

וכן יתבאר ‫^[703]מה שימשך לזה

Also, the ratio of the first to the third is the same as the ratio of the fifth to the seventh. So, the product of the third by the fifth is the same as the product of the first by the seventh, which is the same as the seventh.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_3=a_5:a_7\longrightarrow a_3\sdot a_5=a_1\sdot a_7=a_7}}

וגם כן הנה יחס הראשון אל השלישי כמו יחס החמישי אל השביעי אם כן שטח השלישי בחמישי הוא כמו שטח הראשון בשביעי שהוא כמו השביעי

Also, the ratio of the first to the seventh is the same as the ratio of the ninth to the fifteenth. So, the product of the seventh by the ninth is the same as the product of the first by the fifteenth, which is the same as the fifteenth.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_7=a_9:a_{15}\longrightarrow a_7\sdot a_9=a_1\sdot a_{15}=a_{15}}}

וגם כן הנה יחס הראשון אל השביעי כיחס התשיעי אל החמשה עשר אם כן שטח השביעי בתשיעי הוא כמו שטח הראשון בחמשה עשר שהוא כמו החמשה עשר

Deduce from this.

והקש על זה

If you want to know how much is the last term of a given number of proportional numbers by a given ratio that do not begin with one.

ואם רצית לדעת מה יעלה המספר האחרון ממספר‫^[704] מונח ממספרים‫^[705] מתיחסים על יחס מונח בלתי מתחילים מן האחד

First, find how much is the last number of the given number of proportional numbers by the given ratio that start with one. Then, multiply it by the first number and this is the required.

דע תחלה מה יעלה המספר האחרון מהמספר המונח ממספרים מתיחסים על היחס המונח מתחילים מן האחד וערכהו‫^[706] על המספר הראשון וככה המבוקש

Example: Let the proportional numbers be five, their ratio be 3, the first term be five, and you want to know how much is the last term.

דמיון זה שיהיו המספרים המתיחסים חמשה והיחס שלשה והראשון חמשה ורצית לדעת כמה האחרון

You already know that the fifth term of this ratio starting with one is 81. Multiply 81 by the first number, which is five; the result is 405 and this is the required.

הנה כבר ידעת שהחמישי מזה היחס אם היו מתחילים מן האחד הוא פ"א ערכת פ"א על המספר הראשון שהוא חמשה ועלה ת"ה וככה המבוקש

This is so, because the ratio of the first, which is one, to the fifth is as the ratio of the first, which is five, to the fifth from it.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_5=1:a_5=5:b_5=b_1:b_5}}

והיה זה כן כי ביחס השווי יחס הראשון שהוא אחד אל‫^[707] החמישי לו כיחס הראשון שהוא חמשה אל החמישי לו מזה היחס

When we interchange, the ratio of the first to the [other] first is the same as the ratio of the fifth to the [other] fifth.

וכאשר המירונו הנה יחס הראשון אל הראשון כיחס החמישי‫^[708] אל החמישי

But, the ratio of the first to the [other] first is five, so the ratio of the fifth to the [other] fifth is also five.

ואולם יחס הראשון אל הראשון הוא חמשה הנה יחס החמישי אל החמישי הוא חמשה

Deduce from this.

והקש על זה

If you want to sum a given number of proportional numbers by a given ratio:

אם רצית לחבר מספר מה ממספרים מתיחסים על יחס מונח

Subtract the first from the second. Find the ratio of the remainder from the second to the first, and so is the ratio of the remainder from the last, when we subtract the first from it, to [the sum of] all the numbers preceding it.

גרע הראשון מהשני וראה יחס הנשאר מהשני אל הראשון וככה יחס הנשאר מהאחרון כשנגרע ממנו הראשון אל כל המספרים שלפניו

This is already proven at the end of the ninth book of Euclid.

וזה כבר התבאר בסוף המאמר התשיעי מאקלידס

Example: If you want to sum six proportional numbers by the ratio of 3, the first of which is 4.

דמיון זה אם רצית לחבר ששה מספרים מתיחסים על יחס ג' והראשון ד‫'

You already know that the second is 12 and the last is 972. We subtract the first, which is four, from the second; eight remains. The ratio of 4 to 8 is a half. We subtract 4 from the last; 968 remains. We take its half; it is 484. We add it to 972; it is one thousand and 456 and this is the required.

כבר ידעת שהשני הוא י"ב והאחרון הוא תתקע"ב גרענו מהשני הראשון שהוא ארבעה ונשארו שמנה והנה יחס ד' אל ח' הוא חצי גרענו מהאחרון ד' ונשארו תתקס"ח לקחנו חציים ‫^[709]והנה תפ"ד חברנוהו עם תתקע"ב והנה אלף תנ"ו והוא המבוקש

Chapter Four – On the Number of Collections of Given Items that Either Differ by the Items or by their Order or by both

השער הרביעי בחבור מספר מחברות מנושאים מונחים תתחלפנה המחברות בנושאיהם או בסדרן או בשני הענינים יחד

If you want to know the number of the collections of a given number of different items that differ only by the order [= permutations]:

אם רצית לדעת מספר מחברות מספר מונח מנושאים מתחלפים המתחלפות בסדר לבד

Take the number that is composed of the successive numbers from one to the given number, and this is the required.

קח המספר המורכב מהמספרים הנמשכים מן האחד עד המספר ההוא וככה המבוקש

Example for this: if you wish to know in how many ways 5 items can be put together, so that the collections only differ by their order.

דמיון זה אם רצית לדעת בכמה דרכים יתחברו ה'‫^[710] נושאים ותהיינה המחברות מתחלפות בסדר

The successive numbers from one to 5 are 1, 2, 3, 4, 5.

הנה המספרים הנמשכים מן האחד עד ה' הם א'ב' ג'ד' ה‫'

The number that is composed of the numbers 1, 2, 3, 4, 5 is 120 and this is the required.

והמספר המורכב ממספרי א'ב' ג'ד' ה' הוא ק"כ וככה המבוקש

This is because the number of collections of 2 [items] is 2, which is equal to the product of 1 and 2.

והיה זה כן לפי שמחברות ב' הם‫^[711] ב' וזה שוה למורכב א'ב‫'

The collections of three [items] are as the product of 2 by 3, which is the product of 1, 2, 3.

ומחברות שלשה הם כמו שטח ג' בב' שהוא מורכב א'ב'ג‫'

Likewise it is proven to infinity.

וכזה התבאר זה לאין תכלית

If you want to know the number of collections of a second given number [of items taken out of a set of] a first given number of different items, that differ either by the order or by the items [= variations]:

אם רצית לידע כמה תהיינה מחברות מספר מונח שני ממספר מונח ראשון מנושאים מתחלפים המתחלפים אם בסדר אם בנושאיהן

You already know that the [number of] variations of two [of the items] is as the product of the first given number by its preceding number.

כבר ידעת שמחברות השנים הם כמו שטח המספר המונח הראשון במספר הנמשך לו לפניו

The [number of] variations of three [of the items] is in ratio to that of the variations of two as the remainder from the first given number, when we subtract two from it.

ומחברות השלשה ממנו יחסם אל מחברות השנים כמו‫^[712] הנשאר מהמספר המונח הראשון כשגרענו ממנו שנים

The [number of] variation of four [of the items] is in ratio to that of the variations of three as the remainder from the first given number, when we subtract three from it.

ומחברת הארבעה ממנו יחסם אל מחברות השלשה כמו הנשאר מהמספר המונח הראשון כשגרענו ממנו שלשה

And so on endlessly.

וכזה ימשך הענין לאין תכלית

Therefore, the procedure is that you take the number that is composed of as many consecutive numbers as the second given number, so that the last one of them should be equal to the first given number; the result is the required.

ומפני זה יהיה הדרך בזה שתקח המספר המורכב מהמספר המונח השני ממספרים נמשכים שיהיה האחרון מהם שוה אל המספר המונח הראשון והעולה הוא המבוקש

Example for this: if you wish to know the number of variations of five [items taken out of a set of] 8 items that differ either by the order or by the items.

‫^[713]דמיון זה אם רצית לדעת מחברות החמשה מח' נושאים מתחלפים אם בסדר ואם בנושאיהן

Since the second given number is five, take the number composed of five consecutive numbers, so that the last of them is eight, which are 4,5,6,7,8; the number composed of them is 6720, and so is the [number of] variations of the five [items] that differ either by the order or by the items [taken out] of eight different items.

הנה מפני שהמספר המונח השני הוא חמשה תקח מורכב חמשה ממספרים נמשכים שיהיה האחרון מהן שמנה והם‫^[714] ד'ה'ו' ז'ח' והמספר המורכב מהם הוא ו' אלפים תש"כ וככה מחברות החמשה המתחלפות אם בסדר ואם בנושאיהן משמנה נושאים מתחלפים

This is because the [number of] variations of two of them is the product of 7 by 8.

והיה זה כן לפי שמחברות השנים ממנו הוא שטח ז' בח‫'

The [number of] variations of three of them is the product of 6 by the product of 7 by 8, according to what has been proven in the above.

ומחברות השלשה ממנו הוא שטח ו' בשטח ז' בח' לפי מה שהתבאר במה שקדם

The [number of] variations of four of them is the product of 5 by the product of 6, 7, 8.

ומחברות הארבעה ממנו הוא שטח ה' במורכב מספרי ו'ז'ח‫'

The [number of] variations of five of them is the product of 4 by the product of 5, 6, 7, 8.

ומחברות החמשה ממנו הוא שטח ד' במורכב ממספרי ה'ו' ז'ח‫'

And so on it is explained endlessly and this is all clear from the above.

וכזה יתבאר לאין קץ וזה כלו מבואר ממה שקדם

If you want to know how many collections there are of a second given number [of items taken out of a set of] a first given number of different items, that differ by the items [= combinations]:

אם רצית לדעת כמה תהיינה מחברות מספר מונח שני המתחלפות בנושאיהן ממספר מונח ראשון מנושאים מתחלפות

Take the number of collections of the second given number [of items taken out of a set of] as many different elements as the first number, that differ either by the order or by the items [= variations] and keep the result.

קח מחברות המספר המונח השני המתחלפות אם בסדר ואם בנושאיהן מהמספר המונח הראשון מנושאים מתחלפים ושמור העולה

Take the number of collections of the second given number [of items] that differ only by the order [= permutation].

גם קח מחברות המספר המונח השני המתחלפות בסדר לבד

As the number of times that the reserved counts the result so is the sought.

וכמו שעור אחדי המספר שימנה השמור העולה וככה המבוקש

Example for this: if you wish to know the number of combinations of five [items taken out of a set of] eight different items that differ by the items.

דמיון זה אם רצית לדעת מחברות החמשה מתחלפות בנושאיהן משמנה נושאים מתחלפים

See how many times the number composed of 4, 5, 6, 7, 8 is counted by the number composed of 1, 2, 3, 4, 5.

ראה כמה פעמים ימנה מורכב ד'ה'ו' ז'ח' מורכב א'ב' ג'ד'ה‫'

The number composed of 4, 5, 6, 7, 8 is 6720.

והנה מורכב ד'ה'ו' ז'ח' הוא ו' אלפים תש"כ

The number composed of 1, 2, 3, 4, 5 is 120.

ומורכב א'ב' ג'ד'ה' הוא ק"כ

6720 is counted 56 times by 120; so, 56 is the required.

וו' אלפים תש"כ ימנהו ק"כ נ"ו‫^[715] פעמים והנה נ"ו הוא המבוקש

The calculation procedure of this division will be presented afterwards.

וכבר יבא לך דרך חשבון בזאת החלוקה במה שאחר זה

To make it easier for you: you already know that [the number of] combinations of five [items taken out of a set of] eight different items that differ by the items, is the same as the number of combinations of three of these items.

ולהקל מעליך כבר ידעת שמחברות החמשה המתחלפות בנושאיהן משמנה נושאים מתחלפים הם כמספר מחברות השלשה המתחלפות בנושאיהן מאלו הנושאים

Hence, see how many times the number composed of 6, 7, 8, which is 336, is counted by the number composed of 1, 2, 3, which is 6; it counts it 56 times.

‫^[716]ולזה תעיין כמה פעמים ימנה מורכב ו'ז'ח' שהוא של"ו‫^[717] מורכב א'ב'ג' שהוא ו' והנה ימנהו נ"ו פעמים

Thus, as [the number of] combinations of three [items taken out of a set of] eight items, so is [the number of] combinations of five [items] that are their remainder.

וככה מחברות השלשה המתחלפות בנושאיהן משמנה נושאים גם ככה מחברות החמשה שהוא שאריתם

The reason for this has already been proven from our saying above.

והסבה בזה כבר התבארה מדברינו במה שקדם

Chapter Five – Division

השער החמישי בחלק מספר על מספר

You already know that every product is counted by one of its factors as the number of units of its other factor.

כבר ידעת שכל שטח ימנהו אחד מצלעיו כמספר אחדי הצלע השנית

Therefore, if you know the number of the product and you know one of its factors, you can calculate the other factor.

על כן אם ידעת מספר השטח וידעת אחת מצלעותיו תוכל להוציא הצלע השנית

The procedure for this is that you write the number of the product in one row and beneath it in another row you write the known factor, then divide the top row by the bottom row, and the result is the second factor.

והנה אופן המעשה בזה שתכתוב מספר השטח בטור אחד ותחתיו תכתוב בטור אחר הצלע הידוע ותחלוק הטור העליון על הטור השפל והעולה בידך הוא הצלע השנית

But how you should divide the top row by the bottom row? This is as I will tell you:

ואולם איך תחלוק הטור העליון על הטור השפל הנה כפי מה שאומ‫'

First, look at the last digit in the bottom row and the digit in the preceding rank, and consider all the digits that precede the preceding rank of the bottom row as if they were one alone in the preceding rank.

תסתכל תחלה במספר האחרון שבטור התחתון ובמספר שבמעלה הקודמת לו וכל המספרים שלפני המעלה הקודמת לו בטור התחתון תחשוב כאלו הם אחד לבד במעלה הקודמת לו

The units you have in the last rank of the bottom row are considered as units.

ומה שיעלה בידך מן האחדים במעלה האחרונה שבטור התחתון יהיו לאחדים בידך

The units you have in rank that precedes the last rank are considered as tenths of one integer.

ומה שיעלה בידך מן האחדים במעלה שלפני האחרונה יהיו לעשיריות אחד שלם

Keep what the units and the tenths that you have.

ומה שיהיה בידך מן האחדים והעשיריות שמרם

Then, look at the last digit in the top row, it will be as units for you.

אח"כ התבונן במספר התחתון שבטור העליון והיו לאחדים בידך

The units that are in the preceding rank will be as tenths.

והאחדים שבמעלה שלפניו יהיו עשיריות

Do not consider the other digits.

ולא תחוש לשאר המספרים

If the units and the tenths that you have received are more than the reserved or as much as the reserved, calculate how many times the reserved is contained in it in its entirety, then put the result in a middle row between the two rows in the rank, whose distance from the last rank of the upper row is as the distance of the last rank of the bottom row from the rank of units.

והעולה בידך מן האחדים והעשיריות אם הם יותר מהשמור או כדי השמור תחשוב כמה פעמים יהיה בו השמור בשלמות והעולה בידך תשימהו בטור אמצעי בין שני הטורים במעלה אשר מרחקה מהמעלה האחרונה שבטור העליון לפניו כמרחק המעלה האחרונה שבטור התחתון ממדרגת האחדים

Then multiply that digit that is in the result row by the bottom row, subtract the product you get from the top row, write the remainder over the top row and erase the previous [digit in the] top row.

אחר כך ערוך המספר ההוא אשר בטור העולה על הטור התחתון והעולה בידך תגרענו מהטור העליון ותכתוב הנשאר בידך על הטור העליון ותמחוק הטור העליון הקודם

If the last digit of the top row with the tenths that were there are not as much as the reserved, lower the last rank to the preceding one, consider the units and the tenths of the preceding and see how many times the result is counted by the reserved in its entirety, write the result in the rank, whose distance from the last rank of the top row after the lowering is as the distance of the last rank of the bottom row from the first rank, then proceed as the previous procedure.

ואם לא היה המספר האחרון אשר בטור העליון עם העשיריות אשר שם כמו השמור תוריד המעלה האחרונה אל שלפניה וממנה תחשוב האחדים והעשיריות משלפניה והעולה בידך תראה כמה פעמים ימנהו השמור בשלמות והעולה תכתוב במעלה אשר מרחקה לאחור מהמעלה האחרונה אחר ההורדה שבטור העליון כמרחק המעלה האחרונה שבטור התחתון מהמדרגה הראשונה ותנהג הענין על המנהג הקודם

Then, do with what is left of the top row as you did with the previous top row.

אח"כ תשוב לעשות מהטור העליון הנשאר בידך כמו מה שעשית מהטור העליון הקודם

Proceed like this until nothing is left in the top row, or until you are left with less than the bottom row if the top row does not count the bottom row.

וכן תעשה עד שלא ישאר לך בטור העליון דבר או שישאר לך פחות מהטור התחתון אם היה שלא ימנה הטור העליון הטור התחתון

In the following we will tell you what to do with this remainder.

ועוד נודיעך במה שיבא מה תעשה מהנשאר ההוא

Sometimes it happens that we have to write the result twice in one rank, but it is rare that it happens.

ופעמים יקרה שנצטרך לכתוב בטור העולה שתי פעמים במעלה אחת ומעט מה שיקרה זה

Example: we wish to divide line 987654321 by line 9437

\scriptstyle987654321\div9437

דמיון זה רצינו לחלק טור א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט' על טור ז'ג'ד'ט‫'

					6	2	1	2
				7	2	2	7	1
			5	4	4	1	2	1
		6	2	0	6	3	2	1
0	4	3	9	5	4	3	2	1
9	8	7	6	5	4	3	2	1

the divided

1

0

4

6

5

7

the result

9

4

3

7

the divisor

9	4	3	7	0	0	0	0	0
	3	7	7	4	8	0	0	0
		5	6	6	2	2	0	0
			4	7	1	8	5	0
				6	6	0	5	9

					ו	ב	א	ב
				ז	ב	ב	ז	א
			ה	ד	ד	א	ב	א
		ו	ב	0	ו	ג	ב	א
0	ד	ג	ט	ה	ד	ג	ב	א
ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א

הטור הנחלק

א

0

ד

ו

ה

ז

הטור העולה

ט

ד

ג

ז

הטור שחלקנו עליו

ט	ד	ג	ז	0	0	0	0	0
	ג	ז	ז	ד	ח	0	0	0
		ה	ו	ו	ב	ב	0	0
			ד	ז	א	ח	ה	0
				ו	ו	0	ה	ט

The last digit in the bottom row, which is 9437, is 9, and it is an integer; the digit in the rank before it is 4, and anything before it is considered approximately as one in that rank. So, it is 5, and they are tens. Therefore, the reserved is 9 integers and 5 tenths. 9 integers and 8 tenths are counted by 9 integers and 5 tenths once, so we write 1 in the middle row between the two rows, in the fourth rank before the last of the upper row, because the last number of the bottom row is of the fourth rank. So, the 1 in the middle row is from the sixth rank.

והנה המספר האחרון שבטור התחתון והוא ז'ג'ד'ט' הוא ט' והם שלמים ובמעלה שלפניו מספר ד' וכל מה שלפניו הוא אחד בה על צד האומד והקרוב ויהיו ה' והם עשיריות ולזה יהיה השמור ט' שלמים וה' עשיריות והנה ט' שלמים וח' עשיריות ימנם ט' שלמים וה' עשיריות פעם אחת ולזה נכתוב א' בטור האמצעי בין שני אלו הטורים במעלה הרביעית לאחרונה שבטור העליון לפניה לפי שמספר האחרון שבטור התחתון הוא מרביעית ולפי זה יהיה הא' שבטור האמצעי מהמעלה הששית

We multiply 1 by the bottom line and the result is 7 of the sixth [rank], 3 of the seventh [rank], 4 of the eighth [rank], 9 of the ninth [rank].

\scriptstyle{\color{blue}{9437\times1=9437}}

הכינו א' על הטור התחתון ועלה ז' מהששית ג' מהשביעית ד' מהשמינית ט' מהתשיעית

We subtract the result from the upper row; 43954321 remains in the upper line.

\scriptstyle{\color{blue}{987654321-943700000=43954321}}

גרענו העולה מהטור העליון ונשאר בטור העליון א'ב'ג'ד'ה'ט'ג'ד‫'

We write it above the upper row and cross out the previous [upper] row. In the last rank of the upper row with what precedes it there are 4 integers and 3 tenths and this is less than the reserved. Therefore, lower down 4 to the preceding rank; it becomes 40 in it; with 3 that is already there, it is 43, and 9 tenths are in the preceding rank. We divide 43 and 9 tenths by 9 and 5 tenths, which is the reserved; the result is 4 integers. We write 4 in the middle row, in the fourth rank before the rank of 43. So, the 4 is from the fourth rank.

ונכתוב זו על הטור העליון ונמחק הטור הקודם והנה במעלה האחרונה שבטור העליון עם מה שלפניו ד' שלמים וג' עשיריות והוא פחות מהשמור ולזה תוריד ד' אל שלפניו יהיו מ' בה וג' שהיו בה והנה מ"ג וט' עשיריות במעלה שלפניו חלקנו מ"ג וט' עשיריות על ט' וה' עשיריות שהוא השמור ועלה ד' בשלמות ונכתוב ד' בטור האמצעי במעלה הרביעית לאחור למעלת המ"ג ולזה יהיו הד' מהרביעית

We multiply 4 by the bottom row; the result is 8 in the fourth [rank], 4 in the fifth, 7 in the sixth, 7 in the seventh, 3 in the eighth.

\scriptstyle{\color{blue}{9437\times4=37748}}

הכינו ד' על הטור התחתון ועלה ח' ברביעית ד' בחמשית ז' בששית ז' בשביעית ג' בשמינית

We subtract the result from the second upper row; 6206321 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{43954321-37748000=6206321}}

גרענו העולה מהטור העליון השני ונשאר א'ב'ג'ו'0ב'ו‫'

What is in the last rank with what is in the rank before it is less than the reserved, so we lower the 6 that is in the last rank down to the preceding [rank]; it becomes sixty in it, with 2 that is there, it is 62. In the preceding rank there is nothing. We divide 62 by the reserved; the result is 6. We write it in the third rank, because it is the fourth back from the rank of 62 that we divided.

והנה מה שבמעלה האחרונה עם מה שבמעלה שלפניה הוא פחות מהשמור ולזה נוריד הו' שבמעלה האחרונה אל שלפניה יהיו ששים בה וב' שהיו בה והנה ס"ב ואין במעלה שלפניה דבר נחלק ס"ב על השמור ועלה ו' ונשימם בשלישית לפי שהיו ברביעית לאחור ממעלת ס"ב שחלקנו

We multiply 6 of the third [rank] by the bottom row; the result is 2 in the third [rank], 2 in the fourth, 6 in the fifth, 6 in the sixth, 5 in the seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{9437\times600=5662200}}

ערכנו ו' מהשלישית על הטור התחתון ועלה ב' מהשלישית ב' מהרביעית ו' בחמשית ו' בששית ה' בשביעית

We subtract the result from the third upper row; 544121 remains in the fourth upper row.

\scriptstyle{\color{blue}{6206321-5662200=544121}}

גרענו העולה מהטור העליון השלישי ונשאר הטור העליון הרביעי א'ב'א'ד'ד'ה‫'

We lower 5 down to the preceding rank; with the 4 that is there it is 54, and the 4 in the preceding rank is 4 tenths. We divide 54 and 4 tenths by the reserved; the result is 5. We write it in the middle row, in the second rank, because it is the fourth back from the rank we divided.

ונוריד ה' אל המעלה שלפניה וד' אשר בה והנה נ"ד וד' שבמעלה שלפניה יהיו ד' עשיריות חלקנו נ"ד וד' עשיריות על השמור ועלה ה' ונשימם בטור האמצעי בשנית שהיא הרביעית לאחור מהמעלה שחלקנו

We multiply 5 from the second [rank] by the bottom row; the result is 47185.

\scriptstyle{\color{blue}{9437\times5=47185}}

ערכנו ה' מהשנית על הטור התחתון ועלה ה'ח'א'ז'ד‫'

We subtract the result from the fourth upper row; 72271 remains and this is the fifth upper row.

\scriptstyle{\color{blue}{544121-471850=72271}}

גרענו העולה מהטור העליון הרביעי ונשאר א'ז'ב'ב'ז' והוא הטור העליון החמשי

We lower 7 down to the preceding rank; with the 2 that is there it is 72. We divide it by the reserved; the result is 7. We write it in the middle row, in the first [rank], which is the fourth back from the rank we divided.

ונוריד ז' אל המעלה שלפניה וב' אשר בה והנה ע"ב חלקנו על השמור ועלה ז' ונשימם בטור האמצעי בראשונה שהיא הרביעית לאחור מהעלה אשר חלקנו

We multiply 7 from the first [rank] by the bottom row; the result is 66059.

\scriptstyle{\color{blue}{9437\times7=66059}}

ערכנו ז' מהראשונה על הטור התחתון ועלה ט'ה'0ו'ו‫'

We subtract it from the fifth upper row; 6212 remains; it is less than the bottom row and it is the indivisible remainder.

\scriptstyle{\color{blue}{72271-66059=6212}}

גרענום מהטור העליון החמשי ונשאר ב'א'ב'ו' והוא פחות מהטור התחתון והוא הנשאר שלא הגיע לחלוק

The result in the middle row is 104657, the remainder in the upper row is 6212. We write it in the sixth row.

והנה העולה בטור האמצעי הוא ז'ה'ו'ד'0א' והנשאר בטור העליון הוא ב'א'ב'ו' וכתבנום בטור ששי

Deduce from this.

והקש על זה

You should know that if the numbers in the upper row, up to the rank whose distance from the last rank of [that row] is the same as the distance of the last rank of the lower row from the first, when we lower all of them down to that rank, are the same as the numbers of the lower row, when we lower them down to the first rank, or greater, then you should write 1 in the row of the result, in the appropriate rank according to what preceded, even if you do not get in the upper row [the exact number] in the way we indicated.

וראוי שתדע שאם היו המספרים אשר בטור העליון עד המעלה אשר מרחקה מהמעלה האחרונה ממנו כמרחק המעלה האחרונה שבטור התחתון מן הראשונה כשהורדנום כלם אל המעלה ההיא כמספר הטור התחתון כשהורדנוהו אל המעלה הראשונה או יותר הנה ראוי שתשים אחד בטור העולה במעלה הראויה לפי מה שקדם ואע"פ שלא תשיג בטור העליון על הצד שהיישרנו בשלמות

Example: You have to divide the row 9, 4, 3, 7 by the row 9, 4, 3.

משל שיהיה לך לחלק טור ג'ז'ד'ט' על טור ג'ד'ט‫'

The reserved, according to what we indicated, is 9 units and 5 tenths, but in the upper row there are 9 units and 4 tenths. So, considering the above, the 9 should be lowered down to the preceding [rank]. But, if we lower 9, 4, 3, in the top row, down to the third rank, before the rank of 9, they become nine hundred and 43, while the number in the bottom row is exactly the same, when lowered down to the first [rank].

ויהיה השמור לפי מה שהיישרנו אליו ט' אחדים וה' עשיריות ובטור העליון ט' אחדים וד' עשיריות ולזה יחשב לפי מה שקדם שיצטרך להוריד ט' אל שלפניו ואמנם כשהורדנו ג'ד'ט' שבטור העליון אל המעלה השלישית לאחור למעלת ט' היו תשע מאות ומ"ג וכזה מספר הטור התחתון כשהורד אל הראשונה

Therefore, write one in the second rank of the row of the result. Multiply it by the bottom row and subtract the result from the upper row; you are left with 7 in the first [rank] of the top row.

ולזה תשים בטור העולה אחד במעלה השניה ותערכהו על הטור התחתון ותגרע העולה מהטור העליון ולא ישאר לך בטור העליון כי אם ז' מהראשונה

Deduce from this.

והקש על זה

You should apply this, when the last number in the bottom row is equal to the last number in the upper row and the number that precedes it is equal to the number that precedes the other [in the upper row].

ואתה צריך לחוש לזה כשיהיה המספר האחרון שבטור התחתון שוה למספר האחרון שבטור העליון והמספר השני לו לאחור שוה למספר השני אל האחור לאחר

Since we should explain what should be done with the remainder in the upper row, and there is no way to explain it, without first explaining the way to multiply fractions by integers, let us first explain all the ways of multiplying fractions and fractions of fractions.

ולפי שראוי שנבאר מה יעשה מהנשאר בטור העליון ואין דרך לזה הביאור אלא אם כן התבאר קודם דרך כפל השברים בשלמים הנה נבאר ראשונה דרך כפל השברים ושברי שברים בכל אופניהם

Fractions

Simple Fractions

Know that the ratio of each fraction to one is as the ratio of one to the denominator of that fraction.

דע שיחס כל חלק אל אחד כיחס אחד אל המספר המורה אל החלק ההוא

Example: the ratio of one-third to one is as the ratio of one to three, which is the denominator of the third, since the one is one-third of three.

והמשל שיהיה יחס שלישית אל אחד כיחס אחד אל שלשה שהוא מורה על שלישית לפי שהאחד הוא שלישית שלשה

When this is established it is proven that the ratio of the product of a given fraction by one to the product of one by one is as the ratio of one to the denominator of the given fraction.

וכאשר התישב זה הנה יתבאר שיחס שטח שבר מונח באחד אל שטח אחד באחד הוא כיחס אחד אל המורה על השבר המונח

Example: the ratio of the product of one-third by one to the product of one by one is as the ratio of one to three.

והמשל שיחס שטח שלישית באחד אל שטח אחד באחד הוא כיחס אחד אל שלשה

This is because the ratio of the product of one-third by one to the product of one by one is as the ratio of one-third to one.

וזה שיחס שטח שלישית באחד אל שטח אחד באחד הוא כיחס שלישית אל אחד

But, the ratio of one-third to one is as the ratio of one to three and the ratio of one to three is one-third.

אבל יחס שלישית אל אחד הוא כיחס אחד אל שלשה ויחס אחד אל שלשה הוא שלישית

So, the product of one-third by one is one-third of one, because the product of one by one is one.

א"כ שטח שלישית באחד הוא שלישית אחד לפי ששטח אחד באחד הוא אחד

It is also proven by a similar explanation that the product of a given number of integers or one integer by a given number of fractions or one fraction, is as many parts of the denominator as the product of the multiplier by the multiplicand.

וגם כן יתבאר בכמו זה הביאור ששטח מספר מונח משלמים או שלם אחד במספר מונח משברים או בשבר אחד הם חלקים מהמורה באחד כמספר שטח מספר המכה במספר המוכה

Example: we wish to multiply 5 sevenths by 40 integers.

\scriptstyle\frac{5}{7}\times40

והמשל שנרצה להכות ה' שביעיות על מ' שלמים

We say that the result is as many parts of seven in one as the product of 5 by 40, which is 200.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\times40}}

ונאמר שהעולה הוא חלקים משבע באחד כמספר שטח ה' במ' שהוא ר‫'

This is so because the ratio the product of 5 sevenths by 40 integers to the product of one-seventh by one is composed of two ratios: the ratio five to one and the ratio of 40 to one.

והוא שיחס שטח ה' שביעיות במ' שלמים אל שטח שביעית באחד מחובר משני יחסים מיחס חמשה אל אחד ומיחס מ' אל אחד

The ratio composed of these two ratios of two hundred to one.

והנה היחס המחובר משני אלו היחסים הוא יחס מאתים אל אחד

But, the product of one-seventh by one is one-seventh.

אבל שטח שביעית באחד הוא שביעית

Hence, the product of 5 sevenths by 40 integers is 200 parts of seven in one, which are 28 integers and 4 sevenths.

אם כן שטח ה' שביעיות במ' שלמים הוא ר' חלקים משבעה באחד שהם כ"ח שלמים וד' שביעיות

There is no doubt that by this same explanation the matter is proven if there is a number only in one of them, i.e. in the fractions or in the integers.

ואין ספק שבזה הביאור בעצמו התבאר הענין אם לא היה מספר כי אם באחד מהם ר"ל בשברים או בשלמים והקש על זה

After the method of multiplication of fractions by integers has been explained in all ways, we shall explain the method of multiplication of fractions by fractions.

ואחר שהתבאר אופן הכאת שברים בשלמים בכל אופניהם הנה נבאר אופן הכאת שברים בשברים

We shall explain that the ratio of the product of a fraction by a fraction to one is as the ratio of one to the product of one denominator by the other denominator.

ונבאר שיחס שטח שבר בשבר אל אחד כיחס אחד אל השטח ההוה מהמורה האחד במורה האחר

Example: the ratio of the product of one-third by one-fifth to one is as the ratio of one to the product of three by five, which is 15.

והמשל שיחס שטח שלישית בחמשית אל אחד כיחס אחד אל שטח שלשה בחמשה שהוא ט"ו

This is because the ratio of the product of one-third by one-fifth to the product of one by one, which one, is composed of two ratios: the ratio of one-third to one and the ratio of one-fifth to one.

וזה שיחס שטח שלישית בחמשית אל שטח אחד באחד שהוא אחד מחובר משני יחסים מיחס שלישית אל אחד ומיחס חמשית אל אחד

Likewise, the ratio of the product of one by one, which is 1, to the product of three by five is composed of two ratios: the ratio of one-third to one and the ratio of one-fifth to one.

וכן יחס שטח אחד באחד שהוא אחד אל שטח שלשה בחמשה מחובר משני יחסים מיחס שלישית אל אחד ומיחס חמשית אל אחד

Yet, the ratio of the product one-third by one-fifth to the product of one by one is also composed of these two same ratios.

וכבר היה יחס שטח שלישית בחמשית אל שטח אחד באחד מחובר משני אלו היחסים בעצמם

So, the ratio of the product of one-third by one-fifth to one is as the ratio of one to the product of three by five.

א"כ יחס שטח שלישית בחמשית אל אחד כיחס אחד אל שטח שלשה בחמשה

But, the ratio of one to the product of three by five is a fifteenth of one.

אבל יחס אחד אל שטח שלשה בחמשה הוא חלק מט"ו באחד

Therefore, the product of one-third by one-fifth is the fifteenth part of one.

א"כ שטח שלישית בחמשית הוא חלק מט"ו באחד והקש על זה

So it is clear that the product of one-third by one-third is one-ninth.

ובזה התבאר ששטח שלישית בשלישית הוא תשיעית אחד

Thus, it is proven by a similar explanation that the product of a given number of fractions or one fraction by a given number of fractions or one fraction, is as many parts of the product of one denominator by the other as the product of the multiplier by the multiplicand.

ובזה יתבאר בכמו זה הביאור ששטח מספר מונח משברים מה או שבר מה במספר מונח משברים מה או בשבר מה הוא חלקים משטח המורה האחד באחר כמספר שטח המספר המכה במספר המוכה

Example: we wish to multiply 4 sevenths by 5 ninths.

\scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{5}{9}

והמשל שנרצה להכות ד' שביעיות על ה' תשיעיות

We say that the result is as many sixty-thirds parts of one, which is the product of one denominator by the other, as the product of 4 by 5, which is 20.

ונאמר שהעולה הוא חלקים מס"ג באחד שהוא שטח המורה האחד באחר כמספר שטח ד' בה' שהוא כ‫'

This is because the ratio of the product of one-seventh by one-ninth to the product of 4 sevenths by 5 ninths is composed of two ratios: the ratio of one to 4 and theratio of one to 5.

וזה שיחס שטח שביעית בתשיעית אל שטח ד' שביעיות בה' תשיעיות מחובר משני יחסים מיחס אחד אל ד' ומיחס אחד אל ה‫'

But this composite ratio is the ratio of one to 20.

אבל זה היחס המחובר הוא יחס אחד אל כ‫'

So the ratio of the product of one-seventh by one-ninth to the product of 4 sevenths by 5 ninths is the ratio of one to 20.

אם כן יחס שטח שביעית בתשיעית אל שטח ד' שביעיות בה' תשיעיות הוא יחס אחד אל כ‫'

But, the product of one-seventh by one-ninth is a sixty-third part of one.

אבל שטח שביעית בתשיעית הוא חלק מס"ג חלקים באחד

Therefore, 4 sevenths by 5 ninths is 20 such sixty-third parts of one.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}\times\frac{5}{9}}}

א"כ ד' שביעיות בה' תשיעיות הוא כ' חלקים מס"ג חלקים באחד

והקש על זה

There is no doubt that by this same explanation it is proven if there is a number only in one of them.

ואין ספק שבזה הביאור בעצמו יתבאר אם לא היה מספר כי אם באחד מהם

When all of this is clear, we shall tell you a way to find the denominator of a fraction of a fraction.

וכאשר התבאר זה כלו נודיעך דרך לקיחת המורה בשבר השבר

We say that the denominator of a fraction of a fraction is the number that consists of the denominators of these fractions.

ונאמר שהמורה על שבר השבר הוא המספר המורכב מהמספרים המורים על השברים ההם

Example: one-third of one-fifth of one-third consists of the numbers three, five and three, therefore it is the forty-fifth part of one.

והמשל ששלישית חמשית שלישית הוא אחד ממורכב ממספרי שלשה חמשה שלשה באחד ולזה יהיה חלק ממ"ה באחד

This is because the ratio of the product one-fifth by one-third to the product of one by one is the same as the ratio of the product of one by one to the product of five by three.

וזה שיחס שטח חמשית בשלישית אל שטח אחד באחד כיחס שטח אחד באחד אל שטח חמשה בשלשה

So one-fifth of one-third is a fifteenth part of one.

אם כן חמשית שלישית הוא חלק מט"ו באחד

And likewise the ratio of the product of one-third by a fifteenth part of one to the product of one by one is the same as the ratio of the product of one by one to the product of three by 15.

וגם כן הנה יחס שטח שלישית בחלק מט"ו באחד אל שטח אחד באחד כיחס שטח אחד באחד אל שטח שלשה בט"ו

Therefore, one-third of one-fifth of one-third is the forty-fifth part of one.

א"כ שלישית חמשית שלישית הוא חלק ממ"ה באחד והקש על זה

And after we know the denominator, you can apply the multiplication in the previous way for both integers and fractions.

ואחר שידענו המורה תנהיג ההכאה באופן הקודם בין בשברים בין בשלמים

Example: if we wish to multiply 5 sevenths of thirds by 7 eighths.

\scriptstyle\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{3}\right)\times\frac{7}{8}

דמיון זה אם רצינו להכות ה' שביעיות שלישיות על ז' שמיניות

The denominator of a seventh of a third is 21 and the denominator of an eighth is eight; the number composed of the two denominators is 168. We multiply 5 by 7; the result is 35 and they are 35 parts of 168 of one integer.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{3}\right)\times\frac{7}{8}}}

הנה המורה לשביעית שלישית הוא כ"א והמורה לשמינית הוא שמנה והמורכב משני המורים הוא קס"ח

ערכנו ה' על ז' ועלה ל"ה והם ל"ה חלקים מקס"ח באחד שלם

והקש על זה

The way of addition of various fractions:

דרך חבור השברים השונים

Take the smallest number that is counted by [= common multiple] all the denominators of these fractions and this is the denominator. Take from it these fractions in their entirety, and you divide the result by the denominator; this is the sought for.

קח המספר המעט שימנוהו כל המורים לשברים ההם והוא המורה הנה וממנו תקח השברים ההם בכללם והעולה תחלקהו על המורה והוא המבוקש

Example: if we wish to sum 2 thirds with 4 fifths and with 5 sixths and with 3 quarters of a sixth.

\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)

דמיון זה אם רצינו לחבר ב' שלישיות עם ד' חמשיות ועם ה' ששיות ועם ג' רביעיות ששית

We already know that the smallest number that is counted by 3, 5, 6 and 24 is 120; Euclid has already explained the way to find it.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)}}

כבר ידענו שהמספר המעט שימנוהו שלשה וה' וו' וכ"ד הוא ק"כ וכבר התבאר דרך לקיחתו מאקלידס

Its 2 thirds are 80, it is already proven when we divide 120 by 3 and take 2 times the result.

והנה ב' שלישיותיו הם פ' וזה יתבאר כשנחלק ק"כ על שלשה ונקח ב' דמיוני העולה

Its 4 fifths are 96; its 5 sixths are 100 and 3 quarters of its sixth are 15.

וד' חמשיותיו הם צ"ו וה' ששיותיו הם ק' וג' רביעיות ששיותיו הם ט"ו

We sum all these numbers; the result is 291. We divide 291 by 120; the result is two integers and 51 parts of 120 parts of one.

חברנו כל אלו המספרים ועלה רצ"א

חלקנו רצ"א על ק"כ ועלה ב' שלמים נ"א חלקים מק"כ באחד

This is because the ratio of 2 thirds of one to one is the same as the ratio of 2 thirds of 120 to 120.

והיה זה כן לפי שיחס ב' שלישיות אחד אל אחד כיחס ב' שלישיות ק"כ אל ק"כ

This is clear for the remaining numbers.

וכזה יתבאר בנשאר

When we add up, the ratio of [the sum] of all of these fractions to one is as the ratio of 291 to 120.

וכאשר קבצנו הנה יחס כל אלו השברים אל אחד כיחס רצ"א אל ק"כ

והקש על זה

The way to know the result of multiplication of fractions by fractions or by fractions of fractions:

דרך לדעת העולה מהכאת השברים בשברים או בשברי השברים

You already know that the product of fractions by fractions are parts of the denominator that is composed of their denominators, and it has already been proven that the number that is composed of some numbers is counted by one of the numbers as many times as the units of the number that is composed of the other numbers, and it is also counted by the number that is composed of some of its numbers as many times as the units of the number that is composed of the remaining numbers.

כבר ידעת שהכאת השברים בשברים הם חלקים מהמורה המורכב ממוריהם וכבר התבאר שהמספר המורכב ממספרים מה ימנהו אחד מהמספרים בכמו אחדי המספר המורכב מהמספרים הנשארים וכן ימנהו המספר המורכב ממספרים מה ממנו בכמו אחדי המספר המורכב מהמספרים הנשארים

Therefore, if you divide the number you have by one of the numbers, the result will be parts of the number that is composed of the remaining [numbers].

ובהיות הענין כן אם תחלק המספר אשר בידך על אחד מהמספרים יהיה העולה חלקים מהמספר המורכב מהנשארים

Example: if you multiply 6 sevenths by 7 eighth, the result is 42.

משל זה אם תכה ו' שביעיות על ז' שמיניות עלה מ"ב

If you divide 42 by seven, the result you get are eighths, because the number that is composed of 7 and 8 is counted by 7 as the measure of the units of 8, so the result is 6 eighths.

ואם תחלק מ"ב על שבעה יהיה העולה בידך שמיניות לפי שהמספר המורכב מז' וח' ימנהו ז' כשיעור אחדי ח' ולזה יהיה העולה ו' שמיניות

If you divide is by eight, the result you get are sevenths, so the result are 5 sevenths and 2 eighths of a seventh.

ואם תחלק על שמנה יעלה בידך שביעיות ולזה יהיה העולה ה' שביעיות וב' שמיניות שביעית

Another example: If you want to multiply 28 parts of 29 by 6 sevenths of a third.

\scriptstyle\frac{28}{29}\times\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{3}\right)

דמיון אחר אם רצית להכות כ"ח חלקים מכ"ט באחד על ו' שביעיות שלישית

Multiply 28 by 6; the result is 168.

תערוך כ"ח על ו' ועלה קס"ח

If you divide 168 by 29, you get sevenths of a third, which are the remaining fractions, and the result is 5 sevenths of a third and 23 parts of 29 sevenths of a third.

הנה אם תחלק קס"ח על כ"ט יעלו בידך שביעיות שלישית שהם השברים הנשארים ויהיה העולה ה' שביעיות שלישית וכ"ג חלקים מכ"ט שביעיות שלישית

If you divide by the number that is composed of 7 and 3, you get parts of 29, and the result is 8 twenty-ninths.

ואם חלקת על המספר המורכב מז' וג' יעלו בידך חלקים מכ"ט ויהיה העולה ח' חלקים מכ"ט באחד

If you divide by 7, you get thirds of 29 parts of one; so the result is 24 thirds of a part of 29 parts of one, which is 8 parts of 29.

ואם תחלוק על ז' יעלו בידך שלישיות חלק מכ"ט חלקים באחד ולזה יהיה העולה כ"ד שלישיות חלק מכ"ט באחד ולזה יהיה העולה ח' חלקים מכ"ט

If you divide by 3, you get sevenths of 29 parts of one; and therefore the result is 56 sevenths of 29 parts of one, which are 8 parts of 29 parts of one.

ואם תחלוק על ג' יעלו בידך שביעיות חלק מכ"ט חלקים באחד ולזה יהיה העולה נ"ו שביעיות חלק מכ"ט חלק באחד שהם ח' חלקים מכ"ט באחד

והקש על זה

The way to multiply fractions by fractions and the result by fractions and so on:

דרך להכות שברים על שברים והעולה על שברים וכן מה שיהיה

Multiply the number of the first fractions by the number of the second fractions, then multiply the result by the number of the third fractions and so on until all fractions are complete.

ערוך מספרי השברים הראשונים על מספרי השברים השניים והעולה בידך ערכהו על מספר השברים השלשיים וכן עד כלות כל השברים

Then, divide the result by the denominator of one of the fractions or by the product of the denominators of some of them, the result that you get are some of parts of the product of the denominators of the remaining fractions - you choose the most convenient by which to divide.

אחר כך תחלוק העולה על המורה לאחד מהשברים או על המורכב ממספרי מורים מה מהם והעולה בידך יהיו חלקים מה ממורכב מהמורים לשברים הנשארים ואתה תבחר היותר נכון לחלק עליו

Example: We wish to multiply 6 sevenths by 5 sixths, the result by 3 quarters, this result by 7 eighth, this result by 2 thirds; this result by 2 sevenths and this result by a third of a third.

\scriptstyle\frac{6}{7}\times\frac{5}{6}\times\frac{3}{4}\times\frac{7}{8}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{7}\times\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\right)

דמיון זה נרצה להכות ו' שביעיות על ה' ששיות והעולה על ג' רביעיות והעולה על ז' שמיניות והעולה על ב' שלישיות והעולה על ב' שביעיות והעולה על שלישיות שלישית

We multiply 6 by 5; the result is 30. We multiply 30 by 3; the result is 90. We multiply 90 by 7; the result is 630. We multiply 630 by 2; the result is 1260. We multiply 1260 by 2; the result is 2520. We multiply 2520 by 1; the result is 2520.

הכינו ו' על ה' ועלה ל' הכינו ל' על ג' ועלה צ' הכינו צ' על ז' ועלה תר"ל הכינו תר"ל על ב' ועלה אלף ור"ס הכינו אלף ור"ס על ב' ועלה אלפים ותק"כ ערכנו אלפים ותק"כ על אחד ועלה אלפים ותק"כ

So, the fractions that you have are: seventh, sixth, quarter, eighth, third, seventh, and third of a third.

והנה השברים אשר בידך הם שביעית ששית רביעית שמינית שלישית שביעית שלישית שלישית

If you divide two thousand and 520 by the denominator of one of these fractions, the result is parts of the number that is composed of the denominators of the other fractions.

ואם תחלק אלפים ותק"כ על המורה לאחד מאלו השברים יהיה העולה בידך חלקים מהמספר המורכב ממורי השברים הנשארים

Since the number is great, it is appropriate that you divide it by the number that is composed of some of the denominators that you think is more convenient to divide by them.

והנה מפני שהמספר רב ראוי שתחלקהו על המספר המורכב מקצת המורים אשר יראה בעיניך שהוא יותר נאות לחלק עליו

We divide it by the number that is composed of 7, 6, 3, and 4, which is 504; the result is 5, which are parts of the number that is composed of the denominators of the other fractions.

חלקנו אותו על המורכב משבעה וו' וג' וד' שהוא תק"ד ועלה ה' והם חלקים ממורכב מורי השברים הנשארים

But, the remaining are eighths of one-seventh of one-third of one-third; so the result of this multiplication are 5 eighths of one-seventh of one-third of one-third.

ואולם הנשארים הם שמינית שביעית שלישית שלישית א"כ העולה מזאת ההכאה הם ה' שמיניות שביעית שלישית שלישית

והקש על זה

This is because, it was already proven with little investigation, that the result, which is 2520, are parts of the product of all the denominators.

והיה זה כן לפי שכבר יתבאר ממה שקדם במעט עיון שהעולה שהוא אלפים תק"כ הם חלקים ממורכב מכל מורי השברים באחד

Understand and you will find it so.

והבן ותמצא

Another easier way for this: know that the number that is composed of given numbers and given fractions, its ratio to one is the ratio that is composed of the ratios of the numbers of these fractions when the are set as antecedents to the numbers of their denominators that are set later.

דרך אחרת קלה לזה דע כי המספר המורכב ממספרים מונחים ומשברים מונחים יחסו אל אחד היחס המחובר מיחסי מספרי השברים ההם כשיושמו קודמים אל מספרי מוריהם כשיושמו נמשכים

Example: The ratio of the product of three-sevenths by 4 fifths and the result by 2 fifths of a quarter to the product of one by one and the product by one, which is one, whichever the result of the multiplication is, is always composed of three ratios: the ratio of three-sevenths to seven-sevenths, which is one, the ratio of four-fifths to 5 fifths, which is also one, and from the ratio of 12 to 12 parts of 12, which is one.

משל זה שיחס הכאת שלשה שביעיות בד' חמשיות והעולה בב' חמשיות רביעית להכאת אחד באחד והעולה באחד שהוא אחד לעולם כמה שהגיע הכפל הוא מחובר משלשה יחסים מיחס שלשה שביעיות אל שבעה שביעיות שהוא אחד ומיחס ארבעה חמשיות אל ה' חמשיות שהוא אחד ג"כ ומיחס ב' חלקים מי"ב אל י"ב חלקים מי"ב שהוא אחד

You already know that when the order of the former or the last or both is switched, the composite ratio remains the same.

וכבר ידעת שכאשר הומר סדור הקודמים או הנמשכים או שניהם יחד נשאר היחס המחובר בעינו

If so, when you have to multiply a number of fractions by a number of fractions and so on, you can switch the numbers of these fractions with another number of the other fractions, if it is more convenient for the multiplication.

ובהיות הענין כן אם היה לך להכות מספר שברים על מספר מה משברים וכן מה שהגיע ההרכבה תוכל להמיר מספרי אלה השברים במספר אחר מהשברים האחרים אם היה יותר נאות אל ההכאה

Example: if you have to multiply 3 sevenths by 7 eighths.

\scriptstyle\frac{3}{7}\times\frac{7}{8}

משל זה שאם היה לך להכות ג' שביעיות על ז' שמיניות

You can switch the seven to the sevenths, so you have to multiply 3 eighths by 7 sevenths, which is one; the result is 3 eighths and so is the sought after.

תוכל להמיר השבעה אל השביעיות ויהיה לך להכות ג' שמיניות על ז' שביעיות שהוא אחד והעולה הוא ג' שמיניות וככה המבוקש

Another example: if you wish to multiply 4 sevenths by 5 eighths.

\scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{5}{8}

דמיון אחר אם רצית להכות ד' שביעיות על ה' שמיניות

You can switch the 4 to the eighths, so you have to multiply 4 eighths, which is one-half, by 5 sevenths and the result is 2 sevenths and a half and so is the sought after.

תוכל להמיר הד' אל השמיניות ויהיה לך להכות ד' שמיניות שהוא חצי אחד על ה' שביעיות ויעלה ב' שביעיות וחצי וככה המבוקש

Another Example: if you have to multiply 3 quarters by 4 fifths and the result by 6 sevenths and the result by 7 eighths.

\scriptstyle\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}

דמיון אחר אם היה לך להכות ג' רביעיות על ד' חמשיות והעולה על ו' שביעיות והעולה על ז' שמיניות

Switch the numbers that are, 3, 4, 6, 7, so that they are in more convenient positions. Therefore put the 7 to the sevenths, the 4 to the quarters, the 6 to the eighths and the 3 to the fifths. Then, multiply 7 sevenths, which are one, by 4 quarters, which are one; the result is one. Multiply the result, which is one, by 6 eighths, you get 3 quarters. Multiply the result by 3 fifths, you get 9 quarters of a fifth. If you divide it by four, the result are fifths, and you get 2 fifths and one-quarter of a fifth. If you divide it by 5, the result are quarters, and you get one-quarter and 4 fifths of a quarter, and so is the result.

תמיר המספרים שהם ג' ד' ו' ז' במקומות היותר נאותים ולזה תשים הז' אצל השביעיות והד' אצל הרביעיות והו' אצל השמיניות והג' אצל החמשיות ולזה תכה ז' שביעיות שהוא אחד על ד' רביעיות שהוא אחד ויעלה אחד והעולה שהוא אחד תכה על ו' שמיניות ויהיו בידך ג' רביעיות והעולה תכה על ג' חמשיות ויעלה בידך ט' רביעיות חמשית ואם תחלקנו על ארבעה יהיה העולה חמשיות ויעלה בידך ב' חמשיות ורביעית חמשית ואם תחלקנו על ה' יהיה העולה רביעיות ויעלה בידך רביעית וד' חמשיות רביעית וככה העולה

Another Example: if you have to multiply 3 fifths by one-sixth and the result by 7 eighths and the result by 4 ninths.

\scriptstyle\frac{3}{5}\times\frac{1}{6}\times\frac{7}{8}\times\frac{4}{9}

דמיון אחר אם היה לך להכות ג' חמשיות על ששית והעולה על ז' שמיניות והעולה על ד' תשיעיות

Switch the numbers that are, 3, 7, 4, so that they are in more convenient positions. Therefore put the 3 to the sixths, the 4 to the eighths, and the 7 to the ninths, and the fifth remains without a number. Then, multiply the 3 sixths that are one-half by four-eighths that are one-half; you get one-quarter. Multiply it by one-fifth; it is one-quarter of a fifth. Multiply the one-quarter of a fifth by 7 ninths; you get 7 quarters of a fifth of a ninth.

תמיר המספרים שהם ג' ד' ז' במקומות היותר נאותים ולזה תשים הג' אצל הששיות וארבעה אצל השמיניות והז' אצל התשיעיות וישאר חמשית בזולת מספר ותכה ג' ששיות שהם חצי על ארבעה שמיניות שהם חצי ויעלה בידך רביעית

תכהו על חמשית ויהיה רביעית חמשית
תכה רביעית חמשית על ז' תשיעיות ויעלה בידך ז' רביעיות חמשית תשיעית

והקש על זה

The way to multiply some fractions by various fractions:

דרך הכאת שברים מה בשברים שונים

If you have to multiply a given fraction or a number of given fractions by given fractions, multiply the given fraction or the given fractions by the first type of the various fractions, divide the result by the denominator of the multiplicand fraction, so that the result is parts of the multiplier. Do so until the first multiplier is multiplied by all the successive the [multiplicands], then all parts you have in the result are fractions of the multiplier.

אם היה לך להכות שבר מונח או מספר שברים מונחים על שברים מונחים ערוך השבר המונח או השברים המונחים על המין הראשון מהשברים השונים וחלק העולה על המורה על השבר המוכה כדי שיהיה העולה בידך חלקים מהמכה וכן תעשה עד שיוכה הראשון המכה על כל הנמשכים ובזה יהיו כל החלקים אשר בידך בעולה משברי המכה

Example: we wish to multiply 2 thirds by 6 sevenths and by 7 eighths and by 8 ninths.

\scriptstyle\frac{2}{3}\times\left(\frac{6}{7}+\frac{7}{8}+\frac{8}{9}\right)

דמיון רצינו להכות ב' שלישיות על ו' שביעיות ועל ז' שמיניות ועל ח' תשיעיות

We multiply 2 by 6; the result is 12. We divide it by seven, which is the denominator of the multiplicand fraction; the result is one and 5 sevents, which are one-third and 5 sevenths of a third.

נכה ב' על ו' יהיו י"ב

נחלקם על שבעה שהוא מורה לשבר המוכה ועלה אחד וה' שביעיות והוא שלישית וה' שביעיות שלישית

We multiply 2 and 7; the result is 14. We divide it by eight, which is [the denominator of] the multiplicand fraction; the result is one and 6 eighths, which are one-third and 3 quarters of a third.

ערכנו ב' על ז' ועלה י"ד

נחלקם על שמנה שהוא שבר המוכה ועלה א' וו' שמיניות והוא שלישית וג' רביעיות שלישית

We multiply 2 by 8; the result is 16. We divide it by nine; the result is one and 7 ninths, which is one-third and 7 ninths of a third.

ערכנו ב' על ח' ועלה ט"ז

נחלקם על תשעה ועלה אחד וז' תשיעיות והוא שלישית וז' תשיעיות שלישית

We sum all the resulting fractions, which are 3 thirds, 5 sevenths 7 of a third, 3 quarters of a third, and 7 ninths of a third; the result is one integer, 2 thirds and 61 parts of 756 of one.

חברנו כל השברים אשר בעולה שהם ג' שלישיות וה' שביעיות שלישית וג' רביעיות שלישית וז' תשיעיות שלישית ועלה אחד שלם וב' שלישיות וס"א חלקים מתשנ"ו באחד והקש על זה

If you have to multiply integers and fractions, as many as they may be, by integers and fractions, as many as they may be, you already know the method of multiplication of integers by integers as well as the method of multiplication of integers by fractions and the method of multiplication of fractions by fractions. Therefore, you multiply all the integers of the multiplier row by all of the integers and the fractions of the multiplicand row; then, multiply all the fractions of the multiplier row by all the integers and the fractions of the multiplicand row.

ואם היה לך להכות שלמים ושברים כמה שיהיו על שלמים ושברים כמה שיהיו הנה כבר ידעת אופן הכאת שלמים בשלמים ואופן הכאת שלמים בשברים ואופן הכאת שברים בשברים ולזה תכה כל השלמים שבטור המכה על כל השלמים והשברים אשר בטור המוכה עוד תכה כל השברים שבטור המכה על כל השלמים והשברים אשר בטור המוכה

Example: if you have to multiply 12, 3 fifths and 4 ninths by 21, 2 thirds and 3 quarters.

\scriptstyle\left(12+\frac{3}{5}+\frac{4}{9}\right)\times\left(21+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)

דמיון זה אם היה לך להכות י"ב וג' חמשיות וד' תשיעיות על כ"א וב' שלישיות וג' רביעיות

Multiply 12 by 21; the result is 252. $\scriptstyle{\color{blue}{12\times21=252}}$

הכה י"ב על כ"א ועלה רנ"ב

Multiply 12 by 2 thirds; the result is 8 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{12\times\frac{2}{3}=8}}$

הכה י"ב על ב' שלישיות ועלה ח' שלמים

Multiply 12 by 3 quarters; the result is 9 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{12\times\frac{3}{4}=9}}$

הכה י"ב על ג' רביעיות ועלה ט' שלמים

Multiply 3 fifths by 21 integers; the result is 12 integers and 3 fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\times21=12+\frac{3}{5}}}$

הכית ג' חמשיות על כ"א שלמים ועלה י"ב שלמים וג' חמשיות

Multiply 3 fifths by 2 thirds; the result is 2 fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{5}}}$

הכית ג' חמשיות על ב' שלישיות ועלה ב' חמשיות

Multiply 3 fifths by 3 quarters; the result is 2 fifths and one-quarter of a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$

הכית ג' חמשיות על ג' רביעיות ועלה ב' חמשיות ורביעית חמשית

Multiply 4 ninths by 21; the result is 9 integers and one-third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}\times21=9+\frac{1}{3}}}$

הכית ד' תשיעיות על כ"א ועלה ט' שלמים ושלישית

Multiply 4 ninths by 2 thirds; the result is 2 ninths and 2 thirds of a ninth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{9}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$

הכית ד' תשיעיות על ב' שלישיות ועלה ב' תשיעיות וב' שלישיות תשיעית

Multiply 4 ninths by 3 quarters; the result is one-third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{3}}}$

הכית ד' תשיעיות על ג' רביעיות ועלה שלישית

We sum all the [interim] results and the [final] result is 29[2] integers, 2 fifths and 7 parts of 540 in one and this is the sought after.

חברנו כל העולה ועלה רצ"ו שלמים וב' חמשיות וז' חלקים מתק"ם באחד וזה המבוקש

This is the rule if there are fractions of fractions, because you already know the way of their multiplication.

וכן ההקש אם היו שם שברי שברים כי כבר ידעת אופן הכאתם

Sometimes you need a lot of operations, such as when you have to multiply a number of integers and fractions and products of fractions by fractions or by integers also by integers and fractions and products of fractions by fractions.

ופעמים תצטרך למלאכות רבות כמו שיהיה לך להכות מספר שלמים ושברים ושטח שברים בשברים או בשלמים גם כן על שלמים ושברים ושטח שברים בשברים

The way of this is that you first find the multiplier by knowing the result of that product and adding it to the integers and the fractions. In short, you first sum all that is in the multiplier. Then, you sum what is in the multiplicand and multiply the first row by the other according to the previous way.

והדרך בזה שתוציא ראשונה המספר המכה כשתדע העולה מהשטח ההוא ותחברהו עם השלמים והשברים וסוף דבר תחבר ראשונה כל מה שבמכה עוד תחבר מה שבמוכה ותכה אח"כ הטור האחד על האחר באופן הקודם

If you have to subtract fractions, as many as they may be, of various [types of] fractions, take the smallest number that is counted by [= common multiple of] the denominators of all the fractions, and it is the [common ] denominator. Take from it the fractions that you want to subtract and put them in a row. Then, take from it the fractions from which you want to subtract, and subtract the other row from them. What you have left are parts of the denominator that we take. That is clear.

ואם היה לך לגרוע שברים כמה שיהיו משברים שונים מהם תקח המספר המעט שימנוהו המורים לכל השברים והוא המורה הנה וממנו תקח השברים שתרצה לגרוע ותשימם בטור אחד

עוד תקח ממנו השברים שתרצה לגרוע מהם ומהם תגרע הטור האחר והנשאר בידך הם חלקים מהמורה אשר לקחנו וזה מבואר

Another way to multiply integers and fractions by integers and fractions:

דרך אחרת לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים

Take the smallest number that is counted by [= common multiple of] the denominators of all the fractions, and it is the [common ] denominator. Multiply it by the multiplier row and set that result in a first row. Multiply the multiplicand row also by the denominator and put the result in a second row. Multiply the top row by the bottom row and the result you get is the sought after.

קח המספר המעט שימנוהו המורים לכל השברים והוא המורה הנה ועליו תערוך הטור המכה ותשים העולה בטור אחד ראשון גם על המורה תכה הטור המוכה ותשים העולה בטור אחד שני ותערוך הטור העליון על הטור השפל והעולה בידך הוא המבוקש

Example: if you have to multiply 12 integer, 3 fifths and 4 ninths by 21, 2 thirds and 3 quarters.

\scriptstyle\left(12+\frac{3}{5}+\frac{4}{9}\right)\times\left(21+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)

והמשל אם היה לך להכות י"ב וג' חמשיות וד' תשיעיות על כ"א וב' שלישיות וג' רביעיות

You know that the smallest number that counts all these fractions is 180.

הנה ידעת שהמספר הראשון שימנה כל אחד מאלו השברים הוא ק"פ

Take 12 times 180, and 3 fifths and 4 ninths of 180; the result is 2 thousand 3 hundred and forty-eight; put them in a row.

לקחת י"ב דמיוני ק"פ וג' חמשיות ק"פ וד' תשיעיות ועלה ב' אלפים וג' מאות וארבעים ושמנה ותשימם בטור אחד

Take 21 times 180, its 2 thirds and its 3 quarters;the result is 4 thousand and 35; put them in the other row.

לקחת כ"א דמיוני ק"פ וב' שלישיותיו וג' רביעיותיו ועלה ד' אלפים ול"ה ונשימם בטור האחר

You multiply one row by the other row; the result is 9474180. Divide the result by the square of 180; the result is 292 integers, and 13380 remain, which are parts of the square of 180 in one.

הכית הטור האחד על הטור האחר ועלה 0ח'א'ד'ז'ד'ט‫'

חלקת העולה על מרובע ק"פ ועלה רצ"ב שלמים ונשארו 0ח'ג'ג'א' והם חלקים ממרובע ק"פ באחד

When we check this, you will find the remainder is 2 fifths and 420 parts of the square of 180, which are 2 fifths and 7 parts of 560 and that corresponds with the first calculation.

וכאשר נבחן תמצא הנשאר ב' חמשיות ות"ך חלקים ממרובע ק"פ שהם ב' חמשיות וז' חלקים מתק"ס וזה מסכים לחשבון הראשון

והקש על זה

This is so, because since every factor of the product has been multiplied by 180, the ratio of the product to the product is the ratio of its factor to its factor duplicated, as the products are similar.

והיה זה כן לפי שנכפל כל אחת מצלעות השטח על ק"פ היה יחס השטח אל השטח יחס צלעו אל צלעו שנוי ביחס לפי שהשטחים מתדמים

But the ratio of its factor to its factor is 180.

אבל יחס צלעו אל צלעו הוא ק"פ

So, the ratio of the product to the product is as the square of 180.

אם כן יחס השטח אל השטח הוא כמו מרובע ק"פ

Therefore, the product whose factors are multiplied by 180 is counted by the square of 180 as the number of the units of the first product.

אם כן השטח אשר צלעיו נכפלים על ק"פ ימנהו מרובע ק"פ במספר אחדי השטח הראשון

After the way of multiplication of fractions in all their types have been proven, we shall explain you what to do with what cannot be divided and the way is that you divide as much as you can divide, and the remainder are parts, of which the number of the row by which you divide is one.

ואחר שהתבאר אופן כפל השברים בכל מיניהם הנה נבאר לך מה תעשה ממה שלא הגיע לחלוק והדרך בזה שתחלוק כל מה שתוכל לחלקו והנשאר הם חלקים מהמספר הטור שתחלוק עליו באחד

Example: if you wish to divide 53 by 14.

\scriptstyle53\div14

דמיון זה אם רצית לחלק נ"ג על י"ד

The result is 3 and 11 remain, which are 11 parts, of which 14 are one.

יעלה ג' וישארו י"א והם י"א חלקים מי"ד באחד

This is so because the part of 14, when it is multiplied by 14, is 14 parts of 14, which is one integer.

והיה זה כן לפי שהחלק מי"ד כשהוכה על י"ד היה י"ד חלקים מי"ד באחד שהוא אחד שלם

Therefore, the 11 parts, when multiplied by 14, are 11 integers and this is what we have left.

אם כן הי"א חלקים כשהוכו על י"ד היו י"א שלמים והוא מה שנשאר לנו

והקש על זה

If you want to divide integers and fractions by integers and fractions, take the common denominator of all the fractions and multiply by it the whole row you want to divide, put the result in a row, then multiply by the [common] denominator the row, by which you want to divide, put the result in a second row under the first row, so that you can put the result row between the two rows, and when this is complete, divide the upper row by the lower row, and the result is the sought after.

ואם רצית לחלק שלמים ושברים על שלמים ושברים קח המורה הראשון למורה כל השברים ועליו תערוך הטור שרצית לחלק ותשים העולה בטור אחד עוד תערוך על המורה הטור שרצית לחלק עליו ותשים העולה בטור שני תחת הטור האחד בדרך שתוכל לשום טור העולה בין שני הטורים וכאשר ישלם זה חלק הטור העליון על הטור התחתון והעולה הוא המבוקש

Example: if you wish to multiply 84, 3 fifths and 3 quarters by 10, 2 thirds and 3 eighths.

\scriptstyle\left(84+\frac{3}{5}+\frac{3}{4}\right)\div\left(10+\frac{2}{3}+\frac{3}{8}\right)

דמיון זה אם רצית לחלק פ"ד וג' חמשיות וג' רביעיות על י' וב' שלישיות וג' שמיניות

The common denominator of all these fractions is 120.

הנה המורה הראשון לכל אלו השברים הוא ק"כ

We multiply 84, 3 fifths and 3 quarters by 120; the result is ten thousand 242 and this is the row that you divide.

ערכנו פ"ד וג' חמשיות וג' רביעיות על ק"כ ועלה עשרת אלפים רמ"ב והוא הטור שתחלק

We multiply 10, 2 thirds and 3 eighths by 120; the result is one thousand and 325 and this is the row by which you divide.

ערכנו י' וב' שלישיות וג' שמיניות על ק"כ ועלה אלף שכ"ה והוא הטור שתחלק עליו

You divide the upper row by the lower row; the result is 7 integers and 967 parts, of which 1325 are one, and this is the sought for.

חלקת הטור העליון על הטור התחתון ועלה ז' שלמים ותתקס"ז חלקים מאלף שכ"ה באחד וככה המבוקש

This is so, because the same multiples, which are 120, were already taken for the 84 and 3 fifths and 3 quarters, which is the first number, as well as for the 10 and 2 thirds and 3 eighths, which is the second number.

והיה זה כן לפי שכבר לוקחו לפ"ד וג' חמשיות וג' רביעיות והוא הראשון ולמספר י' וב' שלישיות וג' שמיניות והוא השני כפלים שוים והם ק"כ

Therefore, the ratio of the multiples of the first to the multiples of the second is as the ratio of the first to the second.

אם כן יחס כפלי הראשון הלקוחים אל כפלי השני כיחס הראשון אל השני

However, the ratio of the multiples of the first to the multiples of the second is 7 integers and 967 parts of one thousand and 325.

אבל יחס כפלי הראשון אל כפלי השני הוא ז' שלמים ותתקס"ז חלקים מאלף שכ"ה באחד

So, the ratio of the first number to the second number is 7 integers and 967 parts of one thousand and 325.

אם כן יחס הראשון אל השני הוא ז' שלמים ותתקס"ז חלקים מאלף שכ"ה באחד

והקש על זה

If you want to check it, multiply 7 integers and 967 parts of one thousand and 325 by 10, 2 thirds and 3 eighths; you get 84, 3 fifths and 3 quarters.

ואם תרצה לבחון זה הכה ז' שלמים ותתקס"ז חלקים מאלף שכ"ה באחד על י' וב' שלישיות וג' שמיניות ויצא לך פ"ד וג' חמשיות וג' רביעיות

Sexagesimal Fractions

Multiplication of sexagesimal fractions

Having explained this, we should explain to you the method of dividing "sexagesimal fractions".

ואחר שהתבאר זה ראוי שנבאר לך אופן החלוק לפי שברי חכמי התכונה

You already know that the result of multiplying fractions by fractions belongs to the rank whose distance from [the rank of] the multiplier is the same as the distance of the multiplicand from the rank of units.

וכבר ידעת שהכאת שברים על שברים הוא מהמעלה אשר מרחקה מהמכה לפניה כמרחק המוכה ממעלת האחדים

With that understood, I will give you a way of multiplying integers and fractions; from this you can know all the ways of multiplying fractions.

וכאשר התישב זה אתן לך דרך לכפול שלמים ושברים ומזה תוכל לדעת אופני הכפלת שברים בכל אופניהם

When you want to multiply integers and fractions of the sexagesimal fractions by integers and fractions of this type, we should also write down the number that has fewer ranks in one row according to its ranks, and make a sign between the integers and the fractions in the way we mentioned above.

כאשר תרצה לכפול שלמים ושברים משברי חכמי התכונה על שלמים ושברים משבריהם ג"כ ראוי שנכתוב המספר אשר אחז יותר מעט מהמדרגות בטור אחד כפי מדרגתו ותעשה רושם בין השלמים והשברים על הדרך אשר זכרנו במה שקדם

Then, write down the other number in another row beneath it according to its rank.

ואחר תכתוב המספר האחר בטור אחד תחתיו כפי מדרגותיו

Multiply the first number of the upper row by the first of the bottom row and write the result in the appropriate rank.

ותכה הראשון שבטור העליון על הראשון שבטור התחתון ותשים העולה במעלה הראויה

If the result is more than sixty, divide the result by sixty; what you receive are units in the next rank. Write the remainder in the appropriate rank.

ואם עלה יותר מששים תחלוק העולה על ששים והעולה בידך יהיו אחדים במעלה שלאחריו והנשאר תשים במעלה הראויה

If the result is more than sixty in the next rank, you divide the result again by sixty.

ואם עלה יותר מששים במעלה שלאחריה תשוב לחלק העולה על ששים

And so on until you reach the rank of units, and from there on you only divide by ten. The reason for this is obvious.

וכן עד הגיעך למעלות האחדים ומשם והלאה לא תחלוק כי אם על עשרה והסבה מבוארת

You continue like this until all the numbers of the upper row have been multiplied by all the numbers in the bottom row.

וכזה תעשה עד שיוכו כל מספרי הטור העליון על כל מספרי הטור התחתון

There are then as many rows of results as the number of ranks in the upper row, in which there are numbers, except for the integers, for which there is only one row [of results], however many they may be.

ויהיו טורי העולה כמספר המדרגות שבטור העליון אשר בהם מספר זולת השלמים שלא יהיה להם כי אם טור אחד כמה שיהיו

Then, you add up all that is in the rows of results in a bottom row beneath them and the result is the required.

עוד תחבר כל מה שבטורי העולה בטור שפל תחתיהם והעולה הוא המבוקש

When you get to multiply the fractions by the integers, multiply them together by all the integers of the bottom row at once, so that it does not confuse you, then divide the result by sixty as above, and write the remainder each time in the proper place.

וכאשר תגיע להכות השברים על השלמים תכה אותם יחד על כל השלמים שבטור התחתון כדי שלא יתבלבל עליך ותחלק העולה על ששים על הצד הקודם ותשים הנשאר כפעם בפעם במקום הראוי

When you get to multiply the integers by the fractions, multiply all the integers that are in the upper row together as well by the fractions of the bottom row each time.

וכן כשתגיע להכות השלמים על השברים תכה גם כן כל השלמים שבטור העליון יחד על השברים שבטור התחתון כפעם בפעם

Example: in this diagram we wish to multiply 57 seconds, 9 primes and 83 integers by seven thousand and ninety, 40 seconds, 51 thirds and 3 fourths.

\scriptstyle\left(83+9'+57''\right)\times\left(7090+40''+51'''+3^{iv}\right)

דמיון זה רצינו בזאת הצורה להכות נ"ז שניים וט' ראשונים ופ"ג שלמים על שבעת אלפים ותשעים ומ' שניים ונ"א שלישיים וג' רביעיים

ג ח ‫0 ט 0 ז	ט 0	נז מ	נא	ג
ב א א	טו	0 ל	0 לח	מח 0	ב כז	נא
ג ו 0 א	ל 0	ו	ז 0	לט 0	כז
‫0 ז ד ח ח ה	א נה	י כ	ד לג	ט
ה ד ו ט ח ה	מב	ז	כג	לו	נו	נא

8 3 7 0 9 0	9 0	57 40	51	3
1 1 2	15	0 30	0 38	0 48	27 2	51
1 0 6 3	0 30	6	0 7	0 39	27
5 8 8 4 7 0	55 1	20 10	33 4	9
5 8 9 6 4 6	42	7	23	36	56	51

We multiply 57 seconds by 3 fourths; the result is 2 fifths and 51 sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{57''\times3^{iv}=2^v+51^{vi}}}

הכינו נ"ז שניים על ג' רביעיים ועלה ב' חמשיים ונ"א ששיים

We multiply 57 seconds by 51 thirds; the result is 48 fourths and 27 fifths.

\scriptstyle{\color{blue}{57''\times51'''=48^{iv}+27^v}}

הכינו נ"ז שניים על נ"א שלישיים ועלה מ"ח רביעיים וכ"ז חמשיים

We multiply 57 seconds by 40 seconds; the result is 38 thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{57''\times40''=38'''}}

הכינו נ"ז שניים על מ' שניים ועלה ל"ח שלישיים

We multiply 57 seconds by 7 thousand and 90 integers; the result is 30 seconds, 15 primes, 2 [integers] in the first rank, 1 in the second, 1 in the third.

\scriptstyle{\color{blue}{57''\times7090=112+15'+30''}}

הכינו נ"ז שניים על ז' אלפים וצ' שלמים ועלה ל' שניים ט"ו ראשונים וב' בראשונה א' בשנייה א' בשלישית

When we continue like this until all the numbers in the upper row are multiplied by all the numbers in the bottom row, you find the result is 51 sixths, 56 fifths, 36 fourths, 23 thirds, 7 seconds, 32 primes, and 589646 integers.

וכאשר הנהגו בכמו זאת ההנהגה עד שיוכו כל מספרי הטור העליון על מספרי הטור התחתון תמצא העולה נ"א ששיים נ"ו חמשיים ל"ו רביעיים כ"ג שלישיים ז' שניים ל"ב ראשונים ה' שלמים ד' ו' ט' ח' ה‫'

Deduce from this.

והקש על זה

Division of sexagesimal fractions

If you wish to divide a number by integers and fractions of the fractions that we are dealing with, write the number you wish to divide in an upper row in its positions, so that you will be able to write the result between these two rows as you did previously.

ואם תרצה לחלק מספר מה על שלמים ושברים מאלה השברים אשר אנחנו בהם תכתוב המספר שרצית לחלק בטור העליון במקומותיו בדרך שתוכל לכתוב העולה בין שני אלו הטורים כמו שעשית במה שקדם

Then look what is in the last rank of the bottom row, consider them as units.

אחר כך תראה מה שבמעלה האחרונה שבטור התחתון והיו לאחדים בידך

Consider all the numbers that precede the preceding rank as one in the preceding rank.

וכל המספרים אשר לפני המעלה הנמשכת לה לפניה תחשוב אחד במעלה הנמשכת לה לפניה

Add it to the number that is in it.

ותחברהו עם המספר שבה

If the rank before the last contained integers, consider this number as tenths.

ואם היתה זאת המעלה שלפני האחרונה שלמים יהיה זה המספר עשיריות

If this rank before the last contained fractions, this number will be sixtieths.

ואם היתה זאת המעלה שלפני האחרונה שברים יהיה זה המספר חלקים מששים

Add it to the units that are in the last rank and this is the reserved by which you divide the last rank of the upper row with what is in the preceding rank, be this tenths or sixtieths.

וחברהו עם האחדים שבמעלה האחרונה והוא השמור ועליו תחלוק המעלה האחרונה שבטור העליון עם מה שבמעלה לפניה אם עשיריות ואם חלקים מששים

Place the result in the appropriate rank according to the above and multiply is by the bottom row, subtract the result from the upper row, and proceed so until you are left with less than the row by which you have divided [= the divisor].

והעולה תשים במעלה הראויה לפי מה שקדם וערכהו על הטור התחתון והעולה גרע מהטור העליון וכן תעשה עד שישאר לך פחות מהטור שחלקת עליו

Example of this: We wish to divide 7 hundred and 40 primes and 50 seconds by 9 integers, 20 primes and 30 thirds.

דמיון זה רצינו שנחלוק ז' מאות ומ' ראשונים ונ' שניים על ט' שלמים וכ' ראשונים ול' שלישיים

We consider the numbers that precede of the rank before the last rank of the bottom row as a unit in it; with the 20 we already find in it, they are 21, and they are parts of sixty. In the last rank there are 9, and they are units. So, the reserved is 9 units and 21 parts of sixty.

והנה נחשוב המספרים שלפני המעלה הנמשכת לאחרונה שבטור התחתון אחד בה וכ' שמצאנו בה והנה כ"א והם חלקים מששים ובמעלה האחרונה ט' והם אחדים והנה השמור הוא ט' אחדים וכ"א חלקים מששים

We divide by the reserved the number in the last rank of the upper row, which is seventy, after we lowered it down to the preceding rank; the result is 7 in the second rank according to what preceded.

חלקנו על השמור המספר שבמעלה האחרונה שבטור העליון שהוא שבעים אחר שהורדנוהו אל המעלה שלפניה ועלה ז' מהמעלה השניה לפי מה שקדם

We write 7 in the second rank of the middle row and multiply it by the bottom row. When we do this in the manner we mentioned, you find that the result is 7 in the second rank, 5 in the first rank, and in the upper row there is an undivided remainder of 40 primes, 12 seconds, and 30 thirds.

ונכתוב ז' בטור האמצעי במעלה השניה ונערכהו על הטור התחתון וכאשר הנהגנו זה על הצד שזכרנו תמצא העולה ז' מהמעלה השניה ה' מהמעלה הראשונה ונשאר בטור העליון שלא הגיע לחלוק מ' ראשונים י"ב שניים ל' שלישיים

Deduce from this.

והקש על זה

The way of dividing what cannot be divided when there are integers in the bottom row.

דרך לחלק מה שלא הגיע לחלוק כשהיו בטור התחתון שלמים

We suggest for this explanation that the division of any fractions by integers results in fractions of the same rank.

ונציע לביאור זה שחלוק שברים אי זה שיהיו על שלמים הם שברים מהמעלה ההיא בעינה

This is clear from the multiplication.

וזה מבואר מצד הכפל

When this is clear to you, look how many primes you have left in the upper row when you convert the last [rank] of the upper row to the rank of the primes.

וכאשר התישב לך זה הנה תראה כמה מן הראשונים נשארו לך בטור העליון כשתשיב האחרון שבטור העליון למדרגת הראשונים

Consider the number that you have of the primes as units and what is in the preceding rank is sixtieths.

והמספר ההוא שיהיה לך מן הראשונים יהיו לאחדים בידך ומה שבמדרגה שלפניה יהיו חלקים מששים

Divide the result by the reserved; the result is primes, write them in the row of the result in their positions.

והעולה תחלוק על השמור והעולה בידך הם ראשונים כתבם במקומותם בטור העולה

Multiply them by the whole bottom row, by which you divide, then subtract the result from the upper row.

וערכם על כל הטור התחתון שתחלוק עליו והעולה תגרע מהטור העליון

Divide the last [rank] of the upper row by the reserved.

עוד תחלוק האחרון שבטור העליון על השמור

If you cannot divide it, lower it to the preceding rank.

ואם לא תוכל לחלק תורידהו אל המדרגה שלפניו

You can calculate is more precisely endlessly.

ובזה הדרך תוכל לדקדק עד אין קץ

However, the way to find the reserved is by lowering all the integers that are in the bottom row to the first rank, considering the result as units and everything that is precedes the first rank as sixtieths, according to the previous way.

ואולם דרך לקיחת השמור הנה יהיה שתוריד כל מה שבטור התחתון מן השלמים אל המעלה הראשונה והעולה יהיה לאחדים בידך ומה שלפני המעלה הראשונה יהיו חלקים מששים על הצד הקודם

This is your way to find the reserved, for what cannot be divided when there are integers in the bottom row.

וזה יהיה לך דרך לקיחת השמור במה שלא הגיע לחלוק כאשר היו בטור התחתון שלמים

Example of this: the remainder that could not be divided in our example above.

דמיון זה במה שנשאר במשל הקודם שלא הגיע לחלוק

We divide 40 and 12 parts by the reserved, which is 9 and 21 of sixty; the result is 4 parts, which are primes, since we divided primes by integers.

חלקנו מ' וי"ב חלקים על השמור שהוא ט' וכ"א מששים ועלה ד' חלקים והם ראשונים מפני שחלקנו ראשונים על שלמים

We multiply 4 primes by the bottom row; the result is 37 primes, 20 seconds, and 2 thirds.

ערכנו ד' ראשונים על הטור התחתון ועלה ל"ז ראשונים כ' שניים ב' שלישיים

We subtract it from the upper row; 2 primes, 52 seconds, and 28 thirds remain there.

וגרענו זה מהטור העליון ונשאר שם ב' ראשונים נ"ב שניים כ"ח שלישיים

But, we cannot divide 2 primes by the reserved. So, we lower them down to the seconds; it is 172 and 28 parts of sixty.

ולא נוכל לחלק ב' ראשונים על השמור הורדנום אל השניים והנה קע"ב וכ"ח חלקים מששים

We divide them by the reserved and subtract the result from the upper row; the remainder there is 4 seconds, 28 thirds, and 51 fourths.

חלקנום על השמור וגרענו העולה מהטור העליון ונשאר שם ד' שניים כ"ח שלישיים נ"א רביעיים

This way you can approximate further to thirds and fourths and other, but there is no need to approximate further, since you receive an approximate result.

ובזה הדרך תוכל לדקדק עוד לשלישיים ורביעיים ולזולתם ואין צורך לדקדק אחר שתגיע אל החשבון בקירוב

The method of division, when the last rank of the lower row is a rank of fractions:

דרך החלוקה כאשר היתה המדרגה האחרונה שבטור התחתון ממדרגת השברים

Know that [the result of] division of fractions by fractions of the same kind is integers, and [the result of] division of fractions of a higher rank is of a rank, whose distance from the integers is the same as the distance of the divided fractions from the fractions by which they are divided. The reason is evident from the above.

דע כי חלוק שברים על שברים ממינם הוא שלמים וחלוק שברים יותר גבוהים מהם הוא מהמדרגה אשר מרחקה מהשלמים לפניה כמרחק השברים המחולקים מהשברים אשר חולק עליהם והסבה מבוארת ממה שקדם

Example of this: If we divide seconds by seconds, the result is integers; if we divide thirds by primes, the result is seconds.

דמיון זה אם נחלק שניים על שניים יהיה העולה שלמים ואם נחלק שלישיים על ראשונים יהיה העולה שניים

Deduce from this.

והקש על זה

If you wish to divide any number by any number, and the last rank of the row of the divisor is of the ranks of fractions, look at the last rank of the upper row [= the dividend] - if it is higher than the last rank of the bottom row, lower it to the rank of the bottom row so that the last rank of the upper row is the same as the last rank of the bottom row.

אם רצית לחלק מספר מה על מספר מה והיתה המדרגה האחרונה שבטור שתחלוק עליו ממדרגת השברים הסתכל על המדרגה האחרונה שבטור העליון אם היא יותר גבוהה ממדרגה האחרונה שבטור התחתון אז תורידהו אל המדרגה שבטור התחתון עד שתהיה המדרגה האחרונה שבטור העליון היא בעינה המדרגה האחרונה שבטור התחתון

Then divide the last [rank] of the upper row with the sixtieths fractions that precede it, according to the previous way, by the reserved; the result will be integers. Multiply them by the bottom row and subtract the result from the upper row. Divide also what remains in the last rank of the upper row by the reserved and place the result in the corresponding rank. Multiply it by the bottom row and subtract the result from the upper row. Proceed like this until there is nothing left for you in the upper row or only a little is left for you there.

ואז תחלק האחרונה שבטור העליון עם החלקים מששים אשר לפניה על הצד הקודם על השמור והעולה יהיו שלמים ותערכם על הטור התחתון ותגרע העולה מהטור העליון

עוד תחלק הנשאר במעלה האחרונה שבטור העליון על השמור והעולה תשים במעלה הראויה ותערכהו על הטור התחתון ותגרע העולה מהטור העליון וכן תעשה עד שתגיע שלא ישאר לך בטור העליון דבר או שיהיה מעט מה שישאר לך שם

Example: you wish to divide seventeen integers 30 primes and 40 seconds by 41 seconds, 52 thirds and 45 fourths.

דמיון זה רצית לחלק שבעה עשר שלמים ול' ראשונים ומ' שניים על מ"א שניים ונ"ב שלישיים ומ"ה רביעיים

\scriptstyle\left(17+30^\prime+40^{\prime\prime}\right)\div\left(44^{\prime\prime}+55^{\prime\prime\prime}+45^{iv}\right)

Since the last rank of the bottom row is that of the seconds, we lower what comes after the seconds in the upper row to the rank of the seconds. Thus, we lower the seventeen integers to the rank of the primes, they are one thousand and 20, and 30 have already been there - this is one thousand and 50 primes.

\scriptstyle{\color{blue}{17+30^\prime=1020^\prime+30^\prime=1050^\prime}}

ולפי שהמעלה האחרונה שבטור התחתון היא שניים נוריד מה שאחר השניים בטור העליון אל מדרגת השניים ולזה נוריד השבעה עשר אל מדרגת הראשונים ויהיו אלף וכ' ול' שהיו שם והנה אלף ונ' ראשונים

We lower them to the rank of seconds; the result is 63 thousand and 40, which are counted as units.

\scriptstyle{\color{blue}{17+30^\prime+40^{\prime\prime}=1050^\prime+40^{\prime\prime}=63040^{\prime\prime}}}

הורדנום אל מדרגת השניים ועלה ס"ג אלפים ומ' שניים ואלה יהיו לאחדים בידך

So, what is in the last rank of the bottom row is 41 that are considered as units, and what precedes them is, according to the above, 53 sixtieths. Therefore, the reserved is 41 and 53 sixtieths.

והנה מה שבמדרגה האחרונה שבטור התחתון הוא מ"א ונחשבו כמו אחדים ומה שלפניהם הוא לפי מה שקדם נ"ג חלקים מששים ולזה יהיה השמור מ"א ונ"ג חלקים מששים

We divide 63 thousand and 40 by 41 and 53 sixtieths; the result is one thousand, five hundred and five.

\scriptstyle{\color{blue}{63040\div\left(41+\frac{53}{60}\right)\approx1505}}

חלקנו ס"ג אלפים ומ' על מ"א ונ"ג חלקים מששים ועלה אלף וחמש מאות וחמשה

We multiply one thousand and 505 by the bottom row; the result is 17 integers, 30 primes, 28 seconds, 8 thirds and 45 fourths.

ערכנו אלף ותק"ה על הטור התחתון ועלה י"ז שלמים ל' ראשונים כ"ח שניים ח' שלישיים מ"ה רביעיים

\scriptstyle{\color{blue}{1505\times\left(44^{\prime\prime}+55^{\prime\prime\prime}+45^{iv}\right)=17+30^\prime+28^{\prime\prime}+8^{\prime\prime\prime}+45^{iv}}}

We subtract the result from the upper row; the remainder is 11 seconds, 51 thirds and 15 fourths.

גרענו העולה מהטור העליון ונשאר י"א שניים נ"א שלישיים ט"ו רביעיים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(17+30^\prime+40^{\prime\prime}\right)-\left(17+30^\prime+28^{\prime\prime}+8^{\prime\prime\prime}+45^{iv}\right)=11^{\prime\prime}+51^{\prime\prime\prime}+15^{iv}}}

We cannot divide what is in the last rank of the upper row by the reserved, so we lower it to the thirds; we have 711 and 15 sixtieths.

\scriptstyle{\color{blue}{11^{\prime\prime}+51^{\prime\prime\prime}+15^{iv}=\left(711+\frac{15}{60}\right)^{\prime\prime\prime}}}

ולא נוכל לחלק מה שבמדרגה האחרונה שבטור העליון על השמור ולזה נוריד אל השלישיים ויהיו לנו תשי"א וט"ו חלקים מששים

We divide them by the reserved; the result is 16, which are primes, according to the above.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(711+\frac{15}{60}\right)\div\left(41+\frac{53}{60}\right)\approx16^\prime}}

חלקנום על השמור ועלה י"ו והם ראשונים לפי מה שקדם

We multiply 16 primes by the bottom row and subtract the result from the upper row; the remainder is 41 thirds and 11 fourths in the upper row.

ערכנו י"ו ראשונים על הטור התחתון וגרענו העולה מהטור העליון ונשאר בטור העליון מ"א שלישיים י"א רביעיים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(11^{\prime\prime}+51^{\prime\prime\prime}+15^{iv}\right)-\left[16^\prime\times\left(44^{\prime\prime}+55^{\prime\prime\prime}+45^{iv}\right)\right]=41^{\prime\prime\prime}+11^{iv}}}

We cannot divide 41 and 11 sixtieths by the reserved, so we lower the thirds to the fourths; we have two thousand and 471.

\scriptstyle{\color{blue}{41^{\prime\prime\prime}+11^{iv}=2471^{iv}}}

ולא נוכל לחלק מ"א וי"א חלקים מששים על השמור ולזה נוריד השלישיים על הרביעיים ויהיו לנו אלפים תע"א

We divide them by the reserved; the result is 58, which are seconds, according to the above.

\scriptstyle{\color{blue}{2471\div\left(41+\frac{53}{60}\right)\approx58^{\prime\prime}}}

ונחלקם על השמור ועלה נ"ח והם שניים לפי מה שקדם

We multiply them by the bottom row and subtract the result from the upper row; the remainder is 30 thirds and 42 fourths in the upper row.

ערכנום על הטור התחתון וגרענו העולה מהטור העליון ונשאר בטור העליון ל' שלשיים מ"ב רביעיים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(41^{\prime\prime\prime}+11^{iv}\right)-\left[58^{\prime\prime}\times\left(44^{\prime\prime}+55^{\prime\prime\prime}+45^{iv}\right)\right]=30^{\prime\prime\prime}+42^{iv}}}

So, we can divide the last [rank] of the upper row by the reserved; the result is one, which is a second according to the above.

והנה נוכל לחלק האחרון שבטור העליון על השמור ועלה אחד והוא שני לפי מה שקדם

We multiply it by the bottom row and subtract the result from the upper row; the remainder is 7 fifths and 45 sixths in the upper row.

ערכנוהו על הטור התחתון וגרענו העולה מהטור העליון ונשארו בטור העליון ז' חמשיים מ"ה ששיים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(30^{\prime\prime\prime}+42^{iv}\right)-\left[1^{\prime\prime}\times\left(44^{\prime\prime}+55^{\prime\prime\prime}+45^{iv}\right)\right]=7^v+45^{vi}}}

If you wish, you can calculate even more precisely and lower the fifths to the sixths, then divide by the reserved; the result will be fourths according to the above.

ואם תרצה תוכל לדקדק עוד ולהוריד חמשיים אל הששיים ולחלק על השמור ויהיה העולה רביעיים לפי מה שקדם

But there is no need [for that], because we have already reached a great approximation.

ואין צורך כי כבר הגענו אל קירוב גדול

Here the explanation of the division of a number by a number in all the dividing methods is complete.

ובכאן נשלם הביאור בחלוק מספר על מספר בכל אופני החלוקה

Dividing a known number by an unknown number

Since the way of dividing a known number by a known number has been explained, we should explain the way of dividing a known number by an unknown [number], as in the extraction of the square and cube roots of given numbers.

ואחר שהתבאר דרך חלוק מספר ידוע על מספר ידוע ראוי שנבאר דרך חלוק מספר ידוע על מספר בלתי ידוע כמו הוצאת השרשים הרבועיים והמעוקבים ממספרים המונחים

Extraction of Square Roots

First, we shall explain the way of extracting the square roots.

ונבאר תחלה דרך הוצאת השרשים הרבועיים

We base the explanation on the theorem that it is impossible to find roots of integers whose root is not an integer.

ונציע לביאורו הביאור שא'א' שימצא יסוד מספרי למספרים המקיפים בשלמים שאין יסודם אחדים שלמים

This is because one is a square number.

וזה שהאחד הוא מרובע

But, you already know from Book VIII of Euclid, proposition 14, that when a square measures a square, its side measures the side [of the other].

וכבר ידעת מח' מאקלידס י"ד שכאשר ימנה מרובע מרובע הנה צלעו ימנה צלעו

Since, one measures every number, even if this number is a square, then one must also measure its root, but if one does not measure it, then the number cannot be a square number.

והאחד ימנה כל מספר ואם היה זה המספר מרובע הנה האחד מונה את יסודו אבל האחד לא ימנהו אם כן אין מספר מרובע

Therefore, it has been proven that this number cannot have a root.

ולזה יתבאר שא'א' שיהיה לזה המספר יסוד מספרי

Example of this: the square root of ten is not an integer.

\scriptstyle\sqrt{10}

משל זה שמספר העשרה אין יסודו מקיף בשלמים

Because the square of three is nine and since ten is greater than nine, its root must be greater than its root.

לפי שמרובע שלשה הוא תשעה ומפני שהעשרה מוסיף על תשעה יהיה יסודו מוסיף על יסודו

Likewise, it is clear that the root of ten must be less than four, because the square of four is sixteen.

\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9<10<16=4^2\longrightarrow3<\sqrt{10}<4}}

ובזה יתבאר שיסוד עשרה הוא פחות מארבעה לפי שמרובע ארבעה הוא ששה עשר

So the root of ten is not an integer.

א"כ אין יסוד עשרה מקיף בשלמים

Yet, ten is measured by one, which is a square number, so if ten were a square number, then the root of ten should have been measured by the root of one, which is also one, but this has been proven false.

והנה עשרה ימנהו האחד שהוא מרובע ואם היה עשרה מרובע היה יסוד העשרה ימנהו יסוד האחד שהוא אחד וזה כבר התבאר שהוא שקר

Hence, ten does not have a root, whether with a fraction or not, so its root is called expressible only in potential.

אם כן אין למספר עשרה יסוד מספרי לא נשבר ולא בלתי נשבר ולזה יקרא יסודו הוא מדבר בכח לבד

Deduce from that.

והקש על זה

The ranks of the square numbers

This being understood, we shall teach you in which rank one can extract the square root, and in which ones it cannot.

וכאשר התישב זה נודיעך אי זה מהמדרגות יתכן שילקח השרש מהם ואי זה מהם לא יתכן לו בם

Know that the squares of the numbers from one to ten are: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81.

דע כי מרובעי המספרים הנמשכים מן האחד עד עשרה הם מספר א' ד' ט' ששה עשר כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א

As the units of the ranks are proportional, starting from one, and the second, which is ten, is not a square number, then there are square numbers only in the first [rank], the third, the fifth, and so on for all odd ranks.

ולפי שאחדי המעלות מתיחסים ומתחילין מן האחד והשני שהוא עשרה בלתי מרובע הנה אין שם אחד מרובע אלא הראשון והשלישי והחמשי וכן כל המעלות הנפרדות

This being understood, it is clear that every square number which is in an odd rank is a square number, because it is counted by the unit of this rank, which is a square number, as the number of units of a square number.

וכאשר התישב זה התבאר שאי זה מספר מרובע שימצא במעלות הנפרדות הוא מרובע לפי שהמספר ההוא ימנה האחד מזאת המעלה שהוא מרובע כמספר אחדי מספר מרובע

So, the result is a product of a square number by a square number, which is again a square number according to the above.

אם כן העולה הוא שטח מספר מרובע במספר מרובע שהוא מרובע לפי מה שקדם

Likewise, it is clear that any square number that is in an even rank cannot possibly be a square number.

ובכמו זה התבאר שאי זה מספר מרובע שימצא במעלות שהם זוג אי אפשר שיהיה מרובע

Also, it is clear concerning the ranks of sexagesimal fractions that the units of every even rank are square numbers, whereas the units of the odd ranks are not square numbers.

וכזה הת' במעלות השברים משברי חכמי התכונה שכל מעלה שהיא זוג אחדיה מרובעים והמעלות הנפרדות אין אחדיהן מרובעים

This is because sixty is not a square, therefore a prime cannot be a square, because it counts one, which is a square, by the number sixty, which is not a square, so a prime is not a square.

וזה שמספר הששים איננו מרובע ובהיות הענין כן יתחייב שלא יהיה השבר הראשון מרובע לפי שהוא ימנה האחד והוא מרובע במספר ששים והוא בלתי מרובע אם כן אין השבר הראשון מרובע

I claim that a second is square, because the ratio of one to a prime is the same as the ratio of a prime to a second, so the product of a prime by itself is the same as the product of one by a second, but the product of one by a second is a second, so a second is a square number and its root is a prime.

ואומר שהשבר השני מרובע וזה שיחס האחד אל הראשון כיחס הראשון אל השני א"כ שטח הראשון בעצמו כמו שטח האחד בשני אבל שטח האחד בשני הוא שני אחד אם כן השני מרובע ויסודו הראשון

It is clear from this a fourth is a square, because the ratio of one to a second is the same as the ratio of a second to a fourth, so the product of one by a fourth is the product of a second by itself, therefore a fourth is a square.

ובזה התבאר שהרביעי מרובע וזה שיחס האחד אל השני כיחס השני אל הרביעי א"כ שטח האחד ברביעי הוא שטח השני בעצמו אם כן הרביעי מרובע

Likewise it is clear that all even ranks are square numbers.

ובזה התבאר שכל מעלות הזוגות הם מרובעות

And so it is clear that every number that is in an even rank must be a square number, because its units are square numbers.

ולזה התבאר שאי זה מספר שיהיה במעלות אשר הם זוגות הוא מרובע לפי שאחדיה מרובעים

It is also clear from this, the way Euclid proved it, that because one is a square number, the third from it of the proportional units must be a square number, therefore the second is a square number, and the fourth is a square number and so are the even ranks that follow.

ובזה יתבאר זה גם כן בצד הביאור אשר באר אקלידס כי האחד לפי שהוא מרובע השלישי לו מהאחדים המתיחסים הוא מרובע ולזה יהיה השני מרובע והרביעי מרובע ומה שימשך מזה מהמעלות הזוגות

The way of extracting the square root of integers

דרך הוצאת השרש מהמספר המרובע המקיף בשלמים

We should write down the number, whose square root we are looking for, in a row, arranged according to its ranks.

ראוי שנכתוב המספר שבקשנו לדעת את מרובעו בטור אחד כפי מעלותיו

Then, examine the last rank in the row, whether it is odd or even:

אחר כך חקור על המעלה האחרונה שבטור אם היא מהנפרדות

If it is not odd, lower it to the preceding [rank], so that the last number is in an odd rank.

ואם לא היתה מהנפרדות הורידה אל שלפניה כדי שיהיה המספר האחרון שבמעלה נפרד

Then, look for the square number that is the closest to that number, but smaller. You write the root of that square in the row of the root, beneath the previous row in the rank that is mean between the first rank and the last rank - this is the row that we call the result row.

אחר כך ראה המרובע היותר קרוב אל זה המספר ואמנם המעט ויסוד המרובע ההוא תכתוב בטור השרש תחת הטור הקודם במעלה האמצעית בין המעלה הראשונה והמעלה האחרונה והוא אשר נקראה הטור היוצא

Subtract the square of the resulting root from the top row and divide the remainder by twice the resulting root.

ומרובע השרש היוצא תגרע מהטור העליון והנשאר תחלוק על כפל השרש היוצא

But, make sure that after the division you are left with as much as the square of the root resulting from division and the result of division, and this is the resulting root.

אך השמר שישאר לך אחר החלוקה כמו מרובע השרש היוצא לך מן החלוקה והעולה בחלוק והוא השרש היוצא

Write it in the row of the root, in the rank that is as far backward from the rank that you divided as the rank by which you divided is far from the first [rank].

תכתבהו בטור השרש במעלה אשר מרחקה לאחור מהמעלה שחלקת כמרחק המעלה שחלקת עליה מהראשונה

ותערוך זה השרש היוצא לך מן החלוקה והעולה בחלוק תכתבהו בטור השרש במעלה הראויה מצד הקודם

Multiply the root that resulted from the division by double the found root and by itself and subtract the result from the top row.

והשרש היוצא מן החלוקה תערוך על כפל השרש המוצא ועל עצמו והעולה תגרע מהטור העליון

Continue this way until nothing is left in the upper row.

וכן תעשה עד שלא ישאר בטור העליון דבר

Example of this: You wish to extract the square root of 82646281.

\scriptstyle\sqrt{82646281}

דמיון זה אם רצית להוציא שרש א'ח'ב'ו'ד'ו'ב'ח‫'

Since the last rank is the eighth, lower it down to the preceding [rank]; it is 82. The square number closest to this number is 81 and its root is 9. Write 9 in the row of the root, in the fourth rank, which is the middle between the seventh and the first.

ולפי שהמעלה האחרונה היא שמינית תורידה אל שלפניה והנה פ"ב והנה פ"א הוא המרובע היותר קרוב לזה המספר ושרשו ט' תכתוב ט' בטור השרש ברביעית שהיא אמצעית בין השביעית והראשונית

The square of the 9 of the fourth rank is 81 of the seventh. We subtract it from 82; one remains in the seventh.

והנה מרובע ט' מהרביעית הוא פ"א מהשביעית גרענום מפ"ב ונשאר אחד בשביעית

But, we cannot divide it by the double of 9, which is the found root. So, we lower it down to the preceding rank; with the 6 that is there, it is 16.

ולא נוכל לחלק על כפל ט' שהוא השרש המוצא הורדנוהו אל שלפניו עם ו' שהיו בה והנה י"ו

But we cannot divide it by the double of 9. So we lower 16 down to the preceding rank; it is 164.

ולא נוכל לחלק על כפל ט' הורדנו הי"ו אל שלפניה והנה קס"ד

We divide it by twice the found root, which is 18; the result is 9 and this is the resulting root.

חלקנום על כפל השרש המוצא שהוא י"ח ועלה ט' והוא השרש היוצא

We write it in the row of the root, in the fourth rank backwards from the rank of 164.

ונכתבם בטור השרש ברביעית לאחור במדרגת קס"ד

We multiply it by twice the found root and by itself, then we subtract the result from the upper row; 18181 remains there.

ערכנום על כפל השרש המוצא ועל עצמם והעולה גרענו מהטור העליון ונשאר בו א'ח'א'ח'א‫'

We divide this by double the found root, which is 18 units and 2 tenths according to the above; the result is approximately one in the first rank. We write it in the first [rank], in the row of the root.

חלקנום על כפל השרש המוצא והוא על צד הקודם י"ח אחדים וב' עשיריות ועלה אחד בראשונה בקרוב ונכתבהו בראשונה בטור השרש

We multiply it by twice the found root and by itself, then we subtract the result from the upper row; nothing remains in the upper row.

ערכנוהו על כפל השרש המוצא ועל עצמו וגרענו העולה מהטור העליון ולא נשאר בטור העליון דבר

Hence, the square root of this number is 9 thousand and 91, and this is the required.

והנה שרש זה המספר הדרוש הוא ט' אלפים וצ"א והוא המבוקש

Check: If you wish, you can check this by multiplying the row of the square root by itself; then you receive the upper row.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a}}

ואם תרצה תוכל לבחון זה בשתכה טור השרש על עצמו ויצא לך הטור העליון

This is because, as already explained, when a number is added to a number, the square of the two summed numbers equals [the sum of] the squares of the two numbers plus twice their product by each other.

והיה זה כן לפי שכבר התבאר שכאשר הוסף מספר על מספר הנה מרובע שני המספרים מקובצים שוים למרובעי שני המספרים ולכפל שטח זה בזה

Extracting root of integers and simple fractions

The way of extracting the roots of square numbers that are not compound of whole units and in which there are no sexagesimal fractions.

דרך הוצאת השרשים מהמספרים המרובעים אשר הם בלתי מקיפים באחדים שלמים ולא היו השברים בהם משברי חכמי התכונה

Find the common denominator of these fractions, i.e. the least common multiple of the denominators of all these fractions.

הוצא המורה הראשון אל השברים ההם ר"ל המספר המעט שימנה מורי השברים ההם בכללם

Multiply that number by itself, if it is a square number, or by its square, if it is not. Then, extract the root of the result and divide it by the square root of the number by which you multiplied the given number; the result is the required.

ועליו אם היה מרובע או על מרובעו אם לא היה המורה הראשון מרובע תערוך המספר ההוא ותוצא שרש העולה וחלקהו על שרש המספר אשר כפלת עליו המספר המונח והעולה הוא המבוקש

Example: If you want to know the square root of 82 integers, a quarter and 2-sevenths of a seventh,

\scriptstyle\sqrt{82+\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}

דמיון אם רצית לדעת שרש פ"ב שלמים ורביע וב' שביעיות שביעית

The common denominator of all these fractions, according to what Euclid explained, is 196, which is the number composed of 4 and 49. These are square numbers, so 196 is a square number.

הנה המורה הראשון לאלו השברים הוא לפי מה שהתבאר מאקלידס קצ"ו והוא המספר המורכב מד' ומ"ט שהם מרובעים ולזה יהיה קצ"ו מרובע

We multiply this number by it; the result is 16129. We extract its square root; the result is 127. We divide it by the square root of 196, which is 14; the result is 9 and half a seventh, and this is the sought-after.

ערכנו עליו זה המספר ועלה ט'ב'א'ו'א' לקחנו שרשו ועלה קכ"ז חלקנוהו על שרש קצ"ו שהוא י"ד ועלה ט' וחצי שביעית וככה המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{82+\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}=\frac{\sqrt{\left[82+\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot196}}{\sqrt{196}}=\frac{\sqrt{16129}}{\sqrt{196}}=\frac{127}{14}=9+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}}

Deduce from this.

והקש על זה

Explanation: This is because, as already explained, when a square number is multiplied by a square number, the root of the result is the number composed of the roots of the two square numbers, so the result is counted by the one root as the number of units of the other root.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2\sdot b^2}=a\sdot b}}

והיה זה כן לפי שכבר התבאר שכאשר הוכה מספר מרובע במרובע שיסוד העולה הוא המספר המורכב מיסודי שני המרובעים אם כן העולה ימנה היסוד האחד כמספר אחדי יסוד האחר

The way to extract the square root of non-square numbers with great approximation when there are integers in the root

דרך להוצאת שרש מספר בלתי מרובע שיהיה בשרשו שלמים בקירוב גדול

First, extract the square root that is nearest to [the true root of] that number in the way we have mentioned, so that in the upper row you are left with less than double the found root plus one, which is the square of the resulting root.

הוצא תחלה השרש הקרוב למספר ההוא בדרך שזכרנו עד שישאר לך בטור העליון פחות מכפל השרש המוצא מקובץ עם אחד שהוא מרובע השרש היוצא

Lower what you are left with down to [the rank of] primes and divide by twice of all that is in the row of the root, when you lower it down to the rank of units. But, make sure you are left with the square of the resulting root in the upper row. The result are primes according to the above.

והנשאר לך תורידהו אל הראשונים וחלק על כפל כל מה שבטור השרש כשתורידהו למעלת האחדים והזהר שישאר לך בטור העליון כמו מרובע השרש היוצא והעולה יהיו ראשונים לפי מה שקדם

Multiply them by double the found root and by themselves, then subtract the result from the upper row.

ערכם על כפל השרש המוצא ועל עצמם וגרע העולה מהטור העליון

If the remainder is less than double the found root plus one, lower it down to the preceding rank and divide again by double the found root, after you have lowered all the integers down to the first rank and the fractions that precede them are considered as parts of sixty.

והנשאר לך אם הוא פחות מכפל השרש היוצא נחבר עם אחד תורידהו אל המעלה שלפניה ותשוב לחלק על כפל השרש המוצא כשתוריד כל השלמים אל המעלה הראשונה והשברים אשר לפניהם יהיו חלקים מששים

The resulting square root is, according to the above, of the rank of the fractions we divided; write it there in the row of the result.

והשרש היוצא הוא לפי מה שקדם ממעלת השברים אשר חלקנו ושם תכתבהו בטור העולה

Multiply it by double the found square root and by itself, then subtract the result from the upper row.

ערכהו על כפל השרש המוצא ועל עצמו והעולה גרע מהטור העליון

This way you can approximate as much as you want.

ובזה הדרך תוכל לדקדק כפי מה שתרצה

Example of this: If you wish to know the square root of the number 7654321, 40 primes, and 30 seconds.

\scriptstyle\sqrt{7654321+40^{\prime}+30^{\prime\prime}}

דמיון זה אם רצית למצא שרש מספר א'ב'ג'ד'ה'ו'ז' ומ' ראשונים ול' שניים

Extract the approximate root according to the previous way, the result is 2766; 3565 integers, 40 primes and 30 seconds remain in the upper row.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7654321+40^{\prime}+30^{\prime\prime}}\approx2766}}

\scriptstyle{\color{blue}{7654321+40^{\prime}+30^{\prime\prime}-2766^2=3565+40^{\prime}+30^{\prime\prime}}}

הנה תוצא השרש הקרוב על הצד הקודם ויעלה ו'ו'ז'ב' ונשאר בטור העליון ג' אלפים וה' מאות וס"ה שלמים מ' ראשונים ל' שניים

We lower the integers down to the rank of primes. We have two hundred of thousand, 13 thousand, 9 hundred and 40, and in the preceding rank 30 that are parts of sixty.

\scriptstyle{\color{blue}{3565+40^{\prime}+30^{\prime\prime}=\left(213940+\frac{30}{60}\right)^{\prime}}}

הורדנו השלמים למדרגת הראשונים ויהיו בידינו מאתים אלף וי"ג אלפים וט' מאות ומ' ובמדרגה שלפניהם ל' והם חלקים מששים

We divide the result by double the bottom row, which is 5 thousand, 5 hundred and 32, in a way that the square of the resulting root remains; the result is 38, which are primes according to what preceded. We write them in the row of the root.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(213940+\frac{30}{60}\right)^{\prime}}{2\sdot2766}=\frac{\left(213940+\frac{30}{60}\right)^{\prime}}{5532}\approx38^{\prime}}}

חלקנו העולה על כפל הטור התחתון שהוא ה' אלפים וה' מאות ול"ב בדרך שישאר כמו מרובע השרש היוצא ועלה ל"ח והם ראשונים לפי מה שקדם ושם נכתבם בטור השרש

We multiply them by double the found root and by themselves, then subtract the result from the upper row; 61 integers, 40 primes and 26 seconds remain in the upper row, which are 3 thousand and 700 primes and 26 seconds. But, this is less than double the found root, which is 5 thousand, 5 hundred and 33 integers plus 16 parts of sixty.

ערכנום על כפל השרש המוצא ועל עצמם וגרענו העולה מהטור העליון ונשאר בטור העליון ס"א שלמים מ' ראשונים כ"ו שניים שהם ג' אלפים ות"ש ראשונים וכ"ו שניים וזה פחות מכפל השרש המוצא שהוא ה' אלפים וה' מאות ול"ג שלמים וי"ו חלקים מששים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3565+40^{\prime}+30^{\prime\prime}\right)-\left[38^{\prime}\sdot\left[\left(2\sdot2766\right)+38^{\prime}\right]\right]=61+40^{\prime}+26^{\prime\prime}=3700^{\prime}+26^{\prime\prime}}}

\scriptstyle{\color{blue}{3700^{\prime}+26^{\prime\prime}<5533+\frac{16}{60}=2\sdot\left(2766+38^{\prime}\right)}}

We lower the remainder in the upper row down to the rank of seconds. We have 2 hundred thousand, 22 thousand and 26.

\scriptstyle{\color{blue}{61+40^{\prime}+26^{\prime\prime}=222026^{\prime\prime}}}

הורדנו הנשאר בטור העליון למדרגת השניים ויהיו בידינו מאתים אלף וכ"ב אלפים וכ"ו

We divide them by double the found root; the result is 40, which are seconds, according to what preceded. We write them there in the row of the root.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{222026^{\prime\prime}}{2\sdot\left(2766+38^{\prime}\right)}\approx40^{\prime\prime}}}

חלקנום על כפל השרש המוצא ועלה מ' והם שניים לפי מה שקדם ושם נכתבם בטור השרש

We multiply them by double the found root and by themselves, then subtract the result from the upper row; 11 primes, 34 seconds, 53 thirds and 20 fourths remain in the upper row, which are 694 seconds, 53 thirds and 20 fourths, which is less than double the found root.

ערכנום על כפל השרש המוצא ועל עצמם וגרענו העולה מהטור העליון ונשאר בטור העליון י"א ראשונים ל"ד שניים נ"ג שלישיים כ' רביעיים שהם תרצ"ד שניים נ"ג שלישיים כ' רביעיים וזה פחות מכפל השרש המוצא

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(61+40^{\prime}+26^{\prime\prime}\right)-\left[40^{\prime\prime}\sdot\left[\left[2\sdot\left(2766+38^{\prime}\right)\right]+40^{\prime\prime}\right]\right]&\scriptstyle=11^{\prime}+34^{\prime\prime}+53^{\prime\prime\prime}+20^{iv}\\&\scriptstyle=694^{\prime\prime}+53^{\prime\prime\prime}+20^{\prime\prime\prime\prime}\\\end{align}}}

\scriptstyle{\color{blue}{694^{\prime\prime}+53^{\prime\prime\prime}+20^{iv}<2\sdot\left(2766+38^{\prime}+40^{\prime\prime}\right)}}

We therefore lower all this down to the rank of thirds; the result is 41 thousand, 693 and 20 parts of sixty.

\scriptstyle{\color{blue}{694^{\prime\prime}+53^{\prime\prime\prime}+20^{iv}=\left(41693+\frac{20}{60}\right)^{\prime\prime\prime}}}

ולזה נוריד כל זה למדרגת השלישיים יעלה מ"א אלפים ותרצ"ג וכ' חלקים מששים

We divide them by double the found root, which is 5 thousand 5 hundred and 33 plus 18 parts of sixty; the result is 7 thirds.

חלקנום על כפל השרש המוצא שהוא ה' אלפים ה' מאות ול"ג וי"ח חלקים מששים ועלה ז' שלישיים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(41693+\frac{20}{60}\right)^{\prime\prime\prime}}{2\sdot\left(2766+38^{\prime}+40^{\prime\prime}\right)}\approx\frac{\left(41693+\frac{20}{60}\right)^{\prime\prime\prime}}{5533+\frac{18}{60}}\approx7^{\prime\prime\prime}}}

We multiply them by double the found root and by themselves, then we subtract the result from the upper row.

ערכנום על כפל השרש המוצא ועל עצמם וגרענו העולה מהטור העליון

Thus, we find that we have already reached the sought root with much approximation, for the remainder in the upper row is not even one second, and that is little, when compared with the difference of the true value of the root.

ומצאנו שהגענו אל השרש הדרוש בקירוב גדול כי הנשאר בטור העליון אינו מגיע לשני אחד והוא מעט כשיוקש אל מה שראוי שיתחלף השרש האמתי בעבורו

You can approximate further if you want, but it is not necessary.

ואם תרצה תוכל לדקדק עוד ואין צורך

Another way when there are integers in the root

דרך אחרת כשהיה בשרש שלמים

Know that the larger the number whose root you want to know, the harder it is to find that root.

דע כי כל אשר יהיה המספר שתבקש לדעת שרשו יותר גדול תהיה הוצאתו יותר בקושי

I will show you how to turn a large number into a smaller one, after I explain to you that the multiplication of a number by 36 seconds equals its division by a hundred:

ואודיעך איך תעשה ממספר גדול מספר מעט אחר שאבאר לך כי כפל מספר בל"ו שניים הוא שוה לחלוקו אל מאה

This is so because 36 seconds is one part of a hundred of a unit, since there are 36 hundred seconds in a unit.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\sdot36''=a\sdot\frac{36}{3600}=\frac{a}{100}}}

וזה כי ל"ו שניים הוא חלק אחד ממאה באחד כי השניים אשר באחד הם ל"ו מאות

When that has become clear to you, divide the large number by a hundred.

וכאשר התבאר לך זה הנה תחלוק על מאה המספר הגדול

This division is very easy as to what can be divided.

וזה החלוק יקל מאד במה שיגיע ממנו לחלוק

Regarding what cannot be divided: multiply it by 36 seconds; the integers and fractions you receive are the larger number lowered once.

ומה שלא יגיע ממנו לחלוק תערכהו על ל"ו שניים והעולה בידך מהשלמים והשברים הוא המספר הגדול מורד פעם אחת

If this lowered number is not less than a hundred, lower it again in this way until it becomes less than a hundred.

ואם לא היה זה המספר המורד פחות ממאה תשוב להוריד אותו בזה הדרך עד שיגיע פחות ממאה

The last lowered number is the number whose square root is required.

והמספר האחרון המורד הוא המספר המבקש יסודו

You can find it very easily and approximate it to fifths or thirds, so that the calculation will reach an extreme approximation.

והנה תמצאהו בקלות גדול ותדקדק עד חמשיים או עד שלישיים כדי שיהיה החשבון בקירוב מופלג

When you find it, count the number of lowerings and take the number composed of as many tens as the number of lowerings. This corresponds to the rank, whose positional value exceeds the number of lowerings by one.

וכאשר תמצאהו תמנה מספר ההורדות וקח המספר המורכב ממספרי עשרה כמספרי ההורדות וזה מסכים למעלה אשר מספרה מוסיף אחד על מספר ההורדות

Multiply the square root you have by the result, and the result of the multiplication is the required.

ועל העולה ערוך השרש שיש לך ומה שיגיע מן הכפל הוא המבוקש

Example: we wish to extract the root of 98754321.

\scriptstyle\sqrt{98754321}

דמיון רצינו שנוציא שרש א'ב'ג'ד'ה'ז'ח'ט‫'

We divide this number by one-hundred, then multiply the remainder that cannot be divided by 36 seconds, and we get 987543, 12 primes and 36 seconds. This is the first lowering.

חלקנו זה המספר על מאה וערכנו הנשאר שלא בא לחלוק על ל"ו שניים ויצא לנו ג'ד'ה'ז'ח'ט' וי"ב ראשונים ל"ו שניים וזאת היא ההורדה הראשונה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{98754321}{100}=987543+\frac{21}{100}=987543+\left(21\sdot36^{\prime\prime}\right)=987543+12^\prime+36^{\prime\prime}}}

Since the result is not smaller than one-hundred, we divide the line of the result again by one-hundred, then multiply the remainder that cannot be divided by 36 seconds, and we get 9875, 25 primes, 55 seconds, 33 [thirds and] 36 [fourths]. This is the second lowering.

ולפי שמה שיצא לנו הוא בלתי קטן ממאה נשוב לחלק זה הטור שיצא לנו על מאה ולערוך מה שלא בא לחלוק על ל"ו שניים ויצא לנו ה'ז'ח'ט' וכ"ה ראשונים נ"ה שניים ל"ג ל"ו והיא ההורדה השנית

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{987543+12^\prime+36^{\prime\prime}}{100}&\scriptstyle=9875+\frac{43+12^\prime+36^{\prime\prime}}{100}=9875+\left[\left(43+12^\prime+36^{\prime\prime}\right)\sdot36^{\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle=9875+25^\prime+55^{\prime\prime}+33^{\prime\prime\prime}+36^{iv}\\\end{align}}}

We divide the line of the result again by one-hundred, according to the previous way, and we get [9] in the first [rank], [8] in the second [rank], 45 primes, 15 seconds, 33 thirds, 20 fourths, 9 fifths and 36 sixths.

This number is less than one-hundred, therefore we do not lower again and the lowering are three.

ונשוב עוד לחלק זה הטור שיצא לנו על מאה על הדרך הקודם ויצא לנו ח' בראשונה ט' בשניה מ"ה ראשונים ט"ו שניים ל"ג שלישיים כ' רביעיים ט' חמשיים ל"ו ששיים

וזה המספר הוא קטן ממאה ולזה לא נשוב להוריד עוד והנה ההורדות שלשה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{9875+25^\prime+55^{\prime\prime}+33^{\prime\prime\prime}+36^{iv}}{100}&\scriptstyle=98+\frac{75+25^\prime+55^{\prime\prime}+33^{\prime\prime\prime}+36^{iv}}{100}\\&\scriptstyle=98+\left[\left(75+25^\prime+55^{\prime\prime}+33^{\prime\prime\prime}+36^{iv}\right)\sdot36^{\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle=98+45^\prime+15^{\prime\prime}+33^{\prime\prime\prime}+20^{iv}+9^v+36^{vi}<100\\\end{align}}}

We examine the root of this small number:

והנה נחקור על שרש זה המספר הקטן

Since the last rank in the line is of the evens, we lower it to the preceding [rank] and we first have 98.

The closest preceding square is 81 and its root is 9 of the first [rank].

We write 9 in the line of the root in the first rank.

We subtract the square of 9 from 98 and we are left with 17.

\scriptstyle{\color{blue}{98-9^2=98-81=17}}

ולפי שהמעלה האחרונה שבטור היה מהזוגות נוריד אל שלפניו ויהיו לנו צ"ח בראשונה

והנה המרובע הקרוב לזה המספר לפניו הוא פ"א ושרשו ט' מהראשונה
ונכתוב ט' בטור השרש במעלה הראשונה
גרענו מרובע ט' מצ"ח ונשאר לנו י"ז

We lower them to the rank of primes and the result is 1065 and 15 parts of sixty, according to the previous way.

\scriptstyle{\color{blue}{17+45^\prime+15^{\prime\prime}=\left(1065+\frac{15}{60}\right)^\prime}}

הורדנום אל מדרגת הראשונים ועלה אלף וס"ה וט"ו חלקים מששים על הצד הקודם

We divide them by double the found root, which is 18, in a way that the square of the resulting root remains in the upper line; the result is 56, which are primes, according to what was explained previously. We write them in the row of the root.

חלקנום על כפל השרש המוצא שהוא י"ח בדרך שישאר בטור העליון מרובע השרש היוצא ועלה נ"ו והם ראשונים לפי מה שהתבאר קודם

ושם נכתבם בטור השרש

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(1065+\frac{15}{60}\right)^\prime}{2\sdot9}=\frac{\left(1065+\frac{15}{60}\right)^\prime}{18}\approx56^\prime}}

We multiply them by the by double the found root and by themselves, then subtract the result from the upper row; 4 primes and 59 seconds remain in the upper row, plus the fractions that follows them.

ערכנום על כפל השרש המוצא ועל עצמם וגרענו העולה מהטור העליון ונשאר בטור העליון ד' ראשונים נ"ט שניים ומה שנמשך להם מן השברים

We lower the primes down to the rank of seconds; it is 299 and 33 parts of sixty.

הורדנו הראשונים למדרגת השניים והנה רצ"ט ול"ג חלקים מששים

We divide them by double the found root, which is 19 integers and 52 parts of sixty, so that we are left with the square of the root resulting from the division; the result is 15 and they are seconds.

חלקנום על כפל השרש המוצא שהוא י"ט שלמים ונ"ב חלקים מס' בדרך שישאר לנו מרובע השרש היוצא מן החלוקה ועלה ט"ו והם שניים

We multiply them by double the found root and by themselves, then subtract the result from the upper row; we are left with one second, 29 thirds, 35 fourths, 9 fifths, and 36 sixths in the upper row.

ערכנום על כפל השרש המוצא ועל עצמם וגרענו העולה מהטור העליון ונשאר לנו בטור העליון שני אחד כ"ט שלישיים ל"ה רביעיים ט' חמשיים ל"ו ששיים

When we continue this way, we find this root with great approximation as 9 integers, 56 primes, 15 seconds, 4 thirds, 30 fourths, 26 fifths, 52 sixths, 52 sevenths.

וכאשר נהגנו בכמו זה המנהג מצאנו זה השרש בקירוב גדול ט' שלמים נ"ו ראשונים ט"ו שניים ד' שלישיים ל' רביעיים כ"ו חמשיים נ"ב ששיים נ"ב שביעיים

This approximation exceeds the square by 2 sevenths, 42 eighths, 7, 50, 30, 35, 38, 53, 4. Keep it.

והקרוב היה לתוספת אצל המרובע ב' שביעיים מ"ב שמיניים ז' נ' ל' ל"ה ל"ח נ"ג ד' שמרהו

Since the lowerings were three, we multiply this square root by a thousand, for the number composed of 3 times ten is a thousand; the result is 9 thousand 938 integers, 37 primes, 15 seconds, 7 thirds, 28 fourths , 3 fifths, 6 sixths, and 40 sevenths, and this is approximately the required square root of the number.

ולפי שההורדות יהיו שלשה נערוך זה השרש על אלף כי המספר המורכב מג' דמיוני עשרה הוא אלף והנה העולה הוא ט' אלפים ותתקל"ח שלמים ל"ז ראשונים ט"ו שניים ז' שלישיים כ"ח רביעיים ג' חמשיים ו' ששיים מ' שביעיים והוא שרש המספר המבוקש בקירוב

To know the approximation, multiply the first approximation you kept by the square of a thousand, by which you multiplied the square root. The approximation is from the same side from which the first approximation was. So, the first approximation is 9 fourths, 46 fifths, 18 sixths, 32 sevenths, 0, 35, 34, 34, 4, 26, 40. This is a great approximation for this great number, because this approximation does not even reach the square of a quarter of the thirds.

ולדעת הקירוב ערוך הקירוב הראשון ששמרת על מרובע אלף שערכת עליו השרש והנה הקירוב אל הצד שהיה אליו הקירוב הראשון ולזה יהיה הקירוב הראשון ט' רביעיים מ"ד חמשיים י"ח ששיים ל"ב שביעיים 0 ל"ה ל"ד ל"ד ד' כ"ו מ' וזה קירוב גדול לזה המספר הרב לפי שזה הקירוב איננו מגיע למרובע לרביע אחד מן השברים השלישיים

Deduce from this.

והקש על זה

This is so because the number of the first row is counted by the number of the lowered second row as the number of units in one hundred. So, if the second row is multiplied by one hundred, it becomes the same as the first row.

והיה זה כן לפי שמספר הטור הראשון ימנה הטור השני המורד במספר מה שבמאה מן האחדים אם כן הטור השני יוכה במאה ויהיה כמו הטור הראשון

In the same way it is clear that the lowered last row multiplied by the [number] composed of three times one hundred, which is a thousand of a thousand, is the same as the first row. So, the ratio of the first row to the lowered last row is a thousand of a thousand.

וכזה הת' שהטור המורד האחרון יוכה במורכב משלשה דמיוני מספר מאה שהוא אלף אלפים ויהיה כמו הטור הראשון א"כ יחס הטור הראשון אל הטור האחרון המורד הוא אלף אלפים

Likewise, the ratio of the larger root to the smaller root is one thousand.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}:\sqrt{\frac{a^2+b}{1000000}}=1000}}

וג"כ הנה יחס השרש הגדול אל השרש הקטן הוא אלף

Also the ratio of the square of the larger root to the square of the smaller root is a thousand of a thousand.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a^2+b\right):\frac{a^2+b}{1000000}=1000000}}

ויחס מרובע השרש הגדול אל מרובע השרש הקטן הוא אלף אלפים

Therefore, the ratio of the square of the larger root to the square of the smaller root is the same as the ratio of the first row to the last row.

ולזה יהיה יחס מרובע השרש הגדול אל מרובע השרש הקטן כיחס הטור הראשון אל הטור האחרון

When we interchange [the terms], the ratio of the square of the larger root to the first row is the same as the ratio of the square of the smaller [root] to the last row.

וכאשר המירונו הנה יחס מרובע השרש הגדול אל הטור הראשון כיחס מרובע הקטן אל הטור האחרון

But, the square of the smaller root is approximately the same as the last row. So, the square of the larger root is approximately the same as the first row.

אבל מרובע השרש הקטן הוא כמו הטור האחרון בקירוב אם כן מרובע השרש הגדול הוא כמו הטור הראשון בקירוב

Also, because the ratio of the square of the larger root to the first row is the same as the ratio of the square of the smaller root to the last row, and the square of the smaller root is greater than the last row, then the square of the larger root is greater than the first row.

וגם כן הנה מפני שיחס מרובע השרש הגדול אל הטור הראשון כיחס מרובע השרש הקטן אל הטור האחרון והיה מרובע השרש הקטן יותר גדול מהטור האחרון הנה מרובע השרש הגדול יותר גדול מהטור הראשון

When we take the differences, the ratio of the square of the larger root to its excess over the first row is the same as the ratio of the square of the smaller root to its excess over the last row.

וכאשר הבדלנו הנה יחס מרובע השרש הגדול אצל יתרונו על הטור הראשון כיחס מרובע השרש הקטן אצל יתרונו על הטור האחרון

When we interchange [the terms], the ratio of the square of the larger root to the square of the smaller root is the same as the ratio of the excess of the square of the larger root over the first row to the excess of the square of the smaller root over the last row.

וכאשר המירונו הנה יחס מרובע השרש הגדול אל מרובע השרש הקטן כיחס יתרון מרובע השרש הגדול על הטור הראשון אל יתרון מרובע השרש הקטן על הטור האחרון

However, the ratio of the square of the larger root to the square of the smaller is a thousand of a thousand. So, the ratio of the excess of the square of the larger root over the first row to the excess of the square of the smaller root over the last row is a thousand of a thousand.

אבל יחס מרובע השרש הגדול אל מרובע השרש הקטן הוא אלף אלפים אם כן יחס יתרון מרובע השרש הגדול על הטור הראשון אל יתרון מרובע השרש הקטן על הטור האחרון הוא אלף אלפים

Deduce from this.

והקש על זה

The method of extracting the roots of sexagesimal fractions

דרך הוצאת השרשים משברים מונחים משברי חכמי התכונה

Examine the highest of all the ranks, if it is an even.

חקור על המדרגה הגבוהה מכלם אם היא מהזוגות

If it is not even, lower it down to the preceding [rank], so it becomes even.

ואם היא אינה מהזוגות הורידה אל שלפניה כדי שתהיה מהזוגות

From the result extract the true or the approximate but smaller root and write it in the row of the root, in the rank that is halfway between that rank and the first [rank].

ומהעולה הוצא השרש האמתי או הקרוב אמנם המעט ותשימהו בטור השרש במדרגה הממוצעת בין המדרגה ההיא ובין האחד

If you have a remainder, lower it down to a lower rank, so that you can divide it by double the found root.

ואם ישאר לך תורידהו אל מדרגה שפלה עד שתוכל לחלקו על כפל השרש המוצא

Write the result of division in the rank whose distance backwards from the dividend rank is the same as the distance of the divisor rank from the first [rank].

והעולה בחילוק תשים במעלה אשר מרחקה מהמדרגה המחולקת לאחריה כמרחק המדרגה שחלקת עליה מהראשונה

This way you approximate as much as you like.

וכפי זה הדרך תדקדק כל מה שתרצה

Example: if you wish to extract the root of 53 thirds, 41 fourths, 50 fifths and 25 sixths.

\scriptstyle\sqrt{53^{\prime\prime\prime}+41^{iv}+50^{v}+25^{vi}}

דמיון זה אם רצית להוצא שרש נ"ג שלישיים מ"א רביעיים נ' חמשיים כ"ה ששיים

The highest rank is the rank of the thirds, but it is not of the even ranks.

הנה המדרגה היותר גבוהה היא מדרגת השלישיים ואיננה מהזוגות

Lower its rank and you will have 3221.

הורידה ויהיו בידך שלשת אלפים ורכ"א

The approximate root is 56. We write it in the middle rank between the rank of the units and the fourths, which is the seconds.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{53^{\prime\prime\prime}+41^{iv}}=\sqrt{3221^{iv}}\approx56^{\prime\prime}}}

והשרש היותר קרוב לזה המספר הוא נ"ו ונכתבם במדרגת האמצעיים בין מעלת האחדים והרביעיים והם השניים

We multiply them by themselves, then subtract the result from the upper row and we are left with 85 fourths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(53^{\prime\prime\prime}+41^{iv}\right)-\left(56^{\prime\prime}\right)^2=85^{iv}}}

ערכנום על עצמם וגרענו העולה מהטור העליון ונשארו לנו פ"ה רביעיים

We lower their rank to fifths and we have 5150 fifths.

נורידם אל החמשיים ויהיו בידנו ה' אלפים וק"נ חמשיים

We divide them by double the found root, which is 112, in a way that the square of the resulting root remains and the result is 45.

חלקנום על כפל השרש המוצא שהוא קי"ב בדרך שישאר לנו מרובע השרש היוצא ועלה מ"ה

Since the rank by which we divide is third from the units, we place the 45 in the line of the root, in the third rank from the divided rank, so these 45 are thirds.

ולפי המעלה שחלקנו עליה היא שלישית למדרגת האחדים נשים המ"ה בטור השרש במעלה השלישית לאחור למעלה המחולקת ולזה יהיו אלו המ"ה שלישיים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(53^{\prime\prime\prime}+41^{iv}+50^{v}\right)-\left(56^{\prime\prime}\right)^2}{2\sdot56^{\prime\prime}}=\frac{85^{iv}+50^{v}}{112^{\prime\prime}}=\frac{\left(85\sdot60\right)^{v}+50^{v}}{112^{\prime\prime}}=\frac{5150^{v}}{112^{\prime\prime}}\approx45^{\prime\prime\prime}}}

We multiply them by double the found root and by themselves, then subtract the result from the upper row, so 76 fifths and [40] sixths remain in the upper row.

ערכנום על כפל השרש המוצא ועל עצמם וגרענו העולה מהטור העליון ונשאר בטור העליון ע"ו חמשיים מ' ששיים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(85^{iv}+50^{v}+25^{vi}\right)-\left[45^{\prime\prime\prime}\sdot\left(2\sdot56^{\prime\prime}+45^{\prime\prime\prime}\right)\right]=76^{v}+40^{vi}}}

We lower the fifths to sixths and the result is 4600.

נוריד החמשיים אל הששיים ועלה ארבע אלפים ות"ר

We divide them by double the found root, which is 113 and 32 parts of sixty approximately, the result is 33, which are fifths, according to what preceded.

חלקנום על כפל השרש המוצא שהוא קי"ג ול"ב חלקים מששים בקירוב ועלה ל"ג והם לפי מה שקדם חמשיים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{76^{v}+40^{vi}}{2\sdot\left(56^{\prime\prime}+45^{\prime\prime\prime}\right)}=\frac{\left(76\sdot60\right)^{vi}+40^{vi}}{\left(113+\frac{{\color{red}{30}}}{60}\right)^{\prime\prime}}=\frac{4600^{vi}}{\left(113+\frac{{\color{red}{30}}}{60}\right)^{\prime\prime}}\approx{\color{red}{40^{iv}}}}}

We multiply them by double the found root and by themselves, then subtract the result from the upper row; 54 sevenths, 8 eighths, 2 ninths, and 51 tenths remain in the upper row.

ערכנום על כפל השרש המוצא ועל עצמם וגרענו העולה מהטור העליון ונשאר בטור העליון נ"ד שביעיים ח' שמיניים ב' תשיעיים נ"א עשיריים

You can approximate this way as much as you like.

וכזה תוכל לדקדק כל מה שתרצה

But, there is no need to approximate further, since the approximation is accurate to less than one sixth.

ואין צורך לדקדק עוד הקרוב בלתי מגיע לששי אחד

Deduce from this.

והקש על זה

Extraction of Cubic Roots

The way of extracting the cube roots

דרך הוצאת השרשים המעוקבים

We offer its explanation that some numbers do not have cube roots.

ואנחנו מציעים לבאורו שקצת המספרים אין להם יסוד מספרי עקוביי

This is so as it was already explained that when a cube counts [another] cube, its side counts its side.

וזה שכבר הת' שכאשר מעוקב ימנה מעוקב הנה צלעו ימנה צלעו

Therefore, it follows necessarily that for any integer number whose cube root is not an integer, it is impossible to find its cube root.

ולזה יחוייב בכל מספר מקיף בשלמים שאין יסודו אחדים שלמים שאי אפשר שימצא לו יסוד מספרי עקוביי

Because if it had a cube root, then it would have been a cube number; and since this number counts the one that is a cubic number, its side should count its side.

וזה שאם היה לו יסוד מספרי היה מספר מעוקב ולפי שזה המספר ימנה האחד שהוא מעוקב הנה צלעו ימנה צלעו

However, if its side counts its side, its root would have been an integer, but it was assumed that its root is not an integer and this is absurd, so the number is not a cubic number.

ואם היה צלעו מונה צלעו היה יסודו מקיף בשלמים וכבר הונח יסודו בלתי מקיף בשלמים זה ישקר אם כן אין מספר מעוקב

Therefore, it is clear that neither the number 10 nor the number 60 is a cubic number, and that it is impossible to find them a cubic root.

ולזה יתבאר שאין מספר העשרה מעוקב ולא מספר הששים ושאי אפשר שימצא להם יסוד מספרי עקוביי

Since this is clear, and since the units of the ranks are proportional and begin with the one and the second, which is ten, is not a cubic number, then, no rank is cubic other than the fourth, the seventh and the tenth, and these are the ranks whose number minus one counts the three.

וכאשר התבאר זה והיו אחדי המעלות מתיחסים ומתחילים מן האחד והשני שהוא עשרה אינו מעוקב

אם כן אין אחד מעוקב זולת הרביעי והשביעי והעשירי והם המדרגות שמספרם מונה שלשה כשחוסר מהם האחד

Hence, it is clear that there is no rank among the ranks of the fractions that is cubic except the thirds, the sixths and the ninths, whose number counts the three.

ובזה התבאר שאין במדרגות השברים מעלה מעוקבת זולת השלישיים והששיים והתשיעיים שמספרם מונה שלשה

Also, the cubes of the successive number from one to nine are 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729.

וג"כ הנה מעוקבי המספרים הנמשכים מן האחד עד תשעה הם א' ח' כ"ז ס"ד קכ"ה רי"ו שמ"ג תקי"ב תשכ"ט

Since this is so, it is clear that every cubic number that is found in a cubic rank is a cube, because it counts the one that is a cubic number as many times as a cubic number.

וכאשר היה זה כן הוא מבואר שכל מספר מעוקב שימצא במדרגה מעוקבת הוא מעוקב לפי שהוא ימנה האחד המעוקב ההוא במספר מעוקב

Hence, the cubic number is multiplied by a cubic number, so the result is necessarily a cubic number.

אם כן המעוקב כבר הוכה במעוקב ולזה יהיה העולה מעוקב בהכרח

From this it is clear that a cubic number that is in a non-cubic rank is not a cube.

ובזה הת' שהמספר המעוקב במעלה בלתי מעוקבת הוא בלתי מעוקב

As all this is established, we shall explain how to find the cube root of cubic integers or the approximation of the non-cubic numbers.

וכאשר התישב זה כלו הנה נבאר איך ימצא השרש העקובי למספרים המקיפים בשלמים המעוקבים או הקרוב לבלתי מעוקבים

You should write down the number whose cubic root you want to know in one row according to its ranks.

ראוי שתכתוב המספר שרצית לדעת יסודו העקובי בטור אחד כפי מדרגותיו

Then check if the last rank is of the cubic ranks; if it is not, lower the number to the preceding number until it is in a cubic column.

אח"כ תראה אם המעלה האחרונה היא מהמעוקבות ואם לא הורד המספר לפניה עד שתהיה במעלה המעוקבת

Examine the number that is in this cubic rank according to the cubic numbers that we have mentioned, and take the closest cubic number, but smaller, whose root is known to you; place this root in the row of the root in the rank that we will explaine to you.

והמספר שיהיה במעלה ההיא המעוקבת תחקור עליה במעוקבים שזכרנו ותקח המעוקב היותר קרוב אליו ואולם המעט ויסודו ידוע לך והיסוד ההוא תשימהו בטור השרש במעלה אשר נבאר לך

Divide the number, which indicates the position of this rank, by three, you are necessarily left with one, add it to the result of the division, and place the result in the rank whose number is so.

והוא שתחלוק מספר גובה המעלה ההיא על שלשה וישאר לך אחד בהכרח

חברהו עם העולה מן החלוקה ובמעלה אשר מספרה ככה תשים העולה

Example: If the last rank is the thirteenth, divide thirteen by three, the result is four; add to it the one that remains from the division, they are five; so place the result in the fifth rank.

משל זה אם היתה המעלה האחרונה שלש עשרה תחלוק שלש עשרה על שלשה יעלה ארבעה

תחברם עם האחד הנשאר מן החלוקה ויהיו חמשה
א"כ העולה תשים במעלה החמשית

This is because the fifth, when it is multiplied by itself, is ninth; and when the ninth is multiplied by the fifth it is the thirteenth rank.

והיה זה כן לפי שהחמשית כאשר הוכתה על עצמה היתה תשיעית עוד הוכתה תשיעית על החמשית והיתה המעלה השלש עשרה

Apply this.

והקש על זה

Subtract the cube of the resulting root from the upper row and the remainder there is the first remainder.

גרע מעוקב השרש היוצא מהטור העליון והנשאר שם הוא הנשאר הראשון

Then take the extracted root, add it to one unit from the preceding rank and multiply it by the extracted root, multiply the result by three times the added unit and keep the result.

אח"כ קח השרש המוצא וחברהו עם אחד מהמעלה שלפניו וערוך זה על השרש המוצא והעולה תערוך על שלשה דמיוני האחד המוסף ושמור העולה

If the reserved is less than the first remainder, divide the first remainder by the reserved, but it is necessary that you make sure that you are left with the cube of the root resulting from the division, and that in the upper row remains also a number, whose ratio to the number you have divided is as the ratio of the resulting root minus one to the sum of the extracted root and the result.

ואם היה השמור פחות מהנשאר הראשון תחלק הנשאר הראשון על השמור אלא שצריך שתשמור שישאר לך מעוקב השרש היוצא בחלוק ושישאר גם כן בטור העליון מספר יהיה יחסו אל מה שחלקת כיחס השרש היוצא פחות אחד אל השרש המוצא עם העולה מקובצים

Meaning, if the root is 6 in a given rank and the resulting root is 5 of the preceding rank, there should remain a number from what you have divided, whose ratio to the divided number is approximately as the ratio of 4 to 65.

רצוני שאם היה השרש ו' ממעלה מונחת והיה השרש היוצא ה' ממעלה שלפניה הנה ראוי שישאר ממה שחלקת מספר יהיה יחסו אל המספר המחולק כיחס ד' אל ס"ה בקירוב

That is very difficult for the first remainder.

וזה קשה מאד בנשאר הראשון

However, from it on, it is enough that a little bit remains on the resulting root, since the ratio of the resulting root to the extracted root is small.

אמנם ממנו ולהלאה יספיק דבר מועט שישאר על מעוקב השרש היוצא למיעוט יחס שרש היוצא אל שרש המוצא

And to make it easier for you, I give you a good reasonable way to follow regarding the first remainder.

ולהקל מעליך נתתי לך דרך טובה וקרובה תלך בה בנשאר הראשון

It is this: investigate by how much the cube of the number that follows the extracted root exceeds the cube of the extracted root.

והיא זאת חקור כמה יוסיף מעוקב המספר הנמשך אל השרש המוצא לאחריו על מעוקב מספר השרש המוצא

Divide the first remainder by a tenth of this excess; the root resulting from the division are the units of rank that precedes the rank of the extracted root.

ועל עשירית היתרון תחלוק הנשאר הראשון והשרש היוצא מן החלוקה הם אחדים מהמעלה אשר לפני מעלת השרש המוצא

After you complete this, be it in the first or the second way, multiply the extracted root by [the sum of] the extracted and the resulting roots, multiply the product by three times the resulting root and add the result to the cube of the resulting root, subtract the result from the first remainder and what remains is the second remainder.

ואחר שישלם לך זה אם בדרך הראשונה או בשנית

תערוך השרש המוצא על השרש המוצא והיוצא
והעולה תערוך על שלשת דמיוני השרש היוצא
וחבר עם העולה מעוקב השרש היוצא
והעולה בידך גרעהו מהנשאר הראשון והנשאר יהיה הנשאר השני

If the first remainder does not reach to the tenth part of the number by which we wanted to divide, do not conclude from this that it is impossible for you to place one in the rank that precedes the extracted root, but check if you add one to the extracted root in the rank that precedes it, then multiply the result by the extracted root, multiply the product by three times the addition, meaning the one added to the extracted root, and add the result to the cube of the addition:

ואם לא הגיע הנשאר הראשון לעשירית המספר אשר אמרנו לחלק עליו לא תשפוט מפני זה שלא יהיה אפשר שתשים בשרש המוצא אחד במעלה שלפניו

אך תנסה אם תוסיף אחד על השרש המוצא במעלה שלפניה ותכה העולה על השרש המוצא ותערוך העולה מהכפל על שלשה דמיוני התוספת רצוני האחד המוסף על השרש המוצא ותחבר עם העולה מעוקב התוספת

If it is not greater than the first remainder, subtract it from the first remainder and place one before the extracted root.

אם יהיה בלתי גדול מהנשאר הראשון תגרעהו מהנשאר הראשון ותשים אחד לפני השרש המוצא

If it is greater than the [first] remainder, it clear to you that there is nothing of this rank in this root, so you proceed with the one of the preceding rank that is third to the rank of the extracted root.

ואם היה גדול מהנשאר הנה נתבאר לך שאין בזה השרש דבר מהמעלה ההיא ותשוב לנהוג עם אחד מהמעלה האחרת אשר היא שלישית למעלת השרש המוצא

Meaning that you add it to the extracted root, multiply the sum by three times the addition that was added to the extracted root and divide the second remainder by the result, in a way that you are left with the cube of the result and even more, according to the mentioned ratio, but a small number that remains now is enough.

רצוני שתחברהו עם השרש המוצא והעולה תערוך על שלשה דמיוני התוספת שהוסף על השרש המוצא ועל העולה תחלוק הנשאר השני בדרך שישאר לך מעוקב העולה ויותר לפי היחס הנזכר אלא שמספר מעט שישאר עתה מספיק

The quotient that you have is the resulting root; write it in the row of the root in that rank.

והעולה בידך הוא השרש היוצא ותכתבהו בטור השרש במעלה ההיא

Multiply the extracted root by the sum of the extracted and resulting roots, then multiply the product by three times the resulting root, add the result to the cube of the resulting root and subtract the result from the remainder that you have.

ותערוך השרש המוצא על השרש המוצא והיוצא מקובצים והעולה תערוך על שלשה דמיוני השרש היוצא וחבר העולה עם מעוקב השרש היוצא והעולה תגרע מהנשאר אשר בידך

Like this you can further calculate more accurately until you reach to the [cube] root of the sought number.

וכזה תוכל לדקדק עד שתגיע אל שרש המספר המבוקש

We want to give you examples of these ways one by one.

והנה נתן לך דמיונים לפי הדרכים האלה אחד אחד

Example: We wish to extract the cubic root of 654321 in this form.

\scriptstyle\sqrt[3]{654321}

דמיון זה רצינו בזאת הצורה להוציא שרש א'ב'ג'ד'ה'ו‫'

Since the last rank is not cubic, we lower it to the preceding [rank].

ולפי שהמעלה האחרונה אינה מעוקבת הורדנוה אל שלפניה

The closest cube number is 512 and its cubic root is 8.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{512}=8}}

והנה המעוקב הקרוב לזה המספר הוא תקי"ב ויסודו ח‫'

Since this rank is fourth, we place the root, which is 8, in the second.

ולפי שזאת המעלה היא רביעית שמנו השרש שהוא ח' בשנית

Its cube, 512, is of the fourth rank.

ומעוקבם תקי"ב מהרביעית

We subtract it from 654, which we have in the fourth; we are left with 142 in the fourth. This is the first remainder with what remains in the other ranks.

\scriptstyle{\color{blue}{654-512=142}}

גרענום מתרנ"ד שיש לנו ברביעית ונשארו לנו קמ"ב ברביעית והוא הנשאר הראשון עם מה שנשאר בשאר המעלות

According to the first way, we multiply the extracted root, which is 8, in the second rank, by 8 in the second and 1 in the first; the result is 6 thousand and 480.

\scriptstyle{\color{blue}{80\sdot81=6480}}

והנה לפי הדרך הראשון נערוך השרש המוצא שהוא ח' בשנית על ח' מהשנית א' מהראשונה ועלה ו' אלפים ת"פ

We multiply the result by three times 1 in the first rank, which is the addition; the result is 19 thousand and 440.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot1\right)\sdot6480=19440}}

ערכנו העולה על ג' דמיוני א' מהראשונה שהוא התוספת ועלה י"ט אלפים ות"מ

We divide the first remainder by this result; the result is 7.

חלקנו הנשאר הראשון על זה העולה ויעלה ז‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{142321}{\left(3\sdot1\right)\sdot\left(80\sdot81\right)}=\frac{142321}{19440}\approx7}}

But only 5 thousand, 8 hundreds and 9[8] remain from the first remainder after we have subtracted the cube of 7 in the first from the remainder.

אלא שלא ישאר מהנשאר הראשון אחר שגרענו מהנשאר מעוקב מספר ז' מהראשונה אלא ה' אלפים וח' מאות וצ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{142321-\left(3\sdot7\sdot80\sdot81\right)-7^3=589{\color{red}{8}}}}

Its ratio to the first remainder is less than the ratio of 6 of the first rank to 87 of the first, which is [the sum of] the extracted root and resulting root.

\scriptstyle{\color{blue}{5898:142321<6:87}}

והנה יחסו אל הנשאר הראשון פחות מיחס ו' מהראשונה אל פ"ז מהראשונה שהוא השרש המוצא והיוצא

This is because this ratio is approximately one part of 14.

\scriptstyle{\color{blue}{6:87\approx\frac{1}{14}}}

וזה שזה היחס הוא חלק מי"ד בקירוב

If we consider the root resulting from the division as 6, the remainder will be sufficient for this ratio, i.e. for the ratio of 5 to 84, which is approximately one part of 17.

\scriptstyle{\color{blue}{25{\color{red}{465}}:142321>5:86\approx\frac{1}{17}}}

ואם נשים השרש היוצא מן החלוקה ו' יהיה הנשאר מספיק לזה היחס ר"ל ליחס ה' אל פ"ו שהוא חלק מי"ז בקירוב

Because the remainder is 25 thousand and [465], which exceeds over the seventeenth part by the [first] remainder.

\scriptstyle{\color{blue}{142321-\left(19440\sdot6\right)-6^3=25{\color{red}{465}}}}

לפי שהנשאר הוא כ"ה אלפים תת"ן והוא מוסיף על חלק מי"ז במה שנשאר

Therefore, the result is 6 in the first [rank], which is the resulting root.

ולזה יהיה העולה ו' מהראשונה והוא השרש היוצא

We multiply 8 of the second rank by [the sum of] the extracted and the resulting root; the result is 6 thousand and 880.

\scriptstyle{\color{blue}{80\sdot86=6880}}

ונערוך ח' מהשנית שהוא השרש המוצא על השרש המוצא והיוצא ועלה ו' אלפים תת"פ

We multiply it by three times 6 of the first rank, which is the resulting root; the result is 123840.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot6\right)\sdot6880=123840}}

ערכנום על ג' דמיוני ו' מהראשונה שהוא השרש היוצא ועלה קכ"ג אלפים תת"פ

Yet the cube of the resulting root is 216, we add it to the result and the sum is 124056.

\scriptstyle{\color{blue}{123840+6^3=123840+216=124056}}

ואולם מעוקב השרש היוצא הוא רי"ו חברנוהו עם העולה ועלה קכ"ד אלפים ונ"ו

We subtract it from the first remainder, 18265 remain.

גרענום מהנשאר הראשון ונשאר י"ח אלפים רס"ה

\scriptstyle{\color{blue}{142321-\left(3\sdot6\sdot80\sdot86\right)-6^3=142321-124056=18265}}

It is clear to us that we cannot add one to the root because the one that is added to 80, adds to the cube 19441, and this is more than what we are left with now.

ונתברר לנו שלא נוכל להוסיף אחד על השרש לפי שהאחד המוסף על פ' הוסיף על המעוקב י"ט אלפים ותמ"א והם יותר ממה שישאר לנו עתה

If you want to make it easier for yourself after dividing by 19440, placing the resulting 6 and having left with 25465 after subtracting the cube from the remainder, multiply the extracted root by the product of the resulting root minus one by three times the extracted root, then subtract the result from 25465, and this is the sought.

ואם רצית להקל מעליך אחר שחלקת על י"ט אלפים ות"מ ושמת העולה ו' ונשאר לך כ"ה אלפים תס"ה אחר גרעון מעוקב מהנשאר

תערוך השרש המוצא על השטח ההוה מהשרש היוצא פחות אחד על שלשה דמיוני השרש המוצא והעולה תגרע מכ"ה אלפים תס"ה והוא המבוקש

Example: multiply 80 by the product of 5 by 18; the result is 7 thousand and two hundred, subtract it from 25465; you are left with 18265 and this corresponds to what remained earlier.

משל זה שתערוך פ' על שטח ה' בי"ח ויעלה ז' אלפים ומאתים

גרעם מכ"ה אלפים תס"ה וישאר לך י"ח אלפים רס"ה וזה מסכים למה שנשאר קודם

By this the reason is clear for you why I instructed you to make sure that you have the above-mentioned ratio.

ובזה התבאר לך הסבה במה שצויתיך להשמר שיהיה לך היחס הנזכר

This is because the product of 80 by 81 has been multiplied by 3, then the result by 6, but this is equal to the product of 81 by the product of 80 by 18.

והיה זה כן לפי שהנערך מפ' אל פ"א הוכה בג' והעולה בו' וזה שוה לשטח פ"א בשטח פ' בי"ח

It is necessary according to the above that 86 will be multiplied by the product of 80 by 18.

וכבר היה ראוי שיוכה לפי מה שקדם שטח פ"ו בשטח פ' בי"ח

It is clear that if we sum the product of 81 by the product of 80 by 18 with the product of 5 by the product of 80 by 18, the result will be equal to the product of 86 by the product of 80 by 18, which is the sought.

והוא מבואר שאם נחבר עם שטח פ"א בשטח פ' בי"ח שטח ה' בשטח פ' בי"ח יהיה העולה שוה לשטח ההוה ממספר פ"ו בשטח פ' בי"ח אשר הוא המבוקש

Apply this.

והקש על זה

If we use the second way, which is easier, by approximation, we divide the remainder, which is 142321 by the tenth part of the excess of the cube of 9 in the second rank, which is the number that follows the extracted root, over the cube of 8 in the second [rank]:

ואם נהגנו בזה הדרך השנית והוא היותר קלה על צד הקירוב נחלק הנשאר שהוא קמ"ב אלפים שכ"א על עשירית יתרון מעוקב ט' מהשנית שהוא המספר הנמשך אל השרש המוצא לאחריו על מעוקב ח' מהשנית

The excess is 217000; its tenth part is 217 tenths, that are the same as 21700.

והנה היתרון הוא רי"ז אלף ועשיריתו הוא רי"ז עשיריות והם כמו כ"א אלפים וז' מאות

We divide the first remainder by 21700; the result is 6 integers, which is the resulting root.

חלקנו הנשאר הראשון על כ"א אלפים וז' מאות ועלה ו' שלמים והוא השרש היוצא

We multiply the extracted root, which is 80, by [the sum of] the extracted and resulting roots; the result is 6 thousand and 880.

ערכנו שרש המוצא שהוא פ' על השרש המוצא והיוצא ועלה ו' אלפים תת"פ

We multiply that by three times the resulting root; the result is 123840.

ערכנום על שלשה דמיוני השרש היוצא ועלה קכ"ג אלפים תת"מ

We add to the result the cube of the resulting root, which is 216, the result is 124056.

חברנו עם זה העולה מעוקב היוצא שהוא רי"ו ועלה קכ"ד אלפים ונ"ו

We subtract it from the upper row, 18265 remain and this is the second remainder.

גרענום מן הטור העליון ונשאר י"ח אלפים רס"ה והוא הנשאר השני

Apply this.

והקש על זה

As for this second remainder, check: if you add one prime that is in the rank that precedes the root, to the extracted root, which is 86, by how much will the cube increase?

ואמנם בזה הנשאר השני תנסה אם תוסיף ראשון אחד שהוא המדרגה הנמשכת לפני השרש על השרש המוצא שהוא פ"ו כמה יתוסף המעוקב

Keep the result and divide the second remainder by the result, but make sure that you are left with the cube of the resulting root and the product of the resulting root minus one by the product of the extracted root by three times the [resulting root].

ושמור העולה וחלק הנשאר השני על העולה והשמר שישאר לך מעוקב השרש היוצא ושטח השרש היוצא פחות אחד בשטח השרש המוצא בשלשה דמיוני העולה

We multiply 86, which is the resulting root, by 86 plus one prime, then we multiply the product by 3 primes; the result is 369 integers, 52 primes, 3 seconds.

ערכנו פ"ו שהוא השרש היוצא על פ"ו וראשון אחד וערכנו העולה על ג' ראשונים ועלה שס"ט שלמים נ"ב ראשונים ג' שניים

We divide the second remainder by the result; the result is 49, which are primes, but what remains from the second remainder is not as the ratio of 48 primes to 86 and 49 primes, which is one part of 109 approximately, because the remainder is about 140 integers approximately and this is less than one part 109.

חלקנו הנשאר השני על העולה ועלה מ"ט והם ראשונים אלא שלא ישאר מהנשאר השני כמו יחס מ"ח ראשונים אל פ"ו ומ"ט ראשונים שהוא חלק מק"ט בקירוב לפי [ש]הנשאר הוא כמו ק"מ שלמים בקרוב והוא מהנשאר פחות מחלק מק"ט

Therefore, we only write 48 primes in the row of root, because then the remainder is enough for the above-mentioned ratio.

ולזה לא נכתוב בטור השרש כי אם מ"ח ראשונים כי אז יספיק לנו הנשאר אל זה היחס

We multiply 86 by 86 and 48 primes, then the product by three times 48 primes, the result is 17915 integers, 31 primes, 12 seconds.

ערכנו פ"ו אל פ"ו מ"ח ראשונים והעולה על שלשת דמיוני מ"ח ראשונים ועלה י"ז אלפים תתקט"ו שלמים ול"א ראשונים וי"ב שניים

We add to it the cube of 48 primes, which is the resulting root; it is 30 primes, 43 seconds and 12 thirds.

חברנו עם זה מעוקב מ"ח ראשונים שהוא השרש היוצא והוא ל' ראשונים מ"ג שניים י"ב שלישיים

We subtract the result from the second remainder; 358 integers, 58 primes, 4 seconds and 48 thirds remain.

גרענו העולה מהשאר השני ונשאר שנ"ד שלמים נ"ח ראשונים ד' שניים מ"ח שלישיים

We check: if we add one second to the extracted root, by how much will the cube increase?

והנה ננסה אם נוסיף שני אחד על השרש המוצא כמה יתוסף המעוקב

We multiply 86 integers, 48 primes and one second, then we multiply the product by 3 seconds; the result is approximately 6 integers, 17 primes.

ערכנו פ"ו שלמים מ"ח ראשונים ושני אחד וערכנו העולה על ג׳ שניים ועלה בקירוב ו' שלמים י"ז ראשונים

Keep it, because you will no longer need any further check, since the ratio of the resulting root to the extracted root is small.

ושמרהו כי לא תצטרך לנסיון אחר מכאן והלאה וזה למיעוט יחס השרש היוצא אצל השרש המוצא

We divide the remainder by the reserved; the result is 55, which are seconds, then the result by three times 55 seconds.

חלקנו הנשאר על זה השמור ועלו נ"ה והם שניים והעולה על שלשה דמיוני נ"ה שניים

We add to the result the cube of 55 seconds, which is the resulting root; the result is 345 integers, 22 primes, 48, 29, 16, 12, 55.

ועם העולה חברנו מעוקב נ"ה שניים שהוא השרש היוצא ועלה שמ"ה שלמים כ"ב ראשונים מ"ח כ"ט י"ו י"ב נ"ה

We subtract it from the remainder; 3 integers, 35 primes, 16, 18, 43, 47, 5 remain.

גרענוהו מהנשאר ונשאר ג' שלמים ל"ה ראשונים י"ו י"ח מ"ג מ"ז ה‫'

We divide it by a sixtieth of the remainder, which is 6 primes and 17 seconds and it is the second remainder; the result is 34, which are thirds, because the third is a sixtieth part of [the seconds].

חלקנו על חלק מהששים מהשמור שהוא ו' ראשונים י"ז שניים והוא השמור השני ועלה ל"ד והם שלישיים כי השלישי הוא החלק מהששים מהם

The second adds approximately 6 integers and 17 primes to the cube.

וכבר הוסיף השני המעוקב ו' שלמים י"ז ראשונים בקירוב

We multiply the extracted root, which is 86 integers, 48 primes, 55 seconds by 86 integers, 48 primes, 55 seconds and 34 thirds, then we multiply the product by three times the resulting root, which is 34 thirds, and add it to the cube of 34 thirds; the result is 3 integers, 33 primes, 32, 44, 25, 27, 37, 47, 55, 4.

ערכנו השרש המוצא שהוא פ"ו שלמים מ"ח ראשונים נ"ה שניים על פ"ו שלמים מ"ח ראשונים נ"ה שניים ל"ד שלישיים והעולה ערכנו על שלשת דמיוני השרש היוצא שהוא ל"ד שלישיים וחברנו עם העולה מעוקב ל"ד שלישיים ועלה ג' שלמים ל"ג ראשונים ל"ב מ"ד כ"ה כ"ז ל"ז מ"ז נ"ה ד‫'

We subtract this from the remainder; one prime, 43, 34, 18, 29, 28, 56, 4, 56 remain.

גרענום מהנשאר ונשאר ראשון אחד מ"ג ל"ד י"ח כ"ט כ"ח נ"ו ד' נ"ו

We divide this by the sixtieth part of the second reserved, which is 6 seconds and 17 thirds and it is the third reserved; the result is 16, which are fourths.

חלקנוהו על חלק מהששים מהשמור השני שהוא ו' שניים י"ז שלישיים והוא השמור השלישי ועלה י"ו והם רביעיים

There is no need to calculate more precisely.

ואין צריך לדקדק עוד

However, if you wish, you can proceed in this way as far as you wish.

ואם תרצה תוכל לדקדק בזה הדרך כפי מה שתרצה

The sought cube root of this number is 86 integers, 48 primes, 55 seconds, 34 thirds and 16 fourths.

והנה שרש זה המספר הדרוש העקובי הוא פ"ו שלמים מ"ח ראשונים נ"ה שניים ל"ד שלישיים י"ו רביעיים

You shoud know that in the second way, which I gave you for the first remainder, if there are fractions in the rank that precedes the extracted root, you should divide by sixty the excess of the cube of the number that follows the exctracted root over the cube of the extracted root, which is obvious by itself.

וראוי שתדע כי בדרך השנית שנתתי לך בנשאר הראשון אם היתה המדרגה שלפני שרש המוצא שברים ראוי שתחלק על ששים יתרון מעוקב המספר הנמשך אל השרש המוצא לאחריו על מעוקב השרש המוצא וזה מבואר בעצמו

Another way to extract the cube root of a given number when there are integers in its root:

דרך אחרת להוציא שרש מספר מונח העקוביי אשר יהיו ביסודו שלמים

Know that it is very easy to extract the cube root of the number that is smaller than one thousand, compared to what is greater than it.

דע כי המספר שלא יגיע לאלף יקל מאד להוציא שרשו העקוביי בערך אל מה שלמעלה ממנו

I will to instruct you how to lower a great number to a smaller number, by explaining that the multiplication of a given number by 3 seconds and 36 thirds is equal to dividing it by one thousand.

ואודיעך איך תוריד מספר רב אל מספר מעט אחר שאבאר שהכאת מספר מונח על ג' שניים ל"ו שלישיים שוה לחלוקו על אלף

Because a thousand times 3 seconds and 36 thirds is one integer.

וזה שאלף פעמים ג' שניים ל"ו שלישיים יהיה אחד שלם

Therefore, 3 seconds and 36 thirds are a thousandth part of one integer.

אם כן ג' שניים ל"ו שלישיים הם חלק מאלף באחד שלם

When this is established, you should divide the number by one thousand and multiply the remainder that cannot be divided by 3 seconds and 36 thirds; this is the first reduction.

וכאשר התישב זה הנה ראוי שתחלוק המספר על אלף והנשאר שלא יבוא לחלוק תכפלהו על ג' שניים ל"ו שלישיים והיא ההורדה הראשונה

If the result is not less than one thousand, divide it again by one thousand in the previous way; this is the second reduction.

ואם העולה בלתי קטן מאלף תשוב לחלקו על אלף בדרך הקודמת והיא ההורדה השנית

And so you do not stop reducing until the number is smaller than one thousand and you count the number of reductions.

וכן לא תסור להוריד עד שיהיה המספר קטן מאלף ותמנה מספר ההורדות

You extract the root of the small number and calculate very precisely until the sixths, or as much as you wish, because in this way it is very easy.

ותוציא שרש המספר הקטן ותדקדק עד ששיים או כפי מה שתרצה כי יקל מאד בזה הדרך

You multiply the result by the number that consists of as many tens as the number of reductions.

והעולה בידך תערכהו על המספר המורכב ממספרי עשרה כמספר ההורדות

This number is equal to the unit of the rank whose position exceeds the number of reductions by one.

וזה מספרם שוה לאחד מהמעלה אשר מספר גבהם מוסף אחד על מספר ההורדות

Then, you have the sought.

ויצא לך המבוקש

Example: If you wish to extract the root out of 5987654321

\scriptstyle\sqrt[3]{5987654321}

דמיון זה אם רצית להוציא שרש א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'ה‫'

Lower it by three reductions so that the number you finally receive is less than one thousand.

תורידהו הנה שלשה הורדות כדי שיהיה המספר העולה בידך באחרונה פחות מאלף

The number you receive in the final reduction is 5 integers, 59 primes, 15, 33, 7, 54, 33, 0, 34, and 36 ninths.

והנה המספר העולה בידך בהורדה באחרונה ה' שלמים נ"ט ראשונים ט"ו ל"ג ז' נ"ד ל"ג 0 ל"ד ל"ו תשיעיים

The cubic number that is closest to what is in the last rank, which is a cube, is one and its the [cubic] root is one.

והנה המעוקב הקרוב למה שבמדרגה האחרונה שהיא מעוקבת היא אחד ושרשו אחד

Write one in the row of the root.

ותכתוב אחד בטור השרש

Subtract its cube from the upper row; the remainder is 4 integers and 59 primes and the fractions that follow.

גרעת מעוקבו מהטור העליון ונשארו ד' שלמים נ"ט ראשונים ומה שנמשך לזה מהשברים

You know that the cube of two adds 7 integers to the cube of one.

והנה ידעת שמעוקב שנים יוסיף על מעוקב אחד ז' שלמים

The rank that precedes the extracted root is of the ranks of the fractions.

והנה המדרגה שלפני השרש המוצא היא ממדרגת השברים

Hence, you divide the remainder in the upper row by a sixtieth part of 7 integers, which is 7 primes; the result is 42, which are sixtieth parts of one integer, therefore they are primes.

וחלקת הנשאר בטור העליון על חלק מששים מז' שלמים שהוא ז' שברים ראשונים ועלה מ"ב והם חלקים מששים באחד שלם ולזה יהיו שברים ראשונים

You multiply the extracted root, which is one, by one and 42 primes, then you multiply the product by three times the resulting root, which is 42 primes, add it to the cube of 42 primes, which is the resulting root; the result is 3 integers, 42 Primes and 8 thirds.

ערכת השרש המוצא שהוא אחד על אחד ומ"ב ראשונים וערכת העולה על שלשת דמיוני השרש היוצא שהוא מ"ב ראשונים וחברנו עם העולה מעוקב מ"ב ראשונים שהוא השרש היוצא ועלה ג' שלמים מ"ב ראשונים ח' שלישיים

We subtract this from the remainder; one integer, 17 primes, 15, 25, 7, 54, 34, 33, 36 remain.

גרענום מהנשאר ונשאר אחד שלם י"ז ראשונים ט"ו כ"ה ז' נ"ד ל"ד ל"ג ל"ו

We should check: how much will one prime add to the cube?

והנה ראוי שננסה מה יוסיף ראשון אחד על המעוקב

We multiply the extracted root, which is one integer and 42 primes, by one and 43 primes, then the result by three times the addition, which is one prime; the result is approximately 8 primes and 46 seconds.

ערכנו השרש המוצא שהוא אחד שלם ומ"ב ראשונים על אחד ומ"ג ראשונים וערכנו העולה על ג' דמיוני התוספת שהוא ראשון אחד ועלה בקירוב ח' ראשונים מ"ו שניים

You divide the remainder by this and the result is 8, which are primes.

חלקת עליהם הנשאר ועלה ח' והם ראשונים

You add 8 primes to the extracted root, multiply 1 and 42 primes by 1 and 50 primes, then the product by 24 primes that is three times the resulting root, which is 8 primes; the result is one integer, 14 primes, 56, 32.

הוספת על השרש המוצא ח' ראשונים וערכת א' מ"ב ראשונים על א' ונ' ראשונים והעולה על כ"ד ראשונים שהוא שלשה דמיוני השרש היוצא שהוא ח' ראשונים ועלה אחד שלם י"ד ראשונים נ"ו ל"ב

We subtract this from the remainder; 2 primes, 18 seconds, 53, 7, 54, 34, 33, 36 remain and this remainder is less than what one prime adds to the cube.

גרענום מהנשאר ונשארו ב' ראשונים י"ח שניים נ"ג ז' נ"ד ל"ד ל"ג ל"ו והוא הנשאר פחות ממה שיוסיף ראשון אחד על המעוקב

We should check: how much will one second add to this cube?

והנה ראוי שננסה מה יוסיף שני אחד על המעוקב הזה

We multiply the extracted root, which is one [integer] and 50 primes, by one [integer], 50 primes and one second, then the product by three times the addition, which is one second; the result is approximately 10 seconds and 46 thirds and this is the first reserved.

ערכנו השרש המוצא שהוא א' ונ' ראשונים על א' ונ' ראשונים ושני אחד והעולה על שלשה דמיוני התוספת שהוא א' שניים ועלה י' שניים מ"ו שלישיים בקרוב והוא השמור הראשון

Divide the remainder by it; the result is 13.

חלקת עליו הנשאר ועלה י"ג

You multiply one [integer] and 50 primes by one [integer], 50 primes and 13 seconds, then the product by three times the resulting root, which is 13 seconds, you add the product to the cube of 13 seconds; the result is 2 primes, 11, 20, 36 , 37.

ערכת אחד ונ' ראשונים על אחד ונ' ראשונים י"ג שניים והעולה על שלשה דמיוני השרש היוצא שהוא י"ג שניים וחברת העולה עם מעוקב י"ג שניים ועלה ב' ראשונים י"א כ' ל"ו ל"ז

We subtract this from the remainder; 7 seconds, 32, 37, 48, 47, 23, 34, 33, 36 remain.

גרענום מהנשאר ונשאר ז' שניים ל"ב ל"ז מ"ח מ"ז כ"ג ל"ד ל"ג ל"ו

We divide this remainder by a sixtieth of the first reserved, which is 10 thirds and 6 fourths that are the second reserved; the result is 44, which are thirds.

חלקנו זה הנשאר על חלק מס' מזה השמור הראשון שהוא י' שלישיים ו' רביעיים והוא השמור השני ועלה מ"ד והם שלישיים

You multiply one [integer], 50 primes and 13 seconds by one [integer], 50 primes, 13 seconds, 44 thirds, then the product by three times the resulting root, which is 44 thirds, you add the product to the cube of 44 thirds; the result is 7 seconds, 25 thirds, 26, 58, 1, 50, 53, 44.

ערכת אחד ונ' ראשונים י"ג שניים על אחד ונ' ראשונים י"ג שניים מ"ד שלישיים והעולה על שלשה דמיוני השרש היוצא שהוא מ"ד שלישיים וחברת העולה עם מעוקב מ"ד שלישיים ועלה ז' שניים כ"ה שלישיים כ"ו נ"ח א' נ' נ"ג מ"ד

We subtract this from the remainder; 7 thirds, 9, 51, 22, 24, 59, 52 remain.

גרענום מהנשאר ונשאר ז' שלישיים ט' נ"א כ"ב כ"ד נ"ט נ"ב

We divide the remainder by a sixtieth of the second reserved, which is approximately 10 fourths and 7 fifths and this is the third reserved; the result is 42, which are fourths.

חלקנו הנשאר על חלק מששים מהשמור השני שהוא י' רביעיים וז' חמשיים בקרוב והוא השמור השלישי ועלה מ"ב והם רביעיים

You multiply one [integer], 50 primes, 13 seconds and 44 thirds by one [integer], 50 primes, 13 seconds, 44 thirds and 42 fourths, then the product by three times the resulting root, which is 42 fourths, you add the product to the cube of 42 fourths; the result is 7 thirds, 5, 15, 24, 16, 21, 13, 22, 48.

ערכת אחד ונ' ראשונים י"ג שניים מ"ד שלישיים על אחד ונ' ראשונים י"ג שניים מ"ד שלישיים מ"ב רביעיים והעולה על שלשה דמיוני השרש היוצא שהוא מ"ב רביעיים וחברת העולה עם מעוקב מ"ב רביעיים ועלה ז' שלישיים ה' ט"ו כ"ד י"ו כ"א י"ג כ"ב מ"ח

We subtract this from the remainder; 4 fourths, 35 fifths, 28, 18, 23, 34, 46, 37 12 remain.

גרענום מהנשאר ונשאר ד' רביעיים ל"ה חמשיים כ"ח י"ח כ"ג ל"ד מ"ו ל"ז י"ב

There is no need to calculate more precisely.

ואין צורך לדקדק עוד

However, if you wish, you can precise to two ranks and reach very close to the sought.

ואם תרצה עתה תוכל לדקדק לשני מעלות יחד ותהיה קרוב מאד אל המבוקש

This is because if you divide the remainder by one-sixtieth of the third reserved, which is 10 fifths and 16 sixths, the result is 40 that are fifths plus 16 that are sixths.

וזה שאתה אם חלקת הנשאר על חלק מהששי מהשמור השלישי שהוא י' חמשיים י"ו ששיים ועלה כ"ז והם חמשיים וי"ו והם ששיים

When you examine, you find that the approximation does not reach 2 thirds of one-fifth.

ולו תחקור תמצא שלא יגיע הקרוב לב' שלישיות חמשית אחד

Therefore the cube root of this reduced number is 1 [integer], 50 primes, 12 seconds, 44, 42, 26, 16.

ולזה יהיה שרש זה המספר המורד העקוביי אחד ונ' ראשונים י"ב שניים מ"ד מ"ב כ"ו י"ו

We multiply this root by one-thousand, because the reductions were 3; the result is 1833 [integers], 9 primes, 5 seconds, 7 thirds, 34 fourths, 40 fifths and 40 sixths.

ערכנו זה השרש על אלף לפי שההורדות היו ג' ועלה אלף תתל"ז ט' ראשונים ה' שניים ז' שלישיים ל"ד רביעיים מ' חמשיים מ' ששיים

It becomes clear, as in the previous explanation, when the number is lowered in order to extract its square root, that this is the approximated cubic root of the greater number and that the ratio of the approximated to the approximated is as the ratio of the [one] number to the [other] number, i.e. one-thousand of thousands upon thousands.

והתבאר בכמו זה הביאור הקודם במספר המורד להוציא שרשו הרבועיי שזהו השרש העקוביי למספר הרב בקרוב ושיחס הקרוב אל הקרוב כיחס המספר אל המספר ר"ל אלף אלפי אלפים

Since the greater number counts the smaller [number] by the number of the units of one-thousand of thousands upon thousands, because the ratio of a cube to a cube is the ratio of its side to its side tripled.

וזה שהמספר הגדול ימנה הקטן כמספר אחדי אלף אלפי אלפים לפי שיחס המעוקב אל המעוקב הוא יחס צלעו אל צלעו משולש

When you do so, it will become clear to you, as in the previous explanation, that the ratio of the approximation of the cube of the greater root to the greater number to the approximation of the cube of the smaller root to the small number is also one-thousand of thousands upon thousands.

וכאשר תנהיג זה יתבאר לך בכמו הבאור הקודם שיחס הקירוב אשר ממעוקב השרש הגדול אצל מספר הגדול אל הקרוב אשר ממעוקב השרש הקטן אצל המספר הקטן הוא גם כן אלף אלפי אלפים

The way of extracting the [cube] root of a given cubic number that does not contain only integers when the fractions are not sexagesimal fractions.

דרך להוציא שרש מספר מעוקב מונח בלתי מקיף בשלמים העקוביי והשברים אינם משברי חכמי התכונה

Take the denominator of all fractions: if the denominator is not a cubic number, multiply the number by the cube of the denominator or by the denominator if it is a cubic number, then divide the result by the cubic root, by which you have multiplied the number, and it is the sought.

קח המורה הראשון לכל השברים ואם לא היה המורה מעוקב ערוך המספר על מעוקב המורה או על המורה אם היה מעוקב והעולה חלק על שרש העקוביי שערכת עליו המספר והוא המבוקש

Example: You wish to know the [cubic] root of 44 integers, 5 sevenths of one-quarter, 13 sevenths of one-seventh of one-quarter of one-quarter and 27 sevenths of one-seventh of one-seventh of one-quarter of one-quarter of one-quarter.

דמיון זה אם רצית לדעת שרש מ"ד שלמים וה' שביעיות רביעית וי"ג שביעיות שביעית רביעית רביעית וכ"ז שביעיות שביעית שביעית רביעית רביעית רביעית

\scriptstyle\sqrt[3]{44+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{13}{7}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{27}{7}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}

We take the common denominator of these fractions and fractions of fractions, it is the number that consists of the numbers 7, 7, 7, 4, 4, 4, which is the same as multiplying the cube of 7 by the cube of 4. So the common denominator is a cube number and its cubic root is the product of 7 by 4, which is 28.

לקחנו המורה הראשון לאלו השברים ושברי השברים בכלל והיה המספר המורכב ממספרי ז'ז'ז'ד'ד'ד' וזה שוה להכאת מעוקב ז' במעוקב ד‫'

אם כן המורה לאלה השברים הוא מעוקב ושרשו העקובי' הוא שטח ז' בד' שהוא כ"ח

We multiply 44 plus the fraction by the common denominator and extract the root of the result, it is 99. We divide 99 by 28; the result is 3 integers and 15 parts of 28 and so is the sought.

ערכנו מ"ד עם השברים על המורה והוצאנו שרש העולה והנה צ"ט

חלקנו צ"ט על כ"ח ועלה ג׳ שלמים וט"ו חלקים מכ"ח באחד וככה המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\sqrt[3]{44+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{13}{7}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{27}{7}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt[3]{\left[44+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{13}{7}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{27}{7}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\left(7^3\sdot4^3\right)}}{\sqrt[3]{7^3\sdot4^3}}\\&\scriptstyle=\frac{99}{28}=3+\frac{15}{28}\\\end{align}}}

The way of extracting cubic root of sexagesimal fractions

דרך הוצאת השרשים העקוביים משברים מונחים משברי התכונה

First, check if the last rank of the row is a cubic one; if it is not cubic, lower the rank to the preceding [rank] until it reaches to a cubic rank.

חקור תחלה על המדרגה האחרונה שבטור אם היא מעוקבת ואם אינה מעוקבת הורד המדרגה אל שלפניה עד שתגיע למדרגה מעוקבת

Then, extract the approximated small cubic root of the number you find in that rank.

והמספר שתמצא במדרגה ההיא תוציא שרשו העקוביי הקרוב ואולם המעט

Place the result in the rank that I will explain: divide the position of the rank by 3 and place the result there.

ותשים העולה במעלה אשר אבארה והוא שתחלק שפלות המעלה על ג' ושם תשים העולה

Example: If the rank is the rank of the sixths, when you divide the position of the rank, which is 6, by 3, the result is 2, so you place the result in the second rank.

משל זה אם היתה המדרגה מדרגת הששיים הנה כאשר תחלק שפלות המעלה שהוא ו' על ג' יעלה ב' ולזה תשים העולה במדרגה השנית

This is because the seconds multiplied by themselves are fourths and the fourths multiplied by seconds are sixths.

וזה שהשניים הוכו בעצמם והיו רביעיים והרביעיים הוכו בשניים והיו ששיים

Then, you cube of the extracted root and subtract it from the upper row.

ותוציא מעוקב השרש המוצא ותגרעהו מהטור העליון

You examine the remainder: if you add one in the rank that precedes the extracted root, by how much will the cube increase?

והנשאר לך תנסה אם תוסיף אחד במדרגה שלפני השרש המוצא כמה יתוסף המעוקב

Divide the remainder by the result, in a way that you are left with the cube of the resulting root and its ratio to the divided number is the same as the ratio of the resulting root minus one to [the sum of] the extracted and resulting roots.

ועל העולה חלק הנשאר בדרך שישאר לך מעוקב השרש היוצא ומספר יחסו אל המספר המחולק כיחס השרש היוצא פחות אחד אל השרש המוצא והיוצא

Finally, you complete its extraction according to the previous rule.

וסוף דבר תנהיג בשלמות הוצאתו כמנהג הקודם

Example: You wish to know the cube root of 59 primes, 23 seconds, 7 thirds and 40 fourths.

\scriptstyle\sqrt[3]{59^\prime+23^{\prime\prime}+7^{\prime\prime\prime}+40^{iv}}

דמיון זה אם רצית לדעת שרש נ"ט ראשונים כ"ג שניים ז' שלישיים מ' רביעיים העקוביי

Lower the primes and seconds to the rank of the thirds; the result is 213787.

הורד הראשונים והשניים אל מדרגת השלישיים ועלה שם ז'ח'ז'ג'א'ב‫'

We extract the closest cubic root; it is 59, which are primes according to the above, and the remainder is 8 thousand and 408 thirds and 40 fourths.

הוצאנו השרש הקרוב לזה המספר והוא נ"ט והם ראשונים לפי מה שקדם והנשאר הוא ח' אלפים ת"ח שלישיים מ' רביעיים

We should check: how much will one second add to the cube?

והנה ראוי שננסה מה יוסיף שני אחד על המעוקב

We multiply 59 primes by 59 primes and one second and the result by 3 seconds; the result is approximately 2 seconds and 54 thirds.

ערכנו נ"ט ראשונים על נ"ט ראשונים ושני אחד והעולה על ג' שניים ועלה ב' שניים נ"ה שלישיים בקרוב

We divide the remainder by it; the root of the quotient is 47, which are seconds.

חלקנו עליו הנשאר והנה השרש היוצא מן החלוקה הוא מ"ז והם שניים

The remainder is the appropriate for the ratio of 46 seconds to 59 primes and 46 seconds, which is approximately one part of 78.

ונשאר הראוי לפי יחס מ"ו שניים אל נ"ט ראשונים מ"ז שניים שהוא חלק מע"ח בקרוב

We multiply 59 primes by 59 primes and 47 seconds and the result by the 3 times 47 seconds, then we add the cube of 47 seconds to the product; the result is 2 primes, 18 seconds, 59, 26, 23, 23.

ערכנו נ"ט ראשונים על נ"ט ראשונים מ"ז שניים והעולה על ג' דמיוני מ"ז שניים וחברנו עם העולה מעוקב מ"ז שניים ועלה ב' ראשונים י"ח שניים נ"ו כ"ו כ"ג כ"ג

We subtract this from the remainder; 119 thirds, 13 fourths, 36, 38 remain.

גרענום מהנשאר ונשארו קי"ט שלישיים י"ג רביעיים ל"ו ל"ח

We should check: how much will one third add to the cube?

וראוי שננסה מה יוסיף שלישי אחד על המעוקב

We do not need to examine because the ratio to the root is very small.

ולא נצטרך עוד לבחינה למיעוט היחס אצל השרש

The result is approximately 2 thirds and 59 fourths and this is the first reserved.

והנה עלה ב' שלישיים נ"ט רביעיים בקרוב והוא השמור הראשון

The resulting root is 40, which are thirds.

והנה השרש היוצא הוא מ' והם שלישיים

We multiply 59 primes and 47 seconds by 59 primes, 47, 40 and the result by three times 40 thirds, then we add the cube of 40 thirds to the product; the result is 119 thirds, 9 fourths, 25, 2, 57, 46, 40.

ערכנו נ"ט ראשונים מ"ז שניים על נ"ט ראשונים מ"ז מ' והעולה על שלשה דמיוני מ' שלישיים וחברנו עם העולה מעוקב מ' שלישיים ועלה קי"ט שלישיים ט' רביעיים כ"ה ב' נ"ז מ"ו מ‫'

We subtract it from the remainder, 4 fourths, 11, 20, 13, 20 remain.

גרענוהו מהנשאר ונשאר ד' רביעיים י"א כ' י"ג כ‫'

There is no need to approximate further, but if you want, you can approximate two ranks together by dividing the remainder by one part of sixty of the reserved and the result is one fourth and 25 fifths.

ואין צריך לדקדק עוד ואם תרצה תוכל לדקדק שתי מעלות יחד וזה שתחלק הנשאר על חלק מששים מהשמור ויעלה בידך רביעי אחד וכ"ה חמשיים והנה השרש

So, it is 59 primes, 47 seconds, 40 thirds, one fourth, and 25 fifths.

אם כן הוא נ"ט ראשונים מ"ז שניים מ' שלישיים א' רביעי כ"ה חמשיים

Apply this.

והקש על זה

The way of extracting a mean number between two different proportional numbers

דרך הוצאת מספר אמצעי ביחס בין שני מספרים מונחים מתחלפים

Multiply the one by the other and extract the square root of the product; the result is the required.

ערוך האחד על האחר והוצא שרש העולה הרבועי והוא המבוקש

Example: if you wish to find the mean proportional number between 4 and 11.

דמיון זה אם רצית שתמצא המספר האמצעי ביחס בין שני מספרי ד' וי"א

Multiply 4 by 11; it is 44.

ערוך ד' על י"א והנה מ"ד

Extract its square root; the result is 6 integers, 37 primes, 59 seconds, 42 thirds and it is the proportional mean by close approximation.

הוצא את יסודו הרבועי ועלה ו' שלמים ל"ז ראשונים נ"ט שניים מ"ב שלישיים והוא אמצעי ביחס בין מספרי ד' וי"א בקירוב גדול

The way of extracting two proportional numbers that are mean between two given different numbers.

דרך הוצאת שני מספרים אמצעים ביחס בין שני מספרים מונחים מתחלפים

Divide the greater by the smaller, take the cube root of the quotient and this is the first reserved.

חלק הגדול על הקטן והעולה בחלוק הוצא את יסודו העקוביי והוא השמור הראשון

Take the square of the cube root and this is the second reserved.

גם הוצא מרובע יסודו העקוביי והוא השמור השני

Multiply the first reserved by the smaller number of the two given numbers and you will get the number that succeeding the smaller number in the required ratio.

ערוך השמור הראשון על המספר הקטן משני המספרים המונחים ויצא לך המספר הנמשך ביחס הדרוש למספר הקטן

Multiply the second reserved by the smaller number and you will get the number that is third to the smaller number in the required ratio. This is the sought.

ערוך השמור השני על המספר הקטן ויצא לך המספר השלישי ביחס הדרוש למספר הקטן והנה המבוקש

Example of this: If you wish to find two proportional numbers that are mean between 15 and 25.

דמיון זה אם רצית שנמצא שני מספרים אמצעים ביחס בין ט"ו וכ"ה

We divide 25 by 15; the result is one integer and 40 primes.

חלקנו כ"ה על ט"ו ועלה אחד שלם ומ' ראשונים

We extract its cubic root; the result is one integer, 11 primes, 8 seconds, 9 thirds, 19 fourths, 4 fifths and 30 sixths; this is the first reserved.

הוצאנו יסודו העקובי ועלה אחד שלם י"א ראשונים ח' שניים ט' שלישיים י"ט רביעיים ד' חמשיים ל' ששיים והוא השמור הראשון

The square of the first reserved is one integer, 24 primes, 20, 35, 45, 34, 10, 28, 27, 51, 20, 15; this is the second reserved.

והנה מרובע השמור הראשון הוא אחד כ"ד ראשונים כ' ל"ה מ"ה ל"ד י' כ"ח כ"ז נ"א כ' ט"ו והוא השמור השני

We multiply the first reserved by the smaller number. which is 15; the result is 17 integers, 47 primes, 24, 46, 7, 30; this is the number that is second number after 15.

ערכנו השמור הראשון על המספר הקטן שהוא ט"ו ועלה י"ז שלמים מ"ז ראשונים כ"ד מ"ו ז' ל' וזה המספר הוא השני למספר ט"ו

We multiply the second reserved by 15; the result is 21 integers, 5 , 8, 56, 23, 32, 37, 6, 57, 53, 45; this is the third number after the number 15.

ערכנו השמור השני על ט"ו ועלה כ"א שלמים ה' ח' נ"ו כ"ג ל"ב ל"ז ו' נ"ז נ"ג מ"ה והוא המספר השלישי למספר ט"ו

I claim that these two numbers are mean in an approximate proportion between 15 and 25.

ואומר שאלו שני המספרים הם אמצעים ביחס הקירוב בין ט"ו ובין כ"ה

This is so, because, for every cube, there are two mean numbers between it and the one, one of which is its cube root, and the other is its square.

וזה שכל מעוקב כבר יפול בינו ובין האחד שני מספרים אמצעים והאחד מהם הוא שרש המעוקב והאחר מרובעו

Since the ratio of the one to the cube root is as the ratio of the root to the square and as the ratio of the square to the cube.

וזה שיחס האחד אל שרש המעוקב כיחס השרש אל המרובע וכיחס המרובע אל המעוקב

But these four were already multiplied by the same factor, which is 15: because the one was multiplied by 15 and became 15; the cube was multiplied by 15 and became 25, and the two mean numbers were also multiplied by 15.

כבר לוקחו לאלו הארבעה כפלים שוים והוא ט"ו וזה שהאחד הוכה בט"ו והיה ט"ו והמעוקב הוכה בט"ו והיה כ"ה והמספרים האמצעים הוכו בט"ו גם כן

Therefore, these four numbers, which are multiplied by 15, are also proportional by the same previous ratio.

הנה א"כ אלו הארבעה הכפולים בט"ו הם גם כן מתיחסים בכמו היחס הקודם בעינו

Apply this.

והקש על זה

Chapter Six – Ratios

השער הששי בערכים

והוא הקש המספרים קצתם אל קצת

You already know that for every four proportional numbers, the product of the first by the fourth is as the product of the second by the third.

כבר ידעת שכל ארבעה מספרים מתיחסים הנה שטח הראשון ברביעי כמו שטח השני בשלישי

Since it is so, we shall explain to you, if there are any given numbers and we have a second given number that corresponds to one of these numbers, how you may find the other corresponding numbers, so that the corresponding numbers are in the former ratio.

וכאשר היה זה כן הנה נבאר לך אם היו מספרים מה מונחים והיה לנו מספר אחד מונח שני והוא גיל אחד מונח מהמספרים ההם איך תוציא שאר המספרים הגיליים עד שיהיו המספרים הגיליים בכמו זה היחס הקודם

You should know that if you multiply one of the numbers by the given second number and divide by its corresponding number, you will get the corresponding number of the number that was multiplied by the given second number.

ראוי שתדע שאם תכה אחד מהמספרים במספר המונח השני ותחלוק על גילו יצא לך המספר הגיליי למספר אשר הוכה על המספר המונח השני

Example: Let the given numbers be A, B, G, D, H, and the number Z correspond to the number D. We wish to find the corresponding numbers for A, B, G, H.

דמיון זה שהמספרים המונחים מספר א'ב'ג'ד'ה' והיה מספר ז' גיליי למספר ד' ונרצה שנמצא המספרים הגיליים למספרי א'ב'ג'ד'ה‫'

We multiply Z by A and divide by D. We get K.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{Z\sdot A}{D}=K}}

הנה נכה ז' בא' ונחלק על ד' ויצא לנו כ‫'

Since the product of A by Z is as the product of K by D, so the ratio of A to D is as the ratio of K to Z.

\scriptstyle{\color{blue}{A\sdot Z=K\sdot D\longrightarrow A:D=K:Z}}

הנה מפני ששטח א' בז' כמו שטח כ' בד' הנה יחס א' אל ד' כיחס כ' אל ז‫'

When switching [the terms], the ratio of A to K is as the ratio of D to Z.

\scriptstyle{\color{blue}{A:K=D:Z}}

ועל התמורה הנה יהיה יחס א' אל כ' כיחס ד' אל ז‫'

By this it is clear that if B is multiplied by Z and divided by D so that the result T, then the number T is the corresponding number to B.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{B\sdot Z}{D}=T}}

ובזה התבאר שאם הוכה ב' בז' וחולק על ד' ויהיה העולה ט' שמספר ט' הוא הגיליי למספר ב‫'

Similarly, when G is multiplied by Z and divided by D, so that the result is C, then the number C is the corresponding number to G.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{G\sdot Z}{D}=C}}

וגם כן כבר יוכה ג' בז' ויחולק על ד' ויצא ח' הנה ח' גיליי למספר ג‫'

Also, when H is multiplied by Z and divided by D, so that the result is L, then L is the corresponding number to H.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{H\sdot Z}{D}=L}}

וג"כ כבר יוכה ה' בז' ויחולק על ד' ויצא ל' הנה ל' גיליי לה‫'

Hence, we have found the corresponding numbers of A, B, G, D, H, which they are K, T, C, Z, L.

הנה כבר מצאנו המספרים הגיליים לא'ב'ג'ה' והם כ'ט'ח'ז'ל‫'

It is clear that the numbers K, T, C, Z, L have the same ratio as A, B, G, D, H.

והוא מבואר שמספרי כ'ט'ח'ז'ל' על יחס מספרי א'ב'ג'ד'ה‫'

Q.E.D.

ומש"ל

Even if we do not know the number of the series of the corresponding terms, but we know the sum of two or three of the corresponding numbers, it is possible for us to find from this the [corresponding] numbers.

וגם כן אם לא היה נודע לנו מספר מהמספרים הגיליים ונדע לנו מקובץ שניים מהגיליים או שלשה מהם הנה כבר אפשר שנעמוד מזה על המספרים

Example: We know from our previous example that the sum K, Z, L is the same as the number M, and we want to find the corresponding numbers of the given numbers A, B, G, D, H.

\scriptstyle{\color{blue}{K+Z+L=M}}

והמשל שיהיה נודע לנו במשלנו זה שמקובץ כ'ז'ל' כמו מספר מ' ורצינו לעמוד מזה על המספרים הגיליים למספרי א'ב'ג'ד'ה' המונחים

We define the sum of the numbers corresponding to K, Z, L, that are A, D, H, as the number N.

\scriptstyle{\color{blue}{A+D+H=N}}

הנה נשים מקובץ גילי מספרי כ'ז'ל' והם מספרי א'ד'ה' מספר נ‫'

Also we define the ratio N to M as the ratio of each of the numbers A, B, G, D, H to its corresponding.

וכמו יחס נ' אל מ' כן נשים יחס כל מספרי א'ב'ג'ד'ה' אל גילו

We multiply M by A, then divide by N and the result is the number K.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{M\sdot A}{N}=K}}

ולזה הנה נכה מ' בא' ונחלק על נ' ויצא מספר כ‫'

In the same way we find the numbers K, T, C, Z, L.

ובזה הדרך נוציא מספרי כ'ט'ח'ז'ל‫'

We claim that the numbers K, T, C, Z, L are the sought numbers.

ונאמר שמספרי כ'ט'ח'ז'ל' הם המספרים המבוקשים

Proof: the ratio of N to M is as the ratio of A to K and as the ratio of D to Z and as the ratio of H to L.

\scriptstyle{\color{blue}{N:M=A:K=D:Z=H:L}}

המופת שיחס נ' אל מ' כיחס א' אל כ' וכיחס ד' אל ז' וכיחס ה' אל ל‫'

When we sum, the ratio of N to M is as the ratio of the sum of the number A, D, H to the sum of the numbers K, Z, L.

\scriptstyle{\color{blue}{N:M=\left(A+D+H\right):\left(K+Z+L\right)}}

וכאשר קבצנו הנה יחס נ' אל מ' כיחס מספרי א'ד'ה' מקובצים אל מספרי כ'ז'ל' מקובצים

When we switch the terms, the ratio of N to the sum A, D, H is as the ratio of M to the sum K, Z, L.

\scriptstyle{\color{blue}{N:\left(A+D+H\right)=M:\left(K+Z+L\right)}}

וכאשר המירונו הנה יחס נ' אל א'ד'ה' מקובצים כיחס מ' אל כ'ז'ל' מקובצים

But, N is equal to the sum A, D, H, so M is equal to the sum K, Z, L.

\scriptstyle{\color{blue}{N=A+D+H\longrightarrow M=K+Z+L}}

אבל נ' שוה למספרי א'ד'ה' מקובצים אם כן מ' שוה למספרי כ'ז'ל' מקובצים

So, we have already found the corresponding numbers of A, B, G, D, H, and the sum of K, Z, L of them is equal to the given number M.

אם כן כבר מצאנו המספרים הגיליים למספרי א'ב'ג'ד'ה' ומספרי כ'ז'ל' מהם מקובצים שוים למספר מ' המונח

Even if it is only known for us concerning the corresponding numbers that the excess of a number of them, whose corresponding position is known, or of a sum of numbers, whose corresponding positions are known, over a number of them, whose corresponding position is known, or over a sum of known numbers, is a given number, it is possible for us to find the corresponding numbers each in its position.

וג"כ אם לא יודע לנו מהגיליים אלא שיתרון מספר מהם ידוע הגיליות או מקובץ מספרים ידועי הגיליות על מספר מהם ידוע הגיליות או מקובץ מספרים ידועים הוא מספר מונח הנה אפשר לנו שנעמוד מזה על המספרים הגיליים איש על מקומו

Example of our previous example: We know that the sum of the numbers B, C exceeds over the number L by the number M.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(B+C\right)-L=M}}

והמשל במשלנו זה הקודם שיודע לנו שמקובץ מספרי ב'ח' מוסיף על מספר ל' מספר מ‫'

If we wish to find the corresponding numbers of the numbers A, B, G, D, H, we define the sum of A, G as the number N.

\scriptstyle{\color{blue}{A+G=N}}

ואם רצינו לעמוד מזה על ידיעת המספרים הגיליים למספרי א'ב'ג'ד'ה' הנה נשים מקובץ א'ג' מספר נ‫'

We explain that the number N is greater than the number H, this is because the ratio of the known A to the unknown K is as the ratio of the known G to the unknown C and as the ratio of the known H to the unknown L.

\scriptstyle{\color{blue}{A:K=G:C=H:L}}

ונבאר שמספר נ' הוא מוסיף על מספר ה' וזה כי לפי שהיה יחס א' הידוע אל כ' הנעלם הוא יחס ג' הידוע אל ח' הנעלם והוא יחס ה' הידוע אל ל' הנעלם

Therefore, the ratio of the sum of A, G to H is as the ratio of the sum of K, C to L.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+G\right):H=\left(K+C\right):L}}

הנה אם כן יחס א'ג' מקובצים אל ה' כיחס כ'ח' מקובצים אל ל‫'

But, the sum of K, C is greater than L, so the sum of A, G is greater than H.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(K+C\right)>L\longrightarrow\left(A+G\right)>H}}

אבל מקובץ כ'ח' מוסיף על ל' אם כן מקובץ א'ג' מוסיף על ה‫'

We define the excess of N over H as the number S.

\scriptstyle{\color{blue}{N-H=S}}

ונשים יתרון נ' על מספר ה' מספר ס‫'

We multiply A by M and divide by S; we get the number K, which is the corresponding number to A.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{A\sdot M}{S}=K}}

הנה נכה א' במ' ונחלק על ס' ויצא לנו מספר כ' והוא גיליי למספר א‫'

So we do not stop until we find the numbers K, T, C, Z, L and we shall explain that K, T, C, Z, L are the sought numbers.

וכן לא נסור עד שיצאו לנו מספרי כ'ט'ח'ז'ל' ונבאר שמספרי כ'ט'ח'ז'ל' הם המספרים המבוקשים

Proof:

The ratio of S to M is as the ratio of any number of the series A, B, G, D, H to its corresponding.

המופת שיחס ס' אל מ' הוא יחס כל מספר ממספרי א'ב'ג'ד'ה' אל גילו

So, the ratio of T to M is as the ratio of the sum of A, G to the sum of K, C and as the ratio of H to L.

\scriptstyle{\color{blue}{T:M=\left(A+G\right):\left(K+C\right)=H+L}}

אם כן יחס ט' אל מ' כיחס מקובץ א'ג' אל מקובץ כ'ח' וכיחס ה' אל ל‫'

When we separate, the ratio of S to H is as the ratio of the excess of the sum of K, C over L to L.

\scriptstyle{\color{blue}{S:H=\left[\left(K+C\right)-L\right]:L}}

וכאשר הבדלנו הנה יחס ס' אל ה' כיחס יתרון כ'ח' מקובצים על ל' אל ל‫'

When we switch the terms, the ratio of S to the excess of K, C over L is as the ratio of H to L.

\scriptstyle{\color{blue}{S:\left[\left(K+C\right)-L\right]=H:L}}

וכאשר המירונו הנה יחס ס' ליתרון כ'ח' על ל' כיחס ה' אל ל‫'

Since the ratio of T to M is also as the ratio of H to L, the excess of K, C over L is M.

\scriptstyle{\color{blue}{T:M=H:L\longrightarrow\left(K+C\right)-L=M}}

וכאשר היה גם כן יחס ט' אל מ' כיחס ה' אל ל' א"כ יתרון כ'ח' על ל' הוא מ‫'

Therefore, the numbers K, T, C, Z, L are the corresponding to the number A, B, G, D, H, and the excess of the sum of K, C over L is M.

א"כ מספרי כ'ט'ח'ז'ל' הם גיליים למספרי א'ב'ג'ד'ה' ויתרון כ'ח' מקובץ על ל' הוא מ‫'

Q.E.D.

והוא מש"ל

Even if we only know of the corresponding unknown numbers that a number of them, whose corresponding position is known, or a sum of numbers of them, whose corresponding positions are known, exceed over a part or parts of numbers of them, whose corresponding positions are known, by a given number, it is already possible for us to find the corresponding numbers for the given numbers.

וגם כן אם לא היה נודע מהמספרים הגיליים הנעלמים אלא שמספר מהם ידוע הגיליות או מקובץ מספרים מהם ידועי הגיליות מוסיף על חלק או חלקים ממספרים מהם ידועי הגיליות מספר מונח הנה כבר אפשר לנו שנעמוד מזה על ידיעת המספרים הגיליים למספרים המונחים

In our example it is known for us that T exceeds over certain given parts of the sum of K, C by M.

ויהיה נודע לנו במשלנו זה שמספר ט' מוסיף על חלקים מונחים ממספרי כ'ז' מקובצים מספר מ‫'

We define these parts of the sum of A, D as the number N.

הנה נשים החלקים ההם ממספרי א'ד' מקובצים מספר נ‫'

We explain that B is greater than N.

\scriptstyle{\color{blue}{B>N}}

ונבאר שמספר ב' מוסיף על מספר נ‫'

This is because the ratio of the known B to the unknown T is as the ratio of the known A to the unknown K.

\scriptstyle{\color{blue}{B:T=A:K}}

וזה שיחס ב' הידוע אל ט' הנעלם הוא כמו יחס א' הידוע אל כ' הנעלם

Hence, the ratio of B to T is as the ratio of the sum of A, D to the sum of K, Z.

\scriptstyle{\color{blue}{B:T=\left(A+D\right):\left(K+Z\right)=H+L}}

אם כן יחס ב' אל ט' כיחס מקובץ א'ד' אל מקובץ כ'ז‫'

But, the ratio of the sum of A, D to the sum of K, Z is as the ratio of N to the given parts of K, Z.

אבל יחס מקובץ א'ד' אל מקובץ כ'ז' הוא כיחס נ' אל החלקים המונחים ההם ממספרי כ'ז‫'

It is clear that the ratio of A, D to N is as the ratio of K, Z to these given parts of K, Z.

וזה הוא מבואר שיחס א'ד' אל נ' הוא כיחס כ'ז' אל החלקים ההם המונחים ממספרי כ'ז‫'

If we switch the terms, the assertion is verified.

וכאשר המירונו התאמת המאמר

So, the ratio of B to T is as the ratio of N to the given parts of K, Z.

הנה אם כן יחס ב' אל ט' הוא כמו יחס נ' אל החלקים המונחים ממספרי כ'ז‫'

When we switch the terms, then the ratio of B to N is as the ratio of T to the given parts of the numbers K, Z.

וכאשר המירונו הנה יחס ב' אל נ' הוא כיחס ט' אל החלקים המונחים ממספרי כ'ז‫'

But, T is greater than these parts, so B is greater than N.

\scriptstyle{\color{blue}{B>N}}

אבל מספר ט' מוסיף על החלקים הנה אם כן מספר ב' מוסיף על נ‫'

We define its excess over N as the number E.

\scriptstyle{\color{blue}{B-N=E}}

ונשים יתרונו על נ' מספר ע‫'

We multiply A by M and divide by E; the result is K that corresponds to A.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{A\sdot M}{E}=K}}

הנה נכה א' במ' ונחלק על ע' ויצא כ' והוא גיליי למספר א‫'

So, we do not stop until we find the numbers K, T, C, Z, L and we say that K, T, C, Z, L are the sought numbers.

וכן לא נסור עד שיצאו לנו מספרי כ'ט'ח'ז'ל' ונאמר שמספר כ'ט'ח'ז'ל' הם המספרים המבוקשים

Proof: the ratio of E to M is as the ratio of any of the numbers A, B, G, D, H to its corresponding.

המופת שיחס ע' אל מ' הוא יחס כל מספר ממספרי א'ב'ג'ד'ה' אל גילו

So the ratio of E to M is as the ratio of the sum of A, D to the sum of K, Z and as the ratio of B to T.

\scriptstyle{\color{blue}{E:M=\left(A+D\right):\left(K+Z\right)=B:T}}

אם כן יחס ע' אל מ' כיחס מקובץ א'ד' אל מקובץ כ'ז' וכיחס ב' אל ט‫'

Hence, since the ratio of N to A, D is as the ratio of E to K, Z, the ratio of N to E is as the ratio of A, D to K, Z by switching the terms.

\scriptstyle{\color{blue}{N:\left(A+D\right)=E:\left(K+Z\right)\longrightarrow N:E=\left(A+D\right):\left(K+Z\right)}}

הנה מפני שיחס נ' אל א'ד' כיחס ע' אל כ'ז' יהיה יחס נ' על ע' כיחס א'ד' אל כ'ז' על התמורה

But, the ratio of A, D to K, Z is as the ratio of B to T.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(A+D\right):\left(K+Z\right)=B:T}}

אבל יחס א'ד' אל כ'ז' הוא כיחס ב' אל ט‫'

So, the ratio of N to E is as the ratio of B to T.

\scriptstyle{\color{blue}{N:E=B:T}}

אם כן יחס נ' אל ע' הוא כיחס ב' אל ט‫'

If we switch and reverse, the ratio of B to N is as the ratio of T to E.

\scriptstyle{\color{blue}{B:N=T:E}}

וכאשר המירונו והפכנו הנה יחס ב' אל נ' כיחס ט' אל ע‫'

But, B exceeds over N by the number S.

\scriptstyle{\color{blue}{B-N=S}}

אבל ב' מוסיף על נ' מספר ס‫'

So, T must be larger than E.

\scriptstyle{\color{blue}{T>E}}

הנה אם כן ט' מוסיף על ע‫'

The ratio of B to S is as the ratio of T to M by switching [the inner terms].

\scriptstyle{\color{blue}{B:S=T:M}}

וכבר היה יחס ב' אל ס' כיחס ט' אל מ' על התמורה

Hence, the excess of T over E is M.

\scriptstyle{\color{blue}{T-E=M}}

אם כן יתרון ט' על ע' הוא מ‫'

So, the numbers K, T, C, Z, L are the corresponding to the numbers A, B, G, D, H, and the excess of T over the given parts of K, Z is M.

אם כן מספרי כ'ט'ח'ז'ל' הם הגיליים למספרי א'ב'ג'ד'ה' ויתרון מספר ט' על החלקים המונחים ממספרי כ'ז' הוא מ‫'

Q.E.D.

והוא מה ש"ל

זה הוא מה שרצינו להציע והוא מועיל מאד בזה השער

The author writes: The sixth chapter of this section is complete and with it this entire book is complete.

כתב המחבר נשלם השער הששי מזה המאמר ובהשלמו נשלם זה הספר

Glory to God alone!

והתהלה לאל לבדו

It was completed at the beginning of Nissan at the eighty-first year of the sixth millennium when I had reached the thirty-third year of my life.

והיתה השלמתו בראש ניסן של שנת שמונים ואחת לפרט האלף הששי בהגיעי לשנת שלשים ולשלש משנותי

Praise be to the Helper!

וברוך העוזר

Word Problems

We present to you various problems, so that you may understand from them everything that is similar to them.

והנה ‫^[718]נסדר לך שאלות מתחלפות עד שתבין מהם כל מה שידמה להם

Find a Number Problems

An inquirer asks: we take a given part, or given parts of an unknown number and the result is a given number. How much is the unknown number?

\scriptstyle\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i}X=M

שאל שואל לקחנו חלק מונח או חלקים מונחים ממספר נעלם והיה מספר מונח

כמה מספר הנעלם

The method of this is that you take a common denominator for all these fractions, then take those fractions from the denominator and keep the result.

הדרך בזה שתקח המורה הראשון לכל החלקים ותקח מהמורה החלקים ההם והעולה הוא השמור

Rule of Three: Multiply the denominator by the second given number, divide the result by the reserved and this is the sought number.

ערוך המורה על המספר המונח השני וחלק העולה על השמור והנה המספר המבוקש

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X=\frac{LCM\sdot M}{\sum_{i=1}^n \left(LCM\sdot\frac{a_i}{b_i}\right)}}}

Example: two-fifths, three-quarters and one-third of a number are twenty and we wish to know how much is the whole number?

\scriptstyle\frac{2}{5}a+\frac{3}{4}a+\frac{1}{3}a=20

דמיון זה שיהיו ב' חמשיות וג' רביעיות ושלישית מספר מה עשרים ורצינו לדעת כמה כל המספר

False position: The denominator of all these fractions is 60.

הנה המורה לכל אלו החלקים הוא ס‫'

We take these fractions from it; the result is 89 and this is the reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=89}}

לקחנו ממנו אלו החלקים ועלה פ"ט והוא השמור

Rule of Three: We multiply the denominator by twenty; the result is 12 hundred.

ערכנו המורה על עשרים ועלה י"ב מאות

We divide it by the reserved; the result is 13 integers and 43 parts of 89 and this is the sought-after.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{60\sdot20}{89}=\frac{1200}{89}=13+\frac{43}{89}}}

חלקנום על השמור ועלה י"ג שלמים ומ"ג חלקים מפ"ט באחד שלם וככה המבוקש

Check: If you want you can check it.

ואם תרצה תוכל לבחון זה

Explanation: It is so, because the ratio of 2-fifths of 60 to 60 is as the ratio of 2-fifths of the unknown number to the unknown number.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot60\right):60=\frac{2}{5}a:a}}

והיה זה כן לפי שיחס ב' חמישיות ס' אל ס' כיחס ב' חמישיות המספר הנעלם אל המספר הנעלם

It is also clear that the ratio of 3-quarters of 60 to 60 is as the ratio of 3-quarters of the unknown number to the unknown number.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot60\right):60=\frac{3}{4}a:a}}

וכן יתבאר שיחס ג' רביעיות ס' אל ס' כיחס ג' רביעית המספר הנעלם אל המספר הנעלם

And that the ratio of one-third of 60 to 60 is as the ratio of one-third of the unknown number to the unknown number.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right):60=\frac{1}{3}a:a}}

ושיחס שלישית ס' אל ס' כיחס שלישית המספר הנעלם אל המספר הנעלם

When we sum up, the ratio of all these fractions that are taken from 60 to 60 is as the ratio of all these fractions that are taken from the unknown number to the unknown number.

וכאשר קבצנו הנה יהיה יחס כל החלקים האלו הלקוחים מס' אל ס' כמו יחס כל החלקים האלו הלקוחים מהמספר הנעלם אל המספר הנעלם

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{2}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]:60=\left(\frac{2}{5}a+\frac{3}{4}a+\frac{1}{3}a\right):a}}

So, the ratio of 89 to 60 is as the ratio of 20 to the unknown number.

\scriptstyle{\color{blue}{89:60=20:a}}

אם כן יחס פ"ט אל ס' הוא כיחס עשרים אל המספר הנעלם

Hence, the product of 60 that is the second by 20 that is the third is as the product of 89 by the unknown number.

\scriptstyle{\color{blue}{60\sdot20=89\sdot a}}

אם כן שטח ס' שהוא השני בעשרים שהוא השלישי כמו שטח פ"ט שהוא ראשון במספר הנעלם

Deduce from this.

והקש על זה

Question: some given parts of an unknown number exceed other given parts of the unknown number by a given number. How much is the whole number?

\scriptstyle\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i}X=\sum_{i=1}^m \frac{c_i}{d_i}X+P

שאלה חלקים כמה מונחים ממספר נעלם מוסיפים על חלקים מונחים שניים מהמספר הנעלם מספר מונח כמה כל המספר

Take the common denominator for all these fractions, then take from it all the former given fractions and keep [the result].

קח המורה אל כל החלקים וקח ‫^[719]ממנו כל החלקים המונחים הראשונים ושמור

Take also the latter given fractions and this is the second reserved.

גם קח‫^[720] ממנו החלקים המונחים השניים והוא השמור השני

Subtract the second reserved from the first reserved and the remainder is the corrected reserved.

הוצא השמור השני מהשמור הראשון והנשאר הוא השמור המתוקן

Rule of Three: Multiply the denominator by the given number, divide the product by the corrected reserved and the result is the sought-after.

ערוך המורה על המספר המונח וחלק העולה על השמור המתוקן והעולה הוא המבוקש

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X=\frac{LCM\sdot P}{\left[\sum_{i=1}^n \left(LCM\sdot\frac{a_i}{b_i}\right)\right]-\left[\sum_{i=1}^m \left(LCM\sdot\frac{c_i}{d_i}\right)\right]}}}

Example: three-sevenths and four-fifths of the unknown number exceed two-thirds and a quarter of the unknown number by twenty and we wish to know how much is the number?

\scriptstyle\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a=\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}a+20

דמיון זה שיהיו ג' שביעיות וד' חמישיות המספר הנעלם מוסיפים על ב' שלישיות ורביעית המספר הנעלם עשרים ורצינו לדעת כמה המספר

The denominator of all these fractions is 420.

והנה המורה לכל אלו החלקים הוא ת"כ

Its three-sevenths and four-fifths is 516.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)=516}}

וג' שביעיותיו עם ד' חמישיותיו הוא תקי"ו

Its two-thirds and a quarter is 385.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot420\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot420\right)=385}}

וב' שלישיות ת"כ ורביעיתיו הם שפ"ה

The former fractions exceed over the latter fractions by 131.

\scriptstyle{\color{blue}{516-385=131}}

והנה החלקים הראשונים מוסיפים על החלקים השניים מספר קל"א

Rule of Three: We multiply the denominator by twenty, then divide the product by 131; the result is 64 and 16 parts of 131 and this is the sought.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{420\sdot20}{131}=64+\frac{16}{131}}}

ערכנו המורה על עשרים וחלקנו העולה על קל"א ועלה ס"ד שלמים וי"ו חלקים מקל"א באחד שלם וככה המבוקש

Check: If you want you can check it.

ואם תרצה תוכל לבחון זה

Explanation: It is so, because the ratio of the sum of the former fractions taken from 420 to 420 is as the ratio of [the sum of] the former fractions taken from the unknown number to the unknown number.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)\right]:420=\left(\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a\right):a}}

והיה זה כן לפי שיחס החלקים הראשונים מקובצים הלקוחים מת"כ אל ת"כ‫^[721] כיחס החלקים הראשונים הלקוחים מהמספר הנעלם אל המספר הנעלם

When we switch, the ratio of [the sum of] the former fractions taken from 420 to [the sum of] the former fractions taken from the unknown number is as the ratio of 420 to the unknown number.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)\right]:\left(\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a\right)=420:a}}

וכאשר המירונו הנה יחס החלקים הראשונים הלקוחים מת"כ אל החלקים הראשונים הלקוחים מהמספר הנעלם‫^[722] כיחס ת"כ אל המספר הנעלם

Likewise, it is clear that the ratio of [the sum of] the latter fractions taken from 420 to [the sum of] the latter fractions taken from the unknown number is as the ratio of 420 to the unknown number.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{2}{3}\sdot420\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot420\right)\right]:\left(\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}a\right)=420:a}}

וכזה התבאר שיחס החלקים השניים הלקוחים מת"כ אל החלקים השניים הלקוחים מהמספר הנעלם הוא כיחס ת"כ אל המספר הנעלם

Hence, the ratio of [the sum of] the former fractions taken from 420 to [the sum of] the former fractions taken from the unknown number is as the ratio of [the sum of] the latter fractions taken from 420 to [the sum of] the latter fractions taken from the unknown number.

אם כן יחס החלקים הראשונים הלקוחים מת"כ אל החלקים הראשונים הלקוחים מהמספר הנעלם הוא כמו יחס החלקים השניים‫^[723] הלקוחים מת"כ‫^[724] אל החלקים השניים הלקוחים מהמספר הנעלם

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)\right]:\left(\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a\right)=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot420\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot420\right)\right]:\left(\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}a\right)}}

When we switch, the ratio of [the sum of] the former fractions taken from 420 to [the sum of] the latter fractions taken from 420 is as the ratio of [the sum of] the former fractions taken from the unknown number to [the sum of] the latter fractions taken from the unknown number.

וכאשר המירונו הנה יחס החלקים הראשנים‫^[725] הלקוחים מת"כ אל החלקים השניים הלקוחים מת"כ הוא כמו יחס החלקים הראשונים הלקוחים מהמספר הנעלם אל החלקים השניים הלקוחים מהמספר הנעלם

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)\right]:\left[\left(\frac{2}{3}\sdot420\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot420\right)\right]=\left(\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a\right):\left(\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}a\right)}}

When we subtract, the ratio of [the sum of] the former fractions taken from 420 to its excess over [the sum of] the latter fractions taken from 420, which is 131, is as the ratio of [the sum of] the former fractions taken from the unknown number to twenty, which is its excess over [the sum of] the latter fractions taken from the unknown number.

וכאשר הבדלנו הנה יחס החלקים הראשונים הלקוחים‫^[726] מת"כ אצל יתרונו על החלקים השניים הלקוחים מת"כ שהוא קל"א הוא כיחס החלקים הראשונים הלקוחים מהמספר הנעלם אצל העשרים שהוא יתרון על החלקים השניים הלקוחים מהמספר הנעלם

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)\right]&\scriptstyle:\left[\left[\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)\right]-\left[\left(\frac{2}{3}\sdot420\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot420\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a\right):\left[\left(\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a\right)-\left(\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}a\right)\right]\\\end{align}}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)\right]:131=\left(\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a\right):20}}

When we switch, the ratio of [the sum of] the former fractions taken from 420 to [the sum of] the former fractions taken from the unknown number is as the ratio of 131 to twenty.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)\right]:\left(\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a\right)=131:20}}

וכאשר המירונו הנה יחס החלקים הראשונים הלקוחים מת"כ אל החלקים ‫^[727]הראשונים הלקוחים מהמספר הנעלם הוא כמו יחס קל"א אל עשרים

But, the ratio of [the sum of] the former fractions taken from 420 to [the sum of] the former fractions taken from the unknown number is as the ratio of 420 to the unknown number.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)\right]:\left(\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a\right)=420:a}}

וכבר היה יחס החלקים הראשונים הלקוחים מת"כ אל החלקים הראשונים הלקוחים מהמספר הנעלם כיחס ת"כ אל המספר הנעלם

Therefore, the ratio of 420 to the unknown number is as the ratio of 131 to twenty.

\scriptstyle{\color{blue}{420:a=131:20}}

אם כן יחס ת"כ אל המספר הנעלם כיחס קל"א אל עשרים

Hence, the product of 420 by twenty is as the product of 131 by the unknown number.

\scriptstyle{\color{blue}{420\sdot20=131\sdot a}}

אם כן שטח ת"כ בעשרים הוא כמו שטח קל"א במספר הנעלם

Deduce from this.

והקש על זה

Pricing Problems - Find the Price

Question: the price of a given amount of merchandise is so and so, how much is the price of another given amount of this merchandise?

\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{X}{c}

שאלה ערך מספר מונח ממסחר‫^[728] מה כמה ערך המספר מונח שני מהמסחר ההוא

Rule of Three: Multiply the given price by the second given number, then divide by the first given number and this is the sought.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X=\frac{a\sdot c}{b}=\frac{price_1\sdot measure_2}{measure_1}=price_2}}

ערוך הערך המונח על המספר המונח השני וחלק על המספר המונח ראשון וככה המבוקש

Example: the price of 11 measures of grain is 7 dinar and you wish to know how much is the price of 15 measures of grain?

\scriptstyle\frac{7}{11}=\frac{X}{15}

דמיון זה שיהיה ערך י"א מדות תבואה ז' די' ותרצה לדעת כמה ערך ט"ו מדות תבואה

Rule of Three: Multiply 7 by 15, then divide the product by 11; the result is 9 integers and 6 parts of 11 and this is the sought, meaning that the price of 15 measures is 9 dinar and 6 parts of 11 of a dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot15}{11}=9+\frac{6}{11}}}

ערוך ז' על ט"ו וחלק העולה על י"א ויעלה ט' שלמים וו' חלקים מי"א באחד וככה המבוקש רצוני שערך‫^[729] ט"ו מדות הוא ט' די' וו' חלקים מי"א‫^[730] בדינ‫'

Explanation: It is so because the ratio of the first merchandise to the second merchandise is as the ratio of the known price to the unknown price and this is obvious by itself.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{amount_1:amount_2=price_1:price_2}}

והיה זה כן לפי שיחס המסחר הראשון אל המסחר השני כיחס הערך הידוע אל הערך הנעלם וזה מבואר בנפשו

Therefore, the product of the amount of the second merchandise by the known price is as the product of the amount of the first merchandise by the unknown price.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{amount_2\times price_1=amount_1\times price_2}}

ולזה יהיה שטח מספר המסחר השני במספר הערך הידוע כמו שטח המספר המסחר הראשון בערך הנעלם

Deduce from this.

והקש על זה

Conversion: day-hours, liṭra-dinar-pašuṭ

The method of converting given parts of the day into hours and fractions of hours, converting given parts of the liṭra, which is 20 dinar, into dinar and pešuṭim and fractions of pešuṭim, and similar things that have known parts:

דרך השבת חלקים מונחים מיום אל שעות ושברי שעה והשבת חלקים מונחים מן הליטרא שהוא כ' די' אל הדינרין והפשיטין ושברי הפשיטין ומה שידמה לזה מהדברים אשר הם בעלי חלקים ידועים

Example: we wish to know how many hours and fractions of an hour are in 83 of 109 parts of a day?

והמשל שרצינו לדעת כמה מן השעות ושברי השעה יהיו בפ"ג חלקים מק"ט‫^[731] ביום

We know that the number of hours in a day is 24.

והנה ידענו שמספר שעות היום הוא כ"ד

Hence, as the ratio of 83 to 109 so is the ratio of the unknown number of hours to 24.

\scriptstyle{\color{blue}{83:109=a:24}}

והנה כיחס פ"ג אל ק"ט כן יחס מספר השעות הנעלם אל כ"ד

We multiply 24 by 83, then divide by 109 and this is the sought, which is approximately 18 hours, 51 minutes and 12 seconds.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{24\sdot83}{109}\approx18+51'+12''}}

הנה נערוך כ"ד על פ"ג ונחלק על ק"ט והנה המבוקש והוא י"ח שעות ונ"א ראשונים וי"ב שניים בקירוב

If our example is in liṭra:

ואם היה משלינו זה בליט‫'

We know that the number of dinar in a liṭra is twenty.

הנה ידענו שמספר דינרי הליטרא הם עשרים

Hence, as the ratio of 83 to 109 so is the ratio of the unknown [number] to twenty.

\scriptstyle{\color{blue}{83:109=a:20}}

וכיחס פ"ג אל ק"ט כן יחס הנעלם ‫^[732]אל עשרים

We multiply twenty by 83, then divide by 109 and the result is 15 dinar and 106 parts of 109 of one dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{20\sdot83}{109}\approx15+\frac{106}{109}}}

הנה נכה עשרים בפ"ג ונחלק על ק"ט ויצא ט"ו די' וק"ו חלקים מק"ט בדינר

You can know how many pešuṭim they are [1 dinar = 12 pašuṭ]:

וכבר תוכל לדעת כמה הם מן הפשוטים

By multiplying 12 by 106, then divide by 109 and the result is 11 pešuṭim and 73 parts of 109 of one pašuṭ, which are approximately 2-thirds of one pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot106}{109}=11+\frac{73}{109}\approx11+\frac{2}{3}}}

בשתערוך י"ב על ק"ו ותחלק על ק"ט ויצא י"א פשוטים וע"ג חלקים מק"ט בפשוט שהם ב' שלישיות פשוט אחד בקירוב

Apply it for what is similar to it.

ובזה תנהיג מה שידמה לזה

The method of converting fractions of different types into one type [of fraction]:

דרך השבת חלקים ממינים מתחלפים חלקים ממין אחד

Take the lowest denominator that is divided by the denominators of these different fractions, then take these fractions from it and the result are fractions of the [common] denominator.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i}=\frac{\sum_{i=1}^n \left(LCM\sdot\frac{a_i}{b_i}\right)}{LCM}}}

קח המורה הראשון שימנוהו כל המורים על השברים ההם המתחלפים וממנו תקח החלקים ההם והעולה הם חלקים מהמורה

Example: if you wish to convert 3-sevenths and 4 parts of 17 into fractions of one type.

\scriptstyle\frac{3}{7}+\frac{4}{17}

דמיון זה אם רצית להשיב ג' שביעיות וד' חלקים מי"ז שברים ממין אחד

Take all these fractions from the [common] denominator, which is 119; the result is 79 parts of 119.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}+\frac{4}{17}=\frac{\left(\frac{3}{7}\sdot119\right)+\left(\frac{4}{17}\sdot119\right)}{119}=\frac{79}{119}}}

הנה תקח מהמורה שהוא קי"ט כל אלו החלקים והיה העולה הוא ע"ט חלקים מקי"ט‫^[733] באחד

The method of converting fractions of one type into a unit fraction:

דרך השבת החלקים ממין אחד חלק אחד

Divide the denominator of these fractions by the numerator of these fractions and the result is the required.

\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}

חלק המורה על החלקים ההם על מספר החלקים ההם והעולה הוא המבוקש

Example: if you wish to convert 3-sevenths into a unit fraction.

\scriptstyle\frac{3}{7}

דמיון זה אם רצית להשיב ג' שביעיות חלק אחד

Divide seven by 3; the result is 2 and one-third and it is one part of 2 and one-third of that thing that you wish to take its 3-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}=\frac{1}{\frac{7}{3}}=\frac{1}{2+\frac{1}{3}}}}

תחלק שבעה על ג' ויהיה העולה ב' ושליש והוא חלק אחד מב' ושליש בדבר ההוא אשר רצית לקחת ג' שביעיותיו

Deduce from this.

והקש על זה

Motion Problems

Question: that which moves walks at a fixed velocity a given part of the road in a given time, how far will he walk on the road in another given time?

\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{X}{c}

שאלה המתנועע תנועה שוה הולך‫^[734] בזמן מונח שעור מונח‫^[735] מן הדרך כמה ילך מן הדרך בזמן מונח שני

Rule of Three: Multiply the number of the second given time by the given measure of the road, then divide the product by the number of the [first] given time; the result is the sought.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X=\frac{a\sdot c}{b}=\frac{distance_1\sdot time_2}{time_1}=distance_2}}

ערוך מספר הזמן המונח השני על השעור המונח מן הדרך והעולה חלק על מספר הזמן המונח ויצא לך המבוקש

If there are hours in one of the times or in both, convert the measure of the time into hours and the hours are as whole units.

ואם היו שעות באחד מן הזמנים או בשניהם השב מספר הזמן לשעות והשעות תהיינה לאחדים שלמים

Example: that which moves walks 7 parts, 36 minutes and 57 seconds of the road in 13 days. We wish to know how far will he walk on the road in 3 days, 17 hours, 52 minutes and 16 seconds?

והמשל שיתנועע המתנועע בי"ג ימים ז' שיעורים מן הדרך ול"ו ראשונים נ"ז שניים ורצינו לדעת כמה מן הדרך ילך בג' ימים וי"ז שעות ונ"ב ראשונים י"ו שניים

\scriptstyle\left(13\sdot24\right):\left(7+36'+57''\right)=\left[\left(3\sdot24\right)+17+52'+16''\right]:a

We convert the days into hours:

הנה נשיב הימים שעות

The first given time is 312.

\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot24=312}}

ויהיה הזמן‫^[736] הראשון המונח שי"ב

The second time is 89 integers, 52 minutes and 16 seconds.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot24\right)+17+52'+16''=89+52'+16''}}

והזמן השני פ"ט שלמים ונ"ב ראשונים י"ו שניים

Rule of Three: We multiply 7 integers, 36 minutes and 57 seconds by 89 integers, 52 minutes and 16 seconds, then divide the product by 312; the result is 2 integers, 10 minutes and 56 seconds, and this is the measure of distance he walks in the second given time.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(7+36'+57''\right)\sdot\left(89+52'+16''\right)}{312}=2+10'+56''}}

ערכנו ז' ‫^[737]שלמים ל"ו ראשונים נ"ז שניים על פ"ט שלמים ונ"ב ראשונים י"ו שניים וחלקנו העולה על שי"ב ועלה ב' שלמים י' ראשונים נ"ו שניים והוא מספר השעורין שהלך מן הדרך בזמן המונח השני

Explanation: It is so because the fixed velocity generates equal distances in equal times.

והיה זה כן לפי שהתנועה השוה תהיה בזמנים שוים שעורים שוים

Therefore, it is clear that the ratio of time to time is the ratio of velocity to velocity.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{time_1:time_2=velocity_1:velocity_2}}

ולזה הוא מבואר שיחס הזמן אל הזמן הוא יחס התנועה אל התנועה

This question is applicable the opposite, i.e. that the inquirer asks: that which moves walks at a fixed velocity a given part of the road in a given time, in how much time will he walk another given part of the road?

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}=\frac{c}{X}}}

וכבר תפול השאלה בהפך זה ר"ל שישאל השואל במתנועע תנועה שוה ההולך שעור מונח מן הדרך בזמן מונח בכמה מן הזמן ילך שעור מונח שני מן הדרך

Rule of Three: You multiply then the second given part of the road by the given time, this by converting the days into hours to make it easier for you, and divide the result by the first given part of the road and this is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X=\frac{c\sdot b}{a}=\frac{distance_2\sdot time_1}{distance_1}=time_2}}

ואז תערוך השעור המונח השני מן הדרך על הזמן המונח וזה‫^[738] בשתשיב הימים שעות להקל מעליך והעולה תחלק על השעור המונח הראשון מן הדרך והנה המבוקש

Example: that which moves walks 7 parts, 36 minutes and 57 seconds of the road in 13 days. We wish to know in how much time will he walk 3 parts of the road?

\scriptstyle\left(7+36'+57''\right):\left(13\sdot24\right)=3:a

והמשל שילך המתנועע ז' שעורים מן הדרך ול"ו ראשונים נ"ז שניים בי"ג‫^[739] ימים ורצינו לדעת בכמה מן הזמן ילך ג' שעורים מן הדרך

Rule of Three: We multiply 3 parts by 312 integers, then divide the product by 7 integers, 36 minutes and 57 seconds; the result is 122 hours, 54 minutes and 7 seconds and this is the unknown time.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{3\sdot312}{7+36'+57''}=122+54'+7''}}

ערכנו ג' שעורים על שי"ב שלמים וחלקנו העולה על ז' שלמים ל"ו ראשונים נ"ז שניים ועלה קכ"ב שעות ונ"ד ראשונים וז' שניים והוא הזמן הנעלם

This is clear from the previous reason itself.

וזה מבואר מהסבה הקודמת בעינה

Motion Problems - Pursuit

Question: if there are two movers walking at a fixed velocity, one is faster than the other and the distance between the faster, who is behind, and the slower is a given measure of the road, in how much time will the faster catch up with the slower?

שאלה אם היו שני מתנועעים תנועה שוה והיה האחד יותר מהיר במהלכו מן האחר ומרחק המהיר מהמתוני לאחריו מדה‫^[740] מונחת מן הדרך בכמה מן הזמן ישיג המהיר המתוני

Divide the given measure by the excess of the faster over the slower and the result that is in your hand are the hours and parts of the hour that take the faster to catch up with the slower.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{distance}{time_{fast}-time_{slow}}}}

חלק המדה המונחת על יתרון מהלך מהיר על המתוני לשעה והעולה בידך הם השעות וחלקי השעה אשר ישיג בהם המהיר המתוני

Example: the faster walks 2 measures and 37 seconds in one hour, the slower walks 30 minutes and 24 seconds in one hour, and the distance between the slower, who is in front, and the faster is 29 measures and 45 minutes.

והמשל שיהיה מהלך מהיר לשעה אחת ב' שעורים ול"ז שניים ויהיה מהלך המתוני לשעה אחת ל' ראשונים כ"ד שניים והיה מרחק המתוני מהמהיר לפניו כ"ט שעורים ומ"ה ראשונים

The excess of the faster walker over the slower walker in one hour is one measure, 30 minutes and 13 seconds.

והנה יתרון מהלך המהיר על מהלך המתוני לשעה הוא שעור אחד ול' ראשונים וי"ג שניים

We divide the given distance by it; the result is 19 hours, 47 minutes and 9 seconds.

‫^[741]חלקנו עליו המרחק המונח ועלה י"ט שעות מ"ז ראשונים ט' שניים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{29+45'}{\left(2+37''\right)-\left(30'+24''\right)}=\frac{29+45'}{1+30'+13''}=19+47'+9''}}

The reason of this is clear from the preceding discussion.

וזה מבואר הסבה עם מה שקדם מהדברים

Shared Work Problems

Question: a given full container has different holes. All the content of the container is drained through one of them in a given time, through the second, all the content of the container is drained in a second given time, and so on for each of the holes. All the holes are opened together. In how much time will the container be entirely drained?

\scriptstyle\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}X=1

שאלה הכלי המלא המונח יש לו נקבים מתחלפים

יצא מהאחד מהם‫^[742] כל מה שבכלי בזמן מונח
ומהשני יצא כל מה שבכלי בזמן מונח שני‫^[743]
וכן ימשך הענין בכל הנקבים
ונפתחו נקבי הכלי יחד
בכמה מן הזמן יורק הכלי בכללו

First check how much is drained through each of them in one hour and sum up all.

חקור תחלה על מה שיצא מכל אחד מהנקבים ההם בשעה אחת וקבץ הכל

Rule of Three: Then, see its ratio to the whole container and as its ratio to it so is the ratio of the hour to the time that the container is entirely drained.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1:X=\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}:1}}

וראה יחסו אל מלא הכלי וכפי יחסו אליו כן יחס השעה אל הזמן שיצא בו מלא הכלי

Example: a barrel has different holes. Through one hole all the content of the barrel is drained in 3 days. Through the second hole all the content of the barrel is drained in 5 days. Through another hole all the content of the barrel is drained in 20 hours. Through another hole all the content of the barrel is drained in 12 hours.

\scriptstyle\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x+\frac{1}{\frac{20}{24}}x+\frac{1}{\frac{12}{24}}x=1

דמיון זה שהחבית יש בו נקבים מתחלפים

בנקב האחד יצא מלא החבית בג' ימים
ומהנקב השני יצא מלא החבית בה' ימים
ובנקב האחר יצא מלא החבית בכ' שעות
ובנקב האחר יצא מלא החבית בי"ב שעות

Through the first hole one part of 72 of the whole barrel is drained in one hour.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{1}{3\sdot24}=\frac{1}{72}}}

והנה בנקב הראשון יצא מהחבית בשעה אחת חלק אחד מע"ב חלקים במלא החבית

Through the second hole one part of 120.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{1}{5\sdot24}=\frac{1}{120}}}

ובנקב השני חלק מק"כ‫^[744]

Through the third hole one part of 20.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{1}{20}}}

ובנקב השלישי חלק מכ‫'

Through the fourth hole one part of 12.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{1}{12}}}

ובנקב הרביעי חלק מי"ב

When we sum up all, 56 parts of 360 of the whole barrel are drained through all of them together in one hour.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4=\frac{1}{72}+\frac{1}{120}+\frac{1}{20}+\frac{1}{12}=\frac{56}{360}}}

וכאשר קבצנו זה כלו יהיה מה שיצא מכלם יחד בשעה אחת‫^[745] נ"ו חלקים מש"ס חלק במלא החבית

Rule of Three: We divide 360 by 56; the result is 6 integers, 25 minutes and 34 seconds.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{360}{56}=6+25'+43''}}

חלקנו ש"ס על נ"ו ועלה ו' שלמים כ"ה ראשונים מ"ג שניים‫^[746]

So the time that the container is entirely drained is 6 hours, 25 minutes and 34 seconds approximately.

והנה הזמן שיורק בו הכלי הוא ו' שעות כ"ה ראשונים מ"ג שניים בקירוב

The reason for this is clear.

וסבת זה מבוארת

Pricing Problems

Question: the price of a given [amount of] merchandise is a given number of dinar. How much is the price of certain given parts of [the merchandise]?

\scriptstyle P:N=X:\left(\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i}N\right)

שאלה ערך המסחר‫^[747] המונח מספר מונח מן הדינרין

כמה ערך חלקים מה מונחים ממנו

Rule of Three: Take the denominator of all the fractions, then take all the fractions from it, extract the price of the result, multiply it by the amount of the merchandise and divide the product by the denominator and so is the sought.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X=\frac{\left[\sum_{i=1}^n \left[\left(LCM\right)\sdot\frac{a_i}{b_i}\right]\right]\sdot\frac{P}{N}\sdot N}{LCM}}}

קח המורה אל כל החלקים וקח ממנו החלקים ההם והעולה הוצא ערכו וכפול אותו על מספר המסחר וחלק העולה על המורה וככה המבוקש

Example: the price of a gold dinar is 25 dinar and we wish to know how much is the price of the dinar plus its 2-sevenths and 3-quarters?

\scriptstyle1:25=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{2}{7}+\frac{3}{4}\right):X

דמיון זה שיהיה ערך דינר זהב כ"ה דינרי' ורצינו לדעת כמה ערך הדי' עם חציו וב' שביעיותיו וג' רביעיותיו

The denominator of all these fractions is 28.

והנה המורה לכל אלו השברים הוא כ"ח

You take all these fractions from it; the result is 71.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot28\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)+\left(\frac{2}{7}\sdot28\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot28\right)=71}}

לקחת ממנו אלו החלקים ועלה ע"א‫^[748]

You multiply 71 by 25; the result is 1775, which is the price of the fractions that are taken from the denominator.

\scriptstyle{\color{blue}{71\sdot25=1775}}

ערכת ע"א על כ"ה ועלה אלף תשע"ה שהוא ערך החלקים הלקוחים מהמורה

Rule of Three: You multiply this number by the [amount of] merchandise, which is one, then divide the result by 28; the result is 63 integers and 11 parts of 28 and this is the price, i.e. 63 dinar and 11 parts of 28 of one dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}+\frac{2}{7}+\frac{3}{4}\right)\sdot25=\frac{1775\sdot1}{28}=63+\frac{11}{28}}}

‫^[749]ערכת זה המספר על מספר המסחר שהוא אחד וחלקת העולה על כ"ח ועלה ס"ג שלמים וי"א חלקים מכ"ח באחד וככה הערך ר"ל ס"ג די' ‫^[750]וי"א חלקים מכ"ח בדינר

Check: If you want you can check it.

ואם תרצה תוכל לבחון זה

It is so because the ratio of the fractions taken from the denominator to the fractions taken from the gold dinar is the same as the ratio of the denominator to one, which is the [amount of] merchandise.

והיה זה כן לפי שיחס החלקים הלקוחים מהמורה אל החלקים הלקוחים‫^[751] מדינרי זהב הוא כיחס המורה אל אחד שהוא מספר המסחר‫^[752]

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\sum_{i=1}^n \left[\left(LCM\right)\sdot\frac{a_i}{b_i}\right]\right]:\left[\sum_{i=1}^n \left(1\sdot\frac{a_i}{b_i}\right)\right]=\left(LCM\right):1}}

So, the ratio of the price of the fractions taken from the denominator to the price of the fractions taken from the gold dinar is the same as the ratio of the denominator to one.

ולזה יהיה יחס ערך החלקים הלקוחים מהמורה אל ערך החלקים הלקוחים מדינרי זהב כיחס המורה אל אחד

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{price_{\left[\sum_{i=1}^n \left[\left(LCM\right)\sdot\frac{a_i}{b_i}\right]\right]}:price_{\left[\sum_{i=1}^n \left(1\sdot\frac{a_i}{b_i}\right)\right]}=\left(LCM\right):1}}

Because it is clear that the ratio of the [amount of] merchandise to the [amount of] merchandise is the ratio of the price to the price.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{amount_1:amount_2=price_1:price_2}}

לפי שהוא מבואר שיחס המסחר אל המסחר הוא יחס הערך‫^[753] אל הערך

Therefore, the product of the price of the fractions taken from the denominator by one is equal to the product of the price of the fractions taken from the gold dinar by the denominator.

אם כן שטח מספר ערך החלקים הלקוחים מהמורה באחד שוה לשטח מספר ערך החלקים הלקוחים מן הדינר במורה

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{price_{\left[\sum_{i=1}^n \left[\left(LCM\right)\sdot\frac{a_i}{b_i}\right]\right]}\sdot1=price_{\left[\sum_{i=1}^n \left(1\sdot\frac{a_i}{b_i}\right)\right]}\sdot\left(LCM\right)}}

Deduce from this.

והקש על זה

If the [amount of] merchandise is a certain number, the explanation is the same.

ואם היה המסחר מספר מה בזה בעינו יתבאר

Example: the price of 7 measures of grain is 25 dinar and we wish to know how much is their price with their half, their 2-sevenths and their 3-quarters?

\scriptstyle\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{7}+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{25}{7}\sdot7

והמשל שיהיה ערך ז' מדות תבואה כ"ה די' ורצינו לדעת כמה ערכם עם חציים וב' שביעיותיהם וג' רביעיותיהם

We take all these fractions from the denominator, which is 28; the result is 71.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot28\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)+\left(\frac{2}{7}\sdot28\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot28\right)=71}}

לקחנו אלו החלקים מהמורה שהוא כ"ח ועלה ע"א

Their price is 253 dinar and 4-sevenths of a dinar.

והנה ערכם רנ"ג די' וד' שביעיות הדינר

Multiply this by the [amount of] merchandise, which is 7, then divide by the common denominator, which is 28; the result is 63 dinars and 11 parts of 28 of a dinar.

ערכת אותם על מספר המסחר שהוא ז' וחלקת העולה על המורה שהוא כ"ח ועלה ס"ג די' וי"א חלקים מכ"ח בדינר

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}+\frac{2}{7}+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{25}{7}\sdot7=\frac{71\sdot\frac{25}{7}\sdot7}{28}=\frac{\left(253+\frac{4}{7}\right)\sdot7}{28}=63+\frac{11}{28}}}

Deduce from this.

והקש על זה

Purchase Problems - Equal Amounts

Question: a merchant sells commodities of different prices and the buyer wants to buy the same amount from each commodity for a certain amount of money.

\scriptstyle\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i}X=M

שאלה הסוחר מוכר מסחרים מתחלפי‫^[754] הערכים כמה שיהיו ורצה הקונה לקנות בסך מה מן הממון מדה שוה מכל אחד מהמסחרים‫^[755]

The way is that you sum up the prices of the same amount from all the commodities and keep the result.

הדרך בזה שתקבץ ערכי המדה האחת לכל המסחרים והעולה שמור

Take from each of the commodities as the ratio of the amount [of money] that he has in his hand to the reserved and this is the sought.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X=M:\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i}}}

וכמו יחס הסך שבידו אל השמור קח מהמדה מכל אחד מהמסחרים‫^[756] והנה המבוקש

Example: the merchant is selling four drugs.

The price of the first drug is 7 pašuṭ for a liṭra.

The price of the second drug is 8 pašuṭ for a liṭra.

The price of the third drug is 10 pašuṭ for a liṭra.

The price of the fourth drug is 15 pašuṭ for a liṭra.

The buyer comes to buy the same weight of each for 3 dinar.

\scriptstyle\frac{7}{12}x+\frac{8}{12}x+\frac{10}{12}x+\frac{15}{12}x=3

דמיון זה שימכור הסוחר מד' סמים

ערך הסם הראשון ז' פשיטין הליטרא
וערך הסם השני ח' פשי' הליט‫'
וערך הסם השלישי י' פשי' הליט‫'
וערך הסם הרביעי ט"ו פשי' הליט‫'
ובא הקונה לקנות בג' די' משקל שוה מכל אחד מהסמים

He takes one liṭra from each for 3 dinar and 4 pešiṭim.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{12}+\frac{8}{12}+\frac{10}{12}+\frac{15}{12}=3+\frac{4}{12}}}

והנה ‫^[757]בג' די' וד'‫^[758] פשי' יקח ליטרא מכל אחד

The ratio of 3 dinar to 3 dinar and 4 pešiṭim is nine tenths and so he takes from each drug, i.e. nine tenths of a liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{x=3:\left(3+\frac{4}{12}\right)=\frac{9}{10}}}

והנה יחס ג' די' אל ג' די' וד' פשי' הוא ט' עשיריות וככה יקח מכל סם וסם ר"ל ט' עשיריות ליטרא

The total price is three dinar.

ויהיה ערך הכל ג' די‫'

Check: If you want you can check it.

ואם תרצה תוכל לבחון זה

It is so, since the ratio of what he takes from each liṭra of them to the liṭra is as the ratio of the price of what he takes from each liṭra of them to the price of the liṭra.

והיה זה כן לפי שיחס מה שיקח מכל ליטרא מהם אל הליטרא כיחס ערך מה שיקח מכל ליטרא מהם אל ערך הליט‫'

But, the ratio of what he takes from one of the liṭra to the liṭra is as the ratio of what he takes from each liṭra to the liṭra.

ואולם יחס מה שיקח מליט' באחד מהם אל הליט' הוא כיחס מה שיקח מליט' מכל אחד מהם אל הליטרין

So, the ratio of the price of what he takes from one of them to the price of the liṭra is as the ratio of the price of what he takes from each of them to the price of the liṭra.

יהיה אם כן יחס ערך מה שיקח מאחד מהם אל ערך הליטר' כיחס ערך מה שיקח מכל אחד מהם אל ערך הליט‫'

When we sum up, the ratio of what he takes from all together to the amount of liṭra is as the ratio of the price of what he takes from all together to the price of the amount of liṭra.

וכאשר קבצנו הנה יחס מה שיקח מכלם יחד אל מספר ליטראות כמספרם כיחס ערך מה שיקח מכלם יחד אל ערך מספר ליטראות כמספרם

Deduce from this.

והקש על זה

From this problem it is clear: if the moneychanger wants to buy coins of different prices for one gold dinar and he wishes to take the same amount from each of them, how many should he take from each?

\scriptstyle\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i}X=1

ומזאת השאלה יתבאר אם רצה השולחני לקנות בדינר זהב מטבעות מתחלפות הערכים ורצה לקחת מכל מטבע מהם מספר שוה כמה יקח מכל אחד ואחד

Example: the price of one coin is 3 dinar for a golden coin, the price of the second is 5 dinar for a golden coin, and the price of the third is 7 for a golden coin. The moneychanger wants to take the same amount from each coin for one golden coin

\scriptstyle\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x+\frac{1}{7}x=1

והמשל שיהיה ערך המטבע האחד ג' די' הזהוב

וערך השני ה' די' הזהוב
וערך השלישי‫^[759] ז' די' הזהוב
ורצה השולחני לקחת בזהוב אחד שעור שוה מכל אחד מהמטבעות

For a third golden coin he buys one dinar from the first coin.

והנה בשליש הזהוב יקנה די' ממטבע האחד

For a fifth golden coin he buys one dinar from the second coin.

ובחמישית הזהוב יקנה די' מהמטבע האחר‫^[760]

For a seventh golden coin he buys one dinar from the [third] coin.

ובשביעית הזהוב יקנה די' מהמטבע האחר

So, for a third golden coin, its fifth, and its seventh he buys one dinar from each.

אם כן בשלישית הזהוב וחמישיתו ושביעיתו יקח די' מכל אחד מהם

As the ratio of the golden coin to these fractions, so is the ratio of what he takes from each to the dinar.

וכמו יחס הזהוב אל אלו החלקים כן יחס מה שיקח מכל אחד מהם אל הדינר

Hence, he takes from each of them one dinar and 34 parts of 71 of one dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{x=1:\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)=1+\frac{34}{71}}}

וכזה יקח מכל אחד מהם דינר ול"ד חלקים מע"א בדי‫'

Deduce from this for similar cases.

וכפי זה תקיש במה שידמה לזה

Question: a merchant sells commodities of different prices. How much is the smallest number of measures to be taken from each of them so that the price of what is taken from this one is the same as the price of what is taken from that one.

\scriptstyle a_1\sdot b_1=a_2\sdot b_2=\ldots=a_n\sdot b_n

שאלה הסוחר מוכר מסחרים מתחלפי הערכים כמה המספר המעט מן המדות שילקח מאחד אחד מהם ויהיה ערך מה שילקח מזה כערך מה שילקח מזה

The procedure is that you write the prices of the commodities one after the other in one row.

הדרך בזה שתכתוב ערכי המסחרים‫^[761] זה אחר זה בטור אחד

Corresponding to them, in a [separate] line, always [write] one number beneath the other, and do so for each of the numbers.

וכנגדם תמיד בטור אחד המספר האחד תחת האחר ‫^[762]וכן תעשה לכל המספרים

Then, take the smallest numbers in their ratio; the result you receive beneath each of the prices is the number of measures to be taken of each commodity.

ואחר זה תקח קטני המספרים על יחס אלו והעולה בידך תחת כל אחד מן הערכין הוא מספר המדות שילקח מהמסחר‫^[763] ההוא

Example: the merchant is selling four drugs.

The price of the first drug is 2 dinar for a liṭra.

The price of the other drug is 3 dinar for a liṭra.

The price of the another drug is 12 dinar for a liṭra.

And the price of the other drug is 20 dinar for a liṭra.

We wish to know how many liṭra should be taken from each of the drugs so that the price of what is taken from this one is the same as the price of what is taken from that one.

\scriptstyle2a=3b=12c=20d

דמיון זה שימכור הסוחר מארבעה סמים

ערך הסם האחד ב' די' הליט‫'
וערך הסם האחר ג' די' הליט‫'
וערך הסם האחר י"ב די' הליט‫'
וערך הסם האחר כ' די' הליט‫'
ורצינו לדעת כמה מן הליטראות ילקח מאחר אחד מהסמים ויהיה ערך מה שילקח מזה כמו ערך מה שילקח מזה

Write in one row the prices of the liṭra that are 2, 3, 12, 20.

הנה תכתוב בטור אחד ערכי הליטראות והוא ב' ג' י"ב כ‫'

In another row beneath it, by this order I mentioned, meaning, write 3 [beneath] 2, and 2 beneath 3.

ובטור אחר תחתיו תמיד הענין על זה הסדור‫^[764] שאזכיר רצוני שתכתוב ב' ג' ותחת ג' ב‫'

Write also 12 beneath 3 and 3 beneath 12 this way.

וגם כן הנה תכתוב על זה הדרך תחת ג' י"ב ותחת י"ב ג‫'

Also write 20 beneath 12 and 12 beneath 20.

וגם כן הנה תכתוב תחת י"ב כ' ותחת כ' י"ב

20

12

3

2

12

3

20

5

2

12

20

3

30

כ

יב

ג

ב

יב

ג

כ

ה

ב

יב

כ

ג

ל

Then, take the smallest numbers that relate according to this ratio, i.e. the ratio of 3 to 2, the ratio of 12 to 3, and the ratio of 20 to 12, which, according to the explanation of Euclid, are 30, 20, 5, and 3.

ואחר כן תקח קטני המספרים המתיחסים בכמו זה היחס ר"ל מיחס ג' אל ב' ומיחס י"ב אל ג' ומיחס כ' אל י"ב והם לפי מה שהתבאר מאקלידס מספרי ל' כ' ה' ג‫'

This is because the ratio of 30 to 20 is the same as the ratio of 3 to 2.

\scriptstyle{\color{blue}{30:20=3:2}}

וזה שיחס ל' אל כ' כיחס ג' אל ב‫'

Also, the ratio of 20 to 5 is the same as the ratio of 12 to 3.

\scriptstyle{\color{blue}{20:5=12:3}}

ויחס כ' אל ה' כיחס י"ב אל ג‫'

And the ratio of 5 to 3 is the same as the ratio of 20 to 12.

\scriptstyle{\color{blue}{5:3=20:12}}

ויחס ה' אל ג' כיחס כ' אל י"ב

So, from the drug whose price is 2 dinar take 30 liṭra, which is the number that corresponds to it.

ולזה תקח מן הסם אשר ערכו ב' די' ל' ליטרין והוא המספר הנכחי לו

From the drug whose price is 3 dinar take 20 liṭra.

ומהסם אשר ערכו ג' די' הליט' תקח כ' ליטראות

From the drug whose price is 12 dinar take 5 liṭra.

ומהסם אשר ערכו י"ב די'‫^[765] תקח ה' ליטראות

From the drug whose price is 20 dinar take 3 liṭra.

ומן הסם אשר ערכו כ' די' תקח ג' ליטראו‫'

Then, the [total] price of what you take from each is the same.

ויהיה ערך מה שתקח מכל אחת מהם שוה

Deduce from it.

והקש על זה

You should pay attention in the mentioned way, if the price of the one of the drugs is some pešuṭim, that you convert the prices of the other drugs to pešuṭim.

וראוי שתשמור בזה הדרך הנזכר אם היה ערך אחד הסמים מספר הפשוטים שתשיב ערך הסמים הנשארים לפשוטים

Deduce from this for similar cases.

ומזה תקיש‫^[766] במה שידמה לזה

Explanation: It is so because the ratio of 30 to 20 is as the ratio of 3 to 2.

\scriptstyle{\color{blue}{30:20=3:2}}

והיה זה כן לפי שיחס ל' אל כ' הוא כיחס ג' אל ב‫'

So, the product of 30 by 2 is the same as the product of 20 by 2.

\scriptstyle{\color{blue}{30\sdot2=20\sdot3}}

אם כן שטח ל' בב' הוא כמו שטח כ' בג‫'

But, the product of 30 by 2 is equal to the price of 30 liṭra at 2 dinar for a liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{30\sdot2}}

אבל שטח ל' בב' שוה לערך ל' ליטראו' מב' די' הליטר‫'

And the product of 20 by 3 is equal to the price of 20 liṭra at 3 dinar for a liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{20\sdot3}}

ושטח כ' בג' שוה לערך כ' ליטראות מג' די' הליטרא

Therefore, the price of 30 liṭra at 2 dinar for a liṭra is equal to the price of 20 liṭra at 3 dinar for a liṭra.

אם כן ערך ל' ליטראות מב' די' הליט' שוה לערך כ' ליט' מג' די' הליטרא

Likewise, it is clear that the price of 20 liṭra at 3 dinar for a liṭra is equal to the price of 5 liṭra at 12 dinar for a liṭra.

‫^[767]וכזה התבאר שערך כ' ליטר' מג' די' הליט' שוה לערך ה' ליט' מי"ב די' הליט‫'

Also, the price of 5 liṭra at 12 dinar for a liṭra is the same as the price of 3 liṭra at 20 dinar for a liṭra.

ושערך ה' ליטראו' מי"ב די' הליט' הוא כמו ערך ג' ליטראו' מכ' די' הליט‫'

Deduce from this.

והקש על זה

Question: a merchant sells commodities of different prices. The buyer comes to buy one measure from all so that the price of what he takes from this is equal to the price of what he takes from that.

How much of the measure will he take from each and how much is the price of the measure?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b_1+b_2+\ldots+b_n=1\\\scriptstyle a_1\sdot b_1=a_2\sdot b_2=\ldots=a_n\sdot b_n\end{cases}

שאלה הסוחר מוכר מסחרים מתחלפי הערכים ובא הקונה לקנות מדה אחת מכלם ויהיה ערך מה שיקח מזה שוה לערך מה שיקח מזה

כמה מן המדה יקח מכלם וכמה ערך המדה ההיא

You should take the smallest numbers of measures to be taken from each kind, so that their total prices will be equal. When you complete this, sum the numbers together and this is the reserved, which are the parts [into which] the [purchased] measure is divided.

ראוי שתקח קטני המספרים שילקח מכל אחת מהן מהמדות ויהיה הערך שוה וכאשר ישלם לך זה קבץ מספריהם והוא השמור והשמור הם חלקי המדה

From each of these parts, take the number beneath it, and this is the required.

לקח מכל אחד מהם מאלו החלקים כמו המספר אשר תחתיו והנה המבוקש

[the smallest amount of a specific kind ÷ the sum = the parts of the measure to be taken from that specific kind]

But, you find the price of the measure by summing all the prices of the smallest numbers each according to its corresponding; this is the price of [the purchased measure]. Divide it by the reserved and this is the required.

ואולם ערך המדה ההיא תדעהו בשתקבץ ערכי קטני המספרים ההם‫^[768] כל אחד מגילו והוא ערך המקובץ חלקהו על השמור והנה המבוקש

[the total price of the purchased measure = the sum of the prices of the smallest numbers of amounts divided by the aforementioned sum]

Example: the merchant is selling three drugs.

The price of the first drug is 7 pašuṭ for a liṭra.

The price of the second drug is 10 pašuṭ for a liṭra.

And the price of the third drug is 20 pašuṭ for a liṭra.

The buyer comes to buy one liṭra from all so that the price of what he takes from one of them is the same as the price of what he takes from each of the others.

\scriptstyle7a=10b=20c

דמיון זה שימכר הסוחר משלשה סמים

ערך האחד ז' פשי' הליטר‫'
וערך השני י' פשי' הליט‫'
וערך השלישי כ' פשי' הליט‫'
ובא הקונה לקנות ליט' מכלם ויהיה ערך מה שיקח מאחד מהם כמו מה שיקח מכל אחד מן האחרים

The smallest amounts that are taken from each one, so that their prices are the same, are 20, 14, and 7. Their sum is 41, and these are parts of the liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{20+14+7=41}}

והנה קטני המספרים שילקחו מאחד אחד מהם ויהיה הערך שוה הם מספרי כ' י"ד ז' והנה מקובצם הוא מ"א והם חלקי הליט‫'

20 parts are taken from the drug whose price is 7 pašuṭ for a liṭra.

וילקח מאלו החלקים מהסם אשר ערכו ז' פשי' הליט' כ' חלקים

14 parts are taken from the drug whose price is 10 pašuṭ for a liṭra.

ומהסם אשר ערך הליט' ממנו י' פשי' ילקחו י"ד חלקים

7 parts are taken from the drug whose price is 20 pašuṭ for a liṭra.

ומהסם אשר ערך הליט' ממנו כ' פשי' ילקחו ז' חלקים

The total is 41 parts, which is one liṭra.

והנה הכל‫^[769] מ"א חלקים שהיא הליט‫'

For the price of the liṭra, take the prices of the amounts 20, 14 and 7, each according to its corresponding, and sum all; the total is 35 dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot20}{12}+\frac{10\sdot14}{12}+\frac{20\sdot7}{12}=35}}

ואולם ערך הליט' הנה תקח ערך מספרי כ' י"ד ז' כל אחד מהנכחי לו ותקבץ הכל והנה הכל הוא ל"ה די‫'

Divide 35 dinar by 41; the result is 10 pešuṭim and 10 parts of 41 of one pašuṭ, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35}{41}=\frac{10+\frac{10}{41}}{12}}}

חלקת ל"ה די' על מ"א ועלה י' פשו' וי' חלקים‫^[770] ממ"א בפשוט והוא המבוקש

Deduce from this.

והקש על זה

Explanation: It is so because the price of 20 liṭra at the low price is the same as the price of 14 liṭra at the mean price, and the same as the price of 7 liṭra at the high price.

\scriptstyle{\color{blue}{price_{20}=price_{14}=price_7}}

והיה זה כן כי מפני שערך כ' ליט' מהערך הקטן הוא כערך י"ד ליט' מהערך האמצעי וכמו ערך ז' ליט' מערך הגדול

The ratio of 20 parts of 41 of a liṭra to 20 liṭra is the same as the ratio of 14 parts of 41 of a liṭra to 14 liṭra and the same as the ratio of 7 parts of 41 of a liṭra to 7 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{41}:20=\frac{14}{41}:14=\frac{7}{41}:7}}

והנה יחס כ' חלקים ‫^[771]ממ"א בליט' אל כ' ליט' הוא כמו יחס י"ד חלקים ממ"א בליט' אל י"ד ליטרי' וכמו יחס ז' חלקים ממ"א בליט' אל ז' ליט‫'

Therefore, the ratio of the price of 20 parts of 41 of a liṭra to the price of 20 liṭra is the same as the ratio of the price of 14 parts of 41 of a liṭra to the price of 14 liṭra, and the same as the ratio of the price of 7 parts of 41 of a liṭra to the price of 7 liṭra.

ולזה יהיה יחס ערך כ' חלקים ממ"א בליט' אל ערך כ' ליט' כמו יחס ערך י"ד חלקים ממ"א בליט' אל ערך י"ד ליט' וכמו יחס ערך ז' חלקים ממ"א בליט' אל ערך ז' ליט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{price_{\frac{20}{41}}:price_{20}=price_{\frac{14}{41}}:price_{14}=price_{\frac{7}{41}}:price_7}}

When we exchange them, the ratio of the price of 20 parts of 41 of a liṭra at the first price to 14 parts of 41 of a liṭra at the second price is the same as the ratio of the price of 20 liṭra at the first price to the price of 14 liṭra at the second price.

\scriptstyle{\color{blue}{price_{\frac{20}{41}}:price_{\frac{14}{41}}=price_{20}:price_{14}}}

וכאשר המירונו הנה יחס ערך כ' חלקים ממ"א בליט' מהערך הראשון אל י"ד חלקים ממ"א בליט' מהערך השני הוא כמו יחס ערך כ' ליטר' מהערך הראשון אל ערך י"ד ליטר' מהערך השני

But, the price of 20 liṭra at the first price is the same as the price of 14 liṭra at the second price.

\scriptstyle{\color{blue}{price_{20}=price_{14}}}

אבל ערך כ' ליטראות מהערך הראשון הוא כמו ערך י"ד ליטר' מהערך השני

So, the price of 20 parts of 41 of a liṭra at the first price is the same as the price of 14 parts of 41 of a liṭra at the second price.

\scriptstyle{\color{blue}{price_{\frac{20}{41}}=price_{\frac{14}{41}}}}

אם כן ערך כ' חלקים ממ"א בליטרא מהערך הראשון הוא כמו ערך י"ד חלקים ממ"א בליטרא מהערך השני‫^[772]

Likewise, it is clear that the price of 14 parts of 41 of a liṭra at the second price is the same as the price of 7 parts of 41 of a liṭra at the third price.

\scriptstyle{\color{blue}{price_{\frac{14}{41}}=price_{\frac{7}{41}}}}

וכזה התבאר שערך י"ד חלקים ממ"א בליט' מהערך השני הוא כמו ערך ז' חלקים ממ"א בליט' מהערך השלישי

Deduce from this.

והקש על זה

Purchase Problems - Unequal Amounts

Question: a merchant sells two commodities of different prices. The buyer wants to buy one measure of both so that its price will be higher than the lower price and lower than the higher price.

שאלה הסוחר מוכר שני מסחרי' מתחלפי הערכים ורצה הקונה לקנות מדה אחת משניהם יהיה ערכה מספר מה מוסיף על הערך הקטן ומחסיר מהערך הגדול

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x+y=1\\\scriptstyle a<N<b\\\scriptstyle ax+by=N\end{cases}

You should take the excess of the higher price over the lower price, and these are the parts of the measure.

ראוי שתקח מספר יתרון המוסיף על המחסיר והם חלקי המדה

Then, take the deficiency of the lower price and this is the number of parts he takes from the expensive [commodity]; and the excess of the higher price is the number of parts he takes from the cheap [commodity].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{y=\frac{N-a}{b-a}}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\frac{b-N}{b-a}}}

ואחר תקח מספר חסרון המחסיר‫^[773] והוא יהיה מספר החלקים שיקח מהמוסיף

ומספר יתרון המוסיף הוא יהיה מספר החלקים שיקח מהמחסיר

Example: the merchant sells two drugs: the price of one drug is 17 pašuṭ for a liṭra and the price of the second drug is 24 pašuṭ for a liṭra. The buyer comes to buy one measure of both so that its price is 19 pašuṭ.

\scriptstyle 17x+24y=19

דמיון זה שיהיה הסוחר מוכר משני סמים

ערך הסם האחד י"ז פשי' הליט‫'
וערך הסם האחר כ"ד פשי' הליט‫'
ובא הקונה לקנות מדה משניהם יהיה ערכה י"ט פשי‫'

The excess of the higher price over the lower price is 7, and these are the parts of the measure.

\scriptstyle{\color{blue}{24-17=7}}

והנה יתרון המוסיף‫^[774] על המחסיר הוא ז' והם חלקי המדה

The deficiency of the lower price from 19 is two, and these are the parts of the measure to be takes from the drug whose price is higher [24 pašuṭ for a liṭra].

\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{19-17}{7}=\frac{2}{7}}}

והנה חסרון המחסיר מי"ט הוא שנים והם החלקים מחלקי המדה שיקח מהסם אשר ערכו מוסיף

The excess of the higher price is five, and these are the parts of the measure to be taken from the drug whose price is lower [17 pašuṭ for a liṭra]

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{24-19}{7}=\frac{5}{7}}}

והנה יתרון המוסיף הוא חמשה והם חלקים שיקח מהסם אשר ערכו מחסיר

The price of the measure is 19 pešiṭim.

\scriptstyle {\color{blue}{\left(17\sdot\frac{5}{7}\right)+\left(24\sdot\frac{2}{7}\right)=19}}

ויהיה ערך המדה י"ט פשי‫'

Deduce from this.

והקש על זה

Explanation: It is so because there are three different numbers here that are 17, 19, and 24.

והיה זה כן לפי שבכאן שלשה מספרים מתחלפים והם מספרי י"ז י"ט כ"ד

The product of 24 by two, which is the excess of the mean over the smaller, plus the product of 17 by five, which is the excess of the greater over the mean, is counted by 19, which is the mean, as the number of units of the excess of the greater over the smaller, which is 7.

הנה יהיה שטח כ"ד בשנים שהוא יתרון האמצעי על הקטן עם שטח י"ז בחמשה שהוא יתרון הגדול על האמצעי ימנהו י"ט שהוא האמצעי במספר אחדי יתרון הגדול על הקטן שהוא ז‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left[17\sdot\left(24-19\right)\right]+\left[24\sdot\left(19-17\right)\right]=\left(17\sdot5\right)+\left(24\sdot2\right)=19\sdot7=19\sdot\left(24-17\right)}}

Therefore, the sum of the prices of 2 liṭra at the price of 24 pešiṭim [for a liṭra] with 5 liṭra at the price of 17 pešiṭim [for a liṭra] is equal to the product of 7 by 19.

\scriptstyle {\color{blue}{7\sdot19}}

אם ‫^[775]כן ב' ליט' מערך כ"ד פשי' עם ה' ליט' מערך י"ז פשי' יהיה מקובץ הערכים שוה לשטח ז' בי"ט

The number of liṭra is 7, so each is offered for 19 pešiṭim.

ומספר הליט' ז' אם כן כל אחת תעמוד בי"ט פשי‫'

Also, the ratio of two-sevenths of a liṭra to 2 liṭra is the same as the ratio of five-sevenths of a liṭra to five liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}_{lit}:2_{lit}=\frac{5}{7}_{lit}:5_{lit}}}

וגם כן הנה יחס שתי שביעיות ליט' אל ב' ליט' כיחס חמשה שביעיות ליט' אל חמשה ליט‫'

Hence, the ratio of the price of two-sevenths of a liṭra at the higher price to the price of two liṭra at the higher price is the same as the ratio of the price of five-sevenths of a liṭra at the lower price to the price of five liṭra at the lower price.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}b:2b=\frac{5}{7}a:5a}}

ולזה יהיה יחס ערך שתי שביעיות ליטרא מהערך הגדול אל ערך שתי ליטראות מהערך הגדול כיחס ערך חמשה שביעיות ליטרא מהערך הקטן אל ערך חמשה ליטראות מהערך הקטן‫^[776]

So, the ratio of the price of two-sevenths of a liṭra at the higher price plus five-sevenths of a liṭra at the lower price to the price of 2 liṭra at the higher price plus five liṭra at the lower price is the same as the ratio of the price of two-sevenths of a liṭra at the higher price to the price of two liṭra at the higher price.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}b+\frac{5}{7}a\right):\left(2b+5a\right)=\frac{2}{7}b:2b}}

ולזה יהיה יחס ערך שתי שביעיות ליט' מהערך הגדול וחמשה שביעיות ליטר' מהערך הקטן אל ערך ב' ליט' מהערך הגדול וחמשה ליטראות מהערך הקטן כיחס ערך שתי שביעיות ליט' מהערך הגדול אל ערך שתי ליט' מהערך הגדול

But, the ratio of the price of two-sevenths of a liṭra at the higher price to [the price of] two liṭra at the higher price is a seventh of the price.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}b:2b=\frac{1}{7}}}

אבל יחס ערך שתי שביעיות ליט' מהערך הגדול אל שתי ליט' מהערך הגדול והוא שביעית הערך

Therefore, the ratio of the price of two-sevenths of a liṭra at the higher price plus 5-sevenths of a liṭra at the lower price to the price of two liṭra at the higher price plus 5 liṭra at the lower price is a seventh of the price.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}b+\frac{5}{7}a\right):\left(2b+5a\right)=\frac{1}{7}}}

אם כן יחס ערך שתי שביעיות ליט' מהערך הגדול וה' שביעיות ליט' מהערך הקטן אל ערך ב' ליט' מהערך הגדול וה' ליט' מהערך הקטן הוא שביעית הערך

It has already been clarified that the total price is the product of 7 by 19.

\scriptstyle {\color{blue}{\left(2\sdot24\right)+\left(5\sdot17\right)=7\sdot19}}

וכבר התבאר שזה הערך כלו הוא שטח ז' בי"ט

Hence, the price of this liṭra is a seventh of the product of 7 by 19, which is 19 pešiṭim.

the price of a liṭra

\scriptstyle {\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left(7\sdot19\right)=19}}

אם כן ערך זאת הליט' הוא שביעית שטח ז' בי"ט שהוא י"ט פשי‫'

Deduce from this.

והקש על זה

Question: a merchant sells some commodities of different prices. The buyer comes to buy one measure from all of them so that its price is greater than the lowest price and lower than the highest price. How much of the measure will he take from each

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle \sum_{i=1}^n x_i=1\\\scriptstyle a_1<M<a_n\\\scriptstyle \sum_{i=1}^n a_ix_i=M\end{cases}

שאלה הסוחר מוכר מסחרים מתחלפי הערכים כמה שיהיו ובא הקונה לקנות מדה אחת מכלם יהיה ערכה מוסיף על הערך הקטן ומחסיר מן הערך הגדול כמה מן המדה יקח מאחד אחד מהם

You should pair up each of the lower prices with one of the higher prices.

הנה ראוי שתזוג עם כל אחד מהמחסירים‫^[777] אחד מן המוסיפים

If the higher prices or the lower prices are not enough, since the number of higher prices is greater or smaller, match up each of the corresponding remaining prices with one of the numbers, whose price is closest to the required price, so that the number will be as small as possible.

ואם לא יספיקו המוסיפים או המחסירים לפי שהיה מספר המ^וסיפים יתר או פחות הנה תזוג עם כל אחד מהנשארים ממקביליהם המספר אשר ערכו יותר קרוב אל הערך המבוקש כדי שימעט המספר המתר

Then, apply the above procedure for each the pair. The sum of all excesses of the larger number over the smaller number in each pair is the parts of the liṭra.

ואחר תנהיג מכל זוג וזוג על הצד הקודם והנקבץ מיתרון כל אחד מהמוסיפים על זוגו הם חלקי הליט‫'

If the price of one of the commodities is the same as the required price, so that this commodity has no pair, take from it one part, or as many parts as you wish, and add them to the total number of parts, and the sum is the parts of the liṭra.

ואם היה שם מסחר יהיה ערכו כמו‫^[778] הערך המבוקש הנה זה המסחר אין זוג לו ולזה תקח ממנו חלק אחד או חלקים כפי מה שתרצה ותוסיף על מספר החלקים הנקבצים והנקבץ יהיו חלקי ‫^[779]הליט‫'

Example: the merchant sells 7 drugs.

The price of the first drug is 3 pašuṭ for a liṭra.

The price of the second drug is 5 pašuṭ.

The price of the third drug is 8 pašuṭ.

The price of the fourth drug is 11 pašuṭ.

The price of the fifth drug is 15 pašuṭ.

The price of the sixth drug is 19 pašuṭ.

The price of the seventh drug is 28 pašuṭ.

The buyer wants to buy one liṭra from all of them for 15 pašuṭ.

דמיון זה שיהיה הסוחר מוכר מז' סמים‫^[780]

ערך הסם הראשון ג' פשי' הליט‫'
וערך הסם השני ה'‫^[781] פשי‫'
וערך השלישי ח' פשי‫'
וערך הרביעי י"א פשי‫'
וערך החמישי ט"ו פשי‫'
וערך השישי י"ט פשי‫'
וערך השביעי כ"ח פשיטי‫'
ורצה הקונה לקנות ליט' מכלם בט"ו פשי‫'

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle \sum_{i=1}^n x_i=1\\\scriptstyle3x_1+5x_2+8x_3+11x_4+15x_5+19x_6+28x_7=15\end{cases}

There are two higher prices: the drug whose price is 19 pešiṭim for a liṭra, and the drug whose price is 28 pešiṭim for a liṭra.

והנה המוסיפים הם שנים

הסם אשר ערכו י"ט פשי' הליט‫'
והסם אשר ערכו כ"ח‫^[782] פשיטי' הליט‫'

There are four lower prices: the drug whose price is 3 pešiṭim, the one whose price is 5 pešiṭim, the one whose price is 8 pešiṭim, and the one whose price is 11 pešiṭim.

והמחסירים הם ארבעה והם הסם אשר ערכו ג' פשי' ואשר ערכו ה' פשי' ואשר ערכו ח' פשי' ואשר ערכו י"א פשי‫'

We pair up 3 pešiṭim with 19 pešiṭim, and 5 pešiṭim with 28 pešiṭim.

הנה נשים ג' פשי' גיליי לי"ט פשי' וה' פשי' גיליי לכ"ח פשי‫'

Since there are other drugs with lower prices left, but none with higher prices, we take the higher price that is the closest to 15, which is the required price; it is 19. We pair up 19 with each of the remaining lower prices, as you can see in this diagram:

ומפני שנשארו עוד סמים במחסירים ולא נשאר מהמוסיפים נקח מהמוסיפים‫^[783] היותר קרוב אל ט"ו שהוא הערך המבוקש והוא י"ט ונזווג‫^[784] י"ט עם כל אחד מהנשארים מהמחסירים כמו שתראה בזאת הצורה

15	10	8	5	3
	19	19	28	19

טו	‫0א	ח	ה	ג
	יט	יט	כח	יט

We already know how to take a liṭra from each of these pairs, whose price is 15 pešiṭim.

וכבר ידענו איך נקח ליט' מכל זוג וזוג מאלו יהיה ערכה ט"ו פשי‫'

Therefore, we take 4 parts of 16 of a liṭra from the drug for 3, and 12 parts of 16 of a litra from the drug for 19.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{16}\sdot3\right)+\left(\frac{12}{16}\sdot19\right)}}

ולזה נקח מסם ג' ד' חלקים מי"ו בליט' ומסם י"ט י"ב חלקים מי"ו בליט‫'

Take also 13 parts of 23 of a liṭra from the drug for 5, and 10 parts of 23 of a litra from the drug for 28.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{13}{23}\sdot5\right)+\left(\frac{10}{23}\sdot28\right)}}

ולקח גם כן מסם ה' י"ג חלקים מכ"ג בליט' ומסם כ"ח י'‫^[785] חלקים מכ"ג בליט‫'

We also take 4 parts of 11 of a liṭra from the drug for 8, and 7 parts of 11 of a litra from the drug for 19.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{11}\sdot8\right)+\left(\frac{7}{11}\sdot19\right)}}

ונקח גם כן מסם ח' ד' חלקים מי"א בליטרא ומסם י"ט ז' חלקים מי"א בליטרא‫^[786]

We also take 4 parts of 8 of a liṭra from the drug for 11, and 4 parts of 8 of a liṭra from the drug for 19.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{8}\sdot11\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot19\right)}}

ונקח גם כן מסם י"א ד' חלקים מח' בליט' ומסם י"ט ד' חלקים מח' בליט‫'

The number of all these parts is 58.

\scriptstyle{\color{blue}{16+23+11+8=58}}

הנה מספר כל אלו החלקים הוא נ"ח

We add two parts for [the drug for] 15, which has no pair; it is 60 and they are the parts of the liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{58+2=60}}

ונוסיף שני חלקים בעבור ט"ו שאין לו גיליי והנה ס' והם חלקי הליט‫'

We take 4 parts from the drug for 3 pešiṭim; 13 parts from the drug for 5, 4 parts from the drug for 8; 4 parts from the drug for 11; two parts from the drug for 15, 23 parts from the drug for 19, and 10 parts from the drug for 28.

נקח מהם מסם‫^[787] ג' פשי' ד' חלקים ומסם ה' י"ג חלקים‫^[788] ומסם ח' ד' חלקים ומסם י"א ד' חלקים ומסם ט"ו שני חלקים ומסם י"ט כ"ג חלקים ומסם כ"ח י' חלקים

The price of the liṭra is 15 pešiṭim and this is the required.

ויהיה ערך הליט' ט"ו פשי' והוא המבוקש

Explanation: It is so, because it is clear from what preceded that the price of 4 liṭra at the price of 3, plus 12 liṭra at the price of 19 is the same as the product of 16 by 15.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot3\right)+\left(12\sdot19\right)=\left(16\sdot15\right)}}

והיה זה כן לפי שהוא מבואר ממה שקדם שד' ליט' מערך ג' עם י"ב ליטראות מערך י"ט ערכם כמו שטח י"ו בט"ו

By this the matter is clarified for each [pair of] corresponding numbers among them.

ובזה התבאר הענין בכל שני מספרים גיליים מאלו

It is clear that the price of 2 liṭra at the price of 15 is the same as the product of 2 by 15.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot15}}

והוא מבואר שב' ליט' מערך ט"ו ערכם גם כן כמו שטח ב' בט"ו

When we sum all, the price of all these liṭra multiplied by 15 is the same as the product of 60 by 15.

\scriptstyle{\color{blue}{60\sdot15}}

וכאשר קבצנו הכל הנה ערך כל אלו הליט' במספרם ‫^[789]מוכה בט"ו אשר הוא כמו שטח ס' בט"ו

But, the ratio of one part of 60 of a liṭra to the liṭra is that same as the ratio of the price of one part of 60 of a liṭra, to the price of the liṭra.

ואולם יחס חלק מס' בליט' אל הליט' כמו יחס ערך חלק מס' בליטרא‫^[790] אל ערך הליט‫'

It is clear by the previous explanation that the ratio of the price of the sum of all the parts to the price of the sum of the liṭra, which is the product of 60 by 15, is the same as the ratio of one to 60.

\scriptstyle{\color{blue}{15:\left(60\sdot15\right)=1:60}}

ויתבאר על צד הבאור הקודם שיחס ערך כל החלקים מקובצים אל ערך מקובץ הליט' שהוא כמו שטח ס' בט"ו הוא כיחס אחד אל ס‫'

Therefore, the price of all the parts is 15 pešiṭim, which is one of 60 by the product of 60 by 15.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{60}\sdot\left(60\sdot15\right)}}

ולזה יהיה ערך החלקים בכללם ט"ו פשי' שהוא אחד מס' בשטח ס' בט"ו

Deduce from this.

והקש על זה

Payment Problem

Question: one man hired another man to do his work a given number of days for a given amount of money. The work that he should do is to hire for him a given number of men, each of whom should lead a given number of beasts, each of which should carry a given number of measures and walk a given part of the road. The hired man changed some or all of the numbers. How much should his salary be?

שאלה איש אחד שכר איש אחר מספר מונח מהממון שיעשה מלאכתו מספר מונח מן הימים וזאת המלאכה אשר יעשה ישכור לו בכל יום מאלו הימים מספר מונח מן האנשים ינהיג כל אחד מספר מונח מהבהמות תשא כל אחד מהם מספר מונח מן המדות ותלך כל אחת מהן מספר מונח מן הדרך ושנה השכיר בקצת המספרים או בכלם כמה שכירותו

Take the number composed of all the numbers he demands and keep it.

קח המספר המורכב מכל המספרים שהתנה ושמור

Take also the number composed of all the numbers he accomplished.

גם קח המספר המורכב מכל המספרים שהשלים

The ratio of the reserved to the compound number is the same as the ratio of the salary he promised to give him, to what he owes him.

וכיחס השמור אל זה המספר המורכב כן יחס השכירות שהתנה לתת לו אל מה שהוא חייב לתת לו

(the product of all demanded numbers) : (the product of all actual numbers) = (promised salary) : (actual salary)

Example: Reuven hired Shimon to do his work 9 days for 10 liṭra. The work is to hire for him each day 13 men, each of whom should lead seven beasts, each of which should carry 15 measure and walk 6 parsa. He hired for him for 8 days 17 men, each of whom led 6 beasts, each of which carried 11 measures and walked 7 parsa.

דמיון זה ששכר ראובן את שמעון י' ליט' שיעשה מלאכתו ט' ימים וזאת המלאכה ישכור לו בכל יום י"ג מן האנשים ינהיג כל אחד מהם ז' מהבהמות תשא כל אחת מהם ט"ו מהמדות ותלך ו' פרסאות והוא שכר לו ח' ימים י"ז מן האנשים ותנהיג כל אחד מהם ששה מהבהמות ונשאה כל אחד מהם י"א מן המדות והלכה ז' פרסאות

The number composed of the numbers he demands, which are 9, 13, 7, 15, 6, is 73 thousand and 710, and it is the reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot13\sdot7\sdot15\sdot6=73710}}

והנה המספר המורכב ממספרים שהתנה שהם ט' י"ג ז' ט"ו ו' והוא ע"ג אלפים ותש"י והוא השמור

The number composed of the numbers he accomplished, which are 8, 17, 6, 11, 7, is 62 thousand and 832.

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot17\sdot6\sdot11\sdot7=62832}}

והמספר המורכב מהמספרים שהשלים שהם ח' י"ז ו' י"א ז' הוא ס"ב אלפים ותתל"ב

The ratio of 10 liṭra to what he owes him is the same as the ratio of the reserved to 62 thousand and 832.

\scriptstyle{\color{blue}{10:X=73710:62832}}

והנה יחס י' ליט' אל מה שהוא חייב לו כיחס השמור אל ס"ב אלפים ותתל"ב

If you multiply 10 liṭra, which is the first [number], by the fourth [number], which is 62 thousand and 832, then divide the result by the reserved, you receive the number of liṭra and fractions of the liṭra that he owes him, which is 8 liṭra and a half plus a thousand, 7 hundred and 85 parts of 62 thousand and 832 of a liṭra, which is 5 pešiṭim and 59 thousand and 850 parts of 73 thousand and 710 of a pašuṭ.

ואם תערוך י'‫^[791] ליט' שהוא הראשון על הרביעי שהוא ס"ב אלפים תתל"ב ותחלק העולה על השמור יצאו לך הליטראות וחלקי הליט' שהוא חייב לו הם ח' ליט' וחצי ואלף וז' מאות ופ"ה חלקים מס"ב אלפים ותתל"ב בליט' שהוא ה'‫^[792] ‫^[793]פשי' ונ"ט אלפים תת"נ חלקים מע"ג אלפים תש"י בפשוט

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot62832}{73710}=8+\frac{1}{2}+\frac{1785}{{\color{red}{73710}}}=8+\frac{1}{2}+\frac{5}{12\sdot20}+\frac{\frac{59850}{73710}}{12\sdot20}}}

Explanation: It is so because the ratio of what he owes him to what he promised is the same as the ratio of what he did to what he promised to do.

והיה זה כן לפי שיחס מה שהוא חייב לו אל מה שהתנה הוא כיחס מה שעשה אל מה שהתנה לעשות

(actual payment): (promised payment) = (the work that was done) : (the work that was promised)

The ratio of what he did to what he promised to do is composed of the ratios of the numbers he promised to their corresponding numbers that he accomplished.

ויחס מה שעשה אל מה שהתנה לעשות הוא מחובר מיחסי המספרים שהתנה אל גיליהם שהשלים

For, it was already explained that the composed ratio is the same as the ratio of the number composed of the numbers he promised to the number composed of the numbers he accomplished.

וזה שיחס המחובר כבר התבאר שהוא כמו יחס המספר המורכב מהמספרים שהתנה אל המספר המורכב מהמספרים שהשלים

Deduce from this.

והקש על זה

If a man made an agreement with another man to fill with some commodity a container of which the length is a given number, the width is a given number, and the depth is a given number, for a certain amount of money, but he filled for him another container the measures of which are different from those of the container agreed upon. How much does he owe him?

ומזה הבאור התבאר אם התנה אדם לאדם למלאת ממסחר מה כלי ארכו מספר מונח ורחבו מספר מונח ועמקו מספר מונח במספר מה מן הממון ומלא לו כלי אחר מתחלף הרחקים לכלי אשר התנה

כמה חייב לו

The ratio of the number composed of the three measures he promised to the number composed of the three measures he accomplished is the same as the ratio of the price he promised him to what he owes him.

וזה שכמו יחס המספר המורכב מהשלשה רחקים אשר התנה אל המספר המורכב מהשלשה רחקים אשר השלים כן יחס הערך שהתנה לו אל מה שהוא חייב לו

(the product of the three promised measures) : (the product of the three actual measures) = (the promised price) : (the actual price)

Deduce the same in similar [cases].

וכן תשפוט במה שידמה לזה

Example: the seller sold to the buyer a container filled with oil at a price of 20 dinar.

The length of the container is 10 measures, its width is 9 [measures] and its depth is 12 [measures].

He filled for him another container, the length of which is 11 [measures], its width is 6 [measures] and its depth is 18 [measures]

והמשל שמכר המוכר לקונה מלא כלי משמן בערך כ' די‫'

ארך הכלי עשרה מדות ורחבו ט' ועמקו י"ב
ומלא לו כלי אחר ארכו י"א ורחבו ו' ועמקו י"ח

The number composed of the former measures is a thousand and 80, and this is reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot9\sdot12=1080}}

והנה המספר המורכב מהרחקים הקודמים הוא אלף ופ' והוא השמור

The number composed of the measures he accomplished is a thousand and 122.

\scriptstyle{\color{blue}{11\sdot6\sdot17=1122}}

והמספר המורכב מהמרחקים שהשלים הוא אלף וקכ"ב

Rule of Three: So, the ratio of the reserved to a thousand and 122 is the same as the ratio of 20 dinar to what he owes him.

\scriptstyle{\color{blue}{1080:1122=20:price}}

והנה כיחס השמור אל אלף וקכ"ב כן יחס כ' די' אל‫^[794] מה שהוא חייב לו

Buy and Sell Problems

Question: Reuven bought some parts of the measure for some number of dinar and sold so and so of the measure for so and so dinar and the money was so and so.

We wish to know if he gained or lost and how much?

שאלה ראובן קנה חלקים ככה מהמדה במספר ככה מהדינר ומכר חלקים ככה מהמדה במספר ככה מהדינר והיה הממון ככה

ורצינו לדעת אם הרויח או הפסיד וכמה

The method is that you find the total amount of dinars for each price of a measure.

הדרך בזה שתוציא סך דינרי ד' ערך המדה לכל אחד מהערכין

Then, it will become clear to you whether he lost or earned for each measure and how many dinars [for each measure].

ואחר כן יתבאר לך אם הפסיד או הרויח במדה וכמה מן הדינר

By this, the total number of measures of the trade will also become clear to you.

ובזה יתבאר לך כמה סך מדות המסחר

Multiply the total number of measures by what he earned or lost for each measure; the result is the total number of dinar that he earned or lost.

ערוך סך מדות המסחר על מה שהרויח במדה או הפסיד והעולה הוא סך הדינר שהפסיד או הרויח

If the problem is reversed: if he gained or lost a certain number of dinar and you want to know how much was the amount of money or the total number of measures in the trade

ואם היתה השאלה בהפך ר"ל שהרויח או הפסיד מספר ככה מהדינר ובאת לדעת כמה היה הממון ‫^[795]או המסחר

Divide the total number of dinar that he earned or lost from the whole transaction by what he earned or lost for each measure; the result is the total number of measures [purchased].

תחלק המספר מהדינר שהרויח בכל המסחר או הפסיד על מה שהרויח‫^[796] במדה או הפסיד והעולה הוא סך מדות המסחר

Their buying price is the amount of money.

וערכם לפי מה שקנה הוא הממון

the total number of measures × buying price = amount of money

Example: Reuven bought 2-fifths and 3-sevenths of a measure for 7 dinar and 8 parts of 11 of a dinar.

He sold 4 ninths of it for 8 dinar and 3-sevenths of a dinar.

The amount of money was a hundred dinar.

We wish to know whether he lost or gained, and how much?

דמיון ראובן קנה ב' חמישיות המדה וג' שביעיותיה ז' די' וח' חלקים מי"א בדי‫'

ומכר ד' תשיעותיה ח' די' וג' שביעיות הדינר
והיה הממון מאה די‫'
ורצינו לדעת אם הפסיד או הרויח וכמה

The buying price of the measure is 9 dinar and 104 parts of 319 of a dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7+\frac{8}{11}}{\frac{2}{5}+\frac{3}{7}}=9+\frac{104}{319}}}

והנה ערך המדה לפי מה שקנה ט' די' וק"ד חלקים משי"ט בדינר

The selling price of the measure is 18 dinar and 27 parts of 28 of a dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8+\frac{3}{7}}{\frac{4}{9}}=18+\frac{27}{28}}}

וערך המדה לפי מה שמכר י"ח דינרי' וכ"ז חלקים מכ"ח בדי‫'

Therefore, the total number of measures purchased is 10 measures, plus 21 hundred and 50 parts of 29 hundred and 75 of a measure, which is 86 parts of 119 of a measure.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{9+\frac{104}{319}}=10+\frac{2150}{2975}=10+\frac{86}{119}}}

ולזה היה סך מדות המסחר י' מדות וכ"א מאות ונ' חלקים מכ"ט מאות וע"ה במדה שהם פ"ו חלקים מקי"ט במדה

So, he earned 9 dinar and 5 thousand 701 parts of 8 thousand 932 of a dinar for one measure.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(18+\frac{27}{28}\right)-\left(9+\frac{104}{319}\right)=9+\frac{5701}{8932}}}

והנה הרויח במדה ט' די' וה' אלפים ותש"א חלקים מח' אלפים תתקל"ב בדינר

We multiply it by the number of measures; he earns 103 dinar, plus 370 thousand and 40 parts of a thousand and 62 thousand 908 of a dinar, which is 3 thousand and 190 parts of 9 thousand 163 of a dinar.

ערכנוהו על מדות המסחר והנה הרויח ק"ג די' וש"ע אלפים ומ' חלקים מאלף וס"ב אלפים ותתק"ח בדינר והם ג' אלפים וק"צ חלקים מט' אלפים קס"ג בדינר

\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{5701}{8932}\right)\sdot\left(10+\frac{86}{119}\right)=103+\frac{370040}{1062908}=103+\frac{3190}{9163}}}

If the questioner said that Reuven gained or lost 100 dinar in the bargain and you wish to know how much is the amount of money.

ואם אמר השו[אל]‫^[797] שהרויח ראובן או הפסיד בזה המסחר ק' די' ורצית לדעת כמה הממון

In our example, divide 100 dinar by what he earns for one measure, which is 9 dinar and 5 thousand 701 parts of 8 thousand 932 of a dinar; the result is the number of measures [purchased], which is 10 measures plus 32 thousand and 310 parts of 86 thousand and 89 of a measure.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{9+\frac{5701}{8932}}=10+\frac{32310}{86089}}}

הנה תחלק במשלינו זה‫^[798] ק' די' על מה שהרויח במדה אחת שהוא ט' די' וה' אלפים תש"א חלקים מח' אלפים תתקל"ב בדינר והעולה תהיינה מדות המסחר‫^[799] והם י'‫^[800] מדות ול"ב אלפים וש"י חלקים מפ"ו אלפים ופ"ט חלקים במדה

If you multiply the number of measures by the total number of dinar according to the buying price of one measure; the result you receive is the amount of money.

ואם תערוך מדות המסחר על סך די' ערך המדה לפי מה שקנה יהיה העולה בידך הממון

The reason for all this is clear from the preceding discussion.

וזה כלו מבואר הסבה עם מה שקדם מהדברים

Question: a man bought some part or some parts of the measure or a liṭra for a certain number of dinar and sold other parts less than the first for the same number of dinar and he gained so and so.

How much is the amount of money?

‫^[801]שאלה איש אחד קנה חלק מה או חלקים מה מהמדה או ליט' במספר מונח מהדינר ומכר חלקים אחרים מחסירים מן הראשון במספר ההוא בעינו מן הדינר והרויח ככה

כמה הממון

Example: Reuven bought 2-fifths and 2-sevenths of a measure for 2 dinar.

He sold 4-ninths of it for 2 dinar.

He gained a hundred dinar.

We wish to know: how much was the amount of money?

והמשל שקנה ראובן ב' חמישיות המדה וג' שביעיותיו ב' די‫'

ומכר ד' תשיעיותיה בדינר
והרויח ק' די‫'
ורצינו לדעת כמה הממון

False position: The method is that you take the common denominator of all these fractions, both of the measure and of the dinar, if there are fractions in them; the common denominator of all these fractions in our example is 315, and this is the measure.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=315}}

הדרך בזה שתקח המורה לכל אלו החלקים הן ‫^[802]מהמדה הן מהדינרין ואם קרה שיהיו בהם חלקים והנה המורה לכל אלו החלקים במשלנו הוא שט"ו והיא המדה

Take its 2-fifths and its 3-sevenths; the result is 216.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{{\color{red}{2}}}{7}\sdot315\right)=216}}

קח ממנו ב' חמישיותיו וג' שביעיותיו ויעלה רי"ו

So, he buys 108 of these parts for one dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{216}{2}=108}}

הנה אם כן בדי' יקנה מאלו החלקים ק"ח

Also, take its 4-ninths; the result is 140.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}\sdot315=140}}

גם קח ממנו ד' תשעיותיו ועלה ק"מ

So, he sells 70 of these parts for one dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{140}{2}=70}}

הנה אם כן בדי' יתן ע' מאלו החלקים

Therefore, he earns 38 parts for each dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{108-70=38}}

ולזה ירויח בדי' ל"ח חלקים

But, he already earned 100 dinar, which is 7 thousand of these parts.

\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot70=7000}}

וכבר היה הריוח ק' די' שהוא ז' אלפים מאלו החלקים

Rule of Three: We should find a number whose ratio to 108 is the same as the ratio of 7 thousand to 38.

\scriptstyle{\color{blue}{X:108=7000:38}}

הנה ראוי שנקח מספר יהיה יחסו אל ק"ח כיחס ז' אלפים אל ל"ח

The way to find it is already clear.

וכבר התבאר דרך לקיחתו

If you divide this result by 70, you find the amount of money plus what he earned.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{70}}}

ואם חלקת העולה על ע' תמצא מספר הממון עם מה שהרויח יחד

If you divide the result by 108, which is the total number of parts of the dinar according to the buying price, you find the amount of money.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{108}}}

ואם חלקת העולה על ק"ח שהוא סך חלקי הדינר לפי מה שקנה תמצא מספר הממון

The reason for this is clear from the preceding discussion.

וזה מבואר הסבה עם מה שקדם מהדברים

Reverse problem: he lost 100 dinar by buying 4-ninths of a measure for 2 dinar and selling 2-fifths and [2]-sevenths of it for 2 dinar.

ואם היתה השאלה בהפך ר"ל שהפסיד ק' די' בשקנה ד' תשיעיות המדה ב' די' ומכר ב' חמישיותיה עם ג' שביעיותיה ב' די‫'

The way is the same, except that when you divide the result by 70, you receive the the amount of money.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{70}}}

הדרך אחת אלה שכאשר תחלוק העולה על ע' יהיה לך מספר הממון

And if you divide it by 108, you receive what he has left after the loss.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{108}}}

ואם תחלקהו על ק"ח יהיה לך הנשאר לו אחר ההפסד

If he asks how much is the buying measure, divide the result by 385, which is the number of parts of the measure; this is the buying measure.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{{\color{red}{385}}}}}

ואם שאל כמה המקח חלק העולה על שפ"ה שהם חלקי המדה והנה מדות המקח

Deduce from this.

והקש על זה

If the numbers of dinar are not the same.

וכן אם לא היה מספר הדי' שוה

If he bought some parts of the measure for 3 dinar and sold some parts of it for 25 dinar and he gained or lost 100 dinar.

ר"ל שקנה חלקים מה מהמדה בג' די' ומכר חלקים מה ממנה כ"ה די' והרויח או הפסיד ק' די‫'

By the previous method, find the parts of the common denominator that he buys for a dinar, and the parts that he sells for a dinar.

תוציא בדרך הקודם החלקים מהמורה שיקנה די' גם החלקים שימכר די‫'

Continue the procedure according to the previous method, and you will get the required.

ותמשיך המעשה על האופן הקודם ויצא לך הדרוש

If the parts [of the measure] are the same, but the number of dinars are different:

ואם היו החלקים אחדים ומספר הדי' מתחלף

Example: he bought 4 parts of 7 and 5 parts of 11 of a liṭra for 7 dinar and 8 parts of 11 of a dinar and sold these parts for 9 dinar and 3 parts of 13 of a dinar and he gained 100 dinar.

The questioner asks: how much is the amount of money or how much is merchandise?

משל זה שיקנה ד' חלקים מז' בליט' עם ה' חלקים מי"א בה ז' די' וח' חלקים מי"א בדי' וימכר אלו החלקים ט' די' וג' חלקים מי"ג די' והרויח ק' די‫'

ושאל שואל כמה הממון או כמה המקח

The way is that you take the common denominator of all these parts of the liṭra; it is the parts of the liṭra.

הנה הדרך שתקח המורה אל כל החלקים הן מהליט' והוא יהיה חלקי הליט‫'

Deduce the total number of parts he buys for one dinar and the total number of parts he sells for one dinar.

ותדע סך החלקים שיקנה בדי' וסך החלקים שיתן בדי‫'

Continue the procedure according to the previous method, in order to find the amount of money and the quantity of the merchandise.

ותמשיך הענין על האופן הקודם הן לדעת מספר הממון הן לדעת מספר המקח

If a man asks: how much is an amount of a certain measure such that its 2-sevenths plus its 3-fifths exceed or exceeded by its 4-ninths by a certain measure?

ואם ישאל אדם כמה שעור בעל שעור מה שב' שביעיותיו עם ג' חמישיותיו מוסיפים על ד' תשיעיותיו שעור מה או מחסירים

The method is explained in theorem 49.

הנה הדרך בזה מבוארת בתמונת מ"ט

Question: Reuven bought some part of a measure for a certain number of dinar and the amount of money was a certain number of dinar.

He sold some of the merchandise at a price of a certain number of dinar per some parts of a measure, and sold the rest at a price of a certain number dinars per some parts of a measure.

He neither gained nor lost.

We wish to know: how much of the merchandise did he sell for the first price and how much for the second price?

‫^[803]שאלה ראובן קנה חלקים ככה מהמדה במספר ככה מהדי' והיה הממון מספר ככה מן הדי‫'

ומכר קצת המסחר חלקים ככה מהמדה במספר ככה מהדי‫'‫^[804] וקצתו האחר מכר חלקים ככה מהמדה במספר ככה מהדי‫'
ולא הרויח ולא הפסיד
ורצינו לדעת כמה מהמסחר מכר לערך הראשון וכמה לערך השני

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x+y=N\\\scriptstyle ax=by\end{cases}

If the problem is correct, he necessarily earns at one price and loses at the second price.

הנה מן המחוייב אם היתה השאלה צודקת שירויח בערך האחד ויפסיד בערך השני

Find the price of the measure for each price.

והנה תוציא ערך המדה לכל אחד מהערכים

See how much he loses for one measure at one price and how much he gains for one measure at the second price

ותראה כמה הפסיד במדה לערך האחד וכמה הרויח במדה לערך השני

As the ratio of the loss to the gain, so is the ratio of what he sold at the higher price to what he sold at the lower price.

‫^[805]והנה כיחס ההפסד אל הריוח כן יחס מה שמכר לערך המותיר אל מה שמכר לערך המחסיר

loss : profit = (what is sold for higher price) : (what is sold for lower price)

This is clear with a slight investigation from theorem 39 of the first section.

וזה יתבאר במעט עיון מתמונת ל"ט מהמאמר הראשון

When we sum, the ratio of the loss to the sum of the gain and the loss is the same as the ratio of what he sold at the higher price to the whole bargain.

וכאשר קבצנו יהיה יחס ההפסד אל הריוח וההפסד מקובצים כיחס מה שמכר לערך המותיר אל כל המסחר

loss : (loss + profit) = (what is sold for higher price) : (the whole bargain)

Rule of Three: Since three of them are known to you, you can find the fourth by the previous method [shown] at the beginning of this section.

ולפי ששלשה מאלו ידועים לך תוכל להוציא הרביעי על האופן שקדם בראש זה השער

Example: Reuven bought 2-sevenths of a measure for 3 dinar and a quarter.

The amount of money was a hundred dinar.

He sold some of the merchandise at 6 dinar and a third for 4-ninths of a measure for, and some he sold at 4 dinar and a fifth for 5 parts of 11 of a measure.

דמיון ראובן קנה ב' שביעיות המדה ג' די' ורביע די‫'

והיה הממון ק' די‫'
ומכר קצת המסחר ד' תשיעיות המדה ו' די' ושליש
וקצתו מכר ה' חלקים מי"א במדה ד' די' וחומש די‫'

The buying price of the measure is 11 dinar and 3-eights of a dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3+\frac{1}{4}}{\frac{2}{7}}=11+\frac{3}{8}}}

והנה ערך המדה לפי מה שקנה י"א די' וג' שמיניות הדינר

Its [selling] price at the first price is 14 dinar and a quarter of a dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6+\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}}=14+\frac{1}{4}}}

וערכה לפני הערך הראשון י"ד די' ורביע די‫'

Its [selling] price at the second price is 9 dinar and 6 parts of 25 of a dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\frac{1}{5}}{\frac{5}{11}}=9+\frac{6}{25}}}

ולפי הערך השני יהיה ערכה ט' די' וו' חלקים מכ"ה בדי‫'

Therefore, the amount of measures purchased is 8 measures and 72 parts of 91 of [a measure].

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{11+\frac{3}{8}}=8+\frac{72}{91}}}

ולזה יהיה המסחר ח' מדות וע"ב חלקים מצ"א בדי‫'

What he gained for one measure at the first price is 2 dinar and 7-eighths of a dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(14+\frac{1}{4}\right)-\left(11+\frac{3}{8}\right)=2+\frac{7}{8}}}

והנה מה שהרויח במדה לפי הערך הראשון הם ב' די' וז' שמיניות הדי‫'

What he lost for one measure at the second price is 2 dinar and 27 parts of 200 of a dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{3}{8}\right)-\left(9+\frac{6}{25}\right)=2+\frac{27}{200}}}

ומה שהפסיד במדה לפי הערך השני הם ב' די' וכ"ז חלקים ממאתים בדי‫'

The sum of the loss and the profit is 5 dinar and 2 parts of 200 of a dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{7}{8}\right)+\left(2+\frac{27}{200}\right)=5+\frac{2}{200}}}

והנה ההפסד והריוח מקובצים הם ה' די' וב' חלקים ממאתים בדי‫'

Multiply the number of lost dinar and their fractions by the total amount of measures purchased and their fractions, then divide the result by the sum of the lost and the gained dinar and their fractions; the result is the total amount of measures he sold at the higher price and their fractions.

ערוך סך דינרי ההפסד ושבריהם על סך מדות המסחר ושבריהן וחלק העולה על סך דינרי ההפסד והריוח מקובצים ושבריהם והעולה הם סך מדות המסחר שמכר לערך המותיר ושבריהם

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{\left(dinar\ lost\right)\sdot\left(total\ measures\ purchased\right)}{dinar\ lost\ and\ gained}}}

Multiply 2 integers and 2[7] parts of two hundred by 8 integers and 72 parts of 91, then divide the result by 5 integers and 2 parts of two hundred; the result is the total amount of measures he sold at the higher price and their fractions.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(2+\frac{27}{200}\right)\sdot\left(8+\frac{72}{91}\right)}{5+\frac{2}{200}}}}

ערכת ב' שלמים וכ"ח חלקים ממאתים באחד על ח' שלמים וע"ב חלקים מצ"א באחד וחלקת העולה על ה' שלמים וב' חלקים ממאתים באחד והעולה ה מן החלוקה הוא סך מדות המסחר שמכר לערך המותיר ושבריהן

He sold what remained from the measures purchased at the lower price.

והנשאר מן המסחר מכר לערך המחסיר

If the questioner said that he gained or lost a certain number of dinar

ואם אמר השואל שהרויח או הפסיד מספר מה מן הדי‫'

Take the number of measures from which he earned this amount, if he earned, or from which he lost this amount, if he lost. Subtract it from the total commodity and keep it. Divide what remains of the commodity according to the previous method; you find what he sold at the higher price.

תקח מספר המדות אשר ירויח בהם זה הסך אם הרויח ^או אשר יפסיד בהם זה הסך אם הפסיד ותוציאהו מן המסחר ושמרהו והנשאר מהמסחר תחלקהו על האופן הקודם ותמצא מה שמכר לערך המותיר ממנו

What remains of it is what he sold at the lower price.

‫^[806]והנשאר ממנו הוא מה שמכר לערך המחסיר

If he lost, add what he sold at the lower price to the reserved. If he earned, add it to what he sold at the higher price.

ואם הפסיד תחבר מה שמכר לערך המחסיר עם השמור ואם הרויח תחברהו עם מה שמכר לערך המותיר

Question: he sold 20 measures at the higher price.

We wish to know: how many measures did he sell at the lower price so that he neither gained nor lost?

ואם היתה השאלה שמכר כ' מדות לערך המותיר

ורצינו לדעת כמה מן המדות מכר לערך המחסיר בדרך שלא ירויח ולא יפסיד

Rule of Three: As the ratio of 20 measures to the unknown so is the ratio of 2 dinar and 27 parts of two hundred of a dinar to 2 dinar and 7-eighths of a dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{20:x=\left(2+\frac{27}{200}\right):\left(2+\frac{7}{8}\right)}}

הנה כיחס כ' מדות אל הנעלם כן יחס ב' די' וכ"ז חלקים ממאתים בדינר אל ב' די' וז' שמיניות הדינ‫'

So, you can find the unknown by the previous method.

ולזה תוכל לדעת הנעלם על האופן שקדם

Barter Problem

From the above, it becomes clear to you if a man bartered a certain merchandise for another merchandise.

The price of certain parts of the measure that he offered is a certain number of dinar.

The price of other parts of the merchandise that he received is so and so.

He sold a certain number of measures.

How much should he receive?

וממה שקדם יתבאר לך אם החליף אדם מסחר מה במסחר אחר

וערך החלקים מן המדה ממה שנתן מספר ככה מן הדינר
וערך חלקים אחרים מן המסחר שקבל ככה
ונתן מספר ככה מהמדות
כמה ראוי שיקבל

Find the price of the measure for each price.

וזה שתוציא ערך המדה לכלל אחד מהערכים

As the ratio of the price of the measure he gives to the price of the measure he receives so is the ratio of the total amount of the measures he receives to the total amount of the measures he gives.

וכיחס ערך המדה שנתן אל ערך המדה שקבל כן יחס סך המדות שקבל אל סך המדות שנתן

(the price of the offered measure) : (the price of the received measure) = (the number of received measures) : (the number of offered measures)

Rule of Three: Three of these numbers are known to you, so you can extract the fourth.

ושלשה מאלו המספרים ידועים לך ולזה תוכל להוציא הרביעי

Also, if you know the sum of the amounts of the measures he gives and receives, you can extract how many measures he gives and how many he receives.

וכן אם ידעת סך המדות שנתן ושקבל מקובצות הנה תוכל להוציא כמה מן המדות נתן וכמה קבל

This is by finding the price of the measure for each price.

וזה שתוציא ערך המדה לכל אחד מהערכים

As the ratio of the price of the measure he gives to the sum of the prices of the measure he gives and receives so is the ratio of the amount of measures he receives to the sum of the amounts the measures he gives and receives.

וכיחס ערך המדה ממה שנתן אל מקובץ ערכי המדה ממה שנתן ושקבל כן יחס סך המדות שקבל אל מקובץ סך המדות שנתן ושקבל

(the price of the offered measure) : (the sum of the prices of the offered and received measure) = (the total number of received measures) : (the sum of all offered and received measures)

Rule of Three: Three of these numbers are known to you, so you can extract the fourth from them.

והנה השלשה מאלו המספרים ידועים לך ומהם תוכל לדעת הרביעי

It also becomes clear to you if a man bartered a certain merchandise for two commodities.

The price of certain parts of the measure that he offered is a certain number of dinar.

The price of other parts of the measure of one of the commodities that he received is so and so.

The price of other parts of the measure of the two commodities that he received is so and so.

He sold a certain number of measures and received a certain number of measures of the two commodities.

You wish to know: how many measures did he receive from the first merchandise and how many from the second merchandise?

וכן יתבאר לך אם החליף אדם מסחר מה בשני מסחרים

וערך חלקים מה מן המדה ממה שנתן מספר ככה מן הדי‫'
וערך חלקים אחרים מהמדה מאחד מן המסחרים שקבל ככה
וערך חלקים אחרים מן המדה‫^[807] מהשני מהמסחרים שקבל ככה
ונתן מספר ככה מהמדות
וקבל מספר ככה מהמדות בין שני המסחרים
ורצית לדעת כמה מן המדות קבל מהמסחר‫^[808] האחד וכמה‫^[809] מן המסחר השני

Extract the total price of what he gives, then divide it by the number of measures he receives; it is the combined price of the measure of the two commodities [he receives].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{\rm{total\ price\ of\ the\ offered\ merchandise}}{\rm{number\ of\ the\ received\ measures}}}}

הנה תוציא ערך מה שנתן בכללו ותחלקהו על מספר המדות שקבל והוא יהיה ערך המדה המעורבת משני אלו המסחרים

You have already been introduced with the method of [finding] how many parts of the measure are taken from one commodity, and how many from the second [commodity], so that the price of the measure will be so and so.

וכבר‫^[810] קדמה לך הדרך כמה חלקים מהמדה ילקחו מהמסחר האחד וכמה‫^[811] מן המסחר ‫^[812]השני ויהיה ערך המדה ככה

So, multiply the number of parts of the measure he takes from one [commodity] by the number of measures of both commodities he receives; these are the parts of the measure he receives from this commodity.

ולזה תכפיל מספר חלקי המדה שיקח מהמספר האחד על מספר מדות שני המסחרים שקבל והחלקים ההם הם חלקי המדה שקבל מזה המסחר

(the parts of the measure taken from the first commodity) × (the measures of both received commodities)

the remainder is what he receives from the second commodity.

והשאר קבל מהמסחר השני

The reason for this is clear from the previous discussion.

וסבת זה מבוארת עם מה שקדם מהדברים

Example: Reuven gave Shimon 7 measures of a certain merchandise, the price of the measure is 2 dinar and a seventh.

He received from Shimon 9 measures of two commodities - the price of the measure of one merchandise is a dinar and a half and the price of the measure of the second merchandise is 2 dinar and 3-quarters.

The total price of the 9 measures he received is the same as the total price of the 7 measures he gave.

We wish to know: how many measures did he receive from the first merchandise and how many from the second merchandise?

דמיון ראובן נתן לשמעון ז' מדות ממסחר מה ערך המדה ב' דינרין ושביעית

וקבל משמעון ט' מדות משני מסחרים ערך המדה מהמסחר האחד דינר וחצי וערך המדה מהמסחר השני ב' די' וג' רביעיות
ויהיה ערך הט' מדות שקבל כערך הז' מדות שנתן
ורצינו לדעת כמה מן המדות קבל מהמסחר האחד וכמה מהמסחר השני

We know that the price of what he receives is 15 dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\left(2+\frac{1}{7}\right)=15}}

הנה ידענו שערך מה שקבל הם ט"ו די‫'

Therefore, the price of the measure he receives is a dinar and 2-thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15}{9}=1+\frac{2}{3}}}

ולזה יהיה ערך המדה ממה שקבל די' וב' שלישיות

Since the price of the measure of the first commodity is a dinar and a half, and of the second commodity is 2 dinar and 3-quarters, he should take 2 parts of 15 of a measure from the commodity whose price is 2 dinar and 3-quarters; and 13 parts of a measure from the other commodity.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(1+\frac{2}{3}\right)-\left(1+\frac{1}{2}\right)}{\left(2+\frac{3}{4}\right)-\left(1+\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{15}}}

\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{2}{15}=\frac{13}{15}}}

ולפי שהיה ערך המדה מהמסחר האחד די' וחצי ומהמסחר השני ב' די' וג' רביעיות‫^[813]

הנה יקח ב' חלקים מט"ו במדה מהמסחר אשר ערך המדה ממנו ב' די' וג' רביעיות
וי"ג חלקים מהמדה מהמסחר האחר

The price of the measure is a dinar and 2-thirds of a dinar.

והיה ערך המדה די' וב' שלישיות הדינר

This becomes clear when we convert all the fractions of the dinar to parts of the same type, meaning, the third, the half and the quarter. So, the deficit of the lower [price] is two of these parts and the excess of the higher [price] is 13 of these parts.

וזה יתבאר כשהשיבונו כל שברי הדינרין אל חלקים ממין אחד רצוני השליש והחצי והרביע וזה שחסרון המחסיר הוא שנים מאלו החלקים ויתרון המוסיף הוא י"ג מאלו החלקי‫'

Therefore, it is clear that he should take 7 measures and 4-fifths of a measure from the commodity whose price is a dinar and a half [for a measure].

\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot\frac{13}{15}=7+\frac{4}{5}}}

ובהיות הענין כן הוא מבואר שהוא יקח מהמסחר אשר ערך מדה ממנו די' וחצי ז' מדות וד' חומשי המדה

He should take the rest from the other commodity.

והשאר יקח מהמסחר האחר

Give and Take Problem

It will become clear to you also if a man made an agreement to pay a certain man a salary of certain number of dinar for a certain amount of time.

For each day that he does not work, the worker will pay the employer a certain number of dinar.

The worker did his work a certain number of days, and rested for some time, and lost as much as he gained.

How much of the time did he rest?

וכזה התבאר לך אם התנה אדם לתת בשכירות לאיש מה בזמן מה מספר ככה מהדי‫'

ובכל יום שיבטל הפועל יתן לשוכר מספר ככה מהדי‫'
ועשה הפועל מלאכתו מספר מונח מהימים ובטל זמן מה
ויצא שכרו בהפסדו
כמה מהזמן בטל

This is by that you find the total number of dinar that the worker earns on the day he works and the total number of dinar that he loses on the day he rests.

וזה שתוציא הסך מהדי' שירויח הפועל ביום כשיעשה מלאכתו והסך מהדי' שיפסיד ביום כשיבטל

As the ratio of the total number of dinar lost to the total number of dinars earned so is the ratio of the time he rests to the time he works and this is self-evident.

וכיחס סך דינרי ההפסד אל סך דינרי הריוח כן יחס הזמן שבטל אל הזמן שעשה וזה מבואר בנפשו

(total number of lost dinar) : (total number of earned dinar)

= (time off work) : (working time)

Rule of Three: Three of these numbers are known, so you can extract the fourth from them.

‫^[814]והשלשה מאלו המספרים ידועים ומהם תוציא הרביעי

Likewise, if you know the sum of the two times, you can find by the previous method how much of the time he rests and how much he works.

וכן אם היה ידוע לך‫^[815] מקובץ שני הזמנים תוכל לדעת באופן הקודם כמה מן הזמן בטל וכמה עשה

Barter Problem

Question: a man bartered a certain merchandise for another merchandise.

The price of some parts of the measure that he offered is so and so.

The price of other parts of the merchandise that he received is so and so.

He gave a certain number of measures.

How much should he receive?

שאלה איש אחד החליף מסחר מה במסחר אחר

וערך חלקים מה מן המדה ממה שנתן ככה
וערך חלקים אחרים מהמסחר שקבל ככה
ונתן מספר ככה מהמדות
כמה ראוי שיקבל

Example: the merchandise that he offered is worth 2 dinar for 3-fifths plus [a ninth] of a measure.

The merchandise that he received is worth 3 dinar for 3 parts of 11 plus 2-sevenths of a measure.

He gave 20 measures.

We wish to know: how much should he receive?

והמשל שהמסחר שנתן ישוו ג' חמישיותיו המדה עם ב' תשיעיותיו ב' די‫'

והמסחר שקבל ישוו ג' חלקים מי"א במדה עם ב' שביעיותיה ג' די‫'
ונתן לו כ' מדות
ורצינו לדעת כמה ראוי שיקבל

The method is that you take the common denominator of all these parts, both of the measure and of the dinar, if there are any parts there.

הדרך בזה שתקח המורה אל כל החלקים הן מהמדה הן מהדנרין אם קרה שיהיו שם חלקים

Then, take the parts of a dinar for each price.

וממנו תקח החלקים שילקחו בדי' לכל אחד מאלו הערכים

Rule of Three: As the parts of the dinar for what he gives to the parts of the dinar for what he receives so is the ratio of what he gives to what he receives.

וכמו חלקי הדי' ממה שנתן אל חלקי הדי' ממה שקבל כן יחס מה שנתן אל מה שקבל

(the parts offered for a dinar) : (the parts received for a dinar)

= (what he offered) : (what he received)

The common denominator of all these parts is 3 thousand and 465.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9\sdot11\sdot7=3465}}

והנה המורה לכל אלו החלקים הוא ג' אלפים תס"ה

We take its 3-fifths and [a ninth]; it is 2 thousand 464.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{5}\sdot3465\right)+\left(\frac{{\color{red}{1}}}{9}\sdot3465\right)=2464}}

לקחנו ג' חמישיותיו וב' תשיעיותיו והנה אלפים תס"ד

So, the [number of] parts of a dinar for what he gives is a thousand and 232.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2464}{2}=1232}}

ולזה יהיו החלקים שילקחו בדינר ממה שנתן אלף רל"ב

We take its 2-sevenths and 3 parts of 11 of a measure; the result is a thousand and 935.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}\sdot3465\right)+\left(\frac{3}{11}\sdot3465\right)=1935}}

לקחנו ב' שביעיותיו וג' חלקים מי"א במדה בו ועלה אלף תתקל"ה

So, the [number of] parts of a dinar for what he receives is 645.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1935}{3}=645}}

ולזה יהיו החלקים שילקחו בדי' ממה שקבל תרמ"ה

Rule of Three: As the ratio of a thousand and 232 to 645 so is the ratio of what he receives to 20 measures.

\scriptstyle{\color{blue}{1232:645=x:20}}

והנה כיחס אלף רל"ב אל תרמ"ה כן יחס מה שקבל אל כ' מדות

You already know the method to extract the unknown number.

וכבר ידעת דרך לקיחת זה המספר הנעלם

The reason for this is clear.

וסבת זה מבוארת

Deduce from this.

והקש על זה

Give and Take Problems

From this it will become clear to you if a man made an agreement to pay a certain man a salary of certain number of dinar for a certain amount of time.

For each day that he does not work, the worker will pay the employer a certain number of dinar.

The worker worked some time, then stopped working, and lost as much as he gained.

How much of the time was he unemployed?

ומזה התבאר לך אם התנה אדם לתת בשכירות לאיש מה בזמן מה מספר ככה מהדינ‫'

ובכל יום שיבטל הפועל יתן לשוכר מספר ככה מהדינ‫'
ועשה הפועל זמן מה ובטל ויצא שכרו בהפסדו
כמה בטל

Example: Reuven hired Shimon to do his work, and would give him a payment of 20 dinar for 7 days and a fifth of a day. Shimon would give Reuven 4 parts of 11 of a dinar for each day he did not work.

Shimon worked 2 days and 3-sevenths of a day and stopped working, and he lost as much as he gained.

We wish to know: how long did he not work?

משל זה שראובן שכר שמעון לעשות מלאכתו ויתן לו בשכירותו בז' ימים וחומש יום כ' די‫'

ושמעון יתן לראובן בכל יום שיבטל ד' חלקים מי"א בדי‫'
ועשה שמעון ב' ימים וג' שביעיות יום ובטל ויצא שכרו בהפסדו
ורצינו לדעת כמה הבטול

We take the common denominator of all the parts; the result is 385 and they are parts of the day.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot11\sdot7=385}}

לקחנו המורה לכל החלקים בכללם ועלה שפ"ה והוא חלקי היום

Rule of Three: We examine in how many of these parts he earns a dinar and in how many of these parts he loses a dinar and as the ratio of the number of parts of the profit to the number of parts of the loss so is the ratio of 2 days and 3-sevenths to the time he rests.

הנה נראה בכמה חלקים מאלו ירויח די' ובכמה חלקים מאלו יפסידהו וכיחס מספר חלקי הריוח אל מספר חלקי ההפסד כן יחס ב' ימים וג' שביעיות אל הזמן שבטל

(parts of the day earning one dinar) : (parts of the day losing one dinar) = (2³/₇ days) : (time off)

He earns a dinar in 138 parts and 12 parts of 20 of a part [of a day].

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(7+\frac{1}{5}\right)\sdot385}{20}=138+\frac{12}{20}}}

והנה בקל"ח חלקים וי"ב חלקים מעשרים בחלק ירויח די‫'

He loses a dinar in a thousand and 58 parts and 3 parts of four of a part [of a day].

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{385}{\frac{4}{11}}=1058+\frac{3}{4}}}

ובאלף ונ"ח חלקים וג' חלקים מארבעה בחלק יפסיד די‫'

Rule of Three: This is the ratio of 2 days and 3-sevenths [of a day] to the time he rests.

וככה יחס ב' ימים וג' שביעיות אל הזמן שבטל

Deduce from this.

והקש על זה

Find a Number Problems

Two Numbers

If a man asks you: how much is the number that some parts of it are the same as given parts of a given number?

ואם שאל לך אדם כמה המספר שיהיו חלקים מה ממנו כמו חלקים מונחים ממספר מונח

The method for this is explained in proposition 51.

הנה הדרך בזה התבארה בתמונת נ"א

Question: we multiplied a number by a certain number and the result was so and so.

The sum of both numbers is so and so.

How much is each of them?

‫^[816]שאלה הכינו מספר במספר מה והיה העולה ככה

ומקובץ שני המספרים ככה
כמה כל אחד מהם

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a\sdot b=n\\\scriptstyle a+b=m\end{cases}

Take the square of half the sum of the two numbers, subtract the product from it, extract the square root of the remainder, then add it to half the sum of the two numbers and it is one number.

קח מרובע חצי מקובץ שני המספרים וגרע ממנו העולה ומהנשאר הוצא השרש הרבועיי והוסיפהו על החצי ממקובץ‫^[817] שני המספרים והוא המספר האחד

If we subtract it from the half, you get the other number.

ואם גרענו מהחצי יהיה לך המספר השני

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a=\left(\frac{1}{2}\sdot m\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot m\right)^2-n}\\\scriptstyle b=\left(\frac{1}{2}\sdot m\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot m\right)^2-n}\end{cases}}}

Example: the two numbers summed together are 13 and their product one by the other is 17.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=13\\\scriptstyle a\sdot b=17\end{cases}

והמשל שיהיו שני המספרים מקובצים י"ג ושטח זה בזה י"ז

We know that the square of half the number 13 is 42 and a quarter.

וידענו שמרובע חצי מספר י"ג‫^[818] הוא מ"ב ורביע

We subtract 17 from it; 25 and a quarter remain.

גרענו ממנו י"ז ונשאר כ"ה ורביע

We extract their root; it is 5 integers, one prime, 29 seconds, 46, 34.

הוצאנו שרשם והנה ה' שלמים וראשון אחד כ"ט שניים מ"ו ל"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)^2-17}=\sqrt{\left(42+\frac{1}{4}\right)-17}=\sqrt{25+\frac{1}{4}}=5+1'+29''+46'''+34^{iv}}}

We add them to 6 and a half, which is half 13; one number is 11 integers, 31 primes, 29, 46, 34.

הוספנום על ו' וחצי שהוא חצי י"ג והנה יהיה המספר האחד י"א שלמים ל"א ראשונים כ"ט מ"ו ל"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)+\left(5+1'+29''+46'''+34^{iv}\right)=\left(6+\frac{1}{2}\right)+\left(5+1'+29''+46'''+34^{iv}\right)\\&\scriptstyle=11+31'+29''+46'''+34^{iv}\\\end{align}}}

The other number is one integer, 28 primes, 30, 13, 26.

והמספר השני הוא אחד שלם כ"ח ראשונים ל' י"ג כ"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle b&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)-\left(5+1'+29''+46'''+34^{iv}\right)=\left(6+\frac{1}{2}\right)-\left(5+1'+29''+46'''+34^{iv}\right)\\&\scriptstyle=1+28'+30''+13'''+26^{iv}\\\end{align}}}

Check: the product of one by the other is 17 to a great approximation.

\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot b\approx17}}

והנה שטח זה בזה הוא י"ז בקירוב גדול

It is impossible to find the exact number, since 25 and a quarter does not have a real root [= it is not a perfect square], according to what was explained.

והנה אי אפשר המצא זה המספר בדיוק מפני שאין לכ"ה ורביע שרש אמתי לפי מה שהתבאר

This is because the ratio of 25 and a quarter to 25 is the same as the ratio of one hundred and one to one hundred.

\scriptstyle{\color{blue}{25:\left(25+\frac{1}{4}\right)=100:101}}

וזה שיחס כ"ה ורביע אל כ"ה הוא כיחס מאה ואחד אל מאה

But, the ratio of one hundred and one to one hundred is not a ratio of a square to a square.

\scriptstyle{\color{blue}{100:101\ne n^2:m^2}}

ואין יחס מאה ואחד אל מאה‫^[819] כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע

Since, if it were so, then one hundred and one should have been a square, because one hundred is a square number

שאם היה הדבר כן היה מאה ואחד מרובע לפי שמאה הוא מרובע

But, if one hundred and one were a square, then its square root would have been an integer and this is false.

ואם היה מאה ואחד מרובע היה שרשו אחדים שלמים וזה שקר

If one asks: We multiplied a given number by its given part, then we summed the result with the product of the given part by the remaining part of the given number and it was so and so.

How much is each of the parts?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=m\\\scriptstyle\left(m\sdot a\right)+\left(a\sdot b\right)=n\end{cases}

ואם שאל הכינו מספר מונח בחלק מונח ממנו וקבצנו העולה עם שטח החלק המונח בשארית המספר המונח והיה ככה

כמה כל אחד מהחלקים

Take the square of the whole number, and subtract from it the sum of the product of the number by one part of it plus [the product of] one part of it by the other [part]. Extract the square root of the remainder, and this is one part. What remains from the number is the given part.

קח מרובע כל המספר וגרע ממנו זה‫^[820] המספר המקובץ מהכאת המספר בחלק אחד ממנו וחלק אחד ממנו באחר ומהנשאר הוצא השרש והוא החלק האחד והנשאר מהמספר הוא החלק המונח

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a=\sqrt{m^2-n}\\\scriptstyle b=m-a\end{cases}}}

Example: the product of ten by its given part plus the product of that part by the other part are eighty and we wish to know: how much is the given part?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(10\sdot a\right)+\left(a\sdot b\right)=80\end{cases}

והמשל שיהיה שטח עשרה בחלק מונח ממנו עם שטח החלק ההוא בחלק השני שמנים

ורצינו לדעת כמה החלק המונח

The square of ten is one hundred.

והנה מרובע עשרה הוא ‫^[821]מאה

We subtract eighty from it; twenty remains.

גרענו מהם שמנים ונשארו עשרים

We extract its square root; it is approximately 4 integers, 28, 19, 41, 21, and this is one part.

הוצאנו שרשם והוא בדרך קירוב ד' שלמים כ"ח י"ט מ"א כ"א והוא החלק האחד

\scriptstyle{\color{blue}{a=\sqrt{10^2-80}=\sqrt{100-80}=\sqrt{20}\approx4+28'+19''+41'''+21^{iv}}}

The remainder is 5 integers, 31, 40, 18, 39, and this is the given part.

והנשאר שהוא ה' שלמים ל"א מ' י"ח ל"ט הוא החלק המונח

\scriptstyle{\color{blue}{b=10-\left(4+28'+19''+41'''+21^{iv}\right)=5+31'+40''+18'''+39^{iv}}}

Check: If you multiply it by ten and by the remainder, the result is very roughly 80.

\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot b\approx80}}

ואם תכהו בעשרה ובנשאר יעלה פ' בקירוב גדול

If one asks: We multiplied a given number by its given part and summed the result with a square of the remaining part and it was so and so.

We wish to know: how much is each of the parts?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=m\\\scriptstyle\left(m\sdot a\right)+b^2=n\end{cases}

ואם שאל הכינו מספר מונח בחלק מונח ממנו וקבצנו העולה עם מרובע החלק הנשאר והיה ככה

ורצינו לדעת כמה כל אחד מהחלקים

Subtract all from the square of the whole number. Subtract the remainder from the square of half the number. Extract the root of what you have left, and add it to the half the number; it is the one part and what remains from the number is the second part.

גרע הכל ממרובע כל המספר והנשאר בידך גרעהו ממרובע חצי המספר והנשאר בידך‫^[822] הוצא את יסודו והוסיפהו על חצי המספר והנה החלק האחד

והנשאר מהמספר הוא החלק השני

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle b=\left(\frac{1}{2}\sdot m\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot m\right)^2-\left(m^2-n\right)}\\\scriptstyle a=m-b\end{cases}}}

Example: the product of ten by one part of it plus the square of the remaining is 80 and we wish to know: how much is each of the parts?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(10\sdot a\right)+b^2=80\end{cases}

והמשל שיהיה שטח עשרה בחלק אחד ממנו עם מרובע הנשאר פ‫'

ורצינו לדעת כמה כל אחד מהחלקים

We subtract 80 from a hundred; twenty remains.

גרענו פ' ממאה ונשארו עשרים

We subtract twenty from 25; five remains.

גרענו עשרים מכ"ה ונשארו חמשה

We extract its root; it is approximately 2 integers, 14, 9, 50, 40.

הוצאנו שרשם והוא בקירוב ב' שלמים י"ד ט' נ' מ‫'

We add it to five; the first part is 7 integers, 14, 9, 50, 40.

הוספנום על חמשה והנה החלק האחד ז' שלמים י"ד ט' נ' מ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle b&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-\left(10^2-80\right)}=5+\sqrt{25-\left(100-80\right)}=5+\sqrt{25-20}=5+\sqrt{5}\\&\scriptstyle\approx5+\left(2+14'+9''+50'''+40^{iv}\right)=7+14'+9''+50'''+40^{iv}\\\end{align}}}

The second part is 2 integers, 45, 50, 9, 20.

\scriptstyle{\color{blue}{a=10-b=2+45'+50''+9'''+20^{iv}}}

והחלק השני ב' שלמים מ"ה נ' ט' כ‫'

Check: The product of 10 by any part of them with the square of the other part is approximately eighty.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(10\sdot a\right)+b^2\approx80}}

והנה שטח י' באי זו חלק שיהיה מאלו עם מרובע החלק הנשאר הוא שמנים בקירוב

It is clear with a little investigation in what preceded that when any of the parts is multiplied by ten and added to the square of the remaining [part], the result is the same.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(m\sdot a\right)+b^2=\left(m\sdot b\right)+a^2=n}}

והוא מבואר במעט עיון ממה שקדם שבאי זה מהחלקים שיוכה מספר עשרה ויחובר עם מרובע הנשאר יהיה העולה אחד בעינו

Because the result is equal to the product of one part by the second [part] plus the squares of both.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a\sdot b\right)+a^2+b^2=n}}

לפי שהעולה יהיה שוה לשטח החלק האחד בשני ולמרובעי שניהם

Question: we added one given number to given parts of a second given number and the result is equal to the second given number with different parts of the first given number and the result is a certain number.

How much is each of the numbers?

\scriptstyle X+\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i}Y=Y+\sum_{j=1}^m \frac{c_j}{d_j}X

שאלה חברנו מספר מונח ראשון עם חלקים מונחים ממספר מונח שני והיה העולה שוה למספר המונח השני עם חלקים אחרים מהמספר המונח הראשון והיה העולה מספר ככה

כמה כל אחד מהמספרים

The method is that you convert the fractions into a unit fraction.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X+\frac{1}{\frac{1}{\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i}}}Y=Y+\frac{1}{\frac{1}{\sum_{j=1}^m \frac{c_j}{d_j}}}X}}

הדרך בזה שתשיב החלקים חלק

Then, you extract the numbers that meet the conditions, according to the way that is explained in Proposition 52 and this becomes clear from the proof [of this proposition] itself.

ואחר כן תוציא המספרים שינהגו זה המנהג על האופן שהתבאר בתמונת נ"ב וזה יתבאר מהמופת ההוא בעינו

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle X_1=\left(\frac{1}{\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i}}-1\right)\sdot\frac{1}{\sum_{j=1}^m \frac{c_j}{d_j}}\\\scriptstyle Y_1=\left(\frac{1}{\sum_{j=1}^m \frac{c_j}{d_j}}-1\right)\sdot\frac{1}{\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i}}\end{cases}}}

You should also know that all that is explained in Propositions 47, 48, and 53 is correct also for fractions that are converted into a unit fraction and this also becomes clear from the proofs of these propositions.

וכן ראוי שתדע שכל מה שהתבאר בתמונת מ"ז ומ"ח ונ"ג יצדק בחלקים גם כן כשיושבו חלק וזה יתבאר גם כן מהמופת אשר באלו התמונות

False Position: After you complete the procedure of extracting the numbers that meet these conditions, find [the sum of] the first number with the given fractions of the second number.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X_1+\frac{1}{\frac{1}{\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i}}}Y_1=Y_1+\frac{1}{\frac{1}{\sum_{j=1}^m \frac{c_j}{d_j}}}X_1}}

ואחר שישלם לך המעשה בהוצאת המספרים אשר ינהגו זה המנהג תדע מה יעלה ‫^[823]המספר האחד עם החלקים המונחים מהמספר השני

Rule of Three: It corresponds to the known result. You can extract the the proportional numbers corresponding to the two numbers according to the way explained at the beginning of this section.

והוא הגיליי לעולה הידוע ותוכל להוציא הגיליים לשני המספרים על האופן שהתבאר בראש זה השער

Example: the first given number will be added to 2-sevenths and one-ninth of the second given number and it is 20.

If the second given number is added to 2-fifths of the first given number they are 20 also.

We wish to know: how much is each of the numbers?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{2}{7}b+\frac{1}{9}b=20\\\scriptstyle b+\frac{2}{5}a=20\end{cases}

דמיון זה שיחובר המספר המונח הראשון עם ב' שביעיות ותשיעית מהמספר המונח השני והיה עשרים

ואם יחובר המספר המונח השני‫^[824] עם ב' חמישיות המספר המונח הראשון יהיו עשרים גם כן
ורצינו לדעת כמה כל אחד מהמספרים

We convert 2-sevenths and one-ninth into a unit fraction; it is one part of two and 13 parts of 25.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}+\frac{1}{9}=\frac{1}{2+\frac{13}{25}}}}

הנה נשיב ב' שביעיות ותשיעית חלק אחד והנה יהיה חלק אחד‫^[825] משנים וי"ג חלקים מכ"ה באחד

We also convert 2-fifths into a unit fraction; it is one part of two and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}=\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}

וכן נשיב הב' חמישיות חלק אחד ויהיו חלק אחד משנים וחצי

Then, we extract two numbers that meet these conditions, according to the way explained in Proposition 52.

ואחר כן נוציא שני מספרים ינהגו זה המנהג על הצד שהתבאר בתמונת נ"ב

So, we multiply one and 13 parts of 25 by 2 integers and a half; the result is 3 and 4-fifths, and this is the first number.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(1+\frac{13}{25}\right)\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=3+\frac{4}{5}}}

ולזה נערוך אחד וי"ג חלקים מכ"ה באחד על ב' שלמים וחצי ועלה ג' וד' חומשין והוא המספר הראשון

We multiply one and a half by 2 and 13 parts of 25; the result is 3 integers and 39 parts of 50, and this is the second number.

\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(2+\frac{13}{25}\right)=3+\frac{39}{50}}}

ונערוך אחד וחצי על ב' וי"ג חלקים מכ"ה ויעלה ג' שלמים ול"ט חלקים מנ' והוא המספר השני

False Position: Hence, the first number plus 2-sevenths and one-ninth of the second number are 5 integers and 3-tenths, and this is the same as the second number plus 2-fifths of the first number.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1+\frac{2}{7}b_1+\frac{1}{9}b_1=5+\frac{3}{10}\\\scriptstyle b_1+\frac{2}{5}a_2=5+\frac{3}{10}\end{cases}}}

והנה המספר הראשון עם ב' שביעיות המספר השני ותשיעיתו הוא ה' שלמים וג' עשיריות

וככה המספר השני עם ב' חמישיות המספר הראשון

Rule of Three: Since you know the proportional number corresponding to 5 integers and 3-tenths, which is twenty, extract the proportional numbers corresponding to the first and second numbers according to this ratio, and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle\left(5+\frac{3}{10}\right):20=a_1:a\\\scriptstyle\left(5+\frac{3}{10}\right):20=b_1:b\end{cases}}}

ולפי שידעת הגיליי לה' שלמים וג' עשיריות והוא עשרים תוציא הגיליים למספר הראשון והשני על זה היחס והנה המבוקש

Multiply the first number by twenty, then divide by 5 integers and 3-tenths; it is the first given number, which is 14 integers and 18 parts of 53.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(3+\frac{4}{5}\right)\sdot20}{5+\frac{3}{10}}=14+\frac{18}{53}}}

ערכת הראשון על עשרים וחלקת על ה' שלמים וג' עשיריות והנה המונח הראשון הוא י"ד שלמים וי"ח חלקים מנ"ג

This way, the second given number is 14 integers and 14 parts of 53.

\scriptstyle{\color{blue}{b=14+\frac{14}{53}}}

ובזה הדרך יהיה המונח השני י"ד שלמים וי"ד חלקים מנ"ג באחד

Deduce from this.

והקש על זה

first
$\scriptstyle{\color{blue}{3\frac{4}{5}}}$

result
$\scriptstyle{\color{blue}{5\frac{3}{10}}}$

second
$\scriptstyle{\color{blue}{3\frac{39}{50}}}$

first given
$\scriptstyle{\color{blue}{14\frac{18}{53}}}$

result
20

second given
$\scriptstyle{\color{blue}{14\frac{14}{53}}}$

שני
ג' שלמים ול"ט חלקים מנ‫'

עולה
ה' שלמים וג' עשיריות

ראשון
ג' שלמים וד' חומשים

מונח שני
י"ד שלמים וי"ד חלקים מנ"ג באחד

עולה
עשרים

מונח ראשון
י"ד שלמים וי"ח חלקים מנ"ג

Explanation - Rule of Three: It is so because the ratio of the first number to the first given number is the same as the ratio of the result to twenty, and it is the same as the ratio of the second number to the second given number.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1:a=\left(5+\frac{3}{10}\right):20=b_1:b}}

והיה זה כן לפי שיחס הראשון אל המונח הראשון כיחס העולה אל עשרים וכיחס השני אל המונח השני

Likewise, it is clear that the ratio of 2-fifths of the first number to 2-fifths of the first given number is the same as the ratio of the first number to the first given number.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}a_1:\frac{2}{5}a=a_1:a}}

וכזה הוא מבואר שיחס ב' חומשי הראשון על ב' חומשי המונח הראשון כיחס הראשון אל המונח הראשון

Also, the ratio of 2-sevenths of the second number and its ninth to 2-sevenths of the second given number and its ninth is the same as the ratio of the second number to the second given number, which is the same as the ratio of the first number to the first given number.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}b_1+\frac{1}{9}b_1\right):\left(\frac{2}{7}b+\frac{1}{9}b\right)=b_1:b=a_1:a}}

וכזה יהיה יחס ב' שביעיות השני ותשיעיתו אל ב' שביעיות המונח השני ותשיעיתו כיחס ~~מונח~~ השני אל המונח השני שהוא כיחס הראשון אל המונח הראשון

When we sum the two proportional numbers, the ratio of their sum to the sum of their corresponding numbers is the same as the ratio of the result to twenty. Therefore, the ratio of the sum of the second number and 2-fifths of the first number to the sum of the second given number and 2-fifths of the first given number is the same is the ratio of the result, which is 5 integers and 3-tenths, to twenty.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(b_1+\frac{2}{5}a_1\right):\left(b+\frac{2}{5}a\right)=\left(5+\frac{3}{10}\right):20}}

וכאשר קבצנו שנים גיליים יהיה גם כן יחס מקובצם אל מקובץ ‫^[826]גיליהם כיחס העולה אל עשרים

ולזה יהיה יחס השני וב' חומשי הראשון מקובצים אל המונח השני וב' חומשי המונח הראשון מקובצים כיחס העולה שהוא ה' שלמים וג' עשיריות אל עשרים

When we exchange them, the ratio of the sum of the second number and 2-fifths of the first number to the result is the same as the ratio of the sum of the second given number and 2-fifths of the first given number to twenty.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(b_1+\frac{2}{5}a_1\right):\left(5+\frac{3}{10}\right)=\left(b+\frac{2}{5}a\right):20}}

וכאשר המירונו הנה יהיה [יחס] השני וב' חומשי הראשון מקובצים אל העולה כיחס המונח השני וב' חומשי המונח הראשון אל עשרים

But, the first of these four equals the second.

\scriptstyle{\color{blue}{b_1+\frac{2}{5}a_1=5+\frac{3}{10}}}

אבל הראשון מאלו הארבעה שוה לשני

So, the third equals the fourth. Thus, the second given number and 2-fifths of the first given number is twenty.

\scriptstyle{\color{blue}{b+\frac{2}{5}a=20}}

הנה [ה]שלישי‫^[827] ישוה לרביעי

הנה אם כן המונח השני וב' חומשי המונח הראשון הוא עשרים

Likewise, it is clear that the first given number plus 2-seventh of the second given number and its ninth is twenty.

\scriptstyle{\color{blue}{a+\frac{2}{7}b+\frac{1}{9}b=20}}

ובזה התבאר שהמונח הראשון וב' שביעיות המונח השני ותשיעיתו הוא עשרים

If the question was to add some multiples of the second to the first and some multiples of the first to the second and the result was the same.

\scriptstyle X+\sum_{i=1}^n \left(a_i\sdot Y\right)=Y+\sum_{j=1}^m \left(b_j\sdot X\right)

והיתה השאלה לחבר עם הראשון כפלים מה מהשני ועם השני כפלים מה מהראשון ויהיה העולה אחד בעינו

Take one from the multiples of the first number; the remainder is the second number. Take one also from the multiples of the second number; the remainder is the first number. You find that these numbers meet the mentioned conditions.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Y=\left(\sum_{j=1}^m b_j\right)-1\\\scriptstyle X=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)-1\end{cases}

תוציא ממספר כפלי [ה]ראשון אחד והנשאר הוא השני

וכזה תוציא [מ]מספר כפלי השני אחד והנשאר הוא הראשון
ותמצא שאלו המספרים ינהגו המנהג שזכר

Example: the first with two times the second and its half is the same as the second with three times the first and its quarter.

\scriptstyle a+\left(2b+\frac{1}{2}b\right)=b+\left(3a+\frac{1}{4}a\right)

דמיון שיהיה הראשון עם שני כפלי השני [וחציו] כמו השני עם שלשה כפלי הראשון ורביעיתו

Suppose the first is one and a half, and the second is two and a quarter.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(2+\frac{1}{2}\right)-1=1+\frac{1}{2}}}

\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(3+\frac{1}{4}\right)-1=2+\frac{1}{4}}}

הנה תשים הראשון אחד וחצי [והשני ב' שלמים ורביע

So, the first and two times the second plus its half is the sum of the first and the second, plus the product of one and a half, which is the first, by the second, which is 2 integers and a quarter.

ולזה יהיה הראשון עם שני כפלי השני וחציו] הוא הראשון והשני מקובצים ושטח אחד וחצי שהוא הראשון בשני שהוא ב' שלמים ורביע

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\left(2b_1+\frac{1}{2}b_1\right)=\left(a_1+b_1\right)+\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)\right]=\left(a_1+b_1\right)+\left(a_1\sdot b_1\right)}}

Likewise, the second and three times the first plus its quarter equals the sum of the second and the first, plus the product of the second, which is two and a quarter, by one and half, which is the first.

וכזה יהיה השני עם שלשה כפלי הראשון ורביעיתו שוה לשני ולראשון מקובצים ולשטח השני שהוא שנים ורביע באחד וחצי שהוא הראשון

\scriptstyle{\color{blue}{b_1+\left(3a_1+\frac{1}{4}a_1\right)=\left(b_1+a_1\right)+\left[\left(2+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]=\left(b_1+a_1\right)+\left(b_1\sdot a_1\right)}}

Therefore, it is clear that the result is the same, and it is 7 integers and an eighth.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\left(2b_1+\frac{1}{2}b_1\right)=b_1+\left(3a_1+\frac{1}{4}a_1\right)=7+\frac{1}{8}}}

ולזה הוא מבואר שהעולה הוא אחד בעצמו והוא ז' שלמים ושמינית

If one says that the first is twenty.

\scriptstyle20+\left(2b+\frac{1}{2}b\right)=b+\left(3\sdot20\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)

ואם אמר השואל שהראשון הוא עשרים

Rule of Three: You can find how much is second number. Because, the ratio of the first number to twenty is the same as the ratio of the second number, which is 2 and a quarter, to the unknown.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1:20=b_1:b}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right):20=\left(2+\frac{1}{4}\right):b}}

הנה תוכל להוציא כמה השני וזה שיחס הראשון אל עשרים כיחס השני שהוא ב' ורביע אל הנעלם

So, the second number is thirty.

\scriptstyle{\color{blue}{b=30}}

ולזה יהיה השני שלשים

Three Numbers

This is explained in Propositions 48, and 53 for fractions and for unit fractions, in the proof itself there, by converting the fractions to a unit fraction.

והנה בתמונת מ"ח ונ"ג הדבר מבואר עם חלקים כמה שהוא עם חלק מהמופת אשר שם בעינו וזה כשיושבו החלקים חלק

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}>\frac{c}{d}>\frac{e}{f}}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X+\frac{a}{b}\left(Y+Z\right)=Y+\frac{c}{d}\left(X+Z\right)=Z+\frac{e}{f}\left(X+Y\right)}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle X=\frac{1}{\frac{e}{f}}+\left(\frac{1}{\frac{c}{d}}-\frac{1}{\frac{a}{b}}\right)+\left[\left(\frac{1}{\frac{a}{b}}-2\right)\sdot\left(\frac{1}{\frac{c}{d}}\sdot\frac{1}{\frac{e}{f}}\right)\right]\\\scriptstyle Y=X+2\sdot\left[\left(\frac{1}{\frac{c}{d}}-\frac{1}{\frac{a}{b}}\right)\sdot\left(\frac{1}{\frac{e}{f}}-1\right)\right]\\\scriptstyle Z=Y+2\sdot\left[\left(\frac{1}{\frac{a}{b}}-1\right)\sdot\left(\frac{1}{\frac{e}{f}}-\frac{1}{\frac{c}{d}}\right)\right]\end{cases}}}

The same issue is also in proposition 47, where the first number was 2, after we converted the fractions to a unit fraction.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{\frac{a}{b}}=2}}

וכן הענין בתמונת מ"ז כשהיה הראשון שנים אחר שהשיבונו החלקים חלק

But, the way to extract these numbers is not explained there for a number that is less than 2.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{\frac{a}{b}}<2}}

אבל אם היה פחות ~~ראשונים~~ משנים הנה לא נתבאר שם דרך לקיחת אלו המספרים

We say that it is a reverse case of the case where the first number is greater than 2, because, then the first of these numbers is the third plus the excess of the second over the first, when we subtract from it the product of two minus the first by the product of the second by the third. The second and the third are extracted according the way explained there.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X=\frac{1}{\frac{e}{f}}+\left(\frac{1}{\frac{c}{d}}-\frac{1}{\frac{a}{b}}\right)-\left[\left(2-\frac{1}{\frac{a}{b}}\right)\sdot\left(\frac{1}{\frac{c}{d}}\sdot\frac{1}{\frac{e}{f}}\right)\right]}}

ונאמר שהדבר באלו הפך הענין כשהיה הראשון ‫^[828]מוסיף על שנים וזה שאז היה הראשון מאלו המספרים השלישי ויתרון השני על הראשון כשחסרנו ממנו השטח ההווה מחסרון הראשון משנים בשטח השני בשלישי והשני והשלישי יוצאו על הצד שהתבאר שם

Example: let the number from which we take a unit fraction, when we convert the fractions into a unit fraction, be less than two and it is A.

\scriptstyle{\color{blue}{A=\frac{1}{\frac{a}{b}}<2}}

והמשל שיהיה המספר אשר ממנו נקח חלק אחד כשהשיבונו החלקים חלק אחד פחות משנים והוא א‫'

Let its difference from two be one extreme and it is D.

\scriptstyle{\color{blue}{D=2-A}}

ויהיה חסרונו משנים קצה אחד והיא ד‫'

Let the second number be B and let its excess over A be H.

\scriptstyle{\color{blue}{H=B-A}}

ויהיה המספר השני ב' ויהיה יתרונו על א' מספר ה‫'

Let the third number be G and let its excess over B be Z.

\scriptstyle{\color{blue}{Z=G-B}}

ויהיה המספר [השלישי]‫^[829] ג' ויהיה יתרונו על ב' מספר ז‫'

Let the number that precedes B be C.

\scriptstyle{\color{blue}{C=B-1}}

ויהיה המספר הנמשך לפני ב' מספר ח‫'

Let the one that precedes G be T.

\scriptstyle{\color{blue}{T=G-1}}

והנמשך לפני ג' מספר ט‫'

Let the one that precedes A be L and it is the excess of A over one.

\scriptstyle{\color{blue}{L=A-1}}

והנמשך לפני א' מספר ל' והוא יתרון א' על אחד

Let K, L be equal to A.

\scriptstyle{\color{blue}{K+L=A}}

ויהיו כ'ל' שוים לא‫'

Then, K is one.

\scriptstyle{\color{blue}{K=1}}

ולזה יהיה כ' אחד

We subtract the product of D, B, G from the numbers G, H and define the remainder as M. Let it be the first number.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=M=\left(G+H\right)-\left(D\times B\times G\right)}}

הנה [נגרע]‫^[830] ממספרי ג'ה' מורכב ד'ב'ג' ונשים הנשאר מ' והוא יהיה המספר הראשון

We add double the product of H by T to M; let the result be N and let it be the second number.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=N=M+\left[2\sdot\left(H\times T\right)\right]}}

ונחבר עם מ' כפל שטח ה' בט' ויהיה העולה נ' והוא יהיה המספר השני

We add double the product of L by Z to N; let the result be S and let it be the third number.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=S=N+\left[2\sdot\left(L\times Z\right)\right]}}

ונחבר עם נ' כפל שטח ל' בז' ונשים העולה ס' והוא יהיה המספר השלישי

Supposition: we will explain that these are the requested numbers.

ונבאר שבאלו המספרים הם המבוקשים

Proof:

The first number, which is M, equals [the sum of] the numbers G, H minus the [product of] the numbers D, B, G.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=M=\left(G+H\right)-\left(D\times B\times G\right)}}

המופת שהמספר הראשון והוא מ' שוה למספרי ג'ה' פחות מספר ד'ב'ג‫'

The second number, which is N, equals [the sum of] the numbers G, H minus the product of D, B, G plus double the product of H by T.

והמספר השני והוא נ' שוה למספרי ג'ה' פחות מורכב ד'ב'ג' ולכפל שטח ה' בט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=N=\left[\left(G+H\right)-\left(D\times B\times G\right)\right]+\left[2\sdot\left(H\times T\right)\right]}}

The third number, which is S, equals [the sum of] the numbers G, H minus the product of D, B, G plus double the product of H by T and double the product of L by Z.

‫[והמספר השלישי והוא ס' שוה למספרי ג'ה' פחות מורכב ד'ב'ג' ולכפל שטח ה' בט'] ולכפל שטח ל' בז‫'

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=S=\left[\left(G+H\right)-\left(D\sdot B\sdot G\right)\right]+\left[2\sdot\left(H\sdot T\right)\right]+\left[2\sdot\left(L\sdot Z\right)\right]}}

Supposition: we say that the part denominated by A of the numbers N, S equals double the product of C by T.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{N+S}{A}=2\sdot\left(C\sdot T\right)}}

ונאמר שהחלק הנקרא בא' ממספרי נ'ס'‫^[831] שוה לכפל שטח ח' בט‫'

Proof:

Half [the sum of] the numbers N, S equals [the sum of] the numbers G, H plus double the product of H by T and the product of L by Z, when the product of D, B, G is subtracted from the total.

המופת שחצי מספרי נ'ס'‫^[832] שוים למספרי ג'ה' ולכפל שטח ה' בט' ולשטח ל' בז' כשחוסר מכל זה מורכב ד'ב'ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(N+S\right)=G+H+\left[2\sdot\left(H\times T\right)\right]+\left(L\times Z\right)-\left(D\times B\times G\right)}}

We set the product of L by C and G as common.

\scriptstyle{\color{blue}{L\sdot\left(C+G\right)}}

ונשים שטח ל' בח'ג' משותף

So, half [the sum of] the numbers N, S equals [the sum of] the numbers G, H plus double the product of H by T, the product of L by Z, and the product of L by C and G, when the product of D, B, G and the product of L by C and G are subtracted from the total.

הנה אם כן חצי מספרי נ'ס' שוים למספרי ג'ה' ולכפלי שטח ה' בט' ולשטח ל' בז' ולשטח ל' בח'ג' כשחוסר מכל זה מורכב ד'ב'ג' ושטח ל' בח'ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(N+S\right)=G+H+\left[2\sdot\left(H\times T\right)\right]+\left(L\times Z\right)+\left[L\sdot\left(C+G\right)\right]-\left[\left(D\times B\times G\right)+\left[L\sdot\left(C+G\right)\right]\right]}}

But, the product of H by T plus the product of L by Z equals the product of C by the sum of the numbers H, Z.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(H\times T\right)+\left(L\times Z\right)=C\sdot\left(H+Z\right)}}

אבל שטח ה' בט' עם שטח ל' בז' שוה לשטח ח' במספרי ה'ז' מקובצים

Since there are three numbers - L, C, T:

לפי שהיו הנה שלשה מספרים ל'ח'ט‫'

The excess of C over L is H.

\scriptstyle{\color{blue}{C-L=H}}

ויתרון ח' על ל' ה‫'

The excess of T over C is Z.

\scriptstyle{\color{blue}{T-C=Z}}

ויתרון ט'‫^[833] על ח' ז‫'

[The sum of] the numbers H, Z, L equals the number T.

\scriptstyle{\color{blue}{H+Z+L=T}}

והנה מספרי ה'ז'ל' שוים למספר ט‫'

Then, the product of C by [the sum of] the numbers H, Z plus the product of C by L equals the product of C by T.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[C\sdot\left(H+Z\right)\right]+\left(C\times L\right)=C\times T}}

אם כן שטח ח' במספרי ה'ז' עם שטח ח' בל' יהיה שוה ‫^[834]לשטח ח' בט‫'

We subtract the product of L by C from the product of L by [the sum of] the numbers C, G; you are left with the product of L by G.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[L\sdot\left(C+G\right)\right]-\left(L\times C\right)=L\times G}}

ונגרע משטח ל' בח'ג' [שטח]‫^[835] ל' בח' וישאר לך שטח ל' בג‫'

Supposition: when the product of D, B, G plus the product of L by [the sum of] C, G are subtracted from [the sum of] the numbers G, H plus the product of H by T - I say that the total equals the product of L, C, T.

ומספרי ג'ה' ושטח ה' בט' כשחוסר מכל זה מורכב ד'ב'ג' ושטח ל' בח'ג' ואומר שזה כלו שוה למורכב ל'ח'ט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{G+H+\left(H\times T\right)-\left[\left(D\times B\times G\right)+\left[L\sdot\left(C+G\right)\right]\right]=\left(L\times C\times T\right)}}

Proof:

We sum the product of H by T with H; it equals the product of H by G.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(H\times T\right)+H=H\times G}}

המופת שאנחנו נחבר שטח ה' בט' עם ה' ויהיה שוה לשטח ה' בג‫'

We sum it with G; it equals the product of [the sum of] H, K by G.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(H\times T\right)+H+G=\left(H+K\right)\sdot G}}

עוד נחברהו עם ג' ויהיה שוה לשטח ה'כ' בג‫'

We add it also to the product of L by G; the result equals the product of [the sum of] H, K, L by G, which is equal to the product of B by G, and this equals the product of [the sum of] D, L by the product of B, G.

עוד נחברהו עם שטח ל' בג' ויהיה העולה שוה לשטח ה'כ'ל' בג' וזה שוה לשטח ב' בג' וזה שוה לשטח ד'ל' שהוא אחד במורכב ב'ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(H\times T\right)+H+G+\left(L\times G\right)=\left(H+K+L\right)\sdot G=B\times G=1\sdot\left(B\times G\right)=\left(D+L\right)\sdot\left(B\times G\right)}}

We subtract the product of D, B, G from it; the product of L, B, G remains.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(D+L\right)\sdot\left(B\times G\right)\right]-\left(D\times B\times G\right)=\left(L\times B\times G\right)}}

ונחסר מזה מורכב ד'ב'ג' וישאר מורכב ל'ב'ג‫'

So, the product of L, B, G minus the product of L, C, T equals the product of L [by the sum of] C, G.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(L\times B\times G\right)-\left(L\times C\times T\right)=L\sdot\left(C+G\right)}}

והנה מורכב ל'ח'ט' פחות ממורכב ל'ב'ג' מורכב ל'ח'ג‫'

Because [the sum of] the product of L, C, by T with the product of L, C equals the product of L, C, G.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(L\times C\right)\sdot T\right]+\left(L\times C\right)=\left(L\times C\times G\right)}}

וזה שמורכב ל'ח' בט' עם מורכב ל'ח' שוה למורכב ל'ח'ג‫'

The product of L, C, G equals the product of C by L, G.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(L\times C\times G\right)=C\sdot\left(L\times G\right)}}

ומורכב ל'ח'ג' שוה לשטח ח' [בל'ג‫']‫^[836]

When we sum it with the product of L, G, the result equals the product of B by L, G.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(L\times C\times G\right)+\left(L\times G\right)=B\sdot\left(L\times G\right)}}

וכאשר חברנו עם זה מורכב ל'ג' היה העולה שוה לשטח [ב']‫^[837] בל'ג‫'

Hence, when we subtract the product of L [by the sum of] C, G, which we had to subtract, from the product of L, B, G, the remainder is the product of L, C, T.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(L\times B\times G\right)-\left[L\sdot\left(C+G\right)\right]=\left(L\times C\times T\right)}}

אם כן כשחסרנו ממורכב ל'ב'ג' מורכב ל'ח'ג' שיהיה לנו לחסר מהמספר היה הנשאר מורכב ל'ח'ט‫'

So, half [the sum of] the numbers N, S equals the product of K, C, T, which is the product of C by T, plus the product of L, C, T, and this is equal to the product of [the sum of] K, L by the product of C, T.

אם כן חצי מספרי נ'ס' שוה למורכב כ'ח'ט' שהוא שטח ח' בט' ולמורכב ל'ח'[ט‫']‫^[838] וזה שוה לשטח כ'ל' במורכב ח'ט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(N+S\right)=\left(C\times T\right)+\left(L\times C\times T\right)=\left(K\times C\times T\right)+\left(L\times C\times T\right)=\left(K+L\right)\sdot\left(C\times T\right)}}

But, [the sum of] K, L is A.

\scriptstyle{\color{blue}{K+L=A}}

אבל כ'ל' הוא א‫'

So, half [the sum of] the numbers N, S equals the product of A, C, T.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(N+S\right)=\left(A\times C\times T\right)}}

אם כן חצי מספרי נ'ס' שוים למורכב א'ח'ט‫'

Then, the product of C by T is the part denominated by A of half [the sum of] the numbers N, S.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(C\times T\right)=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(N+S\right)}{A}}}

אם כן שטח ח' בט' הוא חלק נקרא בא' מהחצי מספרי נ'ס‫'

Therefore, double the product of C by T is the part denominated by A of the sum of the numbers N, S. We define the result as the number E.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(C\times T\right)=\frac{N+S}{A}=E}}

ולזה יהיה כפל שטח ח' בט' חלק נקרא בא' ממספרי נ'ס' מקובצים ונשים העולה מספר ע‫'

Also, when we set the product of L by B as common, then half [the sum of] the numbers M, S equals [the sum of] the numbers H, G, plus the product of H by T, the product of L by Z, and the product of L by B minus the product of D, B, G and the product of L by B.

וגם כן הנה חצי מספרי מ'[ס'] כששמנו שטח ל' בב' משותף שוים למספר ה'ג' ושטח ה' בט' ושטח ל' בז' ושטח ל' בב' פחות מורכב ד'ב'ג' ושטח ל' בב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(M+S\right)=H+G+\left(H\times T\right)+\left(L\times Z\right)+\left(L\times B\right)-\left[\left(D\times B\times G\right)+\left(L\times B\right)\right]}}

Supposition: I say that all this equals the product of L, B, T.

ואומר שזה כלו שוה למורכב ל'ב'ט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{H+G+\left(H\times T\right)+\left(L\times Z\right)+\left(L\times B\right)-\left[\left(D\times B\times G\right)+\left(L\times B\right)\right]=\left(L\sdot B\times T\right)}}

Proof: the product of H by T plus H equals the product of H by G.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(H\times T\right)+H=H\times G}}

וזה ששטח ה' בט' עם ה' שוה לשטח ה' בג‫'

When G is added to the product of H by G, it equals the product of [the sum of] H, K by G.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(H\times G\right)+G=\left(H+K\right)\sdot G}}

וכשחובר [עם] שטח ה' בג' ג' יהיה שוה לשטח ה'כ' בג‫'

Hence, the product of L by B plus the product of L by Z equals the product of L by G.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(L\times B\right)+\left(L\times Z\right)=L\times G}}

והנה שטח‫^[839] ל' בב' עם שטח ל' בז' שוה לשטח ל' בג‫'

Since [the sum of] H, K, L is the same as B.

\scriptstyle{\color{blue}{H+K+L=B}}

לפי שה'כ'ל' כמו ב‫'

So, it equals the product of [the sum of] L, D by the product of B, G.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(H+K\right)\sdot G\right]+\left(L\times G\right)=\left(L+D\right)\sdot\left(B\times G\right)}}

יהיה אם כן זה שוה לשטח ל'ד' במורכב ב'ג‫'

Since [the sum of] L, D is one.

\scriptstyle{\color{blue}{L+D=1}}

לפי של'ד' הוא אחד

When we subtract the product of D, B, G from it, the remainder is the product of L, B, G.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(L+D\right)\sdot\left(B\times G\right)-\left(D\times B\times G\right)=\left(L\times B\times G\right)}}

וכאשר חסרנו מזה מורכב [ד'ב'ג' ישאר מורכב ל'ב'ג‫'

And when we subtract the product of L by B from it, the remainder is the product of T by the product of L, B.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(L\times B\times G\right)-\left(L\times B\right)=T\sdot\left(L\times B\right)}}

וכאשר חסרנו מזה מורכב] ל'ב' ישאר שטח ט' במורכב ל'ב‫'

So, half [the sum of] the numbers M, S equals the product of B, L, T.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(M+S\right)=\left(B\times L\times T\right)}}

הנה אם כן חצי מספרי [מ']‫^[840]ס' שוים למורכב ב'ל'ט‫'

Then, the product of L by T is the part denominated by B of half the sum of the numbers M, S.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(L\times T\right)=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(M+S\right)}{B}}}

אם כן שטח [ל']‫^[841] בט' הוא חלק נק[רא] בב' מחצי ‫^[842]מספרי [מ'ס']‫^[843] מקובצים

Therefore, double the product of L by T is the part denominated by B of the sum of the numbers M, S. We define the result as the number P.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(L\times T\right)=\frac{M+S}{B}=P}}

ולזה יהיה כפל שטח ל' בט' חלק נקרא בב' ממספרי [מ'ס']‫^[844] מקובצים ונשים העולה מספר [פ']‫^[845]

Also, when we set the product of L by G as common, then half [the sum of] the numbers M, N equals [the sum of] the numbers H, G, plus the product of H by T, [and the product of L by G] minus the product of D, B, G and the product of L by G.

וגם כן הנה חצי מספרי מ'נ' כששמנו שטח ל' בג' משותף שוה למספרי ה'ג' ולשטח ה' בט' פחות מורכב ד'ב'ג' ושטח ל' בג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(M+N\right)=H+G+\left(H\times T\right)+\left(L\times G\right)-\left[\left(D\times B\times G\right)+\left(L\times G\right)\right]}}

Supposition: I say that all this equals the product of L, C, G.

ואומר שזה כלו שוה למורכב ל'ח'ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{H+G+\left(H\times T\right)+\left(L\times G\right)-\left[\left(D\times B\times G\right)+\left(L\times G\right)\right]=\left(L\times C\times G\right)}}

Proof: the product of H by T plus [the sum of] the numbers H, G equals the product of [the sum of] H, K by G, as explained earlier.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(H\times T\right)+H+G=\left(H+K\right)\sdot G}}

וזה ששטח ה' בט' עם מספרי ה'ג' שוה לשטח ה'כ' בג' כמו שהתבאר קודם

When we add the product of L by G to it, the result is the product of [the sum of] H, K, L by G, which equals the product of B by G. So, it equals the product of [the sum of] L, D by the product of B, G.

וכאשר חברנו עם זה שטח ל' בג' [היה עולה שטח ה'כ'ל' בג' שהוא שוה לשטח ב' בג‫'] יהיה אם כן זה שוה לשטח ל'ד' במורכב ב'ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(H\times T\right)+H+G+\left(L\times G\right)=\left(H+K+L\right)\sdot G=B\times G=\left(L+D\right)\sdot\left(B\sdot G\right)}}

Since [the sum of] L, D is one.

\scriptstyle{\color{blue}{L+D=1}}

לפי של'ד' הוא אחד

When we subtract the product of D, B, G from it, the remainder is the product of L, B, G, which is the product of B by the product of L, G.

וכאשר חסרנו מזה מורכב ד'ב'ג' ישאר מורכב ל'ב'ג' שהוא שטח ב' במורכב ל'ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(L+D\right)\sdot\left(B\times G\right)\right]-\left(D\times B\times G\right)=\left(L\times B\times G\right)=B\sdot\left(L\times G\right)}}

And, when we subtract the product of L by G from it, the remainder is the product of C by the product of L, G, which equals the product of L, C, G, which is the product of G by the product of L, C.

וכאשר חסרנו מזה מורכב ל'ג' ישאר שטח ח' במורכב ל'ג' וזה שוה למורכב ל'ח'ג' שהוא שטח ג' במורכב ל'ח‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left[B\sdot\left(L\times G\right)\right]-\left(L\times G\right)=C\sdot\left(L\times G\right)=\left(L\times C\times G\right)=G\sdot\left(L\times C\right)}}

Then, the product of L by C is the part denominated by G of half [the sum of] the numbers M, N.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(L\times C\right)=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(M+N\right)}{G}}}

אם כן שטח ל' בח' הוא חלק נקרא בג' מחצי מספרי מ'נ‫'

Therefore, double the product of L by C is the part denominated by G of the sum of the numbers M, N. We define the result as the number Ŝ.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(L\times C\right)=\frac{M+N}{G}=\hat S}}

ולזה יהיה כפל שטח ל' בח' חלק נקרא בג' ממספרי מ'נ' מקובצים ונשים העולה מספר צ‫'

Supposition: I say that [the sum of] the numbers M, E equals [the sum of] the numbers N, P, or [the sum of] the numbers S, Ŝ.

\scriptstyle{\color{blue}{M+E=N+P=S+\hat S}}

ואומר שמספרי מ'ע' שוים למספרי נ'פ' או למספרי [ס'צ‫']‫^[846]

Proof: [the sum of] the numbers M, E equals the number M plus double the product of C by T.

\scriptstyle{\color{blue}{M+E=M+\left[2\sdot\left(C\times T\right)\right]}}

וזה שמספרי מ'ע' שוים למספר מ' ולכפל שטח ח' בט‫'

[The sum of] the numbers N, P equals the number M plus double the product of H by T and double the product of L by T.

\scriptstyle{\color{blue}{N+P=M+\left[2\sdot\left(H\times T\right)\right]+\left[2\sdot\left(L\times T\right)\right]}}

ונ'פ' שוים למספר מ' ולכפל שטח ה' בט' ולכפל שטח ל' בט‫'

So, [the sum of] the numbers N, P also equals the number M plus double the product of C by T.

\scriptstyle{\color{blue}{N+P=M+\left[2\sdot\left(C\times T\right)\right]}}

אם כן מספרי נ'פ' שוים גם כן למספר מ' ולכפל שטח ח' בט‫'

Likewise, [the sum of] the numbers S, Ŝ equals the number M plus double the product of H by T, double the product of Z by L, and double the product of C by L.

וגם כן הנה מספרי [ס'צ']‫^[847] שוים למ' ולכפל שטח ה' בט' ולכפל שטח ז' בל' ולכפל שטח ח' בל‫'

\scriptstyle{\color{blue}{S+\hat S=M+\left[2\sdot\left(H\times T\right)\right]+\left[2\sdot\left(Z\times L\right)\right]+\left[2\sdot\left(C\times L\right)\right]}}

But, double the product of Z by L, with double the product of C by L equals double the product of [the sum of] Z, C by L, which equals double the product of T by L.

אבל כפל שטח ז' בל' [עם כפל שטח ח' בל'] שוה לכפל שטח ז'ח' בל' וזה שוה לכפל שטח ט' בל‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(Z\times L\right)\right]+\left[2\sdot\left(C\times L\right)\right]=\left[2\sdot\left[\left(Z+C\right)\sdot L\right]\right]=2\sdot\left(T\times L\right)}}

When it is added to double the product of T by H, the result is double the product of T by [the sum of] L, H.

וכאשר חובר עם זה כפל שטח ט' בה' היה העולה כפל שטח ט' בל'ה‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(T\times L\right)\right]+\left[2\sdot\left(T\times H\right)\right]=2\sdot\left[T\sdot\left(L+H\right)\right]}}

[The sum of] L, H is the same as C.

\scriptstyle{\color{blue}{L+H=C}}

ול'ה' כמו ח‫'

Therefore, the result equals double the product of T by C.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[T\sdot\left(L+H\right)\right]=2\sdot\left(T\times C\right)}}

ולזה יהיה העולה שוה לכפל שטח ט' בח‫'

When we add the number M to it, the result is also equal to the number M plus double the product of C by T.

\scriptstyle{\color{blue}{S+\hat S=M+\left[2\sdot\left(C\times T\right)\right]}}

וכאשר חברנו עם זה מספר מ' היה העולה גם כן מספר מ' וכפל שטח ח' בט‫'

Q.E.D.

והוא מה שרצינו

Examples

We will give you examples for each of the methods when there are fractions there, so that you will become wise and understand.

ונתן לך דמיונים על זה בכל אחד מהאופנים כשיהיו שם חלקים למען תשכיל ותדע

We want to find three numbers such that the one with 2-sevenths of the rest is the same as another with 2-fifths of the rest and the same as another with 3 parts of 11 of the rest.

\scriptstyle a+\frac{2}{5}b+\frac{2}{5}c=b+\frac{2}{7}a+\frac{2}{7}c=c+\frac{3}{11}a+\frac{3}{11}b

נרצה שנמצא שלשה מספרים יהיו האחד עם ב' שביעיות הנשארים כמו האחר עם ב' חמישיות הנשארים וכמו האחר עם ג' חלקים מי"א בנשארים

We convert 2-sevenths into one part; it is one part of 3 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}=\frac{1}{3+\frac{1}{2}}}}

השיבונו ב' שביעיות חלק אחד ‫^[848]והיה חלק אחד מג' וחצי

We convert 2-fifths into one part; it is one part of 2 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}=\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}

השיבונו ב' חמישיות חלק אחד והיה חלק אחד מב' וחצי

We convert 3 parts of 11 into one part; it is one part of 3 and 2-thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{11}=\frac{1}{3+\frac{2}{3}}}}

השיבונו ג' חלקים מי"א חלק אחד והיה חלק אחד מג' וב' שלישים

We add the greatest number to the excess of the mean over the smallest and add to it the product of the excess of the smallest over two by the product of the mean by the greatest; the first number then is 11 integers and one part of 12.

חברנו המספר הגדול עם יתרון האמצעי על הקטן וחברנו עם זה השטח ההווה מיתרון הקטן על שנים בשטח האמצעי בגדול ולזה יהיה המספר הראשון י"א שלמים וחלק מי"ב באחד

\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(3+\frac{2}{3}\right)+\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)-\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)-2\right]\sdot\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(3+\frac{2}{3}\right)\right]\right]=11+\frac{1}{12}}}

We add to it double the product of the excess of the mean over the smallest by the greatest minus one; the result is 16 integers and [...] 11 parts of 12 and this is the third number.

חברנו עם זה כפל שטח יתרון האמצעי על הקטן בגדול פחות אחד ויעלה י"ו שלמים וי"א חלקים מי"ב באחד והוא המספר השלישי

\scriptstyle{\color{blue}{{\color{OliveGreen}{b}}=\left(11+\frac{1}{12}\right)+2\sdot\left[\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)-\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot\left[\left(3+\frac{2}{3}\right)-1\right]\right]=16+\frac{{\color{red}{5}}}{12}}}

\scriptstyle{\color{blue}{{\color{OliveGreen}{c=\left(16+\frac{5}{12}\right)+2\sdot\left[\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)-1\right]\sdot\left[\left(3+\frac{2}{3}\right)-\left(3+\frac{1}{2}\right)\right]\right]}}=16+\frac{11}{12}}}

Check: The first plus 2-fifths of the rest, which is one part of 2 and a half, is the same as the second plus 2-sevenths of the rest and as the third plus 3 parts of 11 of the rest.

\scriptstyle{\color{blue}{a+\frac{2}{5}b+\frac{2}{5}c=b+\frac{2}{7}a+\frac{2}{7}c=c+\frac{3}{11}a+\frac{3}{11}b}}

והיה הראשון עם ב' חמישיות הנשארים שהוא חלק אחד מב' וחצי כמו השני עם ב' שביעיות הנשארים וכמו השלישי עם ג'‫^[849] חלקים מי"א בנשארים

The second example: We want to find three numbers such that the one with a half of the rest is the same as another with 2-fifths of the rest and the same as another with 3 parts of 11 of the rest.

\scriptstyle a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c=b+\frac{2}{5}a+\frac{2}{5}c=c+\frac{3}{11}a+\frac{3}{11}b

דמיון שני נרצה שנמצא שלשה מספרים יהיה האחד עם חצי הנשארים כמו האחר עם ב' חמישיות הנשארים וכמו האחר עם ג' חלקים מי"א בנשארים

When we convert these parts into one part, the numbers, by which these parts are denominated are: two; two and a half; and 3 and 2-thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\quad\frac{2}{5}=\frac{1}{2+\frac{1}{2}}\quad\frac{3}{11}=\frac{1}{3+\frac{2}{3}}}}

וכאשר השיבונו החלקים חלק יהיו המספרים אשר אלו החלקים נקראים בהן שנים ושנים וחצי וג' וב' שלישיות

We define the first number as the sum of the greatest and the excess of the mean over the smallest; so the first is 4 integers and one sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(3+\frac{2}{3}\right)+\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)-2\right]=4+\frac{1}{6}}}

ונשים המספר הראשון הגדול ויתרון האמצעי על הקטן מקובצים ולזה יהיה הראשון ד' שלמים וששית אחד

The second, according to the previous way, is 6 integers and 5-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{b=6+\frac{5}{6}}}

ויהיה השני על הצד הקודם ו' שלמים וה'‫^[850] ששיות

The third is [9] integers [and a sixth].

\scriptstyle{\color{blue}{c=}}{\color{red}{9+\frac{1}{6}}}

ויהיה השלישי ח' שלמים

Check: The first plus a half of the rest is the same as the second plus 2-fifths of the rest and as the third plus 3 parts of 11 of the rest.

\scriptstyle{\color{blue}{a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c=b+\frac{2}{5}a+\frac{2}{5}c=c+\frac{3}{11}a+\frac{3}{11}b}}

ויהיה הראשון עם חצי הנשארים כמו השני עם ב' חמישיות הנשארים וכמו השלישי עם ג' חלקים בי"א בנשארים

The third example: We want to find three numbers such that the one with 3-fifths of the rest is the same as another with 4 parts of 11 of the rest and the same as another with 2-sevenths of the rest.

\scriptstyle a+\frac{3}{5}b+\frac{3}{5}c=b+\frac{4}{11}a+\frac{4}{11}c=c+\frac{2}{7}a+\frac{2}{7}b

דמיון שלישי שנרצה שנמצא שלשה מספרים יהיה האחד עם ג' חמשיות הנשארים כמו האחר עם ד' חלקים מי"א בנשארים וכמו האחר עם ב' שביעיות הנשארים

When we convert all these parts into one part, the smallest number, by which these parts are denominated is one and 2-thirds, the mean is 2 and 3-quarters, and the greatest is 3 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}=\frac{1}{1+\frac{2}{3}}\quad\frac{4}{11}=\frac{1}{2+\frac{3}{4}}\quad\frac{2}{7}=\frac{1}{3+\frac{1}{2}}}}

וכאשר השיבונו אלו החלקים חלק יהיה הקטן מהמספרים אשר אלו החלקים נקראים בהם אחד וב' שלישיות והאמצעי ב' וג' רביעיות והגדול ג' וחצי

The first number, according to the previous way, is one and 9 parts of 24.

\scriptstyle{\color{blue}{a=1+\frac{9}{24}}}

והנה יהיה המספר הראשון על האופן שקדם אחד וט' חלקים מכ"ד

The second number is [6] and [19] parts of 24.

\scriptstyle{\color{blue}{b={\color{red}{6}}+\frac{{\color{red}{19}}}{24}}}

ויהיה המספר השני ח' וב' חלקים מכ"ד

The third number is [7] and [19] parts of 24.

\scriptstyle{\color{blue}{c={\color{red}{7}}+\frac{{\color{red}{19}}}{24}}}

והמספר השלישי הוא ט' וב' חלקים מכ"ד

Four Numbers

Another easy method to find as many numbers as there may be, one of which with a part or parts of the rest are the same as another with a part or parts of the rest.

דרך אחרת קלה למצוא מספרים כמה שיהיו יהיה האחד ‫^[851]עם חלק או חלקים מהנשארים [כמו האחר עם חלק או חלקים מהנשארים]

Example: we want to find four numbers such that the one with A parts of D of the rest is the same as the second with B parts of H of the rest and the same as the third with one part of Z of the rest and the same as the fourth with G parts of C of the rest.

והמשל שנרצה למצוא [ארבעה] מספרים יהיה האחד עם א' חלקים מד' מהנשארים כמו השני עם ב' חלקים מה' בנשארים וכמו השלישי‫^[852] עם חלק אחד מז' בנשארים וכמו הרביעי עם ג' חלקים מ[ח']‫^[853] בנשארים

\scriptstyle a+\frac{A}{D}\times\left(b+c+d\right)=b+\frac{B}{H}\times\left(a+c+d\right)=c+\frac{1}{Z}\times\left(a+b+d\right)=d+\frac{G}{C}\times\left(a+b+c\right)

We define [the sum of] A, T equals to the number D.

\scriptstyle{\color{blue}{A+T=D}}

הנה נשים א'ט' שוים למספר ד‫'

[The sum of] B, K equals to the number H.

\scriptstyle{\color{blue}{B+K=H}}

וב'כ' שוים למספר ה‫'

L is one less than Z.

\scriptstyle{\color{blue}{L=Z-1}}

ול' פחות אחד מז‫'

[The sum of] G, M equals to C.

\scriptstyle{\color{blue}{G+M=C}}

וג'מ' שוים לח‫'

We multiply D by the product of K, L, M; we define the result as N and this is the sum of the three numbers without the first.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2+a_3+a_4=D\sdot\left(K\sdot L\sdot M\right)=N}}

הנה נכה ד' במורכב כ'ל'מ' ונשים העולה נ' והוא יהיה מספר מקובץ שלשה המספרים מלבד הראשון

We also multiply H by the product of T, L, M; we define the result as S and this is the sum of the three numbers without the second.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_3+a_4=H\sdot\left(T\sdot L\sdot M\right)=S}}

וגם כן הנה נכה ה' במורכב ט'ל'מ' ונשים העולה ס' והוא יהיה מספר מקובץ שלשה המספרים מלבד [השני]‫^[854]

We also multiply Z by the product of T, K, M; we define the result as E and this is the sum of the three numbers without the third.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_4=Z\sdot\left(T\sdot K\sdot M\right)=E}}

וגם כן הנה נכה ז' [במורכב ט'כ'מ' ונשים העולה ע' והוא יהיה מספר מקובץ שלשה מספרים מלבד השלישי

We also multiply C by the product of T, K, L; we define the result as P and this is the sum of the three numbers without the fourth.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3=C\sdot\left(T\sdot K\sdot L\right)=P}}

וגם כן הנה נכה ח'] במורכב ט'כ'ל' ונשים העולה פ' והוא יהיה מספר מקובץ שלשה המספרים מלבד הרביעי

Since you know the sums of every three numbers of these four, you can extract each of them.

ואחר שידעת מקובץ כל שלשה מספרים מאלו הארבעה תוכל להוציא כל אחד מהם איש על מקומו

The most appropriate way to do this is that you take the smallest number among the numbers N; S; E; P, then the smallest of the remaining, and so on, until you reach the greatest.

והדרך היותר נאותה בזה שתקח המספר היותר קטן ממספרי נ'ס'ע'פ' ואחריו הקטון מהנשאר וכן עד שתגיע אל היותר גדול

We suppose the smallest is the number E, the next smallest is the number N, the next smallest is the number P, so the greatest is the number S.

\scriptstyle{\color{blue}{E<N<P<S}}

ונניח שיהיה היותר קטן מספר ע' והיותר קטן אחריו מספר נ' והיותר קטן אחריו מספר פ' ולזה יהיה יותר גדול ממספר ס‫'

Let the excess of S over P be the number Ŝ.

\scriptstyle{\color{blue}{\hat S=S-P}}

ויהיה יתרון ס' על פ' מספר צ‫'

Let the excess of S over N be the number Q.

\scriptstyle{\color{blue}{Q=S-N}}

ויתרון ס' על נ' מספר ק‫'

Let the excess of S over E be the number R.

\scriptstyle{\color{blue}{R=S-E}}

ויתרון ס' על ע' מספר ר‫'

Since S is the sum of the first, the third, and the fourth; and P is the sum of the first, the second, and the third - when we subtract from them the first and the third that are shared by both, the remainder is the excess of the fourth over the second, which is the excess of S over P.

\scriptstyle{\color{blue}{S-P=\left(a_1+a_3+a_4\right)-\left(a_1+a_2+a_3\right)=a_4-a_2}}

הנה מפני שס' הוא מקובץ הראשון והשלישי והרביעי ופ' הוא מקובץ הראשון והשני והשלישי הנה כאשר חסרנו מהם הראשון והשלישי משותפים נשאר יתרון הרביעי על השני הוא יתרון ס' על פ‫'

So, the excess of the fourth over the second is the number Ŝ.

\scriptstyle{\color{blue}{\hat S=a_4-a_2}}

ולזה יהיה יתרון הרביעי על השני מספר צ‫'

Since the number S is the sum of the first, the third, and the fourth; and the number N is the sum of the second, the third, and the fourth - when we subtract from them the third and the fourth that are shared by both, the remainder is the excess of the first over the second, which is the number Q.

וגם כן הנה מפני שמספר ס' הוא מקובץ הראשון והשלישי והרביעי ומספר נ' הוא מקובץ השני והשלישי והרביעי הנה כאשר חסרנו מהם השלישי והרביעי משותפים נשאר יתרון הראשון על השני מספר ק‫'

\scriptstyle{\color{blue}{Q=S-P=\left(a_1+a_3+a_4\right)-\left(a_2+a_3+a_4\right)=a_1-a_2}}

Likewise, it is clear that the excess of the third over the second is the number R, since the excess of S over E is the number R.

\scriptstyle{\color{blue}{R=S-E=a_3-a_2}}

וכזה יתבאר שיתרון השלישי על השני הוא מספר ר' לפי שיתרון ס' על ע' הוא מספר [ר‫']‫^[855]

That being the case, the second number [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2}}

] is the smallest.

ובהיות הענין כן הנה המספר השני הוא היותר קטן

We take one of the sums that includes the second number, which is E in our example.

ונקח אחד ממקובץ המספרים אשר המספר השני בכללם ‫^[856]והוא ע' במשלינו זה

Since E is the sum of the first, the second, and the fourth numbers, it is clear that the excess of E over three times the second equals the sum of the excess of the first over the second and the excess of the fourth over the second, which is [the sum of] the numbers Q, Ŝ.

ולפי שמקובץ ע' הוא המספר הראשון והשני והרביעי הוא מבואר שיתרון ע' על שלשה דמיוני השני הוא שוה ליתרון הראשון על השני וליתרון הרביעי על השני מקובצים והם מספרי ק'צ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{E=a_1+a_2+a_4\longrightarrow E-3a_2=\left(a_1-a_2\right)+\left(a_4-a_2\right)=Q+\hat S}}

So, we subtract the number E from the numbers Q, Ŝ, then divide the remainder by the number of the numbers, whose sum is the number E, i.e. by three. The result of division is the second number. We suppose it is Ṡ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{E-\left(Q+\hat S\right)}{3}=a_2=\dot{S}}}

ולזה נגרע ממספר ע' מספרי ק'צ' ונחלק הנשאר על מספר המספרים אשר מספר ע' מקובצם ר"ל על שלשה והעולה מן החלוקה הוא המספר השני ונניח שיהיה ש‫'

Therefore, the first number is the sum of Ṡ, Q.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\dot{S}+Q}}

ולזה יהיה המספר הראשון ש'ק' מקובצים

The third number is the sum of the numbers Ṡ, R.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\dot{S}+R}}

והמספר השלישי מספרי ש'ר' מקובצים

The fourth number is the sum of the numbers Ṡ, Ŝ.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\dot{S}+\hat S}}

והמספר הרביעי מספרי ש'צ' מקובצים

Supposition: after we have found these numbers, we explain that these are the numbers that meet the required condition.

ואחר שמצאנו אלה המספרים הנה נבאר שאלו הם המספרים שינהגו זה המנהג הדרוש

We explain that the remainder from these numbers is always equal to the product of T, K, L, M.

\scriptstyle{\color{blue}{T\times K\times L\times M}}

וזה שאנחנו נבאר שהנשאר מהמספרים האלו הוא תמיד שוה למורכב ט'כ'ל'מ‫'

Proof:

When the first is summed with A parts of D of the rest, the remainder is the product of T by the product of K, L, M.

המופת שהראשון כשחובר עם א' חלקים מד' בנשארים היה הנשאר שטח ט' במורכב כ'ל'מ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_2+a_3+a_4\right)-\left[a_1+\frac{A}{D}\sdot\left(a_2+a_3+a_4\right)\right]=T\sdot\left(K\times L\times M\right)}}

Because, [the sum of] the rest equals the number N, which is the product of D by the product of K, L, M.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2+a_3+a_4=N=D\sdot\left(K\times L\times M\right)}}

וזה שהנשארים שוים למספר נ' והוא שטח ד' במורכב כ'ל'מ‫'

The parts of the product of K, L, M in the number N [is as] the units in the number D.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{N}{K\times L\times M}=1\sdot D}}

הנה מספר נ' מדמיוני מורכב כ'ל'מ' מה שבמספר ד' מן האחדים

So, the product of K, L, M is the part of the number N denominated by D.

\scriptstyle{\color{blue}{K\times L\times M=\frac{N}{D}}}

הנה מורכב כ'ל'מ' הוא חלק נקרא בד' ממספר נ‫'

Therefore, A parts of D by the parts of the product of K, L, M in the number N are the same as the units in the number A.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{A}{D}\sdot\frac{N}{K\times L\times M}=1\sdot A}}

ולזה יהיה בא' חלקים מד' במספר נ' מדמיוני מורכב כ'ל'מ' כמו מה שבמספר א' מן האחדים

Hence, the parts of the product of K, L, M in the remainder from the three numbers are the same as the units in the number T.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(a_1+a_2+a_3+a_4\right)-\left[a_1+\frac{A}{D}\sdot\left(a_2+a_3+a_4\right)\right]}{K\times L\times M}=1\sdot T}}

ולזה יהיה בנשאר מאלו השלשה [המספרים]‫^[857] מדמיוני מורכב [כ'ל'מ'] כמו מה שבמספר ט' מן האחדים

Since [the sum of] the numbers T, A equals the number D.

\scriptstyle{\color{blue}{T+A=D}}

לפי שמספרי ט'א' שוים למספר ד‫'

[Therefore, the remainder] is equal to the product of T, K, L, M.

וזה שוה למורכב ט'כ'ל'מ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_2+a_3+a_4\right)-\left[a_1+\frac{A}{D}\sdot\left(a_2+a_3+a_4\right)\right]=T\times K\times L\times M}}

Likewise, it is clear that when the second is summed with B parts of H of the rest, the remainder is equal to the product of K by the product of T, L, M, which is equal to the product of T, K, L, M.

וכזה התבאר שהשני כשחובר עם ב' חלקים מה' בנשארים היה הנשאר שוה לשטח כ' במורכב ט'ל'מ' וזה שוה למורכב ט'כ'ל'מ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_2+a_3+a_4\right)-\left[a_2+\frac{B}{H}\sdot\left(a_1+a_3+a_4\right)\right]=K\sdot\left(T\times L\times M\right)=T\times K\times L\times M}}

Also, it is clear that when the third is summed with one part of Z of the rest, the remainder is equal to the product of L by the product of T, K, M, since L is Z minus one; and this equals the product of T, K, L, M.

וכזה יתבאר שהשלישי כשחובר עם חלק מז' מהנשארים היה הנשאר שוה לשטח ל' במורכב ט'כ'מ' וזה של' פחות אחד מז' וזה שוה למורכב ט'כ'ל'מ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{L=Z-1}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_2+a_3+a_4\right)-\left[a_3+\frac{1}{Z}\sdot\left(a_1+a_2+a_4\right)\right]=L\sdot\left(T\times K\times M\right)=T\times K\times L\times M}}

Since what remains from the four numbers is always equal to the product of T, K, L, M, what is taken from them is necessarily one and the same.

ולפי שהנשאר מהארבעה מספרים הוא תמיד כמו מורכב ט'כ'ל'מ' יהיה בהכרח הלקוח מהם אחד בעינו

Because, when equals are subtracted from equals the remainders are equal.

כי כשחוסרו מהשוים שוים יהיו הנשארים שוים

Q.E.D.

והוא מה שרצינו לבאר

Supposition: I say that if the sum of Q, Ŝ in our example is greater than the number E, or equal to it, then the question is necessarily false.

\scriptstyle{\color{blue}{Q+\hat S\ge E}}

ואומר שאם היה מקובץ ק'[צ]'‫^[858] ‫^[859]במשלינו זה יותר ממספר ע'‫^[860] או שוה לו שהשאלה כוזבת בהכרח

I.e. it is impossible to find numbers that meet the condition.

ר"ל שאי אפשר שימצאו מספרים ינהגו זה המנהג

Proof:

If it were possible, let those numbers be the numbers Ť, Ĉ, Ẑ, F.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\hat T;\;a_2=\hat C;\;a_3=\hat Z;\;a_4=F}}

המופת שאם היה אפשר הנה יהיו המספרים ההם מספרי ת'ך'ץ'‫^[861]ף‫'

Ť with A parts of D of [the sum of] the numbers Ĉ, Ẑ, F is the same as Ĉ with B parts of H of [the sum of] the numbers Ť, Ẑ, F; or as Ẑ with one part of Z of [the sum of] the numbers Ť, Ĉ, F; or as F with G parts of C of [the sum of] the numbers Ť, Ĉ, Ẑ.

ויהיה ת' עם א' חלקים מד' במספרי ך'ץ'‫^[862]ף' כמו ך' עם ב' חלקים מה' במספרי ת'ץ'‫^[863]ף' או כמו ץ'‫^[864] עם חלק אחד מז' במספרי ת'ך'ף‫'‫^[865] או כמו ף'‫^[866] עם ג' חלקים מח' במספרי ת'ך'ץ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\hat T+\frac{A}{D}\sdot\left(\hat C+\hat Z+F\right)=\hat C+\frac{B}{H}\sdot\left(\hat T+\hat Z+F\right)=\hat Z+\frac{1}{Z}\sdot\left(\hat T+\hat C+F\right)=F+\frac{G}{C}\sdot\left(\hat T+\hat C+\hat Z\right)}}

Therefore, the remainder from the four numbers is one and the same; let it be the number Ň for example.

ולזה יהיה הנשאר מהארבעה המספרים אחד בעינו והוא מספר ן' על דרך משל

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\hat T+\hat C+\hat Z+F\right)-\left[\hat T+\frac{A}{D}\sdot\left(\hat C+\hat Z+F\right)\right]=\left(\hat T+\hat C+\hat Z+F\right)-\left[\hat C+\frac{B}{H}\sdot\left(\hat T+\hat Z+F\right)\right]=\\&\scriptstyle\left(\hat T+\hat C+\hat Z+F\right)-\left[\hat Z+\frac{1}{Z}\sdot\left(\hat T+\hat C+F\right)\right]=\left(\hat T+\hat C+\hat Z+F\right)-\left[F+\frac{G}{C}\sdot\left(\hat T+\hat C+\hat Z\right)\right]=\hat N\end{align}}}

It is clear that the ratio of Ň to the sum of the numbers Ĉ, Ẑ, F is the same as the ratio of T to D.

\scriptstyle{\color{blue}{\hat N:\left(\hat C+\hat Z+F\right)=T:D}}

ויתבאר שיחס ן' אל מספרי ך'ץ'‫^[867]ף' מקובצים הוא כיחס ט' אל ד‫'

Because, when we take A parts of D of the numbers Ĉ, Ẑ, F, the remainder from them, which is Ň, is T parts of D of the numbers Ĉ, Ẑ, F.

וזה שכאשר לקחנו מספרי ך'ץ'‫^[868]ף' א'‫^[869] חלקים מד' היה הנשאר מהם והוא ן' ט' חלקים מד' במספרי ך'ץ'‫^[870]ף‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\hat C+\hat Z+F\right)-\left[\frac{A}{D}\sdot\left(\hat C+\hat Z+F\right)\right]=\hat N=\frac{T}{D}\sdot\left(\hat C+\hat Z+F\right)}}

As [the sum of] the numbers A, T is equal to the number D.

\scriptstyle{\color{blue}{A+T=D}}

וזה שמספר א'ט' שוים למספר ד‫'

Similarly, it is clear that the ratio of [the sum of] the numbers Ť, Ẑ, F to Ň is the same as the ratio of H to K.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\hat T+\hat Z+F\right):N=H:K}}

וכזה התבאר שיחס מספרי ת'ץ'ף' אל ן' כיחס ה' אל כ‫'

Also, it is clear that the ratio of [the sum of] Ť, Ĉ, F to Ň is the same as the ratio of Z to L.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\hat T+\hat C+F\right):N=Z:L}}

וכזה התבאר שיחס ת'ך'ף' אל ן' כיחס ז' אל ל‫'

And, it is clear that the ratio of [the sum of] Ť, Ĉ, Ẑ to Ň is the same as the ratio of C to M.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\hat T+\hat C+\hat Z\right):N=C:M}}

וכזה [התבאר] שיחס ת'ך'ץ' אל ן' הוא כיחס ח' אל מ‫'

We divide number Ň by the units of the product TKLM. Let the number Ḿ be one part of the product TKLM by the number Ň.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{T\sdot K\sdot L\sdot M}\sdot\hat N=\hat M}}

הנה נחלק מספר ן' בדמיוני מה שבמורכב ט'כ'ל'מ' מן האחדים ויהיה אחד ממורכב ט'כ'ל'מ' במספר ן' מספר ם‫'

The ratio of Ň to [the sum of] the numbers Ť, Ĉ, F is the same as the ratio of L to Z.

\scriptstyle{\color{blue}{\hat N:\left(\hat T+\hat C+F\right)=L:Z}}

הנה מפני שיחס ן' אל מספרי ת'ך'ף' הוא כיחס ל' אל ז‫'

The [number of] parts of Ḿ in the number Ň is the same as [the number of] units of the product of L by the product T, K, M.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\hat N}{\hat M}=L\times\left(T\sdot K\sdot M\right)}}

ובמספר ן' מדמיוני ם' כמו מה שבשטח ל' במורכב ט'כ'מ' מן האחדים

So, the [number of] parts of Ḿ in the [sum of the] numbers Ť, Ĉ, F is the same as [the number of] units of the product of Z by the product T, K, M. Therefore, the [number of] parts of Ḿ in the [sum of the] numbers Ť, Ĉ, F is the same as [the number of] units in the number E.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\hat T+\hat C+F}{\hat M}=Z\times\left(T\sdot K\sdot M\right)=E}}

הנה יהיה במספרי ת'ך'ף' מדמיוני ם' כמו מה שבמספר שטח ז' במורכב ט'כ'מ' מן האחדים

ולזה יהיה במספרי ת'ך'ף' מדמיוני ם' כמו מה שבמספר ע' מן האחדים

Thus, it is clear that the [number of] parts of Ḿ in the [sum of the] numbers Ĉ, Ẑ, F is the same as [the number of] units in the number N.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\hat C+\hat Z+F}{\hat M}=N}}

ובזה התבאר שבמספרי ך'ץ'ף' מדמיוני ם' כמו מה שבמספר נ' מן האחדים

Also, the [number of] parts of Ḿ in the [sum of the] numbers Ť, Ẑ, F is the same as [the number of] units in the number S.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\hat T+\hat Z+F}{\hat M}=S}}

ושבמספרי ת'ץ'ף' מדמיוני ם' כמו מה שבמספר ס' מן האחדים

And, the [number of] parts of Ḿ in the [sum of the] numbers Ť, Ĉ, Ẑ is the same as [the number of] units in the number P.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\hat T+\hat C+\hat Z}{\hat M}=P}}

ושבמספרי ת'ך'ץ' מדמיוני ם' כמו מה שבמספר פ' מן האחדים

So, it is clear by a similar explanation as above that the [number of] parts of Ḿ in the excess of the first over the second is the same as [the number of] units in the number Q.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1-a_2=\frac{Q}{\hat M}}}

ולזה יתבאר בכמו הבאור הקודם שיתרון הראשון על השני הוא מדמיוני ם' כמו מה שבמספר ק' מן האחדים

And the [number of] parts of Ḿ in the excess of the fourth over the second is the same as [the number of] units in the number Ŝ.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4-a_2=\frac{\hat S}{\hat M}}}

ויתרון הרביעי על השני הוא מדמיוני ם' כמו מה שבמספר צ' מן האחדים

It seems that the order of the constants have been changed erroneously here

\scriptstyle{\color{red}{a_1=\hat C\;a_2=\hat T\;a_3=\hat Z\;a_4=F}}

Therefore, the [number of] parts of Ḿ in the excess of Ĉ, F over twice Ť must be the same as [the number of] units in Q, Ŝ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\hat C+F\right)-2\sdot\hat T}{\hat M}=Q+\hat S}}

ולזה יחוייב שיהיה ביתרון ך'ף' על שני דמיוני ת' מדמיוני מספר ם' כמו מה שבמספר ק'צ' מן האחדים

Let the [number of] parts of Ḿ in the number Ť be the same as [the number of] units on the number W.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\hat T}{\hat M}=W}}

ונניח שיהיה במספר ת' מדמיוני ם' כמו מה שבמספר ו' מן האחדים

But, the [number of] parts of Ḿ in the [sum of the] numbers Ť, Ĉ, F is already the same as [the number of] units in the [sum of the] numbers Q, Ŝ and three times the number of parts of Ḿ in Ť. So, the [number of] parts of Ḿ in the [sum of the] numbers Ť, Ĉ, F is the same as [the number of] units in the [sum of the] numbers Q, Ŝ plus three times the number W.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\hat T+\hat C+F}{\hat M}=3\sdot\frac{\hat T}{\hat M}+Q+\hat S=3\sdot W+Q+\hat S}}

וכבר היה במספר ת'ך'ף' מדמיוני ם' כמו מה שבמספרי ק'צ' מן האחדים ושלשה דמיוני מה שבת' מדמיוני ם‫'

אם כן במספרי ת'ך'ף' מדמיוני ם' כמו מה שבמספרי ק'צ' ושלשה דמיוני מספר ו' מן האחדים

But, the parts of Ṁ in [the sum of] the numbers Ť, Ĉ, F are the same as the units of the number E.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\hat T+\hat C+F}{\hat M}=E}}

אבל במספרי ת'ך'ף' מדמיוני ם' כמו מה שבמספר ע' מן האחדים

Hence, the number E equals [the sum of] the numbers Q, Ŝ plus three times the units of the number W.

\scriptstyle{\color{blue}{E=Q+\hat S+3\sdot W}}

אם כן מספר ע' שוה למספרי ק'צ' ושלשה דמיוני מספר ו' מן האחדים

But, we already assumed that [the sum of] the numbers Q, Ŝ is equal to the number E, or greater than the number E.

\scriptstyle{\color{blue}{Q+\hat S\ge E}}

וכבר הנחנו שמספרי ק'צ' שוים למספר ע' או מוסיפים על מספר ע‫'

This is false, i.e. that the part is equal to the whole, or greater than the whole.

זה שקר ר"ל שיהיה החלק שוה לכל או יותר מהכל

That being the case, the assumption is false.

ובהיות הענין כן הנה השאלה כוזבת

Q.E.D.

והוא מה שרצינו לבאר

Seven Numbers

We give you an example of this:

והנה נתן לך דמיון על זה

We want to find seven numbers such that the first with 2-sevenths of the rest is the same as the second with a third of the rest and the same as the third with 2-ninths of the rest and the same as the fourth with 3-eighths of the rest and the same as the fifth with a sixth of the rest and the same as the sixth with a quarter of the rest and the same as the seventh with 2 parts of 11 of the rest.

נרצה שנמצא שבעה מספרים יהיה הראשון עם ב' שביעיות הנשאר כמו השני עם שליש הנשאר וכמו השלישי עם ב' תשיעיות הנשאר וכמו הרביעי עם ג' שמיניות הנשאר וכמו החמישי עם ששית הנשאר וכמו הששי עם רביעית הנשאר וכמו השביעי עם ב' חלקים מי"א חלקים בנשאר

\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle a_1+\frac{2}{7}\sdot\left(a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7\right)&\scriptstyle=a_2+\frac{1}{3}\sdot\left(a_1+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7\right)\\&\scriptstyle=a_3+\frac{2}{9}\sdot\left(a_1+a_2+a_4+a_5+a_6+a_7\right)\\&\scriptstyle=a_4+\frac{3}{8}\sdot\left(a_1+a_2+a_3+a_5+a_6+a_7\right)\\&\scriptstyle=a_5+\frac{1}{6}\sdot\left(a_1+a_2+a_3+a_4+a_6+a_7\right)\\&\scriptstyle=a_6+\frac{1}{4}\sdot\left(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_7\right)\\&\scriptstyle=a_7+\frac{2}{11}\sdot\left(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6\right)\\\end{align}

According the the previous explanation, we multiply 7 by the product of 2, 7, 5, 5, 3, 9, as you see in this diagram; the result is 66 thousand and 150 and this is the sum of the second, the third, the fourth, the fifth, the sixth, and the seventh.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{7\sdot\left[\left(3-1\right)\sdot\left(9-2\right)\sdot\left(8-3\right)\sdot\left(6-1\right)\sdot\left(4-1\right)\sdot\left(11-2\right)\right]=}}

\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\left(2\sdot7\sdot5\sdot5\sdot3\sdot9\right)=66150}}

הנה לפי הבאור הקודם נכה ז' במורכב ב'ז'ה'ה'ג'ט' כמו שתראה בזאת הצורה

והנה העולה ס"ו אלפים וק"נ והם השני והשלישי והרביעי והחמישי והששי והשביעי מקובצים

We multiply 3 by the product of 5,7,5,5,3,9; the result is 70 thousand and 875 and this is the sum of the first, the third, the fourth, the fifth, the sixth, and the seventh.

הכינו ג' במורכב ה'ז'ה'ה'ג'ט' והנה העולה ע' אלפים ותתע"ה והם הא'ג'ד'ה'ו'ז' מקובצים

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=3\sdot\left(5\sdot7\sdot5\sdot5\sdot3\sdot9\right)=70875}}

We multiply 9 by the product of 5,2,5,5,3,9; the result is 60 thousand and 750 and this is the sum of the first, the second, the fourth, the fifth, the sixth, and the seventh.

הכינו ט' במורכב ה'ב'ה'ה'ג'ט' ועלה ס' אלפים תש"נ והם א'ב'ד'ה'ו'ז' מקובצים

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_4+a_5+a_6+a_7=9\sdot\left(5\sdot2\sdot5\sdot5\sdot3\sdot9\right)=60750}}

We multiply 8 by the product of 5,2,7,5,3,9; the result is 75 thousand and 600 and this is the sum of the first, the second, the third, the fifth, the sixth, and the seventh.

הכינו ח' במורכב ה'ב'ז'ה'ג'ט' ועלה ע"ה אלפים ות"ר והם א'ב'ג'ה'ו'ז' מקובצים

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_5+a_6+a_7=8\sdot\left(5\sdot2\sdot7\sdot5\sdot3\sdot9\right)=75600}}

We multiply 6 by the product of 5,2,7,5,3,9; the result is 56 thousand and 7 hundred and this is the sum of the first, the second, the third, the fourth, the sixth, and the seventh.

הכינו ו' במורכב ה'ב'ז'ה'ג'ט' ועלה נ"ו אלפים וז' מאות והם א'ב'ג'ד'ו'ז' מקובצים

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_6+a_7=6\sdot\left(5\sdot2\sdot7\sdot5\sdot3\sdot9\right)=56700}}

We multiply 4 by the product of 5,2,7,5,5,9; the result is 63 thousand, and this is the sum of the first, the second, the third, the fourth, the fifth, the sixth, and the seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(5\sdot2\sdot7\sdot5\sdot5\sdot9\right)=63000}}

הכינו ד' במורכב ה'ב'ז'ה'ה'ט' ועלה ס"ג אלפים והם הראשון והשני והשלישי והרביעי והחמישי והשישי והשביעי מקובצים

We multiply 11 by the product of 5,2,7,5,5,3; the result is 77 thousand and 750, and this is the sum of the first, the second, the third, the fourth, the fifth, and the sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{11\sdot\left(5\sdot2\sdot7\sdot5\sdot5\sdot3\right)=77750}}

^[871]

הכינו י"א במורכב ה'ב'ז'ה'ה'ג' ועלה ע"ז אלפים תש"נ והם הא'ב'ג'ד'ה'ו' מקובצים

The smallest of these sums is 56 thousand and 7 hundred; then 60 thousand and 750; then 63 thousand; then 66 thousand and 150; then 70 thousand and 875; then 75 thousand and 600; and then 77 thousand 750.

והנה היותר קטן מאלו המקובצים הוא נ"ו אלפים וז' מאות ואחריו ס' אלפים תש"נ ואחריו ס"ג אלפים ואחריו ס"ו אלפים וק"נ ואחריו ע' אלפים תתע"ה והאחריו ע"ה אלפים ת"ר ואחריו ע"ז אלפים תש"נ

\scriptstyle{\color{blue}{56700<60750<63000<66150<70875<75600<77750}}

The excess of 77 thousand and 750 over the one before it is 6 thousand and 150, and so is the excess of the fourth over the seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4-a_7=77750-75600={\color{red}{2}}150}}

והנה יתרון ע"ז אלפים תש"נ על שלפניו הוא ו' אלפים ק"נ וככה יתרון הרביעי על השביעי

Its excess over 70 thousand and 875 is 6 thousand and 875, and so is the excess of the second over the seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2-a_7=77750-70875=6875}}

ויתרונו על ע' אלפים ותתע"ה ו' אלפים תתע"ה וככה יתרון השני על השביעי

Its excess over 66 thousand and 150 is 11 thousand and 600, and so is the excess of the first over the seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1-a_7=77750-66150=11600}}

ויתרונו על ס"ו אלפים וק"נ י"א אלפים ות"ר וככה יתרון הראשון על השביעי

Its excess over 63 thousand is 14 thousand and 750, and so is the excess of the sixth over the seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{a_6-a_7=77750-63000=14750}}

ויתרונו על ס"ג אלפים י"ד אלפים תש"נ וככה יתרון הששי על השביעי

Its excess over 60 thousand and 750 is 17 thousand and 750, and so is the excess of the third over the seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3-a_7=77750-60750=17{\color{red}{75}}0}}

^[872]

ויתרונו על ס' אלפים תש"נ י"ז אלפים תש"נ וככה יתרון השלישי על השביעי

Its excess over 56 thousand and 7 hundred is 21 thousand and 50, and so is the excess of the fifth over the seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{a_5-a_7=77750-56700=21050}}

ויתרונו על נ"ו אלפים וז' מאות כ"א אלפים ונ' וככה יתרון החמישי על השביעי

Therefore, the fifth is the largest.

ולזה יהיה החמישי היותר גדול

The sum of all these numbers except the fifth is 56 thousand and 7 hundred.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_6+a_7=56700}}

והנה מקובץ כל המספרים מלבד החמישי הוא נ"ו אלפים וז' מאות

The excess of [the sum of] the first, the second, the third, the fourth, and the sixth over five times the seventh is 53 thousand and 125.

ויתרוני הראשון והשני והשלישי והרביעי והששי על חמשה דמיוני השביעי הוא נ"ג אלפים וקכ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_6-5a_7=11600+6875+17750+2150+14750=53125}}

We subtract it from 56 thousand and 7 hundred; the remainder is 3 thousand and 575.

גרענו זה מנ"ו אלפים וז' מאות ונשאר ג' אלפים ותקע"ה

We divide the remainder by six, which is the number of the numbers, whose sum is 56 thousand and 7 hundred; the result is 595 integers and 5-sixths and this is the seventh number.

חלקנו הנשאר על ששה שהוא מספר אלו המספרים אשר היה נ"ו אלפים וז' מאות מקובצים ועלה תקצ"ה שלמים וה' ששיות אחד וככה המספר השביעי

\scriptstyle{\color{blue}{a_7=\frac{\left(a_1+a_2+a_3+a_4+a_6+a_7\right)-\left(a_1+a_2+a_3+a_4+a_6-5a_7\right)}{6}=\frac{56700-53125}{6}=\frac{3575}{6}=595+\frac{5}{6}}}

We add to the seventh the excess of the sixth over it, which is 14 thousand 750; the sixth is 15 thousand 345 and 5-sixths.

הוספנו על השביעי יתרון הששי עליו שהוא י"ד אלפים תש"נ והנה הששי והוא ט"ו אלפים שמ"ה וה' ששיות אחד

\scriptstyle{\color{blue}{a_6=a_7+\left(a_6-a_7\right)=\left(595+\frac{5}{6}\right)+14750=15345+\frac{5}{6}}}

Therefore, the fifth is 21 thousand 645 and 5-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{a_7+\left(a_5-a_7\right)=\left(595+\frac{5}{6}\right)+21050=21645+\frac{5}{6}}}

ולזה יהיה החמישי כ"א אלפים תרמ"ה וה' ששיות

The fourth is two thousand 745 and 5-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{a_7+\left(a_4-a_7\right)=\left(595+\frac{5}{6}\right)+2150=2745+\frac{5}{6}}}

והרביעי אלפים תשמ"ה וה' ששיות

The third is 18 thousand 345 and 5-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{a_7+\left(a_3-a_7\right)=\left(595+\frac{5}{6}\right)+17750 =18345+\frac{5}{6}}}

והשלישי י"ח אלפים שמ"ה שלמים וה' ששיות אחד

The second is 7 thousand 470 and 5-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{a_7+\left(a_2-a_7\right)=\left(595+\frac{5}{6}\right)+6875=7470+\frac{5}{6}}}

והשני ז' אלפים ת"ע וה' ששיות אחד

The first is 12 thousand 195 and 5-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{a_7+\left(a_1-a_7\right)=\left(595+\frac{5}{6}\right)+11600=12195+\frac{5}{6}}}

והראשון י"ב אלפים קצ"ה וה' ששיות אחד

Check: If you want you can check it.

ואם תרצה תוכל לבחון זה

Four Numbers

If the problem is to take multiples of the rest so that the results are all one and the same

ואם היתה השאלה לקחת הכפלים מה מהנשארים ויהיה העולה אחד בעינו

Example: We want to find four numbers such that the first with A multiples of the rest is the same as the second with B multiples of the rest and the same as the third with G multiples of the rest and the same as the fourth with D multiples of the rest.

והמשל שנרצה למצא ארבעה מספרים יהיה הראשון עם כפלי א' מהנשארים כמו השני עם כפלי ב' מהנשארים וכמו השלישי עם כפלי ג' מהנשארים וכמו הרביעי עם כפלי ד' מהנשארים

\scriptstyle a+A\times\left(b+c+d\right)=b+B\times\left(a+c+d\right)=c+G\times\left(a+b+d\right)=d+D\times\left(a+b+c\right)

We take the numbers that precede A, B, C, D, which are H, Z, C, T.

הנה נקח המספרים הנמשכים לפני א'ב'ג'ד' והם ה'ז'ח'ט‫'

I mean that H precedes A.

\scriptstyle{\color{blue}{H=A-1}}

רצוני שה' נמשך לפני א‫'

Z precedes B.

\scriptstyle{\color{blue}{Z=B-1}}

וז' לפני ב‫'

C precedes G.

\scriptstyle{\color{blue}{C=G-1}}

וח' לפני ג‫'

T precedes D.

\scriptstyle{\color{blue}{T=D-1}}

וט' לפני ד‫'

We define the product of Z, C, T as the sum of all the numbers except the first.

\scriptstyle{\color{blue}{Z\times C\times T=a_2+a_3+a_4}}

הנה נשים מורכב ז'ח'ט' מקובץ כל המספרים מלבד הראשון

The product of H, C, T as the sum of all the numbers except the second.

\scriptstyle{\color{blue}{H\times C\times T=a_1+a_3+a_4}}

ומורכב ה'ח'ט' מקובץ כל המספרים מלבד השני

The product of H, Z, T as the sum of all the numbers except the third.

\scriptstyle{\color{blue}{H\times Z\times T=a_1+a_2+a_4}}

ומורכב ה'ז'ט' מקובץ כל המספרים מלבד השלישי

The product of H, Z, C as the sum of all the numbers except the fourth.

\scriptstyle{\color{blue}{H\times Z\times C=a_1+a_2+a_3}}

ומורכב ה'ז'ח' מקובץ כל המספרים מלבד הרביעי

After you know all this, you extract all the numbers, each according to its place by the previous way:

ואחר שידעת כל זה הנה תוציא כל המספרים איש על מקומו על האופן שקדם

Supposition: we shall find that these are the requested numbers.

ונמצא שאלו המספרים הם המספרים המבוקשים

Proof:

When the first is summed with A times the others, the result equals the first plus the number of units in the number A multiplied by the product of Z, C, T, and this equals the first and the others plus the number of units in the number A minus one multiplied by the product of Z, C, T, which equals the product of H, Z, C, T. So, the result equals the four numbers plus the product of H, Z, C, T.

המופת שהראשון כאשר חובר עם כפלי א' מהנשארים הנה העולה שוה לראשון ולדמיוני מורכב ז'ח'ט' כמו מה שבמספר א' מן האחדים וזה שוה לראשון ולנשארים ולדמיוני מורכב ז'ח'ט' כמו מה שבמספר א' פחות אחד מן האחדים וזה שוה למורכב ה'ז'ח'ט' אם כן העולה שוה לארבעה המספרים ולמורכב ה'ז'ח'ט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_1+A\sdot\left(a_2+a_3+a_4\right)&\scriptstyle=a_1+A\sdot\left(Z\times C\times T\right)=a_1+a_2+a_3+a_4+\left(A-1\right)\sdot\left(Z\times C\times T\right)\\&\scriptstyle=a_1+a_2+a_3+a_4+\left(H\times Z\times C\times T\right)\\\end{align}}}

Likewise, it is clear that when the second is summed with B times the others, the result equals the four numbers plus the product of H, Z, C, T.

וכזה התבאר שהשני כאשר חובר עם כפלי ב' מהנשארים היה העולה שוה לארבעה המספרים ולמורכב ה'ז'ח'ט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{a_2+B\sdot\left(a_1+a_3+a_4\right)=a_1+a_2+a_3+a_4+\left(H\times Z\times C\sdot T\right)}}

Also, when the third is summed with G times the others, the result equals the four numbers plus the product of H, Z, C, T.

והשלישי כאשר חובר עם כפלי ג' מהנשארים היה העולה שוה למקובץ כל המספרים ולמורכב ה'ז'ח'ט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{a_3+G\sdot\left(a_1+a_2+a_4\right)=a_1+a_2+a_3+a_4+\left(H\times Z\times C\times T\right)}}

And, when the fourth is summed with D times the others, the result equals the four numbers plus the product of H, Z, C, T.

ושהרביעי כאשר חובר עם כפלי ד' מהנשארים היה העולה שוה למקובץ כל המספרים ולמורכב ה'ז'ח'ט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{a_4+D\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)=a_1+a_2+a_3+a_4+\left(H\times Z\times C\times T\right)}}

Q.E.D.

והוא מה שרצינו לבאר

We say that if the excess of the two numbers over twice the smallest is greater than the sum of the three or equal to it, then the question is a false.

ונאמר שאם היו יתרוני שני המספרים במשלינו זה על שני דמיוני הקטן יותר ממקובץ שלשתם או שוה לו שהשאלה כוזבת

Example: let the fourth be the smallest.

והמשל שיהיה הרביעי הוא היותר קטן

Let the product of H, C, T be the number K.

\scriptstyle{\color{blue}{H\times C\times T=K}}

ויהיה מורכב ה'ח'ט' מספר כ‫'

Let the excess of the first and the third over twice the fourth be the number L.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_3\right)-2\sdot a_4=L}}

ויהיו יתרוני הראשון והשלישי על שני דמיוני הרביעי מספר ל‫'

Supposition: the number L is equal to the number K, or greater than it, so I say that the question is false, and that it is impossible to find any numbers that meet this condition.

\scriptstyle{\color{blue}{L\ge K}}

ויהיה מספר ל' שוה למספר כ' או יותר גדול ממנו ואומר שהשאלה כוזבת ושאי אפשר שימצאו מספרים ינהגו זה המנהג

The proof that it is impossible: suppose it is possible and let these numbers be the numbers M, N, S, E.

המופת שאי אפשר שאם היה אפשר יהיו המספרים ההם מספרי מ'נ'ס'ע‫'

We divide the sum of N, S, E by the units of the product of H, C, T and its parts according to this way are equal to the number P.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{M+S+E}{H\sdot C\sdot T}=P}}

הנה נחלק מקובץ מ'ס'ע' בדמיון מה שבמורכב ה'ח'ט' מן האחדים ויהיו חלקיו על זה האופן שוים למספר פ‫'

The [number of] parts of P in the sum of M, S, E is the same as the units of the product of H, C, T.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{M+S+E}{P}=H\sdot C\sdot T}}

הנה במקובץ מ'ס'ע' מדמיוני פ' כמו מה שבמורכב ה'ח'ט' מן האחדים

When we add with B times [the sum of] M, S, E, [???] as the units in the number Z, because the number Z is one less than B.

\scriptstyle{\color{blue}{B\sdot\left(M+S+E\right)-\left(M+S+E\right)=Z\sdot\left(M+S+E\right)}}

\scriptstyle{\color{blue}{Z=B-1}}

וכאשר חברנו עם ב' מכפלי מ'ס'ע' כמו מה שבמספר ז' מן האחדים לפי שמספר ז' הוא פחות אחד מב‫'

But the [number of] parts of P in [the sum of] M, S, E is the same as the units in the product H, Z, C, T.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{Z\sdot\left(M+S+E\right)}{P}=H\sdot Z\sdot C\sdot T}}

אבל במ'ס'ע' מדמיוני פ' כמו מה שבמורכב ה'ז'ח'ט' מן האחדים

M [plus] A times the rest is the same as N plus B times the rest.

\scriptstyle{\color{blue}{M+A\sdot\left(N+S+E\right)=N+B\sdot\left(M+S+E\right)}}

ולפי שהיה מ' מכפלי א' מהנשארים כמו נ' עם כפלי ב' מהנשארים

M plus A times the rest equals the [sum of the] numbers M, N, S, E plus the product of [the sum of] N, S, E by the units in H.

והיה מ' עם כפלי א' מן הנשארים שוה למספרי מ'נ'ס'ע' ולדמיוני נ'ס'ע' כמו מה שמספר ה' מן האחדים

\scriptstyle{\color{blue}{M+A\sdot\left(N+S+E\right)=\left(M+N+S+E\right)+\left[\left(N+S+E\right)\sdot H\right]}}

Therefore, the [number of] parts of P in the product of H by [the sum of] N, S, E is the same as the units in the product H, Z, C, T.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{H\sdot\left(N+S+E\right)}{P}=H\sdot Z\sdot C\sdot T}}

אם כן ה' מוכה על נ'ס'ע' יהיו בו מדמיוני פ' כמו מה שבמורכב ה'ז'ח'ט' מן האחדים

So, the [number of] parts of P in the [sum] of N, S, E is the same as the units in the product Z, C, T.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{N+S+E}{P}=Z\sdot C\sdot T}}

ולזה יהיה במורכב נ'ס'ע' מדמיוני פ' כמו מה שבמורכב ז'ח'ט' מן האחדים

Similarly, it is clear that the [number of] parts of P in the [sum] of the numbers M, N, E is the same as the units in the product H, Z, T.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{M+N+E}{P}=H\sdot Z\sdot T}}

ובזה יתבאר שבמספרי מ'נ'ע' מדמיוני פ' כמו מה שבמורכב ה'ז'ט' מן האחדים

Also, the [number of] parts of P in the [sum] of the numbers M, N, S is the same as the units in the product H, Z, C.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{M+N+S}{P}=H\sdot Z\sdot C}}

ושבמספרי מ'נ'ס' מדמיוני פ' כמו מה שבמורכב ה'ז'ח' מן האחדים

Therefore, the [number of] parts of P in the [sum] of the numbers M, S, E is the same as the units in the number K.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{M+S+E}{P}=K}}

ולזה יהיו במספרי מ'ס'ע' מדמיוני פ' כמו מה שבמספר כ' מן האחדים

It is clear according to the previous explanation that the [number of] parts of P in the excess of [the sum of] M, S over two times E is the same as the units in the number L.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(M+S\right)-\left(2\sdot E\right)}{P}=L}}

ויתבאר בכמו הביאור הקודם שיתרון מ'ס' על שני דמיוני ע' מדמיוני פ' כמו מה שבמספר ל' מהאחדים

But L is the same as K, or greater than it.

\scriptstyle{\color{blue}{L\ge K}}

אבל ל' כמו כ' או יותר

So, [the sum of] the numbers M, S is greater than [the sum of] the number M, S, E and this is false.

\scriptstyle{\color{blue}{M+S\ngtr M+S+E}}

אם כן מספרי מ'ס' יותר גדולים ממספרי מ'ס'ע' וזה שקר

Therefore, it is impossible to find numbers that meet the condition [= the assumption is false].

הנה אם כן אי אפשר שימצאו מספרים ינהגו זה המנהג

Five Numbers

We will give you an example of this:

והנה נתן לך דמיון על זה

We want to find five numbers such that the first with three times of the rest is the same as the second with three times and a half of the rest and the same as the third and three times and a third of the rest and the same as the fourth and three times and 2-thirds of the rest and the same as the fifth with four times of the restץ

נרצה שנמצא חמשה מספרים יהיה הראשון עם שלושה דמיוני הנשארים כמו השני עם שלשה דמיוני הנשארים וחצי וכמו השלישי עם שלשה דמיוני הנשארים ושלישיותם וכמו הרביעי עם שלשה דמיוני הנשארים וב' שלישיותיהם וכמו החמישי עם ארבעה דמיוני הנשארים

\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle a_1+3\sdot\left(a_2+a_3+a_4+a_5\right)&\scriptstyle=a_2+\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(a_1+a_3+a_4+a_5\right)\right]\\&\scriptstyle=a_3+\left[\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(a_1+a_2+a_4+a_5\right)\right]\\&\scriptstyle=a_4+\left[\left(3+\frac{2}{3}\right)\sdot\left(a_1+a_2+a_3+a_5\right)\right]\\&\scriptstyle=a_5+4\sdot\left(a_1+a_2+a_3+a_4\right)\\\end{align}

The sum of the others except the first according to the previous way is 46 and 2-thirds.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)-1\right]\sdot\left[\left(3+\frac{1}{3}\right)-1\right]\sdot\left[\left(3+\frac{2}{3}\right)-1\right]\sdot\left(4-1\right)}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_2+a_3+a_4+a_5=46+\frac{2}{3}}}

הנה יהיה מקובץ הנשארים מלבד הראשון על האופן הקודם מ"ו וב' שלישיות

The sum of the others except the second is 37 and a third.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(3-1\right)\sdot\left[\left(3+\frac{1}{3}\right)-1\right]\sdot\left[\left(3+\frac{2}{3}\right)-1\right]\sdot\left(4-1\right)}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_3+a_4+a_5=37+\frac{1}{3}}}

ומקובץ הנשארים מלבד השני ל"ז ושליש

The sum of the others except the third is 40.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(3-1\right)\sdot\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)-1\right]\sdot\left[\left(3+\frac{2}{3}\right)-1\right]\sdot\left(4-1\right)}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_4+a_5=40}}

ומקובץ הנשארים מלבד השלישי מ‫'

The sum of the others except the fourth is 35.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(3-1\right)\sdot\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)-1\right]\sdot\left[\left(3+\frac{1}{3}\right)-1\right]\sdot\left(4-1\right)}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_5=35}}

ומקובץ הנשארים מלבד הרביעי ל"ה

The sum of the others except the fifth is 31 and a ninth.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(3-1\right)\sdot\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)-1\right]\sdot\left[\left(3+\frac{1}{3}\right)-1\right]\sdot\left[\left(3+\frac{2}{3}\right)-1\right]}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4=31+\frac{1}{9}}}

ומקובץ הנשארים מלבד החמישי ל"א ותשיעית

The excess of the third over the first is 6 and 2-third.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3-a_1={\color{OliveGreen}{\left(46+\frac{2}{3}\right)-40}}=6+\frac{2}{3}}}

והנה יתרון השלישי על הראשון ו' וב' שלישיות

The excess of the second over the first is 9 and a third.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2-a_1={\color{OliveGreen}{\left(46+\frac{2}{3}\right)-\left(37+\frac{1}{3}\right)}}=9+\frac{1}{3}}}

ויתרון השני על הראשון ט' ושליש

The excess of the fourth over the first is 11 and 2-third.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4-a_1={\color{OliveGreen}{\left(46+\frac{2}{3}\right)-35}}=11+\frac{2}{3}}}

ויתרון הרביעי על הראשון י"א וב' שלישיות

The excess of the fifth over the first is 15 and 5-ninths.

\scriptstyle{\color{blue}{a_5-a_1={\color{OliveGreen}{\left(46+\frac{2}{3}\right)-\left(31+\frac{1}{9}\right)}}=15+\frac{5}{9}}}

ויתרון החמישי על הראשון ט"ו וה' תשיעיות

Hence, the excess of the second, the third, and the fourth over three times the first is 27 and 2-third.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2+a_3+a_4-3a_1=27+\frac{2}{3}}}

הנה אם כן יתרוני השני והשלישי והרביעי על שלשה דמיוני הראשון הוא כ"ז וב' שלישיות

We subtract it from the sum of the four of them, which is 31 and a ninth; 3 and 4-ninths remain.

גרענו מזה מקובץ ארבעתם שהוא ל"א ותשיעית ונשאר ג' וד' תשיעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_2+a_3+a_4\right)-\left(a_2+a_3+a_4-3a_1\right)=\left(31+\frac{1}{9}\right)-\left(27+\frac{2}{3}\right)=3+\frac{4}{9}}}

We divide it by the number of these numbers; the first is 31 parts of 36.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1={\color{OliveGreen}{\frac{3+\frac{4}{9}}{4}}}=\frac{31}{36}}}

חלקנום על מספר אלו המספרים והנה הראשון ל"א חלקים מל"ו באחד

The second is 10 and 7 parts of 36.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=10+\frac{7}{36}}}

והשני י' וז' חלקים מל"ו

The third is 7 and 19 parts of 36.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=7+\frac{19}{36}}}

והשלישי ז' וי"ט חלקים מל"ו

The fourth is 12 and 19 parts of 36.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=12+\frac{19}{36}}}

והרביעי י"ב וי"ט חלקים מל"ו

The fifth is 16 and 15 parts of 36.

\scriptstyle{\color{blue}{a_5=16+\frac{15}{36}}}

והחמישי י"ו וט"ו חלקים מל"ו

Check: If you want you can check it.

ואם תרצה תוכל לבחון זה

Three Numbers

Question: we add one number to a second number and the ratio of the sum to a third number is a given number.

When we add the first number to the third number the ratio of the sum to the second number is a second given number.

One of the three numbers is so and so.

How much is each of the rest?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle \left(a+b\right):c=N\\\scriptstyle \left(a+c\right):b=M\end{cases}

שאלה חברנו מספר ראשון עם מספר שני והיה יחס העולה אל מספר שלישי מספר מונח

וכשחברנו המספר הראשון אל המספר ‫^[873]השלישי היה יחס העולה אל המספר השני מספר מונח שני
ואחד מהשלשה מספרים ככה
כמה כל הנשארים

You already know how to find three numbers that this is true for them, so you extract them.

כבר ידעת איך תמצא שלשה מספרים יצדק בהם זה ותוציאם

Rule of Three: Since you know a [number] that is proportional to one of the them, you can find the proportional [numbers] that correspond to the rest of the numbers and this is the required.

ולפי שידעת אחד מן הגיליים לאחד מהם תוכל להוציא הגיליים למספרים הנשארים והנה המבוקש

Example: when one number is added to a second number, their ratio to the third is 3 integers, 2-fifths and a seventh.

When the first is added to the third, their ratio to the second is 7 integers, 2-thirds and a quarter.

The second number is 30.

We wish to know: how much is each of the rest?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):c=3+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}\\\scriptstyle\left(a+c\right):b=7+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\\\scriptstyle b=30\end{cases}

דמיון שיהיה מספר ראשון כשחובר אל מספר שני היה יחסו אל השלישי ג' שלמים וב' חמשיות ושביעית

וכשחובר הראשון אל השלישי יהיה יחסו אל השני‫^[874] ז' שלמים וב' שלישיות ורביעית
והמספר השני שלשים
ורצינו לדעת כמה כל אחד מהנשארים

First, we extract three numbers that meet this condition in the way that was explained in the first section of this book:

הנה נוציא תחלה ג' מספרים ינהגו זה המנהג על זה הדרך שהתבאר במאמר הראשון מזה הספר

So, subtract one from the product of 3 integers, 2-fifths, and a seventh by 7 integers, 2-thirds, and a quarter; the remainder is 27 integers and a third of a seventh, and this is the first number.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left[\left(3+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}\right)\sdot\left(7+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right)\right]-1=27+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)}}

ולזה תגרע אחד משטח ג' שלמים וב' חמישיות ושביעית בז' שלמים וב' שלישיות ורביעית וישאר כ"ז שלמים ושלישית שביעית והוא המספר הראשון

Add one to 3 integers, 2-fifths, and a seventh; you receive 4 integers, 2-fifths, and a seventh and this is the second number.

\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(3+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}\right)+1=4+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}}}

ותוסיף אחד על ג' שלמים וב' חמישיות ושביעית ויהיו בידך ד' שלמים וב' חמישיות ושביעית‫^[875] והוא המספר השני

Add also one to 7 integers, 2-thirds, and a quarter; the result is the third number and it is 8 integers, 2-thirds, and a quarter.

\scriptstyle{\color{blue}{c_1=\left(7+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right)+1=8+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}}

גם תוסיף אחד על ז' שלמים וב' שלישיות ורביעית והעולה בידך הוא המספר השלישי והוא ח' שלמים וב' שלישיות ורביעית

You already know that the number that is proportional to the second is 30.

וכבר ידעת שהמספר הגיליי לשני הוא שלשים

first	second	third
27 integers and a third of a seventh	4 integers 2-fifths and a seventh	8 integers 2-thirds and a quarter
178 integers and 98 parts of 159	thirty	58 integers and 281 parts of 318

שלישי	שני	ראשון
‫[ח]‫' שלמים וב' שלישיות ורביעית	ד' שלמים וב' חמישי' ושביעי	כ"ז שלמים ושלישי שביעי
נ"ח שלמים ורפ"א חלקים משי"ח באחד	שלשים	קע"ח שלמים וצ"ח חלקים מקנ"ט באחד

Rule of Three:

Hence, the number that is proportional to the first is 178 integers and 98 parts of 159 of a unit.

\scriptstyle{\color{blue}{a=178+\frac{98}{159}}}

ולזה יהיה המספר הגיליי לראשון קע"ח שלמים וצ"ח חלקים מקנ"ט באחד

The third number is 58 integers and 281 parts of 318 of a unit.

\scriptstyle{\color{blue}{c=58+\frac{281}{318}}}

והמספר השלישי נ"ח שלמים ורפ"א חלקים משי"ח באחד

These three numbers are the sought-after.

ואלו השלשה מספרים הם [ה]מבוקשים

Investigate this and you will find.

ואלו תחקור [ו]תמצא

It has already been explained to you, if you know the sum of two of these successive numbers, how you can know all the numbers each corresponding to the known proportional number.

וכבר התבאר לך שאם ידעת מקובץ שנים מאלו הנמשכים איך תוכל לדעת כל המספרים איש על מקומו הגיליים לראשונים הידועים

Or, if you know the excess of one of the successive proportional numbers, or of the sum of two of the successive proportional numbers, over another one of them, or over the sum of two of the successive proportional numbers.

או אם ידעת יתרון אחד מהנמשכים ידוע הגיליות או מקובץ שנים מהם ידועי הגיליות על אחד מהם ידוע הגיליות או על מקובץ שנים מהם ידועי הגיליות

Or, other methods by which you can find the proportional numbers, each corresponding to its place.

ושאר האופנים אשר תוכל לקנות מהם ידיעת המספרים הגיליים איש על מקומו

After you know these proportional numbers by whatever method you acquire this knowledge, we explain to you that these proportional numbers are the required numbers:

ואחר שתדע ‫^[876][המספרים] הגיליים מאיזה צד שתקנה הידיעה בזה הנה נבאר לך שאלו [המ]ספר[ים] הגיליים הם המבוקשים

This is because the ratio of the first of the formers to the second of them is the same as the ratio of the first of the latter to the second of them.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:b_1=a:b}}

וזה לפי שיחס הראשון מהקודמים אל השני מהם כיחס הראשון מהנמשכים אל השני מהם

And the ratio of the second of the formers to the third of them is the same as the ratio of the second of the latter to the third of them.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b_1:c_1=b:c}}

ויחס השני מהקודמים אל השלישי מהם כיחס השני מהנמשכים אל השלישי מהם

By equivalence, the ratio of the first of the formers to the third is the same as the ratio of the first of the latter to the third.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:c_1=a:c}}

הנה ביחס השווי יהיה יחס הראשון מהקודמים אל השלישי כיחס הראשון מהנמשכים אל השלישי

When we sum up, the ratio of the sum of the first and the second of the formers to the third is the same as the sum of the first and the second of the latter to the third.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a_1+b_1\right):c_1=\left(a+b\right):c}}

וכאשר קבצנו הנה יחס הראשון והשני מהקודמים מקובצים אל השלישי כיחס הראשון והשני מהנמשכים מקובצים אל השלישי

But, the ratio of the sum of the first and the second former numbers to the third in our example is 3 integers, 2-fifths and a seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+b_1\right):c_1=3+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}}}

אבל יחס הראשון והשני מהקודמים מקובצים אל השלישי הוא במשלינו זה ג' שלמים וב' חמישיות ושביעית

So, the ratio of the sum of the first and the second latter numbers to the third is 3 integers, 2-fifths and a seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a+b\right):c=3+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}}}

אם כן יחס הראשון והשני מהנמשכים מקובצים אל השלישי הוא ג' שלמים וב' חמישיות ושביעית

Likewise, it is clear that the ratio of the sum of the first and the third latter numbers to the second is 7 integers, 2-thirds and a quarter.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a+c\right):b=7+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}}

וכזה גם כן התבאר שיחס הראשון והשלישי מהנמשכים מקובצים אל השני הוא ז' שלמים וב' שלישיות ורביעית

Deduce from this.

והקש על זה

Another example: the ratio of the first and the second summed together to the third is 3-fifths and a sixth.

The ratio of the first and the third summed together to the second is 2 integers and a third.

The first number is 20.

We wish to know: how much is each of the remaining numbers?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):c=\frac{3}{5}+\frac{1}{6}\\\scriptstyle\left(a+c\right):b=2+\frac{1}{3}\\\scriptstyle a=20\end{cases}

דמיון אחר יהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל השלישי ג' חמשיות וששית

ויחס הראשון והשלישי מקובצים אל השני ב' שלמים ושלישית
והמספר הראשון עשרים
ורצינו לדעת כמה כל אחד מ[ה]מספרים הנשארים

We extract the three numbers that meet the condition according to what was explained:

הנה לפי מה‫^[877] שהתבאר נוציא המספרים אשר מנהגם זה המנהג

The first number according to what preceded is 2-fifths, a third and a third of a sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left[\left(\frac{3}{5}+\frac{1}{6}\right)\sdot\left(2+\frac{1}{3}\right)\right]-1=\frac{2}{5}+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)}}

ויהיה המספר הראשון לפי מה שקדם ב' חמישיות ושלישית ושליש ששית

The second number is one integer, 3-fifths and a sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(\frac{3}{5}+\frac{1}{6}\right)+1=1+\frac{3}{5}+\frac{1}{6}}}

ויהיה המספר השני אחד שלם וג' חמישיות וששית

The third number is 3 integers and a third.

\scriptstyle{\color{blue}{c_1=\left(2+\frac{1}{3}\right)+1=3+\frac{1}{3}}}

ויהיה מספר השלישי ג' שלמים ושלישית

Rule of Three:

Since the number corresponding to the first number is twenty, the number corresponding to the second number is 44 integers and 56 parts of 71.

\scriptstyle{\color{blue}{b=44+\frac{56}{71}}}

ולפי שהיה המספר הגיליי לראשון עשרים יהיה המספר הגיליי לשני מ"ד שלמים ונ"ו חלקים מע"א באחד שלם

And the number corresponding to the third number is 84 integers and 36 parts of 71.

\scriptstyle{\color{blue}{c=84+\frac{36}{71}}}

והמספר הגיליי לשלישי פ"ד שלמים ול"ו חלקים מע"א באחד שלם

These are the sought-after numbers.

והם המספרים המבוקשים

Check: If you want you can check it.

ואם תרצה תוכל לבחון זה

first	second	third
2-fifths, a third and a third of a sixth	1 integer, 3-fifths and a sixth	3 integers and a third
twenty	44 integers and 56 parts of 71	84 integers and 36 parts of 71

שלישי	שני	ראשון
ג' שלמים ושלישית	א' שלם וג' חמישיות וששית	ב' חמישיות ושלישית ושליש ששית
פ"ד שלמים ול"ו חלקים מע"א	מ"ד שלמים ונ"ו חלקים מע"א	עשרים

You should know that if the product of the ratio of the first and the second summed together to the third by the ratio of the first and the third summed together to the second is not greater than one whole than whoever asked made a mistake.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a+b\right):c\right]\times\left[\left(a+c\right):b\right]\le1}}

וראוי שתדע שאם לא עלה יותר מאחד שלם השטח ההווה מיחס הראשון והשני מקובצים אל השלישי ביחס הראשון והשלישי מקובצים אל השני שכבר טעה השואל

We offer a proposition to explain this. We explain in it that for any two given numbers, the product of the ratio of the first to the second by the ratio of the second to the first is one whole.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a:b\right)\times\left(b:a\right)=1}}

ונציע לביאור זה הקדמה נבאר בה ‫^[878]שכל שני מספרים מונחים הנה שטח יחס הראשון אל השני ביחס השני אל הראשון שלם

This is because one of the given numbers is either one part or of the other, or parts [of it].

וזה שאחד מהמספרים המונחים אם שיהיה חלק מהאחר או חלקים

Let it first be one part [of the other]. We say that what we said is verified.

ויהיה תחלה חלק ונאמר שכבר יתאמת מה שאמרנו

Example: let the given numbers be the numbers A, B and let B counts A as the measure of the units of G.

המשל שיהיו המספרים המונחים מספרי א'ב‫'

והיה ב' ימנהו א' בשעור אחדי ג‫'

So, the ratio of B to A is the number G.

\scriptstyle{\color{blue}{B:A=G}}

אם כן יחס ב' אל א' מספר ג‫'

The ratio of A to B is one part of G.

\scriptstyle{\color{blue}{A:B=\frac{1}{G}}}

ויחס א' אל ב' חלק אחד מג' חלקים באחד

When G integers are multiplied by one part of G parts of one, the result is one, as explained above.

\scriptstyle{\color{blue}{G\times\frac{1}{G}=1}}

וכאשר הוכה ג' שלמים על חלק אחד מג' חלקים באחד היה העולה אחד לפי מה שהתבאר קודם

Let also the smaller number be parts of the larger [number].

ויהיה גם כן המספר הקטן חלקים מן הגדול

Supposition: I say that the product of the ratio of one number to the other by the ratio of the other to it is one.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a:b\right)\times\left(b:a\right)=1}}

הנה אומר ששטח יחס המספר האחד אל האחר ביחס המספר האחר אליו הוא אחד

Let the smaller number in our example be DH.

ויהיה במשלינו זה המספר הקטן ד'ה‫'

Let the larger number be B.

והמספר הגדול ב‫'

Let DH be Z parts of G of the number B.

\scriptstyle{\color{blue}{DH=\frac{Z}{G}\sdot B}}

ויהיה ד'ה' ז' חלקים מג' במספר ב‫'

Let HC be one part of G of the number B.

\scriptstyle{\color{blue}{HC=\frac{1}{G}\sdot B}}

ויהיה ה'ח' חלק מג' במספר ב‫'

So, HC multiplied by Z is HD.

\scriptstyle{\color{blue}{HC\sdot Z=HD}}

הנה ה'ח' הוכה בז' והיה ה'ד‫'

We multiply B by Z; let is be TK.

\scriptstyle{\color{blue}{B\sdot Z=TK}}

ונכה ב' בז' ויהיה ט'כ‫'

Then, the ratio of CH to B is the same as the ratio of DH to TK.

\scriptstyle{\color{blue}{CH:B=DH:TK}}

הנה יחס ח'ה' אל ב' כיחס ד'ה' אל ט'כ‫'

When we exchange and switch, the ratio of DH to CH is the same as the ratio of TK to B.

\scriptstyle{\color{blue}{DH:CH=TK:B}}

וכאשר המירונו וחלפנו הנה יחס ד'ה' [אל ח'ה' כיחס ט'כ' אל ב‫'

Also, the ratio of DH to B is Z times the ratio of CH to B.

\scriptstyle{\color{blue}{DH:B=Z\sdot\left(CH:B\right)}}

וגם כן הנה יחס ד'ה'] אל ב' הוא ז' דמיוני יחס ח'ה' אל ב‫'

The ratio of B to DH is one part of Z of the ratio of TK to DH.

\scriptstyle{\color{blue}{B:DH=\frac{1}{Z}\sdot\left(TK:DH\right)}}

ויחס ב' אל ד'ה' הוא חלק אחד מז' מיחס ט'כ' אל ד'ה‫'

But, the ratio of TK to DH, which is G, multiplied by the ratio of CH to B, which is the same as the ratio of DH to TK, is one.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(TK:DH\right)\sdot\left(CH:B\right)=G\sdot\left(DH:TK\right)=1}}

אבל יחס ט'כ' אל ד'ה' שהוא ג' כבר יוכה ביחס ח'ה' אל ב' שהוא כיחס ד'ה' אל ט'כ' ויהיה אחד

Therefore, the ratio of DH to B multiplied by the ratio of B to DH is also one, since the factors are the same.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(DH:B\right)\sdot\left(B:DH\right)=1}}

אם כן יחס ד'ה' אל ב' כבר יוכה ביחס ב' אל ד'ה' ויהיה אחד גם כן לפי שהצלעות מספיקות

When this is clarified, it is clear that the product of the ratio of the first and the second summed together to the third by the ratio of the first and the third summed together to the second is greater than one.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a+b\right):c\right]\times\left[\left(a+c\right):b\right]>1}}

וכאשר התבאר זה הנה יתבאר שהשטח ההווה מיחס הראשון והשני מקובצים אל השלישי ביחס הראשון והשלישי מקובצים אל השני הוא יותר מאחד שלם

This is because the ratio of the sum of the third and the first to the second is much greater than the ratio of the third to the sum of the first and the second.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+c\right):b>c:\left(a+b\right)}}

‫^[879][וזה שיחס השלישי והראשון מקובצים אל השני הוא יותר גדול הרבה מיחס השלישי אל הראשון והשני מקובצים

But, the product of the ratio of the sum of the first and the second to the third by the ratio of the third to the sum of the first and the second is one.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a+b\right):c\right]\times\left[c:\left(a+b\right)\right]=1}}

ואולם שטח יחס הראשון והשני מקובצים אל השלישי ביחס השלישי אל הראשון והשני מקובצים הוא אחד שלם

So, the product of the ratio of the sum of the first and the second to the third by the ratio of the sum of the first and the third to the second is more than one.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a+b\right):c\right]\times\left[\left(a+c\right):b\right]>1}}

אם כן השטח ההווה מיחס הראשון והשני מקובצים אל השלישי ביחס הראשון והשלישי מקובצים אל השני הוא יותר מאחד שלם]

Question: the ratio of the second to what remains from the third when the first is subtracted from it is a given number.

The ratio of the third to what remains from the second when the first is subtracted from it is another given number.

How much is each of the numbers that meet this condition?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b:\left(c-a\right)=N\\\scriptstyle c:\left(b-a\right)=M\end{cases}

שאלה יחס השני אל הנשאר מהשלישי כשחוסר ממנו הראשון מספר מונח

ויחס השלישי אל הנשאר מהשני כשחוסר ממנו הראשון מספר אחר מונח
כמה כל אחד מהמספרים שינהגו זה המנהג

You should extract three numbers that meet the previous condition using the ratios mentioned here:

ראוי שתוציא שלשה מספרים ינהגו כמו המנהג הקודם זה באלו היחסים הנזכרים הנה הוא

The first number is the first number here; the sum of the first and the second is the second number here; and the sum of the first and the third is the third number here.

והמספר הראשון הוא יהיה הראשון הנה

והראשון והשני מקובצים יהיו המספר השני הנה
והראשון והשלישי מקובצים יהיו המספר השלישי הנה

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a=a_1\\\scriptstyle b=a_1+b_1\\\scriptstyle c=a_1+c_1\end{cases}}}

Example: the ratio of the second to what remains from the third when the first is subtracted from it is 3 integers and a third.

The ratio of the third to what remains from the second when the first is subtracted from it is the number 6.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b:\left(c-a\right)=3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle c:\left(b-a\right)=6\end{cases}

והמשל שיהיה יחס ‫^[880]השני אל הנשאר מהשלישי כשחוסר ממנו הראשון ג' שלמים ושליש

ויחס השלישי אל הנשאר מהשני כשחוסר ממנו הראשון מספר ו'

Extract three numbers according to the previous procedure using the ratios mentioned here: i.e. the ratio of the sum of the first and the second to the third is 3 integers and a third; and the ratio of the sum of the first and the third to the second is 6 integers.

הנה תוציא שלשה מספרים על הדרך הקודמת באלו היחסים הנזכרים הנה

ר"ל שיהיה יחס מקובץ הראשון והשני אל השלישי ג' שלמים ושליש
ויחס מקובץ הראשון והשלישי מקובצים אל השני ו' שלמים

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle\left(a_1+b_1\right):c_1=3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle\left(a_1+c_1\right):b_1=6\end{cases}}}

The first is 19.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left[\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot6\right]-1=19}}

והנה הראשון [י"]ט

The second is 4 and a third.

\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(3+\frac{1}{3}\right)+1=4+\frac{1}{3}}}

והשני ד' ושליש

The third is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{c_1=6+1=7}}

והשלישי ז‫'

Hence, the first is 19.

\scriptstyle{\color{blue}{a=a_1=19}}

ולזה יהיה הראשון י"ט

Add 19 to the second; it is 23 integers and a third and this is the second number.

\scriptstyle{\color{blue}{b=a_1+b_1=19+\left(4+\frac{1}{3}\right)=23+\frac{1}{3}}}

ותחבר עם השני י"ט ויהיו כ"ג שלמים ושליש והוא המספר השני

Add 19 to the third; it is 26 and this is the third number.

\scriptstyle{\color{blue}{c=a_1+c_1=19+7=26}}

ותחבר עם השלישי י"ט יהיו כ"ו והוא המספר השלישי

Deduce from this.

והקש על זה

The reason for this is clear from what preceded.

וסבת זה מבוארת ממה שקדם

You can also extract everything you extract by the previous method, i.e. if you know one of the numbers, you can find the other numbers after you extract the proportional numbers corresponding to the unknown numbers that meet these conditions and any consequent knowledge that enables to extract them.

ומזה גם כן תוכל להוציא כל מה שהוצאת בדרך הקודמת ר"ל שאם נודע לך אחד מהמספרים תוכל לדעת האחרים אחר שהוצאת המספרים שינהגו זה המנהג אשר הם גיליים למספרים הנעלמים ומה שנמשך לזה מהוצאתם מצד הידיעות אשר אפשר לקנות מהם זאת הידיעה

Question: we add the first to the second, the ratio of the sum to what remains from the third after the first is subtracted from it is a given number.

When we add the first to the third, the ratio of the sum to what remains from the second after the first is subtracted from it is another given number.

How much is each of the numbers that meet this condition?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):\left(c-a\right)=N\\\scriptstyle\left(a+c\right):\left(b-a\right)=M\end{cases}

שאלה חברנו הראשון עם השני והיה יחס המקובץ אל הנשאר מהשלישי כשחוסר ממנו הראשון מספר מונח

וכאשר חברנו הראשון עם השלישי היה יחס המקובץ אל הנשאר מהשני כשחוסר ממנו הראשון מספר אחר מונח
כמה כל אחד מהמספרים שינהגו זה המנהג

You should extract three numbers by these ratios according to the previous procedure:

הנה ראוי שתוציא לפי אלו היחסים שלשה מספרים על הדרך הקודמת

Half the first number is the first number here; the sum of the second and this first, meaning half the previous first, is the second number here; and the sum of the third and this first is the third number here.

וחצי המספר הראשון הוא יהיה המספר הראשון הנה

והשני מחובר עם הראשון הזה רצוני חצי הראשון הקודם הוא יהיה המספר השני הנה
והשלישי מחובר עם הראשון הזה הוא יהיה המספר השלישי הנה

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a=\frac{1}{2}a_1\\\scriptstyle b=\frac{1}{2}a_1+b_1\\\scriptstyle c=\frac{1}{2}a_1+c_1\end{cases}}}

Example: the ratio of the first and the second summed together to what remains from the third when the first is subtracted from it is 4 integers and a half.

The ratio of the first and the third summed together to what remains from the second when the first is subtracted from it is 5 integers.

We wish to know: how much is each of the numbers that meet this condition?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):\left(c-a\right)=4+\frac{1}{2}\\\scriptstyle\left(a+c\right):\left(b-a\right)=5\end{cases}

והמשל שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל הנשאר [מהשלישי כשחוסר ממנו הראשון ד' שלמים וחצי

ויחס הראשון והשלישי מקובצים אל הנשאר] מהשני כשחוסר ממנו הראשון הוא ה' שלמים
ונרצה לדעת כמה כל המספרים שינהגו זה המנהג

We extract the three numbers according to the previous procedure by these ratios, meaning the ratio of the sum of the first and the second to the third is 4 and a half; and the ratio of the sum of the first and the third to the second is the number 5.

הנה נוציא המספרים השלשה על הדרך הקודמת לפי אלו היחסים רצוני שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל השלישי ד' וחצי

ויהיה יחס הראשון והשלישי מקובצים אל השני מספר ה‫'

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle\left(a_1+b_1\right):c_1=4+\frac{1}{2}\\\scriptstyle\left(a_1+c_1\right):b_1=5\end{cases}}}

Hence, the first is 21 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left[\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot5\right]-1=21+\frac{1}{2}}}

ולזה יהיה הראשון ‫^[881]כ"א וחצי

The second is 5 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(4+\frac{1}{2}\right)+1=5+\frac{1}{2}}}

והשני ה' וחצי

The third is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{c_1=5+1=6}}

והשלישי ו‫'

Half the first is 10 and 3-quarter and this is the first.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{2}a_1=10+\frac{3}{4}}}

והנה חצי הראשון הוא י' וג' רביעיות והוא הראשון

We add 10 and 3-quarters to the second; the result is 16 and a quarter and this is the second.

\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{1}{2}a_1+b_1=\left(10+\frac{3}{4}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)=16+\frac{1}{4}}}

הנה חברנו י' וג' רביעיות עם השני ועלה י"ו ורביע והוא השני

We add 10 and 3-quarters to the third; the result is 16 and 3-quarters and this is the third.

\scriptstyle{\color{blue}{c=\frac{1}{2}a_1+c_1=\left(10+\frac{3}{4}\right)+6=16+\frac{3}{4}}}

הנה חברנו י' וג' רביעיות עם השלישי ועלה י"ו וג' רביעיות והוא השלישי הנה

Deduce from this.

והקש על זה

The reason for this is clear from what preceded.

וסבת זה מבוארת ממה שקדם

Once you know the numbers that meet this condition, you can extract from them their proportional numbers based on the previous procedure.

ואחר שידעת המספרים שינהגו זה המנהג תוכל לקנות מהם הידיעה במספרים הגיליים על הצד הקודם

Meaning, given the information about one of the proportional numbers, or the sum of two of them, or other kinds of information mentioned before, from which we can derive the knowledge of the proportional numbers corresponding to the three given numbers.

רצוני עם קדימת הידיעה באחד מהם ידוע הגיליות או מקובץ שנים מהם או שאר מיני הידיעות הנזכרות קודם אשר נעמד מהם על ידיעת המספרים הגיליים לשלשה המספרים המונחים

The first number with a given part of the second and the third summed together equals the second number with another given part of the first and the third summed together and also equals the third number with another given part of the first and the second summed together.

One of the numbers is a given number.

How much is each of the remaining numbers?

\scriptstyle a+\frac{1}{n}\sdot\left(b+c\right)=b+\frac{1}{m}\sdot\left(a+c\right)=c+\frac{1}{g}\sdot\left(a+b\right)

שאלה המספר הראשון עם חלק מונח מהשני והשלישי מקובצים שוה אל המספר השני עם חלק אחד מונח מהראשון והשלישי מקובצים

וכן הוא שוה אל המספר השלישי עם חלק אחר מונח מהראשון והשני מקובצים
ואחד מהמספרים מספר מונח
כמה כל אחד מהמספרים הנשארים

First, you should extract three numbers that meet the condition based on the procedure explained in the first section of this book.

הנה ראוי שתוציא תחלה המספרים שינהגו זה המנהג על הצד שהתבאר במאמר הראשון מזה הספר

general solution:

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=g+\left(m-n\right)+\left[\left(n-2\right)\sdot m\sdot g\right]\\\scriptstyle b_1=a_1+\left[2\sdot\left(m-n\right)\sdot\left(g-1\right)\right]\\\scriptstyle c_1=b_1+\left[2\sdot\left(n-1\right)\sdot\left(g-m\right)\right]\end{cases}}}

Rule of Three: From your knowledge of one of the proportional numbers you can derive the knowledge of all the proportional numbers, each according to its place, and these numbers are the sought-after.

וממה שקדם לך מהידיעה באחד מהמספרים הגיליים תעמוד על ידיעת המספרים הגיליים בכללם איש על מקומו והמספרים ההם הם המבוקשים

Example: the first with a quarter of the rest is equal to the second with a sixth of the rest and is also equal to the third with a ninth of the rest.

The first is added to the greatest part of the rest and the third is added to the smallest part of the rest.

The second number is 20.

We wish to know: how much is each of the rest?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{4}\sdot\left(b+c\right)=b+\frac{1}{6}\sdot\left(a+c\right)=c+\frac{1}{9}\sdot\left(a+b\right)\\\scriptstyle b=20\end{cases}

והמשל שיהיה הראשון עם רביעית הנשארים שוה אל השני עם ששית הנשארים

והוא גם כן שוה אל השלישי עם תשיעית הנשארים
וכבר התבאר לך במאמר הראשון מזה הספר שסדר אלו המספרים השלשה הוא על זאת ההדרגה אשר סדרנו רצוני שהראשון הוא אשר יתחבר עמו חלק יותר גדול מהנשארים והשלישי הוא אשר יתחבר עמו חלק יותר קטן מהנשארים והזכרתי לך זה למען לא תתבלבל בסדורם
ויהיה המספר השני מהם כ‫'
ורצינו לדעת כמה כל אחד מהנשארים

We already know that the numbers that meet this condition are: the first is 119; the second is 151 and the third is 169.

וכבר ידענו שהמספרים אשר ינהגו כמו זה המנהג הראשון מהם קי"ט והשני קנ"א והשלישי קס"ט

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1={\color{OliveGreen}{9+\left(6-4\right)+\left[\left(4-2\right)\sdot6\sdot9\right]}}=119\\\scriptstyle b_1={\color{OliveGreen}{119+\left[2\sdot\left(6-4\right)\sdot\left(9-1\right)\right]}}=151\\\scriptstyle c_1={\color{OliveGreen}{151+\left[2\sdot\left(4-1\right)\sdot\left(9-6\right)\right]}}=169\end{cases}}}

The proportional number corresponding to the second is 20.

\scriptstyle{\color{blue}{b=20}}

[והמספר] ‫^[882]שהוא הגיליי לשני הוא כ‫'

Rule of Three We extract the other proportional numbers according to this ratio:

ו[נוציא] שאר הגיליים על זה היחס

So, the proportional number corresponding to the first is 15 integers and 115 parts of 151 and this is the first [number] here.

\scriptstyle{\color{blue}{a=15+\frac{115}{151}}}

ולזה יהיה הגיליי לראשון ט"ו שלמים וקט"ו חלקים מקנ"א באחד שלם והוא הראשון הנה

And the proportional number corresponding to the third is 22 integers and 58 parts of 151 and this is the third [number] here.

\scriptstyle{\color{blue}{c=22+\frac{58}{151}}}

ויהיה הגיליי לשלישי כ"ב שלמים ונ"ח חלקים מקנ"א באחד והוא השלישי הנה

These are the required numbers.

והנה המספרים המבוקשים

Check: If you want you can check it.

ואם תרצה תוכל לבחון זה

This is so because the ratio of the first of the successive proportional formers to the second of them is the same as the ratio of the first of the successive proportional latter to the second of them.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:b_1=a:b}}

והיה זה כן לפי שהנמשכים על יחס הקודמים הנה יהיה יחס הראשון מהקודמים אל השני מהם כיחס הראשון מהנמשכים אל השני מהם

Therefore, the ratio of the first of the formers to the third is the same as the ratio of the first of the latter to the third.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:c_1=a:c}}

ולזה יהיה יחס הראשון מהקודמים אל השלישי כיחס הראשון מהנמשכים אל השלישי

When we sum up, the ratio of the first of the formers to the sum of the second and the third of them is the same as the ratio of the first of the latter to the sum of the second and the third of them.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:\left(b_1+c_1\right)=a:\left(b+c\right)}}

וכאשר קבצנו הנה יהיה יחס הראשון מהקודמים אל השני והשלישי מהם מקובצים כמו יחס הראשון מהנמשכים אל השני והשלישי מהם מקובצים

So, the ratio of the first of the formers to a quarter of the sum of the second and the third of them is the same as the ratio of the first of the latter to a quarter of [the sum of] the second and the third of them.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:\frac{1}{4}\sdot\left(b_1+c_1\right)=a:\frac{1}{4}\sdot\left(b+c\right)}}

ולזה יהיה יחס הראשון מהקודמים אל רביעית השני והשלישי מהם [מקובצים כמו יחס הראשון מהנמשכים אל רביעית השני והשלישי מהם]

When we sum up, the ratio of the first of the formers with a quarter of the second and the third of them to the first of the formers is the same as the ratio of the first of the latter with a quarter of the second and the third to the first of the latter.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[a_1+\frac{1}{4}\sdot\left(b_1+c_1\right)\right]:a_1=\left[a+\frac{1}{4}\sdot\left(b+c\right)\right]:a}}

וכאשר קבצנו הנה יהיה יחס הראשון מהקודמים עם רביעית השני והשלישי מהם אל הראשון מהקודמים כיחס הראשון מהנמשכים עם רביעית השני והשלישי אל הראשון מהנמשכים

Likewise, it is clear that the ratio of the second of the formers with a sixth of the third and the first of them to the second of the formers is the same as the ratio of the second of the latter with a sixth of the third and the first of them to the second of the latter.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[b_1+\frac{1}{6}\sdot\left(a_1+c_1\right)\right]:b_1=\left[b+\frac{1}{6}\sdot\left(a+c\right)\right]:b}}

ובזה התבאר שיחס השני מהקודמים עם ששית השלישי והראשון מהם אל השני מהקודמים הוא כמו יחס השני מהנמשכים עם ששית השלישי והראשון מהם אל השני מהנמשכים

Also, it is clear that the ratio of the third of the formers with a ninth of the rest of them to the third of the formers is the same as the ratio of the third of the latter with a ninth of the rest of them to the third of the latter.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[c_1+\frac{1}{9}\sdot\left(a_1+b_1\right)\right]:c_1=\left[c+\frac{1}{9}\sdot\left(a+b\right)\right]:c}}

ובזה התבאר שיחס השלישי מהקודמים עם תשיעית הנשארים מהם‫^[883] אל השלישי מהקודמים הוא כמו יחס השלישי מהנמשכים עם תשיעית הנשארים מהם אל השלישי מהנמשכים

When we switch between them, the ratio of the first of the formers with a quarter of the rest of them to the first of the latter with a quarter of the rest of them is the same as the ratio of the first of the formers to the first of the latter.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[a_1+\frac{1}{4}\sdot\left(b_1+c_1\right)\right]:\left[a+\frac{1}{4}\sdot\left(b+c\right)\right]=a_1:a}}

וכאשר המירונו הנה יחס הראשון מהקודמים עם הרביעית הנשארים מהם אל הראשון מהנמשכים עם רביעית הנשארים מהם הוא כיחס הראשון מהקודמים אל הראשון מהנמשכים

Also, the ratio of the second of the formers with a sixth of the rest of them to the second of the latter with a sixth of the rest of them is the same as the ratio of the second of the formers to the second of the latter.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[b_1+\frac{1}{6}\sdot\left(a_1+c_1\right)\right]:\left[b+\frac{1}{6}\sdot\left(a+c\right)\right]=b_1:b}}

ויחס השני מהקודמים עם ששית הנשארים מהם אל השני מהנמשכים עם ששית הנשארים מהם הוא כיחס השני מהקודמים אל השני מהנמשכים

And, the ratio of the third of the formers with a ninth of the rest of them to the third of the latter with a ninth of the rest of them is the same as the ratio of the third of the formers to the third of the latter.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[c_1+\frac{1}{9}\sdot\left(a_1+b_1\right)\right]:\left[c+\frac{1}{9}\sdot\left(a+b\right)\right]=c_1:c}}

ויחס השלישי מהקודמים עם תשיעית הנשארים מהם אל השלישי מהנמשכים עם תשיעית הנשארים מהם הוא כיחס השלישי מהקודמים אל השלישי מהנמשכים

But, the ratio of the first of the formers to the first of the latter is the same as the ratio of the second to the second and as the ratio of the third to the third.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a=b_1:b=c_1:c}}

‫^[884][ואולם יחס הראשון מהקודמים אל] הראשון מהנמשכים הוא [כיחס השני אל השני וכיחס השלישי אל] השלישי

Hence, the ratio of the first of the formers with a quarter of the rest of them to the first of the latter with a quarter of the rest of them is the same as the second of the formers with a sixth of the rest of them to the second of the latter with a sixth of the rest of them and as the ratio of the third of the formers with a ninth of the rest of them to the third of the latter with a ninth of the rest of them.

אם כן יחס הראשון [מהקודמים עם רביעית הנשארים מהם אל הראשון מהנמשכים עם רביעית] הנשארים מהם הוא כמו יחס השני מהקודמי[ם עם ששית הנשארים מהם אל השני מהנמשכים עם ששית הנשארים מהם וכמו יחס השלישי מהקודמים עם תשיע]ית הנשארים מהם אל השלישי מהנמשכים עם תשיעית הנשארים מהם

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{align}\scriptstyle\left[a_1+\frac{1}{4}\sdot\left(b_1+c_1\right)\right]:\left[a+\frac{1}{4}\sdot\left(b+c\right)\right]&\scriptstyle=\left[b_1+\frac{1}{6}\sdot\left(a_1+c_1\right)\right]:\left[b+\frac{1}{6}\sdot\left(a+c\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[c_1+\frac{1}{9}\sdot\left(a_1+b_1\right)\right]:\left[c+\frac{1}{9}\sdot\left(a+b\right)\right]\\\end{align}}}

When we switch between them, they are also proportional, but the formers are all equal, so the latter are all equal. Deduce from this.

וכאשר המירונו יהיו גם כן מתיחסים אבל הקודמים כלם שוים הנה [הנמשכים] כלם שוים והקש על זה

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{align}&\scriptstyle\left[a_1+\frac{1}{4}\sdot\left(b_1+c_1\right)\right]=\left[b_1+\frac{1}{6}\sdot\left(a_1+c_1\right)\right]=\left[c_1+\frac{1}{9}\sdot\left(a_1+b_1\right)\right]\\&\scriptstyle\longrightarrow\left[a+\frac{1}{4}\sdot\left(b+c\right)\right]=\left[b+\frac{1}{6}\sdot\left(a+c\right)\right]=\left[c+\frac{1}{9}\sdot\left(a+b\right)\right]\\\end{align}}}

By this you can extract the proportional numbers corresponding to the three known numbers, using any knowledge concerning these unknown numbers, meaning, if you know the excess of one unknown over another unknown, or if you know the sum of two of the unknowns, and any consequent kind of knowledge that enables to find the unknown numbers according to the method explained above.

ובזה תוכל להוציא מאי זו ידיעה שתהיה לך באלו המספרים הנעלמים המספרים הגיליים למספרים השלשה הידועים

רצוני אם ידעת יתרון אחד מהנעלמים ידועי הגיליות [על אחד מהם ידוע הגיליות] או אם ידעת מספר שנים מהנעלמים מקובצים ומה שימשך לו מאופני [הידיעה] יהיה אפשר לקנות ממנה המספרים הנעלמים על הצד שהתבאר קודם

Understand and you will find.

ותבין ותמצא

Colophon

Edition I

the end of the sixth chapter of this section - the end of the book

כתב המחבר נשלם השער הששי מזה המאמר ובהשלמו נשלם זה הספר

והתהלה לאל לבדו

in the first of the seventh month (Nisan), of the year 6081

והיתה השלמתו בראש ניסן שנת שמנים ואחת לפרט האלף הששי

at the age of 33

בהגיעי לשנת שלשים ושלש משנותי

Bless the Helper

וברוך העוזר

Edition II

the end of the sixth chapter of this section - the end of the book

נשלם השער השישי מזה המאמר ובהשלמו נשלם זה הספר

והתהלה לאל לבדו

in the twelfth month (Elul), of the year 6082

והיתה השלמתו בחודש אלול של שנת שמונים ושתים לפרט האלף השישי

Bless the Helper

וברוך העוזר

Notes

↑ 1v
↑ P2271 illegible
↑ P2271 illegible
↑ P2271 illegible
↑ P2271 illegible
↑ הספר: P 2271 המספר
↑ למעין: P 2271 למעשה
↑ דבריו: P2271 om.
↑ 2r
↑ P2271 illegible
↑ P2271 illegible
↑ P 2271: ~~בדרך המספר נמשכים~~
↑ והשני משנים וכן... מתחיל מן האחד: P2271 om.
↑ 2v
↑ P2271 illegible
↑ P2271 illegible
↑ יותר גדול: P2271 om.
↑ השטח... השני: P 2271 om.
↑ ד"ב: P2271 ה"ב
↑ ושטח ד"ב בג': P 2271 ושטח ה"ד בג' ושטח ד"ב בג'
↑ אבל מנין... שבא"ב מן האחדים: P 2271 om.
↑ 3r
↑ וכזה: P2271 ~~ואולם~~ וכזה
↑ בג"ד: P2271 ב"ג
↑ א"ד: P2271 א"ב
↑ 3v
↑ ב"ג: P2271 א"ב
↑ א"ב: P2271 ב"ג
↑ לשטח ... ולשטח: P2271 לשטח
↑ אם כן מרובע א"ג... ולמרובע ב"ג: P 2271 om.
↑ שוה לשטח: P2271 שטח
↑ 4r
↑ מספר: P2271 om.
↑ ממספרי: P2271 מספרי
↑ 4v
↑ ימנם: P2271 illegible
↑ ממספרי: P2271 ממספר
↑ מה שבד' מן האחדים: P 2271 אחדי
↑ 5r
↑ מארבעה: P2271 ~~מהשנים~~ מארבעה
↑ המספר: P2271 והמספר
↑ ב'ג'ה'ז': P2271 ב'ג'ז'ה'ד'
↑ א'ד'ח': P2271 א'ב'ז'
↑ ט'כ': P2271 א'י'כ'
↑ א'ד'ה'ז'ח': P2271 א'ד'ה'ז'ה'
↑ א'ד'ה'ז'ח': P2271 א'ד'ה'ז'ה'
↑ א'ד'ח': P2271 א'ב'ז'
↑ ה': P2271 א'
↑ א'ד'ח': P2271 א'ב'ז'
↑ ה': P2271 ה'ז'
↑ והעולה כבר... ב'ג'ה'ז': P2271 om.
↑ המספר: P2271 על המספר
↑ א'ד'ח': P2271 ד'א'ד'ח'
↑ ט'כ': P2271 א'י'ב'
↑ 5v
↑ יהיה: P2271 אם יהיה
↑ מאיזה: P2271 באיזה
↑ ויהיה: P2271 וה ויהיה
↑ ס': P2271 כ'
↑ בל' ונשים העולה: P2271 בל' ונשים העולה בל' ונשים העולה
↑ פ': P2271 כ'
↑ ל': P2271 כ'
↑ ה': P2271 פ'
↑ ח': P2271 מ'
↑ ז': P2271 א'
↑ א': P2271 צ'
↑ ס': P2271 om.
↑ 6r
↑ ה': P2271 ח'
↑ ח': P2271 ה'
↑ א'ב'ג'ד': P2271 א'ב'ג'
↑ מ' אל נ'... ה'ז'ח'ט' הוא כמו היחס: P2271 om.
↑ והוא מה שרצינו... אחד בעינו: P2271 om.
↑ ב'ד': P2271 om.
↑ 6v
↑ היה: MS P2271 היה ראשון
↑ ח': MS P2271 ז'
↑ קטן: MS P2271 ממספר קטן
↑ ממספר: MS P2271 מספר
↑ ולוקח: MS P2271 ולקח
↑ אחר: MS P2271 אחד
↑ אחרים: MS P2271 om.
↑ מונחים: MS P2271 מונחים ולוקח עוד ה'
↑ וה': MS P2271 והם
↑ וז' חלקים: MS P2271 וזה חלק
↑ מא': MS P2271 מח'
↑ ח'ט': MS P2271 ה'ט'
↑ ה': MS P2271 ח'
↑ מג': MS P2271 om.
↑ 7r
↑ נ': MS P2271 ב'
↑ ז': MS P2271 ז'ח'
↑ מספר: MS P2271 ממספר
↑ ה': MS P2271 ח'
↑ שמספרי: MS P2271 שמספר
↑ במספר א' מדמיוני: MS P2271 מספר א' בדמיוני
↑ ולזה יהיה...מן האחדים: MS om.
↑ ח': MS P2271 פ'
↑ מ': MS P2271 מג'
↑ ף': MS P2271 פ'
↑ ט': MS P2271 כ ט'
↑ ג': MS P2271 ב'
↑ מיחס מספרי: MS P2271 ממספרי
↑ א': MS P2271 om.
↑ ץ': MS P2271 צ'
↑ צ'ר'ת': MS P2271 צ'ר'ת' אחד
↑ ץ': MS P2271 צ'
↑ צ'ר'ת': MS P2271 om.
↑ מההכאה: MS P2271 ההכאה
↑ מה: MS P2271 om.
↑ החלקים ומההכאות: MS P2271 החלקיים ומהכאות
↑ 7v
↑ ה': MS P2271 ב'
↑ מד': MS P2271 מצד מד'
↑ ב': MS P2271 פ'
↑ ב': MS P2271 פ'
↑ ה': MS P2271 ח'
↑ אחד: MS P2271 א'
↑ נ' אל ע': MS P2271 ע' אל נ'
↑ אחד ג'ד': MS P2271 א'ח'ד' ע'ד'
↑ ש': MS P2271 ע'ש'
↑ כ'ב'ט': MS P2271 כ'בט' שוים
↑ ג'ד': MS P2271 ג'ד' שוים
↑ מה: MS P2271 ש מה
↑ ההעברה: MS P2271 העברה
↑ הוא: MS P2271 הם
↑ המונח: MS P2271 העולה
↑ ההמשך: MS P2271 om.
↑ הוא: MS P2271 הם
↑ 8r
↑ הנה מספר: MS P2271 מספרי
↑ עדיו: MS P2271 om.
↑ מספר זוג: MS P2271 om.
↑ ואומר: MS P2271 ושמר
↑ על א'ה' אחד: MS P2271 עליו
↑ מספר: MS P2271 om.
↑ ההם: MS P2271 והם
↑ 8v
↑ שמספר: MS P2271 om.
↑ לפניו: MS P2271 ולפניו
↑ לו: MS P2271 om.
↑ על: MS P2271 אל
↑ מספר: MS P2271 om.
↑ שוה: MS P2271 שוים
↑ 9r
↑ א': MS P2271 om.
↑ ד'ז': MS P2271 מז'
↑ א': MS P2271 א'ב'
↑ 9v
↑ מו': MS P2271 om.
↑ ולזה יהיה יתרון הקטן... על האחד מספר ט': MS P2271 om.
↑ האחד: MS P2271 האחרון
↑ מספר: MS P2271 ממספר
↑ והאחד: MS P2271 האחד
↑ 10r
↑ מספרי: MS P2271 ממספרי
↑ וא' הוא אחד: MS P2271 om.
↑ ושטח ד' בז': MS P2271 om.
↑ המספר: MS P2271 המספר האחד
↑ והאחד: MS P2271 והמספר האחד
↑ 10v
↑ מספר: MS P2271 om.
↑ וג'... כפל ה': MS P2271 om.
↑ מבואר: MS P2271 om.
↑ האחרת: MS P2271 האחת
↑ כמו מספר ה'...נקבץ מספרי א'ג'ז': MS P2271 twice
↑ שוה: MS P2271 שוים
↑ מספר: MS P2271 om.
↑ שוה למספר הנפרדים... לאחריו: MS P2271 om.
↑ הנפרדים: MS P2271 המספרים
↑ עד: MS P2271 עם
↑ 11r
↑ ה' בו'... חצי מספר: MS P2271 om.
↑ בו': MS P2271 בז'
↑ מרובע: MS P2271 מספר
↑ מן האחד: MS P2271 מהם
↑ מן האחד: MS P2271 om.
↑ נפרד: MS P2271 נפרד זוג
↑ 11v
↑ שנקבצי: MS P2271 שנקבצו
↑ א'ב' א': MS P2271 א' א'ב'
↑ א'ב': MS P2271 om.
↑ ה'ו': MS P2271 ה'ז'
↑ ה'ו'ז': MS P2271 ה'ז'
↑ מחוברים: MS P2271 om.
↑ שהוא: MS P2271 om.
↑ ההמשך: MS P2271 המשך
↑ שהעולה שוה למרובעי א'ב'ג'ד'ה': MS P2271 om.
↑ כמספרו: MS P2271 כמספרי
↑ המספרים: MS P2271 הספרים
↑ מהמספרים: MS P2271 מהספרים
↑ מספר: MS P2271 המספר
↑ למרובעו: MS P2271 למרובע
↑ 12r
↑ במספר אחדי ה'...נקבץ א'ב'ג'ד'ה': MS P2271 twice
↑ החבור: MS P2271 וחבור
↑ ד': MS P2271 ד' ~~כפל שטח אחד בד' ומרובע~~
↑ ד': MS P2271 om.
↑ ד': MS P2271 om.
↑ 12v
↑ נקבץ: MS P2271 נקבצי
↑ ההמשך: MS P2271 הנמשך
↑ ג'ד'ה': MS P2271 om.
↑ ויחוסרו: MS P2271 ויחוסר
↑ שוה: MS P2271 שוים
↑ ב'ג': MS P2271 ג'
↑ ה'ו': MS P2271 ה'ז'
↑ הוא: MS P2271 היא
↑ והוא: MS P2271 והיא
↑ ה'ו': MS P2271 ה'ז'
↑ ה'ו': MS P2271 ה'ז'
↑ 13r
↑ ששטח: MS P2271 ששטחו
↑ ו': MS P2271 om.
↑ ו': MS P2271 om.
↑ מין: MS P2271 מן
↑ הנה העולה... עד המספר המונח: MS P2271 marg.
↑ מספרי: MS P2271 om.
↑ שוה: MS P2271 שוים
↑ ו': MS P2271 om.
↑ מחוברים עם נקבצי... אבל נקבצי... ה'ו' ו': MS P2271 om.
↑ א'ב'ג': MS P2271 om.
↑ 13v
↑ ה': MS P2271 ה'ו'
↑ ממרובעו: MS P2271 ממרובעי
↑ מספר: MS P2271 עם
↑ ו': MS P2271 om.
↑ היה: MS P2271 ~~היה~~ היה
↑ 14r
↑ אם כן מעוקב ה'... א'ב'ג'ד': MS P2271 om.
↑ נקבץ: MS P2271 om.
↑ מעוקבו: MS P2271 מעוקב שהוא
↑ הנקבץ: MS P2271 ה' הנקבץ
↑ הנקבץ: MS P2271 om.
↑ א'ב'ג'ד': MS P2271 ג'ד'
↑ א'ב'ג'ד': MS P2271 ג'ד'
↑ א'ב': MS P2271 א'ב' והנה מרובע נקבץ א'ב'ג' שוה למעוקב ג' ולמרובע בקבוץ א'
↑ מספרי: MS P2271 מספר
↑ ו': MS P2271 ז'
↑ 14v
↑ ד': MS P2271 א' ד'
↑ א': MS P2271 ד' א'
↑ וכאשר יחובר עמו... אחדי ב': MS P2271 om.
↑ ד': MS P2271 א'
↑ בב': MS P2271 בג'
↑ ל'מ': MS P2271 ל'מ' נ'ס' ע'פ'
↑ מספרי נ'ס' ע'פ': MS P2271 מספר ע'פ' נ'ס'
↑ הוא: MS P2271 הם
↑ צ'ח': MS P2271 ז'ח'
↑ אם כן מספר אחדי צ'ק'... מן האחדים: MS P2271 om.
↑ 15r
↑ ש'ת': MS P2271 ת'ש'
↑ ש'ת': MS P2271 ת'ש'
↑ יהיו א"כ אחדי... שוים: MS P2271 om.
↑ יהיה א"כ נ'ס' מקובץ עם: MS P2271 הם כן
↑ ש'ת': MS P2271 ת'ש'
↑ ואולם... לב': MS P2271 om.
↑ א"כ: MS P2271 גם כן
↑ ש'ת': MS P2271 ת'ש'
↑ סכום: MS P2271 כתום
↑ כמו: MS P2271 תמו
↑ במספר: MS P2271 מספר
↑ המתחלפים: MS P2271 מתחלפים
↑ אחד: MS P2271 א' אחד
↑ שכפל: MS P2271 ~~שכל~~ שכפל
↑ ג': MS P2271 ג'ד'
↑ הוא: MS P2271 הוא אחד והוא
↑ שהוא ד': MS P2271 אבל שטח אחד בד' שוה לד'
↑ על שטח ג' בד': MS P2271 om.
↑ ב'ג'ד': MS P2271 ב'ג'ה'
↑ 15v
↑ כפל: MS P2271 ש' כפל
↑ לפניו: MS P2271 לאחריו
↑ שטח א' בד' מחובר... ולמספר ה' א"כ: MS P2271 om.
↑ מחובר: MS P2271 מחובר נחבר
↑ כשחובר עם הגדול: MS P2271 om.
↑ הקטן: MS P2271 הקטן והגדיל
↑ 16r
↑ מספרי: MS P2271 מספר ג'ב' שוה לשטח ~~ג'ד'ז'~~ [ד' בב'] אם כן כפל שטח ה' בג' מחובר עם מספרי
↑ ג'ב'ז': MS P2271 ג'ד'ז'
↑ המתחלפים: MS P2271 מתחלפים
↑ הוא: MS P2271 om.
↑ 16v
↑ שוה לשטח ה' בד'ה': MS P2271 om.
↑ שהוא: MS P2271 הוא
↑ וא' הוא ... הקודמת: MS P2271 om.
↑ בה': MS P2271 בח'
↑ בה': MS P2271 בח'
↑ אם כן כפל שטח כ' בח'... שטח ז' בח': MS P2271 om.
↑ והיה: MS P2271 והוא
↑ על: MS P2271 om.
↑ 17r
↑ בה': MS P2271 בח'
↑ לכפלי: MS P2271 לכפל
↑ בה': MS P2271 בח'
↑ ממספרי ב' וכפלי ד': MS P2271 om.
↑ ח': MS P2271 ב'ח'
↑ בה': MS P2271 בח'
↑ אחד על: MS P2271 על אחד
↑ במה: MS P2271 כפי
↑ עם: MS P2271 om.
↑ 17v
↑ וכאשר: MS P2271 ~~ימנהו ג' במספר אחדי ז'~~ וכאשר
↑ ט': MS P2271 ח' ט'
↑ כמספר: MS P2271 om.
↑ בא': MS P2271 בא' באב
↑ ט' עם: MS P2271 עמו
↑ א"כ כאשר חובר ב'ט'... שוה לשטח ט' בא': MS P2271 om.
↑ 18r
↑ ג'ד': MS P2271 ב'ג'ד'
↑ הראשון: MS P2271 ראשון
↑ ב': MS P2271 א'
↑ ז': MS P2271 ב' ז'
↑ אם: MS P2271 om.
↑ המספר: MS P2271 ^המספר
↑ לה' ולשני שטחי ד' בח': MS P2271 לט'
↑ מספרי: MS P2271 מספר
↑ 18v
↑ שטח: MS P2271 om.
↑ ולז': MS P2271 om.
↑ מספרי: MS P2271 מספר
↑ ח': MS P2271 ח' ז'
↑ א"כ חצי מספרי... למספרי ג'ד': MS P2271 ראשון
↑ לה' ולשטח: MS P2271 לשטח
↑ שוים: MS P2271 שוה
↑ 19r
↑ ל' בח': MS P2271 שטח ד' בח' עם שני דמיוני ח' שוים לשני דמיוני שטח ל' בח'
↑ ולכפל ל': MS P2271 ולכפל ז' ולכפל ל'
↑ מספרי: MS P2271 מספרי ~~ז'ל' מקובצים שהוא כמו כפל ח' אבל שני~~
↑ כ'ס' שוים למספר ה' ולשני: MS P2271 marg.
↑ שני: MS P2271 om.
↑ גם כן: MS P2271 גם כן למספר ה' ולשני שטחי ל' בח' אם כן שני מספרי כ'ס' מקובצים שוים גם כן
↑ מספר: MS P2271 om.
↑ ונשאר: MS P2271 ונשאיר
↑ המספר הגדול... עם העולה: MS P2271 om.
↑ המספר: MS P2271 מספר
↑ המספרים: MS P2271 המספרים הנמשכים
↑ 19v
↑ ממספרי: MS P2271 ממספר
↑ וכמספר: MS P2271 ולמספר
↑ ג': MS P2271 מזה ג'
↑ 20r
↑ אחדי אחדי שטח ד'...כמספר אחדי: MS P2271 om.
↑ וכמספר ר': MS P2271 om.
↑ מספרי מ'נ' ימנהו ג': MS P2271 ג' מ'נ' ימנהו מספרי
↑ ר': MS P2271 ד'ב'
↑ מספר ר': MS P2271 om.
↑ נ'פ': MS P2271 מ'נ'
↑ ס'צ': MS P2271 פ'צ'
↑ ח'ה': MS P2271 ה'ה'ח'
↑ מקובצים: MS P2271 om.
↑ א"כ שני שטחי... ולכפל ד': MS P2271 om.
↑ מספר: MS P2271 om.
↑ אבל כפל שטח ד' בג'... שטח ח' בל': MS P2271 om.
↑ וכאשר חובר עם זה... היה העולה: MS P2271 אם כן כפל ה' בל' עם כפל ד' בג'
↑ מ'ע': MS P2271 מ' וע'
↑ 20v
↑ ד' בב': MS P2271 ז' בח' ושני שטחי ד' בב'
↑ ז'ה': MS P2271 om.
↑ מקובצים: MS P2271 om.
↑ עם שני שטחי ד' בב' וכפל מספר ר': MS P2271 וכפל מספר ד' בב'
↑ וכאשר חובר זה עם... ולשני שטחי ה' בל': MS P2271 אם כן שני שטחי ה' בל' ושני שטחי ז' בח' ושני שטחי ד' בב' וכפל שוים לשני שטחי ח' בל' ולשני שטחי ה' בל'
↑ נ'פ': MS P2271 מ'ע'
↑ מהנשארים: MS P2271 מהנשארים עמו
↑ 21r
↑ הדרוש: MS P2271 om.
↑ מספרי: MS P2271 מספר
↑ פ'צ': MS P2271 פ'ר'
↑ ק': MS P2271 פ'
↑ י': MS P2271 ז'
↑ חלקים מכ': MS P2271 ס'ו'כ'
↑ ר': MS P2271 om.
↑ שיחס כל: MS P2271 שכל
↑ החלקים: MS P2271 היחסים
↑ במספר א': MS P2271 om.
↑ מספר: MS P2271 om.
↑ מקובצים הוא: MS P2271 om.
↑ מקובצים: MS P2271 om.
↑ מקובצים הוא: MS P2271 om.
↑ אבל מספרי נ'ס'ע'... מספרי י'ך': MS P2271 om.
↑ פ'ץ': MS P2271 פ'צ'
↑ 21v
↑ מספר מה: MS P2271 נ'ח'
↑ מה': MS P2271 מח'
↑ מה': MS P2271 מח'
↑ ההוא: MS P2271 הוא
↑ 22r
↑ למ': MS P2271 למספר
↑ שוים: MS P2271 שוה
↑ מספר: MS P2271 מספרי
↑ א': MS P2271 ש א'
↑ או: MS P2271 או ~~יהיה~~
↑ ז': MS P2271 א'
↑ מספר: MS P2271 om.
↑ ז': MS P2271 א'
↑ יהיה: MS P2271 יהיו
↑ 22v
↑ הנמשך: MS P2271 הנמשך לפניו
↑ למספר ב': MS P2271 לב'
↑ והוא יהיה המספר: MS P2271 om.
↑ על ד': MS P2271 על ^ד'
↑ מוסיף: MS P2271 om.
↑ שמספר: MS P2271 מספר
↑ 23r
↑ אם כן מספרי ד'ז' שוים... כמספר אחדי ב': MS P2271 om.
↑ מספרי: MS P2271 om.
↑ ויהיה המספר: MS P2271 והמספר
↑ הנה: MS P2271 om.
↑ מורכב: MS P2271 מנח י"ב מזה המאמר
↑ במורכב ממספרי: MS P2271 על מספרי
↑ מספרים: MS P2271 המספרים
↑ 23v
↑ מונח: MS P2271 om.
↑ מהמספרים: MS P2271 המספרים
↑ מספר: MS P2271 ומספר
↑ מספר: MS P2271 om.
↑ שטח: MS P2271 om.
↑ ממקובצם: MS P2271 ממקובצים
↑ מקובצם: MS P2271 שניהם מקובצים
↑ 24r
↑ מספרי: MS P2271 מספר
↑ מרובע: MS P2271 מרובעי
↑ שטח: MS P2271 om.
↑ מקובצים: MS P2271 om.
↑ במספר: MS P2271 מספר
↑ ד': MS P2271 ה'
↑ ולשלשת דמיוני שטח מרובע ב' בא': MS P2271 om.
↑ 24v
↑ שלשת דמיוני שטח ג' בא'ב'... בא' א"כ: MS P2271 א'
↑ נושאים: MS P2271 הנושאים
↑ בחבורי: MS P2271 בחבורים
↑ ה': MS P2271 om.
↑ בהם: MS P2271 om.
↑ רק: MS P2271 om.
↑ החבורים: MS P2271 om.
↑ חוברו: MS P2271 חובר
↑ המתחלפות: MS P2271 התחלפות
↑ 25r
↑ הקודמות: MS P2271 קודם
↑ ותשארנה המחברות מחלפות בסדר: MS P2271 om.
↑ מחברות א'ב'ג'ד'ו'...ולזה תהיינה: MS P2271 om.
↑ בכל אלו: MS P2271 באלו
↑ שם: MS P2271 om.
↑ ממחברות: MS P2271 מחברות
↑ ד'ו'ה'ג'א'ב': MS P2271 om.
↑ 25v
↑ המתחלפות: MS P2271 התחלפות
↑ בנושאיהם: MS P2271 בנושאיה
↑ מונח: MS P2271 מונח ב
↑ המתחדשות: MS P2271 המתחדשות המ
↑ מספר: MS P2271 שמספר
↑ הראשון: MS P2271 ראשון
↑ 26r
↑ הראשון: MS P2271 ראשון
↑ ויהיו: MS P2271 והיה
↑ המתחלפות: MS P2271 התחלפות
↑ אחת: MS P2271 אחד
↑ כמספר: MS P2271 מספר
↑ המתחלפות: MS P2271 ומתחלפות
↑ ולזה: MS P2271 וכזה
↑ מ': MS P2271 om.
↑ 26v
↑ בכל אלו: MS P2271 באלו
↑ אם: MS P2271 אין
↑ מחברות: MS P2271 om.
↑ מהמחברות: MS P2271 מהמחברת
↑ מנינו: MS P2271 שנינו
↑ מ': MS P2271 om.
↑ 27r
↑ המספר המונח: MS P2271 מספר מונח
↑ לבד: MS P2271 om.
↑ המספר: MS P2271 om.
↑ השטח: MS P2271 שטח
↑ ההם: MS P2271 הם
↑ מהם: MS P2271 om.
↑ והיו: MS P2271 והיה
↑ הנושאים המתחלפים: MS P2271 om.
↑ אשר מספרם ח': MS P2271 מספר ח' מהם
↑ ז': MS P2271 om.
↑ ב'ג'ד': MS P2271 א'ב' ג'ד'
↑ ויתחדשו: MS P2271 יתחדשו
↑ המתחלפות: MS P2271 התחלפות
↑ מספר: MS P2271 om.
↑ כל: MS P2271 om.
↑ 27v
↑ המתחלפות: MS P2271 התחלפות
↑ המתחלפות: MS P2271 התחלפות
↑ ממספר הנושאים: MS P2271 מהנושאים
↑ המתחלפות: MS P2271 מההתחלפות
↑ ונאמר שמספר ט'... המתחלפות בנושאיהם: MS P2271 om.
↑ המופת שאנחנו נשים: MS P2271 ותהיינה
↑ מאלו הנושאים: MS P2271 om.
↑ כמו מספר: MS P2271 הם כמספר
↑ מחברות הנושאים אשר מספרם ח'... והנה: MS P2271 om.
↑ לשטח ל': MS P2271 לל'
↑ ולזה: MS P2271 marg.
↑ המתחלפות בנושאיהם: MS P2271 om.
↑ 28r
↑ שמחברות: MS P2271 שמחברת
↑ מחברות: MS P2271 מחברת
↑ המחברות: MS P2271 מחברות
↑ מ': MS P2271 om.
↑ אשר: MS P2271 אשר ה
↑ 28v
↑ ח': MS P2271 ז'
↑ שמחברות: MS P2271 שמחברת
↑ ובכאן... יתברך: MS P2271 om.
↑ 29r
↑ P2271 ~~ולא~~ וקצה
↑ אין זה: MS P2271 איזה
↑ מאות: MS P2271 om.
↑ 29v
↑ אל מה שיתחלק: MS P2271 om.
↑ ובזה: MS P2271 וזה
↑ בכמותם אם שיתחלפו: MS P2271 om.
↑ 30r
↑ אם: MS P2271 om.
↑ תפשטם: MS P2271 תשפטם
↑ P2271 מספרם
↑ 30v
↑ כתוב: MS P2271 כת^וב
↑ יותר: MS P2271 י^ותר
↑ העולה: MS P2271 om.
↑ 31r
↑ והשלישיים: MS P2271 והשלישית
↑ כי מדרגת השלמים: MS P2271 om.
↑ היותר: MS P2271 היותה
↑ 31v
↑ בשלישית: MS P2271 om.
↑ נגרע מהם ס' ונשארו כ"ה ותכתבם: MS P2271 ונכתב הכ"ה מהם
↑ שגרענו יהיה: MS P2271 מהם תהיינה
↑ 32r
↑ ואין שם בטור התחתון: MS P2271 om.
↑ שבטור העליון: MS P2271 om.
↑ 32v
↑ ולא נוכל לגרוע ב'... לה א': MS P2271 om.
↑ בטור העולה במדרגה השלישית: MS P2271 om.
↑ ואין שם בו דבר: MS P2271 om.
↑ 33r
↑ יחס: MS P2271 om.
↑ מעלת: MS P2271 מעלה
↑ מהראשונה: MS P2271 ראשונה מהראשונה
↑ מעלת: MS P2271 המעלות
↑ 33v
↑ המוכה: MS P2271 המוכת
↑ הוא: MS P2271 היא מאחדי
↑ מספר ממדרגת: MS P2271 om.
↑ ממדרגת: MS P2271 om.
↑ 34r
↑ בו: MS P2271 om.
↑ התבאר: MS P2271 הת^באר
↑ יהיו: MS P2271 יהיו ~~הראשון~~
↑ אנה: MS P2271 הנה
↑ מטורי: MS P2271 מטור
↑ בה: MS P2271 בם
↑ בפעם: MS P2271 om.
↑ מטורי: MS P2271 מטור
↑ 34v
↑ טורי: MS P2271 הטור
↑ אחד: MS P2271 האחד
↑ כל: MS P2271 om.
↑ שבטורי: MS P2271 שבטור
↑ ו': MS P2271 י'ו'
↑ ואחד: MS P2271 אחד
↑ אחר הג': MS P2271 אחריו ג'
↑ ז': MS P2271 ח'
↑ בטורי: MS P2271 בטור
↑ 35r
↑ במעלה השביעית: MS P2271 מעלה שביעית
↑ ו': MS P2271 ד'
↑ נ"ו: MS P2271 י"ו
↑ ו': MS P2271 om.
↑ וה': MS P2271 וה'ה'
↑ והי': MS P2271 ומה'
↑ הוא: MS P2271 והוא
↑ ה': MS P2271 ח'
↑ מונח: MS P2271 המונח
↑ אתן: MS P2271 נתן
↑ 35v
↑ היותר: MS P2271 בו יותר
↑ מהמספר: MS P2271 ממספר
↑ ראה: MS P2271 מה
↑ וראה: MS P2271 ורא
↑ הראשון: MS P2271 ראשון
↑ ד': MS P2271 om.
↑ י"ו: MS P2271 ד' י"ו
↑ הורדת: MS P2271 הורד
↑ 36r
↑ ערכנו: MS P2271 עורכת
↑ השמור: MS P2271 המספר
↑ ותתקל"ח: MS P2271 שמנה מאות וקל"ח
↑ נ"א: MS P2271 om.
↑ והנה: MS P2271 והוא
↑ והוא: MS P2271 הוא
↑ מהמספר: MS P2271 מספר
↑ אלף: MS P2271 om.
↑ ותתקל"ח: MS P2271 תתקל"ח
↑ נ"ז: MS P2271 כ"ז
↑ תשלים: MS P2271 השלים
↑ מנ"ז: MS P2271 מנ'
↑ המבוקש: MS P2271 מבוקש
↑ מאד: MS P2271 om.
↑ האחר: MS P2271 האחר ~~על שעור השלמה~~
↑ ההשלמה: MS P2271 השלמה
↑ נ"ז: MS P2271 כ"ז
↑ ל': MS P2271 מ'
↑ 36v
↑ ת"ש: MS P2271 תשע מאות
↑ רכ"ח: MS P2271 כ"ח
↑ והוא: MS P2271 הוא
↑ ערכת: MS P2271 מערכת
↑ ור"ט: MS P2271 וכ"ט
↑ מהמספר: MS P2271 ממספר
↑ והוא: MS P2271 והנה
↑ והוא: MS P2271 והנה
↑ כן: MS P2271 גם כן
↑ אם: MS P2271 עד
↑ ההשלמה: MS P2271 om.
↑ והוא: MS P2271 והנה
↑ 37r
↑ על: MS P2271 אל
↑ והנה: MS P2271 והוא
↑ נוסיף: MS P2271 נוסף
↑ על: MS P2271 אל
↑ והנה: MS P2271 והיא
↑ תגרע: MS P2271 תגרעת
↑ לך: MS P2271 om.
↑ וזה: MS P2271 om.
↑ והנשאר: MS P2271 והעולה
↑ הוא: MS P2271 הוא מ
↑ והוא: MS P2271 והנה
↑ הוא: MS P2271 גרענו
↑ וכבר... י"א: MS P2271 om.
↑ א"כ כאשר גרענו: MS P2271 ולכן כשגרענו
↑ מרובע י"א: MS P2271 קכ"א
↑ עם: MS P2271 עד
↑ והוא: MS P2271 והנה
↑ 37v
↑ והוא: MS P2271 והנה
↑ נ"ה: MS P2271 כ"ה
↑ דמיוניו: MS P2271 דמיוני
↑ על: MS P2271 אל
↑ והוא: MS P2271 וככה
↑ מספר: MS P2271 om.
↑ המספר: MS P2271 ^המספר
↑ והוא: MS P2271 והנה
↑ 38r
↑ המספרים: MS P2271 המספר
↑ על: MS P2271 אל
↑ האחרון: MS P2271 אחרון
↑ מרובע: MS P2271 המרובע
↑ מרובעי מספרים נמשכים: MS P2271 מספרי
↑ 38v
↑ מרובע הראשון: MS P2271 המרובע ראשון
↑ מרובע: MS P2271 om.
↑ מעוקבי: MS P2271 מעוקב
↑ מן האחד: MS P2271 om.
↑ והוא: MS P2271 וככה
↑ והוא: MS P2271 והנה
↑ הראשון: MS P2271 ראשון
↑ זה: MS P2271 om.
↑ 39r
↑ הם: MS P2271 הוא
↑ ל"ו: MS P2271 ל"ז
↑ השני: MS P2271 om.
↑ 39v
↑ הנמשכים: MS P2271 om.
↑ הראשון: MS P2271 הראשון מספר ההמשך
↑ והוא: MS P2271 והנה
↑ 40r
↑ שס"ד: MS P2271 שצ"ד
↑ תערוך: MS P2271 marg.
↑ שנים על כפל: MS P2271 כפל שנים על
↑ נקבץ: MS P2271 נקבצי
↑ כן: MS P2271 om.
↑ המספרים: MS P2271 הנמשכים
↑ הוא: MS P2271 הם הוא
↑ תתקנ"ב: MS P2271 תתס"ו
↑ 40v
↑ ההמשך: MS P2271 הנמשך
↑ ויהיה: MS P2271 ויהיו
↑ עד: MS P2271 עם
↑ חברנום: MS P2271 חברנוה
↑ ותק"ס: MS P2271 ותק"כ
↑ ממספרים: MS P2271 מספרים
↑ 41r
↑ שני: MS P2271 שום
↑ ותק"ס: MS P2271 om.
↑ המספרים: MS P2271 om.
↑ ערכנוהו: MS P2271 ערכנום
↑ ותשצ"ב: MS P2271 ותצ"ב
↑ מכל: MS P2271 כל
↑ שטח: MS P2271 om.
↑ שטח: MS P2271 om.
↑ ההוא: MS P2271 ^ההוא
↑ 41v
↑ המונח: MS P2271 המוכה
↑ המתיחסים: MS P2271 מתיחסים
↑ על יחס: MS P2271 עליהם
↑ בידך: MS P2271 בדרך
↑ ותתקס"ט: MS P2271 ותקס"ט
↑ שיחס: MS P2271 שהיחס
↑ 42r
↑ ממספר: MS P2271 מספר
↑ ממספרים: MS P2271 מספרים
↑ וערכהו: MS P2271 כערכהו
↑ אל: MS P2271 על
↑ החמישי: MS P2271 א החמישי
↑ 42v
↑ ה': MS P2271 ^ה'
↑ הם: MSP2271 הוא
↑ P2271 כמו ~~השני~~
↑ 43r
↑ והם: MS P2271 om.
↑ נ"ו: MS P2271 om.
↑ 43v
↑ של"ו: MS P2271 שכ"ו
↑ 65r
↑ 65v
↑ קח: P2271 כן
↑ ת"כ: P2271 תכ"ח
↑ אל המספר הנעלם... מהמספר הנעלם: MS P2271 om.
↑ השניים: P2271 הראשונים
↑ מת"כ: P2271 מת'
↑ הלקוחים מהמספר הנעלם וכאשר המירונו הנה יחס החלקים הראשונים: P2271 om.
↑ הלקוחים: P2271 om.
↑ 66r
↑ ממסחר: P2271 ממספר ~~מונח~~
↑ שערך: MS P2271 שנערוך
↑ מי"א: MS P2271 מט'
↑ מק"ט: MS P2271 מכ'
↑ 66v
↑ מקי"ט: P2271 מק"ט
↑ הולך: P2271 om.
↑ שעור מונח: P2271 om.
↑ הזמן: MS P2271 המספר
↑ 67r
↑ וזה: MS P2271 ואז
↑ בי"ג: P2271 ב"ג
↑ מדה: MS P2271 ומדה
↑ 67v
↑ מהם: P2271 מה'
↑ שני: P2271 om.
↑ מק"כ: MS P2271 מק"י
↑ אחת: P2271 om.
↑ מ"ג שניים: P2271 om.
↑ המסחר: MS P2271 המספר
↑ ע"א: MS P2271 ס"א
↑ 68r
↑ ס"ג די': P2271 ס"ג די' וט' חלקים מכ"ח באחד וככה הערך ר"ל ס"ג די'
↑ הלקוחים: P2271 om.
↑ המסחר: P2271 מסחר
↑ הערך: P2271 ערך
↑ מתחלפי: MS P2271 מתחלפים
↑ מהמסחרים: MS P2271 מהמספרים
↑ מהמסחרים: MS P2271 מהמספרים
↑ 68v
↑ וד': MS P2271 ו'
↑ השלישי: MS P2271 שלישי
↑ P2271 om.
↑ המסחרים: MS P2271 המספרים
↑ 69r
↑ מהמסחר: MS P2271 מהמספר
↑ הסדור: MS P2271 החבור
↑ די': MS P2271 om.
↑ תקיש: MS P2271 תקים
↑ 69v
↑ ההם: MS P2271 מהם
↑ הכל: MS P2271 כל
↑ י' פשו' וי' חלקים: MS P2271 פ' וי"ח חלקים
↑ 70r
↑ הוא כמו יחס ערך כ' ליטר'... ממ"א בליטרא מהערך השני: MS P2271 om.
↑ מספר חסרון המחסיר: P2271 מספר החסרון המחסיר והוא יהיה חסרון המחסיר
↑ P2271 המוסיף הוא חמשה והם חלקים
↑ 70v
↑ ולזה יהיה... חמשה ליטראות מהערך הקטן: MS P2271 om.
↑ מהמחסירים: MS P2271 מהמספרים
↑ כמו: MS P2271 כמה
↑ 71r
↑ סמים: MS P2271 פשי'
↑ ה': MS P2271 השני
↑ כ"ח: MS P2271 כ"ד
↑ נקח מהמוסיפים: MS P2271 om.
↑ ונזווג: MS P2271 ובזוג
↑ י': MS P2271 ו'
↑ ונקח גם כן מסם ח'... מי"א בליטרא: MS P2271 om.
↑ מסם: MS P2271 om.
↑ חלקים: MS P2271 om.
↑ 71v
↑ בליטרא: MS P2271 אל ליט'
↑ י': MS P2271 om.
↑ ה': MS P2271 ח'
↑ 72r
↑ אל: MS P2271 om.
↑ 72v
↑ בכל המסחר... שהרויח: MS P2271 om.
↑ MS P2271 illegible
↑ זה: MS P2271 ז'
↑ המסחר: MS P2271 המספר
↑ י': MS P2271 ו'
↑ 81v in the middle
↑ P2271 end 81v
↑ 72v continue
↑ ומכר קצת... ככה מהדי': MS P2271 om.
↑ 73r
↑ 73v
↑ מאחד מן המסחרים... אחרים מן המדה: MS P2271 om.
↑ מהמסחר: MS P2271 המספר
↑ וכמה: MS P2271 וככה
↑ וכבר: MS P2271 וככה
↑ וכמה: MS P2271 וככה
↑ 74r
↑ רביעיות: MS P2271 שביעיות
↑ 74v
↑ ידוע לך: MS P2271 לך ידוע
↑ 74v
↑ ממקובץ: MS P2271 המקובץ
↑ י"ג: MS P2271 ג'
↑ ואין יחס מאה ואחד אל מאה: MS P2271 om.
↑ זה: MS P2271 marg.
↑ 75r
↑ גרעהו... והנשאר בידך: MS P2271 om.
↑ 75v
↑ והיה עשרים... המונח השני: MS P2271 om.
↑ אחד: MS P2271 om.
↑ 76r
↑ P 2271 לשלישי
↑ 76v
↑ P2271 השני
↑ P2271 נגיע
↑ P2271 נ'ז'
↑ P2271 ג'ז'
↑ P2271 ס'
↑ 77r
↑ P2271 שוה
↑ P2271 בכ"ג
↑ P2271 ח
↑ P2271 סו'
↑ P2271 שוה לשטח
↑ P2271 נ'
↑ P2271 ע'
↑ 77v
↑ P2271 נ'ס'
↑ P2271 נ'ס'
↑ P2271 ס'
↑ P2271 ש'ס'
↑ P2271 ש'ס'
↑ 78r
↑ P2271 י"ג
↑ P2271 והם
↑ 78v
↑ P2271 השלישי הרביעי
↑ P2271 מז'
↑ P2271 הראשון
↑ P2271 י'
↑ 79r
↑ P2271 marg.
↑ P2271 ק'ץ'
↑ 79v
↑ ע': P2271 נ'
↑ ץ': P2271 צ'
↑ ץ': P2271 צ'
↑ ץ': P2271 צ'
↑ ץ': P2271 צ'
↑ ף': P2271 ץ'
↑ ף': P2271 ך'
↑ ץ': P2271 צ'
↑ ץ': P2271 צ'
↑ א': P2271 י"א
↑ ץ': P2271 צ'
↑ The answer should in fact be 57750, but 77750 is positioned in the text erroneously from here onward. This, of course, imposes a wrong final solution.
↑ Another recurring error - the number 17750 is posed here mistakenly instead of 17000 that should be the result. This error propagates onward, hence the numbers received from this point on rely on this error
↑ 83r
↑ אל השני: P2271 הראשון
↑ ויהיו בידך... ושביעית: P2271 twice
↑ 83v
↑ לפי מה: P2271 מה לפי
↑ 82r
↑ P2271 om.
↑ 82v
↑ 84r
↑ 84v
↑ מהם: P2271 מהם מה
↑ 85r

Appendix I: Glossary of Terms

rank	מדרגה, מעלה

Appendix II: Bibliography

Levi Ben Gershon (called also: Leo Hebraus, Leo de Balneolis, Maestro Leon; known today as Gersonides)
b. 1288, Bagnols, Provence – d. 1344, Provence
Sefer Ma‛ase Hoshev
1321-2

Manuscripts:

1) Jerusalem, The National Library of Israel Ms. Heb. 8°2005 (IMHM: B 400 (8°2005)), (1410)

[J2005]

2) London, British Library Or. 10547 (IMHM: f 7909), ff. 1-118 (14th-15th century)

[L10547]

3) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 30/3 (IMHM: f 6711), ff. 40r-122v (1503)

[Mo30]

4) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 1063 (IMHM: f 48133), ff. 1-84 (15th century)

5) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 36/1 (IMHM: f 1166), ff. 1-9 (1485)

[Mu36]

6) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 68/6 (IMHM: f 1131), ff. 376r-432r (Roma, 1552)

[Mu68]

7) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2624/2 (IMHM: f 28877), ff. 11r-59v (16th century)

[N2624]

8) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/6 (IMHM: f 15721), ff. 236r-295v (15th-16th century)

[Paris1029]

9) Parma, Biblioteca Palatina Parm. 2271 (IMHM: f 13179), (14th century)

[Parm2271]

10) Parma, Biblioteca Palatina Parm. 2462 (IMHM: f 13466), (14th-15th century)

[Parm2462]

11) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 399/1 (IMHM: f 477), ff. 1r-23v (15th century)

[V399]

The transcript is based mainly on manuscript Parma 2271

Edition:

Levi ben Gershon. Sefer Maassei Chosheb: Die Praxis des Rechners, Ein hebräisch-arithmetisches Werk des Levi ben Gerschom aus dem Jahre 1321. Ed. Gerson Lange. Frankfurt am Main: Louis Golde, 1909.

Bibliography:

Carlebach, Joseph. 1910. Lewi ben Gerson als Mathematiker: ein Beitrag zur Geschichte der Mathematik bei den Juden. Berlin: L. Lamm.
Chemla, Karine and Serge Pahaut. 1992. Remarques sur les ouvrages mathématiques de Gersonide. In: Freudenthal 1992, pp. 149–191.
Freudenthal, Gad ed. 1992. Studies on Gersonides: A Fourteenth-Century Jewish Philosopher-Scientist. Leiden: Brill.
Kellner, Menachem. 1992. An Annotated List of Writings by and about R. Levi ben Gershom, in Freudenthal 1992, pp. 367-414.
Langermann, Tzvi and Shai Simonson. 2000. The Hebrew Mathematical Tradition. In: Helaine Seline ed. Mathematics Across Cultures. Dordrecht: Kluwer, pp. 167–188.
Rabinovitch, Nahum. 1970. Rabbi Levi ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction, Archive for History of Exact Sciences 6 , pp. 237-248.
Rashed, Roshdi. 1994. The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. Translated by A.F.W. Armstrong. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, pp. 65-84.
Sarfatti, Gad ben ‛Ami. 1968. Mathematical Terminology in Hebrew Scientific Literature of the Middle Ages. Jerusalem: Magnes Press, pp. 220-227.
Simonson, Shai. 2000a. The Missing Problems of Gersonides. A Critical Edition, Historia Mathematica 27 (3), pp. 243–302 and 27 (4), pp. 384–431.
———.2000b. Mathematical Gems of Levi ben Gershon, Mathematics Teacher 93, pp. 659-663.
———. 2000c. The Mathematics of Levi ben Gershon, the Ralbag, BDD (Bekhol Derakhekha Daehu= בכל דרכיך דעהו) 10 (2000), pp.5-21.
Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, pp. 129-133 (e103-e107); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.
Weil-Guény, Anne-Marie. 1992. Gersonide en son temps: un tableau chronologique. In: Freudenthal 1992, pp. 355–365.
Yadegari, Mohammad. 1978. The Use of Mathematical Induction by Abū Kāmil Shujā‛ Ibn Aslam (850-930), Isis 69, 2 (Jun. 1978), pp. 259-262.

[1] 1v

[2] P2271 illegible

[3] P2271 illegible

[4] P2271 illegible

[5] P2271 illegible

[6] הספר: P 2271 המספר

[7] למעין: P 2271 למעשה

[8] דבריו: P2271 om.

[9] 2r

[10] P2271 illegible

[11] P2271 illegible

[12] P 2271: ~~בדרך המספר נמשכים~~

[13] והשני משנים וכן... מתחיל מן האחד: P2271 om.

[14] 2v

[15] P2271 illegible

[16] P2271 illegible

[17] יותר גדול: P2271 om.

[18] השטח... השני: P 2271 om.

[19] ד"ב: P2271 ה"ב

[20] ושטח ד"ב בג': P 2271 ושטח ה"ד בג' ושטח ד"ב בג'

[21] אבל מנין... שבא"ב מן האחדים: P 2271 om.

[22] 3r

[23] וכזה: P2271 ~~ואולם~~ וכזה

[24] בג"ד: P2271 ב"ג

[25] א"ד: P2271 א"ב

[26] 3v

[27] ב"ג: P2271 א"ב

[28] א"ב: P2271 ב"ג

[29] לשטח ... ולשטח: P2271 לשטח

[30] אם כן מרובע א"ג... ולמרובע ב"ג: P 2271 om.

[31] שוה לשטח: P2271 שטח

[32] 4r

[33] מספר: P2271 om.

[34] ממספרי: P2271 מספרי

[35] 4v

[36] ימנם: P2271 illegible

[37] ממספרי: P2271 ממספר

[38] מה שבד' מן האחדים: P 2271 אחדי

[39] 5r

[40] מארבעה: P2271 ~~מהשנים~~ מארבעה

[41] המספר: P2271 והמספר

[42] ב'ג'ה'ז': P2271 ב'ג'ז'ה'ד'

[43] א'ד'ח': P2271 א'ב'ז'

[44] ט'כ': P2271 א'י'כ'

[45] א'ד'ה'ז'ח': P2271 א'ד'ה'ז'ה'

[46] א'ד'ה'ז'ח': P2271 א'ד'ה'ז'ה'

[47] א'ד'ח': P2271 א'ב'ז'

[48] ה': P2271 א'

[49] א'ד'ח': P2271 א'ב'ז'

[50] ה': P2271 ה'ז'

[51] והעולה כבר... ב'ג'ה'ז': P2271 om.

[52] המספר: P2271 על המספר

[53] א'ד'ח': P2271 ד'א'ד'ח'

[54] ט'כ': P2271 א'י'ב'

[55] 5v

[56] יהיה: P2271 אם יהיה

[57] מאיזה: P2271 באיזה

[58] ויהיה: P2271 וה ויהיה

[59] ס': P2271 כ'

[60] בל' ונשים העולה: P2271 בל' ונשים העולה בל' ונשים העולה

[61] פ': P2271 כ'

[62] ל': P2271 כ'

[63] ה': P2271 פ'

[64] ח': P2271 מ'

[65] ז': P2271 א'

[66] א': P2271 צ'

[67] ס': P2271 om.

[68] 6r

[69] ה': P2271 ח'

[70] ח': P2271 ה'

[71] א'ב'ג'ד': P2271 א'ב'ג'

[72] מ' אל נ'... ה'ז'ח'ט' הוא כמו היחס: P2271 om.

[73] והוא מה שרצינו... אחד בעינו: P2271 om.

[74] ב'ד': P2271 om.

[75] 6v

[76] היה: MS P2271 היה ראשון

[77] ח': MS P2271 ז'

[78] קטן: MS P2271 ממספר קטן

[79] ממספר: MS P2271 מספר

[80] ולוקח: MS P2271 ולקח

[81] אחר: MS P2271 אחד

[82] אחרים: MS P2271 om.

[83] מונחים: MS P2271 מונחים ולוקח עוד ה'

[84] וה': MS P2271 והם

[85] וז' חלקים: MS P2271 וזה חלק

[86] מא': MS P2271 מח'

[87] ח'ט': MS P2271 ה'ט'

[88] ה': MS P2271 ח'

[89] מג': MS P2271 om.

[90] 7r

[91] נ': MS P2271 ב'

[92] ז': MS P2271 ז'ח'

[93] מספר: MS P2271 ממספר

[94] ה': MS P2271 ח'

[95] שמספרי: MS P2271 שמספר

[96] במספר א' מדמיוני: MS P2271 מספר א' בדמיוני

[97] ולזה יהיה...מן האחדים: MS om.

[98] ח': MS P2271 פ'

[99] מ': MS P2271 מג'

[100] ף': MS P2271 פ'

[101] ט': MS P2271 כ ט'

[102] ג': MS P2271 ב'

[103] מיחס מספרי: MS P2271 ממספרי

[104] א': MS P2271 om.

[105] ץ': MS P2271 צ'

[106] צ'ר'ת': MS P2271 צ'ר'ת' אחד

[107] ץ': MS P2271 צ'

[108] צ'ר'ת': MS P2271 om.

[109] מההכאה: MS P2271 ההכאה

[110] מה: MS P2271 om.

[111] החלקים ומההכאות: MS P2271 החלקיים ומהכאות

[112] 7v

[113] ה': MS P2271 ב'

[114] מד': MS P2271 מצד מד'

[115] ב': MS P2271 פ'

[116] ב': MS P2271 פ'

[117] ה': MS P2271 ח'

[118] אחד: MS P2271 א'

[119] נ' אל ע': MS P2271 ע' אל נ'

[120] אחד ג'ד': MS P2271 א'ח'ד' ע'ד'

[121] ש': MS P2271 ע'ש'

[122] כ'ב'ט': MS P2271 כ'בט' שוים

[123] ג'ד': MS P2271 ג'ד' שוים

[124] מה: MS P2271 ש מה

[125] ההעברה: MS P2271 העברה

[126] הוא: MS P2271 הם

[127] המונח: MS P2271 העולה

[128] ההמשך: MS P2271 om.

[129] הוא: MS P2271 הם

[130] 8r

[131] הנה מספר: MS P2271 מספרי

[132] עדיו: MS P2271 om.

[133] מספר זוג: MS P2271 om.

[134] ואומר: MS P2271 ושמר

[135] על א'ה' אחד: MS P2271 עליו

[136] מספר: MS P2271 om.

[137] ההם: MS P2271 והם

[138] 8v

[139] שמספר: MS P2271 om.

[140] לפניו: MS P2271 ולפניו

[141] לו: MS P2271 om.

[142] על: MS P2271 אל

[143] מספר: MS P2271 om.

[144] שוה: MS P2271 שוים

[145] 9r

[146] א': MS P2271 om.

[147] ד'ז': MS P2271 מז'

[148] א': MS P2271 א'ב'

[149] 9v

[150] מו': MS P2271 om.

[151] ולזה יהיה יתרון הקטן... על האחד מספר ט': MS P2271 om.

[152] האחד: MS P2271 האחרון

[153] מספר: MS P2271 ממספר

[154] והאחד: MS P2271 האחד

[155] 10r

[156] מספרי: MS P2271 ממספרי

[157] וא' הוא אחד: MS P2271 om.

[158] ושטח ד' בז': MS P2271 om.

[159] המספר: MS P2271 המספר האחד

[160] והאחד: MS P2271 והמספר האחד

[161] 10v

[162] מספר: MS P2271 om.

[163] וג'... כפל ה': MS P2271 om.

[164] מבואר: MS P2271 om.

[165] האחרת: MS P2271 האחת

[166] כמו מספר ה'...נקבץ מספרי א'ג'ז': MS P2271 twice

[167] שוה: MS P2271 שוים

[168] מספר: MS P2271 om.

[169] שוה למספר הנפרדים... לאחריו: MS P2271 om.

[170] הנפרדים: MS P2271 המספרים

[171] עד: MS P2271 עם

[172] 11r

[173] ה' בו'... חצי מספר: MS P2271 om.

[174] בו': MS P2271 בז'

[175] מרובע: MS P2271 מספר

[176] מן האחד: MS P2271 מהם

[177] מן האחד: MS P2271 om.

[178] נפרד: MS P2271 נפרד זוג

[179] 11v

[180] שנקבצי: MS P2271 שנקבצו

[181] א'ב' א': MS P2271 א' א'ב'

[182] א'ב': MS P2271 om.

[183] ה'ו': MS P2271 ה'ז'

[184] ה'ו'ז': MS P2271 ה'ז'

[185] מחוברים: MS P2271 om.

[186] שהוא: MS P2271 om.

[187] ההמשך: MS P2271 המשך

[188] שהעולה שוה למרובעי א'ב'ג'ד'ה': MS P2271 om.

[189] כמספרו: MS P2271 כמספרי

[190] המספרים: MS P2271 הספרים

[191] מהמספרים: MS P2271 מהספרים

[192] מספר: MS P2271 המספר

[193] למרובעו: MS P2271 למרובע

[194] 12r

[195] במספר אחדי ה'...נקבץ א'ב'ג'ד'ה': MS P2271 twice

[196] החבור: MS P2271 וחבור

[197] ד': MS P2271 ד' ~~כפל שטח אחד בד' ומרובע~~

[198] ד': MS P2271 om.

[199] ד': MS P2271 om.

[200] 12v

[201] נקבץ: MS P2271 נקבצי

[202] ההמשך: MS P2271 הנמשך

[203] ג'ד'ה': MS P2271 om.

[204] ויחוסרו: MS P2271 ויחוסר

[205] שוה: MS P2271 שוים

[206] ב'ג': MS P2271 ג'

[207] ה'ו': MS P2271 ה'ז'

[208] הוא: MS P2271 היא

[209] והוא: MS P2271 והיא

[210] ה'ו': MS P2271 ה'ז'

[211] ה'ו': MS P2271 ה'ז'

[212] 13r

[213] ששטח: MS P2271 ששטחו

[214] ו': MS P2271 om.

[215] ו': MS P2271 om.

[216] מין: MS P2271 מן

[217] הנה העולה... עד המספר המונח: MS P2271 marg.

[218] מספרי: MS P2271 om.

[219] שוה: MS P2271 שוים

[220] ו': MS P2271 om.

[221] מחוברים עם נקבצי... אבל נקבצי... ה'ו' ו': MS P2271 om.

[222] א'ב'ג': MS P2271 om.

[223] 13v

[224] ה': MS P2271 ה'ו'

[225] ממרובעו: MS P2271 ממרובעי

[226] מספר: MS P2271 עם

[227] ו': MS P2271 om.

[228] היה: MS P2271 ~~היה~~ היה

[229] 14r

[230] אם כן מעוקב ה'... א'ב'ג'ד': MS P2271 om.

[231] נקבץ: MS P2271 om.

[232] מעוקבו: MS P2271 מעוקב שהוא

[233] הנקבץ: MS P2271 ה' הנקבץ

[234] הנקבץ: MS P2271 om.

[235] א'ב'ג'ד': MS P2271 ג'ד'

[236] א'ב'ג'ד': MS P2271 ג'ד'

[237] א'ב': MS P2271 א'ב' והנה מרובע נקבץ א'ב'ג' שוה למעוקב ג' ולמרובע בקבוץ א'

[238] מספרי: MS P2271 מספר

[239] ו': MS P2271 ז'

[240] 14v

[241] ד': MS P2271 א' ד'

[242] א': MS P2271 ד' א'

[243] וכאשר יחובר עמו... אחדי ב': MS P2271 om.

[244] ד': MS P2271 א'

[245] בב': MS P2271 בג'

[246] ל'מ': MS P2271 ל'מ' נ'ס' ע'פ'

[247] מספרי נ'ס' ע'פ': MS P2271 מספר ע'פ' נ'ס'

[248] הוא: MS P2271 הם

[249] צ'ח': MS P2271 ז'ח'

[250] אם כן מספר אחדי צ'ק'... מן האחדים: MS P2271 om.

[251] 15r

[252] ש'ת': MS P2271 ת'ש'

[253] ש'ת': MS P2271 ת'ש'

[254] יהיו א"כ אחדי... שוים: MS P2271 om.

[255] יהיה א"כ נ'ס' מקובץ עם: MS P2271 הם כן

[256] ש'ת': MS P2271 ת'ש'

[257] ואולם... לב': MS P2271 om.

[258] א"כ: MS P2271 גם כן

[259] ש'ת': MS P2271 ת'ש'

[260] סכום: MS P2271 כתום

[261] כמו: MS P2271 תמו

[262] במספר: MS P2271 מספר

[263] המתחלפים: MS P2271 מתחלפים

[264] אחד: MS P2271 א' אחד

[265] שכפל: MS P2271 ~~שכל~~ שכפל

[266] ג': MS P2271 ג'ד'

[267] הוא: MS P2271 הוא אחד והוא

[268] שהוא ד': MS P2271 אבל שטח אחד בד' שוה לד'

[269] על שטח ג' בד': MS P2271 om.

[270] ב'ג'ד': MS P2271 ב'ג'ה'

[271] 15v

[272] כפל: MS P2271 ש' כפל

[273] לפניו: MS P2271 לאחריו

[274] שטח א' בד' מחובר... ולמספר ה' א"כ: MS P2271 om.

[275] מחובר: MS P2271 מחובר נחבר

[276] כשחובר עם הגדול: MS P2271 om.

[277] הקטן: MS P2271 הקטן והגדיל

[278] 16r

[279] מספרי: MS P2271 מספר ג'ב' שוה לשטח ~~ג'ד'ז'~~ [ד' בב'] אם כן כפל שטח ה' בג' מחובר עם מספרי

[280] ג'ב'ז': MS P2271 ג'ד'ז'

[281] המתחלפים: MS P2271 מתחלפים

[282] הוא: MS P2271 om.

[283] 16v

[284] שוה לשטח ה' בד'ה': MS P2271 om.

[285] שהוא: MS P2271 הוא

[286] וא' הוא ... הקודמת: MS P2271 om.

[287] בה': MS P2271 בח'

[288] בה': MS P2271 בח'

[289] אם כן כפל שטח כ' בח'... שטח ז' בח': MS P2271 om.

[290] והיה: MS P2271 והוא

[291] על: MS P2271 om.

[292] 17r

[293] בה': MS P2271 בח'

[294] לכפלי: MS P2271 לכפל

[295] בה': MS P2271 בח'

[296] ממספרי ב' וכפלי ד': MS P2271 om.

[297] ח': MS P2271 ב'ח'

[298] בה': MS P2271 בח'

[299] אחד על: MS P2271 על אחד

[300] במה: MS P2271 כפי

[301] עם: MS P2271 om.

[302] 17v

[303] וכאשר: MS P2271 ~~ימנהו ג' במספר אחדי ז'~~ וכאשר

[304] ט': MS P2271 ח' ט'

[305] כמספר: MS P2271 om.

[306] בא': MS P2271 בא' באב

[307] ט' עם: MS P2271 עמו

[308] א"כ כאשר חובר ב'ט'... שוה לשטח ט' בא': MS P2271 om.

[309] 18r

[310] ג'ד': MS P2271 ב'ג'ד'

[311] הראשון: MS P2271 ראשון

[312] ב': MS P2271 א'

[313] ז': MS P2271 ב' ז'

[314] אם: MS P2271 om.

[315] המספר: MS P2271 ^המספר

[316] לה' ולשני שטחי ד' בח': MS P2271 לט'

[317] מספרי: MS P2271 מספר

[318] 18v

[319] שטח: MS P2271 om.

[320] ולז': MS P2271 om.

[321] מספרי: MS P2271 מספר

[322] ח': MS P2271 ח' ז'

[323] א"כ חצי מספרי... למספרי ג'ד': MS P2271 ראשון

[324] לה' ולשטח: MS P2271 לשטח

[325] שוים: MS P2271 שוה

[326] 19r

[327] ל' בח': MS P2271 שטח ד' בח' עם שני דמיוני ח' שוים לשני דמיוני שטח ל' בח'

[328] ולכפל ל': MS P2271 ולכפל ז' ולכפל ל'

[329] מספרי: MS P2271 מספרי ~~ז'ל' מקובצים שהוא כמו כפל ח' אבל שני~~

[330] כ'ס' שוים למספר ה' ולשני: MS P2271 marg.

[331] שני: MS P2271 om.

[332] גם כן: MS P2271 גם כן למספר ה' ולשני שטחי ל' בח' אם כן שני מספרי כ'ס' מקובצים שוים גם כן

[333] מספר: MS P2271 om.

[334] ונשאר: MS P2271 ונשאיר

[335] המספר הגדול... עם העולה: MS P2271 om.

[336] המספר: MS P2271 מספר

[337] המספרים: MS P2271 המספרים הנמשכים

[338] 19v

[339] ממספרי: MS P2271 ממספר

[340] וכמספר: MS P2271 ולמספר

[341] ג': MS P2271 מזה ג'

[342] 20r

[343] אחדי אחדי שטח ד'...כמספר אחדי: MS P2271 om.

[344] וכמספר ר': MS P2271 om.

[345] מספרי מ'נ' ימנהו ג': MS P2271 ג' מ'נ' ימנהו מספרי

[346] ר': MS P2271 ד'ב'

[347] מספר ר': MS P2271 om.

[348] נ'פ': MS P2271 מ'נ'

[349] ס'צ': MS P2271 פ'צ'

[350] ח'ה': MS P2271 ה'ה'ח'

[351] מקובצים: MS P2271 om.

[352] א"כ שני שטחי... ולכפל ד': MS P2271 om.

[353] מספר: MS P2271 om.

[354] אבל כפל שטח ד' בג'... שטח ח' בל': MS P2271 om.

[355] וכאשר חובר עם זה... היה העולה: MS P2271 אם כן כפל ה' בל' עם כפל ד' בג'

[356] מ'ע': MS P2271 מ' וע'

[357] 20v

[358] ד' בב': MS P2271 ז' בח' ושני שטחי ד' בב'

[359] ז'ה': MS P2271 om.

[360] מקובצים: MS P2271 om.

[361] עם שני שטחי ד' בב' וכפל מספר ר': MS P2271 וכפל מספר ד' בב'

[362] וכאשר חובר זה עם... ולשני שטחי ה' בל': MS P2271 אם כן שני שטחי ה' בל' ושני שטחי ז' בח' ושני שטחי ד' בב' וכפל שוים לשני שטחי ח' בל' ולשני שטחי ה' בל'

[363] נ'פ': MS P2271 מ'ע'

[364] מהנשארים: MS P2271 מהנשארים עמו

[365] 21r

[366] הדרוש: MS P2271 om.

[367] מספרי: MS P2271 מספר

[368] פ'צ': MS P2271 פ'ר'

[369] ק': MS P2271 פ'

[370] י': MS P2271 ז'

[371] חלקים מכ': MS P2271 ס'ו'כ'

[372] ר': MS P2271 om.

[373] שיחס כל: MS P2271 שכל

[374] החלקים: MS P2271 היחסים

[375] במספר א': MS P2271 om.

[376] מספר: MS P2271 om.

[377] מקובצים הוא: MS P2271 om.

[378] מקובצים: MS P2271 om.

[379] מקובצים הוא: MS P2271 om.

[380] אבל מספרי נ'ס'ע'... מספרי י'ך': MS P2271 om.

[381] פ'ץ': MS P2271 פ'צ'

[382] 21v

[383] מספר מה: MS P2271 נ'ח'

[384] מה': MS P2271 מח'

[385] מה': MS P2271 מח'

[386] ההוא: MS P2271 הוא

[387] 22r

[388] למ': MS P2271 למספר

[389] שוים: MS P2271 שוה

[390] מספר: MS P2271 מספרי

[391] א': MS P2271 ש א'

[392] או: MS P2271 או ~~יהיה~~

[393] ז': MS P2271 א'

[394] מספר: MS P2271 om.

[395] ז': MS P2271 א'

[396] יהיה: MS P2271 יהיו

[397] 22v

[398] הנמשך: MS P2271 הנמשך לפניו

[399] למספר ב': MS P2271 לב'

[400] והוא יהיה המספר: MS P2271 om.

[401] על ד': MS P2271 על ^ד'

[402] מוסיף: MS P2271 om.

[403] שמספר: MS P2271 מספר

[404] 23r

[405] אם כן מספרי ד'ז' שוים... כמספר אחדי ב': MS P2271 om.

[406] מספרי: MS P2271 om.

[407] ויהיה המספר: MS P2271 והמספר

[408] הנה: MS P2271 om.

[409] מורכב: MS P2271 מנח י"ב מזה המאמר

[410] במורכב ממספרי: MS P2271 על מספרי

[411] מספרים: MS P2271 המספרים

[412] 23v

[413] מונח: MS P2271 om.

[414] מהמספרים: MS P2271 המספרים

[415] מספר: MS P2271 ומספר

[416] מספר: MS P2271 om.

[417] שטח: MS P2271 om.

[418] ממקובצם: MS P2271 ממקובצים

[419] מקובצם: MS P2271 שניהם מקובצים

[420] 24r

[421] מספרי: MS P2271 מספר

[422] מרובע: MS P2271 מרובעי

[423] שטח: MS P2271 om.

[424] מקובצים: MS P2271 om.

[425] במספר: MS P2271 מספר

[426] ד': MS P2271 ה'

[427] ולשלשת דמיוני שטח מרובע ב' בא': MS P2271 om.

[428] 24v

[429] שלשת דמיוני שטח ג' בא'ב'... בא' א"כ: MS P2271 א'

[430] נושאים: MS P2271 הנושאים

[431] בחבורי: MS P2271 בחבורים

[432] ה': MS P2271 om.

[433] בהם: MS P2271 om.

[434] רק: MS P2271 om.

[435] החבורים: MS P2271 om.

[436] חוברו: MS P2271 חובר

[437] המתחלפות: MS P2271 התחלפות

[438] 25r

[439] הקודמות: MS P2271 קודם

[440] ותשארנה המחברות מחלפות בסדר: MS P2271 om.

[441] מחברות א'ב'ג'ד'ו'...ולזה תהיינה: MS P2271 om.

[442] בכל אלו: MS P2271 באלו

[443] שם: MS P2271 om.

[444] ממחברות: MS P2271 מחברות

[445] ד'ו'ה'ג'א'ב': MS P2271 om.

[446] 25v

[447] המתחלפות: MS P2271 התחלפות

[448] בנושאיהם: MS P2271 בנושאיה

[449] מונח: MS P2271 מונח ב

[450] המתחדשות: MS P2271 המתחדשות המ

[451] מספר: MS P2271 שמספר

[452] הראשון: MS P2271 ראשון

[453] 26r

[454] הראשון: MS P2271 ראשון

[455] ויהיו: MS P2271 והיה

[456] המתחלפות: MS P2271 התחלפות

[457] אחת: MS P2271 אחד

[458] כמספר: MS P2271 מספר

[459] המתחלפות: MS P2271 ומתחלפות

[460] ולזה: MS P2271 וכזה

[461] מ': MS P2271 om.

[462] 26v

[463] בכל אלו: MS P2271 באלו

[464] אם: MS P2271 אין

[465] מחברות: MS P2271 om.

[466] מהמחברות: MS P2271 מהמחברת

[467] מנינו: MS P2271 שנינו

[468] מ': MS P2271 om.

[469] 27r

[470] המספר המונח: MS P2271 מספר מונח

[471] לבד: MS P2271 om.

[472] המספר: MS P2271 om.

[473] השטח: MS P2271 שטח

[474] ההם: MS P2271 הם

[475] מהם: MS P2271 om.

[476] והיו: MS P2271 והיה

[477] הנושאים המתחלפים: MS P2271 om.

[478] אשר מספרם ח': MS P2271 מספר ח' מהם

[479] ז': MS P2271 om.

[480] ב'ג'ד': MS P2271 א'ב' ג'ד'

[481] ויתחדשו: MS P2271 יתחדשו

[482] המתחלפות: MS P2271 התחלפות

[483] מספר: MS P2271 om.

[484] כל: MS P2271 om.

[485] 27v

[486] המתחלפות: MS P2271 התחלפות

[487] המתחלפות: MS P2271 התחלפות

[488] ממספר הנושאים: MS P2271 מהנושאים

[489] המתחלפות: MS P2271 מההתחלפות

[490] ונאמר שמספר ט'... המתחלפות בנושאיהם: MS P2271 om.

[491] המופת שאנחנו נשים: MS P2271 ותהיינה

[492] מאלו הנושאים: MS P2271 om.

[493] כמו מספר: MS P2271 הם כמספר

[494] מחברות הנושאים אשר מספרם ח'... והנה: MS P2271 om.

[495] לשטח ל': MS P2271 לל'

[496] ולזה: MS P2271 marg.

[497] המתחלפות בנושאיהם: MS P2271 om.

[498] 28r

[499] שמחברות: MS P2271 שמחברת

[500] מחברות: MS P2271 מחברת

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

[98]

[99]

[100]

@@ Line 8,621: / Line 8,621: @@
 |-
 | colspan=2 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[3\sdot\left(3-1\right)\sdot\sum_{i=1}^{7} \left[1+3\sdot\left(i-1\right)\right]^2\right]+\left[3\sdot\left(3-1\right)^2\sdot\sum_{i=1}^{7} \left[1+3\sdot\left(i-1\right)\right]\right]+\left(3-1\right)^3\sdot7=5712+840+56=6608}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[3\sdot\left(3-1\right)\sdot\sum_{i=1}^{7} \left[1+3\sdot\left(i-1\right)\right]^2\right]+\left[3\sdot\left(3-1\right)^2\sdot\sum_{i=1}^{7} \left[1+3\sdot\left(i-1\right)\right]\right]+\left(3-1\right)^3\sdot7\\&\scriptstyle=5712+840+56=6608\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-::We take the sum of the cubes of the successive numbers from one up to 7; it is 784. We multiply it by 27, which is the cube of three; it is 21 thousand and 168. We subtract the first "corrected" reserved from it; the remainder is two thousand and 560 and this is the reserved.
+::We take the sum of the cubes of the successive numbers from one up to 7; it is 784. We multiply it by 27, which is the cube of three; it is 21 thousand and 168.
-|style="text-align:right;"|הוצאנו מעוקבי המספרים הנמשכים מן האחד עד ז' והנה תשפ"ד ערכנום על כ"ז שהוא מעוקב שלשה והנה כ"א אלפים וקס"ח גרענו מהם השמור הראשון המתוקן ונשאר י"ד אלפים ותק"ס&#x202B;<ref>ותק"ס: MS P2271 ותק"כ</ref> והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|הוצאנו מעוקבי המספרים הנמשכים מן האחד עד ז' והנה תשפ"ד ערכנום על כ"ז שהוא מעוקב שלשה והנה כ"א אלפים וקס"ח
+|-
+| colspan=2 |
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sum_{i=1}^{7} i^3\right)\sdot3^3=784\sdot27=21168}}</math>
+|-
+|
+::We subtract the first "corrected" reserved from it; the remainder is two thousand and 560 and this is the reserved.
+|style="text-align:right;"|גרענו מהם השמור הראשון המתוקן ונשאר י"ד אלפים ותק"ס&#x202B;<ref>ותק"ס: MS P2271 ותק"כ</ref> והוא המבוקש
 |-
 |
@@ Line 8,645: / Line 8,652: @@
 |
 :*Example of this from our previous example, meaning when the first number is greater than the increment by two:
+::<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left[\left(3+2\right)+3\sdot\left(i-1\right)\right]^3</math>
 |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה במשלינו הקודם רצוני שיהיה המספר הראשון מוסף שנים על שעור ההמשך
 |-
@@ Line 8,650: / Line 8,658: @@
 ::We know that [the sum of] the squares of the seven numbers that follow each other by threes is one thousand and 260. We multiply one thousand and 260 by three times the second given number, which is 6; the result is 7 thousand and 560. We keep the result.
 |style="text-align:right;"|הנה ידענו כי מרובעי שבעה מספרים נמשכים ב{{#annot:term|326,2411|jUpK}}המשך{{#annotend:jUpK}} שלשה שלשה הם אלף ור"ס ערכנו אלף ור"ס על שלשה דמיוני המספר המונח השני שהוא ו' ועלה ז' אלפים ותק"ס&#x202B;<ref>ותק"ס: MS P2271 om.</ref> ונשמור העולה
+|-
+| colspan=2 |
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(5-3\right)\sdot\sum_{i=1}^{7} \left(3i\right)^2=3\sdot2\sdot1260=6\sdot1260=7560}}</math>
 |-
 |
 ::Furthermore, the sum of the sequence of numbers with an increment of three up to seven is 84. We multiply it by three times the square of the second given number, which is 12; the result is one thousand and 8. We keep it also.
 |style="text-align:right;"|וגם כן הנה נקבץ המספרים&#x202B;<ref>המספרים: MS P2271 om.</ref> הנמשכים בהמשך שלשה עד שבעה הוא פ"ד ערכנום על שלשה דמיוני מרובע המספר המונח השני שהוא י"ב ועלה אלף וח' ונשמרם גם כן
+|-
+| colspan=2 |
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(5-3\right)^2\sdot\sum_{i=1}^{7} 3i=3\sdot2^2\sdot84=12\sdot84=1008}}</math>
 |-
 |
-::Also, the cube of the second given number is 8. We multiply it by the first given number, which is 7; the result is 56. We add it to the two reserved; the result is 8 thousand and 514, and this is the first "corrected" reserved.
+::Also, the cube of the second given number is 8. We multiply it by the first given number, which is 7; the result is 56.
-|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מעוקב המספר המונח השני הוא ח' ערכנוהו&#x202B;<ref>ערכנוהו: MS P2271 ערכנום</ref> על המספר המונח הראשון שהוא ז' ועלה נ"ו חברנום עם שני השמורים ועלה ח' אלפים ותרכ"ד והוא השמור הראשון המתוקן
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5-3\right)^3\sdot7=2^3\sdot7=8\sdot7=56}}</math>
+|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מעוקב המספר המונח השני הוא ח' ערכנוהו&#x202B;<ref>ערכנוהו: MS P2271 ערכנום</ref> על המספר המונח הראשון שהוא ז' ועלה נ"ו
+|-
+|
+::We add it to the two reserved; the result is 8 thousand and 514, and this is the first "corrected" reserved.
+|style="text-align:right;"|חברנום עם שני השמורים ועלה ח' אלפים ותרכ"ד והוא השמור הראשון המתוקן
+|-
+| colspan=2 |
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[3\sdot\left(5-3\right)\sdot\sum_{i=1}^{7} \left(3i\right)^2\right]+\left[3\sdot\left(5-3\right)^2\sdot\sum_{i=1}^{7} 3i\right]+\left(5-3\right)^3\sdot7\\&\scriptstyle=7560+1008+56=8624\\\end{align}}}</math>
+|-
+|
+::The [sum of the] cubes of the seven numbers in the sequence of numbers with an increment of three is 21 thousand and 168.
+|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מעוקבי שבעה מספרים נמשכים בהמשך שלשה הוא כ"א אלפים וקס"ח
+|-
+| colspan=2 |
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} \left(3i\right)^3=21168}}</math>
 |-
 |
-::The [sum of the] cubes of the seven numbers in the sequence of numbers with an increment of three is 21 thousand and 168. We add it to the first "corrected" reserved; the result is 29 thousand and 792, and this is the required.
+::We add it to the first "corrected" reserved; the result is 29 thousand and 792, and this is the required.
-|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מעוקבי שבעה מספרים נמשכים בהמשך שלשה הוא כ"א אלפים וקס"ח חברנום עם השמור הראשון המתוקן ועלה כ"ט אלפים ותשצ"ב&#x202B;<ref>ותשצ"ב: MS P2271 ותצ"ב</ref> והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|חברנום עם השמור הראשון המתוקן ועלה כ"ט אלפים ותשצ"ב&#x202B;<ref>ותשצ"ב: MS P2271 ותצ"ב</ref> והוא המבוקש
 |-
 |

Difference between revisions of "ספר מעשה חושב"

Latest revision as of 17:25, 3 July 2023

Contents

Prologue

Introduction to Section One – basic definitions

Section One

Theorems in Euclidean style

Arithmetic progressions and sums

Combinatorics

Introduction

Combinatorial Identities

Section Two

Introduction to the Section

Numeration

Chapter One on the Addition of Numbers to one another and the Subtraction of Numbers from one another

Addition

Subtraction

Chapter Two on the Addition of Equal Numbers, which is the Multiplication of a Number by a Number

Multiplication by Rounding

Squaring

Chapter Three – Summing Successive or Proportional Numbers

Sum of Odd Numbers

Sum of Even Numbers

Sum of Square Numbers

Sum of Cube Numbers

The First Term is Not One

Finding the Last Term

Chapter Four – On the Number of Collections of Given Items that Either Differ by the Items or by their Order or by both

Chapter Five – Division

Fractions

Simple Fractions

Sexagesimal Fractions

Multiplication of sexagesimal fractions

Division of sexagesimal fractions

Dividing a known number by an unknown number

Extraction of Square Roots

Extraction of Cubic Roots

Chapter Six – Ratios

Word Problems

Find a Number Problems

Pricing Problems - Find the Price

Conversion: day-hours, liṭra-dinar-pašuṭ

Motion Problems

Motion Problems - Pursuit

Shared Work Problems

Pricing Problems

Purchase Problems - Equal Amounts

Purchase Problems - Unequal Amounts

Payment Problem

Buy and Sell Problems

Barter Problem

Give and Take Problem

Barter Problem

Give and Take Problems

Find a Number Problems

Two Numbers

Three Numbers

Four Numbers

Seven Numbers

Four Numbers

Five Numbers

Three Numbers

Colophon

Notes

Appendix I: Glossary of Terms

Appendix II: Bibliography

Navigation menu

Search