Difference between revisions of "אגרת המספר"

__TOC__

__TOC__

<br>

<br>

|-

|-

|

|

|

|

|-

|-

|The Hebrew commentator: Issac b. Shlomo b. Ẓaddiq b. al-Aḥdab the Spaniard

|The Hebrew commentator: Issac b. Shlomo b. Ẓaddiq b. al-Aḥdab the Spaniard

|-

|-

|The circumstances in which the original Arabic treatise was written:<br>

|The circumstances in which the original Arabic treatise was written:<br>

An Arab scholar [apparently Ibn al-Bannāʼ] was been asked by his friends to compose a short treatise including all issues of the wisdom of number

An Arab scholar [apparently Ibn al-Bannāʼ] was been asked by his friends to compose a short treatise including all issues of the wisdom of number

|-

|-

| He did as they asked and wrote an extremely short epistle, but they could not comprehend this epistle and asked him to explain it

| He did as they asked and wrote an extremely short epistle, but they could not comprehend this epistle and asked him to explain it

|style="text-align:right;"|ויעש את בקשתם ויחבר אגרת קטנה מאד<br>

|style="text-align:right;"|ויעש את בקשתם ויחבר אגרת קטנה מאד<br>

ובבואה אליהם נבצרה מהם ונשגבה מעיני חכמתם ויבקשו ממנו לפרש אותה

ובבואה אליהם נבצרה מהם ונשגבה מעיני חכמתם ויבקשו ממנו לפרש אותה

|-

|-

|Ignoring those who lack the knowledge, he composed a profound commentary, intelligible only for the gifted with logic who understand the reasons of matters

|Ignoring those who lack the knowledge, he composed a profound commentary, intelligible only for the gifted with logic who understand the reasons of matters

גם הוא כתב להם כדברים האלה: מחוייב אנכי להשתדל להוציא הדברים ממקור יסודותן ואינני מחוייב להשתדל שיבינו בהמות היערים

גם הוא כתב להם כדברים האלה: מחוייב אנכי להשתדל להוציא הדברים ממקור יסודותן ואינני מחוייב להשתדל שיבינו בהמות היערים

|-

|-

|Later on the epistle spread among the wise and many commentaries were written about it

|Later on the epistle spread among the wise and many commentaries were written about it

|-

|-

|Al-Aḥdab learning about the epistle:<br>

|Al-Aḥdab learning about the epistle:<br>

Traveling in Arab lands Al-Aḥdab got to know the epistle and studied it with a wise man. He read the commentary of its author as well as other commentaries and discovered its mysteries

Traveling in Arab lands Al-Aḥdab got to know the epistle and studied it with a wise man. He read the commentary of its author as well as other commentaries and discovered its mysteries

גם ראיתי פי' מחברה ופי' זולתו עד באתי גנזי חדריה וגליתי כל מסתוריה

גם ראיתי פי' מחברה ופי' זולתו עד באתי גנזי חדריה וגליתי כל מסתוריה

|-

|-

|Al-Aḥdab's arrival in Syracuse:<br>

|Al-Aḥdab's arrival in Syracuse:<br>

ויביאנו שלמים אל העיר המהוללה סרג'וסה סקליה

ויביאנו שלמים אל העיר המהוללה סרג'וסה סקליה

|-

|-

|In Syracuse Al-Aḥdab met honourable scholars and studied with them religious studies

|In Syracuse Al-Aḥdab met honourable scholars and studied with them religious studies

|-

|-

|Some of them were interested also in arithmetic and asked him to write for them a short but extensive book on this wisdom

|Some of them were interested also in arithmetic and asked him to write for them a short but extensive book on this wisdom

|

|

|

|

|

|

|

|

|-

|-

|-

|-

|-

|-

|

|

|-

|-

|The definition of number is based on the premise that all numbers originate in one and one is not a number

|The definition of number is based on the premise that all numbers originate in one and one is not a number

|-

|-

|Hence, [arithmetic] should be called [the wisdom of] counting and not [the wisdom] of number

|Hence, [arithmetic] should be called [the wisdom of] counting and not [the wisdom] of number

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''': it is divided according to its use into two categories: integer and fraction.

|'''[al-Bannāʼ] said''': it is divided according to its use into two categories: integer and fraction.

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>אמר</span></big> והוא יחלק לפי לקיחתו על שני חלקים שלם ושבר

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>אמר</span></big> והוא יחלק לפי לקיחתו על שני חלקים שלם ושבר

|-

|-

|-

|-

|-

|-

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|style="text-align:right;"|וזה כי החלק הראשון אשר יבוקש הוא החצי ואחריו השליש ואחריו הרביע וכן כולם והנה כל זוג יחלק לחצאים

|style="text-align:right;"|וזה כי החלק הראשון אשר יבוקש הוא החצי ואחריו השליש ואחריו הרביע וכן כולם והנה כל זוג יחלק לחצאים

|-

|-

|-

|-

|-

|-

|-

|-

|

|

|style="text-align:right;"|והנפרד בעבור שלא יחלק לחצאין שלמים ולא לרביעיים ובכלל <ref>2r</ref>לכל חלק זוג הנה הראשון שיתכן בו הוא השליש ואחריו חומש ואחריו שביע וכן כל הדומים להם

|style="text-align:right;"|והנפרד בעבור שלא יחלק לחצאין שלמים ולא לרביעיים ובכלל <ref>2r</ref>לכל חלק זוג הנה הראשון שיתכן בו הוא השליש ואחריו חומש ואחריו שביע וכן כל הדומים להם

|-

|-

|-

|-

|odd-times-odd number

|odd-times-odd number

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|The reason why there are only three fundamental ranks – the number is added endlessly, but if there were endless [names] of ranks they were inconceivable

|The reason why there are only three fundamental ranks – the number is added endlessly, but if there were endless [names] of ranks they were inconceivable

|-

|-

|Terminology – ranks

|Terminology – ranks

|-

|-

|

|

|-

|-

!The twelve names of numbers

!The twelve names of numbers

|-

|-

|Zero

|Zero

|-

|-

!Tens

!Tens

|

|

*200

*200

|-

|-

!Thousands

!Thousands

|-

|-

!Units and Hundreds

!Units and Hundreds

|-

|-

|

|

|

|

*value of the rank of units = 1

*value of the rank of units = 1

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

!The value of the ranks

!The value of the ranks

|

|

:The letters above the number indicate the number of cycles – the re-occurrences of the word thousand in the name of the given number

:The letters above the number indicate the number of cycles – the re-occurrences of the word thousand in the name of the given number

|-

|-

|

|

=== [Chapter Two:] Addition ===

=== [Chapter Two:] Addition ===

|-

|-

|-

|-

|-

|-

|

|

|style="text-align:right;"|המשל ט"ו וי"ו וכ"א שהם ג' מספרי' ישובו נ"ב

|style="text-align:right;"|המשל ט"ו וי"ו וכ"א שהם ג' מספרי' ישובו נ"ב

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|style="text-align:right;"|והמשל נ"ג ואלף ומאה ומאה ועשרים אלף כי בהקבצם יהיו קכ"א אלף קנ"ג והנה הם כלם

|style="text-align:right;"|והמשל נ"ג ואלף ומאה ומאה ועשרים אלף כי בהקבצם יהיו קכ"א אלף קנ"ג והנה הם כלם

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|

|

{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"

{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|

|

|-

|-

|

|

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''': the second is by progression, such as the squares of the chessboard and their similar

|'''[al-Bannāʼ] said''': the second is by progression, such as the squares of the chessboard and their similar

|-

|-

|

|

|-

|-

|The meaning of "such as the squares of the chessboard and their similar" is successive terms.

|The meaning of "such as the squares of the chessboard and their similar" is successive terms.

|-

|-

|

|

:*On the first square of the chessboard - one <math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1}}</math>

:*On the first square of the chessboard - one <math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1}}</math>

|-

|-

|

|

|

|

:*On the third square - 4, which is double the [second] square <math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=2\sdot a_2=4}}</math>

:*On the third square - 4, which is double the [second] square <math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=2\sdot a_2=4}}</math>

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|style="text-align:right;"|על כן תכפול המקובץ האחרון והוא יהיה המקובץ מהה' בתים תכה אותם בשמור מהח' והיוצא מן ההכאה תכה אותו בשמור מן הי"ו והיוצא הוא המבוקש בתוספת א&#x202B;'

|style="text-align:right;"|על כן תכפול המקובץ האחרון והוא יהיה המקובץ מהה' בתים תכה אותם בשמור מהח' והיוצא מן ההכאה תכה אותו בשמור מן הי"ו והיוצא הוא המבוקש בתוספת א&#x202B;'

|-

|-

|

|

:Always do so: when the first square remains, double what you have for that square.

:Always do so: when the first square remains, double what you have for that square.

|-

|-

|

|

|

|

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''': if the progression of the numbers is other than the duplication:

|'''[al-Bannāʼ] said''': if the progression of the numbers is other than the duplication:

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''': the sum of the sequence of the evens is always by adding two to the last term, then multiplying half this sum by half the last term <math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 2i=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n+2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)</math>

|'''[al-Bannāʼ] said''': the sum of the sequence of the evens is always by adding two to the last term, then multiplying half this sum by half the last term <math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 2i=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n+2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)</math>

|-

|-

|'''Explanation''': he started to give the method for the three questions of the third [type], which is the sum of the sequence of the evens, their squares and their cubes.

|'''Explanation''': he started to give the method for the three questions of the third [type], which is the sum of the sequence of the evens, their squares and their cubes.

=== [Chapter Three:] Subtraction ===

=== [Chapter Three:] Subtraction ===

|-

|-

|-

|-

|It is in two categories:

|It is in two categories:

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''': the subtraction by nines leaves one for every decade, take the numbers in the ranks as if they are units and subtract them by nine, one will remain for each ten.

|'''[al-Bannāʼ] said''': the subtraction by nines leaves one for every decade, take the numbers in the ranks as if they are units and subtract them by nine, one will remain for each ten.

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''': the subtraction of 8 leaves 2 for every ten, 4 for every hundred, the even number of hundreds with their exceeding [ranks] are subtracted, and from the odd number of hundreds 4 remains. Multiply the [number of the] tens by two, sum it with the 4 and the units [<math>\scriptstyle\left(2n-1\right)\sdot100+10a+b\bmod8=2a+4+b</math>], then subtract it eight by eight.

|'''[al-Bannāʼ] said''': the subtraction of 8 leaves 2 for every ten, 4 for every hundred, the even number of hundreds with their exceeding [ranks] are subtracted, and from the odd number of hundreds 4 remains. Multiply the [number of the] tens by two, sum it with the 4 and the units [<math>\scriptstyle\left(2n-1\right)\sdot100+10a+b\bmod8=2a+4+b</math>], then subtract it eight by eight.

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|

|

|-

|-

|-

|-

|

|

|-

|-

|-

|-

|

|

:<math>\scriptstyle18\times15</math>

:<math>\scriptstyle18\times15</math>

|-

|-

|

|

|style="text-align:right;"|אבל ההכאה והיוצא ממנה הכל אחד

|style="text-align:right;"|אבל ההכאה והיוצא ממנה הכל אחד

|-

|-

|-

|-

|

|

|

|

|-

|-

|

|

===== Horizontal multiplication =====

===== Horizontal multiplication =====

|-

|-

|-

|-

|

|

:<math>\scriptstyle54\times45</math>

:<math>\scriptstyle54\times45</math>

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|

|

|style="text-align:right;"|וכן תכתוב היוצא מהכאת ה' הנזכרת בז' שהיוצא הוא ל"ה תכתוב הה' על הז' והשלשים שהם ג' לצד שמאלך על הט' והה'<br>

|style="text-align:right;"|וכן תכתוב היוצא מהכאת ה' הנזכרת בז' שהיוצא הוא ל"ה תכתוב הה' על הז' והשלשים שהם ג' לצד שמאלך על הט' והה'<br>

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|

|

|

|

*<math>\scriptstyle534\times978</math>

*<math>\scriptstyle534\times978</math>

|-

|-

|

|

===== Gelosia =====

===== Gelosia =====

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

=== Chapter Five: Division ===

=== Chapter Five: Division ===

|-

|-

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>פירו'</span></big> רשם המחבר מה הוא החלוק בג' רשמים השני' לפי הענין והשלישי לרצון ההמון ר"ל לפי המפורסם

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>פירו'</span></big> רשם המחבר מה הוא החלוק בג' רשמים השני' לפי הענין והשלישי לרצון ההמון ר"ל לפי המפורסם

|-

|-

|-

|-

|style="text-align:right;"|הרושם הראשון הוא מה שאמר החלוק הוא התכת המחולק

|style="text-align:right;"|הרושם הראשון הוא מה שאמר החלוק הוא התכת המחולק

|-

|-

|

|

|style="text-align:right;"|שההתכה סוג וענין ההתכה הנה על דרך העברה והרצון פירוד בדיבור דבר שהוא מחובר בדבר

|style="text-align:right;"|שההתכה סוג וענין ההתכה הנה על דרך העברה והרצון פירוד בדיבור דבר שהוא מחובר בדבר

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|style="text-align:right;"|ושמוש המספר הוא בדבור או ברמז המשותף בדבור בהודעת מה שבמחשבה

|style="text-align:right;"|ושמוש המספר הוא בדבור או ברמז המשותף בדבור בהודעת מה שבמחשבה

|-

|-

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|style="text-align:right;"|כמו קורה של תשע אמות על דרך משל על קורה משלש אמות

|style="text-align:right;"|כמו קורה של תשע אמות על דרך משל על קורה משלש אמות

|-

|-

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|style="text-align:right;"|כמו עשרה דינרים לחמשה אנשים וכדומה לזה

|style="text-align:right;"|כמו עשרה דינרים לחמשה אנשים וכדומה לזה

|-

|-

|

|

|style="text-align:right;"|וכבר אפש' מכמה מתדבק על מתחלק

|style="text-align:right;"|וכבר אפש' מכמה מתדבק על מתחלק

|-

|-

|

|

|style="text-align:right;"|כמו בגד עשרה אמות לחמשה אנשים

|style="text-align:right;"|כמו בגד עשרה אמות לחמשה אנשים

|-

|-

|style="text-align:right;"|יהיה היוצא לאחד השלם ט"ו והוא מספר שלם לא שברים

|style="text-align:right;"|יהיה היוצא לאחד השלם ט"ו והוא מספר שלם לא שברים

|-

|-

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

והיוצא השמור תחלקנו על המורה השני ותשמור היוצא ותכתבנו עליו הנשאר<br>

והיוצא השמור תחלקנו על המורה השני ותשמור היוצא ותכתבנו עליו הנשאר<br>

ותחלק היוצא על השמורה השלישי<br>

ותחלק היוצא על השמורה השלישי<br>

|-

|-

|

|

{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"

{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"

|-

|-

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|

|

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15=3\sdot5}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15=3\sdot5}}</math>

|-

|-

|

|

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{40=4\sdot10}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{40=4\sdot10}}</math>

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{40\div15=8\div3=2+\frac{2}{3}}}</math>

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{40\div15=8\div3=2+\frac{2}{3}}}</math>

|-

|-

|

|

|

|

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{30\div9=10\div3=3+\frac{1}{3}}}</math>

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{30\div9=10\div3=3+\frac{1}{3}}}</math>

|-

|-

|

|

|style="text-align:right;"|ההסכמה ו' ב' או ט' או ג' וכן כל היוצא בזה

|style="text-align:right;"|ההסכמה ו' ב' או ט' או ג' וכן כל היוצא בזה

|-

|-

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|

|

|-

|-

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|

|

|style="text-align:right;"|המשל י"ב כשתסיר ט' ישארו ג' ויש לו שליש ואם ישארו ששה כמו ט"ו יש לו ג"כ שליש וכן כל הדומה להם

|style="text-align:right;"|המשל י"ב כשתסיר ט' ישארו ג' ויש לו שליש ואם ישארו ששה כמו ט"ו יש לו ג"כ שליש וכן כל הדומה להם

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|style="text-align:right;"|<span style=color:red>המשל</span> בזה התחלת לרשום בג' רשמת ט' וטו' וכ"א וכ"ז ול"ג ול"ט ומ"ה ונ"א ונ"ז וס"ג וס"ט וע"ה וכן כלם עד תשלום הנפה וכשב[א]ת לחשוב בה' התחלת ממספר ה' ופגעת תחלה במספר ט"ו וכבר נרשם על ידי ג' מנית משם ה' פגעת בכ"ה ולא נרשם ע"י הג' תרשמהו וכ"ה הוא מרובע מספר הה' אחריו תפגע במספר ל"ה ולא נרשם תרשמהו וכן עד סוף הנפה כל מספר שאחריו ה' תרשמהו אם לא נרשם בג' כי אחרי הל"ה תפגע במ"ה וכבר נרשם בג' אח"כ תפגעו בנ"ה ולא נרשם א"כ בס"ה ולא נרשם אח"כ בע"ה וכבר נרשם וכן כלם א"כ תשוב תתחיל במספר ז' תפגע במספר כ"א וכבר נרשם בג' א"כ תפגע בל"ה וכבר נרשם בה' א"כ תפגע במ"ט ולא נרשם תרשמהו והוא מרובע ז' וכן תבקש עד תשלום הנפה ותרשום בז' א"כ תבא לחשוב במספר ט' ואין צורך כי הוא מורכב מג' וכבר נרשמו כל מספרי הנפה בג' והן בט"ו אין צורך למנות וכן בכל מספר שכבר נרשם לא תמנה בו כי לא תמצא שתצטרך לרשום כלום על ידו תשוב למספר י"א והוא הראשון<ref>marg.פי' שאם תמנה בעבו' הי"א מיג' בתים כמו הג' לא תמצא שתרשום כלל כי כבר רשומים הם פי' מספרים אחדים שקדמו ליא' ולא תמצא לרשום רק מרובעו והלאה ודרך זו שוה לכל המספר' שלא תמצא לרשום רק מרובעו והלאה ודע שזו הנפה לא יתכן רק י"ג בתים שמרובעו קס"ט אבל לא לט"ו שמרובעו רכ"ה ואין הנפה רק עד רי"א</ref> שאתה ראוי לפגוע בלי רשום הוא מרובע י"א ומרובעו הוא קכ"א ולא כתבת בנפה כי אם עד ע"ה א"כ לא תוכל להוסיף רושם יותר בנפה זו היא עד ע"ה ולכן נדע שנשלם מעשה זו הנפה<ref>marg.נראה שהנפה היא אז עד ע"ה בתים בלבד ושוב הוסיפו עליו כ"ה בתים ועשאוהו למאה בתים</ref> ולכן מספר שאתה רוצה לרשום בו תרבע אותו ותראה אם המספר שבסוף הנפה הוא גדול מן המרובע ההוא מנה בו ורשום כי תמצא מה שתצטרך לרשמו אבל אם המרובע יותר מן המספר האחרון אין בו צורך לרשום בו כלל ונשלמה הנפה ומעשה הנפה נהגו לעשות מרובע מחולק לבתים מרובעים יהיה המרובע שוה הצלעות או ארוך ויעשו בתים רבים או מעטים כפי מה שירצו ובכל בית יכתבו מספר על הסדר הנפרדים א"כ ימנו וירשומו וזו צורת הנפה ובה מאה בתים ובזו הנפה תוכל למנות בכל המספרים ולרשום עד י"ג כי מרובע קס"ט ותמצאנו בנפה אבל כשתבא למספר י"ז ^{ר"ל ט"ו שמרובעו רכה} הנה מרובעו רפ"ט והוא גדול ממספר ר"א שהוא אחרון בנפה ולכן לא תמצא מ"ה שתרשום בי"ז ולכן במספר י"ג נשלם מעשה זו הנפה וכל מספר תמצאהו רשום בנפה הוא מורכב ואשר תמצאנו בלתי רשום הוא חרש לא יחלק כי אם על אחד בלבד

|style="text-align:right;"|<span style=color:red>המשל</span> בזה התחלת לרשום בג' רשמת ט' וטו' וכ"א וכ"ז ול"ג ול"ט ומ"ה ונ"א ונ"ז וס"ג וס"ט וע"ה וכן כלם עד תשלום הנפה וכשב[א]ת לחשוב בה' התחלת ממספר ה' ופגעת תחלה במספר ט"ו וכבר נרשם על ידי ג' מנית משם ה' פגעת בכ"ה ולא נרשם ע"י הג' תרשמהו וכ"ה הוא מרובע מספר הה' אחריו תפגע במספר ל"ה ולא נרשם תרשמהו וכן עד סוף הנפה כל מספר שאחריו ה' תרשמהו אם לא נרשם בג' כי אחרי הל"ה תפגע במ"ה וכבר נרשם בג' אח"כ תפגעו בנ"ה ולא נרשם א"כ בס"ה ולא נרשם אח"כ בע"ה וכבר נרשם וכן כלם א"כ תשוב תתחיל במספר ז' תפגע במספר כ"א וכבר נרשם בג' א"כ תפגע בל"ה וכבר נרשם בה' א"כ תפגע במ"ט ולא נרשם תרשמהו והוא מרובע ז' וכן תבקש עד תשלום הנפה ותרשום בז' א"כ תבא לחשוב במספר ט' ואין צורך כי הוא מורכב מג' וכבר נרשמו כל מספרי הנפה בג' והן בט"ו אין צורך למנות וכן בכל מספר שכבר נרשם לא תמנה בו כי לא תמצא שתצטרך לרשום כלום על ידו תשוב למספר י"א והוא הראשון<ref>marg.פי' שאם תמנה בעבו' הי"א מיג' בתים כמו הג' לא תמצא שתרשום כלל כי כבר רשומים הם פי' מספרים אחדים שקדמו ליא' ולא תמצא לרשום רק מרובעו והלאה ודרך זו שוה לכל המספר' שלא תמצא לרשום רק מרובעו והלאה ודע שזו הנפה לא יתכן רק י"ג בתים שמרובעו קס"ט אבל לא לט"ו שמרובעו רכ"ה ואין הנפה רק עד רי"א</ref> שאתה ראוי לפגוע בלי רשום הוא מרובע י"א ומרובעו הוא קכ"א ולא כתבת בנפה כי אם עד ע"ה א"כ לא תוכל להוסיף רושם יותר בנפה זו היא עד ע"ה ולכן נדע שנשלם מעשה זו הנפה<ref>marg.נראה שהנפה היא אז עד ע"ה בתים בלבד ושוב הוסיפו עליו כ"ה בתים ועשאוהו למאה בתים</ref> ולכן מספר שאתה רוצה לרשום בו תרבע אותו ותראה אם המספר שבסוף הנפה הוא גדול מן המרובע ההוא מנה בו ורשום כי תמצא מה שתצטרך לרשמו אבל אם המרובע יותר מן המספר האחרון אין בו צורך לרשום בו כלל ונשלמה הנפה ומעשה הנפה נהגו לעשות מרובע מחולק לבתים מרובעים יהיה המרובע שוה הצלעות או ארוך ויעשו בתים רבים או מעטים כפי מה שירצו ובכל בית יכתבו מספר על הסדר הנפרדים א"כ ימנו וירשומו וזו צורת הנפה ובה מאה בתים ובזו הנפה תוכל למנות בכל המספרים ולרשום עד י"ג כי מרובע קס"ט ותמצאנו בנפה אבל כשתבא למספר י"ז ^{ר"ל ט"ו שמרובעו רכה} הנה מרובעו רפ"ט והוא גדול ממספר ר"א שהוא אחרון בנפה ולכן לא תמצא מ"ה שתרשום בי"ז ולכן במספר י"ג נשלם מעשה זו הנפה וכל מספר תמצאהו רשום בנפה הוא מורכב ואשר תמצאנו בלתי רשום הוא חרש לא יחלק כי אם על אחד בלבד

|-

|-

|

|

|-

|-

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|'''[al-Bannāʼ] said''':

|-

|-

|

|

|-

|-

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>אמ'</span></big> והמעשה בהורדה שתקרא שם המורד אליו מן המורד והיוצא הוא המבוקש

|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>אמ'</span></big> והמעשה בהורדה שתקרא שם המורד אליו מן המורד והיוצא הוא המבוקש

|-

|-

|'''Explanation''':

|'''Explanation''':

|-

|-

|

|

== Section Two: Fractions ==

== Section Two: Fractions ==

|-

|-

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

=== Chapter One: The names and forms of fractions ===

=== Chapter One: The names and forms of fractions ===

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|

|

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|-

|-

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|}

|}

|-

|-

|}

|}

|-

|-

|}

|}

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|}

|}

|-

|-

|}

|}

|-

|-

|}

|}

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

|-

|-

|

|

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|}

|}

|-

|-

|}

|}

|-

|-

|}

|}

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|}

|}

|-

|-

|}

|}

|-

|-

|}

|}

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|}

|}

|-

|-

|}

|}

|-

|-

|}

|}

|-

|-

|

|

|

|

|

|

|-

|-

|

|

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|}

|}

|-

|-

|}

|}

|-

|-

|}

|}

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|}

|}

|-

|-

|}

|}

|-

|-

|}

|}

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|}

|}

|-

|-

|}

|}

|-

|-

|}

|}

|-

|-

|

|

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|-style="text-align:center;"

|}

|}

|-

|-

|}

|}

|-

|-

|}

|}

|-

|-

|

|

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"

|-style="text-align:center;"