|
קצור המספר מהרב ר' יהודה ן' בירגה
|
Prologue
|
|
Commercial and social needs of arithmetic – calculations of years after the jubilee for selling land [Leviticus, 25, 14-16] and the redemption of a Hebrew maid at the beginning of the seventh year of her work [Maimonides, Mishneh Torah, Sefer Qinyan, Hilḵot ʽAvadim, 4, 6]
|
אחר אשר מכירת הקרקעות בארץ תלויה במספר שנים אחר היובל[1] וכן אמה העבריה בפריון במספר שנים קודם השביעי[2] הנה ראוי לאדם להתחבר בחכמת המספר לבל יובן איש את עמיתו
|
The author states that he writes on the subject in outline form
|
אכתוב לך בו הראשי פרקים
|
Discussion on the nature of one
|
|
One without a soul - equivalent to the being - belong in actu to the ten categories and its meaning is in the nature of each category
|
ואומר כי האחד אשר הוא חוץ לנפש הנה הוא נרדף לנמצא ולזה ימצא בפעל במאמרות העשרה ויהיה הוראתו בטבע מאמר
|
One in soul - belong to the category of quantity
|
ואשר הוא בנפש הוא מאמר הכמות
|
What is in the soul exist in actu and what is without a soul is in potentia
|
והנה בהכרח שמה שימצא בנפש בפעל שיהיה מציאות וחוץ לנפש בכח
|
- The possibility of acting: every act of the soul, which does not exist without the soul, is a fictitious act - this is the potentiality
|
והאפשרות לפעול כי כל פעל נפשי אשר לא ימצא חוץ לנפש כלל הנה הוא פעל בדוי וזה הכח
|
- The possibility in things: their potentiality to be separated in thought, due to their diversity; and their potentiality to be summed in thought, due to their similarity
|
והאפשרות בדברים הוא הכח אשר בהם להתפרד במחשבה מפני חלוף ענין נמצא בו וכן כח בהם להתחבר במחשבה מפני דמיון מה שימצא בדברים
|
The soul as a separate unit - it is one in comparison with others apart of it
|
אמנם כאשר תפרד הנפש הנה יהיה האחד נאמר בהקש אל אשר הוא חוץ ממנו כלומ' זה הדבר מוגבל ונפרד בפני עצמו בדבר מה משאר הנמצאות בענין שנאמ' אחת היא יונתי תמתי[3]
|
The soul as a sum of units - it is one in comparison with its parts
|
וכאשר תחבר הנפש הנה יהיה האחד נאמ' בהקש אל חלקיו כלומ' אלה החלקים כלם הם אחד ושלם בצד מה בענין שנאמ' והיה המשכן אחד[4]
|
- The commentators: made an analogy between the unity of God and the one that is compared to others apart of it
|
והנה המפרשים הבינו פי' פסוק הייחוד[5] כפי העניין הראשון לפי שהם הבינו כי אותם השמות רומזים לסבת הסבות כלם
|
- The Kabbalists: made an analogy between the unity of God and the one that is compared to its parts
|
אמנם המקובלים שקבלו שהם רומזים לשפע מושפע מאתו ית' בספירות ותוארי מדות פרשו אותו כפי הענין השני
|
- According to the author: the unity of God cannot be divided or multiplied - it is not compound, therefore has no possibility of being divided to various thing, and it has no similar to be summed with, and therefor it cannot be summed
|
ואמנם אחד וסבת הסבות כלם הנה למה שאין בו אפשרות להתחלק לדברים שונים כי אינו מורכב ולא להתחבר כי אין דומה לו להיותו מחובר עמו הנה אותו האחדות אינו מתחלק ואינו מתרבה ואין כח בנפש לפעול בו זה
|
- Zohar: God is one, but not in number
|
ולזה נאמר עליו בזוהר אנת הוא אחד ולא בחשבון[6]
|
The unity of the existences is by God
|
ואמנם אחדות הנמצאות מאתו ית'
|
Since every existence is somewhat similar to at least one other, they have the potentiality to be multiplied through their unity
|
הנה לפי שכל נמצא מהם יש לו דמיון מה עם נמצא אחד לפחות בהיותם נמצאים אפי' שיהיה זה בהם בקדימה ואיחור הנה באחדותם כח להתרבות ולהכפל
|
Since in their essential form they are separate and diverse from each other, they have the potentiality to be divided and separated despite their unity
|
ולהיותם למספר אחד אע"פ שבצורתם העצמית יהיו נפרדים ונבדלים וגם לפי שבהם חלוף מה יש בהם כח להתחלק ולהפרד אע"פ שהם אחדים בצורה בו
|
Definition of Number
|
|
Therefore the number counts all things - the number ten counts 10 people, but also 10 horses
|
לזה המספר מונה כל הדברים כי העשרה מן המספר ד"מ ימנה לי' מהאנשים וכן ימנה לי' מן הסוסים
|
The number is a sum of undetermined units
|
והנה המספר הוא קבוץ אחדים בלתי רמוזים
|
The soul is its agent and the units are its subject
|
והיה הנפש כפועל לו והאחדות כנושא
|
Numeration
|
|
Sometimes the measurement becomes measured and the number numbered, therefore people are counting with their fingers, whose number is ten as the number of the countings
|
ולפי שלפעמים תשוב הממד מדוד והמספר ספור ויקרה לאנשים שימנו באצבעותיהם והיו האצבעות עשרה כמספר הספירות
|
- The ranks as products of ten
|
הנה כל האנשים הסכימו לעשות עד עשרה כלל אחד ועשרה פעמים זה כלל שני ועשרה פעמים הכלל השני כלל שלישי וכן תמיד מהרכבת העשרה מהכלל הקודם יולד כלל אחד
|
|
וסדר הכללים הוא זה: אחדים עשרות מאות אלפים עשרת אלפים מאת אלפים אלף אלפים עשרת אלפי אלפים מאת אלפי אלפים אלף אלפי אלפים וכזה עד אין קץ
|
- Arranging the ranks in triples
|
והנה עשו מכל ג' כללים סדר אחד לפי שבג' נמצא התחלה ואמצע ותכלית
|
The arithmetical opperations
|
|
- The soul's act of summing the separates is the first arithmetical [operations] called addition
|
ואמנם מפעל הנפש בחבר הנפרדים היה מין אחד מהמספר שנקרא הקיבוץ
|
- The soul's act of separating is the second of the arithmetical [operations] called subtraction
|
ומפעל הנפש בהפרדה היה מין שני מהמספר שיקרא המגרעת
|
- The soul's act of multiplying is the third of the arithmetical [operations] called multiplication
|
ומפעל הנפש בהכפילה הדברים היה מין שלישי מהמספר שיקרא הכפילה
|
- The soul's act of separating the multiples is the fourth of the arithmetical [operations] called division
|
ומפעל הנפש בהפריש הכפלים נמצא מין ד' והוא החלוקה
|
- The soul's act of multiplying multiples or their parts by a certain number as multiplying by another number is a fifth type which is proportions
|
ומפעל הנפש בהכפל כפלים או חלקיהם על מספר מה כאשר תכפול על מספר אחר היה מין חמישי והוא הערכים
|
- The soul's act of separating multiples as the number of units in each multiple is a sixth type which is roots
|
ומפעל הנפש בהפריש הכפלים במספר האחדים אשר בכל כפל נמצא מין ששי שנקרא השרשים
|
Those are the types [of arithmetical operations]
|
ואלה המינים
|
- They either deal with integers which from this aspect all numbers are of one types called integers
|
אם שיהיה עסקם במספרים שלמים ומזה הצד כלם סוג אחד ויקרא השלמים
|
- Or deal with fractions of numbers, which are all of one type called fractions
|
ואם שיעסקו בשברי מספרים ויהיו כלם סוג אחד ונקרא שברים
|
The [fractions] are called a type of [operation] by itself - so there are seven types [of operations]
|
וכבר קראו לזה מין בפני עצמו ושלמו בו במספר ז' מינים
|
Notes
|
|
|
- ↑ ויקרא כה, יד-טז
- ↑ רמב"ם, משנה תורה, ספר קנין, הלכות עבדים ד, ו
- ↑ שיר השירים ו, ט
- ↑ שמות כו, ו
- ↑ דברים ו, ד: שמע ישראל ה' אלוהינו ה' אחד
- ↑ פתיחת אליהו
|
Chapter Four - Division
|
המין הד' בחלוקה
|
Dividing a large number by a smaller one
|
הכוונה הראשונה בו בחלוקה בשלמים לחלק מספר גדול על מספר יותר קטן ממנו בענין שיגיע לכל אחד מהמספר הקטן חלק שוה לאחר
|
Written Division
|
|
Description of the procedure:
|
והמעשה בזה יהיה כן סדר ב' המספרים במדריגתם זה תחת זה כמשפט
|
- The procedure starts from the highest rank of the dividend in which the digit is larger than the digit in the highest rank of the divisor
|
והנה אם האות האחרונה שבמספר הגדול יותר כוללת מהאות האחרונה של מספר הקטן תתחיל החלוק ממנה ועליה ר"ל מהאות האחרונה של מספר גדול על האות האחרונה של המספר הקטן ותן לי ממנה היותר פעמים שתוכל
|
- Leaving spare for the division of the preceding rank
|
ובלבד שתשאיר בה להשלים עמו מהאות הסמוכה לה לאות הסמוכה לאחרונה מהמספר הקטן אם יצטרך לו
|
- Loaning from subsequent ranks
|
וכן אם יהיה שם יותר אותיות שישאר בה או בשנית לה להשלים עמו באות השלישית ממנה לאחרונה אשר מהמספר הקטן אם יצטרך אליו
|
|
והנה המשל בזה רצינו לחלק שמונה מאות ועשרים ושלשה למאתים ושבעים ושמונה
|
|
|
2 |
|
26 |
|
267
|
823 |
823 |
823 |
823
|
2 |
2 |
2 |
2
|
278 |
278 |
278 |
278
|
|
והתחלנו מהאות האחרונה מהמספר הרב שהוא שמונה לחלקו על האות האחרונה מהמספר המעט שהיה שנים והנה מן הדין היה שנתן לו ד' אלא כשנתן לו ככה מהאות הסמוכה לאחרונה מהרב שהוא שנים לאות הסמוכה לאחרונה מהמעט שהוא שבעה הנה לא יהיה בו די. והכוונה היתה שיקבלו כלם חלקים שוים על כן לא נתן מהח' לשנים ארבעה ולא גם כן נתן לו ג' לפי שאע"ף שיספיק השנים עם מה שישאר מהשמונה שהם ב' אחדים שיהיו נחשבים לעשרים ושנים לתת לשבעה לשלש לכ"א וגם ישאר שם אחד הנה לא יהיה די בשלש מהמספר הרב לתת לשמנה מהמספר המעט שלש לכל אחד מהם ואפילו שיוריד אליו האחד שנשאר על השנים ויהיו י"ג לפי שיותר הוא ג' פעמים שמנה שהוא כ"ד על כן לא נתן מהשמנה לשנים אלא שנים ונכתוב אותם במדרגה הראשונה
|
- The position of the result of division
|
לפי שראוי למנות מדרגות המספר אשר נחלק עליו מהמדרגה האחרונה מהמספר אשר נחלק ממנו למפרע אם היה בה מספר די לחלק ממנו על המספר האות האחרונה מהמספר המעט כמו שיש בכאן בשמונה די לחלק על השנים ובמקום שיכלה שם תכתוב מה שיעלה בחלוקה
|
- The digit in the highest rank of the dividend is smaller than the digit in the highest rank of the divisor - the division starts from the preceding rank of the dividend - considering the two highest ranks of the dividend as units and tens
|
ואם אין די במה שכתו' במדרגה האחרונה ההיא לתת למספר אשר הוא למדרגה התחתונה ותצטרך להעתיק אותה ממקומה ולחושבה לעשרות במדרגה הסמוכה לה כדי לחלק ממנה הנה אז תמנה מהמדרגה השנית לה ר"ל מהאות הסמוכה לה למפרע ובמקום שיכלה שם תכתוב היוצא בחלוק
|
- The number of ranks of the result of division
|
ומדרך זה תדע מתחלת החלוקה לכמה מדרגות יעלה היוצא בחלוק
|
|
ועתה נשלם דרך החלוקה במשל שהמשלנו ונאמר כי כבר יצא לה בחלוק שנים וכשנמנה מדריגות הנחלק עליו מהמדריגה האחרונה מהמחולק למפרע הנה יכלו במדרגה הראשונה שהיא מדרגת האחדים על כן נכתוב שם השנים תחת הג' ועל הח' במה שביניהם. והנה כשנתן לשנים האחרונים שנים לכל אחד יעלו ד' נגרע אותם מהח' ישארו ד' נתן כך וכך לז' ישארו [..] יעלו י"ד ולפי שאין בשנים הסמוכים לח' די לזה נקח מד' שנשארו מהח' שנים והשנים הנשארים נכתבם על הח'. והנה השנים שחלקנו יהיו נחשבים לכ' על השנים ויהיו הכל כ"ב נגרע מהם הי"ד וישארו ח'. עוד נצטרך לקחת שנים מאלה השמונה לשום לשום על הג' וישארו ו'. ונכתבם על הב' והב' שלקחנו נורידם על הג' ויהיו שם הכל כ"ג נגרע מהם שני פעמים שמונה וישארו שם שבעה נכתבם על הג' והנה תמצא בזה כי יצא לכל אחד בחלוקה שנים ונשארו לחלק רס"ז
|
- Similarly for a dividend with numerous ranks and a divisor with a few ranks - two or three ranks in the result
|
וכן תעשה גם שיהיו המספר הרב רבות ומדרגות המספר המעט מעטות עד שיצא בחלוקה שתים או שלש מדרגות
|
- Zero in one of the ranks of the result of division
|
אלא שראוי שתדע שאם כבר חלקת משום מדרגה מהמספר הרב או אפי' שלא חלקת אלא שאין במדרגה ההיא כדי לתת ממנה אלא בהעתיק אותה ממקומה הנה תשים בחלוקה סיפרא לומר שאין נמצא דבר במתחלק לחלק באותה מדריגה
|
|
ולהרגילך בזה נמשיל עוד משל אחד בזה ויהיה המספר המתחלק מאתים וארבעת אלפים ושש מאות ושתים עשרה והנחלק עליו מאתים ושמונים ותשעה
|
|
|
00 |
|
002 |
|
0023
|
204612 |
204612 |
204612 |
204612
|
7 |
7 |
7 |
7
|
289 |
289 |
289 |
289
|
|
והנה כבר היינו יכולים לתת משנים העליונים לשנים התחתונים אחד אלא שלא יהיה דבר בסיפרא הסמוכה לו לתת לח' הסמוכה לשנים התחתונים והנה צריכין אנחנו להעתיק השנים ממקומם על הסיפרא ויהיו עשרים ונחלק ממנו על השנים ולא נוכל לתת עשרה כי אין בחלוק יותר מאחדים ולא גם כן נוכל לתת בזה המספר לתת תשעה ולא עוד אלא שמונה כי לא יהיה די בארבעה לחלק ככה לשמונה אבל ראוי שנתן שבעה ולפי שמדרגות המספר אשר נחלק עליו הם שלשה. וכשנמנה כמספרם למפרע מהספרא שהועתק אליו השנים העליונים יכלה אל המדרגה השלישית שהוא מדרגת המאות הנה ראוי לכתו' שם אלו הז' היוצאים בחלוקה ואז נשוב ונאמר כי שבע[.]ה פעמים שנים הם י"ד נגרע אותם מהעשרים ישארו ששה. ולפי ששבעה פעמים שמונה הם נ"ו ויצטרך הד' אשר אצל הספרא להוריד אליה הו' הנשארים על הספרא נכתוב סיפרא על הסיפרא ויהיו על הד' ס"ד נגרע מהם הנ"ו ישארו שמונה על הד'. ועוד לפי שז' פעמים ט' הם ס"ג ויצטרך הששה להוריד אליהם מהשמונה ששה הנה נשארו שם שנים ונכתבם על הד' והנה הו' שהורדנו על הו' יעלו לשם ס"ו נגרע מהם הס"ג ישארו שם שלשה ונכתבם על הששה ונעשה סימן במדרגת הסיפרא לומר שכבר חלקנו ממנה ואע"ף שהיה נשאר לשם די לחלק אין ראוי לעשותו אלא בהורידו מאותה מדרגה לסמוכה התחתונה ממנה כ"ש כשישאר דבר שאין בו די לחלק או לא דבר כמו שהוא בכאן
|
|
00 |
|
00 |
|
00
|
0023 |
00230 |
002300
|
204612 |
204612 |
204612
|
708 |
708 |
708
|
289 |
289 |
289
|
|
ונשוב לחלק מהשנים שנשארו על הד' על השנים התחתונים. ודי היה בזה לתת להם אחד אלא שלא יהיה די בג' הסמוכים להם לתת כמו זה לח' הסמוכי' לשנים התחתונים ונצטרך להוריד השנים העליונים ממדרגתם על הג' הסמוכים להם והיו שם כ"ג ונכתוב ספרא סמוך לז' לומ' לא מצאנו במדרגת השנים העליוני' דבר לחלק משם ונרשום סימן תחת הד' לומ' כבר חלקנו משם ספרא כי לא מצאנו דבר יותר. ונשוב לחלק הכ"ג לשנים והנה לא נוכל לתת תשעה וכ"ש יותר לפי שלא ישאר מהכ"ג להשלים עם האחד לשמונה לכן נתן להם שמונה ויעלו י"ו נגרע אותם מכ"ג ישארו שם ז'. ולפי שח' פעמים ח' הוא ס"ד נצטרך להוריד על האחד כל אותם השבעה וישאר שם ספרא על הכ"ג ויהיו א ע"א על הא' נגרע ס"ד מהם ישאר גם כן שם שבעה. ולפי שנצטרך להורידם על השנים לספק לח' פעמים ט' שהם ע"ב נכתוב ספרא על האחד גם כן. ואחר שהורדנו אותם על השנים והיו ע"ב נגרע מהם ע"ב מכפילת ח' פעמים ט' ולא ישאר גם לשם דבר ונכתוב ספרא על השנים והנה כבר חלקנו כל המספר ולא נותר עד אחד. ונאמין זה לפי שהגיע מדרגות החלוקה עד מדרגות האחדי' וגם כן לפי שכבר חלקנו מדרגות מספר הששה למספר השנים התחתוני' והם שוים במדרגתם. ואין מקום לחלק עוד ממדרגה פחותה ממנה לשנים לפי שהם ממדרגה גדולה. וזה כפי המכוון הראשון בחלוקה שאמרנו
|
Method of checking
|
|
|
ואם עשית באמת החלוקה הנה כשתכפול התש"ח היוצאים בחלוקה על הרס"ט אשר חלקת עליהם יהיה העולה שוה למאתים וארבעת אלפים ותרי"ב שחלקת אותם
|
|
ובזה תבחין כל חלוקה שתעשה אלא שראוי שתדע שאם נשארו לחלק שום מספרים על המספר הנחלק שראוי שתקבצם עם העולה מהכפילה ואז ישתוה למספר הנחלק. ויש מי שבקש מופת לדעת אם טעה בקבוץ המספרים בהשליך אותיות הנקבצים ט'ט' ואחזיק בנשאר וככה ישאר בכלל העולה אחרי השליך אותיותיו ט'ט'. כיצד מהשטה הראשונה לא נשאר דבר כי אם הלכו להם ט'ט'. ומן השטה התחתונה נשארו ד'. והנה אם כן נשארו ד' מהכלל העולה. והטעם בזה הוא כי אין קבוץ שני המספרים יחד דבר אחר זולתם השליך התשיעיות שהם ממין אחד כיצד כשקבצנו הח' והז' מהאחדים והיו ט"ו הנה כתבנו באחדים חמשה ועם העשרות אחד. והפלנו מהט"ו ט' וכן כשקבצנו העשרות ועלו י"ו הנה כתבנו בעשרות ששה ובמאות א' והפלנו והפלנו ט' וכן כשקבצנו האלפים הפלנו ט' וכתבנו א'. והנה אין הפרש בין המספרים הנקבצים לכלל העולה זולתי אלה התשיעיות. ואם כן בהפיל אותם ישארו שוים [.....]ים שמהשוים כשנפיל שוים ישארו שוים. כשנפיל עוד התשיעיות הנקבצים מהאחדים והעשרות והמאות וכו' מהמספרים הנקבצים וכן נפיל אותם מהכלל העולה כמו כן הנה ראוי שיהיה הנשאר בהם שוים ומזה המשפט תבין הטעם גם כן בגרעון כי המספר הנגרע והמספר הנשאר מקובצים ישתוו למספר אשר גרעת ממנו ואם כן יהיה הגרעון מתהפך לקבוץ בכח ובכפילה הנה הטעם הוא כי התשיעיות בכל מספר שיוכפלו יעלה מהם תשיעיות. ואם כן לא נשאר במספרים הנכפלים אלא מה שעלה [מכ]פילת העודף על תשיעיות בזה המספר בעודף מתשיעיות במספר ה[שני] וזהו מה שראוי שישאר בכלל העולה מהכפילה אחר הפלת תשעיותיו. [מ]מספר הכפילה תבין הטעם בחלוקה כי שניהם מתהפכים כענין הקבוץ והגרעון
|
Dividing a small number by a larger one
|
הכוונה השנית בחלוקה לחלק מספר קטן על מספר גדול ממנו
|
Division of integers - result: fractions
|
כיון שזה בשלמים אע"פ שהחלוקה יצא בשברים נמצא זה בתוך השלמים
|
|
ונאמר כי האנשים הרגילו בחלוקה זאת לכפול המספר הקטן בעשרה והיוצא יחלקו על המספר הרב אם היוצא יותר ממנו והיוצא בחלוקה יהיו עשיריות
|
|
ואם אין די בכפול בעשרה לחלק על מספר הרב או אם ישאר דבר לחלק אחר הכפילה בעשרה הנה תכפול אותם עוד בעשרה ויהיה היוצא עשיריות של עשיריות וכן תמיד
|
|
ומשל לאחד רצינו לחלק ד' על חמישים
|
|
הנה עשינו אותם עשיריות עדין אין די נעשה אותם עוד עשיריות יהיו ד' מאות נחלקים על החמישים יצא לכל אחד שמונה והם עשיריות של עשיריות
|
|
[ומ]של לשני רצינו לחלק ששה על חמישים
|
|
עשינו אותם עשיריות היו ששים חלקנו אותם על החמישים יצא לכל אחד א' וישארו שם עשרה נעשם עוד עשיריות ויהיו מאה נחלקם על חמישים יצא לכל אחד שנים והם עשיריות של עשיריות
|
|
ואמנם לפי שהחלוק הזה בלתי טבעי אני אומר כי נחלוק המספר הגדול על הקטן והמספר היוצא יהיה שם השבר היוצא בחלוק
|
|
המשל בזה נרצה לחלק ד' על י"ב
|
|
הנה נהפך המשפט ונחלק הי"ב על הד' ויצא בחלוקה שלשה ואומר כי שם השבר אשר יצא בחלוקה הוא שליש
|
|
וכן הוא כי כשנעשה הד' שלישים כלם יהיו י"ב שלישים וכשנחלקם לי"ב יצא לכל אחד שליש וכזה כל מה שיביאך אליו החלוקה
|
Dividing a number to unequal parts
|
הכוונה הג' בחלוקה לחלק מספר מה על מספר אחר לחלקים בלתי שוים
|
|
ויהיה משל בזה רצינו לחלק שש מאות על ג' בענין שיצא לראשון ביחס השנים ולשני ביחס השלשה ולשלישי ביחס הה'
|
|
ואז ראוי שנקבץ היחסים כלם ויגיע מהם עשרה נחלוק עליהם השש מאות יצא לכל אחד שישים נכפיל זה ביחס השנים ויעלו ק"כ וזה מה שראוי לראשון. עוד נכפול זה בג' ויעלו ק"ף וזה מה שראוי לשני. עוד נכפול זה בה' יעלו ש' וזה מה שראוי לג'
|
|
וכן אם אמרנו לחלקם על ג' ויהיה לראשון יחס החצי ולשני יחס השליש ולשלישי יחס הרביע
|
|
הנה נדרוש מספר ימצאו בו היחסים כלם ונמצאהו כשנכפול החצי בשליש ויהיה ו' וזה בד' ויגיע כ"ד ונקבץ החצי והשליש והרביע ויעלו כ"ו. ואחר נחלוק הו' מאות עליהם יצא לכל אחד כ"ג וחלק מי"ג ונקח חצי הכ"ד שהוא י"ב ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו רע"ו וי"ב חלקים מי"ג וזהו מה שראוי לראשון. עוד נקח שליש הכ"ד והם שמונה ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו קפ"ד וח' חלקים מי"ג וזהו מה שראוי לשני עוד נקח רביע הכ"ד והם ו' ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו קל"ח וו' חלקים מי"ג. וכשתקבץ הכל יעלו הו' מאות
|
Chapter Six - Roots
|
המין הו' בשרשים
|
A number is a root of another number if its product by itself is equal to the other number exactly
|
דע כי מספר שרשי למספר אחר יאמר כאשר תכפול אותו בעצמו ויעלה לכמו אותו המספר האחר בלא תוספת ומגרעת
|
A number is a square if it has such root
|
ויאמר מספר מרובע על מי שימצא לו מספר שרשי כזה
|
- Every number is a root, but not every number is a square
|
ודע כי כל מספר הוא שורש ואין כל מספר הוא מרובע
|
- The number of pairs of numbers between two consecutive squares and is equal to the number of squares preceding [i.e. n]
|
אבל כל המספרים מרובעים זוגי מספר במספר כמספר המרובעים שעברו עד המרובע האחרון מהם
|
|
כיצד הא' הוא שורש עצמו ומרובע בעצמו
|
- Between 1 and 4 - one pair of numbers: 2, 3. One square preceding 4: 1
|
והד' הוא מספר מרובע הנה ביניהם זוגי מספרים שהם הא' והשלש כמספר המרובעים שעברו שהיה הוא האחד
|
- Between 4 and 9 - two pairs of numbers: 5, 6; 7, 8. Two squares preceding 9: 1, 4
|
עוד הט' הוא מספר מרובע והנה בין הד' והט' זוגי מספרים שנים והם הה' והו' והז' והח' כמספר המרובעים שעברו עד הט' שהם שנים והם הא' והד'
|
- Between 9 and 16 - three pairs of numbers: 10, 11; 12, 13; 14, 15. Three squares preceding 16: 1, 4, 9
|
עוד הי"ו הוא מספר מרובע הנה בין הט' והי"ו זוגי מספרים ג' והם הי' והי"א והי"ב והי"ג והי"ד והט"ו כמספר המרובעים שעברו עד הי"ו והם ג' הא' והד' והט' וכן לעולם
|
- The first square is an odd number; the second square is an even number; the third square is an odd number; the fourth square is an even number - and so on
|
ועוד דע כי המרובע הראשון הוא נפרד והשני זוג והשלישי נפרד והרביעי זוג וכן לעולם
|
- The root of an odd square is odd and the root of an even square is even
|
וזה כענין שרשיהם כי שורש המרובע הנפרד הוא נפרד ושורש המרובע הזוג הוא זוג
|
- The product of an odd number by an odd number is an odd number; the product of an even number by an even number is an even number
|
וכשתכפול הנפרד בנפרד יעלה נפרד והזוג בזוג יעלה זוג
|
- The order of the roots is similar to the order of the squares: one odd number, one even number and so on
|
והנה סדר השרשים אחד נפרד ואחד זוג תמיד
|
- 1 - the root of 1, is an odd number; 2 - the root of 4, is an even number; 3 - the root of 9, is an odd number
|
כי הא' שורש הא' והוא נפרד והב' שורש הד' והוא זוג והג' שורש הט' והוא נפרד וכן תמיד
|
- [When the number of ranks of the square is odd] the number of ranks of the root is half the number of ranks of its square plus one half
|
עוד דע כי מדרגות השורש ראוי להיות בחצי מדרגות המרובע ועוד חצי מדרגה
|
- The number of ranks of a product of two numbers is equal to the sum of the numbers of ranks of both numbers minus 1
|
וזה כי כבר אמרנו בהכפלה כי נדע המדרגות העולות מכפילת כל מספר במספר בקבץ מדרגתם והסר מהם אחד
|
- The squares are products of the roots by themselves - so, numbers of the ranks of both multiplicands (= the same root) are equal, therefore the number of ranks of the root should be half the number of ranks of the square plus one rank of both multiplicands (= the root), i.e. one half for each
|
ולפי שבשרשים מדרגות הנכפלים שוים לפי שהוא נכפל בעצמו ראוי אם כן להיות מדרגות השורש חצי מדרגות המרובע ועוד מדרגה אחת בשניהם שהוא חצי מדרגה לכל אחד
|
- Thus, there can be no root for an even number of ranks - the square must have an odd number of ranks, so that half of that number plus one half will give an odd integer as the number of ranks of its root
|
על כן לא יתכן לבקש שורש למדרגות שום מרובע כשיהיו זוגות כי לא יתכן להיות חצי מדרגה אלא בשרשים שמדרגתם נפרדים שבהם כי ימצא חצי מדרגה וכשנוסיף מדרגה אחרת ימצא בהם מדרגה שלמה
|
- Hence, when there is an even number of ranks, the calculation of the root should start from the second highest rank, so that the number of ranks will be odd, and half of this number of ranks plus one half will be the integer number of ranks of the root - the highest rank of the root will thus be exactly half the number of ranks of the given number
|
ואם כן בכל מספר שמדרגתם זוגות ראוי להוריד האות האחרונה מהם לסמוכה לה ואז יהיו מדרגתם נפרדות ויהיה חצי מדרגתם עם החצי מדרגה שנוסיף מדרגות שלמות והם יהיו מדרגות השורש והנה נתחיל למנות מהמדרגה העליונה עד חצי המדרגות למפרע ושם נכתוב המדרגה העליונה מהשורש ועד שם יגיע
|
- Calculations with units and simple numbers are better known and easier than calculations of higher and more complex numbers
|
עוד דע כי כשנחשב חשבונות במספרים הנה כל מה שנקרב אל הפשוטים ואל האחדים יהיה יותר ידוע לנו מהמתרחקים מהם
|
- Addition of units is almost self-explanatory axiom
|
ולזה חבור אחדים מה עם אחדים כמעט שהוא מושכל ראשון
|
- Higher and complex numbers require calculation technique
|
ואינו כן במספרים הרחוקים המורכבים כי נצטרך למלאכה לדעתו
|
Thus, when wishing to find the root of a square number, the extraction of the root should be executed one part after the other instead of seeking the whole root at once
|
ולזה כשנתור לדעת שורש כל מספר מרובע אין ראוי לנו לבקש השורש כלו ביחד אבל חלק אחר חלק עד תומם
|
|
|
Description of the procedure:
|
|
|
ולכן נתחיל לבקש תחלה שורש האות אשר במדרגה העליונה אם הם נפרדות
|
|
ואם הם זוגות תורידה אל הסמוכה לה ותעשה שם עשרות
|
- The interim result
|
ובקש מספר שרשי שכשתכפלהו על עצמו יעלה כמוהו או כל מה שאפשר ממנו ותכתבהו במדרגתה כמשפט שאמרתי לך
|
- The interim remainder
|
ותכתוב הנשאר באותה מדרגה עליה ורשום שם סימן לומר כבר חלקנו משם
|
Product of a number by itself = products of each of its ranks by itself and by the others
|
עוד דע כי כפולת כל מספר בעצמו הוא כמו כפולת מדרגותיו כל אחת בעצמה ובאחרת
|
|
ומשל לזה רצינו לכפול י"ב על י"ב והם קמ"ד הרי הוא כמו כפילת העשר שבמדרגה העליונה עם העשר האחר והוא ק' וכמו כן כפילת השנים על השנים והם ד' וכמו כפילת העשר העליונים בשנים התחתונים שהם כ' ועוד כפילת השנים העליונים בעשר התחתונים שהם כ' אחרים והנה כשתקבץ הכל יעלו קמ"ד
|
|
והנה דרך בקשת שורש קמ"ד
|
|
ראוי אם כן להיות בזה אחר שמדרגותיו נפרדים נבקש שורש המאה והוא עשר ונכתוב א' במדרגה השנית כי היא חצי המדרגות ועוד חצי מדרגה ולא נשאר דבר בק'. ואחר נאמ' אי זה מספר הוא אשר כשנכפול אותו בעשרה והעשרה בו יכלול המ' או קרוב שאפשר ממנו וכשנכפול אותו על עצמו יכלול הד' עם מה שישאר מהמ' אם יהיה שם נשאר כי בזה ישלם כפילת כל מדרגותיו כמו שאמרנו ונמצא כי הוא השנים נכתוב אותו סמוך לאחד וזה כי כשנכפול בו העשרה יהיו עשרים. וכשנכפול אותו בעשרה יהיו עשרים אחרים הרי המ' נכללים וכשנכפול אותו בעצמו יעלו ד' וכשנקבץ הכל יעלו קמ"ד הרי ששרשם הוא י"ב
|
The same way for a large number, with numerous ranks
|
ומזה תשכיל ותדע לעשות אפי' שיהיו המדרגות רבות
|
|
|
Since not every number is a square - a remainder may be left at the end of the extraction procedure
|
ולפי שאין כל מספר הוא מרובע הנה כבר ישאר מספר מה על המספר הנחלק אחר שהוצאנו ממנו המרובע
|
This case should be discussed in the section on fractions (because the remainder is a fraction), but as the given number to be extracted is integer - it is discussed here
|
והנה אע"פ שזה ראוי לעיין בו בשברים הנה לפי שהוא בשלמים נדבר בו בכאן
|
- The remainder must be less than double the [approximate] root
|
ואומר כי בהכרח שישאר שם פחות מכפל השורש
|
- is not the closest square to
|
ועוד אחר שאלו היה נשאר שם יותר היינו יכולין לתת אחד יותר ממה שהוצאנו בשורש הראשון כי לא יתרבה בזה מכפילת השורש השני הזה אלא האחר בשורש הראשון והשורש הראשון באחר והאחר בעצמו והנה די בנשאר לזה
|
|
ועתה כשנבקש לכלול הנותר הזה בהוסיפנו חלק מה על השרש הנה נראה איזה שבר הוא אשר כשנכפול אותו בשורש והשורש בו והוא בעצמו יכלול הנשאר והוא יהיה השורש
|
- If there is no such r<1: finding an approximate r
|
ואם לא תמצא שבר כזה בקש הקרוב אליו
|
|
ויהיה משל אחר לזה רצינו לדעת שורש תשע מאות ושבעים ושלשה אלפים ומאה ושמונים ושנים
|
|
ולפי שמדרגותיו זוגות נוריד הט' על הז' ויעלו צ"ז נבקש שורש שבהכפלו יגיע לזה או היותר שאפשר ממנו והוא יהיה הט' נקח חצי המדרגות שהם שהם עד מספר הז' כי המדרגת הט' אין למנות אותה שכבר הורדנו אותו ממדרגתו והם שתים וחצי ונוסיף חצי מדרגה עוד ויהיו שלשה מדרגות אם כן תחת מספר האחד נכתוב הט' שיצא לנו לשורש נכפול אותו בעצמו יגיע פ"א נגרע אותו מצ"ז ישארו שם י"ו. נכתוב האחד שהוא העשרה על הט' והששה על הז'. ונרשום סימן על הז' שכבר שרשנו משם ואין לבקש משם עוד שורש עוד נשוב לשרש מהשלשה ונוריד עליו הששה שנשארו על השבעה וגם האחד שנשאר על הט' ויחשבו עליו לקס"ג. ונאמר אי זהו המספר שכשנכפול אותו בט' והט' בו יכלול הקס"ג. וכשנכפול אותו בעצמו יכלול האחד אשר אצלו. עם מה שישאר מהעליונים ממנו. ונאמר כי הוא השמונה כי אם נתן ט' לא יספיק לכל והנה הח' כפול בט' הם ע"ב והט' בח' ע"ב הם קמ"ד נגרע אותם מהקס"ג ישארו י"ט נקח מהם ז' להוריד על האחד לכלכל משם לח' כשנכפלם בעצמם וישארו שם י"ב נכתוב השנים על השלשה והעשר שהוא אחד על הששה ונכתוב סיפרא על האחד שנשאר על הט' העליונה והנה לנו על האחד אשר בחשבון עם הז' שהורדנו עליו ע"א נגרע ממנו ח' פעמים ח' שהוא ס"ד ישארו שם שבעה ונכתבם עליו. ונשים סימן על השלשה לומ' כבר שרשנו משם. ונשוב עוד לשרש ממדרגות האחד ר"ל ממה שנשאר עליו והוא ז' עם כל הנשאר למעלה ממנו שכשהורדנו עליו יהיו קכ"ז. ונאמ' אי זהו מספר אשר כשנכפול אותו בט' והט' בו יכלול הקכ"ז האלה או היותר ממנו שאפשר וכשנכפול אותו בח' והח' בו יכלול השמונה הסמוכים לו עם מה שנשאר למעלה או היותר שאפשר וכשנכפול אותו על עצמו יכלול השנים עם מה שנשאר במדרגות אשר למעלה או כל מה שאפשר מהם ונאמר כי הוא מספר הששה ונכתבם במדרגת האחדים והנה אין עוד שורש אחר זה. ונאמר כי ששה פעמים ט' וט' פעמים ששה הוא ק"ח נגרע אותם מקכ"ז ישארו י"ט נקח מהם עשרה להוריד על הח' הסמוכים לכלכל לח' התחתונים כשנכפלם בששה והששה בהם ישארו שם ט' נכתבם על הז' ונכתוב ספרא על האותיות העליונות שנשארו על הששה ועל הששה והנה העשרה שהורדנו על הח' יעלה לשם עם הח' לק"ח נגרע מהם צ"ו מכפילת ששה על הח' והח' על הו' ישארו שם י"ב. ולפי שנצטרך להוריד ד' על הב' לכלכל לו' כשנכפלם בעצמם ישארו לשם ח'. ונכתבם על הח' עוד הנה הד' שהורדנו על השנים עם השנים עלו למ"ב נגרע מהם ששה פעמים ששה שהם ל"ו ישארו שם ששה שנכתבם על הב' והנה יצא תתקפ"ו ונשארו עוד תתקפ"ו אחרים שלא מצאנו שורש בשלמים שיכלול גם אותם על כן נבקש אותו בשברים ונאמ' אי זהו מספר אשר כשנכפול אותו בתתקפ"ו והתתקפ"ו בו ונכפול אותו בעצמו יכלול זה ונאמר כי הוא החצי בקרוב אלא שחסר לנו רביע לכלכל לכפילת החצי על עצמו
|
Check: multiplying the root by itself - and adding the remainder to the product
|
ויבחן המעשה הזה כאשר תכפול השורש היוצא על עצמו שראוי להשתוות למספר אשר בקשת שורשו כשתחבר אל הכפילה הנשאר על המספר שבקשת שורשו
|
Chapter Seven - Fractions
|
המין הז' בשברים
|
Including all the types of arithmetical operations
|
והיא דמות כל המינים כלם
|
Conversion of fractions
|
|
The need of learning the conversion of fractions to fractions or to one fraction
|
ואומר בראשונה כי צורך גדול לזה הוא ידיעת המרת שברים בשברים או הפך שני שברים או יותר לשבר אחד
|
Converting fractions to fractions
|
אמנם שברים לשברים
|
|
כאלו תאמר נמיר רביעיות לשישיות הנה אז תחלוק הו' אל שישיות על הד' מהרביעיות ויצא אחד וחצי והנה שישית וחצי הוא הרביע
|
- quarters to thirds of quarters
|
או נאמר נמיר רביעיות לשלישי רביעיות נכפול ג' בד' של ג' רביעיות ויהיו י"ב נחלקם על ד' של רביעיות ויצאו ג'. והנה הרביעית הוא ג' שלישי רביעיות
|
- quarters to thirds of fifths
|
או שנאמ' נמיר הרביעיות בשלישי חמישיות נכפול הג' בה' ויעלו ט"ו נחלקם על ד' ויצאו ג' וג' הרביעיות. והנה הרביע הוא ג' חמישיות ועוד ג' רביעיות חמישיות
|
Converting two fractions to one fraction
|
או שנרצה להפך שני שברים לשבר אחד היותר קרוב שאפשר
|
|
ויהיה המשל רצינו לדעת שבר ראשון שבו ישתתפו עשיריות בח' עשיריות
|
Finding the least common multiple (smallest common denominator)
|
והנה בתחלה ראוי לבקש המספר הראשון שבו ישתתפו ויהיה כזה
|
|
בתחלה נדע אם הם משתתפים למספר ימנה אותו
|
|
ואם משתתפים בב' מספרים נבקש היותר גדול
|
|
והנה העשרה והי"ח משתתפים בשנים אשר ימנה אותם ונדע במה ימנה לעשרה בה' ולי"ח בט'. ואחר נכפול הי' בט' ויהיו תשעים או הי"ח בה' והוא יהיה המספר הראשון שבו ישתתפו העשרה והי"ח. ועתה הנה העשירית יהיה הט' מתשעים שבו מנה השנים לי"ח. והח' עשיריות יהיה הט' מתשעים שבו מנה הב' לעשרה
|
Converting three fractions to one fraction
|
ואם יהיו ג' מיני שברים
|
|
כאלו תאמר העשירית והשתים עשירית והח' עשירית הנה בתחלה נבקש מספר ראשון שישתתפו בו העשירית והשתים עשירית ונמצא אותו בבקש המספר הגדול שימנה שימנה אותם והנה הוא הב' בכאן כי ימנה לי' בה' ולי"ב בשש והנה הו' והה' יהיו הב' מספרים אשר הם על פחות מספרים אשר על יחס הי' והי"ב ולכן אם תכפול העשר בו' או הי"ב בה' יעלו ס' והוא יהיה המספר הקרוב שישתפו בו הי' והי"ב עוד ראה המספר הגדול שימנה לס' האלו ולי"ח כי הוא הוא הששה כי ימנה לס' בי' ולי"ח בג' תכפול הס' בג' ויעלו ק"פ והוא המספר הראשון שישתתפו בו שלשתם. ואם תרצה לדעת כמה הוא העשירית ממנו הו' מונה לי"ב בג' המונה לי"ח ויעלו י"ח והוא העשירית. ואמנם השתים עשירית כפול הה' המונה לי' בג' המונה לי"ח ויעלו ט"ו והוא יהיה הב' עשירית ואמנם הי"ח עשירית הוא יהיה הי' המונה לס' כמו שהששימית יהיה השלשה המונה לי"ח אם רצינו לדעת אותו אלא שאין המכוון בכאן אלא בשלשת השברים הראשונים שהם הי' והי"ב והי"ח
|
- If a and b do not have a common divisor → their least common multiple = a·b
|
ודע כי אם לא ישתתפו המספרים במספר ימנה אותם הנה אז ימצא המספר שישתתפו בו השברים ההם בכפול האחד על האחר
|
- the least common multiple of 5 and 6 = 5·6 = 30
|
כאלו תאמ' חמישיות ושישיות שאין דבר שימנם אלא האחד הנה המספר הראשון שימצאו בו אלה השרשים הוא השלשים הבא מכפילת הה' בו' ואז החמישית הוא שם השבר. ר"ל הששה והשישית הוא בא משם השבר האחר ר"ל החמשה
|
- For three numbers that do not have common divisor
|
ואם היו שלשה מספרים בלתי משתתפים במונה
|
- the least common multiple of 3; 4 and 5 = 3·4·5 = 60
|
כאלו תאמ' השלשה והארבעה והחמשה הנה המספר שישתתפו בו ימצא בכפול הג' בד' ויהיו י"ב ואחר הה' בי"ב ויהיו ס' והנה המספר שמצאו השברים האלו. והנה השלישית בכפול הד'. וימצא הרביע בכפול הג' בה'. וימצא החומש בכפול הג' בד'
|
After explaining the conversion of fractions first the author turns to discuss the arithmetical operations with fractions
|
ועתה נדבר במינים הנאמרים בשברים
|
Starting with the addition operation as usual
|
ונתחיל בקיבוץ כמנהג
|
Addition of fractions
|
המין הא' בקבוץ השברים
|
- Two fractions with no common denominator
|
ונתחיל בקבוץ שני שברים שלא ימצא להם מספר שימנם
|
|
ונשים משל לזה. רצינו לקבץ שני שלישיות בג' רביעיות. הנה נבקש מספר ראשון שישתתפו בו הג' והד' ולפי שאין דבר א ש[.]ש שימנם אלא האחד לא ימצא אלא בכפול אחד מהם באחר ויהיו י"ב והנה השליש הוא ד' כמו שאמרנו נכפול השנים ממספר השלישיות בד' ויהיו ח' והם הב' שלישיות עוד הרביע הוא ג' נכפול בהם הג' ממספר הרביעיות ויהיו ט' והנה הג' רביעיות נקבץ הח' והט' ויהיו י"ז חלקים מי"ב נחלקים על י"ב ויצא אחד שלם וישארו עוד ה' חלקים מי"ב וזהו העולה
|
- Three fractions with no common denominator
|
ואם נרצה לקבץ ג' מספרים
|
|
כאלו תאמר ב' שלישיות וג' רביעיות וד' חמישיות הנה לפי שלא ימנה לשברים הללו אלא האחד אכן הנה לא ימצא מספר ראשון שישתתפו בו אלא בכפול והיו י"ב וזה בה' ויהיו ס' וזה יהיה דמות השלם אשר נבקש שבריו. והנה השליש ימצא בכפול הד' בה' שהוא עשרים ושני השלישים ימצא בכפול השנים בעשרים ויהיו מ'. והרביעי ימצא בכפול הג' בה' ויהיו ט"ו. וג' הרביעיות יהיו (... והד' חמישיות) בכפול הד' בי"ב ויהיו מ"ח. ועתה נקבץ המ' והמ"ה והמ"ח ויעלו קל"ח (ג) ונחלק אותו על הס' שהוא דמות השלם ויצא שנים שלמים ועוד י"ג חלקים מס'
|
The same way for four fractions and more
|
ומזה תבין לד' שרשים או יותר
|
The method above can be used also if the denominators of the fractions have a common divisor, or if one of the denominators is a divisor of the other
|
ואמנם אם ימצא לשברים מספר שימנם בו שימנה האחד לאחר הנה יכול היית לעשות כדין הנאמרים למעלה
|
Yet, then the fraction that will be found will not be a reduced fraction
|
אלא שלא יהיה השלם ההוא המספר הראשון שישתתפו בו אותם השברים שהוא היותר נאות לפי שהוא ראשון ומספר יותר קטן
|
Reduced fraction is more comprehensible - therefore it is better to find the least common multiple of the denominators
|
והשכל יקיף בו ובשבריו יותר מ[קרה]. ולזה ראוי לבקש להם המספר הראשון שישתתפו לשלם
|
- Two fractions, the denominator of one of them is a divisor of the other
|
ויהיה המשל בתחלה לזה בב' שברים שימנה האחד לאחר
|
|
כאלו תאמר רצינו לקבץ שני שלישיות בד' תשיעיות. ולפי שהשלש מונה לט' בג' נשים השלם הט' ויהיה השליש ג' כמספר אשר הוא מונה בו לט' נכפול אותו בב' ממספר השלישיות יעלו ו' והם הב' שלישיות נקבץ אותם לד' מהתשיעיות יעלו עשרה נחלק אותם על הט' יצא אחד שלם ועוד תשיעית אחד
|
- Two fractions with common divisor
|
ואם לא ימנה האחד לאחר אבל ימצא מספר אחר שימנה אותם
|
|
כאלו תאמר רצינו לקבץ ג' רביעיות בד' שישיות שימנה אותם הב' והוא היותר גדול שימנם אמנם לד' בב' ולו' בג'. הנה אז נמצא המספר הראשון שישתתפו בו בכפול הד' משם הרביע במספר המונה לשישיות שהיה ג' ויעלו י"ב או בכפול הו' משם השישיות במספר המונה לד' שהיה ב' והוא יהיה דמות השלם. ואחר נמצא הרביע משם הג' שמנה בו הב' לו'. וג' רביעיות בכפול הג' בג' ויעלו ט'. וכן נמצא השישית משם השנים שמנה בו השנים לד'. וד' חמישיות (שישיות) בכפול הב' בד' ויהיו ח'. ונקבץ הח' והט' ויהיו י"ז ונחלק אותו על הי"ב ויצא אחד שלם. ועוד ה' חלקים מי"ב בשלם
|
The method for three types of fractions or more can be deduced from these cases together with the conversion of fractions
|
ומזה וממה שאמרנו בתחלה ביסודות לדבר בשברים תשכיל ותדע איך תעשה אם יהיו השברים ג' מינים או יותר
|
Subtraction of fractions
|
המין הב' במגרעת
|
Subtracting fractions from integers or fractions from larger fractions
|
הכונה בו לגרוע שברים משלמים או שברים משברי' גדולים מהם
|
Fractions from integers
|
|
|
ויהיה המשל תחלה תגרע חמש שמיניות מאחד שלם הנה אז מבואר בעשותנו השלם כלו שמיניות ויהיו שמונה נגרע מהם הה' נשארו ג'
|
- Fractions with the same denominator
|
ואמנם בגרוע שברים משברים דומים גם הוא מבואר
|
|
כי אם נרצה לגרוע ג' שמיניות מה' שמיניות ונשאר ב' שמיניות
|
- Fractions with different denominators - requires learning
|
אמנם מה שיש בו עיון הוא בשהם שברים מתחלפים
|
|
כיצד רצינו לגרוע ב' רביעיות מו' שישיות שמיניות. הנה אז נצטרך לבקש המספר שישתתפו בו שני השברים. וזה ימצא בכפול שם השבר באחר שהם ד' וח' והוא ל"ב. ולפי שהרביע הוא שם השבר האחד והוא ח' וב' זה הרביעיות והוא י"ו. והשמינית הוא שם השבר האחר והוא ד' וו' שמיניו' הם כ"ד. הנה בגרענו הי"ו מהכ"ד ישארו ח' והם חלקים מל"ב בשלם שהם רביעיתם
|
If there are numerous fractions - their common denominator will be very large and the calculation will be more difficult
|
אמנם אם רבו שמות המספרים השברים והנה המספר שישתתו בו יהיה גדול מאד ויכבד העיון בו
|
- The denominator of one fraction is a divisor of the other
|
וימנה השבר האחד לשבר האחר
|
|
כאלו תאמר רצינו ד' שמיניות מי"ב שש עשיריות. והנה המספר שישתתפו בו על דרך כפילת שם השבר באחר יהיה קכ"ח והוא מספר גדול להקיפו שכל המונה הנה אז ראוי שנדע באי זה מספר ימנה השמורים לי"ו והוא בב'. ונכפול הד' מהשמיניות בשנים המונים ויהיו ח'. ונגרע אותם מי"ב וישארו ד' והם חלקים מי"ו שהם רביעיתם
|
- Two fractions with common divisor
|
ואם אמנם לא ימנה השבר האחד לאחר בכללו אבל ימנהו בחלקיו ר"ל שימצא מספר אחד שימנה לשניהם
|
|
כאלו תאמ' רצינו לגרוע ח' שנים עשיריות מי"ד ו' עשיריות הנה אז נבקש המספר היותר גדול שימנם והוא הד' והנה ימנה לי"ב בג' ולי"ו בד'. ונכפול הי"ב בד'. או הי"ו בג' ויעלו מ"ח. והנה השש עשיריות הוא וח' שנים עשיריות הוא ל"ב. ואמנם הו' עשיריות הוא הג'. וי"ד ו' עשיריו' הוא מ"ב ועתה כשנגרע הל"ב מהמ"ב ישארו שם י' והם חלקים ממ"ח
|
Reducing the fraction
|
ואם תרצה עוד להקטין שם היוצא הנה בקש עוד המספר הגדול שימנם ותחלוק עליו שם המספר היוצא ושם מספר השבר ויצא מספר יותר קטן מיוחס לראשון
|
|
והמשל בזה עוד הנה נדע אי זהו המספר הגדול שימנה לעשרה ולמ"ח והנה בכאן הוא השנים ונחלוק עליו העשרה ויצאו ה' וכן נחלוק המ"ח עליו ויצאו כ"ד. והנה הי' חלקים ממ"ח הם כמו חמשה חלקים מכ"ד שיצאו לנו באחרונה
|
Check: addition
|
ואמנם אמיתת זה המין יבחן בשוב לקבץ מה שגרענו מן עם היוצא ויהיה שוה למספר הגדול שגרענו ממנו כענין בשלמים
|
Multiplication of fractions
|
המין הג' בכפילת השברים
|
- Multiplying a fraction by a fraction of an integer
|
הנה הכוונה שתכפול שבר מה ביחס שבר מה אל השלם
|
|
כאלו תאמר נכפול רביע א' ברביע פעם. והמעשה בו שתכפול הרביע ברביע ר"ל ד' על ד' ויהיו י"ו ותכפול האחד באחד ויעלה א' והנה העולה יהיה אחד מי"ו שוה רביע מרביע
|
The product of a quarter by a quarter = quarter of a quarter
|
לכן אם תרצה תאמר בכפילת רביע ברביע שהעולה הוא רביע מרביע
|
|
וכן תאמר בכפילת רביע בשליש שהוא רביע משליש
|
How come the multiplication of integers is adding while the multiplication of fractions is reducing
|
ורבים תמהו איך הכפילה בשלמים מרבה ומוסיף. והכפילה בשברים גורע ופוחת
|
The multiplication [of the numerators] is not the reason why the product of the fractions is smaller than the fractions themselves
|
והאמת כי הפחת והגרעון לא קרה לי מפני הכפילה מסבת זה מוסיף
|
|
כיצד אם רצית לכפול ב' שני שלישיות בד' חמישיות
|
The product of the numerators is greater than the numerators
|
הנה מצד הכפילה הולך ומוסיף
|
|
הוא כי נכפול הב' בד' ויעלו ח'
|
The decreasing is from the aspect of the denominators - the product of the numerators is divided twice
|
אבל החסרון קרה מצד השברים כי נשבור העולה הזה פעמים
|
|
אחד בזכרנו שלישיות. והב' בזכרנו חמישיות. עד שמזה הצד יתחייב כי הח' שנתרבו לנו יהיו חלקים מט"ו שיצא לנו מכפילת השלש בחומש. ר"ל משבירת שניהם
|
|
ומן הדין הוא זה כמו שאראך במשל הראשון שהמשלנו שהוא כפילת רביע ברביע כי העולה הוא רביע מרביע. וזה כי לו אנחנו שכפלנו אחד ברביע מה יהיה העולה רביע אחד. ולפי שאנחנו לא כפלנו בו אלא רביע בהכרח שיהיה העולה רביע מרביע
|
In the multiplication of numbers there is a mean between two extremes:
|
ומזה תבין כי יש בכפילת המספרים דמות אמצע ושתי קצוות
|
- Multiplication of integers by integers - increasing
|
וזה כי כפילת הרבים השלמים בשלמים מוסיף
|
- Multiplication of fractions by fractions - decreasing
|
וכפילת שברים בשברים גורע
|
- Multiplication of one by itself - no increase and no decrease
|
וכפילת הא' בעצמו לא יוסיף ולא יגרע
|
One - the beginning of the integers and the end of the fractions
|
והנה האחד ראשית השלמים וסוף השברים
|
- Metaphor - a man looking at himself in deep water seeing his image upside down in the water - head down and feet up - the feet are the beginning of the man on dry land and the end of man in the water
|
והנה ידמה זה למה שהיה בטבע כי כשיעמוד אדם על מים עמוקים הנה יראה צורתו במים הפוכה. ר"ל ראשו למטה ורגליו למעלה. והרגל ראשית האדם אשר בחרבה וסוף צורת האדם אשר במים
|
- The higher his head on land, the lower the reflection of the head of the man in the water
|
וכמו שכל מה שיגאה ראש האדם אשר בחרבה כן ישפל ראש כל צורת האדם אשר במים
|
- Similarly, a the integers are rising their corresponding fractions are getting smaller
|
כן כל מה שיתרבו המספרים השלמים יחסרו השברים הנגדים לו
|
|
כיצד אם לקחנו השנים ה- שנתרבה על האחדות ככדי כפלו. כן כשלקחנו החצי שהוא נגדי לו לפי שהוא אחד משנים גרע מהאחדות החצי וכן כשנקח השלשה הנה נמצא כי הוסיף על האחד שלשה כפלים. כן כשנקח הג' גרע מהאחד ג' חסרונות עד ששב לשלישיותו. וכן בשאר והנה תמצא לזה כי יחס האחד אל השברים הנגדים לשלמים ההם וזה כיחס השנים אל האחד הוא כיחס הא' אל החצי. וכן יחס הג' אל הא' הוא כיחס הא' אל השליש וכן לאין סוף
|
- Hence, one is mean from the aspect of ratio
|
אם כן הוא אמצעי ביחס
|
- Multiplication of fractions by integers - is easy
|
ואמנם כפילת השברים בשלמים נקל לדעתו
|
|
ותמצאהו בכפול מספר השלמים במספר השברים והעולה תחלקהו על שם השבר והוא יהיה העולה
|
|
כיצד רצינו לכפול ב' שלישיות בד' שלשים. הנה נכפול הד' על השנים ויעלו ח' נחלקהו על שם השבר שהוא שלש ויצא לנו שני שלמים ושני שלישיות
|
- Multiplication of fractions by fractions of fractions - is easy
|
וכן כפילת שברים בשברי שברים יהיה נקל
|
Converting the fraction of fraction to one fraction
|
אחרי אשר תשיב השברי שברים לשם שבר אחד
|
|
כיצד רצינו לכפול שני שלישיות בג' רביעיות שליש אחד הנה בהכפלה בהתחלה נשיב הג' רביעיו' שליש אחד לשבר אחד ונמצאהו בכפול ד' של רביעיות בג' של שליש ויעלו י"ב והנה השליש הוא ד' כמו שאמרנו וג' רביעיות הם ג' אם כן הם ג' חלקים מי"ב ועתה תכפול השני שלישיות בשלש חלקים מי"ב כפי מה שאמרנו והוא יהיה העולה מכפילת השבר בשבר השבר שהמשלנו
|
Check: division
|
ומופת זה המין הוא החלוקה כענין בשלמים ויצא היוצא
|
Division of fractions
|
המין הד' בחלוקת השברים
|
Division of fractions by fractions
|
הנה כשרצינו זה נחלוק מספר השברים על מספר השברים. וכן שם השבר על השבר ויצא שם השבר השלם היוצא
|
|
כיצד רצינו לחלק ששה שמיניות בשני רביעיות והנה נחלק הששה לשנים ויצאו ג' וכן נחלק הח' על הד' ויצאו שנים. ויהיה היוצא בחלוקה ג' חלקים משנים השלם שהוא אחד וחצי
|
Check: multiplication
|
והמופת על זה כי כשנכפול אחד וחצי בשני רביעיות יצאו ג' רביעיות שהוא כמו הו' שמיניות
|
How could the fraction produce more than what it contains? [= how come the result of the division of fractions is greater than the dividend?]
|
והנה בזה יתמה האדם יותר. ואומר איך נאמר שיוכל לתת הדבר מה שאין לו
|
Demonstration:
|
ואיך נאמר שיתן הו' שמיניות אחד שלם וחצי והוא אין לו. אמנם התיישבו' הנפש בזה הוא שנאמר לו אלו חלקנו ח' שמיניות שהוא אחד שלם לד' רביעיות שהוא אחד גם כן מה היה היוצא שמונה שמיניות שהוא אחד כי בחלוקת א' על א' יצא אחד
|
Division of the numerators not a division of the denominators
|
ועתה אם חלקנו הח' שמיניות על חצי הד' רביעיות שהוא שני רביעיות אינו דין שיצא בחלוקה כפלים מאשר היה יוצא לד' רביעיות ויהיו שנים כמו שאלו חלקת אותם על כפל הד' רביעיות שהם שנים היוצא בחלוקה חצי אחד
|
The numerator: 6÷2
|
והנה לפי שלא חלקנו בכאן ח' שמיניות
|
|
אבל ג' רביעיותיו שהם ו' שמיניות אינו דין שנגרע מהיוצא בחלוקה שהיו שנים הרביע מהם וישארו א' וחצי כמו שעשינו. ונשוב להתיר הספק שאמרנו שאיך יתן דבר מה שאין לו. ואומר כי בחלוקה לא יתן דבר מה שאין לו כי החלוקה הוא במספרים לא בשמות השברים כמו שאמרנו בכפילת השברים והנה כשחלקנו הו' שמיניות על הב' רביעיות הנה לא נתן הו' לשנים אלא מה שיש לו והוא ב' לכל אחד
|
The divisor 2/4 is half of a whole, therefore it receives twice of what the whole receives from division
|
אבל מפני שהשברים המקבלים שהם שני הרביעיות קצרה ידם במחצה מהכיל מה שיקבל השלם הושב להם היוצא כפל מהיוצא לשלם
|
Metaphor: a man feeds his animals each day one portion of barley for each, yet one of the animals is sick and can eat one portion only every two days instead each day. It seems as if this animal was given more than the rest of the animals, but in fact this is not true, it is only because it could not eat the whole portion
|
ויקרה להם כמו שקרה לאיש אחד שהיה מחלק לאיש מדה אחד של שעורים לכל אחד מבהמותיו ליום אחד. והנה בהמה אחת מהן היתה חולה ושבורה ולא ולא הכילה לאכלה מדה אחת ביום אחד אבל בשני ימים. והיה לה כאלו נתנו לה לחם משנה מאשר לשאר הבהמות. אע"ף שבאמת אינו כן אבל היה בה בהתייחסות אכלה
|
|
וכזה הענין כאן. אלו חלקנו הח' שמיניות לא' שלם היה יוצא לו כל אותם הח' שמיניות. ועתה כשחלקנו אותם על ב' רביעיות שהוא חצי אחד בהכרח שיספיקו להם כפל ממה שיספיקו לאחד השלם. ויהיה כאלו נפל להם שנים עשרה שמיניות שהוא א' וחצי
|
The fractions are related to the one as whole (e. g. 8/8 - eight parts of eight) and not as the absolute one
|
וזהו בהתייחסות אל חסרונם הא' אבל לא בשלוח
|
Proportions of fractions
|
המין הה' בערכים
|
The subject is clear from the discussion on proportions of integers
|
הנה זה מבואר ממה שדברנו בשלמים
|
This type consists of multiplication and division
|
וממה שידענו שזה המין מורכב מכפילה וחלוקה
|
Check: the same as for integers
|
וכפי האמות בהם ככה ימצא האימות בזה
|
Roots of fractions
|
המין הו' בשרשים
|
The issue of roots of fractions is similar to the issue of roots of integers
|
דע כי ענין השרשים בשברים דומה לעניינים בשלמים
|
One - the beginning of the integers and the end of the fractions
|
וכבר אמרתי כי האחד הוא ראש השלמים וסוף השברים
|
|
והנה כמו שהאחד מספר מרובע
|
The number of pairs of numbers between two consecutive squares n2 and (n+1)2 is equal to the number of squares preceding (n+1)2 [i.e. n]
|
ואם תרצה לדעת המרובע הסמוך בשלמים תצטרך לשום ביניהם זוג מספרים או זוגי מספרים כמספר המרובעים שעברו
|
The same for fractions: [the number of pairs of fractions between two consecutive squares (1/n+1)2 and (1/n)2 is equal to the number of squares succeeding (1/n)2 [i.e. n]
|
כן הענין בשברים
|
- Between 1 and 1/4 - one pair of fractions: 1/2, 1/3
|
כי בין האחד שהוא המרובע הראשון להם ובין השבר המרובע הראשון זוג שברים אחד וזה כי בין האחד והרביע שהם מרובעים הנה יש ביניהם זוג שברים והוא החצי והשליש
|
- Between 1/4 and 1/9 - two pairs of numbers: 1/5, 1/6; 1/7, 1/8
|
וכן בין הרביע והתשיעית שני זוגי מספרים כמספרים שעברו והם החמישית והשישית והשביעית והשמינית
|
|
וכמו שהשנים הסמוך אל האחד הוא שורש הארבעה שהוא המרובע הסמוך לראשון כן החצי שהוא אחד מהשנים הוא שורש הרביע
|
- No root for 2 and for 3 → no root for 2a2 and for 3a2
|
וכמו שאין לשני מרובעים ולא לשלשה שורש כי אין לשנים ולא לשלשה שרש
|
- No root for 2·4 and 3·4 → no root for 2/4 and for 3/4
|
כן אין לשני פעמים ד' ולא לג' פעמים ד' שורש כן אין לשני רביעיות ולא לג' רביעיות שורש
|
- The product of a square by non-square = non-square
|
כי מכפילת מספר בלתי מרובע במספר מרובע יולד בלתי מרובע
|
- The product of a square by a square = square
|
כמו שממספר מרובע במרובע יולד מרובע
|
|
וזה כי מכפילת הד' בט' יעלו ל"ו והוא מספר מרובע
|
|
וכן מכפילת הד' בי"ו יעלו ס"ד והוא גם כן מספר מרובע וכן תמיד
|
|
ובכללו אומר כי אם תרצה לדעת השברים אשר יהיה להם שורש הנה ראה השלמים אשר להם שורש. וגזור מהם שם לשברים והם יהיו
|
- 4 has a root → 1/4 has a root
|
כיצד הד' יש לו שורש וכן הרביע יש לו שורש
|
- 9 has a root → 1/9 has a root
|
ועוד הט' יש לו שורש וכן התשיעית
|
- 16 has a root → 1/16 has a root
|
ועוד הי"ו יש לו שורש וכן אחד מי"ו יש לו שורש
|
|
ועוד אומר כי כמו שהשנים הוא שורש הד' כן החצי שהוא אחד משנים שורש הרביע
|
|
וכן כמו שהשלש הוא שורש התשעה כן השליש הוא שורש התשיעית וכן לעולם
|
|
ודע כי זה שאמרתי כי לא ימצא מרובע בין מרובע למרובע
|
|
כאלו תאמ' בין הא' והד' ובין הד' והט'
|
|
וכן בין הא' והרביע או בין הרביע והתשיעית צריך שיובן בשלמים או בשברי' כל אחד בפני עצמו
|
- Among the numbers of the type of integers and fractions there are infinitely many squares
|
אבל בשברים שלמים כבר ימצאו לבלתי תכלית
|
|
כיצד הנה כשתכפול הא' והחצי באחד והחצי יעלו ב' ורביע והנה לו שורש
|
|
והנה כשנכפול אחד ושלש באחד ושלש יעלו (אחד) וז' תשיעיות יש לו גם כן שורש
|
Similarly for 1+¼ and so on
|
וכן באחד ורביע או אחד וחמישית ולאין תכלית
|
Why there are no roots for non-square numbers
|
וא"ת והלא המספר סמוך זה לזה. וכיון שהאחד ושליש תחת שני תשיעיות משורש השנים והאחד וחצי הוסיף ממנו רביע והנה בין שיחסר שני תשיעיות או יוסיף רביע אפשר שנמצא מספר שישתוה כפילתו למספר השנים ויהיה שורש לו
|
A number a so that a2=2 exists in potentia, but not in actu:
|
נשוב ונאמר כי האמת כי ימצא בכח אבל לא בפועל
|
It exists in potentia since it is continuous, but it does not exists in actu since it is separated into numbers
|
ואמנם נמצא בכח מצד שהוא מדובק ולא נמצא בפעל מצד שנפרד והיה למספר
|
- Reference to Ibn Rushd [middle commentary on the Physics VI.12 ?]: every line is divisible at any of its point, but if it is divided in actu at a certain point, it is indivisible at the point next to it
|
והיה זה כענין שיאמר ן' רשד כי כל קו אפשר שיתחלק בכל נקודה ממש. ואמנם כשנתחלק בפעל באחר נמנע בסמוכה לה
|
- It is possible: since it is continuous
|
ואמנם אפשר מצד שהוא מדובק
|
- it is possible to construct a quadrilateral whose area is 2, hence it has to have sides, and these sides can be formed as equal - thus they represent the root of 2
|
לפי שאפשר שנעשה מרובע שיהיה תשבורת שנים ובהכרח שימצא לו צלעות ואפשר לעשותן שוות והוא השורש
|
- It is impossible: from the aspect of the numbers
|
ואמנם נמנע השורש מצד המספר
|
- It is impossible that the root of 3 will be an integer:
|
לפי ששורש הג' במשל א"א ששיהיה שלם כי האחד יגרע והשני יוסיף
|
- It is also impossible that the root of 3 will be an integer and fraction:
|
וגם א"א שימצא בשלם ושבר לפי שכשנכפול השלם בשלם וגם השלם בשבר אפשר שיצא מזה שלם. אבל כשנכפול השבר בשבר היוצא יהיה שבר השבר והוא לא יתחבר עם השבר וכ"ש עם השלם שיצא מכלם שורש שלם
|
All the types of arithmetical operations are enough for solving simple problems
|
הנה אלה המינים יספיקו כאשר הם בשאלות הפשוטות
|
For solving complex problems these techniques should be combined
|
ואמנם במורכבות צריך להרכיב בהם בדרכים הנאמרים
|