Chapter Eight – Proportions
|
השער השמיני במערכת חשבון מחשבון אחר
|
Definition of finding the relation = method of finding a number whose relation to a given number is equal to the relation of the same given number to another given number
|
כוונת ההערכה הזאת היא לבאר כשיהיו לנו שני חשבונות ידועים או יותר באזה דרך נוכל לחדש חשבון אחר שיהיה ערכו אל אחד מהם כערך האחד ההוא אל חבירו
|
There are four kinds of relations:
|
ותדע כי מלאכת השער הי' נחלקת לארבעה חלקים
|
- 1) Rule of Three
|
החלק האחד הוא על דרך זה כשיהיו נודעי' לנו שני חשבונות ונרצה לחדש ולמצוא חשבון שלישי שיהיה ערכו אל אחד מהם כערך אחד מהם אל חבירו
|
|
המשל בזה כגון שנדע חשבון ארבעה וששה
|
|
ובידוע כשנערוך חשבון ששה על חשבון ארבעה יהיה כמוהו ומחציתו
|
-
|
ואם נרצה לחדש חשבון שלישי שיהיה ערכו אל ששה כערך הששה אל הארבעה נעשה על הדרך הזה נקח חשבון הששה שהוא אמצעי בין החשבון הראשון הידוע ובין השלישי הנעלם ונכפול ונכה אותו על עצמו ויהיה העולה ששה ושלשים נחלק אותם על החשבון הראשון הנודע שהוא ארבעה ומצאנו בהם תשע פעמים והנה תשעה ערכם אל ששה כערך ששה אל ארבעה
|
|
ואם ידענו החשבון האמצעי והחשבון האחרון והנעלם ממנו החשבון הראשון נכפול גם כן האמצעי על עצמו ונכפול ונחלקנו על החשבון האחרון הנודע והיוצ' בחילוק הוא החשבון הראשון
|
|
ולפי זה כשנדע חשבון הששה והתשעה ולא נדע הארבעה
|
|
נכפול הששה על עצמם ונחלקם על התשעה הנודעי' ונמצאנו בו ארבעה פעמים והנה הארבעה הוא החשבון המבוקש
|
|
ואם ידענו החשבון הראשון והשלישי ונעלם ממנו החשבון האמצעי נכפול ונכה השני חשבונות הנודעי' זה על זה ונקח גדר העולה וכמספר הגדר הוא החשבון האמצעי המבוקש
|
|
ועל הדרך הזה כשנדע חשבון הארבעה והתשעה ונעלם ממנו האמצעי
|
|
נכפול ארבעה על תשעה ויעלו ששה ושלשים וגדרם הוא ששה והוא החשבון האמצעי הנדרש
|
- 2) Rule of Four
|
החלק השני כשיהיו לנו שלשה חשבונות מספרים נודעים ונרצה לחדש חשבון רביעי שיהא ערכו אל השלישי כערך הראשון אל השני
|
-
|
כגון שנדע החשבונות האלה השלשה ששה ועשר ושלשה ונבקש לעשו' למצוא חשבון שיהיה ערכו אל השלשה כערך עשרה אל הששה
|
|
ונעשה ככה נכפול העשרה וחשבון השלשה זה על זה ושניהם נקראים אמצעיים לפי שהם נתוני' בין החשבון הראשון הנודע ובין החשבון הרביעי הנעלם וההוה הוא שלשים נחלקנו על החשבון הראשון הנודע שהוא ששה ונמצאנו בו חמשה פעמים והנה חמשה הוא החשבון המבוקש כי כערך ששה אל עשרה כן ערך ששה אל חמשה
|
|
וכן אם נדע החשבונות האמצעיים והחשבון הרביעי ונעלם ממנו החשבון הראשון נכפול האמצעיים זה על זה ונחלק ההוה על החשבון הרביעי הנודע והיוצא בחילוק הוא המבוקש
|
|
ואם יעלם ממנו אחד מהשנים האמצעיים נכפול החשבון הראשון והרביעי אלו על אלו ונחלק ההוה על האמצעי הנודע והיוצא בחילוק הוא החשבון האמצעי הנעלם
|
- 3) Arithmetic proportion
|
החלק השלישי כשנרצה לכתוב ולחקוק חשבונות רבים מרחק אחד שוה למרחק חבירו
|
|
כגון א'ב'ג'ד'
|
|
או ב'ד'ו' וכיוצא באלו
|
- This kind is clear and explained - thus, there is no need to elaborate on that
|
והחלק הזה דרכו גלוי ומבואר ואין צריך עוד להאריך בו
|
- 4) Harmonic proportion
|
החלק הרביעי
|
|
על אופן שלש אותיות אלו שהם ג'ד'ו' שערך ג' אל ו' כערך המרחק שמשלשה עד ארבעה אל המרחק שמארבעה ועד ששה שהנה מרחק ג' מד' אחד ומרחק ד' מו' שנים וכערך אחד אל השנים כן ערך הג' אל הו'
|
|
וכאשר נדע האות הראשונה והאחרונה ונעלמת ממנו האות השנית נכפול האחת על חברתה ונחלק העולה על המחובר משתיהן והיוצא בחילוק נכפלנו והוא המבוקש
|
|
ועל דרך הזאת כשנדע הג' והו' ונרצה לדעת האמצעית נכפול ג' על ו' יהיו שמנה עשר נחלקנו על המחובר משתיהן שהוא ט' נמצאנו שם שני פעמים נכפלם יהיו ארבעה וככה הוא האות האמצעי להיות ד'
|
|
ואם נדע האות הראשונה והאמצעית ולא נדע האחרונה נכפול הראשונה על השניה שהיא אמצעית בין הראשונה הידועה ובין האחרונה הנעלמת והעולה נחלקנו על האות הראשונה הידועה אחר אשר נסיר ממנה העולה מהכאת המרחק שבין הראשונה לאמצעית על עצמו והיוצא מהחילוק הוא המבוקש
|
|
ולפי זה כשנדע הג' והד' ונעלמת ממנו הו' נכפול הג' על ד' יהיו שנים עשר נחלקם [ ] על הג' אחרי אשר נסיר ממנה הכאת המרחק שבינה ובין הד' על עצמו והנה הוא אחד נסיר אותו מהג' ישאר ממנה ב' ונמצא ב הב' הזאת ו' פעמים בשנים עשר וככה היא האות השלישית האחרונה ו'
|
-
|
ואם ידענו הד' והו' ולא ידענו הג' נעשה בדרך זה נכפול הג' [הד'] על הו' ויהיו ארבע ועשרים נחלקם על המחובר מהאות השלישית עם המרחק שבין הד' ובינה יהיו שנים וכשנחברם אל הששה יהיו שמנה וכשנחלק הארבע ועשרים עליהם יצא לנו בחלוק ג' פעמים וכן הוא משפט האות הראשונה להיות ג'
|
From these four kinds of proportions it is possible to find all the proportions of numbers
|
ובאלו החלקים הארבעה המבוארים תוכל להבין ולהוציא כל ערכי החשבונות שתמצא כאשר התבאר בארוכה עניין כל חלק וחלק
|
Word Problems
|
|
The author declares that he is going to present some difficult problems and explain their solutions at length
|
ועתה אתחיל לדבר ואזכיר קצת מהשאלות הקשות ולהוציא תשובתן אאריך הביאור בכל אחת מהם
|
- Find a Number Problem - Sums - we summed all the consecutive numbers from one to twenty and it is the sum. How much is the sum?
|
שאלה חברנו כל המספרים הרצופים מאחד ועד עשרים והם בכלל ממה כמה המחובר
|
|
הנה נוסיף על העשרה אחד ונכפלם על עשרה שהוא חצי עשרים ויהיה הנכפל מאתים ועשרה וככה המבוקש
|
- We want to know how much are the numbers summed up to eleven
|
ואם נרצה לדעת כמה עולים המספרים המחוברים עד אחד עשר
|
|
נוסיף עליו אחד יהיו שנים עשר נכפלם על החצי האחד עשר שהוא חמשה וחצי ויהיה הנכפל ששים וששה וככה המחובר
|
- There are other ways, but the above is the easiest and the right way
|
ויש דרכים אחרים ומה שכתבתי הוא היותר נקל ונכון הוא
|
- Find a Number Problem - Sums - the sum of the consecutive numbers starting from one is 210. What is the last number of the summed [numbers]?
|
נהפוך השאלה ונאמר עלה המחובר ממספרם רצופים המתחילים מאחד מאתים ועשרה איזהו המחובר האחרון מהמחוברים
|
|
נעשה כדרך זה נכפול מאתים ועשרה פעמים יהיו ארבע מאות ועשרים נקח מהם הגדר היותר קרוב כאשר התבאר דרך לקיחתו בשער הרביעי והנה נמצ' שהוא עשרים והוא המספר האחרון [מ]המחוברים והנה נשאר מהמספר שהוא בלתי נגדר עשרים כמספר הגדר
|
- If there is no number such the - the calculation is mistaken
|
וכן ראוי שיהיה בכל החשבונות הדומים לזה ואם אין טעה השואל בשאלתו כאשר חבר המספר כאשר עשה בטעות בלי ספק
|
- Triangulation Problem - Cane – 5 cubits tall, is standing next to a wall of the same height. If we shift its [top] two cubits down from the top of the wall, so that it will stand on a slope, how far will be the bottom end of the cane from the foot of the wall?
|
שאלה קנה המדה ארכה חמש אמות ועומדת זקופה בכותל אחת גבוהה כמדתה אם נשפיל אותה מראש הכותל אמתים כדי התעמד בשיפוע כמה הרחיק ראש הקנה התחתון מיסוד הכותל
|
|
נעשה זאת נקח מרובע החמש אמות והם עשרים וחמש [ו]נקח גם כן ממרובעה שלש אמות הנשארות משם עד יסוד הכותל והנה הוא תשעה ומרחקו מעשרים וחמש ששה עשר וגדר ששה עשר הוא ארבעה וככה מרחק ראש הקנה התחתון מיסוד הכותל בלתי תוספת ומגרעת
|
- If the distance is a non-square number - using an approximation
|
ואם היה המרחק ממרוב' אל מרובע מספר חרש ואלם תקח גדרו בקרוב כאשר התבאר בשער הקדו' לזה וככה יהיה מדת המרחק מראש הקנה התחתון אל יסוד הכותל
|
- Divide a Quantity Problem - Simple division - I gave a messenger 30 dinar and one pašuṭ and ordered him to hire workers as much as his money allows, so that the payment of the one equals the payment of his friend, there will be no worker whose payment is one pašuṭ, and there will be no fractions in one's payment. We want to know how many workers he could hire
|
שאלה נתתי לשלוחי שלשים דינרים ופשוט וצויתי אותו שישכור פועלים כאשר יספיקו לו מעותיו ויהיה שכר האחד כשכר חבירו ולא יהיה בהם פועל ששכרו פשוט וגם לא יהיה בשכרו שום שבר שלם נרצה לדעת כמה פועלי' יוכל לשכור
|
|
הנה נשיב הדינרים כולם פשוטי' ונחבר אליהם הפשוט הנוסף עליהם ויהיו שלש מאות וששים ואחד פשוטי' נקח גדרם בדרך השער השביעי ונמצא שהוא תשעה עשר ונוכל להשיב שיוכל השליח לשכור תשעה פועלים וישכור [שכר] כל אחד ואחד תשעה עשר פשוטי' לא פחות ולא יתר
|
- How much Problem - Wall - a wall collapsed. We rebuild it with an extension, so that it will be higher than what it was by half the size it had at the beginning, and its sixth, and ninth. With the whole extension, its height was 50 cubits. How much was its original height?
|
שאלה חומה שנפלה והוספנו עליה בבניין כדי שתהיה גבוהה הרבה חצי מדתה מאשר היתה בתחילה וששיתה ותשיעיתה ועם כל זה היתה מדת גבהה חמשים אמה כמה היתה מדתה בראשונה
|
|
נקח מדומה שיהיה לו חצי וששית ותשיעי' והוא שנקח שנים בעבור אשר יוצאה מהם החצי ונכפול אותם בששה בעבור הששית אשר תצא מהם יהיה שנים עשר ויהא גם כן תשעה ונכפול גם הם תשעה בעבור התשיעית ויהיה מדומה מאה ושמנה
ומחציתו חמשים וארבע וששיתו שמנה עשר ותשיעיתו שנים עשר והמחובר מכל החלקים עולה שמנים וארבעה נוסיפם אל המדומה יהיו מאה ותשעים ושנים שהוא העולה מתוספת החלקים הנזכרים עליו
|
|
כן ערך מדת החומה אשר הייתה בראשונה הנעלמת אל חמשים שהוא גבוה עתה אחרי תוספת הבניין
|
|
וכאשר נכפול המספר הראשון על הרביעי יהיו חמשת אלפים וארבע מאות נחלקם על האמצעי הנודע שהוא מאה ותשעים ושנים נמצאנו שם שמנה ועשרים פעמים וישארו מהם עשרים וארבעה חלקים שלא נתחלקו והמה חלקים ממאה ותשעים ושנים בשלם אשר חלקנו עליו ועל כן נוכל להשיב כי מדת גבהות החומה בראשונה היו שמנים ועשרים אמות ועשרים וארבעה חלקים ממאה ותשעים ושנים במאה
|
- Check:
|
ונבחן זה אם הוא אמת בדרך זאת נתיך כל האמות ונעשה מכל אחת ואחת החלקים הנזכרים ונחבר העולה אל העשרי' וארבעה חלקים העודפים על האמות ויהיה המחובר חמשת אלפים וארבע מאות מחציתם אלפים ושבע מאות ששיתם תשע מאות תשיעיתם שש מאות המחובר ארבעת אלפים ומאתים נוסיף זה על החמשת אלפים וארבע מאות ויהיו ותשע אלפים ושש מאות ואם תחלקם על מספר חלקי האמה השלמה תמצאנו שם חמשים פעמים כמכסת אמות גובה החומה עתה אחרי תוספת הבניין
|
- How much Problem - Wall - the town wall was 100 cubits high. Its third and its quarter had collapsed. How high is what remains
|
שאלה חומת העיר גבהה מאה האמה ונפרצה ממנה שלישיתה ורביעיתה כמה גובה הנשאר
|
|
הנה המדומה שיש לו שלישית ורביעית הוא שנים עשר נקח ממנו החלקים הנזכרים ונחברם יהיו שבעה נסירם מהמדומה ישארו חמשה
|
|
ועתה נעריך ונאמר בערך חמשה אל שנים עשר כך ערך הנעלם אל מאה
|
|
כפלנו החשבון הראשון על הרביעי והיו חמש מאות נחלקם על האמצעי הנודע נמצאנו שם ארבעים ואחד פעמים ונשארו מהם שמנה שלה נתחלקו שהם חלקים משנים עשר באמה שהם שתי שלישיותיה
|
- Check:
|
וכאשר נבחן זה ונעשה מהאמה אמות אשר היו שם בראשונה חלקים משנים עשר מכל אחת ואחת יהיו אלף ומאתים נקח שלישיתם שהם ארבע מאות ורביעיתם שהם שלש מאות והמחובר עולה שבע מאות נסדר אותם מהאלף ומאתי' ישארו חמש מאות שהם ארבעים ואחת אמה ושמנה חלקים משנים עשר כאשר זכרנו
|
- First from last Problem - Amount of grain - the landlord collected his grain and gave a heave offering by law from what he collected at first. Afterwards he gave the first tithe from what remained and from what remained then, he gave a second tithe, and he was left with 40 measures of grain. How much was the grain at first?
|
שאלה בעל הבית שמכר תבואתו ותרם מ שאסף מכריו בתחלה גדולה כמשפט ואחרי כן הפריש מהנשאר מעשר ראשון ומהנשאר אחרי זאת הפריש מעשר שני ונשארה לו חמשים מדות חטה כמה היה הכרי מתחלה
|
|
ידוע כי התרומה אמרו רבותי ז"ל שהיא תרי ממאה שהוא חלק אחד מחמשי' על כן נקח החמשים ונכפלם בעשר בעבור המעשר ראשון היוצא ממנו ויהיו חמש מאות ונכפול גם הם בעשר בעבור המעשר שני ויהיו חמשת אלפים והוא המדומה
|
|
והנה תרומתו מאה נסירנה ממנו ישארו ארבעת אלפים ות"ק
מעשר שלהם ארבע מאות ותשעים נסיר אותו מהם ישארו ארבעת אלפים וארבע מאות ועשרה
מעשר שלהם ארבע מאות וארבעים ואחד נסיר אותם מהם ישארו שלשת אלפים ותשע מאות וששים ותשעה
|
|
ועתה נעריך ונאמר כערך שלשת אלפים ותשע מאות וששים ותשעה אל חמש' אלפים כן ערך חמשים אל הנעלם
|
|
כפלנו האמצעיים עלו מאתים וחמשים אלף נחלקם על החשבון הראשון הנודע נמצאנו שם ששים ושתים פעמי' ונשארו שם שלא נתחלקו שלשת אלפים ותשע מאות ועשרים ושנים והם חלקים משלשת אלפים ותשע מאות וששים ותשעה אשר חלקנו עליו וכזה היה סכום המדות אשר היו בכדי כשהתחיל בעל הבית לתרום
|
- How much Problem - Amount of money - Reuven demands from Shimon a hundred measures, which he says he owes him according to an oral [agreement]. Shimon says: I do not owe you a hundred measures, but as much as I owe you, with the same amount, and one-half of it, and a quarter of it, plus one will make a hundred. How much did he admit he owes him?
|
שאלה ראובן תובע לשמעון מאה מנה שאומר שהי[ ] לו על פה ויאמר אליו איני חייב לך מאה מנה אבל כאותם שאני חייב לך ואחדים כמותם ומחציתם ורביעיתם ועם אחד יהיו מאה נרצה לדעת כמה הודה לו מתביעתו
|
|
ונעשה על דרך זה נקח מדומה שיש לו חצי ורביעית והנה נמצ' שמנה נוסיף כמוהו ויהיו ששה עשר וגם נוסיף מחצית המדומה שהוא ארבעה יהיו עשרים ורביעיתו שהוא שנים יהיו עשרים ושנים
|
|
ובהכרח כערך שמנה אל עשרים ושנים כן ערך הנעלם אל תשעים ותשעה כי בידוע כי המחובר מחלקי ההודאה עמה לא יעלה כי אם תשעים ותשעה ועם האחד הם מאה
|
|
וכאשר נכפול החשבון הראשון על הרביעי יעלו שבע מאות ותשעי' ושתים חלקנום על האמצעי הנודע שהוא עשרים ושנים ויצא בחילוק ששה ושלשים וככה הוא מספר המינים שהודה שחייב לו ובחון זה ותמצאנו באמת
|
- Purchase Problem - Moneychanger - a silversmith has sold to a moneychanger a silver chain that is worth three dinar of one coin or five dinar of another coin or seven dinar of yet another [coin]. The silversmith asked the moneychanger to pay him its price with these three coins an equal amount of each. How much is this amount?
|
שאלה צורף כסף שמכר לשלחני רתוקות כסף ערכה ממטבע אחד שלשה דינרי' וממטבע אחר חמשה דינרים ומאחר חמשה דינרי' ושאל הצורף לשולחני שיתן לו בדמיו משלש המטבעות האלה מכל אחד בחלק שוה ונבקש לדעת מספר החלק ההוא
|
|
ונחקור על דרך זה נבקש שמדומה שיהיה לו לו שלישית וחמשית ושביעית והנה נמצא מאה וחמש שלישיתו שלשים וחמשה וחמשיתו עשרים ואחד וחמשיתו חמשה עשר והמחובר מכל החלקים האלה שבעים ואחד והמה החלקים אשר נצטרך לחלק כל דינר אליהם
|
|
והנה נחלק המדומה על שבעים ואחד נמצאנו שם פעם אחת וישארו שלא נתחלקו ארבעה ושלשים והמה חלקים מהשבעים ואחד אשר חלקנו עליהם המדומה וככה יקח הצורף מכל מטבע דינר אחד ושלשים וארבעה חלקים משבעי' ואחד בדינר
|
- Check:
|
ואתן לך מסלול איך תבחון זה תקח המדומה ודרך שהוא מאה וחמש וכדי שנשיב כל המטבעות ממטבע שלשה נכפלנו עליהם ויהיו שלש מאות וחמשה עשר
נחלקם על חמשה כדי שנדע כמה חלקים הם ממטבע חמשה יצא בחלוק ששים ושלשה חלקים גם נחלק שלש מאות וחמשה עשר על שבעה למען נדע כמה חלקים הם ממטבע שבעה יצא בחילוק ארבעים וחמשה וכאשר נחבר כל החלקים משלשה המטבעות שהם מאה וחמש וששים ושלשה וארבעים וחמשה יעלו מאתים ושלשה עשר נחלקם על שבעים ואחד שהם חלקי הדינר השלם ונמצאם שם שלשה פעמ' והנם שלשה והם דינרי' שלמים ועל הדרך הזה תעשה אם תרצה להשיב כל חשבון ממטבע חמשה או ממטבע שבעה ותמצא אמתות הדבר
|
- Find a Number Problem - a third, a fifth, and a seventh are summed together, how much is [their sum] in relation to the whole?
|
שאלה שלישית וחמשית ושביעית מחוברים אזה ערך הם מהשלם
|
|
לקחנו להם מאה וחמש למדומה שלישית חמשה ושלשים וחמשיתו עשרים ואחד ושביעיתו חמשה עשר נחבר את כלם יהיו שבעים ואחד
|
|
והנה ערכם אל המדומה ארבע שביעיותיו ושתי שבעיות שלישית ושלשית חמשית שביעיתו
|
- Purchase Problem - Buy and Sell - a buyer [bought] four fifths of a liṭra for one pašuṭ, and sold his possession at one pašuṭ for five ninths of a liṭra. He earned 11 pešuṭim, how much was [his] money?
|
שאלה הקונה ארבע חמשיות ליטרא בפשוט מוכר קנייתו בערך חמש תשיעיות ליטרא בפשוט והרויח י"א פשוטי' כמה היה הממון
|
|
הנה המדומה לו שיש לו חמשית ותשיעית הוא ארבעים וחמשה וארבע חמשיותיו ששה ושלשים וחמש תשיעיותיו עשרים וחמשים וככה הוא הממון
|
- If he earned 22 pešuṭim
|
ואם אמר שהרויח כ"ב פשוטים
|
|
תכפול חמשה ועשרים שנים ועשרים פעמים
|
- If he earned 33 pešuṭim
|
ואם אמר שהרויח ל"ג פשוטים
|
|
נכפלם שלשה ושלשים פעמים וככה עד אין קץ
|
- Purchase Problem - Buy and Sell - Peanuts - a seller bought 20 liṭra of peanut for 20 dinar, then he went and sold 10 liṭra of them at one dinar for five quarters of a liṭra. It turned out that he lost in doing so. Afterwards many buyers came and overcharged and he sold the remaining 10 liṭra at one dinar for three quarters of a liṭra. Did he gain or lose?
|
שאלה סוחר קנה עשרים ליטראות בטנים בעשרים דינרי' והלך ומכר מהן עשרה ליטרי' לערך חמש רביעיות ליטר' בדינר ונמצא שהוא מפסיד בזה ואחר כן באו הרבה קונים והפקיעו השערים ומכר העשרה ליטרי הנשארות לערך שלש רביעיות ליטר' בדינר ועתה בא אלינו לשאול אם הרויח או הפסיד או אם יצא הפסדו בשכרו
|
|
והנה נחקור על דרך זה ונשים הד' ליט' הראשונות שמכר כלם רביעיות ויהיו ארבעים נ נחלקם על הג' רביעיות שמכר בדינר נמצאם שם שמנה פעמים נמצא שהחמש שמכרם בשמנה דינרים נעשה גם כן רביעיות מהעשר ליטר' האחרונות ונחלק על שלש רביעיות שמכר בדינר נמצאם שם שלשה עשר פעמים שהם שלשה עשר דינרים ועוד נתחל נשאר מהם שלא נתחלק רביעית אחת שהיא שלישית הדינר נחבר כל זה אל השמנה דינרים יהיו עשרי' ואחד דינרי' וארבעה פשוטי' נמצא שהרויח ששה עשר פשוטים
|
- Partnership Problem - For the Same Time - three invested 46 dinar: one contributed 12 dinar, the second contributed 15 dinar, the third contributed 19 dinar, and they earned together 20 dinar. How much should each one take [from the profit]?
|
שאלה שלשה שותפין בארבעה וששה דינרי' חלק האחד י"ב דינרים והחלק השני ט"ו דינרי' והחלק השלישי י"ט דינרים והרויחו בין כלם עשרים דינרים כמה יקח כל אחד מהם
|
|
ידוע כי אין ספק כי כל אחד ואחד יקח ערך מעשרים כערך חלקו אל הארבעי' וששה ותברר זה במשפטי הערכין בנקלה
|
- Payment Problem - two workers, two different daily wages, the same actual payment - one hired Reuven and Shimon for 10 days to do a work for him any one of them in turns so that the work will not cease. He agreed with Reuven that if he will do the work alone the whole 10 days he would pay him 2 dinar and to Shimon he said that if he will do the work alone the whole days he would pay him 5 dinar. What they did? They did the work together so that when one was tired his friend replaced him and did the work while the other was resting and if the second was tired, the first returned to his work and the second was resting. Each one wrote how many days, or parts of days, he worked. They did so the whole ten days, and then when they came to the employer he paid both of them and gave each of them money equally. How much money did they receive and how many days did each of them work?
|
שאלה השוכר ראובן ושמעון שיעשו לו בין שניהם מלאכה עשרה ימים ולא תשבות המלאכה והתנה עם ראובן שאם יעסוק הוא במלאכ לבדו כל העשרה ימים שיתן לו ב' דינרים ולשמעון אמר שאם יעסוק הוא לבדו במלאכה כל מספר הימים ההם שיתן לו ה' דינרים מה עשו החזיקו שניה במלאכה והוא שובת היה עיף השני והראשון חוזר למלאכתו והשני שובת וכל אחד ואחד כתב כמה ימים או חלקי ימים עבד ועשו זה כל העשרה ימי' וכשבאו אל השוכר פרע את שניהם ונתן להם מעות לכל אחד בשוה ונרצ' לדעת כמה מעות נטלו וכמה ימי עבודת כל אחד ואחד
|
|
והנה נחקור על דרך זה תדע כי ראובן יעבוד חמשה ימים בדינר ושמעון לא שימש בדינר כי אם שני ימים והמחובר מימי שניהם הוא שבעה נחלק העשרה ימים עליהם ויהיה אחד היוצא אחד שלם ונשארו שלשה שלא נתחלקו וככה הוא סכום המעות אשר יקח כל אחד מהם דינר ושלשה שביעיות דינר
|
|
ועתה נחקור כמה ימי משפט עבודת כל אחד ואחד בשכרו אשר לקח לפי ערך התנאי וצריך שיספיק בין שניהם לעשרה ימים ונעשה ככה בידוע כי ראובן חייב לעבוד בדינר חמשה ימים ונבקש לדעת כמה ימים יעבוד בעבור השלשה שביעיות מהדינר ונגיע לידיעת זה כאשר נעשה במשפטי הערכין ונשיב החמשה ימים חלקי רביעיות ויהיו מאה חמשה ושלשים ונעריך ונאמר כערך שלשה אל שבעה כן ערך הנעלם אל חמשה ושלשים נכפול החשבון הראשון על הרביעי ויהיו וחמש נחלקם על האמצעי הנודע שהוא שבעה נמצאם שם חמשה עשר פעמים והנה הם חלקי שביעיות יום העולים שני ימים ושביעי יום אחד וידוע כי שמעון חייב לעבוד שני ימים בעבור הדינר שלקח וכשנשיב השני ימים חלקי שביעיות יהיו ארבעה עשר והנה כערך השלשה שביעיות שלקח או שבעה כן ערך הנעלם אל ארבעה עשר כפלנו החשבון הראשו' על האמצעי היו ארבעים ושנים חלקנום על האמצעי הנודע שהוא שבעה נמצאם שם ששה פעמים והם חלקי שביעיות יום ונמצא כל ימי עבודת שמעון שני ימים ושש שביעיות וכאשר תחבר מספר הימים והחלקים מעבודת שניהם ותעשה משבעה חלקים יום אחד תמצא שהם עשרה ימים בכוון
|
- Payment Problem - Messenger - I hired a messenger for 13 dinar and we agreed that he will walk for me from now on for 20 days 11 parsa [1 parsa = ca. 4 kilometers] a day, but the messenger embezzled or got injured and walked only 5 parsa a day for 7 days. How much should his payment be according to the terms?
|
שאלה שכרתי שליח אחד בשלשה עשר דינרים והתנאתי עמו שילך לי מכאן ועד עשרים ימים אחד עשר פרסאות בכל יום והשליח מעל או שנאנס ולא הלך כי אם חמש פרסאות בכל יום עד שבעה ימים נרצה לידע כמה משפט דמי שכירותו לפי התנאי
|
|
נעשה בדרך זא' בתחלה נחשוב כאלו הלך השליח החמש פרסאות כל העשרים ונראה מה יגיע אליו מהשכירות והנה נעריך ונאמר כערך חמשה אל אחד ה כן ערך הנעלם אל שלשה עשר שהוא ערך השכירות וכאשר נכפול החשבון הראשון אל [על] הרביעי ונחלק על האמצעי הנודע נמצא שיגיע אליו מהשכירות ה' דינרי' וי' חלקים מי"א בדינר נכפול החשבון הראשון שהוא שבעה על החשבון הרביעי שהוא ה' דינרי' יהיו ל"ה גם נכפול אותו על הי' חלקים יהיו שבעה חלקים וכאשר אנו צריכי' לחלק העולה מהכפלה הזאת על האמצעי הנודע נשיב הכל ממתכונת אחת ונעשה מהל"ה חלקים מי"א ויהיו שפ"ה נחבר אליהם הע' חלקים שגם הם המה חלקי' מי"א ויהיו תנ"ה ואחרי כן נשיב גם כן האמצעי הנודע שהוא עשרים חלקים מי"א ויהיו ר"כ נחלק תנ"ה אליהם נמצאם שם פעמים וישארו ט"ו שלא נתחלקו והם שלש רביעיות חלק אחד מאחד עשר חלקים מר"ך שהוא השלם אשר חלקנו עליו וככה הוא שיקח השליח בשכירותו שני דינרים ושלש רביעיות חלק אחד מאחד עשר חלקים בדינר שלם
|
- Divide a Quantity Problem - Proportional Division - Inheritance - Jacob's four wives married him on the same day. On that day, he prepared for each of them a ketuba [= Jewish marriage contract] according the Jewish law. The name of the one is Leah and her ketuba amount is 4000 zehuvim [= golden coins]; the name of the second is Zilpah and he ketuba amount is 3000 zehuvim; the name of the third is Rachel and her ketuba amount is 2000 zehuvim; and the name of the fourth is Bilhah and her ketuba amount is 1000 zehuvim. Later Jacob died and nothing was left of his property but 4000 zehuvim. The widows came to the court in order to divide the money that remained between them
|
שאלה ארבעה נשי יעקב שנשאו לו ביום אחד ועשה לכל אחת כתובה בו ביום בתיקון חכמים
שם האחת לאה וכתובתה ארבעת אלפים זהובים
ושם השנית זלפה וכתובתה שלשת אלפים זהובים
ושם השלישית רחל וכתובתה אלפים זהובים
ושם הרביעית בלהה וכתובתה אלף זהובים
לימים מת יעקב ולא נשאר מנכסיו כי אם ארבעת אלפים זהובים באו האלמנות לבית דין לחלוק להן הממון הנשאר
|
- The division according the sages of Israel:
|
ואמרו חכמים ז"ל שמשפט הבית דין לחלוק להם המעות על דרך זה
|
- Bilhah:
- Rachel:
- Zilpah:
- Leah:
|
יאמרו אל בלהה שכתובתה מרובה מכלנה אין לך ערעור על חברותי' כי אם באלף זהובים וגם הנה יש להם משפט בהם על כן תקחי רביעית האלף שהוא מאתי' וחמשים ולכי לשלום ולכך יקחו ממנו כל אחת מהן
אחרי כן יאמרו גם כן בית דין אל רחל אין לך ערעור רק על אלפים שיש לשתי חברותיך מש גם כן משפט בהם וכבר לקחת חלקיך מהאלף המחולק על כן תקחי מהאלף אחרי שצריך לתשלום תביעתיך השליש שהוא שלש מאות ושלשים ושלשה זהובים ושליש זהוב ושובי לביתך ונמצא חלקה בין הכל חמש מאות ושמנים ושלשה זהובים ושליש זהוב וגם כן יקחו כל אחת משתיהן משתי מאותו האלף השני הנחלק שלש מאות ושלשים ושלש זהובים ושליש זהוב
ואחרי כן יאמרו אל זלפה אין לך תביעה כי אם בשלשת אלפים שיש ללאה חברתך גם כן משפט בהם וכבר לקחת חלקך מהשני אלפים המחולקים על כן נחלק בין שתיכן האלף הצריך לתשלום תביעתך ונמצא שתהיה חלק זלפה בין הכל אלף ושמנים ושלשה זהובים ושלישית זהוב
ונשארו ללאה אלפים ושמנים ושלשה זהובי' ושלישית זהוב ואם תחבר כל החלקים האלה כמשפט תמצא העולה ארבעת אלפים
|
- The division according to the arithmeticians:
|
והנה חכמי החשבון חולקי' הממון הזה בדרך אחרת
|
- Check:
|
ויאמרו כי בעבור שבלהה שואלת חצי [רביעית] הממון ורחל חציו וזלפה שלש רביעיותיו ולאה כלו נקח מדומה שיש לו חצי ורביעית והנה נמצא שמנה ורביעיתם שנים וחציים ארבעה ושלש רביעיותיהם ששה והמחובר מכל החלקי' האלה עמו עולה עשרים
והנה כערך עשרים אל ארבעת אלפים שהו' הממון הנשאר ליעקב ככה יהיה ערך שמנה אל חלק כתובת לאה הנעלם וכאשר נעשה כמשפט הערכין נמצא שתהיה חלקה אלף ושש מאות זהובים
וכערך עשרים אל ארבעת אלפים ככה יהיה ערך ששה שהוא שלש רביעיות המדומה אל החלק שתקח זלפה בכתובתה וכאשר נחקור במשפט הערכין נמצא שתהיה חלקה אלף ומאתים זהובים
וגם נעריך ונאמר כערך עשרים אל ארבעת אלפים כן ערך ארבעה שהוא חצי המדומה אל החלק שתקח רחל בכתובתה ונמצא שיבאו לחלקה שמנה מאות זהובים
והנה גם כן נעריך ונאמר כערך עשרים אל ארבעת אלפים כן יהיה ערך שנים אל החלק אשר תקח בלהה בכתובתה ונמצא שתקח לחלקה ארבעה מאות זהובים
וכאשר תחבר כל החלקים האלה ארבעתם תמצא שיהיו עולי' ארבע אלפים מכוונים
|
- Motion Problem - Pursuit - a messenger was sent to walk a certain distance on land and he walks 12 parsa a day. After 10 days the sender changed his mind [and decided] to return the walking messenger. He sent another messenger after him to return him, walking 15 parsa a day. In how many days will he catch up with him?
|
שאלה השולח ציר נאמן ללכת בארץ מרחק והוא הולך בכל יום ויום שנים עשר פרסאות אחר עשרה ימים נמלך המשלח להשיב השליח המהלך וישלח אחריו שליח אחר להשיבו שהוא הולך בכל יום חמשה עשר פרסאות נרצה לדעת בכמה ימים ישיגנו
|
|
ונחקור בדרך זה ונחשוב כמה פרסאות הלך הראשון [ ] בטרם שנסע השני והנה הם מאה ועשרים ונחלקם על יתרון הפרסאות שהולך השני מן הראשון ביום אחד שהם שלשים נמצאם שם ארבעים פעמים והנה ישיגנו [ ] בארבעים יום ותוכל לבחון זה כשתחשוב כמה פרסאות הלך הראשון בחמשים כי ככה הלך השני בארבעים
|
- Motion Problem- Encounter - Reuven established his home in a certain town at the eastern border and his brother Shimon established his home in another town at the western border. Through letters they sent to each other they agreed on a time in which each one will leave his town to walk towards his brother, on Sunday of Nisan [the 7th month of the Hebrew year]. The walking distance between the two towns is 50 parsa. Reuven is walking 7 parsa a day and his brother Shimon is walking 9 parsa a day. In how many days will they meet?
|
שאלה ראובן קובע את דירתו בעיר אחת בקצה המזרח ושמעון אחיו קובע דירתו בעיר באחת הערים בקצה המערב ועל ידי אגרות ששלחו זה לזה יעדו להם זמן שיצאו כל אחת מעירו ללכת לקראת אחיו ביום ראשון של חדש ניסן והמהלך אשר בין שתי העיירות חמשים פרסאות והנה ראובן הלך בכל יום ויום שבעה פרסאות ושמעון אחיו הולך בכל יום תשעה פרסאות ונבקש לדעת בכמה ימים יתחברו זה עם זה
|
|
ונעשה ככה נחבר פרסאות מהלך שניהם ביום אחד ויהיו ששה עשר נחלק חמשים שהוא המרחק עליהם נמצאם שם שלשה פעמים וישארו שם שנים שלא יתחלקו נחשוב אותם שמינית ששה עשר והנה יתחברו זה עם זה בשלשה ימים ושמינית יום
|
- Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree - a third and a quarter of it are ingrained in the mud, its height is revealed two zeratot [spans] up [above the mud], what is the height of the tree?
|
שאלה קנה הנעוצה בטיט היון שלישיתה ורביעיתה ונראית קומתה למעלה שני זרתות כמה אורך הקנה
|
|
נעשה כזאת נקח לנו שנים עשר למדומה יען ימצא בו שלישית ורביעית ומחברת חלקים אלו ממנו הם שבעה נסיר אותם מהמדומה ישארו חמשה ועתה נעריך ונאמר כערך חמשה אל שנים עשר כן ערך השנים זרתות אל הנעלם כפלנו האמצעיים עלו עשרים וארבעה חלקנו על החשבון הראשון הנודע שהוא חמשה מצאנוהו שם ארבעה ונשארו מהם שלא נתחלקו ארבעה והמה חמשיות וככה הוא אורך כל הקנה ארבע זרתות וארבעה חמשיות זרת ותוכל לבחון זה אם הוא אמת כשתסיר מעשרים וארבעה [ ] חמישיתו ורביעיתו וישארו לך עשרה כשיעור חלקי השני זרתות שלמות הנראות מעל הטיט
|
- Give and Take Problem - Earning and Spending - the money changer brought some money to a known town. Each day he earned so as doubling his money, but he had to pay a tax of 100 dinar every day. He stayed there five days. On the fifth day he rose up early at dawn, doubled his money, as in the previous days, then he had to pay his daily tax and he had nothing left. We want to know what the amount of money he brought to this town was
|
שאלה שלחני שהביא ממון לעיר ידועה ובכל יום ויום הוא מרויח עד שכופל ממונו רק שצריך שיפרע למכס בכל יום מאה דינרי ונתעכב שם חמשה ימים ויהי ביום החמשי הסכים בשחר וכפל ממונו כשאר הימים וכלם נצטרכו לו לפרוע חוק מכס יומו ולא נשאר לו מאומה נרצה לדעת מכסת הממון שהביא לעיר
|
|
ונעשה על הדרך הזה בידוע כי ביום החמשי כשהסכים שלא היו לו כי אם חמשים דינרי' וכפלם והיו מאה ופרעם למכס ולא נשאר מאומה ובהכרח החמשי' דינרי' נשארו לו מערב יום הרביעי אחרי אשר פרע מכס אותו יום ונמצא שהיו לו בשחרית אותו היום מחצית מאה וחמשי דינרי' שהם מאה וחמשי' שבעה וחמשה דינרי' שנשארו לו מערב יום החמשי השלישי וקודם שפרע מכס היום ההוא היו לו מאה ושבעים וחמשה דינרי' נקח מחציתם יהיו שמנים ושבעה דינרי' וחצי שהיו לו בשחר שנשארו [לו] מאמש יום תמולו שהוא היום השני ונמצא שהיו לו קודם פריעת המכס מאה ושמני' ושבעה דינרים [ ] וחצי נקח חציים יהיו תשעים ושלשה דינרי' ותשעה פשוטי' שהיו לו בשחר הנשארים לו מערב יום ראשון ונמצא שביום ההוא הראשון היו לו קודם פריע' המכס מאה ותשעים ושלשה דינרי' ותשעה פשיטי' נקח חציים והם תשעי' וששה דינרי' ועשרה פשיטי' וחצי פשוט וככה הביא
|
|
ועד הנה הזכרתי הרבה מן השאלות ממינים רבים משונים בלתי דומים זה לזה ודברתי בכל אחת ואחת בארוכה דרך מציאת תשובתה וכל חכם לב יוכל לקחת מהנה תשובה לזולתן והגיע תר לחתום פה עתה את דברי זה הספר הנותן אמרי שפר ונערוך תושבחות ותהלות ושירות ליודע כל נסתרות כי לא יאותו לזולתו בעבור כ יקר תפארת גדולתו יתברך ויתעלה שמו שפך אלינו חמלתו ויכון עולה עלינו לעולם ועד בסוד מלכותו גם ישפיע לעדתו ממימי מעיני ישועתו ימהר ויחיש יום יאמר חזות ישעיהו נביאו אשר כתב בספרו ואמרתם ביום ההוא הודו לי"י קראו בשמי הודיעו בעמים עלילותיו הזכירו כי נשגב שמו
|
|
תם ונשלם שבח לבורא עולם
|