ספר המספר / אליהו מזרחי

א 1 ספר המספר להחכם האלהי מוהר"ר אליה המזרחי ז"ל : בקוסטנטינא קרית אדוננו המלך הגדול והאדיר שולטאן שולימאן ירום הודו ויתנשא : בשנת שתים עשרה למלכו:

בבית צעיר המחוקקים קטון התלמידים גרשם בן הח"ר אשה בן החכם המופלג הר"ר ישראל נתן שונצין בן שמואל בן ה"ר משה ז"ל והוא נלחם בעיר פירט נגד הרשע פרא יואן די קאפישטראנו וגרש אותו עם כל חילו משם : והוא היה דור חמישי למה"ר משה משפירה הנזכר בתוספות מטוך : שנת כי גר הייתי בארץ נכריה

רצונך סבריך לחסר תסדר זה כנגד זה למולם : ותגביהי לשבת בימני בשפל השמאלי הך במקלם : ותוסיף עוד להכות כן שניים שפל ימין כגובה מ-שמאלם : והמספר מעט מרב תחסר והנותר כתוב זכר לעולם : בהכותך שתי אלה פעמים הלא תראה באלכסון שבילם : ומכתך בפעם זאת שלישית ישרה היא והם תוכו לדגלם : והעולה כתוב אותו למטה לנותרך וזה חסור משולש : והמופת קחה חסור ונגדו לימין או שמאל דרוש בגילם : והשמר לבל תשים מרובה מעט מהשניים שים טפלם : והך אלכסונית פעמים והעולה תקבץ כל נטילם : והך דרך ישרה עם שפלם ותחת המקובץ הם זבולם : כנגדם רב דרושך שים שתים פעמים הך באלכסון במילם : ואם צעדו פעמיהם בשוה שבריך בחזקתם ותלם : וחשבונך בלי ספק אמתי בעסקיך יהיה שלום בחילם : שמע וראה בחון שירי ידידי אשר עמם רצונך תם ונשלם :

ואשא עוד משלי ואומר

אני יוסף בנו יואל ליחס בני ביבאם ספרדים וגרים : לבקשת ידי תלמיד חמודות אליהו למשפחת גברים : בכל מעלות ומדות ה חשובות מעוטרת מפוארת לדורים : לזכרון אשורר ו אזמר זמירותי בחסור ה שברים :

  ב"ק יברך ב 2

אמר אליה

בן ב"ר אברהם המזרחי יעמ"ש . להיות שהידיעה העיונית נחלקת לשלשה חלקים . האחד מהם נקרא החכמה האלהית והפילוסופיא הראשונה . והשני יקרא החכמה ההרגלית והלמודית . והשלישי יקרא החכמה הטבעית הפחותה . והיה עלת החלוק הזה אמנם הוא מפני חלוק הענינים המושכלים . וזה שהענינים המושכלים לא ימנעו מהיותם נקיים מהחומר וההתלות בו . או דבקים ונתלים בו . עוד אם היו נתלים בחומר לא ימנע מהיותם דבקים בחומר מעויין עד אי אפשר שיגיעו במחשבה נקיים מן החומר שמעויין באדם והצמח וזולתו . ואם שאפשר הגעתם במחשבה בזולת חומר מעויין ואם לא יעמדו במציאותם אלא בחומר מעויין כמשולש והמרובע וזולתו . כי כבר יגיעו במחשבה בזולת חומר מעויין היו מבשר או עצם או איזה חומר שיהיה . והיתה החכמה אשר ימשך העיון בה במה שהוא נקי מהחומר תקרא האלהית . ואשר ימשך העיון בה כמה שהוא דבק בחומר מעויין תקרא החכמה הטבעית . ואשר ימשך העיון בה במה שהוא דבק בחומר אך לא בחומר מעויין . וזה במחשבה זולת המציאות תקרא החכמה הלמודית . והיה נושא החכמה הלמודית כדמות ממוצע בין נושא החכמה האלהית והטבעית והממוצע הוא אשר בו חלק משני הקצוות כאשר התבאר בחכמה הטבעית הנה מן המחוייב עלינו אם כן להרבות עיוננו ושקידתנו תמיד בזאת החכמה אחר שהיא משותפת לכל החכמות מצורף לזה כי הוא מהמבואר בעצמו שזאת החכמה היא במדרגת הגשר אשר בו

תעבור מחשבתנו מאלה הדברי' הגשמיים המוחשי' אל הדברים הנמצאים המושכלים

ויעבור שכלנו מאלה הדברים הגשמיים אשר גדלנו בם מנערותנו והרגלנום אל הדברים הזרים אצלנו אשר לא הרגילום חושינו אשר הם בדקותם דומים לנפשותינו ושאין דרך אל ידיעת מיני מה שנאמר שהם נמצאים באמת אלא באלו האומניות הארבעה שהם הארמתיקא וההנדסא והתכונה והמוסיקא אשר הם מיני זאת החכמה או חלקיה וכמו שכל מלאכה מן המלאכות יצטרך לעושיה אל בקיאות במלאכתו ודמיון יתיישר ממנו בהוצאת דרושו כן אלו

החכמות במלאכת הפלוסופיא : א ב

  ובאשר היה זה כן והיו שני חלקי החכמה הזאת שהם המספר וההנדסא אמנם הם

יותר נכבדים ויותר קרובים אל הפלוסופיא הראשונה משני חלקיה האחרים שהם

התכונה והמוסיקא . למה שהיה נושא חכמת המספר אמנם הוא המספר המשותף לכל חומר . אי זה חומר שיהיה . ולא נושא המוסיקה . כי הוא ואם היה משותף לכל מיני הקולות . אמנם הוא מספר קוליי לבד לא זולתו . וכן נושא ההנדסה אמנם הוא המשותף לכל השיעורים אי זה שיעור שיהיה ומאי זה חומר שיהיה . ולא כן חכמת התכונה כי נושאה אמנם הוא החומר הגלגליי לבד ועל צורת כדור לא זולת זה . הנה אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שנבאר מאלה הארבעה חלקים השנים חלקים לבד לחשיבות נושאם והדמותם בנושא החכמה האלהית .. אמנם להיות שחכמת המספר ואם היא משותפת ומתדמה לחכמת ההנדסה לסבות שזכרנום אולם היא יותר קודמת בטבע מחכמת ההנדסה . וזה שכאשר נעלה המספר נעלה ההנדסה ולא יעלה הוא בהעלות ההנדסה . וכאשר ימצא ההנדסה ימצא המספר . ולא ימצא הוא בהמצא המספר . וזה שכאשר תהיה המדידה אין ספק שיהיה החשבון עמה . כי כשיהיה במדות משולש או מרובע או בעל שמונה תושבות ודומיהם . הנה כבר השתמשת בזה במלאכת החשבון . ולא תמצא מלאכת המדות דקה מן החשבון המצטרך לשמות הנגזרים מהם . ואמנם הפך זה כבר יתכן כי כבר ימצאו השלשה והארבעה ודומיהם מושגים במחשבה ואם לא היו הגדלים נגזרי השמות מהם ידועים וכאשר היה זה כן והיה זה גדר הקודם בטבע הנה אם כן המחוייב מזה שיהיה המאמר

בזאת החכמה ומשפטי הדבור בה יותר ראשון בקדימה מכל שאר החכמות :

ואולם הסבות המניעות אותי בדבור ואם כבר קדמוני בזה החכמים

הקדמונים הנה הם שתי סבות .. הסבה
האחת שכל הקדמונים אשר הגיעו חבוריהם אצלינו בזאת

החכמה אמנם השתדלו בהודעת הדרכים והאופנים אשר בם יגיעו בכל דרוש מדרושי זאת החכמה ולא היתה עיקר כוונתם רק לקצר הדרכים המישרים אל ידיעתם לבד לא זולת זה והדרכים ההם הם בעיני התלמידים כחלום בלי פתרון כי לא ידעו אופן הגעת הדרוש מהדרך ההיא ואיך היתה הסבה במציאותו וממששים קיר כעורים . והסבה השנית היא כי כאשר יעלמו מהתלמידים סבות הדרכים המיישרים אל ידיעתם הנה לא ידעו רק דרכי המחבר אשר התעסקו בדרכיו ואולם דרכי שאר המחברים לא ידעו מוצאם ומובאם אבל יהיו הדרכים ההם סגורים ומסוגרים אין יוצא ואין בא וכל שכן שלא יוכל לחדש מעצמו דרך ותחבולה בשום דרוש מדרשי החכמה הזאת וכל שכן בשאלות הנופלות בזאת החכמה שלא יוכל להשיב מהם רק מהשאלות אשר התעסק בהם לבד לא זולתם וכבר ידעת שעקר החכמה הזאת אמנם הם השאלות הנופלות בזאת החכמה כי בהם נגיע אל החקירות העמוקות שבזאת החכמה : ובאשר היה זה כן וכבר נוספה על אלה הסבות סבה אחרת גם כן והיא אהבת התלמידים היקרים ז"ל אשר בקשו ממני לחבר להם ספר מודיע כל הדרכים אשר השתמשו בהם כל הקדמונים אשר הגיעו חבוריהם אלינו מחוברים בסבותיהם ומופתיהם ממה שהיה בו מהאפשרות עד שיהיה זה סבה שיפקחו עיניהם בתחבולות זאת החכמה ודרכיה ומוצאיה ומובאיה ולא יכולתי להשיב פניהם ריקם למה שכבר דמוני בזה שבידי להועילם תועלת גדול וכאלו אהיה אני המונע תועלתם אם לא אפיק רצונם שלזה ראיתי לחבר זה הספר להם ולכל הדומים להם ואולי שישמחו בי גם כן קצת מהחכמים ואם כבר יקל זה בעיניהם למה שינצלו מהטורח והחקירה הצריכה לזה . ודע כי כבר תמצא בתוך החבור הזה דרכים חדשים חדשתים שם וחורפות נכבדות ואם

  ג 3 הם צריכות לטורח גדול כי כוונתי להודיע תחבולות זאת החכמה כי רבוי הדרכים ופלפולם יעזור אל מציאות הסבות בדרכים ההם ולא תקוה ממני ולא תוחיל שאודיע לך כל הדרכים האפשריים למציאות הדרושים המספריים .. אבל עם הסבות והמופתים אשר כתבתי לך תוכל לדעת תחבולות המחברים כלם ועקריהם אשר בידיעתם כבר תובל אם חנן השם לך שכל לחדש כאלה וכאלה ומעתה אתחיל במה שיעדתי לדבר ומהשם יתברך

אשר הוא העוזר אשאלה עזר להחל ולכלות וזה החלי :

המספר היא חכמה יודעו ממנה אופני התחבולו' והדרכים המיישרים אל ידיעת

הדרושים המספריים בקלות מבלי יגע ועמל : ולהיות שאי אפשר לכל

דורש החכמה הזאת להגיע אל זה אלא אחר הקדמת ידיעת מספר הדרושים המספריים כי הדרושים אמנם יהיו תחלה דרושים עוד אחר זה יהיו תולדות .. הנה אם כן מהמחויב עלינו לחלק הדרושים המספריים תחלה .. אחר זה נביא המאמר המודיע אופן כל אחד ואחד מהם איש על דגלו ואיש על מחנהו באותות .. ר"ל עם המאזנים אשר בם יאוזן דרך כל אחד

ואחד אשר בהם יודע הצדק מהכזב והריוח מהאבדה ..

וטרם החלי בחלוק הדרושים המספריים אודיע גדר המספר כי זהו הקודם מכל

מה שנכוין לדבר בו . כי לולא זה לא נוכל לדעת חלוקי המספר כי הדורש

בידיעת חלקי דבר מה אי זה דבר היה הנה אמנם מהמחויב לו לדעת תחלה מהות הדבר ההוא אחר כן יחלק אותו לחלקים אם אל מינים ואל אישים אם היה אפשר זה או אל אישים לבד . וכאשר היה זה כן הנה אם כן מהמחויב עלינו לחקור תחלה בידיעת גדר המספר . ואומר שהמספר הנה גדרוהו הראשונים בספר הארתמטיקא בהעברה מן המאמר שהוא קבוץ האחדים או האחדיות . עוד גדרוהו כשהוא כלל הכמות המורכב מהאחדים .. ואמרו שהוא בדרך העברה הוא מפני שלא הזכירו בו סוג המספר ולא הבדלו . כמו שהוא מהמחויב לכל הגדרים . ואמנם גדרוהו בהעברה כי אין כוונתם הנה אלא הרושם לבד לא זולת זה . והרושם כבר יהיה בזולת זכירת סוג והבדל כמו שהוא מהמבואר לכל מי שעסק מעט במלאכת ההגיון . אולם גדר המספר המודיע מהותו הוא כמה מתפרדת אשר החלק אשר בו ישוער כללותו הוא האחד והכמה הוא סוגו הרחוק ובו יובדל מהאיך ושאר המאמרות ומתפרדת הוא סוגו הקרוב כי בו יובדל מהכמה המתדבק . והם הקו והשטח והגשם והמקום והזמן . ואשר בו ישוער כללותו הוא האחד הוא ההבדל אשר בו יובדל מהדבור . ואו(מ)נם הוצרכנו להזכיר בזה הגדר סוגו הרחוק ואם אין מתנאי הגדר למה שאין לנו שם נפרד מורה על הכמה המתפרד כמו שעשו זה בגדר החי בהזכירם הגשם ואם הוא סוג רחוק והשתמשו עם שתי מלות גשם כאן במקום מלה אחת . ואולם אם נרצה בשם הכלל או הקבוץ שיורה על הכמה המתפרד הנה יהיה הגדר בשהוא הכלל או הקבוץ אשר החלק אשר ישוער בו כללותו הוא האחד . ואולי שכוונו לזה הקדמונים . ובאמרם המורכב מהאחדים רצו בו על שהמשער הכלל הוא האחד . כי כמו שהמורכב אמנם הוא מורכב מהפשוטים כך הכלל אמנם הוא מורכב מהחלקים הקטנים אשר ישערו הם הכלל ולא ישער אותם זולתם .. ולכן יהיה זה הגדר גדר אמתי לא רושם . אולם חלקי המספר הנה אין כוונתנו בזה אלא החלקים אשר נצטרך בם בזה המאמר . לא החלקים היוצאים מכלל כוונתנו זה כמו חלוק המספר אל הזוג והנפרד . ושהזוג ממנו זוג הזוג וממנו זוג הנפרד וממנו זוג הזוג והנפרד . ושהנפרד ממנו ראשון וממנו מורכב וממנו ראשון בערך ומורכב בערך . והדומים לאלה כי אין זה מוטל עלינו הנה במה שאנחנו בדרכו . אולם החלקים הצריכים לענייננו זה הם כמו החלקים בשהמספר ממנו מובן בעצמו לא

  יצטרך בציורו אל הזולת י' וממנו אשר לא יובן בעצמו אלא בזולתו . אולם החלק הראשון מזה הנה הם המספרים השלמים ורצוני בשלמים כמו שנים שלשה וארבעה והדומים להם כאשר לא נקישם אל זולתם . ואולם החלק השני הם השברים ורצוני בשברים בשנקיש מספר מה עם מספר אחר ויהיה האחד חלק או חלקים לאחר . משל הראשון והוא החלק בהקישך השנים עם הארבעה או עם הששה והדומים להם .. כי הב' ימנה הד' ב' פעמים והוא חצי . וימנה הו' ג' פעמים והוא שליש והחצי הוא חלק אחד משני חלקי הכל . והשליש אחד מג' חלקיו . ויקרא הגדול בשם נגזר ממני הקטן כי אם היה הקטן שליש נקרא הגדול משולש בכפל .. ואם היה רביע נקרא הגדול מרובע בכפל .. ומשל החלק השני והוא החלקי בהקישך השנים עם השלשה אשר הם שתי שלישיות או בהקישך השנים עם החמישי אשר הם שתי חמישיות .. ובכלל כאשר לא ימנה האחד את האחד והגדול אחר שהוא בלתי מנוי מהקטן והוא מהמחויב שיהיה אם כמוהו ויותר או כפל ויותר . או כפלים ויותר . ושהיותר אם שיהיה חלק או חלקים לקטן הנה נקראהו בשתי שמות שם בהקש אל מה שהוא נמנה ושם בהקש אל הנשאר הנוסף שהוא בלתי נמנה : המשל אם הקשת הג' אל הב' הנה אחר שהג' הוא כמו הב' פעם אחת ויותר . והיותר הוא אחד משני חלקי הב' הנה נקרא הג' בהקש אל הב' כמוהו וחציו . והנה שם כמוהו מורה על שהוא נמנה מהקטן פעם אחת . ושם חציו מורה על שהנשאר מהגדול ימנה הקטן והוא חלק לו : ואם הקשת הה' אל הב' הנה אחר שהה' הוא כמו הב' ב' פעמים ויותר והיותר הוא אחד משני חלקי הב' הנה נקרא הה' כפל וחצי .. והנה שם הכפל מורה על שהוא נמנה מהקטן פעמים . ושם חצי מורה על שהנשאר מהגדול הוא מונה לקטן והוא חלק לו : וכן אם הקשת הז' על הה' הנה אחר שהוא כמו הה' ויותר והיותר הוא ב' חלקים מה' חלקי הה' הנה אם כן נקרא לו שתי שמות שם בהקש אל מה שהוא נמנה ושם בהקש אל מה שהנשאר הוא חלקים לקטן : והוצרכתי להאריך בזה למה שראיתי אנשי זמננו חושבים כי השלמים הם מאחד ומעלה כמו א' או ב' או ג' או איזה מספר שיהיה והשברים הם מא' ולמטה כמו חצי הא' או שלישיתו או רביעיתו ובכלל שברי הא' ודבריהם צודקים בצד זולת צד . ר"ל בקשור והם תעו ולקחו המשולח תמורת המקושר ר"ל כי דבריהם אמנם צדקו כשהשברים אמנם הם שברי השלם האחד אבל זה האחד ראוי שתדע שהוא מספר מה יכונה בשם שלם כי כל כלל כמה הוא כלל אמנם יכונה בשם שלם בהקש אל חלקיו ר"ל כמו הב' אל הח' עד"מ שהם רביעית הח' והנה יקרא הב' רביעית הח' כשיכונה הח' בשם שלם והב' בשם חלק ויהיה הח' מרובע בכפל והוא ד' כפלי הב' זהו האחד אשר נחשב ממנו שבריו לא האחד האמתי הבלתי מתחלק כי גדר הכולל ראוי שינשא על המיוחד ואם יהיו שני מיני המספר שלמים ושברים ויהיו השברים שברי האחד הבלתי מתחלק הנה לא יצדק שם המספר וגדרו אשר הוא קבוץ האחדים .. כי האחד האמתי איננו מספר וכ"ש שברי האחד . והחכם בן עזרא נתעורר בזה ואמר ידוע כי האחד כמו הנקודה בתוך העגולה ע"כ לא יתכן להיות האחד נשבר רק בעבור שיקרא הכלל בשם האחד כמו הצורה שהיא כוללת כל הגוף והגוף מורכב ובעבור זה יעשה האדם במחשבה מן האחד שברים ושברי שברים הנה א"כ כבר התבאר לך ענין השלמים והשברים אשר המספר נחלק עליהם .. ר"ל חלקיו הפשוטים . וכבר יתחייב מזה חלק שלישי מחובר מהשלמים והשברים יחד .. הנה אם כן יחוייב מזה שיהיו חלקי המספר מזה הצד שלשה . והם שלמים לבד .ושברים לבד . ושלמים עם שברים יחד . וכבר בארנו ענינם אין צורך

להאריך יותר בבאורם :

ואחר שכבר בארנו שחלקי המספר הם שלשה חלקים : והם שלמים לבד : ושברים

 

4

לבד . וחבור השלמים והשברים יחד י . והיה הדרישה המוטלת עלינו אמנם היא הדרישה מידיעת המספר הנופל תחת המשא והמתן והיא העסק המדיניי וידיעת המדות והתמונות השטוחות והמוגשמות ודברים רבים מענייני ההנדסא אשר הם הכרחיים בידיעת חלוקי הבתים והחצרות כי זה הוא אשר נצטרך בידיעתו להנצל מהעושק והחמס אשר הזהירה עליהם תורתנו הקדושה . ובכלל לתת לכל אחד חקו והדרישה בחקירת מהלכי הכוכבים ותנועותיהם אשר לא יתכן ידיעתם בזולת ידיעתו כי זהו אשר נצטרך בידיעתו למציאות החדשים והמועדים וכל התלוים בם והיה הדרישה באלה הידיעות אמנם תישלש בשלשה מינים . והם אם תוספת מספר על מספר . או חסרון מספר ממספר . או חלוק מספר על מספר . וזה שהדרישה מידיעת המספר איננו מצד הבטתנו המספר האחד בעינו . כי המספר האחד בעינו איננו מצטרך לחקירה כלל כי הוא ענין נודע בעצמו . אולם חקירתנו בידיעת המספר אמנם הוא מצד הקשתו אל הזולת וההקשה אל הזולת כבר יחויב שיהיה אחד מארבעה פנים . אם שיהיה מצד שנוסיף אותו אל הזולת . ואם מצד שנחסר אותו ממנו . ואם לא זה ולא זה והוא הדרישה בידיעת ערך מספר ממספר ויחסו ממנו מבלתי שיהיה שם תוספת או מגרעת . ואם זה וזה והוא התוספת והמגרעת יחד . ואחר שהאופן הארבעה נמנע כי התוספת והמגרעת הם שני הפכים ולא יתכן שימצאו יחד בנושא אחד בזמן אחד מצד אחד . והנה ישארו השלשה פנים . והוא ידיעת התוספת . וידיעת המגרעת . וידיעת יחס זה אל זה . הנה מן המבואר בעצמו שכל אחד משלשה חלקי המספר שהם השלמים לבד . והשברים לבד .. וחבור שניהם יחד . שהוא יחלק עוד לשלשה חלקים אלו שהם התוספת והמגרעת ויחס זה אל זה . ולהיות שהתוספת יהיה אם בקבוץ זה על זה ואם בהכאה .. כי ההכאה אינו רק קבוץ מספרים רבים כאשר יתבאר ענינו במה שיבא . והמגרעת יהיה בחסור זה מזה ויחס זה אל זה אמנם יודע בחלוק . כי עם החלוק נדע כמות הפעמים אשר ימנה הקטן את הגדול . והנה אם לא ישאר דבר בלתי מחולק ידענו שהמספר הקטן הוא חלק לגדול והגדול כפל או כפלים לו . ואם ישאר דבר בלתי מחולק הנה אין ספק שיהיה הנשאר חלק או חלקים והנה ידענו שהגדול כמוהו וחלק או חלקים מהקטן או כפל וחלק או חלקים או כפלים וחלק או חלקים . והקטן חלקים לגדול הנה מן המבואר מזה שמיני הדרושים המספריים המצטרפים לענינינו זה הם ד' . קבוץ . הכאה . חסור .

וחלוק . וזה בכל אחד מג' מיני המספר שהם השלמים . והשברים . והשלמים עם השברים .

כי כל אחד מהם יחלק לאלו הד' מינים וכאשר היה זה כן הנה א"כ יהיו כלל מיני המספר י"ב וזהו מה שכווננו באורו . ואולם קצת מהראשונים כבר הוסיפו עוד ב' מינים זולת אלו הד' והם כפול וחלוק באמצע והוא טעו' בידם כי הכפול הוא ההכאה בעצמו רק שההכא' כולל הכאת מספר אחד איזה מספר היה עם מספ' אחר איזה מספר היה . אולם הכפול הוא הכאת מספר אחד איזה מספר היה עם מספר שנים לבד . לכן כל כפול הכאה ואין כל הכא' כפול : ואולם החלוק באמצע הוא הכאת השברים עם השלמים . רק שהכאת השלמים עם

השברים יהיה עם איזה מין שברים שיהיו . ואולם החלוק באמצע הוא הכאת

החצי עם השלמים לא שאר מיני השברים . ולכן כל חלוק באמצע הכאת שברים עם השלמים ואין כל הכאת שברים עם השלמים כחלוק באמצע . ואין לטעון על זה שכאשר אין ראוי למנות הכפול וההכאה שני מינים מפני שכל כפול הכאה ואם אין כל הכאה כפול . כן אין ראוי למנות הקבוץ וההכאה שני מינים . מפני שכל הכאה קבוץ . ואם אין כל קבוץ הכאה . וזה כי הכאת שלשה עם ששה עשר הם מ"ח .

  וכן אם תסדר ששה עשר בשלשה טורים ויקובצו יעלו מ"ח . רק שההכאה יקצר בכתיבה לבד כי לא יצטרך לכתוב שם שלשה טורים . וזה במספרים השוים לבד . אולם במספרים המתחלפים כמו מספרי י"ו י"ז י"ח עד"מ הנה אין דרך להשיבם אל מספר אחד אלא עם הקבוץ לבד . ולכן כל מה שיצדק בו דרך ההכאה שהם המספרים השוים יצדק בו דרך הקבוץ . ולא כל מה שיצדק בו דרך הקבוץ יצדק בו דרך ההכאה כי המספרים המתחלפים לא יצדק קבוצם אלא עם הקבוץ בלבד . כי התשובה בזה מבוארת בעצמה . וזה שהקבוץ וההכאה יתחלפו בפעלותם ואם תכליתם הוא אחד בעצמו . וזה בכתיבה ובסדור ובאורך ובקצור . ואולם הכפול וההכאה הוא מין אחד בעצמו בפעולתם ובתכילתם . ולו היה אפשר להשתמש עם ההכאה בכל המספרים הנוספים זה על זה לא היינו מצטרכים אל הקבוץ כלל אחר שהוא בלתי מצטרך להנחת טורים רבים ולא לפעלות רבות אבל בעבור שהמספרים המתחלפים שאינם ממין אחד לא יתכן ידיעתם אלא עם הקבוץ לבד אחר שהם מתחלפים לכן הוכרחנו להשתמש עם הקבוץ . ואחר שהיה זה כן הנה א"כ מהמחויב מזה שיהיו מיני המספר ד' קבוץ . הכאה . חסור . וחלוק . וזה אם בשלמים לבד . ואם בשברים לבד . ואם בשלמים עם השברים יחד . ואלו הם הדרושים המספריים הצריכים לעניננו זה . אולם סדורם ואופן הנחתם הנה יתבאר בחלוק מאמרנו זה אל חלקי' ראשונים . עוד כל אחד מהם אל חלקים שניים כפי מספר החלקים הראויים לכל חלק וחלק . ואומר

דע שמאמרנו זה יחלק תחלה לשלשה מאמרים 

המאמר הראשון כוונתנו בו להודיע כל הדרושים המספריים במה הם מספריים : המאמר השני כוונתנו בו להודיע הדרושים המספרים המשיגים להנדסא והתכונה

אף כי אינם למספר במה הוא מספר כאשר יתבאר בע"ה :

המאמר השלישי כוונתנו בו להודיע השאלות הנופלות במספר מצד מה שהוא מספר ובהנדסא והתכונה מצד מה שישיגם המספר . ואופן התשובה בכל אחד ואחד מהם :

והמאמר הראשון יחלק לשלשה שערים :

השער הראשון יודיע הדרושים המספריים שבשלמים : השער השני יודיע הדרושים המספריים שבשברים : השער השלישי יודיע הדרושים המספריים שבשלמים עם השברים יחד : אולם השער הראשון יחלק לד' פרקים .. הפרק הראשון . יודיע דרך הקבוץ . הפרק השני . יודיע דרך ההכאה .. הפרק השלישי . יודיע דרך החסור . הפרק הרביעי . יודיע דרך החלוק . וכן השער הב' והשער הג' יחלק כל אחד מהם לאלו הד' פרקים כי כל שער ושער יתבארו בם אלו הד' מינים הנזכרים . השער הראשון . במספרים השלמים .. הפרק הראשון במין הקבוץ . ואמנם הקדמנו זה המין מזולתו משאר מיני המספר למה שהיה מדרגתו משאר המינים מדרגת הפשוט מהמורכב .. וזה שכמו שהפשוט אמנם יורכבו ממנו כל המורכבים ולא יורכב הוא מזולתו . כן מין הקבוץ אמנם יתרכבו ממנו שאר המינים ולא יתרכב הוא מהם . וכאשר היה כן הנה כמו שיחוייב למרכיב אם בידיעה ואם במציאות שיקדים הפשוטים על המורכבים אחר שהפשוטים קודמים על המורכבים כן יחויב עלינו להקדים זה המין משאר מיני המספר .. ואומר שהקבוץ הוא השבת מספרים רבים אי זה מספרים מונחים שיהיו שוים או מתחלפים למספר אחד . והנה המתחיל במלאכה הזאת יצטרך לדעת ראשונה הסימנים ההודיים או העבריים או אי זה סימנים שיהיו המורים ובהסכמה כל המספרים . עוד אחר זה יכנס במלאכה . ולהיות שהסימנים ההודיים פשטו בכל ארץ מערב וברוב ארצות מזרח לכן בחרנו לכתוב הסימנים ההודיים בספרנו

 

5

זה מכל שאר הסימנים וזה סימנם . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ואם רצית להשתמש עם האותיות הקדושות אשר לנו הנה כזה . א ב ג ד ה ו ז ח ט 0 ואולם אופן הוראתם על המספרים הנה הוא מב' צדדין מצד הכמות ומצד האיכות . אולם הכמות הנה יורו בו בעצמם . ואולם האיכות הנה יורו בו מצד מקומם . ונרצה בכמות באשר לא נביט בהם רק מספר החלקים הנכללים בם לבד לא אם יהיו החלקים ההם אחדים או עשרות או מאות או זולת זה . כמו סימן השלשה עד"מ כשלא נביט בהם רק השלוש לבד ר"ל שהם מחוברים משלשה חלקים ולא נביט החלקים ההם אם הם אחדים והם שלשה או אם הם עשרות והם שלשים . או אם הם מאות והם שלש מאות והדומים להם . ונרצה באיכות כאשר נביט בחלקים הנכללים בם מאיזה מין הם אם הם מהאחדים או מהעשרות או מהמאות או מזולת זה מהמדרגות כי האות הראשון המורה על א לפי כמותו אם היה במקום הראשון לפי הנחת הסימנים יורה על מדרגת האחדים : והנה יהיה אחד . ואם היה במקום השני יורה על מדרגת העשרות . והנה יהיה י' . ואם היה במקום הג' יורה על מדרגת המאות והנה יהיה אז ק' . וכן בזה הדרך לעולם לפי רבוי המקומות יתרבו המדרגות המורות על האיכות . אמנם כמותו לעולם אחד רק שיתחלף האחד שיהיה פעם א' מהאחדים . ופעם א' מהעשרות . ופעם א' מהמאות . וכן האות השני המורה ב' מצד כמותו אם היה במקום הראשון יורה על מדרגת האחדים ויהיו שני אחדים . ואם היה במקום השני יורה על עשרות ויהיו אז שני עשרות שהם עשרים . ואם היה במקום הג' יורה על מדרגת המאות והנה יהיה אז שני מאות ר"ל מאתים . וכן כלם יתרבו המדרגות בהתרבות המקומות . והכמות אחד בעצמו . ואולם אם המקום אחד ויתחלפו האותיות יתרבה הכמות והמדרגה תהיה אחת בעצמה ר"ל אם שמת במקום השני ד"מ סימן הב' יורה על שתי עשרות . ואם שמת בו סימן הג' יורה על ג' עשרות . ואם שמת

בו סימן הט' יורה על ט' עשרות .

הנה כבר התבאר לך תכלית ביאור אופן הוראת האותיות האלו על המספרים

בכמות ובאיכות . ואולם הסימן העשירי שהוא כדמות גלגל הנה הוא בלתי

מורה כמות כלל ונקרא בלשון לעז נול"א והוא נגזר מינו אשר יורה בלשונם על האין : ובלשון ישמעאל סיפרא אשר יורה ג"כ בלשונם על ההעדר . ובלשון יון אוד"ן אשר יורה גם כן על האין . אמנם אף כי איננה מורה על כמות כלל אבל היא סבה על האיכות ר"ל שהאות הנמשך אחריה יורה כמותו אז על מדרגה אחרת מהמדרגה המורה מקום הנחת הסיפרא כי עד"מ אם רצינו לכתוב י' הנה נכתוב סיפרא תחלה ואחריו האות הראשון מהאותיות אשר הוא מורה על אחד מצד כמותו . והנה יורה אז על עשרה אחר שמקום הנחתו הוא אחר מקום הסיפרא אשר הסיפרא ואם איננה מורה על כמות אבל היא מורה על מדרגה ולכן האות הראשון הנמשך אחריה יורה על מדרגה נמשכת למדרגה הקודמת לה . וכן אם רצית לכתוב מאה ואחד עד"מ אשר הנחת הסיפרא אז הוא באמצע הנה אין ספק האות הראשון אז יורה על א' מהאחדים בעבור שכמותו יורה א' ומקומו מקום האחדים והסיפרא הנמשכת לה תורה על מדרגת העשרות ולא תורה על מספר כלל כי איננה מורה על כמות כאשר בארנו . והאות הראשון הנמשך לסיפרא הנה הוא יורה על א' מהמאות כי כמותו יורה א' לפי שהוא האות הראשון ומקומו יורה על מאות אחר שהוא מקום ג' . הנה שתועלת הסיפרא הוא להרבות מקום המדרגות לא זולת זה . וכן לפי הדרך הזאת כבר תוכל לכתוב איזה מספר שרצית עם אלה הסימנים הכתובים הנה אשר הט' מהם יורו על כמות והעשירי בלתי מורה על כמות כלל .

ב א

  ואחר שכבר התבאר לך הוראת הסימנים האלו למקומותם למושבותם וידיעת

הנחת המספרים עם הסימנים האלו איזה מספרים שיהיו . הנה כבר מה

שנשאר עלינו להודיע הוא הדרך אשר בו נגיע אל ידיעת זה המין .. וטרם החלי בהודעת דרך ידיעת זה המין אודיע לך הסבה אשר בעבורה היו הסימנים ט' לבד והיא שלמה שהיה כל מספר אם שיהיה פרטים לבד או כללים לבד או מחובר מהפרטי' והכללים יחד . והפרטים לבד הם המספרים אשר מא' ועד ט' . והכללים לבד הם המספרים הנמשלים לאחדים והם העשרות והמאות והאלפים והרבבות ודומיהם . והכללים עם הפרטים יחד הם המספרים המחוברי' מאחדים ומעשרות כמו כ"ה עד"מ או מהאחדים ומאות כמו ר"ג עד"מ ודומיהם . והיו הכללים נכללים תחת האחדים אחר שהם נמשלים להם כי העשרה כמו א' בחשבון וכן הק' והאלף והרבבה והב' הם כמו ב' בחשבון וכן הר' והאלפים והרבותים והשלשים הם כמו הג' בחשבון וכן הש' והשלשה אלפים והג' רבבות וכן התשעים הם כמו הט' בחשבון וכן התשע מאות והתשעה אלפים והתשעה רבבות . וכן בזה הדרך לעולם : והכללים עם הפרטים יחד הנה הם גם כן יכללו באחדים כי הכ"ה על דרך משל הנה הכ' מהם הם כמו ב' כאשר בארנו והה' הם אחדים בעצמם : וכן הר"ג הנה הר' מהם הם כמו הב' והג' הם אחדים בעצמם . והנה יתחייב מזה שיהיה כמות כל מספר נכלל בתוך הט' האחדים לכך היו סימני המספר ט' לבד ואולם הסבה אשר בעבורה הסכימו כל הקדמונים להיות האחדים ט' לא פחות ולא יתר .. הנה כבר כתבו הראשוני' בזה ובפרט החכם ראב"ע ואמרו שהסבה בזה הוא מפני שבהם ישלם העגול שאם יונחו הט' מספרי' בעגול כמו זה ויוכה הט' על עצמו יעלה

פ"א והנה הא' מצד ימין והח' שהוא כמו פ' הוא מצד שמאל והכאת 
הח' עם הט' עולה ע"ב והנה הב' מצד ימין והז' שהוא כמו הע'

מצד שמאל . וכן תמיד על זה הדרך עד שיוכה הה' עם הט' ואז יתהפך שיהיו העשרות ימניים והאחדים שמאליים וכאשר היה זה כן הנה יהיו המספרי' ט' בהכרח ואין ספק שזאת הסבה היא אמתית אבל היא סבה הנדסיית לא מספריית אולם הסבה המספריית לזה היא זאת לפי דעתי . והוא שלהיות הא' ואם הוא סבת כל מספר איננו מספר והיה המחובר ממנו אשר הוא המספר נחלק לשני מינים מתחלפים והם הזוג והנפרד הנה מן המחויב שיחלקו האחדים לשלשה חלקים ראשונים והם האחד והב' והג' כי האחד איננו מספר והשנים אשר הוא ההרכבה הראשונה הם זוג והג' אשר הם ההרכבה השנית הם הנפרד . ואלה השני חלקים שהם הב' והג' הם המספרים הפשוטים . ולהיות שהמורכבים הראשונים יחלקו לשני חלקים ראשונים והם אם שיהיו שני חלקיו יחד פשוטים . ואם שיהיה החלק האחד פשוט והאחר מורכב . והיה החלק הראשון נחלק לשלשה חלקים שניים והם אם שיהיו שני חלקיו יחד מהפשוט הראשון . ואם שיהיו שני חלקיו יחד מהפשו' השני ואם שיהיה אחד משני חלקיו מהפשוט הראשון והאחר מהפשוט השני והיה החלק השני נחלק גם כן לששה חלקים שניים והם אם שיהיה החלק האחד מהפשוט הראשון והחלק השני מהמורכב מהפשוט הראשון שהוא המין הראשון משלשה מיני המורכבים . ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט הראשון בעצמו אבל החלק האחר יהיה מהמורכב מהפשוט השני שהוא המין השני משלשה מיני המורכבים . ואם שיהיה החלק האחד ממהפשוט הראשון והחלק האחר מהמורכב מהפשוט הראשון והפשוט השני שהוא המין השלישי משלש מיני המורכבים ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט השני והחלק האחר מהמורכב הראשון . ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט

 

6

השני והחלק האחר מהמורכב השני . ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט ה[ש]ני והחלק האחר מהמורכב השלישי . והיו השלשה חלקים מהו' נופלי' כי הם נכנסים אל החלקים הראשונים והנה ישארו גם אלה שלשה חלקי" הנה מן המחויב לנו א"כ שיהיו מיני המורכבים ו' וכבר קדם שהמינים הראשונים שלשה הפשוטים השנים והאחד אשר איננו מספר הנה יהיו החלקים

תשעה בהכרח . וזה מה שרצינו לבאר .

ומעתה נתחיל בהודעת דרך הקבוץ . ואומר שכאשר תרצה להוסיף מספרים יותר

מאחד קצתם על קצת להשיבם אל מספר אחד הנה ראוי שתסדר כל

טורי המספרים זה תחת זה ושתהיה כל מדרגה תחת המדרגה הדומה לה ר"ל האחדים תחת האחדים והעשרות תחת העשרות וכן תמיד . אחר זה תחבר כמות כל הסימני' המתחלפי' או השוים אשר הם בעלי איכות אחד ר"ל במדרגה אחת והמספר העולה מהם לא ימלט מאחד מג' פנים לפי מה שקדם אם שיהיו פרטי' לבד ואם כללים לבד ואם חבור שניהם יחד ואם היו פרטים לבד הנה תכתבנו למטה באותה המדרג' עצמה אחר שתמשיך קו תחת כל הנקבצים ר"ל אם היו הנקבצים במדרגת האחדים תכתוב גם הסך במדרגת האחדי' תחת הקו המבדיל ואם הנקבצים במדרגת העשרות כתוב גם הסך במדרגת העשרות תחת הקו המבדיל . וכן בכל מדרגה ומדרגה ואם היה הסך כלל לבד ראוי שנביט הכלל ההוא מאיזה מדרגה הוא וכפי מדרגתו יונח כל אחד ואחד ר"ל אם היו הנקבצים אחדים והסך עלה כ' על דרך משל שהם כלל יכתוב שני סימנים במדרגה השנית או שתי נקודות ותחת מדרגת האחדים יכתוב סיפרא . וכן אם היו הנקבצים עשרות והסך עלה כ' על דרך משל שהם כלל יכתוב שני סימנים או נקודות במדרגה השנית לה ותחת מדרגת העשרות יכתוב סיפרא . ואם היה הסך העולה כ' מיני כללים כמו ק"כ על דרך משל הנה ראוי שיכתוב ב' סימני' או נקודות במדרגה השנית לה בעד כלל הכ' שבידינו וא' במדרגה השלישית לה בעד כלל הק' שבידינו או ירשום י"ב נקודות או סימנים מורים על י"ב על המדרגה השנית לה . ותחת המדרגה הנקבצת נכתוב סיפרא ואם היה הסך כלל ופרט יחד הנה יכתו' הכלל במקומו לפי מדרגתו כאשר בארנו והפרט תחת המדרגה הנקבצת ובזה הדרך תוכל לחבר אי זה מספרים שיהיו

אל מספר אחד ירבו מה שירבו המדרגות אין חשש בזה . המשל בזה
1 2 1 2 רצינו לקבץ אלף ומאה ואחד וג' אלפים תשע מאות ל"א וט' אלפים תשנ"ה

1 0 1 1 ונ"ז אלפים ונ"ב וכ"ח אלפי' וס"ז . הנה נסדר הטורים ונתחיל מהאחדים 1 3 9 3 מפני שאם יהיה הסך העולה כלל הנה מקום הנחתו הוא במדרגה 5 5 7 9 הנמשכת לה ולכן נקבץ האחדי' כלם והנה הם י"ו וזהו הסך העולה 2 5 0 7 5 מהאחדים ונמשוך קו אחד תחת הנקבצים ונכתוב תחתיו הסך ר"ל 7 6 0 8 2 הו' תחת מדרגת האחדים והי' אשר כמותו א' להיות שהם העשרות 6 0 9 9 9 ראוי שיכתב במדרגה הנמשכת לה אחר זה נקבץ מדרגת העשרות

והם עשרים ולהיות שהם כלל עשרות ואין שם אחדים כלל לכן
כתבנו סיפרא תחת המדרגה הנקבצת וב' במדרגה הנמשכת לה

לפי מה שקדם אחר זה נקבץ מדרגת המאות והם י"ט ולהיות שהם כלל מחובר עם האחדים נכתוב האחדי' שהם הט' תחת המאות שהוא מדרגתו . וא' שהוא כלל נכתבהו במדרג' הנמשכת לה אחר זה נקבץ מדרגת האלפים והם כ"ט ונכתוב הט' תחת מדרגתו שהוא מדרגת האלפי' והב' שהם כלל נכתבם במדרגה הנמשכת לה אחר זה קבצנו מדרגת הרבבות ועלה ט' ולהיות שהם אחדים לבד כתבנום תחת מדרגתם כאשר הקדמנו וזה סך כל המספרי' הנזכרים וא"כ ידענו שסך האלף ק"א והג' אלפים תשע מאות ל"א והט' אלפים תשנ"א והנ"ז אלפים נ"ב והכ"ח

ב ב

  והכ"א אלפים ס"ז הם תשעים ותשעה אלפים תתק"ו והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין הנה כבר כתבו הראשונים על זה שני מינים

האחד על דרך התשיעיות והאחר על דרך השביעיות אולם המין הראשון

מהם הוא שתשליך כמות כל הנקבצים ט' ט' ר"ל שלא תביט בהם האיכות והנשארים שלא הגיעו לכלל ט' שמרם .. עוד תשליך כמות הסך ט' ט' ולא תביט בהם האיכות והנשארים שלא הגיעו לכלל ט' שמרם ואם שני השמורים בלתי שוים דע שכזבת . ואם הם שוים אפשר שצדקת לא שהוא מחויב כי יתכן שיהיה הטעות ט' אם בתוספ' אם בחסרון ולכן ראוי שיקראו אלה המאזנים מאזני מרמה אחר שלא יחייב הצדק והכזב רק הצד הא' לבד . ואולם המין השני מהם הוא ע"ד השביעיות והוא שתתחיל מהמדרגה האחרונה ותחשבה לאחדים ותשליך כמות כל נקבצים לז"ז והנשאר תחשבהו לעשרו' וחברהו עם המדרגה הקודמת לה כשתחשוב אותה לאחדי' ותשליך העולה מכמו' כל נקבצים לז"ז והנשאר תחשבהו לעשרו' חברהו עם המדרגה הקודמת לה כמשפט הראשון עד שיכלו כל המדרגו' הנשאר שלא הגיעו לכלל שבעה שמרהו

עוד לך לך אל הסך ותתחיל מהמדרגה האחרונה שהיא היותר רבת האיכות וחבר

עמה המדרגה הקודמת ממנה וחשוב האחרונה לעשרות והקודמת לאחדים והשלך כמותם ז"ז והנשאר שלא הגיע לכלל ז' תחשבהו לעשרות וחברם עם המדרגה הקודמת לה ותחשבהו לאחדים והשלך כמותם ז"ז והנשאר שמרהו . וכן עד המדרגה הראשונה ואם יהיה השמור השני היוצא לך מהסך שוה לשמור הראשון אפשר שצדקת ואם לאו כזבת וגם אלה מאזני מרמה אחר שלא יחייב הצדק והכזב רק הצד האחד לבד . ואולם המאזני צדק אשר בזה המין אשר בו יאוזן הצדק והכזב יחד עם מאזני התשיעיות הוא מה שאומר שנקבץ כמות כל נקבצי המדרגה הא' ותשליך אותן ט' ט' כאשר בארנו ודע כמה תשיעיות יש בידך וכמה אחדים שלא הגיעו לט' ושמרם בידך . וקח גם הסך הכתוב למטה ממדרגתו ומהסימנים שכתבנו במדרגה שאחריה תמורת הכלל שבסך אם היה שם כלל קח מכל אחד מהם תשיעית א' וא' מהאחדים וחברם עם האחדים שבסך והעולים מהתשיעיות

והאחדים אם הם שוים לתשיעיות והאחדים שבידך הנה צדקת ואם לאו כזבת

המשל במשלנו זה הכתוב הנה קבצנו התשיעיו' והאחדי' מכל הנקבצים ממדרגת

האחדים ועלו תשיעית א וג' אחדים . אחר כן ראינו המקובץ והוא

ב' והכלל שאחריו שכתבנוהו במדרגה הנמשכת הוא א' והנה הוא תשיעית א' וא' אחד שהוא עשרה חברנוהו עם ב' אחדי' הסך והנה הם תשיעית א' וב' אחדים וככה הוא מה שבידנו מהנקבצים עוד אחר זה קבצנו התשיעיות והאחדים שבנקבצי מדרגת העשרות והנה הם ב' תשיעיות וב אחדים וככה הוא גם הסך שתחת העשרות עם הכלל הנמשך אחריו כי הכלל הנמשך ב' והם ב' תשיעיו' וב' אחדי' ותחת העשרו' הוא ספרא וא"כ הם ב' תשיעיות וב' אחדים עוד אחר זה קבצנו התשיעיות והאחדים שבנקבצי מדרגת המאות והנה הם ב' תשיעיות וא' מהאחדים וככה הוא גם הסך שתחת המאות עם הכלל הנמשך אחריו כי הכלל הנמשך א' והוא תשיעית א' וא' מהאחדים ותחת המאות ט' הנה ב' תשיעיות וא' מהאחדים עוד אחר זה קבצנו התשיעיות והאחדים שבנקבצי מדרגת האלפים והם ג' תשיעיות וב' אחדים וככה הוא הסך כי תחתיו ט' והנה תשיעית א' ועם הכלל הנמשך אחריו שהם ב' תשיעיות וב' אחדי' והם שוים למה שבידנו מהנקבצים . עוד אחר זה קבצנו התשיעיות והאחדים שבנקבצי מדרגת הרבבות והם תשיעית אחד וככה הוא המקובץ . וזה מה שרצינו לבאר ואם היו הנקבצים ב' מספרים לבד שוים או מתחלפים יהיו שם עוד מאזני צדק אחרים זולת אלו והוא חסור המספר הא' מהמקובץ והנשאר אם יהיה שוה למספר האחד הקבוץ אמת ואם לאו שקר ואם היו הנקבצים שנים מספרים שוים יהיו לו עוד מאזני צדק

 

7

שלישיים והוא החלוק באמצ' אשר הוא הכאת החצי עם המקובץ והיוצא אם הוא שוה למספר הא' הוא אמת ואם לאו דע שטעית . ולהיות שיש דרך קצר זולת זה בקבוץ קצת מינים מהמספרים אף כי אין הקצר הזה באי זה מין מספרים שיהיו רק במינים מעויינים הנה ראוי לנו להודיע גם זה אמנם למה שלא יודע הדרך ההוא אלא בידיעת מין ההכאה לכן

ראוי לנו שנמתין הענין עד באנו אל המין ההוא אם ירצה השם .

והסבה למציאות זה המין מבואר בעצמו וזה שאחר שהעשרו' והק' והאלפים והרבבות כלם

נמשלים ר"ל שהי' במדרגה הראשונה הם א' במדרגה הנמשכת לה והי' שבמדרגה

השנית הם א' במדרגה הנמשכת לה וכן תמיד . הנה אם כן אין הבדל בזה שנקח כל העולם מהנקבצים מהמדרגה האחת או שנקח האחדים שתחת אותה המדרגה עם האחדי' ששמנו במדרגה הנמשכת לה תמורת הכלל המחובר עם האחדים .. המשל בזה אם רצינו לקבץ תשכ"ג ות"ת סה ותתקנ"ז אשר הסך העולה מהם הוא ב' אלפים

תקמ"ה הנה אין הבדל שנקח כל הנקבצים ממדרגת האחדים שהם ט"ו אחדים או

שנקח הה' שבמדרגת האחדים והא' שבמדרגה הנמשכת לה . אחר שהי' באחדים הם אחד בעשרות . וכן אין הבדל שנקח כל הנקבצים ממדרגת העשרות שהם י"ג עשרות .. או שנקח הג' שבמדרגת העשרות והא' שבמדרגת המאות אחר שה' בעשרות הם א' במאות וכן תמיד . ולכן אין הבדל שנאמר שהסך העולה מהמספרים האלה הם ט"ו אחדים וי"ג עשרות וכ"ד מאות . או שנקרא הכ' מהכ"ד ב' אלפים והד' מאות נחבר עמהם הי' עשרות שהם א' במאות ונאמר ב' אלפים וחמש מאות . ונחבר עם הג' עשרות הי' אחדים שהם א' בעשרות ויהיו ד' עשרות שהם מ' והנה יהיה הכל ב' אלפים תק"מה . וזה מה שכוננו ביאורו . ואולם הסבה אשר בעבורה היו מאזני התשיעיות והשביעיות מורים על שהקבוץ איננו אמתי כאשר לא יהיו מותרי הסך והנקבצים שוים הוא מבואר . וזה שכבר התבאר בפתיחת ספר אקלי"דס כאשר חוסר מהשוים שוה יהיה הנשאר שוה . וזה דבר מוסכם לכל ואם כן יתחייב מזה בהכרח שאם מספר הסך הוא שוה למספר כל הנקבצים שיהיו מותרי שניהם שוים כאשר מוסר מהם מספרים שוים שהם מספרי התשיעיות והשביעיות וזה הקש תנאי מתדבק . וכבר התבאר בספר ההקש כי סותר הנמשך יוליד סותר הקודם . אם כן יחוייב מזה שכאשר ימצא מקביל הנמשך והוא היות המותרים בלתי שוים שיחויב מזה מקביל הקודם והוא שהסך בלתי שוה לנקבצים . וכבר היה מתנאי הסך האמתי שיהיה שוה לנקבצים לפי מה שקדם אם כן זה הסך הוא בלתי אמתי בהכרח ואין לטוען לטעון על מאזני התשיעיות על היותנו חושבים כל המדרגות כמו אחדים בין בסך בין בנקבצים ולומר שאמנם היה זה צודק ר"ל כאשר יהיו המותרים בלתי שוים שיהיה הסך בלתי אמתי אלו היינו גורעים התשיעיות מכל הסך ומכל הנקבצים אחרי שנתיך שניהם לאחדים כי אז יהיו המספרים הנחסרים שוים ויתחייב שיהיו המותרים שוים בהכרח . ואולם אנחנו אחר שחשבנו על המדרגות לאחדים הפך האמת הנה לא חוסר משני המספרים השוים מספר שוה עד יהיו הנשארים שוים בהכרח . כי התשובה בזה מבוארת בעצמה והוא שאחר שהעשרות או המאות כאשר תשליך מהם

התשיעיות לא ישארו מהם רק אחדי' וזה שהנשאר מהעשרה אחד וכן מהמאה

ומהאלף ומהרבבה וזולת זה מכל שאר המדרגו' אם כן אין הבדל בין שנחשוב כל המדרגות לאחדים או לעשרות או למאות או לאלפים או זולת זה מהמדרגות כי עד"מ מספרי ת"ש אם חשבנום לז' אחדים הנה הם ז' . ואם חשבנום לשבע עשרות הנה הנשאר מהם גם כן שבעה . ואם חשבנום לז' מאות הנה הנשאר מהם גם כן שבעה . וכאשר היה כן הנה אין

  הבדל בזה אם נחשוב כל המספרים שבכל המדרגות כמו אחדים או כמו עשרות או כמו מאות כי המותר שוה לעולם ולהיות שזה הקצור הנפלא והוא שיחשבו כל המספרי' שבכל המדרגות לאחדים הוא ענין בלתי צודק למספר אחד זולת הט' והג' על כן השתמשו בתשיעיות משאר כל המספרים והניחו השלשה לרוב קטנותו כי המספר היותר גדול בו יותך המספר בקלות מאשר יותך אל המספר הקטן ממנו . גם אין לטוען לטעון על מאזני השביעיות על היותנו חושבים כל מדרגות הסך חוץ ממדרגת האחדים לעשרות ונחבר עם כל מדרגה המדרגה הקודמת לה ונחשבה לאחדים ואם הם מאות או אלפים או זולת זה מהמדרגות ולומר שאמנם היה צודק שכאשר יהיו המותרי' בלתי שוים שיהיה הסך בלתי אמתי אלו היינו גורעים השביעיות מכל הסך ומכל הנקבצים אחרי שנתיך שניהם לאחדים כי אז יהיו המספרים הנחסרים שוים ויתחייב שיהיו המותרים שוים בהכרח . אולם אנחנו אחרי שחשבנו המדרגה האחרונה לעשרות והקודמת לה לאחדים ואם הם אלפים או מאות הפך האמתי הנה לא חוסר משני המספרים שוים מספר שוה עד יהיו הנשארים שוים בהכרח .. כי התשובה בזה מבוארת גם כן והוא שמצד הנשלכים אין הבדל שיהיו עשרות או מאות או אלפים או זולת זה המדרגות כי התשעה על דרך משל כאשר תחסר מהם שבעה אין הבדל בין שיהיו התשעה תשע האחדים ויחסרו מהם שבעה ובין שיהיו תשע עשרות אשר הז' הנשלכים ממנו אז הם עשרות ובין שיהיו ט' מאות אשר הז' הנשלכים ממנו אז הם ת"ש וכן תמיד כי כלם יכלו בשביעיות ר"ל הז' אחדים והז' עשרות והז' מאות והז' אלפים וזולת זה . ולכן אין הזק אם נחשוב המאות או האלפים או זולתם עשרות ונשליך מהם השביעיות ואם מצד המותרים אין הזק גם כן וזה שהמותרים ואם הם בלתי שוים כי מספר התשעה עד"מ אם היה אחדים הנה כאשר נשליך מהם השביעיות ישארו שני אחדים ואם היו עשרות הנה ישארו ו' אחדים ואם היו מאות ישארו מהם ד' אחדים אולם עם ההתכה יתוקן זה הענין בהכרח וזה שאחרי שאנחנו מתיכים כל אחד מהנשארים לעשרה במדרגה הקודמת לה ומשליכים מהם השביעיות וכן הנשארים מהם עוד אנחנו מתיכים כל אחד מהם לעשרה עד שנגיע למדרגת האחדים הנה אין הזק בזה וזה שהתשעה עד"מ הנה אם היו אחדים יהיו הנשארים בני אחדי' וכן אם היו עשרות יהיו הנשארים מהם ב' עשרות והנה אחרי שיש להם מדרגה אחת קודמת אחר שהם עשרות ויתחייב שנחשוב כל אחד מהם לעשרה פעם אחת במדרגת האחדים הקודמת לה הנה ישובו הב לעשרים ונשליך מהם השביעיות וישארו ו' והנה הדבר שוה כאלו חשבנום מתחלה לתשעים וחסרנו מהם השבייעות אשר יהיו הנשארים מהם ו' וכן אם היו מאות יהיה הנשאר מהם ר' והנה אחרי שישי להם שתי מדרגות קודמות להם אחרי שהם מאות ויתחייב עם זאת התחבולה שיותכו ב' פעמי' פעם ראשונ' במדרגת העשרות ופעם שנית במדרגת האחדים הנה אם כן ישובו הב' עשרים במדרגת העשרות ונשליך מהם השביעיות וישארו ששה עוד ישובו הששה לששים במדרגת האחדים ונשליך מהם השביעיות וישארו ארבעה והנה הדבר שוה כאלו חשבנום מתחלה לת"ת ק וחסרנו מהם השביעיות אשר הנשארים הם ארבעה . ואולם הסבה אשר נחבר המדרגה הקודמת לאחרונה עם האחרונה ונחשוב האחרונה לעשרות והקודמת לאחדים ולא חשבנו כל מדרגה לאחדים ונשליך מהם השביעיות אחר שבנשלכים אין חשש ועם ההתכה יתוקן המותר כאשר בארנו היא זאת שאנחנו אם נקח המדרגה האחרונה לבדה ונחשבנה לאחדים הנה המותר מהם יתחייב שיותך לעשרה ויחוייב שנחבר אותה עם המדרגה הקודמת

ונחשוב הקודמת לאחדי' והמותר לעשרות לפי מה שקדם ולכן חברנוה מתחלה

ואולם הסבה אשר לא חשבנו כל אחד לפי מדרגתו היא מפני שהעשרות

ינתכו

 

8

יותכו אליהם השביעיות יותר בקלות מאשר יותכו אל המדרגות היותר גדולות כי מהעשרה יחוסרו פעם אחת שבעה ומהמאה ארבעה עשר פעמים ומהאלף קמ"ב פעמים וכאשר היה זה כן הנה כבר התבאר לך תכלית ביאור שעם הדרך הזאת נוכל למצוא המותר מהשביעיות כמו שנמצאהו אם נתיך הכל לאחדים .. ולכן אין ראוי לטרוח בהתכת הכל לאחדים ולא בהשלכת השביעיות מכל מדרגה לפי מדרגתה אחר שזאת הדרך היא הקצור הנפלא שבדרכים ולולא שהנקבצים הם מספרים רבים בכל מדרגה אבל היינו משתמשים בם גם כן עם הדרך הזה לרוב קצורו ולכן בשאר מיני המספר אשר הטורי' המונחים אינם יותר מא' השתמשו שם גם כן עם זה הדרך כמו בסך . וכאשר היה זה כן הנה אם כן הדבר שוה כאלו התכנו הנקבצים והסך כל אחד מהם לאחדים והשלכנו מהם השביעיות וכאשר בארנו שאחדי הנקבצים והסך שוים הנה אם כן יהיו המותרים שוים בהכרח . וזהו הנרצה בזה המין מהמאזנים אלא שתמהתי מאד על הקודמים מדוע השתמשו בזה המין בשביעיות לבד אחר שעם זה המין נוכל להשתמש בכל מספר שנרצה לפי הסבה הנתונה בזה ר"ל אם רצית להשליכם שלשה שלשה או ד' ד' או ה' ה' או ו' ו' או ח' ח' או ט' ט' או י"א י"א או ט"ו ט"ו וכן תמיד וזה מספיק בידיעת זה המין . ואולם סבת המאזני צדק הנה היא ידועה בעצמה וזה שאחר שמאזני התשיעיות אמנם הם מאזני מרמה מאשר לא יוליד עין הנמשך והוא שווי המותרים עין הקודם והוא שווי שני המספרי' שהם הנקבצים והסך וזה מפני שכבר יתכן שיהיה המספר האחד מתחלף מחברו אם בתוספת תשיעיות או במגרעת ועוד יהיו המותרים שוים הנה אם כן כאשר נשמור בידינו התשיעיות והאחדים שבכל מדרגה ומדרגה והתשיעיות והמותרים שבסך שתחת כל מדרגה ומדרגה עם הסימנים הנרשמים במדרגה הנמשכת לה תמורת הכללים שבסך הנה לא יקרה מזה טעות בהכרח לא בתוספת

תשיעיות ולא בגרעונם וזה מבואר מאד .

ואולם סבת המאזני צדק השניים שהם ע"ד החסור גם היא מבוארת בעצמה .

וזה שאחר שהקבוץ הוא תוספת מספר על מספר כאשר התבאר . ואם כן

הסך הוא מורכב מב' מספרים . והחסור הוא הפך התוספת כמו שההתכה הפך ההרכבה . לכן יתחייב מזה שכאשר נחסר מהסך המספר הא' שהוא אחד משני חלקי הסך אשר הורכב

מהם שישאר החלק האחר שהוא המספר האחד ואם לאו דע שכזבת .

ואולם סבת המאזנים השלישיים שהם על דרך החלוק באמצע הנה גם היא

מבוארת מהסבה הקודמת והוא שאחר שהסך מורכב משני מספרים

שוים והחלוק באמצע הוא חסור החלק האחד משני חלקי הכל השוים הנה יהיה הנשאר הוא

החלק האחד בהכרח שהוא המספר האחד משני המספרים השוים .

וסגלת זה המין הוא כאשר נקבצו מספרי זוגות כמה שיהיו הנה קבוצם

מספר זוג וכאשר נקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו

והיה מספרם זוג הנה קבוצם מספר זוג וכאשר נקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו והיה מספרם מפרד הנה קבוצם נפרד וכאשר נקבצו מספרי' נפרדים וזוגות יחד כמה שיהיו והיה מספר הנפרדים זוג הנה קבוצם זוג ואם היה מספרם נפרד הנה קבוצם נפרד .. וסבות הסגלה הזאת הנם כתובים בספר היסודות לאקלידס במאמר התשיעי ממנו ואין צורך להכפיל המאמר הנה . הנה כבר התבאר לך זה המין עם הדרכים אשר בהם השתמשו הקדמונים ועם המאזנים אשר בהם יאוזן הכזב או אשר יאוזן בהם הצדק והכזב יחד עם הסגלה המיוחדת בו וזה מחובר בסבותיהם יחד וזהו מה שכוננו ביאורו . ומעתה אתחיל לבאר מין ההכאה להיות שזה המין דומה למין הקבוץ כאשר התבאר וכאשר יתבאר עוד .

  הפרק השני במין ההכאה . ההכאה הוא קבוץ מספרים שיש כמה

שיהיו בלתי מונחים מכללם רק האחד לבד ולהיות

שמיני ההכאות יחלקו לששה חלקים והם הכאת פרטים עם פרטים . והכאת פרטים עם כללים והכאת פרטים עם פרטים וכללים יחד והכאת כללים עם כללים והכאת כללים עם כללים ופרטים יחד והכאת כללים ופרטים יחד עם כללים ופרטים יחד וזה שכבר קדם שהמספרים נחלקים לג' חלקים כללים לבד ופרטים לבד וחבור שניהם יחד וכאשר יוכו כל אחד מהם עם חברו יעלו ט' ויפלו מהם הג' מיני' המשותפים והנה נשארו ו' מיני הכאות והיה דרך הכאות כל המינים האלו אמנם הוא עם ידיע' הכאת המין הראשון והוא הכאת הפרטים עם הפרטים וזה שכל המדרגות אמנם יחשבו כמו אחדי' בענין ההכאה כאשר יתבאר הנה אם כן מן המחויב לכל דורש ידיעת מין ההכאה לדעת תחלה הכאת הפרנים (הפרטים) עם הפרטים אחר זה ידרוש בידיעת ההכאה במינים הנשארים . ולהיות שידיעת הכאת הפרטים עם הפרטים אמנם יגיע בהרגל לבד כי אין שם תחבולה ודרך אל ידיעתו . לכן היה מן המחוייב לנו לתקן לוח כולל כל מיני הכאות הפרטים עם הפרטים אי זה פרטים שיהיו עד א ב ג ד ה ו ז ח ט ב ד ו ח 0א בא דא וא חא ג ט בא הא חא אב דב זב ד וא 0ב דב חב בג וג ה הב 0ג הג 0ד הד ו וג בד חד דה ז טד וה גו ח דו בז ט אח ירגיל בו האדם עצמו והנה הלוח הכולל הוא זה ואחר שכבר ידעת זה

על פה הנה

כבר תוכל להכנס בדרך ידיעת זה המין ונאמר שכבר בארנו שההכאה הוא קבוץ מספרים שוים רבים בלתי מונחים מכללם רק האחד כי לולא זה לא נדע אי זה מין מספרים הם הנקבצים ולכן יחוייב עלינו שנכתוב בטור אחד המספר המוכה . עוד נניח תחתיו טור שני מודיע כמות הפעמים אשר יכפל המספר ההוא שהוא הנקבץ עם השוים לו כמו על דרך משל אם רצית לקבץ שלשה מספרים כל אחד מהם ששה עשר הנה מן ההכרח הוא לכתוב ששה עשר בטור אחד להודיע שהמין הנקבץ עם השוים לו הוא ששה עשר ואין צורך לכתוב עוד ששה עשר בשני טורים אחרים כמו שהוא מהמחויב בקבוץ המספרים זה עם זה אחר זה נכתוב תחתיו מספר שלשה המודיע לנו כמות הפעמים אשר יכפל מספר הי"ו והנה הדבר שוה כאלו כתבנו עוד בשני טורים אחרים מספר ששה עשר כי אין הבדל שנקבץ הי"ו הכתובים בשלשה טורים או שנכפול הששה עשר האחד שלשה פעמים כי הכפל הוא קבוץ המספר האחד עם עצמו והמשלש בכפל הוא קבוץ המספר האחד עם שני פעמים כמו עצמו אחר זה נמשיך קו תחת השני טורים הראשונים ונכתוב תחתיו המספר היוצא מההכאה וזאת היא ההנחה הכוללה לכל מיני ההכאות אלא שאם היו כללים לבד או כללים ופרטים יחד מוכים עם פרטי' לבד יהיה המספר הכתוב תחת הקו אשר הוא היוצא מההכאה טור אחד לבד ואם היו מוכים עם כללים או עם כללים ופרטים יחד הנה ירבו הטורים המונחים תחת הקו בהכרח וגם נצטרך בו להנחות מתחלפות הצריכים אל ביאור ואומר שהכאת כללים לבד או כללים ופרטים יחד עם פרטים לבד דרך אחד להם והוא שנסדר תמיד המספר הרב המדרגות בטור הראשון והפרטים המודיעים כמות הפעמים אשר יכפל המספר ההוא תחתיו

אחר

 

9

אחר נכה הפרט עם כל מדרגה ממדרגות הטור העליון ונכתוב כל העולה מכל מדרגה ומדרגה אם היה פרטים לבד במדרגתה ר"ל העולה מהאחדים במדרגת האחדים והעולה מהעשרות במדרגת העשרות . וכן בכל מדרגה ומדרגה בטור שלישי אחר שנמשיך קו מבדיל בין הטור השני לטור השלישי ואם היו כללים לבד נכתוב סיפר"א והכלל נשמרהו במדרגה הנמשכת . ואם היו כללים ופרטים יחד נכתוב הפרטים במקומם והכללים נשמרם במדרגה הנמשכת ואחר שתשלים הכאות כל המדרגות הנה ידעת שהסך העולה

מהכאת המספר ההוא עם הפרט שבטור השני הוא המספר שבטור השלישי

ואולם הכאת הכללים לבד או הכללים והפרטים יחד עם הכללים לבד או עם

כללים ופרטים יחד דרך אחד להם והוא שנכה אחדי הטור השני עם כל

המדרגות הטור העליון ונכתוב העולה בטור השלישי לפי מה שקדם אחר זה נכה עשרות הטור השני עם כל מדרגות הטור העליון ונכתוב גם כן העולה בטור רביעי תחת הטור השלישי כפי הסדר שזכרנו . רק שנתחיל ראש הטור הרביעי ממקום העשרות מפני שהתחלנו מהעשרות . אחר כך נכה מאות הטור השני עם כל מדרגות הטור העליון ונכתוב העולה בטור החמישי כפי הסדר שזכרנו רק שנתחיל הטור החמישי ממקום המאות וכן בזה הדרך לעולם . אחר כך נקבץ כל הטורים שתחת הקו המבדיל והעולה הוא הסך

העולה מהכאת המספר שבטור העליון עם המספר שבטור השני לו :

משל הדרך הראשון הנה הוא כזה . הכינו 0 ב ג

הה' עם הסיפר"א שבטור העליון ועלה ה

סיפר"א וכתבנו הסיפר"א תחת הקו במדרגת האחדים . 0 0 ו א עוד הכינו הה' עם הב' שבטור העליון ועלה י ולהיות שהוא כלל שמרנוהו בידינו לחברו עם העולה מהכאת הה' עם הג' שבטור העליון וכתבנו תחת הקו סיפר"א במדרגה הנמשכת . אחר זה הכינו הה' עם הג' שבטור העליון ועלו ט"ו חברנו עמם הא' שבידינו ועלו י"ו וכתבנו הו' תחת הקו במדרגה הנמשכת והי' שהוא א' במדרגה הנמשכת לה . והנה העולה

מהכאת החמשה עם השלשה מאות ועשרים הם אלף ושש מאות :

ומשל הדרך השני והוא הכאת הכללים או הכללים והפרטים יחד עם הכללים או

עם הכללים ופרטים יחד . הנה הוא כזה .

ה כ א הכינו הו' שבטור השני עם הה' שבטור העליון ועלה שלשים וכתבנו ספר"א ו ג ב בטור השלישי במדרגת האחדים והשלשים שמרנום בידינו . עוד הכינו 0 ה ז הו' עם הב' שבטור העליון ועלו י"ב חברנו' עם הג' שבידנו ועלו ט"ו כתבנו

ה ז ג הה' הפרטים בטור השלישי במדרגה הנמשכת והעשרה שמרנום . עוד
0 ה ב הכינו הו' בח' שבטור העליון ועלה ששה חברנום עם הא' שבידינו

___________ ועלו ז' כתבנום בטור השלישי במדרגה הנמשכת . אחר כן שבנו 0 0 ה ט ב להכות הג' שבטור השפל עם כל מדרגות הטור העליון והכינו הג'

שבטור השפל עם הה' שבטור העליון ועלו ט"ו וכתבנו הה' בטור

הרביעי במדרגת העשרות והי' שמרנום . עוד הכינו הג' עם הב' שבטור העליון ועלה ששה חברנום עם הא' שבידינו ועלו שבעה וכתבנום בטור הרביעי במדרגה הנמשכת . עוד הכינו הג' עם הא' שבטור העליון ועלה שלשה וכתבנום בטור הרביעי במדרגה הנמשכת . אחר כן שבנו להכות הב' שבטור השפל עם כל מדרגות הטור העליון כמשפט .. והכינו הב' שבטור השפל עם הה' שבטור העליון ועלו י' . ולהיות שהוא כלל לבדו על כן שמרנוהו . וכתבנו בטור הה' סיפר"א במדרגת המאות .. עוד הכינו הב' שבטור השפל עם הב' שבטור

ג א

  העליון ועלו ד' חברנו עמו הא' שבידנו ועלו ה' . וכתבנום בטור הה' במדרגה הנמשכת . עוד הכינו הב' עם הא' שבטור העליון ועלו ב' וכתבנום בטור החמישי במדרגה הנמשכת . אחר זה קבצנו השלשה טורים שתחת הקו והיה העולה כ"ט אלף ות"ק וזהו סך הכאת הרל"ו עם הקל"ה .. הנה כבר התבארו לך הב' דרכים הכוללים כל המינים הה' הנזכרי' תכלית באור : עוד מצאתי דרך אחרת שלא תצטרך לשמירה כלל והוא כי אם היה העולה מההכאה כלל ופרט הנה תכתוב הפרט במקום האחדים והכלל במקום העשרות לא שתשמרהו . אחר כך הכה האות השפל עם האות הנמשך שבטור העליון ואם היה העולה מהכאתם כלל ופרט יחד תכתוב הפרט במדרגת העשרות והכלל במדרגת המאות וכן תמיד . המשל בזה בהכאת כללים ופרטים יחד עם כללים ופרטים יחד והוא המשל הנזכר למעלה בעצמו כדי שתבדיל בין דרך לדרך והוא זה .. הכינו הו' שבטור השפל עם הה' שבטור ה ב א העליון ועלו ל' כתבנו סיפר"א במדרגת האחדים והג' בטור הנמשך . ו ג ב עוד הכינו הו' עם הב' שבטור העליון ועלו י"ב כתבנו הב' במדרגת __________ העשרות והי' במדרגת המאות . עוד הכינו הו' עם הא' שבטור העליון 0 ג א ג ב ועלו ו' וכתבנום במדרגת המאות . שבנו להכות הג' שבטור השפל

ב ו א עם הה' שבטור העליון ועלו ט"ו . כתבנו הה' במדרגת העשרות והי'
ה א ד במדרגת המאות . עוד הכינו הג' בב' שבטור העליון ועלו ו' וכתבנום
ו במדרגת המאות . עוד הכינו הג' עם הא' שבטור העליון ועלו ג' 
0 וכתבנום במדרגת האלפים . שבנו להכות הב' שבטור השפל עם הה'

שבטור העליון והנה העולה י' וכתבנו סיפר"א במדרגת המאות . והי' במדרגה הנמשכת שהיא מדרגת האלפים . עוד הכינו הב' שבטור השפל עם הב' שבטור העליון ועלו ד' וכתבנום במדרגת האלפים . עוד הכינו הב' שבטור השפל עם הא' שבטור העליון ועלה ב' וכתבנום במדרגת הרבבות .. והנה בזה הדרך אין צורך להביט טורים כלל . אלא המקום הראוי לבד . קבצנו כל המספרים שתחת הקו והיה העולה כ"ט אלף ת"ק כאשר עלה עם הדרך הראשון . ואין ספק שהדרך הזאת היא נכבדת מאד מפני שלא נצטרך בה לזכירה כלל רק שהוא ארוך בכתיבה . ולפי שהדרך הראשון יצטרך לשני ענינים והוא שמירת הכללים והנחת הטורי' ולפעמים יטעה מצד שכחת השמור ופעם מצד בלבול הנחת הטורים והיה הדרך הב' ואם הוא יותר מעט השגיאה להיותו בלתי מצטרך לשמירה אמנם כבר יתכן שיקרהו הטעות מצד בלבול ההנחה . לכן ראינו לחדש דרך שלישי בלתי מצטרך לשמירה ולא להנחה ובזה נהיה בטוחים מהשגיאה והוא הדרך היותר נכון ואם הוא צריך אורך והוא שנכתוב הטור המוכה באורך והמכה ברוחב ונמשוך קוים באורך וברוחב עד שיתחדשו שם מרובעים רבים ונחלק כל אחד מהם לחצאים עם אלכסון השטה ההוא ונכתוב העולה מההכאה בחציו האחד הפרטים ובחציו האחר הכללים אחר כן נקבץ כל

5 2 1

2 1

4 2 2 3 1 5 6 3 2 6 3 0 1 2 6 9

0 0 5 המספרים הכתובים שם על דרך האלכסון כזה . הכינו איזה שרצינו ממספרי האורך עם איזה שרצינו ממספרי הרוחב כי אין צורך בזה סדור כלל ונאמר על דרך משל כי הכינו הב' עם הב' ועלו ארבעה . וכתבנום בחצי המרובע המשותף לשני המספרים וזה בחציו הימני שהוא בית הפרטים להיות שהד' שבידינו הם פרטים . עוד הכינו עד"מ הו' עם הה' ועלו ל' וכתבנום במרובע המשותף לשניהם בחציו השמאלי

 

10

להיותו בית הכללים .. אחר זה הכינו הג' עם הא' ועלו שלשה וכתבנום בחצי הימני של המרובע המשותף להם .. עוד הכינו הב' עם הא' ועלו ב' וכתבנום בחצי הימני של המרובע המשותף להם .. עוד הכינו הג' עם הה' ועלו ט"ו וכתבנום במרובע המשותף להם . האחדים בחצי הימני והכללים בחצי השמאלי עוד הכינו הג' עם הב' ועלו ו' וכתבנום בחצי הימני של המרובע המשותף להם . עוד הכינו הב' עם הה ועלו י' וכתבנו א' בחצי הימני של המרובע המשותף להם . עוד הכינו הו' עם הב' ועלו י"ב וכתבנו הב' בחצי הימני של המרובע המשותף להם . והא' בחציו השמאלי . עוד הכינו הו' עם הא' ועלו ו' כתבנום בחצי הימני של המרובע המשותף להם . ולהיות שנשלמו המרובעים כי אין שום מרובע פנוי בלתי כתוב בו ידענו שנשלם הענין ולא נצטרך בזה לא סדור ולא הנחה ולא שמירה ולכן ערכתי במשלי זה הכאת המספרים קצתם עם קצת בקדימה ואיחור למען יודע למעיין שאין צורך לסדור הנחיי כלל . אחר כן קבצנום על דרך האלכסון ויצא כזה . 0 0 5 9 2 אולם אם רצית לקצר מאד בכתיבה עד שלא תצטרך רק לטור אחד ואם ירבו

מדרגות הטור השפל הנה הדרך אל ידיעת זה הוא שנסדר השני טורים 

ונמשיך קו מבדיל ביניהם ובין הטור השלישי כמנהג . אחר זה נכה אחדי הטור השני עם אחדי הטור העליון והעולה נכתבהו במדרגת האחדים והכלל נשמרהו עוד נכה אחדי הטור השני עם עשרות הטור העליון . גם נכה האלכסון השוה לו הנחתך עמו והוא אחדי הטור העליון עם עשרות הטור השפל והעולה נחברהו עם השמור ונכתוב העולה במדרגת העשרות והכלל נשמרהו .. עוד נכה אחדי הטור השני עם מאות הטור העליון . גם נכה האלכסון השוה לו הנחתך עמו והוא אחדי הטור העליון עם מאות הטור השפל . גם נכה מה שביניהם והם העשרות עם העשרות . והעולה נחברהו עם השמור ונכתבהו במדרגת המאות והכלל נשמרהו . אחר זה נכה אחדי הטור השני עם אלפי הטור העליון גם נכה האלכסון השוה לו הנחתך עמו והוא אחדי העליון עם אלפי השפל . גם נכה שני האלכסונים הנחתכים ביניהם והם עשרות העליון עם מאות השפל ועשרות השפל עם מאות העליון והעולה נחברהו עם השמור ונכתבהו במדרגת האלפים והכלל נשמרהו . וכאשר יגיע אלכסון ההכאות להיותו עם קצוות המכים והמוכים אז נבדיל בין אחדי המכים והמוכים בקו מבדיל ביניהם ונכה עשרות המכים עם המדרגה האחרונה של המוכים על דרך האלכסון וכן מה שביניהם כמשפט הראשון .. עוד נבדיל בקו מבדיל בין עשרות המכים והמוכים ונכה מאות המכים עם המדרגה האחרונה של המוכים כמשפט הראשון . עד שיוכו אחדי המדרגה האחרונה של המכים עם המדרגה האחרונה של המוכים והעולה הוא הסך כזה . הכינו הו' עם הה' ועלו ל' וכתבנו תחת הקו במדרגת האחדים סיפר"א ושמרנו בידינו ג' . אחר זה הכינו שני אלכסוני ו"ב ה | ב | א ג"ה הב' עם הו' והה' עם הג' ועלו כ"ז חברנום עם הג' שבידינו

ו | ג | ב ועלו ל' וכתבנו סיפר"א תחת הקו במדרגת העשרות והשלשה

___________ שמרנום אחר זה הכינו שני אלכסוני א"ו ב"ה ומה שביניהם עם 0 0 ה ט ב הנכח רוצה לומר הו' עם הא' והה' עם הב' והג' עם הב' ועלו כ"ב חברנום עם הג' שבידינו ועלו כ"ה כתבנו הה' תחת הקו במדרגת המאות והב' שמרנום

ג ב

  אחר זה המשכנו קו יורד מבדיל אחדי הטור העליון והשפל משאר המדרגות להורות שכבר שלמה פעלתם והכינו אלכסוני ג"א בב' ועלו ז' חברנום עם הב' שבידינו ועלו תשע וכתבנום למטה תחת הקו במדרגת האלפים .. אחר זה המשכנו קו מבדיל עשרות הטור העליון והשפל להורות כי שלמה פעלתם והכינו ב"א בנכח ר"ל הב' עם הא' שכנגדו והם ב' וכתבנום תחת הקו במדרגת הרבבות . והנה נשלם הטור השלישי והם כ"ט אלף ת"ק והוא העולה מהכאת רל"ו עם קכ"ה . וכן אם רצית להכות הרבה מיני הכאות בטור אחד כמו על דרך משל הכאת מספר שנ"ה עם מספר רצ"ו . והכאת מספר תמ"ז עם מספר קע"ח . והכאת מספר שצ"ו עם מספר תקל"ט וכן אם ירבו מאד הנה כבר תוכל להגיע אל זה כשתסדר כל המספרים

זה על גב זה כל מין עם מינו כזה :

והכה אחדי שני טורי ההכאה הראשונה זה עם זה . וכן אחדי שני טורי ו ט ג ההכאה השנית זה עם זה . וכן אחדי שני טורי ההכאה השלישית זה עם זה ז ד ד . והעולה כתבהו במדרגת האחדים . אם היו שם אחדים .. והכלל שמרהו ה ה ג . אח"כ הכה אחדי ההכאה האחת עם עשרותיה ועשרותיה עם אחדיה ______ לפי הדרך השלישית ר"ל בדרך האלכסונים . וכן במיני ההכאה השנית . ו ט ב וכן בג' . והעולה חברהו עם השמור בידך והעולה כתבהו במדרגת ח ז א העשרות . וכן בסדר הזה עד שתכלה ההכאה והעולה הוא סך ג' מיני ט ג ה

ההכאות יחד . 0 ט 0 ח ט ג

המשל בזה הכינו הו' עם הה' והח' עם הז' והט' עם הו' . והעולה כתבנוהו במדרגת

האחדים והכלל שמרנוהו כמשפט אחר כך הכינו הה' עם הו' והה' עם הט' 

והח' עם הד' והז' עם הז' והט' עם הט' והו' עם הג' והעולה כתבנוהו כמנהג . אחר כך הכינו הג' עם הו' והה' עם הב' והה' עם הט' והד' עם הה' והז עם הח' והד' עם הז' והג' עם הט' והו' עם הה' והט' עם הג' והעולה כתבנוהו כמשפט . אחר כך הכינו הג' עם הט' והב' עם הה' והז' עם הד' והא' עם הד' והג' עם הג' והט' עם הה' והעולה כתבנוהו כמשפט . אחר כך הכינו הג' עם הב' והא' עם הד' והג' עם הה' . והעולה כתבנוהו כמשפט . והעולה הוא סך שלשה

מיני ההכאות האלו . וזה מה שכווננו בביאורו .

ואולם אם רצית להשתמש במין ההכאה עם מין הקבוץ עד שלא תצטרך אל הכאה

כלל . הנה תסדר המספר הרב בטור אחד והוא המוכה . והמספר המעט

בטור אחר בצדו רחוק ממנו והוא המוכה . ותכתוב הטור המוכה בטורים רבים זה תחת זה כפי אחדי כמות המדרגה האחרונה של טור המכה . אחר זה תכתוב בראש כל טור וטור מהטורים האלה סיפר"ש כמספר מדרגות טור המכה פחות א' . אחר זה תכתוב הטור המוכה בטורים רבים זה תחת זה מספרים כמספר כמות המדרגה הקודמת לאחרונה שבטור המכה ויהיה הנחת הטורים האלו מדרגתם האחרונה היא תחת המדרגה הקודמת למדרגה האחרונה שבטורים הראשונים . אחר זה תכתוב בכל טור וטור מהטורים האלו סיפר"ש עד שיגיעו עד ראשי הטורים הראשונים . וכן תמיד על זה הדרך רק שאם היו הטורים אשר תצטרך לסדר יתר מה' או ה' חלק הטור המוכה לשנים וכתוב חציו בטור א' מדרגתו האחרונה היא ממדרגה אחת נמשכת ממקום הנחתו אלו היה פחות מה' וזה יעלה לך במקום חמשה טורים וכמספר הטורים הנוספים על הה' כתוב המוכה בעצמו במדרגה

הראויה לפי מה שקדם .

המשל בזה אם רצית להכות מספר תשנ"ה עם מספר תרנ"ג . כתוב תשנ"ה שהוא

המוכה בטור אחד ובצדו רחוק ממנו תרנ"ג שהוא המכה בטור אחר כזה

 

11

0 0 ה ה ז / ג ה ו הנה מפני שכמות המדרגה האחרונה של המכה הם 0 0 ה ז ז ג ששה והם יותר מה' חלקנו המוכה באמצע וכתבנו 0 ה ז ז ג חציו בטור א' התחלתו מהמדרגה הנמשכת לאחרונה ה ה ז . ולהיות שהתוספת שעל החמשה הוא אחד ואנחנו ה ה ז צריכים לכתוב המוכה בעצמו בטור אחד כפי הנחתו ה ה ז על כן הנחנו הטור המוכה הכתוב למעלה במקומו ______________________ . והנה ששה טורים כי חצי המוכה שהוא מתחיל ה א 0 ג ט ד מהמדרגה הנמשכת לאחרונה הוא במקום חמשה

טורים .. ולהיות שמספר מדרגות המכה הם שלשה

וכשהשלכנו אחד נשארו שנים על כן כתבנו שנים סיפר"ש בסוף הטורים .. עוד אחר זה כתבנו חצי המוכה בטור אחד תחתיהם מתחיל ממדרגה האחרונה של המוכה כי אלו היה פחות מה' היינו כותבים המוכה בעצמו בטור מתחיל ממדרגה הקודמת למדרגה האחרונה שבמוכה ונשלים הטורים בסיפר"ש עד שנגיע אל ראשי הטורים הראשונים . אחר כתבנו המוכה בשלשה טורים זה תחת זה כמספר כמות המדרגה הראשונה שבמכה התחלתם מהמדרגה הקודמת לקודמת שבמדרגה ההאחרונה של הטור הראשון וקבצנו הכל ועלו

תצ"ג אלפים וט"ו וזהו העולה מהכאת תרנ"ג עם תשנה

והמאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא זה שנשליך כמות מדרגות הטור המוכה

ט' ט' . והנשאר נשמרהו . עוד נשליך כמות מדרגות המכה ט' ט'

והנשאר נשמרהו . אחר זה נכה השמור עם השמור והעולה נשליך ממנו התשיעיות והנשאר נשמרהו . עוד נשליך כמות מדרגות הסך לתשיעיות והנשאר אם הוא בלתי שוה לשמור שבידינו דע שטעית . ואם לא אפשר שהוא אמת לא שהוא מחויב ואלה מאזני מרמה והוא שלא יחייב רק הצד האחד לבד: עוד מאזנים אחרים על דרך השביעיות והוא שנשליך כל טור וטור מהשני טורים העליונים שהם המכה והמוכה לשביעיות לפי מה שקדם לך ר"ל אם כשתחשוב כל מדרגה לפי איכותה ותשליך ממנה השביעיו' או כשתחבר המדרגה האחרונה עם הקודמת לה ותחשוב האחרונה לעשרות והקודמת ממנה לאחדים לפי מה שקדם . והכל עולה בקנה אחד . אחר זה הכה המותר מהטור המכה עם המותר מהטור המוכה והעולה השלך ממנה השביעיות והמותר שמרהו . אחר זה השלך השביעיות גם מהסך לפי מה שקדם ואם המותר מהסך שוה לשמור אפשר שצדקת ואם לא כזבת . וגם

אלה מאזני מרמה אחר שלא יחייב השני צדדים יחד ..

ואולם המאזני צדק שבזה המין הוא במין החלוק כאשר יתבאר במקומו ב"עה"י . כי

אם חלקת הסך על אחד משני הטורים המוכים והיוצא בחלוקה יהיה הטור

האחר הנה צדקת ואם לאו כזבת . ואם היה הטור העליון מוכה עם שנים אחרים לבד הנה יהיו לו מאזני צדק אחרים זולת אלו והוא שאם תחסר הטור המוכה מהסך ויהיה הנשאר שוה לו הנה צדקת ואם לא כזבת: אולם בזה הדרך אשר הוא על דרך הקבוץ יהיו לו עוד הג' מאזני הקבוץ . הנה אלה הם הדרכים אשר בהם נגיע בידיעת זה המין וזה עם הכתיבה אולם אם רצית לדעת זה על פה הנה לא תוכל מפני הזכירה הצריכה לזה וזה במספרים הרבים . אולם בהכאת מספר אחד עם מספר אחר ר"ל כלל עם כלל או עם פרט אי זה שיהיה הנה כבר נתנו הקדמונים דרכים רבים. ואנחנו מפני בחרנו הקצור אין ראוי להתעסק בהכאתם . אולם הדרך הנכבד מהם והקצר הוא זה שנכה כמות המספר האחד עם כמות המספר האחר מבלתי שנביט בהם האיכות והעולה נשמרהו . אחר כן נקבץ   מדרגות ממספר האחד עם מדרגות המספר האחר ונשליך מהם מדרגה אחת והנשאר הוא מדרגת השמור. והמשל בהכאת כלל עם כלל הוא הכאת עשרים במאתים עד"מ כי העשרים הם שנים מצד הכמות וכן המאתים. ולכן נכה הב' עם הב' והם ד' ונשמרם. אחר זה נחבר מדרגת העשרים עם מדרגת המאתים והם ה' כי מדרגת העשרות הם ב' ומדרגת המאות הם ג'. ונשליך מהם א' וישארו ד' מדרגות והוא מדרגת האלפים. וידענו שהשמור שבידינו שהם הד' הם ד' אלפים. ומשל הכאת הפרט עם הכלל הוא כמו הכאת הט' במאתים עד"מ כי המאתי' הם ב' מצד הכמות והט' הם ט' בעצמם נכה הט' בעצמה עם הב' הם י"ח ונשמרם בידינו. אחר זה נחבר מדרגות האחדים שהם א' עם מדרגות המאות שהם ג' והנה הם ד' נשליך מהם א' ונשארו ג' והוא מדרגת המאות. וידענו שהשמור שבידינו הם י"ח מאות וא"כ הם אלף ושמנה מאות. וכן אם רצית להכות מספר אחד עם מספרים שנים ויהיה הא' כלל או פרט. והמספרים השנים הם כללים לבד. או כללים ופרטים יחד הנה כבר תוכל לעשות גם זה על פה עם הדרך הזה. משל זה הכאת הה' בר"כ. נכה הה' בר' שהם ב' מצד הכמות ויהיה העולה י' ונשמרהו. גם נכה הה' בכ' שהוא ב' מצד הכמות והעולה י' ונשמרהו גם כן. אחר כן נביט מדרגות המכה והמוכה ונחברם יחד . והנה מדרגות הב' שהם אחדים עם מדרגות הב' שהם עשרות הם ג' נשליך מהם א' ישארו ב' מדרגות והם עשרות. וידענו שהי' האחרונים השמורים בידינו הם עשרות שהם ק' וכן הי' הראשונים השמורים בידינו הם מאות שהם אלף ואם כן ידענו שהכאת הה' בר"כ הוא אלף ומאה. ומשל הפרטים לבד עם הכללים והפרטים יחד הוא כמו הכאת הה' בכ"ז כי נכה הה' עם הכ' שהם ב' מצד הכמות ויהיה העולה י' ונשמרהו. גם נכה הה' בז' והם ל"ה אחדי'. אחר זה נחבר מדרגות המוכה והמכה שהם הה' והכ' והם שלשה נשליך מהם אחד וישארו שנים והם עשרות וא"כ הי' השמורים בידינו הם מאה נחבר עמהם הל"ה אחדים שבידינו והם קל"ה. וככה הוא העולה מהכאת ה' עם כ"ז. ומשל הכלל עם הכלל הוא הכאת הכ' עם הר"ל כי הכ' שהוא ב' מצד הכמות כאשר יוכה עם הר' שהוא ב' יעלו ד' ונשמרהו. עוד נכה הכ' שהוא ב' עם הל' שהוא ג' ויעלו ו' ונשמרהו. נחבר מדרגות הכ' שהם ב' עם מדרגות הל' שהם ב' ועלו ד'. השלכנו הא' ונשארו ג' והוא מדרגת המאות. וידענו שהו' שבידינו שהם ת"ר. ולהיות שהד' שבידינו הם נוספים מדרגה אחת מפני שהם מאות הנה יהיו הד' שבידינו ד' אלפים והנה ידענו שהכאת הכ' בר"ל הם ד' אלפים ת"ר. ומשל הכלל עם הכלל והפרט הוא כמו הכאת הכ' עם הל"ה כי נכה הכ' שהוא ב' עם הל' שהוא ג' והוא ו' ונשמרהו. גם נכהו עם הה' ויעלו י'. נחבר מדרגות הכ' שהוא ב' עם מדרגות הה' שהוא אחדים והעולה ג' נשליך מהם אחד וישארו ב' מדרגות והוא מדרגת העשרות. וידענו שהי' שבידינו הם עשרות ואם כן הם מאה ולהיות שהו' שבידינו הם נוספים מדרגה אחת מהי' שבידינו. אם כן ידענו שהם מאות. ואם כן העולה מהכאת הכ' בל"ה הוא ת"ש. הנה כבר הודעתיך הדרך בידיעת הכאת מספר א' עם מספר א'. או עם מספרים שנים איזה מספרים שיהיו על פה. אולם הכאת ב' מספרים עם שנים מספרים לא יתקיימו בזכירה. מפני שיצטרכו לד' הכאות. וכל אחת מהם יצטרך לשמירה וזהו קשה מאד. ואולם יכולתי להשיב הד' הכאות לג'. וזה בג' מינים אלו שהם שני הכללים והפרטים יחד. כמו כ"ה פעמים כ"ה. או שני הכללים לבד כמו כ"ה פעמים כ"ו או שני הפרטים לבד כמו כ"ה פעמים ל"ה שנחבר ב' הכללים ונקח חציים. גם נחבר האחדים ונכם עם חצי ב' הכללים והעולה נשמרהו. עוד נכה הכללים עם הכללים והפרטים עם הפרטים והעולה נחברהו עם השמור והעולה הוא הכאת הכללים והפרטים

יחד

  12 יחד עם הכללים והפרטים יחד בשלשה מינים הנזכרים. וזה מה שרצינו לבאר. ואולם אם היו השני מספרים המוכים עם שני מספרים מרחק כל אחד מהם שוה מחשבון כלל האחד במגרעת והאחר בתוספת. דע העולה ממרובע הכלל וגרע ממנו מרובע מספר התוספת או המגרעת והנשאר הוא המבוקש. המשל בזה רצינו להכות כ"ט עם ל"א. הנה הכלל הממוצע ביניהם הוא ל' והעולה מהכאתו בעצמו הם תת"ק לפי הדרך הקודם. נגרע מהם אחד שהוא העולה מהכאת הא' בעצמו שהוא תוספת הל"א על הל' או מגרעת הכ"ט מהל' וישארו ת"תצט וזהו העולה מהכאת הכ"ט עם הל"א. וכן אם רצינו להכות ר"נ עם ש"נ. הכינו הכלל שביניהם שהם ש' עם עצמו לפי מה שקדם ועלו צ' אלף גרענו מהם העולה מהכאת הנ' בעצמו שהוא תוספת הש"נ על הש' או מגרעת הר"נ מהש' שהם ב' אלפים ת"ק ונשארו פ"ז אלף ת"ק. וכן בכל הדומים לזה דרך אחד להם. ואולם אם היו השני מספרים מוכים עם עצמם הנה תוכל להשתמש עם דרך אחרת והיא שאם היה לו שליש קח שלישיתו והכהו עם עצמו והעולה העלהו מדרגה אחת גבוהה ממדרגתו וגרע מרובע השלישית ממנו והנשאר הוא העולה מהכאת המספרים ההם בעצמם. המשל בזה רצינו להכות כ"ד עם עצמו. נקח שלישיתו שהוא ח' ונכהו עם עצמו והוא ס"ד ונעלהו מדרגה אחת והם תר"מ נגרע ממנו ס"ד וישארו תקע"ו. וככה הוא מרובע כ"ד. ואם היה מספר שאין לו שליש קח המספר היותר קרוב לו שיש לו שליש אם בתוספת אם במגרעת. וקח שלישיתו ועשה כמשפט. אחר זה נחבר עם העולה המספר שיש לו שליש והמספר הדרוש והעולה הוא המבוקש. אם היה המספר שיש לו שליש פחות מהדרוש או נגרעם ממנו אם היה יותר מהדרוש. המשל במספר הפחות הוא כ"ה כי הקרוב לזה שיהיה לו שליש הם הכ"ד לקחנו שלישיתו ועשינו כמשפט ועלה תקע"ו. חברנו עם זה המספר הדרוש והמספר שיש לו שליש שהם מ"ט והם תרכ"ה וככה הוא מרובע כ"ה. ומשל המספר היתר הוא כ"ג לקחנו המספר היותר קרוב לו שיש שליש לו והוא כ"ד. ועשינו עמו כמשפט ועלה תקע"ו. גרענו מזה המספר הדרוש והמספר שיש לו שליש שהם מ"ז נשארו תקכ"ט. וככה הוא מרובע כ"ג. וכן בכל המספרים הדומים לו דרך אחד לכל. גם יתכן בדרך החמישיות. והוא שתקח חמישיתו והכהו על עצמו והעולה העלהו במדרגה הגבוהה ממנה והכהו עם ב' וחצי והעולה הוא המבוקש. המשל בזה מספר כ"ה קח חמישיתו והוא ה' והכהו עם עצמו והעולה כ"ה. העלהו במדרגה הגבוהה ממנה והם ר"נ והכם עם ב' וחצי והם תרכ"ה. ואם אין למספר הדרוש חמישית בקשנו הקרוב לו שיש לו חמישית אם לפניו או לאחריו. ולא יעבור השנים וקח חמישיתו והכהו עם עצמו והעולה שמרהו וחבר המספר הדרוש עם המספר שיש לו חמישית והוסיפהו על השמור אם היה הדרוש נוסף על המספר שיש לו חמישית אחד או כפול העולה מהמספר הדרוש והמספר שיש לו חומש שנים ואחר כן חברהו על השמור והעולה אחר זה הוא מרובע המספר הדרוש. ואם היה הדרוש פחות מהמספר שיש לו חומש אחד חבר הדרוש והמספר שיש לו חומש ותגרעהו מהשמור. ואם היה פחות ב' חבר הדרוש עם המספר שיש לו חומש וכפלהו אחר זה תגרעהו מהשמור. והנשאר הוא מרובע הדרוש. המשל כשהדרוש נוסף מהמספר שיש לו חומש אחד הוא מספר כ"ו. לקחנו חומש כ"ה ועשינו כמשפט ועלה מרובעו תרכ"ה. חברנו הכ"ה עם הכ"ו ועלו נ"א חברנום עם תרכ"ה ועלו תרע"ו וככה הוא מרובע כ"ו. ומשל הנוסף ב' הוא מספר כ"ז לקחנו חומש מספר הכ"ה ועשינו כמשפט ועלה מרובעו תרכ"ה. אחר זה חברנו הכ"ה עם הכ"ז ועלו נ"ב כפלנום ועלו ק"ד חברנום עם תרכ"ה ועלו תשכ"ט. וככה הוא מרובע כ"ז.  

ומשל הפחות אחד הוא מספר כ"ד לקחנו ממספר כ"ה חמישיתו ועשינו עמו כמשפט ועלו תרכ"ה. אחר זה חברנו הכ"ה כ"ד ועלו מ"ט גרענום מתרכ"ה ונשארו תקע"ו. וככה הוא מרובע כ"ד. ומשל הפחות מספר ב' הכ"ג. לקחנו חמישית הכ"ה ועשינו כמשפט ועלו תרכ"ה. חברנו הכ"ה והכ"ג והם מ"ח כפלנום ועלו צ"ו גרענום מתרכ"ה ונשארו תקכ"ט. וככה הוא מרובע מספר כ"ג. וכן על זה הדרך בכל המספרים הדומים. הנה כבר בארתי לך אופני ההכאה בכתיבה ובעל פה כיד אלהי הטובה עלי. ולהיות שראיתי דברים יפים מועילים מאד בזה המין הזכירם החכם אקלידס בספרו. ראיתי להביאם הנה למה שתגיע תועלת גדולה לתלמידים. והוא שכל מספר שחלקת אותו לחלקים איך שרצית הנה הכאת כל אחד מהחלקים עם כל המספר שוה למרובע כל המספר. דמיון זה המספר י"ב וחלקנוהו על שלשה וארבעה וחמשה הכינו שלשה עם הי"ב ועלו ל"ו עוד הכינו הארבעה על הי"ב והיו מ"ח. עוד כפלנו החמשה על הי"ב והיו ששים והכל קמ"ד והם שוים למרובע י"ב. עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה הכאת המספר כלו עם כל אחד משני חלקיו איזה שיהיה שוה להכאת החלק האחד עם השני ולמרובע החלק אשר הכית עם כל המספר. דמיון המספר עשרה חלקנוהו לשני חלקים על שלשה ושבעה. הכינו השלשה עמו והיו ל' וזה שוה להכאת השלשה עם השבעה שהם כ"א ולמרובע השלש שהם ט' שהוא החלק אשר הכינו. גם ככה אם היינו מכים השבעה שהוא החלק האחר עם העשרה היו שבעים. וזה שוה להכאת השלשה עם השבעה שהם כ"א ולמרובע השבעה שהם ארבעים ותשעה שהוא החלק אשר הכינו ושניהם שבעים. עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה מרובע כל המספר שוה לשני המרובעי' ההווים משני החלקים ולהכאת החלק האחד עם חברו פעמים. דמיון המספר עשרה חלקנוהו על שלשה ושבעה. ומרובע השלושה ט' ומרובע השבעה מ"ט. והכאת השלשה עם השבעה כ"א. וחשבנוהו פעמים והם מ"ב והכל מאה וזה שוה למרובע העשרה. עוד כל מספר כאשר תחלקהו לשני חלקים שוים ולשני חלקים בלתי שוים. הנה הכאת החלק האחד עם חברו מהחלקים הבלתי שוים ומרובע מה שבין שני החלקים ר"ל בין החלק השוה ובלתי שוה. שוה למרובע חצי המספר. דמיון המספר עשרה. חלקנוהו לחמשה. וחמשה שהם חלקים שוים גם חלקנוהו לשבעה ושלשה שהם חלקים בלתי שוים. הכינו השלשה עם השבעה והיו כ"א. עוד לקחנו מרובע השנים שהם בין הה' שהם החלק השוה לשלשה או לשבעה שהם החלק הבלתי שוה והיו ארבעה הכל כ"ה והם שוים למרובע ה' שהוא מרובע חצי המספר. עוד כל מספר כאשר חלקת אותו לחצי והוספת עליו מספר אחר. הנה הכאת המספר כלו מקובץ עם התוספת בתוספת והמרובע ההווה מחצי המספר שוה למרובע חצי המספר והתוספת ביחד. דמיון המספר עשרה וחלקנוהו לשני חצאים שהם כל חצי חמשה הוספנו על העשרה שנים והיו י"ב הכינו כל הי"ב שהוא המספר עם התוספת ביחד עם השנים שהם התוספת והיו כ"ד חברנו עמהם כ"ה שהוא מרובע ה' שהוא חצי המספר והיו מ"ט וזה שוה למרובע ז' שהוא חצי המספר עם התוספת ביחד. עוד כל מספר כאשר תחלקהו בשני חלקים איך שיקרה המרובע ההווה מן המספר כלו והמרובה ההווה מאחד משנים החלקים כאשר התקבצו שוים להכאת המספר כלו עם החלק הנזכר פעמים. והמרובע ההווה מן החלק השני. דמין המספר עשרה וחלקנוהו איך שקרה על ז' ועל ג'. והמרובע ההווה מעשרה הם ק'. וההווה משבעה הם מ"ט ומקבוצם קמ"ט. והם שוים להכאת העשרה עם שבעה פעמים. שהם מאה וארבעים. ומרובע ג' שהם ט' שהוא

החלק

  13 החלק השני והכל קמ"ט. עוד כל מספר כאשר חלקת אותו בשני חלקים איך שיקרה והכית המספר כלו עם אחד משני חלקיו ארבעה פעמים וחברת אותו עם מרובע החלק הנשאר שוה למרובע ההווה מן המספר כלו והחלק הנזכר כאשר תחברם ביחד. דמיון יש לנו מספר עשרה וחלקנוהו איך שהזדמן על ג' ועל ז'. הנה כאשר הכינו הז' עם הי' ארבעה פעמים היו ר"פ וכאשר חברנו עמהם מרובע הג' שהוא ט' והוא החלק השני נהיו רפ"ט והם שוים למרובע י"ז שהוא המספר כלו יחד עם החלק אשר הכינו אותו עם המספר כלו והם גם אלה רפ"ט. עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים אשר יהיו מהחלקים הבלתי שוים הם כפל שני המרובעים אשר יהיו מחצי המספר ומהתוספת אשר לחלק הגדול על הה' שהוא המחצית. דמיון המספר י' וחלקנוהו לשני חלקים שוים והם ה'. ולשני חלקים בלתי שוים והם ז' ג'. הנה שני מרובעי ז' ג' שהם נ"ח הם כפל מרובע ה' שהם כ"ה ומרובע תוספת הז' על הה' שהם ב'. עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חצאים והוספת עליו מספר אחר. הנה מרובע המספר עם התוספת יחד ומרובע התוספת בעצמו הם כפל שני המרובעים שהם מרובע חצי המספר ומרובע חצי המספר עם התוספת יחד כאשר יחוברו. דמיון יש לנו מספר עשרה וחלקנוהו לשני חציים והוספנו עליו מספר ב' ונהיה י"ב. הנה מרובע י"ב שהוא המספר עם התוספת יחד קמ"ד ומרובע ב' שהוא התוספת ד' ושניהם קמ"ח והוא כפל מרובע ה' שהוא כ"ה ומרובע ז' שהוא מ"ט ושניהם ע"ד אשר הוא מרובע חצי המספר ומרובע חצי המספר והתוספת ביחד. ולהיות שכבר יעדנו להודיע דרך קצר בקבוץ קצת מינים מהמספרים מבלתי שיצטרך לקבוץ המספרים הנקבצים והמתננו זה עד הנה למה שלא יתכן הדרך ההוא אלא בידיעת זה המין. הנה אם כן מן המחויב עלינו להשלים מה שיעדנו. ואומר שאם היו המספרים הנקבצים נוספים קצתם על קצת. ר"ל כל אחד מן הקודם לו א' כמו מספר א' ב' ג' ד' ה' וכן לבלתי תכלית ורצית לדעת קבוץ כל המספרים שמא' עד ט"ו עד"מ . הנה כבר כתבו הראשונים על זה שאם היה המספר האחרון נפרד כמו מספר ט"ו עד"מ הנה נקח חצי הט"ו בתוספת חצי והוא ח'. ונכהו עם הט"ו והעולה יהיה ק"כ וזהו קבוץ כל המספרים שמא' עד ט"ו. ואם היה המספר האחרון זוג כמו מספר י"ד. הנה נוסיף על י"ד אחד ויעלו ט"ו ונכהו עם חצי הי"ד והעולה הוא קבוץ כל המספרים שמא' עד י"ד. זהו הדרך הקצר אשר כתבו הראשוני' בקבוץ מספרים מונחים נוספי' קצתם על קצת בתוספת אחד לבד. אולם אם היו המספרים המונחים נוספים קצתם על קצת בתוספת ב' כמו מספרי א' ג' ה' ז'. ורצית לדעת קבוץ כל המספרים מבלתי שתצטרך לקבץ כל הנקבצים הנה כבר כתבו הראשונים בזה והוא שנקח חצי המספר האחרון בתוספת חצי כמו הט"ו במשלנו אשר חציו בתוספת חצי הוא ח' ונכהו בעצמו והיוצא הוא קבוץ כל המספרים שמא' עד ט"ו. וכן בזה הדרך לעולם. אולם אם היתה התחלת המספרים מהב' ויהיו המספרים נוספים קצתם על קצת בתוספת ב' כמו ב' ד' ו' ח' ורצית לדעת קבוץ כל המספרים שמב' עד י"ו עד"מ נקח חצי מספר הי"ו והוא ח' ונכהו עם חציו האחר בתוספת א' והוא ט'. והעולה הוא ע"ב וזהו קבוץ כל המספרים שמב' עד י"ו. אלו הם הדרכים הקצרים אשר כתבו הראשונים אולם למציאות קבוץ מספרים מונחים בתוספת א' או בתוספת ב'. להיות שהקדמונים לא הודיעו לנו מידיעת קבוץ המספרים הנוספים בתוספת א' רק במספרים שהתחלתם מהא'. ולא מידיעת קבוץ המספרים הנוספים בתוספת ב' רק המספרי' שהתחלתם מא' או מב' כמו מספרי אג"הז או בד"וח. והיו הדרכים האלו בלתי מספיקים בידיעת קבוץ מיני המספרים האלו אם היתה התחלתם מהי' עד"מ

ד מ

 

כמו י' י"א י"ב י"ג במין הראשון. או י' י"ב י"ד י"ו במין השני. על כן ראיתי למלאת זה החסרון והוא בכח מאמר הקדמונים בעצמו. וזה כי במין הראשון אם היה מספר י"ג עד"מ והתחלתו מי' הנה נשתמש בידיעת זה בדרך הראשונים בעצמו. והוא שנקח חצי מספר הי"ג בתוספת חצי והוא ז' ונכהו עם הי"ג והעולה צ"א. וזהו העולה מכל המספרים שמא' עד י"ג. אחר זה דע העולה מכל המספרים שמא' עד ט' עם הדרך הקודם בעצמו והעולה מ"ה. אחר זה תחסר המ"ה מהצ"א והנשאר הוא מ"ו והוא קבוץ כל המספרים שמהי' עד הי"ג. ואולם במין השני אם היה מספר י"ו עד"מ והתחלתו מי' הנה נשתמש עם הדרך הראשון בעצמו והוא שתקח חצי המספר האחרון שהוא הי"ו במשלנו ותכהו עם חציו האחר בתוספת א' והעולה הוא ע"ב וידענו שהעולה מכל המספרים שמהב' עד י"ו הוא ע"ב. אחר כן קבצנו כל המספרים שמהב' עד הח' עם הדרך ההוא בעצמו והוא כ' חסרנום מהע"ב והנשאר הוא נ"ב וזהו קבוץ מספרי י' י"ב י"ד י"ו. זהו מה שראיתי לכתוב בהשלמת קצור דברי הקדמונים. אולם להיות שהקדמונים קרה להם החסרון משני פנים. האחד כי לא נתנו לנו דרך לכל המינים רוצה לומר כמו המספרים המונחים הנוספים בתוספת ג' או בתוספת ד' או בתוספת ה' וכן לבלתי תכלית. והשני כי הדרך אשר נתנו בשני המינים הנזכרים הוא משתנה לכל אחד מהשני מינים הנזכרים. על כן ראיתי להראות דרך אחד כולל לכל המינים יחד ר"ל איזה תוספת שתרצה והוא שנדע כמות המדרגות שמהמספר הראשון אשר הוא שוה לתוספת הנוספים בו קצתם על קצת עד המספר האחרון ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר האחרון. והעולה הוא סך כל המספרים שמהמספר הראשון עד המספר האחרון בכל המינים יחד. המשל בזה במספרים הנוספים בתוספת א' אשר התחלתם מהא' במספר ט"ו מהם הנה כמות המדרגות שמהא' עד הט"ו הוא ט"ו וחצים בתוספת חצי הוא ח' נכם עם הט"ו והעולה הוא ק"כ וזהו כל המספרים שמהא' עד הט"ו. וכן במספרים הנוספים בתוספת ב' שהתחלתם מהב' במספר י"ו מהם. הנה כמות המדרגות שמהב' עד הי"ו הם ח. וחצים בתוספת חצי הם ד' וחצי. ונכם עם הי"ו והם ע"ב. וזהו קבוץ כל המספרים שמב' עד י"ו . וכן בכל מין ומין מכל שאר המינים המתחלפים דרך אחד לכל. ואולם אם היה המספר הראשון אשר ממנו יתחילו המספרים הנוספים יותר קטן מתוספת הנוספים בו קצתם על קצת כמו מספרי אגה"ז עד"מ אשר תוספת הנוספי' בו קצתם על קצת הוא ב'. והמספר הראשון מהם הוא הא' אשר הוא קטן מהתוספת אחד. הנה נעשה הדרך הקודם בעצמו. ר"ל שנקח כמות המדרגות שמהמספר הראשון שהוא הא' במשלנו זה עד הט"ו שהוא המספר האחרון והם ח'. נקח חצים בתוספת חצי והם ד' וחצי ונכם עם המספר האחרון כמשפט. רק בעבור שהיתה התחלת המספרים האלו קטן מהתוספת א' הנה נוסיף הא' על המספר האחרון ויהיה י"ו ונכם עם הד' וחצי והעולה ע"ב. ולהיות שהתחלת אלו המספרים קטן מהתוספת א' כאשר הזכרנו. הנה נגרע גם כן מהע"ב ח' לפי שכמות כל המדרגות שמא' עד ט"ו הם ח' וישארו ס"ד. וזהו קבוץ המספרים שמא' עד ט"ו בתוספת ב'. וכן במספרים הנוספים ג' עד"מ הנה אם היה המספר הראשון הג' בעצמו כמו מספרי ג' ו' ט' י"ב ט"ו. הנה נקח כמות המדרגות שמהג' עד הט"ו והם ה' נקח חצים בתוספת חצי והם ג' ונכם עם המספר האחרון שהם הט"ו במשלנו והם מ"ה וזהו קבוצם. אולם   14 אולם אם היה המספר הראשון להם ב' עד"מ אשר הוא קטן מהתוספת שהוא ג' כמו מספרי ב' ה' ח' י"א י"ד. הנה נקח חצי המדרגות שמהב' עד הי"ד בתוספת חצי והם ג' נכם עם המספר האחרון בתוספת א' בעבור שהתחלתם קטן מהתוספת א' כאשר הזכרנו ויהיה העולה מ"ה. ולהיות שהתחלתם חסר א' מהתוספת נגרע מהם ה' לפי שכמות כל המספרים שמהב' עד הי"ד הם ה' וישארו מ'. וזהו קבוץ כל המספרים שמהב' עד הי"ד. וכן בזה המין בעצמו אם היה התחלת המספרים מהא' כמו מספרי א' ד' ז' י' י"ג הנה להיות שכמות המדרגות שמא' עד הי"ג הם ה' נקח חצים בתוספת חצי והם ג' נכם עם המספר האחרון בתוספת ב' בעבור שהתחלת המספרים חסר ב' מהתוספת ויעלה מ"ה ולהיות שכמות המדרגות הם ה' וההתחלה הראשונה חסרה ב' מהתוספת נקח ב' לכל אחד מהם והם י' נגרעם מהמ"ה והנשאר ל"ה וזהו קבוץ כל המספרים שמהא' עד הי"ג. ובכלל כאשר יהיה התחלת המספרים שוה לתוספת אשר בו יהיו נוספים קצתם על קצת הנה נכה המספר האחרון עם חצי כמות המדרגו' שמהמספר הראשון עד המספר האחרון בתוספת חצי והעולה הוא קבוצם. אך אם היה התחלת המספרים חסר מהתוספת הנה החסרון תוסיפנו על המספר האחרון ואז הכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והעולה גרע ממנו העולה מהכאת החסרון עם המדרגות והנשאר הוא קבוצם. זהו הדרך הכולל לכל החלופים. ואולם אם היה המספר הראשון אשר ממנו יתחילו המספרי' הנוספים גדול מתוספת הנוספים כמו מספרי ג' ה' ז' ט' י"א על דרך משל אשר תוספת קצתם על קצת הוא ב' והמספר הראשון הוא ג' אשר הוא גדול מהתוספת אחד. הנה נעשה הדרך הראשון בעינה שנקח כמות המדרגות שמהמספר הראשון שהוא הג' במשלנו עד הי"א שהוא המספר האחרון והם ה' נקח חצים בתוספת חצי והם ג' ונכם עם המספר האחרון כמשפט רק בעבור שהיתה התחלת המספרים האלו גדול מהתוספת אחד נוסיף האחד על המספר האחרון ויהיו י"ב ונכה הג' עם הי"ב ויעלו ל"ו ולהיות שראשון המספרים האלו גדול מן התוספת אחד גרענוהו מן הל"ו ונשאר ל"ה וככה הוא קבוץ המספרים שמהג' עד הי"א וזה דרך כוללת לכל מיני חלופי תוספת המספר הראשון מתוספת קצתם על קצת. דרך אחרת לזה שאם היה המספר הראשון מהמספרים שנרצה לדעת קבוצם יותר גדול מהתוספת קצתם על קצת כמו על דרך משל מספרי ח' י' י"ב י"ד אשר תוספת קצתם על קצת הוא ב' והמספר הראשון מהנקבצים הוא ח' אשר הוא גדול מהתוספת או כמו מספרי ז' ט' י"א י"ג שתוספת קצתם על קצת הוא ב' והמספר הראשון מהמספרים הנקבצים הוא ז' אשר הוא גדול מהתוספת. או כמו מספרי מ"ז נ"ב נ"ז ס"ב אשר תוספת קצתם על קצת הוא א'. והמספר הראשון מהנקבצים הוא מ"ז וכן כל כיוצא בזה. הנה נעשה הדרך הקודם בעינו ר"ל שנדע כמות כל המדרגות שמהמספר הראשון שממנו צמיחתם עד המספר האחרון. ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר האחרון אם היה המספר הראשון שממנו צמיחתם שוה לתוספתם והעולה נשמרהו. אחר זה נדע כמות כל המדרגות שהמספר הראשון שממנו צמיחתם עד המספר הקודם מהמספר הראשון לנקבצים מדרגה אחת ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר הקודם מהמספר הראשון לנקבצים מדרגה אחת. והעולה נחסרהו מהשמור והנשאר הוא סך כל המספרי' הנוספים שמהמספר הראשון לנקבצים עד המספר האחרון. ואם היה המספר הראשון שממנו צמיחתם

ד ב

 

קטן מתוספתם נדע כמות כל המדרגות שמהמספר הראשון שממנו צמיחתם עד המספר האחרון. ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר האחרון אחר שנוסיף עליו מגרעת המספר הראשון אשר ממנו צמיחתם מתוספתם והעולה נגרע ממנו העולה מהכאת המגרעת עם כמות המדרגות שמהמספר הראשון אשר ממנו צמיחתם עד המספר האחרון והנשאר נשמרהו. אח"ז נדע המדרגו' כמות שמהמספר הראשון שממנו צמיחת' עד המספר הקודם למספר הראשון לנקבצים מדרגה אחת ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר הקודם לנקבצי' מדרגה אחת אחר שנוסיף עליו מגרעת הראשון שממנו צמיחתם מתוספתם והעולה נגרע ממנו העולה מהכאת המגרעת עם כמות המדרגות שמהמספר הראשון שממנו למספר הקודם לנקבצים מדרגה צמיחתם עד המספר הקודם לנקבצים והנשאר נגרעהו מהשמור. והנשאר אחר זה הוא סך כל המספרים שמהמספר הראשון לנקבצים עד המספר האחרון. ואולם הדרך שבו נדע כמות המדרגות והמספר הראשון שממנו צמיחתם אם הוא שוה לתוספתם או קטן ממנו. וכמות קטנותו הנה הוא כשתחלק המספר האחרון על מספר תוספתם ואם לא ישאר דבר הנה היוצא הוא מספר כמות המדרגות והראשון לצמיחתם הוא שוה לתוספתם. ואם ישאר דבר הנה היוצא לך הוא כמות פחות מדרגה אחת והנשאר הוא הראשון לצמיחתם. דרך אחרת יותר קצרה כוללת כל מיני התוספת והיא זאת שאם היה המספר הראשון לנקבצים שוה לתוספתם או פחות מהם תחלק המספר האחרון על מספר תוספת'. ואם לא ישאר דבר הנה היוצא שמרהו. ואם לאו הוסף על היוצא א' והעולה שמרהו. אחר זה חבר המספר הראשון עם האחרון וקח חציו והכהו עם השמור והיוצא הוא המבוקש. ואם היה המספר הראשון לנקבצים יתר מתוספתם חסר המספר הראשון לנקבצים מהמספר האחרון והנשאר תחלקהו על מספר תוספתם והיוצא הוסף עליו אחד והעולה הוא השמור. אחר זה חבר המספר הראשון לנקבצים עם האחרון וקח חציו והכהו עם השמור והיוצא הוא המבוקש. משל המין הראשון והוא שהמספר הראשון לנקבצים שוה או פחות מתוספת הנה הם מספרי ב' ו' י' חלקנו הי' על תוספתם שהם י"ד ויצא ב. ולהיות שנשאר מהחלוק הוספנו על הב' היוצא מהחלוק א' ועלו ג' ושמרנום. אח"ז חברנו הב' שהוא המספר הראשון לנקבצים עם הי' שהוא המספר האחרון ועלו י"ב ולקחנו חצים והם ו' והכינום עם השמור ועלו י"ח ובמספרי ד' ח' י"ב חלקנו הי"ב על הד' ויצאו ג' . ולהיות שלא נשאר מהחלוק כלום שמרנום. אחר זה חברנו הד' עם הי"ב ועלו י"ו לקחנו חצים והם ח' הכינום עם השמור ועלו כ"ד. ומשל המין השני והוא אשר המספר הראשון לנקבצים יתר מתוספתם הם מספרי ח' י"ב חסרנו הח' מהי"ב שהוא המספר האחרון ונשארו ד' וחלקנום על הד' שהיא תוספתם ויצא אחד. הוספנו עליו א' ועלה ב' והוא השמור . אחר זה חברנו המספר הראשון לנקבצים שהוא הח' עם הי"ב שהוא המספר האחרון ועלו כ' ולקחנו חצים והם י' והכנום עם השמור ועלו כ'. והנה כבר נתבאר לך הדרך הכולל לכל מיני התוספת איזה תוספת שיהיה. גם חלופי המין הא' בעצמו ר"ל אם היה התחלת המספרים שוה לתוספת אשר בו יהיו המספרים נוספים קצתם על קצת או קטן ממנו אי זה קטנות שיהיה אם א' אם ב' אם ג' והדומים להם. אולם אם היו המספרי' המונחים קצתם על קצת מתייחסי' ביחס הכפל והם המספרים אשר תוספת קצתם על קצתם מתחלף אבל הוא שומר היחס כמו מספרי

א ב ד ח

 

15 א' ב' ד' ח'. ורצית לדעת קבוץ כל המספרים המונחים מזה המין מבלתי שתצטרך לקבץ הכל. הנה כבר כתבו הראשונים גם בזה דרך והוא שתכפול המספר האחרון ותגרע אחד מהמחובר. והנשאר הוא קבוץ כל המספרים המונחים. אלא שקצרו בביאורו כי לא יצדק זה רק אם היה התחלתם מהא' אולם אם היה התחלתם מהי' עד"מ הנה לא נתנו בזה דרך אל ידיעתו אולם הדרך הכולל בידיעת קבוץ זה המין מאיזה מספר שתהיה התחלתו הוא שתכפול המספר האחרון ותגרע מהמחובר המספר הראשון אשר ממנו החלו המספרי' והנשאר הוא קבוצם. המשל כמו מספרי' כ' מ' פ' נכפול הפ' ועלו ק"ס נגרע מהם הי' שהוא המספר הראשון להם והנשאר הוא ק"נ וככה הוא קבוצם. זהו מה שראינו לכתוב בהשלמת זה הקצור. אולם להיות שכבר קרה להם החסרון גם בזה המין ר"ל אשר תוספתם מתיחס לא שוה כאשר קרה להם החסרון כאשר תוספתם שוה לא מתיחס וזה כי כמו שקרה להם שם החסרון כשהדרך אשר השתדלו בהישרת ידיעת זה המין איננו מספיק לכל מיני התוספת. כן קרה להם החסרון הנה כשהדרך אשר נתנו איננו מספיק לכל מיני היחס ר"ל למינים שהם על זולת יחס הכפל. לכן ראיתי לכתוב גם הנה דרך כולל לכל מיני היחס. והוא זה שכבר בארנו בתחלת חבורנו זה שהחצי הוא שם נגזר מהשנים. והשליש הוא נגזר מהשלשה. והרביע הוא נגזר מהארבעה וכן לב"ת. ולזה ברצותך לדעת קבוץ המספרים המונחים המתיחסים קח המספר אשר יגזר ממנו שם היחס אשר יתיחסו בו המספרים המונחים וגרע ממנו א' והנשאר שמרהו וקח המין מהשברים הנגזר ממנו מהמספר האחרון אחר שתגרע ממנו המספר הראשון לכל המספרים המונחים והוסיפהו על המספר האחרון. והמחובר הוא קבוץ לכל המספרים המונחים. המשל אם רצית לדעת קבוץ מספרי א' ב' ד' ח' י"ו ל"ב אשר הם ביחס החצי להיו' שיחס החצי נגזר מהב' גרע מהם א' וישאר אחד שהוא מורה על השלם ולכן לקחנו כל המספר האחרון שהוא הל"ב וגרענו ממנו א' נשארו ל"א והוספנו' על הל"ב והם ס"ג וככה הוא קבוץ מספרי א' ב' ד' ח' י"ו ל"ב ואם התחלת בזה המין בעצמו מהח' עד"מ שהם ח' י"ו ל"ב קח הל"ב פעם אחת ותגרע ממנו הח' שהוא המספר הראשון במשלנו זה וישארו כ"ד והוסיפם על הל"ב והם נ"ו וככה הוא קבוצם. ואם היו המספרים המונחים מתיחסים יחס השליש כמו מספרי א' ג' ט' כ"ז. הנה להיות שהשליש הוא נגזר מהשלש' גרע א' וישארו ב' והשבר הנגזר מהם הוא חצי על כן קח חצי המספר האחרון שהם הכ"ז אחר שתגרע מהם המספר הראשון שהוא י"ג והוסיפהו על הכ"ז ויעלו מ' וככה הוא קבוץ כל המספרים המונחים שמהא' עד הכ"ז. וכן אם התחלת בזה המין בעצמו מהג' עד"מ גרע מהמספר האחרון הכ"ז במשלנו הג' וישארו כ"ד וחציו י"ב הוסיפהו על הכ"ז והוא ל"ט וככה הוא קבוצם. ואם היו המספרים המונחים מתיחסים ביחס הרביע כמו מספרי א' ד' י"ו ס"ד. הנה להיות שהרביע הוא נגזר מארבעה כשנחסר ממנו א' ישארו ג' והשבר הנגזר מהם הוא שליש. על כן קח שליש המספר האחרון שהוא הס"ד אחר שתגרע ממנו המספר הראשון והם כ"א והוסיפהו על הס"ד ויעלו פ"ה. וככה הוא קבוץ כל המספרים המונחים שמהא' עד הס"ד. וכן אם התחלת בזה המין בעצמו מהי"ו עד"מ גרע מהס"ד י"ו וישארו מ"ח ושלישו י"ו הוסיפהו על הס"ד והעולה פ'. וככה הוא קבוצם. הנה כבר הוריתיך הדרך הכולל לכל מיני היחסים איזה יחס היה עם חלופי ההתחלות אין להאריך יותר בביאורו. ולהיות שהמספרים המונחים הנוספים קצתם על קצת יחלקו לג' פנים אם שיהיו המותרים שוים והמספרים בלתי מתיחסים. ואם שיהיו המותרים מתחלפים והמספרים מתיחסים. ואם שיהיו המותרים מתחלפים וגם המספרים בלתי

מתיחסים

 

מתיחסי' כי החלק הד' והוא שיהיו המותרים שוים וגם המספרי' מתיחסי' הוא נמנע וכבר ביארנו הדרכים המודיעי' קבוץ כל המספרים המונחים מבלתי שיצטרכו בקבוץ הכל בב' המינים הראשונים. הנה מה שנשאר עלינו לבאר הוא המין הג' בלבד. והוא אשר מותריו מתחלפים ומספריו בלתי מתיחסים. ואומר שהראשונים כבר חקרו בכל המינים הנכללים תחת זה המין ולא יכלו למצוא דרך רק בשני מינים מכלל מיניו לבד והם מרובעי המספרים הטבעיים על הסדר כמו מספרי א' ד' ט' י"ו ומעוקבי המספרי' הטבעיים על הסדר כמו מספרי א' ח' כ"ז ס"ד שמותריהם בלתי שוים ומספריהם בלתי מתיחסים. והמרובע הוא המספר היוצא מהכאת המספר הא' בעצמו איזה מספר היה. והמעוקב הוא המספר היוצא מהכאת המספר הא' עם מרובעו. אולם הדרך בידיעת קבוץ מרובעי המספרים הטבעיים המונחים. הנה הוא שתדע שרש המרובע האחרון וממנו תדע קבוץ כל שרשי המרובעים. וזה עם הדרך הקודם ר"ל שתקח חצי המדרגות בתוספת חצי ותכהו עם השרש האחרון והעולה שמרהו. אחר זה קח שתי שלישיות השרש האחרון והוסף עליו שליש האחד והעולה הכהו עם השמור והעולה הוא קבוץ כל המרובעים המונחים מהא'. ואם היה התחלתם ממספר אחר זולת הא' חסר קבוץ המרובעים שמהא' עד המספר ההוא מקבוץ כל המרובעים שמהא' עד המרובע האחרון. והנשאר הוא קבוץ המרובעים שהתחלתם ממספר אחר. המשל בזה אם רצית לדעת קבוץ מספר א' ד' ט' י"ו שהם מרובעי מספרי א' ב' ג' ד'. הנה נקח שרש הי"ו והוא ד' נכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והעולה י'. וזהו קבוץ שרשי המרובעים האלו ונשמרם. אחר כן נקח ב' שלישיות הד' שהוא שרש הי"ו והם ב'. וב' שלישיות נוסיף עליהם שליש והם ג'. נכהו עם השמור שבידינו והעולה ל'. וזהו קבוץ מספרי א' ד' ט' י"ו. ואם התחלת בזה המין מהט' הנה נמצא שרש הד' שהוא אחרון למרובעים החסרים מא' ד' ט' י"ו ושרשם ב'. נכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והעולה ג' ונשמרהו. אחר נקח ב' שלישיות הב' שהם שרש הד' והם א' ושליש נוסיף עליו שליש והם א' וב' שלישיות . נכהו עם השמור שהם הג' והעולה ה' נחסרהו מהל' שהם קבוץ א' ד' ט' י"ו והנשאר כ"ה וזהו קבוץ מרובעי ט' י"ו הדרושים. ואולם המין האחר והם מעוקבי המספרים הטבעיים הנה כבר כתבו הראשונים דרך בידיעת זה המין גם כן והוא שתקח יסוד המעוקב האחרון ודע בו עם הדרך הקודם קבוץ כל המספרים הטבעיים אשר הם יסודות המעוקבים ההם ושמרהו. אחר כן הכה השמור בעצמו והעולה הוא קבוץ כל המעוקבים המונחים. המשל בזה אם רצית לדעת קבוץ מספרי א' ח' כ"ז ס"ד אשר הם מעוקבי מספרי א' ב' ג' ד' הנה נקח יסוד הס"ד והוא ד' ונכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והם י' ונכה הי' עם עצמם והם ק' וזהו קבוץ מספרי א' ח' כ"ז ס"ד. ואם התחלת בזה המין מהכ"ז על דרך משל הנה נקח יסוד הח' והוא ב' ונכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והוא ג'. נכה הג' בעצמו והוא ט' נחסרם מהק' שהם קבוץ מספרי א' ח' כ"ז ס"ד והנשאר הוא צ"א. זהו קבוץ כ"ז צ"ד הדרושים . אלה הם הדרכים אשר כתבו הראשונים בידיעת קבוץ המספרים אשר מותריהם בלתי שוים ומספריהם בלתי מתיחסים. וזה בשני מינים לבד במרובעים והמעוקבים. אולם המינים האחרים היוצאים מאלה השני מינים לא מצאתי דרך אל ידיעתם כלל . זהו מה שיכולתי להביא מידיעת מין הקבוץ מבלתי שיצטרך אל קבוץ כל המספרים המונחים. וזאת החקירה אמנם היא מידיעת המין הראשון שהוא הקבוץ אלא שהזכרתיו הנה למה שלא יתכן זה אלא בידיעת זה המין כאשר הזכרתי. ואולם

  16 ואולם סבת מציאות זה המין עם אלה הדרכים ואם הם רבים הנה היא אחת בעינה . וזה שכבר קדם לך שמין ההכאה הוא מין הקבוץ בעינו כקבוץ המספרים השנים ושאין ביניהם הבדל כלל. רק בהנחה ר"ל שבמין הקבוץ נצטרך לכתוב כל הטורים הנקבצים ובמין ההכאה לא נצטרך בהנחת כל הנקבצים. וכאשר היה זה כן הנה א"כ כמו שיחויב למקבץ שיניח אחדי הסך תחת מדרגת הנקבצים והכלל במדרגה הנמשכת לסבה שזכרנוה. כן יחויב למכה שיניח אחדי הסך תחת מדרגת המוכה. והכלל במדרגה הנמשכת. וזה בג' מיני ההכאה שהם הכאת הפרטים או הכללים או שניהם יחד עם הפרטים לבד. ואולם בשאר מיני ההכאה ואם נצטרך בהם אל טורים רבים ואל הנחות מתחלפות . הנה סבתם גם כן אחת. וזה שהוא מן המבואר בעצמו במין הקבוץ שכאשר יהיו מספר הטורים השוים המונחים עשרות. יחויב שיהיו אחדי סך הנקבצים ממדרגת האחדים עשרות וממדרגת העשרות מאות וממדרגת המאות אלפים. וכן תמיד מדרגה אחת נמשכת ממדרגת הנקבצים. ואם היו מספר הטורים המונחים מאות יחויב שיהיו אחדי סך הנקבצים ממדרגת האחדים מאות וממדרגת העשרות אלפים וממדרגת המאות רבבות. וכן תמיד שני מדרגות נמשכות ממדרגת הנקבצים. ואם היו מספר הטורים המונחים אלפים יחויב שיהיו אחדי סך הנקבצים מכל מדרגה ומדרגה ג' מדרגות נמשכות ממנה. וכן תמיד על זה הסדר וזה שאחדי הנקבצים כאשר יהיו נוספים קצת על קצת י' פעמים עד"מ הנה מן המחויב שישוב כל אחד ואחד מאחדי הנקבצים עשרה. והנה ישובו כל אחד מהאחדים עשרה פעמים ממה שהיה. ואם כן ישובו האחדים עשרות והעשרות מאות וכן תמיד. וכן אם יהיו אחדי הנקבצים נוספים קצתם על קצת מאה פעמים עד"מ הנה מן המחויב שישוב כל אחד ואחד מאחדי הנקבצים מאה. והנה ישובו כל אחד מהאחדים מאה פעמים ממה שהיה. ואם כן ישובו האחדים מאות והעשרות אלפים וכן תמיד בתוספת שני מדרגו'. וכאשר היה זה כן הנה כמו שיחויב לנו מזה שכאשר נרצה לקבץ מספרים שוים מונחים בטורים רבים מספר הטורים כללים ופרטים יחד שנכתוב העולה מכל מדרגה ומדרגה מהנקבצים מהטורים שמספרם אחדים תחת המדרגה הנקבצת ומהטורי' שמספרם עשרות תחת המדרגה הנמשכת למדרגה הנקבצת ומהטורי' שמספרם מאות במדרגה השלישית לה. אחר זה נקבץ הכל. כן כשנרצה להכות כללים לבד או כללים ופרטים יחד עם כללים ופרטים יחד. נכה פרטי הטור המכה עם כל מדרגות הטור המוכה ונכתוב הסך תחת המדרגה המוכה. אחר זה נכה עשרות הטור המכה עם כל מדרגות הטור המוכה. ונכתוב העולה תחת המדרגה הנמשכת למדרגה המוכה. ואחר נכה מאות הטור המכה עם כל מדרגות הטור המוכה ונכתוב העולה תחת המדרגה השלישית מהנמשכת למדרגה המוכה וכן תמיד על זה הדרך. אחר זה נקבץ כל הטורים ההם שתחת המוכה והעולה יהיה הסך בהכרח. הנה כבר התבאר לך סבת זה המין וסבת רבוי הטורי' המצטרכי' לקצת ההכאות וסבת חלוף הנחותיהם אלא שמה שנשאר עלינו מהחקירה הוא כי יתחייב לפי הדרך הזה כשרצינו על דרך משל להכות ש"ט עם רמ"ה שנקבץ הו' ר' פעמים ויעלו אלף ומאתים. והאלף ומאתים הם י"ב מאות ונכתבם תחת הש'. וכן העולה מקבוץ הו' מ' פעמים הם ר"מ והר"מ הם כ"ד עשרות. ויכתבו תחת הנ' לא שנחשוב הר' פעמים לב' ונקבץ הו' ב' פעמים. ולא שנחשוב המ' פעמים לד' ונקבץ הו' ד' פעמים. אמנם עם הסבה הנתונה במין הקבוץ כבר התבאר לך שאין הזק בזה ר"ל אם נחשוב הר' לב' והמ' לד'.

וזה

 

וזה שכמו שאין הזק שנחשוב העשרות והמאות לאחדים במין הקבוץ ונכתוב העולה תחת המדרגה הנקבצת. כן אין הזק לחשוב הפעמים שהם עשרות או מאות לאחדים ונכתוב העולה מהעשרות במדרגה השנית למדרגה הנקבצת. והעולה מהמאות במדרגה השלישית למדרגה הנקבצת. וזה שכבר התבאר לך במין הקבוץ שהמדרגות כלם ואם הם מתחלפות באיכות אולם מצד הכמות הם שוות. וזה שהשנים והעשרים והמאתים ואם הם מתחלפים מצד האיכות אבל הם שוים מצד הכמות כי כלם שנים. ולזה אין הבדל שיונחו העשרה תחת האחדים או שיכתוב אחד תחת העשרות. ואם כן גם בזה המין אחר שהוא מין הקבוץ בעינו לפי מה שקדם אין הזק בזה אם נחשוב המ' פעמים לד' והר' פעמים לב' אחר שהכמות העולה מהכאת מספר א' עם הר' הוא שוה להכאת המספר ההוא עם הכ' או עם הב' ר"ל מצד הכמות לבד לא מצד האיכות. וזה שהח' על דרך משל אם יוכו עם הב' יעלו י"ו אחדים ואם יוכו עם הכ' יעלו י"ו עשרות. ואם יוכו עם הר' יעלו י"ו מאות. ואחר שאין ההבדל מצד הכמות רק מצד האיכות. הנה אם כן אין הזק בזה אם נחשוב כל מדרגות הפעמים לאחדים ונכם עם כל מדרגות המספרים והעולה נכתבהו כל אחד במדרגתו הראויה לו לפי מה שקדם. כי עם ההנחה הראויה לו יתוקן האיכות המתחלף לכל מדרגה ומדרגה ממדרגות הפעמים. הנה כבר התבארו לך עם זה סבות כל הדרכים המתחלפים אשר בזה המין. וזה שהדרך הראשון והשני והשלישי הם מבוארים בעצמם עם כתיבת אלה הסבות אין צורך בהם לחקירה כלל. אולם הדרך הרביעי הנה נצטרך בו לתוספת ביאור. והוא שלמה שכבר התבאר לך הנחת כל סך וסך מהסכים לפי מדרגותו. והיתה המדרגה הראשונה היא הנחת הסך העולה מקבוץ האחדים עם אחדי הפעמים לבד. והמדרגה השנית היא הנחת הסך העולה מקבוץ העשרות עם אחדי הפעמים. והסך העולה מקבוץ האחדים עם עשרות הפעמים. והמדרגה השלישית היא הנחת הסך העולה מקבוץ המאות עם אחדי הפעמים. והסך העולה מקבוץ האחדים עם מאות הפעמים. והסך העולה מקבוץ העשרות עם עשרות הפעמים וכן כל מדרגה ומדרגה. לכן חברנו כל ההנחות הראויות לכל מדרגה ומדרגה וכתבנום בטור אחד. וזה מספיק לך מידיעת זה הדרך לא תצטרך בזה לתוספת ביאור. אולם רבוי מיני ההכאות בבת אחת גם זה מבואר מידיעת זה המין. וזה שכמו שלא יצטרכו בזה המין ממיני הדרכים לטורים רבים למה שראו ההנחות הראויות לכל מדרגה ומדרגה מהמדרגות וחברו הכל וכתבום בטור אחד. כן לא הצטרכו בזה המין מרבוי מיני ההכאו' בבת אחת טורים רבים והכאות מתחלפו' למה שראו ההנחות הראויות לכל מדרגה ומדרגה מהמדרגו' מכל מיני ההכאות וחברו הכל וכתבום בטור אחר וזה מבואר מאד. אולם הדרך החמישי והוא ההכאה שעל הדרך הקבוץ גם הוא מבואר ממה שקדם שהנחת הסך העולה מקבוץ אחדי המספרים עם מאות הפעמי' הוא במדרגה השלישית לאחדים. והנחת הסך העולה מקבוץ האחדים עם עשרות הפעמים הוא במדרגה השנית לאחדים. ולכך הניחו סיפראש בראש הטורים כמספר מדרגות הפעמים פחות אחד עד שיהיו כל מדרגות המספר במדרגה הראויה לה כל אחת לפי הנחתה. המשל בזה אם היו הפעמים מאות לפי שהוא מהמחויב שיונח הסך העולה מקבוץ כל מדרגה ומדרגה ממדרגות המספרים במאות הפעמי' במדרגה השלישית למדרגה הנקבצת ממנו ב' סיפרש בראש הטורים. והנה שבו כל המדרגות במדרגה השלישית לה. ואולם כתבנו המספר ההוא בעינו בטורים רבים מספרם כמספר אחדי כמות המדרגה האחרונה

ממדרגות

  17 ממדרגות הפעמים ואם הם מאות לפי מה שקדם שאין הזק אם נחשב כל מדרגה ומדרגה ממדרגות הפעמים לאחדים. אחר זה כתבנו המספר ההוא בעינו כל מדרגה ומדרגה ממנו במדרגה הקודמת לה למה שקדם שהנחת הסך העולה מכל מדרגו' המספר עם עשרות הפעמים הוא במדרגה השנית למדרגה הנקבצת. וכתבנו המספר ההוא בעינו בטורים רבים זה תחת זה כמספר אחדים שבעשרות הפעמים. אחר זה כתבנו המספר ההוא בעינו כל מדרגה ומדרגה ממנו במדרגה הקודמת לה. למה שקדם לך שהנחת הסך העולה מקבוץ כל מדרגות המספר עם אחדי הפעמים הוא במדרגה הנקבצת בעצמה וכתבנו המספר ההוא בעינו בטורים רבים זה תחת זה. מספרם כמספר אחדי הפעמים. אחר זה קבצנו כל הטורים וכתבנו העולה תחת כל מדרגה אחר שכבר הם מונחי' בהנחה הראויה להם. והנה יצא לך הסך העולה מקבוץ המספר ההוא לפי הפעמים ההם. וזה ענין מבואר מאד. אלא שראוי לבאר לך בזה ענין אחד לבד. והוא מה שכתבתי לך בזה המין מההכאה שאם יהיו אחדי הפעמים שבכל מדרגה ומדרגה ממדרגות הפעמים ה' או יותר שנחלק המספר באמצע ונקח חציו ונכתוב כל מדרגה ומדרגה ממנו במדרגה הנמשכת למדרגה אשר היה מקום הנחתה אלו לא הספיקו אחדיו לה'. והסבה בזה גם כן מבוארת וזה שהוא מהידוע בעצמו שאין הבדל בין שנכתוב המספר המוכה ה' פעמים ובין שנקח חצי המספר המוכה ונכתבהו במדרגה הנמשכת. וזה שהעולה מקבוץ המספר המוכה ה' פעמי' הוא ה' כפלי המספר המוכה והעולה מהמספר המוכה בעינו במדרגה הנמשכת הוא י' פעמים כמוהו וחציו הוא ה' כפליו. והנה אין הבדל בזה אם נכתבהו במדרגה הנמשכת ונקח חציו או אם נקח חציו ואחר זה נכתבהו במדרגה הנמשכת. וכאשר היה זה כן הנה השתמשנו עם הקצור וכן נוכל להשתמש עם זאת התחבולה עצמה בכל אחדי הפעמים ר"ל שאם היו אחדי הפעמים שבעה עד"מ נקח ז' עשיריות המספר אחר זה נכתבהו במדרגה הנמשכת וישוה הטור ההוא לשבעה טורים מהמספר ההוא בעינו במדרגת הקודמת. וכן אם היו ששה נקח ששה עשרות וכן תמיד. אלא שחלוק המספר אל שאר חלקיו זולת חציו הוא קשה מאד במלאכתו ולכן לא השתמשנו בו וזהו מה שכווננו בביאורו. וכן אם רצית לכתוב ד' טורים עד"מ וחלקת המספר באמצע וכתבת אותו במדרגה הנמשכת. והנה יחשב לה' טורים. אחר זה חסרת מהעולה המספר ההוא בעינו מהמדרגה הקודמת בה. הנה יחשב כמו ד' טורים. המשל בזה אם רצית להכות רצ"ד עם מ'. הנה נחלק רצ"ד באמצע ונעלהו מדרגה אחת ויהיה העולה י"ד אלפים ת"ש חסר מהם שני אלפים תתק"מ ישארו י"א אלפים תש"ס וככה הוא ארבעים פעמים רצ"ד וכן תמיד על הסדר הזה כי הכונה אחת. ואולם סבת מאזני התשיעיות והשביעיות אשר בזה המין הנה כבר כתבנוה במין הקבוץ. וזה שאחר שעם הדרך הזאת הנה הדבר שוה כאלו התכנו כל המספר המוכה לאחדים והשלכנו מהם התשיעיות והשביעיות ונשאר בידינו המותר. והוא מהמבואר בעצמו שהעולה מהכאת התשיעיו' והשביעיו' עם איזה מספ' היה יכלה בשביעיו' והתשיעיות. הנה אם כן אשר נשאר עלינו לחקור ממנו התשיעיות והשביעיות לדעת המותר. אמנם הוא המותר השמור מהמספר המוכה לבד לא זולתו. וכן עם הדרך הזאת בעצמה יודע לך שאין ראוי להכות המותר השמור עם כל מספר הפעמים רק עם המותר מהם מהשביעיות והתשיעיות אחר שנשליך מהם השביעיות והתשיעיות. וזה שהעולה מהכאת המותר איזה מותר היה עם השביעיות והתשיעיות יכלה בשביעיות והתשיעיות בהכרח. וכאשר היה זה כן הנה מן המבואר בעצמו שמה שנשאר עלינו

ח א

 

עלינו לחקור ממנו התשיעיות והשביעיו' לדעת המותר אמנם הוא העולה מהכאת המותר השמור מהמוכה עם המותר השמור מהפעמים ונשליך ממנו התשיעיו' והשביעיות והמותר ממנו הוא מותר העולה מקבוץ המספר המוכה עם מספר הפעמים אחר שנשליך ממנו השביעיות והתשיעיות. ולכן יתחייב שיהיה הוא מותר הסך בהכרח. וזהו מה שרצינו לבאר. וכבר כתבנו מה שבאלה המאזנים מהחסרון ושדרך מאזני השביעיות צודק בכל מספר לא בשביעיות בלבד כאשר חשבו הקדמונים. ואולם סבת המאזני צדק אשר בזה המין והוא החלוק. הנה היא מבוארת גם כן ממה שקדם והוא שכבר קדם שעם החלוק יודע יחס המספר אל המספר ר"ל שהיוצא מהחלוקה הוא המורה על כמות הפעמים אשר ימנה המחלק את המחולק וכאשר היה זה כן והיו שני טורי המכה והמוכה כל אחד מהם מורה על כמות הפעמים אשר ימנה המספר האחד הסך העולה מהכאתם. הנה אם כן מהמחוייב מזה שכאשר נחלק הסך העולה מהכאתם על אחד משני המספרים המוכים שיצא מהחלוקה המספר האחר בהכרח וזה מספיק לך מידיעת סבת זה המין. ואולם המאזנים האחרים כבר קדם ביאורם אין צורך להכפיל המאמרים. ואולם סבת כל הדרכים אשר בהם השתמשו על פה הנה נסדר אותם זה אחר זה כל אחד על ענינו. והוא שהדרך האחד מהם והוא שאנחנו מכים הכמות עם הכמות ונשמרהו. אחר זה נחבר מדרגות המכה והמוכה ונשליך מהם אחד והנשאר הוא מדרגת השמור סבתו ידועה ממה שקדם. וזה שלמה שהתבאר לך שכל מספר מוכה עם מספר הנה אין הבדל שיוכה לפי איכותו או לפי כמותו. הנה אם כן אין הזק אם נכה הכמות ונשמרהו מבלתי שנביט האיכות. וכן למה שהתבאר לך שהעולה מהכאת המספר עם אחדי הפעמים יונחו תחת המדרגה המוכה והעולה מהכאת המספר עם עשרות הפעמים יונחו תחת המדרגה הנמשכת. וכן תמיד על הסדר הזה. וזה חבור השתי מדרגות המכה והמוכה בהשלכת מדרגה אחת. הנה אם כן יתחייב מזה שיהיה מדרגת השמור חבור מספרי מדרגות המכה והמוכה בהשלכת מדרגה אחת בהכרח. ואולם הדרך האחר והוא שישובו הארבעה הכאות לשלשה הכאו' לבד. וזה במספרים שכלליהם או פרטיהם או שניהם יחד שוים הנה סבתו גם כן ידועה. וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס במאמר השלישי ממנו בתמונה הראשונה שכל שני קוים שנחלק אחד מהם לחלקים כמה שיהיו. הנה השטח ההוא מהקו האחד כלו עם כל אחד מחלקי הקו האחר יחד. הוא שוה לשטח ההווה מהקו האחד עם כל הקו הנחלק. וכן במספרים כי המופת צודק בהם וכאשר היה זה כן הנה אם כן העולה מהכאת עשרות המספר האחד עם אחדי המספר האחר. והתאת אחדי המספר האחד עם עשרות המספר האחר הוא שוה לעולה מהכאת חבור האחדים עם חצי שני הכללים יחד. וזה שאם היו הכללים והפרטים או הפרטים לבד שוים. הנה הכאת הכלל עם הפרט והפרט עם הכלל הוא שוה להכאת הכלל האחד שהוא חצי הכללים אחר שהם שוים עם כל אחד מהפרטים שהוא שוה להכאת חצי הכללים עם כלל חבור שני הפרטים יחד לפי מה שהתבאר בספר היסודות לאקלידס. ואם היו הפרטים לבד שוים הנה הכאת הכלל עם הפרט והפרט עם הכלל. הוא שוה להכאת הפרט האחד שהוא חצי הפרטים אחר שהם שוים עם כל אחד מהכללים שהוא שוה להכאת חצי הפרטים עם כלל חבור שני הכללים יחד לפי ההקדמה שהתבארה לנו מספר היסודות אשר הוא שוה להכאת חצי הכללי' עם כלל חבור שני הפרטים יחד. וזה שכל שני מספרים שיוכה אחד מהם עם האחר העולה מהם שוה למספר העולה

מהכאת

 

18 מהכאת כפל האחד מהם עם חצי המספר האחר כאשר התבאר בספר היסודות לאקלידס וזה מה שרצינו לבאר. ואולם הדרך האחר והוא שאם היו שני מספרים מוכים עם שני מספרים שרחקם שוה מכלל אחד האחד למגרעת והאחר לתוספת שיוכה הכלל עם עצמו והעולה נגרע ממנו מרובע המגרעת או התוספת הנה סבתו גם כן ידועה עם ההקדמה הנזכרת. והוא כי הכלל אשר יתרחקו ממנו שני המספרים המוכים הוא נמצא במספר הנוסף בהכרח. והוא מהמבואר שהכאת הכלל עם הכלל הוא שוה בהכרח להכאת הכלל שבמספר הנוסף עם המספר הנגרע ועם המגרעת לפי ההקדמה הנזכרת. ויתחייב עוד מזאת ההקדמה בעצמה שהכאת הכלל עם המגרעת הוא שוה להכאת המגרעת עם המספר הנגרע ועם המגרעת. הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה הכלל עם הכלל שוה לשלש הכאות. הכאת הכלל שבמספר הנוסף עם המספר הנגרע והכאת המגרעת עם המספר הנגרע והכאת המגרעת עם המגרעת. אולם ההכאה הראשונה מהשלש הכאות הנה הוא הכאת הכלל שבמספר הנוסף עם כל המספר הנגרע. ואולם ההכאה השנית הנה הוא הכאת אחדי המספר הנוסף שהם שוים למגרעת עם כל המספר הנגרע. ואולם הכאת המגרעת עם המגערת הנה הוא יתר. וזה שעם ב' ההכאות הראשונות כבר נכללו ד' הכאות השני מספרים עם שני מספרים. ולכן יתחייב תמיד שיהיה הכאת השני מספרים עם שני מספרים שרחקם מכל אחד בעצמו רוחק שוה האחד לתוספת והאחר למגרת. חסר מהכאת הכלל עם הכלל כמו הכאת המגרעת עם המגרעת שהוא מרובע המגרעת או מרובע התוספת אחר שהם שוים וזה מה שרצינו לבאר. ואולם הדרך האחר והוא שנקח מרובע שלשית המספר המוכה עם עצמו ונעלהו מדרגה אחת ונגרע ממנו מרובע שלישיתו הנה סבתו ג"כ ידועה ממה שהתבאר בספר היסודו' לאקלידס במאמר הח' ממנו שכל שני מספרים מרובעים הנה יחס הא' מהם אל חברו הוא כיחס צלעו אל צלעו שנוי בכפל. וזה שיתחייב מזה שיהיה יחס מרובע שלישית המספר אל מרובע כל המספר כיחס שליש המספר אל כל המספר שנוי בכפל ויחס שליש המספר אל כל המספר הוא יחס השליש והשליש מוכה עם עצמו הוא תשיעית. אם כן יתחייב מזה בהכרח שיהיה יחס מרובע שליש המספר אל מרובע כל המספר יחס התשיעית. ולכן יהיה מרובע כל המספר תשעה כפלי מרובע שלישיתו וכאשר נעלה מרובע השלישית אל מדרגה אחת גבוהה ממנה יתחייב שישוב עשרה כפלי מרובע השליש. וכאשר יחוסר ממנו מרובע השליש וישארו תשעה כפלי מרובע השליש הוא שוה בהכרח למרובע כל המספר האחר שהוא תשעה כפלי מרובע השליש כי כל שני שעורים שיחסם אל שעור אחר בעצמו יחס אחד הנה הם שוים בהכרח לפי מה שהתבאר בספר היסודות לאקלידס. ולהיות שלא יצדק זה הטבע בזולת השליש רוצה לומר שלא ימצא שום חלק מחלקי המספר אשר יהיה מרובעו בתוספת מדרגה אחת בחסרון ממנו שוה למרובע הכל. לכן בחרו זה החלק מכל שאר החלקים כי כל שאר החלקים זולתו ואף כי נוכל להשתמש עמם בזאת התחבולה. וזה כי רביעית המספר על דרך משל יתחייב לפי מה שקדם שיהיה מרובעו חלק אחד מי"ו חלקי מרובע הכל. ולכן כאשר נקח מרובע רביעיתו ונוסיף עליו חציו ונעלהו מדרגה אחת. אחר זה נוסיף עליו מרובע רביעיתו יתחייב בהכרח שיהיה שוה למרובע הכל

ה ב

 

הכל. וכן שביעית המספר עד"מ להיות שהוא מחוייב שיהיה מרובע חלק אחד ממ"ט חלקי מרובע הכל לפי מה שקדם אם כן כאשר נקח מרובע שביעיתו ונכהו בה' והעולה נעלהו מדרגה אחת ויחוסר ממנו מרובע שביעיתו יחויב בהכרח שיהיה שוה למרובע הכל וכן בכל שאר החלקים. אולם הניחום למה שיצטרך בזה הכאות. ולכן קצת מהקדמונים שחשבו שכבר מצאו דרך חדש להשתמש עם חמישית המספר. וזה כשלקחו מרובע חמישיתו והכוהו בב' וחצי והעלוהו מדרגה אחת הנה כברו השתמשו עם דרך משותפת לכל שאר החלקים. ואתמה מהם מדוע בחרו דרך החמישית מכל שאר החלקים אם לא שנחשוב שלא שערו בסבת זה הפועל. כי אלו שערו בו הנה לא היו בוחרים זה החלק מכל שאר החלקים אחר שדרך זה החלק הוא דרך מושתפת לכל שאר החלקים. וזה שכמו שמרובע השביעית עד"מ למה שהוא חלק אחד ממ"ט חלקי מרובע הכל ויתחייב שיוכה מרובע השביעית בה' ונעלהו מדרגה אחת ויהיה נ' כפלי מרובע השביעית וכשיחוסר ממנו מרובע השביעית יחוייב שיהיה מ"ט כפלי מרובע השביעית שהוא שוה למרובע הכל. כן למרובע החמישית למה שהוא חלק אחד מכ"ה חלקי מרובע הכל יתחייב שיוכה מרובעו בב' וחצי. ונעלהו מדרגה אחת ויהיה כ"ה כפלי מרובע החמישית שהוא שוה למרובע הכל. אלא אם יאמר אומר שאין עזיבת שאר המינים מפני רבוי ההכאות אך מפני רבוי המינים הצריכים להם שהם הכאות והעתקות וחסורים. ואולם כאשר לא יהיה למספר הדרוש שליש הנה השתמשנו עם המספר שיש לו שליש והוא הנוסף או הנגרע מהמספר הדרוש אחד כמשפט ושמרנוהו. אחר זה חברנו המספר הדרוש עם המספר שיש לו שליש והוספנוהו על השמור אם היה המספר הדרוש נוסף על המספר שיש לו שליש או גרענוהו אם היה המספר הדרוש נגרע מהמספר שיש לו שליש. וסבת זה גם כן מבוארת. וזה שהוא מהמבואר שתוספת מרובע מספר מה על מרובע מספר אחר נגרע ממנו הנה הוא שוה לחבור שני המספרים יחד מוכה עם המגרעת. וזה שהכאת המספר הנוסף עם המספר הנגרע הוא שוה להכאת המספר הנגרע עם הנגרע והכאת המגרעת עם הנגרע יחד לפי מה שקדם לך מההקדמה המקובלת ממאמר שני מאקלידס והכאת המספר הנוסף עם המספר הנוסף הוא שוה להכאת המספר הנוסף עם הנגרע והכאת המגרעת עם הנוסף לזאת הסבה בעצמה. וכאשר היה זה כן הנה יחוייב בהכרח שיהיה הכאת המספר הנוסף עם המספר הנוסף שוה לג' הכאות. הכאת המספר הנגרע עם הנגרע והכאת המגרעת עם הנוסף. והכאת הנגרע עם הנגרע. ואלה השני הכאות האחרונות שוות להכאת המגרעת עם חבור הנגרע והנוסף יחד לפי ההקדמה הנזכרת. הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה הכאת הנוסף עם הנוסף שוה להכאת הנגרע עם הנגרע והכאת המגרעת עם חבור הנוסף והנגרע. וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב בהכרח שאם יהיה מספר הדרוש נוסף א' מהמספר שיש לו שליש שיחובר המספר הנוסף עם הנגרע ונוסיפהו על מורבע המספר שיש לו שליש והמחובר הוא מרובע הדרוש. ואם מספר הדרוש נוסף ב' מהמספר שיש לו שליש שיחובר המספר הנוסף עם הנגרע והעולה נכהו עם ב' והמחובר נוסיפהו על מרובע המספר שיש לו שליש. והעולה הוא מרובע מספר הדרוש. ואם הדרוש נוסף ג' נכה העולה מחבור מספר הדרוש עם המספר שיש לו שליש עם ג' והעולה נוסיפהו על מרובע המספר שיש לו שליש והעולה הוא מרובע הדרוש וכן על זה הדרך תמיד. ואולם בחלק השליש לא נצטרך להשתמש אלא אם במגרעת אחד מהדרוש אם

בתוספת

 

19 בתוספת אחד מהדרוש. כי כאשר יהיה התוספת ב' כבר הוא נגרע אחד מהמספר הנוסף ממנו שיש לו שליש. ולזה בחרו הקדמונים להשתמש עם חלק השלישי למה שאין ההבדל בין המספר הדרוש ובין המספר שיש לו שליש לעולם רק אחד אם בתוספת ואם במגרעת ולא יצטרכו להכאת המגרעת עם חבור מספר הדרוש והמספר שיש לו שליש לפי מה שקדם. ואולם המשתמשים עם חלק החמישית הנה יקרה להם שיצטרכו להכאת המגרעת עם חבור שני המספרים שהם המספר הדרוש והמספר שיש לו חמישית ובזה ישתתפו כל שאר החלקים. ולכן תמהתי עליהם מדוע בחרו חלק החמישית משאר החלקים אחר שהדרך הזאת משותפת לכל החלקים וזהו מה שכווננו ביאורו. ואולם החלוקים הנזכרים בספר אקלידס לא אצטרך בזה להזכיר הסבות והמופתים הנופלי' עליהם כי כבר הזכירם אקלידס בספרו אין צורך להכפיל המאמרי'. ואולם הדרך אשר בו השתמשו הקדמונים בקבוץ כל המספרים המונחים הנוספים קצתם על קצת בתוספת אחד על סדר המספרים הטבעיים כשיכו המספר האחרון עם חציו בתוספת חצי הנה סבתו גם כן מבוארת בעצמה. וזה שהמספרים הטבעיים לפי הנחתם הנה כל מספר ומספר מהם כאשר תערוך כל המספרים הקודמים ממנו אליו הנה יהיה תוספת ערך הקודמים מהמספר המאוחר על ערך הקודמי' מהקודם לו בתוספת חצי וזה שערך הא' אל הב' הוא ערך החצי וערך הא"ב אל הג' הוא ערך השלם. וערך האב"ג אל הד' הוא ערך האחד וחצי וערך האב"גד אל הה' הוא ערך הב' וכן תמיד בתוספת חצי. וכאשר היה זה כן הנה אם כן כאשר רצו לדעת קבוץ כל המספרי' הטבעיים שהתחלתם מהאחד עד מספר מה איזה מספר היה. הנה אחר שכל המספרים הקודמים לו יהיה ערכם אל המספר האחרון כמו קבוץ החצאים הנוספים בכל מדרגה ומדרגה ממדרגות המספר לפי מה שקדם. הנה אם כן בהכרח ראוי לדעת כמות המדרגות שמהא' עד המספר ההוא ויחשוב הקודמים לב' חצי והקודמים לג' אחד והקודמים לד' אחד וחצי. וכן תמיד עד שיגיעו אל המספר האחרון וכפי מה שיצא החשבון ככה יהיה ערך הקודמים אליו ונחבר עמם המספר האחרון ובזה יודע קבוץ כל המספרים אחר שכל המספרים אינם רק המספרים הקודמים מהמספר האחרון עם המספר האחרון. ואולם הראשונים קצרו הדרך ולקחו מספר המדרגות וחלקום לחצאים ולקחו חצים להיות שכל שתי מדרגו' הם שלם אחד כי השני חצאים הנוספים בשתי המדרגות הם אחד והיה ראוי שיקחו פחות מחצי המדרגות חצי בעבור שחצאי המדרגות מתחילים ממספר ב' כי הא' אין לו קודמים. ואולם בעבור שחברו עם ערך הקודמים גם המספר האחרון עצמו והמספר האחרון הוא במדרגת השלם כי כל הקודמים אמנם יחשבו חלקים בערך אליו ואם כן יתחייב מזה בהכרח שבמקום שהיה ראוי שיקחו חצי כמות כל המדרגות שמהאחד עד המספר האחרון פחות חצי שיוסיפו עליהם חצי כי כאשר תוסיף אחד על חצי הכמות פחות חצי יהיה חצי הכמות וחצי. ולכן יתחייב מזה שנקח חצי כמות המדרגות בתוספת חצי ונכם עם המספר האחרון ויצא לנו קבוץ כל המספרי'. והוסיפו עוד הקדמוני' לקצר על זה עד שלא הוצרכו למנות המדרגות רק לקחו חצי המספר האחרון בתוספת חצי תמורת חצי כמות המדרגות בתוספת חצי בעבור שכמות המספר האחרון איזה מספר היה הוא בעצמו כמות המדרגות שמהא' עד המספר ההוא במספרים הטבעיים. ואולם כאשר יהיה המספר האחרון זוג הנה יקחו חציו לבד ויוסיפו על המספר האחרון א' ויכוהו עמו להיות שהכאת חצי המספר בתוספת חצי עם המספר האחרון הוא שוה להכאת חצי המספר לבד עם המספר האחרון בתוספת אחד. ולכן

השתמשו

 

השתמשו בזה והניחו הדרך הקודם שלא יצטרכו במלאכתם לשברים כלל. ואולם הדרך אשר בו השתמשו בקבוץ כל המספרים הנוספים קצתם על קצת בתוספת ב' על סדר הנפרדים הטבעיים כמו מספרי א' ג' ה' ז' כשיכו חצי המספר האחרון בתוספת חצי עם עצמו הנה סבתו גם כן ידועה. והוא שכבר התבאר בספר הארתימטיקא לניקומכוש הגהרשיני במאמר השני שהמספרים ההויים והם המספרים המרובעים הנה צמיחתם תהיה בתוספת הנפרדים הטבעיים קצתם על קצת שהתחלתם האחד אשר הוא הנפרד בכח כי השלשה אשר הם נפרד ראשון בפועל כאשר נוספו על האחד היה הגעת זה ארבעה והוא המרובע הראשון בפועל וכן תמיד וכל צלע מצלעות כל מרובע מהם שהוא שרש אותו המרובע הנה הוא מספר המדרגו' בעצמם כאשר התבאר זה במאמר הראשון מספר הארתמטיקא רוצה לומר שאם נניח הנפרדים הטבעיים זה אחר זה נמשכים מבלתי שנדלג מהם כלל כמו מספרי א' ג' ה' ז' ט' י"א הנה קבוץ הג"א הם ד' שהם מרובע וצלע זה המרובע שהוא שרשו הנה הוא כמו המדרגות שמהא' עד הג' שהם ב' כי שני פעמים ב' הם ד'. וכן קבוץ א' ג' ה' הם ט' והוא מרובע ושרשו הוא כמות המדרגות שמהא' עד הה' שהם ג' כי ג' פעמים ג' הם ט' וכן תמיד. וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שכאשר נקח כמות המדרגות שמהא' עד המספר האחרון ונכם עם עצמם שיולד קבוץ כל המספרים שמהא' עד המספר האחרון. ואולם הקדמונים למה שראו שכמות המדרגו' שמהא' עד המספר האחרון איזה מספר היה הנה הוא שוה לחצי המספר האחרון עם תוספת חצי הנה לא הוצרכו למנו' המדרגות רק לקחו חצי המספר האחרון בתוספת חצי והכוהו עם עצמו. והעולה הוא קבוץ כל המספרים שמהא' עד המספר האחרון וזהו מה שכווננו ביאורו. ואולם הדרך אשר בו השתמשו בקבוץ כל המספרים הנוספים בתוספת ב' קצתם על קצתם על סדר מספרי הזוגות הטבעיים כמו מספרי ב' ד' ו' ח' י' כשיכו חצי המספר האחרון עם חציו האחר בתוספת אחד הנה סבתו גם כן ידועה והוא שכבר התבאר בספר הארתמטיקא לניקומכוש הגהרשיני במאמר השני שהמספרים הזולתיים שהם אשר יהיו צלעותיו נוסף אחד מהם על האחר בתוספת האחד כמו א"ב וב"ג וג"ד וד"ה וכן תמיד הנה צמיחתם תהיה בתוספת הזוגות הטבעיים קצתם על קצת כי השנים אשר הוא הזוג הראשון כאשר נוסף על הד' שהוא הזוג השני היה הגעת זה ששה והוא הזולתיי הראשון בפועל. וכאשר נוספו על הו' שהוא הזוג השלישי שתי הזוגות הראשונות שהם הב"ד יעלו י"ב שהוא הזולתיי השני בפועל וכן תמיד וצלעו' כל זולתיי וזולתיי מהם הצלע האחד מהם שהוא הקטן שבשניהם הוא כמות המדרגות בעצמם שמהשנים עד המספר האחרון והגדול הוא כמות המדרגות בעצמם בתוספת אחד אחר שהתחלפות הצלע הגדול מהם אל הקטן איננו כי אם במספרים הזולתיים לפי מה שקדם. וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שכאשר נקח כמות המדרגות שמהמספר הראשון עד המספר האחרון ונכהו עם הכמות הזה בעצמו בתוספת אחד שיולד המספר הזולתיי היוצא מקבוץ כל הזוגו' הטבעיים הקודמים למספר האחרון עם המספר האחרון בהכרח שהוא קבוץ כל מספרי הזוגות הטבעיים המונחים. ואולם הקדמונים למה שראו שכמות המדרגו' שמהמספר הראשון עד המספר האחרון איזה מספר היה הנה הוא שוה לחצי המספר האחרון הנה לא הוצרכו למנות

המדרגות

  20 המדרגות לדעת כמותם רק לקחו חצי המספר האחרון והכוהו עם חציו בתוספת אחד והעולה הוא קבוץ כל המספרים שמהמספר הראשון עד המספר האחרון וזהו מה שכווננו ביאורו. ואולם הדרך אשר חדשנו אנחנו הכוללת לכל מיני התוספת אשר בו יתוספו המספרי' המונחים קצתם על קצת איזה תוספת היה כשנכה חצי כמות המדרגות שמהמספר הראשון השוה לתוספת עד המספר האחרון בתוספת חצי עם המספר האחרון והעולה הוא שוה לכל המספרים המונחים סבתו גם כן ידועה ממה שקדם מנתינת הסבה במספרים הטבעיים. וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס במאמר החמישי ממנו שהמספרים אשר כפליהם שוים הנה יחס קצתם אל קצת כיחס כפליהם קצתם אל קצת. וכאשר היה זה כן והיו כל שאר מיני המספרים הנוספים קצתם אל קצת בתוספת שוה הם כפלי המספרים הטבעיים. וזה שמספרי ב' ד' ו' ח' על דרך משל הנוספים בתוספת ב' הם שני כפלי א' ב' ג' ד'. ומספרי ג' ו' ט' י"ב הנוספים בתוספת ג' הם שלשה כפלי א' ב' ג' ד'. ומספרי ד' ח' י"ב י"ו הנוספים בתוספת ד' הם ארבע כפלי א' ב' ג' ד' הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיו על יחס א' ב' ג' ד'. רוצה לומר שיחס האחד אל השנים הוא כיחס השנים אל הארבעה והג' אל הו' והד' אל הח'. וכן יחס הב' אל הג' הוא כיחס הד' אל הו' והו' אל הט' והח' אל הי"ב וכן תמיד. וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה כל מספר ומספר מכל המספרים המתחלפים שתוספתם שוה כאשר תעריך כל המספרים הקודמים ממנו אליו יהיה תוספת ערך הקודמים ממנו אליו מערך הקודמים מהמספר הקודם לו אל הקודם לו בתוספת חצי. כמו שהיה זה במספרים הטבעיים. וזה שהמספרי' הנוספים קצתם על קצת בתוספת ב' הנה יהיה ערך הב' אל הד' חצי וערך הב"ד אל הו' שני חצאים וערך הב' ד' ו' אל הח' שלשה חצאים. וכן תמיד בתוספת חצי. וכן במספרים הנוספים קצתם על קצת בתוספת ג'. כי ערך השלשה אל הששה חצי. וערך הג' ו' אל הט' שני חצאים. וערך ג' ו' ט' אל הי"ב שלשה חצאים וכן תמיד בתוספת חצי. וכאשר היה זה כן הנה כמו שיחוייב במספרים הטבעיים שנקח חצי כמות כל המדרגות שמהמספר הראשון עד המספר האחרון בתוספת חצי ונכהו עם המספר האחרון והעולה הוא סך כל המספרים המונחים לסבה שזכרנוה. כן יחוייב שנקח חצי כמות כל המספרים המונחים הנוספים קצתם על קצת באיזה תוספת היה בתוספת חצי ונכהו עם המספר האחרון ויצא לך סך כל המספרים המונחים אחר שהם מתדמי היחס למספרים הטבעיים לפי מה שקדם. ואולם אשר נעלם מהקדמונים הוא כי הם לא שערו שהסבה בהכאת חצי המספר האחרון בתוספת חצי עם המספר האחרון הוא מפני שהוא שוה להכאת חצי המדרגות בתוספת חצי עם המספר האחרון. וזה מפני שחצי המדרגות הוא חצי המספר האחרון במספרים הטבעיים. אבל חשבו שהוא מצד שהוא חצי המספר האחרון לבד. וכאשר היה זה בלתי צודק רק למספרים הטבעיים הנוספים קצתם על קצת בתוספת א' חשבו שאין הדרך הזאת צודקת רק במספרים הטבעיים. אולם אנחנו למה שכבר ביארנו שאין זה מצד חצי המספר האחרון רק מצד מה שקרה שחצי המדרגות הם חצי המספר האחרון אבל הסבה אשר בעצם ועל הכוונה הראשונה אמנם הוא מצד חצי המדרגות בתוספת חצי. הנה אם כן יחוייב בהכרח שכמו שבהכאת חצי כמות מדרגות המספרים הטבעיים בתוספת חצי עם המספר האחרון יצא לך סך כל המספרים הטבעיים. כן יחוייב מזה שבהכאת כמות חצי מדרגות המספרים המונחים הנוספים בתוספת שוה איזה תוספת היה עם

 

עם המספר האחרון יצא לך סך כל המספרים המונחים בהכרח. ואולם כאשר היה המספר הראשון מכל המספרים המונחים פחות מהתוספת אשר בו יתוספו קצתם על קצת איזה פחיתות היה. הנה נוסיפהו על המספר האחרון ונכהו עם חצי כמות המדרגות בתוספת חצי והעולה נגרע ממנו העולה מהכאת המגרעת עם כמות המדרגות והנשאר הוא סך כל המספרים המונחים. וסבת זה גם כן ידועה ממה שקדם. וזה שהוא מהמבואר בעצמו שכאשר נוסיף המגרעת על המספר האחרון הוא שוה כאלו התחלנו המדרגו' מהמספר אשר הוא שוה לתוספת המספרי' המונחים קצתם על קצת. ואם כן מהכאתו עם חצי כמות המדרגות בתוספת חצי יחוייב שיצא סך כל המספרים הנוספים קצתם על קצת כאשר יהיה התחלתם מהמספר השוה לתוספת לפי מה שקדם מהמאמר. וכאשר נגרע מכל אחד מהמספרים המונחים מגרעת המספר הראשון מהמספר השוה לתוספת אשר בו יתחלפו אלה המספרים המונחים מהמספרים אשר התחלתם מהמספר השוה לתוספת. הנה יחוייב מזה בהכרח שישאר לנו הסך העולה מכל אלה המספרים המונחים וזהו מה שכווננו ביאורו. ואולם הדרך אשר בו השתמשו במספרים המונחים המתיחסים ביחס הכפל כשיכפלו המספר האחרון ויגרעו ממנו המספר הראשון מהמספרים המונחים והנשאר הוא סך כל המספרים המונחים הנה סבתו גם כן ידועה. וזה שכפל המספר האחרון הוא כמו חבור המספר האחרון עם כפל הקודם וכפל הקודם הוא שוה לחבור הקודם עם כלל קודם הקודם. אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה כפל המספר האחרון שוה לחבור המספר האחרון עם הקודם ועם כפל קודם הקודם. וכן יתחייב בזה הדרך בעצמו שיהיה כפל המספר האחרון שוה לחבור המספר האחרון עם הקודם ועם קודם הקודם ועם כפל קודם קודם הקודם וכן תמיד עד שיכלה אל המספר הראשון למספרים המונחים המתיחסים ביחס הכפל. וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה כפל המספר האחרון שוה לחבור המספר האחרון עם כל המספרים הקודמים חוץ מהמספר הראשון וכפל המספר הראשון שהוא שני פעמים כמו המספר הראשון. ואם כן כפל המספר האחרון הוא נוסף על חבור המספר האחרון עם כל המספרים הקודמים כמו המספר הראשון. ולכן כאשר נגרע מכפל המספר האחרון המספר הראשון יהיה הנשאר שוה בהכרח לחבור המספר האחרון עם כל הקודמים המונחים וזהו מה שכווננו ביאורו. ואולם הדרך אשר חדשנו אנחנו בזה המין והוא שנגרע אחד מהמספר אשר יגזר ממנו היחס איזה יחס היה. וכפי השבר הנגזר מהמספר הנשאר כן נקח מהמספר האחרון אחר שנגרע ממנו המספר הראשון ונוסיפהו על המספר האחרון והוא סך כל המספרים המונחים המוחסים איזה התיחסות שיהיה. הנה סבתו גם כן ידועה. וזה שהוא מהמבואר בעצמו שהמספרים המונחים המתיחסים באיזה יחס שיהיה הנה הקודם מהמספר האחרון כאשר יכפל במספר כפלי המספרים המונחים יהיה שוה למספר האחרון בהכרח. משל זה ביחס הכפל הנה מספר ח' כאשר יכפל שני פעמים יהיה שוה למספר י"ו שהוא אחריו. וכן ביחס המשלש בכפל הנה מספר ט' כאשר יכפל שלשה פעמים יהיה שוה בהכרח למספר הכ"ז שהוא אחריו וכן בכל יחס ויחס איזה יחס היה. וכאשר היה זה כן והוא מן המבואר בעצמו שהעולה מכפלי המספר הקודם איזה כפלים שיהיו הנה הוא שוה לחבור העולה מכפלי הקודם פחות אחד מכפליו עם העולה מכפלי קודם הקודם כאשר יהיו כפליו שוים לכפלי הקודם טרם שנגרע ממנו הכפל האחד. משל זה במשלנו הקודם הנה העולה משני כפלי הח' הוא שוה לחבור הח' עם העולה משני כפלי הד' הקודם ממנו

וכן

  21

השער הראשון פרק שני

וכן העולה מג' כפלי הט' הוא שוה לחבור העולה משני כפלי הט' עם העולה מג' כפלי הג' הקודם ממנו. והסבה בזה הוא שאחר שהקודם לקודם כאשר יכפל במספר כפלי המספרי' המתיחסים קצתם אל קצת הנה הוא שוה למספר המאוחר ממנו אם כן אין הבדל בזה בין שנקח ג' כפלי המספר האמוחר עד"מ ובין שנקח ב' כפלי המאוחר וג' כפלי הקודם אשר הם שוים למספר המאוחר. וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שכאשר יהיו מספרים מונחים מתיחסים ביחס מה. ונכפול המספר הקודם מהמספר האחרון במספר כפלי המספרים המונחים שיהיה העולה ממנו שוה למספר האחרון לפי ההקדמה הראשונה והוא שוה גם כן לחבור העולה ממנו כאשר יכפל במספרי כפלי המספרים המתיחסים פחות אחד עם העולה מכפלי הקודם ממנו שהוא קודם לקודם כאשר יהיו כפליו ככפלי היחס לפי ההקדמה השנית. אם כן יחוייב מזה בהכרח שהעולה מהמספר הקודם הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות אחד כאשר יחובר עם העולה מהמספר הקודם לקודם הנכפל בכפלי המספרים המתיחסים ישוה למספר האחרון. וכן בזה הדרך בעצמו יחויב שיהיה העולה מהמספר הקודם הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות אחד מחובר עם העולה מהמספר הקודם לקודם הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות א' ועם העולה מהמספר הקודם קודם לקודם הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים שוה למספר האחרון וכן תמיד עד שיכלה אל המספר הראשון. ואם כן יחוייב מזה בהכרח שהעולה מכל המספרי' הקודמים למספר האחרון חוץ מהראשון הנכפלים במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות כפל אחד כאשר יחובר עם העולה מהמספר הראשון הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים שיהיה שוה למספר האחרון והעולה מהמספר הראשון הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים הוא נוסף על העולה ממנו כאשר יכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות כפל אחד כמו המספר הראשון. אם כן יהיה המספר האחרון שוה לעולה מכל המספרים הקודמים הנכפלים בכפלי המספרים המתיחסים פחות אחד מחוברים עם המספר הראשון. וכאשר יחוסר מהמספר האחרון המספר הראשון יתחייב שיהיה הנשאר מהמספר האחרון שוה לעולה מכל המספרי' הקודמים ממנו כאשר יכפלו במספר כפלי המספרי' המתיחסים פחות אחד. ויתחייב מזה בהכרח שכאשר נקח מהעולה מכל המספרים הקודמי' הנכפלים במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות אחד העולה מהמספרים הקודמים הבלתי נכפלים ונקח גם מהנשאר מהמספר האחרון אחר שיחוסר ממנו המספר הראשון כמו יחס העולה מהמספרים הקודמים הבלתי נכפלים אל העולה מהמספרים הקודמים הנכפלים הנה יחוייב בהכרח שיהיה העולה מכל המספרים הקודמים שוה לחלק הלקוח מהמספר האחרון אחר מגרעת המספר הראשון ממנו. כי כאשר יחוסר מהשוים שוה יהיו הנשארים שוים בהכרח לפי מה שהתבאר בפתיחת המאמר הראשון מאקלידס והוא מהמושכלים הראשונים. ואם כן כאשר יחובר הלקוח מהמספר האחרון עם המספר האחרון יחוייב שיהיה שוה בהכרח לכל העולה מכל המספרים המונחים המתיחסים. וכאשר היה זה כן והיה זה מופת כולל צודק בכל מיני המתיחסים הנה אם כן כאשר נגרע המספר הראשון מהמספר האחרון ונשמרהו. אחר כן נגרע אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס המספרים המתיחסי' וישאר המספר אשר יגזר ממנו יחס המספרי' הנכפלים במספר כפלי המתיחסים פחות אחד. אחר זה נקח השבר הנגזר מהמספר אשר יגזר ממנו יחס המספרים פחות אחד שהוא יחס העולה מכל הקודמים הבלתי נכפלים אל העולה מכל הקודמים הנכפלים ונקח כמוהו מהשמור יתחייב שיהיה שוה לכל העולה מכל המספרים הקודמים הבלתי

ו א

 

השער הראשון פרק שני

הבלתי נכפלים. וכאשר נוסיפהו על המספר האחרון יחוייב שיהיה העולה מהם שוה למה שיעלה מכל המספרים המונחי' עם המספר האחרון וזהו מה שכווננו ביאורו. ואולם הדרך אשר בו השתמשו הקדמונים בקבוץ כל מרובעי המספרים הטבעיים המונחים כשיכו שתי שלישיות שרש המרובע האחרון בתוספת שליש עם סך שרשי כל המרובעים המונחי' הנה סבתו גם כן ידועה וזה שמרובעי המספרים הטבעיים הנה כאשר תערוך סך כל המרובעים שמהאחד עד המרובע האחרון עם המרובע האחרון יחד אל סך כל שרשי המרובעים המונחים הנה יהיה תוספת זה הערך על ערך סך כל המרובעים הקודמים למרובע האחרון אל סך שרשי כל מרובעיהם בתוספת שתי שלישיות וכן הקודמים מהקודמים לקודמים וכן תמיד. וזה שערך מרובע אחד אל שרשו שהוא גם כן אחד הוא שלם א' שהוא ג' שלישיות וערך מרובע הא"ד יחד שהם ה' אל שרשיהם שהם ג' הוא א' ושתי שלישיות שהם ה' שלישיות. והנה תוספת זה הערך על הערך הקודם הוא שתי שלישיות. וכן ערך מרובעי אד"ט יחד שהם י"ד אל שרשיהם שהם ו' הוא ב' ושליש שהם ז' שלישיות. והנה תוספת זה הערך על הערך הקודם הוא ב' שלישיות וכן תמיד על זה הדרך ר"ל שתוספת הערכים קצתם על קצת בתוספת ב' שלישיות. וכאשר היה זה כן הנה אם כן כאשר נרצה לדעת קבוץ כל מרובעי המספרים הטבעיים שהתחלתם מהא' עד מרובע מה איזה מרובע היה. הנה מן המחוייב עלינו שנדע כמות המדרגות שמהא' עד המרובע האחרון וכפי כפל כמות המדרגות ככה נקח מהשלישיות ונוסיף עליהם שלישית אחת למה שהיה ערך מרובע האחד אל שרשו הוא שלם אחד נוסף על הב' שלישיות שבכל מדרגה ומדרגה. אחר זה נכהו עם סך שרשיהם והעולה הוא סך כל המרובעים בהכרח. ואולם הקדמונים למה שראו שמספר כמות המדרגות שמהאחד עד המרובע האחרון הוא שוה לשרש המרובע האחרון על כן לא רצו למנות המדרגות רק מצאו שרש המרובע האחרון ולקחו שתי שלישיותיו בתוספת שליש והוא שוה כאלו לקחו מכל מדרגה ומדרגה מהמדרגות שלישיות והוסיפו באחרונה שליש אחד. המשל בזה רצינו לדעת קבוץ כל המרובעים המונחים שמהאחד עד מרובע י"ו הנה לקחנו שרשו והוא ד' לקחנו שני שלישיותיו והם ב' ושתי שלישיות הוספנו עליו שליש א' והנה הם ג' שלמים הכינום עם א' ב' ג' ד' שהם שרשי כל המרובעים ההם שהם י' ועלה שלשים וככה הוא סך מרובעי א' ד' ט' י"ו והנה הדבר שוה כאלו לקחנו מכל מדרגה מד' מדרגות א' ד' ט' י"ו שתי שלישיות ועלו ח' שלישיות והוספנו עליהם שליש אחד ועלו ט' שלישיות שהם ג' שלמים . וזה שד' פעמים שתי שלישיות הוא שוה לשתי שלישיות ד' ועם תוספת שליש יהיו ד' ט' שלישיות שהם ג' וזהו מה שרצינו לבאר. וכבר יתחייב לפי הדרך הזאת שכאשר יהיו מספרים מונחים כמה שיהיו והיו כפלי מרובעי המספרים הטבעיים איזה כפלים שיהיו התחלתם מכפלי האחד ונרצה לדעת סך כל המספרים ההם הנה נדע כמות מדרגות המספרים המונחים ונקח מהכמות ההוא שתי שלישיותיו בתוספת שליש ונשמרהו. אחר זה נקח חצי כמות המדרגות בתוספת חצי ונכהו עם הכמות והעולה נכהו עם השמור והעולה הוא קבוץ כל המספרים המונחים. המשל בזה אם רצית לדעת סך כל מספרי ג' י"ב כ"ז מ"ח הנה להיות שכמות מדרגותיהם הם ד' נקח שתי שלישיותיו בתוספת שליש והם שלשה שלמי' ונשמרם אחר נקח חצי הכמות בתוספת חצי שהם ב' וחצי ונכם עם הכמות ויעלו עשרה נכם עם שלשה שהם מספר כפלי המספרים המונחים על מרובעי המספרים הטבעיים ויעלו שלשים נכם עם השמור שהם שלשה ויעלו תשעים וככה הוא סך מספרי ג' י"ב כ"ז מ"ח וסבת זה גם כן ידועה. וזה שכבר התבאר בספר היסודות לפי מה שקדם מהמאמר שהמספרים שהם

כפלי

  22

השער הראשון פרק שני

כפלי מספרים אחרים מונחים כמה שיהיו הנה יחס הכפלים קצתם אל קצת כיחס המספרים המונחים הבלתי נכפלים קצתם אל קצת. ולכן יהיו הערכים נוספים קצתם על קצת בתוספת שתי שלישיות כמו מרובעי המספרים הטבעיים. ולכן כאשר היה זה כן הנה יחוייב מזה בהכרח שיהיה הדרך אל מציאותם הוא הדרך אל מציאות המרובעים בעינו אחר שסבתם היא אחת בעינה. ואולם מה שחדשנו הנה אמנם הוא הכאת מספר כפלי המספרים המונחי' עם העולה מהכאת כמות חצי המדרגו' בתוספת חצי עם כמות המדרגות שמהמספר הראשון עד המספר האחרון וסבת זה גם כן ידועה. והוא שהערכים אמנם הם שוים עם ערכי המרובעים הטבעיים כאשר נכפול שרשי המרובעים במספר כפלי המספרים המונחים מהמרובעים. הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שנכה העולה מהכאת חצי המדרגות בתוספת חצי עם כמות המדרגות שהוא סך שרשי המרובעים אשר המספרים המונחים כפלים להם עם מספר כפלי המספרים המונחים על המרובעים הטבעיים וזהו מה שכווננו ביאורו. ואולם הדרך אשר בו השתמשו בקבוץ כל מעוקבי המספרים הטבעיים המונחים כשיכו סך יסודות המעוקבים המונחים בעצמו הנה סבתו גם כן ידועה. וזה שכפלי סך כל המעוקבים המונחים כמה שיהיו על סך כל יסודותיהם הם נוספים על כפלי סך כל המעוקבים המונחים הקודמים מהמעוקב האחרון על סך יסודותיהם כמו יסוד המעוקב האחרון. וכן הקודמים נוספים על הקודמים לקודמים כמו יסוד הקודמים וכן תמיד עד שיגיע למעוקב הראשון רוצה לומר שהערכים נוספים קצתם על קצת כמו המספרים הטבעיים. משל זה שערך מעוקבי א' ח' שהם תשעה על סך יסודם שהם שלשה הוא נוסף על ערך מעוקב אחד על יסודו שהוא אחד כמו יסוד שמונה שהוא שנים כי הערך הראשון היה השוה שהוא מורה על פעם אחד כמו היסוד. וזה הערך הוא שלשה כפלי היסוד שהוא שני פעמים נוספים על הפעם האחת שבערך הראשון. וכן ערך מעוקבי א"ח כ"ז שהם ל"ו על סך יסודם שהם ששה הוא ששה כפלים והוא נוסף על הערך הראשון ממנו כמו יסוד הכ"ז שהם שלשה. וכן ערך מעוקבי א"ח כ"ז ס"ד שהם מאה על סך יסודם שהם י' הוא עשרה כפלים והוא נוסף על ערך הו' כפלים הקודם ממנו כמו יסוד הס"ד שהם ד' וכן תמיד על זה הדרך רוצה לומר שתוספת הערך על הערך הוא כמו היסודות המעוקבים האחרונים. ויסודות המעוקבים האחרונים הם המספרים הטבעיים בעינם. הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה ערך מעוקב אחד אל יסודו הוא אחד רוצה לומר שוה לו. וערך מעוקבי א"ח אל סך יסודם הוא שלשה רוצה לומר שלשה פעמים כמוהו שהוא חבור השנים עם האחד. וערך מעוקבי א"ח כ"ז אל סך יסודם הוא ו' רוצה לומר ו' פעמים כמוהו שהוא חבור הג' עם הא"ב. וערך מעוקבי א"ח כ"ז ס"ד אל סך יסודם הוא י' רוצה לומר י' פעמים כמוהו שהוא חבור הד' עם א' ב' ג' וכן תמיד. וכאשר היה זה כן הנה אם כן ברצותנו לדעת קבוץ כל המעוקבים המונחים כמה שהיו הנה נמצא יסוד המעוקב האחרון ונכהו עם חציו בתוספת חצי והעולה הוא קבוץ יסודות כל המעוקבים המונחים. אחר זה נבקש לדעת כמות המדרגות שמהמעוקב הראשון עם המעוקב האחרון. ונקח למדרגה הראשונה א' ולשנית ב' ולשלישית ג' ולרביעית ד' וכן תמיד עד שנגיע אל המרובע האחרון. אחר זה נחבר כלם יחד והם כפלי סך כל המעוקבים על סך יסודותיהם. ולכן נכה סך יסודותיהם עם העולה מחבור כל המספרים הטבעיים שהוא חבור כל המדרגות והעולה הוא חבור כל המעוקבים המונחים אולם הקדמונים למה שראו שהעולה מחבור כל המדרגות שהם המספרים הטבעיים הוא

בעצמו ו ב

 

השער הראשון פרק שני

בעצמו סך כל יסודותיהם הנה הכו סך כל יסודותיהם עם עצמו והעולה הוא סך כל המעוקבים המונחים וזה מה שכווננו ביאורו. וכבר יתחייב מזה לפי הדרך הזאת שכאשר יהיו מספרים מונחים כמה שיהיו והיו כפלי מעוקבי המספרים הטבעיים איזה כפלים שיהיו התחלתם מכפלי המעוקב הראשון שהוא א' א' ונרצה לדעת סך כל המספרים המונחים הנה נדע כמות מדרגות המספרים המונחים ונקח מהכמות ההוא חציו בתוספת חצי ונכהו עם הכמות והעולה נשמרהו. ואחר זה נכהו עם מספר כפלי המספרים המונחים על המעוקבים הטבעיים. והעולה נכהו עם השמור והעולה הוא קבוץ כל המספרים המונחים. המשל בזה במספרי ג' כ"ד פ"א שכל אחד מהם הוא ג' כפלי המעוקבים הטבעיים כי הג' הוא ג' כפלי הא' שהוא המעוקב הראשון והכ"ד הוא ג' כפלי הח' שהוא המעוקב השני. והפ"א הוא ג' כפלי הכ"ז שהוא המעוקב השלישי. וכמות מדרגותיהם הוא ג' נכהו עם חציו בתוספת חצי ויעלו ו' ונשמרהו. אחר זה נכה הו' עם הג' שהם מספר כפלי המספרים האלו על המעוקבים לפי מה שקדם ויעלו י"ח. אחר זה נכה הי"ח עם הו' השמורים ויעלו ק"ח וזהו קבוץ מספר ג' כ"ד פ"א וסבת זה גם כן ידועה ממה שקדם. וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס לפי מה שקדם מן המאמר שמהמספרים המונחים הם יחס קצתם אל קצת הוא כי יחס כפליהם קצתם אל קצת. ולכן יהיו ערכי המספרים האלו גם כן על סך מדרגותיהם מוכים במספר כפלי המספרים המונחים כיחס ערכי המעוקבים על סך יסודם. וכאשר היה זה כן הנה יחוייב מזה בהכרח שיהיה הדרך אל מציאותם הוא הדרך אל מציאות המעוקבים בעינו אחר שסבתם היא אחת בעינה וזה מה שכווננו ביאורו. וסגולת זה המין הוא שכאשר הוכה מספר זוג במספר נפרד או במספר זוג הנה המקובץ זוג. וכאשר הוכה מספר נפרד במספר נפרד הנה המקובץ נפרד הנה כבר התבאר לך זה המין עם הדרכים אשר בהם השתמשו הקדמונים ועם הדרכים אשר חדשתי אני ועם המאזנים אשר בהם יאוזן הכזב או אשר יאוזן בהם הצדק והכזב יחד מחובר בסבותיהם יחד ומעתה אתחיל במין החסור. הפרק השלישי במין החסור החסור הוא מגרעת מספר מה ממספר אחר גדול ממנו. ואמרי ממספר אחר גדול ממנו כוונתי על כל הטור. אולם מצד המדרגות כבר יתכן זה ר"ל שיתכן שיהיו אחדי הטור השפל יותר מאחדי הטור העליון. וכן העשרות מהעשרות וכן המאות מהמאות. ואולם אחדי מדרגת האלפים מהטור העליון הוא יותר מאחדי מדרגת האלפים מהטור השפל וכן לעולם ר"ל שתביט שיהיה הכלל האחרון מהטור העליון גדול מהכלל האחרון שבטור השפל לא שתביט המדרגה עם המדרגה כי כבר יתכן בזולת זה. והדרך אל ידיעת זה המין ואופן הנחתו הוא זה שתסדר השני מספרים בשני טורים המספר היותר גדול בטור העליון והמספר הקטן בטור השפל. וזה כשתניח כל מדרגה תחת המדרגה הדומה לה. ר"ל מדרגת האחדים כנגד האחדים והעשרות כנגד העשרות. ואחר תחסר כל מדרגה מהשפל ממה שכנגדה מהעליון והנשאר כתבהו בטור שלישי תחת הטור השני כנגד המדרגה ההיא בעצמה אחר שתמשוך קו מבדיל בין הטור השני והטור השלישי. וזה אם היתה המדרגה השפלה פחותה מהעליונה ואם היתה שוה לה תכתוב סיפרא למטה כנגד המדרגה ההיא. ואם היתה מדרגת הטור השפל גדולה

ממנה

  23 השער הראשון פרק שלישי 5 4 3 2 ממנה הנה נכתוב בטור השלישי כנגד המדרגה ההיא בעצמה 9 3 3 1 העולה מקבוץ המדרגה העליונ' עם מגרעת התחתונ' מהעשרה 6 0 0 1 ונגרע מהמדרגה הנמשכת לה מהטור העליון א' או נוסיף א' במדרגה הנמשכת מהטור השפל ואחר נעשה כמשפט. ר"ל כפי מה שהורונו בידיעת המדרגה הקודמת לה. המשל בזה אם רצינו לגרוע מספר אלף של"ט ממספר גדול ממנו והוא מספר ב' אלפים שמ"ה. הנה נגרע הט' שהם אחדי הטור השפל מהה' שהם אחדי הטור העליון. ולהיות שהט' יותר מהה' הנה נחבר הה' שבטור העליון עם הא' שהוא הנשאר ממגרעת הט' שבטור השפל מהי' והעולה ו' ונכתבהו תחת הקו כנגד מדרגת האחדים בעצמה. אחר זה נוסיף אחד על מספר ג' הנמשך למדרגת האחדים מהשפל או נגרע א' מהד' הנמשך למדרגת הה' שבטור העליון כי הכל ענין אחד. ונחסר השפל מהעליון והם שוים ונכתוב סיפרא בטור השלישי במדרגת העשרות אחר זה נגרע הג' שבמדרגת המאות מהשפל מהג' שבמדרגת המאות מהעליון והם שוים. ולזה נכתוב סיפרא בטור הג' במדרגת המאות. אחר זה נגרע הא' שבמדרגת האלפים מהעליון והנשאר א' ונכתבהו בטור השלישי במדרגת האלפים והעולה בטור השלישי הוא הנשאר מחסור הטור השפל מהטור העליון. והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין הוא שתשליך הטור העליון ט' ט' והנשאר מהתשיעיות שמרהו. עוד תשליך הטור השפל גם כן תשיעיות והנשאר שמרהו. אחר זה חסר השמור השפל מהשמור העליון אם השמור העליון גדול מהשמור השפל או הוסף על השמור העליון ט' אם השמור העליון קטן ממנו. אחר זה חסר השמור השפל מהעליון והנשאר שמרהו. אחר זה השלך גם אותיות הטור השלישי לתשיעיות והנשאר אם הוא בלתי שוה לשמור שבידך דע שטעית אלא שגם אלה מאזני מרמה. עוד מאזנים אחרים על דרך השביעיות והוא שנשליך מכל טור וטור מהשני טורים העליונים השביעיות לפי מה שקדם אם כשתחשב כל מדרגה לפי איכותה. ואם כשתחבר המדרגה האחרונה עם הקודמת לה ותחשוב האחרונה לעשרות והקודמת לה לאחדים והכל עולה בקנה אחד. אחר זה חסר מהמותר מהטור הגדול המותר מהטור הקטן והנשאר שמרהו. אחר זה השלך השביעיות גם מהטור השלישי ואם המותר בלתי שוה למותר כזבת אלא שגם אלה מאזני מרמה. אולם המאזני צדק אשר בזה המין הוא זה שתקבץ הטור השפל עם הטור השלישי והעולה אם הוא שוה לטור העליון דע שצדקת ואם לאו כזבת. ואולם סבת מציאות זה המין עם הדרך הזאת הנה היא מבוארת בעצמה. וזה שהוא מן המבואר שכאשר תהיה המדרגה השפלה יותר גדולה מהמדרגה העליונה שכנגדה ונקח אחד מהמדרגה הנמשכת לעליונה שהוא עשרה בערך אל המדרגה הקודמת ונחסר ממנו המדרגה השפלה שתחת המדרגה הקודמת לה שיהיה הנשאר ממנו מחובר עם המדרגה העליונה הקודמת שוה למותר אשר ישאר ממגרעת המדרגה השפלה מהעליונה מחוברת עם הא' הלקוח מהמדרגה הנמשכת לה הנחשב לעשרה. ושהמדרגה הנמשכת למדרגה השפלה הנה כאשר נוסיף לה אחד ונגרעה מהעליונה שכנגדה מבלתי שנגרע ממנה האחד שגרענו ממנה בתחלה הנה הנשאר ממנה שוה למה שישאר ממגרעת המדרגה השפלה הנמשכת מבלתי שנוסיף לה דבר מהמדרגה העליונה שכנגדה כאשר נגרע ממנה האחד שגרענו ממנה בתחלה וכן בכל המדרגות דרך אחד לכל. וכאשר היה זה כן הנה אם כן כאשר תהיה המדרגה השפלה יותר פחותה מהעליונה שכנגדה נגרע

השפלה

 

השער הראשון פרק הרביעי

השפלה מהעליונה והנשאר נכתבהו תחתיה ואם היתה שוה לה נכתוב תחתיו סיפרא. ואם היתה יותר גדולה נגרעה מהעשרה והנשאר נחברהו עם המדרגה העליונה שכנגדו והעולה נכתבהו תחת מדרגתה. אחר זה נוסיף אחד על המדרגה השפלה הנמשכת ונגרעה מהעליונה שכנגדה והנשאר נכתבהו תחת מדרגתה וזהו מה שכווננו ביאורו. ואולם סבת מאזני התשיעיות והשביעיות הנה היא מבוארת ממה שקדם אין צורך להכפיל המאמרים. ואולם סבת המאזני צדק אשר בזה המין הנה היא מבוארת גם כן. וזה שהוא מן המבואר בעצמו שהמספר הנגרע עם המותר הוא שוה למספר הנגרע ממנו ולכן כאשר נקבץ המותר והנגרע ראוי שישוה למספר הגדול וזהו מה שכווננו ביאורו. וסגולת זה המין שכאשר חוסר מספר זוג ממספר זוג הנה הנשאר זוג ואם חוסר מספר זוג ממספר נפרד הנה הנשאר נפרד. וכאשר חוסר מספר נפרד ממספר נפרד הנה הנשאר זוג. ואם חוסר מספר נפרד ממספר זוג הנה הנשאר נפרד. ומעתה אתחיל בביאור המין הרביעי והוא החלוק. הפרק הרביעי במין החלוק החלוק הוא המודיע מספר חלקי מספר מה מונח השוים למספר מה מונח קטן ממנו ולהיות שמציאות זה הדבר אמנם הוא עם חלוקת המספר הגדול לחלקים שוים למספר המונח הקטן ממנו כי אם לא יחלק תחלה לחלקים שוים לקטן לא יתכן שימצא מספרם כי המספר אמנם הוא אחר מציאות הדבר לכן קראנו שם זה המין חלוק. ובו יודע יחס מספר מה אל מספר אחר קטן ממנו. וזה שכפי מספר חלקי המספר הגדול ככה הם כפליו מהמספר הקטן ממנו אשר חלקיו שוים לו. וכפי המותר הבלתי מתחלק אל המספר הקטן הנחלק עליו ככה הם החלקים הנוספים לו על כפליו. כי עד"מ הכ"ה אל הי' להיות שמספר חלקי הכ"ה השוים לי' הם ב' ידענו שכפלי הכ"ה הם שני כפלי הי' ולהיות שהמותר הבלתי מתחלק ממנו הם ה' והמספר הנחלק עליו הם י' ידענו שהחלקים הנוספים לו על כפליו הם ה' חלקים מהי' ובזה ידענו שיחס הכ"ה אל הי' הם ב' כפלים וה' עשיריות. ואולם יחס המספר הקטן אל המספר הגדול ממנו הנה אם היה הקטן חלק מהגדול יקרא בשם נגזר ממספר כפלי הגדול כי כבר הקדמנו בפתיחת זה המאמר כי השברים נגזרים מכפלי המספר הגדול כמו החצי מהכפל והשליש ממשלש בכפל. ואולם אם היה הקטן חלקים לגדול הנה יש לו דרך ייחדהו במה שיבא אם ירצה האל יתברך. ולהיות שהמספר הקטן יהיה חלק או חלקים לגדול והחלק הוא אשר ימנה המספר הגדול והגדול יהיה כפל או כפלים לקטן ויקרא הגדול בשם אחד בלבד והוא השם הנגזר משם שבר הקטן לפי מה שקדם. והחלקים הוא אשר לא ימנה לגדול בין שימצא מספר אחד ימנם יחד והם המשותפים ובין שלא ימצא מספר אחד ימנם יחד והם הנבדלים והגדול יהיה אז כמו הקטן. וחלק או חלקים לקטן או כפלים וחלק או חלקים לקטן ויקרא הגדול בשני שמות שם במה שהוא נמנה ושם במה שהוא בלתי נמנה לפי מה שקדם וידיעת הפשוט קודם מידיעת המורכב כמו שמציאותו קודם ממציאותו. הנה אם כן מן

המחויב

  24

השער הראשון פרק הרביעי

המחוייב להקדים דרך מציאות חלוק המספר אשר הוא נמנה מהקטן אחר זה המספר הבלתי נמנה מהקטן ואומר שהדרך הכולל בידיעת זה המין הוא שתסדר המספר המחולק בטור ראשון ותחתיו המספר המחלק בטור שני ותהיה מדרגתו האחרונה תחת המדרגה האחרונה שבטור העליון. אחר זה תמשיך קו ותכתוב תחתיו היוצא מהחלוקה ויקרא בשם חלק ותהיה מדרגתו האחרונה תחת המדרגה הראשונה שבטור השני שהוא המחלק זהו סדר הנחת המחלק והמחולק והחלק בכל חלקי זה המין. ואולם דרך השמוש בו הוא זה. שתחשוב כל מדרגות המחולק כמו אחדים ושתתחיל מהמדרגה האחרונה של המחולק. ואם המחלק פרט לבד תחקור מספר הפעמי' אשר ימנה אותו המחלק והמספר ההווה כתבהו תחת הקו כנגד אותה המדרגה וכן בכל המדרגות דרך אחד לכל ר"ל שמספר הפעמים אשר ימצא המחלק כל מדרגה ומדרגה ממדרגות המחולק יכתוב תחת הקו כנגד המדרגות הנמנות מהמחלק. ואם המחלק גדול מהמדרגה האחרונה שבמחולק לא נכתוב תחת הקו כנגד המדרגה ההיא מאומה אבל נחשב אותה לעשרות והקודמת לה לאחדים ונחברם יחד. ונחקור מספר הפעמים אשר ימנם המחלק והמספר ההוה יכתוב תחת הקו כנגד המדרגה הקודמת למדרגה האחרונה. אולם אם היה המחלק פרט וכלל יחד נחקור מספר הפעמים אשר ימנה המדרגה האחרונה מהמחלק את המדרגה האחרונה מהמחולק באופן שיספיק העולה מהכאת מספר הפעמים עם המדרגה האחרונה מן המחלק שיחוסר מהמדרגה האחרונה מהמחולק. וכן העולה מהכאת מספר הפעמי' עם המדרג' הקודמת שבמחלק שיחוסר מהמדרג' הקודמת שבמחולק עם עזר הנשאר מהמדרגה האחרונה שבמחולק כשיחשבו לעשרו' בערך המדרגה הקודמת ומספר הפעמים ההם יכתבו תחת הקו כנגד המדרגה הראשונה שבמחלק וכן תמיד דרך אחד להם ירבו מה שירבו מדרגות המחולק או המחלק או שניהם יחד. משל המין הראשון והוא שהמחלק פרט לבד הוא זה. בקשנו מספר הפעמים אשר ימנה המחלק שהוא מספר ח' המדרגה האחרונה שבטור העליון שהוא הב' ולא מצאנו

3 מספר כלל לפי שהוא יותר קטן ממנו ולזה לא כתבנו מאומה

8 2 7 2 תחת הקו כנגד הח' כמשפט אחר זה נעתקנו אל המדרגה הקודמת

8 שבטור העליון והוא הז' וחברנו עמה המדרגה הנמשכת לה והם

1 4 3 כ"ז בקשנו מספר הפעמים שימנם הח' שהוא המחלק והם ג'. ולכן כתבנו ג' תחת הקו כנגד המדרגה הקודמת והנשארים ממספר הכ"ז הבלתי נמנים שהם ג' כתבנום על הז' להורות על הנשאר ומחקנו הב' להורות שלא נשאר כלום מהם. אחר זה נעתקנו אל המדרגה הקודמת מזאת המדרגה והיא הב' וחברנו עמם שארית המדרגה הנמשכת לה שהם ל"ב בקשנו מספר הפעמים שימנם המחלק והם ד'. וכתבנו הד' תחת הקו כנגד המדרגה הקודמת. ולהיות שלא נשאר כלום מחקנו הל"ב להורות שלא נשאר כלום מהם. אחר זה נעתקנו אל המדרגה הקודמת מזאת המדרגה והיא הח' שבטור העליון. ובקשנו מספר הפעמים שימנם המחלק והם א' וכתבנו הא' תחת הקו כנגד המדרגה הקודמת. ולהיות שלא נשאר כלום מחקנו הא' להורות שלא נשאר כלום. ולהיות שכבר הגיע מדרגת הטור הג' כנגד המדרגה הראשונה שבטור העליון על כן ידענו שכבר נשלם הטור הג' והנה אם כן מספר הטור הג' הוא שמ"א וככה הוא מנין הפעמים אשר ימנו הח' למספר ב' אלפים ותשכ"ח ולכן יהיה המספר שמ"א כפלי הח' והוא חלק אחד משמ"א. ומשל

 

השער הראשון פרק רביעי

ומשל המין השני והוא שהמחלק כלל ופרט יחד הוא זה. בקשנו מספר הפעמים שימנה האחד שבמדרגה האחרונה שבמחלק למספר ב' שהוא המדרגה האחרונה מהמחולק והם ב'. אולם למה שכבר קדם שראוי שתחסר העולה מהכאת מספר הפעמים עם כל מדרגות המחלק כל אחד ממדרגתו הנכחית לו. וזה לא יספיק כי שני פעמים אחד הם שנים ויחוסרו מהב' שבמדרגה האחרונה מהטור העליון. וב' פעמים ד' הם ח' ולא יספיקו שיחוסרו מהג' שבטור העליון על כן כתבנו תחת הקו כנגד המדרגה הראשונה מטור השני אחד למה שיספיק זה המספר שיחוסר העולה מהכאתו עם כל מדרגות המחולק כל אחד מהנכחית לו. וזה שאחד פעמים א' הם אחד ויחוסרו מהב' שכנגדו מהטור העליון וישאר א' ונכתבהו למעלה להורות על הנשאר. גם נכה האחד עם הד' שבמחלק ויעלו ד' ויחוסרו מהי"ג שבטור העליון שהם חבור הג' שבמדרג' הנכחית לו מהטור העליון עם הא' הנשאר שבמדרגה הנמשכת לה וישארו ט' ונכתבם על הג' להורות על הנשאר ונמחוק האחד הנשאר גם נכה הא' עם הח' שבמחלק ויעלו ח' ונחסרם מהצ"ו שבטור העליון שהם חבור הו' שבמדרגה הנכחית לו מהטור העליון עם הט' הנשאר שבמדרגה הנמשכת לה וישארו פ"ח. ונכתוב ח' על הט' וח' על הו' להורות על הנשאר. אחר זה למה שכבר השלמנו לחסר

4 2 מהטור העליון העולה מהכאת מספר האחד עם כל מדרגות
8 8 המחלק שבנו לבקש מספר הפעמים אשר ימנה הא' שבמחלק
9 1 הח' הנשארים שבמדרגה הקודמת מהמדרגה האחרונה שמהטור

8 6 3 2 העליון והנה הם ח' פעמים. אולם למה שלא יספיקו המספרים

8 4 1 שבטור העליון לגרוע מהם העולה מהכאת הח' עם כל מדרגות

6 1 המחלק ולא מהעולה מהכאת הז' עם כל מדרגות המחלק. לכן כתבנו ו' במדרגה הקודמת לא' שתחת הקו והכינו הו' עם הא' שבמחלק ועלו ו' גרענום מהח' הנשארים בטור העליון ונשארו ב' וכתבנו ב' על הח' להורות על הנשאר. אחר זה הכינו הו' עם הד' שבמחלק ועלו כ"ד גרענום מהכ"ח שבטור העליון שהם חבור הח' שבמדרגה השנית מהטור העליון עם הב' הנשארים שבמדרגה השלישית מהטור העליון ונשארו ד'. כתבנו הד' על הח' להורות על הנשאר ומחקנו הב' שבמדרגה השלישית להורות שלא נשאר כלום. אחר זה הכינו הו' עם הח' שבמחלק ועלו מ"ח גרענום מהמ"ח שבטור העליון שהם חבור הח' שבמדרגה הראשונה עם הארבעה הנשארי' שבמדרגה השנית מהטור העליון ולהיות שלא נשאר כלום מחקנום להורות שלא נשאר כלום שכבר הגיע מדרגת הטור השלישי שתחת הקו כנגד המדרגה הראשונה שבטור העליון ידענו שכבר נשלם פועל החלוק. והנה אם כן מספר הפעמים שימנו הקמ"ח למספר ב' אלפים שס"ח הם י"ו פעמים ולכן יהיה המספר הגדול י"ו כפלי הקטן והקטן חלק אחד מי"ו חלקי הגדול. ואחר שכבר ביארנו המין הפשוט ממנו והיה חלוף המין הפשוט מהמורכב אמנם הוא מפני המותר הבלתי מתחלק בלבד כי דרך החלוק בשניהם אח' והיה דרך חכמי המספר להשתמש עם קטון היחס והיה המותר פעמים יהיה יחסו אל המחלק קטון היחס ופעמים לא. לכן ראוי להודיע הדרך אשר בו נוכל לדעת קטון היחס שבכל אחד ואחד מהמתיחסים איזה יחס שיהיה כי כאשר יודע זה הנה אין צורך לחקירה אחרת זולת מה שהתבאר במין הפשוט מזה. ואומר שהשני מספרים המתיחסים איזה מספרים שיהיו הנה בהכרח לא ימלטו מאחד משני פנים אם שיהיו משותפים ואם שיהיו נבדלים והמשותפים יחלקו לשני חלקים והם אם שימנה האחד את האחר או שלא ימנה האחד את האחר רק מספר ימנם יחד. והנבדלים גם כן יחלקו לארבעה חלקים והם אם שיהיו

שניהם

  25

השער הראשון פרק רביעי

שניהם ראשונים או שניהם מורכבים או האחד מורכב והאחר ראשון וזה על שני פנים אם שיהיה הקטן מורכב והגדול ראשון או ההפך והראשון הוא אשר לא ימנהו רק האחד. והמורכב הוא אשר ימנהו מספר זולת האחד. אולם המין הראשון מהמשותף ר"ל שימנה האחד את האחר הנה כאשר נחלק הגדול על הקטן יהיה החלק היוצא מהחלוקה מורה על קטון היחס בהכרח. כי עד"מ אם היו שני המספרים המתיחסים י' וק' הנה נחלק הק' על הי' ויצאו י'. ואלה הי' מורים שהק' י' כפלי הי' ושהי' א' מעשרה חלקי הק' ואם כן קטון זה היחס הוא אחד ועשרה כמו שהתבאר זה במין הפשוט. ואולם הד' מיני הנבדלים הנה הם קטני היחס בעצמם. וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס כי כל שני מספרים נבדלים הנה יחס האחד מהם אל האחר הוא קטן היחס בהכרח. ולכן יחס הקטן אל הגדול הוא המספר הקטן בעינו אל הגדול. ואולם יחס הגדול אל הקטן הנה ימצא עם החלוק כי בו יודע כמות כפלי הגדול מהקטן והמותר יודיע יחס הנשאר מכפלי הגדול מהקטן ויחס המותר אל הקטן הוא בעצמו המותר אל הקטן אחר שהם נבדלים ויחויב שיהיו קטני היחס לפי מה שקדם מן המאמר. המשל בזה אם היו שני המספרים הנבדלים מספרי ז' ל"א הנה יחס הז' אל הל"א הוא הז' אל הל"א בעצמם אחר שהם נבדלים אולם יחס הל"א אל הז' יודע כשנחלק הל"א על הז' ויצאו בחלוקה ארבעה וישארו מותר ג'. ואם כן יתחייב מזה שיהיה יחס הל"א אל הז' ד' כפלי הז' וג' שביעיות ואולם הראיה שהמותר מחלוק הנבדל הגדול על הקטן היא נבדל לנבדל הקטן הוא זה שאם לא יהיה נבדל ממנו הנה יהיה משותף זה לו וזה אם כשימנהו ואם שימצא מספר ימנם יחד ואם ימנהו הנה אחר שהקטן ימנה החלק הנחלק מהגדול יהיה גם המותר המונה לקטן ימנה החלק הנחלק בהכרח כי המונה למונה גם הוא מונה למה שימנה המונה לפי מה שהתבאר בספר היסודות לאקלידס. ואחר שהמותר מונה החלק הנחלק מהגדול ומונה גם עצמו הנה אם כן מונה כל הגדול והוא מקובץ המותר והחלק הנחלק וכבר ימנה גם הקטן הנה אם כן יהיו הקטן והגדול אשר הנחנום נבדלי' משותפים אחר שמספר המותר ימנם יחד וזה חלוף לא יתכן. וכן אם הנחנו מספר אחד מונה המותר והקטן הנה יחויב מזה שימנה גם החלק הנחלק מהגדול אחר שהוא מנוי מהקטן וכבר ימנה גם המותר. אם כן ימנה מקובץ הב' חלקי הגדול שהם המותר והחלק הנחלק וכבר מנה הקטן אם כן יהיו הנבדלים משותפים זה שקר. אם כן כבר התבאר מזה שכאשר יהיו שני מספרים נבדלים ונחלק הגדול על הקטן הנה המותר אשר ישאר מהגדול הנה גם הוא נבדל בהכרח יהיו הנבדלי' ראשונים או מורכבים או האחד מורכב ואחר ראשון איזה מהם היה הנה המתחייב מהם א' תמיד בהכרח אי אפשר זולת זה וזה מה שרצינו לבאר. ואולם הדרך אשר בו ידעו המספרים הנבדלי' אם הם נבדלים אם לא הנה הוא שתחלק המספר הגדול על הקטן אחר זה תחלק הקטן על המותר עוד לא תסור מחלק האחד על האחר ואם יכלה אל הא' דע שהם נבדלים ואם לאו הם משותפים ואולם המין החמישי והוא המין השני מהמשותפים ר"ל שיהיו השני משותפים ימנה שניהם מספר אחד והם לא ימנו זה את זה. הנה הדרך אל מציאות קטון היחס שבאלה המספרים הוא זה שתמצא גדול המספר אשר ימנה שני המספרים המשותפים יחד וזה כשתחלק המספר הגדול על הקטן אחר כן המספר הקטן על המותר אחר כן המותר הראשון על המותר השני ולא תסור מחלוק המותר על המותר עד שיכלה אל מספר אי אפשר שישאר בו מותר והוא גדול המספר אשר ימנה שניהם יחד. אחר זה בקש מספר

הפעמים ז א

 

השער הראשון פרק רביעי

הפעמים אשר ימנה המספר הקטן וזה כשתחלקהו עליו והעולה שמרהו. גם בקש מספר הפעמים אשר ימנה הגדול והעולה שמרהו והשני שמורים הם קטני היחס ההוא. המשל בזה המותר י"ב והמספר הקטן כ"ז חלקנו הכ"ז על הי"ב ונשארו ג'. חלקנו הי"ב על הג' ולא נשאר מזה מותר ולכן ידענו שגדול המספר אשר ימנם יחד הוא ג'. בקשנו מספר הפעמים אשר ימנה הי"ב וזה כשחלקנו הי"ב על הג' והיה העולה ד' ושמרנום. גם חלקנו הכ"ז על הג' והיה העולה ט' ושמרנום וידענו שהד' והט' הם קטני היחס ההוא. ולכן ידענו שיחס הי"ב אל הכ"ז הוא ד' תשיעיות. הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת החלוק בין שישאר בו מותר ובין שלא ישאר כלום ובארנו הדרך בידיעת יחס המספר האחד אל האחר איזה מספרים שיהיו והארכנו בו מאד להיותו קשה הציור. אולם קצת מהראשונים השתמשו בידיעת קטני היחס בדרך ההתכה ר"ל שאם היה המותר מספר כ"א עד"מ והמספר הקטן הם קמ"ז מחלקים הכ"א לג' חלקים והקמ"ז לג' חלקים שנמצא המותר ז' והמספר הקטן שהוא המחולק מ"ט עוד מחלקים המותר שהוא הז' לז' חלקים והמ"ט גם כן לז' חלקים ונשאר המותר אחד והמחלק שהוא מספר הקטן ז' וידענו שיחס המותר למחלק הוא שביעית. וזאת הדרך רחוקה מני כי מי יתן ואדע במה יודע להם החלוק המשותף לב' המספרי' אם הם ג' או ה' או ז' או הדומים לאלה או אם הם נבדלים ואינם נחלקים בשום חלוק משותף. ואם ישיבו על זה בדרך החפוש הנה להם לעורון כי ימששו כעורי' קיר וילאו למצוא הפתח. אולם קצת מהראשונים השתמשו בדרך החלוק באופן אחר והוא הנקרא בלשונם גַליאָה והוא זה שמעתיקים המחלק ממדרגה למדרגה בכל מבוקש ממבוקשי הטור השלישי וכותבים החלק בצד המספר המחולק אחר שימשיכו קו יותר בעבור שלא יתבלבל המעיין מצד העתק המחלק ממדרגה למדרגה כזה ואין הבדל בין זה הדרך ובין הדרך הקודם רק מצד העתק המחלק 7 1 ממדרגה למדרג' למען לא יתבלבל התלמיד אבל פעלתו 3 6 3 היא פעלת הדרך הקודם בעינו. אולם אני כבר 1 4 9 4 1 חדשתי דרך יותר רחוקה מהבלבול ויותר נכונה מהשתי 7 1 3| 8 5 2 3 7 דרכים הראשונים והיא עם דרך הקבוץ. והוא שנסדר המחולק בטור העליון והמחלק תחתיו בטור שני ונמשיך קו מבדיל בין המחלק למחולק וכבר התבאר במה שקדם כי המדרג' האחרונה מהמחלק היא כנגד המדרגה האחרונה מהמחולק. ואם מדרגת האחדים מהמחלק תחת מדרגת האחדים מהמחולק הנה נכתוב המחלק בעינו בטורי' רבים זה תחת זה עד שישוה או יקרב העולה מכלל הטורים למחולק וכמספר הטורים ככה מספר החלק המורה על כמות הפעמים אשר ימנה המחלק למחולק. ולהיות שאחדי המחלק תחת אחדי המחולק לכן ידענו שהחלק היוצא הוא במדרגת האחדים. ואולם אם היו אחדי המחלק תחת מדרגת העשרות שבמחולק או תחת מדרגת המאות או זולת זה מהמדרגות. הנה אם היה המספר הכתוב במדרגה האחרונה קטן או שוה למדרגה האחרונה של המחולק נשלים הטור בסיפראש עד שנגיע אל מדרגת אחדי המחולק ונכתוב טורים רבים כמו זה הטור בעינו זה תחת זה עד שישוה או יקרב העולה מכלל כל הטורים למחולק וכפי מספר הטורים ככה מספר החלק וכפי מספר הסיפראש הנוספות על הטורים לתשלום הטורים בתוספת אחת ככה מספר מדרגות החלק. ואולם אם היה גדול ממנו נעתיק כל מדרגות המחולק אל המדרגה הקודמת לה ואז נשלים הטור עם סיפראש ונכתוב אותו בטורים רבים זה תחת זה עד שישוה

או יקרב

  26

השער הראשון פרק רביעי

או יקרב העולה מכללם למחולק וכפי מספר הטורים ההם ככה יהיה מספר החלק וכמספר הסיפרש בתוספת אחת ככה מספר מדרגו' החלק. אחר כן אם לא ישוה המספר העולה מכל הטורים כמו המחולק נעתיק כל מדרגה ומדרגה מהמחלק אל מדרגה אחת קודמת לה ונשלי' הטור ההוא ג"כ עם הסיפרש כראשונה ונרבה הטורים האלה גם כן עד שישוה או יקרב העולה מהם למחולק וכפי מספר הטורים ההם ככה יהיה מספר החלק וכמספר הסיפראש בתוספת אחת ככה יהיה מספר מדרגות החלק. אולם אם לא יכולנו לכתוב אפילו טור אחד מפני שהעולה ממנו יותר מהמחולק הנה נכתוב סיפרא בשם חלק אחר כן תעתיק כל מדרגות המחולק אל מדרגות הקודמות להן ותשלים הטור עם הסיפרש כמשפט הראשון וכן תמיד עד שיגיעו אחדי המחלק עם אחדי המחולק ותרבה הטורי' זה תחת זה עד שישוה או יקריב העולה מקבוץ כל הטורים למחולק וכמספר הטורים ככה מספר החלק. וכבר קדם שהוא אחדים אחר שאחדי המחלק תחת אחדי המחולק. אולם אם היו הטורי' ה' או יותר חלק המחלק לשני' והעולה כתבהו בטור א' במדרגה הנמשכת למדרגה הראויה לו אם היה בלתי מתחלק לחצאים והוא עולה במקום חמשה טורים ואם היו יותר מחמשה טורים נכתוב אחר זה המחלק במדרגה הקודמת בטורים רבים מספרם כמספר הטורים הנוספים על החמשה טורים. משל זה הנה המחולק הוא שבעים אלף ותתקס"ב והמחלק רל"א סדרנו הרל"א זה תחת זה כסדר החלק | 2 6 9 0 7 הזה אשר אתה מראה בצורה הזאת. ולהיות שהעולה 7 0 3 | 0 0 1 3 2 מהשלשה טורים הוא ס"ט אלף וש' ולא יתכן לכתוב עוד | 0 0 1 3 2 טור רביעי כי יעלה מספר יותר מהע' אלף תתקס"ב | 0 0 1 3 2 שהוא המחולק על כן לא כתבנו רק שלשה טורים.

5 5 1 1 ולהיות שהם ג' ידענו שגם מספר כמות החלק הוא ג'
1 3 2 ולהיות שהוספנו לתשלום הטורים ב' סיפרש ובתוספת
1 3 2 אחת יהיו ג' לכן ידענו שמדרגות החלק שהם הג'
7 1 9 0 7 הם ג' לכן יהיו ש'. אחר זה בקשנו לכתוב המחלק כל
5 4 המותר מדרגה ממנו במדרגה הקודמת לה ולא יכולנו כי

יעלה המספר יותר מהמחולק. ולכן כתבנו סיפרא בחלק במדרגה הקודמת לש'. אחר זה רצינו לכתוב המחלק במדרגה הקודמת לקודמת כמשפט. ולהיות שראינו שמספר הטורים יהיו יותר מה' חלקנו המחלק לשנים וכתבנו החצי במדרגה הקודמת שהיא הנמשכת לקודמת הקודמת. ולהיות שלא ישוה העולה למחולק כתבנו עוד שני טורים והיה העולה מכללם שבעי' אלף תתקי"ז חסרנום מהשבעים אלף ותתקס"ב ונשארו מ"ה וידענו שהמותר הבלתי מתחלק הוא מ"ה. ולהיות שמספר הטורים האחרונים הם ז' הטור האחד שבמדרגה הקודמת העולה במקום ה' טורים והב' טורים אשר תחתיו שבמדרגה הקודמת לקודמת הרי ז' לכן ידענו שהחלק ז' וכתבנום במדרגה הקודמת לסיפרא שבמחלק והיו הכל ש"ז וזהו החלק. זאת היא הדרך היותר רחוקת המבוכה והבלבול ואל יטעך רבוי הכתיבה כי רבוי הכתיבה עם מעוט בלבול המחשבה הוא הדרך הנכונה גם היא נכונה מצד אחר כי היא רחוקת הטעות כי הכל כתוב שם ולא כן עם ההכאה וזה מה שרצינו לבאר. והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין הוא שתמנה המחלק כלו כמו אחדים ר"ל שתקח הכמות לבד והשליכהו לתשיעיות והנשאר שמרהו וכן תעשה לחלק

ז ב

 

השער הראשון פרק הרביעי

והנשאר שמרהו והכה השמור עם השמור והעולה השלך מהם התשיעיות והנשאר שמרהו והוסף עליו המותר הנשאר מהחלוק אחר השלכת התשיעיות ממנו והעולה תשליך ממנו התשיעיות והמותר שמרהו בידך. אחר זה מנה גם המחולק לתשיעיות וזה כשתקח כמותם לבד והנשאר אם הוא שוה לשמור שבידך אפשר שהוא אמת ואם לאו דע שטעית. אך אם לא נשאר מותר מהחלוק כלל הנה אין צורך לכל זה רק קח המותר מהתשיעיות מהמחלק והחלק והכה המותרים זה עם זה והעולה השלך ממנו התשיעיות ואם המותר מהם שוה למותר מתשיעיות המחולק אפשר שהוא אמת ואם לאו כזבת אלא שאלה מאזני מרמה אחר שלא יצדק בשני הצדדים יחד ר"ל באמת ובשרק. עוד מאזניים אחרים על דרך השביעיות והוא שתשליך המחלק והחלק כל אחד מהם לשביעיות לפי מה שקדם אם בשתחשוב כל מדרגה לפי איכותה ואם בשתחבר המדרגה האחרונה והקודמת לה יחד ותהיה המדרגה האחרונה בשם עשרות והקודמת לה בשם אחדים והכל עולה בקנה אחד. אחר זה הכה המותר מהמחלק עם המותר מהחלק והעולה השלך ממנו השביעיות והמותר שמרהו וכן תעשה למותר מהחלוק אם היה והנשאר הוסיפהו על השמור והשלך מהם השביעיות והמותר שמרהו בידך. אחר זה השלך השביעיות גם כן מהמחולק בזה הדרך בעצמו והמותר אם הוא שוה לשמור שבידך אפשר שהוא אמת ואם לאו כזבת אלא שגם אלה מאזני מרמה לזה הצד בעצמו. ואולם המאזני צדק אשר בזה המין הוא שתכה המחלק עם החלק והעולה אם הוא שוה למחולק דע שהוא צודק ואם לאו דע שטעית וזה כאשר לא ישאר מותר מהחלוק כלל. אולם אם נשאר מותר מהחלוק הוסף על העולה מהכאת המחלק והחלק המותר מהחלוק והעולה אחר זה אם הוא שוה למחולק דע שהוא צודק ואם לאו דע שטעית. ודע שאלה המאזנים גם כן אמנם הם מאזני צדק כאשר לא ישאר מותר מהחלוק כלל. אולם כאשר ישאר מותר דע שהם מאזני מרמה כי יתכן שהחלק כוזב וגם המותר כוזב ואז יתכן שישוה מאזני הכאת המחלק עם החלק עם תוספת המותר עליו למאזני המחולק ויתכן שלא ישוה לו כאשר חשבו הקדמוני' שאלה מאזני צדק בכלל. גם יתכן לעשות עוד מאזנים אחרים זולת אלו והם על דרך החלוק בעצמו והם מאזני צדק והוא שתחלק המחולק על החלק ואם יצא לך המחלק דע שצדקת ואם לאו כזבת וזה אם לא נשאר מותר כלל. אולם אם נשאר מותר כלל נגרעהו מהמחולק והנשאר נחלקהו על החלק ואם יצא לך המחלק צדקת ואם לאו כזבת או נחלק המחולק על החלק ואם יצא לך המחלק והמותר הראשון דע שצדקת ואם לאו כזבת. אולם בדרך החלוק אשר חדשתי אני כבר יהיו לו עוד מאזנים אחרים זולת אלו והם הג' מאזני הקבוץ. ואולם סבת מציאות זה המין הנה היא מבוארת בעצמה ממה שקדם במין ההכאה וזה שהוא מהמבואר בעצמו שמין החלוק הוא מין ההכאה בעינו וזה ששלשה טורי ההכאה שהם המכה והמוכה והעולה מהכאתם הם הם בעצמם שלשה טורי החלוק שהם המחולק והחלק והמחלק. אלא שהטורים הידועים בהכאה אינם הטורים הידועים בחלוק. וזה שהטורים הידועים בהכאה הם המכה והמוכה והמוסכל הוא העולה מהכאתם והטורים הידועים בחלוק הם העולה מההכאה והמכה והמוסכל הוא המוכה וזה שהוא מהמבואר בעצמו שהעולה מהכאת החלק במחלק הוא המחולק וכאשר היה זה כן הנה מן המחויב מזה בהכרח שיהיו סבות מין ההכאה הם הם סבות זה המין בעינם ולזה כמו שיקשה על הדרוש העולה מהכאת המוכה והמכה להכות כל מדרגות המכה עם כל מדרגות

המוכה

  27

השער הראשון פרק הרביעי

המוכה והשתמשו עם התחבולה ההיא ר"ל בשיכו אחדי המכה עם כל מדרגות המוכה ויכתבו העולה תחת המדרגה המוכה. עוד יכו עשרות המכה עם כל מדרגות המוכה ויכתבו העולה תחת המדרגה הנמשכת למדרגת המוכה וכן תמיד על זה הסדר ושיחשבו כמו אחדים כל מדרגות המכה והמוכה ולא יקרה מזה בטל בין מצד הכמות בין מצד האיכות כאשר התבאר שם. כן יקשה עליהם בזה המין גם כן לבקש המספר אשר יוכה בו המחלק ויעלה המחולק. רק בשישתמשו עם תחבולת ההכאה בעצמה ר"ל שיבקשו מספר מה אשר בו יכו כל מדרגות המחלק ויהיה העולה מכל מדרגה ומדרגה מהמחלק שוה או קרוב למדרגה שכנגדה מהמחולק אחר שיסודרו מדרגות המחלק תחת מדרגות המחולק ותהיה המדרגה האחרונה מהמחלק תחת המדרגה האחרונה מהמחולק או תחת הקודמת לה אם היה המחלק יותר גדול מהמחולק שכנגדו כאשר ביארנו. וכמו שאין הזק בהכאה אם נחשוב כל המדרגות לאחדים מצד הכמות ושהאיכות יתוקן מצד ההנחה הנזכרת אין הזק בזה המין גם כן אם נחשוב כל מדרגות המחלק והמחולק שכנגדם לאחדים מצד הכמות כי המספר היוצא והוא החלק הוא אחד בעינו מצד הכמות ושהאיכות יתוקן מצד ההנחה. וזה שכמו שבמין ההכאה יהיה הנחת העולה מהכאת האחדי' בכל מדרגות המוכה תחת המדרגה המוכה והנחת העולה מהכאת העשרות בכל מדרגות המוכה הוא תחת המדרגה הקודמת למדרגה המוכה וכן תמיד. כן בזה המין גם כן ראוי שנעיין בעולה מההכאה ואם היה העולה מהכאת המספר המבוקש עם אחדי המחלק שהיא המדרג' הנחסרת מהמחולק אחדים ידענו שהמספר המבוקש הוא אחדים בהכרח כי כבר קדם שהנחת העולה מהכאת אחדי המכה עם כל מדרגות המוכה הם תחת המוכה. ויחויב מזה שהנחת העולה מהכאת אחדי המכה עם אחדי המוכה הוא תחלת אחדי המוכה ואם כן העולה מהם הוא אחדים ואם כן יתחייב הפך זה גם כן והוא שאם יהיה העולה מהכאת מספר מה בלתי ידוע איכותו ומדרגתו עם אחדי המוכה אחדי' יתחייב מזה בהכרח שיהיה המספר הבלתי נודע מדרגתו המוכה באחדי המוכה אחדים בהכרח וכן מזה הצד בעינו יתחייב שנשפוט אם היה העולה מהכאת המספר המבוקש עם אחדי המחלק שהיא המדרגה הנחסרת מהמחולק עשרות שיהיה המספר המבוקש עשרות ואם היה מאות יתחייב שיהיה המספר המבוקש מאות וכן לבלתי תכלית. ולזה יתחייב מזה בהכרח שיהיה מקום הנחת המספר המבוקש תחת המדרגה הנכחית למדרגת אחדי המחלק אחר זה יבקשו המספר אשר יוכו בו כל מדרגות המחלק וישוה או יקרב העולה מהם למדרגות שבמחולק הקודמו' למדרגות הנכחיות למחלק ויכתבו המבוקש במדרגה הקודמת למבוקש הראשון לזאת הסבה בעצמה הנזכרת למבוקש הראשון כי כאשר נחשוב מדרגות המחלק נעתקות אל המדרגות הקודמות להן יהיו הנכחיות להן מהמחולק קודמות למדרגות הנכחיות הראשונות ויתחייב לזה שיכתב המבוקש היוצא תחת המדרגה הנכחית לאחדי המחלק שהיא המדרגה הקודמת למבוקש הראשון וכן תמיד. ולכן השתמשו בעלי הגליִאָה הנזכרת עם העתקות מדרגות המחלק. אולם הראשונים לא חששו לזה כי יספיק להם המחשבה בלבד ר"ל שיחשבו כל מדרגו' המחלק כדמות נעתקות זהו מה שכווננו ביאורו. ואולם סבת המין אשר חדשתי אני שהוא על דרך הקבוץ הנה התבארה לך ממה שקדם במין ההכאה בדרך הרביעי ממנו שהוא על דרך הקבוץ אין צורך להכפיל המאמרי' רק כדי שנוסיף לזה ביאור נניח משל אחד ויהיה המשל המונח לזה בעינו ונערוך אליו הסבות המחייבות והוא זה. הנה להיות שהמחלק כאשר הונחה מדרגתו האחרונה תחת המדרגה האחרונה שבמחולק נוספו עליו ב' סיפרש למלאת טור המחולק

ושבו

 

השער הראשון פרק רביעי

ושבו אחדי המחלק במדרגה השלישית המורה על המאות וכבר ידעת במה שקדם שכאשר | 2 6 9 0 7 יוכה מספר מה עם האחד יהיה העולה מההכאה הוא החלק המספר המוכה בעינו וכאשר יוכה בעשרה יהיה 7 0 3 | 0 0 1 3 2 העולה הוא המספר המוכה בעינו בחלוף כל מדרגה | 0 0 1 3 2 ממנו אל המדרגה הנמשכת ר"ל שישובו האחדים | 0 0 1 3 2 ממנו עשרות והעשרות מאות והמאות אלפים. | 5 5 1 1 וכאשר יוכה במאה יהיה העולה מההכא' הוא המספר | 1 3 2 המוכה בעינו בחלוף כל מדרגה ממנו אל המדרגה | 1 3 2 השלישית הנמשכת לה ר"ל שישובו האחדים מאות

7 1 9 0 7 והעשרות אלפים והמאות רבבות הנה מן המחויב

המותר 5 4 מזה בהכרח שיהיה זה המחלק המונח אשר שבה כל מדרגה ממנו אל המדרגה השלישית הנמשכת מוכה במאה בהכרח. ולהיות שהטורים המונחים השוים למחלק המונח הם ג' וכל אחד מהם מורה על היותו מוכה במאה. הנה אם כן יתחייב מזה שיהיה המספר המוכה במחלק ש' בהכרח ולכן כתבנו ש' בצדו להורות על המספר המוכה בו שהוא החלק אחר זה קבצנום ועלו ס"ט אלף ושלש מאות והם קרובים למחולק ולא יתכן לכתוב טור אחר באותה המדרגה כי כל טור וטור מהם מורה על כ"ג אלף ק' ואנחנו צריכים עד תשלום המחולק אלף ותרס"ב לבד. וכן לא כתבנו גם כן טור אחר במדרגות הקודמות למדרגות ג' טורי המחלק כי כל טור מהם יורה על שני אלפים ש"י והוא יותר מהשארית אשר אנחנו צריכים להשלים המחולק. ולהיות שאין שם טור כלל ידענו שלא הוכה המחלק אפילו בי' וכל שכן מעשרה ומעלה ולכן כתבנו סיפרא במדרגה הקודמת לש' שהוא החלק להורות שלא הוכה בעשרות המחלק כלל. אחר זה בקשנו לכתוב המחלק בטור שיהיו מדרגותיו קודמות למדרגות ג' טורי המחלק ב' מדרגות . ולהיות שכל טור וטור מהם מורה על רל"א ונצטרך בזה טורים רבים יותר מחמשה להשלים השארית אשר אנחנו צריכים להגיע אל המחולק. לכן חלקנו המחלק לשנים וכתבנו חציו בטור אחד במדרגות הנמשכות למדרגות הטורים האלו המורים על הכאת המחלק בעשרה . ולהיות שהוא חצי המחלק הנה יהיה מורה הטור הזה על הכאת המחלק בה' והנה הוא שוה לה' טורים במדרגות הקודמות המורות על הכאת המחלק באחד והוא אלף וקנ"ה. ולהיות שאנו צריכים עד תשלום האלף תרס"ב תק"ז וכל טור וטור מהטורים המונחים במדרגות הקודמות לג' טורי המחלק ב' מדרגות מורה על הכאת המחלק בא' והוא רל"א שהוא המחלק בעינו כאשר התבאר. אם כן יחויב מזה בהכרח שנכתוב ב' טורים שיעלה מספרם תס"ב והנה יחסר עד תשלום המחולק מ"ה והוא פחות מטור אחד. ולכן לא נכתוב במדרגה האחרונה רק שני טורים המורים על הכאת המחלק בשני אחדים וכבר כתבנו טור אחד במדרגה הנמשכת והוא חצי המחלק המורה על הכאת המחלק בה' אחדים אם כן יהיה המחלק מוכה בז' אחדים בהכרח ולכן כתבנו במדרגה הקודמת לסיפרא שבחלק ז' והנה הכל ש"ז וזהו החלק והמותר הם המ"ה וזהו מה שכווננו ביאורו. ואולם סבת מאזני התשיעיות והשביעיות הנה כבר כתבנוה במין ההכאה כי כבר קדם ששלשה טורי ההכאה הם הם ג' טורי החלוק. ולכן יהיה מאזני צדק זה המין כאשר יוכו ב' טורי החלק והמחלק ויהיה העולה שוה למחולק. וכאשר היה זה כן הנה יהיו מאזני זה המין גם כן שהם על דרך התשיעיות והשביעיות כמו שיהיו במין ההכאה וסבתם אחת בעצמה. ואולם

 

28א
שער הראשון פרק רביעי

ואולם הסבה שכאשר ישאר מותר בלתי מחולק יחויב שנקח מאזניו ונוסיפם על

מאזני החלק והמחלק השמור . הנה היא מבוארת בעצמה וזה שמאזני החלק

והמחלק השמור הוא מאזני המספר העולה מהכאתם לפי מה שקדם במין ההכאה . וכאשר נוסיף עליהם מאזני המותר מהחלוק אשר הוא מותר העולה מהכאתם יחויב שישוו אלה המאזנים למאזני המחולק בכללו אשר הוא חבור המותר והמספר העולה מהכאתם . או אם תרצה תגרע מאזני המותר ממאזני המחולק ויחויב שיהיו המאזנים הנשארים אחדי הגרעון שוים למאזני החלק והמחולק השמור . וזה שמאזני המותר אשר הם הנוספים על העולה מהכאת החלק במחלק כאשר תגרעם מהמחולק בכללו יתחייב שישארו מאזני העולה מהכאת החלק במחלק וכאשר תגרעם מהמחולק בכללו יתחייב שישארו מאזני העולה מהכאת החלק במחלק . ולכן יחויב מזה שישוו המאזנים הנשארים אחר הגרעון אשר הם מאזני העולה מהכאתם למאזני החלק והמחלק לפי מה שביארנו במין ההכאה וסגולת זה המין הוא שאם היה המחלק חלק למחולק והיה נפרד והמחולק זוג הנה החלק היוצא מהחלוק גם כן יהיה זוג ואם היה המחלק והמחולק נפרדי' הנה ג"כ החלק היוצא מהחלוקה יהיה נפרד וכן אם היה המחלק והמחולק זוגות הנה גם כן החלק יהיה זוג . אולם שיהיה המחלק זוג והמחולק נפרד לא יתכן שיהיה בזה המין אשר המחלק חלק למחולק כי הכאת החלק זוג היה או נפרד עם המחלק שהוא זוג הנה העולה מההכאה אשר הוא המחולק יהיה

זוג בהכרח וכבר הנחנוהו נפרד זה חלוף לא יתכן :

הנה כבר התבארו דרכי ידיעת המינים הד' בשלמי' לבד עם סבותיהם וסגלותיהם

עם מאזניהם ומעתה נתחיל בביאור המינים הד' אשר הם שברים לבד .
ומהשם אשר עזרני עד כה אשאל העזר במה שעתיד לבא :

השער השני ואחר שכבר דברנו בדרכים המישירים אל ידיעת הד' מיני השלמים

והיו חלקי המספר שלשה והם השלמים והשברים והשלמים עם

השברים יחד : והיה החלק השני מאלה החלקים קודם מהחלק השלישי למה שהיה הפשוט קודם מהמורכב אם במציאות ואם בידיעה הנה מן המחויב עלינו אם כן להקדים המאמר בשברי' על המאמ' בשברי' עם השלמי' יחד וטרם החלי לדבר אודיע חלקיהם ואופן הנחתם : ואומר שהשברים בכלל יחלקו חלוקה ראשונה לשני חלקים האחד מהם חלק והשני

חלקים וכבר קדם ענין החלק והחלקים עוד כל אחד מהם יחלק לשני מינים

אחרים והם אם שיהיה שבר השלם האחד או שיהיה שבר השלמים הרבים וכל אחד מהם גם כן יחלק לשני מינים אחרים . והם אם שיהיה שבר לבד ואם שיהיה שבר השבר או שבר שבר השבר וזה לבלתי תכלית : עוד כל אחד משני חלקי שבר השבר יחלק לשני חלקים . אם שיהיה המין האחד חלק והאחר חלקים או שניהם ממין אחד . אולם חלוק השברים אל מה שאיכותו מאחד ועד עשרה ואל מה שאיכותו מי' ומעלה אין זה לשברים במה שהם שברים אבל אמנם קרה להם מצד הלשון לבד ר"ל כי מאחד עד י' נקראים בלשון הערבי והעברי בשם אחד כמו חצי שליש רביע חומש ששית שביעית שמינית תשיעית עשירית . ומעשרה ומעלה נאמר חלק אחד מי"א חלקי הכל וחלק אחד מי"ב חלקי הכל ולא נאמר אחד עשר שנים עשר . ולזה נשתמשה תורתנו התמימה בימי חנוכת המזבח שני שלישי עד עשירי ומעשרה ומעלה אמרה אחד עשר יום שנים עשר יום והדומים לזה : ואולם חכמי הישמעלים כבר חלקו השברים אל זה המין . ונמשך החכם ר' אברהם

ן' עזרא בדעותיהם וחלקם גם הוא אל זה החלוק עד שנצטרך להשיב הנשברים

אשר מעשרה ומעלה אל נשברים למטה מהעשרה ואמר שאפשר

 

28ב
השער השני

שהא' מט"ו הוא שליש החמישית והדומים לזה ואין צורך לכל זה כי הנה בלשון היוני יקרא האחד מי"ב דודי"קטו כמו האחד מג' טרי"טו . ויתחייב אם כן לפי זאת החלוקה שיהיו מיני השברים שנים עשר 1 והם שבר השלם האחד 2 ושבר השלמים הרבים 3 ושבר שבר השלם האחד 4 ושבר שבר השלמים הרבים 5 ושבר שברי השלם האחד 6 ושבר שברי השלמים הרבים 7 ושברי השלם האחד 8 ושברי השלמים הרבים 9 ושברי שבר(י) השלם האחד 10 ושברי שבר(י) השלמים הרבים 11 ושברי שבר(י) השלם האחד 12 ושברי שבר(י) השלמים הרבים משל המין הראשון כמו שליש האחד או רביעיתו ומשל המין השני (1) ; (2) ; כמו שליש הב' או הג' והדומים להם . ומשל המין השלישי כמו שליש רביעית האחד או (3) ; רביעית שביעית האחד . ומשל המין הרביעי כמו שליש רביע השנים או רביע (4) ; שלישית הג' ומשל המין החמישי כמו שליש ב' שלישיות האחד או שליש ד' חמישיות (5) ; האחד . ומשל המין הששי כמו שליש ד' חמישיות השנים או שביעיות ב' חמישיות הג' . (6) ; ומשל המין השביעי כמו ב' שלישי האחד או ג' רביעיותיו . ומשל המין השמיני כמו (7) ; (8) ; שני שלישי השנים או ג' רביעיותיו . ומשל המין התשיעי כמו שני שלישי ג' רביעיות (9) ; האחד או שני שלישיות ג' חמישיות האחד . ומשל המין העשירי הוא שני שלישיות ה' (10) ; שביעיות הג' או ג' רביעיות שני חמישיות הג' ומשל המין הי"א הוא שני שלישי רביעית (11) ; האחד או ג' חמישיות שביעית האחד ומשל המין הי"ב הוא שני שלישי רביעית הג' (12) ;

או ג' חמישיות שביעית הו' : 

ודע כי חכמי המספר השתמשו בשברים בקטני היחס . ולכן לא יתכן לומר שני

רביעיות או ד' ששיות והדומים להם כי קטן היחס הד' ששיות הוא ב' שלישיות

וקטון יחס הב' רביעיות הוא חצי . וכן אין ראוי לומר ג' שלישיות או ד' רביעיות לשתי סבות הסבה הראשונה היא הסבה הקודמת בעצמה כי קטן יחס הג' שלישיות והד' רביעיות הוא יחס הא' אל הא' והשנית היא מפני שהג' שלישיות והד' רביעיות ובכלל כל השברים אשר כמותם שוה לאיכותם נכנסים בגדר השלמים . וזה כי הג' שלישיות הם שלם וכן הד' רביעיות . ולזה אין ראוי שנשתמש בזה המין עם השברים וכן אין ראוי לומר ד' שלישיות או ה' רביעיות כי אז יהיה שלם ושבר ואין ראוי לשבר השלמים אלא להשלים השברים לשלמים אם היה אפשר זהו חלוק השברים על תכלית מה שאפשר

לחלקם :

אולם אופן הנחתם הוא הנחת שתי אותיות זה על גב זה בכל שבר ושבר וקו מבדיל

ביניהם כזה . והסבה בזה הוא להיות שהשבר מחובר משני שמות שם מורה
1 2 3 4 5 6 7 על הכמות ושם מורה על האיכות . אולם
2 3 4 5 6 7 8 השם אשר לו מהאיכות הוא שם המספר
המורה על חלקי השלם :

ואולם השם אשר לו מהכמות הוא שם המספר המורה על החלקים הלקוחים מהשלם

כאמרך שני שלישיות או ד' חמישיות ודומיהם אשר הב' והד' מורים על כמות

המין ההוא והג' והה' מורי' על איכות המין ההוא ובכלל הב' והד' מורים על כמה מתפרדת ר"ל על מספר החלקים הלקוחים מחלקי השלם והג' והה' מורים על כמה מתדבק ר"ל על מספר החלקים אשר בהם ישבר המספר המכונה בשם שלם אשר השלם מורה על מתדבק . והנה יתחלפו השברים קצתם מקצת פעם מצד הכמות ופעם מצד האיכות ופעם מצד שניהם יחד . משל החלוף אשר ישיגם מצד הכמות הוא כאמרך ב' חמישיות ג' חמישיות ד' חמישיות ודומיהם . ומשל החלוף אשר ישיגם מצד האיכות כאמרך ב' חמישיות ב' שביעיות

שני

 

29א
השער השני 

ב' תשיעיות והדומים להם . ומשל החלוף אשר ישיגם משני הצדדים יחד כאמרך שתי שלישיות וג' רביעיות וד' חמישיות ודומיהם . וכאשר היה זה כן הנה אם כן מן המחויב עלינו לכתוב בכל שבר שני סימנים שם מורה על הכמות ושם מורה על האיכות . וכבר נהגו חכמי ספרד לכתוב הסימן המורה על הכמות מלמעלה והסימן המורה על האיכות למטה ממנה . ואולם מה שנהגו להמשיך קו ביניהם לפי דעתי שהסבה בזה הוא למה שהקו מורה על המתדבק והשבר גם כן מהמתדבק כי לא יתכן שידומה שליש או רביע או חומש והדומים להם אם לא בשידומה המספר אשר הם חלקים לו בשם שלם המורה על המתדבק

הנה כבר התבאר לך חלוק השברים ואופן הנחתם בתכלית מה שאפשר . ומהנה נתחיל
בדרכים המיישירים אל ידיעתם :

הפרק הראשון מהשער השני הוא במין ההכאה ואולם הקדמנו זה המין בשברי' ואם היה הקבוץ יותר פשוט ממנו מפני שכל מיני השברים הנזכרים יצטרכו להתכה אל שני מינים מהם לבד שהם שבר האחד

ושבריו ולא יתכן זה אלא במין ההכאה כאשר יתבאר במקומו בעזרת האל :

וההכאה היא התכת שבר השבר אל שבר אחד ולפעמים ישוב אל שלם או שלם ושבר

וזה שלא כמנהג הטבעי כי כבר קדם שאין ראוי לשבר השלמים אלא להשלים

השברים והכאת השברים מתחלף מהכאת השלמי' משני פנים האחד שההכאה בשלמים תשים המעט לרב ובשברים הפך זה והאחר שההכאה בשלמים הוא קבוץ מספרים שוים ובשברים הוא בהפך ר"ל שהאחד לתוספת והאחר למגרעת ואלו החלופים אמנם יקרו בשברים מצד איכותם לא מצד כמותם . וזה כי הי' רביעיות על דרך משל כאשר הוכו עם הי' רביעיות יעלו ק' שש עשיריות והנה התרבו מצד הכמות כמשפט השלמים ונתמעטו מצד האיכות ושבו הרביעיות שש עשיריות אשר זה האיכות הוא פחות מאיכות הרביעות : ומעתה אתחיל בהודעת הדרך אשר בו נגיע אל ידיעת זה המין . ואומר שלהיות

שהכאת השברים עם השברים יחלקו לשני חלקים והם אם שיהיו שני

השברים יחד ממין אחד ואם שיהיו משני מינים ויתחייבו מזה מאה וארבעים וארבעה מינים . וכאשר יושלכו מהם המינים המשותפים ישארו מהם שבעים ושמנה מינים מתחלפים והיו כל המינים האלו אמנם יותכו אל שלשה מינים מהם אשר הם שבר האחד בשבר האחד ושבר האחד בשבר האחד ושברי האחד בשברי האחד . הנה אם כן מן המחויב עלינו להודיע תחלה הדרך אל ידיעת השלשה מינים האלה . אחר זה נודיע דרך התכת כל המינים האחדים אליהם ובזה נגיע אל ידיעת דרך כל המינים הנזכרים בקלות : ואומר שהדרך הכולל לכל השלשה מינים האלו שהם במדרגת השרשים והיסודות לכל

המינים הנשארים הנה הוא שתכה הכמות עם הכמוות ושמרהו . אחר זה הכה

האיכות עם האיכות ושמרהו . ויחס השמור הראשון אל השמור השני הוא השבר או השברים היוצאים מן ההכאה אשר הם שבר או שברים לאחר . ונצייר לזה שלשה משלים לאלה

המינים השלשה והם אלו :

הנה במין הראשון הכינו הכמות עם ה(כ)מות ועלה אחד וכתבנוהו למטה מהם

והמשכנו קו תחתיו . אחר זה הכינו האיכות עם האיכות ועלו י"ב וכתבנום

למטה מהקו והם אחד מי"ב וככה הוא העולה מהכאת השליש עם הרובע . ובמין

ח א

 

29ב
שער השני פרק ראשון
1 1 | 1 2 | 2 3 ובמין השני הכינו הכמות עם הכמות ועלו שנים
3 4 | 3 3 | 3 4 וכתבנום למטה והמשכנו קו תחתיו . אחר זה הכינו
| | האיכות עם האיכות ועלו ט' וכתבנום תחת הקו והם
1 | 2 | 6 1 שני תשיעות וזהו העולה מהכאת השליש עם השני
12 | 9 | 12 2 שלישיות . ובמין השלישי הכינו הכמות עם

הכמות ועלו ו' וכתבנום למטה והמשכנו קו תחתיו : אחר זה הכינו האיכות עם האיכות ועלו י"ב וכתבנום תחת הקו והם ששה חלקים מי"ב וקטון יחסם הוא חצי וכתבנוהו בצדו וזהו העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות . זהו הדרך הקצר מכל שאר הדרכי' אשר כתבו הראשונים . אולם הראשונים כבר כתבו עוד דרך אחר זולת זה והוא שמכים האיכות עם האיכות כאשר ביארנו . אחר זה מכים העולה מהכאתם עם עצמו והעולה ישמרוהו . אחר זה מכים כמות השבר האחד עם איכות השבר האחר והעולה ישמרוהו . עוד יכו כמות השבר האחד עם איכות האחר והעולה ישמרוהו . אחר זה מכים השמור עם השמור והעולה ייחסוהו עם השמור הראשון והוא המבוקש : משל המין הראשון מאלה המינים השלשה המונחים יכו הג' עם הד' והעולה עם עצמו ויעלו קמ"ד וישמרוהו . אחר זה יכו הא' עם הד' ויעלו ד' גם יכו הא' עם הג' ויעלו ג' ויכו הד' עם הג' ויעלו י"ב ויחס הי"ב אל הקמ"ד אשר קטון יחסם הוא חלק אחד מי"ב הוא העולה מהכאת המין הראשון המונח . ובמין השני יכו הג' עם הג' והעולה עם עצמו ויעלו פ"א וישמרוהו . אחר זה יכו האחד עם הג' ויעלו ג' . גם יכו הב' עם הג' ויעלו ו' . ויכו הג' עם הו' ויעלו י"ח . ויחס הי"ח אל הפ"א אשר קטון יחסם הוא שני תשיעיות הוא העולה מהכאת המין השני המונח . ובמין השלישי יכו הג' עם הד' והעולה עם עצמם ויעלו קמ"ד וישמרוהו . אחר זה יכו הב' עם הד' ויעלו ח' גם יכו הג' עם הג' ויעלו ט' ויכו הח' עם הט' ויעלו ע"ב . ויחס הע"ב אל הקמ"ד אשר קטון יחסם הוא חצי הוא העולה מהכאת המין השלישי המונח זהו הדרך הארוך אשר בו השתמשו קצת

מהראשונים ואנחנו הזכרנוהו להודיע בחירת הדרך מהדרך :

ואחר שכבר ביארנו לך שני מיני הדרכים אשר בהם תוכל להשתמש בזה המין . הנה

הנשאר עלינו אם כן הוא שנודיע הדרך בידיעת התכת המינים הנשארים

מכלל הע"ח מינים הנזכרים אל אלו המינים השלשה ובזה נגיע אל המכוון . ודע כי ההודעה בהתכת הי"ב מינים הפשוטים אל השני מינים מהם שהם שבר האחד ושבריו יספיק מידיעת התכת המינים המורכבים מהם אל המינים השלשה המורכבים שהם שבר בשבר ושבר בשברים ושברים בשברים אחר שאין במורכבים זולת פשוטיהם . ואומר שהשני מינים מהם והוא שבר השלמים הרבים ושבריהם הנה הדרך בהתכתם הוא שניחס העולה

מהכאת כמות השבר או השברים עם השלמים אל איכותם והעולה הוא המבוקש :

ואולם הד' מינים מהם שהם שבר שבר האחד ושברי שבריו ושבר שברי האחד

ושברי שברו הנה הדרך בהתכתם הוא שניחס העולה מהכאת הכמות עם
הכמות אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה הוא המבוקש :

ואולם הד' מינים הנשארים שהם שבר השבר הרבים ושברי שבריהם ושבר שברי

הרבים ושברי שברם הנה הדרך בהתכתם הוא שנייחס העולה מהכאת

הכמות עם הכמות והעולה עם מספר השלמים אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה הוא המבוקש . הנה כבר ביארנו לך הדרך בידיעת התכת העשרה מינים מהי"ב מינים הנזכרים אל השנים מהם שהם שבר האחד ושבריו ומהנה כבר תוכל להשיב כל הע"ח

מינים

 

30א
שער השני פרק ראשון

מינים המורכבים מאלה הי"ב מינים הפשוטים אל המינים הג' מהם אשר הזכרנו:

ואולם אם רצית להשתמש בידיעת כל המינים מבלתי שתצטרך להתיכם אל המינים

השלשה אשר זכרנו . הכה כמות השבר הראשון עם כמות השבר השני והעולה

עם כמות השלישי והעולה עם כמות הרביעי וכן לבלתי תכלית והעולה שמרהו . אחר כן הכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם איכות השלישי והועלה עם איכות הרביעי וכן לבלתי תכלית והעולה שמרהו ונייחס אליו השמור הראשון והוא המבוקש .. המשל בזה אם רצית להכות ב' שלישי הג' רביעיות של ב' חמישיות הד' עם ג' רביעיות הב' שביעיות של חמישיות הג' תסדר השברים בזה הדרך ותכה הב' עם הג' 2 3 2 4 | 3 2 2 3 ויעלו ו' והו' עם הב' ויעלו י"ב והי"ב 3 4 5 | 4 7 5 עם הד' ויעלו מ"ח והמ"ח עם הג'

ויעלו קמ"ד ואלה עם הב' ויעלו רפ"ח

ואלה עם הב' ויעלו תקע"ו ואלה עם הג' ויעלו אלף תשכ"ח ונשמרם . אחר זה נכה הג' עם הד' ויעלו י"ב ואלה עם הה' ויעלו ס' ואלה עם הד' ויעלו ר"מ ואלה עם הז' ויעלו אלף תר"ף ואלה עם הה' ויעלו משנה אלפים ות' ויונחו תחת השמור שבידינו שהם אלף תשכ"ח וזהו בעצמו היוצא עם הדרך ההתכה כי המין הראשון הוא מ"ח חלקים מששים אשר קטון זה היחס הוא ד' חמישיות . והמין השני הוא ל"ו חלקים מק"מ אשר קטן זה היחס הוא תשעה חלקים מל"ה וכאשר יוכו עם הדרך הקודם בג' מיני השברים המורכבים הנה יעלו ל"ו חלקים מקע"ה וזהו יחס האלף תשכ"ח אל השמנה אלפים ות' היוצא בזולת ההתכה . אלה הם הדרכים אשר בם תוכל לדעת העולה מהכאת מין אחד פשוט עם מין אחר פשוט מי"ב מיני השברים הפשוטים . אולם אם רצית להכות פשוטים רבים עם פשוטים רבים בפעם אחת לדעת העולה מהכאתם מבלתי שתצטרך להכות כל אחד מהם לבדו אוחר זה לקבצם כמו על דרך משל הכאת השני שלישיות עם הג' רביעיות והכאת הד' חמישיות עם הה' ששיות והכאת הששה שביעיות עם השבעה שמיניות יסודרו השברים בזה הסדר ואחר נכה איכות 2 3 4 5 6 7 השבר הראשון עם איכות השבר השני 4 3 5 6 7 8 והעולה עם איכות השלישי והעולה עם

איכות הרביעי והעולה עם איכות
החמישי והעולה עם איכות הששי
וכן תמיד עד שיכלו כל השברים . והנה

העולה במשלנו זה הוא עשרים אלף וק"ס . אחר זה נכה כמות הראשון עם כמות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי ועולה עם איכות החמישי והעולה עם איכות הששי והעולה נשמרהו והוא ו' אלף פ' במשלנו . אחר זה נכה כמות השבר השלישי עם כמות הרביעי והעולה עם איכות הראשון והעולה עם איכות השני והעולה עם איכות החמישי והעולה עם איכות הששי והעולה נשמרוה והוא י"ג אלף ת"מ . אחר זה נכה כמות השבר החמישי עם כמות הששי והעולה עם איכות הראשון והעולה עם איכות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והעולה נשמרהו והוא ט"ו אלף ק"כ . נקבץ השמורים והם ל"ח אלף תר"מ נחלקם על העשרים אלף ק"ס שבידינו והעולה הוא שלם א' וי"ח אלף ת"פ מכ' אלף ק"ס וזהו העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות ומהכאת הד' חמישיות עם החמשה ששיות ומהכאת הששה שביעיות עם השבעה שמיניות .. דמיון אחר אם רצית לדעת העולה מהכאת השני שלישיות עם השלשה רביעיות ומהכאת הארבעה חמישיות עם השני שביעיות הנה נסדרם ככה

ח ב 

 

30ב
הפרק הראשון מהשער השני

2 3 4 2 ככה . ונכה איכות השבר הראשון עם איכות השני 3 4 5 7 והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכו' הרביעי

והעולה ת"כ . אחר זה נכה כמות הראשון עם כמות
השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות
הרביעי והנשמרהו והם ר"י . אחר זה נכה כמות הג'

עם כמות הד' והעולה עם איכות הראשון והעולה עם איכות השני והעולה נשמרהו והם צ"ו . נקבץ השמורים והם ש"ו נחלקם על הת"כ שבידינו והם ש"ו חלקים מת"כ וזהו העולה

מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות ומהכאת הד' חמישיות עם הב' שביעיות :

ואולם אם רצית להכות הב' שלישיות והג' רביעיות יחד עם הד' חמישיות וב' שביעיות

יחד לדעת העולה מהכאתם מבלתי שתצטרך לקבץ השני שלישיות עם הג'

רביעיות והד' חמישיות עם השני שביעיות ואחר זה להכות שני המקובצים אבל יצא הכל

מתוקן בפעם אחת . הנה נכה איכות הראשון עם

2 3 4 2 איכו' הב' והעולה עם איכות הג' והעולה עם איכות 3 4 5 7 הד' והם במשלנו ת"כ ונשמרם . אחר זה נכה כמות

הראשון עם איכות השני והעולה עם איכו' השלישי
והעולה עם כמות הד' ויעלו פ' . גם נכה כמות

השני עם איכות הראשון והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם רצ"ב . גם נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם רכ"ד . גם נכה כמות השני עם איכות הראשון והעולה עם איכות השלישי והעולה עם כמות הרביעי והם צ' . נקבץ הכל חוץ מהשמור והם תרמ"ו חלקם על הת"כ השמורים ויצאו אחד שלם ורכ"ו חלקים מת"כ . וככה הוא העולה מהכאת קבוץ

הב' שלישיות וג' רביעיות עם קבוץ הד' חמישיות וב' שביעיות :

והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין הוא שנחלק העולה מהכאת השבר עם השבר על

השבר הא' מהמוכים איזה מהם שרצית ואם היוצא בחלוקה ישוה לשבר

האחר צדקת ואם לאו כזבת : המשל בזה אם הכית השליש עם הרביע יעלה אחד מי"ב והמאזנים לזה הוא שנחלק אחד מי"ב על השליש שהוא השבר הא' מהמוכים והיוצא הוא שלשה חלקים מי"ב וקטון היחס הזה הוא רביע וזהו השבר השני מהמוכים ואופן החלוק הנה

יתבאר במקומו אם ירצה השם אלו הם מאזני הראשונים :

אולם אני אודיעך מאזנים אחרים זולת אלה והוא שנכה ההבדל שבין השבר הקטן

עד תשלום הא' השלם עם השבר הגדול והעולה נקבצנו עם העולה מההכאה

הראשונה והעולה אם ישוה לשבר הגדול דע שצדקת ואם לאו כזבת : המשל בזה אם רצית להכות השליש עם הרביע הנה העולה הוא אחד מי"ב . והמאזנים לזה הוא שנקח מהרביע הג' רביעיות שהם עד תשלום השלם האחד ונכם עם השליש והעולה הוא שלשה חלקים מי"ב ונקבצם עם האחד מי"ב היוצא מההכאה הראשונה ויעלו ד' חלקים מי"ב וקטון

היחס הזה הוא שליש וזהו השבר האחר ודרך הקבוץ יתבאר במקומו בע"ה :

ואולם אם היה כל אחד מהשני שברים המוכים יותר משכם אחד כמו על דרך משל

הכאת ד' שלישיות עם ששה רביעיות הנה נקח מהארבעה שלישיות העודף

על השלם האחד והוא השליש האחד ונכהו עם הששה רביעיות והעולה נחסרהו מהעולה מהכאת הד' שלישיות עם הו' רביעיות . ואם הנשאר ישוה לששה רביעיות אשר הוא השבר האחר דע שצדקת ואם לאו טעית ודרך החסור יתבאר במקומו בעזרת הש"י . ולהיות

שהיוצא

 

31א
הפרק הראשון מהשער השני

שהיוצא מהמאזנים יהיה לפעמים שבר קשה ההתכה אל קטון יחסו ויראה שהוא מתחלף מהשבר האחר ואם הוא שוה לא ראינו להודיע הדרך אל זה ביותר קלות ממה שאפשר והוא 1 4 שנסדר השבר האחד בצד אחד והיוצא מהמאזנים בצדו כזה 3 12 ונכה כמות השבר האחד עם כמות השבר האחר באלכסון ______________ והעולה נכתבהו תחתיו . גם נכה כמות השבר האחד עם

12 איכות האחר באלכסון ונכתבהו תחתיו ואם ישוו העולים
12 מהשתי הכאות דע שהשני שברים שוים ואם לאו הם בלתי
שוים בהכרח וזה הדרך קל מאד אלא שלא יספיק למציאות

קטון היחס רק למציאות שווי השברים לבד: עוד חדשתי מאזנים אחרים יותר קלים ויותר קצרים מהראשונים והוא שנקח כמות השבר היוצא מהכאת השברים המוכים ונבקש מספר שיהיה יחסו אליו יחס השבר האחד מהשברים המוכים איזה מהם רצית ואם היה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא מהכאת השברים המוכים שוה אל יחס השבר הנשאר דע שצדקת ואם לאו כזבת: משל זה אם הכית השליש עם הרביע שהעולה מהכאתם הוא אחד מי"ב נקח האחד מהשבר היוצא ונבקש מספר שיהיה יחס האחד עליו יחס השליש שהוא השבר האחד מהמוכים והם ג' ויהיה יחס הג' אל הי"ב שהוא איכות השבר היוצא שוה ליחס הרביע שהוא השבר האחד מהמוכים או אם תרצה תבקש מספר שיהיה יחס האחד אליו יחס הרביע והם ד' ויתחייב מזה שיהיה יחס הד' אל הי"ב הוא יחס השליש שהוא השבר האחד מהמוכים . ואולם הדרך בידיעת מציאות המספר המתיחס אליו כמות השבר היוצא בבלתי חפוש הוא שתסדר השבר המוכה אשר תרצה להיות יחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש כיחסו בצד א' ובצדו האחר תכתוב כמות השבר היוצא מההכאה . והכה זה הכמות עם איכות השבר שהונח בצדו בדרך אלכסון והעולה מההכאה חלקם על כמות השבר המונח בצדו והיוצא הוא המספר הדרוש: משל זה אם רצינו לדעת המספר אשר יהיה יחס השמנה עשר אליו הוא יחס השש רביעיות הנה יונח שבר השש רביעיות בצד אחד והי"ח בצד אחר כזה . ויוכה הד' עם הי"ח והעולה כ"ב נחלקהו על הו' 6 18 והיוצא הוא מספר י"ב וזהו המספר המבוקש אשר יחס הי"ח

אליו הוא יחס הו' אל הד' רביעיות: ואולם סבת מציאות
זה המין בשנכה הכמות עם הכמות והאיכות עם האיכות

4 12 הנה היא מבוארת בעצמה אחר הצעת חמש הקדמות : האחת מהן היא שכל שבר מהשברי' כאשר יכפל כמותו ואיכותו איזה כפלים שיהיו

שוי הפעמים הנה העולה מכפלי כמותו ואיכותו כאשר ייוחסו זה אצל זה

הנה יהיה הוא השבר הראשון בעינו אשר הוא מייחס הכמות אל האיכות הבלתי נכפלים וכן בחלוק ר"ל כאשר תחלק כמותו ואיכותו לחלקי' שוים איזה חלקים שיהיו ותקח מכל א' מחלקי הכמו' והאיכות חלקים שוים ותייחס החלקים הלקוחים מהכמו' אל החלקים הלקוחי' מהאיכות יהיה השבר המתחדש מהם הוא השבר הראשון בעינו אשר הוא מיחס הכמות והאיכו' הבלתי נחלקים וסבתו ידועה בספר היסודות לאקלידס במאמר הה' ממנו באמרו החלקים אשר כפליהם שוים הנה יחס קצתם אל קצת כיחס חלקי קצתם אל קצת כי המופת בשניהם אחד : ההקדמה השנית היא שבאמרנו נכה השבר עם השבר שוה לאמרנו נקח שבר

השבר וזה מבואר מאד :

ההקדמה השלישית היא שכל מספר נכפל בכפלי' מה כמה שיהיו הנה המספר

הנכפל יהיה למספר העולה מכפליו שבר נגזר משם מספר

 

31ב
שער השני פרק ראשון

מספר הכפלים משל זה שמספר ב' כאשר יכפל בג' וישובו ו' הנה מספר הב' יהיה שליש הו' אשר שם השליש הוא נגזר מהג' אשר הם כפלי הב' וזה מבואר גם כן מספר ניקומכוש: ההקדמה הרביעית היא שכאשר תרצה לקחת משברים מה חלק מה הנה נקח

מכמות השברים המונחים לפי החלק הדרוש וניחסהו אל איכות השברים

המונחים והיוצא הוא החלק הלקוח מהם . משל זה אם רצית לקחת שליש הט' עשיריות הנה נקח שליש הט' והם ג' ונייחסם אל עשיריות והם ג' עשיריות וכן תמיד וגם זה

מבואר בעצמו:

ההקדמה החמישית היא שכאשר תרצה לכפול שברים מונחים בכפלים מה איזה

כפלים שיהיו הנה נכפול הכמות ונייחסהו אל האיכות והיוצא הוא העולה

מכפלי השברים המונחים . משל זה אם רצית להכות שני תשיעיות בג' הנה נכה הב' בג' ויעלו ו' וניחסם אל התשיעיות ויעלו ו' תשיעיות וזהו העולה מכפילת השני תשיעיות

בג' וגם זה מבואר בעצמו:

ואחר שכבר התבארו לך אלה ההקדמות הנה כבר התבאר לך עלת זה המין בתכלית

מה שהיה אפשר לבארו . וזה שאמרנו נכה הג' רביעיות בב' תשיעיות עד"מ

הנה הוא שוה לאמרנו נקח ג' רביעיות הב' תשיעיות לפי מה שקדם בהקדמה השנית . ואלו היה כמות הב' תשיעיות נחלק לד' חלקים עד נקח מהם רביעיתם היינו לוקחים אותו והיינו מיחסים אותו אל איכותם והיוצא היה מורה על רביעית השני תשיעיות לפי מה שקדם בהקדמה הרביעית ואחר זה היינו כופלים כמות הרביעית הא' בג' והיה עולה ג' רביעיות השני תשיעיות לפי מה שקדם שהקדמה החמישית . אך מפני שכמות הב' תשיעיות בלתי נחלק לד' חלקים היה מן ההכרח שנכהו בד' שהוא איכות הג' רביעיות עד שיהיה העולה מהכאת הב' בד' נחלק לארבעה חלקים . וכאשר היה זה כן היה מחויב עלינו גם כן להכות גם התשעה שהם איכות השני תשיעיות עם איכות הד' עד יהיה העולה מכפלי הב' והט' עם הד' כאשר יתיחסו זה אל זה שוים לשני תשיעיות לפי מה שקדם בהקדמה הראשונה ונקח מהעולה מהכאת הכמות עם האיכות שהוא כמות השבר ההוה רביעיתם וניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות שהוא איכות השבר ההוה וההוה הוא רביעית הב' תשיעיות לפי מה שקדם בהקדמה הרביעית . אחר זה נכפול כמותו בג' והוא מורה על ג' רביעיות השני תשיעיות לפי ההקדמה החמישית . אלא שהקדמונים ראו לקצר הדרך והכו האיכות עם האיכות לבד . והניחו הכאת הכמות עם האיכות ולקיחת רביעיתו כי כבר קדם בהקדמה השלישית שכל מספר נכפל בכפלי' מה הנה המספר הנכפל יהיה למספר העולה מהכפלים שבר נגזר מכפליו . ולכן יחויב מזה בהכרח שיהיו הב' שהוא כמות הב' תשיעיות בעינם רביעית המספר העולה מהכאת הב' בד' . ואם כן אין הבדל בין שנקח כמות השני תשיעיות בעינו או שנכה הב' עם הד' ויעלו ח' ונקח מהם רביעיתם שהם ב' . וכאשר היה זה כן הנה אם כן אין צורך רק להכאת האיכות על האיכות ולקיחת הכמות בעינו וניחס הכמות אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והיוצא יורה על רביעית השני תשיעיות אמנם בעבור שדרושנו הוא ג' רביעיות הב' תשיעיות והיוצא לא יורה כי אם על רביעית אחד לכן הוצרכנו להכות כמות היוצא המורה על רביעית אחד שהוא כמות הב' תשיעיות בעינו לפי מה שקדם עם הג' שהוא כמות הג' רביעיות וייוחס העולה אל האיכות היוצא והעולה יורה על שלשה רביעיות הב' תשיעיות בהכרח לפי מה שקדם בהקדמה החמישית

וזהו מה שכווננו ביאורו :

ואולם הדרך אשר בו השתמשו הקדמונים והוא שמכים האיכות עם האיכות והעולה

עם

 

32א
שער השני פרק ראשון

עם עצמו י' גם מכים הכמות עם האיכות באלכסון גם כמות האחר עם איכות חברו באלכסון . אחר זה יכו העולים מהאלכסונים זה עם זה והעולה ייחסוהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם עצמו הנה היא הסבה הנזכרת בעצמה בדרך הקדום . וזה שכאשר יכו האיכות עם האיכות הנה העולה מהם יהיו בו שני האיכויות בהכרח ולזה הצטרכו בו בעבור שיהיו במספר ההוה מהם שני האיכויות יחד עד ילקח מהם השבר האחד והאחר ויהיו מתחלפים בכמות ושוים באיכות וזה כשילקח כמותם על דרך אלכסון כאשר יתבאר במין הקבוץ אי"ה: משל זה במשלנו הקדום אם רצית להכות ג' רביעיות עם שני תשיעיות הנה יכו הט' עם הד' ויעלו ל"ו וזהו במקום שלם . אחר זה יכו הג' עם הט' ויעלו כ"ז ונייחסם אל הל"ו והם כ"ז חלקים מל"ו שהם שוים לג' רביעיות כמו שיבא . אחר זה יכו הב' עם הד' ויעלו שמנה ונייחס אל הל"ו ויהיו שמנה חלקים מל"ו שהם שוים לב' תשיעיות הנה לפי הדרך הזאת כבר נהיה תמורת הכאת הג' רביעיות עם הב' תשיעיות הכאת הכ"ז חלקים מל"ו עם השמנה חלקים מל"ו אחר שהם שוים להם וכאשר יוכה האיכות עם האיכות כאשר קדם . ויעלו אלף רצ"ו גם יוכה הכמות עם הכמות כאשר קדם ויעלו רי"ו ונייחסם אל האלף רצ"ו הנה הם שוים לששה חלקים מל"ו ההוים לפי הדרך הקודם וסיבתם היא אחת אחר ששב זה הדרך אל הדרך הקודם בעינו וזהו מה שכווננו ביאורו . וכבר יתבאר לך גם כן ענין התכת כל העשרה מינים מכלל הי"ב הפשוטים אל השני מינים . וזה כי כבר קדם בהקדמה השנית כי באמרנו נכה השליש עם הרביע הוא שוה לאמרנו נקח שליש הרביע ואחר שהמינים העשרה מכלל הי"ב מינים הפשוטים הם שבר השבר או שבר השברים או שבר שבר השבר והדומה לזה אשר זהו ענין הכאת השברים הנה אם כן בהכרח שיהיה דרך

התכת השברים העשרה אל השני מינים הפשוטים הוא דרך ההכאה בעינה :

ואולם סבת מציאות זה המין בזולת ההתכה וזה בשנכה הכמות עם הכמות והעולה

עם הכמות וכן תמיד עד שיכלו כל השברים המכים והמוכי' והעולה נשמרהו

2 3 4 עוד אחר זה נכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן 3 4 5 תמיד עד שיכלו השברים המכים והמוכים ונייחס אל העולה

מהם השמור הראשון הנה סבתו גם כן ידועה . וזה שאם רצית
6 להכות שברי שברים עם שברים כמו שני שלישיות הג' רביעיות
12 עם הד' חמישיות על דרך משל הנה אין הבדל בין שנתיכם
בשנכה הב' עם הג' ויעלו ו' וניחסם אל העולה מהכאת הג' בד'
שהם ו' חלקים מי"ב ואחר נכם עם הד' חמישיות בשנכה הו' עם

הד' ויעלו כ"ד וניחסם אל העולה מהכאת הי"ב עם הה' שהם כ"ד חלקים מששים ובין שנכה הב' עם הג' והעולה עם הד' וניחסם אל העולה מהכאת הג' בד' והעולה בה' שהם כ"ד חלקים בס' כי ההכאות ההוות בזה הדרך ר"ל בבת אחת הם ההכאות בעצמם ההוות בשני פעמים כמו הדרך הראשון וזה מבואר מאד אין צורך לביאור . ואולם אם רצית להכות שברי 2 4 3 5 שברים עם שברי שברים כמו שני שלישיות הד' חמשיות 3 5 4 6 עם ג' רביעיות הה' ששיות הנה בזה נצטרך אל ביאור

ואומר שהוא מן המבואר ממה שהתבאר בספר אקלידס
8 15 במאמ' השביעי בתמונת י"ז שכל מספר יוכו בו ב' מספרים
15 24 הנה יחס אחד משני השטחים אצל האחר כיחס אחד משני
המספרים אצל האחר . ולכן יחויב מזה בהכרח במשלנו
זה שיהיה העולה מהכאת הב' בד' שהוא ח' כאשר יוכה עם
העולה

 

32ב
שער שני פרק ראשון

העולה מהכאת הג' בה' שהם ט"ו שוה לעולה מהכאת הב' בד' והעולה בג' והעולה בה' וכן באיכיות דרך אחד להם ר"ל שכמו שהיה בכמויות העולה מהכאת הח' בט"ו שהם העולים מהכאת הב' בד' והכאת הג' בה' שוה לעולה מהכאת הב' בד' עם הג' והעולה מהם עם הה' כן באיכויות העולה מהכאת הט"ו בכ"ד שהם העולים מהכאת הג' בה' והכאת הד' בו' הם שוים לעולה מהכאת הג' בה' עם בד' והעולה מהם עם הו' . והסבה בזה מבואר ממה שקדם מההקדמה הנזכרת בספר אקלידס וזה שיתחייב מההקדמה ההיא בהכרח שהעולה מהכאת הג' בה' כאשר יוכה עם הח' העולה מהכאת הב' בד' הוא שוה לעולה מהכאת הח' בג' עם הה' . וזה כי אחר שהג' הוכה עם הח' ועלו כ"ד גם הוכה עם הה' ועלו ט"ו הנה יהיה יחס הח' אל הה' כיחס הכ"ד אל הט"ו וכבר התבאר בתמונת י"ט מן המאמר ההוא בעצמו שכל ארבעה מספרים מתיחסים הנה השטח העולה מהכאת הראשון באחרון שוה לשטח העולה מהכאת השני בשלישי אם כן יחויב מזה בהכרח שהעולה מהכאת הח' עם הט"ו הוא שוה לעולה מהכאת הה' עם הכ"ד ואחר שהיה זה כן וכבר קדם שהכ"ד הם ההוים מהכאת הב' עם הד' והעולה עם הג' אם כן כאשר יוכה הב' בד' והעולה עם הג' והעולה עם הה' יהיה שוה בהכרח לעולה מהכאת הח' עם הט"ו וכן תוכל לדעת זה בכל מיני השברים ואם ירבו מאד כי המופת צודק לכל משל זה אם רצית להכות אלו הנה העולה מהכאת הב' 2 3 4 5 6 7 בג' והעולה עם הד' הוא שוה לעולה מהכאת הב' 3 4 5 6 7 8 עם העולה מהכאת הג' עם ד' כמו שקדם . וכן

העולה משלשתם כאשר יוכה עם הה' והעולה עם
הו' הוא שוה לעולה מהכאת העולה משלשתם עם

העולה מהכאת הה' בו' לזאת הסבה בעינה כי המספר הראשון הוא העולה משלשתן והשני מספרים האחרים הם הה' והו' וכן העולה משלשתן כאשר יוכה עם העולה מב' מספרי ה"ו והעולה עם הז' הוא שוה לעולה מהכאת העולה משלשתן עם העולה משלשה המספרים האחרים שהם מספרי ה'ו'ז' לזאת הסבה בעצמה כי המספר הראשון הוא ההוה משלשתן והמספר השני הוא ההוה משני מספרי ה"ו והמספר השלישי הוא מספר ז' ולכן יהיה העולה מהכאת העולה משלשתן עם העולה משני מספרי ה"ו והעולה עם ז' שוה לעולה מהכאת העולה משלשתן עם העולה מג' מספרי ה'ו'ז' וכבר קדם שהעולה מהכאת העולה משלשתן עם העולה משני מספרי ה"ו הוא שוה לעולה מהכאת העולה משלשתן עם הה' והעולה עם ו' . אם כן יתחייב מזה בהכרח שיהיה העולה מהכאת ההוה משלשתן עם ההווה מהשלשה הנשארים שוה לעולה מהכאת הב' בג' והעולה עם ד' והעולה עם ה'

והעולה עם ו' והעולה עם ז' וזהו מה שכווננו ביאורו :

ואולם סבת מציאו' הכאו' רבות בפעם אחת מבלתי שתצטרך לקבץ העולי' מההכאות

הרבות בשנכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו

כל השברים המונחים בכל ההכאות ונשמרהו . אחר זה ניחס אליו העולה מהכאת כמויות כל הכאה והכאה זה עם זה על הסדר והעולה נכהו עם כל אכויות ההכאות האחרות ואם רבו על הסדר הנה אמנם התבאר לך ביאור מספיק אחר שיתבאר לך מין קבוץ השברים וסבתם . וזה שבמין הקבוץ נבאר שהדרך אל מציאותו אמנם הוא בשנכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו כל השברים המונחים והעולה נשמרהו . אחר זה נכה כמות כל שבר ושבר עם כל איכויות השברים נקבצים עמו והעולים מהכאת כמות כל השברים עם כל איכויות הנקבצים מהם נקבצם וניחסם אל השמור הראשון והוא סך כל השברים הנקבצים . וכאשר היה זה כן וכבר קדם שהעולה

מהכאת

 

33א
שער השני פרק ראשון

מהכאת המספר האחד עם המספר הב' והעולה עם המספר הג' והעולה עם המספר הרביעי הוא שוה לעולה מהכאת העולה מהמספר הא' והב' עם העולה מהכאת המספר הג' והד' . אם כן מן המחויב מזה בהכרח שיהיה מציאות סך כל ההכאות מבלתי קבוץ עם הדרך הנזכרת . משל זה אם רצית לדעת סך כל העולה מהכאת שני שלישיות עם ג' רביעיות והכאת ד' חמישיות עם ה' ששיות והכאת ו' שביעיות עם שבעה שמיניות כזה 2 3 | 4 5 | 6 7 הנה למה שקדם שהכאת כל מין ומין מהם 3 4 | 5 6 | 7 8 אמנם הוא בשנכה הכמות עם הכמות

והאיכות עם האיכות וזה בכל מין ומין
לעצמו. ונכתוב העולה מכל מין תחתיו

6 20 42 ויחויב שיהיו העולים ששה חלקים מי"ב 12 30 56 ועשרים חלקים משלשים ומ"ב חלקים

מנ"ו. ועוד יתבאר במה שיבא שקבוץ

השברים אמנם הוא בשנכה כל האיכויות זה עם זה ונשמרהו. גם נכה כמות כל שבר עם איכות כל השברים הנקבצים עמו ונקבצם והעולה נייחסהו אל השמור שבידינו והוא סך הכל. ואם כן יחויב שנכה הי"ב עם השלשים והעולה עם הנ"ו והעולה נשמרהו וזהו השמור הראשון. אחר זה נכה הו' עם השלשים והעולה עם הנ"ו. גם נכה הכ' עם הי"ב והעולה עם הנ"ו. גם נכה המ"ב עם השלשים והעולה עם הי"ב ונקבץ כל העולים והעולה נייחסהו אל השמור הראשון והוא סך כל השברים. וכבר קדם שאין הבדל בין שנכה המספר האחד עם המספר השני והעולה עם הג' והעולה עם הד' ובין שנכה העולה מהא' והב' עם העולה מהג' והד'. הנה אם כן אין הבדל בין שנכה תחלה השני שלישיות עם הג' רביעיות ויעלו ששה חלקים מי"ב והד' חמישיות עם הה' ששיות ויעלו כ' חלקים משלשים והו' שביעיות עם הז' שמיניות ויעלו מ"ב חלקים מנ"ו. ואחר זה נכה הי"ב עם השלשים והעולה עם הנ"ו גם נכה הכ' עם הי"ב והעולה עם הנ"ו. גם נכה המ"ב עם הי"ב והעולה עם השלשים ונקבץ הכל וניחסם אל השמור הראשון אשר הדרך הזאת היא הדרך הפשוטה ר"ל שנכה כל מין ומין לעצמו ואחר נקבץ כל העולים עם דרך הקבוץ ובין שנכה מתחלה הב' עם הג' ויעלה ו' והו' עם השלשים והעולה עם הנ"ו. גם נכה הד' עם הה' ויעלו כ' והכ' עם הי"ב והעולה עם הנ"ו. גם נכה הז' עם הו' ויעלו מ"ב והמ"ב עם השלשים והשלשים עם הי"ב והעולים מהכל נקבצם וניחסם מהעולה מהכאת הג' עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והעולה עם הח'. וזה שהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו הוא שוה לפי מה שקדם להכאת העולה מאיכות הא' והב' עם העולה מאיכות הג' והד' והעולה עם העולה מאיכות הה' והו'. ואם כן אין צורך להכות האיכות הראשון עם השני ויעלה י"ב. ואחר נכה האיכות השלישי והרביעי ויעלו שלשים. ואחר נכה האיכות החמישי והששי ויעלו נ"ו. ואחר נכה הי"ב עם השלשים והעולה עם הנ"ו רק נכה האיכות הראשון עם השני והעולה עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הח' והעולה עם הו' ויהיו שני הפעלות יחד ר"ל פעלת ההכאה והקבוץ. וכן אחר שהכאת הכמות הא' עם הכמות הב' והעולה עם איכות הה' והעולה עם איכות הו' הוא שוה לפי מה שקדם להכאת העולה מכמות הא' והב' עם העולה מאיכות הג' והד' והעולה עם העולה מאיכות הה' והו'. לכן אין צורך להכות הכמות הראשון עם השני ויעלו ו' ונכה הה' עם הו' ויעלו שלשים ונכה הח' עם הז' ויעלו נ"ו. ואחר נכה הו' עם הל' והעולה עם הנ"ו רק נכה הב' עם הג' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והעולה עם הח'. ויהיו הפעלות יחד ר"ל

ט א

 

33ב
שער השני פרק ראשון

ר"ל פעלת ההכאה והקבוץ וזה מה שרצינו לבאר:

ואולם סבת מציאות הכאת שברים רבים עם שברים רבים מבלתי שתצטרך לקבץ

השברים המכים לחוד והשברים המוכים לחוד ואחרי כן להכותם . אבל יצא

לך הכל מזומן ומתוקן בפעם אחת בשנכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו כל האיכויות והעולה נשמרהו . אחר זה נכה כמות השבר הראשון מהמכים עם איכות השבר השני מהמכים והעולה עם איכות השבר הראשון מהמוכים והעולה עם כמות השבר השני מהמוכים גם נכה כמות השבר האחד מהמכים עם איכות השבר השני מהמוכים והעולה עם כמות השבר האחד מהמוכים והעולה עם איכות השבר השני מהמוכים. גם נכה כמות השבר השני מהמכים עם איכות השבר האחד מהמוכים והעולה עם איכות השבר הא' מהמוכים והעולה עם כמות השבר השני מהמכים. גם נכה כמות השבר השני מהמכי' עם איכות השבר הא' מהמכים והעולה עם כמות השבר הא' מהמוכים והעולה עם איכו' השבר הב' מהמכים. ונקבץ כל העולי' ונייחסהו אל השמור הראשון העולה מהכאת כל האיכויות על הסדר. הנה כבר התבארה מהסבה הקודמת אין צורך לכפול המאמרים אלא שראוי שתדע בביאור הסבה הזאת הקדמה אחת כבר התבארה בתמונה הראשונה מהמאמר השני מספר אקלידס החכם. והוא מה שקדם גם כן בהכאת השלמים שכל מספר יוכה עם מספר מה איזה מספר היה הנה העולה מהם שוה לעולה מהכאת

המספר המוכה עם כל אחד מחלקי המספר המכה על איזה חלקים שנחלק.

ואולם סבת מאזני הקדמונים שהוא עם החלוק כבר קדמה במאזני הכאת השלמים

אין צורך לכפול המאמרים.

ואולם סבת המאזנים אשר חדשתי אני אשר הוא בהכאת הנשאר מהשבר המכה עד תשלום הא' השלם עם השבר המוכה והעולה נקבצנו אם ישוה לשבר המוכה צדק ואם לאו כזב. הנה סבתו מבוארת בעצמה וזה שהוא מהמבואר בעצמו שכל שבר יוכה באחד שלם הנה העולה מההכאה הוא השבר המוכה בעינו. ולזה כאשר הוכה השבר המוכה עם הנשאר מהשבר המכה עד תשלום האחד ויקובץ העולה עם היוצא מההכאה הראשונה. הנה יחויב העולה מקבוצם הוא השבר המוכה בעינו אחר שהוכה השבר המוכה עם השבר המכה ועם החסרון אשר יחסר ממנו עד תשלום האחד אשר חבור שניהם הם אחד . ולכן כאשר יהיה המכה יותר משלם אחד הנה כאשר יוכה המוכה עם העודף שבמכה על האחד השלם ונחסר העולה מזאת ההכאה מהעולה מהכאת המוכה עם המכה בכללו. הנה לזאת הסבה בעינה יחויב שיהיה הנשאר ממנה שוה למוכה בלי ספק. וזה שהעולה מהכאת כל המכה עם המוכה הוא שוה לעולה מהכאת האחד השלם עם המוכה והעודף עם המוכה . ולזה יחויב מזה בהכרח שכאשר נחסר מהכאת כל המכה עם המוכה הכאת העודף עם המוכה שישאר ממנה בהכרח העולה מהכאת האחד עם המוכה אשר הוא המוכה בעינו

וזה מה שכווננו ביאורו.

ואולם הסבה אשר חויב ממנה שכאשר יהיו שני שברים מונחים ויוכה כמות השבר

הראשון עם איכות השני וכמות השני עם איכות הראשון וישוו העולים משני

הכאות האלכסונים שיהיו שני שברים שוים בהכרח היא מבוארת ממה שקדם. וזה שכבר קדם שכל ד' מספרים מתיחסים הנה השטח ההוה מהכאת הראשון באחרון הוא שוה לשטח ההוה מהכאת השני בשלישי והוא מהמבואר בעצמו שכל שני שברים שוים הנה יחס כמות האחד אל איכותו כיחס כמות האחר אל איכותו. אם כן יחויב מזה בהכרח שיהיה השטח ההוה מהכאת הכמות הראשון באיכות השני שוה לשטח ההווה מהכאת איכו' הראשון בכמות

השני

 

34א
שער השני פרק ראשון

השני וזה מה שרצינו לבארו:

ואולם המאזנים האחרים אשר חדשתי והוא שנקח כמות השבר היוצא מההכאה

ונבקש מספר שיהיה יחסו אליו יחס השבר האחד מהשברים המוכים איזה מהם

רצית . ואם היה יחס המספר המבוקש אל איכות היוצא מההכאה שוה ליחס השבר הנשאר מהשני שברים המוכים צדקנו ואם לאו כזבנו . הנה סבתו גם כן ידועה ממה שהתבאר מכח תמונת כ"ג מהמאמר הששי כי שם התבאר שכל שני מספרים מונחים איזה מספרים שיהיו . הנה יחס האחד מהם אחד האחר מחובר מיחס המספר האחד משני המספרים אל מספר מה ומיחס המספר ההוא אל מספר השני מהשני מספרים המונחים . משל זה שני מספרי ג"ד הנה יחס הג' אל הד' מחובר מיחס הג' אל הה' ומיחס הה' אל הד' ר"ל הג' אל הד' שהוא ג' רביעיות הוא הווה מהכאת יחס הג' חמישיות עם יחס הה' רביעיות. ואם כן יתחייב מזה בהכרח שיהיה יחס כמות השבר היוצא אל איכותו הווה מהכאת כמותו אל מספר מה עם יחס המספר ההוא אל איכותו. ולכן כאשר בקשנו מספר שיתיחס אליו כמות השבר היוצא יחס השבר האחד מהשני שברים המוכים. יחויב מזה בהכרח שיהיה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא הוא יחס השבר השני מהשני שברים המוכים וזה שכבר התבאר מזאת ההקדמה שהיחס ההווה מהכאת יחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש עם יחס המספר המבוקש אל איכותו הוא יחס השבר היוצא והוא בעצמו ההווה מהכאת שני יחסי השברים המוכים. אם כן יתחייב מזה בהכרח שיהיה היוצא מהכאת שני יחסי השברים המוכים שוה ליוצא מהכאת יחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש עם יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא ויחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש הוא אחד מב' יחסי השברים המוכים. הנה יחויב מזה בהכרח שיהיה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא הוא הנשאר משני יחסי השברים המוכים. וזה ממה שהתבאר מכח תמונת י"ז ממאמר החמישי שכל שני מספרים יוכו במספר אחד. הנה יחס אחד משני השטחים ההווים מהם אצל האחר כיחס השני המספרים המוכים האחד אצל האחר. ויחויב מזה בהכרח שכאשר יהיו השני שטחים שוים שיהיו גם השני מספרים המוכים במספר האחד שוים. ולכן יתחייב מזה בהכרח שיהיה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא שוה ליחס השבר הנשאר מהב' שברים המוכים אחר שאלה השני יחסים יוכו עם יחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש שהוא יחס השבר האחד מהם ויתהווה משניהם יחס אחד והוא יחס השבר היוצא והשני יחסים השוים הם יחס אחד בעצמו. הנה אם כן יחויב מזה בהכרח שיהיה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא הוא בעצמו יחס השבר הנשאר מהשני

שברים המוכים וזה מה שרצינו לבאר.

ואולם סבת מציאות המספר המבוקש בשנחלק העולה מהכאת כמות השבר היוצא עם איכות השבר האחר על כמותו. הנה היא מבוארת ממה שהתבאר במיני היחסים. וזה שיחס כמות השבר המונח אל איכותו הוא כיחס כמות היוצא אל המספר המבוקש. והנה אם כן מהארבעה המספרים המתייחסים השלשה מהם ידועים והאחד מהם מוסכל. ולכן כאשר יוכה השני בשלישי שהוא כמות היוצא עם איכות המונח ויחולק על הראשון שהוא כמות השבר המונח יצא המספר הרביעי בהכרח שהוא המספר המבוקש

כאשר יתבאר במה שיבא וזהו מה שכווננו ביאורו.

הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת זה המין עם מאזניו ואותיותיו מחובר

בראיותיהם ומופתיהם. ומהנה נתחיל בביאור דרך הקבוץ בע"ה.
ט ב

 

34ב
השער השני פרק שני

פרק שני במין הקבוץ גדר הקבוץ ידוע מגדר קבוץ השלמים . ולהיות שמיני השברים הפשוטים והמורכבים

אשר בזה המין הם הם בעינם מיני הפשוטים והמורכבים אשר במין ההכאה

וכבר קדם שמיני הפשוטים הם י"ב ומיני המורכבים מהם הם ע"ח ושהפשוטים יותכו אל שני מינים מהם והם שבר האחד ושבריו . והמורכבים יותכו אל ג' מינים מהם והם שבר עם שבר ושברים עם שברים ושבר עם שברים וכבר התבאר לך אופן ההתכה . הנה אם כן מהמחויב עלינו להודיע הדרך במציאות הקבוץ באלה המינים השלשה המורכבי' מכלל הע"ח מינים ובזה נגיע אל המכוון: ודע שהע"ח מינים המורכבים אשר זכרנו במין ההכאה אמנם יהיו הם בעינם במין הקבוץ כאשר יורכב הקבוץ משני מיני שברים לבד. אולם כאשר ירבו מיני הנקבצים אין ספק שירבו המורכבים אבל אנחנו לא נצטרך בזכירתם למה שיהיה הדרך אשר בו נגיע אל מציאותם הוא עצמו הדרך אשר בו נגיע אל

מציאות הע"ח מינים ולזה אין לנו עסק בהכאתם.

והדרך הכולל לכל מיני המורכבים הוא שנכה האיכות אם האיכות והעולה עם

האיכות והעולה נשמרהו. אחר זה נכה כמות השבר הראשון עם איכות

השבר השני והעולה עם איכות השלישי וכן תמיד עד שיכלו כל האיכויות חוץ מאיכו' השבר הראשון. גם נכה כמות השבר השני עם איכות הראשון והעולה עם איכות השלישי וכן תמיד עד שיכלו כל האיכויות חוץ מאיכות השבר השני. גם נכה כמות השבר השלישי עם איכות האחד והעולה עם איכות השני וכן תמיד עד שיכלו כל האיכויות חוץ מאיכות השבר השלישי. גם נכה כמות השבר הרביעי עם כל האיכויות חוץ מאיכותו על זה הדרך וכן תמיד עד שיכלו כל השברים. אחר זה נקבץ כל העולים מכל ההכאות והעולה ניחסהו אל השמור אם הוא יותר קטן ממנו או נחלקנו עליו אם הוא יותר גדול והיוצא הוא סך כל השברים הנקבצים. ונצייר לזה משלים לג' מיני המורכבים והם אלו. הנה במין 2 3 4 1 3 2 1 1 1 הראשון הכינו איכות הג' 3 4 5 4 5 7 3 4 5 עם איכות הד' ועלה י"ב והי"ב עם הה' ועלה ששים ושמרנום. אחר זה הכינו הב' עם הד' ועלה ח' והח' עם הה' ועלה מ'. גם הכינו הג' עם הג' ועלה ט' והט' עם הה' ועלה מ"ה. גם הכינו הד' עם הג' ועלה י"ב והי"ב עם הד' ועלה מ"ח. קבצנום ועלו קל"ג חלקנום על הס' השמורים ויצאו ב' שלמים וי"ג חלקים מששים וזהו המין הראשון. ובמין השני הכינו הד' עם הה' והעולה עם הז' ועלו ק"מ ושמרנום. אחר זה הכינו הא' עם הה' והעולה עם הז' ועלה ל"ה. גם הכינו הג' עם הד' והעולה עם הז' ועלו פ"ד. גם הכינו הב' עם הד' והעולה עם הה' ועלו מ' קבצנום ועלו קנ"ט חלקנום על הק"מ השמורים ויצאו שלם אחד וי"ט חלקים מק"מ וזהו סך המין השני. ובמין השלישי הכינו הג' עם הד' והעולה עם הה' ועלו ס'. גם הכינו הא' עם הד' ועם הה' ועלו כ' גם הכינו הא' עם הג' והעולה עם הה' ועלו ט"ו. גם הכינו הא' עם הג' והעולה עם הד' ועלו י"ב קבצנום ועלו מ"ז יחסנום אל הס' השמורים ויצאו מ"ז חלקים מס' וזהו סך המין השלישי. אלה הם הדרכים אשר בהם השתמשו הראשונים בידיעת זה המין. ואם תרצה לקבץ שברים רבים ואתה ירא מלהתבלבל לך הדרך. הנה כבר תוכל להשתמש בזה עם קבוץ שני שברים

בלבד

 

35א
השער השני פרק שני

בלבד והעולה קבצנו עם האחר והעולה עם האחר ויצא לך קבוץ כל השברים המונחים: המשל בזה אם רצית לקבץ ט' שברים כזה הנה תקבץ החצי והשליש והם ה' ששיות והה' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ששיות עם הרביע והם כ"ו חלקים מכ"ד 2 3 4 5 6 7 8 9 10 שהוא שלם אחד וחלק אחד מי"ד שמור בידך

השלם וקבץ לבד הא' מי"ב עם החומש ויעלו

י"ז חלקים מס' עוד קבץ הי"ז חלקים מס' עם הששית והעולה הוא קס"ב חלקים מש"ס . עוד קבץ הקס"ב מש"ס עם השביעיות ויעלו אלף תצ"ד חלקים מב' אלפים תק"כ. עוד קבץ זה השבר עם השמינית ויעלה י"ד אלף תע"ב חלקים מכ' אלף ק"ס. עוד קבץ זה השבר עם התשיעית ויעלה ק"נ אלף ת"ח חלקים מקפ"א ת"מ. עוד קבץ זה השבר עם העשירית ויעלו אלף תרפ"ה אלפים תק"כ חלקים מאלף תתי"ד ות' הוסף עליהם האחד השלם השמור שבידך והם א' ואלף תקפ"ה אלפים ותתק"כ חלקים מאלף תתי"ד אלפים ות' וזהו קבוץ כל התשעה שברים הנכתבים פה. עוד מצאתי דרך אחרת על דרך החסור והוא שתקח החסרון אשר יחסר מהשבר האחד עד תשלום האחד השלם ונחסר ממנו השבר האחר הנקבץ עמו אם היה החסרון גדול ממנו והיוצא קח החסר ממנו עד שלמות האחד השלם והוא סך השני שברים הנקבצים או תחסרהו מהשבר הנקבץ עמו אם היה קטן ממנו והיוצא תחבר עמו שלם אחד והוא סך השני שברים הנקבצים. ואם רצית לקבץ עוד שבר אחד עם השנים הראשוני' הנה תוכל להשתמש עם הדרך הקודם בעינו ר"ל בשנקח החסרון אשר יחסר מסך השני שברי' עד תשלום האחד השלם ונחסרהו מהשבר השלישי הנקבץ עם השנים הקודמים אם היה גדול ממנו או נחסר השבר ממנו אם היה קטן ממנו וננהיג הדרך הקודם בעינו. או אם תרצה להשתמש בדרך אחרת תוכל להשתמש בזה הסדר. והוא שתקח היוצא טרם שתחסרהו או שתוסיפהו ואם היה היוצא מאשר יחסר מהשלם קטן מהשבר השלישי אשר תרצה לקבצו עם השני' הקודמים הנה תחסרהו מהשבר ההוא והיוצא הוא התוספת על השלם האחד. וכאשר תוסיף עליו שלם אחד יהיה ההווה סך הג' שברים המונחים. ואם היה היוצא גדול מהשבר אשר תרצה לקבצו הנה תחסר השבר מהיוצא והיוצא לך הוא החסרון אשר יחסר משלמות השלם האחד . ואולם אם היה היוצא מאשר נוסיף על השלם האחד הנה נשמור האחד הנוסף על היוצא ונבקש החסרון אשר יחסר מהיוצא עד תשלום השלם האחד. ואם היה החסרון ההוא קטן מהשבר הנקבץ הנה נחסרהו ממנו והיוצא הוא תוספת על השלם האחד. ולכן נוסיף עליו אחד. ועוד נוסיף עליהם האחד השמור שבידינו והעולה הוא סך הג' שברים ואם היה החסרון גדול מהשבר הנקבץ הנה נחסר השבר ממנו והיוצא נקח ממנו החסרון שעד תשלום האחד ונוסיף עליו השמור שבידינו והעולה הוא סך הג' שברים. וכן בזה הדרך תעשה תמיד עד שיכלו כל השברים הנקבצים. המשל בזה במשלנו זה שהוא קבוץ התשעה שברים הנה נבקש החסרון אשר יחסר מהחצי עד תשלום האחד והוא חצי. ולהיות שהשליש הנקבץ עם החצי הוא קטן ממנו על כן נחסר השליש מהחצי וישאר ששית אחד וזהו החסרון מהשלם האחד. נקח החסרון שעד תשלום האחד והם ה' ששיות והוא העולה מקבוץ השליש וחצי. ואולם אנחנו למה שאין כוונתנו עתה לקבץ השני שברים האלה לבד לכן לא נקח רק היוצא שהוא הששית האחד. ולהיות שהרביעית הנקבץ עמהם גדול ממנו על כן נחסר הששית מהרביעית והיוצא הוא א' מי"ב ויתחייב לפי מה שקדם שיהיה הוא התוספת על האחד אחר שחסרנו היוצא מהשבר ואם כן נוסיף עליו אחד והעולה הוא שלם אחד וחלק אחד מי"ב וזהו סך הג' שברים שהם החצי והשלישית והרביעית. ואולם אנחנו למה שאין כוונתנו עתה בקבוץ הג' שברים לבד לכן נשמור האחד בידינו

 

35ב
השער השני פרק שני

בידינו ונשתמש עם האחד מי"ב לבדו שהוא היוצא . ולהיות שהאחד מי"ב היוצא הוא תוספת על השלם האחד לכן נשמור האחד הנוסף עליו בידינו ונשתמש עם האחד מי"ב לבדו וזה בשנקח החסרון עד תשלום הא' השלם שהוא י"א חלקים מי"ב ונחסר ממנו החמישית הנקבץ עמהם אחר שהוא קטן ממנו והיוצא הוא מ"ג חלקים מששים ולהיות שחסרנו השבר הנקבץ ממנו על כן נקח החסרון שעד תשלום האחד השלם והוא י"ז חלקים מששים נוסיף עליו האחד השמור שבידינו והוא אחד וי"ז חלקים מששים וזהו סך קבוץ הד' שברים שהם החצי והשליש

והרביעית והחמישית וכן תמיד על זה הדרך:

עוד מצאתי דרך אחרת יותר קצרה מכל אלה הדרכים והוא שתדע שהמחולק היותר

קטן אשר יכלול כל מיני השברים שמהחצי עד העשירית חוץ מהשביעית

הוא הש"ס ועם השביעית הוא שני אלפים תק"כ ולכן ברצותך לקבץ שברים רבים נכללים במינים שמהחצי עד העשירית חוץ מהשביעית דע שהם ש"ס ואין צורך לטרוח בהוצאת המחולק עם ההכאות וברבוי המגיע מהם שהם יותר מת"ק אלף. וכן אם רצית לקבץ כל השברים שעד העשירית עם השביעית יחד דע שהם שני אלפים תק"כ ולא תצטרך לטרוח בהכאותיהם וברבוי המגיע מהם שהם יותר מל"ו פעמים ק' אלפים אחר זה תחלק המחולק על כל אחד מאיכות השברים המונחים והיוצא מכל אחד מהם שמרהו. אחר זה קבץ כל השמורים והעולה חלקהו על המחלק ר"ל על הש"ס או על השני אלפים תק"כ והיוצא הוא סך כל השברים המונחים ואם היה שם שבר מעשירית ומעלה הכה איכות השבר ההוא אשר הוא מעשירית ומעלה עם המחלק המונח ר"ל עם הש"ס או עם השני אלפים תק"כ והעולה הוא המחלק. המשל בשברים שמהחצי עד העשירית הנה המחלק הוא שני אלפים תק"כ חלק זה המספר על הב' שהוא החצי ויעלו אלף ר"ס ושמרם עוד חלקם על הג' ויעלו תת"מ עוד חלקם על הד' שהוא הרביע ויעלו תר"ל ושמרם עוד חלקם על הה' שהוא החמישית ויעלו תק"ד עוד חלקם על הו' שהוא הששית ויעלו ת"כ עוד חלקם על הז' שהוא השביעית ויעלו ש"ס עוד חלקם על הח' שהוא השמינית ויעלו שט"ו עוד חלקם על הט' שהוא התשיעית ויעלו ר"פ עוד חלקם על הי' שהוא העשירית ויעלו רכ"ב. קבץ הנשארים ויעלו ד' אלפים תתס"א חלקם על שני אלפים תק"כ ויצא אחד שלם ושני אלפים שמ"א חלקים משני אלפים תק"כ וזהו בעצמו מה שיצא לך מהדרכים הקודמים רק שהם גדולי היחס וזה

קטן היחס וכבר קדמו לך דרכי הבחינה.

ואולם אם רצית לדעת הדרך בידיעת קטון המספר אשר ימצאו בו השברי' המונחים

איזה שברים שיהיו הנה הדרך בידיעת זה הוא שאם היו שני שברים לבד

הנה אם היו איכויותיהם מספרים נבדלים יוכו זה עם זה והעולה הוא קטון המספר אשר ימצאו בו השברים ההם ואם יהיו משותפים הנה אם שיהיה האחד מונה האחר ואם שלא ימנהו ואם ימנהו הנה המספר הגדול מהם הוא בעצמו קטון המספר אשר ימצאו בו שני השברים המונחים ואם לא ימנהו הנה נמצא קטון יחסם עם הדרך הקודם ונכה המספר הגדול משני האיכויות המונחים עם המספר הקטן משני איכויות קטון יחסם או נכה המספר הקטן משני האיכויות המונחים עם המספר הגדול משני איכויות קטון יחסם והעולה הוא קטן המספר אשר ימצאו בו שני השברים המונחים. המשל בזה אם רצית לדעת קטן המספר אשר ימצאו בו הששית והשמינית הנה אם היו הששה מונים השמנה הנה מספר השמנה הוא קטון המספר אשר ימצאו בו השמינית והששית. וכן אם היו הששה והשמנה נבדלים הנה היינו מכים הששה עם השמנה והיו מ"ח והיה זה המספר קטון המספר אשר ימצאו בו הששית והשמינית אבל בעבור שאינם נבדלי' גם אין

האחד

 

36א
שער שני פרק שני

האחד מונה האחר הנה נמצא קטון יחסם עם הדרך הקודם והם שני מספרי ג"ד ונכה הג' שהוא קטון מספרי ג"ד עם הח' שהוא גדול מספרי ו"ח ויעלו כ"ד . או נכה הד' שהוא גדול מספרי ג"ד עם קטון מספרי ו"ח שהוא הו' ויעלו גם כן כ"ד והוא קטון המספר שימצאו הששית והשמינית . ואם היו שברים רבים הנה הדרך למציאות זה הוא שתמצא קטון המספר שימצאו בו השני שברים מהם לפי מה שקדם. אחר כך לא ימלט המספר ההוא מאחד מהג' פנים הנזכרים והם אם שיהיה השבר הג' מונהו או לא ימנהו. ואם לא ימנהו אם שיהיו נבדלים או משותפים ונעשה הדרך הראשון בעצמו והוא שאם יהיה השבר הג' מונה קטון המספר אשר ימצאו בו השני שברים הקודמים הנה הוא קטון המספר אשר ימצאו בו השלשה שברים יחד. ואם לא יהיה השבר הג' מונה אותו והם נבדלים נכהו עמו והיוצא הוא קטון המספר אשר ימצאו בו הג' שברים יחד. ואם יהיה השבר השלישי משותף עמו הנה נמצא קטון יחסם ונקח הקטן שמשני מספרי קטון היחס ונכהו עם הגדול שבשני המספרי' המונחים שהם קטון המספר אשר ימצאו בו השני שברים הראשונים והשבר הג' והעולה משניהם הוא קטון המספר אשר ימצאו בו הג' שברים יחד. עוד אחר זה אם היה שבר רביעי נקח קטון המספר אשר ימצאו בו הג' שברים והשבר הד' ונחקור בהם הג' פנים אשר הזכרנו ונעשה בהם כמשפט וכן תמיד עד שיכלו השברים ירבו מה שירבו דרך אחד לכלם. המשל בזה אם רצית לדעת קטון המספר אשר ימצאו בו החצי והשלישית והרביעית והחמישית והששית והשביעית והשמינית והתשיעית והעשירית הנה נסדרם בזה הדרך. ולהיות שהב' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 והג' הם מספרים נבדלים ע"כ נכה הב' עם 2 3 4 5 6 7 8 9 10 הג' ויעלו ו'. ולהיות שהו' עם הד' הם משותפי' ואין האחד מונה את חברו ע"כ בקשנו קטן יחסם והם שני מספרי ג"ב והכינו הב' שהוא קטון ב' מספרי ג"ב עם הו' גדול ב' מספרי ו"ד ועלה י"ב. ולהיות שהי"ב עם הה' הם שני מספרים נבדלים על כן הכינו הה' בי"ב ועלה ס'. ולהיות שהס' עם הו' האחד ימנה האחר על כן לא הכינום רק לקחנו הס' כאשר בתחלה. ולהיות שהס' עם הז' הם שני מספרים נבדלים על כן הכינום זה בזה ועלה ת"כ. ולהיות שהת"כ עם הח' הם משותפים ואין האחד מונה את חברו על כן בקשנו קטון יחסם והם שני מספרי ב' ק"ה ולקחנו הב' שהוא הקטן משני אלה המספרים והכינום עם מספר ת"כ שהם גדול שני מספרי ת"כ ח' ועלה תת"מ. ולהיות שזה המספר עם הט' הם שני מספרים משותפים ואין האחד מונה את חברו על כן בקשנו קטון יחסם והם שני מספרי ג' ר"פ. והכינו הג' שהוא קטון שני אלה המספרים עם תת"מ שהוא גדול מספרי תת"מ ט' ועלו שני אלפים תק"כ. ולהיות שזה המספר עם הי' האחד מונה את חברו על כן תפשנו בידינו זה המספר וידענו שמספר ב' אלפים תק"כ הוא הקטן מספר אשר ימצאו בו כל אלה השברים. ועם זה הדרך בעצמו תוכל לדעת שקטון המספר אשר ימצאו בו כל אלה השברים חוץ מהשביעית הוא מספר ש"ס. וכן אם רצית לקטן מספר אשר ימצאו בו כל השברים המונחים ירבו מה

שירבו דרך אחד לכל.

והמאזנים אשר יאוזן זה המין הנה כבר מצאתי דרך והוא שנחסר השבר

האחד איזה מהם שתרצה מהמקובץ והנשאר אם היו השברים הנקבצים

שנים יהיה הוא השבר הנשאר. ואם היו השברים הנקבצים יותר משנים יהיה הוא העולה מקבוץ השברים הנשארים ואם לאו כזבת. המשל בזה בקבוץ השליש והרביע שהעולה מקבוצם הוא שבעה חלקים מי"ב כאשר חסרנו השליש מהמקובץ ישאר הרביע וכשנחסר הרביע ישאר השליש. ובקבוץ השליש והרביע והחומש שהעולה מהם מ"ז חלקים מששים

כשנחסר

 

36ב
השער השני פרק שני

כשנחסר מהם השליש ישארו ט' חלקים מכ' וככה הוא סך הרביע והחומש . ואם תחסר

מהם החומש ישארו שבעה חלקים מי"ב וככה הוא סך השליש והרביע:

עוד מצאתי מאזנים אחרים על דרך הקבוץ בעצמו הוא שתקבץ עם המקובץ

החסר משלמות איזה שבר שתרצה מהנקבצי' עד האחד השלם והעולה תשליך

ממנו אחד ואם הנשאר שוה לעולה מהנקבצים הנשארים דע שצדקת ואם לאו כזבת: המשל בזה בקבוץ השליש והרביע שהעולה מקבוצם הוא שבעה חלקי' מי"ב כאשר תקבץ עמהם החסר משלמות הרביע עד האחד שהוא ג' רביעיות. הנה העולה מהם הוא אחד שלם ושליש תשליך האחד והנשאר שליש והוא השבר הנשאר מהנקבצים. ואם רצית לקבץ עמהם החסר משלמות השליש שהוא הב' שלישיו' העולה הוא אחד שלם ורביע תשליך האחד והנשאר רביע והוא השבר הנשאר מהנקבצים ובקבוץ השליש והרביע והחמישית שהעולה מקבוצם הוא מ"ז חלקים מששים תקבץ עמהם החסר משלמו' הרביע עד האחד השלם שהוא ג' רביעיות והעולה הוא אחד שלם ושמנה חלקים מט"ו תשליך האחד והנשאר שמנה חלקים מט"ו והוא קבוץ השליש והחומש. או קבץ עמהם החסר משלמות השליש עד השלם האחד שהם ב' שלישיות ויעלה אחד ותשעה חלקים מכ' תשליך האחד וישארו ט' חלקים מעשרים

שהוא העולה מקבוץ הנשאר מהנקבצים. וזה מה שרצינו לבאר.

ואולם סבת מציאות זה המין בשנכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד

שיכלו כל האיכויות והעולה נשמרהו. אחר זה נכה כמות השבר האחד עם

איכות השבר האחר והעולה עם איכות האחר וכן תמיד חוץ מאיכות השבר ההוא והעולה נחברהו עם העולה מהכאת כמות השבר האחד עם כל האיכויות חוץ מאיכותו על הדרך הנזכר והעולה נחברהו עם הכאת השבר האחר עם כל האיכיות חוץ מאיכותו על הצד הנזכר והעולה נחלקהו על השמור. הנה היא מבוארת וזה שכבר קדם במין ההכאה שהעולה מהכאת כמות השבר האחד עם איכות השבר האחר כאשר ניחסהו אל העולה מהכאת איכותו עם איכות השבר האחד הנה יהיה יחסו אליו יחס כמות השבר אל איכותו. ואם כן הוא השבר הראשון בעינו. וכאשר היה זה כן והיה העולה מהכאת האיכות עם האיכות אשר אליו יתיחסו העולים מהכאת כל הכמויות עם כל האיכויות על הצד הנזכר משותף לכל השברים המונחי'. הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שעם הדרך הזאת ישובו השברים המונחים המתחלפים באיכות בעלי איכות אחת. המשל בזה באשר נניח שני שברים מתחלפי האיכות כמו השליש והרביע כמו זה והכינו הג' עם הד' ועלו י"ב ושמרנוהו. 1 1 אחר זה הכינו האחד עם הד' וניחס הד' עם הי"ב השמורים ויעלו ד' יביי"ם 3 4 והוא שבר הרביע והנה השברים הראשוני' שהם השליש והרביע אף כי נשתנו לצורה אחרת ושבו ג' יביי"ם וד' יביי"ם אבל הם שליש ורביע כאשר בתחלה רק במקום שהיו בעלי שני איכויות שהם השלישיות ורביעיות שבו עתה להיות בעלי איכות אחד כי כלם יביי"ם והוא מהמבואר בעצמו שכל שברים מונחים בעלי איכות אחת כאשר רצית לקבצם תקבץ הכמויות לבד והעולה ניחסהו אל איכותם והוא העולה מקבוצם. המשל בזה הב' שביעיים והד' שביעיים הנה נקבץ הב' עם הד' ויעלו ו' וניחסם אל השבעה והם ו' שביעיים וככה הוא העולה מקבוצם. הנה מן המבואר מזה בהכרח שנקבץ במשלנו זה הג' והד' שהם כמות הד' יביי"ם והג' יביי"ם הנולדים והעולה מהם ניחסהו אל הי"ב שהוא איכותם והם שבעה יביי"ם וככה הוא העולה מקבוצם. וכאשר היה זה כן הנה אם כן נקבץ העולה מהכאת הכמות עם האיכות שהוא הג' עם העולה מהכאת הכמות עם האיכות שהוא הד' והעולה נחלקהו על העולה מהכאת האיכות עם האיכות

שהוא

 

37א
השער השני פרק שני

שהוא הי"ב ויצא לך קבוצם וזהו מה שרצינו לבאר: ואין לאומר שיאמר שזה אמנם יצדק כאשר היו השברים הנקבצים שנים לבד לא כאשר היו הנקבצים יותר משנים כי כבר קדם במין ההכאה שאין הבדל בהכאה בין שנכה המספר הראשון עם השני והעולה עם השלישי והעולה עם הרביעי . ובין שנכה העולה מהכאת הראשון עם השני עם העולה מהכאת השלישי עם העולה מהכאת השלישי עם הרביעי ובין שנכה העולה מהכאת הראשון עם השני עם השלישי והעולה עם הרביעי כי הכל אחד וכבר קדמה הסבה וכאשר היה זה כך הנה אם כן כאשר הונחו השברי' הנקבצים ארבעה על דרך משל כמו החצי והשליש והרביע 1 1 1 1 והחומש כזה. הנה אין הבדל בשנכה הב' עם הג' והעולה עם הד' 2 3 4 5 והעולה עם הה' שהם ק"כ וניחס אליהם הקנ"ד שהם העולה מקבוץ העולה מהכאת הא' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' שהם ס' עם העולה מהכאת הא' בב' והעולה עם הד' והעולה עם הה' שהם מ' ועם העולה מהכאת הא' בג' והעולה עם הב' והעולה הה' שהם שלשי' ועם העולה מהכאת הא' בד' והעולה עם הג' והעולה עם הב' שהם כ"ד. או בשנכה הב' עם הג' ויעלו ו' וניחס אליהם הה' שהם העולה מהכאת הא' בג' והא' בב' והנה הם ששיים ונשמרם. ואחר נכה הד' עם הה' ויעלו כ' וניחס אליהם הט' שהם העולה מהכאת הא' בה' והא' בד' והנה הם ט' עשרימיים ונשמרם. ואחר נקבץ הה' ששיים עם הט' עשרימיים בשנכה הו' עם הה' ויעלו ק"כ וניחס אליהם הקנ"ד שהם העולה מהכאת הה' בב' והט' בו' אחר מבמין הראשון נמצא האיכות בשנכה הב' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה'. ובמין השני נמצא האיכות בשנכה הו' עם הכ' שהם העולה מהכאת הב' הג' והעולה מהכאת הד' בה' וכבר קדם שאין הבדל בין שני המינים האלה כלל. וכן הכמות נמצא עם המין הראשון בשנכה הא' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' ונשמרהו. גם נכה הא' עם הב' והעולה עם הד' והעולה עם הה' ונשמרהו. גם נכה הא' עם הג' והעולה עם הב' והעולה עם הה' ונשמרהו. גם נכה הא' עם הד' והעולה עם הג' והעלוה עם הב' ונשמרהו. ואחר נקבץ כל השמורים ובמין השני נמצא הכמות בשנכה הה' עם הב' והעולה נשמרהו . גם נכה הט' עם הו' והעולה נשמרהו. ונקבץ שני השמורים אשר הה' והט' הם העולה מהכאת הא' בב' והא' בג' והעולה מהכאת בד' והא' בה'. וכבר קדם שאין הבדל בין שני המיני' כלל אחר שההכאות ההוות במין האחד הם הם בעצמם ההכאות שבמין האחר ושאין הבדל ביניהם כלל רק שבמין האחד יעשה כל ההכאות ביחד ובמין השני יעשה חצי ההכאות ראשונה ונקח העולה מהם ונכם שנית. וזה שבמין השני הוכו הכ' עם הה' שהם קבוץ העולים מהכאת שני איכויות החצי והשליש עם כמויותיהם על דרך אלכסון. ובמין הראשון הוכו הה' עם הד' ועלו כ' והכ' עם הג' שהוא העולה מהכאת איכות השליש עם כמות החצי גם הוכו הה' עם הד' ועלו כ' והכ' עם הב' שהוא העולה מהכאת איכות החצי עם כמות השליש אם כן כבר ראית בעיניך שהכאת הה' עם הכ' שבמין השני הם בעצמם הכ' עם הג' ועם הב' שבמין הראשון. וכן במין השני הוכו הו' עם הט' שהם קבוץ העולים מהכאת שני איכויות הרביע והחומש עם כמויותיהם על דרך אלכסון. ובמין הראשון הוכו הב' עם הג' ועלו ו' והו' עם הד' שהוא העולה מהכאת איכות הרביע עם כמות החומש . גם הוכו הב' עם הג' ועלו ו' והו' עם הה' שהוא העולה מהכאת איכות החומש עם כמות

הרביע. וכבר הארכתי בביאורו במין ההכאה אין צורך לכפול המאמרים.

ואולם סבת הדרך השני והוא קבוץ שני שברים בלבד והעולה עם השלישי והעולה

עם הד' וכן תמיד הנה אין צורך לזכרה כי כבר התבארה עם הדרך הקודם.
ואולם י א

 

37ב
שער שני פרק שני

ואולם סבת הדרך השלישי והוא דרך החסור בלקיחת חסרון השבר האחד עם תשלום השלם האחד ושיחסר ממנו השבר האחר הנקבץ עמו אם היה החסרון גדול ממנו כ"ו הנה סבתו גם כן מבוארת בעצמה וזה שהוא מהמבואר בעצמו שהעולה מקבוץ השבר הראשון עם מה שיחסר ממנו עד תשלום השלם האח' הוא שלם אחד בהכרח ושקבוצו עם השבר השני אם היה השבר השני שזה למה שיחסר משלמות הראשון עד ואחד הנה הוא גם כן שלם אחד . ואם היה פחות ממנו הנה יהיה קבוצו עמו פחות מהשלם האחד כמו העודף אשר בין השבר השני ובין מה שיחסר מהשבר הראשון עד תשלום האחד . ואם היה יתר ממנו הנה יהיה קבוצו עמו יותר מהשלם האחד כמו העודף אשר בין השבר השני ובין מה שיחסר מהשבר הראשון עד תשלום האחד ולכן יחויב מזה בהכרח לחקור העודף שבין השבר השני ובין מה שיחסר מהשבר הראשון עד תשלום האחד. ואם היה השבר השני פחות ממנו נגרע העודף מהשלם ואם היה יתר ממנו נוסיפהו על השלם והעולה אחרי התוספת או הגרעון הוא ההווה מקבוץ השבר הראשון והשני בהכרח. וכן תעשה תמיד אם תרצה לקבץ יותר משני שברים ר"ל כשתעשה הדרך הזאת בעינה בקבוץ העולה משני השברים

עם השבר השלישי.

ואולם אם רצית להשתמש בקבוץ השבר השלישי עם השנים הקודמים בדרך השני ר"ל

בשתקח היוצא ותחסרהו מהשלישי אם היה קטן ממנו כ"ו. הנה גם זה

נכון וסבתו ידועה וזה שאם היה היוצא מאשר יחסר מהשלם והיה השבר השלישי הנקבץ עם השנים הקודמים יותר גדול מהיוצא. הנה יחויב מזה בהכרח שיהיה העודף אשר בין השלישי והיוצא כאשר נוסיפהו על השלם האחד שיהיה הוא סך הג' שברים הנקבצים וזה כי אחר שהיוצא הוא מאשר יחסר מהשלם והנשאר הוא סך השני שברים הקודמים. הנה אם כן היוצא עם קבוץ שני השברים הוא אחד שלם והשבר השלישי גדול מהיוצא הנה יהיה השבר השלישי עם קבוץ שני השברים גדול מאחד שלם ויהיה יתרונו על השלם כמו העודף אשר בין השבר השלישי והיוצא ולכן כאשר יחוסר היוצא מהשבר השלישי ויצא לנו העודף אשר ביניהם ויחובר העודף עם האחד השלם יהיה הוא הסך העולה מקבוץ השבר השלישי עם קבוץ שני השברים הקודמים. ואולם אם היה היוצא הנזכר גדול מהשבר השלישי הנה אחר שהיוצא עם קבוץ שני השברים הוא אחד שלם והשבר השלישי קטן מהיוצא הנה יהיה השבר השלישי עם קבוץ שני השברים קטן מאחד שלם. ויהיה פחיתותו מהשלם כמו העודף אשר בין היוצא והשבר השלישי. ולכן כאשר יחוסר השבר השלישי מהיוצא ויצא העודף אשר ביניהם ונחסרהו מהשלם יהיה הנשאר הסך העולה מקבוץ השבר השלישי עם השנים

הקודמים.

ואולם כאשר היה היוצא מאשר נוסיפהו על השלם האחד הנה אחר שקבוץ ב' שברים

הוא שלם אחד והיוצא ואם כן מה שיחסר מקבוץ השני שברים עד תשלום הב'

שלמים הוא מה שיחסר מהיוצא עד תשלום האחד אם כן יחויב מזה בהכרח שיהיה הקבוץ החסר מהיוצא עד תשלום האחד עם קבוץ השני שברים הם שנים שלמים. ולכן אם היה השבר השלישי גדול מהחסר מהיוצא עד תשלום האחד יהיה קבוץ השבר השלישי עם קבוץ השני שברים גדול מב' שלמים ויהיה יתרונו על השנים השלמי' כמו העודף אשר בין השבר השלישי והחסר משלמות היוצא עד תשלום האחד. ולכן כאשר יחוסר החסר משלמות היוצא מהשבר השלישי ויצא לנו העודף עם השנים השלמים יצא לך הסך העולה מקבוץ השלשה שברים. ואולם אם היה החסר משלמות היוצא עד האחד גדול מהשבר השלישי יהיה קבוץ השבר השלישי עם קבוץ השני שברים פחות משנים שלמים ויהיה פחיתותו מהב' שלמים

כמו

 

38א
שער השני פרק שני

כמו העודף אשר בין השבר השלישי והחסר משלמות היוצא עד האחד ולכן כאשר יחוסר השבר השלישי מהחסר משלמו' היוצא עד האחד ויצא לנו העודף אשר ביניהם ונחסרהו מהב'

שלמים יהיה הנשאר הסך העולה מקבוץ הג' שברים וזהו מה שכווננו ביאורו:

ואולם סבת הדרך הרביעית והוא התיחסות כל השברים שמהחצי עד העשירי חוץ

מהשביעי אל מספר הש"ס ועם השביעי אל מספר השני אלפים תק"כ וזה

בשנחלק הש"ס או השני אלפים תק"כ אל כל אחד מאיכויות השברים המונחים כ"ו הנה סבתו גם כן ידועה והוא שהוא מהידוע בעצמו שכאשר נקח ממספר מה איזה מספר היה חלקים מה איזה חלקים שיהיו ונקבצם כמנהג השלמים שהעולה מהם כאשר ניחסהו אל המספר ההוה הנה ההווה מהיחס ההוא הוא העולה מקבוץ כל אותם החלקים הלקוחים. המשל בזה כאשר לקחנו ממספר כ"ד חציו ושלישיתו ורביעיתו וששיתו ושמיניתו וחלק אחד מי"ב וזה בשנחלק הכ"ד אל הב' שהוא איכות החצי ויצאו י"ב וידענו שחציו י"ב ונשמרם. גם נחלקהו אל הג' שהוא איכות השליש ויצאו ח' והם שלישיתו ונשמרם. גם נחלקהו אל הד' שהוא איכות הרביע ויצאו ו' והם רביעיתו ונשמרם. גם נחלקם אל הו' שהם איכות הששית ויצאו ד' והם ששיתו ונשמרם. גם נחלקם אל הח' שהם איכות השמינית ויצאו ג' והם שמיניתו ונשמרם. גם נחלקם אל הי"ב שהוא איכות החלק מי"ב ויצאו ב' והם חלק אחד מי"ב. אחר זה נקבץ הכל והם ל"ב וניחסם אל הכ"ד והם שלם אחד וי"א חלקים מכ"ד. וככה קבוץ החצי עם השליש והרביע והששית והשמינית והחלק מי"ב. וכאשר היה זה כן הוא מהמבואר בעצמו גם כן שאין הבדל בזה בשנקח השברים מהכ"ד או מהמ"ח או מאיזה מספר שיהיה לבד שיהיו החלקים ההם נמצאים בו כי על דרך משל אם רצית לקחת אלה החלקים מהמ"ח הנה כאשר יקובצו יעלו שבעים וכשייוחסו אל המ"ח הם שלם אחד וכ"ב חלקים ממ"ח אשר קטון יחסם הוא אחד שלם וי"א חלקים מכ"ד והנה זהו היוצא בעצמו מחלקי הכ"ד. וכאשר היה זה כן הנה בקשנו המספר היותר קטן שימצאו בו החלקים שמהחצי עד העשירי חוץ מהשביעי והם ש"ס ולקחנו החלקים הנזכרים ממנו ולא נצטרך לקחת אותם מהמספר הגדול היוצא מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל

האיכויות אשר ימצאו בו גם כן אלה החלקים וזהו מה שכווננו ביאור.

ואולם סבת הדרך בידיעת קטון המספר אשר ימצאו בו השברים המונחים הלא היא מבוארת בספר היסודות לאקלידס במאמר הח' ממנו אין צורך לכתבה שנית. ואולם סבת מאזני זה המין בחסרון השבר האחד מהשברים המונחים והנשאר אם

היו השברים שנים יהיה הוא השבר הנשאר ואם היו יותר משנים יהיה הוא

העולה מקבוץ השברים הנשארי' הנה היא מבוארת בעצמה אין צורך לביאור כלל. ואולם סבת המאזנים השנים שהם על דרך הקבוץ הנה היא מבוארת ממה שקדם בדרך השלישי אשר בזה המין והוא שהוא מן המבואר בעצמו שקבוץ החסר משלמות איזה שבר שנרצה מהנקבצים עד תשלום האחד עם אותו השבר בעצמו הוא אחד. ולכן יחויב שיהיה העולה מהקבוץ החסר משלמו' השבר עד האחד עם שני השברי' הנקבצים יחד שהוא המקובץ משניהם שוה לאחד עם השבר האחר הנקבץ עם השבר אשר לקחנו החסר משלמותו עם האחר. ולכן כאשר נשליך מהם אחד ישאר בהכרח השבר האחר. וכן אם היו השברים הנקבצים יותר משנים יחויב מזה הצד בעינו שיהיה העולה מקבוץ החסר משלמות השבר האחד עם המקובץ שוה לאחר עם קבוץ השברים הנשארים וכאשר נשליך מהם האחד יחויב בהכרח שיהיה הנשאר שוה לקבוץ השברים הנשארים וזהו מה שכווננו ביאורו. הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת זה המין עם מאזניו ואותותיו מחובר

בראיותיהם י ב

 

38ב
שער השני פרק שלישי

בראיותיהם ומופתיהם . ומהנה נתחיל בביאור דרך החסור בעזרת האל הפרק השלישי במין החסור החסור הוא הודעת מין השבר הנשאר אחר חסרון שבר השלם משבר השלם גדול

ממנו . ואמרי שבר השלם משבר השלם הוא ההבדל אשר בו יובדל זה

המין ממין ההכאה . וזה שמין הכאת השברים גם כן הוא חסרון דבר מדבר כי כבר התבאר שם שאמרנו נכה שבר בשבר ירצה נקח שבר השבר אלא שבמין ההכאה יהיה חסרון שבר השבר משבר האחד לא שבר האחד משבר האחד וזה כי אמרך רביע פעמים שליש הוא כמו אמרך רביע השליש . והנה הרביע הוא רביע השליש שהוא שבר לא רביע השלם האחד והשליש הוא שליש האחד השלם . ואולם בזה המין אמרך חסר רביע מהשליש הוא אמרך חסר רביע השלם משליש השלם והנה הוא חסרון שבר משבר השלם. ולכן בחסור כשיחוסר הרביע מהשליש ישאר אחד מי"ב ובהכאה כשילוקח הרביע מהשליש ישארו ג' חלקים מי"ב כי השליש שהוא שבר האחד כאשר תחסר ממנו רביעיתו שהוא א' מי"ב ישארו ג' רביעיותיו שהם ג' חלקים מי"ב וזהו ההבדל אשר בזה המין למין ההכאה. ולכן היה גדר ההכאה התכת שבר השבר לשבר. והיה גדר החסור הודעת השבר הנשאר מחסרון שבר השלם משבר השלם. גם כי יובדל זה המין ממין ההכאה כאשר זה המין יבוקש בו הנשאר מחסרון השבר מהשבר ובמין ההכאה יבוקש בו הנלקח ממנו והוא החסרון לא הנשאר. ומהנה כבר הותר הספק אשר ספקו בו קצת מהקדמונים ואמרו אחר שעם ההכאה נדע לקחת איזה שבר שיהיה מאיזה שבר שיהיה הנה כבר תוכל לדעת הנשאר ומה צורך למין החסור. ואמנם אנחנו כבר התרנו זה בשאמרנו שמין החסור יודיע לנו הנשאר מחסרון שבר השלם משבר השלם ומין ההכאה יודע לנו הנשאר מחסרון שבר השבר משבר השלם. ומעתה אתחיל בביאור הודעת זה המין ואומר שזה המין גם כן אין ספק שיהיו בו

הי"ב מיני השברים הפשוטים והע"ח מינים המתחדשים מהרכבתם אלא

שירבו המינים המורכבי' בזה המין למה שהיו כל מין מהם כאשר היה מהמתחלפי' הפשוטים נחלק לשנים ולא כן במיני ההכאה והקבוץ כי במין ההכאה והקבוץ אין הבדל בין הכאת השבר עם השברים ובין הכאת השברים עם השבר וכן בקבוץ כי היוצא מהם אחד. ואולם במין החסור יש הבדל בין שנחסר השברים מהשברים ובין שנחסר השבר מהשבר. ולכן יחויב שיהיו מיני המורכבים קל"ב והדרך אל ידיעתם אמנם הוא עם ידיעת ההתכה ר"ל עם הידיעה בהתכת המינים הקל"ב אל הד' מינים מהם שהם שבר משבר ושברים משברים ושבר משברים ושברים משבר. וכבר הזכרנו זה אין צורך להשנות בביאורו. ואמנם הנשאר עלינו הנה הוא הודעת הדרך באלה הד' מינים הנזכרים. ואומר שהדרך בידיעת הד' מינים האלו אשר הם במדרגת השרשים והיסודות לכל המינים הנשארי'. אמנם הוא בשנסדר השברים אשר תרצה לחסר זה מזה זה בצד זה ונכה האיכות עם האיכות והעולה נשמרהו. אח"ז נכה איכות השבר הא' עם כמות הב' והעולה נשמרהו והוא השמור הב' גם נכה איכות הב' עם כמות הא' והעולה נחסרהו מהשמור השני אם היה השמור השני גדול ממנו או נחסר השמור הב' מזה אם היה קטן ממנו והנשאר ניחסהו אל השמור הראשון וההווה הוא הנשאר מחסרון השבר האחד מהשבר האחר. ונצייר לזה ד' משלים לאלה המינים הד' והם אלו. משל המין הראשון הכינו הג' עם הב' ועלו ו' ושמרנום. אחר זה הכינו הא' עם הב' ועלו ב'

גם

 

39א
השער השני פרק שלישי

1 1 | 2 3 | 1 3 | 2 1 גם הכינו הא' עם הג' ועלו 3 2 | 7 4 | 3 4 | 7 2 ג' חסרנו הב' מהג' ונשאר

1 | 13 | 5 | 3 א' יחסנוהו אל הו' השמורים
6 | 28 | 12 | 14 והם ששית אחד . וככה הוא
הנשאר מחסור השליש מ
מהחצי . ובמין השני הכינו

הז' עם הד' ועלו כ"ח ושמרנום . אחר זה הכינו הב' עם הד' ועלו ח' . גם הכינו הג' עם הז' ועלו כ"א . חסרנו הח' מהכ"א ונשארו י"ג יחסנום אל הכ"ח השמורים והם י"ג חלקים מכ"ח . וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהג' רביעיות : ובמין הג' הכינו הג' עם הד' ועלו י"ב ושמרנום אחר זה הכינו הא' עם הד' והם ד'. גם הכינו הג' עם הג' ועלו ט'. חסרנו מהם ד' ונשארו ה' יחסנום אל הי"ב השמורי' והם ה' חלקים מי"ב. וככה הוא הנשאר מחסור השליש מהג' רביעיות ובמין הרביעי הכינו הז' עם הב' ועלו י"ד ושמרנום. אחר זה הכינו הב' עם הב' ועלו ד' גם הכינו הז' עם הא' ועלו ז' חסרנו מהם ז' ונשארו ג' יחסנום אל הי"ד השמורים והם ג' חלקים מי"ד

וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהחצי.

עוד מצאתי דרך אחרת בידיעת זה המין והוא על דרך הקבוץ. והוא שתקבץ

החסר מהשבר הגדול עד תשלום הא' עם השבר האחר והחסר מהמקובץ עד

האחד הוא הנשאר מחסרון השבר מהשבר או קבץ החסר מהשבר הקטן עד תשלום האחד עם השבר הגדול והעולה השלך ממנו אחד. והנשאר הוא המבוקש. המשל בזה הנה במין הראשון מהד' מינים הנזכרים נקבץ החצי עם השליש והוא ה' ששיות ונקח מזה החסר משלמותו עד הא' והוא ששית. וככה הוא הנשאר מחסור השליש מהחצי. ולפי הדרך השני 1 1 | 2 3 | 1 3 | 2 1 נקבץ הב' שלישיות עם 3 2 | 7 4 | 3 4 | 7 2 החצי והעולה מקבוצם הוא

שלם א' וששית. השלך מהם
1 | 13 | 5 | 3 האחד השלם והנשאר הוא
6 | 28 | 21 | 14 ששית א'. וככה הוא הנשאר

מחסור השליש מהחצי. ומשל המין השני הנה לפי הדרך הראשון נקבץ הרביע עם הב' שביעיות ויעלו ט"ו חלקים מכ"ח והחסר משלמות הא' הוא י"ג חלקים מכ"ח. וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהג' רביעיות. ולפי הדרך השני נקבץ הה' שביעיות עם הג' רביעיות והעולה מקבוצם הוא אחד שלם וי"ג חלקים מכ"ח השלך מהם הא' השלם והנשאר הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהג' רביעיות. ומשל המין השלישי הנה לפני הדרך הראשון נקבץ הרביע עם השליש והעולה מקבוצם הוא ז' חלקים מי"ב והחסר משלמות הא' הוא ה' חלקי' מי"ב וזהו הנשאר מחסור השליש מהג' רביעיות ולפי הדרך השני הנה נקבץ הב' שלישיות עם הג' רביעיות והעולה מקבוצם הוא אחד שלם וה' חלקים מי"ב. השלך מהם הא' השלם והנשאר הוא ה' חלקים מי"ב. וככה הוא הנשאר מחסור השליש מהג' רביעיות. ומשל המין הרביעי הנה לפי הדרך הראשון נקבץ החצי עם הב' שביעיות והעולה מקבוצם הוא י"א חלקים מי"ד והחסר משלמות הא' הוא ג' חלקים מי"ד וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהחצי. ולפי הדרך השני נקבץ הה' שביעיות עם החצי. והעולה מקבוצם הוא שלם א' וג' חלקים מי"ד. נשליך מהם השלם האחד. וישארו ג' חלקים מי"ד. וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהחצי. אלה הם הדרכים אשר

תוכל

 

39ב
השער השני פרק שלישי

תוכל להשתמש בהם בידיעת זה המין : ואולם אם רצית לחסר שברים רבים משברים רבים מבלתי שתצטרך לקבץ תחלה

ואח"כ לחסרם הנה תוכל להשתמש בזה בשתכה האיכות עם האיכות והעולה

עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות ותשמרהו . ויקרא השמור הראשון . אחר זה הכה כמות השבר הנחסר עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות על הדרך חוץ מאיכותו . גם נכה כמות השבר האחד הנחסר עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות חוץ מאיכותו . וכן כסדר הזה לכל השברים הנחסרים והעולה שמרהו ויקרא השמור השני . אחר זה התנהג עם הדרך הזאת בעצמה עם כל השברים האחרים אשר יחוסרו השברים מהם והעולה שמרהו. וחסר מזה השמור השני והנשאר תיחסהו אל השמור הראשון והוא המבוקש. המשל בזה אם רצית לחסר חצי ושליש וג' רביעיות מד' חמישיות וה' ששיות ושביעית. הנה יסודרו על זה הסדר ונכה הב' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והם ה' אלפים ומ"ה ונשמרם. ויקרא שמור הראשון. 1 1 3 | 4 5 1 אחר זה נכה הא' עם הג' והעולה עם הד'. והעולה 2 3 4 | 5 6 7 עם הה' והעולה עם הז' והם אלפים תק"ך. גם

נכה הא' עם הב' והעולה עם הד' והעולה עם הה'
והעולה עם הו' והעולה עם הז' והם אלף תר"ף.

גם נכה הג' עם הב' והעולה עם הג' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והם ג' אלף י' תש"ף. קבצם והם ז' תתק"ף נשמרם והם השמור השני. אחר זה נכה הד' עם הב' והעולה עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והם ד' אלפים ל"ב. גם נכה הה' עם הב' והעולה עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הז' והם ד' אלפים ומאתים. גם נכה הא' עם הב' והעולה עם הג' והעולה עם הד' והעולה הה' והעולה עם הו' והם תש"ך. קבצם והם ח' אלפים תתקנ"ב. וחסר מהם הז' אלפים תתק"ף ישארו תתקע"ב. ניחסם אל השמור הראשון שהם ה' אלפים מ' והיוצא הוא הנשאר מחסרון החצי והשליש וג' רביעיות

מהד' חמישיות וה' ששיות ושביעית.

ואולם אם רצית לדעת העולה מכל הנשארים מחסרונות שברים רבים משברים רבי'

מבלתי שתצטרך לחסרם תחלה ואח"כ לקבצם כמו שתרצה לחסר החצי מב'

שלישיות והג' רביעיות מד' חמישיות הנה יסודרו כזה ונכה האיכות עם האיכות והעולה עם 1 2 | 3 4 האיכות ויעלו ק"כ ונשמרם וזהו השמור הראשון. אחר זה 2 3 | 4 5 נכה כמות השבר הנחסר מהחסו' הראשון שהוא החצי מהשליש עם האיכות והעולה עם האיכות חוץ מאיכותו והם ס'. גם נכה כמות השבר הנחסר מהחסור השני עם האיכות והעולה עם האיכות חוץ מאיכותו והם צ' קבצם עם ס' והק"נ וזהו השמור השני. אחר זה נכה כמות השבר הגדול אשר יחוסר הקטן מהמין הראשון עם האיכות והעולה עם האיכו' חוץ מאיכותו והם פ'. גם נכה כמות השבר הגדול אשר יחוסר הקטן ממנו מהמין השני באיכות והעולה עם האיכות חוץ מאיכותו והם צ"ו. נחברם והם קע"ו. נחסר מהם הק"נ וישארו הכ"ו. וניחסם

אל הק"כ השמור הראשון וזהו המבוקש.

ואולם אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מהכאת שברי' אחדים מבלתי שתצטרך

לדעת העולה מהכאת השברי' ההם כמו על דרך משל אם רצית לדעת הנשאר

מחסור העולה מהכאת החצי עם הב' שלישיות מהעולה מהכאת הג' רביעיות עם הד' חמישיו' מבלתי שתצטר' להכות החצי עם הב' שלישיות והג' רביעיות עם הד' חמישיות. הנה יסודרו

כזה

 

40א
שער השני פרק שלישי

בזה הדרך ונכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות והם ק"כ ונשמרם ויקרא שמור הראשון . אחר זה נכה השברים הנחסרים הכמות עם הכמות והעולה עם כל האיכויות השברים הגדולים אשר יחוסרו הקטנים מהם והם מ' ונשמרם והם השמור 1 2 | 3 4 השני . אחר זה נכה השברים הגדולים אשר יחוסרו 2 3 | 4 5 מהם הקטנים הכמות עם הכמות והעולה עם כל איכויות

השברים הקטנים הנחסרים והם ע"ב נחסר מאלו המ' שהם
השמור השני וישארו ל"ב . ניחסם אל השמור הראשון שהם

ק"כ . וככה הוא הנשאר מחסור העולה מהכאת החצי עם הב' שלישיות מהעולה מהכאת הג'

רביעיות עם הד' חמישיות:

ואולם אם רצית לדעת העולה מהכאת הנשאר מחסור שברים מה משברים מה עם

הנשאר מחסור שברים מה משברים מה מבלתי שתצטרך לדעת הנשארים

מהחסורים ההם כלל כמו עד"מ אם רצית לדעת העולה מהכאת הנשאר מחסור החצי מהב' שלישיות עם הנשאר מחסור הג' רביעיות מהד' חמישיות מבלתי שתצטרך לחסר החצי מהב' שלישיות והג' רביעיות מהד' חמישיות. הנה יסודרו על זה הדרך. ונכה האיכות עם האיכות 1 2 | 2 4 והעולה עם האיכות עד שיכלו הכל והם ק"כ ונשמרם ויקרא 2 3 | 4 5 השמור הראשון. אחר זה נחסר העולה מהכאת אלכסון א"ג

מהכאת אלכסון ב"ב והנשאר נשמרהו. גם נחסר העולה

מהכאת אלכסון ג"ה מהעולה אלכסון ד"ד והנשאר נשמרהו. אחר זה נכה הנשאר עם הנשאר וההווה ניחסהו אל השמור הראשון וההווה הוא העולה מהכאת הנשאר מחסור החצי מהב' שלישיות עם הנשאר מחסור הג' רביעיות מד' חמישיות. ואולם אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מקבוץ העולי' מהכאות שברים מהעולה מקבוץ העולים מהכאת שברי' מה מבלתי שתצטרך להכות ואחר זה לקבץ ואחר זה לחסר אבל יצאו לו שלשתם בדרך אחת כמו עד"מ אם רצית להכות חצי עם ב' שלישיות וג' רביעיות עם ד' חמישיות וג' שביעיות עם ד' חמישיות וב' שלישיות עם ג' רביעיות ואחר זה לקבץ העולה מהכאת החצי עם הב' שלישיות עם העולה מהכאת ג' רביעיות עם הד' חמישיות והעולה מהכאת הג' שביעיות עם הד' חמישיות עם העולה מהכאת הב' שלישיות עם הרביע ואחר זה לחסר ההווה מהקבוץ מההווה מהקבוץ לדעת הנשאר הנה יסודרו על זה הסדר. ונכה האיכות 1 2 | 3 4 | 3 4 | 2 1 עם האיכות והעולה עם 2 3 | 4 5 | 7 5 | 3 4 האיכות עד שיכלו כל

האיכויות והם נ' אלף ת'

נשמרהו ויקרא השמור הראשון. אחר זה נכה כמות השני שברי' הראשוני' זה עם זה והעולה עם כל האיכויות על הסדר הזה חוץ מאיכויותיהם והם י"ו אלף ת"ת גם נכה כמות השני שברים השניים והעולה עם כל האיכויות על הסדר חוץ מאיכויותיהם והם ל' אלף ור"מ ונקבצם עם הי"ו אלף ת"ת והם מ"ז אלף ומ' ונשמרם ויקרא השמור השני. אחר זה נכה השני שברים השלישיים זה עם זה והעולה עם כל האיכויות חוץ מאיכויותיהם והם י"ז אלף ר"פ. גם נכה כמות השני שברים הרביעיים זה עם זה והעולה עם כל האיכויות חוץ מאיכויותיהם והם ח' אלפים ת' ונקבצם עם הי"ז אלף ר"פ והם כ"ה אלף תר"ף נחסרם מהשמור השני וישארו כ"א אלף ש"ס ניחסם אל השמור הראשון וההווה הוא המבוקש. הנה כבר כתבתי לך הרכבת כל שני מינים ממיני המספר. ואולם מהרכבת הג' מינים לא הוצרכתי לכתוב רק זאת ההרכבה הכלל כל ההרכבות בעלות הג' מינים למה שהיה זה המין מן ההרכבה בלתי נמשך בשאלות

הדרושים

 

40ב
השער השני פרק שלישי

הדרושים . ואולם הוצרכתי להראות הדרך לבד לאחת מהן וממנה תלקח הדרך לשאר המיני' ולא נטריח המעיין בזכירתם . ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא שתקבץ הנשאר מחסור השבר מהשבר עם השבר הקטן ואם ישוה לגדול דע שצדקת . ואם לאו כזבת: המשל בזה חסרנו הב' שלישיות מהז' שמיניות ונשארו ה' חלקים מכ"ד . הנה המאזנים לזה הוא שנקבץ הה' חלקים מכ"ד עם הב' שלישיות ויעלו ס"ג חלקים מע"ב והוא ז' שמיניות שהוא השבר הגדול כי קטן יחס הס"ג חלקים מע"ב הוא ז' שמיניות . עוד מצאתי מאזנים אחרים והוא שתקבץ הנשאר מחסור השבר מהשבר עם השבר הגדול והעולה מקבוצם חסר ממנו השבר הקטן והנשאר ממנו אם היה כפל הנשאר מהחסור צדקת ואם לאו כזבת. המשל בזה חסרנו הב' שלישיות מהז' שמיניות ונשארו ה' חלקים מכ"ד קבצנום עם הז' שמיניות ועלה ר"ח חלקים מקצ"ב חסרנו מהם הב' שלישיות ונשארו ר"מ חלקים מתקע"ו והוא י' חלקים מכ"ד והנה הוא כפל המותר מהחסור כי המותר מהחסור הוא ה' חלקים מכ"ד וזה הוא י' חלקים מכ"ד כי קטן יחס הר"מ חלקי' מתקע"ו הוא י' חלקים מכ"ד. עוד מצאתי מאזנים אחרים עם החסור והוא שתחסר הנשאר מהשבר הגדול והנשאר אם הוא שבר הקטן דע שצדקת ואם לאו דע שכזבת. המשל בזה שהנשאר מחסור הב' שלישיות מהז' שמיניות הוא ה' חלקים מכ"ד נחסרם מהז' שמיניות נשארו

קכ"ח חלקים מקצ"ב וקטון זה היחס הוא ב' שלישיות שהוא השבר הקטן.

ואולם סבת מציאות זה המין בשנכה האיכות עם האיכות והעולה נשמרהו. ואחר

זה נכה איכות האחד עם כמות האחר ונחסרהו מהעולה מהכאת כמות האחד

עם איכות האחר והנשאר ניחסהו אל השמור. הנה כבר התבארה ממה שקדם וזה שכבר קדם שכאשר יוכה כמות השבר ואיכותו עם מספר מה איזה מספר היה וניחס העולה מהכאת הכמות עם המספר ההוא אל העולה מהכאת האיכות עם המספר ההוא הנה ההווה הוא השבר הראשון בעינו. וכאשר היה זה כן הנה יחוייב מזה בהכרח שישובו השברים המתחלפים האיכות שוי האיכות אחר שהיה המספר אשר יתייחסו אליו העולים מהכאת כמותם עם המספר המונח אחד. כמו עד"מ אם הכינו הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות וכמות הג' רביעיות עם איכות הב' שלישיות על דרך אלכסון. והכינו גם האיכות עם האיכות כזה 2 3 שאז יחייב בהכרח שישובו הב' שלישיות לח' יביי"ם והג' רביעיות לט' 3 4 יביי"ם והנה שבו להיות בעלי איכות אחר שהוכו הב' והג' שבתחתיו עם הד' שהוא מספר מה והוכו גם הג' והד' שבתחתיו עם הג' שהוא מספר מה מפני שהעולה מהכאת הב' עם הד' כאשר ייוחס אל העולה מהכאת הג' עם הד' הנה אין ספק לפי מה שקדם שיהיה יחסו אליו יחס הב' אל הג' וכן העולה מהכאת הג' עם הג' כאשר ייוחסו אל העולה מהכאת הד' עם הג' יהיה יחסו אליו יחס הג' אל הד'. וכאשר היה זה כן והנה העולה מהכאת הג' עם הד' הוא העולה מהכאת הד' עם הג' הנה יחויב מזה בהכרח שיהיה מתיחס העולה מהכאת הב' עם הד' והעולה מהכאת הג' עם הג' אל מספר אחד בעינו והוא העולה מהכאת הד' עם הג' ויהיה יחס העולה מהכאת הב' עם הד' יחס הב' אל הג' ויחס העולה מהכאת הג' עם הג' אליו יחס הג' אל הד' אשר הם השברים המונחים בעצמם רק שיחסם אל מספר אחד בעינו והוא העולה מהכאת הג' עם הד' ולכן ישובו השברים המתחלפים לשברים בעלי איכות אחת והם השברים הראשונים בעינם והוא מהמבואר בעצמו שהשברים השוי האיכות כאשר תרצה לחסר האחד מהאחר אמנם יחוסר כשנסחר הכמות מהמותר כמו עד"מ אם רצית לחסר הב' חמישיות מהד' חמישיות הנה נחסר הב' מהד' והנשאר שהוא הב' ניחסהו אל איכות שהוא הה' וההווה ב' חמישיות. וככה הוא הנשאר מחסור

הב' חמישיות

 

41א
השער השני פרק שלישי

הב' חמישיות מהד' חמישיות . הנה אם כן יחוייב לזה בהכרח שכאשר נכה שני האלכסונים שהם כמות הראשון עם איכות השני וכמות השני עם איכות הראשון ויתיחסו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות שאז ישובו להיות ב' שברים שוי האיכות והם השברי' הראשונים בעינם וכשיוחסר הכמות מהכמות שהוא ההווה מהכאת האלכסון האחד מההווה מהכאת האלכסון האחר וניחסהו אל איכותו שהוא ההווה מהכאת האיכות עם האיכות הנה יהיה

ההווה הוא הנשאר מחסור השבר מהשבר . וז"מ ש"ל :

אולם סבת הדרך השנית שהוא על דרך הקבוץ רצוני לומר בשיתקבץ החסר

משלמות השבר הגדול עד האחד עם השבר הקטן והחסר משלמות

המקובץ עד האחד הוא הנשאר מחסור השבר מהשבר . הנה היא ג"כ מבוארת וזה שהוא מהמבואר בעצמו שהנשאר מחסור שבר מה מהשלם הא' הוא החסר משלמות השבר עד הא'. משל זה אם רצית לחסר חצי מהאחד הנה הנשאר הוא החסר משלמות החצי עד האחד שהוא חצי. ואם רצית לחסר ג' רביעיות מהאחד הנה הנשאר הוא החסר משלמות הג' רביעיות עד האחד שהוא רביע וכן בכל מיני השברים. וכאשר היה זה כן הנה יחוייב לזה בהכרח שכאשר נרצה לחסר שבר משבר שנקבץ החסר משלמות השבר הגדול עד האחד עם השבר הקטן ונקח מהמקובץ מהם החסר משלמותו עד האחד וההווה הוא הנשאר מחסור השבר מהשבר וזה שכבר קדם שהנשאר מחסור השבר מהשלם הוא החסר משלמות השבר עד האחד ואם כן אלו היה השבר הגדול שלם היה הנשאר מחסור השבר הקטן ממנו הוא החסר משלמו' השבר הקטן עד האחד רק בעבור שהשבר הגדול איננו שלם הנה א"כ יחויב מזה בהכרח שהנחסר מהשלם האחר הנה איננו השבר הקטן בלבד רק השבר הקטן והחסר משלמו' השבר הגדול עד האחד. וכאשר היו הנחסרים מהשלם האחד ב' שברים הנה יחויב שנקבץ שני השברים יחד שישוב לשבר אחד ואז יהיה משפטם בחסור כמשפט השבר האחד מהשלם האחד וכמו שהיה הנשאר מחסור השבר הא' מהשלם האחד הוא החסר משלמות השבר עד האחד כן הנשאר מחסור המקובץ מב' השברים יחד מהשלם האחד הוא החסר משלמות המקובץ מב' השברים עד האחד ולזה יחויב בהכרח שנקבץ החסר משלמות השבר הגדול עד האחד עם השבר הקטן והחסר משלמות המקובץ מהם עד האחד הוא

הנשאר מחסור השבר מהשבר. וזמש"ל.

ואולם סבות דרכי מציאות המינים המורכבים משני מינים ב' מינים ממיני

המספר או משלשה שלשה מהם הנה כבר התבארו ממה שקדם במין

ההכאה בסבת מציאות דרך הרכבת מין ההכאה והקבוץ ובכלל בשמירת כל ההכאות הראויות לכל מין ומין כי כבר קדם שאין הבדל ב[הכאות] בין שיהיו נבדלות או מורכבות

אין צורך לכפלם.

ואולם סבת מאזני זה המין שעל דרך הקבוץ ר"ל בשתקבץ הנשאר מחסור

השבר מהשבר עם השבר הקטן כבר קדמה במאזני חסור השלמים
מהשלמים אין צורך לכפלם.

ואולם סבת המאזנים השניים שעל דרך הקבוץ ר"ל בשתקבץ הנשאר מחסור

השבר מהשבר עם השבר הגדול ויחוסר מהם הקטן והנשאר יהיה כפל

הנשאר מחסור השבר מהשבר הנה היא מבוארת ג"כ וזה שהוא מן המבואר בעצמו שהשבר הגדול הוא כמו השבר הקטן והנשאר מחסור השבר מהשבר יחד ולכן כאשר יקובץ הנשאר מחסור השבר מהשבר עם השבר הגדול הנה יהיה המקובץ כמו השבר הקטן וכפל הנשאר מחסור השבר מהשבר. ולכן כאשר יחוסר מהמקובץ השבר הקטן יחויב שיהיה הנשאר

כמו יא א

 

41ב
השער השני פרק הרביעי

כמו כפל הנשאר מחסור השבר מהשבר בהכרח . וזה מה שרצינו לבאר: ואולם סבת המאזנים השלישיים שעל דרך החסור ר"ל כשתחסר הנשאר מחסור

השבר מהשבר מהשבר הגדול והנשאר יהיה כמו שבר הקטן גם הוא מבואר

וזה שהוא מן המבואר בעצמו שהשבר הגדול הוא כמו השבר הקטן והנשאר מחסור השבר מהשבר ולכן כאשר יחוסר מהשבר הגדול הנשאר מחסור השבר מהשבר יחויב מזה בהכרח שיהיה הנשאר כמו השבר הקטן . וז"מ ש"ל : הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת זה המין עם מאזניו ואותותיו מחובר בראיותיהם ומופתיהם . ומהנה נתחיל

בביאור דרך החלוק בע"ה:

הפרק הרביעי במין החלוק החלוק הוא הודעת מספר חלקי שבר מה השוים לשבר מה קטן ממנו כי אמרך

חלק השליש על הרביע עד"מ הוא כאמרך לכמה חלקים שוים לרביע

יחלק השליש . ועם זה המין נוכל לדעת יחס השבר האחד אל השבר האחר אשר הוא יחס היחס האחד אל היחס האחר כי כל שבר הוא יחס מה ובידיעת יחס השבר הנה כבר יודע יחס היחס אל היחס. גם נדע עם זה המין להתיך השברים איזה שברים שיהיו להשיבם אל איזה שברים שיהיה. כי אחר שזה המין הוא המודיע כמות הפעמים אשר ימצא השבר האחד תוך השבר האחר. א"כ כאשר נחלק שברים מה איזה שברים שיהיו על שברים אחרים איזה שברים שיהיו. הנה כבר תוכל לדעת כמות הפעמים אשר יכנסו השברים ההם תוך השברים האחרים ובזה ישובו השברים המונחים לשברים אחדים כמו עד"מ אם רצית לחלק הג' רביעיות בשמינית אחד הנה יצאו ו' והם מורים בשחלקי הג' רביעיות השוים לשמינית הם ו' ובזה נודע שהג' רביעיות הם ו' שמיניות. ולהיות שבזה המין יתחלף ענין השני שברים בשיהיה הא' המחלק והאחר המחולק או ההפך כמו שקרה כזה במין החסור ר"ל שהיוצא מהחלוקה ענין אחר זולת היוצא מחלוקת ההפך. לכן יהיה מהמחויב מזה בהכרח שיהיו המינים המורכבים מהמינים הפשוטים בזה המין ג"כ קל"ב כמו שקרה במין החסור והדרך אל ידיעתם אמנם הוא עם ידיעת ההתכה ר"ל עם הידיעה בהתכת המינים הקל"ב אל הד' מינים מהם שהם השבר על השבר. והשברים על השברים. והשבר על השברים

וכבר הזכרנו זה פעמים רבות אין צורך להשנות בביאורו. ואולם הנשאר

עלינו הנה אמנם הוא הודעת הדרך באלה הד' מינים הנזכרים אשר הם במדרגת היסודות לשאר כל המינים ואומר שהדרך הכולל בהם אמנם הוא בשנסדר השברים אשר תרצה לחלקם זה על זה זה בצד זה ונכה כמות המחלק עם איכות המחולק וההווה נחלק עליו ההווה מהכאת כמות המחולק באיכות המחלק והיוצא הוא המבוקש. ונצייר לזה ארבעה 1 1 | 2 3 | 2 1 | 1 2 משלים לאלה הד' 3 4 | 3 8 | 3 4 | 2 9 מינים הנזכרי' והם

אלו. כי במין הראשון

1 1 | 17 | 2 2 | 1 2 נכה הא' בד'. והם ד' 3 | 9 | 3 | 4 ונחלקם על העולה

מהכאת הא' בג' שהם
ג' והיוצא א' ושלישית
שהוא

 

42א
השער השני פרק רביעי

שהוא מורה על שהשליש הוא רביע א' ושליש הרביע שהוא א' מי"ב או כשהשליש נחלק לחלקים שוים לרביע חלק א' ושליש והכל עולה בקנה א' . ובמין השני נכה הב' עם הח' ועלו י"ו ונחלקם על העולה מהכאת הג' בג' שהם ט' והיוצא א' וז' תשיעיות ר"ל פעם א' ג' שמיניות וז' תשיעיות הג' שמיניות ובמין הג' נכה הב' בד' והם ח' ונחלקם על העולה מהכאת הא' בג' שהם ג' והיוצא הוא ב' וב' שלישיות . ר"ל ב' רביעיות וב' שלישיות הרביע . ובמין הרביעי נכה הא' בט' והם ט' ונחלקם על העולה מהכאת הב' בב' שהם ד' והיוצא הוא ב' ורביע . ר"ל ב' פעמים ב' תשיעיות שהם ד' תשיעיות ורביע הב' תשיעיות : וכבר תוכל להשתמש בדרך אחרת יותר קצרה מזאת והוא שתכה כמות המחלק עם איכות המחולק והעולה הוא המחלק וכמות המחולק עם איכות המחלק והעולה הוא המחולק עוד הכה האיכות עם האיכות והעולה שמרהו. ועליו תחלק המותר מהחלוקה ומה שיעלה חלקהו על השבר הא' משברי המחלק והיוצא חברהו עם היוצא מהחלוק הראשון וההוה הוא המבוקש. המשל אם רצית לחלק ג' רביעיות על ב' חמשיות הכה הב' עם הד' ויעלו ח' וזהו המחלק הכה הג' עם הה' ויעלו ט"ו וזהו המחולק. עוד הכה הד' עם הה' ויעלו כ' ושמרם. אח"כ תחלק הט"ו על הח' ויצא א' שלם והם פעם א' ב' חמישיות והנותר לא תיחסנו אל הח' עד שתאמר שהם ז' שמיניות הב' חמישיות כי תצטרך תחלה להכאה עד שתשיבם לשבר אחד. ואחר זה תצטרך לחלוק עד שתדע כמה חמישיות הוא אבל ניחסהו אל הב' השמורים ויהיו ז' חלקים מכ'. אחר זה נחלקם על החומש הא' ויצא חומש א' וג' רביעיות החומש נחברם עם הב' חמישיות שיצאו לך בחלוק הראשון ויהיו הכל ג' חמישיות וג' רביעיות החומש הא' וזהו המבוקש. אלא שבזה הדרך לא תדע כמות הפעמים אשר יכנס השבר הא' אל האחר. אלה הם הדרכים אשר כתבו הראשונים בידיעת זה המין. עוד מצאתי דרך אחרת קצרה מאד והוא שתכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה הכהו עוד עם איכות המחלק והעולה חלקהו על העולה מהכאת האיכות עם האיכות ויצא לך מיד התכת השבר הא' אל השבר האחר מבלתי שתצטרך לחלוק הראשון ושני והכאה והדומה לאלה. המשל

בזה אם רצית לחלק הג' רביעיות על הב' חמישיות נכה הג' עם הה' ויעלו

3 2 ט"ו עוד יוכו הט"ו עם הה' יעלו ע"ה וזהו המחולק. אחר זה נכה הד' עם הה' 4 5 ויעלו כ' וזהו המחלק נחלק עליהם הע"ה ויצאו שלשה ושלשה רביעיות.

ולהיות שהמחלק הוא חמישיות ידענו שהג' ושלשה רביעיות שיצאו לנו
בחלוק הם ג' חמישיות וג' רביעיות החומש.

ואולם אם רצית לחלק הג' חמישיות על הב' חמישיות עד"מ אשר הם בעלי איכות

אחת אין צורך לחלוק השברים כלל רק נחלק כמות השבר האחד על

כמות השבר השני כמו חלוק השלמים והיוצא הוא המבוקש. כמו במשלנו זה נחלק הג' על הב' והם א' וחצי וככה הוא יחס הג' חמישיות אל הב' חמישיות כי יכנסו הב' חמישיות אל הג' חמשיות פעם אחת וחצי ובזה כבר תוכל לדעת עם זה הדרך הקצר ידיעת כמות הפעמים אשר

יכנס השבר הא' תוך השבר האחר עם ידיעת השבת המין הא' אל האחר. וז"מ ש"ל.

עוד מצאתי דרך אחרת יותר קצרה מכל הדרכים הראשונים והוא שתכה כמות

המחולק עם איכות המחלק והעולה חלקהו על איכות המחולק.

והיוצא הוא המבוקש. המשל בזה כאשר רצינו לחלק הג' רביעיות על הב' חמישיות הנה נכה הג' עם הה' ויעלו ט"ו ונחלקם על הד' ויצאו ג' וג' רביעיות. ולהיות שהמחלק הוא חמישיות ידענו שהג' ושלשה רביעיות שיצאו לנו בחלוק הם ג' חמישיות וג' רביעיות החומש. אלה הם הדרכים אשר בהם תוכל להשתמש בידיעת זה המין. אולם אם

רצית יא ב

 

42ב
השער השני פרק רביעי

רצית להשתמש בהרכבת השני מינים יחד הנה אם רצית לחלק עד"מ הב' שלישיות והג' רביעיות יחד על הב' שביעיות וששית מבלתי שתצטרך לקבץ תחלה ואח"כ לחלק אבל הכל 2 3 | 2 1 יצא לך מתוקן בדרך א' הנה יסודרו לך על זה 3 4 | 7 6 הדרך ונכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר

השני . והעולה עם איכות השלישי . והעולה
עם כמות הרביעי והם פ"ד . גם נכה איכות השבר

הראשון עם איכות השני והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי . והם קמ"ד נחברם עם הפ"ד והם רכ"ח ונשמרם. אחר זה נכה איכות הרביעי עם איכות השלישי והעולה עם איכות השני והעולה עם כמות הראשון והם של"ו. גם נכה איכות הרביעי עם איכות השלישי והעולה עם כמות השני. והעולה עם איכות הרביעי והם שע"ח. נחברם עם השל"ו והם תשי"ד נחלקם על הרכ"ח השמורים. והיוצא הוא ההווה מחלוק הב'

שלישיות וג' רביעיות על הב' שביעיות וששית. וז"מ ש"ל.

ואולם אם רצית לקבץ היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא

מחלוק הב' שביעיות על הששית מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ

לקבץ אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך אחת. הנה נכה כמות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם איכות השלישי. והעולה עם כמות הד' והם נ"ו ונשמרם. אחר זה נכה כמות השבר הראשון עם איכות השבר השני. והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם צ"ו גם נכה כמות השבר הרביעי עם איכות השבר השלישי והעולה עם כמות הרביעי והעולה עם איכות הראשון והם ס"ג. נחברם עם הצ"ו והם קנ"ט נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ב' ומ"ז חלקים מנ"ו וככה הוא ההווה מקבוץ היוצאים מחלוק הג' רביעיו'

על הב' שלישיות ותחלוק הב' שביעיות על הששית. וז"מ ש"ל.

ואולם אם רצית לחלק העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות על

העולה מהכאת הב' שביעיות עם הששית מבלתי שתצטרך להכות

תחלה ואח"כ לחלק אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך אחת. הנה נכה כמות השבר הראשון עם כמות השבר השני. והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם רנ"ב ונשמרם. אחר זה נכה כמות השבר הרביעי עם כמות השבר השלישי. והעולה עם איכות השני והעולה עם איכות הראשון והם כ"ד נחלק עליהם הרנ"ב והיוצא הוא ההווה מחלוק העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות על העולה מהכאת הב' שביעיות עם

הששית. וזה מה שרצינו לבאר.

ואולם אם רצית להכות היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא

מחלוק הב' שביעיות על הששית מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ

להכות. אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך אחת. הנה נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם כמות הרביעי והם נ"ו ונשמרם. אחר כן נכה איכות הראשון עם כמות השני והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם ק"ח. נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ההווה מהכאת היוצא מחלוק הג' רביעיות על

הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעיות על הששית. וז"מ ש"ל.

ואולם אם רצית לחלק הנשאר מחסור הב' שלישיות מהג' רביעיות על הנשאר

מחסור הששית מהי"ב שביעיות מבלתי שתצטרך לחסר ראשונה ואח"כ

לחלק אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך אחת. הנה נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה נחסרהו מהכאת כמות השני עם איכות הראשון והנשאר נכהו עם איכות השלישי

והעולה

 

43א
השער השני פרק רביעי

והעולה עם איכות הרביעי והם מ"ב ונשמרם . אחר זה נכה כמות הרביעי עם איכות השלישי והעולה נחסרהו מהעולה מהכאת כמות השלישי עם איכות הרביעי והנשאר נכהו עם איכות השני והעולה עם איכות הראשון והם ס' . נחלקם על המ"ב השמורים והיוצא הוא ההווה מחלוק הנשאר מחסור הב' שלישיות מהג' רביעיות על הנשאר מחסור הששית מהב'

שביעיות . וזה מה שרצינו לבאר:

ואולם אם רצית לחסר היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות מהיוצא

מחלוק הב' שביעיות על הששית מבלתי שתצטרך לחלק ראשונה ואח"כ

לחסרם אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך א' . הנה נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה עם איכות השלישי . והעולה עם כמות הרביעי והם נ"ו ונשמרם . ונקח השמור הראשון אחר זה נכה איכות הראשון עם כמות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם ס"ג ונשמרם ויקרא השמור השני. אחר זה נכה איכות הרביעי עם כמות השלישי והעולה עם איכות השני. והעולה עם כמות הראשון והם צ"ו. נחסר מהם הס"ג שהוא השמור השני והנשאר שהוא הל"ג ניחסם אל השמור הראשון שהם הנ"ו וההווה הוא ההווה מחסור היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות מהיוצא מהחלוק הב' שביעיות על הששית

וזה מה שרצינו לבאר

ואולם אם רצית להשתמש בהרכבת הג' מינים הנה כבר כתבתי לך הוראת

הדרך הזאת בא' מההרכבות בעלות הג' מינים ויספיק לך מזה להיות

המין הזאת מההרכבה בלתי נמשכת בשאלות הדרושות בזאת החכמה וכ"ש בהרכבת הד'

מינים ולזה נמנענו מלזכרם.

ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא שתכה החלק עם המחלק והעולה

אם הוא שוה למחולק דע שצדקת ואם לאו כזבת. המשל בזה

חלקנו הג' רביעיות על הב' חמישיות ויצא לנו בחלוק א' וז' שמיניות פעם ב' חמישיות הכינו הא' והז' שמיניות עם הב' חמישיות והיוצא הוא ג' רביעיות שהוא המחולק. ואופן הכאת השלמים ושברים יחד עם השברים או עם השלמים או עם שברים נשלמים יחד יתבאר בשער הבא בע"ה. עוד מצאתי מאזנים אחרים קלים וקצרים מאלו והוא שתמצא המספר המתיחס כמות המחולק אליו יחס כמות המחלק אל איכותו ואם המספר ההוא מתיחס אל איכות המחולק יחס כמות החלק אל איכותו. דע שצדקת ואם לאו כזבת. המשל בזה אם חלקנו הב' שלישיות על הב' חמישיות הנה היוצא בחלוק הוא א' וב' שלישיות שהוא ה' שלישיות. בקשנו המספר שיהיה יחס כמות המחלק אל איכותו והם ה'. בקשנו יחס הה' אל הג' שהוא איכות המחולק ומצאנו שהוא כיחס כמות החלק אל איכותו ובזה ידענו שצדקנו. או אם תרצה נבקש המספר שיהיה יחס כמות החלק אל איכותו והוא א' וחומש. בקשנו יחס הא' וחומש אל הג' שהוא איכות המחולק ומצאנו שהוא כיחס כמות המחלק אל איכותו ובזה ידענו שצדקנו. וכבר התבאר לך במה שקדם אופן מציאות

המספר אשר יתיחס אליו מספר מה איזה שיהיה אין צורך לכפול המאמרים.

ואולם סבת מציאות זה המין. בשנכה הכמות עם האיכות והאיכות עם

הכמות ונחלק העולה מההכאה האחת על העולה מההכאה השנית.

הנה היא מבוארת ג"כ ממה שקדם. וזה שכבר קדם שעם הכאת האלכסונים ר"ל האיכות עם הכמות והכמות עם האיכות ישובו השברים המונחים המתחלפי האיכות שוי האיכות. והוא מהמבואר בעצמו שהשברים השוי האיכות הנה דרך החלוק בהם אמנם הוא בשנחלק הכמות על הכמות והיוצא הוא המבוקש. משל זה אם רצית לחלק הו' שביעיות

על

 

43ב
שער שני פרק רביעי

על הב' שביעיות . נחלק הו' על הב' ויצאו ג' וככה הוא היוצא מחלוקם זה על זה כי הב' שביעיות יכנסו תוך הו' שביעיות ג' פעמים . וכאשר היה זה כן הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שנשתמש בדרך חלוק השברים המתחלפי האיכות בשנשיבם שוי האיכות זה עם הכאת האלכסונים . אחר זה נחלק הכמות על הכמות והיוצא הוא המבוקש . ואין לטעון על זה בשנחסר שאמנם ישובו השברים המתחלפי האיכות שוי האיכות כאשר יוכו האיכויות זה עם זה לפי מה שקדם . אבל לא בזה המין שיוכו האלכסונים לבד כי אין ספק שגם בזה המין יוכו האיכויות זה עם זה ואף כי לא נזכר וזה למה שלא נצטרך להשתמש בחלוף עם העולה מהכאת האיכות עם האיכות כמו בשאר המינים כי עד"מ אם רצית לחלק הג' רביעיות על הב' שלישיות הנה יוכו האלכסונים ויעלו ט' וח' והט' יורו על ט' יביי"ם והח' יורו על ח' יביי"ם אשר שם היבייו"ת יצא מהכאת האיכות עם האיכות. וכאשר שבו הג' רביעיות והב' שלישיות לט' יביי"ם ולח' יביי"ם אשר הם שוי האיכות הנה אין ספק כאשר יחלק הכמות על הכמות שיהיה היוצא מהחלוקה הוא היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות וז"מ ש"ל. ואולם סבת הדרך השנית אשר ניחס המותר מהחלוק אל העולה מהכאת

האיכות עם האיכות ויצא לך המבוקש מבלתי התכה היא מבוארת ג"כ

וזה שהמותר המתיחס אל המחלק הנה הוא שבר השבר לא כמו המותר המתיחס אל המחלק אשר בשלמים כי במשלנו זה עד"מ אשר חלקנו הג' רביעיות על הב' שלישיות ויצא מהחלוק א' ושמינית אינו ר"ל שמינית השלם רק פי' שמינית הב' שלישיות אשר הוא המחלק במשלנו. והנה הוא שבר השבר וכבר קדם במין הכאת השברים שהתכת שבר השבר אל השבר אמנם הוא בשנכה הכמות עם הכמות והעולה ניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שנכה כמות השמינית עם כמות הב' שלישיות והאיכות עם האיכות ויהיה השבר היוצא מהם ב' חלקים מכ"ד. וכאשר היה זה כן הנה המותר כאשר ייוחס אל העולה מהכאת איכות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות במשלנו יהיה השבר היוצא מהם הוא השבר הראשון בעינו ר"ל שהשבר הזה שהוא חלק א' מי"ב הוא השבר הראשון בעינו שהוא ב' חלקים מכ"ד. ואמנם יחויב זה לסבה כבר קדמה והוא שכבר קדם שהשבר כאשר יכה כמותו איכותו עם מספר מה הנה ההווה מהכאת כמותו עם המספר ההוא יהיה ההווה מהם הוא השבר הראשון בעינו. וא"כ יחויב לזה בהכרח שהשבר ההווה מהמותר כאשר ייוחס אל העולה מהכאת איכות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות שהוא חלק אחד מי"ב שישוה לשבר ההווה מהעולה מהכאת המותר עם כמות הב' שלישיות כאשר ייוחס אל העולה מהכאת העולה מהכאת איכות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות עם כמות הב' שלישיות שהוא ב' חלקים מכ"ד אחר שהוא השבר ההווה מהכאת כמות הראשון ואיכותו עם כמות הב' שלישיות שהוא הב'. וזה שאין הבדל בין שנכה איכות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות והעולה עם כמות הב' שלישיות ובין שנכה כמות הב' שלישיות עם איכות

הג' רביעיות והעולה עם איכות הב' שלישיות וזהו מה שכווננו ביאורו.

ואולם סבת הדרך השלישית בשתכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה

ניחסהו על העולה מהכאת האיכות עם האיכות והיוצא הוא המבוקש

מבלתי שתצטרך אל התכה ולא אל חלוק שני. הנה היא מבוארת גם כן אחרי נתינת סבת הדרך הרביעית. ודע שסבת הדרך הרביעית והוא שתכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה חלקהו על איכו' המחלק ויצא לך המבוקש מבלתי שתצטרך להתכה ולא אל חלוק שני. הנה היא מבוארת והוא שהקדמונים למה שראו שאחרי חלק השברים על השברים יצטרכו לדעת מספר שברי המחלק שבתוך המחולק בשיכו החלק עם המחלק

והעולה

 

44א
השער השני פרק רביעי

והעולה יחלקוהו על שבר אחד משברי המחלק והיוצא הוא המודיע מספרי שברי המחלק שבמחולק . המשל בזה אם רצית לחלק הח' תשיעיות על הב' שביעיות והנה עם החלוק הקודם בדרך הראשון יכו הח' עם הז' ויעלו נ"ו . והב' עם הט' ויעלו י"ח ויחלקו הנ"ו על הי"ח ויצאו ג' וב' חלקים מי"ח הנה לא נדע עם זה רק שהב' שביעיות יכנסו תוך הח' תשיעיות ג' פעמים וב' חלקים מי"ח חלקי הפעם . אבל לא ידעו מספר השביעית אשר בתוך הח' תשיעיות רק כשיכו הג' וב' חלקים מי"ח עם הב' שביעיות ויצאו קי"ב חלקים מקכ"ו ואחרי כן יחלקום על השביעית האחד ויצאו ו' שביעיות וכ"ח חלקים מקכ"ו חלקי השביעית . ולמה שראו הטורח הגדול הזה ושלא יספיק רק בשיחלקום אחר זה על השביעית האחד לא רצו לחלק הח' תשיעיות עד"מ על הב' שביעיות תחלה אבל חלקוהו על השביעית הא' מתחלה ולכן הכו הכמות המחולק שהוא הח' עם איכות המחלק שהם הז' כי אין הבדל בזה הפועל בין שיחלקוהו על הב' שביעיות או על השביעית וחלקו העולה מהם שהם הנ"ו במשלנו על הט' שהוא איכות המחולק ולא הכו הט' עם כמות הב' תשיעיות שיעלה י"ח מפני שהחלוק הוא על השביעית האחד במשלנו. וכן בכל שאר השברים תמיד מחלקים אותו על השבר האחד ואחרי שכמות השבר המחלק הוא אחד לא נצטרך להכות איכות המחולק עם כמות המחלק כי הכאת האיכות עם הא' הוא האיכות בעצמו. ולכן כאשר יחלקו העולה מהכאת כמות המחולק עם איכות המחלק על איכות המחולק שהם הנ"ו ויצאו ששה שביעיות ושנים תשיעיות השביעית האחת זאת היא סבת הדרך

הרביעית.

וכאשר היה זה כן הנה כבר התבארה סבת הדרך השלישית גם כן והוא

שאין הבדל בין הדרך השנית לשלישית כלל אחר שהמחולק במשלנו

בדרך הרביעית שהם הנ"ו והמחלק שהם הט' הוא המחולק והמחלק בדרך השלישית גם כן. רק שהם מוכים עם איכות המחלק רוצה לומר עם הז' וזה שבדרך יוכו הנ"ו עם הז' ויעלו שצ"ב והט' גם כן יוכו עם הז' ויעלו ששים ושלשה. ויחס השצ"ב אל הס"ג הוא כיחס הנ"ו אל הט' אחר ששניהם הוכו עם מספר אחד והוא הז' כי כבר קדם שהשבר האחד כאשר יוכה כמותו ואיכותו עם מספר מה הנה השבר ההווה מההכאה הוא השבר הראשון. וכאשר היה זה כן הנה אין הבדל בין שיכו כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה יחלקוהו על איכות המחולק. ובין שיכו כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה

יחלקהו על העולה מהכאת איכו' המחולק עם איכות המחלק וז"מ ש"ל.

ואולם סבות דרכי ההרכבות בעלות הב' מינים או הג' מינים אין צורך

לכפלם כי כבר קדמה ידיעתם.

ואולם סבת מאזני זה המין בשתכה החלק עם המחלק ויצא המחולק הנה

כבר התבארה במאזני חלוק השלמים עם השלמים.

ואולם סבת המאזנים השניים הנה כבר קדמה במין הכאת השברים עם

השברים וזה שכבר קדם במאזנים הקודמים שכאשר יוכה החלק עם

המחלק יצא המחולק בהכרח וכבר התבאר בספר היסודות שכל יחס מספר אל מספר הוא מחובר משני יחסים ר"ל הווה מהכאת שני יחסים מיחס המספר הא' מהמספרים המונחים אל מספר מה איזה מספר היה ומיחס המספר ההוא אל המספר הב' מהמספרים המונחים כמו עד"מ מספר ג"ד הנה יחס הג' אל הד' וכאשר היה זה כן הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שיהיה יחס כמות המחולק אל איכותו שהוא השבר המחולק הווה מהכאת יחס כמותו אל מספר מה עם יחס

המספר

 

44ב
השער השני פרק רביעי

המספר ההוא אל איכותו וכאשר נניח שיהיה היחס הא' מב' יחסים המוכים אשר יתהוה מהם יחס המחולק הוא יחס החלק אחר שכבר קדם שיחס המחולק הוא הוה מהכאת המחלק בחלק ולזה הוצרכנו לבקש המספר אשר יהיה יחס כמות המחולק אל איכותו מחובר מיחס כמותו אל המספר ההוא ומיחס המספר ההוא אל איכותו שיהיה מספר אשר יהיה יחס כמות המחולק אליו כיחס המחלק עד שיחויב להיות יחס המספר ההוא אל איכותו הוא יחס החלק . וכבר הארכתי בביאור זה בהכאת השברים עיין שם . הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת זה המין עם מאזניו ואותותיו מחובר בראיותיהם ומופתיהם וכבר השלמנו הדבור בשברים לבד אשר הוא החלק הב' מג' חלקי המספר: ומעתה נתחיל בהודעת הדרכים המועילים בידיעת המינים הארבעה בשלמים עם השברים יחד . אחר שהוא המין השלישי משלשה מיני המספר . ומהשם אשר עזרני עד כה אשאל העזר במה שעתיד לבא: השער השלישי ואחר שכבר דברנו בשאר מיני המספר שהם השלמים לבד . והשברים לבד

והודענו הדרכים המועילים בידיעת הד' מינים בכל אחד ואחד מהם

והיה מהמחויב עלינו להודיע הדרכים המועילים בידיעת הד' מינים אשר יהיו בשלמים ושברים יחד אחר שהוא המין הג' משלשה מינים הנה א"כ מהמחויב עלינו לדבר בהודעת זה המין גם כן: ואומר שהשברים כבר זכרנו במה שקדם שהם נחלקים לי"ב חלקים פשוטים ושהמורכבים מהם הם ע"ז והוא מהמבואר שכל אחד מהמינים המורכבים בחבורם עם השלמים יחלקו לשנים חלקים . והם אם שיהיו ב' חלקיו יחד שלמים ושברים . ואם שיהיה החלק הא' מהם שלמים ושברים והאחר שברים לבד . ואם שיהיה החלק הא' שלמים ושברים ואחר שלמים לבד . ושכל אחד מהפשוטים ג"כ יחלקו לשנים חלקים והם אם שיהיה החלק הא' שברים והאחר שלמים לבד ויתחייב מזה שיהיה מספר המינים ההווים מהם ק"פ : ולהיות שכל אלו המינים אמנם יעלו אל י' מינים ראשונים וזה שכבר קדם שכל הע"ח מינים המורכבים יותכו אל ג' מינים ראשונים . וכבר התבאר שבזה המין יחלק כל אחד מאלו המינים לד' חלקים . הנה מן המחויב הזה בהכרח שישובו הג' מינים הראשונים אשר יעלו עליהם שאר כל המינים לי"ב מינים ויפלו מהם ב' מינים להיותם משותפים עם האחרים וישארו י' מינים . הנה א"כ מהמחויב עלינו להודיע הדרך בידיעת אלו הי' מינים הראשונים לבד ובזה נגיע אל המכוון . ומעתה נתחיל בהודעת הדרך בידיעת מין

הקבוץ בעזרת האל :

הפרק הראשון במין הקבוץ וכבר ידעת גדרו ואופן התכת כל החלקים הפשוטים אל הב' מינים מהם שהם

שבר האחד ושבריו:

ואולם הנשאר עלינו הנה אמנם הוא הודעת הדרך בידיעת זה המין בכל הי'

מינים הראשונים: ואומר שהדרך אל ידיעת הנה יתכן על

ב' פנים . והם אם שתקבץ השלמים עם השלמים והשברים עם השברים והעולה מקבוץ

השברים

 

45א
השער השלישי פרק השני ממאמר הראשון

השלמים עם השלמים נחברהו עם העולה מקבוץ השברים עם השברים והוא המבוקש ואם שתתיך אותם אל שברים לבד ואחר זה נקבץ השברי' עם השברי' והעולה הוא המבוקש אולם האופן הראשון הנה אין לנו צורך בביאורו כי כבר נתבאר בידיעת הדרך בקבוץ השלמים עם השלמים ובקבוץ השברים עם השברים וכן האופן השני גם כן אין צורך לנו בביאורו אחר שכבר קדם ידיעת הדרך בקבוץ השברים עם השברים . ואולם הנשאר עלינו הנה היא הודעת הדרך בידיעת התכת השלמים ושברים אל השלמים לבד . ואומר שהדרך אל זה הוא בשתכה השלמים עם איכות השברים המחוברים עמם והעולה נקבצהו עם כמות השברים ההם ונניח תחתיהם איכות השברים ההם והיוצא הוא המבוקש ונצייר לזה י' מינים מהי' מינים הראשונים והם אלו . הנה במין הראשון הכינו

א ב ג ד האחד השלם בג'

1 1 1 1 | 1 1 1 | 1 1 4 | 1 4 והעולה חברנו עמו הא' 3 4 | 3 4 | 3 | 3 שעליו ועלו ד' יחסנום אל

הג' בעצמם שהם איכות

4 5 | 4 1 | 4 4 | 1 4 השברים המונחים והם ד' 3 4 | 3 4 | 3 | 3 שלישיות וכתבנום תחתיו

וכן לחברו העומד בצדו
ה ו ז ח ועלו ה' רביעיות וכתבנום

11 12 | 11 2 | 12 4 | 2 4 תחתיו וכן בכל המינים 3 3 | 3 3 | 3 | 3 הנשארים דרך אחד לכל .

אחר זה נשתמש בקבוצם

4 5 | 4 2 | 5 | 2 4 לפי מה שקדם בקבוץ ה 3 3 | 3 3 | 3 4 | 3 השברים עם השברים אחר

ששבו לשברים .
ט י ואולם המאזנים אשר בם

12 13 | 12 3 יאוזן זה המין הנה 3 4 | 3 4 אם רצית להשתמש עם

האופן הא' הנה כבר ידעת

5 7 | 5 3 מאזני השלמים עם השלמי' 3 4 | 3 4 זה מאזני השברי' עם השברי'

. ואולם אם רצית להשתמש
עם האופן השני הנה כבר
ידעת מאזני השברים עם
השברים ולכן כבר יספיק
לך מה שקדם לך מידיעתם

הפרק השני במין ההכאה וכבר ידעת גדרו ואופן התכת כל המינים הפשוטים אל הב' מינים מהם . ואולם מה

שנשאר עלינו הנה לדבר הוא הודעת הדרך אל ידיעת אלו המינים הראשונים
ואומר יב א

 

45ב
השער השלישי פרק השני ממאמר הראשון

ואומר שהדרך אל ידיעתם הנה כבר יתכן גם זה על ב' הפנים הראשונים והוא אם שתכה השלמים עם השלמים ועם השברים והשברים עם השלמים והשברים והעולה מהכאתם הוא המכוון . ואם שתתיך אותם אל השברים לבד ואחר זה יוכו השברים עם השברים והעולה הוא המכוון ודע שהאופן השני הנה אין לנו צורך בביאורו כי כבר קדם ידיעת ההתכה גם ידיעת הכאת השברים עם השברים. ואולם האופן הראשון הנה עניינו הוא בעצמו ענין ההתכה בלי שום שנוי כלל. וזה שאין הבדל בין אמרך נכה השליש עם השלם הא' או עם השלמים הרבים ובין אמרך שליש השלם הא' או שליש השלמים הרבים. כי כבר קדם שההכאה היא ההתכה ולכך יוכה כמות השברים עם כמות השלמים והעולה ייוחס אל איכות השברים ויגיע המבוקש. ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין הנה המאזנים אשר יאוזן בו הכאת השברים לבד עם השברים לבד יאוזן גם זה. הפרק השלישי במין החסור וכבר ידעת גדרו ואופן התכת כל המינים הפשוטים אל הב' מינים מהם. ואולם מה

שנשאר עלינו הוא הודעת דרך ידיעת זה המין באלה המינים הראשונים.

ואומר שהדרך אל ידיעתם כבר יתכן ג"כ עם שני אופנים. האופן הראשון הוא בשנתיך זה המין המורכב משלמי' ושברים אל שברים לבד. ואחר זה נשתמש עם ידיעת חסור השברים מהשברים. והאופן השני הוא בשנחסר השלמים מהשלמים והשברים מהשברים והנשאר הוא המבוקש. אולם האופן הראשון הנה אין לנו צורך בביאורו כי כבר קדם לנו עניינו. ואולם אופן השני הנה נצטרך בזה לביאור. ואם כבר קדם לנו חסור השלמים מהשלמים וחסור השברים מהשברים. וזה כי חסור השלמים מהשלמים לבד או השברים מהשברים לבד כבר יתכן בקלות וזה בשנחסר המעט מהרב ונשמור השאר . ואולם השלמים ושברים מהשלמים ושברים כבר יתכן שיהיו שלמי הנחסר ממנו יותר משלמי הנחסר. ובשברים הפך זה ולכן יצטרך לביאור. ואומר שאם רצית לחסר עם הדרך הזה הב' וחצי מהג' ושליש. הנה נחסר החצי מהשליש. ולהיות שלא יתכן זה כי החצי הוא גדול מהשליש על כן נחסר מהג' אחד ונתיכהו אל השלישיות והם ג' שלישיות ונחברהו עם השליש שבידנו ויהיו ד' שלישיות. ומעתה נחסר החצי מהד' שלישיות עם דרך חסור השברים מהשברים וישארו ה' ששיות. אחר זה נוסיף אחד על השני שלמים ויהיו ג' ונחסרם מהג' ולא ישאר דבר. ולכן הנשאר מהם הוא הה' ששיות לבד וזהו המבוקש. ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין הנה עם רצית להשתמש עם האופן הראשון הנה הם מאזני חסור השברים מהשברים. ואם רצית להשתמש עם האופן השני הנה הם מאזני חסור השלמים מהשלמים ומאזני השברים יאוזן גם זה. ולכן כבר יספיק לך מידיעתם. הפרק הרביעי במין החלוק וכבר ידעת גדרו ואופן התכת כל המינים הפשוטים אל השני מינים מהם. ודע כי

בזה המין לא יתכן להשתמש רק עם אופן ההתכה ר"ל שתתיך השלמים
ושברים 

 

46א
השער השלישי פרק רביעי ממאמר הראשון

ושברים אל שברים לבד ותשתמש בחלוקם בדרך חלוק השברים על השברים . ואולם עם האופן האחד והוא כשתחלק השלמים על השלמים והשברים על השברים לא יתכן כלל כי החלוק הוא המודיע יחס המספר האחד בכללו אל המספר האחד בכללו . וזה האופן אמנם יודיע חלק המספר הקטן אל חלק המספר הגדול לא כלל המספר הקטן עם כלל המספר הגדול . ולכן לא נשתמש בזה המין עם שני האופנים רק עם האופן הראשון בלבד . והמאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא מאזני חלוק השברים על השברים . ולזה כבר יספיק לך ממה שקדם בביאורו . הנה כבר התבאר בידיעת זה המין בכל ד' מיני המספר שהם הקבוץ וההכאה והחסור והחלוק . ובזה כבר השלמנו כל מה שיעדנו לדבר בידיעת ג' מיני המספר שהם השלמים לבד . והשברים לבד . וחבור השלמי' והשברים יחד .. ומהנה נתחיל בביאור הדרושים המספריים מצד נפלם בהנדסא והתכונה . ר"ל הדרושים אשר אינם למספר במה שהוא מספר ואם כבר יכנסו במספר באופן מה . ומהשם אשר עזרני עד כה

אשאל העזר להחל ולכלות :