קצור המספר

קצור המספר מהרב ר' יהודה ן' בירגה אחר אשר מכירת הקרקעות בארץ תלויה במספר שנים אחר היובל. וכן אמה העבריה בפריון במספר שנים קודם השביעי הנה ראוי לאדם להתחבר בחכמת המספר לבל יובן איש את עמיתו אכתוב לך בו ראשי פרקים. ואומ' כי האחד אשר הוא חוץ לנפש הנה הוא נרדף לנמצא ולזה ימצא בפעל במאמרות העשרה ויהיה הוראתו בטבע מאמ' מאמ' ואשר הוא בנפש הוא ממאמ' הכמות. והנה בהכרח שמה שימצא בנפש בפעל שיהיה מציאותו חוץ לנפש בכח והאפשרות לפחות כי כל פעל נפשי אשר לא ימצא חוץ לנפש כלל הנה הוא פעל בדוי וזה הכח והאפשרות בדברים הוא הכח אשר ב[הם] [א] להתפרד במחשבה מפני חלוף ענין נמצא בו וכן כח בהם להתחבר במחשבה מפני דמיון מה שימצא בדברים. אמנם כאשר תפרד הנפש הנה יהיה האחד נאמ' בהקש אל אשר הוא חוץ ממנו כלומ' זה דבר מוגבל ונפרד בפני עצמו בדבר מה משאר הנמצאות בענין שנאמ' אחת היא יונתי תמתי וכאשר תחבר הנפש הנה יהיה האחד נאמ' בהקש אל חלקיו כלומ' אלה החלקים כלם הם אחד ושלם בצד מה בענין שנאמ' והיה המשכן אחד. והנה המפרשים הבינו פי' הפסוק הייחוד כפי העניין הראשון לפי שהם הבינו כי אותם השמות רומזים לסבת הסבות כלם. אמנם המקובלי' שקבלו שהם רומזים לשפע משפע מאתו ית' בספירות. ותוארי מדות פרשו אותו כפי הענין השני.. ואמנם אחדות סבת הסבות כלם הנה למה שאין בו אפשרות להתחלק לדברים שונים כי אינו מורכב ולא להתחבר כי אין דומה לו להיותו מחוב[ר] עמו הנה אותו האחדות אינו מתחלק ואינו מתרבה ואין כח בנפש לפעול בו זה. ולזה נאמ' עליו בזוהר אנת הוא אחד ולא בחשבון ואמנם אחדות הנמצאות מאתו ית' הנה לפי שכל נמצא מהם יש לו דמיון מה עם נמצא אחד לפחות בהיותם נמצאים אפי' שיהיה זה בהם בקדימה ואיחור הנה באחדותם כח להתרבות ולהכפל ולהיותם למספר אחד אע"ף שבצורתם העצמית יהיו נפרדים ונבדלים וגם לפי שבהם חלוף מה יש בהם כח להתחלק ולהפרד אע"ף שהם אחדים בצורה בו לזה המספר מונה כל הדברים כי העשרה מן המספר ד"מ ימנה לי' מהאנשים וכן ימנה וכן ימנה לי' מן הסוסים. והנה המספר הוא קבוץ אחדים בלתי רמוזים. והיה הנפש כפועל לו והאחדות כנושא ולפי שלפעמים תשוב הממד מדוד והמספר ספור ויקרה לאנשים שימנו באצבעותיהם והיו האצבעות עשרה כמספר הספירות הנה כל האנשים הסכימו לעשות עד עשרה כלל אחד ועשרה פעמים זה כלל שני. ועשרה פעמים הכלל השני כלל שלישי. וכן תמיד מהרכבת העשרה מהכלל הקודם יולד כלל אחד. וסדר הכללים הוא זה. אחדים עשרות. מאות. אלפים. עשרת אלפים מאת אלפים אלף אלפים א עשרת אלפי אלפים מאת אלפי אלפים. אלף אלפי אלפים וכזה עד אין קץ והנה עשו מכל ג' כללים סדר אחד לפי שבג' נמצא התחלה ואמצע ותכלית. ואמנם הנפש בחבר הנפרדים היה מין אחד מהמספר שנקרא הקיבוץ. ומפועל הנפש בהפרדה היה מין שני מהמספר שיקרא המגרעת. ומפועל הנפש בהכפיל הדברים היה מין שלישי מהמספר שיקרא הכפילה. ומפועל הנפש בהפריש הכפלים נמצא מין ד' והוא החלוקה ומפעל הנפש בהכפל כפלים או חלקיהם על מספר מה כאשר תכפול על מספר אחר היה מין ה' והוא הערכים. ומפעל הנפש בהפריש הכפלים במספר האחדים אשר בכל כפל נמצא מין ששי שנקרא השרשים ואלה המינים אם שיהיה עסקם במספרים שלמים ומזה הצד כלם סוג אחד ויקרא השלמים ואם שיעסקו בשברי מספרים ויהיו כלם סוג אחד ונקרא שברים וכבר קראו לזה מין בפני עצמו ושלמו בו במספר ז' מינים המין הא' בקיבוץ הכוונה בו לקבץ שני מספרים או שלשה או יותר לידע סכום מניינם. והנה ראוי שיסודרו כל כלל מהם תחת הכלל הדומה לו. כיצד אחדים תחת אחדים ועשרות תחת עשרות וכן השאר. ואחר תתחיל לקבץ האחדים כלם ותכתבם במקומם. ואם יעלו מהם עשרות תקבצם עם העשרות אם היו שם עשרות. ואם יעלו מהם עשרות ומאות תקבץ העשרות עם העשרות והמאות עם המאות. ואם אין שם עש[.]רות או מאות תכתבם בפני עצמם. וכל זה בשערך האחד העשרות שעלו מן האחדי' כאלו הם אחדים בתוך מדרגת העשרות כמו שאתה משער העשרות לאחדים במדרגתם וכן המאות שעלו מהם בתוך מדרגת המאות ויהיה המשל בזה רצינו לקבץ אלף ותשעים ושמונה עם תשע אלפים ושישים ושבעה והנה החלונו באחדים ואמרנו שמונה ושבעה הרי הם ט"ו נכתוב הה' אחדים תחת האחדים והעשרה נחשוב אותו כאלו הוא אחד בתוך העשרות ונקבץ אותו עם התשעה והששה עשרות ויעלו י"ו נכתוב הו' במדרגת העשרות. והעשר שהוא עשר עשרות נכתוב אותו בפני עצמו במדרגת המאות. ונחשוב אותו כאלו הוא אחד ר"ל מאה אחת. עוד נקבץ האלפים והיו עשרה והנה לפי שאין שם אחדי אלפים נכתוב במדרגתם ספרא. ונכתוב העשר במדרגתם. עוד נקבץ האלפים והיו עשרה ונכתוב עשרה במדרגתם והיו שם לאחר הכל כמו שהוא בצורה הזאת ואם עשית אמת בזה הנה בשתגרע אחד המספרים הראשונים מהמקובץ יצא המספר האחר כי כן דרך כל מורכב מפשוטים כי כשתמצא הפשוט האחד בעצמו הנה בהכרח שימצא השני בפני עצמו כמו שנתבאר בפילוסופיא המין הב' במגרעת הנה כשנרצה לגרוע מספר ממספר יותר ממנו נסדרם תחלה כל מדרגה תחת הדומה לה ונתחיל לגרוע ממדרגת האחדים. והנה אם האחדים אשר במספר הגדול היו יותר מהאחדים אשר במספר הקטן נגרע מהם אחדי המספר הקטן והשאר נכתוב אותו תחת מדרגותם ואם היו להפך הנה אז נקח אחד מאחדי העשרות מהמספר הגדול ונתיכהו לאחדים ויהיה לעשרה עם אחדי המספר הגדול. ואז נגרע מהם אחדי המספר הקטן ונכתוב השאר תחת מדרגתם והנה אז ישארו עשרות המספר הגדול חסרים האחד אשר לקחנו מהם. ואם אין במדריגת העשרות שום עשר לקחת ממנו עשר אחד לשום על אחדיו ויש במדריגת המאות שום מאה הנה נקח משם שום מאה אחד ונתיך אותו לעשרותיו שהם עשרה במדרגת העשרות ונקח מהם עשר אחד ונשארו שם תשעה ונכתוב אותם שם והעשר שלקחנו משם נשים אותו על אחדיו ואז נגרע מהם האחדים של המספר הקטן. ויהיה המשל לזה רצינו לגרוע ממאה ושבעה חמישים ותשעה הנה לפי שאין בו בשבעה לגרוע ממנו התשעה וגם לא מצינו במדרגת העשרות של מספר גדול שום עשר הנה נקח המאה אשר לו ויהיה לעשרה במדרגת העשרות ונקח מהם אחד לשום על האחדים ונשארו שם תשעה ואחר גרענו מהשבעה עם העשרה תשעה ונשארו שמונה. עוד נגרע מאשר מהתשעה שנשארו במדרגת העשרות החמשה עשרות של המספר הקטן וישארו תחתיהם ארבעה. ואמנם המאה לא נשאר מהם דבר כבר עשינו אותו עשרות אם כן הנשאר מן הכל הוא ח' וארבעים. ואם עשית חשבון אמיתי בזה הנה כשתשוב לקבץ שני המספרים התחתונים ר"ל המספר אשר גרענו והמספר הנשאר יעלה המספר הג' והוא הגדול אשר גרענו ממנו המין הג' בכפילה הנה הכוונה בזה לכפול מספר מה במספר אחדי מספר אחד או אחדים ועשרות או אחדים ועשרות או אחדים ועשרות ומאות. וכן אפשר שתוסיף עד אין תכלית. והנה כשתרצה לכפול אותם תסדרם במדרגתם כמספר ותתחיל לספור המספר ההוא שרצית לכפול אותו כל מדרגה ומדרגה ממנו במספר האחר אשר במספר האחר. והנה אם מכפילת אחדיו יעלו גם עשרות אז תכתוב האחדים במדריגתם והעשרות עם העשרות אחר שתחשבם לאחדים בתוכם וכן תעשה אם מכפילת האחדים יעלו גם מאות תכתוב העשרות במקומם והמאה בתוך המאות בחשבך אותו לאחדים בתוכם. והנה המשל בזה רצינו לכפול שמונה מאות ושישים ותשעה במספר אחדי ששה שיש בו אחד. ונתחיל לפכפול מאחדיו ונאמ' ששה פעמים תשעה הם נ"ד נכתוב הד' ונשמור הה' ונחשוב אותם לה' ואחר נכפול הששה בשישים שהם במדרגתם נחשבים לששה יעלו ל"ו נחבר אליהם החמשה שחשבנו אותם מהחמישים ויעלו מ"א. נכתוב האחד במדרגת העשרות ונשמור המ' ונחשוב אותם לד'. ואחר תכפול הו' שמנה בשש מאות אשר במדרגתם הם נחשבים לשמונה ויעלו מ"ח נחבר אליהם הד' ששמרנו ויעלו נ"ב נכתוב השנים במדרגת המאות והחמישים אחריהם במדרגת אלפים בחשבנו אותם שם לחמשה כמו שהוא בזאת הצורה. ואמנם אם היה הכפילה במספר אחדים ועשרות של מספר מה כאלו תאמר שרצינו לכפול אותם הח' מאות ושישים ותשעה במספר אחדים ועשרות של ארבעים וששה הנה נכפול אותם בתחלה בכמו ו' האחדים אשר עשינו בתחלה ונכתוב העולה כל מדרגה ומדרגה במקומה. ואחר נשוב לכפול אותם בארבעים אחר חשבנו אותם לד' במקומם ונתחיל מהתשעה אחדים ויעלו ל"ו ונכתוב הו' תחת האחד שהיה בכפילת הששה בתחלה לפי ששוה הוא כפילת אחדים בעשרות שהיה כפילת הו' מהמ"ו ב[...]בשישים מהתתס"ט לכפילת עשרות באחדים שזהו כפילת המ' בט' ובכפילה הזאת לא תמצא אחדים לפי שכפילת עשרות בכל דבר יעלו עשרות או יותר ונשמור הל' מהל"ו ונשוב לכפול המ' בס' ובחשבנו אם אותם אחדים במקומם יעלו כ"ד נחבר ג' מהל' יעלו כ"ז נכתוב הז' שהם מאות תחת השנים שהיו באותה מדרגה בתחלה וישאר עשרים שהם שנים ונשמור אותו נכפול עוד הארבעים בח' מאות בחשבנו אותם לאחדים ויעלו ל"ב ונחבר אליהם שנים מהעשרים ששמרנו ויעלו ל"ד תכתוב הד' תחת הה' מהאלפים והשלשים אחריהם חשובים לג' ואחר תקבץ סך הכל כמשפט ויעלו ל"ט אלף ותשע מאות ושבעים וכזה וד' תעשה אם המדרגות יהיו רבות. ואם עשית אמת הנה כשתחלוק היוצא על כל אחד מהמספרים הנכפלים זה על זה יצא השני. ואם תרצה לדעת עד כמה מדרגות יעלו מדריגות הכפילה הנה מנה מדריגות שני המספרים הנכפלי' זה עם זה ותקבצם יחד והסר מדריגה אחת לפי שהאחדות אינו מרבה דבר והנשאר הם יהיו מדריגות המספר היוצא מהכפילה. ואמנם אם יתחברו מהמדרגות האחרונות מהנכפלים בהכאתם ומהמדריגות הסמוכות להם עד עשרה הנה אז המדרגות העולות מהכפילה יהיו כמספר מדריגות שני המספרים הנכפלים זה על זה מבלי הסר מהם שום מדרגה המין הד' בחלוקה הכוונה הראשונה בו בחלוקה בשל[ב]מים לחלק מספר גדול על מספר יותר קטן ממנו כענין שיגיע לכל אחד מהמספר הקטן חלק שוה לאחד. והמעשה בזה יהיה כן סדר ב' המספרים במדריגתם זה תחת זה כמשפט והנה אם האות האחרונה שבמספר הגדול יותר כוללת מהאות האחרונה של מספר הקטן תתחיל החלוק ממנה ועליה ר"ל מהאות האחרונה של מספר גדול על האות האחרונה של המספר הקטן ותן לי ממנה היותר פעמים שתוכל ובלבד שתשאיר בה להשלים עמו מהאות הסמוכה לה לאות הסמוכה לאחרונה מהמספר הקטן אם יצטרך לו. וכן אם יהיה שם יותר אותיות שישאר בה או בשנית לה להשלים עמו באות השלישית ממנה לאחרונה אשר מהמספר הקטן אם יצטרך אליו והנה המשל בזה רצינו לחלק שמונה מאות ועשרים ושלשה למאתים ושבעים ושמונה והתחלנו מהאות האחרונה מהמספר הרב שהוא שמונה לחלקו על האות האחרונה מהמספר המעט שהיה שנים. והנה מן הדין היה שנתן לו ד' אלא כשנתן לו ככה מהאות הסמוכה לאחרונה מהרב שהוא שנים לאות הסמוכה לאחרונה מהמעט שהוא שבעה הנה לא יהיה בו די. והכוונה היתה שיקבלו כלם חלקים שוים על כן לא נתן מהח' לשנים ארבעה ולא גם כן נתן לו ג' לפי שאע"ף שיספיק השנים עם מה שישאר מהשמונה שהם ב' אחדים שיהיו נחשבים לעשרים ושנים לתת לשבעה לשלש לכ"א וגם ישאר שם אחד הנה לא יהיה די בשלש מהמספר הרב לתת לשמנה מהמספר המעט שלש לכל אחד מהם ואפילו שיוריד אליו האחד שנשאר על השנים ויהיו י"ג לפי שיותר הוא ג' פעמים שמנה שהוא כ"ד על כן לא נתן מהשמנה לשנים אלא שנים ונכתוב אותם במדרגה הראשונה לפי שראוי למנות מדרגות המספר אשר נחלק ממנו למפרע אם היה בה מספר די לחלק ממנו על המספר האות האחרונה מהמספר המעט כמו שיש בכאן בשמונה די לחלק על השנים ובמקום שיכלה שם תכתוב מה שיעלה בחלוקה. ואם אין די במה שכתו' במדרגה האחרונה ההיא לתת למספר אשר הוא למדרגה התחתונה ותצטרך להעתיק אותה ממקומה ולחושבה לעשרות במדרגה הסמוכה לה כדי לחלק ממנה הנה אז תמנה מהמדרגה השנית לה ר"ל מהאות הסמוכה לה למפרע. ובמקום שיכלה שם תכתוב היוצא בחלוק ומדרך זה תדע מתחלת החלוקה לכמה מדרגות יעלה היוצא בחלוק ועתה נשלם דרך החלוקה במשל שהמשלנו ונאמר כי כבר יצא לה בחלוק שנים וכשנמנה מדריגות הנחלק עליו מהמדריגה האחרונה מהמחולק למפרע הנה יכלו במדרגה הראשונה שהיא מדרגת האחדים על כן נכתוב שם השנים תחת הג' ועל הח' במה שביניהם. והנה כשנתן לשנים האחרונים שנים לכל אחד יעלו ד' נגרע אותם מהח' ישארו ד' נתן כך וכך לז' ישארו [..] יעלו י"ד ולפי שאין בשנים הסמוכים לח' די לזה נקח מד' שנשארו מהח' שנים והשנים הנשארים נכתבם על הח'. והנה השנים שחלקנו יהיו נחשבים לכ' על השנים ויהיו הכל כ"ב נגרע מהם הי"ד וישארו ח'. עוד נצטרך לקחת שנים מאלה השמונה לשום לשום על הג' וישארו ו'. ונכתבם על הב' והב' שלקחנו נורידם על הג' ויהיו שם הכל כ"ג נגרע מהם שני פעמים שמונה וישארו שם שבעה נכתבם על הג' והנה תמצא בזה כי יצא לכל אחד בחלוקה שנים ונשארו לחלק רס"ז וכן תעשה גם שיהיו המספר הרב רבות ומדרגות המספר המעט מעטות עד שיצא בחלוקה שתים או שלש אלא שראוי שתדע שאם כבר חלקת משום מדרגה מהמספר הרב או אפי' שלא חלקת אלא שאין במדרגה ההיא כדי לתת ממנה אלא בהעתיק אותה ממקומה הנה תשים בחלוקה סיפרא לומר שאין נמצא דבר במתחלק לחלק באותה מדריגה. ולהרגילך בזה נמשיל עוד משל אחד בזה ויהיה המספר המתחלק מאתים וארבעת אלפים ושש מאות ושתים עשרה והנחלק עליו מאתים ושמונים ותשעה. והנה כבר היינו יכולים לתת משנים העליונים לשנים התחתונים אחד אלא שלא יהיה דבר בסיפרא הסמוכה לו לתת לח' הסמוכה לשנים התחתונים והנה צריכין אנחנו להעתיק השנים ממקומם על הסיפרא ויהיו עשרים ונחלק ממנו על השנים ולא נוכל לתת עשרה כי אין בחלוק יותר מאחדים ולא גם כן נוכל לתת בזה המספר לתת תשעה ולא עוד אלא שמונה כי לא יהיה די בארבעה לחלק ככה לשמונה אבל ראוי שנתן שבעה ולפי שמדרגות המספר אשר נחלק עליו הם שלשה. וכשנמנה כמספרם למפרע מהספרא שהועתק אליו השנים העליונים יכלה אל המדרגה השלישית שהוא מדרגת המאות הנה ראוי לכתו' שם אלו הז' היוצאים בחלוקה ואז נשוב ונאמר כי שבע[.]ה פעמים שנים הם י"ד נגרע אותם מהעשרים ישארו ששה. ולפי ששבעה פעמים שמונה הם נ"ו ויצטרך הד' אשר אצל הספרא להוריד אליה הו' הנשארים על הספרא נכתוב סיפרא על הסיפרא ויהיו על הד' ס"ד נגרע מהם הנ"ו ישארו שמונה על הד'. ועוד לפי שז' פעמים ט' הם ס"ג ויצטרך הששה להוריד אליהם מהשמונה ששה הנה נשארו שם שנים ונכתבם על הד' והנה הו' שהורדנו על הו' יעלו לשם ס"ו נגרע מהם הס"ג ישארו שם שלשה ונכתבם על הששה ונעשה סימן במדרגת הסיפרא לומר שכבר חלקנו ממנה ואע"ף שהיה נשאר לשם די לחלק אין ראוי לעשותו אלא בהורידו מאותה מדרגה לסמוכה התחתונה ממנה כ"ש כשישאר דבר שאין בו די לחלק או לא דבר כמו שהוא בכאן. ונשוב לחלק מהשנים שנשארו על הד' על השנים התחתונים. ודי היה בזה לתת להם אחד אלא שלא יהיה די בג' הסמוכים להם לתת כמו זה לח' הסמוכי' לשנים התחתונים ונצטרך להוריד השנים העליונים ממדרגתם על הג' הסמוכים להם והיו שם כ"ג ונכתוב ספרא סמוך לז' לומ' לא מצאנו במדרגת השנים העליוני' דבר לחלק משם ונרשום סימן תחת הד' לומ' כבר חלקנו משם ספרא כי לא מצאנו דבר יותר. ונשוב לחלק הכ"ג לשנים והנה לא נוכל לתת תשעה וכ"ש יותר לפי שלא ישאר מהכ"ג להשלים עם האחד לשמונה לכן נתן להם שמונה ויעלו י"ו נגרע אותם מכ"ג ישארו שם ז'. ולפי שח' פעמים ח' הוא ס"ד נצטרך להוריד על האחד כל אותם השבעה וישאר שם ספרא על הכ"ג ויהיו א ע"א על הא' נגרע ס"ד מהם ישאר גם כן שם שבעה. ולפי שנצטרך להורידם על השנים לספק לח' פעמים ט' שהם ע"ב נכתוב ספרא על האחד גם כן. ואחר שהורדנו אותם על השנים והיו ע"ב נגרע מהם ע"ב מכפילת ח' פעמים ט' ולא ישאר גם לשם דבר ונכתוב ספרא על השנים והנה כבר חלקנו כל המספר ולא נותר עד אחד. ונאמין זה לפי שהגיע מדרגות החלוקה עד מדרגות האחדי' וגם כן לפי שכבר חלקנו מדרגות מספר הששה למספר השנים התחתוני' והם שוים במדרגתם. ואין מקום לחלק עוד ממדרגה פחותה ממנה לשנים לפי שהם ממדרגה גדולה. וזה כפי המכוון הראשון בחלוקה שאמרנו ואם עשית באמת החלוקה הנה כשתכפול התש"ח היוצאים בחלוקה על הרס"ט אשר חלקת עליהם יהיה העולה שוה למאתים וארבעת אלפים ותרי"ב שחלקת אותם. ובזה תבחין כל חלוקה שתעשה אלא שראוי שתדע שאם נשארו לחלק שום מספרים על המספר הנחלק שראוי שתקבצם עם העולה מהכפילה ואז ישתוה למספר הנחלק. ויש מי שבקש מופת לדעת אם טעה בקבוץ המספרים בהשליך אותיות הנקבצים ט'ט' ואחזיק בנשאר וככה ישאר בכלל העולה אחרי השליך אותיותיו ט'ט'. כיצד מהשטה הראשונה לא נשאר דבר כי אם הלכו להם ט'ט'. ומן השטה התחתונה נשארו ד'. והנה אם כן נשארו ד' מהכלל העולה. והטעם בזה הוא כי אין קבוץ שני המספרים יחד דבר אחר זולתם השליך התשיעיות שהם ממין אחד כיצד כשקבצנו הח' והז' מהאחדים והיו ט"ו הנה כתבנו באחדים חמשה ועם העשרות אחד. והפלנו מהט"ו ט' וכן כשקבצנו העשרות ועלו י"ו הנה כתבנו בעשרות ששה ובמאות א' והפלנו והפלנו ט' וכן כשקבצנו האלפים הפלנו ט' וכתבנו א'. והנה אין הפרש בין המספרים הנקבצים לכלל העולה זולתי אלה התשיעיות. ואם כן בהפיל אותם ישארו שוים [.....]ים שמהשוים כשנפיל שוים ישארו שוים. כשנפיל עוד התשיעיות הנקבצים מהאחדים והעשרות והמאות וכו' מהמספרים הנקבצים וכן נפיל אותם מהכלל העולה כמו כן הנה ראוי שיהיה הנשאר בהם שוים ומזה המשפט תבין הטעם גם כן בגרעון כי המספר הנגרע והמספר הנשאר מקובצים ישתוו למספר אשר גרעת ממנו ואם כן יהיה הגרעון מתהפך לקבוץ בכח ובכפילה הנה הטעם הוא כי התשיעיות בכל מספר שיוכפלו יעלה מהם תשיעיות. ואם כן לא נשאר במספרים הנכפלים אלא מה שעלה [מכ]פילת העודף על תשיעיות בזה המספר בעודף מתשיעיות במספר ה[שני] וזהו מה שראוי שישאר בכלל העולה מהכפילה אחר הפלת תשעיותיו. [מ]מספר הכפילה תבין הטעם בחלוקה כי שניהם מתהפכים כענין הקבוץ והגרעון הכוונה השנית בחלוקה לחלק מספר קטן על מספר גדול ממנו כיון שזה בשלמים אע"ף שהחלוקה יצא בשברים נמצא זה בתוך השלמים. ונאמ' כי האנשים הרגילו בחלוקה זאת לכפול המספר הקטן בעשרה והיוצא יחלקו על המספר הרב אם היוצא יותר ממנו והיוצא בחלוקה יהיו עשיריות. ואם אין די בכפול בעשרה לחלק על מספר הרב או אם ישאר דבר לחלק אחר הכפ[ילה] בעשרה הנה תכפול אותם עוד בעשרה ויהיה היוצא עשיריות של עשיריות וכן תמיד. ומשל לאחד רצינו לחלק ד' על חמישים הנה עשינו אותם עשיריות עדין אין די. נעשה אותם עוד עשיריות יהיו ד' מאות נחלקים על החמישים יצא לכל אחד שמונה והם עשיריות של עשיריות. [ומ]של לשני רצינו לחלק ששה על חמישים עשינו אותם עשיריות היו ששים חלקנו אותם על החמישים יצא לכל אחד א' וישארו שם עשרה. נעשם עוד עשיריות ויהיו מאה נחלקם על חמישים יצא לכל אחד שנים והם עשיריות של עשיריות. ואמנם לפי שהחלוק הזה בלתי טבעי אני אומר כי נחלוק המספר הגדול על הקטן והמספר היוצא יהיה שם השבר היוצא בחלוק המשל בזה נרצה לחלק ד' על י"ב הנה נהפך המשפט ונחלק הי"ב על הד' ויצא בחלוקה שלשה ואומר כי שם השבר אשר יצא בחלוקה הוא שליש וכן הוא כי כשנעשה הד' שלישים כלם יהיו י"ב שלישים. וכשנחלקם לי"ב יצא לכל אחד שליש וכזה כל מה שיביאך אליו החלוקה הכוונה הג' בחלוקה לחלק מספר מה על מספר אחר לחלקים בלתי שוים. ויהיה משל בזה רצינו לחלק שש מאות על ג' בענין שיצא לראשון ביחס השנים ולשני ביחס השלשה ולשלישי ביחס הה' ואז ראוי שנקבץ היחסים כלם ויגיע מהם עשרה נחלוק עליהם השש מאות יצא לכל אחד שישים נכפיל זה ביחס השנים ויעלו ק"כ וזה מה שראוי לראשון. עוד נכפול זה בג' ויעלו ק"ף וזה מה שראוי לשני. עוד נכפול זה בה' יעלו ש' וזה מה שראוי לג' וכן אם אמרנו לחלקם על ג' ויהיה לראשון יחס החצי ולשני יחס השליש ולשלישי יחס הרביע. הנה נדרוש מספר ימצאו בו היחסים כלם ונמצאהו כשנכפול החצי בשליש ויהיה ו' וזה בד' ויגיע כ"ד ונקבץ החצי והשליש והרביע ויעלו כ"ו. ואחר נחלוק הו' מאות עליהם יצא לכל אחד כ"ג וחלק מי"ג ונקח חצי הכ"ד שהוא י"ב ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו רע"ו וי"ב חלקים מי"ג וזהו מה שראוי לראשון. עוד נקח שליש הכ"ד והם שמונה ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו קפ"ד וח' חלקים מי"ג וזהו מה שראוי לשני עוד נקח רביע הכ"ד והם ו' ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו קל"ח וו' חלקים מי"ג. וכשתקבץ הכל יעלו הו' מאות המין הה' בערכים הכוונה בו לדעת ערך מה שנעלם קצתו מפני ידיעתנו ערך אחר דומה לו בכללו. והנה הערך ימצא בפעל בין ד' גבולים כאלו תאמר ערך הד' אל הו' הוא כערך הח' אל הי"ב וימצא בד' גבולים באשר השנים מהם האמצעיים אחדים כאלו תאמר כי ערך הד' אל הו' הוא כערך הו' אל הט'. והנה האמצעי שם אחד בפעל ר"ל בצורה רבים בכח ר"ל כמספר הנערכים לכן המשפט נעשה בד' נערכים. ומשם יובן הג' נערכים שהם ד' כמו שאמרנו. והנה כשנודע לנו הערך האחד כאלו תאמר ערך הד' אל הו' ומהערך האחר נדע גבול אחר ונעלם גבול אחד ממנו כאלו תאמ' שנעלם הי"ב. הנה אז נכפול הגבול השני מהערך הראשון שהוא ששה בגבול הראשון מהערך השני שהוא ח' ויעלו מ"ח נחלוק אותו על הגבול הראשון שהיה ד' ויצא בחלוקה י"ב והוא המבוקש בו נשים הנעלם מהערך השני הוא ח' הנה אז נכפול הגבול הראשון מהראשון שהוא הד' בגבול השני מהערך השני שהוא הי"ב ויעלו מ"ח נחלוק אותו על הו' ויצאו ח' והוא הנעלם המבוקש. והסבה בזה הוא כל ד' מספרים נערכים הנה המשוטח הבא מכפילת הראשון ברביעי שוה למושטח הבא מכפילת השני בשלישי ועוד כי תשבורת כל משטח הוא בא מכפילת הצלעות זה בזה. ועוד כל מושטח אשר ידענו התשבורת שלו וידענו צלע אחד מצלעיו הנה ידענו הצלע האחר בחלקנו התשבורת ההיא על השטח הנודע ויצא מספר הצלע הנעלם כמו שיתבאר כל זה מהאוקלידיס.. ועליו. ועתה כאשר כפלנו הראשון שהיה ד' ברביעי שהיה י"ב ועלה מ"ח הנה לנו מושטח מה שהוא שוה למושטח השני הנעשה מהשני שהוא ו' בשלישי שהוא ח'. אם כן מושטח ו' בח' הוא מ"ח. ולפי שנודע לנו מזה המושטח הצלע הא' שהוא הו' נחלוק עליו המושטח שהיה מ"ח ויצא ח' והוא הצלע השני ממנו נודע וכן במשל האחר מן הג' המספרים הנערכים כי ידענו שהמושטח הבא מן הראשון בשלישי שוה למושטח השני בעצמו כי הנה אם נעלם המספר הראשון או השלישי הנה נכפול השני בעצמו ונדע תשבורת הראשון בשלישי ונחלק התשבורת על הראשון אם היה הוא נודע או על השלישי אם הוא הנודע ויצא לנו הנעלם. ואמנם אם נעלם השני הנה נכפול הראשון על השלישי ויצא לנו תשבורת השני על עצמו נבקש שורש אותו התשבורת והוא יהיה המספר השני המין הו' בשרשים דע כי מספר שרשי למספר אחר יאמר כאשר תכפול אותו בעצמו ויעלה לכמו אותו המספר האחר בלא תוספת ומגרעת ויאמר מספר מרובע ל על מי שימצא לו מספר שרשי כזה. ודע כי כל מספר הוא שורש ואין כל מספר הוא מרובע אבל כל המספרים מרובעים זוגי מספר במספר כמספר המרובעים שעברו עד המרובע האחרון מהם כיצד הא' הוא שורש עצמו ומרובע בעצמו. והד' הוא מספר מרובע הנה ביניהם זוגי מספרים שהם הא' והשלש כמספר המרובעים שעברו שהיה הוא האחד. עוד הט' הוא מספר מרובע והנה בין הד' והט' זוגי מספרים שנים והם הה' והו' והז' והח' כמספר המרובעים שעברו עד הט' שהם שנים והם הא' והד'. עוד הי"ו הוא מספר מרובע הנה בין הט' והי"ו זוגי מספרים ג' והם הי' והי"א והי"ב והי"ג והי"ד והט"ו כמספר המרובעים שעברו עד הי"ו והם ג' הא' והד' והט' וכן לעולם. ועוד דע כי המרובע הראשון הוא נפרד והשני זוג והשלישי נפרד והרביעי זוג וכן לעולם וזה כענין שרשיהם כי שורש המרובע הנפרד הוא נפרד ושורש המרובע הזוג הוא זוג. וכשתכפול הנפרד בנפרד יעלה נפרד והזוג בזוג יעלה זוג. והנה סדר השרשים אחד נפרד ואחד זוג תמיד כי הא' שורש הא' והוא נפרד. והב' שורש הד' והוא זוג. והג' שורש הט' והוא נפרד וכן תמיד.. עוד דע כי מדרגות השורש ראוי להיות בחצי מדרגות המרובע ועוד חצי מדרגה וזה כי כבר אמרנו בהכפלה כי נדע המדרגות העולות מכפילת כל מספר במספר בקבץ מדרגתם והסר מהם אחד. ולפי שבשרשים מדרגות הנכפלים שוים לפי שהוא נכפל בעצמו ראוי אם כן להיות מדרגות השורש חצי מדרגות המרובע. ועוד מדרגה אחת בשניהם שהוא חצי מדרגה לכל אחד על כן לא יתכן לבקש שורש למדרגות שום מרובע כשיהיו זוגות כי לא יתכן להיות חצי מדרגה אלא בשרשים שמדרגתם נפרדים שבהם כי ימצא חצי מדרגה. וכשנוסיף מדרגה אחרת ימצא בהם מדרגה שלמה. ואם כן בכל מספר שמדרגתם זוגות ראוי להוריד האות האחרונה מהם לסמוכה לה ואז יהיו מדרגתם נפרדות ויהיה חצי מדרגתם עם החצי מדרגה שנוסיף מדרגות שלמות והם יהיו מדרגות השורש. והנה נתחיל למנות מהמדרגה העליונה עד חצי המדרגות למפרע ושם נכתוב המדרגה העליונה מהשורש ועד שם יגיע. עוד דע כי כשנחשב חשבונות במספרים הנה כל מה שנקרב אל הפשוטים אא ואל האחדים יהיה יותר ידוע לנו מהמתרחקים מהם ולזה חבור אחדים מה עם אחדים כמעט שהוא מושכל ראשון ואינו כן במספרים הרחוקים המורכבים כי נצטרך למלאכה לדעתו. ולזה כשנתור לדעת שורש כל מספר מרובע אין ראוי לנו לבקש השורש כלו ביחד אבל חלק אחר חלק עד תומם. ולכן נתחיל לבקש תחלה שורש האות אשר במדרגה העליונה אם הם נפרדות. ואם הם זוגות תורידה אל הסמוכה לה ותעשה שם עשרות ובקש מספר שרשי שכשתכפלהו על עצמו יעלה כמוהו או כל מה שאפשר ממנו ותכתבהו במדרגתה כמשפט שאמרתי לך ותכתוב הנשאר באותה מדרגה עליה ורשום שם סימן לומ' כבר חלקנו משם עוד דע כי כפולת כל מספר בעצמו הוא כמו כפולת מדרגותיו כל אחת בעצמה ובאחרת. ומשל לזה. רצינו לכפול י"ב על י"ב והם קמ"ד הרי הוא כמו כפילת העשר שבמדרגה העליונה עם העשר האחר והוא ק' וכמו כן כפילת השנים על השנים והם ד'. וכמו כפילת העשר העליונים בשנים התחתונים שהם כ' ועוד כפילת השנים העליונים בעשר התחתונים שהם כ' אחרים והנה כשתקבץ הכל יעלו קמ"ד. והנה דרך בקשת שורש קמ"ד ראוי אם כן להיות בזה אחר שמדרגותיו נפרדים נבקש שורש המאה והוא עשר ונכתוב א' במדרגה השנית כי היא חצי המדרגות ועוד חצי מדרגה ולא נשאר דבר בק'. ואחר נאמ' אי זה מספר הוא אשר כשנכפול אותו בעשרה והעשרה בו יכלול המ' או קרוב שאפשר ממנו וכשנכפול אותו על עצמו יכלול הד' עם מה שישאר מהמ' אם יהיה שם נשאר כי בזה ישלם כפילת כל מדרגותיו כמו שאמרנו ונמצא כי הוא השנים נכתוב אותו סמוך לאחד וזה כי כשנכפול בו העשרה יהיו עשרים. וכשנכפול אותו בעשרה יהיו עשרים אחרים הרי המ' נכללים וכשנכפול אותו בעצמו יעלו ד' וכשנקבץ הכל יעלו קמ"ד הרי ששרשם הוא י"ב. ומזה תשכיל ותדע לעשות אפי' שיהיו המדרגות רבות. ולפי שאין כל מספר הוא מרובע הנה כבר ישאר מספר מה על המספר הנחלק אחר שהוצאנו ממנו המרובע. והנה אע"ף שזה ראוי לעיין בו בשברים הנה לפי שהוא בשלמים נדבר בו בכאן ואומר כי בהכרח שישאר שם פחות מכפל השורש. ועוד אחר שאלו היה נשאר שם יותר היינו יכולין לתת אחד יותר ממה שהוצאנו בשורש הראשון כי לא יתרבה בזה מכפילת השורש השני הזה אלא האחר בשורש הראשון והשורש הראשון באחר והאחר בעצמו. והנה די בנשאר לזה ועתה כשנבקש לכלול הנותר הזה בהוסיפנו חלק מה השבר הנה נראה אי זה שבר הוא אשר כשנכפול אותו בשורש והשורש בו והוא בעצמו יכלול הנשאר והוא יהיה השורש. ואם לא תמצא שבר כזה בקש הקרוב אליו ויהיה משל אחר לזה רצינו לדעת שורש תשע מאות ושבעים ושלשה אלפים ומאה ושמונים ושנים. ולפי שמדרגותיו זוגות נוריד הט' על הז' ויעלו צ"ז נבקש שורש שבהכפלו יגיע לזה או היותר שאפשר ממנו והוא יהיה הט' נקח חצי המדרגות שהם שהם עד מספר הז' כי המדרגת הט' אין למנות אותה שכבר הורדנו אותו ממדרגתו והם שתים וחצי ונוסיף חצי מדרגה עוד ויהיו שלשה מדרגות אם כן תחת מספר האחד נכתוב הט' שיצא לנו לשורש נכפול אותו בעצמו יגיע פ"א נגרע אותו מצ"ז ישארו שם י"ו. נכתוב האחד שהוא העשרה על הט' והששה על הז'. ונרשום סימן על הז' שכבר שרשנו משם ואין לבקש משם עוד שורש עוד נשוב לשרש מהשלשה ונוריד עליו הששה שנשארו על השבעה וגם האחד שנשאר על הט' ויחשבו עליו לקס"ג. ונאמר אי זהו המספר שכשנכפול אותו בט' והט' בו יכלול הקס"ג. וכשנכפול אותו בעצמו יכלול האחד אשר אצלו. עם מה שישאר מהעליונים ממנו. ונאמר כי הוא השמונה כי אם נתן ט' לא יספיק לכל והנה הח' כפול בט' הם ע"ב והט' בח' ע"ב הם קמ"ד נגרע אותם מהקס"ג ישארו י"ט נקח מהם ז' להוריד על האחד לכלכל משם לח' כשנכפלם בעצמם וישארו שם י"ב נכתוב השנים על השלשה והעשר שהוא אחד על הששה ונכתוב סיפרא על האחד שנשאר על הט' העליונה והנה לנו על האחד אשר בחשבון עם הז' שהורדנו עליו ע"א נגרע ממנו ח' פעמים ח' שהוא ס"ד ישארו שם שבעה ונכתבם עליו. ונשים סימן על השלשה לומ' כבר שרשנו משם. ונשוב עוד לשרש ממדרגות האחד ר"ל ממה שנשאר עליו והוא ז' עם כל הנשאר למעלה ממנו שכשהורדנו עליו יהיו קכ"ז. ונאמ' אי זהו מספר אשר כשנכפול אותו בט' והט' בו יכלול הקכ"ז האלה או היותר ממנו שאפשר וכשנכפול אותו בח' והח' בו יכלול השמונה הסמוכים לו עם מה שנשאר למעלה או היותר שאפשר וכשנכפול אותו על עצמו יכלול השנים עם מה שנשאר במדרגות אשר למעלה או כל מה שאפשר מהם ונאמר כי הוא מספר הששה ונכתבם במדרגת האחדים והנה אין עוד שורש אחר זה. ונאמר כי ששה פעמים ט' וט' פעמים ששה הוא ק"ח נגרע אותם מקכ"ז ישארו י"ט נקח מהם עשרה להוריד על הח' הסמוכים לכלכל לח' התחתונים כשנכפלם בששה והששה בהם ישארו שם ט' נכתבם על הז' ונכתוב ספרא על האותיות העליונות שנשארו על הששה ועל הששה והנה העשרה שהורדנו על הח' יעלה לשם עם הח' לק"ח נגרע מהם צ"ו מכפילת ששה על הח' והח' על הו' ישארו שם י"ב. ולפי שנצטרך להוריד ד' על הב' לכלכל לו' כשנכפלם בעצמם ישארו לשם ח'. ונכתבם על הח' עוד הנה הד' שהורדנו על השנים עם השנים עלו למ"ב נגרע מהם ששה פעמים ששה שהם ל"ו ישארו שם ששה שנכתבם על הב' והנה יצא תתקפ"ו ונשארו עוד תתקפ"ו אחרים שלא מצאנו שורש בשלמים שיכלול גם אותם על כן נבקש אותו בשברים ונאמ' אי זהו מספר אשר כשנכפול אותו בתתקפ"ו והתתקפ"ו בו ונכפול אותו בעצמו יכלול זה ונאמר כי הוא החצי בקרוב אלא שחסר לנו רביע לכלכל לכפילת החצי על עצמו. ויבחן המעשה הנה כאשר תכפול השורש היוצא על עצמו שראוי להשתוות למספר אשר בקשת שורשו כשתחבר אל הכפילה הנשאר על המספר שבקשת שורשו המין הז' בשברים והיא דמות כל המינים כלם. ואומר בראשונה כי צורך גדול לזה הוא ידיעת המרת שברים בשברים או הפך שני שברים או יותר לשבר אחד.. אמנם שברים לשברים כאלו תאמר נמיר רביעיות לשישיות הנה אז תחלוק הו' אל שישיות על הד' מהרביעיות ויצא אחד וחצי והנה שישית וחצי הוא הרביע. או נאמר נמיר רביעיות לשלישי רביעיות נכפול ג' בד' של ג' רביעיות ויהיו י"ב נחלקם על ד' של רביעיות ויצאו ג'. והנה הרביעית הוא ג' שלישי רביעיות. או שנאמ' נמיר הרביעיות בשלישי חמישיות נכפול הג' בה' ויעלו ט"ו נחלקם על ד' ויצאו ג' וג' הרביעיות. והנה הרביע הוא ג' חמישיות ועוד ג' רביעיות חמישיות. או שנרצה להפך שני שברים לשבר אחד היותר קרוב שאפשר. ויהיה המשל רצינו לדעת שבר ראשון שבו ישתתפו עשיריות בח' עשיריות. והנה בתחלה ראוי לבקש המספר הראשון שבו ישתתפו ויהיה כזה. בתחלה נדע אם הם משתתפים למספר ימנה אותו. ואם משתתפים בב' מספרים נבקש היותר גדול והנה העשרה והי"ח משתתפים בשנים אשר ימנה אותם ונדע במה ימנה לעשרה בה' ולי"ח בט'. ואחר נכפול הי' בט' ויהיו תשעים או הי"ח בה' והוא יהיה המספר הראשון שבו ישתתפו העשרה והי"ח. ועתה הנה העשירית יהיה הט' מתשעים שבו מנה השנים לי"ח. והח' עשיריות יהיה הט' מתשעים שבו מנה הב' לעשרה. ואם יהיו ג' מיני שברים כאלו תאמר העשירית והשתים עשירית והח' עשירית הנה בתחלה נבקש מספר ראשון שישתתפו בו העשירית והשתים עשירית ונמצא אותו בבקש המספר הגדול שימנה שימנה אותם והנה הוא הב' בכאן כי ימנה לי' בה' ולי"ב בשש והנה הו' והה' יהיו הב' מספרים אשר הם על פחות מספרים אשר על יחס הי' והי"ב ולכן אם תכפול העשר בו' או הי"ב בה' יעלו ס' והוא יהיה המספר הקרוב שישתפו בו הי' והי"ב עוד ראה המספר הגדול שימנה לס' האלו ולי"ח כי הוא הוא הששה כי ימנה לס' בי' ולי"ח בג' תכפול הס' בג' ויעלו ק"פ והוא המספר הראשון שישתתפו בו שלשתם. ואם תרצה לדעת כמה הוא העשירית ממנו הו' מונה לי"ב בג' המונה לי"ח ויעלו י"ח והוא העשירית. ואמנם השתים עשירית כפול הה' המונה לי' בג' המונה לי"ח ויעלו ט"ו והוא יהיה הב' עשירית ואמנם הי"ח עשירית הוא יהיה הי' המונה לס' כמו שהששימית יהיה השלשה המונה לי"ח אם רצינו לדעת אותו אלא שאין המכוון בכאן אלא בשלשת השברים הראשונים שהם הי' והי"ב והי"ח. ודע כי אם לא ישתתפו המספרים במספר ימנה אותם הנה אז ימצא המספר שישתתפו בו השברים ההם בכפול האחד על האחר כאלו תאמ' חמישיות ושישיות שאין דבר שימנם אלא האחד הנה המספר הראשון שימצאו בו אלה השרשים הוא השלשים הבא מכפילת הה' בו' ואז החמישית הוא שם השבר. ר"ל הששה והשישית הוא בא משם השבר האחר ר"ל החמשה. ואם היו שלשה מספרים בלתי משתתפים במונה כאלו תאמ' השלשה והארבעה והחמשה הנה המספר שישתתפו בו ימצא בכפול הג' בד' ויהיו י"ב ואחר הה' בי"ב ויהיו ס' והנה המספר שמצאו השברים האלו. והנה השלישית בכפול הד'. וימצא הרביע בכפול הג' בה'. וימצא החומש בכפול הג' בד'. ועתה נדבר במינים הנאמרים בשברים ונתחיל בקיבוץ כמנהג המין הא' בקבוץ השברים ונתחיל בקבוץ שני שברים שלא ימצא להם מספר שימנם. ונשים משל לזה. רצינו לקבץ שני שלישיות בג' רביעיות. הנה נבקש מספר ראשון שישתתפו בו הג' והד' ולפי שאין דבר א ש[.]ש שימנם אלא האחד לא ימצא אלא בכפול אחד מהם באחר ויהיו י"ב והנה השליש הוא ד' כמו שאמרנו נכפול השנים ממספר השלישיות בד' ויהיו ח' והם הב' שלישיות עוד הרביע הוא ג' נכפול בהם הג' ממספר הרביעיות ויהיו ט' והנה הג' רביעיות נקבץ הח' והט' ויהיו י"ז חלקים מי"ב נחלקים על י"ב ויצא אחד שלם וישארו עוד ה' חלקים מי"ב וזהו העולה. ואם נרצה לקבץ ג' מספרים כאלו תאמר ב' שלישיות וג' רביעיות וד' חמישיות הנה לפי שלא ימנה לשברים הללו אלא האחד אכן הנה לא ימצא מספר ראשון שישתתפו בו אלא בכפול והיו י"ב וזה בה' ויהיו ס' וזה יהיה דמות השלם אשר נבקש שבריו. והנה השליש ימצא בכפול הד' בה' שהוא עשרים ושני השלישים ימצא בכפול השנים בעשרים ויהיו מ'. והרביעי ימצא בכפול הג' בה' ויהיו ט"ו. וג' הרביעיות יהיו (... והד' חמישיות) בכפול הד' בי"ב ויהיו מ"ח. ועתה נקבץ המ' והמ"ה והמ"ח ויעלו קל"ח (ג) ונחלק אותו על הס' שהוא דמות השלם ויצא שנים שלמים ועוד י"ג חלקים מס'. ומזה תבין לד' שרשים או יותר ואמנם אם ימצא לשברים מספר שימנם בו שימנה האחד לאחר הנה יכול היית לעשות כדין הנאמרים למעלה אלא שלא יהיה השלם ההוא המספר הראשון שישתתפו בו אותם השברים שהוא היותר נאות לפי שהוא ראשון ומספר יותר קטן והשכל יקיף בו ובשבריו יותר מ[קרה]. ולזה ראוי לבקש להם המספר הראשון שישתתפו לשלם. ויהיה המשל בתחלה לזה בב' שברים שימנה האחד לאחר כאלו תאמר רצינו לקבץ שני שלישיות בד' תשיעיות. ולפי שהשלש מונה לט' בג' נשים השלם הט' ויהיה השליש ג' כמספר אשר הוא מונה בו לט' נכפול אותו בב' ממספר השלישיות יעלו ו' והם הב' שלישיות נקבץ אותם לד' מהתשיעיות יעלו עשרה נחלק אותם על הט' יצא אחד שלם ועוד תשיעית אחד. ואם לא ימנה האחד לאחר אבל ימצא מספר אחר שימנה אותם כאלו תאמר רצינו לקבץ ג' רביעיות בד' שישיות שימנה אותם הב' והוא היותר גדול שימנם אמנם לד' בב' ולו' בג'. הנה אז נמצא המספר הראשון שישתתפו בו בכפול הד' משם הרביע במספר המונה לשישיות שהיה ג' ויעלו י"ב או בכפול הו' משם השישיות במספר המונה לד' שהיה ב' והוא יהיה דמות השלם. ואחר נמצא הרביע משם הג' שמנה בו הב' לו'. וג' רביעיות בכפול הג' בג' ויעלו ט'. וכן נמצא השישית משם השנים שמנה בו השנים לד'. וד' חמישיות (שישיות) בכפול הב' בד' ויהיו ח'. ונקבץ הח' והט' ויהיו י"ז ונחלק אותו על הי"ב ויצא אחד שלם. ועוד ה' חלקים מי"ב בשלם. ומזה וממה שאמרנו בתחלה ביסודות לדבר בשברים תשכיל ותדע איך תעשה אם יהיו השברים ג' מינים או יותר המין הב' במגרעת הכונה בו לגרוע שברים משלמים או שברים משברי' גדולים מהם. ויהיה המשל תחלה תגרע חמש שמיניות מאחד שלם הנה אז מבואר בעשותנו השלם כלו שמיניות ויהיו שמונה נגרע מהם הה' נשארו ג'. ואמנם בגרוע שברים משברים דומים גם הוא מבואר כי אם נרצה לגרוע ג' שמיניות מה' שמיניות ונשאר ב' שמיניות. אמנם מה שיש בו עיון הוא בשהם שברים מתחלפים. כיצד רצינו לגרוע ב' רביעיות מו' שישיות שמיניות. הנה אז נצטרך לבקש המספר שישתתפו בו שני השברים. וזה ימצא בכפול שם השבר באחר שהם ד' וח' והוא ל"ב. ולפי שהרביע הוא שם השבר האחד והוא ח' וב' זה הרביעיות והוא י"ו. והשמינית הוא שם השבר האחר והוא ד' וו' שמיניו' הם כ"ד. הנה בגרענו הי"ו מהכ"ד ישארו ח' והם חלקים מל"ב בשלם שהם רביעיתם. אמנם אם רבו שמות המספרים השברים והנה המספר שישתתו בו יהיה גדול מאד ויכבד העיון בו וימנה השבר האחד לשבר האחר כאלו תאמר רצינו ד' שמיניות מי"ב שש עשיריות. והנה המספר שישתתפו בו על דרך כפילת שם השבר באחר יהיה קכ"ח והוא מספר גדול להקיפו שכל המונה הנה אז ראוי שנדע באי זה מספר ימנה השמורים לי"ו והוא בב'. ונכפול הד' מהשמיניות בשנים המונים ויהיו ח'. ונגרע אותם מי"ב וישארו ד' והם חלקים מי"ו שהם רביעיתם ואם אמנם לא ימנה השבר האחד לאחר בכללו אבל ימנהו בחלקיו ר"ל שימצא מספר אחד שימנה לשניהם. כאלו תאמ' רצינו לגרוע ח' שנים עשיריות מי"ד ו' עשיריות הנה אז נבקש המספר היותר גדול שימנם והוא הד' והנה ימנה לי"ב בג' ולי"ו בד'. ונכפול הי"ב בד'. או הי"ו בג' ויעלו מ"ח. והנה השש עשיריות הוא וח' שנים עשיריות הוא ל"ב. ואמנם הו' עשיריות הוא הג'. וי"ד ו' עשיריו' הוא מ"ב ועתה כשנגרע הל"ב מהמ"ב ישארו שם י' והם חלקים ממ"ח. ואם תרצה עוד להקטין שם היוצא הנה בקש עוד המספר הגדול שימנם ותחלוק עליו שם המספר היוצא ושם מספר השבר ויצא מספר יותר קטן מיוחס לראשון. והמשל בזה עוד הנה נדע אי זהו המספר הגדול שימנה לעשרה ולמ"ח והנה בכאן הוא השנים ונחלוק עליו העשרה ויצאו ה' וכן נחלוק המ"ח עליו ויצאו כ"ד. והנה הי' חלקים ממ"ח הם כמו חמשה חלקים מכ"ד שיצאו לנו באחרונה. ואמנם אמיתת זה המין יבחן בשוב לקבץ מה שגרענו מן עם היוצא ויהיה שוה למספר הגדול שגרענו ממנו כענין בשלמים המין הג' בכפילת השברים הנה הכוונה שתכפול שבר מה ביחס שבר מה אל השלם כאלו תאמר נכפול רביע א' ברביע פעם. והמעשה בו שתכפול הרביע ברביע ר"ל ד' על ד' ויהיו י"ו ותכפול האחד באחד ויעלה א' והנה העולה יהיה אחד מי"ו שוה רביע מרביע. לכן אם תרצה תאמר בכפילת רביע ברביע שהעולה הוא רביע מרביע. וכן תאמר בכפילת רביע בשליש שהוא רביע משליש. ורבים תמהו איך הכפילה בשלמים מרבה ומוסיף. והכפילה בשברים גורע ופוחת. והאמת כי הפחת והגרעון לא קרה לי מפני הכפילה מסבת זה מוסיף כיצד אם רצית לכפול ב' שני שלישיות בד' חמישיות. הנה מצד הכפילה הולך ומוסיף הוא כי נכפול הב' בד' ויעלו ח'. אבל החסרון קרה מצד השברים כי נשבור העולה הזה פעמים אחד בזכרנו שלישיות. והב' בזכרנו חמישיות. עד שמזה הצד יתחייב כי הח' שנתרבו לנו יהיו חלקים מט"ו שיצא לנו מכפילת השלש בחומש. ר"ל משבירת שניהם. ומן הדין הוא זה כמו ש--- שאראך במשל הראשון שהמשלנו שהוא כפילת רביע ברביע כי העולה הוא רביע מרביע. וזה כי לו אנחנו שכפלנו אחד ברביע מה יהיה העולה רביע אחד. ולפי שאנחנו לא כפלנו בו אלא רביע בהכרח שיהיה העולה רביע מרביע. ומזה תבין כי יש בכפילת המספרים דמות אמצע ושתי קצוות. וזה כי כפילת הרבים השלמים בשלמים מוסיף וכפילת שברים בשברים גורע. וכפילת הא' בעצמו לא יוסיף ולא יגרע והנה האחד ראשית השלמים וסוף השברים. והנה ידמה זה למה שהיה בטבע כי כשיעמוד אדם על מים עמוקים הנה יראה צורתו במים הפוכה. ר"ל ראשו למטה ורגליו למעלה. והרגל ראשית האדם אשר בחרבה וסוף צורת האדם אשר במים. וכמו שכל מה שיגאה ראש האדם אשר בחרבה כן ישפל ראש כל צורת האדם אשר במים כן כל מה שיתרבו המספרים השלמים יחסרו השברים הנגדים לו. כיצד אם לקחנו השנים ה- שנתרבה על האחדות ככדי כפלו. כן כשלקחנו החצי שהוא נגדי לו לפי שהוא אחד משנים גרע מהאחדות החצי וכן כשנקח השלשה הנה נמצא כי הוסיף על האחד שלשה כפלים. כן כשנקח הג' גרע מהאחד ג' חסרונות עד ששב לשלישיותו. וכן בשאר והנה תמצא לזה כי יחס האחד אל השברים הנגדים לשלמים ההם וזה כיחס השנים אל האחד הוא כיחס הא' אל החצי. וכן יחס הג' אל הא' הוא כיחס הא' אל השליש וכן לאין סוף אם כן הוא אמצעי ביחס ואמנם כפילת השברים בשלמים נקל לדעתו ותמצאהו בכפול מספר השלמים במספר השברים והעולה תחלקהו על שם השבר והוא יהיה העולה כיצד רצינו לכפול ב' שלישיות בד' שלשים. הנה נכפול הד' על השנים ויעלו ח' נחלקהו על שם השבר שהוא שלש ויצא לנו שני שלמים ושני שלישיות וכן כפילת שברים בשברי שברים יהיה נקל אחרי אשר תשיב השברי שברים לשם שבר אחד כיצד רצינו לכפול שני שלישיות בג' רביעיות שליש אחד הנה בהכפלה בהתחלה נשיב הג' רביעיו' שליש אחד לשבר אחד ונמצאהו בכפול ד' של רביעיות בג' של שליש ויעלו י"ב והנה השליש הוא ד' כמו שאמרנו וג' רביעיות הם ג' אם כן הם ג' חלקים מי"ב ועתה תכפול השני שלישיות בשלש חלקים מי"ב כפי מה שאמרנו והוא יהיה העולה מכפילת השבר בשבר השבר שהמשלנו. ומופת זה המין הוא החלוקה כענין בשלמים ויצא היוצא המין הד' בחלוקת השברים הנה כשרצינו זה נחלוק מספר השברים על מספר השברים. וכן שם השבר על השבר ויצא שם השבר השלם היוצא. כיצד רצינו לחלק ששה שמיניות בשני רביעיות והנה נחלק הששה לשנים ויצאו ג' וכן נחלק הח' על הד' ויצאו שנים. ויהיה היוצא בחלוקה ג' חלקים משנים השלם שהוא אחד וחצי. והמופת על זה כי כשנכפול אחד וחצי בשני רביעיות יצאו ג' רביעיות שהוא כמו הו' שמיניות והנה בזה יתמה האדם יותר. ואומר איך נאמר שיוכל לתת הדבר מה שאין לו. ואיך נאמר שיתן הו' שמיניות אחד שלם וחצי והוא אין לו. אמנם התיישבו' הנפש בזה הוא שנאמר לו אלו חלקנו ח' שמיניות שהוא אחד שלם לד' רביעיות שהוא אחד גם כן מה היה היוצא שמונה שמיניות שהוא אחד כי בחלוקת א' על א' יצא אחד. ועתה אם חלקנו הח' שמיניות על חצי הד' רביעיות שהוא שני רביעיות אינו דין שיצא בחלוקה כפלים מאשר היה יוצא לד' רביעיות ויהיו שנים כמו שאלו חלקת אותם על כפל הד' רביעיות שהם שנים היוצא בחלוקה חצי אחד. והנה לפי שלא חלקנו בכאן ח' שמיניות. אבל ג' רביעיותיו שהם ו' שמיניות אינו דין שנגרע מהיוצא בחלוקה שהיו שנים הרביע מהם וישארו א' וחצי כמו שעשינו. ונשוב להתיר הספק שאמרנו שאיך יתן דבר מה שאין לו. ואומר כי בחלוקה לא יתן דבר מה שאין לו כי החלוקה הוא במספרים לא בשמות השברים כמו שאמרנו בכפילת השברים והנה כשחלקנו הו' שמיניות על הב' רביעיות הנה לא נתן הו' לשנים אלא מה שיש לו והוא ב' לכל אחד. אבל מפני שהשברים המקבלים שהם שני הרביעיות קצרה ידם במחצה מהכיל מה שיקבל השלם הושב להם היוצא כפל מהיוצא לשלם ויקרה להם כמו שקרה לאיש אחד שהיה מחלק לאיש מדה אחד של שעורים לכל אחד מבהמותיו ליום אחד. והנה בהמה אחת מהן היתה חולה ושבורה ולא ולא הכילה לאכלה מדה אחת ביום אחד אבל בשני ימים. והיה לה כאלו נתנו לה לחם משנה מאשר לשאר הבהמות. אע"ף שבאמת אינו כן אבל היה בה בהתייחסות אכלה וכזה הענין כאן. אלו חלקנו הח' שמיניות לא' שלם היה יוצא לו כל אותם הח' שמיניות. ועתה כשחלקנו אותם על ב' רביעיות שהוא חצי אחד בהכרח שיספיקו להם כפל ממה שיספיקו לאחד השלם. ויהיה כאלו נפל להם שנים עשרה שמיניות שהוא א' וחצי וזהו בהתייחסות אל חסרונם הא' אבל לא בשלוח המין הה' בערכים הנה זה מבואר ממה שדברנו בשלמים וממה שידענו שזה המין מורכב מכפילה וחלוקה וכפי האמות בהם ככה ימצא האימות בזה המין הו' בשרשים דע כי ענין השרשים בשברים דומה לעניינים בשלמים וכבר אמרתי כי האחד הוא ראש השלמים וסוף השברים. והנה כמו שהאחד מספר מרובע ואם תרצה לדעת המרובע הסמוך בשלמים תצטרך לשום ביניהם זוג מספרים או זוגי מספרים כמספר המרובעים שעברו. כן הענין בשברים כי בין האחד שהוא המרובע הראשון להם ובין השבר המרובע הראשון זוג שברים אחד. וזה כי בין האחד והרביע שהם מרובעים הנה יש ביניהם זוג שברים והוא החצי והשליש. וכן בין הרביע והתשיעית שני זוגי מספרים כמספרים שעברו והם החמישית והשישית והשביעית והשמינית. וכמו שהשנים הסמוך אל האחד הוא שורש הארבעה שהוא המרובע הסמוך לראשון כן החצי שהוא אחד מהשנים הוא שורש הרביע. וכמו שאין לשני מרובעים [ול]או לשלשה שורש וכן אין לשני פעמים ד' ולא לג' פעמים ד' שורש כן אין לשני רביעיות ולא לג' רביעיות שורש מכפילת מספר בלתי מרובע במספר מרובע יולד בלתי מרובע כמו שממספר מרובע במרובע יולד מרובע וזה כי מכפילת הד' בט' יעלו ל"ו והוא מספר מרובע. וכן מכפילת הד' בי"ו יעלו ס"ד והוא גם כן מספר מרובע וכן תמיד. ובכללו אומר כי אם תרצה לדעת השברים אשר יהיה להם שורש הנה ראה השלמים אשר להם שורש. וגזור מהם שם לשברים והם יהיו. כיצד הד' יש לו שורש וכן הרביע יש לו שורש. ועוד הט' יש לו שורש וכן התשיעית. ועוד הי"ו יש לו שורש. וכן אחד מי"ו יש לו שורש. ועוד אומר כי כמו שהשנים הוא שורש הד' כן החצי שהוא אחד משנים שורש הרביע. וכן כמו שהשלש הוא שורש התשעה כן השליש הוא שורש התשיעית וכל וכן לעולם. ודע כי זה שאמרתי כי לא ימצא מרובע בין מרובע למרובע כאלו תאמ' בין הא' והד' ובין הד' והט' וכן בין הא' והרביע או בין הרביע והתשיעית צריך שיובן בשלמים או בשברי' כל אחד בפני עצמו. אבל בשברים שלמים כבר ימצאו לבלתי תכלית. כיצד הנה כשתכפול הא' והחצי באחד והחצי יעלו ב' ורביע והנה לו שורש. והנה כשנכפול אחד ושלש באחד ושלש יעלו (אחד) וז' תשיעיות יש לו גם כן שורש וכן באחד ורביע או אחד וחמישית ולאין תכלית. וא"ת והלא המספר סמוך זה לזה. וכיון שהאחד ושליש תחת שני תשיעיות משורש השנים והאחד וחצי הוסיף ממנו רביע והנה בין שיחסר שני תשיעיות או יוסיף רביע אפשר שנמצא מספר שישתוה כפילתו למספר השנים ויהיה שורש לו. נשוב ונאמר כי האמת כי ימצא בכח אבל לא בפועל. ואמנם נמצא בכח מצד שהוא מדובק ולא נמצא בפעל מצד שנפרד והיה למספר. והיה זה כענין שיאמר ן' רשד כי כל קו אפשר שיתחלק בכל נקודה ממש. ואמנם כשנתחלק בפעל באחר נמנע בסמוכה לה. ואמנם אפשר מצד שהוא מדובק לפי שאפשר שנעשה מרובע שיהיה תשבורת שנים ובהכרח שימצא לו [.]צלעות ואפשר לעשותן שוות והוא השורש. ואמנם נמצנע השורש מצד המספר לפי ששורש הג' במשל א"א ששיהיה שלם כי האחד יגרע והשני יוסיף. וגם א"א שימצא בשלם ושבר לפי שכשנכפול השלם בשלם וגם השלם בשבר אפשר שיצא מזה שלם. אבל כשנכפול השבר בשבר היוצא יהיה שבר השבר והוא לא יתחבר עם השבר וכ"ש עם השלם שיצא מכלם שורש שלם.. הנה אלה המינים יספיקו כאשר הם בשאלות הפשוטות. ואמנם במורכבות צריך להרכיב בהם בדרכים הנאמרים כיצד אדם שאל שאלה אחת בור רק יש לו גובהו י"ב אמות ובכל לילה מתמלא שלישיתו וביום הסמוך -- יחסר רביעיתו בכמה ימים עם לילותיהם יתמלא כלו. והנה זאת השאלה מורכבת מהמגרעת והכפילה וזה כי בתחלה צריך שנגרע הרביע מהשליש וישאר אחד משנים עשר. ואחר נכפול זה בי"ב ויהיו י"ב (?) ובאותן הימים ימתמלא הבור עוד שנית ממון היה לי בכיס ולקחתי שלישיתו ורביעיתו ונשארו י"ב כמה היה הממון. והנה זאת השאלה תשוב אל הקבוץ ואל המגרעת ואל הכפילה הערכים. אל הקיבוץ כיצד נקבץ השלישית והרביעית והיו ז' מי"ב -- בשלם נגרע אותם מי"ב ונשארו ה' נעריך ונאמר אם כל שאר החלקים חוץ מהשליש והרביע שהם ה' שוים י"ב השליש והרביע שהם ז' כמה יהיו שוים נכפול ז' בי"ב ויעלו פ"ד נחלקם על ה' ויצאו י"ו וד' חמישיות והוא מספר השליש והרביע נקבצם עם הי"ב והיו כ"ח וד' חמישיות והוא היה הממון אשר בכיס ויש מורכבת משני חכמות ומשני מינים כיצד שאל אחד כותל יש לי שגובהו ח' אמות וסביבותיה נהר או חפירה יש ברחבה ששה אמות כמה צריך להיות גובה הסולם להניחו סמוך לחפירה ויספיק לעלות לגובהה של כותל כי זאת השאלת תצטרך לחכמת ההנדסא שתודיע לנו כי המרובע הסולם שהוא יתר הזוית הנצבה שוה לשני מרובעים הנעשים הא' מהחפירה והב' מהכותל ואחר שהודיענו זה נכפול הו' בעצמו שהוא החפירה ויעלו ל"ו וכן נכפול הכותל בעצמו שהוא ח' ויעלו ס"ד ונקבץ הל"ו אל הסד ועלו מאה ונקח שרשם והוא עשרה והוא יהיה גובה הסולם. עוד מורכבת ממספר מה ומספרים מתייחסים כמו ששאל א' אי זהו מספר אשר כשנשליך חציו ועוד חצי אחד ומן הנשאר חציו ועוד חצי אחד וישאר אחד בינינו הנה בתחלה נבקש מספר שימצא החצי וחצי החצי וחצי חצי החצי וזה ימצא באשר נאמר כי החצי ימצא בשנים וחצי החצי בד'. וחצי חצי החצי בח'. והנה כשנשליך מח' החצי וחצי החצי וחצי חצי החצי ישאר אחד. [..] א"כ מכל ח' ישאר אחד בזה הדרך. ואמנם כשנשליך מח' החצי ועוד חצי אחד. ומהנשאר החצי ועוד חצי אחד. ומהנשאר החצי ועוד חצי אחד. ישאר בינינו שמינית אחת. ועתה צריכין אנחנו לחבר לזה המספר מספר אחר שהשליך החצי וחצי החצי וחצי חצי החצי ישארו ד' (7?) שמיניות להשלים לאחד שלם ונמצא אותו בערכים שנאמ' אם במספר ח' ישאר אחד באי זה מספר ישארו ז' שמיניות ויצא לנו שהוא מספר השבעה. אם כן בקבצנו מספר הז' הזה אל מספר הח' יעלו ט"ו והוא יהיה המספר המבוקש ת"ם של"ע ת"ם