ספר המספר / אברהם אבן עזרא

ראה ספר מחוקק באמונה ותמצא בו לכל מספר תכונה אשר חבר בנו מאיר למאיר קטן שנים וחכם בתבונה ספר המספר בעבור כי השם הנשגב לבדו ברא בעולם העליון תשע עגולות גדולות סובבות את הארץ שהוא העולם השפל ובעל ספר יצירה אמר כי נתיבות החכמה הם בִּסְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר והנה הַסְּפָר תשעה מספרים כי תשעה סוף כל חשבון ואלה יקראו האחדים שהם במעלה הראשונה כי עשרה דומה לאחד ועשרים דומה לשנים שהם שני עשרות והיה ראוי שיקראוהו עֶשְׂרַיִם כאשר יקראו ממאה מאתים ומאלף אַלְפַּים רק בעבור חבריו הבאים אחריו שהם שלשים עד תשעים נהגוהו כמנהגם והנה שלשים מגזרת שלש וככה כלם והנה מאה דומה לאחד גם לעשרה ומאתים דומה לשנים גם לעשרים וככה אלף ורבבה שהם ראשי כללים למספרים הבאים אחריהם שהם א'י'ק' ב'כ'ר' והאות על זה כשתעשה עגול ותכתוב סביבו תשעה מספרים ותכפול תשעה על עצמו והטעם להיותו מרובע ארכו כרחבו תראה זה וככה הוא והנה המרובע פ"א והנה האחד לשמאלו של תשעה שהוא ראש האחדים וח' שהוא כנגד שמונים בכלל לימין תשעה ואם תכפול תשעה על שמונה יהיה המחובר ע"ב והנה ב' לשמאלו וז' שהוא כנגד ע' לימינו ואם תכפול ט' על ז' יהיה המחובר ס"ג והנה ג' לשמאלו וו' שהוא כנגד ס' לימינו ואם תכפול ט' על ו' יהיה המחובר נ"ד והנה ד' לשמאלו וה' שהוא כנגד נ' לימינו ובעבור כי חשבון חמשה הוא אמצעי בט' המספרים על כן נקרא חשבון עגול כי הוא מתגלגל על עצמו כי מרובעו יש בו חמשה וכאשר תכפול ט' על ה' יתגלגל הדבר בעגול כי האחדים יהיו לימין והכללים לשמאלו כי המחובר הוא מ"ה והנה הה' מפאת ימין ט' והכללים לשמאלו שהוא ד' במקום המ' וכאשר תכפול ט' על ד' יהיה המחובר ל"ו והנה ג' כנגד שלשים וכאשר תכפול ט' על ג' יהיה המחובר כ"ז והנה ב' כנגד עשרים וכאשר תכפול ט' על ב' יהיה המחובר י"ח והנה א' כנגד עשרה על כן מאזני מספר שהוא כפול על עצמו או על אחר הם ט' על כן עשו חכמי הודו כל מספרם על תשעה ועשו צורות לט' מספרים והם ואני כתבתי במקומם א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט' והנה לעולם אם יש בידך מספר באחדים לפני הכללים שהם העשרות יכתוב בתחלה מספר האחדים ואחר כך מספר הכללים ואם אין לו מספר באחדים ויש לו מספר במעלה השנית שהם העשרות ישים כדמות גלגל בראשונה להורות כי אין במעלה הראשונה מספר ויכתוב המספר שיש לו בעשרות אחריו ואם הכלל שלו במאות ובעשרות יכתוב גלגל בראשונה ואחר כך מספר העשרות בשנית ומספר המאות בשלישית ואם יש לו מספר אלפים ברביעית ומספר עשרת אלפים בחמישית ומספר מאות אלפים בששית כי א'י'ק' יחזור ברביעית לאלפים ובשביעית לאלף אלפים ובעשירית לאלף אלפי אלפים וככה עד אין קץ ואם יש לו מספר אחדים ומאות ואין לו עשרות יכתוב מספר האחדים בראשונה וגלגל בשנית ומספר המאה בשלישית ועל זה הדרך יעשה לשמור מעלות הגלגל לפי מעלות החשבון שיש לו לשום גלגל בראשונה או שני גלגלים כפי מה שיצטרך לו בראש או באמצע וזה הגלגל 0 וטעמו כגלגל כקש לפני רוח ואינו אלא לשמור המעלות ובלשון לעז שמו סִיפְרָא ואחר שהזכרתי זה אזכיר שערי זה הספר ונאמר שהם שבעה: השער הא' שער הכפל לכפול חשבון על עצמו או על אחר או לכפול חשבון אחד על שנים חשבונות או יותר או רבים על רבים השער הב' שער החלוק לחלק חשבון כלל על פרט או שנים כללים על פרט אחד או כללים גבוהים על כללים שפלים או כללים ופרטים על פרטים גם אדבר על המאזנים של שער הכפל והחלוק השער הג' שער החבור לחבר מספר אל מספר פרט עם כלל או כלל עם כלל השער הד' שער החסור לחסר מספר ממספר פרט מכלל או כלל מכלל גם אדבר על מאזני שער החבור והמגרעת השער הה' שער השברים והם על דרכים רבים שלמים על שלמים ונשברים עמהם או שלמים ונשברים על שלמים ונשברים למיניהם או שברים על שברים או שברים על שברי שברים או שברי שברים על שברי שברים בין לכפול בין לחלק בין לחבר בין לגרוע ומאזניהם השער הו' שער הערכים והוא שער נכבד מאד כי ממנו יוכל האדם להוציא רובי השאלות הקשות ורוב הראיות מחכמת המזלות יצאו מן הערך השער הז' שער השרשים המרובעים וכל המאזנים שלהם כי רבים הם וחכמת המדות תלויה בשער הזה והוא חמור מכל השערים ואין כח במשכיל לדעת קדרות המאורות אם לא ילמד זה השער ויתרי קשתי העגול יצאו מהשער הזה   השער הא' כבר הזכרתי לך איך הם מעלות המספר והנה כשיבואו לך שנים מספרים לכפול כלל על כלל, בין שיהיה על עצמו, כמו כ' על כ', או על אחר, כמו כ' על ל', בקש דמיונו במעלה הראשונה וראה כמה המחובר מכפל זה על זה ושמור אותו ואחר כך ראה כמה מעלות שני החשבונות, בין שיהיו במעלה אחת או בשתים מעלות ודע כמה המחובר ממספר שתי המעלות וגרע לעולם אחד למוסד ובקש במספר המעלה הנשאר במספר השמור ועוד אדבר על טעם המוסד בדברי על סוד האחד בע"ה דמיון רצינו לכפול שלשים על מאתים. והנה דמיון שלשים שלשה ודמיון מאתים שנים, כפלנו ב' על ג' והנה עלו ששה וזהו החשבון השמור ונשוב לבקש המעלות והנה שלשים מהמעלה השנית שהם עשרות והנה נקח לו שנים ובעבור כי המאתים מהמעלה השלישית שהם מאות נקח לו שלשה ונחבר עליו השנים ויהיו חמשה, נחסר אחד למוסד, ישארו ארבעה וכבר ידענו כי המעלה הרביעית היא לאלף והמספר השמור היה ששה והנה העולה ששת אלפים דמיון אחר בקשנו לכפול מאתים על שבע מאות. והנה כפלנו שנים על שבעה והנה עלו י"ד והוא השמור והנה מאתים מהמעלה השלישית וז' מאות ג"כ מהמעלה השלישית, נקח להם ששה ונחסר אחד למוסד הנה חמשה וראש המעלה החמשית עשרת אלפים והשמור היה י"ד, הנה נקח במספר הזה עשרת אלפים ויהיה העולה מאת אלף ומ' אלף. ועל הסדר תוכל לעשות עד אין קץ. ואם היו שנים מספרים מרחקם מחשבון כלל כמרחק שנים מספרים אחרים רק האחד במגרעת והשני בתוספת, דע כמה מרובע מספר הכלל וגרע ממנו לעולם מרובע החשבון היתר והחסר והנשאר הוא המבוקש דמיון רצינו לכפול כ"ט על ל"א. והנה חשבון הכלל הוא שלשים ומרובעו ט' מאות כי שלשה על שלשה תשעה והחסרון והיתרון הוא אחד ומרובעו אחד, נחסרנו ממרובע הכלל והנשאר הוא המבוקש והוא תתצ"ט. דמיון אחר רצינו לכפול ס"ו על נ"ד. והנה חשבון הכלל ס' והחסרון והיתרון ששה והנה מרובע הכלל ג' אלפים ת"ר, נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע החסרון והיתרון והנה הנשאר הוא המבוקש והוא ג' אלפים תקס"ד. דמיון אחר המספר האחד ר"נ והמספר האחר ש"נ. הנה הכלל הוא ש' ומרובעו צ' אלף, נחסר ממנו מרובע נ' שהוא מרובע החסרון והיתרון ומספרו אלפים ת"ק והנשאר הוא המבוקש. ועל זה הסדר נוכל לעשות שאר המספרים הדומים לאלה שהחסרון והיתרון שוים. דרך אחרת נכבדת שהוצאתי בדרך השלישיות שנקח שלישית החשבון ונדע כמה מרובעו ונקח כמוהו בכלל הגבוה ממנו ונחסר מרובע השלישית ממנו והנשאר הוא המבוקש דמיון בקשנו לדעת כמה מספר מרובע ג'. נקח שלישיתו שהוא אחד ומרובעו אחד והוא עשרה שהוא הכלל הקרוב אליו, נחסר ממנו אחד שהוא מרובע השלישית וישאר ט' והוא המבוקש. דמיון אחר בקשנו לדעת מרובע ט"ו. ושלישיתו ה' ומרובעו כ"ה והדומה בכלל הקרוב אליו ר"נ, חסר ממנו מרובע ה' שהוא כ"ה, ישאר רכ"ה. דמיון אחר בקשנו לדעת כמה מרובע כ"ד. הנה שלישיתו ח' ומרובעו ס"ד ודמיונו במעלה הגבוהה ממנו תר"מ, נחסר ממנו מרובע השלישית שהוא ס"ד, ישאר תקע"ו והוא המבוקש. ואם לא היה למספר שלישית שלמה ויהיה בו תוספת אחד, חסר האחד מהמספר ותוציא המספר המבוקש כמשפט שהראיתיך ומה שיעלה, הוסף עליו המספר שיש לו שלישית והמספר בעצמו והמחובר הוא המבוקש. דמיון בקשנו לדעת מרובע ז'. והנה אין לו שלישית, חסרנו ממנו אחד שהוא נוסף והנה שלישית הנשאר שנים ומרובעו ארבע והנה בכלל הקרוב הדומה לו מ', נחסר ממנו ד' שהוא מרובע השלישית וישאר ל"ו שהוא מרובע ו', נחבר אליו הו' שיש לו שלישית והז' שהיה מספרנו בראשונה ושניהם י"ג, יהיה המחובר מ"ט והוא מרובע ז'. דמיון אחר רצינו לדעת כמה מרובע כ"ב. והנה חסרנו אחד ונשאר כ"א ושלישיתו ז' ומרובעו מ"ט והנה בכלל הקרוב אליו ת"צ, נחסר ממנו מ"ט שהוא מרובע השלישית, נשארו תמ"א שהוא מרובע כ"א, נוסיף כ"א גם כ"ב מחוברים שהם מ"ג, יעלה המחובר תפ"ד וזהו מרובע כ"ב. ואם היו שנים בין המספר שלנו ובין המספר שיש לו שלישית, נעשה להפך, שנוסיף על המספר שלנו אחד ונדע כמה מרובע המספר שיש לו שלישית ונחסר ממנו כמספר שיש לו שלישית וכמספר שהיה לנו והנשאר הוא המבוקש. דמיון בקשנו לדעת כמה מרובע כ"ג. והנה בעבור שאין לו שלישית שלמה נוסיף אחד, יהיו כ"ד ושלישיתו ח' ומרובעו ס"ד והדומה לו תר"מ, נחסר ממנו ס"ד שהוא מרובע השלישית, ישאר תקע"ו והוא מרובע כ"ד, גם נחסר מזה המספר מ"ז שהוא כ"ד עם כ"ג מחוברים ויהיה הנשאר תקכ"ט והוא המבוקש. ודע כי אם היו שנים מספרים לכפול זה על זה, יספיק לך פעם אחת. ואם היה מספר אחד על שני מספרים, אתה צריך לעשות זה פעמים. ואם על שלשה שלש. על זה המשפט הכל. ואם היו שני מספרים על שני מספרים, אתה צריך לעשות זה ד' פעמים. דמיון רצינו לכפול י"ג על כ"ח. הנה כפלנו י' על כ' שהוא כלל, עלו ר' ועוד י' על ח', עלו פ', הנה ר"פ ואחר כפלנו ג' על כ' וגם על ח', עלו פ"ד והנה הכל שס"ד. אם היה כלל אחד כולל שני המספרים, די לך בג' פעמים. דמיון בקשנו לכפול י"ג על י"ו. והנה י' כולל שני המספרים והנה חברנו ג' על ו', עלו ט' והנה יהיה מספרם י"ט וכפול אותו על י', עלו ק"צ, נכפול שנים המספרים הקטנים שהם ג' על ו', יעלו י"ח והנה הכל ר"ח. ויש שיספיק לך פעמים לבדם. דמיון בקשנו לכפול חשבון כ"ד על כ"ו. הנה כ' כולל שני המספרים וחברנו ד' עם כ"ו שהוא הגדול, עלה המספר ל', כפלנו כ' על ל', עלו ת"ר וכפלנו הקטנים זה על זה, עלו כ"ד והנה המחובר תרכ"ד. ואם תכפול ג' מספרים על ג', אתה צריך לעשות זה ט' פעמים. ועל זה הסדר כל החשבון. וראה אם המספר אחד או רבים. אם יהיה מספר זוג, גם המחובר יהיה זוג. וטעם הזוג הוא באחדים, כי כל כלל זוג הוא. ואם היה המספר האחד זוג והשני נפרד והטעם שאינו זוג, איזה מהם שיהיה, גם המחובר יהיה זוג. ואם המספר האחד נפרד וג"כ האחר, גם המחובר יהיה נפרד. ודע כי אם היו המספרים הנכפלים אלה על אלה רבים, אתה צריך לכפול אותם במכתב ט' אותיות שהראיתיך. והדרך הסלולה שתשים מורי המספר המעט עליונים ופי' המעט בחשבון הכלל ולא תחוש מן הפרטים. ותשים בטור אחר שפל למטה החשבון שהוא כללו גדול. ואם החשבון שכללו קטן הם יותר מספרים מחשבון שכללו גדול, שים אותם עליונים. ולא תחוש ואלו היית עושה להפך, לא יזיק, רק יתבלבל מעט על התלמיד. ואחר שתשים המספרים כמה שיהיו בטור העליון והאחרים בטור השפל, כפול הראשון של הטור העליון על הראשון שבטור השפל והעולה כתוב אותו למטה, כנגד הטור הראשון העליון בטור שלישי. ואח"כ כפול המספר הראשון העליון על המספר השני השפל וכתוב בטור השלישי, כנגד המספר השני העליון. וככה לכל המספרים השפלים עם המספר העליון הראשון. ואם כאשר תכפול הראשון העליון על שכנגדו בשפל, יתחבר במספר כלל ופרט, תכתוב הפרט במקום הראוי לו והכלל במספרו תכתבנו במספר שהוא אחריו. ואחר שתשלים לכפול החשבון הראשון של הטור העליון על כל מספרי הטור השפל, תחל לכפול המספר השני של הטור העליון על מספר הראשון של הטור השפל והעולה כתבהו בטור השלישי, כנגד השני העליון. ואח"כ תכפול השני שבטור העליון על שני שבטור השפל ותכתבהו בטור השלישי במספר השלישי שהוא שני למספר שהתחלת עתה ממנו. ואח"כ תחל במספר השלישי העליון לכפול אותו על ראשון שבטור השפל והעולה תכתבהו כנגד טור השלישי אשר החילות ממנו. וככה המשפט לכלם עד אין קץ, עם משפט הפרט להיות התחתון והכלל שיבא אחריו בטור השני לו. ואם היה גלגל, בין בטור העליון בין בטור השפל, משפטו לכתבו במקום הראוי לו כמשפט כל המספרים שעליו. ואח"כ תחל לחבר מה שעלה בטור העליון עם השפל: אם אין בו עשרות, תכתוב מה שהוא בחבור. ואם יש בו עשרה, כתוב אחד אחריו. ואם יש בו יותר, כתוב היותר מבחוץ בחבור שיש לך ובמקום העשרה כתוב אחד שני לו נוסף. וכן תעשה לכל היוצאים מהטור העליון והשפל והוצא הנותר מעשרות מבחוץ. ואחר שידעת כמה הוא המחובר בטור השלישי, ספור מעלותיו וראה אם היו כמספר מעלות השנים טורים העליונים ממנו בחסרון אחד, תדע כי חשבונך אמת. ואם המספר האחרון בטור העליון הנכפל במספר האחרון בטור השפל ממנו יוצא אל כלל, יהיה מספר מעלות הטור השלישי כמספר שני טורים העליונים בלי מגרעת אחד. דמיון זה רצינו לכפול קכ"ז על שנ"ה. וכתבנו קכ"ז בטור העליון כזה ומספר שנ"ה תחתיו אות אות במקומו ז ב א ה ה ג ה ג ג ב ג ה אא

      א ו
     ה ה

ה ח0 ה ד כפלנו ז' על ה', עלו ל"ה, כתבנו ה' במעלה הראשונה וג' שהוא ל' במעלה השניה. עוד כפלנו ז' העליון על ה' השני התחתון, עלו ל"ה, כתבנו ה' במעלה השנית תחת ג' וג' בשלישית. עוד כפלנו ז' הראשון על ג' התחתון, עלו כ"א, כתבנו א' בשלישית תחת ג' וב' ברביעית. עוד כפלנו ב' האמצעי העליון על ה' הראשון מן התחתון, עלו י', כתבנו א' בשלישית תחת הא'. עוד כפלנו ב' העליון על ה' השנית התחתון, היו ג"כ י', כתבנו א' תחת ב' ברביעית. עוד כפלנו ב' העליון על ג' התחתון והיו ו', כתבנו אותו תחת א' ברביעית. עוד כפלנו א' העליון האחרון על ה' הראשון התחתון, עלו ה', כתבנוהו בשלישית. עוד כפלנו א' על ה' השני התחתון, עלו ה,' כתבנוהו ברביעית. עוד כפלנו א' העליון על ג' התחתון, היו ג', כתבנוהו בחמישית אחר ב'. והנה נשלם הכפל. חברנו כל אלו המספרים: כל מה שהוא ממעלה אחת יחד הכל ומה שיעלה יותר מעשרה או עשרה כתבהו אחר המעלה ההיא. ויעלה המחובר מ"ה אלפים ופ"ה. ובחן באחרונה במאזנים. וככה תעשה: חשוב כל חשבון שתמצא בטור העליון באיזו מעלה שיהיה כאילו הם אחדים וחברם והוצא המחובר ט' ט', אם יותר ט' או פחות ממנו, כתוב אותו לבדו והוא מאזני הטור העליון. ככה תעשה למאזני הטור השפל, עד שתדע כמה המאזנים שלו. וכפול מאזני הטור העליון על מאזני הטור השפל והנכפל הוציאהו ט' ט' והנשאר יהיה עמך שמור. ואם מאזני אחד מהטורים יהיה ט', אל תייגע עצמך לבקש מאזני הטור האחר, כי ט' יצא לעולם. ואחר בדוק מאזני הטור השלישי וראה אם היה שוה לשמור, חשבונך אמת ואם לאו, הנה טעית.   השער הב' דע כי כל חשבון הוא חברת אחדים. והאחד לבדו לא יקבל לא שנוי ולא רבוי ולא חלוק. והוא סבת כל רבוי ושנוי וחלוק. והאחד קדמון לבדו וכל חשבון מתחדש בעבורו. והוא יעשה בפאה אחת מה שיעשה כל חשבון בשתי פאותיו. כי שנים לחשבון שלשה הפאה האחת אשר לפניו וארבעה הפאה האחרת שהיא אחריו ושתי הפאות המחוברות ששה, שהוא כפל שלשה. וככה כל מספר. והנה האחד, אין לפניו פאה ואחריו פאה אחת שהיא שנים והם כפל האחד. ועתה אדבר על כל חשבון שיש לו אחדים שלמים בלי שבר. ודע כי חכמי המזלות חלקו הגלגל לשנים עשר חלקים ועשו זה בעבור ששנת השמש י"ב חדשי לבנה ואין חשבון קטן מי"ב שיש לו חלקים רבים כמוהו, כי יש לו אחדים שלמים בחציו ושלישיתו ורביעיתו וששיתו וחצי שתותו. וחלקו המזל לשלשים מעלות, כי זה המספר יש לו אחדים שלמים יותר מי"ב, כי יש לו חצי ושלישית וחמישית וששית ועשירית. והנה עלה מספר מעלות הגלגל ש"ס וזה המספר קרוב לימות החמה ויש לו חצי ושלישית ורביעית וחמישית וששית ושמינית ותשיעית ועשירית והנה לא יחסר לו רק השביעית. וכאשר תכפול זה המספר על ז' יהיה העולה אלפים ותק"כ וזה החשבון כולל כל החלקים עד עשרה. והנה חכמי המזלות, כאשר יכפלו מעלות על מעלות, יהיה המחובר מעלות שהם אחדים שלמים. וככה כאשר יחלקו מעלות על מעלות, יהיה העולה בחלוק מעלות שהם אחדים שלמים. ועתה אתן לך כלל איך תחלק כל חשבון, בין שיהיה אחד, או שנים, או מספרים רבים: כתוב אותם בטור אחד, כל אחד כפי מעלתו ואח"כ כתוב החשבון שתחלק עליו בטור אחר, בין שיהיה מספר אחד, או רבים, כל אחד לפי מעלתו, כנגד כל חשבון כפי מעלתו בטור העליון וריוח תשים בין הטור העליון והטור השפל, כדי שתוכל לכתוב טור אמצעי ביניהם, בין שיהיה העולה מספר אחד, או מספרים רבים, כל אחד תשים לפי מעלתו. וראוי להיות המספר שתחלק עליו פחות מהמספר המחולק ממנו וזהו בחלוק השלמים. ולא כן בשברים כאשר אפרש בע"ה. ובתקנך הטורים כאשר אמרתי תחל לחלק מהמספר האחרון שבטור העליון. ותחלק אותו על המספר האחרון שהוא בטור השפל. וחשוב שנים המספרים, אע"פ שהם כללים, חשוב אותם כמו אחדים. והעולה בחלוק ראה כמה מרחק המספר האחרון מהטור השפל מהמספר הראשון ממנו, בין שיהיו בו אחדים, או גלגל וכפי מספר המרחק תשוב אחורנית ושם תכתוב העולה בחלוק, למעלה מהטור השפל שהוא למטה מהטור העליון. ואם ישאר במספר האחרון חשבון שלא נתחלק ולא הגיע למעלת האחדים, תשיב אחורנית המספר הנשאר למעלה הראשונה שהיא פתוחה (פחותה) ממנו וחשוב כל אחד עשרה. ואח"כ חלק על המספר שחלקת עליו והעולה בחלוק תכתוב אותו אחורנית מהמעלה הראשונה שכתבת לפני מה שעלה בחלוק בראשונה. ככה תעשה תמיד, עד שתגיע אל המספר שהוא פחות מהמחולק עליו ואותו הנשאר תכתבנו למעלה מן הטור העליון כפי מעלתו ובשער החמישי אפרש לך מה שתעשה ממנו בע"ה דמיון בקשנו לחלק ט' אלפים על ע' בזאת הצורה

      0 0
  ד  ו ב

0 0 0 ט ח ב א 0 ז הנה נשים ע' בטור השפל כפי מעלתו ונחשוב כי הכל אחדים והנה נתן לו א' ונכתבנו במעלה השנית אחורנית מהמספר האחרון שהוא בטור הראשון, כי ע' הוא שני לטור השפל ונכתבנו באמצע. נשארו לו שנים, נשיבם אחורנית מהמספר והם עשרים, נחלקם על ז' והנה נתן לו ב' ונכתבנו אחורנית לפני הנכתב בראשונה. ונשארו לנו ו', נשיבהו אחורנית, יהיו ששים, נחלקנו על ז', נתן לו ח' ונכתבנו אחורנית. ונשארו לנו ד' והם במעלה השנית והם מ' והמספר המחולק עליו גדול ממנו. ואם היה המספר באחדים המחולק עליו גדול מהמספר האחרון בטור העליון, תשיבהו אחורנית ותחשוב מאותו מקום וכפי מרחק המספר המחולק עליו תשיב אחורנית ועשה כמשפט דמיון בקשנו לחלק כ' אלף על צ' כזאת הצורה

     0 0
  ב ב ב 0

0 0 0 0 ב ב ב ב 0 ט והנה בעבור כי מספר ט' גדול מב', נשיבהו אחורנית והם כ', נחלקם על ט' והנה ב', נכתבנו במעלה השלישית אחורנית, שהיא שנית לחשבון שחלקנו ממנו. ונשארו ב', נשיבם אחורנית במעלה השלישית והם כ', נחלק על ט' והנה ב'. ונשארו ב', נשיבם אחורנית במעלה השנית והם עשרים, נחלקם על ט' ונתן לו ב' ונכתבם כדינו. ונשארו ב', שהם עשרים, כי הם במעלה השנית בטור העליון וזה המספר פחות ממספר ט', על כן נכתוב גלגל אחורנית, כי לא עלו אחדים שלא יצאו לחוץ. ואם היה גלגל באחד המקומות ולא תוכל לחלק על המספר המחולק, השב אחורנית מהגבוה ממנו. דמיון בקשנו לחלק ד' אלפים ול"ב על שלשים. חלקנו ד' על ג' ועלה בידינו א' וכתבנוהו אחורנית במעלת המאות, כי הוא שני לו. נשאר לנו עוד א', נשיבהו אחורנית במעלת המאות והיו י', נחלקנו על ג' ועלה בחלוק ג'. נשאר לנו א', השיבונו אותו אחורנית במעלת העשרות ויהיו י', חברנו אותו עם הכתוב במעלה השנית, היו י"ג, חלקנו אותו על ג' ונתננו לו ד'. נשאר לנו א', השיבונו אותו אחורנית במעלה הראשונה, היו י"ב, שלא יתחלקו, כי הנשאר פחות מאותו המחולק עליו וכבר יצא לחוץ כזה:

     0 0
  אאא

ב ג 0 ד ד ג א 0 ג וכאשר נרצה לחלק מספר אחד, או שני מספרים, או רבים, על מספר אחד, או על שני מספרים, או על שלשה, או רבים, על מנת שיהיו פחותים ממספרי הטור העליון, ככה תעשה: תן לאחרון שבטור השפל מהטור העליון מה שתוכל לתת לו מהמספר האחרון שבטור העליון ותתן לראשון מן הטור השפל, שהוא ראשון לאחרון, ככפל מספר שנתת לאחרון על מספר הטור השפל, שהוא לפני האחרון. ואם לא תוכל לעשות ככה, שוב וגרע ממספרך שנתת לו בתחלה וכשאתה צריך לקחת מהטור שהוא לפני האחרון שום מספר, השיבהו אחורנית לעשרות. ככה תעשה לכל המעלות. ואם היה באחת ממעלות הטור העליון גלגל, השב מן הגבוה ממנו אחורנית בעשרות וקח ממנו מה שצריך לו. ואם היו שנים גלגלים במעלות הטור העליון ובמעלות הטור השפל מספרים, תשיב אחורנית הגבוה שהוא כנגד החשבון שהוא אחר הגלגל האחרון ותקח מהם מה שתצטרך ומהנשאר תשיב אחורנית בעשרות ותקח ממנו מה שתצטרך בכפל המספר שהוא בטור השפל מן המעלה שהיא ראויה לקחת ממנה. דמיון זה:

      0
  ט א 0
   0 ב א

ד ה א ב ג א ב ח ג ב ג ה ג ד' ט' שכתבנו הוא הנשאר מן החשבון שלא יתחלק. והנה כאשר חלקנו ח' שהוא אחרון בטור העליון על ג' שהוא אחרון בטור השפל והנה נתן לו שנים ובעבור כי היה הג' שבטור השפל שלישי, החזרנו לשלישי ממנו אחורנית והגיע למעלת העשרות. ונשאר לנו במספר הח' שנים והנה הנחנו שם אחד, כי אחד יספוק לנו והחזרנו האחד אצל השנים והיו י"ב וחסרנו ממנו י' שהוא כפל חמשה האמצעי שבטור השפל. והנה נשארו ב' על הב' ונניח שם אחד ונחזיר אחד אחורנית על אחד שהוא שלישי ויהיו י"א, נסיר ממנו ו' לג' ראשון שבטור השפל. נשארו ה' והנה לכל הג' שפלים מה שראוי להם, נשוב לחלק כי נשאר לנו א' על ח' וא' על ב' וה' על א', נשיב הא' שהוא על הח' אחורנית על א' אשר על ב', יהיו י"א, נחלק אותם על ג' שהוא בטור השפל, יהיו ג' ונכתבנו כנגד הטור הראשון שהוא לפני השנים. ונשארו לנו ב', נשיבם על הה' אחורנית, יהיה כ"ה, נתן לחמשה האמצעיים שבטור השפל ט"ו. נשארו עשרה נשיב אחד אחורנית על ג' וישארו ט' והא' עם הג', י"ג ונקח מהם ט'. ישארו ד' וט' על הה', כי לא יכולנו לקחת בראשונה הג' מהי', אע"פ שיספיק לו כי איננו מעלתו עכשו אע"פ שלקח ממנו בראשונה, כי בראשונה היה שלישי לו כי האחרון שבטור השפל לקח מן הח', אבל עתה לקח מן הב' ואחר שהוא שלישי, צריך הוא שיקח ממעלתו השלישית והנה הנשאר ד' ט'. דמיון אחר:

      ב
   0 ג
  א ה 0

ה 0 ו ג א ח ג ט א ג ו ט ב באנו לחלק ט' על שנים והנה לא יכולנו לתת לו ד', כי לא ישאר אלא א' וכאשר תשיבהו אחורנית, הנה עם הג', י"ג וט' ד' פעמים, ל"ו, על כן נתן לו ג'. נשארו ג', נשיבם כלם אחורנית לשני לו שהוא ג' ויהיו שם ל"ג, נתן לט' ג', יהיה כ"ז. נשארו ממנו ו' על הג', נקח מהם א' ונניח ה', נשיבהו על הח' שהוא שלישי לאחרון שבטור העליון ועם הח' שבטור השני, יהיו י"ח, נתן אותם כלם לו' שהוא שלישי שבטור השפל, נכתוב על הח' גלגל, לפי שלא נשאר על הח' מאומה. נשוב לחלק, שעדין לא יצא לחוץ, נקח מן הה' שהנחנו על הג' שהוא שני בטור העליון שנים שהוא אחד, נכתוב זה האחד על הו' אחר הג' ששמנו על הט' בחלוק הראשון והוא שלישי בטור השפל וכבר יצא לחוץ. נקח מן הג' שעל הג' אחד וישארו שנים, נתן האחד על הגלגל והם י', נתן לט' שבטור השפל ט'. נשאר על הגלגל א', נשיבהו אחורנית על הא' שהוא רביעי וראשון בטור העליון והם י"א, נתן לו ו'. נשארו ה' על הא', הנה הנשארים על הטור העליון ה' וגלגל וב', שהם ר"ה ולא יתחלק ויותר, שהג' שבטור השפל הם רצ"ו והנלקח לכל אחד ל"א דמיון אחר

      0 א
  ח א ח 0
   ב ד ד ב
   ד  ו ה ג

ג ט 0 ד ה ח א ה ד ט ב בקשנו לחלק הטור העליון על הטור השפל, לתת לו ב' לא נוכל, שלא ישאר כי אם א' וד' והם י"ד ויש לנו לחלק על ט' ב' פעמים, אך נתן לו א' ונשים אותו כנגד ט' שהם בטור העליון שהוא רביעי לה' אחורנית כשנים בטור השפל שהוא רביעי לה' ראשון שבטור השפל. נשארו ג' על הה', נקח מהם אחד, ישארו ב' על הה', נשיבהו אחורנית על הד', יהיו י"ד, יקח ט'. ישארו ה', יש לד' שהוא בטור השפל לקחת מן השלישי שבטור העליון, למען כי שלישי הוא ולא יוכל, כי השלישי שבטור העליון גלגל הוא, נשיב מן הה' שהנחנו על הד' אחד, יהיו י', יקח ד'. ישארו ו' על הגלגל, יקח הה', שהוא ראש בטור השפל והוא רביעי, מהרביעי שבטור העליון שהוא ט'. ישארו על הט' ד', נשוב לחלק, כי עדין לא יצא לחוץ והנשארים ג' מן הטור העליון שהוא ראשון וחמישי ועל הט' ד' ועל הגלגל ו' ועל הד' ד' ועל הה' ב', נשיב הב' על הד' והם כ"ד, נתן לב', שהוא רביעי שבטור השפל, ח'. נשארו ח' על הד', נשיב מהם ז' על הו' אחורנית וא' נשאר על הד' ויהיו ע"ו, נקח לט' ע"ב. נשארו ד' במקום הו', אם נשיב מהם ג' נכון הוא, כי הד' שבטור השפל יוכלו לקחת מהג' עם הד' שאחריהם, שהם ל"ד, אך לא ישאר כי אם שנים וכשנשיב אותו על הג', לא יהיו כי אם כ"ג ויש לה' שיקחו מ'. לפיכך נשיב כל הד' אחורנית על הד' ונכתוב גלגל במקום הד', כנגד הגלגל שבטור העליון והם מ"ד, יקחו הד' ל"ב. נשארו י"ב, נקח מהם ד', כי לא יהיה די לנו בפחות וישארו ח' על הד', שהם על ט' ועם הג' הם מ"ג, יקחו הה' ממ'. ישארו ג' על ג' וח' על הט', שהם פ' וגלגל להוציאו ממאות ולהכניסו לאלפים וא' על הרביעי, שהוא על הד', שהוא אלף ואלה לא יתחלקו, כי המחולק גדול מזה, שהוא אלפים וט' מאות ומ"ה דמיון אחר בקשנו לחלק ס"ח אלפים וט' מאות וכ"א על ז' אלפים ונ"ג וזהו הדמיון:

   ד

ד ז ד ה 0 א ב ט ח ו ט ג ה 0 ז ז', שהוא רביעי בטור השפל, לא יוכל לקחת מו', שהוא חמישי בטור העליון ומאחר שלא נוכל לתת לז' כל הצורך, נשיב הו' כלו אחורנית על הח' ויהיו ס"ח, הנה חלקנו מן הח', שהוא רביעי לטור העליון, נתן לו ט', נוציאנו לחוץ על הג', שהוא רביעי בטור השפל. נשארו ה' על הח', הנה השני לז' לא יקח מאומה, כי הוא גלגל, יש לה' שיקח מן ב' הרביעי בטור העליון, שהוא שלישי לחלוק, לא יוכל לקחת, מפני שהוא פחות ממנו, נקח מן הט' שאחריו ה', נשיבם על הב', יהיו נ"ב וד' נשאר על הט' והה' מנ"ב יקחו מ"ה. ישארו ז' על הב', מן הז' נקח ג' ונשיבם אחורנית על א' ויהיו ל"א, יקחו ג' כ"ז. ישארו ד' על א'. דמיון אחר נרצה לחלק תר"פ אלפים ות"ב על אלפים וט' מספרים על מספרים שיהיו בטור העליון ב' גלגלים וכן בטור השפל

      ג     0
  ו  ד א א

0 ג ז ז ז 0 ב 0 ד 0 ח ו ח ג ג ט 0 0 ב נתן לב' הרביעי בטור השפל ג' [...] הששי בטור העליון. הנה הגלגל השני בטור השפל יש לו שיקח מן הח' שבטור העליון ולא יקח כלום. והגלגל השלישי שבטור השפל יש לו שיקח מן הגלגל השלישי שבטור העליון ולא יוכל לקחת. יש לט' הראשון בטור השפל לקחת מד' שבטור העליון, לא יוכל, צריכין אנו שנשיב מן הח' השני בטור העליון מה שיספיק לט', נשיב א' אחורנית, כי די לנו בא' ונכתוב על הח' ז' והא' שהשיבונו אחורנית על הגלגל יצא לנו בעשרות ועוד לא יספיק, נקח ג' מהם ונשיבם אחורנית ונשארו ז' על הגלגל והג' הם ל' על הד'. נשארו ז' במקום הד' וגלגל ושנים הראשונים שבטור העליון וז' שעל הגלגל וז' שעל הח'. עוד נשוב לחלק, שהרי לא יצא, נקח לו ג' מן הז' שעל הח' ונשימהו תחת הגלגל הראשון שהוא רביעי לח'. ונשאר א' על הח'. יש לגלגל שיקח מן הגלגל, לא יוכל. ויש לגלגל שאחריו שיקח ממעלתו, שהיא הז' שעל הד', לא יוכל. יש לט' שיקח מן הגלגל שהוא מעלתו, לפי שהוא רביעי לחלוק ולא יוכל, לפי שאין על הגלגל כלום וגם שלא יוכל להשיב אותו אחורנית על השנים, כי השנים אינם מעלתו, נשיב מן הז' שעל הד' שלפניו ג', נשימם על הגלגל והם ל'. נשארו על הגלגל ג' וד' על הד' שלפניו וז' על הגלגל שהוא לפני הח' וא' על הח'. נשוב לחלק שעדין לא יצא לחוץ, הנה מן הא' לא נוכל לקחת האחרון שבטור השפל, נשיב אותו אחורנית על הז' שהוא על הגלגל והם י"ז, נתן לו ח', נוציאם לחוץ אחרי הג', כי הוא רביעי לחלוק, כי מן הז' שעל הגלגל חלקנו. ושם נשאר א'. הנה יש לגלגל שיקח מן הד' ולא יקח. גם יש לגלגל האחר שיקח מן הג' שעל הגלגל שבטור העליון ולא יקח. ויש לט' שיקח מן הב' ולא יוכל, נשיב אחורנית, אם נאמר לג' שעל הגלגל שיתן לב' הראשון לגלגל, אין לו מה שיספיק לו, כי אין לו אלא ג', נקח מן הד' שבמקום הד' אחד ויהיה על הגלגל עם הג' י"ג, נקח מהם ז' ונשיבם אחורנית על הב' והם ע"ב, יצאו הכל בט'. ונכתוב גלגל על הב', שלא נשאר עליו כלום ועל הגלגל שהוא שני לב' נשארו ו' וג' על ד' וא' על הגלגל שהוא שני לח' ואלה נשארו שלא יתחלקו, כי המחולק גדול מזה, כי המספר הנשאר אלף וג' מאות וס' והמחולק עליו הוא אלפים וט'. דמיון אחר נכבד וקשה מכל החשבונים שתחתיו מאין גלגל. ובראשונה אפרש כי לעולם כשיתרחק חשבון מחשבון והטעם שיכתב גלגל באמצע, כדמיון זה ג0ב, לא נשיב הב' אל הג', או כמה שיצטרך, לפי החשבון שבטור השפל, לפי שהגלגל באמצע, אך נשיב הב', או האחד מהם אל הגלגל ואז נחלק כמשפט. ואומר לך כלל אחד מכל החשבונות שתחלק, בין רבים, בין מעטים, לעולם יש לך לחלק חשבון העליון על התחתון, עד שיצא לסוף החשבונות בא על סופו, אם יש גלגל עליו, לא יתחלק עוד. כמו זה וזה צורת הנכבד והקשה:

               0
               א 0
           ה ה א
            ו  ו ח 0
            0 ג ט א
        ה ה ה ה ז
        ו  ו  ו  ח ח  0
       0  ג  ב ט  ד א
   ו  ה  ה ה ה  ז  ז
  0  ב  א א ח  ח ח 0

ב ה ד ד ד ד ד ד א ז ז ז ז ז ז ז ז ז ה ח ז ז ז ט ט ט ט בקשנו לחלק חשבון ט' שביעיות על ד' תשיעיות. הנה ראש כל דבר אוֹרְךָ איך תחלק: אחר שתראה שהז' פחות מהט', תצטרך להשיבו אחורנית ותחלה כשתחל לחלק תתן לט' ז' ותכתבנה אחורנית במעלת הד' שתחלק ממנו, שהוא שני לטור. והנשאר י"ד וכן תעשה, עד שישאר במעלת א' לחלוק ז' וכן בשני לחלוק ז' ובשלישי לחלוק ח' וברביעי לחלוק ד'. נשוב לחלק, נשיב הז' שהוא בשני אל השלישי אחורנית ונחלק ממנו ונכתוב ז' תחת ז' ששי שהוא ד' לחלוק והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר ז' ואחריו ח' ואחריו ה' ואחריו ד'. נשוב לחלק נשיב ז' על הח' ונשים אותה במערכת ד' והנותר ט"ו ומה שתשאיר ח' ואחריו ה' ואחריו ה' ואחריו ד' ותכתוב ז' תחת השלישי שהוא הרביעי לחלוק. נשוב לחלק נשיב ח' על ה' ונתן לו ח' תחת השמיני שהוא ז' רביעי לחלוק, ישאר ה' על ה' ואחריו ה' ואחריו ה' ואחריו ה'. נשוב לחלק, נתן ה' על ה' אחורנית ונתן ה' תחת ז' התשיעי שהוא רביעי לחלוק והנשאר י' ומה שתשאיר ה' ואחריו ה' ואחריו ו' ואחריו ב'. ועוד לא יתחלק, כי כבר יצא לחוץ בה' וכי הנותר ה' אלפים וה' מאות וס"ב והמחולק עליו ט' אלפים וט' מאות וצ"ט והמקובל ע"ז אלף וז' מאות ופ"ה. וכלל חלוק החשבון ג' זיינין וג' חיתין וג' דלתין וט' ההין וו' אחת וב' אחת. והכלל כי עם כל החלוקים ד' חוץ מן האחרון שנתמעט עד ג'. כלל החלוק: אם המספר שתחלק עליו שני מספרים או יותר, חלק הטור העליון על סוף הטור השפל, אם מספר העליון גדול מהשפל. ואם השפל גדול מהעליון, השב סוף העליון לעשרות אחורנית על המעלה הקודמת לה ותצרפם עם הנכתב בה. ואם במעלה הקודמת לה גלגל, ספור העשרות. וקח ממנו מה שתוכל לתת למספר השפל האחרון וכתוב מה שתוכל לתת לכל מספרי השפל האחרים מה שתתן לאחרון והיוצא כתבהו באמצע שני הטורים, רחוק מן המעלה שחלקת ממנה במרחק סוף השפל מראשו. וכן תעשה לכל החלוקים שתשוב עליהם כזה החלוק שתמנה מן המעלה שחלקת ממנה כמספר סוף השפל מראשו ושם תכתוב היוצא בחלוק ומהמספר השני לסוף השפל תקחנו מן הסמוך למעלה שחלקת ממנו כמספר הכתוב באמצע הטורים. ואם לא יספיק לך, תשיב מה שנשאר מן המעלה שחלקת תחלה אחורנית אל המעלה הקודמת לה ותצרף עם שנכתב בה וקח ממנה מספרך וכן תעשה לכלם.

לכן שימהו לאחור לז' ויהיו ע"ז וחלקם על ט' ולא תוכל ליתן לו יותר מז' לצורך שאר המספר וישארו י"ד, תניח מהם ז' לחלוק השני וז' תשימהו לאחור על הז' השלישי ויהיו ע"ז וחלקם על ט' השני וישארו י"ד, תניח מהם ז' לחלוק שני והז' תשימהו לאחור אל הרביעי יהיו ע"ז וחלקם על הט' השלישי וישארו י"ד תניח מהם ח' לחלוק שני והו' תשימהו לאחור אל הז' החמישי ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד'. נמצא שנשארו לחלוק השני ז' ז' ז' ז' ז' ח' ז' ז'. החלוק השני: תשלח ז' לאחור ויהיו ע"ז וחלקם על הט' הראשון וישארו י"ד, תניח מהם ז' לחלוק שלישי והז' שלחהו לח' שלפניו ויהיו ע"ח וחלקם על הט' השני ותן לו ז' כמו כן וישארו ט"ו, תניח מהם ח' לחלוק שלישי וז' תשלחהו לאחור אל הד' ויהיו ע"ד וחלקם על הט' השלישי וישארו י"א, תניח מהם לחלוק שלישי והו' שלחהו אל הז' ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד'. נמצא שנשארו לחלוק שלישי ז' ז' ז' ד' ה' ח' ז'. החלוק השלישי: תשיב ז' לאחור ויהיו ע"ח, חלקם על ט' הראשון ותוכל לתת לו ז' ולא יותר וישארו ט"ו, תניח מהם ח' לחלוק הרביעי והז' שימהו לאחור אל הה' ויהיו ע"ה וחלקם על ט' השני ותן לו ז' כמו כן וישארו י"ב, תניח מהם ה' לחלוק רביעי והז' שימהו לאחור אל ד' ויהיו ע"ד וחלקם על ט' שלישי וישארו י"א, תניח מהם ה' לחלוק הרביעי והו' שימהו אחורנית אל הז' ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד'. ונמצא שנשארו לחלוק רביעי ז' ז' ד' ה' ה' ח'. חלוק הרביעי: שים ח' אחורנית על הה' ויהיו פ"ה, תוכל לחלקם על הט' הראשון וליתן לו ח' וישארו י"ג, תניח מהם ה' לחלוק חמישי והח' שלחהו אחורנית אל הה' ויהיו פ"ה וחלקם על הט' השני וישארו י"ג, תניח מהם ה' לחלוק ששי [חמישי] והח' שלחהו אחורנית אל הד' ויהיו פ"ד וחלקם על הט' השלישי ח' כמו כן וישארו י"ב, תניח מהם [ה'] לחלוק חמישי והז' שלחהו לאחור אל הז' ויהיו ע"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ה'. ונמצא הנשאר לחלוק חמישי ז' ה' ה' ה' ה'. חלוק חמישי: שים ה' אחורנית ויהיו נ"ה, תן מהם ה' על הט' הראשון וישארו י', תניח מהם ה' בלתי מחולקים והה' תשלח אחורנית אל הה' השלישי ויהיו נ"ה ותן על הט' השני ה' כמו כן וישארו י', תניח מהם ה' בלתי מחולקים והה' שלחהו אל ה' הרביעי ויהיו נ"ה ותן על הט' השלישי ה' כמו כן וישארו י', תניח מהם ו' בלתי מחולקים והד' שלחהו אל הז' ויהיו מ"ז וחלקם על הט' הרביעי ה' כמו כן. וישארו בלתי מחולקים ב' ו' ה' ה'.

            0
      ב ז א
      ג א ה 0
      ח ג ב א

ב ג ד ה ו ז ה ח 0 ב ט ח

דמיון רצינו לחלק פ"ג אלפים ותקכ"א על תתק"ג

   ד ד 0

ה ה ב ב 0 א ב ה ג ח ב ט ג 0 ט הנה הט' שבטור השפל יותר מח' שהוא סוף העליון, על כן תשיב הח' אחורנית על הג', יהיו פ"ג ונתן לט' מהפ"ג ט', יהיו פ"א ונשארו ב' על הג'. והגלגל לא יוכל לקחת מן הה' העליון. והג' התחתון לא יוכל לקחת מן הה' העליון, כי אינו מעלתו, לכן השיב מן הה' שלשה על הב', יהיו ל"ב, נסיר מהם כ"ז, שהם ט' פעמים ג', שהוא ראשון השפל ונשארו ה' על הב' וב' על הה'. ובעבור שהט' התחתון הוא מעלה השלישית וכבר יצא בחלוק ט', נכתבנו במעלה השנית, שהוא שלישי לג' העליון שחלקת ממנו. נשוב לחלק ונשיב ב' אשר על ג' אל הב' אשר על הה', יהיו כ"ב, נסיר מהם ב' פעמים ט', כי ט' הוא השפל ונשארו ד' על ה' ונכתוב מעלה הראשונה שהוא שלישית לה' העליון שחלקת ממנו בזה החלוק. הנה הגלגל לא יוכל לקחת מאומה מן הה' אשר על הב'. והג' השפל לא יוכל לקחת מן הא' העליון, כי אין בו רק אחד, על כן נשיב אחד מן הה' שעל הב' אל הא', יהיו י"א ונקח מהם לג' התחתון ו', שהם ב' פעמים ג'. ונשארו ד' על הה' וד' על הב' וה' על א' שלא יתחלקו. דמיון אחר רצינו לחלק י"א אלף וש"נ על ק"י

  ב 0 0  0

0 ה ג א א ג 0 א 0 א א לקחנו א' מן הא' האחרון העליון וכתבנוהו במעלה השלישית תחת הג' העליון, לפי שא' האחרון השפל הוא במעלה השלישית וככה נרחיק היוצא מסוף המספר שהחלות לחלק ממנו. וכן קח מא' הרביעי העליון א' השני התחתון. ובעבור שלא נשאר במעלה הרביעית מאומה ונצטרך לשוב לחלק מג' העליון, נקח מהם ג' לא' האחרון מהשפל. ונכתוב ג' במעלה הראשונה שהיא שלישית לג' שהחלנו, עתה נשוב לחלק ממנו ולכן שמנו גלגל במעלה השנית. וזה כי בחלוק הראשון החלנו מסוף העליון ולכן כתבנו היוצא בחלוק ברחוק ג' מעלות ממנו אחורנית כמספר מעלות סוף השפל. אבל בחלוק השני הזה החלנו לחלק מהג' העליון ולכן נכתוב היוצא רחוק ג' מעלות אחורנית והגיע זה אל המעלה הראשונה. וא' השני בטור השפל נקח מה' העליון, ישארו ב' על הה' והם עשרים שלא יתחלקו. והנה היוצא ק"ג.

והנה נשלים לדעת המאזנים אם חלקת נכונה: דע מאזני המספר שחלקת עליו, בין שיהיה אחד, או רבים. גם דע מאזני המספר שעלה בחלוק שכתבת בין שני הטורים, בין שיהיה אחד, או רבים. וכפול זה על זה, ר"ל האמצעי על התחתון ודע הנשאר על ט' ט' והוא השמור, אם לא נשאר לך מספר שנשאר שהוא פחות מהמספר שחלקת עליו. כי אם נשאר, קח המאזנים שלו וחבר אותו עם השמור שהיה לך והמחובר הוא השמור באמת. וראה מאזני המספר הגדול שחלקת אותו שהיה בטור העליון, אם היה שוה למאזני השמור, תדע שחשבונך אמת. ואם תכפול מה שיעלה בחלוק על המספר שחלקת עליו, אחר שתחבר אליהם מה שנשאר לחלק, אז יהיה המחובר שוה למספרי הטור העליון וחלוק נכון.

  השער הג' הוא שער החבור כתוב בספרי חכמי החשבון כי הרוצה לדעת כמה המחובר מן המספרים שיעברו על הסדר עד סוף מספר ידוע, יכפול אותו על חציו בתוספת חצי אחד והעולה הוא המחובר דמיון רצינו לדעת כמה הם המספרים המחוברים מא' עד סוף י"א? הנה ידענו כי חצי י"א ה' וחצי, נוסיף חצי אחד, הנה יהיו ו' והנה נכפול י"א על ו', יעלו ס"ו והוא המחובר. דמיון אחר בזוגות: כמה המחובר עד סוף י"ח? והנה לקחנו חציו והוא ט', כפלנו י"ח עליו ועלו קס"ב ועוד יש לכפול חשבון י"ח על חצי אחד, יעלו ט', חבר אותו עם קס"ב, יעלו קע"א והוא המחובר. ועל אלו שני הדרכים הולך כל חשבון. דרך אחרת: הוסף על סוף המספר אחד שלם וכפול על החצי מהמספר והעולה הוא המחובר. דמיון בנפרדים: כמה המחובר עד סוף י"א? הוספנו אחד והיו י"ב והנה חצי י"א ה' וחצי, כפלנו י"ב על ה' וחצי, עלו ס"ו וככה המחובר. ובזוגות עד סוף י"ח: הנה חציו הוא ט', הוספנו אחד על י"ח, היו י"ט, כפלנו י"ט על ט', עלו קע"א. אמר אברהם המחבר: מצאתי דרך אחרת: תוסיף על מרובע סוף החשבון השרש שהוא בעצמו וראה כמה המחובר וחצי המחובר הוא המבוקש. דמיון ידענו כי מרובע י"א קכ"א ואחר נוסיף על י"א שהוא השרש והוא סוף החשבון, יעלו קל"ב וחציו ס"ו. ומזה הדרך תוכל להוציא כל השאלות שהם בענין הזה. שאל שואל: חברתי מספרים עד שהגיעו למספר ידוע ועלה המחובר תס"ה, כמה הוא סוף החשבון? כפול לעולם החשבון המחובר וקח שרש הנכפל שעבר ובחון אותו, כי אם נשאר בין המחובר (המרובע) ובין הנכפל כמו השרש בלי תוספת ומגרעת, תדע כי החשבון נכון והחשבון בעצמו השרש. והנה כפלנו תס"ה ועלה תתק"ל וידוע כי המרובע שעבר היה תת"ק ושרשו ל' והוא סוף המספרים המחוברים והנה אין בין המרובע והנכפל כי אם ל' והוא סוף החשבון.

דרך אחרת כוללת לזוגות ולנפרדים: תכפול מרובע חצי המספר ותוסיף עליו שורש זה המרובע שהוא חצי החשבון והעולה הוא המבוקש. דמיון רצינו לדעת כמה המחברים עד י"ב? והנה חצי המספר ו' והמרובע ל"ו, כפלהו, יהיו ע"ב, הוסיף על זה ו' שהוא השורש, עלו ע"ח והוא המבוקש.

שאלה אחרת: חברנו כל המרובעים שהם עד סוף החשבון שהוא ידוע, כמה המחובר? יש לך לדעת אותו החשבון שהזכיר, כמה יעלה המחובר מהמספרים שלפניו ועמו, נשים שם לאותו מספר הידוע ונקראנו סכום והנה נקח שתי שלישיות המספר שהזכיר עם תוספת שלישית אחד ונכפול זה המחובר על סכום המספר והעולה הוא המבוקש והוא המחובר מהמרובעים עד סוף המספר הנזכר. דמיון רצינו לדעת כמה המרובעים שהם עד סוף שבעה? וכבר (*) ידענו שהמחובר כ"ח ונשוב לדעת כמה שתי שלישיות שבע עם תוספת שלישית אחד והם חמשה כי שתי שלישיות ועם תוספת שלישית אחד נכפול על הסכום והנה נכפול על הסכום ה' ועלו ק"מ והוא המבוקש. דמיון אחר: כמה המחובר מהמרובעים שהם עד סוף י"ב? וידוע (**) כי הסכום שלו ע"ח ושתי שלישיות ח', נכפלנו על ע"ח, יעלו תרכ"ד, נחבר אליו שלישית הסכום שהוא כ"ו, יעלה תר"נ והוא המבוקש. (***) ענין אחר לדעת כמה המחובר מכל הנכפל? והוא כפל האחרון במגרעת הראשון. דמיון כי המחובר מן ג' ו' י"ב הם כ"ד, בחסרון ג' הרי כ"א והוא המחובר. דמיון אחר א' ב' ד' הם ח', במגרע א' הרי ז' והוא המחובר. וכן אם לא יגיד כי אם סכום אחרון, כמו אם ישאל כמה הם הכפולים זה על זה עד ל"ב? כפול ל"ב, יהיה ס"ד, תחסר אחד, שהוא ראשון, ישאר ס"ג והוא המבוקש.

(*) תמצא חבורו מראשו כמ' שהראיתיך עתה ויהיו כ"ח ושמרהו ועוד תקח מן הז' שני שלישיתיו ושליש והם ה' וכפול ה' בכ"ח ששמרת ויעלו

(**) אז תדע חבורו מראשו ועד י"ב והם כמ' שידעת ע"ח ושמרהו וחזור ותקח שני שלישי י"ב והם ח' ותכפלם על ע"ח, יהיו תרכ"ד ועוד חבר לאלו שליש ע"ח והם (***) ועל זה הדרך תוכל להוציא כל השאלות על זה הענין. ודע כי החבור הוא שתחל לחבר האחדים תחלה ואחר כן העשרות וכן בסדר וזה הפך החלוק שהוא יעשה אחורנית. דרך אחרת: קח המחובר מן י"ב והם ע"ח ותקח שני שלישי י"ג והם ח' וב' שלישים והסר מהם שליש אחד וישארו ח' ושליש ותכפלם על ע"ח, תדע כי הם יעלו כמו כן תר"נ. ואם יאמר: כמה המחובר מהמרובעים עד ח'? קח חבורו של ח' והם ל"ו ובקש שני שלישי ט' והם ו' ותכפלם בל"ו ויעלו רי"ו, הסר מהם שליש ל"ו והם י"ב וישאר ר"ד והוא המבוקש. שאלה: כמה הוא המחובר מד' עד ט'? אז תעשה כמ' שלמדתיך למטה: לכפול ה' בט' ויעלו מ"ה והסר מהם ב' פעמים ג' והם ו' וישארו ל"ט והוא המבוקש. ואם עוד ישאל: כמה היא המחובר מהמרובעים כסדר מד' ועד ט'? אז תעשה כמ' שצויתיך למעלה: למצוא מחוברם מראשם והם מ"ה ושמרם וקח שני שלישי ט' והם ו' וכפלם במ"ה ויעלו ר"ע ועוד שליש מ"ה והם ט"ו ויעלו רפ"ה ותסיר מזה מרובע א' ב' ג' והם י"ד וישארו רע"א והוא המבוקש. ועל הדרך הזה תוכל להוציא כל השאלות מזה הענין.

ואין צורך להזכיר כל זה, רק אזכיר זה דרך מאזנים: כשתחבר מספר אל מספר, בין שיהיו רבים אלו ואלו, שים המספר האחד בטור העליון כפי מעלותיו, גם שים המספר השני כפי מעלותיו בטור השפל. ואח"כ חבר כל אחד אל מעלתו והמחובר כתוב אותו בטור שלישי. ואח"כ חבר מאזני הטור העליון אל מאזני הטור התחתון. ואם היה העולה בין שניהם כמאזני הטור השלישי, אז תדע כי חשבונך אמת.

ועתה אפרש היאך יכנס בלוחות חכמת המזלות והיאך יצרף שניים לראשונים וראשונים למעלות ומעלות למזלות:

ועתה אתן לך דרך כוללת בחכמת המזלות:

חלקו הגלגל על י"ב מזלות והמזל על ל' מעלות. והמעלות הם כמו אחדים במספר וכל מעלה מתחלקת על ששים, יקראו ראשונים. גם כל ראשון יתחלק לששים עוד ויקראו שניים. ואין בלוחות המשרתים שברים יותר מאלה. ודע כי לוחות המשרתים במהלך האמצעי על שני דרכים: האחד על שנות השמש והם שנות הכלל מחוברים עשרים עשרים. והדרך השנית על שנות הלבנה ושנות הכלל מחוברים שלשים שלשים. ובספר טעמי הלוחות אפרש זה. והנה ברצותם לדעת מקום איזה משרת שיבקשו, באיזו שעה שירצו, יכנסו בשנות הכלל שעברו ויכתבו מה שימצאו כתוב שם ממספר המזלות ויכתבו זה בתחלת הטור. ואח"כ יכתבו מה שימצאו במעלות אחרי המספר הראשון באותו הטור בעצמו וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך. אח"כ יכתבו מה שימצאו מן הראשונים אחרי המעלות והמזלות וישימו הפרש בין המספרים בקו ארוך באותו טור בעצמו. ואח"כ ישימו שניים אחרי הראשונים באותו הטור בעצמו ויפרישו ביניהם בקו ארוך. ואח"כ יכנסו בשנות הפרט שעברו ויכתבו מה שימצאו במזלות תחת המזלות והמעלות תחת המעלות והראשונים תחת הראשונים והשניים תחת השניים. ואח"כ יכנסו כנגד החדשים שעברו ויכתבו כל מה שימצאו שם, כל מין תחת מינו. ואח"כ יכנסו בימות החדש שעברו על החדש שלא נשלם ויכתבו כל מה שימצאו כנגדם, כל מין תחת מינו. וככה יעשו בשעות השלמות שעברו אחר חצי היום וככה בחלקי השעה שלא נשלמה. ואח"כ יחל לחבר כל השניים ויקח לכל ששים שניים חלק ראשון ויכתוב כמה ראשונים יעלו מן השניים עם הראשונים שהם לפני השניים והנשאר מן השניים, שהם פחותים מן הששים, יכתבם לבדד במקום אחר. ואח"כ ישוב לחבר כל הראשונים ויקח לכל ששים ראשונים מעלה אחת ומה שיתחבר מן המעלות כתוב אותם עם המעלות שהיו לפני הראשונים והראשונים הנשארים, שהם פחותים מששים, כתוב אותם בטור שכתבת שם השניים, רק יהיו נכתבים לפני השניים. ואח"כ שוב לחבר המעלות וקח לכל שלשים מעלות מזל אחד וכתוב המעלות העולים עם כל המעלות שהיו לך ומה שישארו מן המעלות, שהם פחותים משלשים, כתוב אותם לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד. ואח"כ הוצא כל שנים עשר מזלות שתמצא והנשאר כתוב אותם לפני המעלות שכתבת לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד. אז יהיה לך מקום המשרת בגלגל המזלות עם מעלותיו וחלקיו ושנייו. ולעולם תחל לספור מראש מזל טלה. ואם היה מספר המזלות שנים עשר, כתוב במקום הראוי להכתב שם מזלות גלגל, להודיע כי המשרת עודנו במזל טלה, כי לא נשלם, רק עבר מן המזל כפי המעלות שתמצא כתובות ויהיו הראשונים מן המעלה הבאה. כי אם היו המעלות י"ז, יהיו הראשונים הם שעברו ממעלת י"ח ונחשוב כי הראשונים השלמים היו ט"ו שלמים ונאמר כי השניים היו מ"ה והנה הם שלש רביעיות החלק הראשון של ששה עשר ראשונים.   השער הד' הוא שער החסור לגרוע חשבון אחד מחשבון אחר קל הוא. רק אתן לך דרך כוללת לגרוע חשבונים רבים מחשבונים רבים על דרך חכמי המזלות, גם על דרך חכמי החשבון, כי דרך אחרת יש להם. וככה תעשה: כתוב החשבון שתרצה לגרוע ממנו בטור העליון וכתוב המספרים שתחפוץ לגרעם בטור השפל. ולעולם יהיה מספר האחרון שבטור העליון גדול מהמספר האחרון שהוא בטור השפל ואל תחוש למספרים האחרים. והנה אם מצאת באחת מן המעלות מספר הטור השפל גדול מהמספר שבטור העליון שהוא כנגדו, השב אחורנית מהמספר שאחריו אחד לבדו, כי יספיק לך וחשוב אותו עשרה, על הדרך שאנו עושים בחלוק. דמיון הטור העליון ב'ג'ד'ה' והטור השפל ט'ז'ג'ב' וראוי לגרוע כל אחד מהשפלים מן העליונים, כל אחד ממעלתו, ב' מה' וג' מד'. ולא נוכל לחסר ז' מג' ולא ט' מב'. ולעולם נחל לחסר אחורנית בדרך החלוק והנשאר נכתבנו בטור שלישי כנגד אותה המעלה שבטור השפל. והנה גרענו ב' מה', נשאר לנו ג', כתבנו אותו תחת מעלה הרביעית. חסרנו ג' מד' נשאר לנו אחד ולא כתבנוהו, רק שמנו גלגל במקומו, כי הוצרכנו להשיב אחד אחורנית, כי המספר שבטור השפל לפניו גדול משכנגדו העליון והנה היו י"ג, חסרנו ממנו ז' ונשארו ו', רק בעבור כי החשבון הראשון שבטור השפל גדול מן העליון שבטור העליון, על כן הוצרכנו להשיב אחורנית אחד ונכתוב ה' בטור השלישי והנה היו למעלה י"ב, נחסר ט' ונשארו ג'. וזו היא הצורה: ב ג ד ה ט ז ג ב ג ה 0 ג וכאשר תרצה לדעת המאזנים: תגרע מאזני הטור השפל ממאזני הטור העליון ותשמור הנשאר. ותראה אם היו מאזני הטור השלישי כמוהו, דע כי חשבונך אמת. ואם היו מאזני הטור השפל גדול ממאזני הטור העליון, הוסף לעולם על מאזני העליון ט' וגרע מהמחובר מאזני השפל ותעשה כמשפט. דמיון החסרנו א' מב' נשאר א' השיבונו אחורנית על הגלגל והיו י', חסרנו ז', נשארו ג'. והנה מאזני השפל ח' ומאזני העליון ב', הוספנו עליו ט' והיו י"א, החסרנו ח', נשארו ג' וככה מאזני השפל. 0 ב ז א ג 0 עתה נדבר על דרך חכמי המזלות, כי יותר צורך יש להם לשער הזה מחכמי החשבון: וכבר הזכרנו כי כן תכון המזלות במעלה הראשונה והמעלות בשנית והראשונים בשלישית והשניים ברביעית. ולעולם יחלו לגרוע אחורנית השניים בטור השפל מהשניים בטור העליון והנשאר יכתבהו בטור שלישי כנגד השניים העליונים. ואם היו השניים השפלים רבים מהעליונים, יקח מהראשונים העליונים, אחר יחשבהו ס' שניים ויחבר אליהם השניים הנמצאים בטור העליון ואח"כ יגרע השניים השפלים כמשפט. ואם לקח אחד מהעליונים, יגרענו ממספר הראשונים שהיו שם. ואח"כ יחסר הראשוני' השפלי' מהראשוני' העליונים הנמצאים שם ויכתוב הנשארים כנגדם בטור השלישי. ואח"כ יחסר מעלות ממעלות והנשארים יכתבם בטור השלישי כנגדם. ואם היו המעלות בטור השפל רבות ממעלות העליון, יקח מהמזלות אחד ויחשבנו ל' ויחברם אל המעלות הכתובות שם ואח"כ יגרע וישמר שיגרע אחד ממספר המזלות הכתובים בראשונה. ואח"כ יגרע מזלות ממזלות ויכתוב הנשארים בטור השלישי כנגדם. ואם היו המזלות השפלים גדולים מהעליונים, יוסיף לעולם על העליונים י"ב ואח"כ יגרע ויעשה כמשפט. לדעת המאזנים: יחל מהשניים ויגרע מאזני השניים השפלים ממאזני העליונים וישמור הנשאר ויראה, אם היה כמוהו מאזני השניים בטור השלישי, חשבונו אמת. ואם ראה שלקח ראשון אחד מהראשונים ושם עם השניים, יוסף על מאזני השניים העליונים ו' ואח"כ יגרע כמשפט. ויעשה למאזני הראשונים כאשר עשה לשניים. ואם הוצרך לקחת מעלה והשיבה לס' ראשונים לחברם עם הכתובים שם, הוסף על מאזני הראשונים שהיו שם ו' ואח"כ תגרע ותעשה כמשפט. גם כן תעשה במאזני המעלות כמשפט הראשונים והשניים. ואם לקחת מן המזלות אחד ששמת אותו עם המעלות, הוסף על מאזני המעלות שהיו שם בתחלה ג' ואח"כ תגרע ותעשה כמשפט. ועשה במאזני המזלות כאשר עשית בכל אלה. ואם הוספת על המזלות הראשונים י"ב, הוסף על מאזני המזלות הכתובים בראשונה ג' ואח"כ תגרע ותעשה כמשפט. כלל אומר לך דבר שהוא צורך למגרעת: לעולם האחרון שבסוף הטור העליון יהיה גדול מהאחרון שבטור השפל כשהטורים שוים, שהעליון כמו התחתון. ואם אין הטורים שוים, שהעליון גדול מן התחתון במספר אותיות, בזה ישוב האחד אחורנית ודי לו (*)

(*) דרך אחרת לגרוע חשבון מחשבון בהפך שכתוב למעלה שיחל לגרוע מן האחדים: דמיון רצינו לגרוע ט' מב' והנו כזו הצורה: ב ג ד ה ט ז ג ב ג ה 0 ג נקח מג' שלפניו ויחזירנה לאחור ויהיו י"ב, נשארו ג' ויכתבם בטור השלישי. ועתה נרצה לגרוע ז' מג' ולא נוכל, כי לא נשאר במקום הג' כי אם ב', נקח מן הד' א' ונחזירהו לאחור על הג' שהוא ב' ויהיו י"ב, גרע מהם ז' וישארו ה' ונכתבנו בטור השלישי כנגד הז'. ואחר כן נגרע ג' מד', שהוא ג', שכבר חסרנו ממנו א' ויצא זה כנגד זה, לכן נכתוב גלגל בטור השלישי תחת הג'. ואחר כן נגרע מה' וישארו ג' ונכתבנה בטור השלישי תחת הב'.   השער הה' הוא שער השברים ידוע כי האחד כמו נקודה בתוך עגולה, על כן לא יתכן להיות האחד נשבר, רק בעבור שיקרא הכלל בשם אחד, כמו הצורה שהיא כוללת כל הגוף והגוף מורכב משטחים ובעבור זה יעשה האדם מן האחד שברים במחשבה ושברי שברים. וחכמי החשבון יקחו כל שבריהם מחשבון גדול, שיהיו שבריו אחדים שלמים, על כן יוציאו החצי משנים והשליש משלשה וככה עד סוף המערכת הראשונה בחשבון. והדמיון שיקחו ממנו יקראוהו המורה, כי על מרובעו יחלקו העולה בחשבון והנשאר שלא יתחלק יהיה חלק ממנו, או חלקים, שיוכל להזכירו בשם האחדים, כמו רביעית שלישית והדומה להם. ויש פעמים שיהיה המורה חשבון שאין לו חלקים שיוכל האדם לבטא בהם, כי הוא חשבון ראשון, איננו מורכב, כמו י"א או י"ג והדומים להם. וכבר הזכרתי כי המערכת הראשונה ט' מספרים. והנה האחד מפאה אחד איננו מספר ומפאה אחרת הוא מספר. והוא דומה לנפרד: כי בחברך כל הנפרדים זה על זה על הסדר יולדו המרובעים. ודברים רבים אין צורך להזכירם. והנה נשארו במערכת הראשונה שמנה מספרים והנה חציים ראשונים וחציים מורכבים: הראשונים הם: שנים, שלשה, חמשה ושבעה. והמורכבים: ארבעה, ששה, שמנה ותשעה. וכאשר יצטרכו לשנים שברים, שאינם ממין אחד שלם, שלא ידמה זה לזה: יבקשו כל אחד מהשברים, מאיזה חשבון יצא כל אחד מהם ויכפלו חשבון האחד על האחר והעולה בחבור הוא המורה. ואם היה ג' מינים: יכפול החשבון, שיצאו ממנו השברים, על החשבון השני, שיצאו ממנו שברי השני והמחובר יכפלהו על המספר, שיצאו ממנו שברי השלישי. וככה יעשה אם היו ד' מינים או יותר, כי יבקשו מורה אחד לכלם. ונקרא בשם הזה בעבור כי הוא יורה הדרך הישר ואם תרצה, קרא לו שם אחר כי לא יזיק. ואחר שאומר לך דרכי זה המורה, אומר לך איך תוכל להוציא שני שברים משני מורים, כי הם יותר דרך קצרה. ואחר שאשלים לדבר על שברי דרך חכמי החשבון ומחלוקותיהם, אפרש לך שברי חכמי המזלות, כי דרך אחרת להם. ואחל לתת לך דמיונות מן הקלים ואח"כ אזכיר הכבדים. ואומר לך כלל בתחלה: כי כפלי השברים הפך כפלי השלמים. כי האומר כפול חצי על חצי, כאלו אומר קח חצי החצי והנה העולה רביעית אחד. ידענו כי החצי יצא משנים והנה חציו אחד וחצי האחר גם הוא אחד והנה אחד על אחד אחד והנה מרובע המורה ד' והנה זה האחד הוא רביעי והוא חצי החצי. והנה נעשה להפך מנהגנו בשלמים, כי נבקש לעולם מהו ערך הנכפל ממרובע המורה. וכפל שלישית על שלישית יהיה העולה תשיעית. וכפל רביעית על רביעית יהיה העולה י"ו והנכפל אחד והנה הוא חצי שמינית. ועל זה הדרך עד עשרה וככה למעלה ממנו: כמו חלק אחד מי"א כפול על חלק אחד מי"א והנה חלק אחד מקכ"א, שהוא המרובע. ועל זה הדרך תכפול שברי מין האחד על שברי המין בעצמו, בין שיהיו שוים, או שיהיה אחד מהם גדול מהאחר ואח"כ תחלק על מרובע המורה הנכפל. דמיון: רצינו לכפול ג' רביעיות על ג' רביעיות. והנה המורה ד', לקחנו לכל אחד מג' רביעיות ג' והנה הנכפל ט', חלקנו אותם על י"ו, שהוא מרובע המורה, הנה הוא חציו וחצי שמיניתו. ואם תרצה, חלק ט' על ד' והדבר יצא שוה, כי רביעית הרביעית חצי השמינית. דמיון: בקשנו לכפול ג' חמישיות על ד' חמישיות. והנה המורה ה', לקחנו בעבור הג' חמישיות ג' ובעבור הד' חמישיות ד', כפלנו ד' על ג', עלו י"ב והוא הנכפל והנה ב' חמישיות המרובע וב' חמישיות חמישית ואם אמר שברים מב' מינים: שיאמר: כפול לי ב' שלישיות אחד על ג' רביעיותיו. נבקש המורה לשניהם ונכפול ג' על ד' והוא המורה והנה נקח בעבור ב' השלישיות ח' וג' רביעיות ט', נכפול ח' על ט', יעלו ע"ב והוא חצי קמ"ד, שהוא מרובע המורה ועלה בחשבון מחצית אחד שוה ואם תכפול ב' על ג', יהיה כמו כן מחצית המורה, שהוא י"ב. ואם עשית זה מב' מורים, יהיה הדבר יותר קל ואין צורך למרובע המורה, רק הסתכל לעולם אל הנכפל העולה מכפל המורה האחד על האחר וחשבהו כמו המרובע ועליו תחלק. דמיון: לקחנו המורה האחד ג', בעבור כי אמר שלישיות והמורה האחר ד', בעבור כי אמר רביעיות, נכפול המורה האחד, שהוא ג', על המורה האחר, שהוא ד' ועלו י"ב והוא המבוקש, כי העולה נקח ערכו אליו ונקח בעבור הב' שלישיות שנים, כי מג' לקחנוהו ומג' רביעיות שלשה, כי מד' לקחנוהו ונכפול ב' על ג', עלו ו' והוא חצי מספר הנכפל מהמורים. שאלה: כמה ד' שביעיות כפולים על ז' תשיעיות

        63
	 

נבקש מורה אחד לשניהם והנו ס"ג, בכפל ז' על ט' וד' שביעיותיו הם ל"ו, כי השביעית ט' וז' תשיעיות מ"ט, כי התשיעית ז'. ונכפול ל"ו על מ"ט, עלו אלף ותשס"ד ומרובע המורה ג' אלפים וט' מאות וס"ט. 36 49 1254

 24
 27

1764 וכאשר חלקנו חשבוננו הראשון על ס"ג, עלו כ"ח, שהם ד' על ז' והם מן ס"ג ד' תשיעיות שלמות, או אם תרצה לומר שהם ג' שביעיות ותשיעית שביעית. 0 02 500 28 | 1764 63 ואם לקחנו בב' מורים, יהיה הנכפל ס"ג והעולה בידנו בכפל כ"ח והנה הדבר שוה. ואם היו שברים מג' מינים: כמו ב' שלישיות וה' ששיות וד' שביעיות: קח להם מורה אחד והוא שנכפול ג' על ו', עלו י"ח, עוד נכפול י"ח על ז', עלה קכ"ו והוא המורה, הנה ב' שלישיות קכ"ו פ"ד וה' ששיות ק"ה וד' שביעיות ע"ב, כפלנו פ"ד על ק"ה והמחובר על ע"ב והעולה מהם בחלוק הוא חלק ממרובע קכ"ו והחלוק יהיה מ'. ואם נקח להם ג' מורים, מפני היותם ג' מינים, לא תצטרך למרובע המורה, אבל תקח המורה עליו תחלק הנכפל מהמספרים. דמיון: כפלנו ב' על ה', עלו י', כפלנו י' על ד', עלו מ' והוא חלק מקכ"ו, שהם ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית. או תעשה כן: כפול ג' על ו' והוא י"ח והוא המורה וכפול ב' על ה', יהיו י', נקח ד' שביעיות מי', יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית. או כפול ו' על ז' והיו מ"ב והוא המורה וכפול ה' על ד', יהיו כ', נקח ב' שלישיות מכ', יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית. או כפול ג' על ז', עלו כ"א והוא המורה ואח"כ כפלנו ב' על ד', עלו ח', לקחנו ה' ששיות והעולה הוא חלק מכ"א. ואם היה לנו שלמים עם מספר שאין שם שלמים כי אם שברים: נקח השברים מהמורה ולכל שלם נתן לו מורה שלם כמספר המורה השלם ונחלק באחרונה על המורה. דמיון: רצינו לכפול ד' שלמים על ג' חמישיות אחד. והמורה ה' (ובעבור שיש לנו ד' שלמים, נקח להם כ') ונכפול ד' על ג' ונחלק בה', יעלו ב' שלמים וב' חמישיות. ואם רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים, שהם ממין אחד: נכפול בתחלה השלמים על השלמים ואח"כ הנשברים על השלמים של חשבון האחד, גם השלמים של חשבון האחד על הנשברים של החשבון האחד ואח"כ הנשברים על הנשברים.

או נשיב הכל נשברים ונכפול אלה על אלה והעולה נחלקנו על מרובע המורה.

דמיון: רצינו לכפול ד' שלמים וב' חמישיות על ה' שלמים וג' חמישיות כזה:

נכפול תחלה השלמים על השלמים, עלו כ', אח"כ נכפול ד' על ג', יהיו י"ב חמישיות שברים, גם ב' על ה', יהיו י' שברים במיניהם והנה כ"ב שברים ואח"כ נכפול השברים על השברים, ב' על ג', יעלו ו' והם שברי שברים במעלה השלישית השלמים, נחלקם על ה', שהוא המורה, עלה שבר אחד ונשאר לנו במעלה השלישית אחד, שהוא שבר השבר והשבר שעלה בידנו נחברנו אל כ"ב שהיה לנו, הנה כ"ג, נחלקם על ה', עלו ד' שלמים ונשארו ג' והנה השלמים כ"ד והשברים ג', שהם ג' חמישיות, שהם ט"ו מכ"ה, שהוא המרובע ושבר השבר, שהוא חומש החומש שהוא והם י"ו מכ"ה. והדרך האחרת: לקחנו לד' השלמים כ', הוספנו עליו ב', שהם השברים, עלו כ"ב חומשין והוא החשבון האחד. גם השני על הדרך הזאת כ"ח. נכפול זה על זה ונחלק העולה על המרובע, שהוא כ"ה, יעלו כ"ד וישארו י"ו שלא יתחלקו. דמיון אחר: רצינו לכפול ג' שלמים וד' חומשין על ב' שלמים וג' חומשין כזה:

נכפול תחלה שלמים על שלמים והם ו' ואח"כ נכפול שלמים על שברים האלכסונין, ג' על ג' והם ט' וב' על ד' והם ח' ובין הכל י"ז שברים ממעלה העליונה ונכפול שברים על שברים, ד' על ג' והם י"ב שברי שברים מהמעלה השנית, נחלקם על ה', עלו בידנו ב' שברים והנשאר ב' שברי שברים, שלא עלה בחלוק, נחבר מה שעלה בחלוק עם השברים, שהוא י"ז והם י"ט, נחלק על ה', עלו ג' שלמים, נחברם אל השלמים, שהיו ו' והם ט', נשארו ד', שהם כ' שברי שברים ועם שנים שהיו לנו, הם כ"ב והנה סך הכל ט' שלמים וכ"ב שברים מכ"ה השלם. דמיון רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים, שאין השברים ממין אחד: הנה על הדרך הזה האחד ג' שלמים וד' חמישיות והשני ו' שלמים וז' שמיניות כזה:

כפול האחדים על האחדים, שהם במספר הראשון. גם כפול השברים על השברים כמשפט, כי כפל השברים על השברים הם חלקי המורה. רק יש לנו לשמור כשנכפול השלמים על השברים, כי אין מחלקותם שוה. והנה נכפול שלמים על שלמים: ג' על ו', עלו י"ח ונכפול עוד אלו ג' על שברי החשבון, שהם ז', יעלו כ"א, נחלקם על ח', כי שמיניות הם, יעלו ב' שלמים והנה ב' שלמים ונשארו ה' שמיניות, ידענו כי המורה הוא מ', כי תכפול ה' על ח' ואלה הה' שמיניות כ"ה חלקים, כי תכפול ה' על חמישיות, שהם ה' ונשוב לכפול הו' על ד' חמישיות, יעלו כ"ד, נחלקם על ה', יעלו ד' שלמים והנה יהיו השלמים כ"ד וישארו ד' חמישיות והם ל"ב חלקים, כשתכפול ד' על ח', נחבר אליהם הכ"ה חלקים שהיו לנו, יעלו נ"ז חלקים, נעשה מהם אחד שלם מארבעים ויהיו כ"ה שלמים ונשארו י"ז, אח"כ נכפול ד' על ז', יעלו כ"ח חלקים, נחבר אליהם י"ז, יהיו מ"ה והנה נתן אחד שלם ממ' ויהיו השלמים כ"ו והנשאר ה' חלקים, שהם שמינית אחד. ודרך חכמי החשבון, שיבקשו לשברים שאינם ממין אחד מורה אחד כולל שניהם ומספר המורה הוא אחד שלם. ובעבור כי השברים הם חמישיות ושמיניות, יהיה המורה ארבעים והנה נקח לחשבון שהוא ג' ק"כ ולד' חמישיות ל"ב, הנה המספר קנ"ב וזה צורת האותיות ונקח לו' השלמים ר"מ ונחבר אליהם ל"ה, שהם ז' שמיניות, יהיה המספר השני רע"ה והנה נכפול זה על זה והנה עלה מ"א אלף וח' מאות וז' הצורה: 152 275 13110

 2744
 25
   5
   5

41800 חלקנום על אלף ושש מאות, שהוא מרובע המורה, עלו כ"ו שלמים, נשארו ר', שלא עלו בחשבון:

     0
     08
   292

41800 | 26 1600 ובקש מהו ר' מן המרובע, שהוא אלף ושש מאות והנה הוא שמיניתו. ונוכל לדעת זה הנשאר בדרך אחרת: שנחלק לעולם הנשאר מהמרובע על המורה בעצמו והעולה הם חלקים ממנו. והנה נחלק ר' על מ', עלו ה', שהוא שמיניתו. דרך אחרת מב' מורים: הנה נשים החשבון האחד, שהוא ג', ט"ו ונחבר אליהם ד', יהיה החשבון הראשון י"ט, נקח לששה מ"ח, נחבר אליהם ז', יעלו נ"ה והוא החשבון השני, נכפול זה על זה, יעלו אלף ומ"ה, נחלק אותו על הנכפל, שהוא כפל ה' על ח' והוא מ' ויעלו כ"ו שלמים, נשארו ה', שהוא שמינית.

ועתה יש לנו לדבר על שלמים ונשברים, שלא יוכל האדם לבטא בהם. והנה אם היה אחד מהשברים שיוכל לבטא בהם והאחרים שלא יוכל לבטא בהם, יעשה ככה: דמיון: כמה שלש שביעיות אחד על ה' חלקים מי"א כי הוא השלם ולא יוכל אדם לבטא בו. והנה נכפול השברים על השברים והנה יהיה המורה ע"ז והנה יש לנו להשמר כי השברים יהיו להפך, כי כל אחד מהז' יהיו י"א וכל אחד מהי"א יהיו ז' והנה נקח בעבור ג' שביעיות ל"ג ובעבור ה' חלקים מי"א נקח ל"ה והנה נכפול אלה על אלה, עלו אלף קנ"ה, נחלקם על ע"ז, עד שנדע כמה הם השברים העולים מזה הכפל אל ערך ע"ז שהוא השלם והם ט"ו והנה מן ע"ז פחות מעט מחמישית אחד. ועל דרך דקדוק יפה נחלק אלה ט"ו על י"א, שהוא השביעית, יעלה שביעית אחד שלם וד' חלקים מי"א. ואם נחלק על ז', יעלו ב' חלקים מי"א ושביעית חלק. דמיון אחר לב' שברים שלא יוכל האדם לבטא בהם: נשים החשבון האחד י"ג והשני י"ט והנה בקשנו לכפול ט' חלקים מי"ג על י"ז חלקים מי"ט. נבקש בתחלה המורה בזה הדרך: שנכפול י"ג על י"ט ועלה המספר רמ"ז והוא המורה, אח"כ כפלנו ט' בי"ט ועלה קע"א וכפלנו י"ז בי"ג ועלה רכ"א והנה כפלנו זה על זה והיה העולה ל"ז אלפים ותשצ"א, חלקנום על רמ"ז והיה קנ"ג והנה העולה מכפלנו ט' בי"ז הוא ג"כ קנ"ג וערך זה אל רמ"ז כערך המספר הראשון אל המרובע רמ"ז והוא המבוקש 0 010 0172 153 | 13040 37791 247 ואם תרצה לדקדקנו, חלק קנ"ג על י"ט ויהיו ח' חלקי' מי"ג וחלק אחד מי"ט בי"ג, או אם תרצה חלקהו על י"ג ויהיו י"א חלקי' מי"ט וי' חלקים מי"ג בי"ט. ואם היו לך שלמים עם שברים שהם בדרך זה, עשה כדרך שהראיתיך כשיהיו לך שלמים עם שברים שתוכל לבטא בהם. והזכרתי זה הדרך כי צורך גדול יש אליו ברובי השאלות ובדברי המרובעים לדעת שרשיהם כשהם נשברים ולא יוכל האדם לבטא בהם, כמו שאפרש בשער השביעי. ואומר לך דרך כוללת לשבר שברי הנשברים ואתן דמיון אחד ויספיק לך, כי אין צורך לדבר הזה בערכים ולא בשרשים ולא בשאלות דמיון: כפלנו ב' שלישיות רביעית חמישית על שש (ד') שביעיות שמינית. והנה השברים רבים, אך אלמד לך דרך קצרה איך תעשה: דע כי מאחר שיש לך ששיות ושמינית אין צורך לשלישית ורביעית והנה נבקש חשבון שיש לו חמישית וששית ושביעית ושמינית. נכפול ה' על ו', יעלו ל', גם ל' על ז', יהיו ר"י, גם ר"י על ח', יעלו אלף ו' מאות ופ'. והנה נבקש המספר הראשון והנה חמישית המורה של"ו ורביעיתו פ"ד וב' שלישיותיו נ"ו וזהו החשבון האחד. וכבר ידענו כי השמינית ר"י ושביעיתו ל' ובעבור שהם ד' שביעיות, יהיה המספר השני ק"כ. נכפול זה על זה, יהיה המספר י' (ו') אלפים ופ' (תש"כ), חלקנו זה על אלף ו' מאות ופ', עלו ו' (ד') ואלה הו' (ד') הם חמישית שמינית (חצי ששית) השביעית שהשביעית ר"מ והשמינית ל' והחמישית ו'. ועתה נשוב לדבר על חלוק השברים: עשה כדרך שהראיתיך, שתשיב הנשברים אחדים שלמי'. ואם היו שלמים עם השברי', עשה כמשפט דמיון: בקשנו לחלק ג' שלמים ושתי חמישיות על ב' שלמי' וד' שביעיות אחד. והנה המורה ל"ה והג' שלמים ק"ה וב' חמישיות י"ד והנה החשבון קי"ט ונשיב הב' השלמים האחדים ע' והד' שביעיות כ', הנה צ', חלקנו קי"ט עליו, עלה אחד שלם ונשארו כ"ט, שהם שתי תשיעיות ועשירית אחד

         35
	    

105 14 70 119 20

      02	90

1 | 119

    90

דמיון לנשברים לבדם: חלק ז' תשיעיות על ב' שביעיות. והנה המורה ס"ג ושבע תשיעיותיו מ"ט וב' שביעיותיו י"ח, חלקנו זה על זה, עלו ב' וו' תשיעיות וחצי תשיעית. ועל זה הדרך תעשה, כי אין צורך גדול לחלק הנשברים. ונשוב לדבר על חבורם: חברנו ב' חמישיות אחד על ה' שביעיות אחד, כמה העולה? הנה המורה ל"ה וב' חמישיותיו י"ד וה' שביעיותיו כ"ה, נחברם והנה ל"ט, נקח בעבור ל"ה אחד שלם ונשארו ד', שהם ד' חמישיות מהשביעית, שהם אחד מל"ה. שאלה: חברנו אל ממון תשיעיתו ועשירתו והיו נ'. נשים המורה צ' וידוע כי תשיעיתו ועשיריתו י"ט, נוסיפם על צ', יהיו ק"ט והנה גם נשיב הנ' מערך התשיעית, יהיו ד' מאות ונ' נשיב הד' מאות ונ' מערך העשירית יהיו ד' אלפים ות"ק, נחלק זה על ק"ט ויעלו מ"א שלמים גם ל"א חלקים מזה שחלקנו עליו. והנה נבחן אם זה אמת: ידענו כי עשירית מ' ד' שלמים ונקח לאחד שנשאר ק"ט, נחבר אליו ל"א שהם יתרים על השלמים, הנה ק"מ ועשיריתם י"ד ואלה הם חלקי העשירית הנוספים על השלמים ונשוב לקחת התשיעית והנה מל"ו ד' שלמים ונשארו ה' שלמים, נשים כל אחד ק"ט, יהיו תקמ"ה, נחבר אליהם ל"א היתרים על השלמים, יהיו תקע"ו ותשיעיתם ס"ד, נחבר אליהם י"ד שעלו מן העשירית, יהיו ע"ח, גם נחבר אליהם ל"א היתרים, יהיו ק"ט והנה אחד שלם והנה הכל נ' שלמים. שאלה אחרת: לקחנו חמישית ממון, גם שביעיתו ותשיעיתו, כמה הוא מערך הממון? תוכל להוציא שאלה זו על שני דרכים: האחד: שהתשיעית פחותה משאר השברים האחרים, הנה נחשוב כי הם ג' תשיעיות והיתרון שיש בין החמישית והתשיעית ד' והיתרון שיש בין החמישית והשביעית ב', נכפול ב' על ד', יעלו ח', נעשה מן הז' תשיעית אחת, יהיו ד' תשיעיות שלמות ונשאר אחד והיתרון בין השביעית (?) והתשיעית (?) ב' והנה הממון הוא ד' תשיעיות וג' חלקים, שהם ג' חמישיות שביעית תשיעית. והדרך האחרת: שנבקש מורה שנכפול ה' על ז', יהיו ל"ה, גם נכפול זה על ט', יעלו שט"ו והוא המורה ואח"כ נחבר חמישית זה המורה ושביעיתו ותשיעיתו, יהיו קמ"ג, נחלקם על ל"ה והנה הם ד' תשיעיות ונשארו ג' חלקים מל"ה, כי ל"ה הוא התשיעית וה' הוא שביעית התשיעית ולכן ג' חלקים הם ג' חמישיות שביעית התשיעית. שאלה אחרת: ממון, הוספנו עליו מחציתו ושלישיתו וחמישיתו וששיתו ובין הכל היו מ', כמה היה הממון? ידענו כי החצי והשלישית והששית הוא אחד שלם ונחשוב כי היה לו אחד והנה שנים ויש לנו תוספת החמישית, הנה יש לנו לחלק מ' על ב' וחמישית והעולה הוא הממון והנה נקח לכל אחד מהשלמים ה' ונשים עמהם א' שהוא החמישית, יהיו י"א, גם נכפול מ' על ה', עד שיהיו דרך אחד, יהיו ר', נחלקם על י"א, יעלו י"ח שלמים ועוד ב' חלקים מי"א. נבחן זה: נקח חציו, שהוא ט' שלמים וחלק אחד מי"א והנה יהיה לנו כ"ז שלמים וג' חלקים מי"א והשלישית ו' שלמים וב' שלישיות אחד והנה יהיו לנו ל"ג וג' חלקים וב' שלישיות והחמישית מט"ו, נקח ג' שלמים, היו לנו ל"ו שלמים ונשאר לנו לקחת חמישית ג' שלמים והנה נקח לכל אחד י"א ונחבר אליהם הב' חלקים היתרים, יהיו ל"ה וחמישיתם ז', נחבר אליהם הג' חלקים שהיו לנו וב' שלישיות ונקח ששית י"ח, יהיו ג' שלמים, נחברם אל ל"ו, יהיו ל"ט שלמים ושתי ששיות )שנים( הם שליש אחד, נחברנו אל י' חלקים וב' שלישיות חלק שהיו לנו, יהיו י"א חלקים והוא אחד שלם והכל מ'. שאלה: אדם עבר על אנשים, אמר להם: שלום עליכם מאה איש, ענו לו: אין אנחנו מאה, רק אנחנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעיתנו ועמך נהיה מאה. והנה נקח למספרם אחד ואחד כמוהו, הנה שנים וחצינו חצי אחד, הנה שנים וחצי נוסיף רביעיתנו, הנה יהיו שנים וג' רביעית ובעבור שיש לנו רביעיות, נקח לכל אחד שלם ד', יהיו ח' ונחבר אליהם הג' רביעים, יהיו י"א ובעבור שאמרו כי עמו יהיו מאה, יהיה מספרם עם התוספת (ת)צ"ט, נשיבם מדרך הד', יהיו שצ"ו, נחלקם על י"א, יהיו ל"ו וככה מספרם. שאלה: אדם קנה בק' זהובים ק' ליט' ואח"כ מכר הנ' ליט' ורביע בזהוב והנ' האחרים מכר ליט' פחות רביע בזהוב, נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד. נשיב הנ' ראשונים ר', כי רביעיים הם, נחלקם על ה', כי ליט' ורבי' ליט' מכר בזהוב ויהיו מ' זהובים, גם נכפול הנ' האחרי' על ד', יהיו ר', נחלקם על ג', כי ג' רביעיי' מכר בזהוב והנה יהיו ס"ו זהובים ושתי שלישיות זהוב, נחבר אליהם המ', יהיה הריוח ו' זהובים ושתי שלישיות. שאלה אחרת: אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט, כמה היה ממונו? בקש המורה והוא ל"ה שהוא כפל ה' על ז' והנה ג' חמישיותיו כ"א וד' שביעיותיו כ' והממון היה כ' והליט' י"ב. שאלה: אדם קנה ד' שביעיות ליט' בפשוט ומכר אותם ה' תשיעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט, כמה היה הממון? ידוע כי ד' שביעיות אחד יותר מה' תשיעיות אחד והנה המורה ס"ג וה' תשיעיותיו ל"ה וד' שביעיותיו ל"ו. ותוכל לבחון זה: כי אחר שקנה ד' שביעיות ליט' בפשוט וממונו ל"ה, הנה יש לו כ' ליט', עשה מהם תשיעיות, יהיו ק"פ, חלק זה המספר על ה', כי ה' תשיעיות מכר בפשוט, יעלה בידך ל"ו. ואלו אמר כי הרויח ב' פשוטים: כפלם על ל"ה, יהיו ע'. ואם אמר ג' פשוטים: יכפול על ל"ה ג' פעמים וככה עד סוף החשבון. שאלה: אדם קנה ט' חלקים מי"ז חלקי ליט' בפשוט ומכרם י' חלקים מי"ט חלקי ליט' בפשוט והרויח פשוט, כמה היה הממון? בקש המורה והוא שכ"ג, ידוע כי ט' חלקים מי"ז הם קע"א וי' חלקים מי"ט הם ק"ע וכך היה הממון והליט' צ'. וזה דבר המגרעת קל הוא, כי תשים מורה אחד לב' שברים והמורה תשימנו אחד שלם. דמיון: רצינו לגרוע ד' תשיעיות מה' שביעיות.

    63
   

המורה ס"ג וה' שביעיותיו מ"ה וד' תשיעיותיו כ"ח חסרנו כ"ח ממ"ה ישארו י"ז. 45 28 17 עתה נשוב לדבר על דרך חכמת המזלות: ושים לבך להבין דרכיהם, כי תלמי וחביריו לא מצאו דרך שרשי המרובעים, אלא על פיהם. ודע כי כל עגול ומה שאיננו עגול יכול האדם לחלקו על כמה חלקים שירצה, כפי חפצו וצרכו. והנה חכמי החשבון לא מצאו חשבון קטן, שיש לו חלקים רבים, שהם אחדים שלמים, רק י"ב, כי יש לו חצי ושלישית ורביעית וששית וחצי ששית. והיה כן בעבור שאין חשבון פחות ממנו, שיהיו חלקיו רבים ממנו, רק הוא לבדו, כי חלקיו יוסיפו עליו שלישית. וק"כ דומה לו בעשרות, על כן חלקיו כפל המספר בלי תוספת ומגרעת. ע"כ חלקו חכמי המזלות הגלגל לי"ב. וקראו כל מזל בשם צורת הכוכבים העליונים, שהם קרובים לקו גלגל המזלות. ועוד כי מצאו בשנת השמש, שתתחדש הלבנה י"ב פעמים. וחלקו הגלגל על ש"ס מעלות, שזה המספר קרוב למספר ימי שנת החמה. ואין מספר פחות ממנו, שכל החלקים שיבטא אדם בהם יש לו, חוץ מהשביעית. ע"כ כשיכפול זה החשבון על ז', יעלה אלפַים וה' מאות וכ' וזהו המספר שיש לו כל החלקים. ופעמים רבות שיצטרכו בעלי החשבון אליו: כאומר: חשבון חברנו אליו כל החלקים מחצי עד עשירית, מה ערך המספר אליו? כי יחשוב זה החשבון הכולל כי הוא אחד שלם. וכאשר חלקנו הגלגל על י"ב, עלה לכל מזל ל' מעלות ואין מספר פחות ממנו, שיש לו חלקים רבים כמוהו, כי יש לו חצי, שלישית, חמישית, ששית ועשירית. ובעבור שאין לו רביעית, כפלו זה החשבון והיה ס', על כן חלקו כל מעלה ממנו, שהיא כמו אחד, על ששים חלקים וקראו אותם חלקים ראשונים וחלקו כל ראשון לששים וקראום שניים, גם ככה עשו על כל שני על ששים והעולה יקראו שלישיים וככה יעשו עד עשרה, כל אחד לששים ויותר אם יצטרכו. ועתה יש לדבר איך יכפלו זה על זה: ולעולם חשוב כי המעלות הם כמו אחדים שלמים. והנה אם כפלת מעלות על מעלות, יהיה הנכפל מעלות, וכפל מעלות על ראשונים ראשונים, ועל שניים שניים. והכלל: כפל מעלות על איזה מין שיהיה יעמוד אותו המין בעצמו. וכפל ראשונים על ראשונים יהיה העולה שניים וראשונים על שניים יהיה העולה שלישיים ועל זה הדרך כל המינין. וכפל שניים על שניים יהיה הנכפל רביעיים ועל שלישיים חמישיים. וכפל שלישיים על ששיים ששיים, עד שיהיה כפל שלישיים על רביעיים שביעיים. וחמישיים על חמישיים, או שלישיים על שביעיים עשיריים. והנה אתן לך שנים דרכים נכונים: הדרך האחד במכתב: שתשים המעלות במעלה הראשונה והראשונים במעלה השנית וככה כל השברים זה אחר זה. וזה המכתב בהפך מה שאנו עושים בכפל השלמים, כי החשבון המעט הוא בראשונה. ואם אין לך מעלות, כתוב גלגל בראשונה ואם אין לך ראשונים, כתוב גלגל במקומו וככה תעשה במקום כל שבר, אם יש שבר אחריו פחות ממנו. ובזה הדרך תוכל לדעת באיזו מעלה מן השברים יעמד איזה שבר שתרצה ועשה כדרך השלמי', רק יש לך להשמר, שתשים קו באורך בין מיני השברים כלם. ואם היו ב' חשבונים באיזה מין שיהיה מן השברים, כגון כ"ב, יש לך לעשות כשתכתבם שים אותם ברוחב שבין שני הקוים במעלתם, על הדרך שאתה עושה בשלמים, כזה: הנה כבר שמנו קוים בין השברים והגענום עד שלישיים, ככה הטורים העליונים וככה השפלים. וכאשר כפלנו הטורים העליונים על השפלים, עלה מספרם המספר הכתוב למטה. חלקנו כל מעלה על ששים וחברנו העולה על ההוה במעלה הראשונה והנשאר כתבנו לבדד וככה עשינו מכל מעלה ומעלה, עד שהגענו למעלות, שהם כמו השלמים. והנה נשארו מן הששיים ג'ג' ומן החמישיים ו'ה' ומהרביעיים א'ג' ומהשלישיים ד'ב' ומהשניים 0ג' ומהראשונים ז' ומהמעלות גם כן ז'. והדרך השנית במבטא: שתחבר השנים השברים ובמחברתם מעלות השברים. וכאשר עשינו על דרך חכמי החשבון, שהשיבונו הטורים העליונים אל שלישיים, עלה החשבון כך: ג' ד' ו' ד' ו' ד'. ככה עשינו בשפלים, עלה החשבון כך: א' ה' ד' ה' א' ז'. והנה כפלנו זה על זה ועלה המספר כזה: ג'ט' ט'ח' ט'ב' ט'ב' ד'ב' ג'ג' והם י"ב טורים. והנה כל אלה ששיים, חלקנום על ס' ועלו חמישיים כזה: ו' א' ג' ח'ח' ד'0 ד'ה'ה' ונשארו ל"ה ששיים במספר הראשון. וככה עשינו על זה הסדר והיה המספר שעלה באחרונה, גם הנשאר מכל מעלה ומעלה, כמספר הדרך הראשונה. והוצרכתי להראות דרך אלה החלקים, שהם הראשוני' עד שלישיים, כי על זה הדרך הוציא תלמי המלך יתרי הקשתות, עד שהגיעם אל חמישיים והם בכפל עשיריים. וכל זה עשה להוציא שרשי המרובעים שאין להם שורש נכון באמת, רק יוציאוהו קרוב אל האמת, כי לא ישארו בחלוק הכפל ראשונים ולא שניים ואפילו שלישיים, כאשר אפרש בשער השביעי. ודע כי יש בכל חכמה דברים נעלמו מעיני כל החכמים הקדמונים וגם מכל הבאים אחריהם: כמו שרשי המספרים שאינם מרובעים בחכמת החשבון. וככה בחכמת המדות, לדעת הקו הסובב מאלכסון ידוע. ולא יכול ארישמדס החכם לקרבו אל האמת, רק שנתן ראיות מחכמת המדות, כי הקו הסובב ראוי להיותו שלשה מהאלכסון ותוספת י' חלקים מע' במעלה אחת והביא ראיות שיפחתו מחלק אחד מאלו החלקים שניים ולא ידע כמה הם, רק הביא ראיה כי התוספת ראויה להיות יותר י' חלקים מע' חלקים וחצי חלק. ותלמי המלך תפס הדרך האמצעית, על כן אמר כי התוספת היא ח' חלקים מס"ג, גם ל' שניים ובסוף השער השביעי נדבר על זה. וככה בחכמת התולדת מצאו חכמים בדרך נסיון בעשבים ובאבנים ובבתי אברי הגוף האדם והם אמת ואין אחד מהם יודע למה היה ככה, רק השם ית' הנשגב לבדו.

  השער הו' הוא שער הערך מיני הערכי' על ג' דרכים: האחד ערכי החשבון והם על הסדר, כמו א' ב' ג', כי לא יתכן להיות הערך פחות מג' מספרים, או ב' ד' ו', או ג' ו' ט'. והטעם כי הערך בכלם שוה. פי' כי כיתרון ד' על ב' כן יתרון ו' על ד'. והערך השני ערכי המדות, כמו ד' ו' ט', כי ערך ד' אל ו' כמו ערך ו' אל ט'. כן כפל הקטן אל הגדול ככפל התיכון על עצמו שהוא מרובעו. ודע כי אלה הג' מספרים הם כמו ד', כי האמצעי יחשב כאלו הוא מספר אחר. על כן כל ד' מספרי' שערך הראשון אל השני כערך השלישי אל הרביעי, אם תחבר מרובעי ארבעתן ותדע כמה יעלה ותחבר הראשון עם הרביעי ותקח מרובע המחובר ותוסיף עליו מרובע היתרון שיש בין השני ובין השלישי, יהיה שוה כעולה בראשונה. וככה אם תחבר השני והשלישי ותקח מרובע המחובר ותוסיף עליו מרובע היתרון שיש בין הראשון ובין הרביעי, ימצא העולה שוה לראשון. דמיון: ערך ד' על ו' כערך ח' אל י"ב. והנה מרובעיהם ר"ס והמחובר מן הראשון והרביעי י"ו ומרובעו רנ"ו והיתרון בין ו' וח' הוא ב' ומרובעו ד' והנה המספר שוה. וככה המחובר מן השני והשלישי י"ד ומרובעו קצ"ו והיתרון בין הראשון והרביעי ח' ומרובעו ס"ד והנה המספר שוה. ודע כי רוב חכמת המזלות ותקוני מקום המשרתים תלויים בחכמת ערכי המדות וככה רובי דיני השאלות בחשבון. והדרך השלישי ערכי חכמת הנגינות. והיא חכמה מפוארת מאד, כי ערכיה מורכבים מערכי החשבון וערכי המדות. כי לעולם יהיה הערך שבין הראשון לתיכון אל ערך שיהיה בין התיכון לאחרון כערך המספר הראשון למספר האחרון. דמיון: ב' ג' ו'. ידענו כי הערך שבין ב' וג' אחד והערך שבין ג' ובין ו' שלשה וככה ערך ב' אל ו'. דמיון אחר: ג' ד' ו', או אם תרצה כ' ל' ס'. והנה הערך שבין ג' וד' אחד והערך שבין ד' וו' שנים והנה הוא כפלו וככה ו' אל ג'. והנה אם ידעת השנים מספרי', תוכל להוציא השלישי: כי אם ידעת הראשון והשני ולא תדע השלישי, כפול הראשון על השני והעולה חלקנו על הראשון, אחר שתגרע ממנו, פי' מהראשון, היתרון שיש בינו ובין השני. דמיון הראשון: כפלנו ב' על ג' וחלקנו העולה על הראשון, אחר שגרענו ממנו היתרון שבין הראשון והשני והוא אחד והנה היו ו' והוא השלישי. ובדמיון השני: כפל ג' על ד' היו י"ב והיתרון בין ג' וד' אחד, גרענוהו מג' שהוא הראשון ונשארו ב', חלקנו עליו י"ב והם ו' לכל אחד והוא השלישי. ונאמ' כי אם ידענו השני והשלישי ולא ידענו הראשון, נכפול אלה הידועי' שהם השני והשלישי ונחלק העולה על המחובר מהמספר השלישי עם היתרון שיש בין השני והשלישי והעולה הוא הראשון. והנה בדמיון הראשון: כפלנו ג' על ו' והעולה י"ח והיתרון שבין השני והשלישי שלשה, חברנום אל ו' והיו ט', חלקנו י"ח עליו, עלו ב' והוא הראשון. ובדמיון השני: כפלנו ד' על ו' והיו כ"ד, חלקנום על ח' שהוא כמספר החשבון השלישי עם היתרון שיש בין השני והשלישי, עלו ג' והוא הראשון. ואם לא ידענו האמצעי ונבקש לדעתו, נכפול הראשון על השלישי ונחלק העולה על המחובר מן השנים מספרים והעולה בחלוק נכפלנו והוא המספר האמצעי. דמיון הראשון: כפלנו ב' על ו', עלו י"ב, חלקנו על ח', שהוא המחובר משניהם, עלה א' וחצי, כפלנוהו עלו ג' וככה הוא השני. ובדמיון האחר: כפלנו ג' על ו', עלו י"ח, חלקנו על ט', שהוא המחובר משניהם, עלו ב', כפלנוהו ועלה ד' והוא המספר השני המבוקש. וככה בערכי המדות, אם לא ידענו האחד מן הד', נוכל להוציאו מן הג'. ולעולם נשים שתי הקצוות, שהם הראשון והרביעי, חברים והשנים האמצעיי', שהם השני והשלישי, חברים. והנה אם לא ידענו אחד מן הקצוות, איזה מהם שיהיה, נכפול האמצעי על חבירו והעולה נחלקנו על אחד מהקצוות שהוא נודע והעולה הוא המבוקש. ואם לא ידענו אחד מהמצעיים, נכפול אחד מהקצוות על חברו ונחלק העולה על האמצעי הנודע, אז ימצא המבוקש. ועל זה הדרך תעשה בכל השאלות ויש לך להשמר באיזה מקום תשים הגלגל. ועתה אכתוב לך שאלות רבות כדי להרגילך: שאלה ממון חברנו חמישיתו וששיתו ושביעיתו והיו עשרה, כמה הממון? בקשנו המורה, שכפלנו ה' על ו', עלו ל', גם זה על ז' והיו ר"י והוא המורה וחמישיתו מ"ב וששיתו ל"ה ושביעיתו ל' והנה שלשתם ק"ז, הנה ערך הממון, שהוא עשרה המחובר מהם, אל כל הממון שאינו נודע כערך ק"ז אל ר"י, פי' שהוא המורה. ונעשה הדמיון כך כפלנו הקצוות שהם י' על ר"י והיו אלפי' וק' ואלו היינו עושים להפך, היה הדבר שוה בזה, חלקנום על האמצעי שהוא ק"ז, עלו י"ט שלמים ונשארו ס"ז חלקי' מן ק"ז והוא כל הממון.

   0  א 	0

ז 0 א 0 א ב ז 0 א 0 א ב

   0  א	0  א

ונבחן זה: כי ג' שלמים חמישית ט"ו ונשארו ד' שלמי', שלא לקחנו חמישיתם, נעשה מן כל אחד ק"ז ונחבר אל המחובר ס"ו, יהיה הכל תצ"ה וחמישיתם צ"ט וששית י"ח ג' ונקח לא' הנשאר ק"ז, נחבר אליו ס"ז, יהיו קע"ד וששיתו כ"ט גם השביעית שנים שלמי', נשארו ה' שאין להם שביעית, נקח לכל אחד ק"ז, יהיו תקל"ה, נחבר אליהם ס"ו, יהיו תר"ב ושביעיתם פ"ו, נחבר החלקים, יהיו שנים שלמים, נחברם אל השלמים והיו י'. דמיון אחר: לקחנו שביעיתו ותשיעיתו והיו ז'. המורה ס"ג והשביעית והתשיעית י"ו וככה הצורה: וא גו ז 0 הנה החשבון כ"ז שלמים וט' חלקי' מי"ו. ואם הפך הדבר ואמר: חסרנו מהממון שביעיתו ותשיעיתו, נשארו ז'. גם אנו נעשה המורה להפך, כי המורה הוא אחד, רק נחסר י"ו, שהוא השביעית והתשיעית מהמורה ונשארו מ"ז ונכתבהו ככה: זד גו ז 0 כפלנו ז' על ס"ג והיו תמ"א, חלקנו על מ"ז, עלו ט' וי"ח חלקי' ממ"ז ועתה הוא ושביעיתם, כדרך שהראיתיך, עלה אחד שלם גם י"ו חלקי', לקחנו תשיעיתו והוא אחד שלם וב' חלקי' ונשארו ז' שלמים. שאלה: ד' אנשים, יש לאחד מהם י"א דינ' ולשני י"ג דינ' ולשלישי ט"ו דינ' ולרביעי י"ז דינ' והרויחו י"ט דינ', כמה יקח כל אחד ואחד? נבחר ראשי כל ממונם והיו נ"ו וכערך כל אחד אל נ"ו, ככה יקח מי"ט. אא וה 0 טא ונעשה כך: נכפול י"א על י"ט, יעלו ר"ט, נחלק על נ"ו, עלו ג' שלמי' ונשארו מ"א חלקי'. גא וה 0 טא עשינו כן בי"ג, עלו רמ"ז, חלקנום על נ"ו, עלו ד' שלמי' וכ"ג חלקי'. הא וה 0 טא עשינו כך בט"ו ועלו רפ"ה, חלקנום על נ"ו, עלו ה' שלמי' וה' חלקי'. זא וה 0 טא עשינו כך בי"ז, עלו שכ"ג, חלקנום על נ"ו, עלו ה' שלמים ומ"ג חלקים. חברנו השלמי' ואלה החלקי' ועלו י"ט שלמי', כי אלה החלקי' חלקי נ"ו הם. דרך אחרת: השיבונו הריוח כלו פשוטים. שכפלנו הי"ט דינ' בי"ב, עלו רכ"ח, חלקנום על נ"ו, עלו ד' פשוטי' גם ד' חלקי' מנ"ו, כי כל פשוט יתחלק לנ"ו, שהם חצי שביעית פשוט לכל דינ'. והנה כפלנו י"א על ד', עלו מ"ד פשוטי', שהם ג' דינ' ח' פשוטי' ומ"ד חלקי פשוט. גם כפלנו י"ג על הד' והיו נ"ב, שהם ד' דינ' וד' פשוטי' ונ"ב חלקי'. גם כפלנו ט"ו על ד' והיו ס' פשוטי', שהם ה' דינ' וס' חלקי', חברנו פשוט מנ"ו ושארו ד' חלקים. גם כפלנו י"ז על הד' והיו ס"ח פשו', שהם ה' דינ' וח' פשו' וס"ח חלקי', נחבר מהם פשוט, ישארו י"ב חלקים. נחבר החלקים כלם, יהיו ב' פשו' ונחבר הפשוטי', יהיו ב' דינ', נחברם אל החלק הגדול, יהיו בין הכל י"ט דינ'. שאלה: יש אצל המחליף שלשה המטבעים, שוה הזהוב ממטבע האחד ג' דינ' וממטבע השני ד' דינ' וממטבע השלישי' ו' דינ' ובא אדם אחד ובקש למחליף שיתן לו מג' המטבעי' בזהוב ויהיה המספר בשוה מן היקרים כמו משאינם יקרים. בקש חשבון שיש לו שלישית ורביעית וששית והוא י"ב והוא המורה וכל החלקים הנזכרים הם ט' והוא דינר ונבקש מה ערך י"ב אל ט' והנה הוא כמוהו ושלישיתו והנה נוסיף על י"ב פשו', שהוא דינר, ד' פשו' שהוא שלישיתו ועלו י"ו פשו' וככה לקח מכל מטבע. ולבחון דבר זה קל הוא, כי הערכי' נמצאים במהרה והנה נשים המטבע של שלשה עקר וידענו כי הי"ו ממטבע ו' הם ח' פשו' ממטבע ג', כי ו' כפל ג' והנה בין שניהם כ"ד וידוע כי ערך ג' אל ד' ג' רביעיות, על כן יהיה חילוף י"ו פשו' ממטבע ד' הם י"ב פשו' ממטבע ג' והנו דינר אחד וג' דינ' ממטבע האחד. וככה תוכל להשיב חלוף מה שלקח לאיזה מטבע שתרצה ואין צורך להאריך. דמיון אחר קשה, כי אין לו ערכים כי אם בקושי וזהו מחליף יש לו ג' מטבעים, האחד ה' דינ' בזהוב והשני ז' והשלישי ט' והביא זהוב ורצה לקחת בשוה מספר שוה מכלם בזהוב אחד. עשה כמשפט וכפול ה' בז' והעולה ל"ה וכפול זה על ט', יהיו שט"ו והוא המורה וחמישיתו ס"ג ושביעיתו מ"ה ותשיעיתו ל"ה והנה כשנחבר אלה שלשתם, יהיו קמ"ג והוא הדינ', נחלק המורה על זה המספר, יהיו ב' דינ' וישארו כ"ט חלקים מן קמ"ג וככה יקח מכל מטבע. ולבחון זה קשה הוא כי אם על הדרך שאומר לך בעבור החלקים. והנה נחל לבחון, להשיב המספר הנזכר ממנו ממטבע ז' וממטבע ט' אל מטבע ה' וככה נעשה: נשיב הדינ' חלקי' מקמ"ג ונשים עמהן החלקים שהם שט"ו והוא המורה ונבקש להחליף מטבע ז' אל ה' ונכפול שט"ו על ה' ויהיו אלף תקע"ה, נחלקם על ז', יהיו רכ"ה חלקים ממטבע ה' גם אלף תקע"ה על ט', לדעת כמה יהיו מהמטבע השני והנה קע"ה וכאשר תחבר אלה ג' מספרים שהם ממטבע אחד שט"ו, גם רכ"ה, גם קע"ה והנה הכל תשט"ו, חלקנום על קמ"ג שהוא הדינ', עלו ה' דינ' שוים. או אם תרצה חשוב ככה: כבר היו ממטבע ה' ב' דינ' וכ"ט חלקים וכאשר החלפנו זה המספר ממטבע ז', יהיו רכ"ה חלקים שהם דינ' אחד ופ"ב חלקים ואם ממטבע ט' יהיו קע"ה שהם דינ' אחד ול"ב חלקים, חברנו כל החלקים, יהיו קמ"ג שהם דינ' אחד והנה המספר אחד. ועוד נשיב הכל למטבע ז': והנה כבר היו לנו שט"ו חלקים שהוא המורה ונרצה לדעת כמה חלקי' יהיו ממטבע ה' והנה נכפול שט"ו על ז', יעלו אלפים ור"ה, נחלק על ה', יעלו תמ"א, גם נחלק עוד זה המספר על ט', יהיה העולה רמ"ה, נחבר כל אלה החלקים ונחלק המחובר על קמ"ג, יהיו ז' דינ'. ועוד נשיב הכל למטבע ט': והנה יש לו מהמטבע שלו שט"ו חלקים, שהוא המורה, שהם ב' דינ' גם כ"ט חלקי' ונשוב לכפול שט"ו על ט', יהיו אלפים ותתל"ה, נחלק זה המספר על ה', יהיו תקס"ז, גם נחלק זה על ז', שהוא המטבע האחר, יהיו ת"ה וכאשר נחבר אלה החלקים של ג' מטבעים, יהיו אלף רפ"ז וכאשר נחלק זה על קמ"ג, יהיו ט' דינ' שלמים. וככה תעשה אם היו מטבעים או יותר. עתה ארצה לבאר לך באיזה מקום תשים הגלגל והנה נעשה דמיון: שאלה: ראובן שכר שמעון שיעבוד עמו י"ז ימים ויתן לו י"א פשו' והנה עבד ט' ימים. והוא אין ספק כי כערך הימים שעבד אל כל הימים שהיה התנאי, שאותו הערך בעצמו יקח מי"א שהם הפשוטים. והנה נשים הגלגל הראשון והשני י"א והשלישי ט' והרביעי י"ז ככה: 0 אא ט זא ואם נרצה נשים הגלגל שני ומספר הרביעי ט' שנעשה ככה: אא 0 ז א ט כי כאשר שמנו המספר הגדול בראשונה של פשוטים, ככה נשים במספר השני המספר הגדול של ימי העבודה שלישי, ראשון לשנים האחרונים. ונוכל לשום הגלגל שלישי כזה: ט זא 0 אא ונוכל לשום הגלגל רביעי ככה: זא ט אא 0 והכל שוה. שאלה: ראובן שכר שמעון שיוליך לו על בהמתו י"ג מדות חטה מהלך י"ז מילין ויהיה שכרו י"ט פשוטים והוא הוליך שבע מדות מהלך י"א מילין, כמה שכרו? ככה תעשה: צריך אתה לעשות הערכים פעמים, כי אין דרך אחרת להוציאם וחשוב כי הז' מדות הוליך אותם כל התנאי שהם י"ז והנה תעשה ככה הדמיון: ז גא 0 טא הנה נכפול הקצוות, שהם ז' וי"ט, יהיו קל"ג, נחלקם על י"ג, יעלו י' שלמים ונשארו ג' חלקים מי"ג בפשוט אחד ובעבור שלא הוליך אלא ז' מדות רק י"א מילין, אנחנו צריכים לעשות ערך אחר ודמיון אחר ונעשה ככה: י"א י"ז גלגל י' גם ג' חלקים מי"ג וזה דמיונו: אא זא 0 0א ג ובעבור שאנו צריכין לכפול הקצוות ולחלק העולה על י"ז ויש לנו ברביעי ג' חלקים מי"ג, צריכין אנו לבקש מורה אחד לשניהם וככה נמצאנו: שנכפול י"ג על י"ז, יעלו רכ"א והוא המורה והוא אחד שלם והנה ג' חלקים מי"ג יהיו נ"א מרכ"א. ונשוב לכפול י"א על י', יהיו ק"י, גם נכפול י"א שהם שלמים על נ"א שהם חלקים ויעלו תקס"א, נחלקם על רכ"א שהוא האחד השלם, יעלו ב' שלמים, נחברם אל ק"י, יהיו קי"ב וישארו קי"ט חלקים מרכ"א, נחלק קי"ב על י"ז שלמים, יעלו ו' פשוטים שלמים ונשארו י' פשוטים שלמים, נשיבם על מנין רכ"א ונחבר אליהם קי"ט הנשארים, שהם חלקים מפשוט אחד, שהוא רכ"א חלקים ויהיו ט'ב'ג'ב' נחלקם על י"ז ויעלו ז'ג'א' וסך הכל ו' פשו' שלמים וקל"ז חלקים שהאחד רכ"א. שאלה: ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקע י' באורך וי' ברוחב ויתן לו י"ז פשו' ושמעון חפר ה' באורך וה' ברוחב. אין ספק כי הרביעית יקח, כי כפל חצי על חצי רביעי אחד שלם. כי אלו היה כופל חצי האורך על כל הרוחב, או חצי הרוחב על כל האורך, אז היה לוקח חצי הממון. רק אם אמר שהסכים עמו שיחפור ז' באורך וו' ברוחב וה' בעומק ויתן לו י"א פשו' והוא חפר ו' באורך וה' ברוחב וד' בעומק כמה שכרו? הנה אנחנו צריכים לערכים ונכפול המספר הראשון שהוא ז' על ו', הרי מ"ב, כפלה על ה' שהוא העומק ויהיו ר"י, גם נכפול המספר השני שהוא ו' על ה' והם ל', גם נכפול זה על ד' שהוא העומק, יהיו ק"כ ועתה נעשה דמיון הערכים כזה: 0 אא 0בא 0אב כפלנו האמצעיים הידועים והיו אלף וש"כ, חלקנום על ר"י, עלו ו' שלמים ונשארו ס', שהם שתי שביעיות פשוט. שאלה: אדם מוכר חטה י"ג מדות בכ"ג פשו', כמה מדות יתן בז' פשו'? נעשה דמיון הערך כמשפט הזה: ז גב 0 גא הנה כפול הקצוות שהם נודעים, יהיו צ"א, נחלקם על כ"ג, יהיו ג' מדות וכ"ב חלקים מכ"ג במדה אחת. ועוד נהפוך הענין, שנבקש לדעת: בכמה יתן ז' מדות? והנה נעשה הדמיון כזה: ז גא 0 גב נכפול הקצוות, יהיו קס"א, נחלקם על י"ג, יהיו י"ב פשו' וה' חלקים מי"ג בפשו' אחד. שאלה: אדם שלח רץ שילך בכל יום כ"ט מלין ואחר עשרה ימים שלח רץ אחר אחריו שילך בכל יום יום ל"ז מילין, מתי ישיגנו? נכפול המילין שהלך בי' ימים, יהיו ר"צ, נחלקם על היתרון שבין שני המהלכים שהוא ח' והנו ל"ו ימים ורביעית יום. שאלה: אדם יצא מעירו ונכנס במדינה אחרת, נדר אם יכפול המקום ממונו, יתן בכל יום ב' פשו', לסוף ד' ימים הלך ממונו, כמה הביא? האמת כי היה לו ב' פשוטים פחות שמינית פשוט. שאלה: ראובן יצא מעירו ללכת לקראת שמעון אחיו לעירו בקר יום ראשון של ראש החדש ובעצם היום הזה יצא גם שמעון מעירו ללכת לקראת ראובן אחיו לעירו והמרחק בין שני הערים ק' מילין ומהלך ראובן ביום אחד י"ט מילין ומהלך שמעון ביום אחד י"ז מילין, נשאל מתי יתחברו? ככה תעשה: חבר שני המהלכים והם ל"ו, חלק עליו המאה מילין, יהיה שני ימים, ישארו כ"ח חלקים מל"ו ביום אחד, שהם ז' תשיעיות יום ותוכל להושיבם לשעות היום, כדרך הערכין: 0 בא ז ט וככה תעשה: כפלנו ז' על י"ב, עלו פ"ד, חלקנו על ט', עלו ט' והם שעות, נשארו ג' שהם שלישית שעה. ועל דרך אחרת: ידענו כי ערך י"ב אל ט' כמוהו ושלישיתו, כי תשיעיות היו לנו והנה נקח לז' תשיעיות ז' שלישיות, נחלקם על ג', יהיו ב' שעות ושלישית שעה, נחברם אל השבע שהיו לנו והנה הדבר שוה. ואם בקשנו לדעת: כמה מילין הלך ראובן? כבר ידענו כי בשני ימים הלך ל"ח מילין וכבר אמרנו כי ז' תשיעיות היום הלך והנה נעשה הערך כך: ז ט 0 טא כפלנו ז' על י"ט, עלו קל"ג, חלקנום על ט', עלו י"ד ושבע תשיעיות והנה הכל נ"ב מילין וז' תשיעיות. שאלה: אדם שכר ג' אחים ראובן שמעון ולוי, שיעשו עבודתו כ' ימים מן הבקר עד הערב, מאיזה מהם שתהיה ולא תשבות המלאכה והנה אם עבד ראובן כל הימים, יתן לו ה' זהובים ואם שמעון ד' ואם לוי ג' והנה בין כלם עבדו הכ' ימים והיה יושב עליהם, שומר, כותב כמה שעות ביום עבד כל אחד מהם וכמה חלקי שעה והנה באחרונה נתן לכל אחד מהם חלק שוה, נרצה לדעת: כמה החלק מכל אחד מהם שלקח? דע כי ראובן ישמש ד' ימים בזהוב אחד ושמעון ה' ימים ולוי ו' ימים וב' שלישיות יום והנה הכל ט"ו שלמים וב' שלישיות יום אחד, נחלק כ' על זה המספר ועלה אחד שלם ונשארו ד' שלמים ושלישית אחד והנה בעבור השלישית, נשיב הכל שלישיות והנה נשיב הכ' יום ס' שלישיות (?) והט"ו וב' שלישיות מ"ז שלישיות והד' ושלישית יום י"ג והנה כל אחד לקח זהוב אחד וי"ג פשוטים ממטבע מ"ז בזהוב. ועתה נבקש כמה חיוב כל אחד שיעבוד עד שישלימו הכ' יום? והנה נחל מלוי שהוא חייב לשמש בזהוב שלקח ו' ימים וב' שלישיות יום ונעשה מאלה שלישיות ויהיו כ'. ונבקש לדעת כמה יש לו לעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח? ונעשה הערך כך: גא זד 0 0ב כפלנו י"ג על כ' והיו ר"ס, חלקנום על מ"ז, עלו ה' ונשארו כ"ה חלקים, נוסיף הה' על הכ' ויהיו כ"ה שלישיות, גם כ"ה חלקים ממ"ז וחלקנו אלה השלישיות על ג', עלו ח' שלמים ונשאר אחד, נקח לו ד' שעות שהם שלישית יום, גם נכפול כ"ה חלקים על ד', יעלו מאה, נחלקם על מ"ז, עלו שתי שעות ונשארו ו' חלקים והנה לוי עבד ח' ימים גם ו' שעות גם ו' חלקים. ונבקש לדעת כמה עבד שמעון והנה חייב לעבוד בעבור הזהוב ה' ימים שהם ט"ו שלישיות. ונבקש לדעת כמה יעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח? והנה נעשה הערך כך: גא זד 0 הא נכפול ט"ו על י"ג, יעלו קצ"ה, נחלקם על מ"ז, עלו ד' ונשארו ז' חלקים, נחבר הד' אל הט"ו, כי שלישיות הם, יעלו י"ט שלישיות, נחלקם על ג', יהיו ו' ימים שלמים ונקח לאחד הנשאר ד' שעות, גם נכפול ז' על ד', יהיו כ"ח והנה הם ו' ימים ד' שעות וכ"ח חלקים וככה עבד שמעון. ונבקש לדעת כמה עבד ראובן והנה עבד בשביל הזהוב ד' ימים שהם י"ב שלישיות. ונעשה בעבור הי"ג פשוטים שלקח הערך כך: גא זד 0 יב נכפול י"ג על י"ב, יעלו קנ"ו, נחלקם על מ"ז, עלו ג' ונשארו ט"ו חלקים, חברנו אלו הג' עם הי"ב שהיו לנו, היו ט"ו והם שלישיות והנה עבר ה' ימים, גם נכפול הט"ו חלקים על ד', עלו ס' חלקים, נחלקם על מ"ז, עלתה שעה אחת ונשארו י"ג חלקים משעה וככה עבד ראובן. וכאשר תחבר אלה החלקים, יתחבר מהם שעה אחת בלי תוספת ומגרעת וכאשר תחבר זאת השעה אל השעות הנזכרות, יהיו י"ב שעות שהוא יום אחד וכאשר תחבר היום לימים הנזכרים, יהיו עשרים יום בלי תוספת ומגרעת. שאלה: אדם היו לו י' מדות מתירוש ורצה לבשלם עד שלא ישאר מהם כי אם השלישית והנה החל לבשל עד שנשארו מהם ח' מדות ונשפך ב' מדות והנה ירצה לבשלם עד שיהיו כמשפט הראשון. והנה יש לך ג' מספרים ידועים: הא' כמה שלישית י', ידוע כי הוא ג' ושליש וידוע כי שמנה יהיו המדות שיתבשלו וידוע כי ששה נשארו והנה תעשה הדמיון ככה: ו ח 0 ג ג והנה נכפול ו' על ג' ושליש, יהיו כ', נחלקם על ח', יהיו שנים וחצי. דמיון אחר: היו לנו ט' מדות תירוש וירצה שיתבשלו עד שישאר השליש והוא נתבשל עד שנשארו ו' מדות ונשפכו ד' וב' נשארו. וככה הערך: ב ו 0 ג כפול ב' על ג', עלו ו', יהיה אחד והנה המשפט להיות המבושל מדה אחת שאלה: ממון חברנו חמישיתו ושביעיתו ותשיעיתו והיו עשרה, כמה הממון? נבקש המורה והוא שט"ו והחלקים הנזכרים הם קמ"ג, כאשר תחלק שט"ו על ה', יעלו ס"ג וכשתחלק על ז', יעלו מ"ה ועל ט', יעלו ל"ה, חברם יחד, יעלו קמ"ג ונעשה הערך כך: גדא האג 0א 0 נכפול שט"ו על י', יעלו ג' אלפים וק"נ, נחלקם על קמ"ג, עלו כ"ב שלמים וד' חלקים מקמ"ג. נעשה להפך: ממון חסרנו ממנו חמישיתו שביעיתו ותשיעיתו ונשארו י'. נחסר קמ"ג, שהם השברים, מן שט"ו, שהוא המורה, ישארו קע"ב ונעשה הערך כך: 0א 0 בזא האג כפלנו י' על שט"ו, עלו ג' אלפים וק"נ, חלקנום על קע"ב, עלו י"ח שלמים ונ"ד חלקים מקע"ב, לקחנו חמישית ושביעית ותשיעית זה המספר, ישארו לנו י' שלמים ועל זה הדרך. שאלת האילן ששלישיתו במים ורביעיתו בעפר ולמעלה מן המים י' אמות, כמה גבהות כל האילן? נבקש מנין שיש לו שלישית ורביעית והוא י"ב ושלישיתו ורביעיתו מחוברים ז', נחסרם מי"ב, ישארו ה', נעשה הערך כך: 0א 0 ה בא הנה כפלנו הקצוות, עלו ק"כ, חלקנום על ה', עלו כ"ד וזהו גבהות כל האילן. כי שלישיתו שמנה ורביעיתו ששה והמחוברים י"ד, נחסרם מכ"ד, ישארו י' שלמים לא פחות ולא יותר. דמיון אחר: אילן שביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה מן המים ח'. והנה המורה ס"ג, נחסר ממנו י"ו שהוא השביעית והתשיעית, נשארו מ"ז ונעשה הערך כך: ח 0 זד גו הנה כפלנו הקצוות והיו תק"ד, חלקנום על מ"ז, עלו י' שלמים, גם ל"ד חלקים. ושביעית זה המספר אחד שלם וכ"ה חלקים ותשיעיתו אחד שלם וט' חלקים, חברנו החלקים הנזכרים והם ל"ד והשלמים ב', חסרנום מהמספר הנזכר, נשארו ח' שאלה: יעקב מת והוציא ראובן בנו שטר בשני עדים כשרים שנתן לו לבדו יעקב אביו כל הממון שהיה לו וצוה כן מחמת מיתה ביום מותו. גם הוציא שמעון בנו שטר שאביו צוה מחמת מיתה שינתן לו חצי ממונו. גם לוי הוציא שטר שאביו צוה שינתן לו שליש ממונו. ג"כ הוציא יהודה שטר שינתן לו רביעית מממונו. ולכלם יום אחד וזמן אחד ושעה אחת בירושלם שכותבין בו שעות. והנה חכמי ישראל מחלקים אותו על דרך בקשת כל אחד. וחכמי הגוים על דרך ערך הממון שלכל אחד. וחכמי החשבון יחשבו כי הממון היה אחד. וכאשר תחבר אליו חציו ושלישיתו ורביעיתו, יהיה הכל שנים וחצי ששית והנה נשים האחד שלם ששים, שיש לו כל החלקים הנזכרים והנה יהיה בין הכל קכ"ה. או נשים האחד שלם י"ב והשברים הנזכרים י"ג. ושוה יצא המספר באחרונה, איזה מהם שתקח. והנה נבקש כמה יקח ראובן כפי ערך ממונו ונעשה הערך ככה, על דרך ששים, כי הוא מבקש כל הממון: 0ו 0 הבא 0בא ונאמר כי הממון עשרה דינרים, שהם ק"כ פשוטים וזה תורת ערך הממון שיקח ראובן: כפלנו הקצוות ועלו ו' אלפים ור', חלקנום על קכ"ה, עלו נ"ז פשו' וע"ה חלקים וזה חלק ראובן. וזו צורת ערך שמעון: 0ג 0 הבא 0בא נכפול הקצוות ונחלק כמשפט. וזו צורת חלק לוי: 0ב 0 הבא 0בא נכפול ונחלק כמשפט. וזו צורת חלק יהודה: הא 0 הבא 0בא ענין אחר: בדרך קצרה יקח שמעון חצי חלק ראובן, גם יקח לוי שליש חלק ראובן, גם יקח יהודה רביעית חלק ראובן. וכאשר תחבר כל אלה החלקים והשלמים, יהיו ק"כ פשו', שהם י' דינ'. ועל דרך חכמי ישראל: יאמרו הג' אחים הגדולים ליהודה אחיהם: אין אתה מערער רק על ל' פשוטים וערעור כל אחד ממנו שוה בהם, קח ז' וחצי, שהוא הרביעית ולך מעמנו. וכמו כן יקח כל אחד מהג' אחים. ועוד יאמר ראובן ללוי: אין אתה מערער רק על מ' פשו' וכבר לקחת חלקך מהל' שארבעתנו ערערנו עליהם, קח אתה שלישית י', שהוא רביעית מ' ולך מעמנו. והנה חלק לוי עשרה וחמש ששיות, פי' כי החצי מן הו' והחצי שלקח כבר הם ג' ששיות ושליש אחד מן הי' הם ב' ששיות, הרי ה' ששיות ת'. גם יאמר ראובן לשמעון: אין אתה מערער אלא על חצי הממון שהוא ס' והחצי האחר הוא כלו שלי וכבר לקחת חלקך מהמ' והנה נשאר ביני ובינך הערעור בעשרים, קח חציים ולך מעלי, והנה חלק שמעון עשרים וחמש ששיות פשו'. וחלק ראובן שמונים גם חמש ששיות פשו' אחד. וכאשר תחבר אלו החלקים יהיו עשרה דינ'. ועתה אפרש דרך חכמי המזלות בספרי הלוחות בתקון המשרתים: כי בתקון הלבנה, גם בתקון ה' המשרתים, טור יקרא טור הערך וזה הערך הוא אל ס'. כי אם היה כתוב בטור הערך ס', יהיה בטור אחריו שיקרא הטור החמשי, או הכתוב בטור השביעי, מה שיהיה כתוב באחד מהם ראשונים לבדם, או ראשונים ומעלות, הכל יקח וככה בתקון מקום הלבנה. ואם היתה פחותה מס', יקח כפי הערך מהחלקים הכתובים בטור החמישי, או השביעי. דמיון: יש חלקים יתרים על המעלות מ' ובטור הערך ט"ו. ואתה צריך לכפול ט"ו על מ' והעולה תחלקנו על ס' והוא המבוקש ועשה דמיון הערך כזה: הא 0ו 0 0ד כפול ט"ו על מ', עלו ו' מאות, חלקם על ס', יעלו י' חלקים. ויותר קרוב מזה שתבקש מה ערך מ' אל ס' והם ב' שלישיות, גם זה הערך קח מט"ו והנו י'. או בקש מה ערך ט"ו אל ס' והנו רביעית ס', קח רביעית מ' והוא י'. דמיון אחר: המספר האחד ל' והשני מ"ה. והנה ערך מ"ה אל ס' ג' רביעיות, נקח שלש רביעיות ל' והם כ"ב וחצי, שהם ל' שניים. או נקח הערך מן הל', שהוא חצי ס', ג"כ נקח חצי מ"ה והנו כ"ב וחצי. דמיון לב' מספרי' שהאחד יש לו ערך והשני אין לו ערך: כמו המספר האחד כ' והשני ל"ג. והנה ערך כ' אל ס' שלישית והנה נקח שלישית ל"ג והם י"א ראשונים. וככה יבא בדרך הכפל, כאשר תכפול כ' על ל"ג ותחלק העולה על ס' והעולה בחלוק יהיה י"א. ובעבור כי ל"ג קרוב מחצי ס', נקח גם הערך ממנו והנו י' ראשונים, שהוא חצי כ' ובעבור שיש לנו תוספת ג' על החצי, נכפול ג' על כ', יהיו ס' ואין ספק כי הם שניים, כי כפל ראשונים על ראשונים יעלו שניים, כי אחד על אחד שנים והם ס' שניים והם חלק ראשון, נחברם על י' והוא י"א. דמיון אחר: המספר האחד כ' והשני כ"ח. והנה ערך כ' אל ס' שלישית ושלישית כ"ח ט' ראשונים וב' שניים. ועוד נחשוב כי כ"ח חצי ס', כי הוא קרוב ממנו והנה חצי כ' י' ובעבור כי ב' יחסרו מהחצי, נכפול ב' על כ', יהיו מ' שניים, נחסרם מהראשון אחד, יהיו הנשארים ט' ראשונים וב' שניים. דמיון: לחסר הערך שחשבונו האחד י"ד והשני כ"ט. והנה נקח הערך מכ"ט ונחשוב כי הוא חצי ס', נקח חצי י"ד והם ז' ראשונים ובעבור כי אחד יחסר מהחצי, נכפלנו על י"ד, יהיו י"ד שניים, נחסרם מחלק ראשון, ישארו ו' ראשונים ומ"ו שניים. דמיון אחר המספר האחד לחסר והשני להוסיף: והנה נשים האחד י"ח והשני מ"ב. והנה נקח הערך ממ"ב ונחשוב כי הוא שתי שלישיות, נקח שתי שלישיות י"ח והנה י"ב ובעבור שיש לנו תוספת ב', נכפלם על י"ח, יהיו ל"ו שניים וככה יהיה העולה בדרך הכפל. וגם נקח הערך מי"ח ונחשוב כי הוא שלישית והנה שלישית מ"ב י"ד ובעבור שהוספנו ב', נכפלם על מ"ב והיו פ"ד שניים, שהם חלק ראשון וכ"ד שניים נחסרם מי"ד, ישאר כמספר הראשון שהוא י"ב גם ל"ו שניים. ונוכל לקחת עוד הערך בתוספת משניהם, שנחשוב י"ח שהוא רביעית ס' והנה נקח רביעית מ"ב, יהיו י' ראשונים ול' שניים ובעבור שיש לנו תוספת ג', נכפול מ"ב על ג', יהיו קכ"ו שניים שהם ב' ראשונים וו' שניים, נוסיף זה על המספר הנזכר, יהיו י"ב ראשונים ל"ו שניים. ואילו היינו חושבים כי מ"ב הם ג' רביעיות, היה הדבר יוצא נכון.

ונוכל לעשות הערך מי"ד, שנחשוב כי הוא רביעית ס', נקח רביעית כ"ט והם ז' ורביעית שהם שניים ובעבור כי החסרון מרביעית הוא חלק ראשון, נכפול כ"ט על כ"ט, יהיו כ"ט שניים, נחסרנו מן המספר הנזכר, ישארו ו' ראשונים

וכלל אומר לך כי אם לא היה ערך לחלקים הנמצאים בטור הערך, שוב לעשות על דרך הכפל כאשר הזכרתי בשברים. ולעולם ראה אם היו חלקים נוספים על מעלות המוצק המתוקן והם פחותים מל', הניחם וקח הראשונים הכתובים בטור הערך כנגד המעלות שעברו. ואם החלקים שהם עם המוצק המתוקן יותר מל', הוסף מעלה אחת על המעלות שעברו וקח מה שתמצא כנגדה בחלקי טור הערך, בין שתהיה אחר המעלה השלמה, או למעלה ממנה. ואם מצאת המנה המתוקנת, שהיא בין ד' מזלות עד ח' מזלות ומצאת כי יש הפרש בין חלקי טור הערך שהם כנגד המעלה שעברה ובין חלקי טור הערך שכנגד המעלה הנוספת ולא יהיה לעולם ביניהם רק חלק ראשון, עשה כדרך הכפל, שתתן לחלקים הנוספים על המעלה שעברה מה שראוי מהשניים. וזה המעשה יש לך צורך בתקון מאדים, או כוכב חמה, רק בתקון שבתי וצדק אין לך צורך כי אם בטור החמישי גם בטור הז' אין מעלות כי אם ראשונים לבדם.   השער הז' בהוצאת השרשים כל המספרים הם על שלשה דרכים: האחד שרשים והשני מרובעים והשלישי לא שרשים ולא מרובעים. והנה המרובע הוא המחובר מכפל שורש על עצמו. כמו ט', כי הוא מרובע, ארכו כרחבו ושרשו ג'. ויש חשבון שאין לו שורש אמת כלל והוא הרוב כמו ב' במעלה הראשונה גם ג' וה' וו' וז' וח' ולעולם מרובע השלמים גדול מהשורש והפך הדבר במרובעי' הנשברי' והיה כן בעבור כי כפל שבר על שבר יהיה המחובר פחות מהשבר הנכפל והיה האחד לבדו שורש ומרובע כי הוא בין השברי' והשלמי' והנה נתן בתחלה מאזנים הסתכל אם לא היו מאזני המרובע ככפל מאזני השרש על עצמו אין המספר מרובע ואם היה כמוהו יתכן להיות מרובע דמיון המרובע קמ"ד והמאזנים ט' והשרש י"ב ומאזניו ג' וכפל על עצמו הוא ט' והוא מאזני השרש ת' מאזנים אחרים אם מאזני המספר ב' או ג' או ה' או ו' או ח' איננו מרובע ואם היו המאזנים אחד מהמרובעים שהם במעלה הראשונה שהם א' או ד' או ט' גם ז' עמהם יתכן להיות מרובע מאזנים אחרים אם היה במספר המבוקש ממספרי המעלה הראשונה ב' או ג' או ז' או ח' אין המספר מרובע ואם היה אחד מן המרובעים א' או ד' או ט' או מן המתגלגלים שהם ה' ו' יתכן שיהיה המספר מרובע מאזנים אחרים שהם מאזני צדק אם מצאת במספר המבוקש מן המעלה הראשונה אחד דע שיש בשורש אחד או ט' ואם היה במספר ד' דע שיש בשורש ב' או ח' ואם היה במספר ו' דע שיש בשרש ד' או ו' ואם במספר ט' דע כי יש בשרש ג' או ז' ואם במרובע ה' דע שיש בשרש ה' ועתה אתן לך דרך שתוכל לדעת איזה מן השנים הנזכרים יהיה בשרש ועתה שים לבך כי המרובעים במעלה הראשונה הם ג' והם א' ד' ט' ובמעלה השנית ו' והם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א וכל המעלות שהם אחר אלה השתים דרך אחת להן כי כל מעלה שאיננה זוג הולכת על דרך המעלה הראשונה וכל מעלה שהיא זוג הולכת על דרך המעלה השנית ולעולם יהיו המרובעי' הנמשלים למרובעים שהם במעלה הראשונה מספר אחד ואשר הם במעלה השנית וכל זוג הם שני מספרים גם כל הנמשלים ומהנמשלים תוכל לדעת כל המרובעים שהם לפניהם או לאחריהם וכאשר תדע שרש המעלה הראשונה או השנית ותרצה לדעת שרש הנמשל באיזו מעלה שיהיה ככה תעשה דע כי ההוה במעלה הראשונה מהאחדים הם במעלה השלישית עשרות ובחמישית מאות ובשביעית אלפים ובתשיעית עשרת אלפים ובאחד עשר מאת אלף וככה עד אין קץ בדלוג כי ידלג ממספר שאיננו זוג אל מספר שאיננו זוג והאחדים שהם במעלה השנית בשרשים הם מעלה הרביעית עשרות ובששית מאות ובשמינית אלפים ובעשירית עשרת אלפים ובשנים עשר מאה אלף כי לעולם ידלג מזוג אל זוג ועתה אומר לך איך תעשה כאשר תדע המרובע הנמשל ותדע שרשו חסר המרובע מהמספר המבוקש אחר שתשמור שלא תקח לעולם כי אם המרבע שעבר שהוא קרוב אל מספר וראה המרחק שבין המרבע וחלקהו על כפל שרש המרבע שעבר וככה עשה שלא תתן לו כל מה שתוכל רק הנח ממנו שתוכל לקחת מרבע מה שעלה בחלוק וכאשר תראה שיהיה המרחק בין המרובע שעבר כמספר מה שעלה בחלוק אז תדע שהמרבע אמת ואם היה המספר המבוקש פחות מהמרבע הנמשל ראה כמה מרחק בין מספרך ובין המרבע הבא לפי שאתה צריך לתן לו מעט יותר ממה שתוכל בעבור היות מספרך לפני המרבע הנמשל כאשר אפרש ואל תכניס במספרך מרובע החלוק וראה אם היה המספר כמספר כפל השרש כפול אז תדע כי חשבונך אמת כי אם היה אחד חסר מן העשרות אחד וישארו ט' ובדרך הזה תוכל לדעת כשתמצא א' במרבע או ט' ראוי להיות בשרש כאשר תראה בדמיונות דמיון בקשנו לדעת מרובע שעבר קרוב אל מאתים והנה זה מהמעלה השלישית שאיננה זוג ונבקש זה מהמעלה הראשונה וכבר אמרנו כי המרבעי' שיש בה א' ד' ט' והנמשלי' אליהם מאה וד' מאות וט' מאות והנה מאה הוא המרבע שעבר ושרשו י' כי כן אמרנו מה שהם במעלה הראשונה אחדי' יהיו במעלה השלישית עשרות נחסר המרבע מחשבוננו ונשארו ק' וכבר אמרנו כי השרש י' וכפלו כ' והנה אם חלקנו ק' על כ' ונתן לו ה' לא ישאר כלום שנוכל לקחת ממנו מרבע מה שעלה בחלוק והנה נתן לו ד' כפולים על כ' הם פ' נשארו כ' נחסר ממנו י"ו שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישאר ד' נחסרנו מהמאתים ישארו קצ"ו וזהו המרבע הקרוב אל מאתים ונוסיף ד' שעלה בחלוק על השרש הראשון שהיה י' יהיו י"ד וזהו שרש המרבע באמת והנה נבחן אותו במאזנים כמשפט ידוע כי מאזני י"ד ה' וכפלו על עצמו כ"ה והנה המאזני' ז' וככה בדרך קצ"ו ובמאזני' אחרי' בעבור שיש שם חשבון מתגלגל נכון להיותו מרבע ובמאזני' אחרי' בעבור שיש במרובעו ו' ראוי להיות בשרש ד' או ו' והנה המרחק מהמרבע הנמשל ק' וכפל (שורש) מרובע הנמשל כ' כפלנוהו על ד' עלו פ' נוסיף עליו מרובע ד' שהוא י"ו יהיו צ"ו והוא דרך אמת דמיון אחר במעלה הזאת בקשנו לדעת מרבע הקרוב אל ג' מאות וג' מאות יותר קרובי' אל ד' מאות שהוא מרבע הנמשל במעלה הזאת ממרובע הראשון שהוא ק' והנה נסתכל המרחק מהמרבע הבא והוא ק' וידענו כי שרש ד' מאות הוא כ' וכפלו מ' נחלוק ק' עליו ונתן לו מעט יותר ממה שנוכל בעבור היות המספר לפני המרובע והנה אם נתן לו ב' ישאר כ' על כן נתן לו ג' וכאשר נכפול ג' על מ' שהוא כפל השרש יהיו ק"כ נחסר זה המספר מת' יהיו ר"פ נוסיף עליו מרובע ג' שהוא ט' בעבור שהחשבון הוא לפני המרבע הנמשל יהיה רפ"ט והוא המרבע והנה נחסר הג' מכ' שהוא שרש המרובע הנמשל וישארו י"ז והוא שרש זה המרובע ובעבור כי יש במרובעו ט' הנה התבאר שראוי שיהיה בשרש ז' ולא ג' כי לא יתכן להיות ג' במרובע רק אם היה קרוב אל המרובע הנמשל שעבר ועל זה הדרך תוכל לדעת במרובע ששם א' או ט' כפי המרחק מהמרובע שעבר ומהמרובע הנמשל העתיד ובזה תוכל להפריש אם מצאת במרובע ד' אם יש בשרש ב' או ח' וככה אם יש במרובע ו' תדע אם ראוי להיות בשרש ד' או ו' והנה אגלה לך קצת זה הסוד למה היה כך דע כי השתים המסיבות הגדולות אחת הולכת למזרח ואחת הולכת למערב וכח עליון הוא אחד בשתיהם והנה אחד מרובע אחד יש במרובע ט' אחד וכאשר הוא חשבון ב' שני לאחד ככה חשבון ח' שני לט' אחרונית כי מהלך זה הפך מהלך זה ומרובע ב' ד' וככה יש במרובע ח' ד' וכן דרך ג' אל ז' וד' עם ו' והנה נשאר חשבון ה' אמצעי וע"כ הוא מתגלגל על עצמו ותוכל להוציא המרובע הנז' על הדרך הראשונה שהזכרתי במרובע קצ"ו שתחסר המרובע שהוא ק' מהמספר הנתון שהוא ש' יהיה המספר ר' וידוע כי שרש ק' י' וכפלו כ' והנה לא נוכל לתת לו י' כי לא ישאר מספר שנוכל לחסר ממנו מרובע מה שיעלה בחלוק גם לא נוכל לתת לו ט' כי מרובעו גדול ואפי' ח' כי גם מרובעו גדול והנה נתן לו ז' ונכפול ז' על כ' שהוא כפל השרש יהיו ק"מ נוסיף עליהם הק' שהוא המרובע יהיו ר"מ נחבר אליהם מ"ט שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיו רפ"ט והוא המרובע גם נוסיף שעלה בחלוק על י' שהיה השרש והנה יהיה שרש זה המרובע י"ז דמיון במעלה הרביעית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל אלף ור' והנה בעבור שהוא מספר זוג נבקש במעלה השנית מספר דומה לזה והוא י"ב ומרובע שעבר הוא ט' וככה ט' מאות וכאשר שרש ט' ג' ככה שרש ט' מאות ל' וכפלו ס' והנה נחסר המרובע שעבר מן החשבון הנתון והנה המרחק ג' מאות נחלקם על ס' והנה לא נוכל לתת לו ה' בעבור מרובע העולה בחלוק נתן לו ד' נכפול ס' על ד' יהיו ר"מ נחברם אל המרובע הנמשל שעבר יהיה אלף וק"מ גם נחבר אליו מרובע מה שעלה בחלוק והוא י"ו והנה הכל אלף קנ"ו וזהו המרובע הקרוב אל המספר הנתון ובעבור שעלה בחלוק ד' נוסיפנו על שרש המרובע הנמשל שעבר שהיה ל' יהיה שרש זה המרובע ל"ד והוא אמת בכל המאזנים דמיון אחר במעלה הזאת נבקש המרבע הקרוב לז' אלפים ת"ק והנה זה המספר דומה לע"ה כי הוא מן הזוגות ובעבור שהוא קרוב אל פ"א יותר מס"ד וידענו כי שרש פ"א ט' וככה יהיה שרש ח' אלפי' וק' צ' וכפלו ק"פ והנה המרחק ו' מאות נתן לו ד' אע"פ שאינו שלם בעבור שהחשבון הנתון הוא לפני המרובע הנמשל וכאשר נכפול כפל השרש על ד' יעלו תש"כ נחסר זה המספר מהמרובע הנמשל יהיה הנשאר ז' אלפים ש"פ נוסיף עליו מרובע החלוק שהוא י"ו יהיה הכל ז' אלפי' שצ"ו ושרשו פ"ו כי נחסר ד' וזהו המרובע באמת וגם אם עשינו בדרך האחרת שהזכרתי בדמיונים שעברו יהיה הדבר שוה דמיון במעלה החמישית נבקש המרובע הקרוב אל כ"ג אלף והנה זה דומה למעלה הראשונה כי איננו זוג והנה י' אלפים כמו אחד וכבר אמרנו מה שהוא במעלה הראשונה אחד יהיה במעלה החמישית מאה והנה המרובע שעבר י' אלפים נחסרנו מהמספר הנתון ישארו י"ג אלף נחלקנו על ר' שהוא כפל שרש המרובע הנמשל שעבר והנה נתן לו נ' נוסיפנו על השרש שעבר יהיה ק"נ ונשאר לנו עוד ג' אלפים נחסר ממנו אלפים ת"ק שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישארו ת"ק נחלקם על ש' שהוא כפל השרש שהיה לנו באחרונה הנה נתן לו אחד ויהיה המרובע כ"ב אלף ותת"א והשרש קנ"א ת' כאשר יכפול המספר אם יעלה לעשרות חבר עשרות עם עשרות לפי המעלות ואם יש שם אחדים שים במקום האחרים אשר כפלת ת' דמיון אחר במעלה הזאת נבקש המרובע הקרוב אל פ"ה אלפים והנה הוא קרוב אל המרובע הנמשל שהוא צ' אלף ושרשו ש' והנה המרחק ה' אלפים נחלקנו על כפל השרש שהוא ת"ר ונתן לו ט' הקרוב יותר ממה שנוכל והנה יש לו תוספת ת' נחסרם מהמספר הנתון ישארו פ"ד אלפים ות"ר ועם תוספת פ"א שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיה פ"ד אלף תרפ"א וזה הוא המרובע באמת ושרשו רצ"א דמיון במעלה הששית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל ר' אלף ובעבור שזאת המעלה מן הזוגות היא דומה לעשרים והמרובע שעבר הוא י"ו וכבר אמרנו כי מה שהוא במעלה השנית אחדים יהיו במעלה הששית מאות והנה השרש ת' והמרובע שעבר ק"ס אלפים והנה המרחק מ' אלף נחלקנו על כפל השרש שהוא ת"ת והנה לא נוכל לתת לו ה' בעבור מרובע החלוק נתן לו ד' שהם מ' ונכפול זה המספר על ת"ת יעלו ל"ב אלף ונשארו ח' אלף נסיר מהם אלף וו' מאות שהוא מרובע מ' ישארו ו' אלף וד' מאות ועתה יהיה השרש שלנו ת"מ וכפלו תת"פ נחלק המספר הנשאר על זה הכפול והנה נתן לו ז' וישארו לנו ר"מ נחסר עוד מרובע ז' נשאר קצ"א נחסר זה המספר מהמספר הנתון ישארו קצ"ט אלף ותת"ט וזהו המרובע והשרש תמ"ז דמיון אחר במעלה הזאת לדעת מרובע הקרוב אל ו' מאות אלף בעבור כי המרובע הנמשל הוא אחרי החשבון נקח המרחק שהוא מ' כי ו' מאות אלף הם כמו ס' וכאשר חלקנום על אלף וו' מאות נתננו לו כל מה שיכולנו ואם יחסר מעט מהאמת חסרנו זה משרש המרובע הנמשל שהוא ח' מאות ושהם דומים לח' והנה השרש תשע"ד וכבר היה לנו מ"א אלף ות"ר והיה לנו מ' אלף שהוא המרחק והנה אין לנו לחסר כי אם אלף וו' מאות מהמספר הנתון ויש לנו להוסיף עליו מרובע כ"ו שעלה בחלוק שהוא תרע"ו והנה יצא ת"ר כנגד ת"ר והנה אין לחסר אלא תת"ק כ"ד כי ע"ו יש לנו נוספים במרובע החלוק והנה המרובע הוא ת"ק אל"ף וצ"ט אלפים וע"ו וזהו המרובע באמת דמיון במעלה השביעית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל ה' אלפי אלפים ונאריך לבאר זה הדמיון כהוגן עד שיהיה עקר להוציא המרובעים שהם במעלות אחרות עד אין קץ אע"פ שאין צורך להם בדברי החכמות והנה המעלה הזאת דומה לראשונה והחשבון המבוקש כמו ה' והנה נסיר המרובע שהוא ד' ישאר לנו אלף אלפים והשרש שלנו שעבר אלפים וכפלו ד' אלפים נחלק עליו המספר הנשאר יעלו ת"ת אלף ונשאר לנו ר' אלף נחסר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק שהוא מ' אלף נשאר לנו ק"ס אלף והנה שרש המספר שעבר אלפים ור' וכפלו ד' אלפים ות' נחלק המספר הנשאר עליו נתן לו ל' ישאר לנו כ"ח אלף נסיר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק זה שהוא ל' והם תת"ק נשאר כ"ז אלף וק' והנה השרש שעבר יהיה אלפים ור"ל וכפלו ד' אלפים ות"ס נחלק עליו המספר הנשאר יעלו ו' נשאר לנו ש"מ נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע ו' ישאר ש"ד נחסרנו מהמספר הנתון בראשונה ישאר ד' אלפי אלפים ותת"ק אלף וצ"ט אלף ותרצ"ו וזהו המרובע באמת ושרשו אלפים ורל"ו ותבחן זה בכל המאזנים ותמצאנו נכון וככה בדרך כפל השרש על עצמו כי כפל אלפים על אלפים יהיו שנים על שנים במעלה השביעית שהם ד' אלפי אלפים ונשאר לנו המספר הנז' והנה נכפול אלפים במאתים פעמים יהיה ת"ת אלף ונשארו קצ"ט אלפים גם תרצ"ו נשוב לכפול אלפים על ל' פעמים יעלו ק"כ אלף נסירם מהמספר הנשאר ישארו ע"ט אלף וגם תרצ"ו נשוב לכפול אלפים על ו' פעמים יעלו כ"ד אלף נסירם מהמספר הנשאר וישארו נ"ה אלפים גם תרצ"ו וכבר כפלנו האלפים על כל המספרים עתה נחל לכפול מאתים על עצמו ועל האחרים שהם אחריו והנה כפלו על עצמו מ' אלפים חסרנום מהמספר הנשאר ישארו ט"ו אלפים תרצ"ו גם נכפול ר' על ל' פעמ' יעלו י"ב אלף נחסרנו מהמספר הנשאר ישארו ג' אלפים תרצ"ו ועוד נכפול ר' על ו' פעמ' יעלו אלפים ות' נסירם מהמספר הנשאר ישארו אלף ורצ"ו וכבר השלמנו לכפול ר' על כל המספרים שהם אחריו נחל מן ל' והנה כפלו על עצמו תת"ק נחסרנו מהמספר הנשאר ישארו שצ"ו נכפול עוד ל' על ו' פעמים יהיו ש"ס ונשארו ל"ו שהוא מרובע ו' והנה החשבון נכון וקודם שאדבר על המספרים שאין להם שרש אראה לך דרך איך תוכל לדעת מרובעים רבים ממרובע אחד גם שרשים רבים משרש אחד ודע כי כפל מרובע על מרובע לעולם יהיה מרובע והשורש יהיה כמו העולה מכפל שרש אחד מהמרובעים על שרש מרובע האחר דמיון כפלנו מרובע ה' על מרובע ט' ועלה אלפים וכ"ה וזה החשבון מרובע בקשנו לדעת כמה שרשו כפלנו ה' על ט' ועלו מ"ה והוא השרש באמת וערך מרובע אל מרובע גם הוא מרובע ואם חלקת הגדול על הקטן תמצא שרשו ת' השרש הקטן אל הגדול הוא שרשו ת' דמיון מה ערך מ"ט אל ק' הנה הוא כפלו וב' שביעיות שביעית בקשנו לדעת שרש זה המרובע חלקנו י' על ז' עלה אחד וג' שביעיות וזהו השרש כי אחד על אחד אחד וכפל אחד על ג' שביעיות פעמי' ו' שביעיות וכפל ג' שביעיות על ג' שביעיות ט' שביעיות שביעית והנה נעשה מן הז' שביעיות שביעית אחת ונחברנה אל הו' שביעיות שהיו לנו יעלו אחד שלם והנה יש לנו שנים שלמים וב' שביעיות שביעית בקשנו לדעת מרובע מספר ידוע ממרובע ידוע למספר ידוע חלקנו המספר הידוע הגדול על מספר הידוע הקטן שידענו מרובעו ונקח מרובעו ונכפלנו על המרובע הידוע והעולה הוא מרובע המספר הגדול שידענו דמיון בקשנו לדעת מרובע י"ט ממרובע ז' שהוא מ"ט חלקנו י"ט על ז' עלו ב' וה' שביעיות כפלנו מרובע זה והנה ב' על ב' ד' שלמי' וב' על ה' שביעיות פעמי' הם כ' שביעיו' וה' על ה' הם כ"ה שביעיות שביעית נעשה מהם ג' שביעיות נשאר לנו ד' שביעיות שביעית נחבר הג' שביעיות שהיו לנו על הכ' יהיו כ"ג נעשה מהם ג' שלמים והנה המרובע ז' שלמים וב' שביעיות וד' שביעיות שביעית והנה נכפול מ"ט על ז' יעלו שמ"ג נחבר אליהם י"ד שהם ב' שביעיות מ"ט יהיו שנ"ז גם נחבר אליהם ד' שביעיות שביעית שהם ד' ממ"ט יהיה הכל שס"א וזהו מרובע י"ט ואם חברנו ב' מרובעים בין שיהיו על הסדר או שיהיו מרוחקי' זה מזה נכפול המחובר ונחסר מזה הכפל מרובע היתרון שיש בין שני המספרי' שהם השרשים יהיה הנשאר לעולם מרובע והמחובר מהב' שרשים הוא השרש דמיון חברנו פ"א שהוא מרובע ט' עם תשכ"ט שהוא מרובע כ"ז יהיו תת"י וכפלו אלף ותר"כ וידענו כי שרש המרובע הקטן ט' ושרש המרובע הגדול כ"ז והיתרון ביניהם י"ח ומרובעו שכ"ד חסרנום מהכפול נשאר אלף ורצ"ו והוא מרובעו ושרשו ל"ו שהוא מחובר מט' עם כ"ז ואם חברנו ג' מרובעי' ונכפלם ג' פעמים ונחסר מהעולה באחרונה מרובעי הג' יתרונים שיש בין שרשי הג' מספרים והעולה באחרונה יהיה גם הנשאר מרובע וכאשר תחבר הג' שרשים יהיה המחובר שרש הנשאר דמיון חברנו ל"ו שהוא מרובע ו' עם ס"ד שהוא מרובע ח' ועם ד' מאות שהוא מרובע כ' והנה המחובר מג' מרובעי' הוא ת"ק כפלנוהו ג' פעמים עלו אלף ות"ק שמרנו זה החשבון נשוב לחפש היתרוני' והנה היתרון בין הו' ובין הח' ב' ומרובעו ד' והיתרון בין הו' ובין הכ' י"ד ומרובעו קצ"ו היתרון בין הח' ובין הכ' י"ב ומרובעו קמ"ד והנה מרובעי אלה הג' הם שמ"ד נחסרם מהכפול השמור ישארו אלף וקנ"ו והוא המרובע והמחובר מן הג' שרשים הוא ל"ד והוא שרש מרובע הנשאר ועל זה הדרך אם חברת ד' מספרים או ה' ותכפלם כך פעמ' והכלל שהכפול כפי מספר המרובעי' שחברת ותחסר לעולם מרובעי היתרוני' כמה שיהיו מהמחובר יהיה הנשאר מרובע ויש לך להישמר לדעת היתרונים ואומר לך שתוכל לדעת ממנו כמה מספר היתרונים חסר לעולם אחד ממספר המרובעי' ודע כמה מספר המחובר שלפני אותו המספר כאשר הראיתיך וכמספר המחובר יהיה המספר היתרונים דמיון חברנו ו' מרובעי' ונרצה לדעת מספרי היתרוני' נחסר אחד כאשר דברנו ישארו ה' והמספרי' שהם לפניו יהיו ט"ו וככה יהיו מספרי היתרוני' עתה נחל לדבר על הנשברי' המרובעי' שיש להם שרש אמת ונאמ' דבר כולל לנשברי' המרובעי' שהם לבדם או שהם עם שלמי' הסתכל אם היה הנשבר חצי או שלישית או חמישית או ששית או שביעית או שמינית אינו מרובע והיה כן בעבור כי אלה המספרי' בשלמי' אינם מרובעי' רק אם היה בו רביעית או חמישית חמישית או ששית ששית או שביעית שביעית או שמינית שמינית או חצי שמינית כי הוא חלק מי"ו והנה הסתכל אם היה במרובע רביעית דע כי בשרש חצי ואם שם תשיעית דע כי יש בשרש שלישית ואם יש שם חצי שמינית דע כי יש בשרש רביעית ונחל לדבר על המרובעי' נשברי' לבדם שאין עמהם שלמי' וכבר אמרנו כי הנשברי' הפך השלמי' וכאשר תכפול חשבון שלם על חשבון שלם בין יהיה על עצמו או על אחר יהיה העולה גדול מהמספרי' והפך זה בנשברי' וכאשר המרובעי' השלמי' גדולי' משרשיהם יהיו המרובעי' הנשברי' להפך בי' שרשיהם גדולים ממרובעיהם ולהוציא המרובעי' משרשיהם דבר קל כי כפל חצי על חצי הוא רביעית אחד והוא המרובע וככה שלישית על שלישית תשיעית אחת וב' שלישיות על ב' שלישיות שלישית אחת ושלישית שלישית תשיעית וד' חומשי' על ד' חומשי ג' חומשים וחומש החומש והוא המרובע ועל זה הדרך הכל רק הקשה להוציא השרש מהמרובע ואתן לך דרך כוללת על דרך חכמי המזלות שיוציאו כל חשבונם מחשבון ס' אם ישאל אדם כמה הם ב' שלישיות כפולות על ב' שלישיות תכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר חלקם על ס' יהיו כ"ו חלקי' ראשוני' ונשארו מ' שניים והכל ד' תשיעיות כי תשיעית ס' ו' ראשוני' גם מ' שניים שהם שתי שלישיות ראשון ואם עשינו מזה המספר שלישיות יהיו כ' גם נכפול ס' על ג' יהיו ק"פ והכל יהיו ממתכונת אחת וכאשר נחלק זה המספר על כ' עלו ט' שהוא תשיעית אחת ואם הפך השואל השאלה ואמר כי המרובע ד' תשיעיות אחד כמה השרש הפוך גם אתה הדבר שתדע כמה הם ד' תשיעיות ס' וכבר אמרנו שהם כ"ו ראשוני' ומ' שניי' עשה מן הראשוני' שני' ושים השניי' עמהם יהיו הכל אלף ת"ר וזה המספר בזוגות דומה לי"ו וחשוב שהם שלמי' והנה השרש מ' שוב וחשוב כי הם ראשוני' וככה הוא השרש דמיון בחשבון שלא יתחלק על ס' כפלנו ד' שביעיות על ד' שביעיות והוא על דרך חכמי החשבון נכפול ד' על ד' יהיו י"ו נחלקם על ז' יהיו ב' שביעיות וב' שביעיות שביעית ועל דרך הדומה לחכמי המזלות יהיו חלקיו ע' והנה ד' שביעיות הם מ' נכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר נחלקם על ע' יהיו כ"ב ראשוני' גם ס' שניים והוא המרובע ואם השואל יהפוך השאלה ויאמר כמה שרש זה המרובע שהוא ככה גם אנחנו נהפוך הכ"ב ראשוני' ונעשה מהם שניי' ונוסיף עליהם הס' שניים שהיו לנו יהיו אלף ות"ר נחשוב כי הם שלמי' ושרשם מ' ונחשוב כי הם ראשוני' וזהו השרש באמת ואם רצינו להשיב ממתכונת ע' אל מתכונת ס' נכפול מ' על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו ל"ד וישארו כ' נכפלם פעם אחרת על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו י"ז וישאר לנו זה שאמר שהוא אחד הוא עשרה לכן החשבון אינו מדקדק נעשה ממנו ס' ובעבור כי ע' גדול מס' נכפלנו עוד ויהיו ג' אלפים ות"ר נחלקם על ע' עלו נ"א ויספוק לנו זה דמיון אחר כפלנו שלישית על שלישית עלה תשיעית אחד והוא המרובע ונעשה חלקיו צ' ושלישיתו ל' כפלנו אותו על עצמו עלו תת"ק נחלקנו על צ' ועלה י' חלקים והוא המרובע והפך זה בקשנו לדעת השרש מזה המרובע עשינו מהי' חלקים שניים והם תת"ק חשבנו שהם שלמי' וכמספר הזה יהיו ראשוני' והוא השרש וכל זה נכון אם יש מרובע אמת ושרש אמת רק אם אמר חשבון חלקים שאין להם שרש אמת בין שיהיה להם ערך אל ס' או לא יהיה כי אם אמר י"ב חלקים הוא המרובע כמה השרש ידענו כי י"ב הוא חמישית ס' וכבר אמרנו כי לא יתכן להיות במרובע חמישית וככה אם אמר כי המרובע י' חלקים שהוא ששית אחת לא יתכן להיות רק אם אמר כי המרובע חלק אחד ומ' שניים שהוא ששית הששית הוא הנכון והנה במספר שיש לו ערך אל ס' לא יתכן להיות רובי המספרים מרובעים אף כי המספרים שאין להם ערך כלל כמו י"א י"ג ט"ו י"ז י"ט ואחרים רבים שאין להם ערך ועוד אתן לך דרך שתוכל להוציא לכל מרבע נשבר שרשו בדרך שהיא קרובה אל האמת ועתה אדבר על השלמים שיש בהם נשברים והם מרובעים דמיון אמר אומר מרובע שהוא י"א ותשיעית כמה השרש אחר שאמר שיש בו תשיעית נכון הוא להיותו מרובע ובשרשו שלישית נכח התשיעית חסר ממנו התשיעית שהוא מרובע שבר השבר נשארו י"א שלמים והנה המרחק מהמרובע שעבר ב' שלמים נשיבם ראשונים יהיו ק"כ נחלקם על כפל השרש שעבר שהוא ו' יהיו כ' והנה השרש ג' שלמים וכ' חלקים ושליש דמיון אחר המרובע שהוא ז' שלמים ונ' חלקים ראשונים וכ"ד שניים הנה בעבור ששם כ"ד שניים ידענו שיש בחשבון חומש החומש שהוא ב' חלקים וכ"ד שניים נחסר זה מרובע השבר מהמספר הנתון ישאר ז' שלמים ומ"ח ראשונים והנה המרחק מהמרובע שהוא אחריו אחד שלם וי"ב חלקים שהם ע"ב ראשונים נחלקם על כפל השרש שהוא אחריו והוא ו' ויעלו י"ב נגרעם מג' שהוא השרש ישארו ב' שלמים ומ"ח חלקים והנה נבחן זה בכפל כי הנה ב' על ב' ד' שלמים וידענו כי ב' על מ"ח פעמים יהיו קצ"ב ומ"ח הם ד' חמישיות יהיו י"ו חמישיות נעשה מהם ג' שלמים וישאר חמישית אחת וישארו לנו לכפול ד' חמישיות על ד' חמישיות יהיו י"ו חמשיות חמישית נעשה מט"ו ג' חומשין ונחבר אליהם החומש שהיה לנו יהיו ד' חומשין גם חומש החומש והנה ד' חומשין הם מ"ח ראשונים וחומש החומש ב' ראשונים וכ"ד שניים והנה הכל נ' ראשונים וכ"ד שניים וז' שלמים דמיון מרובע שהוא מ"ד וד' תשיעיות ידענו כי התשיעיות מן השלישיות יצאו והנה נסיר זה המרובע שהוא לשברי שברים ונבקש כמה מרחק השלמים מן המרובע שעבר והנה ח' נשיבם ראשונים יהיו ת"פ נחלקם על י"ב שהוא כפל שרש המרובע שעבר יהיו מ' חלקים ראשונים והנה השרש ו' שלמים ומ' חלקים כי מ' הם השברים ומ' מס' הם ב' שלישיות והנה נכפול ב' על ב' יהיו ד' נחלקם על ג' יעלה שלישית אחת ונשאר שלישית השלישית והנה הם ד' תשיעיות ובדרך חכמי המזלות נכפול ו' על ו' והם ל"ו ונכפול ו' על מ' ומ' על ו' והם ת"פ ראשונים נחלקם על ס' ועלו ח' שלמים נחברם עם הל"ו ויהיו מ"ד נכפול מ' על עצמו ונחלק העולה על ס' ומה שישאר הם שניים והם כ"ו ומ' והם ד' תשיעיות כי ערכם אל ס' כערך ד' אל ט' ואחר שהזכרתי אלה הדמיונים תעשה כדרך הזה בכל המעלות ועתה אומר לך דרך כלל לכל המספרים שיש להם שרש אמת או אין להם דע כי לעולם יהיה בין ב' מספרים שהם על הסדר כמספר השנים שרשים והנה הסתכל במספר שתרצה כמה מרחקו מהמרבע שעבר אם היה המרחק בין מספרך ובין המרובע שעבר כשרש המרובע שעבר הוא מספר האמצעי וכל מספר שיהיה פחות מהאמצעי הוציאהו מהמספר המרובע שעבר ואם היה יותר מהשרש שעבר הוציאהו אחורנית מהמרובע שלפניו דמיון המספר עשרים והנה מרחקו מן המרובע שעבר ד' ואם תשיבם ראשונים ותחלקם על ח' שהוא כפל השרש יהיו ל' שהוא חצי ס' ואם לקחנו מרחק הכ' מהמרובע הבא יהיה כמספר השרש נשיבם ראשונים ונחלקם על י' שהוא כפל השרש יהיו ל' על כן אמרתי כי כ' הוא חשבון אמצעי ועתה שים לבך אם היה מספרך קרוב אל המרובע שעבר ראה המרחק שיש ביניהם ועשה ממנו ראשונים ואם יש בחשבונך ראשונים הוסיפם על הראשונים שעשית ואם יש עמך שניים השב הכל במערכת השניים או קח דרך קצרה אם היו השנים פחותים מל' הניחם ואם יותר הוסף ראשון אחד עליהם וכאשר תדע כמה הראשונים של המרחק חלקם על כפל השרש שעבר וההוה הוסיפנו על השרש שעבר והמחובר יקרא שרש ראשון ואם חשבונך היה במאות ואלפים זה השרש יספיק לך במדות כי לא יזיק רק אם המספר היה קטן אתה צריך לשרש שני שהוא יותר מדוייק ולהוציא היתרים והקשתות אתה צריך לשרש שלישי שמדוייק יותר וככה יהיה הדקדוק כשיהיו לך הראשונים של המרחק דע כמה מרובעם וחלקהו על כפל השרש הראשון ודע העולה כמה הם ובאיזה מעלה הם בראשונים או בשניים כאשר הראיתיך בשער השברים וההוה חסרהו מן השרש הראשון והנשאר הוא השרש השני ואם תרצה לדקדקו עוד קח מרובע זה שעלה בחלוק וחלקהו על כפל השרש השני ועתה אתן לך דמיון על דרך חכמי החשבון בדרך קרוב בקשנו לדעת שרש מאתים והנה המרובע שעבר קצ"ו והמרחק ד' שלמים כשתחלקם על כ"ח שהוא כפל השרש תעלה שביעית אחת והנה השרש י"ד ושביעית אחת ואם רצית לדעת שרש עשרים אלף כפול זה השרש על י' יעלה קמ"א וג' שביעיות ואם בקשנו לדעת כמה שרש שנים משרש מאתים שהוא י"ד ושביעית נקח עשיריתו והנה מי' נקח אחד שלם ועשירית ד' והם ד' עשיריות וידענו כי ד' עשיריות הם ב' חמישיות שהם כ"ד ראשונים ויש לנו לקחת עשירית השביעית והנה שביעית ס' כבר אמרנו שהוא ח' ל"ד שניים נשיב הכל שניים יהיו תקי"ד ועשיריתם נ"ב והנה יהיה השרש הראשון א' כ"ד נ"ב והוא כמעט קרוב אל האמת נשוב להוציא זה השרש מכ' אלף וידענו כי זה החשבון הוא דומה לאחדים וי' אלפים כמו אחד והוא המרובע הנמשל והנה נחסר י'

הפירוש שתקח הראשונים של המרחק אחר שלקחת אותם על כפל השרש שעבר והם הראשונים אשר עלו לך בשרש או אם תרצה אמור שתקח השרש הראשון ותרבעהו ותראה כמה יהיה הקרוב והתוספת אשר בו על מספרך הראשון והתוספת ההוא תחלק על כפל השרש הראשון והיוצא בחלוקה תחסר מהשרש הראשון והנשאר הוא השורש השני ת"ו

אלפים ממספרנו ישארו י' אלפים נחלקם על כפל השרש שהוא ר' ולא נתן לו כל מה שנוכל אך נניח כפי מרובע החלוק והנה נתן לו מ' וישארו לנו אלפים נסיר מהם אלף ות"ר שהוא מרובע החלוק נשאר ת' והשרש שלנו ק"מ וכפלו ר"פ נחלק הנשאר עליו נתן לו אחד נשארו ק"כ נחסר ממנו א' שהוא מרובע א' נשאר קי"ט והשרש שלנו קמ"א נעשה מהנשארים ראשונים יהיו ז' אלף וק"מ נחלקם על רפ"ב שהוא כפל השרש שלנו עלו כ"ה חלקים ראשונים וי"ט שניים נחלק כל מה שאמרנו מן השלמים והשניים על ק' יהיה העולה אחד שלם כ"ד נ"א י"א וזהו מדוקדק יותר מן הראשון שהזכרנו ואם תקח כל חשבון שהוא כפל מרובע ותכפול שרש המרובע על זה השרש יצא לך שרש החשבון מדוקדק דמיון רצינו לדעת כמה שרש י"ח והנה כפלנו שרש המרובע שזה המספר כפלו ועלה ד' שלמים י"ד ראשונים ל"ג שניים ל"ג שלישיים ואם כפלנו זה המספר יהיה שרש ע"ב שהוא כפל כפל י"ח ואם לקחנו חצי זה שרש יהיה שרש ד' וחצי שהוא רביעית י"ח ואם נקח מרובע ז' אלפים ור' שהוא כפל מרובע ס' יהיה השרש פ"ד שלמים נ"א ראשונים י"א שניים וזהו שרש שנים בעצמו כי השיבונום בדרך ראשונים והנה חשוב אלה פ"ד שהיו שלמים חשבם ראשונים והראשונים שניים והשניים שלישיים ואם תכפול זה המספר על עצמו אחר שתשיבם שלישיים ותחלקם במשפט שתשיבם אל המעלה הראשונה לא ישאר לך שני אחד ואף כי ראשון נשוב להוציא שרש שנים להיותו דמיון לאחדים הנה המרובע שעבר הוא אחד והמרחק בין חשבוננו ובינו הוא אחד נשיבנו ראשונים יהיו ס' נחלקם על כפל השרש שהוא שנים יהיו ל' ראשונים והנה השרש הראשון א' ול' ראשונים ואינו נכון בעבור שהוא בחשבון קטן כי הנה כאשר הוציאנו אותו מחשבון ר' היה קרוב אל האמת ומהחשבון כ' אלף יותר מדוקדק ויספיק לנו השרש הראשון והנה עלה לנו בחלוק ל' חלקים ראשונים ומרובעו ט"ו ראשונים כי כפל ראשונים על ראשונים שניים והם ט' מאות נחלקם על ס' יהיו ט"ו ראשונים נחלקם על כפל השרש שהיה לנו הוא ג' יעלו ה' נחסרם מן השרש שהיה לנו יהיה השרש השני א' שלם וכ"ה ראשונים ועודנו אינו מדוקדק בעבור היותו חשבון קטן נשוב ונקח מרובע החלוק שהוא כ"ה והם שניים והשרש השני שהיה לנו שהיה אחד שלם וכ"ה ראשונים יהיה כפלו ב' שלמים נ' ראשונים נחלק השניים על זה ובעבור שיש לנו ה' ששיות נשיב הכל מערך ו' והנה נכפול כ"ה על ו' יהיו ק"נ נחלקם על י"ז נתן לו ח' ונשארו י"ד נשיבם ממערכת ס' יהיו תת"מ נחלקם על י"ז עלו מ"ט והם שלישיים ונשארו ז' מי"ז נשליכם כי אין צורך אליהם כי יש לנו עוד לחסר מרובע שעלה בחלוק עתה והנה כאשר נחסר ח' שניים גם מ"ט שלישיים מהשרש השני יהיה הנשאר אחד שלם כ"ד ראשונים נ"א שניים י"א שלישיים ואילו עשינו על דרך חכמי המזלות יהיה הדבר שוה ואם היינו מדקדקים עוד מדרך מרובע ח' שניים מ"ט שלישיים שאמרנו היה יוצא השרש מדוייק שאין דיוק כמוהו א' כ"ד ראשונים נ"א שניים י"ז שלישיים נ"ד רביעיים בקשנו להוציא שרש י' והנה המרחק מהמרובע שעבר אחד נשיבנו ראשונים יהיו ס' נחלקנו על ו' שהוא כפל השרש שעבר יהיה י' והנה השרש הראשון ג' שלמים י' ראשונים נשיב לדקדקו והנה נקח הק' שהוא מרובע החלוק ונחלקנו על ו' ושלישית שהוא כפל השרש הראשון ונשיב הכל מערך ג' ויש לנו לחלק ש' על י"ט ועלו ט"ו ונשארו ה' והנה אלה הה' נשיבם שלישיים מערך ס' יהיו ש' נחלקם על י"ט עלו ט"ו והנה יש לנו לחסר זה מי' חלקים שהיה לנו הנה נחסר ט"ו שניים גם ט"ו שלישיים יהיה הנשאר ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים והנה השרש השני הוא ג' שלמים ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים ואם נדקדקנו יותר יהיה ג' שלמים ט' ראשונים מ"ד שניים י"ב שלישיים וכשנכפול זה החשבון על י' יהיה העולה ל"א שלמים ל"ז ראשונים כ"ב שניים וזהו שרש אלף ואם נכפלנו על אלף נמצא שרש עשרת אלפי אלפים שאלה חלקנו שרש י"ח על שרש ח' כמה יעלה בחלוק ידענו כי אין לי"ח שרש ג"כ לח' והנה נעשה דרך אחרת שנחלק י"ח על ח' ויעלה בחלוק ב' ורביע וזה החשבון מרובע ושרשו אחד וחצי והנה כאשר נוסיף על כפל שרש ב' חציו תמצא שרש י"ח מדוקדק שאלה הצבנו סולם אל קיר י' אמות גבהותו וככה גבהות הסולם הורדנו ראש הסולם מלמעלה ב' אמות נבקש לדעת כמה יהיה מרחק הסולם מיסוד הקיר אתן לך כלל בדבר זה לעולם יהיה מרובע הנשאר מראש הסולם עם מרובע מרחק הרגל מן היסוד שוים אל מרובע הסולם והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ומרובעו ס"ד נחסרנו מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה הוא מרחק הסולם למטה מן היסוד דמיון אחר הורדנו הראש אמה כמה המרחק מן היסוד חסרנו א' מי' ונשארו ט' ומרובעו פ"א נחסרנו מק' ישארו י"ט וזהו מרובע המרחק וככה נוציא שרשו ידענו כי המרחק מי"ו הוא ג' נשימם ראשונים יהיו ק"פ נחלקם על ח' שהוא כפל השרש שעבר יעלה בחלוק כ"ב ראשונים ל' שניים והנה השרש הראשון ד' שלמים כ"ב ראשונים ל' שניים נקח מרובע החלוק ונחלקנו על ח' שלמים מ"ה ראשונים שהוא כפל שרש הראשון יעלו נ"ח שניים נחסרנו מן השרש הראשון יהיה ד' שלמים כ"א ראשונים ל"ב שניים ואין צורך לדקדקו יותר מזה ועתה נחל לדבר בעגול יען שהוא תלוי בשרש דע כי יש בעגול דברים רבים האחד קו העגול והשני האלכסון והשלישי הכפל והרביעי היתר והחמישי החץ והששי השברים ותוכל להוציא אחד מהם שאינו ידוע מב' שהם ידועים ויש מהם שיוכל לדעת אחד מהם שאינו ידוע מאחר כאשר אפרש ואתן דמיון לכל אחד ואחד נחשוב עגול אלכסונו י' וחצי היתר ד' והחץ ב' כמה האלכסון חלקנו מרובע חצי היתר על החץ והוספנו החץ בעצמו על מה שעלה בחלוק והמחובר הוא האלכסון דמיון אחר באלכסון י' והחץ ג' ומרובע חצי היתר כ"א חלקנוהו על החץ עלה ז' והוספנו עליו ג' והנה הוא האלכסון דרך להוציא היתר מן החץ ומן האלכסון הנה חצי האלכסון ה' והחץ אחד נחסרנו מה' ישאר ד' אל הנקודה ומרובעו י"ו נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי אלכסון ישארו ט' ושרשו ג' וככה חצי היתר והנה כל היתר ו' וזה הדבר יהיה לך יסוד כי לעולם מרובע מה שנשאר מן החץ אל הנקודה עם מרובע חצי היתר יהיו שוים אל מרובע חצי האלכסון דרך אחרת להוציא היתר כפול החץ על כל הנשאר מן האלכסון והעולה הוא מרובע חצי היתר קח שרשו וכפלהו ותמצא כל היתר דרך אחרת ראה כמה ערך החץ אל כל האלכסון וככה תקח ממרובע האלכסון והוא המחובר ממרובע החץ וממרובע חצי היתר וערך מרובע החץ אל מרובע החץ ומרובע חצי היתר כערך החץ אל כל האלכסון דמיון בעגול הנזכר החץ ב' והנה ערכו אל כל האלכסון החמישית והנה חמישית ק' שהוא מרובע כל האלכסון כ' וזה המספר כולל מרובע החץ ומרובע חצי היתר וראוי להיות מרובע החץ חמישית כ' שהוא ד' נחסרם מהכ' ישארו י"ו והוא מרובע חצי היתר דמיון אחר בחשבון שיש לו חלקים ונאמר כי החץ ג' שלמים וכ' חלקים וזה ערכו אל י' שלישית הנה נקח שלישית ק' שהוא מרובע האלכסון והוא ל"ג שלמים וו' ראשונים ומ' חלקים שניים והוא מרובע החץ נחסרם מל"ג וישארו כ"ב י"ג כ' והוא מרובע חצי היתר ואתן לך דרך כלל בדברי העגול ידענו כי ב' אלכסונים שוים מחלקים העגול ואם החץ שלישית האלכסון יהיה מרובע חצי היתר כפלו בין שניהם הם ג' ואם החץ רביעית האלכסון יהיה מרובע חצי היתר ג' כפל מרובע החץ ועל זה הדרך כל החשבון שאלה אם אמר החץ ב' חלקים זה הערך תוכל לקחתו על שני דרכים האחד שתשיב האלכסון כלו ראשונים יהיו ת"ר ותעשה הערך כך 0ב 00ו 0 00א והנה נכפול ב' בק' מרובע האלכסון יהיו אלפים נחלקם על ת"ר יהיו ג' שלמים ושלישית אחד שהם ב' חלקים ומספר זה הוא הכולל שני המרובעים ואם שבנו עוד להפריד מרובע החץ ממרובע חצי היתר נקח מג' ב' ערך ג' ב' אל ק' והיה ו' מ' והוא מרובע החץ וישאר מרובע היתר ג' י"ג ב' ובדרך אחרת ידענו כי כ' חלקים מי' שלמים הוא שליש העשירית נקה מק' שהוא מרובע האלכסון שליש העשירית יהיה ג' שלמים וכ' חלקים דרך להוציא החץ מהיתר גרע מרבע חצי היתר ממרובע חצי האלכסון וקח שרש הנשאר וגרעהו מחצי האלכסון והנשאר הוא החץ דמיון אמר כי היתר ו' נקח מרובע חציו שהוא ט' נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי האלכסון וישארו י"ו ושרשו ד' נחסרנו מחצי האלכסון שהוא ה' ישאר אחד וככה הוא החץ להוציא קו העגול מן קו האלכסון חכמי המדות אמרו כי הקו הסובב הוא ג' מהאלכסון ויותר שביעית והנה הוא בחשבון ז' אל כ"ב ואם כפלת האלכסון על ג' ושביעית יהיה העולה הקו הסובב או אם תכפול האלכסון שתרצה על כ"ב ותחלק העולה על ז' תמצא הקו הסובב והפך זה אם ידעת הקו הסובב ותרצה לדעת האלכסון כפול הקו על ז' וחלק העולה על כ"ב תמצא האלכסון והנה על דעת אלה אם היה האלכסון אחד יהיה הקו הסובב ג' שלמים ח' הראשונים ל"ד שניים י"ז שלישיים וארישמדס החכם נתן ראיה כי הוא פחות מזה המספר כי אמר שהנוסף פחות מי' חלקים מע' גם הביא ראיה כי הנוסף יותר מי' חלקים מע' וחצי והנה הנוסף על השלשה שלמים ח' ראשונים כ"ד שניים ל"ה שלישיים ונתן ראיה כי ראוי להיות יותר מזה המספר ותלמי עשה חשבונו אמצעי כי התוספת ח' ראשונים ל' שניים וחכמי הודו אמרו כי אם היה כ' אלף יהיה הקו הסובב ס"ב אלף ותתל"ח וכאשר תסתכל זה תמצאנו קרוב מדברי תלמי ואין ביניהם כי אם ג' שלישיים ובעבור כי י' דומה לאחד והעגול יסובבהו קו אחד הנה אם שמנו האלכסון י' יהיה מרובע היתר כשלישית האלכסון במספר הקו בלי תוספת ומגרעת וככה אם עשית מרובע בשלישית העליונה ובשלישית השפלה יהיו שבריו במספר הקו רק המרובע נוכל לדעת שהוא תת"ק פ"ז וה' תשיעיות וד' שמיניות תשיעית שהם נ"ג חלקים מן פ"א והנה אם שמנו האלכסון י' ונוציא יתר בשלישית ונעשה עליו משולש יהיה רבוע המשלש בקו הסובב וכל מספר שהוא לפני י' יהיה ערך המשלש בשלישית אל הקו המקיף בערכו אלי' ואם הוא יותר מעשרה יהיה ערך הקו המקיף אל המשלש בשלישית כערך י' אל הקו וכאשר נחפש הקו הסובב כמה יהיה אם היה האלכסון אחד יהיה הקו הסובב ג' שלמים ח' ראשונים ל"ג שניים מ"ב שלישים גם ל' רביעיים על כן שברי עגול שאלכסונו ט"ו שרש חמשת אלפים בלי תוספת ומגרעת ובמדות ובחכמת המזלות אין צריך לדקדק זה והנה הוא כאשר אמר ארישמדס שהוא יותר מי' חלקים מע' וחצי וקרוב מאד לדברי חכמי הודו שאין ביניהם רק דבר שאין בו ממש ולדעת הקשתות והמיתרים על דעת חכמי המזלות אדבר עליהם בספר טעמי הלוחות כי הם מבקשים למוד הקו הסובב מהיתרים וחכמי המדות מבקשים לדעת כמה שברים יכילו בעגול ולפי דעתם אם ידעת האלכסון כפול מרובעו על י"א וחלק העולה על י"ד אז תמצא שברי העגול והפך זה אם ידעת כמה שברי העגול ותרצה לדעת כמה האלכסון כפול השברים על י"ד וחלק העולה על י"א והעולה בחלוק הוא מרובע האלכסון ושרשו הוא האלכסון ועתה אשוב לדבר למה יחסרו חכמי החשבון אחד ליסוד דע כי אחד עד ט' הם המספרים באמת שהם כנגד ט' עגולות וכל המספרים אחריהם הם נמשלים להם והנה הנמשלים הם ראויים לקחת המעלות מהם והי' ראוים אל מעלה ראשונה והק' בששית והאלף בשלישית והי' אלף ברביעית וק' אלף בחמישית ואלף אלפים בששית וככה עד אין קץ וחכמי החשבון שמו המספרים הראשונים במעלות על כן הוצרכו לגרוע אחד ליסוד וברור זה ותראה בדמיון בקשנו לכפול ר' על ש' והנה הנמשלים ב' וג' כפלנו זה על זה והיו ו' והמעלות גם כן הם ו' נחסר אחד למוסד ישאר ה' ותחלתם י' אלפים והנה הם ששים אלף וכבר הזכרתי כי בחשבון האמת תחלת הארבעה לי' אלפים הוא והנה הדבר שוה אך עשו כן כדי להקל על התלמידים

תם ונשלם תהלה לאל עולם סלה

ראה ספר כליל שפר יסוד מספר שמו נקרא לאברהם בנו מאיר ספרדי אבן עזרא

Abziehen (מן), חסר (מן) גרע addieren חבר (אל, עם, על), הוסיף (על) Addition חבור Arithmetik חכמת המספר, חכמת החשבון Arithmetiker חכמי המספר, חכמי החשבון Astronomen חכמי המזלות Astronomie חכמת המזלות Aufgabe שאלה ausrechnen הוציא ausziehen (z. B. Wurzel) הוציא Beispiel דמיון Bogen קשת Bruch שבר Centrum נקודה Decimen עשיריים Dekade מספר) כלל) Differenz מרחק (מן) Dividendus (מספר) המחולק dividieren חלק (על) Division חלוק Divisor (מספר) המחולק עליו Doppelbruch שבר השבר Doppelte כפל Dreieck משולש Dnrchmesser אלכסון Einer פרטים, אחדים Figur צורה Flächeninhalt שברים ganz שלם Geometrie חכמת המדות gerade Zahl מספר זוג gesucht מבוקש gleich שוה gleichschenklig שוה השוקים Grad מעלה herauskommen עלה, יצא Kreis עגול Messkunde חכמת המדות Million אלף אלפים Minuten ראשונים Mittelpunkt נקודה Multiplikation כפל multiplizieren כפל (על) Musik חכמת הנגינות Nenner מורה Null סיפרא, גלגל Oktaven שמיניים Paarzahl מספר זוג Peripherie הקו הסובב Pfeil חץ Primzahl מספר ראשון Probe מאזנים Probezahl מאזנים Produkt המחובר Proportion (s.Verhältnis) ערך Quadrat מרובע Quadratwurzel שרש מרובע Quarten רביעיים Quinten חמישיים Quotient היוצא בחלוק rechnen חשב Rechnung חשבון Rest הנשאר Resultat העולה, היוצא Schema דמיון Schenkel שוק Sehne יתר Seitenzahl פאה Sekunden שניים Septimen שביעיים Sexten ששיים Stelle מעלה Sternknnde חכמת המזלות Stufe מעלה subtrahieren חסר (מן), גרע (מן) Subtraktion חסור, מגרעת Summe סכום, מחובר Teil חלק teilen חלק (על) Terzen שלישיים Überschuss תוספת, יתרון überschüssig נוסף ungerade Zahl מספר נפרד unpaar נפרד verdoppeln כפל vervielfältigen כפל Verhältnis ערך arithmetische Verhältnisse ערכי החשבון geometrische Verhältnisse ערכי המדות harmonische (musikalische)Verhältnisse ערכי הנגינות Viereck מרובע Wurzel שרש Zahl חשבון, מספר Zahlenlehre חכמת החשבון, חכמת המספר Ziffer אות, חשבון, מספר zusammengesetzte Zahl מספר מורכב

F14649 ל"ז1

שאלה : ג' אנשים רצו לקנות דג במחיר י"ז פשיטים. אמר אחד מהם: אני אתן כל מה שיש בידי ואתם תנו חצי מה שיש בידכם. אמ' השני: אני אתן מה שבידי ואתם שליש שניכם. ענה השלישי: אני אתן את שלי ואתם תנו רביעית שניכם. כמה יש ביד כל אחד ואחד? תשובה: נבקש מאמר שנוכל להוסיף עליו, עד שיהיה המספר ההוא אחר התוספת חציו ושני שלישיותיו ושלש רביעיותיו והוא המורה ובעבור כי מחיר הדג י"ז פשוטים והנה יותר מי"ב והנה המספר המבוקש פחות מי"ב וכאשר חברנוהו י"ב והוא המורה עם מחיר הדג שהם י"ז, יעלו כ"ט, תסיר מהם הי"ז, ישארו י"ב, נמצאו ביד שנים מהם י"ב פשוטים וכאשר נוסיף על י"ב חצי הכפל הנשאר, שהם ה' מי"ב ועד י"ז וכפלם כ"ה וחציו י"ב וחצי

לז-ב יהיו כ"ד וחצי ויש לך עוד כ"ט ה' וככה ממון ראשונים. וכאשר הוספת על י"ב ו' שיהיה י"ב שתי שלישיותיו, היו י"ח, הנה יש להשלים עד כ"ט י"ח והוא הממון השני. וכאשר הוספנו על י"ב ד' בלבד עד שיהיו י"ב ג' רביעיותיו והנה היו י"ו וממנו עד כ"ט י"ג והוא הממון השלישי. דבר אחר ממה שיצטרך ידיעתו בחכמה הזאת הוא שהבדל גדול יש בין אמרנו ערך מספר קטן אל הגדול ובין אמרנו ערך מספר גדול אל הקטן. והוא המוזכר אחרון בערך יהיה הראשון הנזכר חלק ממנו ולא יתהפך זה עד שיהיה האחרון חלק מן הראשון וזה יתברר בשני מספרים שאין חלקיהם שוים. המשל בזה כי כאשר אמרנו ערך ג' אל ה', הרצון בו שג' הוא שלשה חלקי הה', ר"ל ג' חמישיותיו. והפך זה אמרנו ערך ה' אל ג', הרצון בו שהחמשה יש בו פעם אחת ג' ושני שלישיותיו. וככה ערך י' אל י"ו, הכונה בו שהוא חמש שמיניות של י"ו, אבל אמרנו ערך י"ו אל י' הכונה בו שהוא פעם אחת מספר י' וג' חמישיותיו של י'. דבר אחר דע כי כפל מניין על מניין הוא כפל האורך על הרוחב, אם שיהיה מרובע רבוע שא' שארכו כרחבו, כאמרנו ד' על ד' הם י"ו וגם שיהיה ארכו יותר מרחבו, כאמרנו י"ו שהם אמות אומדות שארכם כרחבם כזה, או מרובע ארוך כזה. על כן כפל המספר שלמים על שלמים יוסיפו ובו תדע תשבורת הכל, אבל כפל שברים על שברים יהיה היוצא ממין השברים. וכשתכפול השברים על השלמים, כאמרנו כפול ד' על חצי, הוא כאמרנו כפול ד' על חצאים, כלומ' שיהיה ארכו ד' אמות ורחבו חצי אמה כזה. כפול שברים על שברים, כאמרנו חצי על חצי ויהיה רביעית, כלומ' יהיה חצי אמה אורך וחצי אמה רוחב ושברו הוא רביעית. וכאשר נכפול שלמים על שלמים, כאמרנו כפול ד' על ד', יהיה מרובעו י"ו מרובעות וכאשר תכפול ב' על ב', יהיה מרובעו ד'. ככה הענין בשברים, על כן שלישית על שלישית יהיה תשיעית וכן כל השאר.

לח-א אבל החלוק הוא שתחלק האורך על הרחב, כי לעולם הגדול נחלק על הקטן, כי אם חלקנו הקטן על הגדול אותו יקרא ערך ואינו חילוק, כי הוא כאמרנו ערך מספר קטן אל מספר גדול. ועל כן כשנחלק שלמים על שלמים יצא בחלוק שלמים כמו שאמרנו. דמיון חלקנו י"ו על ב', עלה ח', הוא שתשבורת הכל השיבונו על קו שיהיה רחבו ב', אם כן יהיה ארכו ח'. ואם חלקנו שלמים על שברים, כאמרנו חלקנו י"ו על חצי אחד, הנה יהיה ארכו ל"ב ורחבו חצי אחד. ועל כן נחלקנו ע שברים על שברים ממינם יהיו שלמים, כאמרנו חלקנו ג' רביעיות על ב' רביעיות הוא שנעשה קו ארכו אחד וחצי ורחבו ב' רביעיות, כי מה שהיה תשברתו שלשה ו' רביעיות באורך וברוחב. חלקנו על הרחב ושמנו רחבו חצי אמה וארכו אמה וחצי. על כן כשנחלק מעלות על מעלות, או על ראשונים, או על שניים, או על איזה חלקים שנרצה, יצא בחלוק מעלות, שהשיבונו התשבורת כולו אל האורך וקצרנו ברחב. ואם חלקנו ראשונים על שניים, יצא בחלוק מעלות, גם כן כי נשיב הראשונים אל השניים ויהיו דומים וישובו מעלות באורך ושניים ברחב ומה שיהיה ישובו מעלות. ואם תחלק הקטן על הגדול, ישוב היוצא אל מין אחד גבוה על הקטן והקטן מן הגדול ומזה תבין כל מיני החלוק. שאלה: שלשה אנשים באו לקנות דג שמחירו י"ב פשיטי' ומחצה, הראשון יתן כל מה שבידו והשני רביעיות והאחרים רביעיתם, או השלישי כל מה שבידו והאחרים חמישיתם, נרצה לדעת כמה ביד כל אחד. תשובה: שמחיר הדג למעלה מי"ב, הנה י"ב הוא מספר מכוון שיהיה לנו אחר התוספת שלישית והוא י"ח ורביעית והוא י"ו וחמישית והוא ט"ו, הנה כאשר חברנו י"ב על מחיר הדג, יהיה כ"ד פשוטים ומחצה. הנה מי"ח עד כ"ד ומחצה הוא ו' מחצה וככה ממון הראשון. ומי"ו עד כ"ד ומחצה ח' ומחצה והוא ממון השני. ומט"ו עד כ"ד ומחצה ט' ומחצה והוא ממון השלישי. ולהוציא אל השאלות והדומות אליהן

לח-ב דע כי חלקי האנשים הן כפי חלקי המורה, מחובר עם המחיר. וכאשר רצינו לחדש שאלה דומה לזו, הוא שיקח המורה מחובר עם המחיר. ולכן כשנרצה להוסיף עליהם החלקים שנוכל להוסיף עליו ונחבר כל החלקים עמו ונראה כמה עולה עם החלקים וגם החלקים לבד, נקח כל העולה והעולה הוא מחיר הדג, או מחיר דבר קנוי. דמיון לחלקים כשהם ב' אנשים לבד . נקח ד' על דרך משל המורה וכאשר נכפלהו היו ח' וכאשר נוסיף על ד' שלישית מלבד יהיו יהיו ו' הנה הוספנו על זה האחרון ב' על ד' . וכאשר נחבר ב' על ח' עלו י' והוא מחיר הדג . והנה המורה ד' כמו שאמרנו . נחברהו על המחיר שהוא י' ויהיו י"ד . והנה הראשון שכפל המורה והיו ח' הנה מח' עד י"ד הם ו' והוא ממון הראשון והב' שליש וד' יהיו ו' . והנה מו' עד י"ד ח' וככה ממון השני . הנה בזה אמ' הראשון לשני אני אתן מה שבידי ואתה שליש מה שבידך . וכן תעשה לעולם על הדרך הזה בשני אנשים .. ודמיון לשלשה ככה . שתקח חצי העולה מן המורה כל החלקים השלשה ותדע להם המחיר והוא שתקח למשל השאלה הראשונה י"ב והוא המורה . וכאשר חברנו אליו כפלו ושלישיתו מלבד שהוא חציו מלגיו והוא ו' . ורביעיתו מלבד והוא שלישיתו מלגיו והם ד' . וחמישיתו מלבד שהוא רביעיתו מלגיו והם ג' . יעלו הכל כ"ה וחצאים י"ב וחצי . וככה מחיר הדג . אחר כן תוסיף חלק כל אחד מהם כפי מה שהראיתיך למעלה . וכאשר רצינו לעשות כזה לד' אנשים נקח המורה שנרצה ונחבר אליו כל הד' שנרצה להוסיף עליו ומן המחובר קח השלישית והוא המחיר . וכאשר תרצה לעשות זה בה' אנשים קח הרביעית ולו' קח החמישית . וכן עד אין קץ . שאלה שלשה אנשים רצו לקנות דג ואמרו שיתן כל אחד כמה שיש לו . אם כן כמה היה מחירו . וכמה היה לכל אחד ואחד . תשובה דע כי

דמי הדג

לט -א דמי הדג היו י"ז פשוטים . והיו לראשון ה' ולשני י"א ולשלישי י"ג . וכיצד הוצאת החשבון . נבקש תחלה המורה . וככה תעשה תחשוב איזהו חשבון שאם תטול ממנו רביעיתו ישאר ג' מניין האנשים והנה הוא ד' אחר כן תחשוב מספר אשר תטול ממנו שלישיתו וישאר ג' תמצא שהוא ד' ומחצה . אחר כך תחשוב מספר אשר תטול ממנו חציו ויש' א וישאר ג' תמצא שהוא ו' . וכדי שלא יהיה שברים בחשבון תכפלם ויהיה המספר הראשון ח' והשני ט' והשלישי י"ב . ונמצא שעולין כ"ט . עתה קח מספר האנשים שהוא ג' וחסר ממנו אחד ישארו ב' כפול הי"ב באלו הב' יעלו כ"ד תוציאם מכ"ט וישארו ה' . וזהו ממון הראשון עתה כפול הט' בב' הנזכרים ויעלו י"ח . תוציאם מכ"ט וישארו י"א . והוא ממון השני . עתה תכפול הח' בב' הנזכרים ויעלו י"ו תסירם מכ"ט ישארו י"ג והוא ממון השלישי . וכולם על זה הדרך ..

חשבון האצבעות הנקרא בערבי אל גבאר .. אלה שמות האצבעות גודל . אצבע . אמה . קמיצה . זרת . פרק אמצעי של זרת קרוי א' . אמצעי של קמיצה קרוי ב' . אמצעי של אמה עמהם קרוי ג' . כשתסיר הזרת קרוי ד' . כשתסיר הקמיצה קרוי ה' . כשתסיר האמה ותשפיל הקמיצה לבד קרוי ו' . זרת שוכב קרוי ז' . קמיצה עמו קרוי ח' . אמה עמהם קרוי ט' . הרי באלו הג' אצבעות משתמש האדם מא' ועד ט' . גודל ואצבע משתמשין מי' ועד ק' . כיצד יסודו של אצבע בסוף פרק אמצעי של גודל קרוי י' . גודל ואצבע מחוברין זה עם זה קרוי כ' בשרשיהם זה עם זה קרוי ל' . גודל על אצבע מ' . גודל על הכף קרוי נ' . פרק אמצעי של אצבע על פרק ראשון של גודל קרוי ס' . גודל פשוט ופרק אמצעי של אצבע כנגד חודו קרוי ע' . פרק אמצעי של אצבע על פרק ראשון של גודל קרוי פ' . אצבע בתוך וגודל סביבו קרוי צ' .. עד כאן ביד ימין .. וביד שמאל משתמשין מאות ממאה ועד מאה

לט - ב אלף . כיצד חודו של אצבע בסוף פרק אמצעי של גודל קרוי ק' . גודל ואצבע מחוברין זה עם זה קרוי ר' . שרשיהם מנשקים זה עם זה קרוי ש' גודל על אצבע קרוי ת' . גודל כפוף ביד שמאל קרוי רבבה שהם י' אל אלפים כמו שחשבנו ביד ימין לאחדים כן נחשוב ביד שמאל למאות וסימניך יפול מצדך אלף ורבבה מימנך . והמשכילים יזהירו כזוהר הרקיע .. שאלה חלק ס' על ג' בני אדם לאחד השליש ולאחד הרביע ולאחד החומש ולא ישאר מהס' תשובה נשים המורה . והוא שנחבר השליש והרביע והחומש מס' . הנה שליש ס' הם כ' ורביעיתם ט"ו וחמישיתם י"ב . נחברם ויעלו מ"ז והוא המורה . עתה כפול המספר הראשון המתחלק שהוא ס' על כל אחד מהשלשה חלקים שהם השלישית והרביעית והחמישית . והעולה בכפל תחלקהו על המורה והיוצא מהחלוק הוא חלק כל אחד מהשלשה כפי החלק שיש לו לקחת . וככה תעשה . כפול ס' על כ' יעלו ת"ר . תחלקם על מ"ז שהוא המורה ויעלו י"ג בקרוב כי הנה בדקדוק הם י"ב שלמים ול"ו ש שברים . וזה חלק בעל השליש . עתה נכפול ס' על ט"ו יעלו תת"ק . נחלקם על מ"ז ויצא מן החלוק י"ט . והוא חלק בעל הרביע . עתה נחזור לכפול ס' על י"ב יעלו תש"כ . תחלקם על מ"ז יצא בחילוק י"ח . והוא חלק בעל החומש . והבחינה בזה שתחבר הכל יחד ויעלו ס' . וכן כל כיוצא בזה . ושאלה זו יוצאה משאלת ד' אנשים שהרויחו י"ט דינרי' שהוא שאלה שנייה משער ו' .. שאלה ממון לקחנו ממנו שלישיתו ורביעיתו ועוד ב' . ונש' ונשארו עשרה . כמה הוא הממון . תשובה . נאמר כי השאלה היא כ"ד נקח ממנו שלישיתו ורביעיתו שהוא השליש ח' והרביע ו' עלו י"ד ונשארו י' . נסיר ב' מי' ונשארו ח' . ועדיין לא יצא אמתי . אם כן נעשה הרביע . ובתחלה נעשה המורה . והוא שנכפול ג' בד' . ויעלו י"ב והוא המורה . נסיר מהם שלישיתו ורביעיתו שהם ז' וישארו ה' .

והנה יש לנו

מ' - א והנה יש לנו שלשה מספרים ידועים . והם המורה שהוא י"ב . ומה שנשאר ממנו אחר הסרת שלישיתו ורביעיתו שהם נשארים ה' . והג' הידוע הוא הי"ב של השאלה . והד' נעלם . מעתה נשים האמצעיים חברים שהם הי"ב והי"ב ונכפול זה על זה ויעלו קמ"ד נחלקם ה' ויצא בחילוק כ"ד שלמים וד' חומשים . ואם תבדוק תמצאנו אמתי .. שאלה היו לשר אחד עשרים משרתים בין זכרים בין נקבות ונתן להם עשרים ככרי לחם ואמר להם מאלו עשרים ככרות תקחו כל א' זכר בכם ב' ככרות וכל נקבה חצי ככר . כדי שיבא ככר אחד לשתי נקבות . ותשאירו לי ככר לחם אחד . יש לשאול כמה היו הזכרים וכמה היו הנקבות . תשובה האנשים היו ששה והנשים י"ד לקחו האנשים הששה י"ב ככרות . והנשי' הי"ד לקחו ז' ככרות הרי י"ט ככרות נשאר אחד לאכילת השר .. שאלה היו לשר אחד עשרים בהמות בין סוסים ופרדים וחמורים ונתן לעבדו עשרים עמרים של שעורים וצוה לו שיתן לכל סוס מהם ב' עמרים ולכל פרד עמר אחד ולכל חמור חצי עמר . כמה בהמות היו לו מכל מין תשובה הסוסים היו ד' והפרדים היו ח' והחמורים היו ח' ונתן לד' הסוסים ב' עמרים לכל אחד הנה ח' עמרים . נתן לח' פרדים עמר לפרד הנה ח' עמרים . הרי י"ו עמרים . נתן לח' החמורים ד' עמרים הרי כ'. שאלה תגר אחד אמר למשרתו הנני נותן לך ק' פשיטים קנה לי בהם ק' עופות שיהיו מג' מינים תרנוגלין ואווזים וצפרים והיה שוה האווז ה' פשיטים והתרנגול ג' פשיטים והצפרים עשרים מהם בפשוט כמה לקח מכל מין. תשובה מן האווזים לקח י"ח ומן התרנוגלין ב' ומן הצפרים פ' נתן בי"ח אווזים צ' פשיטים ונתן בב' תרנוגלין ו' פשיטים, הנה צ"ו פשיטים וכ' עופות נתן עוד ד' פשיטים בפ' צפרים, הרי ק' עופות וק' פשיטים. שאלה

מ' – ב' שאלה אדם אחד אהב אשה ואמרה לו אם תתן לי תפוח אחד מגנת המלך אהיה נכבשת לך ואם לאו לא אכבש לך. והלך לשוער הגן ושאל לו תפוח. והוא השיב לו אכניסך לגן ללקוט על מנת שתתן לי מחצית התפוחים אשר תוציא וחצי תפוח יותר ולא יתחלק שום תפוח ולא ישאר בידך אלא אחד. והאיש אמר לו כן דברת. נכנס ומצא שוער שני ואמר לו הכניסיני בגן השיב השוער על מנת שתתן לי חצי התפוחים אשר תוציא וחצי תפוח יותר ולא יתחלק שום תפוח. נכנס עוד ומצא שוער שלישי והשיב כאשר השיב השוער השני ואז נכנס בגן וליקט תפוחים ונתן לכל אחד כפי דברו ונשאר בידו תפוח אחד. א"כ כמה תפוחים לקט מן הגן. תשובה: מאשר שאלו כל אחד מחצית שבידו וחצי תפוח יותר ושלא יתחלק שום תפוח, מזה ידענו שליקט נפרדים. ועתה נוציא מספרים: הוא הוציא לחוץ תפוח אחד והוסיף לשוער הראשון חצי תפוח ממה שהיה בידו, אם כן תפוח וחצי היה מחצית מה שנשאר לו מן השוער השני, נכפלם ועולים ג' וחצי תפוח שהוסיף לשני הרי ג' וחצי וזהו החצי שנשאר לו מן השוער הפנימי, נכפלם ויהיו ז' וחצי תפוח שהוסיף לשוער הפנימי הרי ז' וחצי וזהו חצי מה שליקט, [נכפלם] ועולים ט"ו. עתה נ כלל אם תרצה לידע תשבורת העגולה. קח רביע הקו המקיף וכפול אותו על הקוטר ומה שיצא הוא תשבורת העגולה. דמיון הקו המקיף שיעורו כ"ב מעלות . הנה הקוטר ז' כפול ז' על ה' וחצי והנה המבוקש ל"ח וחצי והוא התשבורת . וכל זה בעגולה השטחית . אבל בכדור יצטרך לכפול כל הקוטר . על כל הקו המקיף . ואז ידע תשבורת כל הקף הכדור .. דמיון נכפול ז' שהוא הקוטר על כ"ב שהוא הקו המקיף ויעלה קנ"ד . והוא תשבורת הכדור . ולדעת שטח כל הכדור . נכפול כל התשבורת בששית הקוטר ונשיג המבוקש .. כלל

מא – ב' כלל כשתרצה להוציא שורש מספר אחד ממספר אחר קח כפלו וכפל כפלו ותקח שרש העולה וחצי השורש ההוא הוא שרש מבוקשך. דמיון תרצה למצוא שורש ט' קח כפלו והוא י"ח וכפל י"ח שהוא כפלו של ט' ויעלו ל"ו, תקח שרשם והוא ו' וחציו ג' וזהו שרש ט'. דמיון אחר רצינו למצוא שרש י"ו קח כפלו והוא ל"ב וכפלם ועלו ס"ד ושרשם ח' וחציו ד' והוא שרש י"ו שאלה ראובן לקח משמעון בהלואה תיבה אחת מלאה חטה והיתה מכילה ח' מדות בחשבון מעוקב רוצה לומ' ח' מדות מדות באורך וח' ברוחב וח' בגובה ולקץ שנה רצה לפרוע והביא תיבה אחרת שהיתה מכילה ד' על ד' באורך וברחב ובגובה, עתה נדע כמה השיב לו אם חצי החצ החטה או שלישית או רביעית. ונעשה החשבון ככה: נכפול ח' על ח' עלו ס"ד ונכפול ח' על ס"ד למצוא המעוקב ועלו תקי"ב והוא מה שלקח שמעון בהלואה. עתה נמנה מה שהשיב לו כמה הוא: נכפול ד' על ד' עלו י"ו ונכפול ד' על י"ו עלו ס"ד וזהו מה שהשיב לו. עתה ניחס אותו לדעת אלו הס"ד כמה חלקים הם מתקי"ב: מצאנו שהם שמיניתם ואם כן השיב לו שמינית החטה והשאר במעות. ז'ל'ל' ש'ל'ע'

וינה 154 http://web.nli.org.il/sites/NLI/Hebrew/digitallibrary/pages/viewer.aspx?presentorid=MANUSCRIPTS&docid=PNX_MANUSCRIPTS000169498-1 ניו יורק 2627 http://web.nli.org.il/sites/NLI/Hebrew/digitallibrary/pages/viewer.aspx?presentorid=MANUSCRIPTS&docid=PNX_MANUSCRIPTS000105738-1 וינה 152 http://web.nli.org.il/sites/NLI/Hebrew/digitallibrary/pages/viewer.aspx?presentorid=MANUSCRIPTS&docid=PNX_MANUSCRIPTS000095516-1 ניו יורק 2624 http://web.nli.org.il/sites/NLI/Hebrew/digitallibrary/pages/viewer.aspx?presentorid=MANUSCRIPTS&docid=PNX_MANUSCRIPTS000105360-1 לונדון 27153 http://web.nli.org.il/sites/NLI/Hebrew/digitallibrary/pages/viewer.aspx?presentorid=MANUSCRIPTS&docid=PNX_MANUSCRIPTS000122769-1

סנט פטרבורג http://web.nli.org.il/sites/NLI/Hebrew/digitallibrary/pages/viewer.aspx?presentorid=MANUSCRIPTS&docid=PNX_MANUSCRIPTS000080208-1 ניו יורק 2561 http://web.nli.org.il/sites/NLI/Hebrew/digitallibrary/pages/viewer.aspx?presentorid=MANUSCRIPTS&docid=PNX_MANUSCRIPTS000105264-1

http://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.ebr.398 http://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.ebr.386 http://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.ebr.397 http://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.ebr.171 http://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.ebr.530.pt.1