ספר ציפרא

Prologue
[MS Paris, Séminaire Israélite de France (École Rabbinique) 158/1 (IMHM 4102) f. 197r, lines 1-16]
	זה ספר חכמת התשבורת [הנקרא] טשיפרא סיבתו: אני את לבי גם מנעורי גרסה נפשי לדעת חכמה ובקש חשבון ומי יתן ואמצאם בספר ויחקו בעט סופר מהיר ‫. ולסבה שזאת היא חכמת החיצוניות לא נמצאת לפנינו בישראל, והמיעוט שבמיעוט הנמצא נאסף אל תוך הבית בחדרי חדרים, לכן העירוני רעיוני ללקט האמרים מיד כל אשר ימצא אתו ולכל[...] לזכרון‫.
	וקודם שאתחיל אבקש מיד כל רואיו לבל יכרעני לכף חובה ולומר מה לך פה כלך בהוייות דאביי ורבא חלילה וחס [לי'] לזרעא דאבא, כי לא לקחתי זאת לשום עיקר ותכלית, רק לחדד השכל ולבא בחשבון במקרה ושנייה ובחידוד דאביי ורבא בעצם וראשונה ועל זאת אמרו המושלים באו חשבון ‫ כמו שכתוב הרמבם ז"ל פרק חמישי מה[קדמת] ה פרקי אבות ‫ וז"ל‫:
	ומה שאין בו תועלת לו בתכלית ההוא כשאלות החשבון וספר החר[וט]ים והתחבולות הרבות משאלות אל ההנד[ס]ה ומשיכת המשקלים והרבה כיוצא בא[ילו] יהיה הכוונה בהם לחדד השכל ולהרגיל כח השכלי בדרכי המופת עד שיגיע לו לאדם קניין ידיעת ההיקש המופתי מזולתו ויהיה לו זה הדרך שיגיע בה לידעת אמיתות מציאתו ית' עכל‫'
Introduction
	בטוב גדא
	אתחיל דא
	ספר ציפרא
The book contains nine chapters	לידע ולפרש ספר המספר שיש בו ט' שערים
The basic conventions needed for the calculation practice	ואפרש תחילה הקבלות אשר צריך לידע המחשב הוא המפתח ויכול אחר כך לידע כל החשבונות
The Positional Decimal System
The written numerals
There is no number [= numeral] smaller than one	דע כי אין לך חשבון קטן מן א' שהוא אחד
There is no number [= numeral] greater than nine	ואין לך חשבון גדול מן ט‫'
The nine numerals from which all numbers are formed - the nine first Hebrew letters	ובאלו ט' אותיות מן א' ועד ט' יש בו כל החשבונות שבעולם עד אין מספר
The written ranks
Units	כיצד מעלה הראשונה היא נקראת מעלת היחידים כי כאשר יקראו האות כך מניינם פי' א' אחד ב' שנים ג’ שלש וכן עד ט' שהיא תשע
Tens	וכשתחשוב עשרה אז צריך אתה לכתוב ב' מעלות א' במעלה שנייה ולפניו ציפרא
Zero – placeholder digit	שהוא גלגל כזה 0 שאין בו ממש אלא שומר המעלות וזכר לדבר כגלגל לפני רוח ‫
writing the x-teen numbers (10, 11, 12, 13, …, 19)	‫0א הוא י' א"א הוא י"א כי הא' הראשונה מן היחידים שהיא במעלה ראשונה וא' שנייה היא מן העשיריות הרי י"א ב"א הרי י"ב ג"א הרי י"ג וככה עד ט"א שהוא י"ט
writing the twenties numbers (20, 21, 22, …, 29)	‫0"ב הוא עשרים א"ב הוא אחד ועשרים ב"ב הוא שנים ועשרים וככה עד תשע ועשרים שהוא ט"ב
Hundreds	ומעלה השלישית היא מעלת המאות כזה
writing the hundreds (100, 200, 300, …, 900)	‫00"א שהוא ק’ 00"ב הוא ר' 00"ג הוא ש' וככה עד ט' מאות שהוא 00"ט
writing the numbers 111 and 101	אא"א הוא קי"א א0א הוא ק"א
Thousands	ומעלה הרביעית היא מעלת האלפים
writing the thousands (1000, 2000, …, 9000)	‫000"א הוא אלף 000"ב הוא ב' אלפים 000"ג הוא ג' אלפים וככה עד ט' אלפים שהוא 000"ט
Tens of thousands	ומעלה החמישית היא מעלת הרבבות שהוא י' אלפים
Hundreds of thousands	ומעלה ששית היא מעלת מאה אלפים
Thousands of thousands	ומעלה שביעית היא מעלת אלף אלפים
and so on endlessly	וככה עד אין מספר תוכל לכתוב
Every rank is ten times the preceding rank	וכל מעלה היא עשרה פעמים יותר מן המעלה שלפניה
Example: writing the number 3020	ואם ישאלך השואל 0ב0ג כמה הן תשיב אל לבך כי הגלגל אין לו מניין רק שומר המעלות והנה החשבון עשרים וג' אלפים
This is the meaning of the written numerals and their numerical value	והנה ביארתי לך מניין ועניין הכתיבה א’ ב’ ג’ ד’ ה’ ו’ ז’ ח’ ט’ 0’ 0"א 0"ב 0"ג

Chapter One: Multiplication of Units - Shortcuts	שער הכפל הקטן
$\scriptstyle x,y<10\quad x\sdot y=\left[10\sdot\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]+\left[\left[x-\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]\sdot\left[y-\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]\right]$	אם תרצה לידע כמה עולה ט' פעמים ט' או ט' פעמים ח' או ה' פעמים ט' או ו' פעמים ט' וכן כל כיוצא בזה שכל אחד פחות מעשרה
$\scriptstyle9\times9$	אשכילך אם תחפוץ לידע כמה ט’ פעמים ט’ אז כתוב כזה ט ט
9 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(9+9\right)-10}}={\color{blue}{8}}}$ 89 $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{9-8}}={\color{blue}{1}}\\\scriptstyle{\color{red}{9-8}}={\color{blue}{1}}\end{cases}}$ 89 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\sdot1}}={\color{blue}{1}}}$ 81 9  9  9  9 11 11	ואחר כך חשוב כמה יותר על עשרה ויהיה ח' ואותה ח' כתוב אצל הט' העליונה בצד שמאל כזה ט ח ט ואחר כך חשוב כמה ט' העליונה יותר על ח' ותמצא רק אחד אותו א’ כתוב בצד ט’ התחתונה ט ח ט א ואחר כך חשוב כמה ט’ התחתונה יותר על הח’ ויהיה א’ כתוב אותה א’ ג”כ בצד ט’ תחתונה כזה ט ח ט א א ותחשוב א' פעמים א' היינו אחד כתוב א' לפני הח' כזה א ח ט א א ומחוק הט' למטה ולמעלה ויהיו אחד ושמונים
$\scriptstyle9\times8$	וכן אם תרצה לידע כמה ט' פעמים ח' כתוב כזה ט ח
9 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(9+8\right)-10}}={\color{blue}{7}}}$ 79 $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{9-7}}={\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{8-7}}={\color{blue}{1}}\end{cases}}$ 79 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\sdot2}}={\color{blue}{2}}}$ 72 8  8  8  8 12 12	וחשוב כמה ח'ט' יותר על עשרה דהיינו ז' כתוב הז' אצל הט' כזה ט ז ח וחשוב כמה הט' עודף על הז' דהיינו ב' וכמה הח' עודף על ז' א' וכתוב כזה ט ז ח ב א תכפול א' על ב' היינו ב' אותה ב' כתוב קודם הז’ כזה ב ז ח ב א נמצא ט' פעמים ח' יהיה ע"ב
$\scriptstyle6\times6$ [MS Paris 1088, 4v]	דומיון אם תחפוץ לידע כמה ו' פעם ו' אז כתו' הו' תחת הו' כזה ו ו
6 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6+6\right)-10}}={\color{blue}{2}}}$ 26 $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{6-2}}={\color{blue}{4}}\\\scriptstyle{\color{red}{6-2}}={\color{blue}{4}}\end{cases}}$ [26] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20+\left(4\sdot4\right)}}={\color{blue}{36}}}$ 36 6  6  [6]  6 [44]	ואז תאמר כמה הש[.] ו' למעלה מי' זהו ב' ואותו ב' תכתו' לאחר הו' כזה ו ב ו ואז תאמ' כמה הו' יתיר על הב' זהו ד' והו' השנייה [...] למעל' מב' זהו ד' ואז תכפול ט ד' פעמי' ד' זהו ו"א פי' י"ו ואז תכתוב שים הא' על הב' כי הב' מעלה שניי' ויהיה ג' ועוד הוה ו' ואות' ו' תכתו' לפני הג' כזה ו ג ו
	נמצא שו' פעמ' ו' עולה ו"ג פי' ל"ו וכן עשה לעולם
	וכן לעולם תכפול המותר מזה ומזה והעולה כתוב קודם העודף עליו ואז תשכיל בכל אשר תעשה
$\scriptstyle x,y<10\quad x\sdot y=\left[10\sdot\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]+\left[\left(10-y\right)\sdot\left(10-x\right)\right]$ [MS Paris 158, 198r] taken from a Latin book	דמיון אחר שהעתקתי מספר גלחות: חברם יחד הב' אותיות והשליך עשרה והמניין הקטון כתוב ואח"כ תכפול יחד החשבון שיש מכל אחד עד עשרה וכתוב זה לפני המנין הקטן שבידך ואם בא לידך מה כפל הזה ב' מעלות אז תחבר המעלה שנייה אל המניין שבידך כגון אילו החשבונות החרו[ת]ים לפניך ממנו תשכיל ותחכם עוד
$\scriptstyle{\color{blue}{8\times9}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{7\times8}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{6\times7}}$ 8 2 7 3 6 4 9 1 8 2 7 3 72 56 42	8 2 7 3 6 4 9 1 8 2 7 3 72 56 42
$\scriptstyle x<y<10\quad x\sdot y=\left(x\sdot10\right)-\left[x\sdot\left(10-y\right)\right]$ [MS Paris 158, 198r]	או כלך לדרך זו כתוב לפני המניין קטון שבשני אותיות גלגל כזה 0
$\scriptstyle7\times8$	כגון את"ל ז'פ'ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{7<8<10\quad 7\times8=\left(7\sdot10\right)-\left[7\sdot\left(10-8\right)\right]=70-\left(7\sdot2\right)=70-14=56}}$	כתוב כזה 0ז‫' וקח ממנו מה שבא מן הכפל שתכפול המניין מאות הגדול עד עשרה עם האות הקטן כגון מה שלפניך אמור ז'פ'ב' הם ד"א ותקח ד"א מן 0"ז ונשאר ו"ה וכגון אילו
$\scriptstyle{\color{blue}{8\times8}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{6\times7}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4\times9}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{5\times8}}$ 8 0 6 0 4 0 5 0 8 2 7 3 9 1 8 2 64 42 36 40	ח ‫0 ‫ו 0 ד ‫0 ‫ה 0 ח ב ז ג ט א ח ב דו בד וג ‫0ד
$\scriptstyle x+y<10\quad x\sdot y=10+\left[\left(x-1\right)\sdot\left(y-1\right)\right]-\left[11\left(x+y\right)\right]$	ואם תרצה לידע ולחשוב כמה ג' פעמים ג' או ד' פעמים ד' וכן כל כיוצא בזה שאפילו צירופו אינו מגיע לעשרה
	אשכילך לעשות שתלוה לו כמה שצריך שיהיה בכל פעם אחד יותר מעשרה וככלות חשבונך קח מה שהלוית לו וישאר מתכונך
$\scriptstyle4\times4$	דמיון בקשנו ד' פעמים ד' כזה ד ד

4	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left[4+4+\left[11-\left(4+4\right)\right]\right]-10}}={\color{blue}{1}}}$	14	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{4-1}}={\color{blue}{3}}\\\scriptstyle{\color{red}{4-1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}$	14	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\sdot3}}={\color{blue}{9}}}$	19	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-\left[11-\left(4+4\right)\right]}}={\color{blue}{6}}}$	16
4		4		4		4		4
				33

	והנה תלוה לו ג' שיעלה י"א והשלך עשרה וישאר בידך א' ורשום כזה ד א ד ואחר כך חשוב כמה ד' הראשונה יותר על הא' הוי אומר ג' וכן ד' השנייה גם כן יותר ג‫' ד א ד ג ג כפול ג' על ג' הרי ט' כתוב הט' לפני הא’ כזה ט א ד והנה קח ג' שהלוית לו וישאר ו"א והם י"ו ותמצא חשבונך מכוון ו א ד
$\scriptstyle x+y<10\quad x\sdot y=\left[\left(10-y\right)\sdot\left(10-x\right)\right]-\left[10\sdot\left[10-\left(x+y\right)\right]\right]$	עניין אחר אם תרצה לידע כמה ג’ פעמים ג’ או ד’ פעמים ד’ וכן כל כיוצא בזה שאפילו צירופו אינו מגיע לעשרה
$\scriptstyle4\times4$	אשכילך דמיון אם תרצה לחשוב ד’ פעמים ד’ אז תכתוב אותו כזה ד ד
4 $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{10-4}}={\color{blue}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{10-4}}={\color{blue}{6}}\end{cases}}$ [4] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6\sdot6}}={\color{blue}{36}}}$ [36] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{10-\left(4+4\right)=2}}\\\scriptstyle{\color{red}{3-2}}={\color{blue}{1}}\end{cases}}$ 16 4  [4]  [4] [66] [66]	וחשוב כמה ד’ ראשונה פחות מי’ ויהיה ו’ וחשוב גם השנייה כמה השנייה פחות מי’ ותמצא ג”כ ו‫’ ואז תכפול ו’ על ו’ ויעלה בידך ו”ג אז חשוב כמה השני ד’ פחותים מעשרה ויהיה ב’ השלך ב’ ממעלה שנייה מהג’ וישאר לך ו”א נמצא ד’ פעמים ד’ הוא ו”א וכן כולם ודוק
$\scriptstyle x+y<10\quad x\sdot y=\left[\left(10-y\right)\sdot\left(10-x\right)\right]+\left[10\sdot\left(x+y\right)\right]-\left(10\sdot10\right)$ [MS Oxford 60, 151v, 161r]	ואם יהיה המספר אשר תרצה לכפול זע"ז פחות מי' כשתצרף שני המספרים יחד
$\scriptstyle4\times3$	דימיון אם בקשת לכפול ד' על ג‫'
$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(10-4\right)\sdot\left(10-3\right)=6\sdot7}}={\color{blue}{42}}}$ 42 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4+3}}={\color{blue}{7}}}$ 742 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(7+4\right)-10}}={\color{blue}{1}}}$ 12	אז תקח המרחק מן י' מכל אחד דהיינו מד' עד י' ו' ומג' עד י' ז זפ"ז ב"ד אותו ב"ד כתו' לזכרון [בד] ואח"כ צרוף ד' ג' יחד ויהיה ז' אות ז' כתוב לצד שמאל אצל ב"ד כזה [בדז] ואח"כ השלך י' מצד אותיות של שמאל וישאר ב'א' היינו החשבון אשר בקשת לידע וכפי זה תקיש והנה כתבתי זה אף כי הוא מושכל ראשון החשבון אשר בקשת להודיעך שאין בדרך הזה [...]
$\scriptstyle x,y<10\quad x\sdot y=\left[\left(10-y\right)\sdot\left(10-x\right)\right]+\left[10\sdot\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]$ [MS New York, 94r-v; MS Oxford 60, 161r; MS Oxford 440, 115r, 124r] taken from another book	דרך אחרת לכפל קטן בספר אחר מצאתי או כלך בדרך זו קח המרחק עד י’ מן כל אחד ואחד שתרצה לכפול יחד וחשוב אותו ב’ מרחקים זה על זה ומה שיעלה בידך כתוב לזכרון אחר כך צורפם יחד בשער החיבור והעולה בידך קח מה שלמטה מן י’ וי’ השלך מידך וכתוב אותו למטה בצד שמאל למה שכתבת כבר ויהיה חשבונך מכוון
$\scriptstyle7\times9$	דמיון הנה רצונך לכפול ז’ פעמים ט‫’
$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(10-7\right)\sdot\left(10-9\right)=3\sdot1}}={\color{blue}{3}}}$ 3 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(7+9\right)-10=16-10}}={\color{blue}{6}}}$ 63	קח המרחק מן הז' עד י' דהיינו ג' והמרחק מן ט’ עד י’ דהיינו א’ ואמור ג’ פעמים א’ היינו ג’ אותו ג’ כתוב לזכרון כזה ג אחר כך חבור ז' על ט' ויעלה ו"א פי' י"ו השלך הי’ והו’ קח בידך וכתוב אותה בצד שמאל אצל הג’ הנשארת ויהיה כזה גו ששי' ושלש ועיין
$\scriptstyle6\times8$	דמיון אחר הנה רצונך לכפול ו’ פעמים ח‫’
$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(10-6\right)\sdot\left(10-8\right)=4\sdot2}}={\color{blue}{8}}}$ [8] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6+8\right)-10=14-10}}={\color{blue}{4}}}$ [48]	קח המרחק מן ו’ עד י’ דהיינו ד’ והמרחק מן ח’ היינו ב’ ואמור ב’ פעמים ד’ היינו ח’ אותו ח’ כתוב לזכרון [ח] אחר כך חבור ו’ על ח’ ויעלה י”ד השלך י’ וקח ד’ בידך וכתוב ד’ בצד שמאל אל ח’ אשר כתבת כבר ויעלה מ”ח היינו חשבון ח’פ’ו’ עיין ודוק [חד]
$\scriptstyle5\times6$ [MS Oxford 440, 115r]	דמיון אחר אם תרצה לידע הפ"ו
$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(10-5\right)\sdot\left(10-6\right)=5\sdot4}}={\color{blue}{20}}}$ [20] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{\left(5+6\right)-10=1}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}$ [30]	קח המרחק מן ה' עד י' ויהיה ה' צרפם יחד הה’ והו’ ויהיה א' השלך עשרה ונשאר לך א' צרפם 0"ב ויהיה ג' נמצא ל' ודוק
Multiplication Table
multiplication table of 1 to 9	והנה ארשום לך לוח מתוקנת על שער הכפל קטן כדי שתוכל לראות בקלות כל מה שתרצה בלא שום חשבון מן א' פעמים א' עד ט' פעמים ט' ודוק
half multiplication table [MS Oxford 440, 115r; Oxford 60, 175r]	והחצי לוח עשיתי למצוא כל חשבון ואינך צריך הרבה כל כך
	סליק שער כפל קטן ואז תשכיל כל אשר תעשה

Chapter Two: Addition	שער החיבור
$\scriptstyle3372+3392$	אם תרצה לחבר שנים ושבעים וג' מאות וג' אלפים עם שנים ותשעים וג' מאות וג' אלפים תכתוב כזה ג ג ז ב ג ג ט ב
3372 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2+2}}={\color{blue}{4}}}$ [3372] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7+9}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}}$ [3372] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{1}}+3+3}}={\color{blue}{7}}}$ [3372] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3+3}}={\color{blue}{6}}}$ [3372] 3392 [3392] [3392] [3392] [3392]    4    64   764  6764	תחבר ב' תחתונה על ב' עליונה ויהי ד‫' ג ג ז ב ג ג ט ב       ד תחבר ט' תחתונה על ז' עליונה ויהיה ו"א הו' כתוב במעלה שניה אחר ד' שכתבת כזה ד ו והא' הנשארת חבור אל הג'ג' שלאחריו שהם למעלה מזו כזה ג ג במעלה השלישי ויהיה הכל ז' כזה ד ו ז ואחר כך תחבר שני הג'ג' האחרונים במעלה הרביעי' ויהיה חבורם ו' אות' ו' כתוב במעלה הרביעי' אחר דוז שכתבת כזה ד ו ז ו ותשלם המלאכה ויהיה חבורו ארבע וששי' ז' מאות ו' אלפי' דהיינו כזה ד ו ז ו
The result of addition can be one rank higher than the addend at most	לעולם לא תמצא הטור מן החיבור אשר בעליונה שעברת על המחובר רק מעלה לשמאל לכל היותר ולפעמים לא תעבור כלל
[MS Paris 1088, 7v]	הילך שער חיבור לחבר כל דבר [..] ולישב על אופניו
	כגון אם תרצה לחבר כמה חשבונות יחד ועתה אחבר חשבון אחד ומהם תבין אחר ותכתו' אות תחת אות ולא תכתו' כאשר כותבין בשער כפל אלא תכתו' כזה שאראך בע"ה
$\scriptstyle3372+9892$	דומיון בקשנו לחבר ע"ב וג' מאות וג' אלפי' עם צ"ב וח' מאות וט' אלפים
	הילך היאך תכתוב אותו וצורתו כזה ג ג ז ב ט ח ט ב

3372	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2+2}}={\color{blue}{4}}}$	3372	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{7+9}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{3+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{4}}\end{cases}}$	3472	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{4+8}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{3+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{4}}\end{cases}}$	4472	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4+9}}={\color{blue}{13}}}$	3372
9892		9892		9892		9892		9892
		4		64		264		13264

	נחבר ב' תחתונ' עם ב' עליונ' הרי ד' אות' ד' נכתוב נגד ב' תחתונ‫' נחבר כמו כן ט' תחתונ' עם ז' עליונ' ויעלה ו"א נכתוב ו' תחת הט‫' ונוסיף א' על אות שבשיט' עליונ' הסמוכ' לה ושם יש ג' ונוסיף א' עליה ויהיה כאילו נכתו' ד' במקום ג‫' ונחבר ד' עליונ' עם ח' תחתונ' ויעלה ב"א נכתו' ב' למטה תחת הח‫' ונוסיף א' על אות הסמוך לד' עליונ' ושם יש ג' ונוסיף א' עליה ויהא ד‫' נחבר ד' עליונ' על ט' שלמטה ויעלה ג"א נכתוב ג' למט' תחת הט' וא' נכתוב לאחריה ויהיה כזה   ג ג ז ב   ט ח ט ב א ג ב ו ד
	זה הכלל לא ימוש מפיך: כשמותר הא' משיט' ראשונ' אני מוסיף אות' על שיט' שלאחריה כי הא' הנותרת לי היא כמו כן מן העשיריות נגד שיט' ראשונ' לכך אני מוסיף אות' תדיר עליה נמצא החיבור שחברנו לעיל הוא עולה ס"ד ומאתים וי"ג אלפים ודוק
[MS Paris158, 198v]	ציור זה בגלחת ונקרא אדירין
$\scriptstyle{\color{blue}{78312+87547}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{68975+87496}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{37064+52056}}$   7 8 3 1 2   8 7 5 4 7   6 8 9 7 5   8 7 4 9 6 3 7 0 6 4 5 2 0 5 6 1 6 5 8 5 9 1 5 6 4 7 1 8 9 1 2 0	ז ח ג א ב   ח ז ה ד ז   ו ח ט ז ה   ח ז ד ט ו ג ז 0 ו ד ה ב 0 ה ו א ו ה ח ה ט א ה ו ד ז א ח ט א ב 0
Checking Methods	ועתה תדע שאכתוב לך שני משקלים
[MS Paris158, 198v]
1) Casting out 9 by 9	הא' השלך ט"ט כל כמה שתוכל מב' שיטות עליונות ומה שנשמר לך למטה מט' קח בידך לאבני המשקל ואח"כ השלך ג"כ השיטה התחתונה בט"ט ומה שנשאר לך אם משקלו כאבן הראשון דע שכוינת חשבונך
2) Subtraction	משקל השני יקח השני שיטות העליונות מהשיטה התחתונה אם יצא במבוקש בלי חסרון ויתרון אז חשבונך מכוון ודוק ותמצא

Chapter Three: Subtraction	שער החיסור
	אם תרצה לחסור ולנכות חשבון מן חשבון הילך איך תעשה‫: תכתוב החשבון שאתה רוצה לנכות ולחסר ממנו אותו חשבון כתוב למעלה כפי מעלותיו והחשבון שאתה מנכה הימנו כתוב למטה כפי מעלותיו ואחר כך תנכה מן החשבון שלמעלה
$\scriptstyle1000-999$	ועתה אכתוב לך הדמיון להשכילך: הנה בקשנו לחסור ט' מאות ותשעים ותשע מאלף הילך היאך תכתוב אותו כזה א 0 0 0   ט ט ט
1000 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-9}}={\color{blue}{1}}}$ 100 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-9}}={\color{blue}{1}}}$ 10 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-9}}={\color{blue}{1}}}$ 1  999  99  9	נמצא הא' שבשיטה העליונה במעלה רביעי' עולה עשרה לגבי ט' שלישית שבתחתונה עתה נחסר מאותו עשרה ט' וישאר לך א' אותו א' כתוב במקום גלגל השלישי נגד הט' שחסרת ואותו ט' מחוק כזה א 0 0   ט ט ועכשיו כמו כן הא' שבמעלה שלישית שבשיטה העליונה עולה עשרה לגבי ט' שבשיטה תחתונה נחסר ט' שנייה ונשאר א' ואותו א' כתוב במקום הגלגל השני ותמחוק ט' שנייה שחסרנו וגם תמחוק הא' העליונה שבמעלה שלישית שחסרנו ממנו ויהיה כזה א 0   ט שוב נחסר ט' תחת הגלגל מן א' שלמעלה במעלה השנייה כי גם היא עולה עשרה לגבי ט' כדלעיל והנה כשנחסר ט' מן י' וישאר א' אותו א' כתוב במקום הגלגל ומחק הא' העליונה אשר במעלה שנייה וגם הט' מחק ואז נשאר רק א‫' נמצא כשחסרנו ט' מאות וצ"ט מאלף נשאר א‫'
$\scriptstyle654-321$	דמיון אחר אם בקשנו לחסור אב"ג מן דה"ו כתוב כזה‫: ו ה ד ג ב א
654 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6-3}}={\color{blue}{3}}}$ 354 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-2}}={\color{blue}{3}}}$ 334 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4-1}}={\color{blue}{3}}}$ 333 321  21   1	נחסר ג' התחתונה מן ו' העליונה שכנגדה וישאר ג' מחק הו' וכתוב במקומה הג' שנשאר ומחק גם כן הג' שנשאר שלמטה ויהיה כזה ג ה ד   ב א שוב נחסר ב' התחתונה מן ה' עליונה שכנגדה וישאר ג' אותו ג' כתוב במקום הה' ומחק הב' שלמטה וגם ה' שלמעלה ויהיה כזה ג ג ד     א שוב נחסר א' התחתונה מן ד' עליונה שכנגדה וישאר ג' ומחוק ד' שלמעלה וגם א' שלמטה וכתוב ג' במקום ד' שלמעלה ויהיה כזה ג ג ג נמצא כשחסרנו אב"ג מן דה"ו לא נשאר כי אם ג'ג'ג‫'
If the digit of the subtrahend is larger than the digit of the subtracted in the corresponding rank	וכאשר תמצא אשר אות עליון פחות מאות תחתון היאך תחסור מרובה ממועט
$\scriptstyle956-867$	כזה ט ה ו ח ו ד
	ז' מן ו' לא תוכל וכן ו' מן ה' בדרך זה תעשה טול א' מן ה' אשר אצל ו' ומחוק ה' וכתוב ד' א' כמה עולה לחבירו עם ו' י"ו כי היא במעלה שנייה מן ו' הרי י"ו חסר ז' אשר ב השפל מן י"ו וישאר ט' אחר כך צריך לחסר ו' מן ה' ג"כ כמו שצויתיך מחוק א' מן ט' ויהיה במעלה שלפניו י"ד וחסר ממנו ו' וישאר ח' זה שייך לשער הכפל קטון
	ואם תרצה לידע אם אמת חשבת אז תחבר בשער החיבור אב"ג עם גג"ג אז תמצא דה"ו אז החיסור מכוון
	זה הכלל שער החיסור מאזני צדק לשער החיבור ושער החיבור מאזני צדק לשער החיסור

Chapter Four: Multiplication	שער הכפל
	אם תרצה לכפול רל"ד ואלף על ד' אלפים ושכ"א
	הילך צורתו כאשר תכתבנו חשבון האחד בצד השני ומכוון אות ראשון בחשבון התחתון תחת אות האחרון שבחשבון העליון כזה
	וכפול א' תחתונה על ד' עליונה פי' חשוב א' פעמים ד' זה ד' אות ד' כתוב נגד א' התחתונה ומחוק א' תחתונה כזה
	עוד כפול ב' תחתונה על ד' עליונה ויעלה ח' אותו ח' כתוב נגד ב' התחתונה ומחק ב' התחתונה כזה
	עוד נכפל ג' תחתונה על ד' עליונה ויעלה ב"א פי' י"ב עתה כתוב ב' נגד ג' תחתונה וא' על ח' אחריה ויעלה ט' כי הוא מעלה אחת שהיא עשרה אחר ב' שלפניה ומחוק ג' תחתונה כזה
	עוד נכפל ד' תחתונה על ד' עליונה ויעלה ו"א פי' י"ו עתה נכתב ו' נגד ד' תחתונה במקום ד' עליונה כי עתה חשבנו ד' עליונה בכל חלקים וכתוב א' על ב' שלאחריה ויהיה ג' כזה
	ועתה נמשך ד"ג ב"א מעלה לאחורית תחת ג' עליונה כדי לחשוב ג' עליונה כדי לחשוב ג' גם בכל תוצאותיה ד"גב"א כזה
	כפול א' תחתונה על ג' עליונה פי' ג' פעמים א' זהו ג' ושים אותו ג' על ט' שעל א' התחתונה ויעל ב"א פי' י"ב עתה כתוב ב' במקום ט' א' שהיא עשרה שים אותו במעלה שנייה דהיינו ד' ועשה ד' אחרונה ה' ומחוק א' תחתונה כזה
	עוד כפול ב' תחתונה על ג' עליונה ויעלה ב' פעמים ג' דהיינו ו' ושים אותו ו' על ג' שעליה ויהיה ט' ומחוק ב' תחתונה כזה
	עוד כפול ג' תחתונה על ג' עליונה ג' פעמים יעלה ט' ושים אותו ט' על ו' שעליה ויעלה ה"א ה' כתוב במקום ו' א' כתוב במעלה שנייה דהיינו אל ט' שלאחריה ויהיה עשרה אך אין ראוי לכתוב עשרה כי אין כותבין בחשבונות הציפרא עשרה רק ט' לכן כתוב גלגל כזה במקום ט' וכת' א' במעלה שלאחריה דהיינו אל ב‫'
	ועתה יהיה ג' מחוק ג' תחתונה כזה עוד כפול ד' תחתונה על ג' עליונה ויעלה ב"א עתה כתב ב' במקום ג' עליונה כי חשבונו גם כן ג' בכל חילוקה א' כתוב במעלה שנייה אל ה' ויהיה ו' ומחוק ד' תחתונה כזה
	ועתה נמשך ד"ג ב"א מעלה אחת לאחורית תחת ב' עליונה כזה
	עוד כפול א' תחתונה על ב' עליונ' א' פעמים ב' דהיינו ב' כתוב אותו ב' נגד א' תחתונה במקום גלגל ומחוק א' תחתונה כזה
	שוב כפול תחתונה על ב' עליונה ב' פעמים ב' היינו ד' אותו ד' כתוב למעלה נגד ב' תחתונה דהיינו אל ו' הרי י' כתוב במקום ו' גלגל ואחר הגלגל תוסיף א' היינו אל ב' ויהיה כזה
	שוב כפול ג' תחתונה על ב' עליונה ג' פעמים ב' היינו ו' אותה ו' כתו' נגד ג' תחתונה דהיינו אל ב' עליונה ויהיה ח' ומחוק ג' תחתונה כזה
	שוב כפול ד' תחתונה על ב' עליונה ד' פעמים ב' ויעלה ח' כתוב ח' במקום ב' עליונה כי חשבנו ב' בכל חילוקיה ומחוק ד' תחתונה כזה
	ועתה נמשך דגב"א מעלה לאחורית כדי לכפול אותו על א' ראשונה ויהיה כזה
	כפול א' תחתונה על א' עליונה א' פעמים א' זה א' אותו א' כתוב נגד א' תחתונה במקום גלגל ומחק א' תחתונה כזה
	שוב כפול ב' תחתונה על א' עליונה ב' פעמים א' היינו ב' אותו ב' כתוב על התחתונה דהיינו אל ח' ויהיה עשרה כתוב במקום ח' גלגל אחר גלגל תוסיף א' על א' ויהיה ב' ומחוק ב' תחתונה כזה
	שוב כפול ג' תחתונה על א' עליונה ג' פעמים א' זה ג' אותו ג' כתוב נגד ג' תחתונה דהיינו אל ח' הרי י"א מחוק ח' וכתוב במקומה א' ואחריה במקום גלגל א' ומחוק ג' תחתונה כזה
	שוב כפול ד' תחתונה אל א' עליונה ד' פעמים א' היינו ד' אותו ד' כתוב במקום א' שכנגדה אבל לא תצרף אותו א' עם ד' כמו שצויתיך כבר כי על אותו א' כפלנו עכשיו דגב"א ולא היתה א' רק לסימן לכן לא חיידיא לצירוף ומחוק ד' תחתונה כזה
	נמצא כי א"בג"ד פעמים דגב"א עולה בחשבון דא"אב"ג ג"ה היינו י"ד ומאה וגם ב' אלפים גם ל' אלפים וגם מאה אלפים וגם ה' מאות רבבות וד"ל
	דמיון אחר הנה בקשנו לכפול ט' ומאתים על ג' אלפים ושלשים
	הילך היאך תכתוב צורתו כזה
	כפול ב' תחתונה על ג' עליונה ב' פעמים ג' היינו ו' אותו ו' כתוב נגד ב' תחתונה ומחוק ב' תחתונה וגם הגלגל שלפני ב' מחוק וכתוב גלגל לפניו כזה כי נכפול גלגל ג' פעמים ויהיה גלגל
	שוב כפול ט' על ג' שעליה ט' פעמים ג' היינו ז"ב אותו ז' כתוב למעלה במקום ג' אחרונה ויהיה ז' במקום וגם ב' כתוב במקום גלגל ומחק ט' תחתונה כזה
	ועתה משוך 0ט"ב לאחוריו ב' מעלות כדי שתהא ט' תחתונה שהיא אות ראשונה שבשיטה תחתונה נגד ג' עליונה כזה
	ואת"ל למה לא כתבנו ט0"ב תחת גלגל עליון ודאי עשינו כך אבל מ"מ לא עלה יותר מגלגל כי כאשר תמצא אותיות כתובים ואת' צריך לצרף עמהם גלגל אין צירופין עמהם ול"ד כמו שפי' לקמן
	כפול ב' תחתונה על ג' עליונה ב' פעמים ג' היינו ו' אותו ו' כתוב נגד ב' תחתונה דהיינו אל ז' ויהיה י"ג מחוק ז' וכתוב במקומה ג' ואחריה תוסיף א' על ב' כי הוא עשרה כמו שכתבתי לעיל ויהיה ג"כ ג' ומחוק ב' תחתונה וגם גלגל שלפניה
	ואין אתה צריך לצייר אותו הגלגל למעלה כמו שעשית כבר כי בלאו הכי יש גלגל כנגדה וכ"ש אם היה אותו נגד גלגל שלא היינו מוחקים אותן לצייר שם גלגל ממעטים חשבון ואם לעשות כדי להרחיקם המעלה זה אינו כי בלאו האות מרחיק המעלה כללא דמילתא לעולם אין אנו מציירין גלגל תחתון למעלה אלא אם אין כנגדו שום דבר אבל אם יש שום גלגל או אות נגד אותו גלגל תחתון אז אין אנו צריכין לצייר שום גלגל כי אינו אלא שומר המעלה כמו שכתבתי לעיל
	ועתה נחזור לחשבון דלעיל כמו שפרטתי אז יהיה כזה
	שוב כפול ט' תחתונה על ג' עליונה ט' פעמים ג' היינו ז"ב כתוב במקום ג' עליונה ז' ואחריה במקום גלגל כתוב ב' ומחק ט' תחתונה כזה וגם ג' עליונה מחק
	תמצא שמאתים וט' פעמים ג' אלפים ול' יש ס"ג רבבות וג' אלפים ומאתים ושבעים
	ואם לבך מפקפק לומר מאן יאמר שכך הוא הילך מאזני צדק היאך תשקול ותבחין אם טעות אם לאו
	בראשונה קח חשבון שבשיטה עליונה אשר בקשת לכפול והשלך אותו ט"ט והמותר קח בידך
	ואם לאו תמצא אפי' פעם אחת ט' אז תקח הכל
	ואחר כך קח חשבון התחתון והשלך גם כן בט"ט
	ומה שנשאר בידך השלך אותו בשער הכפל על מה שנשאר לך בשיטה עליונה אחר שהשלכת אותו ט"ט ומה שיעלה בידך השלך אותו ט"ט ומה שנשאר שלא הגיע לכלל ט' קח נא בידך
	ואחר כך קח חשבון היוצא לך כבר כשבעלת ב' חשבונות יחד והשלך ג"כ אותו ט"ט
	ומה שנשאר בידך אם הוא מכוון כנגד מה שנשאר לך כבר ידוע תדע שאמת חשבת ואם לאו בודאי טעית
	ועתה שקול דלעיל למען יבין המבין ויוסיף לקח הדמיון היה 0"ג0"ג פעמים ט0"ב
	בתחילה נחבר ב' פעמים ג' היינו ו' ואין כאן אפי' פעם אחת ט‫'
	ואחר כך חבר חשבון תחתון דהיינו ט0"ב חיבור ט"ב היינו י"א השלך ט' וישאר ב' כפול ב' על ו' ב' פעמים ו' היינו י"ב השלך ט' וישאר ג' מה יהיה לך לזכרון זה הכלל ראה בכפל מה שנשאר לך כאן אתה הוצרכת לכפול ב' פעמים ו' ויהיה י"ב כתוב י"ב בציפור ויהיה ב"א היינו יתור ואל יגיע לט' היינו ג' וכן לעולם
	ואחר כך ראה מה שיעלה בידך כשכפלתה 0"ג0"ג על ט0"ב דהיינו 0"ד בג"ד חבור אותו יחד ויהיה ב"א השלך אותו ט"ט וישאר ג' כמו שנשאר לך כבר ואם כן החשבון מכוון

Chapter Five: Gelosia	שער הכפל בסולם
	ציור נקרא סולם ויפה לשער הכפל גדול
	וכמה שתרצה לכפול חשבון גדול על חשבון כן עשה מניין הכתוב
	אם תכפול חשבון ג' מעלות על ג' מעלות כמו כן תצייר שליבות הסולם ג' בתים לארכה ולרחבה
	ואם תכפל ג' אותיות על ב' אותיות עשה ג' בתים לרחבה וב' בתים לארכה
	וכן להיפך מלמעלה למטה אחד המרבה ואחד הממעיט ובלבד שיכווין לבו כלאות לפי הציור
	דמיון אם ת"ל כ"א וג' מאות פעמים נ"ד וגם ת"ר שרשימתו א"ב ג"ד ה"ו
	רשום למעלה על הבתי' כאשר תראה בסולם שרשמתי והנכפול כתוב בצדו זה תחת זה כמצוייר בראשונה חשוב כמה ד' פעמים א' ויעלה ד' וכת' אות בחצי הבית ראשון שמכוון תחת א' וגם נגד כי כל בית נחלק מקצתו העליון אחדים ותחתון עשריים
	ואחר כך חשוב כמה ד' פעמים ב' ויעלה ח' רשומיהו בחצי בית עליון שתחת ב‫'
	ואחר כך חשוב כמה ד' פעמים ג' ויעלה ב"א רשומיהו באותו בית שתחת ג' וכתוב ב' בחצי' בית עליון וא' בחצי השניי‫'
	ומעתה מחוק ד' כי הוא נחשבת בכל חילוקים
	מעתה תצטרך לחשוב ה' פעמים א' ויעלה ה' רשומייהו בבית שבצד ה' מכוון תחת א‫'
	ואחר כך חשוב ה' פעמים ב' ויעלה 0"א רשומייהו בחצי בית תחתון בבית חמישי
	ואחר כך חשוב ה' פעמים ג' ויעלה ה"א רשומייהו בבית ששי ה' בחצי העליון ה' בחצי תחתון
	ומעתה מחוק ה‫'
	והנה חשוב ו' פעמים א' ויעלה ו' רשומייהו בצדו מכוון בטור שתחת א‫'
	ו' פעמים ב' ב"א רשומייהו בבית שמיני
	ו' פעמים ג' היינו ח"א רשומייהו בבית האחרון
	והנה כפלנו כולה
	ואשכילך כמה יעלה סכום שלה קח אות ראשון שבבית ראשון שהיא ד' וכתביהו במקום מיוחד
	ואחר כך בשליבה שנייה בכל השיפוע מאות ח' עד אות ה' וצירוף אות ה' עם ה' ויעלה ג' א' ג' כתוב בצד ד' הנרשמת כבר כזה
	וגם א' שהיא עשרה צרוף לשליבה שתחתיו וחבריהו אל ב' בתחילת שליבה שלישי ויעלה וחבור אחר כך ג ו' שבסוף השיפוע ויהיה ט' רשומייהו אצל ד"ג כזה
	ואחר כך חשוב וצירוף אותיות שבשליבה רביעי מראש ועד סוף ויעלה ט' כתוב ט' אצל דג"ט כזה
	והנה חשוב אותיות שבשליבה חמישית בשיפוע ויעלה צירופו עשרה וכבר אמרתי שלעולם העשירי מצטרף לשליבה שתחתיו ואין רושמין אות בצד המיוחדין אבל תצטרך להשיב גלגל במקום עשרה לשמור המעלה הואיל ולא נשאר אפי' אחד לשמור האורה המעלה
	והנה כשתצטרף העשרה לא' שבשליבה אחרונה יעלה ב' וכתביהו בצד ד"ג ט"א המיוחדים ויהיה כזה
	זה מכוון חשבון של כפולת אב"ג על דה"ו ומאזנים שלו כמו שכתבתי לעיל בשער הכפל הגדול דוד פעמים דוד עולה חשבונו ו"ט א"ב ודוק
	סליק שער הכפל

Chapter Six: Division	שער החילוק
	והוא טוב לחלק חשבון גדול לכמה חשבונות קטנים ועתה ידוע תדע שאין כותבין בשער זה כמו בשער הכפל אות ראשונה משורה תחתונה נגד אות אחרונה משורה עליונה אלא כותבין שורה עליונה כפי מעלותיה ושורה תחתונה כאן כן כפי מעלותיה ויכוון אות אחרונה שבשורה תחתונה נגד אותה אחרונה שבשורה עליונה ואם אות אחרונה שבשורה תחתונה יותר מאות אחרונה שבשורה עליונה אז יסיג שורה תחתונה מעלה אחת לאחוריה אלא א"כ דאותו שורה תחתונה יש בה יותר מאות אחת וכשיש בה יותר מאות אחת יסיג כל השורה מעלה לאחוריה [... יכול לחלוק] אותיות עליונה על אותיות תחתונה והחילוק שחילוף יכתוב נגד ראשונה שבשורה תחתונה הן אם אותו מעלה אות או גלגל וכשתחלק י"ב אותיות פי' שהיה בשורה תחתונה י"ב אותיות אז אין חילוק על שתיהם רק מנין אחד יהיה ג' אותיות או ד' וכן עד סוף כל הדורות וכל כך כמה פעמים שחלקת האות האחרונה מן החשבון כן תקח כל שאר אותיות ול"ד
	והילך שער החילוק וטוב לכל דבר וכן עמא דבר לחלק חשבון גדול לכמה חשבונות קטני‫'
	ועתה אכתוב דמיון למען יבין המבין ותן לחכם ויחכם עוד ויוסיף לקח ועתה אתחיל בחילוק קטן אם ישאול השואל כמה פעמים ז' יש במאתים וי"ח
	הילך היאך תעשה כתוב המאתים וי"ח כזה והז"ה היה לכתוב מן הדין תחת ב' כדי לחלק ב' לז' פי' למנה כמה פעמים ז' יש בב' אלא שאין ב' מגיע מגיע לחילוק של ז' לכן נסוג ו' לאחור כדי שתהא ב' במעלה שנייה לה ותעלה לנגדה עשרים ואחת כזה ואותו עשרים ואחת תחלוק ז'ז' פי' מנה כמה פעמים ז' יש באחת ועשרים נמצא שיש בהם ג' פעמים ז' אותו ג' כתוב על א' שבשורה נגד ז' שבשורה תחתונה כזה ואחר כך מחוק א"ב שמצאת בהם ג"פ ז' ואחר כך סוג ז' למעלה אחת לאחוריה ויהיה ח' כזה ומנה כמה פעמי' ז' יש בח' ולא מצאת בה רק פעם אחת ועוד יש א' יותר א' כתוב נגד ז' על ח' כזה נמצא בב' וי"ח מאות יש ל"א פעמים ז' וישאר אחת וכן לעולם ועיין
	דמיון אחר הנה יש לי עשרת אלפים פצין ומאה פצין ועשרים ושבע פצין ואבקש לידע כמה זהו' יש בתוכם שכל אחד יש ט"ו פצין
	והנה רשומיהו כזה והנה רשום תחת זה הז"בא"0א החשבון הא' ואם תכתבהו תחת השוביי' במחוייבים נמצא א' תחת א' ולא ישאר לך דבר וא"כ מאין תקח ה'פעמים א' כי כמה פעמים שתקח אותו אחד כמו כן תקח חברת' כמו שכתבתי לעיל וא"כ סוג ז'א'ה' אחור וכתו' א' תחת גלגל וכתו' ה' תחת א' שלפני גלגל ויהיה כזה א' מאותיות שעליו שגם יעדיף למצא ה' בעודף בחשבון זה ואם תרצה לומר ליקח ט' פעמים מן י' א"כ לא ישאר רק אחד ו ב"א א' במקום גלגל ויהיה א"א ומעתה לא תוכל ליקח ט' פעמים ה' מן א"א וכן אם תקח ח' פעמים א' לא ישאר רק ב' ולא תוכל ליקח ח' פעמים ה' מן ב"א וכן אם תיקח ז' לא ישאר רק ג' ולא תוכל ליקח ז' פעמים ה' מן ג"א אלא קח ו' וישאר ד' כתוב ו' על א' ויהיה כזה ואז תוכל ליקח ו' פעמים ה' מן א"ד וישאר לך מן ד' שהיא א' עשרה ואם כן כתוב א' במקום ד' ומחק ה' ויהיה כזה ואחר כך בקשנו ליקח הא' מן החשבון הזה י' פעמים לא תוכל ליקח כמו שפי' וגם זה הכלל נקוט בידך לעולם לא תוכל ליקח י' רק ט' או ז' ולמטה לכן עשה כך כתוב הא' תחת ב"א כזה וקח ז' פעמים וישאר ד' שעודף ד"א על ז'ד' וכתוב ז' למעלה נגד ה' תחתון ומחק א' תחתונה ומחק ג"כ א' עליונה וכתב תחתיה ד' כזה והנה קח ז' פעמים ה' מן ד' שבצידה דהיינו ל"ה וישאר ה' כי ד' היא במעלה שנייה מן ה' עולה ארבעים ועתה קח ממנה ל"ה וישאר ה' צירוף ה' אל ב' שלפניך ויהיה ז' כזה וקח ה' פעמים א' מן ז' כי ז' פעמים לא נוכל ליקח כמו שפי' לעיל שאז לא נוכל ליקח ז' פעמים או ו' פעמים ה' ודו"ק לכן קח ה' וכתוב למעלה ה' על ז' נגד ה' תחתונה ויעדוף ב' אותו ב' כתוב במקום ז' כזה והנה קח ה' פעמי' ה' מן ז"ב וישאר ב' שאינו מגיע לחשבון הא' וצורתו כזה נמצא מכוון שעשרת אלפים ומאה וכ"ז פצין עולה ה' זהו' וגם ת"ר זהו' ושני פצין ואם לבך מגמגם כפול העודף האחרון על הא' ויצא לך חשבון הראשון ששאלת וזהו מאזני צדק על שער החילוק נמצא כפול אבחר החילוק דמיון למאזנים כתוב הא' וכתוב תחתיו ה' ו' ז' הנשאר באחרונה חוץ מן ב' שלא הגיע לחשבון ט"ו אל תצטרף עמהן עד סופו חיבורו לאות ראשונה כזה כפול ו' על א' יעלה ו' כפול ז' על א' יעלה ז' כפול ה' על א' ויעלה ה' כזה והנה ה' ז' ו' תחת ה' של הא כזה כפול ו' על ה' ויעלה ל' חבור על ז' שעליו כמו שצויתיך בשער הכפול אם כן צריך אתה ליתן ג' אל ו' ויהיה ט' כזה ואחר כך כפול ז' על ה' ויעלה ה"ג ועליו ה' דהיינו 0"ד עשה גלגל במקום ה' ותן ד' לז' ויהיה א"א כתוב במקום ז"א ותן א' על ט' ויהיה י' אז צריך אתה לעשות גלגל במקום ט' ואחריו א' כזה ואחר כך כפול ה' על ה' ויעלה ה"ב כתוב ה' במקום ה' עליונה ואל תצטרף ה' ראשונה עליה כמו שצויתיך בשער הכפל ואחר כך כתוב ב' במקום גלגל כזה והנה חבר ב' שלא הגיע לכלל ט"ו אל ה' ראשונה ויהיה ז' אז יהיה חשבון כזה והיינו כיון השאלה
	סליק שער החילוק

Chapter Seven: Proportions	שער הערכין
The purpose of this chapter - deducing and estimating a thing from another thing	הילך שער נכבד הנקרא שער הערך אשר לכולא עלמא צריך למנות ולחשוב ולהחכים ולהשכיל ולדעת ולהבין דבר מתוך דבר ולהעריך דבר אחר דבר ולעמוד על יסודו ועל בוריו
Estimating the price of a small amount of goods based on the given price of a larger amount of the same goods	כיצד אם לקחת מקח גדול בדמים מרובים ואתה רוצה להעריך מקח קטון לפי אותן דמים פי’ כמה מגיע מן הדמים למקח הקטון שקנית
Estimating the price of a large amount of goods based on the given price of a smaller amount of the same goods	או להפך שקנית מקח קטון בדמים מועטים ואתה תרצה להעריך מקח גדול אחריו
The procedure:	הילך היאך תעשה ותמנה ותעריך
Calculating the price of a small amount of goods based on a given price of a larger amount of the goods:	תכתוב המקח הגדול וסכום הדמים מן הגדול תכתוב תחת המקח הגדול ואחר כך כתוב המקח קטון תחת הסכום
$\scriptstyle\frac{\left(price\ of\ large\ amount\ of\ goods\right)\times\left(small\ amount\ of\ goods\right)}{large\ amount\ of\ goods}$	וכפול דמי המקח הגדול אשר כתבת למעלה אחר המקח הגדול על מניין המקח הקטון והעולה קח בידך ותחלוק אותו בשער החילוק על המקח הגדול ומה שיעלה בידך כך ערך המקח הקטן
If there is a remainder - the price is represented by [an integer and] fractions	ואם יותר לך חלקים שלא יעלה לחלק המבוקש אז תאמר עוד נשאר לי חלקים כך וכך שסכום כך וכך עולה לחלק א' המבוקש
Calculating the price of a large amount of goods based on a given price of a smaller amount of the goods:	ואם להיפך שאתה רוצה להעריך חשבון מקח גדול אחר חשבון מקח קטן אז כתוב חשבון הקטן למעלה ואחריו כתוב דמים הידועים לאותו מקח לחשבון הגדול כתו' למטה תחת דמיו של חשבון הקטון
$\scriptstyle\frac{\left(price\ of\ small\ amount\ of\ goods\right)\times\left(large\ amount\ of\ goods\right)}{small\ amount\ of\ goods}$	וכפול חשבון הגדול על דמים הידועים של מקח הקטון והעולה תחלק בשער החילוק על המקח הקטון כדלעיל
The writing rule of the calculation procedure: the given amount of goods its price the amount of goods of which the price is unknown	זה הכלל: המקח אשר ידעת כתוב תחילה ואחר כך כתוב דמיו ואחר כך המקח אשר בקשת לידע ולהעריך ותכפול ואחר כך תעריך כמו שצויתיך
Word Problems	ועתה אכתוב לך ב' או ג' דמיונות כדי שתוכל להבין ולהשכיל
Pricing Problem - Find the Price - Cubits of a Cloth - I bought 70 cubits of cloth for 40 dinar, how much will 55 cubits cost? $\scriptstyle\frac{70}{40}=\frac{55}{X}$	איש אשר ישאלך הנה קניתי ע' אמות בגד בעד מ' דינרין כמה מגיע לנ"ה אמות
	אז תכתוב תחילה ע' אמות ואחר כך דמי המקח ואחר נ"ה אמות אשר בקשת לידע עירוביהן כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{55\sdot40}{70}=\frac{2200}{70}=31+\frac{30}{70}}}$	וכפול נ"ה על מ' ועולה הוא ב' אלפים וב' מאות כזה ואחר כך תחלק ב' אלפים וב' מאות לע'ע' פי' חלוק בשער החילוק כמה פעמים ע' יש בהן והחילוק הוא ל"א פעמים ע' ועוד ל' חלקים קטנים שע' מהם הם חלוק שלם דהיינו דינר נמצא השאלה ששואל לך כשקנה ע' אמות עבור מ' דינרין כמה מגיע לנ"ה אמות ל"א דינרין ועוד ל' חלקים שע' עושין חלק שלם שהוא דינר
Check:	ואם תעלה על דעתך מאן מוכח ומאן לימא לן שכך הוא שמא הערך אינו כמו שחשבת
$\scriptstyle{\color{blue}{70-55=15}}$	אז צא וחשוב ט"ו אמות העודפים על נ"ה כי מן נ"ה עד ע' יש ט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{70}{40}=\frac{15}{y}}}$	ותעריך כמה מגיע לט"ו אמות כשע' אמות באו עבור מ' דינרין
	והילך היאך תעשה כתוב ע' אמות ואחר כך ט"ו אמות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{15\sdot40}{70}=\frac{600}{70}=8+\frac{40}{70}}}$	וכפול ט"ו על מ' פי' חשוב כמה ט"ו פעמים מ' ועולה ו' מאות ואחר חלוק ו' אמות לע"ע פי' מנה כמה פעמים ע' יש בו' מאות ויעלה שמונה פעמים ע' ועוד ישארו מ' חלקים שע' מהם עושין חלק שלם פי' דינר אחד נמצא כשקנית ע' אמות בעד מ' דינרין מגיע לט"ו אמות ח' דינרין ומ' חלקים שע' מהם עושין דינר שלם
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(31\frac{30}{70}\right)+\left(8+\frac{40}{70}\right)&\scriptstyle=\left(31+8\right)+\left(\frac{30}{70}+\frac{40}{70}\right)\\&\scriptstyle=39+\frac{70}{70}\\&\scriptstyle=39+1=40\\\end{align}}}$	ולמעלה חשבנו שמגיע לנ"ה אמות ל"א דינרין ול' חלקים שע' מהם עושין דינר שלם עתה חבור הערך יחד ל"א דינרין וח' דינרין הרי ל"ט דינרין ומ' חלקים הנותרים בט"ו אמות ול' חלקים הנותרים בנ"ה צרפם יחד ויהיה ע' דהיינו דינר שלם תן אותו דינר עם הל"ט ויהיה מ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{55+15=70}}$	נמצא שנ"ה אמות וט"ו אמות באו בעד מ' דינרין צרוף נ"ה וט"ו ויהיה ע' נמצא שעכשיו אתה יודע ומבין שחשבת כדין וביושר ול"ד ע"א
Pricing Problem - Find the Price - Barrels - I bought 100 barrels for 90 liṭra, how much will one barrel cost? $\scriptstyle\frac{100}{90}=\frac{1}{X}$	דמיון אחר אם ישאלך אדם הנה קניתי ק' חבית בעד צ' ליטרות כמה מגיע לחבית אחת
	אז כתוב תחילה ק' חבית ואחר כך דמיהם דהיינו צ' ליטרות ותחת צ' ליטרו' כתוב החבית האחד כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot90}{100}=\frac{90}{100}}}$	וכפול א' התחתונה על צ' שלמעלה הימנה א' פעמים צ' יעלה צ' ואחר כך תחלק אותו צדיק לק"ק פי' כמה פעמים ק' יש בצ' ולא תשיג ידך אפי' פעם אחת ק' אדרבה חסר לך עשרה וזה הערך המגיע לחבית אחד צדיק חלקי' שק' מהן עולין ליטרו‫'
	זה מוצא מהר"ר וייזל בספר אחר וזה לשונו: ולפי דעתי שאין צריך לטעם זה כי אין מחשבתו של אדם לחלק צ' חלקים שק' מהן חלק א' וזה הטעם ראוי יותר בעיני גם חשבונות של גוים נמי כזה שאכתוב הנה שאלת ק' חבית בעד צ' ליטרו' כמה מגיע לאחד כתוב כזה
liṭra = 20 pešuṭim $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot\left(90\sdot20\right)}{100}=\frac{1800}{100}=18}}$	חשוב בדעתך כמה פשוטים יש בצ' ליטרו' אם היה בליטר' כ' פשוטים חשוב כ' פעמים צ' ויעלה ח' מאות ואלף כזה חשוב בשער החילוק כמה פעמים מאה יש באלף וח' מאות ותמצא י"ח פעמים מכוון כך היא החשבון י"ח פשיטי' לחבית אחד
	ואם ישארו לך חלקי' קטנים אמור כך וכך חלקים שכך וכך עולה לחלק שלם פי' פשי' ודוק ע"א
Pricing Problem - Find the Price - Cubits of a Cloth - I bought 19 cubits of cloth for 13 dinar, how much will 13 cubits cost? $\scriptstyle\frac{19}{13}=\frac{13}{X}$	הנה בקשנו להעריך אם ישאל אדם קניתי י"ט אמות בגד עבור י"ג דינרין כמה מגיע לי"ג אמות
	אז תערוך כך וכתוב תחילה י"ט אמות אחר כך דמיו דהיינו י"ג דינרין ואחר כך י"ג אמות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{13\sdot13}{19}=\frac{169}{19}=8+\frac{17}{19}}}$	וכפול י"ג שלמעלה על י"ג שלמטה פי מנה כמה עולה י"ג פעמים י"ג ותמצא שיעלה קס"ט כזה ואז תחלק קס"ט לי"ט י"ט פי' כמה פעמים י"ט יש בקס"ט ותמצא שיש בו ח' פעמים י"ט ונשארו י"ז חלקים שי"ט מהן עולה חלק אחד וזה הערך המגיע לי"ג אמות כשקונין י"ט אמות בעד י"ג דינרין אז מגיע לי"ג אמו' ח' דינרין וי"ז חלקים שי"ט מהן עושין חלק שלם דהיינו דינור אחד ול"ד
	וכן אם תרצה להעריך מקח גדול אחר מקח קטן אשכילך היאך
Pricing Problem - Find the Price - Cubits of a Cloth - I bought 21 cubits of cloth for 43 dinar, how much will 65 cubits cost? $\scriptstyle\frac{21}{43}=\frac{65}{X}$	הנה קנית כ"א אמות מ"ג דינרין כמה מגיע לס"ה אמות
	כתוב בתחילה כ"א אמות ואח"כ מ"ג דינרין ואחר כך ס"ה אמות אשר בקשת לערוך כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{65\sdot43}{21}=\frac{2795}{21}=133+\frac{2}{21}}}$	וכפול ה"ו על ג"ד פי' כמה עולה ג"ד פעמים ה"ו ויעלה ה'ט'ז"ב ואחר כך חלוק ה'ט'ז"ב בשער החילוק כמה פעמים א"ב יש ותמצא גג"א פעמים א"ב שיש בהן ועוד נשארו ב' חלקים שא"ב מהן עושין חלק שלם דהיינו דינר נמצא אם קנית א"ב אמות בעד ג"ד דינרין מגיע לה"ו אמות ג'ג'א' דינרין וב' חלקים שא"ב מהן דינר שלם
Check:	ואם תרצה לידע אם אמת חשבת אם לאו
$\scriptstyle{\color{blue}{65-21=44}}$	ראה כמה הו' עולה יותר מן א"ב היינו ד"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{44\sdot43}{21}=\frac{1892}{21}=90+\frac{2}{21}}}$	השלך ד"ד בשער הכפל על ג"ד פי' ג"ד פעמים ד"ד דהיינו ב"טח"א ואחר כך חלקהו בשער החילוק כמה פעמים שיש בהם א"ב נמצא 0"ט פעמים ועוד נשאר ב' חלקים קטנים שא"ב מהן חלק אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{43+\left(90+\frac{2}{21}\right)=133+\frac{2}{21}}}$	חבור 0"ט וב' חלקים קטנים על ג"ד דהיינו דינרין השייכי' לא"ב אמות ויהיה גג"א וב' חלקים קטנים כזה והיינו כוונת החשבון ול"ד ודוק
Boiling Water Problem - you have 50 se'ah [1 se'ah = ca. 22 liter] of water, and you say: when I boil them on fire, while boiling 7 se'ah evaporate each day, if 5 se'ah overflowed, and we reduce the heat accordingly, how much will be evaporated from the remaining 45 se'ah each day? $\scriptstyle\frac{50}{7}=\frac{50-5}{X}$ $\scriptstyle\frac{50}{7}=\frac{45}{X}$	שאלה היוצא משער הערך הזה הנה לפניך נ' סאין ועתה שואלין אם נשפכו ה' סאין ואינו ממעטי' האור לפי זה כמה יחסרו מה' סאין הנותרות ביום אחד
	הילך היאך תעשה כתוב תחילה נ' סאין ואחר כך כתוב ז' סאין הנחסרים ביום אחד ותחת ז' סאין כתוב מ"ה סאין הנותרות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{45\sdot7}{50}=\frac{315}{50}=6+\frac{15}{50}}}$	וכפול מה שלמטה על ז' שלמעלה הימנה פירו' חשוב כמה עולה מ"ה פעמים ז' ויעלה שט"ו חלק אותו לנ'נ' פי' חשוב כמה פעמים נ' יש בשט"ו ותמצא בו ו' פעמים נ' ועוד נשארו ט"ו חלקים שנ' מהן עושה חלק שלם נמצא כשנ' סאין יחסרו ז' סאין ביום אחד מ"ה סאין יחסרו ו' סאין וט"ו חלקים שנ' מהן עושה חלק שלם
Boiling Water Problem - there are 91 se'ah of water, when boiling on fire 9 se'ah evaporate each day, if we add to them 11 se'ah more, so there are now 102 se'ah and we increase the heat accordingly [...] how much will be evaporated from the 102 se'ah each day? $\scriptstyle\frac{91}{9}=\frac{91+11}{X}$ $\scriptstyle\frac{91}{9}=\frac{102}{X}$	עוד שאלה אם ישאל השואל הנה יש צ"א סאין מים ואם יתבשלו על האור יחסרו ביום א' ט' סאין ואם נוסיף עליהן עוד י"א סאין שיהיה הכל ק"ב סאין ואנו מרבים את האש לפי זה שאם לא היינו מרבים את האש אז לא היו המים מתמעטים וחסרים לפי חשבון זה כי האור אינו שולט כל כך כשהמים הרבה כמו שאם היו המים מעט לפיכך כשמרבים מים אז צריכי' להרבות אש או אם מתמעטים המים צריכין למעט האש נחזור לשאלה ששאלנו כמה יחסרו ק"ב סאין ביום אחד כשצ"א סאין חסירין סאין
	הילך היאך תעשה כתוב תחילה צ"א סאין ואחר כך ט' סאין ולאחר כך ק"ב למטה כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{102\sdot9}{91}=\frac{918}{91}=10+\frac{8}{91}}}$	וכפול ק"ב שלמטה על ט' שלמעלה פי' כמה ט' פעמים ק"ב ויעלה תתקי"ח תחלק תתקי"ח לצ"א פי' כמה פעמים צ"א יש בתתקי"ח והיינו י' פעמים צ"א וח' חלקים קטני' שצ"א מהן עושה חלק שלם נמצא כשצ"א חסרין ביום אחד ט' סאין יחסרו ק"ב י' סאין וחלקים שצ"א מהן עושה חלק שלם והמאזנים על זה כמו שכתבתי לעיל עם הבגדים
Note: the boiling water problems are similar to the pricing problems therefore their solving method and checking procedure are similar	זה הכלל זה השאלות עם המים כמו השאלות עם הבגד לכן יש להם מאזני צדק אחד וחשבון אחד ול"ד
	והרבה חכמות ושאלות יוצאין משער זה אשר לא יוכל הסופר לספר ועתה אפרש קצת מהם ובזה אתחיל ואומר
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree - a half of it is [ingrained] in the soil, a third of it is in the water, and 5 cubits of it are up above the water, how much is the length of the whole tree? $\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+5=X$	הנה לך אילן שחציו בארץ ושלישיו במים ומעל המים הוא גבוה ה' אמות כמה אורכה של כל האילן
$\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=3-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=1}}$	הילך היאך תעשה ותבין העניין חשוב כל כך איזה חשבון הקרוב שיכולין לחלק לב' חלקים ולג' חלקים זהו ו' חסר מן ו' החצי' וישאר ג' חסר ג"כ השליש וישאר א' אותו א' כתוב בצד שמאל אצל א' כתוב ו' ותחת א' כתוב ה' אמות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot6}{1}=\frac{30}{1}=30}}$	וכפול ה' שתחת א' על ו' אצל א' בשיטה עליונה פי' מנה כמה עולה ה' פעמים ו' והעולה הוא ל' אותו ל' תחלק לא'א' פי' מנה כמה פעמים א' יש בל' ודבר ידוע לכל שיש בל' ל' פעמים א' וזהו אורך האילן אשר שאלת אם חציו בארץ ושליש עומד במים ומעל לארץ הוא ה' אמות ושאלת כמה ארכו הנה ארכו ל' אמות ודמיון כזה
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(\frac{1}{2}\sdot30\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot30\right)=30-15-10=30-25=5}}$	ואם אתה ירא שמא אינו כך אז קח רומח שארכו ל' אמות חסר ממנו ט"ו זהו חציו אחר כך חסר ממנו שליש זהו עשרה עשרה וט"ו הרי כ"ה נמצא שאין נשאר כי אם ה' אמות
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Lance - is embedded one third, a quarter, and one fifth in the earth, and it is 7 cubits above the earth, how much is the length of the whole lance? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+7=X$	דמיון אחר למען ירוץ הקורא בו ויבן מעלותיו וטובו והוא שאלה ששואלין והנה לך רומח שעמד השליש והרביעי והחומש בארץ ולמעלה מן הארץ ארכו ז' אמות כמה ארכו של כל הרומח
$\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=60-20-15-12=60-47=13}}$	אז חשוב שיש בו שליש ורביעי וחומש וזהו שיכולי' לחלק לג' לד' לה' חסר מן ס' שליש זהו כ' חסר כמו ג"כ רביעי זהו ט"ו חסר ג"כ החמישי והוא י"ב סך הכל מ"ז עוד נשאר לך מן ס' י"ג אז כתוב תחילה י"ג שנשאר לך ואת י"ג כתו' בצדו רחוק מעט ס' ותחת י"ג כתוב ז' אמות ויהיה כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{7\sdot60}{13}=\frac{420}{13}=32+\frac{4}{13}}}$	כפול ז' שלמטה על ס' שבשיטה עליונה פי' חשוב ומנה כמה פעמים עולה ז' פעמים ס' ויעלה ת"ך תחלק ת"ך לי"ג פי' חשוב כמה י"ג יש בת"ך ותמצא שיש בו ל"ב פעמים י"ג ועוד נשארו ד' שלא יכולנו לעשו' מהם י"ג והם ד' חלקים שי"ג מהן עושין חלק שלם נמצא שהרומח ששאלת בשליש וברביעי ובחומש בארץ ולמעלה מן הארץ ז' אמות ארכו וששאלת כמה אורך של כל הרומח ל"ב אמות וד' חלקים שי"ג מהן חלק שלם ודוק
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Wall - its base is buried 5 cubits in the ground, and it is a half, one third, and a seventh up above the ground, how much is the height of the whole wall? $\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{7}X+5=X$	שאלה אחרת הנה חומה שיסודה שקוע בארץ ה' אמות ולמעלה מן הארץ היא גבוה החצי' והשליש והשביעי כמה גבהו של כל החומה
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot7=2\sdot21=42}}$	אז חשוב איזה חשבון שיכול לחלק לב' לג' לז' בקל לפי רגע והנה לך דרך היאך תעשה אותו חשבון המתחלק לב' לג' לז' מנה ז"פ ג' באה כ"א כ"א פעמים שנים הרי הן מ"ב הרי מ"ב מתחלק לשנים לשליש ולשביעי
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot7=\left(6\sdot6\right)+6=36+6=42}}$	או כלך לדרך זו והכל אחד ב' פעמים ג' הרי ו' ו' פעמים ו' הרי ל"ו וכבר היו לך ו' צרוף ו' עם ל"ו הרי מ"ב הוא
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot7=6\sdot7=42}}$	או נלך לדרך זו והכל אחד חשוב בפ"ג הרי ו' ו'פ"ז הרי מ"ב נמצא שמ"ב הוא
Finding the least common multiple:	וכן לעולם כשישאלך דבר המתחלק לשביעי ולתשיעי ולעשירי או לכל דבר המתחלק אז כפול אותו חילוק על האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot9}}$	כגון אם שאל דבר המתחלק לעשרה ולתשעה אז כפול י' על ט' פי' מנה כמה עולה י' פעמים ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5}}$	ואם ישאלך דבר המתחלק לחמישי ולרביעי או למאות או לאלפים או לכל דבר המתחלק לג' לד' לה' אז כפול תחילה ג' על ד' והעולה כפול על ה' או איפכה כפול ה' על ד' והעולה בידך כפול על ג‫'
	ועתה נחזו' לשאילתינו דלעיל החומה אשר היא חצי' ושלישית ושביעית גבוה מן הקרקע ויסודה שקועה בקרקע ה' אמות כמה גובה של כל החומה
$\scriptstyle{\color{blue}{42-\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot42\right)-\left(\frac{1}{7}\sdot42\right)=42-21-14-6=42-41=1}}$	נמצא ששאלנו על דבר המתחלק לב' לג' לז' זהו מ"ב ועתה סור מן מ"ב החצי' זהו כ"א נסיר כמו כן השליש זהו י"ד נסיר כמו כן השביעי' ויהיה ו' סך הכל מ"א עוד נשאר מן מ"ב א' נמצא אם היינו שואלין גבוה החומה שיסודה בקרקע אז יהיה גבוה של כל החומה מ"ב אמות עכשיו צריכין אנו ללמוד ולהעריך כמה מגיע לה' אמות פי' שהוא שקוע בקרקע ה' אמות וכן עשה הערך כתוב תחילה אמה אחת ואחר רחוק ממנו מעט כתוב מ"ב אמות תחת האמה אחת כתוב ה' אמות ששאלנו ויהיה כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot42}{1}=\frac{210}{1}=210}}$	כפול ה' על מ"ב פי' כמה עולה ה' פעמים מ"ב והעולה הוא ר"י חלוק ר"י לא'א' פי' מנה כמה פעמים א' יש בר"י ונמצא ר"י פעמי' א' יש בתוכה לזה גבוה ששאלנו והדמיון כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=2\sdot5\sdot3\sdot7=10\sdot3\sdot7=30\sdot7=210}}$	וזה לך דרך אחר בקיצר היאך תוכל לידע גבוה של כל החומה כשהיא משוקעת בארץ ה' אמות ולמעלה מן הארץ היא גבוה החצי' והשליש והשביעי קח ב' פעמים ה' הרי י' י' פעמים ג' הרי ל' ל' פעמים ז' הרי ר"י או כלך לדרך זה ב' פעמים ה' הרי י' י' פעמים ג' הרי ל' ל' פעמים ז' הרי ר"י ול"ד ודוק
Joint Purchase Problem - If You Give Me - Buying a Fish - there is a fish to sell, and 3 people want to buy it. One of them said to his friends: I will give all that I have and each of you will give a half of his and the fish is paid. The second said: I will give all that I have and each of you will give one third. The third said: I will give all that I have and each of you [will give] a quarter. Now it is asked: for how much is the fish being sold and how much does each of them have? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=17\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+Z\right)=17\\\scriptstyle Z+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y\right)=17\\\end{cases}$	שאלה אחרת אם אדם אחד אמר לך הנה יש כאן דג אחד למכור והנה ג' בני אדם רוצים לקנות הדג ואחד מהם אומר לחבירו אתן כל אשר לי וכל אחד מכם יתן החצי' ממה שלו ואז פרוע והשני אמר אתן כל אשר לי ואתם יתנו שליש ואז יהיה פרוע והשלישי אמר אתן כל אשר לי ואתם תנו כל אחד רביעי‫' ועתה שואלין בכמה רוצין ליתן הדג או כמה מעות יש לכל אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle X=5\\\scriptstyle Y=11\\\scriptstyle Z=13\\\end{cases}}}$	תשובה הדג רוצה ליתן בעד י"ז פשוטי' הראשון יש לו ה' פשוטי' והשני יש לו י"א פשוטי' והשלישי יש לו י"ג פשוטי' זהו בשלימים
If the amounts of money of the partners are not integers solely but involved also fractions	אבל בשבורי' כגון אם ישאל השואל כשהדג נקנה בעד ח' פשוטי' או בעד ט' פשוטים או ל' פשוטי' או א' פשוטי' או איזה סכום שירצה לשאול ולאותו סכום ששאל אמר אחד אתן כל אשר לי ואתם תנו החצי' שלכם והשני אמר אתן כל אשר לי ואתם תנו השליש שלכם והשלישי אמר אתן כל אשר לי ואתם תנו רביעית שלכם כמה יהיה לכל אחד ואחד שיהיה הסכום שזה והנה אכתוב לך שנים או שלשה דמיונים כדי שתוכל להבין כל כיוצא בזה
If the price of the fish is 8 pešuṭim $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=8\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+Z\right)=8\\\scriptstyle Z+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y\right)=8\\\end{cases}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle X=2+\frac{6}{17}\\\scriptstyle Y=5+\frac{3}{17}\\\scriptstyle Z=6+\frac{2}{17}\\\end{cases}}}$	כשנקנה הדג בעד ח' פשוטי' ואמר הראשון כדלעיל וכן השיני וכן השלישי צריך שיהא לראשון ב' פשוטים וששה חלקים שי"ז עושין חלק שלם ולשני ה' פשיטי' וג' חלק שי"ז עושין חלק שלם ולשלישי ו' פשיטי' וב' חלקים שי"ז עושין חלק שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{17}=\frac{8}{X}}}$	ועתה אראה לך הדרך שתראה שכן הוא הנה אם היה בשלימות אז היה לראשון ה' פשוטים כמו שפרשתי לעיל עתה שהוא בשבורים ואתה שואל כשהדג נקנה בעד ח' פשוטים
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{8\sdot5}{17}=\frac{40}{17}=2+\frac{6}{17}}}$	אז צריך אתה לכפול בשער הכפל ח' פעמי' ה' הרי זו מ' ואחר כך צריך אתה להטותו בשער החילוק כמה פעמים י"ז יש בא' והנה יש ב' פעמים וששה עודפת שלא הגיע לי"ז שהן חלק שלם נמצא שיש לראשון ב' פשיטים וששה חלקים שי"ז מהן חלק שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{Y=\frac{8\sdot11}{17}=\frac{88}{17}=5+\frac{3}{17}}}$	ועתה אראה לך הדרך כמה יש לשני הנה אם היה בשלימות אז היה לו י"א פשוטי' ועתה שהוא בשברים אז תאמר כמו שאמרת לראשון לראשון אמרת ח' פעמים ה' כן תאמר לזה ח' פעמים י"א ויעלה פ"ח ואחר כך תחלק לי"ז פי' כמה פעמים י"ז יש בפ"ח והנה יש בו ה' פעמים י"ז וג' עודפת נמצא שיש לשני ה' פשוטי' וג' חלקים שי"ז מהן עושין חלק שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{Z=\frac{8\sdot13}{17}=\frac{104}{17}=6+\frac{2}{17}}}$	וכן תעשו לשלישי ותאמר אם היה בשלימו' היה לו י"ג פשוטי' עכשיו שהוא בשברים אז תאמר לו ח' פשיטי' י"ג הרי ק"ד ואחר כך תחלק לי"ז פי' כמה פעמים י"ז יש בק"ד ותמצא בו ו' פעמים י"ז וב' עודפות נמצא שיש לשלישי ו' פשיטי' וב' עודפות שי"ז מהן עושין חלק שלם
If the price of the fish is 30 pešuṭim $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=30\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+Z\right)=30\\\scriptstyle Z+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y\right)=30\\\end{cases}$ $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30\sdot5}{17}}}$	ואם בשאלה מדג שנקנה בעד ל' פשוטי' אז אמור ל' פעמים ה' לראשון והעולה כתיב ואחר כך תסלקהו לי"ז כמו שצויתיך וכן לשני וכן לשלישי כדלעיל
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=a\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+Z\right)=a\\\scriptstyle Z+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y\right)=a\\\end{cases}$ $\scriptstyle{\color{blue}{5+11+13=29}}$	ועתה כתבתי לעיל שיש לראשון ה' פשיטים ולשני י"א ולשלישי י"ג בשלמים הנה אראך הדרך שתמצא שהכלל כן הוא שלכולם יש כ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{4-\left(\frac{1}{4}\sdot4\right)=3}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]=3}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)=3}}$	קח ג' חשבונות כשתסיר מהם החצי' והשליש והרביעית וישאר בידך ג' ואלו הן ד' ד' וחצי ו‫' תסיר הרביעי מן ד' וישאר ג' השליש מן ד' וחצי וישאר ג' חצי מן ו' וישאר ג' מכל אחד ואחד וזה המורה תועי רוח בינה ‫
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=9}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6=12}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{8+9+12=29}}$	ועתה יען כי אין במורה שלימי' כי אין ד' וחצי שלם כפול ד' ויהיה ח‫' כפול ד' וחצי ויהיה ט‫' כפול ו' ויהיה י"ב סך הכל כ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{X=29-\left(2\sdot12\right)=5}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{Y=29-\left(2\sdot9\right)=11}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{Z=29-\left(2\sdot8\right)=13}}$	ועדיין אין אנו יודעין כמה יש לכל אחד לחלקו ועתה אשכילך הסר ב' פעמים י"ב מן כ"ט וישאר ה' והוא חלקו של ראשון וכן הסר ב' פעמים ט' וישאר י"א והוא חלקו של שני וכן הסר ב' פעמים ה' וישאר י"ג והוא חלוק של שלישי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=17}}$	נמצא כשראשון יתן כל אשר לו וכל אחד מהם יתן החצי' ויהיה ס"ה י"ז נמצא שהדג נקנה בעד י"ז פשוטי' וכן כולם ודו"ק
	וכן אם הקונים ד' או ה' עד אין קץ הרוצים לקנות הדג קח מנין השוה לכולם פי' אם קונין ג' או קח מנין כשתסיר השליש לרביעי וחצי וישאר ג' אם הקונים ד' קח מנין כשתסיר חצי' ושליש ורביעי וחומש וישאר ד' וכן לכולם כשאין המנין בשלימות כפול אותו שיהיו חשבון שלם ואחר כך כטעית החשבון שלם אם הקונין ג' תסיר ב' פעמים ואם הן ד' תסיר ג' פעמים הכפל וכן לכולם
[MS P1088: margin] If the buyers are four and the fourth says: I will give all that I have and you will give only a fifth $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+U+V\right)=a\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+U+V\right)=a\\\scriptstyle U+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y+V\right)=a\\\scriptstyle V+\frac{1}{5}\sdot\left(X+Y+U\right)=a\\\end{cases}$	ואם הקוני' ד' והרביעי אומ' אתן כא"ל וכל אחד יתן רק החומש
$\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{3}\right)-\left[\frac{1}{4}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(\frac{1}{5}\sdot5\right)=4}}$	אז קח ד' מנינים אחר תסיר ממנו חצי וישאר ד' וזהו ח‫' ואחר תסיר ממנו שליש וישאר ד' זהו ו‫' ואחר תסיר ממנו רביעי וישאר ד' זהו ה' ושלישי ואחר תסיר ממנו החומש וישאר ד' זהו ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot8=24}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot6=18}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)=16}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{24+18+16+15=73}}$	וצריך לקח' זה החשבונות ג' פעמים ואז יהא השליש שלם ועתה קח ח' ג' פעמי' זהו ד"ב קח ו' ג"פ זהו ח"א קח ה' ושלי' ג"פ זהו ו"א קח ה' ג"פ זהו ה"א סך הכל ג"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{X=73-\left(3\sdot24\right)=1}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{Y=73-\left(3\sdot18\right)=19}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{U=73-\left(3\sdot16\right)=25}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{V=73-\left(3\sdot15\right)=28}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{a=37}}$	ועתה הסר ג"פ ד"ב מג"ז וישאר א' נמצא ש[......] ראובן א‫' והסר ג"פ ח"א מג"ז וישאר ט"א זה סך שמעון והסר ו"א ג"פ מג"ז וישאר ה"ב זהו סך לוי והסר ה"א ג"פ מג"ז וישאר ח"ב זהו סך יודא הכל ג"ז והדג נקנה בעד ז"ג ודוק ותמצא
Joint Purchase Problem - If You Give Me - Buying a Thing - three men – Reuven, Shimon, and Levi – are going to the market to buy something. Reuven said: I will give all that I have and each of you will give one third of what is in his pocket. Shimon said: I will give all that I have and each of you will give a sixth of what is in his pocket. Levi said: I will give all that I have and each of you will give a ninth of what is in his pocket $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{3}\sdot\left(Y+Z\right)=a\\\scriptstyle Y+\frac{1}{6}\sdot\left(X+Z\right)=a\\\scriptstyle Z+\frac{1}{9}\sdot\left(X+Y\right)=a\\\end{cases}$	שאלה הנה ג' אנשים הולכים על השוק ראובן שמעון לוי ורוצים לקנות דבר והנה ראובן אומר אתן כל אשר לי ואתם יתן כל אחד מכם שליש שבכיסו שמעון אומר אתן כל אשר לי וכל אחד מכם יתן שישית שבכיסו ולוי אומר אתן כל אשר לי ואתם יתן כל אחד התשיעי' שבכיסו
	ועתה אשכילך הדרך הנה יש לך ג' אנשים ראובן שמעון לוי ראובן שאל שליש שמעון שישית לוי תשיעית נגדו כתוב ג' אותיות כנגד שאלת כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]=3}}$	וקח חשבון המיעוט שתקח ממנו שליש וישאר ג' נגד בני החידה וזהו ד' וחצי וכתבו תחת ג' כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{5}\right)-\left[\frac{1}{6}\sdot\left(3+\frac{3}{5}\right)\right]=3}}$	וקח חשבון המיעוט שתקח ממנו שישית וישאר ג' נגד בני החידה וזהו ג' וג' חומשין וכתבהו תחת ו' כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{8}\right)-\left[\frac{1}{9}\sdot\left(3+\frac{3}{8}\right)\right]=3}}$	וקח חשבון המיעוט שתקח ממנו תשיעית וישאר ג' נגד בני החידה זה ג' וג' שמינית וכתבו תחת ט' כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot5=10}}$	ועתה קח חשבון המיעוט שתמצא בו חשבון שלם נגד אותן חלקים שברים כגון חצי' עתה קח חשבון שתמצא בו חצי' שלם זהו ב' קח חשבון המעוט שתמצא חמשית שלם זהו ה' וגם קח חשבון המיעוט שתמצא בו שמינית שלם זהו ח' כפול ב' על ה' ויהיה עשרה כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=10\sdot4=40}}$	בזה תמצא שניהם שלם חצי שלם וחמישית שלם עתה כפול ותאמר י' פעמים ד' דהיינו חצי ח' זהו מ' כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\sdot8=80}}$	בזה תמצא חצי שלם וחמישית שלם ושמינית שלם ובדין היה לכפול ח' עם עשרה נגד חלקים שערים דהן ג' שמינית ואז היה עולה כזה
Least common multiple: LCM(2,5,8) = 40	אך היתה מוצא יותר מצרכיך כי בא תמצא החשבון כמו ב"פ ולעולם קח חשבון המועט תפשת מרובה לא תפשת תפשת מועט תפשת‫
$\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=180}}$	ועתה כפול על מ' מה שכתוב תחת כל אחד הנה מצאת תחת ראובן ד' וחצי כפול 0'ד' על ד' וחצי ויעלה כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(3+\frac{3}{5}\right)=144}}$	וכפול 0"ד על שכתוב תחת לוי דהיינו ג' וג' חומשין ויעלה כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(3+\frac{3}{8}\right)=135}}$	וכפול 0'ד' על מה שכתוב תחת שמעון דהיינו ג' וג' שמינית ויהיה כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{180+144+135=459}}$	עתה חיבור אלו ג' חשבונות יחד ויעלה כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{Reuven\ =X=459-\left(2\sdot180\right)=459-360=99}}$	והוא זה המורה את החידה כפול 0"חא ב' פעמים ויעלה 0'ו'ג' ונכהו מן המורה את החידה שהוא ט'ה'ד' ויותר לך ט'ט' כך מעות יש לראובן
$\scriptstyle{\color{blue}{Shimon\ =Y=459-\left(2\sdot144\right)=459-288=171}}$	ואחר כך כפול ב' פעמים ד'ד'א' והוא היה כפול של שמעון ועולה ח'ח'ב' תנכהו מן המורה ויותר לך א'ז'א' כך מעות יש לשמעון
$\scriptstyle{\color{blue}{Levi\ =Z=459-\left(2\sdot135\right)=459-270=189}}$	ואחר כך כפול ב' פעמים ה'ג'א' שהוא כפול של לוי ויעלה 0'ז'ב' תנכהו מן המורה ויותר לך ט'ח'א' כך מעות יש ללוי
	עתה מצאת הכל לראובן ט'ט' לשמעון א'ז'א' ללוי ט'ח'א' והמבין יבין וק"ל ודוק ול"ד
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree - its third, its fifth, and its ninth are planted in the soil and 10 cubits remain up above the ground, how long is it? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{9}X+10=X$	שאלה אילן התקוע בארץ שלישיתו וחמישיתו ותשיעתו ונותר למעלה מן הארץ עשרה אמות כמה היה תחילתו
	והא לך דמות אשר תערוך כתוב כזה דהיינו נגד החלקים ששאלת
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5\sdot9=15\sdot9=135}}$ Least common multiple: LCM(3,5,9) = 45	עתה שים דעתך למצא חשבון המועט שנמצא בו החלקים ששאלת שליש שלם חמישית שלם תשיעית שלם וכה תאמר ג' פעמים ה' היינו ה"א ט' פעמי' ה"א יעלה הג"א ואינך צריך כ"כ כי תמצאנה בה"ד שהוא שליש מן הג"א קח המועט ולא המרובה
$\scriptstyle{\color{blue}{45-\left(\frac{1}{3}\sdot45\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot45\right)-\left(\frac{1}{9}\sdot45\right)=45-15-9-5=16}}$	חסור מן ה"ד כל החלקים ששאלת דהיינו שלישית חמישית תשיעית שליש מן ה"ד זהו ה"א חמישית ט' תשיעית ה' חסור כולם מן המורה שהוא ה"ד וישאר ו'א‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot45}{16}=\frac{450}{16}=28+\frac{2}{16}}}$	עתה כפול האמות הנותרים למעלה מן הארץ והם 0"א על המורה שהוא ה"ד ויעלה 0'ה'ד' עתה חלוק ממנו ו"א הנותרים בשער החילוק פי' כמה פעמים יש ו"א ב0'ה'ד' ויעלה החילוק ח'ב' וב' חלקים שו'א' עושין חלק שלם וכן כל האילן ח"ב אמות וב' חלקים שו'א' מהן עושין חלק שלם
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Lance - one sticks a half of the whole lance in the ground, then another comes and raises a third of the whole lance, another one comes and sticks a quarter of the whole lance, and one more comes and raises a sixth of the whole lance. After lowering the high and raising the low, 11 cubits remain above the ground. How many cubits are the length of the whole lance? $\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X-\frac{1}{6}X+11=X$	שאלה הנה רומח לפניך ובא אחד ותוקעו בארץ חציו של כל הרומח ובא אחד והגביה שלישיתו של כל הרומח ובא אחד ותוקעו רביעיתו של כל הרומח ובא אחד והגביה שישיתו של כל הרומח ולאחר מן הארץ הגבהה וזה הגביה הנמוך נותר למעלה מן הארץ א'א' אמות כמה אמות ארכו של כל הרומח
	וזה לך הדרך כתוב נגד החלקים ששאלת נגד החצי' ב' נגד שליש ג' נגד רביעי' ד' נגד שישית ו' כתוב עליו א'א' אמות הנותרים כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle12-\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)&\scriptstyle=6+4-3+2\\&\scriptstyle=10-3+2=7+2=9\\\end{align}}}$	וקח חשבון המעט שתמצא בו אלו דהיינו ב"א וזה המורה חסר מן ב'א' חצי' וישאר ו' הוסיף שליש מן ב"א על ו' דהיינו ד' ויהיה 0"א חסר הרביעי' מן ב"א דהיינו ג' וקח אותם מן 0"א וישאר ז' הוסיף השישית של ב"א דהיינו ב' על ז' ויהיה ט' אותו ט' כתוב בצד אחר ויהיו עיניך רואות את פני מוריך ‫ שהוא ב"א
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{11\sdot12}{9}=\frac{132}{9}=14+\frac{6}{9}}}$	וכפול עליו א'א' הנותרים למעלה מן הארץ ויעלה כזה חלוק ממנו בשער החילוק מה שנותר לך מן המורה לאחר שחסרת והוספת כל החלקים זהו ט' כמה פעמים ט' יש בה'ג'א' זהו ד"א פעמים ונותרים ו' שאינו מגיע לכלל ט' וכן אורך הרומח ד"א אמות ו' חלקים שט' מהן עושין חלק שלם דהיינו אמה
$\scriptstyle X+\frac{1}{a}X=b\longrightarrow X=b-\left(\frac{1}{a+1}\sdot b\right)$	זה כלל כשתאמר שים שליש עליו או חמישית או רביעית או כל כמה שתרצה ויהיה כך וכך כמה היה בתחילה אראה לך הדרך אשר תלך בה לעולם חסר מן החשבון המפורש חלק אחד יותר מחשבון הנעלם שדעתך לצרף עליו
$\scriptstyle{\color{blue}{X+\frac{1}{3}X=5\longrightarrow X=5-\left(\frac{1}{3+1}\sdot5\right)=5-\left(\frac{1}{4}\sdot5\right)}}$	כגון אם תאמר עשה שליש עליו ויהיה ה' זה המפורש כמה היה בתחילה אז חסר מן הה' המפורש רביעי' זהו חלק אחד יותר ממה שבדעתך לצרף עליו כי היה בדעתך לצרף שליש וזהו רביעי' תסיר מן ה' רביעי' אז הנשא הוא המבוקש וכשתעשה עליו שליש יהיה ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X+\frac{1}{7}X=3\longrightarrow X=3-\left(\frac{1}{7+1}\sdot3\right)=3-\left(\frac{1}{8}\sdot3\right)}}$	או אם תאמר עשה שביעית עליו ויהיה ג' זה המפורש אז הסר מן ג' המפורש שמינית ומה שנשאר הוא הסכום מה שיהיה בתחילה
	ואם תרצה לידע אם אמת חשבת צרוף השביעית על הנשאר ויהיה ג' וכן לעולם עשה כאשר הראיתיך
$\scriptstyle X-\frac{1}{a}X=b\longrightarrow X=b+\left(\frac{1}{a-1}\sdot b\right)$	אבל אם ת"ל כשתקח שליש וישאר כך וכך או תקח ממנו כל מה שתרצה וישאר כך וכך כמה היה בתחילה אז תחלוק חשבון הנשאר לחלק אחת פחות ממה שחסרת ממנה וחלק אחד מן החלקים צרוף עם זה הנשאר ותמצא כמה שהיה בתחילה
Shared Work Problem - Filling/Draining a Vessel - Well - the water is flowing into it through 3 pipes and draining out of it through 2 pipes. Through one of the 3 pipes, from which the water flows into it, the well is filled in a sixth of a day, if the water does not drain out from it. Through the second pipe, from which [the water] flows into it, the well is filled in a fifth of a day, if the water does not drain out from it. Through the third pipe, from which [the water] flows into it, the well is filled in a quarter of a day. The two pipes that are draining the well: through one of them, the well is drained in a half of a day, if the water does not flow into it; through the second pipe, the well is drained in a third of a day. When the filling pipes are filling the well with water and the draining pipes are draining it all at once, how long will it take the well to be filled? $\scriptstyle6X+5X+4X-2X-3X=1$	שאלה הנה לך בור שמימיו נכנסין בו קנים ויוצאי' ממנה דרך ב' קנים ומהאחת מג' קנים שמימיו נכנסים בו היה הבור מתמלא מששית היום אם לא היו יוצאי' מן הבור מים כלל ומן הקנה השני שנכנס בו היה הבור מתמלא אם לא היו יוצאים מים ממנה בחמישית היום ומן הקנה השלישית שנכנס בו היה הבור מתמלא ברביעית היום אם לא היו יוצאי' ממנה מים וב' קנים המוריקי' את הבור מן האחד נתרקה הבור כשאין נכנסין בו שום מים בחצי היו' ומן הקנה השני נתרוקנה הבור בשליש היום וכשאלו הקנים מכניסין מים ממלאין את הבור יחד וב' קנים המוריקין מוריקין יחד ואלו ממלאין בכמה היו מתמלאין
$\scriptstyle{\color{blue}{6+5+4=15}}$	תשובה בעשירית היום מתמלא ואשכילך הדרך כיצד קנה האחד שממלא הבור בשישי' היום יוכל למלאות ששה בורות ביום אחד והשני שממלא בחמישית היום יוכל למלאות ה' בורות ביום אחד והשלישי שממלא ברביעית היום יכול למלאות ארבעה בורות ביום אחד הרי ט"ו בורות שג' קנים הללו ממלאים ביום אחד אם לא היו אלו ב' קנים מוריקין
$\scriptstyle{\color{blue}{2+3=5}}$	ובכמה הן מוריקין האחד המוריקה בחצי היום מוריק ב' ליום והשני שמוריקה בשליש היום מוריק ג' ליום אחד הרי ה' בורות שאלו ב' קנים ממריקין ביום אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{15-5}=\frac{1}{10}}}$	ועדיין נשארה עשרה בורות שהג' ממלאים ביום אחד כשהב' ממריקים נמצא שהבור מתמלא בעשירית היום
Shared Work Problem - Draining a Vessel - Barrel - with three taps. When flowing from it through one tap, it is drained in one day. Through the second tap, it is drained in a half of a day. Through the third tap, it [is drained] in a third of a day. If all of the [taps] are dripping together, how long will it take the barrel to be drained? $\scriptstyle X+2X+3X=1$	ובזה תוכל להבין כל כזה וכיוצא בו כגון אם ישאל השואל יש כאן חביות שלג' ברזות שהוא יוצא ממנו דרך ברזא אחד ביום אחד ודרך ברזא השני יוצא בחצי היום ובדרך ברזא השלישי יוצא בשליש היום וכשהן יוצאין כולם יחד בכמה החבית יוצא
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3=6}}$	תשובה שבשישית היום יצא היאך הברזא האחד שהוא יוצא ממנו ביום שלם מוריק ביום אחד השני שהוא יוצא בחצי היום מוריק שני חבית ביום אחד והשלישי שיוצא ממנו בשליש היום מוריק ג' חביות ביום אחד סך הכל כשמוריקין יחד ממריקין ו' חבית ביום אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{6}}}$	נמצא שמוריקין בשישית היום
Shared Work Problem - Draining a Vessel - Barrel - with three taps. When one is dripping alone, it drains it in one hour. The second drains it in 2 hours. The third drains it in 3 hours. If all of the [taps] are dripping together, how long will it take them to drain [the barrel]?	שאלה אם ישאל השואל הנה בחבית ג' ברזות האחד כשהוא יוצא לבדה מוריק בשעה והשני לבד מוריק בב' שעות ושלישי מוריק בג' שעות וביצאו כולם ביחד בכמה מוריקין
$\scriptstyle6X+3X+2X=12$	אבקש לך דמיון בחבית המחזיק י"ב הין שממרק בחצי שעה ובחלק א"א שבחצי שעה
$\scriptstyle{\color{blue}{6+3+2=11}}$	וכה תעשה אמור בתחילה הברזא שמוריקין בשעה כמה ממריק בחצי שעה ו' הין וממריק בב' שעות כמה ממריק בחצי שעה ג' הין והממריק בג' שעות ממריק בחצי שעה ב' הין שנמצא שג' ברזות מוריקין א'ב'ג' מוריקין בחביות שמחזיק י"ב הין בחצי שעה י"א הין
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12}{11}=1+\frac{1}{11}}}$	כמה נשאר עוד הין נמצא שאותו הין ממריק בחלק א"א שבחצי שעה
Shared Work Problem - Rivers Filling a Fountain - four rivers are flowing towards a fountain. The first fills it in a day, the second in two days, the third in 3 days, and fourth in 4 days. If all are flowing together, how long will it take [the fountain] to be filled $\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=1$	ועוד שאלה ד' נהרות רצים אל מעיין אחד הראשון ממלא אותו ביום אחד השני ממלא אותו בב' ימים הג' ממלא אותו בג' ימים הד' ממלא אותו בד' ימים ואם רצים כולם ביחד בכמה מתמלא
$\scriptstyle{\color{blue}{12+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=12+6+4+3=25}}$	עשה על זה בדרך אומר אחד חצי שליש רביעי' אנא ימצאון ר"ל על דרך המועט כדלעיל דהיינו י"ב אחד י"ב חצי ו' שליש ד' רביעית ג' רביעית ג' צורפם יחד הרי כ"ה וזה המורה נמצא בי"ב ימים ימלא כ"ה מעיינות כיצד הראשון ממלא בי"ב ימים י"ב מעיינות והשני בי"ב ימים ו' מעיינות השלישי בי"ב ימים ד' מעיינות הרביעי ג' אם כן כ"ה מעיינות בי"ב ימים
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot12}{25}=\frac{12}{25}}}$	מעיין אחד בכמה אז כפול א' על י"ב ויעלה י"ב חלקהו בשער החילוק בכ"ה פי' כמה פעמים כ"ה יש בי"ב כנ"ל אש' נמצא שמעיין אחד מתמלא בי"ב חלקים שכ"ה מהן חלק שלם
first river: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot12}{25}=\frac{12}{25}}}$	לידע כמה חלק מים של כל מעיין לראשון כפול י"ב על א' ויעלה י"ב חלקהו בשער החילוק בכ"ה נמצא שמימיו י"ב חלקים שכ"ה מהן חלק שלם
second river: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot6}{25}=\frac{6}{25}}}$	לשיני' כפול ו' על א' ויעלה ו' חלקהו בשער החילוק בכ"ה הרי ו' חלקי' מן כ"ה
third river: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot4}{25}}}$	לשלישי כפול ד' על א'
fourth river: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot3}{25}}}$	לרביעי כפול ג' על א' ודוק ותבין
Multiple Quantities - Women Selling Eggs - three women are selling eggs. One has 10 eggs, the second has 30, and the third has 50. Each of them gives a certain amount of eggs for one ḥalish and they earns the same amount of money $\scriptstyle10X=30Y=50Z$	חוד חידה ג' נשים מוכרות ביצות לאחת יש עשרה ביצת לשנייה יש ל' בצים ולשלישי יש וכל אחת תתן סך בצים בחליש אחד כמו חברתה ויפדו מעות שוות
each one will give 7 eggs for one ḥalish and what remained - one egg for 3 ḥalish $\scriptstyle{\color{red}{\begin{cases}\scriptstyle1+\left[3\sdot\left[10-\left(1\sdot7\right)\right]\right]=1+\left[3\sdot\left(10-7\right)\right]=1+\left(3\sdot3\right)\\\scriptstyle4+\left[3\sdot\left[30-\left(4\sdot7\right)\right]\right]=4+\left[3\sdot\left(30-28\right)\right]=4+\left(3\sdot2\right)\\\scriptstyle7+\left[3\sdot\left[50-\left(7\sdot7\right)\right]\right]=7+\left[3\sdot\left(50-49\right)\right]=7+\left(3\sdot1\right)\end{cases}}}$	תשובה כל אחת תתן ז' בחליש כל מה שנותר על השביעית תתן ביצה אחת בחליש
If they are four [women]. The fourth has 70. the calculation is the same	ואם היתה ארבע לרביעי' יש לה ע' וחשבון כמו כן
Multiple Quantities - Brothers Sharing an Inheritance - an inheritance was given to three brothers. The first took as much as he wanted, and so did the second and the third. Then the second and the third returned to first and complained against him: you took more than you deserved, therefore you should share with us equally. He answered: do not judge me, I will give each of you the same amount as he has, be it is much or less; and so he did. Later the first and the third returned to the second and he answered them the same as the first. Afterwards the first and the second returned to the third and he too said the same as the previous. Now the division between them became equal. How much did each of them took at the beginning and how much is the whole amount of the money?	שאלה אם נפלה ירושה לפני ג' אנשים אחים ראשון לוקח כל מה שרוצה וכן השני וכן השלישי ואחר כך חזרו השני והשלישי על ראשון וטוענין אותו לא נטלת מן הראוי לך לכן חלוק עמנו שוה בשוה והוא אומר אל תדונו עמי אתן לכל אחד מכם כמה שיש לכם כבר הן רב והן מעט וכן עשה ואחר כך חזרו הראשון והשלישי על השני והוא משיב להם ג"כ כמו הראשון ואחר כך חזרו הראשון והשני על השלישי והוא אומר ג"כ כמו הראשונים ואז יהיה החלוקה שוה ביניהם חוד כמה לקח כל אחד בתחילה או כמה סך מעות ביחד
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=24\\\scriptstyle a_3=3+1=4\\\scriptstyle a_2=\left(2\sdot a_3\right)-1=\left(2\sdot4\right)-1=8-1=7\\\scriptstyle a_1=\left(2\sdot a_2\right)-1=\left(2\sdot7\right)-1=14-1=13\end{cases}$	תשובה הכל יהיה כ"ד הראשון לקח י"ג והשני ז' והשלישי ד' והילך המורה את החידה אם הם רק ג' אז קח לאחרון ג' ואחד יותר זהו ד‫' ולאמצע קח כפלים כמו לאחרון זהו ח' רק אחת תסיר ויהיה ז‫' ולראשון קח כפלים כמו לאמצע דהיינו י"ד תסיר אחד ויהיה י"ג
	וכן לעולם כמה הן אז קח לאחרון כמניין כולם ואחד יותר ואחר כך כפול המבוקש ותסיר א‫'
If they were four brothers $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_4=4+1=5\\\scriptstyle a_3=\left(2\sdot a_4\right)-1=\left(2\sdot5\right)-1=10-1=9\\\scriptstyle a_2=\left(2\sdot a_3\right)-1=\left(2\sdot9\right)-1=18-1=17\\\scriptstyle a_1=\left(2\sdot a_2\right)-1=\left(2\sdot17\right)-1=34-1=33\end{cases}$	וכן אם הם ד' קח לאחרון ד' ואחד יותר וזה ה‫' ולשלישי עשרה ואחד תסיר וזהו ט‫' ולשני י"ח ואחד תסיר זהו י"ז לראשון ל"ד ואחד תסיר זהו ל"ג בין תבין את אשר לפניך‫
Payment Problem - Digging a Hole - a worker was hired to dig a hole with a length of 17 cubits and a width of 7 cubits for 33 zehuvim (golden coins), but the worker dug [a hole with a width of] 3 cubits and a length of 17 cubits. How much should be his payment? $\scriptstyle\frac{7\sdot17}{33}=\frac{3\sdot17}{X}$	השוכר את הפועל לחפור בור ארוכה י"ז אמות ברוחב ז' אמות בעד ל"ג זהו' והפועל חופר ג' אמות במשוך יז' כמה שכרו של פועל זה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot17}{119}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot17}{51}}}$	תשובה כפול בתחלה בשער הכפל ז' פעמים י"ז ויעלה ט'א'א' נמצא שהשוכר את הפועל לחפור קי"ט אמות ברוחב אמה בעד ל"ג זהו‫' והפועל חופר ג' אמות במשוך י"ז כפול ג' על י"ז ויעלה א"ה נמצא שלא חפר רק נ"א אמות והיה לחפור קי"ט אמות
$\scriptstyle\frac{119}{33}=\frac{51}{X}$	אחר כך כתוב קי"ט אמות למטה ממנו כתוב נ"א כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{33\sdot51}{119}=\frac{1683}{119}=14+\frac{17}{119}}}$	וכפול בשער הכפל א"ה על ג'ג' ויעלה ג"חו"א חלוק ג"חו"א לקי"ט פי' כמה פעמים קי"ט יש בגחו"א ותמצא י"ד פעמים קי"ט וי"ז חלקים שקי"ט מהן עושין חלק שלם נמצא שכר הפועל י"ד זהו' וי"ז חלקים שקי"ט מהן חלק שלם דהיינו זהוב
Find a Quantity Problem - Stolen Amount of Money - a man gave his purse with some money to his friend for safekeeping and it was stolen. Both the depositor and the keeper do not know how much money was in the purse. The depositor remembers that when he counted the money by two 1 remained, by three 1 remained, by four 1 remained, by five 1 remained, by six 1 remained, and by seven nothing remained. $\scriptstyle2a_1+1=3a_2+1=4a_3+1=5a_4+1=6a_5+1=7a_6$	אדם הפקיד לחבירו כיסו מלא מעות וגנבו בפשיעה והמפקיד והנפקד אינם יודעי' סכום המעות שהיה בו אלא המפקיד זכר המעות ב'ב'ב' נשאר א' ג'ג' נשאר א' ד'ד' נשאר א' ה'ה' נשאר א' ו'ו' נשאר א' ז'ז' יצא מכוון והנה חוד כמה היו המעות הללו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\right)+1&\scriptstyle=\left(6\sdot4\sdot5\sdot6\right)+1\\&\scriptstyle=\left(24\sdot5\sdot6\right)+1\\&\scriptstyle=\left(120\sdot6\right)+1\\&\scriptstyle=720+1=721\\\end{align}}}$	תשובה המעות היו אחת וג' מאות או ת'ש'כ'א' היו המעות והנה אשכילך הדרך היאך תעשה כתוב כנגד כל מניין השאלה מספר המועט שתמצא בו השאלה פי' שאילתך מניין הנמנה ב'ב' וישאר א' נגד זה כתו' ב' ושאלת מניין הנמנה ג'ג' נגדו כתו' ג' ושאלת מניין הנמנה ד'ד' נגדו כתוב ד' ושאלת מניין הנמנה ה'ה' כתוב ה' ושאלת מניין הנמנה ו'ו' כתוב ו‫' אחר כך כפול ב' על ג' ויעלה ו‫' כפול ו' על ד' ויעלה ד'ב‫' כפול ד'ב' על ה' ויעלה 0'ב'א‫' כפול 0'ב'א' על ו' ויעלה 0'ב'ז' פי' עשרים וז' מאות זהו מספר המחלק לב' לג' לד' לה' לו‫' ובהוסיפך עוד אחד שיהיה אב"ז אז כשתחלקהו לב'ג'ד' ה"ו ישאר בכל מנין א' חלקהו לז'ז' יוצא מכוון
If the number is divided by 2-8 with a remainder of 1 and by 9 with no remainder $\scriptstyle2a_1+1=3a_2+1=4a_3+1=5a_4+1=6a_5+1=7a_6+1=8a_7+1=9a_8$	וכן אם ישאלך השואל מספר המחלק לב'ג"ד ה"ו ז"ח וישאר א' ובט' יוצא מכוון
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[720\sdot\left(7\sdot8\right)\right]+1=\left(720\sdot56\right)+1}}$	אזי כפול ז' על ח' ויעלה ו"ה כפול זה על 0'ב"ז והעולה הוא מתחלק לב"ג"ד ה"ו ז"ח ובהוסיפך אחת ישאר א' בכל מניין ובט' יוצא מכוון
If the remainder from division by all the numbers 2-6 is 3 $\scriptstyle2a_1+3=3a_2+3=4a_3+3=5a_4+3=6a_5+3=7a_6$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\right)+3}}$	ואם ישאל השואל מניין הנותר ג' בכל מניינם אזי תוסיף ג' על העולה אחר כפלך מספרם המועטים
If the remainder from division by all the numbers 2-6 is 4 $\scriptstyle2a_1+4=3a_2+4=4a_3+4=5a_4+4=6a_5+4=7a_6$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\right)+4}}$	וכן אם ישאלך מניין הנותר ד' אזי תוסיף ד' וכן לעולם בדרך זו ודוק
Find a Quantity Problem - How Much Problem - Amount of Money - we add to it its half, its third, its quarter, its fifth, and its sixth, and the total is 40. How much was the original amount of money? $\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X=40$	שאלה ממון הוספנו עליו מחציתו שלישיתו רביעיתו וחמישיתו שישיתו והכל הוא ארבעים כמה היה הממון
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle60+\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)\\&\scriptstyle=60+30+20+15+12+10=60+87=147\\\end{align}}}$	בתחילה אשכילך קח מספר המועט המתחלק לחצאין לשליש לרביעי לחומש לשישית וזהו 0"ו ששים ותוסיף על ששים כל החלקים ששאלת החצי' הוא ל' והשליש כ' הרביעי ט"ו והחמישית י"ב והשישית י' וצרפם הכל יחד ויהיה פ"ז חבור פ"ז עם ששים ויעלה קמ"ז נמצא אם היו שואלין אותך ממון שהוספנו עליו מחציתו שלישיתו רביעיתו חמישיתו ששיתו ובין הכל קמ"ז כמה תחילת הממון היינו משיבין תחילתו ששים
$\scriptstyle\frac{147}{60}=\frac{40}{X}$	ועתה שהוא סך הכל רק א' כמה תחילתו אז כתוב אותו קמ"ז בטור העליון ורחוק ממנו קצת כתוב הששים ותחת ס' כתוב מ' שאנו שואלין ויהיה כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{40\sdot60}{147}=\frac{2400}{147}=16+\frac{48}{147}}}$	כפול 0"ד על 0"ו שעליה ויעלה 0'0'ד'ב' פי' כ"ד מאות חלוק בשער החילוק כמה פעמים זד"א יש בכ"ד מאות ותמצא שיש בו י"ו פעמים זד"א ונותר מ"ח חלקים קטנים שאינן עולין לזד"א נמצא שתחילת הממון היו י"ו שלמים ומ"ח חלקים קטנים שזד"א מהן חלק שלם
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(147\sdot16\right)+48=2352+48=2400}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2400+\left(\frac{1}{2}\sdot2400\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot2400\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot2400\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot2400\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot2400\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot147}}$	ואם תחפוץ לשקול חשבונך אם הוא מכוון אז כפול זד"א על י"ו פי' ב' אלפים ג' מאות נ"ב חבור עמהם מ"ח חלקים הנותרים למעלה שלא עולה לזד"א ויהיה 0'0'ד'ב' פי' כ"ד מאות תוסיף עליהם החצי' השליש הרביעי החומש השישית וחיבור הכל עם כ"ד מאות ואחר כך כפול 0ד פי' מ' עם זד"א ואם תמצא מכוון מה שיעלה לך אחר שתכפול מ' על קמ"ז כמו חשבון שמצאת בהוסיפך בג"דה"ו על כ"ד מאות אז חשבונך מכוון ואם לאו ודאי טעית ודוק
Divide a Quantity - Loans Repayment - Reuven and Shimon lent two loans: Reuven lent 37 zehuvim with an interest of one pašuṭ for each zahuv every week for 55 weeks. Shimon lent to the same borrower 23 zehuvim for 33 weeks. Then came the borrower and said to them: I will give both of you 13 zehuvim together and you will compromise. How much should Reuven receive and how much should Shimon receive from the 13 zehuvim? $\scriptstyle\frac{1}{37\sdot55}X+\frac{1}{23\sdot33}X=13$	שאלה אם ישאל השואל הנה ראובן ושמעון הלא שני חובות ראובן הלווה ל"ז זהו' ועולה על כל זהו' פשוט לשבועה ועומד נ"ה שבועות ושמעון הלווה לאותן חוב כ"ג זהו' ועומד ל"ג שבועות ואחר כך בא הבעל חוב ואמר להם אתן לכם י"ג זהו' רבית מן הכל ואתם התפשרו התפשרו יחד
	ואשכילך הדרך אשר תמצא בו כמה מגיע לראובן וכמה מגיע לשמעון מן הי"ג זהו' כאשר קבלתי מרבי‫'
Reuven's interest: $\scriptstyle{\color{blue}{37\sdot55=2035}}$	חשוב כמה רבית של ראובן שהוא ל"ז על נ"ה ויעלה ה"ג0"ב פשי' פירו' ב' אלפים ועוד ל"ה זה היה ריבית שהיה שייך מן הדין לראובן
Shimon's interest: $\scriptstyle{\color{blue}{23\sdot33=759}}$	ואחר כך כפול כ"ג זהו' של שמעון על ל"ג שבועות ויעלה ט'ה'ז' שהוא ריבית שהיה שייך מן הדין לשמעון
$\scriptstyle{\color{blue}{2035+759=2794}}$	ואחר כך חבור ט'ה'ז' עם ה'ג'0'ב' ויעלה ד'ט'ז'ב' וזה המורה את החידה
Reuven: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13\sdot2035}{2794}=\frac{26455}{2794}=9+\frac{1309}{2794}}}$	אחר כך כפול י"ג זהו' על ה"ג0"ב שהוא ריבית שהיה שייך לראובן ויעלה ה'ה'ד'ו'ב' אחר כך נכהו שהוא ד'ט'ז'ב' פי' כמה פעמים ד'ט'ז'ב' יש בה'ה'ט'ו'ב' ותמצא שיש בו ט' פעמים ונותרים עדיין ט'0'ג'א' שלא יעלה למניין ד'ט'ז'ב' נמצא שלראובן שייך מן י"ג זהו' ט' זהו' ואלף ועוד ש"ט חלקים שלא הגיע הכלל ד'ט'ז'ב‫'
Shimon: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13\sdot759}{2794}=\frac{9867}{2794}=3+\frac{1485}{2794}}}$	ואת"ל כמה מגיע לשמעון על דרך שאמרנו לראובן אז כפול י"ג על ט'ה'ז' ויעלה ז'ו'ח'ט' נכהו מן המורה שהוא ד'ט'ז'ב' פי' כמה פעמים ד'ט'ז'ב' יש בז'ו'ח'ט' נמצא שיש בו ג' פעמים ונותרים ה'ח'ד'א' חלקים שד'ט'ז'ב' מהן עושין חלק שלם דהיינו זהו' נמצא ששייך לשמעון ג' זהו' ועוד ה'ח'ד"א חלקים שד"טז"ב מהן עושין חלק שלם
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{1309+1485=2794}}$	חיבור ה'ח'ד'א' עם ט'0'ג'א' שנותרים לראובן ויעלה ד'ט'ז'ב‫'
	ואם תחפוץ לידע חשבון בצמצום אז חלק הי"ג זהו' לפשוטים ואחר כך כפול בהם ה'ה'ד'ו'ב' ריביתו של ראובן או ד"טז"ב ריביתו של שמעון ואז חלוק ד'ט'ז'ב' לחלקי פשוטים ודו"ק
Multiple Quantities - Dividing a Total Weight to Several Weights - finding four weights weighing together 40, or 5 weights weighing together 121, so that you can weigh with them the heavy as well as the light up to 40. How much will each of them weigh by itself? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\sum_{i=1}^4 a_i =40\ \quad \sum_{i=1}^5 a_i =121\\\scriptstyle a_i=3^{i-1}\\\scriptstyle a_i:a_{i+1}=a_{i+1}:a_{i+2}\end{cases}$	שאלה אם ישאלך השואל איך תמצא ארבע משקלות שמשקל כולם רק ארבעים ליטרות ואתה תוכל לשקול בו הן רב הן מעט עד ארבעים כמה משקל כל אחד בפני עצמו או אם ה' משקלות שמשקלותם קכ"א ואתה תוכל לשקול בו הן רב הן מעט כמה משקל כל אחד בפני עצמו
	כה תעשה אם תחפוץ להוסיף משקלות: הראשון משקלו ליטרא, השני משקלו ג' ליטרות, השלישי משקלו ט' לטרי', הרביעי משקלו כ"ז לטרין, חמישי משקלו פ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1}}$	וככה עשה: כתוב בתחילה א' משקלו של משקל הראשון ואחר כך כתוב כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(1+1\right)+1=2+1=3}}$	חברם יחד ויהיה ב' תוסיף עוד אחת עליהן ויהיה ג' ליטרי' זהו משקל השני אחר כך כתוב כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(1+1\right)+\left(3+3\right)+1=8+1=9}}$	חברם יחד ויהיה ח' תוסיף עוד אחת ויהיה ט' ליטרו' זהו משקל השלישי אחר כך כתוב כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\left(1+1\right)+\left(3+3\right)+\left(9+9\right)+1=26+1=27}}$	חברם יחד ויהיה כ"ו תוסיף עוד אחת ויהיה כ"ז זהו משקל הרביעי אחר כך כתוב כך
$\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\left(1+1\right)+\left(3+3\right)+\left(9+9\right)+\left(27+27\right)+1=80+1=81}}$	חברם יחד ויהיה פ' תוסיף עוד ויהיה פ"א זהו משקל חמשי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1+3+9+27+81=121}}$	סך הכל קכ"א ועל דרך זה תוכל להוסיף
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1 =1\\\scriptstyle a_2=3\sdot a_1=3\sdot1=3\\\scriptstyle a_3=3\sdot a_2=3\sdot3=9\\\scriptstyle a_4=3\sdot a_3=3\sdot9=27\\\scriptstyle a_5=3\sdot a_4=3\sdot27=81\\\scriptstyle a_i=3\sdot a_{i-1}\end{cases}}}$	או כלך אצל דרך זה למשקל הראשון קח א' לשני ג' פעמי' א' לשלישי ג"פ ג' לרביעי ג' פעמים ט' לחמישי ג"פ כ"ז וכן לעולם וסימניך ושלישים על כולו פי' ג"פ וק"ל ודוק
Divide a Quantity - Money - if you want to divide 5 pešiṭim to one third and one quarter so that nothing remains $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=5$	שאלה אם תרצה לחלוק ה' פשוטים לשליש ולרביעי ולא ישאר מהם כלום
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=4+3=7}}$	אמור תחילה שליש ורביעי בכמה ימצאון בי"ב השליש הוא ד' הרביעי הוא ג' חברם יחד הרי ז' וזהו המורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{4\sdot5}{7}=\frac{20}{7}=2+\frac{6}{7}}}$	אם ת"ל כמה מגיע לזה שיש לו שליש שהוא ד' כפול ד' על ה' הרי 0"ב חלוק אותו ז' ותמצא בו ב' פעמים ז' ועוד ששה חלקים שז' מהם עושין חלק שלם הרי שיש לזה ב' פשוטים שלימי' ו' חלקי' שבורים שז' מהן עושין חלק שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{3\sdot5}{7}=\frac{15}{7}=2+\frac{1}{7}}}$	ומי שיש לו רביעי כפול ג' על ה' ויעלה ט"ו תחלק ממנו ז' ויעלה ב' פשוטים וחלק א' שז' מהן חלק שלם דהיינו פשוט
	הרי שנחלקו ה' פשוטים לג' ולד' ולא נשאר מהם כלום
Divide a Quantity - Money - if you have 12 and you wish to divide them to a third, a half, and a quarter, so that nothing remains $\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=12$	וכן אם בידך י"ב פשוטים ותרצה לחלקם לחצאין לשליש לרביעי ולא ישאר כלום
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=6+4+3=13}}$	אמור חצי שליש ורביע אנא ימצאון בי"ב החצי ו' השליש ד' הרביע ג' צורפם יחד הרי י"ג וזהו המורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X=\frac{6\sdot12}{13}=\frac{72}{13}=5+\frac{7}{13}}}$	אחר כך כפול ו' שהיא החציה על י"ב ותמצא ב"ז חלוק כמה פעמים י"ג יש בו ותמצא ה' פעמים וז' שבורים שי"ג מהן פשוט שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{4\sdot12}{13}=\frac{48}{13}=3+\frac{9}{13}}}$	אחר כך כפול השליש שהוא ד' על י"ב ויעלה ח"ד חלוק ממנו י"ג ותמצא ג' ועוד ט' שבורים שי"ג מהן פשוט שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{3\sdot12}{13}=\frac{36}{13}=2+\frac{10}{13}}}$	וכן כפול ג' על י"ב ויעלה ו"ג חלוק מהן י"ג ותמצא ב' פעמים וי' שבורים שי"ג מהן חלק שלם וכן לעולם ול"ד
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Fish - its body weighs 10 liṭra and its tail and head weigh a third, a quarter, a fifth, and a sixth of its whole. How much is the weight of the whole [fish]? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+10=X$	שאלה הרי יש לפניך דג שמשקל גופו עשרה לטרות ומשקל זנבו וראשו שלישיתו רביעיתו חמישתו שישיתו כמה כל משקלו
$\scriptstyle{\color{blue}{60-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)\right]=60-57=3}}$	תשובה מנה מספר המתחלק לג"ד ה"ו וזה 0'ו' כשתסיר מן 0"ו ג"דה"ו פי' שליש רביעי' חמישית שישית וצרפם יחד ויעלה ז"ה ועודף ג' וזהו המורה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot60}{3}=\frac{600}{3}=200}}$	כפול 0"א על 0"ו ויעלה 00"ו חלוק ממנו ג' ותמצא בו מאתים פעמים ג' וכן כל משקל של דג ששאלת מאתים ליטרות
Multiple Quantities - Boys Selling Cubits of a Cloth - a man gave his three sons 30 cubits of cloth to sell. One sold one cubit for 4 zehuvim, the second for 5 zehuvim, and the third for 6 zehuvim. All of them earned the same amount of money. How much money did each of them get from the sale and how many cubits did each of them sell? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+Y+Z=30\\\scriptstyle4X=5Y=6Z\end{cases}$	שאלה אדם נותן לג' בניו בגד למכור ל' אמות והאחד מכר אמה בעד ד' זהו' השני בעד ו' זהו' והג' עבור ו' זהו' וכולם מביאין מעות שוות זה כזה. חוד כמה מעות גובה מן המקח וכמה אמות מכר כל אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=15+12+10=37}}$	תשובה בתחילה אראך כמה שהיה לזה שנותן אמה בעד ד' זהו' אמור תחילה רביעית חמישית ששית בכמה ימצאון בס' רביעי' ט"ו חומש י"ב שתות י' חברם יחד ויהיה ל"ז זה המורה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{15\sdot30}{37}=\frac{450}{37}=12+\frac{6}{37}}}$	אחר כך כפול ט"ו שהוא רביעי' על ל' כמידת הבגד ותמצא 0'ה'ד' חלוק אותם על ל"ז ותמצא בו ב"א פעמים ל"ז וששה חלקים של"ז חלק שלם
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle4X &\scriptstyle=4\sdot\left(12+\frac{6}{37}\right)\\&\scriptstyle=\left(4\sdot12\right)+\left(4\sdot\frac{6}{37}\right)\\&\scriptstyle=48+\frac{\frac{28\sdot6}{37}}{7}\\&\scriptstyle=48+\frac{\frac{168}{37}}{7}=48+\frac{4+\frac{20}{37}}{7}=48+\frac{4}{7}+\frac{\frac{20}{37}}{7}\\\end{align}}}$	ואת"ל כמה מעות יש לזה שנותן אמה בעד ד' זהו' י"ב אמות היה לו וששה חלקים של"ז מהן אמה שלימה הרי י"ב פעמים ד' עולה מ"ח ומן ו' חלקים הנותרים עשה כך חלוק כל זהו' על ז' תפוחים ותאמר כך אילו היו אלו ו' חלקי ל"ז דהיינו דמיהם של בגד אמה אז היה דמיהם כ"ח תפוחים עתה שהם רק ו' כמה אז כפול ו' על כ"ח ויעלה ח'ו'א' חלוק אותם לל"ז ותמצא בו ד' פעמים ל"ז ועשרים חלקים של"ז מהן תפוח שלם נמצא שזה גובה מ"ח זהו' וד' תפוחים ועשרים חלקים של"ז מהן תפוח שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{Y=\frac{12\sdot30}{37}=\frac{360}{37}=9+\frac{27}{37}}}$	לדעת כמה אמות מכר זה שנתן אמה בעד ה' זהו' עשה כך כפול החומש מששים דהיינו י"ב על מנין אמות הבגד שהוא ל' ויעלה 0'ו'ג' וחלוק אותם ל"ז שהוא המורה ותמצא בו ט' פעמים דהיינו ט' אמות וכ"ז חלקים של"ז עושין אמה שלימה
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5Y &\scriptstyle=5\sdot\left(9+\frac{27}{37}\right)\\&\scriptstyle=\left(5\sdot9\right)+\left(5\sdot\frac{27}{37}\right)\\&\scriptstyle=45+\frac{\frac{35\sdot27}{37}}{7}\\&\scriptstyle=45+\frac{\frac{945}{37}}{7}\\&\scriptstyle=45+\frac{25+\frac{20}{37}}{7}\\&\scriptstyle=45+\frac{21+4+\frac{20}{37}}{7}=45+3+\frac{4}{7}+\frac{\frac{20}{37}}{7}=48+\frac{4}{7}+\frac{\frac{20}{37}}{7}\\\end{align}}}$	ואת"ל כמה מעות גבה ט' אמות היינו מ"ה זהו' וכ"ז חלקים אלו היה ל"ז היו נמכרים בעד ל"ה תפוחים כשתעריך כל זהו' בעד ז' תפוחים כדלעיל עתה שהוא רק כ"ז כמה כפול כ"ז על ל"ה ויעלה הד"ט חלוק אותם ל"ז ותמצא בו כ"ה תפוחים ועשרים חלקים של"ז עושה תפוחים שלם עשה מן כ"א תפוחים ג' זהו' וחברם יחד עם מ"ה ויהיה מ"ח ויותרו לך ד' תפוחים ועשרים חלקים של"ז תפוח שלם נמצא מעות השני כראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{Z=\frac{10\sdot30}{37}=\frac{300}{37}=8+\frac{4}{37}}}$	לדעת מעות ואמות המוכר אמה בעד ו' זהו' כפול חלק שישית מן ס' על מנין האמות דהיינו ל' ויעלה 0'0'ג' חלוק אותם ל"ז ותמצא בו ח' אמות וגם ד' חלקים של"ז מהן עושין חלק שלם
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle6Z &\scriptstyle=6\sdot\left(8+\frac{4}{37}\right)\\&\scriptstyle=\left(6\sdot8\right)+\left(6\sdot\frac{4}{37}\right)\\&\scriptstyle=48+\frac{\frac{42\sdot4}{37}}{7}\\&\scriptstyle=48+\frac{\frac{168}{37}}{7}=48+\frac{4+\frac{20}{37}}{7}=48+\frac{4}{7}+\frac{\frac{20}{37}}{7}\\\end{align}}}$	לדעת כמה מעותיו ח' פעמים ו' דהיינו מ"ח זהו' ד' חלקים הנותרים אילו היה ל"ז היו נמכרים בעד מ"ב תפוחים עתה שהם רק ד' בכמה כפול ד' על מ"ב ויעלה חו"א חלוק אותם ל"ז ותמצא בו ד' תפוחים ועשרים חלקים של"ז מהן תפוח שלם
	נמצא שאין בין זה לזה במנין המעות והראשון מכר י"ב אמו' יותר ו' חלקים ושני מכר ט' אמות וכ"ז חלקים ושלישי מכר ח' אמות וד' חלקים וזהו סימנם
Divide a Quantity - Amount Given by a Group of People - three friends want to donate together as a group 40 liṭra zehuvim. The first has gold that worth 3 zehuvim per liṭra, the second [has gold that] worth 5 zehuvim [per liṭra], and the third has gold that worth 8 zehuvim per liṭra. How many liter does each of them has equally? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{8}X=40$	שאלה שלשה חברים רוצים לתת בחבורה מ' ליטרי' זהו' לראשון יש לו זהב ששוה הליטרא ג' זהו' והשני יש לו זהב ששוה הליטרא ה' זהו' ולשלישי יש לו זהב ששוה הליטרא ח' זהו' כמה יש לכל אחד ליטרין שוה בשוה
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5\sdot8=15\sdot8=120}}$	תשובה עשה מספר המתחלק לג'ה'ח' כפול ג' על ה' ויעלה ט"ו כפול ח' על ט"ו ויעלה ק"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot120\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot120\right)-\left(\frac{1}{8}\sdot120\right)=79}}$	חסר מק"כ שליש חומש שמינית וחברם יחד ויהיה ע"ט וזה המורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot120\right)\sdot40}{79}=\frac{40\sdot40}{79}}}$	לדעת כמה ליטרן יש לשום זה שזה שוות ג' זהו' קח השליש מן ק"כ וזהו מ' כפול מ' על מ' מנין הליטרין ומן העולה חלוק ע"ט וכן לכולם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}X=\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot120\right)\sdot40}{79}}}$	לשני כפול החומש מן ק"כ על מ' כבר הארכתי בעניין זה ודוק
Multiple Quantities - Coins that Worth an Amount of Money - four coins are worth 40 pešuṭim: the first is equal to a half and a sixth of the second. What is left from the second equals two thirds of the third. The third is equal to a third, a quarter, and a sixth of the first. The fourth is equal to four fifths of the third. How much does each [of the coins] worth? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\sum_{i=1}^4 a_i =40\\\scriptstyle a_1=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\\\scriptstyle a_2-\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\right]=a_2-a_1=\frac{2}{3}a_3\\\scriptstyle a_3=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_1\\\scriptstyle a_4=\frac{4}{5}\sdot{\color{red}{a_3}}\end{cases}$	שאלה הרי שיש לפניך ד' מטבעות ששוים מ' פשוטים הראשונה שוה החצי והשתות מן השנייה והנשאר מן השני הוא ב' שלישים מן השלישית והשלישי שוה שליש ורביעית ושתות מן הראשונ‫' והרביעי' שוה ד' חומשין מן השניה לדעת כמה שוה אחד מחבירו בקיצור
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)=3+1=4\longrightarrow a_1=\frac{2}{3}a_2}}$	עשה כך הראשונה ששוה חצי' ושתות מן השניי' באיזה מספר תמצא חצי ושתות שלמים בששה החציה ג' והשתות א' הרי ד' מו' הרי כאלו אמר הראשונה ב' שלישים מן השני
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=4+3+2=9\longrightarrow a_3=\frac{9}{12}a_1=\frac{3}{4}a_1}}$	ושלישית ששוה שליש ורביעי ושתות מן הראשון אלו החלקים בכמה נמצאין בי"ב שליש ד' רביעית ג' שתות ב' הרי ט' מן י"ב הוי כאלו אמר השליש ג' רביעי' מן הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{4}{5}{\color{red}{a_3}}}}$	והד' שוה ד' חומשין מן השני אין צריך ביאור דהא מבואר היטב
$\scriptstyle{\color{blue}{b_2=60}}$	לדעת איך תמצא החלקים בפירוש הבן איזה חלקי' הזכרנו בשאל' חצי ושתות ובכל מקום שתמצא שתות תמצא גם שליש גם הוזכרנו רביעי' וחומש וכל אלו החלקים נמצאים בששי' נמצא מטבע שנייה ס‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot b_2=\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=30+10=40}}$	החצי ל' והשתות י' כללם יחד ויהיה מ' זהו' מטבע ראשונה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}b_3=b_2-b_1=60-40=20\longrightarrow b_3=30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{b_3=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot b_1=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot40=30}}$	כמה עודף ס' על מ' כ' זהו' שאמרנו בשאלה והנשאר מן השני עודף על הראשון הוא שני שליש מן השלישי כי מטבע שלישי ל' כשתסיר גד"ו פי' שליש רביעי שתות מן מ' תמצא שלישי
$\scriptstyle{\color{blue}{b_4=\frac{4}{5}\sdot b_3=\frac{4}{5}\sdot30=\frac{4}{5}\sdot5\sdot6=24}}$	לדעת מטבע רביעית תחלוק לה' חלקים נמצא ל' ה' פעמי' ו' ד' חומשין מל' הרי כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{b_1+b_2+b_3+b_4=40+60+30+24=154}}$	וזהו סידורן מ' ס' ל' כ"ד חבור אותם יחד קנ"ד וזה המורה את החידה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{40\sdot40}{154}=10+\frac{60}{154}}}$	לדעת כמה מטבע ראשונה למלאות מנין ארבעים כפול מ' על מ' שהוא מנין המעות ומן העולה תחלוק קנ"ד ותמצא צורתו כזה פי' י' פשוטים וששים חלקים שקנ"ד מן פשוטים שלם זהו סך מטבע ראשונה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{60\sdot40}{154}=15+\frac{90}{154}}}$	אחר כך כפול ס' על מ' ומן העולה חלוק קנ"ד ויהיה צורתו כזה פי' ט"ו פשוטי' וצ' חלקים שקנ"ד מן פשוט שלם זה סך מטבע שני‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{30\sdot40}{154}=7+\frac{122}{154}}}$	אחר כך כפול ל' על מ' וחלוק לקנ"ד וצורתו כזה פי' ז' פשוטי' קכ"ב חלקים שקנ"ד מהן חלק שלם זהו מטבע שלישית
$\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{24\sdot40}{154}=6+\frac{36}{154}}}$	אחר כך כפול כ"ד על מ' ומן העולה תחלק קנ"ד וצורתו כזה פי' ו' פשוטי' ל"ו חלקים שקנ"ד מהן פשוט שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4&\scriptstyle=\left(10+\frac{60}{154}\right)+\left(15+\frac{90}{154}\right)+\left(7+\frac{122}{154}\right)+\left(6+\frac{36}{154}\right)\\&\scriptstyle=\left(10+15+7+6\right)+\left(\frac{60}{154}+\frac{90}{154}+\frac{122}{154}+\frac{36}{154}\right)\\&\scriptstyle=38+\frac{308}{154}=38+\frac{2\sdot154}{154}=38+2=40\\\end{align}}}$	צרוף יחד י' וט"ו וז' ועוד ו' הרי ל"ח וצרוף יחד החלקים שתחתיהן ויעלה ח' וג' מאות היינו ב' פעמים קנ"ד וזהו ב' פשוטי' ול"ד
Divide a Quantity - Boys Sharing Property of Their Father - a rich man talking to his sons, divided his assets and said to one of his sons: take from my purse one zahuv first, and then take a tithe of the remaining. To the second he said: take two zehuvim and a tithe of the remaining. To the third he said: take three zehuvim and a tithe of the remaining. And so on to all, first one zahuv more than the preceding should be taken, and then a tithe. How much is the money and how many are the sons, so that when they took according to their father's instruction each received as the other? $\scriptstyle1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-1\right)\right]=2+\frac{1}{10}\sdot\left[X-\left[\left[1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-1\right)\right]\right]+2\right]\right]$	חידה אדם עשיר המחלק נכסיו על פיו ואמר לאחד מבניו טול מנכסי זהו' בראש ואחר כך טול המעשר מן הנותר ולשני אמר טול אתה ב' זהו' ועישור נכסי מן הנותרים ולשליש אמר טול אתה ג' ועישור נכסי' מן הנותרים וכן לכולם הוסיף ליקח זהו' יותר בראש מן הקדמון ואחר כך עישור חוד כמה המעות כמה הבני' וכשנטלו כאשר ציום אביהם הגיע לזה כזה
number of sons: $\scriptstyle{\color{blue}{10-1=9}}$	תשובה אמור לפי החשבון השבור שבזה הוא עשרה תפחות א' מעשרה ויהיה ט' הרי ט' היו הבנים
number of zehuvim: $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot9=81}}$	אמור אחר זה ט' פעמים ט' ויעלה פ"א הרי פ"א היו הזהובים
number of zehuvim each one received: $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$	ולכל אחד הגיע ט' זהו‫'
	וכן לעולם היאך שהיה השבור שאמר לבניו ליקח אחד קח אחת פחות ועשה כמו שצויתיך ודוק
Motion Problem - Pursuit - a man is walking ten miles a day. His friend is walking one mile on the first day, two miles on the second day, and so on in each day he goes on walking one mile more. In how many days will he reach the one who walks 10 miles? $\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x i$	שאלה אדם שמהלך בכל יום י' מילין וחבירו הולך ביום ראשון מיל יום שני ב' מילין וכן בכל יום מוסיף והולך מיל בכמה ימים מגיע למהלך י' מיל
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\left(10+10\right)-1=20-1=19}}$	תשובה חבר י' עם י' ויעלה כ' חסר אחד וישאר י"ט הרי בי"ט ימים מגיע לחבירו
$\scriptstyle n\sdot X=\sum_{i=1}^x i\longrightarrow X=2n-1$	וכן לעולם כפול מהלכו של המהלך קביעתו והסר א' ובאלו הימים הגיעו
If the second is walking 1; 3; 5; 7 $\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x \left(2i-1\right)$	ואם השני מהלך א'ג'ה'ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=10}}$	תחוסר מן המהלך י' וישיגו בי' ימים
If the second is walking 2; 4; 6; 8 $\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x 2i$	ואם הוא מהלך ב'ד'ו'ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=9}}$	ישיגו בט' ימים
	וזה לך סימן לעולם על המהלך א'ב'ג' שתדע בקיצור כמה מילין הלך
Sums - Stock of Coins - arranged in sequence: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... → finding their sum $\scriptstyle\sum_{i=1}^n i$	שאלה אם ישאלך השואל הנה צבור מעות מונחים כאן וכולן מונחים על דרך א'ב'ג'ד'ה'ו‫'
If the last is 9:	תבין בסוף השיטה אם סוף השיטה ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^9 i={\color{red}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(9+1\right)\right]\sdot9}}=5\sdot9=45}}$	אז קח אמצעית אותו שיטה שהוא חמשה ואמור ה' פעמים ט' הרי מ"ה וכך המעות מ"ה
If the last is 10:	ואם סוף השיטה י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot10\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\left(5\sdot10\right)+5=50+5=55}}$	אז קח אחת מאמצעי' השיטה ואמור ה' פעמים י' הרי זה נ' ותוסיף עוד חצי שיטה היינו ה' והיינו הכל נ"ה
The rule:	נקט האי כללא בידך
$\scriptstyle n=2m\longrightarrow\sum_{k=1}^n k=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)\sdot n\right]+\frac{1}{2}n$	כשסוף השיטה בזוגות אז כפול אמצעית השיטה על השיטה השלימה ותוסיף חצי השיטה
$\scriptstyle n=2m+1\longrightarrow\sum_{k=1}^n k=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n+1\right)\right]\sdot n$	ואם סוף השיטה בפרודות כגון ז' ט' י"א י"ג ט"ו אז כפול אמצעי השיטה על כל השיטה ואינך צריך להוסיף דבר ודוק
Divide a Quantity - Sharing Food - two sat down to eat some bread. One had three loafs of bread and the second had two loafs of bread. A third came and ate with them. At the end of the meal, he went leaving five pešiṭim for the two. How should these two share the five pešiṭim? $\scriptstyle\left(2-\frac{5}{3}\right)X+\left(3-\frac{5}{3}\right)X=\frac{5}{3}$	חידה שנים הסיבו לאכול לחם ואחד יש לו ג' ככרות והשני יש לו ב' ככרות ובא עוד שלישי ואכל עמהם ובגמר הסעודה הלך לו והניח לפני השנים ה' פשוטים חוד איך יחלקו אלו השנים הה' פשוטים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}}}$	ודע והבין כמה מגיע לכל אחד מן הלחם צריך לומר כיכר שלם ושני שלישית
$\scriptstyle{\color{blue}{2-\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}}}$	כמה הפסיד בעל ב' ככרות רק שליש
$\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(1+\frac{2}{3}\right)=1+\frac{1}{3}}}$	וכמה הפסיד בעל ג' ככרות ככר ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}=\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}}$	נמצא שנתן בעד ה' שלישיות ה' פשוטים זה נוטל ארבע פשי' וזה נוטל פשוט
Multiple Quantities - Men, Women, and Children as Guests - people came to eat. Among them, there were men, women, and children. All in all 20 [people]. The host came and said to them: every man should give me three pešiṭim, every woman – two pešiṭim, and every child – a half pašuṭ, and so they did. The total amount of money [paid by] all of them together was 20. How many men, women, and children were there? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle3X+2Y+\frac{1}{2}Z=20\\\scriptstyle X+Y+Z=20\end{cases}$	חוד חידה הנה באו הנה נפשות לאכול ויש ביניהם אנשים ונשים וטף וסך כולם עשרים ובא להן בעל הבית ואמר להן תנו לי איש אחד מכם ג' פשוטים ואשה ב' פשוטים ותינוק חצי פשוט וכן עשו ועלה הסך של מעות כולם עשרים פשוטים חוד כמה היו האנשים וכמה הנשים וכמה הטף
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle men=X=1\\\scriptstyle women=Y=5\\\scriptstyle children=Z=14\end{cases}}}$	תשובה איש אחד חמשה נשים י"ד תינוקות ודוק
Multiple Quantities - Men, Women, and Children as Guests - a hundred people came to a guesthouse and sat to eat together. Among them, there were men, women, and children. The host came and said to them: every man should give me ten pešiṭim, every woman – five pešiṭim, and every child – a half pašuṭ, and so they did. The total amount of money [paid by] all of them together was 100 pešiṭim. How many men, women, and children were there? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle10X+5Y+\frac{1}{2}Z=100\\\scriptstyle X+Y+Z=100\end{cases}$	דרך אחר הנה באו מאה נפשות למלון אחד וישבו יחד לאכול והיה ג"כ ביניהם אנשים ונשים וטף ובא ג"כ להם בעל אושפיזין ואמר להם תנו לי כל איש עשרה פשוטי' ואשה ה' פשוט ותינוק חצי פשי' וכן עשו והיה הסך של מעות מאה פשוטי' חוד כמה היו אנשים וכמה הנשים וכמה טף
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle men=X=1\\\scriptstyle women=Y=9\\\scriptstyle children=Z=90\end{cases}}}$	תשובה איש אחד ט' נשים צ' תינוקות
	הנה אראך בדרך אחר לכפול אם תרצה לידע כמה ט"ו פעמים תתר"ף עשה טור ראשון מן תתרף ושם תחתיו ט"ו ה' תחת א' וא' לשמאלה כזה
	אזי כפול א' על כל טור העליון ואחר כך ה' על כל טור העליון ואמר כה א' פעם א' דהיינו א' שים א' כנגד א' ה' שפלת מן הכפולית כל כך גובה שיבא למעלה מן תתר"ף כזה ואחר כך א' פעם גלגל הרי גלגל שים אותו גלגל לפני א' אשר 0ח0א כתבת למעלה מן תתר"ף ואחר כך כפול א' פעם ח' יעלה ח' כתוב ח' ליפני ציפרא שכתב ואחר כך כפול א' פעם 0' ויעלה 0' שימיהו לפני ח' אשר כתבת ויהיה כזה דומנו והנה כפלתי על כל תתרף א' ואחר כך כפול ה' על כל תתרף ותתחיל לכפלו נגדה ממנו למעלה כאשר התחלת לכפול א' כנגד א' כן כפול ה' ועלה כך ה' פעמים א' הוא ה' שים ה נגד א' למעלה המנה במקום גלגל ואחר כך אמור ה' פעמים 0' אם לא שהיה כתוב מאומה או גלגל היתה נותן שם גלגל עכשיו שישם עליו ח' לא תעשום הגלגל כלום כי ח' אוחז מקומו ואחר כך אומר ה' פעמים ח' ויעלה מ' ולא תשימהו במקום גלגל כי תצטרך לגלגל אלא כתוב ד' על ח' לשמאל נמצא ז"ח זה על זה ומחוק שניהם וכתוב במקומה ב' ועל ה' אשר כתבת לשמאל כתוב א' הרי י' ואחר כך אמור ה' פעמים ט' היינו 0' שים 0' על 0' ויהיה דומיים כזה 00בוא ותשלם תבין שלא נשלם הטור העליון נגד הטור השפל עד אשר תכפול כל אותיות מן הכפולות על החשבון ולמבין די ודו"ק
	שאלה מפי הר"ר ישראל מפראג ממון שהוספנו עלינו כמה שהיה בתחלה כגון אם הוא ג' תוסיף עליו ג' וגם מחציתו ורביעתו ויהיה הכל עשרים או ל' או מ' או כפי רצונך כמה שתרצה ותכתוב שני חשבונות שקרים ותחשוב מהם האמת כמה היה בתחילה
	והנה לך דימיון כגון ממון שהוספנו עליו כמו שהיה בתחילה ומחציתו ורביעתו ויהיה הכל עשרים
	אז חשוב אם היה בתחלה המעות ד' זהו' והוספנו עליו עוד ד' ועוד מחציתו שהוא ב' ורביעתו שהוא א' והנה הכל ביחד א'א' והנה הוא שקר כי היה ראוי להיות הכל 0"ב כי שאילתינו כשהוספנו עליו כמו שהיה בתחילה ומחציתו ורביעתו ויהיה הכל עשרים וזה אינו רק א'א' אז חשוב כמה הוא מן א'א' עד 0"ב ויהיה ט' אותו ט' כתוב תחת ד' שאמרנו שהיו המעות בתחילה כזה ואח"כ חשוב אם היו המעו' בתחילה ח' והוספנו עליו כפי שאילתינו עוד ח' ומחציתו שהוא ד' ורביעיתו שהוא ב' והנה הכל ביחד ב'ב' א"כ זהו ג"כ שקר כי הוא ראוי להיות הכל ביחד 0"ב כמו ששאלנו כי שאלנו כשהוספנו עליו כמו שהיה בתחילה ומחציתו ורביעתו ויהיה הכל 0"ב אז תנכה 0"ב מן החשבון כפי שאילתנו ויהיה יותר ב' אותו ב' כתוב תחת ח' שאמרנו שהיה המעות בתחילה וכתוב ח' בצד שמאל של ד' וגם ב' הנשאר מן החשבון כתוב בצד שמאל על ט' כזה והנה צרוף ט"ב ביחד כי הם נשארים מן החשבונות השקרים ויהיה א'א' וזה המורה אח"כ כפל ב' שתחת על ד' ויהיה ח' אותו ח' כתוב שלא תשכח ואח"כ כפול ט' שתחת ד' על ח' ויהיה ב"ז וקח ח' שכתבת כבר ושים אותו על ב' ויהיה עשרה כתוב גלגל במקום ב' ומחוק ד' וכתוב במקומה ח' ויהיה 0"ח פי' פ' ואח"כ חלוק בשער החילוק כמה פעמים א'א' יש בשמונים כי הוא המורה ותמצא בו ז' פעמים ועוד ג' חלקים שא'א' מהן חלק שלם פי' שלם זהב שלם וכך היא המעות בתחילה ששאלנו והמבין יבין
	וזה החשבון דלעיל מכוון כששני חשבונות השקרים אחד פחות ואחד יותר אבל אם שני חשבונות שקרים כל אחד יותר על חשבון היוצא או שניהם חסרים אשכילך האיך תעשה אז תנכה החשבון המועט הנשאר מן חשבון המרובע ומה שישאר לך זהו המורה וכשכפלת שני חשבונות יחד אז תנכה גם כן חשבון המועט מן המרובה והנה אכתוב לך דימיון כגון אם יש לך סך מעות וכפלת עליו סך שהיה כבר ומחציתו ורביעתו ויהיה בין הכל 0"ב אשכילך האיך תעשה אם תאמר שהיה סך מעות ח' זהו' והוספנו עליו עוד ח' ומחציתו שהוא ד' ורביעתו שהוא ב' ויהיה [ס]ך הכל ב'ב' וזה שקר כי היה ראוי להיות סך הכל 0"ב אז תנכה 0"ב וישאר ב' אותו ב' כתוב שלא [ת]שכח ואז תחשוב חשבון השני ותאמר אם היו סך המעות ו"א והוספנו עליו ו"א ומחציתו שהוא ח' ורביעיתו שהוא ד' ויהיה בין הכל ד"ד וזה שקר גמור כי היה ראוי להיות 0"ב אז תנכה 0"ב שהוא סך היוצא מן מעות מן ד"ד וישאר ד"ב ואח"כ ב' הנשאר מן חשבון הראשון מן ד"ב הנשאר מן חשבון השני וישאר ב"ב וזהו המורה ואז כפול ב' שתחת ח' על ו"א ויהיה ב"ג כתוב שלא תשכח ואח"כ כפול ד'ב' על ח' ויעלה ב'ט'א' אז תנכה החשבון הראשון אשר כפלת שהוא ב"ג מן החשבון השני שהוא ב'ט'א' כי הוא חשבון המועט וישאר 0'ו'א' אז חלוק בשער החילוק כמה פעמים ב'ב' יש בו כי הוא המורה ותמצא שיש בו ז' פעמים וגם ו' חלקים שב'ב' מהן חלק שלם דהיינו זהו' והמבין יבין סליק

Notes