Difference between revisions of "תחבולות המספר"

Revision as of 03:11, 2 June 2019

	ספר אבו כאמל בתחבולות המספר
Contents 1 Introduction 2 The Six Canonical Equations 2.1 The Simple Canonical Equations 2.1.1 Squares Equal Roots: bx=ax² 2.1.2 Squares Equal Numbers: ax²=c 2.1.3 Roots Equal Numbers: bx=c 2.2 The Compound Canonical Equations 2.2.1 Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c 2.2.2 Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx 2.2.3 Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax² 3 Multiplication of Algebraic Expressions 4 Roots 4.1 Multiplication of Roots by Numbers 4.2 Multiplication of Roots 4.3 Division of Roots 4.4 Addition and Subtraction of Roots 4.4.1 Addition of Roots 4.4.2 Subtraction of Roots 5 Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations 6 Appendix: Bibliography Introduction
The reader should know three algebraic species introduced by Muḥammad al-Khwārizmī in his book:	אמר תחלת מה שצריך לדעת הקורא בזה הספר הוא שלשה ענינים אשר אמרם כבר מהומר אלכוארזמי בספרו והם
Roots	שרשים
Squares	מרובעים
Numbers	מספרים
Definitions:
Root = the number that is multiplied by itself - for instance, one by one, two by two, and so on endlessly; and also the fractions of the one, when they are multiplied by themselves, as a half by a half, a third by a third and the fractions of its fractions and so on endlessly.	השרש הוא המנין שהוא מוכה על עצמו כאלו תאמר אחד על אחד ושנים על שנים וכן לאין תכלית וכמו כן שברי האחד כאשר הוכו על עצמם כמו חצי על חצי ושלישית על שלישית וכן שברי שבריו עד אין סוף
Square = what is summed from the multiplication of the root by itself - be it an integer or a fraction.	המרובע הוא המתקבץ מהכאת השרש על עצמו שלם יהיה או נשבר
Number = the number which cannot be understood as a root nor a square, but is related to itself only by the units comprised in it.	המספר הוא המנין שלא יובנו בו שיהיה לא שרש ולא מרובע אבל הוא נערך לעצמו במה שבו מן האחדים לבד
Six types of canonical equations were originated from the combination of these three [species] which are:	אמר וכבר יצאו מהרכבת אלו השלשה ששה חלקי' והם אלו
roots equal to squares $\scriptstyle bx=ax^2$	שרשים שיהיו שוי' למרובעים
roots equal to numbers $\scriptstyle bx=c$	ושרשים שישוו למספרים
squares equal to numbers $\scriptstyle ax^2=c$	ומרובעי' שישוו למספרים
roots and squares equal to numbers $\scriptstyle bx+ax^2=c$	ושרשים ומרובעי' שישוו למספרים
roots and numbers equal to squares $\scriptstyle bx+c=ax^2$	ושרשי' ומספרים שישוו למרובעים
squares and numbers equal to roots $\scriptstyle ax^2+c=bx$	ומרובעי' ומספרי' שישוו לשרשים
Finzi: the author did not mention [the instances] in which the three [species] together are equal to one of them, yet it seems that this will be necessary in the categorization.	אמ"פ הנה לא הביא בעל הספר כאשר ישוו שלשתם יחד לאחד מהם והיה נראה שזה יהיה הכרחי בחלוקה
For instance: roots, squares, and numbers are equal to roots, or to squares, or to numbers	וזה כמו שתאמ' שרשים ומרובעי' ומספרים ישוו לשרשים או ישוו למרובעי' או ישוו למספרים
The Six Canonical Equations
The Simple Canonical Equations
Squares Equal Roots: bx=ax²	אמ' כאשר השרשים ישוו למרובעי‫'
[for $\scriptstyle bx=x^2$ ]: $\scriptstyle x^2=b^2$	תכה השרשי' על עצמם ומה שיתקבץ הוא המרובע
It is the same as saying "the squares are equal to the roots", since the roots should be understood as being equal to the squares that are mentioned with them	אמ"פ והדבר הוא שוה לאמר המרובעים ישוו לשרשי' מפני כי צריך שיובנו השרשי' שיהיו שוים למרובעים הנזכרים עמהם
Moreover, the squares are squares by virtue of the multiplication of the roots by themselves	וכמו כן המרובעים יהיו מרובעי' מכח הכאת השרשים ההם על עצמם
$\scriptstyle5x=x^2$	דמיון זה אם אמרו לך חמשה שרשי' ישוו למרובע אחד כמה הוא המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=5\sdot5=25}}$	אמור לו הוא עשרים וחמשה המתקבץ מהכאת חמשה על חמשה
The root counts the square by the number of times that the one count the root.	והיה זה כן מפני כי המרובע ימנהו השרש במספר הפעמים שימנה האחד לשרש
The one counts the root by the number of times by which the root is named.	והאחד ימנה לשרש במספר הפעמים אשר יקרא בו השרש
In the example, the root is named by five.	והנה בזה המשל השרש יקרא בשם חמשה
It consists of its five units, as it consists of twenty five, which is the square that is [formed] from five times five, that is the root.	והוא מורכב מחמשה אחדיו כמו שהוא מורכב עשרים וחמשה שהוא המרובע מחמשה דמיוני חמשה שהוא השרש
Hence, the square grows and become completed by the root multiplied by the number of times that the unit completes the root.	הנה שהמרובע יצמח וישלם מדמיוני השרש במספר מה שישלם השרש מדמיוני האחד
Geometric illustration	ולמען הראותך זה לעין

constructing: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=25}}$	נרשום מרובע עליו אבג"ד על משל מרובע עשרים וחמש‫'
side × (one of its unit) = √(the square)	הנה אי זה מצלעיו שיוכה באחד מאחדיו יהיה המתקבץ הוא שרש המרובע
defining: BZ = BH = one of the units of AB	~~ולכן~~ ונשים ב"ז שוה לב"ה שהוא אחד מאחדי צלע א"ב
drawing line ZC from point Z ZC \|\| AB	ונוציא מ^נקודת ז' קו ז"ח נכחי לקו א"ב
AZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ויצא שטח א"ז והוא שרש זה המרובע
dividing ABGD□ into AZ□; CT□; KL□; MN□; SD□ - each is equal to AZ□ ABGD□ = AZ□ + CT□ + KL□ + MN□ + SD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{5x=25}}$	ונחלק מרובע אבג"ד לדמיוני שטח א"ז והם שטחי א"ז ח"ט כ"ל מ"נ ס"ד והם חמשה שרשים למרובע עשרים וחמשה
each consists of five units, as AZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וכמו כן כל אחד מהם מורכב מחמשה אחדים כמו שרשום ~~בשסע~~ בשטח א"ז שהוא אחד מהחמשה שרשי‫'
This explanation is enough	ודי בזה באור
Normalization: if the square is augmented or reduced it should always be restored to a single square.	אמ' וראוי שתדע שאם בא השואל להרבות המרובעי' בשאלתי או לשברם כי אז אתה צריך להשיב השאלה לעולם אל מרובע אחד שלם
$\scriptstyle5x^2=20x$	דמיון זה אם ישאל חמשה מרובעי' ישוו לעשרים שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}}}$	ואתה תחלק עשרים על חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4x}}$	ויהיה המרובע האחד ישוה לארבעה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע יהיה מספרו ששה עשר
$\scriptstyle\frac{1}{2}x^2=10x$	וכן אם יאמ' חצי מרובע ישוה לעשרה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=20x}}$	הנה כל המרובע ישוה לעשרים שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}$	ומספרו ארבע מאות
Squares Equal Numbers: ax²=c	אמ' כאשר המרובעי' ישוו למספרי‫'
[for $\scriptstyle x^2=c$ ]: the numbers are the squares	הנה המספרים הם המרובעים
$\scriptstyle x^2=16$	כמו אם יאמרו לך המרובע ישוה לששה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	הנה ששה עשר הוא המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ושרשו ארבעה
Normalization: the equation should be restored to one square	וכמו כן תשיב השאלה אל מרובע אחד
$\scriptstyle5x^2=45$	כי אם אמ' חמשה מרובעי' ישוו לחמשה וארבעי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot45=9}}$	הנה המרובע האחד הוא חמישיתם שהוא תשעה
$\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=27$	ואם אמ' שלישית המרובע ישוה לשבעה ועשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=81}}$	הנה כל המרובע הוא שמנים ואחד
Roots Equal Numbers: bx=c	אמ' כאשר השרשים ישוו למספרי‫'
The units of the roots are as the amount of the numbers.	הנה כמנין המספרי' יהיו אחדי השרשי‫'
$\scriptstyle x=4$	כי אם יאמרו לך שרשי המרובע ישוו לארבע' מספרי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	הנה השרש הוא ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע ששה עשר
Here also the equation should be restored to one square.	וכן גם בזה תשיב השאלה למרובע אחד
$\scriptstyle5x=30$	כמו אם אמ' חמשה שרשים ישוו לשלשים
$\scriptstyle{\color{blue}{30\div5}}$	תחלק שלשים על חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}$	ויהיה השרש האחד ישוה לששה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}$	והמרובע ששה ושלשים
$\scriptstyle\frac{1}{2}x=10$	ואם אמ' ~~חמשה ושלשים~~ חצי שרש ישוה לעשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}$	יהיה השרש האחד ישוה לעשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}$	והמרובע ארבע מאות
This was the discussion concerning the three first types of canonical equations that are called simple	עד הנה דבר בשלשה החלקים הראשונים אשר יקראו הפשוטים
The Compound Canonical Equations
Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c	פרק אמ' כאשר יהיו המרובעים והשרשים שוים למספרי‫'
$\scriptstyle x^2+10x=39$	כאלו תאמ' המקובץ ממרובע מהאחד ועשרה משרשיו יחד ישוה לשלשים ותשעה דרהמי
The answer of this question is in two aspects	הנה תשובת זאת השאלה יהיה בשני פנים
1) One aspect presents the root of the square	האופן האחד יראך שרש המרובע
2) The second aspect presents the square	והשני יראך המרובע
First the methods of these aspects and their engagement will be explained.	וראשונה אבאר לך דרכי אלו האופני' וההתעסקות בהם
Then, their rules will be explained by geometrical demonstrations and figures, which are understood by the geometricians who are well versed in Euclid's book [= the Elements].	עוד אחר זה אבאר משפטיהן במופתים ובתמונות ג'ימטריאות יבינום חכמי הגי'מטריאה אשר ישכילו בספר אקלידס
The method that yields the root of the square	אמ' האופן אשר יראך שרש המרובע
Already stated by Muḥammad al-Khwārizmī in his book.	כבר אמרו מהומר אלכוארזמי בספרו
$\scriptstyle x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}-\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)$	והוא שתקח לעולם מחצית השרשים ותכם על עצמם והעולה מההכאה תקבץ עם המספרים ותוציא שרש המקובץ ותגרע ממנו מחצית השרשים ומה שישאר הוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{5^2+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{25+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{64}-5=8-5=3\\\end{align}}}$	והנה לקחנו בשאלה הנזכרת מחצית השרשים והוא חמשה הכינום על עצמם ועלה עשרי' וחמשה קבצנום עם הל"ט אדרהמי ויצא ששים וארבעה הוצאנו שרשו והוא שמנה גרענו ממנו חמשה ונשאר שלשה והוא השרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והמרובע יהיה תשעה
The method that yields the root of the square	אמ' והאופן אשר יראך המרובע
$\scriptstyle x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+c-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2+\left(b^2\sdot c\right)}$	הוא שתכה השרשים על עצמם והעולה תכה על המספרים ומה שיתקבץ שמור עוד תקח מחצית מה שעלה מהכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו ומה שיעלה תקבצהו עם השמור ותוציא שרש המקובץ ותגרעהו ממקובץ מחצית הכאת השרשים על עצמם עם המספרי' השוי' למרובע עם שרשיו ונשאר הוא המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2+\left(10^2\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2+\left(100\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=50+39-\sqrt{50^2+3900}\\&\scriptstyle=89-\sqrt{2500+3900}\\&\scriptstyle=89-\sqrt{6400}=89-80=9\\\end{align}}}$	והנה בשאלה הנזכרת הכינו עשרה השרשים על עצמם ועלה מאה והכינו מאה על הל"ט ויצא שלשת אלפים תת"ק ושמרנום ולקחנו מחצית מאה שהוא חמשים והכינום על עצמם ויצא אלפים ות"ק וקבצנום עם השמור והיה המקובץ ששת אלפים ות' הוצאנו שרש זה המקובץ ויצא שמנים גרענום ממקובץ חמשים עם ל"ט שהוא פ"ט וישארו תשעה והם המרובע
Normalization: if the squares exceed one, or less than one, the whole equation should be restored to a single square, and with it the roots and numbers should be restored, by exactly the same way that the square is restored.	אמ' ואם יעדיפו המרובעי' בשאלה על אחד או יחסרו מאחד שלם הנה אז תצטרך להשיב כל השאלה אל מרובע אחד וכן תשיב עמו השרשים והמספרי' בדרך ההוא בעינו שהשיבות המרובע
$\scriptstyle3x^2+15x=72$	דמיון זה ששאל שלשה מרובעי' וט"ו שרשי' ישוו לע"ב דרהמי
three times one square summed together with 15 of its roots are 72.	רצה בזה ששלשה דמיוני מרובע אחד עם ט"ו משרשיו מקובצי' יחד יהיו ע"ב
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\sdot x^2+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)\sdot x=\frac{1}{3}\sdot72}}$	ובזה אתה צריך לקחת מהמרובעי' אחד מהם והוא שלישיתם וכן תקח מהשרשי' שלישיתם והוא חמשה ומהמספרי' כמו כן שלישיתם והוא כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+5x=24}}$	ותשוב להיות השאלה כאלו שאל מרובע אחד עם חמשה משרשיו ישוו כ"ד דרהמי
The method that yields the root and the method that yields the square were already shown.	וכבר הראיתיך האופן שיראך השרש והאופן שיראך המרובע
$\scriptstyle\frac{1}{2}x^2+5x=28$	וכמו כן אם שאל השואל חצי מרובע וחמשה משרשיו ישוו לכ"ח דרהמי
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot x^2+\left(2\sdot5\right)\sdot x=2\sdot28}}$	אז תשיב המרובע שלך שלם והוא שתכפלהו ותכפול כמו השרשי' והמספרי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x=56}}$	ותשוב השאלה מרובע ועשרה משרשיו ישוו נ"ו דרהמי וכבר הראית לדעת מה לעשות לך עמהם
Geometric illustration of method that yields the root of the square	אמ' ועתה אראך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
illustrating the equation $\scriptstyle x^2+10x=39$
constructing: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	והוא שנניח ~~שרש~~ [שטח]^[1] מרובע עליו אבג"ד הוא על דמיון המרובע אשר עליו השאלה
adding to it ABHW□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ונחבר אליו שטח אבה"ו יהיה על דמיון עשרת השרשים אשר קבצת עם המרובע
WHDG□ = [ABGD□ + ABHW□] = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x=39}}$	והנחנו שכל שטח והד"ג יהיה שלשים ותשעה דרהמי
We wish to state the measure of the length and breadth of this surface, which are HG and DG	ורצינו שנודיע שיעור קוי האורך והרחב מזה השטח שהם קוי ה"ג ד"ג
BG = DG = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ועם זה יהיה ידוע לנו שיעור קו ב"ג השוה לד"ג שכל אחד מהם הוא שוה לשרש זה המרובע
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא ידוע כי קו ב"ה עשרה
BA × its unit = √ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	מפני כי היה צלע ב"א ממרובע אבג"ד כשהוכה באחד מאחדיו יהיה השטח העולה הוא שרש מרובע אבג"ד כמבואר בתמונה הראשונה מזה הספר
(BA × 1) × 10 = 10√ABGD□ = ABHW□	וזה השטח כשהוכה בעשרה יהיה העולה עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד והוא שטח אבה"ו
→ BH = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	הנה כי קו ב"ה עשרה
halving line BH on point C [= C midpoint of BH]	ונחלק אותו לחצאין על נקודת ח‫'
adding BG to BH	ונוסף בארכו קו ב"ג
(HG × BG) + CB² = CG²	ולכן יהיה השטח העולה מהכאת קו ה"ג בקו ב"ג עם המרובע ההוה מהכאת ח"ב על עצמו כמו המרובע ההוה מהכאת ח"ג על עצמו
as noted by Euclid in Elements II	כמו שאמר אקלידס במאמ' שני מספרו
HG × BG = [HG × DG = WHDG□ = $\scriptstyle{\color{blue}{39}}$	אבל הכאת קו ה"ג בקו ב"ג כבר הונחה שלשים ותשעה
DG = BG	מפני כי קו ד"ג הוא כמו קו ב"ג
CB² = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	והכאת קו ח"ב על עצמו היא עשרים וחמשה
CG² = (HG × BG) + CB² = $\scriptstyle{\color{blue}{39+25=64}}$	ומקובצם ששים וארבע' ולכן יהיה הכאת קו ח"ג על עצמו ששים וארבעה
√[CG²] = √[(HG × BG) + KB²] = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}=8}}$	והנה שרשו הוא שמנה
→ CG = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	ולכן קו ח"ג הוא שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BG = CG - CB = $\scriptstyle{\color{blue}{8-5=3}}$	ונבדיל ממנו קו ח"ב הידוע שהוא חמשה וישאר קו ב"ג שלשה והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והמרובע תשעה
constructing: CKNG□ = CG²	ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי עשה על קו ח"ג מרובע חכנ"ג
extending line BA to point E	ותוציא קו ב"א ביושר עד נקדת ע‫'
CG = GN	הנה קו ח"ג כמו קו ג"נ
BG = DG	וקו ב"ג כמו קו ד"ג
BC = MK	ישאר קו ב"ח כמו קו מ"כ
CA□ = AN□	ושטח ח"א כמו שטח א"נ
CA□ = MH□	אבל שטח ח"א כמו שטח מ"ה
→MH□ = AN□	לכן שטח מ"ה כמו שטח א"נ
AC□ + AN□ + DB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{39}}$	ושטחי א"ח א"נ ד"ב השלשה הם שלשים ותשעה
AC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	אבל שטח א"כ עשרים וחמשה
AC□ = CB²	בעבור כי הוא שוה להכאת ח"ב על עצמו
KG□ = $\scriptstyle{\color{blue}{64}}$	הנה שטח כ"ג כלו ששים וארבעה
CG = √KG□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}=8}}$	וקו ח"ג שרשיו והוא שמנה
BC = $\scriptstyle{\color{blue}{5}}$	וקו ב"ח היה חמשה
GB = [CG - BC] = $\scriptstyle{\color{blue}{8-5=3}}$	וישאר קו ג"ב שלשה וזה מש"ל
Geometric illustration of method that yields the square	אמ' והסבה באופן אשר הראנו בו המרובע
illustrating the equation $\scriptstyle x^2+10x=39$
constructing: line ABG = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x=39}}$	היא שנניח קו אב"ג יהיה שיעורו כמו מקובץ המרובע ועשרה משרשיו שהוא שלשים ותשעה
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ויהיה קו א"ב ממנו הוא שיעור המרובע
We wish to state the measure of AB	ואנו נרצה שנודיע שיעור א"ב
constructing: DHBG□ = 100 × (AB × 1)	הנה נעשה על קו ב"ג מרובע ד והוא מרובע דהב"ג והנה הוא כמו מאה פעמים השטח היוצא בהכאת קו א"ב באחד מא[חד]יו
BG = 10√AB	בעבור כי קו ב"ג הוא עשרה שרשים מקו א"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10\sqrt{X}\right)^2=100X}}$	ועשרה שרשים מהדבר כשהוכו על עצמם יהיה המתקבץ כמו מאה דמיוני אותו הדבר
constructing: AM circumscribing a right angle with line AG	ונשים קו א"מ מקיף עם קו א"ג בזוית נצבה
AM = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$ of [the units] by which AG = $\scriptstyle{\color{blue}{39}}$	ונשימהו בשיעור מאה מאשר בם קו א"ג שלשים ותשעה
completing AN□	ונשלים שטח א"נ
AN□ = $\scriptstyle{\color{blue}{3900}}$	והנה שעורו ידוע כי הוא שלשת אלפים תת"ק
AN□ = AG × AM = $\scriptstyle{\color{blue}{39\times100}}$	בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שלשים ותשעה בקו א"מ שהוא מאה
extending line BC \|\| AM	ונמשיך קו ב"ח נכחי לקו א"מ
AC□ = BH□	והנה יהיה שטח א"ח שוה למרובע ב"ה
AC□ = 100 × (AB × its unit)	כי הוא גם כן מאה דמיוני הכאת קו א"ב באחד מאחדיו
AM = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	בעבור כי אורך קו א"מ מאה
→DHCN□ = $\scriptstyle{\color{blue}{3900}}$	ויהיה מפני זה שטח דהח"נ גם כן שלשת אלפים משל תת"ק
DHCN□ = GH × HN	והוא מהכאת קו ג"ה בקו ה"נ
GH = HD	כי ג"ה כמו ה"ד
GN = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	והנה קו ג"נ מאה
GN = AM	מפני שהוא שוה לא"מ
halving line GN on point L [= L midpoint of GN]	ונחלקהו לחציין על נקודת ל‫'
adding NH to GN	וכבר נוסף עליו קו נ"ה
(HN × GH) + GL² = LH²	ויהיה מפני זה שטח הכאת ה"נ בג"ה ומרובע קו ג"ל יחד שוה למרובע קו ל"ה
as noted by Euclid in Elements II	כמו שביאר אקלידס במאמ' שני מספרו
(HN × GH) + GL² = $\scriptstyle{\color{blue}{6400}}$	אבל שטח ה"נ בג"ה ומרובע ג"ל מקובצים הוא ידוע שהם ששת אלפים ות‫'
HN × GH = $\scriptstyle{\color{blue}{3900}}$	כי שטח ה"נ בג"ה הוא שלשת אלפים תת"ק
GL² = $\scriptstyle{\color{blue}{2500}}$	ומרובע ג"ל הוא אלפים ת"ק
→LH² = $\scriptstyle{\color{blue}{6400}}$	ומפני זה יהיה מרובע קו ל"ה ששת אלפים ות‫'
LH = $\scriptstyle{\color{blue}{80}}$	וקו ל"ה יהיה שמנים
GH = BG	אבל קו ג"ה כמו מרובע קו ב"ג
→BG + LG = [LH] = $\scriptstyle{\color{blue}{80}}$	הנה כי קוי ב"ג ל"ג מקובצים הם שמנים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$ = AB = (BG + LG) - (AG + GL) = $\scriptstyle{\color{blue}{89-80=9}}$	וכאשר נגרעם מקוי א"ג ג"ל שהם שמנים ותשעה ישאר קו א"ב שהוא שיעור מרובע תשעה והוא מש"ל
	^[2]
Finzi: where do we see and from where did the author deduced that ten roots of the thing, multiplied by themselves, generate an area, whose measure is a hundred times the thing?	אמ"פ המעתיק מאי לנו שנבונן ואין הוציא בעל הספר שעשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו שטח שיעורו מאה דמיוני הדבר
The answer: it is clear from the first figure above that one root of the thing is of the same length as the side of the thing, and when it is multiplied by itself it is equal to the thing.	ונאמ' כי הוא מבואר מהתמונה הראשונה מזה הספר ששרש אחד מהדבר הוא באורך כמו צלע הדבר וכשהוכה על עצמו הוא שוה לדבר
Euclid's Elements, II.4:	ומהתמונ' הרביעית ממאמר שני לאקלידס באמרו
For every line that is cut into two segments randomly, the square of the whole line equals the two squares of the segments plus double the quadrilateral encompassed by the two segments. [ $\scriptstyle\left(A+B\right)^2=A^2+B^2+2AB$ ]	כל קו אשר יחלק לשני חלקים איך שהזדמן הנה מרובע הקו כלו שוה לשני מרובעי החלקים ולכפל שטח נצב הזויות שיקיפו בו שני החלקים
It is clear from this that when the two segments of the line are equal, the square of the whole line equals four squares of one of the segments. [ $\scriptstyle\left(A+A\right)^2=4A^2$ ]	הנה התבא' משם כי כאשר השני חלקים מהקו שוים יהיה מרובע הקו כלו שוה לארבעה מרובעים מחלק אחד מהם
The one who understands can easily learn from this that two roots of the thing, multiplied by themselves, generate a square that equals four times the thing. [ $\scriptstyle\left(2\sqrt{x}\right)^2=4x$ ]	ומזה ישכיל המבין בנקלה כי שני שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו מרובע ישוה לארבעה דמיוני הדבר
For, when the two roots of the thing are arranged attached on a straight line, they generate a line that is double the two roots of the thing	כי הנה שני שרשי' מהדבר כאשר סודרו מדובקים על קו ישר יחדשו קו הוא כפל שני שרשים מהדבר כאשר סודרו מדובקים קו צלע מהדבר
By this analogy, and from that same figure, it is possible to explain that as much as the roots of the things are multiplied and gathered together, their square consists of the multiples of the thing by the ratio of the square numbers of multiples of the roots.	והנה על זה ההקש ומהתמונה ההיא בעינה יתכן לבאר כי כל אשר יתרבו השרשים מהדבר להאסף יחד יהיה מרובעם יוסיף להחזיק מדמיוני הדבר על יחס מרובעי מספרי פעמי השרשים
For example: we gathered three roots of a certain square	דמיון זה אספנו יחד שלשה שרשים ממרובע מה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sqrt{100}\right)^2=30^2=900}}$	כאלו תאמ' מאה יהיו שלשים ומרובעם תת"ק
$\scriptstyle{\color{blue}{900=9\sdot100=3^2\sdot100}}$ - three is the number of multiples of the roots	הנה תת"ק הוא תשעה דמיוני מאה כמו שתשעה הוא מרובע שלשה שהוא פעמי השרשים והקש על זה
Euclid's Elements, VIII.1:	וכבר יתבא' זה אם כן מתמונת א' משמיני לאקלידס
The ratio of a square to a square is the same as the ratio of the side to the side multiplied by itself. [ $\scriptstyle A^2:B^2=\left(A:B\right)^2$ ]	כי הנה התבא' שם כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו שנוי בכפל
It is clear from what was said at the beginning, that the ratio of the side of the thing to ten of its roots, summed together, is the ratio of one to ten. $\scriptstyle\sqrt{x}:10\sqrt{x}=1:10$	והוא מבואר ממה שאמרנו תחלה כי יחס צלע הדבר אל עשרה משרשיו מדובקים יחד הוא כיחס אחד אל עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1:10\right)^2=\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}=\frac{1}{100}}}$	ויחס אחד אל עשרה שנוי הוא עשירית העשירית שהוא אחד ממאה
Therefore, the ratio of the thing, which is the square of the side of the thing, to the square of ten of its roots, is the ratio of one to one hundred. $\scriptstyle x:\left(10\sqrt{x}\right)^2=\left(\sqrt{x}\right)^2:\left(10\sqrt{x}\right)^2=1:100$	ולכן יהיה יחס הדבר שהוא מרובע צלע הדבר אל מרובע עשרת שרשיו הוא יחס אחד אל מאה
So, the square of ten roots of the thing is one hundred times the thing. $\scriptstyle\left(10\sqrt{x}\right)^2=100x$	אם כן יהיה מרובע עשרת שרשי הדבר מאה דמיוני הדבר
Q.E.D.	והוא מש"ל
This chapter is completed.	ונשלם זה החלק
Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx	פרק: אמ' המרובעי' והמספרי' שישוו לשרשים
$\scriptstyle x^2+21=10x$	הוא כאלו תאמ' כאשר תקבץ עם מרובע מה עשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה משרשים מהמרובע
There are two solution methods in this category too:	הנה גם כן לזה החלק נמצאם שני האופני' הראשוני‫'
1) yields the root of the square	רצו' האופן שיראך שרש המרובע
2) yields the square	והאופן שיראך המרובע
Each is done in two ways: one by adding and the other by subtracting.	ולכל אחד משניהם שני צדדים צד אחד לתוספת וצד אחד למגרעת
The solution method that yields the root of the square	אמ' והאופן אשר יראך שרש המרובע
[for $\scriptstyle x^2+c=bx$ ]: $\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c}$	הוא שתקח מחצית השרשים ותכם בעצמם וממה שיתקבץ תגרע המספרים ותקח שרש הנשאר ותגרעהו ממחצית השרשים והנשאר הוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{4}\\&\scriptstyle=5-2=3\\\end{align}}}$	והנה בדמיון הנזכר לקחנו מחצית השרשים והוא חמשה והכינו חמשה בעצמו והיה עשרים וחמשה גרענו מהם מספר האדרהמי ונשארו ארבעה ושרשם שנים גרענום מחמשה ונשארו שלשה הוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1^2=9}}$	והמרובע תשעה
This is the subtraction way.	וזה צד המגרעת
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5+2=7\\\end{align}}}$	ואם תרצה הוסיף השנים על מחצית השרשים ויהיו שבעה והם שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=49}}$	והמרובע יהיה תשעה וארבעים
If the product of half the roots by itself is less than the dirham, that are with the square $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<c$ → the problem is false	אמ' וראוי שתדע כי אם יהיה המתקבץ מהכאת מחצית השרשים על עצמו פחות מהאדרהמי אשר עם המרובע כי אז תהיה השאלה כוזבת
Sometimes the product [of half the square by itself] is equal to the number of the dirham - then, the root of the square is the same as half the roots, no more and no less. $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c$ → $\scriptstyle x=\frac{1}{2}\sdot b$	אבל פעמים יהיה המתקבץ שוה למספר האדרהמי ואז יהיה שרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
This category will be illustrated below with geometric figure	והנני אבאר לך כל אשר אמרנו בגה"ו עם תמונות ג'ימטריות
The solution method that yields the square	אמ' והאופן אשר יראה לך המרובע
[for $\scriptstyle x^2+c=bx$ ]: $\scriptstyle x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2-\left(b^2\sdot c\right)}-c$	הוא שנכה השרשים על עצמם והעולה נכהו על המספרי' ושמור מה שיתקבץ עוד נקח מחצית הכאת השרשים ונכהו בעצמו ומה שיתקבץ נגרע ממנו השמור ותקח שרש הנשאר ותגרעהו ממחצית הכאת השרשים עוד תגרע מהנשאר מספר האדרהמי ומה שישאר הוא המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{2500-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{400}-21\\&\scriptstyle=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}$	והנה בדמיון הנזכר הכינו השרשים בעצמם ועלה מאה הכינו מאה בעשרי' ואחד והיו אלפיים ומאה ושמרנום עוד לקחנו מחצית מאה והכינום בעצמם והתקבץ אלפיים ות"ק גרענו מהם השמור ונשאר ארבע מאות ושרשם עשרים גרענום מחמשי' ונשאר שלשים וגרענו משלשים מספר האדרהמי ונשאר תשעה והוא המרובע
This is the subtraction way.	וזה הוא צד המגרעת
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=\left(50+20\right)-21=70-21=49}}$	ואם תרצה צד התוספת תוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים ותגרע מהם מספר האדרהמי וישאר תשעה וארבעי' הוא המרובע
Normalization: if the squares exceed one, or less than one, they should always be restored to one square - according to the way demonstrated in the previous case.	אמ' וכמו כן אם יעדיפו המרובעים בשאלה על אחד או יגרעו מאחד שלם השיבם לעולם אל מרובע אחד על הדרך שהראיתיך בחלק שעבר
The reason for the method that yields the root of the square	אמ' ועתה אבוא להראות לך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
The reason for the addition and subtraction methods is in accordance with the excess or the deficiency of the square over the number	וראשונה ראוי שתדע כי סבת צדדי התוספת והמגרעת היא כפי מה שיעדיף המרובע על המספרי' או שיגרע מהם
If [the square] exceeds [the numbers] $\scriptstyle x^2>c$ : the addition method is needed	כי אם יעדיף אז הוא צריך צד התוספת
If [the square] is less than [the numbers] $\scriptstyle x^2<c$ : the subtraction method is needed	ואם יגרע אז יצטרך צד המגרעת
As will be demonstrated in the two figures drawn below:	כמו שאראה אותך בשתי תמונו' אשר ארשום לך עתה
Geometric illustration of [the subtraction method]: when the square is less than the numbers $\scriptstyle x^2<c$	וארשום ראשונה כאשר יגרע המרובע מהמספרי‫'

defining: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	והוא שנניח המרובע הוא מרובע אבג"ד
ABHL□ = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	ושטח אבה"ל הדבק אצלו הוא על דמיון העשרים ואחד דרהמי
ABHL□ > ABGD□	ומפני כי שטח אבה"ל הנחנוהו גדול מאבג"ד
BL > BD	יהיה קו ב"ל גדול מקו ב"ד
HLGD□ = 10√ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ומפני כי כל שטח הלג"ד הנחנוהו עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד
LD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	יהיה קו ל"ד עשרה כמו שהתבא' למעלה
We wish to know the measure of BD	ואנו מבקשים לדעת שיעור קו ב"ד
LD is cut into two equal segments on C [= C midpoint of LD]	הנה נחלק קו ל"ד שהוא עשרה לחצאין על נקודת ח‫'
LD is cut into two unequal segments on B	וכבר נחלק גם כן לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב‫'
(LB × BD) + CB² = CD²	ויהיה מפני זה הכאת ל"ב בב"ד עם מרובע ח"ב ישוו למרובע ח"ד
according to Euclid, Elements II	כמבואר בשני מאקלידס
CD² = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	אבל מרובע ח"ד הוא ידוע שהוא עשרים וחמשה
CD = $\scriptstyle{\color{blue}{5}}$	בעבור כי קו ח"ד חמשה
LB × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	והכאת ל"ב בב"ד הוא עשרים ואחד
BD = BA	בעבור כי ב"ד הוא שוה לב"א
CB² = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ולכן ישאר מרובע ח"ב ארבעה
CB = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וצלעו שהוא קו ח"ב שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BD = CD - CB = $\scriptstyle{\color{blue}{5-2=3}}$	גרענום מקו ח"ד שהוא חמשה וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והמרובע תשעה והוא המבוקש
KCGD□ = CD²	ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי הנה נשים על קו ח"ד מרובע והוא מרובע כחג"ד
KCGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	והוא ידוע בשיעוריו עשרים וחמשה
CD = $\scriptstyle{\color{blue}{5}}$	בעבור כי קו ח"ד חמשה
CG□ = CH□	ושטח ח"ג הוא כמו שטח ח"ה
LC = CD	בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
AC□ = AN□	ושטח א"ח כמו שטח א"נ
AC□ + CH□ = AN□ + CG□	ולכן כאשר יקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה יהיה שוה למקובץ משטח א"נ עם שטח א ח"ג
AC□ + CH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	אבל מקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה הוא ידוע שהוא עשרים ואחד
AN□ + CG□ = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	ולכן יהיה מקובץ שטח א"נ עם שטח ח"ג גם כן עשרים ואחד
KA□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וישאר שטח כ"א ממרובע כהג"ד שיעורו ארבעה
KA□ is a square	ושטח כ"א מרובע
KN = KC	בעבור כי קו כ"נ כמו קו כ"ח
CS = NM	וקו ח"ס כמו קו נ"מ
KS = KM	וישאר קו כ"ס כמו קו כ"מ
CB = KM = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וקו כ"מ שנים והוא שוה לקו ח"ב
CB = 2	אם כן קו ח"ב שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BD = $\scriptstyle{\color{blue}{3}}$	וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והמרובע תשעה ו והוא שרש המבוקש
In this figure, the reason for the method that yields the square of the root was clarified by proof and by the eye	הנה כי בזאת התמונה התבאר לך במופת ובעין סבת האופן אשר יובילך אל ידיעת שרש המרובע
Moreover, the reason for the subtraction method was clarified, that is when the square is less than the numbers	וכן התבא' לך מפניה סבת צד המגרע' כי הוא כאשר המרובע הוא פחות מהמספרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BD = CD - CB	ולכן הוצרכנו לגרוע קו ח"ב אשר ידענו עם תחבולה מקו ח"ד הנודע בהנחה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
Geometric illustration of the addition method: [when the square exceeds the numbers] $\scriptstyle x^2>c$	ועתה מזאת התמונה השנית יגלה אליך בכמו ההנהגה הקודמת סבת צד התוספת

defining: ABGD□ > ABHL□	כי הנחנו בה מרובע אבג"ד גדול משטח אבה"ל
In order to know the measure of BD, one should add CB to CD BD = CD + CB	ולכן ימשך בסוף כי כדי לדעת שיעור ב"ד נצטרך להוסיף קו ח"ב על קו ח"ד
There is no need to elaborate on that, as it is clear from what was written above, for the proof is one [and the same].	ולא נצטרך להאריך בזה כי הוא מובן מאשר כתבנו ראשונה כי המופת אחד
But in order to illustrate it, the proof is slightly changed, therefore it will be explained:	אבל כדי להראותך זה לעין ישתנה מעט המופת ולכן נבארהו לך
constructing: BHGD□ = CD²	והוא שנשים על קו ח"ד מרובע בהג"ד
extending line CB to S	ונמשיך קו ח"ב עד ס‫'
extending line DN to G	וקו ד"נ עד ג‫'
We wish to show that: ABHL□ + AMSB□ = BHGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	ונרצה שאראה לך איך שטח אבה"ל כשיתקבץ עם מרובע אמס"ב יהיה שוה למרובע בהג"ד הידוע שהוא עשרים וחמשה
CG□ = HC□	ונאמ' כי הוא ידוע כי שטח ח"ג כמו שטח ה"ח
LC = CD	בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
MC□ = SN□	ושטח מ"ח כמו שטח ס"נ
ABHL□ + AMSB□ = BCGD□	וישארו שטח אבה"ל ואמס"ב שוים לבחג"ד
ABHL□ = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	אבל אבה"ל הוא עשרים ואחד
AMSB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ולכן ישאר אמס"ב ארבעה
AMSB□ is a square	ואמס"ב הוא מרובע
CB = AS = 2	ולכן יהיה קו א"ס שנים והוא שוה לח"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = BD = CB + CD = $\scriptstyle{\color{blue}{2+5=7}}$	הוספנוהו על ח"ד הידוע שהוא חמשה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שבעה והוא המבוקש
It is clarified from what is said that the product of half the roots by itself exceeds the numbers by the measure of the square $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c=x^2$ , whether the square is less than the numbers $\scriptstyle x^2<c$ , or exceeds them $\scriptstyle x^2>c$ .	אמ' וכבר התבאר ממה שאמרנו כי לעולם תעדיף הכאת מחצית השרשים על עצמם מהמספרים בשיעור מרובע א"כ בין יגרע המרובע מהמספרים או שיעדיף עליהם
The case that is left to be explained is when the product of half the roots by itself is the same as the numbers. $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c$	ונשאר עלינו שנבאר כאשר יהיה העולה מהכאת מחצית השרשים על עצמו כמו המספרים
In that case, the square is the same as the numbers. $\scriptstyle x^2=c$	שאז יהיה המרובע כמו המספרים
And the root of the square is the same as half the roots, no more and no less. $\scriptstyle x=\frac{1}{2}\sdot b$	ושרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
$\scriptstyle25+x^2=10x$	דמיון זה שיאמ' מרובע מה ועשרים וחמשה שרשים ישוו לעשרה שרשים מהמרובע

constructing: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ונניח המרובע שטח מרובע עליו אבג"ד
ABHW□ = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	ונחבר עמו שטח אבה"ו על דמיון העשרים וחמשה דרהמי
GW□ = ABGD□ + ABHW□ = 10√ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ויהיה כל שטח ג"ו עשרה שרשים ממרובע אבג"ד
DW = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	ולכן יהיה קו ד"ו עשרה
We wish to know the measure of BD = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ורצינו שנודיע כמה שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
DW is cut into two equal segments on C [= C midpoint of DW]	הנה נחלק קו ד"ו לחצאין על נקוד' ח‫'
There are three possible cases:	ולא ימלט הדבר מאחד משלשה ענינים
C is above B	אם שתפול נקודת ח' למעלה מנקוד' ב‫'
C is below B	או למטה ממנה
C = B	או שתפול עליה ממש
defining: C is above B	ונניח ראשונה שתפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב‫'
If this is possible: DW is cut into two equal segments on C [= C midpoint of DW]	אם יתכן זה ויהיה מפני זה קו ד"ו נחלק לחצאין על נקודת ח‫'
DW is cut into two unequal segments on B	ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב‫'
(DB × BW) + CB² = CW²	ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב על עצמו ישוו להכאת ח"ו על עצמו
according to Euclid, Elements II	כמבואר בשני מאקלידס
WC² = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	אבל הכאת ו"ח על עצמו הוא עשרים וחמשה
WC = ½WD	בעבור כי הנחנוהו חצי ו"ד שהוא עשרה
(DB × BW) + CB² = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב ישוו עשרים וחמשה
ABHW□ = BW × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$ without CB²	וכבר הנחנו קודם שטח אבה"ו שהוא מהכאת ב"ו בב"א השוה לב"ד עשרים וחמשה מבלעדי מרובע ח"ב
The more equals the less - impossible.	אם כן הרב ישוה למעט זה חלוף לא יתכן
So, point C cannot be above point B	אם כן לא תפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב‫'
Similarly, it is clear that point C cannot be beneath point B	וכמו זה יתבאר שלא יתכן שני שתפול למטה ממנה
Hence, B is necessarily the midpoint of WD [B = C]	אם כן יצטרך שתהיה נקודת ב' עצמה הוא הנקוד' הנחלק עליה קו ו"ד לחצאי‫'
Thus, BD = $\scriptstyle{\color{blue}{x=5}}$	ולכן יהיה קו ב"ד שהוא מחצית השרשים הוא שרש המרובע והוא חמשה
BD² = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=25}}$	ומרובעו חמשה ועשרים
The explanation is completed.	ונשלם ביאורו
The reason for the method that yields the square
Finzi: the proof of the method that yields the square was omitted from the translated book. Therefore, Finzi thought it should be explained, and drew three figures for its explanation	אמ"פ המעתיק הנה נשמט מהספר שהעתקתי ממנו מופת האופן שהראה לנו בו המרובע ולכן ראיתי שאבארהו וארשום בבאורו שלשה תמונות
1) to clarify the addition method	הראשונה יתבא' בה צד התוספת
2) to clarify the subtraction method	ובשנית צד המגרעת
3) the solution method for the case when the numbers equal the product of half the roots by itself - when there is no need for addition or subtraction.	ובשלישית צד יראה עמה כאשר השתוו המספרים להכאת מחצית השרשים על עצמם שאז לא יצטרך תוספת ולא מגרעת
Geometric illustration of the addition method: [when the square exceeds the numbers] $\scriptstyle x^2>c$	ונקח לבאר זאת הראשונה

defining: AG = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21}}$	והוא שהנחנו קו א"ג המקובץ מהמרובע ועשרי' ואחד דרהמי
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וא"ב ממנו הוא שיעור מרובע
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	וב"ג ממנו הוא שיעור הדרהמי
AB > BG	וא"ב גדול מב"ג
this is due to the addition method	כי עם זה יגיע צד התוספת
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	והנחנו קו א"ג הוא כלו עשרה שרשים מן המרובע כי כן היתה השאלה
We wish to know the measure of line AB	ורצינו שנודיע שיעור קו א"ב
constructing: AGDH□ = AG² = 100 × (AB × its unit)	נשים על קו א"ג מרובע עליו אגד"ה והנה הוא מאה דמיוני השטח העולה מא"ב מוכה באחד מאחדיו כמו שבארנו למעלה
AG = 10√AB	בעבור כי א"ג עשרה משרשים מא"ב
Ten roots of the thing multiplied by themselves are the same as a hundred times the thing $\scriptstyle\left(10\sqrt{X}\right)^2=100X$	ועשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם כמו מאה דמיוני מהדבר
extending AD to W	ונמשיך קו א"ד בישר עד ו'
defining: AW = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	ונשימהו מאה ממה שבו קו ב"ג עשרים ואחד
drawing lines BTZ, GHC both are parallel to AW and equal to AW	ונוציא קוי בט"ז גה"ח נכחיים לקו א"ו ושוים אליו
attaching points W, C through line WZC	ונגיע נקדות ו"ח עם קו וז"ח
ABWZ□ = AGDH□	הנה שטח אבו"ז שוה למרובע אגד"ה
ABWZ□ = 100 × (AB × its unit)	בעבור כי הוא גם כן מאה דמיוני השטח העולה מהכאת קו א"ב באחד מאחדיו
AW = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	כי צלע א"ו ממנו הוא מאה
subtracting AT□ shared by both	ונבדיל שטח א"ט המשותף
GT□ = AGDH□ - AT□ = ABWZ□ - AT□ = TW□	וישאר שטח ג"ט שוה לשטח ט"ו
DHWC□ = (BGZC□ - GT□) + TW□ = BGZC□	ונבדיל שטח ג"ט משטח בגז"ח וקבצנו עם הנשאר שטח ט"ו השוה לג"ט שהבדלנו ויהיה מפני זה שטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח
BGWC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2100}}$	ושטח בגו"ח היה ידוע שהוא אלפיי' ומאה
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	בעבור כי ב"ג הוא עשרים ואחד
GC = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	וג"ח הוא מאה
DHWC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2100}}$	ולכן יהיה שטח דהו"ח אלפיים ומאה
DHWC□ = GD × HC	והוא כמו הכאת ג"ד בה"ח
DH = GH	כי קו ד"ה שוה לקו ג"ה
GC is cut into two equal segments on L [= L midpoint of GC]	ונחלק ג"ח לחצאין על נקודת ל‫'
GC is cut into two unequal segments on H	וכבר נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה‫'
GL² = (GH × HC) + HL²	ולכן יהיה הכאת קו ג"ל על עצמו שוה להכאת ג"ה בה"ח ולמרובע ה"ל יחד
according to Euclid, Elements II	כמו שהוא מבואר בשני לאקלידס
GL² = $\scriptstyle{\color{blue}{2500}}$	אבל הכאת קו ג"ל על עצמו היא אלפיים ות"ק
HL² = GL² - (GH × HC) = $\scriptstyle{\color{blue}{2500-2100=400}}$	ונגרע מהם אלפיים וק' שהם מהכאת ג"ה בה"ח ולמרובע ה"ל יחד וישאר מרובע ה"ל ארבע מאות
HL = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{400}=20}}$	ושרשם עשרים והם שיעור קו ה"ל
If the square exceeds the dirham $\scriptstyle x^2>c$ , as is the case in the first figure	ואם המרובע יעדיף על הדרהמי כמו שהוא הענין בתמונה הראשונה
GH = GL + HL = $\scriptstyle{\color{blue}{50+20=70}}$	נוסיף העשרים על קו ג"ל שהוא חמשי' ויהיה קו ג"ה שבעים
GA = GH = $\scriptstyle{\color{blue}{70}}$	וג"א השוה לג"ה יהיה גם כן שבעים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$ = AB = GA - BG = $\scriptstyle{\color{blue}{70-21=49}}$	גרענו ממנו קו ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד וישאר קו א"ב תשעה וארבעים והוא המרובע שהוא המבוקש
Geometric illustration of the subtraction method: when the square is less than the numbers $\scriptstyle x^2<c$	ואם המרובע פחות מהדרהמי כמו שהוא הענין בזאת התמונה השנית

GH = GL - HL = $\scriptstyle{\color{blue}{50-20=30}}$	אז נגרע העשרים שהוא שעור קו ה"ל מקו ג"ל שהוא חמשים וישאר קו ג"ה שלשים
AG = GH = $\scriptstyle{\color{blue}{30}}$	וא"ג שוה לג"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$ = AB = AG - BG = $\scriptstyle{\color{blue}{30-21=9}}$	גרענו ממנו שעור ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד וישאר שעור קו א"ב תשעה והוא המרובע המבוקש
Geometric illustration of the case in which the product of half the roots by itself equals the dirham $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c$ → the square is the same as the dirham $\scriptstyle x^2=c$
After explaining the addition and subtraction methods in the two previous figures, when the product of half the roots by itself is greater than the dirham $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}b\right)^2>c$ , the method that does not consists of addition or subtraction will be explained in the third figure, which is when the product of half the roots by itself equals the dirham $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c$ , that is when the square is the same as the dirham $\scriptstyle x^2=c$	ואחר שבארנו בשתי התמונות הקודמות צד התוספת וצד המגרעת הנופלים בזאת השאלה התמונה כאשר יהיה הכאת מחצית השרשים על עצמם יותר מהדרהמי הנה נבאר בזאת התמונה השלישית הצד שאין לו לא תוספת ולא מגרעת והוא כאשר תהיה הכאת המחצית שוה לדרהמי שאז יהיה המרובע כמו הדרהמי

defining: AG = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+25=10x}}$	ונניח קו א"ג מקובץ המרובע עם עשרים וחמשה דרהמי והוא גם כן שוה לעשרה שרשים מהמרובע
as in the two previous figures DHWC□ = BGZC□	ונמשיך המעשה כמעשה הקודם בשתי התמונות הקודמות עד המקום שיתבאר בו ששטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח
DHWC□ = GH × HC	והוא שוה גם כן להכאת ג"ה בה"ח
GH = HD	בעבור כי ג"ה כמו ה"ד
BG × ZC = $\scriptstyle{\color{blue}{2500}}$	אבל שטח ב"ג ז"ח הוא אלפיים ת"ק
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	כי ב"ג עשרים וחמשה
GC = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	וג"ח מאה
GH × HC = $\scriptstyle{\color{blue}{2500}}$	אם כן הכאת ג"ה בה"ח אלפיים ת"ק
GC is cut into two equal segments on L [= L midpoint of GC]	ונחלק קו ג"ח לחצאי' על נקודת ל‫'
L is either above H, below H, or on H	ובהכרח תפול נקודת ל' אז למעלה מנקודת ה' או למט' ממנה או עליה
It will be explained that it can only be on H	ונבאר שאי אפש' שתפול כי אם עליה
If it was possible for it to be above H:	שאם אפש' נניח שנפלה ממנה
GC is cut into two equal segments on L [= L midpoint of GC]	ויהיה אם כן קו ג"ח נחלק לחצאין על נקודת ל‫'
GC is cut into two unequal segments on H	ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה‫'
(GH × HC) + HL² = GL²	ויחויב שיהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל יחד שוים למרובע ג"ל
GL² = $\scriptstyle{\color{blue}{2500}}$	אבל מרובע ג"ל אלפיים ת"ק
GL = $\scriptstyle{\color{blue}{50}}$	כי ג"ל חמשים
(GH × HC) + HL² = $\scriptstyle{\color{blue}{2500}}$	ולכן יהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל אלפיים ות"ק
GH × HC = $\scriptstyle{\color{blue}{2500}}$ without HL²	וקודם זה התבאר שהכאת ג"ה בה"ח לבדו הוא אלפיים ות"ק מבלעדי מרובע ה"ל
The more equals the less - impossible.	אם כן יהיה הרב שוה למעט זה חלוף לא יתכן
Similarly to this explanation, it is clear that point L cannot be beneath point H	ובכמו זה הביאור יתבא' שאינה נופלת נקדת ל' למטה מנקודת ה‫'
Hence, H is necessarily the midpoint of GC [H = L]	אם כן תהיה נקוד' ה' בעצמה היא אשר עליה יחצה קו ג"ח
GH = $\scriptstyle{\color{blue}{50}}$	ולכן יהיה קו ג"ה חמשים
AG = GH = $\scriptstyle{\color{blue}{50}}$	וא"ג השוה לג"ה יהיה גם כן חמשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$ = AB = AG - BG = $\scriptstyle{\color{blue}{50-25=25}}$	נגרע ממנו ב"ג שהוא עשרים וחמשה וישאר קו א"ב גם כן חמשה ועשרים וככה המרובע המבוקש
This chapter is completed.	ונשלם זה החלק
Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax²	פרק: אמ' שרשים ומספרים שישוו למרובע
$\scriptstyle3x+4=x^2$	הוא כמו שיאמ' שלשה שרשים וארבעה דרהמי יהיו שוים למרובע
This type also has two solution methods:	גם לזה החלק שני האופנים
1) yields the root of the square	האחד יראך שרש המרובע
2) yields the square	והשני יראך המרובע
Which will be further illustrated through geometric figures	ועוד אבארם בתמונות ג'ימטריות
The solution method that yields the root of the square	אמ' והאופן אשר יראך השרש
[for: $\scriptstyle bx+c=x^2$ ] $\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}$	הוא כי תחצה השרשים ותכם על עצמם ותקבץ העולה עם המספרים עוד תקח שרש המקובץ ותקבצהו עם מחצית השרשים ומה שיגיע הוא השרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{6+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}$	והנה לקחנו מחצית שלשה והוא אחד וחצי הכינוהו על עצמו ועלה ב' ורביע וקבצנום עם הארבעה והיה ששה ורביע ושרשם הוא שנים וחצי וקבצנוהו עם אחד וחצי והגיע ארבעה והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע ששה עשר
The solution method that yields the square	אמ' והאופן אשר יראך המרובע
[for: $\scriptstyle bx+c=x^2$ ] $\scriptstyle x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+\sqrt{\left(b^2\sdot c\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2}+c$	הוא שתכה השרשים על עצמם ומה שיעלה תכהו במספרים והעולה שמור עוד תקח מחצית הכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו והעולה תקבץ עם השמור וקח שרש המקובץ ותקבצהו יחד עם מחצית הכאת השרשי' ועם המספרים ומה שיתקבץ מהכל הוא המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)+\sqrt{\left(3^2\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)+\sqrt{\left(9\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(20+\frac{1}{4}\right)}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{56+\frac{1}{4}}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)+4=16\\\end{align}}}$	והנה הכינו השלשה בעצמם ועלה תשעה הכינו תשעה בארבעה ועלה שלשים ושש ושמרנום עוד לקחנו מחצית תשעה והוא ארבעה וחצי והכינום על עצמם והיה עשרים ורביע קבצנום עם השמור והיה הכל ששה וחמשים ורביע לקחנו שרשם והוא שבעה וחצי קבצנום יחד עם הארבעה וחצי ועם הארבעה דרהמי שהיו עם השרשים והתקבץ מהכל ששה עשר והוא המרובע
	אמ' וזכור גם כן לעולם להשיב המרובעים אל מרובע אחד אם היה שהונחו מהם בשאלה יותר מאחד או פחות כאשר הראיתי בראשונה
Geometric illustration of the solution method that yields the root of the square	אמ' ולמופת האופן אשר הרא[נו] בו השרש

defining: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}$	נניח המרובע אבג"ד והוא המחובר משלשה שרשיו וארבעה מספרים
AHGN□ = 3√ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	ונניח שיהיה שטח אהג"נ ממנו הוא שלשת השרשים
HD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ושטח ה"ד הנשאר ארבעת המספרים
$\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$ = 3 of $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	והוא ידוע ממה שאמרנו בראש הספר כי שלשת השרשים יחזיקו שלשה מספרים מהצלע
AH = $\scriptstyle{\color{blue}{3}}$	ולכן יהיה ידוע שקו א"ה שלשה
We wish to know the measure of HB	ורצוננו להודיע שיעור ה"ב הנשאר
AH is cut into halfs on C [= C midpoint of AH]	נחלק קו א"ה לחצאי' על נקודת ח‫'
	וכבר נוסף בארכו קו ה"ב
(AB × BH) + HC² = CB²	ולכן יהיה הכאת א"ב בב"ה עם מרובע ה"ח ישוו להכאת ח"ב על עצמו
according to Euclid, Elements II	כמבואר בשני לאקלידס
CB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	אבל שטח הכאת ח"ב בב"ה הוא ידוע שהוא ארבעה
CB × BH = HD□	כי הוא שוה לשטח ה"ד
AB = BD	בעבור כי א"ב שוה לב"ד
HC² = $\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{4}}}$	ומרובע ה"ח הוא שנים ורביע
(AB × BH) + HC² = $\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}$	ומקובצם ששה ורביע
HC² = $\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}$	אם כן הכאת ח"ב על עצמו הוא ששה ורביע
CB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6+\frac{1}{4}}=2+\frac{1}{2}}}$	ולכן קו ח"ב שהוא שרשו הוא שנים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AB = CB + AC= $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}$	נקבץ עמו קו א"ח שהוא אחד וחצי ויהיה כל קו א"ב ארבעה וככה שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע ששה עשר
constructing: CKEB□ = CB²	אמ' וכדי לבאר הדבר יותר הנחנו על קו ח"ב שטח מרובע עליו ח"כע"ב
ME = KD	והוא ידוע שקו מ"ע כמו קו כ"ד
AB = BD	בעבור כי א"ב כמו ב"ד
BC = KB	וב"ח כמו כ"ב
KD = AC	ונשאר כ"ד כמו א"ח
AC = CH	וא"ח שוה לח"ה
CH = ME	וח"ה כמו מ"ע
ME = KD	אם כן מ"ע כמו כ"ד
defining: MT = ND	ונשים מ"ט כמו נ"ד
ET□ = MD□	ולכן יהיה שטח ע"ט כמו שטח מ"ד
	ונשים שטח ה"כ משותף
ET□ + HB□ = HD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ויהיה שני שטחי ע"ט ה"ב שוים לשטח ה"ד כלו שהוא ארבעה
CT□ is a square	והוא ידוע כי שטח ח"ט מרובע
CB = MH	בעבור כי קו ח"ב כמו קו מ"ע מ"ה
MT = HB = ND	ומ"ט כמו ה"ב השוה לנ"ד
HC = HT	וישאר ה"ח כמו ה"ט
CH = $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}$	וקו ה"ח הנחנוהו אחד וחצי
CT□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{4}}}$	ולכן שטח ח"ט שנים ורביע
CK□ = $\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}$	וכל שטח מרובע ח"כ ששה ורביע
BC = $\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{2}}}$	וקו ב"ח שנים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AB = BC + AC = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}$	ועם קו א"ח שהוא אחד וחצי יהיה כל קו א"ב ארבעה והוא השרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע שש עשרה
	אמ' ולמופת זה האופן דרך אחרת

defining: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}$	והוא שנניח מרובע אבג"ד הוא המקובץ משלשה שרשי' וארבעה דרהמי
AC = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot3=1+\frac{1}{2}}}$	ונניח קו א"ח מקו א"ג מחצית השרשים שהוא אחד וחצי
CM \|\| AB	ונוציא קו ח"מ על נכוחות קו א"ב
AM = [1½√ABGD□] = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$	ויהיה מפני זה שטח א"מ הוא שרש וחצי
ED = $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}$	וכן נניח קו ע"ד אחד וחצי
ET \|\| BD	ונוציא ע"ט על נכוחות ב"ד
EB□ = [1½√ABGD□] = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$	ושטח ע"ב גם כן הוא שרש וחצי
AM□ + ND□ + NB□ = 3√ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	ולכן יהיה שטח א"מ ושטח נ"ד וכמו שטח נ"ב יהיו יחד כמו שלשה שרשים
EC□ = 4 + NB□	וישאר שטח ע"ח ארבעה מספרים וכמו שטח נ"ב
NB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{4}}}$	אבל שטח נ"ב שנים ורביע
EC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}$	ולכן יהיה שטח [.]ע"ח ששה ורביע
EC□ is a square	וע"ח מרובע
GC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{2}}}$	לכן יהיה ג"ח שנים וחצי
AC = $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}$	וקו א"ח הנחנוהו אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AG = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ולכן קו א"ג כלו ארבעה והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע ששה עשר
Geometric illustration of the solution method that yields the square	אמר ועלת האופן אשר הראנו בו המרובע

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}$	הוא שנשים קו א"ב הוא שעור המרובע המקובץ משלשה שרשיו וארבעה דרהמי
AG = 3√AB = $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	וא"ג ממנו הוא שעור השלשה השרשים
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וג"ב הנשאר הוא שיעור הארבעה מספרים
	ורצוננו להודיע שיעור א"ב כלו כמה שבו ג"ב ארבעה
defining: AGDH□ = AG²	נעשה על קו א"ג מרובע אגד"ה
AGDH□ = 9×(AB × 1)	והוא ידוע ממה שעבר כי הוא כמו תשעה דמיוני השטח העולה מהכאת א"ב באחד
defining: AN = 9×1	ונשים קו א"נ תשעה במה שבו קו ג"ב ארבעה
AC□ = AH□	ונשלים שטח א"ח והוא ידוע גם כן ממה שעבר שהוא ישוה למרובע א"ה
	ונבדיל שטח א"ט המשותף
DT□ = TB□	וישאר שטח ד"ט שוה לשטח ט"ב
KB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{36}}$	אבל שטח ט"ב ידוע שהוא שלשים ושש
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	כי צלע ג"ב ארבעה
KC = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	וצלע כ"ח תשעה
DT□ = $\scriptstyle{\color{blue}{36}}$	ולכן שטח ד"ט גם כן שלשים וששה
AN is cut into halfs on L [= L midpoint of AN]	וחלקנו קו א"נ לחצאין על נקודת ל‫'
	וכבר נוסף עליו קו נ"ד
LD² = (AD × DG) + LN²	ולכן יהיה מרובע קו ל"ד שוה לשטח העולה מהכאת א"ד בד"ג ולמרובע ל"נ
AD × DN = DT□	אבל הכאת א"ד בד"נ כמו שטח ד"ט
AD = DH	בעבור כי א"ד כמו ד"ה
AD × DN = $\scriptstyle{\color{blue}{36}}$	אם כן שטח הכאת א"ד בד"נ שלשים וששה
LN² = $\scriptstyle{\color{blue}{20+\frac{1}{4}}}$	ומרובע ל"נ הוא עשרים ורביע
(AD × DG) + LN² = $\scriptstyle{\color{blue}{56+\frac{1}{4}}}$	ומקובצם הוא חמשים ושש ורביע
LD = √[(AD × DG) + LN²] = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{56+\frac{1}{4}}=7+\frac{1}{2}}}$	אבל שרשם שבעה וחצי וככה יהיה קו ל"ד
AD = AL + LD = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)=12}}$	ונקבץ עמו קו א"ל שהוא ארבעה וחצי ויהיה קו א"ד כלו שנים עשר
AG = AD = $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$	וא"ג השוה לא"ד יהיה אם כן שנים עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$ = AB = AG + GB = $\scriptstyle{\color{blue}{4+12=16}}$	ונקבץ עמו קו ג"ב שהוא ארבעה ויהיה קו א"ב כלו ששה עשר וככה המרובע והוא מש"ל
	אמ' ונשלם זה החלק ובהשלמו נשלם באור הששה חלקים אשר יעדנו באורם באופני השתמשותם והמופתים עליהם
	והרבה מסופרים אלג'בר ואלמקאבלא לא יתכן שלא ייראוך קצת מהם
For each canonical equation of these six canonical equations there are questions of restoration [lit. cobramiento] and reduction [lit. confrontamiento = confrontation] that are taught by the arithmeticians	ולכל חלק מאלו הששה חלקים שאלות מההפקדה והכוון קובראמיינטו איקונפרונטאמיינטו בלעז אשר יורוך אותם בעלי המספר
	אמ"פ לקחתי הפקדה מלשון פקדון וכוון מלשון כוון חשבון אשר בדברי רז"ל ותבין ענינם מתוך השאלות אשר יביא אחר הציעו המצעות האלו אשר יניח עתה
Multiplication of Algebraic Expressions	פרק
roots×roots	אמ' וראשונה אתחיל מהכאת הדברים אחד באחר
roots×numbers	והדברים במספרים
(roots+numbers)×(roots+numbers)	והדברי' והמספרים בדברי' ובמספרים
Besides what has been said, in other matters, such that without their knowledge the reading in this book is not possible.	ומלבד אלו אשר אמרנו ובענינים אחרי' אשר אינו נמלט מידיעתם הרוצה לקרות בזה הספר
It will be explained how the roots are multiplied by each other when they are alone, or with numbers, whether they are subtracted from the numbers or the numbers are subtracted from them;	ואבאר לך באי זה צד יוכו הדברי' והם השרשים אחד באחד כאשר יהיו נפרדים או כאשר יהיו עם מספרים בין שיהיו נגרעים מהמספרי' בין שיהיו המספרים נגרעים מהם
How they are added to each other;	ובאי זה צד יתקבצו אלו עם אלו
How one is subtracted from the other.	וכיצד יגרע האחד מהאחר
$\scriptstyle\left(a+x\right)\times\left(b+x\right)$	אמ' וכאשר יהיו הדברים נוספים על המספרים
the fourth [product] is added:	יהיה החלק הרביעי נוסף
$\scriptstyle x\times x$	והחלק הרביעי אז הוא הכאת הדברים זה עם זה
Every two numbers that are multiplied by two numbers - are necessarily multiplied four times	כי כל שני מספרים שיוכו בשני מספרים אי אפש' שתהיה מבלעדי בם ההכאה ארבעה פעמים
Each of the first two numbers is multiplied by each of the two other numbers - so the multiplication is four times	והוא שיוכו כל אחד משני המספרים הראשונים בכל אחד מהשני מספרי' האחרים ולכן תהיה ההכאה ארבעה פעמים
$\scriptstyle\left(a-x\right)\times\left(b-x\right)$	אמ' וכאשר היו הדברים נגרעים מהמספרי'
the fourth [product] is added	יהיה החלק הרביעי נוסף
$\scriptstyle x\times x$	והוא והוא הכאת הדברים האחד באחר
$\scriptstyle\left(a+x\right)\times\left(b-x\right)$	וכאשר היו האחד נוסף והאחר נגרע
the fourth [product] is subtracted	היה החלק הרביעי נגרע
$\scriptstyle x\times x$	והוא הכאת הדברים האחד באחר
$\scriptstyle\left(x-a\right)\times\left(x-b\right)$	וכאשר היו המספרי' נגרעים מהדברים
the fourth [product] is added	יהיה החלק הרביעי נוסף
$\scriptstyle a\times b$	והחלק הרביעי אז הוא הכאת אחד המספרי' באחר
$\scriptstyle\left(x+a\right)\times\left(x-b\right)$	וכאשר יהיו אחד משני המספרים נוסף על הדברי' והאחר נגרע מהדברי'
the fourth [product] is subtracted	אז יהיה החלק הרביעי נגרע
$\scriptstyle a\times b$	והוא הכאת אחד משני המספרי' באחר
$\scriptstyle\left(a+x\right)\times\left(x-b\right)$	וכאשר היו הדברים נוספים על המספרים והיה מספר אחד נגרע מהדברים
the fourth [product] is subtracted	יהיה החלק הרביעי נגרע
$\scriptstyle x\times\left(-b\right)$	והוא הכאת הדברים הנוספי' במספר הנגרע
	אמ' וכבר ספרנו מה הוא הראוי עם החלק הרביעי כפי מה שראיתי שבעלי המספר מתחילי' עמו בהכאה
	ואפשר שיהיה החלק הרביעי זולת אשר ספרנו אלא כי כלל הדבר שהכאת הנשנים האחד באחר הוא תוספת והנשנה בנוסף גורע והנוסף בנוסף יוסיף
$\scriptstyle x\times x=x^2$	אמ' ודע כי מהכאת הדברים בדברים יגיע מרובע
	ומהדברי' במספרי' יבאו דברים והם שרשים ר"ל כי הדבר הוא השרש והשרש הוא הדבר והם שני שמות נופלים על ענין אחד
$\scriptstyle x\times10$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת דבר אחד בעשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	תאמ' עשרה דברי'
conceiving the root as one: $\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot10=10}}$	ובאור זה שתשים הדבר בדמיון האחד ותכה אחד בעשרה ויהיה עשרה והם עשרה דברים
$\scriptstyle2x\times10$	אמ' ואם יאמרו כמה יבא מהכאת שני דברים בעשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{red}{2x\times10=20x}}$	תאמר עשרה דברים
	ובאור זה שתשים שני הדברים בדמיון שנים מהמספר ותכה שנים בעשרה ויהיו עשרים דברים
	וכן כמה שתניח מהדברים תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה כל אחדי הדברי' במספר האדרהמי והעולה יהיה דברים
	בעבור כי כל מספר מהמספרי' שיוכה במין מה מהמינים יהיה כל אחד מאחדי המין בדמיון האחד
	אם היה דבר אחד תשים אחד
	ואם היו שנים תשים שנים
	וכן אם היו מרובעים או ענין אחר אי זה שתרצה ותכהו במספרים יהיה העולה הוא מאותו המין
	ואניח לך תמונה על זה לבאר לך לעין מה שאמרתי
$\scriptstyle x\times x$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה העולה מהכאת דבר בדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	תאמ' מרובע
	ואופנו שתשי' הדבר בדמיון האחד ותכהו באחר והוא אחד והוא מרובע
$\scriptstyle2x\times2x$	ואם יאמרו כמה יעלה מהכאת שני דברים בשני דברי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2x\times2x=4x^2}}$	תאמ' ארבעה מרובעי' כמו שבארתי לך
$\scriptstyle3x\times2x$	וכן שלשה דברי' בשני דברים
	תכה שלשה בשנים ויהיו ששה מרובעים
$\scriptstyle\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x$	וכמו כן חצי דבר בחצי דבר
	יהיה העולה רביע מרובע
	וכן כמה שתוסיף מהדברים או תגרע תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה אלו האחדים באחדי' האחרי' והעולה מהם יהיה מרובעים
	אמ' ואשים לך על זה תמונה אשר בה תבין משפט המרובע והדבר
$\scriptstyle2x\times2x$	ונעמיד זה הענין בהכאת שני דברי' בשני דברים

defining: AG = $\scriptstyle{\color{blue}{2x}}$	והוא שנניח קו א"ג שני דברי‫'
GH = $\scriptstyle{\color{blue}{2x}}$	וקו ג"ה שני דברים
AG × GH = AH□	והכינו קו א"ג בקו ג"ה והיה שטח א"ה
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4x^2}}$	ונאמ' ששטח א"ה ארבעה מרובעי‫'
Proof	מופת זה
AG = AB + BG	שנחלק קו א"ג על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו א"ב ב"ג
GH = GD + DH	עוד נחלק קו ג"ה על מספר מה שבו מהדברי' ויהיו חלקיו ג"ד ד"ה
BE \|\| GH	ונוציא מנקודת ב' קו ישר על ע' עד נכוחות קו ג"ה
DC \|\| AG	ונוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ד"ח
CB□ = BD□ = DE□ = CE□	והנה נתחדשו עם זה בשטח א"ה ארבעה דברים שוים שטחים והם שטחי ח"ב ב"ד ד"ע ח"ע
CB□ = BD□ = DE□ = CE□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וכל אחד מהם מרובע
each of the lines AB; BG; GD; DH multiplied by the other is a square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וכל אחד מקוי א"ב ב"ג ג"ד ד"ה מוכה באחר הוא מרובע
	וזה הוא משפט המרובע והדבר
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4x^2}}$	ושטח א"ה ארבעה מרובעי' והוא מש"ל
$\scriptstyle3x\times6$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת שלשה דברי' בששה דרהמי
	תשים שלשת הדברי' בדמיון שלשה ותכה שלשה בששה ויהיה שמנה עשר והם שמנה עשר דברים

AB = $\scriptstyle{\color{blue}{6}}$	המשל שנניח קו א"ב ששה מהמספרים
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	וקו ב"ד שלש' דברי‫'
AB × BD = AD□	ונכה קו א"ב בב"ד והוי והיה שטח א"ד
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{18x}}$	ונאמ' ששטח א"ד הוא שמנה עשר דברים
Proof	ומופת זה
AB = AG + GH + HW + WZ + ZC + CB	שנחלק קו א"ב על מה שבו מהאחדים ויצאו ששה חלקים והם א"ג ג"ה ה"ו ו"ז ז"ח ח"ב
DB = BT + TK + KD	ונחלק קו ד"ב על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו ב"ט ט"כ כ"ד
BD \|\| CL \|\| ZC \|\| WN \|\| HP \|\| GE	ונוציא מנקוד' גהוז"ח קוים נכחיים לקו ב"ד והם קוי ח"ל ז"ח ו"נ ה"פ ג"ע
AB \|\| TQ \|\| KS	נוציא מנקודות ט"כ שני קוים נכחיי' לקו א"ב והם קוי ט"ק כ"ס
AD□ consists of 18 equal quadrangles each is equal to CT□	ועם זה יצאו בשטח א"ד שמנה עשר שטחים שוים כמו שנגלה בתמונה כל שטח מהם שוה לשטח ח"ט
CT□ = BT × BC = $\scriptstyle{\color{blue}{x\times1}}$	אבל שטח ח"ט הוא מהכאת קו ב"ט שהוא דבר בקו ב"ח
CT□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ולכן יהיה שטח ח"ט דבר
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{18x}}$	ושטח א"ד כלו יהיה שמנה עשר דברים
	וזהו משפט הכאת הדברים במספרים
$\scriptstyle\left(10+x\right)\times x$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}$	תאמ' שהם עשרה דברים ומרובע
The procedure $\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	והמעשה בזה שתכה דבר בעשרה אדרהמי ויהיו עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	עוד תכה דבר בדבר ויהיה מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}$	ותקבצם ויהיו עשרה דברים ואלגו ומרובע אחד
Geometric illustration	ואבאר לך בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וקו ב"ג דבר אחד
GD = BG	ונשים ג"ד שוה לב"ג
AG × BG = AD□	ונכה א"ג בב"ג ויצא שטח א"ד
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}$	ונאמר ששטח א"ד עשרה דברים ומרובע אחד
Proof:	מופת זה
BH \|\| GD	שנוציא מנקודת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד ומפני זה יהיה [.....]
BG = GD	וגם לב"ג השוה לג"ד
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	אבל קו ב"ג דבר אחד
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	אם כן קו ב"ה דבר אחד
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח א"ה יהיה עשרה דברים
AH□ = AB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	מפני כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי בקו ב"ה שהוא דבר
BD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ושטח ב"ד הוא מרובע
BD□ = BG² = $\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	כי הוא מהכאת ב ב"ג שהוא דבר בעצמו
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}$	אם כן שטח א"ד כלו הוא עשרה [..] דברים ומרובע אחד והוא מה שרצינו לבאר
$\scriptstyle\left(10-x\right)\times x$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי פחות דבר אחד בדבר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}$	תאמ' עשרה דברים פחות מרובע אחד
The procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	[והמעשה בזה שתכה עשרה דרהמי בדבר ויהיו עשרה דברי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}$	תגרעהו מעשרה הדברי' וישאר ארבעה דברים פחות מרובע
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ג הוא עשרה דרהמי
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ונניח קו ב"ג ממנו הוא דבר א‫'
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}$	וישאר קו א"ב עשרה דרהמי פחות דבר
GD = BG	ונשים קו ג"ד שוה לקו ב"ג
AG × GD = AD□	ונכה קו א"ג בקו ג"ד ויצא שטח א"ד
BH \|\| GD	ונוציא מנקדת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2}}$	ונאמ' כי שטח א"ה הוא עשרה דברי' פחות מרובע
Proof:	מופת זה
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	כי הנה שטח א"ד הוא עשרה דברי‫'
AD□ = AG × GD = AG × BG = $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot x=10x}}$	בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא עשרה בקו ג"ד השוה לב"ג שהוא דבר
BD□ = BG × GD = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ושטח ב"ד הוא מרובע כי הנה הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בקו ג"ד השוה אליו
AH□ = AB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}$	ולכן ישאר שטח א"ה עשרה דברי' פחות מרובע והוא מהכאת א"ב שהוא עשרה דרהמי פחות דבר בב"ה שהוא דבר ומש"ל
$\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)$	אמר ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}$	תאמ' מאה דרהמי ומרובע ועשרי' דברי‫'
The procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	והמעשה] והמעשה בזה שנכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	עוד תכה עשרה בדבר ויהיו עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	ותשוב ותכה דבר בעשרה דרהמי ויהיו עשרה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה עוד דבר בדבר ויהיו מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}$	ותקבץ הכל יחד ויהיה מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וא"ג ממנו עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ב דבר
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}$	וכן נניח קו ב"ד עשרה דרהמי ודבר
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ב"ה ממנו דבר
HD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וה"ד עשרה
AB × BD = AD□	ותכה קו א"ב בקו ב"ד ויצא שטח א"ד
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2+20x}}$	ונאמ' כי שטח א"ד מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
Proof:	ומופת זה
GC \|\| BD	שנוציא מנקודת ג' קו נכחי לקו ב"ד והוא קו ג"ח
HZ \|\| AB	ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ב
GH□ is a square	הנה שטח ג"ה מרובע
ZC□ is a square	וז"ח מרובע
GZ□ = HC□	ושטח ג"ז כמו שטח ה"ח
according to Euclid	כמו שאבאר כל זה באקלידס
ZC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	אבל שטח ז"ח מאה
ZC□ = ZT × TC = AG × HD = $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}$	כי הוא הוה מהכאת ז"ט השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ט"ח השוה לה"ד שהוא גם כן עשרה
ZG□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח ז"ג עשרה דברים
ZG□ = GT × AG = BH × AG = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}$	כי הנה הוא מהכאת ג"ט השוה לב"ה שהוא דבר בקו א"ג שהוא עשרה
CH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח ח"ה גם כן עשרה דברי‫'
CH□ = TH × HD = GB × HD = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}$	כי הוא מהכאת ט"ה השוה לג"ב שהוא דבר בקו ה"ד שהוא עשרה
GH□ = GB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ושטח ג"ה הוא מרובע כי הוא מהכאת קו ג"ב שהוא דבר בקו ב"ה שהוא גם כן דבר
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2+20x}}$	ומקובץ הארבעה שטחים הוא שטח א"ד אם כן שטח א"ד הוא מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים והוא מש"ל
$\scriptstyle\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה אדרהמי פחות דבר בעשרה אדרהמי פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}$	תאמ' מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
The procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	ואופן מעשהו שתכה עשרה דרהמי בעשרה דרהמי ויהיה מאה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times10=-10x}}$	תכה דבר נגרע בעשרה דרהמי ויהיה עשרה דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-x\right)=-10x}}$	עוד תשוב להכות עשרה דרהמי בדבר הנגרע ויהיו גם כן עשרה דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times\left(-x\right)=x^2}}$	ותכה דבר נגרע בדבר נגרע ויהיה מרובע נוסף
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}$	ותקבץ כל זה ויהיה מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנשים קו א"ג עשרה דרהמי
AB = AG - BG = $\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}$	ונפחות ממנו דבר והוא קו ב"ג וישאר א"ב עשרה פחות דבר
GD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וכן נשים קו ג"ד עשרה
GH = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ה ממנו הוא דבר
ZC□ = AB × HD = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)}}$	ונכה קו א"ב בקו ה"ד ויעלה מרובע ז"ח
ZC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2-20x}}$	ונאמ' שמרובע ז"ח מאה אדרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
Proof:	מופת זה
	שנשלים שטח א"ד
BC \|\| BD	ונוציא מנקוד' ב' קו ב"ח נכחי לקו ב"ד
HZ \|\| AG	ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ג
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	הנה כי שטח א"ד מאה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	בעבור כי א"ג עשרה
GD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וג"ד עשרה
ZG□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח ז"ג עשרה דברים
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	בעבור כי א"ג עשרה
GH = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ה הוא דבר
BD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	וכן שטח ב"ד עשרה דברים
GD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	בעבור כי ג"ד עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ב הוא דבר
BH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ושטח ב"ה הוא מרובע
BH□ = BG × GH = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	כי הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בג"ה שהוא גם כן דבר
HC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2}}$	וישאר שטח ה"ח עשרה דברים פחות מרובע
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח א"ה עשרה דברים
HC□ + AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{20x-x^2}}$	ומקובצם עשרים דברים פחות מרובע
ZC□ = AD□ - (AH□ + HD□) = $\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2-20x}}$	וכשנגרעם שטח א"ה ושטח ה"ח משטח א"ד שהוא מאה ישאר שטח ז"ח מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
$\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}$	תאמ' מאה דרהמי פחות מרובע
The procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	ואופן מעשהו שתכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	ותכה הדבר הנוסף בעשרה ויהיו עשרה דברים נוספי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{-x\times10=-10x}}$	ותכה הדבר הגורע בעשרה ויהיו עשרה דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(10x-10x\right)=100}}$	ותוציא הנוספים כנגד הנגרעים וישארו מאה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-x\right)=-x^2}}$	עוד תכה הדבר הנוסף בדבר הגורע ויהיה מרובע נגרע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}$	ותגרעהו מהמאה דרהמי וישארו מאה פחות מרובע
Geometric illustration	ואבאר לך זה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה ודבר
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	א"ג עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ב דבר
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}$	ונניח קו ב"ה עשרה פחות דבר
BD = BH + HD = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)+x=10}}$	ונדביק עמו קו ה"ד הוא דבר ויהיה קו ב"ד כלו עשרה דרהמי
AH□ = AB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\sdot\left(10-x\right)}}$	ונכה קו א"ב שהוא עשרה דרהממי ודבר בקו ב"ה שהוא עשרה פחות דבר ויהיה שטח א"ה
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}$	ונאמר ששטח א"ה הוא מאה דרהמי פחות מרובע
Proof:	ומופת זה
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+10x}}$	שנשלם שטח א"ד והנה הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
AC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	בעבור כי שטח א"ח ממנו הוא מאה
AC□ = AG × GC = AG × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}$	כי הנה הוא מהכאת א"ג שהוא עשרה בג"ח שהוא גם כן עשרה כי הוא שוה לב"ד שהנחנוהו עשרה
GD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$	ושטח ג"ד הנשאר הוא עשרה דברי'
GD□ = GD × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}$	כי הנה הוא מהכאת ג"ד כי שהוא דבר בב"ד שהוא עשרה
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100+10x}}$	הנה כי כל שטח א"ד הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
ZC□ = CB□	והוא מבואר בנקלה למבין כי שטח ז"ח כמו שטח ח"ב
MB□ = ZC□ - MD□	ונבדיל משטח ז"ח כמו שטח מ"ד המרובע והוא שטח מ"[ב]
KD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2+2x^2}}$	ויהיה מפני זה שטח כ"ד שנים מרובעי'
ZT□ = MB□	וישאר שטח ז"ט כמו שטח מ"ב
	ונשים שטח א"מ משותף
AH□ = AM□ + MB□ = AM□ + ZT□	ויהיה שטח א"מ ושטח מ"ב יחד והוא כל שטח א"ה יהיה שוה לשטחי א"מ ז"ט
AM□ + ZT□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}$	אבל שני שטחי א"מ ז"ט אתה רואה כי הם מאה דרהמי פחות מרובע
	בעבור כי שטח מ"ט הנחסר הוא מרובע
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}$	אם כן שטח א"ה יהיה מאה דרהמי פחות מרובע והוא מש"ל
$\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)$	אמ' ואם יאמרו לך כמה העולה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר פחות עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}$	תאמ' מרובע פחות מאה דרהמי
The procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	ואופן מעשהו הוא שנכה עשרה בדבר הפוחת עשרה ויהיו עשרה דברים נוספים
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-10\right)=-100}}$	עוד תשוב ותכה עשרה בעשרה הפוחתים ויהיו מאה דרהמי גורעי'
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-10\right)=-10x}}$	עוד תכה דבר בעשרה הפוחתים ויהיו עשרה דברי' נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{10x-10x}}$	ותשליך העשרה דברי' נוספי' כנגד העשרה הדברים הנגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}$	וישאר המקובץ מההכאה מרובע פחות מאה דרהמי
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}$	והוא שנשים קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	א"ג הוא עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וג"ב דבר
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{x-10}}$	ונניח קו ב"ה דבר פחות עשרה
HD = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	ונוסיף בו ה"ד שהוא עשרה
AH□ = AB × BH = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\sdot\left(x-10\right)}}$	ונכה קו א"ב בקו ב"ה ויהיה שטח א"ה
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2-100}}$	ונאמ' ששטח א"ה הוא מרובע פחות מאה דרהמי
Proof	מופת זה
AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}$	שנשלים שטח א"ד ויהיה שטח א"ד עשרה דברים ומרובע
AD□ = AB × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10x+x\right)\times X}}$	בעבור כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי ודבר בקו ב"ד שהוא דבר
GC \|\| BD	ונוציא קו ג"ח נכחי לקו ב"ד
GD□ = GB × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	והנה יהיה שטח ג"ד מרובע כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא גם כן דבר
AC□ = CH□	ושטח א"ח כמו שטח ח"ה
CG = CD	בעבור כי קו ח"ג כמו קו ח"ד
AG = HD	וקו א"ג כמו קו ה"ד
	ונבדיל שטח ח"ה ממרובע ג"ד ונשתף עמו שטח א"ח השוה לו
GH□ + AC□ = GD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ויהיה שטח ג"ה הנשאר ממרובע ג"ד ושטח א"ח יחד כמו מרובע ג"ד
KC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	ונבדיל מזה שטח כ"ח שהוא מאה דרהמי
KC□ = KL × LC = AG × HD = $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10}}$	בעבור כי הוא מהכאת קו כ"ל השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ל"ח השוה לה"ד שהוא גם כן עשרה
AH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2-100}}$	וישאר שטח א"ה מרובע פחות מאה דרהמי והוא מש"ל
$\scriptstyle\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)$	אמר ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ושני שלישי דבר על שלשה דרהמי פחות ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}$	תאמר שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעים ופחות חמשים ושמנה דברים
The procedure: $\scriptstyle{\color{blue}{10\times3=30}}$	ואופן מעשהו הוא שתכה עשרה דרהמי בשלשה ויהיו שלשים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times3=2x}}$	ותכה שני שלישי דבר בשלשה דרהמי ויהיו שני דברים נוספים
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-6x\right)=-60x}}$	עוד תכה עשרה אדרהמי בששה דברי' הפוחתים ויהיו ששים דברים נגרעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times\left(-6x\right)=-4x^2}}$	ותכה שני שלישי דבר בששה דברים הפוחתים ויהיו ארבעה דברים נגרעים מרובעים
	ונשלמה ההכאה ונבא לקבצם
$\scriptstyle{\color{blue}{60x-2x=58x}}$	והנה נפיל שני הדברים הנוספים מהששים דברי' הנגרעי' וישארו שמנה וחמשי'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}$	ויהיה מקובץ הכל אחר זה שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעי' ופחות שמנה וחמשי' דברים
	אמ' ודי לך במה שבארתי מכפל הדברים והמספרים וממנו תוכל להתחכם בתשובת כל השאלות אשר יגיעו לפניך מזה השער
Roots
Multiplication of Roots by Numbers	פרק יתבאר בו הכפלת שרש ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע זה
doubling = taking its two roots	ורצוני בהכפלה הנה לקיחת שני שרשיו
two roots of a known number or an unknown square	אמ' וכאשר תרצה לדעת שני שרשים ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע לאי זה מספר אחר או מרובע אחר הם שרש
$\scriptstyle2\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot a}$	תניח השני שרשים בדמיון שנים ותכה שנים על שנים והעולה תכהו במספר הידוע או במרובע הבלתי ידוע והעולה הוא המספר שהם שרש אליו
three roots	ואם תרצה שלשה שרשים
$\scriptstyle3\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(3\sdot3\right)\sdot a}$	תכה שלשה בשלשה והעולה תכה על המספר הידוע או על המרובע בלתי ידוע ויהיו שלשת השרשים שרש למספר העולה
halving the root	וכן אם תרצה לחצות השרש
$\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot a}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot a}$	תכה חצי בחצי ויהיה רביע ותכה רביע במרובע הידוע או הבלתי ידוע ויהיה העולה מההכאה הנה חצי השרש הוא שרש לו
So on for augmenting or reducing the roots	וכן כל מה שתוסיף או תגרע מהשרשים תעשה על הדרך שאמרנו
$\scriptstyle2\sdot\sqrt{16}$	אמ' ונניח דמיון לזה כאשר עשינו רצינו לדעת כפל שרש ששה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{16}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot16}=\sqrt{4\sdot16}=\sqrt{64}=8}}$	תכה שנים בשנים והיו ארבעה ותכה ארבעה בששה עשר ויהיו ששים וארבע‫' ושרשו הוא שמנה והם שני שרשי ששה עשר
Geometric illustration	ונבאר זה בתמונ' זאת

defining: ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{16}}$	והוא שנניח שטח מרובע אבג"ד בדמיון ששה עשר דרהמי
GD = √AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}}}$	וקו ג"ד הוא שרש מרובע אבג"ד
extending line GD straight to H	וכאשר נרצה לכפול זה השרש נוציא קו ג"ד על יושר עד ה‫'
GH = GD	ונשים ג"ה שוה לג"ד
HD = 2√AD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{16}}}$	ויהיה קו ה"ד שני שרשים ממרובע א"ד
the root of which number is it?	ואם נרצה לדעת לאי זה מספר הוא שרש
HZ□ = HD²	נשים עליו שטח מרובע עליו ה"ז
HZ□ = 4×GB□	ונאמר ששטח ה"ז ארבעה דמיוני שטח ג"ב
Proof:	מופת זה
extending line GA straight to C	שנוציא קו ג"א על יושר עד ח‫'
extending line AB straight to T	ונוציא קו א"ב עד נקודת ט‫'
HZ□ = GB□ + BC□ + CT□ + TG□ GB□ = BC□ = CT□ = TG□	ויהיו בשטח ה"ז ארבעה מרובעים שוים והם מרובעי ג"ב ב"ח ח"ט ט"ג
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{16}}$	אבל ג"ב הנחנוהו שש עשרה
HZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{64}}$	ולכן יהיה מרובע ה"ז ששים וארבע
HD = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}=8}}$	ויהיה קו ה"ד שרש לששים וארבע והוא שמנה והוא מש"ל
$\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}$	אמ' וכאשר נרצה לקחת חצי שרש תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot9}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	נכה חצי בחצי ויהיה רביע ונכה רביע בתשעה ויהיה שנים ורביע נקח שרשו והוא אחד וחצי והוא יהיה חצי שרש תשעה
$\scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}$	ואם נרצה לקחת שני שלישי שרש תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{2}{3}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{4}{9}\sdot9}=\sqrt{4}=2}}$	נכה שני שלישים בשני שלישים ויהיו ארבע תשיעיות ותכה ארבעה תשיעיות בתשעה ויהיו ארבעה ושרשם שהוא שנים הוא יהיה שני שלישי שרש תשעה
Geometric illustration	ואבאר לך בזאת התמונה

defining ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	והוא שנניח התשעה שטח מרובע עליו אבג"ד
GD = [√AD□] = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	ויהיה קו ג"ד שרש תשעה
finding its two thirds, ⅔GD:	וכאשר תרצה לקחת שני שלישיו
dividing DG into three equal parts: NZ = ZH = HD	תחלק קו ג"ד לשלשה חלקים שוים והם נ"ז ז"ה ה"ד
DZ = ⅔GD = ⅔√GB□	ויהיה קו ד"ז שני שלישי קו ג"ד והוא גם כן שני שלישי שרש מרובע ג"ב
the root of which number is it?	וכאשר תרצה לדעת לאי זה שמספר הוא שרש
defining: KZLD□ = ZD²	נעשה על קו ז"ד שטח מרובע עליו כזל"ד
KZLD□ = ⁴/₉GB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ונאמ' ששטח כזל"ד ארבעה תשיעיות שטח ג"ד והם ארבעה דרהמי
Proof:	מופת זה
extending line ZK straight to T	שנוציא קו ז"כ על יושר עד נקודת ט‫'
HC \|\| BD	ונוציא מנקודת ה' קו ה"ח נכחי לקו ב"ד
EP \|\| AB	ותוציא מע' קו ע"פ נכחי לקו א"ב
	ונוציא קו למ"ב עד ס‫'
GB□ = HE□ + EM□ + MB□ + MT□ + TS□ + KN□ + KP□ + PZ□ + ZN□ HE□ = EM□ = MB□ = MT□ = TS□ = KN□ = KP□ = PZ□ = ZN□	ויהיה עם זה כבר נעשו בשטח ג"ב תשעה שטחים שוים והם נ ה"ע ע"מ מ"ב מ"ט ט"ס כ"נ כ"פ פ"ז ז"נ
ZL□ = ⁴/₉GB□	ויהיה שטח ז"ל ארבעה מאלו התשעה שטחים
ZL□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	אם כן שטח ז"ל ארבע תשיעיות מרובע ג"ב
ZD= $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וקו ז"ד שרש לארבעה והוא מש"ל
the same should be done with all that is of this kind	וכל מה שיפול בידך מזה המין תעשה עמו ככה
Multiplication of Roots
$\scriptstyle\sqrt{9}\times\sqrt{4}$	אמ' ואם תרצה לדעת כמה העולה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}=6}}$ תכה ארבע' בתשעה ויהיה שלשים ושש תקח שרשם והוא ששה והוא כמו הכאת שרש תשעה בשרש ארבעה
Geometric illustration	ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	והוא שנשים קו א"ב שרש תשעה
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וקו ב"ג שרש ארבעה
AB × BG	וכאשר נרצה להכות קו א"ב בקו ב"ג
constructing: AC□ = AG²	תשים על קו א"ג שטח מרובע עליו א"ח
BZ \|\| AH; GC	ותוציא מנקודת ב' קו נכחי לקוי א"ה ג"ח והוא קו ב"ז
AH = GC = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}}}$	וכל אחד מקוי א"ה ג"ח שרש תשעה ושרש ארבעה
MG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	ונשים קו מ"ג שרש תשעה
MC = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וישאר קו מ"ח שרש ארבעה
NK \|\| AG; HC	ונוציא מנקודת מ' קו מ"כ נכחי לקוי א"ה ג"ח א"ג ה"ח
EA□ = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	ויהיה שטח ע"מ תשעה
BE = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	וקו ב"ע שרש תשעה
EC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ושטח ע"ח ארבעה
ZE = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וקו ז"ע שרש ארבעה
ZE = EM	כי ז"ע שוה לע"מ
EM = BG	וע"מ כמו ב"ג
EB = EK	וע"ב כמו ע"כ
ME : EK = ZE : EB	ויחס מ"ע אל ע"כ כיחס ז"ע אל ע"ב
ZE : EB = ZK□ : EA□	ויחס ז"ע אל ע"ב הוא כיחס שטח ז"ב אל שטח ע"א
ZM□ × EA□ = ZK□²	ולכן יהיה הכאת המספרים אשר בשטח ז"מ במספרים אשר בשטח ע"א כמו הכאת המספרים אשר בשטח ז"כ בעצמם
Euclid: when there are three proportional numbers, the product of the first number by the third is the same as the product of the second by itself. $\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2$	כמו שבאר זה אקלידס כאשר אמ' כי כאשר היו שלשה מספרים מתיחסים יהיה הכאת המספר הראשון ~~בתשיעי~~ בשלישי כמו הכאת הב' המספר בעצמו
EC□ × EA□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4\times9=36}}$	אבל הכאת מה שבשטח ע"ח מהאחדים שהם ארבעה באחדי שטח ע"א שהם ~~שלשה~~ תשעה יהיה שלשים ושש
ZK□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{36}=6}}$	ולכן שטח ז"כ הוא כמו שרש שלשים ושש והוא ששה והנה שהוא הוה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה בעבור כי קו א' כ"ע שרש תשעה וקו ע"ח כמו שרש ארבעה והוא ומש"ל
	^[3]
$\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה
the root of which number is $\scriptstyle2\sdot\sqrt{10}$ ?	ראה שני שרשי עשרה לאי זה מספר הם שרש על הדרך שהראיתי לך
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{10}=\sqrt{40}}}$	ותמצא שהם שרש לארבעי‫'
the root of which number is $\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}$ ?	וכמו כן ראה חצי שרש חמשה לאי זה מספר הוא שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}$	ותמצא שהוא שרש לאחד ורביע
$\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{40}\times\sqrt{1+\frac{1}{4}}$	ותשוב השאלה כאלו אמרו כמה יהיה מהכאת שרש ארבעים בשרש אחד ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)=50}}$	ולכן תכה ארבעים באחד ורביע ויהיה חמשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{50}}}$	ותאמ' כי שרש חמשים הוא הוא הכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה
Geometric illustration	אמ' ונניח לזה המעשה תמונה כוללת

For every number multiplied by another number, the root of the product is the same as the product of the root of the number multiplied by the root of the other number $\scriptstyle\sqrt{A\times B}=\sqrt{A}\times\sqrt{B}$	ונאמ' שכל מספר שיוכה במספר אחר יהיה שרש העולה כמו הכאת שרש מספר אחד מהם לשרש המספר האחר
A; B are numbers	משל לזה שנניח ב' א' שני מספרים
√B = G	ושרש ב' הוא ג‫'
√A = D	ושרש א' הוא ד‫'
B × A = Z	ונכה ב' בא' ויהיה ז‫'
G × D = C	ונכה ג' בד' ויהיה ח‫'
C = H = √Z	ונאמ' שח' כמו ה' שהוא שרש ז‫'
Proof: G² = B	מופת זה כי ג' הוכה בעצמו והיה ב‫'
G × D = C	והוכה בב'^ד' והיה ח‫'
G : D = B : C	ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח‫'^[4]
D² = A	וכמו כן ד' הוכה בעצמו והויה א‫'
D × G = C	והוכה בג' והיה ח‫'
G : D = C : A	ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ח' אל א‫'
G : D = B : C	וכבר היה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח‫'
B : C = C : A	אם כן יהיה יחס ב' אל ח' כיחס ח' אל א‫'
B × A = C²	ויהיה מפני זה הכאת ב' בא' כמו הכאת ח' בעצמו
B × A = Z	אבל הכאת ב' בא' הוא ז‫'
C² = Z	אם כן הכאת ח' בעצמו יהיה כמו ז‫'
H² = Z	וכבר היה הכאת ה' בעצמו הוא ז‫'
C = H	ולכן יהיה ח' כמו ה‫'
	והוא מש"ל ובמה שבארתי מזה המין הוא מספיק
Division of Roots	פרק בחלוק
When the divisor is multiplied by the result of division, the dividend returns. $\scriptstyle\frac{A}{B}\times B=A$	אמ' וגם כן ראוי שתדע כי כאשר תכה המחלק במה שעלה לחלק ישוב המספר שחלקת
$\scriptstyle{\color{blue}{10\div2=5}}$	משל זה חלקנו עשרה על שנים ויצא לכל חלק חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}$	הנה כאשר הכינו שנים בחמשה יהיה עשרה והוא המספר שנחלק
Geometric illustration	אמ' ונשים לזה המעשה גם כן תמונה כוללת

For every number divided by another number, the product of the quotient by the divisor is the same as the dividend $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	ונאמ' כי כל מספר שיהיה נחלק על מספר אחר יהיה הכאת העולה לכל חלק ב מספר המחלק כמו המספר הנחלק
A ÷ B = G	משל זה שחלקנו מספר א' על מספר ב' ועלה לכל חלק ג‫'
B × G = A	ונאמ' שהכאת ב' בג' הוא כמו א‫'
Proof	מופת זה
A ÷ B = G	כי א' כבר נחלק על ב' והיה ג' ולכן יהיו מדמיוני ג' בא' כמספר מה שבב' מן האחדים
G : A = 1 : B	ומפני זה יהיה יחס ג' אל א' כיחס האחד אל ב‫'
B × G = 1 × A	ולכן יהיה מהכאת ב' בג' כמו הכאת האחד בא‫'
B × G = 1 × A = A	אבל הכאת האחד בא' הוא אם כן הכאת ב' בג' הוא גם כן א' והוא מה שרצינו לבאר
$\scriptstyle\sqrt{9}\div\sqrt{4}$	אמ' ואם יאמרו לך תחלק שרש תשעה על שרש ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\div\sqrt{4}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	הנה תחלק תשעה על ארבעה ויגיע לכל חלק שנים ורביע תקח שרשו והוא אחד וחצי וככה הוא שרש תשעה מחולק על שרש ארבעה
$\scriptstyle\sqrt{10}\div\sqrt{2}$	ואם אמרו תחלק שרש עשרה על שרש שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\div\sqrt{2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}$	ויגיע לחלק חמשה וקח שרשו
$\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}$	ואם אמר לך תחלק שנים שרשים מעשרים על שרשים שלשה מששה
the root of which number is $\scriptstyle2\sdot\sqrt{20}$ ?	תחפש שני שרשים מעשרים לאי זה מספר הם שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{20}=\sqrt{80}}}$	וידענו ממה שבארנו שהם שרש לשמונים
the root of which number is $\scriptstyle3\sdot\sqrt{6}$ ?	ותחפש כמו כן שלשה שרשים מששה לאי זה מספר הם שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt{6}=\sqrt{54}}}$	והנה הם שרש לחמשים וארבעה
$\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}$	ויהיה כאלו שאל לחלק שרש שמנים על שרש ארבעה וחמשים
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}=\sqrt{\frac{80}{54}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\right)}}}$	והנה נחלק שמנים על ארבעה וחמשים ויעלה אל החלק אחד שלם וארבעה תשיעיות ושלישית התשיעית ושרש זה הוא העולה אל החלק מחלוקת שני שרשים מעשרים על שלשה שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה
	וכמו כן כל אשר יגיע בידך מזה המין תעשה עמו כמעשה הזה
Geometric illustration	אמ' ונניח גם כן לזה המין תמונה כוללת
For every two numbers, one of which is divided by the other, the root of the quotient is the same as the quotient of the root of the dividend divided by the root of the divisor $\scriptstyle\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$	ונאמ' כי כל שני מספרים שיחלק אחד מהם על האחר יהיה שרש העולה לחלק כמו העולה מחלוקת שרש המספר הנחלק בשרש המספר המחלק

A ÷ B = G	משל שמספר א' נחלק על ב' מספר ב' ועלה מספר ג‫'
C = √A D = √B √A ÷ √B = C ÷ D = E	ושרש א' שהוא מספר ח' נחלק על שרש ב' שהוא מספר ד' ועלה לחלק מספר ע‫'
E = √G	ונאמ' שע' הוא כמו שרש ג‫'
Proof: E²=M	המופת בזה שנכה ע' בעצמו והיה מ‫'
A ÷ B = G	הנה א' נחלק על ב' והיה ג‫'
B × G = D	ולכן מהכאת ב' בג' ישוב ד‫'
D × E = C	וכמו כן ד' הוכה בע' והיה ח‫'
D²=B	וכבר הוכה ד' בעצמו והיה ב‫'
D : E = B : C	ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כב' אל ח‫'
E²=M	וע' הוכה בעצמו והיה מ‫'
E × D = C	והוכה בד' והיה ח‫'
D : E = C : M	ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כיחס ח' אל מ‫'
B : C = D : E	וכבר היה יחס ב' אל ח' גם כן כד' אל ע‫'
B : C = C : M	ולכן יהיה יחס ב' אל ח' כח' אל מ‫'
B × M = C²	והכאת ב' במ' תהיה כמו הכאת ח' בעצמו
C² = A	אבל הכאת ח' בעצמו היא א‫'
B × M = A	ולכן הכאת ב' במ' היא גם כן א‫'
B × G = A	וכבר הוכה ב' גם כן בג' והיה כמו כן א‫'
M = G	אם כן מ' הוא שוה לג‫'
E = √M	אבל ע' היה שרש למ‫'
E = √G	ולכן יהיה גם כן ע' שרש לג' והוא מש"ל
Addition and Subtraction of Roots	פרק בחבור השרשים האחד עם האחר ובגרעונם
Addition of Roots
Adding a root of a number to a root of another number so that they are summed to a root of a certain square:	אמ' כאשר תרצה לחבר שרש מספר מהמספרי' עם שרש מספר אחר עד שיקובץ מהם שרש מרובע מה
This cannot be done with every number,	הנה לא יהיה נכון לעשות זה בכל מספר
but it is possible for to [perfect] square numbers, i.e. numbers that have a root;	אבל יתכן זה בשני מספרי' מרובעי' רצו' שיחזיקו שרש
or for two numbers, such that when one of them is divided by the other, the quotient has a root, and when one of them is multiplied by the other, the product has a root.	או בשני מספרים שכאשר נחלק האחד על האחר יהיה לאשר עלה אל החלק שרש וכאשר תכה האחד באחר היה אל המקובץ שרש
For numbers other than these it is not possible to sum their two roots to a single root	ובמספרי' אחרים זולת אלו אי אפש' שתחבר שני שרשיהם עד שתשיבם שרש אחד
The same property is found in the subtraction of roots one from the other	וכמו כן הענין בגרעון השרשים האחד מהאחר
This is especially clear when both numbers are [perfect] squares.	ואלו יהיו מאד מבוארים כאשר יהיו שני המספרים מרובעי‫'
$\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}$	כאלו תאמ' תשעה וארבעה ורצינו לחבר שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}&\scriptstyle=\sqrt{\left(9+4\right)+2\sqrt{9\sdot4}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13+2\sqrt{36}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13+12}\\&\scriptstyle=\sqrt{25}=5\\\end{align}}}$	תחבר תשעה וארבעה ויהיו שלשה ותשמרם ותכה תשעה בארבעה ויהיו שלשים ושש ותקח שני שרשיו והם שתיים עשרה תחברם עם השמור ויהיו עשרים וחמשה והם כמו שרש תשעה ושרש ארבעה מקובצים
Geometric illustration	אמ' ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	והוא שנניח קו א"ב שרש לתשעה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וקו א"ג שרש לארבעה
the root of which number is GB?	ונרצה שנדע קו ג"ב שרש לאי זה מספר הוא
constructing: GZ□ = GB²	נעשה על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ז
ABKL□ = AB²	ונעשה על קו א"ב שטח מרובע עליו אבכ"ל
extending line AK straight to C	ונוציא קו א"כ על יושר עד נקודת ח‫'
extending line LK straight to E	וכמו כן נוציא קו ל"כ עד נקודת ע‫'
KB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	הנה שטח כ"ב הוא תשעה
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	בעבור כי היה קו א"ב שרש לתשעה
EC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ושטח ע"ח הוא ארבעה
EB = AG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	בעבור כי קו ע"ב שהוא צלעו הוא שוה לא"ג שהנחנוהו שרש לארבעה
AE□ = $\scriptstyle{\color{red}{6}}$	ושטח א"ע הוא תשע‫'
AE□ = AB × AG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=6}}$	כי הנה הוא מהכאת קו א"ב שהוא כמו שרש תשעה בקו א"ג שהוא שרש לארבעה ולכן הנה הוא ששה ממה שבארנו למעלה בפרק הכאת שרש בשרש
LC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{6}}$	וכמו כן יהיה שטח ל"ח גם כן ששה
GZ□ = [KB□ + EC□ + AE□ + LC□] = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	ומקובץ כל אלו הארבעה שטחי' הנה הוא עשרים וחמשה והם כל שטח ג"ז
BG = √GZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{25}=5}}$	וקו ב"ג שהוא שרשו יהיה חמשה והוא מש"ל
Subtraction of Roots
$\scriptstyle\sqrt{9}-\sqrt{4}$	אמ' וכאשר תרצה לגרוע שרש ארבעה משרש ששה תשעה עד שיהיה מה שישאר שרש למספר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{9}-\sqrt{4}&\scriptstyle=\sqrt{\left(9+4\right)-2\sqrt{9\sdot4}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13-2\sqrt{36}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13-12}\\&\scriptstyle=\sqrt{1}=1\\\end{align}}}$	תחבר התשעה עם הארבעה ויהיו שלשה עשר ותשמרם ותכה תשעה וארבעה ויהיו שלשים ושש ותקח שני שרשיו והם שנים עשר ותגרעם מהשמור וישאר אחד ושרש האחד הוא יהיה הנשאר מהשרש תשעה בגרעך ממנו שרש ארבעה והוא אחד
Geometric illustration	ואבאר לך זה בזאת התמונ‫'

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}$	נניח קו א"ב שרש לתשעה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}$	וקו א"ג שרש לארבעה
GB = AB - AG	וכאשר נגרע קו א"ג מקו א"ב ישאר קו ג"ב
the root of which number is GB?	ורצינו לדעת מספר קו ג"ב לאי זה מספר הוא שרש
constructing: AZ□ = AB²	נשים על קו א"ב שטח מרובע עליו א"ז
AZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	ויהיה שטח א"ז תשעה
AM□ = AG²	ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו א"מ
AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ויהיה שטח א"מ ארבעה
extending lines GM and CM straight to points N and K	ותוציא קוי ג"מ וח"מ על יושר עד שתי נקודות נ' וכ‫'
MZ□ = GB²	הנה הוא ידוע כי מרובע מ"ז הוא כמו הכאת קו ג"ב בעצמו
MG = GB	בעבור כי ~~הכאת~~ קו מ"ג שהוא צלעו הוא שוה לקו ג"ב
CK□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ושטח ח"כ הוא שנים
AC□ = AG × AH = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}\times\sqrt{9}=6}}$	בעבור כי היה כל שטח א"כ ששה מפני כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שרש לארבעה בקו א"ה שהוא שרש לתשעה
AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ושטח א"מ היה ארבעה
CK□ = AC□ - AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ולזה ישאר שטח ח"כ שנים
MB□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וכמו כן יהיה שטח מ"ב שנים
CK□ + MB□ + AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	הנה כי מקובץ שלשה שטחי ח"כ מ"ב א"מ הוא שמנה
AZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	אבל כל שטח א"ז היה תשעה
MZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{1}}$	הנה כי ישאר שטח מ"ז אחד
GB = MN = √MZ□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1}=1}}$	וקו מ"נ השוה לקו ג"ב הוא שרשו והוא אחד והוא מש"ל
$\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$	אמר ואם רצינו לחבר שרש שמנה עשר עם שרש שמנה עד שיהיו שרש למספר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	הנה ידענו כי חבורם נכון בעבור כי כאשר חלקנו שמנה עשר על שמנה יגיע לחלק שנים ורביע והם מחזיקים שרש כי שרשם הוא אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{8}{18}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}}}$	ואם חלקנו שמנה ~~עשר~~ על שמנה עשר יגיע לחלק ארבע תשיעיות והם מחזיקים שרש ושרשם הוא שני שלישים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18\sdot8}=\sqrt{144}=12}}$	ואם תכה שמנה עשר בשמנה יהיו קמ"ד ומחזיקים שרש ושרשם שתים עשרה
For any two numbers that implement this rule, i.e. that adapt these three properties, their two roots can be summed to a root of a single number	וכבר אמרנו כי כל שני מספרים יהיה משפטם זה המשפט ר"ל שיסוגלו באלו השלש סגולות הנה אז יהיה נכון לנו לקבץ שני שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד
If one of the three properties is absent, all three properties are absent.	וכאשר יבצר מהם אחת מאלו השלש סגולות יהיו שלשתם נמנעות מהן
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}&\scriptstyle=\sqrt{\left(18+8\right)+2\sqrt{18\sdot8}}\\&\scriptstyle=\sqrt{26+2\sqrt{144}}\\&\scriptstyle=\sqrt{26+24}\\&\scriptstyle=\sqrt{50}\\\end{align}}}$	וכאשר רצינו לדעת קבוץ השני שרשים אשר אמרנו לאיזה מספר הם שרש תעשה כפי המעשה שאמרנו קודם והוא שתחבר שמנה עם שמנה עשר ויהיו ששה ועשרים ותשמרם ותכה שמנה בשמנה עשר ויעלה קמ"ד ותקח שני שרשיו והוא ארבעה ועשרים ותחברם עם השמור ויהיו חמשים ושרשו הוא כמו שרש שמנה ושרש שמנה עשר מקובצים
$\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}$	ואם באנו לגרוע שרש שמנה משרש שמנה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}}}$	תגרע הארבעה ועשרים מהשמור וישארו שנים ושרש שנים הוא מה שישאר משרש שמנה עשר כאשר יגרע ממנו שרש שמנה
$\scriptstyle\sqrt{10}+\sqrt{2}$ cannot be summed to a root of a single number	אמ' ואם רצינו לחבר שרש עשרה עם שרש שנים זה לא יתכן לחברו גם לא יתכן להיות מקובצם שרש למספר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}$ no root	כי הנה כאשר תחלק עשרה על שנים יגיע לחלק חמשה וחמשה אינם מחזיקים שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{10}}=\sqrt{\frac{1}{5}}}}$ no root	וכאשר תחלק שנים על עשרה יגיע לחלק חומש ואין שרש לחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10}=\sqrt{20}}}$ no root	וכאשר תכה שנים בעשרה יהיו עשרים ואין לעשרים שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}+\sqrt{2}=\sqrt{12+2\sqrt{20}}}}$	ואם קבצנום על הדרך האמור יהיה השרש משנים שרשים מעשרים מקובצים עם שנים עשר הוא שרש עשרה ושרש שנים מקובצים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}-\sqrt{2}=\sqrt{12-2\sqrt{20}}}}$	ואם גרענו האחד מהאחר על הדרך האמור יצא לנו כי שרש הנשאר משנים עשר כאשר יגרע מהם שנים שרשים מעשרים הוא כמו שרש מה שישאר משרש עשרה כאשר יגרע ממנו שרש שנים
The question is more proper than the answer	והשאלה בזה יותר נכונה מהתשובה
When you are asked a question of this kind, your answer should be exactly similar to what was introduced to you.	וראוי לך כאשר ישאלו ממך אי זו השאלה מזה הסוג שתהיה תשובתך עליה על דמיון אשר יוציאו לפניך בשוה
It is more proper to say "the root of ten and the root of two summed together", than to say "the root of twelve and two roots of twenty".	כי כאשר יאמר שרש עשרה ושרש שנים מקובצי' הוא יותר נכון ממאמ' שרש שנים עשר ושני שרשים מעשרים
Also, for subtracting one from the other: it is more proper to say "the root of ten minus the root of two", than to say "the root of twelve minus two roots of twenty", which is the root of eighty.	וכמו כן בגרעון האחד מהאחר יותר נכון הוא לאמר שרש ~~שנים~~ עשרה פחות שרש שנים מלאמר שרש שנים עשר פחות שני שרשים מעשרים שהוא שרש שמנים
What was explained is enough and complete.	ודי במה שבארתי מזה ובו השלמה
Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations	פרק
Now, a question is given for each of the six types of canonical equations described above, which could be taught by the algebraists.	אמ' הנני עושה לך שאלה לכל חלק מהששה חלקים אשר הודענו ראשונה ואפש' שכבר יורוך אותם חכמי האלג'בר
1) The first problem	אמ' והשאלה הראשונה
If you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger by itself is the same as one time and a half of the product of the one part by the other. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=\left(a\sdot b\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(a\sdot b\right)\end{cases}$	היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שתהיה הכאת החלק הגדול בעצמו כמו פעם וחצי מהעולה מהכאת החלק האחד באחר
The procedure: defining: the larger part as one thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה הוא שנניח החלק הגדול דבר אחד
the other part as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והחלק האחר ישאר עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$	ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ונכה החלק הגדול והוא דבר בעצמו והוא מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(10x-x^2\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(10x-x^2\right)}}$	והיה זה המרובע כמו העשרה דברי' פחות מרובע וכמו חצי זה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10x-x^2\right)=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}$	ונכה עשרה דברים פחות מרובע באחד וחצי ויעלה חמשה עשר דברים פחות מרובע וחצי והם יהיו כמו המרובע
Restoration of $\scriptstyle\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)$ :	ותאסוף המרובע וחצי עם הט"ו דברים עד שיהיו חמשה עשר דברים שלמים
$\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot x^2=15x$	וכמו כן תקבץ המרובע וחצי עם המרובע ואז יהיה שנים מרובעים וחצי יהיו שוים לחמשה עשר דברים
Normalization of $\scriptstyle\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)$ :	והשיבם אל מרובע אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6x}}$	ויהיה המרובע ישוה לששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	והדבר ישוה ששה והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}$	וארבעה הנשאר מהעשרה הוא החלק הקטן
this problem demonstrates the first of the six canonical equations: $\scriptstyle ax^2=bx$	וזאת השאלה הראיתיך לחלק הראשון מהששה חלקים והוא אמרו כאשר המרובעים יהיו שוים אל השרשים
Geometrical illustration of the problem	אמ' ואבאר לך זאת השאלה בתמונ' ג'ימטרית

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
divided into two unequal parts on G:	ונחלק בנקודת ג' לשני חלקים בלתי שוים
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	קו א"ג הוא החלק הגדול
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	וקו ג"ב החלק הקטן
GD□ = AG × GB	והכינו קו א"ג בקו ב"ג והיה שטח ג"ד
BD = AG	כי שמנו ב"ד כמו א"ג
AH□ = AG²	והכינו א"ג בעצמו והיה מרובע א"ה
defining: AH□ = GD□ + ½GD□	ונניח כי יהיה שטח מרובע א"ה כמו שטח ג"ד וכמו חציו
GA = GB + ½GB	ולכן יהיה קו ג"א כמו קו ג"ב וכמו חציו
AB = 2½GB	ויהיה קו א"ב כלו כמו קו ג"ב שני פעמים וחצי
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	אבל קו א"ב הוא עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{2+\frac{1}{2}}=4}}$	ונחלק עשרה לשנים וחצי ויעלה לחלק ארבעה
BG = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ולכן יהיה קו ב"ג הוא ארבע‫'
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{6}}$	וקו א"ג הוא ששה והוא מש"ל
2) The second problem	אמ' והשאלה השנית
If you are told: divide ten into two parts, such that the product of ten by itself is the same as the product of one of the parts by itself 6¼ times. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle10^2=a^2\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\end{cases}$	כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת עשרה בעצמו כמו הכאת העולה מהכא' אחד החלקי' בעצמו ששה פעמים ורביע
The procedure: defining one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	והמעשה בזה שנניח החלק האחד דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ונכהו בעצמו והוא מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}$	ונכה העשרה בעצמם והיו מאה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100}}$	ואלו המאה היו כמו המרובע ששה פעם ורביע הנה תכה המרובע בששה ורביע ויהיה ששה מרובעים ורביע ישוו מאה דרהמי
Normalization of $\scriptstyle\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2$ : $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100 /\sdot\frac{4}{25}=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	והשיבם אל מרובע אחד והוא שתחלק מאה על ששה ורביע שהם כ"ה רביעיות
4 for each quarter	ויעלה לכל רביע ארבעה
16 for each square	ולכל מרובע יעלה שש עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	ויהיה המרובע שוה ששה עשר דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ושרשם ארבעה והוא החלק המבוקש
this problem demonstrates the second of the six canonical equations: $\scriptstyle ax^2=c$	וזאת השאלה הראיתי לך לחלק השני מהששה והוא האומר כאשר המרובעים ישוו אל מספרים
Geometrical illustration of the problem	אמ' ואבאר לך זאת השאלה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
GB is the sought number	וקו ג"ב ממנו הוא המספר המבוקש
AM□ = AB² = $\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100}}$	ונכה קו א"ב בעצמו ויצא שטח א"מ והוא מאה
GD□ = GB²	ונכה קו ג"ב בעצמו ויהיה מרובע ג"ד
AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$ = 6¼GD□	והנחנו ששטח א"מ שהוא מאה יהיה כמו ששה פעמים ורביע שטח ג"ד
dividing GD□ into four identical parts each is equal to BC□	ונחלק מרובע ג"ד לארבעה חלקים שוים כל חלק מהם יהיה כמו שטח ב"ח
AM□ = 6¼GD□ = 25CB□	הנה מפני שהיה שטח א"מ ששה פעמי' ורביע שטח ג"ד יהיה עשרים וחמשה פעמים כמו שטח ב"ח שהוא רביעיתו שהוא שטח ג"ד
AM□ = $\scriptstyle{\color{blue}{100}}$	אבל שטח א"מ הוא מאה
BC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ולכן יהיה שטח ב"ח ארבעה
GD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{16}}$	ושטח ג"ד ששה עשר
GB = √GD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וקו ג"ב שהוא שרשו יהיה ארבעה והוא החלק המבוקש והוא מש"ל
3) The third problem	אמ' והשאלה השלישית
If you are told: divide ten into two parts, such that when you divide the larger part by the smaller part the quotient is four. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=4\end{cases}$	היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר תחלק החלק הגדול על החלק הקטן יגיע לחלק ארבעה
The procedure: defining: the smaller part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	המעשה בזה הוא שנניח החלק הקטן דבר
the larger [part] as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והגדול עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=4}}$	וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר והגיע לחלק ארבעה
It was already shown that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend $\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A$	כבר הראיתיך כי כאשר תכה המגיע לחלק על המחלק שיעלה לידך המספר המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{10-x=4x}}$	ולכן תכה ארבעה בדבר ויעלה ארבעה דברים וישוו לעשרה פחות דבר
Restoration of $\scriptstyle x$ : $\scriptstyle{\color{blue}{10=4x+x}}$	ותאסוף הדבר עם העשרה עד שיהיו עשרה דרהמי שלמים ותוסיף דבר על הארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{10=5x}}$	ויהיה עשרה דרהמי ישוו חמשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}$	והדבר יהיה שוה שני דרהמי והוא החלק הקטן והחלק הגדול ישאר שמנה
this problem demonstrates the third of the six canonical equations: $\scriptstyle bx=c$	וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק השלישי מהששה חלקים והוא האומר כאשר הדברים ישוו למספרים
Geometrical illustration of the problem	אמ' ונבאר זאת השאלה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב הוא עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וקו ג"ב ממנו הוא החלק הקטן
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	וקו א"ג החלק הגדול
AG ÷ GB = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וכאשר חלקנו קו א"ג על קו ג"ב יעלה לחלק ארבעה
AG = 4×GB	הנה כי קו א"ג ארבעה דמיוני ג"ב
AB = 5×GB	ולכן קו א"ב כלו יהיה חמשה דמיוני ג"ב
GB = ⅕AB	וג"ב הוא חמישית א"ב
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	אבל א"ב הוא עשרה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	אם כן ג"ב הוא שנים והוא מש"ל
4) The fourth problem	אמ' והשאלה הרביעית
If you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger part by itself is the same as the product of the smaller part multiplied by nine. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=9b\end{cases}$	היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת החלק הגדול בעצמו כמו הכאת החלק הקטן בתשעה
The procedure: defining: the larger part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	המעשה בזה שנשים החלק הגדול דבר
the smaller [part] as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והקטן עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	והכינו דבר בעצמו והיה מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot9=90-9x}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{90-9x=x^2}}$	והכינו עשרה פחות דבר בתשעה ועלה תשעי' דרהמי פחות תשעה דברים והיו אלו שוים אל המרובע
Restoration of $\scriptstyle9x$ :	תאסוף התשעה דברים עם התשעים דרהמי ותוסיפם על המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x=90}}$	ויהיה תשעים דרהמי ישוו למרובע ותשעה דברים
As shown above, there are two solution methods for this case: one yields the root and the other yields the square.	וכבר הראיתיך לזה המבוקש שני אופנים האחד ~~ב דבר~~ יראה לך הדבר והאחר יראך המרובע
The method that yields the root: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2+90}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)^2+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{1}{2}\right)-\left(4+\frac{1}{2}\right)=6\\\end{align}}}$	והאופן אשר יראה לך הדבר שהוא החלק הגדול הוא שתקח מחצית הדברים והוא ארבעה וחצי ותכם בעצמם ויהיו עשרים ורביע ותקבצם עם התשעים ויהיו מאה ועשר ורביע תקח שרש זה והוא עשרה ורביע וחצי תגרע מהם מחצית השרשים וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול
The method that yields the square: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)+90-\sqrt{\left(9^2\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)+90-\sqrt{\left(81\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(40+\frac{1}{2}\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(1640+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{8930+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\left(94+\frac{1}{2}\right)=\left(130+\frac{1}{2}\right)-\left(94+\frac{1}{2}\right)=36\\\end{align}}}$	והאופן אשר יראה לך המרובע הוא שתכה התשעה דברים בעצמם ויהיו שמנים ואחד תכם בתשעים ויהיה שבעת אלפים ומאתים ותשעים ותשמרם ותקח מחצית שמנים ואחד והוא ארבעים וחצי ותכם בעצמם ויעלה אלף תר"מ ורביע ותקבצם עם השמור ויהיו שמנת אלפים תתק"ל ורביע ותקח שרשם והוא צ"ד וחצי תגרעם ממקובץ הארבעים וחצי שהוא מחצית הכאת השרשים בעצמם עם תשעים שהוא מספר הדרהמי אשר ישוו אל המרובע והשרשים ומקובצם הוא ק"ל וחצי וישאר ל"ו והם המרובע ושרשם ששה והוא החלק הגדול
this problem demonstrates the fourth of the six canonical equations: $\scriptstyle ax^2+bx=c$	וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק הרביעי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעים ושרשים ישוו למספרים
Geometrical illustration of the problem	אמ' ואבארה לך בתמונה הזאת

defining: BA = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	וקו א"ג החלק הגדול
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	וקו ג"ב החלק הקטן
AG² = GB × 9	והיה הכאת קו א"ג בעצמו כמו הכאת ג"ב בתשעה
How much is the measure of AG?	ורצינו להודיע כמה שיעור קו א"ג
(AG × 9) + (GB × 9) = $\scriptstyle{\color{blue}{90}}$	הנה אם הכינו א"ג בתשעה וג"ב בתשעה יהיה מקובץ העולה מהכאותיהם תשעים
AG² = GB × 9	ובעבור כי היה א"ג בעצמו כמו ג"ב בתשעה
(AG × 9) + (GB × 9) = $\scriptstyle{\color{blue}{90}}$	יהיה מפני זה א"ג בתשעה ובעצמו יהיה תשעים
defining: AD = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	ונניח קו א"ד תשעה
AG² + (AG × AD) = 90 = DG × GA	ויהיה העולה מהכאת א"ג בעצמו ובא"ד תשעים והוא כמו הכאת ד"ג בג"א
DA = $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	וקו ד"א תשעה
H midpoint of DA	ונחלק אותו לחצאין על נקודת ה‫'
AG is added to DA	ונוסף לארכו קו א"ג
DG × AG = $\scriptstyle{\color{blue}{90}}$	והיה מהכאת ד"ג בג"א תשעים
HG² = (DG × AG) + AH² = $\scriptstyle{\color{blue}{90+\left(20+\frac{1}{4}\right)=110+\frac{1}{4}}}$	ונקבץ עמהם הכאת א"ה בעצמו שהוא עשרים ורביע ועלו מאה ועשר ורביע וככה ראוי שתהיה הכאת ה"ג בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{110+\frac{1}{4}}=10+\frac{1}{2}}}$	ונוציא שרשם והוא עשרה וחצי
HG = $\scriptstyle{\color{blue}{10+\frac{1}{2}}}$	וככה קו ה"ג
HA = $\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{1}{2}}}$	אבל ה"א הוא ארבעה וחצי
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	ולכן ישאר א"ג ששה והוא החלק הגדול
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}$	וג"ב והוא החלק הקטן ומש"ל
5) The fifth problem	אמ' והשאלה החמישית
If you are told: divide ten into two parts, such that when we multiply one part by the other the result is 21. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=21\end{cases}$	כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר נכה החלק האחד באחר יעלה עשרים ~~ורביע~~ ואחד
The procedure: defining: one part as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$	המעשה בזה שנניח החלק האחד דבר
the other part as ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$	והחלק האחר יהיה עשרה פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2=21}}$	ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע ויהיו שוים לעשרים ואחד דרהמי
Restoration of $\scriptstyle x^2$ :	תאסוף המרובע עם עשרת הדברים פחות מרובע ותוסיפהו על עשרים ואחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21=10x}}$	ויהיו מרובע ועשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה שרשים
It was shown above that there are two solution methods for this case, each method has two aspects.	וכבר הראיתיך למעלה כי לזה הענין שני אופנים ולכל אופן שני צדדים
The method that yields the root: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x_1&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{4}\\&\scriptstyle=5-2=3\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא לך השרש הוא שתקח מחצית הדברים והוא חמשה ותכם בעצמם והיה עשרים וחמשה תגרע מהם העשרים ואחד וישאר ארבעה תקח שרשם והוא שנים תגרעם מן החמשה וישארו שלשה והם החלק הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x_1=7}}$	והחלק הגדול הוא הנשאר מהעשרה והם שבעה
this is the subtraction aspect	וזה צד המגרעת
the addition aspect: $\scriptstyle{\color{blue}{b=x_2=5+2=7}}$	ואם תרצה צד התוספת תוסיף השנים על החמשה והיו שבעה והם החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x_2=3}}$	והחלק הקטן הוא מה שנשאר מהעשרה והוא שלשה
The method that yields the square: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{2500-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{400}-21\\&\scriptstyle=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא לך המרובע הוא שתכה השרשים בעצמם והיו מאה ותכם בכ"א אשר עם המרובע ויהיו אלפים ומאה ותשמרם ותקח מחצית המאה שהוא חמשים ותכם בעצמם ויהיו אלפים וחמש מאות תגרע מהם האלפים ומאה אשר שמרת וישארו ארבע מאות תקח שרשם והוא עשרים תגרעם מהחמישים שהם מחצית המאה וישארו שלשים ותגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה והם המרובע
this is the subtraction aspect	וזה צד המגרעת
the addition aspect: $\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=50+20-21=70-21=49}}$	ומעשה התוספת הוא שתוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים תגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה וארבעים והם המרובע
this problem demonstrates the fifth of the six canonical equations: $\scriptstyle ax^2+c=bx$	וזאת השאלה הוציאתך אל החלק החמשי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעי' והמספרים ישוו אל השרשים
Geometrical illustration of the problem	אמ' ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
Divided on G	ונחלק על ג‫'
AG × GB = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	והיה מהכאת א"ג בג"ב עשרים ואחד
H midpoint of AB	ותחלק קו א"ב לחצאי' על ה‫'
AB is divided into two equal parts on H, and into two unequal parts on G	הנה א"ב נחלק לשני חלקים שוים על ה' ולשני חלקים בלתי שוים על ג‫'
(AG × GB) + HG² = HB²	ולכן יהיה העולה מהכאת א"ג בג"ב וה"ג בעצמו כמו העולה מהכאת ה"ב בעצמו
HB² = $\scriptstyle{\color{blue}{25}}$	אבל הכאת ה"ב בעצמו עשרים וחמשה
AG × GB = $\scriptstyle{\color{blue}{21}}$	וא"ג בג"ב הוא עשרים ואחד
HG² = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וישאר ה"ג בעצמו ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2}}$	ושרשם הוא שנים
HG = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ולכן יהיה ה"ג שנים
HB = $\scriptstyle{\color{blue}{5}}$	אבל ה"ב היה חמשה
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{3}}$	וישאר ג"כ שלשה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{7}}$	וא"ג יהיה שבעה והוא מש"ל
6) The sixth problem	אמ' והשאלה הששית
If you are told: we added to a certain square [eight] dirham, then multiplied the sum by four dirham and the result is the same as the product of the square [by itself]. $\scriptstyle4\sdot\left(x^2+8\right)=\left(x^2\right)^2$	כמו אם יאמרו לך הוספנו על ~~התמונ'~~ מרובע מה שלשה דרהמי והכינו המקובץ בארבעה דרהמי והיה העולה כמו הכאת ~~א"ב בעצמו~~ המרובע
The procedure: defining the square as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{X^2=x}}$	המעשה בזה הוא שנניח המרובע דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+8\right)\sdot4=4x+32}}$	וקבצנו עמו שמנה דרהמי והיו דבר ושמנה דרהמי הכינום בארבעה והיה ארבעה דברים ושנים ושלשים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=32+4x}}$	והכינו הדבר בעצמו והוא מרובע וישוה אל ארבעה דברים ול"ב דרהמי
The method that yields the root: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X^2=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{2^2+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{4+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{36}\\&\scriptstyle=2+6=8\\\end{align}}}$	והאופן אשר יוציא לך הוא הדבר הוא שתקח מחצית הדבר והוא שנים ותכם בעצמם והיו ארבעה ותקבצם עם הל"ב והיו ל"ו תקח שרשם והוא ששה תוסיפם על מחצית השרשים ויהיו שמנה וככה הוא המרובע כי הנה הנחנוהו דבר
The method that yields the square: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)+\sqrt{\left(4^2\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)^2}+32\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\sqrt{\left(16\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+8^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+64}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{576}+32\\&\scriptstyle=8+24+32=64\\\end{align}}}$	והאופן אשר כ יוציא לך המרובע הוא שתכה הארבעה שרשים בעצמם והיו ששה עשר ותכם באדרהמי שהם ל"ב ויעלה תקי"ב ותשמרם ותקח מחצית הששה עשר והוא שמנה ותכם בעצמם והיו ששים וארבע ותקבצם עם התקי"ב ששמרת ויעלו תקע"ו תקח שרשם והוא כ"ד ותקבצם עם השמנה שהם מחצית השש עשרה ועם הל"ב ויעלו שבעים ששים וארבע והוא המרובע שישוה לשרשים ולמספרים
$\scriptstyle{\color{blue}{X^2=\sqrt{64}=8}}$	ותקח שרשו והוא שמנה והוא המספר המבוקש
this problem demonstrates the sixth of the six canonical equations: $\scriptstyle c+bx=ax^2$	וזאת השאלה הוציאתך אל החלק הששי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המספרים והשרשים ישוו אל המרובע
Geometrical illustration of the problem	אמר ואבאר זה בזאת התמונה

defining: AB = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	והוא שנניח המרובע קו א"ב
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	והשמנה דרהמי קו א"ג
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ונניח קו ב"ד ארבעה
GD□ = GB × BD	ונכה קו ג"ב בקו ב"ד ויהיה שטח ג"ד
AH□ = AB² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2}}$	ונכה המרובע שהוא קו א"ב בעצמו והיה שטח א"ה
GD□ has the same measure of AH□	ויהיה שטח ג"ד בשעור שטח א"ה
How much is the measure of AB?	ורצינו לידע כמה שיעור קו א"ב
AH□ = GD□	הנה שטח א"ה כמו שטח ג"ד
subtracting AH□ which is shared by both	ונפיל שטח א"ד המשותף
GM□ = MH□	וישאר שטח ג"מ כמו שטח מ"ה
GM□ = AG × AM = AG × BD = $\scriptstyle{\color{blue}{8\times4=32}}$	אבל שטח ג"מ שלשים ושנים כי הוא מהכאת א"ג שהוא שמנה בא"מ השוה לב"ד שהוא ארבעה
MH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{32}}$	ולכן שטח מ"ה הוא שלשים ושנים
MH□ = ZH × ZH = AZ × ZH	ושטח מ"ה כמו הכאת א"ז השוה לז"ה בז"ה
AM = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	וקו א"מ הוא ארבעה
C midpoint of AM	ונחלק אותו לחצאין על נקודת ח‫'
ZM is added to AM	וכבר נוסף עליו קו ז"מ
(AZ × ZM) + MC² = $\scriptstyle{\color{blue}{32+4=36}}$ = CZ²	ולכן יהיה הכאת א"ז בז"מ שהוא שלשים ושנים עם הכא' מ"ח בעצמו שהוא ארבעה ומקובצם שלשים ושש כמו הכאת ה"ז בעצמו
CZ = $\scriptstyle{\color{blue}{6}}$	ומפני זה יהיה קו ח"ז ~~חמשה~~ ששה
AC = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	אבל קו א"ח הוא שנים
AZ = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	ולכן יהיה קו א"ז שמנה
AZ = AB	וא"ב הוא שוה לא"ז
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=8}}$	אם כן קו א"ב שמנה והוא מה שרצינו לבאר

Appendix: Bibliography

Kitāb fī al-Jābr wa'l-Muqābala (the first section) / by Abū Kāmil Shujāʽ Ibn Aslam Ibn Muḥammad ibn Shujāʽ (Egypt, ca. 850-930)
– Hebrew translation –
by Mordecai (Angelo) Finzi (Mantua, d. 1475)
Taḥbulot ha-Mispar (Second Hebrew version)

Manuscripts:

Oxford, Bodleian Library MS Heb. e. 13 (IMHM: f 22714), ff. 64r-72v (cat. Neub. 2747, 2)
Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/7 (IMHM: f 15721), ff. 296r-309r (15th-16th century)

heb. 1029

Bibliography:

Lévy, Tony. 2007. L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (II). Dans l’Italie des XVe et XVIe siècles, sources arabes et sources vernaculaires, Arabic Sciences and Philosophy 17, pp. 81-107.
Yadegari, Mohammad. 1978. The Use of Mathematical Induction by Abū Kāmil Shujā‘ Ibn Aslam (850-930), Isis, vol. 69, no. 2 (Jun., 1978), pp. 259-262.

↑ marg.

↑ marg.: זכור כי מצאתי אחר זה בספר הזה פרק בהכפלת השרשי' יתבאר בו זה ולקיים דברי אלה בכתוב אין בו הפסד ואם לא יועיל

↑ תוספת ואם רצית לכפול שרש מספר ידוע במספר אחר ידוע כפול המספר האחר בעצמו והעולה תכהו במספר השרש והעולה קח שרשו והוא המבוקש
דמיון זה בקשנו לכפול שרש מספר ט' במספר ד' הכינו ד' בעצמו והיה י"ו והכינו י"ו בט' והיה קמ"ד ושרשו שהוא י"ב הוא המבוקש

↑ מא' מ"ז לאקלידס

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 1,653: / Line 1,653: @@
 |-
 |
-:*C midpoint of AH
+:*AH is cut into halfs on C [= C midpoint of AH]
 |style="text-align:right;"|נחלק קו א"ה לחצאי' על נקודת ח&#x202B;'
 |-
@@ Line 1,696: / Line 1,696: @@
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = AB = CB + AC= <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = AB = CB + AC= <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|נקבץ עמו קו א"ח שהוא אחד וחצי ויהיה כל קו א"ב ארבעה וככה שרש המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע ששה עשר
 |-
@@ Line 1,785: / Line 1,785: @@
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = AB = BC + AC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = AB = BC + AC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|ועם קו א"ח שהוא אחד וחצי יהיה כל קו א"ב ארבעה והוא השרש
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע שש עשרה
 |-
@@ Line 1,927: / Line 1,927: @@
 |-
 |
-:*L midpoint of AN
+:*AN is cut into halfs on L [= L midpoint of AN]
 |style="text-align:right;"|וחלקנו קו א"נ לחצאין על נקודת ל&#x202B;'
 |-

Difference between revisions of "תחבולות המספר"

Revision as of 03:11, 2 June 2019

Contents

Introduction

The Six Canonical Equations

The Simple Canonical Equations

Squares Equal Roots: bx=ax²

Squares Equal Numbers: ax²=c

Roots Equal Numbers: bx=c

The Compound Canonical Equations

Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c

Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx

Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax²

Multiplication of Algebraic Expressions

Roots

Multiplication of Roots by Numbers

Multiplication of Roots

Division of Roots

Addition and Subtraction of Roots

Addition of Roots

Subtraction of Roots

Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Personal tools

Namespaces

Variants

Views

More

Search

Navigation

Tools

Difference between revisions of "תחבולות המספר"

Revision as of 03:11, 2 June 2019

Contents

Introduction

The Six Canonical Equations

The Simple Canonical Equations

Squares Equal Roots: bx=ax2

Squares Equal Numbers: ax2=c

Roots Equal Numbers: bx=c

The Compound Canonical Equations

Squares and Roots Equal Numbers: ax2+bx=c

Squares and Numbers Equal Roots: ax2+c=bx

Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax2

Multiplication of Algebraic Expressions

Roots

Multiplication of Roots by Numbers

Multiplication of Roots

Division of Roots

Addition and Subtraction of Roots

Addition of Roots

Subtraction of Roots

Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Search

Squares Equal Roots: bx=ax²

Squares Equal Numbers: ax²=c

Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c

Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx

Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax²