ספר החשבון והמדות

From mispar
Jump to: navigation, search


Introduction

אמר מרדכי בכ"ר אליעזר כומטיינו יעמ"ש הקושטנדיני
להיות שההתחלה הראשונה לכל הושפעו ממנה שאר הנמצאות במדרגה ובסדר מדרגה אחר מדרגה ובזה נמצא כל אחד לפי שלמותו הראוי לו עד תכליתו ונמצא לכל דבר חקו
והשלמות הזה רודף לבעליו על התמידות בלתי סר ממנו וזה בדברים אשר אין מציאותם בפעולותינו
והדברים אם מציאותם בפעולותנו כאשר רצינו להיותם שלמים נמשילם אל הדברים אשר אין מציאותם בפעולותינו כפי היכולת ראוי לנו ג"כ אם רצינו השלימות והסדור לדמות הדברים אשר מציאותם בפעולותינו
והדברים אשר מציאותם בפעולותנו יחלקו לשני סוגים
האחד הדברים שבין האדם לעצמו
והשני הדברים שבין האדם לזולתו
והסוג הראשון בלתי נכנס בזה החבור ואף על פי שגם בזה חברו הפילוסופים ספרים הרבה
כי כונת זה החבור הוא במה שיפול ממנו אל זולתו
ואם השלמות הנופלת בדברים אשר אין מציאותם בפעולותינו מהעצם האחד לזולתו בלתי חוזרת אליו אבל הולכת על יושר
והשלמות אשר תפול בדברים אשר מציאותם בפעולותינו תלך על דרך הסבוב
הדמיון יהיה במה שממנו לאליו מצד מה שהוא ממנו ואליו וזה הסוג יחלק לשלשה חלקים
האחד הדברים אשר יגיעו מהאיש לזולתו על דרך החמלה והחנינה
והשני הדברים אשר יגיעו לו על צד הצדק והיושר
והשלישי הוא מהדברים אשר יגיעו מהאדם לזולתו על צד העול והחמס
והחלק הראשון הוא הדבר המוסיף על השווי
והחלק השלישי הוא דבר גורע מהשווי
והשני הוא השווי בעצמו
אם כן יהיה החלק השני שרש ויסוד לשאר החלקים ולכן ראוי שתהיה החקירה בו
ובראותי שזה החלק משתמש לשני סוגים
הסוג האחד במקח וממכר וזהו הנקרא בלשון חכמינו זכרונם לברכה אונאה
אם היה שם שתות הפרש בין הצדק ובין המכר וזה הדבר הוא בלתי מוגבל ולכן לא תקיף בו ידיעה כי ישתנו מחירי הדברים בכל זמן מפני זה לא נדבר בו
והסוג השני הוא בחשבון ובמדות כי אחר שנתפשרו שני הצדדים בקנין א' כלל אחד בכך וכך מחיר בחלקו המונה אותו אחר כשיבואו לכפול המחיר כמנין החלקים אשר נמנה בהם הכלל ולא יצא החשבון שוה להעדר ידיעתם בחשבון או במדידת הקרקעות יהיה מזה עול וחמס ויוסר הצדק משם ותחת אשר נרצה להדמות אל הדברים אשר אין מציאותם בפעולותינו נתרחק מהם הרבה ואוי על הקנין הרע הזה אשר נקנה לנפשנו
לכן ראיתי לחבר זה הספר כדי שאסיר העול מבני אדם ויהיה הצדק נמצא ביניהם
וחלקתי אותו אל שני ספרים
הספר הראשון מדבר בעניני החשבון
והספר השני מדבר בעניני המדות
והקדמתי ספר החשבון לספר המדות כי חכמת החשבון קודמת בטבע לשאר מיני ההרגליות השלש כאשר ביאר זה ניקומאכוש הגהרשני בהצעת מאמרו מספר האירתימיטיקא
והספר הראשון חלקתי אותו אל ארבעה חלקים
הראשון לקבץ מספר עם מספר ולחסר מספר ממספר
והשני לכפול מספר על מספר
והשלישי לחלק מספר על מספר ולהוסיף מספר על מספר
והרביעי לערך מספר על מספר
עוד שמתי חלק אחד אחריהם לדבר על הנשברים
ודרכתי בזה הדרך דרך הנוצרים לדבר בקיצור כדי שלא יתבלבל התלמיד
עוד הספר השני חלקתי אותו לארבעה חלקים
האחד במדידת התמונות השטחיות כגון העגולות והמשולשים והמרובעים וזולתם
והשני בחלוקתם
והשלישי במדידת התמונות הגופניות
והרביעי בחלוקתם
ומהנה אתחיל בעזרת המלמד לאדם דעת

Part One: Addition & Subtraction

Chapter One: Introduction

הפרק הראשון מהחלק הראשון מהספר הראשון
ראוי שנודיע למה הקדמנו קבוץ מספר על מספר משאר החלקים
ואומר לפי שהוא יותר פשוט מהם וקודם בטבע מהם עם היותו יותר פשוט מהם להיות שכל אחד מהם מורכב מזה ומהענין המיוחד לו
והדבר אשר יורכב מדבר הדבר אשר יורכב ממנו הוא יותר פשוט מהמורכב ההוא
ואומר שכל אחד מהם מורכב מזה ארצה מאחד משני חלקיו או משניהם יחד
כי זה יחלק לשני מינים
אם שיהיה הקבוץ הזה בלתי משתנה ממדרגת נקבציו וזה באחד עד תשעה פעמים ובשנים עד ארבעה פעמים ובשלשה עד שלשה פעמים
ואם יורכב מאלה יהיה לפי חשבונו המיוחד לו או שיהיה הקבוץ הזה משתנה ממדרגת נקבציו וזה יחלק לשני חלקים
אם שישתנה ממדרגת נקבציו ולא יהיה שם רושם כלל מהמדרגה ההיא
או שישתנה וישאר גם רושם מדרגת נקבציו שם ולכן הוא קודם מהמורכבים ממנו
ואין לאומר שיאמר כי להיותו פשוט ראוי לאחרו מן המורכב ממה שביאר אריסטו בתחלת ספר השמע שראוי להקדים הכולל מהמיוחד לשלש סבות
האחת שהכולל יותר ידוע מהמיוחד וראוי ללכת מהיותר ידוע אל היותר מוסכל
והשנית שלא נשיב המאמר האחד פעמים הרבה
והשלישית שתהיינה ההקדמות מיוחדות כי יצדק הכולל שגדרו נשוא על המיוחד כאשר ינשא גדר המין על אישיו וכן המספר נשוא על חלקיו
אולם גדר העשרה מצד מה שהם עשרה לא ינשאו על מספר אחר לא על תשעה ולא על זולתו
ולכן בכזה ראוי להקדים המיוחד על הכולל כי מקבוצו יודע הכולל
ואם היותו קודם בטבע מהם מפני שכאשר נעלה הוא יעלו גם הם ולא יתהפך וכשימצאו הם ימצא גם הוא ומפני אלו הסבות היה ראוי להקדימו מהם
וראוי שנקדים להזכיר קודם שכל המספרים נכללים בתשעה
כי מאחד עד תשעה ישלמו האחדים ובהגיעך אל העשרה הגעת אל עשירית אחת עד שתשלים כל העשרות עד תשעים
עוד ממאה התחלת באחד ובהגיעך אל תשע מאות השלמת כל המאות עד שתתחיל עוד מאלף אחד וכן ללא תכלית
ולהיות זה בטבע כאשר חשבו רבים או בבחירה כאשר נחשב אנחנו אין עת להכריע עתה בזה כי אינו מכונתינו
ולכן תקנו אנשי הודו תשעה אותיות להיותן מורין על תשעה מספרים והתחלפות מדרגותם יורו על התחלפות מדרגות התשיעיות כאשר נבאר וזה צורתם
1 2 3 4 5 6 7 8 9
ולא הסתפקו באותיות האלפבית כי לכל אחד מהם צורה מיוחדת הנחיית מה שאין כן לאלו האותיות כי הן מופשטות מכל הנחה ומשותפות לכל צורה שתחול עליהן והן כדמות ההיולי הראשון
ומדרגת הנחתן הוא כמו הצורה להן
וכן יוכל כל אדם לחדש אותיות אחרות זולת אלה
ואמרי אותיות לא ארצה מן אותיות האלפביתא אבל סימנים מופשטים מכל חשבון כאלה
אבל כבר נהגו כל בעלי החשבון להשתמש באלה

Chapter Two: Addition

הפרק השני
ראוי להודיע כי המספרים אשר הם מאחד ועד תשעה יקראו פרטים
ומן העשרות ומעלה יקראו כללים ר"ל העשרות והמאות והאלפים והרבבות והשאר
ואע"פ שיקראו בשם הכלל אבל אין מדרגתם אחת רק יש כלל כולל כלל אחד וכן זה אחד עד שיגיע אל האחדות
לכן ראוי לבעלי החשבון לכתוב מדרגות חשבונם כסדר שיכתבו הכלל היותר כולל ראשונה ואחריו הכלל השפל ממנו וכן על הסדר עד שיגיעו אל האחדים
עוד כשיבואו לכתוב מספר אחר תחת אלה שישמרו הסדר הזה ויכתבו כל כלל תחת הדומה לו ר"ל הרבבה תחת הרבבה והאלף תחת האלפים והמאה תחת המאות והאחדים תחת האחדים
ונקרא א"כ האחדים מדרגה ראשונה והעשרות מדרגה שניה והמאות מדרגה שלישית והאלפים מדרגה רביעית וכן ללא תכלית
ואם יהיה בידך מספר שאינו מסודר בכל מדרגותיו כגון שהיו בידך אלפים ועשרות ואחדים והנה המאות הם חסרים משם השמר לך שלא תכתוב העשרות בצד האלפים אבל תכתוב האלפים ובמקום המאות תכתוב גלגל אחד 0 הנקרא בלשון ישמעאל סיפרא ובלשון יון אודין ובלשון לעז נולא
כלומר כי בכאן הוא מקום המאות ואין שם דבר
ואחר הגלגל תכתוב העשרות במקומו ובזה יהיו המדרגות כל אחת עם חברתה על קו ישר
וכשתרצה לקבץ כל הטורים לעשות אותם סך אחד תעשה ותתחיל מן האחדים לעולם ותרד על קו ישר באחדים אשר תחתיהם בכל הטורים
ואם לא יעלו עד עשר כתוב מה שתמצא תחת הכל כנגד האחדים למטה
ואם יעלו יותר מעשר בכל עשירית ועשירית כתוב נקדה אחת בעשרות ר"ל כמספר העשרות יהיו הנקודות שתכתוב והנשארים אשר לא הגיעו לכלל עשר כתוב אותם תחת האחדים
עוד תרד במדרגת העשרות ועם הנקודות שכתבת וקבצם ותעשה כמשפט הזה כי אם לא תגיע לעשר כתוב מה שתמצא תחת העשרות ואם הגעת לעשרות בכמות העשרות שעלו תעשה נקודות במאות והשאר אשר לא הגיעו לעשרות כתבם תחת מדרגת העשרות וכן אל בלתי תכלית
ואם כן יהיה הסך למטה בכל אחת מהמדרגות פחות מעשר והנמצאים בסך במדרגת האחדים הם אחדים ובמדרגות העשרות הם עשרות וכן בכל מדרגה כפי מדרגתה
ואם היו הטורים אשר רצית לעשות אותם סך הרבה מאד תחלקם לשלשה חלקים או לארבעה או לפחות או ליתר לפי רוב הטורים ומיעוטם ותעשה סך לכל חלק וחלק בפני עצמו כאשר הראית אחר כן תחבר שני החלקים ותעשה אותם סך כזה המשפט בעצמו והמקובץ יהיה סך כל החלקים יחד
וזאת צורת הקבוץ הנקרא סך
  • We wish to sum one thousand two hundred and fifteen with two thousand three hundred and twenty-two.
\scriptstyle1215+2322
רצינו לקבץ אלף ומאתים וחמש עשרה ואלפים ושלש מאות ועשרים ושנים
כתבנו אותם סך כך
1 2 1 5
2 3 2 2
3 5 3 7
אחר חברנו אותם והיה קבוצם למטה שבע אחדים ושלש עשרות וחמש מאות ושלשת אלפים וידענו שהם שלשת אלפים וחמש מאות ושלשים ושבעה
ואלה המספרים בסכום היורד לא הגיעו לכלל עשר בשום מדרגה
ונצייר עוד צורה אחרת המגעת במדרגותיה לכלל העשרות והיא שנחבר עוד תחת אלה השני טורים שני טורים אחרים האחד תשעת אלפי' ושש מאות וחמשים ושבעה והשנית שמנת אלפים וחמש מאות וששים ושלש וזאת היא הצורה
  1 2 1 5
  2 3 2 2
  9 6 5 7
  8 5 6 3
2 1 7 5 7
קבצנו אותם ויצא הסך למטה שבעה אחדים וחמש עשרות ושבע מאות ואלף אחת ושתי רבבות
והנה קבוץ האחדים כאשר תרד במדרגותם על קו היושר תמצאם שבעה עשר הוצאנו העשרה מהם וכתבנו נקודה אחת במדרגת העשרות ונשארו שבעה וכתבנו אותם תחת האחדים
עוד כאשר קבצנו מדרגת העשרות על קו היורד ביושר יחד עם הנקודה שכתבנו שם כנגד העשירית שהוצאנו מהאחדים מצאנום חמש עשרה הוצאנו עוד העשרה מהם וכתבנו נקדה בעבורם במדרגת המאות והחמשה הנשארים כתבנום למטה במדרגת העשרות וכן כשקבצנו המאות בירידתנו על קו היושר יחד עם הנקדה שכתבנו כנגד העשירית שהוצאנו מהעשרות מצאנום שבעה עשר הוצאנו מהם העשרה וכתבנו בעדם נקדה במדרגת האלפים והשבעה הנשארים כתבנו אותם במדרגת המאות
וכן כשקבצנו את האלפים בירידתנו על קו היושר עם הנקדה שכתבנו עמם בעד העשירית שהוצאנו מהמאות מצאנו אותם עשרים ואחד הוצאנו העשרים שהם ב' עשרות וכתבנו בעבורם שתי נקודות במדרגת הרבבות והאחד הנשאר כתבנוהו תחת האלפים וידענו מזה שהם שתי רבבות ואלף אחד ושבע מאות וחמשים ושבעה
מאזנים לדעת אם הסכום שלך אפשר להיותו אמת על דרך התשעה תחשוב כל המדרגות כאילו הם אחדים ותקבצם ותשליכם תשעה תשעה ומה שישאר שמרהו ואם לא ישאר דבר תחשוב בליבך סיפרא
עוד קבץ מדרגות הסך גם הוא כאילו הם אחדים והשליכם ט' ט' ואם ישארו בידך כהשארות הראשון אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לא ישארו כראשונים דע בודאי שטעית ותחזור ותחשוב בטוב
מאזנים אחרים על דרך השבעה תחשוב כל המדרגות כאשר הם ר"ל האלפים אלפים והמאות מאות והעשרות עשרות והאחדים אחדים לא שתחשבם כאילו הם אחדים הכל כאשר עשית בדרך התשעה ואחר שתחשבם השליכם ז' ז' והשאר שמרהו ואם לא ישאר דבר שמור בלבך סיפרא
אחר תבוא אל מדרגות הסך ותתחיל מהכלל היותר גדול עם מה שבצדו ותחשוב כאילו הכלל הם עשרות ומה שבצדו אחדים והשליכם ז' ז' ומה שישאר תחשבהו עשרות וחברהו עם מה שבצדו ותחשוב מה שבצדו לאחדים והשליכם ז' ז' וכן תעשה עד שתגיע אל האחדים וכשתגיע אליהם והשלכתם ז' ז' ראה הנותר ואם הוא שוה עם מה ששמרת אפשר שחשבונך יהיה אמתי ואם הוא בלתי שוה דע בודאי שטעית ותחזור ותחשוב בטוב
וכן אם חלקת הטורים לחלקים מצד ריבויים כאשר הזכרתי ועשית הסך חלקים חלקים תעשה גם המאזנים שלהם ככה אחר חבר גם המאזנים כמו שתחבר הסכום על הדרך אשר ידעת

Chapter Three: Subtraction

הפרק השלישי
אם רצית לחסר מספר ממספר ראוי שיהיה כלל המספר אשר תחסר ממנו יותר גדול מהמספר אשר תחסרנו וזה בשלמים אך לא בשברים ובשאר המדרגות אין צורך
ולעולם תכתוב המספר אשר תחסר ממנו ראשונה אחר תכתוב תחתיו המספר אשר תחסר כל מדרגה תחת הדומה לה
ואם יש לשם חסרון מדרגה תכתוב סיפרא במקומה והזהר לעולם אל הסיפרא שלא תשכחנה אך בכל מקום שתחסר מדרגה תשימנה אחר כן תתחיל לחסר מהאחדים
ואם האחדים אשר תחסר מהם הם יותר מאלה אשר תחסר חסרם מהם והנשאר תכתוב למטה במדרגת האחדים
ואם הם פחותים מהם תחזור אל העשרות אשר בצדם וקח עשירית אחת וחסרה מן העשרות וחברה עם האחדים אחר גרע מהם מה שתגרע והשאר תכתבם למטה במדרגת האחדים
עוד תבוא לחסר העשרות מהעשרות ואם הם יותר העשרות אשר תחסר מהם חסר מהם והשאר כתבם תחת העשרות
ואם הם מעטים שוב אל המאות ועשה כמשפט עד שתגיע אל הכלל היותר גדול
אמנם אם יש לשם סיפרא ותרצה לחסר ממנה מה שלמטה ממנה מהפרטים תקח מהכלל אשר למעלה ממנה ותשיבהו אל הספרא אחר תקח אחד מהמספ' ותשיבהו אל מה שלמטה ממנה ולא תשיב מהכלל אשר למעלה ממנה אל מה שלמטה ממנה כי זה הוא טעות גדולה
וזאת היא הצורה
  • We wish to subtract four thousand two hundred and twenty-five from five thousands one hundred and fourteen.
\scriptstyle5114-4225
נרצה לחסר ד' אלפים ומאתים ועשרים וחמשה מה' אלפים ומאה וארבעה עשר
5 1 1 4
4 2 2 5
0 8 8 9
הוצאנו החמשה מן הארבעה ומפני שהארבעה פחותים מהם חזרנו אל העשרות אשר למעלה מהם ומצאנו עשירית אחת ולקחנוה ועשינוה עשרה וחברנוה עם הארבעה ונהיו ארבעה עשר הוצאנו מהם החמשה ונשארו תשעה וכתבנום במדרגת האחדים
עוד רצינו לגרוע העשרים מן הסיפרא כי לא נשאר דבר מהעשרות וחזרנו אל המאות והיה מאה אחת ולקחנוה והחזרנוה אל עשר עשרות והוצאנו ממנה העשרים ונשארו שמנים וכתבנום למטה
עוד רצינו לגרוע המאתים מהסיפרא כי לא נשאר לנו במאות דבר וחזרנו אל האלפים ולקחנו אלף אחת מן האלפים ונשארו האלפים ד' והאלף אשר לקחנו החזרנוה עשר מאות וגרענו מהם המאתים ונשארו שמנה מאות וכתבנום במדרגת המאות
עוד גרענו הד' אלפים מד' אלפים ונשאר 0'
אם כן ידענו שכשחסרנו ד' אלפים ורכ"ה מה' אלפים וקי"ד נשארו סך סיפרא אלפים ושמנה מאות ושמנים ותשעה
מאזנים על דרך התשעה תחשוב כל מדרגות המספרי' אשר גרעת מהם כאילו הם אחדים והשליכם ט' ט' ומה שישאר שמרהו ויקרא השמור הראשון
וכן תעשה במספרים אשר גרעת אותם שתשמור מהם הנשאר מהט' ט' וזה יקרא השמור השני
אחר תגרע השמור השני מהשמור הראשון ומה שישאר שמרהו וזה יקרא השמור השלישי
עוד תעיין אל הסך שנשאר אחר שגרעת המספרים מהמספרים ותחשבם כאילו הם אחדים והשליכם ט' ט' והנשאר אם יהיה שוה לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם אינו שוה דע בודאי שטעית
ואם השמור הראשון פחות מהשמור השני תוסיף עליו ט' אחר תגרע השמור השני ממנו ותעשה כמשפט
מאזנים אחרים על דרך השבעה תחשוב כללי המספרים אשר גרעת מהם עשרות ואשר בצדם אחדים והשליכם ז' ז' ומה שישאר תחשבהו עשרות והמספר הבא אחריו אחדים והשליכם ז' ז' ועו' כמה שישאר חשב ככה עד שתגיע אל האחדים והשליכם ז' ז' ומה שישאר שמרהו וזה יקרא השמור הראשון
עוד תעשה ככה במספרים אשר גרעת אותם והנשאר שמרהו ויקרא השמור השני
גרע השמור השני מהשמור הראשון ואשר ישאר יקרא השמור השלישי
אחר כן תעיין אל המספרים אשר נשארו כשגרעת המספרים מהמספרים וחשבם ככה כאשר אמרנו בטורים הראשונים כלומר כשתחשוב הכללים עשרות ואשר בצדם אחדים והשליכם ז' ז' והנשאר תחשבהו עשרות ואשר בצידו לאחדים עוד ותשליכם ז' ז' עד שתגיע אל האחדים ואחר שהשלכתם ז' ז' עיין בנשארים ואם הם שוים לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע כי בודאי טעית
מאזנים אחרים על דרך הקבוץ והם מאזני צדק
חבר המספרים שגרעת אותם עם המספרים שנשארו אחר הגרעון וראה ואם יהיו שוים עם המספרים אשר גרעת מהם תדע בודאי כי חשבונך אמת ואם לאו בודאי טעית
תם החלק הראשון

Part Two: Multiplication

החלק השני מהספר הראשון
הפרק הראשון לכפול מספר על מספר
הרוצה לכפול מספר על מספר ראוי שיהיה הלוח הזה שגור בפיו כי בזה יהיה זריז לכפול מספר פלוני על מספר פלוני מא' עד ט'
ואם יהיה המספר אשר ירצה לכפול על מספר אחר כל אחד ממדרגה אחת או מאיזו מדרגה שיורה יקח דמיון לכל אחד ממדרגת האחדים ויכפול זה על זה כאלו הם אחדים ויראה העולה ואח"כ יקח לכל האחד מספר במדרגתו שאם היה האחד עשרות והאחר מאות נקח בעד העשרות שנים ובעד המאות שלשה ונחברם ויהיו חמשה אח"כ נשליך לעולם אחד והשאר יורה לנו העולה מאיזה מדרגה הוא
  • Example: we wish to multiply eighty by five hundred.
\scriptstyle80\times500
דמיון זה רצינו לכפול שמנים על חמש מאות
לקחנו דמיונם מהאחדים בעד השמני' שמנה ובעד החמש מאות חמשה וכפלנו חמשה על שמנה ויצא לנו הסכום ארבעים
עוד לקחנו בעד המאות שלשה ובעד השמנים שנים כי הם מהמדרגה השנית חברנום ונהיו חמשה השלכנו אחד ונשארו ארבעה ואלה הארבעה הם מדרגת האלפים
וידענו מזה שהארבעים אשר יצאו כשכפלנו השמנים על החמש מאות הם ארבעים אלף
אולם כשתרצה לכפול שני מספרים על שני מספרים צריך שנכתוב אותן כל אחד במדרגתו ושנכפול אותן ארבעה פעמים כל אחד מהטור שלמטה עם כל אחד מהטור שלמעלה ונכתוב המספר המונח בטור הראשון והמספר אשר נרצה לכפול עליו בטור התחתון ונתחיל לכפול אחדי התחתון על אחדי העליון וההוה נכתוב אותו למטה במדרגת האחדים וזה אם לא הגיע לעשרות
אבל אם הגיע לעשרות נוציא העשרות מהם ונשמרם והנשארים אשר לא הגיעו לכלל העשרה נכתוב במדרגת האחדים
עוד נכפול האחדים שלמטה עם מדרגת העשרות שלמעלה ואשר יהיה נחבר גם מספר העשרות ששמרנו עם אחדי זה הכפל כי אע"פ שהם עשרות אבל מה שיצא מהם יהיה כאלו הם עשרות ואחדים כי על דמיון האחדים אנו כופלים הכל והאחדים אשר יתקבצו מזה הכפל נכתבם במדרגת העשרות והעשרות אם יהיו נכתבם במדרגה השלישית
אחר נראה העולה והוא חשבון כפל המספר ההוא
  • Example: we wish to multiply twenty-five by forty-three.
\scriptstyle25\times43
דמיון רצינו לכפול עשרים וחמשה על ארבעים ושלשה
כזה
    2 5
    4 3
  2 1 5
  8 6  
1 0 7 5
    2 5
    4 3
1 0 7 5
כפלנו הה' על הג' ונהיו ט"ו גרענו העשירית ושמרנוה נשארו ה' וכתבנום במדרגת האחדים
עוד כפלנו הה' על הד' ונהיו עשרים ומפני שלא יצאו מזה אחדים כתבנו העשירית האחת לבד ששמרנו במקום העשרות והעשרים כתבנום במדרגה השלישית
עוד כפלנו הב' על הג' ונהיו ששה ומפני שלא יצאו גם בכאן אחדים כתבנו במקום האחדים סיפרא והששה כתבנום במקום העשרות
עוד כפלנו העשרים על הארבעי' ונהיו שמנה מאות וכתבנום במדרגה השלישית כי כל אחד מהכפולים היו ממדרגה שנית ובהשלכת האחד נשארו שלשה
אחר כן קבצנום ונהיו אלף ושבעים וחמשה
ואם נרצה לכפול שלשה מספרים על שלשה מספרים אז ראוי שנכפלם תשעה פעמים בזה הסדר
  • Example: we wish to multiply three hundred forty-eight by two hundred thirty-five.
\scriptstyle348\times235
דמיון רצינו לכפול שלש מאות וארבעים ושמנה על מאתים ושלשים וחמשה
כתבנו אותם בצורה הזאת
    3 4 8
    2 3 5
  1 8 8 0
  9 4 0  
7 0 5    
8 1 7 8 0
    3 4 8
    2 3 5
8 1 7 8 0
כפלנו הח' על הה' ונהיו ארבעים ומפני שאין כאן אחדים כתבנו סיפרא במדרגת האחדים ושמרנו העשרות הארבעה
עוד כפלנו הג' על הח' ונהיו כ"ד שמרנו שתי עשרות ועם הארבעה שהם אחדיו חברנו הארבעה אשר שמרנו ונהיו שמנה וכתבנום במדרגת העשרות
עוד כפלנו הב' על הח' ונהיו י"ו שמרנו העשירית האחת וחברנו עם אחדיו שהם הששה את השתי עשרות שהיו שמורות לנו ונהיו ח' וכתבנום במדרגת המאות והעשירית האחת אשר שמרנו עתה כתבנוה במדרגת האלפים
הנה כבר כפלנו הח' על כל אחד ואחד מהמספרים שבטור הראשון השלשה
עוד שבנו לכפול הד' עם כל אחד ואחד מהם וכפלנוה תחלה עם הה' ונהיו עשרים ומפני שלא יצאו אחדים כתבנו ספרא במדרגת העשרות שהיא מדרגת אחדיו כי המספרים שכפלנו הם ממדרגה הראשונה והשנית והעשרים שהם שני עשרות שמרנום
עוד כפלנו הד' עם הג' ונהיו י"ב שמרנו העשירית האחת וחברנו עם השנים שהם אחדיו השני עשרות שהיו שמורות לנו ונהיו ד' כתבנום במדרגת המאות לפי שהמספרים שכפלנו הם במדרגה השניה
עוד כפלנו הארבעה עם הב' ונהיו ח' חברנו גם העשירית השמורה לנו עמם ונהיו ט' כתבנום במדרגת האלפים לפי שהמספרים אשר כפלנו היו ממדרגה השנית והשלישית
הנה כבר כפלנו גם הד' שבטור השפל עם כל אחד ואחד מהשלש מספרים שבטור העליון
עוד נשוב לכפול הג' עם כל אחד ואחד מן שלשת המספרים העליונים כפלנו אותו עם ה' והיה ט"ו הוצאנו העשירית ושמרנוה והה' כתבנום למטה במדרגת המאות כי שני המספרים האלה מדרגותם הם הראשונה והשלישית
עוד כפלנו אותם עם ג' ונהיו ט' חברנו גם העשירית השמורה ונהיו י' ולא היו לשם אחדים ולכן כתבנו במדרגת האלפים ספרא והעשירית אנו שומרים אותה
עוד הכינו אותם עם שנים ונהיו ו' חברנו גם העשירית השמורה עמם ונהיו ז' וכתבנום במדרגת הרבבות כי שני המספרים האלה הם במדרגה השלישית
אחרי כן קבצנו שלשה הסכום כמשפט ונהיו פ"א אלף ושבע מאות ושמנים
דמיון אחר במספר שיש לו ספרא
  • We wish to multiply a hundred and five by two hundred and twenty-four.
\scriptstyle105\times224
רצינו לכפול מאה וחמשה על מאתים ועשרים וארבעה
כתבנו אותם ככה בזאת הצורה
    2 2 4
    1 0 5
  1 1 2 0
  0 0 0  
2 2 4    
2 3 5 2 0
    ב ב ד
    א 0 ה
  א א ב 0
  0 0 0  
ב ב ד    
ב ג ה ב 0
כפלנו הה' על הד' ונהיו כ' ומפני שאין שם אחדים כתבנו סיפרא במדרגת האחדים והשתי עשרות שמרנום
עוד כפלנו הה' עם הב' ונהיו י' ומפני שאין שם אחדים כתבנו הב' עשרות השמורות במדרגת העשרות וזאת העשירית שמרנוה
עוד כפלנו הה' עם ב הב' ונהיו י' ומפני שאין שם אחדים כתבנו למטה העשירית אשר שמרנו במדרגת המאות וזאת העשירית במדרגת האלפים
עוד שבנו להכות כל אחד משלשה המספרים העליונים עם הסיפרא וכתבנו סיפרא במדרגת העשרות וכן במדרגת המאות וכן במדרגת האלפים
עוד שבנו לכפול הא' עם הד' ונהיה ד' וכתבנוהו במדרגת המאות כי שני המספרים הנכפלים היו מהמדרגה הראשונה והשלישית
עוד כפלנו הא' עם הב' ונהיו ב' וכתבנום במדרגת האלפים כי שני המספרים הכפולים היה האחד מהמדרגה השנית והאחר מהמדרגה השלישית
עוד כפלנו הא' עם השנים ונהיו ב' וכתבנום במדרגת הרבבות כי שני המספרים הכפולים היה כל אחד מהמדרגה השלישית
אחר כן קבצנו העולה מהם והם כ"ג אלף וחמש מאות ועשרים
אמר מרדכי ראיתי להודיעך הכפל הזה בדרך אחרת נקלה מצאתיה אצל חכמי הישמעלים והוא שתעשה כל סך הנכפלים בשטה אחת מבלתי שתצטרך אל יותר מזה
וככה תעשה תשים המספר אשר תרצה לכפול עליו בשטה העליונה כמנהג
עוד שים המספר אשר תרצה לכפול אותו עליו בשטה השפלה כל מדרגה כנגד הדומה לה
ואחר כן החל לכפול האחדים על האחדים ותכתוב העולה למטה
ואם יעלו עשרות תפוש אותם בלבך ותכתוב האחדים לבדם למטה
עוד תכפול האחדים שבשטה השפלה עם העשרות שבשטה העליונה כאלו הם אחדים על אחדים והעשרות אשר תפשת בלבך מהחשבון הראשון חשוב אותם אחדים וחברם עם אלה
גם תכפול האחדים שהם בשטה העליונה עם העשרות שהם בשטה השניה וחבר הכל ותכתוב העולה למטה
ואם עלו עשרות והטעם מדרגה עליונה מזאת תפוס בלבך
גם תכפול האחדים שבשטה השפלה עם המאות שבשטה העליונה
וכן האחדים שבשטה העליונה עם המאות שבשטה השפלה
גם העשרות שבשטה השפלה עם העשרות שבשטה העליונה
והכלל המדרגות אשר בקבוצן תהיינה שוות הסך
כי הראשונה עם השלשה יעשו ד' וככה השלישית עם הראשונה והשנית עם השנית
גם הראשונה עם הרביעית יעשו חמשה וככה השנית עם השלישית
וככה תעשה עד אין קץ ואשר יהיה תחבר המספר שהיה במדרגה שחשבנוה עשרות שתפשת בלבך עמם וכתבם למטה והוא הסך המבוקש
  • Example: we wish to multiply three hundred and forty-eight by two hundred and thirty-five.
\scriptstyle348\times235
דמיון רצינו לכפול שלש מאות וארבעים ושמנה על מאתים ושלשים וחמשה
כזה
    3 4 8
    2 3 5
8 1 7 8 0
    ג ד ח
    ב ג ה
ח א ז ח 0
כפלנו הח' על הה' ונהיו מ' ובעבור שלא נשארו אחדים כתבנו גלגל במדרגה הראשונה והמ' תפשנום בלבנו ארבע
עוד כפלנו ח' עם ג' והיו כ"ד גם ד' עם ה' כי הם שוה המדרגות והיו כ' חברנום עם הכ"ד והיו מ"ד גם חברנו עמהם הד' שתפשנו בלבנו היו מ"ח וכתבנו למטה במדרגת העשרות ח' והמ' תפשנו בלבנו ד'
עוד כפלנו ח' עם ב' והיו י"ו גם ג' עם ה' והיו ט"ו גם ד' עם ג' והיו י"ב כי כל אלה שוה המדרגות והם מ"ג חברנו עמהם הד' שתפשנו בלבנו והם מ"ז כתבנו הז' במדרגת המאות והד' שהם המ' תפשנו בלבנו
עוד כפלנו ד' עם ב' והיו ח' גם כפלנו ג' עם ג' והיו ט' גם חברנו הד' שתפשנו בלבנו עמם והיו כ"א כתבנו הא' במדרגת האלפים והכ' תפשנו אותם בלבנו שנים
עוד כפלנו ג' עם ב' והיו ו' חברנו עמהם הב' שתפשנו בלבנו והיו ח' כתבנו הח' במדרגת הרבבות
וידענו מזה שהסך העולה מכפל השטה השפלה על השטה העליונה הם שמנים ואחת אלפים ושבע מאות ושמנים
וכבר נהגו בעלי החשבון לכפול בדרך שלישית
והוא שתקח שלישית המספר ותכפלהו על עצמו וההוה הוא מרובעו ותקח כדומה לו ממדרגה הבאה אשר היא יותר עליונה ממנה ותוציא מזאת המדרגה מרובע השלישית והנשאר הוא המבוקש
  • Example: we wish to know the square of 9.
\scriptstyle9^2
דמיון רצינו לדעת מרובע ט'
ולקחנו שלישיתו וכפלנו אותו על עצמו ונהיה ט' לקחנו דמיונו ממדרגה הבאה העליונה ממנה והיה צ' הוצאנו ממנו הט' שהוא מרובע השלישית ונשארו פ"א והוא המבוקש
ואם רצית לכפול מספר שאין לו שלישית אתה לוקח שלישית המספר היותר קרוב אליו ותרבע אותו ותעשה כמשפט אחר תעיין ואם המספר אשר לקחת שלישיתו הוא יותר פחות מהמספר המבוקש קבץ שני המספרים והוסיפם על הסך וההוה הוא המבוקש
  • Example: we wish to know the square of ten.
\scriptstyle10^2
דמיון רצינו לדעת מרובע עשרה
וזה אין לו שלישית והמספר הקרוב אליו אשר יש לו השלישית הוא התשעה והוא פחות ממנו לקחנו מרובע שלישיתם והוא ט' ולקחנו דמיונם מהמדרגה הבאה והוא צ' גרענו ממנו הט' ונשארו פ"א ומפני שהמספר אשר לקחנו השלישית ממנו הוא פחות מהמספר המבוקש קבצנו שני המספרים הט' עם הי' ונהיו י"ט הוספנום על הפ"א ונהיו ק' והוא מרובע העשרה
אבל אם היה המספר אשר לקחנו השלישית ממנו יותר מהמספר המבוקש אנו מקבצים שני המספרים וגורעים אותם מהסך והנשאר הוא המבוקש
  • Example: we wish to know the square of 11.
\scriptstyle11^2
דמיון רצינו לדעת מרובע י"א
ומפני שאין לו שלישית והמספר הקרוב אליו שיש לו שלישית הוא הי"ב והוא יותר ממנו לקחנו שלישיתו וכפלנוהו במספר המרובע ולקחנו דמיונו במדרגה הבאה והוא ק"ס גרענו ממנו הי"ו שהוא מרובע השלישית ונשארו קמ"ד ומפני שהמספר אשר לקחנו השלישית ממנו שהוא י"ב הוא יותר מהמספר המבוקש מרובעו שהוא י"א קבצנו שתיהן ונהיו כ"ג וגרענו אותם מן קמ"ד ונשארו קכ"א וזהו המבוקש שהוא מרובע י"א
אמר מרדכי מצאתי דרך נכבד בענין הכפל בדרך החמישיות והוא כי כאשר תרצה לכפול מספר על עצמו תקח חמישיתו ותכפלהו על עצמו ותעלהו במעלה הבאה הסמוכה לה אחר תכפול אותה על שנים וחצי והוא המבוקש
  • Example: we wish to multiply sixty by sixty.
\scriptstyle60^2
דמיון רצינו לכפול ששים על ששים
וחמישיתו י"ב כפלנום על עצמם נהיו קמ"ד העלנו אותם במדרגה הבאה הסמוכה להם ונהיו אלף וארבע מאות וארבעים כפלנום על ב' וחצי ונהיו ג' אלפים ת"ר וזהו המבוקש
  • Another example: we wish to multiply fifty by fifty.
\scriptstyle50^2
דמיון אחר רצינו לכפול חמשים על חמשים
וחמישיתו עשרה כפלנוהו על עצמו ונהיה מאה העלינוהו אל המדרגה הסמוכה לה ונהיו אלף כפלנום על ב' וחצי ונהיו ב' אלפים וחצי וזהו המבוקש
ואם רצית לכפול מספר על עצמו ואין לו חמישית תעיין המספר הקרוב אליו שיש לו חמישית אם מלפניו אם מלאחריו ולא יעבור ההפרש לעולם על שנים
ואם היה המספר אשר יש לו חמישית הקרוב אל מספרך קודם ממספרך באחד תחשבהו בדרך שהזכרתי ראשונה על המספר שיש לו חמישית אחר תחבר מספרך עם המספר שיש לו החמשית ותוסיפהו על הסך והוא המבוקש
ואם היה ההפרש שנים תכפול מספרך אחר שתחברהו עם המספר שיש לו חמישית עם שנים ואחר תוסיפנו על הסך והוא המבוקש
אמנם אם המספר שיש לו החמשית הוא אחר מספרך תחשוב חשבונך על המספר שיש לו החמישית אחר תחבר מספרך עם המספר פעם אחת אם ההפרש אחד או תכפול אותו עם ב' אחר שחברתו אם ההפרש שנים ותגרעהו מהסך והנשאר הוא המבוקש
  • Example: we wish to multiply 11 by 11.
\scriptstyle11^2
דמיון רצינו לכפול י"א על י"א
והנה זה המספר אין לו חמשית והמספר הקרוב אליו אשר יש לו חמישית הוא העשרה וכפלנו אותו בדרך החמישיות ועלו ק' אחר חברנו הי' שיש לו החמישית עם הי"א שהוא מספרינו פעם אחת מפני שההפרש בין שמספרנו ובין י' הוא אחד ונהיו כ"א חברנו עם הק' ונהיו קכ"א וזהו המבוקש
דמיון אחר במספר שההפרש שנים
  • We wish to multiply 12 by 12.
\scriptstyle12^2
רצינו לכפול י"ב על י"ב
והנה זה המספר אין לו חמישית והמספר הקרוב לו בעל החמשית הוא העשירי' כפלנוהו בדרך החמישיות ונהיו ק' אחר חברנו הי' שיש לו החמישית עם הי"ב שהוא מספרנו ונהיו כ"ב ומפני שההפרש שנים כפלנום ב' פעמים ונהיו מ"ד וחברנום עם הק' והיו קמ"ד וזהו המבוקש
דמיון אחר במספרים אשר המספר שיש לו חמשית הקרוב אליו הוא אחריהם כי הדמיונים אשר עשינו היה בהיותו לפניהם
  • We wish to multiply 14 by 14.
\scriptstyle14^2
רצינו לכפול י"ד על י"ד
והנה זה המספר אין לו חמישית ראינו המספר אשר יש לו חמישית הקרוב אליו והוא ט"ו כפלנום בדרך החמישיות ועלה רכ"ה אחר חברנו את המספר הזה שיש לו חמישית עם מספרינו שהוא י"ד פעם אחת מפני שההפרש אחד והיה כ"ט גרענום מן הסך מפני כי המספר אשר יש לו החמישית היה אחרי מספרנו ונשארו קצ"ו וזהו המבוקש
דמיון במספר כזה שההפרש אשר בינו ובין אשר יש לו החמישית שנים
  • We wish to multiply 13 by 13.
\scriptstyle13^2
רצינו לכפול י"ג על י"ג
וזה המספר אין לו חמישית והמספר הקרוב אליו שיש לו החמישית הוא החמשה עשר כפלנוהו בדרך החמישיות והיה רכ"ה אחר חברנו זה המספר שיש לו החמישית עם י"ג שהוא מספרנו ונהיו כ"ח כפלנום על ב' מפני שההפרש אשר בין שני המספרים ב' ונהיו נ"ו גרענום מן רכ"ה מפני שהמספר שיש לו החמישית הוא אחרי מספרנו ונשארו קס"ט וזהו המבוקש
ואם תרצה לכפול מספר על מספר שהם רחוקים מהכלל בשווי האחד חסר ממנו והאחר מוסיף עליו אתה יכול לכפול הכלל על עצמו אחר תרבע המספר היתר והחסר ותגרעהו מחשבון הכלל וההוה הוא המבוקש
  • Example: we wish to multiply twenty-five by thirty-five.
\scriptstyle25\times35
דמיון רצינו לכפול כ"ה על ל"ה
והכלל ל' והה' בתוספת וחסרון כפלנו הכלל ונהיו תת"ק אחר כפלנו הה' ונהיה כ"ה גרענום מהתת"ק ונשארו תתע"ה והוא המבוקש
אמר מרדכי עם היות שאמרנו שאם היו המספרים שתים על שתים אתה צריך לכפלם ארבעה על ארבעה ר"ל ארבעה פעמים צריך אתה לדעת שאם היה כללם אחד יספיק לכפלם שלש פעמים
כגון הרוצה לכפול י"ג על י"ד והנה כלל שניהם עשרה תחבר שני הפרטים ויהיו ז' ותכפול ז' פעמים י' נהיו ע' וי' פעמים י' הרי ק' וג' פעמים ד' הרי י"ב והעולה קפ"ב וזהו המבוקש
מאזנים על הכפל בדרך הט'
תחשוב הטור העליון כולו כאלו הם אחדים והשליכם ט' ט' והשאר שמרהו וזה יקרא השמור הראשון
עוד תעשה כן בטור השפל והשאר יקרא השמור השני
תכפול השמור הראשון על השמור השני ואשר יהיה השליכהו ט' ט' והשאר שמרהו וזה יקרא השמור השלישי
אחר תעיין הטור השלישי השפל אשר יקרא הסך ותחשבהו כאלו הם אחדים והשליכם ט' ט' והשאר עיין ואם הוא שוה לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע בודאי שטעית
מאזנים בדרך השבעה
עיין מספרי הטור הראשון ותתחיל מהיותר כולל ותחשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם ז' ז' ואשר ישאר חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם עוד ז' ז' ואשר ישאר עוד חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם עוד ז' ז' ואשר ישאר עוד חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם ז' ז' וכן תעשה עד שתגיע למעלת האחדים ואשר ישאר שמרהו וזה יקרא השמור הראשון
עוד תקח מספרי הטור השני ועשה כמשפט הזה ואשר ישאר יקרא השמור השני
אחר תכפול השמור השני על השמור הראשון ואשר יהיה השליכהו ז' ז' והשאר יקרא השמור השלישי
אחר כן תעיין מספרי הטור השפל השלישי אשר יקרא הסך ועשהו כמשפטי הטורים העליונים ועיין הנשאר ואם הוא שוה לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע בודאי שטעית

Euclidean Propositions

אמר מרדכי ראיתי לכתוב לך דברים מעניני המספר להרגילך בהם כדי שתהיה זרִיז בענינים אלו
Euclid, Elements, Book II, propositions 2: If you divide any number into parts as you wish, [the sum of] the products of each of the parts by the whole number is equal to the square of the whole number

\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left[\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\sdot a_k\right]=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2

ואומר כל מספר שחלקת אותו לחלקים איך שרצית הנה כפל כל אחד מהחלקים על כל המספר מקובץ שוה למרובע כל המספר
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot12\right)+\left(4\sdot12\right)+\left(5\sdot12\right)=36+48+60=144=12^2}}
דמיון המספר י"ב וחלקנוהו על שלשה וארבעה וחמשה כפלנו הג' על הי"ב והיו ל"ו עוד כפלנו הד' על הי"ב והיו מ"ח עוד כפלנו הה' על הי"ב והיו ס' חברנו אותם והיו הכל קמ"ד והם שוים למרובע י"ב
Euclid, Elements, Book II, proposition 2:
\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]=\left(a+b\right)^2
עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה כפל כל אחד משני החלקים על כל המספר מקובץ שוה למרובע כל המספר
\scriptstyle{\color{blue}{\left(10\sdot7\right)+\left(10\sdot3\right)=70+30=100=10^2}}
דמיון המספר עשרה וחלקנוהו על ז' וג' כפלנו הז' על הי' והיו שבעים גם ככה כפלנו החלק האחר שהם השלשה עליו והיו ל' ושניהם ק' והוא מרובע העשרה
  • Euclid, Elements, Book II, proposition 3: For any number divided into two parts as you wish, the product of the whole number by any of its two parts is equal to the product of the one part by the other plus the square of the part by which you multiplied the whole number.
\scriptstyle\left(a+b\right)\sdot b= \left(a\sdot b\right)+b^2
עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה כפל המספר כולו על אחד משני חלקיו איזה שיהיה שוה לכפל החלק האחד על השני ולמרובע החלק משניהם אשר כפלת על כל המספר
  • Example: the number ten, we divide it into two parts - three and seven.
דמיון המספר עשרה חלקנוהו לשני חלקים על שלשה ושבעה
\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+3\right)\sdot3=10\sdot3=30=21+9=\left(7\sdot3\right)+3^2}}
כפלנו השלשה עמו והיו ל' וזה שוה לכפל הג' על השבעה שהם כ"א ולמרובע הג' שהם ט' שהוא החלק אשר כפלנו
\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+3\right)\sdot7=10\sdot7=70=21+49=\left(3\sdot7\right)+7^2}}
גם ככה אם היינו כופלים הז' שהוא החלק האחד על העשרה היו שבעים וזה שוה לכפל הג' על הז' שהם כ"א ולמרובע הז' שהם מ"ט שהוא החלק אשר כפלנו ושניהם שבעים
  • Euclid, Elements, Book II, proposition 4: For any number divided into two parts as you wish, the square of the whole number is equal to [the sum of] the squares of the two parts and twice the product of the one part by the other.
\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]
עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה מרובע כל המספר שוה לשני המרובעים ההוים משני החלקים ולכפל החלק האחד על חברו פעמים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle
3^2+7^2+\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]&\scriptstyle=9+49+\left(2\sdot21\right)=9+49+42\\&\scriptstyle=100=10^2\\&\scriptstyle=\left(3+7\right)^2\\\end{align}}}
דמיון המספר עשרה חלקנוהו על שלשה ושבעה ומרובע הג' ט' ומרובע הז' מ"ט וכפל הג' על הז' כ"א וחשבהו פעמים הם מ"ב והכל ק' וזה שוה למרובע העשרה
  • Euclid, Elements, Book II, proposition 5: For any number divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the product of one of the unequal parts by the other and the square of the difference between the two parts, i.e. between the equal part [= the half of the whole number] and the unequal [part] is equal to the square of half the [whole] number.
\scriptstyle\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left(a\sdot b\right)+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2
עוד כל מספר כאשר תחלקהו לשני חלקים שוים ולשני חלקים בלתי שוים הנה כפל החלק האחד אל חברו מהחלקים הבלתי שוים ומרובע מה שבין שני החלקים ר"ל בין החלק השוה ובלתי שוה שוה למרובע חצי המספר
\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left(3\sdot7\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-3\right]^2=\left(3\sdot7\right)+\left(5-3\right)^2}}
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3\sdot7\right)+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+\left(7-5\right)^2\\&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+2^2\\&\scriptstyle=21+4=25=5^2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2\\\end{align}}}
דמיון המספר עשרה חלקנוהו לחמשה וחמשה שהם חלקים שוים גם חלקנוהו לז' וג' שהם חלקים בלתי שוים כפלנו הג' על הז' והיו כ"א עוד לקחנו מרובע השנים שהם בין הה' שהם החלק השוה לשלשה או לז' שהם החלק הבלתי שוה והיו ד' והכל כ"ה והם שוים למרובע ה' שהוא מרובע חצי המספר
  • Euclid, Elements, Book II, proposition 6: If you divide any number into half and add to it another number, [the sum of] the product of the whole number plus the additional [number] by the additional [number] and the square of half the number is equal to the square of half the number and the additional [number] together.
\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2
עוד כל מספר כאשר חלקת אותו לחצאים והוספת עליו מספר אחר הנה כפל המספר כלו מקובץ עם התוספת בתוספת והמרובע ההוה מחצי המספר שוה למרובע חצי המספר והתוספת ביחד
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[2\sdot\left(10+2\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2&\scriptstyle=\left(2\sdot12\right)+5^2\\&\scriptstyle=24+25\\&\scriptstyle=49=7^2=\left(5+2\right)^2\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2\\\end{align}}}
דמיון המספר עשרה וחלקנוהו לשני חצאים שהם כל חצי חמשה הוספנו על העשרה שנים והיו י"ב כפלנו כל הי"ב שהוא המספר עם התוספת ביחד עם השנים שהם התוספת והיו כ"ד חברנו עמהם כ"ה שהם מרובע ה' שהוא חצי המספר והיו מ"ט וזה שוה למרובע ז' שהוא חצי המספר עם התוספת ביחד
Euclid, Elements, Book II, proposition 7: For any number divided into two parts, the sum of the square of the whole number and the square of one of the parts is equal to twice the product of this part by the whole number plus the product of the other part by itself

\scriptstyle\left(a+b\right)^2+a^2=2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2

עוד כל מספר כאשר תחלקהו בשני חלקים איך שיקרה הנה המרובע ההוה מן המספר כלו והמרובע ההוה מאחד משני חלקים כאשר התקבצו שוים לכפל המספר כלו עם החלק הנזכר פעמים והמרובע ההוה מן החלק השני
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle10^2+7^2&\scriptstyle=100+49=149\\&\scriptstyle=140+9\\&\scriptstyle=\left[2\sdot\left(7\sdot10\right)\right]+3^2\\\end{align}}}
דמיון המספר עשרה וחלקנוהו איך שקרה על שבעה ועל שלשה והמרובע ההוה מעשרה הם ק' וההוה מז' הם מ"ט ומקובצים קמ"ט והם שוים לכפל העשרה על ז' פעמים שהם מאה וארבעים ולמרובע ג' שהם ט' שהוא החלק השני והכל קמ"ט
Euclid, Elements, Book II, proposition 8: For any number divided into two parts as you wish, if you multiply the whole number by one of the parts four times, the sum of the product with the square of the other part is equal to the [square] of the whole number plus the one part

\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2

עוד כל מספר כאשר חלקת אותו בשני חלקים איך שיקרה וכפלת המספר כלו עם אחד משני חלקיו ארבעה פעמים ועם מרובע החלק הנשאר שוה למרובע ההוה מן המספר כלו והחלק הנזכר כאשר תחברם ביחד ותקח מרובעם
\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left[4\sdot\left(10\sdot7\right)\right]+3^2=280+9=289=17^2=\left(10+7\right)^2}}
דמיון יש לנו מספר מניינו העשרה וחלקנוהו איך שהזדמן על ג' ועל ז' הנה כאשר כפלנו הז' עם הי' ד' פעמי' היו ר"פ וכאשר חברנו עמהם מרובע הג' שהוא ט' והוא החלק השני נהיו רפ"ט והם שוים למרובע י"ז שהוא המספר כלו יחד עם החלק אשר כפלנוהו עם המספר כולו והם גם אלה רפ"ט
Euclid, Elements, Book II, proposition 9: For any number divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the squares of the unequal parts is equal to twice [the sum of] the square of half the [whole] number and the square of the difference between the large part and the half [of the whole number]

\scriptstyle a^2+b^2=2\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2+\left[a-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2\right]

עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים אשר יהיו מהחלקים הבלתי שוים הם כפל שני המרובעים אשר יהיו מחצי המספר ומהתוספת אשר לחלק הגדול על המחצית
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7^2+3^2&\scriptstyle=58=2\sdot\left(25+4\right)=2\sdot\left(5^2+2^2\right)\\&\scriptstyle=2\sdot\left[5^2+\left(7-5\right)^2\right]\\&\scriptstyle=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2\right]\\\end{align}}}
דמיון יש לנו מספר מנינו עשרה וחלקנוהו לשני חלקים שוים על ה' ושני חלקים בלתי שוים על ג' וז' הנה מרובע ג' שהוא ט' ומרובע ז' שהוא מ"ט שניהם נ"ח הם כפל מרובע ה' שהוא כ"ה והוא מחצית המספר וכפל מרובע ב' שהוא

ד' ושניהם כ"ט שהוא התוספת שיש לז' שהוא החלק הגדול על הה' שהוא המחצית

Euclid, Elements, Book II, proposition 10: If you divide any number into half and add to it another number, [the sum of] the square of the whole number plus the additional [number] and the square of the additional [number] is equal to twice [the sum of] the square of half the number and the square of half the number plus the additional [number] together

\scriptstyle\left(a+b\right)^2+b^2=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2\right]

עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חציים והוספת עליו מספר אחר הנה מרובע המספר עם התוספת יחד ומרובע התוספת בעצמו הם כפל שני המרובעים שהם מרובע חצי המספר ומרובע חצי המספר עם התוספת יחד כאשר יחוברו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+2\right)^2+2^2&\scriptstyle=12^2+2^2\\&\scriptstyle=144+4=148=2\sdot74=2\sdot\left(25+49\right)\\&\scriptstyle=2\sdot\left(5^2+7^2\right)=2\sdot\left[5^2+\left(5+2\right)^2\right]\\&\scriptstyle=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2\right]\\\end{align}}}
דמיון יש לנו מספר מניינו עשרה וחלקנוהו לשני חצאים על הה' והוספנו עליו מספר אחר ב' ונהיה י"ב הנה מרובע י"ב שהוא המספר עם התוספת יחד קמ"ד ומרובע ב' שהוא התוספת ד' ושניהם קמ"ח והוא כפל מרובע ה' שהוא כ"ה ומרובע ז' שהוא מ"ט ושניהם ע"ד אשר הוא מרובע חצי המספר והתוספת ביחד
הנה הודעתיך דרכים נאותים במספרים מועילים כי כאשר יהיו דרכים מתחלפים מוציאים אל חשבון אחד כאשר יטעה מהדרך האחד יתיישר מהדרך האחר ותרגיל עצמך בהם

Part Three: Division & Sum

החלק השלישי לחלק מספר על מספר ולהוסיף מספר על מספר

Chapter One: Division

הפרק האחד
אמר מרדכי הקדמנו זה השער משאר הערכי' להיותו קודם בטבע מן הערכי' ופשוט ממנו אם קודם בטבע כי לא נוכל למצוא בערכים הגבול האחד מהשנים או מהשלשה אם לא בדרך הכפל והחלוקה כאשר יתבאר בשער אשר נזכירם ואם פשוט ממנו להיות השער ההוא מורכב מזה ומהמיוחד לו וזה השער מיוחד בזה משניהם והנה החלוקה הזאת עושים אותה בעלי החשבון על שני דרכים
הדרך האחת כאשר הזכירה החכם ר' אברהם ן' עזרא ז"ל
והדרך השנית היא אשר קורים אותה הלועזים גליאה בלשונם ופירושו דוגית
ואני אזכיר הנה גם שתי הדרכים
הדרך הראשונה היא כאשר תרצה לחלק מספר על מספר בין שיהיה אחד על רבים או רבים על אחד או רבים על רבים כתוב המספר אשר רצית לחלקו ראשונה
וראוי שיהיה לעולם המספר המתחלק יותר מהמחולק עליו בשלימים
אחר תכתוב המספר אשר תרצה לחלק עליו בטור השפל וריוח תשים בין העליון והשפל כדי שתשים ביניהם העולה בחלוק
והשמר שתכתוב המספר השפל במדרגותיו כנגד מדרגות הטור העליון כל אחד כנגד הנכחי לו
אחר תתחיל לחלק מהכלל היותר גדול ותחשבהו כאלו הם אחדי' ותחלקהו על הכלל היותר גדול שבטור השפל ואם הכלל היותר גדול שבטור העליון כשתחשבהו במספר אחדים יהיה יותר מעט מהטור מהכלל שבטור השפל החזירהו אחורנית ואז יהיה יותר גדול מהכלל שבטור השפל ותחלק עליו וראה ואם המספר אשר תחלק עליו הוא מהמדרגה הראשונה כתו' העולה בחלוק במדרגה האחרונה ואם הוא במדרגה השנית כתוב העולה בחלוק במדרגה השנית אחורנית ר"ל השנית לאחרונה וכן על זה הסדר
ואם ישאר שום מספר אשר בכללי הטור הראשון אשר לא יכול להתחלק במדרגתו השיבהו אחורנית וחשבהו עשרה ר"ל כל אחד מהנשארי' אשר לא יכול להתחלק וחברהו עם המדרגה הקרובה לו השפלה ממנו וחלקהו וכן אם ישאר גם מזאת המדרגה ככה תעשה עד שתגיע למדרגת האחדים
וכן ראוי שתדע שאם היו המספרים אשר תחלק עליהם רבים וכשחלקת הכלל שבטור הראשון על הכלל שבטור השני לא נשאר דבר אין ראוי שתתן לו כל החלקים אבל תשאיר חלק אחד כדי שתשיבהו אחורנית ותחלקהו גם על שאר המספרים שבטור השפל וכן בכל מדרגה ומדרגה
  • Example: we wish to divide 4215 by 14.
\scriptstyle4215\div14
דמיון רצינו לחלק ד' אלפים ורט"ו על י"ד
כזו הצורה
0      
1 0 0 1
4 2 1 5
  3 0 1
1 4    
4 2 1 5
  3 0 1
1 4    
חלקנו הד' שבטור העליון שהוא במדרגת האלפים על האחד שבטור השפל שהוא במדרגת העשרות ונתננו לו ג' כדי שנוכל לחלק גם על הד' האחדים ואלה הג' כתבנום במדרגה השנית אחורנית תחלתה מהכללים לפי שהאחד אשר חלקנו עליו היה במדרגה השנית מהאחדים
עוד הא' הנשאר השיבונוהו אחורנית לעשרה וחברנוהו עם הב' אשר במדרגת המאות ונהיו י"ב חסרנו מהם הד' אחדים ג' פעמים ולא נשאר דבר ומפני שלא נשאר דבר להיותו מקושר וכן עדיין לא יצא בחוץ כתבנו ספרא אחרי הג' במדרגת העשרות
עוד שבנו לחלק הט"ו שבטור העליון על הי"ד שבטור השפל ונתננו לו אחד וכתבנוהו במדרגה הראשונה ממדרגת האחדים מפני שגם המחולקים הם במדרגה הד' ממדרגת האלפי' ונשאר אחד בלתי מתחלק ומזה ידענו שהחלק הוא ג' מאות וא' ונשאר גם חלק אחד אשר לא נחלק
  • Another example: we wish to divide 104034 by 114.
\scriptstyle104034\div114
דמיון אחר רצינו לחלק ק' אלפי' וסיפ' וד' אלפי' וסיפ' ול' וד' על קי"ד
כזה
1 0 4 0 3 4
      9 1 2
      1 1 4
השיבונו האחד שבטור העליון שהוא במדרגת העשר רבבות אל י' אחורנית במדרגת הרבבות ונתננו לחלק ט' הוצאנו ט' פעמי' אחד ממנו נשאר אחד ואלף הט' כתבנום במדרגה הג' אחורנית מן הכלל המתחלק כי חלקנום על אחד שהוא במדרגה השלישית מן האחדים והאחד אשר נשאר במדרגת הרבבות השיבונוהו נ אחורנית י' במדרגת האלפים וחברנוהו עם הד' אשר שם ונהיו י"ד גרענו עוד מהם ט' פעמי' אחד שהוא במדרגת העשרו' ונשארו ה' במדרגת האלפי' . עוד גרענו מהם ד' פעמי' ט' שהם האחדים שבטור השפל והם ל"ו ולא הספיקו השיבונו הד' אחורנית לעשרות במדרגת המאות ונהיו מ' גרענו מהם הל"ו נשארו ד' במדרגת המאות וא' במדרגת האלפי'
עוד שבנו לחלק הא' שבמדרגת האלפים והד' שבמדרגת המאות על הקי"ד שבטור השפל ונתננו אחד לחלק וכתבנוהו במדרגה השנית אחרי הט' . גרענו א' מהא' אשר במדרגת האלפי' ולא נשאר דבר במדרגת האלפים . עוד גרענו הא' אשר במדרגת העשרות מהד' אשר במדרגת המאות נשארו ג' במדרגת המאות עוד גרענו הד' האחדים שבטור השפל מהג' שבמדרגת המאות ולא הספיקו ולכן החזרנו הא' אחורנית לעשרה וחברנום עם הג' הג' א אשר במדרגת העשרות ונהיו י"ג ובמדרגת המאות נשארו ב' גרענו הד' מהי"ג נשארו ט' במדרגת העשרות עוד שבנו לחלק הב' אשר נשארו במדרגת המאות והט' אשר נשארו במדרגת העשרות על הקי"ד ונתננו ב' לחלק וכתבנוהו במעלת האחדים והוצאנו ב' פעמי' א' מהט' מהט' ונשארו במדרגת העשרות ז' עוד הוצאנו ב' פעמי' ד' מהד' שבטור העליון ולא הספיק ולכן החזרנו א' מהז' שהיו על מדרגת העשרות אחורנית לעשר וחברנום עם הד' שבטור העליון ונהיו י"ד וגרענו מהם הח' ונשארו במדרגת האחדים ו' וו' במדרגת העשרות וידענו מזה שנחלק מספרינו לתשע מאות וי"ב חלקים ונשארו גם ס"ו אשר לא נחלקו
וראוי לך לדעת שכאשר תחלק המספרים שבטור העליון על כל המספרים שבטור השפל וקודם שתצא לחוץ הותרו ולא היה לשם השארות שיקשרו עם הבאים אחריהם אז ראוי לך להשים בצד החלקים שחלקת סיפ' ואחר כשתתחיל לחלק הבאים תכתבם בצד הסיפ' כאשר עשינו בדמיון הראשון אשר למעלה מזה
  • Another example: we wish to divide 5214 by 108.
\scriptstyle5214\div108
דמיון אחר רצינו לחלק ה' אלפי' ורי"ד על ק' וסיפ' וח'
כזה
5 2 1 4
    4 8
  1 0 8
נתננו לחלק ד' כדי שיספיק וכתבנוהו במדרגה השלישית אחורנית כי האחד אשר חלקנום עליו היה במדרגה השלישית ממדרגת האחדים גרענו ד' פעמים אחד ממנו ונשאר א' במדרגת האלפים עוד גרענו ד' פעמים ח' שהם ל"ב מהא' ולא הספיק והשיבונו אחורנית לעשרות ונהיו י"ב כי חברנום עם הב' שבמדרגת המאות ועדיין אינו מספיק להוציא מהם ל"ב השיבונו אחורנית הד' מהי"ב לעשרות וחברנום עם הא' אשר במדרגת העשרות ונהיו מ"א ונשארו במדרגת המאות ח' וגרענו הל"ב ממ"א ונשארו ט' במדרגת העשרות עוד שבנו לחלק הח הח' על הא' ונתננו לו ח' וכתבנום במדרגה הראשונה מהאחדי' גרענו ח' מהח' עוד נשארו ח' גרענו ח' פעמי' ח' שהם ס"ד מהט' שהם במדרגת העשרות ולא הספיקו ולכן השיבונו אחורנית הו' אל האחדים ונהיו ס' ונהיו וחברנום עם הד' שבטור העליון ונהיו ס"ד וגרענו מהם הס"ד ונשארו ג' במדרגת העשרות וידענו מזה שהחלק הוא מ"ח ונשארו גם ס' אשר לא חלקנום . זאת היא הדרך האחת מהשתי דרכים מדרכי החלוקה
הדרך השנית והיא אשר תקרא בלשנם גליאה היא דרך שרוב הסוחרים משתמשים בה והיא שתכתו' המספרי' אשר תרצה לחלק אותם בטור העליון . והמספרים אשר תרצה לחלק עליהם בטור השפל ולא תכתבם במדרגתם כנגד העליונים אבל אי זו מדרגה שיהיו כתוב הכולל שלהם תחת הכולל שבטור הראשון והמספר הבא אחריו כנגד המספר אשר בצד הכולל אחר תתחיל לחלק הכולל שבטור העליון על הכולל שבטור השפל ולא תתן לו מה שתמצא ואם אין המספרים אשר בצדו מספיקים לחלקם על המספרים אשר תחלק עליהם תשאיר אחד או יותר לפי מה שתצטרך ותעיין כמה פעמי' הוא נכנס בו ר"ל הכולל בכולל או הכולל בכולל אחר שהשארת ממנו אם השארת וכמספר הפעמי' אשר יכנס בו כתוב במקום מיוחד המספר ההוא ותכה עם המספר הזה הכתוב במקום המיוחד את הכולל מהמספרים אשר תחלק עליהם ותגרעהו מכולל המספר הנחלק והנשאר אם ישאר כתו' אותו למעלה ממנו ותמחוק האחר עוד תכה עם המספר הכתו' במקום המיוחד את המספר הבא אחר הכולל מהמספר אשר תחלק עליו ותגרעהו מהמספר הבא אחדר הכולל מהמספרים הנחלקים ותעשה כמשפט וכן תעשה עד שתחלק על כל המספרי' אשר תחלק עליהם ואם לא הספיק המספר הנחלק לגרוע ממנו תחזיר את האחד הנשאר או היותר אם היו אחורנית לעשרות ותחלקם על המספר אשר תחלק עליהם וכן תעשה עד שתוציא כל המספרי' הנחלק עליהם בחלוקה עוד תשוב לכתו' המספרים אשר תחלק עליהם ותרד מדרגה אחת ותתחיל משם ותכתוב כסדר ותראה כמה פעמי' הוא נכנס הכולל מהמספרי' אשר תחלק עליהם במספר השני הבא אחר הכולל במספרי' הנחלקי' והמספר ההוא ר"ל כמות הפעמי' כתבהו בצד המספר אשר כתבת במקום המיוחד והכה עמו כל המספרי' אשר תחלק עליהם ועשה כמשפט ותוציא הנכפל מהמספרי' אשר תחלק עליהם מהראשון שבמספרי' המוחלקי' הנשארים ותמחוק המספר הכתו' ואשר ישאר כתבהו עליו וכן תעשה עד שתצא בחוץ ואם בתוך המספר קודם שתצא בחוץ הוצאת כל המספרי' אשר חלקת עליהם מהמספרי' ההם ולא נשאר דבר כתו' סיפ' בחוץ לשם שאתה כותב החלקים בצד החלק אשר אתה בו עוד תשוב לחלק המספרי' הבאים עד שתצא בחוץ והחלקי' כתבם בצד הסיפ'
  • Example: we wish to divide 4215 by 14.
\scriptstyle4215\div14
דמיון רצינו לחלק ד' אלפי' ורט"ו על י"ד
כזאת הצורה
1     1
4 2 1 5
 
 
1 4 1 4
3 0 1
כתבנו אותם בטור העליון והי"ד בטור השפל והתחלנו מהמדרגה היותר כוללת ושמנו גם קו אחד יורד בצד המספרים וראינו כמה פעמי' נכנס א' בד' ומצאנו שנכנס ד' פעמי' ולא נתננו לו כל הד' אבל נתננו לו ג' כדי שיספיק לחלק גם על השאר והג' כתבנום בחוץ בצד הקו היורד וגרענו הא' ג' פעמי' מהד' ונשאר אחד ומחקנו הד' וכתבנו למעלה במדרגתו אחד עוד מצאנו הוצאנו הד' ג' פעמי' שהם י"ב מזה האחד הנותר אחר שהשיבונוהו אחורנית לי' וחברנוהו עם הב' ונהיו י"ב ולא נשאר דבר ומפני שלא נשאר דבר קודם שנצא בחוץ כתבנו בצד הג' סיפ' עוד שבנו לחלק הט"ו שלמעלה על הי"ד ומחקנו הי"ד ממקומם וכתבנום תחת הט"ו ^ כי הותרו הי"א ואינם קשורים אחר שיצאנו בצמצום ונתננו חלק אחד לאחד וכתבנוהו בצד הסיפ' ונשאר חלק אחד בלתי מתחלק כי הוצאנו האחד מן האחר ומחקנו את שתיהם והוצאנו הד' מן הה' ונשאר א' ומחקנו את שתיהם וכתבנו האחד למעלה וידענו מזה שנחלק לש' וסיפ' וא' חלק ונשאר גם אחד בלתי מתחלק
  • Another example: we wish to divide 104034 by 114.
\scriptstyle104034\div114
דמיון אחר רצינו לחלק ק' אלף וסיפ' וד' אלפי' וסיפ' ול"ד על קי"ד
כזה
      0    
      2    
    1 3 6  
  1 5 4 9 6
1 0 4 0 3 4
  1 1 4    
    1 1 4  
      1 1 4
9 1 2
השיבונו הא' שבמספרי הטור העליון הכולל לעשרות וכתבנוהו במדרגת העשרות הרבבות ולכן כתבנו הקי"ד ממנו כי הוא לא הספיק וראינו שהמספר אשר נחלק עליו נכנס בו ט' פעמי' וכתבנו הט' בחוץ בצד הקו היורד בחוץ כפלנו הא' עם הט' ונהיו ט' גרענום מן הי' שבמדרגת הרבבות נשאר א' במדרגת הרבבות ומחקנו הא' שבטור השפל עו' כפלנו הט' עם הא' השני שבטור השפל ונהיו ט' החזרנו אחורנית את הא' שבמדרגת הרבבות לי' וחברנוהו עם הד' שיש שם במדרגת האלפי' ונהיו י"ד גרענו מהם הט' ונשארו ה' במדרגת האלפי' עוד כפלנו הד' שבטור השפל על הט' ונהיו ל"ו והחזרנו הד' מהה' שבמדרגת האלפי' לעשרות על מדרגת המאות ונשאר אחד במדרגת האלפי' ומחקנו הה' וכתבנו במקומו א' והנשאר והד' אשר החזרנו נהיו מ' וגרענו מהם הל"ו ונשארו ד' במדרגת המאות וכתבנום ומחקנו גם הד' שבטור השפל ומפני שהחשבון לא יצא בחוץ עדין שבנו עוד וכתבנו הקי"ד כל אחד מהם קודם מדרגה אחת ממה שכתבנום בפעם הראשונה ורצינו לחלק האחד אשר בטור העליון במדרגת האלפי' עם המספרי' אשר בצדו עליהם וראינו שהם נכנסי' בו פעם אחת וכתבנו אחד בחוץ בצד המספר אשר בצד הקו היורד בחוץ כפלנוהו עם הא' שבטור השפל ונהיה א' גרענוהו מן האחד שבמדרגת האלפי' ומחקנוהו וגם מחקנו גם זה האחד עוד כפלנו הא' שבחוץ עם האחד השני שבטור השפל וגרענוהו מהד' שבמדרגת המאות ונשארו ג' ומחקנו הד' וכתבנו במקומם ג' וכן מחקנו גם האחד . עוד כפלנו האחד שבחוץ עם הד' שבטור השפל ונהיו ד' רצינו לגרעם מן הג' הכתובי' במדרגת העשרות ולא הספיקו ולכן השיבונו מן הג' שבמדרגת המאות אחד אחור אחורנית לעשרות ומחקנום וכתבנו במקומם ב' והי' חברנום עם הג' שבמדרגת העשרות ונהיו י"ג גרענו מהם הד' נשארו ט' במדרגת העשרות ומחקנו הג' וכתבנו ט' במקומם וכן מחקנו גם הד' שבטור השפל עוד מפני שעדיין לא יצא החשבון בחוץ שבנו וכתבנו הקי"ד מדרגה אחת קודם המדרגה שכתבנום בפעם השניה וראינו כמה פעמי' הם נכנסי' בחשבון הנשאר אשר לא נתחלק עדין ומצאנו שנכנסי' ב' פעמי' ולכן כתבנו בחוץ בצדי צד הקו היורד מחוץ ב' כפלנו אותם עם הא' שבטור השפל ונהיו ב' גרענום מהב' אשר במדרגת האלפי' ולא נשאר דבר ומחקנו אותם וגם הא' שבטור השפל . עוד כפלנו הב' עם הא' השני שבטור השפל ונהיו ב' גרענום מהט' שבטור העליון הכתו' במדרגת העשרות ונשארו ז' מחקנו הט' וכתבנו ז' במקומם וכן מחקנו גם הא' השני שבטור השפל עוד כפלנו הב' עם הד' שבטור השפל ונהיו ח' ומפני שלא הספיקו לגרעם מן הד' שבטור העליון במדרגת האחדים השיבונו מן הז' אחד אחורנית לי' ומחקנו הז' וכתבנו במקומם ו' והי' חברנום עם הד' ונהיו י"ד וגרענו מהם ח' ונשארו ו' ומחקנו את הד' וכתבנו במקומם ו' וכן מחקנו גם הד' שבטור השפל ומזה ידענו שנחלקו לתתקי"ב חלק ונשארו גם ס"ו אשר לא נתחלקו
מאזנים על דרך הט' תכפול מאזני המספר אשר חלקת עליו עם מאזני החלקי' אשר כתבת אותם באמצע לפי הדרך הראשון ולפי הדרך השנית הם אשר כתבת אותם בצד הקו היורד בחוץ ואחר שתכפלם השליכם ט' ט' ואשר שישאר תשמור אותו . וזה אם לא נשאר מהמספר אשר חלקת אותו שום דבר אשר לא נתחלק אבל אם נשאר קח גם המאזנים שלו וחבר אותם עם המספר אשר שמרת ואם יעדיפו מהט' תשליך הט' והנשאר הוא השמור האמתי אחר תעיין גם אל מאזני המספרים שחלקת אותם ואם הם שוים עם השמור אפשר שחשבונך אמת ואם לאו דע בודאי שטעית
מאזנים אחרים ע"ד הז' תחשב כללי המספר אשר חלקת עליהם עם אשר בצדם כאלו הם עשרות ואחדים והשליכם ז' ז' ואשר נשאר תחשבהו עוד לעשרות והמספר הבא אשר בצדו לאחדי' והשליכם ז' ז' עד שתגיע למדרגת האחדים ואשר ישאר יקרא מאזני המספר אשר חלקת עליו עוד כן תעשה במאזני החלקים והם אשר כתבתם באמצע בדרך הראשונה ובחוץ בצד הקו היורד בדרך השנית והשליכם ז' ז' ואשר ישאר יקרא מאזני החלקים אחר תכפול מאזני המספר אשר חלקת עליו על מאזני החלקים ואשר יהיה השליכהו ז' ז' ואשר ישאר שמרהו ויקרא השמור וזה אם לא נשאר במספרי' אשר חלקת אותם מספר אשר לא נתחלק אכן אם נשאר מספר אשר לא נתחלק קח גם מאזני המספר ההוא אשר לא נתחלק בכזה הדרך והשליכהו ז' ז' והנשאר חברהו עם השמור ואז יקרא השמור באמת אחר תעיין אל מאזני המספרי' אשר חלקת אותם וזה כשתוציאם בכזה הדרך ותשליכם ז' ז' ואשר ישאר אם הוא שוה לשמור באמת אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע בודאי שטעית
מאזנים אחרים שהם מאזני צדק תכפול החלקי' אשר באמצע בדרך הראשונה או בצד הקו היורד בחוץ בדרך השנית עם המספר אשר חלקת עליו ואשר יהיה אם הוא שוה עם המספרי' אשר חלקת אותם אם נחלקו הכל או אם לא נחלקו הכל אם הוא שוה להם אחר אשר תגרע מהם המספרים אשר לא נחלקו אז תדע בודאי כי חשבונך אמת ואם אין דע בודאי שטעית

Chapter Two: Progression

הפרק השני להוסיף מספר על מספר כסדרו או על סדר אחר
הרוצה להוסיף מספר על מספר כסדרו יכפל אותו על חציו בתוספת חצי אחר והעולה הוא המבוקש
  • Example: we wish to add the numbers that are from 1 up to 10 one by the one.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i
דמיון רצינו להוסיף המספרי' שהם מא' עד י' זה על זה
כפלנו הי' בה' ונהיו נ' עוד הוספנו ה' שהוא חצי הי' ונהיו נ"ה וזהו המבוקש
  • Another example for an odd [number of terms]: we wish to know how much is the sum of the numbers from 1 up to 9.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{9} i
דמיון אחר לנפרדי' רצינו לדעת כמה תוספת המספרי' זה על זה מא' עד ט'
והנה חציו ד' וחצי הוספנו על זה עוד חצי האחר ונהיו ה' כפלנו הט' בה' ונהיו מ"ה וזהו המבוקש
ועל אלו שתי הדמיונים כל המספרי'
ואם תרבע כל המספר ותוסיף עליו שרשו וקח מחציתו והוא המבוקש
דמיון כפלנו הי' על עצמו ונהיו ק' הוספנו עליו השרש שהוא י' ונהיה ק"י וחצים נ"ה וזהו המבוקש
אמר מרדכי מצאתי דרך אחרת נכבדת מאד והוא שתכה תכלית המספר המבוקש עם המספר הבא אחריו וחצי ההווה הוא המבוקש
  • Example: we wish to know how much is the sum of the numbers that are from 1 up to 10.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i
דמיון רצינו לדעת כמה תוספת המספרי' שהם מא' עד י'
הכינו הי' עם הי"א שהוא המספר הבא אחריו ונהיו ק"י וחציו נ"ה והוא המבוקש
  • Question: if a person asks you: I summed numbers and they are 55, how much are the numbers?
\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=55
שאלה אם ישאלך אדם חברתי מספרי' והיו נ"ה כמה היו המספרי'
תשובה כפול הנ"ה על ב' וקח השרש המרובע שעבר וראה ואם הוא שוה למספר הנשאר מהמרובע שעבר כמו הם היו מספרי'
המשל כפלנו הנ"ה והיו ק"י והמרובע שעבר ק' ושרשו י' והמספר הנשאר

מהמרובע שעבר שהוא ק' עוד כפל הנ"ה שהם ק"י י' וא"כ המספרי' שחברת והיו נ"ה הם י'

  • Question: I summed from 4 up to 10. How much are they?
\scriptstyle\sum_{i=4}^{10} i
שאלה חברתי מד' עד י' כמה יהיו
תשובה תעשה כמשפט הראשון ותמצא נ"ה אחר תחבר מא' עד ג' ותמצא ו' גרע אותם מנ"ה ונשארו מ"ט וזהו המבוקש
ואם ישאלך אדם כמה הם מרובעי המספרים עד מספר פלו' על הסדר
תשיב שימצאם חבורם בפשוטיהם ואחר יכה אותה בשני שלישי תכלית המספר המבוקש עם תוספת שליש אחד ואשר יהיה הוא המבוקש
  • Example: how much are the squares that are summed from 1 up to 4?
\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} i^2
דמיון כמה הם המרובעים המחוברים מא' עד ד'
כפלנו אותם בחציים עם תוספת חצי אחר ונהיו י' עוד לקחנו ב' שלישי ד' עם תוספת שליש אחר והם ג' הכינו אותם עם הי' ונהיו ל' וזהו המבוקש

Part Four: Proportions & Fractions

החלק הד' לערך מספר על מספר
זה השער נדבר בו על השלימי' כי לנשברי' יש דרך אחרת נבאר אותה בפרק הבא ונאמר שעם

היות שהאמצעיים הם י' אבל הקדמוני' לא בחרו רק ג' מיני הערכים והם ערכי החשבון וערכי המדות וערכי הנגוני' . ואנחנו לא נזכיר הנה רק ערכי המדות כי הם צורך לרוב השאלות הנעשות בחשבון .. וכבר התבאר בחכמת השיעור כי ההתיחסות לא תתכן בפחות מג' גבולים ואם הגבול האמצעי הוא בעד שני גבולין ולכן ההתיחסות תפול בד גבולי' מפני זה כל מספרי' ארבעה אשר יחס הראשון אל השני כיחס הג' אל הד' אם תחבר מרובע ארבעתם יהיה שוה למרובע הראשון והד' מחוברי' ומרובע ההפרש שיש בין השני והשלישי . וכן אם תחבר מרובע השני והשלישי יחד עם מרובע ההפרש שיש בין הראשון לרביעי יהיה שוה בחשבון וכן כאשר הומרו היו מתיחסי' כיחס הב' אל הג' יהיה כיחס הב' אל הד' ומפני זה מהג' הידועים נדע הרביעי המוסכל וכבר נהגו בעלי החשבון לכתו' המוסכל בקצה האחרון לעולם בין שיהיה מהאמצעיים ובין שיהיה הקצה הראשון ובלבד שידע איך יסדר האחדים

  • Example: if one asks: if the 8 yield 4, how much will the 6 yield?
דמיון שאם שאל שואל שאם הח' ירויחו ד' הו' מה ירויחו
ובשאלה המה ישים הגלגל כזה
0 6 4 8
הנה נקראו האמצעיים הד' והו' ושתי הקצוות הח' והגלגל
כפלנו ב' האמצעיים ונהיו כ"ד חלקנום על הקצה הידוע שהם ח' ונהיה החלק ג' ומזה ידענו שבמקום הגלגל צריך ג' והוא המבוקש
וכן אם הפך הסדר ושאל אם הד' הרויחו אותם הח' מהו שירויחו הו'
ועתה נהיו הב' אמצעיים הח' והגלגל כזה
6 0 8 4
והנה כשנפל שני הקצוות ונחלקהו על האמצעי הידוע נמצא האמצעי המוסכל כפלנו ד' על הו' ונהיו כ"ד חלקנום על ח' ונהיה החלק ג' וזהו המבוקש
וכן אם הפך השאלה ושם הגלגל ראשונה ואמר מה ירויחו הו' אם הח' ירויחו ד'
כזה
4 8 6 0
נכפול הקצה הידוע עם האמצעי אשר בצד המוסכל ונחלקהו על האמצעי אשר בצד הקצה הידוע ונמצא המוסכל . ואע"פ שכל אלה הם דרך נכונה אבל לעולם בעלי החשבון יהפכו הגלגל אל הקצה האחרון בלבד שישמרו הסדר עד שיהיו המרויחים במקומם והריוח במקומו וכן אם היו מדות ודינרים שיהיו המדות במקומם והדינרי' במקומם ויזהר שלא יחליף ויטעה
דמיון אם שאל שואל שאדם אחד מוכר חטה ז' מדות בי"ב פשוטי' כמה מדות יתן בי"ד פשוטי'
ראוי להפך השטה לבד שישמר הסדר ושיכתוב הסדר כך אם י"ב פשוטי' נתנו ז' מדות הי"ד פשוטים מה יתנו ואז נופל הגלגל בתכלית האחד ולעולם כזה הסדר
0 14 7 12
הוא כופל האמצעיים ומחלק אותם על הקצה הראשון ולומד הקצה האחרון וכאשר תחלק הכפול על הנחלק עליו ולא יצא בצמצום אבל נשאר חשבון אשר לא נתחלק תעיין ואם זה החשבון אשר לא נתחלק הוא תחת כפלי החשבון אשר נתחלק עליו דע כי הוא חלק ממנו לפי הפעמי' אשר ישערהו כי אם ישערוהו ב פעמים הוא מחציתו ואם בג' פעמי' הוא שלישיתו וכיוצא בם ואם לא יהיה תחת כפליו אם תרצה תוציא ממנו חלק אשר יהיה תחת כפליו והשאר השיבהו אל הפרטי' או אם תרצה השב הכל אל פרטים וחלקהו ואם ישאר עוד השיבהו אל פרטי פרטים עד שיצא בצמצום או עד שיצא דבר שאין חשש בו
דמיון שאלנו אם הי"ב דינרי' נתנו ז' דינ' ריוח הי"ד דינ' כמה יתנו
וכתבנוהו כך
0 14 7 12
כפלנו האמצעיים ונהיו צח צ"ח חלקנום על הקצה האחד שהם י"ב ונהיה החלק האחד ח' ונשארו גם ב' אשר לא נתחלקו ומפני שאלה הב' הם תחת כפלי הי"ב וישערום בו' פעמי' ידענו מזה שהמבוקש הוא ח' וששית
אבל אם שאל אם הי"א דינ' נתנו ז' דינ' ריוח הי"ד מה יתנו
כתבנוהו כך
0 14 7 11
כפלנו האמצעיים ונהיו צ"ח חלקנום על הי"א ונהיה החלק ח' ונשארו גם י' אשר לא נתחלקו השיבונו אותם אל פרטי' שהם י"ב בדינר ונהיו ק"כ חלקנום על י"א ונהיה החלק י' י' פשוטי' ונשארו עוד י' בלתי מתחלקים השיבונום אל פרטי פרטים שהם גם הם י"ב בפרוטה ונהיו ק"כ חלקנום על י"א ונהיה החלק האחד י' ונשארו הי' בלתי מתחלקי' ומפני שאין בם חששא הנחנום וידענו מזה שהחלק הא' הוא ח' דינ' וי' פרוטו' מי"ב בדינ' וי' פרטי פרוטו' מי"ב בפרוטה ודבר שאין בו חששא וזהו הריוח אשר יתנו הי"ד דינ' ואלה הם אשר יקראו אותם בעלי ג' הצורות
אולם יש שאלות אחרות אשר יקראו אותם בעלי ה' צורות והם אשר ישתף השואל דבר אחד עם כל אחד מהיחסי' כגון זמן וכיוצא ואז הם נכתבי' ככה
דמיון אם אדם שכר ו' אנשי' לעבוד עמו ג' ימי' בח' דינ' ועבדו עמו הד' בשני ימי' כמה יקחו
אע"פ שאין ספק שזה מחובר מב' ערכים אל ג' צורות אבל בעלי החשבון נתנו דרך למצוא הכל בתשובה אחת להקל על המחשב כאלו הוא ערך אחד וקראו אותו בעלי ה' צורות ונעשה ככה
0 2 4 8 3 6
אנו כופלי' את הקצה הראשון עם הימים אשר בצדו ומה שיהיה הוא היסוד אשר אנו חולקי' עליו את השאר כאשר נראה כפלנו הו' בג' ונהיו י"ח והוא היסוד אחר כפלנו הח' בד' ונהיו ל"ב עוד הל"ב בב' ונהיו ס"ד חלקנו הס"ד על הי"ח ונהיה החלק האחד ג' ונשארו גם י' בלתי מתחלקי' השיבונו הי' אל הפרוטות אשר הם י"ב באחד ונהיו ק"כ חלקנום על הי"ח ונהיה החלק האחד ו' פרוטות ונשארו גם י"ב בלתי מתחלקי' השיבונו הי"ב אל פרוטי פרוטות אשר הם י"ב באחד ונהיו קמ"ד חלקנום אל הי"ח ונהיה החלק באחד ח' וידענו מזה שהד' האנשי' בב' הימי' אשר עברו יקחו ג' דינ' וו' פרוטות וח' פרוטי פרוטות לפי חשבון התנאי אשר התנה לעבד עמו הו' אנשים בג' ימים ולקחת ח' דינ'
החלק הנפרד המדבר על הנשברים
אמר מרדכי להיות שהחשבון הוא מהכמה המתחלק והשברי' הם שברי הכמה המתדבק . והמתחלק עם המתדבק הם ב' הפכי' כי זה יקבל התוספת אל בלתי תכלית ולא יקבל החלוקה אל בלתי תכלית כי יעמוד באחד וזה יקבל החלוקה אל בלתי תכלית כי אי אפשר להיות הגודל מחובר מחלקי' אשר לא יתחלקו לכן היה משפט השברי' הפך משפט השלימי' כי כפל השלימי' הוא יותר מהמספרי' אשר יכפלו וכפל השברי' הוא פחות מהממספרי' אשר יכפלו ומפני שהאחד הוא אמצעי בין השלימי' ובין השברי' לכן היה כפלו כמוהו כי ימשך אל שתי צדדיו בשווי . ומפני שהשברים בגודל יסכימו עם החלקים שהם בכלל אחד מקובץ לקחו השם מהם כי השם החצי נגזר משנים והשלישית משלשה והרביעית מארבעה ולכן יהיה המורה מהם כאשר נבאר אחר יחלקו על מרובע המדה ויצא המבוקש
  • Example: one asks: how much is the product of a third by a third?
\scriptstyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}
דמיון שאל השואל כפל שלישית על שלישית כמה יהיה
והנה המורה ט' כי כפלנו ג' על ג'
ומרובעו פ"א חלקנו המורה על מרובעו ועלה תשיעית אחת ומזה ידענו שכפל שלישית על שלישית יהיה תשיעית
  • Also if they are two thirds by two thirds
\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}
וכן אם היו ב' שלישיות על ב' שלישיות
המורה ט' כי כפל שלישית על שלישית המורה שלו ט'
ומרובעו פ"א ומפני שהשלישיות היו ב' על ב' לקחנו בעד הב' שלישיות ו' וכן ו' בעד הב' שלישיות האחרי' כפלנו ו' על ו' ונהיו ל"ו חלקנום על פ"א ונהיה החלק האחד שלישית ותשיעית וזהו המבוקש
  • Another example: one asks: how much are 3 quarters multiplied by 4 ninths?
\scriptstyle\frac{3}{4}\times\frac{4}{9}
דמיון אחר שאל שואל כמה ג' רביעיות הכפולות על ד' תשיעיות
הנה המורה ל"ו כי כפל ד' על ט' ככה
ומרובעו אלף רצ"ו ומפני שהרביעיות היו ג' לקחנו י"ב בעדם כי ג' פעמי' ד' הם י"ב ומפני שהתשיעיות הם ד' לקחנו ל"ו בעדם הכינו הי"ב עם הל"ו ונהיו תל"ב חלקנום על מרובע המורה שהם אלף רצ"ו ונהיה החלק האחד שלישית אחד ומזה ידענו שהמבוקש הוא שלישית אחד
אבל בעלי החשבון לוקחי' החשבון המורה באופן יותר נקל כי זה המורה הוא רב החשבון ועושי' ככה כשישאלו על כפל שלישית אחד על שלישית אחד כותבי' האחד למעלה ואחר הם מתויכים עם קו וכותבי' השלישית למטה וככה יעשו בשלישית האחרת כזו הצורה
וכופלים האחד על האחד ונהיה אחד אח"כ יכפלו הג' על הג' ונהיו ט' אחר רואים מה ערך האחד אל הט' והוא המבוקש
  • Another example: how much are 2 thirds multiplied by 4 quarters?
\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{4}{4}
דמיון אחר כמה ב' שלישיות הכפולות על ד' רביעיות
כתבנו הב' למעלה והשלישיות למטה והתיכנו עם קו אחד וכן עשינו בד' רביעיות כזה
כפלנו הב' עם הד' ונהיו ח' עוד כפלנו הג' שלמטה עם הי הד' אשר למטה ונהיו י"ב אחר עייננו מה ערך הח' אל הי"ב והם שני שלישיים וידענו מזה שהמבוקש הם שני שלישיות אחד
ואם רצינו לכפול שלימי' ונשברי' עם שלימי' ונשברי' אנו כותבים אותם ככה השלימי' ובצדם הנשברים וכן אם נרצה לכפול עליהם אחר אנו משברי' השלימי' בכזה האופן . אנו מכים חלקי המתדבק עם השלימי' כמו שאם היו גם הם שלימי' ואנו מחברי' גם מספר החלקי' עמהם ואז שבו כלם נשברים כזה
  • How much are 5 integers and 3 quarters multiplied by 4 integers and 2 thirds?
\scriptstyle\left(5+\frac{3}{4}\right)\times\left(4+\frac{2}{3}\right)
כמה הם ה' שלימי' וג' רביעיות הכפולי' על ד' שלימי' וב' שלשיות
והנה הצורה
הכינו הד' שהם חלקי מורה המתדבק עם הה' שלימי' ושבו כ' חברנו גם הג' שהם מספר הרביעיות ונהיו כ' וג' רביעיות עוד הכינו הג' שהם מורה חלקי המתדבק עם הד' השלימי' ונהיו י"ב חברנו גם הב' עמהם ונהיו י"ד שלישיות והנה הראשוני' כ"ג רביעיות ואלה י"ד שלישיות הכינו אלה עם אלה והיו שכ"ב עוד הכינו הד' עם הג' שהם מורה השלישיות והרביעיות ונהיו י"ב ראינו מה ערך השכ"ב אל הי"ב והם כ"ז פחות ששית וידענו מזה שכפל ה' שלימי' וג' רביעיות על ד' שלימי' וב' שלישיות הם כ"ז פחות ששית
זאת היא הדרך אשר נהגו בעלי החשבון להתנהג בהיות שם שברי' עם שלימי' בין שהיו שלימי' לבד עם שלימים ושברי' ובין שהיו שלימי' ושברי' עם שלימי' ושברי' ובין שהיו שלימי' לבד עם שברי' לבד
אמנם בהיות שלימים לבד עם שברי' לבד יש ג"כ דרך אחרת והיא שנקח בעבור השלימי' מורה במספרי' ונכה אותו עם מספר חלקי השברי' ונחלקהו על המורה שנקח מהשברי' והעולה הוא המבוקש
  • Example: how much are 2 integers multiplied by 3 quarters?
\scriptstyle2\times\frac{3}{4}
דמיון כמה ב' שלימי' הכפולים על ג' רביעיות
לקחנו בעד הב' שלימי' ב' והוא המורה שלהם כפלנום עם ג' שהוא מספר חלקי השברי' נהיו ו' חלקנום על ד' שהוא המורה שלקחנו מהשברי' ונהיו אחד וחצי וזהו המבוקש
ואם רצית לערך שברי' על שברי' בין שיהיו שלימי' עם כל אחד מהם או עם האחד לבד ראוי בתחלה לשבור השלימי' ולעשותם שברי' כפי המין אשר היו השברי' הדביקים עמהם וככה תכתבם 2 2 3 4 4 3 תכה בתחלה הב' שלימי' עם הג' שהוא מורה השלישיות ונהיו ו' 3 4 6 0 אחר תחבר גם הב' עמהם שהוא מספר השלישיות ונהיו ח ח' שלישיות עוד הכינו הג' שלימי' עם הה' שהוא מורה החמשיות ונהיו ט"ו חברנו גם הד' עמהם שהם מספר החמשיות ונהיו י"ט חמשיות עוד הכינו הד' שלימי' עם הו' שהם מורה הששיות ונהיו כ"ד חברנו גם הג' שהם מספר הששיות עמהם ונהיו כ"ז ששיות כי השאלה היתה אם הב' מדות וב' שלישיות יתנו לנו ג' דינרי' וד' חמשיות הד' מדות וג' ששיות כמה יתנו ושבה השאלה עתה אם הח' שלישיות יתנו לנו י"ט חמשיות הכ"ז ששיות כמה יתנו ואחר שהשיבונו השאלה אל השברי' אנו כותבי' אותם כך 5 7 אלף תקל"ט אחר אנו מכים אותם כדמות מספריי' ואנו מכי' הח' עם הה' ונהיו 1 9 מ' ואנו כותבי' אותם תחת הה' עוד אנו מכי' המ' עם הו' ונהיו ר"ם 8 2 7 ואנו כותבי' תחת הו' וזהו המספר אשר נחלוק עליו עוד אנו מתחילי' 3 5 6 להכות הג' עם הי"ט ונהיו נ"ז ואנו כותבי' אותם על הי"ט עוד אנו מכים 0 4 0 4 2 הנ"ז עם הכ"ז ונהיו אלף תקל"ט אח"כ אנו מחלקי' אותם על הר"מ ונהיו ו' שלימי' וב' חמשיות וחלק אחד מפ' וזהו המבוקש אשר יתן לנו החשבון הדרוש . אבל אם החשבון יהיה בעל חמש צורות כגון שישתף השואל דבר אחר עם שאלתו כגון זמן וכדומה לו כאשר בארנו בשלימי' אז נכתו' אותו ככה
דמיון שאל השואל אם ב' רביעיות דינר בד' שמיניות היום שהם י"ב שעות כי שמינית היום ג' שעות הרויחו ג' רביעיות דינר הד' רביעיות בד' שמיניות היום כמה ירויחו
וזה צורתו אז נכפול הב' עם הד' שהם בטור העליון והם מספר הרביעיות והשמיניות ונהיו ח' אחר הכינו הח' עם הד' שבטור השפל שהוא תחת הג' ונהיו ל"ב וכתבנום תחתיהם עוד הכינו הל"ב עם הד' אשר בצדם שהם תחת הד' שבטור העליון ונהיו קכ"ח וכתבנום תחתיהם עוד הכינו הקכ"ח עם הח' אשר בצדם ונהיו אלף כ"ד וכתבנום תחתיהם ואלה הם היסוד אשר נחלוק עליהם עוד אנו מכים הד' עם הח' שבטור השפל ונהיו ל"ב ואנו כותבים אותם תחתיהם עוד אנו מכים הד' הל"ב עם הג' שבטור העליון ונהיו צ"ו ואנו כותבים אותם תחתיהם עליהם עוד אנו מכים (...) השפ"ד עם הד' אשר בצדם ונהיו אלף תקל"ו ואנו כותבי' אותם עליהם אח"כ אנו מחלקי' אותם על האלף וכ"ד ויצא החלק אחד וחצי וידענו מזה שזהו החשבון המבוקש אשר ירויחו הד' רביעיות בד' שמיניות היום כי ירויחו דינר אחד וחצי
דמיון אחר לזה רצינו לדעת אם הב' שלישיות דינר בד' חמשיות היום ירויחו ו' שביעיו' הח' תשיעיות בז' עשיריות כמה יתנו
וכתבנום ככה כפלנו הב' עם הד' שבטור העליון ונהיו ח' וכתבנום עליהם עוד הכינו הח' עם הז' שהוא שלישי לטור השפל ונהיו נ"ו וכתבנום תחת הז' שבטור השפל עוד הכנו הכינו הנ"ו עם הט' ונהיו תק"ד וכתבנום תחת הט' . עוד הכינו התק"ד עם הי' ונהיו ה' אלפי' ומ' וכתבנום תחת הי' ואלה הם היסוד אשר נחלוק עליהם עוד חזרנו והכינו את הג' עם הה' שבטור השפל ונהיו ט"ו וכתבנום למטה תחת הה' אחר הכינו את הט"ו עם הו' שבטור העליון שהוא השלישי ונהיו צ' וכתבנום על הו' עוד הכינו הצ' עם הח' ונהיו תש"כ וכתבנום על הח' עוד הכינו התש"כ עם הי' ונהיו ז' אלפי' ור' חלקנו אותם על היסוד שהם ה' אלפי' מ' ונהיה ח החלק אחד ושליש וחלק אחד מי' וידענו שזהו אשר ירויחו הח' תשיעיות דינר בז' עשיריות היום אם הב' שלישיות דינר הרויחו ו' שביעיות בד' חמשיות היום
זו הדרך אשר ישתמשו בה הסוחרי' וכל בעלי החשבון באלה שתי מיני הצורות לשברים . ר"ל בבעלי הג' צורות ובעלי הה' מיני צורות לשברי' הה' צורות
אולם יש דרך אחרת גם היא נכונה אבל יצטרך לחלק ג' פעמי' והיא זאת
דמיון בבעלת הג' צורות הראשונה שהשאלה היא אם הח' שלישיות יתנו לנו י"ט חמשיות הכ"ז ששיות כמה יתנו
אנו כותבים אותם כמשפט הראשון עם הקו המתויך כך 8 1 9 2 7 אחר אנו מכים מספר החלקים שבטור העליון השני עם השלישי ואנו מחלקים 3 5 6 0 אותם על הראשון וכן נעשה גם בטור השפל אחר כן אנו מחלקי' מה שיצא מן החלק בטור העליון על מה שיצא מן החלק בטור השפל והיוצא הוא המבוקש
דמיון הכינו הכ"ט הי"ט עם הכ"ז ונהיו תקי"ג חלקנו אותם על הח' ונהיה החלק האחד ס"ד ושמינית ושמרנום עוד הכינו הה' עם הו' שבטור השפל ונהיו ל' חלקנו אותם על הג' ונהיה החלק האחד י' אחר כן חלקנו הס"ד ושמינית השמורים על הי' ונהיה החלק האחד ו' שלימי' וב' חמשיות וחלק אחד מפ'
דמיון אחר על בעלת ה' צורות הראשונה שהשאלה היא אם ב' רביעיות דינר בד' שמיניות היום הרויחו ג' רביעיות דינר הד' רביעיות בד' שמיניות היום כמה ירויחו
וכתבנום כמשפט הראשון ככה כפלנו הב' על הד' שבטור העליון ונהיו ח' 2 4 3 4 4 ושמרנום כי על אלה הח' נחלוק כפל המספרי' הנשארים אשר בטור העליון 9 8 4 4 4 0 אח"כ כפלנו הג' שבטור העליון על הד' שבטור העליון אשר בצדו ונהיו י"ב עוד כפלנו הי"ב עם הד' אשר בצדם ונהיו מ"ח חלקנו אותם על הח' השמורים ונהיה החלק האחד ו' ושמרנום עוד כפלנו הד' על הח' שבטור השפל ונהיו ל"ב ושמרנום כי על אלה הל"ב נחלוק כפל המספרים הנשארים אשר בטור השפל אח"כ כפלנו הד' על הד' אשר בטור השפל בצדם ונהיו י"ו עוד כפלנו הי"ו עם הח' אשר בצדם ונהיו קכ"ח ח' חלקנו אותם על הל"ב השמורים ונהיה החלק האחד ד' אח"כ חלקנו הו' אשר שמרנום על אלה הד' ונהיה החלק אחד וחצי ומזה ידענו שהריוח אשר ירויחו הד' רביעיות דינר בד' שמניות היום הוא אחד וחצי דינר גם הב' רביעיות בד' שמיניות הרויחו ג' רביעיות דינר
ואם רצית לקבץ שברים עם עם שברים אתה צריך לעשות מורה מהם ולהביט השברים ההם על אותו המורה ולערך אותם על המורה ואז תדע כמה יהיה הסך
  • Example: if one asks: we summed 2 thirds with 3 quarters. How much are they?
\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}
דמיון אם שאל שואל קבצנו ב' שלישיות עם ג' רביעיות כמה יהיו
הכינו הג' עם הד' ונהיו י"ב והוא המורה
וב' שלישיותיו ח'
וג' רביעיותיו ט'
ושניהם מקובצים י"ז תערכם אל הי"ב שהוא האחד השלם יהיו אחד שלם ושליש וחלק אחד מי"ב
וכן אם היו מיני השברי' יותר ככה תעשה
  • Example: we summed 2 thirds, 3 quarters and 4 fifths. How much is the sum?
\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}
דמיון קבצנו ב' שלישיות וג' רביעיות וד' חמשיות כמה יהיה המקובץ
כפלנו ג' על ד' ונהיו י"ב עוד כפלנו הי"ב על הה' ונהיו ס' והוא המורה
וב' שלישיותיו מ'
וג' רביעיותיו מ"ה
וד' חמשיותיו מ"ח
והכל מקובצי' קל"ג ערכנו אותם על ס' שהוא המורה והוא האחד השלם ונהיו שנים שלימי' וחמשית אחת וחלק אחד מס'
וכן אם תרצה לקבץ יותר מאלה כך תעשה כמשפט הזה
ואם תרצה לחלק נשברי' על נשברים בקש מורה אחד לשניהם וקח ממנו כמספר החלקים הדרושים וחלק זה על זה והעולה הוא המבוקש
דמיון רצינו לחלק ד' תשיעיות על ה' שביעיות
והמורה הוא ס"ג כי ט' פעמי' ז' הם ס"ג
וד' תשיעיות הם כ"ח
וה' שביעיותיו הם מ"ה
חלקנו הכ"ח על המ"ה ונהיו חצי אחד ותשיעית אחד וחלק א' מס' וזהו המבוקש
ואם היו שלימי' שם עם שברי' תעשה ככה בקש השלם המורה והוא האחד השלם ועליו תביט את מספר החלקים ותכפלם כמספרו ותחבר גם השברים עמהם וכן תעשה גם במספר אשר תחלוק עליו אח"כ חלק זה על זה והעולה הוא המבוקש
דמיון רצינו לחלק ג' שלימי' וב' חמשיות על ב' שלימי' וד' שביעיות אחד
והמורה ל"ה כי ה' פעמי' ל"ה הם ז' הם ל"ה והוא האחד השלם והג' שלימי' הם ק"ה כי ג' פעמי' ל"ה הם ק"ה והב' חמשיות הם י"ד כי חמשית הל"ה הם ז' חברנום עם הק"ה ונהיו קי"ט עוד שמנו הב' שלימי' האחרי' ע' והד' שביעיות כ' כי שביעית הל"ה הם ה' חברנום עם הע' ונהיו צ' חלקנו עליהם הקי"ט ונהיה אחד שלם ונשארו כ"ט חלקי' שהם ב' תשיעיות מן הצ' ועשירית אחד
וכן אם רצית לחסר שברי' משברי' ככה תעשה בקש המורה בתחלה וראה חלקיו וחסר אלה מאלה
דמיון רצינו לחסר ב' שביעיות מד' תשיעיות
והמורה הוא ס"ג . (וב' שביעיותיו י"ח) וד' תשיעיותיו כ"ח תחסר י"ח מכ"ח ונשארו י' שהם פחות מששית מעט
ועתה ארגילך בענין השאלות כדי שתהיה זריז בחשבונך

The Place of the Problems

מקום השאלות
Multiplication of Fractions
1) How much are 9 parts of 13 multiplied by 17 parts of 19?
\scriptstyle\frac{9}{13}\times\frac{17}{19}
א כמה ט' חלקים מי"ג הכפולים על י"ז חלקים מי"ט
These do not have an expressible ratio, therefore you should know how to multiply and what to do.
כי אלה אין להם ערך מדובר לכן ראוי שתדע איך תכפול ומה תעשה
common denominator: We should know the denominator first. We multiply 13 by 19; it is 247 and this is the denominator.
\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot19=247}}
ראוי שנדע בתחלה המורה והנה נכפל י"ג על י"ט יהיו רמ"ז והוא המורה
Then, we take 19 for each of the 9 parts; it is 171 and this is the first number.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{13}\sdot19=\frac{171}{13}}}
אח"כ נקח לכל אחד מט' חלקים י"ט נהיו קע"א והוא המספר האחד
We take also 13 for each of the 17 parts; it is 221.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{17}{19}\sdot13=\frac{221}{19}}}
עוד נקח לכל אחד מי"ז חלקי' י"ג נהיו רכ"א
We multiply one by the other; it is 37791.
נכפול זה על זה נהיו ל"ז אלפים תשצ"א
We divide it by 247; the result is 153.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{171}{13}\sdot\frac{221}{19}=\frac{37791}{247}=153}}
חלקנו אותם על רמ"ז ועלו קנ"ג
The product of 9 by 17 is also 153.
\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot17=153}}
והנה העולה מכפל ט' בי"ז גם כן קנ"ג
The ratio of it to 247 is as the ratio of the first number, i.e. 37791, to the square of 247 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{153:247=37791:247^2}}
וערך זה אל רמ"ז כערך המספר הראשון [ר"ל מספר ל"ז אלפים תשצ"א] אל מרובע רמ"ז והוא המבוקש
If you want to be precise, divide 153 by 19; the result is 8 parts of 13 and one fraction remains, which is one part of 19.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{13}\times\frac{17}{19}=\frac{\frac{153}{19}}{13}=\frac{8}{13}+\frac{\frac{1}{19}}{13}}}
ואם תרצה לדקדקו חלק קנ"ג על י"ט יהיה העולה ח' חלקים מי"ג וישאר שבר א' שהוא שבר חלק מי"ט
Or, if you want, we divide 153 by 13; the result is 11 parts of 19 and 10 parts of 13 of one part of 19.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{13}\times\frac{17}{19}=\frac{\frac{153}{13}}{19}=\frac{11}{19}+\frac{\frac{10}{13}}{19}}}
או אם תרצה חלקנו זה קנ"ג על י"ג ויהיו י"א חלקים שלימים מי"ט וי' נשברים שי"ג מהם עושה חלק אחד מי"ט
How Much Problems
Road
2) Question: a road, we add to it its quarter and its fifth and the sum is 10 miles.
How long is the road?
\scriptstyle X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X=10
ב שאלה דרך חברנו אליה רביעיתה וחמשיתה והיתה י' מילין

כמה היתה הדרך

False Position - common denominator: We define the denominator 20, because 4 times 5 is 20.
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}
נשים המורה כ' כי ד' פעמי' ה' הם כ‫'
Its quarter and its fifth are 9. We add it to the denominator; it is 29.
\scriptstyle{\color{blue}{20+\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)=29}}
ורביעיתו וחמשיתו הם ט' נחברם עם המורה נהיו כ"ט
Rule of Four: We multiply 20 by 10; it is 200.
נכפול הכ' עם הי' ונהיו ר‫'
We divide it by 29; it is 6+½+⅓+¹/₁₅ miles approximately and this is [the length of] the road.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20\sdot10}{29}=\frac{200}{29}\approx6+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}}}
נחלקם על כ"ט ונהיו ו' מילין וחצי מיל ושליש מיל וחלק אחד מט"ו בקרוב וככה היא הדרך
Money
3) Question: we take a ninth of an amount of money, its tenth, and its one part of 11. How much is the ratio of all of this to the amount of money?
\scriptstyle\left(\frac{1}{9}X+\frac{1}{10}X+\frac{1}{11}X\right):X
ג שאלה לקחנו תשיעית ממון ועשיריתו וחלק אחד מי"א ממנו

כמה הוא כל זה מערך הממון

This is easy for the one who knows to add fractions, as we wrote concerning their addition.
והנה זה נקל הוא מי שידע לחבר השברים כאשר כתבנו בחבורם
We do as follows: we look for a denominator by multiplying 9 by 10; it is 90. Then 90 by 11; it is 990 and this is the denominator.
\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot10\sdot11=90\sdot11=990}}
וכן נעשה נבקש מורה והוא שנכפול ט' על י' ונהיו צ' עוד צ' על י"א ונהיו תתק"ץ וזהו המורה
Its ninth is 110; its tenth is 99; its one part of 11 is 90; and the total sum is 299.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{9}\sdot990\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot990\right)+\left(\frac{1}{11}\sdot990\right)=110+99+90=299}}
ותשיעיתו ק"י ועשיריתו צ"ט וחלק אחד י' ממנו צ' והכל מחוברי' רצ"ט
The ratio of 299 to 990 is the ratio of these to the amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{299:990=\left(\frac{1}{9}X+\frac{1}{10}X+\frac{1}{11}X\right):X}}
וערך רצ"ט אל תתק"צ ככה אלה מערך הממון
We divide it by 90, which is one part of 11; it is 3 parts of 11 and 29 parts of 90, which are one-third of one part of 11 minus something.
\scriptstyle{\color{blue}{299:990=\frac{\frac{299}{90}}{11}=\frac{3}{11}+\frac{\frac{29}{90}}{11}=\frac{3}{11}+\frac{\frac{1}{3}}{11}-\ldots}}
חלקנו אותם אל צ' שהוא חלק אחד מי"א ונהיו ג' חלקי' מי"א וכ"ט חלקי' מצ' שהם שלישית חלק מי"א פחות משהו
4) Question: an amount of money, we add to it its half, its third, its fifth, and its sixth and the sum is 60.
How much is the amount of money?
\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X=60
ד שאלה ממון הוספנו עליו מחציתו שלישיתו חמשיתו וששיתו ובין הכל היו ס‫'

כמה היה הממון

We know that the half, the third, and the six are one integer.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1}}
ידענו שהחצי והשלישית והששית הוא אחד שלם
We think as if it were one, so it is now two and a fifth.
False Position: \scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=1+1+\frac{1}{5}=2+\frac{1}{5}}}
ונחשב שהיה לו אחד והיה לו עתה שנים וחמשית
Rule of Four: We divide 60 by 2⅕ and so is the amount of money.
נחלק הס' על הב' וחמשית וכך היה הממון
Convert the 2 integers into fifths, since we have a fifth, then we add the fifth that we have to them; they are 11 fifths.
והנה תשיב הב' שלימי' אל חמשיות מפני שיש לנו חמשית ונחבר גם החמשית שיש לנו עמם ונהיו י"א חמשיות
We multiply 5 by 60; it is 300 and this is the denominator.
נכפול ה' על ס' ונהיו ש' והוא המורה
We divide it by 11; the quotient is 27 and 3 parts of 11 and this is the amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{60}{2+\frac{1}{5}}=\frac{60}{\frac{11}{5}}=\frac{60\sdot5}{11}=\frac{300}{11}=27+\frac{3}{11}}}
נחלקם על י"א והיה החלק כ"ז וג' חלקי' מי"א וככה היה הממון
How Many Problem - horses
5) Question: a riding man saw a man pulling horses and said to him: where are you leading these 100 horses?
He answered him: these and other like them and a half of them and a quarter of them with the horse you ride are 100.
How much were the horses?
\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100
ה שאלה אדם רוכב ראה איש מושך סוסים וא"ל אנה אתה מוליך אלה הק' סוסים

והשיב לו אלה ואחרים כמותם ומחציתם ורביעיתם ועם הסוס שאתה רוכב הם ק‫'
כמה היו הסוסים

We subtract the rider's horse; 99 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{100-1=99}}
הנה נוציא הסוס שרוכב זה ונשארו צ"ט
False Position: We have two, a half, and a quarter. Since we have a quarter, we convert all into quarters: the 2 integers are 8 quarters; the half is 2; so they are 10. We add the quarters that we have to them also; they are 11 quarters.
\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{8}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{11}{4}}}
יש לנו שנים ומחצית ורביעית ומפני שיש לנו רביעית נשיב הכל לרביעיות והנה הב' שלימי' הם ח' רביעיות והמחצית ב' הרי י' נחבר גם הרביעיות שיש לנו עמם נהיו י"א רביעיות
Rule of Four: We return to the ratios and write: if the 11-quarters yield 99, how much will the 4-quarter that are one integer yield?
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{4}:99=\frac{4}{4}:x}}
אחר נשיב אותם אל הערכים ונכתוב אם הי"א רביעיות נתנו צ"ט הד' רביעיות שהוא האחד השלם כמה יתנו
We multiply the means, which are 4 by 99, then divide them by 11, which is the extreme; it is 36 and this is the number of the horses.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{4\sdot99}{11}=36}}
נכפל האמצעיים שהם הד' על הצ"ט ונחלקם על י"א שהוא הקצה נהיו ל"ו וככה מספר הסוסים
Buy and Sell Problems
6) Question: a man bought 24 liṭra for 24 dinar. He sold 12 [of them] at 1¼ liṭra for one dinar, and the [other] 12 liṭra at (1‒¼) liṭra for one dinar.
We want to know: did he earn or lose?
\scriptstyle\left(\frac{12}{1+\frac{1}{4}}+\frac{12}{1-\frac{1}{4}}\right)-24
ו שאלה אדם קנה כ"ד ליט' בכ"ד דינ' ומכר הי"ב ליט' ורביע ליט' בדינר והי"ב ליט' מכר ליט' פחות רביע ליט' בדינר

נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד

We convert the first 12 liṭra into quarters; they are 48
נשיב הי"ב ליט' הראשוני' לרביעיות ונהיו מ"ח
We divide them by 5, since he sold 5 quarters for one dinar; it is 9+½+⅒, and these are the dinar he earned from the first 12 liṭra.
נחלקם על ה' כי ה' רביעיות מכר בדינר ונהיו ט' וחצי ועשירית ואלה הם הדינ' שלקח מהי"ב ליט' הראשונים
We multiply the other 12 liṭra by 4, since he sold (1‒¼) liṭra for one dinar; they are 48.
עוד נכה הי"ב ליט' האחרוני' בד' כי ליט' פחות רביע מכר בדינ' ונהיו מ"ח
We divide them by 3, since (1‒¼) liṭra are ¾; it is 16, and these are the dinar he earned from the other 12 liṭra.
נחלקם על ג' מפני שהליט' פחות רביע הם ג' רביעיות ונהיו י"ו ואלה הם הדינ' שלקח מהי"ב ליט' האחרונים
We sum up the two amounts of money; they are 25+½+⅒.
נחבר שני הממונות נהיו כ"ה וחצי ועשירית
We subtract the 24 dinar of the original amount; 1+½+⅒ dinar remains and this is the profit.
נוציא כ"ד דינ' של הקרן נשאר דינר וחצי ועשירית וזהו הריוח
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{12}{1+\frac{1}{4}}+\frac{12}{1-\frac{1}{4}}\right)-24&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot12}{5}+\frac{4\sdot12}{3}\right)-24\\&\scriptstyle=\left(\frac{48}{5}+\frac{48}{3}\right)-24\\&\scriptstyle=\left[\left(9+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\right)+16\right]-24\\&\scriptstyle=\left(25+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\right)-24=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\\\end{align}}}
7) Question: a man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
How much money did he have originally?
\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1
ז שאלה אדם קנה ג' חמשיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט

כמה היה ממונו

common denominator: We look for a denominator; it is 35.
נבקש המורה והוא ל"ה
Its 3-fifths are 21.
\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}
וג' חמשיותיו כ"א
Its 4-sevenths are 20.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}
וד' שביעיותיו כ‫'
  • Check: The amount of money was 20 pešuṭim, because for each pašuṭ he earns one part of 20 of a pašuṭ and when he sells for 20 pešuṭim he earns one pašuṭ.
והממון היה כ' פשוטי' כי בכל פשוט ירויח חלק אחד מכ' בפשוט וכשימכור של כ' פשוטי' ירויח פשוט אחד
Question: a man bought 9/17 parts of a liṭra for one pašuṭ, then he sold 10/19 parts [of a liṭra] for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
How much was the money?
\scriptstyle\frac{\frac{9}{17}X}{\frac{10}{19}}=X+1
שאלה אדם קנה ט' חלקים מי"ז חלקי' ליטר' בפשוט ומכר י' חלקי' מי"ט בפשוט והרויח פשוט

כמה היה הממון

common denominator: We look for a denominator by multiplying 17 by 19; it is 323.
\scriptstyle{\color{blue}{17\sdot19=323}}
נבקש המורה והוא שנכפול י"ז על י"ט ונהיו שכ"ג
It is known that 9 parts of 17 are 171 and this was the amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{9}{17}\sdot323=171}}
וידוע כי ט' חלקי' מי"ז הם קע"א וככה היה הממון
10 parts of 19 are 170.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{19}\sdot323=170}}
וי' חלקי' מי"ט הם ק"ע
  • Check: So, he earned one pašuṭ.
והנה הרויח הפשוט
How Much Problem - Money
8) Question: an amount of money, we sum its third, its quarter, and its fifth and the sum is 30.
How much is the amount of money?
\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X=30
ח שאלה ממון חברנו שלישיתו רביעיתו חמשיתו והיו ל‫'

כמה הוא כל הממון

False Position - common denominator: We look for the denominator; it is 60.
\scriptstyle{\color{blue}{60}}
נבקש המורה והוא ס‫'
Its third is 20; its quarter is 15; its fifth is 12; together they are 47.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=20+15+12=47}}
ושלישיתו כ' ורביעיתו ט"ו וחמשיתו י"ב וכלם מ"ז
Rule of Four: As the ratio of 47 to 60 so is the ratio of 30 to the whole amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{47:60=30:X}}
הנה כערך מ"ז אל ס' כן ערך ל' אל כל הממון
We write like this: if 47 yields 60, how much will 30 yield?
ונכתו' ככה אם המ"ז יתנו ס' הל' כמה יתנו
0 30 60 47
0 03 06 74
We miltiply the means; it is 1800.
נכפול האמצעיים כך ונהיו אלף ת"ת
We divide it by the extreme, which is 47; the quotient is 38¼, and 2¼ parts of 47.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30\sdot60}{47}=\frac{1800}{47}=38+\frac{1}{4}+\frac{2+\frac{1}{4}}{47}}}
נחלקם על הקצה שהוא המ"ז נהיה החלק ל"ח ורביעית וב' חלקי' ורביע חלק ממ"ז
Partnership Problem - For the Same Time
9) Question: five people - the first gave 6 dinar, the second 7 dinar, the third 8 [dinar], the fourth 9 dinar, and the fifth 10 dinar.
They earned a total of 11 dinar.
How much should each of them take [from the profit]?
ט שאלה אם אנשים ה' נתן האחד ו' דינ' והשני ז' דינ' והשלישי ח' והרביעי ט' דינ' והחמשי י' דינ‫'

והרויחו בין הכל י"א דינ‫'
כמה יקח כל אחד מהם

The 11 dinar is what is earned by the sum of all these dinar.
הנה אלה הי"א דינ' הרויחו אותם כל הדינ' מקובצי‫'
We look how much they are, then we convert them to the ratio of each and as the ratio of the money of each so each takes.
ונראה אותם כמה הם אח"כ נשיב אותם אל הערך של כל אחד ואחד וכפי ערך ממונו ככה יקח
The sum of the given dinar is 40 dinar.
\scriptstyle{\color{blue}{6+7+8+9+10=40}}
והנה הדינרי' מקובצי' הם מ' דינ‫'
We write the ratio of the first as follows:
ונכתו' הערך של הראשון ככה
0 6 11 40
0 6 11 04
Rule of Four: If 40 dinar earn 11, how much will 6 earn?
\scriptstyle{\color{blue}{40:11=6:a_1}}
אם המ' דינ' הרויחו י"א הו' כמה ירויחו
We multiply the means; it is 66.
נכפול האמצעיים ונהיו ס"ו
We divide it by 40, which is the extreme; the quotient is 1+½+⅛+¹/₄₀ and so the owner of the 6 dinar takes.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{11\sdot6}{40}=\frac{66}{40}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{40}}}
ונחלקם על מ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד אחד וחצי ושמינית וחלק אחד ממ' וככה יקח בעל הו' דינר
We write also the ratio of the second as follows:
עוד נכתו' הערך של השני ככה
0 7 11 40
0 7 11 04
Rule of Four: If 40 dinar earn 11, how much will 7 earn?
\scriptstyle{\color{blue}{40:11=7:a_2}}
אם המ' דינ' הרויחו י"א הז' דינ' כמה ירויחו
We multiply the means; it is 77.
נכפל האמצעיים ונהיו ע"ז
We divide it by the extreme, which is 40; the quotient is 1+¾+⅛+¹/₂₀ and so the owner of the 7 dinar takes.
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{11\sdot7}{40}=\frac{77}{40}=1+\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{20}}}
נחלקם על הקצה שהוא המ' ונהיה החלק האחד אחד וג' רביעיות ושמינית וחלק א' מכ' וככה יקח בעל הז' דינ‫'
We write also the ratio of the third as follows:
עוד נכתו' הערך של השלישי ככה
0 8 11 40
0 8 11 04
Rule of Four: If 40 dinar earn 11, how much will 8 earn?
\scriptstyle{\color{blue}{40:11=8:a_3}}
אם המ' דינ' הרויחו י"א דינ' הח' דינ' כמה ירויחו
We multiply the means; it is 88.
נכפל האמצעיים ונהיו פ"ח
We divide it by 40, which is the extreme; the quotient is 2+⅕ and so the owner of the 8 dinar takes.
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{11\sdot8}{40}=\frac{88}{40}=2+\frac{1}{5}}}
נחלקם על המ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד ב' וחמשית וככה יקח בעל הח' דינ‫'
We write also the ratio of the fourth as follows:
עוד נכתו' הערך של הרביעי ככה
0 9 11 40
0 9 11 04
Rule of Four: If 40 dinar earn 11, how much will 9 earn?
\scriptstyle{\color{blue}{40:11=9:a_4}}
אם המ' דינ' הרויחו י"א הט' דינ' כמה ירויחו
We multiply the means; it is 99.
נכפול האמצעיים ונהיו צ"ט
We divide it by 40; the quotient is 2+¼+⅕+¹/₄₀ and so the owner of the 9 dinar takes.
\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{11\sdot9}{40}=\frac{99}{40}=2+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{40}}}
נחלקם על המ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד ב' ורביעית וחמשית וחלק אחד ממ' וככה יקח בעל הט' דינ‫'
We write also the ratio of the fifth as follows:
עוד נכתו' הערך של החמשי ככה
0 10 11 40
0 01 11 04
Rule of Four: If 40 dinar earn 11, how much will 10 earn?
\scriptstyle{\color{blue}{40:11=10:a_5}}
אם המ' דינ' הרויחו י"א הי' כמה ירויחו
We multiply the means; it is 110.
נכפול האמצעיים ונהיו ק"י
We divide it by 40, which is the extreme; the quotient is 2+¾ and so the owner of the 10 dinar takes.
\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\frac{11\sdot10}{40}=\frac{110}{40}=2+\frac{3}{4}}}
נחלקם על מ' שהוא הקצה ונהיה החלק הא' ב' וג' רביעיות וככה יקח בעל הי' דינ‫'
  • Check: When you sum all the shares that they take, you find them 11, no more and no less.
וכשתקבץ כל החלקי' שיקחו הכל תמצאם י"א לא פחות ולא יתר
\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{40}\right)+\left(1+\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{20}\right)+\left(2+\frac{1}{5}\right)+\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{40}\right)+\left(2+\frac{3}{4}\right)=11}}
  • Another method to find this:
דרך אחרת למצוא זה
Convert the 11 dinar that are the total profit into pešuṭim, then divide them by 40 and you will see how much is the profit of each dinar of the 40.
תעשה הי"א דינ' שהם הריוח כלם פשוטי' ותחלקם על מ' ותראה כמה ריוח יגיע לכל דינר מהמ‫'
  • Multiply this profit by 6 and the result is the share of the owner of the 6 dinar.
והריוח ההוא תכפול אותו עם הו' ואשר יהיה ככה יגיע לבעל הו‫'
  • Multiply it by 7 and the result is the share of the owner of the 7 dinar.
עוד תכפול אותו עם הז' ואשר יהיה ככה יגיע לבעל הז‫'
  • Do likewise with 8, 9, and 10.
וכן תעשה עם הח' והט' והי‫'
Purchase Problem - Equal Amount
10) Question: the buyer had three [kinds of] coins.
He went to the seller to buy one liṭra of silk.
The first coin was worth 3 dinar.
The second coin was worth 4 dinar.
The third coin was worth 6 dinar.
The buyer said: give me one liṭra of silk and take from my three coins equally so that you will take the value of the liṭra
How much should he take from each coin?
י שאלה יש אצל הקונה שלשה מטבעים

והלך אצל המוכר לקנות ליט' אחת משי
והמטבע האחת היתה שווה ג' דינ‫'
והמטבע השנית היתה שוה ד' דינ‫'
והמטבע השלישי' היתה שוה ו' דינ‫'
ואמ' הקונה תן לי ליט' משי וקח מג' מטבעותי בשווי עד שתקח מה ששוה הליט‫'
כמה יקח מכל מטבע ומטבע

common denominator: We look for the denominator; it is 72, because the product of 3 by 4 is 12 and the product of 12 by 6 is 72.
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot6=12\sdot6=72}}
נבקש המורה והוא ע"ב כי כפל ג' על ד' י"ב וכפל י"ב על ו' ע"ב
Its third is 24; its quarter is 18; its sixth is 12; the total sum is 54 dinar.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot72\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot72\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot72\right)=24+18+12=54}}
ושלישיתו כ"ד ורביעיתו י"ח וששיתו י"ב והכל נ"ד וזהו הדינ‫'
We divide the denominator, which is 72, by 54; the quotient is 1⅓ and so he will take from each coin.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{72}{54}=1+\frac{1}{3}}}
נחלק המורה שהוא ע"ב על נ"ד ונהיה החלק האחד אחד ושליש וככה יקח מכל מטבע
  • We convert the dinar into 12 perutot and he takes 16 perutot from each [type of] coin:
\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=16}}
והנה נעשה הדינ' י"ב פרוטו' ויקח י"ו פרוטות מכל מטבע
If you want to know how:
ואם תרצה לדעת איך הוא
  • Think as if he wants to take 36 perutot from the coin of 3 dinar and he takes 16 perutot from it.
\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot3=36}}
כך תחשוב שרוצה לקחת ל"ו פרוטות ממטבע ששוה ג' דינ' ולקח ממנו י"ו פרוטות
  • When he takes 16 perutot from the coin of 4 dinar, it is as if he takes 12 perutot from the coin of 3 dinar, as the ratio of 4 to 3.
\scriptstyle{\color{blue}{4:3=16:12}}
וכשלקח עוד י"ו פרוטות ממטבע ששוה ד' דינ' כאלו לקח י"ב פרוטו' ממטבע ששוה ג' דינ' כערך הד' אל הג‫'
We sum up 12 with 16; it is 28.
\scriptstyle{\color{blue}{16+12=28}}
נחבר הי"ב עם הי"ו ונהיו כ"ח
  • When he takes 16 perutot from the coin of 6 dinar, it is as if he took 8 perutot from the coin of 3 dinar, as the ratio of 3 to 6.
\scriptstyle{\color{blue}{6:3=16:8}}
עוד כשלקח י"ו פרוטות ממטבע ששוה ו' דינ' הוא כאלו לקח ח' פרוטו' ממטבע ששוה ג' דינ' כערך הג' אל הו‫'
We sum up 8 with 28; it is 36 and it is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{28+8=36}}
נחבר הח' עם הכ"ח ונהיו ל"ו וזהו המבוקש
Payment Problems
constructing a shelf
11) Question: a man agreed with a craftsman to construct for him a shelf of 6 in length and 6 in width and he will pay him 8 dinar.
He constructed for him [a shelf of] 3 in length and 3 in width.
How much should he pay him?
יא שאלה אדם התנה עם אומן לבנות לו אצטבא ו' באורך ו' וו' ברוחב ויתן לו ח' דינ‫'

והוא בנה לו ג' בארך וג' ברחב
כמה יתן לו

He will be paid a quarter
\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\frac{8\sdot3\sdot3}{6\sdot6}=8\sdot}}\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}={\color{red}{8\sdot}}\frac{1}{4}}}
אין ספק כי יתן לו הרביעית שהוא ב' דינ' כי כפל חצי על חצי הוא רביעית אחד
If he had constructed a half of the length by the whole width or half of the width by the whole length, he would have been paid a half of the payment
שאלו היה בונה כל האורך עם חצי הרוחב או ההפך היה נותן לו המחצית
  • If he agreed with him to construct for him [a shelf of] 5 in length, 6 in width, and 7 in height and he will pay him 8 dinar.
He constructed for him [a shelf of] 4 in length, 5 in width, and 6 in height.
How much should he pay him?
\scriptstyle\frac{5\sdot6\sdot7}{8}=\frac{4\sdot5\sdot6}{X}
אבל אם התנה עמו שיבנה לו ה' בארך ו' ברוחב ז' בגובה ויתן לו ח' דינ‫'

והוא בנה ד' בארך וה' ברחב וו' בגובה
כמה יתן לו

We should sum up all the numbers of the condition, then take their ratio, and likewise the measures of the construction:
אז ראוי שנחבר כל מספרי התנאי ונשיבם אל הערכים וכן מספרי הבניין
We sum up first the numbers of the condition; the sum is 18.
\scriptstyle{\color{blue}{5+6+7=18}}
חברנו תחלה מספרי התנאי ונהיו י"ח
We sum up also the measures of the construction; the sum is 15.
\scriptstyle{\color{blue}{4+5+6=15}}
עוד חברנו מספרי הבניין ונהיו ט"ו
Rule of Four: We take the ratio as follows: If 18 yield 8 dinar, how much will 15 yield?
\scriptstyle{\color{blue}{18:8=15:X}}
ועשינו הערך ככה אם אם הי"ח יתנו ח' דינ' הט"ו כמה יתנו
0 15 8 18
0 51 8 81
We multiply the means; it is 120.
כפלנו האמצעיים ונהיו ק"כ
We divide it by 18, which is the extreme; the quotient is 6⅔ and so he is paid.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{8\sdot15}{18}=\frac{120}{18}=6+\frac{2}{3}}}
חלקנום על הי"ח שהוא הקצה ונהיה החלק ו' וב' שלישיות וככה יקח
three workers, three different daily wages, the same actual payment
12) Question: a man hired three brothers - Reuven, Shimon and Levi - for two days so that one of them will work with him.
If Reuven will work with him the whole two days he will pay him 6 dinar.
If Shimon will work alone he will pay him 4 dinar.
If Levi will work alone he will pay him 3 dinar.
They worked a total of two days together.
Finally, he paid each of them an equal share.
How much is the share of each of them and how many hours did each of them work?
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle 6a_1=4a_2=3a_3\\\scriptstyle a_1+a_2+a_3=2\end{cases}
יב שאלה אדם אחד שכר ג' אחים ראובן שמעון לוי לעבוד אחד מהם עמו ב' ימי‫'

ואם יעבוד ראובן עמו כל הב' ימי' יתן לו ו' דינ‫'
ואם יעבוד שמעון לבדו יתן לו ד' דינ‫'
ואם יעבוד לוי לבדו יתן לו ג' דינ‫'
עתה בין הכל עבדו ב' ימי‫'
ובאחרונה פרע לכל חלק שוה
כמה פרע כל אחד ואחד וכמה שעות עבד כל אחד ואחד

common denominator: We look for the denominator; it is 72, because the product of 6 by 4 is 24, and this by 3 is 72.
\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot4\sdot3=24\sdot3=72}}
נבקש המורה והוא ע"ב כי כפל ו' על ד' הם כ"ד ואלה על ג' הם ע"ב
Its sixth, its third, and its quarter are 54.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{6}\sdot72\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot72\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot72\right)=54}}
וששיתו ושלישיתו ורביעיתו הם נ"ד
As the ratio of 72 to 54, so one is paid from the dinar. The ratio of 72 to 54 is 1⅓ and so each of them is paid.
\scriptstyle{\color{blue}{72:54=1+\frac{1}{3}}}
הנה כערך ע"ב אל נ"ד ככה יקח מהדינרי' וערך ע"ב אל נ"ד הוא אחד ושליש וככה יקח כל אחד ואחד
We wish to know how many hours each of them worked:
נבקש לדעת כמה שעות עבד כל אחד ואחד
We take the ratio and convert the dinar into thirds, because of the third that is added to the dinar.
ונשיבהו אל הערכים ונשיב הדינ' שלישיות מפני השליש שעודף על הדינר
The day is 12 hours.
והיום י"ב שעות
Rule of Four: We take Reuven's ratio as follows: If 18-thirds are 24 hours, how much will 4-thirds yield?
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{3}:24=\frac{4}{3}:a_1}}
ונעשה ערך ראובן כך אם הי"ח שלישיות כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
We multiply the means; it is 96.
נכפול האמצעיים ונהיו צ"ו
We divide it by 18; the quotient is 5⅓ and so Reuven worked.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{24\sdot4}{18}=\frac{96}{18}=5+\frac{1}{3}}}
נחלקם על י"ח ונהיה החלק ה' שעות ושליש וככה עבד ראובן
0 4 24 18
0 4 42 81
Rule of Four: We take Shimon's ratio as follows: If 12-thirds are 24 hours, how much will 4-thirds yield?
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{3}:24=\frac{4}{3}:a_2}}
ונעשה ערך שמעון כך אם הי"ב שלישיות כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
0 4 24 12
0 4 42 21
We multiply the means; it is 96.
כפלנו האמצעיים והם צ"ו
We divide it by 12; the quotient is 8 hours and so Shimon worked.
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{24\sdot4}{12}=\frac{96}{12}=8}}
חלקנום על י"ב ונהיה החלק ח' שעות וככה עבד שמעון
Rule of Four: We take Levi's ratio as follows: If 9-thirds yield 24 hours, how much will 4-thirds yield?
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{3}:24=\frac{4}{3}:a_3}}
ונעשה ערך לוי כך אם הט' שלישיות יתנו כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
0 4 24 9
0 4 42 9
We multiply the means; it is 96.
כפלנו האמצעים ונהיו צ"ו
We divide it by 9; the quotient is 10⅔ hours and so Levi worked.
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{24\sdot4}{9}=\frac{96}{9}=10+\frac{2}{3}}}
חלקנום על ט' ונהיה החלק י' שעות וב' שלישיים וככה עבד לוי
  • Check: Sum up all the hours that the three of them worked and you will find that they are 24 hours, which are two days.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3=\left(5+\frac{1}{3}\right)+8+\left(10+\frac{2}{3}\right)=24}}
חבר כל השעות שעבדו שלשתם ותמצאם כ"ד שעות שהם ב' ימים
הזה בסוף השאלה הט' עיין הטב
Boiling Problem
13) Question: a man was boiling 6 measures of a beverage and he wanted that one third will remain. One measure was evaporated while cooking, then one measure overflow and four measures remained.
He wants to [reduce] them [as planned for the original amount]
\scriptstyle\frac{6-1}{\frac{1}{3}\sdot6}=\frac{4}{X}
יג שאלה אדם אחד היה מבשל משקה ו' מדות ורצה שישאר השליש ונחסרה המדה האחת בבשול אחר נשפכה מדה אחת ונשארו הד' מדות

ורוצה להשיבם להשאירם כמשפט הראשון

Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{5:2=4:X}}
נשיבם אל הערכים ככה אם הה' מדות יתנו ב' הד' כמה יתנו
0 4 2 5
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2\sdot4}{5}=\frac{8}{5}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}}}
נכפל האמצעיים ונהיו ח' נחלקם על הקצה שהוא הה' ונהיה החלק אחד וחצי ועשירית וככה ראוי שישאר
14) Question: a sheet of 100 cubits long.
Reuven began to measure it from one end and Shimon from the other end.
Reuven measures 10 cubit in one hour and Shimon [measures] 12 [cubit in one hour]
When will they meet?
יד שאלה יריעה ק' אמות

והתחיל למנותה ראובן מן הקצה האחד ושמעון מן הקצה האחר
וראובן מונה י' אמות בשעה ושמעון י"ב
מתי יפגשו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{10+12}=\frac{100}{22}=4+\frac{1}{2}+\frac{1}{22}}} hours
נחבר שני המניינים אשר הם כ"ב אמות בשעה ונחלק הק' אמות עליהם ונהיה החלק ד' וחצי וחלק אחד מכ"ב

וידענו שבד' שעות וחצי וחלק מכ"ב בשעה יפגשו שניהם על המניין

the number of cubits measured by Reuven \scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(4+\frac{1}{2}+\frac{1}{22}\right)}}
ואם תרצה לדעת כמה אמות מנה ראובן תכפול י' בד' וחצי וחלק א' מכ"ב ואשר יעלה כן מספר האמות אשר מנה ראובן
the number of cubits measured by Shimon \scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(4+\frac{1}{2}+\frac{1}{22}\right)}}
וכן אם תרצה לדעת כמה מנה שמעון תכפול תכפול הד' שעות וחצי וחלק מכ"ב על י"ב ואשר יעלה כך מספר האמות אשר מנה שמעון
Shared Work Problem - Draining a Vessel - Barrel
15) Question: a full barrel has three taps
If the first is opened the barrel is drained in half a day.
If the second is opened it is drained in a third of a day.
If the third is opened it is drained in a quarter of a day.
If you opened all three taps together, in how many hours will the barrel to be drained?
\scriptstyle\frac{1}{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{\frac{1}{3}}x+\frac{1}{\frac{1}{4}}x=1
טו שאלה חבית מליאה יש בה ג' נקבים

אם תפתח הא' יכלה החבית בחצי היום
ואם תפתח השנית יכלה בשלישית יום
ואם תפתח השלישית יכלה ברביעית יום
ואם פתחת השלשה נקבים ביחד בכמה שעות יכלה החבית

day = 12 hours
אתה צריך לדעת כי היום י"ב שעות
barrel = 48 measures
וכן החבית כמה מדות מכילה ונניח שמכילה מ"ח מדות
through the first tap it is drained in \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot12=6}} hours
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{48}{6}=8}} measures in one hour
והנה בפתיחת הנקב האחד יכלה בו' שעות שהם ח' מדות בשעה
through the second tap it is drained in \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}} hours
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{48}{4}=12}} measures in one hour
ובפתיחת הנקב השני יכלה בד' שעות שהם י"ב מדות בשעה
through the third tap it is drained in \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot12=3}} hours
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{48}{3}=16}} measures in one hour
ובפתיחת הנקב הג' יכלה בג' שעות שהם י"ו מדות בשעה
through all three taps in one hour: \scriptstyle{\color{blue}{8+12+16=36}} measures
תחבר כל המדות אשר יכלו בשעה אחת והם ל"ו
the barrel is drained through all three taps in \scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{48}{36}=1+\frac{1}{3}}} hours
תחלק המ"ח על הל"ו יהיה אחד ושליש והנה בשעה אחת ושליש תכלה הכל
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{36:1=48:x}}
ונעשה הערכים ככה אם הל"ו שעה אחת המ"ח על כמה יהיה
0 48 1 36
0 84 1 63
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{48\sdot1}{36}=1+\frac{1}{3}}}
נכפול האמצעיים והם מ"ח נחלקם על הקצה שהם ל"ו ונהיה החלק אחד ושלישית
Find a Quantity Problems - Whole from Parts Problems
16) Question: a lance, a half of it is in the water, a third of it is in the soil, and up above [the water] it is 6 cubits long.
What is the length of the lance?
\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+6=X
טז שאלה רומח חציו במים שלישיתו בעפר ולמעלה ו' אמות

כמה גבהות כל הרומח

False Position - common denominator: We look for the denominator; it is 6.
נבקש המורה והוא ו‫'
Its half and its third are 5.
וחציו ושלישיתו ה‫'
We subtract them from the 6; 1 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=6-5=1}}
נגרעם מן הו' ונשארו א‫'
We multiply the 6 by the 6 that are the means.
נכפול הו' עם הו' שהם האמצעיים
We subtract it from the 1 that is the extreme; it is 36 and so is the length of the lance.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6\sdot6}{1}=36}}
ונחלקם על הא' שהוא הקצה נהיה ל"ו וככה גובה הרומח
  • Check: Its half is 18; its third is 12; it is 30 and up above it is 6.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot36\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot36\right)+6=18+12+6=30+6=36}}
וחציו י"ח ושלישיתו י"ב הרי ל' ולמעלה ו‫'
Rule of Four: We do the relation as follows: if 1 gives 6, how much will the 6 give?
\scriptstyle{\color{blue}{1:6=6:x}}
ונעשה הערך כך אם הא' יתנו ו' הו' כמה יתנו
0 6 6 1
17) Question: a tree, a fifth of it is [ingrained] in the soil, a sixth of it is in the water, and up above the water it is 7 cubits long.
What is the height of the tree?
\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+7=X
יז שאלה אילן חמשיתו בעפר וששיתו במים ולמעלה מהמים ז' אמות כמה גבהות כל האילן
False Position - common denominator: The denominator is 30.
הנה המורה ל‫'
Its fifth and its sixth are 11.
וחמשיתו וששיתו י"א
We subtract them from 30, which is the denominator; 19 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)-\left(\frac{1}{6}\sdot30\right)=30-11=19}}
נגרעם מל' שהוא המורה נשארו י"ט
We multiply the means, which is 7 by 30; it is 210.
נכפול האמצעיים שהם הז' בל' נהיו ר"י
We divide it by 19; it is 11 and one part of 19, and so is the height of the tree.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot30}{19}=\frac{210}{19}=11+\frac{1}{19}}}
נחלקם על י"ט ונהיו י"א חלקים וחלק אחד מי"ט וככה גבהות האילן
Rule of Four: We do the relation as follows:
\scriptstyle{\color{blue}{19:30=7:x}}
ונעשה הערך כך
0 7 30 19
0 7 03 91
Triangulation Problem - Two towers
18) Question: there are two towers, the height of one is 60 cubits and the height of the other is 40 cubits.
The distance between them is 50 cubits.
At the top of each tower sits a bird.
Between them a water pool.
The birds are flying at the same speed, going down and drinking at the same time, then taking off at the same time.
How far is the pool from the base of each tower?
\scriptstyle40^2+\left(50-a\right)^2=60^2+a^2
יח שאלה אם היו שני מגדלים גובה הא' ס' אמה וגובה השני מ' אמה

והמרחק שביניהם נ' אמה
ובראש כל מגדל צפור יושב
ובין המגדלים בריכת מים
ועפים הצפרים בהתעופפות שוה ויורדים ושותים בזמן שוה ועולים בזמן שוה
כמה מרחק הבריכה מיסוד כל מגדל

denominator:
\scriptstyle{\color{blue}{40^2+50^2-60^2=1600+2500-3600=4100-3600=500}}
נחבר מרובע מ' שהוא אלף ת"ר עם מרובע נ' שהוא אלפים ות"ק נהיו ד' אלפי' ק'

אח"כ נקח מרובע ס' שהוא ג' אלפי' ות"ר ונגרעם משתי המרובעים הנזכרים שהם ד'ק' ונשארו ת"ק והוא המורה

the distance between the pool and the tower whose height is 60 cubits:
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{40^2+50^2-60^2}{2\sdot50}=\frac{500}{100}=5}}
נכפול גם מרחק שני המגדלים שהוא נ' על ב' ונהיו ק' נחלקם המורה עליהם ונהיו ה' וככה מרחק הבריכה מן המגדל שגובהו ס' אמו‫'
the distance between the pool and the other tower: \scriptstyle{\color{blue}{50-a=50-5=45}}
ומהמגדל האחר המ"ה אמות הנשארות
Joint Purchase Problem - If You Give Me - Buying a Fish
19) Question: three men went to the market to buy a fish.
The first said: I will give all of what I have and you will give a half of what you have and we will buy the fish.
The second said: I will give all of what I have and you will give a third of what you have and we will buy the fish.
The third said: I will give all of what I have and you will give a quarter of what you have and we will buy the fish.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+\frac{1}{2}\sdot\left(a_2+a_3\right)=N\\\scriptstyle a_2+\frac{1}{3}\sdot\left(a_1+a_3\right)=N\\\scriptstyle a_3+\frac{1}{4}\sdot\left(a_1+a_2\right)=N\end{cases}
יט שאלה ג' אנשים אשר הלכו בשוק לקנות דג אחד

האחד אמר אני אתן כל מה שיש לי ואתם תנו החצי ממה שיש לכם ונקנה הדג
אמר השני אני אתן כל מה שיש לי ואתם תנו שליש ממה שיש לכם ונקנה הדג
אמר הג' אני אתן כל מה שיש ואתם תנו הרביע ממה שיש לכם ונקנה הדג

כתוב דבר הקונים החצי והרביע כזה
4 3 2
\scriptstyle{\color{blue}{a-\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)=3\longrightarrow a=6}}
אח"כ תאמר מהו כאשר תקח חציו ממנו ישאר ג' כמספר הקונים והנה הוא ו' כתוב אותו תחת הב'
\scriptstyle{\color{blue}{b-\left(\frac{1}{3}\sdot b\right)=3\longrightarrow b=4+\frac{1}{2}}}
עוד תאמר מהו כאשר תקח שלישיתו ממנו ישאר ג' כמספר הקונים והנה הוא ד' וחצי כתוב אותו תחת הג'
\scriptstyle{\color{blue}{c-\left(\frac{1}{4}\sdot c\right)=3\longrightarrow c=4}}
עוד תאמר מהו כאשר תקח רביעיתו ממנו ישאר ג' כמספר הקונים והנה הוא ד' תכתבהו תחת הד'
4 4 6
  \scriptstyle\frac{1}{2}  
common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot6\right)+\left[2\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]+\left(2\sdot4\right)=12+9+8=29}}
כפול הכל עם הב' ותאמר ב' פעמי' ו' הם י"ב

עוד ב' פעמי' ד' וחצי הם ט‫'
עוד ב' פעמי' ד' הם ח‫'
חבר הכל הם כ"ט וזהו המורה

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=29-\left(2\sdot12\right)=5}}
כפול הראשון שהוא י"ב עם ב' וחסרהו מן המורה נשארו ה' וכך יש לראשון בכיסו
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=29-\left(2\sdot9\right)=11}}
כפול השני שהוא ט' עם הב' וחסרהו מן המורה נשארו י"א וכך יש לשני בכסו
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=29-\left(2\sdot8\right)=13}}
כפול השלישי שהוא ח' עם ב' וחסרהו מן המורה ונשארו י"ג וכך יש לשלישי בכסו
\scriptstyle{\color{blue}{N=17}}
נמצא שקנו הדג בי"ז
  • Check:
ואם תרצה לבחון זה
\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\frac{1}{2}\sdot\left(a_2+a_3\right)=5+\frac{1}{2}\sdot\left(11+13\right)=5+\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)=5+12=17}}
תביט כי הראשון נתן כל מה שיש לו והיו ה' והם נתנו החצי שיש להם ומה שיש להם הם כ"ד כי השני יש לו י"א והג' י"ג והחצי י"ב תחברם עם הה' והוא י"ז והוא מחיר הדג
\scriptstyle{\color{blue}{a_2+\frac{1}{3}\sdot\left(a_1+a_3\right)=11+\frac{1}{3}\sdot\left(5+13\right)=11+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=11+6=17}}
עוד השני נתן כל אשר לו והם י"א והראשון והשלישי נתנו השליש ממה שיש להם והם ו' כי לשניהם י"ח לראשון ה' ולשלישי י"ג חבר הי"א עם הו' ונהיו י"ז והוא מחיר הדג
\scriptstyle{\color{blue}{a_3+\frac{1}{4}\sdot\left(a_1+a_2\right)=13+\frac{1}{4}\sdot\left(5+11\right)=13+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)=13+4=17}}
עוד השלישי נתן כל אשר לו והם הי"ג והראשון עם השני נתנו ד' שהוא הרביע ממה שיש להם כי לראשון ה' ולשני י"א והם י"ז והוא מחיר הדג
Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Promissory Note
20) Question: four men issued a promissory note with a man.
The first [was promised] that if he would work with him for a month, he will pay him 10 zehuvim.
The second [was promised] that if he would work with him for a month, he will pay him 5 zehuvim which are a half.
The third [was promised] that if he would work with him for a month, he will pay him 3⅓ zehuvim which are a third.
The fourth [was promised] that if he would work with him for a month, he will pay him 2½ zehuvim which are a quarter.
They all worked a whole month, but he did not pay any one and died.
All that he had were only 10 zehuvim
כ שאלה אדם אחד הוציאו עליו שטר חוב ד' אנשים

הראשון שאם יעבוד עמו חדש ימי' יתן לו י' זהובי‫'
והשני שאם יעבוד עמו חדש ימים יתן לו ה' זהובים שהם מחציתם
והשלישי שאם יעבוד עמו חדש ימים יתן לו ג' זהובים ושליש שהם שלישיתם
והד' שאם יעבוד עמו חדש ימים יתן לו ב' זהובים וחצי שהוא רביעיתם
ועבדו כלם החדש בשלימות ולא פרע לשום אחד ומת
ולא נמצא לו יותר מי' זהובים בכל אשר היה לו

The division according to the arithmeticians: each one receives his proportional share
\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=10
הנה חכמי החשבון יתנו לכל אחד כפי ערך ממונו
False Position - common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4=6\sdot4=24}}
והנה המורה כ"ד כי תכפול הב' על הג' והם ו' עוד הו' על הד' הם כ"ד ובזה ימצאו כל החלקי' הנשארי' ונשים האחד השלם כ"ד כי הוא המורה
\scriptstyle{\color{blue}{24+\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=50}}
וכשתחבר אליו חציו ושלישיתו ורביעיתו יהיה בין הכל נ‫'
converting the zehuvim into pešuṭim [1 zahuv = 12 pešuṭim]: \scriptstyle{\color{blue}{12\sdot10=120}}
ונעשה הי' זהובים ק"כ פשוטי' מי"ב פשוטי' בזהוב
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{50:24=120:a_1}}
ונעשה ערך הראשון כך אם הנ' יתנו לו כ"ד הק"כ מה יתנו לנו
0 120 24 50
0 021 42 05
We multiply the means; it is 2880.
נכפול האמצעיים ונהיו ב' אלפים תת"פ
We divide it by 50, which is the extreme; the quotient is 57+½+⅒ pešuṭim and this is the first share of the owner of the 10 zehuvim.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{24\sdot120}{50}=\frac{2880}{50}=57+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}}}
נחלקם על הנ' שהוא הקצה נהיה החלק נ"ז פשוטים וחצי פשוט ועשירית פשוט וזהו חלק הראשון בעל הי' זהובים
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{50:12=120:a_2}}
ונעשה ערך השני כך אם הנ' יתנו לנו י"ב הק"כ מה יתנו לנו
0 120 12 50
0 021 21 05
We multiply the means; it is 1440.
נכפול האמצעיים ונהיו אלף ת"מ
We divide it by 50, which is the extreme; the result is 28+½+⅕+⅒ pešuṭim and this is the second share of the owner of the 5 zehuvim.
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{12\sdot120}{50}=\frac{1440}{50}=28+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}}}
נחלקם על הנ' שהוא הקצה ועלו כ"ח פשוטי' וחצי פשוט וחמשית פשוט ועשרית פשוט וזהו החלק השני בעל הה' זהובים
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{50:8=120:a_3}}
ונעשה ערך השלישי ככה אם הנ' יתנו ח' הק"כ כמה יתנו
0 120 8 50
0 021 8 05
We multiply the means; it is 960.
נכפול האמצעיים ונהיו תתק"ס
We divide it by 50, which is the extreme; it is 19⅕ pešuṭim and this is the third share of the owner of the 3⅓ zehuvim.
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{8\sdot120}{50}=\frac{960}{50}=19+\frac{1}{5}}}
נחלקם על הנ' שהוא הקצה יהיו י"ט פשוטי' וחמשית פשוט וזהו חלק השלישי בעל ג' זהובים ושליש
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{50:6=120:a_4}}
ונעשה ערך הרביעי ככה אם הנ' יתנו ו' הק"כ כמה יתנו
0 120 6 50
0 021 6 05
We multiply the means; it is 720.
נכפול האמצעיים ונהיו תש"כ
We divide it by 50, which is the extreme; it is 14⅖ pešuṭim and this is the fourth share of the owner of the 2½ zehuvim.
\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{6\sdot120}{50}=\frac{720}{50}=14+\frac{2}{5}}}
נחלקם על הנ' שהוא הקצה ונהיו י"ד פשוטי' וב' חמשיות פשוט וזהו חלק הרביעי בעל הב' זהובי' וחצי
  • Check:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4\\&\scriptstyle=\left(57+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\right)+\left(28+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}\right)+\left(19+\frac{1}{5}\right)+\left(14+\frac{2}{5}\right)=120\\\end{align}}}
וכשתחבר כל כל אלה החלקים יעלו ק"כ פשוטי' שהם י' זהובי‫'
ואם לא תרצה להשיב הכל אל הערכים מפני הטורח תעשה כך אחר שידעת חלק הראשון מן הערכי' תן מחציתו לשני ושלישיתו לשלישי ורביעיתו לרביעי ושוה יהיה זה וזה
וכן תוכל אתה לעשות שאלות אחרות עד אין קץ ותוכל להשיב עליהם אם תדע ואם תדע הכללים שהקפנו בהם בזה החבור ולא הזכרתי דרך מציאות שרשי המרובעים הנה כי אינם צורך בזה החבור ואחרתים עד מקומם ושם אבארם אם יחפוץ הנותן ליעף כח
תם ונשלם שבח לבורא עולם אבגדה גם

The Second Book of this Treatise Discusses Geometry

[1]הספר השני מזה החבור המדבר בחכמת המדות

[The First Section]

Chapter One of the First Section of the Second Book

הפרק הראשון מהחלק הראשון מהספר השני
Mordechai said: before discussing geometry it is appropriate to explain the names used by the masters of this craft and science, for in each science, the masters of this science use specific names that indicate issues of this science, not issues that are indicated in other than this science, as they are conventional. אמר מרדכי קודם שנדבר על חכמת המדות ראוי לבאר שמות שנשתמשו בהם בעלי זאת המלאכה והחכמה כי לכל חכמה שמות מיוחדות נשתמשו בהם בעלי החכמה ההיא מורות בענינים באותה החכמה בלתי הענינים אשר יורו בזולת החכמה ההיא להיות שהם הסכמיים
וכאשר הניחו בזולת החכמה ההיא על מה שהניחו כן יוכלו להעתיקם ממה שהניחום למה שהניחום בחכמה מיוחדת אם על דרך השאלה או על דרך הספוק או על דרך ההעתקה ולפעמים גם ע"ד השתוף הגמור ולכן ראוי למחבר ספר אם ירצה להיות דבריו מובנים לבאר תחילה השמות אשר נשתמשו בם בעלי החכמה ההיא וכן עשה גם החכם אקלידס בספר היסודות אשר ביאר בהצעת כל מאמר דברים הצריכים באותו מאמר
ונאמר שכשתשמע הנה נקדה תבין שתורה על דבר שאין לו שעור כלל לא ארך ולא רחב ולא עומק והיא נמצאת בראש הקו כי היא תכליתו וכן היא אשר תמצא באמצע הקו כשתשער רמיזה היא תכלית חצי הקו והיא בעצמה ראש חצי הקו האחר
The line is a length with no breadth drawn between two points that are its limits. והקו הוא אורך בלא רחב נמשך בין שתי נקדות אשר הן תכליותיו
The surface is a breadth stretched between lines, which has only length and breadth and its limits are the lines. והשטח הוא הרחב המתוח בין הקוים ויש לו אורך ורחב לבד ותכליותיו הם הקוים
The plane angle is that which is encompassed by two straight lines. והזוית השטוחה היא אשר יקיפו בה שני קוי' ישרי‫'
Among the angles there are right angles, acute angles and obtuse angles. והזוית ממנה נצבת וממה חדה וממנה נרוחת
The right angle is [generated] when a straight line falls on a straight line and makes the two angles on its either sides equal. והזוית הנצבת היא כשיפול הקו הישר על קו ישר וישים השתי זויות אשר משתי צדדיו שוות כזה ┴
The acute angle is the one that is smaller than it. והחדה היא אשר היא יותר קטנה מזאת
The obtuse angle is the one that is greater than it. והנרוחת היא אשר היא יותר גדולה מזאת
When a line falls on a line and makes the two angles on its either sides equal, it is called perpendicular. והקו אשר יפול על הקו ויעשה שתי הזויות אשר משתי צדדיו שוות יקרא עמוד
The line on which it stands is called base. והקו שהוא עומד עליו יקרא תושבת
והקוים הנכחיים הם אשר כשיוצאו לכל א' משני צדדים ואפילו ללא תכלית לא יפגשו
והתמונה השטחית תחלק אל ישרת הקוים ואל בלתי ישרת הקוים
והתמונה הישרת קוים היא אשר יקיפו בה ג' קוים או יותר
ואשר יקיפו בה ג' קוים לא יותר תקרא משולש
ואשר יקיפו בה ד' קוים תקרא מרובע
ואשר יקיפו בה ה' קוים תקרא מחומש
וכן כל כיוצא בזה
והקוים אשר יקיפו בתמונה יקראו צלעות
The triangle is divided into three species: והמשולש יחלק אל שלשה מינים
One is called equilateral, which is the one whose three sides are equal. הא' יקרא שוה הצלעות והוא אשר שלש צלעותיו שוים
The second is called isosceles, which is the one whose two sides are equal and the third is unequal, whether it is longer than both, or shorter than both. והשני יקרא שוה השוקים והוא אשר תהיינה שתי צלעותיו שוות והשלישית בלתי שוה אם יותר ארוכה מכל אחת מהן או יותר קצרה מכל אחת מהן
The third is called scalene, which none [of its sides] is equal to the other. והשלישי יקרא מתחלף הצלעות והוא אשר אין אחת שוה לחברתה
עוד [2]המשולש יחלק אל נצב הזויות והוא אשר זויתו האחת נצבת כזה
ואל נרוחת הזוית והוא שזויתו האחת מרווחת כזה
ואל חד הזויות והוא אשר שלש זויותיו חדות
ובעל הד' צלעות יחלק אל מרובע שוה הצלעות ואל בלתי שוה הצלעות
עוד השוה הצלעות יחלק אל מה שהוא נצב הזויות ויקרא שוה הצלעות נצב הזויות כזה
ואל מה שהוא בלתי נצב הזויות כזה ויקרא מעויין
עוד הבלתי שוה הצלעות יחלק אל מה שהוא שתי צלעותיו הנכוחיים שוים וזויותיו נצבות ויקרא מרובע ארוך כזה
ואל כל ששתי צלעותיו שוות אבל אין זויותיו נצבות ויקרא דומה למעויין כזה
ואל זולת אלה ויקרא הנוטה
והוא ארבע תמונות יתבארו בזה החבור
והתמונה הבלתי ישרת הקוים השטוחה תחלק אל עגולה וחצי עגולה
והעגולה היא תמונה יקיף בה קו אחד בתוכה נקדה כל הקוים היוצאים ממנה אל המקיף שוים
והנקדה ההיא תקרא מרכז העגולה
והקו אשר יצא ממקיף העגולה ויעבור על המרכז יקרא מיתר
והחתיכה אשר תושבתה במיתר יקרא קשת
וחצי העגולה היא אשר יקיף בה חצי הקו המקיף והאלכסון
וחתיכת העגולה היא תמונה תקיף בה היתר והקשת ותחלק לשני מינים אם שהיא קטנה מחצי עגולה או גדולה הימנה
The area of the shape is the right-angled quadrilateral parts, whose length is as their width, or those that are equal to them, that are filling the shape. ותשבורת התמונה הוא החלקים המרובעים נצבי הזויות אשר ארכם כרחבם או השוים להם הממלאים את התמונה הדרושים על התמונה
The multiplication is the product of a side by a side, or of a straight line by a curve, or of a number by a number. וההכאה היא כפל צלע בצלע או קו ישר בקו קשתי או מספר במספר
Euclid has already explained in a book that he wrote about the measurement of land that the plane geometry is based on four things: directions, points, lines, and angles; and it also has species and types. וכבר ביאר אקלידס בספר אחד שחבר במדידת הארץ כי חכמת המדות השטוחה היא מיוסדת מארבעה דברים מהפאות ומהנקודות ומהקוים ומהזויות וגם כן היא מקבלת סוגים ומינים
The directions are east, west, north, and south. והפאות הם מזרח ומערב וצפון ודרום
The points are those that you regard as a beginning or a sign of a thing. והנקדות הם אשר תקח אותם התחלה או סימן לדבר
The lines are ten: straight line, base, top, perpendicular, parallel line, diagonal, legs, perimeter, diameter, and hypotenuse. והקוים הם י' קו ישר ותושבת וראש ועמוד וקו נכחי וקטר ושוקים ומקיף ואלכסון ומיתר
The straight line is that which is drawn straightly from both its ends that are two points. והקו הישר הוא הנמשך על יושר משתי תכליותיו שהם שתי נקדות
The base is a straight line on which another straight line stands and makes the two angles on both its sides right angles והתושבת היא קו ישר אחד עומד עליו קו ישר אחר ועושה השתי זויות אשר משני צדדיו נצבות
The top is the line that stands above the base. והראש הוא הקו העומד על התושבת
The perpendicular is a line that goes down from the top to the base and makes the two angles on both its sides right angles. והעמוד הוא הקו היורד מהראש אל התושבת ועושה השתי זויות אשר משתי צדדיו נצבות
The parallel line is a line that stands in parallel to another line and the distances of their extremes that are at right angles are equal. והקו הנכחי הוא קו עומד נכח קו אחר ומרחקי קצותיהם אשר על זויות נצבות שוים
The diagonal is a line that is drawn from the one of the vertices of the quadrilaterals and their like to another vertex. והקטר הוא הקו הנמשך מזויות המרובעים וכיוצא בהם עם הזוית האחרת
The legs והשוקים הם קוים ישרים יורדים מקצות הארץ עד שתי קצות התושבת
The perimeter והמקיף הוא הקו הסובב במרחק שהוא המרכז עד הקו ההוא והקוים היוצאים אליו מהמרכז שוים
The diameter והאלכסון הוא [3]קו יוצא מהמקיף ועובר על מרכזו ויוצא אל המקיף מהצד האחר וחולק את המקיף בשני חלקים שוים
The hypotenuse והמיתר הוא הקו הישר אשר תחת הזוית הנצבת
והזויות הם ג' נצבת חדה ונרוחת
הנצבת היא כאשר יעמוד קו ישר על קו ישר ויעשה הזויות אשר משני צדדיו שוות כל אחת תקרא נצבת
והזוית אשר היא קטנה מזאת תקרא חדה
ואשר היא גדולה מזאת תקרא נרוחת
סוגי המדידה הם שלש מהארבעה קוים הישרי' ומדידת התמונה ר"ל תשבורת התמונות ומדידת הגופנים
מדידת הקוים הישרים היא אשר ימדדו על יושר באורך לבד וזה יקרא מדידה מספרית
מדידת תשבורת התמונות הוא אשר יש לו אורך ורחב ועובי כי ממנו יודע מדידת הגופנים ויקרא גם כן מעוקב
ומיני המדידה הם חמשה המרובע והמשולש והמעוין והנוטה והעגולות
והתמונות י"ח
אם תמונות המרובעים ב' מרובע נכחי הצלעות ונצב הזויות
ואם תמונות המשולשים משולש שוה הצלעות ומשולש שוה השוקים ומשולש מתחלף הצלעות ומשולש נצב הזויות ומשולש נרוח הזויות ומשולש חד הזויות
ואם תמונות המעויינים ב' המעויין והדומה למעויין
ואם תמונות הנוטים הם ד' נוטה נצב הזויות נוטה שוה השוקים נוטה חד הזויות נוטה נרוח הזויות
ואם תמונות העגולות ד' העגולה וחצי העגולה וחתיכת העגולה מחציה ומעלה וחתיכת העגולה הקטנה שהיא קטנה ממנה

Chapter Two

הפרק השני
דע כי המשולש הוא שרש ופנה לכל התמונות השטחיות ישרות הקוים כי ממנו חוברו ואליו יותכו כאשר הודיע זה ניקומאכוש הגיהרשיני במאמר השני מספר הארתימישיקא שחבר
ולכן מי שידע למדוד המשולשים ידע למדוד כל התמונות בכפל תשבורת המשולש במספר אשר יולידו התמורה אם הם שוים ואם היו בלתי שוים יהיה זה בקבוץ תשבורת כל המשולשי' אשר יולידוהו ומפני זה היה מספיק להודיע מדידת המשולש למנין לבד אבל מפני שהמדה והשעור אשר נשער בה מרובעת ארכה כרחבה
כי תשבורת התמונות הם משוערות על האמות המרובעות כאשר הודענו מן גדרה
והמשולש בעצמו לא יתאמת מנינו רק בהצטרפו אל המרובע כי המופת שיובא עליו בהקשה אל המרובע לכן ראוי שנודיע מדידת המשולשים [נ' המרובעים] תחלה אח"כ נודיע דרכי המשולשים והשאר
וקודם זה נודיע שכל מוסכל לא יגיע אלא בידוע ולכן עלו כל הדרושים אל המושכלות הראשונות או אל אחד מהמינים אשר הם ידועים בעצמם
וידוע כי כשנדרוש למצוא תשבורת תמונה איזו שתהיה קודם שנמצאנה היא מוסכלת אצלנו
ולכן ראוי להגיעה לנו בידוע והידוע אשר יגיע לנו היא ידיעת חלק ממנה אם צלעות מצלעותיה או עמוד ותושבת וזולת זה
ואם גם אלה הם מוסכלים אז תגיע לנו האמה אשר ימדדו בה ולכן ראוי להודיע [4]שהאמה הזאת ידועה אשר תגיע לנו ידיעת המוסכלים מהנמדדים היא אורך לבד בלי מרחב ואינה אמה מרובעת כאשר הם אמות התשבורת כי גם המרובעת תכליותיה הם הקוים אשר הם אורך לבד והם המגבילים אותה
ומהנה אתחיל לבאר איך ימדדו המרובעים ונתחיל ממרובע שוה הצלעות נצב הזויות כי הוא כשרש לשאר המרובעים אחרי שהמעויין ידמה לו בשווי הצלעות והארוך בהתיצבות הזויות
ועוד כי אמת התשבורת היא מרובעת הצלעות שוים והזויות
והיתה זאת אמת התשבורת כי זאת תודיע לנו השעור של התמונה והדבר אשר יודיע שעור הדבר ראוי שיהיה שוה נודע וידוע שהזויות הנצבות הם שוות לעולם מה שאין כן החדה והנרוחת כי יקבלו הפחות והיתר והדבר אשר יקבל הפחות והיתר הוא בלתי מוגבל והבלתי מוגבל הוא בלתי ידוע והבלתי ידוע בעצמו איך יהיה סבה לזולתו
הדבור על מדידת המרובע שוה הצלעות נצב הזויות
ראוי שתדע בכלל כי כל בעל ארבעה צלעות נצב הזויות הארבעה הנה הכאת צלעו האחד בצלעו האחר ככה תשברתו
והיה זה סבה להיות שמרובע צלעו האחד שוה להכאת צלעו הא' בצלעו השני
דמיון מרובע אבג"ד הוא שוה הצלעות כי נשים כל א' מצלעותיו עשר אמות והנה מרובע צלעו האחד מאה אמה וככה הוא תשברתו כי הם מאה אמות מרובעות נצבות הזויות כל אמה מהן מרובעת דומה אל המרובע הגדול
המופת על זה נחלק כל צלע ממנו על עשר אמות בעשרה נקדות ונגיע מכל נקדה מהצלע האחד קו על הצלע הנכחי לו הנה יהיו הקוים נכוחיים האחד לחברו ולצלעו המרובע הגדול כי מרחקי קצותיהם אשר הם על זויות נצבות שוים אם כן קו ה"ו נכחי אל קו א"ד וקו ב"ל נכחי אל קו א"ב
ונאמר תחלה כי קו א"ד נפל על שני קוי א"ב וב"ל הנכוחיים
הנה ישרת שתי הזויות הפנימיות אשר בצד אחד שוות לשתי נצבות וזוית א' היא נצבת אם כן גם זוית ב' היא נצבת על כל פנים [5]והתמונות הנכחיות הצלעות יהיו זויותיהם המומרות שוות א"כ גם זוית ה' נצבת וגם הזוית הנשארת מזה המרובע הקטן שהוא האמה נצבת
עוד קו ו"ה נפל על קו א"ב והקו הישר אשר יפול על קו ישר הנה ב' הזויות אשר בצדו אם נצבות או שוות לשתי נצבות וזוית ה' נצבת אם כן גם הזוית אשר בצדו נצבת ומזה יתבאר כי גם על ד' זויות האמות נצבות וכן יתבארו כל הי' אמות אשר בטור הא‫'
עוד קו ב"ל נחתך בקו ה"ו וב' הקוים אשר יחתכו זויותיהם המקבילות שוות א"כ גם זוית האמה הראשונה אשר בטור הב' השמאלית נצבת וכנגדה נצבת וכן יתבארו כל האמות אשר בתשבורת הזאת ולהיותם שוי הצלעות יתבאר מחלוקת כל צלע השוה לחלקים וכשתחסר מן השוים יהיה הנשאר שוים והב' דברים השוים לדברים שוים גם הם שוים
וזאת המדידה נכונה בבעלות ד' הנצבות הזויות הד' ר"ל שתכפול צלעו הא' על צלעו השני המקיפו' בזוית א' ולמצוא התשבורת
  • Example of a rectangle whose one side is 10 and the other side is 5
דמיון בבעלת ד' צלעות נצב הזויות הד' נכוחי הצלעות אשר צלעה הא' י' וצלעה האחרת ה‫'
Like this:
כזה
The product of 5 by 10 is 50 and this is the area of this shape.
הנה כפילת הה' על הי' הם נ' וזהו התשבורת של זאת התמונה
Its proof is like the previous proof.
ומופתה כמופת הקודם
אבל אם היתה התמונה שוה הצלעות ולא היתה נצבת הזויות ולא יתכן שימדד במדידת צלעותיה כי זה יביא לטעות גדולה
דמיון יש לנו מרובע שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות עליו אבג"ד ויהיה כל א' מצלעיו י' אמות הנה אם תכפול צלעו הא' בצלעו השני אז אם תקח מרובע צלעו הא' יעלה ק' ואין זה תשבורת המרובע הזה
המופת נוציא ב' קוטרים מזויותיו הא' קוטר א"ג והב' קטר ב"ד ויהיה קטר א"ג י"ו אמה וקטר ב"ד י"ב אמה ויחתכו על נקדת ה' הנה נעשה שטח נכוחי הצלעות נצב הזויות אשר צלעו אחת כקטר הארוך וצלעו האחרת כקטר הקצר ויהיה כל צלע נכוחי לקטר הדומה לו כי שתי הקטרים יחתכו על זויות נצבות כאשר נראה המופת במדידתו ונכתוב עליו ה' ו' ז' ח' הנה נחלק השטח הנצב הזויות לד' חלקים שוים עם קטרי המרובע הקטן אשר אין זויותיו נצבות
עוד כל חלק מהד' חלקים נחלק לשני חלקים שוים עם צלעות המרובע הקטן לא פחות ולא יתר
ותשבורת השטח הנצב הזויות הוא בכפל צלעו האחד על השני וצלעו הא' הוא י"ו אמה כי [6]הוא שוה לקטר הארוך מהמרובע וצלעו השנית הוא י"ב אמה כי הוא שוה לקטר הקצר מהמרובע וכפל י"ו על י"ב הם קצ"ב וזהו תשבורת השטח הנצב הזויות אשר הוא כפל תשבורת המרובע אשר בתוכו
ואם כן תשבורת המרובע הם צ"ו אמות אשר בתוכו ואלו היינו נשענים על כפל צלעותיו היה יוצא ק' אמה וזאת שגיאה גדולה
ולכן אמרו בעלי השעור שזה המרובע יהיה נמדד בכפילת מחצית קטרו הא' על קטרו השני והוא תשברתו
המופת על המדידה הזאת ידוע שכאשר יהיה שוה הצלעות הנה שני קטריו יחתכו על זויות נצבות כי כל קטר הוא מחלק אותו לשני משולשים שוה השוקים והקטר תושבת שני המשולשים וכאשר יצא הקטר האחד מזוית משולש שוה השוקים אשר התושבת היא מיתרה עד הזוית האחרת ממשולש שוה השוקים שזאת התושבת היא מיתר גם אותה תחלק התושבת לשני חלקי' שוים [7] ועל זויות נצבות וכפילת כל הקוטר בכל הקטר יהיה תשבורת המרובע החיצון אשר הוא כפלו לכן מרובע חציו בכולו הוא מחצית זה שהוא תשבורת המרובע הזה ולכן אמרו כשתמצא מרובע שוה הצלעות בין שיהיה נצב הזויות בין שלא יהיה לא תמנה אותו כי עם מדידת האלכסונים ולא תטעה לעולם כי להכיר האדם הזוית הנצבת מהבלתי נצבת אינו בקלות ולכן ראוי להשמר מן הטעות
ואם היה המרובע שוה הצלעות נצב הזויות ולא ידעת צלעו או רצית למדדו מקטרו האחד תקח מרובעו ותחלקהו על שני חלקים והחלק האחד הוא תשבורת המרובע ההוא ושרש החלק הוא אורך צלעו
דמיון מרובע אשר עליו אבג"ד שוה הצלעות נצב הזויות והיה מרובע קטרו ר' תחלק הר' לשני חלקים יהיה החלק הא' ק' והוא תשבורת המרובע ושרש הק' שהם י' הם אורך צלעו וכן אם אינו שוה הצלעות אבל הוא נצב הזויות יהיה הקטר ידוע אליך והצלע האחד ורצית למדדו משתי אלה תקח מרובע הקטר ותגרע ממנו מרובע הצלע הידוע והנשאר הוא מרובע הצלע הנשאר תקח שרשו והוא אורך הצלע תכה אותו עם הצלע הידוע והוא תשבורת המרובע
דמיון מרובע ארוך אשר עליו אבג"ד והיה צלע א"ב י' אמות וקטר א"ג י"ב אמות
לקחנו מרובע הקטר והוא קמ"ד אמות גרענו ממנו ק' אמה שהוא מרובע הצלע הידוע שהוא י' אמות ונשארו מ"ד אמות ושרשם ו' אמות ושני שלישי אמה פחות משהו שהוא אורך הצלע השני הכינו הו' ושני שלישי' פחות משהו עם הי' ונהיו ס"ו אמות ושני שלישים פחות משהו והוא תשבורת המרובע
המופת על שתי [8]על שתי אלו המדידות ידוע שהקטר הוא חילק את שני המרובעים האלה על שני משלשים שוים נצבי הזויות להיות שהם נכוחיי הצלעות והקטר משותף בשניהם וזוית אחת בכל משלש נצבת והקטר הוא מיתר הזוית הנצבת לכל משולש מהם וכבר התבאר בחכמת המדות שהמשולש הנצב הזוית שני המרובעים אשר יהיו מהצלעות המקיפות בזוית הנצבת שוות למרובע ההוה מהצלע שהוא מיתר לזוית הנצבת א"כ כשתגרע מהשוה לשנים האחד ישאר השני ושרשו הוא המבוקש הנולד מנפילתו בחברו אשר יקיף עמו בזוית הנצבת הוא תשבורת המרובע ההוא
ואם היתה תשבורת המרובע ידועה לך וידעת גם צלעו האחד ולא ידעת גם צלעו השני תחלק תשבורת המרובע על הצלע הידוע ויצא לך הצלע האחר הבלתי ידוע
דמיון היה מרובע תשברתו ק' אמה וצלעו האחר י' אמה תחלק תשברתו שהוא הק' אמה על י' ויצא לך החלק י' ומזה ידעת שגם צלעו האחר י' אמות והמרובע הזה שוה הצלעות
וכן אם היה תשברתו ק' אמה וצלעו הא' כ' אמה תחלק הק' על הכ' ויצא לך החלק ה' והוא צלעו האחר ומזה ידעת שהוא שטח נכחי הצלעות אשר יקרא מרובע ארוך
המופת על זה כי התשבורת הוא מספר נולד מכפילת חלקי הצלע האחד בחלקי הצלע האחר והמספר הנכפל במספר אחר ימצא באותה תולדה המספר האחר בכמות המספר האחר וכן האחר בזה וכשידעת כמות מספר האחד והתולדת אם תחלק התולדת על כמות המספר הנודע ידענו המספר אשר ימצא בכמות המספר הנודע ובהתקבצו כפעמי המספר הנודע נהיה התולדת
ולכן חלקנו תשבורת המרובע על צלעו הנודע והוא יודיע לנו צלעו הבלתי נודע
ואם היה המרובע שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות והוא אשר יקרא מעויין והיה קטרו הא' י"ו אמה וקטרו הב' י"ב אמה כמה יהיה צלעו תחלק כל קטר לשני חלקים וקח מכל אחד מרובע החלק האחר ותחבר שני המרובעי' כאלו הם מספר אחד וקח השרש והוא צלע המרובע ההוא
דמיון חלקנו קטר י"ו על ח' ח' ולקחנו מרובע ח' שהם ס"ד וכן קטר הי"ב על ו' ו' ולקחנו מרובע הו' שהם ל"ו חברנו הס"ד עם הל"ו ונהיו ק' ושרשו י' והוא צלע המרובע
המופת על זה כי כל צלע מצלעי זה המרובע יהיה קטר לשטח נכחי הצלעות נצב הזויות אשר צלעו הא' ח' וצלעו השני ו' כאשר הודענו במדידת המרובע הזה ומרובע הקטר ראוי להיותו שוה לשני מרובעי כי הוא מיתר למשלש בזויתו הנצבת ולכן ישוה זה צלע המרובע לשני ש שני מרובעי חציי קטריו
ואם שאל השואל מעויין שקטרו האחד [9]שקטרו האחד י"ו אמה וצלעו י' אמה כמה קטרו האחד תקח מרובע מחצית הקטר הידוע שהוא ח' ומרובעו ס"ד

ותגרעהו ממרובע הצלע שהוא ק' ונשאר שהוא ל"ו הוא מרובע חצי הקטר האחר תקח שרשו והוא ו' והוא מחצית הקטר כפלהו והוא י"ב והוא הקטר האחר

המופת על זה ידוע שמחצית כל קטר משניהם עומד על הקטר האחר על זויות נצבות ומחצית הקטר הידוע עם מחצית הקטר הבלתי ידוע וצלע המרובע יעשו משלש נצב הזויות והצלע יהיה מיתר הזוית הנצבת ומרובע הצלע שהוא מיתר לזוית הנצבת ישוה לשני מרובעי שתי הצלעות הנשארות שהם וחציי הקטרים וכאשר תגרע מרובע הצלע הא' המקיף בזוית נצבת אשר הוא בזה מחצית הקטר ממרובע צלע המרובע שהוא המיתר לזוית הנצבת ישאר מרובע חצי הקטר האחר שהוא המקיף האחר לזוית הנצבת ושרשו הוא חצי הקטר ואם תכפלהו תמצא כל הקטר
ובכאלה השאלות תוכל להוציא גם אתה שאלות אחרות ולהשיב עליהן
ומהנה נכנס בבאור מדידת המשולשי' למיניהם אחר נבאר מדידת הנוטים כי לא נוכל לבאר מדידת הנוטים ראשונה למדידת המשולשים אחר שהמשולשים הם יסוד לנוטים כי כל נוטה יחלק לשני משולשים מתחלפים או ליותר מזה וכאשר תדע מדידת המשולשים למיניהם יגיע לך בקלות ידיעת מדידת הנוטים

Chapter Three on the Measuring of the Various Triangles

הפרק השלישי במדידת המשולשים למיניהם
כבר ידעת שהמשולשים נחלקו לשוי הצלעות ולשוי השוקים ולמתחלפי הצלעות
ונקדים לבאר תחלה דרכי המשלש השוה הצלעות כי בו יפול העמוד במחצית התושבת בכל צלע שתרצה להוציאו אחר נדבר על המשלשים האחרים
ונאמר בתחלה כי הדבר הכולל לכל המשלשים במדידתם הוא שתכפול העמוד במחצית התושבת או כל התושבת במחצית העמוד וההוה הוא תשבורת המשלש המבוקש
ומפני זה ראוי להודיע בתחלה איך יצא העמוד בכל משלש ומשלש עד שיהיה ידוע כי בו יגיע לנו תשבורת המשלש המוסכלת
ונאמר כי במשלש השוה הצלעות לעולם יפול העמוד במחצית התושבת אחר שג' זויותיה הם חדות לעולם וג' צלעותיה שוות וארצה בעמוד הקו הנופל מזוית ראש המשלש אשר יקרא גובה התמונה על תושבתה על זויות נצבות
המשל בזה משלש אב"ג שוה הצלעות ועמוד אשר יצא מראש המשלש אשר הוא נקדת א' על תושבתה יפול בנקדת ד' ואומר שנקדת ד' היא מחצית התושבת
המופת בזה העמוד חולק את המשלש לשני משלשים אשר שתי צלעות כל משולש ממנו שוות לשתי הצלעות מהאחר כל אחד [10]לגילו צלע א"ג שוה לצלע א"ב ועמוד א"ד צלע משותף לשתיהן וזוית אד"ב שוה לזוית אד"ג כי שתיהן נצבות אם כן צלע ג"ד שוה לצלע ד"ב וצלע ג"ד וד"ב הם מחוברים הם כל התושבת אם כן כל אחת מהן היא מחצית התושבת
והמופת אשר תשבורת כל משלש הוא כפילת העמוד בחצי תושבת או כל התושבת בחצי העמוד אם במשולש שוה הצלעות או במשלש שוה השוקים אשר הוצאת עמודו על צלעו המתחלפת הוא זה כי המופת אשר הורה במשלש שוה הצלעות הוא בעצמו יורה זה על שוה השוקים כאשר הוצאת עמודו על צלעו המתחלפת כי כאשר הוצאת העמוד על מחצית התושבת אח"כ הוצאת קו על קצה התושבת נכחי אל העמוד עוד הוצאת קו מראש העמוד הנכחי אל מחצית התושבת כבר נהיה שטח נכחי הצלעות אשר צלעו האחת העמוד וצלעו האחר מחצית התושבת
והשטח הזה שוה למשלש הנזכר כי צלע המשלש הנז' הוא קטר לנכחי הצלעות הנז' ומחלק אותו לשני המשלשים שוים והמשולש האחד הוא מחצית כל המשלש הנזכר אם כן כל שטח הנכחי הצלעות אשר הוא נחלק לשני משולשים הוא שוה לכל המשלש הנז' ותשבורת השטח הנכחי הצלעות הוא כפילת צלעו האחת בצלעו האחרת וצלעו האחת היא עמוד המשלש וצלעו האחרת היא מחצית תושבת המשלש אם כן תשבורת המשלש הוא כפילת העמוד בחצי תושבתו אחר שהוא שוה לשטח הנכחי הצלעות
המשל בזה משלש אב"ג הוא שוה הצלעות או השוקים ועמודו הוא קו א"ד והוצאנו על קצה מחצית תושבת המשלש הזה קו ב"ה על נקדת ב' נכחי לקו א"ד ועל נקדת ה' הוצאנו קו א"ה נכחי לקו ד"ב
הנה אומר כי שטח א"ד ה"ב הנכחיי הצלעו' שוה למשלש אב"ג
המופת בזה כי זוית אה"ב שוה לזוית אד"ב כי שתיהן נצבות והקטר שהוא צלע המשלש שהוא א"ב חלק את השטח לשני משלשים שוים אחר שהוא קו ישר ונפל על שני קוים נכוחיים שם את שתי הזויות המומרות שוות אם כן זוית ב"ד היא שוה לזוית בא"ה וקטר א"ב משותף אם כן משלש הא"ב שוה למשלש אב"ד ומשלש אב"ד הוא חצי שטח הנכחי הצלעות שהוא שטח ה"אד"ב והוא חצי משלש אב"ג אם כן שטח ה"אב"ד שוה למשולש אב"ג ושטח נכחי הצלעות הנצב הזויות כפילת צלעו האחת בצלעו האחרת היא תשברתו אם כן גם תשבורת משלש אב"ג הוא כפילת צלע נכחי הצלעות האחת שהוא עמוד המשלש בצלעו האחרת שהוא מחצית תושבת המשולש וזמש"ל
ואם המופת שבכפילת מחצית העמוד על [11]על כל התושבת נמצא התשבורת הוא זה אם תרצה מהכלל הידוע שכל חשבון כפולת חציו בחשבון אחר כלו הוא בכפולת כלו כמחצית אותו החשבון
ואם תרצה נביא מופת מחכמת המדות והוא זה משלש אב"ג שוה הצלעות ונוציא מנקדת ח' ממנו עמוד אל תושבת ב"ג והוא קו א"ד ונסמן במחציתו נקדת ה' ונוציא מנקדת ה' שני קוים דבקים על יושר נכוחיים ושוים לתושבת ב"ג והם ה"ז ה"ח ונגיע קוי ח"ב ז"ג הנה אומר כי שטח ב"ג ז"ח הנכחיי הצלעות שוה למשלש אב"ג
המופת כי נוטה ט"ב ב"ג משותף לשטח ב"ג ז"ח ולמשלש אב"ג ונשאר משלש חט"ב כמשלש אט"ה כי זוית חט"ב שוה לזוית הט"א וזוית אה"ט שוה לזוית בח"ט וצלע א"ה שוה לצלע ב"ח כי שתיהם מחצית העמוד אם כן משלש חט"ב שוה למשלש אט"ה וכן משלש בז"ג שוה למשלש אב"ה וההנהגה אחת א"כ נוטה ט"ב ב"ג עם שני משולשי חט"ב בז"ג שהם כל השטח נכחי הצלעות שוה לנוטה ט"ב ב"ג עם שני משולשי אט"ה אב"ה שהם כל משלש אב"ג אם כן משלש אב"ג שוה לשטח נכחי הצלעות ב"ג ז"ח ותשבורת השטח הנכחי הצלעות הוא הכאת צלעו האחד שהוא שוה למחצית העמוד של המשולש בצלעו האחר שהוא שוה לכל תושבת המשולש אם כן גם תשבורת המשולש שהוא שווה לו הוא הכאת מחצית העמוד בכל התושבת וזה מש"ל
וכן זה המופת בעצמו יורה על משלש שוה השוקים כאשר הוצאת העמוד על צלעו המתחלפת
הנה כבר ידעת שכשיבא בידך הן משלש שוה הצלעות הן שוה השוקים תכפול העמוד במחצי' התושבת או ההפך ותמצא התשבורת
ולדעת העמוד מהצלע הן במשלש שוה הצלעות או במשולש שוה השוקים תעשה כן תקח מרובע חצי התושבת ותגרעהו ממרובע הצלע ואשר ישאר יקח שרשו והוא העמוד
המופת על זה כי צלע המשולש הוא מיתר הזוית הנצבת אשר יקיפו בה העמוד ומחצית התושבת והתבאר בחכמת השעור כי מרובע הצלע אשר היא מיתר הזוית הנצבת[12] ותקח שרש הנשאר תמצא את צלע האחרת
אולם בעלי השעור נתנו כללים אחרים במדידת המשולש השוה הצלעות כדי להקל על המחשב ואמרו לעולם תקח מט"ו בצלעו י"ג והוא העמוד או תהיה מרבע את הצלע והוצא ממנו הרביעית וקח שתי הרביעיות הג' והוא עמוד המשולש הזה
ואלה הכללים וכדומה להם יצאו מהמופת הנז‫'
ומה שאמרנו בענין משלש שוה השוקים הוא כשהוצאת עמודו על צלעו המתחלפת אבל אם הוצאת אותו על צלע אחד מצלעותיו דע שיש לו שני משפטים אחרים נבארם כשנבאר [13]משפטי המשלש שמתחלף הצלעות
Scalene triangle: its height and the distance from the position of the height on the base to the side
If we wish to measure a scalene triangle, we should extract its height on its side first and to know its distance from one of the sides, for the height that we extract in the equilateral triangle and in the isosceles triangle always falls on the middle of the base, yet this height that is drawn in the scalene triangle does not fall on the middle [of the base] at all, but it is far from one side and close to the other side. אם נרצה לשער המשלש המתחלף הצלעות תחלה ראוי להוציא עמודו על צלעו המתחלפת ולדעת מרחקו מאחת הצלעות כי העמוד אשר הוצאנו במשלש השוה הצלעות ובמשולש שוה השוקים הוא נופל במחצית התושבת לעולם אבל אין העמוד הזה היוצא במשולש המתחלף הצלעות יוצא על המחצית כלל אבל הוא רחוק מהצלע האחת והוא קרוב אל הצלע השנית
We call its distance from the first side "the close distance" and we call its distance from the far side "the far distance". ומרחקו מהצלע האחת אנו קוראים אותו המרחק הקרוב ומרחקו מהצלע הרחוק אנו קוראים אותו המרחק הרחוק
After we know the position of the height on one of the sides, we can then announce the length of its height. ואחר שנדע גבול מעמדו באחת מהצלעות אז נביא להודיע אורך עמודו
Let us say the triangle ABG is a scalene triangle, whose side AB is 20 cubits, side AG is 18 cubits, and side GB is, on which we draw the height, which is the base, is 16 cubits.
ונאמר משלש אב"ג מתחלף הצלעות אשר צלע א"ב ממנו עשרים אמה וצלע א"ג ממנו י"ח אמה וצלע ג"ב ממנו אשר עליו נוציא את העמוד והוא התושבת י"ו אמה
We wish to know the distance of the height from its position to side AG, which is the short side:
ונרצה לדעת גבול מעומד העמוד מצלע א"ג אשר הוא הקצר
We already know that the length of this side is 18 cubits.
וכבר ידענו שאורך הצלע הזה י"ו אמה
We take its square, it is 324.
נקח מרובעו הוא שכ"ד
We add to it the square of the base, which is 256; the result is 580.
ונחבר אליו מרובע התושבת שהוא רנ"ו ויהיו תק"ף
Then, we subtract the square of AB, which is the longer side, from 580; we already know that it is 20, and its square is 400; we subtract it from 580; the remainder is 180.
אחר נגרע מן תק"ף מרובע א"ב אשר הוא הצלע הארוך וכבר ידענו שהוא כ' ומרובעו הוא ת' נגרעם מן תק"ף נשארו ק"פ
We take its half; it is 90.
נקח מחציתם והם צ‫'
We divide it by the base, whose length is 16; the first part is 5, one-half, and an eighth; and this is the distance on the base from the position of the height to the short side.
ונחלק אותם על התושבת שארכה י"ו ונהיה החלק הא' ה' וחצי ושמינית וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הקצר על התושבת
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(18^2+16^2\right)-20^2\right]}{16}&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(324+256\right)-400\right]}{16}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(580-400\right)}{16}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot180}{16}=\frac{90}{16}=5+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\end{align}}}
We wish to know the distance from its position to the long side:
ואם רצינו לדעת גבול מעמדו מן הצלע הארוך
We take its square, which is 400, and add it to the square of the base, which is 256; together it is 656.
נקח מרובעו שהוא ת' ונחבר אותו עם מרובע התושבת שהוא רנ"ו ושניהם תרנ"ו
We subtract from it the square of the short side, which is 324; the remainder is 332.
נגרע מאלה מרובע הצלע הקצר שהוא שכ"ד נשארו של"ב
We take its half; it is 166.
נקח מחציתם והם קס"ו
We divide it by the base, which is 16; the result is 10, one-third, and one part of 24; and this is the distance from the position of the height on the base to the long side.
ונחלקם על התושבת שהם י"ו ונהיה י' ושליש וחלק אחד מכ"ד וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הארוך על התושבת
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(20^2+16^2\right)-18^2\right]}{16}&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(400+256\right)-324\right]}{16}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(656-324\right)}{16}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot332}{16}=\frac{166}{16}=10+\frac{1}{3}+\frac{1}{24}\end{align}}}
We give another example of a scalene triangle with integers, i.e. that the distance of the height from its position on the base is an integer without a fraction.
עוד נמשיל במשלש מתחלף הצלעות משל אחד על חשבון שלם ר"ל שיצא גבול מעמד עמודו על התושבת באחדים שלמים מבלתי חלק
We say: triangle ABG, whose side AG is 13, side AB is 15, and side AB that is the base is 14.
ונאמר משלש אב"ג אשר צלע א"ג ממנו י"ג וצלע א"ב ממנו ט"ו וצלע ב"ג ממנו אשר הוא התושבת י"ד
We wish to know the distance of the height from its position on the base to the short side, which is AG:
ורצינו לדעת גבול מעמד העמוד על התושבת מהצלע הקצר שהוא א"ג ממנו
We add the square of the base to the square of this side; the result is 365.
חברנו אל מרובע הצלע הזה מרובע התושבת ונהיו שס"ה
We subtract from it the square of the long side, which is 225; the remainder is 140.
גרענו מזה המרובע מהצלע הארוך אשר הוא רכ"ה ונשארו ק"מ
We take its half; it is 70.
לקחנו חצים והם ע‫'
We divide it by 14, which is the base; the first part is 5; and this is the distance from the position of the height to the short side.
חלקנום על י"ד שהוא חותך התושבת והיה החלק האחד ה' וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הקצר
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(13^2+14^2\right)-15^2\right]}{14}&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(365-225\right)}{14}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot140}{14}=\frac{70}{14}=5\end{align}}}
If you wish to know its distance from its position to the long side:
ואם תרצה לדעת גבול מעמדו מן הצלע הארוך
We add its square to the square of the base; the result is 421.
נחבר מרובעו עם מרובע התושבת ונהיו תכ"א
We subtract from it the square of the short side, which is 169; the remainder is 252.
הוצאנו מהם מרובע הצלע הקצר שהוא קס"ט נשארו רנ"ב
We take its half; it is 126.
לקחנו חצים והם קכ"ו
We divide it by 14, which is the base; the [second] part is 9; and this is the distance from the position of the height to the long side.
וחלקנום על י"ד שהוא התושבת היה החלק הא' ט' וזהו גבול [14]מעמד העמוד מן הצלע הארוך
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(15^2+14^2\right)-13^2\right]}{14}&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(421-169\right)}{14}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot252}{14}=\frac{126}{14}=9\end{align}}}
The proof of this has already been clarified in geometry, that the square of the side, which is opposite an acute angle, is less than the sum of the squares of the two other sides by double the rectangle that is encompassed by the whole base and the distance from the position of the height to that side. המופת על זה כבר התבאר בחכמת השעור שמרובע הצלע אשר הוא מיתר זוית חדה הוא פוחת מן מרובעי שתי צלעות הנשארות בכפל שטח הנצב הזויות אשר יקיף בו התושבת כלו עם מקום מעמד העמוד מאותו הצד
Therefore, when you add the square of the side to the square of the base and subtract the square of the other side from this, the remainder is double the rectangle that is encompassed by the whole base and the distance from the position of the height to that side. ולכן כאשר תחבר מרובע הצלע עם מרובע התושבת ותוציא מהם מרובע הצלע הנשאר ישאר ככפל הנצב הזויות אשר יקיף בו כל התושבת והחלק אשר יצא עליו העמוד מאותו הצד
Thus, we divide it by two and then divide by the base, as the sum is a double, and the result is the distance from the position of the height to that side. ולכן נחלק אותו לשנים והחלק האחד נחלקהו על התושבת אחרי שהסך הוא כפל ואשר יצא הוא מקום מעמד העמוד על אותו הצד
The example for this is the triangle we have drawn:
המשל בזה המשלש אשר ציירנו
We know that side AG is 13 cubits and its square is 169.
ידענו שצלע א"ג ממנו הוא י"ג אמה ומרובעו קס"ט
The base is 14 cubits and its square is 196.
והתושבת י"ד אמה ומרובעה קצ"ו
The [sum of the] two squares is 365.
ושתי המרובעים שס"ה
Side AB is 15 cubits and its square is 225.
וצלע א"ב אשר הוא ט"ו אמה ומרובעו רכ"ה
It is less than [the sum of] the squares mentioned by double the rectangle that is encompassed by GD by GB.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG^2+GB^2\right)-AB^2=2\sdot\left(GD\sdot GB\right)}}
\scriptstyle{\color{blue}{\left(13^2+14^2\right)-15^2=\left(169+196\right)-225=365-225=2\sdot\left(GD\sdot GB\right)}}
יהיה פוחת משני המרובעים הנזכרי' בכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו ג"ד בג"ב
So, when we subtract 225 from 365, 140 remains, which is double the rectangle that is encompassed by GD by GB.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(13^2+14^2\right)-15^2=365-225=140=2\sdot\left(GD\sdot GB\right)}}
א"כ כאשר גרענו רכ"ה משס"ה ישאר ק"מ והוא ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו ג"ד בג"ב
Since it is a double, we take its half, which is 70, and it is the same as the rectangle that is encompassed by GD by GB.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(AG^2+GB^2\right)-AB^2\right]=GD\sdot GB}}
ומפני שהוא כפל לקחנו חציו והוא ע' והוא כשטח הנצב הזויו' אשר יקיף ג"ד בג"ב
We divide it by the base, which is 14, and we know that the quotient is the distance from the position of the height to that side; this quotient is 5.
חלקנוהו על התושבת שהוא י"ד וידענו שהחלק האחד ממנו הוא מקום מעמד העמוד מאותו הצד והחלק הוא ה‫'
Therefore, we know that the distance from the position of the height to that side is 5.
ומזה ידענו שמרחק העמוד מאותו הצלע הוא ה‫'
After we have determined the position of the height, we can calculate its length. We do as follows: ואחר שידענו גבול מעמדו נבא לדעת ארכו וכן נעשה
We subtract the square of the distance of the height on the base from the square of the adjacent side, so the remainder is the square of the height. נגרע מרובע החלק מן התושבת אשר עומד עליו העמוד ממרובע הצלע הדבק בו ואשר ישאר הוא מרובע העמוד
המשל בזה המשלש גרענו מרובע ה' שהוא כ"ה ממרובע הצלע הדבק בו ואשר ישאר הוא מרובע העמוד גרענו כ"ה ממרובע הצלע הדבק בו שהוא קס"ט ושרשו י"ב והוא אורך העמוד
וכן אם רצינו לדעת אותו מהחלק האחר מהתושבת אשר הוא ט' ומרובעו פ"א גרענו אותו ממרובע הצלע הדבק בו אשר הוא רכ"ה נשארו קמ"ד ושרשו י"ב והוא אורך העמוד
והמופת על זה כי מרובע כל צלע מהם שוה עם מרובע העמוד והחלק מן התושבת הדבק בו מפני שהוא מיתר לזוית הנצבת כל א' במשלשו כי כאשר הוצאת העמוד כבר נחלק המשלש לשני משלשים וכאשר גרעת מרובע החלק מן התושבת וממרובע הצלע הדבק בו נשאר במרובע הצלע מרובע העמוד וכשלקחת שרשו מצאת אורך העמוד
הנה בארנו מדידת כל המשלשים למיניהם והבדלם מצד הצלעות
ואעפ"י שבמדות האלה יכללו גם מתחלפי הזויות כי המשלש שוה השוקים לא ימלט מהיותו חד הזויות ואם נצב הזויות או נרוח גם ככה המתחלף הצלעות אמנם בעבור שיש להם מדות מיוחדות [15]גם מפני הזויות נבארם ואין זה צורך
ונאמר כי המשלש הנצב הזויות אין צורך להוציא עמודו על צלעו שהוא מיתר הזוית הנצבת כי כל אחת משתי צלעותיו המקיפות בזוית הנצבת הן עמודיו ולכן אם תכה אחד מהצלעות הנזכרות בצלעו האחרת המקפת עמו הזוית הנצבת תמצא תשברתו
והמופת על זה ידוע ממה שבארנו במשלשים הקודמים
עוד המשלש הנרוח הזוית אין הכרח להוציא עמודו על צלעו שהוא מיתר הזוית הנרוחת לבד
אבל אם רצית להוציאו בדרך זו אשר אורה לך
כבר התבאר בחכמת השעור שמרובע מיתר הזוית הנרוחת עודף על מרבעי שתי הצלעות המקיפות בה בכפל התושבת אשר עליה הצלע בקו היוצא חוצה מקצה התושבת הנזכרת עד מקום נפילת העמוד פעמים
המשל בזה משלש אב"ג נרוחת הזויות וזוית אג"ב ממנו היא הנרוחת אומר שמרובע א"ב שהוא מיתר הזוית הנרוחת עודף על מרובע צלע א"ג וג"ב בכפל בג"ד פעמים
ודרך הוצאת העמוד הזה במשלש הזה כך נשים הזוית הנרוחת אשר עליה ג' וצלע ג"א ד' אמות וצלע ב"ג י"ג אמה וצלע א"ב שהוא מיתר הזוית ט"ו אמה ומרובע ט"ו מוסיף על מרובע י"ג ומרובע ד' אשר הם קפ"ה אמה מ' אמה ואם תחלק מחצית התוספת על אחת מהצלעות יצא לך מרחק העמוד חוצה מן הצלע ההוא עד"מ חלקנו מחצית המ' אשר הוא התוספת והם כ' על קו ג"א אשר הוא ד' אמות ויצא החלק ה' וידענו מזה שהעמוד נפל חוצה מן צלע ג"א ה' אמות והוא קו ג"ד והעמוד עליה עמוד א"ד ואם תחלק אותו על קו ב"ג אשר ארכו י"ג אמה יצא החלק האחד שבעים ואחד חלקים מי"ג והוא מרחק העמוד היוצא חוצה מן ג"ב והעמוד עליו

Chapter Four on the Measuring of the Various Non-Parallelogram Quadrilateral

הפרק הרביעי במדידת הנוטים למיניהם
הנוטה הוא תמונה בעלת ד' צלעות שאינה לא מרובע ולא נכחי הצלעות ארוך ולא מעויין ולא דומה למעויין והם מינים רבים אעפ"י שכלם נכללים בד‫'
יש מהם ג' ששתי צלעותיו המקבילות שוות והראש והתושבת בלתי שוות אבל הם נכחיות כזה
ויש מהם ששתי הצלעות שוות והראש והתושבת בלתי שוות ולא נכחיות כזה
ויש מהם ששתי הצלעות הדבקות מהם שוות האחת לחברתה כזה וכן השתי צלעות האחרות
ויש מהם חד הזוית כזה ויש מהם שאין צלע הא' שוה עם האחר כזה
ויש מהם נצב הזויות כזה
ויש מהם נצב הזוית האחת כזה
ויש מהם נרוח הזוית כזה
ויש מהם תמונות עקלקלות זולת אלו לכן ראוי לך שאתן דרך הצריכה לנו במדידתם
Height and area of an isosceles trapezium
I start with the non-parallelogram quadrilateral whose two sides are equal but not parallel, whose the top base and bottom base are not equal but are parallel. ואחל מהנוטה אשר שתי צלעותיו שוות ואינם נכוחיות והראש והתושבת בלתי שוות אבל [16]הם נכוחיות
  • We say that if ABGD is a non-parallelogram quadrilateral, AB is 8 cubits, DG is 18 cubits, both AD and BG are 13 cubits each, and you wish to find its area.
ונאמר אם היה נוטה אבג"ד וצלע א"ב ח' אמות וצלע ד"ג י"ח אמות ושני צלעי א"ד ב"ג כל אחד מי"ג אמה ותרצה למצוא תשברתו
Do as follows: תעשה כך
Subtract the top base from the bottom base, take half the remainder, then count that much from one vertex of the bottom base and mark a dot there. תגרע הראש מהתושבת ומהמותר תקח מחציתו ומנה כמה הוא מזוית התושבת האחת וסמן שם נקדה
Count also that much from the other vertex of the bottom base and mark a dot there. עוד מנה כמה הוא מזוית התושבת האחרת וסמן שם נקדה
Example: we subtract 8 from 18; 10 remains.
דמיון גרענו הח' מן הי"ח ונשארו י‫'
We take its half; it is 5.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(18-8\right)=\frac{1}{2}\sdot10=5}}
לקחנו מחציתם והם ה‫'
We count that much from vertex G and mark point Z there.
מנינו כן מזוית ג' וסמננו שם נקדת ז‫'
We count also that much from vertex D and mark point H there.
עוד מנינו כן מזוית ד' וסמננו שם נקדת ה‫'
We draw AH and BZ and so we know the heights of this shape.
הגענו א"ה וב"ז וידענו עמודי זאת התמונה
We wish to know the length of the heights:
רצינו לדעת ארך העמודים
We multiply the side, which is 13, by itself; it is 169.
וכפלנו הצלע שהם י"ג על עצמם והיו קס"ט
We subtract from it 25, which is the square of 5; 144 remains.
הוצאנו מהם כ"ה שהוא מרובע ה' נשארו קמ"ד
We extract its root; it is 12.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12}}
לקחנו גדרם והם י"ב
Hence, we know that the length of the height is 12.
וידענו שארך העמוד הם י"ב
We add the top base to the bottom base; it is 26.
חברנו הראש עם התושבת והם כ"ו
We take its half; it is 13.
ולקחנו מחציתם והם י"ג
We multiply it by the height, which is 12; it is 156 and this is the area of non-parallelogram quadrilateral.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+18\right)\right]\sdot12=\left(\frac{1}{2}\sdot26\right)\sdot12=13\sdot12=156}}
וכפלנום עם העמוד שהם י"ב והיו קנ"ו וזהו תשבורת הנוטה הזה
  • The proof of that:
המופת על זה
It is known that half the excess is on one side and its half is on the other side up to the heights that are [drawn] on them.
ידוע שמחצית העודף יהיה מהצד האחד ומחציתו מהצד האחר עד שיוציאו העמודים עליהם
  • Side AD is the hypotenuse of the right angle.
וצלע א"ד הוא מיתר הזוית הנצבת
Therefore its square is equal to the square of the height with [the square of] the base of \scriptstyle\triangle ADH
ולכן מרבעו שוה למרובע העמוד עם תושבת משלש אד"ה
  • The base of \scriptstyle\triangle ADH is 5.
ותושבת משלש אד"ה ה‫'
Its square is 25.
ומרבעו כ"ה
Subtract is from the square of the side, which is 169; 144 remains.
תגרעהו ממרובע הצלע אשר הוא קס"ט נשאר קמ"ד
Its root is 12 and this is the length of the height.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12}}
וגדרו י"ב והוא ארך העמוד
  • It is known that the area of \scriptstyle\triangle ADH is the product of the height by half DH.
וידוע שתשבורת משלש אד"ה הוא כפילת העמוד בחצי ד"ה
  • Also the area of \scriptstyle\triangle BZG is the product of the height by half ZG.
וכן תשבורת משלש בז"ג הוא כפילת העמוד בחצי ז"ג
So, the area of both these triangles is the product of the height by the whole DH.
אם כן תשבורת שני משולשים האלה הוא כפילת העמוד בכל תושבת ד"ה
But, the area of the rectangle ABHZ is the product of the height by the base HZ.
ותשבורת השטח הנצב הזויות והוא שטח אבה"ז הנה הוא כפילת העמוד בתושבת ה"ז
So, the product of DZ by the height is the area of trapezium ABGD.
אם כן כפילת ד"ז עם העמוד הוא תשבורת נוטה אבג"ד
  • This is also clarified by the proof of a different shape:
ויתבאר גם כן זה בצורה אחרת מהמופת
  • We have an isosceles trapezium; AB=GD, each is 13 cubits; AG is 6 cubits; BD is 16 cubits. We wish to know the area and the height.
והוא יש לנו נוטה אבג"ד שוה השוקים וצלע א"ב שוה לצלע ג"ד וכל אחת מהן בעלת י"ג אמות וצלע א"ג ו' אמות וצלע ב"ד י"ו אמות ונרצה למצוא התשבורת והעמוד
  • I draw line AH parallel to line GD.
אוציא קו נכחי א"ה לקו ג"ד
  • I draw height AZ to BD.
ואוציא עמוד א"ז על קו ב"ד
So surface AHGD is a rectangle.
אם כן שטח אהג"ד הוא נכחי הצלעות
Therefore
  • \scriptstyle AB=HD
וא"כ א"ב שוה לה"ד
  • \scriptstyle GD=AH
וג"ד לא"ה
Since BD is 16 cubits and HD is 6 cubits, the remaining BH is 10 cubits.
\scriptstyle{\color{blue}{BH=BD-HD=16-6=10}}
ולפי שב"ד י"ו אמו' וה"ד ו' אמו' א"כ ב"ה הנשארת תהיה י' אמות
Since \scriptstyle\triangle ABH is isosceles and each of its sides is known, height AZ is also known and it is 12 cubits, as previously known.
ולפי שמשלש אב"ה שוה השוקים וכל אחת מצלעותיו ידועה יהיה א"כ גם עמוד א"ז ידוע והוא י"ב אמות כאשר קדם ידיעתו
  • We halve AB and GD at points C and T.
ונחלק צלעי א"ב ג"ד באמצע על נקדת ח"ט
  • We draw heights KCL, MTN to line BD.
ונוציא עמוד כח"ל מט"נ על קו ב"ד
Therefore:
  • \scriptstyle\triangle AKC=\triangle BCL
אם כן משלש אכ"ח שוה למשלש בח"ל
  • \scriptstyle\triangle DMT=\triangle GNT
ומשלש דמ"ט שוה למשלש גנ"ט
So, if we add the shared hexagon ACLNTD, the area of rectangle KLMN is equal to the area of trapezium ABGD.
לכן אם נוסיף בשתוף בעל שש צלעות א"ח ל"נ ט"ד ישוה שטח כ"ל מ"נ הנכחי הצלעות לנוטה אבג"ד
And since:
  • AK=BL
ולפי שא"כ שוה לב"ל
  • DM=GN
וד"מ שוה לג"נ
AK, DM are equal to BL, NG
אם כן א"כ ד"מ שוים לב"ל נ"ג
When the shared AD, LN are added: \scriptstyle KM+LN=2\sdot KM=AD+BG
וכשיתוסף עליהם בשתוף א"ד ל"נ יהיו שני' כ"מ ל"נ שהם שני פעמים כ"מ שוה לשני [17]א"ד ב"ג
AD, BG are known, for they are 22 cubits.
ושני א"ד ב"ג ידועים כי הם כ"ב אמות
Therefore: \scriptstyle2\sdot KM=22
א"כ גם כ"מ פעמים כ"ב
Hence, KM is 11 cubits.
ויהיה כ"מ י"א אמות
But, KL is 12 cubits.
אבל גם כ"ל י"ב אמות
And trapezium ABGD is equal to rectangle KLMN
ונוטה אבג"ד שוה לשטח כ"ל מ"נ הנכחי בצלעות
Therefore, its area is 132 cubits as the area of the rectangle.
א"כ יהיה תשברתו קל"ב אמות כתשבורת הנכחי הצלעות
Height and area of an acute trapezium
  • If you wish to measure an acute trapezium, such as trapezium ABGD, whose angle B is acute, AB is 13 cubits, GD is 20 cubits, AD is 6 cubits, and BG is 27 cubits. You wish to find the area and the height.
ואם רצית למדוד נוטה חד הזוית כגון נוטה אבג"ד והזוית אשר אצל ב' חדה וצלע א"ב י"ג אמות וצלע ג"ד כ' אמות וצלע א"ד ו' אמות וצלע ב"ג כ"ז אמות ותרצה למצוא התשבורת והעמוד
Do as follows:
כך תעשה
Subtract 6 cubits from 27 cubits; 21 cubits remain.
תגרע הו' אמות מן הכ"ז אמות וישארו כ"א אמות
Since the sides of the acute triangle are known - 13, 21, 20 - the length of the height AZ is also known, which is 12 cubits, as we knew it previously.
ובהיות צלעות משלש החד הזויות ידועות והם י"ג וכ"א וכ' יודע גם ארך א"ז העמוד שהוא י"ב אמות כמו שידענו זה מקודם
Add 6 cubits to 27 cubits; its half is 16½.
ותחבר עם הו' אמות כ"ז אמות ויהיה מחציתו י"ו אמות וחצי
Multiply it by the height; it is 198 and this is the area of the trapezium.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(27+6\right)\right]\sdot12=\left(16+\frac{1}{2}\right)\sdot12=198}}
כפלם עם העמוד ויהיו קצ"ח והם תשבורת הנוטה
  • The proof of that:
והמופת על זה
I draw line AH parallel to line GD.
אוציא קו א"ה נכחי לקו ג"ד
I draw height AZ.
ואוציא א"ז עמוד
Since AH is 20 cubits and GH is 6 cubits, the remaining BH is 21 cubits.
ולפי שא"ה כ' אמות וג"ה ו' אמות אם כן ב"ה הנשאר כ"א אמות
Since line AZ, which is the height of the acute triangle ABH, is 12 cubits; lines AB and GD are halved at points C and T; BDL is the height from TN also, as we have shown concerning the shape that precedes this one; it is clear that trapezium ABGD is equal to the rectangle KLMN.
ולפי שקו א"ז העמוד במשלש אב"ה החד הזויות הוא י"ב אמות וצלעי א"ב ג"ד נחלקים באמצע על נקדת ח' וט' ובח"ל הוא העמוד גם מט"נ כמו שהראנו בצורה הזאת הקודמת לזה יראה שנוטה אבג"ד שוה לשטח כ"ל מ"נ נכחי הצלעות
\scriptstyle BG+AD=2\sdot KM
וקוי ב"ג א"ד ביחד הם כפל כ"מ
\scriptstyle KM=16+\frac{1}{2} cubits.
וכ"מ הוא י"ו אמות וחצי
\scriptstyle KL=12 cubits, because so is line AZ.
וכ"ל הוא י"ב אמות כי כן הוא קו א"ז
Therefore the area of this trapezium is 198 cubits.
א"כ תשבורת הנוטה הזה הוא קצ"ח אמות
Height and area of an obtuse trapezium
  • If you wish to measure an obtuse trapezium, such as trapezium ABGD, whose angle B is obtuse, AB is 13 cubits, GD is 20 cubits, AG is 6 cubits, and BD is 17 cubits.
אם רצית למדוד נוטה נרוח הזויות כמו נוטה אבג"ד והזוית אשר אצל ב' נרוחת והיה צלע א"ב י"ג אמות וצלע ג"ד כ' אמות וצלע א"ג ו' אמות וצלע ב"ד י"ז אמות
Like this:
כזה
Subtract 6 cubits from 17 cubits; 11 cubits remain.
תגרע הו' אמות מהי"ז אמות וישארו י"א אמות
Since the sides of the obtuse triangle are known - 13, 17, 20 - the height is also found, which is 12.
ובהיות צלעי המשלש נרוח הזוית ידועות י"ג וי"ז וכ' ימצא גם העמוד שהוא י"ב
Add 17 to 6; it is 23.
תחבר הי"ז עם הו' הם כ"ג
Its half is 11½.
ומחצית זה הם י"א וחצי
Multiply it by 12; it is 138 and this is the area of this trapezium.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(17+6\right)\right]\sdot12=\left(\frac{1}{2}\sdot23\right)\sdot12=\left(11+\frac{1}{2}\right)\sdot12=138}}
תכפלם על י"ב יהיו קל"ח והוא תשבורת הנוטה הזה
  • The proof of this measuring:
והמופת על זאת המדידה
  • I draw height AH.
אוציא עמוד א"ה
  • I draw line AZ parallel to line GD.
ואוציא קו א"ז נכחי לקו ג"ד
Therefore:
  • AZ is 20 cubits.
יהיה א"כ קו א"ז כ' אמות
  • ZD is 6 cubits.
וקו ז"ד ו' אמות
  • So, the remaining BZ is 11 cubits.
ואם כן קו ב"ז הנשאר יהיה י"א אמות
Since \scriptstyle\triangle ABZ is obtuse, line AH is 12 cubits.
ולכן לפי שמשלש אב"ז הוא נרוח הזוית יהיה קו א"ה י"ב אמות
As explained above, \scriptstyle\left(BD+AG\right)\sdot AH is double the trapezium ABGD.
וכן לפי מה שהתבאר למעלה השטח אשר יהיה מב"ד א"ג ביחד ומא"ה הוא כפל נוטה אבג"ד
Hence, the area of this trapezium is 138 cubits.
אם כן תשבורת הנוטה הזה הוא קל"ח אמות
Height and area of a scalene non-parallelogram quadrilateral
  • If you wish to measure a non-parallelogram quadrilateral, such that none of its sides are parallel, angle G is right, and each of its sides is known: AB is 13 cubits, BG is 10 cubits, GD is 20 cubits, and DA is 17 cubits.
ואם רצית למדוד נוטה אבג"ד ולא יהיה צלע מצלעותיה נכוחי והזוית אשר אצל ג' נצבת ויהיה כל צלע מצלעותיה ידוע אם צלע א"ב י"ג אמות ואם ב"ג י' אמות ואם ג"ד כ' אמות [18]ואם ד"א י"ז אמות כזה
Do as follows:
תעשה כך
Multiply the 10 cubits by the 20 cubits; it is 200.
תכפול הי' אמות על הכ' אמות ויהיו ר‫'
Take its half; it is 100.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(10\sdot20\right)=\frac{1}{2}\sdot200=100}}
וקח מחציתם והוא ק‫'
Multiply the 10 by itself; it is 100.
ועוד תכפול הי' על עצמם ויהיו ק‫'
And the 20 by itself; it is 400.
והכ' על עצמם ויהיו ת‫'
Sum them; it is 500.
וחברם ויהיו ת"ק
The 13 by itself; it is 169.
והי"ג על עצמם ויהיו קס"ט
Add it to 500; it is 669.
חברם עם הת"ק ויהיו תרס"ט
Subtract from it the square of 17; 380 remains.
גרע מהם מרובע י"ז וישארו ש"פ
Take its half; it is 190.
קח חציים והוא ק"צ
Multiply it by itself; it is 36100.
כפלם על עצמם ויהיו ל"ו אלפי' וק‫'
Divide it by 500; the quotient is 72⅕.
חלקם על ת'[ק'] ויהיה החלק ע"ב וחמישית
Subtract it from 169; 96+½+⅕+⅒ remains.
תגרעם מן קס"ט ישארו צ"ו וחצי וחמישית ועשירית
Multiply it by 500; it is 48400.
כפלם על ת"ק ויהיו מ"ח אלף ות‫'
Extract its root; it is 22[0].
קח גדרם ויהיו רכ"א
Take its half; it is 110 and this is the area of \scriptstyle\triangle ABD.
וקח מחציתם ויהיה ק"י והוא תשבורת משלש אב"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[13^2-\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(10^2+20^2+13^2\right)-17^2\right]\right]^2}{10^2+20^2}\right]\sdot\left(10^2+20^2\right)}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[169-\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(100+400+169\right)-17^2\right]\right]^2}{100+400}\right]\sdot\left(100+400\right)}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[169-\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(500+169\right)-17^2\right]\right]^2}{500}\right]\sdot500}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[169-\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(669-17^2\right)\right]^2}{500}\right]\sdot500}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[169-\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot380\right)^2}{500}\right]\sdot500}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left(169-\frac{190^2}{500}\right)\sdot500}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left(169-\frac{36100}{500}\right)\sdot500}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[169-\left(72+\frac{1}{5}\right)\right]\sdot500}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left(96+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}\right)\sdot500}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{48400}=\frac{1}{2}\sdot220=110\end{align}}}
אבל גם תשבורת משולש בג"ד ק' אמות אם כן תשבורת נוטה אבג"ד ר"י אמות
  • The proof of this measuring:
המופת על המדידה הזאת
נגיע קו ב"ד
ואעמיד עליה עמוד קו א"ה
ולפי שכל אחד מצלעי ב"ג ג"ד הם ידועות וזוית שאצל ג' נצבת אם כן משלש בג"ד יהיה ידוע
ויהיה גם מרובע ב"ד ידוע והוא ת"ק אמות
אבל גם מרובע א"ב ידוע
א"כ מרובעי א"ב ב"ד ידועים והם יותר ממרובע א"ד
אם כן זוית אב"ד תהיה חדה
ואם כן מרובעי א"ב ב"ד גדולים ממרובע א"ד בכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א' ב"ה פעם אחת ידוע והוא גדר מרובע ב"ד על מרובע ב"ה
אם כן גם מרובע ד"ב על מרובע ב"ה ידוע
ומרובע ב"ד ידוע
א"כ גם מרובע ב"ה ידוע
אבל גם מרובע ה"א על מרובע ב"ד וגדרו הוא השטח אשר יקיפו ב"ד א"ה
א"כ גם השטח אשר יקיפו בו ב"ד ד"ה ידוע והוא כפל משלש אב"ד
אם כן גם משלש אב"ד ידוע
אבל גם משלש בג"ד ידוע
ולכן כל בעלת ד' צלעות אבג"ד ידועה
והיות גם העמוד היוצא מנקדת א' על קו ב"ד ידוע הנה אני מביא עליו המופת יהיה נוטה עליו אבג"ד וכל אחת מצלעותיו תהיה ידועה וזוית בג"ד נצבת
והיות העמוד היוצא מנקדת א' על קו ג"ד ידוע אוציא אם על קו ג"ד עמוד א"ז ועל קו א"ז עמוד ב"ח ועל קו ב"ד עמוד א"ה והוא מבואר כי קו ב"ד ידוע וא"ה העמוד אשר עליה לפי שגם ב"א א"ד הם ידועים ולפי שזוית גב"ד שוה לזוית בט"א אבל גם זוית בג"ד הנצבת שוה לזוית אה"ט הנצבת אם כן יחס א"ה אל ה"ט ויחס ג"ד אל ג"ב ידוע א"כ גם יחס א"ה אל ה"ט ידוע וא"ה ידוע אם כן גם ה"ט ידוע והם מקיפים בזוית נצבת אם כן גם א"ט ידוע ולפי שכל אחת מב"ה ה"ט ידוע אם כן גם השטח נצב הזויות ידוע אשר יקיפו בו בט"ה ויהיה שוה לשטח אשר יקיפו בו אט"ח והזוית אשר אצל כל אחת מה"ח נצבת אם כן גם ח"ט ידוע ולכן יהיה גם א"ח ידוע אבל גם ח"ז שוה לב"ג אם כן גם א"ז כולו יהיה ידוע ויהיה אופן המעשה כן
אם צלע א"ב יהיה י"ג אמו' ואם צלע ב"ג י' אמות ואם צלע ג"ד כ' אמות ואם צלע ד"א י"ז אמו' [19]ונרצה למצוא התשבורת הנז' ויהיה אם עמוד א"ה בכח צ"ו וחצי וחמש יתחלק א' מט"ו ואם ב"ה יהיה בכח ע"ב וחמש ואם ב"ד יהיה בכח ת"ק ולפי שאם צלע ג"ד היא כ' אמות ואם ג"ב היא עשר אמות א"כ מרובעם יהיה ת' אמות וק' אמות ועשה כך
ראה כיחס ת' אל הק' מה היחס אל צ"ו ורביעית וחמישית ותמצא שהוא אל כ"ד וחמישית
וכן מרבע ה"ט וכפל הע"ב על כ"ד וחמישית וקח גדר ההוה וכפלהו בשנים וההוה הוא ככפל השטח הנצב הזוית אשר יקיפו בו ב"ה ונוסיף מרובע ב"ה ב"ט כלומר מרובע ע"ב וחמישית וכ"ד וחמישית מחוברים ונדע כ"ט בכח שהוא ק"פ וחבר קצ"ו וחצי וחמישית ועשירית והכ"ד וחמישיתו ויעלה קכ"ד וכפל הק"ף על הכ"ד וחמישית יהיה בכח ד' אלפים שכ"ו וחלקם על הקכ"א יהיה ל"ו ונגרע מקכ"א בכח ל"ו בכח וישארו כ"ה בכח שהם ה' באורך ותוסיף כל שעור ב"ג והוא י' אמות וההוה ט"ו וזהו שעור העמוד ואם ה"ט בכח כ"ד וחמישית ואם ח"ט באורך ו' ואם באורך י"א
ואם תרצה למדוד נוטה אבג"ד אשר הזוית שאצל ג' נצבת ויהיה צלע א"ב י"ג אמות וצלע ב"ג י' אמות וצלע ג"ד ח' אמות וצלע א"ד כ"ה אמות כזה ותרצה למצוא תשברתו
תעשה כן
Multiply the 10 by itself; it is 100.
תכפול הי' על עצמם יעלו ק‫'
Multiply also the 8 by itself; it is 64.
גם הח' על עצמם יעלו ס"ד
Sum them; it is 164.
תחברם יעלו קס"ד
Multiply also the 13 by itself; it is 169.
גם תכפול הי"ג על עצמם יעלו קס"ט
Sum them; it is 333.
חברם עמם יעלו של"ג
Multiply also the 25 by itself; it is 625.
גם כפול הכ"ה על עצמם יעלו תרכ"ה
Subtract 333; 292 remains.
גרע של"ג ישארו רצ"ב
Take its half; it is 146.
קח חציים והם קמ"ו
Multiply it by itself; it is 21316.
כפלם על עצמם יעלו כ"א אלף שי"ו
Divide it by 164; the quotient is 129 and 160 parts of 164.
חלקם על קס"ד יהיה החלק קכ"ט וק"ס חלקים מקס"ד באחד
Subtract it from 169; 39 and 4 parts of 164 remain.
גרעם מן קס"ט ישארו ל"ט וד' חלקים מן קס"ד באחד
Multiply them by 164; it is 6400.
כפלם על קס"ד יעלו ו' אלפים ות‫'
Its root is 80.
וגדרו פ‫'
וחציים מ' ויהיה תשבורת משולש אב"ד מ' אמות
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[13^2-\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[25^2-\left(10^2+8^2+13^2\right)\right]\right]^2}{10^2+8^2}\right]\sdot\left(10^2+8^2\right)}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[169-\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[625-\left(100+64+169\right)\right]\right]^2}{100+64}\right]\sdot\left(100+64\right)}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[169-\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[625-\left(164+169\right)\right]\right]^2}{164}\right]\sdot164}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[169-\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(625-333\right)\right]^2}{164}\right]\sdot164}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[169-\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot292\right)^2}{164}\right]\sdot164}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left(169-\frac{146^2}{164}\right)\sdot164}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left(169-\frac{21316}{164}\right)\sdot164}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[169-\left(129+\frac{160}{164}\right)\right]\sdot164}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left(39+\frac{4}{164}\right)\sdot164}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{6400}=\frac{1}{2}\sdot80=40\end{align}}}
אבל גם תשבורת משולש בג"ד כן מ' אמות אם כן תשבורת כל נוטה אבג"ד פ' אמות
  • The proof of this measuring:
והמופת על המדידה הזאת
נגיע ב"ד
ויהיה תשבורת משולש בג"ד ידוע
ומרובע ב"ד יהיה קס"ד אמות
אבל גם מרובע א"ב קס"ט אמות
א"כ מרובע א"ב ב"ד ככפל השטח הנצב הזויות שהם של"ג אמות והם פחותים ממרובע א"ד
אם כן זוית אב"ד נרוחת
ואוציא עמוד א"ה על ד"ב בהוציאי אותו עד ה'
א"כ מרובע א"ד יותר גדול ממרובעי א"ב ב"ד ככפל השטח הנצב הזויו' אשר יקיפו בו קוי ב"ה ידוע
לכן גם השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו ב"ד ב"ה יהיה ידוע
ויהיה גדר מרובע ב"ד על ב"ה א"כ מרובע ב"ד על מרובע ב"ה ידוע
אבל גם מרובע ב"ד גם מרובע ה"ב הנשאר ידוע
והזוית אשר אצל ה' נצבת
א"כ גם מרובע א"ה ידוע
לכן גם מרובע א"ה על מרובע ב"ד ידוע
ויהיה גדרו השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ה ב"ד
אם כן גם שטח הנצב הזוית אשר יקיפו בו א"ה ב"ד ידוע
וחציו הוא משלש אב"ד שהוא מ' אמות כמו שזכרנו
[20]אם כן גם משלש אב"ד ידוע לכך גם כל בעל ד' צלעות אבג"ד יהיה ידוע

Chapter Five on Knowing the Round Shapes

הפרק החמישי בידיעת התמונות העגולות
דע שהעגולה היא קו אחד בתוכה נקדה שכל הקוי' היוצאים ממנה אל המקיף שוים
והנה בזה השער יכנסו מדידת העגולה השלימה אשר גדרנוה ומדידת חתיכות העגולה וחתיכות העגולה ג' מינים
  • The first is a semicircle.
הא' הוא חצי העגולה
  • The second is greater than a semicircle.
השני יותר מחציה
  • The third is less than a semicircle.
השלישי פחות מחציה
ונחל במדידת העגולה השלימה אחר נדבר במדידת חתיכותיה
We say that the area of the circle is [obtained] by that you multiply half of its diameter by half of its perimeter. ונאמר כי תשבורת העגולה היא בשתכה את מחצית קטרה במחצית הקו המקיף אותה
The ratio of its perimeter, i.e. the line surrounding the circle, to its diameter is as the ratio of 22 to 7. והנה ערך הקו המקיף אותה ר"ל את העגולה מקטרה כערך כ"ב אל הז‫'
We find that the ratio of the perimeter is 3⅐ according to the opinion of the geometricians that are experts in this science. נמצא שהקו המקיף הוא בערך ג' ושביעית וזה לפי דעת חכמי המדות המדקדקים בחכמה הזאת
אמנם בטלמיוס עשה כל חשבונותיו בספר המג'יסטי על חשבון שיהיה הקטר שלישית הקו המקיף כי חלק את העגולה על ש"ס מעלות והקטר על ק"כ מעלות ואעפ"י שאין יחס בין הקטר שהוא קו ישר לקו המקיף שהוא קו עגול אבל היחס יפול במספר לא בשעור
  • If you wish to find the area of the circle from the perimeter alone:
ואם רצית למצוא תשבורת העגולה מהמקיף לבד
Take the square of the perimeter by multiplying it by itself, multiply the product by 7, then take one part of 88 from the result and it is the area of the circle.
תקח מרובע הקו המקיף וזה בשתכה אותו על עצמו וההוה תכה אותם על ז' וההוה קח מהם חלק א' מפ"ח והוא תשבורת העגולה
  • Example: we multiply 22 by itself; it is 484.
המשל בזה הכינו כ"ב על עצמם והם תפ"ד
We multiply it 7 times; it it is 3388.
כפלנום ז' פעמים והם ג' אלפים ושפ"ח
We take from it one part of 88; it is 38½ and this is the area of the circle.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(22^2\sdot7\right)\sdot\frac{1}{88}=\left(484\sdot7\right)\sdot\frac{1}{88}=3388\sdot\frac{1}{88}=38+\frac{1}{2}}}
לקחנו מהם חלק מפ"ח והם ל"ח וחצי והוא תשבורת העגולה
  • Another example: if you wish to find the area of the circle from the perimeter alone:
דמיון אחר אם רצית למצוא תשבורת העגולה מהמקיף לבד
Add to the perimeter its half and its quarter and the result is the area of the circle.
תוסיף על המקיף חציו ורביעיתו וההוה הוא תשבורת העגולה
  • Example: we add to the perimeter, which is 22 cubits, its half and its quarter that are 16½; the result is 38½ and this is the area of the circle.
\scriptstyle{\color{blue}{22+\left(\frac{1}{2}\sdot22\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot22\right)=22+\left(16+\frac{1}{2}\right)=38+\frac{1}{2}}}
המשל בזה הוספנו על הקו המקיף שהוא כ"ב אמות חציו ורביעיתו שהם י"ו אמות וחצי ההוה ל"ח וחצי והם תשבורת העגולה
ואם רצית תשבורת העגולה מהקטר לבד מבלתי שתביט אל הקו המקיף כפול מרובע הקטר על י"א וחלק העולה על י"ד והעולה הוא תשבורת העגולה וזה על חשבון חכמי המדות
ובטלמיוס אמר במקום אחר כי ערך הקו המקיף אל כל האלכסון והוא ג' וח' חלקי' מששים באחד
ואין הפרש בין זה החשבון ובין חשבון חכמי המדות רק דבר מועט שאינו מזיק בחשבון לכן סמכנו את חשבוננו על דעת חכמי המדות
עוד אם רצית למצוא תשבורת העגולה מהקטר לבד תקח הקטר וכפלהו על הקו המקיף וקח מההוה רביעיתו והוא תשבורת העגולה
המשל בזה הקטר ז' והקו המקיף כ"ב כפלנו זה על זה וההוה קנ"ד ורביעיתו ל"ח וחצי והוא תשבורת העגולה
הנה כבר בארנו דרך תשבורת מדידת העגולה
[21]ומעתה נחל לבאר דרך מדידת חתיכותיה ונאמר כי מקצת העגולה היא מקפת מן קצת הקו המקיף את העגולה ומקו ישר יקרא המיתר והוא המשוך מקצה הקו המקיף אותה עד קצהו האחר
וכאשר יצא ממחצית המיתר קו על זוית נצבת אל המקיף יקרא החץ
ועיין אל כל חתיכה ואם החצי יהיה כמחצית המיתר דע שהחתיכה היא חצי עגולה
ואם יהיה קצר ממחצית היתר דע שהחתיכה היא פחותה מחצי העגולה
ואם הוא יותר ארוך ממחצית היתר החתיכה היא גדולה ממחצית העגולה
וכאשר היתה החתיכה חצי עגולה ורצית לדעת תשברתה תכפול חצי היתר שהוא אלכסון החצי עם חצי הקו המקיף אותה וההוה הוא תשבורת מחצית העגולה כי מחצית הקו המקיף העגולה שהיא החתיכה הוא רביע הקו המקיף כל העגולה השלימה
וכאשר הכית מחצית הקטר ברביע העגולה תמצא תשבורת כל העגולה
וכאשר תכה מחצית הקטר ברביע העגולה תמצא תשבורת חצי העגולה
כי כל חשבון שתכה חציו בכולו יהיה ההוה מחצית הכאת כלו
ואם תכה חציו בחציו ההוה רביע הכאת כלו בכולו
המשל בזה עגולה שלימה אשר הקו המקיף אותה כ"ב אמות ידענו שקטרה ז' אמות רצינו למצוא תשברתה
הכינו מחצית הקטר שהוא ג' וחצי על מחצית הקו המקיף שהוא י"א אמות וההוה ל"ח וחצי ידענו מזה שתשבורת העגולה ל"ח וחצי אמות
רצינו לדעת תשבורת מחצית העגולה הזאת לקחנו מחצית הקו המקיף אותה שהוא ה' וחצי והכינו אותם עם מחצית הקטר שהוא ג' וחצי וההוה י"ט ורביע והוא תשבורת חצי העגולה
  • Example: a semicircle whose diameter is 14 cubits and the versine is 7 cubits.
המשל בזה חצי עגולה שיהיה קטרה י"ד אמות והחץ ז' אמות
Take the square of the diameter, which is 196, multiply it by 11; the result is 2156.
תקח מרובע הקטר והוא קצ"ו אמות ותכפלהו בי"א ההוה ב' אלפים קנ"ו
Take one part of 28, which is 77 cubits, and this is the area of the semicircle.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{28}\sdot\left(14^2\sdot11\right)=\frac{1}{28}\sdot\left(196\sdot11\right)=\frac{1}{28}\sdot2156=77}}
קח החלק האחד מכ"ח שהם ע"ז אמות והם תשבורת חצי העגולה
  • If you wish to find its area using the versine, do as follows:
ואם רצית למצוא את תשבורתה מהחץ תעשה כך
Take the square of the versine, multiply it by 11, then take its seventh and this is the area of the semicircle.
תקח מרובע החץ ותכפלהו על י"א ותקח שביעיתו והוא תשבורת חצי העגולה
  • Example: take the square of the versine, which is 7 and its square is 49, multiply it by 11; the result is 539 and its seventh is 77 and this is the area of the semicircle.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left(7^2\sdot11\right)=\frac{1}{7}\sdot\left(49\sdot11\right)=\frac{1}{7}\sdot539=77}}
המשל בזה קח מרובע החץ שהוא ז' ומרובעו מ"ט כפלהו על י"א ההוה תקל"ט ושביעיתו ע"ז והוא תשבורת חצי העגולה
  • Another semicircle, whose diameter is 7 cubits, its versine is half the diameter, which is 3½, and the perimeter is 11 cubits. You wish to know its area.
עוד חצי עגולה אשר קטרה ז' אמות וחצה חצי הקטר שהוא ג' וחצי והקו המקיף י"א אמות ותרצה לדעת תשברתה
Do as follows:
תעשה כך
Multiply the 7 cubits of the diameter by the 11 cubits of the perimeter; the result is 77 cubits; take its quarter, which is 19¼ cubits and this is the area of the semicircle.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(7\sdot11\right)==\frac{1}{4}\sdot77=19+\frac{1}{4}}}
תכפול הז' אמות של הקטר עם הי"א אמות של הקו המקיף וההוה ע"ז אמות קח רביעיתם והם י"ט אמות ורביע והם תשבורת חצי העגולה
  • In another way, do as follows:
ובאופן אחר תעשה כך
Take the square of the diameter, which is 7 cubits and its square is 49, multiply it by 11; the result is 539.
תקח מרובע הקטר שהוא ז' אמות ומרובעו מ"ט כפלם על י"א וההוה תקל"ט
Take one part of 28; its is 19¼ cubits and this is the area.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{28}\sdot\left(7^2\sdot11\right)=\frac{1}{28}\sdot\left(49\sdot11\right)=\frac{1}{28}\sdot539=19+\frac{1}{4}}}
קח חלק א' מכ"ח והוא י"ט אמות ורביע וזהו התשבורת
[22]רצינו למצוא תשבורת חתיכת עגולה פחות מחציה ובזה הוא הכרח למצוא קטר כל העגולה אשר זאת החתיכה ממנה וככה נעשה
כבר התבאר בספר היסודות לאקלידס כי כל עגולה יפלו בה שני מיתרים ויחתכו זה את זה יהיה חלק המיתר בחברו האחר ככפל חלק המיתר השני בחברו
וכאשר רצינו למצוא אלכסון העגולה אשר זו החתיכה נחצבת ממנו נעבירהו חותך המיתר על זויות נצבות ויחתכהו באמצע כפי מה שהתבאר בספר היסודות לאקלידס
ונכפול חצי המיתר על מחציתו וההוה ממנו ראוי שיהיה כמו ההוה מחץ החתיכה הזאת על שארית האלכסון
וכאשר ידענו כמות אורך החץ נכפלהו על מספר שיהיה ההוה מכפלו כמו ההוה ממחצי' המיתר על מחציתו והמספר אשר כפלנו אותו עליו יחד עם החץ יהיה שעור אלכסון
המשל בזה יהיה חתיכת עגולה פחות מחציה חתיכת א"ב ויהיה מיתרה ח' אמות וחצה ב' אמות והוא ג"ד חותך על זויות נצבות את המיתר
ובהכרח שיחתוך אותו אל חצאים וכשנוציאנו עד מקיף העגולה כאשר נשלים אותה יעבור על מרכז העגולה
והנה חתך המיתר על ד' ד' אם כן כשנעריך חצי המיתר על חציו ההוה י"ו וכבר הנחנו החץ ב' נעריך אותו על מספר שיהיה ההוה י"ו ואין מספר כזה זולתי הח' וידענו שהחסר מן החץ עד תשלום האלכסון הם ח' חברנום עם החץ ביחד והיו י' והוא אורך כל האלכסון ונעשה חצו בה ונשלים העגולה ונאמר שנוציא שני קוים מנקדת ח' שהוא חצי האלכסון ומרכז העגולה אל נקדת א' ונקדת ב' ונכה מחצית הקטר שהוא ח"ג במחצית הקשת המקיף את החתיכה והוא קשת א"ג וההוה הוא תשבורת המשולש אשר שתי צלעותיו ח"א ח"ב ותושבתו קשת אב"ג
אחר כך נכה מחצית המיתר בעמוד המשולש הוא קו א"ד וההוה הוא תשבורת המשולש ישר הקוים
נגרע התשבורת מתשבורת המשולש אשר תושבותיו קשת אב"ג ואשר ישאר הוא תשבורת החתיכה הדרושה
וכאשר רצינו לדעת זאת המדידה באופן אחר מבלתי שנצטרך להוציא כל אלכסון העגולה נחבר המיתר והחץ ונקח חציים ונכה אותם עם החץ גם נכה חצי המיתר על עצמו ונקח מהכאת חצי המיתר על עצמו חלק א' מן ארבעה עשר ונוסיף אותם על הכאת חצי המיתר והחצי עם החץ והוא התשבורת
כגון מיתר י"ב עם חץ ד' שהם י"ו וחציים ח' נכה בד' הם ל"ב וחצי המיתר על עצמו הם ל"ו חלקו מי"ד ב' אמות וחצי וחלק מי"ד נוסיפם [23]על הל"ב אמות יהיה תשבורת החתיכה ל"ד אמות וחצי וחלק א' מי"ד
נרצה למצוא תשבורת חתיכת העגולה אשר היא גדולה מחציה
והחתיכה הזאת היא קשת אב"ג עם מיתר א"ג
ותוכל לדעת התשבורת כשתמצא קטר העגולה אשר זאת החתיכה היא חתיכה ממנה ותהיה כופל חצי הקטר בחצי הקשת ותהיה מוסיף עליו תשבורת המשולש אשר תושבתו המיתר וראשו מרכז העגולה וההוה הוא תשבורת החתיכה
ונעמוד על ידיעת האלכסון כן נקח מרובע חצי המיתר ונחלקהו על החץ ונוסיף העולה על החץ וההוה הוא אלכסון העגולה אשר זאת החתיכה נחתכה ממנה
המשל בזה יהיה חתיכת העגולה קשת אב"ג והמיתר א"ג וארכו י"ב אמות והחץ ב"ד וארכו ח' אמות
לקחנו מרובע חצי היתר שהוא ל"ו וחלקנוהו על החץ שהוא ח' ועלה החלק ד' אמות וחצי הוספנום על החץ והם י"ב אמות וחצי וידענו שהאלכסון הוא י"ב אמות וחצי
רצינו למצוא את התשבורת ולקחנו חצי הקטר שהוא ו' אמות ורביע וכפלנו אותו על חצי הקשת וההוה שמרנוהו
אחר כך מצאנו תשבורת המשולש שתשברתו א"ג ועמודו ה"ד ושתי צלעותיו הם א"ה ג"ה ומצאנוהו כן ידענו שאורך כל א' מצלעותיו השתים הוא כארך חצי הקטר ולכן יהיה מרובע הצלע כמרובע העמוד ומרובע מחצי' המיתר כי הוא תושבת לזוית הנצבת ואחרי שמרובע מחצית המיתר ל"ו נגרעהו ממרובע הצלע שהוא ל"ט אמות וחלק א' מי"ו נשארו ג' אמות וחלק א' מי"ו והם מרובע ארך העמוד
כפלנו העמוד עם מחצי' התושבת שהם ו' אמות וההוה הם י"ח אמות ושלישית וחלק מל' גם אחד מק"כ והוא תשבורת משלש אה"ג
הוספנו על השמור וההוה הוא תשבורת החתיכה הנזכרת
ואם רצינו למצוא התשבורת הזאת מבלי שנצטרך להוציא האלכסון נעשה כך
נכה המיתר עם החץ וההוה נכה אותו עם י"א ומן ההוה נקח חלק א' מי"ד והוא תשבורת החתיכה הזאת
המשל בזה חתיכת עגולה גדולה מחציה היא קשת אב"ג ומיתרה א"ג וארכו כ"ד אמות והחץ י"ו אמות
הכינו החץ עם המיתר ההוה שפ"ד אמות הכינו שפ"ד עם י"א ההוה ד' אלפים ורכ"ד לקחנו מהם חלק א' מהי"ד וההוה ש"א אמות וחצי ושביעית וחלק מי"ד והוא תשבורת החתיכה הנזכרת
אמר מרדכי בעבור שאלה המדידות אנו צריכים למצוא כמות הקשת המקפת בחתיכו' העגולה וזה מתבאר בלוחות המיתרים והקשתות כי בידיעת המיתר נדע הקשת גם בידיעת הקשת נדע המיתר כמו שביאר זה בטלמיוס במאמר א' מספר האלמג'יסטי [24]מאג'יסטי ואין מדרך חבורנו זה לכתוב בו לוחות ראיתי להמציא לך דרך לדעת הקשתות מבלי שתצטרך אל הלוחות ההם
ואומר אם חתכת העגולה תהיה פחות מחציה ותרצה לדעת כמות הקשת המקיף אותה תעשה כך לעולם
תחבר המיתר על החץ ותגרע מהם רביעיתם וקח מהנשארים רביעיתם והוסף עליהם וההוה הוא כמות הקשת המקיף את החתיכה
המשל בזה תהיה חתיכת עגולה פחות מחציה חתיכת א"ב ומיתרה מ' אמות וחצה י' אמות חברנו המיתר עם החץ ההוה נ' אמות גרענו אלו י"ב אמות וחצי שהם רביעיתם נשארו ל"ז אמות וחצי לקחנו ט' אמות ורביע ושמינית שהם רביע הל"ז אמות וחצי אשר נשארו והוספנו אותם עליהם ההוה מ"ו אמות וג' רביעיות ושמינית והוא כמות הקו המקיף את החתיכה אמנם גרענו רביע והוספנו רביע בעבור שהחץ הוא רביעית חלק מהמיתר
ואחר שבארנו מעתה אתה יכול למדוד כל הצורות שיש להם צלע עקום
כגון משלש אב"ג אשר שתי צלעותיו ישרים ותושבתה קשת עגול והוא קשת ב"ג
שתמדוד המשלש בפני עצמו וזה בשתמשוך קו ישר מב' עד ג' ותוציא העמוד על קו ב"ג ותכהו במחצית התושבת כמו במדידת המשלשים
עוד נמצא את הקשת הזה במצאינו עגולה מאיזו נחצבה כמו שבארנו במדידת החתיכות שהם פחותות מחצי עגולה או עודפות על חצי עגולה ונמצא תשבורתה ונחבר אותה עם תשבורת המשולש והמחובר הוא תשבורת התמונה הזאת
גם ככה נעשה בהיות שתי הצלעות עקומו' כזה והאחרת קו ישר
כגון תמונת אב"ג שנמשך שני קוים ישרים מנקודת א' וב' אל נקדת ג‫'
ונעשה משלש ישר הקוים ונמדוד אותו כמשפט
עוד נמדוד שני העקומות כל אחת בהיותה חתיכת עגולה כי שתי צלעות המשולש הם מיתרים לשתי החתיכות הנזכרות ונחבר שלשת המדידות כלומר מדידת המשולש ומדידת כל אחת משתי החתיכות וההוה הוא תשבורת תמונה הזאת
גם ככה אם היו שתי צלעותיה עקומות ובם תשלם התמונה
כמו תמונת אב"ג שנוציא קו ישר מנקדת ב' אל נקדת ד' ויהיה מיתר לשתי חתיכות של העגולה לחתיכת בא"ד ולחתיכת בג"ד
ונמדוד כל חתיכה בפני עצמה ונחבר שתי המדידות והם יהיו תשבורת התמונה

Chapter Six on the Measuring of Regular Polygons

הפרק הששי במדידת התמונות רבות הזויות
דע שכל תמונה ישרת הקוים תחלק אל משלשים ואפי' המשולש עצמו כמו שהתבאר בספרי הקדמונים שהמשולש הוא שרש ויסוד לכל התמונות ישרות הקוים [25]כי מהם התהוו ואליהם יותכו וכבר ידעת מדידת המשולשים למיניהם
וכאשר תרצה למדוד תמונה רבת הזויות תוציא קו ישר מכל זוית מזויותיו אל מרכז התמונה ואז תחלק למשלשי' בכמות הזויות
וכאשר תמדוד כל המשלשים ותקבץ מנינם המקובץ הוא תשבורת התמונה ההיא
ואם צלעות המשולש שוים כלומר תושבותיהם גם השוקים שלהם וזה כשתעגל ממרכז התמונה ובמרחק זוית מזויותיה עגולה ותמשש כל הזויות אז תמדוד המשלש הא' לבד ותמצא תשברתו
אח"כ תכה את התשבורת הנזכרת במנין הזויות וההוה הוא תשבורת התמונה וזהו הכלל הנתון במדידת התמונות רבות הזויות
אמנם כדי להקל על המחשב נתנו החכמים דרכים במדידתם ולכן נכתבם פה
ונחל ממדידת תמונה בעלת ה' צלעות ובעלת ה' זויות כי המשלשים גם המרובעים כבר זכרנום
ואלה התמונות אשר נזכיר הם שתמשש העגולה זויותיהם ותהיינה שוה הצלעות והזויות ונאמר
  • If you wish to measure a pentagon
אם רצית למדוד תמונה בעלת חמש זויות
Do as follows:
תעשה ככה
Multiply the side by itself, then multiply the product 5 times and take its third and this is the area of the mentioned shape.
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו ה' פעמים וקח שלישיתו והוא תשבורת התמונה הנזכרת
  • Example: we have a pentagon ABGDH, each of its sides is 10 cubits.
המשל יש לנו תמונת אבגד"ה בעלת ה' זויות וכל צלע מצלעותיה י' אמות
We multiply 10 by itself; the result is 100.
כפלנו הי' על עצמו וההוה ק‫'
We multiply it by 5; the result is 500.
כפלנו זה על ה' וההוה ת"ק
We take its third; it is 166⅔ cubits and this is the area of the shape.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(10^2\sdot5\right)=\frac{1}{3}\sdot\left(100\sdot5\right)=\frac{1}{3}\sdot500=166+\frac{2}{3}}}
לקחנו שלישיתם והם קס"ו אמות וב' שלישי אמה והם תשבורת התמונה
ואם תרצה למצוא גם קטר העגולה הממששת התמונה תכפול הצלע שהם עשרה אמות על י"ז ההוה ק"ע חלקם על י' וההוה י"ז והם קטר העגולה
  • If you wish to measure a hexagon
ואם רצית למדוד תמונת בעלת שש צלעות ושש זויות
Do as follows:
תעשה כך
Multiply the side by itself, then multiply the product by 6 and take a third and a tenth of it and this is the area of the shape.
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על ו' ותקח מהם השלישית והעשירית והם תשבורת התמונה
  • Example: we have a [hexagon] ABGDHW, each of its sides is 30 cubits and the diameter is 60 cubits.
המשל יש לנו תמונת אבגדה"ו וכל צלעותיה ל' אמות והקטר ס' אמות
We multiply 30 by itself; the result is 900.
כפלנו הל' על עצמו וההוה תת"ק
We multiply it by 6; the result is 5400.
כפלנום על ו' ההוה ה' אלפים וארבע מאות
We take its third and its tenth; it is 2340 and this is the area of the shape.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{10}\right)\sdot\left(30^2\sdot6\right)=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{10}\right)\sdot\left(900\sdot6\right)=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{10}\right)\sdot5400=2340}}
לקחנו מהם השלישית והעשירית ההוה ב' אלפים ש"מ והוא תשבורת התמונה
  • If you wish to measure a heptagon
ואם רצית למדוד תמונה בעלת שבע זויות
Do as follows:
תעשה כך
Multiply the side by itself, then multiply the result by 43 and take one part of 12 of the product and the result is the area of the shape.
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפול אותו על מ"ג ומההוה קח חלק א' מי"ב וההוה הוא תשבורת התמונה
  • Example: we have a [heptagon] ABGDHWZ, each of its sides is 10 cubits.
המשל יש לנו תמונת אבגדהו"ז וכל צלע מצלעותיה י' אמות
We multiply 10 by itself, then multiply the result by 43; it is 4300.
כפול הי' על עצמם ההוה כפלם על מ"ג ההוה ד' אלפים ש‫'
Take one part of 12; the result is 358⅓ and this is the area of the shape.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}\sdot\left(10^2\sdot43\right)=\frac{1}{12}\sdot4300=358+\frac{1}{3}}}
קח חלק [26]אחד מי"ב וההוה שנ"ח ושליש והם תשבורת התמונה
  • If you wish to measure an octagon
ואם רצית למדוד תמונה בעלת שמנה זויות
Do as follows:
תעשה כך
Multiply the side by itself, then multiply the product by 29 and take its sixth and this is the area of the shape.
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על כ"ט וקח ששיתו והוא תשבורת התמונה
  • Example: we have an [octagon] ABGDHWZC, each of its sides is 10 cubits.
המשל יש לנו תמונת אבגדהוז"ח וכל צלע מצלעותיה י' אמות
We multiply 10 by itself; the result is 100.
כפלנו הי' על עצמם העולה ק‫'
We multiply the 100 by 29; the result is 2900.
כפלנו הק' על כ"ט ההוה ב' אלפים תת"ק
We take its sixth; the result is 483⅓ and this is the area of the shape.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot\left(10^2\sdot29\right)=\frac{1}{6}\sdot\left(100\sdot29\right)=\frac{1}{6}\sdot2900=483+\frac{1}{3}}}
לקחנו את ששיתו ההוה תפ"ג ושליש והוא תשבורת התמונה
  • If you wish to measure a nonagon
ואם רצית למדוד תמונה בעלת ט' צלעות וט' זויות
Do as follows:
תעשה כך
Multiply the side by itself, then multiply the product by 51 and take its eighth and this is the area of the shape.
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על נ"א וקח שמיניתם והוא תשבורת התמונה
המשל יש לנו תמונת אבגדהוזח"ט וכל צלע מצלעותיה י' אמות
We multiply 10 by itself; the result is 100.
כפלנו העשרה על עצמם ההוה ק‫'
We multiply it by 51; the result is 5100.
כפלנום על נ"א וההוה ה' אלפים ק‫'
We take its eighth; the result is 637½ and this is the area of the shape.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot\left(10^2\sdot51\right)=\frac{1}{8}\sdot\left(100\sdot51\right)=\frac{1}{8}\sdot5100=637+\frac{1}{2}}}
לקחנו שמיניתם והם תרל"ז אמות וחצי וככה תשבורת התמונה
  • If you wish to measure a decagon
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י' צלעות וי' זויות
Do as follows:
תעשה כך
Multiply the side by itself, then take the product and multiply it by 15 and take its half and this is the area of the shape.
תכפול הצלע על עצמו וההוה קח אותו וכפלהו על ט"ו וקח חצי ההוה והוא תשבורת התמונה
והמשל בזה יש לנו תמונת אבגדהוזחט"י וכל צלע מצלעותיה י' אמות
We multiply 10 by itself; it is 100.
כפלנו הי' על עצמם והיו ק‫'
We multiply it by 15; the result is 1500.
כפלנום על ט"ו ההוה אלף ת"ק
Its half is 750 and this is the area of the shape.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(10^2\sdot15\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(100\sdot15\right)=\frac{1}{2}\sdot1500=750}}
וחציים שבע מאות וחמשי' וככה תשבורת התמונה
ובפנים האחרים גם כן כפלנו הי' על עצמם וההוה ק' כפלנום על ל"ח וההוה ג' אלפים ות"ת לקחנו חמישיתו והם תש"ס והוא תשבורת התמונה וזה החשבון יותר מדוקדק
  • If you wish to measure a hendecagon
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י"א זויות
Do as follows:
עשה כך
Multiply the side by itself, then multiply the product by 66 and take from the result its seventh and this is the area of the shape.
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על ס"ו ומן ההוה קח שביעיתו והוא תשבורת התמונה
המשל יש לנו תמונת אבגדהוזחטי י"א וכל צלע מצלעותיה י' אמות
We multiply the side by itself; the result is 100.
כפלנו הצלע על עצמו ההוה ק‫'
We multiply it by 66; the result is 6600.
כפלנום על ס"ו והיו ו' אלפים ת"ר
We take its seventh; it is 943 and this is the area of the shape.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left(10^2\sdot66\right)=\frac{1}{7}\sdot\left(100\sdot66\right)=\frac{1}{7}\sdot6600\approx943}}
לקחנו שביעיתם והם תתקמ"ג וככה תשבורת התמונה
  • If you wish to measure a dodecagon
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י"ב זויות
Do as follows:
תעשה כך
Multiply the side by itself, then multiply the product by 45 and take from the result its quarter and this is the area of the shape.
תכפול הצלע על [27]עצמו וההוה כפלהו על מ"ה ומההוה קח רביעיתם וככה תשבורת התמונה
המשל יש לנו תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' י"א י"ב וכל צלע מצלעותיה י' אמות
We multiply the side by itself; it is 100.
כפלנו הצלע על עצמו היו ק‫'
We multiply it by 45; the result is 4500.
כפלנום על מ"ה וההוה ד' אלפים ת"ק
We take its quarter; it is 1125 and this is its area.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(10^2\sdot45\right)=\frac{1}{4}\sdot\left(100\sdot45\right)=\frac{1}{4}\sdot4500=1125}}
לקחנו רביעיתם והם אלף קכ"ה וככה תשברתם
ושאר התמונות רבות הזויות אשר אינן שוות הצלעות והזויות נמדדות במדידת המשולשים אשר עליהן תחלקנה
אמר מרדכי הנה הודעתיך מדידת התמונות רבות הזויות מן המחומש עד בעל י"ב זויות בקלות ובלי יגיעה
אמנם לא הבאתי המופת על כל תמונה ותמונה כדי שלא אבלבל התלמיד אבל הבאתי אופן המעשה וטרם שאביא המופת על כל תמונה ותמונה
ועתה אחל המופת מן המחומש כמו שהחלותי באופן המעשה
ואקים תחלה שני משולשים להיותם לעזר במה שנרצה לבאר
We say that \scriptstyle\triangle ABG is right-angled, each of its sides is 10 cubits.
ונאמר משולש אב"ג שוה הצלעות אשר כל אחת מצלעותיו י' אמות
I draw perpendicular AD on line GB.
אוציא עמוד א"ד על קו ג"ב
Since \scriptstyle BG=BA=2\sdot BD, then \scriptstyle AB^2=4\sdot BD^2
לפי שקו ב"ג כלו' קו ב"א הוא כפל ב"ד אם כן מרובע א"ב הוא ד' כפלי מרובע ב"ד
Therefore, \scriptstyle AD^2=3\sdot DB^2
ולכן מרובע א"ד הוא שלשה כפלי מרובע ד"ב
\scriptstyle GB^2=4\sdot DB^2
ומרובע ג"ב ד' כפלי מרובע ד"ב
Therefore, \scriptstyle BG^2=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot AD^2
א"כ מרובע ב"ג הוא חלק א' ושליש ממרובע א"ד
So, \scriptstyle BG^2:AD^2=4:3
אם כן יחס מרובע ב"ג אל מרובע א"ד כיחס ד' אל ג‫'
Always, \scriptstyle\left(BG^2\right)^2:\left(AD^2\sdot BG^2\right)=\left(BG^2\right)^2:\left(BG^2\sdot AD^2\right)=4:3=16:12
ולעולם על מרובע ב"ג כלו' שיכפל ב"ג על עצמו ומרובע א"ד על מרבע ב"ג אם כן כח מרובע ב"ג אצל מרובע ב"ג על מרובע א"ד יחסו כיחס ד' אל ג' שהוא כיחס י"ו אל י"ב
The square on BG by the square on AD is as the product of the rectangle on AD and BG by itself, meaning the two triangles by themselves.
\scriptstyle{\color{blue}{BG^2\sdot AD^2=\left(AD\sdot BG\right)^2}}
ומרובע ב"ג על מרובע א"ד הוא ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ד ב"ג על עצמו כלומר שני משולשים על עצמם כלומר שני משולשים על עצמם
So, the ratio of the square of the square on BG to the product of the two triangles by themselves is \scriptstyle16:12
אם כן כחו של מרובע ב"ג על כפל שני משלשים על עצמם יחסם כיחס י"ו אל י"ב
But, the product of the two triangles by themselves is 4 times the product of one triangle by itself.
וכפל שני משלשים על עצמם הוא ד' כפלי משלש א' על עצמו
Therefore, the ratio of the square of the square on BG to the product of one triangle by itself is \scriptstyle16:3
[אם כן כחו על מרבע ב"ג אצל כפל משלש אחד על עצמו יחסו כיחס י"ו אל ג']
Hence, the square of the square on BG is known, so the product of the triangle by itself is also known and therefore the triangle itself is known.
אם כן כחו של מרובע ב"ג ידוע [אם כן גם תשברת המשלש על עצמו ידוע] ולכן גם המשולש עצמו ידוע
The procedure is as follows:
ואופן המעשה כן
Multiply 10 by itself; the result is 100.
כפול הי' על עצמם יעלו ק‫'
Also 100 by itself; the result is 10000.
עוד הק' על עצמם יעלו רבבה אחת
We take a third and one part of 24 from its half; it is 1875.
קח מאלה שלישית מחציתם וחלק א' מכ"ד יהיה אלף תתע"ה
Extract its root, but since it does not have an expressible root, I extract its root approximately; so, its area is 43+⅓+¹/₃₈+¹/₄₀+¹/₄₁.
קח גדרם ולפי שאין להם גדר [מדבר] אני לוקח גדרו הקרוב ויהיה התשבורת מ"ג ושליש וחלק מל"ח וחלק ממ' וחלק ממ"א
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{24}\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10^2\right)^2\right]}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{24}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot100^2\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{24}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10000\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{1875}\approx43+\frac{1}{3}+\frac{1}{38}+\frac{1}{40}+\frac{1}{41}\end{align}}}
  • If you wish to know a right-angled triangle, which is \scriptstyle\triangle ABG
אם תרצה לדעת משלש נצב הזויות והוא משלש אב"ג
  • The angle at G is \scriptstyle90^\circ
והזוית אשר אצל ג' נצבת
  • The angle at A is \scriptstyle\frac{2}{5}\sdot90^\circ
ואשר אצל א' שני חומשי נצבת
I say that the square that is generated from lines BA and AG together is five times the square on AG.
\scriptstyle\left(BA+AG\right)^2=5\sdot AG^2
ונאמר כי המרובע ההוה משני קוי ב"א א"ג ביחד הוא כפלי ה' פעמים מרובע א"ג
I draw AG until D.
אוציא א"ג עד ד‫'
I define \scriptstyle AG=GD.
ואשים גם א"ג שוה לג"ד
I draw BD.
ואגיע ב"ד
So, \scriptstyle AB=BD
א"כ אם א"ב שוה לב"ד
\scriptstyle\angle ABG=\angle GBD
ואם זוית אב"ג שוה לזוית גב"ד
So, \scriptstyle\angle GBD=\frac{3}{5}\sdot90^\circ
אבל זוית גב"ד היא ג' חומשי נצבת
Since, \scriptstyle\angle BAG=\frac{2}{5}\sdot90^\circ
בעבור שזוית בא"ג היא שני חומשי נצבת
Hence, \scriptstyle\angle ABD=\frac{6}{5}\sdot90^\circ
אם כן זוית אב"ד היא ו' חומשי נצבת
Therefore, \scriptstyle\angle ABD is an angle of a pentagon.
א"כ זוית אב"ד [28]היא זוית של בעלת ה' זויות
\scriptstyle AB=BD
וא"ב שוה לב"ד
Then, line AD is divided by a geometric ratio [lit. ratio of a mean and two extremes], so that the greater part is line AB.
א"כ קו א"ד נחלק על יחס אמצעי ושני קצוות והחלק הגדול הוא קו א"ב
\scriptstyle AG=\frac{1}{2}\sdot AD
וקו א"ג הוא חצי א"ד
Hence, the square on lines BA and AG is five times the square on AG.
\scriptstyle\left(BA+AG\right)^2=5\sdot AG^2
אם כן המרובע ההוה משני קוי ב"א א"ג הוא [חמשה] כפלים ממרובע א"ג
I say: I draw pentagon ABGDH, each of its sides is 10 cubits, and I wish to find its area.
ואומר אחוק מחומש אבגד"ה אשר כל אחד מצלעותיו י' אמות וארצה למצוא תשברתו
I determine the center of the circumscribed circle, which is Z.
אקח מרכז העגולה המקפת את התמונה והיא ז‫'
We draw lines ZG and ZD.
ואגיע ז"ג ז"ד
I set perpendicular ZC on line GD.
ואעמיד עמוד ז"ח על קו ג"ד
Then, \scriptstyle\angle GZD=\frac{4}{5}\sdot90^\circ
אם כן זוית גז"ד היא ד' חומשי הנצבת
So, \scriptstyle\angle GZC=\frac{2}{5}\sdot90^\circ
אם כן זוית גז"ח היא ב' חומשי הנצבת
The angle encompassed by lines GC and CZ is a right angle.
והזוית אשר יקיפוה קוי ג"ח ח"ז היא הנצבת
Hence, \scriptstyle\left(GZ+ZC\right)^2=5\sdot ZC^2
אם כן המרובע ההוה משני קוי ג"ז ז"ח מדובקים הם ה' כפלי מרובע ז"ח
But, since it is impossible to find among the numbers five times a square that is [equal to] a square, we should approximate it, so it is \scriptstyle81:16.
אבל לפי שבמספרים לא יתכן למצוא ה' כפלי מרובע שיהיה מרובע ראוי שנקח הקרוב לו ויהיה הפ"א אל י"ו
Then, \scriptstyle\left(GZ+ZC\right):ZC=9:4
אם כן יחס קו ג"ז ז"ח מדובקים אל קו ז"ח כיחס ט' אל ד‫'
When we separate: \scriptstyle GZ:ZC=5:4
וכשנבדיל יהיה יחס קו ג"ז אל ז"ח כיחס ה' אל ד‫'
So, \scriptstyle GZ^2:ZC^2=25:16
אם כן יחס מרובע ג"ז אל מרובע ז"ח כיחס כ"ה אל י"ו
It remains that: \scriptstyle GC^2:ZC^2=9:16
גם הנשאר מרובע ג"ח אל מרובע ז"ח כיחס ט' אל י"ו
Hence, \scriptstyle GC:ZC=3:4
אם כן יחס ג"ח אל ח"ז כיחס ג' אל ד‫'
Therefore, \scriptstyle GD:ZC=6:4=3:2
לכן יחס ג"ד אל ז"ח כיחס ו' אל ד' שהוא כיחס ג' אל ב‫'
So the ratio of the square on GD to the rectangle on GD and ZC is as the ratio of 3 to 2.
\scriptstyle{\color{blue}{GD^2:\left(GD\times ZC\right)\approx3:2}}
א"כ יחס מרובע ג"ד אל השטח אשר יקיפו בו קוי ג"ד ז"ח כיחס ג' אל ב‫'
The square on GD is known, therefore, the rectangle on GD and ZC is also known and it is twice \scriptstyle\triangle GZD, which is a fifth of pentagon ABGDH.
ויהיה מרובע ג"ד ידוע א"כ יודע גם השטח המוקף מקוי ג"ד ז"ח והוא כפל משלש גז"ד והוא חלק חמישי מתמונת אבגד"ה בעלת חמשת זויות
Hence, pentagon ABGDH is also known and its area is approximately 166⅔ cubits.
יהיה אם כן גם תמונת אבגד"ה ידוע ויהיה תשברתו קס"ו אמות וב' שלישי אמה בקרוב
If another square is found that is closer to five times the other square, then we will find that the area of the shape more accurate.
ואם ימצא מרובע אחר ויהיה יותר קרוב לה' כפלי מרובע אחר אז נמצא תשבורת התמונה מדוקדקת יותר
I shall further declare the proof of the hexagon and say: עוד אודיע מופת המשושה ואומר
I draw hexagon ABGDHW, each of its sides is 10 cubits, and I wish to find its area.
אחוק משושה עליו אבגדה"ו אשר כל אחת מצלעותיו י' אמות וארצה למצוא תשברתו
I determine the center of the circumscribed circle, which is C.
אקח מרכז העגולה המקפת אותו והוא ח‫'
We draw lines GC and CD.
ונגיע ג"ח ח"ד
Then, GD is equal to both GC and CD.
א"כ ג"ד שוה לכל אחד מן ג"ח ח"ד
So, \scriptstyle\triangle GCD is equilateral and its side is known.
אם כן משולש גח"ד שוה הצלעות וצלעו ידועה
Therefore, \scriptstyle\triangle GCD is also known and it is one-sixth of the hexagon.
אם כן גם משולש גח"ד ידוע והוא ששית חלק המשושה
Hence, hexagon ABGDHW is also known.
אם כן גם משושה אבגדה"ו ידוע
Since the method of the procedure is different than what we have written at first, I shall write it here: ובעבור שאופן המעשה בזה על פנים אחרים ממה שכתבנו תחלה אכתבנו פה
We multiply 10 by itself; the result is 100.
נכפול הי' על עצמם ההוה ק‫'
100 by itself is 10000.
עוד הק' על עצמם הוא רבבה
We take its quarter, which is 2500.
ונקח רביעיתם והם אלפים ב' ות"ק
Multiply it by 27; the result is 67500.
כפלם עם כ"ז ההוה ס"ז אלפי' ות"ק
Extract its root; it is 259 and so is the area of the hexagon.
קח שרשם והם רנ"ט וככה תשבורת משושה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[\frac{1}{4}\sdot\left(10^2\right)^2\right]\sdot27}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\sdot100^2\right)\sdot27}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\sdot10000\right)\sdot27}\\&\scriptstyle=\sqrt{2500\sdot27}=\sqrt{67500}\approx259\end{align}}}
Proposition: if you draw a hexagon in a circle, the ratio of the line that is drawn from the center of the circle to the side of the hexagon is \scriptstyle8:7 הקדמה אם תחקק בעגולה תמונה בעלת ו' צלעות שוות וז' זויות הקו אשר יצא ממרכז העגולה יחסו אל צלע התמונה בעלת ז' הזויות יחס הח' אל הז‫'
A circle BG on the center A.
ויהיה עגולת ב"ג על מרכז א‫'
I draw on it a side of a hexagon, which is BG, i.e. it is equal to the line that is drawn from the center of the circle.
ואחוק עליו צלע התמונה בעלת שש הזויות והוא צלע ב"ג כלו' שתהיה שוה לקו היוצא ממרכז העגולה
I set perpendicular AD on it.
ואעמיד עליה העמוד א"ד
So, AD is approximately equal to a side of a heptagon.
אם כן יהיה א"ד בקרוב שוה [29]לצלע בעלת ז' זויות
We draw lines BA and AG.
ונגיע קוי ב"א א"ג
So, \scriptstyle\triangle ABG is equilateral.
אם כן משלש אב"ג שוה הצלעות
Therefore, \scriptstyle AD^2=3\sdot DB^2
אם כן מרובע א"ד הוא ג' כפלי מרבע ד"ב
\scriptstyle\left(AD:DB\right)^2\approx49:16
א"כ יחס ד"א אל ד"ב בכח כיחס מ"ט אל י"ו בקירוב
\scriptstyle AD:DB\approx7:4
ובאורך יחס ד"א אל א"ב כיחס ז' אל ד‫'
\scriptstyle BG=2\sdot BD
ויהיה ב"ג כפל ב"ד
Hence, \scriptstyle BG:DS\approx8:7
אם כן יחס ב"ג אל ד"א כיחס ח' אל ז‫'
  • If you wish to measure a heptagon:
ואם תרצה למדוד תמונה בעלת ז' זויות
I draw heptagon ABGDHWZ, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
אחוק תמונת אבגדהו"ז אשר כל צלעותיו בעלי י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
I determine the center of the circumscribed circle, which is point T.
אקח מרכז העגולה המקפת אותה והיא נקדת ט‫'
I draw lines DT and TH.
ואגיע קו ד"ט ט"ה
I set perpendicular TD on line DH.
ואעמיד עמוד ט"ד על קו ד"ה
So, \scriptstyle TD:DH=8:3
אם כן יחס ט"ד אל ד"ה כיחס ח' אל ג‫'
And to DK \scriptstyle8:\left(3+\frac{1}{2}\right)=16:7
ואל ד"כ כיחס ח' אל ג' וחצי והוא כיחס י"ו אל ז‫'
Therefore, \scriptstyle TK:KD\approx\left(14+\frac{1}{3}\right):7=43:21
לכן יחס ט"כ אל כ"ד כיחס י"ד ושליש אל ז' בקרוב והוא יחס מ"ג אל כ"א
Also, \scriptstyle DH:KT\approx42:43=84:86
לכן גם יחס ד"ה אל כ"ט כיחס מ"ב אל מ"ג והוא יחס פ"ד אל פ"ו
So, the square of DH to the rectangle on DH and KT is as the same ratio.
אם כן מרובע ד"ה אצל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו ד"ה כ"ט הוא כזה היחס בעצמו
Its ratio to \scriptstyle\triangle DHT is \scriptstyle84:43.
אם כן יחסו אל משלש דה"ט כיחס פ"ד אל מ"ג
Therefore, the ratio of the triangle to the heptagon is \scriptstyle1:7
ויחס המשלש אל בעלת ז' זויות כיחס א' אל ז‫'
So, the ratio of the square of DH to the heptagon is \scriptstyle12:43
א"כ יחסו של מרובע ד"ה אל בעלת ז' זויות כיחס י"ב אל מ"ג
Hence, the square on DH is known, therefore the heptagon is known.
ומרובע ד"ה ידוע אם כן גם בעלת ז' זויות ידועה
  • If you wish to measure an octagon
ואם תרצה למדוד תמונה בעלת ח' זויות
I draw octagon ABGDHWZC, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
אחוק תמונת אבגדהוז"ח אשר כל צלע מצלעותיה בעלת י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
I determine the center of the circumscribed circle, which is point K.
אקח מרכז העגולה המקפת אותה והיא נקדת כ‫'
I draw lines DK and HK.
ואגיע קוי ד"כ ה"כ
I set perpendicular KL on line DH.
ואעמיד עמוד כ"ל על קו ד"ה
Then, \scriptstyle\angle DKH=\frac{1}{2}\sdot90^\circ
אם כן זויות דכ"ה היא חצי נצבת
So, \scriptstyle\angle DKL=\frac{1}{4}\sdot90^\circ
לכן היא זוית דכ"ל רביע נצבת
I define \scriptstyle\angle KDM equal to it.
ואעשה זוית כד"מ שוה לה
So, \scriptstyle\angle KDM=\frac{1}{4}\sdot90^\circ
אם כן גם זוית כד"מ רביע נצבת
Hence, \scriptstyle\angle DML=\frac{1}{2}\sdot90^\circ
אם כן זוית דמ"ל חצי נצבת
The angle at L is a right angle.
והזוית אשר אצל ל' נצבת
Then, \scriptstyle DL=ML
אם כן קו ד"ל שוה לקו מ"ל
So, \scriptstyle DM^2=2\sdot ML^2
אם כן מרובע ד"מ כפל מרובע מ"ל
Therefore, \scriptstyle DM:ML\approx17:12
אם כן יחס ד"מ אל מ"ל כיחס י"ז אל י"ב בקרוב
\scriptstyle DM=MK
וד"מ שוה למ"כ
So, \scriptstyle KM:ML\approx17:12
אם כן יחס כ"מ אל מ"ל כיחס י"ז אל י"ב
Therefore, \scriptstyle KL:ML=KL:DL\approx29:12
אם כן יחס כ"ל אל מ"ל שהוא ד"ל כיחס כ"ט אל י"ב
Hence, its ratio to DH is \scriptstyle29:24.
אם כן יחסו אל ד"ה כיחס כ"ט אל כ"ד
So, the ratio of the square on DH to the rectangle on DH and KL is \scriptstyle24:29.
אם כן יחס מרובע ד"ה אל שטח נצבת הזויות אשר יקיפו בו קוי ד"ה כ"ל כיחס כ"ד אל כ"ט
Its ratio to \scriptstyle\triangle KHD is \scriptstyle24:\left(14+\frac{1}{2}\right).
אם כן יחסו אל משלש כה"ד כיחס כ"ד אל י"ד וחצי
So, its ratio to octagon ABGDHWZC is \scriptstyle24:116=6:29
ויחסו א"כ אל תמונת אבגדהוז"ח בעלת ח' זויות כיחס כ"ד אל קי"ו שהם כיחס ו' אל כ"ט
Hence, the square on DH is known, therefore the octagon is known.
ומרובע ד"ה ידוע אם כן גם התמונה בעלת ח' זויות ידועה
  • If you wish to measure a nonagon:
ואם רצית למדוד תמונה בעלת ט' צלעות וט' זויות
I draw nonagon ABGDHWZCT, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
אחוק תמונת אבגדהוזח"ט ויהיה כל צלע מצלעותיה בעל י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
I draw a circumscribed circle around the shape.
אחוק עגולה סביב התמונה
Its center is point L.
ויהיה מרכזה נקדת ל‫'
I draw HL until M.
ואגיע ה"ל ואוציאנה עד מ‫'
I draw MZ.
ואגיע מ"ז
So, \scriptstyle\triangle HZM of the nonagon is known.
אם כן משלש הז"מ מתמונת בעלת ‫[30]ט' זויות ידוע
It has already been clarified concerning the lines of the circle that \scriptstyle ZH\approx\frac{1}{3}\sdot HM
וכבר התבאר בקוי העגולה כי קו ז"ה הוא שלישית ה"מ בקרוב
Therefore, \scriptstyle HM^2\approx9\sdot HZ^2
אם כן מרובע ה"מ הוא ט' כפלי מרובע ה"ז
So, \scriptstyle MZ^2\approx8\sdot HZ^2
לכן מרובע מ"ז הוא ח' כפלי מרובע ה"ז
But in the semicircle the angle at Z must be a right angle.
ובחצי העגולה יתחייב להיות הזויות אשר אצל ז' נצבת
Therefore, \scriptstyle MZ^2:ZH^2\approx289:36
אם כן יחס מרובע מ"ז אל מרובע ז"ה כיחס רפ"ט אל ל"ו בקרוב
So, \scriptstyle MZ:ZH\approx17:6
אם כן יחס מ"ז אל ז"ה כיחס י"ז אל ו' בקרוב
Hence, \scriptstyle ZH^2:\triangle HMZ\approx36:51=12:17
לכן יחס מרובע ה"ז אל משולש המ"ז כיחס ל"ו אל נ"א כלומר כיחס י"ב אל י"ז
So, its ratio to the nonagon is \scriptstyle12:\left(76+\frac{1}{2}\right)=24:153=8:51
ואם כן יחסו אל התמונה בעלת ט' זויות כיחס י"ב אל ע"ו וחצי כלו' כיחס כ"ד אל קנ"ג שהם כיחס ח' אל נ"א
Hence, the square on HZ is known, therefore the nonagon is known.
ומרובע ה"ז ידוע אם כן גם תמונת בעלת ט' זויות ידועה
  • If you wish to measure a decagon:
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י' זויות
I draw decagon ABGDHWZCTI, each of its sides is 10 cubits, and you wish [to find] its area.
אחוק תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' ויהיה כל צלע מצלעותיה בעל י' אמות ותרצה תשברתה
I determine point M as the center of the circumscribed circle.
אקח מרכז העגולה המקפת אותה נקדת מ‫'
I draw MH and MZ.
ואגיע מ"ה מ"ז
I set perpendicular MN on line HZ.
ואעמיד עמוד מ"נ על קו ה"ז
Then, \scriptstyle\angle HMZ=\frac{2}{5}\sdot90^\circ
אם כן זוית המ"ז היא שני חומשי נצבת
So, \scriptstyle\angle HMN=\frac{1}{5}\sdot90^\circ
לכן זוית המ"נ היא חומש נצבת
I define \scriptstyle\angle MHS equal to it.
ואעמיד זוית מה"ס שוה לה
So, \scriptstyle\angle NSH=\frac{2}{5}\sdot90^\circ
אם כן זוית נס"ה היא שני חומשי נצבת
\scriptstyle\angle HNS=90^\circ
וזוית הנ"ס נצבת
Therefore, \scriptstyle HS:NS=5:4
[אם כן] יחס ה"ס אל נ"ס כיחס ה' אל ד‫'
And its ratio to HN is as the ratio of 5 to 3.
ויחסה אל ה"נ כיחס ה' אל ג‫'
HS=SM and HN=BZ
ושוים אם ה"ס אל ס"מ ואם ה"נ אל נ"ז
So, \scriptstyle HZ:MN=6:9=2:3
ואם כן יחס ה"ז אל מ"נ כיחס ו' אל ט' שהם כיחס ב' אל ג‫'
So, the ratio of the square on H[Z] to the rectangle on [HZ and MN] is \scriptstyle2:3.
וא"כ יחס מרובע ה' אל השטח נצב הזויות אשר יקיפו בו הז"מ כיחס ב' אל ג‫'
Its ratio to \scriptstyle\triangle HZM is \scriptstyle2:3.
לכן יחסו אל משולש הז"מ כיחס ב' אל ג‫'
So, its ratio to \scriptstyle\triangle HZM is \scriptstyle1:1+\frac{1}{2}.
לכן יחסו אל משולש הז"מ כיחס [א'] אל א' וחצי
Therefore, its ratio to the decagon is \scriptstyle2:15
לכן יחסו אל התמונה בעלת י' זויות כיחס ב' אל ט"ו
Hence, the square on HZ is known, therefore the decagon is known.
ומרובע ה"ז ידוע א"כ גם התמונה בעלת י' זויות ידועה
  • If you wish to measure a hendecagon:
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י"א זויות
I draw hendecagon ABGDHWZCTIU, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
אחוק תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' י"א וכל צלע מצלעותיה י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
I draw a circumscribed circle around the hendecagon, whose center is point N.
אחוק עגולה סביב התמונה אשר מרכזה יהיה נקדת נ‫'
I draw ZN until S.
ואגיע ז"נ ואוציאנו עד ס‫'
I draw SC.
ואגיע ס"ח
So, \scriptstyle\triangle ZCS is ²/₁₁ of the hendecagon.
אם כן משולש זח"ס הם שני חלקים מי"א מתמונת בעלת י"א זויות
It has already been clarified concerning the lines of the circle that \scriptstyle ZS:ZC\approx25:7
וכבר התבאר בקוי העגולה כי יחס ז"ס ז"ח כיחס כ"ה אל ז' בקרוב
Therefore: \scriptstyle SC:CZ\approx24:7
ואם כן יחס ס"ח אל ח"ז כיחס כ"ד אל ז‫'
So: \scriptstyle ZC^2:\triangle ZCS\approx49:84=7:12
א"כ יחס מרובע ז"ח אל משולש זח"ס יחס מ"ט אל פ"ד שהוא כיחס ז' אל י"ב
But, if the ratio of the triangle to the hendecagon is \scriptstyle2:11, the ratio of the square on ZC to the hendecagon is \scriptstyle7:66
ואם יחס המשולש אל התמונה בעלת י"א זויות כיחס ב' אל י"א [לכן יחס מרבע ז"ח אל התמונה בעלת אחת עשרה זויות כיחס ז'] אל ס"ו
Hence, the square on ZC is known, therefore the hendecagon is known.
ומרובע ז"ח ידוע אם כן גם התמונה בעלת י"א זויות ידועה
  • If you wish to measure a dodecagon:
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י"ב זויות
I draw dodecagon ABGDHWZCTIUX, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
אחוק תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' י"א י"ב ותהיה כל צלע מצלעותיה בעלת י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
I determine the center of the circumscribed circle, which is S.
אקח מרכז העגולה המקפת אותה והיא נקדת ס‫'
I draw SC and SZ.
ואגיע ס"ח ס"ז
I set perpendicular SE on line HZ.
ואעמיד עמוד ס"ע על קו ה"ז
Then, \scriptstyle\angle ZSE=\frac{1}{6}\sdot90^\circ
אם כן זוית זס"ע הוא ששית הנצבת
I define \scriptstyle\angle SZP equal to it.
ואעשה זוית סז"פ שוה לה
So, \scriptstyle\angle ZPE=\frac{1}{3}\sdot90^\circ
אם כן זוית זפ"ע שלישית נצבת
Then, \scriptstyle PE^2=3\sdot EZ^2
אם כן מרובע פ"ע הוא שלישית כפלי מרובע ע"ז
\scriptstyle PE:EZ\approx7:4
אם כן יחס פ"ע אל ע"ז כיחס ז' אל ד' בקרוב
\scriptstyle ZC:PE\approx8:7
[31]לכן גם יחס ז"ח והוא ס"פ אל פ"ע כיחס ח' אל ז' בקרוב
\scriptstyle ZC:SE\approx8:15
לכן גם יחס ז"ח אל ס"ע כיחס [ח'] אל ט"ו
So the ratio of the square on ZC to the rectangle on ZC and SE is as the ratio of 8 to 15
\scriptstyle{\color{blue}{ZC^2:\left(ZC\times SE\right)\approx8:15}}
אם כן גם יחס מרובע ז"ח אל יחס השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו ז"ח ס"ע הוא כיחס [ח'] אל ט"ו
And its ratio to \scriptstyle\triangle ZCS is \scriptstyle\approx8:\left(7+\frac{1}{2}\right)
ויחסו אל משולש זח"ס יהיה א"כ כיחס ח' אל ז' וחצי
Therefore, its ratio to the dodecagon is \scriptstyle\approx8:90=4:45
ואם כן יהיה יחסו אל התמונה בעלת י"ב זויות כיחס ח' אל צ' שהוא כיחס ד' אל מ"ה
The square on ZC is known, therefore the dodecagon is known.
ומרובע ז"ח ידוע אם כן גם תמונת בעלת י"ב זויות ידועה

[The Second Section on the Division of Plane Shapes]

The First Chapter of the Second Section of the Second Book on the Division of Plane Shapes

הפרק הראשון מהחלק השני מהספר השני בחלוקת התמונו' השטחיות
We start with the triangles ונחל מהמשלשים
If you wish to divide an isosceles triangle into two equal parts, draw a perpendicular from one of its vertices to the base, by dividing the angle into two equal parts, so the triangle is divided into two equal triangles אם רצית לחלוק משולש שוה הצלעות לשני חלקים שוים אוציא עמוד מזוית אחד מזויותיו אל התושבת וזה בשתחלוק הזוית אל שני חלקים שוים ואז יהיה המשולש נחלק לשני משלשים שוים
Do so if the triangle is equilateral triangle, draw a perpendicular from the vertex opposite to its base to the base. וככה תעשה אם המשולש שוה ותוציא מזויתו שהיא מיתר התושבת עמוד אל התושבת
גם אם רצית לחלקו ביותר משני חלקים תחלק התושבת בשיווי לחלקים שתרצה ותוציא מכל חלק מהם קו ישר אל הזוית כלומר אל ראש המשולש ואז יחלק המשולש בשעור חלקי התושבת
The proof of this division has already been clarified in Euclid's VI.1
ומופת זה התבאר בתמונה הא' ממאמר ו' לאקלידס
דמיון רצינו לחלק משולש אב"ג לשני חלקים שוים חלקנו התושבת שהוא ב"ג על נקדת ד' לשני חלקים שוים והוצאנו עמוד מנקדת ד' אל ראש המשולש שהוא א' ובזה נחלק לשני משולשים שוים
ואם רצינו לחלקו על ג' חלקנו התושבת על ג' חלקים שוים והם א"ד ד"ה ה"ג אחר הוצאנו ד"א ה"א ובזה נחלק על שלשה חלקים שוים
גם ככה תעשה אם רצית לחלקו יותר מזה
אמנם אם רצית לחלק המשולש הנזכר לב' חלקים שוים מהצד האחד עד שיהיה החלק משולש והאחד נוטה
כגון משולש אב"ג ונחלקהו על משולש אד"ה ועל נוטה ד"הב"ג נעשה כך נחלק הצלע האחד על נקדה שיהיה מרובע החלק האחד כפל מרובע החלק השני ונוציא מהנקודה ההיא קו נכוחי לתושבת המשולש ונגיעהו על הצלע האחד ואז נחלק המשלש לשני חלקים שוים משלש אד"ה ונוטה ד"הב"ג
והמופת על זה כבר ביאר אקלידס בתמונת י"ח ממאמר ו' שכל שני משלשים דומים יחס המשולש אל המשולש כיחס צלעו אל צלעו הנכחי לו שנוי
וידוע שהמשלש הגדול והוא המשולש אב"ג דומה אל המשולש הקטן והוא משולש אד"ה
כי הזוית אשר אצל ח' משותפת לשני המשולשי'
  • \scriptstyle\angle ADH=\angle ABG
וזוית אד"ה שוה לזוית אב"ג כי הם שתי זויות המומרות אשר על קוים נכוחיים כשנפל עליהם קו ישר והחיצונה [32]שוה לשכנגדה
גם ככה זוית אה"ד שוה לזוית אג"ב לזה הענין עצמו
אם כן מיתרי הזויות השוות מתיחסות יחס א"ב אל א"ד כיחס א"ה אל ה"ג וכיחס ד"ה אל ב"ג אם כן שני המשולשים דומים ולכן יהיה יחס משלש אב"ג אל משלש אד"ה כיחס צלע א"ב אל צלע א"ד שנוי וזה היחס מי"ו מח' בעצמו הוא יחס צלע מרובע א"ב אל מרובע צלע א"ד כי כאשר תכפול יחס הצלע אל הצלע בעצמו והוא אשר יקרא היחס שנוי יהיה הנולד יחס המרבע אל מרבע
דמיון אם צלע א"ב ו' אמות וצלע א"ד ב' אמות יהיה יחס ב' אל ו' כיחס השלישית אל האחד וכאשר תקח יחס השלישית אל האחד שנוי וזה כשתכפול השלישית על השלישית יהיה הנולד תשיעית וזהו יחס המשלש הקטן אל המשלש הגדול
גם ככה כשתקח מרובע ו' שהוא הצלע האחד הוא ל"ו ומרובע ב' שהוא צלע המשולש האחד ד' יהיה יחס ד' אל ל"ו יחס התשיעית אל האחד והוא המשלש הקטן אל הגדול
על כן כשתרצה לחלק המשולש לשני חלקים שוים נחלק צלע א"ב על נקודה והיא ד' עד שיהיה מרובע צלע א"ב כפל מרובע א"ד וכאשר עשינו כן הוצאנו מנקדת ד' קו נכחי לקו ב"ג והוא ד"ה ובזה נחלק המשלש לשני חלקים שוים החלק האחד משלש אד"ה והשני נוטה ד"ה ב"ג
דמיון שתקח מנקדת א' אשר היא ראש המשולש ה' חלקים מז' בו פחות עשירית השביעית
המשל שקו א"ב ז' אמות ומרובעו מ"ט ונמדוד מנקדת א' ה' אמות פחות עשירית השביעית ונסמן שם נקדה ויהיה מרובע הקו אשר הוא מנקדת א' עד הנקדה אשר סמננו כ"ד אמות וחצי והוא מחצית התשבורת של המשלש הגדול
ידענו מזה שהמשולש הקטן הוא חצי המשולש הגדול ונשאר הנוטה חציו אחר
ואם רצית לחלקו לג' חלקים עד שיהיו שני נוטים ומשולש א' חלק צלע הגדול על ו' ומנה מנקדת א' שהוא ראש המשולש ה' וחמישית בקרוב וסמן שם נקדה והיא ב' והוצא מזאת הנקודה קו נכחי לתושבת המשולש הגדול והוא ב"ג והנה יחלק אל משלש קטן ואל נוטה ויהיה הקטן שלישית המשולש הגדול
עוד תחלק הנוטה בשני חצאים וזה כשנחלק תושבת המשולש הגדול לשני חלקים שוים ונסמן שם נקדה והיא ז' עוד נחלק תושבת המשולש הקטן כן ונגיע קו ישר מנקדה אל נקדה או נחלק הנוטה לשני חלקים שוים
ואם רצית לחלקו לשני משלשים שוים ולנוטה מנה מראש המשולש אשר הוא חלקים פחות מעט מט' בצלע וסמן שם נקדת ד' והוצא נקדת קו נכחי מנקדת ד' אל תושבת המשולש הגדול והוא קו ד"ה ויהיה המשלש הקטן שני חלקים מהמשולש הגדול ונשאר נוטה ד"ה ב"ג החלק השלישי ומשלש אד"ה שני חלקים תחלק תושבת ד"ה לחצאים על נקדת ז' והוצא ממנו קו אל ראש המשולש הנה נחלק המשלש הקטן לשנים ונמצא כל המשולש הגדול נחלק לג' [33]חלקים שוים לשני משלשי אד"ז אז"ה ולנוטה ד"ה ב"ה וזה במשלש שוה הצלעות או שוה השוקים שתהיה צלע המתחלפ' תושבת המשולש
ואם היה המשולש שוה הצלעות או שוה השוקים ולא תהיה הצלע המתחלפת תושבת המשולש ותרצה לחלקו בשני חלקים שוים
דמיון משלש אב"ג מתחלף הצלעות או משולש דא"ז שוה השוקים ואין התושבת צלע המתחלפת ונרצה לחלקם בשני חלקים או בג' תמצא תשבורת כל המשולש כמו שהודעתיך במדידת המשולשים אח"כ תסמן בצלעו האחת נקדה ונחלקהו אל משולש נצב הזויות ואל נוטה עד שיהיה תשבורת המשולש נצב הזויות חציו או שלישיתו כפי מה שתבקש והשאר ישארו הנוטה וכבר הודעתיך מדידת כל אלה

The Second Chapter on the Division of the quadrilateral and the Circle

הפרק השני בחלוקת התמונות המרובעות והעגולה
You already know the types of the quadrilateral shapes and how they are divided into square, rhombus, parallelogram and scalene quadrilateral; and the scalene quadrilaterals are divided into various types. כבר ידעת מיני התמונות המרובעות ואיך יחלק אל שוה הצלעות נצב הזויות ואל שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות ואל מרובע ארוך בלתי נצב הזויות שוה הצלעות הנכחיות ואל נוטה והנוטה מינים רבים
Division of a square into parts
I shall start with the square, as it precedes them by nature and by degree ואחל מהמרובע שוה הצלעות נצב הזויות כי הוא הקודם בטבע ומעלה מהם
I say that if you wish to divide the square ABGD into two [equal] parts, divide DG into two halves at point Z, and draw a line from point Z parallel to each of the sides AD and BG, hence the square is divided into two equal part ואומר אם תרצה לחלק מרבע אבג"ד שוה הצלעות נצב הזויות לשני חלקי' תחלק צלע ד"ג לשני חצאים על נקדת ז' ותוציא מנקדת ז' צלע נכחי לכל אחת מצלעות א"ד ב"ג ובזה יחלק המרובע לשני חלקים שוים
The proof of this division has already been clarified in Euclid's VI.1 that the ratio of the sides of the parallelograms, whose heights are the same magnitude, to one another is as the ratio of their bases to one another.
והמופת על זה החלוק כבר התבאר בתמונת א' ממאמר ו' מאקלידס שהצלעות נכחיי הצלעות כאשר היה גבהותם בשעור אחד הנה יחס קצתם אל קצתם כיחס תושבותיהם קצתם אל קצת
\scriptstyle DG:ZG=2\sdot AB
ויחס ד"ג אל ז"ג כפל א"ב
  • \scriptstyle DZ=\frac{1}{2}\sdot DG
ד"ז מחצית ד"ג
  • \scriptstyle ZG=\frac{1}{2}\sdot DG
גם ככה ז"ג מחצית ד"ג
ובזה המופת בעצמו יחלק גם מצלע א"ד אל ב"ג וכן תעשה אם רצית לחלקו לג' חלקים ויותר
ואם רצית לחלקו מהזויות תגיע זוית א' אל זוית ג' ויחלק המרבע לשנים חלקים
The proof of this division:
\scriptstyle\triangle ABG=\triangle AGD
והמופת על החלוקה הזאת כי שני משלשי אב"ג אג"ד שוים
  • \scriptstyle AB=DG
כי צלע א"ב שוה לצלע ד"ג
  • \scriptstyle BG=AD
וצלע ב"ג לצלע א"ד
  • \scriptstyle\angle ABG=\angle ADG
וזוית אב"ג שוה לזוית אד"ג
והתושבת משותפת
אם כן שני המשולשים שוים
ואם רצית לחלקו לשלשה חלקים שוים בדרך הראשונה כבר ידעת דרכו אמנם בזאת הדרך השנית תעשה כך תקח מהצלע ב' שלישיו ותגיע הזוית עד הנקודה וככה תעשה מהצלע האחר ויחלק המרובע לג' חלקי' שוים
דמיון רצינו לחלק מרבע אבג"ד לשלשה חלקים מדרך הזויות ויהיה כל צלע מצלעותיו י' אמות
לקחנו מצלע ד"ג ו' חלקים ושני שלישי חלק עד נקדת ה' והגענו א"ה והנה משולש [34]אד"ה נצב הזויות לשלישית המרובע גם ככה עשינו מנקדת ב' חלקנוהו ו' חלקים ושני שלישי חלק עד נקדת ז' והגענו ג"ז והנה משולש גז"ב נצב הזויות השלישית האחד ונשאר א"ה ז"ג הנכחי הצלעות השלישית האחר
The proof of this division:
והמופת על זה החלוק כבר התבאר בתמונת ל"ו ממאמר א' מאיקלידס שהשטחים הנכחיי הצלעות מהמשולשים שהם על תושבות שוות ובמה שבין שני קוים נכוחיים יהיה השטח הנכחי הצלעות כפל המשולש
והנה תושבת א"ז ה"ג מחצית תושבת משולש גב"ז וראוי שיהיו שוים ועוד כי שטח א"ז ה"ג שוה לשטח ב"ט ה"ג הנכחי הצלעות ונצב הזויות כי הם תושבת אחת ובמה שבין קוים הנכוחיים ושטח א"ז ה"ג שלישית מרובע אבג"ד כי כן יחס תושבתו אל תושבתו א"כ שטח א"ז ה"ג שלישית כל המרובע ושני המשולשים שוים
כי צלע א"ד כמו צלע ב"ג
וצלע ד"ה כמו צלע ב"ז
  • \scriptstyle\angle ADH=\angle GBZ
וזוית אד"ה שוה לזוית גב"ז
הנה אם כן מרובע אבג"ד נחלק לג' חלקים שוים
ואם רצית לחלקו לד' חלקים אם מן הדרך הראשונה תוכל לחלקו בשני אופנים האחד שתחלק צלע המרובע על ד' חלקים שוים על א"ה ועל ה"ז ועל ז"ח ועל ח"ב ותגיע ח"ט ז"כ ח"ל ויחלק המרובע לד' חלקים שוים
The proof of this division:
והמופת על החלוקה הזאת בארתיו בחלוקתו לשני חלקים
והאופן השני שתחלקהו מהאורך לשני חלקים עוד מהרחב תחלקהו ויחלק לד' חלקים שוים
דמיון רצינו לחלק מרבע אבג"ד לד' חלקים חלקנו צלע א"ב לשני חלקים על נקדת ה' והגענו ה"ז ויפול נכחי לא"ד ולב"ג ויחלק המרובע לב' חלקים
עוד חלקנו צלע א"ד לשנים על נקדת ח' והגענו ויפול נכחי לא"ב ולד"ג ויחלק המרובע על ד' חלקים
The proof of this division:
והמופת על החלוקה הזאת כי מרובע אהה"ב שוה למרובע חבד"ז כי צלע א"ה שוה לצלע א"ח כי כשתחסר מן השוה שוה יהיה הנשאר שוה ולצלע ח"ב וב"ה כי הם נכחיי הצלעות וכן לג' המרובעים הנשארים אם כן כל מרובע אבג"ד נחלק לד' מרובעים דומים למרובע אבג"ד
ואם רצית לחלקו לג' חלקים מדרך השנית כלומר מדרך הזויות תגיע ב' אלכסוניו ויחלק לד' חלקים שוים וכל חלק יהיה משולש שוה השוקים
דמיון רצינו לחלק מרבע אבג"ד לד' חלקים שוים מדרך הזויות
הוצאנו אלכסון א"ג ואלכסון ב"ד ויחלק המרובע לד' משולשים משולש אה"ב ומשולש בה"ג ומשולש גה"ד ומשולש דה"א
\scriptstyle\triangle AHB=\triangle DHG
והנה משולש אה"ב שוה למשולש דה"ג
  • \scriptstyle\angle AHB=\angle DHG
כי זוית אה"ב לזוית דה"ג
  • \scriptstyle\angle ABH=\angle HDG
וזוית אב"ה שוה לזוית הד"ג
  • \scriptstyle AB=DG
וצלע א"ב שוה לצלע ד"ג בעצמו
\scriptstyle\triangle AHD=\triangle BHG
ולזה ישוה משולש אה"ד אל משולש בה"ג
\scriptstyle\triangle AHD=\triangle AHB
ומשולש אה"ד ישוה למשולש אה"ב
  • \scriptstyle AD=AB
כי צלע א"ד ישוה לצלע א"ב
  • AB is common
וצלע א"ב משותף
  • \scriptstyle\angle AHB=\angle AHD as both are right angles.
וזוית אה"ב שוה לזוית אה"ד כי שתיהן נצבות
ואמרי שהם שוה השוקים כי צלע המרובע הגדול מחצית הקצר וחציי הקטרים הכל שוים
[35]הנה כבר בארנו משפטי חלוקת המרובע השוה הצלעות נצב הזויות וזה המשפט בעצמו אל הנכחי הצלעות הנצב הזויות הנקרא ארוך כזה כי הוא שוה עמו בכל הדרכים ומופתיו כמופתיו
  • If you wish to divide an equilateral quadrilateral that is not right-angled, like this, into two [equal] parts:
ואם רצית לחלק המרובע שהוא שוה הצלעות אך הוא בלתי נצב הזויות כזה לשני חלקים
מדרך הראשונה תחלק צלע א"ב לשני חלקים על נקדת ה' ותוציא מנקדת ה' קו נכחי לקו א"ד ולקו ב"ג והוא קו ה"ז ובזה נחלק המרובע לשני חלקים שוים
The proof of this division:
  • \scriptstyle AH=HB
והמופת על החלוקה הזו כי א"ה כמו ה"ב
  • \scriptstyle AD=BG
וא"ד כמו ב"ג
  • HZ common
וה"ז משותף
  • \scriptstyle\angle DAH=\angle ZHB
וזוית דא"ה שוה לזוית זה"ב
  • \scriptstyle\angle ADZ=\angle HZG
וזוית אד"ז שוה לזוית הז"ג
  • \scriptstyle\angle AHZ=\angle HBG
וזוית אה"ז שוה לזוית הב"ג
  • \scriptstyle\angle AZD=\angle BGZ
וזוית אז"ד שוה לזוית בג"ז
The area of one equal to [the area of] the other.
והשטח האחד שוה לחברו
וככה תעשה אם רצית לחלקו בג' וד' חלקים
גם אם רצית לחלקו מצלע א"ד חלקהו בכזה הדרך בעצמו ומאלה המופתים בעצמם
ואם רצית לחלקו מן דרך הזויות אם רצית לחלקו בשני חלקים שוים תגיע אלכסון א"ג ויחלק על שני חלקים שוים
The proof of this division:
\scriptstyle\triangle ABG=\triangle ADG
והמופת על החלוקה הזאת כי משולש אב"ג שוה למשולש אד"ג
  • \scriptstyle AB=DG
צלע א"ב כמו צלע ד"ג
  • \scriptstyle AD=BG
וצלע א"ד כמו צלע ב"ג
  • \scriptstyle\angle ABG=\angle ADG since they are sides of the same base.
וזוית אב"ג שוה לזוית אד"ג כי הם מיתרי תושבת אחת
Therefore the two triangles are equal and they are the two parts of the quadrilateral.
אם כן שני המשולשים שוים והם שני חלקי המרובע
Do likewise if you wish to divide it by using diagonal BD, relying on this same proof.
גם ככה תעשה אם רצית לחלקו מאלכסון ב"ד בכזה המופת בעצמו
ואם רצית לחלקו לשלשה חלקים שוים אם מהדרך הראשונה חלק צלע א"ב לג' חלקים שוים על א"ה ה"ז וז"ב והוצא קו ה"ח נכוחי לא"ד וקו ז"ט נכוחי לב"ג ויחלק המרובע לג' חלקים שוים וכן אם רצית לחלקו לד' חלקים ויותר
The proof of this division:
  • \scriptstyle AD=HC
והמופת על החלוקה הזאת כי צלע א"ד שוה לצלע ה"ח
  • \scriptstyle HC=ZT
וצלע ה"ח שוה לצלע ז"ט
  • \scriptstyle ZT=BG
וצלע ז"ט שוה לצלע ב"ג
  • \scriptstyle AH=HZ=ZB
וצלע א"ה שוה לצלע ה"ז ז"ב
  • \scriptstyle\angle HAD=\angle ZHC=\angle BZT
וזוית הא"ד שוה לזויות זה"ח בז"ט
  • \scriptstyle\angle ADC=\angle HCT=\angle ZTG
וזוית אד"ח שוה לזוית הח"ט זט"ג
  • \scriptstyle\angle HCD=\angle ZTC=\angle BGT
וזוית הח"ד שוה לזויות זט"ח בג"ט
אם כן גם השטחים נכחיי הצלעות שוים והם ג' חלקי המרובע
ואם רצית לחלקו מדרך השנית עשה כך חלק צלע ד"ג ויהיה מנקדת ד' עד נקדת ה' שני שלישי הצלע ותגיע א"ה עוד חלק צלע א"ב ויהיה מנקדת ב' עד נקדת ז' שני שלישי הצלע ותגיע ג"ז ובזה נחלק המרובע לג' חלקים שוים
The proof of this division:
והמופת על החלוקה הזאת כי יחס משולש אד"ה אל שטח א"ז ה"ג נכחי הצלעות כחצי יחס תושבתו אל תושבתו כי הם בין שני קוים נכוחיים
וכן יחס משולש גב"ז אל שטח א"ז ה"ג לזאת הסבה בעצמה וחצי יחס תושבתו על תושבתו כמוהו אם כן שני המשולשים והשטח שלשה חלקים שוים והם חלקי המרובע
ואם רצית לחלקו לד' חלקי' שוים תחלק צלע א"ב לשני חלקים שוים על נקדת ה' גם ככה תחלק צלע ד"ג על נקדת ו' ותגיע א"ז וג"ה עוד תחלק א"ה לשני חלקים שוים על נקודת ח' גם תחלק ז"ג על נקדת ט' ותגיע ח"ט ובזה נחלק המרובע אל ארבעה [36]חלקים שוים
The proof of this division:
והמופת על החלוקה הזאת לפי שתושבת משולש אד"ז בתושבת שטח א"ה ז"ג נכחי הצלעות והם בין שני קוים נכחיים יהיה השטח הזה כפל כל אחד ממשולשי אד"ז גב"ה וכאשר חלקנו זה לשני

חלקים שוים לשטח א"ח ז"ט ולשטח ח"ה ט"ג יהיה כל אחד מהשטחים שהם חלקי השטח האחד שוה לכל אחד מהמשולשים ושני השטחים עם שני המשולשים הם כל חלקי המרובע הנה נחלק כל המרובע לד' חלקים שוים

עוד אם רצית לחלקו לארבעה חלקים שוים
The proof of this division:
\scriptstyle\triangle AHB=\triangle AHD
והמופת על החלוקה הזאת כי משולש אה"ב שוה למשולש אה"ד
  • \scriptstyle AB=AD
צלע א"ב שוה לצלע א"ד
וצלע א"ה משותף
  • \scriptstyle\angle DAH=\angle HAB
וזוית דא"ה שוה לזוית הא"ב
Because \scriptstyle\angle AB=AD
לפי שצלע א"ב שוה לצלע א"ד
וצלע א"ג משותף
  • \scriptstyle BG=DG
ותושבת ב"ג שוה לתושבת ד"ג
  • \scriptstyle\angle DAG=\angle GAB
תהיה זוית דא"ג שוה לזוית גא"ב
וזוית גא"ד וגא"ב הן זויות דא"ה והא"ב
\scriptstyle\triangle AHB=\triangle AHD
אם כן משולש אה"ב שוה למשולש אה"ד
\scriptstyle\triangle AHD=\triangle GHD
ומשולש אה"ד שוה למשולש גה"ד
  • \scriptstyle AD=GD
לפי שצלע א"ד שוה לצלע ג"ד
וצלע ד"ה משותף
  • \scriptstyle\angle ADH=\angle HDG
וזוית אד"ה שוה לזוית הד"ג
לפי שצלע א"ד ממשולש אד"ב שוה לצלע ד"ג ממשולש דב"ג
וצלע ד"ב משותף
ותושבת א"ב שוה לתושבת ב"ג
Therefore \scriptstyle\angle ADB=\angle BDG
אם כן זוית אד"ב שוה לזוית בד"ג
וזויות אד"ב ובד"ג הן זויות אד"ה והד"ג
\scriptstyle\triangle AHD=\triangle GHD
אם כן משולש אה"ד שוה למשולש גה"ד
ובזה הדרך בעצמו יתבאר שמשולש גד"ה שוה למשולש גה"ב אם כן המשולשים הד' שהם כל חלקי המרובע שוים
ואם רצית לחלק מדרך אחרת עשה כך
דמיון רצינו לחלק מרובע אבג"ד לד' חלקים חלקנו צלע א"ד על נקדת ה' והיא חצי הצלע גם חלקנו צלע ב"ג לשני חצאים על נקדת ז' גם חלקנו צלע א"ב לשני חציים על נקדת ה' גם חלקנו צלע ד"ג לשני חצאים על נקדת ט' אחר כך הגענו ה"ז ח"ט ויפגשו על נקדת כ' ויחלק המרובע לד' חלקים שוים
The proof of this division:
והמופת על החלוקה הזאת לפי שצלע ה"ז נכחי לצלע ד"ג כי מרחק תושבתו של כל א' מהם שוה
ותושבת ג"ט שוה לתושבת ט"ד
יהיה מרובע ג"ז כ"ט שוה למרובע ט"ב ה"ד
ולפי שצלע ח"ט נכחי לצלע א"ד
ותושבת ד"ה שוה לתושבת ה"א
יהיה מרובע ט"כ ה"ד שוה למרובע ה"כ ח"א
ובזה הדרך בעצמו ישוה להם מרובע ח"ב ז"כ ואלה ד' מרובעי' הם כל חלקי המרובע הגדול והם שוים
ודרך חלוקת זה המרובע הבלתי נצב הזויות הוא דרך חלוקת המרובע הארוך הבלתי נצב הזויות הנכחי הצלעות ומופתיו כמופתיו
ומעתה נבאר חלוקת הנוטים כי הם מינים הרבה
ונחל מן הנוטה אשר צלעיו שוים וראשו ותושבתו בלתי שוים וראשו נכח תושבתו והוא אשר יקרא משולש חתוך הראש כזה
ויש ממנו נצב הזויות אך אין ראשו נכח תושבתו
וכאשר רצינו לחלק נוטה אבג"ד שראשו נכח תושבתו ושתי צלעותיו שוים לשני חלקים שוים
נחלק צלע א"ב לשני חלקים שוים על נקדת ה' וכן [37]נחלק צלע ג"ד על נקדת ז' ונגיע ה"ז ויחלק נוטה אבג"ד לשני חלקים שוים
The proof of this division:
\scriptstyle AD=BG
והמופת על החלוקה הזאת לפי שצלע א"ד שוה לצלע ב"ג
ותושבת ד"ז לתושבת ז"ג
וראש א"ה לראש ה"ב
וצלע ה"ז הוא משותף
אם כן נוטה א"ה ד"ז שוה לנוטה ה"ב ז"ג והם כל נוטה אבג"ד והנה נחלק לשני חלקים שוים
ואם רצית לחלקו לג' חלקים שוים והיה הראש כמו מחצית התושבת תחלק התושבת לשני חלקים שוים על נקדת ז' ותגיע א"ז ב"ז ויחלק הנוטה לג' משולשים שוים
The proof of this division:
והמופת על החלוקה הזאת ששטח א"ב ד"ז נכחי הצלעות והוא כפל משולש אד"ז כי הם על תושבת אחת ובין שני קוים נכוחיים וכפל משלש אד"ז שוה לשני משולשי אד"ז אז"ב עוד שח"ט א"ב ג"ז שוה לכפל משולש בז"ג לסבה הזאת בעצמה וכפל משולש בז"ג שוה לשני משולשי אז"ב בז"ג א"כ גם ג' המשלשים שוים כי כשתפיל אב"ז המשותף ישאר משלש אד"ז שוה למשלש בז"ג והם כל חלקי הנוטה
אמנם אם ראש הנוטה איננו במחצית התושבת אבל עודף עליו ותרצה לחלק אותו בשלשה חלקים שוים או יהיה פוחת ממנו תעשה כך
תמצא תשברתו אחר כך חלק מספר התשבורת לג' חלקים וככה יהיה חלוקתו כלומר מספר שלישית השברים הוא שלישית הנוטה וככה כל חלק וחלק וככה תחלק את הנוטה שהוא נצב הזויות ואין ראשו נכח תושבתו
גם אם רצית לחלק העגולה לשני חלקים שוים תוציא אלכסון העגולה ובעברה על המרכז תחלק לשני חלקים שוים
והמופת על החלוקה הזאת כי קשת חצי העגולה שוה לקשת חציה האחר והאלכסון משותף אם כן התמונה האחת שוה לאחרת
ואם רצית לחלקה לג' חלקים שוים או ליותר כמה חלקים שתרצה תחלק העגולה כמספר החלקי' שתרצה ותסמן נקדות כמספר החלקים על העגולה אח"כ הוצא מכל נקודה קו ישר אל המרכז והנה נחלקה העגולה על מספר החלקים שרצית
The proof of this division:
והמופת על החלוקה הזאת כי הקשתות שוות והקוים שוים כי הם יוצאים מהמקיף אל המרכז ואם כן נחלקה העגולה אל משלשים שוים אשר תושבותם קשתות שוות מהעגולה

The Third Section on the Measuring of Solids

החלק השלישי במדידת הגופנים

The First Chapter

הפרק הראשון
דע שהגופנים הם אשר יש להם אורך ורחב וגובה
ויש מהם אשר יקרא מחודד וכל תושבותיו משולשים כזה והיא תמונה אשר תעלה בגובהה ותכלה אל נקדה אחת
ויש מהם אשר תושבתו מרובע וצדדיו משולשים כזה ויפלו בגבהם אל נקדה ויש מהם שתושבתם עולה בשטח עגול ויכלה בגבהו אל נקדה כזה
[38]ויש מהם שתושבתם רבת הזויות ותכלה אל נקדה ויש מהם שתושבתם משולש וראשם משלש וצדדיהם המרובעים עולים על צד זוית נצבת כזה
ויש שאינם עולים על נקדה אבל נפסקים קודם שיגיעו אל הנקדה כזה
ויש מהם תמונת הכדור כזה
the volume of a cube
ונחל לפרש מדידת התמונה שתושבתה מרובע וראש המרובע וצדדיה מרבעים עולים על זויות נצבות ואומר שזאת התמונה אם היא שוה ארכה ורחבה וגבהה מדידתה כן נכפול ארכה על רחבה וההוה נכפלהו על גבהה וככה מדידת זאת התמונה והיא הנקראת מעוקב
דמיון ארכה עשרה גבהה עשרה ורחבה עשרה כפלנו י' על י' ההוה ק' עוד כפלנו י' על ק' ההוה אלף והוא מדידת זאת התמונה
ואם הצד הא' מן הג' יותר מהאחרים או כל אחד לא ישוה לחברו גם כן ככה נמדדהו
דמיון האורך י' והרחב ט"ו והגובה כ' נכפול י' על ט"ו ההוה ק"נ נכפלם על כ' ההוה ג' אלפים וזאת היא מדידתה
ודע שהאמה אשר בה אנו מודדי' התמונות הגופניות היא אמה אורך ואמה רחב ואמה גובה וזאת תקרא אמה מוגשמת ואלכסון אלה התמונות יוצא מזויות אחת אשר בראשה אל נכח הזוית אשר בתושבתה
דמיון אם יצא בראשה מזויות מזרחי' צפונית יגיע בתושבתה אל זוית מערבית דרומית ומדידת אורך האלכסון כך
the diagonal of a cube
דמיון בצורת המעוקב אשר כל צלע מצלעותיו י' נקח מרובע אלכסון התושבת ונחברהו עם מרובע הגובה ונקח שרשו והוא אורך האלכסון המבוקש
וידוע שמרובע אלכסון התושבת הוא ר' ונחברהו עם מרובע הגובה שהוא ק' עלו ש' ונקח שרשם והם י"ו ורביע וחלק א' מט"ו בקרוב
גם ככה נמדוד אלכסון התמונות אשר ארכם יותר מרחבם כשנמצא אלכסון התושבת ונחבר מרובעו עם מרובע הגובה ונקח השרש והוא אורך אלכסון התמונה
וכאשר נרצה למצוא אלכסון התושבת נחבר מרובע צלע התושבת הארוך עם מרובע צלעו הקצר ונקח השרש והוא ארך אלכסון התושבת
ואם היתה התמונה צדדיה בלתי עולים על זויות נצבות אבל דומים למעויין או תהיינה מעויינות תמדוד תושבתה כמו שידעת במדידת הצורות האלה אחר כך מה שיצא כפלהו על הגובה והוא מדידת זאת התמונה כאלה
ואם היתה תושבתה משולש וראשה משולש וצדדיה מרובעים תמצא תשבורת המשולש אשר הוא תושבתה ותכפול אותו על הגובה והעולה היא מדידת זאת התמונה בלבד שיהיה משלש ראשה עם משולש תושבתה שוים
גם אם היתה תושבת התמונה וראשה מחומשים שוים או משושים שוים ויתר מאלה תמצא תשבורת [39]התושבת וכפלהו על הגובה והעולה היא התמונה המבוקשת
ואם היתה תושבת התמונה עגולה וראש עגולה שוה לה תמצא תשבורת העגולה ותכפלהו על הגובה והעולה הוא מדידת התמונה ההיא
אך אם התמונה עולה בהדרגה וכלה אל נקדה אם תושבתה משולש תמצא תשבורת התושבת וכפלהו על שלישית הגובה והעולה הוא מדידת זאת התמונה
וככה אם תושבתה מרובעת או מחומשת וכדומה להם שתכפול לעולם תשבורת התושבת עם שליש הגובה או כל הגובה עם שליש תשבורת התושבת והעולה הוא המבוקש וכן אם תושבתה עגולה תמצא תשבורת העגולה וכפלה על שלישית הגובה או על כפל אורך הגובה על שלישית התשבורת של התושבת והעולה הוא המבוקש
ולדעת איך נמצא גובה התמונה אודיעך ענינו פה
דע שהגובה הוא עמוד יוצא מתושבת התמונה אל ראשה על זויות נצבות
ואם היתה תושבת התמונה עגולה נקח חצי קטרה ונכפלה על עצמה עוד נקח גובה הצד ונכפלהו על עצמו ונוציא מרובע חצי קטרה ממרובע הצד והנשאר נקח גדרו והוא אורך הגובה
דמיון עגולה חצי קטרה ו' ומרובעו ל"ו וגובה הצד י' ומרובעו ק' גרענו ל"ו מן ק' ונשארו ס"ד לקחנו שרשם והם ח' וככה אורך הגובה
ואם היתה התושבת של התמונה משלש שוה הצלעות תוציא עמוד מראש משלש התושבת אל תושבתו ותחלקהו לשני חלקי' ובמקום שיתחלק שם הוא מחצית העמוד וסמן שם נקדה
עוד תחלק צלע משלש התושבת לשני חלקים שוים ובמקום שיתחלק הוא מחצית הצלע וסמן שם נקדה אח"כ ראה מה בין נקדת מחצית העמוד לנקדת מחצית הצלע וקח מרובעו וגרעהו ממרובע גובה צד התמונה וקח שרש הנשאר והוא גובה התמונה אך אם תושבת התמונה הוא מחומש שוה הצלעות והזויות או משושה והכלל רב הזויות
וכן מרובע שוה הצלעות והוא שתקח מחצית כל הצלעות ותקבצם יחד ותחלק על המחצית ההוא מרבע התושבת והיוצא מן החלוקה תרבעהו ותוציא את מרובעו ממרובע גובה הצד והנשאר בידך קח גדרו והוא גובה התמונה ההיא
ואם לא היו הצלעות שוות כלומר צלעות התושבת גם לא הזויות אתה צריך למצוא גובה על יד בלי מעשה ואז תמצא תשבורת כל המשלשים הבלתי שוים אשר התושבת נחלקת עליהם בהוציאך קוים מזויותיה אל מרכזה ותחברם ותכפול על שלישית הגובה וההוה הוא המבוקש אך אם התמונה אינה כלה אל נקדה אבל כלה אל שטח משלש או מרובע או זולת אלה בתמונה אשר תושבתה לבד שהראש קטן מן התושבת יש לה דרכים אחרי' יתבארו פה
וזאת התמונה תקרא חתוכת הראש לפי שאם תוציא צדדיה למעלה תכלה אל מחודד וכבר בארנו לך משפטי המחודד
והנה זאת התמונה תחלק אל שני מחודדים אל המחדד הגדול אשר כלה אל נקדה ואל [40]המחדד הקטן שראש התמונה חתוכת הראש תושבת לו ועולה אל הנקודה
ואם היתה תושבת בעלת ד' צלעות וככה הראש תוציא אורך הצדדים עד הנקודה למעלה ואתה יכול למדוד המחודד הגדול כמו שידעת
עוד תמדוד המחודד הקטן וגרעהו מהגדול והנשאר הוא מדידת התמונה חתוכת הראש
ולכן צריך להודיעך איך תמצא ארך הצדדים אשר הם מראש התמונה מחוץ עד הנקודה
דמיון תמונת אבג"ד חתוכת הראש ותושבתה קו א"ב והוא ו' אמות וראשה ג"ד והוא ד' אמות וגובה העמוד אשר באמצע והוא קו ה"ז י' אמות כפול הראש לכל הגובה יעלה מ' אמות חלק אותם על ב' אשר הם יתרון התושבת על הראש יהיו כ' והוא אורך קו ה"ט הנשאר מהגובה
רצית למצוא ארך הצדדים אשר הם למעלה מהראש עד הנקודה תקח מרובע כ' שהם ארך ה"ט והם ת' ומרובע ב' שהם אורך ג"ה והם ד' וחברם עם ת' והם ת"ד גם גדרם שהם כ' אמות ועשירית אמה בקרוב והם אורך צלע ג"ט שהוא מחוץ
ואם רצית למצוא אורך כל צלע המחודד שהוא צלע א"ט תקח מרובע קו ז"ט שארכו ל' ומרובעו תת"ק גם מרובע חצי התושבת שהוא קו א"ז והוא ג' אמות ומרובעו ט' חברם עם תת"ק יעלו תתק"ט קח גדרם והוא ל' ועשירית א' וחלק אחד מל' והוא אורך כל התשבורת של הצלע
תמצא תשבורת תושבת המחודד הגדול שהוא ו' על ו' אמות וההוה ל"ו כפלם עם שלישית הגובה שהם י' כי כל הגובה הם ל' וההוה ש"ס והוא מדידת המחודד הגדול
עוד תשוב למדוד המחודד הקטן שתושבתו ד' על ד' ותשברתה הם י"ו כפלם עם ו' וב' שלישיות שהם שליש גבהו וההוה ק"ו וב' שלישיות תגרעם מן ש"ס שהם מדידת המחודד הגדול ישארו רנ"ג ושלישית אחד והוא מדידת התמונה חתוכת הראש המבוקשת
אך מפני שהחשבון קשה מעט נתנו בעלי החשבון דרך אחרת קצרה מזאת והוא שתקח מרובע התושבת והוא ל"ו ומרובע הראש והוא י"ו ותכפול גדר הראש בגדר התושבת וההוה כ"ד תחבר הל"ו והי"ו והכ"ד והעולה ע"ו כפלם עם שלישית הגובה שהם ג' ושליש ההוה רכ"ג ושליש והוא מדידת התמונה חתוכת הראש
ואם היתה תושבת התמונה עגולה וכן ראשה
כגון תמונה אשר תושבתה עגולה וקטר העגולה ד' אמות וראש העגולה וקטרה ב' אמות המרובע ד' אשר הוא קטר התושבת והוא י"ו ומרובע ב' שהוא קטר הראש והוא ד' וכפול ב' בד' הרי ח' והכל כ"ח גרע רביעיתם וחלק אחד מי"ד נשארו כ"ב כפלם עם ד' שהוא שלישית הגובה יעלו ס"ח והוא מדידת התמונה הזאת
ולפעמים ימצא כלי אחד מחובר משתי תמונות כזאת התמונה הנזכרת שיהיו שני ראשיו עגולות קטנות ואמצעיתו רחב כזאת התמונה הנזכרת
ותמדוד כל אחת מן חלקי הכלי השנים בפני עצמו כמו שידעת וחבר שניהם וככה מדידת הכלי
ואם היה תושבת התמונה וראשה [41]משלשים שוי הצלעות אך צלעות התושבת גדולות מצלעות הראש
כגון תמונה שתושבתה משלש שוה הצלעו' כל אחת מצלעותיו ד' אמות וגבהו ו' אמות אתה יודע כי תשבורת משלש התושבת כ"ח פחות ב' שביעיו' האחד בקירוב וגדר המספר הזה ה' אמות וב' שביעיות
ואתה יכול לדעת הרביע מחלק רבוע המשלשים ותמצא רבוע משלש הראש ז' אמות פחות חצי שביעית וגדר המספר הזה שנים וד' שביעיות אמה וחצי שביעית חבר תשבורת שני המשלשים ויהיו ל"ד אמות וט' חלקים מי"ד באמה הוסף עליהם גדר משלש התושבת בגדר משלש הראש ויהיו י"ד אמה פחות שביעית על דרך קירוב יהיה הכל מ"ח וחצי מונה אותו בשליש הגובה והוא ב' יהיה הכל צ"ז והוא מדידת חתוכת הראש
ועל הדרך הזה תדע מדידת כל תמונה חתוכת הראש אשר תושבתה מחומש או תמונה אחרת והוא שתהיה יודע השני ראשים בתשברתם ותוסיף עליהם רבוע גדר תשבורת הראש בגדר תשבורת התושבת ותכלול הכל ותכפול אותו בשליש הגובה ותמצא מדידת התמונה ההיא
והנה אתן לך דמיון בתמונות הרבה כדי שתרגיל את עצמך במדידתם
the volume of a pyramid with a square base
תמונה מחודדת תושבתה מרובע נמדדה כך
יהיה כל אחד מצלעות התושבת מכ"ד אמות וצלעות המחודד מי"ח אמות תקח מרובע הכ"ד וההוה תקע"ו קח מחציתם והם רפ"ח גם קח מרובע הי"ח וההוה שכ"ד תגרע מאלה הרפ"ח נשארו ל"ו קח גדרם והם ו' וזהו שעור עמוד המחודד ולפי שהעמוד הוא ו' נקח שלישיתו הם ב' ותכהו עם התקע"ו וההוה אלף קנ"ב וזהו תשבורת המחודד
A pyramid, whose base is a square, each of the sides of its base is 12 cubits, and its inclinations are 36 cubits; we wish to find its perpendicular. We do as follows: מחודד שתושבתו מרובע אשר כל אחת מצלעות תושבתו בעל י"ב אמות וצלעות גבהותו מל"ו אמות ונרצה למצוא העמוד נעשה כך
נכפול צלע התושבת כלומ' הי"ב על עצמם וההוה קמ"ד
עוד נכפול הצלע האחד על עצמו וההוה קמ"ד
נחברם ביחד ההוה רפ"ח
נקח גדרם והם י"ו גם תוספת מעט וכך הוא קטר התושבת
נקח מחצית הי"ו והם ח' וחצי
ונכפלם על עצמם ההוה ע"ב ורביע
עוד נכפול הל"ו שהם צלע גבהותו על עצמם ההוה אלף רצ"ו
נגרע מאלה הע"ב ורביע וישארו אלף רכ"ד עם תוספת מעט שבם
ונקח גדרם וההוה ל"ה עם תוספת מעט שבו וכן הוא אורך העמוד
תכה אלה עם הקמ"ד שהם תשבורת התושבת ההוה ה' אלפים ומ'
נקח שלישית אלה ההוה אלף תר"פ וכן הוא תשבורת המוגשם
ולמה אנו לוקחים השלישית כי כל מוגשם נחלק לג' מחודדים כשהם שוה הגובה ותושבותיהם [42]משולשים ואנו עשינו חשבוננו על מוגשם נכחי השטחים והמוגשם הנכחי נחלק לב' מגודרים וכל מגודר של עמוד של המחודד הוא ג' כפלי מחצית המחודד המונח והוא בעל תושבת מרובעת כן הראה זה במופת אקלידס במאמר השני
the volume of a truncated pyramid with a square base
A truncated square pyramid, i.e. whose top is truncated, the sides of its bottom base are ten cubits, the sides of its upper base are 2 cubits, and its inclinations are 9 cubits; we measure it as follows: מחודד מזונב כלומר חתוך הראש מרבע אשר צלעות תושבתו מעשר אמות וצלעות הראש מב' אמות וצלעות גבהותו מט' אמות נמדוד אותו כן
Subtract the two cubits of the sides of the upper base from the sides of the bottom base; the remainder is 8.
תגרע השני אמות של צלעות הראש מצלעות של התושבת וישארו ח'
Multiply it by itself; it is 64.
תכפלם על עצמם ויהיו ס"ד
We take its half; it is 32.
נקח מחציתם והם ל"ב
We multiply also the 9 by itself; it is 81.
גם נכפול הט' על עצמם ויהיו פ"א
We subtract 32 from it; the remainder is 49.
נגרעם מאלה הל"ב ישארו מ"ט
We extract its root; it is 7 and this is the perpendicular.
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{9^2-\frac{1}{2}\sdot\left(10-2\right)^2}&\scriptstyle=\sqrt{9^2-\left(\frac{1}{2}\sdot8^2\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{9^2-\left(\frac{1}{2}\sdot64\right)}=\sqrt{81-32}=\sqrt{49}=7\end{align}}}
נקח גדרם והם ז' וכן הוא העמוד
Since the perpendicular is 7 cubits, we find the volume of the solid as follows:
ולפי שהעמוד ז' אמות נמצא תשבורת המוגשם כן
We add the 2 of the upper base to the 10 of the bottom base; it is 12.
נחבר הב' של הראש עם הי' של התושבת ויהיו י"ב
We take its half; it is 6.
ונקח חציים והם ו'
We multiply it by itself; the result is 36.
נכפלם על עצמם ויהיו ל"ו
Then, subtract 2 of the upper base from 10; the remainder is 8.
אחר כך תגרע מהי' הב' של הראש וישארו ח'
We take its half; it is 4.
ונקח חציים והם ד'
We multiply it by itself; the result is 16.
ונכפלם על עצמם ויהיו י"ו
We take its third; it is 5 and one third.
ונקח שלישיתם יהיו ה' ושליש
Add it to the 36; it is 41 and a third.
הוסף אלה על הל"ו ויהיו מ"א ושליש
Multiply it by 7; the result is 289 and one third; and this is the volume.
כפלם על הז' ויהיו רפ"ט ושליש וכן הוא התשבורת
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+10\right)\right]^2+\frac{1}{3}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-2\right)\right]^2\right]\sdot7&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2+\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2\right]\sdot7\\&\scriptstyle=\left[6^2+\frac{1}{3}\sdot4^2\right]\sdot7\\&\scriptstyle=\left[36+\left(\frac{1}{3}\sdot16\right)\right]\sdot7\\&\scriptstyle=\left[36+\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\sdot7\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{1}{3}\right)\sdot7=289+\frac{1}{3}\end{align}}}
the volume of a pyramid with a right-angled triangular base
If you wish to measure a pyramid whose base is a right-angled triangle, it is not necessary to investigate the inclinations in order to find the perpendicular, because it has a right angle. אם תרצה למדוד מחודד אשר תושבתו משולש נצב אינו הכרח לחקור על צלעות הגבהות למצוא העמוד בהיותו בעל זוית נצבת
  • Let the perpendicular be 25 cubits, if one side of the right angle of the triangle's base is 4 cubits and the other is 5 cubits, do this:
ויהיה אם העמוד כ"ה אמות ואם הראשונה שאצל הזוית שאצל תושבת המשולש ד' אמות ואם האחרת ה' אמות תעשה כך
Multiply 4 by 5; the result is 20.
כפול הד' על הה' ההוה כ'
Take its half; it is 10.
קח חציים והם י'
Multiply this by the 25, which is the perpendicular; the result is 250.
כפלם על כ"ה שהוא העמוד ההוה ר"נ
Take its third; it is 41 and two thirds.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(4\sdot5\right)\right]\sdot25\right]=\frac{1}{6}\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)\sdot25\right]=\frac{1}{6}\sdot\left(10\sdot25\right)=\frac{1}{6}\sdot250=41+\frac{2}{3}}}
קח שישיתם והם מ"א וב' שלישים
Due to the reason that I mention, which is that every prism whose base is a triangle, which is half a square, is divided into three pyramids that have triangular bases, so is this prism. בעבור הסבה שאזכור והיא כל מגודר אשר תושבתו משלש בחצי מרבע הוא נחלק לג' מחודדים בעלי תושבות משולשים וכן המגודר הזה
As Euclid has shown in Book XII.
כן הראה במופת אקלידס במאמר השני
The [triangular] prism is a half of a square [prism] and is divided into three pyramids, the result is six, [which is] a half and a third. והמגודר הוא חצי מרובע ונחלק לג' מחודדים ההוה הוא ו' וחצי ושליש
The pyramid with a triangular base is necessarily a sixth of the square [prism], so we take one sixth. ובהכרח שהמחודד בעל תושבת משלשי שלה ששית תושבת מהמרובע ונקח הששית
the volume of a pyramid with an isosceles triangular base
  • If the triangle is isosceles, the legs are 12 cubits, the base is 8 cubits, the inclinations are 25 cubits, and you wish to measure the pyramid, do as follows:
ואם המשולש שוה השוקים ויהיו השוקים מי"ב אמות והתושבת ח' אמות וצלעות הגבהות מכ"ה אמות ותרצה למדוד המחודד תעשה כך
Divide the base, which is 8 cubits, into halves; the result is 4.
תחלק התושבת שהוא ח' אמות לחצאין ההוה ד'
Multiply it by itself; the result is 16.
כפלם על עצמם ההוה י"ו
Multiply one of the sides by itself, that is 12 by itself; the result is 144.
וכפול אחת הצלעות על עצמו כלומר הי"ב על עצמם ההוה קמ"ד
Subtract the square of 4 from it, which is 16; the remainder is 128.
גרע מאלה מרובע ד' שהם י"ו ישארו קכ"ח
Extract the root, which is 11, a quarter, one part of 22, and one part of 44. This is the measure of the perpendicular on the base of the isosceles triangle.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12^2-\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2}=\sqrt{12^2-4^2}=\sqrt{144-16}=\sqrt{128}=11+\frac{1}{4}+\frac{1}{22}+\frac{1}{44}}}
קח גדרם שהם י"א ורביע וחלק מכ"ב וחלק ממ"ד וזהו השעור של העמוד אשר על תושבת המשלש שוה השוקים
If you wish to find the area, do as follows: multiply the perpendicular by the base, i.e. 11, a quarter, one part of 22, and one part of 44 by 8; the result is 90 and one part of 22.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{1}{4}+\frac{1}{22}+\frac{1}{44}\right)\sdot8=90+\frac{1}{22}}}
ואם תרצה למצא התשברת תעשה כך תכפול העמוד על התושבת כלו' י"א ורביע וחלק מכ"ב וחלק ממ"ד על הח' ההוה צ' וחלק מכ"ב
Multiply it by perpendicular of the pyramid.
כפלם על עמוד המחודד
You find it as follows: since for every triangle we take a half of the perpendicular to the base, we take a half of the 11, one quarter, one part of 22, and one part of 44; the result is 5, a half, an eighth, one part of 44, and one part of 88.
ותמצאנו כך לפי שבכל [43]משולש אנו לוקחים חצי עמוד התושבת נקח חצי הי"א ורביע וחלק מכ"ב וחלק ממ"ד והם ה' וחצי ושמינית וחלק ממ"ד וחלק מפ"ח
We Multiply this by itself; the result is 32 and one part of 44.
נכפלם על עצמם וההוה ל"ב וחלק ממ"ד
We multiply also the inclination, which is 25, by itself; the result is 625.
גם נכפול צלעות הגבהות על עצמם שהם כ"ה ההווה תרכ"ה
Subtract the 33 and [one part of 44]; the remainder is 593.
תגרע הל"ב ורביע ההוה תקצ"ג
We extract its root; the result is 24, a quarter and an eighth with a remainder and this is the measure of the perpendicular.
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{25^2-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(11+\frac{1}{4}+\frac{1}{22}+\frac{1}{44}\right)\right]^2}&\scriptstyle=\sqrt{25^2-\left(5+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{44}+\frac{1}{88}\right)^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{625-\left(32+\frac{1}{44}\right)}=\sqrt{593}\\&\scriptstyle=24+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\end{align}}}
נקח גדרם והם כ"ד ורביע ושמיני' עם התוספת מעט וזהו שעור העמוד
Multiply it by the area of the triangle, i.e. the 90 and one part of 22; the result is 2199.
כפול אלה על תשבורת המשולש כלו' הצ' וחלק מכ"ב ההוה אלפים וקצ"ט
We take from this a sixth of the square; the result is 367 and a half; and this is the volume of the pyramid.
נקח מאלה ששית המרובע וההוה שס"ו וחצי וזהו תשבורת המחודד
the volume of a pyramid with an obtuse-angled triangular base
ואם המחודד יהיה נרוח הזויות ויהיה תושבת משולש נרוח הזויות תכפול תשבורת המשלש נרוח הזויות עם העמוד ונקח השליש וישאר לך תשבורת המחודד
וכן אם יהיה חד הזויות
the volume of a pyramid with a right-angled triangular base
מחודד שתושבתו משלש נצב הזויות ויהיה עמוד ו' אמות ותושבתו ח' אמות והמיתר לזוית הנצבת י' אמות והמחודד כל אחת מצלעותיו י"ג אמות ונרצה למצוא עמודו
נעשה כך נמצא בתחלה אלכסון העגולה המקפת המשולש שיהיה י' אמות שהוא המיתר לזוית הנצבת ואקח חצייה והם ה' ואכפלם על עצמם וההוה כ"ה גם אכפול הי"ג של צלע הגבהו' על עצמם וההוה קס"ט ואגרע מאלה הכ"ה וישארו קמ"ד ואקח גדרם והם י"ב והתשבורת נמצאה וכן בתחלה אמצא תשבורת המשולש והוא כ"ד אמות ואקח שלישית העמוד שהוא עמוד המחודד והם ד' כפלם על תשבורת התושבת ויהיו צ"ו אמות וכן הוא תשבורת המחודד
the volume of a pyramid with an equilateral triangular base
מחודד העומד על משולש שוה הצלעות נמדדהו כך
יהיה כל צלע מצלעות התושבת מל' אמות וצלעות הגבהות ב' אמות
כפול הל' על עצמם וההוה תק"ת נקח שלישיתם והם ש' גם נכפול הת' על עצמם ההוה ת' ומאלה אגרע הש' נשארו ק' וקח גדרם והם י' וזהו אורך העמוד
ולפי שהעמוד י' אמות ימצא התשבורת כן נכפול הל' על עצמם ההוה תת"ק נקח מאלה השלישית והעשירית והוא ש"צ נקח שלישית אלה והוא ק"ל נכפול אלה על י' שהוא שעור העמוד ההוה אלף וש' וזהו תשבורת המחודד
the volume of a pyramid with a pentagonal base
מחודד על תושבת בעלת ה' זויות אשר כל אחת מצלעות התושבת מי"ב אמות וצלעות הגבהות מל"ה אמות ונרצה למצוא העמוד וגם תשבורת המחודד
אחוק על הבעל ה' זויות אשר הקו המקיף ס"ג אמות ואם כן האלכסון יהיה כ' אמות קח מאלה חציים והם י' וכפלם על עצמם עלו ק' עוד [44]כפול הל"ה אמות של גבהות הצלעות על עצמם יעלו אלף רכ"ה גרע מאלה הק' ישארו אלף קכ"ה קח גדרם והם ל"ג וחצי וחלק מכ"ב עם תוספת וזהו אורך העמוד
כפול תשבורת התושבת הבעלת ה' זויות וכן תעשה מן הי"ב אמות של התוספת קח חציים והם ו' וכפלם על עצמם וההוה ל"ו עוד נכפול חצי האלכסון שהם י' על עצמם וההוה ק' גרע מאלו הל"ו ונשארו ס"ד קח גדרם והם ח' והוא שעור העמוד של המשולש כפלם עם התושבת שהם י"ב יעלה צ"ו קח חציים והם מ"ח והם תשבורת המשלש כפול אלה ה' פעמים אחרי שהם ה' משולשים ויהיו ר"מ אמות כפול אלה על העמוד שהוא ל"ג וחצי וחלק מכ"ב יעלו ח' אלפים ונ' ומאלה קח ששיתם אחרי שהם ששה מגודרים ההוה אלף שמ"א וב' שלישים וזהו תשבורת המחודד
ונוכל למצוא גם בלתי חקיקת העגולה את האלכסון לפי שצלע המחומש יש לו כח על צלע המשושה ועל צלע המעושר נקח חצי הצלע כלומר חצי הי"ב ויהיו ו' נכפלם על עצמם יעלו ל"ו גם נכפול הי"ב על עצמם יעלו קמ"ד גרע מאלה הל"ו נשארו ק"ח קח גדרם והוא י' אמות ושליש וחלק מט"ו וזהו שעור צלע בעל שש הזויות גם זהו שעור הארך מן המרכז
the volume of a pyramid with a hexagonal base
The measuring of a hexagonal [pyramid] is the same, without requiring the diagonal ויהיה גם מדידת בעל השש זויות כך בלתי שאדרוש את האלכסון
  • For example, let a hexagonal pyramid, each side of which is 12 cubits, the inclinations are 35 cubits, and we wish to find the perpendicular and the volume of the pyramid, we do as follows:
כגון שיהיה מחודד בעל שש זויות ויהיה כל א' מהצלעות מי"ב אמות וצלעות הגבהות מל"ה אמות ונרצה למצוא העמוד ותשבורת המחודד נעשה כך
We multiply 12 by itself; the result is 144.
נכפול הי"ב על עצמם יעלו קמ"ד
35 by its self; the result is 1225
והל"ה על עצמם יעלו אלף רכ"ה
Subtract 144 from it; the remainder is 1081
גרע מאלה הקמ"ד יעלו אלף פ"א
We extract its root; it is 32 cubits, a half, a quarter, an eighth, and one part of 64; we know that this is the measure of the perpendicular
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{35^2-12^2}=\sqrt{1225-144}=\sqrt{1081}=32+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{64}}}
נקח גדרם והוא ל"ב אמות וחצי ורביע ושמינית וחלק מס"ד וידענו שזהו שעור העמוד
כפול אותו על תשבורת בעל השש וקח אותו כך לפי שבעל השש זויות יש לו ו' משולשים שוי הזויות קח תשבורת המשלש האחד וכפלהו ו' פעמים ותמצא תשבורת בעל הו' זויות
ועשה כן במשלש השוה הצלעות תכה צלעו הראשון על עצמו יעלה קמ"ד נקח השליש והם מ"ח גם העשירית יהיו י"ד ושליש וחלק מט"ו חברם יהיו ס"ב ושליש וחלק מט"ו כפול אלה ו' פעמים אחרי שהם ו' משולשים יעלו שע"ד ורביע וחלק מט"ו כפול אלה על העמוד שהם ל"ב וחצי ורביע ושמינית וחלק מס"ד יעלו י"ב אלף תי"ד ושליש קח ששיתם שהוא ששית המגודר יעלו ב' אלפים ונ"ב ושליש והם שעור המחודד
the volume of a pyramid with an octagonal base
  • A pyramid whose base is octagonal and we wish to measure it
מחודד אשר תושבתו בעל ח' זויות ונרצה למדוד אותה
יהיה מחודד אשר כל צלע מצלעות תושבתו מי' אמות וצלעות גבהותו מט"ו אמות
ואם תרצה למצוא העמוד ותשבורת המחודד תעשה כך קח חצי צלע התושבת של בעל ח' זויות כלו' מהי' חציים [45]וההוה ה' וכפלם על עצמם וההוה כ"ה כפלם בשנים וההוה נ' קח גדרם והוא ז' אמות וחלק מי"ד הוסף על אלה חצי צלע בעל שמנה תושבות שהם ה' ויהיה הסך י"ב וחלק מי"ד כפלם על עצמם ההוה קמ"ו עם תוספת מעט וכפול חצי הצלע על עצמו ההוה כ"ה חברם עם הקמ"ו וההוה קע"א גרע קי"ז וישארו נ"ד קח גדרם והם שבע ושליש וכן הוא שעור העמוד
והתשבורת של המחודד תמצאהו ככה
קח תשבורת תושבת בעל הח' זויות וכפלה עם העמוד ושלישית ההוה הוא אלף וקפ"א וזהו שעור אמות תשבורת מחודד בעל ח' זויות
מחודד משולש בעל מגבעות על תושבת קשתות קטנות מחצי העגולה מן הקצה אל הקצה ומיתר הקשת שבתושבת כל אחת י' אמות והעמודים הנופלים רחב ב' אמות וצלעות הגבהות מב' אמות
ונעשה כך נקח חצי מיתר אחת שבתושבת ויהיו ה' נכפלם על עצמם יעלו כ"ה והמיתר האחר שהוא י' נכפלהו על עצמו וההוה ק' גרע מאלה הכ"ה וישארו ע"ה קח גדרם והם ה' וחצי ושמינית וחלק א' מי"ו וכך הוא השעור שמראש המשולש עד התושבת והוא העמוד נקח חציים והם ד' ורביע וחלק מי"ו וחלק מל"ב כפלם על עצמם ההוה י"ו וחצי ורביעית ותשיעית עם תוספת מעט וזהו שעור חצי התושבת כפול הה' על עצמם ההוה כ"ה והסך ביחד יהיו מ"ג וחצי ורביעית ותשיעית קח גדרם והוא ו' וחצי ותשיעית וכן הוא ממרכז העגולה המקפת המשלש
וכשתרצה למצוא העמוד תעשה כן כפול הו' וחצי ותשיעית על עצמם ההוה מ"ג אמות וחצי ורביעית ותשיעי' גם כפול צלעות הגבהות שהם כ' על עצמם ההוה ת' גרע מאלה המ"ג וחצי ורביעית ותשיעית ישארו שנ"ו וחלק מי"ח קח גדרם והוא י"ח וחצי ורביעית ותשיעית וכן הוא שעור העמוד כפלהו עם תושבת המשולש וכך תקחהו הה' שהם מחצית התושבת על עמוד תושבת המשולש שהם ה' וחצי ושמינית וחלק א' מי"ו ההוה מ"ג וחצי וכן הוא שעור אמות התשבורת המשולש כפלם על י"א וחצי ורביע ותשיעית ההוה תת"כ עם תוספת מעט וזהו תשבורת המשולש
ומזה ראוי להוציא המגרעות וכן תעשה תחבר התושבת והעמוד הי' והב' וההוא י"ב אמות כפלם עם עמוד המחודד שהם י"א וחצי ורביע ותשיעית ההוה רכ"ו אמות כפלם על ג' לפי ששם ג' מגרעות ההוה תרע"ט וכל התשלום הוא תת"כ אמות נגרע מאלה התרע"ט ונשארו קמ"א נקח מאלה הששית ההוה כ"ג ושלישים ב' אחרי שהם מהמגודר הם כ"ג וב' שלישים וזהו תשבורת התמונה
וכבר התבאר במאמר הי"ב מספר היסודות שכל מגודר שתושבתו משולשת יחלק לג' מחודדים שוים
[46]וידוע שכל מחודד הוא שלישית המגודר כשיהיו בעלי צלעות שוות וגובה שוה
ומבואר מזה שכל מחודד שיהיה על איזו תמונה שיהיה הוא שלישית המוגשם הנכחי שתושבתו שוה לתושבתו וגבהו הוא שוה לגבהו
התמונה הנקראת בלשון יון מישקו והיא תמונה שהיא מתחלפת הצלעות צלעות התושבת גם הראש נמדדה כך
הגובה יהיה נ' אמות
ואם תושבת התמונה צלעה האחת הגדולה בעלת כ"ד אמות והקטן בעל י"ו אמות
ואם הראש הצלע הגדולה בעלת י"ב אמות ואם הקטנה בעלת ח' אמות נחבר הצלעו' הגדולו' של הראש ושל התושבת כלומר הי"ב הכ"ד ההוה ל"ו וכן חברתי הצלעות הקטנות של הראש ושל התושבת כלומר הי"ו והח' וההוה כ"ד קח חצי הל"ו וההוה י"ח וכן חצי הכ"ד וההוה י"ב כפול אלה על י"ח וההוה רי"ו ועוד נגרע מן הצלע הגדולה הי"ב מן הכ"ד וישארו י"ב נקח חציים והם ו' נגרע צלע הראש מן התושבת כלומ' הצלע הקטן והם הח' מן הי"ו וישארו ח' נקח חציים ויהיו ד' כפלם על ו' ההוה כ"ד קח השלישית והם ה' ונוסיפם על הרי"ו ויהיו יחד רכ"ד כפלם על הגובה שהם נ' ההוה י"א אלף ר' והם שעור תשבורת זאת התמונה
וכן נמדדהו גם אם היה בעל משפטים אחרים

Chapter Two on the Measuring of the Spheres and Round Solids

הפרק השני במדידת הכדורים והגופים העגולים
הכדור גדרו אקלידס במאמר אחד עשר מספר היסודות שהוא אשר יעבור חצי עגולה כאשר יקויים קו הקוטר בשני צירים עד שלא יסורו וסבבה הקשת אשר היא חצי הקו המקיף עד שתשוב אל מקומם והוא מוגשם העגול ומרכז הכדור ומרכז העגולה אחת
the volume and the surface of a sphere
והכדור יתכן למדוד התשבורת של השטח המקיף אותו לבד גם יתכן למדוד תשבורת כל גופו
וכאשר נרצה למצוא תשבורת השטח תרבע את קטר הכדור ותכפול את המרובע הזה ג' פעמים ושביעית פעם ויעלה בידך משיחת שטח הכדור כפלהו בשתות הקטר ויעלה בידך תשבורת גוף הכדור
כגון ז' אמות כדור בקטרו והקו המקיף כ"ב אמות ונרצה למצוא תשבורת גופו נעשה כך נכפול הקטר על עצמו ויעלו מ"ט וכשתכפול זה המרובע ג' פעמים ושביעית פעם יהיה קנ"ד והן אמות שטח הכדור כפול אותן בשתות הקטר והוא א' ושתות יהיה ק"פ פחות שלש והוא תשבורת הכדור הזה
דרך אחרת כדור אשר קטרו ז' אמות והקו המקיף כ"ב [47]אמות ונרצה למצוא תשבורת גופו נעשה כך נכפול הקטר על עצמו וההוה מ"ט עוד נכפול אלה על הקטר שהם ז' יעלו שמ"ג אמות נכפול אלה י"א פעם יהיו ג' אלפים תשע"ג אמות נחלקם על כ"א ויעלה החלק האחד קע"ט וב' שלישים וכן שעור תשבורת גוף הכדור
ואם תרצה למדוד השטח תעשה כך נמצא לעולם הקטר והם במשלינו ז' ונכפלם עם המקיף שהם כ"ב ההוה קנ"ד וכן הוא תשבורת שעור שטח הכדור
אם תרצה למדוד האויר המוקף בכדור תמדוד לפי הביאור אשר הקדמנו במדידת הכדור בלתי עובי הכתלים
כגון שיהיה אורך קטר האויר מהכדור ח' אמות ועובי שתי הכתלים ב' אמות כפול הח' אמות של קטר האויר על עצמם יעלו ס"ד כפול אלה עוד על הח' של הקטר יעלו תקי"ב אמו' כפלם על י"א יעלו ה' אלפים תרל"ב חלקם על כ"א יעלו רפ"ח אמות ושביעית וחלק מן כ"א וזהו תשבורת אויר הכדור
the volume of a hemisphere
אם תרצה למדוד חצי כדור תמדדהו לפי באור מדידת הכדור והנקבצים תחלקם על מ"ב
דמיון הקטר ז' אמות והקו המקיף כ"ב אמות ותרצה למצוא תשבורת גופני של חצי הכדור תעשה כן כפול הז' אמות של הקטר על עצמם ההוה מ"ט כפול עוד אלה על הז' אמות של הקטר ההוה שמ"ג כפול אלה על י"א וחלק העולה על מ"ב וההוה פ"ט אמות וחצי ושליש וכן הוא שעור חצי הכדור
אם תרצה למדוד אויר חצי הכדור תמדדהו לפי הביאור אשר קדם במדידת תשבורת חצי הכדור בלתי עובי הכתלים
דמיון יהיה קטר אויר חצי הכדור י' אמות ועובי שתי הכתלים ד' אמות כפל י' אמות קטר האויר לבד על עצמם וההוה ק' עוד כפול הק' על הי' הנזכרים ההוה אלף כפלם על י"א ההוה אלפים י"א חלקם על מ"ב ההוה רס"א אמות וחצי ושלישית חלק מי"ד וזהו שעור אמות אויר חצי הכדור
the volume of a quarter of a sphere
אם תרצה למדוד רביע הכדור תמדוד לפי הבאור שהקדמנו במדידת חצי הכדור והנקבצים חלקם על פ"ד
דמיון קטר הרביע עם עובי ב' כתלים ד' אמות כפלם על עצמם ההוה קצ"ו כפול אלה על י"ד של הקטר הנזכר ההוה ב' אלפים תשמ"ד כפלם על י"א ההוה ל' אלף וקפ"ד חלקם על פ"ד וקח החלק האחד וההוה הוא שנ"ט ושלישית וכן הוא שעור רביע הכדור
אם תרצה למדוד אויר הרביע הנז' ולמצוא תשברתו הגופני תמדוד לפי הביאור הנזכר [48]במדידת הרביע בלתי עובי הכתלים כלומר הי' אמות של קטר האויר ויהיו ק' עוד כפול הק' על הי' ההוה אלף כפול האלף על י"א ההוה י"א אלפים חלקם על פ"ד ההוה ק"ל אמות וחצי ושליש וחלק מי"ב וחלק מכ"ח וכן הוא שעור מדידת אויר ורביע גרעם מהשנ"ט ושליש הנחברים וישארו רכ"ח אמות ורביע ושמינית וזהו תשבורת המבוקש
אם רצית למדוד בריכה מעוגלת כדוריית והיא חצי כדור כבר הראיתיך מדידתו במדידת חצי הכדור
the volume of a spherical segment smaller than a hemisphere
אך אמנם אם היא פחותה מחצי כדור וזה תדעהו כשיהיה עמקה פחות מחצי רחב פיה תמדדה כך כגון בריכה שרוח בפיה ו' אמות ושליש ועמקה ב' אמות
תמצא את קטרה בראשונה כמו שלמדת בפרק החמישי במדידת התמונות העגולות והפחותות מחצי עגולה וכשתחשוב את קטר הבריכה הזו תמצאנו שהוא ז' אמו' כפול הב' שהם עמק הבריכה על הז' שהם קטר הכדור יהיו י"ד כפלם ג' פעמים ושביעית פעם יהיו מ"ד והוא מדידת שטח הבריכה כפול אותו בשתות הקטר והוא א' ושתות יעלו נ"א ושליש וזהו תשבורת גוף הבריכה
the volume of a spherical segment larger than a hemisphere
ואם היתה הבריכה יותר מחצי כדור וזה תדעהו כשיהיה העומק יותר ממחצית רחב פיה
כגון בריכה שרחב פיה ו' אמות ושליש ועמקה ה' אמות כשתבקש לדעת קטר הכדור הנחצבת ממנה תמצאנו ז' תכפול העומק שהם ה' אמות בז' אמות הקטר ההוה ל"ה
כפלם ג' פעמים ושביעית פעם יהיו ק"י וזהו מדידת שטח הבריכה כפול אותה בשתות הקטר יהיו קכ"ח ושליש וזהו תשבורת גוף הבריכה
the volume of a cylinder
אם רצית למדוד גוף נקרא בלשון יון קלידירו והוא גוף ארוך מעוגל שוה הרחב ראשו לתושבתו
דמיון גוף כזה אשר ארכו נ' אמות והקטר ז' אמות והמקיף כ"ב אמות ונמצא מהמקיף כמו שאנו עושים במדידת העגולה התשבורת והוא ל"ח אמות וחצי כפול אלה על האורך שהם נ' ההוה אלף תתקכ"ה והוא תשבורת הגוף הזה
the volume of a cone
אם רצית למדוד אצטוונא מחודדת תעשה כך
דמיון אצטוונא שקטר תושבתה ז' אמות והעמוד היורד מראשה ל' אמות נמדד התושבת מהקטר הו' אמות של גובה העמוד השליש והוא י' ונכפלם על הל"ח וחצי ההוה שפ"ה אמות וזהו תשבורת הגוף של האצטוונא הנזכרת
אם רצית למצוא תשבורת אצטוונ' מחודדת [49]מקשיית ויש לו תושבת העגולה אשר הקטר מ"ב אמות וצלעות גבהות האצטוונא כל אחת[50] מע"ה אמות ותרצה למצא העמוד תמצאהו כך
\scriptstyle{\color{red}{\sqrt{75^2-\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)}=\sqrt{75^2-21^2}=\sqrt{5625-441}=\sqrt{5184}=72}}
קח גובה הצלעות אשר הם ע"ה אמות וכפלם על עצמם וההווה ה' אלפים תרכ"ה וחצי קטר התושבת אשר הם כ"א כפלם על עצמם וההווה תמ"א גרעם מה' אלפים תרכ"ה נשארו ה' אלפים קח גדרם הם ע"ב וזהו ארך העמוד של האצטוונה
ותמצא גם תשברת העגלה והם אלף פ"ו אמות
\scriptstyle{\color{red}{1086\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot72\right)=1086\sdot24=26064}}
כפלם עם שלישית העמוד שהם כ"ד ההווה כ"ו אלף ס"ד וזהו תשברת גוף האצטוונא
ואם תרצה למצא תשברת שטחה קח חצי קטר התושבת שהם כ"א וכפלם על העמוד שהם ע"ב ההווה אלף תקי"ב כפל אלה על כ"ב ההווה ל"ג אלף רס"ד קח שביעית אלה ההווה ד' אלפים תשנ"ה בקרוב וכן הוא תשברת שטח האצטוונא
the volume of a truncated cone
אם תרצה למדד אצטוונא מזונבת כלומר חתוכת הראש שהקטר היותר גדול שלה י' אמות והקטן ד' אמות והארך ל' אמות ותרצה למצא תשברת גופה תעשה כך
\scriptstyle{\color{red}{\left(10+4\right)\sdot\frac{1}{2}=14\sdot\frac{1}{2}=7}}
תחבר שני הקטרים הי' והד' וההווה י"ד וקח חציים והם ז' ונחשבהו קטר
ונמצא תשברת [51]העגלה אשר קטרה ז' כמו שידעת ויהיה ל"ח אמות וחצי
\scriptstyle{\color{red}{\left(38+\frac{1}{2}\right)\sdot30=1155}}
תכפלם על הל' אמות של הארך וההווה אלף קנ"ה אמות והוא תשברת גוף האצטוונא

The Fourth Section on the Division of Solids

החלק הרביעי בחלוקת הגופניים
זה החלק אינו כל כך צריך בענייני העולם ומקח וממכר כאשר הם החלקים העוברים כי אם מעט מזער ממנו ולכן לא נפנה לפרש חלוקת כל התמונות רק הצריכות לבד
  • Division of a cube into equal parts
ונאמר אם תרצה לחלק המעקב והוא אשר ארכו שוה לרחבו ולגבהו לשני חלקים
תוציא אלכסון תושבתו וחתכהו על האלכסון לשנים ויחלק לשני מגוררים
ואם רצית לחלקו לשלשה חלקים שוים
חלק צלע תושבתו לשלשה חלקים שוים על שתי נקדות וכן צלע הראש הנכחי לו וחתכהו מנקדה אל נקדה על זויות נצבות ויחלק לשלשה חלקים שוים
ואם רצית [52]לחלקו לארבעה חלקים שוים חלקהו בתחלה לשני מגודרים עוד הוציא עמוד מזוית התושבת אל חצי מיתרה ויחלק כל אחד משני המגוררים לשנים ובזה נחלק לארבעה חלקים שוים
ובאופן אחר חלק צלע הראש לשנים וכן צלע התושבת הנכחי לו גם ככה תעשה בצלעות הגובה וחתכם על זויות נצבות ובזה נחלק המעקב לארבעה חלקים שוים
  • Division of a prism whose base is a rectangle into equal parts
ואם היה מרבע ארוך נכחי הצלעות נצב הזויות וגבהו על זויות נצבות מתחלף לארכו ורחבו או שוה לו חלוקתו בחלוקת המעוקב
  • Division of a prism whose base is a rhombus into equal parts
ואם היה מעויין חלוקתו לשנים הוא שתחתכנו על האלכסון של תושבתו היוצאת מן הזוית אל הזוית
ואין הפרש בין אם יצא האלכסון מזוית החדה אל החדה או מן הנרחבת אל הנרחבת
ואם תחלקנו לשלשה חלקהו מהצלעות כמו שעשית במעקב
ואם לארבעה תחלקנו על ידי שני האלכסונים כמו שעשית במעקב או באופן האחר הנזכר שם
וכן משפט חלוקת הדומה למעויין
  • Division of a prism whose base is triangular into equal parts
ואם רצית לחלק המגורר שתושבתו משלשת וראשו משלש וצלעות גבהו מרבעים לשני חלקים
הוצא מן זוית תושבתו אל הצלע הנכחי לו אשר הוא מיתר לזאת הזוית עמוד וחלקהו על העמוד על זויות נצבות וכבר נחלק המגורר לשני חלקים שוים
ואם הצלע האחד מצלעות התושבת ארוך משאר הצלעות הוצא עליו העמוד מהזוית שכנגד הצלע הזה וחלקהו עליו
ובאופן אחר חלק צלעות הגבהות לשנים וחלקהו משם
ואם רצית לחלקו בשלשה חלקים חלקהו שלשה מחדדים וזה התבאר בי"ב לאקלידס
  • Division of a sphere into equal parts
[53]ואם רצית לחלק הכדור כשטחו תעשה כך סמן עליו שתי נקדות מקבילות היותר רחוקות זו מזו מכל הנקדות שאפשר ליפול בכדור והם יקראו קטבי הכדור ועשה נקדה אחת משתיהן מרכז וסבב עגלה כמרחק מחצית המרחק אשר בינה ובין הנקדה האחרת והיא העגלה היותר גדולה והאמצעית עוד חלק העגלה הזאת לפי כמות החלקים שתרצה לחלוק שטח הכדור על ידי סימנים נקודות או זולתם אחר כן תעגל חציי עגולות שתעברנה כל אחת על שתי קטבי הכדור ועל הנקדות שהם כעגלה האמצעי' ובזה יחלק שטח הכדור לפי רצונך
וככה תעשה אם תרצה לחלק חצי כדור או יותר מחציו
ואז תעברנה העגולות על הקטב ועל שפת חצי העגלה שהוא במקום העגלה האמצעית של הכדור או על שפת החתיכה הגדולה מחצי הכדור גם ככה אם החתיכה קטנה מחצי [54]הכדור
ובכל אלה החלוקות שהזכרנו יש מופתים בחכמת המדות ולא הבאנו אותם כי לא היה צרך גדול במה שכווננו לבאר
הנה הודעתיך כל מה שצריך לדעת בזאת המלאכה
ולאל לבדו התהלה והשבח לעולמים אמן
תם ונשלם[55]

Notes

  1. 42r
  2. 42v
  3. 43r
  4. 43v
  5. 44r
  6. 44v
  7. marg. וזה יתבאר לפי הנחות זה החכם מתמונת ה' ול"ד מאמר א' ולדרוש אחר שבארנו וזולת זה המקום והוא שכאשר יצא קו מזוית משלש שוה השוקים ויחלקה לשני חצאים ב"ב נז' התושבת הנה יהיה עמוד התושבת כ"א כ"ח
  8. 45r
  9. 45v
  10. 46r
  11. 46v
  12. marg. שוה לב' המרבעי' ההוי' מהב' צלעו' הנשארי' הוי' מרבע הצלע האחד ממרבע' המיתר והקו
  13. 47r
  14. 47v
  15. 48r
  16. 48v
  17. 49r
  18. 49v
  19. 50r
  20. 50v
  21. 51r
  22. 51v
  23. 52r
  24. 52v
  25. 53r
  26. 53v
  27. 54r
  28. 54v
  29. 55r
  30. 55v
  31. 56r
  32. 56v
  33. 57r
  34. 57v
  35. 58r
  36. 58v
  37. 59r
  38. 59v
  39. 60r
  40. 60v
  41. 61r
  42. 61v
  43. 62r
  44. 62v
  45. 63r
  46. 63v
  47. 64r
  48. 64v
  49. NY 2639 70v
  50. Paris end
  51. 71r
  52. 71v
  53. 72r
  54. 72v
  55. NY 2639: נשלם הספר חכמת המספר וחכמת המדות שחבר מרנו ורבנו החכם ב"ר מרדכי כומטיינו יצ"ו בהכ"ר אליעזר כומטיינו יעמ"ש ונשלם ע"י לי שבתי בכ"ר משה ז"ל מקנדייה שנת הרל"ח בכ"ד לחדש אדר שבח לאל יתעלה אשר לו התהלה והיכולת וזאת היא ההעתקה השנית וכתבתיהו לר' כלב המכונה אפדופילו י"ל בכ"ר אליהו יצ"ו בכ"ר יהודה

Appendix I: Glossary of Terms

rank מדרגה, מעלה

Appendix II: Bibliography

Mordecai ben Eliezer Comṭino
Constantinople & Adrianople c. 1402-1482
Sefer ha-Ḥeshbon we ha-Middot
Manuscripts:

1) Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Qu. 308 (IMHM: f 1734), (15th-16th century)
[Berlin308]
2) London, British Library Add. 27107/6 (IMHM: f 5782), ff. 44r-80v (cat. Margo. 1016, 6); (15th-16th century) (Book 2)
[London27107]
3) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2616 (IMHM: f 28869), (19th century) (Book 2)
[NY2616]
4) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2632 (IMHM: f 28885), (19th-20th century)
[NY2632]
5) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2633 (IMHM: f 28886), (16th century)
[NY2633]
6) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2639 (IMHM: f 28892), (1478)
[NY2639]
7) Oxford, Bodleian Library MS Heb. d. 5/1 (IMHM: f 22729), ff. 1r-17r (Cat. Neub. 2774, 1); (1522)
8) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1031/3 (IMHM: f 15723), ff. 26r-64v (15th-16th century)
[Paris 1031]
9) St. Petersburg, Russian National Library Evr. I 320b (IMHM: f 50984) (1495)
[Evr. I 320]
10) St. Petersburg, Russian National Library Evr. I 343-344 (IMHM: f 50961, f 41596, f 41597) (Istanbul, 1485)
[Evr. I 343-344]

The transcript of the second book is based mainly on manuscript Paris 1031

Bibliography:

  • Schub, Pincus. 1932. A Mathematical Text by Mordecai Comtino, Isis vol. XVII, no. 1, (1932), pp. 54–70.
  • Silberberg, Moritz. 1905–1906. Ein handschriftliches hebräisch-mathematisches Werk des Mordecai Comtino, Jahrbuch der Jüdisch-Literarischen Gesellschaft III, pp. 277–292.
  • Steinschneider, Moritz. 1893–1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, pp. 197-198 (h63-h64); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.