Kaufmann A506/2 – Discussion on Numbers

Discussion about Numbers Divided into Chapters	‫המאמר במספרים נחלק לפרקי‫'
The First Method in the Introduction to the Discussion	הדרך הא' בהצעת המאמר
The unknown number, the knowledge of which is required, is known either through another number or numbers, or through its relation or sequence.	המספר הנעלם דרוש הידיעה יודע אם מפני מספר או מספרי' אחרים או מפני יחסו או סדורו
Through another known number: either it is equal to it, which is simple; or it is greater than it, and knowing the term that is greater than it is called addition; or it is smaller and knowing how much smaller it is, is called subtraction.	אולם מפני מספר אחר ידוע הנה או שזה שוה לו והוא פשוט או שזה יותר גדול ממנו וידיעת השעור שהוא יותר גדול ממנו ויקרא זה חבור או שהוא יותר קטן ויודע בכמה יותר קטן ויקרא מגרעת
Through other numbers: they are multiplied by each other and this is called multiplication.	אולם מפני מספרי' אחרי' שיוכפלו יחד ויקרא זה הכפלה
Through its relation, it is called ratio; or its sequence, it is called the sequential number in ratio.	אולם מפני יחסו ויקרא ערך או סדרו ויקרא המספר המסודר ביחס
The Second Introduction	הצעה שנית
The numbers that the arithmetician investigates are integers summed together called contiguous with regard to their subject.	המספרים שיעיין בם בעל חכמת החשבון הם מחוברי' מאחדי' שלמים ויקרא לאחר החלוקה בבחינת נושאו שהוא המתדבק
The mathematician investigates this also, when he thinks about the subject of the one divided into parts, whether into halves or thirds or quarters and so on.	ויעיין בו הלמודי ג"כ כשיצייר נושא האחד נחלק לחלקי' אם לחצי או לשלישי או לרביע וזולתם
The fractions are called by a name that is derived from the integers: the third is derived from three, because the greater is 3 times the smaller and the smaller is one of its three parts; the quarter is derived from the four; and so on.	ויקרא שם לשברי' נגזר מהשלמי' יקרא השליש נגזר משלש למה שהגדול ג' דמיוני הקטן הקטן חלק משלשה בו והרביע נגזר מהארבעה וכן זולתם
The Third Introduction	הצעה ג‫'
The arithmetic numbers are arranged in sequence according to the ratio of one to ten, since the ratio of all the units of the first rank to the units of the second rank is the same as the ratio of the units of the second to the units of the third and the same as the ratio of the units of the tenth [rank] to the units of the eleventh [rank].	המספרי' החשבוניי' מסודרי' בהדרגה ועל יחס האחד לעשר על שיחס כל אחדי המעלה הא' לאחדי המעלה הב' כיחס אחדי השנית אל אחדי השלישית וכיחס אחדי העשירית לאחדי האחד עשר
For example: as two in the second rank is ten times two in the first rank, so two in the fifth rank is ten times two in the fourth rank.	דמיונו שכמו ששנים במעלה השנית הם עשרה פעמי' שנים במעלה הא' כך שניים במעלה החמישית הם עשרה דמיוני לשנים במעלה רביעית
Similarly, the ranks of the sexagesimal fractions, except that the [fractions] are in a subtractive ratio and [the units] are in an additive ratio; the [fractions] are in the ratio of sixtieth to each other and [the units] are in the ratio of one to sixty.	וכן מדרגות שברי חכמי התכונה אלא שאותם הם יחס הגרעון ואלו יחס התוספת ואותם יחס אחר ששים לאחר ואלו יחס אחד מששים
The ratio of 3-minutes to 3-seconds is the same as the ratio of 3-sevenths to 3-eighths. $\scriptstyle{\color{blue}{3^\prime:3^{\prime\prime}=3^{vii}:3^{viii}}}$	ועם זה יחס ג' דקי' לג' שניים כיחס ג' שביעיים לג' שמיניים
	ולזה יפול בכל אחד מהמספרי' בחינה בבחינות המספר ומה שבו מהאחדים ובחינה במדרגתו
Chapter on the Multiplication of Numbers by Numbers, Some of which are Knowns and Some are Unknown	הפרק במכפלת מספרי' במספרי' קצתם ידועי' וקצתם נעלמי‫'
The unknown is called by the name of a more general species, which is a "thing".	ויקרא הנעלם בשם הסוג היותר כולל והוא דבר
If you are asked to multiply numbers whose number and value are known, by things whose number is known, but not their value:	אם ינתן לך לכפול מספרי' ידועי המניין והשעור בדברי' ידועי המניין לא השעור
As if we are saying: we multiply ten units by 4 things and it is not known whether these things are numbers, or a sum of numbers, or squares, or the like. $\scriptstyle10\times 4x$	כאלו נאמר כפלנו עשרה אחדי' בד' כ דברים והיה מהנעלם [....] אם הדברי' ההם מספרי' או קבוץ מספרים או מרובעים או הדומה לזה
Here is how you answer an answer that is known from one aspect and unknown [from another]:	הנה איך אתה השיב תשובה ידועה מצד ונעלמת
We multiply ten by four; the result is 40.	ונכפול עשרה בארבעה יעלו מ‫'
Then by a thing; it is a thing.	ואחר בדבר יהיה דבר
So, say the result is 40 things, that is, 40 times the measure you called "thing", whether it is a number, or a sum of numbers. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times 4x=40x}}$	ולכן תאמר שהעולה מ' דברים כלומר הוא מ' פעמים השעור ש[כינת] אותו אתה בשם דבר מספר היה או מקובץ אחדים
If a "thing" meant tens, the meaning of the question was: multiply ten units by four things, so that each thing is ten [units].	ואלו היה המכוון בדבר עשריים היה מובן השאלה תכפול עשרה אחדי' בארבעה דברים על שכל דבר הוא עשרה מספרי‫'
If a "thing" meant a hundred, they were 40 hundreds.	ואם היה המכוון בדבר מאה היו מ' מאות
The same for any meaning desired.	וכן בכל מה שרצהו מהכוונות
Two products are needed then.	ואז צריך ב' הכפלות
Six types of combinations are created from this:	ויתחדשו בזה ו' מינים מההרכבות
The first is that you multiply the numbers by things. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times bx}}$	הא' שתכפול המספרי' בדברי‫'
As our saying: 10 numbers by 4 things. $\scriptstyle10\times4x$	כאמרנו י' מספרי' בד' דברי‫'
The second is that you multiply numbers by numbers and things. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times\left(b+cx\right)}}$	הב' שתכפול מספרי' במספרי' ודברי‫'
As our saying: multiply 4 numbers by 6 numbers and 5 things. $\scriptstyle4\times\left(6+5x\right)$	כאמרנו כפול ד' מספרי' בו' מספרי' וה' דברים
Then two products are needed.	ואז צריך ב' הכפלות
The way is that you multiply 4 numbers by 6 numbers; the result is 24.	והדרך שתכפול ד' מספרי' בו' מספרי' יעלו כ"ד
Multiply 4 by 5 things; the result are 20 things.	כפול ד' בה' דברים יעלו כ' דברים
The sum is 24 numbers and 20 things. $\scriptstyle{\color{blue}{4\times\left(6+5x\right)=\left(4\sdot6\right)+\left(4\sdot5x\right)=24+20x}}$	הנה המקובץ כ"ד מספרים וכ' דברים
	nomira   cosa nº   cº 6 4 5 24   20
The third is that you multiply numbers and things by numbers and things. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+bx\right)\times\left(c+dx\right)}}$	הג' שתכפול מספרים ודברי' במספרי' ודברי‫'
Then four products are needed.	ואז צריך ד' הכפלות
Multiply 4 numbers and 3 things by 5 numbers and 6 things. $\scriptstyle\left(4+3x\right)\times\left(5+6x\right)$	כפול ד' מספרי' וג' דברים בה' מספרי' וו' דברים
	4   3 5   6 20 24 18   15
We multiply 4 numbers by 5 numbers; the result is 20.	הנה נכפול הד' מספרים בה' מספרי' עלו כ‫'
4 numbers by 6 things; the result are 24 things.	וד' מספרי' בו' דברי' עלה כ"ד דברים
We multiply 3 things by 5 numbers; the result are 15 things.	עוד נשוב ‫נשוב נכפול ג' דברי' בה' מספרים עלו ט"ו דברים
We multiply 3 things by 6 things; the result are 18 things of things, i.e. 18 squares of the given thing.	נשוב נכפול ג' דברים בו' מספרים דברים עלו י"ח דברים מדברים כלומר י"ח מרובעי הדבר המונח
We sum them, the result is 20 numbers, 39 things, and 18 squares of the things.	נקבצם עלה כ' מספרים ל"ט דברים וי"ח מרובעי הדברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(4+3x\right)\times\left(5+6x\right)&\scriptstyle=\left(4\sdot5\right)+\left(4\sdot6x\right)+\left(3x\sdot5\right)+\left(3x\sdot6x\right)\\&\scriptstyle=20+24x+15x+18x^2\\&\scriptstyle=20+39x+18x^2\end{align}}}$
The fourth is the subtraction method.	הד' דרך הגרעון
If you are told: six numbers by ten numbers minus 6 things. $\scriptstyle6\times\left(10-6x\right)$	אם יאמר לך ששה מספרים בעשרה מספרים פחות ו' דברים
	nº   cº   6   10 min 6 60 min 36
You multiply six by ten; the result are 60 numbers.	הנה תכפול ששה בעשרה עלו ס' מספרים
Multiply 6 numbers also by subtractive six things; they are 36 subtractive things.	עוד שוב כפול ו' מספרים בששה דברים חסרים יהיו ל"ו דברים חסרים
The sum is 60 minus 36 things. $\scriptstyle{\color{blue}{6\times\left(10-6x\right)=\left(6\sdot10\right)-\left(6\sdot6x\right)=60-36x}}$	הנה המקובץ ששים פחות ל"ו דברים
The fifth is subtraction and addition.	הה' גרעון ותוספת
If you are told: multiply 6 numbers and 3 things by 7 numbers minus 5 things. $\scriptstyle\left(6+3x\right)\times\left(7-5x\right)$	אלו אמ' לך כפול ו' מספרים וג' דברים בז' מספרים פחות ה' דברים
	6   3   7   min 5 rº 42   min 30 rº 21   ? min ? 15   ? ? ?
Multiply 6 numbers by 7 numbers; the result is 42.	הנה תכפול ו' מספרי' בז' מספרים עלו מ"ב
Multiply 6 numbers by subtractive 5 things; the result is 30 subtractive things.	כפול ו' מספרים בה' דברים חסרים עלו ל' דברים חסרים
Multiply 3 additive things by 7 numbers; the result is 21 additive things.	כפול ג' דברים נוספים בז' מספרים עלו כ"א דברים נוספים
3 additive things by 5 subtractive things; the result is 15 things of subtractive things, that is, 15 subtractive squared things.	ג' דברים נוספים בה' דברים חסרים עלו ט"ו דברים מדברים חסרים כלומ' ט"ו מרובעי הדברים חס(ר)ים
We subtract 21 additive things from the thirty subtractive things; 9 remain.	ונסיר מן השלשים דברים הנגרעים כ"א דברים נוספים נשארו ט‫'
The total sum of the products is 42 numbers, 9 subtractive things and 15 things of things.	ויהיה כלל המקובץ מההכפלה מ"ב מספרי' ט' דברים חסרים וט"ו דברים מדברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(6+3x\right)\times\left(7-5x\right)&\scriptstyle=\left(6\sdot7\right)+\left[6\sdot\left(-5x\right)\right]+\left(3x\sdot7\right)+\left[3x\sdot\left(-5x\right)\right]\\&\scriptstyle=42-30x+21x-15x^2\\&\scriptstyle=42-\left(9x+15x^2\right)\end{align}}}$
First, you should know that the result of multiplying any number by any number is a number.	וראוי שתקדם ותדע שהכפלת כל מספר בכל מספר העולה מספר
The product of a number by a thing or a number of things is a thing, or things, according to the result of multiplying the number of the things by the number.	ומספר בדבר או מניין מדברים יעלה דבר או דברים כמו העולה מכפל מניין הדברים על המספר
The product of a thing by a thing or things is a thing of a thing, that is, a square of that unknown number, or of things, according to the result of multiplying the numbers of the things by each other.	ודבר בדבר או דברים יעלה דבר מדבר כלומ' מרובע המספר ההוא הנעלם או דברים כעולה מכפל מניין הדברים קצתם בקצת
A number by an additive thing; the result is an additive thing.	ומספר בדבר נוסף יעלה דבר נוסף
By a subtractive thing; the result is a subtractive thing.	ובדבר גורע יעלה דבר גורע
A subtractive thing by an additive or a subtractive thing; the result is a subtractive thing of a thing.	ודבר גורע בדבר מוסיף או גורע יעלה דבר מדבר גורע
The sixth method is subtraction in the multiplier and in the multiplicand.	הו' דרך הגרעון בכופל והנכפל
If it is said: multiply ten minus 3 things by 8 minus 5 things. $\scriptstyle\left(10-3x\right)\times\left(8-5x\right)$	שיאמ' כפול עשרה פחות ג' דברים בח' פחות ה' דברים
ג' דברים פחות י‫' ה' דברים פחות ח‫' ט"ו דברים מדברים גורעי נ' דברים גורעים פ‫'   כ"ד דברים נוספים
10 minus 3 things 8 minus 5 things 80 50 subtractive things 15 subtractive things of things   24 additive things
It is by four products: one additive and three subtractive.	הנה זה בד' הכפלות א' להוסיף וג' לגרוע
We multiply 10 by 8; the result is 80.	נכפול י' בח' ויעלו פ‫'
10 by subtractive 5 things; it is 50 subtractive things.	י' בה' דברים גורעים יהיו נ' דברים גורעים
8 by subtractive 3 things; it is 24 subtractive things.	ח' בג' דברים גורעים יהיו כ"ד דברים גורעים
3 subtractive things by 5 subtractive things; it is 15 [additive] things of things.	ג' דברים גורעים בה' דברים גורעים הרי ט"ו דברי' מדברי' גורעים
The total sum is 80 numbers minus 74 things and 15 things of things.	היה כלל המקובץ פ' מספרים פחות ע"ד דברים וט"ו דברים מדברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10-3x\right)\times\left(8-5x\right)&\scriptstyle=\left(10\sdot8\right)+\left[10\sdot\left(-5x\right)\right]+\left[8\sdot\left(-3x\right)\right]+\left[\left(-3x\right)\sdot\left(-5x\right)\right]\\&\scriptstyle=80-50x-24x-15x^2\\&\scriptstyle=80-74x+15x^2\end{align}}}$
The seventh is subtraction and addition.	הז' גרעון ותוספת
If it is said: multiply ten numbers and a thing by a thing minus ten numbers. $\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)$	שיאמ' כפול עשרה מספרים ודבר על דבר פחות עשרה מספרים
דברי‫' י‫'   דברים פחו' י‫'   י' דברי' נוספי‫' ק' פחותים   י' דברי' גורע‫'   דבר מדבר נוסף החסרי' נגד הנוספים ק' חסרים
10 things things minus 10 subtractive 100 10 additive things   10 subtractive things   subtractive 100 subtractive for additive a subtractive thing of a thing
It is also by four products:	הנה זה בד' הכפלות גם כן
Multiply the additive thing by the additive thing; the result is an additive thing of a thing.	והוא שתכפול הדבר הנוסף על הדבר הנוסף יעלה יעלה דבר מדבר נוסף
The ten numbers by 10 subtractive numbers; they are 100 subtractive numbers.	הנה העשרה מספרים בי' מספרים הגורעים יהיו ק' מספרים גורעים
Multiply 10 by a thing; the result is 10 additive things.	תכפול י' בדבר עלו י' דברים נוספים
Multiply again a thing by 10 subtractive numbers; the result is 10 subtractive things.	שוב כפול דבר נוסף בי' מספרי' גורעי' עלו י' דברים גורעים
Multiply a thing by an additive thing; the result is an additive thing of a thing.	כפול דבר בדבר נוסף עלה דבר מדבר נוסף
We give the 10 additive things to the subtractive; the total sum is subtractive 100 numbers and an additive thing of a thing; so the result is a thing of a thing minus 100 numbers.	נתן הי' דברים נוספים כנגד הגורעים ועלה כלל החשבון ק' מספרים חסרים ודבר מדבר נוסף הנה העולה דבר מדבר פחות ק' מספרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(-100\right)\right]+\left(10\sdot x\right)+\left[x\sdot\left(-10\right)\right]+\left(x\sdot x\right)\\&\scriptstyle=-100+10x-10x+x^2\\&\scriptstyle=-100+x^2=x^2-100\end{align}}}$
As we have illustrated for integers, so this is possible for fractions.	וכמו שהמשלנו בשלמי' כן יתכן ביחס בשברים
Example: we multiply 10 numbers and two-thirds of a thing by 3 numbers minus 6 things. $\scriptstyle\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)$	דמיונו כפלנו י' מספרים ושני שלישי דבר על ג' מספרים פחות ו' דברים
וב' שלישי דבר י‫'   פחות ו' דברים ג‫' ד' דברים מדברי' גורעי ב' דברים נוספים ל‫'   ס' דברים גורעים   וד' דברי' מדברי' נגרעים נ"ח דברים גורעים ל‫'
10 and 2-thirds of a thing 3   minus 6 things 30   2 additive things 4 subtractive things of things     60 subtractive things   30   58 subtractive things and 4 subtractive things of things
We multiply ten numbers by 3 numbers; the result is 30 numbers.	הנה נכפול עשרה מספרים על ג' מספרים עלה ל' מספרים
We multiply ten [numbers] by six subtractive things; they are 60 subtractive things.	נכה עשרה דברים בששה דברים הגורעים יהיו ס' דברים גורעים
We multiply 2-thirds of a thing by 3 numbers; they are 2 additive things.	נכה ב' שלישי דבר על ג' מספרים יהיו ב' דברים נוספים
We multiply 2-thirds of a thing by 6 subtractive things; they are 4 subtractive things of things.	נכה ב' שלישי דבר בו' דברים גורעים יהיו ד' דברים מדברים גורעים
We sum all, but we subtract the 2 additive things from the sixty subtractive; 58 subtractive remain.	נקבץ הכל אלא שנגרע הב' דברים הנוספים מהששים הגורעים נשארו נ"ח גורעים
So, the total is 30 numbers minus 58 things and 4 subtractive things of things.	ולזה יהיה המקובץ ל' מספרים פחות נ"ח דברים וד' דברי' מדברים גורעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)&\scriptstyle=\left(10\sdot3\right)+\left[10\sdot\left(-6x\right)\right]+\left(\frac{2}{3}x\sdot3\right)+\left[\frac{2}{3}x\sdot\left(-6x\right)\right]\\&\scriptstyle=30-60x+2x-4x^2\\&\scriptstyle=30-58x-4x^2\end{align}}}$
Chapter on the Finding a Number from a Number by Knowing Their Ratio	‫הפרק בהוצאת מספר ממספר מתוך ידיעת יחסו
When a number is unknown, but its ratio to another number is known and you want to find it by knowing the other number and its ratio to it:	כשהיה מספר מה נעלם ידוע היחס למספר אחר ותבקש ידיעתו מתוך ידיעת המספר האחר ויחסו לו
First, you should know that the ratio is found in three categories:	הנה ראשונה ראוי שתדע שהיחס ימצא על ג' פנים
Arithmetical proportion, which is the difference between known integers.	אם יחס מספרי והוא הבדל במספרים שלימים ידועי‫'
As if you say: the relation between 3 and 10 is the same as 3 times plus one. $\scriptstyle{\color{blue}{10=\left(3\times3\right)+1}}$	כאלו תאמר יחס ג' לי' כיחס ג' דמיונים ואחד
The numbers are related when the increment between them is the same.	ויהיו המספרים מתיחסים כשהיה התוספת בהם שוה
For example: the relation of ten to 13 is the same as the relation of 100 to 103. $\scriptstyle{\color{blue}{13-10=103-100}}$	דמיונו שיחס עשרה לי"ג כיחס ק' לק"ג
Geometric proportion, which is the ratio between the	ואם יחס למודי והוא יחס בין ההבדל וכלל המספרים המתיחסים
As our saying: the ratio of 3 to ten is the ratio of 3 times and a third $\scriptstyle{\color{blue}{10:3=3+\frac{1}{3}}}$	כאמרנו יחס ג' לעשרה כיחס ג' דמיונים ושליש
	ויהיה היחס בין המספרים אחר כשיהיה ההבדל לו יחס אחד למתיחסים
For example: the ratio of ten to 13 is the same as the ratio of 40 to 52. $\scriptstyle{\color{blue}{10:13=40:52}}$	דמיונו יחס עשרה לי"ג כיחס מ' לנ"ב
Because the difference between the formers is 3 and the ratio of ten [to 13] is the same plus a fifth and half [a fifth] and so is the ratio of 40 to 52. $\scriptstyle{\color{blue}{10:13=1:\left[1+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=40:52}}$	כי ההבדל בין הראשוני' הוא ג' ויחסו לעשרה כיחס כמוהו וחומשו וחצי וכן יחס מ' לנ"ב
The third is harmonic ratio.	והג' הוא יחס נגוני
But the geometric proportion is either between two terms alone:	אולם היחס למודי יהיה לקוח אם בין שני שעורים לבד
As if you say: the ratio of 9 to 12 is 3-quarters $\scriptstyle{\color{blue}{9:12=\frac{3}{4}}}$	כאלו תאמר יחס ט' לי"ב הוא ג' רביעיות
Also the ratio of 1[6] to 1[2] is 4-thirds $\scriptstyle{\color{blue}{1{\color{red}{6}}:1{\color{red}{2}}=\frac{4}{3}}}$	ויחס י"ב לי"ו הוא ד' שלישיות
When one of the terms is known and the ratio of the other to it is known, the method is that the ratio is multiplied by one term and the result is the other.	והדרך בזה כשיהיה אחד השעורים ידוע ויחס האחר אליו ידוע שיכפל היחס בשעור האחד ויצא האחר
For example: one of the terms is 7 and a half and the ratio of the other to it is 5-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{x:\left(7+\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{7}}}$	דמיונו שאחד השעורים ז' וחצי והאחר יחסו לו שהוא ה' שביעיות
We multiply 5-sevenths by 7 and a half; it is 5 and 5 parts of 14. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5}{7}\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)=5+\frac{5}{14}}}$	הנה נכפול ה' שביעיות בז' וחצי יהיה ה' וה' חלקים מן י"ד
If [the ratio] is 9-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{x:\left(7+\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{7}}}$	ואם היה ט' שביעיות
It is 9 and 9 parts of 14. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{9}{7}\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)=9+\frac{9}{14}}}$	יהיה תשעה וט' חלקים מי"ד
Or, it is between only three terms, as if you say: the ratio of one of the terms, which is the unknown, to a known term is the same as the ratio of the known to another known.	ואם יהיה בין ג' שעורים לבד כאלו תאמר יחס אחד השעורי' והוא הנעלם אל שעור ידוע כיחס הידוע אל ידוע אחר
As if you say: the ratio of an unknown term to ten is the same as the ratio of ten to forty. $\scriptstyle{\color{blue}{x:10=10:40}}$	כאלו תאמר יחס שעור נעלם אל עשרה כיחס עשרה לארבעים
This unknown can be the first, as in our example, and it can be the second:	והנה זה הנעלם אפשר שיהיה אם הראשון כמו בהמשלנו ואפשר שיהיה השני
As saying: the ratio of ten to an unknown is the same as the ratio of the unknown to fifty. $\scriptstyle{\color{blue}{10:x=x:50}}$	כאמרנו יחס עשרה לנעלם כיחס הנעלם לחמשים
	ואם שיהיה בין ג' שעורים לבד כאלו תאמר יחס אחד השעורים והוא הנעלם אל שעור ידוע כיחס הידוע
Or, it is between four terms:	ואם שיהיה בין ד' שעורים
As if you say: the ratio of the unknown to ten is the same as the ratio of 100 to 3 hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{x:10=100:300}}$	כאלו תאמר יחס הנעלם לעשרה כיחס ק' לג' מאות
The unknown is also either of the extreme numbers or of the mean numbers.	וזה גם כן אם שיהיה הנעלם מהמספרים אשר מהקצוות או מהמספרים האמצעיים
We have already given an example for the first case.	והראשון מאלו כבר המשלנו בו
The second case is as saying: the ratio of ten to the unknown is the same as the ratio of 100 to 3 hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{10:x=100:300}}$	והשני כאמרנו יחס עשרה לנעלם כיחס ק' לג' מאות
The method is one of two options:	והדרך בזה הוא אחד משני דברים
Either to multiply the means, when the mean is the unknown, and the root of the result is the unknown - and this is for three numbers.	אם לכפול הקצוות כשהיה הנעלם האמצעי ושורש העולה הוא הנעלם וזה בג' מספרים
As your saying: the ratio of two to the unknown is the same as the ratio of the unknown to 4 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{2:x=x:\left(4+\frac{1}{2}\right)}}$	כאמרך יחס שנים לנעלם כיחס הנעלם לד' וחצי
We multiply the first, which is 2, by the third, which is 4 and a half; the result is 9.	הנה נכפול הראשון והוא ב' בג' השלישי והוא ד' וחצי והעולה והוא ט‫'
We extract its root; it is 3 and this is the second. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{2\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{9}=3}}$	נקח שורשו והוא ג' וכן השני
When the unknown is one of the extremes:	וכשהיה הנעלם הוא אחד הקצוות
We multiply the mean by itself, then divide the product by one of the extremes and the result is the other extreme. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_3}\quad a_3=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}}}$	נכפול האמצעי בעצמו ונחלק העולה על אחד הקצוות ויצא האחר
For example: the ratio of 2 to 3 is the same as the ratio of 3 to the unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{2:3=3:x}}$	דמיונו שיחס ב' לג' כיחס ג' לנעלם
	2   3 3   0
We multiply 3 by itself and divide the product by 2; the result is 4 and a half and this is the unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3^2}{2}=4+\frac{1}{2}}}$	נכפול ג' על עצמו ונחלק העולה על ב' ויצא ד' וחצי וכן הנעלם
For four numbers:	ואולם בד' מספרים
If the unknown is one of the means:	הנה אם היה הנעלם אחד האמצעיים
We multiply the extremes [by each other], then divide the product by the known mean; the result is the other mean. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}\quad a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}}}$	הנה נכפול הקצוות ונחלק העולה על האמצעי הידוע יצא האמצעי האחר
For example: the ratio of 2 to 5 is the same as the ratio of the unknown to 25. $\scriptstyle{\color{blue}{2:5=x:25}}$	דמיונו יחס ה' לב' ב' לה' כיחס הנעלם לכ"ה
	2   5 0   25
We multiply 2 by 25; the result is 50.	הנה נכפול ב' בכ"ה עלו נ‫'
We divide it by 5; the result is ten and this is the third that is unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2\sdot25}{5}=\frac{50}{5}=10}}$	נחלקם על ה' יצא עשרה והוא הנעלם השלישי
If one of the extremes is the unknown:	ואם היה אחד הקצוות הוא הנעלם
We multiply the means by each other, then divide the product by one of the extremes, which is known, and the result is the other extreme. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}\quad a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}}}$	הנה נכפול האמצעיים בעצמם ונחלק העולה על אחד הקצוות והוא הידוע יצא האחר
For example: the ratio of 2 to 6 is the same as the ratio of 9 to the unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{2:6=9:x}}$	דמיונו יחס ב' לו' כיחס ט' לנעלם
	2   6 9   0
We multiply 6 by 9; the result is 54.	הנה נכפול ו' בט' עלה נ"ד
We divide it by 2; the result is 27 and this is the fourth. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6\sdot9}{2}=\frac{54}{2}=27}}$	נחלקם על ב' עלה כ"ז וכן הרביעי
	והדרך הב' מהמצאתינו שבד' שעורים שנחלק השוים הן הקרובים הידועים
	ונכפול העולה על האחר על הקרוב לנעלם
For example: the ratio of 3 to 9 is the same as the ratio of the unknown to 18. $\scriptstyle{\color{blue}{3:9=x:18}}$	דמיונו יחס ג' לט' כיחס הנעלם לי"ח
	3   9 0   18
We divide [3] by [9]; the result is a third.	הנה נחלק ט' על ג' עלה שליש
We multiply a third by 18; the result is 6 and this is the mean that is unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{9}\sdot18=\frac{1}{3}\sdot18=6}}$	כפלנו שליש בי"ח יעלו ו' וכן האמצעי הנעלם
When the unknown is one of the extremes:	בהיות הנעלם אחד הקצוות
As our saying: the ratio of the unknown to 4 is the same as the ratio of 3 to 12. $\scriptstyle{\color{blue}{x:4=3:12}}$	כאמרנו יחס הנעלם לד' כיחס ג' לי"ב
	0   4 3   12
We divide [3] by [12]; the result is a quarter.	הנה חלקנו י"ב על ג' עלה רביע
We multiply it by 4; the result is one and this is the first. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{12}\sdot4=\frac{1}{4}\sdot4=1}}$	כפלנוהו על ד' עלה אחד והוא הראשון
If there are three terms and the unknown is one of the extremes:	ואולם בג' שעורים בהיות הנעלם אחד הקצוות
As our saying: the ratio of 2 to 6 is the same as the ratio of 6 to the unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{2:6=6:x}}$	כאמרנו יחס ב' לו' כיחס ו' לנעלם
We divide 6 by 2; the result is 3.	הנה חלקנו ו' על ב' עלה ג‫'
We multiply 3 by 6; the result is 18 and this is the third that is unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6}{2}\sdot6=3\sdot6=18}}$	כפלנו ג' בו' עלה י"ח וכן השלישי הנעלם
If the mean is unknown:	ואם היה האמצעי נעלם
We [multiply] the extremes by each other, then extract the root of the product and this is the second. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2=\sqrt{\left(a_1\sdot a_3\right)}}}$	הנה חלקנו הקצוות האחד על האחר ונקח שורש העולה והוא השני
For example: the ratio of 2 to the unknown is the same as the ratio of the unknown to 12 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{2:x=x:\left(12+\frac{1}{2}\right)}}$	דמיונו יחס ב' לנעלם כיחס הנעלם לי"ב וחצי
	2   0 0   12
We multiply 2 by 12 and a half; the result is 25	כפלנו ב' בי"ב וחצי עלה כ"ה
We extract its root; it is 5 and this is the mean. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{2\sdot\left(12+\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{25}=5}}$	לקחנו שורשו והוא ה' וכן הוא האמצעי
The reason for all these methods:	והסבה בכל אלו הדרכים
For the first: since the product of the first by the third is the same as the product of the second by itself, when the ratio is between three terms. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1\sdot a_3=\left(a_2\right)^2}}$	אם לראשון הנה לפי שהיו השעורים המתיחסים שיור העולה מהכאת הראשון בשלישי כהכאת השלישי השני בעצמו בהיות היחס בין ג' שעורים
When it is between four numbers, the product of the first by the last is the same as the product of the second by the third. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3}}$	ובהיותו בין ד' מספרים היה הכאת הראשון באחרון כהכאת השני בשלישי
Hence, when the unknown is the mean, the product of the mean by itself is known since it is the same as the product of the first by the last.	היה יחס הנעלם הנה יצא כהכאת הראשון באחרון כשיהיה הנעלם האמצעי שטח האמצעי בעצמו ידוע להיותו שוה לו
Because, when the ratio is between four terms, the product of the second by the third is known and the unknown is one of the means.	כי הכאת השני בשלישי ידוע כשהיה היחס בין ד' שעורים ‫שעורים והנעלם אחד מהאמצעים
Or, the product of the first by the last is known, when the unknown is one of the extremes.	או שטח הראשון באחרון ידוע כשהיה הנעלם אחד הקצוות
When a product is known and one of its factors is known, the other factor is also known by division, as above:	וכשהיה שטח מה ידוע ואחד צלעיו ידועים הנה הצלע האחר גם כן ידוע בדרך חלוקה כמו שקדם
By dividing the product of the mean by itself, or of the means, by one of the extremes, the other results.	הוא כשנחלק שטח האמצעי בעצמו או האמצעים על אחד הקצוות יצא האחר
For four terms: if we divide the product of the extremes by one of the means, the other results.	ואם נחלק שטח הקצוות על אחד האמצעיים יצא האחר בד' שעורים
For three [terms]: when we find its root, it is the factor of the square that is equal to the product formed by the multiplication of the extremes.	ובג' כשנמצא של שרשו הוא צלע המרובע השוה לשטח המתחדש מהכפלת הקצוות
Regarding the second method, since the ratio of the unknown to the known is known, because it is the same as the ratio of the known to another known, then the ratio between the two knowns is itself the same as the ratio of the unknown to the known. Therefore, when the ratio is multiplied by the known the result is the unknown.	ואולם לדרך הב' כי אחר שהיה היחס הנעלם לידוע ידוע כי הוא כיחס הידוע לידוע אחר יצא היחס בין שני הידועים והוא בעינו כיחס הנעלם לידוע ולזה כשיכפל היחס בידוע יצא הנעלם הידוע
The ratio between six terms:	והיחס בין ששה שעורים
As saying: the ratio of ten to twenty consists of the ratio of 4 to 16 and the ratio of 14 to 7. $\scriptstyle{\color{blue}{10:20=\left(4:16\right)\sdot\left(14:7\right)}}$	שתאמר יחס עשרה לעשרים מורכב מיחס ד' לי"ו ומיחס י"ד לז‫'
	עשרה עשרים ד' י"ד י"ו ז‫'
The Chapter on Knowing the Root from Another Root or Roots	‫הפרק בידיעת השורש מפני שורש אחר או שרשים
It is divided into five investigations:	ויחלק לה' דרושים
The first concerns the addition of roots.	הא' מפני קבוץ השרשים
The second concerns their multiplication.	הב' מפני כפלם
The third concerns their division.	הג' מפני חלוקתם
The fourth concerns their sequence.	הד' מפני סדרם
The fifth concerns their ratio.	הה' מפני יחסם
The First Investigation	הדרוש הא‫'
We are looking for [the sum of two roots].	בקשנו השורש העולה מחבור ב' שרשי‫'
As saying: we add the root of 25 with the root of 16 and we are looking for [the sum of the roots]. $\scriptstyle\sqrt{25}+\sqrt{16}$	כאלו תאמר חברנו שורש כ"ה בשורש י"ו ונבקש השורש המקובץ
The way is that you sum the two squares together; their sum is 41.	הנה הדרך בזה שתחבר השני מרובעים יחד ועלה מקובצם מ"א
Multiply the two squares by each other; the result is 400.	הכה שני המרובעים קצתם בקצת עלה ת‫'
Take its two roots; it is 40.	קח שני שרשיו והם מ‫'
Add it two the sum of the two squares, which is 41; the result is 81.	תקבצם עם מחובר השני מרובעי' שהוא מ"א עלה פ"א
Extract its root, which is 9, and it is the same as the sum of the root of 16 with the root of 25.	קח שרשו והוא ט' והוא כמו מקובץ שורש י"ו בשורש כ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{25}+\sqrt{16}=\sqrt{25+16+2\sqrt{25\sdot16}}=\sqrt{41+2\sqrt{400}}=\sqrt{41+40}=\sqrt{81}=9}}$
Likewise when we are looking for the sum of the root of 10 with the root of 20. $\scriptstyle\sqrt{10}+\sqrt{20}$	וכזה כשבקשנו חבור שורש י"ו י' בשורש כ‫'
We sum ten with twenty; the result is 30.	חברנו עשרה בעשרי' עלו ל‫'
We multiply 10 by 20; the result is two hundred.	כפלנו י' בכ' עלה מאתים
We extract its root; it is 14 and an unknown.	בקש [נקח ‫ שרשו והוא י"ד ונעלם
We double it; the result is 28 and 2 unknowns.	כפלנום עלה כ"ח וב' נעלמים
We sum them with 30; the result is 58 and 2 unknowns.	קבצנום עם ל' עלה נ"ח וב' נעלמים
Its root is the required.	ושורשו הוא הדרוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{10}+\sqrt{20}&\scriptstyle=\sqrt{10+20+2\sqrt{10\sdot20}}=\sqrt{30+2\sqrt{200}}\\&\scriptstyle=\sqrt{30+2\sdot\left(14+x\right)}=\sqrt{30+28+2x}=\sqrt{58+2x}\\\end{align}}}$
The reason is that we suppose the two roots are lines AB and GD; the square of AB is DT and the square HG is the square of BG. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{AB^2=DT\quad BG^2=HG}}$	והסבה בזה שנניח השני שרשי' קוי א"ב ג"ד ומרובע א"ב ד"ט ומרובע ב"ג ה"ג מרובע ב"ג
Since the square AG is equal to [the sum of] the squares AB and BG plus double the product of AB by BG, which is double the area of KH.	הנה לפי שמרובע א"ג שוה לשני מרובעי א"ב ב"ג וכפל שטח א"ב בב"ג שהוא כמו כפל שטח כ"ה
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{AG^2=AB^2+BG^2+2\sdot\left(AB\times BG\right)=AB^2+BG^2+2\sdot KH}}$
Also, the area of AH is mean in the ratio between the two squares HT and HG. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{DT:AH=AH:HG}}$	ושטח א"ה אמצעי ביחס בין שני מרובעי ד"ט וה"ג
Therefore, the product of DT by HG is the same as the product of AH by itself. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{DT\times HG=AH^2}}$	היה כפל מרובע ד"ט בה"ג כמו כפל א"ה בעצמו
So, when we multiply the square DT by HG, then extract the root of the result, that root is equal to the area of AH. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{AH=\sqrt{DT\times HG}}}$	הנה כשכפלנו מרובע ד"ט בה"ג ולקחנו שורש העולה היה השורש ההוא שוה לשטח א"ה
When we multiply it [by it self, the result is] the two surfaces AH and HK.	וכאשר הכפלנוהו על שני שטחי א"ה ה"כ
When we sum them with the two known squares DT and HG, the total is the square AK, whose root is known, which is the sum of AB and BG. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{AH+HK+DT+HG=AK=\left(AB+BG\right)^2}}$	וכאשר קבצנום עם שני מרובעי ד"ט ה"ג הידועים היה כלל מרובע א"כ ידוע שרשו המחובר מן א"ב ב"ג ידוע
The Second Investigation	הדרוש הב‫'
We are looking for the result of subtraction of two roots from each other.	בקשנו העולה מגרעון שני שרשים האחד מהאחר
As saying: we wish to subtract the root of...	כאלו תאמר בקשנו לגרוע שורש

Appendix: Bibliography

Manuscript:

• Budapest, Magyar Tudományos Akadámia, Ms. Kaufmann A 506/2 (IMHM: f 14991), ff. 114-118 (15th century)
  

Kaufmann A 506/2

114

115

116

17

18

marg.