Difference between revisions of "עיר סיחון"
From mispar
(→Extracting Roots of Deaf Numbers) |
(→Epilogue) |
||
| (46 intermediate revisions by the same user not shown) | |||
| Line 5,165: | Line 5,165: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :<span style=color:green>'''Second approximation:'''</span> if we want to | + | :<span style=color:green>'''Second approximation:'''</span> if we want to correct it further, we multiply this [approximate] root by itself and see by how much the product exceeds over the number we are examining. |
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[a+\left(\frac{60\sdot b}{2a}\right)^\prime\right]^2-\left(a^2+b\right)}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[a+\left(\frac{60\sdot b}{2a}\right)^\prime\right]^2-\left(a^2+b\right)}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ואם נרצה {{#annot:term|1612,1387|XsfT}}לדקדק{{#annotend:XsfT}} אותה עוד נכפול ונכה המדה הזאת על עצמה ונראה מה {{#annot:term|420,1206|mYzg}}יוסיף ב{{#annotend:mYzg}}{{#annot:term|156,1256|8IVB}}הכאה{{#annotend:8IVB}} על החשבון אשר אנחנו חוקרים עליו | |style="text-align:right;"|ואם נרצה {{#annot:term|1612,1387|XsfT}}לדקדק{{#annotend:XsfT}} אותה עוד נכפול ונכה המדה הזאת על עצמה ונראה מה {{#annot:term|420,1206|mYzg}}יוסיף ב{{#annotend:mYzg}}{{#annot:term|156,1256|8IVB}}הכאה{{#annotend:8IVB}} על החשבון אשר אנחנו חוקרים עליו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :We examine the ratio of the excess to double the [approximate] root we found: subtract this ratio from the [approximate] root and the remainder is a more accurate root than it was at first. | + | :We examine the ratio of [the square of] the excess to double the [approximate] root we found: subtract this ratio from the [approximate] root and the remainder is a more accurate root than it was at first. |
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\approx a+\left(\frac{60\sdot b}{2a}\right)^\prime-\left[\frac{\left(\left(\frac{60\sdot b}{2a}\right)^\prime\right)^2}{2\sdot\left(a+\left(\frac{60\sdot b}{2a}\right)^\prime\right)}\right]}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\approx a+\left(\frac{60\sdot b}{2a}\right)^\prime-\left[\frac{\left(\left(\frac{60\sdot b}{2a}\right)^\prime\right)^2}{2\sdot\left(a+\left(\frac{60\sdot b}{2a}\right)^\prime\right)}\right]}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ונעיין מה ערך ה{{#annot:term|877,1207|updy}}תוספת{{#annotend:updy}} אל כפל [המדה]‫<ref>Vatican: המכה</ref> שמצאנו פעמים וכערך [ההוא]‫<ref>Vatican: הכאה</ref> תסיר מהמדה והנותר יהיה יותר מדה {{#annot:term|1614,1388|WRW2}}מדוקדקת{{#annotend:WRW2}} מאשר לא היתה בתחלה | |style="text-align:right;"|ונעיין מה ערך ה{{#annot:term|877,1207|updy}}תוספת{{#annotend:updy}} אל כפל [המדה]‫<ref>Vatican: המכה</ref> שמצאנו פעמים וכערך [ההוא]‫<ref>Vatican: הכאה</ref> תסיר מהמדה והנותר יהיה יותר מדה {{#annot:term|1614,1388|WRW2}}מדוקדקת{{#annotend:WRW2}} מאשר לא היתה בתחלה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :<span style=color:green>'''Third approximation:'''</span> to | + | :<span style=color:green>'''Third approximation:'''</span> to correct it further, we do with the second [approximate] root as we did with the first [approximate] root, and what remains after subtracting the ratio of the excess to double the second [approximate] root from [the second approximate root] is the most accurate approximation. |
|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|1612,1387|kaxo}}לדקדקה{{#annotend:kaxo}} יותר נעשה מהמדה הזאת השנית כאשר עשינו מהמדה הראשונה ‫<ref>95r</ref>ומה שישאר אחרי הסרת ערך ה{{#annot:term|877,1207|15Co}}תוספת{{#annotend:15Co}} ההכאה אל כפל המדה השנית פעמים ממנה יהיה מדה מדוקדקת מכלנה | |style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|1612,1387|kaxo}}לדקדקה{{#annotend:kaxo}} יותר נעשה מהמדה הזאת השנית כאשר עשינו מהמדה הראשונה ‫<ref>95r</ref>ומה שישאר אחרי הסרת ערך ה{{#annot:term|877,1207|15Co}}תוספת{{#annotend:15Co}} ההכאה אל כפל המדה השנית פעמים ממנה יהיה מדה מדוקדקת מכלנה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :From here on, do not trouble yourself to | + | :From here on, do not trouble yourself to correct it even further, lest you dive into deep water and draw nothing in your hand. |
|style="text-align:right;"|ומכאן ואילך אל תיגע עצמך לדקדק כי אולי תצלול במים אדירים וחרס יעלה בידך | |style="text-align:right;"|ומכאן ואילך אל תיגע עצמך לדקדק כי אולי תצלול במים אדירים וחרס יעלה בידך | ||
|- | |- | ||
| Line 5,198: | Line 5,198: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :When we wish to | + | :When we wish to correct it further, we do it in the previously explained way. |
|style="text-align:right;"|וכשנבקש לדקדק אותה נעשה בדרך המבואר [בדקדוקיו]‫<ref>Vatican: בדק</ref> שלפנינו | |style="text-align:right;"|וכשנבקש לדקדק אותה נעשה בדרך המבואר [בדקדוקיו]‫<ref>Vatican: בדק</ref> שלפנינו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | *If We find that the excess of our number over the preceding square is the same as its root, no less and no more, we call our number a | + | *If We find that the excess of our number over the preceding square is the same as its root, no less and no more, we call our number a "mean number" [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+a}}</math>]. |
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b=a}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b=a}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה אם מצאנו העודף ממספרנו על המרובע שעבר שהוא בכגדרו לא פחות ולא יתר נקרא מספרינו ממוצע | |style="text-align:right;"|והנה אם מצאנו העודף ממספרנו על המרובע שעבר שהוא בכגדרו לא פחות ולא יתר נקרא מספרינו ממוצע | ||
| Line 5,213: | Line 5,213: | ||
| | | | ||
*<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b<a}}</math> | *<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b<a}}</math> | ||
| − | | | + | | |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | : | + | ::{{#annot:√5|439|CVSH}}Example of a number, whose excess over the preceding square is less than the root of the square: We wish to know the measure of each side of the square that is five. |
::<math>\scriptstyle\sqrt{5}</math> | ::<math>\scriptstyle\sqrt{5}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|רצינו לדעת מדת כל {{#annot:term|439,1464|45q9}}צלע{{#annotend:45q9}} וצלע ממרובע שהוא חמשה{{#annotend:CVSH}} | + | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> במספר שהעודף על המרובע שעבר פחות מגדר המרובע ‫<ref>95v</ref>ההוא<br> |
| + | רצינו לדעת מדת כל {{#annot:term|439,1464|45q9}}צלע{{#annotend:45q9}} וצלע ממרובע שהוא חמשה{{#annotend:CVSH}} | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::The excess of the preceding square is one. | ||
| + | |style="text-align:right;"|והנה העודף על המרובע שעבר הוא אחד | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::We convert it into primes; they are sixty. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נשיב אותו ראשונים ויהיו ששים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::We divide them by 4, which is double the root of the preceding square; the result of division is fifteen primes. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נחלק אותם על הד' שהם כפל מהגדר מהמרובע שעבר פעמים ויהיה היוצא מהחלוקה חמשה עשר ראשונים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}=\sqrt{2^2+1}\approx2+\ | + | ::We add them to the root of the preceding square; we find that the measure of each side [of the square] is approximately two integers and fifteen primes. |
| − | |style="text-align:right;"| | + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}=\sqrt{2^2+1}\approx2+\left(\frac{60\sdot1}{2\sdot2}\right)^\prime=2+\left(\frac{60}{4}\right)^\prime=2+15^\prime}}</math> |
| + | |style="text-align:right;"|נוסיפם על הגדר מהמרובע שעבר ונמצא שיהיה מדה אחת לכל הצלעות שנים שלמים וחמשה עשר ראשונים בקרוב | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\ | + | ::If we want to correct this root, we multiply the two integers and fifteen primes by themselves; they are five integers plus two hundred and twenty-five seconds, because it has already been explained that the product of primes by primes is seconds. |
| + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+15^\prime\right)^2=5+225^{\prime\prime}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ואם נרצה לדקדק המדה הזאת נכה ונכפול השנים שלימים וחמשה עשר ראשונים על עצמם ויהיו חמשה שלמים ומאתים ועשרים וחמש שניים כי מכפלת הראשונים על ראשונים כבר התבאר שיהיה העולה שניים | |style="text-align:right;"|ואם נרצה לדקדק המדה הזאת נכה ונכפול השנים שלימים וחמשה עשר ראשונים על עצמם ויהיו חמשה שלמים ומאתים ועשרים וחמש שניים כי מכפלת הראשונים על ראשונים כבר התבאר שיהיה העולה שניים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\ | + | ::Now, we should see what is the ratio of the excess over the five integers, which is two hundred and twenty-five seconds, to double the [approximate] root we have found; its ratio to it is as the ratio of one to seventy-two. |
| + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(5+225^{\prime\prime}\right)-5}{2\sdot\left(2+15^\prime\right)}=\frac{225^{\prime\prime}}{2\sdot\left(2+15^\prime\right)}=\frac{1}{72}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ועתה יש לנו לראות הנוסף על החמשה שלמים שהוא מאתים ועשרים וחמש שניים איזה ערך הוא מכפלת המדה שמצאנו פעמים והנה ערכם אליה הוא כערך אחד משבעים ושנים | |style="text-align:right;"|ועתה יש לנו לראות הנוסף על החמשה שלמים שהוא מאתים ועשרים וחמש שניים איזה ערך הוא מכפלת המדה שמצאנו פעמים והנה ערכם אליה הוא כערך אחד משבעים ושנים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | |style="text-align:right;"|ועל כן נשיב החמשה עשר ראשונים שיש לנו כלם שניים ויהיו תשע מאות שניים ונחלק אותם על שבעים ושנים ותצא לנו החלוקה שנים עשר וישארו שלשים וששה שניים ‫<ref>96r</ref>שלא נתחלקו על השבעים ושנים ולכן נקח חצי האחד מהם שהיה חלק אחד מהשבעים ושנים ותהיה החצי שלשים שלישיים ונמצא שנחלק הכל על שבעים ושנים והיוצא הוא שנים עשר שניים ושלשים שלישיים נסיר אותם מהתשע מאות שניים ישארו שמנה מאות ושמנים ושבעה שניים ושלשים [שלישיים שהם ארבעה עשר ראשונים וארבעי' ושבעה שניים ושלשים]‫<ref>marg.</ref> שלישיים וזא<sup>ת</sup> היא המדה {{#annot:term|1614,1388|Grmt}}המדוקדקת{{#annotend:Grmt}} יותר מבראשונה וסימן שלה ב' י"ד מ"ז ל' והנה הם שלמים ראשונים שניים שלישי<sup>י</sup>ם | + | ::Therefore, we convert all the fifteen primes we have into seconds; they are nine hundred seconds. |
| + | |style="text-align:right;"|ועל כן נשיב החמשה עשר ראשונים שיש לנו כלם שניים ויהיו תשע מאות שניים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::We divide them by seventy-two; we receive twelve from the division, and there are thirty-six seconds left that cannot be divided by seventy-two. | ||
| + | |style="text-align:right;"|ונחלק אותם על שבעים ושנים ותצא לנו החלוקה שנים עשר וישארו שלשים וששה שניים ‫<ref>96r</ref>שלא נתחלקו על השבעים ושנים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::We consider them as a half, which is their part of seventy-two, and this half is thirty thirds. We find that everything is divided by seventy-two; the result is twelve seconds and thirty thirds. | ||
| + | |style="text-align:right;"|ולכן נקח חצי האחד מהם שהיה חלק אחד מהשבעים ושנים ותהיה החצי שלשים שלישיים ונמצא שנחלק הכל על שבעים ושנים והיוצא הוא שנים עשר שניים ושלשים שלישיים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::We subtract them from the nine hundred seconds; eight hundred and eighty-seven seconds remain, plus thirty thirds, which is fourteen primes, forty-seven seconds, and thirty thirds; this root is more accurate than the first and its sign is 2, 14′, 47′′, 30′′′ and they are integers, primes, seconds and thirds. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נסיר אותם מהתשע מאות שניים ישארו שמנה מאות ושמנים ושבעה שניים ושלשים [שלישיים שהם ארבעה עשר ראשונים וארבעי' ושבעה שניים ושלשים]‫<ref>marg.</ref> שלישיים וזא<sup>ת</sup> היא המדה {{#annot:term|1614,1388|Grmt}}המדוקדקת{{#annotend:Grmt}} יותר מבראשונה וסימן שלה ב' י"ד מ"ז ל' והנה הם שלמים ראשונים שניים שלישי<sup>י</sup>ם | ||
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{5}&\scriptstyle\approx\left(2+\frac{ | + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{5}&\scriptstyle\approx\left(2+15^\prime\right)-15^\prime\sdot\frac{225^{\prime\prime}}{2\sdot\left(2+15^\prime\right)}=\left(2+15^\prime\right)-\left(15^\prime\sdot\frac{1}{72}\right)=2+900^{\prime\prime}-\left(\frac{900}{72}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=2+900^{\prime\prime}-\left(12+\frac{36}{72}\right)^{\prime\prime}=2+900^{\prime\prime}-\left(12+\frac{1}{2}\right)^{\prime\prime}=2+900^{\prime\prime}-\left(12^{\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}\right)\\&\scriptstyle=2+887^{\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}=2+14^\prime+47^{\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}\\\end{align}}}</math> |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | |style="text-align:right;"|ואם נרצה לדקדק עוד זאת המדה תכה ותכפול אותה בעצמה ותמצא שיהיה העודף על החשבון הנחקר ב' ראשונים ע"ח שניים מ"ד שלישיים י"ו רביעיים ט"ו חמישיים | + | ::If we want to correct this [approximate] root further, multiply it by itself; you find that the excess over the examined number is 2 primes, [4]8 seconds, 44 thirds, 16 fourths, and 15 fifths. |
| + | |style="text-align:right;"|ואם נרצה לדקדק עוד זאת המדה תכה ותכפול אותה בעצמה ותמצא שיהיה העודף על החשבון הנחקר ב' ראשונים ע"ח שניים מ"ד שלישיים י"ו רביעיים ט"ו חמישיים | ||
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\ | + | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+14^\prime+47^{\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}\right)^2-5=2^\prime+48^{\prime\prime}+44^{\prime\prime\prime}+16^{iv}+15^v}}</math> |
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::See the ratio of [the square of] this excess to double the [approximate] root and subtract its ratio from the [approximate] root you have, as explained above. The remainder is a more accurate root than the previous roots. | ||
| + | |style="text-align:right;"|ותראה מ<sup>ה</sup> ערך הנוסף הזה אל כפל המדה פעמים וכערכו אליה תסיר מהמדה שיש לך כאשר התבאר למעלה ותהיה הנשאר מדה מדוקדקת מהאחרות הקודמות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
*<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b>a}}</math> | *<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b>a}}</math> | ||
| − | | | + | | |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | : | + | ::{{#annot:√7|439|313V}}Example of a number, whose excess over the preceding square is greater than its root: We wish to know the measure of the sides of the square that is seven. |
::<math>\scriptstyle\sqrt{7}</math> | ::<math>\scriptstyle\sqrt{7}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|רצינו לדעת מדת הצלעות ממרובע שהוא שבעה{{#annotend:313V}} | + | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> במספר שהעודף על המרובע שעבר יתר מגדרו<br> |
| + | רצינו לדעת מדת הצלעות ממרובע שהוא שבעה{{#annotend:313V}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | |style="text-align:right;"|ובאשר העודף על המרובע שעבר יותר מגדרו נראה כמה מרחק יש ממספרינו ‫<ref>96v</ref>ועד המרובע העתיד והנה המרחק הוא שנים כי ככה ירחוק שבעה מתשעה שהוא המרובע העתיד {{#annot:term|1562,1431|N2KM}}נשיבם{{#annotend:N2KM}} ראשונים יהיו מאה ועשרים נחלקם על כפל גדר המרובע העתיד פעמים העולה ששה נמצאם שם עשרים פעמים והם ראשונים נסיר אותם מגדר המרובע העתיד שהוא שלשה וישאר שנים שלמים וארבעים ראשונים וזאת היא מדת צלעות המרובע הנחקר בקרוב | + | ::Since the excess over the preceding square is greater than its root, we see how much is the difference between our number and the next square: the difference is two, because this is the difference between seven and nine, which is the next square. |
| + | |style="text-align:right;"|ובאשר העודף על המרובע שעבר יותר מגדרו נראה כמה מרחק יש ממספרינו ‫<ref>96v</ref>ועד המרובע העתיד והנה המרחק הוא שנים כי ככה ירחוק שבעה מתשעה שהוא המרובע העתיד | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::We convert it into primes; they are a hundred and twenty. | ||
| + | |style="text-align:right;"|{{#annot:term|1562,1431|N2KM}}נשיבם{{#annotend:N2KM}} ראשונים יהיו מאה ועשרים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::We divide them by double the next square, which is six; we find it twenty times there and they are primes. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נחלקם על כפל גדר המרובע העתיד פעמים העולה ששה נמצאם שם עשרים פעמים והם ראשונים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::We subtract them from the root of the next square, which is three; two integers and forty primes remain and this is the root of the examined square approximately | ||
| + | |style="text-align:right;"|נסיר אותם מגדר המרובע העתיד שהוא שלשה וישאר שנים שלמים וארבעים ראשונים וזאת היא מדת צלעות המרובע הנחקר בקרוב | ||
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}=\sqrt{9-2}=\sqrt{3^2-2}\approx3-\ | + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}=\sqrt{9-2}=\sqrt{3^2-2}\approx3-\left(\frac{60\sdot2}{2\sdot3}\right)^\prime=3-\left(\frac{120}{6}\right)^\prime=3-20^\prime=2+40^\prime}}</math> |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\ | + | ::When you want to correct this root, multiply it by itself. You find that the excess over the examined number is only six primes and forty seconds. |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר תרצה לדקדק המדה הזאת ותכנה בכפלה על עצמה תמצא שלא יהיה הנוסף על מספר המרובע הנחקר כי אם ששה ראשונים וארבעים שניים וגמור את המלאכה האמור למעלה | + | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+40^\prime\right)^2-7=6^\prime+40^{\prime\prime}}}</math> |
| + | |style="text-align:right;"|וכאשר תרצה לדקדק המדה הזאת ותכנה בכפלה על עצמה תמצא שלא יהיה הנוסף על מספר המרובע הנחקר כי אם ששה ראשונים וארבעים שניים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::Finish the procedure as mentioned above. | ||
| + | |style="text-align:right;"|וגמור את המלאכה האמור למעלה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
*<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b=a}}</math> | *<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b=a}}</math> | ||
| − | | | + | | |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | : | + | ::{{#annot:√6|439|nS0s}}Example of a number, whose excess over the preceding square is the same as the root of the preceding square: We wish to know the measure of the square that is six. |
::<math>\scriptstyle\sqrt{6}</math> | ::<math>\scriptstyle\sqrt{6}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|רצינו לדעת מדת צלעות מרובע שהוא ששה{{#annotend:nS0s}} | + | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> במספר שהעודף על המרובע שעבר הוא כגדר המרובע ההוא שעבר<br> |
| + | רצינו לדעת מדת צלעות מרובע שהוא ששה{{#annotend:nS0s}} | ||
|- | |- | ||
| − | |<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+a}=\sqrt{\left(a+1\right)^2-\left(a+1\right)}}}</math> | + | | |
| + | ::This square number is mean, so, we can extract the root using the preceding square, if we want, or using the next square; the result is the same, as one procedure is by addition and the other procedure is by subtraction. | ||
| + | ::<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+a}=\sqrt{\left(a+1\right)^2-\left(a+1\right)}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה מספר המרובע הזה הוא ממוצע ואם נרצה נוכל להוציא המדה מהמרובע העבר או מהמרובע העתיד והכל יבוא אל כוון אחד כאשר יהיה מעשה האחד בתוספת ומעשה האחד במגרעת | |style="text-align:right;"|והנה מספר המרובע הזה הוא ממוצע ואם נרצה נוכל להוציא המדה מהמרובע העבר או מהמרובע העתיד והכל יבוא אל כוון אחד כאשר יהיה מעשה האחד בתוספת ומעשה האחד במגרעת | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | |style="text-align:right;"|ונוציאנה ‫<ref>97r</ref>בתחלה מהמרובע שעבר [שהוא ארבעה]‫<ref>Vatican om.</ref> והנה העודף שנים שהם מאה ועשרים ראשונים נחלקם על כפל הגדר שהוא [ארבעה נמצאם שם שלשים פעמים והם שלשים ראשוני נוסיפם על הגדר שהוא]‫<ref>Vatican om.</ref> שנים ותהיה זאת המדה הראשונה בקרוב | + | ::We extract it first using the preceding square, which is four: the excess is two, which is a hundred and twenty primes. |
| + | |style="text-align:right;"|ונוציאנה ‫<ref>97r</ref>בתחלה מהמרובע שעבר [שהוא ארבעה]‫<ref>Vatican om.</ref> והנה העודף שנים שהם מאה ועשרים ראשונים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::We divide them by double the root, which is four, we find it thirty times there and they are thirty primes. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נחלקם על כפל הגדר שהוא [ארבעה נמצאם שם שלשים פעמים והם שלשים ראשוני | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::We add them to the root, which is two and this is the first approximate root. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נוסיפם על הגדר שהוא]‫<ref>Vatican om.</ref> שנים ותהיה זאת המדה הראשונה בקרוב | ||
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}=\sqrt{4+2}=\sqrt{2^2+2}\approx2+\ | + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}=\sqrt{4+2}=\sqrt{2^2+2}\approx2+\left(\frac{60\sdot2}{2\sdot2}\right)^\prime=2+\left(\frac{120}{4}\right)^\prime=2+30^\prime}}</math> |
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::If we extract the root using the next square, which is nine, we do it this way: the difference is three, which is a hundred and eighty primes. | ||
| + | |style="text-align:right;"|ואם נוציא המדה מהמרובע העתיד שהוא תשעה נעשה בדרך זה הנה המרחק שלשה שהם מאה ושמנים ראש<sup>ו</sup>נים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::We divide them by six, which is double the root of the next square, we find it thirty times there, and they are primes. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נחלקם על ששה שהוא כפל הגדר המרובע העתיד נמצאנו שם שלשים פעם והם ראשונים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | |style="text-align:right;"| | + | ::We subtract them from three, which is the root of the next square; two integers and thirty primes remain, as we found first, when we extracted the root using the preceding square. |
| + | |style="text-align:right;"|נסיר אותם משלשה שהם גדר המרובע העתיד וישארו שנים שלמים ושלשים ראשונים <sup>כאשר מצאנו</sup> כאשר מצאנו בתחלה כאשר היינו מוצאים המדה מהמרובע [שעבר]‫<ref>Vatican om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}=\sqrt{9-3}=\sqrt{3^2-3}\approx3-\ | + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}=\sqrt{9-3}=\sqrt{3^2-3}\approx3-\left(\frac{60\sdot3}{2\sdot3}\right)^\prime=3-\left(\frac{180}{6}\right)^\prime=3-30^\prime=2+30^\prime}}</math> |
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | ::The result is the same, therefore a number like this is called "mean". | ||
| + | |style="text-align:right;"|‫[והכל אחד ועל כן יקרא כל חשבון כזה ממוצע]‫<ref>Vatican om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| − | | | + | | |
| − | |style="text-align:right;"| | + | ::If you want to correct the root, do as explained previously. |
| + | |style="text-align:right;"|ואם תרצה לדקדק המדות תעשה כאשר התבאר לפנים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,295: | Line 5,374: | ||
|style="width: 45%; text-align:right;"|<big>השער האחד עשר</big> הנה אכתוב לך בזה כללים נחמדים בדרכי החשבון | |style="width: 45%; text-align:right;"|<big>השער האחד עשר</big> הנה אכתוב לך בזה כללים נחמדים בדרכי החשבון | ||
| + | |- | ||
| + | !<span style=color:green>Multiplication of a number by itself</span> | ||
| + | | | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,306: | Line 5,388: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::*<math>\scriptstyle6^2</math> | + | ::*Example: we wish to multiply six by six. |
| + | :::<math>\scriptstyle6^2</math> | ||
|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> בקשנו לכפול שש על שש | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> בקשנו לכפול שש על שש | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | |style="text-align:right;"|הנה השלישית שנים | + | :::The third is two and its square is four. |
| + | |style="text-align:right;"|הנה השלישית שנים ומרובעו ארבעה | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We multiply is ten times; it is forty. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נכפול אותה עשרה פעמים יהיו ארבעים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We subtract four from it, which is a square of the third; thirty-six remains and this is the product. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נסיר מהם ארבעה שהוא מרובע השלישית ישארו <sup>ששה</sup> ושלש<sup>י</sup>ם והוא הנכפל | ||
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| Line 5,316: | Line 5,408: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :* | + | :*If the number does not have a third but it exceeds by one over a multiple of three, we subtract [the one] and calculate [the square of] the multiple of three in the method explained, then we add the multiple of three and the number that follows it to our number and the sum is the required. |
| − | |style="text-align:right;"|ואם לא היה למספר שלישית אך עודף ממנו שלישיות אחד נסירנו משם | + | |style="text-align:right;"|ואם לא היה למספר שלישית אך עודף ממנו שלישיות אחד נסירנו משם ונחשוב המשולש בדרך המבואר ואחר נוסיף על חשבוננו המספר האחרון מהמשולש והמספר שאחריו אשר הסירונו והמחובר הוא המבוקש |
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| Line 5,323: | Line 5,415: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::*<math>\scriptstyle10^2</math> | + | ::*Example: we wish to multiply ten by itself. |
| − | |style="text-align:right;"|דמיון בקשנו לכפול עשרה על עצמם | + | :::<math>\scriptstyle10^2</math> |
| + | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> בקשנו לכפול עשרה על עצמם | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We subtract one from it; nine remains and it is a product of three. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נסיר מהם אחד וישארו תשעה והם משלשים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We take three, which is its third; its square is nine. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נקח שלשה שהוא שליש<sup>י</sup>תם והנה מרובעם תשעה | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::It product by ten is ninety. | ||
| + | |style="text-align:right;"|וכפלתם עשרה פעמים הם תשעים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We subtract the square of the third from it; eighty-one remains. | ||
| + | |style="text-align:right;"|ונסיר מהם מרובע השלישית וישארו שמונים ואחד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | |style="text-align:right;"| | + | :::We add nine and ten to it; the result is one hundred and this is the product. |
| + | |style="text-align:right;"|נוסיף עליהם תשע ועשרה יעלו מאה והוא הנכפל | ||
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| Line 5,333: | Line 5,443: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :* | + | :*If the number is one less than a multiple of three, we add [the one] and calculate [the square of the multiple of three] according to the rule, then we subtract [the multiple of three and] the number that precedes it from [the result] and the remainder is the required. |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה המספר פחות | + | |style="text-align:right;"|ואם היה המספר פחות משלישיות אחד הוסיפנו עליו ו{{#annot:term|229,1269|0uI3}}נחשוב{{#annotend:0uI3}} אותו כמשפט ואחר נסיר ממנו החשבון שהוספנו עליו החשבון האחרון שלו והנשאר הוא המבוקש |
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| Line 5,340: | Line 5,450: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::*<math>\scriptstyle11^2</math> | + | ::*We wish to multiply eleven by itself. |
| − | |style="text-align:right;"|דמיון בקשנו לכפול אחד עשר על | + | :::<math>\scriptstyle11^2</math> |
| + | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> בקשנו [לכפול]‫<ref>Vatican om.</ref> אחד עשר על עצמם | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We add one to it; it is twelve. | ||
| + | |style="text-align:right;"|‫<ref>98r</ref>נוסיף עליהם אחד ויהיו שנים עשר | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We calculate it by taking the third; its square is sixteen. | ||
| + | |style="text-align:right;"|{{#annot:term|229,1269|c5VF}}נחשבם{{#annotend:c5VF}} בדרך לקיחת השלישית והנה מרובעה ששה עשר | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | |style="text-align:right;"| | + | :::Its product by ten is one hundred and sixty. |
| + | |style="text-align:right;"|וכפלתם בעשרה מאה וששים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We subtract sixteen from it, which is the square of the third; one hundred and forty-four remains. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נסיר מהם ששה עשר שהם מרובע השלישית ישארו מאה וארבעים וארבעה | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We subtract from it eleven and twelve, which are twenty-three; one hundred and twenty-one remains and this is the product. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נסיר מהם אחד עשר ושנים עשר העולים עשרים ושלשה ישארו מאה ועשרים ואחד והוא הנכפל | ||
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle11^2&\scriptstyle=\left(12-1\right)^2=\left[\left(3\sdot4\right)-1\right]^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)^2\right]-11-12\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot4^2\right)-4^2\right]-11-12=\left[\left(10\sdot16\right)-16\right]-11-12\\&\scriptstyle=\left(160-16\right)-11-12=144-12-11=144-23=121\\\end{align}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle11^2&\scriptstyle=\left(12-1\right)^2=\left[\left(3\sdot4\right)-1\right]^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)^2\right]-11-12\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot4^2\right)-4^2\right]-11-12=\left[\left(10\sdot16\right)-16\right]-11-12\\&\scriptstyle=\left(160-16\right)-11-12=144-12-11=144-23=121\\\end{align}}}</math> | ||
| + | |- | ||
| + | !<span style=color:green>Multiplication of units and tens by units and tens</span> | ||
| + | :<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10+a\right)\times\left(10+b\right)=\left[10\sdot\left[\left(10+a\right)+b\right]\right]+\left(a\sdot b\right)}}</math> | ||
| + | | | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | * | + | ::*Another example: to know the product of eleven by eleven. |
| − | : | + | :::<math>\scriptstyle11\times11</math> |
| − | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>דמיון אחרת</big> לדעת כפלת האחד עשר על אחד עשר |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :: | + | :::We consider this number as if it were written in two lines. |
| − | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|הנה נחשוב שהמספר הזה נכתב בשני טורים |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | |style="text-align:right;"| | + | :::We take the one of one line and add it to the other line; it is twelve. |
| + | |style="text-align:right;"|ונקח האחד מן הטור האחת ונחברם אל הטור האחרת ויהיו שנים עשר | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We multiply it by the remaining ten; it is a hundred and twenty. | ||
| + | |style="text-align:right;"|<sup>נ</sup>כפלם על העשרה הנשארים יהיו מאה ועשרים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We add to it the product of the units by themselves; it is a hundred and twenty-one and this is the product. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נוסיף עליהם הכאת האחדים על עצמם ויהיו מאה ועשרים ואחד והוא הנכפל | ||
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| Line 5,365: | Line 5,506: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::*<math>\scriptstyle15\times12</math> | + | ::*Likewise if we wish to multiply fifteen by twelve. |
| − | |style="text-align:right;"|וככה אם | + | :::<math>\scriptstyle15\times12</math> |
| + | |style="text-align:right;"|וככה אם נבקש לכפול חמשה עשר בשנים עשר | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | |style="text-align:right;"|נקח השנים ונשים אותם על החמשה עשר ויהיו שבעה עשר נכפלם על | + | :::We take the two and add it to fifteen; it is seventeen. |
| + | |style="text-align:right;"|נקח השנים ונשים אותם על החמשה עשר ויהיו שבעה עשר | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We multiply it by the remaining ten; it is a hundred and seventy. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נכפלם על העשרה הנשארים יהיו מאה ושבעים | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We multiply the other two by five; it is ten. | ||
| + | |style="text-align:right;"|ונכה השנים האחרים על החמשה ויהיו עשרה | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | :::We add it to a hundred and seventy; the product is a hundred and eighty. | ||
| + | |style="text-align:right;"|נחברם עם המאה ושבעים יהיה הנכפל מאה ושמנים | ||
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| Line 5,380: | Line 5,535: | ||
|- | |- | ||
|Now, I shall start discussing and mentioning some of the difficult problems, extracting their solutions, and explaining each one of them at length. | |Now, I shall start discussing and mentioning some of the difficult problems, extracting their solutions, and explaining each one of them at length. | ||
| − | |style="text-align:right;"|ועתה אתחיל לדבר ואזכיר קצת מהשאלות הקשות ולהוציא תשובתן אאריך הביאור | + | |style="text-align:right;"|ועתה אתחיל לדבר ואזכיר קצת מהשאלות הקשות ‫<ref>98v</ref>ולהוציא תשובתן אאריך [הביאור]‫<ref>Vatican: וביאור</ref> כל אחת מהם |
|- | |- | ||
!<span style=color:green>Find a Number Problem - Sums</span> | !<span style=color:green>Find a Number Problem - Sums</span> | ||
| Line 5,388: | Line 5,543: | ||
*{{#annot:1-20|669|2heg}}Question: we summed all the successive numbers from one to twenty and it is the sum. How much is the sum? | *{{#annot:1-20|669|2heg}}Question: we summed all the successive numbers from one to twenty and it is the sum. How much is the sum? | ||
:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{20} i</math> | :<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{20} i</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה חברנו כל {{#annot:term|2576,1835|ETrE}}המספרים הרצופים{{#annotend:ETrE}} מאחד | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> חברנו כל {{#annot:term|2576,1835|ETrE}}המספרים הרצופים{{#annotend:ETrE}} מאחד עד עשרים והם הכלל כמה המחובר{{#annotend:2heg}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,395: | Line 5,550: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :We add one to the | + | :We add one to the twenty and multiply [the result] by ten, which is half twenty; the product is two hundred and ten, and this is the required. |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{20} i=\left( | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{20} i=\left(20+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)=21\sdot10=210}}</math> |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נוסיף על | + | |style="text-align:right;"|הנה נוסיף על העשרים אחד ונכפלם [על]‫<ref>marg.</ref> עשרה שהוא חצי עשרים ויהי<sup>ה</sup> הנכפל מאתים ועשרה וככה המבוקש |
|- | |- | ||
| | | | ||
*{{#annot:1-11|669|pHD6}}If we want to know how much are the numbers summed up up to eleven. | *{{#annot:1-11|669|pHD6}}If we want to know how much are the numbers summed up up to eleven. | ||
:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} i</math> | :<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} i</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ואם נרצה לדעת כמה עולים {{#annot:term|787,1220|my36}}המספרים המחוברים{{#annotend:my36}} | + | |style="text-align:right;"|ואם נרצה לדעת כמה עולים {{#annot:term|787,1220|my36}}המספרים המחוברים{{#annotend:my36}} על אחד עשר{{#annotend:pHD6}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
:We add one to [the eleven] and multiply [the result] by half the eleven, which is five and a half; the product is sixty-six, and this is the sum. | :We add one to [the eleven] and multiply [the result] by half the eleven, which is five and a half; the product is sixty-six, and this is the sum. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i=\left(11+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)=12\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)=66}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i=\left(11+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)=12\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)=66}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נוסיף עליו אחד יהיו שנים עשר נכפלם על | + | |style="text-align:right;"|נוסיף עליו אחד יהיו שנים עשר נכפלם על חצי האחד עשר שהם חמשה וחצי ויהיה הנכפל ששים וששה וככה המחובר |
|- | |- | ||
| | | | ||
:There are other ways, but what I have wrote is the easiest and the most correct [way]. | :There are other ways, but what I have wrote is the easiest and the most correct [way]. | ||
| − | |style="text-align:right;"|ויש דרכים אחרים ומה שכתבתי הוא היותר | + | |style="text-align:right;"|ויש [דרכים]‫<ref>Vatican: דמים</ref> אחרים ומה שכתבתי הוא היותר קל ונכון |
|- | |- | ||
| | | | ||
*{{#annot:aₙ, 1, 210|669|Xl23}}Reverse question: the sum of the successive numbers starting from one is 210. What is the last number of the summed [numbers]? | *{{#annot:aₙ, 1, 210|669|Xl23}}Reverse question: the sum of the successive numbers starting from one is 210. What is the last number of the summed [numbers]? | ||
:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=210</math> | :<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=210</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נהפוך השאלה ונאמר עלה המחובר | + | |style="text-align:right;"|<big>נהפוך השאלה</big> ונאמר עלה המחובר ממספרים {{#annot:term|2576,1835|h4eV}}רצופים{{#annotend:h4eV}} המתחילים מאחד מאתים ועשרה<br> |
| − | + | איזה הוא המספר האחרון מהמחוברים{{#annotend:Xl23}} | |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,425: | Line 5,580: | ||
| | | | ||
::We do as follows: we double two hundred and ten; it is four hundred and twenty. | ::We do as follows: we double two hundred and ten; it is four hundred and twenty. | ||
| − | |style="text-align:right;"|נעשה | + | |style="text-align:right;"|נעשה בדרך זה נכפול מאתים ועשרה פעמים ויהיו ארבע <sup>מאות</sup> ועשרים |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::We take the closest root, whose extraction method was explained in chapter | + | ::We take the closest root, whose extraction method was explained in chapter seven; we find that it is twenty and this is the last number of the summed numbers. |
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2+n=2\sdot210=420=20^2+20\longrightarrow n=20}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2+n=2\sdot210=420=20^2+20\longrightarrow n=20}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נקח מהם הגדר היותר קרוב כאשר התבאר דרך לקיחתו בשער | + | |style="text-align:right;"|נקח מהם הגדר היותר קרוב כאשר התבאר דרך לקיחתו בשער השביעי והנה נמצא שהוא עשרים והוא המספר האחרון מה{{#annot:term|787,1220|hrzp}}מחוברים{{#annotend:hrzp}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
::Thus, what remains from the number that has no root is twenty, as the number of the root. | ::Thus, what remains from the number that has no root is twenty, as the number of the root. | ||
| − | |style="text-align:right;"|והנה נשאר מהמספר שהוא בלתי נגדר עשרים כמספר הגדר | + | |style="text-align:right;"|והנה נשאר מהמספר שהוא בלתי נגדר עשרים ‫<ref>99r</ref>כמספר הגדר |
|- | |- | ||
| | | | ||
:So should be in all the calculations that are similar to it and if not, then the one who asked has mistaken in his question, when he summed the numbers he made a mistake without a doubt. | :So should be in all the calculations that are similar to it and if not, then the one who asked has mistaken in his question, when he summed the numbers he made a mistake without a doubt. | ||
| − | |style="text-align:right;"|וכן ראוי שיהיה בכל החשבונות הדומים לזה ואם אין טעה השואל בשאלתו | + | |style="text-align:right;"|וכן ראוי שיהיה בכל החשבונות הדומים לזה ואם אין טעה השואל בשאלתו וכאשר חבר המספרים עשה בטעות בלי ספק |
|- | |- | ||
!<span style=color:green>Triangulation Problem - Cane</span> | !<span style=color:green>Triangulation Problem - Cane</span> | ||
| Line 5,446: | Line 5,601: | ||
*{{#annot:cane|655|q1uH}}Question: a cane 5 cubits tall, is standing next to a wall of the same height. | *{{#annot:cane|655|q1uH}}Question: a cane 5 cubits tall, is standing next to a wall of the same height. | ||
:If we lower its [top] two cubits down from the top of the wall, so that it will stand on a slope, how far will be the bottom end of the cane from the foot of the wall? | :If we lower its [top] two cubits down from the top of the wall, so that it will stand on a slope, how far will be the bottom end of the cane from the foot of the wall? | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה קנה | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> [קנה]‫<ref>Vatican: הנה</ref> <sup>ה</sup>מדה ארוכה חמש אמות ועומדת זקופה בכותל אחת גבוה כמדתה<br> |
| − | אם נשפיל אותה מראש הכותל | + | אם [נשפיל]‫<ref>Vatican: השפל</ref> אותה מראש הכותל אמתיים כדי שתעמוד בשפוע כמה הרחיק ראש הקנה התחתון מיסוד הכותל{{#annotend:q1uH}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,455: | Line 5,610: | ||
| | | | ||
::We take also the square of the three cubits that are left from there to the foot of the wall; it is nine. | ::We take also the square of the three cubits that are left from there to the foot of the wall; it is nine. | ||
| − | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|ונקח גם כן מרובע הג' אמות הנשארות משם ועד יסוד הכ<sup>ו</sup>תל והנה הוא ט‫' |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,463: | Line 5,618: | ||
| | | | ||
::The root of sixteen is four and so is the distance of the bottom end of the cane from the foot of the wall no more and no less. | ::The root of sixteen is four and so is the distance of the bottom end of the cane from the foot of the wall no more and no less. | ||
| + | |style="text-align:right;"|וגדר ששה עשר הוא ארבעה וככה מרחק ראש הקנה התחתון מיסוד הכותל בלתי תוספת ומגרעת | ||
| + | |- | ||
| + | | colspan="2"| | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{5^2-\left(5-2\right)^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{5^2-\left(5-2\right)^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4}}</math> | ||
| − | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
:If the difference between a square and a square is an inexpressible number, take its root approximately, as was explained in the preceding chapter, and this will be the measure of the distance from the bottom end of the cane to the foot of the wall. | :If the difference between a square and a square is an inexpressible number, take its root approximately, as was explained in the preceding chapter, and this will be the measure of the distance from the bottom end of the cane to the foot of the wall. | ||
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה | + | |style="text-align:right;"|ואם היה החסרון <sup>מ</sup>מרובע אל מרובע מספר חרש ואלם תקח גדרו בקרוב כאשר התבאר בשער הקדום לזה וככה יהיה מדת מרחק מראש הקנה התחתון אל היסוד הכותל |
|- | |- | ||
!<span style=color:green>Divide a Quantity Problem - Simple division</span> | !<span style=color:green>Divide a Quantity Problem - Simple division</span> | ||
| Line 5,477: | Line 5,634: | ||
:We want to know how many workers he could hire. | :We want to know how many workers he could hire. | ||
:<math>\scriptstyle X^2=\left(12\sdot30\right)+1</math> | :<math>\scriptstyle X^2=\left(12\sdot30\right)+1</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה נתתי לשלוחי | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> נתתי לשלוחי שלש<sup>י</sup>ם דנרים ופשוט וצותי אותו שישכור פועלים כאשר יספיקו לו מעותיו ויהיה שכר האחד כשכר חברו ולא יהיה בהם ‫<ref>99v</ref>פועל ששכרו פשוט וגם לא יהיה בשכרו שום שברי שלם<br> |
| − | נרצה לדעת כמה | + | נרצה לדעת כמה פועלים יוכל לשכור{{#annotend:O1gy}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We convert all the dinar into pešuṭim and add the additional pašuṭ to them; they are three hundred and sixty-one pešuṭim. | ::We convert all the dinar into pešuṭim and add the additional pašuṭ to them; they are three hundred and sixty-one pešuṭim. | ||
| − | |style="text-align:right;"|הנה {{#annot:term|1553,1431|NmWX}}נשיב{{#annotend:NmWX}} הדינרים | + | |style="text-align:right;"|הנה {{#annot:term|1553,1431|NmWX}}נשיב{{#annotend:NmWX}} הדינרים כלם פשוטים ונחבר אליהם הפשוט הנוסף עליהם ויהיו שלש מאות וששים ואחד פשוטים |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,490: | Line 5,647: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::We can answer that the messenger can hire | + | ::We can answer that the messenger can hire nineteen workers at nineteen pešuṭim each no more and no less. |
| − | |style="text-align:right;"|ונוכל להשיב שיוכל השליח | + | |style="text-align:right;"|ונוכל להשיב שיוכל לשכור השליח תשעה עשר פועלים ושכר כל אחד ואחד תשעה עשר פשוטים לא פחות ולא יתר |
|- | |- | ||
!<span style=color:green>How much Problem - Wall</span> | !<span style=color:green>How much Problem - Wall</span> | ||
| Line 5,497: | Line 5,654: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | *{{#annot:WP|648|nyVk}}Question: a wall collapsed. | + | *{{#annot:WP|648|nyVk}}Question: a wall collapsed. It is rebuild with an extension, so that it will be higher than what it was by half the size it had at the beginning, and its sixth, and ninth. With the whole extension, its height was 50 cubits. How much was its original height? |
:<math>\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{6}X+\frac{1}{9}X=50</math> | :<math>\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{6}X+\frac{1}{9}X=50</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה חומה שנפלה | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> חומה שנפלה והוספו עליה בבנין כדי שתהיה גבוה הרבה חצי מדתה מאשר היתה בתחלה וששיתה ותשיעתה עם כל זה והיתה מדת גבהה חמשים אמה כמה היתה מדתה בראשונה{{#annotend:nyVk}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
::<span style=color:green>'''False Position:'''</span> We take a denominator that has a half, a sixth, and a ninth. That is, we take two, since the half is derived from it, multiply it by six, for the sixth that is derived from it; the result is twelve. We multiply it also by nine for the ninth; the denominator is one hundred and eight. | ::<span style=color:green>'''False Position:'''</span> We take a denominator that has a half, a sixth, and a ninth. That is, we take two, since the half is derived from it, multiply it by six, for the sixth that is derived from it; the result is twelve. We multiply it also by nine for the ninth; the denominator is one hundred and eight. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot9=12\sdot9=108}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot9=12\sdot9=108}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נקח מדומה שיהיה לו חצי וששית | + | |style="text-align:right;"|נקח מדומה שיהיה לו חצי וששית ותשיעית והוא שנקח שנים בעבור אשר יצאה מהם החצי ונכפול אותם בששה בעבור הששית אשר תצא מהם ויהיו שנים עשר ונכפול גם הם בתשעה בעבור התשיעית ויהיה המדומה מאה ושמנה |
|- | |- | ||
| | | | ||
::*Its half is fifty-four. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot108=54}}</math> | ::*Its half is fifty-four. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot108=54}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ומחציתו חמשים | + | |style="text-align:right;"|ומחציתו חמשים וארבעה |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,516: | Line 5,673: | ||
| | | | ||
::*Its ninth is twelve. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot108=12}}</math> | ::*Its ninth is twelve. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot108=12}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|ותשיעתו שנים ‫<ref>100r</ref>עשר |
|- | |- | ||
| | | | ||
::The sum of all these parts is eighty-four. <math>\scriptstyle{\color{blue}{54+18+12=84}}</math> | ::The sum of all these parts is eighty-four. <math>\scriptstyle{\color{blue}{54+18+12=84}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|והמחובר מכל החלקים עולה | + | |style="text-align:right;"|והמחובר מכל החלקים האלה עולה שמונים וארבעה |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::We add it to the denominator; it is one hundred and ninety-two | + | ::We add it to the denominator; it is one hundred and ninety-two. |
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{108+84=192}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{108+84=192}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נוסיפם אל המדומה | + | |style="text-align:right;"|נוסיפם אל המדומה ויהיו מאה ותשעים ושנים |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> So is the ratio of the unknown original measure of the wall to fifty, which is the height now, after the extension of the construction. | + | ::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> So we take the ratio and say: as the ratio of a hundred and eight, which is the denominator, to a hundred and ninety-two, which results from adding all the mentioned parts to it, so is the ratio of the unknown original measure of the wall to fifty, which is the height now, after the extension of the construction. |
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{108:192=X:50}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{108:192=X:50}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|כן ערך מדת החומה אשר | + | |style="text-align:right;"|והנה נעשה בדרך הערכין ונעריך ונאמר כערך מאה ושמנה שהוא המדומה אל מאה ותשעים ושנים שהוא העולה מתוספת החלקים הנזכרים עליו כן ערך מדת החומה אשר היתה בראשונה הנעלמת ממנו אל חמשים שהיא גבוהה עתה אחר התוספת בבנין |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,538: | Line 5,695: | ||
| | | | ||
::We divide it by the known mean, which is one hundred and ninety-two; we find it twenty-eight times in it and four parts remain that cannot be divided, which are parts of the one hundred and ninety-two by which we divided. | ::We divide it by the known mean, which is one hundred and ninety-two; we find it twenty-eight times in it and four parts remain that cannot be divided, which are parts of the one hundred and ninety-two by which we divided. | ||
| − | |style="text-align:right;"|נחלקם על | + | |style="text-align:right;"|נחלקם על האמצע הנודע שהוא מאה ותשעים ושנים נמצאנו שם שמנה ועשרים פעמים וישארו מהם עשרים וארבעה חלקים שלא נתחלקו והמה חלקים ממאה ותשעים ושנים בשלם אשר חלקנו עליו |
|- | |- | ||
| | | | ||
::Therefore, we can answer that the measure of the height of the wall originally was twenty-eight cubits and four parts of one hundred and ninety-two in a cubit. | ::Therefore, we can answer that the measure of the height of the wall originally was twenty-eight cubits and four parts of one hundred and ninety-two in a cubit. | ||
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{108\sdot50}{192}=\frac{5400}{192}=28+\frac{24}{192}}}</math> | + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{108\sdot50}{192}=\frac{5400}{192}=28+\frac{24}{192}}}</math> |
| − | |style="text-align:right;"|ועל כן נוכל להשיב כי מדת גבהות החומה בראשונה | + | |style="text-align:right;"|ועל כן נוכל להשיב כי מדת גבהות החומה בראשונה היתה שמונה ועשרים אמות ועשרים וארבעה חלקים ממאה ותשעים ושנים באמה |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,552: | Line 5,709: | ||
::We decompose all the cubits and convert each into the mentioned parts, then add the result to the twenty-four parts added to the cubits; the sum is five thousand and four hundred. | ::We decompose all the cubits and convert each into the mentioned parts, then add the result to the twenty-four parts added to the cubits; the sum is five thousand and four hundred. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(28\sdot192\right)+24=5400}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(28\sdot192\right)+24=5400}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|{{#annot:term|1562,1559|6FfN}}נתיך{{#annotend:6FfN}} כל האמות ונעשה מכל | + | |style="text-align:right;"|{{#annot:term|1562,1559|6FfN}}נתיך{{#annotend:6FfN}} כל האמות ונעשה מכל האחת ואחת החלקים הנזכרים ונחבר העולה אל עשרים וארבע החלקים העודפים על ‫<ref>100v</ref>האמות ויהיה המחובר חמשת אלפים וארבע מאות |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::*Its half is two thousand and seven hundred. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot5400=2700}}</math> | + | ::*Its half is two thousand and seven hundred. |
| + | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot5400=2700}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|מחציתם אלפים ושבע מאות | |style="text-align:right;"|מחציתם אלפים ושבע מאות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::*Its sixth is nine hundred. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot5400=900}}</math> | + | ::*Its sixth is nine hundred. |
| + | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot5400=900}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ששיתם תשע מאות | |style="text-align:right;"|ששיתם תשע מאות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::*Its ninth is six hundred. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot5400=600}}</math> | + | ::*Its ninth is six hundred. |
| + | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot5400=600}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|תשיעיתם שש מאות | |style="text-align:right;"|תשיעיתם שש מאות | ||
|- | |- | ||
| Line 5,573: | Line 5,733: | ||
::We add it to the five thousand and four hundred; it is nine thousand and six hundred. | ::We add it to the five thousand and four hundred; it is nine thousand and six hundred. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5400+4200=9600}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5400+4200=9600}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נוסיף זה על החמשת אלפים וארבע | + | |style="text-align:right;"|נוסיף זה על החמשת אלפים וארבע המאות ויהיו כתשע אלפים ושש מאות |
|- | |- | ||
| | | | ||
::If you divide it by the number of parts of the whole cubit, you find it is fifty times there, as the number of cubits of the height of the wall now, after the extension of the construction. | ::If you divide it by the number of parts of the whole cubit, you find it is fifty times there, as the number of cubits of the height of the wall now, after the extension of the construction. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9600}{192}=50}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9600}{192}=50}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ואם תחלקם על מספר חלקי האמה השלמה תמצאנו שם חמשים פעמים כמכסת אמות גובה | + | |style="text-align:right;"|ואם תחלקם על מספר חלקי האמה <s>גובה</s> השלמה תמצאנו שם חמשים פעמים כמכסת אמות גובה הח<sup>ו</sup>מה עתה אחרי תוספת הבנין |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,584: | Line 5,744: | ||
:How high is what remains? | :How high is what remains? | ||
:<math>\scriptstyle X=100-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)\right]</math> | :<math>\scriptstyle X=100-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)\right]</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה חומת העיר | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> חומת העיר גבוה מאה אמה ונפרצו ממנה שלישיתה ורביעיתה<br> |
כמה גובה הנשאר{{#annotend:V9HY}} | כמה גובה הנשאר{{#annotend:V9HY}} | ||
|- | |- | ||
| Line 5,604: | Line 5,764: | ||
::We multiply the first number by the fourth; it is five hundred. | ::We multiply the first number by the fourth; it is five hundred. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot100}{12}=\frac{500}{12}=41+\frac{8}{12}=41+\frac{2}{3}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot100}{12}=\frac{500}{12}=41+\frac{8}{12}=41+\frac{2}{3}}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|כפלנו החשבון הראשון על הרביעי | + | |style="text-align:right;"|כפלנו החשבון הראשון על הרביעי ויהיו חמש מאות |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::We divide it by the known mean; we find it forty-one times there and eight remain that cannot be divided, which are parts of twelve in a cubit, which are | + | ::We divide it by the known mean; we find it forty-one times there and eight remain that cannot be divided, which are parts of twelve. So, the height of what remains is forty-one cubits and eight parts of twelve in a cubit, which are two-thirds. |
| − | |style="text-align:right;"|נחלקם על האמצעי הנודע נמצאנו שם ארבעים ואחד פעמים ונשארו מהם | + | |style="text-align:right;"|נחלקם על האמצעי הנודע נמצאנו שם ארבעים ואחד פעמים ונשארו מהם שמונה שלא נחלקו שהם חלקים משנים עשר וככה הוא גובה הנשאר ארבעים ואחת אמה ושמנה ‫<ref>101r</ref>חלקים משנים עשר באמה שהם שני שלישיות |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,620: | Line 5,780: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::*We take their third; it is four hundred. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot1200=400}}</math> | + | ::*We take their third; it is four hundred. |
| + | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot1200=400}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נקח שלישיתם שהם ארבע מאות | |style="text-align:right;"|נקח שלישיתם שהם ארבע מאות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::*And their quarter, which is three hundred. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot1200=300}}</math> | + | ::*And their quarter, which is three hundred. |
| + | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot1200=300}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ורביעיתם שהם שלש מאות | |style="text-align:right;"|ורביעיתם שהם שלש מאות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::The resulting sum is seven hundred. <math>\scriptstyle{\color{blue}{400+300=700}}</math> | + | ::The resulting sum is seven hundred. |
| + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{400+300=700}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והמחובר עולה שבע מאות | |style="text-align:right;"|והמחובר עולה שבע מאות | ||
|- | |- | ||
| Line 5,635: | Line 5,798: | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1200=700=500}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1200=700=500}}</math> | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{500}{12}=41+\frac{8}{12}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{500}{12}=41+\frac{8}{12}}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|נסיר אותם מהאלף ומאתים ישארו חמש מאות שהם ארבעים ואחת אמה ושמנה חלקים משנים עשר כאשר זכרנו |
|- | |- | ||
!<span style=color:green>First from last Problem - Amount of grain</span> | !<span style=color:green>First from last Problem - Amount of grain</span> | ||
| Line 5,641: | Line 5,804: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | *{{#annot:WP|651|mKSQ}}Question: the landlord | + | *{{#annot:WP|651|mKSQ}}Question: the landlord harvested his grain and gave a great heave offering by law from [what he collected] at first. |
:Afterwards he gave the first tithe from what remained and from what remained then, he gave a second tithe, and he was left with 40 measures of grain. | :Afterwards he gave the first tithe from what remained and from what remained then, he gave a second tithe, and he was left with 40 measures of grain. | ||
:How much was the grain at first? | :How much was the grain at first? | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה בעל הבית | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> בעל הבית שאסף תבואתו ותרם ממנו בתחלה תרומה גדולה כמשפט ואחרי כן הפריש מהנשאר מעשר ראשון ומהנשאר אחרי זאת הפריש מעשר שני ונשארו לו חמישים מדות חטה<br> |
| − | כמה היה הכרי | + | כמה היה הכרי בתחלה{{#annotend:mKSQ}} |
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| Line 5,653: | Line 5,816: | ||
::It is known that our late rabbis said that the offering is half a hundred, which is one part of fifty. | ::It is known that our late rabbis said that the offering is half a hundred, which is one part of fifty. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot100=50}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot100=50}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ידוע כי התרומה אמרו | + | |style="text-align:right;"|ידוע כי התרומה אמרו רבותינו ז"ל שהיא תרי ממאה שהיא חלק אחד מהחמשים |
|- | |- | ||
| | | | ||
::Therefore, we take the fifty and multiply it by ten for the first tithe that is subtracted from it; it is five hundred. | ::Therefore, we take the fifty and multiply it by ten for the first tithe that is subtracted from it; it is five hundred. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot10=500}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot10=500}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|על כן נקח | + | |style="text-align:right;"|על כן נקח חמשים ונכפלם בעשר בעבור המעשר ראשון היוצא ממנו ויהיו חמש מאות |
|- | |- | ||
| | | | ||
::<span style=color:green>'''False Position:'''</span> We multiply it also by ten, for the second tithe; it is five thousand and it is the denominator. | ::<span style=color:green>'''False Position:'''</span> We multiply it also by ten, for the second tithe; it is five thousand and it is the denominator. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{500\sdot10=5000}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{500\sdot10=5000}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ונכפול גם הם בעשר בעבור המעשר שני | + | |style="text-align:right;"|ונכפול גם הם בעשר בעבור המעשר שני ויהיה חמשת אלפים והוא המדומה |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,670: | Line 5,833: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::We subtract it; four thousand and | + | ::We subtract it; four thousand and nine hundred remain. |
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5000-100=4900}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5000-100=4900}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נסירנה ממנו ישארו ארבעת אלפים | + | |style="text-align:right;"|נסירנה ממנו ישארו ארבעת אלפים ‫<ref>101v</ref>ותשע מאות |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,690: | Line 5,853: | ||
::We subtract it; three thousand nine hundred and sixty-nine remain. | ::We subtract it; three thousand nine hundred and sixty-nine remain. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4410-\left(\frac{1}{10}\sdot4410\right)=4410-441=3969}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4410-\left(\frac{1}{10}\sdot4410\right)=4410-441=3969}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נסיר | + | |style="text-align:right;"|נסיר אותו מהם ישארו שלשת אלפים ותשע מאות [וששים ותשעה]‫<ref>Vatican: ותשעים וששה</ref> |
|- | |- | ||
| | | | ||
::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> Now, we take the ratio and say: as the ratio of three thousand, nine hundred, and sixty-nine to five thousand so is the ratio of fifty to the unknown. | ::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> Now, we take the ratio and say: as the ratio of three thousand, nine hundred, and sixty-nine to five thousand so is the ratio of fifty to the unknown. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3969:5000=50:X}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3969:5000=50:X}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ועתה נעריך ונאמר כערך שלשת אלפים ותשע מאות | + | |style="text-align:right;"|ועתה נעריך ונאמר כערך שלשת אלפים ותשע מאות ושש<sup>י</sup>ם ותשעה אל חמשת אלפים כן ערך חמשים אל הנעלם |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,704: | Line 5,867: | ||
::We divide it by the first known number; we find it sixty-two times there, and three thousand nine hundred and twenty-two remained that cannot be divided, which are parts of three thousand nine hundred and sixty-nine by which we divided; and this was the amount of measures of grain that was at first, when the landlord began to give offering. | ::We divide it by the first known number; we find it sixty-two times there, and three thousand nine hundred and twenty-two remained that cannot be divided, which are parts of three thousand nine hundred and sixty-nine by which we divided; and this was the amount of measures of grain that was at first, when the landlord began to give offering. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{50\sdot5000}{3969}=\frac{250000}{3969}=62+\frac{3922}{3969}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{50\sdot5000}{3969}=\frac{250000}{3969}=62+\frac{3922}{3969}}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נחלקם על החשבון הראשון הנודע נמצאנו שם ששים ושתים | + | |style="text-align:right;"|נחלקם על החשבון הראשון הנודע נמצאנו שם ששים ושתים פעמים ונשארו שלא נתחלקו שלשת [אלפים ותשע מאות ועשרים ושנים והם חלקים משלשת]‫<ref>Vatican om.</ref> אלפים ותשע מאות וששים ותשעה אשר חלקנו עליו וכזה היה סכום המדות אשר היו בכרי כשהתחיל בעל הבית לתרום |
|- | |- | ||
!<span style=color:green>How much Problem - Amount of money</span> | !<span style=color:green>How much Problem - Amount of money</span> | ||
| Line 5,714: | Line 5,877: | ||
:How much did he admit he owes him? | :How much did he admit he owes him? | ||
:<math>\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100</math> | :<math>\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה ראובן תובע לשמעון מאה מנה שאומר | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> ראובן תובע לשמעון מאה מנה שאומר שהוא חייב לו על פה<br> |
| − | ויאמר אליו | + | ויאמר שמעון אליו אין אני חייב לך מאה מנה אבל כאותם שאני חייב לך ואחרים כמותם ומחציתם ורביעיתם ועם אחד יהיו מאה<br> |
נרצה לדעת כמה הודה לו מתביעתו{{#annotend:V202}} | נרצה לדעת כמה הודה לו מתביעתו{{#annotend:V202}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
::<span style=color:green>'''False Position:'''</span> We do as follows: we take a denominator that has a half and a quarter; we find it is eight. | ::<span style=color:green>'''False Position:'''</span> We do as follows: we take a denominator that has a half and a quarter; we find it is eight. | ||
| − | |style="text-align:right;"|ונעשה על דרך זה נקח מדומה שיש לו חצי ורביעית והנה | + | |style="text-align:right;"|ונעשה על דרך זה נקח מדומה שיש לו חצי ורביעית ‫<ref>102r</ref>והנה נמצא שמונה |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We add the same; it is sixteen. We add also half the denominator, which is four; it is twenty; and its quarter, which is two; it is twenty-two. | ::We add the same; it is sixteen. We add also half the denominator, which is four; it is twenty; and its quarter, which is two; it is twenty-two. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8+8+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)\right]=16+4+2=20+2=22}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8+8+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)\right]=16+4+2=20+2=22}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נוסיף כמוהו | + | |style="text-align:right;"|נוסיף כמוהו יהיו ששה עשר וגם הוסיף מחצית המדומה שהיא ארבעה יהיו עשרים ורביעיתו שהוא שנים יהיו עשרים ושנים |
|- | |- | ||
| | | | ||
::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> Necessarily as the ratio of eight to twenty-two so is the ratio of the unknown to ninety-nine. | ::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> Necessarily as the ratio of eight to twenty-two so is the ratio of the unknown to ninety-nine. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8:22=X:99}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8:22=X:99}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ובהכרח כערך שמנה אל עשרים ושנים כן ערך הנעלם אל תשעים | + | |style="text-align:right;"|ובהכרח כערך שמנה אל עשרים ושנים כן ערך הנעלם אל תשעים ותשע |
|- | |- | ||
| | | | ||
:::For it is known that the sum of the parts of the admission is only ninety-nine; and with one it is one hundred. <math>\scriptstyle{\color{blue}{99+1=100}}</math> | :::For it is known that the sum of the parts of the admission is only ninety-nine; and with one it is one hundred. <math>\scriptstyle{\color{blue}{99+1=100}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|כי בידוע כי המחובר מחלקי ההודאה עמה לא יעלה כי אם | + | |style="text-align:right;"|כי בידוע כי המחובר מחלקי ההודאה עמה לא יעלה כי אם תשעה ותשעים ועם אחד הם מאה |
|- | |- | ||
| | | | ||
::When we multiply the first number by the fourth, the result is seven hundred and ninety-two. | ::When we multiply the first number by the fourth, the result is seven hundred and ninety-two. | ||
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נכפול החשבון הראשון על הרביעי יעלו שבע מאות | + | |style="text-align:right;"|וכאשר נכפול החשבון הראשון על הרביעי יעלו שבע מאות ותשעים ושנים |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We divide it by the known mean, which is twenty-two; the result of division is thirty-six and this is the number of measures he admitted that he owes him. | ::We divide it by the known mean, which is twenty-two; the result of division is thirty-six and this is the number of measures he admitted that he owes him. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{8\sdot99}{22}=\frac{792}{22}=36}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{8\sdot99}{22}=\frac{792}{22}=36}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|חלק<sup>נ</sup>והו על האמצעי הנודע שהוא עשרים ושנים יצא בחלוק ששה ושלשים וככה הוא מספר המנים שהודה שהוא חייב לו |
|- | |- | ||
| | | | ||
:Examine it and you will find that it is true. | :Examine it and you will find that it is true. | ||
| − | |style="text-align:right;"|ובחון זה | + | |style="text-align:right;"|ובחון זה ותמצאהו באמת |
|- | |- | ||
!<span style=color:green>Purchase Problem - Moneychanger</span> | !<span style=color:green>Purchase Problem - Moneychanger</span> | ||
| Line 5,757: | Line 5,920: | ||
:How much is this amount? | :How much is this amount? | ||
:<math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X=1</math> | :<math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X=1</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה צורף כסף שמכר | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> צורף כסף שמכר לשולחני רתוקות כסף ערכה ממטבע אחד שלשה דינרים וממטבע אחר חמשה דינרים ומאחר חמשה דינרים<br> |
| − | ושאל הצורף לשולחני | + | ושאל הצורף לשולחני שיכוין לו בדמיו משלש המטבעות האלה מכל אחד חלק שוה<br> |
ונבקש לדעת מספר החלק ההוא{{#annotend:6Duv}} | ונבקש לדעת מספר החלק ההוא{{#annotend:6Duv}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
::<span style=color:green>'''Common Denominator:'''</span> We investigate this way: we look for a denominator that has a third, a fifth, and a seventh; we find it is a hundred and five. | ::<span style=color:green>'''Common Denominator:'''</span> We investigate this way: we look for a denominator that has a third, a fifth, and a seventh; we find it is a hundred and five. | ||
| − | |style="text-align:right;"|ונחקור על דרך זה נבקש | + | |style="text-align:right;"|ונחקור על דרך זה נבקש מדומה שיש לו שלישית וחמישית ושביעית והנה נמצא ‫<ref>102v</ref>מאה וחמש |
|- | |- | ||
| | | | ||
::Its third is thirty-five; its fifth is twenty-one; and its seventh is fifteen. | ::Its third is thirty-five; its fifth is twenty-one; and its seventh is fifteen. | ||
| − | |style="text-align:right;"|שלישיתו שלשים וחמשה | + | |style="text-align:right;"|שלישיתו שלשים וחמשה וחמישיתו עשרים ואחד שביעיתו חמשה עשר |
|- | |- | ||
| | | | ||
::The sum of all these parts is seventy-one and these are the fractions by which we have to divide each dinar. | ::The sum of all these parts is seventy-one and these are the fractions by which we have to divide each dinar. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot105\right)=35+21+15=71}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot105\right)=35+21+15=71}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|והמחובר מכל החלקים האלה שבעים ואחד והמה החלקים אשר נצטרך לחלק כל דינר אליהם | + | |style="text-align:right;"|והמחובר מכל החלקים האלה שבעים ואחד והמה החלקים אשר נצטרך לחלק [כל]‫<ref>Vatican: אל</ref> דינר אליהם |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,781: | Line 5,944: | ||
| | | | ||
:So, the silversmith will take one dinar and thirty-four parts of seventy-one of a dinar from each coin. | :So, the silversmith will take one dinar and thirty-four parts of seventy-one of a dinar from each coin. | ||
| − | |style="text-align:right;"|וככה יקח הצורף מכל מטבע דינר אחד ושלשים וארבעה חלקים | + | |style="text-align:right;"|וככה יקח הצורף מכל מטבע דינר אחד ושלשים וארבעה חלקים משבעים ואחד בדינר |
|- | |- | ||
| | | | ||
:<span style=color:green>'''Check:'''</span> I shall give you a route how to check it: | :<span style=color:green>'''Check:'''</span> I shall give you a route how to check it: | ||
| − | |style="text-align:right;"|ואתן לך מסלול איך תבחון זה | + | |style="text-align:right;"|ואתן לך מסלול ודרך איך תבחון זה |
|- | |- | ||
| | | | ||
::Take the denominator, which is one hundred and five, and in order to convert all the coins to the coin of 3, we multiply it by them; they are three hundred and fifteen. | ::Take the denominator, which is one hundred and five, and in order to convert all the coins to the coin of 3, we multiply it by them; they are three hundred and fifteen. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{105\sdot3=315}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{105\sdot3=315}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|תקח המדומה | + | |style="text-align:right;"|תקח המדומה שהוא מאה וחמש וכדי ש{{#annot:term|1553,1431|HTld}}נשיב{{#annotend:HTld}} כל המטבעות ממטבע שלשה נכפלנו עליהם ויהיו שלש מאות וחמשה עשר |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We divide them by five, in order to know how many parts of the coin of 5 are they; the result of division is sixty-three parts. | ::We divide them by five, in order to know how many parts of the coin of 5 are they; the result of division is sixty-three parts. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315}{5}=63}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315}{5}=63}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נחלקם על חמשה כדי שנדע כמה חלקים הם ממטבע חמשה יצא בחלוק ששים ושלשה חלקים | + | |style="text-align:right;"|נחלקם על [חמשה]‫<ref>Vatican: חמשה עשר</ref> כדי שנדע כמה חלקים הם ממטבע חמשה יצא בחלוק ששים ושלשה חלקים |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We divide the three hundred and fifteen by seven also, in order to know how many parts of the coin of 7 are they; the result of division is forty-five. | ::We divide the three hundred and fifteen by seven also, in order to know how many parts of the coin of 7 are they; the result of division is forty-five. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315}{7}=45}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315}{7}=45}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|גם נחלק שלש מאות וחמשה עשר על שבעה למען נדע כמה חלקים הם ממטבע שבעה יצא | + | |style="text-align:right;"|גם נחלק שלש מאות וחמשה עשר על שבעה למען נדע כמה חלקים הם ממטבע שבעה יצא בחלוק ארבעים וחמשה |
|- | |- | ||
| | | | ||
::When we sum all the parts of the three coins, which are 105, 63, 45, the result is two hundred and thirteen. | ::When we sum all the parts of the three coins, which are 105, 63, 45, the result is two hundred and thirteen. | ||
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נחבר כל החלקים | + | |style="text-align:right;"|וכאשר נחבר כל החלקים משלשת המטבעות שהם מאה וחמש וששים ושלשה וארבעים וחמשה ‫<ref>103r</ref>יעלו מאתים ושלשה עשר |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We divide them by seventy-one, which are the parts of the whole dinar; we find them there three times, which are three whole dinar. | ::We divide them by seventy-one, which are the parts of the whole dinar; we find them there three times, which are three whole dinar. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{315}{3}+\frac{315}{5}+\frac{315}{7}}{71}=\frac{105+63+45}{71}=\frac{213}{71}=3}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{315}{3}+\frac{315}{5}+\frac{315}{7}}{71}=\frac{105+63+45}{71}=\frac{213}{71}=3}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נחלקם על שבעים ואחד שהם חלקי הדינר השלם ונמצאם שם שלשה | + | |style="text-align:right;"|נחלקם על שבעים ואחד שהם [חלקי]‫<ref>Vatican: חלף</ref> הדינר השלם ונמצאם שם שלשה פעמים והנם שלשה דינרים שלימים |
|- | |- | ||
| | | | ||
:Do likewise if you want to convert the whole amount to the coin of five or the coin of seven; and you will find the truth of this matter. | :Do likewise if you want to convert the whole amount to the coin of five or the coin of seven; and you will find the truth of this matter. | ||
| − | |style="text-align:right;"|ועל הדרך הזה תעשה אם תרצה להשיב כל חשבון ממטבע חמשה או ממטבע שבעה ותמצא | + | |style="text-align:right;"|ועל הדרך הזה תעשה אם תרצה להשיב כל חשבון ממטבע חמשה או ממטבע שבעה ותמצא אמתת הדבר |
|- | |- | ||
!<span style=color:green>Find a Number Problem</span> | !<span style=color:green>Find a Number Problem</span> | ||
| Line 5,821: | Line 5,984: | ||
*Question: a third, a fifth, and a seventh are summed together, how much is [their sum] in relation to the whole? | *Question: a third, a fifth, and a seventh are summed together, how much is [their sum] in relation to the whole? | ||
:<math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X</math> | :<math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה שלישית | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> שלישית וחמישית ושביעית מחוברים איזה ערך הם מהשלם |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,829: | Line 5,992: | ||
| | | | ||
::Its third is thirty-five; its fifth is twenty-one; its seventh is fifteen. | ::Its third is thirty-five; its fifth is twenty-one; its seventh is fifteen. | ||
| − | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|שלישיתו חמשה ושלשים וחמישיתו עשרים ואחד ושביעיתו חמשה עשר |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We sum up all; it is seventy-one. | ::We sum up all; it is seventy-one. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot105\right)=35+21+15=71}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot105\right)=35+21+15=71}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נחבר את כלם | + | |style="text-align:right;"|נחבר את כלם ויהיו שבעים ואחד |
|- | |- | ||
| | | | ||
::Its ratio to the denominator is four-sevenths, two-sevenths of a third, and one-third of one-fifth of a seventh. | ::Its ratio to the denominator is four-sevenths, two-sevenths of a third, and one-third of one-fifth of a seventh. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{71}{105}=\frac{4}{7}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{71}{105}=\frac{4}{7}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|והנה ערכם אל המדומה ארבע | + | |style="text-align:right;"|והנה ערכם אל המדומה ארבע שביעי<sup>ו</sup>תיו ושתי שביעיות שלישיתו ושלישית ושלישית חמישית שביעיתו |
|- | |- | ||
!<span style=color:green>Purchase Problem - Buy and Sell</span> | !<span style=color:green>Purchase Problem - Buy and Sell</span> | ||
| Line 5,849: | Line 6,012: | ||
:How much was [his] money? | :How much was [his] money? | ||
:<math>\scriptstyle\frac{4}{5}X-\frac{5}{9}X=11</math> | :<math>\scriptstyle\frac{4}{5}X-\frac{5}{9}X=11</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה הקונה ארבע | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> הקונה ארבע חמישיות ליטרא בפשוט ומכר קנייתו בערך חמש תשיעיות ליטרא בפשוט והרויח אחד עשר פשוטים<br> |
כמה היה הממון{{#annotend:dAOg}} | כמה היה הממון{{#annotend:dAOg}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
::<span style=color:green>'''Common Denominator:'''</span> The denominator that has a fifth and a ninth is forty-five. | ::<span style=color:green>'''Common Denominator:'''</span> The denominator that has a fifth and a ninth is forty-five. | ||
| − | |style="text-align:right;"|הנה המדומה | + | |style="text-align:right;"|הנה המדומה שיש לו חמישית ותשיעית הוא ארבעים וחמשה |
|- | |- | ||
| | | | ||
::Its four-fifths are thirty-six. | ::Its four-fifths are thirty-six. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot45=36}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot45=36}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|וארבע | + | |style="text-align:right;"|וארבע חמישיותיו ששה ושלשים |
|- | |- | ||
| | | | ||
::Its five-ninths are twenty-five. | ::Its five-ninths are twenty-five. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}\sdot45=25}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}\sdot45=25}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|וחמש תשיעיותיו עשרים | + | |style="text-align:right;"|וחמש תשיעיותיו עשרים וחמש |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,873: | Line 6,036: | ||
:*If he says that he earned 22 pešuṭim. | :*If he says that he earned 22 pešuṭim. | ||
::<math>\scriptstyle\frac{4}{5}X-\frac{5}{9}X=22</math> | ::<math>\scriptstyle\frac{4}{5}X-\frac{5}{9}X=22</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ואם אמר שהרויח | + | |style="text-align:right;"|ואם אמר שהרויח עשרים ושנים פשוטים |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :: | + | ::we multiply twenty-five times twenty-two. |
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25\sdot22}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25\sdot22}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|‫<ref>103v</ref>נכפול חמשה ועשרים שנים ועשרים פעמים |
|- | |- | ||
| | | | ||
:*If he says that he earned 33 pešuṭim | :*If he says that he earned 33 pešuṭim | ||
::<math>\scriptstyle\frac{4}{5}X-\frac{5}{9}X=33</math> | ::<math>\scriptstyle\frac{4}{5}X-\frac{5}{9}X=33</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ואם אמר שהרויח | + | |style="text-align:right;"|ואם אמר שהרויח שלשים ושלשה פשוטים |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We multiply them thirty-three times. | ::We multiply them thirty-three times. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25\sdot33}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25\sdot33}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נכפלם | + | |style="text-align:right;"|נכפלם שלשים ושלש פעמים |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,903: | Line 6,066: | ||
:Now he comes to us and asks: did he gain or lose? | :Now he comes to us and asks: did he gain or lose? | ||
:<math>\scriptstyle\left(\frac{10}{\frac{5}{4}}+\frac{10}{\frac{3}{4}}\right)-20</math> | :<math>\scriptstyle\left(\frac{10}{\frac{5}{4}}+\frac{10}{\frac{3}{4}}\right)-20</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה סוחר קנה עשרים ליטראות בטנים בעשרים | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> סוחר קנה עשרים ליטראות בטנים בעשרים דינרים<br> |
| − | והלך ומכר מהן עשרה | + | והלך ומכר מהן עשרה ליטרין לערך חמש רביעיות ליטרא בדינר ונמצא שהוא מפסיד בזה<br> |
| − | + | ואחרי כן באו הרבה קונים והפקיעו השערים ומכר העשרה ליטריין הנשארות לערך שלש רביעיות ליטרא בדינר<br> | |
ועתה בא אלינו לשאול אם הרויח או הפסיד או אם יצא הפסדו בשכרו{{#annotend:hmKB}} | ועתה בא אלינו לשאול אם הרויח או הפסיד או אם יצא הפסדו בשכרו{{#annotend:hmKB}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
::We investigate this way: we convert the first 10 liṭra that he sold into quarters; they are forty. | ::We investigate this way: we convert the first 10 liṭra that he sold into quarters; they are forty. | ||
| − | |style="text-align:right;"|והנה נחקור על דרך זה | + | |style="text-align:right;"|והנה נחקור על דרך זה ונשיב העשר ליטראות הראשונות שמכר כלם רביעיות ויהיו ארבעים |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We divide them by the 5-quarters that he sold for a dinar; we find them there eight times. We find that he sold the five for eight dinar. | ::We divide them by the 5-quarters that he sold for a dinar; we find them there eight times. We find that he sold the five for eight dinar. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{\frac{5}{4}}=\frac{4\sdot10}{5}=\frac{40}{5}=8}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{\frac{5}{4}}=\frac{4\sdot10}{5}=\frac{40}{5}=8}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נחלקם על | + | |style="text-align:right;"|נחלקם על החמש רביעיות שמכר בדינר נמצאם שם שמונה פעמים נמצא שה' מכרם בשמונה דינרים |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We convert also the other 10 liṭra into quarters, then divide them by the 3-quarters that he sold for a dinar; we find them there thirteen times, which are 13 dinar, and one-quarter remains that cannot be divided, which is a third of a dinar. | ::We convert also the other 10 liṭra into quarters, then divide them by the 3-quarters that he sold for a dinar; we find them there thirteen times, which are 13 dinar, and one-quarter remains that cannot be divided, which is a third of a dinar. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{\frac{3}{4}}=\frac{4\sdot10}{3}=\frac{40}{3}=13+\frac{1}{3}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{\frac{3}{4}}=\frac{4\sdot10}{3}=\frac{40}{3}=13+\frac{1}{3}}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נעשה | + | |style="text-align:right;"|נעשה כן [רביעיות]‫<ref>Vatican om.</ref> מהעשר ליטראות האחרונות ונחלקם על שלש רביעיות שמכר בדינר נמצא שם שלשה עשר פעמים שהם י"ג דינרים ועוד נשאר מהם שלא נתחלק רביעית אחת שהיא שלישית דינר |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We add all this to the eight dinar; the sum is twenty-one dinar and four pešuṭim. | ::We add all this to the eight dinar; the sum is twenty-one dinar and four pešuṭim. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{\frac{5}{4}}+\frac{10}{\frac{3}{4}}=8+\left(13+\frac{1}{3}\right)=21+\frac{4}{12}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{\frac{5}{4}}+\frac{10}{\frac{3}{4}}=8+\left(13+\frac{1}{3}\right)=21+\frac{4}{12}}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נחבר כל זה אל | + | |style="text-align:right;"|נחבר כל זה אל ‫<ref>104r</ref>השמונה דינרים יהיו עשרים ואחד דינרים וארבעה פשוטים |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,936: | Line 6,099: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | *{{#annot:three partners|661|OJXh}}Question: three invested | + | *{{#annot:three partners|661|OJXh}}Question: three invested forty-six dinar - one contributed twelve dinar, the second contributed fifteen dinar, the third contributed nineteen dinar, and they earned together 20 dinar. How much should each one take [from the profit]? |
:<math>\scriptstyle12+15+19=46</math> | :<math>\scriptstyle12+15+19=46</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה שלשה שותפין | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> שלשה שותפין בארבעים וששה דינרים חלק האחד שנים עשר דינרים וחלק השני חמשה עשר דינרים וחלק השלישי תשעה עשר דינרים והרויחו בין כלם עשרים דינרים כמה יקח כל אחד ואחד מהם{{#annotend:OJXh}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> It is known that there is no doubt that each and every one will take the ratio to twenty as the ratio of his share to forty-six. | ::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> It is known that there is no doubt that each and every one will take the ratio to twenty as the ratio of his share to forty-six. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_i:20=a_i:46}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_i:20=a_i:46}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ידוע כי אין ספק | + | |style="text-align:right;"|ידוע כי אין ספק שכל אחד ואחד מהם יקח ערך מעשרים כערך חלקו אל הארבעים וששה |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,953: | Line 6,116: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | *{{#annot:two workers|612|lLls}}Question: one hired Reuven and Shimon for 10 days to do a work for him any one of them in turns so that the work will not cease. | + | *{{#annot:two workers|612|lLls}}Question: one hired Reuven and Shimon for 10 days to do a work for him any one of them in turns so that the work will not cease. |
:He agreed with Reuven that if he will do the work alone the whole 10 days he would pay him 2 dinar and to Shimon he said that if he will do the work alone the whole days he would pay him 5 dinar. | :He agreed with Reuven that if he will do the work alone the whole 10 days he would pay him 2 dinar and to Shimon he said that if he will do the work alone the whole days he would pay him 5 dinar. | ||
:What they did? They did the work together so that when one was tired his friend replaced him and did the work while the other was resting and if the second was tired, the first returned to his work and the second was resting. | :What they did? They did the work together so that when one was tired his friend replaced him and did the work while the other was resting and if the second was tired, the first returned to his work and the second was resting. | ||
| Line 5,960: | Line 6,123: | ||
:How much money did they receive and how many days did each of them work? | :How much money did they receive and how many days did each of them work? | ||
:<math>\begin{cases}\scriptstyle\frac{2}{10}R=\frac{5}{10}S\\\scriptstyle R+S=10\end{cases}</math> | :<math>\begin{cases}\scriptstyle\frac{2}{10}R=\frac{5}{10}S\\\scriptstyle R+S=10\end{cases}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה השוכר ראובן ושמעון שיעשו לו בין שניהם מלאכה עשרה ימים ולא תשבות המלאכה<br> | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> השוכר ראובן ושמעון שיעשו לו בין שניהם מלאכה עשרה ימים ולא תשבות המלאכה<br> |
| − | והתנה עם ראובן שאם יעסוק הוא במלאכה לבדו כל העשרה ימים שיתן לו ב' דינרים<br> | + | והתנה עם ראובן שאם יעסוק הוא [במלאכה לבדו כל העשרה ימים שיתן לו ב' דינרים<br> |
| − | ולשמעון אמר שאם יעסוק הוא | + | ולשמעון אמר שאם יעסוק הוא]‫<ref>Vatican om.</ref> לבד במלאכה כל מספר הימים ההם שיתן לו חמשה דינרים<br> |
| − | מה עשו החזיקו שניהם במלאכה והוא שובת היה עיף השני | + | מה עשו החזיקו שניהם במלאכה בדרך זה כשהאחד היה יגיע עומד חבירו תחתיו ועוסק במלאכה והוא שובת היה עיף השני הראשון חוזר למלאכתו והשני שובת וכל אחד ואחד כתב כמה ימים או חלקי ימים עבד<br> |
| − | ועשו זה כל העשרה | + | ועשו זה כל העשרה ימים<br> |
| − | וכשבאו אל השוכר פרע את שניהם ונתן להם מעות לכל אחד בשוה | + | וכשבאו אל השוכר פרע את שניהם ונתן להם ‫<ref>104v</ref>מעות לכל אחד ואחד בשוה<br> |
| + | נרצה לדעת כמה מעות נטלו וכמה ימי עבודת כל אחד ואחד{{#annotend:lLls}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
::We investigate this way: know that Reuven works five days for one dinar and Shimon is paid one dinar for two days only. The sum of the days of both is seven. | ::We investigate this way: know that Reuven works five days for one dinar and Shimon is paid one dinar for two days only. The sum of the days of both is seven. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5+2=7}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5+2=7}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|והנה נחקור על דרך זה תדע כי ראובן יעבוד חמשה ימים בדינר ושמעון לא | + | |style="text-align:right;"|והנה נחקור על דרך זה תדע כי ראובן יעבוד חמשה ימים בדינר ושמעון לא ישמש בדינר כי אם שני ימים והמחובר מימי שניהם הוא שבעה |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We divide the ten days by them; the result is one integer and three remain that cannot be divided. So the amount of money that each takes is one dinar and three-sevenths of a dinar. | ::We divide the ten days by them; the result is one integer and three remain that cannot be divided. So the amount of money that each takes is one dinar and three-sevenths of a dinar. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{5+2}=\frac{10}{7}=1+\frac{3}{7}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{5+2}=\frac{10}{7}=1+\frac{3}{7}}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|נחלקו העשרה ימים עליהם ויהיה היוצא אחד שלם ישארו שלשה שלא נתחלקו וככה הוא סכום המעות אשר יקח כל אחד מהם דינר ושלשה שביעיות דינר |
|- | |- | ||
| | | | ||
::Now we shall investigate how many are the working days of each by his payment according to the conditional ratio, so that they are summed up to ten days: | ::Now we shall investigate how many are the working days of each by his payment according to the conditional ratio, so that they are summed up to ten days: | ||
| − | |style="text-align:right;"|ועתה נחקור כמה ימי | + | |style="text-align:right;"|ועתה נחקור כמה משפט ימי <s>כל</s> עבודת כל אחד ואחד בשכרו אשר לקח לפי ערך התנאי וצריך שיספיק בין שניהם לעשרה ימים |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We do as follows: it is known that Reuven must work five days for one dinar, we ask to know how many days will he work for the three-sevenths of a dinar; we reach this knowledge by applying the rule of four [lit. the rules of the ratios]. | ::We do as follows: it is known that Reuven must work five days for one dinar, we ask to know how many days will he work for the three-sevenths of a dinar; we reach this knowledge by applying the rule of four [lit. the rules of the ratios]. | ||
| − | |style="text-align:right;"|ונעשה ככה בידוע כי ראובן חייב לעבוד בדינר חמשה ימים | + | |style="text-align:right;"|ונעשה ככה בידוע כי ראובן חייב לעבוד בדינר אשר לקח חמשה ימים ונרצה לדעת כמה [ימים]‫<ref>Vatican om.</ref> יעבוד בעבור השלשה שביעיות מהדינר ונגיע לידיעת זה כאשר נעשה במשפטי הערכין |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 5,997: | Line 6,161: | ||
| | | | ||
::We multiply the first number by the fourth; it is a hundred and five. | ::We multiply the first number by the fourth; it is a hundred and five. | ||
| − | |style="text-align:right;"|נכפול החשבון הראשון על הרביעי | + | |style="text-align:right;"|נכפול החשבון הראשון על הרביעי יהיו מאה וחמש |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::We divide it by the known mean, which is seven; we find it there fifteen times that are parts of | + | ::We divide it by the known mean, which is seven; we find it there fifteen times that are parts of a seventh of a day; the result is two days and one-seventh of a day. |
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{3\sdot35}{7}}{7}=\frac{\frac{105}{7}}{7}=\frac{15}{7}=2+\frac{1}{7}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{3\sdot35}{7}}{7}=\frac{\frac{105}{7}}{7}=\frac{15}{7}=2+\frac{1}{7}}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נחלקם על האמצעי הנודע שהוא שבעה נמצאם שם חמשה עשר פעמים והנה הם חלקי | + | |style="text-align:right;"|נחלקם על ‫<ref>105r</ref>האמצעי הנודע שהוא שבעה נמצאם שם חמשה עשר פעמים והנה הם חלקי שביעית יום העולים שני ימים ושביעית יום אחד |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We find that Reuven's working days are seven days and one-seventh of a day. | ::We find that Reuven's working days are seven days and one-seventh of a day. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{R=5+\left(2+\frac{1}{7}\right)=7+\frac{1}{7}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{R=5+\left(2+\frac{1}{7}\right)=7+\frac{1}{7}}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ונמצא כל ימי עבודת ראובן שבעה ימים ושביעית יום אחד | + | |style="text-align:right;"|ונמצא כל <sup>ימי</sup> עבודת ראובן שבעה ימים ושביעית יום אחד |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 6,016: | Line 6,180: | ||
::When we convert the two days into sevenths, they are fourteen. | ::When we convert the two days into sevenths, they are fourteen. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2=\frac{14}{7}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2=\frac{14}{7}}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|וכשנשיב השני ימים | + | |style="text-align:right;"|וכשנשיב [השני ימים]‫<ref>Vatican: הימים ושנים</ref> חלק<sup>י</sup> שביעיות יהיו ארבעה עשר |
|- | |- | ||
| | | | ||
::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> As the ratio of the three-sevenths he took to seven, so is the ratio of the unknown to fourteen. | ::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> As the ratio of the three-sevenths he took to seven, so is the ratio of the unknown to fourteen. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}:7=Y:14}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}:7=Y:14}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|והנה כערך השלשה שביעיות שלקח אל שבעה כן ערך הנעלם אל ארבעה עשר | + | |style="text-align:right;"|והנה כערך השלשה שביעיות שלקח אל שבעה כן ערך הנעלם [אל]‫<ref>Vatican om.</ref> ארבעה עשר |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::We multiply the first [number] by the | + | ::We multiply the first [number] by the last; it is forty-two. |
| − | |style="text-align:right;"|כפלנו החשבון | + | |style="text-align:right;"|כפלנו החשבון הראשון על האחרון היו ארבעים ושנים |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We divide it by the known mean, which is seven; we find it there six times that are parts of sevenths of a day. | ::We divide it by the known mean, which is seven; we find it there six times that are parts of sevenths of a day. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{3\sdot14}{7}}{7}=\frac{\frac{42}{7}}{7}=\frac{6}{7}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{3\sdot14}{7}}{7}=\frac{\frac{42}{7}}{7}=\frac{6}{7}}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|חלקנום על האמצעי הנודע שהוא שבעה נמצאם שם ששה פעמים והם | + | |style="text-align:right;"|חלקנום על האמצעי הנודע שהוא שבעה נמצאם שם ששה פעמים והם חלק<sup>י</sup> שביעיות יום |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We find that Shimon's working days are two days and six-sevenths. | ::We find that Shimon's working days are two days and six-sevenths. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{S=2+\frac{6}{7}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{S=2+\frac{6}{7}}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ונמצא כל ימי עבודת שמעון שני ימים ושש שביעיות | + | |style="text-align:right;"|ונמצא כל ימי עבודת שמעון שני ימים ושש שביעיות יום |
|- | |- | ||
| | | | ||
:<span style=color:green>'''Check:'''</span> When you sum up the number and the parts of the working days of both and make one day out of every seven parts, you find that they are exactly ten days. | :<span style=color:green>'''Check:'''</span> When you sum up the number and the parts of the working days of both and make one day out of every seven parts, you find that they are exactly ten days. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{R+S=\left(7+\frac{1}{7}\right)+\left(2+\frac{6}{7}\right)=10}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{R+S=\left(7+\frac{1}{7}\right)+\left(2+\frac{6}{7}\right)=10}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר תחבר מספר הימים והחלקים מעבודת שניהם ותעשה משבעה חלקים יום אחד תמצא שהם עשרה ימים | + | |style="text-align:right;"|וכאשר תחבר מספר הימים והחלקים מעבודת שניהם ותעשה משבעה חלקים יום אחד תמצא שהם עשרה ימים בכיוון |
|- | |- | ||
!<span style=color:green>Payment Problem - Messenger</span> | !<span style=color:green>Payment Problem - Messenger</span> | ||
| Line 6,049: | Line 6,213: | ||
:How much should his payment be according to the terms? | :How much should his payment be according to the terms? | ||
:<math>\scriptstyle\frac{x}{7\sdot5}=\frac{13}{20\sdot11}</math> | :<math>\scriptstyle\frac{x}{7\sdot5}=\frac{13}{20\sdot11}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה שכרתי שליח אחד בשלשה עשר דינרים והתנאתי עמו שילך לי מכאן ועד עשרים | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> שכרתי שליח אחד בשלשה עשר דינרים [והתנאתי]‫<ref>Vatican: והתאנתי</ref> עמו שילך לי מכאן ועד עשרים יום אחד עשר פרסאות בכל יום<br> |
| − | והשליח מעל או שנאנס ולא הלך כי אם חמש פרסאות בכל יום עד שבעה ימים<br> | + | והשליח מעל או שנאנס ולא הלך כי אם חמש פרסאות בכל יום עד ‫<ref>105v</ref>שבעה ימים<br> |
| − | נרצה לידע כמה משפט דמי | + | נרצה לידע כמה משפט דמי שכרותו לפי התנאי{{#annotend:yWg7}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We do it in this way: first we think as if the messenger would have walked five parsot the whole 20 days and we look how much should be his hiring payment. | ::We do it in this way: first we think as if the messenger would have walked five parsot the whole 20 days and we look how much should be his hiring payment. | ||
| − | |style="text-align:right;"|נעשה בדרך זאת בתחלה נחשוב כאלו הלך השליח החמש פרסאות כל העשרים ונראה מה יגיע אליו | + | |style="text-align:right;"|נעשה בדרך זאת בתחלה נחשוב כאלו הלך השליח החמש פרסאות כל העשרים יום ונראה מה יגיע אליו מהשכרות |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 6,065: | Line 6,229: | ||
::When we multiply the first number by the fourth, then divide by the known mean, we find that his hiring payment should be 5 dinar and 10 parts of 11 of a dinar. | ::When we multiply the first number by the fourth, then divide by the known mean, we find that his hiring payment should be 5 dinar and 10 parts of 11 of a dinar. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{5\sdot13}{11}=5+\frac{10}{11}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{5\sdot13}{11}=5+\frac{10}{11}}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|כאשר נכפול החשבון הראשון על הרביעי ונחלק על האמצעי הנודע נמצא שיגיע אליו מהשכרות ה' דינרים וי' חלקים מי"א בדינר |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 6,074: | Line 6,238: | ||
::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We take the ratio again and say: as the ratio of seven to twenty, so is the ratio of the unknown to 5 dinar and 10 parts of 11 of a dinar. | ::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We take the ratio again and say: as the ratio of seven to twenty, so is the ratio of the unknown to 5 dinar and 10 parts of 11 of a dinar. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7:20=X:\left(5+\frac{10}{11}\right)}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7:20=X:\left(5+\frac{10}{11}\right)}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|נחזור ונעריך | + | |style="text-align:right;"|נחזור ונעריך ונאמר כערך שבעה אל עשרים כן ערך הנעלם אל ה' דינרים [וי']‫<ref>Vatican: ו'</ref> חלקים מי"א בדינר |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We multiply the first number, which is seven, by the fourth number, which is 5 dinar; it is 35. | ::We multiply the first number, which is seven, by the fourth number, which is 5 dinar; it is 35. | ||
| − | |style="text-align:right;"|נכפול החשבון הראשון שהוא שבעה על החשבון הרביעי שהוא ה' | + | |style="text-align:right;"|נכפול החשבון הראשון שהוא שבעה על החשבון הרביעי שהוא ה' דינרים ובו' יהיה ל"ה |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We multiply it also by the 10 parts; they are seventy parts. | ::We multiply it also by the 10 parts; they are seventy parts. | ||
| − | |style="text-align:right;"|גם | + | |style="text-align:right;"|גם נכפול אותו על הי' חלקים יהיו שבעים חלקים |
|- | |- | ||
| | | | ||
::When we have to divide the resulting product by the known mean, we return all to the same measure and convert the 35 into parts of 11; they are 385. | ::When we have to divide the resulting product by the known mean, we return all to the same measure and convert the 35 into parts of 11; they are 385. | ||
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר | + | |style="text-align:right;"|וכאשר אנחנו צריכים לחלק העולה מהכפילה הזאת על האמצעי הנודע נשיב הכל ממתכונת אחת ונעשה מהל"ה חלקים מי"א ויהיו שפ"ה |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We add to them the 70 parts, which are also parts of 11; they are 455. | ::We add to them the 70 parts, which are also parts of 11; they are 455. | ||
| − | |style="text-align:right;"|נחבר אליהם הע' חלקים שגם הם המה חלקים מי"א ויהיו תנ"ה | + | |style="text-align:right;"|נחבר אליהם הע' חלקים שגם ‫<ref>106r</ref>הם המה חלקים מי"א ויהיו תנ"ה |
|- | |- | ||
| | | | ||
::Then we convert the known mean, which is twenty, into parts of 11; they are 220. | ::Then we convert the known mean, which is twenty, into parts of 11; they are 220. | ||
| − | |style="text-align:right;"|ואחרי | + | |style="text-align:right;"|ואחרי זאת נשיב גם כן האמצעי הנודע שהוא עשרים חלקים מי"א יהיו ר"ך |
|- | |- | ||
| | | | ||
::We divide 455 by them; we find them twice in them and 15 remain that cannot be divided, which are three-quarters of a part of eleven. | ::We divide 455 by them; we find them twice in them and 15 remain that cannot be divided, which are three-quarters of a part of eleven. | ||
| − | |style="text-align:right;"|נחלק תנ"ה עליהם נמצאם שם פעמים וישארו ט"ו שלא נתחלקו והם שלש רביעיות חלק אחד | + | |style="text-align:right;"|נחלק תנ"ה עליהם נמצאם שם פעמים וישארו ט"ו שלא נתחלקו והם שלש רביעיות חלק אחד מהאחד עשר חלקים מר"ך שהוא השלם אשר חלקנו עליו |
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| Line 6,105: | Line 6,269: | ||
| | | | ||
::Hence, the salary that the messenger will receive is two dinar and three-quarters of one part of eleven of a dinar. | ::Hence, the salary that the messenger will receive is two dinar and three-quarters of one part of eleven of a dinar. | ||
| − | |style="text-align:right;"|וככה | + | |style="text-align:right;"|וככה יקח השליח בשכרותו שני דינרים ושלש רביעיות חלק אחד מאחד עשר חלקים בדינר שלם |
|- | |- | ||
!<span style=color:green>Divide a Quantity Problem - Proportional Division - Inheritance</span> | !<span style=color:green>Divide a Quantity Problem - Proportional Division - Inheritance</span> | ||
| Line 6,113: | Line 6,277: | ||
*{{#annot:inheritance|645|eycN}}Question: Jacob's four wives married him on the same day. On that day, he prepared for each of them a ketuba [= Jewish marriage contract] according the Jewish law. | *{{#annot:inheritance|645|eycN}}Question: Jacob's four wives married him on the same day. On that day, he prepared for each of them a ketuba [= Jewish marriage contract] according the Jewish law. | ||
::The name of the one is Leah and her ketuba amount is 4000 zehuvim [= golden coins]; | ::The name of the one is Leah and her ketuba amount is 4000 zehuvim [= golden coins]; | ||
| − | ::the name of the second is Zilpah and he ketuba amount is 3000 zehuvim; | + | ::the name of the second is Zilpah and he ketuba amount is 3000 [zehuvim]; |
| − | ::the name of the third is Rachel and her ketuba amount is 2000 zehuvim; | + | ::the name of the third is Rachel and her ketuba amount is 2000 [zehuvim]; |
::and the name of the fourth is Bilhah and her ketuba amount is 1000 zehuvim. | ::and the name of the fourth is Bilhah and her ketuba amount is 1000 zehuvim. | ||
:Later Jacob died and nothing was left of his property but 4000 zehuvim. | :Later Jacob died and nothing was left of his property but 4000 zehuvim. | ||
:The widows came to the court in order to divide the money that remained between them | :The widows came to the court in order to divide the money that remained between them | ||
| − | |style="text-align:right;"|שאלה ארבעה נשי יעקב שנשאו לו ביום אחד ועשה לכל | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> ארבעה נשי יעקב שנשאו לו ביום אחד ועשה לכל אח<sup>ת</sup> ואחת כתובה בו ביום כתקון חכמים<br> |
| − | שם האחת לאה וכתובתה ארבעת אלפים זהובים<br> | + | שם האחת לאה וכתובתה [ארבעת]‫<ref>Vatican: שבעת</ref> אלפים זהובים<br> |
| − | ושם השנית זלפה וכתובתה שלשת אלפים | + | ושם השנית זלפה וכתובתה שלשת אלפים<br> |
| − | ושם השלישית רחל וכתובתה אלפים | + | ושם השלישית רחל וכתובתה אלפים<br> |
ושם הרביעית בלהה וכתובתה אלף זהובים<br> | ושם הרביעית בלהה וכתובתה אלף זהובים<br> | ||
| − | לימים מת יעקב ולא נשאר מנכסיו כי אם ארבעת אלפים זהובים באו האלמנות לבית דין לחלוק להן הממון הנשאר{{#annotend:eycN}} | + | לימים מת יעקב ולא נשאר מנכסיו כי אם ארבעת אלפים זהובים<br> |
| + | באו האלמנות לבית דין לחלוק להן הממון הנשאר{{#annotend:eycN}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
:*<span style=color:green>The division according '''the sages of Israel''':</span> The late sages said that the court law is to divide the money between them in this way: | :*<span style=color:green>The division according '''the sages of Israel''':</span> The late sages said that the court law is to divide the money between them in this way: | ||
| − | |style="text-align:right;"|ואמרו חכמים ז"ל שמשפט הבית דין | + | |style="text-align:right;"|ואמרו חכמים ז"ל שמשפט הבית דין לחלק להן הממון על דרך זה |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::<span style=color:green>'''Bilhah:'''</span> They shall tell Bilhah whose ketuba has the | + | ::<span style=color:green>'''Bilhah:'''</span> They shall tell Bilhah whose ketuba has the smallest [amount] of all of them: You have no claim from the others except for a thousand gold coins and they too have a legal right on them, so take the fourth of the thousand, which is two hundred and fifty and go in peace and so each of them will take from it. |
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot1000=250}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot1000=250}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|יאמרו | + | |style="text-align:right;"|יאמרו <sup>א</sup>ל בלהה שכתובתה קטנה מכלנה אין לך ערעור בחברותיך כי אם באלף ‫<ref>106v</ref>זהובים וגם הנה יש להן משפט בהן על כן תקח רביעית האלף שהוא <s>מ</s>מאתים וחמשים ולכי לשלום וככה תקחן ממנו כל אחת מהן |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::<span style=color:green>'''Rachel:'''</span> Then, the court shall tell Rachel: You have no claim except for the two thousand that your two friends have a legal right on them too, and you have already taken your share from the one-thousand divided, so take the third of the | + | ::<span style=color:green>'''Rachel:'''</span> Then, the court shall tell Rachel: You have no claim except for the two thousand that your two friends have a legal right on them too, and you have already taken your share from the one-thousand divided, so take the third of the other thousand required as a payment of your claim, which is three-hundred and thirty-three gold coins and one-third, and return to your home. We find that her total share is 583 gold coins and one-third. Likewise each of the two others will take three hundred and thirty-three gold coins and one-third from the second divided one thousand. |
| − | |style="text-align:right;"|אחרי כן יאמרו גם כן | + | |style="text-align:right;"|אחרי כן יאמרו גם כן ב"ד אל רחל אין לך ערעור רק על אלפים שיש לשתי חברותיך גם כן משפט בהן וכבר לקחת חלקך מהאלף המחולק על כן תקחי מהאלף אחר שצריך לתשלום תביעתך השלש שהוא שלש מאות ושלשים ושלשה זהובים ושליש זהוב ושובי לביתך ונמצא חלוקה בין הכל תקפ"ג זהובים ושליש זהוב וגם כן יקחו כל אחת משתיהן מאותו האלף השני הנחלק שלש מאות ושלשים ושלשה זהובים ושליש זהו‫' |
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| Line 6,142: | Line 6,307: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::<span style=color:green>'''Zilpah:'''</span> Then, they shall tell Zilpah: You have no claim except for the three-thousand that your friend Leah too has a legal right on them, and you have already taken your share from the two thousand divided, so we shall divide the one thousand required as a payment of your claim between the two of you. We find that the total share of Zilpah is one thousand eighty-three gold coins and one-third. | + | ::<span style=color:green>'''Zilpah:'''</span> Then, they shall tell Zilpah: You have no claim except for the three-thousand that your friend Leah [too] has a legal right on them, and you have already taken your share from the two thousand divided, so we shall divide the one thousand required as a payment of your claim between the two [of you]. We find that the total share of Zilpah is one thousand eighty-three gold coins and one-third. |
| − | |style="text-align:right;"|ואחרי כן | + | |style="text-align:right;"|ואחרי כן אמרו לזלפה אין לך תביעה רק בשלשת אלפים שיש ללאה חברתיך בהן משפט וכבר לקחת חלקך מהשני האלפים המחולקים [על כן]‫<ref>Vatican: עלך</ref> נחלק בין שתיהן האלף הצריך לתשלום תביעתך ונמצא שתהיה חלק זלפה בין הכל אלף [ושמנים]‫<ref>Vatican: ושלשים</ref> ושלשה זהובים ושליש זהוב |
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| Line 6,150: | Line 6,315: | ||
| | | | ||
::<span style=color:green>'''Leah:'''</span> Leah is left with two thousand and eighty-three gold coins and a third. | ::<span style=color:green>'''Leah:'''</span> Leah is left with two thousand and eighty-three gold coins and a third. | ||
| − | |style="text-align:right;"|ונשארו ללאה אלפים ושמנים ושלשה | + | |style="text-align:right;"|ונשארו ללאה אלפים ושמנים ושלשה זהובים ושלישית זהוב |
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
| Line 6,156: | Line 6,321: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | :<span style=color:green>'''Check:'''</span> If you sum up all these parts according to the rule, you will find the result is four thousand. | + | :<span style=color:green>'''Check:'''</span> If you sum up [all] these parts according to the rule, you will find the result is four thousand. |
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{250+\left(583+\frac{1}{3}\right)+\left(1083+\frac{1}{3}\right)+\left(2083+\frac{1}{3}\right)=4000}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{250+\left(583+\frac{1}{3}\right)+\left(1083+\frac{1}{3}\right)+\left(2083+\frac{1}{3}\right)=4000}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ואם תחבר | + | |style="text-align:right;"|ואם תחבר החלקים האלה ‫<ref>107r</ref>תמצא העולה ארבעת אלפים |
|- | |- | ||
| | | | ||
:*<span style=color:green>The division according to '''the arithmeticians''':</span> The arithmeticians divide this amount in a different way: | :*<span style=color:green>The division according to '''the arithmeticians''':</span> The arithmeticians divide this amount in a different way: | ||
::<math>\scriptstyle\frac{4000}{4000}X+\frac{3000}{4000}X+\frac{2000}{4000}X+\frac{1000}{4000}X=4000</math> | ::<math>\scriptstyle\frac{4000}{4000}X+\frac{3000}{4000}X+\frac{2000}{4000}X+\frac{1000}{4000}X=4000</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|והנה חכמי החשבון | + | |style="text-align:right;"|<big>והנה</big> חכמי החשבון חולקים הממון הזה בדרך אחרת |
|- | |- | ||
| | | | ||
| − | ::<span style=color:green>'''False Position:'''</span> They say that since Bilhah asks for a | + | ::<span style=color:green>'''False Position:'''</span> They say that since Bilhah asks for a quarter of the amount, Rachel its half, Zilpah its three-quarters, and Leah its whole, we take a denominator that has a half and a quarter. We find it is eight. |
| − | |style="text-align:right;"|ויאמרו כי בעבור שבלהה שואלת | + | |style="text-align:right;"|ויאמרו כי בעבור שבלהה שואלת רביעית הממון ורחל חציו וזלפה שלש רביעיותיו [ולאה]‫<ref>Vatican: ולא</ref> כלו נקח מדומה שיהיה לו חצי ורביעית והנה נמצא שמנה |
|- | |- | ||
| | | | ||
::Its quarter is two; its half is four; its three-quarters are six; the sum of all these parts with [the denominator] is twenty. | ::Its quarter is two; its half is four; its three-quarters are six; the sum of all these parts with [the denominator] is twenty. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot8\right)=8+2+4+6=20}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot8\right)=8+2+4+6=20}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|ורביעיתם | + | |style="text-align:right;"|ורביעיתם שניים וחציים ארבעה ושלש רביעיותיהם ששה והמחובר מכל החלקים האלה עמו עולה עשרים |
|- | |- | ||
| | | | ||
::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> As the ratio of twenty to four thousand, which is the amount that Jacob has left, so is the ratio of eight to the unknown share of Leah. | ::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> As the ratio of twenty to four thousand, which is the amount that Jacob has left, so is the ratio of eight to the unknown share of Leah. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=8:X}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=8:X}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|והנה כערך עשרים אל ארבעת אלפים | + | |style="text-align:right;"|והנה כערך עשרים אל ארבעת אלפים שהוא הממון הנשאר ליעקב ככה יהיה ערך שמנה אל חלק כתובת לאה הנעלם |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 6,186: | Line 6,351: | ||
::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> As the ratio of twenty to four thousand, so is the ratio of six, which is three-quarters of the denominator, to the share of Zilpah. | ::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> As the ratio of twenty to four thousand, so is the ratio of six, which is three-quarters of the denominator, to the share of Zilpah. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=6:X}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=6:X}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"|וכערך עשרים אל ארבעת אלפים ככה יהיה ערך ששה שהוא שלש רביעיות המדומה אל החלק שתקח זלפה בכתובתה | + | |style="text-align:right;"|וכערך עשרים אל ארבעת אלפים ככה יהיה ערך ששה שהוא שלש רביעיות [המדומה]‫<ref>Vatican: ומדומה</ref> אל החלק שתקח זלפה בכתובתה |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 6,195: | Line 6,360: | ||
::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We take the ratio and say: as the ratio of twenty to four thousand, so is the ratio of four, which is half the denominator, to the share of Rachel. | ::<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We take the ratio and say: as the ratio of twenty to four thousand, so is the ratio of four, which is half the denominator, to the share of Rachel. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=4:X}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=4:X}}</math> | ||
| − | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|ועם נעיין ונאמר כערך עשרים [אל]‫<ref>Vatican om.</ref> ארבעת אלפים כן ערך ארבעה שהוא חצי המדומה אל החלק שתקח רחל בכתובתה |
|- | |- | ||
| | | | ||
| Line 6,361: | Line 6,526: | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
| − | | | + | |Up to this point there have been many of the questions of many different types. |
| − | |style="text-align:right;"|<big>עד הנה</big> הרבה מן השאלות ממינים רבים ‫<ref>109v</ref>בלתי דומים זה לזה | + | |style="width:45%;text-align:right;"|<big>עד הנה</big> הרבה מן השאלות ממינים רבים ‫<ref>109v</ref>בלתי דומים זה לזה |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
|- | |- | ||
| − | | | + | |I have explained the way to find the answer of each one at length, so that any wise man will be able to deduce from these answers to others. |
| − | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|ובארתי בכל אחת ואחת בארוכה דרך מציאת תשובתה וכל חכם לב יוכל לקחת מהתשובות האלה לזולתן |
|- | |- | ||
| − | | | + | |The time has come to end the words of this book that ''giveth goodly words'' [Genesis 49, 21] |
| − | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|והגיע ת[ור] לחתום פה עתה את דברי זה הספר ''הנותן אמרי שפר''‫<ref group=note>בראשית מט, כ"א</ref> |
|- | |- | ||
| − | | | + | |We will give praises, glories and songs to the Knower of all hidden things, because, they are not proper to others. |
| − | |style="text-align:right;"|כי לא יאותו לזולתו | + | |style="text-align:right;"|ונערוך תושבחות ותהלות ושירות ליודע כל נסתרות כי לא יאותו לזולתו |
|- | |- | ||
| − | | | + | |For ''the honor of his excellent majesty'' [Esther 1, 4]. |
|style="text-align:right;"|בעבור ''יקר תפארת גדולתו''‫<ref group=note>אסתר א, ד</ref> | |style="text-align:right;"|בעבור ''יקר תפארת גדולתו''‫<ref group=note>אסתר א, ד</ref> | ||
|- | |- | ||
| − | | | + | |May his name be blessed and exalted. |
|style="text-align:right;"|יתברך ויתעלה שמו | |style="text-align:right;"|יתברך ויתעלה שמו | ||
|- | |- | ||
| − | | | + | |May He bestow us His compassion. |
|style="text-align:right;"|ויפיק אלינו חמלתו | |style="text-align:right;"|ויפיק אלינו חמלתו | ||
|- | |- | ||
| − | | | + | |May His kingdom be established upon us forever and ever. |
|style="text-align:right;"|ויכון עלינו לעולם ועד מלכותו | |style="text-align:right;"|ויכון עלינו לעולם ועד מלכותו | ||
|- | |- | ||
| − | | | + | |May He also shower water out of the wells of His salvation upon His congregation. |
|style="text-align:right;"|גם ישפיע לעדתו ממימי מעייני ישועתו | |style="text-align:right;"|גם ישפיע לעדתו ממימי מעייני ישועתו | ||
|- | |- | ||
| − | | | + | |May He hasten and quicken the day spoken of in the vision of Isaiah, his prophet, who wrote in his book: ''And in that day shall you say: 'Give thanks unto the Lord, call upon His name, declare His doings among the peoples, make mention that His name is exalted''' [Isaiah 12, 4]. |
|style="text-align:right;"|ימהר ויחיש יום יאמר חזות ישעיהו נביאו אשר כתב בספרו ''ואמרתם ביום ההוא הודו לי"י קראו בשמו הודיעו בעמים עלילותיו הזכירו כי נשגב שמו''‫<ref group=note>ישעיהו יב, ד</ref> | |style="text-align:right;"|ימהר ויחיש יום יאמר חזות ישעיהו נביאו אשר כתב בספרו ''ואמרתם ביום ההוא הודו לי"י קראו בשמו הודיעו בעמים עלילותיו הזכירו כי נשגב שמו''‫<ref group=note>ישעיהו יב, ד</ref> | ||
|- | |- | ||
| − | | | + | |Over and done. |
|style="text-align:right;"|תם ונשלם | |style="text-align:right;"|תם ונשלם | ||
|- | |- | ||
| − | | | + | |Praise be to the Creator of the world. |
|style="text-align:right;"|שבח לבורא עולם | |style="text-align:right;"|שבח לבורא עולם | ||
|- | |- | ||
Latest revision as of 08:39, 17 February 2023
Contents
- 1 Introduction
- 2 Table of Contents
- 3 Chapter One – The Nature of the One and the Foundation of Numbers
- 4 Chapter Two – the Ranks of the Numbers and the Values of the Digits Used by the Experts of this Science
- 5 Chapter Three – Addition of Numerous Numbers to Each Other
- 6 Chapter Four – Subtraction of a Small Number from a Greater Number
- 7 Chapter Five – Multiplication of Units by Themselves or by Other Units and Multiplication of any Number by Itself or by Other
- 8 Chapter Six – Division of a Great Number by a Smaller Number
- 9 Chapter Seven – Extracting the Closest Root of Integer
- 10 Chapter Eight – the Ratio of a Number to Another Number
- 11 Chapter Nine – On Knowing the Fractions of Integer, whether in Multiplication, in Division, in Addition, or in Subtraction
- 11.1 Introduction
- 11.2 Operations with fractions
- 11.2.1 Multiplication of fractions
- 11.2.1.1 Introduction
- 11.2.1.2 Multiplication of fractions by fractions
- 11.2.1.3 Multiplication of integers by fractions
- 11.2.1.4 Multiplication of integers and fractions by fractions of the same type
- 11.2.1.5 Multiplication of integers and fractions by fractions of different types
- 11.2.1.6 Multiplication of integers and fractions by integers and fractions of the same type
- 11.2.1.7 Multiplication of integers and fractions by integers and fractions of different types
- 11.2.2 Division of fractions
- 11.2.3 Addition of fractions
- 11.2.4 Subtraction of fractions
- 11.2.1 Multiplication of fractions
- 12 Chapter Ten – Knowing the Square Roots of "Deaf" and "Mute" Numbers by Approximation
- 13 Chapter Eleven – Here I will Write Nice Rules of Arithmetic Methods for You
- 14 Epilogue
- 15 Notes
- 16 Apparatus
- 17 Appendix I: Glossary of Terms
- 18 Appendix: Bibliography
| People come to Qiryat-Sefer, | [1]אישים באו קרית ספר |
| Where you can examine any number, | בה כל מספר תוכלו לבחון |
| I will tell you the name of the city, | את שם העיר אגיד לכם |
| For Ḥeshbon was the city of Siḥon [Numbers 21, 26]. | על כי חשבון היא עיר סיחון[note 1] |
Introduction |
|
| Said Yoseph b. rabi Moshe ha-Ṣarfati [= the French] Ish Ḥay: | [2]אמר יוסף בר משה הצרפתי איש חי |
| Arithmetic contains signs for the unity of God:
Since I have seen that arithmetic is a magnificent and extremely lovable science and the Creator, blessed be He, has placed the secret of His unity in the property of number [lit. calculation], |
מאשר ראיתי כי חכמת החשבון היא חכמה מפארה ונחמדת עד מאד והיוצר ב"ה שם בתכונת החשבון סוד אחדותו |
| My heart and kidneys urged me to write a book about it, as I extracted from studies of the ancient scholars in a clear language, clarified for every thinker, for its way is hidden and concealed and requires a broad knowledge as the entrance of a hall. | יעצוני לבי וכליותי לחבר ממנה ספר אחד כאשר אוציא ממחקרי החכמים הקדומים בלשון גלוי ומבואר לכל משכיל למען אשר דרכה נסתר ונעלם וצריכה דעת רחבה בפתחו של אולם |
| The people who are interested in the words of wisdom of this book will benefit much from its additional interpretation. | וירוחו בני אדם אשר נדב לבם אותם אל דברי החכמות בזה הספר מאד בתוספת הביאור |
| I myself will also benefit that the science will be preserved within me properly, when actualizing it by the phrasing of my language, and so I will gain learning as well as teaching. | וארויח אנכי גם כן שתשמר החכמה בקרבי היטב בהוציאי אותה במלת לשוני ואזכה ללמוד וללמד |
| A short rhyme of praise to God – asking him for a shelter and for turning a good thought into act | |
| My Creator shall be my strength and refuge. | ויוצרי יהיה לי למעוז ולמחסה |
| He shall link my good thought to an action. | ומחשבתי הטובה יצרף אותה לי למעשה |
| For His wonderful mercy and grace. | למען רחמיו וחסדו אשר נפלאו |
| And His expressions that are more than can be numbered. | ועצמו מספר כל מעבריו |
| May his name be excellent and glorious forever. | יהי שמו משובח לעד ומפואר לנצח |
| I named this book ʽIr Siḥon For Ḥeshbon was the city of Siḥon [Numbers 21, 26]. | וקראתי שם זה הספר עיר סיחון על שם כי חשבון עיר סיחון[note 2] |
Table of Contents |
|
| This book is divided into eleven chapters: | ונחלק הספר הזה לאחד עשר שערים |
|
השער הראשון ביסוד המספר ותולדות האחד |
|
השער השני במדרגות [3]המספר וסכום האותיות אשר ישתמשו בהם החכמים בזאת המלאכה |
|
השער השלישי במחברת חשבונות רבים זה עם זה |
|
השער הרביעי במגרעת חשבון קטן מחשבון גדול |
|
השער החמישי בכפילת הכאת האחדים על עצמן או על אחרים זולתם או בכפול כל חשבון על עצמו או על חשבון אחר |
|
השער הששי בחלוקת חשבון גדול על חשבון קטן ממנו ובזה השער אדבר על מאזני הכפל והחלוק [והחבור][4] והמגרעת |
|
השער השביעי בלקיחת גדר המספר השלם היותר קרוב אליו |
|
השער השמיני במערכת חשבון אחד מחשבון אחר |
|
השער התשיעי בידיעת חלקי השבר מן השלם בין בכפל בין בחלוק בחבור או במגרעת |
|
השער העשירי בידיעת צלעות המרובעים מחשבון החרש והאלם על דרך קרוב |
|
השער האחד עשר בכללים נחמדים והם פרפראות [5]החכמה הזאת וקצת מהשאלות העמוקות והקשות ואזכיר בשער הזה בעזרת אלהי ישראל |
Chapter One – The Nature of the One and the Foundation of Numbers |
השער הראשון בתולדות האחד ויסוד המספרים |
Numeration |
|
|
דבר ידוע ברור ואמיתי כי האחד איננו מקבל לא רבוי ולא שנוי אכן הוא סבת כל רבוי ושנוי |
|
והוא קדמון ואב לכל המספרים וכלם מתחדשים בעבורו כי הוא להם שורש ויסוד וממנו צומחים כל החשבונות |
|
ומזה יוכל להבין כל משכיל קצת רמיזות מסוד אחדות השם הנכבד והנורא |
| The names of the numbers: | |
| Units | |
|---|---|
|
והנה כאשר נחבר אחד עם אחד והיא ההרכבה הראשונה נקרא זה שנים |
|
וכש נוסיף על השנים אחד |
|
וכשנוסיף על שלשה אחד נקרא זה ארבעה |
|
וכן בתוספת אחד על הארבעה נקרא זה חמשה |
|
ותוספת אחד על חמשה יקרא ששה |
|
ובתוספת אחד על ששה יקרא שבעה |
|
ובתוס[פת] אחד על שבעה יקרא שמונה |
|
ובתוספת אחד על שמונה יקרא תשעה |
| These nine numbers are called "units". | ואלה המספרים התשעה נקראים אחדים |
| Tens | |
| When we add one to nine, we call it ten, which is the beginning of the [rank of] tens. | וכאשר נוסיף אחד על תשעה [6]נקרא זה עשרה והוא ראשית כל חשבון עשרות |
|
והנה העשרה בחשבון העשרות כמו האחד בחשבון האחדים |
|
וכשיהיו לנו שני עשרות נקרא אותם עשרים |
|
ונקרא לשלש עשרות שלשים |
|
ולארבע עשרות ארבעים |
|
ולחמש עשרות חמשים |
|
ולשש ששים |
|
ולשבע שבעים |
|
ולשמונה שמונים |
|
ולתשע עשרות תשעים |
| All these names are derived from the names of the units. | וכל השמות האלה הם מושאלות משמות האחדים |
|
והנה תשעים בעשרות כמו תשעה באחדים |
| Hundreds | |
|
וכאשר יהיה לנו עשר עשרות נקרא להם בשם כולל מאה והוא ראשית חשבון המאות כמו האחד ראשית האחדים והעשרה ראשית העשרות |
| Thousands | |
|
וכשיתקבצו עשרה מאות נקרא להם בשם כולל אלף והוא ראשית האלפים כמו מאה ראשית המאות |
| ?? | אמנם למאת אמנם אין להם שם כולל עד שנגיע לעשר מאות שנקראו אלף כאמור |
| But the thousands have no inclusive name. | וכן האלפים אין להם שם כולל |
| The twelve names of numbers | |
| For all the names of the numbers that are varied from one another are twelve no less and no more. | כי כל שמות המספרים החלוקים זה מזה הם שנים עשר לא פחות ולא יותר |
|
ואלה הם תשעה שמות [7]האחדים |
|
ושם העשרה |
|
ושם המאה |
|
ושם האלף |
| All numbers are derived from these twelve names. | והנה כל המספרים יחלקו [ילקחו][8] מאלה השנים עשר שמות |
|
כי עשרים ומאתים ואלפים הם כמו שני אחדים וכל אחד ואחד כפי מעלתו |
|
וכן כאשר נאמר אחד עשר או שנים עשר הם שמות מורכבים מאחדים ועשרות |
| In this way all the numbers are generated and derived from these twelve separate names. | ועל דרך הזה יתילדו וילוו כל המספרים מאלו השנים עשר שמות המפורשים |
Chapter Two – the Ranks of the Numbers and the Values of the Digits Used by the Experts of this Science |
השער השני במדרגות המספר וסכום האותיות אשר ישתמשו בהם החכמים בזאת המלאכה | ||||||||||
| The names of the ranks | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| It was clarified in the preceding chapter that all the names of numbers are derived from the nine names of the units until comes the tenth number which we call by one inclusive name. | הנה התבאר בשער הקודם כי כל שמות המספרים הם מושאלים מתשע שמות האחדים עד אשר יבוא החשבון העשירי ונקרא לו בשם כולל | ||||||||||
| Therefore, the numbers are divided into ranks. | ומפני זה נחלקו המספרים למדרגות מדרגות | ||||||||||
| The units are called "the first rank", the tens - "the second rank", the hundreds - "the third rank", the thousands - "the fourth rank", and so on endlessly. | ויקראו האחדים מדרגה ראשונה והעשרות מדרגה שנייה והמאות מדרגה שלישית והאלפים מדרגה רביעית וככה עד אין קץ | ||||||||||
| For every rank is the tenth of the following rank. | כי כל מדרגה היא עשור המדרגה הבאה אחריה | ||||||||||
| According to this we call the tens of thousands "the fifth rank" and the hundreds of thousands "the sixth rank". | ולפי זה נקרא לעשרת אלפים מדרגה חמישית ולמאה [9]אלף מדרגה ששית | ||||||||||
| This is the way of the ranks of the number. | וזהו דרך מדרגות המספר | ||||||||||
The Positional Decimal System |
|||||||||||
| Since all the numbers are circulating by nine, for we find nine numbers in the rank of units, nine numbers in the rank of tens, and so on, in each rank there are nine numbers, it is enough to write any small or large number with nine letters, each of which we consider as the units, that are up to nine. | ובעבור כי כל החשבונות מתגלגלים על תשעה באשר נמצא תשעה חשבונות ממדרגת אחדים ותשעה חשבונות ממדרגת עשרות וכן בכל המדרגות יש תשעה חשבונות בכל אחת מהן יספיק לכתוב כל חשבון קטן או גדול בתשע אותיות שנחשוב כל אחת מהן כמו האחדים שהם עד תשעה | ||||||||||
| The numerals | |||||||||||
| These are the digits used in this science: | ואלה הם האותיות המשמשות בחכמה הזאת | ||||||||||
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
| ||||||||||
| tens | |||||||||||
| When we need to write the number ten, we do it this way: | וכשהתצטרך לכתוב חשבון העשרה נעשה על הדרך הזה | ||||||||||
| It is known that the tens are the second rank. | בידוע כי העשרות הם המדרגה השנית | ||||||||||
| It was already explained that the ratio of the ten to the tens is [the same as] the ratio of the one to the units. | וכבר התבאר כי יחס העשרה אל העשרות יחס האחד אל האחדים | ||||||||||
| Therefore, we only need to write the letter aleph [א] that indicates one and make a mark that this digit is in the second rank. | על כן [אי] אנחנו צריכין כי אם לכתוב אות האלף המורה לאחד ולעשות היכר וסימן שהאות הזאת היא ממדרגה השנית | ||||||||||
| The arithmeticians agreed to make a mark indicating the ranks in the shape of a circle as this 0 and this shape is called sifra. | והסכימו חכמי החשבון לעשות סימן היכר המדרגות בצורת עגול כדמות זה 0 וקוראים למורה הזאת סיפרא | ||||||||||
| Writing numbers with numerals, including zeroes or without them | |||||||||||
|
[10]וכשנרצה לכתוב עשרים נכתוב סיפרא בתחלה ואחריה אות ב' במדרגה השנית ויורה זה שתי עשרות | ||||||||||
|
וכאשר נבקש מאה נכתוב שתים סיפראש ואות הא' במדרגה השלישית ויורה זה מאה | ||||||||||
| When we have units and tens, we write the units in the first rank and after it the tens in the second rank. | ולעולם כשיהיו לנו אחדים ועשרות נכתוב במדרגה הראשונה האחדים ואחריהם במדרגה השנית העשרות | ||||||||||
| If we do not have tens, only units and hundreds, we write the units in the first rank, a zero in the second [rank], and the hundreds in the third [rank]. | ואם אין לנו עשרות כי אם אחדים ומאות נכתוב האחדים במדרגה הראשונה וספרא אחת בשנית והמאות בשלישית | ||||||||||
| Similarly, we write two or three zeros and so on endlessly, as we need according to the number. | וכן נשים שתים או שלש סיפראש כאשר נצטרך לפי החשבון עד אין חקר | ||||||||||
| We always write each number in its rank. | ונכתוב לעולם כל חשבון וחשבון במדרגתו |
Chapter Three – Addition of Numerous Numbers to Each Other |
השער השלישי במחברת חשבונות רבים זה עם זה | |||||||||||||||||||
| Written Addition | ||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Description of the procedure: | ||||||||||||||||||||
| The procedure of the addition of numbers is as follows: | דרך מחברת החשבונות כך הוא | |||||||||||||||||||
|
נכתוב כל מספר ומספר מבקשת החבור זה תחת זה כל אחד ואחד בטור בפני עצמו ממדרגה תחת מדרגה הדומה לה ואחר נעביר קו דיו | |||||||||||||||||||
|
ונתחיל במדרגה הראשונה ונקבץ כל האחדים | |||||||||||||||||||
|
והמקובץ נכתבנו תחת קו הדיו אם לא [11]יספיק לעשר | |||||||||||||||||||
|
אמנם אם ילך בעשרות נכתוב אות בטורי המספר במדרגה השניה כפי מספר עשרות המקובץ על עשרות המקובץ ונכתוב ספרא בלבד תחת קו הדיו | |||||||||||||||||||
|
ואם יעדיף המקובץ על עשרות אין אנחנו צריכים כי אם לכתוב תחת הקו העודף ההוא והמדרגה השניה כפי מספר העשרות כאמור | |||||||||||||||||||
|
ובדרך הזה נלך ונעשה גם כן כאשר עשינו ממדרגת האחדים מכל שאר המדרגות ונכתוב כל קבוץ המדרגות בזה אחר זה בסדור תחת קו הדיו | |||||||||||||||||||
|
ומה שיצא מקבוץ המדרגות מסודר תחת הקו | |||||||||||||||||||
| When we sum a digit with a digit, we always consider each of them, in whichever rank they are, as if they are units, then we find their true meaning in their own rank. | ולעולם כשנחבר אות עם אות נחשוב כל אחת ואחת באיזו מדרגה שתהיין כאלו הם אחדים ואחר נמצא אמיתתם במדרגתם | |||||||||||||||||||
| Any thinker will understand that the reason for writing the number of tens of the sum of a certain rank in the following rank, is that every digit in the ranks is tenth of the next rank. | וכל משכיל יבין כי טעם [כתיבת מספר][12] העשרות מהתחבר באותיות המדרגה ההיא במדרגה הבאה אחריה הוא לפי שכל אות ואות מהמדרגות היא עשור מן המדרגה הבאה אחריה | |||||||||||||||||||
|
ואם יהיה בטורי מספר חשבונות החבור מדרגה אחת או שתים שכל טוריה סיפראש צריך לכתוב תחת קו הדיו סיפראש כאשר תבאנה במקומן כפי מספר המדרגות ההם | |||||||||||||||||||
| In order that this mentioned addition operation will be better clarified to every person I shall discuss it by the experience way in the following calculations: | ולמען [13]אשר יתבאר היטב אצל כל בני אדם מלאכת החבור הזאת הנזכרת אדבר ממנה [בדרך][14] הניסיון בחשבונות אלו | |||||||||||||||||||
|
בקשנו לידע כמה מחובר תשע אלפים ומאתים ושמונה עם שלשת אלפים ושמונה מאות ואחד | |||||||||||||||||||
|
והנה נכתוב אלו השני חשבונות בשני טורים על זאת הצורה | |||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||
|
והנה מקובץ המדרגה הראשונה אינו מספיק לעשר ועל כן נכתוב העולה תחת קו הדיו והנה הוא ט' | |||||||||||||||||||
|
וכאשר אין במדרגה השנייה אות כלל כי אם סיפראש לבדנה נכתוב תחת הקו סיפרא אחת אחר הט' שכתבנו בעבור חבור אותיות המדרגה הראשונה | |||||||||||||||||||
|
ובעבור שמקובץ המדרגה השלישית הוא עשר נכתוב תחת טורי חשבונות המספרים במדרגה הרביעית הבאה אחריה א' תחת קו הדיו סיפרא אחת בשלישית אצל הסיפרא שכתבנו אחר הט' | |||||||||||||||||||
|
והנה מקובץ המדרגה הרביעית הוא שלשה עשר ומפני זה נכתוב א' במדרגה חמישית בעבור העשרה ונשים העודף שהוא שלשה תחת הקו סמוך לסיפרא האחרונה ואחר אלו השלשה נכתוב הא' אשר חדשנו ממנה מדרגה חמישית | |||||||||||||||||||
| The sum: 13009 We find that the [total] sum is thirteen thousand and nine. | [15]ונמצא שהמחובר הוא שלשה עשר אלף ותשעה | |||||||||||||||||||
Chapter Four – Subtraction of a Small Number from a Greater Number |
השער הרביעי במגרעת חשבון קטן מחשבון גדול | |||||||||||||||||||
| Written Subtraction | ||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Description of the procedure: | ||||||||||||||||||||
| When we wish to do so, we write the greater number in one line and the smaller number beneath it in a line, rank beneath rank. | כשנבקש לעשות זה נכתוב החשבון הגדול בטור אחד | |||||||||||||||||||
|
והנה נחשוב כל האותיות כאלו הן אחדים באיזו מדרגה שתהיין | |||||||||||||||||||
|
ונתחיל בראשונה באות המדרגה האחרונה אשר בחשבון הטור השפל ונגרוע אותה מהאות שכנגדה בטור מספר החשבון העליון | |||||||||||||||||||
|
ונכתוב עליה הנשאר אם ישאר ממנה כלום | |||||||||||||||||||
|
ואם אין נמחקנה והוא שנרשום על ראשה ספרא | |||||||||||||||||||
|
ואחר כן נעשה מכל המדרגות האחרות כמעשה המדרגה הזאת ונלך אחור אחורנית ממדרגה למדרגה עד תומם | |||||||||||||||||||
|
ואם תהיה אות באחת המדרגות מחשבון הטור השפל גדולה מהאות שכנגדה בטור העליון אמנם בהכרח יש אות אחת בטור החשבון העליון הסמוכה לזו אשר אנחנו עומדים במדרגתה מלאחריה | |||||||||||||||||||
|
נעשה על הדרך הזה נסיר א' מהאות [שאחרי זאת המדרגה ונכתוב הנשאר מהאות][16] ההיא אשר לקחנו הא' ממנה עליה ואם לא ישאר [17]ממנה כלום כגון שלא היה שם כי אם א' נמחקנה | |||||||||||||||||||
|
ובידוע כי הא' הזאת שיש לנו היא שוה עשר בהקש אל המדרגה שלפניה לכן נחשוב זאת הא' עשרה ונחחבר אל העשרה הזאת החשבון מהאות מהמדרגה העליונה אשר אנחנו עומדים עליה ויהיה לחשבון בעשרה הנזכרים כמו אחדים ועתה יספיק בריוח להסיר מכל זה האות התחתונה ונכתוב הנשאר על האות הראשונה שכנגדה | |||||||||||||||||||
|
וכן נעשה תמיד עד שנגיע אל המדרגה | |||||||||||||||||||
|
והנה בכל עת אשר לא נוכל להסיר האות התחתונה מהעליונה [נסייע לה][18] מהמדרגה הבאה אחריה על הדרך האמור ואפי' היו סיפראש מפסיקות בינה ובין האות הבאה אחריה או שיש לנו להסיר האות התחתונה מסיפרא אשר תהיה כנגדה בטור העליון | |||||||||||||||||||
|
נשיב אחורנית על הדרך הזה שנסיר מהאות הקרובה א' ונכתוב עליה הנשאר אם ישאר ממנה כלום ונשים זאת הא' על הסיפרא [19]שלפניה ותהיה עשרה ונסיר מהם א' ונשאר שמה על הסיפרא ט' ונשים זאת הא' על הסיפרא הקודמת לזה ויהיו עשרה ונסיר מהם א' וישאר ט' על הסיפרא וכן נעשה לעולם עד שנגיע אל האות או אל הסיפרא מהמדרגה אשר אנחנו עומדים עליה ואז נעשה כמשפט האמור למעלה | |||||||||||||||||||
|
המשל בזה בקשנו לגרוע מחמשת אלפים ושמונים ושלש תשעים ושנים | |||||||||||||||||||
|
הנה נכתוב שני טורי החשבונות על זאת הצורה החשבון הגדול בטור העליון והחשבון הקטון בטור שפל כנגדו | |||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||
|
ומאשר חשבון האות מהמדרגה האחרונה שבטור השפל גדול מחשבון האות אשר היא כנגדה בטור העליון נעשה על הדרך האמור ונסיר א' מהאות האחרונה מהטור העליון שהיא ה' הסמוכה לאות המדרגה העליונה שאנחנו עומדים עליה מאחריה אחר הסיפרא והנה ישאר ד' במקום הה' | |||||||||||||||||||
|
ותהיה האות א' הזאת עשרה כשנשים אותה על הסיפרא ונסיר מהעשרה [20]אחד וישאר ט' על הסיפרא | |||||||||||||||||||
|
ונשים האחד הזה על המדרגה אשר עמדנו בה שהיא ח' ויהיה בין הכל שמונה עשר נסיר מהם האות | |||||||||||||||||||
|
אחרי כן נסיר הב' שהיה מהטור השפל מהג' שכנגדה בטור העליון וישאר א' ונכתבנה עליה | |||||||||||||||||||
| We find that the remainder is four thousand nine hundred and ninety-one. | ונמצא הנשאר ארבעת אלפים ותשע מאות ותשעים ואחד | |||||||||||||||||||
Chapter Five – Multiplication of Units by Themselves or by Other Units and Multiplication of any Number by Itself or by Other |
השער החמישי בכפילת הכאת האחדים על עצמם או על אחדים אחרים ובכפול כל חשבון על עצמו או על אחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| The meaning of this multiplication is to multiply one number by another: | כוונת הכפילה הזאת היא לכפול החשבון האחד על חבירו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאשר נאמר על דרך משל שלשה פעמים ארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Or by itself: | או על עצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שלשה פעמים שלשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן [עשר פעמים עשרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
או][21] עשר פעמים עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Multiplication of Units by Units |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| It is true that regarding the multiplication of units alone there is no way in this science to find the result, therefore, one should memorize all the products of the units by themselves or by other units. | ובאמת כי בכפילת האחדים לבדם לא נמצא דרך בחכמה הזאת למצוא ההווה ולפיכך צריך להזכיר ולהסדיר כל כפילות האחדים הן על עצמם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| And these are: | ואלה הם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
האחד שני פעמים שנים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושלשה פעמים שלשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[22]וכן כל המספרים האחרים שיכפלו באחד לא יקבלו שום שנוי ורבוי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
השנים בשנים ארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שנים בשלשה ששה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שנים בארבעה שמנה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שנים בחמשה עשרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שנים בששה שנים עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שנים בשבעה ארבעה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שנים בשמנה ששה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שנים בתשעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
השלשה בשלשה תשעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
השלשה בארבעה שנים עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שלשה בחמשה חמשה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שלשה בששה שמנה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שלשה בשבעה עשרים ואחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שלשה בשמונה עשרים וארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שלשה בתשעה עשרים ושבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הארבעה בארבעה ששה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ארבעה בחמשה עשרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ארבעה בששה עשרים וארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ארבעה בשבעה עשרים ושמונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ארבעה בשמונה שנים ושלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ארבעה בתשעה ששה ושלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
החמשה בחמשה עשרים וחמשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חמשה בששה שלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חמשה בשבעה שלשים וחמש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חמשה [23]בשמונה ארבעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חמשה בתשעה ארבעים וחמש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הששה בששה ששה ושלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ששה בשבעה שנים וארבעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ששה בשמונה שמונה וארבעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ששה בתשעה ארבעה וחמישים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
השבעה בשבעה תשע וארבעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שבעה בשמונה ששה וחמשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שבעה בתשעה שלשה וששים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
השמונה בשמונה ארבעה וששים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שמונה בתשעה שנים ושבעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
התשעה בתשעה אחד ושמונים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Thus, the whole method of multiplying the units is clear and nothing is missing. | ובזה התבאר כל סדר כפלת האחדים ולא נפקד מהם דבר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Written Multiplication |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Description of the procedure: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| When we wish to multiply a number by a number of other ranks we do it this way: | וכאשר נבקש לכפול החשבון על חשבון מהמדרגות האחרות נעשה על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכתוב שני החשבונות אשר נרצה לכפול אלה על אלה טור תחת טור ומדרגה תחת חברתה ונעביר תחת שני טורי החשבונות קו דיו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נתחיל באות הראשונה מהטור העליון ונכפול כל האותיות העליונות על כל אותיות הטור השפל [24]זו אחר זו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכל הנכפלים נכתוב תחת הקו במדרגות הראויות להם אות תחת אות כאשר יצטרך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי לעולם נמנה כמה מדרגות מהאות אשר נכפיל מהטור העליון עד האות הנכפלות שבטור השפל ושתי האותיות בכלל המנין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם יספיק כפל האות על חברתה לעשרות נכתוב אות במספר העשרות כמספר מנין המדרגות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם לא יספיק לעשר נכתוב הנכפל ממדרגה אחת פחותה מהמספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם יעלה הנכפל להיות בו אחדים ועשרות נכתוב העשרות כמספרן כמספר המדרגות שבין אות לאות והאחדים מדרגה אחת אחורנית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשיכפלו כל אותיות הטור השפל בכל אותיות הטור העליון כמשפטן נעביר קו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והעולה הוא הנכפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Now I will discuss the procedure of this chapter through examples: | ועתה אדבר ממלאכת השער הזה על דרך הדמיון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
בקשנו לכפול ולהכות שנים ותשע מאות על ששה וארבעים [ומאתים][25] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[ונכתבם][26] על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[27]וכאשר נכפל אות הבית על אות הו"ו אשר תחתיה בטור השפל יהיו שנים עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה מספר המדרגות שתים לכן נכתוב אות ב' במדרגה ראשונה כנגד שני האחדים ואחריה במדרגה שנית נכתוב א' כנגד העשרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נכפיל אות הב' הנזכרת על הד' מהטור השפל יהיו שמונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומספר המדרגות שלש ואולם באשר אין הכפלה ההיא מגעת לעשר נשים אותם מדרגה אחת אחורנית ונכתוב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נכפיל את האות הנזכרת על הב' מהטור השפל יהיו ארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר אין הכפלה הזאת מגעת לעשר נכתוב כנגד אלו הארבעה ד' במדרגה השלישית אשר נחדש עתה כשנכתבנה אחרי הא' שהיא במדרגה השנייה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובזה נשלם כפילת האות מהמדרגה הראשונה שבטור העליון על כל אותיות הטור השפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועתה אנחנו צריכים גם כן להכפיל אות הט' שהיא המדרגה האחרונה מהטור העליון על כל אותיות הטור השפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה כשנכפל האות ההיא על אות המדרגה הראשונה [28]מהטור השפל שהיא ו' יעלה ארבעה וחמישים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומספר המדרגות הם ארבעה ולכן נכתוב במדרגה הרביעית ה' [כנגד][29] [החמשים וכנגד][30] הארבעה נכתוב תחת הד' במדרגה השלישית ד' אחרת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נכפול האות ההיא על הד' שבטור השפל יעלו ששה ושלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומספר המדרגות חמש ולכן נכתוב כנגד השלשים אחרי הה' [הכתובה][31] במדרגה הרביעית ג' ונחדש עתה מדרגה חמישית וכנגד הששה נכתוב אחורנית תחת הה' הקדומה ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנכפיל אות הט' הנזכרת על המדרגה האחרונה שבטור השפל שהיא ב' יעלה שמנה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומספר המדרגות שש ולכן נכתוב במדרגה ששית אשר נחדש א' כנגד עשרה וכנגד השמנה נכתוב ח' אחורנית תחת הג' הקדומה שהיא במדרגה החמישית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועם כל זה הוכפלו כל אותיות הטור העליון על אותיות הטור | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועתה נחל לקבץ כל האותיות שבכל מדרגה ומדרגה כמשפט מלאכת החבור אחר אשר נעביר קו הדיו תחת הכפילה ונכתוב תחת הקו מה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[33]וידוע כי המדרגה הראשונה מהכפל הזאת תצא ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומהשנייה ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומשלישית ח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומהרביעית תשאר א' אחרי כתבנו העשרה בכפילה במדרגה הבאה אחרי זאת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומהמדרגה החמישית תשאר ב' אחרי כתבנו העשרה בכפילה במדרגה הבאה אחרי זאת שהיא ששית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומהמדרגה הששית יצא לנו ב' מאשר חברנו לה העשרה שנותר לנו מהמדרגה החמישית הקדומה אליה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונמצא עולה מאתים ועשרים ואחד אלף ושמונה מאות ותשעים ושנים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| This is the method and the procedure of the multiplication of all numbers rank by rank. | וככה הוא דרך וסדר כפילת כל החשבונות מערכה לקראת מערכה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Chapter Six – Division of a Great Number by a Smaller Number |
השער הששי בחלוקת חשבון גדול על חשבון קטן ממנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Written Division | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Description of the procedure: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הרוצה לעשות זה יכתוב טור החשבון הגדול בתחלה ואחר יניח ריוח וחלק כמלוא טור אחד ויכתוב החשבון הקטן בטור אחר כנגד הטור הראשון מהחשבון הגדול מדרגה תחת מדרגה הדומה לה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר יביט ויראה כמה [פעמים][34] יוכל להוציא מספר המדרגה האחרונה מטור החשבון הקטן מהאות מהמדרגה האחרונה שבטור החשבון הגדול ויוציאם ממנה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואולם צריך שיחכם [35]ויראה אם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכמספר הפעמים אשר תהיה ההסרה יכתוב אות כנגדן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וימנה מהמדרגה האחרונה מטור החשבון הגדול כפי מנין המדרגות שבטור החשבון הקטן אחרנית והמדרגה אשר י | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם ישוב מהאות מהחשבון הגדול כלום אחרי מה שהסיר ממנה יכתוב עליה הנשאר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם לא נשאר ממנה כלום יכתוב עליה סיפרא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר יסיר כל שאר אותיות המדרגות שבטור החשבון הקטן הקדומות לאות [38]המדרגה האחרונה זו אחר זו מהאותיות אשר ימצא עתה כתובות בטור החשבון הגדול כמספר פעמי ההסרה מהאות האחרונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובכל מקום יהיה זהיר לכתוב אחר ההסרה מה שישאר במקומו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם לא ישאר שם כלום יכתוב עליה סיפרא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם הזדמן לו אות במדרגה אחת מהטור החשבון הקטן שלא יוכל להסיר אותה מהאות הכתובה בטור החשבון הגדול כראוי אבל אם יש שם עדין אותיות אחרי המדרגה שהוא עומד בה יחזור לה מהאותיות של אותן המדרגות לפי שידוע שכל מדרגה ומדרגה היא גדולה עשר פעמים מהמדרגה הקדומה כאשר נודע בשערים הקדומים לזה ויקח ממספרן כאשר יצטרך ויכתוב מה שישאר במקומות ההשארות וסיפרא וסיפרש במקומות אשר לא נשאר שם כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר אשר ישלים פעמי ההסרה מטור החשבון הגדול כל האותיות מטור החשבון הקטן במספר שוה זו כזו יעיין אם מה שנשאר בטור החשבון הגדול קיים שלא נתחלק [מספ]רו רב ממספר טור החשבון הקטן ואם הוא כן יחזור [39]ויביט ויראה וישום וישער כמה פעמים יוכל להסיר האות שבמדרגה האחרונה מטור החשבון הקטן מהאות האחרונה ממה שנשאר בטור החשבון הגדול וכמספר הפעמים אשר יסיר אותה ממנה כך פעמים יצטרך להסיר שאר המדרגות שבטור החשבון הקטן ממה שישאר אחרי כן בטור החשבון הגדול | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לכן ישמור בתחלת הבטת השיעור והשומא שיכלכל כל מעשיו כראוי במשפט וצדק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכמספר הפעמים אשר יוציא את האותיות שבטור החשבון הקטן מטור אותיות החשבון הגדול יכתוב אות אחת כנגדן באמצע שני טורי החשבונות הקטן והגדול | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויתחיל למנות מטור החשבון הגדול מהאות אשר התחיל להביט בה שנית כפי מנין המדרגות שבטור החשבון הקטן אחורנית ובאותה מדרגה אשר תכלה מספרן שם יכתוב תחתיה מספר פעמי הסרת ההוצאה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויזהר שלא ישכח לכתוב בכל מקום מהטור מהחשבון הגדול מה שישאר בו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
או לכתוב סיפרא על מקום הכליון אשר לא נשאר שם כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחרי זה יעיין אם רבה עדיין [40]מה שנשאר בטור החשבון [הגדול][41] על מספר טור החשבון הקטן ואם הוא כן יחזור עוד ויביט כאשר עשינו זה פעמים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויעשה ככה הרבה פעמים עד שיהיה מה שישאר בטור החשבון הגדול מספרו מועט ממספר הטור מהחשבון הקטן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם יזדמן לו בתחלת ההבטה שיגדל מספר אות האחרונה ממדרגת טור החשבון הקטן מהאות האחרונה שבטור החשבון הגדול עד שלא יוכל להוציאה ממנה אפילו פעם אחת ישים את כל האות ההיא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויחשוב ויביט וישום וישער כמה פעמים יוכל להוציאה משם שיספיק הנשאר גם כן להוציא ממנו ככה פעמים האותיות האחרות שבטור החשבון הקטן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולעולם יכתוב פעמי מספר ההסרה באמצע שני טורי החשבונות מהקטון והגדול כמספר המדרגות מהטור מהחשבון הקטן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויתחיל מניית מספרן אחורנית מהאות שבמדרגה אשר התחיל בו הבטת הסרת ההוצאה בטור החשבון הגדול | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| The line that is formed between the two lines is the number of times that the line of the smaller number is in the line of the greater number. | והנה הטור המתהוה בין שני הטורים הוא מספר [42]הפעמים אשר מספר טור החשבון הקטן הוא במספר טור החשבון הגדול | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| What remains above the line of the greater number is the excess of the line of the greater number over the line of the smaller number after you have multiplied it by this number of times. | ומה שנשאר על טור החשבון הגדול הוא מה שעודף עדין מספר הטור מהחשבון העליון על מספר הטור מהחשבון הקטן אחרי כפילת אותם פעמים עליו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| This is the procedure of dividing a greater number by a smaller number. | וכן הוא דרך חלוקת החשבון הגדול על חשבון קטן ממנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Since the skill of this chapter is very honorable and nice and it is very deep, I shall write in this chapter itself many calculations as an explanation of the method of this skill of division in order to guide and lead the student to understand easily all the aforementioned matters. | וכאשר מלאכת השער הזה היא נכבדת ונחמדת עד מאד והיא עמוקה הרבה לרוב אכתוב בשער הזה עצמו בבאור דרך מלאכת החלוקה הזאת מהרבה חשבונות כדי להדריך ולהתישר אל המתלמד שידין כל הענינים הנזכרים בנקלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
בקשנו לחלק חמשה ועשרים ומאה על אחד עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נכתוב שני טורי החשבונות על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכתוב החשבון הגדול בראשונה בטור אחד ואחר נניח ריוח כמלה טור ונכתוב כנגדו החשבון הקטן בטור אחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נביט ונקח הא' שבמדרגה האחרונה מטור החשבון הקטן וגם הא' שבמדרגה [43]אחרונה מטור החשבון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד הפעם הזאת כאשר מדרגות הטור מהחשבון הקטן הם שתים נכתוב א' תחת הב' שבטור החשבון הגדול באשר היא מדרגה שנית גם כן לאות הא' מהטור ההוא עצמה אשר התחלנו ההבטה ממנה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר לא נשאר כלום מהא' הזאת נכתוב עליו סיפרא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחרי כן נקח הא' שבמדרגה ראשונה מטור החשבון הקטן הקדומה במכתב אל האחרת אשר התחלנו בה ונסיר אותה גם כן פעם אחת מהב' שהיא בטור החשבון הגדול וישאר עליה א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובזה השלמנו הסרת האותיות שבטור החשבון הקטן מטור החשבון הגדול בשוה פעם האחת כפעם חברתה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נעיין הנותר בטור החשבון הגדול ראינו שהוא חמשה עשר והנה המספר הזה מרובה ממספר טור אותיות החשבון הקטן שאינו עולה רק אחד עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובעבור זה נחזור ונקח הא' האחרונה מהמדרגות שבטור החשבון הקטן ונסיר אותה פעם אחת מהא' אשר [44]נשארה על הב' שבטור החשבון הגדול ואחר נכתוב עליה סיפרא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד פעם ההסרה הזאת נכתוב א' תחת הה' שהיא המדרגה הראשונה מטור החשבון הגדול באשר היא שנייה אל האות אשר התחלנו ממנה הבטת ההסרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר נסיר גם כן הא' שבטור החשבון הקטן הראשונה פעם אחת מהה' שהיא המדרגה הראשונה מטור החשבון הגדול וישאר ד' על הה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועתה נראה ונכר לעין שמה שנשאר בטור החשבון הגדול מספר קטן מאד ממספר טור החשבון הקטן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה מספר הטור האמצעית אשר חדשנו ממספר פעמי ההסרות עולה אחד עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומה שנשאר בטור החשבון הגדול הוא ארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם כן נוכל לאמר זאת מצאנו שהמספר הקטן הוא אחד עשר פעם במספר הגדול ועוד זולת זה עודף ארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לחלק מאה על ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכתבם על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נקח הט' שהיא החשבון הקטן [45]נראה שלא נוכל להסיר אותה מהא' שבמדרגה השלישית שהיא החשבון הגדול | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועל כן נשים הא' על הסיפרא הקדומה לה במכתב ותהיה שוה עשר ומאלו העשר נסיר ט' וישאר א' על הספרא ההיא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב תחתיה א' כנגד פעם אחת שהסירונו הט' מהעשר באשר היא המדרגה [הראשונה][46] להתחלת הבתות ההסרה ובחשבון הקטן אין בו גם כן כי אם מדרגה אחת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא על הא' אשר העתקנוה ממקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר נחשוב עוד ונביט להסיר הט' שהוא החשבון הקטן מהא' שנשארה על הספרא בטור החשבון הגדול והנה אנחנו צריכים גם כן לשים אותה על הסיפרא האחרת הקדומה לה ותהיה שוה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנסיר מהם הט' פעם אחת ישאר א' על הסיפרא הראשונה שבטור החשבון הגדול | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד הפעם הזה שהסירונו הט' מהעשר נכתוב תחת הספרא הראשונה א' באשר היא ראשונה להבטת ההסרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובזה נגמרה החלוקה הזאת ומצאנו שיש במאה אחד עשר פעמים תשעה ועוד אחד מוסף עליהם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[47]עוד בקשנו לחלק מאה על שנים עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתבם על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה כאשר נקח האלף שהיא המדרגה האחרונה מטור החשבון הקטן ונביט להסיר אותו מהא' שבמדרגה השלישית בטור החשבון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולפיכך צריך לנו להבין אחרית דבר מראשיתו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובתחלת כל דבר נשים הא' שהיא החשבון העליון על הסיפרא הקדומה לה במכתב ותהיה שוה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר נביט כמה פעמים נסיר הא' מהחשבון הקטן מהעשר האלו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה אם נסיר אותה תשע פעמים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומפני זה לא נסיר האלף מהעשר אשר על הסיפראש במדרגה שנית מטור החשבון הגדול כי אם שמונה פעמים וישאר ב' על הסיפרא הזאת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא על הא' שהיתה במדרגה השלישית שהרי שמנו אותה על הסיפרא ולא נשאר שם כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד שמונה פעמי ההסרה נכתוב ח' תחת הסיפרא הראשונה באשר מדרגות החשבון הקטן הם שתים ומניינם מתחיל מהסיפרא מהמדרגה השניה שבטור החשבון הגדול לפי ששם התחלנו הבטת ההסרה הזאת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחרי זה נסיר גם כן הב' מהחשבון הקטן שמנה פעמים ממה שנשאר בטור החשבון הגדול ונעשה על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשים הב' שנשארה לנו במקום הסיפרא השנית על הסיפרא הראשונה ותהיה שוה שני עשרות שהם עשרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם ששה עשר שהוא העולה מכפל פעמי ההסרה על ב' וישאר מהם ד' על ראש הסיפרא הראשונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב במקום אשר היתה כתובה הב' אשר שמנו אותה על הסיפרא הראשונה סיפרא אחת לפי שלא נשאר שם כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה [49]יצאה לנו החלוק שיש שמנה פעמים שנים עשר במאה ועודף עליהם ארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לחלק אחד ותשע מאות על שלשים ושתים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכתבים על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה אנחנו רואים שאם נסור הג' שבטור השפל שהוא החשבון הקטן מהט' אשר בטור העליון שהוא החשבון הגדול שלשה פעמים לא נוכל אחרי כן לעשות תשלום לאות האחרת שבטור השפל להסיר אותה מהסיפרא לפי שלא ישאר מאומה מהט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם כן לא נסירנה כי אם שני פעמים ונכתוב הג' הנותרת עליה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד שני פעמי ההסרה האלה נכתוב ב' תחת הסיפרא באשר מדרגות הטור השפל הם שתים והסיפרא גם כן היא שנית אל האות אשר התחלנו בה ההסרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחרי כן נסיר אות הב' שהיא המדרגה הראשונה שבטור השפל גם כן ב' פעמים מהסיפרא שבטור העליון והנה נעשה על דרך זה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח א' מהג' הנותרת על הט' וישאר עליה ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והא' שלקחנו נשים אותה [50]על הסיפרא ותהיה שוה עשר נסיר מהם ב' פעמים ב' העלה כפילתם ארבעה וישאר ו' על הסיפרא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועתה עשינו תשלום שהסירונו כל אותיות הטור השפל במספר פעמים שוה מהטור העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אכן כאשר נעיין בטור העליון הנותר נראה שהוא רב יותר מספר מהטור השפל ומפני זה אנחנו צריכים לחזור ולהביט להסיר הג' שהיא המדרגה האחרונה שבטור השפל מהב' שנשארה לנו במדרגה האחרונה מהטור העליון ונעשה על דרך זה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשים הב' ההיא כולה על הו' אשר בראש הסיפרא ויהיו עשרים וששה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועתה [נשום][51] ונשער כמה פעמים נוכל להסיר הג' מהששה ועשרים והנה נוכל להסיר אותה שמונה פעמים העולים עשרים וארבע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כשנסיר אותם מהששה ועשרים ישאר על הו' ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא על המדרגה האחרונה מהטור העליון שהרי לא נשאר שם כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד שמונה פעמי ההסרה אכתוב ח' תחת הא' שהיא המדרגה הראשונה מהטור העליון באשר היא שנייה אל המדרגה אשר התחלנו הבטת ההסרה ממנה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועתה נסיר גם כן אות ב' [52]מהטור השפל שמונה פעמים ממה שנשאר בטור העליון ונעשה על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשים הב' הנשארת לנו במדרגה השנייה מהטור העליון על הא' שבמדרגה ראשונה ממנה יהיו עשרים ואחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם כפל ח' על ב' שהוא ששה עשר וישאר מהם ה' על ראש הא' שהיא המדרגה הראשונה מהטור העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא על הב' הכתובה בראש המדרגה השנית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשלמה החלוקה הזאת ומצאנו שהטור האמצעי עולה שמונה ועשרים והנותר על הטור העליון חמשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לחלק שמונה מאות ותשעים ואחד על ארבעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה נכתבם על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונסיר הד' שבטור השפל שתי פעמים מהח' שבטור העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב עליה סיפרא באשר לא נשאר ממנה כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד פעמי ההסרה נכתוב ב' תחת הט' שבטור העליון באשר היא מדרגה שנית אל האות אשר הנחלנו ממנה ההסרה ובטור השפל יש גם כן שתי מדרגות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[54]עוד נשוב ונסיר הד' הנודעת מהט' שכנגדה בטור העליון שני פעמים וישאר עליה א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד שני פעמי ההסרה נכתוב ב' תחת הא' שהיא המדרגה הראשונה מהטור העליון באשר היא שנית אל אות הט' אשר התחלנו עתה ההסרה ממנה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה יצאתה אלינו החלוקה שיש בשמונה מאות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לחלק שלש מאות ועשרים ואחד על תשעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב אותם על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נביט להסיר הט' שהיא החשבון הקטן מהג' שבמדרגה אחרונה מהטור העליון יצטרך לנו לשים את הג' כולה על הב' הקדומה לה במכתב ויהיו שלשים ושנים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונסיר מהם הט' שלש פעמים שעולים שבעה ועשרים וישאר מהם ה' על הב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד שלשת פעמי ההסרה האלה תכתוב ג' תחת הב' שבטור העליון לפי שמאותה מדרגה אנחנו מתחילים ההסרה ואין בטור השפל כי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא על מדרגת הג' כאשר לא נשאר ממנה כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשוב עוד להסיר הט' מהה' הנשארת על הב' בטור העליון וכאשר לא נוכל להסיר ט' מה' נשים כל הה' על הא' ויהיו חמישים ואחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נסיר הט' חמשה פעמים וישאר מהם ו' על המדרגה הראשונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא על הה' ד כאשר לא נשאר ממנה כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד חמש פעמים ההסרה נכתוב ה' תחת המדרגה הראשונה שהתחלנו ההסרה ממנה כאשר אין בטור השפל כי אם מדרגה אחת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נגמרה החלוקה והטור האמצעי עולה ל"ה והנותר על הטור העליון ששה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לחלק חמש מאות אלף ושמונים ושלשת אלפים ושש מאות ותשעים וששה על שבע מאות וששים וארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה המבוקש הזה מלאכתו רבה ועמוקה מכל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה כשנביט להסיר ז' שבטור התחתון מהה' שבטור העליון לא נוכל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[56]ועל כן נשים אותה על הא' שהיא המדרגה הקדומה לה במכתב ונכתוב במקומה סיפרא באשר לא נשאר שם כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה יעלו חמישים ושמנה וכאשר נשום ונשער כמה פעמים נסיר מהם הז' נמצא שלא נוכל להוציאה כי אם שבעה פעמים כדי שנוכל לעשות מהנשאר המשפט הצריך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה שבע פעמים ז' עולים תשע וארבעים וכשנסיר אותם משמנה וחמישים נשאר ט' על הח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומהמדרגה הזאת נתחיל למנות שלש המדרגות שבטור השפל אחורנית ויכלה מספרן בו' שהיא מדרגה שלישית ושם נכתוב תחתיה ז' כנגד שבע פעמי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחרי כן נסיר הו"ו שבטור השפל גם כן שבעה ז' פעמים מהט' והעולה מכפל זה על זה [הם ארבעים][57] ושנים ונעשה על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהט' ההיא ד' ונכתוב עליה הנשאר שהוא ה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשים הד' על הג' שהיא מדרגה קדומה במכתב למדרגה אשר היתה הט' עליה והנה יהיו ארבעים ושלש נמצא שישאר מהם א' על הג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר כך נסיר הד' שבטור השפל שהיא המדרגה הראשונה ממנה גם כן [58]שבע פעמים שעולה כפלתם שמונה ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח א' מן הה' שנשארה לנו בטור העליון במדרגה חמישית ונשים אותה על הא' שנשארה על הג' הקדומה למדרגה הזאת ויהיו אחד עשר נסיר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשים הג' על המדרגה הקדומה למדרגתה במכתב שהיא ו' ויהיו ששה ושלשים נסיר מהם כפל הד' על הז' שהם שמנה ועשרים וישאר על הו' ח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועתה השלמנו להסיר כל אותיות הטור השפל מהטור העליון בשוה זו כזו האחת כפ[ע]ם חברתה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנעיין במה שנשאר בטור העליון נראה שהוא רב מאד על מספר הטור השפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
על כן נחזור ונביט להסיר ז' שבטור השפל מהד' שנשארה בטור העליון במדרגה חמישית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה אנחנו צריכים לשים אותה על הח' שנשארה על המדרגה הקדומה לזו יהיו שמנה וארבעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נשום ונשער נמצא שנוכל להסיר הז' מהם שש פעמים שעולה כפילתם שנים וארבעים ונמצא כשנסיר אותם מהם ישארו על הח' ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא על הד' [59]כאשר לא נשאר ממנה כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומהמדרגה אשר כתבנו עתה הו' עליה נחל לספור אחורנית השלש מדרגות שבטור השפל ויכלו בט' שהיא המדרגה השנית מהטור העליון ושם נכתוב תחתיה ו"ו כנגד שש פעמי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחרי כן יש לנו להסיר הו' שבטור השפל גם כן ששה פעמים שעולה כפלתם ששה ושלשים ונעשה על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהו' שנשארה במדרגה רביעית שלשה וישאר על הו' ההיא שלשה ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשים הג' אשר הסירונו מהם על הח' הנשארת לנו במדרגה הקדומה למדרגה הזאת ויהיו שמנה ושלשים כשנסיר מהם ששה ושלשים ישארו מהם ב' על הח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד יש לנו להסיר הד' מהטור השפל גם כן שש פעמים והנה עולה כפלתם ארבעה ועשרים ונעשה על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח הב' הנשארת [לנו][60] על הח' ונשים אותה על הט' שהיא המדרגה הקדומה במכתב לזאת המדרגה שהיתה הב' כתובה עליה ויהיו תשעה ועשרים כשנסיר מהם עשרים וארבע ישאר על הט' ה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא [61]על המדרגה אשר הד' כתובה עליה באשר לא נשאר ממנו כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובזה השלמנו להסיר שנית אותיות הטור השפל מהטור העליון [במספר שוה פעמים זו כזו][62] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[וכאשר נעיין בנשאר הטור העליון נמצא][63] שמספרו מרובה עדין ממספר הטור השפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועל כן אנחנו צריכים עוד לחזור [ולהביט][64] ולהסיר הז' שהיא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה מוכרח לשום את הג' הזאת על המדרגה השלישית הקדומה לה במכתב הכתוב עליו סיפרא ותהיה שוה הג' שלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונסיר מהם הז' ד' פעמים כי כן יספיק לנו לעשות בנשאר המשפט הצריך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא על הג' באשר לא נשאר שם מאומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה כשנסיר שמנה ועשרים מהשלשים ישאר ב' על הסיפרא שהיא במדרגה השלישית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומהמדרגה הזאת נמנה אחורנית מספר השלש מדרגות שבטור השפל ויכלה מספרן במדרגה הראשונה והנה נכתוב תחתיה ד' פעמי ההסרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחר זאת צריך גם כן שנסיר הו' שבטור השפל ארבעה פעמים שעולה כפילתם עשרים וארבע ונעשה על [65]הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשים הב' הנשארת במדרגה השלישית על הה' הנשארת במדרגה הקדומה לה במכתב ויעלו חמשה ועשרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנסיר מהם ארבע ועשרים כ ד ישאר א' במקום הה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועל הב' נכתוב סיפרא באשר לא נשאר ממנה כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד אנחנו צריכים להסיר אות הד' שהיא במדרגה הראשונה מהטור השפל גם כן ד' פעמים ועולה כפלתם ששה עשר ונעשה על זה הדרך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח הא' הנשארת במדרגה השנית ונכתוב עליה סיפרא ונשים אותה על הו' הקדומה לזאת המדרגה יהיו ששה עשר ומהם נסיר כפילת הד' על הד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב על הו' סיפרא באשר לא נשאר שם כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונמצא שכל טור העליון הוא כלה בחלקות אשר עשינו והטור האמצעי אשר נתחדש הוא כטור החשבון הקטן לא פחות ולא יותר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לחלק חמש מאות אלף ושמנים ושלשת אלפים [ושש מאות ותשעים ושש][66] על אלף ושמונים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתבם על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה אנחנו רואים שיש בידינו רשות להסיר הא' שבטור השפל חמש [67]פעמים מהה' שבטור העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונעשה כדברינו ונכתוב עליו סיפרא באשר לא נשארה ממנה שארית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונמנה מהמדרגה הזאת שבטור העליון ארבע מדרגות אחורנית כנגד הארבע מדרגות שבטור השפל ויכלה מנינן בו' שבאותו טור ושם נכתוב תחתיה ה' כנגד חמש פעמי ההסרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחרי זאת יש לנו להסיר הח' שבטור השפל גם כן ה' פעמים שכפילתם עולה ארבעים ונעשה על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר ד' מהח' שבטור העליון ונשים הד' על המדרגה הקדומה במכתב אל הח' שהיא ג' והעולה ארבעים ושלש והארבעים יכלו ויתמו והג' תשאר במקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובזה הוסרו כל האותיות הטור השפל מהטור העליון כל אחת ואחת מהן פעמים שוות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנעיין הנותר בטור העליון נראה שמספרו מרובה ממספר הטור השפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובעבור זה נחזור ונביט ונסיר הא' שבטור השפל ד' פעמים מהד' שנשארה לנו במדרגה החמישית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותכלה כלה ונכתוב במקומה סיפרא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וממנה תמנה ארבע מדרגות אחורנית ויכלו במדרגה השנייה ושם [68]תכתוב תחתיה [ד'][69] כנגד ארבעה פעמי ההסרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד יש לנו להסיר גם כן הח' מהטור השפל ד' פעמים העולה כפלתם שנים ושלשים והנה נעשה כזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח הג' אשר נשארה במקומה בטור העליון במדרגה הרביעית ונשים אותה על אות המדרגה השלישית שהיא ו' הקדומה לה במכתב ויעלה ששה ושלשים וכשנסיר מהם שנים ושלשים ישאר על הו' ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואכתוב סיפרא על הג' באשר לא נשאר ממנה כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובזה הוסרו כל אותיות הטור השפל מהטור העליון כשוה פעם שניה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה כאשר נעיין הנשאר בטור העליון נראה שהוא מועט במספרו ממספר הטור השפל וזה לך האות שנגמרה החלוקה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והטור האמצעי המתהוה ממספר פעמי ההסרה עלה חמש מאות וארבעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנשאר על אותיות הטור העליון עולה ארבע מאות ותשעים ושש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Through all these many calculations I have mentioned the method of their division, every wise man will be able to understand and learn the truths of doing this skill accurately. | ומתוך כל אלו החשבונות הרבים שהזכרתי דרך חלוקתן בארוכה יוכל כל נבון להבין ולהשכיל אמיתות עשיית המלאכה הזאת בדקדוק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Methods of Checking - Multiplication, Division, Addition, Subtraction |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Now, I should discuss in this chapter about the checking methods [lit. scales] of this division operation, as well as the checking methods [lit. scales] of the multiplication, addition and subtraction operations, as I promised at the beginning of this book, when mentioning the contents of its chapters. | ועתה אני צריך לדבר בשער הזה ממאזני [70]מלאכת החלוקה הזאת וממאזני מלאכת הכפל והחבור והמגרעת כאשר התאותי בהתחילי הספר הזה בהזכרת פרטי כללי שעריו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנני אומר כי אין בכל המאזנים יותר צדוקים וישרים כי אם כל מי שיעשה מלאכת חלוקתו שיכפיל ויכה במלאכת מעשה הכפילה הטור האמצעי המתהוה ממספר פעמי ההסרה על הטור השפל שהוא החשבון הקטן ואחר יקח כל מה שנותר למעלה בטור העליון אם נשאר שם כלום ויוסיף אותו תחת הכפילה כל אות ואות תחת מדרגה הראויה לה ואחרי כן יחבר ויקבץ כל הכפילה ובהכרח צריך שתצא טור הקבוץ והחבור כטור החשבון הגדול אשר חלק דומה כדומה מספר הטור האחד כמספר חברתה אם זך [ואם][71] ישר פעולו[note 3] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וגם מאזני הכפל הנה הם שיחלק העולה מהכפילה על אחת משני טורי החשבונות הנכפלים יצא לו בחלוק הטור השני אם בדרך ישר הוא הולך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן כל מי שחבר שני טורי חשבונות יחד זה עם זה יתעסק במלאכת המגרעת ויגרע מן המחובר אחד מן שני הטורים [72]וישאר לו הטור השני אם היה מעשהו באמונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולפי דרכנו נבין ונלמוד שגם כן הגורע חשבון קטן מחשבון גדול שאם יחבר מה שנותר לו עם טור החשבון הקטן שבהכרח יצא לו המחובר טור אחד כטור החשבון הגדול זו כזו במספר שוות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| By that the intention of everything I intended to explain in this chapter is clarified and it is time to finish with it and start with another. | ועם זה התבארה כוונת כל מה שהתכונתי לבאר בזה השער והגיע העת לפסוק בו ולהתחיל באחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Chapter Seven – Extracting the Closest Root of Integer |
השער השביעי בלקיחת גדר המספר השלם היותר קרוב אליו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Definition of a square number: Know that the product of every number by itself is called a number that has a root, whereas its root is the number that is multiplied by itself. | תדע כי כל כפל הכאת חשבון על עצמו הוא הנקרא מספר נגדר או [נשרש][73] כאשר גדרו או שורשו הוא נכפל על עצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
One versus the integers |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובכל המספרים אשר יהיו שלמים תמצא לעולם כשתכפול המספר על עצמו שיתרבה העולה מאשר היה המספר בתחלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חוץ מן המספר האחד כי כש[תכה][74] האחד על עצמו לא יקבל שום תמורה וחלוף אך יעלה אחד כאשר היה בתחלה מבלתי רבוי ושנוי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועל כן נוכל לומר שמספר האחד הוא נגדר וגם כן הוא גדר עצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד למספר האחד יתרון על שאר המספרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[75][שהנה][76] כל המספרים זולתו שנקח שתי קצותיהם המספר שלפניהם והמספר שלאחריהם יהיה המחובר משני הקצוות כפל המספר האמצעי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולמספר האחד הנה אין לו קצה לפניו ועם הקצה שלאחריו שהוא שנים יספיק לכפלו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| This is the virtue and superiority of one over all the other numbers. | וזה היא מעלה ורוממות האחד על שאר המספרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| There are other things that have no place to be mentioned here. I have strayed from the purpose of the present chapter, when I needed to speak about the virtues of the number one, so now I will return to where I was at the beginning. | ועוד דברים אחרים שאין מקומם להזכירם בזה והנה יצאתי מכוונת השער הזה באשר הוצרכתי לדבר במעלות מספר האחד ועתה אשוב אל אשר הייתי בתחלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Square Nnumbers |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואומר בענייני הגדרים שאם תכפול ותכה מספר נגדר על מספר נגדר יהיה הכפל גם כן חשבון נגדר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר תרצה לדעת גדרו אינך צריך כן לקחת גדרי המספרים אשר הכית וכפלת זה על זה ותכה ותכפול גדר האחד על חברו וההווה הוא גדר המספר השלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון הנה ארבעה מספר נגדר וגם תשעה והעולה מכפל האחד על חברו ששה ושלשים והנה הוא גם כן מספר נגדר ואם נבקש לדעת גדרו נקח גדר הארבעה שהוא שנים וכן גדר התשעה שהוא [77]שלשה ונכה זה על זה יעלו ששה והוא המבוקש כי כאשר נכפול ששה על עצמו היה ששה ושלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Square ranks and non-square ranks | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Odd ranks have roots; even ranks have no root: Know that the ranks of the numbers always follow this order one after the other: the first has a root, the second has no root, the third has a root, the fourth has no root, and so on endlessly. | ותדע כי לעולם מדרגות החשבון הולכות על הסדר זו אחר זו בעניין זה שהראשונה היא נגדרת והשנייה איננה נגדרת והשלישית נגדרת והרביעית בלתי נגדרת וככה עד אין קץ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ורצוני לומ' בגדר המדרגות הזה כי כשתסכל המדרגה הראשונה שהיא מדרגת האחדים מספרם הראשון שהוא אחד הוא נגדר כמו שקדם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והמדרגה השנית שהוא מדרגת העשרות מספרם הראשון שהוא עשר בלתי נגדר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן המדרגה השלישית מספרה הראשון שהוא מאה נגדר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והמדרגה הרביעית מספרה הראשון שהוא אלף הוא בלתי נגדר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובדרך הזו הולכות המדרגות כלנה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Extracting roots - written procedure |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| The procedure for finding the unknown root of the known number is very complicated, with many aspects and different principles, and I cannot explain them with one rule for all numbers. | ודרך מציאת הגדר הנעלם מהמספר הידוע כי היא עמוקה עד מאד ויש בה צדדים רבים ומדות נחלקות זו מזו ולא אוכל לפרש אותם דרך כלל אחד לכל המספרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Therefore I write numerous various calculations and explain the way to extract the root of each of them at length and an intelligent person, who has wisdom in his heart should understand from them how to do so with other numbers. | ועל כן אכתוב חשבונות הרבה בלתי דומים זה לזה ואבאר בארוכה בכל אחד מהם דרך להוציא גדרו ומהם יבין [78]כל משכיל ונבון אשר תנוח חכמה בלבו לעשות ככה במספרים אחרים זולתם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה בקשנו לדעת גדר מאתים ועשרים וחמשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכתבם על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר נמנה מספר המדרגות וראינו שהאחרונה יש לה גדר באשר היא מדרגה שלישית ובעבור | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה [היא ב'][79] נבקש הגדר היותר קרוב אל ב' והנה הוא אחד נכתבנו תחת הב' ההיא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונסיר הכאתו על עצמו ממנה וישאר עליה א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכפול הא' שכתבנו תחת הב' פעמים ונכתוב העולה אחורנית תחת המדרגה הקדומה לזו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועל כן נכתוב ב' תחת הב' [מהמדרגה השנית ונכתוב סיפרא על הא' שכתבנו תחת הב'][80] מהמדרגה האחרונה או נעבור עליה קולמוס לסימן שתהיה נמחקת משם כאלו לא נכתבה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחרי זאת נשים הא' הנשארת במדרגה הראשונה להתחלתנו על הב' הקדומה לה במכתב יהיו שנים עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נעיין כמה פעמים נוכל להוציא מהם הב' עד שישאר מהם מספר שנוכל להסיר ממנו אחרי כן כמספר העולה מהכאות מספר הפעמים ההם על | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[81]והנה נמצא שיספיק לזה המבוקש אם נסירנה מהם חמש פעמים ותשאר הב' במקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכתוב סיפרא על הא' באשר [לא][82] נשאר ממנה כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב ה' תחת המדרגה הראשונה בעד חמשת פעמי ההסרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר נכה ונכפול מספר ההסרות על עצמו ויעלה חמשה ועשרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר אותם מחמשה ועשרים שבטור החשבון הנחקר ונמצא שכלה הכל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן נכתוב סיפרא על הה' ועל הב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה חדשנו טור אחר תחתיו שהוא ה'ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהב' חציה וישאר ה'א' והוא גדר המספר המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי אם תכפול ותכה ה'א' על עצמו תמצא שיצא [לך][83] ה'ב'ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לדעת הגדר קרוב יותר אל תשע מאות ועשרים וחמשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וזה היא צורתו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה יש למדרגתו האחרונה גדר ולכן נתחיל ממנה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וגדרה הוא ג' נכתבנה תחתיה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונסיר הכאת הג' ממנה ותכלא ולא תשאר ממנה כלום ולכן נכתוב נכתוב עליה סיפרא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכפול הג' פעמים ונעביר עליה קולמוס ונכתוב ו' במדרגה אחת אחרנית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה יצא אלינו הגדר הקרוב כי עתה לא נוכל עוד להסיר ו' מב' אשר על ראשה ומפני זה [84]נכתוב סיפרא תחת המדרגה הראשונה ונמצא שהטור שנתחדש הוא סיפרא ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהו' חציה וישאר 0'ג' והוא הגדר הקרוב המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי אם תכה ותכפול 0'ג' על עצמו ותשים תחתיו הנשאר בטור ראשון שהוא ה'ב' יצא לך ה'ב'ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לדעת גדר שבעת אלפים וחמשים וששה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתבים על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה מדרגת המספר הזה האחרונה היא בלתי נגדרת באשר היא רביעית ועל כן נשים אותה על הסיפרא הקדומה לה במכתב ותהיה שבעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והגדר הקרוב אל שבעים הוא שמונה שעולה כפילתה על עצמו ששים וארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר אותם משבעים ישארו ו' על הסיפרא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב ספרא על המדרגה האחרונה באשר לא נשאר ממנה שם כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד הגדר הקרוב אל שבעים נכתוב ח' תחת הסיפרא שבמדרגה השלישית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחרי זאת נכפול הח' פעמים שתהיה ששה עשר נכתוב אותם על דרך זה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ו' כנגד הששה תחת המדרגה הקדומה לסיפרא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וא' כנגד העשרה תחת הח' ונעביר עליה קולמוס | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחרי כן נעיין כמה פעמים נוכל [85]להסיר הא' והו' מהו' והה' אשר על ראשם בכדי שישאר מהם מספר שיספיק למה שיעלה מספר הכאות פעמי ההסרה על עצמם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נמצא שנוכל להסיר הא' ד' פעמים מהו' אשר על ראשה וישאר עליה ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר נסיר גם כן הו' ד' פעמים שעולים עשרים וארבע כשנשים הב' על הה' שלפניה שיהיו עשרים וחמשה וישאר א' על הה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב על הב' סיפרא באשר לא נשאר ממנה כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד ארבע פעמי ההסרה נכתו' ד' תחת המדרגה הראשונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר נכה הד' על עצמו ויהיה ההווה ששה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונסיר אותם מששה עשר שבטור החשבון הנחקר ונמצא שתכלה הכל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן נכתוב על הו' ועל הא' סיפראש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והטור שנתחדש אצלינו הוא ד'ו'א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח חצי הו' והא' על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שנשים הא' על הו' ויהיה ששה עשר ויהיה חציין ח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב אותם תחת הו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונמצא שהנשאר הוא ד'ח' והוא גדר המספר המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שהנה אם תכנו ותכפלנו על עצמו יצא לך טור אחד שמספרו שבעת אלפים וחמישים וששה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לדעת הגדר הקרוב שבעים וששה אלף וחמש מאות וארבעים [86]ושלשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וזה היא צורתו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה המדרגה האחרונה היא נגדרת באשר היא חמישית על כן נתחיל ממנה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה הגדר הקרוב אל ז' הוא ב' נכתבנה תחתיה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר ממנה הכאת הב' על עצמה וישאר על הז' ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכפול הב' פעמים ונעביר עליה קולמוס ונכתוב העולה שהוא ד' במדרגה אחת אחרנית תחת הו' שהיא במדרגה הרביעית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר כן נשים הג' הנשארת לנו על הו' על המדרגה הקדומה לה במכתב יהיו ששה ושלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נעיין כמה פעמים נוכל להסיר מהם הד' שכתבנו תחת המדרגה הרביעית בכדי שיספיק מה שישאר להסיר מספר הכאת פעמי ההסרה על עצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר אותם מששה ושלשים ישאר על הו' ח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא על הג' באשר נעתקה ממקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד שבע פעמי ההסרה נכתוב תחת המדרגה השלישית ז' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחרי כן נכה ונכפול ז' על עצמה [ויהיה העולה][87] ארבעים ותשעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסירה על הדרך הזה ממה שנשאר בטור המספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נקח מהח' הנשארת [88]על המדרגה הרביעית ה' וישאר עליה ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשים הה' על הה' הקדומה לה במכתב שהיא המדרגה השלישית ויהיו חמשים וחמש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם תשע וארבעים ישארו על הה' ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחרי זאת נכפול השבע פעמי ההסרה פעמים ויהיו ארבעה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונעביר הקולמוס על הז' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתבם על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ד' כנגד הארבעה תחת הז' אשר העברנו עליה קולמוס | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וא' כנגד העשר תחת הד' שהיא תחת המדרגה הרביעית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחרי כן נעתיק במקום אחר מה שנשאר בטור המספר הנחקר ונעשה ממנו טור אחר לבדו ואחר נכתוב תחתיו מה שנתחדש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה יהיה טור מה שנותר ג'ד'ו'ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב תחתיו בטור ד' תחת הד' שהיא המדרגה השנית וה' תחת הו' וכל זה הוא מה שנתחדש למעלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה יהיה המועתק על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נשים הג' שבטור העליון במדרגה האחרונה על הו' הקדומה יהיו ששה ושלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא על הג' באשר נעתקה ממקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונעיין כמה פעמים נוכל להסיר אותיות הטור השפל מהטור העליון בכדי שישאר ממנו אחרי כן מספר שנוכל [89]להסיר ממנו המספר שיעלה מהכאת פעמי ההסרה על עצמם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והוא נראה שיספיק לכל זה אם נסיר אותם ששה פעמים בלבד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנסיר מהששה ושלשים הה' שש פעמים העולים שלשים תשאר הו' במקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחרי זה נסיר הד' הכתובה תחת המדרגה השנית גם כן שש פעמים העולים עשרים וארבע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נעשה על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח ב' מן הו' וישאר עליה ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשים [הב'][90] על הד' הקדומה במכתב למדרגה הזאת ויעלו עשרים וארבע ויסופו ויכלו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב על הד' סיפרא באשר לא נשאר שם כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד שש פעמי ההסרה נכתוב ו' תחת המדרגה הראשונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכה הו' על עצמה תעלה ששה ושלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסירם ממה שנשאר בטור העליון על דרך זה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מן הד' הנשארת על המדרגה השלישית א' וישאר שמה ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשים הא' על הסיפרא אשר על המדרגה השנית הקדומה לה ותהיה שוה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם ארבעה וישאר על הסיפרא ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשים הד' על המדרגה הראשונה יעלו ארבעים ושלש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם הששה ושלשים ישארו ז' על הג' שבמדרגה הראשונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה הטור השפל אשר [91]נתחדש הוא ו'ד'ה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח חצי הד' והה' ישאר ז'ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נמצא מה שנשאר אחר כל זה ו'ז'ב' והוא הגדר היותר קרוב אל המספר המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תכפול ו'ז'ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לדעת גדר חמש מאות ושמונים ושלשת אלפים ושש מאות ותשעים וששה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתבנו על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
באשר המדרגה האחרונה מהמספר הזה הוא בלתי נגדרת צריך ל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והגדר הקרוב אל המספר הזה שעולה הכאתו על עצמו הוא תשעה וארבעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנסיר אותם מחמישים ושמונה ישארו על הח' ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא על הה' באשר נעתקה ממקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד הגדר הקרוב נכתוב ז' תחת הח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויכפול הז' הזאת פעמים ונעביר עליה קולמוס והנה יהיה העולה ארבעה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב ד' כנגד הארבעה תחת הג' שהיא המדרגה [92]הרביעית וא' כנגד העשר תחת הז' אשר העברנו עליה הקולמוס | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועתה אנחנו צריכים [לעיין][93] כמה פעמים נוכל להסיר הא' והד' ממה שנשאר בטור המספר בכדי שיספיק לנו אחרי כן להסיר מהנשאר מספר הכרת פעמי ההסרה על עצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נמצא שיספיק לנו אם נסיר אותם ששה פעמים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה כשנסיר הא' מהט' ששה פעמים ישאר עליה ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וגם יש לנו להסיר הד' ששה פעמים שעלה כפלתם ארבע ועשרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונעשה על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח הג' הנשארת לנו על הט' ונכתוב סיפרא במקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשים אותה על הג' הקדומה לה במדרגה רביעית ויעלו שלש ושלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כשנסיר מהם הארבע ועשרים ישארו על הג' ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד שש פעמי ההסרה נכתוב תחת המדרגה השלישית ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנכפול ונכה אותם על עצמם יעלו ששה ושלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונסיר אותם מטור המספר על הדרך [הזה][94] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח מן הט' הנשארת לנו במדרגה רביעית ג' וישארו עליה ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשים זאת הג' על הו' הקדומה לה במדרגה שלישית יעלו ששה ושלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נכתוב סיפרא על הו' באשר [96]לא נשארה ממנה שארית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחרי זאת נכפול הששת פעמים ההסרה פעמים ויהיו שנים עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתבם על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ב' תחת הו' כנגד השתים ונעביר עליה קולמוס | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וא' תחת הד' שאחריה כנגד העשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר כל זה נעתיק במקום אחר מה שנשאר בטור המספר ונעשה ממנו טור אחד לבדו ואחר נכתוב תחתיו מה שנתחדש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה יהיה טור מה שנותר ו'ט'0ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב תחתיו בטור אחר ב' תחת הט' וה' תחת הסיפרא וא' תחת הו' וכל זה הוא מה שנתחדש למעלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה יהיה המועתק על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועתה יש לנו לעיין כמה פעמים נוכל להסיר האותיות שכתבנו תחת הטור הראשון ממנו בכדי שיספיק לנו אחרי כן להסיר מהנשאר כפל הכאת מספר ההסרות על עצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נמצא שיספיק לכל זה אם נסירם ד' פעמים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה כשנסיר הא' שהיא המדרגה האחרונה מהטור השפל מהו' אשר בטור העליון על ראשה ארבעה פעמים ישאר עליו ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וגם כן יש לנו להסיר ארבעה פעמים הה' אשר בטור השפל שעולה כפלתם עשרים [97]מהטור העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונעשה על דרך זה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח הב' הנשארת לנו במדרגה האחרונה מהטור העליון ונשים אותה על הסיפרא הקדומה למדרגה ההיא ויהיו עשרים ויסופו ויכלו בעד העשרים מהכפילה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב על הב' אשר לקחנו סיפרא באשר נעתקה ממקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחרי זאת הסיר גם כן ארבעה פעמים הב' שבטור השפל מהט' אשר על ראשו וישאר עליה א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה כנגד ארבעה פעמי ההסרה נכתוב תחת המדרגה הראשונה מהטור העליון ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נכפול ונכה הד' על עצמה יהיה ההוא ששה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסירם מהששה עשר שבטור העליון שהרי נותרו א' על הט' במדרגה השנייה והו' שבראשונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונמצא שיכלה כל הטור העליון ועל כן נכתוב סיפראש על הו' ועל הא' שבראש הט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והטור התחתון אשר נתחדש הוא ד'ב'ה'א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח חצי הב' והה' והא' ותהיה הנשאר ד'ו'ז' והוא הגדר מהמספר המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תכפול ד'ו'ז' על עצמו אני מבטיח לך שיצא מקבוץ הכפילה ו'ט'ו'ג'ח'ה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לדעת גדר [98]המספר הזה שהוא שמונה מאות אלף ועשרים וארבעת אלף וארבע מאות וששים וארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתבם על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
על אשר המדרגה האחרונה מהמספר הזה היא בלתי נגדרת צריך לשום אותה על הב' הקדומה לה במכתב שהיא המדרגה החמישית והנה יהיה שמנים ושנים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והגדר היותר קרוב אליהם הוא תשעה כי כפל הכאתו על עצמו עולה אחד ושמונים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה כשנסיר אותם מהם תשאר על הב' א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב על הב' סיפרא באשר נעתקה ממקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נכתוב תחת הב' ההיא ט' כנגד תשעה שהם הגדר היותר קרוב ואחר נעביר הקולמוס על הט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכפל אותה והיו שמנה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתבם על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
א' תחת המדרגה הרביעית כנגד העשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וח' כנגד השמנה במדרגה אחת אחורנית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחרי זאת כתבנו סיפרא תחת המדרגה השנית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר נעיין כמה פעמים נוכל להסיר אותיות הטור השפל המתחדש ממה שנשאר בטור העליון בכדי שישאר שם מספר [99]אחר זאת שנוכל להסיר ממנו כמספר העולה מכפילת פעמי ההסרות על עצמם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והוא נמצא שיספיק להסיר אותם שמנה פעמים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונעשה על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח הא' הנשארת בטור העליון על המדרגה החמישית ונכתוב עליה סיפרא באשר נעתיקנה ממקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשים אותה על הד' הנשארת במדרגה הרביעית הקדומה לה ויהיו ארבעה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם הא' שתחת המדרגה הרביעית שמנה פעמים וישאר על הד' ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וגם כן יש לנו להסיר הח' שתחת המדרגה השלישית שמונה פעמים שעולה כפלתם שישים וארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונעשה על הדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח הו' הנשארת במדרגה הרביעית ונכתוב סיפרא עליה כאשר נעתיקנה ממקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשים אותה על הד' שהיא המדרגה השלישית הקדומה לה ויהיו שישים וארבעה ויכלו ויתמו בעבור הסרת פעמי הח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב על הד' ההיא סיפרא באשר לא נשאר ממנה כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד שמונה פעמי הסרת האותיות נכתוב תחת המדרגה הראשונה ח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נכה ח' על עצמם יעלו שישים וארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[100]נסירם מהשישים וארבעה אשר על ראשם בטור המספר הנחקר כי הנה נשארו עד כה הד' שהיא המדרגה הראשונה והו' שהיא המדרגה השנית ובזה תכלה כל הטור העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועל כן נכתוב סיפראש על הד' ועל הה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והטור שנתחדש הוא ח'[0]ח'א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וחצי סיפרא ח"א הוא 0ט' נמצא שיהיה הנותר אחרי זאת ח'0'ט' והוא גדר המספר המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובחנני נא בזאת[note 4] ונסני לכפול ח'0'ט' על עצמו כי בהכרח יצא לך מקבוץ הכפילה ד'ו'ד'ד'ב'ח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו שורש וגדר מאה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה נכתבה על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה המדרגה השלישית יש לה גדר ועל כן נתחיל ממנה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי גדר הא' הוא אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן נכתוב סיפרא על הא' באשר תכלה כשנסיר ממנה הכאת הגדר על עצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד שהוא הגדר נכתוב א' תחת הסיפרא השנית ותהיה שוה שם עשר והוא גדר המספר המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן רצינו לדעת שרש ארבע מאות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתבם על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וידוע כי גדר הד' שהוא שנים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן [101]ולכן נכתוב סיפרא [על הד'][102] באשר תכלה כלה כשתסיר ממנה הכאת הגדר על עצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד השנים שהם הגדר נכתוב ניכתוב ב' תחת הסיפרא השנית ותהיה שוה שם עשרים והוא גדר המספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם רצינו לדעת הגדר הקרוב אל ארבעת אלפים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נעשה על דרך זה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה המדרגה הרביעית היא בלתי נגדרת לפיכך נשים הד' על הסיפרא הקדומה לה ותהיה ארבעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והמרובע הקרוב אליהם הוא ששה כי כפילת הכאתו על עצמו תהיה לו שלשים וששה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה ישארו ד' על הסיפרא השלישית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא על הד' שהיתה במדרגה הרביעית כאשר נעתקה ממקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד ששה שהם הגדר היותר קרוב נכתוב ו' תחת הסיפרא השלישית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחרי זאת נכפול הו' פעמים ונעביר עליה קולמוס והנה יהיה ההוא שנים עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכתוב ב' כנגד השנים תחת הסיפרא השניה וא' כנגד העשר תחת הו' אשר הקולמוס עליה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נעיין כמה פעמים נוכל להסיר הב' והא' ההמה מהנשאר למעלה [103]מן הטור נמצא שיספיק בשלשה פעמים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונעשה בדרך הזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן יש לנו להסיר הב' [שלשה][104] פעמים שעולה כפילתם ששה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונעשה בדרך [הזה][105] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח הא' הנותרת במדרגה השלישית ונשים אותה על הסיפרא השנית ותהיה שוה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם הששה ישארו שם ארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב סיפרא על הא' שהיתה על המדרגה השלישית כי נעתקה ממקומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכנגד שלשה פעמי ההסרה נכתוב תחת הסיפרא שבמדרגה הראשונה ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נכפול ונכה אותה על עצמה יהיה ההוא תשעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר אותם מהטור העליון בדרך זה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח א' מן הד' הנותרים במדרגה השנית וישארו עליה ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשים הא' על הסיפרא הקדומה למדרגתה ותהיה שוה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם תשעה ישאר על הסיפרא ההיא א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והטור אשר נתחדש הוא ג'ב'א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וחצי ב'א' והוא ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונמצא שתהיה הגדר הקרוב [106]המבוקש גדרו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| The methods of calculating all these many numbers, which I have mentioned and extended the explanation for each of them [how] to extract its root or its approximate [root], are sufficient for you to apply their procedure to other cases you see, if you are wise. | ובדרכי כל אלו החשבונות הרבים שהזכרתי והארכתי הביאור בכל אחד מהם למצוא גדרו או הקרוב אליו יספיק לך לעשות באחרים זולתם כתבניתם אשר אתה מראה אם נבון ואם חכם אתה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Chapter Eight – the Ratio of a Number to Another Number |
השער השמיני במערכת חשבון אחד מחשבון אחר |
| The meaning of relation is to explain, when we have two known numbers or more, how we can find another number, whose ratio to one of them is the same as the ratio of this [given] number to the other [given number]. | כוונת ההערכה הזאת היא לבאר כשיהיו לנו שני חשבונות ידועים או יותר באיזה דרך נוכל לחדש חשבון אחר שיהיה ערכו אל אחד מהם כערך האחד אל חברו |
| Know that the skill of this chapter is divided into four categories: | ותדע כי מלאכת השער הזה היא נחלקת לארבעה חלקים |
|
החלק האחד הוא על דרך זה כשיהיו לנו שני חשבונות ונרצו לחדש ולמצוא חשבון שלישי שיהיה ערכו כל [אחד][107] מהם כערך כל האחד [מהם][108] אל חברו |
|
|
|
|
המשל בזה כגון שתדע חשבון ארבעה וששה |
|
ובידוע כי כשנערוך חשבון ששה על חשבון ארבעה יהיה כמוהו ומחציתו |
|
ואם נרצה לחדש חשבון שלישי שיהיה ערכו אל ששה [109]כערך ששה אל ארבעה נעשה על הדרך הזה |
|
נקח חשבון הששה שהוא אמצעי בין החשבון הראשון הידוע ובין השלישי הנעלם ונכפול ונכה אותו על עצמו ויהיה העולה ששה ושלשים נחלק אותם על חשבון הראשון הנודע שהוא ארבעה ומצאנו בהם תשע פעמים והנה תשעה ערכם אל ששה כערך ששה אל ארבעה |
|
ואם ידענו החשבון האמצעי והאחרון ונעלם ממנו החשבון הראשון נכפול גם כן האמצעי על עצמו ונחלקנו על החשבון האחרון הנודע והיוצא בחלוק הוא החשבון הראשון |
|
ולפי זה כשתדע חשבון הששה והתשעה ולא נדע הארבעה |
|
נכפול הששה על עצמם יעלו ששה ושלשים נחלקם על התשעה הנודעים ונמצאנו ארבעה פעמים והנה הארבעה הוא המבוקש |
|
ואם ידענו החשבון הראשון והשלישי ונעלם ממנו החשבון האמצעי נכפול ונכה השני חשבונות הנודעים זה על זה ונקח גדר העולה וכמספר הגדר הוא החשבון האמצעי המבוקש |
|
ועל זה הדרך תדע חשבון [110]הארבעה והתשעה ונעלם ממנו האמצעי |
|
נכפול ארבעה על תשעה ויעלו שלשים ושש וגדרם ששה והוא החשבון האמצעי המבוקש |
|
החלק השני כשיהיו לנו [שלשה][111] חשבונות נודעים ונרצה לחדש חשבון רביעי שיהיה ערכו אל השלישי כערך הראשון אל |
|
|
|
|
כגון שנדע החשבונות האלה השלשה ששה ועשרה ושלשה ואבקש למצוא חשבון רביעי שיהיה ערכו אל השלשה כערך העשרה אל הששה |
|
ונעשה ככה נכפול חשבון העשרה וחשבון השלשה זה על זה ושניהם נקראים אמצעיים לפי שהם נתונים בין החשבון |
|
וכן אם נדע השני חשבונות האמצעיים והחשבון הרביעי הנעלם ממנו החשבון הראשון נכפול האמצעיים זה על זה ונחלק ההווה על [113]החשבון הרביעי הנודע והיוצא בחלוק הוא המבוקש |
|
ואם יעלם ממנו אחד מהשנים האמצעיים נכפול החשבון הראשון והרביעי אלו על אלו ונחלק ההווה על האמצעי הנודע והיוצא בחלוק הוא החשבון המבוקש הנעלם |
|
החלק השלישי כשנרצה לכתוב ולחקוק חשבונות רבים מרחק האחד שוה |
|
כגון א'ב'ג'ד'ה'ו' |
|
[או][114] ב'ד'ו' וכיוצא באלו |
| This category is clear and explained, thus, there is no need to elaborate on that. | והחלק הזה דרכו גלוי ומבואר ואין צריך עוד להאריך בו |
|
החלק הרביעי |
|
על אופן שלש אותיות אלו שהן ג'ד'ו' שערך ג' אל ו' כערך המרחק שמשלשה ועד ארבעה אל המרחק שמארבעה ועד ששה שהנה מרחק ג' מד' אחד ומרחק ד' מו' שנים וכערך האחד אל השנים כן ערך השלשה אל הששה |
|
וכאשר נדע האות הראשונה והאחרונה ונעלמת ממנו האות השנית נכפול האחת אל חברתה ונחלק העולה על המחובר משתיהן והיוצא בחלוק נכפלנו והיוצא הוא המבוקש |
|
ועל הדרך הזאת כשנדע הג' [והו'][115] ונרצה [116]לדעת האות האמצעית נכפול ג' על ו' יהיו שמנה עשר נחלקם על המחובר משניהם שהוא ט' נמצאנו שם שני פעמים נכפלם יהיו ארבעה וככה הוא משפט האמצעי להיות ד' |
|
ואם נדע האות הראשונה והאמצעית ולא נדע האחרונה נכפול הראשונה על השנייה שהיא אמצעית בין הראשונה הידועה ובין האחרונה הנעלמת והעולה נחלקנו על האות הראשונה הידועה אחר אשר נסיר ממנה [העולה מהכאת][117] המרחק שבין [הראשונה][118] [לאמצעית][119] [על עצמו][120] והיוצא מהחלוק הוא המבוקש |
|
ולפי זה כשנודע הג' והד' ונעלמת ממנו הו' ונכפל ג' על ד' יהיו שנים עשר נחלקם על הג' אחר אשר נסיר ממנה [הכאת][121] המרחק שבינה ובין הד' [על עצמו][122] והנה הוא אחד נסיר אותו מהג' [ישאר][123] ממנה ב' ונמצא הב' הזאת ו' פעמים בשנים עשר וככה היא האות השלישית האחרונה ו' |
|
|
|
|
ואם ידענו הד' והו' ולא נדע הג' נעשה בדרך זאת נכפול הד' על הו' ויהיו ארבעה ועשרים נחלקם עם המחובר מהאות השלישית עם המרחק שבין הד' ובינה שהוא שנים וכשנחברם אל הששה יהיו שמנה וכשנחלק הארבע ועשרים עליהם [124]יצא לנו החלוק ג' פעמים וכן הוא משפט האות הראשונה להיות ג' |
| From these four categories [of proportions] explained you can understand and extract the proportions of all numbers you find, as the issue of each category is explained at length. | ובאלו החלקים הארבעה המבוארים תוכל להבין ולהוציא כל ערכי החשבונות שתמצא כאשר התבאר בארוכה ענין כל חלק וחלק |
![\scriptstyle{\color{blue}{6:4=\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot4\right]:4}}](/mediawiki/images/math/9/3/1/931ce1931ee11772930a388a4a1cd5e0.png)
Chapter Nine – On Knowing the Fractions of Integer, whether in Multiplication, in Division, in Addition, or in Subtraction |
השער התשיעי בידיעת חלקי השבר מן השלם בין בכפל בין בחלוק או בחבור או במגרעת |
Introduction |
|
| Know that the product of fractions by themselves or by other fractions is less than their sum.
|
תדע באמת כי כפילת הכאת השברים על עצמם או על שברים אחרים זולתם פחותה ממחברתם |
|
כי כאשר נאמר כפול והכה רביע על רביע הרי זה כאלו נאמר קח רביע הרביע שהוא חלק מששה עשר חלקים בשלם |
|
ואם נאמר חבר רביעית עם רביעית יהיה המחובר חצי שלם אחד |
| This rule of fractions is opposite to the rule of integers, since [the integers] increase when they are multiplied by themselves, or by others, more than they are increased by their summing.
|
ומנהג השברים הזה הפך מנהג השלמים כי הם יתרבו כאשר יו[כ]ו ויוכפלו על עצמם או על זולתם יותר משלא תרבה אותן מ[ח]ברתן |
| On the other hand, this [rule of fractions] is somewhat similar to the rule of the unit, that if we multiply it by itself the result is only one, while its sum with itself is two.
|
ואולם הם דומים למנהג מעשה האחד השלם במקצת שאם נכפלנו ונכנו בעצמו לא יעלה כי אם אחד ומחברתו עם עצמו תהיה שנים |
| Therefore, the number two is mean between all the other [integers] and [one and the fractions], since the sum of two with itself and its product by itself are both equal to four.
|
ולזאת הושמו השנים אמצעיים בין שאר כל המספרים וביניהם [125]כי מחברת השנים [עם][126] עצמן וכפלת הכאתן בעצמן הכל עולה בשוה ארבעה המחברת כמו הכפילה |
Operations with fractions |
|
| In order that the practice in this chapter will be clear and known for all by elaborate explanation, I write various calculations of operations with fractions, from which the procedure in other cases can be known and learned. | ובעבור אשר תהיה מלאכת השער הזה גלויה ומפורסמת לכל בביאור רחב אכתוב מדרכי השברים חשבונות רבים עד שיודע וילמד [מהם לעשות][127] ככה באחרים זולתם |
Multiplication of fractions |
|
Introduction |
|
| I shall start with their multiplication method, after I write a short introduction that needs to be clarified for the purpose of this craft. | והנני מתחיל בדרך כפילת הכאתן אחר כי אכתוב מעט הקדמה שאני צריך לבאר אותה לצורך המלאכה הזאת |
| I say here that the proper method for dealing with fractions is to find their common denominator, I mean to take an integer that has whole parts that are the same as the denominators that are needed. | ואומר בזה כי הדרך הישר בשברים לקחת בהם מדומה רצוני לומר שיקח חשבון שלמים שימצאו בו חלקים שלמים כפי מספר השברים אשר יצטרך |
| The method of finding the common denominator: | וככה הוא [לקיחת][128] המדומה |
|
כשנרצה למצוא בו חשבון שיהיו בו שברים אלו שהם מחצית ושלישית ורביעית וחלק אחד מאחד עשר |
|
והנה כל משכיל יבין כי החשבון הקדום שבכל החשבונות שנוכל למצוא בו חצי שתהיה שלימה הוא שנים ועל זה נקח בעבור המחצית שנים |
|
וכמו שהמחצית יוצאת משנים כן תצא השלישית משלשה ולכן נקח בעבורה שלשה |
|
וכשנכפול השנים בשלשה יהיו ששה והנה ששה הוא חשבון [129]הקרוב שיהיה בו מחצית ושלישית משלמים |
|
וכשנכפול הששה בארבעה בעבור הרביעית אשר תצא מהם יהיה העולה מהם עשרים וארבע |
|
וכשנכפול אותם באחד עשר כנגד החלק האחר שהוא מהם יהיה העולה מהם מאתים ושישים וארבעה |
|
וכמוהו לכל האחרים זולתו |
Multiplication of fractions by fractions |
|
|
|
|
בקשנו לכפול ארבע חמישיות בארבע חמישיות |
|
בידוע כי החמישית תצא מחמשה והוא המדומה והכאתו בעצמו עולה עשרים וחמשה |
|
ונכפול מספר החמישיות שהוא |
|
והנה ערך ששה עשר אל חמש ועשרים שהוא העולה מהכאת המדומה בעצמו שלש חמישיותיו וחמישית חמישית וככה הוא ערך היוצא מכפלתם אל השלם |
|
בקשנו לכפול ולהכות שתי רביעיות על שלש רביעיות |
|
מדומה הרביעית הנה הוא ארבעה כי ממנו תצא והכאתו על עצמו עולה ששה עשר |
|
וכאשר נכפול השתי רביעיות בשלש [131]יהיו ששה |
|
ערכם אל הכאת המדומה רביעיותו |
|
בקשנו לכפול שלש רביעיות בארבע חמישיות |
|
הנה המדומה הרביעית ארבעה ומדומה החמישית חמשה וכפלת האחד על חבירו תהיה עשרים |
|
ועתה נכפול מספר השלש רביעיות במספר הארבע חמישיות יהיו שנים עשר |
|
וערך שנים עשר אל עשרים שהוא העולה מכפלת המדומה האחד על חבירו הוא שלש חמישיותיו וככה הוא העולה מכפילת השברים הנזכרים אלו על אלו שלש חמישיות השלם |
|
או אם נרצה נעשה בדרך אחרת |
|
נקח מדומה אחד לשניהם ונכפול הארבעה בחמשה יהיו עשרים והוא המדומה לשניהם |
|
והנה ג' רביעיותיו הם חמשה עשר |
|
וארבע חמישיותיו הם ששה עשר |
|
נכפול אלו על אלו יהיו מאתים וארבעים |
|
נכה המדומה שהוא עשרים ונכפול אותו על עצמו ויהיו ארבע מאות |
|
נעריך המאתים וארבעים אליהם ונמצא כי כערך שנים עשר אל |
|
בקשנו לכפול חמש שביעיות בשבע שמינית |
|
ידוע כי מדומה השמינית הוא שמונה והשביעית שבעה וכאשר נכה ונכפול אותם זה על זה יהיו חמשים וששה |
|
ואחר כן נכפול מספר החמש שביעיות במספר השבע שמיניות ויעלו ל"ה |
|
וערכם אל חמישים וששה חמש שמיני |
|
ובדרך האחרת הנה המדומה האחד לשניהם הוא ששה וחמישים |
|
וחמש שביעיותיו הם ארבעים |
|
ושבע שמיניותיו תשע וארבעים |
|
וכפלתים זה על זה היא עולה אלף ותשע מאות וששים |
|
והכאת המדומה על עצמו עולה שלשת אלפים ומאה ושלשים וששה |
|
ותמצא כאשר נעריך אליהם האלף ותשע מאות ושישים שיהיה מערכתם שוה למערכת שלשים וחמש אל חמישים וששה |
|
ושני הדרכים האלה כאחד טובים |
|
בקשנו לכפול ארבע חמישיות על שלשה חלקים משלשה עשר בשלם |
|
הנה מדומה החמישיות [133]חמשה ומדומה החלקים משלשה עשר הוא שלשה עשר וכפלתם ששים וחמש |
|
וכאשר נכפול מספר הארבע חמישיות על מספר השלשה חלקים יהיו שנים עשר |
|
והנה שנים עשר חלקים מששים וחמש בשלם ונוכל לקחת אותם שני חלקים משלשה עשר ועוד שתי חמישיות חלק או נקראם חמישית אחת שלמה פחות ממנה חלק אחד משלשה עשר בה |
|
ובדרך האחרת ידוע כי המדומה לשניהם הוא שישים וחמש |
|
וארבע חמישיותיו המה חמשים ושתים |
|
ושלשת חלקי מהשלשה עשר המה חמשה עשר |
|
וכפילתם מזה על זה הם שבע מאות ושמנים |
|
והכאת המדומה על עצמו היא ארבעת אלפים ומאתים ועשרים וחמש |
|
וכאשר נערוך אליהם השבע מאות נמצא שיהיה ערכם שוה לערך שנים עשר אל שישים וחמש והכל אחד |
|
בקשנו לכפול תשע חלקים מחמשה עשר בשלם על אחד עשר עשר חלקים משבעה עשר בשלם |
|
לקחנו מדומה האחד העשר והשני שבעה עשר [134]כפלנום זה על זה עלו מאתים וחמישים וחמש |
|
כפלנו גם כן התשע חלקים על האחד עשר היו תשעים ותשע |
|
וערכם אל מאתים וחמישים וחמש ששה חלקים משבע עשרה בשלם ועוד תשע חלקים מחמשה עשר בחלק אחד מהם וככה הם מהשלם או נוכל לקחת אותם חמשה חלקים מחמש עשרה בשלם ועוד ארבעה עשר חלקים משבע עשרה בחלק אחד מהם |
|
ובדרך האחרת המדומה לשניהם הוא מאתים וחמשים וחמש |
|
ותשע חלקיו מחמשה עשר הם מאה וחמשים ושלשה |
|
ואחד עשר חלקיו משבע עשרה הם מאה וששים וחמש |
|
כפלנו החשבון האחד על חבירו עלו עשרים וחמש אלף ומאתים וארבעים וחמשה |
|
גם הכינו וכפלנו המדומה על עצמו עלה ששים וחמש אלף ועשרים וחמשה |
|
וכאשר נערוך אליהם העשרים וחמש אלף ומאתים וארבעים וחמשה נמצא שערכם אליהם כערך תשעים ותשע אל המדומה לא פחות ולא יותר |
|
בקשנו לכפול שתי שלישיות מרביעית חמישית על שש [135]שביעיות שמינית |
| This sought-after is more complicated to be extracted than the others mentioned, because its fractions are numerous. I shall present you the method to find it easily: | המבוקש הזה הוא קשה להוציאו מכל האחרים הנזכרים |
|
הנה כאשר נקח שלשה בעבור השלישית היוצאת ממנו ונכפלנו בארבעה באשר תצא משם הרביעית יהיו שנים עשר נכפול אותם בחמשה בעבור החמישית יהיו שישים וזהו הוא המדומה שתמצא בו שלישית ורביעית וחמישית |
|
והנה חמישיתו שנים עשר ורביעיתם שלשה ושתי שלישיתם שנים ואנחנו רואים ויודעים בבירור כי השתי שלישיות מרביעית חמישית הם שני חלקים [מששים][137] בשלם |
|
נקח גם כן מדומה שיהיה בו שביעית שמינית ויהיה חמישים וששה |
|
ושמיניתו שבעה ושש שביעיותיהם ששה והשש האלו הם חלקים [מחמשים][138] וששה בשלם |
|
והם מבוקשינו הוא כמו אם אמרנו לכפול שני חלקים מששים על ששה חלקים מחמשים וששה |
|
ועל כן נכפול המדומה האחד על חבירו ויהיו שלשת אלפים ושלש מאות וששים |
|
וכאשר נכפול השני חלקים על הששה יהיו שנים [139]עשר |
|
והנה ערכם אל מספר הכאת המדומה האחד על חבירו חמישית שמינית ושביעיתו |
|
| |
|
כי שביעית מספר ההכאה הם ארבע מאות ושמונים ושמיניתם ששים והשנים עשר הנה הם חמישית שישים |
| You can also find it in the other way by taking a common denominator for both [products]. | וגם כן תוכל למצוא אותו בדרך האחרת אם נקח מדומה אחד לשניהם |
| You will understand [what] to do through your wisdom, as you see in the previous examples. | ואתה תבין לעשות בחכמתיך כאשר אתה רואה במבוקשים הקדומים |
| Up to this point I have explained the method of multiplying the fractions by themselves or by other fractions. | עד הנה [בארתי][140] וכללתי דרך הכאת כפילת השברים על עצמם או על שברים אחרים זולתם |
| Now I shall explain the method of multiplying integers by fractions, or integers and fractions by fractions alone, whether the fractions are of one type, or two types, or multiplying integers and fractions by integers and fractions, whether the fractions are of one type, or two types. Here is their explanation: | ועתה אבאר דרכי כפלת הכאת שלמים על שברים או שלמים ושברים על שברים לבדם בין שיהיו השברים ממין אחד או משני מינים או כפילת שלמים ושברים על שלמים ושברים בין שהשברים הם ממין אחד או משני מינין וזה לך ביאורם |
Multiplication of integers by fractions |
|
|
|
|
דמיון לכפילת שלמים על שברים רצינו לכפול חמשה שלמים בארבע שישיות |
|
הנה מדומה השישיות הוא ששה |
|
נכפל מספר החמשה שלמים במספר הארבע ששיות יהיו עשרים |
|
נחלקם על המדומה יעלו [141]שלשה שלמים ושתי שישיות אחד שהם שלישיתו |
| We can find it another way: | ונוכל למצוא זה בדרך אחרת |
|
|
|
נכפול המדומה שהוא ששה על מספר השלמים שהוא חמשה ויהיו שלשים |
|
נכפול אותם על ארבע השישיות ויהיו מאה ועשרים ששיות ששית |
|
והמאה ושמנה מהם הם שלשה שלמים והשנים עשר הנשארים הם שני ששיות |
| We find that both ways lead to the same result. | ונמצא שני הדרכים האלה יוצאות אל כיוון אחד |
Multiplication of integers and fractions by fractions of the same type |
|
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\frac{c}{b}=\frac{\left[\left(n\sdot b\right)+a\right]\sdot c}{b^2}}}](/mediawiki/images/math/e/2/a/e2a27afe2a16c3b3df373989cb100803.png)
|
|
|
דמיון לכפלת שלמים ושברים על שברים לבדם שהם ממין אחד רצינו לכפול שלשה שלמים וארבע חמישיות על שלש חמישיות |
|
לקחנו מדומה החמישיות חמשה |
|
כפלנו אותם על השלשה שלמים יהיו חמשה עשר חמישיות |
|
נוסיף עליהם הארבע חמשיות ויהיו תשעה עשר חמשיות |
|
נכפול אותם על השלש חמשיות ויהיו חמשים ושבע חמשיות חמישית |
|
והחמישים מהם הם שני שלמים והשבע חמישיות חמישית הנשארות הן הם חמישית אחת ושתי חמשיות חמישית |
|
| |
| Another way: | דרך אחרת |
|
|
|
נכפול מספר השלש שלמים על מספר שלש [החמשיות][142] ויהיו [143]תשעה חמישיות |
|
וכשנכפול גם כן הארבע חמשיות על שלש חמשיות יהיו שנים עשר חמשיות חמישית שהן שתי חמשיות שלימות ושתי [חמשיות][144] חמישית |
|
ותשע חמשיות שיש לנו הנה בין כלן אחד עשר חמשיות ושתי חמשיות חמישית שהן שני שלמים וחמישית אחת ושתי חמשיות חמשית כאשר נמצא בראשונה |
|
| |
Multiplication of integers and fractions by fractions of different types |
|
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\frac{c}{d}=\frac{\left[\left(n\sdot b\right)+a\right]\sdot c}{b\sdot d}}}](/mediawiki/images/math/6/f/c/6fc4ddbcb93e9730ff64938575eebd7b.png)
|
|
|
דמיון[145] לכפול שלמים ושברים על שברים לבדם שאינם ממין אחד רצינו לכפול ארבעה שלמים ושתי חמשיות על שלש רביעיות |
|
נקח מדומה החמישיות חמשה |
|
נכפול אותו על הארבעה שלמים ויהיו עשרים [חמשיות |
|
נוסיף עליהם השתי חמשיות ויהיו עשרי'][146] ושתים חמשיות |
|
נכפול אותם על השלש רביעיות יהיו ששים [ושש][147] רביעיות חמשית |
|
והנה מדומה הרביעית הוא ארבעה |
|
נכנו על מדומה החמשיות ויהיו עשרים |
|
נחלק עליהם הששים ושש רביעיות ונמצאם שם שלשה פעמים והם שלשה שלמים ונגדנה נשאר שם ששה רביעיות חמישית [שלא נתחלקו שהם חמישית][148] אחת ושתי רביעיות חמישית |
| In another way: | ובדרך אחרת |
|
|
|
נכפול הארבעה שלמים על השלשה הרביעיות ויהיו שנים עשר רביעיות שהם שלשה שלמים |
|
ואחר נכפול [149]השתי חמשיות על שלש הרביעיות ויהיו ששה רביעיות חמישית שהם [חמשית][150] אחת שלימה ושתי רביעיות חמישית כאשר מצאנו בתחלה |
Multiplication of integers and fractions by integers and fractions of the same type |
|
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\left(m+\frac{c}{b}\right)=\frac{\left[\left(n\sdot b\right)+a\right]\sdot\left[\left(m\sdot b\right)+c\right]}{b^2}}}](/mediawiki/images/math/3/6/7/367d6ad38e7b5ffc9b90ef64917c17d2.png)
|
|
|
דמיון לכפול שלמים ושברים על שלמים [ושברים][151] ששבריהם ממין אחד רצינו לכפול שני שלמים ושלש רביעיות על שלשה שלמים ושתי רביעיות |
|
הנה מדומה הרביעיות והוא ארבעה |
|
ועל כן נכפול אותם על השנים שלמים יהיו שמונה רביעיות |
|
נוסיף עליהם השלש רביעיות ויהיה מספרן אחד עשר |
|
וגם נכפול השלמים השלשה על המדומה ויהיו שנים עשר רביעיות |
|
נוסיף עליהם השתי רביעיות ויהיו מספרן ארבעה עשר |
|
נכנו על האחד עשר ויעלו מאה וחמשים וארבעה רביעיות רביעית |
|
נחלק אותם על הכאתב' מספרא' המדומה על עצמו העולה ששה עשר |
|
ונמצאנו שם תשע פעמים והם תשע שלמים וישאר מהם שלא יתחלקו עשרה רביעיות רביעית שהן שתי רביעיות שלמות ושתי רביעיות רביעית וככה הוא היוצא מהכפילה הזאת |
|
| |
| Another method: | דרך אחרת |
|
|
|
[152]נכפול השלמים על השלמים יהיו ששה שלמים |
|
ונכפול גם כן השני שלמים על השתי רביעיות יהיו רביעיות ארבעה |
|
ואחר נכפול השלש רביעיות על השלשה שלמים יהיו תשע רביעיות |
|
בחברם אל הארבעה רביעיות שיש לנו כי כלם הם ממין אחד והוא שלשה עשר רביעיות |
|
ואחרי זאת נכפול השלש רביעיות [על][153] השתים ויהיו ששה רביעיות רביעית שהן רביעית אחת שלימה ושתי רביעיות רביעית |
|
נוסיף הרביעית הזאת על השלשה עשר ויהיו ארבעה עשר רביעיות |
|
נחלקם על המדומה שהוא ארבעה ונמצאנו שם שלשה פעמים שהם שלשה שלמים |
|
נחברם אל הששה יהיו תשעה שלימים |
|
ועדנה ישארו שם שתי רביעיות שלא יתחלקו [ושתי][154] רביעיות רביעית שיש לנו |
|
| |
| We find that this way leads to the same as the first [way]. | והנה נמצא שהדרך הזאת |
Multiplication of integers and fractions by integers and fractions of different types |
|
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\left(m+\frac{c}{d}\right)=\frac{\left[\left(n\sdot b\right)+a\right]\sdot\left[\left(m\sdot d\right)+c\right]}{b\sdot d}}}](/mediawiki/images/math/6/c/0/6c0d626e6d84cbcd8358a58a669d70e7.png)
|
|
|
דמיון לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שאינם השברים ממין אחד רצינו לכפול חמשה שלמים ושתי שלישיות [155]על שני שלמיות ושלש ששיות |
|
ידוע כי מדומה השלישיות הוא שלשה |
|
נכפול אותו על המספר החמשה שלמים ויהיו חמש עשרה שלישיות |
|
נוסיף עליהן השתי שלישיות יהי מספרן שבעה עשר |
|
וגם כן ידוע כי מדומה הששיות הוא ששה |
|
נכפול אותם על השני שלמים ויהיו שנים עשר שישיות |
|
נוסיף עליהם השלש ששיות ויהיה מספרן חמשה עשר |
|
נכה המספר האחד על חבירו ויהיו |
|
ואחרי זאת נכפול המדומה האחד על חבירו ויהיה העולה שמנה עשר |
|
נחלק עליהם המאתים וחמשים וחמש ויהיה היוצא בחלוק ארבעה עשר והנה הם שלמים ונשאר שם שלא נתחלק שלשה והם שלשה שלישיות שישית או נוכל לקרוא אותם שלש שישיות שלישית והן הם שישית אחת שלימה |
| Another method: | דרך אחרת |
|
| |
|
נבקש מדומה אחד לשני מיני השברים |
|
ונמצא זה כשנכפול שלשה בששה ויהיו שמנה עשר |
|
ונכפול המדומה הזה על החמשה שלמים ויהיו תשעים חלקים שכל שמונה עשר [156]מהם עולים שלם אחד |
|
והנה כנגד השתי שלישיות נוסיף עליהם |
|
וכמו כן נכפול המדומה על השני שלמים יהיו ששה ושלשים חלקים |
|
וכנגד השלש ששיות נוסיף עליהם שלש ששיות המדומה שהן תשעה ויהיה מספר החלקים האלה ארבעים [וחמשה][157] |
|
נכפול המספר האחד על חבירו יהיה ההווה ארבעת אלפים וחמש מאות ותשעים |
|
נחלקם על מספר הכאת המדומה על עצמו העולה שלש מאות ועשרים וארבעה |
|
ויהיה היוצא בחלוק ארבעה עשר והנה הם שלמים ונשאר שם שלא נתחלק חמשים וארבעה שהם ששית מספר הכאת מספר המדומה על עצמו נמצא היוצא מהכפילה הזאת ארבעה עשר שלמים וששית שלם אחד כאשר בתחלה |
| All these ways are good and right for those who find knowledge. | וכל הדרכים האלה הם טובים ונכוחים וישרים למוצאי דעת |
Division of fractions |
|
| Now I will start talking about the way of dividing the fractions by each other, or integers and fractions by integers and fractions. | ועתה אחל לדבר בדרך חלוקת השברים אלו על אלו או שלמים ושברים על שלמים ושברים |
Division of fractions by fractions |
|
|
|
|
[158]דמיון בחלוקת שברים על שברים רצינו לחלק שני שלישיות על שני שביעיות |
|
הנה נבקש מדומה אחד לשני השברים ונכפול שבעה בשלשה ויהיו עשרים ואחד |
|
ושתי [שלישיותיו][159] ארבעה עשר |
|
ושתי שביעיותיו ששה |
|
והנה [נחלק][160] הארבעה עשר עליהם והיוצא בחלוק הוא שנים והנשאר שלא נתחלק שנים והנה הם שלישית הששה אשר חלקנו עליהם ונמצא היוצא מהחלוקה הזאת שנים ושלישית |
Division of integers and fractions by integers and fractions |
|
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\div\left(m+\frac{c}{d}\right)=\frac{\left[n\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}{\left[m\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}}}](/mediawiki/images/math/9/3/6/9368a096c2c1e1efcbf939db69b4dcda.png)
|
|
|
דמיון לחלק שלמים ושברים על שלמים ושברי' רצינו לחלק ארבעה שלמים ושתי שלישיות על [שני][161] שלימים ושתי חמשיות |
|
והנה המדומה לשניהם הוא חמשה עשר |
|
על כן נכפול אותו על הד' שלמים ויהיו ששים חלקים |
|
ובעבור השתי שלישיות נוסיף עליהם שתי שלישיות המדומה שהם עשרה ויהיה מספר החלקים שבעים |
|
וגם נכפול השני שלימים על המדומה ויהיו שלשים חלקים |
|
נוסיף עליהם ששה שהם שתי חמישיות המדומה ויהיה מספרם ששה ושלשים |
|
נחלק עליהם מספר השבעים ונמצא שם שני פעמים פחות חצי תשיעית החשבון אשר [162][חלקנו][163] עליו או נאמר שהיוצא מהחלוקה הוא פעם אחת ועוד שלש |
|
| |
Addition of fractions |
|
| After the ways of multiplying and dividing fractions have been clarified, it is also necessary to clarify the ways of adding them to each other and the way of subtracting smaller fractions from greater fractions | אחרי אשר התבארו דרכי כפלות השברים וחלוקתם צריך לבאר גם כן דרכי מחברתם זה עם זה ודרך מגרעת שברים דקים וקטנים משברים גדולים מהם |
| Know that when we wish to know how much is the sum of known fractions with known fractions: | ותדע כי כשנרצה לידע כמה מחברת שברים ידועים עם שברים ידועים |
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}{b\sdot d}}}](/mediawiki/images/math/d/c/a/dca3987ef7aba952f8772ebaef57fc89.png)
|
|
|
כאשר נאמר על דרך משל חברנו שלש רביעיות עם חמש ששיות כמה העולה |
|
והנה נעשה על הדרך הזה נקח המדומה לשניהם והנה הוא עשרים וארבעה |
|
ושלש רביעיותיו שמנה עשר |
|
וחמש ששיותיו עשרים |
|
נחברם זה עם זה יהיו שלשים ושמנה |
|
ונקח מהם בעבור העשרים וארבע שלם אחד ונשאר מהם ארבעה עשר שהם חצי שלם אחד וחצי ששיתו או אם נרצה נקרא הנשאר חצי שלם ושלישית רביעיתו |
|
| |
Subtraction of fractions |
|
| When we wish to subtract from known fractions known fractions that are smaller than them and know the remainder. | וכאשר נבקש לגרוע משברים ידועים שברים ידועים קטנים ודקים מהם ולדעת הנשאר |
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]-\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}{b\sdot d}}}](/mediawiki/images/math/5/1/3/5137933b83402870b3ff90ea3ed3d4c8.png)
|
|
|
כאשר נאמר על דרך משל גרענו משני [165]רביעיות חמישית אחד כמה הנשאר |
|
נעשה ככה נקח מדומה אחד לשניהם והנה הוא עשרים |
|
ושתי רביעיותיו הם עשרה |
|
וחמישיתו הוא ארבעה |
|
נסיר [מהעשרה ארבעה][166] וישאר מהם ששה |
|
והוא רביעית המדומה וחומש רביעיתו וככה ערך הנשאר אל השלם |
| By that everything I wanted to clarify in this chapter becomes clear. | ובזה התבארו [כל][167] מה שראיתי לבאר בשער הזה |
| Praise be to God, blessed be He. | תהלה לאל [ברוך הוא][168] |
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\sdot\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}{\left(b\sdot d\right)^2}}}](/mediawiki/images/math/3/c/1/3c10d1507cb6b8db643f7eafc16665fc.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{\frac{2}{3}\sdot\left[\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)\right]}{60}=\frac{\frac{2}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}{60}=\frac{\frac{2}{3}\sdot3}{60}=\frac{2}{60}}}](/mediawiki/images/math/8/f/1/8f11186204ccc044ba6fbebf2d4fc01c.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left[\frac{1}{8}\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot3360\right)\right]=\frac{1}{5}\sdot\left(\frac{1}{8}\sdot480\right)=\frac{1}{5}\sdot60=12}}](/mediawiki/images/math/f/e/e/feebaeba6f09cbb35ca00b067dbe39c3.png)
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\left(m+\frac{c}{d}\right)=\frac{\left[\left[n\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]\sdot\left[\left[m\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]}{\left(b\sdot d\right)^2}}}](/mediawiki/images/math/6/b/c/6bcbef6f88fa2678c13853f712cdc424.png)
Chapter Ten – Knowing the Square Roots of "Deaf" and "Mute" Numbers by Approximation |
השער העשירי [בידיעת][169] צלעות המרובעים מחשבון החרש והאלם על דרך קרוב |
Introduction: square numbers and non-square numbers |
|
| Definition of a square number: Know that every number that has a root is called a square number and it is a "wise number". | תדע כי כל מספר נגדר הוא נקרא מרובע והנה הוא מספר פקח |
| The reason that it is called a "wise number" is that its root, which is the measure of each of the four sides of the square, can be truly found. | וטעם היותו נקרא [מספר פקח][170] באשר גדרו שהוא מדת כל אחת ואחת מארבע צלעות המרובע יכול להמצא [באמתות][171] |
| Therefore, the numbers that do not have a real root are called deaf and mute, because their root cannot be found accurately only approximately | ולזאת יקראו המספרים אשר אין להם גדר אמתי מספרים חרשים ואלמים באשר לא יוכל כל נברא למצוא [גדרם][172] בדקדוק כי אם בקירוב |
| In every scientific discipline there are many secrets hidden and concealed from the hearts of men to be found. | ובכל חכמה הרבה דברים נעלמים ונסתרים מלבות בני האדם למצאן |
| We also see this in the science of medicine, when physicians instruct to take a well-known herb root or stone to heal the sick person who carries them by their virtue, but no wise man can know the reason of the [healing] virtue of the stone, or the herb root, why it is so. | והנה נראה זה גם כן בחכמת הרפואה שיצוו הרופאים לקחת שורש עשב ידוע או אבן ידועה להיותם מרפא בסגולה לחולה [הנושאם][173] ואין [174]כח בשום חכם לדעת טעם סגולת האבן או שרש העשב למה הוא ככה |
| Many things like these are known only to the Knower of all concealed things alone, blessed be He and blessed be His name. | ודברים רבים כמו אלו אשר לא יודעו רק ליודע כל [נסתרות][175] לבדו ברוך הוא וברוך שמו |
Sexagesimal fractions |
|
| Now, we return to the premises and say: since most ancients extracted the approximate roots of "deaf" or "mute" numbers by using the method of the astronomers, some of their methods should be introduced and explained first, before I discuss the extraction of roots [of non-square numbers]. | ועתה נשוב אל הראשונות ונאמר כי לבעבור אשר רוב החכמים הקדומים הוציאו קרוב מדת צלעות המרובעים החרשים והאלמים על דרך חכמי המזלות [צריך][176] להקדים ולבאר קצת דרכיהם [בתחלה][177] בטרם שאדבר בדרך הוצאת מדת הצלעות |
| The astronomers divided the zodiac into twelve shapes that are called zodiacal signs. | והנה חלקו חכמי המזלות הגלגל לשנים עשר צורות והמה נקראות מזלות |
| The reason for this division is that there is no number smaller than twelve that has as many whole parts [= divisors, in modern terminology] like it, for it has a half, a third, a quarter, a sixth, and half a sixth. | וטעם החלוקה הזאת היא באשר אין מספר קטן פחות משנים עשר שיהיו לו חלקים רבים שלמים מבלי שבר כמוהו כי ימצא בו [חצי][178] ושלישית ורביעית ושישית וחצי שישית |
| They divided each zodiacal sign into thirty parts and called them degrees. | וחלקו כל מזל לשלשים חלקים קראו אותם מעלות |
| They divided it into this number, since there is no number smaller than it that has as many parts [= divisors] as it has, for it has a half, a third, a fifth, a sixth, and a tenth. | ויחלקוהו למספר זה לפי שאין מספר פחות ממנו אשר ימצא בו חלקים רבים בלתי שבר כמוהו כי ימצא בו חצי ושלישית וחמשית וששית ועשירית |
| They divided each degree into sixty parts and called them primes. | וחלקו כל מעלה לששים [179]חלקים וקראו אותם ראשונים |
| This number has a half, a third, a quarter, a fifth, a sixth, and a tenth. | ובמספר הזה ימצא בו חצי ושלישית ורביעית וחמשית וששית ועשירית[180] |
| They divided each prime into sixty seconds; each second into sixty thirds; and each third into sixty fourths. | וחלקו כל ראשון לששים שניים וכל שני לששים שלישים וכל שלישי לששים רביעיים |
| And so on, they divided their fractions as needed, endlessly, each one is equal to sixty of the rank that follows it and sixty of each one are a unit of the preceding rank. | וכן יחלקו חלקיהם כפי הצורך עד אין תכלית וכל אחד ואחד יהיה שוה ששים מהמדרגה השנייה לו וששים מכל אחד ואחד יעלו אחד מהמדרגה הקודמת לו |
Multiplication of Sexagesimal Fractions |
|
| I tell you that the degrees [act] as the integers: | והנני מודיע לך [כי המעלות][181] הן הנה כמו השלמים |
| When we multiply degrees by degrees, the result of multiplication are always degrees.
|
ולעולם כשנכפול מעלות על מעלות יהיה העולה מהכפלה מעלות |
| If we multiply them by other fractions, such as primes, seconds, or others, the type of these fractions always remains the same, their type does not change because of this multiplication.
|
ואם נכפול אותם בחלקים אחרים כמו ראשונים או שניים או יותר לעולם יעמוד המין מהחלקים ההם בעצמו לא ישתנו ממינם בעבור הכפלה הזאת |
| The primes, the seconds, and all other types, follow the rule of the [simple] fractions. | ואולם הראשונים או השניים או כל שאר המינין שאחריהן הנה משפטן כמשפט השברים |
|
כי כמו שאם נכפול חצי על חצי יהיה העולה רביע |
| So, if we multiply seconds by seconds, the product is fourths.
|
ככה אם נכפול חלקים שניים על חלקים שניים יהיה העולה מהכפלה רביעים |
| The product of seconds by primes is thirds.
|
וכפלת שניים על הראשונים יהיה העולה שלישיים |
| The product of primes by primes is seconds.
|
וכפלת הראשונים על ראשונים [182]יהיה העולה שניים |
| The product of seconds by thirds is fifths.
|
ומכפלת שניים בשלישיים יהיה העולה חמשיים |
| The product of sixths by seconds, or fourths by fourths, is eighths.
|
וששים בשניים או רביעיים ברביעיים יהיה העולה שמניים |
| The product of seconds by fifths is sevenths.
|
ושניים בחמשיים יהיה העולה שביעיים |
| And so on for all according to the aforementioned method. | וככה כלם על דרך זה האמור |
Written procedure |
|
| I will give you a method for multiplying these mentioned fractions: | ואכין לך דרך לכפילת החלקים |
| When you wish to multiply a line of known fractions by a line of known fractions; in each line there are many higher and lower types, do as follows: take one of the two lines and convert all the higher types into the lowest type of that line. Add what you receive from the decomposing to the lowest type, because now they are all the same type. Apply the same procedure with the second line as well. | כשתבקש לכפול טור אחד מחשבונות חלקים ידועים על טור אחד מחשבונות חלקים ידועים ויהיה בכל אחת מהטורים חלקים מהרבה מינים גדולים וקטנים תעשה ככה קח הטור האחד משתיהן ויצקת כל המינים הגדולים אל המין היותר קטן שבטור ההיא [וחבר אל שתיהם][183] המין הקטן אל מה שיעלה לך מההתכה כי אז הם כלם ממין אחד כ"ד וכמעשה [הטור][184] הזאת תעשה הטור השנית גם כן מהטור השנית גם כן |
| We multiply one [line] by the other and see what type the result of multiplication should be, according to what was explained before. | נכפול אלו על אלו ותראה |
| Then, divide them by sixty many times, until you reach a type which you cannot divide by sixty. | ואחר חלק אותם על ששים הרבה פעמים עד שתבא אל תכלית המין אשר לא תוכל לחלק אותם על ששים |
| Know that if there is any number left that cannot be divided in each division, the remainder is of the type of the divided number. | ותדע אם ישאר שום מספר שלא נתחלק בכל חלוקה וחלוקה יהיה הנשאר ממין המספר המחלק |
| This multiplication technique is long as well as short, but it is well-guided. | [185]ודרך הכפילה הזאת היא ארוכה [ו]קצרה והיא סלולה ומיושבת בטוב |
Extracting Roots of Deaf Numbers |
|
| After clarifying and introducing what is appropriate for the art of this chapter, I will return to discuss the method of extracting the root a deaf square: | ואחרי אשר בארתי והקדמתי מה שראוי למלאכת השער הזה אשוב לדבר בדרך הוצאת מדת הצלעות ממרובע שמספרו חרש |
| When we want to reach the required purpose, we look at the square that precedes the number we are examining, we find it as explained in chapter seven. We see how much is the excess over the preceding square.
|
והנה כאשר נרצה לבא אל תכלית המבוקש הזה נעיין המרובע שעבר מהמספר אשר אנחנו חוקרים עליו ונגיע לדעת זה על פי מה שהתבאר בשער השביעי ונראה כמה העודף על המרובע שעבר |
|
ואם היה פחות מגדרו נעשה זאת |
|
נשיב העודף ראשונים והוא שנכפל שנכפול אותם בששים ואחר נחלקם על כפל הגדר מהמרובע שעבר ומה שיצא בחלוק נוסיף אותו על הגדר [וככה יהיה מדת הצלעות בקרוב][186] |
|
ואם נרצה לדקדק אותה עוד נכפול ונכה המדה הזאת על עצמה ונראה מה יוסיף בהכאה על החשבון אשר אנחנו חוקרים עליו |
|
ונעיין מה ערך התוספת אל כפל [המדה][187] שמצאנו פעמים וכערך [ההוא][188] תסיר מהמדה והנותר יהיה יותר מדה מדוקדקת מאשר לא היתה בתחלה |
|
ולדקדקה יותר נעשה מהמדה הזאת השנית כאשר עשינו מהמדה הראשונה [189]ומה שישאר אחרי הסרת ערך התוספת ההכאה אל כפל המדה השנית פעמים ממנה יהיה מדה מדוקדקת מכלנה |
|
ומכאן ואילך אל תיגע עצמך לדקדק כי אולי תצלול במים אדירים וחרס יעלה בידך |
|
ואם מצאנו שהעודף מהמספר על המרובע שעבר הוא יותר מגדר המרובע שעבר נעשה בדרך אחרת |
|
נעיין כמה המרחק ממספרנו ועד המרובע העתיד |
|
ונשיב המרחק ראשונים ונחלקם על כפל [גדר][190] המרובע העתיד פעמים ומה שיצא בחלוק נגרע אותו מגדר המרובע העתיד והנשאר היא מדת הצלעות בקרוב |
|
וכשנבקש לדקדק אותה נעשה בדרך המבואר [בדקדוקיו][191] שלפנינו |
|
והנה אם מצאנו העודף ממספרנו על המרובע שעבר שהוא בכגדרו לא פחות ולא יתר נקרא מספרינו ממוצע |
|
ואם נרצה נוציא מדת הצלעות מהמרובע שעבר או מהמרובע שעתיד והכל יהיה שוה רק שמעשה האחד בתוספת ומעשה האחר במגרעת |
|
|
|
|
דמיון במספר שהעודף על המרובע שעבר פחות מגדר המרובע [192]ההוא רצינו לדעת מדת כל צלע וצלע ממרובע שהוא חמשה |
|
והנה העודף על המרובע שעבר הוא אחד |
|
נשיב אותו ראשונים ויהיו ששים |
|
נחלק אותם על הד' שהם כפל מהגדר מהמרובע שעבר פעמים ויהיה היוצא מהחלוקה חמשה עשר ראשונים |
|
נוסיפם על הגדר מהמרובע שעבר ונמצא שיהיה מדה אחת לכל הצלעות שנים שלמים וחמשה עשר ראשונים בקרוב |
|
ואם נרצה לדקדק המדה הזאת נכה ונכפול השנים שלימים וחמשה עשר ראשונים על עצמם ויהיו חמשה שלמים ומאתים ועשרים וחמש שניים כי מכפלת הראשונים על ראשונים כבר התבאר שיהיה העולה שניים |
|
ועתה יש לנו לראות הנוסף על החמשה שלמים שהוא מאתים ועשרים וחמש שניים איזה ערך הוא מכפלת המדה שמצאנו פעמים והנה ערכם אליה הוא כערך אחד משבעים ושנים |
|
ועל כן נשיב החמשה עשר ראשונים שיש לנו כלם שניים ויהיו תשע מאות שניים |
|
ונחלק אותם על שבעים ושנים ותצא לנו החלוקה שנים עשר וישארו שלשים וששה שניים [193]שלא נתחלקו על השבעים ושנים |
|
ולכן נקח חצי האחד מהם שהיה חלק אחד מהשבעים ושנים ותהיה החצי שלשים שלישיים ונמצא שנחלק הכל על שבעים ושנים והיוצא הוא שנים עשר שניים ושלשים שלישיים |
|
נסיר אותם מהתשע מאות שניים ישארו שמנה מאות ושמנים ושבעה שניים ושלשים [שלישיים שהם ארבעה עשר ראשונים וארבעי' ושבעה שניים ושלשים][194] שלישיים וזאת היא המדה המדוקדקת יותר מבראשונה וסימן שלה ב' י"ד מ"ז ל' והנה הם שלמים ראשונים שניים שלישיים |
|
| |
|
ואם נרצה לדקדק עוד זאת המדה תכה ותכפול אותה בעצמה ותמצא שיהיה העודף על החשבון הנחקר ב' ראשונים ע"ח שניים מ"ד שלישיים י"ו רביעיים ט"ו חמישיים |
|
| |
|
ותראה מה ערך הנוסף הזה אל כפל המדה פעמים וכערכו אליה תסיר מהמדה שיש לך כאשר התבאר למעלה ותהיה הנשאר מדה מדוקדקת מהאחרות הקודמות |
|
|
|
|
דמיון במספר שהעודף על המרובע שעבר יתר מגדרו רצינו לדעת מדת הצלעות ממרובע שהוא שבעה |
|
ובאשר העודף על המרובע שעבר יותר מגדרו נראה כמה מרחק יש ממספרינו [195]ועד המרובע העתיד והנה המרחק הוא שנים כי ככה ירחוק שבעה מתשעה שהוא המרובע העתיד |
|
נשיבם ראשונים יהיו מאה ועשרים |
|
נחלקם על כפל גדר המרובע העתיד פעמים העולה ששה נמצאם שם עשרים פעמים והם ראשונים |
|
נסיר אותם מגדר המרובע העתיד שהוא שלשה וישאר שנים שלמים וארבעים ראשונים וזאת היא מדת צלעות המרובע הנחקר בקרוב |
|
| |
|
וכאשר תרצה לדקדק המדה הזאת ותכנה בכפלה על עצמה תמצא שלא יהיה הנוסף על מספר המרובע הנחקר כי אם ששה ראשונים וארבעים שניים |
|
וגמור את המלאכה האמור למעלה |
|
|
|
|
דמיון במספר שהעודף על המרובע שעבר הוא כגדר המרובע ההוא שעבר רצינו לדעת מדת צלעות מרובע שהוא ששה |
|
והנה מספר המרובע הזה הוא ממוצע ואם נרצה נוכל להוציא המדה מהמרובע העבר או מהמרובע העתיד והכל יבוא אל כוון אחד כאשר יהיה מעשה האחד בתוספת ומעשה האחד במגרעת |
|
ונוציאנה [196]בתחלה מהמרובע שעבר [שהוא ארבעה][197] והנה העודף שנים שהם מאה ועשרים ראשונים |
|
נחלקם על כפל הגדר שהוא [ארבעה נמצאם שם שלשים פעמים והם שלשים ראשוני |
|
נוסיפם על הגדר שהוא][198] שנים ותהיה זאת המדה הראשונה בקרוב |
|
| |
|
ואם נוציא המדה מהמרובע העתיד שהוא תשעה נעשה בדרך זה הנה המרחק שלשה שהם מאה ושמנים ראשונים |
|
נחלקם על ששה שהוא כפל הגדר המרובע העתיד נמצאנו שם שלשים פעם והם ראשונים |
|
נסיר אותם משלשה שהם גדר המרובע העתיד וישארו שנים שלמים ושלשים ראשונים כאשר מצאנו כאשר מצאנו בתחלה כאשר היינו מוצאים המדה מהמרובע [שעבר][199] |
|
| |
|
[והכל אחד ועל כן יקרא כל חשבון כזה ממוצע][200] |
|
ואם תרצה לדקדק המדות תעשה כאשר התבאר לפנים |
Chapter Eleven – Here I will Write Nice Rules of Arithmetic Methods for You |
השער האחד עשר הנה אכתוב לך בזה כללים נחמדים בדרכי החשבון |
| Multiplication of a number by itself | |
|---|---|
|
ותדע כי כאשר תרצה לכפול חשבון אחד על עצמו בין שיהיה החשבון ההוא אחדים בלבד או שיש עמהם עשרות או עשרות לבדן |
|
אם הוא מספר שיש לו שלישית קח שלישיתו והכה אותה על עצמה וכפול מרובעה עשרה פעמים והסר מהם מרובעה והנשאר הוא [201]המבוקש |
|
דמיון בקשנו לכפול שש על שש |
|
הנה השלישית שנים ומרובעו ארבעה |
|
נכפול אותה עשרה פעמים יהיו ארבעים |
|
נסיר מהם ארבעה שהוא מרובע השלישית ישארו ששה ושלשים והוא הנכפל |
|
| |
|
ואם לא היה למספר שלישית אך עודף ממנו שלישיות אחד נסירנו משם ונחשוב המשולש בדרך המבואר ואחר נוסיף על חשבוננו המספר האחרון מהמשולש והמספר שאחריו אשר הסירונו והמחובר הוא המבוקש |
|
| |
|
דמיון בקשנו לכפול עשרה על עצמם |
|
נסיר מהם אחד וישארו תשעה והם משלשים |
|
נקח שלשה שהוא שלישיתם והנה מרובעם תשעה |
|
וכפלתם עשרה פעמים הם תשעים |
|
ונסיר מהם מרובע השלישית וישארו שמונים ואחד |
|
נוסיף עליהם תשע ועשרה יעלו מאה והוא הנכפל |
|
| |
|
ואם היה המספר פחות משלישיות אחד הוסיפנו עליו ונחשוב אותו כמשפט ואחר נסיר ממנו החשבון שהוספנו עליו החשבון האחרון שלו והנשאר הוא המבוקש |
|
| |
|
דמיון בקשנו [לכפול][202] אחד עשר על עצמם |
|
[203]נוסיף עליהם אחד ויהיו שנים עשר |
|
נחשבם בדרך לקיחת השלישית והנה מרובעה ששה עשר |
|
וכפלתם בעשרה מאה וששים |
|
נסיר מהם ששה עשר שהם מרובע השלישית ישארו מאה וארבעים וארבעה |
|
נסיר מהם אחד עשר ושנים עשר העולים עשרים ושלשה ישארו מאה ועשרים ואחד והוא הנכפל |
|
| |
| Multiplication of units and tens by units and tens
|
|
|
דמיון אחרת לדעת כפלת האחד עשר על אחד עשר |
|
הנה נחשוב שהמספר הזה נכתב בשני טורים |
|
ונקח האחד מן הטור האחת ונחברם אל הטור האחרת ויהיו שנים עשר |
|
נכפלם על העשרה הנשארים יהיו מאה ועשרים |
|
נוסיף עליהם הכאת האחדים על עצמם ויהיו מאה ועשרים ואחד והוא הנכפל |
|
| |
|
וככה אם נבקש לכפול חמשה עשר בשנים עשר |
|
נקח השנים ונשים אותם על החמשה עשר ויהיו שבעה עשר |
|
נכפלם על העשרה הנשארים יהיו מאה ושבעים |
|
ונכה השנים האחרים על החמשה ויהיו עשרה |
|
נחברם עם המאה ושבעים יהיה הנכפל מאה ושמנים |
|
| |
Word Problems |
|
| Now, I shall start discussing and mentioning some of the difficult problems, extracting their solutions, and explaining each one of them at length. | ועתה אתחיל לדבר ואזכיר קצת מהשאלות הקשות [204]ולהוציא תשובתן אאריך [הביאור][205] כל אחת מהם |
| Find a Number Problem - Sums | |
|
שאלה חברנו כל המספרים הרצופים מאחד עד עשרים והם הכלל כמה המחובר |
|
|
|
|
הנה נוסיף על העשרים אחד ונכפלם [על][206] עשרה שהוא חצי עשרים ויהיה הנכפל מאתים ועשרה וככה המבוקש |
|
ואם נרצה לדעת כמה עולים המספרים המחוברים על אחד עשר |
|
נוסיף עליו אחד יהיו שנים עשר נכפלם על חצי האחד עשר שהם חמשה וחצי ויהיה הנכפל ששים וששה וככה המחובר |
|
ויש [דרכים][207] אחרים ומה שכתבתי הוא היותר קל ונכון |
|
נהפוך השאלה ונאמר עלה המחובר ממספרים רצופים המתחילים מאחד מאתים ועשרה איזה הוא המספר האחרון מהמחוברים |
|
|
|
|
נעשה בדרך זה נכפול מאתים ועשרה פעמים ויהיו ארבע מאות ועשרים |
|
נקח מהם הגדר היותר קרוב כאשר התבאר דרך לקיחתו בשער השביעי והנה נמצא שהוא עשרים והוא המספר האחרון מהמחוברים |
|
והנה נשאר מהמספר שהוא בלתי נגדר עשרים [208]כמספר הגדר |
|
וכן ראוי שיהיה בכל החשבונות הדומים לזה ואם אין טעה השואל בשאלתו וכאשר חבר המספרים עשה בטעות בלי ספק |
| Triangulation Problem - Cane | |
|
שאלה [קנה][209] המדה ארוכה חמש אמות ועומדת זקופה בכותל אחת גבוה כמדתה אם [נשפיל][210] אותה מראש הכותל אמתיים כדי שתעמוד בשפוע כמה הרחיק ראש הקנה התחתון מיסוד הכותל |
|
נעשה זאת נקח מרובע החמש אמות והם עשרים וחמש |
|
ונקח גם כן מרובע הג' אמות הנשארות משם ועד יסוד הכותל והנה הוא ט' |
|
ומרחקו מעשרים וחמש ששה עשר |
|
וגדר ששה עשר הוא ארבעה וככה מרחק ראש הקנה התחתון מיסוד הכותל בלתי תוספת ומגרעת |
|
| |
|
ואם היה החסרון ממרובע אל מרובע מספר חרש ואלם תקח גדרו בקרוב כאשר התבאר בשער הקדום לזה וככה יהיה מדת מרחק מראש הקנה התחתון אל היסוד הכותל |
| Divide a Quantity Problem - Simple division | |
|
שאלה נתתי לשלוחי שלשים דנרים ופשוט וצותי אותו שישכור פועלים כאשר יספיקו לו מעותיו ויהיה שכר האחד כשכר חברו ולא יהיה בהם [211]פועל ששכרו פשוט וגם לא יהיה בשכרו שום שברי שלם נרצה לדעת כמה פועלים יוכל לשכור |
|
הנה נשיב הדינרים כלם פשוטים ונחבר אליהם הפשוט הנוסף עליהם ויהיו שלש מאות וששים ואחד פשוטים |
|
נקח גדרם בדרך השער השביעי ונמצא שהוא תשעה עשר |
|
ונוכל להשיב שיוכל לשכור השליח תשעה עשר פועלים ושכר כל אחד ואחד תשעה עשר פשוטים לא פחות ולא יתר |
| How much Problem - Wall | |
|
שאלה חומה שנפלה והוספו עליה בבנין כדי שתהיה גבוה הרבה חצי מדתה מאשר היתה בתחלה וששיתה ותשיעתה עם כל זה והיתה מדת גבהה חמשים אמה כמה היתה מדתה בראשונה |
|
נקח מדומה שיהיה לו חצי וששית ותשיעית והוא שנקח שנים בעבור אשר יצאה מהם החצי ונכפול אותם בששה בעבור הששית אשר תצא מהם ויהיו שנים עשר ונכפול גם הם בתשעה בעבור התשיעית ויהיה המדומה מאה ושמנה |
|
ומחציתו חמשים וארבעה |
|
וששיתו שמנה עשר |
|
ותשיעתו שנים [212]עשר |
|
והמחובר מכל החלקים האלה עולה שמונים וארבעה |
|
נוסיפם אל המדומה ויהיו מאה ותשעים ושנים |
|
והנה נעשה בדרך הערכין ונעריך ונאמר כערך מאה ושמנה שהוא המדומה אל מאה ותשעים ושנים שהוא העולה מתוספת החלקים הנזכרים עליו כן ערך מדת החומה אשר היתה בראשונה הנעלמת ממנו אל חמשים שהיא גבוהה עתה אחר התוספת בבנין |
|
וכאשר נכפול המספר הראשון על הרביעי יהיו חמשת אלפים וארבע מאות |
|
נחלקם על האמצע הנודע שהוא מאה ותשעים ושנים נמצאנו שם שמנה ועשרים פעמים וישארו מהם עשרים וארבעה חלקים שלא נתחלקו והמה חלקים ממאה ותשעים ושנים בשלם אשר חלקנו עליו |
|
ועל כן נוכל להשיב כי מדת גבהות החומה בראשונה היתה שמונה ועשרים אמות ועשרים וארבעה חלקים ממאה ותשעים ושנים באמה |
|
ונבחן זה אם הוא אמת בדרך זאת |
|
נתיך כל האמות ונעשה מכל האחת ואחת החלקים הנזכרים ונחבר העולה אל עשרים וארבע החלקים העודפים על [213]האמות ויהיה המחובר חמשת אלפים וארבע מאות |
|
מחציתם אלפים ושבע מאות |
|
ששיתם תשע מאות |
|
תשיעיתם שש מאות |
|
המחובר ארבעת אלפים ומאתים |
|
נוסיף זה על החמשת אלפים וארבע המאות ויהיו כתשע אלפים ושש מאות |
|
ואם תחלקם על מספר חלקי האמה |
|
שאלה חומת העיר גבוה מאה אמה ונפרצו ממנה שלישיתה ורביעיתה כמה גובה הנשאר |
|
הנה המדומה שיש לו שלישית ורביעית הוא שנים עשר |
|
נקח ממנו החלקים הנזכרים ונחברם יהיו שבעה נסירם מהמדומה ישארו חמשה |
|
ועתה נעריך ונאמר כערך חמשה אל שנים עשר כך ערך הנעלם אל מאה |
|
כפלנו החשבון הראשון על הרביעי ויהיו חמש מאות |
|
נחלקם על האמצעי הנודע נמצאנו שם ארבעים ואחד פעמים ונשארו מהם שמונה שלא נחלקו שהם חלקים משנים עשר וככה הוא גובה הנשאר ארבעים ואחת אמה ושמנה [214]חלקים משנים עשר באמה שהם שני שלישיות |
|
וכאשר נבחן זה |
|
ונעשה מהאמה אמות אשר היו שם בראשונה חלקים משנים עשר מכל אחת ואחת יהיו אלף ומאתים |
|
נקח שלישיתם שהם ארבע מאות |
|
ורביעיתם שהם שלש מאות |
|
והמחובר עולה שבע מאות |
|
נסיר אותם מהאלף ומאתים ישארו חמש מאות שהם ארבעים ואחת אמה ושמנה חלקים משנים עשר כאשר זכרנו |
| First from last Problem - Amount of grain | |
|
שאלה בעל הבית שאסף תבואתו ותרם ממנו בתחלה תרומה גדולה כמשפט ואחרי כן הפריש מהנשאר מעשר ראשון ומהנשאר אחרי זאת הפריש מעשר שני ונשארו לו חמישים מדות חטה כמה היה הכרי בתחלה |
|
| |
|
ידוע כי התרומה אמרו רבותינו ז"ל שהיא תרי ממאה שהיא חלק אחד מהחמשים |
|
על כן נקח חמשים ונכפלם בעשר בעבור המעשר ראשון היוצא ממנו ויהיו חמש מאות |
|
ונכפול גם הם בעשר בעבור המעשר שני ויהיה חמשת אלפים והוא המדומה |
|
והנה תרומתו מאה |
|
נסירנה ממנו ישארו ארבעת אלפים [215]ותשע מאות |
|
מעשר שלהם ארבע מאות ותשעים |
|
נסיר אותו מהם ישארו ארבעת אלפים וארבע מאות ועשרה |
|
מעשר שלהם ארבע מאות וארבעים ואחד |
|
נסיר אותו מהם ישארו שלשת אלפים ותשע מאות [וששים ותשעה][216] |
|
ועתה נעריך ונאמר כערך שלשת אלפים ותשע מאות וששים ותשעה אל חמשת אלפים כן ערך חמשים אל הנעלם |
|
כפלנו האמצעיים עלו מאתים וחמשים אלף |
|
נחלקם על החשבון הראשון הנודע נמצאנו שם ששים ושתים פעמים ונשארו שלא נתחלקו שלשת [אלפים ותשע מאות ועשרים ושנים והם חלקים משלשת][217] אלפים ותשע מאות וששים ותשעה אשר חלקנו עליו וכזה היה סכום המדות אשר היו בכרי כשהתחיל בעל הבית לתרום |
| How much Problem - Amount of money | |
|
שאלה ראובן תובע לשמעון מאה מנה שאומר שהוא חייב לו על פה ויאמר שמעון אליו אין אני חייב לך מאה מנה אבל כאותם שאני חייב לך ואחרים כמותם ומחציתם ורביעיתם ועם אחד יהיו מאה |
|
ונעשה על דרך זה נקח מדומה שיש לו חצי ורביעית [218]והנה נמצא שמונה |
|
נוסיף כמוהו יהיו ששה עשר וגם הוסיף מחצית המדומה שהיא ארבעה יהיו עשרים ורביעיתו שהוא שנים יהיו עשרים ושנים |
|
ובהכרח כערך שמנה אל עשרים ושנים כן ערך הנעלם אל תשעים ותשע |
|
כי בידוע כי המחובר מחלקי ההודאה עמה לא יעלה כי אם תשעה ותשעים ועם אחד הם מאה |
|
וכאשר נכפול החשבון הראשון על הרביעי יעלו שבע מאות ותשעים ושנים |
|
חלקנוהו על האמצעי הנודע שהוא עשרים ושנים יצא בחלוק ששה ושלשים וככה הוא מספר המנים שהודה שהוא חייב לו |
|
ובחון זה ותמצאהו באמת |
| Purchase Problem - Moneychanger | |
|
שאלה צורף כסף שמכר לשולחני רתוקות כסף ערכה ממטבע אחד שלשה דינרים וממטבע אחר חמשה דינרים ומאחר חמשה דינרים ושאל הצורף לשולחני שיכוין לו בדמיו משלש המטבעות האלה מכל אחד חלק שוה |
|
ונחקור על דרך זה נבקש מדומה שיש לו שלישית וחמישית ושביעית והנה נמצא [219]מאה וחמש |
|
שלישיתו שלשים וחמשה וחמישיתו עשרים ואחד שביעיתו חמשה עשר |
|
והמחובר מכל החלקים האלה שבעים ואחד והמה החלקים אשר נצטרך לחלק [כל][220] דינר אליהם |
|
והנה נחלק המדומה על שבעים ואחד נמצאנו שם פעם אחת וישארו שלא נתחלקו ארבעה ושלשים והמה חלקים מהשבעים ואחד אשר חלקנו עליהם המדומה |
|
וככה יקח הצורף מכל מטבע דינר אחד ושלשים וארבעה חלקים משבעים ואחד בדינר |
|
ואתן לך מסלול ודרך איך תבחון זה |
|
תקח המדומה שהוא מאה וחמש וכדי שנשיב כל המטבעות ממטבע שלשה נכפלנו עליהם ויהיו שלש מאות וחמשה עשר |
|
נחלקם על [חמשה][221] כדי שנדע כמה חלקים הם ממטבע חמשה יצא בחלוק ששים ושלשה חלקים |
|
גם נחלק שלש מאות וחמשה עשר על שבעה למען נדע כמה חלקים הם ממטבע שבעה יצא בחלוק ארבעים וחמשה |
|
וכאשר נחבר כל החלקים משלשת המטבעות שהם מאה וחמש וששים ושלשה וארבעים וחמשה [222]יעלו מאתים ושלשה עשר |
|
נחלקם על שבעים ואחד שהם [חלקי][223] הדינר השלם ונמצאם שם שלשה פעמים והנם שלשה דינרים שלימים |
|
ועל הדרך הזה תעשה אם תרצה להשיב כל חשבון ממטבע חמשה או ממטבע שבעה ותמצא אמתת הדבר |
| Find a Number Problem | |
|
שאלה שלישית וחמישית ושביעית מחוברים איזה ערך הם מהשלם |
|
לקחנו להם מאה וחמש למדומה |
|
שלישיתו חמשה ושלשים וחמישיתו עשרים ואחד ושביעיתו חמשה עשר |
|
נחבר את כלם ויהיו שבעים ואחד |
|
והנה ערכם אל המדומה ארבע שביעיותיו ושתי שביעיות שלישיתו ושלישית ושלישית חמישית שביעיתו |
| Purchase Problem - Buy and Sell | |
|
שאלה הקונה ארבע חמישיות ליטרא בפשוט ומכר קנייתו בערך חמש תשיעיות ליטרא בפשוט והרויח אחד עשר פשוטים כמה היה הממון |
|
הנה המדומה שיש לו חמישית ותשיעית הוא ארבעים וחמשה |
|
וארבע חמישיותיו ששה ושלשים |
|
וחמש תשיעיותיו עשרים וחמש |
|
וככה הוא הממון |
|
ואם אמר שהרויח עשרים ושנים פשוטים |
|
[224]נכפול חמשה ועשרים שנים ועשרים פעמים |
|
ואם אמר שהרויח שלשים ושלשה פשוטים |
|
נכפלם שלשים ושלש פעמים |
|
וככה עד אין קץ |
| Purchase Problem - Buy and Sell - Peanuts | |
|
שאלה סוחר קנה עשרים ליטראות בטנים בעשרים דינרים והלך ומכר מהן עשרה ליטרין לערך חמש רביעיות ליטרא בדינר ונמצא שהוא מפסיד בזה |
|
והנה נחקור על דרך זה ונשיב העשר ליטראות הראשונות שמכר כלם רביעיות ויהיו ארבעים |
|
נחלקם על החמש רביעיות שמכר בדינר נמצאם שם שמונה פעמים נמצא שה' מכרם בשמונה דינרים |
|
נעשה כן [רביעיות][225] מהעשר ליטראות האחרונות ונחלקם על שלש רביעיות שמכר בדינר נמצא שם שלשה עשר פעמים שהם י"ג דינרים ועוד נשאר מהם שלא נתחלק רביעית אחת שהיא שלישית דינר |
|
נחבר כל זה אל [226]השמונה דינרים יהיו עשרים ואחד דינרים וארבעה פשוטים |
|
נמצא שהרויח ששה עשר פשוטים |
| Partnership Problem - For the Same Time | |
|
שאלה שלשה שותפין בארבעים וששה דינרים חלק האחד שנים עשר דינרים וחלק השני חמשה עשר דינרים וחלק השלישי תשעה עשר דינרים והרויחו בין כלם עשרים דינרים כמה יקח כל אחד ואחד מהם |
|
ידוע כי אין ספק שכל אחד ואחד מהם יקח ערך מעשרים כערך חלקו אל הארבעים וששה |
|
ותברר זה במשפטי הערכין בנקלה |
| Payment Problem - two workers, two different daily wages, the same actual payment | |
|
שאלה השוכר ראובן ושמעון שיעשו לו בין שניהם מלאכה עשרה ימים ולא תשבות המלאכה והתנה עם ראובן שאם יעסוק הוא [במלאכה לבדו כל העשרה ימים שיתן לו ב' דינרים |
|
והנה נחקור על דרך זה תדע כי ראובן יעבוד חמשה ימים בדינר ושמעון לא ישמש בדינר כי אם שני ימים והמחובר מימי שניהם הוא שבעה |
|
נחלקו העשרה ימים עליהם ויהיה היוצא אחד שלם ישארו שלשה שלא נתחלקו וככה הוא סכום המעות אשר יקח כל אחד מהם דינר ושלשה שביעיות דינר |
|
ועתה נחקור כמה משפט ימי |
|
ונעשה ככה בידוע כי ראובן חייב לעבוד בדינר אשר לקח חמשה ימים ונרצה לדעת כמה [ימים][229] יעבוד בעבור השלשה שביעיות מהדינר ונגיע לידיעת זה כאשר נעשה במשפטי הערכין |
|
ונשיב החמשה ימים חלקי שביעיות ויהיו חמשה ושלשים |
|
ונעריך ונאמר כערך שלשה אל שבעה כן ערך הנעלם אל חמשה ושלשים |
|
נכפול החשבון הראשון על הרביעי יהיו מאה וחמש |
|
נחלקם על [230]האמצעי הנודע שהוא שבעה נמצאם שם חמשה עשר פעמים והנה הם חלקי שביעית יום העולים שני ימים ושביעית יום אחד |
|
ונמצא כל ימי עבודת ראובן שבעה ימים ושביעית יום אחד |
|
וידוע כי שמעון חייב לעבוד שני ימים בעבור הדינר שלקח |
|
וכשנשיב [השני ימים][231] חלקי שביעיות יהיו ארבעה עשר |
|
והנה כערך השלשה שביעיות שלקח אל שבעה כן ערך הנעלם [אל][232] ארבעה עשר |
|
כפלנו החשבון הראשון על האחרון היו ארבעים ושנים |
|
חלקנום על האמצעי הנודע שהוא שבעה נמצאם שם ששה פעמים והם חלקי שביעיות יום |
|
ונמצא כל ימי עבודת שמעון שני ימים ושש שביעיות יום |
|
וכאשר תחבר מספר הימים והחלקים מעבודת שניהם ותעשה משבעה חלקים יום אחד תמצא שהם עשרה ימים בכיוון |
| Payment Problem - Messenger | |
|
שאלה שכרתי שליח אחד בשלשה עשר דינרים [והתנאתי][233] עמו שילך לי מכאן ועד עשרים יום אחד עשר פרסאות בכל יום והשליח מעל או שנאנס ולא הלך כי אם חמש פרסאות בכל יום עד [234]שבעה ימים |
|
נעשה בדרך זאת בתחלה נחשוב כאלו הלך השליח החמש פרסאות כל העשרים יום ונראה מה יגיע אליו מהשכרות |
|
והנה נעריך ונאמר כערך חמשה אל אחד עשר כן ערך הנעלם אל שלשה עשר שהוא ערך השכירות |
|
כאשר נכפול החשבון הראשון על הרביעי ונחלק על האמצעי הנודע נמצא שיגיע אליו מהשכרות ה' דינרים וי' חלקים מי"א בדינר |
|
ובעבור שלא הלך החמש פרסאות כי אם שבעה ימים |
|
נחזור ונעריך ונאמר כערך שבעה אל עשרים כן ערך הנעלם אל ה' דינרים [וי'][235] חלקים מי"א בדינר |
|
נכפול החשבון הראשון שהוא שבעה על החשבון הרביעי שהוא ה' דינרים ובו' יהיה ל"ה |
|
גם נכפול אותו על הי' חלקים יהיו שבעים חלקים |
|
וכאשר אנחנו צריכים לחלק העולה מהכפילה הזאת על האמצעי הנודע נשיב הכל ממתכונת אחת ונעשה מהל"ה חלקים מי"א ויהיו שפ"ה |
|
נחבר אליהם הע' חלקים שגם [236]הם המה חלקים מי"א ויהיו תנ"ה |
|
ואחרי זאת נשיב גם כן האמצעי הנודע שהוא עשרים חלקים מי"א יהיו ר"ך |
|
נחלק תנ"ה עליהם נמצאם שם פעמים וישארו ט"ו שלא נתחלקו והם שלש רביעיות חלק אחד מהאחד עשר חלקים מר"ך שהוא השלם אשר חלקנו עליו |
|
| |
|
וככה יקח השליח בשכרותו שני דינרים ושלש רביעיות חלק אחד מאחד עשר חלקים בדינר שלם |
| Divide a Quantity Problem - Proportional Division - Inheritance | |
|
שאלה ארבעה נשי יעקב שנשאו לו ביום אחד ועשה לכל אחת ואחת כתובה בו ביום כתקון חכמים שם האחת לאה וכתובתה [ארבעת][237] אלפים זהובים |
|
ואמרו חכמים ז"ל שמשפט הבית דין לחלק להן הממון על דרך זה |
|
יאמרו אל בלהה שכתובתה קטנה מכלנה אין לך ערעור בחברותיך כי אם באלף [238]זהובים וגם הנה יש להן משפט בהן על כן תקח רביעית האלף שהוא |
|
אחרי כן יאמרו גם כן ב"ד אל רחל אין לך ערעור רק על אלפים שיש לשתי חברותיך גם כן משפט בהן וכבר לקחת חלקך מהאלף המחולק על כן תקחי מהאלף אחר שצריך לתשלום תביעתך השלש שהוא שלש מאות ושלשים ושלשה זהובים ושליש זהוב ושובי לביתך ונמצא חלוקה בין הכל תקפ"ג זהובים ושליש זהוב וגם כן יקחו כל אחת משתיהן מאותו האלף השני הנחלק שלש מאות ושלשים ושלשה זהובים ושליש זהו' |
|
| |
|
ואחרי כן אמרו לזלפה אין לך תביעה רק בשלשת אלפים שיש ללאה חברתיך בהן משפט וכבר לקחת חלקך מהשני האלפים המחולקים [על כן][239] נחלק בין שתיהן האלף הצריך לתשלום תביעתך ונמצא שתהיה חלק זלפה בין הכל אלף [ושמנים][240] ושלשה זהובים ושליש זהוב |
|
| |
|
ונשארו ללאה אלפים ושמנים ושלשה זהובים ושלישית זהוב |
|
| |
|
ואם תחבר החלקים האלה [241]תמצא העולה ארבעת אלפים |
|
והנה חכמי החשבון חולקים הממון הזה בדרך אחרת |
|
ויאמרו כי בעבור שבלהה שואלת רביעית הממון ורחל חציו וזלפה שלש רביעיותיו [ולאה][242] כלו נקח מדומה שיהיה לו חצי ורביעית והנה נמצא שמנה |
|
ורביעיתם שניים וחציים ארבעה ושלש רביעיותיהם ששה והמחובר מכל החלקים האלה עמו עולה עשרים |
|
והנה כערך עשרים אל ארבעת אלפים שהוא הממון הנשאר ליעקב ככה יהיה ערך שמנה אל חלק כתובת לאה הנעלם |
|
וכאשר נעשה כמשפט הערכין נמצא שתהיה חלקה אלף ושש מאות זהובים |
|
וכערך עשרים אל ארבעת אלפים ככה יהיה ערך ששה שהוא שלש רביעיות [המדומה][243] אל החלק שתקח זלפה בכתובתה |
|
וכאשר נחקור במשפט הערכין נמצא שתהיה חלקה אלף ומאתים זהובים |
|
ועם נעיין ונאמר כערך עשרים [אל][244] ארבעת אלפים כן ערך ארבעה שהוא חצי המדומה אל החלק שתקח רחל בכתובתה |
|
[245]ונמצא שיבואו לחלקה שמונה מאות זהובים |
|
והנה גם כן נעריך ונאמר כערך עשרים אל ארבעת אלפים כן יהיה ערך שניים אל החלק אשר תקח בלהה בכתובתה |
|
ונמצא שתקח לחלקה ארבע מאות זהובים |
|
וכאשר תחבר כל החלקים האלה ארבעתם תמצא שיהיו עולים ארבעת אלפים מכוונים |
| Motion Problem - Pursuit | |
|
שאלה השולח ציר נאמן ללכת בארץ מרחק והוא הולך בכל יום ויום שנים עשר פרסאות אחר עשרה ימים נמלך המשלח להשיב השליח המהלך וישלח אחריו שליח אחר להשיבו שהוא הולך בכל יום חמשה עשר פרסאות [נרצה לידע בכמה ימים ישיגנו |
|
ונחקור בדרך זה נחשוב כמה פרסאות][246] הולך הראשון בטרם שנסע השני והנה הם מאה ועשרים |
|
נחלקם על יתרון הפרסאות שהולך השני מן הראשון ביום אחד שהם שלשה נמצאם שם ארבעים פעמים והנה ישיגנו בארבעים |
|
ותוכל לבחון זה כשתחשוב כמה פרסאות הלך השליח הראשון בחמשים יום כי ככה הלך השני בארבעה |
| Motion Problem- Encounter | |
|
שאלה ראובן קובע את דירתו [247]בעיר אחת בקצה המזרח ושמעון אחיו קובע דירתו באחת הערים בקצה המערב על ידי אגרות ששלחו זה לזה יעדו להם זמן שיצאו כל אחד מעירו ללכת לקראת אחיו ביום ראשון של חדש ניסן והמהלך אשר בין שתי העיירות חמשים פרסאות והנה ראובן הולך בכל יום שבע פרסאות ושמעון אחיו הולך בכל יום תשע פרסאות ונבקש לדעת בכמה ימים יתחברו זה עם זה |
|
ונעשה ככה נחבר פרסאות מהלך שניהם ביום אחד ויהיו ששה עשר |
|
נחלק חמשים שהוא המרחק עליהם נמצאם שם שלשה פעמים וישארו שנים שלא נתחלקו ונחשוב אותם שמינית ששה עשר והנה יתחבר זה עם זה בשלשה ימים ושמינית יום |
| Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Cane | |
|
שאלה קנה הנעוצה בטיט היון שלישיתה ורביעיתה ונראית קומתה למעלה שני זרתות כמה אורך הקנה |
|
נעשה כזאת נקח לנו שנים עשר למדומה יען ימצא השלישית ורביעית |
|
ומחברת חלקים אלו ממנו יהיו שבעה |
|
נסיר אותם מהמדומה [248]ישארו חמשה |
|
ועתה נעריך ונאמר כערך חמשה אל שנים עשר כן ערך השני זרתות אל הנעלם |
|
כפלנו האמצעיים עלו עשרים וארבעה חלקנום על החשבון הראשון הנודע שהוא חמשה מצאנוהו שם ארבעה פעמים ונשארו מהם שלא נתחלק ארבעה והמה חמישיות וככה הוא אורך כל הקנה ארבעה זרתות וארבעה חמשיות זרת |
|
ותוכל לבחון זה אם הוא אמת כשתסיר מעשרים וארבעה שלישיתו ורביעיתו וישארו לך עשרה כשעור חלקי השני זרתות שלמות הנראות מעל הטיט |
| Give and Take Problem - Earning and Spending | |
|
שאלה שולחני שהביא ממון לעיר ידועה ובכל יום ויום הוא מרויח עד שכופל ממונו רק שצריך שיפרע למכס בכל יום מאה דינרין ונתעכב שם חמשה ימים |
|
ונעשה על זה הדרך בידוע כי ביום החמישי כשהשכים שלא היו לו רק חמישים דינרים וכפלם [249]והיו מאה ופרעם למכס ולא נשאר לו מאומה |
|
ובהכרח החמשים דינרים נשארו לו מערב היום הרביעי אחרי אשר פרע מכס אותו היום |
|
ונמצא שהיו לו בשחרית אותו יום מחצית מאה וחמשים דינרים שהם שבעים וחמשה דינרים שנשארו לו מערב היום השלישי |
|
וקודם שפרע מכס היום ההוא היו לו מאה ושבעים וחמשה דינרים |
|
נקח מחציתם יהיו שמנים ושבעה דינרים וחצי שהיו לו בשחר שנשארו לו מאמש יום תמולו שהוא היום השני |
|
ונמצא שאז יהיו לו קודם פריעת המכס מאה ושמונים ושבעה דינרים וחצי |
|
נקח חצים יהיו תשעה ושלשים דינרים ותשעה פשיטים משנים עשר בדינר שהיו לו בשחר הנשארים לו מערב יום ראשון |
|
ונמצא שביום ההוא הראשון היו לו קודם פריעת המכס מאה ותשעים ושלשה דינרין ותשעה פשיטים |
|
נקח חציים והם תשעים וששה דינרים ועשרה פשיטים וחצי פשוט וככה הביא |
|
| |
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[a+\left(\frac{60\sdot b}{2a}\right)^\prime\right]^2-\left(a^2+b\right)}}](/mediawiki/images/math/d/1/8/d1884d02d5c52436853b8fa19a7b0990.png)
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\approx a+\left(\frac{60\sdot b}{2a}\right)^\prime-\left[\frac{\left(\left(\frac{60\sdot b}{2a}\right)^\prime\right)^2}{2\sdot\left(a+\left(\frac{60\sdot b}{2a}\right)^\prime\right)}\right]}}](/mediawiki/images/math/3/0/e/30e5279dac9bf13aa0f31cfae39a398b.png)
].
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(3n\right)^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2}}](/mediawiki/images/math/8/7/b/87bdc32051b224513066e28e719f373b.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{6^2=\left(3\sdot2\right)^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2=\left(10\sdot2^2\right)-2^2=\left(10\sdot4\right)-4=40-4=36}}](/mediawiki/images/math/3/8/d/38d1d5ec3932f81319dd5cf689ea938d.png)
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(3n+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]+3n+\left[\left(3n+1\right)\right]}}](/mediawiki/images/math/b/f/3/bf33f7d7d256c9cce1765e3f38e307be.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle10^2&\scriptstyle=\left(9+1\right)^2=\left[\left(3\sdot3\right)+1\right]^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]+9+10=\left[\left(10\sdot3^2\right)-3^2\right]+9+10\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot9\right)-9\right]+9+10=\left(90-9\right)+9+10=81+9+10=100\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/b/6/4/b644d352f59bcab6ac290785552438e0.png)
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(3n-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]-\left(3n\right)-\left[\left(3n-1\right)\right]}}](/mediawiki/images/math/4/2/4/424921fda72004011eee2ecd49af0392.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle11^2&\scriptstyle=\left(12-1\right)^2=\left[\left(3\sdot4\right)-1\right]^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)^2\right]-11-12\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot4^2\right)-4^2\right]-11-12=\left[\left(10\sdot16\right)-16\right]-11-12\\&\scriptstyle=\left(160-16\right)-11-12=144-12-11=144-23=121\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/b/0/1/b0167e9801aca57699585726cc550144.png)
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10+a\right)\times\left(10+b\right)=\left[10\sdot\left[\left(10+a\right)+b\right]\right]+\left(a\sdot b\right)}}](/mediawiki/images/math/6/c/a/6ca9d98590fd0390228cb3a1b7607d13.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{11\times11=\left[\left(11-1\right)\sdot\left(11+1\right)\right]+\left(1\sdot1\right)=\left(10\sdot12\right)+1=120+1=121}}](/mediawiki/images/math/e/a/1/ea13d6aefaefa54cb18f4c31e4c21646.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{15\times12=\left[\left(12-2\right)\sdot\left(15+2\right)\right]+\left(2\sdot5\right)=\left(10\sdot17\right)+10=170+10=180}}](/mediawiki/images/math/2/e/0/2e0464051c8b288d93d7c642b5cb03ff.png)
![\scriptstyle X=100-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)\right]](/mediawiki/images/math/0/6/4/064f6c9817381f7419d53dd1707a018a.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}](/mediawiki/images/math/9/9/4/994410b776b40d19b554ba92d759d4ae.png)
![\scriptstyle\left(X-\frac{2}{100}X\right)-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-\frac{2}{100} X\right)\right]-\left[\frac{1}{10}\sdot\left[\left(X-\frac{2}{100}X\right)-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-\frac{2}{100} X\right)\right]\right]\right]=50](/mediawiki/images/math/4/a/2/4a2924027b379bac5d8c351156314329.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{8+8+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)\right]=16+4+2=20+2=22}}](/mediawiki/images/math/5/a/3/5a39486b875ef2fbc83b16aa4a933d0a.png)
days
zeratot![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{24-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)\right]}{5}=\frac{10}{5}=2}}](/mediawiki/images/math/4/2/6/426ac9e6b1a5cfc0284b012d7d85c37b.png)
![\scriptstyle2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left(2X-100\right)-100\right]-100\right]-100\right]=100](/mediawiki/images/math/0/2/f/02f6b36951cd14a8b19a17e49a64a0b3.png)
dinar
Epilogue |
|
| Up to this point there have been many of the questions of many different types. | עד הנה הרבה מן השאלות ממינים רבים [250]בלתי דומים זה לזה |
| I have explained the way to find the answer of each one at length, so that any wise man will be able to deduce from these answers to others. | ובארתי בכל אחת ואחת בארוכה דרך מציאת תשובתה וכל חכם לב יוכל לקחת מהתשובות האלה לזולתן |
| The time has come to end the words of this book that giveth goodly words [Genesis 49, 21] | והגיע ת[ור] לחתום פה עתה את דברי זה הספר הנותן אמרי שפר[note 5] |
| We will give praises, glories and songs to the Knower of all hidden things, because, they are not proper to others. | ונערוך תושבחות ותהלות ושירות ליודע כל נסתרות כי לא יאותו לזולתו |
| For the honor of his excellent majesty [Esther 1, 4]. | בעבור יקר תפארת גדולתו[note 6] |
| May his name be blessed and exalted. | יתברך ויתעלה שמו |
| May He bestow us His compassion. | ויפיק אלינו חמלתו |
| May His kingdom be established upon us forever and ever. | ויכון עלינו לעולם ועד מלכותו |
| May He also shower water out of the wells of His salvation upon His congregation. | גם ישפיע לעדתו ממימי מעייני ישועתו |
| May He hasten and quicken the day spoken of in the vision of Isaiah, his prophet, who wrote in his book: And in that day shall you say: 'Give thanks unto the Lord, call upon His name, declare His doings among the peoples, make mention that His name is exalted' [Isaiah 12, 4]. | ימהר ויחיש יום יאמר חזות ישעיהו נביאו אשר כתב בספרו ואמרתם ביום ההוא הודו לי"י קראו בשמו הודיעו בעמים עלילותיו הזכירו כי נשגב שמו[note 7] |
| Over and done. | תם ונשלם |
| Praise be to the Creator of the world. | שבח לבורא עולם |
Notes
Apparatus
- ↑ 50v
- ↑ 51r
- ↑ 51v
- ↑ Vatican marg.
- ↑ 52r
- ↑ 52v
- ↑ 53r
- ↑ marg.
- ↑ 53v
- ↑ 54r
- ↑ 54v
- ↑ Vatican om.
- ↑ 55r
- ↑ Vatican om.
- ↑ 55v
- ↑ marg.
- ↑ 56r
- ↑ Vatican: כשיעלה
- ↑ 56v
- ↑ 57r
- ↑ Vatican om.
- ↑ 57v
- ↑ 58r
- ↑ 58v
- ↑ Vatican marg.
- ↑ Vatican om.
- ↑ 59r
- ↑ 59v
- ↑ marg.
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican: וכנגדה
- ↑ marg.
- ↑ 60r
- ↑ Vatican om.
- ↑ 60v
- ↑ marg.
- ↑ Vatican: מהשמור
- ↑ 61r
- ↑ 61v
- ↑ 62r
- ↑ marg.
- ↑ 62v
- ↑ 63r
- ↑ 63v
- ↑ 64r
- ↑ Vatican om.
- ↑ 64v
- ↑ 65r
- ↑ 65v
- ↑ 66r
- ↑ marg.
- ↑ 66v
- ↑ marg.
- ↑ 67r
- ↑ 67v
- ↑ 68r
- ↑ Vatican: וארבעים
- ↑ 68v
- ↑ 69r
- ↑ marg.
- ↑ 69v
- ↑ marg.
- ↑ marg.
- ↑ marg.
- ↑ 70r
- ↑ marg.
- ↑ 70v
- ↑ 71r
- ↑ Vatican om.
- ↑ 71v
- ↑ marg.
- ↑ 72r
- ↑ Vatican: תשרש
- ↑ Vatican: תבוא
- ↑ 72v
- ↑ Vatican: שמנה
- ↑ 73r
- ↑ 73v
- ↑ Vatican om.
- ↑ marg.
- ↑ 74r
- ↑ Vatican: לה
- ↑ marg.
- ↑ 74v
- ↑ 75r
- ↑ 75v
- ↑ Vatican om.
- ↑ 76r
- ↑ 76v
- ↑ marg.
- ↑ 77r
- ↑ 77v
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican om.
- ↑ marg.
- ↑ 78r
- ↑ 78v
- ↑ 79r
- ↑ 79v
- ↑ 80r
- ↑ 80v
- ↑ Vatican om.
- ↑ 81r
- ↑ marg.
- ↑ Vatican om.
- ↑ 81v
- ↑ Vatican om.
- ↑ marg.
- ↑ 82r
- ↑ 82v
- ↑ marg.
- ↑ marg.
- ↑ 83r
- ↑ Vatican om.
- ↑ marg.
- ↑ 83v
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican: האמצעית
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican om.
- ↑ 84r
- ↑ 84v
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican: לחיקת
- ↑ 85r
- ↑ marg.
- ↑ 85v
- ↑ 86r
- ↑ 86v
- ↑ 87r
- ↑ 87v
- ↑ marg.
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican: מחמשה
- ↑ 88r
- ↑ Vatican: באתי
- ↑ 88v
- ↑ Vatican: החמישית
- ↑ 89r
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican: דמין
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican: ושתי
- ↑ marg.
- ↑ 89v
- ↑ Vatican: חמשיות
- ↑ Vatican om.
- ↑ 90r
- ↑ Vatican: ועל
- ↑ Vatican: השתי
- ↑ 90v
- ↑ 91r
- ↑ Vatican: ושמנה
- ↑ 91v
- ↑ Vatican: שלישיות
- ↑ Vatican: נכפול
- ↑ Vatican om.
- ↑ 92r
- ↑ Vatican: חלקקנו
- ↑ marg.
- ↑ 92v
- ↑ Vatican: מהארבעה עשרה
- ↑ marg.
- ↑ Vatican: ב"ה
- ↑ Vatican: בידועת
- ↑ Vatican: מספר ופקח
- ↑ Vatican: באמיתית
- ↑ Vatican: גדרים
- ↑ Vatican: הנושאים
- ↑ 93r
- ↑ Vatican: נסתרת
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican: חצה
- ↑ 93v
- ↑ Vatican: וחלקו כל מעלה... ועשירית twice
- ↑ Vatican om.
- ↑ 94r
- ↑ Vatican: ועד
- ↑ Vatican om.
- ↑ 94v
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican: המכה
- ↑ Vatican: הכאה
- ↑ 95r
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican: בדק
- ↑ 95v
- ↑ 96r
- ↑ marg.
- ↑ 96v
- ↑ 97r
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican om.
- ↑ 97v
- ↑ Vatican om.
- ↑ 98r
- ↑ 98v
- ↑ Vatican: וביאור
- ↑ marg.
- ↑ Vatican: דמים
- ↑ 99r
- ↑ Vatican: הנה
- ↑ Vatican: השפל
- ↑ 99v
- ↑ 100r
- ↑ 100v
- ↑ 101r
- ↑ 101v
- ↑ Vatican: ותשעים וששה
- ↑ Vatican om.
- ↑ 102r
- ↑ 102v
- ↑ Vatican: אל
- ↑ Vatican: חמשה עשר
- ↑ 103r
- ↑ Vatican: חלף
- ↑ 103v
- ↑ Vatican om.
- ↑ 104r
- ↑ Vatican om.
- ↑ 104v
- ↑ Vatican om.
- ↑ 105r
- ↑ Vatican: הימים ושנים
- ↑ Vatican om.
- ↑ Vatican: והתאנתי
- ↑ 105v
- ↑ Vatican: ו'
- ↑ 106r
- ↑ Vatican: שבעת
- ↑ 106v
- ↑ Vatican: עלך
- ↑ Vatican: ושלשים
- ↑ 107r
- ↑ Vatican: ולא
- ↑ Vatican: ומדומה
- ↑ Vatican om.
- ↑ 107v
- ↑ Vatican marg.
- ↑ 108r
- ↑ 108v
- ↑ 109r
- ↑ 109v
Appendix I: Glossary of Terms
| rank | מדרגה |
Appendix: Bibliography
Joseph Ben Moses Ṣarfati
Before 1384
‛Ir Siḥon
Manuscripts:
- 1) Ithaca (NY), Cornell University A 26/1 (IMHM: f 46122), ff. 3r-29v (15th century)
- 2) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 138/2 (IMHM: f 6818), ff. 23r-65v (15th century)
- Guenzburg 138
- 3) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 68/5 (IMHM: f 1131), ff. 346r-374v (Roma, 1552)
- Cod.hebr. 68
- 4) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 995/5 (IMHM: f 14680), ff. 297r-300v (16th century)
- heb. 995
- 5) Philadelphia, University of Pennsylvania, Schoenberg Collection Ljs 312 (IMHM: f 4795); (15th-16th century)
- LJS 312
- 6) St. Petersburg, Inst. of Oriental Studies of the Russian Academy B 176 (IMHM: f 53314); (18th century)
- 7) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 397/3 (IMHM: f 475), ff. 51r-109v (Murcia, 1384/1385)
- Vat.ebr.397
- The transcript of the text is based on manuscript Vatican 397.
Bibliography:
- Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, p. 188 (g101); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.
