אמר המחבר בראותי אריכות דברי החכמים הקדומים מחברי ספרי המספר ושהסדרים והלמודים ההכרחיים בחכמת התכונה וההנדסה ויחסי המוסיקא אינם מבוארים בספרים ההם אלא בקושי גדול
וכן ג"כ בז' מיני שלמים כמו בשברים ובשרשים וביחסי המספרים
ולהיות הלמוד שהוא בדרכים הקצרים והכוללים יותר נבחר כן ללמוד כמו למלמד
כי כל אריכות דברים . ולהג הרבה יגיעת בשר לכן אני יצחק בכ"ר משה עלי נ"ע הספרדי ממדינת אוריאולה ממלכות
ארגון
לבקשת קצת אוהבי המעיינים בחכמת התכונה וההנדסה למה שהיה פועלם בקשי ובטורח גדול בדרכים ההם
נערתי חצני וחברתי זה החבור הקצר כולל כל מה שהוא הכרחי בזאת המלאכה מלאכת המספר הנקראת ארישמטיקה כפי מה שחננני השם וכפי יד אלהי הטובה עלי
וחברתי בו ד' דרכים כוללים וקצרים בכל ז' מיני המספר וסגולותיו ומציאות היחסים בכל מה שהוא אפשרי במלאכה הזאת
וזה בדרכים מופתיים ונאהבים למשכילי' באופן שכל מי שישתדל לעיין בזה הספר הקצר יקיף בכל מה שהוא הכרחי בזאת המלאכה וינצל מהאריכות הבלתי מועיל ומהפסד הזמן וישיג בו בכל מה שלבו חפץ כי הוא לחכמות הלמודיות באור נגה הולך ואור עד נכון ובעזר השם ב"ה אתחיל ואומר
הספר הזה יחלק לשלשה מאמרים
במאמר הראשון נדבר בז' מיני המספר
במאמר השני נדבר בדרכים ויחסים ושאלות ותשובות הצריכות במלאכת הזאת
במאמר השלישי נדבר בקצת דרכים והתחלות משותפות למלאכת המספר וההנדסה
המאמר הא' יחלק לד' כללים
בכלל הא' נדבר בגדר מלאכת המספר וגדר המספר והאחדות וקצת התחלות צריכות אליה ומנין מיני המספר
בכלל השני נדבר בששה מיני המספר השלמים
בכלל השלישי נדבר בז' מיני השברים ואפני רבוע השברי' בחכמת התכונה
בכלל הרביעי נדבר בדרכים מישרים למציאות שרשי המספרים המרובעים והמעוקבים
הכלל הא' מהמאמר הא' בגדר מלאכת המספר וגדר המספר והאחדות וקצת התחלות הצריכות אליה ומנין מיני המספר
הכלל הב' יחלק לששה פרקים:
הפרק הראשון נדבר בו מהמין הראשון מהמספר שהוא הקבוץ
הפרק השני במין השני שהוא חסור
הפרק השלישי מהמין השלישי שהוא הכפול ודרכים כוללים בידיעת המספר השלמים
הפרק הרביעי במין הרביעי שהוא חלוק באמצע
הפרק החמישי במין החמשי שהוא הרבוע וקצת מסגלותיו
הפרק הששי במין הששי שהוא המחלק
הכלל הג' מהמאמר הראשון ויתחלק לשמנה פרקים:
הפרק הראשון בדרכים מישירי בענייני הנחת השברים וגדרם וסדרם
הפרק השני בקבוץ השברי
הפרק השלישי בחסור השברים
הפרק הרביעי בכפול השברים
הפרק החמשי בחלוק השברים באמצע
הפרק הששי ברבוע השברים
הפרק השביעי באופני רבוע השברים בחכמת התכונה
הפרק השמני מהחלק השברים
הכלל הד' מהמאמר הראשון ויתחלק לד' פרקים
הפרק הא' בנתינת דרכים מישירים למציאות שרשי המספרים המרובעים או היותר קרובים למספרים הבלתי מרובעים
הפרק השני במציאות שרש המספרי' בשברים לבד או בשברים ושלמים יחד
הפרק השלישי בנתינת דרך אחד כולל למצא בו שרשי המספרים ע"ד תוספת הסיפרש
הפרק הד' בדרכים מישירים למציאות שרשי המספרים המעוקבים או היותר קרובים למספרי' הבלתי מעקבים
המאמר השני יתחלק בשני כללים
בכלל הראשון נדבר בדרכים ויחסים כוללים בזאת המלאכה
בכלל השני נדבר בקצת שאלות ותשובות מישירות בעיון ובמעשה בזאת המלאכה
הכלל הא' מהמאמר השני יחלק לשמנה פרקים
הפרק הראשון ביחסי המספרים מהשלמים
הפרק השני בדרכים מישירים למציאות יחסי המספרים השברים
הפרק הג' בדרכים מישירים למציאות המחולק ביחסי השברים
הפרק הרבעי בנתינת משל א' כולל לכל חלקי הלמוד במחלק ובמחולק בידיעת יחסי השברים
הפרק החמשי בידיעת יחסי הד' מספרים המתיחסים בשתי המלאכות וההנדסה
הפרק הששי בידיעת יחסי כל ג' מספרים המתיחסים
הפרק הז' בידיעת יחס הששה מספרים המתיחסים
הכלל השני מהמאמ' השני ויחלק לד' פרקים
הפרק הראשון בידיעת חלוק המדות והמשקלים וה[משורות] והמטבעות לפי חלוף מקומם
הפרק השני בידיעת התיחסות שני מספרים שיש להם זאת הסגולה שאם נחסר א' מהמספר הגדול והוספנוהו על הקטן יהיו שווים ואם בהפך יהיה הגדול הפך הקטן או יותר כמי שנרצה
הפרק הג' ביחס שני מספרים שאם הגדול יתן אחד לקטן יהיה הקטן הגדול ואם בהפך יהיה הגדול ג' פעמים
הפרק הרבעי שבידיעת קבוץ ב' חלקים מתחלפי' מאי זה [ק]ל או יותר איך נדע הכל
הפרק החמשי בנתינת דרכים כולל[ים] לידיעת איזה מספר בלתי ידוע בדרך המתנגדים
הפרק הששי בלמוד החבורות
הפרק הז' בקצת שאלות ותשבות
המאמר השלשי נדבר בו בקצת התחלות מההנדסה ויתחלק לג' כללים:
הכלל הראשון בידיעת השעור הקוויי
הכלל השני בידיעת השעור השטחיי
הכלל השלישי בידיעת השעור הגשמי
הכלל הראשון מהמאמ' השלישי יתחלק לג' פרקים
הפרק הראשון בקצת התחלות ההנדסה וגדר הקו וב[פריעת] השעור הקוויי בגבה
הפרק השני בידיעת השעור הקוויי במישור
הפרק השלישי בידיעת השעור הקוויי בעמק
הכלל השני מהמאמ' השלישי בידיעת השעור השטחי ויתחלק לה' פרקים
פרק א' בידיעת שעור השטח המשלש השוה הזויות
הפרק השני בידיעת שעור שטח המשלש שוה הצלעות
הפרק השלשי בידיעת שעור שטח המשלש מתחלף הצלעות
הפרק הד' בידיעת שעור שטח המרובע ושטח הרבוע
הפרק הה' בידיעת שעור שטח העגול לפי סברת החכמים
הכלל השלישי מהמאמ' השלשי ובו פרק א' והוא בידיעת שעור אי זה גשם שיהיה
Book One: Numbers
|
|
Section one: Introduction to Arithmetic – Definitions and Principles
|
הכלל הראשון מהמאמ' הראשון בגדר מלאכת המספר גדר המספר והאחדות וקצת התחלות צריכות אליה ומנין מיני המספר
|
|
|
מלאכת המספר היא מלאכה [חכמה] תורה למנות הרבה אחדים והבדליהם וסגולתם ובנקלה יקויימו בזכירה
|
|
|
אחדות הוא יסוד וחלק ראשון מהמספר וכל מספר יורכב ממנו אבל הוא חוץ לכל מספר כי שנים או שלשה לא יצויירו בלתי האחד
|
|
|
כי השנים אינם אלא כפל האחד
|
|
|
והשלשה אינם אלא שלוש האחד
|
|
|
אבל האחד יצוייר בלתי שיצויירו שנים או שלשה
|
|
|
ולכן יגדר המספר בשהוא קבוץ אחדים
|
|
|
והראשון שצריך שתדע שתמונות המספר עשרה והם אלו: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
|
|
|
התמונה הראשונה או האות או הסימן כמו שתרצה לקרוא לה תורה אחד השנית שתים והשלישית שלשה וכן כסדר עד תשעה
|
|
|
והעשירית תקרא סיפרא ואין הוראת מספר בעצמותה אבל היא להוראת מקום מקנה יותר כמות לאות הנשמכת אליה
|
|
|
ואלה התמונות צריך שיכתבו כמו שהן בכאן כסדר
|
|
|
והמקום הראשון שבטור יקרא מקום שלאחדים בעבור שירמוז לאחדים בין שתהיה הראשונה תשעה או אי זה שתהיה מהן
|
|
|
והמקום השני שבטור יקרא מקום שלעשרות
|
|
|
והמקום השלישי יקרא מקום שלמאות
|
|
|
והמקום הרבעי שלאלפים
|
|
|
והמקום החמשי שלעשרת אלפים
|
|
|
והששי של מאות אלפים
|
|
|
והשביעי של אלף אלפים
|
|
|
והשמני של עשרות אלף אלפים
|
|
|
והתשיעי של מאות אלף אלפים
|
|
|
והמקום העשירי שבטור יקרא מקום של אלף אלפי אלפים בעבור שתרמוז אליהם
|
|
|
וכן מעשרה לעשרה כי כל מעלה או מדרגה עולה יותר מהקודמת לה מנין עשרה וכן אל לא תכלית אם נרצה
|
|
|
א"כ התמונות הנזכרות ר"ל האותיות לפי מקומם כך יהיה הוראתם בדרך זה שהאחד במקום האחדים ישווה אחד ובמקום העשרות עשרה ובמקום המאות מאה ובמדרגת האלפים אלף וכן בסדר ממדרגה למדרגה
|
|
|
וכן שנים במקום האחדים שוה שנים ובמקום העשרות עשרים ובמקום המאות מאתים ובמקום האלפים אלפים
|
|
|
וכן בסדר ממדרגה למדרגה ממעלה למעלה
|
|
|
וכל מספר לא ימנע מאחד משלשה דרכים או שיהיה אחדים או כללים או מורכב משניהם
|
|
|
והאחדים הוא כל מספר שהוא פחות מעשרה
|
|
|
והכללים הוא מספר ששוה עשרות או מאות או זולת זה מהמדרגות
|
|
|
ומורכב משניהם הוא כל מספר שיש בו אחדים וכללים יחד
|
|
|
ודע שמיני מלאכת המספר הם שבעה והם: קבוץ, חסור, כפול, חלוק באמצע, רבוע, חלוק, מציאות עקרי המספרים המרובעים והמעוקבי'
|
Chapter Two: Subtraction
|
הפרק השני במין חסור
|
|
|
חסור הוא ידיעת הנשאר מאי זה מספר שיהיה כשיוסר ממנו מספר אחד פחות ממנו
|
|
|
ויעשה בדרך זה נכתוב השני מספרים בשני טורים הגדול למעלה והקטן למטה מסודרים כל מדרגה תחת המדרגה הדומה לה עד תשלום כל המדרגות שיהיו
|
|
|
ובזה המין צריך לעיין בשלשה דברים:
|
|
|
או האות האחד מהמספר העליון תהיה שוה לאות האחר מהמספר התחתון או יותר או פחות
|
|
|
ואם יהיו שוות נכתוב למטה מהם סיפרא לאות שלא נשאר דבר כמי שמחסר ששה מששה שלא ישאר דבר
|
|
|
ואם האות העליון יהיה יותר נחסר או מה שלמטה מהמדרגה של מעלה ונכתוב הנותר כמי שמחסר חמשה מששה שישאר אחד
|
|
|
ואם העליון יהיה פחות מאותו שלמטה נעיין האות שלמטה כמה יש עד עשרה ומה שיהיה נחבר אותו עם האות העליון שכנגדו וחבור אלו השנים יקרא מותר ונכתוב אותו למטה תחת האות העליון וכשנרצה לחסר האות הנמשכת אליה מהעליונה שכנגדה צריך להוסיף אחד על האות התחתונה הנמשכת
|
|
|
וזה הפעל הכרחי בעבור שהאות העליונה הקודמת היתה פחותה מהתחתונה וזה התוספת מהאחד שאמרנו הוא כמו שאם חסרנו אחד מהאות הסמוכה לעליונה הפחותה מהתחתונה שכנגדה ובזה הדרך נעשה עד שיגמר כל הטור
|
|
|
כפי הנראה בזאת הצורה
|
|
|
וצריך שתדע כמו שאמרנו שבעבור שהאות העליונה שוה לתחתו[נה] [כשתחוסר] האחת מהאחרת לא נשאר דבר ולכן כתבנו סיפרא ובמדרגה השנית בעבור שהאות העליונה היא שוה יותר מהתחתונה נראה כמה יש מהתחתונה עד תשלום העליונה וידענו שהם ה' ולכן כתבנו ה' למטה ואח"כ במדרגה השלישית בעבור שהאות התחתונה שוה יותר מהעליונה נדע כמה יש ממנה ר"ל מהתחתונה עד תשלום עשרה וידענו שהם ו' ונחבר אליהם האות העליונה שהיא ב' ויהיה קבוץ שניהם ח' והוא המותר ונכתוב אותו תחת הד' ואח"כ בב' שהיא במדרגה הרביעית נוסיף אחד ויהיה ג' ונחסרם מהד' שהוא האות העליון וישאר למטה א' וכסדר הזה צריך לעשות ואם ירבו המדרגות
|
|
|
והמופת על זה נחבר אותו המספר שחסרנו מהעליון עם המותר
|
|
|
ואם יהיה למספר העליון כמו מספר העולה מחבור המותר עם המספר שחסרנו דע כי החסור שעשינו הוא אמתי ואם לא אינו אמתי וזה מספיק במין השני
|
Chapter Three: Doubling
|
הפרק השלישי במין השלישי והוא הכפול ודרכים כוללים למציאות המספרי' השלמים
|
|
|
כפול הוא קבוץ אי זה שני מספרים שיהיו שווים
|
|
|
וגם בזה המין ראוי שנתחיל מהאחדים ואי זה מספר שיהיה נכתוב אותו למטה כסדר כפל כל מדרגה ומדרגה בזה הדרך שאם יהיה הכפל מאי זו מדרגה שתהיה פחות מעשרה נכתוב אותו
|
|
|
ואם יהיה הכפל עשרה שלמים נכתוב סיפרא וישאר בידינו אחד להוסיף על כפל האות הנמשכת אליה
|
|
|
ואם יהיה יותר מעשרה נכתו' מה שיהיה יותר והעשרה נעבירם למדרגה הנמשכת כמו שעשינו במין הקבוץ לא פחות ולא יותר
|
|
|
כפי הנראה בצורה הזאת
|
|
|
והמין הזה נוכל להתחיל או מהאחד שכפלו הב' וכפול הב' ד' וכפול ד' ח'
|
|
|
ובדרך הכפול הזה ימצאו המספרים השלמי'
|
|
|
וגדר מספר השלם הוא הוא כל מספר שיבנה מקבוץ כל חלקיו שכשילקח כל אחד מחלקיו ויקובצו יביט אותו לא פחות ולא יתר
|
|
|
והמספר השלם ימצא בדרך זה בשנקח כפל אחד מזה המין ונעיין אם כפלו פחות אחד יהיה מספר ראשון
|
|
|
ואם יהיה מספר ראשון אז נכה אותו הכפל שלקחנו עם כפלו פחות אחד והעולה מהכאה זו הוא מספר שלם
|
|
|
וגדר המספר הראשון הוא כל מספר שלא יצא מהכאת שום מספר כמו ז' או ל"א או ג'
|
|
|
המשל לקחנו הכפל הראשון מזה המין שהוא ב' ובעבור שכפלו פחות אחד הוא ג' והוא מספר ראשון נכה הכפל הראשון שהוא ב' בכפלו פחות אחד שהוא ג' ויצאו ששה שהוא מספר שלם וזהו המספר השלם שבמדרגת האחדים
|
|
|
כי בכל מדרגה יש מספר אחד שלם לא יותר וימצא בדרך האמור וזה מספיק במין השלישי הזה
|
|
|
והמופת במין הזה הוא בשנעשה המין הד' שהוא חלוק באמצע
|
|
|
ולזה המין יש סגלה אחרת שמי שירצה לדעת העולה מכל הנכפל כפול [האחרון ויס]יר אחד ויהיה שוה לכל הנכפל והנה לך צורתו
|
Chapter Five: Multiplication
|
הפרק החמישי במין החמישי והוא הרבוע וקצת מסגולותיו
|
|
|
רבוע הוא מספר שלשי מתחייב מהכאת אי זה שני מספרים שיהיו האחד באחר שכל כך פעמים ימצא כל אחד מהם בו כאחדים שבאחד
|
|
|
וצריך שתדע שכל מי שירצה להיות בקי בזה המין צריך שידע זה הלוח על פה ויקרא לוח הרבוע או לוח ההכאות
|
|
|
וכדי שיכרו בטוב השני מספרים להכות או לרבע נקרא לתחתון פועל ולעליון פעול ונכתוב מהפעול אי זה טור שנרצה ותחתיו נכתוב הפועל
|
|
|
ואם הפועל יהיה אות אחת נעשה טור אחד ונתחיל מהאחדים
|
|
|
ואם הפועל יהיה משני אותיות נעשה שני טורים: הטור הראשון יתחיל באחדים והשני בעשרות
|
|
|
ואם הפועל יהיה מג' אותיות נעשה ג' טורים: הראשון יתחיל באחדים והשני בעשרות והשלישי במאות וכן כסדר הזה
|
|
|
ואם ירבו האותיות מאד כלומ' שתחת מדרגת אות הפועל אי זה שיהיה שם צריך שיכתב התחלת פעלתו וזהו חלוף הטורים שאמרנו כמו שתראה אותם בצורה הבאה תחת צורות הפעול והפועל
|
|
|
ונעשה כן שבראשונה נכה אות אחדות הפועל באות אחדות הפעול ומההכאה ההיא או יהיו עשרה או יותר או פחות
|
|
|
ואם יהיו עשרה נכתוב ספרא ונשמור העשרה למדרגה הנמשכת אליה ויהיו שם בשם אחד
|
|
|
ואם יהיו יותר מעשרה נכתוב המותר מהעשרה ונעביר העשרה למדרגה הנמשכת הסמוכה ויהיו שם בשם אחד
|
|
|
ואם יהיו פחות מעשרה נכתוב אותם במקומם וכן צריך לעשות מכל אחד מכל אותיות הפועל עם אותיות הפעול וא[...] אם אות הפועל תהיה אחת הטור תהיה אחת בהכאה
|
|
|
ואם יהיו שני הטורים יהיו שנים ואם יותר יותר ואחר נקבץ כל המעלות שעשינו וזו היא ההכאה או רבוע שבקשנו מהשני מספרים כמו שיראה בכל אחת מאלו הצורות
|
|
|
והמופת על זה שנמנה כל אותיות הפועל כמו אחדים ונחלקם לתשעיות ונשמור המותר וכן מהפעול והמותר מהפועל נכה אותו במותר הפעול והעולה נשמור ישליך מאלו עו' [..] אותו והמקובץ מההכאה הראשנה נחלקהו ג"כ בתשעיות ונשמור הנשאר ואם זה הנשאר או המותר יהיה שוה למותר העולה מהכאת הפועל והפעול ההכאה ההיא אמתית ואם לא אינה אמיתית
|
|
|
ויש דרך אחר ל[...]: דע כי כמו שהפועל בהכאתו בפעול עושה כל כך טורים באותיות שיש בו כאשר אמרנו למעלה ואח"כ בקבוץ טוריו מורה הרבוע כן ג"כ אם נרצה להקל הרבה טורים באופן שמה שנשיג בהרבה טורים נוכל להשיג במעלה אחת וכבר יש לנו דרך בזה והיא זו: דע שהתחלת פעלת הפועל היא בהכאת האחדים שלו באחדי הפעול ומקום ההכאה הזאת היא מקום האחדי' וההכאה שממנה יולדו העשרות צריך שתתחיל במקום העשרות וההכאה שממנה יולדו המאות צריך שתתחיל במדרגת המאות וכן מהאחדים כסדר
|
|
|
ולדעת ההכאה שממנה יולדו העשרות וההכאה שממנה יולדו המאות וכן מה מדרגות אחרות זו היא הדרך:
|
|
|
כבר ידעת שהכאת האחדים עם האחדים התחלתה היא באחדים וההכאה שממנה יולדו העשרות היא זאת שהכאת אחדי הפועל בעשרות הפעול וגם כן עשרות הפועל באחדי הפעול אלו שתי ההכאות לבד הם העשות עשרות וההכאה שממנה יולדו המאות הם ג' הא' מאחדי הפועל במאות הפעול והב' עשרות הפועל בעשרות הפעול וההכאה השלישית היא ממאות הפועל באחדי הפעול וקבוץ שלשתם צריך שיתחיל במדרגת המאות וההכאות שמהם יולדו האלפים הם ד' הראשנה היא הכאת אחדות הפועל באלפי הפעול הב' בעשרות הפועל במאות הפעול הג' הכאת מאות הפועל בעשרות הפעול הד' אלפי הפועל באחדי הפעול והעולה מאלו הד' הכאות צריך להכתב כתיבתו במדרגת אות האלפים ובסדר הזה בכל אותיות הטור שיהיו כי אלפי המקום יהיו ההכאות ובעבור שמקום האלף הוא מקום ד' לכן עשינו ד' הכאות וכמו כן בעשרות אלפים שהוא מקום ה' צריך ה' הכאות
|
|
|
וכסדר הזה ואם ירבו המדרגות ירבו ההכאות וזה מה שרצינו והנה לך צורתו:
|
|
|
ובעבור שבזה המין ימצאו קצת סגלות מיוחדות נאמ' אותם הנה והם אלו:
|
|
|
ראשנה לדעת קבוץ מספרים הרבה מסודרים במדרגותיהם כמי שמונה אחד שנים שלשה וארבעה וחמשה וכן כסדר
|
|
|
ואם ירבו מא[ד נ]רצה לדעת קבוץ כלם יש לנו בזה שני דרכים:
|
|
|
הדרך הראשון הוא זה שאמרנו ודרך ידיעתו היא זאת שנעיין המספר האחרון אם הוא זוג או נפרד
|
|
|
ואם יהיה זוג נקח חציו ונכה אותו על האחרון בתוספת אחד ויצא לנו קבוץ כלם
|
|
|
המשל שנרצה לדעת המקובץ מאחד עד י"ג נקח ו' וחצי וחצי יותר שהם ז' ונכה אותם על י"ג ויעלו לצ"א וכך הוא הקבוץ מאחד עד י"ג ואם ירבו המספרים מאד
|
|
|
והדרך השני הוא זה שאם יהיו המספרים כלם זוגות כשנתחיל מב' ואחר ד' ואחר ו' וא"כ ירבו מאד כסדר הזה לדעת המקובץ מכלם נקח חצי הזוג האחרון ונכה אותו על חציו האחר בתוספת אחד ומה שיעלה הוא קבוץ כל הזוגות
|
|
|
המשל בזה שאם הזוג האחרון יהיה י"ב נקח חציו שהוא ו' ונכהו על ז' שהם חצי המספר בתוספת אחד ויעלה למ"ב וכך הוא הקבוץ של כלם
|
|
|
ואם יהיו המספרים נפרדים כלם בשנתחיל מאחד ואחר ג' ואחר ה' ואחר ז' ואם ירבו מאד כסדר הזה לדעת המקובץ מכלם נקח חצי המספר האחרון וחצי אחד יותר ונכהו בעצמו ומה שיעלה הוא המקובץ מכלם
|
|
|
המשל בזה נרצה לדעת המקובץ מכל הנפרדים מהאחד עד הט"ו נקח חצי האחרון שהוא ז' וחצי וחצי יותר ויהיו ח' ונכהו בעצמו ויעלה ס"ד וכך הוא המקובץ מכלם
|
|
|
וכסדר הזה תעשה ואם ירבו המספרים הרבה מאד
|
|
|
ובמין הזה ר"ל הרבוע יש דרכים אחרים עוד לדעת הכאת המספרים בדרך קצרה
|
|
|
והראשון כשנרצה לדעת כל שני מספרים שהם תחת העשרה נעשה כן נראה המספר היותר גדול כמה הוא פחות מי' וכמו שיהיה הגדול פחות מי' כך פעמים נוציא המספר הפחות מעשיריתו
|
|
|
המשל שנרצה לדעת קבוץ הכאת ח' בט' ומצאנו שהמספר היותר גדול שהוא ט' הוא פחות מי' אחד ולכן נחסר ח' פעם אחת מפ' שהם עשיריתו ונשארו ע"ב וזאת היא ההכאה מח' בט' וכך הוא הסדר באחדים
|
|
|
וכמו שסדרנו פעלתנו על המספר היותר גדול ג"כ נוכל לסדרו על המספר הפחות
|
|
|
המשל כי כמו שאמרנו בהכאת ח' בט' כמה היו הט' פחות מי' כך נעשה כשנעיין כמה היו מח' עד י' שהם פחות ב' ולכן נחסר ב' פעמים ט' מהצ' וישארו ע"ב
|
|
|
והכל פעלה אחת אלא שהוא יותר נקל כשנסדר פעולתנו על המספר הגדול
|
|
|
ואם יהיה ההכאה במדרגת העשרות כשנרצה להכות אי זה מספר שיהיה בעשרה נוסיף עליו 0'
|
|
|
המשל אם נרצה לדעת י' פעמים י"ב כמה הם נוסיף 0' על י"ב ויהיו ק"ך ובדרך המספר יסודרו כן 0 2 1 ואם יהיה ההכאה על כ' באי זה מספר נכפול המספר המוכה בעשרים ונוסיף עליו סיפרא
|
|
|
המשל כ' פעמים ה' נכפול הה' ויהיו י' ונוסיף 0' ויהיו ק' וכן מהאחדים
|
|
|
ואם נרצה להכות בל' באי זה מספר שיהיה נשלשהו ונוסיף עליו 0'
|
|
|
המשל ל' פעמים כ' נשלש הכף ויהיו ס' ונוסיף 0' ויהיו ת"ר וזו היא צורתו בדרך המספר 0 0 6
|
|
|
וכסדר הזה בכל העשרות
|
|
|
ואם נרצה להכות במאה אי זה מספר ונוסיף עליו ב' סיפראש ויהיה מוכה במאה
|
|
|
ואם נרצה להכות אי זה מספר באלף נוסיף עליו ג' סיפראש
|
|
|
וכן כסדר הזה כשנוסיף תמיד בכל מדרגה סיפרא אחת
|
Chapter Six: Division
|
הפרק הששי במין הששי שהוא החלוק
|
|
|
חלוק הוא חלוקת אי זה מספר שיהיה בכך חלקים שוים כמספר האחדים שבמחלק
|
|
|
ובמין הזה צריך שנתחיל באות ששוה יותר ונכתוב המחלק תחת המחולק בשנניח מקום פנוי בין המחלק והמחולק שנכתוב בו החלק המבוקש לכל אחד מחלקי המחלק
|
|
|
ובעבור שהחלוק אינו אלא לדעת כמה פעמים ימצא המחלק במחולק לכן צריך שנעיין כמה פעמי' ימצא אות המחלק באות המחולק ומספר אותם הפעמים צריך שנכתוב במקום הפנוי שהנחנו
|
|
|
המשל נרצה לחלק קמ"ד לשמנה תעשה כך כצורה הזאת:
|
|
|
וצריך שתדע כי כשהמחלק פחות מהמחולק כמו בזה המשל אז נקח ב' אותיות מהמחולק ונקח היותר גדולה בשם עשרה והאחרת בשם אחדי'
|
|
|
כמו שאתה רואה בזאת הצורה
|
|
|
הא' בשם עשרה והד' בשם ארבעה וקבוצם י"ד ונאמר כמה פעמים ימצא ח' בי"ד וראינו שימצא פעם אחת ונשארו ששה והאחד שמנו בשם חלק שהיא א' תחת הד' והו' שנשארו כתבנו על הד' של המחולק ובעבור שמהי"ד לא נשארו יותר מו' כתבנו על הא' מהמחולק 0' והו' הנשארים יהיו עשרות להבא וא"כ נשארו עדיין לחלק ס"ד ונחלקם בח' ויהיו ח' לחלק ונכתוב אותם תחת הד' הראשון של המחולק ונאמ' ח' פעמים ח' הם ס"ד וכשנחסרם מהמחולק שהם ס"ד לא ישאר דבר ולכן כתבנו 0' על הו' ו0' על הד'
|
|
|
ובדרך הזה צריך בכל המדרגות ואם ירבו מאד וכל זה כשיהיה המחלק אות אחת בלבד
|
|
|
ודע כי כשאות החלק יבא תחת אחדי המחולק אז נדע שלא נשאר יותר לחלק וזה וכן בשלמים
|
|
|
ואם ישאר דבר תיחסהו למחלק ובאותו היחס כחלקי שלם אחד לכל חלק מהמחלק או תהפך כל א' וא' מהנשארי' לכל כך חלקים כמו האחדים שיש במחלק ואחר נחלקם במחלק ואז לא ישאר דבר לחלק
|
|
|
המשל בזה שאם המחלק יהיה ח' והנשאר לחלק היו ג' ניחס הג' לח' ויהיה היחס ג' שמניות או נעשה מכל א' מג' הנשארים ח' חלוקים ויהיו כ"ד חלוקים ונחלקם על המחלק שהם ח' ויבא לכל חלק ג' שמניות ובדרך הזה תעשה בכל עת שישאר לך דבר לחלק
|
|
|
ואם יהיה המחלק מב' אותיות נכתוב אותו תחת המחולק במדרגה השוה יותר בהניחנו מקום פנוי גמור כאמור
|
|
|
וצריך שתדע עוד שאם המחלק יהיה מב' אותיות שהאותיות הנגדיות מהמחולק צריך שבפעלתנו נקח האחת כמו אחדים והאחרת כמו עשרות
|
|
|
ואם המחלק יהיה מג' אותיות הנגדיות מהמחולק תהיה האחת כמו אחדים והב' כמו עשרות והג' כמו מאות וכן בסדר הזה ואם ירבו ירבו השמות
|
|
|
וראשונה עניין האות השמאלית מהמחלק כמה פעמים ימצא באות הראשון שבמחולק וכל כך פעמי' שימצא בו כך נכתבהו בשם חלק במקום הפנוי על אות אחדי המחלק בתנאי זה שהכאת החלק באות הימנית מהמחלק יספיק לחסר אותה מהאות הימנית של המחולק בעזר האות השמאלית שבצדה למה שהשתי אותיות של נעזרות לעולם וזה הכרחי כל מדרגות החלוק ואז נחסרם מהמחולק ואם שתי האותיות של המחולק היו פחות מאותיות המחלק נכתוב בשם חלק ונעבור למאות ואז צריך שנקח השתי אותיות מהמחולק מצד שמאל בשם אות שמאלית מהמחלק והאחרת בשם אות ימנית ומאלו השתי אותיות מהמחולק מצד שמאל ועיין כמה פעמים אפשר לחסר מהם השמאלית מהמחלק ושכל כך פעמים יחסר האות הימנית מהמחלק מהימנית מהמחולק וכדרך זה עד כלות כל אותיות המחולק כאמור למעלה כי כונת החלוק אינו אלא שהאות שנשים בשם חלק שכל כך פעמים שיחסר שמאלית המחלק משמאלית המחולק שכל כך פעמים יחסר ימנית המחלק מימנית המחולק ויותר אם יהיו כנראה בצורה הזאת
|
|
|
ונניח שנרצה לחלק ט' אלפים ותתע"ו בי"ב חלקים בעבור שהמחלק הוא משתי אותיות נקח השתי אותיות אחרונות מהמחולק שהם ח' ט' הח' בשם אחדים והט' בשם עשרות שהם צ"ח על י"ב ונעיין כמה פעמי' אפשר לחסר האות השמאלי של המחלק שהיא א' מאות השמאלית מהמחולק שהוא ט' וכמה שימצא בה ט' פעמים האמנם למה שאמרנו שכל כך פעמים כמו שימצא שמאלית המחלק בשמאלית המחולק שכל כך פעמים צריך לחסר ימנית המחלק מימינית המחולק וזה אינו מספיק לכן כתבנו א' בשם חלק וחסרנו אותם מהט' וישאר א' על הט' ונאמ' ח' פעמים ב' שהם י"ו כשנחסרם מי"ח ישארו ב' על הח' וסיפרא על הא' מהמחולק ועתה נחזור ונקח הב' והז' הב' בשם שמאלי והז' בשם ימיני כאמור ונסדרם כמו שסדרנו בב' אותיות הראשונות בשנאמ' כמה פעמים אפשר לחסר שמאלית המחלק שהיא א' משמאלית המחולק שהיא ב' ונמצא שאפשר שיחסר ב' פעמים וג"כ נמצאה שימינית המחלק שהיא ב' אפשר שיחסר שני פעמים מימינית המחולק שהיא ז' ולכן כתבנו ב' בשם חלק והכינו הב' מהחלק על הא' שהיא אות שמאלית מהמחלק ויעלו ב' ונחסרם מהב' שהיא שמאלית המחולק וישאר 0' עוד נכה הב' שהיא החלק על הב' שהיא ימנית המחלק ויעלו ד' ונחסרם מהז' וישאר ג' על הז' ויהיה ו' ימינית המחולק וג' שמאלית המחולק ונעיין כמה פעמים אפשר לחסר א' שהוא שמאלית המחלק מהג' שהיא שמאלית המחולק ומצאנו שג' פעמים ובקשנו ג"כ אם ימצא הב' שהיא ימנית המחלק כל כך פעמים בימינית של המחולק ומצאנו שכן ולכן כתבנו ג' בשם חלק והכינו ג' בא' ועלה לג' ונוציאם מהג' של המחולק המחולק וישאר 0' וגם כן נכה הג' של החלק על ימינית המחלק שהיא ב' ויעלו ו' ונחסרם מהו' שהיא ימינית המחולק וישאר 0' ונכתוב 0' על הו' והנה נחלק הכל ויהיה החלק תתכ"ג
|
|
|
והמופת על זה הוא שנכה החלק במחלק ואם יהיה שוה למחולק הוא אמת ואם לאו נחזור שנית לחשבוננו
|
|
|
ומופת אחר שנחסר התשעיות מהמחלק בצד אחד ומהחלק לצד אחר ונכה הנשאר מהשנים שלא יעלה לט' ונוציא ג"כ התשיעיות ומה שלא יעלה לט' נשמרהו ונשליך ג"כ המחולק לתשיעיות ונראה הנשאר שלא הגיע לט' ואם לא נשאר דבר בלתי מתחלק אז נראה אם הנשאר מהתשיעיות המחולק שוה לשמור הרי טוב ואם לא טעינו אמנם אם נשאר דבר בלתי מתחלק נשליך ג"כ המתחלק לתשיעיות והנשאר חסריהו מהנשאר מטור המתחלק או נוסיפהו על הנשאר הראשון שהוא השמור ונראה ואם יהיה שוה לנשאר מההכאה הוא אמת ואם לא אינו אמת
|
|
|
ואם יהיה המחלק יותר משתי אותיות נעשה בדרך זה בעצמו לא פחות ולא יתר שכל כך פעמים כמה שימצא שמאלית המחלק בשמאלי' המחולק כל כך פעמים נחסר ימינית המחלק מימינית המחולק וכל כך פעמים אות הג' של המחלק מאות הג' מהמחולק והד' ג"כ אם יהיה מד'
|
|
|
וכן אם ירבו האותיות הרבה מאד נעשה כסדר הזה ואם יספיק קבוץ מיני השלמים ונדבר עתה מו' מיני השברים ומסגולותיהם בעה"ו
|
Section Three: Fractions
|
הכלל השלישי מהמאמר הראשון
|
|
|
ויתחלק לשמנה פרקי'
|
Chapter One: Introduction on Fractions
|
הפרק הראשון בדרכים מישירים באופני הנחת השברים וגדרם וסדורם
|
|
|
ואחר שדברנו מז' מיני השלמים עתה צריך שנדבר בו' מיני השברים
|
|
|
וצריך שתדע כי כמו שיש ו' מיני שלמים כן ג"כ יש ו' מיני שברים
|
|
|
וקודם שנדבר מהם צריך שנאמר מהו שבר ואיך יסודר בכתיבתו ובאי זה חשבון ימצא השבר הוא אי זה חלק שילקח מהשלם כמו חצי או שליש או רביע וכדומה ואיך יסודרו בכתיבתם הוא זה בעבור שבכל שבר ושבר יצויירו שני עניינים ר"ל כמות המתדבק וכמות המתחלק
|
|
|
המשל כשנאמ' ב' שלישיות או שלש רבעיות
|
|
|
הב' והג' הם כמות מתחלק בעבור שמדברים מהמספר כי המספר הוא כמות מתחלק והשלישיות והרביעיות כמות מתדבק בעבור שמדברים החלק או חלקים מאיזה כל שיהיה ולכן רומזים לכמות מתדבק ובעבור שהשברים יוכללו בשני מיני הכמה כאמור לכן צריך שיכתב כל שבר ושבר בשתי אותיות האחת לרמוז על הכמה מתדבק והשני על הכמה המתחלק והאות הרומזת לכמה המתחלק נכתוב למעלה ותחתיה קו אחד והאות הרומזת לכמה המתדבק נכתוב תחתי הקו
|
|
|
המשל אם נרצה לכתוב שני שלישיות
|
|
|
נכתוב ב' ותחת הב' קו אחד ותחת הקו ג' כמו שיראה בצורה זו
|
|
|
והאות העליונה שהיא ב' או מה שיהיה תרמוז לכמות רבוי השברים כמו א' ב' ג' ד' ה' וכל מה שתרצה והאות התחתונה שהיא ג' כל מה שיהיה תרמוז לשם החלק כמו חצי או שליש או רביע או חמישית או מה שיהיה מחלקי השלם כי השלם יחלק לשני חצאים ולג' שלישיות ולד' רביעיות ולה' חמישיות ולו' ששיות וכן מכל החלקים שנרצה לחלק בהם השלם וצריך שתדע כי כמו שהשליש הוא א' מג' חלקי השלם כן השלם לא יחלק בשלישיות יותר משלש ולא רביעיות יותר מד' ולא בחמישיות יותר מה' וכן כלם כסדר הזה והשברים יכתבו דרך זה שאם תכתוב חצי שלם כתוב כך והשלשית תכתוב כך והרבעית כך וג' רביעיות תכתוב כך וד' חמשיות תכתוב כך וכן כל מה שתרצה כסדר הזה
|
Chapter Two: Addition of Fractions
|
הפרק השני בקבוץ השברים
|
|
|
והוא השברת ב' מיני שברים או יותר לשלמים או למין אחד מהשברים או לשלמים ומין השברי' יחד
|
|
|
ונעשה בדרך זה נכתוב כל השברים שנרצה כמי שרוצה לחבר או לדעת קבוץ חצי ושליש ורביע או מה שיהיה כנראה בצורה זו
|
|
|
הראשון שצריך בזה המין הוא למצא חשבון אחד שימצאו בו כל אלה השברים וימצא בדרך זה בשנכה ב' על ג' והעולה משניהם נכה בד' וכן כסדר הזה נכה לעולם כל העולה מהכאת כל האותיות העוברות עם הנמשכת אליהן עד שנשלים כל הטור התחתון ר"ל כל האותיות שהן תחת הקו והעולה מכל אלה ההכאות הוא החשבון שימצאו בו כל השברים באי זה מין שיהיה ממיני השברים
|
|
|
והחשבון שימצאו בו כל השברים הכתובים בזאת הצורה שלמעלה הוא כ"ד והוא בדרך זה נכה ב' על ג' ויעלו ו' וכל זה ר"ל הו' על הד' ויהיו לכ"ד ובזה החשבון ימצאו חצי ושליש ורביע ולזה החשבון ר"ל כ"ד יש להם מקום של שלם כי כמו שמהשלם יקח אדם אי זה חלק שירצה כך מזה החשבון של כ"ד שהם במקום השלם נקח אי זה חלק שנרצה ולכן נקח החצי והשליש והרביע בזה הדרך נתחיל לקחת החצי בזה הדרך שהאות שנמצאת על קו החצי שהיא א' נכהו באות ג' שהיא תחת הא' הרומזת השליש ויהיו ג' ואלו הג' נכם על ד' שהיא תחת א' הרומזת הרביע ויהיו י"ב שהוא חצי של אותו החשבון שאמרנו ואח"כ נקח השליש בדרך זה שנכה אות השליש שהיא על הקו עם האות של החצי שהיא תחת הקו ויהיה המוכה ב' ונכה הב' על ד' ויעלה ח' שהוא השליש של זה החשבון ואח"כ נכה הא' שהיא על ד' על הב' שהיא תחת הקו הרומזת החצי ויהיה ב' ואלו הב' נכה אותם בג' שהם תחת הקו הרומזת השליש ויעלו ל"ו שהם רביע זה החשבון ר"ל הכ"ד א"כ יש לנו ג' חשבונות שהם חצי ושליש ורביע שהם י"ב וח' וו' וקבוץ כלם כ"ו והשלם שיוחסו אליו אלו הכ"ו הוא כ"ד ולכן נחלק הכ"ו בכ"ד ויצא א' שלם וישארו ב' שלא נחלקו וניחס אותם לחשבון כ"ד ונמצא שהם חלק א' מי"ב של שלם א' וזהו העולה מג' שברים האמורים למעלה א"כ העולה מהשברים האמורים הוא אחד שלם וחלק אחד מי"ב חלקי השלם וכדי שיובן יותר טוב נעשה משל אחד ונניח שנרצה לקבץ ב' שלישיים וג' רביעיים וד' חמישיים וה' ששיים שצורתם היא זאת
|
|
|
הראשון שצריך שנמצא הוא החשבון שהוא במקום שלם ר"ל שימצאו בו כל אלו השברי' ונעשה כך נכה כל האותיות שתחת הקוים בזה הדרך ראשנה נכה ג' בד' ויהיו י"ב ואלו הי"ב נכם בה' ויעלו ששים ונכה ששים בו' ויעלו ש"ס וזהו המספר שבו ימצאו כל אלו השברים והוא מקום שלם ויקרא ג"כ מחלק ועתה צריך שנוציא ממנו כל השברים ונעשה בדרך זה וראשנה נוציא השבר הראשון מהצורה האמורה שהוא שני שלישיות בדרך זה בשנקח הב' שהם על הג' ונכם בד' ויהיו ח' ואלו הח' נכם על ה' שהיא תחת ד' ויהיו מ' ומ' נכה בו' שהיא תחת הה' ויעלו ר"מ וזה המספר יקרא שני שלישיים של מחלק ר"ל של אותו המחלק שאמרנו שהוא במקום שלם ואח"כ נוציא הג' רביעיות בדרך זה בשנקח הג' שהיא על הד' ונכהו בכל האותיות התחתונות זולת האות שתחתיה שהיא ד' בדרך זה ג' על ג' ויהיו ט' וט' על ה' ויהיו מ"ה ומ"ה על ו' ויעלו קק"ע והוא החשבון שיורה על ג' רביעיות ואח"כ נוציא הג' חמישיות בדרך זה בשנקח הד' שהיא על ה' ונכה בכל האותיות התחתונות זולת הה' שהיא תחת הד' בדרך זה נכה ד' בג' ויהיו י"ב וי"ב בד' ויעלו מ"ח ומ"ח בו' ויעלו רפ"ח וזהו החשבון שיורה על ד' חמישיות ואח"כ נוציא הה' ששיות בשנקח ה' שהיא על ו' ונכהו בכל התחתונו' זולת הו' שתחתיה בדרך זה ה' על ג' יעלה ט"ו וט"ו על ד' יעלה סמך וס' בה' יעלה ש' וזהו החשבון שיורה על ה' ששיות והנה כבר הוצאנו כל השברים שאמרנו ועתה צריך שנקבץ כל אלה השברים שאמרנו ונעשה בדרך זה נקח כל חשבון ר"מ וקק"ע ורפ"ח וש' ונחבר הכל ויהיה קבוצם אלף וצ"ח וזהו קבוץ כל השברים שאמרנו וכל זה הקבוץ נחלק בש"ס שהוא המחלק והוא במקום שלם כמו שאמרנו ויצאו ג' שלמים וחלק אחד מעשרים החלקים של שלם אחד וזהו קבוץ כל השברים שאמרנו והנה לך צורתו
ובעבור שאמרנו שקבוץ כל הצורה האמורה למעלה עולה לג' שלמים וחלק אחד מעשרים חלקים משלם א' צריך עתה שנבאר איך מצאנו אותו החלק מכ' חלקי השלם ואיך ימצאו כל הדומים דע כי לאחר שיחלק אי זה חשבון שיהיה באחר וישאר אי זה חשבון שלא יחלק להיותו פחות מהחלק אז ניחסהו למחלק ויחס שימצא ביניהם אותו היחס יש לו עם שלם אחד
|
|
|
המשל כבר ראית שבצורה שלמעלה נשארו י"ח שלא נחלקו בעבור שהיו פחות מהמחלק שהוא ש"ס לכן בקשנו היחס שיש בין הי"ח והש"ס ומצאנו שהוא יחס האחד לעשרים ולכן אמרנו למעלה שהוא אחד מכ' חלקי השלם והדרך למצא היחס הזה בנקלה דע אלו השני מספרים י"ח למעלה וש"ס למטה ונעיין בכמה חלקים אפשר לחלק הי"ח ובכל כך חלקים נחלק הש"ס
|
|
|
המשל כי כמו שהי"ח יחלקו בג' חלקים ויצאו ו' כך הש"ס יחלקו בג' חלקים ויצאו ק"ך ונחזור ונחלק הו' בג' חלקים ויצאו שנים ונחלק הק"ך בג' גם כן יצאו מ' עוד נחלק הב' באמצע ויצא א' וגם המ' באמצע ויצאו כ' אם כן יהיה אחד מכ' חלקי השלם ובדרך זה ניחס כל שני מספרים שבכל כך חלקים שיחלק האחד יחלק השני והנה לך צורתו
|
|
|
וצריך שתדע שבזה המין ר"ל הקבוץ אפשר לקבץ הרבה חלופים [משברים] מה שאינו כן במינים האחרים כי בכל מין מהם צריך חלוף שני שברים בלבד מה שאינו כן בזה המין וזה מספיק במין הזה
|
Chapter Three: Subtraction of Fractions
|
הפרק השלישי בחסור השברים
|
|
|
וכבר נגדר במיני השלמים והוא בזה הדרך שנניח שני מספרים על שברים אי זה שנרצה ונכתוב כל אחד אצל חברו כנראה בצורה הזאת שנעשה ונניח שמשלשה רבעי שלם נרצה לחסר ב' שלישי שלם ונרצה לדעת כמה ישאר
|
|
|
ונסדרם כך והראשון שצריך שנעשה הוא המספר המשותף ויקרא המורה ויקרא ג"כ המחלק וג"כ במקום השלם ונעשה בדרך זה שנכה האותיות שהם תחת הקוים האחת בחברתה
|
|
|
המשל מזאת הצורה הד' שהוא מצד א' על הג' שהוא מצד אחר ויעלו לי"ב וזהו המספר שאמרנו שהוא משותף ויקרא משותף כי בו ישתתפו שני המספרים שתחת הקוים כאמור ועתה צריך שנוציא ג' רביעיות מהמספר המשותף בדרך זה שנכה הג' על הג' שתחת הב' ויעלו לט' ואלו הן ג' רביעיות של המחלק שהוא הי"ב ואח"כ נוציא הב' שלישיות בדרך זה נכה הב' שהיא על הג' עם הד' שהיא תחת הג' ויעלו לח' ואלו הן שני שלישי המחלק והנך רואה שעד עתה עשינו בזה המין ג' דברים ראשונה מצאנו המחלק שהוא במקום שלם ושנית מצאנו הג' רבעיות ממנו שהם ט' ושלישית מצאנו שלשיות ממנו שהם ח' ובעבור שכונתינו היה לחסר ב' שלישיות מג' רביעיות לאחר שהם נמצאו אצלנו נוציא הח' שהם שני שלישיות מהט' שהם ג' רביעיות וישאר אחד והאחד הזה שנשאר צריך שנדע מה הוא ולדעת זה נחלקהו במחלק או המוכה שהוא י"ב ואז נדע מה הוא ודרך חלוקו הוא זה א"כ הוא מי"ב חלקים מהשלם
|
|
|
והמופת על זה הוא שנחבר מה שהוצאנו שהוא ב' שלישיות ומה שנשאר שהוא אחד מי"ב חלקי השלם ואם קבוץ אלו יעלה לג' רביעיות החסור שעשינו הוא אמת ואם לא אינו אמתי
|
|
|
ודרך עשיית זה הוא במין הקבוץ וכבר ידעתו וכמו שיראה בצורה הזאת
|
|
|
והראשון צריך להוציא המחלק שהוא הכאת הג' בי"ב ויהיו ט' ומאלו נוציא בשלישיות בדרך זה נכה הב' מהצורה שהיא על הג' על הי"ב שהם תחת הא' ויהיו כ"ד ואלו הם שני שלישיות המחלק ונוציא גם האחד מי"ב חלקי השלם בדרך זה שנכה הא' שעל הי"ב על הג' שתחת הב' ויהיו ג' וזהו אחד מי"ב חלקי השלם ועתה נחבר אלו השלשה עם הכ"ד ויהיו כ"ז ואלו הכ"ז נחלקם במחלק בדרך המין הראשון לא פחות ולא יותר ויהיו כ"ז חלקים מל"ו מהשלם והחלקים האלו צריך שיהיו ג' רביעיות מהשלם ולדעת זה צריך שתעיין בזאת הצורה
|
|
|
ונעשה כן נכה המספרים כל אחד עם שכנגדו ר"ל הד' עם הכ"ז והג' עם הל"ו ואם ההכאות יהיו שוות היא ראיה שאותו המספר שהוא הוא ג' רביעיות מהשלם ובדרך זה יעשו כל הראיות כשנרצה לדעת שווי כל שני מספרים שנרצה וזה מספיק בזה המין
|
Chapter Six: Multiplication of Fractions
|
הפרק השישי מרבוע השברים
|
|
|
וכבר גדרנוהו ולא יקרה אלא באחד מחמשה פנים
|
|
|
הא' שלם או שלמים לבד עם שבר לבד
|
|
|
ב' שלם או שלמים ושברי' יחד עם שבר לבד
|
|
|
ג' שלם או שלמים ושבר יחד עם שלם או שלמים לבד
|
|
|
ד' שלם או שלמים ושבר יחד עם שלם ושבר יחד
|
|
|
ה' שבר לבד בשבר לבד
|
|
|
וראשונה מהפן האחד שהיא משלם או שלמים לבד עם שבר לבד
|
|
|
המשל נרצה לרבע ד' שלמים בב' שלישיות
|
|
|
ונעשה כן נניח ב' מספרים משני צדדים בדרך זה וראשונה נעשה המחלק בדרך זה שנקח המספר שלמטה מהקו והוא יהיה המחלק והוא ג' בזאת הצורה אח"כ נרבע הד' שלמים בב' שהם על הקו ויהיו ח' ואלו הח' נחלקם במחלק שאמרנו שהם ג' ויבאו שני שלמים וב' שלישיות וזהו הרבוע מד' שלמים האמורים בב' שלישיות
|
|
|
ומשל הפן השני שהוא שלם או שלמים ושבר יחד עם שבר לבד
|
|
|
כמי שרוצה לרבע ד' וחצי עם שני שלישיות
|
|
|
ראשונה נעשה המחלק בדרך זה שנרבע הב' שהם תחת הא' על הג' שהיא תחת הב' ויעלה לו' ואלו הו' הם המחלק ואח"כ נרבע הד' שלמים בב' שהיא מצדו שהיא תחת הא' ויעלה לח' ונחבר עליהם הא' שהיא על הב' ויהיו ט' וזהו המספר של זה הצד ונכה הט' עם הב' של הצד האחד ויעלו י"ח ואל הי"ח נחלקם על המחלק שהם ו' ויבא לכל חלק ג' ואלו הג' הם הרבוע העשוי מד' שלמים וחצי עם שני השלישיות
|
|
|
ומשל לפן השלישי שהוא או שלם או שלמי' ושבר יחד עם שלם או שלמים לבד
|
|
|
כמי שרוצה לרבע
|
|
|
ובעבור שאין בכאן אלא מין אחד משברים בלבד לכן יהיה הג' שהיא תחת הא' הוא המחלק ותשמור כלל זה שבכל מקום שלא יהיה אלא מין אחד משברים יהיה המספר שהוא תחת קו השבר המחלק ואחר שנתננו דרך המחלק נכה הד' שלמים שאמרנו על ג' שהיא תחת הא' ויהיו י"ב ונוסיף לו הא' שעל הג' ויהיו י"ג ואלו הי"ג נכם על הו' השלמים שאמרנו ע"ח ואלו הע"ח נחלקם בג' שהוא המחלק שאמרנו ויבאו כ"ז מהחלוקה וזה הוא הרבוע מד' שלמים ושלם אחד על ו' שלמים
|
|
|
ומשל הפן הד' השלם או שלמים ושבר יחד עם שלם או שלמי' מצד א' יחד
|
|
|
כמי שרוצה לרבע זה המספר קודם כל דבר שנעשה המחלק כן והוא רבוע האותיות שתחת קוי השברים אח"כ נקח הד' שהיא תחת הג' ונכה אותה על הב' שהיא תחת הא' ויהיו ח' וזהו המחלק ונשמור אותו בפני עצמו ואח"כ נכה הד' השלמים על הד' שהיא תחת הג' שבצדה ויעלה לי"ו ונוסיף עמהם הג' שעל הד' שבצדם ויעלה לי"ט ונשמרם ונעבור לצד האחר ונכה הב' שלמים בב' שתחת הא' שבצדה ויעלו לד' ונוסיף עמהם הא' שעל הב' שבצדם ויעלו ה' ונשמרם ג"כ א"כ יש לנו ג' דברים הראשון המחלק והשני שהשלמים שמצד אחד החזרנו אותם למין השברים שבצדם ועלו י"ט והשלישי שהשלמי' שמצד האחד החזרנום למין השברים שבצדם ועלו כלם ה' ועתה נכה הה' עם הי"ט ויעלו צ"ד ונחלקם על המחלק האמור שהוא ח' ויבא מהחלוקה י"א שלמי' וז' שמניות וזו ההכאה שרצינו
|
|
|
ומשל הפן הה' שהוא רבוע שבר עם שבר
|
|
|
כמי שרוצה לרבע
|
|
|
נוציא המחלק שהוא הכאת האותיות שתחת הקוים שהם ג' וה' ויעלה ט"ו ונשמור אותו ואחר נכה האותיות שעל הקוים שהם ב' וד' ויעלו ח' ואלו השמנה נחלקם במחלק שהוא ט"ו שבעבור שהמחלק יותר מהמחולק כיחס המחולק אל המחלק ומצאנו ח' חלקים מט"ו של שלם אחד וזהו הרבוע מב' שלישיות וד' חמישיות
|
|
|
והמופת ממין רבוע השברים הוא זה שנחלק הרבוע שעשינו מהשני צדדים על אחד מהצדדים ויצא הצד האחד ואם לא אינו אמת ובעבור שמופת הרבוע הוא בחלק ועדיין לא דברנו בחלוק השברים לכן לא הרחבנו בו עד שנדבר מחלוק השברים הנמשך לזה
|
Chapter Seven: Multiplication of Sexagesimal Fractions
|
הפרק השביעי באפני רבוע השברים בחכמת התכונה
|
|
|
האמנם לרבע השברי' שבחכמת התכונה צריך שתדע שהמעלה האחת תתחלק לששים חלקים ויקראו ראשוני'
|
|
|
וכל אחד מהראשונים יתחלק לששים חלקים אחדים ויקראו שניים
|
|
|
וכל שני יתחלק לששים חלקים ויקראו שלישיים
|
|
|
וכל שליש לס' חלקים ויקראו רבעיים וכן כסדר הזה
|
|
|
ולכן כשנחלק הראשונים בששים יהיו מעלות כי כל מעלה ס' ראשונים כאמור ואם נחלק השניים בששים ישובו ראשונים וכן מהאחרי' כשנחלקם לששים ישובו למדרגה הקודמת להם
|
|
|
וראוי שתדע שאם תכה מעלות על ראשונים יהיה כל מה שיצא מההכאה ראשונים
|
|
|
ואם נכה מעלות על שניים יהיה כל מה שיצא שניים וכן מהאחרים כי לעולם מהמין שיהיה השבר המוכה עם המעלה מאותו מין יהיה מה שיצא מההכאה
|
|
|
ועוד צריך שתדע שהכאת ראשונים על ראשונים שהיוצא מהם הוא שניים והכאת ראשוניים על שניים היוצא הוא שלישיים והכאת ראשונים על רבעיים היוצא מהם יהיה חמשיים וכן כסדר הזה והכאת שניים על שניי' היוצא הוא רבעיים ושניים על שלישיות עושה חמשיות ושניים על רבעיות עושה ששיות וכן כסדר הזה
|
|
|
והכלל לידיעת כל אלו ההכאות בנקלה הוא שנקח בחבור שני מספרי השברים המוכים
|
|
|
המשל שאם נכה שניים עם שלישיים נאמר אות השניים היא ב' ואות השלשיים היא ג' והחבור משניהם עולה ה' א"כ היוצא מהכאתם יהיה חמשיות וזה הכלל מספיק לכל שברי התכונה
|
|
|
והנה לך צורה אחת בקצת זה נניח שרצינו להכות ב' מעלות וכ"ד ראשונים ומ"ג שניים על ג' מעלות וג' ראשונים וא שניים כנראה בצורה זאת:
|
|
|
ולפי הנראה בצורה זו צריך שתכתוב כל מין כמותו בבית בפני עצמו ובשני טורים אחד למעלה והאחד למטה מעלות כנגד מעלות וראשונים כנגד ראשונים ושלישיות כנגד שלשיות כן כסדר ואחר נתחיל מהשבר היותר קטן מלמטה ונכהו עם כל האותיות של מעלה ומכל הכאה שנעשה משבר עם שבר נעיין באי זה מין הוא בדרך הנזכר ואם יעלה יותר מס' כל ס' שיהיו נכתוב אותם במעלה הקודמת ובשמה וכן בכל השברים המשל אם מכל ההכאה יצאו קכ"ד שניים נכתוב ד' שניים בבית השניים והק"ך שניים שהם ב' פעמים ששים שהם ב' ראשונים נכתבם בבית ראשונים וזה הסדר נשמור בהכאת שברי התכונה וכסדר הזה נכה האותיות שלמטה עם האותיות שלמעלה עד שנשלים כלם בהכות כל אחת מהתחתונות עם כל העליונות כמו שהוא כתוב בצורה שעברה
|
|
|
וכדי להוסיף לך ביאור כתבתי זאת הצורה השנית שיש בה יותר מלאכה ועיון
|
|
|
ויש דרך אחר יותר קצר תמצאנו כתוב וכולל לזה הפרק השמיני
|
Chapter Eight: Division of Fraction
|
הפרק השמיני והוא מחלק השברים
|
|
|
וכבר ידעת גדרו והמין הזה יקרה בשמנה פנים
|
|
|
האחד שבר בשבר
|
|
|
הב' שבר בשלם
|
|
|
השלשי שבר בשלם ושבר
|
|
|
הד' שבר ושלם בשבר ושלם
|
|
|
הה' שלם בשבר
|
|
|
הו' שלם ושבר בשבר
|
|
|
הז' שלם ושבר בשלם
|
|
|
הח' שלם בשלם ושבר
|
|
|
הפן הראשון שהוא חלוק שבר בשבר
|
|
|
כמי שרוצה לחלק ג' רביעיות בב' שלשיות נכתוב כל אחד בצד חברו בצורה הזאת
|
|
|
וקודם כל דבר נעשה המחלק כן שנכה ב' שהיא על ג' על ד' שהיא תחת ג' ויעלה ח' וזהו המחלק ואחר צריך שנעשה המחולק בדרך זה שנכה הג' שהיא על ד' בג' שהיא תחת ב' ויעלה ט' וזהו המחולק ואח"כ נחלק המחולק במחלק ויצא אחד שלם ושמינית שלם וזהו חלוק ג' רבעיות בשני שלישיות כמו שרצינו
|
|
|
השני שהוא חלוק שבר בשלם
|
|
|
נכתוב כל אחד בצד חברו כמו שעשינו בפן הראשון בדרך זה נניח שרצינו לחלק ג' שמניות בשני שלמים בצורה זו:
|
|
|
וראשונה נעשה המחלק בדרך זה נניח השלם שהוא ב' על ח' שהוא תחת ג' ויעלה י"ו וזהו המחלק ואחר כך נעשה המחולק כך שנקח הג' שהיא על ח' והוא המחולק ונחלק זה המחולק שהוא ג' בי"ו שהוא המחלק ויצאו ג' חלקים מי"ו חלקים של שלם אחד וזהו מה שרצינו
|
|
|
השלישי שהוא שבר בשלם ושבר
|
|
|
כמי שרוצה לחלק ב' שלישיות בד' שלמים וחצי
|
|
|
ונעשה המחלק בדרך זה שנכה ד' על ב' שהוא תחת הא' ויעלה ח' ונוסיף עליהם הא' שהוא על הב' ויהיו ט' ואלה הט' נכה אותם על ג' שהיא תחת הב' שבצד הא' ויעלו כ"ז וזהו המחלק ונעשה המחולק בדרך זה שנכה הב' שהיא על ג' על הב' שהיא תחת הא' שבצד הא' ויעלה ד' וזהו המחולק ונחלקהו במחלק שהוא כ"ז ויצא מהחלוקה ד' חלקים מכ"ז חלקים של שלם וזה הוא מה שרצינו
|
|
|
הרביעי שהוא שבר ושלם בשבר ושלם נכתוב כל אחד כאמור למעלה
|
|
|
כמי שרוצה לחלק ט וחצי בג' וד' חמשיות וצורתו היא זאת:
|
|
|
ונעשה המחלק בדרך זה שנכה ג' על ה' שהיא תחת ד' שבצדה ויעלה טו ונוסיף עוד ד' שהיא על ה' על טו ויהיו י"ט ואלו נכם על ב' שהיא תחת א' שבצד האחר ויעלו * צ"ה וזהו המחולק ואח"כ * ל"ח נחלק המחולק במחלק שאמרנו ויצא מהחלוקה ב' שלמים וזהו מה שרצינו
|
|
|
החמישי שהוא שלם בשבר
|
|
|
נכתבם כאמור כמי שרוצה לחלק י"ב בד' תשיעיות וזהו צורתו:
|
|
|
ובזה הפן המחלק הוא האות שהיא על הקו ולכן המחלק הנה הוא ד' שעל הט' והמחולק יהיה מה שיעלה מהכאת הי"ב שלמים על הט' שתחת הד' וא"כ המחולק הוא ק"ח ונחלקם בד' שהוא המחלק ויהיו כ"ז בחלוקה וזהו מה שרצינו
|
|
|
הששי שהוא שלם ושבר בשבר
|
|
|
נכתוב כל א' כאמור המשל נרצה לחלק ד' ושליש אחד בה' ששיות והנה לך צורתו:
|
|
|
ונעשה המחלק כך שנכה ה' שהיא על ו' בג' שתחת הא' שבצדו האחר ויעלה ט"ו וזהו המחלק ונשמור אותו ואחר שנעשה המחולק בדרך זה שנכה ד' על ג' שתחת הא' שבצדה ויעלו י"ב ונוסיף א' שהיא על ג' שבצדה ויהיו י"ג ונכם בו' שתחת הה' שבצד האחר ויעלו ע"ח וזהו המחולק ונחלקהו במחלק שהוא ט"ו ויצא מהחלוקה ה' שלמים וא' חמישית וזה הוא מה שרצינו בזה הפן
|
|
|
השביעי שהוא שלם ושבר בשלם
|
|
|
נכתבם כאמור המשל רצינו לחלק ג' ושלישיות בד' וצורתו היא זאת
|
|
|
ראשונה נעשה המחלק כך שנכה הד' על ג' שהיא תחת הא' שבצד האחד ויעלה י"ב וזהו המחלק בפן הזה ונעשה המחולק בדרך זה שנכה הג' שלמים על ג' שהיא תחת הא' שבצדה ויהיה ט' ונוסיף עליו הא' שעל הג' שבצדה ויעלו עשרה וזהו המחולק ונחלקהו במחלק שהוא י"ב ויצאו ה' ששיות וזהו מה שרצינו
|
|
|
השמיני שהוא שלם בשלם ושבר
|
|
|
נכתוב כל אחד כאמור המשל שנרצה לחלק נ' בשנים וחצי וזאת היא צורתו
|
|
|
וראשונה נעשה המחלק בדרך זה נכה ב' על ב' שתחת הא' שבצדה ויעלה ד' ונוסיף הא' שעל הב' שבצדה ויעלה ה' וזהו המחלק ונשמור אותו ואחר נעשה המחולק בדרך זה שנכה הנ' על ב' שהיא תחת הא' מהצד האחר ויעלה ק' וזהו המחולק ונחלקהו במחלק שהוא ה' ויצא מהחלוקה כ' לכל אחד מהשנים השלמים של המחלק ואחר נתן לכל שבר הראוי לו ביחס מה שנתננו לשלם המשל במין זה שחלקנו נ' בב' וחצי ויצא מהחלוקה כ' לכל שלם א"כ נאמ' אם לכל אחד מהשלמים ראוי כ' לחצי ראוי שיהיו עשרה ובדרך זה ראוי לחלק החמישים וזהו מה שרצינו
|
|
|
והמופת לכל מיני החלוק הוא שנכה המחלק בחלק ואם יעלה כמו המחולק שוה בשוה אז נדע שהחלוק אמתי המשל כבר ידעת שהחלק האחרון מזה המין היה כ' והמחלק היה שנים וחצי ולכן אם תכה שנים וחצי בכ' יעלו לחמשים
|
|
|
וזה המופת כולל לכל הח' פנים שאמרנו מזה המין שהוא חלוק וזהו מה שרצינו
|
Section Four: Roots
|
הכלל הד' מהמאמר הראשון
|
|
|
ויתחלק לד' פרקים
|
Chapter One: Extracting and Approximation of Square Roots of Integers
|
הפרק הראשון בנתינת דרכים מישירים למציאות שרשי המספרים המרובעים או היותר קרובים למספרים הבלתי מרובעים
|
|
|
ואחר שדברנו מששת מיני המספר מהשלמים גם מהשברים שהם כוללים לכל מה שיצטרך במלאכת המספר עתה צריך שנדבר מדרכים מישירים למציאות שרשי המספרים המרובעים והמעוקבים בעבור שהם הכרחיים ומועילים בחכמות הלמודיות
|
|
|
ולכן ראוי שנאמ' ראשונה מהו גדר שרש המספר וקודם כל דבר צריך שתדע שיש שני מיני שרשי מספר כוללים:
|
|
|
הראשון שרש המרובע
|
|
|
והשני יקרא שרש המעוקב
|
|
|
וראשונה נדבר בשרש המרובע ואם כן גדר שרש המרובע הוא מספר אחד שכשיוכה בעצמו מוליד אותו ולכן שנים הם שרש ד' בעבור שכשיוכה בעצמו יוליד ד' גדר אחד שהוא מספר אחד שכשיוכה בעצמו מוליד מספר מרובע אם כן כל מספר מוכה בעצמו מוליד מספר שיש לו שרש ומספר כזה יקרא מרובע כמו ב' פעמים ב' או ה' פעמים ה' או י' פעמים י' וכן מהאחרים צריך שתדע שכל מרובע מוכה על אי זה מרובע שיהיה יוליד מרובע
|
|
|
המשל ד' שיש להם שרש מוכה על ט' שגם כן יש לו שרש יולידו ל"ו ששרשם ו' ואם כשיחולק המחולק במחלק החלק יהיה מרובע או אם יוכה המחולק במחלק יוליד מההכאה ההיא מרובע
|
|
|
המשל י"ח מחולק בח' יצאו והשרש מאלו אחד וחצי אם נכה י"ח על ח' יצאו קמ"ד ושרש המספר הזה הוא י"ב ואע"פ שאין שרש לי"ח ולח' ומכאן יתחייב שצריך שתדע שכל המדרגות אין להם שרש אלא אותם שמהכאת אחרים בעצמם יולדו כמו טור האחדים שהוא הטור הראשון יש לו שרש שאינו מאחד אלא מהכאתו בעצמו כי פעם אחד אחד הוא א' והטור השני שהוא עשרות אין לו שרש כי לא ימצא שום מספר שבהכאתו בעצמו יוליד אותו והטור השלישי שהוא מאות יש לו שרש כי מהכאת עשרה בעצמו יולד ק' והטור הרביעי שהוא אלף אין לו שרש כי אין שם מספר שבהכאתו יולד הוא והטור הה' שהוא עשרת אלפים יש לו שרש כי המאה מוכה בעצמו יולידהו כי ק' פעמים ק' יולידו עשרת אלפים וכן אפשר לומ' מהטורים האחרים עד בלתי תכלית באופן שכל ההבדלי' שבסדר המספר יהיו נפרדים ימצא להם שרש כמו א' ג' ה' ז' כלומ' במדרגת האחדות ואם תרצה לומ' כן מהמאות ובמדרגת עשרות האלפים ובהבדל האלף אלפים וכן מכל המדרגות האחדות שהם נפרדות כאמור וההבדלים או מדרגות שיהיו זוגות אין להם שרש כמו מדרגת הב' הרומזת לעשרות או מ' מדרגת הד' הרומזת לאלפים או מדרגת הו' הרומזת למאות האלפים וכן מכל המדרגות האחרות מהזוגות
|
|
|
ובשברי התכונה או אי זה שיהיו הוא בהפך כי השברים התכונים ראשונים אין להם שרש אבל אותם שיצאו מאחרים יש להם שרש כמו הראשונים שבשברים בעבור שיש להם מקום ראשון אין להם שרש אבל השניים יש להם מקום שני בשברים יש להם שרש כי מהכאת הראשונים בעצמם יולדו והשלישיים שבמקום שלישי יעמדו אין להם שרש כי לא יולדו מהכאת אחרים בעצמם והרבעיים שיש להם מקום הד' יש להם שרש כי מהכאת השניים בעצמם יולדו וכן מהאחרים בדרך זה וכן יעשה משברי הסוגים האחרים ר"ל שאינם מהתכונה כשיהיו מההנדסה או מאיזו חכמה שיהיו כמו חציים שלשיים וחמשיות וששיות והדומים בעבור שלא יולדו מאחדים ואלו יקראו מהבדל ראשון או שברים ראשונים לכן אין להם שרש אבל כל מספר שיוכה בעצמו יקרא שבירה שנייה ולכן יש לו שרש כמו מהכאת חצי בעצמו שיוליד רביעית שיקרא חצי של חצי ומהכאת השלשית בעצמו שיוליד ט' שיקרא שלשית של שלשית ומהכאת החמישית בעצמו שיולד כ"ה ויקרא חמישית החמישית אבל העשירית והאחד עשירית והשלשה עשירית וארבע עשירית והדומים אין להם שרש כי הם שברים ראשונים ולא יולדו מהאחרים אבל העשירית מעשירית והאחד עשירית מא' עשירית ושלשה עשירית משלשה עשירית וארבעה עשירית מארבע עשירית וחמשה עשירית מחמשה עשירית וכן מהדומים יש להם שרש האמנם השברים שמההבדל השלישי שיש להם מקום שלשי אין להם שרש כמו חצי מחצי של חצי או שלשה עשיריות משלשה עשיריות של שלשה עשיריות וכן כל הדומים א"כ כל השברים שלא יולדו מהכאת אחרים יקראו שברים של הבדל ראשון ואין להם שרש אבל אותם שמהכאת אחרים בעצמם ראשונה יולדו יקראו שברים מהבדל שני ויש להם שרש א"כ דבר מבואר הוא בשלמים שאותם ההבדלים שיש להם שרש הם אותם שיהיו נפרדים בטורים אבל בשברים הוא בהפך שהזוגות יש להם שרש ולנפרדים לא
|
|
|
ואחר ידיעת אלה העניינים כשנרצה למצא שרש אי זה מספר שיהיה נסדרהו בהבדלותיו ר"ל מדרגותיו כלומ' מקומותיו גם אותיותיו ובעבור שלעולם ראוי להתחיל מההבדל הנפרד לכן צריך ראשונה להבחין אם ההבדלים יהיו זוגות או נפרדים ואם יהיו נפרדים תשים תחת ההבדל האחרון מספר אחד שמנה בעצמו יעשה המספר שוה למספר שעליו או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא אם לא ימצא שוה ואם ההבדלים יהיו זוגות יושם תחת האות ר"ל ההבדלים שקודם ההבדל ר"ל האחרונה מספר אחד שכשיוכה בעצמו יוליד מספר שוה או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא למספר שעליו אם לא ימצא לו שוה ויחוסר מאותו שעליו ומחברו ואם לא ישאר מאומה אז נכתוב עליהם 0' ואם ישאר יכתב מה שישאר באות הקודמת שהיא הימנית ואחר יוכפל ויושם בהבדל הנמשך אליו ובהבדל השלישי יושם מספר אחד שמוכה בנכפל ומחוסר מאותו שעל הנכפל ואחר כך מוכה בעצמו ומחוסר מהמספר שעליו יהיה יותר קרוב לבטל המספר של מעלה משום מספר אחר ואם לא ישאר יותר הבדל אז יהיה המספר הראשון והשלשי שרש המספר שלמעלה ואם יהיו יותר אותיות ר"ל הבדלים נכפול האות השלישית מהתחתונות ואח"כ נסייע הכפל הראשון אות אחת לפנים ונכפול הכפלים הראשוניים ואחר הכפל השני נניח מספר אחד שכשיוכה בנכפלים ובעצמו ימחוק כל מה שלמעלה כאמור ואם יהיו יותר הבדלים ר"ל אותיות יוכפל המספר האחרון ויונח מספר אחר שכשיוכה בנכפלים הצריכים לסיע ממקומם ללכת מדרגה אחרת יותר קודם ההכאה ובעצמו ימחוק כל מה שלמעלה כאמור וכן צריך להעשות עד שיגמר כל הטור באופן שלעולם המספר שהוא אחד הנכפל יוכה בנכפלים ובעצמו
|
|
|
המשל שנניח מספר אחד שנרצה לבקש שרשו והוא ה"בוה"ו ובעבור שההבדלים הם זוגות צריך שנתחיל באות שקודם האחרונה שהיא ו' וצריך שנניח מספר אחד שיוכה בעצמו יוליד מספר שוה או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא בשלא ימצא מספר שוה לאותו שלמעלה שהוא ו"ה והמספר היותר קרוב לו"ה הוא ז' כי כשיוכה בעצמו יוליד מ"ט וכשיוסרו מהמספר שלמעלה שהוא ו'ה' ישארו ז' ואלו הז' שישארו נשימם על הו' שהיא אחת מאותיות ו"ה ועל הה' נשים 0' והז' ששמנו למטה לשרש נכפול אותם ויהיו י"ד והעשרה נשים תחת הז' ונמחוק הז' והד' ננחם במקו' הנמשך שהוא תחת הב' ואח"כ תחת האות האחרת הנמשכת נשים מספר אחד שהוא ה' שכשיוכה בנכפל ובעצמו ימחוק או יבטל אותו שלמעלה באופן זה בהכות הה' באחד שהוא העשרה מהכפל יוליד ה' שכשיוסרו מאותו שלמעלה שהוא ז' ישארו ב' על ז' ואחר נכה הה' הנזכרים בד' ויהיו כ' שכשיוסרו משלמעלה שהוא כ"ב ישארו ב' על הכ' ונכתוב 0' על הב' העליון שהיה במקום יוד לבית הנמשכת אח"כ נכה הה' בעצמה ויהיו לנו כ"ה שכשיוסרו משלמעלה שהוא כ"ה לא ישאר כלום ואז יהיה לנו שרש המספר ה"ז כמו שנראה זאת הצורה הראשונה ובעבור שלא נשאר כלום נכתוב 0"0 על ב' ועל ה' וזה מה שרצינו זו היא הצורה הראשונה
|
Chapter Two: Proportions of Fractions – finding the common denominator
|
הפרק השני בדרכים מישירים במציאות יחסי המספרים השברים
|
|
|
האמנם בשברים צריך לדעת שני דברים והם מציאות המחלק ומציאות המחולק ומציאות המחלק יודע בדרך זה שנעיין המספר הראשון מהשלשה שאמרנו כי לא ימנע מאחד מאלו הה' דרכים הראשון אם שיהיה הראשון שבר לבד והאחרים שלמים הג' או הראשון שבר ושלם יחד ואחדים או בא זה מהם שבר הד' או הראשון שבר ושלם יחד והאחרים שלמים הה' או הראשון שלם ובאחד מהאחרים או בשניהם שבר וראשונה מהראשון
|
|
|
המשל אם נרצה לדעת אם ב' שלישיות שוים ז' שלמים וד' תשיעיות כמה שוים ד' שלשה עשריות והנה לך צורתם וראשונה נוציא המחלק שנכה הב' שהיא על ג' בט' שהיא תחת הד' ויעלו י"ח וכל זה נכה על י"ג שהוא תחת ד' ויעלה רלד וזהו המחלק
|
|
|
ומשל אחר לזה המין אם שני שלישיות שוות ד' וחצי כמה שוים ו' והנה לך צורתו ונעשה המחלק כך נכה הב' שעל הג' על ב' שהיא תחת א' ויהיו ד' וזהו המחלק
|
|
|
הדרך השני או יהיה הראשון שבר לבד והאחרים שלמים המשל אם שני שלישיות שוות ח' כמה שווים ט' והנה לך צורתו וימצא המחלק כך שנקח הב' שהיא על הג' כי הוא לבד המחלק בעבור שלא נצטרך במחלק בזה המין למספרים האחדים ר"ל הב' האחרונים אלא כשיהיה באחד מהם או בשניהם שבר או שברים
|
|
|
הדרך הג' או יהיה הראשון שבר ושלם יחד ובאחד מהאחרים אי זה שיהיה או בשניהם שבר לבד או שבר ושלם יחד
|
|
|
המשל אם ה' וב' שלשיות שוות ו' וג' רביעיות כמה שוים ח' וה' שנים עשריות וזו צורתו:
|
|
|
ולמצוא המחלק נכה ה' על ג' שתחת ב' מצדה ויעלה ט"ו ונוסיף הב' שעל הג' ויעלו י"ז ואלו נכם בד' שהיא תחת ג' של מספר ב' ויעלו ס"ח ואלו נכם בי"ב שהם תחת ה' שהוא המספר הג' ויעלו תתנ"ו וזהו המחלק וצריך שתדע שהי"ז שעלו הכאת ה' בג' מצדה והוספת הב' שעל הג' ואח"כ הכינו אותם בד' שתחת הג' של מספר שני ועלו ס"ח שאם לא היה עוד שבר במספר הג' זה לבדו ר"ל הס"ח היה המחלק וכן הוא הדין אם השבר יהיה במספר השלשי ולא יהיה במספר השני
|
|
|
הדרך הד' או הראשון שבר ושלם יחד והאחרים שלמים המשל אם ה' וב' שביעיות שוות ד' כמה שוים עשרים וזו היא צורתו ונמצא המחלק כך נכה הה' בז' מצדה שהיא תחת הב' ויעלו ל"ה ונוסיף הב' שעל הז' ויהיו ל"ז וזהו המחלק ובעבור שהשני מספרים האחרים הם שלמים אינם מצטרכים במחלק כאמור
|
|
|
הדרך הה' או הראשון שלם ובאחד מהאחרים או בשתיהם שבר לבד או שבר ושלם
|
|
|
המשל אם כ' שוים ט"ו וה' חלקים מל"ז כמה שוים ה' וב' שביעיות וזאת היא צורתו ונוציא המחלק כך נכה הראשון שהוא הכ' השלמים בל"ז שתחת הה' מהמספר השני ויעלו תש"מ ואלו נכם על ז' שתחת ב' של מספר ג' ויעלו ה' אלפים וק"ף וזהו המחלק ואם לא יהיה שבר אלא באחד מהמספרי' האחרים נכה הראשון השלם באותו השבר שתחת הקו והוא יהיה המחלק וזה יספיק במה שהוא המחלק ועתה נדבר במחולק בע"ה
|
Chapter Three: Proportions of Fractions – finding the numerator
|
הפרק השלשי בדרכים מישירים במציאות המחולק ביחסי השברים
|
|
|
וצריך שתדע שהמחולק יקרה באחד מו' דרכים
|
|
|
הדרך הראשון אם שכל א' משני המספרים האחרונים יהיה שבר לבד והב' או משני מספרים יהיו שלמים והג' או שכל אחד מהשני מספרים יהיה שלם ושבר ביחד והד' או אחד מהשני מספרים יהיה שלם ושבר ביחד והאחר שבר לבד והה' או אחד מהם שלם ושבר יחד והאחד שלם וה' או האחד יהיה שלם והאחר שבר וראשונה מהדרך הראשון
|
|
|
המשל אם ב' שלישיות שוות ד' תשיעיות כמה שוים ד' חלקים מי"ג והנה לך צורתו ונבקש המחולק כך בזה המין שנכה המספר שהוא על הקו של הא' מן האחרונים על המספר שהוא על קו המספר האחר וזאת ההכאה נשמור אותה ונכה עוד במספר שתחת קו המספר הראשון וזהו המחולק ואם המספר הראשון יהיה שלם לבד אז יהיה המחולק מה שעלה מההכאה הראשונה מהשני מספרים האחרונים כמו שאמרנו בענין המחלק כי אין אנו צריכים שלמים אלא לשברים שתחת הקוים על שני המספרים האחרונים וכן בענין המחולק אין אנו צריכים מהראשון אם יהיה שלם שום הכאה אלא כשיהיה שבר ואז ממה שתחת הקו שלו ויהיה המחולק בזה המשל מ"ח שכך עולה ד' של אחד מהאחרונים על ד' של האחר שהיא י"ו וי"ו על ג' מהמספר הראשון והוא מ"ח כאמור
|
|
|
הדרך השני או השני מספרים יהיו שלמים
|
|
|
המשל אם ב' שלישיות שוות ח' כמה שוים ט' והנה לך צורתו ונמצא המחולק ככה שנכה השם באחר באחר והעולה נכהו בשבר שתחת הקו של המספר הראשון המשל נכה ח' על ט' ועלו ע"ב ואלו נכה אותם בג' ועלו רי"ו וזהו המחולק
|
|
|
הדרך הג' או שכל א' מהשני מספרים יהיה שלם ושבר אחד
|
|
|
המשל אם ה' וב' שלישיות שוות ו' וג' רביעיות כמה שוים ח' וה' חלקים מי"ב והנה צורתו ונוציא המחולק כך שנכה כל א' מהשלמים מהמספרי' האחרונים במה שתחת הקו שבצדו ונוציא עוד מה שעל הקו שבצדו ואחר נכה העולה מהב' מספרים זה על זה ונכה עוד זו ההכאה באות שתחת הקו של מספר ראשון וזהו המחולק ואם המספר הראשון יהיה שלא יספיקו למחולק הכאות המספרים האחרונים כמו שאמרנו והמשל לזאת הצורה נכה ו' בד' שבצדם ויעלו כ"ד ונוסיף ג' שעל הקו ויעלו כ"ז עוד נכה ח' מהמספר האחרון על י"ב שבצדו ויעלו צ"ו ונוסיף ה' שעל הקו ויעלו כלם ק"א ועוד נכה ק"א על כ"ז ויעלו אלפים ותשכ"ז ואלו נכם באות שתחת קו המספר הראשון ויהיו ח' אלפים וק"ףא וזהו המחולק ואם לא היה שבר במספר הראשון היה המחולק אלפים ותשכ"ז שהיא הכאת השני מספרים אחרונים כאמור
|
|
|
הדרך הד' או אחד מהשני מספרים האחרונים יהיה שלם ושבר יחד והאחר שבר לבד
|
|
|
המשל אם אחד שוה ד' חמישיות כמה שוים שנים וחצי והנה צורתו ונוציא המחולק בדרך זה שמהצד שימצא השלם עם השבר נכה השלם בשבר שתחת הקו שבצדו ונוסיף עליו מה שעל הקו שבצדו וכל זה נכהו במספר האחר מהאחרונים שהוא על הקו וזהו המחולק ואם היה במספר הראשון שבר היינו מכים עמו כל זאת ההכאה האמורה המשל לזאת הצורה נכה ב' שלמי' בב' שהוא שבר שבצדה ויעלה ד' ונוסיף א' שעל הקו ויעלו ה' ואלו נכם בד' שהיא על הה' ויעלו כ' וזהו המחולק ואם היה שבר במספר הראשון הוצרכנו להכות אלו הכ' באות שהיא תחת הקו של מספר ראשון
|
|
|
הדרך הה' או יהיה אחד מהמספרים האחרונים שלם ושבר יחד והאחר שלם לבד
|
|
|
המשל אם שני שלישיות שוות ד' וחצי כמה שוים ששה וזה צורתו ונבקש המחולק ככה שנכה השלם עם המספר שתחת הקו שהוא מצדו ונוסיף מה שלמעלה הימנו וכל זה נכה עם השלם היחידי שהוא מהצד האחר וכל זה נכה עוד עם המספר שהוא תחת הקו שבמספר הראשון אם יהיה בו שבר ואם לא יהיה בו שבר אלא שלם לבד אינו צריך יותר הכאה והמשל לצורה נעשה המחולק בדרך זה שנכה הד' על הב' * ויעלה ט' וזה נכה על הו' שהוא השלם מהמספר השלשי ויעלה נ"ד וזה היה * ויעלה ח' ונוסיפ המחולק אם לא היה במספר הראשון שבר אבל בעבור שיש בו שבר נכה עליו הא' שעל הקו הנ"ד שיש בידינו על האות שתחת תחת הקו של אותו שבר שהוא ג' ויעלה קס"ב וזה יהיה אז המחולק
|
|
|
הדרך הו' או יהיה אחד מהמספרים האחרונים שבר לבד והאחר שלם לבד
|
|
|
המשל אם ט' שוים ב' שלישיות כמה שוים ח' וזו היא צורתו ונוציא המחולק כך שאי זה שיהיה מהשני מספרים האחרונים שלם נכה אותו עם המספר שעל הקו שהוא ג"כ מהאחרונים וזהו המחולק בעבור שאין שום שבר במספר הראשון אבל אם יהיה בו שבר בין שיהיה לבדו בין שיהיה עם שלם אז נכה זאת ההכאה עם המספר שהוא תחת הקו וכל זה אז יהיה המחולק המשל לצורה זו נעשה המחולק כך שנכה הח' שהיא אחד מהאחרונים על ב' שהוא על ג' ויעלה ט' וזהו המחולק י"ו אבל אם יהיה במספר הראשון שבר נוסיף להכות האמורים וצריך שתדע שבזה המין ר"ל אם כך שוים כך כמה שוים כך כלומ' סוג היחסים האמורים לא ימצאו יותר דרכים מאותם שאמרנו בין במחלק בין במחולק ואחר שיהיו בידינו המחלק והמחולק נחלק במחולק המחלק ויצא לנו מספר שביעי* והוא מה שבקשנו ואם כן יש לנו עתה ד' מספרים מתיחסים באופן רביעי שהיחס שימצא בין הראשון והשני אותו יחס ימצא בין השלישי והרביעי
|
|
|
ומופת נחליף היחסים בדרך זה והוא שנקח הג' מספרים בזה הסדר והוא שנעשה מהמספר הג' שיש בידינו מספר ראשון ומהמספר הרביעי נעשה שני ומהמספר הראשון שלשי ונסדרם כמו שלמעלה ונאמ' אם זה שוה זה כמה שוה זה ואם יצא לנו במספר הד' בסדר זה המספר שהיה שני בסדר הראשון אז נדע שהמספר הרביעי שיצא בסדר הראשון היה אמתי ואם לא לא וזה מספיק בזה הלימוד
|
הכלל הב' מהמאמר השני נדבר בו בקצת שאלות ותשובות מישירות בעיון ובמעשה בזאת המלאכה
ויתחלק לז' פרקים:
הפרק הראשון בידיעת חלוף המדות המשקלים והמשורות והמטבעות לפי חלוף המקומות בעבור שבהרבה מקומות יש חלוף באלו הדברי' הנזכרים צריך שנדבר מאי זה דרך כללי שבו נוכל לדעת כל חלוף מאלה שנרצה וראשונה נשאל אם ד' מדות או משקלים או מה שיהיה מקוסטנדינה שוים ששה מברוסה וט' מברוסה שוים ג' מאלישנדריאה ו' מן אלישנדריאה כמה שוים מאותם של קוסטדינה ולדעת זה נסדר כל אלו המספרים ככה ובעבור שדרושנו הוא שו' מאלישנדריאה כמה שוים מקוסטנדינה צריך שתדע קודם הג' מאלישנדריאה שוים ט' מברוסה אם כן כשתדע הט' מברוסה כמה שוים מקוסטנדינה אז נדע הג' מאלישנדריא' כמה שוים מקוסטנדינה וכבר ידענו שהו' מברוסה שוים ט'* מקוסטנדינה אם כן נאמר אם ו' שוים ד' כמה שוים ט' ונסדר הצורה כך הם שלמים הראשון הוא המחלק וא"כ הו' הם המחלק והכאת המספר השני בשלישי הוא המחולק שהוא ל"ו ונחלקהו בו' ויבאו ו' מהחלק א"כ ידענו שהט' מברוסה שוים ו' מקוסטנדינה אבל ג' מאלישנדריאה שוים ט' מברוסה א"כ הג' מאלישנדריאה שוים ו' מקושטנדינה ואחר שידענו שג' מאלישנדריאה שוים ו' מקוסטנדינה נסדר דרושנו כך ונאמר אם ג' מאלישנדריא' שוים ו' מקוסטנדינה כמה שוים ו' מאלשנדריאה וזהו היא צורתו
וכבר ידעת שהמספר הראשון הוא המחלק בשלמים א"כ ג' הם המחלק והמחולק הוא הכאת המספר הב' בג' שהיא הכאת ו' בו' אם כן הם ל"ו ונחלקם על ג' ויצאו י"ב מהחלוק וא"כ ו' מאלכסדריאה שוים ו' מקוסטנדינה וזה מה שרצינו
הפרק השני בידיעת התיחסות שני מספרים שיש להם טבע זה שאם נחסר אחד מהמספר הקטן ונוסיפהו בגדול יהיה הגדול כפל הקטן או יותר אם נרצה
ודעהו בדרך זה שנניח קודם במחשבה הב' מספרים ונחסר אחד מכל אחד מהן ונעשהו מספר שלישי ויהיה ב' ואלו הב' יהיו אמצעי לדעת אותם ויש להם זה הטבע שאם נוסיפם על המספר הקטון יהיה שוה לגדול ואם נוסיפם במספר הגדול יהיה כפל הקטן א"כ יש לנו עתה ג' מספרים שהם הגדול והקטון והאמצעי ונניח שכלם הם דבר אחד וא"כ וכולם דבר אחד וכשנוסיף המספר האמצעי לקטן יהיו השני מספרים הראשונים שוים מהכל כל א' הוא חצי הכל וא"כ כל אחד מאלו הוא חצי הכל א"כ יראה שב' הוא מספר אמצעי מחובר לקטן עשהו חצי הכל ואם נחסר אלו הב' שהוספנו למספר הקטן ונוסיפם לגדול והגדול ישוב כפל הקטן אם כן יראה שהגדול יהיה שני חלקים מהכל והקטן חלק אחד א"כ הם ג' חלקים שוים לכל וא"כ המספר הקטן יהיה אז שלישי הכל והגדול יהיה שני שלישיות א"כ נאמ' שאם חבור המספר האמצעי למספר הקטן היה סבה שיהיה המספר הקטן חצי הכל וחסרונם היה סיבה שיהיה שליש הכל א"כ יראה לנו מזה שהמספר האמצעי הוא ההבדל שיש שליש הכל חצי אבל ההבדל מהשליש אל החצי הוא ששית הכל א"כ האמצעי הוא ששית הכל ולדעת שזהו ההבדל נחסר השליש מהחצי וישאר ששית וא"כ יראה שהאמצעי הוא ששית הכל ואם האמצעי היה ששית הכל והוא היה ב' א"כ הכל יהיה י"ב שהוא ו' פעמים שנים ובעבור שאמרנו למעלה שכשנוסיף א' לקטן יהיה חצי הכל יראה שהוא חצי הכל פחות אחד ר"ל הקטן יהיו ה' ואם הקטן הוא ה' המספר הגדול יהיה ז' לסבות האמורות וכמו שאפשר לומ' שאם נחסר אחד מהגדול ונתן אותו לקטן יהיה שוה לקטן וכו' כן ג"כ אם ישאלו לנו שאם נחזר ב' מהגדול ונתנם לקטן וכו' לא נצטרך למצוא אלה המספרים והדומה אלא לכפול כל אחד משני המספרים הנמצאים ר"ל הה' והז' ואם התוספת או החסרון יהיה ג' נשלש השני מספרים
ואם יהיה חצי ר"ל התוספת או החסרון נקח חצי השני מספרים הנמצאים
ואם התוספת או החסרון יהיה שליש נקח שליש השני מספרים הנמצאים ר"ל הידועים לנו כבר ר"ל הו' והז' כי בזה יוסרו כל אלו השאלות ובדרך זה נעשה בכל הדומה וזה מה שרצינו
וכדי להוסיף ביאור נעשה משל אחד בשנניח ב' מספרים שאם נחסר אחד מהמספר הגדול ונוסיפה לקטן יהיו השני מספרים שוים ואם נחסר אחד מהמספר הקטן ונוסיפהו בגדול יהיה הגדול עשרים פעמים בקטן
ונדעם בדרך זה שנניח קודם במחשבה השני מספרים ונקח אחד מכל אחד מהשני מספרים ונעשהו מספר שלישי ויהיה ב' ויש לזה המספר זה הטבע שאם נוסיפהו על המספר הקטן יהיה שוה לגדול ואם נוסיפהו על המספר הגדול יהיה הגדול כפל המספר הקטן כ' פעמים ר"ל עשרים פעמים בקטן א"כ יש לנו עתה ג' מספרים כאמור למעלה גדול וקטן ואמצעי ונניח שכלם יעשו כל אחד א"כ וכולם כל אחד וכשנוסיף המספר האמצעי לקטן יהיו שני הב' מספרים הראשונים שוים א"כ יש לנו עתה שני חלקים שוים לכל ובעבור שכל שני חלקים שוים לכל כל אחד הוא חצי הכל א"כ כל אחד מאלו הוא חצי הכל א"כ יראה שב' שהוא מספר אמצעי מחובר לקטן עשהו חצי הכל ואם נחסרהו מהמספר הקטן ונוסיפהו בגדול ויהיה הגדול כ' פעמים כמו הקטן יראה שהמספר הגדול יהיה כ' חלקים מכ"א מהכל והקטן חלק אחד א"כ הם כ"א חלקים שוים לכל אם כן המספר הקטן יהיה אז חלק אחד מכ"א חלקים מהכל והמספר הגדול יהיה כ' חלקים מכ"א מהכל אם כן נאמר שאם חבור המספר האמצעי למספר הקטן עשהו חצי הכל וחסרנו חלק עשהו מכ"א חלקי הכל ובין חצי הכל אבל ההבדל בין חלק אחד מכ"א חלקי הכל ובין חצי הכל י"ט חלקים ממ"ב חלקי הכל אם כן האמצעי הוא י"ט חלקים ממ"ב של הכל
ולדעת שזהו ההבדל נחסר חלק אחד מכ"א חלק שלם מהחצי וישאר י"ט חלקים ממ"ב חלקי השלם וא"כ יראה שהאמצעי י"ט חלקים ממ"ב חלקי השלם והוא היה שנים אם כן הכל היה ד' שלמים וח' חלקים מי"ט חלקי השלם
והמופת על זה נאמר ככה אם ט' שוים ב' כמה שוה האחד שהוא הכל הדרוש
ונדעהו בא' הדרכים האמורים למעלה בדרכי היחסים וזה מה שרצינו
הפרק השלישי ביחס שני מספרים שאם הגדול יתן אחד לקטן היה הקטן כפל הגדול ואם הקטן יתן אחד לגדול יהיה הגדול ג' פעמים יותר מהקטן
ואם נרצה לדעת אלו המספרים נעשה קודם כל דבר האמצעי כמו למעלה והאמצעי לעולם הוא ב' שלמים בכיוצא לאלו היחסים א"כ נאמ' אם האמצעי מחובר לקטן יעשה כפל הגדול מכאן יראה שהקטן עם האמצעי הם שני שלישי הכל ושהמספר הגדול בלתי האמצעי הוא שליש הכל וא"כ כשנוסיף האמצעי לגדול יהיה ג' פעמים יותר מהקטן יראה מכאן שהקטן בלתי האמצעי יהיה רביע אחד מהכל וא"כ נאמר עתה אם הכל שהנחנו במחשבה הוא מורכב מג' מספרים שהם גדול וקטן ואמצעי א"כ כמות שלשתם שוה לזה הכל אבל כמות המספר הגדול והקטן הם שליש ורביע הכל א"כ מה שיחסר לתשלום הכל הוא המספר האמצעי בהכרח א"כ נחבר שליש ורביע במין הראשון מהשברים שהוא הקבוץ ויהיה קבוצם א"כ לתשלום הכל חסרים וא"כ האמצעי שוה הוא ידוע שהאמצעי בעצמו הוא ב' שלמים ומיוחס לכל הוא [] ולכן נעשה דרך היחסים כך ונאמר אם מהכל שוים שני שלמים כמה שוה הכל ובמקום הכל נשים אחד שלם ונעשה הצורה כך ונאמר אם שוים שני שלמים כמה שוה א' שהוא במקום ונמצא שהכל שבקשנו הוא ד' שלמי' וארבע חמישיות ועתה צריך שנבקש המספר הגדול והקטן ממנו והגדול נמצאהו כך כבר ידעת שהמספר הגדול בלתי האמצעי היה שליש הכל א"כ נקח מזה הכל השליש שהוא ונוסיף עליו האחד מהשנים של האמצעי ויהיה וזהו הגדול וכבר ידעת שהקטן בלתי האמצעי הוא רביע הכל ולכן נקח רביע הכל שהוא ונוסיף עליו האחד מהשנים מהאמצעי ויהיה המספר הקטן ואלו הם השני מספרים שבקשנו ומה שרצינו
הפרק הרביעי שבידיעת קבוץ ב' חלקים מתחלפים מאי זה כל שיהיה או יותר איך נדע הכל
ונעשה כן נקח אי זה כל שימצאו בו אותם החלקים מנשאלים ונעשה קבוץ מהם ונאמר כיחס זה הקבוץ מהחלקים אל הכל הידוע שלוקחו ממנו יחס החלקים הנשאלים לכל הבלתי ידוע ונסדרם בדרך הד' מספרים המתיחסים ונקח למספר ראשון חלקי המספר הבלתי ידוע ונשלים דרך היחסים כפי שנאמר במקומו
המשל לזה נניח קבוץ אחד משליש ורביע ששוה עשרה וחצי ורצינו לדעת הכל
ולדעת זה נבקש מספר אחד שימצאו בו אלו השברים שהנחנו אין שם מספר נותר קרוב מי"ב א"כ נקח קבוץ שלישו ורביעו שהם שבעה ונאמר אם ז' שוים י"ב כמה שוים י' ונשלים זה היחס כמו שכבר נאמר בלמוד היחסים ונמצא בזה הדרך שהמספר המבוקש הוא י"ח וזה מה שרצינו
ובדרך זה יעשו כל הדומים לזה היחס כשיבחנו כל השברים שאפשר שיונחו או שישאל עליהם כמי שישאל על קבוץ רביע וחמש שהם ה' שלמים ונרצה לדעת הכל כמה הוא נבקש מספר אחד שימצאו בו אלה השברים רביע וחומש שהם נמצאים בעשרים א"כ נקח מכ' הרובע והחומש וקבוצם הוא ט' ונאמר אם ט' שוים עשרים כמה שוים ה' ובדרך היחסים יודע שכל המבוקש הוא וקבוץ רביעתו וחמישיתו ה' וזה מה שרצינו ובדרך יעשו כל הדומים
הפרק החמישי בנתינת דרכים כוללים לדעת אי זה מספר שיהיה בלתי ידוע בדרך המתנגדים
וזה יודע בג' דרכים כוללים בעבור שבהם יעשו כאלה היחסים וזולתם אי זה שיהיו ויקראו דרכי המתנגדות
והראשון הוא זה נניח שרצינו למצא אי זה כל שקיבוץ שלישיתו וחמישתו יחד הם עשרה
וקודם כל דבר נבקש אי זה מספר שימצאו בו אלו השברים [והמספר שנמצא בו אלו הנזכרים הוא ט"ו] וקבוץ שלישיתו וחמישיתו יחד הוא ח' ואלו הם פחות מהמבוקש שנים ונקח מספר אחר שהוא ל' ונראה שקבוץ שלישיתו וחמישיתו הוא י"ו וא"כ יהיו יותר מהמבוקש ו' ועתה נניח כל זה בדרך צורה כן והראשון שצריך שנבקש יחד הם היותר והפחות שהם ב' וו' וזה יהיה המחלק ונשמור אותו ואחר נעשה המחולק כן שנכה המתנגדים כל אחד עם נגדו כמו ט"ו עם ו' ויעלה צ' ונכה עוד ל' עם ב' ויעלה ס' ונחבר צ' עם ס' ויהיו ק"ן ונחלקם במחלק שהוא ח' ויצא מהחלוקה י"ח וג' רביעיות וזהו המספר שקבוץ שלישיתו וחמישיתו יחד יוד וזה מה שרצינו בדרך הראשון:
הדרך הב' והוא שהשני מספרים שאנו צריכים בדרך הזה למצא בהם השברים המבוקשים צריך שיהיה כל אחד פחות מקבוץ ה' חלקים הכל המבוקשים
המשל רצינו למצא מספר שקבוץ שלישיתו ורביעיתו יהיה כ'
נבקש מספר אחד שימצא בו שליש ורביע והוא י"ב וקבוץ שלישיתו ורביעתו ז' א"כ הוא פחות מקבוץ השברים י"ג ונקח עוד מספר אחר שימצא בו שליש ורביע והוא כ"ד וקבוץ שלישיתו ורביעיתו הם י"ד אם כן הוא פחות מהמבוקש ו' ואח"כ נאמר י"ב פחות י"ג וכ"ד פחות ו' וכמו שלמעלה עשינו מחלק מהיותר והפחות בכאן צריך שנעשה מחלק מהפחות ומהפחות והם י"ג וו' וכמו שלמעלה קבצנו היותר והפחות לעשות המחלק בכאן צריך שנחסר לעשות המחלק ואכ"כ נחסר ו' מי"ג וישארו ז' וזהו המחלק ונשמור אותו ואחר נכה המתנגדים כאמור למעלה והם י"ג עם כ"ד ויעלו שי"ב ונכה עוד ו' עם י"ב ויעלו ע"ב ונחסר ע"ב משי"ב וישארו לך ר"מ וזהו המחולק ונחלק במחלק שהוא ז' ויצא מהחלוקה ל"ד וב' שביעיות והנה לך צורתו
הדרך השלישי והוא שכל אחד משני המספרים שברים נבקש השברים צריך שיהיה יותר
המשל רצינו למשול מספר אחד שרביעיתו ושלישיתו יהיה ו'
נבקש מספר שימצא בו שליש ורביע והוא י"ב וקבוץ שלישיתו ורביעיתו הוא אחד יותר מהמבוקש ונבקש ג"כ מספר שהוא כ"ד והוא ח' יותר מהמבוקש ונחסר היותר קטן מהגדול והגדול הוא ח' והקטן הוא א' ונחסר א' מח' וישארו ז' וזהו המחלק ויעשה המחולק כן נכה המתנגדים הח' על הי"ב ויעלו צ"ו ונכה הא' על הכ"ד ויעלו כ"ד ונחסר כ"ד מצ"ו וישארו ע"ב ונחלקם במחלק שהוא ז' ויצא מחלוקתו וזהו המספר שלישיתו ורביעיתו מקובץ באחד שוה ששה [והנה] זאת היא צורתו
למוד אחר מיחסים אם ישאל שואל אם כששוה מדת הקמח י"ב לבנים גזר המלך שית[נו] ח' ליטרין לחם בלבן כששוה המדה י"א לבנים כמה ראוי שיתנו לפי אותו היחס
נעשה כן שנניח דרושינו זה [על] שרש התיחסות הג' מספרים וזה בשנסדר המספר הראשון על שווי האחרון ר"ל לשווי הי"א לבנים והמספר השני נסדר על שווי הראשון ר"ל שווי הי"ב והמספר השלישי כמות הלחם ונאמר א"כ י"ב שוים י"א כמה שוים ח' ונשלים הלמוד כמו שהוא כתוב בדרכי היחסים וזה מה שרצינו
שאלה אם כשהשקל שוה מ' לבנים ואדם אחד יש לו חתיכת זהב שוקל ה' שקלים ורוצה להחליף ממנו כל כך שקלים שהנשארים יהיו שוים ללבנים ר"ל כמות השקלים הנשארים לו ככמות הלבנים שלקח מהחלוק
נעשה כן נקח שווי השקל שהוא מ' לבנים ונוסיף א' ויהיו מ"א ונחלק מאה במ"א ויבאו ב' וי"ח ממ"ג של שקל וכל כך שקלים צריך להחליף וזה מה שרצינו
הפרק הששי בלמוד החבורות
והוא כשנרצה לדעת כל א' מהחבורה כמה יגיע לו מחלק הריוח או ההפסד מיוחס לזמן ולכמות הסחורה
המשל אם יהיו בחבורה ג' אנשים והא' הכניס לחברה י"ב וחצי והשני ו' והשלישי ז' וחצי ויהיה הריוח נ'
ולדעת זה נקבץ כל המספרי' ויהיה הקבוץ כ"ו וזה הקבוץ יקרא מספר ראשון והריוח או הפסד יהיה מספר ב' וכל אחד מהשלשה מספר שלישי ונאמר כן אם כ"ו שוים נ' כמה שוים י"ב וחצי ונשלים היחס כמו שידעת ומה שיצא הוא ריוח או הפסד הראשון שהכניס הי"ב ואחר נאמ' אם כ"ו שוים נ' כמה שוים ו' ונשלים היחס ג"כ ומה שיצא הוא ריוח או הפסד השני שהכניס בחלקו הששה ואחר נאמ' אם כ"ו שוים חמשים כמה שוים ז' וחצי ונשלים היחס כמו שלמעלה ומה שיצא הוא ריוח השלשי או הפסד מאותו שהכניס ז' וחצי ובדומה לזה תעשה בכל היחסים שאפשר להעשות בכל החבורות וזה מה שרצינו
הפרק השביעי בקצת שאלות ותשובות
שאלה אם מכפלו של אי זה דבר נקח י"ב ומכפל הנשאר נקח גם י"ב אחרים וכפל הנשאר יהיה י"ב כמה היה המספר הראשון
התשובה נקח מהמספר הידוע שהוא י"ב חציו ונחבר אליו המספר המוסד שהוא הי"ב והם י"ח וזה המספר שבקשנו תחלה ובדרך זה נוכל לומר כל מספר שיהיה בין של שלמים בין של שברים בין מעט בין רב
שאלה אם מאיזה כמות ילקח חציו ואחד יותר ומהנשאר חציו ויותר אחד ומהנשאר שלישית חציו ויותר אחד ונשאר אחד כמה היה המספר הראשון
התשובה נקח האחד שנשאר באחרונה ויותר א' ונכפול אותם ויהיו ד' ונוסיף אותם עליהם עוד אחד ויהיו י"א ונכפלם ויהיו כ"ב וזהו המספר הראשון שנשאל עליו ובדרך זה תוכל לעשות ואע"פ שתוסיף בכל פעם במקום האחד שנים או שלשה או מה שתרצה
שאלה אם יהיה חבית אחת ויהיו לה שלשה נקבים שבאחד יורק בחצי היום ובנקב השני בב' שלישי היום ובנקב השלישי בג' רביעי יום כשיורק בשלשה הנקבים יחד בכמה זמן יורק
תשובה נאמר כן באותו נקב שיורק בחצי יום יורקו שנים ביום אחד ובנקב שיורק בב' שלישי יום יורקו ביום אחד אחת וחצי ובנקב שיורק בג' רביעיות יורקו ביום אחד חבית אחת ושליש ועתה נחבר כל אלו הג' מספרים ויהיה קבוצם ד' חביות וה' ששיות ואח"כ נאמר בדרך שכך שוה כך כמה שוה כך אם ד' חביות וה' ששיות של חבית שוות יום אחד כמה שוה חבית אחת ונשלים הדרך וימצא ששות ו' חלקים כ"ט מיום אחד
שאלה אם יהיו ג' מספרים וראשון ושני יהיו בכמות השלישי וראשון ושלישי בכמות מן השני כמה יהיה שוה כל אחד מהשלשה מספרים
התשובה נניח שאלו השלשה מספרים הם חלקי דבר אחד ונניח עוד שהמספר הראשון והשני הם חצי אותו דבר והשלישי הוא חציו האחד ונאמר אם ראשון ושלישי הם מאה מהשני יראה שהשני הוא אחד ממאה ואחד מחלקי הכל ואם הראשון עם השני הם חצי הכל א"כ נאמר שההבדל שיש בין חלק אחד ממאה ואחד מחלקי הכל ובין חצי הכל הוא שווי המספר הראשון אבל ההבדל הוא צ"ט חלקים ממאתים ושנים מהכל אם כן נאמר שהמספר הראשון הוא צ"ט חלקים מר"ב מהכל ואם הכל הוא ר"ב יהיה המספר השני ב' שהוא חלק אחד ממאה ואחד מהכל הנזכר שהוא ר"ב ובעבור שהמספר השלישי הוא חצי הכל והכל הוא ר"ב אם כן יהיה המספר השלישי מאה ואחד שהוא חצי הכל וזה מה שרצינו ועתה יש לנו שלשה מספרים הראשון צ"ט והשני ב' והשלישי ק"א ואם נחבר המספר הראשון והשלישי יעלה ר' שהם מאה מהשני ובזה הדרך נוכל לעשות מכל המספרי' המתיחסים בזה היחס ואם היו יותר או פחות וזה מה שרצינו בזה
שאלה אם יהיו שלשה אנשים בחברה אחת וחצי הריוח יהיה ראוי לא' ושלישית הריוח לשני ורביעית הריוח לשלישי והריוח יהיה י"ב כמה יבא לכל אחד מהם
התשובה צריך שתדע שאם נתן לא' החצי מזה המספר ר"ל הי"ב ושלישיתו לאחד ורביעיתו לאחר לא יספיקו ולכן צריך שתעשה בדרך זה שלמי שראוי החצי יקח פחות וכן השני והשלישי ויהיה בדרך זה שנקח אי זה מספר שנרצה שימצאו בו חצי ושלישי ורבע כמו י"ב או כ"ד או ל"ו או אי זה שיהיה ונקח חציו ושלישיתו ורביעיתו ונקבצם יחד וזה הקבוץ יקרא מספר ראשון והריוח יהיה מספר שני וכל אחד מחלקי המספר המקובץ יהיה מספר שלישי וכשיהיו בידינו אלו המספרים נסדרם בדרך שאם זה שוה זה
המשל שנאמר אם כל המקובץ שוה ככל הריוח כמה שוה ו' וחצי
ר"ל אם י"ג שוים י"ב כמה שוים ו' ושליש היחס ונמצא ששוה ה' וז' מי"ג ואחר נחזור ונאמר אם כל המקובץ ששוה שוה כל הריוח כמה שוה השליש ר"ל אם י"ג שוים י"ב כמה שוים ד' ונמצא ששוים ג' וט' מי"ג ונחזור עוד ונאמר אם כל המקובץ שוה כל הריוח כמה שוה הרובע ר"ל אם י"ג שוים י"ב כמה שוים ג' ונמצא ששוים וזה מה שרצינו
שאלה איך יחלקו עשרה בשני חלקים שהאחד נחלק לאחד וי' מי"ג שיצאו מהחלוקה ה'
ולדעת זה צריך שנקדים שתי הקדמות כוללות
ההקדמה הראשונה היא שכמו שכל מחולק נחלק במחלק יוליד החלק כן ג"כ כשנחלק המחולק על החלק יוליד המחלק
ההקדמה השנית היא שמספר החלק ומספר היחס המחולק למחלק שוים
המשל אם נחלק י' על ב' יהיה החלק ה' ומספר יחס המחולק למחלק ה' כי י' הם ה' פעמים ב' וזהו יחס המחולק למחלק וא"כ המחולק הוא ביחס ה' והחלק ה' בלתי היחס וא"כ במה שיש לכל אחד שם של ה' הם שוים וזה מה שרצינו
התשובה היא שנקח במחשבתנו חלק אחד מעשרה בלתי ידוע ויהיה שמו דבר אחד והי' בלתי דבר אחד יהיה המחולק ולפי ההקדמה השנית יהיה שוה לה' שהוא החלק וא"כ אם י' בלתי דבר אחד שוה לה' עם דבר אחד יהיה יותר מה' דבר אחד ובעבור שיהיו שוים החלק והמחולק נוסיף דבר אחד על הה' שהוא החלק ויהיו ו' ואחר שהמחולק והחלק הם שוים נחלק המחולק על החלק ויצא מהחלק שבקשנו שהוא א' ושני שלישיות וזהו הדבר האחד הבלתי ידוע שלקחנו מהעשרה ומה שנשאר עד תשלום י' שהם ח' ושליש המחולק והם ג"כ העשרה בלתי דבר שיהיה ג"כ מספר בלתי ידוע כמו שאמרנו ועתה אם נחלק ח' ושליש א' ושני שלישיות יבא לחלק ה' ואלו השני מספרים המחולק והמחלק הם עשרה וזהו מה שרצינו וכמו שאמרנו בעשרה להיות החלק ה' נוכל לומר גם כן אי זה מספר שנרצה בשנשמור היחסים הראויים לאותו מספר כמו שעשינו בזה המשל כי כמו שלקחנו לחלק ה' מי' נקח לחלק כ"ז משלשים ונעשה כאמור ותמצא באותו דרך שהמחלק הוא והמחלק כ"ח והחלק כ"ז כמו שידעתו וזהו מה שרצינו לזה
המאמר השלישי נדבר בו בקצת התחלות מההנדסה ויתחלק לשלשה כללים
הכלל הראשון בידיעת השיעור הקווי ויתחלק לג' פרקים
הפרק הא' בקצת התחלות ההנדסה וגדר הקו ובידיעת השעור הקווי בגובה ואחר שדברנו מז' מינים מיני המספר ומדרכי היחסים וקצת שאלות ותשובות
צריך שנדבר עתה מקצת התחלות ההנדסה כדי שתדע הדרך איך תשתמש ביחסי המספרים הצריכים בה
ולכן ראוי שתדע שתמונות ההנדסה הראשונות שבהן נוכל לדעת כמות אי זה גשם שיהיה או כל אחד ממרחקיו או התיחסות גשם לגשם או שטח לשטח או קו לקו הם שלש עצמיות שהם משלש מרבע עגלה ובעבור שהגשם כולל בג' סגלות שהם: ארך רחב עמק לכן נדבר בגדר כל אחד ובשיעורו וראשונה שבר מהארך ובעבור שהארך ישוער בקוים נאמר מהו קו והקו הוא כמות ארך בלתי רחב ועמק וקצותיו הם שתי נקדות ובעבור שמיני השעור הקווי הם ג' שהם גבה מישור עמק צריך שנדבר מכל אחד מהם וראשונה מהגבה כשתרצה לדעת אי זה גבה שיהיה תקח עמוד אחד שתדע שיעורו ויושם במישור מעומד וביושר בלתי שום נטיה ותטה עיניך בארץ בהיותך מביט לקצה הגבה שתרצה באופן שיעבור נצוץ הראות על קצה העמוד הגבה בקו ישר מעיניך עד קצה הגבה שתרצה ואחר תשער ממקום נטיית העין עד המקום התחתון מהגבה שאתה מבקש וזה יהיה המספר השלישי ושיעור העמוד יהיה המספר השני והרוחק שיש בין העין והעמוד יהיה המספר הראשון ואחר תיחס בדרך שידעת אם זה שוה זה כמה שוה זה בהכותך השני בשלישי ונחלקהו במספר הראשון ויצא לנו הגבה שבקשנו וזה מה שרצינו
הפרק השני בידיעת שהשיעור הקווי במישור
כשנרצה לדעת ארך זה מישור שיהיה יושם על הארץ מעומד עמוד אחד ישר שנדע שעורו ובמקום שנרצה ובלתי שום נטיה
ודרך משל יקרא המישור ב"ה ובעמוד א"ב ובעמוד א"ב נשים יתר אחד שנקרא ג"ד על זויות שוות באופן שכשיביט האדם מראש העמוד לקצה המישור המבוקש ואחר תכה כמות ג"ד על א"ב וזה יחלק על א"ג ויצא לנו כמות ב"ה שהוא אורך המישור שבקשנו וזה מה שרצינו
הפרק השלישי בידיעת השיעור הקווי בעומק
כשנרצה לדעת אי זה עומק שיהיה ונניח שיהיה העומק א"ד ונשים עמוד אחד על שפת העומק ויהיה ה"ז ונשים יתד אחד בעמוד בזויות נצבות על שפת העומק ויהיה ז"ב ויעבור עד א' ונקודת המבט תהיה ה' שעל ראש העמוד ויעבור נצוץ המבט מנקדת ה' ועל קצה היתר לזויות העומק שהוא ד' באלכסון והנה בעבור שזוית הז"ב הוא שוה לזוית בא"ד הנצבת וג"כ זוית אב"ד שוה לזוית זבה הנגדיים והזוית הנשאר שמקיף אותו בה"ז שוה לזוית שמקיף אותו אד"ב א"כ כל זויות משולש אד"ב שות לכל זויות משולש בה"ז ולכן צלעותיהם מתיחסות ויהיה יחס ב"ז לז"ה כיחס ב"א לא"ד ועתה נכה שעור ז"ה על שעור ב"א ונחלקהו על ז"ב ויצא לנו שעור וזה מה שרצינו
הכלל השני מהמאמר השלשי בידיעת השעור השטחי ויתחלק לה' פרקים:
הפרק הראשון בידיעת שעור שטח המשולש שוה הזויות
ואחר שדברנו מהכמות הקווי וכל שעוריו עתה צריך שנדבר מהכמות השטחי ושעוריו
וראשונה נדבר מגדרו א"כ השטח הוא כמות בעל אורך ורוחב בלתי עמק שתכליותיו הם שני קוים
והתמונות השטחיות הראשון הן ג' מינים: או יהיה שוה שלשת הצלעות או שוה שתי הצלעות בלבד או מתחלף שלש הצלעות
ואם תהיה שוה שלשת הצלעות צורתה היא זאת
ואם נרצה לדעת כמותה נחלק הצלע הא' בשני חלקים שוים ומנקודת החלוקה שהם ג' נוציא קו ישר עד הזוית הנגדיי שהוא א' וזה הקו נדע כמותו באי זו מדה שנרצה ונשמור אותו וצריך שנדע עוד כמות אחד מהצלעות ונכה חצי זה הכמות בכמות הקו השמור אצלנו ומה שיעלה הוא כמות כל שטח המשולש וזה מה שרצינו
הפרק השני בידיעת שעור שטח המשולש שוה הצלעות
ואם יהיה המשלש שוה בשתי צלעות בלבד צורתו היא זאת
ולדעת כמותה נחלק הצלע הבלתי שוה בשני חלקים שוים ומנקודת החלוק ששם ד' נוציא קו אחד ישר עד הזוית הנגדיי שהוא א' ונדע כמות חצי הצלע שחלקנו וכמות הקו הישר שעשינו ונכה האחד על האחר ומה שיעלה הוא כמות כל שטח המשולש וזה מה שרצינו
הפרק השלישי בידיעת שעור שטח המשלש מתחלף הצלעות
ואם יהיה המשולש מהשלשה צלעות מתחלפות צורתו זו
ולדעת כמותו נוציא קו ישר בלתי שום נטייה מהזוית הרחב ששם א לצלע הנגדיי ונדע כמותו ר"ל כמות הצלע הנגדיי ונשמור אותו ונדע אות כמות הקו הישר שעשינו ונכה אותו בכמות הצלע השמור אצלינו וחצי מה שיעלה הכל הוא כמות כל שטח המשולש וזה מה שרצינו
הפרק הרביעי בידיעת שעור שטח המרובע ושטח הרבוע
ומיני המרובע שבהם נדע כמות כל המרובעים הם ב': המין הא' שיהיה שוה הארך והרחב והמין השני שהארך והרחב בלתי שוים
ולדעת כמות המרובע השוה האורך והרחב שצורתו היא זאת הוא בדרך זה שצריך שנדע כמות הצלע הא' ונכה אותו בעצמו ומה שיעלה הוא כמות הכל שטח המרובע וזה מה שרצינו
ואם נרצה לדעת כמות שטח המרובע שארכו ורחבו בלתי שוים שזאת היא צורתו
צריך שנדע כמות הצלע הגדול וכמות הצלע הקטן ונכה האחד באחר ומה שיעלה הוא כמות השטח כולו וזה מה שרצינו
הפרק החמישי בידיעת שיעור העגול לפי סברת החכמים
ולדעת כמות שטח העגלה בקרוב שזא(ת) היא צורתה צריך שנדע חצי האלכסון ונכה אותו בחצי הקף העגלה ומה שיעלה הוא כמות השטח
ולדעת כמות העגלה נשלש האלכסון ויוסיף עוד החלק השביעי ממנו כך הוא כמות כל העגלה ובעבור שאין יחס בין הקו הישר והבלתי ישר לכן הוא נמנע לדעת כמות העגלה בדקדוק אמתי אלא בקרוב
ובאלו העגלות שאנו עושי' נוכל להתקרב לידיעת אמתתם
ואם יקרה טעות אינו נחשב למעוטו אבל בעגלות הגדול כ"ש השממיות שיהיה הטעות הגדול מאד
ולכן אמרו ארגימידש ואלפארבי שמי שיתן לעגלה כמות שליש האלכסון ומע' חלקים ממנו העשרה שנותן פחות מן העשרה א"כ כמות האמתי הוא בין ע' חלקים וע"א מהאלכסו' וזה מה שרצינו בתמונות השטחיות
ואחר שדברנו מהכמות השטחי נדבר עתה מהגשמי
ולכן ראוי שנאמר קודם מהו גשם א"כ גשם הוא כמות שיש לו שלשה מרחקים שהם ארך ורחב ועמק שתכליותיו הם שני שטחים
הכלל השלישי מהמאמר השלישי ובו פרק אחד והוא בידיעת שעור אי זה גשם שיהיה התמונות
והתמונות הגשמיות הראשונות הם שלשה והם מחודד ומוגשם וכדור
ואם נרצה לדעת כמותם כמו שאם רצינו לדעת כמות כלי אחד מעוקב או בלתי מעקב או מחודד כמה יכיל צריך שנדע קודם שטח התושבת בדרך שאמרנו ואחר נכהו בעמקו ומה שיעלה הוא כמותו הגשמי
המשל נניח שיש בכאן כלי אחד שהתושבת שלו הוא ג' אמות ועמקו ב' נכה [ה]ב' בג' ומה שיעלה הוא כמותו
ואם שטח תושבת הכלי יהיה יותר גדול משטח פיו או בהפך נדע שטח כל אחד מהם ונחברם ונקח החצי וזה יהיה כמות השטח הראוי להכות עם העמק ונכם ומה שיעלה הוא כמות כל גשם הכלי
ובעבור שאין שם תמונות אחרות שנוכל לדעת שעורם בדרך שאמרנו אלא אלו לכן אם נרצה לדעת שעור אי זה תמונה צריך שתהפכנה באחת מאלו התמונות המשלשות או המרובעות מאי זה מין שיהיה מהם זה בשנשלש התמונה שנרצה או נרבע אותה וזה מה שרצינו וכל מי שיהיה בקי באלה הה[תח]לות יוכל לעיין בקלות בכל ספרי אקלידס וכן בכל חכמה שתקנה התחלותיה מלאכת המספר וכבר הארכנו בכל מה שצריך לכונתינו
דרך אחרת קצרה יותר ממה שכתבנו בחבורנו בענין ההכאות והחלוק והיחסים קודם כל דבר צריך לדעת מספר הפועל ומספר הפעול והם נעשים בדרך זה וראשונה המספר הפעול הוא בכל מה שיכתב תחת הקו
והמספר הפועל הוא בשלש דרכים [שלם לבד] שבר לבדו או שניהם כאחד ואם יהיה שלם לבד יקרא מספר פועל ואם יהיה שבר לבד המספר שעל הקו שלו יקרא מספר פועל
המשל אם יהיו בידינו ב' שהם שנים שלמים ושלשה רביעיות נכה הב' שלמים על ד' ויהיו ח' עוד נוסיף עליהם ג' שעל הקו כאמור ויהיו י"א וזהו המספר הפועל שלהם א"כ כשנדע המספר הפועל והפעול בדרך שאמרנו ונרצה לעשות שום הכאה נכה פועל המספר האחד עם פועל המספר השני וזאת ההכאה נחלק בהכאת פעול האחד עם הפעול השני או יהיה פעול לשני המספרים ואם לא יהיה שם אלא פעול אחד הוא יהיה המחלק
המשל נרצה להכות נעשה המחלק שהוא הכאת הפעולים שהם ה' וג' שעולה ט"ו וזהו המחלק ואחר נעשה המחולק מהכאת הפועלים שהוא י"ט עם כ' שעולה ש"ף וזה נחלק בט"ו שהוא המחלק ודרך החלוק הוא זה שהמספר שרצינו שיהיה המחלק הוא שנכה הפועל שלו עם פעול של האחד וזהו המחלק ואותו שנרצה שיהיה המחולק נכה הפועל שלו בפעול של האחד וזהו המחולק ואח"כ נחלק האחד באחר
המשל נרצה לחלק נעשה הפועלים יותר והראשון הוא ט' והשני י' ונחלק ט' בי' ויהיו ט' עשיריות ומדרך היחסים מונחים הג' מספרי היחס שהם ראשון ושני ושלישי נבקש הפועל ראשון בפעול שני וכל מה שיעלה נכה בפעול השלישי אם יהיה לו פעול ואם לא באי זה פעול שימצא וזאת ההכאה תקרא המחלק ונשמור אותה נ א"כ נכה פועל השני עם פועל השלישי והעולה נכה בפעול המספר הראשון אם לא יהיה לו פעול ואם לא יספיק הכאת הפועלים וזאת ההכאה תקרא המחולק ואחר נחלק המחולק במחלק ויצא היחס המבוקש
המשל אם כ' שוים ט"ו וה' חלקים מל"ז כמה שוים ה' וב' שביעיות וזו היא צורתו
ולפי הנאמר פועל הראשון הוא כ' ופועל המספר הב' תק"ס ופועל המספר השלישי ל"ז א"כ נכה הכ' שהם הפועל של המספר הראשון על פעול המספר השני שהם ל"ז ויעלו תש"מ ואלו נכה בפעול המספר השלישי שהם ז' ויעלו ה' אלפים ק"ף וזהו המחלק ונשמור אותם ואחר כך נכה תק"ס שהוא פועל המספר השני עם ל"ז שהוא פועל המספר השלישי וזאת ההכאה נחלק במחלק ששמרנו ומה שיצא הוא היחס המבוקש
נשלם
תהלה לאל יתעלה השם
ונשלם הספר הזה ספר המספר לעלי לידי לי אליאו גבה בכ"ר אליעזר יצ"ו בשנת עזרה בצרות נמצא ליצירה בחדש טבת כ"ה בו
