קצור המספר

	‫קצור המספר מהרב ר' יהודה ן' בירגה
Prologue
Commercial and social needs of arithmetic:
Since the selling of lands in the land of Israel depends on the number of the years after Jubilee [Leviticus 25, 14-16] and the redemption of the Hebrew maid [depends] on the number of years before the seventh [year] [Maimonides, Mishneh Torah, Sefer Qinyan, Hilḵot ʽAvadim 4, 6], so a person should study arithmetic lest a person would [cheat] his fellowman.	אחר אשר מכירת הקרקעות בארץ תלויה במספר שנים אחר היובל וכן אמה העבריה בפריון במספר שנים קודם השביעי הנה ראוי לאדם להתחבר בחכמת המספר לבל יונו איש את עמיתו
The author states that he writes on the subject in outline form	אכתוב לך בו ראשי פרקים
Discussion on the nature of one
I say that the one that is without essence is equivalent to the being; hence, it belongs in actu to the ten categories and its meaning is in the nature of each category.	ואומר כי האחד אשר הוא חוץ לנפש הנה הוא נרדף לנמצא ולזה ימצא בפועל במאמרות העשרה ויהיה הוראתו בטבע מאמ' מאמ‫'
The [one] that is in essence belongs to the category of quantity.	ואשר הוא בנפש הוא מאמ' הכמות
It follows necessarily that that which is in essence exists in actu and that which is without essence is in potentia.	והנה בהכרח שמה שימצא בנפש בפועל שיהיה מציאותו חוץ לנפש בכח
The possibility of acting [exists] since every essential act, which does not exist without essence at all, is a fictitious act, and this is the potentiality.	והאפשרות לפחות כי כל פועל נפשי אשר לא ימצא חוץ לנפש כלל הנה הוא פועל בדוי וזה הכח
The possibility in things is their potentiality to be separated in thought, due to their diversity, and their potentiality to be summed in thought, due to their similarity.	והאפשרות בדברים הוא הכח אשר בהם להתפרד במחשבה מפני חלוף ענין נמצא בו וכן כח בהם להתחבר במחשבה מפני דמיון מה שימצא בדברים
Indeed, when the essence is separated, the one is compared to what is apart of it, i.e. this thing is limited individual in itself within something of the rest of the beings	אמנם כאשר תפריד הנפש הנה יהיה האחד נאמ' בהקש אל אשר הוא חוץ ממנו כלומ' זה דבר מוגבל ונפרד בפני עצמו בדבר מה משאר הנמצאות בענין שנאמ' אחת היא יונתי תמתי‫
When the essence is summed, the one is with regard to its parts, i.e. all these parts are one and a whole in some sense	וכאשר תחבר הנפש הנה יהיה האחד נאמ' בהקש אל חלקיו כלומ' אלה החלקים כלם הם אחד ושלם בצד מה כענין שנאמ' והיה המשכן אחד‫
The commentators: made an analogy between the unity of God and the one that is compared to others apart of it	והנה המפרשים הבינו פי' הפסוק הייחוד כפי העניין הראשון לפי שהם הבינו כי אותם השמות רומזים לסבת הסבות כלם
The Kabbalists: made an analogy between the unity of God and the one that is compared to its parts	אמנם המקובלים שקבלו כי הם רומזים לשפע מושפע מאתו ית' בספירות ותארי מדות פירשו אותו כפי הענין השני
According to the author: The unity [of God] and the cause of all causes, as it has no possibility of being divided to various things, for it is not compound, nor being summed, for it has no similar to be summed with, thus, this unity is indivisible and cannot be increased	ואמנם אחדות סבת הסבות כלם הנה למה שאין בו אפשרות להתחלק לדברים שונים כי אינו מורכב ולא להתחבר כי אין דומה לו להיותו מתחבר עמו הנה אותו האחדות אינו מתחלק ואינו מתרבה ואין כח בנפש לפעול בו זה
Zohar: So it is said in the Zohar: Thou are one, but not in number.	ולזה נאמ' עליו בזוהר אנת הוא אחד ולא בחשבון‫
However, the unity of the existences is by God.	ואמנם אחדות הנמצאות מאתו ית‫'
Since every existence of them is somewhat similar to at least one other existence, as they exist […] they have the potentiality to increase and be multiplied through their unity.	לפי שכל נמצא מהם יש לו דמיון מה עם נמצא אחד לפחות בהיותם נמצאים אפי' שיהיה זה בהם בקדימה ואיחור הנה באחדותם כח להתרבות ולהכפל
Since they are one, although in their essential form they are separate and distinct from each other, and because they have some diversity, they have the potentiality to be divided and separated, even though they are one in form.	ולהיותם למספר אחד אע"ף שבצורתם העצמית יהיו נפרדים ונבדלי' וגם לפי שבהם חילוף מה יש בהם כח להתחלק ולהפרד אע"ף שהם אחדים בצורה בו
Definition of Number
Therefore, the number counts all things, as the number ten, for example counts 10 people but also 10 horses.	לזה המספר מונה כל הדברים כי הי' מהמספר ד"מ ימנה לי' מהאנשים וכן ימנה לי' מהסוסים
Hence, the number is a sum of undetermined units;	והנה המספר הוא קבוץ אחדים בלתי רמוזים
the essence is its agent and the units are its subject.	והיה הנפש כפועל לו והאחדות כנושא
Numeration
Since sometimes the measurement becomes measured and the number numbered, people count with their fingers, and the fingers are ten as the number of the countings.	ולפי שלפעמים תשוב הממד‫ מדוד והמספר ספור ויקרה לאנשים שימנו באצבעותיהם והיה האצבעות עשרה כמספר הספירות
The ranks as products of ten: Thus, All people have agreed to make from ten one rank [kelal = a product of ten], ten times is the second rank, ten times the second rank is the third rank, and so on summing ten [times] of the preceding rank always generates [the succeeding] rank.	הנה כל האנשים הסכימו לעשות עד עשרה כלל אחד ועשרה פעמים זה כלל שני ‫ועשרה פעמים הכלל השני כלל שלישי וכן תמיד מהרכבת העשרה מהכלל הקודם יולד כלל אחד
The names of the ranks	וסדר הכללים הוא זה אחדים עשרות מאות אלפים עשרת אלפים מאת אלפים אלף אלפים עשרת אלפי אלפים מאת אלפי אלפים אלף אלפי אלפים וכזה עד אין קץ
Arranging the ranks in triples: They formed from every three ranks [kelalim = products of ten] one order [= seder], for in three we find a beginning, a middle, and an end.	והנה עשו מכל ג' כללים סדר אחד לפי שבשלשה נמצא התחלה ואמצע ותכלית
The arithmetical opperations
Definition of the addition operation: The essential act of summing the separates is the first arithmetical [operations] called addition	ואמנם מפעל הנפש בחבר הנפרדים היה מין אחד מהמספר שנקרא הקיבוץ
Definition of the subtraction operation: The essential act of separating is the second of the arithmetical [operations] called subtraction	ומפעל הנפש בהפרדה היה מין שני מהמספר שיקרא המגרעת
Definition of the multiplication operation: The essential act of multiplying is the third of the arithmetical [operations] called multiplication	ומפעל הנפש בהכפילה הדברים היה מין שלישי מהמספר שיקרא הכפילה
Definition of the division operation: The essential act of separating the multiples is the fourth of the arithmetical [operations] called division	ומפעל הנפש בהפריש הכפלים נמצא מין ד' והוא החלוקה
The essential act of multiplying multiples or their parts by a certain number as multiplying by another number is a fifth type which is proportions	ומפעל הנפש בהכפל כפלים או חלקיהם על מספר מה כאשר תכפול על מספר אחר היה מין חמישי והוא הערכים
The essential act of separating multiples as the number of units in each multiple is a sixth type which is roots	ומפעל הנפש בהפריש הכפלים במספר האחדים אשר בכל כפל נמצא מין ששי שנקרא השרשים
Those are the types [of arithmetical operations]	ואלה המינים
They either deal with integers which from this aspect all numbers are of one types called integers	אם שיהיה עסקם במספרים שלמים ומזה הצד כלם סוג אחד ויקרא השלמים
Or deal with fractions of numbers, which are all of one type called fractions	ואם שיעסקו בשברי מספרים ויהיו כלם סוג אחד ונקרא שברים
The [fractions] are called a type of [operation] by itself - so there are seven types [of operations]	וכבר קראו לזה מין בפני עצמו ושלמו בו במספר ז' מינים

Chapter One - Addition
The first type is addition - the meaning is to sum two or three numbers or more and calculate their sum.	המין הא' בקיבוץ הכוונה בו לקבץ שני מספרים או שלשה או יותר לידע סכום מניינם
Written Addition
Description of the procedure:
Every rank of them should be arranged beneath its similar: units beneath units, tens beneath tens and so on for the rest.	והנה ראוי שיסודרו כל כלל מהם תחת הכלל הדומה לו כיצד אחדים תחת אחדים ועשרות תחת עשרות וכן השאר
Then, you start to sum all units and write [their sum] at their place.	ואחר תתחיל לקבץ מהאחדים כלם ותכתבם במקומם
If [their sum] yields tens: sum them with the tens, if there are any.	ואם יעלו מהם עשרות תקבצם עם העשרות אם היו שם עשרות
If [their sum] yields tens and hundreds: sum the tens with the tens and the hundreds with the hundreds.	ואם יעלו מהם עשרות ומאות תקבץ העשרות עם העשרות והמאות עם המאות
If there are neither tens nor hundreds, write [the units] alone.	ואם אין שם עשרות או מאות תכתבם בפני עצמם
This while considering the tens that resulted from the units as if they were units in the rank of the tens, as you consider the tens as units in their rank and the hundreds that resulted [as units] in the rank of the hundreds.	וכל זה בשערך העשרות שעלו מן האחדים כאלו הם אחדים בתוך מדרגת העשרות כמו שאתה משער העשרות לאחדים במדרגתם וכן המאות שעלו מהם בתוך מדרגת המאות
Example: we wish to sum up one thousand ninety-nine with nine thousand sixty-seven. $\scriptstyle1098+9067$	ויהיה המשל בזה רצינו לקבץ אלף ותשעים ושמונה עם תשעת אלפים ושישים ושבעה

[Illustration of the procedure:]

1098	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8+7}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{5}}}$	1098	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{green}{1}}{\color{red}{+9+6}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}}$	1098	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{green}{1}}{\color{red}{+0+0}}={\color{blue}{1}}}$	1098	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1+9}}={\color{blue}{10}}}$	1098
9067		9067		9067		9067		9067
		5		65		165		10165

We start from the units and say: eight plus seven are 15. $\scriptstyle{\color{blue}{8+7=15}}$	והנה החלונו באחדים ואמרנו שמונה ושבעה הרי הם ט"ו
We write the 5 units beneath the units and consider the ten as if its is one in the tens.	נכתוב הה' אחדים תחת האחדים והעשרה נחשוב אותו כאלו הוא אחד בתוך העשרות
We sum it with the nine and the six tens, the result is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{1+9+6=16}}$	ונקבץ אותו עם התשעה והששה עשרות ויעלו י"ו
We write the 6 in the rank of the tens and we write the ten tens by themselves in the rank of the hundreds, considering them as if they are one. i.e. one hundred.	נכתוב הו' במדרגת העשרות והעשר שהוא עשר עשרות נכתוב אותו בפני עצמו במדרגת המאות ונחשוב אותו כאלו הוא אחד ר"ל מאה אחת
We further sum the thousands, they are ten.	עוד נקבץ האלפים והיו עשרה
Since there are no units of thousands, we write a zero in their rank and the ten in their rank.	והנה לפי שאין שם אחדי אלפים נכתוב במדרגתם ספרא ונכתוב העשר במדרגתם
Eventually [the final result is] as in this diagram	והיו שם לאחר הכל כמו שהוא בצורה הזאת
	1 0 9 8  9 0 6 7 1 0 1 6 5
Methods of checking
Subtraction: If you did it correctly, when you subtract one of the original numbers from the sum, the result will be the other number.	ואם עשית אמת בזה הנה כשתגרע אחד מהמספרים הראשונים מהמקובץ יצא המספר האחר
For the way of any thing that is compound of simples is that when you find one of the simples by itself, the other will necessarily be found by itself as explained in philosophy [in physics].	כי כן דרך כל מורכב מפשוטים כי כשתמצא הפשוט האחד בפני עצמו הנה בהכרח שימצא השני בעצמו כמו שנתבאר בפילוסופיא [בחכמה הטבעית]
Casting out by 9: There are those who seek for a proof if they were wrong in summing the numbers, by casting out the summed numbers 9 by 9 and keeping the remainder and so will remain from the resulting sum after casting out its numerals 9 by 9.	ויש מי שבקש מופת לדעת אם טעה בקבץ המספרים בהשליך אותיות הנקבצים ט'ט' והחזיק בנשאר וככה ישאר בכלל העולה אחרי השליך אותיותיו ט'ט‫'
From the upper line nothing is left, for it was casted out by 9. $\scriptstyle{\color{red}{1098\equiv_90}}$	כיצד מן השטה העליונה לא נשאר דבר כי הלכו להם ט'ט‫'
From the bottom line 4 remain. $\scriptstyle{\color{red}{9067\equiv_94}}$	ומן השטה התחתונה נשארו ד‫'
From the total sum 4 remain as well. $\scriptstyle{\color{red}{10165\equiv_94}}$	והנה ג"כ נשארו ד' מהכלל העולה
The reason for this is that the sum of two digits is the same as casting out nines from each rank.	והטעם בזה הוא כי אין קבוץ שני המספרים יחד דבר אחר זולתי השליך הם תשיעיות שהם ממין אחד
When we sum 8 and 7 of the units, they are 15. We write five in the units and with the one of the tens they are 6. Thus, we subtract 9 from the 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+7\right)-9=15-9=6=5+1}}$	כיצד כשקבצנו הח' והז' מהאחדים והיו ט"ו הנה כתבנו באחדים חמשה ועם העשרות אחד הרי ו' והפלנו מהט"ו ט‫'
Likewise, when we sum the tens, the result is 16. We write six in the tens and one in the hundreds. Thus, we subtract 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+9+6\right)-9=16-9=6+1}}$	וכן כשקבצנו העשרות ועלו י"ו הנה כתבנו בעשרות ששה ובמאות אחד והפלנו ט‫'
	וכן כשקבצנו האלפים העלנו תשעה וכתבנו א‫'
Therefore, the difference between the summed numbers and the resulting rank are these nines alone and when they are subtracted the same remains.	והנה א"כ אין הפרש בין המספרים הנקבצים [ו]הכלל העולה זולתי אלה התשיעיות וא"כ והפיל אותם ישארו שוים
For, when equals are subtracted from equals, equals remain. $\scriptstyle{\color{red}{a=b\longrightarrow a-c=b-c}}$	לפי שמהשוים כשנפיל שוים ישארו שוים
Hence, when we subtract the nines from the units, tens and hundreds an so on of the summed numbers, then we subtract [the nines] from the resulting sum, the remainders should be equal.	הנה כשנפיל עוד התשיעיות הנקבצים מהאחדים והעשרות והמאות וכו' מהמספרים הנקבצי' וכן נפיל אותם הכלל העולה כמו כן הנה ראוי שיהיה השאר בהם שוים
From this rule you also understand the reason of the subtraction.	ומזה המשפט תבין הטעם ג"כ בגרעון
For, when the subtracted number and remainder are summed, the resulting sum is equal to the subtrahend. $\scriptstyle{\color{red}{a-b=c\longrightarrow b+c=a}}$	כי המספר הנגרע והמספר הנשאר מקובצים ישתוו למספר אשר גרעת ממנו
Thus, the subtraction is potentially inverse operation to addition.	וא"כ הנה הגרעון מתהפך לקבוץ בכח
The reason for casting out by 9 as a check of a multiplication procedure: In the multiplication the reason is that any product of nines is a sum of nines.	ובכפילה הנה הטעם הוא כי התשיעיות בכל מספר שיוכפלו יעלה מהם תשיעיות
Therefore, what remains from the multiplied numbers is exactly the resulting product of the excess of one of the numbers over nine by the excess of the other number [over nine] and this is what should remain from the total product after casting out the nines. $\scriptstyle{\color{red}{r_a\times r_b\equiv r_{a\times b}}}$	וא"כ לא ישאר במספרים הנכפלים אלא מה שיעלה מכפילת העודף על תשיעיות בזה המספר בעודף במספר השני וזהו מה שראוי שישאר בכלל העולה מהכפילה אחר הפלת תשעיותיו
From the multiplication rule you understand the reason of division, for they are inverse operations, like the addition and subtraction.	וממשפט הכפילה תבין הטעם בחלוקה כי שניהם מתהפכים בענין הקבוץ והגרעון

Chapter Two - Subtraction
The second type is subtraction - when we wish to subtract a number from a greater number.	המין הב' במגרעת הנה כשנרצה לגרוע מספר ממספר יותר ממנו
Written Subtraction
Description of the procedure:
First, we arrange each rank beneath its similar.	נסדרם תחלה כל מדרגה תחת הדומה לה
Then, we start to subtract from the rank of units.	ונתחיל לגרוע ממדרגת האחדים
If the units of the greater number [= the subtracted] are more than the units of the smaller number [= the subtrahend], we subtract the units of the smaller numbe from them and write the remainder beneath their rank.	והנה אם האחדים אשר במספר הגדול היו יותר מהאחדים אשר במספר הקטן נגרע מהם אחדי המספר הקטן והשאר נכתוב אותו תחת מדרגותם
If vice versa, we take one from the units of the tens of the greater number [= the subtracted] and dissolve it into units, so they are ten plus the units of the greater number, then we subtract from them the units of the smaller number. We write the remainder beneath their rank, and the remaining tens of the greater number are lacking the one that we took from them.	ואם היו להפך הנה אז נקח אחד מאחדי העשרות מהמספר הגדול ונתיכהו לאחדים ויהיה לעשרה עם אחדי המספר הגדול ואז נגרע מהם אחדי המספר הקטן ונכתוב השאר תחת מדרגתם והנה אז ישארו עשרות המספר הגדול חסרים האחד אשר לקחנו מהם
If there is no ten in the rank of tens to take as one ten in the units and there is a hundred in the rank of hundreds, we take one hundred and dissolve it into tens, which are ten in the rank of tens, then we take from them one ten, so that nine remain there. We write them there and place the ten that we took as units, then we subtract from them the units of the smaller number.	ואם אין במדריגת העשרות שום עשר לקחת ממנו עשר אחד לשום על אחדיו ויש במדריגת המאות שום מאה הנה נקח משם שום מאה אחד ונתיך אותו לעשרותיו שהם עשרה במדרגת העשרות ונקח מהם עשר אחד ונשארו שם תשעה ונכתוב אותם שם והעשר שלקחנו משם נשים אותו על אחדיו ואז נגרע מהם האחדים של המספר הקטן
Example: we wish to subtract fifty-nine from one hundred and seven. $\scriptstyle107-59$	ויהיה המשל לזה רצינו לגרוע ממאה ושבעה חמישים ותשעה
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{10-1=}}{\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{17-9}}{\color{blue}{8}}\\\end{align}}$  9  $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{9-5=}}{\color{blue}{4}}}$  9  107 107 107  59  59  59   8  48
Since the seven is not enough to subtract the nine from it, and we do not find any ten in the rank of tens of the greater number, we take its hundred, so they are ten in the rank of tens, then we take one of them to the rank of units and nine remain there. We subtract nine from the seven plus ten and eight remain.	הנה לפי שאין בו בשבעה לגרוע ממנו התשעה וגם לא מצינו במדרגת העשרות של מספר גדול שום עשר הנה נקח המאה אשר לו ויהיה לעשרה במדרגת העשרות ונקח מהם אחד לשום על האחדים ונשארו שם תשעה ואחר גרענו מהשבעה עם העשרה תשעה ונשארו שמונה
We subtract the five tens of the smaller number from the nine that are left in the rank of tens and four remain beneath them.	עוד נגרע מאשר מהתשעה שנשארו במדרגת העשרות החמשה עשרות של המספר הקטן וישארו תחתיהם ארבעה
From the hundred there is nothing left, as we have already converted it into tens.	ואמנם המאה לא נשאר מהם דבר כבר עשינו אותו עשרות
So the total remainder is forty eight.	אם כן הנשאר מן הכל הוא ח' וארבעים
Method of checking
Addition: If you calculate correctly, when you turn to sum the two bottom numbers, i.e. the subtrahend and the remainder, the result is the third number, which is the greater number from which we have subtracted [= the subtracted].	ואם עשית חשבון אמיתי בזה הנה כשתשוב לקבץ שני המספרים התחתונים ר"ל המספר אשר גרענו והמספר הנשאר יעלה המספר הג' והוא הגדול אשר גרענו ממנו

Chapter Three - Multiplication
The third type is multiplication - the meaning is to multiply a number by units, or by units and tens, or by units, tens and hundreds of another number and so on endlessly.	המין הג' בכפילה הנה הכוונה בזה לכפול מספר מה במספר אחדי מספר אחד או אחדים ועשרות או אחדים ועשרות ומאות וכן אפשר שתוסיף עד אין תכלית
Written Multiplication
Description of the procedure:
When you wish to multiply them, arrange them according to their ranks.	והנה כשתרצה לכפול אותם תסדרם במדרגתם כמשפט
Start multiplying the number that you wish to multiply, rank by rank, by the number of the units that are in the other number.	ותתחיל לכפול המספר ההוא שרצית לכפול אותו כל מדרגה ומדרגה ממנו כמספר האחדים אשר במספר האחר
If tens are also resulted from the multiplication of its units, write the units in their rank and the tens with the tens, considering them as units in the rank [of tens].	והנה אם מכפילת אחדיו יעלו גם עשרות אז תכתוב האחדים במדריגתם והעשרות עם העשרות אחר שתחשבם לאחדים בתוכם
If hundreds are also resulted from the multiplication of the units by tens, write the tens in their place and the hundreds in the rank of hundreds, considering them as units among them.	וכן תעשה אם מכפילת האחדים בעשרות יעלו גם מאות תכתוב העשרות במקומם והמאה בתוך המאות בחשבך אותו לאחדים בתוכם
Multiplying by units
Example: we wish to multiply eight hundred sixty-nine by the six units of another number. $\scriptstyle869\times6$	והנה המשל בזה רצינו לכפול שמונה מאות ושישים ותשעה במספר אחדי ששה שיש במספר אחר

[Illustration of the procedure:]

6	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6\times9}}=5{\color{blue}{4}}}$	6	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times6\right)+5}}=4{\color{blue}{1}}}$	6	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times8\right)+4}}={\color{blue}{52}}}$	6
869		869		869		869
		4		14		5214

We start multiplying from its units and say: six times nine are 54. $\scriptstyle{\color{blue}{6\times9=54}}$	ונתחיל לכפול מאחדיו ונאמ' ששה פעמים תשעה הם נ"ד
We write the 4 and keep the 5 [tens], considering them as 5.	נכתוב הד' ונשמור הה' ונחשוב אותם לה‫'
Then, we multiply the six by sixty that are considered as six in their rank, the result is 36. We add to them the five that we got from the fifty, the result is 41. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\times6\right)+5=36+5=41}}$	ואחר נכפול הששה בשישים שהם במדרגתם נחשבים לששה יעלו ל"ו נחבר אליהם החמשה שחשבנו אותם מהחמישים ויעלו מ"א
We write the one in the rank of tens and keep the 40, considering them as 4.	נכתוב האחד במדרגת העשרות ונשמור המ' ונחשוב אותם לד‫'
Then, you multiply the 6 by eight hundred that are considered as eight in their rank, the result is 48. We add to them the 4 that we kept, the result is 52. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\times8\right)+4=48+4=52}}$	ואחר תכפול הו' שמנה בשש מאות אשר במדרגתם הם נחשבים לשמונה ויעלו מ"ח נחבר אליהם הד' ששמרנו ויעלו נ"ב
We write the two in the rank of hundreds followed by the fifty in the rank of thousands, considering them as five there, as it is in this diagram:	נכתוב השנים במדרגת המאות והחמישים אחריהם במדרגת אלפים בחשבנו אותם שם לחמשה כמו שהוא בזאת הצורה
If multiplying by units and tens of a certain number:	ואמנם אם היה הכפילה במספר אחדים ועשרות של מספר מה
As if you say: we multiply these eight hundred sixty-nine by the units and the tens of forty-six. $\scriptstyle869\times46$	כאלו תאמר שרצינו לכפול אותם הח' מאות ושישים ותשעה במספר אחדים ועשרות של ארבעים וששה

[Illustration of the procedure:]

46	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6\times869}}={\color{blue}{5214}}}$	46	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times9\right)}}=3{\color{blue}{6}}}$	46	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times6\right)+3}}=2{\color{blue}{7}}}$	46	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times8\right)+2}}={\color{blue}{34}}}$	46
869		869		869		869		869
		5214		5214		5214		5214
				6		76		3476

First we multiply them by the 6 units, as we did above, and write the result - each rank in its place.	הנה נכפול אותם בתחלה בכמו ו' האחדים אשר עשינו בתחלה ונכתוב העולה כל מדרגה ומדרגה במקומה
Then, we multiply them again by forty, considering them as 4 in their rank.	ואחר נשוב לכפול אותם בארבעים אחר חשבנו אותם לד' במקומם
We start from the nine units, the result is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{4\times9=36}}$	ונתחיל מהתשעה אחדים ויעלו ל"ו
We write the 6 beneath the one that was obtained at first from the multiplication by the six.	ונכתוב הו' תחת האחד שהיה בכפילת הששה בתחלה
Since the product of units by tens, when multiplying the 6 of 46 by the sixty of 869, equals the product of tens by units, when multiplying the 40 by 9.	לפי ששוה הוא כפילת אחדים בעשרות שהיה כפילת הו' מהמ"ו ב[...]בשישים מהתתס"ט לכפילת עשרות באחדים שזהו כפילת המ' בט‫'
But, in this multiplication you do not find units, because the product of tens by any number are tens and upward.	ובכפילה הזאת לא תמצא אחדים לפי שכפילת עשרות בכל דבר יעלו עשרות או יותר
We keep the 30 of the 36.	ונשמור הל' מהל"ו
Again, we multiply the 40 by 60, considering them as units in their rank, the result is 24. We add the 3 of the 30, the result is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times6\right)+3=24+3=27}}$	ונשוב לכפול המ' בס' ובחשבנו אם אותם אחדים במקומם יעלו כ"ד נחבר ג' מהל' יעלו כ"ז
We write the 7 that are hundreds beneath the two that was in this rank at first.	נכתוב הז' שהם מאות תחת השנים שהיו באותה מדרגה בתחלה
Twenty remain, which are two, we keep them.	וישאר עשרים שהם שנים ונשמור אותו
We further multiply the forty by 6 hundred, considering them as units, the result is 32. We add to them the two of the twenty that we kept, the result is 34. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times8\right)+2=32+2=34}}$	נכפול עוד הארבעים בח' מאות בחשבנו אותם לאחדים ויעלו ל"ב ונחבר אליהם שנים מהעשרים ששמרנו ויעלו ל"ד
We write the 4 beneath the 5 in the rank of thousands followed by the thirty that are considered as 3.	תכתוב הד' תחת הה' מהאלפים והשלשים אחריהם חשובים לג‫'
Then, sum all according to the rule; the result is 39 thousand, nine hundred and seventy [four].	ואחר תקבץ סך הכל כמשפט ויעלו ל"ט אלף ותשע מאות ושבעים
Do the same if the ranks are multiple.	וכזה תעשה אם המדרגות יהיו רבות
Method of checking
Division: If you calculate correctly, when you divide the resulting product by whichever of the numbers that were multiplied by each other, the resulting quotient is the second [multiplied] number.	ואם עשית אמת הנה כשתחלוק היוצא על כל אחד מהמספרים הנכפלים זה על זה יצא השני
Calculating the number of ranks in a product of two numbers
And if you wish to know up how many ranks will the ranks of the product rise, count the ranks of both multiplied numbers and sum them together, then subtract one rank.	ואם תרצה לדעת עד כמה מדרגות יעלו מדריגות הכפילה הנה מנה מדריגות שני המספרים הנכפלים זה עם זה ותקבצם יחד והסר מדריגה אחת
Since the [rank of] units does not raise [the count of the ranks in the product]	לפי שהאחדות אינו מרבה דבר
The remainder are the ranks of the number resulted from the multiplication.	והנשאר הם יהיו מדריגות המספר היוצא מהכפילה
Special case: If the result of the multiplication of the last ranks of the multiplied numbers and the ranks that are next to them is greater than ten, then the total number of the ranks in the product equals the sum of the numbers of ranks of both multiplied numbers without subtracting any rank from it.	ואמנם אם יתחברו מהמדרגות האחרונות מהנכפלים בהכאתם ומהמדריגות הסמוכות להם עד עשרה הנה אז המדרגות העולות מהכפילה יהיו כמספר מדריגות שני המספרים הנכפלים זה על זה מבלי הסר מהם שום מדרגה

Chapter Four - Division
The fourth type is division	המין הד' בחלוקה
Dividing a large number by a smaller one
The first meaning of dividing integers is to divide a large number by a number smaller than it, in such a way that each [digit] of the small number is given an equal part.	הכוונה הראשונה בו בחלוקה בשלמים לחלק מספר גדול על מספר יותר קטן ממנו בענין שיגיע לכל אחד מהמספר הקטן חלק שוה לאחר
Written Division
Description of the procedure:
The procedure is as follows:	והמעשה בזה יהיה כן
Arrange the numbers by their ranks successively as the rule.	סדר ב' המספרים במדריגתם זה תחת זה כמשפט
If the last digit of the greater number [= the dividend] is greater than the last digit of the smaller number [= the divisor]:	והנה אם האות האחרונה שבמספר הגדול יותר כוללת מהאות האחרונה של מספר הקטן
Start the division from it, i.e. from the last digit of the greater number by the last digit of the smaller number and give to it as many times as you can.	תתחיל החלוק ממנה ועליה ר"ל מהאות האחרונה של מספר גדול על האות האחרונה של המספר הקטן ותן לי ממנה היותר פעמים שתוכל
But, leave spare to complete the preceding digit for the digit that precedes the last of the smaller number if needed.	ובלבד שתשאיר בה להשלים עמו מהאות הסמוכה לה לאות הסמוכה לאחרונה מהמספר הקטן אם יצטרך לו
Loaning from subsequent ranks	וכן אם יהיה שם יותר אותיות שישאר בה או בשנית לה להשלים עמו באות השלישית ממנה לאחרונה אשר מהמספר הקטן אם יצטרך אליו
Example: we wish to divide eight hundred and twenty-two by two hundred and seventy-eight. $\scriptstyle823\div278$	והנה המשל בזה רצינו לחלק שמונה מאות ועשרים ושלשה למאתים ושבעים ושמונה

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{8-\left({\color{blue}{2}}\times2\right)=4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-2=}}{\color{green}{2}}\\\end{align}}$	2	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{22-\left(2\times7\right)=8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-2=}}{\color{green}{6}}\\\end{align}}$	26	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{23-\left(2\times8\right)=}}{\color{green}{7}}}$	267
823		823		823		823
2		2		2		2
278		278		278		278

$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle2\ the\ result\\&\scriptstyle267\ the\ remainder\\\end{align}}}$

	והתחלנו מהאות האחרונה מהמספר הרב שהוא שמונה לחלקו על האות האחרונה מהמספר המעט שהיה שנים והנה מן הדין היה שנתן לו ד' אלא כשנתן לו ככה מהאות הסמוכה לאחרונה מהרב שהוא שנים לאות הסמוכה לאחרונה מהמעט שהוא שבעה הנה לא יהיה בו די
	והכוונה היתה שיקבלו כלם חלקים שוים על כן לא נתן מהח' לשנים ארבעה ולא גם כן נתן לו ג' לפי שאע"ף שיספיק השנים עם מה שישאר מהשמונה שהם ב' אחדים שיהיו נחשבים לעשרים ושנים לתת לשבעה לשלש לכ"א וגם ישאר שם אחד הנה לא יהיה די בשלש מהמספר הרב לתת לשמנה מהמספר המעט שלש לכל אחד מהם ואפילו שיוריד אליו האחד שנשאר על השנים ויהיו י"ג לפי שיותר הוא ג' פעמים שמנה שהוא כ"ד על כן לא נתן מהשמנה לשנים אלא שנים ונכתוב אותם במדרגה הראשונה
The position of the result of division	לפי שראוי למנות מדרגות המספר אשר נחלק עליו מהמדרגה האחרונה מהמספר אשר נחלק ממנו למפרע אם היה בה מספר די לחלק ממנו על המספר האות האחרונה מהמספר המעט כמו שיש בכאן בשמונה די לחלק על השנים ובמקום שיכלה שם תכתוב מה שיעלה בחלוקה
The digit in the highest rank of the dividend is smaller than the digit in the highest rank of the divisor - the division starts from the preceding rank of the dividend - considering the two highest ranks of the dividend as units and tens	ואם אין די במה שכתו' במדרגה האחרונה ההיא לתת למספר אשר הוא למדרגה התחתונה ותצטרך להעתיק אותה ממקומה ולחושבה לעשרות במדרגה הסמוכה לה כדי לחלק ממנה הנה אז תמנה מהמדרגה השנית לה ר"ל מהאות הסמוכה לה למפרע ובמקום שיכלה שם תכתוב היוצא בחלוק
The number of ranks of the result of division	ומדרך זה תדע מתחלת החלוקה לכמה מדרגות יעלה היוצא בחלוק
	ועתה נשלם דרך החלוקה במשל שהמשלנו ונאמר כי כבר יצא לה בחלוק שנים וכשנמנה מדריגות הנחלק עליו מהמדריגה האחרונה מהמחולק למפרע הנה יכלו במדרגה הראשונה שהיא מדרגת האחדים על כן נכתוב שם השנים תחת הג' ועל הח' במה שביניהם
	והנה כשנתן לשנים האחרונים שנים לכל אחד יעלו ד' נגרע אותם מהח' ישארו ד' נתן כך וכך לז' ישארו [..] יעלו י"ד ולפי שאין בשנים הסמוכים לח' די לזה נקח מד' שנשארו מהח' שנים והשנים הנשארים נכתבם על הח'
	והנה השנים שחלקנו יהיו נחשבים לכ' על השנים ויהיו הכל כ"ב נגרע מהם הי"ד וישארו ח'
	עוד נצטרך לקחת שנים מאלה השמונה לשום לשום על הג' וישארו ו'
	ונכתבם על הב' והב' שלקחנו נורידם על הג' ויהיו שם הכל כ"ג נגרע מהם שני פעמים שמונה וישארו שם שבעה נכתבם על הג' והנה תמצא בזה כי יצא לכל אחד בחלוקה שנים ונשארו לחלק רס"ז
Similarly for a dividend with numerous ranks and a divisor with a few ranks - two or three ranks in the result	וכן תעשה גם שיהיו המספר הרב רבות ומדרגות המספר המעט מעטות עד שיצא בחלוקה שתים או שלש מדרגות
Zero in one of the ranks of the result of division	אלא שראוי שתדע שאם כבר חלקת משום מדרגה מהמספר הרב או אפי' שלא חלקת אלא שאין במדרגה ההיא כדי לתת ממנה אלא בהעתיק אותה ממקומה הנה תשים בחלוקה סיפרא לומר שאין נמצא דבר במתחלק לחלק באותה מדריגה
	ולהרגילך בזה נמשיל עוד משל אחד בזה
Let the dividend be two hundred and four thousand six hundred and twelve, and the divisor be two hundred and eighty-nine. $\scriptstyle204612\div289$	ויהיה המספר המתחלק מאתים וארבעת אלפים ושש מאות ושתים עשרה והנחלק עליו מאתים ושמונים ותשעה

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{20-\left({\color{blue}{7}}\times2\right)=6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-6=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	00	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{64-\left(7\times8\right)=8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-6=}}{\color{green}{2}}\\\end{align}}$	002	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{66-\left(7\times9\right)=}}{\color{green}{3}}}$	0023
204612		204612		204612		204612
7		7		7		7
289		289		289		289

We could have given one from the upper two to the bottom two, but there will be nothing in the zero next to it to give to the 8 next to the bottom two.	והנה כבר היינו יכולים לתת משנים העליונים לשנים התחתונים אחד אלא שלא יהיה דבר בסיפרא הסמוכה לו לתת לח' הסמוכה לשנים התחתונים
Hence, we should shift the two from their rank to the zero, so they are twenty.	והנה צריכין אנחנו להעתיק השנים ממקומם על הסיפרא ויהיו עשרים
We divide it by two, but we cannot give it ten, for the quotient should not exceed the units. Furthermore, we cannot give this number a nine nor eight, for there would not be enough in four to be divided by eight. So, we shoild give it seven.	ונחלק ממנו על השנים ולא נוכל לתת עשרה כי אין בחלוק יותר מאחדים ולא גם כן נוכל לתת בזה המספר לתת תשעה ולא עוד אלא שמונה כי לא יהיה די בארבעה לחלק ככה לשמונה אבל ראוי שנתן שבעה
Since the number of the ranks of the divisor are three and when we count by their number backwards from the zero, to which the upper two was shifted, we reach the third rank, which is the rank of hundreds, the 7 that resulted from the division should be written there.	ולפי שמדרגות המספר אשר נחלק עליו הם שלשה וכשנמנה כמספרם למפרע מהספרא שהועתק אליו השנים העליונים יכלה אל המדרגה השלישית שהוא מדרגת המאות הנה ראוי לכתו' שם אלו הז' היוצאים בחלוקה
Then we shall say that seven times two is 14. We subtract it from the twenty; six remains.	ואז נשוב ונאמר כי שבע[.]ה פעמים שנים הם י"ד נגרע אותם מהעשרים ישארו ששה
Since seven times eight is 56, the 6 that remains above the zero should be lower to the 4 that is next to the zero. We write zero above the zero, so there are 64 above the 4. We subtract the 56 from it and eight remains above the 4.	ולפי ששבעה פעמים שמונה הם נ"ו ויצטרך הד' אשר אצל הספרא להוריד אליה הו' הנשארים על הספרא נכתוב סיפרא על הסיפרא ויהיו על הד' ס"ד נגרע מהם הנ"ו ישארו שמונה על הד'
	ועוד לפי שז' פעמים ט' הם ס"ג ויצטרך הששה להוריד אליהם מהשמונה ששה הנה נשארו שם שנים ונכתבם על הד' והנה הו' שהורדנו על הו' יעלו לשם ס"ו נגרע מהם הס"ג ישארו שם שלשה ונכתבם על הששה ונעשה סימן במדרגת הסיפרא לומר שכבר חלקנו ממנה ואע"ף שהיה נשאר לשם די לחלק אין ראוי לעשותו אלא בהורידו מאותה מדרגה לסמוכה התחתונה ממנה כ"ש כשישאר דבר שאין בו די לחלק או לא דבר כמו שהוא בכאן

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{23-\left({\color{blue}{8}}\times2\right)=7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7-7=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	00	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{71-\left(8\times8\right)=7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7-7=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	00	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{72-\left(8\times9\right)=}}{\color{green}{0}}}$	00
	0023		00230		002300
	204612		204612		204612
	708		708		708
	289		289		289

$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle708\ the\ result}}$

	ונשוב לחלק מהשנים שנשארו על הד' על השנים התחתונים
	ודי היה בזה לתת להם אחד אלא שלא יהיה די בג' הסמוכים להם לתת כמו זה לח' הסמוכי' לשנים התחתונים ונצטרך להוריד השנים העליונים ממדרגתם על הג' הסמוכים להם והיו שם כ"ג ונכתוב ספרא סמוך לז' לומ' לא מצאנו במדרגת השנים העליוני' דבר לחלק משם ונרשום סימן תחת הד' לומ' כבר חלקנו משם ספרא כי לא מצאנו דבר יותר
	ונשוב לחלק הכ"ג לשנים והנה לא נוכל לתת תשעה וכ"ש יותר לפי שלא ישאר מהכ"ג להשלים עם האחד לשמונה לכן נתן להם שמונה ויעלו י"ו נגרע אותם מכ"ג ישארו שם ז'
	ולפי שח' פעמים ח' הוא ס"ד נצטרך להוריד על האחד כל אותם השבעה וישאר שם ספרא על הכ"ג ויהיו א ע"א על הא' נגרע ס"ד מהם ישאר גם כן שם שבעה
	ולפי שנצטרך להורידם על השנים לספק לח' פעמים ט' שהם ע"ב נכתוב ספרא על האחד גם כן
	ואחר שהורדנו אותם על השנים והיו ע"ב נגרע מהם ע"ב מכפילת ח' פעמים ט' ולא ישאר גם לשם דבר ונכתוב ספרא על השנים והנה כבר חלקנו כל המספר ולא נותר עד אחד
	ונאמין זה לפי שהגיע מדרגות החלוקה עד מדרגות האחדי' וגם כן לפי שכבר חלקנו מדרגות מספר הששה למספר השנים התחתוני' והם שוים במדרגתם
	ואין מקום לחלק עוד ממדרגה פחותה ממנה לשנים לפי שהם ממדרגה גדולה
	וזה כפי המכוון הראשון בחלוקה שאמרנו
Method of checking
Multiplication $\scriptstyle708\times289=204612$	ואם עשית באמת החלוקה הנה כשתכפול התש"ח היוצאים בחלוקה על הרס"ט אשר חלקת עליהם יהיה העולה שוה למאתים וארבעת אלפים ותרי"ב שחלקת אותם
$\scriptstyle c\div a=b+remainder\longrightarrow c=\left(a\times b\right)+remainder$	ובזה תבחין כל חלוקה שתעשה אלא שראוי שתדע שאם נשארו לחלק שום מספרים על המספר הנחלק שראוי שתקבצם עם העולה מהכפילה ואז ישתוה למספר הנחלק. ויש מי שבקש מופת לדעת אם טעה בקבוץ המספרים בהשליך אותיות הנקבצים ט'ט' ואחזיק בנשאר וככה ישאר בכלל העולה אחרי השליך אותיותיו ט'ט'. כיצד מהשטה הראשונה לא נשאר דבר כי אם הלכו להם ט'ט'. ומן השטה התחתונה נשארו ד'. והנה אם כן נשארו ד' מהכלל העולה
	והטעם בזה הוא כי אין קבוץ שני המספרים יחד דבר אחר זולתם השליך התשיעיות שהם ממין אחד כיצד כשקבצנו הח' והז' מהאחדים והיו ט"ו הנה כתבנו באחדים חמשה ועם העשרות אחד. והפלנו מהט"ו ט' וכן כשקבצנו העשרות ועלו י"ו הנה כתבנו בעשרות ששה ובמאות א' והפלנו והפלנו ט' וכן כשקבצנו האלפים הפלנו ט' וכתבנו א'. והנה אין הפרש בין המספרים הנקבצים לכלל העולה זולתי אלה התשיעיות
	ואם כן בהפיל אותם ישארו שוים [.....]ים שמהשוים כשנפיל שוים ישארו שוים. כשנפיל עוד התשיעיות הנקבצים מהאחדים והעשרות והמאות וכו' מהמספרים הנקבצים וכן נפיל אותם מהכלל העולה כמו כן הנה ראוי שיהיה הנשאר בהם שוים ומזה המשפט תבין הטעם גם כן בגרעון כי המספר הנגרע והמספר הנשאר מקובצים ישתוו למספר אשר גרעת ממנו ואם כן יהיה הגרעון מתהפך לקבוץ בכח ובכפילה הנה הטעם הוא כי התשיעיות בכל מספר שיוכפלו יעלה מהם תשיעיות
	ואם כן לא נשאר במספרים הנכפלים אלא מה שעלה [מכ]פילת העודף על תשיעיות בזה המספר בעודף מתשיעיות במספר ה[שני] וזהו מה שראוי שישאר בכלל העולה מהכפילה אחר הפלת תשעיותיו. [מ]מספר הכפילה תבין הטעם בחלוקה כי שניהם מתהפכים כענין הקבוץ והגרעון
Dividing a small number by a larger one
The second meaning of division is to divide a small number by a number greater than it	הכוונה השנית בחלוקה לחלק מספר קטן על מספר גדול ממנו
Division of integers - result: fractions	כיון שזה בשלמים אע"פ שהחלוקה יצא בשברים נמצא זה בתוך השלמים
$\scriptstyle a<b\longrightarrow a\div b=\frac{1}{10}\sdot\left(10a\div b\right)$	ונאמר כי האנשים הרגילו בחלוקה זאת לכפול המספר הקטן בעשרה והיוצא יחלקו על המספר הרב אם היוצא יותר ממנו והיוצא בחלוקה יהיו עשיריות
$\scriptstyle a<b\longrightarrow a\div b=\frac{1}{10}\sdot\left[\frac{1}{10}\sdot\left(10a\div b\right)\right]$	ואם אין די בכפול בעשרה לחלק על מספר הרב או אם ישאר דבר לחלק אחר הכפילה בעשרה הנה תכפול אותם עוד בעשרה ויהיה היוצא עשיריות של עשיריות וכן תמיד
$\scriptstyle4\div50$	ומשל לאחד רצינו לחלק ד' על חמישים
	הנה עשינו אותם עשיריות עדין אין די נעשה אותם עוד עשיריות יהיו ד' מאות נחלקים על החמישים יצא לכל אחד שמונה והם עשיריות של עשיריות
$\scriptstyle6\div50$	[ומ]של לשני רצינו לחלק ששה על חמישים
	עשינו אותם עשיריות היו ששים חלקנו אותם על החמישים יצא לכל אחד א' וישארו שם עשרה נעשם עוד עשיריות ויהיו מאה נחלקם על חמישים יצא לכל אחד שנים והם עשיריות של עשיריות
$\scriptstyle a<b\longrightarrow a\div b=\frac{1}{b\div a}$	ואמנם לפי שהחלוק הזה בלתי טבעי אני אומר כי נחלוק המספר הגדול על הקטן והמספר היוצא יהיה שם השבר היוצא בחלוק
$\scriptstyle4\div12$	המשל בזה נרצה לחלק ד' על י"ב
	הנה נהפך המשפט ונחלק הי"ב על הד' ויצא בחלוקה שלשה ואומר כי שם השבר אשר יצא בחלוקה הוא שליש
$\scriptstyle{\color{blue}{4\div12=\frac{12}{3}\div12=\frac{1}{3}}}$	וכן הוא כי כשנעשה הד' שלישים כלם יהיו י"ב שלישים וכשנחלקם לי"ב יצא לכל אחד שליש וכזה כל מה שיביאך אליו החלוקה
Dividing a number to unequal parts
The third meaning of division is to divide a certain number by another number of unequal parts	הכוונה הג' בחלוקה לחלק מספר מה על מספר אחר לחלקים בלתי שוים
$\scriptstyle600=2a+3a+5a$	ויהיה משל בזה רצינו לחלק שש מאות על ג' בענין שיצא לראשון ביחס השנים ולשני ביחס השלשה ולשלישי ביחס הה'
	ואז ראוי שנקבץ היחסים כלם ויגיע מהם עשרה נחלוק עליהם השש מאות יצא לכל אחד שישים נכפיל זה ביחס השנים ויעלו ק"כ וזה מה שראוי לראשון
	עוד נכפול זה בג' ויעלו ק"ף וזה מה שראוי לשני. עוד נכפול זה בה' יעלו ש' וזה מה שראוי לג'
$\scriptstyle600=\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}a$	וכן אם אמרנו לחלקם על ג' ויהיה לראשון יחס החצי ולשני יחס השליש ולשלישי יחס הרביע
	הנה נדרוש מספר ימצאו בו היחסים כלם ונמצאהו כשנכפול החצי בשליש ויהיה ו' וזה בד' ויגיע כ"ד ונקבץ החצי והשליש והרביע ויעלו כ"ו
	ואחר נחלוק הו' מאות עליהם יצא לכל אחד כ"ג וחלק מי"ג ונקח חצי הכ"ד שהוא י"ב ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו רע"ו וי"ב חלקים מי"ג וזהו מה שראוי לראשון
	עוד נקח שליש הכ"ד והם שמונה ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו קפ"ד וח' חלקים מי"ג וזהו מה שראוי לשני עוד נקח רביע הכ"ד והם ו' ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו קל"ח וו' חלקים מי"ג. וכשתקבץ הכל יעלו הו' מאות

Chapter Five - Proportions
The fifth type is one ratios.	המין הה' בערכים
The intention in it is to know the ratio of what is partly unknown, relying on our knowledge of another ratio the is similar to it.	הכוונה בו לדעת ערך מה שנעלם קצתו מפני ידיעתנו ערך אחר דומה לו בכללו
The Rule of Three
The ratio is found in actu between four terms. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_3:a_4}}$	והנה הערך ימצא בפעל בין ד‫' גבולים
As if you say that the ratio of 4 to 6 is as the ratio of 8 to 12. $\scriptstyle{\color{blue}{4:6=8:12}}$	כאלו תאמר כי ערך הד' אל הו' הוא כערך הח' אל הי"ב
Proportional Triad
It is found in potentia by three terms, when the two of them that are means are the same in affect. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_2:a_3}}$	וימצא בכח בג' גבולים כאשר השנים מהם האמצעיים אחדים [בחמר] נפעל
As if you say that the ratio of 4 to 6 is as the ratio of 6 to 9. $\scriptstyle{\color{blue}{4:6=6:9}}$	כאלו תאמר כי ערך הד' אל הו' הוא כערך הו' אל הט‫'
The proportional triad as a special case of the rule of three, in which the two means are equal:
Thus, the mean is one name in actu, i.e. in form, but is numerous in potentia, i.e. as the number of the proportional numbers.	והנה האמצעי שם אחד בפעל ר"ל בצורה רבים בכח ר"ל כמספר הנערכים
Therefore, the rule is applied on four proportional numbers, and the three proportional numbers are considered as four, as we have said.	לכן המשפט נעשה בד' נערכים ומשם יובן הג' נערכים שהם ד' כמו שאמרנו
The Rule of Three
When we know one ratio, as is you say: the ratio of 4 to 6; and from the other ratio we know one term and the other term is unknown, as is you say the 12 is unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{4:6=8:x}}$	והנה כשנודע לנו הערך האחד כאלו תאמר ערך הד' אל הו' ומהערך האחר נדע גבול אחר ונעלם גבול אחד ממנו כאלו תאמ' שנעלם הי"ב
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}}}$
We multiply the second term of the first ratio, which is six, by the first term of the second ratio, which is 8; the result is 48.	הנה אז נכפול הגבול השני מהערך הראשון שהוא ששה בגבול הראשון מהערך השני שהוא ח' ויעלו מ"ח
We divide it by the first term, which is 4; the result of division is 12 and this is the sought after. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{6\sdot8}{4}=\frac{48}{4}=12}}$	נחלוק אותו על הגבול הראשון שהיה ד' ויצא בחלוקה י"ב והוא המבוקש בו
We set 8 as the unknown from the second ratio. $\scriptstyle{\color{blue}{4:6=x:12}}$	נשים הנעלם מהערך השני הוא ח‫'
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}}}$
We multiply the first term of the first [ratio], which is 4, by the second term of the second ratio, which is 12; the result is 48.	הנה אז נכפול הגבול הראשון מהראשון שהוא הד' בגבול השני מהערך השני שהוא הי"ב ויעלו מ"ח
We divide it by 6; the result is 8 and this is the unknown sought after. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{4\sdot12}{6}=\frac{48}{6}=8}}$	נחלוק אותו על הו' ויצאו ח' והוא הנעלם המבוקש
Argumentation
The reason for that is:	והסבה בזה הוא
For every four proportional numbers, the product that is generated from the multiplication of the first by the fourth is equal to the product that is generated from the multiplication of the second by the third. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3}}$	כל ד' מספרים נערכים הנה המשוטח הבא מכפילת הראשון ברביעי שוה למושטח הבא מכפילת השני בשלישי
Also, the area of every quadrilateral is the product of its sides one by the other.	ועוד כי תשבורת כל מושטח הוא בא מכפילת הצלעות זה בזה
Furthermore, for every quadrilateral that we know its area and one of its sides, we can deduce its the other side by dividing the area by the known [side] and the result is the size of the unknown side as was explained in Euclid's [Elements, Book VII, definitions]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a\sdot b}{a}=b}}$	ועוד כל מושטח אשר ידענו התשבורת שלו וידענו צלע אחד מצלעיו הנה ידענו הצלע האחר בחלקנו התשבורת ההיא על השטח הנודע ויצא מספר הצלע הנעלם כמו שיתבאר כל זה באוקלידס ועליו
[= a composite number is the product of its divisors one by the other. If the composite number and one of its divisors are known, then the other divisor can be deduced]
Now, when we multiply the first, which is 4, by the fourth, which is 12, and the result is 48, we have a product that is equal to the other product that is generated from the second, which is 6, by the third, which is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot12=48=6\sdot8}}$	ועתה כאשר כפלנו הראשון שהיה ד' ברביעי שהיה י"ב ועלה מ"ח הנה לנו מושטח מה שהוא שוה למושטח השני הנעשה מהשני שהוא ו' בשלישי שהוא ח‫'
Therefore, the product of 6 by 8 is 48 and since the product of the first factor, which is 6, is known to us from this, we divide the product, which is 48, by it; the result is 8 and this is the second factor. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot12}{6}=\frac{48}{6}=8}}$	אם כן מושטח ו' בח' הוא מ"ח ולפי שנודע לנו מזה המושטח הצלע הא' שהוא הו' נחלוק עליו המושטח שהיה מ"ח ויצא ח' והוא הצלע השני ממנו נודע
Proportional Triad
Likewise in the other example of the three proportional numbers, for we know that the product that is generated from the first by the third is equal to the product of the second by itself. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=\left(a_2\right)^2}}$	וכן במשל האחר מן הג' המספרים הנערכים כי ידענו שהמושטח הבא מן הראשון בשלישי שוה למושטח השני בעצמו
For, if the first number, or the third, is unknown, we multiply the second by itself and we know the product of the first by the third. Then, we we divide the product by the first, if it is known, or by the third, if it is known, and we get the unknown. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_3}}}$; $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}}}$	כי הנה אם נעלם המספר הראשון או השלישי הנה נכפול השני בעצמו ונדע תשבורת הראשון בשלישי ונחלק התשבורת על הראשון אם היה הוא נודע או על השלישי אם הוא הנודע ויצא לנו הנעלם
If the second is unknown, we multiply the first by the third and we get the product of the second by itself. We look for the root of this product and this is the second number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}}}$	ואמנם אם נעלם השני הנה נכפול הראשון על השלישי ויצא לנו תשבורת השני על עצמו נבקש שורש אותו התשבורת והוא יהיה המספר השני

Chapter Six - Roots
	המין הו' בשרשים
A number is a root of another number if its product by itself is equal to the other number exactly	דע כי מספר שרשי למספר אחר יאמר כאשר תכפול אותו בעצמו ויעלה לכמו אותו המספר האחר בלא תוספת ומגרעת
A number is a square if it has such root	ויאמר מספר מרובע על מי שימצא לו מספר שרשי כזה
Every number is a root, but not every number is a square	ודע כי כל מספר הוא שורש ואין כל מספר הוא מרובע
The number of pairs of numbers between two consecutive squares $\scriptstyle n^2$ and $\scriptstyle \left(n+1\right)^2$ is equal to the number of squares preceding $\scriptstyle \left(n+1\right)^2$ [i.e. n]	אבל כל המספרים מרובעים זוגי מספר במספר כמספר המרובעים שעברו עד המרובע האחרון מהם
$\scriptstyle1=1^2$	כיצד הא' הוא שורש עצמו ומרובע בעצמו
Between 1 and 4 - one pair of numbers: 2, 3. One square preceding 4: 1	והד' הוא מספר מרובע הנה ביניהם זוגי מספרים שהם הא' והשלש כמספר המרובעים שעברו שהיה הוא האחד
Between 4 and 9 - two pairs of numbers: 5, 6; 7, 8. Two squares preceding 9: 1, 4	עוד הט' הוא מספר מרובע והנה בין הד' והט' זוגי מספרים שנים והם הה' והו' והז' והח' כמספר המרובעים שעברו עד הט' שהם שנים והם הא' והד‫'
Between 9 and 16 - three pairs of numbers: 10, 11; 12, 13; 14, 15. Three squares preceding 16: 1, 4, 9	עוד הי"ו הוא מספר מרובע הנה בין הט' והי"ו זוגי מספרים ג' והם הי' והי"א והי"ב והי"ג והי"ד והט"ו כמספר המרובעים שעברו עד הי"ו והם ג' הא' והד' והט' וכן לעולם
The first square is an odd number; the second square is an even number; the third square is an odd number; the fourth square is an even number - and so on	ועוד דע כי המרובע הראשון הוא נפרד והשני זוג והשלישי נפרד והרביעי זוג וכן לעולם
The root of an odd square is odd and the root of an even square is even	וזה כענין שרשיהם כי שורש המרובע הנפרד הוא נפרד ושורש המרובע הזוג הוא זוג
The product of an odd number by an odd number is an odd number; the product of an even number by an even number is an even number	וכשתכפול הנפרד בנפרד יעלה נפרד והזוג בזוג יעלה זוג
The order of the roots is similar to the order of the squares: one odd number, one even number and so on	והנה סדר השרשים אחד נפרד ואחד זוג תמיד
1 - the root of 1, is an odd number; 2 - the root of 4, is an even number; 3 - the root of 9, is an odd number	כי הא' שורש הא' והוא נפרד והב' שורש הד' והוא זוג והג' שורש הט' והוא נפרד וכן תמיד
[When the number of ranks of the square is odd] the number of ranks of the root is half the number of ranks of its square plus one half	עוד דע כי מדרגות השורש ראוי להיות בחצי מדרגות המרובע ועוד חצי מדרגה
The number of ranks of a product of two numbers is equal to the sum of the numbers of ranks of both numbers minus 1	וזה כי כבר אמרנו בהכפלה כי נדע המדרגות העולות מכפילת כל מספר במספר בקבץ מדרגתם והסר מהם אחד
The squares are products of the roots by themselves - so, numbers of the ranks of both multiplicands (= the same root) are equal, therefore the number of ranks of the root should be half the number of ranks of the square plus one rank of both multiplicands (= the root), i.e. one half for each	ולפי שבשרשים מדרגות הנכפלים שוים לפי שהוא נכפל בעצמו ראוי אם כן להיות מדרגות השורש חצי מדרגות המרובע ועוד מדרגה אחת בשניהם שהוא חצי מדרגה לכל אחד
Thus, there can be no root for an even number of ranks - the square must have an odd number of ranks, so that half of that number plus one half will give an odd integer as the number of ranks of its root	על כן לא יתכן לבקש שורש למדרגות שום מרובע כשיהיו זוגות כי לא יתכן להיות חצי מדרגה אלא בשרשים שמדרגתם נפרדים שבהם כי ימצא חצי מדרגה וכשנוסיף מדרגה אחרת ימצא בהם מדרגה שלמה
Hence, when there is an even number of ranks, the calculation of the root should start from the second highest rank, so that the number of ranks will be odd, and half of this number of ranks plus one half will be the integer number of ranks of the root - the highest rank of the root will thus be exactly half the number of ranks of the given number	ואם כן בכל מספר שמדרגתם זוגות ראוי להוריד האות האחרונה מהם לסמוכה לה ואז יהיו מדרגתם נפרדות ויהיה חצי מדרגתם עם החצי מדרגה שנוסיף מדרגות שלמות והם יהיו מדרגות השורש והנה נתחיל למנות מהמדרגה העליונה עד חצי המדרגות למפרע ושם נכתוב המדרגה העליונה מהשורש ועד שם יגיע
Calculations with units and simple numbers are better known and easier than calculations of higher and more complex numbers	עוד דע כי כשנחשב חשבונות במספרים הנה כל מה שנקרב אל הפשוטים ואל האחדים יהיה יותר ידוע לנו מהמתרחקים מהם
Addition of units is almost self-explanatory axiom	ולזה חבור אחדים מה עם אחדים כמעט שהוא מושכל ראשון
Higher and complex numbers require calculation technique	ואינו כן במספרים הרחוקים המורכבים כי נצטרך למלאכה לדעתו
Thus, when wishing to find the root of a square number, the extraction of the root should be executed one part after the other instead of seeking the whole root at once	ולזה כשנתור לדעת שורש כל מספר מרובע אין ראוי לנו לבקש השורש כלו ביחד אבל חלק אחר חלק עד תומם
Extracting roots - written procedure
Description of the procedure:
The highest rank is odd	ולכן נתחיל לבקש תחלה שורש האות אשר במדרגה העליונה אם הם נפרדות
The highest rank is even	ואם הם זוגות תורידה אל הסמוכה לה ותעשה שם עשרות
The interim result	ובקש מספר שרשי שכשתכפלהו על עצמו יעלה כמוהו או כל מה שאפשר ממנו ותכתבהו במדרגתה כמשפט שאמרתי לך
The interim remainder	ותכתוב הנשאר באותה מדרגה עליה ורשום שם סימן לומר כבר חלקנו משם
Product of a number by itself = products of each of its ranks by itself and by the others	עוד דע כי כפולת כל מספר בעצמו הוא כמו כפולת מדרגותיו כל אחת בעצמה ובאחרת
$\scriptstyle{\color{blue}{12^2=144=100+4+20+20=\left(10\sdot10\right)+\left(2\sdot2\right)+\left(10\sdot2\right)+\left(2\sdot10\right)}}$	ומשל לזה רצינו לכפול י"ב על י"ב והם קמ"ד הרי הוא כמו כפילת העשר שבמדרגה העליונה עם העשר האחר והוא ק' וכמו כן כפילת השנים על השנים והם ד' וכמו כפילת העשר העליונים בשנים התחתונים שהם כ' ועוד כפילת השנים העליונים בעשר התחתונים שהם כ' אחרים והנה כשתקבץ הכל יעלו קמ"ד
$\scriptstyle\sqrt{144}$	והנה דרך בקשת שורש קמ"ד
	ראוי אם כן להיות בזה אחר שמדרגותיו נפרדים נבקש שורש המאה והוא עשר ונכתוב א' במדרגה השנית כי היא חצי המדרגות ועוד חצי מדרגה ולא נשאר דבר בק'. ואחר נאמ' אי זה מספר הוא אשר כשנכפול אותו בעשרה והעשרה בו יכלול המ' או קרוב שאפשר ממנו וכשנכפול אותו על עצמו יכלול הד' עם מה שישאר מהמ' אם יהיה שם נשאר כי בזה ישלם כפילת כל מדרגותיו כמו שאמרנו ונמצא כי הוא השנים נכתוב אותו סמוך לאחד וזה כי כשנכפול בו העשרה יהיו עשרים. וכשנכפול אותו בעשרה יהיו עשרים אחרים הרי המ' נכללים וכשנכפול אותו בעצמו יעלו ד' וכשנקבץ הכל יעלו קמ"ד הרי ששרשם הוא י"ב
The same way for a large number, with numerous ranks	ומזה תשכיל ותדע לעשות אפי' שיהיו המדרגות רבות
Extracting roots of non-square numbers $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}}}$
Since not every number is a square, a remainder may be left [at the end of the extraction procedure] above the dividend number after we have subtracted the square from it.	ולפי שאין כל מספר הוא מרובע הנה כבר ישאר מספר מה על המספר הנחלק אחר שהוצאנו ממנו המרובע
Although [this case] should be investigated [in the section] on fractions [because the remainder is a fraction], as [the given number to be extracted] is an integer, it is discussed here.	והנה אע"פ שזה ראוי לעיין בו בשברים הנה לפי שהוא בשלמים נדבר בו בכאן
I say that the remainder is necessarily less than double the [approximate] root. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\longrightarrow b<2a}}$	ואומר כי בהכרח שישאר שם פחות מכפל השורש
Since if the remainder were greater [$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b<2a}}$], we could have given one more than what we have extracted in the first [approximate] root.	ועוד אחר שאלו היה נשאר שם יותר היינו יכולין לתת אחד יותר ממה שהוצאנו בשורש הראשון
For it would have increased the product of the second [approximate] root only by the [product of] one by the first [approximate] root, and [the product of] the first [approximate] root by one, and the [product of] one by itself, so there is enough in the remainder for that. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\left(a^2+2a+1\right)+c}=\sqrt{\left(a+1\right)^2+c}}}$	כי לא יתרבה בזה מכפילת השורש השני הזה אלא האחד בשורש הראשון והשורש הראשון באחד והאחד בעצמו והנה די בנשאר לזה
Now, when we want to include this remainder by adding a certain fraction to the [approximate] root, we look for a fraction, such that when we multiply it by the [approximate] root and the [approximate] root by it, and it by itself, it includes the remainder, and this is the [new approximate] root. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+\left(r\sdot a\right)+\left(a\sdot r\right)+r^2}=a+r}}$	ועתה כשנבקש לכלול הנותר הזה בהוסיפנו חלק מה על השרש הנה נראה איזה שבר הוא אשר כשנכפול אותו בשורש והשורש בו והוא בעצמו יכלול הנשאר והוא יהיה השורש
If you do not find such fraction, look for an approximate [fraction].	ואם לא תמצא שבר כזה בקש הקרוב אליו
One example for this: we wish to know the root of nine hundred and seventy-three thousand, one hundred and eighty-two. $\scriptstyle\sqrt{973182}$	ויהיה משל אחד לזה רצינו לדעת שורש תשע מאות ושבעים ושלשה אלפים ומאה ושמונים ושנים

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{97>9^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{97-{\color{blue}{9}}^2=}}{\color{green}{16}}\\\end{align}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{163-\left[\left(9\times8\right)+\left(8\times9\right)\right]=19}}\\&\scriptstyle{\color{red}{19-7=}}{\color{green}{12}}\\&\scriptstyle{\color{red}{71-{\color{blue}{8}}^2=}}{\color{green}{7}}\\\end{align}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{127-\left[\left(9\times6\right)+\left(6\times9\right)\right]=19}}\\&\scriptstyle{\color{red}{19-10=}}{\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{108-\left[\left(6\times8\right)+\left(8\times6\right)\right]=12}}\\&\scriptstyle{\color{red}{12-4=}}{\color{green}{8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{42-{\color{blue}{6}}^2=}}{\color{green}{6}}\\\end{align}}$	0
				01		0109
		16		1627		162786
973182		973182		973182		973182
		9		98		986

$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle986\ the\ root\\&\scriptstyle986\ the\ remainder\\\end{align}}}$

Since [the number of] its ranks is even, we lower the 9 to the 7; the result is 97.	ולפי שמדרגותיו זוגות נוריד הט' על הז' ויעלו צ"ז
We look for a root, such that its product [by itself] reaches it or as close to it as possible; it is 9.	נבקש שורש שבהכפלו יגיע לזה או היותר שאפשר ממנו והוא יהיה תשעה
We take half the [number of the] ranks, which are up to the number 7, for the rank of 9 should not be counted as we have already lowered it from its rank; they are two and a half. We add another half of a rank; they are three ranks.	נקח חצי המדרגות שהם עד מספר הז' כי המדרגת הט' אין למנות אותה שכבר הורדנו אותו ממדרגתו והם שתים וחצי ונוסיף חצי מדרגה עוד ויהיו שלשה מדרגות
Thus, we write the 9 we get as a root beneath the digit 1.	אם כן תחת מספר האחד נכתוב הט' שיצא לנו לשורש
We multiply it by itself; the result is 81.	נכפול אותו בעצמו יגיע פ"א
We subtract it from 97; 16 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{97-9^2=97-81=16}}$	נגרע אותו מצ"ז ישארו שם י"ו
We write the one, which is the ten, above the 9, and the six above the 7.	נכתוב האחד שהוא העשרה על הט' והששה על הז‫'
We write a mark above the 7, as we have already extract a root from it and another root should not be extracted from it.	ונרשום סימן על הז' שכבר שרשנו משם ואין לבקש משם עוד שורש
We return to extract a root from the three: we lower to it the six that remains above the seven and the one that remains above the 9; they are considered as 163.	עוד נשוב לשרש מהשלשה ונוריד עליו הששה שנשארו על השבעה וגם האחד שנשאר על הט' ויחשבו עליו לקס"ג
We say: what number, when we multiply it by 9 and 9 by it, [the sum of the products] is included in the 163, and when we multiply it by itself, [the product] is included in the one that is above it with all that remains in the higher ranks? We say that it is eight, for if we will give 9 it would not be enough for all.	ונאמר אי זהו המספר שכשנכפול אותו בט' והט' בו יכלול הקס"ג וכשנכפול אותו בעצמו יכלול האחד אשר אצלו עם מה שישאר מהעליונים ממנו ונאמר כי הוא השמונה כי אם נתן ט' לא יספיק לכל
8 multiplied by 9 is 72; 9 multiplied by 8 is 72; [their sum] is 144.	והנה הח' כפול בט' הם ע"ב והט' בח' ע"ב הם קמ"ד
We subtract is from 163; 19 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{163-\left[\left(8\sdot9\right)+\left(9\sdot8\right)\right]=163-\left(72+72\right)=163-144=19}}$	נגרע אותם מהקס"ג ישארו י"ט
We take 7 from it, to lower it to the one, to satisfy the 8 when we multiply it by itself; 12 remains there. $\scriptstyle{\color{blue}{19-7=12}}$	נקח מהם ז' להוריד על האחד לכלכל משם לח' כשנכפלם בעצמם וישארו שם י"ב
We write two above the three, and the ten, which is one, above the six.	נכתוב השנים על השלשה והעשר שהוא אחד על הששה
We write zero above the one that remains above the upper 9.	ונכתוב סיפרא על האחד שנשאר על הט' העליונה
So, we have 71 above the one that is considered with the 7 we have lowered to it. We subtract from it 8 times 8, which is 64; seven remains there. We write it above it. $\scriptstyle{\color{blue}{71-8^2=71-64=7}}$	והנה לנו על האחד אשר בחשבון עם הז' שהורדנו עליו ע"א נגרע ממנו ח' פעמים ח' שהוא ס"ד ישארו שם שבעה ונכתבם עליו
We put a mark above the three, to indicate the we have already extract a root from it.	ונשים סימן על השלשה לומ' כבר ‫שרשנו משם
We return to extract a root from the one, i.e. from what remains above it, which is 7, with all that remains higher than it when it is lowered to it; they are 127.	ונשוב עוד לשרש ממדרגות האחד ר"ל ממה שנשאר עליו והוא ז' עם כל הנשאר למעלה ממנו שכשהורדנו עליו יהיו קכ"ז
We say: what number, when we multiply it by 9 and 9 by it, [the sum of the products] is included in these 127 or as close as possible, and when we multiply it by 8 and 8 by it, [the sum of the products] is included in the eight that is next to it with all that remains in the higher ranks or as close as possible, and when we multiply it by itself, [the product] is included in the two with all that remains in the higher ranks or as close as possible to it? We say that it is six.	ונאמר איזהו מספר אשר כשנכפול אותו בט' והט' בו יכלול הקכ"ז האלה או היותר ממנו שאפשר וכשנכפול אותו בח' והח' בו יכלול השמונה הסמוכים לו עם מה שנשאר למעלה או היותר שאפשר וכשנ[כ]פול אותו על עצמו יכלול השנים עם מה שנשאר במדרגות אשר למעלה או כל מה שאפשר מהם ונאמ' כי הוא מספר הששה
We write it in the rank of units, so there is no other root after it.	ונכתבם במדרגת האחדים והנה אין עוד שורש אחר זה
We say the six times 9 and 9 times six is 108.	ונאמר כי כ ששה פעמים ט' וט' פעמים ששה הם ק"ח
We subtract is from 127; 19 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{127-\left[\left(6\sdot9\right)+\left(9\sdot6\right)\right]=127-108=19}}$	נגרע אותם מקכ"ז ישארו י"ט
We subtract 10 from it, to lower it to the next 9, to satisfy the bottom 8 when we multiply it by six and six by it; 9 remains there. $\scriptstyle{\color{blue}{19-10=9}}$	נגרע מהם עשרה להוריד על הט' הסמוכים לכלכל לח' התחתונים כשנכפלם בששה והששה בהם ישארו שם ט‫'
We write it above the 7 and we write zero above the upper digit that remains above the six.	נכתבם על הז' ונכתוב סיפרא על האותיות העליונות שנשארו על הששה
The ten that we have lowered to the 8 becomes 108 with the 8. We subtract from it 96, which is [the sum of] the products of six by 8 and 8 by 6; 12 remains there. $\scriptstyle{\color{blue}{108-\left[\left(6\sdot8\right)+\left(8\sdot6\right)\right]=108-96=12}}$	והנה העשרה שהורדנו על הח' יעלה לשם עם השמונה לק"ח נגרע מהם צ"ו מכפילת ו' על הח' והח' על הו' ישארו שם י"ב
Since we have to lower 4 to the 2, to satisfy the 6 when we multiply it by itself; 8 remains there.	ולפי שנצטרך להוריד ד' על הב' לכלכל לו' כשנכפלם בעצמם ישארו לשם ח‫'
We write it above the 8.	ונכתבם על הח‫'
The 4 that we have lowered to the two becomes 42 with the 2. We subtract from it six times six, which is 36; six remains there that we write above the 2. $\scriptstyle{\color{blue}{42-6^2=42-36=6}}$	עוד הנה הד' שהורדנו על השנים עם השנים עלו למ"ב נגרע מהם ששה פעמים ששה שהם ל"ו ישארו שם ששה שנכתבם על הב‫'
	והנה יצא תתקפ"ו ונשארו עוד תתקפ"ו אחרים שלא מצאנו שורש בשלמים שיכללם על כן נבקש אותו בשברים ונאמ' איזהו מספר אשר כשנכפול אותו בתתקפ"ו והתתקפ"ו בו ונכפול אותו בעצמו יכלול זה ונאמר כי הוא החצי בקרוב אלא שחסר לנו רביע לכלכל לכפילת החצי על עצמו
Check: multiplying the root by itself - and adding the remainder to the product	ויבחן המעשה הנה כאשר [תכפול] השורש היוצא על עצמו שראוי להשתוות למספר אשר בקשת שורשו כשתחבר אל הכפילה הנשאר על המספר שבקשת שורשו

Chapter Seven - Fractions	המין הז' בשברים
Which includes all the types [of arithmetical operations]	והוא דמות כל המינים כלם
Conversion of fractions
I say first that it requires the knowledge to convert fractions to fractions or to convert two fractions or more to one fraction.	ואומר בראשונה כי צורך גדול לזה הוא ידיעת המרת שברים בשברים או הפך שני שברים או יותר לשבר אחד
Converting fractions to fractions
Fractions to fractions:	אמנם שברים בשברים
As if you say: we convert quarters to sixths.	כאלו תאמר נמיר רביעיות לשישיות
Divide the 6 of the sixths by the 4 of the quarters; the result is one and a half. So, the quarter is one-sixth and a half [of a sixth]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}=\frac{\frac{6}{4}}{6}=\frac{1+\frac{1}{2}}{6}=\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	הנה אז תחלוק הו' של שישיות על הד' מהרביעיות ויצא אחד וחצי והנה שישית וחצי הוא הרביע
Or, we say: we convert quarters to thirds of quarters.	או נאמר נמיר רביעיות לשלישי רביעיות
We multiply 3 by 4 of the 3-quarters; it is 12. We divide it by 4 of the quarters; the result is three. So, the quarter is 3 of three-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}=\frac{\frac{\frac{3\sdot4}{4}}{3}}{4}=\frac{\frac{\frac{12}{4}}{3}}{4}=3\sdot\frac{3}{4}}}$	נכפול ג' בד' של ג' רביעיות ויהיו י"ב נחלקם על ד' של רביעיות ויצאו שלשה והנה הרביעית הוא ג' שלישי רביעיות
Or, we say: we convert the quarters to thirds of fifths.	או שנאמר נמיר הרביעיות בשלישי חמישיות
We multiply 3 by 5; the result is 15. We divide it by 4; the result is 3 and 3-quarters. So, the quarter is 3-fifths and 3-quarters of a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{{\color{red}{3}}}{4}=\frac{\frac{3\sdot5}{4}}{5}=\frac{\frac{15}{4}}{5}=\frac{3+\frac{3}{4}}{5}=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	נכפול הג' בה' ויעלו ט"ו נחלקם על ד' ויצאו ג' וג' הרביעיות והנה הרביע הוא ג' חמישיות ועוד ג' רביעיות חמישיות
Converting two fractions to one fraction
Or, if we wish to convert two fractions to one fraction as close as possible.	או שנרצה להפך שני שברים לשבר אחד יותר קרוב שאפשר
Example: we wish to know the fraction that is the least common multiple shared by tenths and eighteenths.	והנה המשל רצינו לדעת שבר ראשון שבו ישתתפו עשיריות בשמונה עשיריות
First, one should look for their least common multiple, as follows:	והנה בתחלה ראוי לבקש ‫המספר הראשון שבו ישתתפו ויהיה כזה
First, we should know is they share a common factor that counts both and look for it.	בתחלה נדע אם הם משתתפים למספר ימנה אותו נבקש אותו
If they share two common factors, we look for the greater.	ואם משתתפים בשני מספרים נבקש היותר גדול
Ten and 18 share two as a common factor that counts both. We know that it counts ten by 5 and 18 by 9.	והנה העשרה והי"ח משתתפים בשנים אשר ימנה אותם ונדע במה ימנה לעשרה בה' ולי"ח בט‫'
We multiply 10 by 9 [or 18 by 5]; it is ninety and this is the least common multiple shared by ten and 18. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot9=18\sdot5=90}}$	ואחר נכפול הי' בט' ויהיו תשעים ולי"ח בה' והוא יהיה המספר הראשון שבו ישתתפו העשרה או הי"ח
The tenth is 9 [parts of] ninety, by which two counts 18. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}=\frac{18\div2}{90}=\frac{9}{90}}}$	ועתה הנה העשירית יהיה הט' מתשעים שבו מנה השנים לי"ח
The eighteenth is [5] [parts of] ninety, by which 2 counts ten. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{18}=\frac{10\div2}{90}=\frac{5}{90}}}$	והח' עשיריות יהיה הט' מתשעים שבו מנה הב' לעשרה
Converting three fractions to one fraction
If there are three types of fractions.	ואם היו ג' מיני שברים
As if you say: the tenth, the twelfth, and the eighteenth.	כאלו תאמר העשירית והשתים עשיריות והח' עשירית
First, we look for the least common multiple shared by the tenth and the twelfth.	הנה בתחלה נבקש מספר ראשון שישתתפו בו העשירית והשתים עשירית
We find it by looking for their greatest common divisor; it is two, because it counts 10 by 5 and 12 by 6.	ונמצא אותו בבקש המספר הגדול שימנה אותם והנה הוא השנים בכאן כי ימנה לעשרה בה' ולי"ב בשש
Thus, 5 and 6 are the least numbers of the ratio 10:12.	והנה הה' והו' אלה יהיו השני מספרים אשר הם הפחות מספרים אשר על היחס הי' והי"ב
So, if you multiply 10 by 6, or 12 by 5, the result is 60 and it is the least common multiple shared by 10 and 12. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot6=12\sdot5=60}}$	ולכן אם תכפול העשר בו' או הי"ב בה' יעלו ס' והוא יהיה המספר הקרוב שישתתפו בו הי' והי"ב
Look also for the greatest common divisor of 60 and 18; it is 6, because it counts 60 by 10 and 18 by 3.	עוד ראה המספר הגדול שימנה לס' האלו ולי"ח והוא הו' כי ימנה לס' בי' ולי"ח בג‫'
Multiply 60 by 3; the result is 180 and it is the least common multiple shared by the three of them. $\scriptstyle{\color{blue}{60\sdot3=180}}$	תכפול הס' בג' ויעלו ק"ף והוא המספר הראשון שישתתפו בו שלשתם
If you want to know how much is the tenth, [multiply] 6 that counts 12 by 3 that counts 18; the result is 18 and it is the tenth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}=\frac{6\sdot3}{180}=\frac{18}{180}}}$	ואם תרצה לדעת כמה הוא העשירית ממנו הו' המונה לי"ב בג' המונה לי"ח ויעלו י"ח והוא העשירית
For the twelfth, multiply 5 that counts 10 by 3 that counts 18; the result is 15 and it is the twelfth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}=\frac{5\sdot3}{180}=\frac{15}{180}}}$	ואמנם השתים עשירית כפול הה' המונה לעשרה בג' המונה לי"ח ויעלו ט"ו והוא יהיה השתים עשירית
The eighteenth is 10 that counts 60. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{18}=\frac{10}{180}}}$	ואמנם הח' עשירית הוא יהיה הי' המונה לס‫'
As the sixtieth is 3 that counts 18, if we wish to know it, although the intention here is only for the three former fractions that are the tenth, the twelfth, and the eighteenth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{60}=\frac{3}{180}}}$	כמו שהשישימית יהיו הג' המונים לי"ח אם רצינו לדעת אותו אלא שאין המכוון בכאן אלא בשלשת השברים הראשונים שהם הי' והי"ב והי"ח
Know that if they do not share a common divisor, then the least common multiple of the fractions is found by multiplying one by the other.	ודע כי אם לא ישתתפו המספרים במספר ימנה אותם הנה אז ימצא המספר שישתתפו בו השברים בכפול הא' על האחר
As if you say: fifths and sixths - nothing counts them except for 1.	כאלו תאמר חמישיות ושישיות שאין דבר שימנם אלא האחד
The least common multiple of these [fractions] is 30 that is generated from the product of 5 by 6. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}$	הנה המספר הראשון שימצאו בו אלה השרשים הוא השלשים הבא מכפילת הה' בו‫'
The fifth is the denominator that is the six. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}=\frac{6}{30}}}$	ואז החמישית הוא שם השבר ר"ל הששה
The sixth is the denominator of the other fraction, i.e. the five. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}=\frac{5}{30}}}$	והשישית הוא בא משם השבר האחר ר"ל החמשה
If there are three numbers that do not share a common divisor:	ואם היו ג' מספרים בלתי משתתפים במונה
As if you say: 3, 4, 5. Their least common multiple is found by multiplying 3 by 4; it is 12, then 5 by 12; it is 60 and this is the number in which these fractions are found.	כאלו תאמר הג' והארבעה והחמשה הנה המספר שישתתפו בו ימצא בכפול הג' בד' ויהיו י"ב ואחר הה' בי"ב ויהיו ס' והנה המספר שמצאו השברים האלו
The third [is found] by multiplying 4 [by 5]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}=\frac{4\sdot5}{60}}}$	והנה השלישית בכפול הד‫'
The quarter is found by multiplying 3 by 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}=\frac{3\sdot5}{60}}}$	וימצא הרביע בכפול הג' בה‫'
The fifth is found by multiplying 3 by 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}=\frac{3\sdot4}{60}}}$	וימצא החומש בכפול הג' בד‫'
Now, we will discuss the mentioned operations with fractions.	ועתה נדבר במינים הנאמרים ה בשברים
We will start with the addition operation as usual.	ונתחיל בקיבוץ כמנהג
The First Type: Addition of fractions	המין הא' בקיבוץ השברים
Two fractions with no common denominator
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]+\left[c\sdot\left[\frac{1}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]}{b\sdot d}}}$
We start with addition of two fractions, such that there is no number that counts both.	ונתחיל בקיבוץ שני שברים שלא ימצא להם מספר שימנם
We give an example: we wish to sum two thirds with 3 quarters. $\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}$	ונשים משל לזה רצינו לקבץ ב' שלישיות בג' רביעיות
common denominator:
We seek the least common multiple of 3 and 4. Since no number counts them other than one, it is found only by multiplying one of them by the other; it is 12.	הנה נבקש מספר ראשון שישתתפו בו הג' והד' ‫ולפי שאין דבר שימנם אלא האחד לא ימצא אלא בכפול אחד מהם באחר ויהיו י"ב
The third is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}}$	והנה השליש הוא ד‫'
As we said, we multiply the two that is the number of the thirds by 4; it is 8 and this is the two-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot12=2\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)=2\sdot4=8}}$	כמו שאמרנו נכפול השנים ממספר השלישיות בד' ויהיו ח' והם השני שלישיות
The quarter is 3. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot12=3}}$	עוד הרביע הוא ג‫'
We multiply the 3 that is the number of the quarter by 4 it; it is 9 and this is the 3-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot12=3\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=3\sdot3=9}}$	נכפול בהם הג' ממספר הרביעיות ויהיו ט' והנה הג' רביעיות
We sum up 8 and 9; it is 17 parts of 12. We divide it by 12; the result is one integer and 5 parts of 12 remain and this is the sum. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{8+9}{12}=\frac{17}{12}=1+\frac{5}{12}}}$	נקבץ הח' והט' ויהיו י"ז חלקים מי"ב נחלקים על י"ב ויצא אחד שלם וישארו עוד ה' חלקים מי"ב וזהו העולה
Three fractions with no common denominator
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{g}{h}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\sdot h\right)\right]\right]+\left[c\sdot\left[\frac{1}{d}\sdot\left(b\sdot d\sdot h\right)\right]\right]+\left[g\sdot\left[\frac{1}{h}\sdot\left(b\sdot d\sdot h\right)\right]\right]}{b\sdot d\sdot h}}}$
If we want to sum three fractions.	ואם נרצה לקבץ ג' שברים
As if you say: 2-thirds, 3-quarters and 4-fifths. $\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}$	כאלו תאמר שני שלישיות וג' רביעיות וד' חמישיות
Since no [number] counts these fractions, except for one, their least common multiple is found only by multiplying 3 by 4; it is 12, and this by 5; it is sixty and this is the whole whose fractions we seek for. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5=12\sdot5=60}}$	הנה לפי שלא ימנה לשברים הללו אלא האחד הנה לא ימצא מספר ראשון שישתתפו בו אלא בכפול הג' בד' והיו י"ב וזה בה' והיו שישים וזה יהיה דמות השלם אשר נבקש שבריו
The third is found by multiplying 4 by 5, which is twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot60=4\sdot5=20}}$	והנה השל[י]ש ימצא בכפול הד' בה' שהוא עשרים
The two-thirds are found by multiplying two by twenty; it is 40. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot60=2\sdot20=40}}$	ושני השלישים ימצא בכפול השנים בעשרים ויהיו מ‫'
The quarter is found by multiplying 3 by 5; it is 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot60=3\sdot5=15}}$	והרביעי יהיה בכפול הג' בה' ויהיו ט"ו
The 3-quarters are [found] by multiplying 3 by 15; the result is 45. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot60=3\sdot15=45}}$	וג' הרביעיות יהיו בכפול ‫[הג' בט"ו ויעלו מ"ה
The fifth is found by multiplying 3 by 4; it is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot60=3\sdot4=12}}$	והחמשי ימצא בכפול הג' בד' ויהיו י"ב
The 4-fifths are [found] by multiplying 4 by 12; it is 48. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot60=4\sdot12=48}}$	וד' החמשיות בכפול‫]‫ הד' בי"ב ויהיו מ"ח
Now, we sum up 40, 45, and 48; the result is 133. $\scriptstyle{\color{blue}{40+45+48=133}}$	ועתה נקבץ המ' והמ"ה והמ"ח ויעלו קלח"ג
We divide it by 60, which is the whole; the result is two integers and 13 parts of 60. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}=\frac{40}{60}+\frac{45}{60}+\frac{48}{60}=\frac{133}{60}=2+\frac{13}{60}}}$	ונחלק אותו על הס' שהוא דמות השלם ויצא שנים שלמים ועוד י"ג חלקים מס‫'
From this you deduce for four [fractions] and more.	ומזה תבין לד' שרשים או יותר
If there is a number that counts both, or if one counts the other, you can do as said above.	ואמנם אם ימצא לשברים מספר שימנם בו שימנה האחד לאחר הנה יכול היית לעשות כדין הנאמרים למעלה
Yet, then their multiple will not be the least common multiple of these fractions, which is more appropriate, since it is the smallest and the intellect comprehend it quickly as well as its fractions. Therefore, it is better to look for their least common multiple.	אלא שלא יהיה השלם ההוא המספר הראשון שישתתפו בו אותם השברים שהוא היותר נאות לפי שהוא ראשון ומספר יותר קטן והשכל יקיף בו ובשבריו יותר מהרה ולזה ראוי לבקש להם המספר הראשון שישתתפו לשלם
Two fractions, the denominator of one of them is a divisor of the other
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d\sdot b}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]+c}{b\sdot d}}}$
First, the example for this is of two fractions, such that one counts the other:	ויהיה המשל בתחלה לזה בשני שברים שימנה האחד לאחר
As if you say: we wish to sum up two-thirds with 4-ninths. $\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{4}{9}$	כאלו תאמר רצינו לקבץ שני שלישיות בד' תשיעיות
Since 3 counts 9 by 3, we define the whole as 9.	ולפי שהג' מונה לט' בג' נשים השלם הט‫'
The third is 3, as the number by which it counts the 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot9=3}}$	ויהיה השליש ג' כמספר אשר הוא מונה בו לט‫'
We multiply it by 2, which is the number of the thirds; the result is 6, which are the 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}=\frac{2\sdot3}{9}=\frac{6}{9}}}$	נכפול אותו בשני ממספר השלישיות יעלו ו' והם הב' שלישיות
We add it to 4-ninths; the result is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{4}{9}=\frac{6}{9}+\frac{4}{9}=\frac{10}{9}}}$	ונקבץ אותם לד' מהתשיעיות יעלו עשרה
We divide it by 9; the result is one integer and one-ninth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{4}{9}=\frac{10}{9}=1+\frac{1}{9}}}$	נחלק אותם על הט' יצא אחד שלם ועוד תשיעית אחד
Two fractions with common divisor
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b\sdot g}+\frac{c}{d\sdot g}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b\sdot g}\sdot\left(b\sdot d\sdot g\right)\right]\right]+\left[c\sdot\left[\frac{1}{d\sdot g}\sdot\left(b\sdot d\sdot g\right)\right]\right]}{b\sdot d\sdot g}}}$
If one does not count the other, but there is another number that counts both:	ואם לא ימנה הא' לאחר אבל ימצא מספר אחר שימנה אותם
As if you say: we wish to sum up 3-quarters with 4-sixths. $\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{4}{6}$	כאלו תאמר רצינו לקבץ ג' רביעיות בד' שישיות
2 counts both and it is their greatest common divisor - [it counts] 4 by 2 and 6 by 3.	שימנה אותם הב' והוא היותר גדול שימנם אמנם לד' בב' ולו' בג‫'
We find their least common multiple by multiplying 4, the denominator of the quarter, by the divisor of 6, which is 3; the result is 12.	הנה אז נמצא המספר הראשון שישתתפו בו בכפול הד' משם הרביע במספר המונה לששיות שהיה ג' ויעלו י"ב
Or, by multiplying 6, the denominator of the sixths, by the divisor of 4, which is 2.	או בכפול הו' משם השישיות במספר המונה לד' שהיה ב‫'
This is the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=6\sdot2=12}}$	והוא יהיה דמות השלם
Then, we find the quarter in 3, by which 2 counts 6. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot12=6\div2=3}}$	ואחר נמצא הרביע משם הג' שמנה בו הב' לו‫'
The 3-quarters by multiplying 3 by 3; the result is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot12=3\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=3\sdot3=9}}$	וג' רביעיות בכפול הג' בג' ויעלו ט‫'
We find also the sixth in 2, by which 2 counts 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot12=4\div2=2}}$	וכן נמצא השישית משם השנים שמנה בו השנים לד‫'
The 4-[sixths] by multiplying 2 by 4; it is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}\sdot12=4\sdot\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=4\sdot2=8}}$	וד' חמישיות בכפול הב' בד' ויהיו ח‫'
We sum up 8 and 9; it is 17. We divide it by 12; the result is one integer and 5 parts of 12 of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}+\frac{4}{6}=\frac{\left(\frac{3}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot12\right)}{12}=\frac{9+8}{12}=\frac{17}{12}=1+\frac{5}{12}}}$	ונקבץ הח' והט' ויהיו י"ז ונחלק אותו על הי"ב ויצא אחד שלם ועוד ה' חלקים מי"ב בשלם
From this and from what we have said at first concerning the foundations of the discussion on fractions you may learn and know how to proceed if there are three types of fractions or more.	ומזה וממה שאמרנו בתחלה ביסודות לדבר בשברים תשכיל ותדע איך תעשה אם יהיה השברים ג' מינים או יותר
The Second Type: Subtraction of fractions	המין הב' במגרעת השברים
The intention in this is to subtract fractions from integers or fractions from fractions that are larger than them.	הכוונה בו לגרוע שברים משלמים או שברים משברים גדולים מהם
Fractions from integers
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{c-\frac{a}{b}=\frac{\left(c\sdot d\right)-a}{b}}}$
The first example: we subtract five-eighths from one integer. $\scriptstyle1-\frac{5}{8}$	ויהיה ‫המשל תחלה נגרע חמש שמיניות מאחד שלם
It is clear when we convert the whole integer to eighths; they are eight. We subtract from them 5; 3 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{5}{8}=\frac{8-5}{8}=\frac{3}{8}}}$	הנה אז מבואר בעשותינו השלם כלו שמיניות ויהיו שמונה נגרע מהם הה' וישארו ג‫'
Fractions with the same denominator
It is also clear when subtracting fractions from similar fractions. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}}}$	ואמנם בגרוע שברים משברים דומים גם הוא מבואר
For, if we wish to subtract 3-eighths from 5-eighths: $\scriptstyle\frac{5}{8}-\frac{3}{8}$	כי אם נרצה לגרוע ג' שמיניות מה' שמיניות
2-eighths remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{2}{8}}}$	ונשאר ב' שמיניות
Fractions with different denominators
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]-\left[c\sdot\left[\frac{1}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]}{b\sdot d}}}$
What requires a study is when the fractions are different.	אמנם מה שיש בו עיון הוא בשהם שברים מתחלפים
We wish to subtract 2-quarters from 6-eighths. $\scriptstyle\frac{6}{8}-\frac{2}{4}$	כיצד רצינו לגרוע ב' רביעיות מו' שמיניות
We must look for their common multiple and this is found by multiplying one denominator by the other, which are 4 and 8; it is 32. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot4=32}}$	הנה אז נצטרך לבקש המספר שישתתפו בו שני השברים וזה ימצא בכפול שם השבר באחר שהם ד' וח' והוא ל"ב
The quarter is the name of the one fraction; it is 8. 2-quarters are 16. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot32\right)}{32}=\frac{2\sdot8}{32}=\frac{16}{32}}}$	ולפי שהרביע הוא שם השבר האחד והוא ח' וב' זה הרביעיות והוא י"ו
The eighth is the name of the other fraction; it is 4. 6-eighths are 24. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot\left(\frac{1}{8}\sdot32\right)}{32}=\frac{6\sdot4}{32}=\frac{24}{32}}}$	והשמינית הוא שם השבר האחר והוא ד' וו' שמיניו' הם כ"ד
When we subtract 16 from 24, 8 remain; they are parts of 32 of the whole, and this is its quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}-\frac{2}{4}=\frac{24}{32}-\frac{16}{32}=\frac{24-16}{32}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}}}$	הנה בגרענו הי"ו מהכ"ד ישארו ח' והם חלקים מל"ב בשלם שהם רביעיתם
If the denominators of the fractions are numerous, their common multiple is very large and the calculation with it is more difficult.	אמנם אם רבו שמות המספרים השברים והנה המספר שישתת[פ]ו בו יהיה גדול מאד ויכבד העיון בו
The denominator of one fraction is a divisor of the other
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b\sdot d}-\frac{c}{b}=\frac{a-\left[c\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]}{b\sdot d}}}$
When one fraction counts the other fraction:	וימנה השבר האחד לשבר האחר
As if you say: we wish [to subtract] 4-eighths from 12-sixteenths. $\scriptstyle\frac{12}{16}-\frac{4}{8}$	כאלו תאמר רצינו ד' שמיניות מי"ב שש עשיריות
The number that is a common multiple of them, by multiplication of the denominator of one fraction by the other, is 128, but this is a great number that contains the divisor. $\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot8=128}}$	והנה המספר שישתתפו בו על דרך כפילת שם השבר באחר יהיה קכ"ח והוא מספר גדול להקיפו שכל המונה
So, we should know by which number 8 counts 16; it is by 2.	הנה אז ראוי שנדע באי זה מספר ימנה הח']‫ לי"ו והוא בב‫'
We multiply the 4-eighths by the two, which is the divisor; they are 8.	ונכפול הד' מהשמיניות בשנים המונים ויהיו ח‫'
We subtract them from 12; 4 remain and they are parts of 16, which is a quarter.	ונגרע אותם מי"ב וישארו ד' והם חלקים מי"ו שהם רביעיתם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{16}-\frac{4}{8}=\frac{12}{16}-\frac{4\sdot\left(\frac{1}{8}\sdot16\right)}{16}=\frac{12}{16}-\frac{4\sdot2}{16}=\frac{12}{16}-\frac{8}{16}=\frac{12-8}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}}}$
Two fractions with common divisor
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b\sdot g}-\frac{c}{d\sdot g}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b\sdot g}\sdot\left(b\sdot d\sdot g\right)\right]\right]-\left[c\sdot\left[\frac{1}{d\sdot g}\sdot\left(b\sdot d\sdot g\right)\right]\right]}{b\sdot d\sdot g}}}$
	ואם אמנם לא ימנה השבר האחד לאחר בכללו אבל ימנהו בחלקיו ר"ל שימצא מספר אחד שימנה לשניהם
$\scriptstyle\frac{14}{16}-\frac{8}{12}$	כאלו תאמ' רצינו לגרוע ח' שנים עשיריות מי"ד ו' עשיריות
	הנה אז נבקש המספר היותר גדול שימנם והוא הד' והנה ימנה לי"ב בג' ולי"ו בד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot4=16\sdot3=48}}$	ונכפול הי"ב בד' או הי"ו בג' ויעלו מ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8\sdot\left(\frac{1}{12}\sdot48\right)}{48}=\frac{8\sdot4}{48}=\frac{32}{48}}}$	והנה השש עשיריות הוא וח' שנים עשיריות הוא ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14\sdot\left(\frac{1}{16}\sdot48\right)}{48}=\frac{14\sdot3}{48}=\frac{42}{48}}}$	ואמנם הו' עשיריות הוא הג' וי"ד ו' עשיריו' הוא מ"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14}{16}-\frac{8}{12}=\frac{42}{48}-\frac{32}{48}=\frac{42-32}{48}=\frac{10}{48}}}$	ועתה כשנגרע הל"ב מהמ"ב ישארו שם י' והם חלקים ממ"ח
Reducing the fraction $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a\sdot c}{b\sdot c}=\frac{\frac{a\sdot c}{c}}{\frac{b\sdot c}{c}}=\frac{a}{b}}}$	ואם תרצה עוד להקטין שם היוצא הנה בקש עוד המספר הגדול שימנם ותחלוק עליו שם המספר היוצא ושם מספר השבר ויצא מספר יותר קטן מיוחס לראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{48}=\frac{\frac{10}{2}}{\frac{48}{2}}=\frac{5}{24}}}$	והמשל בזה עוד הנה נדע אי זהו המספר הגדול שימנה לעשרה ולמ"ח והנה בכאן הוא השנים ונחלוק עליו העשרה ויצאו ה' וכן נחלוק המ"ח עליו ויצאו כ"ד והנה הי' חלקים ממ"ח הם כמו חמשה חלקים מכ"ד שיצאו לנו באחרונה
Check: addition	ואמנם אמיתת זה המין יבחן בשוב לקבץ מה שגרענו מן עם היוצא ויהיה שוה למספר הגדול שגרענו ממנו כענין בשלמים
Multiplication of fractions	המין הג' בכפילת השברים
Multiplying a fraction by a fraction of an integer
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}}}$	הנה הכוונה שתכפול שבר מה ביחס שבר מה אל השלם
$\scriptstyle\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}$	כאלו תאמר נכפול רביע א' ברביע פעם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1\sdot1}{4\sdot4}=\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$	והמעשה בו שתכפול הרביע ברביע ר"ל ד' על ד' ויהיו י"ו ותכפול האחד באחד ויעלה א' והנה העולה יהיה אחד מי"ו שוה רביע מרביע
The product of a quarter by a quarter = quarter of a quarter	לכן אם תרצה תאמר בכפילת רביע ברביע שהעולה הוא רביע מרביע
$\scriptstyle\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}$ The product of a quarter by a third = quarter of a third	וכן תאמר בכפילת רביע בשליש שהוא רביע משליש
How come the multiplication of integers is adding while the multiplication of fractions is reducing If n and m are integers → $\scriptstyle n\times m>n;\,m$ If n and m are fractions → $\scriptstyle n\times m<n;\,m$	ורבים תמהו איך הכפילה בשלמים מרבה ומוסיף והכפילה בשברים גורע ופוחת
The multiplication [of the numerators] is not the reason why the product of the fractions is smaller than the fractions themselves	והאמת כי הפחת והגרעון לא קרה לי מפני הכפילה מסבת זה מוסיף
$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}$	כיצד אם רצית לכפול שני שלישיות בד' חמישיות
The product of the numerators is greater than the numerators	הנה מצד הכפילה הולך ומוסיף
$\scriptstyle2\sdot4=8>2;\,4$	הוא כי נכפול הב' בד' ויעלו ח'
The decreasing is from the aspect of the denominators - the product of the numerators is divided twice	אבל החסרון קרה מצד השברים כי נשבור העולה הזה פעמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{3\sdot5}=\frac{8}{15}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$	אחד בזכרנו שלישיות והב' בזכרנו חמישיות עד שמזה הצד יתחייב כי הח' שנתרבו לנו יהיו חלקים מט"ו שיצא לנו מכפילת השלש בחומש ר"ל משבירת שניהם
$\scriptstyle\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}$	ומן הדין הוא זה כמו שאראך במשל הראשון שהמשלנו שהוא כפילת רביע ברביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$	כי העולה הוא רביע מרביע וזה כי לו אנחנו שכפלנו אחד ברביע מה יהיה העולה רביע אחד ולפי שאנחנו לא כפלנו בו אלא רביע בהכרח שיהיה העולה רביע מרביע
In the multiplication of numbers there is a mean between two extremes:	ומזה תבין כי יש בכפילת המספרים דמות אמצע ושתי קצוות
Multiplication of integers by integers - increasing	וזה כי כפילת הרבים השלמים בשלמים מוסיף
Multiplication of fractions by fractions - decreasing	וכפילת שברים בשברים גורע
Multiplication of one by itself - no increase and no decrease	וכפילת הא' בעצמו לא יוסיף ולא יגרע
One - the beginning of the integers and the end of the fractions	והנה האחד ראשית השלמים וסוף השברים
Metaphor - a man looking at himself in deep water seeing his image upside down in the water - head down and feet up - the feet are the beginning of the man on dry land and the end of man in the water	והנה ידמה זה למה שהיה בטבע כי כשיעמוד אדם על מים עמוקים הנה יראה צורתו במים הפוכה. ר"ל ראשו למטה ורגליו למעלה. והרגל ראשית האדם אשר בחרבה וסוף צורת האדם אשר במים
The higher his head on land, the lower the reflection of the head of the man in the water	וכמו שכל מה שיגאה ראש האדם אשר בחרבה כן ישפל ראש כל צורת האדם אשר במים
Similarly, a the integers are rising their corresponding fractions are getting smaller	כן כל מה שיתרבו המספרים השלמים יחסרו השברים הנגדים לו
$\scriptstyle{\color{blue}{2=2\sdot1\longrightarrow\frac{1}{2}=1\div2}}$	כיצד אם לקחנו השנים שנתרבה על האחדות בכדי כפלו כן כשלקחנו החצי שהוא נגדי לו לפי שהוא אחד משנים גרע מהאחדות החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{3=3\sdot1\longrightarrow\frac{1}{3}=1\div3}}$	וכן כשנקח השלשה הנה נמצא כי הוסיף על האחד שלשה כפלים כן כשנקח השליש גרע מהאחד שלשה חסרונות עד ששב לשלישיותו וכן בשאר
$\scriptstyle n:1=1:\frac{1}{n}$	והנה תמצא לזה כי יחס הכפלים השלמים אל האחד כיחס האחד אל השברים הנגדים לשלמים ההם
$\scriptstyle{\color{blue}{2:1=1:\frac{1}{2}}}$	וזה כי יחס השנים אל האחד הוא כיחס הא' אל החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{3:1=1:\frac{1}{3}}}$	וכן יחס הג' אל הא' הוא כיחס הא' אל השליש וכן לאין סוף
Hence, one is mean from the aspect of ratio	אם כן הוא אמצעי ביחס
Multiplication of fractions by integers
is easy	ואמנם כפילת השברים בשלמים נקל לדעתו
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times c=\frac{a\sdot c}{b}}}$	ותמצאהו בכפול מספר השלמים במספר השברים והעולה תחלקהו על שם השבר והוא יהיה העולה
$\scriptstyle\frac{2}{3}\times4$	כיצד רצינו לכפול ב' שלישיות בד' שלמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times4=\frac{2\sdot4}{3}=\frac{8}{3}=2+\frac{2}{3}}}$	הנה נכפול הד' על השנים ויעלו ח' נחלקהו על שם השבר שהוא שלש ויצא לנו שני שלמים ושני שלישיות
Multiplication of fractions by fractions of fractions
is easy	וכן כפילת שברים בשברי שברים יהיה נקל
Converting the fraction of fraction to one fraction $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}\sdot\frac{1}{b}\right)=\frac{a}{b}\times\frac{c}{b\sdot d}}}$	אחרי אשר תשיב השברי שברים לשם שבר אחד
$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)$	כיצד רצינו לכפול שני שלישיות בג' רביעיות שליש אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\times\frac{3}{4\sdot3}=\frac{2}{3}\times\frac{3}{12}}}$	הנה בהתחלה נשיב הג' רביעיו' שליש אחד לשבר אחד ונמצאהו בכפול ד' של רביעיות בג' של שליש ויעלו י"ב והנה השליש הוא ד' כמו שאמרנו וג' רביעיות הם ג' אם כן הם ג' חלקים מי"ב ועתה תכפול השני שלישיות בשלש חלקים מי"ב כפי מה שאמרנו והוא יהיה העולה מכפילת השבר בשבר השבר שהמשלנו
Check: division	ומופת זה המין הוא החלוקה כענין בשלמים ויצא היוצא
Division of fractions	המין הד' בחלוקת השברים
Division of fractions by fractions $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\div c}{b\div d}}}$	הנה כשרצינו זה נחלוק מספר השברים על מספר השברים. וכן שם השבר על השבר ויצא שם השבר השלם היוצא
$\scriptstyle\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}$	כיצד רצינו לחלק ששה שמיניות בשני רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}=\frac{6\div2}{8\div4}=\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}}}$	והנה נחלק הששה לשנים ויצאו ג' וכן נחלק הח' על הד' ויצאו שנים ויהיה היוצא בחלוקה ג' חלקים משנים השלם שהוא אחד וחצי
Check: multiplication	והמופת על זה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\times\frac{2}{4}=\frac{3}{4}=\frac{6}{8}}}$	כי כשנכפול אחד וחצי בשני רביעיות יצאו ג' רביעיות שהוא כמו הו' שמיניות
How could the fraction produce more than what it contains? [= how come the result of the division of fractions is greater than the dividend?]	והנה בזה יתמה האדם יותר ואומר איך נאמר שיוכל לתת הדבר מה שאין לו
Demonstration: $\scriptstyle\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}=1+\frac{1}{2}$	ואיך נאמר שיתן הו' שמיניות אחד שלם וחצי והוא אין לו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div\frac{4}{4}=1\div1=1=\frac{8}{8}}}$	אמנם התיישבות הנפש בזה הוא שנאמר לו אלו חלקנו ח' שמיניות שהוא אחד שלם לד' רביעיות שהוא אחד גם כן מה היה היוצא שמונה שמיניות שהוא אחד כי בחלוקת א' על א' יצא אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{4}{4}\right)=\frac{8}{8}\div\frac{2}{4}=2}}$	ועתה אם חלקנו הח' שמיניות על חצי הד' רביעיות שהוא שני רביעיות אינו דין שיצא בחלוקה כפלים מאשר היה יוצא לד' רביעיות ויהיו שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div\left(2\sdot\frac{4}{4}\right)=\frac{8}{8}\div2=\frac{1}{2}}}$	כמו שאלו חלקת אותם על כפל הד' רביעיות שהם שנים היוצא בחלוקה חצי אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{8}{8}\right)\div\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{4}{4}\right)=2-\left(2\sdot\frac{1}{4}\right)=1+\frac{1}{2}}}$	והנה לפי שלא חלקנו בכאן ח' שמיניות אבל ג' רביעיותיו שהם ו' שמיניות אינו דין שנגרע מהיוצא בחלוקה שהיו שנים הרביע מהם וישארו א' וחצי כמו שעשינו
Division of the numerators not a division of the denominators	ונשוב להתיר הספק שאמרנו שאיך יתן דבר מה שאין לו ואומר כי בחלוקה לא יתן דבר מה שאין לו כי החלוקה הוא במספרים לא בשמות השברים כמו שאמרנו בכפילת השברים
$\scriptstyle\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}$ → The numerator: 6÷2	והנה כשחלקנו הו' שמיניות על הב' רביעיות הנה לא נתן הו' לשנים אלא מה שיש לו והוא ב' לכל אחד
The divisor $\scriptstyle\frac{2}{4}$ is half of a whole, therefore it receives twice of what the whole receives from division	אבל מפני שהשברים המקבלים שהם שני הרביעיות קצרה ידם במחצה מהכיל מה שיקבל השלם הושב להם היוצא כפל מהיוצא לשלם
Metaphor: a man feeds his animals each day one portion of barley for each, yet one of the animals is sick and can eat one portion only every two days instead each day. It seems as if this animal was given more than the rest of the animals, but in fact this is not true, it is only because it could not eat the whole portion	ויקרה להם כמו שקרה לאיש אחד שהיה מחלק לאיש מדה אחד של שעורים לכל אחד מבהמותיו ליום אחד והנה בהמה אחת מהן היתה חולה ושבורה ולא הכילה לאכלה מדה אחת ביום אחד אבל בשני ימים והיה לה כאלו נתנו לה לחם משנה מאשר לשאר הבהמות אע"ף שבאמת אינו כן אבל היה בה בהתייחסות אכלה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div1=\frac{8}{8}}}$	וכזה הענין כאן אלו חלקנו הח' שמיניות לא' שלם היה יוצא לו כל אותם הח' שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div\frac{2}{4}=\frac{8}{8}\div\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)=2=2\sdot1=2\sdot\left(\frac{8}{8}\div1\right)}}$	ועתה כשחלקנו אותם על ב' רביעיות שהוא חצי אחד בהכרח שיספיקו להם כפל ממה שיספיקו לאחד השלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}=\frac{12}{8}=1+\frac{1}{2}}}$	ויהיה כאלו נפל להם שנים עשרה שמיניות שהוא א' וחצי
The fractions are related to the one as whole (e. g. $\scriptstyle\frac{8}{8}$ - eight parts of eight) and not as the absolute one	וזהו בהתייחסות אל חסרונם הא' אבל לא בשלוח
Proportions of fractions	המין הה' בערכין
The subject is clear from the discussion on proportions of integers	הנה זה מבואר ממה שדברנו בשלמים
This type consists of multiplication and division	וממה שידענו שזה המין מורכב מכפילה וחלוקה
Check: the same as for integers	וכפי האמות בהם ככה ימצא האימות בזה
Roots of fractions	המין הו' בשרשי השברים
The issue of roots of fractions is similar to the issue of roots of integers	דע כי ענין השרשים בשברים דומה לעניינים בשלמים
One - the beginning of the integers and the end of the fractions	וכבר אמרתי כי האחד הוא ראש השלמים וסוף השברים
$\scriptstyle{\color{blue}{1=1^2}}$	והנה כמו שהאחד מספר מרובע
The number of pairs of numbers between two consecutive squares $\scriptstyle n^2$ and $\scriptstyle\left(n+1\right)^2$ is equal to the number of squares preceding $\scriptstyle\left(n+1\right)^2$ [i.e. n]	ואם תרצה לדעת המרובע הסמוך בשלמים תצטרך לשום ביניהם זוג מספרים או זוגי מספרים כמספר המרובעים שעברו
The same for fractions: [the number of pairs of fractions between two consecutive squares $\scriptstyle\left(\frac{1}{n+1}\right)^2$ and $\scriptstyle\left(\frac{1}{n}\right)^2$ is equal to the number of squares succeeding $\scriptstyle\left(\frac{1}{n}\right)^2$ [i.e. n]	כן הענין בשברים
Between 1 and ¼ - one pair of fractions: ½, ⅓	כי בין האחד שהוא המרובע הראשון להם ובין השבר המרובע הראשון זוג שברים אחד וזה כי בין האחד והרביע שהם מרובעים הנה יש ביניהם זוג שברים והוא החצי והשליש
Between ¼ and ⅑ - two pairs of numbers: ⅕, ⅙; ⅐, ⅛	וכן בין הרביע והתשיעית שני זוגי מספרים כמספרים שעברו והם החמישית והשישית והשביעית והשמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{1+1=2=\sqrt{4}\longrightarrow1\div2=\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}}}}$	וכמו שהשנים הסמוך אל האחד הוא שורש הארבעה שהוא המרובע הסמוך לראשון כן החצי שהוא אחד מהשנים הוא שורש הרביע
No root for 2 and for 3 → no root for $\scriptstyle2a^2$ and for $\scriptstyle3a^2$	וכמו שאין לשני מרובעים ולא לשלשה שורש כי אין לשנים ולא לשלשה שרש
No root for 2·4 and 3·4 → no root for $\scriptstyle\frac{2}{4}$ and for $\scriptstyle\frac{3}{4}$	כן אין לשני פעמים ד' ולא לג' פעמים ד' שורש כן אין לשני רביעיות ולא לג' רביעיות שורש
The product of a square by non-square = non-square	כי מכפילת מספר בלתי מרובע במספר מרובע יולד בלתי מרובע
The product of a square by a square = square	כמו שממספר מרובע במרובע יולד מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{2^2\times3^2}}=4\times9=36={\color{red}{6^2}}}}$	וזה כי מכפילת הד' בט' יעלו ל"ו והוא מספר מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{2^2\times4^2}}=4\times16=64={\color{red}{8^2}}}}$	וכן מכפילת הד' בי"ו יעלו ס"ד והוא גם כן מספר מרובע וכן תמיד
$\scriptstyle\sqrt{n^2}=n\longrightarrow\sqrt{\frac{1}{n^2}=\frac{1}{n}}$	ובכללו אומר כי אם תרצה לדעת השברים אשר יהיה להם שורש הנה ראה השלמים אשר להם שורש וגזור מהם שם לשברים והם יהיו
4 has a root → ¼ has a root	כיצד הד' יש לו שורש וכן הרביע יש לו שורש
9 has a root → ⅑ has a root	ועוד הט' יש לו שורש וכן התשיעית
16 has a root → $\scriptstyle\frac{1}{16}$ has a root	ועוד הי"ו יש לו שורש וכן אחד מי"ו יש לו שורש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2\longrightarrow\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}}$	ועוד אומר כי כמו שהשנים הוא שורש הד' כן החצי שהוא אחד משנים שורש הרביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=3\longrightarrow\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}}}$	וכן כמו שהשלש הוא שורש התשעה כן השליש הוא שורש התשיעית וכן לעולם
no integer $\scriptstyle m^2$ between $\scriptstyle n^2$ and $\scriptstyle\left(n+1\right)^2$ no fraction $\scriptstyle\left(\frac{1}{m}\right)^2$ between $\scriptstyle\left(\frac{1}{n+1}\right)^2$ and $\scriptstyle\left(\frac{1}{n}\right)^2$	ודע כי זה שאמרתי כי לא ימצא מרובע בין מרובע למרובע
no integer $\scriptstyle m^2$ between 1 and 4 or between 4 and 9	כאלו תאמ' בין הא' והד' ובין הד' והט'
no fraction $\scriptstyle\left(\frac{1}{m}\right)^2$ between $\scriptstyle\frac{1}{4}$ and 1 or between $\scriptstyle\frac{1}{9}$ and $\scriptstyle\frac{1}{4}$	וכן בין הא' והרביע או בין הרביע ‫והתשיעית
	צריך שיובן בשלמים או בשברים כל אחד בפני עצמו
Among the numbers of the type of integers and fractions there are infinitely many squares	אבל בשברים שלמים כבר ימצאו לבלתי תכלית
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2+\frac{1}{4}\longrightarrow\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	כיצד כשתכפול האחד והחצי באחד והחצי יעלו שנים ורביע והנה אין לו שורש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{3}\right)^2=1+\frac{7}{9}\longrightarrow\sqrt{1+\frac{7}{9}}=1+\frac{1}{3}}}$	והנה כשנכפול אחד ושליש באחד ושליש יעלו [אחד שלם]‫ וז' תשיעיות יש לו גם כן שורש
Similarly for 1+¼ and so on	וכן באחד ורביע או אחד וחמישית ולאין תכלית
Why there are no roots for non-square numbers
	וא"ת והלא המספר סמוך זה לזה וכיון שהאחד ושליש [חסר]‫ תחת שני תשיעיות משורש השנים והאחד והחצי הוסיף ממנו רביע והנה בין יחסר ב' תשיעיות או יוסיף רביע אפש אפשר שנמצא מספר שישתוה כפילתו למספר השנים ויהיה שורש לו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}=\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}}=\sqrt{\left(1+\frac{7}{9}\right)+\frac{2}{9}}\longrightarrow1+\frac{1}{3}<\sqrt{2}<1+\frac{1}{2}}}$
A number a so that $\scriptstyle a^2=2$ exists in potentia, but not in actu:	נשוב ונאמר כי האמת כי ימצא בכח אבל לא בפועל
It exists in potentia since it is continuous, but it does not exists in actu since it is separated into numbers	ואמנם נמצא בכח מצד שהוא מדובק ולא ימצא בפעל מצד שנפרד והיה למספר
Reference to Ibn Rushd [middle commentary on the Physics VI.12 ?]: every line is divisible at any of its point, but if it is divided in actu at a certain point, it is indivisible at the point next to it	והיה זה כענין שיאמר ן' רשד כי כל קו אפשר שיתחלק בכל נקודה ממנו ואמנם כשנתחלק בפועל באחד נמנע בסמוכה לה
It is possible: since it is continuous	ואמנם אפשר מצד שהוא מדובק
it is possible to construct a quadrilateral whose area is 2, hence it has to have sides, and these sides can be formed as equal - thus they represent the root of 2	לפי שאפשר שנעשה מרובע שיהיה תשבורת שנים ובהכרח שימצא לו צלעות ואפשר לעשותן שוות והוא השורש
It is impossible: from the aspect of the numbers	ואמנם נמנע השורש מצד המספר
It is impossible that the root of 3 will be an integer: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3}=\sqrt{4-1}=\sqrt{1+2}\longrightarrow1<\sqrt{3}<2}}$	לפי ששורש השלשה במשל אפ אי אפשר שיהיה שלם כי האחד יגרע והשני יוסיף
It is also impossible that the root of 3 will be an integer and fraction: $\scriptstyle{\color{blue}{n^2+\left(n\sdot\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}\sdot n\right)+\left(\frac{a}{b}\right)^2}}$→ $\scriptstyle{\color{blue}{n^2+\left(n\sdot\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}\sdot n\right)}}$ can be integers $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{a}{b}\right)^2}}$ cannot be an integer → $\scriptstyle{\color{blue}{3\ne n^2+\left(n\sdot\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}\sdot n\right)+\left(\frac{a}{b}\right)^2\longrightarrow\sqrt{3}\ne=n+\frac{a}{b}}}$	וגם א"א שימצא בשלם [.] ושבר לפי שכ[ש]נכפול השלם בשלם וגם השלם בשבר אפשר שיצא מזה שלם אבל כשנכפול השבר בשבר היוצא יהיה שבר השבר והוא לא יתחבר עם השבר וכ"ש עם השלם לשיצא מכלם שורש שלם
All the types of arithmetical operations are enough for solving simple problems	הנה אלה המינים יספיקו באשר הם בשאלות הפשוטות
For solving complex problems these techniques should be combined	ואמנם במורכבות צריך להרכיב בהם בדרכים הנאמרים

Word Problems
Give and Take Problem - filling/draining a cistern
a cistern is 12 cubits deep. Every night it fills up to a third, and on the next day, its quarter drains. In how many days and nights will it be completely filled? $\scriptstyle\frac{1}{3}X-\frac{1}{4}X=1$	כיצד אדם שאל שאלה אחת בור רק יש לי גובהו י"ב אמות ובכל לילה מתמלא שלישיתו וביום הסמוך יחסר רביעיתו בכמה ימים עם לילותיהם ימתמלא כלו
The solution consists of subtraction and multiplication	והנה זאת [השאלה]‫ מורכבת מהמגרעת והכפילה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}}$	וזה כי בתחלה צריך שנגרע הרביע מהשליש וישאר אחד משנים עשר
	ואחר נכפול זה בי"ב ויהיו י"ב ובאותן הימים ימתל יתמלא הבור
First From Last Problem - Money
I had money in my purse. I took its third and its quarter, and 12 remained. How much was the money? $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X\right)=12$	עוד שנית ממון היה לי בכיס ולקחתי שלישיתו ורביעיתו ונשארו י"ב כמה היה הימים הממון
The solution consists of addition, subtraction and proportions [= rule of three]	הנה זאת השאלה תשוב אל הקיבוץ ואל המגרעת ואל הערכים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}}}$	אל הקיבוץ כיצד נקבץ השלישית והרביעית והיו ז' מי"ב בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}}}$	נשאר נגרע אותם מי"ב ונשארו ה‫'
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{5:12=7:a}}$	נעריך ונאמר אם כל שאר החלקים חוץ מהשליש והרביע שהם ה' שוים י"ב השליש והרביע שהם ז' כמה יהיו שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=\frac{7\sdot12}{5}=\frac{84}{5}=16+\frac{4}{5}}}$	נכפול ז' בי"ב ויעלו פ"ד נחלקם על הה' ויצאו י"ו וד' חמישיות והוא מספר השליש והרביע
$\scriptstyle{\color{blue}{X=12+\left(16+\frac{4}{5}\right)=28+\frac{4}{5}}}$	נקבצם עם הי"ב והיו כ"ח וד' חמישיות והוא היה הממון ‫אשר בכיס
There are problems that consist of two wisdoms and two types of arithmetical operations	ויש מורכבת משני חכמות ומשני מינים
Triangulation Problem
a wall is eight cubits tall. Around it a river or ditch six cubits width. How high should be the ladder to be placed near the ditch enough to climb to the top of the wall? $\scriptstyle x=\sqrt{d^2+h^2}$	כיצד שאל אחד כותל יש לי שגובהו ח' אמות וסביבותיה נהר או חפירה יש ברחבה ו' אמות כמה צריך להיות גובה הסולם להניחו סמוך לחפירה ויספיק לעלות לגבהה של כותל
This problem requires knowledge of geometry [- Pythagorean theorem]	זאת השאלה תצטרך לחכמת ההנדסה‫ שתודיע לנו כי המרובע הסולם שהוא יתר הזוית הנצבה שוה לשני מרובעים הנעשים האחד מהחפירה והשני מהכותל
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10}}$	ואחר שהודיענו זה נכפול הו' בעצמו שהוא החפירה ויעלו ל"ו וכן נכפול הכותל בעצמו שהוא ח' ויעלו ס"ד ונקבץ הל"ו אל הס"ד ועלו מאה ונקח שרשם והוא עשרה והוא יהיה גובה הסולם
Another question that consists of proportional numbers	עוד מורכבת ממספר מה וממספרים מתייחסים
Find a Number Problem
a number such that when we subtract its half and one half more, then [we subtract] from the remainder its half and one half more, then [again we subtract] from the [second] remainder its half and one half more, we are left with one	כמו ששאל אחד איזהו מספר אשר כשנשליך חציו ועוד חצי אחד ומן הנשאר חציו ועוד חצי אחד וישאר אחד ב[ע]ינו

$\scriptstyle\left[\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)\right]\right]+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)\right]\right]+\frac{1}{2}\right]\right]+\frac{1}{2}\right]=1$

$\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]\right]=1}}$

הנה בתחלה נבקש מספר שימצא החצי וחצי החצי וחצי חצי החצי וזה ימצא באשר נאמר כי החצי ימצא בשנים וחצי החצי בד' וחצי חצי החצי בח' והנה כשנשליך מח' החצי וחצי החצי וחצי חצי החצי ישאר אחד א"כ מכל ח' ישאר אחד בזה הדרך

$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[8-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[8-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\right]+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left[8-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[8-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\right]+\frac{1}{2}\right]\right]+\frac{1}{2}\right]=\frac{1}{8}}}$

	ואמנם כשנשליך מח' החצי ועוד חצי אחד ומן הנשאר החצי ועוד חצי אחד ומהנשאר החצי ועוד חצי אחד ישאר בינינו שמינית אחת
$\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}}}$	ועתה צריכין אנחנו לחבר לזה המספר מספר אחר שהשליך החצי וחצי החצי וחצי חצי החצי ישארו ז' שמיניות להשלים הנשאר לאחד שלם
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{8:1=a:\frac{7}{8}}}$	ונמצא אותו בערכים שנאמר אם במספר שמונה ישאר אחד באיזה מספר ישארו שבעה שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{a=7}}$	ויצא לנו שהוא מספר השבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=7+8=15}}$	א"כ בקבצנו מספר הז' הזה אל מספר הח' יעלו ט"ו והוא יהיה המספר המבוקש
Divide a Quantity Problem
Question: we had 10 qabbin [dry measurement] of bread that are worth 300 zehuvim [golden coins], but these qabbin are not equal, and we do not know how much the first qav is worth.	‫[שאלה אם היו לנו עשרה קבין לחם והם שוים שלש מאות זהובים וזה הקבים אינם שוים או הלחם לא היה שוה
We only know that the second qav is worth 2 zehuvim more than the first [qav].	ואין אנו יודעים כמה שוה הקב הראשון אלא ידענו שהקב הב' שוה ב' זהובי' יותר מהראשון
The third qav [is worth] 3 zehuvim more than the second qav.	והקב הג' ג' זהובים יותר מהקב הב‫'
The fourth qav [is worth] 5 zehuvim more than the third qav.	והקב הד' ה' זהובים יותר מהקב הג‫'
The fifth qav [is worth] 7 [zehuvim] more than the fourth qav.	והקב הה' ז' יותר מהקב הד‫'
The sixth qav [is worth] 3 zehuvim more than the fifth qav.	והקב הו' ג' זהובים יותר מהקב הה‫'
The seventh qab [is worth] 2 zehuvim more than the sixth qav.	והקב הז' ב' זהובי' יותר מהקב הו‫'
The eight qav [is worth] one zahuv more than the seventh qav.	והקב הח' א' זהוב יותר מהקב הז‫'
The ninth qav [is worth] 4 zehuvim more than the eight qav.	והקב הט' ד' זהובי' יותר מהקב הח‫'
And the tenth qav [is worth] 2 zehuvim more than the ninth qav.	והקב הי' ב' זהובים יותר מהקב הט‫'
How much is each qav worth?	הנה נרצה לידע כמה שוה כל א' וא' מהם
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=300\\\scriptstyle a_2=2+a_1\\\scriptstyle a_3=3+a_2\\\scriptstyle a_4=5+a_3\\\scriptstyle a_5=7+a_4\\\scriptstyle a_6=3+a_5\\\scriptstyle a_7=2+a_6\\\scriptstyle a_8=1+a_7\\\scriptstyle a_9=4+a_8\\\scriptstyle a_{10}=2+a_9\end{cases}$
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=14+\frac{1}{2}}}$	הנה אומ' שהקב האחד ישוה י"ד זהובי' וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=16+\frac{1}{2}}}$	והשני י"ו וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=19+\frac{1}{2}}}$	והשלישי י"ט וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_4=24+\frac{1}{2}}}$	והד' כ"ד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_5=31+\frac{1}{2}}}$	והחמישי ל"א וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_6=34+\frac{1}{2}}}$	והששי ל"ד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_7=36+\frac{1}{2}}}$	והשביעי ל"ו וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_8=37+\frac{1}{2}}}$	והשמיני ל"ז וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_9=41+\frac{1}{2}}}$	והתשיעי מ"א וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=43+\frac{1}{2}}}$	והעשירי מ"ג וחצי
$\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=300}}$	ויעלה כל זה לשלש מאות זהובים שהיו שוים כלם אבל שלא היו שוים כל קב מהם לכל קב מהם
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=10}}$	והדרך אשר בו תעשה זה הוא כי נשים במשל שישוה הקב הראשון י' זהובים
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=12}}$	וכפי הנחתינו ישוה הב' י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=15}}$	והשלישי ט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{a_4=20}}$	והרביעי כ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_5=27}}$	והה' [כ"ז‫]
$\scriptstyle{\color{blue}{a_6=30}}$	והו' ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_7=32}}$	הז' ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{a_8=33}}$	והשמיני ל"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{a_9=37}}$	והתשיעי ל"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=39}}$	והעשירי ל"ט
$\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=255}}$	תחבר כל זה תחבר רנ"ה
$\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{300-255=45}}$	ראה מה שחסר עד השלש מאות והוא מ"ה זהובים
$\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{\frac{45}{10}=4+\frac{1}{2}}}$	נחלק אלו המ"ה על הי' קבים ויפול לכל קב ד' זהובים וחצי
	הנה תחבר אלו הד' זהובים וחצי מאלו המספרים הסמוכים וחצי אשר הזכרתי ויצא שישוה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=10+\left(4+\frac{1}{2}\right)=14+\frac{1}{2}}}$	הקב הראשון י"ד והחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=12+\left(4+\frac{1}{2}\right)=16+\frac{1}{2}}}$	והשני י"ו וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=15+\left(4+\frac{1}{2}\right)=19+\frac{1}{2}}}$	והשלישי י"ט וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_4=20+\left(4+\frac{1}{2}\right)=24+\frac{1}{2}}}$	והד' כ"ד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_5=27+\left(4+\frac{1}{2}\right)=31+\frac{1}{2}}}$	והחמישי ל"א וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_6=30+\left(4+\frac{1}{2}\right)=34+\frac{1}{2}}}$	והששי ל"ד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_7=32+\left(4+\frac{1}{2}\right)=36+\frac{1}{2}}}$	והשביעי ל"ו וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_8=33+\left(4+\frac{1}{2}\right)=37+\frac{1}{2}}}$	והשמיני ל"ז וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_9=37+\left(4+\frac{1}{2}\right)=41+\frac{1}{2}}}$	והתשיעי מ"א וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=39+\left(4+\frac{1}{2}\right)=43+\frac{1}{2}}}$	והעשירי מ"ג וחצי
$\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=300}}$	והנה תחבר כל זה ויתחבר שלש מאות
	יש מי שמבקש מופת לדעת אם טעה בקבוץ המספרים‫]‫
	ת"ם של"ע ת"ם

Appendix I: Glossary of Terms

wisdom, science	חכמות
physics	חכמה הטבעית
geometry	חכמת ההנדסה
arithmetic	חכמת המספר
philosophy	פילוסופיא
Decimal Dystem
one, unit	אחד, אחדות ה, אחדי ה, אחדים
rank	כלל, הכללים
rank	מדרגה, מדרגת ה, מדרגות (ה), מדרגותיו, מדרגתה, מדרגתם, במדרגתם, במדריגתם
Numeration
units	האחדות, אחדים, מדרגת האחדים, אחדיו
tens	עשרות, מדרגת העשרות, עשרותיו, עשרות ה
hundreds	מאות, מדרגת המאות
thousands	אלפים, מדרגת האלפים
tens of thousands	עשרת אלפים, במדרגת העשר אלפים
hundreds of thousands	מאת אלפים
millions	אלף אלפים
tens of millions	עשרת אלפי אלפים
hundreds of millions	מאת אלפי אלפים
thousands of millions	אלף אלפי אלפים
Positional System
digit, numeral	אות (ה), אותיות (ה), אותיותיו
zero	ספרא, סיפרא
Arithmetic Operations
Addition
summing	חבר ה, חבור ... עם
to add, to sum	לחבר ל, נחבר (אליהם / אליהם ה / עליהם ה), תחבר (אלו ה / ה... על / כל זה), תחברם
	יתחבר (מה / עם ה)
	בהוסיפנו ... על ה, נוסיף
addition, sum	קבוץ (ה), הקיבוץ, קיבוץ, הקבוץ
	קבוץ שני המספרים יחד, קבוץ המספרים, קבץ המספרים
to sum	לקבץ (... ב / ... עם), בקבצנו ... אל
	נקבץ (אותו עם / אותם ל / ה / ה... אל ה / הכל), נקבצם עם ה, קבצנו ה תקבץ (הכל) תקבצם (יחד / עם ה)
summed	המקובץ, מקובצים, הנקבצים (מ), המספרים הנקבצים
sum	סכום מניינם
Subtraction
subtraction	מגרעת, גרעון
to subtract	לגרוע (... מ / מ / ממנו ה), לגרוע מספר ממספר, בגרוע ... מ, בגרוענו ה... מה
	גרע (מה / מהם), גרענו מה
	נגרע (אותו מ / אותם מ / ה... מה / מ / מה / מהם / מהם ה / ממנו / ... מ / ... מהם), תגרע
to subtract	הפיל אותם, הפלנו (מה), נפיל (אותם)
to subtract	הסר, הסר מהם
	השליך, נשליך (חציו / מ... ה)
minuend	אשר גרענו ממנו, שגרענו ממנו, מספר אשר גרעת ממנו
subtrahend	המספר אשר גרענו, המספר הנגרע, מה שגרענו
	בלא תוספת ומגרעת
	לא יוסיף ולא יגרע
	הפחת והגרעון
	האחד יגרע והב' יוסיף
minus	חסרים ה
Multiplication
multiplication	הכפילה (ה / ב), בכפילה, כפילת (ה / ה... ב / ה... על / ה... עם / ... ב), כפילתו
	בהכאתם, מכפלת ... על, מכפילת ... פעמים
to multiply	לכפול (... ב / ... על / אותו / אותם / אותם ה... ב / אותם ב / ה / ה... ב)
	בכפול (... ב / ה... ב / ה... על ה)
	כפול (אותו ב / ה... ב)
	כפלנו (בו / ה / ... ב)
	נכפול (... ב / אותו / אותו ב / אותם / ב / בהם ה / בו ה / ה... ב / ה... על / זה ב)
	נכפול עוד ה... ב, נכפלם ב
	נכפיל זה ב
	תכפול (... ב / ה... ב / ה... על / על), תכפיל ה... ב
	תכפול אותם עוד ב
	כפלת ... בעצמו
	נכפול (אותו בעצמו / אותו על עצמו / ה... בעצמו), נכפלם בעצמם, נכפלם בעצמם
	תכפול (אותו בעצמו / ה... על עצמו), תכפלהו על עצמו
	שהיה בכפילת ה
	בהכפלו, כפילת ה... בעצמו, כפילת ה... על עצמו, כפילת ... כל אחת בעצמה
	יוכפלו
	הנכפלים, המספרים הנכפלים זה על זה, המספרים הנכפלים זה עם זה
product	העולה מהכפילה, העולה מכפילת ה... ב, העולות מהכפילה, מה שיעלה מכפילת ה... ב, הבא מכפילת ה... ב, בא מכפילת ה... זה בזה, שיצא לנו מכפילת ה... ב, המספר היוצא מהכפילה
duplicating	הכפל... על
to duplicate	להכפל
multiple	כפל, כפלים, הכפלים, הכפלים השלמים
triple	שלשה כפלים
sub-triple	שלשה חסרונות
double	כפלו
double of	כפל ה, כפל מ, כפל ממה ש
Division
division	החלוק, חלוקה, החלוקה, בחלוקה, בחלוקת... על, בחלוקת ה, בחלוק ... על
to divide	לחלק (... ב / ... ל / ...על / ה... ל / ב / על / על ה / ממנה / ממנו על ה), לחלקו על, לחלקם על
	בחלקנו ה ... על ה
	חלקנו (... ל / אותם על / אותם על ה / ה... על / ה... על ה / ה... ל / כל ה / ממנה), חלקת
	יחלקו על ה, נחלוק (אותו על ה / ה... ל / ה... על / ה... על ה / ה... עליהם / עליהם ה / עליו / עליו ה), נחלק (אותו על ה / אותם על ה / אלו ה... על ה / ה... על ה / עליו ה), נחלקם (ל / על / על ה)
	תחלקנו על, תחלוק (ה... על ה / עליו)
	נחלק ממנו על ה
to be divided	נתחלק
divisible	אפשר שיתחלק ב
dividend	במתחלק, המספר הנחלק, המספר המתחלק, המחולק
	נחלקים על
divisor	המספר אשר נחלק עליו, הנחלק עליו
	המספר אשר נחלק ממנו
	אשר חלק עליהם, שחלקת אותם
quotient	היוצא בחלוק, היוצא בחלוקה, היוצאים בחלוקה (על), היוצא בחלוקת, היה יוצא בחלוקה, יצא בחלוקה, אשר יצא בחלוקה, יצא לנו בחלוק, יצא לכל אחד בחלוקה, מה שיעלה בחלוקה
Extraction of Roots
root	שורש (ה), שרש (ה), שרשים, שרשיהם
to have a root	לו שורש, יש לו ג"כ שורש, ויהיה שורש לו, אשר יהיה להם שורש, אשר להם שורש
	שרש המרובע
	שורש שלם
	מספר שרשי (ל)
	לדעת שרש
to extract a root	נקח שרשם
	לשרש מה, שרשנו משם
	לבקש השרש, לבקש שרש ה
	בקשת שורש
	נבקש שרש (ה / ש)
	מספר אשר בקשת שורשו, המספר שבקשת שורשו
	השורש היוצא
	יש לו שורש
	לדעת שבר, לדעת השברים
square number	מרובע ה, מרובעים, מספר מרובע
	מספר בלתי מרובע
Casting out
to cast out by 9	הפלת תשעיותיו, בהשליך ה... בהשליך ... ט'ט', השליך אותיותיו ט'ט'
to be casted out by 9	הלכו להם ט'ט'
Completion
	להשלים ה... ל, להשלים עמו מ, להשלים עמו ב, להשלים עם ה... ל
to be completed	שלמו בו, ישלם, נשלם... ב
Decomposing
to decompose	נתיך אותו ל, נתיכהו ל
Conversion
to convert	נמיר (... ב / ... ל)
conversion of	המרת ... ב
Reduction
to reduce	להקטין
Proportion
proportion	ערכים, בערכים
to relate	נעריך
ratio	יחס (... אל / ה... אל ה), יחסים, ערך, ערכים
	ערך ה... אל ... הוא כערך ה... אל, ערך ה... אל ה... הוא כערך ה... אל
	הערך ה
proportional number	מספרים מתייחסים
in relation	בהתייחסות אל, היה בהתייחסות
by the ratio of	על יחס ה
related	מיוחס ל
related, proportional	נערכים
term	גבול ה, הגבול (ה / ה... מה / ה... מהערך ה), גבול ה... מהערך ה, גבולים
rule of four	ד' נערכים, ארבעה מספרים נערכי', ד' גבולים
rule of three	הג' נערכים, הג' המספרים הנערכים, ג' גבולים
	יחס השנים
	יחס השלשה
	יחס החמשה
	יחס השליש
	יחס החצי
	יחס הרביע
Arithmetic Terms
to calculate	נחשב
calculation	חשבון, חשבונות
number	חשבון
number	מספר, מספר ה, מספרים
	כמספר ה, כמספר ה... אשר ב, כמספרם
integer	שלם, (ה)שלמים, (ה)מספרים (ה)שלמים, בשלמים
fraction	שבר, שברים, שברי מספרים, שבריו
fraction of fraction	שברי שברים, שבר השבר
to fractionalize	נשבור ה
fractionalizing	שבירת
denominator	שם השבר, שם שבר, שמות השברים, שם מספר השבר
numerator	מספרים
part	חלק (מ...), חלקיו, חלקיהם, חלקים (מ), חלקים מ... בשלם
part of	חלקים מ
part of	היו ... מ... בשלם
to share (common multiple)	שבו ישתתפו (... ב / ה), שישתתפו בו (ב / ה), שישתתפו (ב)
to share (common factor)	משתתפים ב, משתתפי' ב
	ישתתפו המספרים ב
	בלתי משתתפים ב
least common multiple	המספר הראשון שישתתפו לשלם, המספר הראשון שישתתפו בו, מספר ראשון שישתתפו בו, המספר הראשון שבו ישתתפו, המספר הקרוב שישתתפו בו ה
even	זוג, זוגות
odd	נפרד, נפרדות, נפרדים
to increase, to rise	להתרבות, מתרבה, מרבה, יתרבו ה, נתרבה על ה, יתרבה בזה מ, נתרבו לנו, רבו
increasing	מוסיף, מרבה ומוסיף, הולך ומוסיף
to exceed	הוסיף על ה, יוסיף, הוסיף ממנו
excess	עודף, העודף על
difference	הפרש בין
difference	חסר עד ה
decreasing	החסרון
to decrease	יחסרו ה, יחסר, חסר
	גורע ופוחת
	גורע
deficiency	חסרונם ה
	חסר לנו ... ל
to result	הבא מן ה... ב
to result	יגיע, יגיע לזה, יגיע מהם
to result	עלה, עלו (ל / מה / מהם / מן), יעלה (ה / ל / מהם / כל זה ל, שם עם ה... ל), יעלו, יעלו ל, יעלו מהם, יעלו לשם
result	העולה
total result	הכלל העולה, כלל העולה (מה)
	היוצא, המספר היוצא, היוצא ל
to result	יצא (ב / ה / ל / מ / מכלם / ש), יצא לנו (ה / ש), היה יוצא ל, יצא (ה), יצאו (לנו)
	יצא לכל אחד, יצא לכל א'
	היה יוצא לו
to count	למנות, למנות אותה, מנה, מונה, ימנה ל, ימנו ב, ימנם, נמנה, תמנה מה
divisor	מונה, אשר ימנה אותם, שימנם, שימנה ה...ל, שימנה אותם
	מספר שימנם, מספר ימנה אותם, מספר ימנה ה... ל, מספר המונה ל
	מספר אשר הוא מונה בו ל
greatest common divisor	המספר היותר גדול שימנם
common divisor	מספר אחד שימנה לשנהם
	שבו מנה ה... ל
	ימנה (אותם / אותם ה / ה / ה... ל / ל / ל... ב)
	שמנה בו ה... ל
	שמנה ה... ל
	ימנהו בחלקיו
	המונה
	שימנם ל... ב
	המונה ל, המונים ל
	מונה ל... ב
counted	ספור
counting	הספירות
measurement	ממד
measured	מדוד
measure	מדה (אחד / א' של)
to extract	הוצאנו ב, הוצאנו ממנו ה
to approximate	נקרב אל ה
	היותר קרוב שאפשר, קרוב שאיפשר ממנו
	הקרוב לו
approximately	בקרוב
to remain	ישאר (ב / שם / שם ... על ה / ... על / מה), ישארו (שם / לשם / תחתיה / עוד), נשארו (שם / ... מ / עוד / על ה / מה / ב), נשאר (שם)
	לא נותר עוד, לא נשאר דבר, לא ישאר ממנו דבר, ולא ישאר דבר ב, ולא ישאר גם לשם דבר
	ישאר דבר ל, ישאר דבר ש
	לא ישאר ב... אלא
	לא ישאר מ... ל
remainder	הנותר, הנשאר, הנשאר על ה, נשאר, המספר הנשאר, הנשארים, השאר (בהם)
	הנשאר מן הכל
	ישאר בידינו, וישאר ... בידינו
	ממה שנשאר עליו
	מה שישאר מ, מה שישאר מה
	מה שנשאר
to remain	שנשאר בה, שנשאר על ה
	ישאר עוד שם, ישאר לשם, יהיה נשאר שם, היה נשאר שם, היה נשאר לשם
	נשארו ל
to be equal	שוה, היה שוה, ישוה ה, שוים ... ל
to be worth	שוה, שוה ה
same	שוה, שוים
equal	שוה ל, שוים, שוות
unequal	בלתי שוים
to become equal	להשתוות ל, ישתוה ל, ישתוה ...ל, ישתוו ל
to form as equal	לעשותן שוות
to keep	נשמור ה, נשמור אותו
	ששמרנו
reserved	שמורים
Geometry
point	נקודה
line	קו
quadrilateral	מרובע
area	תשבורו, תשבורת (ה... ב), התשבורת (שלו), תשבורת ה... על עצמו
side, factor	צלע, צלעיו, צלעות
product, surface	משוטח, מושטח (ה)
hypotenuse	יתר ה
right angle	הזוית הנצבה
height	גובה ה, גובהו, גבהו, גובהה של
width	רחבה
image	צורתו, צורת ה
form	בצורה, צורתם
	א.מ.ר.
category	מאמר
ten categories	מאמרות הי'
category of quantity	מאמר הכמות
to say, to state	לומ' ש, לומר (ש), אומ' ש, אמרנו, אמרנו ל, תאמר ב, ונאמ'
	שאמרנו, כמו שאמרנו, כמו שאמרנו ב, כפי מה שאמרנו
	יאמר, יאמר... כי
	נאמר, נאמ', נאמר כי, נאמ' כי, נאמר ש, נאמר לו, נאמר עליו ב
	נאמר בהקש אל
to be said	הנאמרי', הנאמרים, הנאמרים למעלה
	כאלו תאמ', כאלו תאמר, כאלו תאמר כי, כאלו תאמר ש
	שאמר לך
	וכבר אמרתי כי
	זה שאמרתי כי
	וממה שאמרנו בתחלה ב
	שנאמ'
	אומר כי, ואומר בראשונה כי, ועוד אומר
	א.מ.ת.
correctly	אמת, באמת
in fact, in truth	באמת, האמת כי, האמת ש
truth	אמיתת זה ה
correct	אמיתי
	א.פ.ש.ר.
possibility	האפשרות (ב)
	שאיפשר ממנו
	מה שאפשר מהם
possible	אפש', אפשר (ש), איפש' (ל / ש)
impossible	א"א ש, אי אפש'
	היותר שאפשר, היותר ממנו שאפשר, היותר שאפשר ממנו
	ב.א.ר.
	כמו שנתבאר ב, כמו שנתבאר כל זה ב
	הנה זה מבואר, הנה זה מבואר ש, הוא מבואר כי
	ב.ו.א.
derived from	בא מ
to bring	יביאך אליו ה
	ב.ח.נ.
to examine	תבחין
to be examined	יבחן (ב)
	ב.י.נ.
to understand	הבינו, הבינו כי, תבין ה, תבין כי, תבין ל
to be understood	יובן (ב / ה)
	ב.ק.ש.
to seek for	בבקש ה, לבקש (ה / להם ה / משם), נבקש (אותו / ה / ל), נבקש אותו ב, נבקש אותו ה, בקש (ה), בקש עוד ה
	מבקש
sought	המבוקש, המספר המבוקש
	ג.ז.ר.
to denominate	גזור מהם שם ל
	ד.ב.ק.
continuous	מדובק
	ד.ב.ר.
to discuss	לדבר ב, דברנו ב, נדבר בו, נדבר ב
thing, any thing	דבר, דברים
	דבר מה
	ד.י.נ.
	מן הדין היה ש
	ומן הדין הוא זה
as	כדין ה
	אינו דין ש
	ד.מ.ה.
similarity	דמיון, דמיון... עם
similar, corresponding	(ה)דומה לו, הדומה לה, דומה (ל / לו)
to resemble	ידמה זה ל
form	דמות (ה / כל ה)
	ד.ר.כ.
way	דרך (ה)
technique	בדרכים
	בדרך זה, בזה הדרך
	הדרך אשר בו תעשה (זה)
	על דרך
	ה.פ.כ.
inverse	מתהפך ל, מתהפכים
to be inverted	נהפך ה
conversion	הפך
to convert	להפך
vice versa	להפך
upside down	הפוכה
	ז.כ.ר.
to mention	הזכרתי, בזכרנו
	ח.ב.ר.
to be summed	להתחבר, תחבר ה, מחובר עמו, יתחברו מה
to be composed	להתחבר ב
	ח.ל.פ.
diversity	חלוף
	ח.ל.ק.
to be divided	להתחלק (ל)
indivisible	אינו מתחלק
	ח.ש.ב.
to consider	בחשבך אותו לאחדים בתוכם, תחשבם לאחדים בתוכם
	בחשבנו אותם אחדים במקומם, בחשבנו אותם לאחדים
	לחשבה לעשרות ב
	בחשבנו אותם שם ל
	חשבנו אותם מה
	חשבנו אותם ל... במקומם
	יחשבו עליו ל
	נחשוב אותם ל
	נחשוב אותו כאלו הוא אחד, ונחשוב אותו שם לאחד
considered	חשובים ל, נחשבים ל, נחשבים ל... על ה
in thought	במחשבה
	ט.ב.ע.
nature	בטבע
	בלתי טבעי
	ט.ע.מ.
reason	טעם, הטעם ב, הטעם בזה הוא כי
	י.ד.ע.
to know	לידע (כמה), לדעת (אותו / אם / ה / כמה הוא), לדעתו, ידענו ש
	דע כי, ידענו (ה / ש), נדע (אם / במה / באי זה) , תדע (ש)
to be known	יודע (ה), נודע לנו ה, נודע לנו מזה ה, ממנו נודע
	נודע, הנודע
known	ידוע לנו
	היודע
	תשכיל ותדע איך, ומזה תשכיל ותדע לעשות
	ואין אנו יודעים כמה
	הודיענו זה, תודיע לנו כי
knowledge	ידיעת, ידיעתינו
	י.כ.ל.
to be able	היינו יכולים ל, היינו יכולין ל, יכול היית ל, נוכל ל, תוכל, יוכל ל
	י.ל.ד.
to be generated	יולד
	י.פ.ת.
proof	מופת ל, מופת זה ה, המופת על זה
	י.ר.ד.
to lower	להוריד (אליהם מה / ה / על ה / ... על ה), להורידם על ה, הורידו מ... ל, הורדנו אותם על ה
to lower, to shift to the preceding rank	הורדנו (על ה / עליו), הורדנו אותה ממדרגתו
	נוריד (אליו ה / עליו ה), נורידם על ה
	תוריד ה... על ה, תורידה אל ה
	שהורדנו על ה
	כ.ו.ח.
in potentia	בכח
potentiality	בכח, הכח, הכח... ל, כח בהם ל, כח ב... ל, כח ל
	כ.ו.ל.
to be able	הכילה ל
to contain	הכיל מה ש
	כ.ו.נ.
intention, meaning	הכוונה ב, הכוונה היתה ש, הכוונה ש
intention	המכוון
intention	הכונה בו ל
	כ.ל.ה.
to end	יכלה ב, יכלה אל ה
	במקום שיכלה
	כ.ל.כ.ל.
to provide for	לכלכל ל
	כ.ל.ל.
to include	לכלול ה, יכלול (ה / ה... עם / זה / ... אותם)
	נכללים
	כ.ת.ב.
to write	אכתוב, כתבנו (ב), נכתבם (ב / על ה / עליהם), נכתוב (אותו / אותם / ב / ה), נכתו' (... ב / ... על ה / ... סמוך ל / אותו סמוך ל / אותם / ה / ה... ב / ה... על ה / ה... תחת ה), תכתבם, תכתוב (... תחת / מה ש / ה... עליה), תכתו' (ה / ה... ב / ה... באותה), תכתבהו ב
	לכתו' שם אלו ה, נכתו' שם
written	מה שכתו' ב
	ל.ק.ח.
to take	לקחת ... מ, לקחנו (ה / מהם), לקחתי, נקח (ה / מ / מה / מהם / משם)
	מ.י.נ.
type	מין, מינים, המין ה... ב, מיני
types of arithmetical operations	מינים
	מ.ל.א.
to fill	יתמלא ה, יתמלא כלו, מתמלא
	מ.צ.א.
to find	נמצאנו, מצא (אותו ב / ה / כי), נימצא (ה), נמצאהו (ב / כש), תמצא, תמצאו ב
to find	מצינו ב
	לא נמצא דבר ב, לא מצאנו דבר יותר, לא מצאנו ב... דבר
to be found	ימצא (ב / ה / ל / לו / להם / ה... בזה), ימצאו (בו / בו ה), ימצא לו
to exist	ימצא ב, נמצא ב, נמצא בו
existence, essence	מציאות
to discover	נמצא כי, תמצא (בזה כי / לזה כי)
existence, being	נמצא, נמצאים, הנמצאות, כל נמצא מהם
	מ.ש.ל.
to demonstrate	המשלנו, נשים במשל ש, נשים משל לזה
for example	משל (ל), ד"מ, המשל (בזה / בזה ש / לזה / ... לזה ב), במשל, במשל האחר מן
	במשל שהמשלנו, במשל הראשון שהמשלנו
	נ.ג.ע.
to be given	יגיע ל
to reach	הגיע ... עד
	נ.ו.ח.
assumption, definition	הנחתינו
to place	להניחו
	נ.פ.ל.
to be given	יפול ל, נפל להם
	נ.פ.ש.
essence	נפש
essential	נפשי
	נ.ת.נ.
to give	לתת (ה / ל / להם / ממנה / מה... ל / ל... מה), יתן (ה), נתן (ל / להם / לו / כך ל / ככה מה), תן לה ממנה, נתן מה... ל, נתנו לה
	ס.ב.ב.
cause	סבת ה, סבות
reason	מסבת זה, הסבה בזה
	ס.ד.ר.
to arrange	נסדרם, סדר (ה), תסדרם (ב)
to be arranged	יסודרו
order	סדר ה
	ס.ו.ג.
type	סוג
	ס.פ.ק
to provide for	לספק ל
to be enough	יספיק (ה / ל / לכל), יספיקו (ל / להם)
	ע.י.נ.
investigation	עיון
to investigate	לעיין בו ב
	ע.ל.ה.
	העלנו
to climb	לעלות ל
	ע.נ.י.
property	ענין, הענין ב, בענין ה, עניינם ב
sense	עניין, ענין, בענין ש, כענין ש, וכזה הענין
way	כענין ב
	ע.ס.ק.
deal, engagement	עסקם ב
to deal with	יעסקו ב
	ע.ש.ה.
to make	לעשות, עשו מ, בעשותנו ה
procedure	המעשה, המעשה בזה, המעשה בו ש
to do, to proceed	לעשות, לעשותו, עשינו, עשית (ה), תעשה
	כמו שעשינו
to convert	נעשם, עשינו אותו, עשינו אותם, נעשה (אותם / ה)
to be generated	הנעשה מה... ב
applied	נעשה ב
created from	הנעשים ... מ
to construct	נעשה
	ע.ת.ק.
to shift	בהעתיק אותה ממקומה, להעתיק אותה ממקומה, להעתיק ה... ממקומם על ה
to be shifted	שהועתק אליה
	פ.ע.ל.
to act	לפעול, לפעול בו זה
act	פועל, פעל, מפעל ה... ב
agent	פועל
in actu	בפעל
	פ.ר.ד.
separating	הפרדה
separate	נפרד, נפרדים, נפרדים ונבדלים
to be separated	להתפרד, להפרד, תפרד ה, נפרד
	פ.ר.ש.
commentator	המפרשים
to interpret	פרשו אותו
meaning	פי'
separating	בהפריש ה
	צ.ר.כ.
should	צריך ל, צריך ש, צריך להיות, צריכין אנחנו ל
	נצטרך ל
to need	תצטרך ל, תצטרך ל... ש
	יצטרך ה, יצטרך אליו, יצטרך לו
need	צורך ... ל
	ק.ב.ל.
to receive	המקבלים, יקבל ה, יקבלו כלם
Kabbalists	המקובלים
to believe	קבלו ש
	ק.ר.א.
to be called	נקרא, יקרא (ה)
to call	קראו ל
	ק.ר.ה.
to happen	יקרה להם, יקרה ל, קרה לו
	ר.א.ה.
to see	יראה, ראה (ה / ש), נראה (איזה / ש)
	כמו שאראך ב
	ר.ג.ל.
to be use to	הרגילו ב
to train	ולהרגילך בזה
	ר.ד.פ.
equivalent	נרדף ל
	ר.כ.ב.
consists of	מורכב מ, מורכבת מ, מורכבת מה
compound	מורכב מ
complex	המורכבים, מורכבות
assembling	הרכבת ה
to combine	להרכיב בהם
	ר.מ.ז.
to allude	רומזים ל
undetermined	בלתי רמוזים
	ר.צ.ה.
to wish	נרצה ל, רצינו (זה / ל), רצית ל, תרצה (ל)
	ש.א.ל.
to ask	שאל
question	שאלה, שאלות
	כמו ששאל
	ש.ו.ב.
to revert	שב ל
to restore, to return	נשיב ה... ל, תשיב ה... ל
	הושב להם ה
to turn to	תשוב ל, נשוב ל
to return	נשוב ו, בשוב
to become	תשוב ה
	ש.ו.מ.
to place	נשים אותו על, לשום על ה, לשום ביניהם, תשים ב
to define	נשים ה
to set	נשים ה
	ש.כ.ל.
mind, intellect	שכל
self-explanatory axiom	מושכל ראשון
	ש.ל.ח.
in actu	בשלוח
	ש.ע.ר.
to consider	בשערך, משער ה... ל
	ש.פ.ט.
rule	משפט, משפט ה, כמשפט
	ש.פ.ע.
emanation	שפע
subject to emanation	מושפע מ... ב
	ת.ח.ל.
to begin, to start	התחלנו מ, נתחיל (ב / ל... מ / מ), נתחיל בתחלה ל, נתחיל ל... מ, תתחיל ל, תתחיל ב... ממנה
first	בתחלה, תחלה
beginning	התחלה, מתחלת ה
	כמו שהוא בצורה הזאת, כמו שהוא בזאת הצורה
	כמו שהוא בכאן, כמו שיש בכאן
position	במקומם, במקומה
in the place where	ובמקום ש
no need for	ואין מקום
by itself	בפני עצמם, בפני עצמו, בעצמו
essential	עצמית
itself	עצמו, בעצמו, הוא בעצמו
selling	מכירת
land	קרקעות
earth	ארץ
depend	תלויה ב
year	שנים
jubilee	היובל
maid	אמה
Hebrew	עבריה
redemption	פדיון
to deceive	יונה
friend, comrade	עמיתו
outline	ראשי פרקים
impossible	נמנע ה, נמנע ב
meaning	הוראתו
subject	נושא
fictitious	בדוי
corresponding	נגדי לו, הנגדים ל, הנגדים לו
in comparison	בהקש אל
to continue	תוסיף
complete	שלם
whole	שלם
aspect	בצד, מצד ה
from the aspect of	מצד (ה)
	ומזה הצד, מצד ש
verse	פסוק ה
unity	ייחוד, אחדות, אחדותם
name	שם (ה), שמות
Divine emanation	ספירות
virtue	תארי מדות
to be	להיות, להיותו, להיותם, בהיותם, היה (ה... כ... לו), היו, יהיה (ה / ה... מ / כזה / כן / ל), יהיה זה בהם, יהיו, היה (ה / זה), יהיו (ה), ויהיו הכל, ויהיו שם על הכל, ויהיו על ה, ויהיו ...על ה, היתה
	שהיו, שהיה
	היה ב, היה בה, יהיה ב
to have	היה לי ב, יש לו, יש לי, אשר לו, היו לנו
to become	היה ל, יהיה ל, יהיה ל... ב
enough	די ל, די היה בהם ל, היה די ב... ל
not enough	אין די (ב / ב... ל), אין בו די ל, לא יהיה די ב (... מ... ל / ... ל), לא יהיה בו די
	שיש ב, יש בהם, בהם, ויש, יש ב
	אין ל, שאין לו, מה שאין לו
do not	אין ל
precedence	בקדימה
lateness	איחור
time	פעם
times	פעמים
sometimes	לפעמים
as many times as	היותר פעמים ש
twice	פעמים
to agree	הסכימו ל
to begin, to start	החלונו ב
beginning	ראשית ה, ראש ה
middle	אמצע
end	תכלית
end	סוף, סוף ה
mean	אמצע (ה), אמצעי (ב), האמצעיים
extreme	קצוות
to keep	החזיק ב
line	השטה
upper	העליונה, העליונים, העליונים ממנו, העליונות
bottom	התחתונה, התחתונים, התחתונה, התחתונה ממנה
zahuv, zehuvim [golden coins]	זהוב, זהובים
qav, qabbin [dry measurement]	קב, קבים, קבין
to make a mistake	טעה ב
head	ראשו, ראש ה
feet	רגליו, הרגל
finger	אצבעות, אצבעותיהם
horse	סוסים
animal	בהמה, הבהמות, בהמותיו
sick	חולה ושבורה
to eat	לאכלה, אכלה
to give	שהיה מחלק
cubit	אמות
bread	לחם
barley	שעורים
to drain	יחסר
to refer	תשוב אל ה
night	לילה, לילותיהם
day	(ב / ל)יום (ה), ימים
money	ממון
purse	כיס
wall	כותל
river	נהר
ditch	חפירה
pit	בור
ladder	סולם
around	סביבותיה
to stand by	יעמוד ... על
man	אדם, איש, אנשים
water	מים, במים
deep	עמוקים
dry land	בחרבה
to mount	יגאה
to become low	ישפל
to wonder	יתמה ה, תמהו
provided that, so long as	ובלבד ש
to leave	תשאיר בה ל
deliberation, satisfaction	התיישבות ה
to be helpless	קצרה ידם
portion	חלקים
backwards	למפרע מה, מה... למפרע
	ונאמין זה
lower	פחותה ממנה
partly	קצתו
	[בחמר] נפעל
pair	זוג (מספרים), זוגי (מספרים)
simple number	פשוטים
simple	פשוט, פשוטים, פשוטות
unknown	הנעלם, נעלם ה, הנעלם מהערך ה
	הרחוקים, המתרחקים מהם
skill	מלאכה
to seek	נתור ל
	ונעשה סימן ב, ונרשום סימן (על), ורשום שם סימן, ונשים סימן על ה
sixtieth	הששימית
nothing	אין דבר ש
	האחר
as usual	כמנהג
to comprehend	להקיפו, יקיף בו
	ביסודות
to be difficult	ויכבד ה
whole, fully	בכללו, כלו, כלו ביחד
in general	ובכללו
twice	כפלים מאשר
necessarily	יתחייב כי
to remove the doubt	להתיר הספק
	חצי ה
	במחצה
additional	משנה
pair	זוג (מספרים / שברים), זוגי (מספר / מספרים)
God	ית'
if you wish to say	וא"ת
i.e.	ר"ל
surely	והלא
exactly	ממש
recently	באחרונה
eventually	לאחר הכל
easy	נקל, נקל ל
only	רק
if only	לו
if	אלו
if	אם, ואם
whether	אם
	שניהם
	מה ש
	כל מה ש
	כל מה ש... כן
	יש מי ש
	כיצד
	כמו ה, כמו ש, כמו זה
	כמו ש... כן ה
	הם כמו, הוא כמו (ה)
	כמוהו
	ראוי ל, ראוי ש, ראוי א"כ ל
	מה שראוי ל
	אין ראוי ל, אין ראוי לנו ל
	כזה
	אמנם
	והנה, הנה
	כן, וכן (ב / ה), וכן הוא כי
	וכן אם
	וכן לעולם, וכן תמיד, וכן לאין סוף, תמיד
	וכן השאר, וכן בשאר
	עד אין תכלית, לבלתי תכלית, ולאין תכלית
	בהכרח ש
	אלא ש
	ג"כ, גם כן
	א"כ, אם כן
so is	כן ה
not so	אינו כן
	כש
	כאשר
	ועתה (כש / ש)
last	אחרונה (מה / של), האחרון מהם, האחרונים, האחרונות (מה)
after	אחרי, אחר (ה)
following	אחריהם
then, afterwards	ואחר
because	וזה כי, כי
therefore	ולזה
therefore	לכן, על כן
since	למה ש
since	אחר, אחר אשר, אחרי אשר, אחר ש
since	לפי ש
since	וכיון ש (ה/ זה)
since	מפני ש
due to	מפני (ה)
according to	כפי, כפי ה
how many	בכמה
how much	כמה (היה ה)
up how many	עד כמה
	אני, אנחנו
	הוא (ה / היה ה / יהיה / יהיה ה / ש), והם
as follows	הוא זה
	שהיא, שהוא (ה / מ), ואשר הוא, הוא אשר, שהם, שהיו
indeed	הרי, הרי הם
	ההם
these	באותן ה, אותם ה, מאלו ה, אלו ה, אלה ה
	אותו (ה), אותה (ה), אותם (ה), ההוא, ההיא
	אלה, אלו (ה), האלה, הללו, האלו
	זאת (ה), זה ה, הזה, וזהו
	וזהו מה ש
	וזהו (ה), שזהו
all	כל, כל ה, כל זה, כלם, אשר בכל, כל ה... כלם
	כל אותם ה
each	כל א', כל אחד (מ / מה / מהם), כל א' וא' מהם
	כל ... מהם
from each	מכל
every	כל, כל דבר
	בזה (ה)
by this	בזה
	איזה, אי זה, איזהו ה... ש, אי זהו אשר, איזהו המספר ש, איזהו מספר אשר, איזה הוא מספר אשר
	באי זה
	אם ש, ואם ש
	מזה (ה)
	אבל (ש)
	כי, הוא כי
before	קודם ה
in order not to	לבל
not… at all	לא... כלל, לא... שום
	אין בו
	אין עוד
not	אין
	אין... אלא (ה), אין ה... אלא
	לא... אלא, לא... כי אם
	אין... אבל, לא... אבל
	אין ב... אלא ב
	אין ב... די לזה
	אין ב... יותר מה
no…nor	ולא... ולא עוד אלא
there is no, not	אין, אינו, אינו ... דבר, אינם, אין שם, אין ב... שום
	אין ... זולתי, אין... דבר אחר זולתי
	או ש
between	בין, בין ... ל, בין ה... ובין ה, בין ה... וה, יש בניהם, ביניהם
	במה שביניהם
whether… or	בין ש... או
	הנה הוא, הנה יהיה ה
	בהם, אשר בהם, אשר ב, הם ב
i.e.	כלומ'
without	מבלי... שום
without	אשר הוא חוץ ל, חוץ ל, ימצא חוץ ל
apart of	אשר הוא חוץ ממנו
apart from	חוץ מה
one of	אחד מ, אחד מה, אחד מהם
the rest of	שאר ה, משאר ה
somewhat, certain	מה
what	מה ש
how	איך (ה)
from	מאתו
of	מן ה, ממנו, אשר מה, מהם, הם מ
even though	אפי' ש, אע"פ ש
also	וגם, גם, גם ש
until	עד (ה / ש)
upward	יותר
more, better	יותר, היותר, יותר מה, יותר... מה, יותר ממה ש
at least	לפחות
beneath	תחת (ה), זה תחת זה
in	בתוך
down	למטה
up	למעלה
above	למעלה ממנו
above	על ה
above	אצלו
with	עם מה ש
next to	אשר אצל ה
there	שם
from there	משם
here	בכאן, כאן
as if	כאלו
so	ככה, וככה
so	כן
etc.	וכו'
also, likewise	כמו כן
then	אז, ואז, הנה אז
further, furthermore, also	ועוד, עוד
more	עוד
among	בתוך ה
	ואע"ף ש
	כדי ל
already	כבר, שכבר
	כ"ש
	הנה לנו
	אשר ב
plus	ועוד
	ועוד כי
	על מי ש
	אינו כן ב
	עד תומם
	אשר
	יש בו
	בשהם
any	שום
still	עדין
but	אלא
than	מאשר ל
very	מאד
almost	כמעט
	משום
to the extent of	בכדי
adjectives
proper	נאות
limited	מוגבל
similar	דומים
different	מתחלפים
various	שונים
numerous	רבים
many	רבים
multiple	רבות
few	מעטות
successive	הסמוכים
next	סמוך (זה לזה / אל ה / ל), סמוכה (ל / לה / לו), הסמוכים (ל / להם / לו), הסמוכות להם
near	סמוך ל
preceding	הקודם
preceding	שעברו
another, additional	אחר, אחרים, באחר
other	האחר, השני, אחרים, אחרת
initial, original	הראשונים
first	הראשון (ב), הראשון להם, הראשונה, הראשונים
second	השני, בשנית לה, השנית לה
third	השלישית ממנה ל
less than	פחות מ
smaller	יותר קטון (ממנו)
smaller	יותר קטן
	המעט, הקטון, מספר קטון, מספר הקטון, המספר הקטון, המספר הקטן, המספר המעט
greater than	יותר מ, יותר ממנו
greater	יותר כוללת מה
greater	גדול ממנו, היותר גדול, היותר גדול ש, גדולים מהם
great	גדול, גדולה
	הרב, מספר הרב, המספר הרב, מספר גדול, מספר הגדול, המספר הגדול
My dove, my perfect, is but one	אחת היא יונתי תמתי
so shall the tabernacle become one	והיה המשכן אחד
Euclid	אוקלידס
Ibn Rushd	אבן רשד
Zohar	בזוהר
you are one, but not by number	אנת הוא אחד ולא בחשבון

Appendix: Bibliography

Judah Ibn Verga
Spain, c. 1450
Qiṣṣur ha-Mispar
Manuscripts:

1) Jerusalem, The National Library of Israel Ms. Heb. 8°2000 (IMHM: B 753 (8°2000)), ff. 1r-3v (Amsterdam, 17th century)

2) London, British Library Add. 27107/5 (IMHM: f 5782), ff. 32v-43v (cat. Margo. 1016, 5); (16th-17th century)

Ḳitsur sefer ha-mispar

3) London, British Library Add. 27107/13 (IMHM: f 5782), ff. 162r-174v (cat. Margo. 1016, 13); (16th-17th century)

4) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1005/19 (IMHM: f 30347), ff. 100r-110r (15th-16th century)

5) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1005/21 (IMHM: f 30347), ff. 118v-120r (15th-16th century)

6) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1087/1 (IMHM: f 15039), ff. 1r-8v (16th century)

heb. 1087/1

7) St. Petersburg, Inst. of Oriental Studies of the Russian Academy C 76/7 (IMHM: f 69233), ff. 112v-122v (15th-16th century)

The transcript of the text is based on manuscript Paris 1005.

Bibliography:

• Steinschneider, Moritz. 1893–1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, p. 196 (h62); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.