Difference between revisions of "תחבולות המספר"

Latest revision as of 06:06, 17 December 2022

1 Introduction
2 The Six Canonical Equations
- 2.1 The Simple Canonical Equations
- 2.2 The Compound Canonical Equations
3 Chapter: Multiplication of Algebraic Expressions
4 Roots
5 Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations
6 Additional excerpt
7 Notes
8 Appendix I: Glossary of Terms
9 Appendix II: Bibliography

	‫^[1]ספר אבו כאמל בתחבולות המספר
Introduction
The three algebraic species
The beginning of what the reader of this book needs to know are three matters that have already been stated by Muḥammad al-Khwārizmī in his book, which are: roots, squares and numbers.	אמר תחלת מה שצריך לדעת הקורא בזה הספר הוא שלשה ענינים אשר אמרם כבר מהומר אלכוארזמי בספרו והם שרשים מרובעים מספרים
Definitions:
The root is the number that is multiplied by itself - as if you say: one by one, two by two, and so on endlessly - and also the fractions of the one, when they are multiplied by themselves, as a half by a half, a third by a third and the fractions of its fractions and so on endlessly.	השרש הוא המנין שהוא מוכה על עצמו כאלו תאמר אחד על אחד ושנים על שנים וכן לאין תכלית וכמו כן שברי האחד כאשר הוכו על עצמם כמו חצי על חצי ושלישית על שלישית וכן שברי שבריו עד אין סוף
The square is what is produced from the multiplication of the root by itself - be it an integer or a fraction.	המרובע הוא המתקבץ מהכאת השרש על עצמו שלם יהיה או נשבר
The number is the number which cannot be understood as a root nor a square, but is related to itself only by the units comprised in it.	המספר הוא המנין שלא יובנו בו שיהיה לא שרש ולא מרובע אבל הוא נערך לעצמו במה שבו מן האחדים לבד
The six categories of canonical equations
He said: the six categories [of canonical equations] were originated from the combination of these three [species], which are:	אמר וכבר יצאו מהרכבת אלו השלשה ששה חלקי' והם אלו
Roots equal to squares. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx=ax^2}}$	שרשים שיהיו שוי' למרובעים
Roots equal to numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx=c}}$	ושרשים שישוו למספרים
Squares equal to numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2=c}}$	ומרובעי' שישוו למספרים
Roots and squares equal to numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx+ax^2=c}}$	ושרשים ומרובעי' שישוו למספרים
Roots and numbers equal to squares. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx+c=ax^2}}$	ושרשי' ומספרים שישוו למרובעים
Squares and numbers equal to roots. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2+c=bx}}$	ומרובעי' ומספרי' שישוו לשרשים
Said Finzi: the author [= Abū Kāmil] did not mention [the instances] in which the three [species] together are equal to one of them, yet it seems that this will be necessary in the categorization.	אמ"פ הנה לא הביא בעל הספר כאשר ישוו שלשתם יחד לאחד מהם והיה נראה שזה יהיה הכרחי בחלוקה
As if you say: roots, squares, and numbers are equal to roots, or to squares, or to numbers.	וזה כמו שתאמ' שרשים ומרובעי' ומספרים ישוו לשרשים או ישוו למרובעי' או ישוו למספרים
The Six Canonical Equations
The Simple Canonical Equations
Squares Equal Roots: bx=ax²
He said: when the roots are equal to squares: multiply [the number of] the roots by itself and the result is the square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=b^2}}$	אמ' כאשר השרשים ישוו למרובעי' תכה השרשי' על עצמם ומה שיתקבץ הוא המרובע
Said Finzi: It is the same as saying "the squares are equal to the roots", since the roots should be understood as being equal to the squares that are mentioned with them.	אמ"פ והדבר הוא שוה לאמר המרובעים ישוו לשרשי' מפני כי צריך שיובנו השרשי' שיהיו שוים למרובעים הנזכרים עמהם
Moreover, the squares are squares by virtue of the multiplication of the roots by themselves.	וכמו כן המרובעים יהיו מרובעי' מכח הכאת השרשים ההם על עצמם
For example: if you are told; five roots are equal to one square. How much is the square? $\scriptstyle5x=x^2$	דמיון זה אם אמרו לך חמשה שרשי' ישוו למרובע אחד כמה הוא המרובע
Say: it is twenty-five resulting from multiplying five by five. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=5\sdot5=25}}$	אמור לו הוא עשרים וחמשה המתקבץ מהכאת חמשה על חמשה
It is so, because the root counts the square by the number of times that the one count the root.	והיה זה כן מפני כי המרובע ימנהו השרש במספר הפעמים שימנה האחד לשרש
The one counts the root by the number of times by which the root is named.	והאחד ימנה לשרש במספר הפעמים אשר יקרא בו השרש
In the example, the root is named by five and it consists of its five units, as it consists of twenty-five, which is the square that is [formed] from five times five, that is the root.	והנה בזה המשל השרש יקרא בשם חמשה והוא מורכב מחמשה אחדיו כמו שהוא מורכב עשרים וחמשה שהוא המרובע מחמשה דמיוני חמשה שהוא השרש
Hence, the square grows and is composed of repetitions of the root by the number that composes the root of repetitions of the unit.	הנה שהמרובע יצמח וישלם מדמיוני השרש במספר מה שישלם השרש מדמיוני האחד
Geometric illustration
To illustrate this to your eye, we construct square ABGD according to the example of the square of twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2=25}}$	ולמען הראותך זה לעין נרשום מרובע עליו אבג"ד על משל מרובע עשרים וחמש‫'

When whichever of its sides is multiplied by one of its units the product is a root of the square.	הנה אי זה מצלעיו שיוכה באחד מאחדיו יהיה המתקבץ הוא שרש המרובע
We suppose BZ is equal to BH, which is one of the units of side AB. $\scriptstyle{\color{blue}{BZ=BH}}$	~~ולכן~~ ונשים ב"ז שוה לב"ה שהוא אחד מאחדי צלע א"ב
We draw line ZC from point Z, parallel to line AB. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC\parallel AB}}$	ונוציא מ^נקודת ז' קו ז"ח נכחי לקו א"ב
Surface AZ is formed, which is a root of this square. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=x}}$	ויצא שטח א"ז והוא שרש זה המרובע
We divide square ABGD into the units of surface AZ that are the surfaces: AZ; CT; KL; MN; SD - and they are five roots of the square of twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=AZ+CT+KL+MN+SD=5x=25}}$	ונחלק מרובע אבג"ד לדמיוני שטח א"ז והם שטחי א"ז ח"ט כ"ל ‫^[2]מ"נ ס"ד והם חמשה שרשים למרובע עשרים וחמשה
Each of them consists of five units as the units of AZ, which is one of the five roots. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=CT=KL=MN=SD=x}}$	וכמו כן כל אחד מהם מורכב מחמשה אחדים כמו שרשום ~~בשסע~~ בשטח א"ז שהוא אחד מהחמשה שרשי‫'
This explanation is enough.	ודי בזה באור
Normalization:
You must know that if the one who asks increases the squares in his question or reduces them, you should always restore it to a single square.	אמ' וראוי שתדע שאם בא השואל להרבות המרובעי' בשאלתו או לשברם כי אז אתה צריך להשיב השאלה לעולם אל מרובע אחד שלם
Example: if one asks: five squares are equal to twenty roots. $\scriptstyle5x^2=20x$	דמיון זה אם ישאל חמשה מרובעי' ישוו לעשרים שרשים
You divide twenty by five. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}}}$	ואתה תחלק עשרים על חמשה
So, one square is equal to four roots. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4x}}$	ויהיה המרובע האחד ישוה לארבעה שרשים
The value of the square is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע יהיה מספרו ששה עשר
Also, if he says: half a square is equal to ten roots. $\scriptstyle\frac{1}{2}x^2=10x$	וכן אם יאמ' חצי מרובע ישוה לעשרה שרשים
The whole square is equal to twenty roots. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=20x}}$	הנה כל המרובע ישוה לעשרים שרשים
Its value is four hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}$	ומספרו ארבע מאות
Squares Equal Numbers: ax²=c
He said: when the squares are equal to numbers: the numbers are the squares.	אמ' כאשר המרובעי' ישוו למספרי' הנה המספרים הם המרובעים
As if you are told: the square is equal to sixteen. $\scriptstyle x^2=16$	כמו אם יאמרו לך המרובע ישוה לששה עשר
Sixteen is the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	הנה ששה עשר הוא המרובע
Its root is four. $\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ושרשו ארבעה
Normalization:
Restore the question also to one square.	וכמו כן תשיב השאלה אל מרובע אחד
If one says: five squares are equal to forty-five. $\scriptstyle5x^2=45$	כי אם אמ' חמשה מרובעי' ישוו לחמשה וארבעי‫'
One square is their fifth, which is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot45=9}}$	הנה המרובע האחד הוא חמישיתם שהוא תשעה
If one says: a third of the square is equal to twenty-seven. $\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=27$	ואם אמ' שלישית המרובע ישוה לשבעה ועשרים
The whole square is eighty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=81}}$	הנה כל המרובע הוא שמנים ואחד
Roots Equal Numbers: bx=c
He said: when the roots are equal to numbers: the units of the roots are as the amount of the numbers.	אמ' כאשר השרשים ישוו למספרי' הנה כמנין המספרי' יהיו אחדי השרשי‫'
If you are told: the roots of the square are equal to four numbers. $\scriptstyle x=4$	כי אם יאמרו לך שרשי המרובע ישוו לארבע' מספרי‫'
The root is four. $\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	הנה השרש הוא ארבעה
The square is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע ששה עשר
Normalization:
Here you should also restore the question to one square.	וכן גם בזה תשיב השאלה למרובע אחד
As if one says: five roots are equal to thirty. $\scriptstyle5x=30$	כמו אם אמ' חמשה שרשים ישוו לשלשים
Divide thirty by five. $\scriptstyle{\color{blue}{30\div5}}$	תחלק שלשים על חמשה
The one root is equal to six. $\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}$	ויהיה השרש האחד ישוה לששה
The square is thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}$	והמרובע ששה ושלשים
If one says: half a root is equal to ten. $\scriptstyle\frac{1}{2}x=10$	ואם אמ' ~~חמשה ושלשים~~ חצי שרש ישוה לעשרה
The one root is equal to twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}$	יהיה השרש האחד ישוה לעשרים
The square is four hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}$	והמרובע ארבע מאות
So far he has been discussing the three first categories [of canonical equations] called the simple.	עד הנה דבר בשלשה החלקים הראשונים אשר יקראו הפשוטים
The Compound Canonical Equations
Chapter: Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c	פרק
He said: when squares and roots are equal to numbers, it is as if you say: the sum of one square and ten of its roots together is equal to thirty-nine dirham. $\scriptstyle x^2+10x=39$	אמ' כאשר יהיו המרובעים והשרשים שוים למספרי' כאלו תאמ' המקובץ ממרובע מהאחד ועשרה משרשיו יחד ישוה לשלשים ותשעה דרהמי
The answer to this question is [obtained] by two methods: one method reveals the root of the square to you, the other reveals the square to you.	הנה תשובת זאת השאלה יהיה בשני פנים האופן האחד יראך שרש המרובע והשני יראך המרובע
First I will explain to you the procedures of these methods and their engagement.	וראשונה אבאר לך דרכי אלו האופני' וההתעסקות בהם
Then, I will explain their rules by geometrical demonstrations and figures, which the geometricians who are well versed in Euclid's book [= the Elements] understand .	עוד אחר זה אבאר משפטיהן במופתים ובתמונות גימטריאות יבינום חכמי הגימטריאה אשר ישכילו בספר אקלידס
The method that yields the root of the square
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}-\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)}}$
He said: the method that reveals the root of the square to you is already stated by Muḥammad al-Khwārizmī in his book.	אמ' האופן אשר יראך שרש המרובע כבר אמרו מהומר אלכוארזמי בספרו
It is that you always take half [the number of] the roots, and multiply it by itself, then add the result to the numbers.	והוא שתקח לעולם מחצית השרשים ותכם על עצמם והעולה מההכאה תקבץ עם המספרים
You extract the root of the sum and subtract half [the number of] the roots from it; the result is the root of the square.	ותוציא שרש המקובץ ותגרע ממנו מחצית השרשים ומה שישאר הוא שרש המרובע
In the mentioned question, we take half [the number of] the roots, which is five.	והנה לקחנו בשאלה הנזכרת מחצית השרשים והוא חמשה
We multiply it ib itself; the result is twenty-five.	הכינום על עצמם ועלה עשרי' וחמשה
We add it to the 39 dirham; the result is sixty-four.	קבצנום עם הל"ט אדרהמי ויצא ששים וארבעה
We extract its root; it is eight.	הוצאנו שרשו והוא שמנה
We subtract five from it; three remains and it is the root.	גרענו ‫^[3]ממנו חמשה ונשאר שלשה והוא השרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\sqrt{5^2+39}-5=\sqrt{25+39}-5=\sqrt{64}-5=8-5=3}}$
The square is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והמרובע יהיה תשעה
The method that yields the root of the square
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+c-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2+\left(b^2\sdot c\right)}}}$
He said: the method that reveals the square to you is that you multiply [the number of] the roots by itself, then multiply the product by the numbers and keep the result.	אמ' והאופן אשר יראך המרובע הוא שתכה השרשים על עצמם והעולה תכה על המספרים ומה שיתקבץ שמור
Take half the product of [the number of] the roots by itself and multiply this half by itself.	עוד תקח מחצית מה שעלה מהכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו
Add the result to the reserved and extract the root of the sum.	ומה שיעלה תקבצהו עם השמור ותוציא שרש המקובץ
You subtract it from the sum of half the product of the roots plus the numbers that are equal to the square and its roots; the remainder is the square.	ותגרעהו ממקובץ מחצית הכאת השרשים על עצמם עם המספרי' השוי' למרובע עם שרשיו ונשאר הוא המרובע
In the mentioned question, we multiply the ten roots by themselves; the result is one hundred.	והנה בשאלה הנזכרת הכינו עשרה השרשים על עצמם ועלה מאה
We multiply one hundred by 39; the result is 3900. We keep it.	והכינו מאה על הל"ט ויצא שלשת אלפים תת"ק ושמרנום
We take a half of one hundred; it is fifty.	ולקחנו מחצית מאה שהוא חמשים
We multiply it by itself; the result is 2500.	והכינום על עצמם ויצא אלפים ות"ק
We add it to the reserved; the sum is 6400.	וקבצנום עם השמור והיה המקובץ ששת אלפים ות‫'
We extract the root of this sum; the result is eighty.	הוצאנו שרש זה המקובץ ויצא שמנים
We subtract it from the sum of fifty and 39, which is 89; nine remains and it is the square.	גרענום ממקובץ חמשים עם ל"ט שהוא פ"ט וישארו תשעה והם המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2+\left(10^2\sdot39\right)}=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2+\left(100\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=50+39-\sqrt{50^2+3900}=89-\sqrt{2500+3900}=89-\sqrt{6400}=89-80=9\\\end{align}}}$
Normalization:
He said: if the squares in the question exceed one, or are less than one, you should restore the whole equation to a single square, and restore with it the roots and numbers, exactly by the same way that you restore the square.	אמ' ואם יעדיפו המרובעי' בשאלה על אחד או יחסרו מאחד שלם הנה אז תצטרך להשיב כל השאלה אל מרובע אחד וכן תשיב עמו השרשים והמספרי' בדרך ההוא בעינו שהשיבות המרובע
Example: if one asks: three squares and 15 roots are equal to 72 dirham. $\scriptstyle3x^2+15x=72$	דמיון זה ששאל שלשה מרובעי' וט"ו שרשי' ישוו לע"ב דרהמי
He means that three times one square summed together with 15 of its roots are 72.	רצה בזה ששלשה דמיוני מרובע אחד עם ט"ו משרשיו מקובצי' יחד יהיו ע"ב
You should take one of the squares, which is their third, and so you take from the roots their third, which is five, and also from the numbers their third, which is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\sdot x^2+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)\sdot x=\frac{1}{3}\sdot72}}$	ובזה אתה צריך לקחת מהמרובעי' אחד מהם והוא שלישיתם וכן תקח מהשרשי' שלישיתם והוא חמשה ומהמספרי' כמו כן שלישיתם והוא כ"ד
Hence, the question becomes as if one asks: one square plus its five roots are equal to 24 dirham. $\scriptstyle x^2+5x=24$	ותשוב להיות השאלה כאלו שאל מרובע אחד עם חמשה משרשיו ישוו כ"ד דרהמי
I have already shown you the method that reveals the root to you and the method that reveals the square to you.	וכבר הראיתיך האופן שיראך השרש והאופן שיראך המרובע
Likewise, if one asks: half a square plus its five roots are equal to 28 dirham. $\scriptstyle\frac{1}{2}x^2+5x=28$	וכמו כן אם שאל השואל חצי מרובע וחמשה משרשיו ישוו לכ"ח דרהמי
Restore your square to a whole square by doubling it and double the roots and the numbers as well. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot x^2+\left(2\sdot5\right)\sdot x=2\sdot28}}$	אז תשיב המרובע שלך שלם והוא שתכפלהו ותכפול כמו השרשי' והמספרי‫'
The question becomes: a square plus its ten roots are equal to 56 dirham. $\scriptstyle x^2+10x=56$	ותשוב השאלה מרובע ועשרה משרשיו ישוו נ"ו דרהמי
I have already shown you what to do with them.	וכבר הראית לדעת מה לעשות לך עמהם
Geometric illustration of method that yields the root of the square
He said: now I will show you the reason we use the method that reveals the root of the square.	אמ' ועתה אראך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
Illustrating the equation: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2+10x=39}}$
It is that we construct a square surface ABGD as the square in the question. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2}}$	והוא שנניח ~~שרש~~ [שטח]^[4] מרובע עליו אבג"ד הוא על דמיון המרובע אשר עליו השאלה
We add surface ABHW to it as the ten roots you add to the square. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=10x}}$	ונחבר אליו שטח אבה"ו יהיה על דמיון עשרת השרשים אשר קבצת עם המרובע
We suppose that the whole surface WHDG is thirty-nine dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{WHDG=ABGD+ABHW=x^2+10x=39}}$	והנחנו שכל שטח והד"ג יהיה שלשים ותשעה דרהמי
We wish to state the measure of the length and breadth of this surface, which are lines HG and DG.	ורצינו שנודיע שיעור קוי האורך והרחב מזה השטח שהם קוי ה"ג ד"ג
We know the measure of line BG that is equal to DG, each of which is equal to the root of this square. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=DG=x}}$	ועם זה יהיה ידוע לנו שיעור קו ב"ג השוה לד"ג שכל אחד מהם הוא שוה לשרש זה המרובע
It is known that line BH is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=10}}$	והוא ידוע כי קו ב"ה עשרה
Because, when side BA of square ABGD is multiplied by one of its units, the resulting surface is a root of square ABGD as explained in the first geometrical illustration of this book. $\scriptstyle{\color{blue}{BA\times 1=\sqrt{ABGD}=x}}$	מפני כי היה צלע ב"א ממרובע אבג"ד כשהוכה באחד מאחדיו יהיה השטח העולה הוא שרש מרובע אבג"ד כמבואר בתמונה הראשונה מזה הספר
When this surface is multiplied by ten, the result is ten roots of square ABGD, which is surface ABHW. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=\left(BA\times 1\right)\times10=10\sqrt{ABGD}=10x}}$	וזה השטח כשהוכה בעשרה יהיה העולה עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד והוא שטח אבה"ו
Since line BH is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=10}}$	הנה כי קו ב"ה עשרה
We cut it in half at point C [= C midpoint of BH].	ונחלק אותו לחצאין על נקודת ‫^[5]ח‫'
Line BG is added to it.	ונוסף בארכו קו ב"ג
Therefore, the surface resulting from the product of line HG by line BG plus the square resulting from the product of CB by itself is the same as the square resulting from the product of CG by itself; as Euclid said in the second section of his book [Elements, Book II, (proposition 5)]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(HG\times BG\right)+CB^2=CG^2}}$	ולכן יהיה השטח העולה מהכאת קו ה"ג בקו ב"ג עם המרובע ההוה מהכאת ח"ב על עצמו כמו המרובע ההוה מהכאת ח"ג על עצמו כמו שאמר אקלידס במאמ' שני מספרו
But the product of line HG by line BG has already been assumed to be thirty-nine, because line DG is the same as line BG. $\scriptstyle{\color{blue}{HG\times BG=HG\times DG=39}}$	אבל הכאת קו ה"ג בקו ב"ג כבר הונחה שלשים ותשעה מפני כי קו ד"ג הוא כמו קו ב"ג
The product of line CB by itself is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{CB^2=25}}$	והכאת קו ח"ב על עצמו היא עשרים וחמשה
Their sum is sixty-four; therefore, the product of line CG by itself is sixty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{CG^2=\left(HG\times BG\right)+CB^2=39+25=64}}$	ומקובצם ששים וארבע' ולכן יהיה הכאת קו ח"ג על עצמו ששים וארבעה
Its root is eight, so line CG is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{CG=\sqrt{CG^2}=\sqrt{\left(HG\times BG\right)+CB^2}=\sqrt{64}=8}}$	והנה שרשו הוא שמנה ולכן קו ח"ג הוא שמנה
We subtract line CB from it that is known to be five; line BG remains, which is three and it is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x=BG=CG-CB=8-5=3}}$	ונבדיל ממנו קו ח"ב הידוע שהוא חמשה וישאר קו ב"ג שלשה והוא שרש המרובע
The square is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והמרובע תשעה
If you want me to illustrate to your eye what I have said, construct square CKNG on line CG. $\scriptstyle{\color{blue}{CG^2=CKNG}}$	ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי עשה על קו ח"ג מרובע חכנ"ג
Extend line BA straight to point E.	ותוציא קו ב"א ביושר עד נקדת ע‫'
Line CG is the same as line GN. $\scriptstyle{\color{blue}{CG=GN}}$	הנה קו ח"ג כמו קו ג"נ
Line BG is the same as line DG. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=DG}}$	וקו ב"ג כמו קו ד"ג
Line BC that remains is the same as line MK. $\scriptstyle{\color{blue}{BC=MK}}$	ישאר קו ב"ח כמו קו מ"כ
Surface CA is the same as surface AN. $\scriptstyle{\color{blue}{CA=AN}}$	ושטח ח"א כמו שטח א"נ
But, surface CA is the same as surface MH. $\scriptstyle{\color{blue}{CA=MH}}$	אבל שטח ח"א כמו שטח מ"ה
Therefore, surface MH is the same as surface AN. $\scriptstyle{\color{blue}{MH=AN}}$	לכן שטח מ"ה כמו שטח א"נ
The three surfaces AC, AN, and DB are thirty-nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AC+AN+DB=39}}$	ושטחי א"ח א"נ ד"ב השלשה הם שלשים ותשעה
But, surface AK is twenty-five, since it is equal to the product of CB by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{AK=CB^2=25}}$	אבל שטח א"כ עשרים וחמשה בעבור כי הוא שוה להכאת ח"ב על עצמו
So, the whole surface KG is sixty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{KG=64}}$	הנה שטח כ"ג כלו ששים וארבעה
Line CG is its root, which is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{CG=\sqrt{KG}=\sqrt{64}=8}}$	וקו ח"ג שרשיו והוא שמנה
Line BC is five. $\scriptstyle{\color{blue}{BC=5}}$	וקו ב"ח היה חמשה
GB that remains is three. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=CG-BC=8-5=3}}$	וישאר קו ג"ב שלשה
Q.E.D.	וזה מש"ל
Geometric illustration of method that yields the square
He said: the reason of the method by which we reveal the square:	אמ' והסבה באופן אשר הראנו בו המרובע
Illustrating the equation: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2+10x=39}}$
It is that we suppose line ABG whose measure is as the sum of the square plus its ten roots, which is thirty-nine. $\scriptstyle{\color{blue}{ABG=x^2+10x=39}}$	היא שנניח קו אב"ג יהיה שיעורו כמו מקובץ המרובע ועשרה משרשיו שהוא שלשים ותשעה
Line AB is the size of the square and we wish to state the measure of AB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2}}$	ויהיה קו א"ב ממנו הוא שיעור המרובע ואנו נרצה שנודיע שיעור א"ב
We construct square DHBG on line BG; it is the same as a hundred times the surface resulting from the product of line AB by one of its units. $\scriptstyle{\color{blue}{DHBG=100\sdot\left(AB\times1\right)}}$	הנה נעשה על קו ב"ג מרובע ד והוא מרובע דהב"ג והנה הוא כמו מאה פעמים השטח היוצא בהכאת קו א"ב באחד מא[חד]יו
Because line BG is ten roots of line AB. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=10\sqrt{AB}}}$	בעבור כי קו ב"ג הוא עשרה שרשים מקו א"ב
When ten roots of a thing are multiplied by themselves, the result is as one hundred of that thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10\sqrt{a}\right)^2=100a}}$	ועשרה שרשים מהדבר כשהוכו על עצמם יהיה המתקבץ כמו מאה דמיוני אותו הדבר
We construct line AM circumscribing a right angle with line AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AM\perp AG}}$	ונשים קו א"מ מקיף עם קו א"ג בזוית נצבה
We suppose its measure is a hundred [units] of [the units] by which line AG is thirty-nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=100}}$	ונשימהו בשיעור מאה מאשר בם קו א"ג שלשים ותשעה
We complete surface AN; it is known that its measure is 3900. $\scriptstyle{\color{blue}{AN=3900}}$	ונשלים שטח א"נ והנה שעורו ידוע כי הוא שלשת אלפים תת"ק
Since it is generated from the product of line AG, which is thirty-nine, by line AM, which is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{AN=AG\times AM=39\times100}}$	בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שלשים ותשעה בקו א"מ שהוא מאה
We extend line BC parallel to AM. $\scriptstyle{\color{blue}{BC\parallel AM}}$	ונמשיך קו ב"ח נכחי לקו א"מ
Surface AC is equal to square BH, because it is also a hundred times the product of line AB by one of its units. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=BH=100\sdot\left(AB\times1\right)}}$	והנה יהיה שטח א"ח שוה למרובע ב"ה כי הוא גם כן מאה דמיוני הכאת קו א"ב באחד מאחדיו
Since the length of line AM is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=100}}$	בעבור כי אורך קו א"מ מאה
Therefore, surface DHCN is also 3900 and it is generated from the product of line GH by line HN. $\scriptstyle{\color{blue}{DHCN=GH\times HN=3900}}$	ויהיה מפני זה שטח דהח"נ גם כן שלשת אלפים ~~משל~~ תת"ק והוא מהכאת קו ג"ה בקו ה"נ
Because GH is the same as HD. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=HD}}$	כי ג"ה כמו ה"ד
Line GN is one hundred, because it is equal to AM. $\scriptstyle{\color{blue}{GN=AM=100}}$	והנה קו ג"נ מאה מפני שהוא שוה לא"מ
We divide it in half at point L [= L midpoint of GN].	ונחלקהו לחציין על נקודת ל‫'
Line NH is added to it.	וכבר נוסף עליו קו נ"ה
Therefore, the surface of the product of HN by GH plus the square of line GL are equal to the square of line LH, as Euclid explained in the second section of his book [Elements II]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(HN\times GH\right)+GL^2=LH^2}}$	ויהיה מפני זה שטח הכאת ה"נ בג"ה ומרובע קו ג"ל יחד שוה למרובע קו ל"ה כמו שביאר אקלידס במאמ' שני מספרו
But, it is known that the sum of surface HN by GH plus the square of GL is 6400. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(HN\times GH\right)+GL^2=6400}}$	אבל שטח ה"נ בג"ה ומרובע ג"ל מקובצים הוא ידוע שהם ששת אלפים ות‫'
Because surface HN by GH is 3900. $\scriptstyle{\color{blue}{HN\times GH=3900}}$	כי שטח ה"נ בג"ה הוא שלשת אלפים תת"ק
The square of GL is 2500. $\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=2500}}$	ומרובע ג"ל הוא אלפים ת"ק
So, the square of line LH is 6400. $\scriptstyle{\color{blue}{LH^2=6400}}$	ומפני זה יהיה מרובע קו ל"ה ששת אלפים ות‫'
Line LH is eighty. $\scriptstyle{\color{blue}{LH=80}}$	וקו ל"ה יהיה שמנים
But, line GH is the same as the square of line BG. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=BG^2}}$	אבל קו ג"ה כמו מרובע קו ב"ג
Therefore the sum of lines BG and LG is eighty. $\scriptstyle{\color{blue}{BG+LG=80}}$	הנה כי קוי ב"ג ל"ג מקובצים הם שמנים
When we subtract them from lines AG and GL that are eighty-nine, line AB remains nine, which is the measure of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=\left(AG+GL\right)-\left(BG+LG\right)=89-80-9}}$	וכאשר נגרעם מקוי א"ג ג"ל שהם שמנים ותשעה ישאר קו א"ב שהוא שיעור מרובע תשעה
Q.E.D.	והוא מש"ל
Said Finzi the translator: where do we see and from where did the author [= Abū Kāmil] deduces that ten roots of the thing, multiplied by themselves, generate a surface whose measure is a hundred times the thing?	אמ"פ המעתיק מאי לנו שנתבונן מאין ‫^[6]הוציא בעל הספר שעשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו שטח שיעורו מאה דמיוני הדבר‫^[7]
We say that it is clear from the first geometrical illustration in this book that one root of the thing is of the same length as the side of the thing, and when it is multiplied by itself it is equal to the thing.	ונאמ' כי הוא מבואר מהתמונה הראשונה מזה הספר ששרש אחד מהדבר הוא באורך כמו צלע הדבר וכשהוכה על עצמו הוא שוה לדבר
And from the fourth proposition in the second section of Euclid [Euclid, Elements, Book II, proposition 4], when he says:	ומהתמונ' הרביעית ממאמר שני לאקלידס באמרו
For every line that is cut into two segments randomly, the square of the whole line equals the two squares of the segments plus double the quadrilateral encompassed by the two segments. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(A+B\right)^2=A^2+B^2+2AB}}$	כל קו אשר יחלק לשני חלקים איך שהזדמן הנה מרובע הקו כלו שוה לשני מרובעי החלקים ולכפל שטח נצב הזויות שיקיפו בו שני החלקים
It is clear from this that when the two segments of the line are equal, the square of the whole line equals four squares of one of the segments. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(A+A\right)^2=4A^2}}$	הנה התבא' משם כי כאשר השני חלקים מהקו שוים יהיה מרובע הקו כלו שוה לארבעה מרובעים מחלק אחד מהם
The one who understands can easily learn from this that two roots of the thing, multiplied by themselves, generate a square that equals four times the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(2\sqrt{x}\right)^2=4x}}$	ומזה ישכיל המבין בנקלה כי שני שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו מרובע ישוה לארבעה דמיוני הדבר
For, when the two roots of the thing are arranged attached on a straight line, they generate a line that is double the two roots of the thing.	כי הנה שני שרשי' מהדבר כאשר סודרו מדובקים על קו ישר יחדשו קו הוא כפל שני שרשים מהדבר כאשר סודרו מדובקים קו צלע מהדבר
By this analogy, and from that same illustration, it is possible to explain that as much as the roots of the things are multiplied and gathered together, their square consists of the multiples of the thing by the ratio of the square numbers of multiples of the roots.	והנה על זה ההקש ומהתמונה ההיא בעינה יתכן לבאר כי כל אשר יתרבו השרשים מהדבר להאסף יחד יהיה מרובעם יוסיף להחזיק מדמיוני הדבר על יחס מרובעי מספרי פעמי השרשים
For example: we gathered three roots of a certain square, as if you say, of one hundred; they are thirty and their square is 900. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sqrt{100}\right)^2=30^2=900}}$	דמיון זה אספנו יחד שלשה שרשים ממרובע מה כאלו תאמ' מאה יהיו שלשים ומרובעם תת"ק
900 is nine times a hundred, as nine, which is a square of three, is the multiple of the roots. $\scriptstyle{\color{blue}{900=9\sdot100=3^2\sdot100}}$	הנה תת"ק הוא תשעה דמיוני מאה כמו שתשעה הוא מרובע שלשה שהוא פעמי השרשים
Deduce from this.	והקש על זה
This is clear from proposition [1]1 of the eighth of Euclid [Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11]	וכבר יתבא' זה אם כן מתמונת א' משמיני לאקלידס
Because it is explained there that the ratio of a square to a square is the same as the ratio of the side to the side multiplied by itself. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{A^2:B^2=\left(A:B\right)^2}}$	כי הנה התבא' שם כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו שנוי בכפל
It is clear from what we said at the beginning, that the ratio of the side of the thing to ten of its roots, summed together, is as the ratio of one to ten. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{x}:10\sqrt{x}=1:10}}$	והוא מבואר ממה שאמרנו תחלה כי יחס צלע הדבר אל עשרה משרשיו מדובקים יחד הוא כיחס אחד אל עשרה
The ratio of one to ten duplicated is a tenth of a tenth, which is one [part] of a hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1:10\right)^2=\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}=\frac{1}{100}}}$	ויחס אחד אל עשרה שנוי הוא עשירית העשירית שהוא אחד ממאה
Therefore, the ratio of the thing, which is the square of the side of the thing, to the square of ten of its roots, is the ratio of one to one hundred. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x:\left(10\sqrt{x}\right)^2=\left(\sqrt{x}\right)^2:\left(10\sqrt{x}\right)^2=1:100}}$	ולכן יהיה יחס הדבר שהוא מרובע צלע הדבר אל מרובע עשרת שרשיו הוא יחס אחד אל מאה
So, the square of ten roots of the thing is one hundred times the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10\sqrt{x}\right)^2=100x}}$	אם כן יהיה מרובע עשרת שרשי הדבר מאה דמיוני הדבר
Q.E.D.	והוא מש"ל
This chapter is completed.	ונשלם זה החלק
Chapter: Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx	פרק
He said: squares and numbers that are equal to roots is as if you say: when you sum twenty-one dirham with a certain square, they are equal to ten roots of the square. $\scriptstyle x^2+21=10x$	אמ' המרובעי' והמספרי' שישוו לשרשים הוא כאלו תאמ' כאשר תקבץ עם מרובע מה עשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה משרשים מהמרובע
We find [the solution] of this category also by the two previous methods, I mean, the method that reveals the root of the square to you and the method that reveals the square to you.	הנה גם כן לזה החלק נמצאם שני האופני' הראשוני' רצו' האופן שיראך שרש המרובע והאופן שיראך המרובע
Each [is done] in two ways: one by adding and the other by subtracting.	ולכל אחד משניהם שני צדדים צד אחד לתוספת וצד אחד למגרעת
The solution method that yields the root of the square
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c}}}$
He said: the method that reveals the root of the square to you is that you take half [the number of] the roots, and multiply it by itself, then subtract the numbers from the result.	אמ' והאופן אשר יראך שרש המרובע הוא שתקח מחצית השרשים ותכם בעצמם וממה שיתקבץ תגרע המספרים
You extract the root of the remainder and subtract it from half [the number of] the roots; the remainder is the root of the square.	ותקח שרש הנשאר ותגרעהו ממחצית השרשים והנשאר הוא שרש המרובע
In the mentioned example, we take half [the number of] the roots; it is five.	והנה בדמיון הנזכר לקחנו מחצית השרשים והוא חמשה
We multiply it by itself; it is twenty-five.	והכינו חמשה בעצמו והיה עשרים וחמשה
We subtract the number of dirham from it; four remains.	גרענו מהם מספר האדרהמי ונשארו ארבעה
Its root is two.	ושרשם שנים
We subtract it from five; three remains, which is the root of the square.	‫^[8]גרענום מחמשה ונשארו שלשה הוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5-\sqrt{5^2-21}=5-\sqrt{25-21}=5-\sqrt{4}=5-2=3}}$
The square is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{x_1^2=9}}$	והמרובע תשעה
This is the subtraction way.	וזה צד המגרעת
If you want, a the two to half [the number of] the roots; it is seven and this is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5+2=7}}$	ואם תרצה הוסיף השנים על מחצית השרשים ויהיו שבעה והם שרש המרובע
The square is forty-nine. $\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=49}}$	והמרובע יהיה תשעה וארבעים
He said: you should know that if the product of half [the number of] the roots by itself is less than the dirham that are with the square, then the problem is false. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<c\longrightarrow\varnothing}}$	אמ' וראוי שתדע כי אם יהיה המתקבץ מהכאת מחצית השרשים על עצמו פחות מהאדרהמי אשר עם המרובע כי אז תהיה השאלה כוזבת
Yet, sometimes the product is equal to the number of the dirham - then, the root of the square is the same as half [the number of] the roots, no more and no less. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c\longrightarrow x=\frac{1}{2}\sdot b}}$	אבל פעמים יהיה המתקבץ שוה למספר האדרהמי ואז יהיה שרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
I will explain to you everything we have said with geometric illustrations.	והנני אבאר לך כל אשר אמרנו בגה"ו עם תמונות גימטריות
The solution method that yields the square
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2-\left(b^2\sdot c\right)}-c}}$
He said: the method that reveals the square to you is that we multiply [the number of] the roots by itself, then multiply the product by the numbers. Keep the result.	אמ' והאופן אשר יראה לך המרובע הוא שנכה השרשים על עצמם והעולה נכהו על המספרי' ושמור מה שיתקבץ
We take half the product of the roots and multiply it by itself.	עוד נקח מחצית הכאת השרשים ונכהו בעצמו
We subtract the reserved from the product.	ומה שיתקבץ נגרע ממנו השמור
Extract the root of the remainder.	ותקח שרש הנשאר
Subtract it from half the product of the roots.	ותגרעהו ממחצית הכאת השרשים
Subtract also the number of the dirham from the remainder; what remains is the square.	עוד תגרע מהנשאר מספר האדרהמי ומה שישאר הוא המרובע
In the mentioned example, we multiply [the number of] the roots by itself; the result is one hundred.	והנה בדמיון הנזכר הכינו השרשים בעצמם ועלה מאה
We multiply one hundred by twenty-one; it is 2100. We keep it.	הכינו מאה בעשרי' ואחד והיו אלפיים ומאה ושמרנום
We take half a hundred and multiply it by itself; the product is 2500.	עוד לקחנו מחצית מאה והכינום בעצמם והתקבץ אלפיים ות"ק
We subtract the reserved from it; four hundred remains.	גרענו מהם השמור ונשאר ארבע מאות
Its root is twenty.	ושרשם עשרים
We subtract it from fifty; thirty remains.	גרענום מחמשי' ונשאר שלשים
We subtract the number of the dirham from thirty; nine remains and it is the square.	וגרענו משלשים מספר האדרהמי ונשאר תשעה והוא המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21=50-\sqrt{2500-2100}-21=50-\sqrt{400}-21=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}$
This is the subtraction way.	וזה הוא צד המגרעת
If you want the addition way, add twenty to fifty; it is seventy.	ואם תרצה צד התוספת תוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים
Subtract the number of the dirham from it; forty-nine remains and it is the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=\left(50+20\right)-21=70-21=49}}$	ותגרע מהם מספר האדרהמי וישאר תשעה וארבעי' הוא המרובע
Normalization:
He said: if the squares in the question exceed one, or are less than one, always restore them to one square according to the way I have demonstrated to you in the previous chapter.	אמ' וכמו כן אם יעדיפו המרובעים בשאלה על אחד או יגרעו מאחד שלם השיבם לעולם אל מרובע אחד על הדרך שהראיתיך בחלק שעבר
The reason for the method that yields the root of the square
He said: now I will show you the reason we use the method that reveals the root of the square.	אמ' ועתה אבוא להראות לך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
First, you should know that the reason for the addition and subtraction methods is in accordance with the excess or the deficiency of the square over the number.	וראשונה ראוי שתדע כי סבת צדדי התוספת והמגרעת היא כפי מה שיעדיף המרובע על המספרי' או שיגרע מהם
For, if [the square] exceeds [the numbers] $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2>c}}$ : the addition method is needed.	כי אם יעדיף אז הוא צריך צד התוספת
If [the square] is less than [the numbers] $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2<c}}$ : the subtraction method is needed.	ואם יגרע אז יצטרך צד המגרעת
As I will demonstrate to you in the two illustrations I draw for you now:	כמו שאראה אותך בשתי תמונו' אשר ארשום לך עתה
Geometric illustration of [the subtraction method]: when the square is less than the numbers $\scriptstyle x^2<c$
First I draw [an illustration for the case] when the square is less than the numbers:	וארשום ראשונה כאשר יגרע המרובע מהמספרי‫'

It is that we suppose the square is square ABGD. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2}}$	והוא שנניח המרובע הוא מרובע אבג"ד
Surface ABHL attached to it is as twenty-one dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHL=21}}$	ושטח אבה"ל הדבק אצלו הוא על דמיון העשרים ואחד דרהמי
We assumed that surface ABHL is greater than ABGD, line BL is longer than line BD. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHL>ABGD\longrightarrow BL>BD}}$	ומפני כי שטח אבה"ל הנחנוהו גדול מאבג"ד יהיה קו ב"ל גדול מקו ב"ד
We assumed that the whole surface HLGD is ten roots of square ABGD. $\scriptstyle{\color{blue}{HLGD=10\sqrt{ABGD}=10x}}$	ומפני כי כל שטח הלג"ד הנחנוהו עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד
Hence, line LD is ten, as explained above. $\scriptstyle{\color{blue}{LD=10}}$	יהיה קו ל"ד עשרה כמו שהתבא' למעלה
We wish to know the measure of line BD.	ואנו מבקשים לדעת שיעור קו ב"ד
We cut line LD, which is ten, in half at point C [= C midpoint of LD]	הנה נחלק קו ל"ד שהוא עשרה לחצאין על נקודת ח‫'
It has already been cut into two unequal segments at point B.	וכבר נחלק גם כן לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב‫'
Therefore, the product of LB by BD plus the square of CB are equal to the square of CD, as explained in Euclid's second [book] [Euclid, Elements, Book II, (proposition 5)]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(LB\times BD\right)+CB^2= CD^2}}$	ויהיה מפני זה הכאת ל"ב בב"ד עם מרובע ח"ב ישוו למרובע ח"ד כמבואר בשני מאקלידס
But, it is known that the square of CD is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{CD^2=25}}$	אבל מרובע ח"ד הוא ידוע ‫^[9]שהוא עשרים וחמשה
Since line CD is five. $\scriptstyle{\color{blue}{CD=5}}$	בעבור כי קו ח"ד חמשה
The product of LB by BD is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{LB\times BD=21}}$	והכאת ל"ב בב"ד הוא עשרים ואחד
Since BD is equal to BA. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=BA}}$	בעבור כי ב"ד הוא שוה לב"א
Therefore, the square of CB remains four. $\scriptstyle{\color{blue}{CB^2=4}}$	ולכן ישאר מרובע ח"ב ארבעה
Its side, which is CB, is two. $\scriptstyle{\color{blue}{CB=2}}$	וצלעו שהוא קו ח"ב שנים
We subtract it from line CD, which is five, line BD remains three and it is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=CD-CB=5-2=3}}$	גרענום מקו ח"ד שהוא חמשה וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע
The square is nine and it is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והמרובע תשעה והוא המבוקש
If you want me to illustrate to your eye what I have said, we construct square KC[N]D on line CD. $\scriptstyle{\color{blue}{KCND= CD^2}}$	ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי הנה נשים על קו ח"ד מרובע והוא מרובע כחג"ד
It is known that its measure is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{KCND=25}}$	והוא ידוע בשיעוריו עשרים וחמשה
Since line CD is five. $\scriptstyle{\color{blue}{CD=5}}$	בעבור כי קו ח"ד חמשה
Surface CG is the same as surface CH. $\scriptstyle{\color{blue}{CG=CH}}$	ושטח ח"ג הוא כמו שטח ח"ה
Because line LC is the same as line CD. $\scriptstyle{\color{blue}{LC=CD}}$	בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
Surface AC is the same as surface AN. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=AN}}$	ושטח א"ח כמו שטח א"נ
Therefore, when surface AC is summed with surface CH, [their sum] is equal to the sum of surface AN with surface CG. $\scriptstyle{\color{blue}{AC+CH=AN+CG}}$	ולכן כאשר יקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה יהיה שוה למקובץ משטח א"נ עם שטח א ח"ג
But, it is known that [the sum of] surface AC with surface CH is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{AC+CH=21}}$	אבל מקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה הוא ידוע שהוא עשרים ואחד
So, the sum of surface AN with surface CG is also twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{AN+CG=21}}$	ולכן יהיה מקובץ שטח א"נ עם שטח ח"ג גם כן עשרים ואחד
The measure of surface KA that is left from square KHGD is four. $\scriptstyle{\color{blue}{KA=4}}$	וישאר שטח כ"א ממרובע כהג"ד שיעורו ארבעה
Surface KA is a square.	ושטח כ"א מרובע
Because line KN is the same as line KC. $\scriptstyle{\color{blue}{KN=KC}}$	בעבור כי קו כ"נ כמו קו כ"ח
Line CS is the same as line NM. $\scriptstyle{\color{blue}{CS=NM}}$	וקו ח"ס כמו קו נ"מ
Line KS that remains is the same as line KM. $\scriptstyle{\color{blue}{KS=KM}}$	וישאר קו כ"ס כמו קו כ"מ
Line KM is two and it is equal to line CB; so line CB is two. $\scriptstyle{\color{blue}{CB=KM=2}}$	וקו כ"מ שנים והוא שוה לקו ח"ב אם כן קו ח"ב שנים
Line BD remains three and it is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=3}}$	וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע
The square is nine and it is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והמרובע תשעה ו והוא שרש המבוקש
In this illustration, the reason for the method that leads you to know the square of the root is clarified to you by proof and by sight.	הנה כי בזאת התמונה התבאר לך במופת ובעין סבת האופן אשר יובילך אל ידיעת שרש המרובע
Moreover, the reason for the subtraction method, when the square is less than the numbers, is also clarified to you from this.	וכן התבא' לך מפניה סבת צד המגרע' כי הוא כאשר המרובע הוא פחות מהמספרים
We must therefore subtract line CB, which we find by a technique, from line CD known by supposition, and we get the measure of line BD that is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=CD-CB}}$	ולכן הוצרכנו לגרוע קו ח"ב אשר ידענו עם תחבולה מקו ח"ד הנודע בהנחה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
Geometric illustration of the addition method: [when the square exceeds the numbers] $\scriptstyle x^2>c$
Now, the reason of the addition method will be revealed to you from this second illustration as for the previous rule.	ועתה מזאת התמונה השנית יגלה אליך בכמו ההנהגה הקודמת סבת צד התוספת

We suppose here that square ABGD is greater than surface ABHL. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD>ABHL}}$	כי הנחנו בה מרובע אבג"ד גדול משטח אבה"ל
It follows that in order to know the measure of BD, we should add line CB to line CD. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=CD+CB}}$	ולכן ימשך בסוף כי כדי לדעת שיעור ב"ד נצטרך להוסיף קו ח"ב על קו ח"ד
We do not need to elaborate on that, as it is clear from what we wrote first, for the proof is one [and the same].	ולא נצטרך להאריך בזה כי הוא מובן מאשר כתבנו ראשונה כי המופת אחד
But, in order to illustrate it to your eye, the proof is slightly changed, therefore we will explain it to you:	אבל כדי להראותך זה לעין ישתנה מעט המופת ולכן נבארהו לך
We construct square KC[N]D on line CD. $\scriptstyle{\color{blue}{KC[N]D=CD^2}}$	והוא שנשים על קו ח"ד מרובע כחג"ד
We extend line CK to S and line DN to G.	ונמשיך קו ח"כ עד ס' וקו ד"נ עד ג‫'
We wish to show that when surface ABHL is added to square AMSK, [the sum] is equal to square KC[N]D that is known to be twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHL+AMSK=KCND=25}}$	ונרצה שאראה לך איך שטח אבה"ל כשיתקבץ עם מרובע אמס"כ יהיה שוה למרובע כחג"ד הידוע שהוא עשרים וחמשה
We say that it is known that surface CG is the same as surface HC. $\scriptstyle{\color{blue}{CG=HC}}$	ונאמ' כי הוא ידוע כי שטח ח"ג כמו שטח ה"ח
Since line LC is the same as line CD. $\scriptstyle{\color{blue}{LC=CD}}$	בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
Surface MC is the same as surface SN. $\scriptstyle{\color{blue}{MC=SN}}$	ושטח מ"ח כמו שטח ס"נ
The [sum of the] remaining surfaces ABHL and ANSK is equal to KC[N]D. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHL+AMSK=KCND}}$	וישארו שטח אבה"ל ואמס"כ שוים לכחג"ד
But, ABHL is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHL=21}}$	אבל אבה"ל הוא עשרים ואחד
So, AMSK that remains is four and AMSK is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{AMSK=4}}$	ולכן ישאר אמס"כ ארבעה ואמס"כ הוא מרובע
Therefore, line AS is two and it is equal to CB. $\scriptstyle{\color{blue}{CB=AS=2}}$	ולכן יהיה קו א"ס שנים והוא שוה לח"ב
We add it to CD that is known to be five; we receive the measure of line BD, which is seven and it is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=CB+CD=2+5=7}}$	הוספנוהו על ח"ד הידוע שהוא חמשה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שבעה והוא המבוקש
It is clarified from what we have said that [the difference between] the product of half [the number of] the roots by itself [and] the numbers [is] always the measure of the square $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c=x^2}}$ , whether the square is less than the numbers $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2<c}}$ , or exceeds them $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2>c}}$ .	אמ' וכבר התבאר ממה שאמרנו כי לעולם תעדיף הכאת מחצית השרשים על עצמם מהמספרים בשיעור מרובע א"כ בין יגרע המרובע מהמספרים או שיעדיף עליהם
[The case that] is left for us to explain is when the product of half [the number of] the roots by itself is the same as the numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c}}$	ונשאר עלינו שנבאר כאשר יהיה ^[10]העולה מהכאת מחצית השרשים על עצמו כמו המספרים
In that case, the square is the same as the numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=c}}$	שאז יהיה המרובע כמו המספרים
And the root of the square is the same as half the roots, no more and no less. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\frac{1}{2}\sdot b}}$	ושרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
Example: one says: a square plus twenty-five [dirham] are equal to ten roots of the square. $\scriptstyle x^2+25=10x$	דמיון זה שיאמ' מרובע מה ועשרים וחמשה שרשים ישוו לעשרה שרשים מהמרובע

We suppose the square is square ABGD. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2}}$	ונניח המרובע שטח מרובע עליו אבג"ד
We attach surface ABHW to it, as an analogous of the twenty-five dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=25}}$	ונחבר עמו שטח אבה"ו על דמיון העשרים וחמשה דרהמי
The whole surface GW is ten roots of square ABGD. $\scriptstyle{\color{blue}{GW=ABGD+ABHW=10\sqrt{ABGD}=10x}}$	ויהיה כל שטח ג"ו עשרה שרשים ממרובע אבג"ד
Therefore, line DW is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{DW=10}}$	ולכן יהיה קו ד"ו עשרה
We wish to know the measure of line BD, which is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=x}}$	ורצינו שנודיע כמה שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
We cut line DW in half at point C [= C midpoint of DW].	הנה נחלק קו ד"ו לחצאין על נקוד' ח‫'
One of three possible cases necessarily occurs: either point C falls above point B, or beneath it, or exactly on it [C=B].	ולא ימלט הדבר מאחד משלשה ענינים אם שתפול נקודת ח' למעלה מנקוד' ב' או למטה ממנה או שתפול עליה ממש
First, we suppose that point C falls above point B.	ונניח ראשונה שתפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב‫'
If this is possible, line DW is cut in half at point C [= C midpoint of DW] and into two unequal segments at point B.	אם יתכן זה ויהיה מפני זה קו ד"ו נחלק לחצאין על נקודת ח' ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב‫'
Therefore, [the sum of] the product of DB by BW and the square of CB by itself is equal to the product of CW by itself, as explained in Euclid's second [book] [Euclid, Elements, Book II, (proposition 5)] $\scriptstyle{\color{blue}{\left(DB\times BW\right)+CB^2=CW^2}}$	ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב על עצמו ישוו להכאת ח"ו על עצמו כמבואר בשני מאקלידס
But, the product of WC by itself is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{WC^2=25}}$	אבל הכאת ו"ח על עצמו הוא עשרים וחמשה
Because we assumed it is half WD, which is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{WC=\frac{1}{2} WD}}$	בעבור כי הנחנוהו חצי ו"ד שהוא עשרה
So, the product of DB by BW with the square of CB are equal to twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(DB\times BW\right)+CB^2=25}}$	ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב ישוו עשרים וחמשה
Yet, we assumed previously that surface ABHW that is generated from the product of BW by BA that is equal to BD is twenty-five, without the square of CB. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=BW\times BA=BW\times BD=25}}$	וכבר הנחנו קודם שטח אבה"ו שהוא מהכאת ב"ו בב"א השוה לב"ד עשרים וחמשה מבלעדי מרובע ח"ב
The more equals the less - it is impossible.	אם כן הרב ישוה למעט זה חלוף לא יתכן
So, point C cannot fall above point B.	אם כן לא תפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב‫'
Similarly, it is clear that it cannot fall beneath it.	וכמו זה יתבאר שלא יתכן שכ שתפול למטה ממנה
Hence, point B itself is necessarily the midpoint of line WD [B = C].	אם כן יצטרך שתהיה נקודת ב' עצמה הוא הנקוד' הנחלק עליה קו ו"ד לחצאי‫'
Thus, line BD, which is half [the number of] the roots, is the root of the square and it is five. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=x=5}}$	ולכן יהיה קו ב"ד שהוא מחצית השרשים הוא שרש המרובע והוא חמשה
Its square is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{BD^2=x^2=25}}$	ומרובעו חמשה ועשרים
The explanation is completed.	ונשלם ביאורו
The reason for the method that yields the square
Said Finzi, the translator: the proof of the method that reveals the square to us has been omitted from the book I translated. So, I thought I should explain it, and drew three illustrations for its explanation:	אמ"פ המעתיק הנה נשמט מהספר שהעתקתי ממנו מופת האופן שהראה לנו בו המרובע ולכן ראיתי שאב^ארהו וארשום בבאורו שלשה תמונות
In the first, the addition method is clarified.	הראשונה יתבא' בה צד התוספת
In the second, the subtraction method.	ובשנית צד המגרעת
In the third, [the case] is shown, where the numbers are equal to the product of half [the number of] the roots by itself - when there is no need for addition or subtraction.	ובשלישית צד יראה עמה כאשר השתוו המספרים להכאת מחצית השרשים על עצמם שאז לא יצטרך תוספת ולא מגרעת
Geometric illustration of the addition method: [when the square exceeds the numbers] $\scriptstyle x^2>c$
We explain it first:	ונקח לבאר זאת הראשונה

It is that we suppose line AG is the sum of the square plus twenty-one dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=x^2+21}}$	והוא שהנחנו קו א"ג המקובץ מהמרובע ועשרי' ואחד דרהמי
AB is the measure of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2}}$	וא"ב ממנו הוא שיעור מרובע
BG is the measure of the dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=21}}$	וב"ג ממנו הוא שיעור הדרהמי
AB is longer than BG, since the addition method follows from it. $\scriptstyle{\color{blue}{AB>BG}}$	וא"ב גדול מב"ג כי עם זה יגיע צד התוספת
We suppose that the whole line AG is ten roots of the square, because so is the question. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10x}}$	והנחנו קו א"ג הוא כלו עשרה שרשים מן המרובע כי כן היתה השאלה
We wish to know the measure of line AB.	ורצינו שנודיע שיעור קו א"ב
We construct square AGDH on line AG, so it is a hundred times the surface that is generated from the product of AB by one of its units, as we explained above. $\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=AG^2=100\times\left(AB\times1\right)}}$	נשים על קו א"ג מרובע עליו אגד"ה והנה הוא מאה דמיוני השטח העולה מא"ב מוכה באחד מאחדיו כמו שבארנו למעלה
Since AG is ten roots of AB. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10\sqrt{AB}}}$	בעבור כי א"ג עשרה משרשים מא"ב
Ten roots of the thing multiplied by themselves are the same as a hundred times the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10\sqrt{X}\right)^2=100X}}$	ועשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם כמו מאה דמיוני מהדבר
We extend line AD straight to W.	ונמשיך קו א"ד בי^ושר עד ו‫'
We suppose it is a hundred [units], of which line BG is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{AW=100}}$	ונשימהו מאה ממה שבו קו ב"ג עשרים ואחד
We draw lines BTZ and GHC both parallel to line AW and equal to it.	‫^[11]ונוציא קוי בט"ז גה"ח נכחיים לקו א"ו ושוים אליו
We attach points W and C through line WZC.	ונגיע נקדות ו"ח עם קו וז"ח
Surface ABWZ is equal to square AGDH, because it is also a hundred times the surface that is generated from the product of line AB by one of its units. $\scriptstyle{\color{blue}{ABWZ=AGDH=AG^2=100\times\left(AB\times1\right)}}$	הנה שטח אבו"ז שוה למרובע אגד"ה בעבור כי הוא גם כן מאה דמיוני השטח העולה מהכאת קו א"ב באחד מאחדיו
Since its side AW is a hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{AW=100}}$	כי צלע א"ו ממנו הוא מאה
We subtract surface AT shared by both.	ונבדיל שטח א"ט המשותף
Surface GT remains equal to surface TW. $\scriptstyle{\color{blue}{GT=AGDH-AT=ABWZ-AT=TW}}$	וישאר שטח ג"ט שוה לשטח ט"ו
We subtract surface GT from surface BGZC and add the remainder to surface TW that is equal to GT that we subtracted, so surface DHWC is equal to surface BGZC. $\scriptstyle{\color{blue}{DHWC=\left(BGZC-GT\right)+TW=BGZC}}$	ונבדיל שטח ג"ט משטח בגז"ח וקבצנו עם הנשאר שטח ט"ו השוה לג"ט שהבדלנו ויהיה מפני זה שטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח
Surface BG[Z]C is known to be 2100. $\scriptstyle{\color{blue}{BGZC=2100}}$	ושטח בגו"ח היה ידוע שהוא אלפיי' ומאה
Since BG is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=21}}$	בעבור כי ב"ג הוא עשרים ואחד
GC is a hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{GC=100}}$	וג"ח הוא מאה
Therefore, surface DHWC is 2100 and it is the same as the product of GD by HC. $\scriptstyle{\color{blue}{DHWC=GD\times HC=2100}}$	ולכן יהיה שטח דהו"ח אלפיים ומאה והוא כמו הכאת ג"ד בה"ח
Because, line DH is equal to line GH. $\scriptstyle{\color{blue}{DH=GH}}$	כי קו ד"ה שוה לקו ג"ה
GC is cut in half at point L [= L midpoint of GC].	ונחלק ג"ח לחצאין על נקודת ל‫'
It has already been cut into two unequal segments at point H.	וכבר נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה‫'
Therefore, the product of line GL by itself is equal to [the sum of] the product of GH by HC and the square of HL, as explained in Euclid's second [book] [Euclid, Elements, Book II, (proposition 5)] $\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=\left(GH\times HC\right)+HL^2}}$	ולכן יהיה הכאת קו ג"ל על עצמו שוה להכאת ג"ה בה"ח ולמרובע ה"ל יחד כמו שהוא מבואר בשני לאקלידס
But, the product of line GL by itself is 2500. $\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=2500}}$	אבל הכאת קו ג"ל על עצמו היא אלפיים ות"ק
We subtract 2100 from it, which is the product of GH by HC; square HL remains four hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{HL^2=GL^2-\left(GH\times HC\right)=2500-2100=400}}$	ונגרע מהם אלפיים וק' שהם מהכאת ג"ה בה"ח ~~ולמרובע ה"ל יחד~~ וישאר מרובע ה"ל ארבע מאות
Its root is twenty and this is the measure of line HL. $\scriptstyle{\color{blue}{HL=\sqrt{400}=20}}$	ושרשם עשרים והם שיעור קו ה"ל
If the square exceeds the dirham [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2>c}}$ ], as is the case in the first illustration:	ואם המרובע יעדיף על הדרהמי כמו שהוא הענין בתמונה הראשונה
We add the twenty to line GL that is fifty; line GH is seventy. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=GL+HL=50+20=70}}$	נוסיף העשרים על קו ג"ל שהוא חמשי' ויהיה קו ג"ה שבעים
GA that is equal to GH is also seventy. $\scriptstyle{\color{blue}{GA=GH=70}}$	וג"א השוה לג"ה יהיה גם כן שבעים
We subtract from it line BG that is known to be twenty-one; line AB remains forty-nine and it is the required square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=GA-BG=70-21=49}}$	גרענו ממנו קו ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד וישאר קו א"ב תשעה וארבעים והוא המרובע שהוא המבוקש
Geometric illustration of the subtraction method: when the square is less than the numbers $\scriptstyle x^2<c$
If the square is less than the dirham [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2<c}}$ ], as is the case in the second illustration:	ואם המרובע פחות מהדרהמי כמו שהוא הענין בזאת התמונה השנית

We subtract the twenty, which is the measure of line HL, from line GL, which is fifty; line GH remains thirty. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=GL-HL=50-20=30}}$	אז נגרע העשרים שהוא שעור קו ה"ל מקו ג"ל שהוא חמשים וישאר קו ג"ה שלשים
AG is equal to GH. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=GH=30}}$	וא"ג שוה לג"ה
We subtract the measure of BG that is known to be twenty-one; the measure of line AB remains nine, which is the required square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=AG-BG=30-21=9}}$	גרענו ממנו שעור ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד וישאר שעור קו א"ב תשעה והוא המרובע המבוקש
Geometric illustration of the case in which the product of half the roots by itself equals the dirham $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c$ → the square is the same as the dirham $\scriptstyle x^2=c$
After explaining the addition and subtraction methods in the two previous figures, when the product of half [the number of] the roots by itself is greater than the dirham [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}b\right)^2>c}}$ ], we explain the method that does not consists of addition or subtraction in the third figure, which is when the product of half [the number of] the roots by itself equals the dirham [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c}}$ ], that is when the square is the same as the dirham [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=c}}$ ].	ואחר שבארנו בשתי התמונות הקודמות צד התוספת וצד המגרעת הנופלים בזאת השאלה ~~התמונה~~ כאשר יהיה הכאת מחצית השרשים על עצמם יותר מהדרהמי הנה נבאר בזאת התמונה השלישית הצד שאין לו לא תוספת ולא מגרעת והוא כאשר תהיה הכאת המחצית שוה לדרהמי שאז יהיה המרובע כמו הדרהמי

We suppose line AG is the sum of the square plus twenty-five dirham and it is also equal to ten roots of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=x^2+25=10x}}$	ונניח קו א"ג מקובץ המרובע עם עשרים וחמשה דרהמי והוא גם כן שוה לעשרה שרשים מהמרובע
We continue the procedure as in the two previous illustrations until it is clear that surface DHWC is equal to surface BGZC and it is also equal to the product of GH by HC. $\scriptstyle{\color{blue}{DHWC=BGZC=GH\times HC}}$	ונמשיך המעשה כמעשה הקודם בשתי התמונות הקודמות עד המקום שיתבאר בו ששטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח והוא שוה גם כן להכאת ג"ה בה"ח
Since GH is the same as HD. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=HD}}$	בעבור כי ג"ה כמו ה"ד
But, surface BGZC is 2500. $\scriptstyle{\color{blue}{BGZC=2500}}$	אבל שטח ב"ג ז"ח הוא אלפיים ת"ק
Because BG is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=25}}$	כי ב"ג עשרים וחמשה
GC is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{GC=100}}$	וג"ח מאה
Therefore, the product of GH by HC is 2500. $\scriptstyle{\color{blue}{GH\times HC=2500}}$	אם כן הכאת ג"ה בה"ח אלפיים ת"ק
We cut line GC in half on L [= L midpoint of GC].	ונחלק קו ג"ח לחצאי' על נקודת ל‫'
Point L necessarily falls either above point H, below it, or on it.	ובהכרח תפול נקודת ל' אז למעלה מנקודת ה' או למט' ממנה או עליה
We will explain that it can only fall on it:	ונבאר שאי אפש' שתפול כי אם עליה
If it were possible, we assume it falls above it:	שאם אפש' נניח שנפלה ממנה
So, line GC is cut in half on point L [= L midpoint of GC].	ויהיה אם כן קו ג"ח נחלק לחצאין על נקודת ל‫'
And into two unequal segments on point H.	ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה‫'
The product of GH by HC plus the square of HL together are necessarily equal to the square of GL. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(GH\times HC\right)+HL^2=GL^2}}$	ויחויב שיהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל יחד שוים למרובע ג"ל
But, the square of GL is 2500. $\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=2500}}$	אבל מרובע ג"ל אלפיים ‫^[12]ת"ק
Because GL is fifty. $\scriptstyle{\color{blue}{GL=50}}$	כי ג"ל חמשים
So, the product of GH by HC plus the square of HL are 2500. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(GH\times HC\right)+HL^2=2500}}$	ולכן יהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל אלפיים ות"ק
Yet, earlier it was clarified that the product of GH by HC alone is 2500, without the square of HL. $\scriptstyle{\color{blue}{GH\times HC=2500}}$	וקודם זה התבאר שהכאת ג"ה בה"ח לבדו הוא אלפיים ות"ק מבלעדי מרובע ה"ל
The more equals the less - impossible.	אם כן יהיה הרב שוה למעט זה חלוף לא יתכן
Similarly to this explanation, it is clear that point L cannot fall beneath point H.	ובכמו זה הביאור יתבא' שאינה נופלת נקדת ל' למטה מנקודת ה‫'
Hence, H itself is necessarily the midpoint of line GC [H = L].	אם כן תהיה נקוד' ה' בעצמה היא אשר עליה יחצה קו ג"ח
Therefore, line GH is fifty and AG that is equal to GH is also fifty. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=GH=50}}$	ולכן יהיה קו ג"ה חמשים וא"ג השוה לג"ה יהיה גם כן חמשים
We subtract BG, which is twenty-five, from it; line AB remains twenty-five also and so is the required square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=AG-BG=50-25=25}}$	נגרע ממנו ב"ג שהוא עשרים וחמשה וישאר קו א"ב גם כן חמשה ועשרים וככה המרובע המבוקש
This chapter is completed.	ונשלם זה החלק
Chapter: Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax²	פרק
He said: roots and numbers that are equal to a square is as saying three roots and four dirham are equal to a square. $\scriptstyle3x+4=x^2$	אמ' שרשים ומספרים שישוו למרובע הוא כמו שיאמ' שלשה שרשים וארבעה דרהמי יהיו שוים למרובע
This category also has two solution methods: one reveals the root of the square to you the other reveals the square to you.	גם לזה החלק שני האופנים האחד יראך שרש המרובע והשני יראך המרובע
I will further illustrate them through geometric figures	ועוד אבארם בתמונות גימטריות
The solution method that yields the root of the square
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}}}$
He said: the method that reveals the root to you is that you halve [the number of] the roots, and multiply it by itself, then add the result to the numbers.	אמ' והאופן אשר יראך השרש הוא כי תחצה השרשים ותכם על עצמם ותקבץ העולה עם המספרים
You extract the root of the sum and add it to half [the number of] the roots; the result is the root.	עוד תקח שרש המקובץ ותקבצהו עם מחצית השרשים ומה שיגיע הוא השרש
We take a half of three; it is one and a half.	והנה לקחנו מחצית שלשה והוא אחד וחצי
We multiply it by itself; the result is 2 and a quarter.	הכינוהו על עצמו ועלה ב' ורביע
We add it to the four; it is six and a quarter.	וקבצנום עם הארבעה והיה ששה ורביע
Its root is two and a half.	ושרשם הוא שנים וחצי
We add it to one and a half; the result is four and it is the root of the square.	וקבצנוהו עם אחד וחצי והגיע ארבעה והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+4}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{6+\frac{1}{4}}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}$
The square is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע ששה עשר
The solution method that yields the square
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+\sqrt{\left(b^2\sdot c\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2}+c}}$
He said: the method that reveals the square to you is that you multiply [the number of] the roots by itself, then multiply the product by the numbers and keep the result.	אמ' והאופן אשר יראך המרובע הוא שתכה השרשים על עצמם ומה שיעלה תכהו במספרים והעולה שמור
Take half the product of [the number of] the roots by itself and multiply this half by itself.	עוד תקח מחצית הכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו
Add the result to the reserved and extract the root of the sum.	והעולה תקבץ עם השמור וקח שרש המקובץ
You sum it with half the product of the roots and with the numbers; the total sum is the square.	ותקבצהו יחד עם מחצית הכאת השרשי' ועם המספרים ומה שיתקבץ מהכל הוא המרובע
We multiply three by itself; the result is nine.	והנה הכינו השלשה בעצמם ועלה תשעה
We multiply nine by four; the result is thirty-six. We keep it.	הכינו תשעה בארבעה ועלה שלשים ושש ושמרנום
We take a half of nine; it is four and a half.	עוד לקחנו מחצית תשעה והוא ארבעה וחצי
We multiply it by itself; it is twenty and a quarter.	והכינום על עצמם והיה עשרים ורביע
We add it to the reserved; the total is fifty-six and a quarter.	קבצנום עם השמור והיה הכל ששה וחמשים ורביע
We extract its root; it is seven and a half.	לקחנו שרשם והוא שבעה וחצי
We sum it with the four and a half and with the four dirham that are with the roots; the total sum is sixteen and it is the square.	קבצנום יחד עם הארבעה וחצי ועם הארבעה דרהמי שהיו עם השרשים והתקבץ מהכל ששה עשר והוא המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)+\sqrt{\left(3^2\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)^2}+4=\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)+\sqrt{\left(9\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}+4=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(20+\frac{1}{4}\right)}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{56+\frac{1}{4}}+4=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)+4=16\\\end{align}}}$
Normalization:
Always remember to convert the squares into one square, whether they exceed one, or less than one in the question, as I demonstrated at first.	אמ' וזכור גם כן לעולם להשיב המרובעים אל מרובע אחד אם היה שהונחו מהם בשאלה יותר מאחד או פחות כאשר הראיתי בראשונה
Geometric illustration of the solution method that yields the root of the square

He said: for the proof of the method in which we reveal the root, we suppose the square is ABGD and it is generated from its three roots plus four numbers. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2=3x+4}}$	אמ' ולמופת האופן אשר הראנו בו השרש נניח המרובע אבג"ד והוא המחובר משלשה שרשיו וארבעה מספרים
We suppose that surface AHGN is the three roots. $\scriptstyle{\color{blue}{AHGN=3\sqrt{ABGD}=3x}}$	ונניח שיהיה שטח אהג"נ ממנו הוא שלשת השרשים
Surface HD that is left is the four numbers. $\scriptstyle{\color{blue}{HD=4}}$	ושטח ה"ד הנשאר ארבעת המספרים
It is known from what we said at the beginning of the book that the three roots are three numbers of the side. $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	והוא ידוע ממה שאמרנו בראש הספר כי שלשת השרשים יחזיקו שלשה מספרים מהצלע
So, it is known that line AH is three. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=3}}$	ולכן יהיה ידוע שקו א"ה שלשה
We wish to know the measure of HB that remains.	ורצוננו להודיע שיעור ה"ב הנשאר
We cut line AH in half at point C [= C midpoint of AH]	נחלק קו א"ה לחצאי' על נקודת ח‫'
Line HB is added to its length.	וכבר נוסף בארכו קו ה"ב
Therefore, the product of AB by BH plus the square of HC are equal to the product of CB by itself, as explained in Euclid's [Elements], book two. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AB\times BH\right)+HC^2=CB^2}}$	ולכן יהיה הכאת א"ב בב"ה עם מרובע ה"ח ישוו להכאת ח"ב על עצמו כמבואר בשני לאקלידס
But, it is known that the product of AB by BH is four, because it is equal to surface HD $\scriptstyle{\color{blue}{AB\times BH=HD=4}}$	אבל שטח הכאת א"ב בב"ה הוא ידוע שהוא ארבעה כי ‫^[13]הוא שוה לשטח ה"ד
Since AB is equal to BD. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=BD}}$	בעבור כי א"ב שוה לב"ד
The square of HC is two and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{HC^2=2+\frac{1}{4}}}$	ומרובע ה"ח הוא שנים ורביע
Their sum is six and a quarter. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(AB\times BH\right)+HC^2=}}{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}$	ומקובצם ששה ורביע
Therefore, the product of CB by itself is six and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{CB^2=6+\frac{1}{4}}}$	אם כן הכאת ח"ב על עצמו הוא ששה ורביע
Hence, line CB, which is its root, is two and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{CB=\sqrt{6+\frac{1}{4}}=2+\frac{1}{2}}}$	ולכן קו ח"ב שהוא שרשו הוא שנים וחצי
We add it to line AC, which is one and a half; the whole line AB is four and so is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{CB+AC=AB=x=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}$	נקבץ עמו קו א"ח שהוא אחד וחצי ויהיה כל קו א"ב ארבעה וככה שרש המרובע
The square is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע ששה עשר
He said: In order to explain this matter further, we construct square CBEK on line CB. $\scriptstyle{\color{blue}{CBEK=CB^2}}$	אמ' וכדי לבאר הדבר יותר הנחנו על קו ח"ב שטח מרובע עליו חבע"כ
It is known that line ME is the same as line KD $\scriptstyle{\color{blue}{ME=KD}}$	והוא ידוע שקו מ"ע כמו קו כ"ד
Since AB is the same as BD. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=BD}}$	בעבור כי א"ב כמו ב"ד
And BC is the same as KB. $\scriptstyle{\color{blue}{BC=KB}}$	וב"ח כמו כ"ב
And KD that remains is the same as AC. $\scriptstyle{\color{blue}{KD=AC}}$	ונשאר כ"ד כמו א"ח
AC is equal to CH and CH is the same as ME. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=CH=ME}}$	וא"ח שוה לח"ה וח"ה כמו מ"ע
Therefore, ME is the same as KD. $\scriptstyle{\color{blue}{ME=KD}}$	אם כן מ"ע כמו כ"ד
We assume that MT is the same as ND. $\scriptstyle{\color{blue}{MT=ND}}$	ונשים מ"ט כמו נ"ד
So, surface ET is the same as surface MD. $\scriptstyle{\color{blue}{ET=MD}}$	ולכן יהיה שטח ע"ט כמו שטח מ"ד
We assume that surface HK is added to both.	ונשים שטח ה"כ משותף
The [sum of the] two surfaces ET and HK is equal to the whole surface HD, which is four. $\scriptstyle{\color{blue}{ET+HK=HD=4}}$	ויהיה שני שטחי ע"ט ה"כ שוים לשטח ה"ד כלו שהוא ארבעה
It is known that surface CT is a square.	והוא ידוע כי שטח ח"ט מרובע
Since line CB is the same as line MH. $\scriptstyle{\color{blue}{CB=MH}}$	בעבור כי קו ח"ב כמו קו ~~מ"ע~~ מ"ה
And MT is the same as HB that is equal to ND. $\scriptstyle{\color{blue}{MT=HB=ND}}$	ומ"ט כמו ה"ב השוה לנ"ד
And HC that remains is the same as HT. $\scriptstyle{\color{blue}{HC=HT}}$	וישאר ה"ח כמו ה"ט
We assumed that HC is one and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{HC=1+\frac{1}{2}}}$	וקו ה"ח הנחנוהו אחד וחצי
So, surface CT is two and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{CT=2+\frac{1}{4}}}$	ולכן שטח ח"ט שנים ורביע
The whole square surface CK is six and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{CK=6+\frac{1}{4}}}$	וכל שטח מרובע ח"כ ששה ורביע
Line BC is two and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{BC=2+\frac{1}{2}}}$	וקו ב"ח שנים וחצי
With line AC, which is one and a half, the whole line AB is four and it is the root. $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{AB=BC+AC=x=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}$	ועם קו א"ח שהוא אחד וחצי יהיה כל קו א"ב ארבעה והוא השרש
The square is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע שש עשרה

He said: There is another way for the proof of this method, which is that we assume that square ABGD is the sum of three roots and four dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2=3x+4}}$	אמ' ולמופת זה האופן דרך אחרת והוא שנניח מרובע אבג"ד הוא המקובץ משלשה שרשי' וארבעה דרהמי
We assume that line AC is half [the number of] the roots, which is one and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=\frac{1}{2}\sdot3=1+\frac{1}{2}}}$	ונניח קו א"ח מקו א"ג מחצית השרשים שהוא אחד וחצי
We draw line CM parallel to line AB. $\scriptstyle{\color{blue}{CM\parallel AB}}$	ונוציא קו ח"מ על נכוחות קו א"ב
Therefore, surface AM is a root and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sqrt{ABGD}=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$	ויהיה מפני זה שטח א"מ הוא שרש וחצי
We assume also that line ED is one and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{ED=1+\frac{1}{2}}}$	וכן נניח קו ע"ד אחד וחצי
We draw line ET parallel to BD. $\scriptstyle{\color{blue}{ET\parallel BD}}$	ונוציא ע"ט על נכוחות ב"ד
Surface EB is also a root and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{EB=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sqrt{ABGD}=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$	ושטח ע"ב גם כן הוא שרש וחצי
So, surface AM, surface ND, and surface NB together are as three roots. $\scriptstyle{\color{blue}{AM+ND+NB=3\sqrt{ABGD}=3x}}$	ולכן יהיה שטח א"מ ושטח נ"ד וכמו שטח נ"ב יהיו יחד כמו שלשה שרשים
Surface EC that remains is as four numbers plus surface NB. $\scriptstyle{\color{blue}{EC=4+NB}}$	וישאר שטח ע"ח ארבעה מספרים וכמו שטח נ"ב
But, surface NB is two and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{NB=2+\frac{1}{4}}}$	אבל שטח נ"ב שנים ורביע
Therefore, surface EC is six and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{EC=6+\frac{1}{4}}}$	ולכן יהיה שטח עע"ח ששה ורביע
EC is a square.	וע"ח מרובע
Hence, GC is two and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{GC=2+\frac{1}{2}}}$	לכן יהיה ג"ח שנים וחצי
We assumed that AC is one and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=1+\frac{1}{2}}}$	וקו א"ח הנחנוהו אחד וחצי
Therefore, the whole line AG is four and this is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=x=4}}$	ולכן קו א"ג כלו ארבעה והוא שרש המרובע
The square is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע ששה עשר
Geometric illustration of the solution method that yields the square

He said: the reason of the method in which we reveal the square, is that we assume line AB is the measure of the square that is the sum of its three roots plus four dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2=3x+4}}$	אמר ועלת האופן אשר הראנו בו המרובע הוא שנשים קו א"ב הוא שעור המרובע המקובץ משלשה שרשיו וארבעה דרהמי
AG is the measure of the three roots. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=2\sqrt{AB}=3x}}$	וא"ג ממנו הוא שעור השלשה השרשים
GB that remains is the measure of the four numbers. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=4}}$	וג"ב הנשאר הוא שיעור הארבעה מספרים
We wish to know the measure of the whole AB according to [the units] in which GB [is measured] four.	ורצוננו להודיע שיעור א"ב כלו במה שבו ג"ב ארבעה
We construct square AGDH on line AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=AG^2}}$	נעשה על קו א"ג מרובע אגד"ה
It is known from what preceded that it is as nine times the surface resulting from the product of AB by one. $\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=9\times\left(AB\times1\right)}}$	והוא ידוע ממה שעבר כי הוא כמו תשעה דמיוני השטח העולה מהכאת א"ב באחד
We assume that line AN consists of nine [units], of which line GB consists of four. $\scriptstyle{\color{blue}{AN=9\times1}}$	ונשים קו א"נ תשעה במה שבו קו ג"ב ארבעה
We complete surface AC; it is known from what preceded that it is equal to square AH. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=AH}}$	ונשלים שטח א"ח והוא ידוע גם כן ממה שעבר שהוא ישוה למרובע א"ה
We subtract surface AT shared by both.	ונבדיל שטח א"ט המשותף
Surface DT remains equal to surface TB. $\scriptstyle{\color{blue}{DT=AH-AT=AC-AT=TB}}$	וישאר שטח ד"ט שוה לשטח ט"ב
But, it is known that surface TB is thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{TB=36}}$	אבל שטח ט"ב ידוע שהוא שלשים ושש
Because, side GB is four. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=4}}$	כי צלע ג"ב ארבעה
And side BC is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{BC=9}}$	וצלע ב"ח תשעה
Therefore, surface DT is also thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{DT=36}}$	ולכן שטח ד"ט גם כן שלשים וששה
We cut line AN in half at point L [= L midpoint of AN]	וחלקנו קו א"נ לחצאין על נקודת ל‫'
Line ND is added to it.	וכבר נוסף עליו קו נ"ד
So, the square of line LD is equal to the surface that is generated from the product of AD by DG plus the square of LN. $\scriptstyle{\color{blue}{LD^2=\left(AD\times DG\right)+LN^2}}$	ולכן יהיה מרובע קו ל"ד שוה לשטח העולה מהכאת א"ד בד"ג ולמרובע ל"נ
But, the product of AD by DN is the same as surface DT. $\scriptstyle{\color{blue}{AD\times DN=DT}}$	אבל הכאת א"ד בד"נ כמו שטח ד"ט
Since AD is the same as DH.	בעבור כי א"ד כמו ד"ה
So, the size of the product of AD by DN is thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{AD\times DN=36}}$	אם כן שטח הכאת א"ד בד"נ שלשים וששה
The square of LN is twenty and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{LN^2=20+\frac{1}{4}}}$	ומרובע ל"נ הוא ‫^[14]עשרים ורביע
Their sum is fifty-six and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AD\times DG\right)+LN^2=36+\left(20+\frac{1}{4}\right)=56+\frac{1}{4}}}$	ומקובצם הוא חמשים ושש ורביע
Its root is seven and a half and so is line LD. $\scriptstyle{\color{blue}{LD=\sqrt{\left(AD\times DG\right)+LN^2}=\sqrt{56+\frac{1}{4}}=7+\frac{1}{2}}}$	אבל שרשם שבעה וחצי וככה יהיה קו ל"ד
We add to it line AL, which is four and a half; the whole line AD is twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=AL+LD=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)=12}}$	ונקבץ עמו קו א"ל שהוא ארבעה וחצי ויהיה קו א"ד כלו שנים עשר
Therefore, AG, which is equal to AD, is also twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=AD=12}}$	וא"ג השוה לא"ד יהיה אם כן שנים עשר
We add to it line GB, which is four; the whole line AB is sixteen and so is the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=AG+GB=4+12=16}}$	ונקבץ עמו קו ג"ב שהוא ארבעה ויהיה קו א"ב כלו ששה עשר וככה המרובע
Q.E.D.	והוא מש"ל
He said: This section is completed, and with its completion, the explanation we have assigned to the six categories [of canonical equations], their manner of use and their proofs, is completed	אמ' ונשלם זה החלק ובהשלמו נשלם באור הששה חלקים אשר יעדנו באורם באופני השתמשותם והמופתים עליהם
Many of the algebraists [lit. the writers of "al-jabber and al-muqabala"] necessarily demonstrated to you some of them.	והרבה מסופרים אלגבר ואלמקאבלא לא יתכן שלא ייראוך קצת מהם
For each category of these six categories [of canonical equations] there are questions of restoration [lit. cobramiento] and confrontation [lit. confrontamiento] that the arithmeticians teach you.	ולכל חלק מאלו הששה חלקים שאלות מההפקדה והכוון קובראמיינטו איקונפרונטאמיינטו בלעז אשר יורוך אותם בעלי המספר
Linguistic explanation of the Hebrew words chosen as the technical terms:
Said Finzi: I chose hafqadah [restoration], from piqadon [lit. deposit] and kivvun [reduction lit. adjusting, direction], from the words of our Sages of Blessed Memory.	אמ"פ לקחתי הפקדה מלשון פקדון וכוון מלשון כוון חשבון אשר בדברי רז"ל
You will understand their meaning from the questions that he presents after he introduces the following explanations now.	ותבין ענינם מתוך השאלות אשר יביא אחר הציעו המצעות האלו אשר יניח עתה
Chapter: Multiplication of Algebraic Expressions	פרק
He said: I will begin first with the multipliction of things by each other; and things by numbers; and things and numbers by things and numbers; and others than those we have mentioned; and other matters that the one who wishes to read this book cannot avoid knowing.	אמ' וראשונה אתחיל מהכאת הדברים אחד באחר והדברים במספרים והדברי' והמספרים בדברי' ובמספרים ומלבד אלו אשר אמרנו ובענינים אחרי' אשר אינו נמלט מידיעתם הרוצה לקרות בזה הספר
I will explain to you how the things that are the roots are multiplied by each other, when they are alone, or with numbers, whether they are subtracted from the numbers or the numbers are subtracted from them; how they are added to each other; and how one is subtracted from the other.	ואבאר לך באי זה צד יוכו הדברי' והם השרשים אחד באחד כאשר יהיו נפרדים או כאשר יהיו עם מספרים בין שיהיו נגרעים מהמספרי' בין שיהיו המספרים נגרעים מהם ובאי זה צד יתקבצו אלו עם אלו וכיצד יגרע האחד מהאחר
He said: When the things are added to the numbers, the fourth [interim product] is additive; and the fourth [interim product] is the product of the things by each other [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x}}$ ]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+x\right)\times\left(b+x\right)}}$	אמ' וכאשר יהיו הדברים נוספים על המספרים יהיה החלק הרביעי נוסף והחלק הרביעי אז הוא הכאת הדברים זה עם זה
For, when every two numbers are multiplied by two numbers, four multiplications are necessarily applied: each of the first two numbers is multiplied by each of the two other numbers, so there are four multiplications.	כי כל שני מספרים שיוכו בשני מספרים אי אפש' שתהיה מבלעדי בם ההכאה ארבעה פעמים והוא שיוכו כל אחד משני המספרים הראשונים בכל אחד מהשני מספרי' האחרים ולכן תהיה ההכאה ארבעה פעמים
He said: When the things are subtracted from the numbers, the fourth [interim product] is additive; it is the product of the things by each other [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x}}$ ]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a-x\right)\times\left(b-x\right)}}$	אמ' וכאשר היו הדברים נגרעים מהמספרי' יהיה החלק הרביעי נוסף והוא והוא הכאת הדברים האחד באחר
When one is added and the other is subtracted, the fourth [interim product] is subtractive; it is the product of the things one by the other [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x}}$ ]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+x\right)\times\left(b-x\right)}}$	וכאשר היו האחד נוסף והאחר נגרע היה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת הדברים האחד באחר
When the numbers are subtracted from the things, the fourth [interim product] is additive; and the fourth [interim product] is the product of one of the numbers by the other [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times b}}$ ]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(x-a\right)\times\left(x-b\right)}}$	וכאשר היו המספרי' נגרעים מהדברים יהיה החלק הרביעי נוסף והחלק הרביעי אז הוא הכאת אחד המספרי' באחר
When one of the two numbers is added to the things and the other is subtracted from the things, the fourth [interim product] is subtractive; it is the product of one of the numbers by the other [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times b}}$ ]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(x+a\right)\times\left(x-b\right)}}$	וכאשר יהיו אחד משני המספרים נוסף על הדברי' והאחר נגרע מהדברי' אז יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת אחד משני המספרי' באחר
When the things are added to the numbers and one number is subtracted from the things, the fourth [interim product] is subtractive; it is the product of the added things by the subtracted number [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times\left(-b\right)}}$ ]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+x\right)\times\left(x-b\right)}}$	וכאשר היו הדברים נוספים על המספרים והיה מספר אחד נגרע מהדברים יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת הדברים הנוספי' במספר הנגרע
He said: we have already described what should be done with the fourth [interim product], since I saw that the arithmeticians start the multiplication with it.	אמ' וכבר ספרנו מה הוא הראוי עם החלק הרביעי כפי מה שראיתי שבעלי המספר מתחילי' עמו בהכאה
The fourth [interim product] can be other than what we have described, yet the general rule is that the product of subtractives one by the other is additive [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(-\right)\times\left(-\right)=+}}$ ], subtractive by additive is subtractive [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(-\right)\times\left(+\right)=-}}$ ], and additive by additive is additive [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(+\right)\times\left(+\right)=+}}$ ].	ואפשר שיהיה החלק הרביעי זולת אשר ספרנו אלא כי כלל הדבר שהכאת הנשנים האחד באחר הוא ‫^[15]תוספת והנשנה בנוסף גורע והנוסף בנוסף יוסיף
He said: know that the result of multiplication of things by things is a square [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x=x^2}}$ ]; and the result of things by numbers is things, which are roots, i.e. the thing is the root and the root is the thing; they are two names that denote the same meaning.	אמ' ודע כי מהכאת הדברים בדברים יגיע מרובע ומהדברי' במספרי' יבאו דברים והם שרשים ר"ל כי הדבר הוא השרש והשרש הוא הדבר והם שני שמות נופלים על ענין אחד
He said: if you are told: how much is the result of multiplying one thing by ten dirham? Say: ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת דבר אחד בעשרה דרהמי תאמ' עשרה דברי‫'
The explanation is that you consider the thing as one and multiply one by ten; it is ten and they are ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot10=10}}$	ובאור זה שתשים הדבר בדמיון האחד ותכה אחד בעשרה ויהיה עשרה והם עשרה דברים
He said: if it is said: how much is the result of multiplying two things by ten dirham? Say: [twenty] things. $\scriptstyle{\color{red}{2x\times10=20x}}$	אמ' ואם יאמרו כמה יבא מהכאת שני דברים בעשרה דרהמי תאמר עשרה דברים
The explanation is that you consider two things as two numerically and multiply two by ten; they are twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10=20}}$	ובאור זה שתשים שני הדברים בדמיון שנים מהמספר ותכה שנים בעשרה ויהיו עשרים דברים
For any given amount things, each thing is conceived as one, then the sum of units of the things is multiplied by the number of dirham and the result are things.	וכן כמה שתניח מהדברים תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה כל אחדי הדברי' במספר האדרהמי והעולה יהיה דברים
Since, for any number that is multiplied by a certain [algebraic] species, each unit of the species is conceived as one.	בעבור כי כל מספר מהמספרי' שיוכה במין מה מהמינים יהיה כל אחד מאחדי המין בדמיון האחד
If there is one thing, consider it as one.	אם היה דבר אחד תשים אחד
If there are two [things], consider them as two.	ואם היו שנים תשים שנים
Also if there are squares, or whichever species you wish to multiply by numbers - the product is of that same species.	וכן אם היו מרובעים או ענין אחר אי זה שתרצה ותכהו במספרים יהיה העולה הוא מאותו המין
I will give you an illustration of this to clarify what I said to your eye.	ואניח לך תמונה על זה לבאר לך לעין מה שאמרתי
He said: if you are told: how much is the result of multiplying a thing by a thing? Say: a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה העולה מהכאת דבר בדבר תאמ' מרובע
The method is that you consider the thing as one and multiply it by one; it is one and it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{1\times1=1\longrightarrow x\times x=x^2}}$	ואופנו שתשי' הדבר בדמיון האחד ותכהו באחד והוא אחד והוא מרובע
If it is said: how much is the result of multiplying two things by two things? Say: four squares as I explained to you. $\scriptstyle{\color{blue}{2x\times2x=4x^2}}$	ואם יאמרו כמה יעלה מהכאת שני דברים בשני דברי' תאמ' ארבעה מרובעי' כמו שבארתי לך
Likewise for three things by two things. $\scriptstyle3x\times2x$	וכן שלשה דברי' בשני דברים
Multiply three by two; they are six squares. $\scriptstyle{\color{blue}{3\times2=6\longrightarrow3x\times2x=6x^2}}$	תכה שלשה בשנים ויהיו ששה מרובעים
Also half a thing by half a thing. $\scriptstyle\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x$	וכמו כן חצי דבר בחצי דבר
The result is a quaretr of a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x^2}}$	יהיה העולה רביע מרובע
As many things you add or subtract, each thing is conceived as a one. Multiply these units by the other units, and their product are squares.	וכן כמה שתוסיף מהדברים או תגרע תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה אלו האחדים באחדי' האחרי' והעולה מהם יהיה מרובעים
Geometrical illustration
He said: I will give you a geometric illustration, from which you will understand the rule of the square and the thing:	אמ' ואשים לך על זה תמונה אשר בה תבין משפט המרובע והדבר
$\scriptstyle2x\times2x$	ונעמיד זה הענין בהכאת שני דברי' בשני דברים

It is that we suppose line AG is two things. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=2x}}$	והוא שנניח קו א"ג שני דברי‫'
Line GH is two things. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=2x}}$	וקו ג"ה שני דברים
We multiply line AG by line GH; it is surface AH. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GH=AH}}$	והכינו קו א"ג בקו ג"ה והיה שטח א"ה
We say that surface AH is four squares. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=4x^2}}$	ונאמ' ששטח א"ה ארבעה מרובעי‫'
The proof of this is that we divide line AG by the number of things in it - its segments are AB, BG.	מופת זה שנחלק קו א"ג על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו א"ב ב"ג
We divide also line GH by the number of things in it: its segments are GD, DH.	עוד נחלק קו ג"ה על מספר מה שבו מהדברי' ויהיו חלקיו ג"ד ד"ה
We draw a straight line from point B to E, parallel to GH.	ונוציא מנקודת ב' קו ישר על ע' על נכוחות קו ג"ה
We draw line DC from point D, parallel to AG. $\scriptstyle{\color{blue}{DC\parallel AG}}$	ונוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ד"ח
Four things are generated by this in surface AH, which are surfaces: CB; BD; DE; CE; each of which is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{CB=BD=DE=CE=x^2}}$	והנה נתחדשו עם זה בשטח א"ה ארבעה דברים שוים שטחים והם שטחי ח"ב ב"ד ד"ע ח"ע וכל אחד מהם מרובע
Each of the lines AB; BG; GD; DH multiplied by the other is a square [ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$ ].	וכל אחד מקוי א"ב ב"ג ג"ד ד"ה מוכה באחר הוא מרובע
This is the "rule of the square and the thing"	וזה הוא משפט המרובע והדבר
Surface AH is four squares. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=4x^2}}$	ושטח א"ה ארבעה מרובעי‫'
Q.E.D.	והוא מש"ל
If you are told: how much is the result of multiplying three things by six dirham? $\scriptstyle3x\times6$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת שלשה דברי' בששה דרהמי
Consider the three things as three and multiply three by six; it is eighteen and they are eighteen things. $\scriptstyle{\color{blue}{3x\times6=\left(3\times6\right)x=18x}}$	תשים שלשת הדברי' בדמיון שלשה ותכה שלשה בששה ויהיה ‫^[16]שמנה עשר והם שמנה עשר דברים

Example: we suppose line AB is six numbers. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=6}}$	המשל שנניח קו א"ב ששה מהמספרים
Line BD is three things. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=3x}}$	וקו ב"ד שלש' דברי‫'
We multiply line AB by BD; it is surface AD and we say that surface AD is eighteen things. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=AB\times BD=6\times3x=18x}}$	ונכה קו א"ב בב"ד והוי והיה שטח א"ד ונאמ' ששטח א"ד הוא שמנה עשר דברים
The proof of this is that we divide line AB by the units in it - the result are six segments, which are AG, GH, HW, WZ, ZC, CB.	ומופת זה שנחלק קו א"ב על מה שבו מהאחדים ויצאו ששה חלקים והם א"ג ג"ה ה"ו ו"ז ז"ח ח"ב
We divide line DB by the number of things in it - its segments are BT, TK, KD.	ונחלק קו ד"ב על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו ב"ט ט"כ כ"ד
We draw lines CL, ZC, WN, HP, GE from points G, H, W, Z, C, parallel to BD. $\scriptstyle{\color{blue}{BD\parallel CL;ZC;WN;HP;GE}}$	ונוציא מנקוד' גהוז"ח קוים נכחיים לקו ב"ד והם קוי ח"ל ז"ח ו"נ ה"פ ג"ע
We draw lines TQ, KS from points T, K, parallel to AB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB\parallel TQ;KS}}$	נוציא מנקודות ט"כ שני קוים נכחיי' לקו א"ב והם קוי ט"ק כ"ס
As a result, surface AD consists of eighteen equal quadrangles, as we see in figure, each of them is equal to surface CT.	ועם זה יצאו בשטח א"ד שמנה עשר שטחים שוים כמו שנגלה בתמונה כל שטח מהם שוה לשטח ח"ט
But, Surface CT is generated from the product of line BT, which is a thing, by line BC. So, surface CT is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{CT=BT\times BC=x\times1=x}}$	אבל שטח ח"ט הוא מהכאת קו ב"ט שהוא דבר בקו ב"ח ולכן יהיה שטח ח"ט דבר
The whole surface AD is eighteen things. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=18x}}$	ושטח א"ד כלו יהיה שמנה עשר דברים
This is the "rule of the multiplication of the things by numbers".	וזהו משפט הכאת הדברים במספרים
If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by one thing? $\scriptstyle\left(10+x\right)\times x$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר אחד
Say: it is ten things plus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}$	תאמ' שהם עשרה דברים ומרובע
The procedure is that you multiply a thing by ten dirham; they are ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	והמעשה בזה שתכה דבר בעשרה אדרהמי ויהיו עשרה דברים
Multiply a thing by a thing; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	עוד תכה דבר בדבר ויהיה מרובע
Sum them up; they are ten thing and one square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}$	ותקבצם ויהיו עשרה דברים ואלגו ומרובע אחד
Geometrical illustration
I will explain this to you by this geometric illustration:	ואבאר לך בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי
Line BG is one thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=x}}$	וקו ב"ג דבר אחד
We define GD equal to BG. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=BG}}$	ונשים ג"ד שוה לב"ג
We multiply AG by BG; the result is surface AD. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times BG=AD}}$	ונכה א"ג בב"ג ויצא שטח א"ד
We say that surface AD is ten things plus one square. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=10x+x^2}}$	ונאמר ששטח א"ד עשרה דברים ומרובע אחד
The proof of this is that we draw line BH from point B, parallel to GD. $\scriptstyle{\color{blue}{BH\parallel GD}}$	מופת זה שנוציא מנקודת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד
So it is equal to it and also to BG that is equal to GD. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=GD=BG}}$	ומפני זה יהיה שוה לו וגם לב"ג השוה לג"ד
But, line BG is one thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=x}}$	אבל קו ב"ג דבר אחד
So, line BH is one thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=x}}$	אם כן קו ב"ה דבר אחד
Surface AH is ten things, since it is generated from the product of line AB, which is ten dirham, by line BH, which is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=10\times x=10x}}$	ושטח א"ה יהיה עשרה דברים מפני כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי בקו ב"ה שהוא דבר
Surface BD is a square, since it is generated from the product of BG, which is a thing, by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=BG^2=x^2}}$	ושטח ב"ד הוא מרובע כי הוא מהכאת ב ב"ג שהוא דבר בעצמו
Therefore, the whole surface AD is ten things plus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=10x+x^2}}$	אם כן שטח א"ד כלו הוא עשרה [..] דברים ומרובע אחד
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
If you are told: how much is the product of ten dirham minus a thing by a thing? $\scriptstyle\left(10-x\right)\times x$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי פחות דבר אחד בדבר אחד
Say: ten things minus one square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}$	תאמ' עשרה דברים פחות מרובע אחד
The procedure: is that you multiply ten dirham by a thing; they are ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	‫^[17]והמעשה בזה שתכה עשרה דרהמי בדבר ויהיו עשרה דברי‫'
Multiply a thing by a thing; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
Subtract it from ten things; [ten] things minus a square remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}$	תגרעהו מעשרה הדברי' וישאר ארבעה דברים פחות מרובע
Geometrical illustration
I will explain this by this geometric illustration:	ואבאר זה בזאת התמונה

It is that we suppose line AG is ten dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	והוא שנניח קו א"ג הוא עשרה דרהמי
We suppose line BG is one thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=x}}$	ונניח קו ב"ג ממנו הוא דבר א‫'
The remaining line AB is ten dirham minus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10-x}}$	וישאר קו א"ב עשרה דרהמי פחות דבר
We define line GD equal to line BG. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=BG}}$	ונשים קו ג"ד שוה לקו ב"ג
We multiply line AG by line GD; the result is surface AD. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GD=AD}}$	ונכה קו א"ג בקו ג"ד ויצא שטח א"ד
We draw line BH from point B, parallel to GD. $\scriptstyle{\color{blue}{BH\parallel GD}}$	ונוציא מנקדת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד
We say that surface AH is ten things minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=10x-x^2}}$	ונאמ' כי שטח א"ה הוא עשרה דברי' פחות מרובע
The proof of this is that surface AD is ten things, since it is generated from the product of line AG, which is ten, by line GD that is equal to BG, which is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=AG\times GD=AG\times BG=10\sdot x=10x}}$	מופת זה כי הנה שטח א"ד הוא עשרה דברי' בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא עשרה בקו ג"ד השוה לב"ג שהוא דבר
Surface BD is a square, since it is generated from the product of BG, which is a thing, by line GD that is equal to it. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=BG\times GD=x\sdot x=x^2}}$	ושטח ב"ד הוא מרובע כי הנה הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בקו ג"ד השוה אליו
Therefore, surface AH remains ten things minus a square, and it is generated from the product of AB, which is ten dirham minus a thing, by BH, which is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}$	ולכן ישאר שטח א"ה עשרה דברי' פחות מרובע והוא מהכאת א"ב שהוא עשרה דרהמי פחות דבר בב"ה שהוא דבר
Q.E.D.	ומש"ל
If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by ten dirham plus a thing? $\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)$	אמר ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי ודבר
Say: one hundred dirham, a square, and twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}$	תאמ' מאה דרהמי ומרובע ועשרי' דברי‫'
The procedure is that we multiply ten by ten; they are a hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	והמעשה^[18] בזה שנכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
Multiply also ten by a thing; they are ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	עוד תכה עשרה בדבר ויהיו עשרה דברים
Multiply again a thing by ten dirham; they are ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	ותשוב ותכה דבר בעשרה דרהמי ויהיו עשרה דברים
Multiply also a thing by a thing; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה עוד דבר בדבר ויהיו מרובע
Sum up all; it is one hundred dirham, a square, and twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}$	ותקבץ הכל יחד ויהיה מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
Geometrical illustration
I will explain this by this geometric illustration:	ואבאר זה בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten dirham plus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10+x}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
AG is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	וא"ג ממנו עשרה
GB is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}$	וג"ב דבר
We suppose also that line BD is ten dirham plus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=10+x}}$	וכן נניח קו ב"ד עשרה דרהמי ודבר
BH is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=x}}$	ב"ה ממנו דבר
HD is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{HD=10}}$	וה"ד עשרה
Multiply line AB by line BD; the result is surface AD. $\scriptstyle{\color{blue}{AB\times BD=AD}}$	ותכה קו א"ב בקו ב"ד ויצא שטח א"ד
We say that surface AD is one hundred dirham, a square, and twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=100+x^2+20x}}$	ונאמ' כי שטח א"ד מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
The proof of this is that we draw line GC from point G, parallel to BD $\scriptstyle{\color{blue}{GC\parallel BD}}$	ומופת זה שנוציא מנקודת ג' קו נכחי לקו ב"ד והוא קו ג"ח
We draw line HZ from point H, parallel to AB. $\scriptstyle{\color{blue}{HZ\parallel AB}}$	ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ב
Surface GH is a square.	הנה שטח ג"ה מרובע
ZC is a square.	וז"ח מרובע
Surface GZ is the same as surface HC, as Euclid has explained all this.. $\scriptstyle{\color{blue}{GZ=HC}}$	ושטח ג"ז כמו שטח ה"ח כמו שאבאר כל זה באקלידס
But, surface ZC is one hundred, since it is generated from the product of ZT that is equal to AG, which is ten, by line TC that is equal to HD, which is also ten. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC=ZT\times TC=AG\times HD=10\sdot10=100}}$	אבל שטח ז"ח מאה כי הוא הוה מהכאת ^[19]ז"ט השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ט"ח השוה לה"ד שהוא גם כן עש^רה
Surface ZG is ten things, since it is generated from the product of GT that is equal to BH, which is a thing, by line AG, which is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{ZG=GT\times AG=BH\times AG=x\sdot10=10x}}$	ושטח ז"ג עשרה דברים כי הנה הוא מהכאת ג"ט השוה לב"ה שהוא דבר בקו א"ג שהוא עשרה
Surface CH is also ten things, since it is generated from the product of TH that is equal to GB, which is a thing, by line HD, which is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{CH=TH\times HD=GB\times HD=x\sdot10=10x}}$	ושטח ח"ה גם כן עשרה דברי' כי הוא מהכאת ט"ה השוה לג"ב שהוא דבר בקו ה"ד שהוא עשרה
Surface GH is a square, since it is generated from the product of line GB, which is a thing, by line BH, which is aldo a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=GB\times BH=x\sdot x=x^2}}$	ושטח ג"ה הוא מרובע כי הוא מהכאת קו ג"ב שהוא דבר בקו ב"ה שהוא גם כן דבר
The sum of the four surfaces is surface AD. Hence, surface AD is a hundred dirham, a square, and twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=ZC+ZG+CH+GH=100+x^2+20x}}$	ומקובץ הארבעה שטחים הוא שטח א"ד אם כן שטח א"ד הוא מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
Q.E.D.	והוא מש"ל
If you are told: how much is the product of ten dirham minus a thing by ten dirham minus a thing? $\scriptstyle\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה אדרהמי פחות דבר בעשרה אדרהמי פחות דבר
Say: one hundred dirham and a square minus twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}$	תאמ' מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
Its procedure is that you multiply ten dirham by ten dirham; it is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	ואופן מעשהו שתכה עשרה דרהמי בעשרה דרהמי ויהיה מאה
Multiply a subtractive thing by ten dirham; they are ten subtractive things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times10=-10x}}$	תכה דבר נגרע בעשרה דרהמי ויהיה עשרה דברים נגרעים
Multiply again ten dirham by a subtractive thing; they are also ten subtractive things. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-x\right)=-10x}}$	עוד תשוב להכות עשרה דרהמי בדבר הנגרע ויהיו גם כן עשרה דברים נגרעים
Multiply a subtractive thing by a subtractive thing; it is an additive square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times\left(-x\right)=x^2}}$	ותכה דבר נגרע בדבר נגרע ויהיה מרובע נוסף
Sum up all; it is one hundred dirham and a square minus twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}$	ותקבץ כל זה ויהיה מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
Geometrical illustration
I will explain this by this geometric illustration:	ואבאר זה בזאת התמונה

It is that we suppose line AG is ten dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	והוא שנשים קו א"ג עשרה דרהמי
We subtract a thing, which is line BG, from it; AB remains ten minus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=AG-BG=10-x}}$	ונפחות ממנו דבר והוא קו ב"ג וישאר א"ב עשרה פחות דבר
We also define line GD as ten. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=10}}$	וכן נשים קו ג"ד עשרה
GH is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=x}}$	וג"ה ממנו הוא דבר
We multiply line AB by line HD; the result is the square ZC. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC=AB\times HD=\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)}}$	ונכה קו א"ב בקו ה"ד ויעלה מרובע ז"ח
We say that surface ZC is one hundred dirham and a square minus twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC=100+x^2-20x}}$	ונאמ' שמרובע ז"ח מאה אדרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
The proof of this is that we complete surface AD.	מופת זה שנשלים שטח א"ד
We draw line BC from point B, parallel to line BD. $\scriptstyle{\color{blue}{BC\parallel BD}}$	ונוציא מנקוד' ב' קו ב"ח נכחי לקו ב"ד
We draw line HZ from point H, parallel to line AG. $\scriptstyle{\color{blue}{HZ\parallel AG}}$	ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ג
Surface AD is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=100}}$	הנה כי שטח א"ד מאה
Since AG is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	בעבור כי א"ג עשרה
And GD is ten $\scriptstyle{\color{blue}{GD=10}}$	וג"ד עשרה
Surface ZG is ten things $\scriptstyle{\color{blue}{ZG=10x}}$	ושטח ז"ג עשרה דברים
Since AG is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	בעבור כי א"ג עשרה
And GH is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=x}}$	וג"ה הוא דבר
Surface BD is also ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=10x}}$	וכן שטח ב"ד עשרה דברים
Since GD is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=10}}$	בעבור כי ג"ד עשרה
And GB is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}$	וג"ב הוא דבר
Surface BH is a square, since it is generated from the product of BG, which is a thing, by GH, which is also a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=BG\times GH=x\sdot x=x^2}}$	ושטח ב"ה הוא מרובע כי הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בג"ה שהוא גם כן דבר
Surface HC remains ten things minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{HC=10x-x^2}}$	וישאר שטח ה"ח עשרה דברים פחות מרובע
Surface AH is ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=10x}}$	ושטח א"ה עשרה דברים
Their sum is twenty things minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{HC+AH=20x-x^2}}$	ומקובצם עשרים דברים פחות מרובע
When we subtract surface AH and surface HC from surface AD, which is a hundred, surface ZC remains a hundred dirham and a square minus twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC=AD-\left(AH+HC\right)=100+x^2-20x}}$	וכשנגרעם שטח א"ה ושטח ה"ח משטח א"ד שהוא מאה ישאר שטח ז"ח מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by ten dirham minus a thing? $\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי פחות דבר
Say: one hundred dirham minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}$	תאמ' מאה דרהמי פחות מרובע
Its procedure is that you multiply ten by ten; they are a hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	ואופן מעשהו שתכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
Multiply the additive thing by ten; they are ten additive things. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	ותכה הדבר הנוסף בעשרה ויהיו עשרה דברים נוספי‫'
Multiply the subtractive thing by ten; they are ten subtractive things. $\scriptstyle{\color{blue}{-x\times10=-10x}}$	ותכה הדבר הגורע בעשרה ויהיו עשרה דברים נגרעים
Throw the additives for the subtractives; one hundred dirham remain. $\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(10x-10x\right)=100}}$	ותוציא הנוספים כנגד הנגרעים וישארו מאה דרהמי
Multiply the additive thing by the subtractive thing; it is a subtractive square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-x\right)=-x^2}}$	עוד תכה הדבר הנוסף בדבר הגורע ויהיה מרובע נגרע
Subtract it from the one hundred dirham; one hundred dirham minus a square remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}$	ותגרעהו מהמאה דרהמי וישארו מאה פחות מרובע
Geometrical illustration
I will explain this to you by this geometric illustration:	ואבאר לך זה בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten plus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10+x}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה ודבר
AG is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	‫^[20]א"ג עשרה
GB is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}$	וג"ב דבר
We suppose line BH is ten minus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=10-x}}$	ונניח קו ב"ה עשרה פחות דבר
We attach line HD, which is a thing, to it; the whole line BD is ten dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=BH+HD=\left(10-x\right)+x=10}}$	ונדביק עמו קו ה"ד הוא דבר ויהיה קו ב"ד כלו עשרה דרהמי
We multiply line AB, which is ten dirham plus a thing, by line BH, which is ten minus a thing; it is surface AH. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=\left(10+x\right)\sdot\left(10-x\right)}}$	ונכה קו א"ב שהוא עשרה ד^רהממי ודבר בקו ב"ה שהוא עשרה פחות דבר ויהיה שטח א"ה
We say that surface AH is one hundred dirham minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=100-x^2}}$	ונאמר ששטח א"ה הוא מאה דרהמי פחות מרובע
The proof of this is that we complete surface AD; it is a hundred dirham plus ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=100+10x}}$	ומופת זה שנשלם שטח א"ד והנה הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
Since surface AC is a hundred, because it is generated from the multiplication of AG, which is ten, by line GC, which is also ten, as it is equal to BD we have assumed to be ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=AG\times GC=AG\times BD=10\times10=100}}$	בעבור כי שטח א"ח ממנו הוא מאה כי הנה הוא מהכאת א"ג שהוא עשרה בג"ח שהוא גם כן עשרה כי הוא שוה לב"ד שהנחנוהו עשרה
The remaining surface GD is ten things, because it is generated from the multiplication of GD, which is a thing, by BD, which is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=GD\times BD=x\sdot10=10x}}$	ושטח ג"ד הנשאר הוא עשרה דברי' כי הנה הוא מהכאת ג"ד כי ^שהוא דבר בב"ד שהוא עשרה
So, the whole surface AD is one hundred dirham plus ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=100+10x}}$	הנה כי כל שטח א"ד הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
It is easily explained to one who understands that surface ZC is the same as surface CB. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC=CB}}$	והוא מבואר בנקלה למבין כי שטח ז"ח כמו שטח ח"ב
We subtract the square surface MD from surface ZC; it is surface MB. $\scriptstyle{\color{blue}{MB=ZC-MD}}$	ונבדיל משטח ז"ח כמו שטח מ"ד המרובע והוא שטח מ"[ב‫]
Hence, surface KD is two squares. $\scriptstyle{\color{blue}{KD=2x^2}}$	ויהיה מפני זה שטח כ"ד שנים מרובעי‫'
The remaining surface ZT is the same as surface MB. $\scriptstyle{\color{blue}{ZT=MB}}$	וישאר שטח ז"ט כמו שטח מ"ב
We construct surface AM shared by both.	ונשים שטח א"מ משותף
Surface AM plus surface MB, which are the whole surface AH, are equal to surfaces AM and ZT. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=AM+MB=AM+ZT}}$	ויהיה שטח א"מ ושטח מ"ב יחד והוא כל שטח א"ה יהיה שוה לשטחי א"מ ז"ט
But, you see that the two surfaces AM and ZT are one hundred dirham minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{AM+ZT=100-x^2}}$	אבל שני שטחי א"מ ז"ט אתה רואה כי הם מאה דרהמי פחות מרובע
Since the subtractive surface MT is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{MT=x^2}}$	בעבור כי שטח מ"ט הנחסר הוא מרובע
Therefore, surface AH is one hundred dirham minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=100-x^2}}$	אם כן שטח א"ה יהיה מאה דרהמי פחות מרובע
Q.E.D.	והוא מש"ל
If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by a thing minus ten dirham? $\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)$	אמ' ואם יאמרו לך כמה העולה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר פחות עשרה דרהמי
Say: a square minus a hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}$	תאמ' מרובע פחות מאה דרהמי
Its procedure is that we multiply ten by the thing that is minus ten; they are ten additive things. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	ואופן מעשהו הוא שנכה עשרה בדבר הפוחת עשרה ויהיו עשרה דברים נוספים
Multiply again the ten by the subtractive ten; they are a hundred subtractive dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-10\right)=-100}}$	עוד תשוב ותכה עשרה בעשרה הפוחתים ויהיו מאה דרהמי גורעי‫'
Multiply a thing by a thing; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
Multiply also a thing by subtractive ten; they are ten subtractive things. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-10\right)=-10x}}$	עוד תכה דבר בעשרה הפוחתים ויהיו עשרה דברי' נגרעים
Throw the ten additive things for the ten subtractive things. $\scriptstyle{\color{blue}{10x-10x}}$	ותשליך העשרה דברי' נוספי' כנגד העשרה הדברים הנגרעים
The remaining product is a square minus a hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}$	וישאר המקובץ מההכאה מרובע פחות מאה דרהמי
Geometrical illustration
I will explain this by this geometric illustration:	ואבאר זה בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten dirham plus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10+x}}$	והוא שנשים קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
AG is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	א"ג הוא עשרה
GB is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}$	וג"ב דבר
We suppose line BH is a thing minus ten. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=x-10}}$	ונניח קו ב"ה דבר פחות עשרה
We add HD, which is ten, to it. $\scriptstyle{\color{blue}{HD=10}}$	ונוסיף בו ה"ד שהוא עשרה
We multiply line AB by line BH; it is surface AH. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=\left(10+x\right)\sdot\left(x-10\right)}}$	ונכה קו א"ב בקו ב"ה ויהיה שטח א"ה
We say that surface AH is a square minus one hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=x^2-100}}$	ונאמ' ששטח א"ה הוא מרובע פחות מאה דרהמי
The proof of this is that we complete surface AD: surface AD is ten things plus a square, since it is generated from the multiplication of line AB, which is ten dirham plus a thing by line BD, which is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=AB\times BD=\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}$	מופת זה שנשלים שטח א"ד ויהיה שטח א"ד עשרה דברים ומרובע בעבור כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי ודבר בקו ב"ד שהוא דבר
We draw line GC parallel to BD. $\scriptstyle{\color{blue}{GC\parallel BD}}$	ונוציא קו ג"ח נכחי לקו ב"ד
Surafce GD is a square, since it is generated from the multiplication of GB, which is a thing by BD, which is also a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=GB\times BD=x\sdot x=x^2}}$	והנה יהיה שטח ג"ד מרובע כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא גם כן דבר
Surface AC is the same as surface CH. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=CH}}$	ושטח א"ח כמו שטח ח"ה
Since line CG is the same as line CD. $\scriptstyle{\color{blue}{CG=CD}}$	בעבור כי קו ח"ג כמו קו ח"ד
And line AG is the same as line HD. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=HD}}$	וקו א"ג כמו קו ה"ד
We subtract surface CH from square GD and join surface AC that is equal to it; surface GH that remains from square GD, plus surface AC are together the same as square GD. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=\left(GD-CH\right)+AC=GH+AC=x^2}}$	ונבדיל שטח ח"ה ממרובע ג"ד ונשתף עמו שטח א"ח השוה לו ויהיה שטח ג"ה הנשאר ממרובע ג"ד ושטח א"ח יחד כמו מרובע ג"ד
We subtract from it surface KC, which is one hundred dirham, since it is generated from the multiplication of line KL that is equal to AG, which is ten, by line LC that is equal to [H]D, which is also ten. $\scriptstyle{\color{blue}{KC=KL\times LC=AG\times HD=10\times10=100}}$	ונבדיל מזה שטח כ"ח שהוא מאה דרהמי בעבור כי הוא מהכאת קו כ"ל השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ל"ח השוה לא"ד שהוא ‫^[21]גם כן עשרה
The remaining surface AH is a square minus one hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=\left(GH+AC\right)-KC=x^2-100}}$	וישאר שטח א"ה מרובע פחות מאה דרהמי
Q.E.D.	והוא מש"ל
He said: if you are told: how much is the product of ten dirham and two-thirds of a thing by three dirham minus six things? $\scriptstyle\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)$	אמר ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ושני שלישי דבר על שלשה דרהמי פחות ששה דברים
Say: thirty dirham minus four squares minus fifty-eight things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}$	תאמר שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעים ופחות חמשים ושמנה דברים
Its procedure is that you multiply ten dirham by three; they are thirty. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times3=30}}$	ואופן מעשהו הוא שתכה עשרה דרהמי בשלשה ויהיו שלשים דרהמי
Multiply two-thirds of a thing by three dirham; they are two additive things. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times3=2x}}$	ותכה שני שלישי דבר בשלשה דרהמי ויהיו שני דברים נוספים
Multiply also ten dirham by six subtractive things; they are sixty subtractive things. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-6x\right)=-60x}}$	עוד תכה עשרה אדרהמי בששה דברי' הפוחתים ויהיו ששים דברים נגרעים
Multiply two-thirds of a thing by six subtractive things; they are four subtractive squares. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times\left(-6x\right)=-4x^2}}$	ותכה שני שלישי דבר בששה דברים הפוחתים ויהיו ארבעה דברים נגרעים מרובעים
The multiplication is completed and we turn to sum [the interim products].	ונשלמה ההכאה ונבא לקבצם
We subtract the two additive things from the sixty subtractive things; fifty-eight remain. $\scriptstyle{\color{blue}{60x-2x=58x}}$	והנה נפיל שני הדברים הנוספים מהששים דברי' הנגרעי' וישארו שמנה וחמשי‫'
The total sum then is thirty dirham minus four squares minus fifty-eight things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}$	ויהיה מקובץ הכל אחר זה שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעי' ופחות שמנה וחמשי' דברים
What I have explained to you of the multiplication of things and numbers is enough for you, and from it you can learn the answer for all the questions presented to you in this section.	אמ' ודי לך במה שבארתי מכפל הדברים והמספרים וממנו תוכל להתחכם בתשובת כל השאלות אשר יגיעו לפניך מזה השער
Roots
Chapter: Multiplication of Roots by Numbers	פרק
The doubling of the root of a known number or of an unknown square will be explained in it.	יתבאר בו הכפלת שרש ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע זה
By doubling I mean taking its two roots	ורצוני בהכפלה הנה לקיחת שני שרשיו
He said: when you wish to know two roots of a known number or of an unknown square - the root of which number or square are they?	אמ' וכאשר תרצה לדעת שני שרשים ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע לאי זה מספר אחר או מרובע אחר הם שרש
Consider the two roots as two and multiply two by two, then multiply the product by the known number, or by the unknown square; they are a root of the number resulting. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot a}}}$	תניח השני שרשים בדמיון שנים ותכה שנים על שנים והעולה תכהו במספר הידוע או במרובע הבלתי ידוע והעולה הוא המספר שהם שרש אליו
If you want three roots, multiply three by three, then multiply the product by the known number, or by the unknown square; the three roots are a root of the resulting number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{3\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(3\sdot3\right)\sdot a}}}$	ואם תרצה שלשה שרשים תכה שלשה בשלשה והעולה תכה על המספר הידוע או על המרובע בלתי ידוע ויהיו שלשת השרשים שרש למספר העולה
Likewise if you wish to halve the root:	וכן אם תרצה לחצות השרש
Multiply half by half; it is a quarter. Multiply the quarter by the known or unknown number; half the root is a root of the resulting product. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot a}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot a}}}$	תכה חצי בחצי ויהיה רביע ותכה רביע במרובע הידוע או הבלתי ידוע ויהיה העולה מההכאה הנה חצי השרש הוא שרש לו
And so on, as you increase or decrease the roots, do according to the procedure we specified.	וכן כל מה שתוסיף או תגרע מהשרשים תעשה על הדרך שאמרנו
He said: we give an example for this: when we wish to know the double root of sixteen. $\scriptstyle2\sdot\sqrt{16}$	אמ' ונניח דמיון לזה כאשר ~~עשינו~~ רצינו לדעת כפל שרש ששה עשר
Multiply two by two; it is four.	תכה שנים בשנים והיו ארבעה
Multiply four by sixteen; it is sixty-four.	ותכה ארבעה בששה עשר ויהיו ששים וארבע‫'
Its root is eight and it is two roots of sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{16}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot16}=\sqrt{4\sdot16}=\sqrt{64}=8}}$	ושרשו הוא שמנה והם שני שרשי ששה עשר
Geometrical illustration
We will explain this by this geometric illustration:	ונבאר זה בתמונ' זאת

We suppose square surface ABGD as an analogous of the sixteen dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=16}}$	והוא שנניח שטח מרובע אבג"ד בדמיון ששה עשר דרהמי
Line GD is a root of the square ABGD. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=\sqrt{ABGD}=\sqrt{16}}}$	וקו ג"ד הוא שרש מרובע אבג"ד
When we wish to double this root, we extend line GD straight to H.	וכאשר נרצה לכפול זה השרש נוציא קו ג"ד על יושר עד ה‫'
We define GH equal to GD. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=GD}}$	ונשים ג"ה שוה לג"ד
Line HD is two roots of square AD. $\scriptstyle{\color{blue}{HD=2\sqrt{AD}=2\sqrt{16}}}$	ויהיה קו ה"ד שני שרשים ממרובע א"ד
If we wish to know: the root of which number is it?	ואם נרצה לדעת לאי זה מספר הוא שרש
We construct square HZ on it. $\scriptstyle{\color{blue}{HZ=HD^2}}$	נשים עליו שטח מרובע עליו ה"ז
We say: surface HZ is four times surface GB. $\scriptstyle{\color{blue}{HZ=4GB}}$	ונאמר ששטח ה"ז ארבעה דמיוני שטח ג"ב
The proof:	מופת זה
We extend line GA straight to C.	שנוציא קו ג"א על יושר עד ח‫'
We extend line AB to point T.	ונוציא קו א"ב עד נקודת ט‫'
Surface HZ consists of four equal quadrangulars: GB, BC, CT, TG.	ויהיו בשטח ה"ז ‫^[22]ארבעה מרובעים שוים והם מרובעי ג"ב ב"ח ח"ט ט"ג
But we assumed that GB is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=16}}$	אבל ג"ב הנחנוהו שש עשרה
Therefore, square HZ is sixty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{HZ=64}}$	ולכן יהיה מרובע ה"ז ששים וארבע
So, line HD is a root of sixty-four, which is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{HD=\sqrt{64}=8}}$	ויהיה קו ה"ד שרש לששים וארבע והוא שמנה
Q.E.D.	והוא מש"ל
He said: when we wish to take half a root of nine. $\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}$	אמ' וכאשר נרצה לקחת חצי שרש תשעה
We multiply half by half; it is a quarter.	נכה חצי בחצי ויהיה רביע
We multiply a quarter by nine; it is two and a quarter.	ונכה רביע בתשעה ויהיה שנים ורביע
We extract its root; it is one and a half and it is half a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot9}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	נקח שרשו והוא אחד וחצי והוא יהיה חצי שרש תשעה
If we wish to take two-thirds of a root of nine. $\scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}$	ואם נרצה לקחת שני שלישי שרש תשעה
We multiply two-thirds by two-thirds; it is four-ninths.	נכה שני שלישים בשני שלישים ויהיו ארבע תשיעיות
Multiply four-ninths by nine; it is four.	ותכה ארבעה תשיעיות בתשעה ויהיו ארבעה
Its root, which is two, is two-thirds of a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{2}{3}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{4}{9}\sdot9}=\sqrt{4}=2}}$	ושרשם שהוא שנים הוא יהיה שני שלישי שרש תשעה
Geometrical illustration
I will explain it to you in by this geometric illustration:	ואבאר לך בזאת התמונה

We suppose the nine is a square surface ABGD. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=9}}$	והוא שנניח התשעה שטח מרובע עליו אבג"ד
Line GD is a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=\sqrt{ABGD}=\sqrt{9}}}$	ויהיה קו ג"ד שרש תשעה
When you wish to take its two-thirds:	וכאשר תרצה לקחת שני שלישיו
Divide line DG into three equal parts: NZ, ZH, HD.	תחלק קו ג"ד לשלשה חלקים שוים והם נ"ז ז"ה ה"ד
Line DZ is two-thirds of line GD and it is also two-thirds of the root of the square GB. $\scriptstyle{\color{blue}{DZ=\frac{2}{3}GD=\frac{2}{3}\sqrt{GB}}}$	ויהיה קו ד"ז שני שלישי קו ג"ד והוא גם כן שני שלישי שרש מרובע ג"ב
When you wish to know: the root of which number is it?	וכאשר תרצה לדעת לאי זה שמספר הוא שרש
We construct square KZLD on line ZD. $\scriptstyle{\color{blue}{KZLD=ZD^2}}$	נעשה על קו ז"ד שטח מרובע עליו כזל"ד
We say that surface KZLD is four-ninths of surface GD, so it is four dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{KZLD=\frac{4}{9}GD=4}}$	ונאמ' ששטח כזל"ד ארבעה תשיעיות שטח ג"ד והם ארבעה דרהמי
The proof:	מופת זה
We extend line ZK straight to point T.	שנוציא קו ז"כ על יושר עד נקודת ט‫'
We draw line HC from point H, parallel to line BD. $\scriptstyle{\color{blue}{HC\parallel BD}}$	ונוציא מנקודת ה' קו ה"ח נכחי לקו ב"ד
Draw line EP from E, parallel to line AB. $\scriptstyle{\color{blue}{EP\parallel AB}}$	ותוציא מע' קו ע"פ נכחי לקו א"ב
We extend line LMK to S.	ונוציא קו למ"כ עד ס‫'
By this, nine equal surfaces are formed in surface GB: HE, EM, MB, MT, TS, KN, KP, PZ, ZN.	ויהיה עם זה כבר נעשו בשטח ג"ב תשעה שטחים שוים והם נ ה"ע ע"מ מ"ב מ"ט ט"ס כ"נ כ"פ פ"ז ז"נ
Surface ZL is four of these nine surfaces, so surface ZL is four-ninths of square GB. $\scriptstyle{\color{blue}{ZL=\frac{4}{9}GB}}$	ויהיה שטח ז"ל ארבעה מאלו התשעה שטחים אם כן שטח ז"ל ארבע תשיעיות מרובע ג"ב
Line ZD is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{ZD=\sqrt{4}}}$	וקו ז"ד שרש לארבעה
Q.E.D.	והוא מש"ל
Do the same with all that falls into your hand of this kind.	וכל מה שיפול בידך מזה המין תעשה עמו ככה
Multiplication of Roots
He said: if you wish to know how much is the product of a root of nine by a root of four. $\scriptstyle\sqrt{9}\times\sqrt{4}$	אמ' ואם תרצה לדעת כמה העולה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה
Multiply four by nine; it is thirty-six.	תכה ארבע' בתשעה ויהיה שלשים ושש
Extract its root; it is six and it is the same as the product of a root of nine by a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}=6}}$	תקח שרשם והוא ששה והוא כמו הכאת שרש תשעה בשרש ארבעה
Geometrical illustration
I will explain this by this geometric illustration:	ואבאר זה בזאת התמונה

We define line AB as a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}$	והוא שנשים קו א"ב שרש תשעה
Line BG is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=\sqrt{4}}}$	וקו ב"ג שרש ארבעה
When we wish to multiply line AB by line BG: $\scriptstyle{\color{blue}{AB\times BG}}$	וכאשר נרצה להכות קו א"ב בקו ב"ג
Construct square AC on line AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=AG^2}}$	תשים על קו א"ג שטח מרובע עליו א"ח
Draw line BZ from point B, parallel to lines AH and GC. $\scriptstyle{\color{blue}{BZ\parallel AH,GC}}$	ותוציא מנקודת ב' קו נכחי לקוי א"ה ג"ח והוא קו ב"ז
Each of the lines AH and GC is a root of nine plus a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=GC=\sqrt{9}+\sqrt{4}}}$	וכל אחד מקוי א"ה ג"ח שרש תשעה ושרש ארבעה
We define line MG as a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{MG=\sqrt{9}}}$	ונשים קו מ"ג שרש תשעה
The remaining line MC is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{MC=\sqrt{4}}}$	וישאר קו מ"ח שרש ארבעה
We draw line MK from point M, parallel to lines AG and HC. $\scriptstyle{\color{blue}{MK\parallel AG,HC}}$	ונוציא מנקודת מ' קו מ"כ נכחי לקוי ~~א"ה ג"ח~~ א"ג ה"ח
Surface E[A] is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{EA=9}}$	ויהיה שטח ע"מ תשעה
Line BE is a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{BE=\sqrt{9}}}$	וקו ב"ע שרש תשעה
Surface EC is four. $\scriptstyle{\color{blue}{EC=4}}$	ושטח ע"ח ארבעה
Line ZE is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{ZE=\sqrt{4}}}$	וקו ז"ע שרש ארבעה
Because, ZE is equal to EM and EM is the same as BG. $\scriptstyle{\color{blue}{ZE=EM=BG}}$	כי ז"ע שוה לע"מ וע"מ כמו ב"ג
EB is the same as EK. $\scriptstyle{\color{blue}{EB=EK}}$	וע"ב כמו ע"כ
The ratio of ME to EK is the same as the ratio of ZE to EB. $\scriptstyle{\color{blue}{ME:EK=ZE:EB}}$	ויחס מ"ע אל ע"כ כיחס ז"ע אל ע"ב
The ratio of ZE to EB is the same as the ratio of surface ZK to surface EA. $\scriptstyle{\color{blue}{ZE:EB=ZK:EA}}$	ויחס ז"ע אל ע"ב הוא כיחס שטח ז"כ אל שטח ע"א
Therefore, the product of the numbers of surface ZM by the numbers of surface EA is the same as the product of the numbers of surface ZK by themselves.	ולכן יהיה הכאת המספרים אשר בשטח ז"מ במספרים אשר בשטח ע"א כמו הכאת המספרים אשר בשטח ז"כ בעצמם
As Euclid has explained when he said that when there are three proportional numbers, the product of the first number by the third is the same as the product of the second by itself. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2}}$	כמו שבאר זה אקלידס כאשר אמ' כי כאשר היו שלשה מספרים מתיחסים יהיה הכאת המספר הראשון ~~בתשיעי~~ בשלישי כמו הכאת הב' המספר בעצמו
But, the product of the units of surface EC that are four by the units of surface EA that are nine is thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{4\times9=36}}$	אבל הכאת מה שבשטח ע"ח ‫^[23]מהאחדים שהם ארבעה באחדי שטח ע"א שהם ~~שלשה~~ תשעה יהיה שלשים ושש
So, surface ZK is the same as a root of thirty-six, which is six; and this is the product of a root of nine by a root of four, since line KE is a root of nine and line EC is as a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=KE\times EC=ZK=\sqrt{36}=6}}$	ולכן שטח ז"כ הוא כמו שרש שלשים ושש והוא ששה והנה שהוא הוה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה בעבור כי קו א' כ"ע שרש תשעה וקו ע"ח כמו שרש ארבעה
Q.E.D.	והוא ומש"ל‫^[24]
He said: if you are told: how much is the product of two roots of ten by half a root of five? $\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה
Observe the root of which number are two roots of ten, according to the way I have shown you.	ראה שני שרשי עשרה לאי זה מספר הם שרש על הדרך שהראיתי לך
You find that they are a root of forty. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{10}=\sqrt{40}}}$	ותמצא שהם שרש לארבעי‫'
Observe also the root of which number is half a root of five:	וכמו כן ראה חצי שרש חמשה לאי זה מספר הוא שרש
You find that it is a root of one and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}$	ותמצא שהוא שרש לאחד ורביע
The question becomes as if it is said: how much is the product of a root of forty by a root of one and a quarter? $\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{40}\times\sqrt{1+\frac{1}{4}}$	ותשוב השאלה כאלו אמרו כמה יהיה מהכאת שרש ארבעים בשרש אחד ורביע
Multiply forty by one and a quarter; it is fifty. $\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)=50}}$	ולכן תכה ארבעים באחד ורביע ויהיה חמשים
Say that the root of fifty is the product of two roots of ten by half a root of five. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{50}}}$	ותאמ' כי שרש חמשים הוא הוא הכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה
Geometrical illustration
He said: we give for this procedure a general geometric illustration:	אמ' ונניח לזה המעשה תמונה כוללת

We say that for every number multiplied by another number, the root of the product is the same as the product of the root of one of the numbers multiplied by the root of the other number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{A\times B}=\sqrt{A}\times\sqrt{B}}}$	ונאמ' שכל מספר שיוכה במספר אחר יהיה שרש העולה כמו הכאת שרש מספר אחד מהם לשרש המספר האחר
Example: we suppose that A and B are two numbers.	משל לזה שנניח ב' א' שני מספרים
The root of B is G. $\scriptstyle{\color{blue}{G=\sqrt{B}}}$	ושרש ב' הוא ג‫'
The root of A is D. $\scriptstyle{\color{blue}{D=\sqrt{A}}}$	ושרש א' הוא ד‫'
We multiply B by A; it is Z. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=B\times A}}$	ונכה ב' בא' ויהיה ז‫'
We multiply G by D; it is C. $\scriptstyle{\color{blue}{C=G\times D}}$	ונכה ג' בד' ויהיה ח‫'
We say that C is the same as H, which is the root of Z. $\scriptstyle{\color{blue}{C=H=\sqrt{Z}}}$	ונאמ' שח' כמו ה' שהוא שרש ז‫'
The proof:	מופת זה
G multiplied by itself is B. $\scriptstyle{\color{blue}{G^2=B}}$	כי ג' הוכה בעצמו והיה ב‫'
It is multiplied by D; the result is C. $\scriptstyle{\color{blue}{G\times D=C}}$	והוכה בב'^ד' והיה ח‫'
So, the ratio of G to D is the same as the ratio of B to C. $\scriptstyle{\color{blue}{G:D=B:C}}$	ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח‫'^[25]
Also, D multiplied by itself is A. $\scriptstyle{\color{blue}{D^2=A}}$	וכמו כן ד' הוכה בעצמו והויה א‫'
It is multiplied by G; the result is C. $\scriptstyle{\color{blue}{D\times G=C}}$	והוכה בג' והיה ח‫'
So, the ratio of G to D is the same as the ratio of C to A. $\scriptstyle{\color{blue}{G:D=C:A}}$	ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ח' אל א‫'
But, the ratio of G to D is already the same as the ratio of B to C. $\scriptstyle{\color{blue}{G:D=B:C}}$	וכבר היה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח‫'
Therefore, the ratio of B to C is the same as the ratio of C to A. $\scriptstyle{\color{blue}{B:C=C:A}}$	אם כן יהיה יחס ב' אל ח' כיחס ח' אל א‫'
Hence, the product of B by A is the same as the product of C by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times A=C^2}}$	ויהיה מפני זה הכאת ב' בא' כמו הכאת ח' בעצמו
But, the product of B by A is Z. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times A=Z}}$	אבל הכאת ב' בא' הוא ז‫'
So, the product of C by itself is the same as Z. $\scriptstyle{\color{blue}{C^2=Z}}$	אם כן הכאת ח' בעצמו יהיה כמו ז‫'
But, the product of H by itself is already Z. $\scriptstyle{\color{blue}{H^2=Z}}$	וכבר היה הכאת ה' בעצמו הוא ז‫'
Thus, C is the same as H. $\scriptstyle{\color{blue}{C=H}}$	ולכן יהיה ח' כמו ה‫'
Q.E.D.	והוא מש"ל
What I have explained of this type is enough.	ובמה שבארתי מזה המין הוא מספיק
Chapter on Division of Roots	פרק בחלוק
He said: you must also know that when you multiply the divisor by the result of division, the dividend returns. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{A}{B}\times B=A}}$	אמ' וגם כן ראוי שתדע כי כאשר תכה המחלק במה שעלה לחלק ישוב המספר שחלקת
Example: we divide ten by two; the quotient is five. $\scriptstyle{\color{blue}{10\div2=5}}$	משל זה חלקנו עשרה על שנים ויצא לכל חלק חמשה
When we multiply two by five, the result is ten and it is the dividend. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}$	הנה כאשר הכינו שנים בחמשה יהיה עשרה והוא המספר שנחלק
Geometrical illustration
He said: we give for this procedure a general geometric illustration also:	אמ' ונשים לזה המעשה גם כן תמונה כוללת

We say that for every number divided by another number, the product of the quotient by the divisor is the same as the dividend. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{A}{B}\sdot B=A}}$	ונאמ' כי כל מספר שיהיה נחלק על מספר אחר יהיה הכאת העולה לכל חלק במספר המחלק כמו המספר הנחלק
Example: we divide number A by number B; the quotient is G. $\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}$	משל זה שחלקנו מספר א' על מספר ב' ועלה לכל חלק ג‫'
We say that the product of B by G is the same as A. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=A}}$	ונאמ' שהכאת ב' בג' הוא כמו א‫'
The proof:	מופת זה
A is already divided by G and the result is G, so the multiples of G in A are as the number of units in B. $\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}$	כי א' כבר נחלק על ב' והיה ג' ולכן יהיו מדמיוני ג' בא' כמספר מה שבב' מן האחדים
Therefore, the ratio of G to A is the same as the ratio of one to B. $\scriptstyle{\color{blue}{G:A=1:B}}$	ומפני זה יהיה יחס ג' אל א' כיחס האחד אל ב‫'
So, the product of B by G is the same as the product of one by A. But, the product of one by A, which is the product of B by G, is also A. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=1\times A=A}}$	ולכן יהיה מהכאת ב' בג' כמו הכאת האחד בא' אבל הכאת האחד בא' הוא אם כן הכאת ב' בג' הוא גם כן א‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
He said: if you are told: divide the root of nine by the root of four. $\scriptstyle\sqrt{9}\div\sqrt{4}$	‫^[26]אמ' ואם יאמרו לך תחלק שרש תשעה על שרש ארבעה
Divide nine by four; the quotient is two and a quarter.	הנה תחלק תשעה על ארבעה ויגיע לכל חלק שנים ורביע
Extract its root; it is one and a half and this is the root of nine divided by the root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\div\sqrt{4}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	תקח שרשו והוא אחד וחצי וככה הוא שרש תשעה מחולק על שרש ארבעה
If it is said: divide ten by a root of two. $\scriptstyle\sqrt{10}\div\sqrt{2}$	ואם אמרו תחלק שרש עשרה על שרש שנים
The quotient is five. Extract its root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\div\sqrt{2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}$	ויגיע לחלק חמשה וקח שרשו
If you are told: divide two roots of twenty by three roots of six. $\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}$	ואם אמר לך תחלק שנים שרשים מעשרים על שרשים שלשה מששה
Search the root of which number are two roots of twenty.	תחפש שני שרשים מעשרים לאי זה מספר הם שרש
We know from what we explained that they are a root of eighty. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{20}=\sqrt{80}}}$	וידענו ממה שבארנו שהם שרש לשמונים
Search also the root of which number are three roots of six.	ותחפש כמו כן שלשה שרשים מששה לאי זה מספר הם שרש
They are a root of fifty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt{6}=\sqrt{54}}}$	והנה הם שרש לחמשים וארבעה
It is as if one asks to divide a root of eighty by a root of fifty-four. $\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}$	ויהיה כאלו שאל לחלק שרש שמנים על שרש ארבעה וחמשים
We divide eighty by fifty-four; the quotient is one integer, four-ninths, and a third of a ninth.	והנה נחלק שמנים על ארבעה וחמשים ויעלה אל החלק אחד שלם וארבעה תשיעיות ושלישית התשיעית
The root of this is the quotient resulting from the division of two roots of twenty by three roots of six.	ושרש זה הוא העולה אל החלק מחלוקת שני שרשים מעשרים על שלשה שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}=\sqrt{\frac{80}{54}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\right)}}}$
Proceed with all that is of this kind as in this procedure.	וכמו כן כל אשר יגיע בידך מזה המין תעשה עמו כמעשה הזה
Geometrical illustration
He said: we give for this type also a general geometric illustration:	אמ' ונניח גם כן לזה המין תמונה כוללת
We say that for every two numbers, one of which is divided by the other, the root of the quotient is the same as the quotient of the root of the dividend divided by the root of the divisor. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}}}$	ונאמ' כי כל שני מספרים שיחלק אחד מהם על האחר יהיה שרש העולה לחלק כמו העולה מחלוקת שרש המספר הנחלק בשרש המספר המחלק


Example: number A is divided by number B and the result is number G. $\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}$	משל שמספר א' נחלק על ב' מספר ב' ועלה מספר ג‫'
The root of A, which is number C, is divided by the root of B, which is number D; the quotient is number E. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{A}\div\sqrt{B}=C\div D=E}}$	ושרש א' שהוא מספר ח' נחלק על שרש ב' שהוא מספר ד' ועלה לחלק מספר ע‫'
We say that E is the same as the root of G. $\scriptstyle{\color{blue}{E=\sqrt{G}}}$	ונאמ' שע' הוא כמו שרש ג‫'
The Proof:	המופת בזה
We multiply E by itself and the result is M. $\scriptstyle{\color{blue}{E^2=M}}$	שנכה ע' בעצמו והיה מ‫'
A is divided by B; it is G. $\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}$	הנה א' נחלק על ב' והיה ג‫'
So, [A] returns by the multiplication of B by G. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=A}}$	ולכן מהכאת ב' בג' ישוב ד‫'
D is multiplied by E and the result is C. $\scriptstyle{\color{blue}{D\times E=C}}$	וכמו כן ד' הוכה בע' והיה ח‫'
But, D is already multiplied by itself and the result is B. $\scriptstyle{\color{blue}{D^2=B}}$	וכבר הוכה ד' בעצמו והיה ב‫'
Therefore, the ratio of D to E is the same as B to C. $\scriptstyle{\color{blue}{D:E=B:C}}$	ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כב' אל ח‫'
E is multiplied by itself and the result is M. $\scriptstyle{\color{blue}{E^2=M}}$	וע' הוכה בעצמו והיה מ‫'
It is multiplied by D and the result is C. $\scriptstyle{\color{blue}{E\times D=C}}$	והוכה בד' והיה ח‫'
Therefore, the ratio of D to E is the same as the ratio of C to M. $\scriptstyle{\color{blue}{D:E=C:M}}$	ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כיחס ח' אל מ‫'
But, the ratio of B to C is also the same as D to E. $\scriptstyle{\color{blue}{B:C=D:E}}$	וכבר היה יחס ב' אל ח' גם כן כד' אל ע‫'
Therefore, the ratio of B to C is the same as C to M. $\scriptstyle{\color{blue}{B:C=C:M}}$	ולכן יהיה יחס ב' אל ח' כח' אל מ‫'
So, the product of B by M is the same as the product of C by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times M=C^2}}$	והכאת ב' במ' תהיה כמו הכאת ח' בעצמו
But, the product of C by itself is A. $\scriptstyle{\color{blue}{C^2=A}}$	אבל הכאת ח' בעצמו היא א‫'
Hence, the product of B by M is also A. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times M=A}}$	ולכן הכאת ב' במ' היא גם כן א‫'
B is already multiplied by G and the result is also A. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=A}}$	וכבר הוכה ב' גם כן בג' והיה כמו כן א‫'
Then M is equal to G. $\scriptstyle{\color{blue}{M=G}}$	אם כן מ' הוא שוה לג‫'
But, E is the root of M. $\scriptstyle{\color{blue}{E=\sqrt{M}}}$	אבל ע' היה שרש למ‫'
Therefore, E is also the root of G. $\scriptstyle{\color{blue}{E=\sqrt{G}}}$	ולכן יהיה גם כן ע' שרש לג‫'
Q.E.D.	והוא מש"ל
Chapter on the Addition of the Roots one the the other and Their Subtraction	פרק בחבור השרשים האחד עם האחר ובגרעונם
Addition of Roots
He said: when you wish to add a root of a number to a root of another number so that a root of a certain square is summed from them:	אמ' כאשר תרצה לחבר שרש מספר מהמספרי' עם שרש מספר אחר עד שיקובץ מהם שרש מרובע מה
This cannot be done with every number, but it is possible for two [perfect] square numbers, i.e. numbers that have a root; or for two numbers, such that when one [of them] is divided by the other, the quotient has a root, and when one [of them] is multiplied by the other, the product has a root.	הנה לא יהיה נכון לעשות זה בכל מספר אבל יתכן זה בשני מספרי' מרובעי' רצו' שיחזיקו שרש או בשני מספרים שכאשר נחלק האחד על האחר יהיה לאשר עלה אל החלק שרש וכאשר תכה האחד באחר היה אל המקובץ שרש
For numbers other than these it is not possible that you sum their two roots to a single root.	ובמספרי' אחרים זולת אלו אי אפש' שתחבר שני שרשיהם עד שתשיבם שרש אחד
The same property is found in the subtraction of roots one from the other.	וכמו כן הענין בגרעון השרשים האחד מהאחר
This is especially clear when both numbers are [perfect] squares.	ואלו יהיו מאד ‫^[27]מבוארים כאשר יהיו שני המספרים מרובעי‫'
As if you say: nine and four - we wish to sum their roots so that they become a root of a single number. $\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}$	כאלו תאמ' תשעה וארבעה ורצינו לחבר שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד
Sum up nine and four; it is [thirteen]. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{9+4=13}}$	תחבר תשעה וארבעה ויהיו שלשה ותשמרם
Multiply nine by four; it is thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}$	ותכה תשעה בארבעה ויהיו שלשים ושש
Take its two roots; they are twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{36}=12}}$	ותקח שני שרשיו והם שתיים עשרה
Add it to the reserved; it is twenty-five and it is the same as the sum of the root of nine and the root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}$	תחברם עם השמור ויהיו עשרים וחמשה והם כמו שרש תשעה ושרש ארבעה מקובצים
Geometrical illustration
He said: I will explain this by this geometric illustration:	אמ' ואבאר זה בזאת התמונה

We suppose line AB is a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}$	והוא שנניח קו א"ב שרש לתשעה
Line AG is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=\sqrt{4}}}$	וקו א"ג שרש לארבעה
We wish to know the root of which number is line GB?	ונרצה שנדע קו ג"ב שרש לאי זה מספר הוא
We construct square GZ on line GB. $\scriptstyle{\color{blue}{GZ=GB^2}}$	נעשה על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ז
We construct square ABKL on line AB. $\scriptstyle{\color{blue}{ABKL=AB^2}}$	ונעשה על קו א"ב שטח מרובע עליו אבכ"ל
We extend line AK straight to point C.	ונוציא קו א"כ על יושר עד נקודת ח‫'
We also extend line LK to point E.	וכמו כן נוציא קו ל"כ עד נקודת ע‫'
Surface KB is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{KB=9}}$	הנה שטח כ"ב הוא תשעה
Since line AB is a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}$	בעבור כי היה קו א"ב שרש לתשעה
Surface EC is four. $\scriptstyle{\color{blue}{EC=4}}$	ושטח ע"ח הוא ארבעה
Since line EB, which is its side, is equal to AG, which we have assumed that is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{EB=AG=\sqrt{4}}}$	בעבור כי קו ע"ב שהוא צלעו הוא שוה לא"ג שהנחנוהו שרש לארבעה
Surface AE is [six]. $\scriptstyle{\color{red}{AE=6}}$	ושטח א"ע הוא תשע‫'
Because it is generated from the product of line AB, which is the same as a root of nine, by line AG, which is a root of four, so it is six, according to what we explained above in the chapter on the multiplication of a root by a root. $\scriptstyle{\color{blue}{AE=AB\times AG=\sqrt{9}\times\sqrt{4}=6}}$	כי הנה הוא מהכאת קו א"ב שהוא כמו שרש תשעה בקו א"ג שהוא שרש לארבעה ולכן הנה הוא ששה ממה שבארנו למעלה בפרק הכאת שרש בשרש
Surface LC is also six. $\scriptstyle{\color{blue}{LC=6}}$	וכמו כן יהיה שטח ל"ח גם כן ששה
The sum of these four surfaces is twenty-five and they are the whole surface GZ. $\scriptstyle{\color{blue}{GZ=KB+EC+AE+LC=25}}$	ומקובץ כל אלו הארבעה שטחי' הנה הוא עשרים וחמשה והם כל שטח ג"ז
Line BG, which is its root, is five. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=\sqrt{GZ}=\sqrt{25}=5}}$	וקו ב"ג שהוא שרשו יהיה חמשה
Q.E.D.	והוא מש"ל
Subtraction of Roots
He said: when you wish to subtract a root of four from a root of nine, so that what remains is a root of a single number. $\scriptstyle\sqrt{9}-\sqrt{4}$	אמ' וכאשר תרצה לגרוע שרש ארבעה משרש ~~ששה~~ תשעה עד שיהיה מה שישאר שרש למספר אחד
Add nine to four; it is thirteen. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{9+4=13}}$	תחבר התשעה עם הארבעה ויהיו שלשה עשר ותשמרם
Multiply nine by four; it is thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}$	ותכה תשעה וארבעה ויהיו שלשים ושש
Take its two roots; they are twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{36}=12}}$	ותקח שני שרשיו והם שנים עשר
Subtract it from the reserved; one remains.	ותגרעם מהשמור וישאר אחד
The root of one, which is one, is the remainder of the root of nine, when you subtract a root of four from it. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}-\sqrt{4}=\sqrt{13-12}=\sqrt{1}=1}}$	ושרש האחד הוא יהיה הנשאר מהשרש תשעה בגרעך ממנו שרש ארבעה והוא אחד
Geometrical illustration
I will explain it to you by this geometric illustration:	ואבאר לך זה בזאת התמונ‫'

We suppose line AB is a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}$	נניח קו א"ב שרש לתשעה
Line AG is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=\sqrt{4}}}$	וקו א"ג שרש לארבעה
When we subtract line AG from line AB, line GB remains. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=AB-AG}}$	וכאשר נגרע קו א"ג מקו א"ב ישאר קו ג"ב
We wish to know the root of which number is the number of line GB?	ורצינו לדעת מספר קו ג"ב לאי זה מספר הוא שרש
We construct square AZ on line AB. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=AB^2}}$	נשים על קו א"ב שטח מרובע עליו א"ז
The area of AZ is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=9}}$	ויהיה שטח א"ז תשעה
We construct square AM on line AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=AG^2}}$	ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו א"מ
The area of AM is four. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=4}}$	ויהיה שטח א"מ ארבעה
Extend lines GM and CM straight to points N and K.	ותוציא קוי ג"מ וח"מ על יושר עד שתי נקודות נ' וכ‫'
It is known that square MZ is the same as the product of line GB by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{MZ=GB^2}}$	הנה הוא ידוע כי מרובע מ"ז הוא כמו הכאת קו ג"ב בעצמו
Since line MG, which is its side, is equal to line GB. $\scriptstyle{\color{blue}{MG=GB}}$	בעבור כי ~~הכאת~~ קו מ"ג שהוא צלעו הוא שוה לקו ג"ב
Surface CK is two. $\scriptstyle{\color{blue}{CK=2}}$	ושטח ח"כ הוא שנים
Since the whole surface AK is six, because it is generated from the product of line AG, which is a root of four, by line AH, which is a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AK=AG\times AH=\sqrt{4}\times\sqrt{9}=6}}$	בעבור כי היה כל שטח א"כ ששה מפני כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שרש לארבעה בקו א"ה שהוא שרש לתשעה
Surface AM is four. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=4}}$	ושטח א"מ היה ארבעה
Therefore, the remaining surface CK is two. $\scriptstyle{\color{blue}{CK=AC-AM=2}}$	ולזה ישאר שטח ח"כ שנים
Surface MB is also two. $\scriptstyle{\color{blue}{MB=2}}$	וכמו כן יהיה שטח מ"ב שנים
So, the sum of the three surfaces CK, MB, and AM is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{CK+MB+AM=8}}$	הנה כי מקובץ שלשה שטחי ח"כ מ"ב א"מ הוא שמנה
But, the whole surface AZ is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=9}}$	אבל כל שטח א"ז היה תשעה
Hence, the remaining surface MZ is one. $\scriptstyle{\color{blue}{MZ=1}}$	הנה כי ישאר שטח מ"ז אחד
Line MN that is equal to line GB is its root, which is one. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=MN=\sqrt{MZ}=\sqrt{1}=1}}$	וקו מ"נ השוה לקו ג"ב הוא שרשו והוא אחד
Q.E.D.	והוא מש"ל
He said: if we wish to sum up the root of eighteen with the root of eight, so they become a root of a single number. $\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}$	‫^[28]אמר ואם רצינו לחבר שרש שמנה עשר עם שרש שמנה עד שיהיו שרש למספר אחד
We know that their sum is appropriate.	הנה ידענו כי חבורם נכון
Because, when we divide eighteen by eight, the quotient is two and a quarter and it has a root, for its root is one and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	בעבור כי כאשר חלקנו שמנה עשר על שמנה יגיע לחלק שנים ורביע והם מחזיקים שרש כי שרשם הוא אחד וחצי
If we divide eight by eighteen, the quotient is four-ninths and it has a root - its root is two-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{8}{18}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}}}$	ואם חלקנו שמנה ~~עשר~~ על שמנה עשר יגיע לחלק ארבע תשיעיות והם מחזיקים שרש ושרשם הוא שני שלישים
If you multiply eighteen by eight, it is 144 and it has a root - its root is twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18\sdot8}=\sqrt{144}=12}}$	ואם תכה שמנה עשר בשמנה יהיו קמ"ד ומחזיקים שרש ושרשם שתים עשרה
We already noted that for any two numbers that obey this rule, i.e. that have these three properties, we can sum up their two roots so they become a root of a single number.	וכבר אמרנו כי כל שני מספרים יהיה משפטם זה המשפט ר"ל שיסוגלו באלו השלש סגולות הנה אז יהיה נכון לנו לקבץ שני שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד
If one of the three properties is absent, all three properties are absent.	וכאשר יבצר מהם אחת מאלו השלש סגולות יהיו שלשתם נמנעות מהן
When we wish to know the root of which number is the sum of the two roots we mentioned, follow the procedure we said earlier. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{18}+\sqrt{8}}}$	וכאשר רצינו לדעת קבוץ השני שרשים אשר אמרנו לאיזה מספר הם שרש תעשה כפי המעשה שאמרנו קודם
It is that you sum up eight with eighteen; it is twenty-six. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{8+18=26}}$	והוא שתחבר שמנה עם שמנה עשר ויהיו ששה ועשרים ותשמרם
Multiply eight by eighteen; the result is 144. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot18=144}}$	ותכה שמנה בשמנה עשר ויעלה קמ"ד
Take its two roots; they are twenty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{144}=24}}$	ותקח שני שרשיו והוא ארבעה ועשרים
Add it to the reserved; it is fifty.	ותחברם עם השמור ויהיו חמשים
Its root is the same as the sum of the root of eight and the root of eighteen. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}+\sqrt{8}=\sqrt{26+24}=\sqrt{50}}}$	ושרשו הוא כמו שרש שמנה ושרש שמנה עשר מקובצים
If we want to subtract the root of eight from the root of eighteen. $\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}$	ואם באנו לגרוע שרש שמנה משרש שמנה עשר
Subtract twenty-four from the reserved; two remains and the root of two is what remains from the root of eighteen, when the root of eight is subtracted from it. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}}}$	תגרע הארבעה ועשרים מהשמור וישארו שנים ושרש שנים הוא מה שישאר משרש שמנה עשר כאשר יגרע ממנו שרש שמנה
He said: if we wish to sum up the root of ten with the root of two. $\scriptstyle\sqrt{10}+\sqrt{2}$	אמ' ואם רצינו לחבר שרש עשרה עם שרש שנים
This cannot be summed to a root of a single number.	זה לא יתכן לחברו גם לא יתכן להיות מקובצם שרש למספר אחד
Because, when you divide ten by two, the quotient is five and five has no root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}$	כי הנה כאשר תחלק עשרה על שנים יגיע לחלק חמשה וחמשה אינם מחזיקים שרש
When you divide two by ten, the quotient is fifth and the fifth has no root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{10}}=\sqrt{\frac{1}{5}}}}$	וכאשר תחלק שנים על עשרה יגיע לחלק חומש ואין שרש לחומש
When you multiply two by ten, it is twenty and twenty has no root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10}=\sqrt{20}}}$	וכאשר תכה שנים בעשרה יהיו עשרים ואין לעשרים שרש
If we sum them by the mentioned method, the root of two roots of twenty plus twelve is the sum of the root of ten and the root of two. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}+\sqrt{2}=\sqrt{12+2\sqrt{20}}}}$	ואם קבצנום על הדרך האמור יהיה השרש משנים שרשים מעשרים מקובצים עם שנים עשר הוא שרש עשרה ושרש שנים מקובצים
If we subtract one from the other by the mentioned method, we get that the root of the remainder of twelve after two roots of twenty are subtracted from it is the same as what remains from the root of ten when the root of two is subtracted from it. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}-\sqrt{2}=\sqrt{12-2\sqrt{20}}}}$	ואם גרענו האחד מהאחר על הדרך האמור יצא לנו כי שרש הנשאר משנים עשר כאשר יגרע מהם שנים שרשים מעשרים הוא כמו ~~שרש~~ מה שישאר משרש עשרה כאשר יגרע ממנו שרש שנים
The question is more proper than the answer.	והשאלה בזה יותר נכונה מהתשובה
When you are asked a question of this kind, your answer should be exactly similar to what was introduced to you.	וראוי לך כאשר ישאלו ממך אי זו השאלה מזה הסוג שתהיה תשובתך עליה על דמיון אשר יוציאו לפניך בשוה
Because, when it is said "the root of ten and the root of two summed together", it is more proper than saying "the root of twelve plus two roots of twenty".	כי כאשר יאמר שרש עשרה ושרש שנים מקובצי' הוא יותר נכון ממאמ' שרש שנים עשר ושני שרשים מעשרים
Also, for subtracting one from the other: it is more proper to say "the root of ten minus the root of two", than to say "the root of twelve minus two roots of twenty, which is the root of eighty".	וכמו כן בגרעון האחד מהאחר יותר נכון הוא לאמר שרש ~~שנים~~ עשרה פחות שרש שנים מלאמר שרש שנים עשר פחות שני שרשים מעשרים שהוא שרש שמנים
What I have explained about it is sufficient and complete.	ודי במה שבארתי מזה ובו השלמה
Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations	‫^[29]פרק
He said: I give you a question for each of the six types [of canonical equations] that we noted first, which the algebraists may have already taught you:	אמ' הנני עושה לך שאלה לכל חלק מהששה חלקים אשר הודענו ראשונה ואפש' שכבר יורוך אותם חכמי האלגבר
[1] He said: the first problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger by itself is the same as one time and a half of the product of the one part by the other. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=\left(a\sdot b\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(a\sdot b\right)\end{cases}$	אמ' והשאלה הראשונה היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שתהיה הכאת החלק הגדול בעצמו כמו פעם וחצי מהעולה מהכאת החלק האחד באחר
The procedure is that we suppose the larger part is one thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ] and the other part is ten minus a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	והמעשה בזה הוא שנניח החלק הגדול דבר אחד והחלק האחר ישאר עשרה פחות דבר
We multiply a thing by ten minus a thing; it is ten things minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$	ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע
We multiply the larger part, which is a thing, by itself; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ונכה החלק הגדול והוא דבר בעצמו והוא מרובע
This square is as the ten things minus a square plus its half. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(10x-x^2\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(10x-x^2\right)}}$	והיה זה המרובע כמו העשרה דברי' פחות מרובע וכמו חצי זה
We multiply ten things minus a square by one and a half; the result is fifteen things minus a square and a half and they are as the square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10x-x^2\right)=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)=x^2}}$	ונכה עשרה דברים פחות מרובע באחד וחצי ויעלה חמשה עשר דברים פחות מרובע וחצי והם יהיו כמו המרובע
Restoration:
Restore the square and a half with the 15 things until they are fifteen whole things; add the square and a half to the square. $\scriptstyle{\color{blue}{15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)+\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)=x^2+\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}$	ותאסוף המרובע וחצי עם הט"ו דברים עד שיהיו חמשה עשר דברים שלמים וכמו כן תקבץ המרובע וחצי עם המרובע
So, they are two squares and a half equal fifteen things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot x^2=15x}}$	ואז יהיה שנים מרובעים וחצי יהיו שוים לחמשה עשר דברים
Normalization
Convert them into one square: the square equals six things. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6x}}$	והשיבם אל מרובע אחד ויהיה המרובע ישוה לששה דברים
The thing equals six and it is the larger part. $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	והדבר ישוה ששה והוא החלק הגדול
Four, which is what is left of the ten, is the smaller part. $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}$	וארבעה הנשאר מהעשרה הוא החלק הקטן
I have shown you this problem [to demonstrate] the first of the six categories [of canonical equations], which is his saying: when the squares equal roots [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2=bx}}$ ].	וזאת השאלה הראיתיך לחלק הראשון מהששה חלקים והוא אמרו כאשר המרובעים יהיו שוים אל השרשים
Geometrical illustration of the problem
He said: I will explain this problem to you using a geometric illustration:	אמ' ואבאר לך זאת השאלה בתמונ' גימטרית

It is that we suppose line AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
We cut it into two unequal parts at point G:	ונחלק בנקודת ג' לשני חלקים בלתי שוים
Line AG is the larger part [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ].	קו א"ג הוא החלק הגדול
Line GB is the smaller part [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	וקו ג"ב החלק הקטן
We multiply line AG by line BG; it is surface GD. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times BG=GD}}$	והכינו קו א"ג בקו ב"ג והיה שטח ג"ד
For, we suppose BD is the same as AG. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=AG}}$	כי שמנו ב"ד כמו א"ג
We multiply AG by itself; it is square AH. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=AH}}$	והכינו א"ג בעצמו והיה מרובע א"ה
We suppose that the area of square AH is as the area of GD plus its half. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=GD+\frac{1}{2}GD}}$	ונניח כי יהיה שטח מרובע א"ה כמו שטח ג"ד וכמו חציו
Hence, line GA is as line GB plus its half. $\scriptstyle{\color{blue}{GA=GB+\frac{1}{2}GB}}$	ולכן יהיה קו ג"א כמו קו ג"ב וכמו חציו
So, the whole line AB is as two and a half times line GB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=2\frac{1}{2}GB}}$	ויהיה קו א"ב כלו כמו קו ג"ב שני פעמים וחצי
But, line AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	אבל קו א"ב הוא עשרה
We divide ten by two and a half; the quotient is four, so line BG is four. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=a=x=\frac{10}{2+\frac{1}{2}}=4}}$	ונחלק עשרה לשנים וחצי ויעלה לחלק ארבעה ולכן יהיה קו ב"ג הוא ארבע‫'
Line AG is six. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=b=10-x=6}}$	וקו א"ג הוא ששה
Q.E.D.	והוא מש"ל
[2] He said: and the second problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that the product of ten by itself is the same as the product of one of the parts by itself 6¼ times. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle10^2=a^2\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\end{cases}$	אמ' והשאלה השנית כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת עשרה בעצמו כמו הכאת העולה מהכא' אחד החלקי' בעצמו ששה פעמים ורביע
The procedure is that we suppose one part is a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ].	והמעשה בזה שנניח החלק האחד דבר
We multiply it by itself; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ונכהו בעצמו והוא מרובע
We multiply the ten by itself; it is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}$	ונכה העשרה בעצמם והיו מאה
The one hundred is as six and a quarter times the square. Multiply the square by six an a quarter; it is six squares and a quarter equal one hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100}}$	ואלו המאה היו כמו המרובע ששה פעם ורביע הנה תכה המרובע בששה ורביע ויהיה ששה מרובעים ורביע ישוו מאה דרהמי
Normalization
Convert them into one square by dividing one hundred by six and a quarter that are 25-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100 /\sdot\frac{4}{25}=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	והשיבם אל מרובע אחד והוא שתחלק מאה על ששה ורביע שהם כ"ה רביעיות
Each quarter gets four and each square gets sixteen; so the square equals sixteen dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	ויעלה לכל רביע ארבעה ולכל מרובע יעלה שש עשרה ויהיה המרובע שוה ששה עשר דרהמי
Its root is four and this is the required part. $\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ושרשם ארבעה והוא החלק המבוקש
I have shown you this problem [to demonstrate] the second of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when the squares equal numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2=c}}$ ].	וזאת השאלה הראיתי לך לחלק השני מהששה ‫^[30]והוא האומר כאשר המרובעים ישוו אל מספרים
Geometrical illustration of the problem
He said: I will explain this problem to you using this illustration:	אמ' ואבאר לך זאת השאלה בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
Line GB is the sought number.	וקו ג"ב ממנו הוא המספר המבוקש
We multiply line AB by itself; the result is surface AM, which is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{AB^2=AM=10^2=100}}$	ונכה קו א"ב בעצמו ויצא שטח א"מ והוא מאה
We multiply line GB by itself; it is square GD. $\scriptstyle{\color{blue}{GB^2=GD}}$	ונכה קו ג"ב בעצמו ויהיה מרובע ג"ד
We suppose that the surface AM, which is one hundred, is as six times and a quarter of surface GD. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=100=6\frac{1}{4}GD}}$	והנחנו ששטח א"מ שהוא מאה יהיה כמו ששה פעמים ורביע שטח ג"ד
We cut square GD into four identical segments, each of which is equal to surface BC.	ונחלק מרובע ג"ד לארבעה חלקים שוים כל חלק מהם יהיה כמו שטח ב"ח
Since surface AM is six times and a quarter of surface GD, it is twenty-five times surface BC, which is a quarter of surface GD. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=100=6\frac{1}{4}GD=25\sdot\left(\frac{1}{4}GD\right)=25BC}}$	הנה מפני שהיה שטח א"מ ששה פעמי' ורביע שטח ג"ד יהיה עשרים וחמשה פעמים כמו שטח ב"ח שהוא רביעיתו שהוא שטח ג"ד
But, surface AN is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=100}}$	אבל שטח א"מ הוא מאה
Therefore, surface BC is four. $\scriptstyle{\color{blue}{BC=4}}$	ולכן יהיה שטח ב"ח ארבעה
Surface GD is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=16}}$	ושטח ג"ד ששה עשר
Line GB, which is its root, is four and this is the required part. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=\sqrt{GD}=4}}$	וקו ג"ב שהוא שרשו יהיה ארבעה והוא החלק המבוקש
Q.E.D.	והוא מש"ל
[3] He said: the third problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that when you divide the larger part by the smaller part the quotient is four. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=4\end{cases}$	אמ' והשאלה השלישית היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר תחלק החלק הגדול על החלק הקטן יגיע לחלק ארבעה
The procedure is that we suppose the smaller part is a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ] and the larger [part] is ten minus a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	המעשה בזה הוא שנניח החלק הקטן דבר והגדול עשרה פחות דבר
We divide ten minus a thing by a thing; the quotient is four. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=4}}$	וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר והגיע לחלק ארבעה
I have already shown you that when you multiply the quotient by the divisor you get the dividend $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{A}{B}\sdot B=A}}$	כבר הראיתיך כי כאשר תכה המגיע לחלק על המחלק שיעלה לידך המספר המחולק
Therefore, multiply four by a thing; the result is four things and they are equal to ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{4x=10-x}}$	ולכן תכה ארבעה בדבר ויעלה ארבעה דברים וישוו לעשרה פחות דבר
Restoration:
Restore the thing with the ten until they become ten whole dirham by adding the thing to the four things. $\scriptstyle{\color{blue}{10-x+x=4x+x}}$	ותאסוף הדבר עם העשרה עד שיהיו עשרה דרהמי שלמים ותוסיף דבר על הארבעה דברים
It is ten dirham equal five things. $\scriptstyle{\color{blue}{10=5x}}$	ויהיה עשרה דרהמי ישוו חמשה דברים
The thing equals two dirham and it is the smaller part; the larger part is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{x=2\quad10-x=8}}$	והדבר יהיה שוה שני דרהמי והוא החלק הקטן והחלק הגדול ישאר שמנה
I have shown you this problem [to demonstrate] the third of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when the things equal numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx=c}}$ ].	וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק השלישי מהששה חלקים והוא האומר כאשר הדברים ישוו למספרים
Geometrical illustration of the problem
He said: we will explain this problem using this illustration:	אמ' ונבאר זאת השאלה בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	והוא שנניח קו א"ב הוא עשרה
Line GB is the smaller part [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ].	וקו ג"ב ממנו הוא החלק הקטן
Line AG is the larger part [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	וקו א"ג החלק הגדול
When we divide line AG by line GB, the quotient is four. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{AG}{GB}=4}}$	וכאשר חלקנו קו א"ג על קו ג"ב יעלה לחלק ארבעה
Line AG is four times GB. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=4GB}}$	הנה כי קו א"ג ארבעה דמיוני ג"ב
So, the whole line AB is five times GB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=5GB}}$	ולכן קו א"ב כלו יהיה חמשה דמיוני ג"ב
GB is a fifth of AB. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=\frac{1}{5}AB}}$	וג"ב הוא חמישית א"ב
But AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	אבל א"ב הוא עשרה
Therefore, GB is two. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=2}}$	אם כן ג"ב הוא שנים
Q.E.D.	והוא מש"ל
[4] He said: the fourth problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger part by itself is the same as the product of the smaller part multiplied by nine. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=9b\end{cases}$	אמ' והשאלה הרביעית היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת החלק הגדול בעצמו כמו הכאת החלק הקטן בתשעה
The procedure is that we suppose the larger part is a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ] and the smaller [part] is ten minus a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	המעשה בזה שנשים החלק הגדול דבר והקטן עשרה פחות דבר
We multiply a thing by itself; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	והכינו דבר בעצמו והיה מרובע
We multiply ten minus a thing by nine; the result is ninety dirham minus nine things and they are equal to the square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot9=90-9x=x^2}}$	והכינו עשרה פחות דבר בתשעה ועלה תשעי' דרהמי פחות תשעה דברים והיו אלו שוים אל המרובע
Restoration:
Restore the nine things with the ninety dirham and add them to the square. $\scriptstyle{\color{blue}{90-9x+9x=x^2+9x}}$	תאסוף התשעה דברים עם התשעים דרהמי ותוסיפם על המרובע
It is ninety dirham equal a square plus nine things. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x=90}}$	ויהיה תשעים דרהמי ישוו למרובע ותשעה דברים
As I have already shown you, this case has two solution methods: one reveals the thing to you and the other reveals the square to you.	וכבר הראיתיך לזה המבוקש שני אופנים האחד ~~ב דבר~~ יראה לך הדבר והאחר יראך המרובע
The method that reveals to you the thing, which is the greater part, is that you take half [the number of] the things, which is four and a half.	והאופן אשר יראה לך הדבר שהוא החלק הגדול הוא שתקח מחצית ‫^[31]הדברים והוא ארבעה וחצי
Multiply it by itself; it is twenty and a quarter.	ותכם בעצמם ויהיו עשרים ורביע
Add it to the ninety; it is one hundred and ten and a quarter.	ותקבצם עם התשעים ויהיו מאה ועשר ורביע
Extract its root; it is ten and a half.	תקח שרש זה והוא עשרה ~~ורביע~~ וחצי
Subtract half [the number of] the things from it; six remains and it is the thing, which is the greater part.	תגרע מהם מחצית השרשים וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2+90}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)=\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)^2+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}-\left(4+\frac{1}{2}\right)=\left(10+\frac{1}{2}\right)-\left(4+\frac{1}{2}\right)=6\\\end{align}}}$
The method that reveals the square to you is that you multiply the nine things by themselves; it is eighty-one.	והאופן אשר יראה לך המרובע הוא שתכה התשעה דברים בעצמם ויהיו שמנים ואחד
Multiply it by ninety; it is seven thousand, two hundred and ninety. Keep it.	תכם בתשעים ויהיה שבעת אלפים ומאתים ותשעים ותשמרם
Take a half of eighty-one, which is forty and a half.	ותקח מחצית שמנים ואחד והוא ארבעים וחצי
Multiply it by itself; the result is 1640 and a quarter.	ותכם בעצמם ויעלה אלף תר"מ ורביע
Add it to the reserved; it is 8930 and a quarter.	ותקבצם עם השמור ויהיו שמנת אלפים תתק"ל ורביע
Extract its root; it is 94 and a half.	ותקח שרשם והוא צ"ד וחצי
Subtract it from the sum of forty and a half, which is half the product of the roots by themselves, with ninety, which is the number of the dirham that is equal to the square and the roots; their sum is 130 and a half.	תגרעם ממקובץ הארבעים וחצי שהוא מחצית הכאת השרשים בעצמם עם תשעים שהוא מספר הדרהמי אשר ישוו אל המרובע והשרשים ומקובצם הוא ק"ל וחצי
36 remains and it is the square; its root is six and it is the greater part.	וישאר ל"ו והם המרובע ושרשם ששה והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)+90-\sqrt{\left(9^2\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)^2}=\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)+90-\sqrt{\left(81\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(40+\frac{1}{2}\right)^2}=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(1640+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{8930+\frac{1}{4}}=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\left(94+\frac{1}{2}\right)=\left(130+\frac{1}{2}\right)-\left(94+\frac{1}{2}\right)=36\\\end{align}}}$
I have shown you this problem [to demonstrate] the fourth of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when squares and roots equal numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2+bx=c}}$ ].	וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק הרביעי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעים ושרשים ישוו למספרים
Geometrical illustration of the problem
He said: I will explain it using this illustration:	אמ' ואבארה לך בתמונה הזאת

It is that we suppose line AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
Line AG is the greater part [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ].	וקו א"ג החלק הגדול
Line GB is the smaller part [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	וקו ג"ב החלק הקטן
The product of line AG by itself is the same as the product of GB by nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=GB\times9}}$	והיה הכאת קו א"ג בעצמו כמו הכאת ג"ב בתשעה
We wish to know how much is the measure of AG?	ורצינו להודיע כמה שיעור קו א"ג
If we multiply AG by nine and GB by nine, the sum of their products is ninety. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG\times9\right)+\left(GB\times9\right)=90}}$	הנה אם הכינו א"ג בתשעה וג"ב בתשעה יהיה מקובץ העולה מהכאותיהם תשעים
Since AG by itself is the same as GB by nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=GB\times9}}$	ובעבור כי היה א"ג בעצמו כמו ג"ב בתשעה
Therefore, AG by nine and by itself is ninety. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG\times9\right)+AG^2=\left(AG\times9\right)+\left(GB\times9\right)=90}}$	יהיה מפני זה א"ג בתשעה ובעצמו יהיה תשעים
We suppose line AD is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=9}}$	ונניח קו א"ד תשעה
The product of AG by itself and by AD is ninety and it is the same as DG by GA. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2+\left(AG\times AD\right)=90=DG\times GA}}$	ויהיה העולה מהכאת א"ג בעצמו ובא"ד תשעים והוא כמו הכאת ד"ג בג"א
Line DA is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{DA=9}}$	וקו ד"א תשעה
We cut it in half at point H [= H midpoint of DA].	ונחלק אותו לחצאין על נקודת ה‫'
Line AG is added to it.	ונוסף לארכו קו א"ג
The product of DG by GA is ninety. $\scriptstyle{\color{blue}{DG\times GA=90}}$	והיה מהכאת ד"ג בג"א תשעים
We add to it the product of AH by itself, which is twenty and a quarter; the result is a hundred and ten and a quarter and so should be the product of HG by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{HG^2=\left(AG\times DG\right)+AH^2=90+\left(20+\frac{1}{4}\right)=110+\frac{1}{4}}}$	ונקבץ עמהם הכאת א"ה בעצמו שהוא עשרים ורביע ועלו מאה ועשר ורביע וככה ראוי שתהיה הכאת ה"ג בעצמו
We extract its root; it is ten and a half and so is line HG. $\scriptstyle{\color{blue}{HG=\sqrt{110+\frac{1}{4}}=10+\frac{1}{2}}}$	ונוציא שרשם והוא עשרה וחצי וככה קו ה"ג
But, HA is four and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{HA=4+\frac{1}{2}}}$	אבל ה"א הוא ארבעה וחצי
So, AG remains six and it is the greater part. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=a=x=6}}$	ולכן ישאר א"ג ששה והוא החלק הגדול
GB [is four] and it is the smaller part. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=b=10-x=4}}$	וג"ב והוא החלק הקטן
Q.E.D.	ומש"ל
[5] He said: the fifth problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that when we multiply one part by the other the result is 21. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=21\end{cases}$	אמ' והשאלה החמישית כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר נכה החלק האחד באחר יעלה עשרים ~~ורביע~~ ואחד
The procedure is that we suppose one part is a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ] and the other part is ten minus a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	המעשה בזה שנניח החלק האחד דבר והחלק האחר יהיה עשרה פחות דבר
We multiply a thing by ten minus a thing; it is ten things minus a square equal twenty-one dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2=21}}$	ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע ויהיו שוים לעשרים ואחד דרהמי
Restoration:
Restore the square with the ten things minus a square and add it to the twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2+x^2=21+x^2}}$	תאסוף המרובע עם עשרת הדברים פחות מרובע ותוסיפהו על עשרים ואחד
It is a square and twenty-one dirham equal ten roots. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21=10x}}$	ויהיו מרובע ועשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה שרשים
I have already shown you above that this case has two solution methods, each method has two aspects.	וכבר הראיתיך למעלה כי לזה הענין שני אופנים ולכל אופן שני צדדים
The method that gives you the thing is that you take half [the number of] the things, which is five, and multiply it by itself; it is twenty-five.	והאופן אשר יוציא לך השרש הוא שתקח מחצית הדברים והוא חמשה ותכם בעצמם והיה עשרים וחמשה
Subtract twenty-one from it; four remains.	תגרע מהם העשרים ואחד וישאר ארבעה
Extract its root; it is two.	תקח שרשם והוא ‫^[32]שנים
Subtract it from five; three remains and it is the smaller number.	תגרעם מן החמשה וישארו שלשה והם החלק הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x_1=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5-\sqrt{5^2-21}=5-\sqrt{25-21}=5-\sqrt{4}=5-2=3}}$
The greater part is the remainder of ten, which is seven. $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x_1=7}}$	והחלק הגדול הוא הנשאר מהעשרה והם שבעה
This is the subtraction aspect.	וזה צד המגרעת
If you want the addition aspect: add two to five; it is seven and it is the greater part. $\scriptstyle{\color{blue}{b=x_2=5+2=7}}$	ואם תרצה צד התוספת תוסיף השנים על החמשה והיו שבעה והם החלק הגדול
The smaller part is what remains from ten, which is three. $\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x_2=3}}$	והחלק הקטן הוא מה שנשאר מהעשרה והוא שלשה
The method that gives you the square is that you multiply the roots by themselves; it is a hundred.	והאופן אשר יוציא לך המרובע הוא שתכה השרשים בעצמם והיו מאה
Multiply it by 21 that is with the square; it is two thousand and one hundred. keep it.	ותכם בכ"א אשר עם המרובע ויהיו אלפים ומאה ותשמרם
Take half a hundred, which is fifty, and multiply it by itself; it is two thousand and five hundred.	ותקח מחצית המאה שהוא חמשים ותכם בעצמם ויהיו אלפים וחמש מאות
Subtract it from the two thousand and one hundred that you have kept; four hundred remains.	תגרע מהם האלפים ומאה אשר שמרת וישארו ארבע מאות
Extract its root; it is twenty.	תקח שרשם והוא עשרים
Subtract it from the fifty, which is half a hundred; thirty remains.	תגרעם מהחמישים שהם מחצית המאה וישארו שלשים
Subtract twenty-one from it; nine remains and it is the square.	ותגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה והם המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21=50-\sqrt{2500-2100}-21=50-\sqrt{400}-21=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}$
This is the subtraction aspect.	וזה צד המגרעת
The addition aspect is that you add the twenty to the fifty; it is seventy.	ומעשה התוספת הוא שתוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים
Subtract the twenty-one from it; forty-nine remains and it is the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=50+20-21=70-21=49}}$	תגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה וארבעים והם המרובע
I have shown you this problem [to demonstrate] the fifth of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when squares and numbers equal roots [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2+c=bx}}$ ].	וזאת השאלה הוציאתך אל החלק החמשי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעי' והמספרים ישוו אל השרשים
Geometrical illustration of the problem
He said: I will explain this using the following illustration:	אמ' ואבאר זה בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
It is cut on G.	ונחלק על ג‫'
The product of AG by GB is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GB=21}}$	והיה מהכאת א"ג בג"ב עשרים ואחד
Cut line AB in half on H [= H midpoint of AB].	ותחלק קו א"ב לחצאי' על ה‫'
AB is cut into two equal segments on H, and into two unequal segment on G	הנה א"ב נחלק לשני חלקים שוים על ה' ולשני חלקים בלתי שוים על ג‫'
So, [the sum of] the products of AG by GB and HG by itself is the same as the product of HB by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG\times GB\right)+HG^2=HB^2}}$	ולכן יהיה העולה מהכאת א"ג בג"ב וה"ג בעצמו כמו העולה מהכאת ה"ב בעצמו
But, the product of HB by itself is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{HB^2=25}}$	אבל הכאת ה"ב בעצמו עשרים וחמשה
AG by GB is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GB=21}}$	וא"ג בג"ב הוא עשרים ואחד
HG by itself remains is four. $\scriptstyle{\color{blue}{HG^2=4}}$	וישאר ה"ג בעצמו ארבעה
Its root is two; therefore, HG is two. $\scriptstyle{\color{blue}{HG=\sqrt{4}=2}}$	ושרשם הוא שנים ולכן יהיה ה"ג שנים
But, HB is five. $\scriptstyle{\color{blue}{HB=5}}$	אבל ה"ב היה חמשה
GB remains three. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=3}}$	וישאר ג"ב שלשה
AG is seven. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=7}}$	וא"ג יהיה שבעה
Q.E.D.	והוא מש"ל
[6] He said: the six problem is as if you are told: we add to a certain square [eight] dirham, then multiply the sum by four dirham and the result is the same as the product of the square [by itself]. $\scriptstyle4\sdot\left(X^2+8\right)=\left(X^2\right)^2$	אמ' והשאלה הששית כמו אם יאמרו לך הוספנו על ~~התמונ'~~ מרובע מה שלשה דרהמי והכינו המקובץ בארבעה דרהמי והיה העולה כמו הכאת ~~א"ב בעצמו~~ המרובע
The procedure is that we suppose the square is a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{X^2=x}}$ ]	המעשה בזה הוא שנניח המרובע דבר
We add eight dirham to it; they are a thing and eight dirham.	וקבצנו עמו שמנה דרהמי והיו דבר ושמנה דרהמי
We multiply them by four; they are four things and thirty-two dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+8\right)\sdot4=4x+32}}$	הכינום בארבעה והיה ארבעה דברים ושנים ושלשים דרהמי
We multiply the thing by itself; it is a square and it equals four things and 32 dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=32+4x}}$	והכינו הדבר בעצמו והוא מרובע וישוה אל ארבעה דברים ול"ב דרהמי
The method that gives you the thing is that you take half [the number of] the thing[s], which is two, and multiply it by itself; it is four.	והאופן אשר יוציא לך ~~הוא~~ הדבר הוא שתקח מחצית הדבר והוא שנים ותכם בעצמם והיו ארבעה
Add it to the 32; it is 36.	ותקבצם עם הל"ב והיו ל"ו
Extract its root; it is six.	תקח שרשם והוא ששה
Add it to half [the number of] the roots; it is eight and this is the square, because we assumed it is a thing.	תוסיפם על מחצית השרשים ויהיו שמנה וככה הוא המרובע כי הנה הנחנוהו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{X^2=x=\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+32}=2+\sqrt{2^2+32}=2+\sqrt{4+32}=2+\sqrt{36}=2+6=8}}$
The method that gives you the square is that you multiply the four roots by themselves; it is sixteen.	והאופן אשר כ יוציא לך המרובע הוא שתכה הארבעה שרשים בעצמם והיו ששה עשר
Multiply it by the [number of the] dirham, which is 32; the result is 512. Keep it.	ותכם באדרהמי שהם ל"ב ויעלה תקי"ב ותשמרם
Take a half of sixteen, which is eight, and multiply is by itself; it is sixty-four.	ותקח מחצית הששה עשר והוא שמנה ותכם בעצמם והיו ששים וארבע
Add it to the 512 you kept; the result is 576.	ותקבצם עם התקי"ב ששמרת ‫^[33]ויעלו תקע"ו
Extract its root; it is 24.	תקח שרשם והוא כ"ד
Add it to the eight, which is a half of sixteen, and with the 32; the result is sixty-four and it is the square that is equal to the roots and the numbers.	ותקבצם עם השמנה שהם מחצית השש עשרה ועם הל"ב ויעלו ~~שבעים~~ ששים וארבע והוא המרובע שישוה לשרשים ולמספרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)+\sqrt{\left(4^2\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)^2}+32=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\sqrt{\left(16\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2}+32=8+\sqrt{512+8^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+64}+32=8+\sqrt{576}+32=8+24+32=64\\\end{align}}}$
Extract it root; it is eight and this is the required number. $\scriptstyle{\color{blue}{X^2=\sqrt{64}=8}}$	ותקח שרשו והוא שמנה והוא המספר המבוקש
I have shown you this problem [to demonstrate] the sixth of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when numbers and roots equal square[s] [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{c+bx=ax^2}}$ ].	וזאת השאלה הוציאתך אל החלק הששי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המספרים והשרשים ישוו אל המרובע
Geometrical illustration of the problem
He said: I will explain this using the following illustration:	אמר ואבאר זה בזאת התמונה

It is that we suppose the square is line. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2}}$	והוא שנניח המרובע קו א"ב
The eight dirham are line AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=8}}$	והשמנה דרהמי קו א"ג
We suppose line BD is four. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=4}}$	ונניח קו ב"ד ארבעה
We multiply line GB by line BD; it is surface GD. $\scriptstyle{\color{blue}{GB\times BD=GD}}$	ונכה קו ג"ב בקו ב"ד ויהיה שטח ג"ד
We multiply the square, which is line AB, by itself; it is surface AH. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2=AB^2=AH}}$	ונכה המרובע שהוא קו א"ב בעצמו והיה שטח א"ה
The area of GD is as the area of AH. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=AH}}$	ויהיה שטח ג"ד בשעור שטח א"ה
We wish to know: how much is the size of line AB?	ורצינו לידע כמה שיעור קו א"ב
The area of AH is as the area of GD. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=GD}}$	הנה שטח א"ה כמו שטח ג"ד
We subtract surface AD, which is shared by both.	ונפיל שטח א"ד המשותף
Surface GM remains as surface MH. $\scriptstyle{\color{blue}{GM=MH}}$	וישאר שטח ג"מ כמו שטח מ"ה
But, surface GM is thirty-two, because it is generated from the product of AG, which is eight, by AM that is equal to BD, which is four. $\scriptstyle{\color{blue}{GM=AG\times AM=AG\times BD=8\times4=32}}$	אבל שטח ג"מ שלשים ושנים כי הוא מהכאת א"ג שהוא שמנה בא"מ השוה לב"ד שהוא ארבעה
Therefore, surface MH is thirty-two. $\scriptstyle{\color{blue}{MH=32}}$	ולכן שטח מ"ה הוא שלשים ושנים
Surface MH is as the product of AZ that is equal to ZH by ZH. $\scriptstyle{\color{blue}{MH=AZ\times ZH=ZH\times ZH}}$	ושטח מ"ה כמו הכאת א"ז השוה לז"ה בז"ה
Line AM is four. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=4}}$	וקו א"מ הוא ארבעה
We cut it in half at point C [= C midpoint of AM].	ונחלק אותו לחצאין על נקודת ח‫'
Line ZM is added to it.	וכבר נוסף עליו קו ז"מ
So, the sum of the product of AZ by ZM, which is thirty-two, with the product of MC by itself, which is four, is thirty-six, which is as the product of HZ by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AZ\times ZM\right)+MC^2=32+4=36=CZ^2}}$	ולכן יהיה הכאת א"ז בז"מ שהוא שלשים ושנים עם הכא' מ"ח בעצמו שהוא ארבעה ומקובצם שלשים ושש כמו הכאת ח"ז בעצמו
Hence, line CZ is six. $\scriptstyle{\color{blue}{CZ=6}}$	ומפני זה יהיה קו ח"ז ~~חמשה~~ ששה
But, line AC is two. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=2}}$	אבל קו א"ח הוא שנים
So, line AZ is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=8}}$	ולכן יהיה קו א"ז שמנה
AB is equal to AZ. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=AZ}}$	וא"ב הוא שוה לא"ז
Therefore, line AB is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2=8}}$	אם כן קו א"ב שמנה
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר

Additional excerpt

	שאלה אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקי' ותכה כל חלק על עצמו ותגרע הכאת החלק הקטן מהכאת הגדול וישאר שמונים
	המעשה בזה הוא שתשי' החלק הקטן דבר
	והגדול עשרה פחות דבר
	ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה דרהמי ופחות עשרים דברים
	ותכה הדבר על עצמו ויהיה מרובע
	ותגרעהו ממאה ומרובע פחו' עשרי' דברי' וישאר מאה דרהמי' פחות עשרי' דברי' ישוו שמנים דרהמי‫'
	ותשלים המאה דברי' עם עשרי' הדברי' ותוסיפם על השמנים ויהיה עשרי' דברי' ושמונים דרהמי ישוו למאה דרהמים
	תגרע השמנים מהמאה וישארו עשרי' דרהמי ישוו לעשרי' דברים והדבר ישווה אחד והוא החלק הקטן והגדול תשעה והוא הנשאר מן העשרה
	ואם עשינו החלק הגדול דבר והקטן עשרה פחות דבר
	תגרע מאה ומרובע פחות עשרי' דברי' ממרובע וישאר עשרים דברים פחות מאה דרהמי ישוו שמנים דברים
	ואולם תשלים עשרים הדברי' עם המאה דרהמי ותוסיפם על שמנים הדרהמי ויהיה מאה ושמנים דרהמי ישוו עשרי' דברי‫'
	והדבר ישווה תשעה והוא החלק הגדול והנשאר מהעשרה יהיה החלק הקטן והוא א‫'

Notes

↑ 296r
↑ 296v
↑ 297r
↑ marg.
↑ 297v
↑ 298r
↑ marg.: זכור כי מצאתי אחר זה בספר הזה פרק בהכפלת השרשי' יתבאר בו זה ולקיים דברי אלה בכתוב אין בו הפסד ואם לא יועיל
↑ 298v
↑ 299r
↑ 299v
↑ 300r
↑ 300v
↑ 301r
↑ 301v
↑ 302r
↑ 302v
↑ from here marg.
↑ end marg.
↑ 303r
↑ 303v
↑ 304r
↑ 304v
↑ 305r
↑ marg.: תוספת ואם רצית לכפול שרש מספר ידוע במספר אחר ידוע כפול המספר האחר בעצמו והעולה תכהו במספר השרש והעולה קח שרשו והוא המבוקש
דמיון זה בקשנו לכפול שרש מספר ט' במספר ד' הכינו ד' בעצמו והיה י"ו והכינו י"ו בט' והיה קמ"ד ושרשו שהוא י"ב הוא המבוקש
↑ מא' מ"ז לאקלידס
↑ 305v
↑ 306r
↑ 306v
↑ 307r
↑ 307v
↑ 308r
↑ 308v
↑ 309r

Appendix I: Glossary of Terms

Arithmetic Operations
addition	חבור (ה), תוספת
to add to	לחבר, לחברו, נחבר (אליו / עמו), תחבר (ה), תחברם עם ה
to add to	להוסיף, הוסיף (ה), הוספנו על (ה), הוספנוהו על, נוסיף (בו / ה), תוסיף (ה) תוסיפהו על, תוסיפם על
to sum with	לקבץ, לקבצם, קבצנו (עם ה / עמו), קבצנוהו עם, קבצנום (עם ה / יחד עם ה), קבצת עם, נקבץ (עמהם / עמו), תקבץ (ה / הכל יחד / כל זה / עם / עם ה), תקבצם (עם ה), תקבצהו (עם ה / יחד עם‫)
added	נוסף (ב / ל / על), נוספים (על‫)
to be added to	יתקבץ (עם), יתקבצו אלו עם אלו
to be summed with	יקובץ (מהם‫)
sum	חבורם, המחובר (מ), קבוץ (ה‫)
sum	המקובץ (מ), מקובץ (ה / הכל / מ), מקובצם
total sum	מה שיתקבץ מהכל, הכל
to sum	אספנו יחד
to be summed	להאסף יחד, התקבץ מהכל, מקובצים (עם‫)
additive	נוסף, נוספים
to be additive	יוסיף
division	חלוק
to divide	לחלק, חלקנו, נחלק, תחלק
to be divided (by/into)	יחלק, מחולק (על), נחלק (ב / ל / על‫)
dividend	המספר המחולק, המספר הנחלק, המספר שנחלק, המספר שחלקת
divisor	מספר המחלק, המחלק
quotient, result of division	הגיע לחלק, יגיע (לחלק / לכל חלק), המגיע לחלק
quotient, result of division	העולה (אל החלק מחלוקת / לחלק / לכל חלק / מחלוקת), יעלה (אל החלק / לחלק), (אשר / מה ש) עלה (אל החלק, לחלק, לכל חלק‫)
	יצא לכל חלק
doubling	הכפלה, הכפלת (ה‫)
to double	לכפול, תכפלהו, תכפול
double	כפל
to extract a root	לקחנו שרשם, נקח שרשו, קח (שרש / שרש ה / שרשו) , תקח (שרש / שרש ה/ שרשו / שרשם‫)
	הוצאנו (שרש / שרש זה ה / שרשו), נוציא שרשם, תוציא (שרש ה‫)
to have a root	יחזיקו, יחזיקו שרש, מחזיקים שרש
not having a root	אינם מחזיקים שרש, אין שרש ל, אין ל.. שרש
to be a root of	יהיו שרש ל
halving
to halve	לחצות ה, תחצה (ה‫)
to halve	לקחת חצי, לקחנו מחצית (ה) , נקח מחצית, תקח מחצית (ה‫)
half of	מחצית (ה‫)
multiplication	ההכאה, הכאת (ה‫)
multiplication	כפל
to multiply	להכות, הכינו (ה), הכינום (ב), נכה (ה) , נכהו (על ה), תכה (ה / על), תכהו (ב), תכם (ב‫)
to multiply	לכפול, כפול (ה‫)
to be multiplied by	הוכה (ב), יוכה (ב), מוכה (ב), יוכו (ב / ה‫)
duplicate	שנוי, שנוי בכפל
to multiply it by itself	הכינוהו על עצמו, הכינום (בעצמם / על עצמם), נכהו בעצמו, תכם (בעצמם / על עצמם‫)
to be multiplied by itself	הוכה על עצמו, הוכו על עצמם, מוכה על עצמו, מוכים על עצמם
product, result of multiplication	(הוא / היה / יהיה) מהכאת, העולה (מההכאה / מהכאת / מהכאותיהם), מה שעלה מהכאת ה
	המקובץ מההכאה, המתקבץ, התקבץ, היוצא בהכאת
times	דמיוני (ה), מדמיוני
times	פעם, פעמים (ה), פעמי (ה‫)
subtraction	גרעון (ה), בגרעונם, בגרעך ממנו
to subtract	לגרוע, גרענו (ה / מ / מהם ה), גרענום (מ), נגרע (ה / מ / ממנו ה), נגרעם (מ), תגרע (ה/ מ / מה) , תגרעהו (מ / מה), תגרעם (מה / מן ה‫)
to subtract	תשליך (ה‫)
to subtract	נפחות (מ‫)
to subtract	נפיל
to be subtracted	יגרע (ה / מהם / ממנו‫)
subtractive	גורע, גורעי', פוחת, פוחתים, נגרע, נגרעים, נחסר, נשנה, נשנים
subtrahend, to be subtracted	נגרע (מה), נגרעים (מ / מה‫)
no more and no less, exactly	לא תוספת ולא מגרעת, בלי תוספת ובלי מגרעת
plus	עם
minus	פחות
less, less than, smaller than	פחות (מ / מה‫)
more, more than, greater than	יותר (מ‫)
to be less than	יחסרו מ, יגרעו מ
Arithmetic Terms
arithmeticians	בעלי המספר
integer	שלם
fraction	נשבר
fraction	שברי האחד
fraction of fraction	שברי שבריו
number	מספר (ה), מספרים
number	המנין, מנין ה
by the number of … in it	במספר מה ש, כמספר מה שב... מן ה, מה שב... מה
units	אחדיו, אחדים, אחדי (ה), האחדים
the units in it	מה שבו מן האחדים
square number	מספרי' מרובעי‫'
ratio of.. to…	יחס (ה) ... אל
proportional numbers	מספרים מתיחסים
first proportional item	המספר הראשון
related to	נערך לעצמו
Calculation Terms
quantity, measure, amount, value	שעור / שיעור (ה), שיעוריו
by the measure of	בשיעור
value	מספרו
to count	ימנהו ה, ימנה ה
the sought	המבוקש
to exceed, to be greater than… by…	יעדיף (ה / על ה, עליהם), תעדיף, יעדיפו (ה‫)
excess	מה שיעדיף
false	כוזבת
correct, proper	נכון
better	הוא יותר נכון מ, יותר נכון הוא, יותר נכונה מ
to be right, to be proper	יהיה נכון לנו ל
to be wrong	לא יהיה נכון
to result	יהיה (ה), היו, יהיו
to result, to be received	יגיע, הגיע
to result, to be derived, to be produced	יצא, יצא לנו כי, יצאו (ב / מ‫)
to result	יעלה (ל / לידך), יעלו, עלה, עלו
result	העולה (מ), מה שיעלה, מה שעלה, מה שיתקבץ
to proceed (with), to do, to operate, to solve a problem	לעשות, תעשה (עמו‫)
to construct	עשה (על), נעשה (על‫)
to be created, to be constructed	נעשו ב
technique, procedure, solving procedure	מעשה (ה), המעשה (בזה הוא ש / בזה ש), ואופן מעשהו (ש / הוא ש‫)
technique	תחבולה, תחבולות המספר
to remain, to be left	ישאר (מ), ישארו, נשאר, נשארו
the rest, remainder	הנשאר (מ / מה), נשאר (מה‫)
equal to	השוה (אל / ל), שוה ל, שוים (אל / ל‫)
to equal to, to be equal to, to be equalized to	ישוה (אל / ל), ישוו (אל / ל‫)
to be equal	השתוו (ה‫)
to keep, to retain	שמור, שמרת, תשמרם, שמרנום
reserved	השמור
Algebraic Operations
to normalize	להשיב (המרובעים אל מרובע אחד / השאלה לעולם אל מרובע אחד שלם / כל השאלה אל מרובע אחד), השיבות (ה), השיבם (אל מרובע אחד / לעולם אל מרובע אחד), תשיב (המרובע שלך שלם / השאלה אל מרובע אחד / השאלה למרובע אחד), תשיבם (שרש אחד‫)
reduction	כוון, הכוון, איקונפרונטאמיינטו
	כוון חשבון
restoration	הפקדה, ההפקדה, קובראמיינטו
to restore	תאסוף (ה...עם‫)
way, method	(שני) צדדים, צד
addition/subtraction method	צדדי התוספת והמגרעת, צד אחד לתוספת וצד אחד למגרעת, צד התוספת, צד המגרעת
Algebraic Terms
algebraists	חכמי האלגבר, סופרים אלגבר ואלמקאבלא
algebraic species	ענינים; מין
dirham (coin) = number	דרהמי, אדרהמי
root	שרשים (ל / מ / מן ה), שרש (אל / ה / ל / מ), שרשי ה
root	דבר, דברים
root of a square	שרש המרובע, שרש מרובע
square	מרובע, מרובעים
simple types of canonical equations	שלשה החלקים הראשונים, הפשוטים
one of the six types of canonical equations	חלק, החלק ה
the six types of canonical equations	הששה, ששה חלקי', הששה חלקים
Geometric Terms
geometric shape	תמונה, תמונ' גימטרית, תמונות גימטריאות, תמונות גימטריות, תמונה כוללת
geometricians	חכמי הגימטריאה
part	חלק, חלקים
segment, section	חלקים
equal/identical segments	חלקים שוים
point	נקדת, נקודת, נקודות
line	קו, קוים
straight line	קו ישר
side	צלע (ה), צלעו, צלעיו
length	אורך, ארכו, באורך
added to its length	נוסף בארכו
length and width	קוי האורך והרחב
area	שטח
surface	שטח
square surface	מרובע, שטח מרובע, שטח מרובע עליו, מרובע עליו
quadrilateral surface	שטח הכאת
quadrilateral surface	שטח נצב הזויות
right angle	בזוית נצבה
straight, straightly	על יושר, ביושר, בישר
parallel to	על נכוחות, נכחי ל, נכחיים ל
parallel to line	על נכוחות קו, נכחי לקוי, נכחי לקו
to cut off	נבדיל (מ / ממנו), הבדלנו
	ונוציא מנקודת
to attach points	נגיע נקדות
midpoint	הנקוד' הנחלק עליה קו... לחצאי‫'
to cut a line	תחלק קו, נחלק קו, נחלק קו ... על מה שבו מה... , נחלק קו ... על מספר מה שבו מה‫...
to halve (line), cut to half at the point	חלקנו קו ... לחצאין על נקודת, נחלק אותו לחצאין על נקודת, נחלקהו לחציין על נקודת, תחלק קו ...לחצאי' על
to be halved (line), cut to half at the point	נחלק לחצאין על נקודת, נחלק ... לחצאין על נקודת, קו ... נחלק לחצאין על נקודת, נחלק קו ... לחצאין על נקודת, נחלק לשני חלקים שוים על
cut into two parts	תחלק ... לשני חלקים
cut into two segments	יחלק לשני חלקים
cut into two unequal parts at the point	נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת
to be halved	יחצה קו
to extend a line	נמשיך קו (עד‫)
to draw a line	נוציא, נוציא מנקודת ... קו, נוציא מנקודות... שני קוים, נוציא קו, נוציא קוי, תוציא מ... קו, תוציא מנקודת ... קו, תוציא קו, תוציא קוי
to point	עד נקודת, עד נקדת, עד
to draw	ארשום (ב / לך), נרשום
to be drawn	רשום ב
circumscribing	מקיף עם
encompassed	שיקיפו בו
measure (line, surface)	שעור / שיעור (שטח / קו‫)
to be located, to be situated	תפול (נקודת), נופלת (נקדת), נפלה ממנה
joint, common (surface)	משותף, המשותף
to join (surface)	נשתף עמו
attached	מדובקים (יחד‫)
to attach	ונדביק עמו
attached to it	הדבק אצלו
to construct	נניח (קו), הנחנו (על‫)
Literary Terms
book	ספר, ספרו
the author	בעל הספר
chapter	פרק (ב‫)
section	שער
to read	לקרות ב
reader	הקורא ב
to write	כתבנו
in writing	בכתוב
to translate	העתקתי מ
translator	המעתיק
Authors
	מהומר אלכוארזמי
	אבו כאמל
	אמ"פ, אמ"פ המעתיק
Euclid	אקלידס
the Elements	ספר אקלידס
Elements II	כמו שאמר אקלידס במאמ' שני מספרו, כמו שביאר אקלידס במאמ' שני מספרו, כמו שהוא מבואר בשני לאקלידס, כמבואר בשני מאקלידס
Elements II, 4	מהתמונ' הרביעית ממאמר שני לאקלידס
Elements VIII, 1	מתמונת א' משמיני לאקלידס
	אבאר כל זה באקלידס
Logical Terms
to introduce, to state	אמרם, אמר
to say, to state, to be told	לאמר, אמר (לך), אמ' (כי), תאמר, נאמ' (כי / ש), יאמר, אמרו לך, יאמרו (לך), אמור לו, אמרנו (כי), אמרו, נאמר (ש‫)
saying	והוא האומר, והוא אמרו
for instance, as if saying, as one says	כאלו תאמ', כאלו תאמר, כאלו אמרו
	כאמ', באמרו
	מאמ‫'
	מה שאמרתי, אשר אמרנו, שאמרנו, על הדרך שאמרנו
demonstration, explanation	הביאור, באור ה, באורו / ביאורו, באורם
the explanation is	באור זה ש
to explain, to demonstrate	לבאר (כי), ביאר, אבארם ב, נבאר (ב / זה / ש), אבאר (זה ב), אבאר לך (ב / זה ב), ואבארה לך ב, נבארהו לך, בארנו (ב), בארתי (לך), אבארהו
	וכבר יתבא' זה, וכבר התבאר
to be explained, to be demonstrated, to be clarified	יתבאר (בה / בו ש / ש), התבאר (לך / מ / משם כי / שה‫)
demonstrated, proved, explained, clear	והוא מבואר, מבוארים
as explained	כמבואר
Q.E.D., this is what we wanted to explain	והוא מה שרצינו לבאר, והוא מש"ל, וזה מש"ל, ומש"ל
	ודי בזה באור, ודי לך במה שבארתי מ, ודי במה שבארתי מזה, במה שבארתי מזה המין הוא מספיק
	כמבואר בתמונה הראשונה מזה הספר, הוא מבואר מהתמונה הראשונה מזה הספר
	כמו שבאר זה
	בארנו למעלה (ב‫)
to describe	ספרנו
to know (that)	לדעת, לידע, תדע (כי / ש), דע (כי), ידענו (כי / מ), נדע
to let know, to inform	להודיע, נודיע, הודענו
to be known	היה ידוע ש, יהיה ידוע לנו, יהיה ידוע ש
known	הנודע
unknown	הבלתי ידוע, בלתי ידוע
it is known that	הוא ידוע (ב / ש), ידוע (כי), הידוע (ש)
knowledge	ידיעת, ידיעתם
to understand	יבינום, תבין
to see, to understand	נבונן
to be understood	יובנו ה
one who understands	המבין, מבין
clear, understandable	הוא מובן מ
example	משל (ש), המשל (ש), על משל, משל זה (ש), משל לזה ש
to define, to specify, to set up, lay out, to determine	הנחנו (ב), נניח (ה / כי), הנחנוהו, הנחנו (ש), תניח (ה / מה‫)
to be defined, to be specified	הונחה, הונחו מהם
by supposition, by definition	בהנחה
to demonstrate, to show	להראות לך, אראך (ה), אראה לך איך, אראה אותך ב, הראיתיך (ה / ל), הראיתי לך (ל), הראנו בו ה, הראיתי, הראית
to demonstrate	הראותך זה לעין, להראותך זה לעין, אראך לעין, לבאר לך לעין
to reveal, to show	אשר יראה לך, אשר יראך, שיראך, ייראוך
to indicate	יראך (ה), יראה לך (ה), מראה, הראה לנו בו ה
	כבר הראיתיך (ה / כי), וכבר הראיתיך למעלה
to teach	יורוך (אותם‫)
to be revealed	יגלה אליך ב
to deduce, to conclude	הקש על זה
by this analogy	על זה ההקש
to search	תחפש
to adapt	יסוגלו ב
properties	סגולות
method	אופנים, אופן, אופנו ש, אופני
to speak about	דבר ב
words, saying	דברי
for example	דמיון לזה, דמיון זה (אם / ש‫)
way, method	דרך, בדרך, דרכי
	דרכנו
according to the way, by the way that	על הדרך (ה / ש‫)
general rule	כלל הדבר הוא
proof, demonstration	מופתים, המופת בזה ש, מופת זה (כי / ש), המופתים עליהם, מופת (ה‫)
by proof and by the eye	במופת ובעין
category	חלוקה
species	מין, מינים
type	מין
type, kind	סוג
rule, guiding	ההנהגה
rule	משפט (ה), משפטם, משפטיהן
reason	סבת ה, הסבה (ב‫)
reason, cause	עלת (ה‫)
example, instance	ענין, ענינים, ענינם, הענין ב
manner, way, method	פנים
	תשוב השאלה
question, problem, equation	שאלה, שאלות (מה), השאלה, השאלה בזה, שאלתי
to be completed, to be executed	תצא השאלה
to ask	ישאל, ישאלו ממך, שאל
as if one asks	כאלו שאל
one asks	השואל, שאל השואל
answer	תשובה, תשובתך עליה, תשובת
General Terminology
	.א.ר.כ •
to lengthen, to elaborate	להאריך בזה
	.ב.ו.א •
to intend	אבוא ל, נבא ל, באנו ל, בא ה
to result	יבאו, יבא מ
to present, to introduce	יביא, הביא
	.ב.ק.ש •
to seek, to wish	בקשנו ל, מבקשים
	.ה.י.ה •
to be formed from, generated from	הוה מ, ההוה מ
to be	להיות
	.ז.כ.ר •
to remember	זכור (כי‫)
	.ח.ד.ש •
to form, to generate	יחדשו
to be formed, to be generated	נתחדשו
	.ח.ז.ק •
to consist of	להחזיק מ
	.ח.י.ב •
necessarily, it is necessary that	יחויב ש
	.י.כ.ל •
to be able	תוכל ל
	.י.ע.ד •
to promise, to pledge	יעדנו
	.י.צ.א •
to be presented, to be introduced	הוציאתך אל (ה‫)
to yield, to produce	יוציא לך (ה‫)
to introduce to	יוציאו לפניך, הוצאתי לך ל
to deduce, to conclude	הוציא
to extract, to obtain, to draw	נוציא, תוציא
to remove, to subtract	תוציא ה
	.י.צ.ע •
to suggest, to propose	הציעו
explanations	המצעות
	.ל.ק.ח •
to take	לקיחת, לקחת, לקחנו, נקח, תקח (מ‫)
to use a word in a certain sense	לקחתי
	נקח ל
	.מ.צ.א •
to find, to discover that	נמצאם, מצאתי, תמצא ש
	.מ.ש.כ •
to continue	נמשיך ה
to follow	ימשך
	.נ.ו.ח •
to lay, to put	אניח לך, יניח
	.נ.פ.ל •
fell in the hands of	יפול בידך
	הנופלים ב
denoting the same meaning	נופלים על ענין אחד
	.צ.ר.כ •
necessary, to need	הוצרכנו ל, צריך (ל / ש), תצטרך ל , נצטרך ל
to be needed	יצטרך (ש‫)
it is necessary that	צריך (ש‫)
	.ק.ר.א •
to be named, to be called	יקרא בו ה, יקרא בשם, יקראו
	.ר.א.ה •
it seems	והיה נראה ש
to observe, to see	רואה כי, ראיתי ש
to see the need to	ראיתי ש
	הראית
to consider, to observe, to check	ראה
	.ר.ב.ה •
to increase	יתרבו ה
to augment	להרבות ה
	.ר.צ.ה •
to wish to	תרצה (ל / ש), רצינו (ל / ש), נרצה (ל / ש), רצית ל, רצוננו ל
	הרוצה ל
	רצה בזה ש
	.ש.ו.ב •
to repeat (the verb) again, do … again	עוד תשוב (ו / ל‫)
to result	ישוב (ה‫)
	.ש.י.ם •
to define, to set up, to dispose	שמנו, נשים (ה / על), נשימהו, תשים (ה / על‫)
to set up, to dispose, to give	אשים לך
to construct on	אשים (על), נשים (על‫)
to conceive	תשים, תשים... בדמיון
	.ש.כ.ל •
to be well versed	ישכילו ב
to understand	ישכיל
	.ש.ל.מ •
completion	השלמה, בהשלמו
to complete a surface	נשלים
to be completed	ישלם (ה / מ), נשלם, נשלמה ה
	.ש.מ.ט •
to be omitted, to be left out	נשמט מ
	.ת.ח.ל •
to start	מתחילי' עמו ב, אתחיל מ
	תחלה, תחלת

Demonstratives
	חלקים מה
	חלק, חלקים
to be arranged	סודרו (על‫)
consists of	מורכב (מ‫)
combination	הרכבת
to increase, to grow	יצמח
should, to be necessary	וראוי (לך / ש‫)
to reduce	לשברם
engagement	התעסקות בהם
loss	הפסד
to be useful	יועיל
to continue to	יוסיף (ל‫)
to lead to	יובילך אל
to be changed	ישתנה
	נשאר עלינו ש
	זה חלוף
	צד יראה עמה
	בראש הספר
	השתמשותם
in the sense of, from the word	מלשון
deposit	פקדון
	בדברי רז"ל
alone	נפרדים
	באי זה צד
	החלק הרביעי
name	שמות
to set	נעמיד
	אינו נמלט מ, ולא ימלט הדבר מ
to learn, to acquire knowledge	להתחכם ב
to be in front of you, presented to you	אשר יגיעו לפניך, אשר יגיע בידך מ
supplement	תוספת
	היה אל המקובץ
	מאד מבוארים
	מספר קו
	יבצר מהם
	נמנעות מהן
	עושה לך
	אם אפש‫'
	שלא יוב[א] בו ש
does not consists of	אין לו
of what in	מאשר בם
the same	אותו ה
of the same	מאותו ה
these	אלו (ה / אשר), אלו
that	ההוא
	זה הוא
this	הזה, זה (ה), זאת (ה‫)
	וזהו, וזה, והוא
because of this	ולזה
	לזה (ה‫)
by this, from this	מזה (ה), בזה
in this, for this	בזה
thereby, in this regard, relating to this	בזה
	ובו, ובזה
all this	וזה כולו
all that	כל זה
	בזאת ה, מאלו (ה), האלו, אלה
Pronouns
whichever, any	אי זה מ, אי זו ה, אי זה ש
for which	לאיזה, לאי זה
I am	הנני
we	אנו
you	אתה
	הוא הוא, הוא (ה / כי / ש), שהוא (ה), והוא (ה / ש‫)
	היא, היא (אשר / ש‫)
that same	ההיא בעינה
	הוא כי
formed from, generated from	הוא מ
it is, which is (result)	והוא, הוא מ
they are, which are (result)	והם (ה), הם
these are	והם אלו
	שהם, ההם
a certain	מה
what	מה
	מה הוא ה
	מה ש
	כל מה ש
	ממה ש, ממה שבו
	במה ש
by itself	על עצמו, בעצמו, עצמה, בעצמה
them selves	בעצמם, על עצמם
Adjectives
one of	אחד (ה / מ), אחת (מ‫)
	האחד
another	אחר, אחרת, אחרים
other	אחר, אחרים
aforementioned	האמור
greater than	גדול מ
larger	הגדול
possible	אפשר (ש), יתכן (ב / ל‫)
impossible	לא יתכן להיות, לא יתכן (ל /ש), אי אפש' ש
necessary	יהיה הכרחי
whole, entire	כלו, וכל, כל (ה‫)
all, every	כל, כל אשר
each	כל, לכל
each of	כל אחד מ
sufficient, enough	מספיק
the smaller	מעט
visible, apparent, obvious	נגלה ב
mentioned	הנזכרים, הנזכר, הנזכרת
previous	שעבר
previous	הקודם, הקודמות, הקודמת
smaller	הקטן
some of	קצת מ
appropriate, suitable	הראוי
firstly, at first, in the beginning	ראשונה
first	ראשון, ראשונה, ראשונים
former	הראשונים
the larger	הרב
many (of)	הרבה (מ‫)
equal	שוים
unequal	בלתי שוים
Adverbs
so that	באופן (ש‫)
then	אז, כי אז, הנה אז
then, afterwards	אחר זה, אחר (ש‫)
randomly	איך שהזדמן
from where	מאי לנו ש, אין
endlessly	לאין תכלית
other than	זולת אלו, זולת אשר
further, more	יותר
together	יחד
by itself, alone	לבד, לבדו
above	למעלה, למעלה מ
already	כבר, וכבר
so	ככה
how much	כמה (ה / הוא ה, יהיה מ), כמה ש, כמה שבו
same as	כ, כמו (ה, ש), (הוא / היא / הם) כמו, כמו שהוא ה
in a similar	בכמו (ה / זה‫)
similarly	וכמו זה
also, moreover	כמו כן, וכן
also	גם כן, ג"כ, גם
so	כן
it was so	והיה זה כן
always	לעולם
as, like	על דמיון, בדמיון (ה‫)
below	למטה ממנה, למטה מ
eventually	בסוף
endlessly	עד אין סוף
with them	עמהם
now	עתה
exactly	ממש
exactly, precisely	בשוה
furthermore, moreover, further	ועוד, עוד
hither	והנה, הנה, הנה (כי / ש), כי הנה
how	כיצד
in a foreign language	בלעז
necessarily	בהכרח
easily	בנקלה
at first	בראשונה
previously, before	קודם, קודם זה
previously	ממה שעבר
therefore, hence	ולכן, לכן
therefore, because of this	מפני זה
namely, i.e.	רצו' (ה / ש), רצוני ב, ר"ל (כי / ש‫)
there	שם, משם
Conjunction
then, if so	אם כן
what, that, which	אשר, ש
because, since	מפני (כי / ש‫)
because, since	בעבור כי, כי
because of which, for which	בעבורה
but	אבל
but	אלא כי
or	או
if	אם
if… then	אם ... אז/ כי אז / הנה אז
or, whether… or	אם... ואם
either… or	אם ש... או
whether… or	אם היה ש... או
whether… or	... יהיה או ...
whether… or	בין (ש)... בין (ש), בין ... או ש
when	כאשר, כש
in order to	כדי ל
except	כי אם
according to, as, like	כפי (ה), כפי מה ש
in order that	למען
until	עד ש
Preposition
in exchange to, for	כנגד (ה‫)
apart from, other than	מבלעדי
without	מבלעדי
by virtue of	מכח
apart from, besides, aside from	מלבד
from it	ממנו, מהם
due to, from it	מפניה
from	מתוך ה
	עד הנה
	עד המקום ש
concerning to which	עליו ה
with	עם (ה‫)
by this	עם זה

Appendix II: Bibliography

Kitāb fī al-Jābr wa'l-Muqābala (the first section) / by Abū Kāmil Shujāʽ Ibn Aslam Ibn Muḥammad ibn Shujāʽ (Egypt, ca. 850-930)
– Hebrew translation –
by Mordecai (Angelo) Finzi (Mantua, d. 1475)
Taḥbulot ha-Mispar (Second Hebrew version)

Manuscripts:

Oxford, Bodleian Library MS Heb. e. 13 (IMHM: f 22714), ff. 64r-72v (cat. Neub. 2747, 2)
Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/7 (IMHM: f 15721), ff. 296r-309r (15th-16th century)

heb. 1029

The transcript of the text is based on manuscript Paris 1029.

Bibliography:

Lévy, Tony. 2007. L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (II). Dans l’Italie des XVe et XVIe siècles, sources arabes et sources vernaculaires, Arabic Sciences and Philosophy 17, pp. 81-107.
Yadegari, Mohammad. 1978. The Use of Mathematical Induction by Abū Kāmil Shujā‘ Ibn Aslam (850-930), Isis, vol. 69, no. 2 (Jun., 1978), pp. 259-262.

[1] 296r

[2] 296v

[3] 297r

[4] rg.

[5] 297v

[6] 298r

[7] rg.: זכור כי מצאתי אחר זה בספר הזה פרק בהכפלת השרשי' יתבאר בו זה ולקיים דברי אלה בכתוב אין בו הפסד ואם לא יועיל

[8] 298v

[9] 299r

[10] 299v

[11] 300r

[12] 300v

[13] 301r

[14] 301v

[15] 302r

[16] 302v

[17] rom here marg.

[18] rg.

[19] 303r

[20] 303v

[21] 304r

[22] 304v

[23] 305r

[24] rg.: תוספת ואם רצית לכפול שרש מספר ידוע במספר אחר ידוע כפול המספר האחר בעצמו והעולה תכהו במספר השרש והעולה קח שרשו והוא המבוקש
דמיון זה בקשנו לכפול שרש מספר ט' במספר ד' הכינו ד' בעצמו והיה י"ו והכינו י"ו בט' והיה קמ"ד ושרשו שהוא י"ב הוא המבוקש

[25] מא' מ"ז לאקלידס

[26] 305v

[27] 306r

[28] 306v

[29] 307r

[30] 307v

[31] 308r

[32] 308v

[33] 309r

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

Difference between revisions of "תחבולות המספר"

Latest revision as of 06:06, 17 December 2022

Contents

Introduction

The Six Canonical Equations

The Simple Canonical Equations

Squares Equal Roots: bx=ax²

Squares Equal Numbers: ax²=c

Roots Equal Numbers: bx=c

The Compound Canonical Equations

Chapter: Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c

Chapter: Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx

Chapter: Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax²

Chapter: Multiplication of Algebraic Expressions

Roots

Chapter: Multiplication of Roots by Numbers

Multiplication of Roots

Chapter on Division of Roots

Chapter on the Addition of the Roots one the the other and Their Subtraction

Addition of Roots

Subtraction of Roots

Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations

Additional excerpt

Notes

Appendix I: Glossary of Terms

Appendix II: Bibliography

Navigation menu

Personal tools

Namespaces

Variants

Views

More

Search

Navigation

Tools

@@ Line 1: / Line 1: @@
+{{#annotpage: author="Abū Kāmil", translator="Mordecai Finzi", city="Mantua", time="unknown-1475", peshat_author="00000707", peshat_title="00002025"}}
+__TOC__
 {|
 |-
 |
-!style="text-align:right;"|<big>ספר אבו כאמל</big> בתחבולות המספר
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>296r</ref><big>ספר אבו כאמל</big> ב{{#annot:term|469,2067|bFjo}}תחבולות{{#annotend:bFjo}} המספר
 |-
 |
-== Introduction ==
+== <span style=color:Green>Introduction</span> ==
 |
 |-
-|The reader should know three algebraic species introduced by Muḥammad al-Khwārizmī in his book:
+!<span style=color:Green>The three algebraic species</span>
-|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> תחלת מה שצריך {{#annot:term|226|kwtI}}לדעת{{#annotend:kwtI}} הקורא בזה הספר הוא שלשה {{#annot:term|697|Makm}}ענינים{{#annotend:Makm}} אשר אמרם כבר {{#annot:name|779|kCEy}}מהומר אלכוארזמי{{#annotend:kCEy}} בספרו והם
-|-
 |
-*Roots
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|133|Dwqh}}שרשים{{#annotend:Dwqh}}
 |-
-|
+|The beginning of what the reader of this book needs to know are three matters that have already been stated by Muḥammad al-Khwārizmī in his book, which are: roots, squares and numbers.
-*Squares
+|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> תחלת מה שצריך לדעת הקורא בזה הספר הוא שלשה ענינים אשר אמרם כבר {{#annot:al-Khwārizmī|509|kCEy}}מהומר אלכוארזמי{{#annotend:kCEy}} בספרו והם {{#annot:term|133,1262|Dwqh}}שרשים{{#annotend:Dwqh}} {{#annot:term|687,1263|nx6j}}מרובעים{{#annotend:nx6j}} {{#annot:term|242,1174|Y59M}}מספרים{{#annotend:Y59M}}
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|687|nx6j}}מרובעים{{#annotend:nx6j}}
 |-
+!<span style=color:Green>Definitions:</span>
 |
-*Numbers
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|242|5vMx}}מספרים{{#annotend:5vMx}}
 |-
-!Definitions:
 |
+*{{#annot:definition|133|YNih}}The root is the number that is multiplied by itself - as if you say: one by one, two by two, and so on endlessly - and also the fractions of the one, when they are multiplied by themselves, as a half by a half, a third by a third and the fractions of its fractions and so on endlessly.
+|style="text-align:right;"|השרש הוא המנין שהוא מוכה על עצמו כאלו תאמר אחד על אחד ושנים על שנים וכן לאין תכלית וכמו כן שברי האחד כאשר הוכו על עצמם כמו חצי על חצי ושלישית על שלישית וכן שברי שבריו עד אין סוף{{#annotend:YNih}}
 |-
 |
-*{{#annot:definition|133|YNih}}Root = the number that is multiplied by itself - for instance, one by one, two by two, and so on endlessly; and also the fractions of the one, when they are multiplied by themselves, as a half by a half, a third by a third and the fractions of its fractions and so on endlessly.
+*{{#annot:definition|687|CftH}}The square is what is produced from the multiplication of the root by itself - be it an integer or a fraction.
-|style="text-align:right;"|השרש הוא המנין שהוא מוכה על עצמו כאלו תאמר אחד על אחד ושנים על שנים וכן לאין תכלית<br>
+|style="text-align:right;"|המרובע הוא המתקבץ מהכאת השרש על עצמו {{#annot:term|20,1268|Kd1b}}שלם{{#annotend:Kd1b}} יהיה או {{#annot:term|15,1438|jSnE}}נשבר{{#annotend:jSnE}}{{#annotend:CftH}}
-וכמו כן שברי האחד כאשר הוכו על עצמם כמו חצי על חצי ושלישית על שלישית וכן שברי שבריו עד אין סוף{{#annotend:YNih}}
 |-
 |
-*{{#annot:definition|687|CftH}}Square = what is summed from the multiplication of the root by itself - be it an integer or a fraction.
+*{{#annot:definition|242|ylJs}}The number is the number which cannot be understood as a root nor a square, but is related to itself only by the units comprised in it.
-|style="text-align:right;"|המרובע הוא המתקבץ מהכאת השרש על עצמו שלם יהיה או נשבר{{#annotend:CftH}}
+|style="text-align:right;"|המספר הוא {{#annot:term|35,1434|n8lE}}המנין{{#annotend:n8lE}} שלא יובנו בו שיהיה לא שרש ולא מרובע אבל הוא {{#annot:term|1567,1282|qQmi}}נערך לעצמו{{#annotend:qQmi}} במה שבו מן האחדים לבד{{#annotend:ylJs}}
 |-
+!<span style=color:Green>The six categories of canonical equations</span>
 |
-*{{#annot:definition|242|ylJs}}Number = the number which cannot be understood as a root nor a square, but is related to itself only by the units comprised in it.
-|style="text-align:right;"|המספר הוא המנין שלא יובנו בו שיהיה לא שרש ולא מרובע אבל הוא נערך לעצמו במה שבו מן האחדים לבד{{#annotend:ylJs}}
 |-
-|Six types of canonical equations were originated from the combination of these three [species] which are:
+|He said: the six categories [of canonical equations] were originated from the combination of these three [species], which are:
 |style="text-align:right;"|<big>אמר</big> וכבר יצאו מהרכבת אלו השלשה ששה חלקי' והם אלו
 |-
 |
-*roots equal to squares
+*Roots equal to squares.
-:<math>\scriptstyle bx=ax^2</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx=ax^2}}</math>
 |style="text-align:right;"|{{#annot:ax²=bx|715|Udbo}}שרשים שיהיו שוי' למרובעים{{#annotend:Udbo}}
 |-
 |
-*roots equal to numbers
+*Roots equal to numbers.
-:<math>\scriptstyle bx=c</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx=c}}</math>
 |style="text-align:right;"|{{#annot:bx=c|714|qsBh}}ושרשים שישוו למספרים{{#annotend:qsBh}}
 |-
 |
-*squares equal to numbers
+*Squares equal to numbers.
-:<math>\scriptstyle ax^2=c</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2=c}}</math>
 |style="text-align:right;"|{{#annot:ax²=c|713|4O9C}}ומרובעי' שישוו למספרים{{#annotend:4O9C}}
 |-
 |
-*roots and squares equal to numbers
+*Roots and squares equal to numbers.
-:<math>\scriptstyle bx+ax^2=c</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx+ax^2=c}}</math>
 |style="text-align:right;"|{{#annot:ax²+bx=c|710|3sJZ}}ושרשים ומרובעי' שישוו למספרים{{#annotend:3sJZ}}
 |-
 |
-*roots and numbers equal to squares
+*Roots and numbers equal to squares.
-:<math>\scriptstyle bx+c=ax^2</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx+c=ax^2}}</math>
 |style="text-align:right;"|{{#annot:bx+c=ax²|712|So10}}ושרשי' ומספרים שישוו למרובעים{{#annotend:So10}}
 |-
 |
-*squares and numbers equal to roots
+*Squares and numbers equal to roots.
-:<math>\scriptstyle ax^2+c=bx</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2+c=bx}}</math>
 |style="text-align:right;"|{{#annot:ax²+c=bx|711|om8w}}ומרובעי' ומספרי' שישוו לשרשים{{#annotend:om8w}}
 |-
-|Finzi: the author did not mention [the instances] in which the three [species] together are equal to one of them, yet it seems that this will be necessary in the categorization.
+|Said Finzi: the author [= Abū Kāmil] did not mention [the instances] in which the three [species] together are equal to one of them, yet it seems that this will be necessary in the categorization.
 |style="text-align:right;"|אמ"פ הנה לא הביא בעל הספר כאשר ישוו שלשתם יחד לאחד מהם והיה נראה שזה יהיה הכרחי בחלוקה
 |-
-|For instance: roots, squares, and numbers are equal to roots, or to squares, or to numbers
+|As if you say: roots, squares, and numbers are equal to roots, or to squares, or to numbers.
 |style="text-align:right;"|וזה כמו שתאמ' שרשים ומרובעי' ומספרים ישוו לשרשים או ישוו למרובעי' או ישוו למספרים
 |-
 |
-== The Six Canonical Equations ==
+== <span style=color:Green>The Six Canonical Equations</span> ==
 |
 |-
 |
-=== The Simple Canonical Equations ===
+=== <span style=color:Green>The Simple Canonical Equations</span> ===
 |
 |-
 |
-==== Squares Equal Roots: bx=ax<sup>2</sup> ====
+==== <span style=color:Green>Squares Equal Roots: bx=ax<sup>2</sup></span> ====
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר השרשים ישוו למרובעי&#x202B;'
 |-
-|[for <math>\scriptstyle bx=x^2</math>]: <math>\scriptstyle x^2=b^2</math>
+|He said: when the roots are equal to squares: multiply [the number of] the roots by itself and the result is the square.
-|style="text-align:right;"|תכה השרשי' על עצמם ומה שיתקבץ הוא המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=b^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר השרשים ישוו למרובעי' תכה השרשי' על עצמם ומה ש{{#annot:term|875,1216|hbgc}}יתקבץ{{#annotend:hbgc}} הוא המרובע
 |-
-|It is the same as saying "the squares are equal to the roots", since the roots should be understood as being equal to the squares that are mentioned with them
+|Said Finzi: It is the same as saying "the squares are equal to the roots", since the roots should be understood as being equal to the squares that are mentioned with them.
-|style="text-align:right;"|אמ"פ והדבר הוא שוה לאמר המרובעים ישוו לשרשי' מפני כי צריך שיובנו השרשי' שיהיו שוים למרובעים הנזכרים עמהם
+|style="text-align:right;"|אמ"פ והדבר הוא שוה לאמר המרובעים {{#annot:term|429,1247|pKg9}}ישוו ל{{#annotend:pKg9}}שרשי' מפני כי צריך שיובנו השרשי' שיהיו שוים למרובעים הנזכרים עמהם
 |-
-|Moreover, the squares are squares by virtue of the multiplication of the roots by themselves
+|Moreover, the squares are squares by virtue of the multiplication of the roots by themselves.
 |style="text-align:right;"|וכמו כן המרובעים יהיו מרובעי' מכח הכאת השרשים ההם על עצמם
 |-
 |
-:*{{#annot:x²=5x|715|EqMy}}<math>\scriptstyle5x=x^2</math>
+*{{#annot:x²=5x|715|EqMy}}For example: if you are told; five roots are equal to one square. How much is the square?
-|style="text-align:right;"|דמיון זה אם אמרו לך חמשה שרשי' ישוו למרובע אחד כמה הוא המרובע{{#annotend:EqMy}}
+:<math>\scriptstyle5x=x^2</math>
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|197,1712|lPkF}}דמיון זה{{#annotend:lPkF}} אם אמרו לך חמשה שרשי' ישוו למרובע אחד כמה הוא המרובע{{#annotend:EqMy}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=5\sdot5=25}}</math>
+:Say: it is twenty-five resulting from multiplying five by five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=5\sdot5=25}}</math>
 |style="text-align:right;"|אמור לו הוא עשרים וחמשה המתקבץ מהכאת חמשה על חמשה
 |-
-|The root counts the square by the number of times that the one count the root.
+|It is so, because the root counts the square by the number of times that the one count the root.
-|style="text-align:right;"|והיה זה כן מפני כי המרובע ימנהו השרש במספר הפעמים שימנה האחד לשרש
+|style="text-align:right;"|והיה זה כן מפני כי המרובע {{#annot:term|368,1435|eFA0}}ימנהו ה{{#annotend:eFA0}}שרש ב{{#annot:term|35,1174|nex3}}מספר ה{{#annotend:nex3}}פעמים שימנה האחד לשרש
 |-
 |The one counts the root by the number of times by which the root is named.
-|style="text-align:right;"|והאחד ימנה לשרש במספר הפעמים אשר יקרא בו השרש
+|style="text-align:right;"|והאחד {{#annot:term|368,1435|zsPl}}ימנה ל{{#annotend:zsPl}}שרש במספר הפעמים אשר יקרא בו השרש
 |-
 |
-::In the example, the root is named by five.
+:In the example, the root is named by five and it consists of its five units, as it consists of twenty-five, which is the square that is [formed] from five times five, that is the root.
-|style="text-align:right;"|והנה בזה המשל השרש יקרא בשם חמשה
+|style="text-align:right;"|והנה בזה המשל השרש יקרא בשם חמשה והוא מורכב מחמשה אחדיו כמו שהוא מורכב עשרים וחמשה שהוא המרובע מחמשה {{#annot:term|243,2026|boLf}}דמיוני{{#annotend:boLf}} חמשה שהוא השרש
+|-
+|Hence, the square grows and is composed of repetitions of the root by the number that composes the root of repetitions of the unit.
+|style="text-align:right;"|הנה שהמרובע {{#annot:term|1053,2027|Zu8A}}יצמח{{#annotend:Zu8A}} וישלם מדמיוני השרש במספר מה שישלם השרש מדמיוני האחד
 |-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration</span>
 |
-::It consists of its five units, as it consists of twenty five, which is the square that is [formed] from five times five, that is the root.
-|style="text-align:right;"|והוא מורכב מחמשה אחדיו כמו שהוא מורכב עשרים וחמשה שהוא המרובע מחמשה דמיוני חמשה שהוא השרש
-|-
-|Hence, the square grows and become completed by the root multiplied by the number of times that the unit completes the root.
-|style="text-align:right;"|הנה שהמרובע יצמח וישלם מדמיוני השרש במספר מה שישלם השרש מדמיוני האחד
 |-
 |
-:*Geometric illustration
+:To illustrate this to your eye, we construct square ABGD according to the example of the square of twenty-five.
-|style="text-align:right;"|ולמען הראותך זה לעין
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולמען הראותך זה לעין נרשום {{#annot:term|305,1263|QPs4}}מרובע עליו{{#annotend:QPs4}} אבג"ד {{#annot:term|197,1896|ZBuG}}על משל{{#annotend:ZBuG}} מרובע עשרים וחמש&#x202B;'
 |-
 |
@@ Line 137: / Line 134: @@
 |-
 |
-::constructing:
+:When whichever of its sides is multiplied by one of its units the product is a root of the square.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה אי זה מ{{#annot:term|325,1464|lBcX}}צלעיו{{#annotend:lBcX}} ש{{#annot:term|358,2025|slFD}}יוכה ב{{#annotend:slFD}}אחד מאחדיו יהיה {{#annot:term|241,1218|OF0L}}המתקבץ{{#annotend:OF0L}} הוא שרש המרובע
-|style="text-align:right;"|נרשום מרובע עליו אבג"ד על משל מרובע עשרים וחמש&#x202B;'
 |-
 |
-:*side &times; (one of its unit) =  &radic;(the square)
+:We suppose BZ is equal to BH, which is one of the units of side AB.
-|style="text-align:right;"|הנה אי זה מצלעיו ש{{#annot:term|358|2dWu}}יוכה ב{{#annotend:2dWu}}אחד מאחדיו יהיה המתקבץ הוא שרש המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BZ=BH}}</math>
+|style="text-align:right;"|<s>ולכן</s> ונשים ב"ז {{#annot:term|461,1247|QJYS}}שוה ל{{#annotend:QJYS}}ב"ה שהוא אחד מאחדי צלע א"ב
 |-
 |
-::defining:
+:We draw line ZC from point Z, parallel to line AB.
-:*BZ = BH = one of the units of AB
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZC\parallel AB}}</math>
-|style="text-align:right;"|<s>ולכן</s> ונשים ב"ז שוה לב"ה שהוא אחד מאחדי צלע א"ב
+|style="text-align:right;"|ונוציא מ<sup>נ</sup>קודת ז' {{#annot:term|592,1450|XNSA}}קו{{#annotend:XNSA}} ז"ח נכחי לקו א"ב
 |-
 |
-::drawing line ZC from point Z
+:Surface AZ is formed, which is a root of this square.
-:*ZC || AB
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AZ=x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונוציא מ<sup>נ</sup>קודת ז' קו ז"ח נכחי לקו א"ב
+|style="text-align:right;"|ויצא {{#annot:term|814,1310|JkjG}}שטח{{#annotend:JkjG}} א"ז והוא שרש זה המרובע
 |-
 |
-:*AZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:We divide square ABGD into the units of surface AZ that are the surfaces: AZ; CT; KL; MN; SD - and they are five roots of the square of twenty-five.
-|style="text-align:right;"|ויצא שטח א"ז והוא שרש זה המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=AZ+CT+KL+MN+SD=5x=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונחלק {{#annot:term|305,1263|PFLT}}מרובע{{#annotend:PFLT}} אבג"ד לדמיוני שטח א"ז והם שטחי א"ז ח"ט כ"ל &#x202B;<ref>296v</ref>מ"נ ס"ד והם חמשה שרשים למרובע עשרים וחמשה
 |-
 |
-::dividing ABGD□ into AZ□; CT□; KL□; MN□; SD□ - each is equal to AZ□
+:Each of them consists of five units as the units of AZ, which is one of the five roots.
-::ABGD□ = AZ□ + CT□ + KL□ + MN□ + SD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{5x=25}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AZ=CT=KL=MN=SD=x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונחלק מרובע אבג"ד לדמיוני שטח א"ז והם שטחי א"ז ח"ט כ"ל מ"נ ס"ד והם חמשה שרשים למרובע עשרים וחמשה
-|-
-|
-::each consists of five units, as AZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
 |style="text-align:right;"|וכמו כן כל אחד מהם מורכב מחמשה אחדים כמו שרשום <s>בשסע</s> בשטח א"ז שהוא אחד מהחמשה שרשי&#x202B;'
 |-
-|This explanation is enough
+|This explanation is enough.
 |style="text-align:right;"|ודי בזה באור
 |-
-|'''Normalization''': if the square is augmented or reduced it should always be restored to a single square.
+|<span style=color:Green>'''Normalization''':</span>
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וראוי ש{{#annot:term|226|VBwn}}תדע ש{{#annotend:VBwn}}אם בא השואל להרבות המרובעי' בשאלתי או לשברם כי אז אתה צריך להשיב השאלה לעולם אל מרובע אחד שלם
+|
+|-
+|You must know that if the one who asks increases the squares in his question or reduces them, you should always restore it to a single square.
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וראוי שתדע שאם בא השואל להרבות המרובעי' בשאלתו או לשברם כי אז אתה צריך להשיב השאלה לעולם אל מרובע אחד שלם
 |-
 |
-:*{{#annot:5x²=20x|715|WDhU}}<math>\scriptstyle5x^2=20x</math>
+:{{#annot:5x²=20x|715|WDhU}}Example: if one asks: five squares are equal to twenty roots.
+:<math>\scriptstyle5x^2=20x</math>
 |style="text-align:right;"|דמיון זה אם ישאל חמשה מרובעי' ישוו לעשרים שרשים{{#annotend:WDhU}}
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}}}</math>
+:You divide twenty by five.
-|style="text-align:right;"|ואתה תחלק עשרים על חמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואתה {{#annot:term|784,1259|XtqU}}תחלק{{#annotend:XtqU}} עשרים על חמשה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4x}}</math>
+:So, one square is equal to four roots.
-|style="text-align:right;"|ויהיה המרובע האחד ישוה לארבעה שרשים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה המרובע האחד {{#annot:term|429,1247|baOU}}ישוה ל{{#annotend:baOU}}ארבעה שרשים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:The value of the square is sixteen.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע יהיה מספרו ששה עשר
 |-
 |
-:*{{#annot:½x²=10x|715|fayj}}<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x^2=10x</math>
+*{{#annot:½x²=10x|715|fayj}}Also, if he says: half a square is equal to ten roots.
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x^2=10x</math>
 |style="text-align:right;"|וכן אם יאמ' חצי מרובע ישוה לעשרה שרשים{{#annotend:fayj}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=20x}}</math>
+:The whole square is equal to twenty roots.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=20x}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה כל המרובע ישוה לעשרים שרשים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}</math>
+:Its value is four hundred.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}</math>
 |style="text-align:right;"|ומספרו ארבע מאות
 |-
 |
-==== Squares Equal Numbers: ax<sup>2</sup>=c ====
+==== <span style=color:Green>Squares Equal Numbers: ax<sup>2</sup>=c</span> ====
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר המרובעי' ישוו למספרי&#x202B;'
+|
 |-
-|[for <math>\scriptstyle x^2=c</math>]: the numbers are the squares
+|He said: when the squares are equal to numbers: the numbers are the squares.
-|style="text-align:right;"|הנה המספרים הם המרובעים
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר המרובעי' ישוו למספרי' הנה המספרים הם המרובעים
 |-
 |
-:*{{#annot:x²=16|713|fCC4}}<math>\scriptstyle x^2=16</math>
+*{{#annot:x²=16|713|fCC4}}As if you are told: the square is equal to sixteen.
+:<math>\scriptstyle x^2=16</math>
 |style="text-align:right;"|כמו אם יאמרו לך המרובע ישוה לששה עשר{{#annotend:fCC4}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:Sixteen is the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה ששה עשר הוא המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}</math>
+:Its root is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|ושרשו ארבעה
 |-
-|'''Normalization''': the equation should be restored to one square
+|<span style=color:Green>'''Normalization''':</span>
-|style="text-align:right;"|וכמו כן תשיב השאלה אל מרובע אחד
+|
+|-
+|Restore the question also to one square.
+|style="text-align:right;"|וכמו כן {{#annot:term|970,1431|OhZb}}תשיב{{#annotend:OhZb}} השאלה אל מרובע אחד
 |-
 |
-:*{{#annot:5x²=45|713|C4DX}}<math>\scriptstyle5x^2=45</math>
+*{{#annot:5x²=45|713|C4DX}}If one says: five squares are equal to forty-five.
+:<math>\scriptstyle5x^2=45</math>
 |style="text-align:right;"|כי אם אמ' חמשה מרובעי' ישוו לחמשה וארבעי&#x202B;'{{#annotend:C4DX}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot45=9}}</math>
+:One square is their fifth, which is nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot45=9}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה המרובע האחד הוא חמישיתם שהוא תשעה
 |-
 |
-:*{{#annot:⅓x²=27|713|Usmi}}<math>\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=27</math>
+*{{#annot:⅓x²=27|713|Usmi}}If one says: a third of the square is equal to twenty-seven.
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=27</math>
 |style="text-align:right;"|ואם אמ' שלישית המרובע ישוה לשבעה ועשרים{{#annotend:Usmi}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=81}}</math>
+:The whole square is eighty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=81}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה כל המרובע הוא שמנים ואחד
 |-
 |
-==== Roots Equal Numbers: bx=c ====
+==== <span style=color:Green>Roots Equal Numbers: bx=c</span> ====
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר השרשים ישוו למספרי&#x202B;'
+|
 |-
-|The units of the roots are as the amount of the numbers.
+|He said: when the roots are equal to numbers: the units of the roots are as the amount of the numbers.
-|style="text-align:right;"|הנה כמנין המספרי' יהיו אחדי השרשי&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר השרשים ישוו למספרי' הנה כ{{#annot:term|35,1434|JuGc}}מנין ה{{#annotend:JuGc}}מספרי' יהיו אחדי השרשי&#x202B;'
 |-
 |
-:*{{#annot:x=4|714|PaMj}}<math>\scriptstyle x=4</math>
+*{{#annot:x=4|714|PaMj}}If you are told: the roots of the square are equal to four numbers.
+:<math>\scriptstyle x=4</math>
 |style="text-align:right;"|כי אם יאמרו לך שרשי המרובע ישוו לארבע' מספרי&#x202B;'{{#annotend:PaMj}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}</math>
+:The root is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה השרש הוא ארבעה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:The square is sixteen.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע ששה עשר
 |-
-|Here also the equation should be restored to one square.
+|<span style=color:Green>'''Normalization''':</span>
+|
+|-
+|Here you should also restore the question to one square.
 |style="text-align:right;"|וכן גם בזה תשיב השאלה למרובע אחד
 |-
 |
-:*{{#annot:5x=30|714|jHg9}}<math>\scriptstyle5x=30</math>
+*{{#annot:5x=30|714|jHg9}}As if one says: five roots are equal to thirty.
+:<math>\scriptstyle5x=30</math>
 |style="text-align:right;"|כמו אם אמ' חמשה שרשים ישוו לשלשים{{#annotend:jHg9}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{30\div5}}</math>
+:Divide thirty by five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{30\div5}}</math>
 |style="text-align:right;"|תחלק שלשים על חמשה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}</math>
+:The one root is equal to six.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}</math>
 |style="text-align:right;"|ויהיה השרש האחד ישוה לששה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}</math>
+:The square is thirty-six.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע ששה ושלשים
 |-
 |
-:*{{#annot:½x=10|714|e4m4}}<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x=10</math>
+*{{#annot:½x=10|714|e4m4}}If one says: half a root is equal to ten.
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x=10</math>
 |style="text-align:right;"|ואם אמ' <s>חמשה ושלשים</s> חצי שרש ישוה לעשרה{{#annotend:e4m4}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}</math>
+:The one root is equal to twenty.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}</math>
 |style="text-align:right;"|יהיה השרש האחד ישוה לעשרים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}</math>
+:The square is four hundred.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע ארבע מאות
 |-
-|This was the discussion concerning the three first types of canonical equations that are called simple
+|So far he has been discussing the three first categories [of canonical equations] called the simple.
-|style="text-align:right;"|עד הנה דבר בשלשה החלקים הראשונים אשר יקראו הפשוטים
+|style="text-align:right;"|עד הנה דבר בשלשה החלקים הראשונים אשר יקראו {{#annot:term|703,2029|Zvsu}}הפשוטים{{#annotend:Zvsu}}
 |-
 |
-=== The Compound Canonical Equations ===
+=== <span style=color:Green>The Compound Canonical Equations</span> ===
 |
 |-
 |
-==== Squares and Roots Equal Numbers: ax<sup>2</sup>+bx=c ====
+==== Chapter: <span style=color:Green>Squares and Roots Equal Numbers: ax<sup>2</sup>+bx=c</span> ====
-!style="text-align:right;"|<big>פרק</big> אמ' כאשר יהיו המרובעים והשרשים שוים למספרי&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|<big>פרק</big>
-|-
-|
-*{{#annot:x²+10x=39|710|oMPa}}<math>\scriptstyle x^2+10x=39</math>
-|style="text-align:right;"|כאלו תאמ' המקובץ ממרובע מהאחד ועשרה משרשיו יחד ישוה לשלשים ותשעה דרהמי{{#annotend:oMPa}}
-|-
-|The answer of this question is in two aspects
-|style="text-align:right;"|הנה תשובת זאת השאלה יהיה בשני פנים
 |-
 |
-:1) One aspect presents the root of the square
+*{{#annot:x²+10x=39|710|oMPa}}He said: when squares and roots are equal to numbers, it is as if you say: the sum of one square and ten of its roots together is equal to thirty-nine dirham.
-|style="text-align:right;"|האופן האחד יראך שרש המרובע
+:<math>\scriptstyle x^2+10x=39</math>
+|style="text-align:right;"|אמ' כאשר יהיו המרובעים והשרשים שוים למספרי' כאלו תאמ' המקובץ ממרובע מהאחד ועשרה משרשיו יחד ישוה לשלשים ותשעה דרהמי{{#annotend:oMPa}}
 |-
 |
-:2) The second aspect presents the square
+:The answer to this question is [obtained] by two methods: one method reveals the root of the square to you, the other reveals the square to you.
-|style="text-align:right;"|והשני יראך המרובע
+|style="text-align:right;"|הנה תשובת זאת השאלה יהיה בשני פנים האופן האחד יראך {{#annot:term|133,1262|Eu3f}}שרש המרובע{{#annotend:Eu3f}} והשני יראך המרובע
 |-
-|First the methods of these aspects and their engagement will be explained.
+|First I will explain to you the procedures of these methods and their engagement.
 |style="text-align:right;"|וראשונה אבאר לך דרכי אלו האופני' וההתעסקות בהם
 |-
-|Then, their rules will be explained by geometrical demonstrations and figures, which are understood by the geometricians who are well versed in Euclid's book [= the Elements].
+|Then, I will explain their rules by geometrical demonstrations and figures, which the geometricians who are well versed in Euclid's book [= the Elements] understand .
-|style="text-align:right;"|עוד אחר זה אבאר משפטיהן במופתים ובתמונות ג'ימטריאות יבינום חכמי הגי'מטריאה אשר ישכילו בספר אקלידס
+|style="text-align:right;"|עוד אחר זה אבאר {{#annot:term|222|UVcu}}משפטיהן{{#annotend:UVcu}} במופתים וב{{#annot:term|303,1308|cUJQ}}תמונות גימטריאות{{#annotend:cUJQ}} יבינום {{#annot:term|846,1312|zYpS}}חכמי הגימטריאה{{#annotend:zYpS}} אשר ישכילו בספר אקלידס
 |-
-!The method that yields the root of the square
+!<span style=color:Green>The method that yields the root of the square</span>
-|style="text-align:right;"|אמ' האופן אשר יראך שרש המרובע
+|
-|-
-|Already stated by Muḥammad al-Khwārizmī in his book.
-|style="text-align:right;"|כבר אמרו מהומר אלכוארזמי בספרו
-|-
-|<math>\scriptstyle x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}-\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שתקח לעולם מחצית השרשים<br>
-ותכם על עצמם<br>
-והעולה מההכאה תקבץ עם המספרים<br>
-ותוציא שרש המקובץ<br>
-ותגרע ממנו מחצית השרשים ומה שישאר הוא שרש המרובע
 |-
+|<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}-\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)}}</math>
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{5^2+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{25+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{64}-5=8-5=3\\\end{align}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה לקחנו בשאלה הנזכרת מחצית השרשים והוא חמשה<br>
-הכינום על עצמם ועלה עשרי' וחמשה<br>
-קבצנום עם הל"ט אדרהמי ויצא ששים וארבעה<br>
-הוצאנו שרשו והוא שמנה<br>
-גרענו ממנו חמשה ונשאר שלשה והוא השרש
 |-
-|
+|He said: the method that reveals the root of the square to you is already stated by Muḥammad al-Khwārizmī in his book.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> האופן אשר יראך שרש המרובע כבר אמרו מהומר אלכוארזמי בספרו
-|style="text-align:right;"|והמרובע יהיה תשעה
 |-
-!The method that yields the root of the square
+|It is that you always take half [the number of] the roots, and multiply it by itself, then add the result to the numbers.
-|style="text-align:right;"|אמ' והאופן אשר יראך המרובע
+|style="text-align:right;"|והוא שתקח לעולם מחצית השרשים ותכם על עצמם והעולה מההכאה {{#annot:term|178,1210|E3eY}}תקבץ עם ה{{#annotend:E3eY}}מספרים
 |-
-|<math>\scriptstyle x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+c-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2+\left(b^2\sdot c\right)}</math>
+|You extract the root of the sum and subtract half [the number of] the roots from it; the result is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|הוא שתכה השרשים על עצמם<br>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|795,1374|zwGy}}תוציא שרש{{#annotend:zwGy}} המקובץ ו{{#annot:term|181,1192|lyZc}}תגרע ממנו{{#annotend:lyZc}} מחצית השרשים ומה שישאר הוא שרש המרובע
-והעולה תכה על המספרים ומה שיתקבץ שמור<br>
-עוד תקח מחצית מה שעלה מהכאת השרשים על עצמם<br>
-ותכה זה המחצית על עצמו ומה שיעלה תקבצהו עם השמור<br>
-ותוציא שרש המקובץ<br>
-ותגרעהו ממקובץ מחצית הכאת השרשים על עצמם עם המספרי' השוי' למרובע עם שרשיו ונשאר הוא המרובע
 |-
 |
-:
+:In the mentioned question, we take half [the number of] the roots, which is five.
-<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2+\left(10^2\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2+\left(100\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=50+39-\sqrt{50^2+3900}\\&\scriptstyle=89-\sqrt{2500+3900}\\&\scriptstyle=89-\sqrt{6400}=89-80=9\\\end{align}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה לקחנו בשאלה הנזכרת מחצית השרשים והוא חמשה
-|style="text-align:right;"|והנה בשאלה הנזכרת הכינו עשרה השרשים על עצמם ועלה מאה<br>
-והכינו מאה על הל"ט ויצא שלשת אלפים תת"ק ושמרנום<br>
-ולקחנו מחצית מאה שהוא חמשים<br>
-והכינום על עצמם ויצא אלפים ות"ק<br>
-וקבצנום עם השמור והיה המקובץ ששת אלפים ות'<br>
-הוצאנו שרש זה המקובץ ויצא שמנים<br>
-גרענום ממקובץ חמשים עם ל"ט שהוא פ"ט וישארו תשעה והם המרובע
-|-
-|'''Normalization''': if the squares exceed one, or less than one, the whole equation should be restored to a single square, and with it the roots and numbers should be restored, by exactly the same way that the square is restored.
-|style="text-align:right;"|אמ' ואם יעדיפו המרובעי' בשאלה על אחד או יחסרו מאחד שלם הנה אז תצטרך להשיב כל השאלה אל מרובע אחד וכן תשיב עמו השרשים והמספרי' בדרך ההוא בעינו שהשיבות המרובע
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle3x^2+15x=72</math>
+:We multiply it ib itself; the result is twenty-five.
-|style="text-align:right;"|דמיון זה ששאל שלשה מרובעי' וט"ו שרשי' ישוו לע"ב דרהמי
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|185,1255|KfKq}}הכינום על{{#annotend:KfKq}} עצמם ו{{#annot:term|875,1240|Cb29}}עלה{{#annotend:Cb29}} עשרי' וחמשה
 |-
 |
-::three times one square summed together with 15 of its roots are 72.
+:We add it to the 39 dirham; the result is sixty-four.
-|style="text-align:right;"|רצה בזה ששלשה דמיוני מרובע אחד עם ט"ו משרשיו מקובצי' יחד יהיו ע"ב
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|178,1210|ADZM}}קבצנום עם ה{{#annotend:ADZM}}ל"ט {{#annot:term|242,1305|s8uc}}אדרהמי{{#annotend:s8uc}} ו{{#annot:term|875,1231|cUNj}}יצא{{#annotend:cUNj}} ששים וארבעה
 |-
 |
-:Normalization:
+:We extract its root; it is eight.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\sdot x^2+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)\sdot x=\frac{1}{3}\sdot72}}</math>
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|795,1374|EXDI}}הוצאנו שרשו{{#annotend:EXDI}} והוא שמנה
-|style="text-align:right;"|ובזה אתה צריך לקחת מהמרובעי' אחד מהם והוא שלישיתם וכן תקח מהשרשי' שלישיתם והוא חמשה ומהמספרי' כמו כן שלישיתם והוא כ"ד
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+5x=24}}</math>
+:We subtract five from it; three remains and it is the root.
-|style="text-align:right;"|ותשוב להיות השאלה כאלו שאל מרובע אחד עם חמשה משרשיו ישוו כ"ד דרהמי
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|181,1192|RYq4}}גרענו{{#annotend:RYq4}} &#x202B;<ref>297r</ref>ממנו חמשה ו{{#annot:term|936,1236|My33}}נשאר{{#annotend:My33}} שלשה והוא השרש
 |-
-|The method that yields the root and the method that yields the square were already shown.
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|וכבר הראיתיך האופן שיראך השרש והאופן שיראך המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\sqrt{5^2+39}-5=\sqrt{25+39}-5=\sqrt{64}-5=8-5=3}}</math>
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x^2+5x=28</math>
+:The square is nine.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן אם שאל השואל חצי מרובע וחמשה משרשיו ישוו לכ"ח דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע יהיה תשעה
 |-
+!<span style=color:Green>The method that yields the root of the square</span>
 |
-:Normalization:
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot x^2+\left(2\sdot5\right)\sdot x=2\sdot28}}</math>
-|style="text-align:right;"|אז תשיב המרובע שלך שלם והוא שתכפלהו ותכפול כמו השרשי' והמספרי&#x202B;'
 |-
+|<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+c-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2+\left(b^2\sdot c\right)}}}</math>
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x=56}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותשוב השאלה מרובע ועשרה משרשיו ישוו נ"ו דרהמי וכבר הראית לדעת מה לעשות לך עמהם
 |-
-!Geometric illustration of method that yields the root of the square
+|He said: the method that reveals the square to you is that you multiply [the number of] the roots by itself, then multiply the product by the numbers and keep the result.
-|style="text-align:right;"|אמ' ועתה אראך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך המרובע הוא שתכה השרשים על עצמם והעולה {{#annot:term|185,1255|Ties}}תכה על{{#annotend:Ties}} המספרים ו{{#annot:term|875,1216|A8hb}}מה שיתקבץ{{#annotend:A8hb}} {{#annot:term|459,1237|OqHn}}שמור{{#annotend:OqHn}}
 |-
-|illustrating the equation <math>\scriptstyle x^2+10x=39</math>
+|Take half the product of [the number of] the roots by itself and multiply this half by itself.
-:[[File:Finzi 1 .png|thumb|125px|left]]
+|style="text-align:right;"|עוד תקח מחצית מה שעלה מהכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו
-|[[File:פינצי 1.png|thumb|125px|right]]
+|-
+|Add the result to the reserved and extract the root of the sum.
+|style="text-align:right;"|ומה שיעלה תקבצהו עם {{#annot:term|960,1238|VFtS}}השמור{{#annotend:VFtS}} ותוציא שרש המקובץ
+|-
+|You subtract it from the sum of half the product of the roots plus the numbers that are equal to the square and its roots; the remainder is the square.
+|style="text-align:right;"|ותגרעהו ממקובץ מחצית הכאת השרשים על עצמם עם המספרי' השוי' למרובע עם שרשיו ונשאר הוא המרובע
 |-
 |
-::constructing:
+:In the mentioned question, we multiply the ten roots by themselves; the result is one hundred.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה בשאלה הנזכרת הכינו עשרה השרשים על עצמם ועלה מאה
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח <s>שרש</s> [שטח]<ref>marg.</ref> מרובע עליו אבג"ד הוא על דמיון המרובע אשר עליו השאלה
 |-
 |
-::adding to it ABHW□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:We multiply one hundred by 39; the result is 3900. We keep it.
-|style="text-align:right;"|ונחבר אליו שטח אבה"ו יהיה על דמיון עשרת השרשים אשר קבצת עם המרובע
+|style="text-align:right;"|והכינו מאה על הל"ט ויצא שלשת אלפים תת"ק ו{{#annot:term|459,1237|hP4L}}שמרנום{{#annotend:hP4L}}
 |-
 |
-:*WHDG□ = [ABGD□ + ABHW□] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x=39}}</math>
+:We take a half of one hundred; it is fifty.
-|style="text-align:right;"|והנחנו שכל שטח והד"ג יהיה שלשים ותשעה דרהמי
+|style="text-align:right;"|ולקחנו מחצית מאה שהוא חמשים
 |-
-|We wish to state the measure of the length and breadth of this surface, which are HG and DG
+|
-|style="text-align:right;"|ורצינו שנודיע שיעור קוי האורך והרחב מזה השטח שהם קוי ה"ג ד"ג
+:We multiply it by itself; the result is 2500.
+|style="text-align:right;"|והכינום על עצמם ויצא אלפים ות"ק
 |-
 |
-::BG = DG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:We add it to the reserved; the sum is 6400.
-|style="text-align:right;"|ועם זה יהיה ידוע לנו שיעור קו ב"ג השוה לד"ג שכל אחד מהם הוא שוה לשרש זה המרובע
+|style="text-align:right;"|וקבצנום עם השמור והיה המקובץ ששת אלפים ות&#x202B;'
 |-
 |
-::BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:We extract the root of this sum; the result is eighty.
-|style="text-align:right;"|והוא ידוע כי קו ב"ה עשרה
+|style="text-align:right;"|הוצאנו שרש זה המקובץ ויצא שמנים
 |-
 |
-:::BA &times; its unit = &radic;ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:We subtract it from the sum of fifty and 39, which is 89; nine remains and it is the square.
-|style="text-align:right;"|מפני כי היה צלע ב"א ממרובע אבג"ד כשהוכה באחד מאחדיו יהיה השטח העולה הוא שרש מרובע אבג"ד כמבואר בתמונה הראשונה מזה הספר
+|style="text-align:right;"|גרענום ממקובץ חמשים עם ל"ט שהוא פ"ט ו{{#annot:term|936,1236|xbF2}}ישארו{{#annotend:xbF2}} תשעה והם המרובע
 |-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2+\left(10^2\sdot39\right)}=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2+\left(100\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=50+39-\sqrt{50^2+3900}=89-\sqrt{2500+3900}=89-\sqrt{6400}=89-80=9\\\end{align}}}</math>
+|-
+|<span style=color:Green>'''Normalization''':</span>
 |
-:::(BA &times; 1) &times; 10 = 10&radic;ABGD□ = ABHW□
-|style="text-align:right;"|וזה השטח כשהוכה בעשרה יהיה העולה עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד והוא שטח אבה"ו
 |-
-|
+|He said: if the squares in the question exceed one, or are less than one, you should restore the whole equation to a single square, and restore with it the roots and numbers, exactly by the same way that you restore the square.
-::&rarr; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם {{#annot:term|420,2035|z69a}}יעדיפו ה{{#annotend:z69a}}מרובעי' בשאלה על אחד או יחסרו מאחד שלם הנה אז תצטרך להשיב כל השאלה אל מרובע אחד וכן תשיב עמו השרשים והמספרי' בדרך ההוא בעינו שהשיבות המרובע
-|style="text-align:right;"|הנה כי קו ב"ה עשרה
 |-
 |
-::halving line BH on point C [= C midpoint of BH]
+*{{#annot:3x²+15x=72|710|HV5b}}Example: if one asks: three squares and 15 roots are equal to 72 dirham.
-|style="text-align:right;"|ונחלק אותו לחצאין על נקודת ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle3x^2+15x=72</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה ששאל שלשה מרובעי' וט"ו שרשי' ישוו לע"ב דרהמי{{#annotend:HV5b}}
 |-
 |
-::adding BG to BH
+:He means that three times one square summed together with 15 of its roots are 72.
-|style="text-align:right;"|ונוסף בארכו קו ב"ג
+|style="text-align:right;"|רצה בזה ששלשה דמיוני מרובע אחד עם ט"ו משרשיו מקובצי' יחד יהיו ע"ב
 |-
 |
-::(HG &times; BG) + CB<sup>2</sup> = CG<sup>2</sup>
+:You should take one of the squares, which is their third, and so you take from the roots their third, which is five, and also from the numbers their third, which is 24.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה השטח העולה מהכאת קו ה"ג בקו ב"ג עם המרובע ההוה מהכאת ח"ב על עצמו כמו המרובע ההוה מהכאת ח"ג על עצמו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\sdot x^2+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)\sdot x=\frac{1}{3}\sdot72}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובזה אתה צריך לקחת מהמרובעי' אחד מהם והוא שלישיתם וכן תקח מהשרשי' שלישיתם והוא חמשה ומהמספרי' כמו כן שלישיתם והוא כ"ד
 |-
 |
-::as noted by Euclid in Elements II
+:Hence, the question becomes as if one asks: one square plus its five roots are equal to 24 dirham.
-|style="text-align:right;"|כמו שאמר '''אקלידס במאמ' שני''' מספרו
+:<math>\scriptstyle x^2+5x=24</math>
+|style="text-align:right;"|ותשוב להיות השאלה כאלו שאל מרובע אחד עם חמשה משרשיו ישוו כ"ד {{#annot:term|242,1305|ViGL}}דרהמי{{#annotend:ViGL}}
 |-
-|
+|I have already shown you the method that reveals the root to you and the method that reveals the square to you.
-::HG &times; BG = [HG &times; DG = WHDG□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{39}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר הראיתיך האופן שיראך השרש והאופן שיראך המרובע
-|style="text-align:right;"|אבל הכאת קו ה"ג בקו ב"ג כבר הונחה שלשים ותשעה
 |-
 |
-:::DG = BG
+*{{#annot:½x²+5x=28|710|FJRf}}Likewise, if one asks: half a square plus its five roots are equal to 28 dirham.
-|style="text-align:right;"|מפני כי קו ד"ג הוא כמו קו ב"ג
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x^2+5x=28</math>
+|style="text-align:right;"|וכמו כן אם שאל השואל חצי מרובע וחמשה משרשיו ישוו לכ"ח דרהמי{{#annotend:FJRf}}
 |-
 |
-::CB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:Restore your square to a whole square by doubling it and double the roots and the numbers as well.
-|style="text-align:right;"|והכאת קו ח"ב על עצמו היא עשרים וחמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot x^2+\left(2\sdot5\right)\sdot x=2\sdot28}}</math>
+|style="text-align:right;"|אז תשיב המרובע שלך שלם והוא ש{{#annot:term|785,1230|qQ43}}תכפלהו{{#annotend:qQ43}} ו{{#annot:term|785,1230|BSiQ}}תכפול{{#annotend:BSiQ}} כמו השרשי' והמספרי&#x202B;'
 |-
 |
-::CG<sup>2</sup> = (HG &times; BG) + CB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{39+25=64}}</math>
+:The question becomes: a square plus its ten roots are equal to 56 dirham.
-|style="text-align:right;"|ומקובצם ששים וארבע' ולכן יהיה הכאת קו ח"ג על עצמו ששים וארבעה
+:<math>\scriptstyle x^2+10x=56</math>
+|style="text-align:right;"|ותשוב השאלה מרובע ועשרה משרשיו ישוו נ"ו דרהמי
 |-
 |
-::&radic;[CG<sup>2</sup>] = &radic;[(HG × BG) + KB<sup>2</sup>] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}=8}}</math>
+:I have already shown you what to do with them.
-|style="text-align:right;"|והנה שרשו הוא שמנה
+|style="text-align:right;"|וכבר הראית לדעת מה לעשות לך עמהם
 |-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of method that yields the root of the square</span>
 |
-::&rarr; CG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולכן קו ח"ג הוא שמנה
 |-
-|
+|He said: now I will show you the reason we use the method that reveals the root of the square.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = BG = CG - CB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8-5=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ועתה אראך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
-|style="text-align:right;"|ונבדיל ממנו קו ח"ב הידוע שהוא חמשה וישאר קו ב"ג שלשה והוא שרש המרובע
 |-
-|
+|<span style=color:Green>Illustrating the equation:</span> <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2+10x=39}}</math>
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
+:[[File:Finzi 1 .png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|והמרובע תשעה
+|[[File:פינצי 1.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::constructing:
+:It is that we construct a square surface ABGD as the square in the question.
-:*CKNG□ = CG<sup>2</sup>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי עשה על קו ח"ג מרובע חכנ"ג
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח <s>שרש</s> [שטח]<ref>marg.</ref> מרובע עליו אבג"ד הוא על דמיון המרובע אשר עליו השאלה
 |-
 |
-::extending line BA to point E
+:We add surface ABHW to it as the ten roots you add to the square.
-|style="text-align:right;"|ותוציא קו ב"א ביושר עד נקדת ע&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|178,1165|5oer}}נחבר אליו{{#annotend:5oer}} שטח אבה"ו יהיה על דמיון עשרת השרשים אשר קבצת עם המרובע
 |-
 |
-::CG = GN
+:We suppose that the whole surface WHDG is thirty-nine dirham.
-|style="text-align:right;"|הנה קו ח"ג כמו קו ג"נ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{WHDG=ABGD+ABHW=x^2+10x=39}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנחנו שכל שטח והד"ג יהיה שלשים ותשעה דרהמי
 |-
 |
-::BG = DG
+:We wish to state the measure of the length and breadth of this surface, which are lines HG and DG.
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ג כמו קו ד"ג
+|style="text-align:right;"|ורצינו שנודיע {{#annot:term|633,1501|aHEz}}שיעור{{#annotend:aHEz}} קוי האורך והרחב מזה השטח שהם קוי ה"ג ד"ג
 |-
 |
-::BC = MK
+:We know the measure of line BG that is equal to DG, each of which is equal to the root of this square.
-|style="text-align:right;"|ישאר קו ב"ח כמו קו מ"כ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=DG=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועם זה יהיה ידוע לנו שיעור קו ב"ג השוה לד"ג שכל אחד מהם הוא שוה לשרש זה המרובע
 |-
 |
-::CA□ = AN□
+:It is known that line BH is ten.
-|style="text-align:right;"|ושטח ח"א כמו שטח א"נ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא ידוע כי קו ב"ה עשרה
 |-
 |
-::CA□ = MH□
+:Because, when side BA of square ABGD is multiplied by one of its units, the resulting surface is a root of square ABGD as explained in the first geometrical illustration of this book.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח ח"א כמו שטח מ"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BA\times 1=\sqrt{ABGD}=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|מפני כי היה {{#annot:term|325,1464|DtxV}}צלע{{#annotend:DtxV}} ב"א ממרובע אבג"ד כשהוכה באחד מאחדיו יהיה השטח העולה הוא שרש מרובע אבג"ד כמבואר ב{{#annot:term|303,1308|QKAs}}תמונה{{#annotend:QKAs}} הראשונה מזה הספר
 |-
 |
-::&rarr;MH□ = AN□
+:When this surface is multiplied by ten, the result is ten roots of square ABGD, which is surface ABHW.
-|style="text-align:right;"|לכן שטח מ"ה כמו שטח א"נ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=\left(BA\times 1\right)\times10=10\sqrt{ABGD}=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וזה השטח כש{{#annot:term|358,2025|IkGn}}הוכה ב{{#annotend:IkGn}}עשרה יהיה העולה עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד והוא שטח אבה"ו
 |-
 |
-::AC□ + AN□ + DB□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{39}}</math>
+:Since line BH is ten.
-|style="text-align:right;"|ושטחי א"ח א"נ ד"ב השלשה הם שלשים ותשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כי קו ב"ה עשרה
 |-
 |
-::AC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:We cut it in half at point C [= C midpoint of BH].
-|style="text-align:right;"|אבל שטח א"כ עשרים וחמשה
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:to halve a line at point|820,2058|vadk}}נחלק אותו לחצאין על נקודת{{#annotend:vadk}} &#x202B;<ref>297v</ref>ח&#x202B;'
 |-
 |
-:::AC□ = CB<sup>2</sup>
+:Line BG is added to it.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי הוא שוה להכאת ח"ב על עצמו
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|178,1213|TGnE}}נוסף ב{{#annotend:TGnE}}ארכו קו ב"ג
 |-
 |
-::KG□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{64}}</math>
+:Therefore, the surface resulting from the product of line HG by line BG plus the square resulting from the product of CB by itself is the same as the square resulting from the product of CG by itself; as Euclid said in the second section of his book [[ספר_היסודות_לאקלידס#Elements_II_5|<span style=color:blue>'''[Elements, Book II, (proposition 5)]'''</span>]].
-|style="text-align:right;"|הנה שטח כ"ג כלו ששים וארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(HG\times BG\right)+CB^2=CG^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה השטח העולה מהכאת קו ה"ג בקו ב"ג עם המרובע ההוה מהכאת ח"ב על עצמו כמו המרובע ההוה מהכאת ח"ג על עצמו כמו שאמר אקלידס במאמ' שני מספרו
 |-
 |
-::CG = &radic;KG□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}=8}}</math>
+:But the product of line HG by line BG has already been assumed to be thirty-nine, because line DG is the same as line BG.
-|style="text-align:right;"|וקו ח"ג שרשיו והוא שמנה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HG\times BG=HG\times DG=39}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל הכאת קו ה"ג בקו ב"ג כבר הונחה שלשים ותשעה מפני כי קו ד"ג הוא כמו קו ב"ג
 |-
 |
-::BC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{5}}</math>
+:The product of line CB by itself is twenty-five.
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ח היה חמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכאת קו ח"ב על עצמו היא עשרים וחמשה
 |-
 |
-::GB = [CG - BC] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8-5=3}}</math>
+:Their sum is sixty-four; therefore, the product of line CG by itself is sixty-four.
-|style="text-align:right;"|וישאר קו ג"ב שלשה וזה מש"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG^2=\left(HG\times BG\right)+CB^2=39+25=64}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ומקובצם ששים וארבע' ולכן יהיה הכאת קו ח"ג על עצמו ששים וארבעה
-!Geometric illustration of method that yields the square
-|style="text-align:right;"|אמ' והסבה באופן אשר הראנו בו המרובע
-|-
-|illustrating the equation <math>\scriptstyle x^2+10x=39</math>
-:[[File:Finzi 2 - II.png|thumb|100px|left]]
-|[[File:פינצי 2 - II.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::constructing:
+:Its root is eight, so line CG is eight.
-:*line ABG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x=39}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG=\sqrt{CG^2}=\sqrt{\left(HG\times BG\right)+CB^2}=\sqrt{64}=8}}</math>
-|style="text-align:right;"|היא שנניח קו אב"ג יהיה שיעורו כמו מקובץ המרובע ועשרה משרשיו שהוא שלשים ותשעה
+|style="text-align:right;"|והנה שרשו הוא שמנה ולכן קו ח"ג הוא שמנה
 |-
 |
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:We subtract line CB from it that is known to be five; line BG remains, which is three and it is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|ויהיה קו א"ב ממנו הוא שיעור המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=BG=CG-CB=8-5=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונבדיל ממנו קו ח"ב הידוע שהוא חמשה וישאר קו ב"ג שלשה והוא שרש המרובע
 |-
-|We wish to state the measure of AB
+|
-|style="text-align:right;"|ואנו נרצה שנודיע שיעור א"ב
+:The square is nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע תשעה
 |-
 |
-::constructing:
+:If you want me to illustrate to your eye what I have said, construct square CKNG on line CG.
-:*DHBG□ = 100 &times; (AB &times; 1)
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG^2=CKNG}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה נעשה על קו ב"ג מרובע ד והוא מרובע דהב"ג והנה הוא כמו מאה פעמים השטח היוצא בהכאת קו א"ב באחד מא[חד]יו
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי {{#annot:term|1015|48WG}}עשה על{{#annotend:48WG}} קו ח"ג מרובע חכנ"ג
 |-
 |
-:::BG = 10&radic;AB
+:Extend line BA straight to point E.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ב"ג הוא עשרה שרשים מקו א"ב
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:to draw a line|819,1232|E2dh}}תוציא קו{{#annotend:E2dh}} ב"א {{#annot:term|942,1849|cDgm}}ביושר{{#annotend:cDgm}} עד נקדת ע&#x202B;'
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10\sqrt{X}\right)^2=100X}}</math>
+:Line CG is the same as line GN.
-|style="text-align:right;"|ועשרה שרשים מהדבר כשהוכו על עצמם יהיה המתקבץ כמו מאה דמיוני אותו הדבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG=GN}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה קו ח"ג כמו קו ג"נ
 |-
 |
-::constructing:
+:Line BG is the same as line DG.
-:*AM circumscribing a right angle with line AG
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=DG}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונשים קו א"מ מקיף עם קו א"ג בזוית נצבה
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ג כמו קו ד"ג
 |-
 |
-:*AM = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:Line BC that remains is the same as line MK.
-::of [the units] by which AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{39}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC=MK}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונשימהו בשיעור מאה מאשר בם קו א"ג שלשים ותשעה
+|style="text-align:right;"|ישאר קו ב"ח כמו קו מ"כ
 |-
 |
-::completing AN□
+:Surface CA is the same as surface AN.
-|style="text-align:right;"|ונשלים שטח א"נ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CA=AN}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ח"א כמו שטח א"נ
 |-
 |
-::AN□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3900}}</math>
+:But, surface CA is the same as surface MH.
-|style="text-align:right;"|והנה שעורו ידוע כי הוא שלשת אלפים תת"ק
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CA=MH}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח ח"א כמו שטח מ"ה
 |-
 |
-:::AN□ = AG &times; AM = <math>\scriptstyle{\color{blue}{39\times100}}</math>
+:Therefore, surface MH is the same as surface AN.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שלשים ותשעה בקו א"מ שהוא מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MH=AN}}</math>
+|style="text-align:right;"|לכן שטח מ"ה כמו שטח א"נ
 |-
 |
-::extending line BC || AM
+:The three surfaces AC, AN, and DB are thirty-nine.
-|style="text-align:right;"|ונמשיך קו ב"ח נכחי לקו א"מ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC+AN+DB=39}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטחי א"ח א"נ ד"ב השלשה הם שלשים ותשעה
 |-
 |
-::AC□ = BH□
+:But, surface AK is twenty-five, since it is equal to the product of CB by itself.
-|style="text-align:right;"|והנה יהיה שטח א"ח שוה למרובע ב"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AK=CB^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל {{#annot:term|816,1310|F1Td}}שטח{{#annotend:F1Td}} א"כ עשרים וחמשה בעבור כי הוא שוה להכאת ח"ב על עצמו
 |-
 |
-:::AC□ = 100 &times; (AB &times; its unit)
+:So, the whole surface KG is sixty-four.
-|style="text-align:right;"|כי הוא גם כן מאה דמיוני הכאת קו א"ב באחד מאחדיו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KG=64}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה שטח כ"ג כלו ששים וארבעה
 |-
 |
-::::AM = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:Line CG is its root, which is eight.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי אורך קו א"מ מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG=\sqrt{KG}=\sqrt{64}=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ח"ג שרשיו והוא שמנה
 |-
 |
-::&rarr;DHCN□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3900}}</math>
+:Line BC is five.
-|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה שטח דהח"נ גם כן שלשת אלפים משל תת"ק
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ח היה חמשה
 |-
 |
-::DHCN□ = GH &times; HN
+:GB that remains is three.
-|style="text-align:right;"|והוא מהכאת קו ג"ה בקו ה"נ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=CG-BC=8-5=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר קו ג"ב שלשה
 |-
 |
-:::GH = HD
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|כי ג"ה כמו ה"ד
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|780,2080|R5Eg}}וזה מש"ל{{#annotend:R5Eg}}
 |-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of method that yields the square</span>
 |
-::GN = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+|-
-|style="text-align:right;"|והנה קו ג"נ מאה
+|He said: the reason of the method by which we reveal the square:
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ו{{#annot:term|311|MTbu}}הסבה ב{{#annotend:MTbu}}אופן אשר הראנו בו המרובע
+|-
+|<span style=color:Green>Illustrating the equation:</span> <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2+10x=39}}</math>
+:[[File:Finzi 2 - II.png|thumb|75px|left]]
+|[[File:פינצי 2 - II.png|thumb|75px|right]]
 |-
 |
-:::GN = AM
+:It is that we suppose line ABG whose measure is as the sum of the square plus its ten roots, which is thirty-nine.
-|style="text-align:right;"|מפני שהוא שוה לא"מ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABG=x^2+10x=39}}</math>
+|style="text-align:right;"|היא שנניח קו אב"ג יהיה שיעורו כמו {{#annot:term|388,1217|M6zW}}מקובץ ה{{#annotend:M6zW}}מרובע ועשרה משרשיו שהוא שלשים ותשעה
 |-
 |
-::halving line GN on point L [= L midpoint of GN]
+:Line AB is the size of the square and we wish to state the measure of AB.
-|style="text-align:right;"|ונחלקהו לחציין על נקודת ל&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה קו א"ב ממנו הוא שיעור המרובע ואנו נרצה שנודיע שיעור א"ב
 |-
 |
-::adding NH to GN
+:We construct square DHBG on line BG; it is the same as a hundred times the surface resulting from the product of line AB by one of its units.
-|style="text-align:right;"|וכבר נוסף עליו קו נ"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DHBG=100\sdot\left(AB\times1\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה {{#annot:term|1015|GRES}}נעשה על{{#annotend:GRES}} קו ב"ג מרובע ד והוא מרובע דהב"ג והנה הוא כמו מאה {{#annot:term|243|122q}}פעמים ה{{#annotend:122q}}שטח {{#annot:term|876,1233|fGOj}}היוצא בהכאת{{#annotend:fGOj}} קו א"ב באחד מא[חד]יו
 |-
 |
-::(HN &times; GH) + GL<sup>2</sup> = LH<sup>2</sup>
+:Because line BG is ten roots of line AB.
-|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה שטח הכאת ה"נ בג"ה ומרובע קו ג"ל יחד שוה למרובע קו ל"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=10\sqrt{AB}}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ב"ג הוא עשרה שרשים מקו א"ב
+|-
+|When ten roots of a thing are multiplied by themselves, the result is as one hundred of that thing.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10\sqrt{a}\right)^2=100a}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועשרה שרשים מהדבר כשהוכו על עצמם יהיה המתקבץ כמו מאה דמיוני אותו הדבר
 |-
 |
-::as noted by Euclid in Elements II
+:We construct line AM circumscribing a right angle with line AG.
-|style="text-align:right;"|כמו שביאר אקלידס במאמ' שני מספרו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM\perp AG}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשים קו א"מ {{#annot:term|1917,1855|fbeH}}מקיף{{#annotend:fbeH}} עם קו א"ג ב{{#annot:term|1091,1341|kliQ}}זוית נצבה{{#annotend:kliQ}}
 |-
 |
-::(HN &times; GH) + GL<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6400}}</math>
+:We suppose its measure is a hundred [units] of [the units] by which line AG is thirty-nine.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח ה"נ בג"ה ומרובע ג"ל מקובצים הוא ידוע שהם ששת אלפים ות&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשימהו בשיעור מאה מאשר בם קו א"ג שלשים ותשעה
 |-
 |
-:::HN &times; GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3900}}</math>
+:We complete surface AN; it is known that its measure is 3900.
-|style="text-align:right;"|כי שטח ה"נ בג"ה הוא שלשת אלפים תת"ק
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AN=3900}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|838|RRCV}}נשלים שטח{{#annotend:RRCV}} א"נ והנה {{#annot:term|633,1501|zIfA}}שעורו{{#annotend:zIfA}} ידוע כי הוא שלשת אלפים תת"ק
 |-
 |
-:::GL<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500}}</math>
+:Since it is generated from the product of line AG, which is thirty-nine, by line AM, which is one hundred.
-|style="text-align:right;"|ומרובע ג"ל הוא אלפים ת"ק
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AN=AG\times AM=39\times100}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שלשים ותשעה בקו א"מ שהוא מאה
 |-
 |
-::&rarr;LH<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6400}}</math>
+:We extend line BC parallel to AM.
-|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה מרובע קו ל"ה ששת אלפים ות&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC\parallel AM}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|822,2061|KMfZ}}נמשיך קו{{#annotend:KMfZ}} ב"ח {{#annot:term|825,1821|LCaE}}נכחי ל{{#annotend:LCaE}}קו א"מ
 |-
 |
-::LH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{80}}</math>
+:Surface AC is equal to square BH, because it is also a hundred times the product of line AB by one of its units.
-|style="text-align:right;"|וקו ל"ה יהיה שמנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=BH=100\sdot\left(AB\times1\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה יהיה שטח א"ח שוה למרובע ב"ה כי הוא גם כן מאה דמיוני הכאת קו א"ב באחד מאחדיו
 |-
 |
-::GH = BG
+:Since the length of line AM is one hundred.
-|style="text-align:right;"|אבל קו ג"ה כמו מרובע קו ב"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי {{#annot:term|316,1489|vaVj}}אורך{{#annotend:vaVj}} קו א"מ מאה
 |-
 |
-::&rarr;BG + LG = [LH] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{80}}</math>
+:Therefore, surface DHCN is also 3900 and it is generated from the product of line GH by line HN.
-|style="text-align:right;"|הנה כי קוי ב"ג ל"ג מקובצים הם שמנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DHCN=GH\times HN=3900}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה שטח דהח"נ גם כן שלשת אלפים <s>משל</s> תת"ק והוא מהכאת קו ג"ה בקו ה"נ
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math> = AB = (BG + LG) - (AG + GL) = <math>\scriptstyle{\color{blue}{89-80=9}}</math>
+:Because GH is the same as HD.
-|style="text-align:right;"|וכאשר נגרעם מקוי א"ג ג"ל שהם שמנים ותשעה ישאר קו א"ב שהוא שיעור מרובע תשעה והוא מש"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=HD}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי ג"ה כמו ה"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|<ref>marg.: זכור כי מצאתי אחר זה בספר הזה פרק בהכפלת השרשי' יתבאר בו זה ולקיים דברי אלה בכתוב אין בו הפסד ואם לא יועיל</ref>
+:Line GN is one hundred, because it is equal to AM.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GN=AM=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה קו ג"נ מאה מפני שהוא שוה לא"מ
 |-
-|Finzi: where do we see and from where did the author deduced that ten roots of the thing, multiplied by themselves, generate an area, whose measure is a hundred times the thing?
+|
-|style="text-align:right;"|אמ"פ המעתיק מאי לנו שנבונן ואין הוציא בעל הספר שעשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו שטח שיעורו מאה דמיוני הדבר
+:We divide it in half at point L [= L midpoint of GN].
-|-
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:to halve a line at point|820,2058|uwUl}}נחלקהו לחציין על נקודת {{#annotend:uwUl}}ל&#x202B;'
-|The answer: it is clear from the first figure above that one root of the thing is of the same length as the side of the thing, and when it is multiplied by itself it is equal to the thing.
-|style="text-align:right;"|ונאמ' כי הוא מבואר מהתמונה הראשונה מזה הספר ששרש אחד מהדבר הוא באורך כמו צלע הדבר וכשהוכה על עצמו הוא שוה לדבר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ומהתמונ' הרביעית ממאמר שני לאקלידס באמרו
+:Line NH is added to it.
+|style="text-align:right;"|וכבר נוסף עליו קו נ"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כל קו אשר יחלק לשני חלקים איך שהזדמן הנה מרובע הקו כלו שוה לשני מרובעי החלקים ולכפל שטח נצב הזויות שיקיפו בו שני החלקים
+:Therefore, the surface of the product of HN by GH plus the square of line GL are equal to the square of line LH, as Euclid explained in the second section of his book [Elements II].
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(HN\times GH\right)+GL^2=LH^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה {{#annot:term|590|W9nk}}שטח הכאת{{#annotend:W9nk}} ה"נ בג"ה ומרובע קו ג"ל יחד שוה למרובע קו ל"ה כמו שביאר אקלידס במאמ' שני מספרו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה התבא' משם כי כאשר השני חלקים מהקו שוים יהיה מרובע הקו כלו שוה לארבעה מרובעים מחלק אחד מהם
+:But, it is known that the sum of surface HN by GH plus the square of GL is 6400.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(HN\times GH\right)+GL^2=6400}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח ה"נ בג"ה ומרובע ג"ל מקובצים הוא ידוע שהם ששת אלפים ות&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ומזה ישכיל המבין בנקלה כי שני שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו מרובע ישוה לארבעה דמיוני הדבר כי הנה שני שרשי' מהדבר כאשר סודרו מדובקים על קו ישר יחדשו קו הוא כפל שני שרשים מהדבר כאשר סודרו מדובקים קו צלע מהדבר
+:Because surface HN by GH is 3900.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HN\times GH=3900}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי שטח ה"נ בג"ה הוא שלשת אלפים תת"ק
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה על זה ההקש ומהתמונה ההיא בעינה יתכן לבאר כי כל אשר יתרבו השרשים מהדבר להאסף יחד יהיה מרובעם יוסיף להחזיק מדמיוני הדבר על יחס מרובעי מספרי פעמי השרשים
+:The square of GL is 2500.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=2500}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומרובע ג"ל הוא אלפים ת"ק
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה אספנו יחד שלשה שרשים ממרובע מה כאלו תאמ' מאה יהיו שלשים ומרובעם תת"ק הנה תת"ק הוא תשעה דמיוני מאה כמו שתשעה הוא מרובע שלשה שהוא פעמי השרשים והקש על זה
+:So, the square of line LH is 6400.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LH^2=6400}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה מרובע קו ל"ה ששת אלפים ות&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכבר יתבא' זה אם כן מתמונת א' משמיני לאקלידס כי הנה התבא' שם כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו שנוי בכפל
+:Line LH is eighty.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LH=80}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ל"ה יהיה שמנים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והוא מבואר ממה שאמרנו תחלה כי יחס צלע הדבר אל עשרה משרשיו מדובקים יחד הוא כיחס אחד אל עשרה
+:But, line GH is the same as the square of line BG.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=BG^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל קו ג"ה כמו מרובע קו ב"ג
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ויחס אחד אל עשרה שנוי הוא עשירית העשירית שהוא אחד ממאה
+:Therefore the sum of lines BG and LG is eighty.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG+LG=80}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כי קוי ב"ג ל"ג מקובצים הם שמנים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס הדבר שהוא מרובע צלע הדבר אל מרובע עשרת שרשיו הוא יחס אחד אל מאה
+:When we subtract them from lines AG and GL that are eighty-nine, line AB remains nine, which is the measure of the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=\left(AG+GL\right)-\left(BG+LG\right)=89-80-9}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר נגרעם מקוי א"ג ג"ל שהם שמנים ותשעה ישאר קו א"ב שהוא שיעור מרובע תשעה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אם כן יהיה מרובע עשרת שרשי הדבר מאה דמיוני הדבר והוא מש"ל ונשלם זה החלק
+:Q.E.D.
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
-|
+|Said Finzi the translator: where do we see and from where did the author [= Abū Kāmil] deduces that ten roots of the thing, multiplied by themselves, generate a surface whose measure is a hundred times the thing?
+|style="text-align:right;"|<big>אמ"פ</big> המעתיק מאי לנו שנתבונן מאין &#x202B;<ref>298r</ref>{{#annot:term|901|Ew4d}}הוציא{{#annotend:Ew4d}} בעל הספר שעשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו שטח שיעורו מאה {{#annot:term|243|e2Si}}דמיוני ה{{#annotend:e2Si}}דבר&#x202B;<ref>marg.: זכור כי מצאתי אחר זה בספר הזה פרק בהכפלת השרשי' יתבאר בו זה ולקיים דברי אלה בכתוב אין בו הפסד ואם לא יועיל</ref>
-==== Squares and Numbers Equal Roots: ax<sup>2</sup>+c=bx ====
-!style="text-align:right;"|פרק: אמ' המרובעי' והמספרי' שישוו לשרשים
 |-
-|
+|We say that it is clear from the first geometrical illustration in this book that one root of the thing is of the same length as the side of the thing, and when it is multiplied by itself it is equal to the thing.
-:*{{#annot:x²+21=10x|711|u4EA}}<math>\scriptstyle x^2+21=10x</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' כי הוא מבואר מהתמונה הראשונה מזה הספר ששרש אחד מהדבר הוא באורך כמו צלע הדבר וכשהוכה על עצמו הוא שוה לדבר
-|style="text-align:right;"|הוא כאלו תאמ' כאשר תקבץ עם מרובע מה עשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה משרשים מהמרובע{{#annotend:u4EA}}
 |-
-|There are two solution methods in this category too:
+|And from the fourth proposition in the second section of Euclid [[ספר_היסודות_לאקלידס#Elements_II_4|<span style=color:blue>['''Euclid, Elements, Book II, proposition 4''']</span>]], when he says:
-|style="text-align:right;"|הנה גם כן לזה החלק נמצאם שני האופני' הראשוני&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ומהתמונ' הרביעית ממאמר שני לאקלידס באמרו
 |-
-|
+|For every line that is cut into two segments randomly, the square of the whole line equals the two squares of the segments plus double the quadrilateral encompassed by the two segments.
-:1) yields the root of the square
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(A+B\right)^2=A^2+B^2+2AB}}</math>
-|style="text-align:right;"|רצו' האופן שיראך שרש המרובע
+|style="text-align:right;"|כל קו אשר {{#annot:to be cut into two segments|820,1226|ms8e}}יחלק לשני חלקים{{#annotend:ms8e}} איך שהזדמן הנה מרובע הקו כלו שוה לשני מרובעי החלקים ול{{#annot:term|387,1230|J8oI}}כפל{{#annotend:J8oI}} {{#annot:term|591,1824|tLXb}}שטח נצב הזויות{{#annotend:tLXb}} ש{{#annot:term|1917,1855|jij2}}יקיפו בו{{#annotend:jij2}} שני החלקים
 |-
-|
+|It is clear from this that when the two segments of the line are equal, the square of the whole line equals four squares of one of the segments.
-:2) yields the square
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(A+A\right)^2=4A^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|והאופן שיראך המרובע
+|style="text-align:right;"|הנה התבא' משם כי כאשר השני חלקים מהקו שוים יהיה מרובע הקו כלו שוה לארבעה מרובעים מחלק אחד מהם
 |-
-|Each is done in two ways: one by adding and the other by subtracting.
+|The one who understands can easily learn from this that two roots of the thing, multiplied by themselves, generate a square that equals four times the thing.
-|style="text-align:right;"|ולכל אחד משניהם שני צדדים צד אחד ל{{#annot:term|154|BWZo}}תוספת{{#annotend:BWZo}} וצד אחד למגרעת
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(2\sqrt{x}\right)^2=4x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומזה ישכיל המבין בנקלה כי שני שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו מרובע ישוה לארבעה דמיוני הדבר
 |-
-!The solution method that yields the root of the square
+|For, when the two roots of the thing are arranged attached on a straight line, they generate a line that is double the two roots of the thing.
-|style="text-align:right;"|אמ' והאופן אשר יראך שרש המרובע
+|style="text-align:right;"|כי הנה שני שרשי' מהדבר כאשר סודרו {{#annot:term|2053,2048|pXGN}}מדובקים{{#annotend:pXGN}} על קו ישר יחדשו קו הוא כפל שני שרשים מהדבר כאשר סודרו מדובקים קו צלע מהדבר
 |-
-|[for <math>\scriptstyle x^2+c=bx</math>]:<br>
+|By this analogy, and from that same illustration, it is possible to explain that as much as the roots of the things are multiplied and gathered together, their square consists of the multiples of the thing by the ratio of the square numbers of multiples of the roots.
-<math>\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה {{#annot:term|902,2065|uvpx}}על זה ההקש{{#annotend:uvpx}} ומהתמונה ההיא בעינה יתכן לבאר כי כל אשר {{#annot:term|1053,1587|QBGR}}יתרבו ה{{#annotend:QBGR}}שרשים מהדבר {{#annot:term|178,1347|bAsG}}להאסף יחד{{#annotend:bAsG}} יהיה מרובעם יוסיף להחזיק מדמיוני הדבר על יחס מרובעי מספרי פעמי השרשים
-|style="text-align:right;"|הוא שתקח מחצית השרשים ותכם בעצמם וממה שיתקבץ תגרע המספרים ותקח שרש הנשאר ותגרעהו ממחצית השרשים והנשאר הוא שרש המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{4}\\&\scriptstyle=5-2=3\\\end{align}}}</math>
+*For example: we gathered three roots of a certain square, as if you say, of one hundred; they are thirty and their square is 900.
-|style="text-align:right;"|והנה בדמיון הנזכר לקחנו מחצית השרשים והוא חמשה<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sqrt{100}\right)^2=30^2=900}}</math>
-והכינו חמשה בעצמו והיה עשרים וחמשה<br>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה {{#annot:term|178,1190|fDEF}}אספנו יחד{{#annotend:fDEF}} שלשה שרשים ממרובע מה כאלו תאמ' מאה יהיו שלשים ומרובעם תת"ק
-גרענו מהם מספר האדרהמי ונשארו ארבעה<br>
-ושרשם שנים גרענום מחמשה ונשארו שלשה הוא שרש המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1^2=9}}</math>
+:900 is nine times a hundred, as nine, which is a square of three, is the multiple of the roots.
-|style="text-align:right;"|והמרובע תשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{900=9\sdot100=3^2\sdot100}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה תת"ק הוא תשעה דמיוני מאה כמו שתשעה הוא מרובע שלשה שהוא {{#annot:term|243|kMd8}}פעמי ה{{#annotend:kMd8}}שרשים
+|-
+|Deduce from this.
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|901,2071|5eBf}}הקש על זה{{#annotend:5eBf}}
 |-
-|
+|This is clear from proposition [1]1 of the eighth of Euclid [[ספר_היסודות_לאקלידס#Elements_VIII_11|<span style=color:blue>['''Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11''']</span>]]
-:This is the subtraction way.
+|style="text-align:right;"|וכבר יתבא' זה אם כן מתמונת א' משמיני לאקלידס
-|style="text-align:right;"|וזה צד המגרעת
 |-
-|
+|Because it is explained there that the ratio of a square to a square is the same as the ratio of the side to the side multiplied by itself.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5+2=7\\\end{align}}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{A^2:B^2=\left(A:B\right)^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה הוסיף השנים על מחצית השרשים ויהיו שבעה והם שרש המרובע
+|style="text-align:right;"|כי הנה התבא' שם כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו {{#annot:term|968,2050|fnbu}}שנוי בכפל{{#annotend:fnbu}}
 |-
-|
+|It is clear from what we said at the beginning, that the ratio of the side of the thing to ten of its roots, summed together, is as the ratio of one to ten.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=49}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{x}:10\sqrt{x}=1:10}}</math>
-|style="text-align:right;"|והמרובע יהיה תשעה וארבעים
+|style="text-align:right;"|והוא מבואר ממה שאמרנו תחלה כי יחס צלע הדבר אל עשרה משרשיו {{#annot:term|178,2048|i0Dg}}מדובקים{{#annotend:i0Dg}} יחד הוא כיחס אחד אל עשרה
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<c</math> &rarr; the problem is false
+:The ratio of one to ten duplicated is a tenth of a tenth, which is one [part] of a hundred.
-|style="text-align:right;"|אמ' וראוי ש{{#annot:term|226|RzLg}}תדע כי{{#annotend:RzLg}} אם יהיה {{#annot:term|241|icEh}}המתקבץ{{#annotend:icEh}} מהכאת מחצית השרשים על עצמו פחות מהאדרהמי אשר עם המרובע כי אז תהיה השאלה כוזבת
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1:10\right)^2=\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}=\frac{1}{100}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויחס אחד אל עשרה {{#annot:term|968,2050|xHbv}}שנוי{{#annotend:xHbv}} הוא עשירית העשירית שהוא אחד ממאה
 |-
-|
+|Therefore, the ratio of the thing, which is the square of the side of the thing, to the square of ten of its roots, is the ratio of one to one hundred.
-*<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c</math> &rarr; <math>\scriptstyle x=\frac{1}{2}\sdot b</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x:\left(10\sqrt{x}\right)^2=\left(\sqrt{x}\right)^2:\left(10\sqrt{x}\right)^2=1:100}}</math>
-|style="text-align:right;"|אבל פעמים יהיה המתקבץ שוה למספר האדרהמי ואז יהיה שרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס הדבר שהוא מרובע צלע הדבר אל מרובע עשרת שרשיו הוא יחס אחד אל מאה
 |-
-|This category will be illustrated below with geometric figure
+|So, the square of ten roots of the thing is one hundred times the thing.
-|style="text-align:right;"|והנני אבאר לך כל אשר אמרנו [...] עם תמונות ג'ימטריות
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10\sqrt{x}\right)^2=100x}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן יהיה מרובע עשרת שרשי הדבר מאה דמיוני הדבר
 |-
-!The solution method that yields the square
+|Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|אמ' והאופן אשר יראה לך המרובע
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
-|[for <math>\scriptstyle x^2+c=bx</math>]:<br>
+|This chapter is completed.
-<math>\scriptstyle x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2-\left(b^2\sdot c\right)}-c</math>
+|style="text-align:right;"|ונשלם זה החלק
-|style="text-align:right;"|הוא שנכה השרשים על עצמם והעולה נכהו על המספרי' ושמור מה שיתקבץ<br>
-עוד נקח מחצית הכאת השרשים ונכהו בעצמו ומה שיתקבץ נגרע ממנו השמור ותקח שרש הנשאר ותגרעהו ממחצית הכאת השרשים<br>
-עוד תגרע מהנשאר מספר האדרהמי ומה שישאר הוא המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{2500-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{400}-21\\&\scriptstyle=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה בדמיון הנזכר הכינו השרשים בעצמם ועלה מאה<br>
+==== Chapter: <span style=color:Green>Squares and Numbers Equal Roots: ax<sup>2</sup>+c=bx</span> ====
-הכינו מאה בעשרי' ואחד והיו אלפיים ומאה ושמרנום<br>
-עוד לקחנו מחצית מאה והכינום בעצמם והתקבץ אלפיים ות"ק<br>
+|style="text-align:right;"|<big>פרק</big>
-גרענו מהם השמור ונשאר ארבע מאות<br>
-ושרשם עשרים<br>
-גרענום מחמשי' ונשאר שלשים<br>
-וגרענו משלשים מספר האדרהמי ונשאר תשעה והוא המרובע
 |-
 |
-:This is the subtraction way.
+*{{#annot:x²+21=10x|711|u4EA}}He said: squares and numbers that are equal to roots is as if you say: when you sum twenty-one dirham with a certain square, they are equal to ten roots of the square.
-|style="text-align:right;"|וזה הוא צד המגרעת
+:<math>\scriptstyle x^2+21=10x</math>
+|style="text-align:right;"|אמ' המרובעי' והמספרי' שישוו לשרשים הוא כאלו תאמ' כאשר תקבץ עם מרובע מה עשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה משרשים מהמרובע{{#annotend:u4EA}}
 |-
-|
+|We find [the solution] of this category also by the two previous methods, I mean, the method that reveals the root of the square to you and the method that reveals the square to you.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=\left(50+20\right)-21=70-21=49}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה גם כן לזה החלק נמצאם שני האופני' הראשוני' רצו' האופן שיראך שרש המרובע והאופן שיראך המרובע
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה צד התוספת תוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים ותגרע מהם מספר האדרהמי וישאר תשעה וארבעי' הוא המרובע
 |-
-|'''Normalization''': if the squares exceed one, or less than one, they should always be restored to one square - according to the way demonstrated in the previous case.
+|Each [is done] in two ways: one by adding and the other by subtracting.
-|style="text-align:right;"|אמ' וכמו כן אם יעדיפו המרובעים בשאלה על אחד או יגרעו מאחד שלם השיבם לעולם אל מרובע אחד על הדרך שהראיתיך בחלק שעבר
+|style="text-align:right;"|ולכל אחד משניהם שני צדדים צד אחד ל{{#annot:term|154,1207|BWZo}}תוספת{{#annotend:BWZo}} וצד אחד ל{{#annot:term|155,1193|qHq1}}מגרעת{{#annotend:qHq1}}
 |-
+!<span style=color:Green>The solution method that yields the root of the square</span>
 |
-|style="text-align:right;"|אמ' ועתה אבוא להראות לך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
 |-
+|<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c}}}</math>
 |
-*<math>\scriptstyle x^2>c</math>
-*<math>\scriptstyle x^2<c</math>
-|style="text-align:right;"|וראשונה ראוי שתדע כי סבת צדדי התוספת והמגרעת היא כפי מה שיעדיף המרובע על המספרי' או שיגרע מהם כי אם יעדיף אז הוא צריך צד התוספת
 |-
-|
+|He said: the method that reveals the root of the square to you is that you take half [the number of] the roots, and multiply it by itself, then subtract the numbers from the result.
-|style="text-align:right;"|ואם יגרע אז יצטרך צד המגרעת כמו שאראה אותך בשתי תמונו' אשר ארשום לך עתה
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך שרש המרובע הוא שתקח מחצית השרשים ותכם בעצמם וממה שיתקבץ תגרע המספרים
 |-
-!Geometric illustration of the solution method <math>\scriptstyle x^2<c</math>
+|You extract the root of the remainder and subtract it from half [the number of] the roots; the remainder is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|וארשום ראשונה כאשר יגרע המרובע מהמספרי&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|795,1375|JNXl}}תקח שרש{{#annotend:JNXl}} הנשאר ותגרעהו ממחצית השרשים והנשאר הוא שרש המרובע
 |-
 |
-:[[File:Finzi 3 - II.png|thumb|100px|left]]
+:In the mentioned example, we take half [the number of] the roots; it is five.
-|[[File:פינצי - II 3.png|thumb|100px|right]]
+|style="text-align:right;"|והנה בדמיון הנזכר לקחנו מחצית השרשים והוא חמשה
 |-
 |
-::defining:
+:We multiply it by itself; it is twenty-five.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכינו חמשה בעצמו והיה עשרים וחמשה
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח המרובע הוא מרובע אבג"ד
 |-
 |
-:*ABHL□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+:We subtract the number of dirham from it; four remains.
-|style="text-align:right;"|ושטח אבה"ל הדבק אצלו הוא על דמיון העשרים ואחד דרהמי
+|style="text-align:right;"|גרענו מהם מספר האדרהמי ונשארו ארבעה
 |-
 |
-:*ABHL□ > ABGD□
+:Its root is two.
-|style="text-align:right;"|ומפני כי שטח אבה"ל הנחנוהו גדול מאבג"ד
+|style="text-align:right;"|ושרשם שנים
 |-
 |
-::BL > BD
+:We subtract it from five; three remains, which is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|יהיה קו ב"ל גדול מקו ב"ד
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>298v</ref>גרענום מחמשה ונשארו שלשה הוא שרש המרובע
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5-\sqrt{5^2-21}=5-\sqrt{25-21}=5-\sqrt{4}=5-2=3}}</math>
 |-
 |
-:*HLGD□ = 10&radic;ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:The square is nine.
-|style="text-align:right;"|ומפני כי כל שטח הלג"ד הנחנוהו עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1^2=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע תשעה
 |-
 |
-::LD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:This is the subtraction way.
-|style="text-align:right;"|יהיה קו ל"ד עשרה כמו שהתבא' למעלה
+|style="text-align:right;"|וזה צד המגרעת
 |-
-|We wish to know the measure of BD
+|
-|style="text-align:right;"|ואנו מבקשים לדעת שיעור קו ב"ד
+:If you want, a the two to half [the number of] the roots; it is seven and this is the root of the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5+2=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה {{#annot:term|178,1206|nC0o}}הוסיף ה{{#annotend:nC0o}}שנים על מחצית השרשים ויהיו שבעה והם שרש המרובע
 |-
 |
-:*C midpoint of LD
+:The square is forty-nine.
-|style="text-align:right;"|הנה נחלק קו ל"ד שהוא עשרה לחצאין על נקודת ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=49}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע יהיה תשעה וארבעים
+|-
+|He said: you should know that if the product of half [the number of] the roots by itself is less than the dirham that are with the square, then the problem is false.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<c\longrightarrow\varnothing}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וראוי שתדע כי אם יהיה {{#annot:term|241,1218|icEh}}המתקבץ מהכאת{{#annotend:icEh}} מחצית השרשים על עצמו פחות מהאדרהמי אשר עם המרובע כי אז תהיה השאלה {{#annot:term|463,2064|PMZL}}כוזבת{{#annotend:PMZL}}
+|-
+|Yet, sometimes the product is equal to the number of the dirham - then, the root of the square is the same as half [the number of] the roots, no more and no less.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c\longrightarrow x=\frac{1}{2}\sdot b}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל פעמים יהיה המתקבץ שוה למספר האדרהמי ואז יהיה שרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
+|-
+|I will explain to you everything we have said with geometric illustrations.
+|style="text-align:right;"|והנני אבאר לך כל אשר אמרנו בגה"ו עם {{#annot:term|303,1308|zsC7}}תמונות גימטריות{{#annotend:zsC7}}
 |-
+!<span style=color:Green>The solution method that yields the square</span>
 |
-::LD is divided into two unequal parts on B
-|style="text-align:right;"|וכבר נחלק גם כן לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב&#x202B;'
 |-
+|<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2-\left(b^2\sdot c\right)}-c}}</math>
 |
-::(LB &times; BD) + CB<sup>2</sup> = CD<sup>2</sup>
-|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה הכאת ל"ב בב"ד עם מרובע ח"ב ישוו למרובע ח"ד
 |-
-|
+|He said: the method that reveals the square to you is that we multiply [the number of] the roots by itself, then multiply the product by the numbers. Keep the result.
-::according to Euclid, ''Elements'' II
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראה לך המרובע הוא שנכה השרשים על עצמם והעולה נכהו על המספרי' ושמור מה שיתקבץ
-|style="text-align:right;"|כמבואר בשני מאקלידס
+|-
+|We take half the product of the roots and multiply it by itself.
+|style="text-align:right;"|עוד נקח מחצית הכאת השרשים ונכהו בעצמו
+|-
+|We subtract the reserved from the product.
+|style="text-align:right;"|ומה שיתקבץ נגרע ממנו השמור
 |-
-|
+|Extract the root of the remainder.
-:::CD<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקח שרש הנשאר
-|style="text-align:right;"|אבל מרובע ח"ד הוא ידוע שהוא עשרים וחמשה
 |-
-|
+|Subtract it from half the product of the roots.
-::::CD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{5}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותגרעהו ממחצית הכאת השרשים
-|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ח"ד חמשה
 |-
-|
+|Subtract also the number of the dirham from the remainder; what remains is the square.
-:::LB &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תגרע מהנשאר מספר האדרהמי ומה שישאר הוא המרובע
-|style="text-align:right;"|והכאת ל"ב בב"ד הוא עשרים ואחד
 |-
 |
-::::BD = BA
+:In the mentioned example, we multiply [the number of] the roots by itself; the result is one hundred.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי ב"ד הוא שוה לב"א
+|style="text-align:right;"|והנה בדמיון הנזכר הכינו השרשים בעצמם ועלה מאה
 |-
 |
-::CB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:We multiply one hundred by twenty-one; it is 2100. We keep it.
-|style="text-align:right;"|ולכן ישאר מרובע ח"ב ארבעה
+|style="text-align:right;"|הכינו מאה בעשרי' ואחד והיו אלפיים ומאה ושמרנום
 |-
 |
-::CB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:We take half a hundred and multiply it by itself; the product is 2500.
-|style="text-align:right;"|וצלעו שהוא קו ח"ב שנים
+|style="text-align:right;"|עוד לקחנו מחצית מאה והכינום בעצמם ו{{#annot:term|875,1216|uAfn}}התקבץ{{#annotend:uAfn}} אלפיים ות"ק
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = BD = CD - CB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{5-2=3}}</math>
+:We subtract the reserved from it; four hundred remains.
-|style="text-align:right;"|גרענום מקו ח"ד שהוא חמשה וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע
+|style="text-align:right;"|גרענו מהם השמור ונשאר ארבע מאות
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
+:Its root is twenty.
-|style="text-align:right;"|והמרובע תשעה והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|ושרשם עשרים
 |-
 |
-:*KCGD□ = CD<sup>2</sup>
+:We subtract it from fifty; thirty remains.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי הנה נשים על קו ח"ד מרובע והוא מרובע כחג"ד
+|style="text-align:right;"|גרענום מחמשי' ונשאר שלשים
 |-
 |
-::KCGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:We subtract the number of the dirham from thirty; nine remains and it is the square.
-|style="text-align:right;"|והוא ידוע בשיעוריו עשרים וחמשה
+|style="text-align:right;"|וגרענו משלשים מספר האדרהמי ונשאר תשעה והוא המרובע
 |-
-|
+|colspan=2|
-:::CD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{5}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21=50-\sqrt{2500-2100}-21=50-\sqrt{400}-21=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}</math>
-|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ח"ד חמשה
 |-
 |
-::CG□ = CH□
+:This is the subtraction way.
-|style="text-align:right;"|ושטח ח"ג הוא כמו שטח ח"ה
+|style="text-align:right;"|וזה הוא צד המגרעת
 |-
 |
-:::LC = CD
+:If you want the addition way, add twenty to fifty; it is seventy.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה צד התוספת {{#annot:term|178,1206|OfGE}}תוסיף ה{{#annotend:OfGE}}עשרים על החמשים ויהיו שבעים
 |-
 |
-::AC□ = AN□
+:Subtract the number of the dirham from it; forty-nine remains and it is the square.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"ח כמו שטח א"נ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=\left(50+20\right)-21=70-21=49}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותגרע מהם מספר האדרהמי וישאר תשעה וארבעי' הוא המרובע
 |-
+|<span style=color:Green>'''Normalization''':</span>
 |
-::AC□ + CH□ = AN□ + CG□
-|style="text-align:right;"|ולכן כאשר יקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה יהיה שוה למקובץ משטח א"נ עם שטח א ח"ג
 |-
+|He said: if the squares in the question exceed one, or are less than one, always restore them to one square according to the way I have demonstrated to you in the previous chapter.
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכמו כן אם יעדיפו המרובעים בשאלה על אחד או יגרעו מאחד שלם {{#annot:term|970,1431|egHC}}השיבם{{#annotend:egHC}} לעולם אל מרובע אחד על הדרך שהראיתיך בחלק שעבר
+|-
+!<span style=color:Green>The reason for the method that yields the root of the square</span>
 |
-::AC□ + CH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
-|style="text-align:right;"|אבל מקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה הוא ידוע שהוא עשרים ואחד
 |-
-|
+|He said: now I will show you the reason we use the method that reveals the root of the square.
-::AN□ + CG□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ועתה אבוא להראות לך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה מקובץ שטח א"נ עם שטח ח"ג גם כן עשרים ואחד
+|-
+|First, you should know that the reason for the addition and subtraction methods is in accordance with the excess or the deficiency of the square over the number.
+|style="text-align:right;"|וראשונה ראוי שתדע כי סבת צדדי התוספת והמגרעת היא כפי מה שיעדיף המרובע על המספרי' או שיגרע מהם
 |-
-|
+|For, if [the square] exceeds [the numbers] <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2>c}}</math>: the addition method is needed.
-::KA□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי אם יעדיף אז הוא צריך צד התוספת
-|style="text-align:right;"|וישאר שטח כ"א ממרובע כהג"ד שיעורו ארבעה
 |-
-|
+|If [the square] is less than [the numbers] <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2<c}}</math>: the subtraction method is needed.
-::KA□ is a square
+|style="text-align:right;"|ואם יגרע אז יצטרך צד המגרעת
-|style="text-align:right;"|ושטח כ"א מרובע
 |-
-|
+|As I will demonstrate to you in the two illustrations I draw for you now:
-::::KN = KC
+|style="text-align:right;"|כמו שאראה אותך בשתי תמונו' אשר ארשום לך עתה
-|style="text-align:right;"|בעבור כי קו כ"נ כמו קו כ"ח
 |-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of [the subtraction method]: when the square is less than the numbers</span> <math>\scriptstyle x^2<c</math>
 |
-::::CS = NM
-|style="text-align:right;"|וקו ח"ס כמו קו נ"מ
 |-
-|
+|First I draw [an illustration for the case] when the square is less than the numbers:
-:::KS = KM
+|style="text-align:right;"|וארשום ראשונה כאשר יגרע המרובע מהמספרי&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|וישאר קו כ"ס כמו קו כ"מ
 |-
 |
-::CB = KM = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:[[File:Finzi 3 - II.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|וקו כ"מ שנים והוא שוה לקו ח"ב
+|[[File:פינצי - II 3.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::CB = 2
+:It is that we suppose the square is square ABGD.
-|style="text-align:right;"|אם כן קו ח"ב שנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח המרובע הוא מרובע אבג"ד
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3}}</math>
+:Surface ABHL attached to it is as twenty-one dirham.
-|style="text-align:right;"|וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHL=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח אבה"ל ה{{#annot:term|2053,2055|FCgj}}דבק{{#annotend:FCgj}} אצלו הוא על דמיון העשרים ואחד דרהמי
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
+:We assumed that surface ABHL is greater than ABGD, line BL is longer than line BD.
-|style="text-align:right;"|והמרובע תשעה ו והוא שרש המבוקש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHL>ABGD\longrightarrow BL>BD}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ומפני כי שטח אבה"ל הנחנוהו גדול מאבג"ד יהיה קו ב"ל גדול מקו ב"ד
-!Geometric illustration of the solution method <math>\scriptstyle c<\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<x^2</math>
-|style="text-align:right;"|הנה כי בזאת התמונה התבאר לך במופת ובעין סבת האופן אשר יובילך אל ידיעת שרש המרובע וכן התבא' לך מפניה סבת צד המגרע' כי הוא כאשר המרובע הוא פחות מהמספרים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = BD = CD - CB
+:We assumed that the whole surface HLGD is ten roots of square ABGD.
-|style="text-align:right;"|ולכן הוצרכנו לגרוע קו ח"ב אשר ידענו עם תחבולה מקו ח"ד הנודע בהנחה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HLGD=10\sqrt{ABGD}=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומפני כי כל שטח הלג"ד הנחנוהו עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ועתה מזאת התמונה השנית יגלה אליך בכמו ההנהגה הקודמת סבת צד התוספת
+:Hence, line LD is ten, as explained above.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LD=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|יהיה קו ל"ד עשרה כמו שהתבא' למעלה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 4 - II.png|thumb|100px|left]]
+:We wish to know the measure of line BD.
-|[[File:פינצי - II 4.png|thumb|100px|right]]
+|style="text-align:right;"|ואנו מבקשים לדעת שיעור קו ב"ד
 |-
 |
-::defining:
+:We cut line LD, which is ten, in half at point C [= C midpoint of LD]
-:*ABGD□ > ABHL□
+|style="text-align:right;"|הנה נחלק קו ל"ד שהוא עשרה לחצאין על נקודת ח&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|כי הנחנו בה מרובע אבג"ד גדול משטח אבה"ל
 |-
 |
-::BD = CD + CB
+:It has already been cut into two unequal segments at point B.
-|style="text-align:right;"|ולכן ימשך בסוף כי כדי לדעת שיעור ב"ד נצטרך להוסיף קו ח"ב על קו ח"ד
+|style="text-align:right;"|וכבר נחלק גם כן לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולא נצטרך להאריך בזה כי הוא מובן מאשר כתבנו ראשונה כי המופת אחד
+:Therefore, the product of LB by BD plus the square of CB are equal to the square of CD, as explained in Euclid's second [book] [[ספר_היסודות_לאקלידס#Elements_II_5|<span style=color:blue>['''Euclid, Elements, Book II, (proposition 5)''']</span>]].
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(LB\times BD\right)+CB^2= CD^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה הכאת ל"ב בב"ד עם מרובע ח"ב ישוו למרובע ח"ד כמבואר בשני מאקלידס
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אבל כדי להראותך זה לעין ישתנה מעט המופת ולכן נבארהו לך
+:But, it is known that the square of CD is twenty-five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CD^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל מרובע ח"ד הוא ידוע &#x202B;<ref>299r</ref>שהוא עשרים וחמשה
 |-
 |
-::constructing:
+:Since line CD is five.
-:*BHGD□ = CD<sup>2</sup>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CD=5}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנשים על קו ח"ד מרובע בהג"ד
+|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ח"ד חמשה
 |-
 |
-::extending line CB to S
+:The product of LB by BD is twenty-one.
-|style="text-align:right;"|ונמשיך קו ח"ב עד ס&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LB\times BD=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכאת ל"ב בב"ד הוא עשרים ואחד
 |-
 |
-::extending line DN to G
+:Since BD is equal to BA.
-|style="text-align:right;"|וקו ד"נ עד ג&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=BA}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי ב"ד הוא שוה לב"א
 |-
 |
-:We wish to show that: ABHL□ + AMSB□ = BHGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:Therefore, the square of CB remains four.
-|style="text-align:right;"|ונרצה שאראה לך איך שטח אבה"ל כשיתקבץ עם מרובע אמס"ב יהיה שוה למרובע בהג"ד הידוע שהוא עשרים וחמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB^2=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן ישאר מרובע ח"ב ארבעה
 |-
 |
-::CG□ = HC□
+:Its side, which is CB, is two.
-|style="text-align:right;"|ונאמ' כי הוא ידוע כי שטח ח"ג כמו שטח ה"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|וצלעו שהוא קו ח"ב שנים
 |-
 |
-:::LC = CD
+:We subtract it from line CD, which is five, line BD remains three and it is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=CD-CB=5-2=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|גרענום מקו ח"ד שהוא חמשה וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע
 |-
 |
-::MC□ = SN□
+:The square is nine and it is the required.
-|style="text-align:right;"|ושטח מ"ח כמו שטח ס"נ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע תשעה והוא {{#annot:term|941,1633|UPUi}}המבוקש{{#annotend:UPUi}}
 |-
 |
-::ABHL□ + AMSB□ = BCGD□
+:If you want me to illustrate to your eye what I have said, we construct square KC[N]D on line CD.
-|style="text-align:right;"|וישארו שטח אבה"ל ואמס"ב שוים לבחג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KCND= CD^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה שאראך לעין מה שאמרתי הנה {{#annot:term|1015|nGtX}}נשים על{{#annotend:nGtX}} קו ח"ד מרובע והוא מרובע כחג"ד
 |-
 |
-::ABHL□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+:It is known that its measure is twenty-five.
-|style="text-align:right;"|אבל אבה"ל הוא עשרים ואחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KCND=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא ידוע בשיעוריו עשרים וחמשה
 |-
 |
-::AMSB□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Since line CD is five.
-|style="text-align:right;"|ולכן ישאר אמס"ב ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CD=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ח"ד חמשה
 |-
 |
-::AMSB□ is a square
+:Surface CG is the same as surface CH.
-|style="text-align:right;"|ואמס"ב הוא מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG=CH}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ח"ג הוא כמו שטח ח"ה
 |-
 |
-::CB = AS = 2
+:Because line LC is the same as line CD.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו א"ס שנים והוא שוה לח"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LC=CD}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = BD = CB + CD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+5=7}}</math>
+:Surface AC is the same as surface AN.
-|style="text-align:right;"|הוספנוהו על ח"ד הידוע שהוא חמשה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שבעה והוא המבוקש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=AN}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"ח כמו שטח א"נ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אמ' וכבר התבאר ממה שאמרנו כי לעולם תעדיף הכאת מחצית השרשים על עצמם מהמספרים בשיעור מרובע א"ב בין יגרע המרובע מהמספרים או שיעדיף עליהם
+:Therefore, when surface AC is summed with surface CH, [their sum] is equal to the sum of surface AN with surface CG.
-|-
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC+CH=AN+CG}}</math>
-|<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן כאשר יקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה יהיה שוה למקובץ משטח א"נ עם שטח <s>א</s> ח"ג
-|style="text-align:right;"|ונשאר עלינו שנבאר כאשר יהיה העולה מהכאת מחצית השרשים על עצמו כמו המספרים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle x^2=c</math>
+:But, it is known that [the sum of] surface AC with surface CH is twenty-one.
-|style="text-align:right;"|שאז יהיה המרובע כמו המספרים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC+CH=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל מקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה הוא ידוע שהוא עשרים ואחד
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle x=\frac{1}{2}\sdot b</math>
+:So, the sum of surface AN with surface CG is also twenty-one.
-|style="text-align:right;"|ושרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AN+CG=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה מקובץ שטח א"נ עם שטח ח"ג גם כן עשרים ואחד
 |-
 |
-:*{{#annot:x²+25=10x|711|QWm3}}<math>\scriptstyle25+x^2=10x</math>
+:The measure of surface KA that is left from square KHGD is four.
-|style="text-align:right;"|דמיון זה שיאמ' מרובע מה ועשרים וחמשה שרשים ישוו לעשרה שרשים מהמרובע{{#annotend:QWm3}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KA=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר שטח כ"א ממרובע כהג"ד שיעורו ארבעה
 |-
 |
-:[[File:Tahbulot 4 - I.png|thumb|100px|left]]
+:Surface KA is a square.
-|[[File:תחבולות 4 - I.png|thumb|100px|right]]
+|style="text-align:right;"|ושטח כ"א מרובע
 |-
 |
-::constructing:
+:Because line KN is the same as line KC.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KN=KC}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונניח המרובע שטח מרובע עליו אבג"ד
+|style="text-align:right;"|בעבור כי קו כ"נ כמו קו כ"ח
 |-
 |
-:*ABHW□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:Line CS is the same as line NM.
-|style="text-align:right;"|ונחבר עמו שטח אבה"ו על דמיון העשרים וחמשה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CS=NM}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ח"ס כמו קו נ"מ
 |-
 |
-:*GW□ = 10&radic;ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:Line KS that remains is the same as line KM.
-|style="text-align:right;"|ויהיה כל שטח ג"ו עשרה שרשים ממרובע אבג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KS=KM}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר קו כ"ס כמו קו כ"מ
 |-
 |
-::DW = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:Line KM is two and it is equal to line CB; so line CB is two.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ד"ו עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB=KM=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו כ"מ שנים והוא שוה לקו ח"ב אם כן קו ח"ב שנים
 |-
 |
-:We wish to know the measure of BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:Line BD remains three and it is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|ורצינו שנודיע כמה שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע
 |-
 |
-:*C midpoint of DW
+:The square is nine and it is the required.
-|style="text-align:right;"|הנה נחלק קו ד"ו לחצאין על נקוד' ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע תשעה <s>ו</s> והוא שרש המבוקש
 |-
-|
+|In this illustration, the reason for the method that leads you to know the square of the root is clarified to you by proof and by sight.
-::there are three possible cases:
+|style="text-align:right;"|הנה כי בזאת התמונה התבאר לך במופת ובעין {{#annot:term|311|p3q6}}סבת ה{{#annotend:p3q6}}אופן אשר יובילך אל ידיעת שרש המרובע
-|style="text-align:right;"|ולא ימלט הדבר מאחד משלשה ענינים
 |-
-|
+|Moreover, the reason for the subtraction method, when the square is less than the numbers, is also clarified to you from this.
-::*C is above B
+|style="text-align:right;"|וכן התבא' לך מפניה סבת צד המגרע' כי הוא כאשר המרובע הוא {{#annot:term|341|qbXp}}פחות מה{{#annotend:qbXp}}מספרים
-|style="text-align:right;"|אם שתפול נקודת ח' למעלה מנקוד' ב&#x202B;'
 |-
 |
-::*C is below B
+:We must therefore subtract line CB, which we find by a technique, from line CD known by supposition, and we get the measure of line BD that is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|או למטה ממנה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=CD-CB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן הוצרכנו לגרוע קו ח"ב אשר ידענו עם {{#annot:term|469,2067|Tgbh}}תחבולה{{#annotend:Tgbh}} מקו ח"ד הנודע בהנחה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
 |-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of the addition method: [when the square exceeds the numbers]</span> <math>\scriptstyle x^2>c</math>
 |
-::*C = B
-|style="text-align:right;"|או שתפול עליה ממש
 |-
-|
+|Now, the reason of the addition method will be revealed to you from this second illustration as for the previous rule.
-:defining:
+|style="text-align:right;"|<big>ועתה</big> מזאת התמונה השנית יגלה אליך בכמו ההנהגה הקודמת סבת צד התוספת
-*C is above B
-|style="text-align:right;"|ונניח ראשונה שתפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב&#x202B;'
 |-
 |
-:*C midpoint of DW
+:[[File:Finzi 4 - II.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|אם יתכן זה ויהיה מפני זה קו ד"ו נחלק לחצאין על נקודת ח&#x202B;'
+|[[File:פינצי - II 4.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-:*DW is divided into two unequal parts on B
+:We suppose here that square ABGD is greater than surface ABHL.
-|style="text-align:right;"|ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD>ABHL}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי הנחנו בה מרובע אבג"ד גדול משטח אבה"ל
 |-
 |
-::(DB &times; BW) + CB<sup>2</sup> = CW<sup>2</sup>
+:It follows that in order to know the measure of BD, we should add line CB to line CD.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב על עצמו ישוו להכאת ח"ו על עצמו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=CD+CB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן ימשך בסוף כי כדי לדעת שיעור ב"ד נצטרך להוסיף קו ח"ב על קו ח"ד
 |-
-|
+|We do not need to elaborate on that, as it is clear from what we wrote first, for the proof is one [and the same].
-::according to Euclid, ''Elements'' II
+|style="text-align:right;"|ולא נצטרך להאריך בזה כי הוא מובן מאשר כתבנו ראשונה כי המופת אחד
-|style="text-align:right;"|כמבואר בשני מאקלידס
+|-
+|But, in order to illustrate it to your eye, the proof is slightly changed, therefore we will explain it to you:
+|style="text-align:right;"|אבל כדי להראותך זה לעין ישתנה מעט המופת ולכן נבארהו לך
 |-
 |
-::WC<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:We construct square KC[N]D on line CD.
-|style="text-align:right;"|אבל הכאת ו"ח על עצמו הוא עשרים וחמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KC[N]D=CD^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנשים על קו ח"ד מרובע כחג"ד
 |-
 |
-:::WC = ½WD
+:We extend line CK to S and line DN to G.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי הנחנוהו חצי ו"ד שהוא עשרה
+|style="text-align:right;"|ונמשיך קו ח"כ עד ס' וקו ד"נ עד ג&#x202B;'
 |-
 |
-::(DB &times; BW) + CB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:We wish to show that when surface ABHL is added to square AMSK, [the sum] is equal to square KC[N]D that is known to be twenty-five.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב ישוו עשרים וחמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHL+AMSK=KCND=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונרצה שאראה לך איך שטח אבה"ל כשיתקבץ עם מרובע אמס"כ יהיה שוה למרובע כחג"ד הידוע שהוא עשרים וחמשה
 |-
 |
-::ABHW□ = BW &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math> without CB<sup>2</sup>
+:We say that it is known that surface CG is the same as surface HC.
-|style="text-align:right;"|וכבר הנחנו קודם שטח אבה"ו שהוא מהכאת ב"ו בב"א השוה לב"ד עשרים וחמשה מבלעדי מרובע ח"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG=HC}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' כי הוא ידוע כי שטח ח"ג כמו שטח ה"ח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אם כן הרב ישוה למעט זה חלוף לא יתכן
+:Since line LC is the same as line CD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LC=CD}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אם כן לא תפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב&#x202B;'
+:Surface MC is the same as surface SN.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MC=SN}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח מ"ח כמו שטח ס"נ
 |-
 |
-*If C is beneath B: <math>\scriptstyle x^2>c</math> - impossible as explained
+:The [sum of the] remaining surfaces ABHL and ANSK is equal to KC[N]D.
-|style="text-align:right;"|וכמו זה יתבאר שלא יתכן שני שתפול למטה ממנה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHL+AMSK=KCND}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישארו שטח אבה"ל ואמס"כ {{#annot:term|461,1247|Shsn}}שוים ל{{#annotend:Shsn}}כחג"ד
 |-
 |
-*C = B: necessarily
+:But, ABHL is twenty-one.
-|style="text-align:right;"|אם כן יצטרך שתהיה נקודת ב' עצמה הוא הנקוד' הנחלק עליה קו ו"ד לחצאי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHL=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל אבה"ל הוא עשרים ואחד
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle c=x^2</math>
+:So, AMSK that remains is four and AMSK is a square.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ב"ד שהוא מחצית השרשים הוא שרש המרובע והוא חמשה ומרובעו חמשה ועשרים ונשלם ביאורו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AMSK=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן ישאר אמס"כ ארבעה ואמס"כ הוא מרובע
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אמ"פ המעתיק הנה נשמט מהספר שהעתקתי ממנו מופת האופן שהראה לנו בו המרובע ולכן ראיתי שאבארהו וארשום בבאורו שלשה תמונות
+:Therefore, line AS is two and it is equal to CB.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB=AS=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו א"ס שנים והוא שוה לח"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הראשונה יתבא' בה צד התוספת
+:We add it to CD that is known to be five; we receive the measure of line BD, which is seven and it is the required.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=CB+CD=2+5=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוספנוהו על ח"ד הידוע שהוא חמשה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שבעה והוא המבוקש
 |-
-|
+|It is clarified from what we have said that [the difference between] the product of half [the number of] the roots by itself [and] the numbers [is] always the measure of the square <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c=x^2}}</math>, whether the square is less than the numbers <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2<c}}</math>, or exceeds them <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2>c}}</math>.
-|style="text-align:right;"|ובשנית צד המגרעת
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכבר התבאר ממה שאמרנו כי לעולם תעדיף הכאת מחצית השרשים על עצמם מהמספרים בשיעור מרובע א"כ בין יגרע המרובע מהמספרים או שיעדיף עליהם
 |-
-|
+|[The case that] is left for us to explain is when the product of half [the number of] the roots by itself is the same as the numbers.
-|style="text-align:right;"|ובשלישית צד יראה עמה כאשר השתוו המספרים להכאת מחצית השרשים על עצמם שאז לא יצטרך תוספת ולא מגרעת
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשאר עלינו שנבאר כאשר יהיה <ref>299v</ref>העולה מהכאת מחצית השרשים על עצמו כמו המספרים
 |-
-|
+|In that case, the square is the same as the numbers.
-|style="text-align:right;"|ונקח לבאר זאת הראשונה
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=c}}</math>
+|style="text-align:right;"|שאז יהיה המרובע כמו המספרים
 |-
-|
+|And the root of the square is the same as half the roots, no more and no less.
-:[[File:Tahbulot 4 - II.png|thumb|100px|left]]
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\frac{1}{2}\sdot b}}</math>
-|[[File:תחבולות 4 - II.png|thumb|100px|right]]
+|style="text-align:right;"|ושרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
 |-
 |
-::defining:
+*{{#annot:x²+25=10x|711|QWm3}}Example: one says: a square plus twenty-five [dirham] are equal to ten roots of the square.
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21}}</math>
+:<math>\scriptstyle x^2+25=10x</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שהנחנו קו א"ג המקובץ מהמרובע ועשרי' ואחד דרהמי
+|style="text-align:right;"|דמיון זה שיאמ' מרובע מה ועשרים וחמשה שרשים ישוו לעשרה שרשים מהמרובע{{#annotend:QWm3}}
 |-
 |
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:[[File:Tahbulot 4 - I.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|וא"ב ממנו הוא שיעור מרובע
+|[[File:תחבולות 4 - I.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-:*BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+:We suppose the square is square ABGD.
-|style="text-align:right;"|וב"ג ממנו הוא שיעור הדרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח המרובע {{#annot:term|305,2078|Q5y3}}שטח מרובע עליו{{#annotend:Q5y3}} אבג"ד
 |-
 |
-:*AB > BG
+:We attach surface ABHW to it, as an analogous of the twenty-five dirham.
-|style="text-align:right;"|וא"ב גדול מב"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונחבר עמו שטח אבה"ו על דמיון העשרים וחמשה דרהמי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כי עם זה יגיע צד התוספת
+:The whole surface GW is ten roots of square ABGD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GW=ABGD+ABHW=10\sqrt{ABGD}=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה כל שטח ג"ו עשרה שרשים ממרובע אבג"ד
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:Therefore, line DW is ten.
-|style="text-align:right;"|והנחנו קו א"ג הוא כלו עשרה שרשים מן המרובע כי כן היתה השאלה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DW=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ד"ו עשרה
 |-
 |
-:We wish to know the measure of line AB
+:We wish to know the measure of line BD, which is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|ורצינו שנודיע שיעור קו א"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ורצינו שנודיע כמה שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
 |-
 |
-::constructing:
+:We cut line DW in half at point C [= C midpoint of DW].
-:*AGDH□ = AG<sup>2</sup> = 100 &times; (AB &times; its unit)
+|style="text-align:right;"|הנה נחלק קו ד"ו לחצאין על נקוד' ח&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|נשים על קו א"ג מרובע עליו אגד"ה והנה הוא מאה דמיוני השטח העולה מא"ב מוכה באחד מאחדיו כמו שבארנו למעלה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ג עשרה משרשים מא"ב ועשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם כמו מאה דמיוני מה דבר
+:One of three possible cases necessarily occurs: either point C falls above point B, or beneath it, or exactly on it [C=B].
+|style="text-align:right;"|ולא ימלט הדבר מאחד משלשה ענינים אם ש{{#annot:to be situated|302,2018|RPnh}}תפול{{#annotend:RPnh}} נקודת ח' למעלה מנקוד' ב' או למטה ממנה או שתפול עליה ממש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונמשיך קו א"ד בישר עד ו' ונשימהו מאה ממה שבו קו ב"ג עשרים ואחד
+:First, we suppose that point C falls above point B.
+|style="text-align:right;"|ונניח ראשונה שתפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונוציא קוי בט"ז גה"ח נכחיים לקו א"ו ושוים אליו
+:If this is possible, line DW is cut in half at point C [= C midpoint of DW] and into two unequal segments at point B.
+|style="text-align:right;"|אם יתכן זה ויהיה מפני זה קו ד"ו {{#annot:to be halved at point|820,2059|JUPf}}נחלק לחצאין על נקודת{{#annotend:JUPf}} ח' ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונגיע נקדות ו"ח עם קו וז"ח
+:Therefore, [the sum of] the product of DB by BW and the square of CB by itself is equal to the product of CW by itself, as explained in Euclid's second [book] [[ספר_היסודות_לאקלידס#Elements_II_5|<span style=color:blue>['''Euclid, Elements, Book II, (proposition 5)''']</span>]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(DB\times BW\right)+CB^2=CW^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב על עצמו ישוו להכאת ח"ו על עצמו כמבואר בשני מאקלידס
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה שטח אבו"ז שוה למרובע אגד"ה
+:But, the product of WC by itself is twenty-five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{WC^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל הכאת ו"ח על עצמו הוא עשרים וחמשה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|בעבור כי הוא גם כן מאה דמיוני השטח העולה מהכאת קו א"ב באחד מאחדיו כי צלע א"ו ממנו הוא מאה
+:Because we assumed it is half WD, which is ten.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{WC=\frac{1}{2} WD}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי הנחנוהו חצי ו"ד שהוא עשרה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונבדיל שטח א"ט המשותף וישאר שטח ג"ט שוה לשטח ט"ו
+:So, the product of DB by BW with the square of CB are equal to twenty-five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(DB\times BW\right)+CB^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב ישוו עשרים וחמשה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונבדיל שטח ג"ט משטח ב"ג ז"ח וקבצנו עם הנשאר שטח ט"ו השוה לג"ט שהבדלנו ויהיה מפני זה שטח דהו"ח שוה לשטח ב"ג ז"ח ושטח בגו"ח היה ידוע שהוא אלפיי' ומאה בעבור כי ב"ג הוא עשרים ואחד וג"ח הוא מאה ולכן יהיה שטח דהו"ח אלפיים ומאה והוא כמו הכאת ג"ד בה"ח כי קו ד"ה שוה לקו ג"ה
+:Yet, we assumed previously that surface ABHW that is generated from the product of BW by BA that is equal to BD is twenty-five, without the square of CB.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=BW\times BA=BW\times BD=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר הנחנו קודם שטח אבה"ו שהוא מהכאת ב"ו בב"א השוה לב"ד עשרים וחמשה מבלעדי מרובע ח"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונחלק ג"ח לחצאין על נקודת ל' וכבר נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה&#x202B;'
+:The more equals the less - it is impossible.
+|style="text-align:right;"|אם כן הרב ישוה למעט זה חלוף לא יתכן
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת קו ג"ל על עצמו שוה להכאת ג"ה בה"ח ולמרובע ה"ל יחד כמו שהוא מבואר בשני לאקלידס אבל הכאת קו ג"ל על עצמו היא אלפיים ות"ק ונגרע מהם אלפיים וק' שהם מהכאת ג"ה בה"ח ולמרובע ה"ל יחד וישאר מרובע ה"ל ארבע מאות ושרשם עשרים והם שיעור קו ה"ל
+:So, point C cannot fall above point B.
+|style="text-align:right;"|אם כן לא תפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם המרובע יעדיף על הדרהמי כמו שהוא הענין בתמונה הראשונה נוסיף העשרים על קו ג"ל שהוא חמשי' ויהיה קו ג"ה שבעים וג"א השוה לג"ה יהיה גם כן שבעים גרענו ממנו קו ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד וישאר קו א"ב תשעה וארבעים והוא המרובע שהוא המבוקש
+:Similarly, it is clear that it cannot fall beneath it.
+|style="text-align:right;"|וכמו זה יתבאר שלא יתכן <s>שכ</s> שתפול למטה ממנה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם המרובע פחות מהדרהמי כמו שהוא הענין בזאת התמונה השנית
+:Hence, point B itself is necessarily the midpoint of line WD [B = C].
+|style="text-align:right;"|אם כן יצטרך שתהיה נקודת ב' עצמה הוא הנקוד' הנחלק עליה קו ו"ד לחצאי&#x202B;'
 |-
 |
-:[[File:Tahbulot 4 - III.png|thumb|100px|left]]
+:Thus, line BD, which is half [the number of] the roots, is the root of the square and it is five.
-|[[File:תחבולות 4 - III.png|thumb|100px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=x=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ב"ד שהוא מחצית השרשים הוא שרש המרובע והוא חמשה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אז נגרע העשרים שהוא שעור קו ה"ל מקו ג"ל שהוא חמשים וישאר קו ג"ה שלשים
+:Its square is twenty-five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD^2=x^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומרובעו חמשה ועשרים
+|-
+|The explanation is completed.
+|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 |-
+!<span style=color:Green>The reason for the method that yields the square</span>
 |
-|style="text-align:right;"|וא"ג שוה לג"ה גרענו ממנו שעור ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד
 |-
+|Said Finzi, the translator: the proof of the method that reveals the square to us has been omitted from the book I translated. So, I thought I should explain it, and drew three illustrations for its explanation:
+|style="text-align:right;"|<big>אמ"פ</big> המעתיק הנה נשמט מהספר שהעתקתי ממנו {{#annot:term|198,1898|CCe5}}מופת ה{{#annotend:CCe5}}אופן שהראה לנו בו המרובע ולכן ראיתי שאב<sup>א</sup>רהו וארשום בבאורו שלשה תמונות
+|-
+|In the first, the addition method is clarified.
+|style="text-align:right;"|הראשונה יתבא' בה צד התוספת
+|-
+|In the second, the subtraction method.
+|style="text-align:right;"|ובשנית צד המגרעת
+|-
+|In the third, [the case] is shown, where the numbers are equal to the product of half [the number of] the roots by itself - when there is no need for addition or subtraction.
+|style="text-align:right;"|ובשלישית <s>צד</s> יראה עמה כאשר {{#annot:term|429,1573|qEnf}}השתוו{{#annotend:qEnf}} המספרים להכאת מחצית השרשים על עצמם שאז לא יצטרך תוספת ולא מגרעת
+|-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of the addition method: [when the square exceeds the numbers]</span> <math>\scriptstyle x^2>c</math>
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math> = AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
-|style="text-align:right;"|וישאר שעור קו א"ב תשעה והוא המרובע המבוקש
 |-
-|
+|We explain it first:
-|style="text-align:right;"|ואחר שבארנו בשתי התמונות הקודמות צד התוספת וצד המגרעת הנופלים בזאת השאלה התמונה כאשר יהיה הכאת מחצית השרשים על עצמם יותר מהדרהמי הנה נבאר בזאת התמונה השלישית הצד שאין לו לא תוספת ולא מגרעת והוא כאשר תהיה הכאת המחצית שוה לדרהמי שאז יהיה המרובע כמו הדרהמי
+|style="text-align:right;"|ונקח לבאר זאת הראשונה
 |-
 |
-:[[File:Tahbulot 4 - IV.png|thumb|100px|left]]
+:[[File:Tahbulot 4 - II.png|thumb|100px|left]]
-|[[File:תחבולות 4 - IV.png|thumb|100px|right]]
+|[[File:תחבולות 4 - II.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::defining:
+:It is that we suppose line AG is the sum of the square plus twenty-one dirham.
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+25=10x}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=x^2+21}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונניח קו א"ג מקובץ המרובע עם עשרים וחמשה דרהמי והוא גם כן שוה לעשרה שרשים מהמרובע
+|style="text-align:right;"|והוא שהנחנו קו א"ג המקובץ מהמרובע ועשרי' ואחד דרהמי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונמשיך המעשה כמעשה הקודם בשתי התמונות הקודמות עד המקום שיתבאר בו ששטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח
+:AB is the measure of the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"ב ממנו הוא שיעור מרובע
 |-
 |
-::DHWC□ = GH &times; HC
+:BG is the measure of the dirham.
-|style="text-align:right;"|והוא שוה גם כן להכאת ג"ה בה"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|וב"ג ממנו הוא שיעור הדרהמי
 |-
 |
-:::GH = HD
+:AB is longer than BG, since the addition method follows from it.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי ג"ה כמו ה"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB>BG}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"ב גדול מב"ג כי עם זה יגיע צד התוספת
 |-
 |
-::BG &times; ZC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500}}</math>
+:We suppose that the whole line AG is ten roots of the square, because so is the question.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח ב"ג ז"ח הוא אלפיים ת"ק
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנחנו קו א"ג הוא כלו עשרה שרשים מן המרובע כי כן היתה השאלה
 |-
 |
-:::BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:We wish to know the measure of line AB.
-|style="text-align:right;"|כי ב"ג עשרים וחמשה
+|style="text-align:right;"|ורצינו שנודיע שיעור קו א"ב
 |-
 |
-:::GC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:We construct square AGDH on line AG, so it is a hundred times the surface that is generated from the product of AB by one of its units, as we explained above.
-|style="text-align:right;"|וג"ח מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=AG^2=100\times\left(AB\times1\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|נשים על קו א"ג מרובע עליו אגד"ה והנה הוא מאה דמיוני השטח {{#annot:term|876,1241|i6yt}}העולה מ{{#annotend:i6yt}}א"ב מוכה באחד מאחדיו כמו שבארנו למעלה
 |-
 |
-::GH &times; HC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500}}</math>
+:Since AG is ten roots of AB.
-|style="text-align:right;"|אם כן הכאת ג"ה בה"ח אלפיים ת"ק
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10\sqrt{AB}}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ג עשרה <s>מ</s>שרשים מא"ב
+|-
+|Ten roots of the thing multiplied by themselves are the same as a hundred times the thing.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10\sqrt{X}\right)^2=100X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם כמו מאה {{#annot:term|243|8T1l}}דמיוני מה{{#annotend:8T1l}}דבר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונחלק קו ג"ח לחצאי' על נקודת ל&#x202B;'
+:We extend line AD straight to W.
+|style="text-align:right;"|ונמשיך קו א"ד {{#annot:term|942,1849|hJu6}}בי<sup>ו</sup>שר{{#annotend:hJu6}} עד ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובהכרח תפול נקודת ל' אז למעלה מנקודת ה' או למט' ממנה או עליה
+:We suppose it is a hundred [units], of which line BG is twenty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AW=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשימהו מאה ממה שבו קו ב"ג עשרים ואחד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונבאר שאי אפש' שתפול כי אם עליה שאם אפש' נניח שנפלה ממנה
+:We draw lines BTZ and GHC both parallel to line AW and equal to it.
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>300r</ref>ו{{#annot:to draw a line|819,1232|vgQz}}נוציא קוי{{#annotend:vgQz}} בט"ז גה"ח {{#annot:term|825,1821|Ycx6}}נכחיים ל{{#annotend:Ycx6}}קו א"ו ושוים אליו
 |-
 |
-:*L midpoint of GC
+:We attach points W and C through line WZC.
-|style="text-align:right;"|ויהיה אם כן קו ג"ח נחלק לחצאין על נקודת ל&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ונגיע נקדות ו"ח עם קו וז"ח
 |-
 |
-:*GC is divided into two unequal parts on H
+:Surface ABWZ is equal to square AGDH, because it is also a hundred times the surface that is generated from the product of line AB by one of its units.
-|style="text-align:right;"|ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABWZ=AGDH=AG^2=100\times\left(AB\times1\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה שטח אבו"ז שוה למרובע אגד"ה בעבור כי הוא גם כן מאה דמיוני השטח העולה מהכאת קו א"ב באחד מאחדיו
 |-
 |
-::(GH &times; HC) + HL<sup>2</sup> = GL<sup>2</sup>
+:Since its side AW is a hundred.
-|style="text-align:right;"|ויחויב שיהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל יחד שוים למרובע ג"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AW=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי צלע א"ו ממנו הוא מאה
 |-
 |
-::GL<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500}}</math>
+:We subtract surface AT shared by both.
-|style="text-align:right;"|אבל מרובע ג"ל אלפיים ת"ק
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|837,2040|Ptjj}}נבדיל{{#annotend:Ptjj}} שטח א"ט המשותף
 |-
 |
-:::GL = <math>\scriptstyle{\color{blue}{50}}</math>
+:Surface GT remains equal to surface TW.
-|style="text-align:right;"|כי ג"ל חמשים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GT=AGDH-AT=ABWZ-AT=TW}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר שטח ג"ט שוה לשטח ט"ו
 |-
 |
-::(GH &times; HC) + HL<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500}}</math>
+:We subtract surface GT from surface BGZC and add the remainder to surface TW that is equal to GT that we subtracted, so surface DHWC is equal to surface BGZC.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל אלפיים ות"ק
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DHWC=\left(BGZC-GT\right)+TW=BGZC}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונבדיל שטח ג"ט משטח בגז"ח וקבצנו עם הנשאר שטח ט"ו השוה לג"ט ש{{#annot:term|837,2040|ogvR}}הבדלנו{{#annotend:ogvR}} ויהיה מפני זה שטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח
 |-
 |
-::GH &times; HC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500}}</math> without HL<sup>2</sup>
+:Surface BG[Z]C is known to be 2100.
-|style="text-align:right;"|וקודם זה התבאר שהכאת ג"ה בה"ח לבדו הוא אלפיים ות"ק מבלעדי מרובע ה"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BGZC=2100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח בגו"ח היה ידוע שהוא אלפיי' ומאה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אם כן יהיה הרב שוה למעט זה חלוף לא יתכן
+:Since BG is twenty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי ב"ג הוא עשרים ואחד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובכמו זה הביאור יתבא' שאינה נופלת נקדת ל' למטה מנקודת ה&#x202B;'
+:GC is a hundred.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GC=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ח הוא מאה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אם כן תהיה נקוד' ה' בעצמה היא אשר עליה יחצה קו ג"ח ולכן יהיה קו ג"ה חמשים וא"ג השוה לג"ה יהיה גם כן חמשים נגרע ממנו ב"ג שהוא עשרים וחמשה וישאר קו א"ב גם כן חמשה ועשרים וככה המרובע המבוקש ונשלם זה החלק
+:Therefore, surface DHWC is 2100 and it is the same as the product of GD by HC.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DHWC=GD\times HC=2100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח דהו"ח אלפיים ומאה והוא כמו הכאת ג"ד בה"ח
 |-
 |
+:Because, line DH is equal to line GH.
-==== Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax<sup>2</sup> ====
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DH=GH}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי קו ד"ה שוה לקו ג"ה
-!style="text-align:right;"|פרק: אמ' שרשים ומספרים שישוו למרובע
 |-
 |
-:*{{#annot:3x+4=x²|712|VKnl}}<math>\scriptstyle3x+4=x^2</math>
+:GC is cut in half at point L [= L midpoint of GC].
-|style="text-align:right;"|הוא כמו שיאמ' שלשה שרשים וארבעה דרהמי יהיו שוים למרובע{{#annotend:VKnl}}
+|style="text-align:right;"|ונחלק ג"ח לחצאין על נקודת ל&#x202B;'
 |-
-|This type also has two solution methods:
+|
-|style="text-align:right;"|גם לזה החלק שני האופנים
+:It has already been cut into two unequal segments at point H.
+|style="text-align:right;"|וכבר {{#annot:to be cut into two unequal segments|820|sLnn}}נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת{{#annotend:sLnn}} ה&#x202B;'
 |-
 |
-:1) yields the root of the square
+:Therefore, the product of line GL by itself is equal to [the sum of] the product of GH by HC and the square of HL, as explained in Euclid's second [book] [[ספר_היסודות_לאקלידס#Elements_II_5|<span style=color:blue>['''Euclid, Elements, Book II, (proposition 5)''']</span>]]
-|style="text-align:right;"|האחד יראך שרש המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=\left(GH\times HC\right)+HL^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת קו ג"ל על עצמו שוה להכאת ג"ה בה"ח ולמרובע ה"ל יחד כמו שהוא מבואר בשני לאקלידס
 |-
 |
-:2) yields the square
+:But, the product of line GL by itself is 2500.
-|style="text-align:right;"|והשני יראך המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=2500}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל הכאת קו ג"ל על עצמו היא אלפיים ות"ק
 |-
-|Which will be further illustrated through geometric figures
+|
-|style="text-align:right;"|ועוד אבארם בתמונות ג'ימטריות
+:We subtract 2100 from it, which is the product of GH by HC; square HL remains four hundred.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HL^2=GL^2-\left(GH\times HC\right)=2500-2100=400}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונגרע מהם אלפיים וק' שהם מהכאת ג"ה בה"ח <s>ולמרובע ה"ל יחד</s> וישאר מרובע ה"ל ארבע מאות
 |-
-!The solution method that yields the root of the square
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך השרש
+:Its root is twenty and this is the measure of line HL.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HL=\sqrt{400}=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרשם עשרים והם שיעור קו ה"ל
 |-
-|[for: <math>\scriptstyle bx+c=x^2</math>]<br>
+|If the square exceeds the dirham [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2>c}}</math>], as is the case in the first illustration:
-<math>\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם המרובע {{#annot:term|420,2035|DjtG}}יעדיף על ה{{#annotend:DjtG}}דרהמי כמו שהוא הענין בתמונה הראשונה
-|style="text-align:right;"|הוא כי תחצה השרשים ותכם על עצמם ותקבץ העולה עם המספרים<br>
-עוד תקח שרש המקובץ ותקבצהו עם מחצית השרשים ומה שיגיע הוא השרש
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{6+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}</math>
+:We add the twenty to line GL that is fifty; line GH is seventy.
-|style="text-align:right;"|והנה לקחנו מחצית שלשה והוא אחד וחצי<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=GL+HL=50+20=70}}</math>
-הכינוהו על עצמו ועלה ב' ורביע<br>
+|style="text-align:right;"|נוסיף העשרים על קו ג"ל שהוא חמשי' ויהיה קו ג"ה שבעים
-וקבצנום עם הארבעה והיה ששה ורביע<br>
-ושרשם הוא שנים וחצי<br>
-וקבצנוהו עם אחד וחצי והגיע ארבעה והוא שרש המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:GA that is equal to GH is also seventy.
-|style="text-align:right;"|והמרובע ששה עשר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GA=GH=70}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|וג"א השוה לג"ה יהיה גם כן שבעים
-!The solution method that yields the square
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך המרובע
-|-
-|[for: <math>\scriptstyle bx+c=x^2</math>]<br>
-<math>\scriptstyle x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+\sqrt{\left(b^2\sdot c\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2}+c</math>
-|style="text-align:right;"|הוא שתכה השרשים על עצמם ומה שיעלה תכהו במספרים והעולה שמור<br>
-עוד תקח מחצית הכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו<br>
-והעולה תקבץ עם השמור וקח שרש המקובץ<br>
-ותקבצהו יחד עם מחצית הכאת השרשי' ועם המספרים ומה שיתקבץ מהכל הוא המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)+\sqrt{\left(3^2\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)+\sqrt{\left(9\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(20+\frac{1}{4}\right)}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{56+\frac{1}{4}}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)+4=16\\\end{align}}}</math>
+:We subtract from it line BG that is known to be twenty-one; line AB remains forty-nine and it is the required square.
-|style="text-align:right;"|והנה הכינו השלשה בעצמם ועלה תשעה<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=GA-BG=70-21=49}}</math>
-הכינו תשעה בארבעה ועלה שלשים ושש ושמרנום<br>
+|style="text-align:right;"|גרענו ממנו קו ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד וישאר קו א"ב תשעה וארבעים והוא המרובע שהוא המבוקש
-עוד לקחנו מחצית תשעה והוא ארבעה וחצי<br>
-והכינום על עצמם והיה עשרים ורביע<br>
-קבצנום עם השמור והיה הכל ששה וחמשים ורביע<br>
-לקחנו שרשם והוא שבעה וחצי<br>
-קבצנום יחד עם הארבעה וחצי ועם הארבעה דרהמי שהיו עם השרשים והתקבץ מהכל ששה עשר והוא המרובע
 |-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of the subtraction method: when the square is less than the numbers</span> <math>\scriptstyle x^2<c</math>
 |
-|style="text-align:right;"|אמ' וזכור גם כן לעולם להשיב המרובעים אל מרובע אחד אם היה שהונחו מהם בשאלה יותר מאחד או פחות כאשר הראיתי בראשונה
 |-
-!Geometric illustration of the solution method that yields the root of the square
+|If the square is less than the dirham [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2<c}}</math>], as is the case in the second illustration:
-|style="text-align:right;"|אמ' ולמופת האופן אשר הרא[נו] בו השרש
+|style="text-align:right;"|ואם המרובע פחות מהדרהמי כמו שהוא הענין בזאת התמונה השנית
 |-
 |
-:[[File:Finzi 5.png|thumb|125px|left]]
+:[[File:Tahbulot 4 - III.png|thumb|100px|left]]
-|[[File:פינצי 5.png|thumb|125px|right]]
+|[[File:תחבולות 4 - III.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::defining:
+:We subtract the twenty, which is the measure of line HL, from line GL, which is fifty; line GH remains thirty.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=GL-HL=50-20=30}}</math>
-|style="text-align:right;"|נניח המרובע אבג"ד והוא המחובר משלשה שרשיו וארבעה מספרים
+|style="text-align:right;"|אז נגרע העשרים שהוא שעור קו ה"ל מקו ג"ל שהוא חמשים וישאר קו ג"ה שלשים
 |-
 |
-:*AHGN□ = 3&radic;ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3x}}</math>
+:AG is equal to GH.
-|style="text-align:right;"|ונניח שיהיה שטח אהג"נ ממנו הוא שלשת השרשים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=GH=30}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"ג שוה לג"ה
 |-
 |
-:*HD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:We subtract the measure of BG that is known to be twenty-one; the measure of line AB remains nine, which is the required square.
-|style="text-align:right;"|ושטח ה"ד הנשאר ארבעת המספרים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=AG-BG=30-21=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|גרענו ממנו שעור ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד וישאר שעור קו א"ב תשעה והוא המרובע המבוקש
 |-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of the case in which the product of half the roots by itself equals the dirham <math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c</math> &rarr; the square is the same as the dirham</span> <math>\scriptstyle x^2=c</math>
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3x}}</math> = 3 of <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא ידוע ממה שאמרנו בראש הספר כי שלשת השרשים יחזיקו שלשה מספרים מהצלע
 |-
-|
+|After explaining the addition and subtraction methods in the two previous figures, when the product of half [the number of] the roots by itself is greater than the dirham [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}b\right)^2>c}}</math>], we explain the method that does not consists of addition or subtraction in the third figure, which is when the product of half [the number of] the roots by itself equals the dirham [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c}}</math>], that is when the square is the same as the dirham [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=c}}</math>].
-::AH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>ואחר</big> שבארנו בשתי התמונות הקודמות צד התוספת וצד המגרעת הנופלים בזאת השאלה <s>התמונה</s> כאשר יהיה הכאת מחצית השרשים על עצמם יותר מהדרהמי הנה נבאר בזאת התמונה השלישית הצד שאין לו לא תוספת ולא מגרעת והוא כאשר תהיה הכאת המחצית שוה לדרהמי שאז יהיה המרובע כמו הדרהמי
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה ידוע שקו א"ה שלשה
 |-
 |
-:We wish to know the measure of HB
+:[[File:Tahbulot 4 - IV.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|ורצוננו להודיע שיעור ה"ב הנשאר
+|[[File:תחבולות 4 - IV.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-:*C midpoint of AH
+:We suppose line AG is the sum of the square plus twenty-five dirham and it is also equal to ten roots of the square.
-|style="text-align:right;"|נחלק קו א"ה לחצאי' על נקודת ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=x^2+25=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח קו א"ג מקובץ המרובע עם עשרים וחמשה דרהמי והוא גם כן שוה לעשרה שרשים מהמרובע
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכבר נוסף בארכו קו ה"ב
+:We continue the procedure as in the two previous illustrations until it is clear that surface DHWC is equal to surface BGZC and it is also equal to the product of GH by HC.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DHWC=BGZC=GH\times HC}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונמשיך המעשה כמעשה הקודם בשתי התמונות הקודמות עד המקום שיתבאר בו ששטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח והוא שוה גם כן להכאת ג"ה בה"ח
 |-
 |
-::(AB &times; BH) + HC<sup>2</sup> = CB<sup>2</sup>
+:Since GH is the same as HD.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת א"ב בב"ה עם מרובע ה"ח ישוו להכאת ח"ב על עצמו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=HD}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי ג"ה כמו ה"ד
 |-
 |
-::according to Euclid, ''Elements'' II
+:But, surface BGZC is 2500.
-|style="text-align:right;"|כמבואר בשני לאקלידס
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BGZC=2500}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח ב"ג ז"ח הוא אלפיים ת"ק
 |-
 |
-::CB &times; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Because BG is twenty-five.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח הכאת ח"ב בב"ה הוא ידוע שהוא ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי ב"ג עשרים וחמשה
 |-
 |
-::CB &times; BH = HD□
+:GC is one hundred.
-|style="text-align:right;"|כי הוא שוה לשטח ה"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GC=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ח מאה
 |-
 |
-:::AB = BD
+:Therefore, the product of GH by HC is 2500.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ב שוה לב"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH\times HC=2500}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן הכאת ג"ה בה"ח אלפיים ת"ק
 |-
 |
-::HC<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{4}}}</math>
+:We cut line GC in half on L [= L midpoint of GC].
-|style="text-align:right;"|ומרובע ה"ח הוא שנים ורביע
+|style="text-align:right;"|ונחלק קו ג"ח לחצאי' על נקודת ל&#x202B;'
 |-
 |
-::(AB &times; BH) + HC<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}</math>
+:Point L necessarily falls either above point H, below it, or on it.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|388|ju7P}}מקובצם{{#annotend:ju7P}} ששה ורביע
+|style="text-align:right;"|ובהכרח תפול נקודת ל' אז למעלה מנקודת ה' או למט' ממנה או עליה
 |-
 |
-::HC<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}</math>
+:We will explain that it can only fall on it:
-|style="text-align:right;"|אם כן הכאת ח"ב על עצמו הוא ששה ורביע
+|style="text-align:right;"|ונבאר שאי אפש' שתפול כי אם עליה
 |-
 |
-::CB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6+\frac{1}{4}}=2+\frac{1}{2}}}</math>
+:If it were possible, we assume it falls above it:
-|style="text-align:right;"|ולכן קו ח"ב שהוא שרשו הוא שנים וחצי
+|style="text-align:right;"|שאם אפש' נניח שנפלה ממנה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = AB = CB + AC= <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}</math>
+:So, line GC is cut in half on point L [= L midpoint of GC].
-|style="text-align:right;"|נקבץ עמו קו א"ח שהוא אחד וחצי ויהיה כל קו א"ב ארבעה וככה שרש המרובע
+|style="text-align:right;"|ויהיה אם כן קו ג"ח {{#annot:term|786,2059|Ug7u}}נחלק לחצאין{{#annotend:Ug7u}} על נקודת ל&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:And into two unequal segments on point H.
-|style="text-align:right;"|והמרובע ששה עשר
+|style="text-align:right;"|ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה&#x202B;'
 |-
 |
-::constructing:
+:The product of GH by HC plus the square of HL together are necessarily equal to the square of GL.
-:*CKEB□ = CB<sup>2</sup>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(GH\times HC\right)+HL^2=GL^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|אמ' וכדי לבאר הדבר יותר הנחנו על קו ח"ב שטח מרובע עליו ח"כע"ב
+|style="text-align:right;"|ויחויב שיהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל יחד שוים למרובע ג"ל
 |-
 |
-::ME = KD
+:But, the square of GL is 2500.
-|style="text-align:right;"|והוא ידוע שקו מ"ע כמו קו כ"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=2500}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל מרובע ג"ל אלפיים &#x202B;<ref>300v</ref>ת"ק
 |-
 |
-:::AB = BD
+:Because GL is fifty.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ב כמו ב"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GL=50}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי ג"ל חמשים
 |-
 |
-:::BC = KB
+:So, the product of GH by HC plus the square of HL are 2500.
-|style="text-align:right;"|וב"ח כמו כ"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(GH\times HC\right)+HL^2=2500}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל אלפיים ות"ק
 |-
 |
-:::KD = AC
+:Yet, earlier it was clarified that the product of GH by HC alone is 2500, without the square of HL.
-|style="text-align:right;"|ונשאר כ"ד כמו א"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH\times HC=2500}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקודם זה התבאר שהכאת ג"ה בה"ח לבדו הוא אלפיים ות"ק מבלעדי מרובע ה"ל
 |-
 |
-:::AC = CH
+:The more equals the less - impossible.
-|style="text-align:right;"|וא"ח שוה לח"ה
+|style="text-align:right;"|אם כן יהיה הרב שוה למעט זה חלוף לא יתכן
 |-
 |
-:::CH = ME
+:Similarly to this explanation, it is clear that point L cannot fall beneath point H.
-|style="text-align:right;"|וח"ה כמו מ"ע
+|style="text-align:right;"|ובכמו זה הביאור יתבא' שאינה {{#annot:to be situated|302,2018|azrN}}נופלת{{#annotend:azrN}} {{#annot:term|833,1606|eSZc}}נקדת{{#annotend:eSZc}} ל' למטה מנקודת ה&#x202B;'
 |-
 |
-::ME = KD
+:Hence, H itself is necessarily the midpoint of line GC [H = L].
-|style="text-align:right;"|אם כן מ"ע כמו כ"ד
+|style="text-align:right;"|אם כן תהיה נקוד' ה' בעצמה היא אשר עליה {{#annot:term|786,2057|syRB}}יחצה{{#annotend:syRB}} קו ג"ח
 |-
 |
-::defining:
+:Therefore, line GH is fifty and AG that is equal to GH is also fifty.
-:*MT = ND
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=GH=50}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונשים מ"ט כמו נ"ד
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ג"ה חמשים וא"ג השוה לג"ה יהיה גם כן חמשים
 |-
 |
-::ET□ = MD□
+:We subtract BG, which is twenty-five, from it; line AB remains twenty-five also and so is the required square.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ע"ט כמו שטח מ"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=AG-BG=50-25=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|נגרע ממנו ב"ג שהוא עשרים וחמשה וישאר קו א"ב גם כן חמשה ועשרים וככה המרובע המבוקש
+|-
+|This chapter is completed.
+|style="text-align:right;"|ונשלם זה החלק
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונשים שטח ה"כ משותף
+==== Chapter: <span style=color:Green>Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax<sup>2</sup></span> ====
+|style="text-align:right;"|<big>פרק</big>
 |-
 |
-::ET□ + HB□ = HD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+*{{#annot:3x+4=x²|712|VKnl}}He said: roots and numbers that are equal to a square is as saying three roots and four dirham are equal to a square.
-|style="text-align:right;"|ויהיה שני שטחי ע"ט ה"ב שוים לשטח ה"ד כלו שהוא ארבעה
+:<math>\scriptstyle3x+4=x^2</math>
+|style="text-align:right;"|אמ' שרשים ומספרים שישוו למרובע הוא כמו שיאמ' שלשה שרשים וארבעה דרהמי יהיו שוים למרובע{{#annotend:VKnl}}
 |-
+|This category also has two solution methods: one reveals the root of the square to you the other reveals the square to you.
+|style="text-align:right;"|גם לזה החלק שני האופנים האחד יראך שרש המרובע והשני יראך המרובע
+|-
+|I will further illustrate them through geometric figures
+|style="text-align:right;"|ועוד אבארם בתמונות גימטריות
+|-
+!<span style=color:Green>The solution method that yields the root of the square</span>
 |
-::CT□ is a square
-|style="text-align:right;"|והוא ידוע כי שטח ח"ט מרובע
 |-
+|<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}}}</math>
 |
-:::CB = MH
+|-
-|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ח"ב כמו קו מ"ע מ"ה
+|He said: the method that reveals the root to you is that you halve [the number of] the roots, and multiply it by itself, then add the result to the numbers.
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך השרש הוא כי {{#annot:term|786,1369|pjRW}}תחצה ה{{#annotend:pjRW}}שרשים ותכם על עצמם ותקבץ העולה עם המספרים
+|-
+|You extract the root of the sum and add it to half [the number of] the roots; the result is the root.
+|style="text-align:right;"|עוד תקח שרש המקובץ ותקבצהו עם מחצית השרשים ומה שיגיע הוא השרש
 |-
 |
-:::MT = HB = ND
+:We take a half of three; it is one and a half.
-|style="text-align:right;"|ומ"ט כמו ה"ב השוה לנ"ד
+|style="text-align:right;"|והנה לקחנו מחצית שלשה והוא אחד וחצי
 |-
 |
-:::HC = HT
+:We multiply it by itself; the result is 2 and a quarter.
-|style="text-align:right;"|וישאר ה"ח כמו ה"ט
+|style="text-align:right;"|הכינוהו על עצמו ועלה ב' ורביע
 |-
 |
-::CH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}</math>
+:We add it to the four; it is six and a quarter.
-|style="text-align:right;"|וקו ה"ח הנחנוהו אחד וחצי
+|style="text-align:right;"|וקבצנום עם הארבעה והיה ששה ורביע
 |-
 |
-::CT□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{4}}}</math>
+:Its root is two and a half.
-|style="text-align:right;"|ולכן שטח ח"ט שנים ורביע
+|style="text-align:right;"|ושרשם הוא שנים וחצי
 |-
 |
-::CK□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}</math>
+:We add it to one and a half; the result is four and it is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|וכל שטח מרובע ח"כ ששה ורביע
+|style="text-align:right;"|וקבצנוהו עם אחד וחצי ו{{#annot:term|875,1575|ELrL}}הגיע{{#annotend:ELrL}} ארבעה והוא שרש המרובע
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+4}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{6+\frac{1}{4}}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-::BC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{2}}}</math>
+:The square is sixteen.
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ח שנים וחצי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע ששה עשר
 |-
+!<span style=color:Green>The solution method that yields the square</span>
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = AB = BC + AC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}</math>
-|style="text-align:right;"|ועם קו א"ח שהוא אחד וחצי יהיה כל קו א"ב ארבעה והוא השרש
 |-
+|<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+\sqrt{\left(b^2\sdot c\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2}+c}}</math>
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+|-
-|style="text-align:right;"|והמרובע שש עשרה
+|He said: the method that reveals the square to you is that you multiply [the number of] the roots by itself, then multiply the product by the numbers and keep the result.
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך המרובע הוא שתכה השרשים על עצמם ומה שיעלה תכהו במספרים והעולה שמור
+|-
+|Take half the product of [the number of] the roots by itself and multiply this half by itself.
+|style="text-align:right;"|עוד תקח מחצית הכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו
+|-
+|Add the result to the reserved and extract the root of the sum.
+|style="text-align:right;"|והעולה תקבץ עם השמור ו{{#annot:term|795,1375|LS8c}}קח שרש ה{{#annotend:LS8c}}מקובץ
+|-
+|You sum it with half the product of the roots and with the numbers; the total sum is the square.
+|style="text-align:right;"|ותקבצהו יחד עם מחצית הכאת השרשי' ועם המספרים ומה ש{{#annot:term|178,1216|JEm6}}יתקבץ{{#annotend:JEm6}} מהכל הוא המרובע
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אמ' ולמופת זה האופן דרך אחרת
+:We multiply three by itself; the result is nine.
+|style="text-align:right;"|והנה הכינו השלשה בעצמם ועלה תשעה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 6.png|thumb|125px|left]]
+:We multiply nine by four; the result is thirty-six. We keep it.
-|[[File:פינצי 6.png|thumb|125px|right]]
+|style="text-align:right;"|הכינו תשעה בארבעה ועלה שלשים ושש ושמרנום
 |-
 |
-::defining:
+:We take a half of nine; it is four and a half.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד לקחנו מחצית תשעה והוא ארבעה וחצי
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח מרובע אבג"ד הוא המקובץ משלשה שרשי' וארבעה דרהמי
 |-
 |
-:*AC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot3=1+\frac{1}{2}}}</math>
+:We multiply it by itself; it is twenty and a quarter.
-|style="text-align:right;"|ונניח קו א"ח מקו א"ג מחצית השרשים שהוא אחד וחצי
+|style="text-align:right;"|והכינום על עצמם והיה עשרים ורביע
 |-
 |
-:*CM || AB
+:We add it to the reserved; the total is fifty-six and a quarter.
-|style="text-align:right;"|ונוציא קו ח"מ על נכוחות קו א"ב
+|style="text-align:right;"|קבצנום עם השמור והיה הכל ששה וחמשים ורביע
 |-
 |
-:*AM = [1½&radic;ABGD□] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}</math>
+:We extract its root; it is seven and a half.
-|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה שטח א"מ הוא שרש וחצי
+|style="text-align:right;"|לקחנו שרשם והוא שבעה וחצי
 |-
 |
-:*ED = <math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}</math>
+:We sum it with the four and a half and with the four dirham that are with the roots; the total sum is sixteen and it is the square.
-|style="text-align:right;"|וכן נניח קו ע"ד אחד וחצי
+|style="text-align:right;"|קבצנום יחד עם הארבעה וחצי ועם הארבעה דרהמי שהיו עם השרשים ו{{#annot:term|178,1216|jloK}}התקבץ מהכל{{#annotend:jloK}} ששה עשר והוא המרובע
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)+\sqrt{\left(3^2\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)^2}+4=\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)+\sqrt{\left(9\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}+4=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(20+\frac{1}{4}\right)}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{56+\frac{1}{4}}+4=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)+4=16\\\end{align}}}</math>
 |-
+|<span style=color:Green>'''Normalization''':</span>
 |
-:*ET || BD
-|style="text-align:right;"|ונוציא ע"ט על נכוחות ב"ד
 |-
+|Always remember to convert the squares into one square, whether they exceed one, or less than one in the question, as I demonstrated at first.
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וזכור גם כן לעולם להשיב המרובעים אל מרובע אחד אם היה שהונחו מהם בשאלה {{#annot:term|342|OVQO}}יותר מ{{#annotend:OVQO}}אחד או פחות כאשר הראיתי בראשונה
+|-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of the solution method that yields the root of the square</span>
 |
-:*EB□ = [1½&radic;ABGD□] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ושטח ע"ב גם כן הוא שרש וחצי
 |-
 |
-::AM□ + ND□ + NB□ = 3&radic;ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3x}}</math>
+:[[File:Finzi 5.png|thumb|125px|left]]
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח א"מ ושטח נ"ד וכמו שטח נ"ב יהיו יחד כמו שלשה שרשים
+|[[File:פינצי 5.png|thumb|125px|right]]
 |-
 |
-::EC□ = 4 + NB□
+:He said: for the proof of the method in which we reveal the root, we suppose the square is ABGD and it is generated from its three roots plus four numbers.
-|style="text-align:right;"|וישאר שטח ע"ח ארבעה מספרים וכמו שטח נ"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2=3x+4}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ולמופת האופן אשר הראנו בו השרש נניח המרובע אבג"ד והוא {{#annot:term|388,1220|NOya}}המחובר מ{{#annotend:NOya}}שלשה שרשיו וארבעה מספרים
 |-
 |
-::NB□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{4}}}</math>
+:We suppose that surface AHGN is the three roots.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח נ"ב שנים ורביע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AHGN=3\sqrt{ABGD}=3x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח שיהיה שטח אהג"נ ממנו הוא שלשת השרשים
 |-
 |
-::EC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}</math>
+:Surface HD that is left is the four numbers.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח [.]ע"ח ששה ורביע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HD=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ה"ד הנשאר ארבעת המספרים
 |-
 |
-::EC□ is a square
+:It is known from what we said at the beginning of the book that the three roots are three numbers of the side.
-|style="text-align:right;"|וע"ח מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{3x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא ידוע ממה שאמרנו בראש הספר כי שלשת השרשים יחזיקו שלשה מספרים מהצלע
 |-
 |
-::GC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{2}}}</math>
+:So, it is known that line AH is three.
-|style="text-align:right;"|לכן יהיה ג"ח שנים וחצי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה ידוע שקו א"ה שלשה
 |-
 |
-::AC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}</math>
+:We wish to know the measure of HB that remains.
-|style="text-align:right;"|וקו א"ח הנחנוהו אחד וחצי
+|style="text-align:right;"|ורצוננו להודיע שיעור ה"ב הנשאר
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:We cut line AH in half at point C [= C midpoint of AH]
-|style="text-align:right;"|ולכן קו א"ג כלו ארבעה והוא שרש המרובע
+|style="text-align:right;"|נחלק קו א"ה לחצאי' על נקודת ח&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:Line HB is added to its length.
-|style="text-align:right;"|והמרובע ששה עשר
+|style="text-align:right;"|וכבר נוסף ב{{#annot:term|316,1489|dIuF}}ארכו{{#annotend:dIuF}} קו ה"ב
-|-
-!Geometric illustration of the solution method that yields the square
-|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ועלת האופן אשר הראנו בו המרובע
 |-
 |
-:[[File:Finzi 7 - II.png|thumb|125px|left]]
+:Therefore, the product of AB by BH plus the square of HC are equal to the product of CB by itself, as explained in Euclid's [Elements], book two.
-|[[File:פינצי - II 7.png|thumb|125px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(AB\times BH\right)+HC^2=CB^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת א"ב בב"ה עם מרובע ה"ח ישוו להכאת ח"ב על עצמו כמבואר בשני לאקלידס
 |-
 |
-:*defining: AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}</math>
+:But, it is known that the product of AB by BH is four, because it is equal to surface HD
-|style="text-align:right;"|הוא שנשים קו א"ב הוא שעור המרובע המקובץ משלשה שרשיו וארבעה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB\times BH=HD=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח הכאת א"ב בב"ה הוא ידוע שהוא ארבעה כי &#x202B;<ref>301r</ref>הוא שוה לשטח ה"ד
 |-
 |
-:*AG = 3&radic;AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3x}}</math>
+:Since AB is equal to BD.
-|style="text-align:right;"|וא"ג ממנו הוא שעור השלשה השרשים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=BD}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ב שוה לב"ד
 |-
 |
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:The square of HC is two and a quarter.
-|style="text-align:right;"|וג"ב הנשאר הוא שיעור הארבעה מספרים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HC^2=2+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומרובע ה"ח הוא שנים ורביע
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ורצוננו להודיע שיעור א"ב כלו כמה שבו ג"ב ארבעה
+:Their sum is six and a quarter.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(AB\times BH\right)+HC^2=}}{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|388,1217|ju7P}}מקובצם{{#annotend:ju7P}} ששה ורביע
 |-
 |
-:*defining: AGDH□ = AG<sup>2</sup>
+:Therefore, the product of CB by itself is six and a quarter.
-|style="text-align:right;"|נעשה על קו א"ג מרובע אגד"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB^2=6+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן הכאת ח"ב על עצמו הוא ששה ורביע
 |-
 |
-::AGDH□ = 9&times;(AB &times; 1)
+:Hence, line CB, which is its root, is two and a half.
-|style="text-align:right;"|והוא ידוע ממה שעבר כי הוא כמו תשעה דמיוני השטח העולה מהכאת א"ב באחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB=\sqrt{6+\frac{1}{4}}=2+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן קו ח"ב שהוא שרשו הוא שנים וחצי
 |-
 |
-::defining:
+:We add it to line AC, which is one and a half; the whole line AB is four and so is the root of the square.
-:*AN = 9&times;1
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB+AC=AB=x=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונשים קו א"נ תשעה במה שבו קו ג"ב ארבעה
+|style="text-align:right;"|נקבץ עמו קו א"ח שהוא אחד וחצי ויהיה כל קו א"ב ארבעה וככה שרש המרובע
 |-
 |
-::AC□ = AH□
+:The square is sixteen.
-|style="text-align:right;"|ונשלים שטח א"ח והוא ידוע גם כן ממה שעבר שהוא ישוה למרובע א"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע ששה עשר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונבדיל שטח א"ט המשותף
+:He said: In order to explain this matter further, we construct square CBEK on line CB.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CBEK=CB^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכדי לבאר הדבר יותר הנחנו על קו ח"ב שטח מרובע עליו חבע"כ
 |-
 |
-::DT□ = TB□
+:It is known that line ME is the same as line KD
-|style="text-align:right;"|וישאר שטח ד"ט שוה לשטח ט"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ME=KD}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא ידוע שקו מ"ע כמו קו כ"ד
 |-
 |
-::KB□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{36}}</math>
+:Since AB is the same as BD.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח ט"ב ידוע שהוא שלשים ושש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=BD}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ב כמו ב"ד
 |-
 |
-:::GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:And BC is the same as KB.
-|style="text-align:right;"|כי צלע ג"ב ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC=KB}}</math>
+|style="text-align:right;"|וב"ח כמו כ"ב
 |-
 |
-:::KC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:And KD that remains is the same as AC.
-|style="text-align:right;"|וצלע כ"ח תשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KD=AC}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשאר כ"ד כמו א"ח
 |-
 |
-::DT□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{36}}</math>
+:AC is equal to CH and CH is the same as ME.
-|style="text-align:right;"|ולכן שטח ד"ט גם כן שלשים וששה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=CH=ME}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"ח שוה לח"ה וח"ה כמו מ"ע
 |-
 |
-:*L midpoint of AN
+:Therefore, ME is the same as KD.
-|style="text-align:right;"|וחלקנו קו א"נ לחצאין על נקודת ל&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ME=KD}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן מ"ע כמו כ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכבר נוסף עליו קו נ"ד
+:We assume that MT is the same as ND.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MT=ND}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשים מ"ט כמו נ"ד
 |-
 |
-::LD<sup>2</sup> = (AD &times; DG) + LN<sup>2</sup>
+:So, surface ET is the same as surface MD.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה מרובע קו ל"ד שוה לשטח העולה מהכאת א"ד בד"ג ולמרובע ל"נ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ET=MD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ע"ט כמו שטח מ"ד
 |-
 |
-::AD &times; DN = DT□
+:We assume that surface HK is added to both.
-|style="text-align:right;"|אבל הכאת א"ד בד"נ כמו שטח ד"ט
+|style="text-align:right;"|ונשים שטח ה"כ משותף
 |-
 |
-:::AD = DH
+:The [sum of the] two surfaces ET and HK is equal to the whole surface HD, which is four.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ד כמו ד"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ET+HK=HD=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה שני שטחי ע"ט ה"כ שוים לשטח ה"ד כלו שהוא ארבעה
 |-
 |
-::AD &times; DN = <math>\scriptstyle{\color{blue}{36}}</math>
+:It is known that surface CT is a square.
-|style="text-align:right;"|אם כן שטח הכאת א"ד בד"נ שלשים וששה
+|style="text-align:right;"|והוא ידוע כי שטח ח"ט מרובע
 |-
 |
-::LN<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{20+\frac{1}{4}}}</math>
+:Since line CB is the same as line MH.
-|style="text-align:right;"|ומרובע ל"נ הוא עשרים ורביע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB=MH}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ח"ב כמו קו <s>מ"ע</s> מ"ה
 |-
 |
-::(AD &times; DG) + LN<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{56+\frac{1}{4}}}</math>
+:And MT is the same as HB that is equal to ND.
-|style="text-align:right;"|ומקובצם הוא חמשים ושש ורביע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MT=HB=ND}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומ"ט כמו ה"ב השוה לנ"ד
 |-
 |
-::LD = &radic;[(AD &times; DG) + LN<sup>2</sup>] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{56+\frac{1}{4}}=7+\frac{1}{2}}}</math>
+:And HC that remains is the same as HT.
-|style="text-align:right;"|אבל שרשם שבעה וחצי וככה יהיה קו ל"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HC=HT}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר ה"ח כמו ה"ט
 |-
 |
-::AD = AL + LD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)=12}}</math>
+:We assumed that HC is one and a half.
-|style="text-align:right;"|ונקבץ עמו קו א"ל שהוא ארבעה וחצי ויהיה קו א"ד כלו שנים עשר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HC=1+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ה"ח הנחנוהו אחד וחצי
 |-
 |
-::AG = AD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{12}}</math>
+:So, surface CT is two and a quarter.
-|style="text-align:right;"|וא"ג השוה לא"ד יהיה אם כן שנים עשר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CT=2+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן שטח ח"ט שנים ורביע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math> = AB = AG + GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4+12=16}}</math>
+:The whole square surface CK is six and a quarter.
-|style="text-align:right;"|ונקבץ עמו קו ג"ב שהוא ארבעה ויהיה קו א"ב כלו ששה עשר וככה המרובע והוא מש"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CK=6+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכל שטח מרובע ח"כ ששה ורביע
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אמ' ונשלם זה החלק ובהשלמו נשלם באור הששה חלקים אשר יעדנו באורם באופני השתמשותם והמופתים עליהם
+:Line BC is two and a half.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC=2+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ח שנים וחצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והרבה מסופרים אלג'בר ואלמקאבלא לא יתכן שלא ייראוך קצת מהם
+:With line AC, which is one and a half, the whole line AB is four and it is the root.
-|-
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> =  <math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=BC+AC=x=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}</math>
-|For each canonical equation of these six canonical equations there are questions of restoration [lit. cobramiento] and reduction [lit. confrontamiento = confrontation] that are taught by the arithmeticians
+|style="text-align:right;"|ועם קו א"ח שהוא אחד וחצי יהיה כל קו א"ב ארבעה והוא השרש
-|style="text-align:right;"|ולכל חלק מאלו הששה חלקים שאלות מההפקדה והכוון {{#annot:term|695|bYhV}}קובראמיינטו{{#annotend:bYhV}} {{#annot:term|696|ZrCF}}איקונפרונטאמיינטו{{#annotend:ZrCF}} בלעז אשר יורוך אותם {{#annot:term|782|L4Hk}}בעלי המספר{{#annotend:L4Hk}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אמ"פ לקחתי {{#annot:term|695|6zLL}}הפקדה{{#annotend:6zLL}} מלשון פקדון ו{{#annot:term|696|7XLJ}}כוון{{#annotend:7XLJ}} מלשון כוון חשבון אשר בדברי רז"ל ותבין ענינם מתוך השאלות אשר יביא אחר הציעו המצעות האלו אשר יניח עתה
+:The square is sixteen.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע שש עשרה
 |-
 |
+:[[File:Finzi 6.png|thumb|125px|left]]
-== Multiplication of Algebraic Expressions ==
+|[[File:פינצי 6.png|thumb|125px|right]]
-!style="text-align:right;"|פרק
 |-
 |
-*roots&times;roots
+:He said: There is another way for the proof of this method, which is that we assume that square ABGD is the sum of three roots and four dirham.
-|style="text-align:right;"|אמ' וראשונה אתחיל מהכאת הדברים אחד באחר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2=3x+4}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ולמופת זה האופן דרך אחרת והוא שנניח מרובע אבג"ד הוא המקובץ משלשה שרשי' וארבעה דרהמי
 |-
 |
-*roots&times;numbers
+:We assume that line AC is half [the number of] the roots, which is one and a half.
-|style="text-align:right;"|והדברים במספרים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=\frac{1}{2}\sdot3=1+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח קו א"ח מקו א"ג מחצית השרשים שהוא אחד וחצי
 |-
 |
-*(roots+numbers)&times;(roots+numbers)
+:We draw line CM parallel to line AB.
-|style="text-align:right;"|והדברי' והמספרים בדברי' ובמספרים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CM\parallel AB}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ונוציא קו ח"מ {{#annot:term|825,2039|zRs4}}על נכוחות{{#annotend:zRs4}} קו א"ב
-|Besides what has been said, in other matters, such that without their knowledge the reading in this book is not possible.
-|style="text-align:right;"|ומלבד אלו אשר אמרנו ובענינים אחרי' אשר אינו נמלט מידיעתם הרוצה לקרות בזה הספר
-|-
-|It will be explained how the roots are multiplied by each other when they are alone, or with numbers, whether they are subtracted from the numbers or the numbers are subtracted from them;
-|style="text-align:right;"|ואבאר לך באי זה צד {{#annot:term|358|BH7f}}יוכו{{#annotend:BH7f}} הדברי' והם השרשים אחד באחד כאשר יהיו נפרדים או כאשר יהיו עם מספרים בין שיהיו {{#annot:term|465|apbM}}נגרעים מ{{#annotend:apbM}}המספרי' בין שיהיו המספרים נגרעים מהם
-|-
-|How they are added to each other;
-|style="text-align:right;"|ובאי זה צד {{#annot:term|215|b8IK}}יתקבצו אלו עם אלו{{#annotend:b8IK}}
-|-
-|How one is subtracted from the other.
-|style="text-align:right;"|וכיצד {{#annot:term|465|hqB8}}יגרע{{#annotend:hqB8}} האחד מהאחר
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(a+x\right)\times\left(b+x\right)</math>
+:Therefore, surface AM is a root and a half.
-|style="text-align:right;"|אמ' וכאשר יהיו הדברים נוספים על המספרים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sqrt{ABGD}=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה שטח א"מ הוא שרש וחצי
 |-
 |
-::the fourth [product] is added:
+:We assume also that line ED is one and a half.
-|style="text-align:right;"|יהיה החלק הרביעי נוסף
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ED=1+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן נניח קו ע"ד אחד וחצי
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle x\times x</math>
+:We draw line ET parallel to BD.
-|style="text-align:right;"|והחלק הרביעי אז הוא הכאת הדברים זה עם זה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ET\parallel BD}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ונוציא ע"ט על נכוחות ב"ד
-|Every two numbers that are multiplied by two numbers - are necessarily multiplied four times
-|style="text-align:right;"|כי כל שני מספרים שיוכו בשני מספרים אי אפש' שתהיה מבלעדי בם ההכאה ארבעה פעמים
-|-
-|Each of the first two numbers is multiplied by each of the two other numbers - so the multiplication is four times
-|style="text-align:right;"|והוא שיוכו כל אחד משני המספרים הראשונים בכל אחד מהשני מספרי' האחרים ולכן תהיה {{#annot:term|156|KmBA}}ההכאה{{#annotend:KmBA}} ארבעה פעמים
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(a-x\right)\times\left(b-x\right)</math>
+:Surface EB is also a root and a half.
-|style="text-align:right;"|אמ' וכאשר היו הדברים נגרעים מהמספרי'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EB=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sqrt{ABGD}=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ע"ב גם כן הוא שרש וחצי
 |-
 |
-::the fourth [product] is added
+:So, surface AM, surface ND, and surface NB together are as three roots.
-|style="text-align:right;"|יהיה החלק הרביעי נוסף
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM+ND+NB=3\sqrt{ABGD}=3x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח א"מ ושטח נ"ד וכמו שטח נ"ב יהיו יחד כמו שלשה שרשים
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle x\times x</math>
+:Surface EC that remains is as four numbers plus surface NB.
-|style="text-align:right;"|והוא והוא הכאת הדברים האחד באחר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EC=4+NB}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר שטח ע"ח ארבעה מספרים וכמו שטח נ"ב
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(a+x\right)\times\left(b-x\right)</math>
+:But, surface NB is two and a quarter.
-|style="text-align:right;"|וכאשר היו האחד נוסף והאחר נגרע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{NB=2+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח נ"ב שנים ורביע
 |-
 |
-::the fourth [product] is subtracted
+:Therefore, surface EC is six and a quarter.
-|style="text-align:right;"|היה החלק הרביעי נגרע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EC=6+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח <s>ע</s>ע"ח ששה ורביע
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle x\times x</math>
+:EC is a square.
-|style="text-align:right;"|והוא הכאת הדברים האחד באחר
+|style="text-align:right;"|וע"ח מרובע
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(x-a\right)\times\left(x-b\right)</math>
+:Hence, GC is two and a half.
-|style="text-align:right;"|וכאשר היו המספרי' נגרעים מהדברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GC=2+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|לכן יהיה ג"ח שנים וחצי
 |-
 |
-::the fourth [product] is added
+:We assumed that AC is one and a half.
-|style="text-align:right;"|יהיה החלק הרביעי {{#annot:term|788|jc0t}}נוסף{{#annotend:jc0t}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=1+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו א"ח הנחנוהו אחד וחצי
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle a\times b</math>
+:Therefore, the whole line AG is four and this is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|והחלק הרביעי אז הוא הכאת אחד המספרי' באחר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=x=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן קו א"ג כלו ארבעה והוא שרש המרובע
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(x+a\right)\times\left(x-b\right)</math>
+:The square is sixteen.
-|style="text-align:right;"|וכאשר יהיו אחד משני המספרים {{#annot:term|787|3uzA}}נוסף על{{#annotend:3uzA}} הדברי' והאחר {{#annot:term|465|ufK4}}נגרע מ{{#annotend:ufK4}}הדברי'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע ששה עשר
 |-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of the solution method that yields the square</span>
 |
-::the fourth [product] is subtracted
-|style="text-align:right;"|אז יהיה החלק הרביעי נגרע
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle a\times b</math>
+:[[File:Finzi 7 - II.png|thumb|125px|left]]
-|style="text-align:right;"|והוא הכאת אחד משני המספרי' באחר
+|[[File:פינצי - II 7.png|thumb|125px|right]]
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(a+x\right)\times\left(x-b\right)</math>
+:He said: the reason of the method in which we reveal the square, is that we assume line AB is the measure of the square that is the sum of its three roots plus four dirham.
-|style="text-align:right;"|וכאשר היו הדברים נוספים על המספרים והיה מספר אחד נגרע מהדברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2=3x+4}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ו{{#annot:term|311|cqlb}}עלת ה{{#annotend:cqlb}}אופן אשר הראנו בו המרובע הוא שנשים קו א"ב הוא שעור המרובע המקובץ משלשה שרשיו וארבעה דרהמי
 |-
 |
-::the fourth [product] is subtracted
+:AG is the measure of the three roots.
-|style="text-align:right;"|יהיה החלק הרביעי נגרע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=2\sqrt{AB}=3x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"ג ממנו הוא שעור השלשה השרשים
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle x\times\left(-b\right)</math>
+:GB that remains is the measure of the four numbers.
-|style="text-align:right;"|והוא הכאת הדברים {{#annot:term|788|FiPV}}הנוספי'{{#annotend:FiPV}} במספר הנגרע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ב הנשאר הוא שיעור הארבעה מספרים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אמ' וכבר ספרנו מה הוא הראוי עם החלק הרביעי כפי מה שראיתי שבעלי המספר מתחילי' עמו בהכאה
+:We wish to know the measure of the whole AB according to [the units] in which GB [is measured] four.
+|style="text-align:right;"|ורצוננו להודיע שיעור א"ב כלו במה שבו ג"ב ארבעה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואפשר שיהיה החלק הרביעי זולת אשר ספרנו אלא כי כלל הדבר שהכאת הנשנים האחד באחר הוא תוספת והנשנה בנוסף גורע והנוסף בנוסף יוסיף
+:We construct square AGDH on line AG.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=AG^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|נעשה על קו א"ג מרובע אגד"ה
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle x\times x=x^2</math>
+:It is known from what preceded that it is as nine times the surface resulting from the product of AB by one.
-|style="text-align:right;"|אמ' ודע כי מהכאת הדברים בדברים יגיע מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=9\times\left(AB\times1\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא ידוע ממה שעבר כי הוא כמו תשעה דמיוני השטח העולה מהכאת א"ב באחד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ומהדברי' במספרי' יבאו דברים והם שרשים ר"ל כי הדבר הוא השרש והשרש הוא הדבר והם שני שמות נופלים על ענין אחד
+:We assume that line AN consists of nine [units], of which line GB consists of four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AN=9\times1}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשים קו א"נ תשעה במה שבו קו ג"ב ארבעה
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle x\times10</math>
+:We complete surface AC; it is known from what preceded that it is equal to square AH.
-|style="text-align:right;"|אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת דבר אחד בעשרה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=AH}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשלים שטח א"ח והוא ידוע גם כן ממה שעבר שהוא ישוה למרובע א"ה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}</math>
+:We subtract surface AT shared by both.
-|style="text-align:right;"|תאמ' עשרה דברי'
+|style="text-align:right;"|ונבדיל שטח א"ט המשותף
 |-
 |
-::conceiving the root as one: <math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot10=10}}</math>
+:Surface DT remains equal to surface TB.
-|style="text-align:right;"|ובאור זה שתשים הדבר בדמיון האחד ותכה אחד בעשרה ויהיה עשרה והם עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DT=AH-AT=AC-AT=TB}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר שטח ד"ט שוה לשטח ט"ב
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle2x\times10</math>
+:But, it is known that surface TB is thirty-six.
-|style="text-align:right;"|אמ' ואם יאמרו כמה יבא מהכאת שני דברים בעשרה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{TB=36}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח ט"ב ידוע שהוא שלשים ושש
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{red}{2x\times10=20x}}</math>
+:Because, side GB is four.
-|style="text-align:right;"|תאמר עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי צלע ג"ב ארבעה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובאור זה שתשים שני הדברים בדמיון שנים מהמספר ותכה שנים בעשרה ויהיו עשרים דברים
+:And side BC is nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|וצלע ב"ח תשעה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכן כמה שתניח מהדברים תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה כל אחדי הדברי' במספר האדרהמי והעולה יהיה דברים
+:Therefore, surface DT is also thirty-six.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DT=36}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן שטח ד"ט גם כן שלשים וששה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|בעבור כי כל מספר מהמספרי' ש{{#annot:term|358|DGtJ}}יוכה ב{{#annotend:DGtJ}}מין מה מהמינים יהיה כל אחד מאחדי המין בדמיון האחד
+:We cut line AN in half at point L [= L midpoint of AN]
+|style="text-align:right;"|וחלקנו קו א"נ לחצאין על נקודת ל&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אם היה דבר אחד תשים אחד
+:Line ND is added to it.
+|style="text-align:right;"|וכבר נוסף עליו קו נ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם היו שנים תשים שנים
+:So, the square of line LD is equal to the surface that is generated from the product of AD by DG plus the square of LN.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LD^2=\left(AD\times DG\right)+LN^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה מרובע קו ל"ד שוה לשטח העולה מהכאת א"ד בד"ג ולמרובע ל"נ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכן אם היו מרובעים או ענין אחר אי זה שתרצה ותכהו במספרים יהיה העולה הוא מאותו המין
+:But, the product of AD by DN is the same as surface DT.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD\times DN=DT}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל הכאת א"ד בד"נ כמו שטח ד"ט
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואניח לך תמונה על זה לבאר לך לעין מה שאמרתי
+:Since AD is the same as DH.
+|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ד כמו ד"ה
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle x\times x</math>
+:So, the size of the product of AD by DN is thirty-six.
-|style="text-align:right;"|אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה העולה מהכאת דבר בדבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD\times DN=36}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן שטח הכאת א"ד בד"נ שלשים וששה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+:The square of LN is twenty and a quarter.
-|style="text-align:right;"|תאמ' מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LN^2=20+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומרובע ל"נ הוא &#x202B;<ref>301v</ref>עשרים ורביע
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואופנו שתשי' הדבר בדמיון האחד ותכהו באחר והוא אחד והוא מרובע
+:Their sum is fifty-six and a quarter.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(AD\times DG\right)+LN^2=36+\left(20+\frac{1}{4}\right)=56+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומקובצם הוא חמשים ושש ורביע
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle2x\times2x</math>
+:Its root is seven and a half and so is line LD.
-|style="text-align:right;"|ואם יאמרו כמה יעלה מהכאת שני דברים בשני דברי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LD=\sqrt{\left(AD\times DG\right)+LN^2}=\sqrt{56+\frac{1}{4}}=7+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שרשם שבעה וחצי וככה יהיה קו ל"ד
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2x\times2x=4x^2}}</math>
+:We add to it line AL, which is four and a half; the whole line AD is twelve.
-|style="text-align:right;"|תאמ' ארבעה מרובעי' כמו שבארתי לך
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=AL+LD=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונקבץ עמו קו א"ל שהוא ארבעה וחצי ויהיה קו א"ד כלו שנים עשר
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle3x\times2x</math>
+:Therefore, AG, which is equal to AD, is also twelve.
-|style="text-align:right;"|וכן שלשה דברי' בשני דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=AD=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"ג השוה לא"ד יהיה אם כן שנים עשר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תכה שלשה בשנים ויהיו ששה מרובעים
+:We add to it line GB, which is four; the whole line AB is sixteen and so is the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=AG+GB=4+12=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונקבץ עמו קו ג"ב שהוא ארבעה ויהיה קו א"ב כלו ששה עשר וככה המרובע
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן חצי דבר בחצי דבר
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
-|
+|He said: This section is completed, and with its completion, the explanation we have assigned to the six categories [of canonical equations], their manner of use and their proofs, is completed
-|style="text-align:right;"|יהיה העולה רביע מרובע
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונשלם זה החלק ובהשלמו נשלם באור הששה חלקים אשר יעדנו באורם באופני השתמשותם ו{{#annot:term|198,1898|Uv5X}}המופתים עליהם{{#annotend:Uv5X}}
 |-
-|
+|Many of the algebraists [lit. the writers of "al-jabber and al-muqabala"] necessarily demonstrated to you some of them.
-|style="text-align:right;"|וכן כמה שתוסיף מהדברים או תגרע תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה אלו {{#annot:term|287|tOUJ}}האחדים{{#annotend:tOUJ}} באחדי' האחרי' והעולה מהם יהיה מרובעים
+|style="text-align:right;"|והרבה מ{{#annot:term|781|fi12}}סופרי<s>ם</s> אלגבר ואלמקאבלא{{#annotend:fi12}} לא יתכן שלא ייראוך קצת מהם
 |-
-|
+|For each category of these six categories [of canonical equations] there are questions of restoration [lit. cobramiento] and confrontation [lit. confrontamiento] that the arithmeticians teach you.
-|style="text-align:right;"|אמ' ואשים לך על זה תמונה אשר בה תבין משפט המרובע והדבר
+|style="text-align:right;"|ולכל חלק מאלו הששה חלקים שאלות מההפקדה והכוון {{#annot:term|695|bYhV}}קובראמיינטו{{#annotend:bYhV}} {{#annot:term|696|ZrCF}}איקונפרונטאמיינטו{{#annotend:ZrCF}} בלעז אשר יורוך אותם {{#annot:term|782,2033|L4Hk}}בעלי המספר{{#annotend:L4Hk}}
 |-
+|<span style=color:Green>Linguistic explanation of the Hebrew words chosen as the technical terms:</span>
 |
-*<math>\scriptstyle2x\times2x</math>
-|style="text-align:right;"|ונעמיד זה הענין בהכאת שני דברי' בשני דברים
 |-
-|
+|Said Finzi: I chose hafqadah [restoration], from piqadon [lit. deposit] and kivvun [reduction lit. adjusting, direction], from the words of our Sages of Blessed Memory.
-:[[File:Finzi 8.png|thumb|100px|left]]
+|style="text-align:right;"|<big>אמ"פ</big> לקחתי {{#annot:term|695,2037|vlNP}}הפקדה{{#annotend:vlNP}} מלשון פקדון ו{{#annot:term|696,2045|O1Uz}}כוון{{#annotend:O1Uz}} מלשון כוון חשבון אשר בדברי רז"ל
-|[[File:פינצי 8.png|thumb|100px|right]]
 |-
-|
+|You will understand their meaning from the questions that he presents after he introduces the following explanations now.
-::defining:
+|style="text-align:right;"|ותבין ענינם מתוך השאלות אשר יביא אחר הציעו המצעות האלו אשר יניח עתה
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2x}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ג שני דברי&#x202B;'
 |-
 |
-:*GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2x}}</math>
-|style="text-align:right;"|וקו ג"ה שני דברים
+== Chapter: <span style=color:Green>Multiplication of Algebraic Expressions</span> ==
+!style="text-align:right;"|<big>פרק</big>
+|-
+|He said: I will begin first with the multipliction of things by each other; and things by numbers; and things and numbers by things and numbers; and others than those we have mentioned; and other matters that the one who wishes to read this book cannot avoid knowing.
+|style="text-align:right;"|אמ' וראשונה אתחיל מהכאת ה{{#annot:term|133,1309|EDBb}}דברים{{#annotend:EDBb}} אחד באחר והדברים במספרים והדברי' והמספרים בדברי' ובמספרים ומלבד אלו אשר אמרנו ובענינים אחרי' אשר אינו נמלט מידיעתם הרוצה לקרות בזה הספר
 |-
-|
+|I will explain to you how the things that are the roots are multiplied by each other, when they are alone, or with numbers, whether they are subtracted from the numbers or the numbers are subtracted from them; how they are added to each other; and how one is subtracted from the other.
-::AG &times; GH = AH□
+|style="text-align:right;"|ואבאר לך באי זה צד יוכו הדברי' והם השרשים אחד באחד כאשר יהיו נפרדים או כאשר יהיו עם מספרים בין שיהיו נגרעים מהמספרי' בין שיהיו המספרים נגרעים מהם ובאי זה צד {{#annot:term|178,1216|b8IK}}יתקבצו אלו עם אלו{{#annotend:b8IK}} וכיצד {{#annot:term|181,1365|hqB8}}יגרע{{#annotend:hqB8}} האחד מהאחר
-|style="text-align:right;"|והכינו קו א"ג בקו ג"ה והיה שטח א"ה
 |-
 |
-:AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4x^2}}</math>
+*He said: When the things are added to the numbers, the fourth [interim product] is additive; and the fourth [interim product] is the product of the things by each other [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח א"ה ארבעה מרובעי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+x\right)\times\left(b+x\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר יהיו הדברים {{#annot:term|178,1213|qo0g}}נוספים על{{#annotend:qo0g}} המספרים יהיה החלק הרביעי נוסף והחלק הרביעי אז הוא הכאת הדברים זה עם זה
 |-
-|Proof
+|For, when every two numbers are multiplied by two numbers, four multiplications are necessarily applied: each of the first two numbers is multiplied by each of the two other numbers, so there are four multiplications.
-|style="text-align:right;"|מופת זה
+|style="text-align:right;"|כי כל שני מספרים שיוכו בשני מספרים אי אפש' שתהיה מבלעדי בם ההכאה ארבעה {{#annot:term|243|KqmN}}פעמים{{#annotend:KqmN}} והוא שיוכו כל אחד משני המספרים הראשונים בכל אחד מהשני מספרי' האחרים ולכן תהיה {{#annot:term|156,1256|KmBA}}ההכאה{{#annotend:KmBA}} ארבעה פעמים
 |-
 |
-:*AG = AB + BG
+*He said: When the things are subtracted from the numbers, the fourth [interim product] is additive; it is the product of the things by each other [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|שנחלק קו א"ג על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו א"ב ב"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a-x\right)\times\left(b-x\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר היו הדברים נגרעים מהמספרי' יהיה החלק הרביעי נוסף והוא והוא הכאת הדברים האחד באחר
 |-
 |
-:*GH = GD + DH
+*When one is added and the other is subtracted, the fourth [interim product] is subtractive; it is the product of the things one by the other [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|עוד נחלק קו ג"ה על מספר מה שבו מהדברי' ויהיו חלקיו ג"ד ד"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+x\right)\times\left(b-x\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר היו האחד נוסף והאחר {{#annot:term|789,1365|zWaV}}נגרע{{#annotend:zWaV}} היה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת הדברים האחד באחר
 |-
 |
-:*BE || GH
+*When the numbers are subtracted from the things, the fourth [interim product] is additive; and the fourth [interim product] is the product of one of the numbers by the other [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times b}}</math>].
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ב' קו ישר על ע' עד נכוחות קו ג"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(x-a\right)\times\left(x-b\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר היו המספרי' נגרעים מהדברים יהיה החלק הרביעי {{#annot:term|788,1213|jc0t}}נוסף{{#annotend:jc0t}} והחלק הרביעי אז הוא הכאת אחד המספרי' באחר
 |-
 |
-:*DC || AG
+*When one of the two numbers is added to the things and the other is subtracted from the things, the fourth [interim product] is subtractive; it is the product of one of the numbers by the other [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times b}}</math>].
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ד"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(x+a\right)\times\left(x-b\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר יהיו אחד משני המספרים נוסף על הדברי' והאחר {{#annot:term|181,1365|ufK4}}נגרע מ{{#annotend:ufK4}}הדברי' אז יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת אחד משני המספרי' באחר
 |-
 |
-::CB□ = BD□ = DE□ = CE□
+*When the things are added to the numbers and one number is subtracted from the things, the fourth [interim product] is subtractive; it is the product of the added things by the subtracted number [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times\left(-b\right)}}</math>].
-|style="text-align:right;"|והנה נתחדשו עם זה בשטח א"ה ארבעה דברים שוים שטחים והם שטחי ח"ב ב"ד ד"ע ח"ע
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+x\right)\times\left(x-b\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר היו הדברים נוספים על המספרים והיה מספר אחד נגרע מהדברים יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת הדברים הנוספי' ב{{#annot:term|789,1365|sdZM}}מספר הנגרע{{#annotend:sdZM}}
 |-
-|
+|He said: we have already described what should be done with the fourth [interim product], since I saw that the arithmeticians start the multiplication with it.
-::CB□ = BD□ = DE□ = CE□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכבר ספרנו מה הוא הראוי עם החלק הרביעי כפי מה שראיתי שבעלי המספר מתחילי' עמו בהכאה
-|style="text-align:right;"|וכל אחד מהם מרובע
 |-
-|
+|The fourth [interim product] can be other than what we have described, yet the general rule is that the product of subtractives one by the other is additive [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(-\right)\times\left(-\right)=+}}</math>], subtractive by additive is subtractive [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(-\right)\times\left(+\right)=-}}</math>], and additive by additive is additive [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(+\right)\times\left(+\right)=+}}</math>].
-::each of the lines AB; BG; GD; DH multiplied by the other is a square <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואפשר שיהיה החלק הרביעי זולת אשר ספרנו אלא כי כלל הדבר שהכאת {{#annot:term|789,2034|qchh}}הנשנים{{#annotend:qchh}} האחד באחר הוא &#x202B;<ref>302r</ref>תוספת ו{{#annot:term|789,2034|DTnp}}הנשנה{{#annotend:DTnp}} בנוסף גורע והנוסף בנוסף {{#annot:term|178,1206|rbV4}}יוסיף{{#annotend:rbV4}}
-|style="text-align:right;"|וכל אחד מקוי א"ב ב"ג ג"ד ד"ה מוכה באחר הוא מרובע
 |-
-|
+|He said: know that the result of multiplication of things by things is a square [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x=x^2}}</math>]; and the result of things by numbers is things, which are roots, i.e. the thing is the root and the root is the thing; they are two names that denote the same meaning.
-|style="text-align:right;"|וזה הוא משפט המרובע והדבר
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ודע כי מהכאת הדברים בדברים {{#annot:term|875,1575|iEjB}}יגיע{{#annotend:iEjB}} מרובע ומהדברי' במספרי' {{#annot:term|875,1566|ksmA}}יבאו{{#annotend:ksmA}} דברים והם שרשים ר"ל כי הדבר הוא השרש והשרש הוא הדבר והם שני שמות נופלים על ענין אחד
 |-
 |
-::AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4x^2}}</math>
+*He said: if you are told: how much is the result of multiplying one thing by ten dirham? Say: ten things.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"ה ארבעה מרובעי' והוא מש"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת {{#annot:term|133,1309|7shv}}דבר{{#annotend:7shv}} אחד בעשרה דרהמי תאמ' עשרה דברי&#x202B;'
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle3x\times6</math>
+:The explanation is that you consider the thing as one and multiply one by ten; it is ten and they are ten things.
-|style="text-align:right;"|אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת שלשה דברי' בששה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot10=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובאור זה שתשים הדבר בדמיון האחד ותכה אחד בעשרה ויהיה עשרה והם עשרה דברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תשים שלשת הדברי' בדמיון שלשה ותכה שלשה בששה ויהיה שמנה עשר והם שמנה עשר דברים
+*He said: if it is said: how much is the result of multiplying two things by ten dirham? Say: [twenty] things.
+:<math>\scriptstyle{\color{red}{2x\times10=20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו כמה יבא מהכאת שני דברים בעשרה דרהמי תאמר עשרה דברים
 |-
 |
-:[[File:Finzi 9.png|thumb|125px|left]]
+:The explanation is that you consider two things as two numerically and multiply two by ten; they are twenty things.
-|[[File:פינצי 9.png|thumb|125px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובאור זה שתשים שני הדברים בדמיון שנים מהמספר ותכה שנים בעשרה ויהיו עשרים דברים
 |-
-|
+|For any given amount things, each thing is conceived as one, then the sum of units of the things is multiplied by the number of dirham and the result are things.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן כמה שתניח מהדברים תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה כל אחדי הדברי' במספר האדרהמי והעולה יהיה דברים
-|style="text-align:right;"|המשל שנניח קו א"ב ששה מהמספרים
 |-
-|
+|Since, for any number that is multiplied by a certain [algebraic] species, each unit of the species is conceived as one.
-:*BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3x}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי כל מספר מהמספרי' שיוכה במין מה מהמינים יהיה כל אחד מ{{#annot:term|287|CRDI}}אחדי ה{{#annotend:CRDI}}מין בדמיון האחד
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ד שלש' דברי&#x202B;'
 |-
 |
-::AB &times; BD = AD□
+:If there is one thing, consider it as one.
-|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בב"ד והוי והיה שטח א"ד
+|style="text-align:right;"|אם היה דבר אחד תשים אחד
 |-
 |
-:AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{18x}}</math>
+:If there are two [things], consider them as two.
-|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח א"ד הוא שמנה עשר דברים
+|style="text-align:right;"|ואם היו שנים תשים שנים
 |-
-|Proof
+|Also if there are squares, or whichever species you wish to multiply by numbers - the product is of that same species.
-|style="text-align:right;"|ומופת זה
+|style="text-align:right;"|וכן אם היו מרובעים או ענין אחר אי זה שתרצה ותכהו במספרים יהיה העולה הוא מאותו המין
 |-
-|
+|I will give you an illustration of this to clarify what I said to your eye.
-:*AB = AG + GH + HW + WZ + ZC + CB
+|style="text-align:right;"|ואניח לך תמונה על זה לבאר לך לעין מה שאמרתי
-|style="text-align:right;"|שנחלק קו א"ב על מה שבו מהאחדים ויצאו ששה חלקים והם א"ג ג"ה ה"ו ו"ז ז"ח ח"ב
 |-
 |
-:*DB = BT + TK + KD
+*He said: if you are told: how much is the result of multiplying a thing by a thing? Say: a square.
-|style="text-align:right;"|ונחלק קו ד"ב על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו ב"ט ט"כ כ"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה העולה מהכאת דבר בדבר תאמ' מרובע
 |-
 |
-:*BD || CL || ZC || WN || HP || GE
+:The method is that you consider the thing as one and multiply it by one; it is one and it is a square.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקוד' גהוז"ח קוים נכחיים לקו ב"ד והם קוי ח"ל ז"ח ו"נ ה"פ ג"ע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\times1=1\longrightarrow x\times x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואופנו שתשי' הדבר בדמיון האחד ותכהו באחד והוא אחד והוא מרובע
 |-
 |
-:*AB || TQ || KS
+*If it is said: how much is the result of multiplying two things by two things? Say: four squares as I explained to you.
-|style="text-align:right;"|נוציא מנקודות ט"כ שני קוים נכחיי' לקו א"ב והם קוי ט"ק כ"ס
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2x\times2x=4x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם יאמרו כמה יעלה מהכאת שני דברים בשני דברי' תאמ' ארבעה מרובעי' כמו שבארתי לך
 |-
 |
-::AD□ consists of 18 equal quadrangles each is equal to CT□
+*Likewise for three things by two things.
-|style="text-align:right;"|ועם זה יצאו בשטח א"ד שמנה עשר שטחים שוים כמו שנגלה בתמונה כל שטח מהם שוה לשטח ח"ט
+:<math>\scriptstyle3x\times2x</math>
+|style="text-align:right;"|וכן שלשה דברי' בשני דברים
 |-
 |
-::CT□ = BT &times; BC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times1}}</math>
+:Multiply three by two; they are six squares.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח ח"ט הוא מהכאת קו ב"ט שהוא דבר בקו ב"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times2=6\longrightarrow3x\times2x=6x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|תכה שלשה בשנים ויהיו ששה מרובעים
 |-
 |
-::CT□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+*Also half a thing by half a thing.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ח"ט דבר
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x</math>
+|style="text-align:right;"|וכמו כן חצי דבר בחצי דבר
 |-
 |
-::AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{18x}}</math>
+:The result is a quaretr of a quarter.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"ד כלו יהיה שמנה עשר דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|יהיה העולה רביע מרובע
+|-
+|As many things you add or subtract, each thing is conceived as a one. Multiply these units by the other units, and their product are squares.
+|style="text-align:right;"|וכן כמה שתוסיף מהדברים או תגרע תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה אלו {{#annot:term|287|tOUJ}}האחדים{{#annotend:tOUJ}} באחדי' האחרי' ו{{#annot:term|876,1241|C1zj}}העולה מהם{{#annotend:C1zj}} יהיה מרובעים
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-|style="text-align:right;"|וזהו משפט הכאת הדברים במספרים
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times x</math>
+:He said: I will give you a geometric illustration, from which you will understand the rule of the square and the thing:
-|style="text-align:right;"|אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר אחד
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואשים לך על זה תמונה אשר בה תבין {{#annot:term|222|s0fi}}משפט ה{{#annotend:s0fi}}מרובע והדבר
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}</math>
+*{{#annot:2x×2x|802|AfDN}}<math>\scriptstyle2x\times2x</math>
-|style="text-align:right;"|תאמ' שהם עשרה דברים ומרובע
+|style="text-align:right;"|ונעמיד זה הענין בהכאת שני דברי' בשני דברים{{#annotend:AfDN}}
 |-
-|The procedure
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}</math>
+:[[File:Finzi 8.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|והמעשה בזה שתכה דבר בעשרה אדרהמי ויהיו עשרה דברים
+|[[File:פינצי 8.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+:It is that we suppose line AG is two things.
-|style="text-align:right;"|עוד תכה דבר בדבר ויהיה מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=2x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ג שני דברי&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}</math>
+:Line GH is two things.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|797|crBK}}תקבצם{{#annotend:crBK}} ויהיו עשרה דברים ואלגו ומרובע אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=2x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ג"ה שני דברים
 |-
-!Geometric illustration
+|
-|style="text-align:right;"|ואבאר לך בזאת התמונה
+:We multiply line AG by line GH; it is surface AH.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GH=AH}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכינו קו א"ג בקו ג"ה והיה שטח א"ה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 10.png|thumb|125px|left]]
+:We say that surface AH is four squares.
-|[[File:פינצי 10.png|thumb|125px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=4x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח א"ה ארבעה מרובעי&#x202B;'
 |-
 |
-::defining:
+:The proof of this is that we divide line AG by the number of things in it - its segments are AB, BG.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+|style="text-align:right;"|מופת זה ש{{#annot:term|820,2060|q7GH}}נחלק קו{{#annotend:q7GH}} א"ג על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו א"ב ב"ג
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי
 |-
 |
-:*BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:We divide also line GH by the number of things in it: its segments are GD, DH.
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ג דבר אחד
+|style="text-align:right;"|עוד נחלק קו ג"ה על מספר מה שבו מהדברי' ויהיו חלקיו ג"ד ד"ה
 |-
 |
-:*GD = BG
+:We draw a straight line from point B to E, parallel to GH.
-|style="text-align:right;"|ונשים ג"ד שוה לב"ג
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ב' {{#annot:term|817,1847|yJtO}}קו ישר{{#annotend:yJtO}} על ע' {{#annot:term|825,2039|a4Jr}}על נכוחות{{#annotend:a4Jr}} קו ג"ה
 |-
 |
-:*AG &times; BG = AD□
+:We draw line DC from point D, parallel to AG.
-|style="text-align:right;"|ונכה א"ג בב"ג ויצא שטח א"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DC\parallel AG}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ד"ח
 |-
 |
-:AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}</math>
+:Four things are generated by this in surface AH, which are surfaces: CB; BD; DE; CE; each of which is a square.
-|style="text-align:right;"|ונאמר ששטח א"ד עשרה דברים ומרובע אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB=BD=DE=CE=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה נתחדשו עם זה בשטח א"ה ארבעה דברים שוים שטחים והם שטחי ח"ב ב"ד ד"ע ח"ע וכל אחד מהם מרובע
 |-
-|Proof:
+|
-|style="text-align:right;"|מופת זה
+:Each of the lines AB; BG; GD; DH multiplied by the other is a square [<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>].
+|style="text-align:right;"|וכל אחד מקוי א"ב ב"ג ג"ד ד"ה מוכה באחר הוא מרובע
 |-
-|
+|This is the "rule of the square and the thing"
-::BH || GD
+|style="text-align:right;"|וזה הוא משפט המרובע והדבר
-|style="text-align:right;"|שנוציא מנקודת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד ומפני זה יהיה [.....]
 |-
 |
-::BG = GD
+:Surface AH is four squares.
-|style="text-align:right;"|וגם לב"ג השוה לג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=4x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"ה ארבעה מרובעי&#x202B;'
 |-
 |
-:::BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|אבל קו ב"ג דבר אחד
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-::BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+*{{#annot:3x×6|802|NmR4}}If you are told: how much is the result of multiplying three things by six dirham?
-|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ה דבר אחד
+:<math>\scriptstyle3x\times6</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת שלשה דברי' בששה דרהמי{{#annotend:NmR4}}
 |-
 |
-::AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:Consider the three things as three and multiply three by six; it is eighteen and they are eighteen things.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"ה יהיה עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{3x\times6=\left(3\times6\right)x=18x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תשים שלשת הדברי' בדמיון שלשה ותכה שלשה בששה ויהיה &#x202B;<ref>302v</ref>שמנה עשר והם שמנה עשר דברים
 |-
 |
-:::AH□ = AB &times; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+:[[File:Finzi 9.png|thumb|125px|left]]
-|style="text-align:right;"|מפני כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי בקו ב"ה שהוא דבר
+|[[File:פינצי 9.png|thumb|125px|right]]
 |-
 |
-::BD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:Example: we suppose line AB is six numbers.
-|style="text-align:right;"|ושטח ב"ד הוא מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|197,1896|ro9C}}המשל ש{{#annotend:ro9C}}נניח קו א"ב ששה מהמספרים
 |-
 |
-:::BD□ = BG<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+:Line BD is three things.
-|style="text-align:right;"|כי הוא מהכאת ב ב"ג שהוא דבר בעצמו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=3x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ד שלש' דברי&#x202B;'
 |-
 |
-:AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}</math>
+:We multiply line AB by BD; it is surface AD and we say that surface AD is eighteen things.
-|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ד כלו הוא עשרה [..] דברים ומרובע אחד והוא מה שרצינו לבאר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=AB\times BD=6\times3x=18x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בב"ד והוי והיה שטח א"ד ונאמ' ששטח א"ד הוא שמנה עשר דברים
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(10-x\right)\times x</math>
+:The proof of this is that we divide line AB by the units in it - the result are six segments, which are AG, GH, HW, WZ, ZC, CB.
-|style="text-align:right;"|אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי פחות דבר אחד בדבר אחד
+|style="text-align:right;"|ומופת זה שנחלק קו א"ב על מה שבו מהאחדים ויצאו ששה {{#annot:term|821,1259|8rKf}}חלקים{{#annotend:8rKf}} והם א"ג ג"ה ה"ו ו"ז ז"ח ח"ב
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}</math>
+:We divide line DB by the number of things in it - its segments are BT, TK, KD.
-|style="text-align:right;"|תאמ' עשרה דברים פחות מרובע אחד
+|style="text-align:right;"|ונחלק קו ד"ב על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו ב"ט ט"כ כ"ד
-|-
-|The procedure:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
-|style="text-align:right;"|[והמעשה בזה שתכה עשרה דרהמי בדבר ויהיו עשרה דברי&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+:We draw lines CL, ZC, WN, HP, GE from points G, H, W, Z, C, parallel to BD.
-|style="text-align:right;"|ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD\parallel CL;ZC;WN;HP;GE}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקוד' גהוז"ח קוים נכחיים לקו ב"ד והם קוי ח"ל ז"ח ו"נ ה"פ ג"ע
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}</math>
+:We draw lines TQ, KS from points T, K, parallel to AB.
-|style="text-align:right;"|תגרעהו מעשרה הדברי' וישאר ארבעה דברים פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB\parallel TQ;KS}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|נוציא מ{{#annot:term|833,1606|HGlB}}נקודות{{#annotend:HGlB}} ט"כ שני {{#annot:term|592,1450|1nUp}}קוים{{#annotend:1nUp}} נכחיי' לקו א"ב והם קוי ט"ק כ"ס
-!Geometric illustration
-|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 11.png|thumb|125px|left]]
+:As a result, surface AD consists of eighteen equal quadrangles, as we see in figure, each of them is equal to surface CT.
-|[[File:פינצי 11.png|thumb|125px|right]]
+|style="text-align:right;"|ועם זה יצאו בשטח א"ד שמנה עשר שטחים שוים כמו שנגלה בתמונה כל שטח מהם שוה לשטח ח"ט
 |-
 |
-::defining:
+:But, Surface CT is generated from the product of line BT, which is a thing, by line BC. So, surface CT is a thing.
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CT=BT\times BC=x\times1=x}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ג הוא עשרה דרהמי
+|style="text-align:right;"|אבל שטח ח"ט הוא מהכאת קו ב"ט שהוא דבר בקו ב"ח ולכן יהיה שטח ח"ט דבר
 |-
 |
-:*BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:The whole surface AD is eighteen things.
-|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ג ממנו הוא דבר א&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=18x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"ד כלו יהיה שמנה עשר דברים
 |-
-|
+|This is the "rule of the multiplication of the things by numbers".
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וזהו משפט הכאת הדברים במספרים
-|style="text-align:right;"|וישאר קו א"ב עשרה דרהמי פחות דבר
 |-
 |
-:*GD = BG
+*{{#annot:(10+x)×x|802|Dvm5}}If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by one thing?
-|style="text-align:right;"|ונשים קו ג"ד שוה לקו ב"ג
+:<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times x</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר אחד{{#annotend:Dvm5}}
 |-
 |
-:*AG &times; GD = AD□
+:Say: it is ten things plus a square.
-|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ג בקו ג"ד ויצא שטח א"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמ' שהם עשרה דברים ומרובע
 |-
 |
-:*BH || GD
+:The procedure is that you multiply a thing by ten dirham; they are ten things.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקדת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמעשה בזה שתכה דבר בעשרה אדרהמי ויהיו עשרה דברים
 |-
 |
-:AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2}}</math>
+:Multiply a thing by a thing; it is a square.
-|style="text-align:right;"|ונאמ' כי שטח א"ה הוא עשרה דברי' פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|עוד תכה דבר בדבר ויהיה מרובע
-|Proof:
-|style="text-align:right;"|מופת זה
 |-
 |
-::AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:Sum them up; they are ten thing and one square.
-|style="text-align:right;"|כי הנה שטח א"ד הוא עשרה דברי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקבצם ויהיו עשרה דברים ואלגו ומרובע אחד
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-:::AD□ = AG &times; GD = AG &times; BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot x=10x}}</math>
-|style="text-align:right;"|בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא עשרה בקו ג"ד השוה לב"ג שהוא דבר
 |-
 |
-::BD□ = BG &times; GD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:I will explain this to you by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|ושטח ב"ד הוא מרובע כי הנה הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בקו ג"ד השוה אליו
+|style="text-align:right;"|ואבאר לך בזאת התמונה
 |-
 |
-:AH□ = AB &times; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}</math>
+:[[File:Finzi 10.png|thumb|125px|left]]
-|style="text-align:right;"|ולכן ישאר שטח א"ה עשרה דברי' פחות מרובע והוא מהכאת א"ב שהוא עשרה דרהמי פחות דבר בב"ה שהוא דבר ומש"ל
+|[[File:פינצי 10.png|thumb|125px|right]]
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)</math>
+:It is that we suppose line AB is ten dirham.
-|style="text-align:right;"|אמר ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי ודבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}</math>
+:Line BG is one thing.
-|style="text-align:right;"|תאמ' מאה דרהמי ומרובע ועשרי' דברי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=x}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ג דבר אחד
-|The procedure:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}</math>
-|style="text-align:right;"|והמעשה] והמעשה בזה שנכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+:We define GD equal to BG.
-|style="text-align:right;"|עוד תכה עשרה בדבר ויהיו עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=BG}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשים ג"ד שוה לב"ג
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+:We multiply AG by BG; the result is surface AD.
-|style="text-align:right;"|ותשוב ותכה דבר בעשרה דרהמי ויהיו עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG\times BG=AD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה א"ג בב"ג ויצא שטח א"ד
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+:We say that surface AD is ten things plus one square.
-|style="text-align:right;"|ותכה עוד דבר בדבר ויהיו מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=10x+x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמר ששטח א"ד עשרה דברים ומרובע אחד
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}</math>
+:The proof of this is that we draw line BH from point B, parallel to GD.
-|style="text-align:right;"|ותקבץ הכל יחד ויהיה מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH\parallel GD}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|מופת זה שנוציא מנקודת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד
-!Geometric illustration
-|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 12 - II.png|thumb|100px|left]]
+:So it is equal to it and also to BG that is equal to GD.
-|[[File:פינצי - II 12.png|thumb|100px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=GD=BG}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה שוה לו וגם לב"ג השוה לג"ד
 |-
 |
-::defining:
+:But, line BG is one thing.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=x}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
+|style="text-align:right;"|אבל קו ב"ג דבר אחד
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:So, line BH is one thing.
-|style="text-align:right;"|וא"ג ממנו עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ה דבר אחד
 |-
 |
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:Surface AH is ten things, since it is generated from the product of line AB, which is ten dirham, by line BH, which is a thing.
-|style="text-align:right;"|וג"ב דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=10\times x=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"ה יהיה עשרה דברים מפני כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי בקו ב"ה שהוא דבר
 |-
 |
-:*BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}</math>
+:Surface BD is a square, since it is generated from the product of BG, which is a thing, by itself.
-|style="text-align:right;"|וכן נניח קו ב"ד עשרה דרהמי ודבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=BG^2=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ב"ד הוא מרובע כי הוא מהכאת <s>ב</s> ב"ג שהוא דבר בעצמו
 |-
 |
-:*BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:Therefore, the whole surface AD is ten things plus a square.
-|style="text-align:right;"|ב"ה ממנו דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=10x+x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ד כלו הוא עשרה [<s>..</s>] דברים ומרובע אחד
 |-
 |
-:*HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|וה"ד עשרה
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|780,2080|NOHI}}והוא מה שרצינו לבאר{{#annotend:NOHI}}
 |-
 |
-:*AB &times; BD = AD□
+*{{#annot:(10-x)×x|802|EDhK}}If you are told: how much is the product of ten dirham minus a thing by a thing?
-|style="text-align:right;"|ותכה קו א"ב בקו ב"ד ויצא שטח א"ד
+:<math>\scriptstyle\left(10-x\right)\times x</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי {{#annot:term|879,1366|9fZc}}פחות{{#annotend:9fZc}} דבר אחד בדבר אחד{{#annotend:EDhK}}
 |-
 |
-:AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2+20x}}</math>
+:Say: ten things minus one square.
-|style="text-align:right;"|ונאמ' כי שטח א"ד מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|תאמ' עשרה דברים פחות מרובע אחד
-|Proof:
-|style="text-align:right;"|ומופת זה
 |-
 |
-:*GC || BD
+:The procedure: is that you multiply ten dirham by a thing; they are ten things.
-|style="text-align:right;"|שנוציא מנקודת ג' קו נכחי לקו ב"ד והוא קו ג"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>from here marg.</ref>והמעשה בזה שתכה עשרה דרהמי בדבר ויהיו עשרה דברי&#x202B;'
 |-
 |
-:*HZ || AB
+:Multiply a thing by a thing; it is a square.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
 |-
 |
-::GH□ is a square
+:Subtract it from ten things; [ten] things minus a square remain.
-|style="text-align:right;"|הנה שטח ג"ה מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|תגרעהו מעשרה הדברי' וישאר ארבעה דברים פחות מרובע
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-::ZC□ is a square
-|style="text-align:right;"|וז"ח מרובע
 |-
 |
-::GZ□ = HC□
+:I will explain this by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|ושטח ג"ז כמו שטח ה"ח
+|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:::according to Euclid
+:[[File:Finzi 11.png|thumb|125px|left]]
-|style="text-align:right;"|כמו שאבאר כל זה באקלידס
+|[[File:פינצי 11.png|thumb|125px|right]]
 |-
 |
-::ZC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:It is that we suppose line AG is ten dirham.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח ז"ח מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ג הוא עשרה דרהמי
 |-
 |
-:::ZC□ = ZT &times; TC = AG &times; HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}</math>
+:We suppose line BG is one thing.
-|style="text-align:right;"|כי הוא הוה מהכאת ז"ט השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ט"ח השוה לה"ד שהוא גם כן עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ג ממנו הוא דבר א&#x202B;'
 |-
 |
-::ZG□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:The remaining line AB is ten dirham minus a thing.
-|style="text-align:right;"|ושטח ז"ג עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10-x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר קו א"ב עשרה דרהמי פחות דבר
 |-
 |
-:::ZG□ = GT &times; AG = BH &times; AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}</math>
+:We define line GD equal to line BG.
-|style="text-align:right;"|כי הנה הוא מהכאת ג"ט השוה לב"ה שהוא דבר בקו א"ג שהוא עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=BG}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשים קו ג"ד שוה לקו ב"ג
 |-
 |
-::CH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:We multiply line AG by line GD; the result is surface AD.
-|style="text-align:right;"|ושטח ח"ה גם כן עשרה דברי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GD=AD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ג בקו ג"ד ויצא שטח א"ד
 |-
 |
-:::CH□ = TH &times; HD = GB &times; HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}</math>
+:We draw line BH from point B, parallel to GD.
-|style="text-align:right;"|כי הוא מהכאת ט"ה השוה לג"ב שהוא דבר בקו ה"ד שהוא עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH\parallel GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקדת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד
 |-
 |
-::GH□ = GB &times; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:We say that surface AH is ten things minus a square.
-|style="text-align:right;"|ושטח ג"ה הוא מרובע כי הוא מהכאת קו ג"ב שהוא דבר בקו ב"ה שהוא גם כן דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=10x-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' כי שטח א"ה הוא עשרה דברי' פחות מרובע
 |-
 |
-:AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2+20x}}</math>
+:The proof of this is that surface AD is ten things, since it is generated from the product of line AG, which is ten, by line GD that is equal to BG, which is a thing.
-|style="text-align:right;"|ומקובץ הארבעה שטחים הוא שטח א"ד אם כן שטח א"ד הוא מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים והוא מש"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=AG\times GD=AG\times BG=10\sdot x=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|מופת זה כי הנה שטח א"ד הוא עשרה דברי' בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא עשרה בקו ג"ד השוה לב"ג שהוא דבר
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)</math>
+:Surface BD is a square, since it is generated from the product of BG, which is a thing, by line GD that is equal to it.
-|style="text-align:right;"|אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה אדרהמי פחות דבר בעשרה אדרהמי פחות דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=BG\times GD=x\sdot x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ב"ד הוא מרובע כי הנה הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בקו ג"ד השוה אליו
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}</math>
+:Therefore, surface AH remains ten things minus a square, and it is generated from the product of AB, which is ten dirham minus a thing, by BH, which is a thing.
-|style="text-align:right;"|תאמ' מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ולכן ישאר שטח א"ה עשרה דברי' פחות מרובע והוא מהכאת א"ב שהוא עשרה דרהמי פחות דבר בב"ה שהוא דבר
-|The procedure:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו שתכה עשרה דרהמי בעשרה דרהמי ויהיה מאה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times10=-10x}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|תכה דבר נגרע בעשרה דרהמי ויהיה עשרה דברים נגרעים
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|780,2080|hCkV}}ומש"ל{{#annotend:hCkV}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-x\right)=-10x}}</math>
+*{{#annot:(10+x)×(10+x)|802|e5Fz}}If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by ten dirham plus a thing?
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב להכות עשרה דרהמי בדבר הנגרע ויהיו גם כן עשרה דברים נגרעים
+:<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי ודבר{{#annotend:e5Fz}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times\left(-x\right)=x^2}}</math>
+:Say: one hundred dirham, a square, and twenty things.
-|style="text-align:right;"|ותכה דבר נגרע בדבר נגרע ויהיה מרובע נוסף
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמ' מאה דרהמי ומרובע ועשרי' דברי&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}</math>
+:The procedure is that we multiply ten by ten; they are a hundred dirham.
-|style="text-align:right;"|ותקבץ כל זה ויהיה מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|והמעשה<ref>end marg.</ref> בזה שנכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
-!Geometric illustration
-|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 13 - II.png|thumb|100px|left]]
+:Multiply also ten by a thing; they are ten things.
-|[[File:פינצי  - II13.png|thumb|100px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכה עשרה בדבר ויהיו עשרה דברים
 |-
 |
-::defining:
+:Multiply again a thing by ten dirham; they are ten things.
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנשים קו א"ג עשרה דרהמי
+|style="text-align:right;"|ותשוב ותכה דבר בעשרה דרהמי ויהיו עשרה דברים
 |-
 |
-:*AB = AG - BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}</math>
+:Multiply also a thing by a thing; it is a square.
-|style="text-align:right;"|ונפחות ממנו דבר והוא קו ב"ג וישאר א"ב עשרה פחות דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה עוד דבר בדבר ויהיו מרובע
 |-
 |
-:*GD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:Sum up all; it is one hundred dirham, a square, and twenty things.
-|style="text-align:right;"|וכן נשים קו ג"ד עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקבץ הכל יחד ויהיה מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-:*GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
-|style="text-align:right;"|וג"ה ממנו הוא דבר
 |-
 |
-:*ZC□ = AB &times; HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)}}</math>
+:I will explain this by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בקו ה"ד ויעלה מרובע ז"ח
+|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:ZC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2-20x}}</math>
+:[[File:Finzi 12 - II.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|ונאמ' שמרובע ז"ח מאה אדרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
+|[[File:פינצי - II 12.png|thumb|100px|right]]
 |-
-|Proof:
+|
-|style="text-align:right;"|מופת זה
+:It is that we suppose line AB is ten dirham plus a thing.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10+x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שנשלים שטח א"ד
+:AG is ten.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"ג ממנו עשרה
 |-
 |
-::BC || BD
+:GB is a thing.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקוד' ב' קו ב"ח נכחי לקו ב"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ב דבר
 |-
 |
-::HZ || AG
+:We suppose also that line BD is ten dirham plus a thing.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=10+x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן נניח קו ב"ד עשרה דרהמי ודבר
 |-
 |
-::AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:BH is a thing.
-|style="text-align:right;"|הנה כי שטח א"ד מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ב"ה ממנו דבר
 |-
 |
-:::AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:HD is ten.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ג עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HD=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|וה"ד עשרה
 |-
 |
-:::GD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:Multiply line AB by line BD; the result is surface AD.
-|style="text-align:right;"|וג"ד עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB\times BD=AD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה קו א"ב בקו ב"ד ויצא שטח א"ד
 |-
 |
-::ZG□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:We say that surface AD is one hundred dirham, a square, and twenty things.
-|style="text-align:right;"|ושטח ז"ג עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=100+x^2+20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' כי שטח א"ד מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
 |-
 |
-:::AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:The proof of this is that we draw line GC from point G, parallel to BD
-|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ג עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GC\parallel BD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומופת זה שנוציא מנקודת ג' קו נכחי לקו ב"ד והוא קו ג"ח
 |-
 |
-:::GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:We draw line HZ from point H, parallel to AB.
-|style="text-align:right;"|וג"ה הוא דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HZ\parallel AB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ב
 |-
 |
-:::BD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:Surface GH is a square.
-|style="text-align:right;"|וכן שטח ב"ד עשרה דברים
+|style="text-align:right;"|הנה שטח ג"ה מרובע
 |-
 |
-:::GD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:ZC is a square.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי ג"ד עשרה
+|style="text-align:right;"|וז"ח מרובע
 |-
 |
-::GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:Surface GZ is the same as surface HC, as Euclid has explained all this..
-|style="text-align:right;"|וג"ב הוא דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GZ=HC}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ג"ז כמו שטח ה"ח כמו ש<s>א</s>באר כל זה באקלידס
 |-
 |
-::BH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:But, surface ZC is one hundred, since it is generated from the product of ZT that is equal to AG, which is ten, by line TC that is equal to HD, which is also ten.
-|style="text-align:right;"|ושטח ב"ה הוא מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZC=ZT\times TC=AG\times HD=10\sdot10=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח ז"ח מאה כי הוא הוה מהכאת <ref>303r</ref>ז"ט השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ט"ח השוה לה"ד שהוא גם כן עש<sup>ר</sup>ה
 |-
 |
-:::BH□ = BG &times; GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:Surface ZG is ten things, since it is generated from the product of GT that is equal to BH, which is a thing, by line AG, which is ten.
-|style="text-align:right;"|כי הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בג"ה שהוא גם כן דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZG=GT\times AG=BH\times AG=x\sdot10=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ז"ג עשרה דברים כי הנה הוא מהכאת ג"ט השוה לב"ה שהוא דבר בקו א"ג שהוא עשרה
 |-
 |
-::HC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2}}</math>
+:Surface CH is also ten things, since it is generated from the product of TH that is equal to GB, which is a thing, by line HD, which is ten.
-|style="text-align:right;"|וישאר שטח ה"ח עשרה דברים פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CH=TH\times HD=GB\times HD=x\sdot10=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ח"ה גם כן עשרה דברי' כי הוא מהכאת ט"ה השוה לג"ב שהוא דבר בקו ה"ד שהוא עשרה
 |-
 |
-::AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:Surface GH is a square, since it is generated from the product of line GB, which is a thing, by line BH, which is aldo a thing.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"ה עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=GB\times BH=x\sdot x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ג"ה הוא מרובע כי הוא מהכאת קו ג"ב שהוא דבר בקו ב"ה שהוא גם כן דבר
 |-
 |
-::HC□ + AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{20x-x^2}}</math>
+:The sum of the four surfaces is surface AD. Hence, surface AD is a hundred dirham, a square, and twenty things.
-|style="text-align:right;"|ומקובצם עשרים דברים פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=ZC+ZG+CH+GH=100+x^2+20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומקובץ הארבעה שטחים הוא שטח א"ד אם כן שטח א"ד הוא מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
 |-
 |
-:ZC□ = AD□ - (AH□ + HD□) = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2-20x}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|וכשנגרעם שטח א"ה ושטח ה"ח משטח א"ד שהוא מאה ישאר שטח ז"ח מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)</math>
+*{{#annot:(10-x)×(10-x)|802|wU5C}}If you are told: how much is the product of ten dirham minus a thing by ten dirham minus a thing?
-|style="text-align:right;"|אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי פחות דבר
+:<math>\scriptstyle\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה אדרהמי פחות דבר בעשרה אדרהמי פחות דבר{{#annotend:wU5C}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}</math>
+:Say: one hundred dirham and a square minus twenty things.
-|style="text-align:right;"|תאמ' מאה דרהמי פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמ' מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
 |-
-|The procedure:
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}</math>
+:Its procedure is that you multiply ten dirham by ten dirham; it is one hundred.
-|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו שתכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו שתכה עשרה דרהמי בעשרה דרהמי ויהיה מאה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}</math>
+:Multiply a subtractive thing by ten dirham; they are ten subtractive things.
-|style="text-align:right;"|ותכה הדבר הנוסף בעשרה ויהיו עשרה דברים נוספי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times10=-10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תכה דבר נגרע בעשרה דרהמי ויהיה עשרה דברים נגרעים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{-x\times10=-10x}}</math>
+:Multiply again ten dirham by a subtractive thing; they are also ten subtractive things.
-|style="text-align:right;"|ותכה הדבר הגורע בעשרה ויהיו עשרה דברים נגרעים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-x\right)=-10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב להכות עשרה דרהמי בדבר הנגרע ויהיו גם כן עשרה דברים נגרעים
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(10x-10x\right)=100}}</math>
+:Multiply a subtractive thing by a subtractive thing; it is an additive square.
-|style="text-align:right;"|ותוציא הנוספים כנגד הנגרעים וישארו מאה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times\left(-x\right)=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה דבר נגרע בדבר נגרע ויהיה מרובע נוסף
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-x\right)=-x^2}}</math>
+:Sum up all; it is one hundred dirham and a square minus twenty things.
-|style="text-align:right;"|עוד תכה הדבר הנוסף בדבר הגורע ויהיה מרובע נגרע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקבץ כל זה ויהיה מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותגרעהו מהמאה דרהמי וישארו מאה פחות מרובע
 |-
-!Geometric illustration
+|
-|style="text-align:right;"|ואבאר לך זה בזאת התמונה
+:I will explain this by this geometric illustration:
+|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 14 - II.png|thumb|125px|left]]
+:[[File:Finzi 13 - II.png|thumb|100px|left]]
-|[[File:פינצי - II 14.png|thumb|125px|right]]
+|[[File:פינצי  - II13.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::defining:
+:It is that we suppose line AG is ten dirham.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה ודבר
+|style="text-align:right;"|והוא שנשים קו א"ג עשרה דרהמי
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:We subtract a thing, which is line BG, from it; AB remains ten minus a thing.
-|style="text-align:right;"|א"ג עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=AG-BG=10-x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|181,1364|47pj}}נפחות ממנו{{#annotend:47pj}} דבר והוא קו ב"ג וישאר א"ב עשרה פחות דבר
 |-
 |
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:We also define line GD as ten.
-|style="text-align:right;"|וג"ב דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן נשים קו ג"ד עשרה
 |-
 |
-:*BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}</math>
+:GH is a thing.
-|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ה עשרה פחות דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ה ממנו הוא דבר
 |-
 |
-:*BD = BH + HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)+x=10}}</math>
+:We multiply line AB by line HD; the result is the square ZC.
-|style="text-align:right;"|ונדביק עמו קו ה"ד הוא דבר ויהיה קו ב"ד כלו עשרה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZC=AB\times HD=\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בקו ה"ד ויעלה מרובע ז"ח
 |-
 |
-::AH□ = AB &times; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\sdot\left(10-x\right)}}</math>
+:We say that surface ZC is one hundred dirham and a square minus twenty things.
-|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב שהוא עשרה דרהממי ודבר בקו ב"ה שהוא עשרה פחות דבר ויהיה שטח א"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZC=100+x^2-20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' שמרובע ז"ח מאה אדרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
 |-
 |
-:AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}</math>
+:The proof of this is that we complete surface AD.
-|style="text-align:right;"|ונאמר ששטח א"ה הוא מאה דרהמי פחות מרובע
+|style="text-align:right;"|מופת זה שנשלים שטח א"ד
 |-
-|Proof:
+|
-|style="text-align:right;"|ומופת זה
+:We draw line BC from point B, parallel to line BD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC\parallel BD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקוד' ב' קו ב"ח נכחי לקו ב"ד
 |-
 |
-::AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100+10x}}</math>
+:We draw line HZ from point H, parallel to line AG.
-|style="text-align:right;"|שנשלם שטח א"ד והנה הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HZ\parallel AG}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ג
 |-
 |
-::AC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:Surface AD is one hundred.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי שטח א"ח ממנו הוא מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כי שטח א"ד מאה
 |-
 |
-:::AC□ = AG &times; GC = AG &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}</math>
+:Since AG is ten.
-|style="text-align:right;"|כי הנה הוא מהכאת א"ג שהוא עשרה בג"ח שהוא גם כן עשרה כי הוא שוה לב"ד שהנחנוהו עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ג עשרה
 |-
 |
-::GD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:And GD is ten
-|style="text-align:right;"|ושטח ג"ד הנשאר הוא עשרה דברי'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ד עשרה
 |-
 |
-:::GD□ = GD &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}</math>
+:Surface ZG is ten things
-|style="text-align:right;"|כי הנה הוא מהכאת ג"ד כי שהוא דבר בב"ד שהוא עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZG=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ז"ג עשרה דברים
 |-
 |
-::AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100+10x}}</math>
+:Since AG is ten.
-|style="text-align:right;"|הנה כי כל שטח א"ד הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ג עשרה
 |-
 |
-::ZC□ = CB□
+:And GH is a thing.
-|style="text-align:right;"|והוא מבואר בנקלה למבין כי שטח ז"ח כמו שטח ח"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ה הוא דבר
 |-
 |
-::MB□ = ZC□ - MD□
+:Surface BD is also ten things.
-|style="text-align:right;"|ונבדיל משטח ז"ח כמו שטח מ"ד המרובע והוא שטח מ"[ב]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן שטח ב"ד עשרה דברים
 |-
 |
-::KD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+2x^2}}</math>
+:Since GD is ten.
-|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה שטח כ"ד שנים מרובעי'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי ג"ד עשרה
 |-
 |
-::ZT□ = MB□
+:And GB is a thing.
-|style="text-align:right;"|וישאר שטח ז"ט כמו שטח מ"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ב הוא דבר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונשים שטח א"מ משותף
+:Surface BH is a square, since it is generated from the product of BG, which is a thing, by GH, which is also a thing.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=BG\times GH=x\sdot x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ב"ה הוא מרובע כי הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בג"ה שהוא גם כן דבר
 |-
 |
-::AH□ = AM□ + MB□ = AM□ + ZT□
+:Surface HC remains ten things minus a square.
-|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"מ ושטח מ"ב יחד והוא כל שטח א"ה יהיה שוה לשטחי א"מ ז"ט
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HC=10x-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר שטח ה"ח עשרה דברים פחות מרובע
 |-
 |
-::AM□ + ZT□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}</math>
+:Surface AH is ten things.
-|style="text-align:right;"|אבל שני שטחי א"מ ז"ט אתה רואה כי הם מאה דרהמי פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"ה עשרה דברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|בעבור כי שטח מ"ט הנחסר הוא מרובע
+:Their sum is twenty things minus a square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HC+AH=20x-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומקובצם עשרים דברים פחות מרובע
 |-
 |
-:AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}</math>
+:When we subtract surface AH and surface HC from surface AD, which is a hundred, surface ZC remains a hundred dirham and a square minus twenty things.
-|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ה יהיה מאה דרהמי פחות מרובע והוא מש"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZC=AD-\left(AH+HC\right)=100+x^2-20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכשנגרעם שטח א"ה ושטח ה"ח משטח א"ד שהוא מאה ישאר שטח ז"ח מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)</math>
+*{{#annot:(10+x)×(10-x)|802|FNrC}}If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by ten dirham minus a thing?
-|style="text-align:right;"|אמ' ואם יאמרו לך כמה העולה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר פחות עשרה דרהמי
+:<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי פחות דבר{{#annotend:FNrC}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}</math>
+:Say: one hundred dirham minus a square.
-|style="text-align:right;"|תאמ' מרובע פחות מאה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמ' מאה דרהמי פחות מרובע
+|-
+|
+:Its procedure is that you multiply ten by ten; they are a hundred dirham.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו שתכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
 |-
-|The procedure:
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+:Multiply the additive thing by ten; they are ten additive things.
-|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו הוא שנכה עשרה בדבר הפוחת עשרה ויהיו עשרה דברים נוספים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה הדבר הנוסף בעשרה ויהיו עשרה דברים נוספי&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-10\right)=-100}}</math>
+:Multiply the subtractive thing by ten; they are ten subtractive things.
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכה עשרה בעשרה הפוחתים ויהיו מאה דרהמי גורעי'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{-x\times10=-10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה הדבר {{#annot:term|789,2031|sJWW}}הגורע{{#annotend:sJWW}} בעשרה ויהיו עשרה דברים נגרעים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+:Throw the additives for the subtractives; one hundred dirham remain.
-|style="text-align:right;"|ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(10x-10x\right)=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותוציא {{#annot:term|788,1213|nzAv}}הנוספים{{#annotend:nzAv}} כנגד הנגרעים וישארו מאה דרהמי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-10\right)=-10x}}</math>
+:Multiply the additive thing by the subtractive thing; it is a subtractive square.
-|style="text-align:right;"|עוד תכה דבר בעשרה הפוחתים ויהיו עשרה דברי' נגרעים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-x\right)=-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכה הדבר הנוסף בדבר הגורע ויהיה מרובע נגרע
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10x-10x}}</math>
+:Subtract it from the one hundred dirham; one hundred dirham minus a square remain.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|181|znBP}}תשליך{{#annotend:znBP}} העשרה דברי' נוספי' כנגד העשרה הדברים הנגרעים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותגרעהו מהמאה דרהמי וישארו מאה פחות מרובע
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}</math>
-|style="text-align:right;"|וישאר המקובץ מההכאה מרובע פחות מאה דרהמי
 |-
-!Geometric illustration
+|
-|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
+:I will explain this to you by this geometric illustration:
+|style="text-align:right;"|ואבאר לך זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 15.png|thumb|125px|left]]
+:[[File:Finzi 14 - II.png|thumb|125px|left]]
-|[[File:פינצי 15.png|thumb|125px|right]]
+|[[File:פינצי - II 14.png|thumb|125px|right]]
 |-
 |
-::defining:
+:It is that we suppose line AB is ten plus a thing.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10+x}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנשים קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה ודבר
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:AG is ten.
-|style="text-align:right;"|א"ג הוא עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>303v</ref>א"ג עשרה
 |-
 |
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:GB is a thing.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}</math>
 |style="text-align:right;"|וג"ב דבר
 |-
 |
-:*BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x-10}}</math>
+:We suppose line BH is ten minus a thing.
-|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ה דבר פחות עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=10-x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ה עשרה פחות דבר
 |-
 |
-:*HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:We attach line HD, which is a thing, to it; the whole line BD is ten dirham.
-|style="text-align:right;"|ונוסיף בו ה"ד שהוא עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=BH+HD=\left(10-x\right)+x=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|2052,2049|iJG4}}נדביק{{#annotend:iJG4}} עמו קו ה"ד הוא דבר ויהיה קו ב"ד כלו עשרה דרהמי
 |-
 |
-::AH□ = AB &times; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\sdot\left(x-10\right)}}</math>
+:We multiply line AB, which is ten dirham plus a thing, by line BH, which is ten minus a thing; it is surface AH.
-|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בקו ב"ה ויהיה שטח א"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=\left(10+x\right)\sdot\left(10-x\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב שהוא עשרה ד<sup>ר</sup>ה<s>מ</s>מי ודבר בקו ב"ה שהוא עשרה פחות דבר ויהיה שטח א"ה
 |-
 |
-:AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2-100}}</math>
+:We say that surface AH is one hundred dirham minus a square.
-|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח א"ה הוא מרובע פחות מאה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=100-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמר ששטח א"ה הוא מאה דרהמי פחות מרובע
 |-
-|Proof
+|
-|style="text-align:right;"|מופת זה
+:The proof of this is that we complete surface AD; it is a hundred dirham plus ten things.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=100+10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומופת זה שנשלם שטח א"ד והנה הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
 |-
 |
-::AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}</math>
+:Since surface AC is a hundred, because it is generated from the multiplication of AG, which is ten, by line GC, which is also ten, as it is equal to BD we have assumed to be ten.
-|style="text-align:right;"|שנשלים שטח א"ד ויהיה שטח א"ד עשרה דברים ומרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=AG\times GC=AG\times BD=10\times10=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי שטח א"ח ממנו הוא מאה כי הנה הוא מהכאת א"ג שהוא עשרה בג"ח שהוא גם כן עשרה כי הוא שוה לב"ד שהנחנוהו עשרה
 |-
 |
-:::AD□ = AB &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10x+x\right)\times X}}</math>
+:The remaining surface GD is ten things, because it is generated from the multiplication of GD, which is a thing, by BD, which is ten.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי ודבר בקו ב"ד שהוא דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=GD\times BD=x\sdot10=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ג"ד הנשאר הוא עשרה דברי' כי הנה הוא מהכאת ג"ד <s>כי</s> <sup>ש</sup>הוא דבר בב"ד שהוא עשרה
 |-
 |
-::GC || BD
+:So, the whole surface AD is one hundred dirham plus ten things.
-|style="text-align:right;"|ונוציא קו ג"ח נכחי לקו ב"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=100+10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כי כל שטח א"ד הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
 |-
 |
-:::GD□ = GB &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:It is easily explained to one who understands that surface ZC is the same as surface CB.
-|style="text-align:right;"|והנה יהיה שטח ג"ד מרובע כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא גם כן דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZC=CB}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא מבואר בנקלה למבין כי שטח ז"ח כמו שטח ח"ב
 |-
 |
-::AC□ = CH□
+:We subtract the square surface MD from surface ZC; it is surface MB.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"ח כמו שטח ח"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MB=ZC-MD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונבדיל משטח ז"ח כמו שטח מ"ד המרובע והוא שטח מ"[ב&#x202B;]
+|-
+|
+:Hence, surface KD is two squares.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KD=2x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה שטח כ"ד שנים מרובעי&#x202B;'
 |-
 |
-:::CG = CD
+:The remaining surface ZT is the same as surface MB.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ח"ג כמו קו ח"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZT=MB}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר שטח ז"ט כמו שטח מ"ב
 |-
 |
-:::AG = HD
+:We construct surface AM shared by both.
-|style="text-align:right;"|וקו א"ג כמו קו ה"ד
+|style="text-align:right;"|ונשים שטח א"מ משותף
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונבדיל שטח ח"ה ממרובע ג"ד ונשתף עמו שטח א"ח השוה לו
+:Surface AM plus surface MB, which are the whole surface AH, are equal to surfaces AM and ZT.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=AM+MB=AM+ZT}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"מ ושטח מ"ב יחד והוא כל שטח א"ה יהיה שוה לשטחי א"מ ז"ט
 |-
 |
-::GH□ + AC□ = GD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:But, you see that the two surfaces AM and ZT are one hundred dirham minus a square.
-|style="text-align:right;"|ויהיה שטח ג"ה הנשאר ממרובע ג"ד ושטח א"ח יחד כמו מרובע ג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM+ZT=100-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שני שטחי א"מ ז"ט אתה רואה כי הם מאה דרהמי פחות מרובע
 |-
 |
-::KC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:Since the subtractive surface MT is a square.
-|style="text-align:right;"|ונבדיל מזה שטח כ"ח שהוא מאה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MT=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי שטח מ"ט {{#annot:term|789,2030|8MgA}}הנחסר{{#annotend:8MgA}} הוא מרובע
 |-
 |
-:::KC□ = KL &times; LC = AG &times; HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10}}</math>
+:Therefore, surface AH is one hundred dirham minus a square.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי הוא מהכאת קו כ"ל השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ל"ח השוה לה"ד שהוא גם כן עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=100-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ה יהיה מאה דרהמי פחות מרובע
 |-
 |
-:AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2-100}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|וישאר שטח א"ה מרובע פחות מאה דרהמי והוא מש"ל
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)</math>
+*{{#annot:(10+x)×(x-10)|802|Ga64}}If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by a thing minus ten dirham?
-|style="text-align:right;"|אמר ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ושני שלישי דבר על שלשה דרהמי פחות ששה דברים
+:<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה העולה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר פחות עשרה דרהמי{{#annotend:Ga64}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}</math>
+:Say: a square minus a hundred dirham.
-|style="text-align:right;"|תאמר שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעים ופחות חמשים ושמנה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|תאמ' מרובע פחות מאה דרהמי
-|The procedure:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times3=30}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו הוא שתכה עשרה דרהמי בשלשה ויהיו שלשים דרהמי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times3=2x}}</math>
+:Its procedure is that we multiply ten by the thing that is minus ten; they are ten additive things.
-|style="text-align:right;"|ותכה שני שלישי דבר בשלשה דרהמי ויהיו שני דברים נוספים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו הוא שנכה עשרה בדבר {{#annot:term|789,2032|tzGj}}הפוחת{{#annotend:tzGj}} עשרה ויהיו עשרה דברים נוספים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-6x\right)=-60x}}</math>
+:Multiply again the ten by the subtractive ten; they are a hundred subtractive dirham.
-|style="text-align:right;"|עוד תכה עשרה אדרהמי בששה דברי' הפוחתים ויהיו ששים דברים נגרעים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-10\right)=-100}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכה עשרה בעשרה {{#annot:term|789,2032|Slaq}}הפוחתים{{#annotend:Slaq}} ויהיו מאה דרהמי {{#annot:term|789,2031|XaSa}}גורעי&#x202B;'{{#annotend:XaSa}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times\left(-6x\right)=-4x^2}}</math>
+:Multiply a thing by a thing; it is a square.
-|style="text-align:right;"|ותכה שני שלישי דבר בששה דברים הפוחתים ויהיו ארבעה דברים נגרעים מרובעים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונשלמה ההכאה ונבא לקבצם
+:Multiply also a thing by subtractive ten; they are ten subtractive things.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-10\right)=-10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכה דבר בעשרה הפוחתים ויהיו עשרה דברי' נגרעים
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60x-2x=58x}}</math>
+:Throw the ten additive things for the ten subtractive things.
-|style="text-align:right;"|והנה נפיל שני הדברים הנוספים מהששים דברי' הנגרעי' וישארו שמנה וחמשי'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10x-10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|181,1265|Ygi3}}תשליך{{#annotend:Ygi3}} העשרה דברי' נוספי' כנגד העשרה הדברים {{#annot:term|789,1365|n1Lf}}הנגרעים{{#annotend:n1Lf}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}</math>
+:The remaining product is a square minus a hundred dirham.
-|style="text-align:right;"|ויהיה מקובץ הכל אחר זה שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעי' ופחות שמנה וחמשי' דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר {{#annot:term|241,1217|sb1O}}המקובץ מההכאה{{#annotend:sb1O}} מרובע פחות מאה דרהמי
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-|style="text-align:right;"|אמ' ודי לך במה שבארתי מכפל הדברים והמספרים וממנו תוכל להתחכם בתשובת כל השאלות אשר יגיעו לפניך מזה השער
 |-
 |
+:I will explain this by this geometric illustration:
-== Roots ==
+|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
-|
 |-
 |
+:[[File:Finzi 15.png|thumb|125px|left]]
-=== Multiplication of Roots by Numbers ===
+|[[File:פינצי 15.png|thumb|125px|right]]
-!style="text-align:right;"|פרק יתבאר בו הכפלת שרש ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע זה
 |-
 |
-::doubling = taking its two roots
+:It is that we suppose line AB is ten dirham plus a thing.
-|style="text-align:right;"|ורצוני ב{{#annot:term|159|FDYc}}הכפלה{{#annotend:FDYc}} הנה {{#annot:term|436|Jz4W}}לקיחת{{#annotend:Jz4W}} שני שרשיו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10+x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנשים קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
 |-
 |
-*two roots of a known number or an unknown square
+:AG is ten.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר תרצה לדעת שני שרשים ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע לאי זה מספר אחר או מרובע אחר הם שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"ג הוא עשרה
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle2\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot a}</math>
+:GB is a thing.
-|style="text-align:right;"|תניח השני שרשים בדמיון שנים ותכה שנים על שנים והעולה תכהו במספר הידוע או במרובע הבלתי ידוע והעולה הוא המספר שהם שרש אליו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ב דבר
 |-
 |
-*three roots
+:We suppose line BH is a thing minus ten.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה שלשה שרשים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=x-10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ה דבר פחות עשרה
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle3\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(3\sdot3\right)\sdot a}</math>
+:We add HD, which is ten, to it.
-|style="text-align:right;"|תכה שלשה בשלשה והעולה תכה על המספר הידוע או על המרובע בלתי ידוע ויהיו שלשת השרשים שרש למספר העולה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HD=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוסיף בו ה"ד שהוא עשרה
 |-
 |
-*halving the root
+:We multiply line AB by line BH; it is surface AH.
-|style="text-align:right;"|וכן אם תרצה {{#annot:term|786|FAc4}}לחצות{{#annotend:FAc4}} השרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=\left(10+x\right)\sdot\left(x-10\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בקו ב"ה ויהיה שטח א"ה
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot a}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot a}</math>
+:We say that surface AH is a square minus one hundred dirham.
-|style="text-align:right;"|תכה חצי בחצי ויהיה רביע ותכה רביע במרובע הידוע או הבלתי ידוע ויהיה {{#annot:term|241|rSXO}}העולה מההכאה{{#annotend:rSXO}} הנה חצי השרש הוא שרש לו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=x^2-100}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח א"ה הוא מרובע פחות מאה דרהמי
-|So on for augmenting or reducing the roots
-|style="text-align:right;"|וכן כל מה שתוסיף או תגרע מהשרשים תעשה על הדרך שאמרנו
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle2\sdot\sqrt{16}</math>
+:The proof of this is that we complete surface AD: surface AD is ten things plus a square, since it is generated from the multiplication of line AB, which is ten dirham plus a thing by line BD, which is a thing.
-|style="text-align:right;"|אמ' ונניח דמיון לזה כאשר עשינו רצינו לדעת כפל שרש ששה עשר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=AB\times BD=\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|מופת זה שנשלים שטח א"ד ויהיה שטח א"ד עשרה דברים ומרובע בעבור כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי ודבר בקו ב"ד שהוא דבר
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{16}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot16}=\sqrt{4\sdot16}=\sqrt{64}=8}}</math>
+:We draw line GC parallel to BD.
-|style="text-align:right;"|תכה שנים בשנים והיו ארבעה<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GC\parallel BD}}</math>
-ותכה ארבעה בששה עשר ויהיו ששים וארבע&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|ונוציא קו ג"ח נכחי לקו ב"ד
-ושרשו הוא שמנה והם שני שרשי ששה עשר
-|-
-!Geometric illustration
-|style="text-align:right;"|ונבאר זה בתמונ' זאת
 |-
 |
-:[[File:Finzi 16.png|thumb|100px|left]]
+:Surafce GD is a square, since it is generated from the multiplication of GB, which is a thing by BD, which is also a thing.
-|[[File:פינצי 16.png|thumb|100px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=GB\times BD=x\sdot x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה יהיה שטח ג"ד מרובע כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא גם כן דבר
 |-
 |
-::defining:
+:Surface AC is the same as surface CH.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{16}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=CH}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח שטח מרובע אבג"ד בדמיון ששה עשר דרהמי
+|style="text-align:right;"|ושטח א"ח כמו שטח ח"ה
 |-
 |
-:*GD = &radic;AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}}}</math>
+:Since line CG is the same as line CD.
-|style="text-align:right;"|וקו ג"ד הוא שרש מרובע אבג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG=CD}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ח"ג כמו קו ח"ד
 |-
 |
-:*extending line GD straight to H
+:And line AG is the same as line HD.
-|style="text-align:right;"|וכאשר נרצה לכפול זה השרש נוציא קו ג"ד על יושר עד ה&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=HD}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו א"ג כמו קו ה"ד
 |-
 |
-:*GH = GD
+:We subtract surface CH from square GD and join surface AC that is equal to it; surface GH that remains from square GD, plus surface AC are together the same as square GD.
-|style="text-align:right;"|ונשים ג"ה שוה לג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=\left(GD-CH\right)+AC=GH+AC=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונבדיל שטח ח"ה ממרובע ג"ד ו{{#annot:term|2052,2046|LFhk}}נשתף עמו{{#annotend:LFhk}} שטח א"ח השוה לו ויהיה שטח ג"ה {{#annot:term|184,1236|yZVt}}הנשאר מ{{#annotend:yZVt}}מרובע ג"ד ושטח א"ח יחד כמו מרובע ג"ד
 |-
 |
-:*HD = 2&radic;AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{16}}}</math>
+:We subtract from it surface KC, which is one hundred dirham, since it is generated from the multiplication of line KL that is equal to AG, which is ten, by line LC that is equal to [H]D, which is also ten.
-|style="text-align:right;"|ויהיה קו ה"ד שני שרשים ממרובע א"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KC=KL\times LC=AG\times HD=10\times10=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונבדיל מזה שטח כ"ח שהוא מאה דרהמי בעבור כי הוא מהכאת קו כ"ל השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ל"ח השוה לא"ד שהוא &#x202B;<ref>304r</ref>גם כן עשרה
 |-
 |
-::the root of which number is it?
+:The remaining surface AH is a square minus one hundred dirham.
-|style="text-align:right;"|ואם נרצה לדעת לאי זה מספר הוא שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=\left(GH+AC\right)-KC=x^2-100}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר שטח א"ה מרובע פחות מאה דרהמי
 |-
 |
-:*HZ□ = HD<sup>2</sup>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|נשים עליו שטח מרובע עליו ה"ז
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-:HZ□ = 4&times;GB□
+*{{#annot:(10+⅔x)×(3-6x)|802|VDLn}}He said: if you are told: how much is the product of ten dirham and two-thirds of a thing by three dirham minus six things?
-|style="text-align:right;"|ונאמר ששטח ה"ז ארבעה דמיוני שטח ג"ב
+:<math>\scriptstyle\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ושני שלישי דבר על שלשה דרהמי פחות ששה דברים{{#annotend:VDLn}}
-|Proof:
-|style="text-align:right;"|מופת זה
 |-
 |
-:*extending line GA straight to C
+:Say: thirty dirham minus four squares minus fifty-eight things.
-|style="text-align:right;"|שנוציא קו ג"א על יושר עד ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמר שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעים ופחות חמשים ושמנה דברים
 |-
 |
-:*extending line AB straight to T
+:Its procedure is that you multiply ten dirham by three; they are thirty.
-|style="text-align:right;"|ונוציא קו א"ב עד נקודת ט&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times3=30}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו הוא שתכה עשרה דרהמי בשלשה ויהיו שלשים דרהמי
 |-
 |
-::HZ□ = GB□ + BC□ + CT□ + TG□
+:Multiply two-thirds of a thing by three dirham; they are two additive things.
-::GB□ = BC□ = CT□ = TG□
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times3=2x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויהיו בשטח ה"ז ארבעה מרובעים שוים והם מרובעי ג"ב ב"ח ח"ט ט"ג
+|style="text-align:right;"|ותכה שני שלישי דבר בשלשה דרהמי ויהיו שני דברים נוספים
 |-
 |
-::GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{16}}</math>
+:Multiply also ten dirham by six subtractive things; they are sixty subtractive things.
-|style="text-align:right;"|אבל ג"ב הנחנוהו שש עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-6x\right)=-60x}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכה עשרה אדרהמי בששה דברי' הפוחתים ויהיו ששים דברים נגרעים
 |-
 |
-:HZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{64}}</math>
+:Multiply two-thirds of a thing by six subtractive things; they are four subtractive squares.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה מרובע ה"ז ששים וארבע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times\left(-6x\right)=-4x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה שני שלישי דבר בששה דברים הפוחתים ויהיו ארבעה דברים נגרעים מרובעים
 |-
 |
-::HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}=8}}</math>
+:The multiplication is completed and we turn to sum [the interim products].
-|style="text-align:right;"|ויהיה קו ה"ד שרש לששים וארבע והוא שמנה והוא מש"ל
+|style="text-align:right;"|ונשלמה ההכאה ונבא לקבצם
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}</math>
+:We subtract the two additive things from the sixty subtractive things; fifty-eight remain.
-|style="text-align:right;"|אמ' וכאשר נרצה {{#annot:term|786|bAYl}}לקחת חצי{{#annotend:bAYl}} שרש תשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{60x-2x=58x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה {{#annot:term|181,1251|h4dm}}נפיל{{#annotend:h4dm}} שני הדברים הנוספים מהששים דברי' הנגרעי' וישארו שמנה וחמשי&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot9}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}</math>
+:The total sum then is thirty dirham minus four squares minus fifty-eight things.
-|style="text-align:right;"|נכה חצי בחצי ויהיה רביע<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}</math>
-ונכה רביע בתשעה ויהיה שנים ורביע<br>
+|style="text-align:right;"|ויהיה מקובץ הכל אחר זה שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעי' ופחות שמנה וחמשי' דברים
-נקח שרשו והוא אחד וחצי והוא יהיה חצי שרש תשעה
+|-
+|What I have explained to you of the multiplication of things and numbers is enough for you, and from it you can learn the answer for all the questions presented to you in this section.
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ודי לך במה שבארתי מ{{#annot:term|156,1230|Q6eQ}}כפל ה{{#annotend:Q6eQ}}דברים והמספרים וממנו תוכל להתחכם בתשובת כל השאלות אשר יגיעו לפניך מזה השער
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם נרצה לקחת שני שלישי שרש תשעה
+== <span style=color:Green>Roots</span> ==
+|
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{2}{3}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{4}{9}\sdot9}=\sqrt{4}=2}}</math>
-|style="text-align:right;"|נכה שני שלישים בשני שלישים ויהיו ארבע תשיעיות<br>
+=== Chapter: <span style=color:Green>Multiplication of Roots by Numbers</span> ===
-ותכה ארבעה תשיעיות בתשעה ויהיו ארבעה<br>
-ושרשם שהוא שנים הוא יהיה שני שלישי שרש תשעה
+|style="text-align:right;"|<big>פרק</big>
+|-
+|The doubling of the root of a known number or of an unknown square will be explained in it.
+|style="text-align:right;"|יתבאר בו {{#annot:term|159,1229|h7Ad}}הכפלת{{#annotend:h7Ad}} שרש ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע זה
+|-
+|By doubling I mean taking its two roots
+|style="text-align:right;"|ורצוני ב{{#annot:term|159,1229|FDYc}}הכפלה{{#annotend:FDYc}} הנה לקיחת שני שרשיו
+|-
+|He said: when you wish to know two roots of a known number or of an unknown square - the root of which number or square are they?
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר תרצה לדעת שני שרשים ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע לאי זה מספר אחר או מרובע אחר הם שרש
+|-
+|Consider the two roots as two and multiply two by two, then multiply the product by the known number, or by the unknown square; they are a root of the number resulting.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot a}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תניח השני שרשים בדמיון שנים ותכה שנים על שנים והעולה תכהו במספר הידוע או במרובע הבלתי ידוע והעולה הוא המספר שהם שרש אליו
+|-
+|If you want three roots, multiply three by three, then multiply the product by the known number, or by the unknown square; the three roots are a root of the resulting number.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{3\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(3\sdot3\right)\sdot a}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה שלשה שרשים תכה שלשה בשלשה והעולה תכה על המספר הידוע או על המרובע בלתי ידוע ויהיו שלשת השרשים שרש למספר העולה
+|-
+|Likewise if you wish to halve the root:
+|style="text-align:right;"|וכן אם תרצה {{#annot:term|786,1369|FAc4}}לחצות ה{{#annotend:FAc4}}שרש
 |-
-!Geometric illustration
+|Multiply half by half; it is a quarter. Multiply the quarter by the known or unknown number; half the root is a root of the resulting product.
-|style="text-align:right;"|ואבאר לך בזאת התמונה
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot a}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot a}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תכה חצי בחצי ויהיה רביע ותכה רביע במרובע הידוע או הבלתי ידוע ויהיה העולה מההכאה הנה חצי השרש הוא שרש לו
 |-
-|
+|And so on, as you increase or decrease the roots, do according to the procedure we specified.
-:[[File:Finzi 17.png|thumb|100px|left]]
+|style="text-align:right;"|וכן כל מה שתוסיף או תגרע מהשרשים תעשה על הדרך שאמרנו
-|[[File:פינצי 17.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::defining
+*{{#annot:2×√16|737|tRoE}}He said: we give an example for this: when we wish to know the double root of sixteen.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:<math>\scriptstyle2\sdot\sqrt{16}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח התשעה שטח מרובע עליו אבג"ד
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונניח {{#annot:term|197,1712|Ahnf}}דמיון לזה{{#annotend:Ahnf}} כאשר <s>עשינו</s> רצינו לדעת {{#annot:term|159,1230|j4A9}}כפל{{#annotend:j4A9}} שרש ששה עשר{{#annotend:tRoE}}
 |-
 |
-:*GD = [&radic;AD□] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
+:Multiply two by two; it is four.
-|style="text-align:right;"|ויהיה קו ג"ד שרש תשעה
+|style="text-align:right;"|תכה שנים בשנים והיו ארבעה
 |-
 |
-::finding its two thirds, ⅔GD:
+:Multiply four by sixteen; it is sixty-four.
-|style="text-align:right;"|וכאשר תרצה לקחת שני שלישיו
+|style="text-align:right;"|ותכה ארבעה בששה עשר ויהיו ששים וארבע&#x202B;'
 |-
 |
-::dividing DG into three equal parts: NZ = ZH = HD
+:Its root is eight and it is two roots of sixteen.
-|style="text-align:right;"|תחלק קו ג"ד לשלשה חלקים שוים והם נ"ז ז"ה ה"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{16}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot16}=\sqrt{4\sdot16}=\sqrt{64}=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרשו הוא שמנה והם שני שרשי ששה עשר
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-:*DZ = ⅔GD = ⅔&radic;GB□
-|style="text-align:right;"|ויהיה קו ד"ז שני שלישי קו ג"ד והוא גם כן שני שלישי שרש מרובע ג"ב
 |-
 |
-::the root of which number is it?
+:We will explain this by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|וכאשר תרצה לדעת לאי זה שמספר הוא שרש
+|style="text-align:right;"|ונבאר זה בתמונ' זאת
 |-
 |
-::defining:
+:[[File:Finzi 16.png|thumb|100px|left]]
-:*KZLD□ = ZD<sup>2</sup>
+|[[File:פינצי 16.png|thumb|100px|right]]
-|style="text-align:right;"|נעשה על קו ז"ד שטח מרובע עליו כזל"ד
 |-
 |
-:KZLD□ = ⁴/₉GB□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:We suppose square surface ABGD as an analogous of the sixteen dirham.
-|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח כזל"ד ארבעה תשיעיות שטח ג"ד והם ארבעה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח שטח מרובע אבג"ד בדמיון ששה עשר דרהמי
 |-
-|Proof:
+|
-|style="text-align:right;"|מופת זה
+:Line GD is a root of the square ABGD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=\sqrt{ABGD}=\sqrt{16}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ג"ד הוא שרש מרובע אבג"ד
 |-
 |
-:*extending line ZK straight to T
+:When we wish to double this root, we extend line GD straight to H.
-|style="text-align:right;"|שנוציא קו ז"כ על יושר עד נקודת ט&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וכאשר נרצה לכפול זה השרש נוציא קו ג"ד {{#annot:term|942,2038|PN28}}על יושר{{#annotend:PN28}} עד ה&#x202B;'
 |-
 |
-:*HC || BD
+:We define GH equal to GD.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ה' קו ה"ח נכחי לקו ב"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשים ג"ה שוה לג"ד
 |-
 |
-:*EP || AB
+:Line HD is two roots of square AD.
-|style="text-align:right;"|ותוציא מע' קו ע"פ נכחי לקו א"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HD=2\sqrt{AD}=2\sqrt{16}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה קו ה"ד שני שרשים ממרובע א"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונוציא קו למ"ב עד ס&#x202B;'
+:If we wish to know: the root of which number is it?
+|style="text-align:right;"|ואם נרצה לדעת לאי זה מספר הוא שרש
 |-
 |
-::GB□ = HE□ + EM□ + MB□ + MT□ + TS□ + KN□ + KP□ + PZ□ + ZN□
+:We construct square HZ on it.
-::HE□ = EM□ = MB□ = MT□ = TS□ = KN□ = KP□ = PZ□ = ZN□
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HZ=HD^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויהיה עם זה כבר נעשו בשטח ג"ב תשעה שטחים שוים והם <s>נ</s> ה"ע ע"מ מ"ב מ"ט ט"ס כ"נ כ"פ פ"ז ז"נ
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|1015|yUj4}}נשים עליו{{#annotend:yUj4}} שטח מרובע עליו ה"ז
 |-
 |
-:ZL□ = ⁴/₉GB□
+:We say: surface HZ is four times surface GB.
-|style="text-align:right;"|ויהיה שטח ז"ל ארבעה מאלו התשעה שטחים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HZ=4GB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמר ששטח ה"ז ארבעה דמיוני שטח ג"ב
+|-
+|The proof:
+|style="text-align:right;"|מופת זה
 |-
 |
-:ZL□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:We extend line GA straight to C.
-|style="text-align:right;"|אם כן שטח ז"ל ארבע תשיעיות מרובע ג"ב
+|style="text-align:right;"|שנוציא קו ג"א על יושר עד ח&#x202B;'
 |-
 |
-:ZD= <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+:We extend line AB to point T.
-|style="text-align:right;"|וקו ז"ד שרש לארבעה והוא מש"ל
+|style="text-align:right;"|ונוציא קו א"ב עד נקודת ט&#x202B;'
 |-
-|the same should be done with all that is of this kind
+|
-|style="text-align:right;"|וכל מה שיפול בידך מזה המין תעשה עמו ככה
+:Surface HZ consists of four equal quadrangulars: GB, BC, CT, TG.
+|style="text-align:right;"|ויהיו בשטח ה"ז &#x202B;<ref>304v</ref>ארבעה מרובעים שוים והם מרובעי ג"ב ב"ח ח"ט ט"ג
 |-
 |
+:But we assumed that GB is sixteen.
-=== Multiplication of Roots ===
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=16}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|אבל ג"ב הנחנוהו שש עשרה
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\sqrt{9}\times\sqrt{4}</math>
+:Therefore, square HZ is sixty-four.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם תרצה לדעת כמה העולה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HZ=64}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה מרובע ה"ז ששים וארבע
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}=6}}</math>
+:So, line HD is a root of sixty-four, which is eight.
-תכה ארבע' בתשעה ויהיה שלשים ושש תקח שרשם והוא ששה והוא כמו הכאת שרש תשעה בשרש ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HD=\sqrt{64}=8}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ויהיה קו ה"ד שרש לששים וארבע והוא שמנה
-!Geometric illustration
-|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 18.png|thumb|100px|left]]
+:Q.E.D.
-|[[File:פינצי 18.png|thumb|100px|right]]
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-::defining:
+*{{#annot:½×√9|737|UOpW}}He said: when we wish to take half a root of nine.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנשים קו א"ב שרש תשעה
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר נרצה לקחת חצי שרש תשעה{{#annotend:UOpW}}
 |-
 |
-:*BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+:We multiply half by half; it is a quarter.
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ג שרש ארבעה
+|style="text-align:right;"|נכה חצי בחצי ויהיה רביע
 |-
 |
-::AB &times; BG
+:We multiply a quarter by nine; it is two and a quarter.
-|style="text-align:right;"|וכאשר נרצה להכות קו א"ב בקו ב"ג
+|style="text-align:right;"|ונכה רביע בתשעה ויהיה שנים ורביע
 |-
 |
-::constructing:
+:We extract its root; it is one and a half and it is half a root of nine.
-:*AC□ = AG<sup>2</sup>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot9}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|תשים על קו א"ג שטח מרובע עליו א"ח
+|style="text-align:right;"|נקח שרשו והוא אחד וחצי והוא יהיה חצי שרש תשעה
 |-
 |
-:*BZ || AH; GC
+*{{#annot:⅔×√9|737|MSsU}}If we wish to take two-thirds of a root of nine.
-|style="text-align:right;"|ותוציא מנקודת ב' קו נכחי לקוי א"ה ג"ח והוא קו ב"ז
+:<math>\scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם נרצה לקחת שני שלישי שרש תשעה{{#annotend:MSsU}}
 |-
 |
-:*AH = GC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}}}</math>
+:We multiply two-thirds by two-thirds; it is four-ninths.
-|style="text-align:right;"|וכל אחד מקוי א"ה ג"ח שרש תשעה ושרש ארבעה
+|style="text-align:right;"|נכה שני שלישים בשני שלישים ויהיו ארבע תשיעיות
 |-
 |
-:*MG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
+:Multiply four-ninths by nine; it is four.
-|style="text-align:right;"|ונשים קו מ"ג שרש תשעה
+|style="text-align:right;"|ותכה ארבעה תשיעיות בתשעה ויהיו ארבעה
 |-
 |
-::MC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+:Its root, which is two, is two-thirds of a root of nine.
-|style="text-align:right;"|וישאר קו מ"ח שרש ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{2}{3}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{4}{9}\sdot9}=\sqrt{4}=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרשם שהוא שנים הוא יהיה שני שלישי שרש תשעה
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-:*NK || AG; HC
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת מ' קו מ"כ נכחי לקוי א"ה ג"ח א"ג ה"ח
 |-
 |
-::EA□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:I will explain it to you in by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|ויהיה שטח ע"מ תשעה
+|style="text-align:right;"|ואבאר לך בזאת התמונה
 |-
 |
-::BE = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
+:[[File:Finzi 17.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ע שרש תשעה
+|[[File:פינצי 17.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::EC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:We suppose the nine is a square surface ABGD.
-|style="text-align:right;"|ושטח ע"ח ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח התשעה שטח מרובע עליו אבג"ד
 |-
 |
-::ZE = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+:Line GD is a root of nine.
-|style="text-align:right;"|וקו ז"ע שרש ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=\sqrt{ABGD}=\sqrt{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה קו ג"ד שרש תשעה
 |-
 |
-:::ZE = EM
+:When you wish to take its two-thirds:
-|style="text-align:right;"|כי ז"ע שוה לע"מ
+|style="text-align:right;"|וכאשר תרצה לקחת שני שלישיו
 |-
 |
-::EM = BG
+:Divide line DG into three equal parts: NZ, ZH, HD.
-|style="text-align:right;"|וע"מ כמו ב"ג
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|820,2060|QaGp}}תחלק קו{{#annotend:QaGp}} ג"ד לשלשה חלקים שוים והם נ"ז ז"ה ה"ד
 |-
 |
-::EB = EK
+:Line DZ is two-thirds of line GD and it is also two-thirds of the root of the square GB.
-|style="text-align:right;"|וע"ב כמו ע"כ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DZ=\frac{2}{3}GD=\frac{2}{3}\sqrt{GB}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה קו ד"ז שני שלישי קו ג"ד והוא גם כן שני שלישי שרש מרובע ג"ב
 |-
 |
-::ME : EK = ZE : EB
+:When you wish to know: the root of which number is it?
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|482|Fyp1}}יחס{{#annotend:Fyp1}} מ"ע אל ע"כ כיחס ז"ע אל ע"ב
+|style="text-align:right;"|וכאשר תרצה לדעת לאי זה שמספר הוא שרש
 |-
 |
-::ZE : EB = ZK□ : EA□
+:We construct square KZLD on line ZD.
-|style="text-align:right;"|ויחס ז"ע אל ע"ב הוא כיחס שטח ז"ב אל שטח ע"א
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KZLD=ZD^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|נעשה על קו ז"ד שטח מרובע עליו כזל"ד
 |-
 |
-::ZM□ &times; EA□ = ZK□²
+:We say that surface KZLD is four-ninths of surface GD, so it is four dirham.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת המספרים אשר בשטח ז"מ במספרים אשר בשטח ע"א כמו הכאת המספרים אשר בשטח ז"כ בעצמם
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KZLD=\frac{4}{9}GD=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח כזל"ד ארבעה תשיעיות שטח ג"ד והם ארבעה דרהמי
 |-
-|Euclid: when there are three proportional numbers, the product of the first number by the third is the same as the product of the second by itself. <math>\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2</math>
+|The proof:
-|style="text-align:right;"|כמו שבאר זה אקלידס כאשר אמ' כי כאשר היו שלשה מספרים מתיחסים יהיה הכאת המספר הראשון <s>בתשיעי</s> בשלישי כמו הכאת הב' המספר בעצמו
+|style="text-align:right;"|מופת זה
 |-
 |
-::EC□ &times; EA□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times9=36}}</math>
+:We extend line ZK straight to point T.
-|style="text-align:right;"|אבל הכאת מה שבשטח ע"ח מהאחדים שהם ארבעה באחדי שטח ע"א שהם <s>שלשה</s> תשעה יהיה שלשים ושש
+|style="text-align:right;"|שנוציא קו ז"כ על יושר עד נקודת ט&#x202B;'
 |-
 |
-::ZK□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{36}=6}}</math>
+:We draw line HC from point H, parallel to line BD.
-|style="text-align:right;"|ולכן שטח ז"כ הוא כמו שרש שלשים ושש והוא ששה והנה שהוא הוה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה בעבור כי קו <s>א'</s> כ"ע שרש תשעה וקו ע"ח כמו שרש ארבעה והוא ומש"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HC\parallel BD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|819,1232|eY6o}}נוציא{{#annotend:eY6o}} מנקודת ה' קו ה"ח נכחי לקו ב"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|<ref>תוספת ואם רצית לכפול שרש מספר ידוע במספר אחר ידוע כפול המספר האחר בעצמו והעולה תכהו במספר השרש והעולה קח שרשו והוא המבוקש<br>
+:Draw line EP from E, parallel to line AB.
-דמיון זה בקשנו לכפול שרש מספר ט' במספר ד' הכינו ד' בעצמו והיה י"ו והכינו י"ו בט' והיה קמ"ד ושרשו שהוא י"ב הוא המבוקש</ref>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EP\parallel AB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותוציא מע' קו ע"פ נכחי לקו א"ב
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)</math>
+:We extend line LMK to S.
-|style="text-align:right;"|אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה
+|style="text-align:right;"|ונוציא קו למ"כ עד ס&#x202B;'
 |-
 |
-::the root of which number is <math>\scriptstyle2\sdot\sqrt{10}</math>?
+:By this, nine equal surfaces are formed in surface GB: HE, EM, MB, MT, TS, KN, KP, PZ, ZN.
-|style="text-align:right;"|ראה שני שרשי עשרה לאי זה מספר הם שרש על הדרך שהראיתי לך
+|style="text-align:right;"|ויהיה עם זה כבר נעשו בשטח ג"ב תשעה שטחים שוים והם <s>נ</s> ה"ע ע"מ מ"ב מ"ט ט"ס כ"נ כ"פ פ"ז ז"נ
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{10}=\sqrt{40}}}</math>
+:Surface ZL is four of these nine surfaces, so surface ZL is four-ninths of square GB.
-|style="text-align:right;"|ותמצא שהם שרש לארבעי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZL=\frac{4}{9}GB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה שטח ז"ל ארבעה מאלו התשעה שטחים אם כן שטח ז"ל ארבע תשיעיות מרובע ג"ב
 |-
 |
-::the root of which number is <math>\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}</math>?
+:Line ZD is a root of four.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן ראה חצי שרש חמשה לאי זה מספר הוא שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZD=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ז"ד שרש לארבעה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|ותמצא שהוא שרש לאחד ורביע
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+|-
+|Do the same with all that falls into your hand of this kind.
+|style="text-align:right;"|וכל מה שיפול בידך מזה המין תעשה עמו ככה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{40}\times\sqrt{1+\frac{1}{4}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותשוב השאלה כאלו אמרו כמה יהיה מהכאת שרש ארבעים בשרש אחד ורביע
+=== <span style=color:Green>Multiplication of Roots</span> ===
+|
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)=50}}</math>
+*{{#annot:√9×√4|737|nTrH}}He said: if you wish to know how much is the product of a root of nine by a root of four.
-|style="text-align:right;"|ולכן תכה ארבעים באחד ורביע ויהיה חמשים
+:<math>\scriptstyle\sqrt{9}\times\sqrt{4}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם תרצה לדעת כמה העולה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה{{#annotend:nTrH}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{50}}}</math>
+:Multiply four by nine; it is thirty-six.
-|style="text-align:right;"|ותאמ' כי שרש חמשים הוא הוא הכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה
+|style="text-align:right;"|תכה ארבע' בתשעה ויהיה שלשים ושש
 |-
-!Geometric illustration
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונניח לזה המעשה תמונה כוללת
+:Extract its root; it is six and it is the same as the product of a root of nine by a root of four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|תקח שרשם והוא ששה והוא כמו הכאת שרש תשעה בשרש ארבעה
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-:[[File:Finzi 19.png|thumb|100px|left]]
-|[[File:פינצי 19.png|thumb|100px|right]]
-|-
-|For every number multiplied by another number, the root of the product is the same as the product of the root of the number multiplied by the root of the other number <math>\scriptstyle\sqrt{A\times B}=\sqrt{A}\times\sqrt{B}</math>
-|style="text-align:right;"|ונאמ' שכל מספר שיוכה במספר אחר יהיה שרש העולה כמו הכאת שרש מספר אחד מהם לשרש המספר האחר
 |-
 |
-:*A; B are numbers
+:I will explain this by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|משל לזה שנניח ב' א' שני מספרים
+|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:*&radic;B = G
+:[[File:Finzi 18.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|ושרש ב' הוא ג&#x202B;'
+|[[File:פינצי 18.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-:*&radic;A = D
+:We define line AB as a root of nine.
-|style="text-align:right;"|ושרש א' הוא ד&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנשים קו א"ב שרש תשעה
 |-
 |
-:*B &times; A = Z
+:Line BG is a root of four.
-|style="text-align:right;"|ונכה ב' בא' ויהיה ז&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ג שרש ארבעה
 |-
 |
-:*G &times; D = C
+:When we wish to multiply line AB by line BG:
-|style="text-align:right;"|ונכה ג' בד' ויהיה ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB\times BG}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר נרצה להכות קו א"ב בקו ב"ג
 |-
 |
-:*C = H = &radic;Z
+:Construct square AC on line AG.
-|style="text-align:right;"|ונאמ' שח' כמו ה' שהוא שרש ז&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=AG^2}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|1015|8stU}}תשים על{{#annotend:8stU}} קו א"ג שטח מרובע עליו א"ח
-|Proof:
-::G<sup>2</sup> = B
-|style="text-align:right;"|מופת זה כי ג' הוכה בעצמו והיה ב&#x202B;'
 |-
 |
-::G &times; D = C
+:Draw line BZ from point B, parallel to lines AH and GC.
-|style="text-align:right;"|והוכה ב<s>ב'</s><sup>ד'</sup> והיה ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BZ\parallel AH,GC}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותוציא מנקודת ב' קו נכחי לקוי א"ה ג"ח והוא קו ב"ז
 |-
 |
-::G : D = B : C
+:Each of the lines AH and GC is a root of nine plus a root of four.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח&#x202B;'<ref>מא' מ"ז לאקלידס</ref>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=GC=\sqrt{9}+\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכל אחד מקוי א"ה ג"ח שרש תשעה ושרש ארבעה
 |-
 |
-::D<sup>2</sup> = A
+:We define line MG as a root of nine.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן ד' הוכה בעצמו וה<s>ו</s>יה א&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MG=\sqrt{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשים קו מ"ג שרש תשעה
 |-
 |
-::D &times; G = C
+:The remaining line MC is a root of four.
-|style="text-align:right;"|והוכה בג' והיה ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MC=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר קו מ"ח שרש ארבעה
 |-
 |
-::G : D = C : A
+:We draw line MK from point M, parallel to lines AG and HC.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ח' אל א&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MK\parallel AG,HC}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת מ' קו מ"כ נכחי לקוי <s>א"ה ג"ח</s> א"ג ה"ח
 |-
 |
-::G : D = B : C
+:Surface E[A] is nine.
-|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EA=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה שטח ע"מ תשעה
 |-
 |
-::B : C = C : A
+:Line BE is a root of nine.
-|style="text-align:right;"|אם כן יהיה יחס ב' אל ח' כיחס ח' אל א&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BE=\sqrt{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ע שרש תשעה
 |-
 |
-::B &times; A = C<sup>2</sup>
+:Surface EC is four.
-|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה הכאת ב' בא' כמו הכאת ח' בעצמו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EC=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ע"ח ארבעה
 |-
 |
-::B &times; A = Z
+:Line ZE is a root of four.
-|style="text-align:right;"|אבל הכאת ב' בא' הוא ז&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZE=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ז"ע שרש ארבעה
 |-
 |
-::C<sup>2</sup> = Z
+:Because, ZE is equal to EM and EM is the same as BG.
-|style="text-align:right;"|אם כן הכאת ח' בעצמו יהיה כמו ז&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZE=EM=BG}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי ז"ע שוה לע"מ וע"מ כמו ב"ג
 |-
 |
-::H<sup>2</sup> = Z
+:EB is the same as EK.
-|style="text-align:right;"|וכבר היה הכאת ה' בעצמו הוא ז&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EB=EK}}</math>
+|style="text-align:right;"|וע"ב כמו ע"כ
 |-
 |
-:C = H
+:The ratio of ME to EK is the same as the ratio of ZE to EB.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה ח' כמו ה&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ME:EK=ZE:EB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|482,1276|Fyp1}}יחס{{#annotend:Fyp1}} מ"ע אל ע"כ כיחס ז"ע אל ע"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל ובמה שבארתי מזה המין הוא מספיק
+:The ratio of ZE to EB is the same as the ratio of surface ZK to surface EA.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZE:EB=ZK:EA}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויחס ז"ע אל ע"ב הוא כיחס שטח ז"כ אל שטח ע"א
 |-
 |
+:Therefore, the product of the numbers of surface ZM by the numbers of surface EA is the same as the product of the numbers of surface ZK by themselves.
-=== Division of Roots ===
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת המספרים אשר בשטח ז"מ במספרים אשר בשטח ע"א כמו הכאת המספרים אשר בשטח ז"כ בעצמם
-!style="text-align:right;"|<big>פרק</big> בחלוק
 |-
-|When the divisor is multiplied by the result of division, the dividend returns. <math>\scriptstyle\frac{A}{B}\times B=A</math>
+|As Euclid has explained when he said that when there are three proportional numbers, the product of the first number by the third is the same as the product of the second by itself.
-|style="text-align:right;"|אמ' וגם כן ראוי שתדע כי כאשר תכה {{#annot:term|604|qzrP}}המחלק{{#annotend:qzrP}} ב{{#annot:term|783|G4yP}}מה שעלה לחלק{{#annotend:G4yP}} ישוב {{#annot:term|605|uKxA}}המספר שחלקת{{#annotend:uKxA}}
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|כמו שבאר זה אקלידס כאשר אמ' כי כאשר היו {{#annot:term|568|Q1PW}}שלשה מספרים מתיחסים{{#annotend:Q1PW}} יהיה הכאת המספר הראשון <s>בתשיעי</s> בשלישי כמו הכאת הב' המספר בעצמו
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\div2=5}}</math>
+:But, the product of the units of surface EC that are four by the units of surface EA that are nine is thirty-six.
-|style="text-align:right;"|משל זה חלקנו עשרה על שנים ו{{#annot:term|783|kxYI}}יצא לכל חלק{{#annotend:kxYI}} חמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times9=36}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל הכאת מה שבשטח ע"ח &#x202B;<ref>305r</ref>מהאחדים שהם ארבעה באחדי שטח ע"א שהם <s>שלשה</s> תשעה יהיה שלשים ושש
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}</math>
+:So, surface ZK is the same as a root of thirty-six, which is six; and this is the product of a root of nine by a root of four, since line KE is a root of nine and line EC is as a root of four.
-|style="text-align:right;"|הנה כאשר הכינו שנים בחמשה יהיה עשרה והוא {{#annot:term|605|nQFD}}המספר שנחלק{{#annotend:nQFD}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=KE\times EC=ZK=\sqrt{36}=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן שטח ז"כ הוא כמו שרש שלשים ושש והוא ששה והנה שהוא הוה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה בעבור כי קו <s>א'</s> כ"ע שרש תשעה וקו ע"ח כמו שרש ארבעה
 |-
-!Geometric illustration
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונשים לזה המעשה גם כן תמונה כוללת
+:Q.E.D.
+|style="text-align:right;"|והוא ומש"ל&#x202B;<ref>marg.: תוספת ואם רצית לכפול {{#annot:term|439,1262|N0WY}}שרש מספר{{#annotend:N0WY}} ידוע במספר אחר ידוע {{#annot:term|185,1230|O1PQ}}כפול ה{{#annotend:O1PQ}}מספר האחר בעצמו והעולה תכהו במספר השרש והעולה קח שרשו והוא המבוקש<br>
+דמיון זה בקשנו לכפול שרש מספר ט' במספר ד' הכינו ד' בעצמו והיה י"ו והכינו י"ו בט' והיה קמ"ד ושרשו שהוא י"ב הוא המבוקש</ref>
 |-
 |
-:[[File:Finzi 20.png|thumb|100px|left]]
+*{{#annot:(2×√10)×(½×√5)|737|FwAB}}He said: if you are told: how much is the product of two roots of ten by half a root of five?
-|[[File:פינצי 20.png|thumb|100px|right]]
+:<math>\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה{{#annotend:FwAB}}
 |-
-|For every number divided by another number, the product of the quotient by the divisor is the same as the dividend <math>\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A</math>
+|
-|style="text-align:right;"|ונאמ' כי כל מספר שיהיה {{#annot:term|605|iB1v}}נחלק על{{#annotend:iB1v}} מספר אחר יהיה הכאת העולה לכל חלק ב {{#annot:term|604|yKxa}}מספר המחלק{{#annotend:yKxa}} כמו המספר הנחלק
+:Observe the root of which number are two roots of ten, according to the way I have shown you.
+|style="text-align:right;"|ראה שני שרשי עשרה לאי זה מספר הם שרש על הדרך שהראיתי לך
 |-
 |
-:*A &divide; B = G
+:You find that they are a root of forty.
-|style="text-align:right;"|משל זה שחלקנו מספר א' על מספר ב' ו{{#annot:term|783|cRV7}}עלה לכל חלק{{#annotend:cRV7}} ג&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{10}=\sqrt{40}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותמצא שהם שרש לארבעי&#x202B;'
 |-
 |
-:B &times; G = A
+:Observe also the root of which number is half a root of five:
-|style="text-align:right;"|ונאמ' שהכאת ב' בג' הוא כמו א&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וכמו כן ראה חצי שרש חמשה לאי זה מספר הוא שרש
-|-
-|Proof
-|style="text-align:right;"|מופת זה
 |-
 |
-::A &divide; B = G
+:You find that it is a root of one and a quarter.
-|style="text-align:right;"|כי א' כבר נחלק על ב' והיה ג' ולכן יהיו מדמיוני ג' בא' כמספר מה שבב' מן האחדים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותמצא שהוא שרש לאחד ורביע
 |-
 |
-::G : A = 1 : B
+:The question becomes as if it is said: how much is the product of a root of forty by a root of one and a quarter?
-|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה יחס ג' אל א' כיחס האחד אל ב&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{40}\times\sqrt{1+\frac{1}{4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותשוב השאלה כאלו אמרו כמה יהיה מהכאת שרש ארבעים בשרש אחד ורביע
 |-
 |
-::B &times; G = 1 &times; A
+:Multiply forty by one and a quarter; it is fifty.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה מהכאת ב' בג' כמו הכאת האחד בא&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)=50}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן תכה ארבעים באחד ורביע ויהיה חמשים
 |-
 |
-:::B &times; G = 1 &times; A = A
+:Say that the root of fifty is the product of two roots of ten by half a root of five.
-|style="text-align:right;"|אבל הכאת האחד בא' הוא אם כן הכאת ב' בג' הוא גם כן א' והוא מה שרצינו לבאר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{50}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמ' כי שרש חמשים הוא הוא הכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-*<math>\scriptstyle\sqrt{9}\div\sqrt{4}</math>
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך תחלק שרש תשעה על שרש ארבעה
 |-
-|
+|He said: we give for this procedure a general geometric illustration:
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\div\sqrt{4}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונניח לזה המעשה תמונה כוללת
-|style="text-align:right;"|הנה תחלק תשעה על ארבעה ויגיע לכל חלק שנים ורביע תקח שרשו והוא אחד וחצי וככה הוא שרש תשעה {{#annot:term|440|PxDD}}מחולק על{{#annotend:PxDD}} שרש ארבעה
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\sqrt{10}\div\sqrt{2}</math>
+:[[File:Finzi 19.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|ואם אמרו תחלק שרש עשרה על שרש שנים
+|[[File:פינצי 19.png|thumb|100px|right]]
 |-
-|
+|We say that for every number multiplied by another number, the root of the product is the same as the product of the root of one of the numbers multiplied by the root of the other number.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\div\sqrt{2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{A\times B}=\sqrt{A}\times\sqrt{B}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|783|komJ}}יגיע לחלק{{#annotend:komJ}} חמשה וקח שרשו
+|style="text-align:right;"|ונאמ' שכל מספר שיוכה במספר אחר יהיה {{#annot:term|439,1262|lhFz}}שרש ה{{#annotend:lhFz}}עולה כמו הכאת שרש מספר אחד מהם לשרש המספר האחר
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}</math>
+:Example: we suppose that A and B are two numbers.
-|style="text-align:right;"|ואם אמר לך תחלק שנים שרשים מעשרים על שרשים שלשה מששה
+|style="text-align:right;"|משל לזה שנניח ב' א' שני מספרים
 |-
 |
-::the root of which number is <math>\scriptstyle2\sdot\sqrt{20}</math>?
+:The root of B is G.
-|style="text-align:right;"|תחפש שני שרשים מעשרים לאי זה מספר הם שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G=\sqrt{B}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרש ב' הוא ג&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{20}=\sqrt{80}}}</math>
+:The root of A is D.
-|style="text-align:right;"|וידענו ממה שבארנו שהם שרש לשמונים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D=\sqrt{A}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרש א' הוא ד&#x202B;'
 |-
 |
-::the root of which number is <math>\scriptstyle3\sdot\sqrt{6}</math>?
+:We multiply B by A; it is Z.
-|style="text-align:right;"|ותחפש כמו כן שלשה שרשים מששה לאי זה מספר הם שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{Z=B\times A}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה ב' בא' ויהיה ז&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt{6}=\sqrt{54}}}</math>
+:We multiply G by D; it is C.
-|style="text-align:right;"|והנה הם שרש לחמשים וארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{C=G\times D}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה ג' בד' ויהיה ח&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}</math>
+:We say that C is the same as H, which is the root of Z.
-|style="text-align:right;"|ויהיה כאלו שאל לחלק שרש שמנים על שרש ארבעה וחמשים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{C=H=\sqrt{Z}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' שח' כמו ה' שהוא שרש ז&#x202B;'
+|-
+|The proof:
+|style="text-align:right;"|מופת זה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}=\sqrt{\frac{80}{54}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\right)}}}</math>
+:G multiplied by itself is B.
-|style="text-align:right;"|והנה נחלק שמנים על ארבעה וחמשים ויעלה אל החלק אחד שלם וארבעה תשיעיות ושלישית התשיעית<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G^2=B}}</math>
-ושרש זה הוא {{#annot:term|783|CEf5}}העולה אל החלק{{#annotend:CEf5}} מחלוקת שני שרשים מעשרים על שלשה שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה
+|style="text-align:right;"|כי ג' הוכה בעצמו והיה ב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכמו כן כל אשר יגיע בידך מזה המין תעשה עמו כמעשה הזה
+:It is multiplied by D; the result is C.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G\times D=C}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוכה ב<s>ב'</s><sup>ד'</sup> והיה ח&#x202B;'
 |-
-!Geometric illustration
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונניח גם כן לזה המין תמונה כוללת
+:So, the ratio of G to D is the same as the ratio of B to C.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G:D=B:C}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח&#x202B;'<ref>מא' מ"ז לאקלידס</ref>
 |-
-|For every two numbers, one of which is divided by the other, the root of the quotient is the same as the quotient of the root of the dividend divided by the root of the divisor <math>\scriptstyle\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|ונאמ' כי כל שני מספרים שיחלק אחד מהם על האחר יהיה שרש {{#annot:term|783|uIRR}}העולה לחלק{{#annotend:uIRR}} כמו העולה מחלוקת שרש המספר הנחלק בשרש המספר המחלק
+:Also, D multiplied by itself is A.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D^2=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכמו כן ד' הוכה בעצמו וה<s>ו</s>יה א&#x202B;'
 |-
 |
-:[[File:Finzi 21 - II.png|thumb|250px|left]]
+:It is multiplied by G; the result is C.
-|[[File:פינצי - II 21.png|thumb|250px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D\times G=C}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוכה בג' והיה ח&#x202B;'
 |-
 |
-:*A &divide; B = G
+:So, the ratio of G to D is the same as the ratio of C to A.
-|style="text-align:right;"|משל שמספר א' {{#annot:term|440|WNZG}}נחלק על{{#annotend:WNZG}} <s>ב'</s> מספר ב' ועלה מספר ג&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G:D=C:A}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ח' אל א&#x202B;'
 |-
 |
-:*C = &radic;A
+:But, the ratio of G to D is already the same as the ratio of B to C.
-:*D = &radic;B
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G:D=B:C}}</math>
-:*&radic;A &divide; &radic;B = C &divide; D = E
+|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ושרש א' שהוא מספר ח' נחלק על שרש ב' שהוא מספר ד' ועלה לחלק מספר ע&#x202B;'
 |-
 |
-:E = &radic;G
+:Therefore, the ratio of B to C is the same as the ratio of C to A.
-|style="text-align:right;"|ונאמ' שע' הוא כמו שרש ג&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B:C=C:A}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן יהיה יחס ב' אל ח' כיחס ח' אל א&#x202B;'
 |-
-|Proof:
+|
-:*E<sup>2</sup>=M
+:Hence, the product of B by A is the same as the product of C by itself.
-|style="text-align:right;"|המופת בזה שנכה ע' בעצמו והיה מ&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times A=C^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה הכאת ב' בא' כמו הכאת ח' בעצמו
 |-
 |
-::A &divide; B = G
+:But, the product of B by A is Z.
-|style="text-align:right;"|הנה א' נחלק על ב' והיה ג&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times A=Z}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל הכאת ב' בא' הוא ז&#x202B;'
 |-
 |
-::B &times; G = D
+:So, the product of C by itself is the same as Z.
-|style="text-align:right;"|ולכן מהכאת ב' בג' ישוב ד&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{C^2=Z}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן הכאת ח' בעצמו יהיה כמו ז&#x202B;'
 |-
 |
-::D &times; E = C
+:But, the product of H by itself is already Z.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן ד' הוכה בע' והיה ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{H^2=Z}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר היה הכאת ה' בעצמו הוא ז&#x202B;'
 |-
 |
-::D<sup>2</sup>=B
+:Thus, C is the same as H.
-|style="text-align:right;"|וכבר הוכה ד' בעצמו והיה ב&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{C=H}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה ח' כמו ה&#x202B;'
 |-
 |
-::D : E = B : C
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כב' אל ח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+|-
+|What I have explained of this type is enough.
+|style="text-align:right;"|ובמה שבארתי מזה המין הוא מספיק
 |-
 |
-::E<sup>2</sup>=M
-|style="text-align:right;"|וע' הוכה בעצמו והיה מ&#x202B;'
+=== Chapter on Division <span style=color:Green>of Roots</span> ===
+|style="text-align:right;"|<big>פרק</big> ב{{#annot:term|157,1223|Mj3r}}חלוק{{#annotend:Mj3r}}
 |-
-|
+|He said: you must also know that when you multiply the divisor by the result of division, the dividend returns.
-::E &times; D = C
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{A}{B}\times B=A}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוכה בד' והיה ח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|אמ' וגם כן ראוי שתדע כי כאשר תכה {{#annot:term|604,1228|qzrP}}המחלק{{#annotend:qzrP}} ב{{#annot:term|783,2041|G4yP}}מה שעלה לחלק{{#annotend:G4yP}} ישוב המספר שחלקת
 |-
 |
-::D : E = C : M
+:Example: we divide ten by two; the quotient is five.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כיחס ח' אל מ&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\div2=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|משל זה חלקנו עשרה על שנים ויצא לכל חלק חמשה
 |-
 |
-::B : C = D : E
+:When we multiply two by five, the result is ten and it is the dividend.
-|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס ב' אל ח' גם כן כד' אל ע&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כאשר הכינו שנים בחמשה יהיה עשרה והוא {{#annot:term|605,1226|nQFD}}המספר שנחלק{{#annotend:nQFD}}
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-::B : C = C : M
+|-
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ב' אל ח' כח' אל מ&#x202B;'
+|He said: we give for this procedure a general geometric illustration also:
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונשים לזה המעשה גם כן תמונה כוללת
 |-
 |
-::B &times; M = C<sup>2</sup>
+:[[File:Finzi 20.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|והכאת ב' במ' תהיה כמו הכאת ח' בעצמו
+|[[File:פינצי 20.png|thumb|100px|right]]
+|-
+|We say that for every number divided by another number, the product of the quotient by the divisor is the same as the dividend.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{A}{B}\sdot B=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' כי כל מספר שיהיה {{#annot:term|784,1226|iB1v}}נחלק על{{#annotend:iB1v}} מספר אחר יהיה הכאת העולה לכל חלק במספר ה{{#annot:term|604,1228|yKxa}}מחלק{{#annotend:yKxa}} כמו {{#annot:term|605,1226|XrCl}}המספר הנחלק{{#annotend:XrCl}}
 |-
 |
-::C<sup>2</sup> = A
+:Example: we divide number A by number B; the quotient is G.
-|style="text-align:right;"|אבל הכאת ח' בעצמו היא א&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}</math>
+|style="text-align:right;"|משל זה ש{{#annot:term|784,1259|Ssec}}חלקנו{{#annotend:Ssec}} מספר א' על מספר ב' ועלה לכל חלק ג&#x202B;'
 |-
 |
-::B &times; M = A
+:We say that the product of B by G is the same as A.
-|style="text-align:right;"|ולכן הכאת ב' במ' היא גם כן א&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' שהכאת ב' בג' הוא כמו א&#x202B;'
+|-
+|The proof:
+|style="text-align:right;"|מופת זה
 |-
 |
-::B &times; G = A
+:A is already divided by G and the result is G, so the multiples of G in A are as the number of units in B.
-|style="text-align:right;"|וכבר הוכה ב' גם כן בג' והיה כמו כן א&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי א' כבר נחלק על ב' והיה ג' ולכן יהיו מדמיוני ג' בא' כמספר מה שבב' מן האחדים
 |-
 |
-::M = G
+:Therefore, the ratio of G to A is the same as the ratio of one to B.
-|style="text-align:right;"|אם כן מ' הוא שוה לג&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G:A=1:B}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה יחס ג' אל א' כיחס האחד אל ב&#x202B;'
 |-
 |
-::E = &radic;M
+:So, the product of B by G is the same as the product of one by A. But, the product of one by A, which is the product of B by G, is also A.
-|style="text-align:right;"|אבל ע' היה שרש למ&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=1\times A=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה מהכאת ב' בג' כמו הכאת האחד בא' אבל הכאת האחד בא' הוא אם כן הכאת ב' בג' הוא גם כן א&#x202B;'
 |-
 |
-::E = &radic;G
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה גם כן ע' שרש לג' והוא מש"ל
+|style="text-align:right;"|והוא מה שרצינו לבאר
 |-
 |
+*{{#annot:√9÷√4|740|1Gu9}}He said: if you are told: divide the root of nine by the root of four.
-=== Addition and Subtraction of Roots ===
+:<math>\scriptstyle\sqrt{9}\div\sqrt{4}</math>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>305v</ref><big>אמ'</big> ואם יאמרו לך תחלק שרש תשעה על שרש ארבעה{{#annotend:1Gu9}}
-!style="text-align:right;"|<big>פרק</big> בחבור השרשים האחד עם האחר ובגרעונם
 |-
 |
-==== Addition of Roots ====
+:Divide nine by four; the quotient is two and a quarter.
+|style="text-align:right;"|הנה תחלק תשעה על ארבעה ויגיע לכל חלק שנים ורביע
+|-
 |
+:Extract its root; it is one and a half and this is the root of nine divided by the root of four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\div\sqrt{4}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תקח שרשו והוא אחד וחצי וככה הוא שרש תשעה {{#annot:term|784,1966|PxDD}}מחולק על{{#annotend:PxDD}} שרש ארבעה
 |-
-|Adding a root of a number to a root of another number so that they are summed to a root of a certain square:
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר תרצה לחבר שרש מספר מהמספרי' עם שרש מספר אחר עד ש{{#annot:term|447|0Qui}}יקובץ{{#annotend:0Qui}} מהם שרש מרובע מה
+*{{#annot:√10÷√2|740|pYYI}}If it is said: divide ten by a root of two.
+:<math>\scriptstyle\sqrt{10}\div\sqrt{2}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם אמרו תחלק שרש עשרה על שרש שנים{{#annotend:pYYI}}
 |-
-|This cannot be done with every number,
+|
-|style="text-align:right;"|הנה לא יהיה נכון לעשות זה בכל מספר
+:The quotient is five. Extract its root.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\div\sqrt{2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויגיע ל{{#annot:term|783,1259|yDPN}}חלק{{#annotend:yDPN}} חמשה וקח שרשו
 |-
 |
-*but it is possible for to [perfect] square numbers, i.e. numbers that have a root;
+*{{#annot:(2×√20)÷(3×√6)|740|sCCw}}If you are told: divide two roots of twenty by three roots of six.
-|style="text-align:right;"|אבל יתכן זה בשני מספרי' מרובעי' רצו' ש{{#annot:term|792|jeLt}}יחזיקו שרש{{#annotend:jeLt}}
+:<math>\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם אמר לך תחלק שנים שרשים מעשרים על שרשים שלשה מששה{{#annotend:sCCw}}
 |-
 |
-*or for two numbers, such that when one of them is divided by the other, the quotient has a root, and when one of them is multiplied by the other, the product has a root.
+:Search the root of which number are two roots of twenty.
-|style="text-align:right;"|או בשני מספרים שכאשר נחלק האחד על האחר יהיה ל{{#annot:term|783|nMlj}}אשר עלה אל החלק{{#annotend:nMlj}} שרש וכאשר תכה האחד באחר היה אל המקובץ שרש
+|style="text-align:right;"|תחפש שני שרשים מעשרים לאי זה מספר הם שרש
 |-
-|For numbers other than these it is not possible to sum their two roots to a single root
+|
-|style="text-align:right;"|ובמספרי' אחרים זולת אלו אי אפש' שתחבר שני שרשיהם עד שתשיבם שרש אחד
+:We know from what we explained that they are a root of eighty.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{20}=\sqrt{80}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וידענו ממה שבארנו שהם שרש לשמונים
 |-
-|The same property is found in the subtraction of roots one from the other
+|
-|style="text-align:right;"|וכמו כן הענין ב{{#annot:term|155|lyQn}}גרעון{{#annotend:lyQn}} השרשים האחד מהאחר
+:Search also the root of which number are three roots of six.
+|style="text-align:right;"|ותחפש כמו כן שלשה שרשים מששה לאי זה מספר הם שרש
 |-
-|This is especially clear when both numbers are [perfect] squares.
+|
-|style="text-align:right;"|ואלו יהיו מאד מבוארים כאשר יהיו שני המספרים מרובעי&#x202B;'
+:They are a root of fifty-four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt{6}=\sqrt{54}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה הם שרש לחמשים וארבעה
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}</math>
+:It is as if one asks to divide a root of eighty by a root of fifty-four.
-|style="text-align:right;"|כאלו תאמ' תשעה וארבעה ורצינו לחבר שרשיהם עד ש{{#annot:term|799|NWtf}}יהיו שרש ל{{#annotend:NWtf}}מספר אחד
+:<math>\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה כאלו שאל לחלק שרש שמנים על שרש ארבעה וחמשים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}&\scriptstyle=\sqrt{\left(9+4\right)+2\sqrt{9\sdot4}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13+2\sqrt{36}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13+12}\\&\scriptstyle=\sqrt{25}=5\\\end{align}}}</math>
+:We divide eighty by fifty-four; the quotient is one integer, four-ninths, and a third of a ninth.
-|style="text-align:right;"|תחבר תשעה וארבעה ויהיו שלשה ותשמרם<br>
+|style="text-align:right;"|והנה נחלק שמנים על ארבעה וחמשים ויעלה אל החלק אחד שלם וארבעה תשיעיות ושלישית התשיעית
-ותכה תשעה בארבעה ויהיו שלשים ושש<br>
-ותקח שני שרשיו והם שתיים עשרה<br>
-תחברם עם השמור ויהיו עשרים וחמשה והם כמו שרש תשעה ושרש ארבעה מקובצים
-|-
-!Geometric illustration
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 22.png|thumb|100px|left]]
+:The root of this is the quotient resulting from the division of two roots of twenty by three roots of six.
-|[[File:פינצי 22.png|thumb|100px|right]]
+|style="text-align:right;"|ושרש זה הוא העולה אל ה{{#annot:term|783,1259|U8c0}}חלק{{#annotend:U8c0}} מחלוקת שני שרשים מעשרים על שלשה שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}=\sqrt{\frac{80}{54}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\right)}}}</math>
+|-
+|Proceed with all that is of this kind as in this procedure.
+|style="text-align:right;"|וכמו כן כל אשר יגיע בידך מזה המין תעשה עמו כמעשה הזה
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-::defining:
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב שרש לתשעה
 |-
-|
+|He said: we give for this type also a general geometric illustration:
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונניח גם כן לזה המין תמונה כוללת
-|style="text-align:right;"|וקו א"ג שרש לארבעה
+|-
+|We say that for every two numbers, one of which is divided by the other, the root of the quotient is the same as the quotient of the root of the dividend divided by the root of the divisor.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' כי כל שני מספרים ש{{#annot:term|784,1226|YCAx}}יחלק אחד מהם על האחר{{#annotend:YCAx}} יהיה שרש {{#annot:term|783,2041|uIRR}}העולה לחלק{{#annotend:uIRR}} כמו העולה מ{{#annot:term|157,1221|Hf8m}}חלוקת{{#annotend:Hf8m}} שרש המספר הנחלק בשרש {{#annot:term|604,1228|S2en}}המספר המחלק{{#annotend:S2en}}
+|-
+|colspan=2|
+[[File:Finzi 21 - II.png|thumb|250px|center]]
 |-
-|
+|colspan=2|
-::the root of which number is GB?
+[[File:פינצי - II 21.png|thumb|250px|center]]
-|style="text-align:right;"|ונרצה שנדע קו ג"ב שרש לאי זה מספר הוא
 |-
 |
-::constructing:
+:Example: number A is divided by number B and the result is number G.
-:*GZ□ = GB<sup>2</sup>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}</math>
-|style="text-align:right;"|נעשה על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ז
+|style="text-align:right;"|משל שמספר א' נחלק על <s>ב'</s> מספר ב' ועלה מספר ג&#x202B;'
 |-
 |
-:*ABKL□ = AB<sup>2</sup>
+:The root of A, which is number C, is divided by the root of B, which is number D; the quotient is number E.
-|style="text-align:right;"|ונעשה על קו א"ב שטח מרובע עליו אבכ"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{A}\div\sqrt{B}=C\div D=E}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרש א' שהוא מספר ח' נחלק על שרש ב' שהוא מספר ד' ועלה לחלק מספר ע&#x202B;'
 |-
 |
-:*extending line AK straight to C
+:We say that E is the same as the root of G.
-|style="text-align:right;"|ונוציא קו א"כ על יושר עד נקודת ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{E=\sqrt{G}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' שע' הוא כמו שרש ג&#x202B;'
 |-
-|
+|The Proof:
-:*extending line LK straight to E
+|style="text-align:right;"|המופת בזה
-|style="text-align:right;"|וכמו כן נוציא קו ל"כ עד נקודת ע&#x202B;'
 |-
 |
-::KB□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:We multiply E by itself and the result is M.
-|style="text-align:right;"|הנה שטח כ"ב הוא תשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{E^2=M}}</math>
+|style="text-align:right;"|שנכה ע' בעצמו והיה מ&#x202B;'
 |-
 |
-:::AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
+:A is divided by B; it is G.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי היה קו א"ב שרש לתשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה א' נחלק על ב' והיה ג&#x202B;'
 |-
 |
-::EC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:So, [A] returns by the multiplication of B by G.
-|style="text-align:right;"|ושטח ע"ח הוא ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן מהכאת ב' בג' {{#annot:term|875,1886|OIkJ}}ישוב{{#annotend:OIkJ}} ד&#x202B;'
 |-
 |
-:::EB = AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+:D is multiplied by E and the result is C.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ע"ב שהוא צלעו הוא שוה לא"ג שהנחנוהו שרש לארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D\times E=C}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכמו כן ד' הוכה בע' והיה ח&#x202B;'
 |-
 |
-::AE□ = <math>\scriptstyle{\color{red}{6}}</math>
+:But, D is already multiplied by itself and the result is B.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"ע הוא תשע&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D^2=B}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר הוכה ד' בעצמו והיה ב&#x202B;'
 |-
 |
-:::AE□ = AB &times; AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=6}}</math>
+:Therefore, the ratio of D to E is the same as B to C.
-|style="text-align:right;"|כי הנה הוא מהכאת קו א"ב שהוא כמו שרש תשעה בקו א"ג שהוא שרש לארבעה<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D:E=B:C}}</math>
-ולכן הנה הוא ששה ממה שבארנו למעלה בפרק הכאת שרש בשרש
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כב' אל ח&#x202B;'
 |-
 |
-::LC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6}}</math>
+:E is multiplied by itself and the result is M.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן יהיה שטח ל"ח גם כן ששה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{E^2=M}}</math>
+|style="text-align:right;"|וע' הוכה בעצמו והיה מ&#x202B;'
 |-
 |
-::GZ□ = [KB□ + EC□ + AE□ + LC□] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:It is multiplied by D and the result is C.
-|style="text-align:right;"|ומקובץ כל אלו הארבעה שטחי' הנה הוא עשרים וחמשה והם כל שטח ג"ז
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{E\times D=C}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוכה בד' והיה ח&#x202B;'
 |-
 |
-:BG = &radic;GZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{25}=5}}</math>
+:Therefore, the ratio of D to E is the same as the ratio of C to M.
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ג שהוא שרשו יהיה חמשה והוא מש"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D:E=C:M}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כיחס ח' אל מ&#x202B;'
 |-
 |
+:But, the ratio of B to C is also the same as D to E.
-==== Subtraction of Roots ====
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B:C=D:E}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס ב' אל ח' גם כן כד' אל ע&#x202B;'
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\sqrt{9}-\sqrt{4}</math>
+:Therefore, the ratio of B to C is the same as C to M.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר תרצה {{#annot:term|181|XJsz}}לגרוע{{#annotend:XJsz}} שרש ארבעה משרש ששה תשעה עד שיהיה מה שישאר שרש למספר אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B:C=C:M}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ב' אל ח' כח' אל מ&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{9}-\sqrt{4}&\scriptstyle=\sqrt{\left(9+4\right)-2\sqrt{9\sdot4}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13-2\sqrt{36}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13-12}\\&\scriptstyle=\sqrt{1}=1\\\end{align}}}</math>
+:So, the product of B by M is the same as the product of C by itself.
-|style="text-align:right;"|תחבר התשעה עם הארבעה ויהיו שלשה עשר ותשמרם<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times M=C^2}}</math>
-ותכה תשעה וארבעה ויהיו שלשים ושש<br>
+|style="text-align:right;"|והכאת ב' במ' תהיה כמו הכאת ח' בעצמו
-ותקח שני שרשיו והם שנים עשר<br>
-ו{{#annot:term|181|jDwk}}תגרעם מ{{#annotend:jDwk}}השמור וישאר אחד<br>
-ושרש האחד הוא יהיה הנשאר מהשרש תשעה {{#annot:term|155|BIZq}}בגרעך{{#annotend:BIZq}} ממנו שרש ארבעה והוא אחד
 |-
-!Geometric illustration
+|
-|style="text-align:right;"|ואבאר לך זה בזאת התמונ&#x202B;'
+:But, the product of C by itself is A.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{C^2=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל הכאת ח' בעצמו היא א&#x202B;'
 |-
 |
-:[[File:Finzi 23.png|thumb|100px|left]]
+:Hence, the product of B by M is also A.
-|[[File:פינצי 23.png|thumb|100px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times M=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן הכאת ב' במ' היא גם כן א&#x202B;'
 |-
 |
-::defining:
+:B is already multiplied by G and the result is also A.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=A}}</math>
-|style="text-align:right;"|נניח קו א"ב שרש לתשעה
+|style="text-align:right;"|וכבר הוכה ב' גם כן בג' והיה כמו כן א&#x202B;'
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+:Then M is equal to G.
-|style="text-align:right;"|וקו א"ג שרש לארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{M=G}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן מ' הוא שוה לג&#x202B;'
 |-
 |
-::GB = AB - AG
+:But, E is the root of M.
-|style="text-align:right;"|וכאשר נגרע קו א"ג מקו א"ב ישאר קו ג"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{E=\sqrt{M}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל ע' היה שרש למ&#x202B;'
 |-
 |
-::the root of which number is GB?
+:Therefore, E is also the root of G.
-|style="text-align:right;"|ורצינו לדעת מספר קו ג"ב לאי זה מספר הוא שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{E=\sqrt{G}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה גם כן ע' שרש לג&#x202B;'
 |-
 |
-::constructing:
+:Q.E.D.
-:*AZ□ = AB<sup>2</sup>
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
-|style="text-align:right;"|נשים על קו א"ב שטח מרובע עליו א"ז
 |-
 |
-::AZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"ז תשעה
+=== Chapter on the Addition of the Roots one the the other and Their Subtraction ===
+|style="text-align:right;"|<big>פרק</big> ב{{#annot:term|154,1208|LMS9}}חבור{{#annotend:LMS9}} השרשים האחד עם האחר וב{{#annot:term|155,1248|bJ2u}}גרעונם{{#annotend:bJ2u}}
 |-
 |
-:*AM□ = AG<sup>2</sup>
+==== <span style=color:Green>Addition of Roots</span> ====
-|style="text-align:right;"|ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו א"מ
+|
+|-
+|He said: when you wish to add a root of a number to a root of another number so that a root of a certain square is summed from them:
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר תרצה לחבר שרש מספר מהמספרי' עם שרש מספר אחר עד ש{{#annot:term|178,1841|IXND}}יקובץ{{#annotend:IXND}} מהם {{#annot:term|133,1262|EURV}}שרש מרובע{{#annotend:EURV}} מה
+|-
+|This cannot be done with every number, but it is possible for two [perfect] square numbers, i.e. numbers that have a root; or for two numbers, such that when one [of them] is divided by the other, the quotient has a root, and when one [of them] is multiplied by the other, the product has a root.
+|style="text-align:right;"|הנה לא יהיה נכון לעשות זה בכל מספר אבל יתכן זה בשני {{#annot:term|857,1263|iEXI}}מספרי' מרובעי'{{#annotend:iEXI}} רצו' ש{{#annot:term|792,2043|jeLt}}יחזיקו שרש{{#annotend:jeLt}} או בשני מספרים שכאשר נחלק האחד על האחר יהיה לאשר עלה אל החלק שרש וכאשר תכה האחד באחר היה אל {{#annot:term|241,1217|QOm4}}המקובץ{{#annotend:QOm4}} שרש
 |-
-|
+|For numbers other than these it is not possible that you sum their two roots to a single root.
-::AM□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובמספרי' אחרים זולת אלו אי אפש' שתחבר שני שרשיהם עד שתשיבם שרש אחד
-|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"מ ארבעה
 |-
-|
+|The same property is found in the subtraction of roots one from the other.
-:*extending lines GM and CM straight to points N and K
+|style="text-align:right;"|וכמו כן הענין ב{{#annot:term|155,1248|lyQn}}גרעון{{#annotend:lyQn}} השרשים האחד מהאחר
-|style="text-align:right;"|ותוציא קוי ג"מ וח"מ על יושר עד שתי נקודות נ' וכ&#x202B;'
 |-
-|
+|This is especially clear when both numbers are [perfect] squares.
-::MZ□ = GB<sup>2</sup>
+|style="text-align:right;"|ואלו יהיו מאד &#x202B;<ref>306r</ref>מבוארים כאשר יהיו שני המספרים מרובעי&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|הנה הוא ידוע כי מרובע מ"ז הוא כמו הכאת קו ג"ב בעצמו
 |-
 |
-:::MG = GB
+*{{#annot:√9+√4|738|1OzL}}As if you say: nine and four - we wish to sum their roots so that they become a root of a single number.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי <s>הכאת</s> קו מ"ג שהוא צלעו הוא שוה לקו ג"ב
+:<math>\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}</math>
+|style="text-align:right;"|כאלו תאמ' תשעה וארבעה ורצינו לחבר שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד{{#annotend:1OzL}}
 |-
 |
-::CK□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:Sum up nine and four; it is [thirteen]. Keep it.
-|style="text-align:right;"|ושטח ח"כ הוא שנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{9+4=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחבר תשעה וארבעה ויהיו שלשה ותשמרם
 |-
 |
-:::AC□ = AG &times; AH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}\times\sqrt{9}=6}}</math>
+:Multiply nine by four; it is thirty-six.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי היה כל שטח א"כ ששה מפני כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שרש לארבעה בקו א"ה שהוא שרש לתשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה תשעה בארבעה ויהיו שלשים ושש
 |-
 |
-:::AM□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Take its two roots; they are twelve.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"מ היה ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{36}=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקח שני שרשיו והם שתיים עשרה
 |-
 |
-:::CK□ = AC□ - AM□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:Add it to the reserved; it is twenty-five and it is the same as the sum of the root of nine and the root of four.
-|style="text-align:right;"|ולזה ישאר שטח ח"כ שנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|178,1165|iC9I}}תחברם עם{{#annotend:iC9I}} השמור ויהיו עשרים וחמשה והם כמו שרש תשעה ושרש ארבעה מקובצים
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-::MB□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
-|style="text-align:right;"|וכמו כן יהיה שטח מ"ב שנים
 |-
 |
-::CK□ + MB□ + AM□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8}}</math>
+:He said: I will explain this by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|הנה כי מקובץ שלשה שטחי ח"כ מ"ב א"מ הוא שמנה
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-::AZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:[[File:Finzi 22.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|אבל כל שטח א"ז היה תשעה
+|[[File:פינצי 22.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::MZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{1}}</math>
+:We suppose line AB is a root of nine.
-|style="text-align:right;"|הנה כי ישאר שטח מ"ז אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב שרש לתשעה
 |-
 |
-::GB = MN = &radic;MZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1}=1}}</math>
+:Line AG is a root of four.
-|style="text-align:right;"|וקו מ"נ השוה לקו ג"ב הוא שרשו והוא אחד והוא מש"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו א"ג שרש לארבעה
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}=\sqrt{a}-\sqrt{b}</math>
+:We wish to know the root of which number is line GB?
-|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ואם רצינו לחבר שרש שמנה עשר עם שרש שמנה עד שיהיו שרש למספר אחד
+|style="text-align:right;"|ונרצה שנדע קו ג"ב שרש לאי זה מספר הוא
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}</math>
+:We construct square GZ on line GB.
-|style="text-align:right;"|הנה ידענו כי חבורם נכון בעבור כי כאשר חלקנו שמנה עשר על שמנה יגיע לחלק שנים ורביע והם {{#annot:term|792|3Sot}}מחזיקים שרש{{#annotend:3Sot}} כי שרשם הוא אחד וחצי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GZ=GB^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|נעשה על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ז
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{8}{18}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}}}</math>
+:We construct square ABKL on line AB.
-|style="text-align:right;"|ואם חלקנו שמנה <s>עשר</s> על שמנה עשר יגיע לחלק ארבע תשיעיות והם מחזיקים שרש ושרשם הוא שני שלישים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABKL=AB^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונעשה על קו א"ב שטח מרובע עליו אבכ"ל
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18\sdot8}=\sqrt{144}=12}}</math>
+:We extend line AK straight to point C.
-|style="text-align:right;"|ואם תכה שמנה עשר בשמנה יהיו קמ"ד ומחזיקים שרש ושרשם שתים עשרה
+|style="text-align:right;"|ונוציא קו א"כ על יושר עד נקודת ח&#x202B;'
 |-
-|For any two numbers that implement this rule, i.e. that adapt these three properties, their two roots can be summed to a root of a single number
+|
-|style="text-align:right;"|וכבר אמרנו כי כל שני מספרים יהיה משפטם זה המשפט ר"ל שיסוגלו באלו השלש סגולות הנה אז יהיה נכון לנו לקבץ שני שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד
+:We also extend line LK to point E.
+|style="text-align:right;"|וכמו כן נוציא קו ל"כ עד נקודת ע&#x202B;'
 |-
-|If one of the three properties is absent, all three properties are absent.
+|
-|style="text-align:right;"|וכאשר יבצר מהם אחת מאלו השלש סגולות יהיו שלשתם נמנעות מהן
+:Surface KB is nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KB=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה שטח כ"ב הוא תשעה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}&\scriptstyle=\sqrt{\left(18+8\right)+2\sqrt{18\sdot8}}\\&\scriptstyle=\sqrt{26+2\sqrt{144}}\\&\scriptstyle=\sqrt{26+24}\\&\scriptstyle=\sqrt{50}\\\end{align}}}</math>
+:Since line AB is a root of nine.
-|style="text-align:right;"|וכאשר רצינו לדעת קבוץ השני שרשים אשר אמרנו לאיזה מספר הם שרש תעשה כפי המעשה שאמרנו קודם והוא שתחבר שמנה עם שמנה עשר ויהיו ששה ועשרים ותשמרם<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}</math>
-ותכה שמנה בשמנה עשר ויעלה קמ"ד<br>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי היה קו א"ב שרש לתשעה
-ותקח שני שרשיו והוא ארבעה ועשרים<br>
-ותחברם עם השמור ויהיו חמשים<br>
-ושרשו הוא כמו שרש שמנה ושרש שמנה עשר מקובצים
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}</math>
+:Surface EC is four.
-|style="text-align:right;"|ואם באנו לגרוע שרש שמנה משרש שמנה עשר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EC=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ע"ח הוא ארבעה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}}}</math>
+:Since line EB, which is its side, is equal to AG, which we have assumed that is a root of four.
-|style="text-align:right;"|תגרע הארבעה ועשרים מהשמור וישארו שנים ושרש שנים הוא מה שישאר משרש שמנה עשר כאשר יגרע ממנו שרש שמנה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EB=AG=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ע"ב שהוא צלעו הוא שוה לא"ג שהנחנוהו שרש לארבעה
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\sqrt{10}+\sqrt{2}</math> cannot be summed to a root of a single number
+:Surface AE is [six].
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם רצינו לחבר שרש עשרה עם שרש שנים זה לא יתכן לחברו גם לא יתכן להיות מקובצם שרש למספר אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{red}{AE=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"ע הוא תשע&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}</math> no root
+:Because it is generated from the product of line AB, which is the same as a root of nine, by line AG, which is a root of four, so it is six, according to what we explained above in the chapter on the multiplication of a root by a root.
-|style="text-align:right;"|כי הנה כאשר תחלק עשרה על שנים יגיע לחלק חמשה וחמשה {{#annot:term|794|zf7S}}אינם מחזיקים שרש{{#annotend:zf7S}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AE=AB\times AG=\sqrt{9}\times\sqrt{4}=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי הנה הוא מהכאת קו א"ב שהוא כמו שרש תשעה בקו א"ג שהוא שרש לארבעה ולכן הנה הוא ששה ממה שבארנו למעלה בפרק הכאת שרש בשרש
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{10}}=\sqrt{\frac{1}{5}}}}</math> no root
+:Surface LC is also six.
-|style="text-align:right;"|וכאשר תחלק שנים על עשרה יגיע לחלק חומש {{#annot:term|794|tmMx}}ואין שרש ל{{#annotend:tmMx}}חומש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LC=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכמו כן יהיה שטח ל"ח גם כן ששה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10}=\sqrt{20}}}</math> no root
+:The sum of these four surfaces is twenty-five and they are the whole surface GZ.
-|style="text-align:right;"|וכאשר תכה שנים בעשרה יהיו עשרים ואין לעשרים שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GZ=KB+EC+AE+LC=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומקובץ כל אלו הארבעה שטחי' הנה הוא עשרים וחמשה והם כל שטח ג"ז
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}+\sqrt{2}=\sqrt{12+2\sqrt{20}}}}</math>
+:Line BG, which is its root, is five.
-|style="text-align:right;"|ואם קבצנום על הדרך האמור יהיה השרש משנים שרשים מעשרים מקובצים עם שנים עשר הוא שרש עשרה ושרש שנים מקובצים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=\sqrt{GZ}=\sqrt{25}=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ג שהוא שרשו יהיה חמשה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}-\sqrt{2}=\sqrt{12-2\sqrt{20}}}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|ואם גרענו האחד מהאחר על הדרך האמור יצא לנו כי שרש הנשאר משנים עשר כאשר יגרע מהם שנים שרשים מעשרים הוא כמו שרש מה שישאר משרש עשרה כאשר יגרע ממנו שרש שנים
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
-|The question is more proper than the answer
+|
-|style="text-align:right;"|והשאלה בזה יותר נכונה מהתשובה
+==== <span style=color:Green>Subtraction of Roots</span> ====
+|
 |-
-|When you are asked a question of this kind, your answer should be exactly similar to what was introduced to you.
+|
-|style="text-align:right;"|וראוי לך כאשר ישאלו ממך אי זו השאלה מזה הסוג שתהיה תשובתך עליה על דמיון אשר יוציאו לפניך בשוה
+*{{#annot:√9-√4|739|YpmS}}He said: when you wish to subtract a root of four from a root of nine, so that what remains is a root of a single number.
+:<math>\scriptstyle\sqrt{9}-\sqrt{4}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר תרצה לגרוע שרש ארבעה משרש <s>ששה</s> תשעה עד שיהיה מה שישאר שרש למספר אחד{{#annotend:YpmS}}
 |-
-|It is more proper to say "the root of ten and the root of two summed together", than to say "the root of twelve and two roots of twenty".
+|
-|style="text-align:right;"|כי כאשר יאמר שרש עשרה ושרש שנים מקובצי' הוא יותר נכון ממאמ' שרש שנים עשר ושני שרשים מעשרים
+:Add nine to four; it is thirteen. Keep it.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{9+4=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחבר התשעה עם הארבעה ויהיו שלשה עשר ותשמרם
 |-
-|Also, for subtracting one from the other: it is more proper to say "the root of ten minus the root of two", than to say "the root of twelve minus two roots of twenty", which is the root of eighty.
+|
-|style="text-align:right;"|וכמו כן בגרעון האחד מהאחר יותר נכון הוא לאמר שרש <s>שנים</s> עשרה פחות שרש שנים מלאמר שרש שנים עשר פחות שני שרשים מעשרים שהוא שרש שמנים
+:Multiply nine by four; it is thirty-six.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה תשעה וארבעה ויהיו שלשים ושש
 |-
-|What was explained is enough and complete.
+|
-|style="text-align:right;"|ודי במה שבארתי מזה ובו השלמה
+:Take its two roots; they are twelve.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{36}=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקח שני שרשיו והם שנים עשר
 |-
 |
+:Subtract it from the reserved; one remains.
-== Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations ==
+|style="text-align:right;"|ותגרעם מהשמור וישאר אחד
-!style="text-align:right;"|<big>פרק</big>
 |-
-|Now, a question is given for each of the six types of canonical equations described above, which could be taught by the algebraists.
+|
-|style="text-align:right;"|אמ' הנני עושה לך שאלה לכל חלק מהששה חלקים אשר הודענו ראשונה ואפש' שכבר יורוך אותם חכמי האלג'בר
+:The root of one, which is one, is the remainder of the root of nine, when you subtract a root of four from it.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}-\sqrt{4}=\sqrt{13-12}=\sqrt{1}=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרש האחד הוא יהיה הנשאר מהשרש תשעה בגרעך ממנו שרש ארבעה והוא אחד
 |-
-!1) The first problem
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה הראשונה
+|
 |-
 |
-*{{#annot:a²=1½ab|716|nJqx}}If you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger by itself is the same as one time and a half of the product of the one part by the other.
+:I will explain it to you by this geometric illustration:
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=\left(a\sdot b\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(a\sdot b\right)\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|ואבאר לך זה בזאת התמונ&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שתהיה הכאת החלק הגדול בעצמו כמו פעם וחצי מהעולה מהכאת החלק האחד באחר{{#annotend:nJqx}}
 |-
-|The procedure:
+|
-:defining:
+:[[File:Finzi 23.png|thumb|100px|left]]
-:*the larger part as one thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
+|[[File:פינצי 23.png|thumb|100px|right]]
-|style="text-align:right;"|והמעשה בזה הוא שנניח החלק הגדול דבר אחד
 |-
 |
-:*the other part as ten minus a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
+:We suppose line AB is a root of nine.
-|style="text-align:right;"|והחלק האחר ישאר עשרה פחות דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|נניח קו א"ב שרש לתשעה
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}</math>
+:Line AG is a root of four.
-|style="text-align:right;"|ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו א"ג שרש לארבעה
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:When we subtract line AG from line AB, line GB remains.
-|style="text-align:right;"|ונכה החלק הגדול והוא דבר בעצמו והוא מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=AB-AG}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר נגרע קו א"ג מקו א"ב ישאר קו ג"ב
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(10x-x^2\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(10x-x^2\right)}}</math>
+:We wish to know the root of which number is the number of line GB?
-|style="text-align:right;"|והיה זה המרובע כמו העשרה דברי' פחות מרובע וכמו חצי זה
+|style="text-align:right;"|ורצינו לדעת מספר קו ג"ב לאי זה מספר הוא שרש
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10x-x^2\right)=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}</math>
+:We construct square AZ on line AB.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AZ=AB^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונכה עשרה דברים פחות מרובע באחד וחצי ויעלה חמשה עשר דברים פחות מרובע וחצי והם יהיו כמו המרובע
+|style="text-align:right;"|נשים על קו א"ב שטח מרובע עליו א"ז
 |-
 |
-:*Restoration of <math>\scriptstyle\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)</math>:
+:The area of AZ is nine.
-|style="text-align:right;"|ותאסוף המרובע וחצי עם הט"ו דברים עד שיהיו חמשה עשר דברים שלמים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AZ=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"ז תשעה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot x^2=15x</math>
+:We construct square AM on line AG.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן תקבץ המרובע וחצי עם המרובע ואז יהיה שנים מרובעים וחצי יהיו שוים לחמשה עשר דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=AG^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו א"מ
 |-
 |
-:*Normalization of <math>\scriptstyle\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)</math>:
+:The area of AM is four.
-|style="text-align:right;"|והשיבם אל מרובע אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"מ ארבעה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6x}}</math>
+:Extend lines GM and CM straight to points N and K.
-|style="text-align:right;"|ויהיה המרובע ישוה לששה דברים
+|style="text-align:right;"|ותוציא קוי ג"מ וח"מ על יושר עד שתי נקודות נ' וכ&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}</math>
+:It is known that square MZ is the same as the product of line GB by itself.
-|style="text-align:right;"|והדבר ישוה ששה והוא החלק הגדול
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MZ=GB^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה הוא ידוע כי מרובע מ"ז הוא כמו הכאת קו ג"ב בעצמו
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}</math>
+:Since line MG, which is its side, is equal to line GB.
-|style="text-align:right;"|וארבעה הנשאר מהעשרה הוא החלק הקטן
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MG=GB}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|בעבור כי <s>הכאת</s> קו מ"ג שהוא צלעו הוא שוה לקו ג"ב
-|this problem demonstrates the first of the six canonical equations: <math>\scriptstyle ax^2=bx</math>
-|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הראיתיך לחלק הראשון מהששה חלקים והוא אמרו כאשר המרובעים יהיו שוים אל השרשים
-|-
-!Geometrical illustration of the problem
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר לך זאת השאלה בתמונ' ג'ימטרית
 |-
 |
-:[[File:Finzi 24.png|thumb|100px|left]]
+:Surface CK is two.
-|[[File:פינצי 24.png|thumb|100px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CK=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ח"כ הוא שנים
 |-
 |
-::defining:
+:Since the whole surface AK is six, because it is generated from the product of line AG, which is a root of four, by line AH, which is a root of nine.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AK=AG\times AH=\sqrt{4}\times\sqrt{9}=6}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
+|style="text-align:right;"|בעבור כי היה כל שטח א"כ ששה מפני כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שרש לארבעה בקו א"ה שהוא שרש לתשעה
 |-
 |
-::divided into two unequal parts on G:
+:Surface AM is four.
-|style="text-align:right;"|ונחלק בנקודת ג' לשני חלקים בלתי שוים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"מ היה ארבעה
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
+:Therefore, the remaining surface CK is two.
-|style="text-align:right;"|קו א"ג הוא החלק הגדול
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CK=AC-AM=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולזה ישאר שטח ח"כ שנים
 |-
 |
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
+:Surface MB is also two.
-|style="text-align:right;"|וקו ג"ב החלק הקטן
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MB=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכמו כן יהיה שטח מ"ב שנים
 |-
 |
-::GD□ = AG &times; GB
+:So, the sum of the three surfaces CK, MB, and AM is eight.
-|style="text-align:right;"|והכינו קו א"ג בקו ב"ג והיה שטח ג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CK+MB+AM=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כי מקובץ שלשה שטחי ח"כ מ"ב א"מ הוא שמנה
 |-
 |
-:::BD = AG
+:But, the whole surface AZ is nine.
-|style="text-align:right;"|כי שמנו ב"ד כמו א"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AZ=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל כל שטח א"ז היה תשעה
 |-
 |
-::AH□ = AG<sup>2</sup>
+:Hence, the remaining surface MZ is one.
-|style="text-align:right;"|והכינו א"ג בעצמו והיה מרובע א"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MZ=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כי ישאר שטח מ"ז אחד
 |-
 |
-::defining: AH□ = GD□ + ½GD□
+:Line MN that is equal to line GB is its root, which is one.
-|style="text-align:right;"|ונניח כי יהיה שטח מרובע א"ה כמו שטח ג"ד וכמו חציו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=MN=\sqrt{MZ}=\sqrt{1}=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו מ"נ השוה לקו ג"ב הוא שרשו והוא אחד
 |-
 |
-::GA = GB + ½GB
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ג"א כמו קו ג"ב וכמו חציו
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-::AB = 2½GB
+*{{#annot:√18+√8|738|H0sg}}He said: if we wish to sum up the root of eighteen with the root of eight, so they become a root of a single number.
-|style="text-align:right;"|ויהיה קו א"ב כלו כמו קו ג"ב שני פעמים וחצי
+:<math>\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}</math>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>306v</ref><big>אמר</big> ואם רצינו לחבר שרש שמנה עשר עם שרש שמנה עד שיהיו שרש למספר אחד{{#annotend:H0sg}}
 |-
 |
-::AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:We know that their sum is appropriate.
-|style="text-align:right;"|אבל קו א"ב הוא עשרה
+|style="text-align:right;"|הנה ידענו כי {{#annot:term|154,1208|b105}}חבורם{{#annotend:b105}} {{#annot:term|2079,2062|2DB8}}נכון{{#annotend:2DB8}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{2+\frac{1}{2}}=4}}</math>
+:Because, when we divide eighteen by eight, the quotient is two and a quarter and it has a root, for its root is one and a half.
-|style="text-align:right;"|ונחלק עשרה לשנים וחצי ו{{#annot:term|783|sbUN}}יעלה לחלק{{#annotend:sbUN}} ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי כאשר חלקנו שמנה עשר על שמנה יגיע לחלק שנים ורביע והם {{#annot:term|792,2043|6J6W}}מחזיקים שרש{{#annotend:6J6W}} כי שרשם הוא אחד וחצי
 |-
 |
-::BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:If we divide eight by eighteen, the quotient is four-ninths and it has a root - its root is two-thirds.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ב"ג הוא ארבע&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{8}{18}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם חלקנו שמנה <s>עשר</s> על שמנה עשר יגיע לחלק ארבע תשיעיות והם מחזיקים שרש ושרשם הוא שני שלישים
 |-
 |
-::AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6}}</math>
+:If you multiply eighteen by eight, it is 144 and it has a root - its root is twelve.
-|style="text-align:right;"|וקו א"ג הוא ששה והוא מש"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18\sdot8}=\sqrt{144}=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תכה שמנה עשר בשמנה יהיו קמ"ד ומחזיקים שרש ושרשם שתים עשרה
+|-
+|We already noted that for any two numbers that obey this rule, i.e. that have these three properties, we can sum up their two roots so they become a root of a single number.
+|style="text-align:right;"|וכבר אמרנו כי כל שני מספרים יהיה {{#annot:term|222|8sTT}}משפטם{{#annotend:8sTT}} זה המשפט ר"ל שיסוגלו באלו השלש סגולות הנה אז יהיה נכון לנו לקבץ שני שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד
 |-
-!2) The second problem
+|If one of the three properties is absent, all three properties are absent.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה השנית
+|style="text-align:right;"|וכאשר יבצר מהם אחת מאלו השלש סגולות יהיו שלשתם נמנעות מהן
 |-
 |
-*{{#annot:10²=6¼a²|716|LNn6}}If you are told: divide ten into two parts, such that the product of ten by itself is the same as the product of one of the parts by itself 6¼ times.
+:When we wish to know the root of which number is the sum of the two roots we mentioned, follow the procedure we said earlier.
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle10^2=a^2\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\end{cases}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{18}+\sqrt{8}}}</math>
-|style="text-align:right;"|כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת עשרה בעצמו כמו הכאת העולה מהכא' אחד החלקי' בעצמו ששה פעמים ורביע{{#annotend:LNn6}}
+|style="text-align:right;"|וכאשר רצינו לדעת {{#annot:term|388,1211|gdu7}}קבוץ ה{{#annotend:gdu7}}שני שרשים אשר אמרנו לאיזה מספר הם שרש תעשה כפי המעשה שאמרנו קודם
-|-
-|The procedure:
-:*defining one part as a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
-|style="text-align:right;"|והמעשה בזה שנניח החלק האחד דבר
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:It is that you sum up eight with eighteen; it is twenty-six. Keep it.
-|style="text-align:right;"|ונכהו בעצמו והוא מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{8+18=26}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שתחבר שמנה עם שמנה עשר ויהיו ששה ועשרים ותשמרם
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}</math>
+:Multiply eight by eighteen; the result is 144.
-|style="text-align:right;"|ונכה העשרה בעצמם והיו מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot18=144}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה שמנה בשמנה עשר ויעלה קמ"ד
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100}}</math>
+:Take its two roots; they are twenty-four.
-|style="text-align:right;"|ואלו המאה היו כמו המרובע ששה פעם ורביע הנה תכה המרובע בששה ורביע ויהיה ששה מרובעים ורביע ישוו מאה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{144}=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקח שני שרשיו והוא ארבעה ועשרים
 |-
 |
-:*Normalization of <math>\scriptstyle\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2</math>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100 /\sdot\frac{4}{25}=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}}}</math>
+:Add it to the reserved; it is fifty.
-|style="text-align:right;"|והשיבם אל מרובע אחד והוא שתחלק מאה על ששה ורביע שהם כ"ה רביעיות
+|style="text-align:right;"|ותחברם עם השמור ויהיו חמשים
 |-
 |
-:::4 for each quarter
+:Its root is the same as the sum of the root of eight and the root of eighteen.
-|style="text-align:right;"|ויעלה לכל רביע ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}+\sqrt{8}=\sqrt{26+24}=\sqrt{50}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרשו הוא כמו שרש שמנה ושרש שמנה עשר מקובצים
 |-
 |
-:::16 for each square
+*{{#annot:√18-√8|739|uKgY}}If we want to subtract the root of eight from the root of eighteen.
-|style="text-align:right;"|ולכל מרובע יעלה שש עשרה
+:<math>\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם באנו לגרוע שרש שמנה משרש שמנה עשר{{#annotend:uKgY}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:Subtract twenty-four from the reserved; two remains and the root of two is what remains from the root of eighteen, when the root of eight is subtracted from it.
-|style="text-align:right;"|ויהיה המרובע שוה ששה עשר דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תגרע הארבעה ועשרים מהשמור וישארו שנים ושרש שנים הוא מה שישאר משרש שמנה עשר כאשר יגרע ממנו שרש שמנה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}</math>
+*{{#annot:√10+√2|738|MvKX}}He said: if we wish to sum up the root of ten with the root of two.
-|style="text-align:right;"|ושרשם ארבעה והוא החלק המבוקש
+:<math>\scriptstyle\sqrt{10}+\sqrt{2}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם רצינו לחבר שרש עשרה עם שרש שנים{{#annotend:MvKX}}
-|this problem demonstrates the second of the six canonical equations: <math>\scriptstyle ax^2=c</math>
-|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הראיתי לך לחלק השני מהששה והוא האומר כאשר המרובעים ישוו אל מספרים
-|-
-!Geometrical illustration of the problem
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר לך זאת השאלה בזאת התמונה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 25.png|thumb|150px|left]]
+:This cannot be summed to a root of a single number.
-|[[File:פינצי 25.png|thumb|150px|right]]
+|style="text-align:right;"|זה לא יתכן לחברו גם לא יתכן להיות מקובצם שרש למספר אחד
 |-
 |
-::defining:
+:Because, when you divide ten by two, the quotient is five and five has no root.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
+|style="text-align:right;"|כי הנה כאשר תחלק עשרה על שנים יגיע לחלק חמשה וחמשה אינם מחזיקים שרש
 |-
 |
-:*GB is the sought number
+:When you divide two by ten, the quotient is fifth and the fifth has no root.
-|style="text-align:right;"|וקו ג"ב ממנו הוא המספר המבוקש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{10}}=\sqrt{\frac{1}{5}}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר תחלק שנים על עשרה יגיע לחלק חומש ואין שרש לחומש
 |-
 |
-:*AM□ = AB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100}}</math>
+:When you multiply two by ten, it is twenty and twenty has no root.
-|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בעצמו ויצא שטח א"מ והוא מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10}=\sqrt{20}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר תכה שנים בעשרה יהיו עשרים ואין לעשרים שרש
 |-
 |
-:*GD□ = GB<sup>2</sup>
+:If we sum them by the mentioned method, the root of two roots of twenty plus twelve is the sum of the root of ten and the root of two.
-|style="text-align:right;"|ונכה קו ג"ב בעצמו ויהיה מרובע ג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}+\sqrt{2}=\sqrt{12+2\sqrt{20}}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם קבצנום על הדרך האמור יהיה השרש משנים שרשים מעשרים {{#annot:term|178,1841|WYz5}}מקובצים עם{{#annotend:WYz5}} שנים עשר הוא שרש עשרה ושרש שנים מקובצים
 |-
 |
-:*AM□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math> = 6¼GD□
+:If we subtract one from the other by the mentioned method, we get that the root of the remainder of twelve after two roots of twenty are subtracted from it is the same as what remains from the root of ten when the root of two is subtracted from it.
-|style="text-align:right;"|והנחנו ששטח א"מ שהוא מאה יהיה כמו ששה פעמים ורביע שטח ג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}-\sqrt{2}=\sqrt{12-2\sqrt{20}}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם גרענו האחד מהאחר על הדרך האמור יצא לנו כי שרש הנשאר משנים עשר כאשר יגרע מהם שנים שרשים מעשרים הוא כמו <s>שרש</s> מה שישאר משרש עשרה כאשר יגרע ממנו שרש שנים
+|-
+|The question is more proper than the answer.
+|style="text-align:right;"|והשאלה בזה יותר נכונה מהתשובה
+|-
+|When you are asked a question of this kind, your answer should be exactly similar to what was introduced to you.
+|style="text-align:right;"|וראוי לך כאשר ישאלו ממך אי זו השאלה מזה הסוג שתהיה תשובתך עליה על דמיון אשר יוציאו לפניך בשוה
+|-
+|Because, when it is said "the root of ten and the root of two summed together", it is more proper than saying "the root of twelve plus two roots of twenty".
+|style="text-align:right;"|כי כאשר יאמר שרש עשרה ושרש שנים מקובצי' הוא יותר נכון ממאמ' שרש שנים עשר ושני שרשים מעשרים
+|-
+|Also, for subtracting one from the other: it is more proper to say "the root of ten minus the root of two", than to say "the root of twelve minus two roots of twenty, which is the root of eighty".
+|style="text-align:right;"|וכמו כן בגרעון האחד מהאחר יותר נכון הוא לאמר שרש <s>שנים</s> עשרה פחות שרש שנים מלאמר שרש שנים עשר פחות שני שרשים מעשרים שהוא שרש שמנים
+|-
+|What I have explained about it is sufficient and complete.
+|style="text-align:right;"|ודי במה שבארתי מזה ובו השלמה
 |-
 |
-::dividing GD□ into four identical parts each is equal to BC□
-|style="text-align:right;"|ונחלק מרובע ג"ד לארבעה חלקים שוים כל חלק מהם יהיה כמו שטח ב"ח
+== Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations ==
+!style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>307r</ref><big>פרק</big>
+|-
+|He said: I give you a question for each of the six types [of canonical equations] that we noted first, which the algebraists may have already taught you:
+|style="text-align:right;"|אמ' הנני עושה לך שאלה לכל חלק מהששה חלקים אשר הודענו ראשונה ואפש' שכבר יורוך אותם {{#annot:term|781,1311|YBWR}}חכמי האלגבר{{#annotend:YBWR}}
 |-
 |
-::AM□ = 6¼GD□ =  25CB□
+*{{#annot:a+b=10, a²=1½ab|619|nJqx}}[1] He said: the first problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger by itself is the same as one time and a half of the product of the one part by the other.
-|style="text-align:right;"|הנה מפני שהיה שטח א"מ ששה פעמי' ורביע שטח ג"ד יהיה עשרים וחמשה פעמים כמו שטח ב"ח שהוא רביעיתו שהוא שטח ג"ד
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=\left(a\sdot b\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(a\sdot b\right)\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה הראשונה היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני {{#annot:term|606,1259|Vr9G}}חלקים{{#annotend:Vr9G}} באופן שתהיה הכאת החלק הגדול בעצמו כמו פעם וחצי מהעולה מהכאת החלק האחד באחר{{#annotend:nJqx}}
 |-
 |
-::AM□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:The procedure is that we suppose the larger part is one thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>] and the other part is ten minus a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|אבל שטח א"מ הוא מאה
+|style="text-align:right;"|והמעשה בזה הוא שנניח {{#annot:term|606,1259|85Ut}}החלק{{#annotend:85Ut}} הגדול דבר אחד והחלק האחר ישאר עשרה פחות דבר
 |-
 |
-::BC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:We multiply a thing by ten minus a thing; it is ten things minus a square.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ב"ח ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע
 |-
 |
-::GD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{16}}</math>
+:We multiply the larger part, which is a thing, by itself; it is a square.
-|style="text-align:right;"|ושטח ג"ד ששה עשר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה החלק הגדול והוא דבר בעצמו והוא מרובע
 |-
 |
-::GB = &radic;GD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:This square is as the ten things minus a square plus its half.
-|style="text-align:right;"|וקו ג"ב שהוא שרשו יהיה ארבעה והוא החלק המבוקש והוא מש"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(10x-x^2\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(10x-x^2\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|והיה זה המרובע כמו העשרה דברי' פחות מרובע וכמו חצי זה
 |-
-!3) The third problem
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה השלישית
+:We multiply ten things minus a square by one and a half; the result is fifteen things minus a square and a half and they are as the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10x-x^2\right)=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה עשרה דברים פחות מרובע באחד וחצי ויעלה חמשה עשר דברים פחות מרובע וחצי והם יהיו כמו המרובע
 |-
 |
-*{{#annot:b/a=4|716|ogdI}}If you are told: divide ten into two parts, such that when you divide the larger part by the smaller part the quotient is four.
+:*<span style="color:Green>Restoration:</span>
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=4\end{cases}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר תחלק החלק הגדול על החלק הקטן יגיע לחלק ארבעה{{#annotend:ogdI}}
 |-
-|The procedure:
+|
-:defining:
+:Restore the square and a half with the 15 things until they are fifteen whole things; add the square and a half to the square.
-:*the smaller part as a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)+\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)=x^2+\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}</math>
-|style="text-align:right;"|המעשה בזה הוא שנניח החלק הקטן דבר
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|866,1190|wV1c}}תאסוף ה{{#annotend:wV1c}}מרובע וחצי עם הט"ו דברים עד שיהיו חמשה עשר דברים שלמים וכמו כן תקבץ המרובע וחצי עם המרובע
 |-
 |
-:*the larger [part] as ten minus a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
+:So, they are two squares and a half equal fifteen things.
-|style="text-align:right;"|והגדול עשרה פחות דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot x^2=15x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואז יהיה שנים מרובעים וחצי יהיו שוים לחמשה עשר דברים
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=4}}</math>
+:*<span style="color:Green>Normalization</span>
-|style="text-align:right;"|וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר והגיע לחלק ארבעה
+|
 |-
-|It was already shown that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend <math>\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A</math>
+|
-|style="text-align:right;"|כבר הראיתיך כי כאשר תכה {{#annot:term|783|7IcV}}המגיע לחלק{{#annotend:7IcV}} על המחלק שיעלה לידך {{#annot:term|605|E3Gq}}המספר המחולק{{#annotend:E3Gq}}
+:Convert them into one square: the square equals six things.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והשיבם אל מרובע אחד ויהיה המרובע ישוה לששה דברים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-x=4x}}</math>
+:The thing equals six and it is the larger part.
-|style="text-align:right;"|ולכן תכה ארבעה בדבר ויעלה ארבעה דברים וישוו לעשרה פחות דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|והדבר ישוה ששה והוא החלק הגדול
 |-
 |
-:*Restoration of <math>\scriptstyle x</math>:
+:Four, which is what is left of the ten, is the smaller part.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10=4x+x}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותאסוף הדבר עם העשרה עד שיהיו עשרה דרהמי שלמים ותוסיף דבר על הארבעה דברים
+|style="text-align:right;"|וארבעה הנשאר מהעשרה הוא החלק הקטן
+|-
+|I have shown you this problem [to demonstrate] the first of the six categories [of canonical equations], which is his saying: when the squares equal roots [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2=bx}}</math>].
+|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הראיתיך לחלק הראשון מהששה חלקים והוא אמרו כאשר המרובעים יהיו שוים אל השרשים
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration of the problem</span>
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10=5x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויהיה עשרה דרהמי ישוו חמשה דברים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}</math>
+:He said: I will explain this problem to you using a geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|והדבר יהיה שוה שני דרהמי והוא החלק הקטן והחלק הגדול ישאר שמנה
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר לך זאת השאלה ב{{#annot:term|303,1308|nDez}}תמונ' גימטרית{{#annotend:nDez}}
 |-
-|this problem demonstrates the third of the six canonical equations: <math>\scriptstyle bx=c</math>
+|
-|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק השלישי מהששה חלקים והוא האומר כאשר הדברים ישוו למספרים
+:[[File:Finzi 24.png|thumb|100px|left]]
+|[[File:פינצי 24.png|thumb|100px|right]]
 |-
-!Geometrical illustration of the problem
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונבאר זאת השאלה בזאת התמונה
+:It is that we suppose line AB is ten.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 26.png|thumb|200px|left]]
+:We cut it into two unequal parts at point G:
-|[[File:פינצי 26.png|thumb|200px|right]]
+|style="text-align:right;"|ונחלק בנקודת ג' לשני חלקים בלתי שוים
 |-
 |
-::defining:
+:Line AG is the larger part [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>].
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+|style="text-align:right;"|קו א"ג הוא החלק הגדול
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב הוא עשרה
 |-
 |
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
+:Line GB is the smaller part [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|וקו ג"ב ממנו הוא החלק הקטן
+|style="text-align:right;"|וקו ג"ב החלק הקטן
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
+:We multiply line AG by line BG; it is surface GD.
-|style="text-align:right;"|וקו א"ג החלק הגדול
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG\times BG=GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכינו קו א"ג בקו ב"ג והיה שטח ג"ד
 |-
 |
-::AG &divide; GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:For, we suppose BD is the same as AG.
-|style="text-align:right;"|וכאשר חלקנו קו א"ג על קו ג"ב יעלה לחלק ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=AG}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי שמנו ב"ד כמו א"ג
 |-
 |
-::AG = 4&times;GB
+:We multiply AG by itself; it is square AH.
-|style="text-align:right;"|הנה כי קו א"ג ארבעה דמיוני ג"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=AH}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכינו א"ג בעצמו והיה מרובע א"ה
 |-
 |
-::AB = 5&times;GB
+:We suppose that the area of square AH is as the area of GD plus its half.
-|style="text-align:right;"|ולכן קו א"ב כלו יהיה חמשה דמיוני ג"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=GD+\frac{1}{2}GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח כי יהיה שטח מרובע א"ה כמו שטח ג"ד וכמו חציו
 |-
 |
-::GB = ⅕AB
+:Hence, line GA is as line GB plus its half.
-|style="text-align:right;"|וג"ב הוא חמישית א"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GA=GB+\frac{1}{2}GB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ג"א כמו קו ג"ב וכמו חציו
 |-
 |
-::AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:So, the whole line AB is as two and a half times line GB.
-|style="text-align:right;"|אבל א"ב הוא עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=2\frac{1}{2}GB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה קו א"ב כלו כמו קו ג"ב שני פעמים וחצי
 |-
 |
-::GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:But, line AB is ten.
-|style="text-align:right;"|אם כן ג"ב הוא שנים והוא מש"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל קו א"ב הוא עשרה
 |-
-!4) The fourth problem
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה הרביעית
+:We divide ten by two and a half; the quotient is four, so line BG is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=a=x=\frac{10}{2+\frac{1}{2}}=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונחלק עשרה לשנים וחצי ויעלה לחלק ארבעה ולכן יהיה קו ב"ג הוא ארבע&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:a²=9b|716|7Ia4}}If you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger part by itself is the same as the product of the smaller part multiplied by nine.
+:Line AG is six.
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=9b\end{cases}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=b=10-x=6}}</math>
-|style="text-align:right;"|היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת החלק הגדול בעצמו כמו הכאת החלק הקטן בתשעה{{#annotend:7Ia4}}
+|style="text-align:right;"|וקו א"ג הוא ששה
-|-
-|The procedure:
-:defining:
-:*the larger part as a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
-|style="text-align:right;"|המעשה בזה שנשים החלק הגדול דבר
 |-
 |
-:*the smaller [part] as ten minus a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|והקטן עשרה פחות דבר
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+*{{#annot:a+b=10, 10²=6¼a²|619|LNn6}}[2] He said: and the second problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that the product of ten by itself is the same as the product of one of the parts by itself 6¼ times.
-|style="text-align:right;"|והכינו דבר בעצמו והיה מרובע
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle10^2=a^2\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה השנית כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת עשרה בעצמו כמו הכאת העולה מהכא' אחד החלקי' בעצמו ששה פעמים ורביע{{#annotend:LNn6}}
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot9=90-9x}}</math>
+:The procedure is that we suppose one part is a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{90-9x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמעשה בזה שנניח החלק האחד דבר
-|style="text-align:right;"|והכינו עשרה פחות דבר בתשעה ועלה תשעי' דרהמי פחות תשעה דברים והיו אלו שוים אל המרובע
 |-
 |
-:*Restoration of <math>\scriptstyle9x</math>:
+:We multiply it by itself; it is a square.
-|style="text-align:right;"|תאסוף התשעה דברים עם התשעים דרהמי ותוסיפם על המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכהו בעצמו והוא מרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x=90}}</math>
+:We multiply the ten by itself; it is one hundred.
-|style="text-align:right;"|ויהיה תשעים דרהמי ישוו למרובע ותשעה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה העשרה בעצמם והיו מאה
 |-
-|As shown above, there are two solution methods for this case: one yields the root and the other yields the square.
+|
-|style="text-align:right;"|וכבר הראיתיך לזה המבוקש שני אופנים האחד <s>ב דבר</s> יראה לך הדבר והאחר יראך המרובע
+:The one hundred is as six and a quarter times the square. Multiply the square by six an a quarter; it is six squares and a quarter equal one hundred dirham.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואלו המאה היו כמו המרובע ששה {{#annot:term|243|7Pir}}פעם{{#annotend:7Pir}} ורביע הנה תכה המרובע בששה ורביע ויהיה ששה מרובעים ורביע ישוו מאה דרהמי
 |-
 |
-:*The method that yields the root:
+:*<span style="color:Green>Normalization</span>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2+90}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)^2+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{1}{2}\right)-\left(4+\frac{1}{2}\right)=6\\\end{align}}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|והאופן אשר יראה לך הדבר שהוא החלק הגדול הוא ש{{#annot:term|786|dCUR}}תקח מחצית{{#annotend:dCUR}} הדברים והוא ארבעה וחצי<br>
-ותכם בעצמם ויהיו עשרים ורביע<br>
-ותקבצם עם התשעים ויהיו מאה ועשר ורביע<br>
-תקח שרש זה והוא עשרה ורביע וחצי<br>
-תגרע מהם מחצית השרשים וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול
 |-
 |
-:*The method that yields the square:
+:Convert them into one square by dividing one hundred by six and a quarter that are 25-quarters.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)+90-\sqrt{\left(9^2\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)+90-\sqrt{\left(81\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(40+\frac{1}{2}\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(1640+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{8930+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\left(94+\frac{1}{2}\right)=\left(130+\frac{1}{2}\right)-\left(94+\frac{1}{2}\right)=36\\\end{align}}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100 /\sdot\frac{4}{25}=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והאופן אשר יראה לך המרובע הוא שתכה התשעה דברים בעצמם ויהיו שמנים ואחד<br>
+|style="text-align:right;"|והשיבם אל מרובע אחד והוא שתחלק מאה על ששה ורביע שהם כ"ה רביעיות
-תכם בתשעים ויהיה שבעת אלפים ומאתים ותשעים ותשמרם<br>
-ותקח מחצית שמנים ואחד והוא ארבעים וחצי<br>
-ותכם בעצמם ויעלה אלף תר"מ ורביע<br>
-ותקבצם עם השמור ויהיו שמנת אלפים תתק"ל ורביע<br>
-ותקח שרשם והוא צ"ד וחצי<br>
-תגרעם ממקובץ הארבעים וחצי שהוא מחצית הכאת השרשים בעצמם עם תשעים שהוא מספר הדרהמי אשר ישוו אל המרובע והשרשים ומקובצם הוא ק"ל וחצי<br>
-וישאר ל"ו והם המרובע ושרשם ששה והוא החלק הגדול
 |-
-|this problem demonstrates the fourth of the six canonical equations: <math>\scriptstyle ax^2+bx=c</math>
+|
-|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק הרביעי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעים ושרשים ישוו למספרים
+:Each quarter gets four and each square gets sixteen; so the square equals sixteen dirham.
-|-
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
-!Geometrical illustration of the problem
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|875,1240|pBmN}}יעלה ל{{#annotend:pBmN}}כל רביע ארבעה ולכל מרובע יעלה שש עשרה ויהיה המרובע שוה ששה עשר דרהמי
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבארה לך בתמונה הזאת
 |-
 |
-:[[File:Finzi 27.png|thumb|200px|left]]
+:Its root is four and this is the required part.
-|[[File:פינצי 27.png|thumb|200px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרשם ארבעה והוא החלק המבוקש
 |-
-|
+|I have shown you this problem [to demonstrate] the second of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when the squares equal numbers [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2=c}}</math>].
-::defining:
+|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הראיתי לך לחלק השני מהששה &#x202B;<ref>307v</ref>והוא האומר כאשר המרובעים ישוו אל מספרים
-:*BA = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration of the problem</span>
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
-|style="text-align:right;"|וקו א"ג החלק הגדול
 |-
 |
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
+:He said: I will explain this problem to you using this illustration:
-|style="text-align:right;"|וקו ג"ב החלק הקטן
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר לך זאת השאלה בזאת התמונה
 |-
 |
-:*AG<sup>2</sup> = GB &times; 9
+:[[File:Finzi 25.png|thumb|150px|left]]
-|style="text-align:right;"|והיה הכאת קו א"ג בעצמו כמו הכאת ג"ב בתשעה
+|[[File:פינצי 25.png|thumb|150px|right]]
 |-
 |
-:How much is the measure of AG?
+:It is that we suppose line AB is ten.
-|style="text-align:right;"|ורצינו להודיע כמה שיעור קו א"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
 |-
 |
-::(AG &times; 9) + (GB &times; 9) = <math>\scriptstyle{\color{blue}{90}}</math>
+:Line GB is the sought number.
-|style="text-align:right;"|הנה אם הכינו א"ג בתשעה וג"ב בתשעה יהיה מקובץ העולה מהכאותיהם תשעים
+|style="text-align:right;"|וקו ג"ב ממנו הוא המספר המבוקש
 |-
 |
-::AG<sup>2</sup> = GB &times; 9
+:We multiply line AB by itself; the result is surface AM, which is one hundred.
-|style="text-align:right;"|ובעבור כי היה א"ג בעצמו כמו ג"ב בתשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB^2=AM=10^2=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בעצמו ויצא שטח א"מ והוא מאה
 |-
 |
-::(AG &times; 9) + (GB &times; 9) = <math>\scriptstyle{\color{blue}{90}}</math>
+:We multiply line GB by itself; it is square GD.
-|style="text-align:right;"|יהיה מפני זה א"ג בתשעה ובעצמו יהיה תשעים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB^2=GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו ג"ב בעצמו ויהיה מרובע ג"ד
 |-
 |
-:*defining: AD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:We suppose that the surface AM, which is one hundred, is as six times and a quarter of surface GD.
-|style="text-align:right;"|ונניח קו א"ד תשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=100=6\frac{1}{4}GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנחנו ששטח א"מ שהוא מאה יהיה כמו ששה פעמים ורביע שטח ג"ד
 |-
 |
-::AG<sup>2</sup> + (AG &times; AD) = 90 = DG &times; GA
+:We cut square GD into four identical segments, each of which is equal to surface BC.
-|style="text-align:right;"|ויהיה העולה מהכאת א"ג בעצמו ובא"ד תשעים והוא כמו הכאת ד"ג בג"א
+|style="text-align:right;"|ונחלק מרובע ג"ד לארבעה חלקים שוים כל חלק מהם יהיה כמו שטח ב"ח
 |-
 |
-::DA = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:Since surface AM is six times and a quarter of surface GD, it is twenty-five times surface BC, which is a quarter of surface GD.
-|style="text-align:right;"|וקו ד"א תשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=100=6\frac{1}{4}GD=25\sdot\left(\frac{1}{4}GD\right)=25BC}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה מפני שהיה שטח א"מ ששה פעמי' ורביע שטח ג"ד יהיה עשרים וחמשה פעמים כמו שטח ב"ח שהוא רביעיתו שהוא שטח ג"ד
 |-
 |
-:*H midpoint of DA
+:But, surface AN is one hundred.
-|style="text-align:right;"|ונחלק אותו לחצאין על נקודת ה&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח א"מ הוא מאה
 |-
 |
-:*AG is added to DA
+:Therefore, surface BC is four.
-|style="text-align:right;"|ונוסף לארכו קו א"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ב"ח ארבעה
 |-
 |
-::DG &times; AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{90}}</math>
+:Surface GD is sixteen.
-|style="text-align:right;"|והיה מהכאת ד"ג בג"א תשעים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ג"ד ששה עשר
 |-
 |
-::HG<sup>2</sup> = (DG &times; AG) +  AH<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{90+\left(20+\frac{1}{4}\right)=110+\frac{1}{4}}}</math>
+:Line GB, which is its root, is four and this is the required part.
-|style="text-align:right;"|ונקבץ עמהם הכאת א"ה בעצמו שהוא עשרים ורביע ועלו מאה ועשר ורביע וככה ראוי שתהיה הכאת ה"ג בעצמו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=\sqrt{GD}=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ג"ב שהוא שרשו יהיה ארבעה והוא החלק המבוקש
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{110+\frac{1}{4}}=10+\frac{1}{2}}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|ונוציא שרשם והוא עשרה וחצי
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-::HG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10+\frac{1}{2}}}</math>
+*{{#annot:a+b=10, b/a=4|619|ogdI}}[3] He said: the third problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that when you divide the larger part by the smaller part the quotient is four.
-|style="text-align:right;"|וככה קו ה"ג
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=4\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה השלישית היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר תחלק החלק הגדול על החלק הקטן יגיע לחלק ארבעה{{#annotend:ogdI}}
 |-
 |
-::HA = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{1}{2}}}</math>
+:The procedure is that we suppose the smaller part is a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>] and the larger [part] is ten minus a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|אבל ה"א הוא ארבעה וחצי
+|style="text-align:right;"|המעשה בזה הוא שנניח החלק הקטן דבר והגדול עשרה פחות דבר
 |-
 |
-::AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}</math>
+:We divide ten minus a thing by a thing; the quotient is four.
-|style="text-align:right;"|ולכן ישאר א"ג ששה והוא החלק הגדול
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר ו{{#annot:term|783,2042|WDb6}}הגיע לחלק{{#annotend:WDb6}} ארבעה
+|-
+|I have already shown you that when you multiply the quotient by the divisor you get the dividend
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{A}{B}\sdot B=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|כבר הראיתיך כי כאשר תכה {{#annot:term|783,2042|tdF2}}המגיע לחלק{{#annotend:tdF2}} על המחלק שיעלה לידך {{#annot:term|605,1227|E3Gq}}המספר המחולק{{#annotend:E3Gq}}
 |-
 |
-::GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}</math>
+:Therefore, multiply four by a thing; the result is four things and they are equal to ten minus a thing
-|style="text-align:right;"|וג"ב והוא החלק הקטן ומש"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{4x=10-x}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ולכן תכה ארבעה בדבר ויעלה ארבעה דברים וישוו לעשרה פחות דבר
-!5) The fifth problem
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה החמישית
 |-
 |
-*{{#annot:ab=21|716|Wntm}}If you are told: divide ten into two parts, such that when we multiply one part by the other the result is 21.
+:*<span style="color:Green>Restoration:</span>
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=21\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר נכה החלק האחד באחר יעלה עשרים <s>ורביע</s> ואחד{{#annotend:Wntm}}
-|-
-|The procedure:
-:defining:
-:*one part as a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
-|style="text-align:right;"|המעשה בזה שנניח החלק האחד דבר
-|-
 |
-:*the other part as ten minus a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
-|style="text-align:right;"|והחלק האחר יהיה עשרה פחות דבר
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}</math>
+:Restore the thing with the ten until they become ten whole dirham by adding the thing to the four things.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2=21}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-x+x=4x+x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע ויהיו שוים לעשרים ואחד דרהמי
+|style="text-align:right;"|ותאסוף הדבר עם העשרה עד שיהיו עשרה דרהמי שלמים ותוסיף דבר על הארבעה דברים
 |-
 |
-:*Restoration of <math>\scriptstyle x^2</math>:
+:It is ten dirham equal five things.
-|style="text-align:right;"|תאסוף המרובע עם עשרת הדברים פחות מרובע ותוסיפהו על עשרים ואחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10=5x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה עשרה דרהמי ישוו חמשה דברים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21=10x}}</math>
+:The thing equals two dirham and it is the smaller part; the larger part is eight.
-|style="text-align:right;"|ויהיו מרובע ועשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה שרשים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2\quad10-x=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|והדבר יהיה שוה שני דרהמי והוא החלק הקטן והחלק הגדול ישאר שמנה
 |-
-|It was shown above that there are two solution methods for this case, each method has two aspects.
+|I have shown you this problem [to demonstrate] the third of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when the things equal numbers [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx=c}}</math>].
-|style="text-align:right;"|וכבר הראיתיך למעלה כי לזה הענין שני אופנים ולכל אופן שני צדדים
+|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק השלישי מהששה חלקים והוא האומר כאשר הדברים ישוו למספרים
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration of the problem</span>
 |
-:*The method that yields the root:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x_1&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{4}\\&\scriptstyle=5-2=3\\\end{align}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והאופן אשר יוציא לך השרש הוא שתקח מחצית הדברים והוא חמשה<br>
-ותכם בעצמם והיה עשרים וחמשה<br>
-תגרע מהם העשרים ואחד וישאר ארבעה<br>
-תקח שרשם והוא שנים<br>
-תגרעם מן החמשה וישארו שלשה והם החלק הקטן
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x_1=7}}</math>
+:He said: we will explain this problem using this illustration:
-|style="text-align:right;"|והחלק הגדול הוא הנשאר מהעשרה והם שבעה
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונבאר זאת השאלה בזאת התמונה
 |-
 |
-:*this is the subtraction aspect
+:[[File:Finzi 26.png|thumb|200px|left]]
-|style="text-align:right;"|וזה צד המגרעת
+|[[File:פינצי 26.png|thumb|200px|right]]
 |-
 |
-:*the addition aspect:
+:It is that we suppose line AB is ten.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=x_2=5+2=7}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה צד התוספת תוסיף השנים על החמשה והיו שבעה והם החלק הגדול
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב הוא עשרה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x_2=3}}</math>
+:Line GB is the smaller part [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|והחלק הקטן הוא מה שנשאר מהעשרה והוא שלשה
+|style="text-align:right;"|וקו ג"ב ממנו הוא החלק הקטן
 |-
 |
-:*The method that yields the square:
+:Line AG is the larger part [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{2500-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{400}-21\\&\scriptstyle=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו א"ג החלק הגדול
-|style="text-align:right;"|והאופן אשר יוציא לך המרובע הוא שתכה השרשים בעצמם והיו מאה<br>
-ותכם בכ"א אשר עם המרובע ויהיו אלפים ומאה ותשמרם<br>
-ותקח מחצית המאה שהוא חמשים<br>
-ותכם בעצמם ויהיו אלפים וחמש מאות<br>
-תגרע מהם האלפים ומאה אשר שמרת וישארו ארבע מאות<br>
-תקח שרשם והוא עשרים<br>
-תגרעם מהחמישים שהם מחצית המאה וישארו שלשים<br>
-ותגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה והם המרובע
 |-
 |
-:*this is the subtraction aspect
+:When we divide line AG by line GB, the quotient is four.
-|style="text-align:right;"|וזה צד המגרעת
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{AG}{GB}=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר חלקנו קו א"ג על קו ג"ב יעלה לחלק ארבעה
 |-
 |
-:*the addition aspect:
+:Line AG is four times GB.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=50+20-21=70-21=49}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=4GB}}</math>
-|style="text-align:right;"|ומעשה התוספת הוא שתוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים תגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה וארבעים והם המרובע
+|style="text-align:right;"|הנה כי קו א"ג ארבעה דמיוני ג"ב
 |-
-|this problem demonstrates the fifth of the six canonical equations: <math>\scriptstyle ax^2+c=bx</math>
+|
-|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוציאתך אל החלק החמשי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעי' והמספרים ישוו אל השרשים
+:So, the whole line AB is five times GB.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=5GB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן קו א"ב כלו יהיה חמשה דמיוני ג"ב
 |-
-!Geometrical illustration of the problem
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר זה בזאת התמונה
+:GB is a fifth of AB.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=\frac{1}{5}AB}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ב הוא חמישית א"ב
 |-
 |
-:[[File:Finzi 28.png|thumb|200px|left]]
+:But AB is ten.
-|[[File:פינצי 28.png|thumb|200px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל א"ב הוא עשרה
 |-
 |
-::defining:
+:Therefore, GB is two.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=2}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
+|style="text-align:right;"|אם כן ג"ב הוא שנים
 |-
 |
-::Divided on G
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|ונחלק על ג&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-:*AG &times; GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+*{{#annot:a+b=10, a²=9b|619|7Ia4}}[4] He said: the fourth problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger part by itself is the same as the product of the smaller part multiplied by nine.
-|style="text-align:right;"|והיה מהכאת א"ג בג"ב עשרים ואחד
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=9b\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה הרביעית היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת החלק הגדול בעצמו כמו הכאת החלק הקטן בתשעה{{#annotend:7Ia4}}
 |-
 |
-:*H midpoint of AB
+:The procedure is that we suppose the larger part is a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>] and the smaller [part] is ten minus a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|ותחלק קו א"ב לחצאי' על ה&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|המעשה בזה שנשים החלק הגדול דבר והקטן עשרה פחות דבר
 |-
 |
-::AB is divided into two equal parts on H, and into two unequal parts on G
+:We multiply a thing by itself; it is a square.
-|style="text-align:right;"|הנה א"ב נחלק לשני חלקים שוים על ה' ולשני חלקים בלתי שוים על ג&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכינו דבר בעצמו והיה מרובע
 |-
 |
-::(AG &times; GB) +  HG<sup>2</sup> = HB<sup>2</sup>
+:We multiply ten minus a thing by nine; the result is ninety dirham minus nine things and they are equal to the square.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה העולה מהכאת א"ג בג"ב וה"ג בעצמו כמו העולה מהכאת ה"ב בעצמו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot9=90-9x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכינו עשרה פחות דבר בתשעה ועלה תשעי' דרהמי פחות תשעה דברים והיו אלו שוים אל המרובע
 |-
 |
-::HB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:*<span style="color:Green>Restoration:</span>
-|style="text-align:right;"|אבל הכאת ה"ב בעצמו עשרים וחמשה
+|
 |-
 |
-::AG &times; GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+:Restore the nine things with the ninety dirham and add them to the square.
-|style="text-align:right;"|וא"ג בג"ב הוא עשרים ואחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{90-9x+9x=x^2+9x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאסוף התשעה דברים עם התשעים דרהמי ותוסיפם על המרובע
 |-
 |
-::HG<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:It is ninety dirham equal a square plus nine things.
-|style="text-align:right;"|וישאר ה"ג בעצמו ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x=90}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה תשעים דרהמי ישוו למרובע ותשעה דברים
+|-
+|As I have already shown you, this case has two solution methods: one reveals the thing to you and the other reveals the square to you.
+|style="text-align:right;"|וכבר הראיתיך לזה המבוקש שני אופנים האחד <s>ב דבר</s> יראה לך הדבר והאחר יראך המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2}}</math>
+:The method that reveals to you the thing, which is the greater part, is that you take half [the number of] the things, which is four and a half.
-|style="text-align:right;"|ושרשם הוא שנים
+|style="text-align:right;"|והאופן אשר יראה לך הדבר שהוא החלק הגדול הוא ש{{#annot:term|786|dCUR}}תקח מחצית{{#annotend:dCUR}} &#x202B;<ref>308r</ref>הדברים והוא ארבעה וחצי
 |-
 |
-::HG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:Multiply it by itself; it is twenty and a quarter.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה ה"ג שנים
+|style="text-align:right;"|ותכם בעצמם ויהיו עשרים ורביע
 |-
 |
-::HB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{5}}</math>
+:Add it to the ninety; it is one hundred and ten and a quarter.
-|style="text-align:right;"|אבל ה"ב היה חמשה
+|style="text-align:right;"|ותקבצם עם התשעים ויהיו מאה ועשר ורביע
 |-
 |
-::GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3}}</math>
+:Extract its root; it is ten and a half.
-|style="text-align:right;"|וישאר ג"כ שלשה
+|style="text-align:right;"|תקח שרש זה והוא עשרה <s>ורביע</s> וחצי
 |-
 |
-::AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{7}}</math>
+:Subtract half [the number of] the things from it; six remains and it is the thing, which is the greater part.
-|style="text-align:right;"|וא"ג יהיה שבעה והוא מש"ל
+|style="text-align:right;"|תגרע מהם מחצית השרשים וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול
 |-
-!6) The sixth problem
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה הששית
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2+90}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)=\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)^2+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}-\left(4+\frac{1}{2}\right)=\left(10+\frac{1}{2}\right)-\left(4+\frac{1}{2}\right)=6\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-*{{#annot:4(x²+8)=x⁴|719|G1Mq}}If you are told: we added to a certain square [eight] dirham, then multiplied the sum by four dirham and the result is the same as the product of the square [by itself].
+:The method that reveals the square to you is that you multiply the nine things by themselves; it is eighty-one.
-:<math>\scriptstyle4\sdot\left(x^2+8\right)=\left(x^2\right)^2</math>
+|style="text-align:right;"|והאופן אשר יראה לך המרובע הוא שתכה התשעה דברים בעצמם ויהיו שמנים ואחד
-|style="text-align:right;"|כמו אם יאמרו לך הוספנו על <s>התמונ'</s> מרובע מה שלשה דרהמי והכינו {{#annot:term|388|qRvf}}המקובץ{{#annotend:qRvf}} בארבעה דרהמי והיה העולה כמו הכאת <s>א"ב בעצמו</s> המרובע{{#annotend:G1Mq}}
 |-
-|The procedure:
+|
-:*defining the square as a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{X^2=x}}</math>
+:Multiply it by ninety; it is seven thousand, two hundred and ninety. Keep it.
-|style="text-align:right;"|המעשה בזה הוא שנניח המרובע דבר
+|style="text-align:right;"|תכם בתשעים ויהיה שבעת אלפים ומאתים ותשעים ותשמרם
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+8\right)\sdot4=4x+32}}</math>
+:Take a half of eighty-one, which is forty and a half.
-|style="text-align:right;"|וקבצנו עמו שמנה דרהמי והיו דבר ושמנה דרהמי הכינום בארבעה והיה ארבעה דברים ושנים ושלשים דרהמי
+|style="text-align:right;"|ותקח מחצית שמנים ואחד והוא ארבעים וחצי
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:Multiply it by itself; the result is 1640 and a quarter.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=32+4x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכם בעצמם ויעלה אלף תר"מ ורביע
-|style="text-align:right;"|והכינו הדבר בעצמו והוא מרובע וישוה אל ארבעה דברים ול"ב דרהמי
 |-
 |
-:*The method that yields the root:
+:Add it to the reserved; it is 8930 and a quarter.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X^2=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{2^2+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{4+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{36}\\&\scriptstyle=2+6=8\\\end{align}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקבצם עם השמור ויהיו שמנת אלפים תתק"ל ורביע
-|style="text-align:right;"|והאופן אשר יוציא לך הוא הדבר הוא שתקח מחצית הדבר והוא שנים<br>
-ותכם בעצמם והיו ארבעה<br>
-ותקבצם עם הל"ב והיו ל"ו<br>
-תקח שרשם והוא ששה<br>
-תוסיפם על מחצית השרשים ויהיו שמנה וככה הוא המרובע כי הנה הנחנוהו דבר
 |-
 |
-:*The method that yields the square:
+:Extract its root; it is 94 and a half.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)+\sqrt{\left(4^2\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)^2}+32\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\sqrt{\left(16\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+8^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+64}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{576}+32\\&\scriptstyle=8+24+32=64\\\end{align}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקח שרשם והוא צ"ד וחצי
-|style="text-align:right;"|והאופן אשר <s>כ</s> יוציא לך המרובע הוא שתכה הארבעה שרשים בעצמם והיו ששה עשר<br>
-ותכם באדרהמי שהם ל"ב ויעלה תקי"ב ותשמרם<br>
-ותקח מחצית הששה עשר והוא שמנה<br>
-ותכם בעצמם והיו ששים וארבע<br>
-ותקבצם עם התקי"ב ששמרת ויעלו תקע"ו<br>
-תקח שרשם והוא כ"ד<br>
-ותקבצם עם השמנה שהם מחצית השש עשרה ועם הל"ב ויעלו שבעים ששים וארבע והוא המרובע שישוה לשרשים ולמספרים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X^2=\sqrt{64}=8}}</math>
+:Subtract it from the sum of forty and a half, which is half the product of the roots by themselves, with ninety, which is the number of the dirham that is equal to the square and  the roots; their sum is 130 and a half.
-|style="text-align:right;"|ותקח שרשו והוא שמנה והוא המספר המבוקש
+|style="text-align:right;"|תגרעם ממקובץ הארבעים וחצי שהוא מחצית הכאת השרשים בעצמם עם תשעים שהוא מספר הדרהמי אשר ישוו אל המרובע והשרשים ומקובצם הוא ק"ל וחצי
 |-
-|this problem demonstrates the sixth of the six canonical equations: <math>\scriptstyle c+bx=ax^2</math>
+|
-|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוציאתך אל החלק הששי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המספרים והשרשים ישוו אל המרובע
+:36 remains and it is the square; its root is six and it is the greater part.
+|style="text-align:right;"|וישאר ל"ו והם המרובע ושרשם ששה והוא החלק הגדול
 |-
-!Geometrical illustration of the problem
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ואבאר זה בזאת התמונה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)+90-\sqrt{\left(9^2\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)^2}=\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)+90-\sqrt{\left(81\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(40+\frac{1}{2}\right)^2}=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(1640+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{8930+\frac{1}{4}}=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\left(94+\frac{1}{2}\right)=\left(130+\frac{1}{2}\right)-\left(94+\frac{1}{2}\right)=36\\\end{align}}}</math>
 |-
-|
+|I have shown you this problem [to demonstrate] the fourth of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when squares and roots equal numbers [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2+bx=c}}</math>].
-:[[File:Finzi 29 - II.png|thumb|100px|left]]
+|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק הרביעי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעים ושרשים ישוו למספרים
-|[[File:פינצי  - II29.png|thumb|100px|right]]
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration of the problem</span>
 |
-::defining:
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח המרובע קו א"ב
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8}}</math>
+:He said: I will explain it using this illustration:
-|style="text-align:right;"|והשמנה דרהמי קו א"ג
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבארה לך בתמונה הזאת
 |-
 |
-:*BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:[[File:Finzi 27.png|thumb|200px|left]]
-|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ד ארבעה
+|[[File:פינצי 27.png|thumb|200px|right]]
 |-
 |
-::GD□ = GB &times; BD
+:It is that we suppose line AB is ten.
-|style="text-align:right;"|ונכה קו ג"ב בקו ב"ד ויהיה שטח ג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
 |-
 |
-::AH□ = AB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2}}</math>
+:Line AG is the greater part [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|ונכה המרובע שהוא קו א"ב בעצמו והיה שטח א"ה
+|style="text-align:right;"|וקו א"ג החלק הגדול
 |-
 |
-::GD□ has the same measure of AH□
+:Line GB is the smaller part [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|ויהיה שטח ג"ד בשעור שטח א"ה
+|style="text-align:right;"|וקו ג"ב החלק הקטן
 |-
 |
-:How much is the measure of AB?
+:The product of line AG by itself is the same as the product of GB by nine.
-|style="text-align:right;"|ורצינו {{#annot:term|226|zBPN}}לידע{{#annotend:zBPN}} כמה שיעור קו א"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=GB\times9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והיה הכאת קו א"ג בעצמו כמו הכאת ג"ב בתשעה
 |-
 |
-::AH□ = GD□
+:We wish to know how much is the measure of AG?
-|style="text-align:right;"|הנה שטח א"ה כמו שטח ג"ד
+|style="text-align:right;"|ורצינו להודיע כמה שיעור קו א"ג
 |-
 |
-::subtracting AH□ which is shared by both
+:If we multiply AG by nine and GB by nine, the sum of their products is ninety.
-|style="text-align:right;"|ונפיל שטח א"ד המשותף
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG\times9\right)+\left(GB\times9\right)=90}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה אם הכינו א"ג בתשעה וג"ב בתשעה יהיה מקובץ העולה מהכאותיהם תשעים
 |-
 |
-::GM□ = MH□
+:Since AG by itself is the same as GB by nine.
-|style="text-align:right;"|וישאר שטח ג"מ כמו שטח מ"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=GB\times9}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובעבור כי היה א"ג בעצמו כמו ג"ב בתשעה
 |-
 |
-::GM□ = AG &times; AM = AG &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8\times4=32}}</math>
+:Therefore, AG by nine and by itself is ninety.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח ג"מ שלשים ושנים כי הוא מהכאת א"ג שהוא שמנה בא"מ השוה לב"ד שהוא ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG\times9\right)+AG^2=\left(AG\times9\right)+\left(GB\times9\right)=90}}</math>
+|style="text-align:right;"|יהיה מפני זה א"ג בתשעה ובעצמו יהיה תשעים
 |-
 |
-::MH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{32}}</math>
+:We suppose line AD is nine.
-|style="text-align:right;"|ולכן שטח מ"ה הוא שלשים ושנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח קו א"ד תשעה
 |-
 |
-::MH□ = ZH &times; ZH = AZ &times; ZH
+:The product of AG by itself and by AD is ninety and it is the same as DG by GA.
-|style="text-align:right;"|ושטח מ"ה כמו הכאת א"ז השוה לז"ה בז"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG^2+\left(AG\times AD\right)=90=DG\times GA}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה העולה מהכאת א"ג בעצמו ובא"ד תשעים והוא כמו הכאת ד"ג בג"א
 |-
 |
-::AM = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Line DA is nine.
-|style="text-align:right;"|וקו א"מ הוא ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DA=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ד"א תשעה
 |-
 |
-:*C midpoint of AM
+:We cut it in half at point H [= H midpoint of DA].
-|style="text-align:right;"|ונחלק אותו לחצאין על נקודת ח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ונחלק אותו לחצאין על נקודת ה&#x202B;'
 |-
 |
-::ZM is added to AM
+:Line AG is added to it.
-|style="text-align:right;"|וכבר נוסף עליו קו ז"מ
+|style="text-align:right;"|ונוסף לארכו קו א"ג
 |-
 |
-::(AZ &times; ZM) +  MC<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{32+4=36}}</math> = CZ<sup>2</sup>
+:The product of DG by GA is ninety.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת א"ז בז"מ שהוא שלשים ושנים עם הכא' מ"ח בעצמו שהוא ארבעה ומקובצם שלשים ושש כמו הכאת ה"ז בעצמו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DG\times GA=90}}</math>
+|style="text-align:right;"|והיה מהכאת ד"ג בג"א תשעים
 |-
 |
-::CZ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6}}</math>
+:We add to it the product of AH by itself, which is twenty and a quarter; the result is a hundred and ten and a quarter and so should be the product of HG by itself.
-|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה קו ח"ז <s>חמשה</s> ששה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HG^2=\left(AG\times DG\right)+AH^2=90+\left(20+\frac{1}{4}\right)=110+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונקבץ עמהם הכאת א"ה בעצמו שהוא עשרים ורביע ועלו מאה ועשר ורביע וככה ראוי שתהיה הכאת ה"ג בעצמו
 |-
 |
-::AC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:We extract its root; it is ten and a half and so is line HG.
-|style="text-align:right;"|אבל קו א"ח הוא שנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HG=\sqrt{110+\frac{1}{4}}=10+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא שרשם והוא עשרה וחצי וככה קו ה"ג
 |-
 |
-::AZ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8}}</math>
+:But, HA is four and a half.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו א"ז שמנה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HA=4+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל ה"א הוא ארבעה וחצי
 |-
 |
-::AZ = AB
+:So, AG remains six and it is the greater part.
-|style="text-align:right;"|וא"ב הוא שוה לא"ז
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=a=x=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן ישאר א"ג ששה והוא החלק הגדול
 |-
 |
-::AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=8}}</math>
+:GB [is four] and it is the smaller part.
-|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ב שמנה והוא מה שרצינו לבאר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=b=10-x=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ב והוא החלק הקטן
+|-
+|
+:Q.E.D.
+|style="text-align:right;"|ומש"ל
+|-
+|
+*{{#annot:a+b=10, ab=21|619|Wntm}}[5] He said: the fifth problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that when we multiply one part by the other the result is 21.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=21\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה החמישית כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר נכה החלק האחד באחר יעלה עשרים <s>ורביע</s> ואחד{{#annotend:Wntm}}
+|-
+|
+:The procedure is that we suppose one part is a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>] and the other part is ten minus a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
+|style="text-align:right;"|המעשה בזה שנניח החלק האחד דבר והחלק האחר יהיה עשרה פחות דבר
+|-
+|
+:We multiply a thing by ten minus a thing; it is ten things minus a square equal twenty-one dirham.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע ויהיו שוים לעשרים ואחד דרהמי
+|-
+|
+:*<span style="color:Green>Restoration:</span>
+|
+|-
+|
+:Restore the square with the ten things minus a square and add it to the twenty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2+x^2=21+x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאסוף המרובע עם עשרת הדברים פחות מרובע ותוסיפהו על עשרים ואחד
+|-
+|
+:It is a square and twenty-one dirham equal ten roots.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיו מרובע ועשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה שרשים
+|-
+|I have already shown you above that this case has two solution methods, each method has two aspects.
+|style="text-align:right;"|וכבר הראיתיך למעלה כי לזה הענין שני אופנים ולכל אופן שני צדדים
+|-
+|
+:The method that gives you the thing is that you take half [the number of] the things, which is five, and multiply it by itself; it is twenty-five.
+|style="text-align:right;"|והאופן אשר יוציא לך השרש הוא שתקח מחצית הדברים והוא חמשה ותכם בעצמם והיה עשרים וחמשה
+|-
+|
+:Subtract twenty-one from it; four remains.
+|style="text-align:right;"|תגרע מהם העשרים ואחד וישאר ארבעה
+|-
+|
+:Extract its root; it is two.
+|style="text-align:right;"|תקח שרשם והוא &#x202B;<ref>308v</ref>שנים
+|-
+|
+:Subtract it from five; three remains and it is the smaller number.
+|style="text-align:right;"|תגרעם מן החמשה וישארו שלשה והם החלק הקטן
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x_1=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5-\sqrt{5^2-21}=5-\sqrt{25-21}=5-\sqrt{4}=5-2=3}}</math>
+|-
+|
+:The greater part is the remainder of ten, which is seven.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x_1=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|והחלק הגדול הוא הנשאר מהעשרה והם שבעה
+|-
+|
+:This is the subtraction aspect.
+|style="text-align:right;"|וזה צד המגרעת
+|-
+|
+:If you want the addition aspect: add two to five; it is seven and it is the greater part.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=x_2=5+2=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה צד התוספת תוסיף השנים על החמשה והיו שבעה והם החלק הגדול
+|-
+|
+:The smaller part is what remains from ten, which is three.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x_2=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|והחלק הקטן הוא {{#annot:term|184,1236|SFsp}}מה שנשאר מה{{#annotend:SFsp}}עשרה והוא שלשה
+|-
+|
+:The method that gives you the square is that you multiply the roots by themselves; it is a hundred.
+|style="text-align:right;"|והאופן אשר יוציא לך המרובע הוא שתכה השרשים בעצמם והיו מאה
+|-
+|
+:Multiply it by 21 that is with the square; it is two thousand and one hundred. keep it.
+|style="text-align:right;"|ותכם בכ"א אשר עם המרובע ויהיו אלפים ומאה ותשמרם
+|-
+|
+:Take half a hundred, which is fifty, and multiply it by itself; it is two thousand and five hundred.
+|style="text-align:right;"|ותקח מחצית המאה שהוא חמשים ותכם בעצמם ויהיו אלפים וחמש מאות
+|-
+|
+:Subtract it from the two thousand and one hundred that you have kept; four hundred remains.
+|style="text-align:right;"|תגרע מהם האלפים ומאה אשר שמרת וישארו ארבע מאות
+|-
+|
+:Extract its root; it is twenty.
+|style="text-align:right;"|תקח שרשם והוא עשרים
+|-
+|
+:Subtract it from the fifty, which is half a hundred; thirty remains.
+|style="text-align:right;"|תגרעם מהחמישים שהם מחצית המאה וישארו שלשים
+|-
+|
+:Subtract twenty-one from it; nine remains and it is the square.
+|style="text-align:right;"|ותגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה והם המרובע
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21=50-\sqrt{2500-2100}-21=50-\sqrt{400}-21=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}</math>
+|-
+|
+:This is the subtraction aspect.
+|style="text-align:right;"|וזה צד המגרעת
+|-
+|
+:The addition aspect is that you add the twenty to the fifty; it is seventy.
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|469,1427|ZaEb}}מעשה ה{{#annotend:ZaEb}}תוספת הוא שתוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים
+|-
+|
+:Subtract the twenty-one from it; forty-nine remains and it is the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=50+20-21=70-21=49}}</math>
+|style="text-align:right;"|תגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה וארבעים והם המרובע
+|-
+|I have shown you this problem [to demonstrate] the fifth of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when squares and numbers equal roots [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2+c=bx}}</math>].
+|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוציאתך אל החלק החמשי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעי' והמספרים ישוו אל השרשים
+|-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration of the problem</span>
+|
+|-
+|
+:He said: I will explain this using the following illustration:
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר זה בזאת התמונה
+|-
+|
+:[[File:Finzi 28.png|thumb|200px|left]]
+|[[File:פינצי 28.png|thumb|200px|right]]
+|-
+|
+:It is that we suppose line AB is ten.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
+|-
+|
+:It is cut on G.
+|style="text-align:right;"|ונחלק על ג&#x202B;'
+|-
+|
+:The product of AG by GB is twenty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GB=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|והיה מהכאת א"ג בג"ב עשרים ואחד
+|-
+|
+:Cut line AB in half on H [= H midpoint of AB].
+|style="text-align:right;"|ותחלק קו א"ב לחצאי' על ה&#x202B;'
+|-
+|
+:AB is cut into two equal segments on H, and into two unequal segment on G
+|style="text-align:right;"|הנה א"ב נחלק לשני חלקים שוים על ה' ולשני חלקים בלתי שוים על ג&#x202B;'
+|-
+|
+:So, [the sum of] the products of AG by GB and HG by itself is the same as the product of HB by itself.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG\times GB\right)+HG^2=HB^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה העולה מהכאת א"ג בג"ב וה"ג בעצמו כמו העולה מהכאת ה"ב בעצמו
+|-
+|
+:But, the product of HB by itself is twenty-five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HB^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל הכאת ה"ב בעצמו עשרים וחמשה
+|-
+|
+:AG by GB is twenty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GB=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"ג בג"ב הוא עשרים ואחד
+|-
+|
+:HG by itself remains is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HG^2=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר ה"ג בעצמו ארבעה
+|-
+|
+:Its root is two; therefore, HG is two.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HG=\sqrt{4}=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרשם הוא שנים ולכן יהיה ה"ג שנים
+|-
+|
+:But, HB is five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HB=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל ה"ב היה חמשה
+|-
+|
+:GB remains three.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר ג"ב שלשה
+|-
+|
+:AG is seven.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"ג יהיה שבעה
+|-
+|
+:Q.E.D.
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+|-
+|
+*{{#annot:4(x²+8)=x⁴|719|G1Mq}}[6] He said: the six problem is as if you are told: we add to a certain square [eight] dirham, then multiply the sum by four dirham and the result is the same as the product of the square [by itself].
+:<math>\scriptstyle4\sdot\left(X^2+8\right)=\left(X^2\right)^2</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה הששית כמו אם יאמרו לך הוספנו על <s>התמונ'</s> מרובע מה שלשה דרהמי והכינו המקובץ בארבעה דרהמי והיה העולה כמו הכאת <s>א"ב בעצמו</s> המרובע{{#annotend:G1Mq}}
+|-
+|
+:The procedure is that we suppose the square is a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{X^2=x}}</math>]
+|style="text-align:right;"|המעשה בזה הוא שנניח המרובע דבר
+|-
+|
+:We add eight dirham to it; they are a thing and eight dirham.
+|style="text-align:right;"|וקבצנו עמו שמנה דרהמי והיו דבר ושמנה דרהמי
+|-
+|
+:We multiply them by four; they are four things and thirty-two dirham.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+8\right)\sdot4=4x+32}}</math>
+|style="text-align:right;"|הכינום בארבעה והיה ארבעה דברים ושנים ושלשים דרהמי
+|-
+|
+:We multiply the thing by itself; it is a square and it equals four things and 32 dirham.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=32+4x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכינו הדבר בעצמו והוא מרובע וישוה אל ארבעה דברים ול"ב דרהמי
+|-
+|
+:The method that gives you the thing is that you take half [the number of] the thing[s], which is two, and multiply it by itself; it is four.
+|style="text-align:right;"|והאופן אשר יוציא לך <s>הוא</s> הדבר הוא שתקח מחצית הדבר והוא שנים ותכם בעצמם והיו ארבעה
+|-
+|
+:Add it to the 32; it is 36.
+|style="text-align:right;"|ותקבצם עם הל"ב והיו ל"ו
+|-
+|
+:Extract its root; it is six.
+|style="text-align:right;"|תקח שרשם והוא ששה
+|-
+|
+:Add it to half [the number of] the roots; it is eight and this is the square, because we assumed it is a thing.
+|style="text-align:right;"|תוסיפם על מחצית השרשים ויהיו שמנה וככה הוא המרובע כי הנה הנחנוהו דבר
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X^2=x=\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+32}=2+\sqrt{2^2+32}=2+\sqrt{4+32}=2+\sqrt{36}=2+6=8}}</math>
+|-
+|
+:The method that gives you the square is that you multiply the four roots by themselves; it is sixteen.
+|style="text-align:right;"|והאופן אשר <s>כ</s> יוציא לך המרובע הוא שתכה הארבעה שרשים בעצמם והיו ששה עשר
+|-
+|
+:Multiply it by the [number of the] dirham, which is 32; the result is 512. Keep it.
+|style="text-align:right;"|ותכם באדרהמי שהם ל"ב ויעלה תקי"ב ותשמרם
+|-
+|
+:Take a half of sixteen, which is eight, and multiply is by itself; it is sixty-four.
+|style="text-align:right;"|ותקח מחצית הששה עשר והוא שמנה ותכם בעצמם והיו ששים וארבע
+|-
+|
+:Add it to the 512 you kept; the result is 576.
+|style="text-align:right;"|ותקבצם עם התקי"ב ששמרת &#x202B;<ref>309r</ref>ויעלו תקע"ו
+|-
+|
+:Extract its root; it is 24.
+|style="text-align:right;"|תקח שרשם והוא כ"ד
+|-
+|
+:Add it to the eight, which is a half of sixteen, and with the 32; the result is sixty-four and it is the square that is equal to the roots and the numbers.
+|style="text-align:right;"|ותקבצם עם השמנה שהם מחצית השש עשרה ועם הל"ב ויעלו <s>שבעים</s> ששים וארבע והוא המרובע שישוה לשרשים ולמספרים
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)+\sqrt{\left(4^2\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)^2}+32=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\sqrt{\left(16\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2}+32=8+\sqrt{512+8^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+64}+32=8+\sqrt{576}+32=8+24+32=64\\\end{align}}}</math>
+|-
+|
+:Extract it root; it is eight and this is the required number.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X^2=\sqrt{64}=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקח שרשו והוא שמנה והוא המספר המבוקש
+|-
+|I have shown you this problem [to demonstrate] the sixth of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when numbers and roots equal square[s] [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{c+bx=ax^2}}</math>].
+|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוציאתך אל החלק הששי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המספרים והשרשים ישוו אל המרובע
+|-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration of the problem</span>
+|
+|-
+|
+:He said: I will explain this using the following illustration:
+|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ואבאר זה בזאת התמונה
+|-
+|
+:[[File:Finzi 29 - II.png|thumb|100px|left]]
+|[[File:פינצי  - II29.png|thumb|100px|right]]
+|-
+|
+:It is that we suppose the square is line.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח המרובע קו א"ב
+|-
+|
+:The eight dirham are line AG.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|והשמנה דרהמי קו א"ג
+|-
+|
+:We suppose line BD is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ד ארבעה
+|-
+|
+:We multiply line GB by line BD; it is surface GD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB\times BD=GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו ג"ב בקו ב"ד ויהיה שטח ג"ד
+|-
+|
+:We multiply the square, which is line AB, by itself; it is surface AH.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2=AB^2=AH}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה המרובע שהוא קו א"ב בעצמו והיה שטח א"ה
+|-
+|
+:The area of GD is as the area of AH.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=AH}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה שטח ג"ד בשעור שטח א"ה
+|-
+|
+:We wish to know: how much is the size of line AB?
+|style="text-align:right;"|ורצינו לידע כמה שיעור קו א"ב
+|-
+|
+:The area of AH is as the area of GD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה שטח א"ה כמו שטח ג"ד
+|-
+|
+:We subtract surface AD, which is shared by both.
+|style="text-align:right;"|ונפיל שטח א"ד המשותף
+|-
+|
+:Surface GM remains as surface MH.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GM=MH}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר שטח ג"מ כמו שטח מ"ה
+|-
+|
+:But, surface GM is thirty-two, because it is generated from the product of AG, which is eight, by AM that is equal to BD, which is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GM=AG\times AM=AG\times BD=8\times4=32}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח ג"מ שלשים ושנים כי הוא מהכאת א"ג שהוא שמנה בא"מ השוה לב"ד שהוא ארבעה
+|-
+|
+:Therefore, surface MH is thirty-two.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MH=32}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן שטח מ"ה הוא שלשים ושנים
+|-
+|
+:Surface MH is as the product of AZ that is equal to ZH by ZH.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MH=AZ\times ZH=ZH\times ZH}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח מ"ה כמו הכאת א"ז השוה לז"ה בז"ה
+|-
+|
+:Line AM is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו א"מ הוא ארבעה
+|-
+|
+:We cut it in half at point C [= C midpoint of AM].
+|style="text-align:right;"|ונחלק אותו לחצאין על נקודת ח&#x202B;'
+|-
+|
+:Line ZM is added to it.
+|style="text-align:right;"|וכבר נוסף עליו קו ז"מ
+|-
+|
+:So, the sum of the product of AZ by ZM, which is thirty-two, with the product of MC by itself, which is four, is thirty-six, which is as the product of HZ by itself.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(AZ\times ZM\right)+MC^2=32+4=36=CZ^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת א"ז בז"מ שהוא שלשים ושנים {{#annot:term|878|fL8e}}עם{{#annotend:fL8e}} הכא' מ"ח בעצמו שהוא ארבעה ומקובצם שלשים ושש כמו הכאת ח"ז בעצמו
+|-
+|
+:Hence, line CZ is six.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CZ=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה קו ח"ז <s>חמשה</s> ששה
+|-
+|
+:But, line AC is two.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל קו א"ח הוא שנים
+|-
+|
+:So, line AZ is eight.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AZ=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו א"ז שמנה
+|-
+|
+:AB is equal to AZ.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=AZ}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"ב הוא שוה לא"ז
+|-
+|
+:Therefore, line AB is eight.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ב שמנה
+|-
+|
+:Q.E.D.
+|style="text-align:right;"|והוא מה שרצינו לבאר
+|-
+|}
+== Additional excerpt ==
+{|
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקי' ותכה כל חלק על עצמו ותגרע הכאת החלק הקטן מהכאת הגדול וישאר שמונים
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|המעשה בזה הוא שתשי' החלק הקטן דבר
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|והגדול עשרה פחות דבר
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה דרהמי ופחות עשרים דברים
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ותכה הדבר על עצמו ויהיה מרובע
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ותגרעהו ממאה ומרובע פחו' עשרי' דברי' וישאר מאה דרהמי' פחות עשרי' דברי' ישוו שמנים דרהמי&#x202B;'
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ותשלים המאה דברי' עם עשרי' הדברי' ותוסיפם על השמנים ויהיה עשרי' דברי' ושמונים דרהמי ישוו למאה דרהמים
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|תגרע השמנים מהמאה וישארו עשרי' דרהמי ישוו לעשרי' דברים והדבר ישווה אחד והוא החלק הקטן והגדול תשעה והוא הנשאר מן העשרה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ואם עשינו החלק הגדול דבר והקטן עשרה פחות דבר
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|תגרע מאה ומרובע פחות עשרי' דברי' ממרובע וישאר עשרים דברים פחות מאה דרהמי ישוו שמנים דברים
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ואולם תשלים עשרים הדברי' עם המאה דרהמי ותוסיפם על שמנים הדרהמי ויהיה מאה ושמנים דרהמי ישוו עשרי' דברי&#x202B;'
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|והדבר ישווה תשעה והוא החלק הגדול והנשאר מהעשרה יהיה החלק הקטן והוא א&#x202B;'
+|}
+==Notes==
+<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><div class="mw-collapsible-content">
+<br>
+{|
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|<references />
+|-
+|
+|}
+</div></div>
+== Appendix I: Glossary of Terms ==
+<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><div class="mw-collapsible-content">
+{|
+|-
+! colspan="2" |Arithmetic Operations
+|-
+|addition
+|style="text-align:right;"|חבור (ה), תוספת
+|-
+|
+:to add to
+|style="text-align:right;"|לחבר, לחברו, נחבר (אליו / עמו), תחבר (ה), תחברם עם ה
+|-
+|
+:to add to
+|style="text-align:right;"|להוסיף, הוסיף (ה), הוספנו על (ה), הוספנוהו על, נוסיף (בו / ה), תוסיף (ה) תוסיפהו על, תוסיפם על
+|-
+|
+:to sum with
+|style="text-align:right;"|לקבץ, לקבצם, קבצנו (עם ה / עמו), קבצנוהו עם, קבצנום (עם ה / יחד עם ה), קבצת עם, נקבץ (עמהם / עמו), תקבץ (ה / הכל יחד / כל זה / עם / עם ה), תקבצם (עם ה), תקבצהו (עם ה / יחד עם&#x202B;)
+|-
+|
+:added
+|style="text-align:right;"|נוסף (ב / ל / על), נוספים (על&#x202B;)
+|-
+|
+:to be added to
+|style="text-align:right;"|יתקבץ (עם), יתקבצו אלו עם אלו
+|-
+|
+:to be summed with
+|style="text-align:right;"|יקובץ (מהם&#x202B;)
+|-
+|
+:sum
+|style="text-align:right;"|חבורם, המחובר (מ), קבוץ (ה&#x202B;)
+|-
+|
+:sum
+|style="text-align:right;"|המקובץ (מ), מקובץ (ה / הכל / מ), מקובצם
+|-
+|
+:total sum
+|style="text-align:right;"|מה שיתקבץ מהכל, הכל
+|-
+|
+:to sum
+|style="text-align:right;"|אספנו יחד
+|-
+|
+:to be summed
+|style="text-align:right;"|להאסף יחד, התקבץ מהכל, מקובצים (עם&#x202B;)
+|-
+|
+:additive
+|style="text-align:right;"|נוסף, נוספים
+|-
+|
+:to be additive
+|style="text-align:right;"|יוסיף
+|-
+|division
+|style="text-align:right;"|חלוק
+|-
+|
+:to divide
+|style="text-align:right;"|לחלק, חלקנו, נחלק, תחלק
+|-
+|
+:to be divided (by/into)
+|style="text-align:right;"|יחלק, מחולק (על), נחלק (ב / ל / על&#x202B;)
+|-
+|
+:dividend
+|style="text-align:right;"|המספר המחולק, המספר הנחלק, המספר שנחלק, המספר שחלקת
+|-
+|
+:divisor
+|style="text-align:right;"|מספר המחלק, המחלק
+|-
+|
+:quotient, result of division
+|style="text-align:right;"|הגיע לחלק, יגיע (לחלק / לכל חלק), המגיע לחלק
+|-
+|
+:quotient, result of division
+|style="text-align:right;"|העולה (אל החלק מחלוקת / לחלק / לכל חלק / מחלוקת), יעלה (אל החלק / לחלק), (אשר / מה ש) עלה (אל החלק, לחלק, לכל חלק&#x202B;)
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|יצא לכל חלק
+|-
+|doubling
+|style="text-align:right;"|הכפלה, הכפלת (ה&#x202B;)
+|-
+|
+:to double
+|style="text-align:right;"|לכפול, תכפלהו, תכפול
+|-
+|
+:double
+|style="text-align:right;"|כפל
+|-
+|to extract a root
+|style="text-align:right;"|לקחנו שרשם, נקח שרשו, קח (שרש / שרש ה / שרשו) , תקח (שרש / שרש ה/ שרשו / שרשם&#x202B;)
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|הוצאנו (שרש / שרש זה ה / שרשו), נוציא שרשם, תוציא (שרש ה&#x202B;)
+|-
+|
+:to have a root
+|style="text-align:right;"|יחזיקו, יחזיקו שרש, מחזיקים שרש
+|-
+|
+:not having a root
+|style="text-align:right;"|אינם מחזיקים שרש, אין שרש ל, אין ל.. שרש
+|-
+|
+:to be a root of
+|style="text-align:right;"|יהיו שרש ל
+|-
+|halving
+|
+|-
+|
+:to halve
+|style="text-align:right;"|לחצות ה, תחצה (ה&#x202B;)
+|-
+|
+:to halve
+|style="text-align:right;"|לקחת חצי, לקחנו מחצית (ה) , נקח מחצית, תקח מחצית (ה&#x202B;)
+|-
+|
+:half of
+|style="text-align:right;"|מחצית (ה&#x202B;)
+|-
+|multiplication
+|style="text-align:right;"|ההכאה, הכאת (ה&#x202B;)
+|-
+|multiplication
+|style="text-align:right;"|כפל
+|-
+|
+:to multiply
+|style="text-align:right;"|להכות, הכינו (ה), הכינום (ב), נכה (ה) , נכהו (על ה), תכה (ה / על), תכהו (ב), תכם (ב&#x202B;)
+|-
+|
+:to multiply
+|style="text-align:right;"|לכפול, כפול (ה&#x202B;)
+|-
+|
+:to be multiplied by
+|style="text-align:right;"|הוכה (ב), יוכה (ב), מוכה (ב), יוכו (ב / ה&#x202B;)
+|-
+|
+:duplicate
+|style="text-align:right;"|שנוי, שנוי בכפל
+|-
+|
+:to multiply it by itself
+|style="text-align:right;"|הכינוהו על עצמו, הכינום (בעצמם / על עצמם), נכהו בעצמו, תכם (בעצמם / על עצמם&#x202B;)
+|-
+|
+:to be multiplied by itself
+|style="text-align:right;"|הוכה על עצמו, הוכו על עצמם, מוכה על עצמו, מוכים על עצמם
+|-
+|
+:product, result of multiplication
+|style="text-align:right;"|(הוא / היה / יהיה) מהכאת, העולה (מההכאה / מהכאת / מהכאותיהם), מה שעלה מהכאת ה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|המקובץ מההכאה, המתקבץ, התקבץ, היוצא בהכאת
+|-
+|
+:times
+|style="text-align:right;"|דמיוני (ה), מדמיוני
+|-
+|
+:times
+|style="text-align:right;"|פעם, פעמים (ה), פעמי (ה&#x202B;)
+|-
+|subtraction
+|style="text-align:right;"|גרעון (ה), בגרעונם, בגרעך ממנו
+|-
+|
+:to subtract
+|style="text-align:right;"|לגרוע, גרענו (ה / מ / מהם ה), גרענום (מ), נגרע (ה / מ / ממנו ה), נגרעם (מ), תגרע (ה/ מ / מה) , תגרעהו (מ / מה), תגרעם (מה / מן ה&#x202B;)
+|-
+|
+:to subtract
+|style="text-align:right;"|תשליך (ה&#x202B;)
+|-
+|
+:to subtract
+|style="text-align:right;"|נפחות (מ&#x202B;)
+|-
+|
+:to subtract
+|style="text-align:right;"|נפיל
+|-
+|
+:to be subtracted
+|style="text-align:right;"|יגרע (ה / מהם / ממנו&#x202B;)
+|-
+|
+:subtractive
+|style="text-align:right;"|גורע, גורעי',  פוחת, פוחתים, נגרע, נגרעים, נחסר, נשנה, נשנים
+|-
+|
+:subtrahend, to be subtracted
+|style="text-align:right;"|נגרע (מה), נגרעים (מ / מה&#x202B;)
+|-
+|no more and no less, exactly
+|style="text-align:right;"|לא תוספת ולא מגרעת, בלי תוספת ובלי מגרעת
+|-
+|plus
+|style="text-align:right;"|עם
+|-
+|minus
+|style="text-align:right;"|פחות
+|-
+|less, less than, smaller than
+|style="text-align:right;"|פחות (מ / מה&#x202B;)
+|-
+|more, more than, greater than
+|style="text-align:right;"|יותר (מ&#x202B;)
+|-
+|to be less than
+|style="text-align:right;"|יחסרו מ, יגרעו מ
+|-
+! colspan="2" |Arithmetic Terms
+|-
+|arithmeticians
+|style="text-align:right;"|בעלי המספר
+|-
+|integer
+|style="text-align:right;"|שלם
+|-
+|fraction
+|style="text-align:right;"|נשבר
+|-
+|fraction
+|style="text-align:right;"|שברי האחד
+|-
+|fraction of fraction
+|style="text-align:right;"|שברי שבריו
+|-
+|number
+|style="text-align:right;"|מספר (ה), מספרים
+|-
+|number
+|style="text-align:right;"|המנין, מנין ה
+|-
+|by the number of … in it
+|style="text-align:right;"|במספר מה ש, כמספר מה שב... מן ה, מה שב... מה
+|-
+|units
+|style="text-align:right;"|אחדיו, אחדים, אחדי (ה), האחדים
+|-
+|the units in it
+|style="text-align:right;"|מה שבו מן האחדים
+|-
+|square number
+|style="text-align:right;"|מספרי' מרובעי&#x202B;'
+|-
+|ratio of.. to…
+|style="text-align:right;"|יחס (ה) ... אל
+|-
+|proportional numbers
+|style="text-align:right;"|מספרים מתיחסים
+|-
+|first proportional item
+|style="text-align:right;"|המספר הראשון
+|-
+|related to
+|style="text-align:right;"|נערך לעצמו
+|-
+! colspan="2" |Calculation Terms
+|-
+|quantity, measure, amount, value
+|style="text-align:right;"|שעור / שיעור (ה), שיעוריו
+|-
+|by the measure of
+|style="text-align:right;"|בשיעור
+|-
+|value
+|style="text-align:right;"|מספרו
+|-
+|to count
+|style="text-align:right;"|ימנהו ה, ימנה ה
+|-
+|the sought
+|style="text-align:right;"|המבוקש
+|-
+|to exceed, to be greater than… by…
+|style="text-align:right;"|יעדיף (ה / על ה, עליהם), תעדיף, יעדיפו (ה&#x202B;)
+|-
+|excess
+|style="text-align:right;"|מה שיעדיף
+|-
+|false
+|style="text-align:right;"|כוזבת
+|-
+|correct, proper
+|style="text-align:right;"|נכון
+|-
+|better
+|style="text-align:right;"|הוא יותר נכון מ, יותר נכון הוא, יותר נכונה מ
+|-
+|to be right, to be proper
+|style="text-align:right;"|יהיה נכון לנו ל
+|-
+|to be wrong
+|style="text-align:right;"|לא יהיה נכון
+|-
+|to result
+|style="text-align:right;"|יהיה (ה), היו, יהיו
+|-
+|to result, to be received
+|style="text-align:right;"|יגיע, הגיע
+|-
+|to result, to be derived, to be produced
+|style="text-align:right;"|יצא, יצא לנו כי, יצאו (ב / מ&#x202B;)
+|-
+|to result
+|style="text-align:right;"|יעלה (ל / לידך), יעלו, עלה, עלו
+|-
+|result
+|style="text-align:right;"|העולה (מ), מה שיעלה, מה שעלה, מה שיתקבץ
+|-
+|to proceed (with), to do, to operate, to solve a problem
+|style="text-align:right;"|לעשות, תעשה (עמו&#x202B;)
+|-
+|to construct
+|style="text-align:right;"|עשה (על), נעשה (על&#x202B;)
+|-
+|to be created, to be constructed
+|style="text-align:right;"|נעשו ב
+|-
+|technique, procedure, solving procedure
+|style="text-align:right;"|מעשה (ה), המעשה (בזה הוא ש / בזה ש), ואופן מעשהו (ש / הוא ש&#x202B;)
+|-
+|technique
+|style="text-align:right;"|תחבולה, תחבולות המספר
+|-
+|to remain, to be left
+|style="text-align:right;"|ישאר (מ), ישארו, נשאר, נשארו
+|-
+|the rest, remainder
+|style="text-align:right;"|הנשאר (מ / מה), נשאר (מה&#x202B;)
+|-
+|equal to
+|style="text-align:right;"|השוה (אל / ל), שוה ל, שוים (אל / ל&#x202B;)
+|-
+|to equal to, to be equal to, to be equalized to
+|style="text-align:right;"|ישוה (אל / ל), ישוו (אל / ל&#x202B;)
+|-
+|to be equal
+|style="text-align:right;"|השתוו (ה&#x202B;)
+|-
+|to keep, to retain
+|style="text-align:right;"|שמור, שמרת, תשמרם, שמרנום
+|-
+|reserved
+|style="text-align:right;"|השמור
+|-
+!colspan="2" |Algebraic Operations
+|-
+|to normalize
+|style="text-align:right;"|להשיב (המרובעים אל מרובע אחד / השאלה לעולם אל מרובע אחד שלם / כל השאלה אל מרובע אחד), השיבות (ה), השיבם (אל מרובע אחד / לעולם אל מרובע אחד), תשיב (המרובע שלך שלם / השאלה אל מרובע אחד / השאלה למרובע אחד), תשיבם (שרש אחד&#x202B;)
+|-
+|reduction
+|style="text-align:right;"|כוון, הכוון, איקונפרונטאמיינטו
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|כוון חשבון
+|-
+|restoration
+|style="text-align:right;"|הפקדה, ההפקדה, קובראמיינטו
+|-
+|to restore
+|style="text-align:right;"|תאסוף (ה...עם&#x202B;)
+|-
+|way, method
+|style="text-align:right;"|(שני) צדדים, צד
+|-
+|addition/subtraction method
+|style="text-align:right;"|צדדי התוספת והמגרעת, צד אחד לתוספת וצד אחד למגרעת, צד התוספת, צד המגרעת
+|-
+! colspan="2" |Algebraic Terms
+|-
+|algebraists
+|style="text-align:right;"|חכמי האלגבר, סופרים אלגבר ואלמקאבלא
+|-
+|algebraic species
+|style="text-align:right;"|ענינים; מין
+|-
+|dirham (coin) = number
+|style="text-align:right;"|דרהמי, אדרהמי
+|-
+|root
+|style="text-align:right;"|שרשים (ל / מ / מן ה), שרש (אל / ה / ל / מ), שרשי ה
+|-
+|root
+|style="text-align:right;"|דבר, דברים
+|-
+|root of a square
+|style="text-align:right;"|שרש המרובע, שרש מרובע
+|-
+|square
+|style="text-align:right;"|מרובע, מרובעים
+|-
+|simple types of canonical equations
+|style="text-align:right;"|שלשה החלקים הראשונים, הפשוטים
+|-
+|one of the six types of canonical equations
+|style="text-align:right;"|חלק, החלק ה
+|-
+|the six types of canonical equations
+|style="text-align:right;"|הששה, ששה חלקי', הששה חלקים
+|-
+! colspan="2" |Geometric Terms
+|-
+|geometric shape
+|style="text-align:right;"|תמונה, תמונ' גימטרית, תמונות גימטריאות, תמונות גימטריות, תמונה כוללת
+|-
+|geometricians
+|style="text-align:right;"|חכמי הגימטריאה
+|-
+|part
+|style="text-align:right;"|חלק, חלקים
+|-
+|segment, section
+|style="text-align:right;"|חלקים
+|-
+|equal/identical segments
+|style="text-align:right;"|חלקים שוים
+|-
+|point
+|style="text-align:right;"|נקדת, נקודת, נקודות
+|-
+|line
+|style="text-align:right;"|קו, קוים
+|-
+|straight line
+|style="text-align:right;"|קו ישר
+|-
+|side
+|style="text-align:right;"|צלע (ה), צלעו, צלעיו
+|-
+|length
+|style="text-align:right;"|אורך, ארכו, באורך
+|-
+|added to its length
+|style="text-align:right;"|נוסף בארכו
+|-
+|length and width
+|style="text-align:right;"|קוי האורך והרחב
+|-
+|area
+|style="text-align:right;"|שטח
+|-
+|surface
+|style="text-align:right;"|שטח
+|-
+|square surface
+|style="text-align:right;"|מרובע, שטח מרובע, שטח מרובע עליו, מרובע עליו
+|-
+|quadrilateral surface
+|style="text-align:right;"|שטח הכאת
+|-
+|quadrilateral surface
+|style="text-align:right;"|שטח נצב הזויות
+|-
+|right angle
+|style="text-align:right;"|בזוית נצבה
+|-
+|straight, straightly
+|style="text-align:right;"|על יושר, ביושר, בישר
+|-
+|parallel to
+|style="text-align:right;"|על נכוחות, נכחי ל, נכחיים ל
+|-
+|parallel to line
+|style="text-align:right;"|על נכוחות קו, נכחי לקוי, נכחי לקו
+|-
+|to cut off
+|style="text-align:right;"|נבדיל (מ / ממנו), הבדלנו
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת
+|-
+|to attach points
+|style="text-align:right;"|נגיע נקדות
+|-
+|midpoint
+|style="text-align:right;"|הנקוד' הנחלק עליה קו... לחצאי&#x202B;'
+|-
+|to cut a line
+|style="text-align:right;"|תחלק קו, נחלק קו, נחלק קו ... על מה שבו מה... , נחלק קו ... על מספר מה שבו מה&#x202B;...
+|-
+|to halve (line), cut to half at the point
+|style="text-align:right;"|חלקנו קו ... לחצאין על נקודת, נחלק אותו לחצאין על נקודת, נחלקהו לחציין על נקודת, תחלק קו ...לחצאי' על
+|-
+|to be halved (line), cut to half at the point
+|style="text-align:right;"|נחלק לחצאין על נקודת, נחלק ... לחצאין על נקודת, קו ... נחלק לחצאין על נקודת, נחלק קו ... לחצאין על נקודת, נחלק לשני חלקים שוים על
+|-
+|cut into two parts
+|style="text-align:right;"|תחלק ... לשני חלקים
+|-
+|cut into two segments
+|style="text-align:right;"|יחלק לשני חלקים
+|-
+|cut into two unequal parts at the point
+|style="text-align:right;"|נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת
+|-
+|to be halved
+|style="text-align:right;"|יחצה קו
+|-
+|to extend a line
+|style="text-align:right;"|נמשיך קו (עד&#x202B;)
+|-
+|to draw a line
+|style="text-align:right;"|נוציא, נוציא מנקודת ... קו, נוציא מנקודות... שני קוים, נוציא קו, נוציא קוי, תוציא מ... קו, תוציא מנקודת ... קו, תוציא קו, תוציא קוי
+|-
+|to point
+|style="text-align:right;"|עד נקודת, עד נקדת, עד
+|-
+|to draw
+|style="text-align:right;"|ארשום (ב / לך), נרשום
+|-
+|to be drawn
+|style="text-align:right;"|רשום ב
+|-
+|circumscribing
+|style="text-align:right;"|מקיף עם
+|-
+|encompassed
+|style="text-align:right;"|שיקיפו בו
+|-
+|measure (line, surface)
+|style="text-align:right;"|שעור / שיעור (שטח / קו&#x202B;)
+|-
+|to be located, to be situated
+|style="text-align:right;"|תפול (נקודת), נופלת (נקדת), נפלה ממנה
+|-
+|joint, common (surface)
+|style="text-align:right;"|משותף, המשותף
+|-
+|to join (surface)
+|style="text-align:right;"|נשתף עמו
+|-
+|attached
+|style="text-align:right;"|מדובקים (יחד&#x202B;)
+|-
+|to attach
+|style="text-align:right;"|ונדביק עמו
+|-
+|attached to it
+|style="text-align:right;"|הדבק אצלו
+|-
+|to construct
+|style="text-align:right;"|נניח (קו), הנחנו (על&#x202B;)
+|-
+! colspan="2" |Literary Terms
+|-
+|book
+|style="text-align:right;"|ספר, ספרו
+|-
+|the author
+|style="text-align:right;"|בעל הספר
+|-
+|chapter
+|style="text-align:right;"|פרק (ב&#x202B;)
+|-
+|section
+|style="text-align:right;"|שער
+|-
+|to read
+|style="text-align:right;"|לקרות ב
+|-
+|reader
+|style="text-align:right;"|הקורא ב
+|-
+|to write
+|style="text-align:right;"|כתבנו
+|-
+|in writing
+|style="text-align:right;"|בכתוב
+|-
+|to translate
+|style="text-align:right;"|העתקתי מ
+|-
+|translator
+|style="text-align:right;"|המעתיק
+|-
+! colspan="2" |Authors
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|מהומר אלכוארזמי
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|אבו כאמל
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|אמ"פ, אמ"פ המעתיק
+|-
+|Euclid
+|style="text-align:right;"|אקלידס
+|-
+|
+:the Elements
+|style="text-align:right;"|ספר אקלידס
+|-
+|
+:Elements II
+|style="text-align:right;"|כמו שאמר אקלידס במאמ' שני מספרו, כמו שביאר אקלידס במאמ' שני מספרו, כמו שהוא מבואר בשני לאקלידס, כמבואר בשני מאקלידס
+|-
+|
+::Elements II, 4
+|style="text-align:right;"|מהתמונ' הרביעית ממאמר שני לאקלידס
+|-
+|
+::Elements VIII, 1
+|style="text-align:right;"|מתמונת א' משמיני לאקלידס
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|אבאר כל זה באקלידס
+|-
+! colspan="2" |Logical Terms
+|-
+|to introduce, to state
+|style="text-align:right;"|אמרם, אמר
+|-
+|to say, to state, to be told
+|style="text-align:right;"|לאמר, אמר (לך), אמ' (כי), תאמר, נאמ' (כי / ש), יאמר, אמרו לך, יאמרו (לך), אמור לו, אמרנו (כי), אמרו, נאמר (ש&#x202B;)
+|-
+|saying
+|style="text-align:right;"|והוא האומר, והוא אמרו
+|-
+|for instance, as if saying, as one says
+|style="text-align:right;"|כאלו תאמ', כאלו תאמר, כאלו אמרו
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|כאמ', באמרו
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|מאמ&#x202B;'
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|מה שאמרתי, אשר אמרנו, שאמרנו, על הדרך שאמרנו
+|-
+|demonstration, explanation
+|style="text-align:right;"|הביאור, באור ה, באורו / ביאורו, באורם
+|-
+|the explanation is
+|style="text-align:right;"|באור זה ש
+|-
+|to explain, to demonstrate
+|style="text-align:right;"|לבאר (כי), ביאר, אבארם ב, נבאר (ב / זה / ש), אבאר (זה ב), אבאר לך (ב / זה ב), ואבארה לך ב, נבארהו לך, בארנו (ב), בארתי (לך), אבארהו
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|וכבר יתבא' זה, וכבר התבאר
+|-
+|to be explained, to be demonstrated, to be clarified
+|style="text-align:right;"|יתבאר (בה / בו ש / ש), התבאר (לך / מ / משם כי / שה&#x202B;)
+|-
+|demonstrated, proved, explained, clear
+|style="text-align:right;"|והוא מבואר, מבוארים
+|-
+|as explained
+|style="text-align:right;"|כמבואר
+|-
+|Q.E.D., this is what we wanted to explain
+|style="text-align:right;"|והוא מה שרצינו לבאר, והוא מש"ל, וזה מש"ל, ומש"ל
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ודי בזה באור, ודי לך במה שבארתי מ, ודי במה שבארתי מזה, במה שבארתי מזה המין הוא מספיק
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|כמבואר בתמונה הראשונה מזה הספר, הוא מבואר מהתמונה הראשונה מזה הספר
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|כמו שבאר זה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|בארנו למעלה (ב&#x202B;)
+|-
+|to describe
+|style="text-align:right;"|ספרנו
+|-
+|to know (that)
+|style="text-align:right;"|לדעת, לידע, תדע (כי / ש), דע (כי), ידענו (כי / מ), נדע
+|-
+|to let know, to inform
+|style="text-align:right;"|להודיע, נודיע, הודענו
+|-
+|to be known
+|style="text-align:right;"|היה ידוע ש, יהיה ידוע לנו, יהיה ידוע ש
+|-
+|known
+|style="text-align:right;"|הנודע
+|-
+|unknown
+|style="text-align:right;"|הבלתי ידוע, בלתי ידוע
+|-
+|it is known that
+|style="text-align:right;"|הוא ידוע (ב / ש), ידוע (כי), הידוע (ש)
+|-
+|knowledge
+|style="text-align:right;"|ידיעת, ידיעתם
+|-
+|to understand
+|style="text-align:right;"|יבינום, תבין
+|-
+|to see, to understand
+|style="text-align:right;"|נבונן
+|-
+|to be understood
+|style="text-align:right;"|יובנו ה
+|-
+|one who understands
+|style="text-align:right;"|המבין, מבין
+|-
+|clear, understandable
+|style="text-align:right;"|הוא מובן מ
+|-
+|example
+|style="text-align:right;"|משל (ש), המשל (ש), על משל, משל זה (ש), משל לזה ש
+|-
+|to define, to specify, to set up, lay out, to determine
+|style="text-align:right;"|הנחנו (ב), נניח (ה / כי), הנחנוהו, הנחנו (ש), תניח (ה / מה&#x202B;)
+|-
+|to be defined, to be specified
+|style="text-align:right;"|הונחה, הונחו מהם
+|-
+|by supposition, by definition
+|style="text-align:right;"|בהנחה
+|-
+|to demonstrate, to show
+|style="text-align:right;"|להראות לך, אראך (ה), אראה לך איך, אראה אותך ב, הראיתיך (ה / ל), הראיתי לך (ל), הראנו בו ה, הראיתי, הראית
+|-
+|to demonstrate
+|style="text-align:right;"|הראותך זה לעין, להראותך זה לעין, אראך לעין, לבאר לך לעין
+|-
+|to reveal, to show
+|style="text-align:right;"|אשר יראה לך, אשר יראך, שיראך, ייראוך
+|-
+|to indicate
+|style="text-align:right;"|יראך (ה), יראה לך (ה), מראה, הראה לנו בו ה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|כבר הראיתיך (ה / כי), וכבר הראיתיך למעלה
+|-
+|to teach
+|style="text-align:right;"|יורוך (אותם&#x202B;)
+|-
+|to be revealed
+|style="text-align:right;"|יגלה אליך ב
+|-
+|to deduce, to conclude
+|style="text-align:right;"|הקש על זה
+|-
+|by this analogy
+|style="text-align:right;"|על זה ההקש
+|-
+|to search
+|style="text-align:right;"|תחפש
+|-
+|to adapt
+|style="text-align:right;"|יסוגלו ב
+|-
+|properties
+|style="text-align:right;"|סגולות
+|-
+|method
+|style="text-align:right;"|אופנים, אופן, אופנו ש, אופני
+|-
+|to speak about
+|style="text-align:right;"|דבר ב
+|-
+|words, saying
+|style="text-align:right;"|דברי
+|-
+|for example
+|style="text-align:right;"|דמיון לזה, דמיון זה (אם / ש&#x202B;)
+|-
+|way, method
+|style="text-align:right;"|דרך, בדרך, דרכי
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|דרכנו
+|-
+|according to the way, by the way that
+|style="text-align:right;"|על הדרך (ה / ש&#x202B;)
+|-
+|general rule
+|style="text-align:right;"|כלל הדבר הוא
+|-
+|proof, demonstration
+|style="text-align:right;"|מופתים, המופת בזה ש, מופת זה (כי / ש), המופתים עליהם, מופת (ה&#x202B;)
+|-
+|by proof and by the eye
+|style="text-align:right;"|במופת ובעין
+|-
+|category
+|style="text-align:right;"|חלוקה
+|-
+|species
+|style="text-align:right;"|מין, מינים
+|-
+|type
+|style="text-align:right;"|מין
+|-
+|type, kind
+|style="text-align:right;"|סוג
+|-
+|rule, guiding
+|style="text-align:right;"|ההנהגה
+|-
+|rule
+|style="text-align:right;"|משפט (ה), משפטם, משפטיהן
+|-
+|reason
+|style="text-align:right;"|סבת ה, הסבה (ב&#x202B;)
+|-
+|reason, cause
+|style="text-align:right;"|עלת (ה&#x202B;)
+|-
+|example, instance
+|style="text-align:right;"|ענין, ענינים, ענינם, הענין ב
+|-
+|manner, way, method
+|style="text-align:right;"|פנים
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|תשוב השאלה
+|-
+|question, problem, equation
+|style="text-align:right;"|שאלה, שאלות (מה), השאלה, השאלה בזה, שאלתי
+|-
+|to be completed, to be executed
+|style="text-align:right;"|תצא השאלה
+|-
+|to ask
+|style="text-align:right;"|ישאל, ישאלו ממך, שאל
+|-
+|as if one asks
+|style="text-align:right;"|כאלו שאל
+|-
+|one asks
+|style="text-align:right;"|השואל, שאל השואל
+|-
+|answer
+|style="text-align:right;"|תשובה, תשובתך עליה, תשובת
+|-
+! colspan="2" |General Terminology
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.א.ר.כ  •
+|-
+|to lengthen, to elaborate
+|style="text-align:right;"|להאריך בזה
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ב.ו.א  •
+|-
+|to intend
+|style="text-align:right;"|אבוא ל, נבא ל, באנו ל, בא ה
+|-
+|to result
+|style="text-align:right;"|יבאו, יבא מ
+|-
+|to present, to introduce
+|style="text-align:right;"|יביא, הביא
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ב.ק.ש  •
+|-
+|to seek, to wish
+|style="text-align:right;"|בקשנו ל, מבקשים
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ה.י.ה  •
+|-
+|to be formed from, generated from
+|style="text-align:right;"|הוה מ, ההוה מ
+|-
+|to be
+|style="text-align:right;"|להיות
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ז.כ.ר  •
+|-
+|to remember
+|style="text-align:right;"|זכור (כי&#x202B;)
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ח.ד.ש  •
+|-
+|to form, to generate
+|style="text-align:right;"|יחדשו
+|-
+|to be formed, to be generated
+|style="text-align:right;"|נתחדשו
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ח.ז.ק  •
+|-
+|to consist of
+|style="text-align:right;"|להחזיק מ
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ח.י.ב  •
+|-
+|necessarily, it is necessary that
+|style="text-align:right;"|יחויב ש
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.י.כ.ל  •
+|-
+|to be able
+|style="text-align:right;"|תוכל ל
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.י.ע.ד  •
+|-
+|to promise, to pledge
+|style="text-align:right;"|יעדנו
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.י.צ.א  •
+|-
+|to be presented, to be introduced
+|style="text-align:right;"|הוציאתך אל (ה&#x202B;)
+|-
+|to yield, to produce
+|style="text-align:right;"|יוציא לך (ה&#x202B;)
+|-
+|to introduce to
+|style="text-align:right;"|יוציאו לפניך, הוצאתי לך ל
+|-
+|to deduce, to conclude
+|style="text-align:right;"|הוציא
+|-
+|to extract, to obtain, to draw
+|style="text-align:right;"|נוציא, תוציא
+|-
+|to remove, to subtract
+|style="text-align:right;"|תוציא ה
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.י.צ.ע  •
+|-
+|to suggest, to propose
+|style="text-align:right;"|הציעו
+|-
+|explanations
+|style="text-align:right;"|המצעות
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ל.ק.ח  •
+|-
+|to take
+|style="text-align:right;"|לקיחת, לקחת, לקחנו, נקח, תקח (מ&#x202B;)
+|-
+|to use a word in a certain sense
+|style="text-align:right;"|לקחתי
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|נקח ל
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.מ.צ.א  •
+|-
+|to find, to discover that
+|style="text-align:right;"|נמצאם, מצאתי, תמצא ש
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.מ.ש.כ  •
+|-
+|to continue
+|style="text-align:right;"|נמשיך ה
+|-
+|to follow
+|style="text-align:right;"|ימשך
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.נ.ו.ח  •
+|-
+|to lay, to put
+|style="text-align:right;"|אניח לך, יניח
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.נ.פ.ל  •
+|-
+|fell in the hands of
+|style="text-align:right;"|יפול בידך
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|הנופלים ב
+|-
+|denoting the same meaning
+|style="text-align:right;"|נופלים על ענין אחד
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.צ.ר.כ  •
+|-
+|necessary, to need
+|style="text-align:right;"|הוצרכנו ל, צריך (ל / ש), תצטרך ל , נצטרך ל
+|-
+|to be needed
+|style="text-align:right;"|יצטרך (ש&#x202B;)
+|-
+|it is necessary that
+|style="text-align:right;"|צריך (ש&#x202B;)
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ק.ר.א  •
+|-
+|to be named, to be called
+|style="text-align:right;"|יקרא בו ה, יקרא בשם, יקראו
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ר.א.ה  •
+|-
+|it seems
+|style="text-align:right;"|והיה נראה ש
+|-
+|to observe, to see
+|style="text-align:right;"|רואה כי, ראיתי ש
+|-
+|to see the need to
+|style="text-align:right;"|ראיתי ש
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|הראית
+|-
+|to consider, to observe, to check
+|style="text-align:right;"|ראה
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ר.ב.ה  •
+|-
+|to increase
+|style="text-align:right;"|יתרבו ה
+|-
+|to augment
+|style="text-align:right;"|להרבות ה
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ר.צ.ה  •
+|-
+|to wish to
+|style="text-align:right;"|תרצה (ל / ש), רצינו (ל / ש), נרצה (ל / ש), רצית ל, רצוננו ל
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|הרוצה ל
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|רצה בזה ש
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ש.ו.ב  •
+|-
+|to repeat (the verb) again, do … again
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב (ו / ל&#x202B;)
+|-
+|to result
+|style="text-align:right;"|ישוב (ה&#x202B;)
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ש.י.ם  •
+|-
+|to define, to set up, to dispose
+|style="text-align:right;"|שמנו, נשים (ה / על), נשימהו, תשים (ה / על&#x202B;)
+|-
+|to set up, to dispose, to give
+|style="text-align:right;"|אשים לך
+|-
+|to construct on
+|style="text-align:right;"|אשים (על), נשים (על&#x202B;)
+|-
+|to conceive
+|style="text-align:right;"|תשים, תשים... בדמיון
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ש.כ.ל  •
+|-
+|to be well versed
+|style="text-align:right;"|ישכילו ב
+|-
+|to understand
+|style="text-align:right;"|ישכיל
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ש.ל.מ  •
+|-
+|completion
+|style="text-align:right;"|השלמה, בהשלמו
+|-
+|to complete a surface
+|style="text-align:right;"|נשלים
+|-
+|to be completed
+|style="text-align:right;"|ישלם (ה / מ), נשלם, נשלמה ה
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ש.מ.ט  •
+|-
+|to be omitted, to be left out
+|style="text-align:right;"|נשמט מ
+|-
+|
+!style="text-align:right;"|.ת.ח.ל  •
+|-
+|to start
+|style="text-align:right;"|מתחילי' עמו ב, אתחיל מ
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|תחלה, תחלת
+|}
+{|
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|חלקים מה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|חלק, חלקים
+|-
+|to be arranged
+|style="text-align:right;"|סודרו (על&#x202B;)
+|-
+|consists of
+|style="text-align:right;"|מורכב (מ&#x202B;)
+|-
+|combination
+|style="text-align:right;"|הרכבת
+|-
+|to increase, to grow
+|style="text-align:right;"|יצמח
+|-
+|should, to be necessary
+|style="text-align:right;"|וראוי (לך / ש&#x202B;)
+|-
+|to reduce
+|style="text-align:right;"|לשברם
+|-
+|engagement
+|style="text-align:right;"|התעסקות בהם
+|-
+|loss
+|style="text-align:right;"|הפסד
+|-
+|to be useful
+|style="text-align:right;"|יועיל
+|-
+|to continue to
+|style="text-align:right;"|יוסיף (ל&#x202B;)
+|-
+|to lead to
+|style="text-align:right;"|יובילך אל
+|-
+|to be changed
+|style="text-align:right;"|ישתנה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|נשאר עלינו ש
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|זה חלוף
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|צד יראה עמה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|בראש הספר
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|השתמשותם
+|-
+|in the sense of, from the word
+|style="text-align:right;"|מלשון
+|-
+|deposit
+|style="text-align:right;"|פקדון
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|בדברי רז"ל
+|-
+|alone
+|style="text-align:right;"|נפרדים
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|באי זה צד
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|החלק הרביעי
+|-
+|name
+|style="text-align:right;"|שמות
+|-
+|to set
+|style="text-align:right;"|נעמיד
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|אינו נמלט מ, ולא ימלט הדבר מ
+|-
+|to learn, to acquire knowledge
+|style="text-align:right;"|להתחכם ב
+|-
+|to be in front of you, presented to you
+|style="text-align:right;"|אשר יגיעו לפניך, אשר יגיע בידך מ
+|-
+|supplement
+|style="text-align:right;"|תוספת
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|היה אל המקובץ
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|מאד מבוארים
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|מספר קו
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|יבצר מהם
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|נמנעות מהן
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|עושה לך
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|אם אפש&#x202B;'
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|שלא יוב[א] בו ש
+|-
+|does not consists of
+|style="text-align:right;"|אין לו
+|-
+|of what in
+|style="text-align:right;"|מאשר בם
+|-
+! colspan="2" |Demonstratives
+|-
+|the same
+|style="text-align:right;"|אותו ה
+|-
+|of the same
+|style="text-align:right;"|מאותו ה
+|-
+|these
+|style="text-align:right;"|אלו (ה / אשר), אלו
+|-
+|that
+|style="text-align:right;"|ההוא
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|זה הוא
+|-
+|this
+|style="text-align:right;"|הזה, זה (ה), זאת (ה&#x202B;)
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|וזהו, וזה, והוא
+|-
+|because of this
+|style="text-align:right;"|ולזה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|לזה (ה&#x202B;)
+|-
+|by this, from this
+|style="text-align:right;"|מזה (ה), בזה
+|-
+|in this, for this
+|style="text-align:right;"|בזה
+|-
+|thereby, in this regard, relating to this
+|style="text-align:right;"|בזה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ובו, ובזה
+|-
+|all this
+|style="text-align:right;"|וזה כולו
+|-
+|all that
+|style="text-align:right;"|כל זה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|בזאת ה, מאלו (ה), האלו, אלה
+|-
+! colspan="2" |Pronouns
+|-
+|whichever, any
+|style="text-align:right;"|אי זה מ, אי זו ה, אי זה ש
+|-
+|for which
+|style="text-align:right;"|לאיזה, לאי זה
+|-
+|I am
+|style="text-align:right;"|הנני
+|-
+|we
+|style="text-align:right;"|אנו
+|-
+|you
+|style="text-align:right;"|אתה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|הוא הוא, הוא (ה / כי / ש), שהוא (ה), והוא (ה / ש&#x202B;)
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|היא, היא (אשר / ש&#x202B;)
+|-
+|that same
+|style="text-align:right;"|ההיא בעינה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|הוא כי
+|-
+|formed from, generated from
+|style="text-align:right;"|הוא מ
+|-
+|it is, which is (result)
+|style="text-align:right;"|והוא, הוא מ
+|-
+|they are, which are (result)
+|style="text-align:right;"|והם (ה), הם
+|-
+|these are
+|style="text-align:right;"|והם אלו
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|שהם, ההם
+|-
+|a certain
+|style="text-align:right;"|מה
+|-
+|what
+|style="text-align:right;"|מה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|מה הוא ה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|מה ש
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|כל מה ש
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ממה ש, ממה שבו
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|במה ש
+|-
+|by itself
+|style="text-align:right;"|על עצמו, בעצמו, עצמה, בעצמה
+|-
+|them selves
+|style="text-align:right;"|בעצמם, על עצמם
+|-
+! colspan="2" |Adjectives
+|-
+|one of
+|style="text-align:right;"|אחד (ה / מ), אחת (מ&#x202B;)
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|האחד
+|-
+|another
+|style="text-align:right;"|אחר, אחרת, אחרים
+|-
+|other
+|style="text-align:right;"|אחר, אחרים
+|-
+|aforementioned
+|style="text-align:right;"|האמור
+|-
+|greater than
+|style="text-align:right;"|גדול מ
+|-
+|larger
+|style="text-align:right;"|הגדול
+|-
+|possible
+|style="text-align:right;"|אפשר (ש), יתכן (ב / ל&#x202B;)
+|-
+|impossible
+|style="text-align:right;"|לא יתכן להיות, לא יתכן (ל /ש), אי אפש' ש
+|-
+|necessary
+|style="text-align:right;"|יהיה הכרחי
+|-
+|whole, entire
+|style="text-align:right;"|כלו, וכל, כל (ה&#x202B;)
+|-
+|all, every
+|style="text-align:right;"|כל, כל אשר
+|-
+|each
+|style="text-align:right;"|כל, לכל
+|-
+|each of
+|style="text-align:right;"|כל אחד מ
+|-
+|sufficient, enough
+|style="text-align:right;"|מספיק
+|-
+|the smaller
+|style="text-align:right;"|מעט
+|-
+|visible, apparent, obvious
+|style="text-align:right;"|נגלה ב
+|-
+|mentioned
+|style="text-align:right;"|הנזכרים, הנזכר, הנזכרת
+|-
+|previous
+|style="text-align:right;"|שעבר
+|-
+|previous
+|style="text-align:right;"|הקודם, הקודמות, הקודמת
+|-
+|smaller
+|style="text-align:right;"|הקטן
+|-
+|some of
+|style="text-align:right;"|קצת מ
+|-
+|appropriate, suitable
+|style="text-align:right;"|הראוי
+|-
+|firstly, at first, in the beginning
+|style="text-align:right;"|ראשונה
+|-
+|first
+|style="text-align:right;"|ראשון, ראשונה, ראשונים
+|-
+|former
+|style="text-align:right;"|הראשונים
+|-
+|the larger
+|style="text-align:right;"|הרב
+|-
+|many (of)
+|style="text-align:right;"|הרבה (מ&#x202B;)
+|-
+|equal
+|style="text-align:right;"|שוים
+|-
+|unequal
+|style="text-align:right;"|בלתי שוים
+|-
+! colspan="2" |Adverbs
+|-
+|so that
+|style="text-align:right;"|באופן (ש&#x202B;)
+|-
+|then
+|style="text-align:right;"|אז, כי אז, הנה אז
+|-
+|then, afterwards
+|style="text-align:right;"|אחר זה, אחר (ש&#x202B;)
+|-
+|randomly
+|style="text-align:right;"|איך שהזדמן
+|-
+|from where
+|style="text-align:right;"|מאי לנו ש, אין
+|-
+|endlessly
+|style="text-align:right;"|לאין תכלית
+|-
+|other than
+|style="text-align:right;"|זולת אלו, זולת אשר
+|-
+|further, more
+|style="text-align:right;"|יותר
+|-
+|together
+|style="text-align:right;"|יחד
+|-
+|by itself, alone
+|style="text-align:right;"|לבד, לבדו
+|-
+|above
+|style="text-align:right;"|למעלה, למעלה מ
+|-
+|already
+|style="text-align:right;"|כבר, וכבר
+|-
+|so
+|style="text-align:right;"|ככה
+|-
+|how much
+|style="text-align:right;"|כמה (ה / הוא ה, יהיה מ), כמה ש, כמה שבו
+|-
+|same as
+|style="text-align:right;"|כ, כמו (ה, ש), (הוא / היא / הם) כמו, כמו שהוא ה
+|-
+|in a similar
+|style="text-align:right;"|בכמו (ה / זה&#x202B;)
+|-
+|similarly
+|style="text-align:right;"|וכמו זה
+|-
+|also, moreover
+|style="text-align:right;"|כמו כן, וכן
+|-
+|also
+|style="text-align:right;"|גם כן, ג"כ, גם
+|-
+|so
+|style="text-align:right;"|כן
+|-
+|it was so
+|style="text-align:right;"|והיה זה כן
+|-
+|always
+|style="text-align:right;"|לעולם
+|-
+|as, like
+|style="text-align:right;"|על דמיון, בדמיון (ה&#x202B;)
+|-
+|below
+|style="text-align:right;"|למטה ממנה, למטה מ
+|-
+|eventually
+|style="text-align:right;"|בסוף
+|-
+|endlessly
+|style="text-align:right;"|עד אין סוף
+|-
+|with them
+|style="text-align:right;"|עמהם
+|-
+|now
+|style="text-align:right;"|עתה
+|-
+|exactly
+|style="text-align:right;"|ממש
+|-
+|exactly, precisely
+|style="text-align:right;"|בשוה
+|-
+|furthermore, moreover, further
+|style="text-align:right;"|ועוד, עוד
+|-
+|hither
+|style="text-align:right;"|והנה, הנה, הנה (כי / ש), כי הנה
+|-
+|how
+|style="text-align:right;"|כיצד
+|-
+|in a foreign language
+|style="text-align:right;"|בלעז
+|-
+|necessarily
+|style="text-align:right;"|בהכרח
+|-
+|easily
+|style="text-align:right;"|בנקלה
+|-
+|at first
+|style="text-align:right;"|בראשונה
+|-
+|previously, before
+|style="text-align:right;"|קודם, קודם זה
+|-
+|previously
+|style="text-align:right;"|ממה שעבר
+|-
+|therefore, hence
+|style="text-align:right;"|ולכן, לכן
+|-
+|therefore, because of this
+|style="text-align:right;"|מפני זה
+|-
+|namely, i.e.
+|style="text-align:right;"|רצו' (ה / ש), רצוני ב, ר"ל (כי / ש&#x202B;)
+|-
+|there
+|style="text-align:right;"|שם, משם
+|-
+! colspan="2" | Conjunction
+|-
+|then, if so
+|style="text-align:right;"|אם כן
+|-
+|what, that, which
+|style="text-align:right;"|אשר, ש
+|-
+|because, since
+|style="text-align:right;"|מפני (כי / ש&#x202B;)
+|-
+|because, since
+|style="text-align:right;"|בעבור כי, כי
+|-
+|because of which, for which
+|style="text-align:right;"|בעבורה
+|-
+|but
+|style="text-align:right;"|אבל
+|-
+|but
+|style="text-align:right;"|אלא כי
+|-
+|or
+|style="text-align:right;"|או
+|-
+|if
+|style="text-align:right;"|אם
+|-
+|if… then
+|style="text-align:right;"|אם ... אז/ כי אז / הנה אז
+|-
+|or, whether… or
+|style="text-align:right;"|אם... ואם
+|-
+|either… or
+|style="text-align:right;"|אם ש... או
+|-
+|whether… or
+|style="text-align:right;"|אם היה ש... או
+|-
+|whether… or
+|style="text-align:right;"|... יהיה או ...
+|-
+|whether… or
+|style="text-align:right;"|בין (ש)... בין (ש), בין ... או ש
+|-
+|when
+|style="text-align:right;"|כאשר, כש
+|-
+|in order to
+|style="text-align:right;"|כדי ל
+|-
+|except
+|style="text-align:right;"|כי אם
+|-
+|according to, as, like
+|style="text-align:right;"|כפי (ה), כפי מה ש
+|-
+|in order that
+|style="text-align:right;"|למען
+|-
+|until
+|style="text-align:right;"|עד ש
+|-
+! colspan="2" |Preposition
+|-
+|in exchange to, for
+|style="text-align:right;"|כנגד (ה&#x202B;)
+|-
+|apart from, other than
+|style="text-align:right;"|מבלעדי
+|-
+|without
+|style="text-align:right;"|מבלעדי
+|-
+|by virtue of
+|style="text-align:right;"|מכח
+|-
+|apart from, besides, aside from
+|style="text-align:right;"|מלבד
+|-
+|from it
+|style="text-align:right;"|ממנו, מהם
+|-
+|due to, from it
+|style="text-align:right;"|מפניה
+|-
+|from
+|style="text-align:right;"|מתוך ה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|עד הנה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|עד המקום ש
+|-
+|concerning to which
+|style="text-align:right;"|עליו ה
+|-
+|with
+|style="text-align:right;"|עם (ה&#x202B;)
 |-
+|by this
+|style="text-align:right;"|עם זה
 |}
+</div></div>
-== Appendix: Bibliography ==
+== Appendix II: Bibliography ==
 '''''Kitāb fī al-Jābr wa'l-Muqābala (the first section)''''' / by Abū Kāmil Shujāʽ Ibn Aslam Ibn Muḥammad ibn Shujāʽ (Egypt, ca. 850-930)<br>
 – Hebrew translation –<br>
@@ Line 4,585: / Line 7,338: @@
 #Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/7 (IMHM: f 15721), ff. 296r-309r (15th-16th century)<br>
 ::[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9064672r/f299.image.r=Hébreu.langEN heb. 1029]
+:<span style=color:blue>The transcript of the text is based on manuscript Paris 1029.</span>

Difference between revisions of "תחבולות המספר"

Latest revision as of 06:06, 17 December 2022

Contents

Introduction

The Six Canonical Equations

The Simple Canonical Equations

Squares Equal Roots: bx=ax2

Squares Equal Numbers: ax2=c

Roots Equal Numbers: bx=c

The Compound Canonical Equations

Chapter: Squares and Roots Equal Numbers: ax2+bx=c

Chapter: Squares and Numbers Equal Roots: ax2+c=bx

Chapter: Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax2

Chapter: Multiplication of Algebraic Expressions

Roots

Chapter: Multiplication of Roots by Numbers

Multiplication of Roots

Chapter on Division of Roots

Chapter on the Addition of the Roots one the the other and Their Subtraction

Addition of Roots

Subtraction of Roots

Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations

Additional excerpt

Notes

Appendix I: Glossary of Terms

Appendix II: Bibliography

Navigation menu

Search

Squares Equal Roots: bx=ax²

Squares Equal Numbers: ax²=c

Chapter: Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c

Chapter: Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx

Chapter: Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax²