מלאכת המספר

Introduction
The author said: When I saw the lengthiness of the discussions of the ancient scholars, the composers of the books of number, and that the necessary methods and teachings in astronomy, geometry, and the ratios of music are explained in those books merely in great difficulty; likewise the seven types of [operations] with integers as well as with fractions, the roots and the proportions of numbers; and since the teaching that is [based] on brief and comprehensive methods is better chosen for the student as well as for the teacher, for every lengthiness of words and loquacity are exhaustion of the body [Ecclesiastes 12, 12].	‫אמר המחבר בראותי אורך דברי החכמים הקדומים מחברי ספרי המספר ושהסדרים והלימודים ההכרחיים בחכמת התכונה וההנדסא ויחסי המושיקא אינם מבוארים בספרים ההם אלא בקושי גדול וכן ג"כ בשבעה מיני השלמים כמו בשברים ובשרשי' וביחסי המספרים ולהיות הלמוד שהוא בדרכים הקצרי' והכוללים יותר נבחר כן ללומד כמו למלמד כי כל אריכות דברים ולהג הרבה יגיעת בשר‫
Therefore, I Yiẓḥaq b. R. Moshe ʽEli ha-Sefaradi [= the Spanish] from the city of Oriola of the kingdom of Aragon, at the request of my friends, who studied astronomy and geometry, because they used those methods with a great difficulty and bother, I shook out my lap and wrote this short treatise that encompasses all that is necessary for this science, arithmetic, that is called arishmetika, by the grace of God to me [Psalms 57, 2], and according to the good hand of my God upon me [Nehemiah 2, 8].	לכן אני יצחק בכ"ר משה עלי נ"ע הספרדי ממדינת אוריאולה ממלכות ארגון נערתי חצני לבקשת קצת אוהבי המעיינים בחכמת התכונה וההנדסא למה שהיו פועלם בקושי וטורח גדול בדרכים ההם וחברתי זה החבור הקצר כולל כל מה שהוא הכרחי בזאת המלאכה ר"ל מלאכת המספר הנקראת אריתמתיקא כפי שחנני השם וכפי יד אלהי הטובה עלי
I have written in it comprehensive and short ways in all seven types of [operations] of number, its properties and the existence of the ratios in all that is possible in this science.	וחברתי בו דרכים כוללים וקצרים בכל ז' מיני המספר וסגולותיו ומציאות היחסים בכל מה שהוא אפשרי במלאכה הזאת
This is by demonstrative ways that are loved by the intellectuals, in a manner that anyone who endeavors in studying this short book will comprehend all that is necessary for this science, will be saved from the non-useful lengthiness and from the loss of time, and will attain in it whatever his heart desires; since it is for mathematics as the light of dawn shines ever brighter until the perfect [Proverbs 4, 18].	וזה בדרכים מופתיים ונאהבים למשכילים באופן שכל מי שישתדל לעיין בזה הספר הקצר ‫יקיף בכל מה שהוא הכרחי בזאת המלאכה וינצל מהאריכות הבלתי מועיל ומהפסד הזמן וישיג בו מה שלבו חפץ כי הוא לחכמת הלימודיות כאור נוגה ואור עד נכון‫
With the help of God, Blessed is He, I will begin and say:	ובעזר ה' [ב"ה] אתחי' ואומ‫'

Table of content
This work is divided into three books:	הספר הזה יחלק לשלשה מאמרים
In the first book we discuss the seven types of numerical [operations].	במאמר הראשון נדבר בז' מיני המספר
In the second book we discuss the methods, ratios, problems and answers needed in this science.	במאמר הב' נדבר בדרכים ויחסים ושאלות ותשובות הצריכות במלאכה הזאת
In the third book we discuss some techniques and premises common to arithmetic and geometry.	במאמר הג' נדבר בקצת דרכים והתחלות משותפות למלאכת המספר וההנדסא
The first book	המאמר הא‫'
It is divided into four sections:	יחלק לד' כללים
Section one: the definition of arithmetic, the definition of number, the units, a few premises needed, and the number of the types of numerical [operations].	הכלל הראשון בגדר מלאכת המספר וגדר המספר והאחדות וקצת התחלות צריכות אליה ומניין מיני המספר
Section two: we discuss the six types of numerical [operations] with integers.	בכלל הב' נדבר בו' מיני המספר השלמים
Section three: we discuss the seven types of numerical [operations] with fractions and the multiplication techniques of fractions in astrology [= sexagesimal fractions].	בכלל הג' נדבר בז' מיני השברים ואופני רבוע השברים בחכמת התכונה
Section four: we talk about guiding ways for finding roots of square and cube numbers.	בכלל הד' נדבר בדרכים מיישירים למצא שרשי המספרים המרובעים והמעוקבים
Section one of the first book: the definition of arithmetic, the definition of number, the units, a few premises needed, and the number of the types of numerical [operations].	הכלל הא' מהמאמר הא' בגדר מלאכת המספר וגדר המספר והאחדות וקצת התחלות הצריכות אליה ומניין מיני המספר
Section two.	הכלל הב‫'
It is divided into six chapters:	יחלק לששה פרקים
Chapter one: we talk in it about the first type of numerical [operations], which is addition.	הפרק הא' נדבר בו מהמין הראשון מהמספר שהוא הקבוץ
Chapter two: the second type, which is subtraction.	הפרק הב' במין הב' שהוא חסור
Chapter three: the third type, which is doubling, and general ways of knowing integers.	הפרק הג' מהמין הג' שהוא הכפול ודרכים כוללים בידיעת המספרים השלמים
Chapter four: the fourth type, which is halving.	הפרק הד' במין הד' שהוא חלוק באמצע
Chapter five: the fifth type, which is multiplication and some of its properties.	הפרק הה' במין הה' שהוא הרבוע וקצת מסגולותיו
Chapter six: the sixth type, which is division.	הפרק הו' מהמין ‫השישי שהוא בהחלק
Section three of book one.	הכלל הג' מהמאמר הא‫'
It is divided into eight chapters:	ויחלק לח' פרקים
Chapter one: guiding methods of the writing fractions, their definition, and their arrangement.	הפרק הא' בדרכים מיישירים בענייני הנחת השברים וגדרם וסדורם
Chapter two: addition of fractions.	הפ' הב' בקבוץ השברים
Chapter three: subtraction of fractions.	הפרק הג' בחסור השברים
Chapter four: doubling fractions.	הפרק הד' בכפול השברים
Chapter five: halving fractions.	הפרק הה' מחלוקת השברים באמצע
Chapter six: multiplication of fractions.	הפרק השישי מרבוע השברים
Chapter seven: methods of multiplication of fractions in astrology [= sexagesimal fractions].	הפרק הז' באופני רבוע השברים בחכמת התכונה
Chapter eight: division of fraction.	הפרק הח' מהחלק השברים
Section four of the first book.	הכלל הד' מהמאמר הא‫'
It is divided into four chapters:	ויתחלק לד' פרקים
Chapter one: giving guiding ways for finding roots of square numbers or approximate roots of non-square numbers.	הפרק הא' בנתינת דרכים מיישירים למציאות שרשי המספרים המרובעים או היותר קרובים למספרים הבלתי מרובעים
Chapter two: finding the roots of fractions alone or fractions and integers together.	הפרק הב' מציא במציאות שרשי המספרים בשברים לבד או בשברים‫ ושלמים יחד
Chapter three: giving one inclusive method for finding the roots of numbers by adding zeros.	הפרק הג' בנתינת דרך אחד כולל למצא בו שרשי המספרים על דרך תוספת הסאפרש
Chapter four: guiding ways for finding roots of cube numbers or approximate roots of non-cube numbers.	הפרק הד' בדרכים מיישירים למציאות שרשי המספרי' המעוקבים או היותר קרובים למספרים הבלתי מעוקבים
Book Two	המאמר השני‫
It is divided into two sections:	יתחלק בב' כללים
The section one: we talk about general methods and proportions of this science.	בכלל הראשון נדבר בדרכים ויחסים כוללים בזאת המלאכה
The section two: we discuss some theoretical and practical problems and guiding answers of this science.	בכלל הב' נדבר בקצת שאלות ותשובות מיישירות בעיון ובמעשה בזאת המלאכה
Section one of the second book.	הכלל הא' מהמאמר הב‫'
It is divided into seven sections:	יחלק לז' פרקים
Chapter one: proportions of integers.	הפרק הראשון ביחסי המספרים מהשלמים
Chapter two: guiding ways for finding proportions of fractions.	הפרק הב' בדרכים מיישירים במציאות יחסי המספרים השבריים
Chapter three: guiding ways for finding the numerator in the proportions of fractions.	‫הפרק הג' בדרכים מיישירים למציאות המחולק ביחסי השברים
Chapter four: giving a general example for all the teaching methods of the denominator and the numerator in the context of knowing the ratios of fractions.	הפרק הד' בנתינת משל א' כולל לכל חלקי הלמוד במחלק ובמחולק בידיעת יחסי השברי‫'
Chapter five: knowing the ratio of the four proportional numbers [= the rule of three] in the two sciences - arithmetic and geometry.	הפרק ה' בידיעת יחסי הד' מספרים המתייחסים בב' המלאכות מלאכת המספר וההנדסא
Chapter six: knowing the ratio of every three proportional numbers [= proportional triad].	הפרק הו' בידיעת יחסי כל ג' מספרים המתייחסים
Chapter seven: knowing the ratio of the six proportional numbers [= the proportional hexad].	הפרק הז' בידיעת יחס הו' מספרים המתייחסים
The second section of the second book.	הכלל הב' מהמאמר הב‫'
It is divided into seven chapters:	ויחלק לז' פרקים
The chapter one: knowing the exchange of measurements, weights, liquid measures and currencies according to the change of places.	הפרק הא' בידיעת חלוף המדות והמשקלים והמשורות והמטבעות לפי חלוף מקומם
The chapter two: knowing the relation of two numbers that have the property that if we subtract one from the greater number and add it to the smaller number, they become equal; and if if vice versa, the greater becomes double the smaller, or more if we wish.	הפרק הב' בידיעת התייחסות ב' מספרים שיש להם זאת הסגולה שאם נחסר א' מהמספר [.] הגדול והוספנום על הקטן יהיו שוים ואם בהפך יהיה הגדול כפל הקטן או יותר כפי שנרצה
Chapter three: the relation of two numbers, such that if the greater gives one to the smaller, the smaller becomes double the greater; and if vice versa, the greater becomes three times [the smaller].	הפרק הג' ביחס שני מספרים שאם הגדול יתן א' לקטן יהיה הקטן כפל הגדול ואם בהפך יהיה הגדול ג' פעמים יותר
Chapter four: knowing the whole, whichever it may be, from the sum of its two different parts.	הפרק הד' שבידיעת קבוץ ב' חלקים מתחלפים מאיזה כל או יותר איך נדע הכל
Chapter five: giving general ways for finding any unknown number by the method of double false position.	הפרק הה' בנתינת דרכים כוללים לידיעת איזה מספר בלתי ידוע בדרך המתנגדים
Chapter six: the teaching of partnership.	הפרק השישי [בלמוד החבורות
Chapter seven: some questions and answers.	הפרק הז']‫ בקצת שאילות ותשובות
Book three: we talk in it about some principles of geometry.	המאמר הג' נדבר בו בקצת התחלות מההנדסא
It is divided into three sections:	ויתחלק לג' כללי‫'
Section one: knowing the measure of the line.	הכלל הא' בידיעת השיעור הקויי
Section two: knowing the measure of the surface.	הכלל הב' בידיעת השיעור [השטחיי
Section three: knowing the measure of the solid.	הכלל השלישי בידיעת השעור]‫ הגשמי
Section one of book three.	הכלל הא' מהמאמר הג‫'
It is divided into three chapters:	יתחלק לג' פרקים
Chapter one: some principles of geometry, definition of a line, and knowing the measure of the line as a height.	הפרק הא' בקצת התחלות ההנדסא ‫וגדר הקו ובידיעת השיעור הקויי בגובה
Chapter two: knowing the measure of the line in the surface [= length].	הפרק הב' בידיעת שיעור הקויי במשור
Chapter three: knowing the measure of the line as a depth.	הפרק הג' בידיעת השיעור השטחי הקויי בעומק
Section two of book three: knowing the measure of the surface.	הכלל הב' מהמאמר השלישי בידיעת השיעור השטחי
It is divided into five chapters:	ויתחלק לה' פרקים
Chapter one: knowing the area of the equilateral triangle.	פרק הא' בידיעת שיעור השטח המשולש השוה הזויות
Chapter two: knowing the area of the isosceles triangle.	הפרק הב' בידיעת שיעור שטח המשולש שוה הצלעו‫'
Chapter three: knowing the area of the scalene triangle.	הפרק הג' בידיעת שיעור שטח המשולש מתחלף הצלעות
Chapter four: knowing the area of the quadrilateral and the area of the square.	הפרק הד' בידיעת שיעור שטח המרובע ושטח הרבוע
Chapter five: knowing the measure of the circle according to the opinion of the sages.	הפרק הה' בידיעת שיעור שטח העגול לפי סברת החכמים
Section three of book three: in it one chapter on knowing the volume of any solid.	הכלל הג' מהמאמר הג' ובו פרק א' בידיעת שיעור איזה [גשם]‫ שיהיה

Book One: Numbers
Section One of the First Book: the definition of arithmetic, the definition of number, the units, a few premises needed and the number of the types of numerical [operations].	הכלל הא' מהמאמר הא' בגדר מלאכת המספר וגדר המספר והאחדות וקצת התחלות צריכות אליה ומניין מיני המספר
Necessary preliminary definitions:
Definition of arithmetic: arithmetic is a science that teaches to count many units, their differences and properties that are easily applied by memory.	מלאכת המספר היא מלאכה תורה למנות הרבה אחדים והבדליהם וסגולותם ובנקלה יקויימו בזכירה
Definition of unit: unit is a foundation and the first part of the number, every number consists of it, but it is apart from every number.	אחדות הוא יסוד וחלק ראשון מהמספר וכל מספר יורכב ממנו אבל הוא חוץ לכל מספר
For, 2 or 3 cannot be conceived without 1.	כי ב' או ג' לא יצויירו בלתי הא‫'
As 2 is nothing but the double of 1.	כי הב' אינם אלא כל כפל הא‫'
And 3 is nothing but three times 1.	והג' אינם אלא שלש הא‫'
But, 1 can be conceived without the 2 or 3 being conceived.	אבל הא' יצוייר מבלתי שיצויירו ב' או ג‫'
Definition of number: the number is defined as a sum of units.	ולכן יגדר המספר בשהוא קבוץ אחדים
The Positional Decimal System
The digits
The first thing that you should know is that the numerals are ten and they are: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.	והראשון שצריך שתדע שתמונות המספר עשרה והם אלו ‫9 8 7 6 5 4 3 2 1 ‫
The first numeral, or digit, as you wish to call it, indicates one; the second indicates two; the third - three; and so on until 9.	התמונה הראשונה או האות או הסימן כמו שתרצה לקרא לה תורה אחד והשנית תורה ‫שניים והשלישית שלשה וכן כסדר עד ט‫'
The tenth is called sifra [= zero] and it is not worth anything in itself, but indicates a rank that designate a greater numerical value to the next digit.	והעשירית תקרא ספרא ואינו שוה דבר בעצמו אבל להורות מקום מקנה יותר כמות לאות הנמשכת אליה
The written ranks [= decimal places] and their writing order
These figures should be written by the order as they are here:	ואלו התמונות צריך שיכתבו כמו שהם בכאן כסדר
The first digit in the line is called the image of the units, because it indicates the units, whether it is the first of the nine [digits] or any of them.	והאות הראשונה שבטור יקרא תמונה של אחדות בעבור שתרמוז לאחדות בין שתהיה הראשונה מהט' או איזו שתהיה מהן
The second digit in the line is called the image of the tens.	והאות השני שבטור יקרא תמונה של עשרות
The third digit is called the image of the hundreds.	והאות השלישית יקרא תמונה של מאות
The fourth is of the thousands.	והרביעית של אלפי‫'
The fifth is of the tens of thousands.	והה' של עשרת אלפי‫'
The sixth is of the hundreds of thousands.	והו' של מאות אלפי‫'
The seventh is of the thousands of thousands	והז' של אלף אלפי‫'
The eighth is of the tens thousands of thousands.	והח' של לעשרות אלף אלפים
The ninth is of the hundreds thousands of thousands.	והט' של מאות אלף אלפים
The tenth digit in the line is called the image of the thousands thousands of thousands, because it indicates them.	והאות העשירי שבטור יקרא תמונה של אלף אלפי אלפי' בעבור שתרמוז אליהם
And so on from ten to ten.	וכן מעשרה לעשרה
Every rank is ten times the preceding rank and so on endlessly as we wish.	[.] כי כל מעלה או מדרגה עלה יותר מהקדומות לה מניין עשרה וכן אל לא תכלית אם נרצה
So, the value of the numerals mentioned, i.e. the digits, is according to their decimal place:	א"כ התמונות הנזכרות ר"ל האותיות לפי מקומם כך יהיה שיווים
In a way that 1 in the place of the units equals one; in the place of the tens: ten; in the place of the hundreds: one hundred, in the place of the thousands: one thousand; and so on by the order from rank to rank.	בדרך זה שהא' במקום האחדות שוה אחד ובמקום העשרות עשרה ובמקום [המאות מאה]‫ או במדרגת האלפי' אלף וכן כסדר ממדרגה למדרגה
2 in the [place of the] units equals two; in the place of the tens: twenty; in the place of the hundreds: two hundreds, in the place of the thousands: two thousands; and so on by the order from rank to rank.	וכן ב' במקום האחדות שוה שניים ובמקום העשרות עשרים ובמקום המאות מאתיים ובמקום האלפי' אלפיים וכן כסדר בהדרגה ממעלה למעלה
Every number necessarily belongs to one of three categories: either it is units, or tens, or consists of both:	וכל מספר לא ימנע מא' מג' דרכים אם שיהיה אחדות או שיהיו עשרות או מורכב משניהם
The units is any number that is less than 10.	והאחדות הוא כל מספר שהוא פחות מי‫'
The tens is ant number equal to ten or tens.	והעשרות הוא כל מספר ששוה עשרה או עשרות
The consisting of both is any number that has units and tens together.	ומורכב משניהם הוא כל מספר שיש בו אחדות ועשרות יחד
List of arithmetical operations
Know that the types [of operations] in arithmetic are seven: addition, subtraction, doubling, halving, multiplication, division, and extracting roots of square and cube numbers.	ודע שמיני ‫מלאכת המספר הם ז' והם קבוץ חסור כפול חלוק באמצע רבוע חלוק מציאות עקרי המספרים המרובעים והמעוקבים

Section Two of Book One: [Integers]	הכלל השני מהמאמר הראשון
It is divided into seven chapters.	ויתחלק לז' פרקים
Chapter One: The First Type of Numerical [Operations], which is Addition	הפרק הראשון במין הראשון מהמספר והוא הקבוץ
Definition of the addition operation: Addition is summing two numbers or more to one inclusive number.	קבוץ הוא חבור שני מספרים או יותר במספר אחד כולל לכולם
Description of the procedure:
In this type [of operation] we can write as many lines as we wish.	במין הזה נוכל לכתוב כל הטורים שנרצה
The units should be written corresponding to the units, the tens corresponding to the tens, the hundreds corresponding to the hundreds and so on by the order, every rank corresponding to its similar.	וצריך לכתוב האחדות כנגד האחדות ועשרות כנגד עשרות ומאות כנגד מאות וכן כסדר מדרגה כנגד כל מדרגה הדומה לה
Then all the numerals are summed as units.	ואחר כך יקובצו כל אותיות האחדות
This sum necessarily belongs to one of three categories, as you know: either it is units, or tens, or consists of both.	והקבוץ הזה לא ימנע מלהיות [אחד]‫ משלש [דרכים]‫ כמו שידעת אם שיהיה מאחדות או מעשרות או מורכב משניהם
If it is units, we write it beneath the units.	ואם יהיה מאחדות נכתוב אותו תחת האחדות
If it is tens, we write a zero and shift the 10 to the first rank next to it, which is the rank of the tens.	ואם יהיה מעשרות נכתוב ספרא ונעביר הי' אל המדרגה הראשונה הנמשכת אחריה שהיא מדרגת העשרות
If it is units and tens together, we write the units beneath the units as stated, and the tens in the rank of the tens.	ואם יהיו אחדות ועשרות יחד נכתוב האחדות תחת האחדות כאמור והעשרות במדרגת העשרות
By this order for every rank.	ובסדר הזה בכל מדרגה ומדרגה שיהיה
As can be seen in this diagram: $\scriptstyle5243+8962$	כפי הנראה בצורה הזאת
5 2 4 3    8 9 6 2 1 4 2 0 5	ג ד ב ה   ב ו ט ח  ה 0 ב ד א
Check: casting out by 9
The proof of this is that we cast out the nines from the sum and keep the remainder. We do the same with the addend. If the remainders from both are equal, then the addition we made is correct, otherwise it is not.	והמופת על זה שנשליך [המקובץ]‫ ט' ט' והנשאר שמור אותו וכן נעשה בנקבץ‫ ואם הנותר משניהם שוה א"כ הקבוץ שעשינו היה אמיתי [ואם לא אינו אמתי]‫
This is enough for the first type.	וזה יספיק במין הראשון

Chapter Two: The Second Type [of Numerical Operations], which is Subtraction	הפרק הב' במין הב' שהוא חסור
Definition of the subtraction operation: Subtraction is knowing the remainder of any number after a number that is smaller than it was subtracted from it.	חסור הוא ידיעת הנישאר מאיזה מספר שיהיה כשיוסר ממנו מספר א' פחות ממנו
Description of the procedure:
It is done in this way: we write the two numbers in two lines, the greater above and the smaller beneath, arranged each rank beneath its similar, until all ranks are complete.	ויעשה ‫בדרך זה נכתוב הב' מספרים בשני טורים הגדול למעלה והקטן למטה מסודרים כל מדרגה תחת מדרגה הדומה לה עד תשלום כל המדרגות שיהיו
In this type three categories should be examined: either the digit of the upper number is equal to the digit of the bottom number, or greater, or smaller.	ובזה המין צריך לעיין בג' דברים או האות האחד מהמספר העליון תהיה שוה לאות האחד מהמספר התחתון או יותר או פחות
If they are equal, we write zero beneath them, as a sign that nothing remains.	ואם יהיו שוות נכתוב למטה מהם ספרא לאות שלא נשאר שום דבר
As subtracting 6 from 6; nothing remains.	כמו שמחסר ו' מן ו' שלא ישאר [דבר]‫
If the upper digit is greater, we subtract what is beneath from the rank that is above and write the remainder.	ואם האות העליון יהיה יותר נחסר מה שלמטה מהמדרגה שלמעלה ונכתוב הנותר
As subtracting 5 from 6; 1 remains. We write 1 beneath.	כמי שמחסר ה' מן ו' שישאר א' ונכתוב א' למטה
If the upper digit is less than the one that is beneath, we examine the bottom digit: how much is its complement to ten and we add it to the corresponding upper digit. The sum of these two is called the "remainder". We write it beneath the upper digit.	ואם האות העליון יהיה פחות מאותו שלמטה נעיין האות שלמטה כמה יש עד עשרה ומה שיהיה נחבר אותו עם האות העליון שכנגדו וחבור אלה השניים יקרא מותר ונכתוב אותו למטה תחת האות העליון
When we want to subtract the digit that follows it from its corresponding upper [digit], we should add 1 to the bottom digit that follows.	וכשנרצה לחסר האות הנמשכת אליה מהעליונה שכנגדה צריך להוסיף א' על האות התחתונה הנמשכת
This procedure is necessary, since the preceding upper digit was less than the bottom [digit] and the addition of the 1 that we said is as if we subtract one from the digit that is next to the upper [digit] that is less than its corresponding bottom [digit].	וזה [הפעל]‫ הכרחי בעבור שהאות העליונה הקודמת היתה פחותה מהתחתונה וזה התוספת מהאחד שאמרנו הוא כמו שאם חסרנו אחד מהאות הסמוכה לעליונה הפחותה מהתחתונה שכנגדה
We do this way until the whole line ends.	ובזה הדרך נעשה עד שיגמר כל הטור
As can be seen in this diagram: $\scriptstyle4282-2432$	כפי הנראה בצורה הזאת
4 2 8 2 2 4 3 2 1 8 5 0	ב ח ב ד  ב ג ד ב  ‫0 ה ח א
You should know, as we said, that since the [first] upper digit is equal to the bottom [digit], when one is subtracted from the other, nothing remains, so we write zero.	וצריך שתדע כמו שאמרנו שבעבור שהאות העליונה שוה לתחתונה כשיחוסר האחת מהאחרת לא ישאר דבר ‫לכן כתבנו ספרא
In the second rank, since the upper digit is greater than the bottom [digit], we see how much is the complement of the bottom to the upper. We know that it is 5, so we write 5 beneath.	ובמדרגה השנית בעבור שהאות העליונה היא [שוה]‫ יותר מהתחתונה נראה כמה יש מהתחתונה עד תשלום העליונה וידענו שהם ה' ולכן כתבנו ה' למטה
Then, in the third rank, since the bottom digit is greater than the upper [digit], we should know how much is its complement, i.e. of the bottom [digit], to ten. We know that it is 6. We add to it the upper digit, which is 2; the sum of both is 8 and this is the remainder. We write it beneath the 4.	ואחר כך במדרגה השלישית בעבור שהאות התחתונה [שוה]‫ יותר מהעליונה נדע כמה יש ממנה ר"ל מהתחתונה עד תשלום עשרה וידענו שהם ו' ונחבר אליהם האות העליונה שהיא ב' ויהיה קבוץ שניהם ח' והוא המותר ונכתוב אותו תחת הד‫'
Next, we add 1 to the 2 that is in the fourth rank; it is 3. We subtract it from the 4, which is the upper digit; 1 remains beneath.	ואחר כך בב' שהיא במדרגה הד' נוסיף א' ויהיו ג' ונחסרם מהד' שהיא האות העליון וישאר למטה א‫'
[Illustration of the procedure:] 4282 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2-2}}={\color{blue}{0}}}$ 4282 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8-3}}={\color{blue}{5}}}$ 4282 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2+\left(10-4\right)=2+6}}={\color{blue}{8}}}$ 4282 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4-\left(2+1\right)=4-3}}={\color{blue}{1}}}$ 4282 2432 2432 2432 2432 2432    0   50  850 1850
By this order it should be done, even if the ranks are numerous.	וכסדר הזה צריך לעשות ואם ירבו המדרגות
Check: addition
The proof of this is that we add the number we have subtracted from the upper number to the remainder.	והמופת על זה נחבר אותו המספר שחסרנו מהעליון עם המותר
If the upper number is as the result of adding of the remainder to the number we subtracted, know that the subtraction we did is correct, otherwise it is not.	ואם יהיה למספר העליון כמו מספר העולה מחבור‫ המותר עם המספר שחסרנו דע כי החסור שעשינו אמיתי ואם לא אינו אמיתי
This is enough for the second type.	וזה מספיק במין השני

Chapter Three: The Third Type [of Numerical Operations], which is Doubling, and General Methods for Finding the Perfect Numbers	הפרק הג' במין הג' והוא הכפול ודרכים כוללים למצאות המספרים השלמים
Definition of the doubling operation: Doubling is summing any two numbers that are equal.	כפול הוא קבוץ איזה ב' מספרים שיהיו שוים
Description of the procedure:
In this type we should also start from the units.	וגם בזה המין ראוי שנתחיל מהאחדות
Whichever number we write beneath, by the order, the doubling of each rank is as follows:	ואיזה מספר שיהיה נכתוב למטה כסדר כפל כל מדרגה ומדרגה בזה הדרך
If double any digit is less than ten, we write it.	שאם יהיה הכפל מאיזה מדרגה שתהיה פחות מעשרה נכתוב אותו
If its double is ten integer, we write 0 beneath and we are left with 1 to add it to double the digit that follows.	ואם יהיה הכפל עשרה [שלמים]‫ נכתוב למטה 0' וישאר בידינו א' להוסיף על כפל האות הנמשכת אליה
If it is more than ten, we write the excess [over ten] and we shift the ten to the rank that follows, exactly as we did in the addition operation.	ואם יהיה יותר מעשרה נכתוב מה שיהיה יותר והעשרה נעבירם למדרגה ‫הנמשכת כמו שעשינו במין הקבוץ לא פחות ולא יתר
As can be seen in this diagram: $\scriptstyle2\times5372$	כפי הנראה בצורה הזאת
5 3 7 2  1 0 7 4 4	ב ז ג ה  ד ד ז 0 א
Perfect Numbers
The even-times-even numbers: In this type we can start with 1, whose double is 2; double the 2 is 4; double the 4 is 8.	והמין הזה נוכל להתחיל מהא' שכפלו הב' וכפל הב' ד' וכפול ד' ח‫'
By doubling all the perfect numbers are found.	ובדרך הכפול הזה ימצאו המספרים השלמים
Definition of a perfect number: The definition of a perfect number is any number that is generated from the sum of all its divisors, so that when all its divisors are summed they produce it exactly.	וגדר המספר השלם הוא כל מספר שיבנה מקבוץ כל חלקיו שבשילקח כל אחד מחלקיו ויקובצו יבנו אותו לא פחות ולא יתר
The perfect number is found by that we take the first double of this type and examine if its double minus 1 is a prime number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(2\sdot2^n\right)-1}}$	והמספר השלם ימצא בדרך הזה בשנקח כפל א' מזה המין ונעיין אם כפלו פחות א' יהיה מספר ראשון
If it is a prime number, we multiply the double we took by its double minus 1, and the product is a perfect number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2^n\sdot\left[\left(2\sdot2^n\right)-1\right]}}$	ואם יהיה מספר ראשון אז נכה אותו הכפל שלקחנו עם כפלו פחות א' והעולה מהכאה זו הוא מספר שלם
Definition of a prime number: The definition of a prime number is every number that is not a result of a product of any number.	וגדר המספר השלם [הראשון]‫ הוא כל מספר שלא יצא מהכאת שום מספר
As 7; or 31; or 3.	כמו ז' או ל"א או ג‫'
Example: we take the first double, which is 2. Since its double minus 1 is 3, which is a prime number, we multiply the first double of this type, which is 2, by its double minus 1, which is 3; the result is six and it is a perfect number. This is the perfect number that is in the rank of units. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(2\sdot2\right)-1\right]=2\sdot3=6}}$	המשל לקחנו הכפל הראשון מזה המין שהוא ב' ובעבור שכפלו פחות אחד הוא ג' והוא מספר ראשון נכה הכפל הראשון מזה המין שהוא ב' בכפלו פחות אחד והוא שהוא ג' ויצאו ששה [שהוא]‫ מספרים שלם וזה המספר השלם שבמדרגת האחדות
Because in every rank there is one perfect number, no more, and it is found by the said procedure.	כי בכל מדרגה יש מספר אחד שלם לא יותר וימצא בדרך האמור
This is enough for the third type.	וזה המין מספיק במין השלישי
Check: halving
The proof of this type [of operation] is that we apply the fourth type, which is halving.	והמופת במין הזה הוא בשנעשה המין הרביעי שהוא חלוק באמצע
The sum $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n 2^i}}$
This type has a property that whoever wants to know the sum of all the even-times-even numbers, doubles the last, then subtracts 1; and it is equal to the sum of all the even-times-even numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n 2^i=\left(2\sdot2^n\right)-2}}$	ולזה המין יש סגולה אחת שמי שירצה לדעת העולה מכל הנכפל יכפול האחרון ויסיר א' ויהיה שוה לכל הנכפל
Here is their diagram:	והנה לך צורתו
1       2       4       8     1 6     3 2     6 4   1 2 8   2 5 6   5 1 2 1 0 2 4 2 0 4 8 4 0 9 6 8 1 9 2	א       ב       ד       ח     א ו     ג ב     ו ד   א ב ח   ב ה ו   ה א ב א 0 ב ד ב 0 ד ח ד 0 ט ו ח א ט ב

Chapter Four: The Fourth Type [of Numerical Operations], which is Halving	הפרק הרביעי במין הרביעי שהוא חלוק באמצע
Definition of the halving operation: Halving is dividing any number into two equal parts.	‫[חלוק באמצע]‫ והוא חלוק איזה מספר שיהיה בשני חלקים שוים
Description of the procedure:
In this type we start to divide from the highest rank.	ובזה המין נתחיל לחלק מהאות השוה יותר
We do it this way that if it is an even number, we write its half beneath it.	ונעשה בדרך זה שאם יהיה זוג נשים תחתיו חציה
As writing 4 beneath 8.	כמו שמשים תחת ח' ד‫'
If it is an odd number, we leave one and write half of the remainder. The one that is left becomes ten for the digit that is next to it.	ואם יהיה נפרד נשאיר אחד ונכתוב חצי הנשאר והאחד שנשאר יהיה עשרה לאות הסמוכה לה
If there are no more digits, we halve it and it is a half of one.	ואם לא יהיו יותר אותיות נחלק אותו ויהיה חציו של אחד
If in [one of the] middle ranks there is one, we write beneath it 0 and the one becomes ten with the digit that is next to it.	ואם באמצע הטורי' ימצא אחד נשים תחתיו 0' והאחד יחזור עשרה עם האות הסמוכה לה
As this diagram: $\scriptstyle262144\div2$	כצורה הזאת‫
2 6 2 1 4 4 1 3 1 0 7 2	ד ד א ב ו ב ב ז 0 א ג א
Another diagram: $\scriptstyle1048876\div2$	צורה אחרת‫
1 0 4 8 8 7 6   5 2 4 4 3 8	א 0 ד ח ח  ז ו    ה ב ד ד ג ח
$\scriptstyle1048576\div2$	1 0 4 8 5 7 6   5 2 4 2 8 8
$\scriptstyle32143\div2$	3 2 1 4 3     1 6 0 7 1 ½
Check: doubling
The proof of this is doubling: if after it is doubled it becomes equal to the halved, then it is correct, otherwise it is incorrect.	והמופת על זה הוא הכפול שאם לאחר שנכפל ישוה לנחלק הוא אמיתי ואם לא ישוה אינו אמיתי
This is enough for the type of halving.	וזה מספיק בזה המין מחלוק באמצע

Chapter Five: The Fifth Type [of Numerical Operations], which is Multiplication and Some of its Properties	פרק ה' במין הה' והוא הרבוע וקצת מסגולותיו
Definition of a product: The product is a third number that is necessarily obtained from multiplying any two numbers one by the other so that each of them is found in [the third number] as many times as the units are in the other.	רבוע הוא מספר שלישי מתחייב מהכאת איזה שני מספרי' שיהיו האחד באחר שכל כך פעמים ימצא כל אחד מהם בו כאחדים שבאחר‫
Multiplication table
You should know that whoever wants to be proficient in this type [of operation], must memorize this table that is called the multiplication table.	וצריך שתדע שכל מי שירצה להיות בקי בזה המין צריך שידע זה הלוח על פה ויקרא לוח הרבוע‫ או לוח ההכאות‫

ז ב ט ח

ה ו ו ג ח ז ט ז

ד ב ד ח ה ד ז ו ח ו ט ו

ג 0 ג ה ד 0 ד ה ו ה ז ה ח ה ט ה

ב 0 ב ד ב ח ג ב ג ו ה ד ו ד ז ד ח ד ט ד

א ב א ה א ח ב א ב ד ב ז ד ג ה ג ו ג ז ג ח ג ט ג

ו   ח א 0 א ב א ד א ו א ח ג ב ד ב ה ב ו ב ז ב ח ב ט ב

א   ד   ט א ו ב ה ג ו ד ט ו ד ח א א א ב ב ג ג ד ד ה ה ו ו ז ז ח ח ט ט

7 2 9 8

5 6 6 3 8 7 9 7

4 2 4 8 5 4 7 6 8 6 9 6

3 0 3 5 4 0 4 5 6 5 7 5 8 5 9 5

2 0 2 4 2 8 3 2 3 6 5 4 6 4 7 4 8 4 9 4

1 2 1 5 1 8 2 1 2 4 2 7 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 3

6   8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2

1   4   9 1 6 2 5 3 6 4 9 6 4 8 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9

10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
20	18	16	14	12	10	8	6	4	2
30	27	24	21	18	15	12	9	6	3
40	36	32	28	24	20	16	12	8	4
50	45	40	35	30	25	20	15	10	5
60	54	48	42	36	30	24	18	12	6
70	63	56	49	42	35	28	21	14	7
80	72	64	56	48	40	32	24	16	8
90	81	72	63	54	45	36	27	18	9
100	90	80	70	60	50	40	30	20	10

י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
כ	יח	יו	יד	יב	י	ח	ו	ד	ב
ל	כז	כד	כא	יח	טו	יב	ט	ו	ג
מ	לו	לב	כח	כד	כ	יו	יב	ח	ד
נ	מה	מ	לה	ל	כה	כ	טו	י	ה
ס	נד	מח	מב	לו	ל	כד	יח	יב	ו
ע	סג	נו	מז	מב	לה	כח	כא	יד	ז
פ	עב	סד	נו	מח	מ	לב	כד	יו	ח
צ	פא	עב	סג	נד	מה	לו	כז	יח	ט
ק	צ	פ	ע	ס	נ	מ	ל	כ	י

What is received from one of these two tables, is received from the other, there is no difference between them, except for the extensiveness versus brevity.	‫ואלה השתי לוחות מה שיושג באחת יושג באחרת ואין ביניהם הבדל אלא באריכות ובקצור
Description of the procedure:
In order that the two numbers we want to multiply will be well distinguished, we call the bottom number "multiplier" and the upper number "multiplied". We write in a line any multiplied number we want and beneath it we write the multiplier.	וכדי שיוכרו בטוב הב' מספרי' שנרצה להכות או לרבע נקרא לתחתון פועל ולעליון פעול ונכתוב מהפעול איזה טור שנרצה ותחתיו נכתוב הפועל
If the multiplier consists of one digit, we write one line [of the product] and we start from the units.	ואם הפועל יהיה אות אחת נעשה טור א' ונתחיל מהאחדות
If the multiplier consists of two digits, we write two lines, the first line starts with the units and the second starts with the tens.	ואם הפועל יהיה מב' אותיות נעשה ב' טורים הטור הראשון יתחיל באחדות והשני בעשרות
If the multiplier consists of three digits, we write three lines, the first starts with the units, the second with the tens, and the third starts with the hundreds.	ואם הפועל יהיה מג' אותיות נעשה ג' טורים הראשון יתחיל באחדות והב' בעשרות והג' במאות
And so on by this order, even if the digits are very many.	וכן כסדר הזה ואם ירבו האותיות מאד
Beneath the rank of the digit of the multiplier, whichever it may be, one should write the beginning of its operation there. This is difference between the lines we said, as you can see in the next diagram, under the lines of the multiplied and the multiplier.	כלומ' שתחת מדרגת אות הפועל איזה שיהיה שם צריך שיכתוב התחלת פעולתו וזהו חלוף הטורים שאמרנו כמו שתראה אותם בצורה הבאה תחת שורות הפעול והפועל
We do as follows:	ונעשה כן
First, we multiply the digit of the units of the multiplier by the digit of the units of the multiplied. This multiplication yields either ten, or more, or less.	שבראשונה נכה אות אחדות הפועל באות אחדות הפעול ומההכאה ההיא או יהיו עשרה או יותר או פחות
If it is ten, we write 0 and keep the ten for the rank that follows, there its numerical value becomes one.	ואם יהיו עשרה נכתוב 0' ונשמור העשרה למדרגה הנמשכת אליה ויהיו שם בשם אחד
If it is more than ten, we write the excess over 10, and we shift the ten to the close rank that follows, there its numerical value becomes one.	ואם יהיו יותר מי' נכתוב המותר מהי' ונעביר הי' למדרגה הנמשכת הסמוכה ויהיו שם בשם אחד
If it is less than ten, we write it in its place.	ואם יהיו פחות מי' נכתוב אותם במקומם
The same should be done with each of the digits of the multiplier by the digits of the multiplied.	וכן צריך לעשות מכל אחד מאותיות הפועל עם אותיות הפעול
So, if the digits of the multiplier are one, there is one line [of the product]; if two, there are two lines; and if more, there are more.	וא"כ אם אות הפועל תהיה א' הטור יהיה א' [ואם יהיו שני הטורים יהיו שנים‫]‫ ואם יותר יותר
Then, we sum up all the lines that we wrote and this is the product we wanted of the two numbers.	ואחר נקבץ כל הטורים שעשינו וזו היא ההכאה או הרבוע שבקשנו מהב' מספרים
As can be seen in each of these diagrams:	כמו שיראה בכל אחת מאלו הצורות
$\scriptstyle1234\times12$   1 2 3 4       1 2   2 4 6 8 1 2 3 4   1 4 8 0 8	א ב ג ד       א ב   ב ד ו ח א ב ג ד   א ד ח 0 ח
$\scriptstyle1234\times5$ 1 2 3 4       5 6 1 7 0	א ב ג ד       ה ו א ז 0
$\scriptstyle9876\times25$	9 8 7 6         2 5   4 9 3 8 0 1 9 7 5 2   2 4 6 9 0 0
Check: casting out by 9
The proof of this is that we consider all the digits of the multiplier as units, then cast out the nines and keep the remainder.	והמופת על זה שנמנה כל אותיות הפועל כמו אחדים ונחלקם לתשיעיות ונשמור ‫המותר
Likewise for the multiplied.	וכן מהפעול
We multiply the remainder of the multiplier by the remainder of the multiplied, then cast out the nines from the product and keep the remainder.	והמותר מהפועל נכה אותו במותר הפעול והעולה [נשליך ממנו עוד התשיעיו' הנשאר]‫ נשמור אותו
We cast out the nines from the result of the multiplication also and keep the remainder.	והמקובץ מההכאה הראשונה נחלקהו ג"כ בתשיעיות ונשמור הנשאר
If this remainder is equal to the remainder of the product of the remainders of the multiplier and the multiplied, then the multiplication is correct, otherwise it is not.	ואם זה הנשאר או המותר יהיה שוה לעולם [למותר העולה]‫ מהכאת מותרי הפועל והפעול ההכאה ההיא אמיתית ואם לא אינה אמיתית
Multiplication with recollection
There is another way to multiply.	ויש דרך אחר לרבע
Know that since the multiplier, when multiplied by the multiplied, generates as many lines as the digits in it as we said above, thereafter the sum of its lines indicates the product, if we want to make it easier, instead of making that many lines, we can get from one line what we get from numerous lines, because we already have a method for this and it is this:	דע כי כמו שהפועל בהכאתו בפעול עושה כל כך טורים כאותיות שיש בו כמו שאמרנו למעלה ואחר כך בקבוץ טוריו מורה הרבוע כן גם כן אם נרצה להקל מלעשות הרבה טורים באופן שמה שנשיג בהרבה טורים נוכל להשיג בטור א' כבר יש לנו דרך לזה והיא זאת
Know that the beginning of the multiplier operation is in the multiplication of its units by the units of the multiplied and the position of this product is the position of the units.	דע שהתחלת פעולת הפועל היא בהכאת האחדות שלו באחדות הפעול ומקום ההכאה הזאת היא מקום האחדות
The multiplication, from which the tens are generated, should begin from the position of the tens.	וההכאה שממנה יולדו [העשרות צריך שתתחיל במקום העשרות
The multiplication, from which the hundreds are generated, should begin from the rank of the hundreds.	וההכאה שממנה יולדו]‫ המאות צריך שתתחיל במדרגת המאות
The same for the others by the order.	וכן מהאחרות‫ כסדר
This is the way to know the multiplication from which the tens are generated, and the multiplication from which the hundreds are generated, as well as the rest ranks:	ולדעת ההכאה שממנה יולדו העשרו' וההכאה שממנה יולדו המאות וכן מהמדרגות האחרות זו היא הדרך
You already know that the product of the units by units is written in the [rank of] units.	כבר ידעת שהכאת האחדות באחדו' כתיבתה היא באחדות
The product, from which the tens are generated, is this:	וההכאה שממנה יולדו העשרות היא זאת
The product of the units of the multiplier by the tens of the multiplied.	שהכאת אחדות הפועל בעשרות הפעול
Also, the tens of the multiplier by the units of the multiplied.	וגם כן עשרות הפועל באחדות הפעול
These two products alone generate the tens.	אלו שתי ההכאות לבד הם העושות עשרות
The products, from which the hundreds are generated, are three:	וההכאות שמהן יולדו המאות הם ג‫'
The first is the units of the multiplier by the hundreds of the multiplied.	‫[הא']‫ מאחדות הפועל במאות הפעול
The second is the tens of the multiplier by the tens of the multiplied.	והב' עשרות הפועל בעשרות הפעול
The third product is the hundreds of the multiplier by the units of the multiplied.	וההכאה הג' היא ממאות הפועל באחדות הפעול
The sum of these three [products] should be written in the rank of hundreds.	וקבוץ שלשתם ‫צריך שיכתוב במדרגת המאות
The products, from which the thousands are generated, are four:	וההכאות שמהם יולדו האלפים הם ד‫'
The first is the product of the units of the multiplier by the thousands of the multiplied.	הראשונה היא הכאת אחדות הפועל באלפי הפעול
The second is the tens of the multiplier by the hundreds of the multiplied.	ושנית עשרות הפועל במאות הפעול
The this is the product of the hundreds of the multiplier by the tens of the multiplied.	ושלישי הכאת מאות הפועל בעשרות הפעול
The fourth is the thousands of the multiplier by the units of the multiplied.	ורביעית אלפי הפועל באחדות הפעול
The sum of these four products should be written in the rank of thousands.	והעולה מאלו הד' הכאות צריך להכתב במדרגת אות האלפים
By this order for all the digits of the line: the products are according to their position.	וכסדר הזה בכל אותיות הטור שיהיו כי לפי המקום יהיו ההכאות
The position of the thousands is the fourth position, so we do 4 products.	ובעבור שמקום האלף הוא מקום רביעי לכן עשינו ד' הכאות
Likewise for the tens of thousands, which is the fifth position, so 5 products are needed.	וכמו כן בעשרות אלפי' שהוא מקום חמישי צריך ה' הכאות
So on by this order.	וכסדר הזה
If there are many ranks, there are many products.	ואם ירבו המדרגות ירבו ההכאות
Q.E.D.	וזה מה שרצינו הנה
Here is its diagram:	והנה לך צורתו
$\scriptstyle4321\times1542$       4 3 2 1       1 5 4 2 6 6 6 2 9 8 2	ד ג ב א       א ה ד ב ו ו ו ב ט ח ב
$\scriptstyle3245\times432$	3 2 4 5         4 3 2 1 4 0 1 8 4 0
Since a few special properties are found in this type [of operation], we shall present them here, and they are:	ובעבור שבזה המין ימצאו קצת סגולות מיוחדות נאמר אותם הנה והם אלו
Sums
First, if we wish to know the sum of many numbers arranged by their order, as counting one, two, three, four, and so on in succession. $\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=1+2+3+4+5+\ldots$	ראשונה אם נרצה לדעת קבוץ מספרים הרבה מסודרים במדרגותיהם כמו שמונה אחד ושניים ושלשה וארבעה וכן כסדר
If they are many and we wish to know the sum of all of them, we have two way for this:	ואם ירבו מאד ונרצה לדעת קבוץ כולם יש לנו בזה ב' דרכי‫'
The first way is as we stated, and the way to know it is that we examine the last number, if it is even or odd.	הדרך הראשון [הוא בזה]‫ שאמרנו ודרך ידיעתו היא זאת שנעיין המספר האחרון אם הוא זוג או נפרד
If it is even number, we take its half, multiply it by the last number plus 1, and we get the sum of all of them. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{2n} i=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\sdot\left(2n+1\right)}}$	ואם יהיה זוג נקח חציו ונכה אותו על האחרון בתוספת א' ויצא לנו קבוץ כולם
Example: we wish to know the sum from one to 12. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i=1+\ldots+12$	המשל שנרצה לדעת קבוץ אחד מאחד עד י"ב
We take a half of 12, which 6, multiply it by 13, which is the last number plus 1; it is 78 and this is the sum from 1 to 12.	נקח חצי י"ב שהוא ו' ונכהו בי"ג שהוא המספר האחרון עם תוספת א' ויהיו ע"ח וכך הוא הקבוץ מא' עד י"ב‫
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{12} i=1+\ldots+12=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left(12+1\right)=6\sdot13=78}}$
If the last number is odd, we take its half plus one half, multiply it by the last number, and we get the sum of all of them. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{2n-1} i=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot\left(2n-1\right)}}$	ואם המספר האחרון יהיה נפרד נקח חציו ‫וחציו של א' יותר ונכה אותו האחרון ויצא לנו קבוץ כולם
Example: we wish to know the sum from one to 13. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{13} i=1+\ldots+13$	המשל נרצה לדעת המקובץ מאחד עד י"ג
We take 6 and a half plus one half, which is 7, and multiply it by 13; the result is 78 and this is the sum of all of them.	נקח ו' וחצי וחצי יותר שהם ז' ונכה אותם על י"ג ויעלו צ"א וכך הוא המקובץ מכולם
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{13} i=1+\ldots+13=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot13=\left[\left(6+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot13=7\sdot13=91}}$
This way even if the numbers are very many.	וכסדר הזה ואם המספרי' הרבה מאד
The second way is that if the numbers are all even, starting from 2, then 4, then 6, and so on, even if they are very many in this succession. $\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=2+4+6+\ldots$	והדרך השנית הוא בזה שאם יהיו המספרי' כלם זוגות כשנתחיל מב' ואחר ד' ואחר ו' וכן אם ירבו מאד כסדר הזה
To know the sum of all of them, we take half the last even number, multiply it by its other half plus one and the result is the sum of all the even numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n 2i=2+4+6+\ldots=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)+1\right]}}$	לדעת המקובץ מכולם נקח חצי הזוג האחרון ונכה אותו על חציו האחר בתוספת אחד ומה שיעלה הוא קבוץ כל הזוגות
Example of this: if the last even number is 12. $\scriptstyle\sum_{i=1}^6 2i=2+\ldots+12$	המשל בזה שאם הזוג האחרון יהיה י"ב
We take its half, which is 6, and multiply it by 7, which is half the number plus 1; the result is 42 and this is the sum of all of them.	נקח חציו שהוא ו' ונכהו על ז' שהוא חצי המספר בתוספת א' ויעלה למ"ב וכך הוא הקבוץ של כולם
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^6 2i=2+\ldots+12=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+1\right]=6\sdot\left(6+1\right)=6\sdot7=42}}$
If the numbers are all odd, starting from 1, then 3, then 5, then 7, and so on, even if they are very many in this succession. $\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=1+3+5+7+\ldots$	ואם יהיו המספרים נפרדים כולם כשנתחיל מא' ואחר ג' ואחר ה' ואחר ז' ואם ירבו מאד כסדר הזה
To know the sum of all of them, we take half the last number plus one half, multiply it by itself and the result is the sum of all of them. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=1+3+5+7+\ldots=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]^2}}$	לדעת המקובץ מכולם נקח חצי המספר האחרון וחצי אחד יותר ונכהו בעצמו ומה שיעלה הוא המקובץ מכולם
Example of this: we wish to know the sum of all the odd numbers from one to 15. $\scriptstyle\sum_{i=1}^8 \left(2i-1\right)=1+\ldots+15$	המשל בזה נרצה לדעת המקובץ מכל הנפרדים מהאחד עד ט"ו
We take half the last number, which is 7 and a half, plus one half; it is 8. We multiply it by itself; the result is 64 and this is the sum of all of them.	נקח חצי האחרון שהוא ז' וחצי וחצי יותר ויהיו ח' ונכהו בעצמו ויעלו ס"ד וכך הוא המקובץ מכולם
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^8 \left(2i-1\right)=1+\ldots+15=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\frac{1}{2}\right]^2=\left[\left(7+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\right]^2=8^2=64}}$
Do this way even if the numbers are very many.	וכסדר הזה תעשה ואם ירבו המספרים הרבה מאד
Shortcuts
In this type, i.e. the multiplication, there are other ways to know the product of the numbers by a shortcut.	ובזה המין ר"ל הרבוע יש דרכים אחרים עוד לדעת הכאת המספרים בדרך קצרה
The first is when we wish to know the product of any two numbers that are less than ten, we do as follows: we look at the greater number, by how much is it less than ten, and as much as the greater is less than 10, that many times we subtract the smaller number from its product by ten. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a<b<10\longrightarrow a\times b=\left(10\sdot a\right)-\left[\left(10-b\right)\sdot a\right]}}$	והראשון כשנרצה לדעת הכאת כל שני מספרים שהם תחת העשרה נעשה כך נראה המספר ה[.] היותר גדול כמה הוא ‫פחות מעשרה וכמו שיהיה הגדול פחות מי' כך פעמים נוציא המספר הפחות מעשרתו
Example: we wish to know the product of 8 by 9. $\scriptstyle8\times9$	המשל שנרצה לדעת קבוץ הכאת ח' בט‫'
We find that the greater number, which is 9, is less than 10 by one. So, we subtract 8 once from 80, which is its product by ten; 72 remains and this is the product of 8 by 9.	ומצאנו שהמספר היותר גדול שהוא ט' הוא פחות מי' אחד ולכן נחסר ח' פעם אחת מפ' שהוא עשיריתו וישארו ע"ב וזאת היא ההכאה מח' בט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{8<9<10\longrightarrow8\times9=\left(10\sdot8\right)-\left[\left(10-9\right)\sdot8\right]=80-\left(1\sdot8\right)=80-8=72}}$
This is the way for others.	וכך הוא הסדר באחרים
As we arranged our procedure according to the greater number, so we can arrange it also according to the smaller number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a<b<10\longrightarrow a\times b=\left(10\sdot b\right)-\left[\left(10-a\right)\sdot b\right]}}$	וכמו שסדרנו פעולתנו על המספר היותר גדול ג"כ נוכל לסדרו על המספר הפחות
Example: as we said regarding the product of 8 by 9: by how much is the 9 less than 10, so we do when we examine by how much is 8 less than 10, which is by 2. So we subtract 2 times 9 from 90; 72 remains.	המשל כי כמו שאמרנו בהכאת ח' בט' כמה היה הט' פחות מי' כך נעשה כשנעיין כמה היו מח' עד י' שהם פחות ב' ולכן נחסר ב' פעמים ט' מהצ' וישארו ע"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{8<9<10\longrightarrow8\times9=\left(10\sdot9\right)-\left[\left(10-8\right)\sdot9\right]=90-\left(2\sdot9\right)=72}}$
All is the same procedure, but it is easier when we arrange our procedure according to the greater number.	והכל פעולה אחת אלא שהוא יותר נקל כשנסדר פעולתינו על המספר הגדול
If it is in the rank of tens, when we wish to multiply any number by ten, we add zero to it. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10\times a=a0}}$	ואם יהיה במדרגת העשרות כשנרצה להכות איזה מספר שיהיה בעשרה נוסיף עליו 0‫'
Example: if we want to know how much is 10 times 12, we add 0 to 12; it is 120, and in the positional system they are written as 120. $\scriptstyle10\times12=120$	המשל אם נרצה לדעת י' פעמים י"ב כמה הם נוסיף 0' על י"ב ויהיו ק"כ ובדרך המספר יסודרו כן 0בא‫
If the product is 20 by any number, we multiply the multiplied number by 2, then add 0. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{20\times a=\left(2\sdot a\right)0}}$	ואם יהיה ההכאה על כ' באיזה מספר נכפול המספר המוכה בב' ונוסיף 0‫'
Example: 20 times 5. We double the 5; it is 10. We add zero; it is 100. $\scriptstyle20\times5=\left(2\sdot5\right)0=100$	המשל כ' פעמי' ה' נכפול הה' ויהיו י' ונוסיף 0' ויהיו ק‫'
The same for the others.	וכן מהאחרים
If we want to multiply thirty by any number, we triple it, then add 0 to it. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{30\times a=\left(3\sdot a\right)0}}$	ואם נרצה להכות בשלשים איזה מספר שיהיה נשלש ונוסיף עליו 0‫'
Example: 30 times 20. We triple 20; it is 60. We add zero; it is 600 and this is its shape by the positional system: 600. $\scriptstyle30\times20=\left(3\sdot20\right)0=600$	המשל ל' פעמים כ' נשלש הכ' ויהיו ס' ונוסיף ספרא ויהיו ת"ר וזו היא צורתו בדרך המספר 00ו‫
This way for all the tens.	וכסדר הזה בכל העשרות
If we wish to multiply any number by a hundred, we add two zeros to it, so it is multiplied by a hundred. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{100\times a=a00}}$	ואם [נרצה]‫ להכות במאה איזה מספר נוסיף עליו ב' ספראש ויהיה מוכה במאה
If we wish to multiply any number by a thousand, we add three zeros to it. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1000\times a=a000}}$	‫ואם נרצה להכות איזה מספר באלף נוסיף עליו ג' ספרש
And so on, we always add one zero for each rank.	וכן כסדר הזה כשנוסיף תמיד בכל מדרגה 0' אחת

Chapter Six: The Sixth Type which is Division	פרק שישי במין השישי שהוא החלוק
Definition of the division operation: division is dividing any number into equal parts as the number of units in the divisor.	חלוק הוא חלוקת איזה מספר שיהיה בכך חלקים שוים כמספר האחדים שבמחלק
In this type [of operation] one should start from the highest rank.	ובמין הזה צריך להתחיל באות ששוה יותר
We write the divisor beneath the dividend, leaving an empty space between the divisor and the dividend to write in it the quotient required for each part of the divisor.	ונכתוב המחלק תחת המחולק בשנניח מקום פנוי בין המחלק והמחולק שנכתוב בו החלק המבוקש לכל אחד מחלקי המחלק
Since division is only to know how many times the divisor is found in the dividend, we should examine how many times the digit of the divisor is found in the digit of the dividend and we should write the number of these times in the empty space that we left.	ובעבור שהחלוק אינו אלא לדעת כמה פעמים ימצא המחלק במחולק לכן צריך שנעיין כמה פעמים ימצא אות המחלק באות המחולק ומספר אותם הפעמים צריך שנכתוב במקום הפנוי שהנחנו
Example: we wish to divide 144 by 8. $\scriptstyle144\div8$	המשל נרצה לחלק קמ"ד על ח‫'
Do as this diagram:	תעשה כך כצורה הזאת
0   0 6 0 1 4 4   1 8   8	0   0 ו 0 א ד ד   א ח   ח
You should know that when the digit of the dividend is less than the divisor, as in this example, we take two digits of the dividend and we consider the greater as tens and the other as units.	וצריך שתדע כי כשהאות המחולק תהיה פחות מהמחלק כמו בזה המשל אז נקח ב' אותיות מהמחולק ונקח היותר גדולה בשם עשרה והאחרת בשם אחדות
As you see in this diagram:	כמו שאתה רואה בזאת הצורה
The 1 is a ten and the 4 is four; their sum is 14. We say: how many times is 8 in 14? We see that it is found once and 6 remains.	הא' בשם עשרה והד' בשם ארבעה וקבוצם י"ד ונאמר כמה פעמים ימצא ח' בי"ד וראינו שימצא פעם אחד ונשארו ו‫'
We write the one as the quotient, beneath the 4; and we write the remaining 6 above the 4 of the dividend.	והאחד שמנו בשם חלק שהיא א' תחת הד' והו' שנשארו כתבנו על הד' של המחולק
Since only 6 remains from the 14, we write 0 above the 1 and the remaining 6 are tens for what follows.	ובעבור שמהארבעה עשר לא נשארו יותר מו' כתבנו על הא' מהמחולק 0' והו' הנשארים יהיו עשרות להבא
So, there is still 64 remains to divide. We divide it by 8; it is 8 in the quotient.	וא"כ נשארו עדיין לחלק ס"ד ונחלקם בח' ויהיו ח' לחלק
We write it beneath the first 4 of the dividend.	ונכתוב אותם תחת הד' הראשון של המחולק
We say: 8 times 8 is 64. When we subtract it from the dividend, which is 64, nothing remains.	‫ונאמר ח' פעמים ח' הם ס"ד וכשנחסרם מהמחולק שהם ס"ד לא ישאר דבר
Hence, we write 0 above the 6 and 0 above the 4.	ולכן כתבנו על ו' ספרא ו0' על הד‫'
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{14\div8={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{6}}}}}$ ​ $\scriptstyle\longrightarrow$ ​ $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{64\div8={\color{blue}{8}}}}}$  0  06  06  060 144 144 144 144  1   1   18  8   8    8   8 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{18\ the\ result}}$
This way for all the ranks, even if they are very many.	ובדרך הזה צריך בכל המדרגות ואם ירבו מאד
All this is when the divisor consists of one digit alone.	וכל זה כשיהיה המחלק מאת אחת בלבד
Know that when the digit of the quotient is placed beneath the units, then we know that there is nothing left to divide, and this is clear for the integers.	ודע כי כשאות החלק יבא תחת אחדות המחולק אז נדע שלא נשאר יותר לחלק וזה יובן בשלמים
If something remains, relate it to the divisor and as the ratio of the parts to one whole, so is each part to the divisor; or convert each one of the remaining to as many parts as the units that are in the divisor, then we divide them by the divisor.	ואם ישאר דבר תיחסהו למחלק וכאותו היחס מחלקי שלם אחד יהיה לכל חלק מהמחלק או תהפך כל אחד ואחד מהנשארים לכל כך [חלקים]‫ כמו האחדים שיש במחלק ואחר נחלקם במחלק
Thereafter, there is nothing left to divide.	ואז לא ישאר דבר לחלק
The example: if the divisor is 8 and what remains to divide is 3, we take the ratio of 3 to 8; the ratio is 3-eighths.	המשל בזה שאם המחלק יהיה ח' והנשאר לחלק היו ג' ניחס הג' לח' ויהיה היחס ג' שמיניות
Or, we convert every one of the remaining three into 8 parts; they are 24 parts. We divide them by the divisor that is 8; each part receives 3-eighths.	או נעשה מכל א' מהג' הנשארי' ח' חלקי' ויהיו [כ"ד]‫ חלקים ונחלקם על המחלק שהם ח' ויבא לכל חלק ג' שמיניות
In this way you proceed whenever anything remains for you to divide.	ובדרך הזה תעשה בכל עת שישאר לך דבר לחלק
If the divisor consists of two digits [= units and tens]: we write it beneath the dividend, in the highest rank, leaving a free space, as aforesaid.	ואם יהיה המחלק מב' אותיות נכתוב אותו תחת המחולק במדרגה השוה יותר בהניחנו מקום פנוי כאמו‫'
You should know that if the divisor consists of two digits, we must consider in our procedure the first corresponding digit of the dividend as units and the other as tens.	וצריך שתדע שאם המחלק יהיה מב' אותיות שהאותיות הנגדיות מהמחולק צריך שבפעולתינו נקח האחת כמו אחדות והאחרת כמו עשרות
If the divisor consists of three digits, the first corresponding digit of the dividend is [considered] as units, the second as tens, and the third as hundreds.	ואם המחלק יהיה מג' אותיות הנגדיות מהמחולק יהיה האחת כמו אחדות והב' כמו עשרות והג' כמו מאות
And so on by this order, if the [digits] are numerous, the [ranks] are numerous.	וכן כסדר הזה ואם ירבו ירבו השמות
First, we examine the left digit of the divisor: how many times it is found in the first digit of the dividend. We write [the number of] times that it is found in it as the quotient in the empty space above the digit of the units of the divisor, provided that it will be enough to subtract the product of of the quotient by the right digit of the divisor from the right digit of the dividend with the help of the left digit that is next to it. Because the two digits of the dividend always help each other and this is necessary at all stages of the division. Then, we subtract [the product] from the dividend.	וראשונה נעיין האות השמאלית מהמחלק כמה פעמים ימצא ‫באות הראשון שבמחולק וכל כך פעמים שימצא בו כך נכתבנו בשם חלק במקום הפנוי על אות אחדות המחלק בתנאי זה שהכאת החלק באות הימנית מהמחלק יספיק לחסר אותה מהאות הימנית של המחולק בעזר האות השמאלית [שבצדה]‫ למה שהב' אותיות של המחולק נעזרת לעולם וזה הכרחי בכל מדרגות החלוק ואז נחסרם מהמחולק
If the two digits of the dividend are smaller than the digits of the divisor, we write zero in the quotient and move to the next [digit].	ואם הב' אותיות של המחולק היו פחות מאותיות המחלק נכתוב ספרא בשם חלק ונעבור לבאות
Then, we should take the two left digits of the dividend for the left digit of the divisor and the other [digit of the dividend] for the right [digit of the divisor].	ואז צריך שנקח הב' אותיות מהמחולק מצד שמאל בשם אות שמאלית מהמחלק והאחרת בשם אות ימאנית
We examine how many times can the left [digit] of the divisor be subtracted from the two left digits of the dividend, so that the right digit of the divisor can be subtracted [the same number of] times from the right [digit] of the dividend.	ומאלו ב' האותיות מהמחולק מצד שמאל נעיין כמה פעמים איפשר לחסר מהן השמאלית מהמחלק ושכל כך פעמים יחסר האות הימנית מהמחלק מהימנית מהמחולק
This way until the end of all the digits of the dividend as stated above.	וכדרך זה עד כלות כל האותיות מהמחולק כאמו' למעלה
For the meaning of division is nothing but that the digit we put in the quotient is such that as many times that the left [digit] of the divisor is subtracted from the left [digit] of the dividend, the [same number of] times the right [digit] of the divisor is subtracted from the right [digit] of the dividend and [likewise the rest of the digits] if there are more.	כי כונת החלוק אינו אלא שהאות שנשים בשם חלק שכל כך פעמים שיחסר שמאלית המחלק מהשמאלית המחולק כל כך פעמים יחסר ימנית המחלק מימנית המחולק ויותר אם יהיו
As can be seen in this diagram: $\scriptstyle9876\div12$	כנראה בצורה הזאת
0 0 0   1 2 3 0 9 8 7 6   8 2 3 1 2	0 0 0   א ב ג 0 ט ח ז ו   ח ב ג א ב
Suppose we wish to divide 9876 into 12 parts.	ונניח שנרצה לחלק ט' אלפי' ותתע"ו בי"ב חלקים
Since the divisor is of two numerals, we take the two last digits of the dividend, which are 9 and 8 - the 8 are as units and the 9 are as tens, which are 98 above the 12.	בעבור שהמחלק הוא מב' אותיות נקח הב' אותיות אחרונות מהמחולק שהם ח'ט' הח' בשם אחדות והט' בשם עשרות שהם צ"ח על י"ב
We examine how many times the leftmost digit of the divisor, which is 1, can be subtracted from the leftmost digit of the dividend, which is 9. We see that it is 9 times in it.	ונעיין כמה פעמים איפשר לחסר האות השמאלית של המחלק שהיא א' מאות השמאלית מהמחולק שהיא ט' ונראה שימצא בה ט' פעמים
Indeed, since we say that as many times as the left [digit] of divisor is found in the left [digit] of the dividend, so many times the right [digit] of the divisor should be subtracted from the right [digit] of the dividend, and that is not enough, thus we write 8 as the quotient and subtract it from the 9; 1 remains above the 9.	האמנם למה ‫שאמרנו שכל כך פעמי' כמו שימצא שמאלית המחלק בשמאלית המחולק כל כך פעמים צריך לחסר ימנית המחולק מהמחולק‫ וזה אינו מספיק לכך כתבנו ח' בשם חלק וחסרנו אותם מהט' וישאר א' על הט‫'
We say: 8 times 2, which are 16, when we subtract them from 18, 2 remain above the 8 and zero above the 1 of the dividend.	ונאמ' ח' פעמי' ב' שהם י"ו כשנחסרם מי"ח ישארו ב' על הח' מהמחולק וספרא על הא' מהמחולק
Now we go back and take the 2 and the 7 - the 2 on the left and the 7 on the right as said - and we arrange them as we arranged the two first digits, saying: how many times the left [digit] of the divisor, which is 1, can be subtracted from the left [digit] of the dividend, which is 2. We find that it can be subtracted twice.	ועתה נחזור ונקח הב' והז' הב' בשם שמאלית והז' בשם שמאלית‫ כאמור ונסדרם כמו שסדרנו בב' האותיות הראשונות כשנאמר כמה פעמי' איפשר לחסר שמאלית המחלק שהיא א' משמאלית המחולק [שהיא]‫ ב' ונמצא שאיפשר שיחסר ב' פעמי‫'
We find also that the right [digit] of the divisor, which is 2, can be subtracted twice from the right [digit] of the dividend, which is 7.	וג"כ נמצא שימנית המחלק שהיא ב' איפשר שיחסר ב' פעמי' מימנית המחולק שהיא ז‫'
Therefore, we write 2 as the quotient.	ולכן כתבנו ב' בשם חלק
We multiply the 2 of quotient by the 1, which is the left digit of the divisor; the product is 2. We subtract it from the 2, which is the left [digit] of the dividend; 0 remains.	והכינו הב' מהחלק על הא' שהיא אות שמאלית מהמחלק ויעלו ב' ונחסרם מהב' שהיא שמאלית המחולק וישאר ספרא
We multiply the 2, which is the quotient by the 2, which is the right [digit] of the divisor; the product is 4. We subtract it from the 7; 3 remain above the 7.	עוד נכה הב' שהוא החלק על הב' שהוא ימנית המחולק ויעלו ד' ונחסרם מהז' וישאר ג' על הז‫'
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9-\left(1\sdot{\color{blue}{8}}\right)=9-8={\color{green}{1}}}}\\&\scriptstyle{\color{red}{{\color{green}{1}}8-\left(2\sdot{\color{blue}{8}}\right)=18-16={\color{green}{2}}}}\\\end{align}}$ 0    $\scriptstyle\longrightarrow$ 0    $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{2-\left(1\sdot{\color{blue}{2}}\right)=2-2={\color{green}{0}}}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7-\left(2\sdot{\color{blue}{2}}\right)=7-4={\color{green}{3}}}}\\\end{align}}$ 00   12   12   123  9876 9876 9876 9876  8    8    82  12   12    12   12
Let 6 be the right [digit] of the dividend and 3 be the left [digit] of the dividend.	ויהיה ו' ימנית המחולק וג' שמאלית המחולק
We examine how many times the 1, which is the left [digit] of the divisor, can be subtracted from the 3, which is the left [digit] of the dividend. We find that it is 3 times.	ונעיין כמה פעמי' איפשר לחסר א' שהוא שמאלית המחלק מהג' שהיא שמאלית המחולק ומצאנו שג' פעמי‫'
We check also if the 2, which is the right [digit] of the divisor, is found so many times in the right [digit] of the dividend. We find that it is found [that mach].	ובקשנו ג"כ אם ימצא הב' שהוא ימנית המחלק כל כך פעמים בימנית של המחולק ומצאנו שימצא
Therefore, we write 3 as the quotient.	ולכן כתבנו ג' בשם חלק
We multiply 3 by 1; the product is 3. We subtract it from the 3 of the dividend; 0 remains.	והכינו ג' בא' ועלו ג' ונוציאם מהג' של המחולק וישאר 0‫'
We multiply also the 3 of the [quotient] by the right [digit] of the divisor, which is 2; the product is 6. We subtract it from the 6, which is the right [digit] of the dividend; 0 remains. We write 0 above the 6.	וג"כ נכה הג' של המחלק על ימנית המחלק שהוא ב' ויעלו ו' ונחסרם מהו' שהיא ימנית המחולק וישאר ספרא ונכתוב ספרא על הו‫'
00   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{3-\left(1\sdot{\color{blue}{3}}\right)=3-3={\color{green}{0}}}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-\left(2\sdot{\color{blue}{3}}\right)=6-6={\color{green}{0}}}}\\\end{align}}$ 000  123  1230 9876 9876  823  823   12   12 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{823\ the\ result}}$
So, all is divided and the quotient is 823.	והנה נחלק הכל ויהיה החלק תתכ"ג‫
Check: multiplication
The proof of this is that we multiply the quotient by the divisor and if it is equal to the dividend, it is correct, otherwise we should calculate again.	והמופת ‫על זה הוא שנכה החלק במחלק ואם יהיה שוה למחולק הוא אמת ואם לאו נחזור שנית לחשבונינו
Check: casting out by 9
Another proof is that we cast out the nines from the divisor on one side and from the quotient on the other side, then we multiply the remainders of the two that are less than 9. We cast out the nines from [the product] also and keep what is less than 9.	ומופת אחר שנחסר התשיעיות מהמחלק בצד אחד ומהחלק לצד אחר ונכה הנשאר מהשניים שלא יעלה לט' ונוציא ממנו ג"כ התשיעיות ומה שלא יעלה לט' נשמרהו
We cast out the nines from the dividend also and look at the remainder that is less than 9: if it is equal to the remainder of the product, it is correct, otherwise it is not.	ונשליך ג"כ המחולק לתשיעיות ונראה הנשאר שלא הגיע לט' ואם יהיה שוה לנשאר מההכאה הוא אמת ואם לאו אינו אמת
If the divisor consists of more than two digits, we do exactly the same way itself: that as many times the left [digit] of the divisor is found in the left [digit] of the dividend, the same [number of] times we subtract the right [digit] of the divisor from the right [digit] of the dividend, and the same [number of] times the third [digit] of the divisor [is subtracted] from the third [digit] of the dividend, and the fourth also, if it consists of four [digits].	ואם יהיה המחלק יותר מב' אותיות נעשה בדרך זה בעצמו לא פחות ולא יתר שכל כך פעמי' שימצא שמאלית המחלק בשמאלית המחולק כל כך פעמי' נחסר ימנית המחלק מימנית המחולק וכל כך פעמים אות הג' של המחלק מאות הג' של המחולק והד' ג"כ אם יהיה מד‫'
We do this way, even if the digits are very many.	וכן אם ירבו האותיות הרבה מאד נעשה כסדר הזה
This is enough for the six types [of operations] with integers.	וזה יספיק בו' מיני השלמים
Now, we shall discuss the six types [of operations] with fractions and their properties.	ונדבר עתה מו' מיני השברים ומסגולותיהם

Section Three of Book One: [Fractions]	הכלל השלישי מהמאמר הא‫'
It is divided into eight chapters	ויתחלק לח' פרקים
Chapter One: Guiding Methods of the Writing Fractions, their Definition, and their Arrangement	הפרק הראשון בדרכים מיישירים באופני הנחת השברים וגדרם וסדורם
After we discussed the six types [of operations with] integers, we should now discuss the six types [of operations with] fractions.	‫[ואחר שדברנו מו' מיני השלמים עתה צריך שנדבר בו' מיני השברים‫]‫
You should know that as there are six types [of operations with] integers, there are also six types [of operations with] fractions.	וצריך שתדע כי כמו שיש ו' מיני שלמים כן ג"כ יש ששה מיני שברים
Before we discuss them, we should say what is a fraction, how it is arranged in writing, and by which number it is fractionalized.	וקודם שנדבר [מהם]‫ צריך שנאמר מהו שבר ואיך יסודר בכתיבתו ובאיזה חשבון ישבר
definition of fraction: A fraction is any part that is taken from the integer.	השבר הוא אי זה חלק שילקח מהשלם
As a half, or a third, or a quarter, etc.	כמו חצי או שליש או רביע וכדומה
How they are arranged in writing: it is since in every fraction two matters are represented - continuous quantity and discontinuous quantity.	ואיך יסודרו בכתיב[ת]ם הוא זה בעבור שבכל שבר ושבר יצויירו שני עניינים ר"ל כמות ‫מתדבק וכמות מתחלק
Example: when we say 2-thirds, or 3-quarters.	המשל כשנאמ' ב' [שלישיות] או ג' רביעיות
The 2 and 3 are discontinuous quantity, because they state the number and the number is a discontinuous quantity.	הב' והג' הם כמות מתחלק בעבור שמדברים מהמספר כי המספר הוא כמות מתחלק
The thirds and quarters are continuous quantity, because they state the part, or parts of whichever whole, so they indicate a continuous quantity.	והשלישיות והרביעיות כמות מתדבק בעבור שמדברים מחלק או חלקי' מאיזה כל שיהיה ולכן רומזים לכמות מתדבק
Since the fractions consist of two types of quantity as stated, each fraction should be written with two digits - one indicates the continuous quantity and the second [indicates] the discontinuous quantity.	ובעבור שהשברים יוכללו בב' מינים מהכמה כאמור לכן צריך שיכתב כל שבר ושבר בשני אותיות הא' ירמוז [על] הכמה המתדבק והב' לכמה המתחלק
The digit that indicates the discontinuous quantity is written above, and beneath it a line.	והאות הרומזת לכמה המתחלק נכתוב למעלה ותחתיה קו אחד
The digit that indicates the continuous quantity is written beneath the line.	והאות הרומזת לכמת המתדבק נכתוב תחת הקו
Example: if we wish to write 2-thirds.	המשל אם נרצה לכתוב ב' שלישיות
We write 2; beneath the 2 a line; and beneath the line 3. As is shown in this diagram:	נכתוב ב' ותחת הב' קו אחד ותחת הקו ג' כמו שיראה בצורה הזאת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	‫
The upper digit, which is 2, or whichever, indicates the multiplicity of the fractions, as 1, 2, 3, 4, 5, or whichever you want.	והאות העליונה שהיא ב' או מה שיהיה תרמוז לכמות רבוי השברי' כמו א' ב' ג' ד' ה' וכל מה שתרצה
The bottom digit, which is 3, of whichever, indicates the name of the fraction, as a half, a third, a quarter, a fifth, or whichever parts of the whole.	והאות התחתונה שהיא ג' או מה שיהיה תרמוז לשם החלק כמו חצי או שליש או רביע או חש חומש או מה שיהיה מחלקי השלם
For the whole is divided into two halves, three thirds, four quarters, five fifths, six sixths, or any parts, into which we wish to divide the whole.	כי השלם יחלק לב' חצאים ולשלשה שלישיות ולד' רביעיות ולה' חמישיות ולו' ששיות וכן כל החלקים שנרצה לחלק בהם השלם
You should know that as the third is one of three parts of the whole, the whole cannot be divided into thirds that are more than three, nor into quarters that are more than four, nor into fifths that are more than five and so on.	וצריך שתדע כי כמו שהשליש הוא א' משלשה חלקי השלם כך השלם לא יחלק לשלישיות יותר משלש ולא רביעיות יותר מד' ולא בחמישיות יותר מה' וכן כלם כסדר הזה
The fractions are written in the following arrangement:	והשברי' יכתבו בסדר הזה
If you wish to write a half, write it as follows:	שאם תרצה לכתוב חצי שלם תכתוב אותו כך
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$	‫
The thirds - write like this:	והשלישיות תכתוב כך
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$	‫
The quarters - like this:	והרביעיות כך
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$	‫
Three-quarters - we write as follows:	ושלשה רביעיות נכתוב ‫כך
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$	‫
Four-fifths- we write as follows:	וארבעה חמישיות נכתוב כך
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$	‫
Likewise, whatever you want according to this arrangement.	וכן כל מה שתרצה כסדר הסדר הזה

Chapter Two: Addition of Fractions	הפרק השני בקבוץ השברים
Definition of the addition of fractions: it is conversion of two types of fractions, or more, to integers, or to one type of fractions, or to integers and one type of fractions together.	והוא השבת שני מיני שברי' או יותר לשלמי' או למין א' מהשברים [או לשלמים ומין אחד מן השברים]‫ יחד
We do it this way:	ונעשה בדרך זה
We write all the fractions that we want.	נכתוב כל השברי' שנרצה
As the one who wants to add or to know the sum of a half, a third, and a quarter. $\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$	כמו שרוצה לחבר או לדעת [קבוץ]‫ חצי ושליש ורביע
Or whatever it may be, as is seen in this diagram:	או מה שיהיה כצורה זו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$	‫ ‫ ‫
Common denominator
The first thing that you need to know in this type [of operation] is to find one number in which all these fractions are found.	והראשון שצריך שתדע בזה המין הוא למצא חשבון א' שימצאו בו כל אלו השברי‫'
It is found by that we multiply 2 by 3, then we multiply their product by 4 and so on in this order. We always multiply the product of the preceding digits by the one that follows them, until we complete with all the bottom line, i.e. with all the digits that are beneath the line.	וימצא בדרך זה בשנכה ב' על ג' והעולה משניהם נכה בד' וכן כסדר הזה נכה לעולם כל העולה מהכאת כל האותיות העוברות עם הנמשכת אליהם עד שנשלים כל הטור התחתונה ר"ל כל האותיות שהם תחת הקו
The result of all these multiplications is the number in which all the fractions, of whichever type of fractions, are found.	והעולה מכל אלו ההכאות הוא חשבון שימצאו בו כל השברי' באיזה מין שיהיה ממיני השברי‫'
The number in which all the fractions written in the above diagram are found is 24. It is generated this way: we multiply 2 by 3; the result is 6, and all this, i.e. 6, by 4; it is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4=6\sdot4=24}}$	והחשבון שימצאו בו כל השברי' הכתובי' בזאת הצורה שלמעלה הם כ"ד והוא בדרך זה נכה ב' על ג' ויעלו ו' וכל זה ר"ל הו' על הד' ויעלו כ"ד
In this numbers there are a half, a third, a quarter and it is as their whole.	ובזה החשבון ימצאו חצי ושליש ורביע ולזה החשבון ר"ל כ"ד יש להם מקום של שלם
Because, as one takes from the whole whichever part he wants, so we take whichever part we want from this number 24 that is as a whole.	כי כמו שמהשלם יקח אדם איזה חלק שירצה כך מזה החשבון של כ"ד שהם במקום השלם נקח איזה חלק שנרצה
numerator
So, we take the half, the third, and the quarter this way:	ולכן נקח החצי והשליש והרביע בזה הדרך
We start taking the half this way: we multiply the digit that is above the line of the half, which is 1, by the digit of 3 that is beneath the 1 indicating the third; it is 3. We multiply the 3 by 4 that is beneath the digit indicating the quarter; it is 12, which is a half of the number that we said. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot24=1\sdot3\sdot4=3\sdot4=12}}$	נתחיל לקחת החצי בזה הדרך שהאות שנמצאת על קו החצי שהיא א' נכה באות ג' שהיא תחת הא' הרומזת לשליש ויהיו ג' ואלו הג' נכם על ד' שהוא ‫תחת אות הרומזת הרביע ויהיו י"ב שהוא חצי של אותו החשבון שאמרנו
Then, we take the third this way: we multiply the digit of the third that is above the line by the digit of the half that is beneath the line, which is 2; the product is 2. We multiply the 2 by 4; the result is 8, which is a third of this number. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot24=1\sdot2\sdot4=2\sdot4=8}}$	ואח"כ נקח השליש בדרך זה שנכה אות השליש שהוא על הקו עם האות של החצי שהוא תחת הקו והוא ב' והיה המוכה ב' ונכה הב' על ד' ויעלה לח' שהוא השליש של זה החשבון
Then, we multiply the 1 that is above the 4 by the 2 that is beneath the line indicating the half; it is 2. We multiply this 2 by 3 that is beneath the line indicating the third; the result is 6, which is a quarter of this number, i.e. the 24. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot24=1\sdot2\sdot3=2\sdot3=6}}$	ואח"כ נכה הא' שהוא על ד' על הב' שהוא תחת הקו הרומזת החצי ויהיה ב' ואלו הב' נכה אותם בג' שהם תחת הקו הרומזים השלישי ויעלו לו' שהם רביע זה החשבון ר"ל הכ"ד
So, we have three numbers that are a half, a third, and a quarter, which are 12, 8, and 6; their total sum is 26. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot24\right) +\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=12+8+6=26}}$	א"כ יש לנו ג' חשבונות שהם חצי ושליש ורביע שהם י"ב וח' וו' וקבוץ כולם כ"ו
The whole, to which the 26 is related, is 24. Therefore, we divide 26 by 24; the result is one integer and 2 remains that cannot be divided. We relate it to 24 and we find that it is one part of 12 of the whole. Hence, sum of the three aforementioned fractions is 1 integer and one part of 12 parts of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{26}{24}=1+\frac{2}{24}=1+\frac{1}{12}}}$	והשלם שיוחסו אליו אלו הכ"ו הוא כ"ד ולכן נחלק הכ"ו בכ"ד ויצא א' שלם וישארו שנים שלא נחלקו וניחס אותם לחשבון כ"ד ונמצא שהם חלק א' מי"ב של שלם א' וזה העולה מהג' שברי' האמורים למעלה א"כ העולה מהשברים האמורים הוא א' שלם וחלק א' מי"ב חלקי השלם
In order that it will be better understood, we give another example:	וכדי שיובן יותר טוב נעשה משל אחר
Suppose we wish to sum up 2-thirds, 3-quarters, 4-fifths, and 5-sixths. $\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}$	ונניח שנרצה לקבץ ב' שלישיות וג' רביעיות וד' חמישיות וה' ששיות
Their diagram is as follows:	שצורתם היא זאת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	‫ ‫ ‫ ‫
common denominator
The first thing that is needed is that we find the number that is the whole, i.e. in which all these fractions are found. We do that by multiplying all the digits that are beneath the lines like this:	הראשון שצריך שנמצא החשבון שהוא במקום השלם ר"ל שימצאו בו כל אלה השברי' ונעשה כך נכה כל האותיות שתחת הקוים בזה הדרך
First, we multiply 3 by 4; it is 12. We multiply the 12 by 5; the result is 60. We multiply 60 by 6; the result is 360. This is the number, in which all these fractions are found, and it is the whole that is also called the common denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5\sdot6=12\sdot5\sdot6=60\sdot6=360}}$	ראשונה [נכה]‫ ג' בד' ויהיו י"ב ואלו הי"ב נכם בה' ויעלו ס' ונכה ס' בו' ויעלו ש"ס וזה המספר שבו ימצאו כל אלו השברי' והוא מקום שלם ויקרא ג"כ מחלק
numerator
We should extract all the fractions from it this way:	וצריך שנוציא [ממנו]‫ כל השברים ונעשה בדרך זה
First, we extract the first fraction in the said diagram, which is two-thirds, this way: we take the 2 that is above the 3 and multiply it by 4; it is 8. We multiply the 8 by 5 that is beneath 4; it is 40. We multiply 40 by 6 that is beneath the 5; the result is 240 and this number is called two-thirds of the common denominator, i.e. the same common denominator that we said is the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot360=2\sdot4\sdot5\sdot6=8\sdot5\sdot6=40\sdot6=240}}$	ראשונה נוציא השבר הרשון [הראשון]‫ מהצורה האמורה שהיא שני שלישיות בדרך זה בשנקח הב' שהם ‫על הג' ונכם בד' ויהיו ח' ואלו הח' נכם על ה' שהוא תחת ד' ויהיו מ' ומ' נכה בו' שהוא תחת הה' ויעלו ר"מ וזה המספר יקרא שני שלישיים של המחלק ר"ל של אותו המחלק שאמרנו שהוא במקום שלם
Then, we extract the 3-quarters, this way: we take the 3 that is above the 4 and multiply it by all the bottom digits except for the digit that is beneath it, which is 4. As follow: 3 by 3, it is 9; 9 by 5, it is 45; 45 by 6, the result is 270 and this number indicates 3-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot360=3\sdot3\sdot5\sdot6=9\sdot5\sdot6=45\sdot6=270}}$	ואח"כ נוציא הג' רביעיות בדרך זה בשנקח הג' שהיא על הד' ונכהו בכל האותיות התחתונות זולת האות שתחתיה שהיא ד' בדרך זה ג' על ג' ויהיו ט' וט' על ה' ויהיו מ"ה ומ"ה על ו' ויעלו ע"ר וזה החשבון שיורה על ג' רביעיות
Then, we extract the 4-fifths, this way: we take the 4 that is above the 5 and multiply it by all the bottom digits except for the 5 that is beneath the 4. As follow: we multiply 4 by 3, it is 12; 12 by 4, it is 48; 48 by 6, the result is 288 and this number indicates 4-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot360=4\sdot3\sdot4\sdot6=12\sdot4\sdot6=48\sdot6=288}}$	ואח"כ נוציא הד' חמישיות בדרך זה בשנקח הד' שהוא על ה' ונכהו בכל האותיות התחתונות זולת הה' שהיא תחת הד' בדרך זה נכה ד' בג' ויהיו י"ב וי"ב בד' ויעלו מ"ח ומ"ח בו' ויעלו רפ"ח וזהו החשבון שיורה על ד' חמישיות
Then, we extract the five-sixths by taking the 5 that is above the 6 and multiply it by all the bottom [digits] except for the 6 that is beneath it, as follows: we multiply 5 by 3, it is 15; 15 by 4, it is 60; 60 by 5, the result is 300 and this number indicates 5-sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot360=5\sdot3\sdot4\sdot5=15\sdot4\sdot5=60\sdot5=300}}$	ואח"כ נוציא החמשה ששיות בשנקח ה' שהוא על הו' ונכהו בכל התחתונים זולת הו' שתחתיה בדרך זה נכה ה' על ג' ויעלו ט"ו וט"ו על ד' ויעלו ס' וס' בה' ויעלו ש' וזהו החשבון שיורה על ה' ששיות
We extracted all the said fractions. Now we should sum up all these said fractions and we do this as follows: we take the numbers 240, 270, 288, and 300 and we sum up all; their sum is 1098 and this is the sum of all the said fractions. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle \left(\frac{2}{3}\sdot360\right) +\left(\frac{3}{4}\sdot360\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot360\right)\left(\frac{5}{6}\sdot360\right)\\&\scriptstyle=240+270+288+300=1098\\\end{align}}}$	והנה כבר הוצאנו כל השברים שאמרנו ועתה צריך שנקבץ כל אלה השברי' שאמרנו [ונעשה בדרך זה נקח החשבון הר"מ והר"ע והרפ"ח והש' ונחבר הכל ויהיה קבוצם אלף וצ"ח וזהו קבוץ כל השברים שאמרנו‫]‫
We divide all this sum by 360 that is the common denominator, which is the whole as we said; the result is 3 integers and one part of 20 parts of a whole and this is the sum of all the said fractions. Here is its diagram: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}=\frac{1098}{360}=3+\frac{1}{20}}}$	וכל זה הקבוץ נחלקהו בש"ס שהוא המחלק והוא במקום שלם כמו שאמרנו ויצאו ג' שלמים וחלק א' מכ' חלקים של שלם אחד וזהו קבוץ כל השברים שאמרנו והנה לך צורתו
Since we have said that the sum of the whole aforementioned diagram is three integers and one [part] of twenty parts of one whole, we should explain now how we have found this quotient of 20 parts of the whole and how all those that are similar are found.	‫ובעבור שאמרנו שקבוץ כל הצורה האמורה למעלה עולה לשלש שלמים וא' מעשרי' חלקי' משלם אחד צריך עתה שנבאר איך מצאנו אותו החלוק מכ' חלקי השלם ואיך ימצאו כל הדומים
Know that after a number is divided by another number and a certain number remains that cannot be divided as it is less than the divisor, we relate it to the divisor and the ratio between them is its ratio to the whole.	דע כי לאחר שיחלק איזה חשבון שיהיה באחר וישאר איזה חשבון שלא יחלק להיותו פחות מהמחלק אז נייחסהו למחלק והיחס שימצא ביניהם אותו היחס יש לו עם שלם אחד
Example: you have already seen in the above diagram that 18 remains that cannot be divided as it is less than the divisor, which is 360. Therefore, we look for the ratio between 18 and 360 and we find that it is the ratio of 1 to 20, so we said above that is is 1 of 20 parts of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{360}=18:360=1:20}}$	המשל כבר ראית שבצורה שלמעלה נשארו י"ח שלא נחלקו בעבור שהיו פחות מהמחלק שהוא ש"ס לכן בקשנו היחס שיש בין הי"ח והש"ס ומצאנו שהוא יחס הא' לכ' ולכן אמרנו למעלה ש שהוא א' מכ' חלקי השלם
The way to find this ratio is easy: we take these two numbers - 18 above and 360 beneath, and we examine into how many parts the 18 can be divided. We divide the 360 into this number of parts.	והדרך למצא היחס הוא בנקלה נקח אלו הב' מספרים י"ח למעלה וש"ס למטה ונעיין כמה חלקים איפשר לחלק הי"ח וכל כך חלקים נחלק הש"ס
Example: as the 18 is divided into 3 parts and the quotient is 6, so we divide the 360 also into 3 parts and the result is 120. $\scriptstyle{\color{blue}{18\div3=6\longrightarrow360\div3=120}}$	המשל כי כמו שהי"ח יחלקו בג' חלקים ויהיה החלק ו' כן גם כן נחלק הש"ס בג' חלקים ויצא כ"ק
We divide the 6 again into 3 parts; the result is 2. We divide the 120 into 3 also; the result is 40. $\scriptstyle{\color{blue}{6\div3=2\longrightarrow120\div3=40}}$	ונחזור ונחלק הו' בג' חלקי' ויצא ב' ונחלק הק"כ בג' ג"כ ויצאו מ‫'
We divide the 2 again into half; the result is 1. We divide the 40 into half also; the result is 20. So, it is one [part] of 20 parts of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{2\div2=1\longrightarrow40\div2=20\longrightarrow\frac{18}{360}=\frac{1}{20}}}$	עוד נחלק הב' באמצע ויצא א' וגם המ' באמצע ויצאו כ' א"כ יהיה אחד מכ' חלקי השלם
In this way we relate any two numbers, so that into as many parts that one is divided, so the other is divided.	ובדרך זה ניחס כל שני מספרים שבכל כך חלקי' שיחלק האחד יחלק השני והנה לך צורתו
You should know that in this type [of operation], i.e. the addition, you can sum up many different fractions, which is not so in the other types [of operations]. Because, in every type of them two different fractions are enough, which is not so in this type.	וצריך שתדע שבזה המין ר"ל הקבוץ תוכל לקבץ הרבה חלופים משברי' מה שאינו כן במיני' האחרי' כי בכל מין מהם מספיק חלוף ב' שברי' בלבד מה שאינו כן במין הזה
This is enough for this type.	וזה מספיק במין הזה

Chapter Three: Subtraction of Fractions	פרק שלישי בחסור השברי‫'
It was already defined for the types [of the operations with] integers and it is in the way that we write two numbers of whichever fractions we want and we write each next to the other.	וכבר נגדר במיני השלמי' והוא בדרך זה שנניח ב' מספרי' של שברי' איזה שנרצה ונכתוב כל א' אצל חבירו
As seen in this diagram: suppose we want to subtract from three-quarters of the whole two-thirds of the whole and we wish to know how much remains. $\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{2}{3}$	כנראה בזה הצורה ‫שנעשה ונניח שמהשלשה רביעי שלם נרצה לחסר שני שלישי שלם ונרצה לדעת כמה ישארו
We arrange them as follows:	ונסדרם כך
common denominator
The first this that we should do is the common denominator, which is called also the divisor and the whole. We do it by multiplying the digits that are beneath the lines one by the other.	והראשון שצריך שנעשה הוא המספר המשותף ויקרא ג"כ המאזנים ויקרא המורה ויקרא ג"כ המחלק וג"כ במקום שלם ונעשה בדרך זה שנכה האותיות שהם תחת הקוים האחת בחברתה
The example of this diagram: the 4 from one side by the 3 from the other side; the result is 12 and this is the number that we call the common denominator. It is called "common denominator", because the two numbers that are beneath the lines take part in it as said. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=12}}$	המשל מזאת הצורה הד' שהוא מצד א' אחד על הג' שהוא מצד אחר ויעלו לי"ב וזהו המספר שאמרנו שהוא משותף ויקרא משותף כי בו ישתתפו שני המספרי' שתחת הקוים כאמו‫'
numerator
Now, we should extract 3-quarters of the common denominator this way: we multiply the 3 that is above the 4 by the 3 that is beneath the 2; the result is 9 and these are the 3-quarters of the common denominator, which is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot12=3\sdot3=9}}$	ועתה צריך שנוציא ג' רביעיות מהמספר המשותף בדרך זה נכה הג' שעל הד' על הג' שעל [שתחת]‫ הב' ויעלו לט' ואלו הן ג' רביעיות של המחלק שהוא הי"ב
Then, we extract the 2-thirds this way: we multiply the 2 that is above the 3 by the 4 that is beneath the 3; the result is 8 and these are the two-thirds of the common denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot12=2\sdot4=8}}$	ואח"כ נוציא הב' שלישיות בדרך זה נכה הב' שהוא על הג' על הד' שהוא תחת הג' ויעלו ח' ואלו הן שני שלישי המחלק
You see that until now we have done three things in this type [of operation]:	והנך רואה שעד עתה עשינו בזה המין שלשה דברי‫'
First we have found the common denominator, which is the whole.	ראשונה מצאנו המחלק שהוא במקום שלם
Second, we have found its 3-quarters, which is 9.	ושנית מצאנו הג' רביעיות ממנו שהם ט‫'
Third, we have found its two-thirds, which is 8.	ושלישית מצאנו שני שלישיות ממנו שהם ח‫'
Since our intention is to subtract two-thirds from 3-quarters, as we have them, we subtract the 8, which is 2-thirds, from the 9, which is 3-quarters; one remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot12\right) -\left(\frac{2}{3}\sdot12\right)=9-8=1}}$	ובעבור שכוונתינו היה לחסר שני שלישיות מג' רביעיות לאחר שהם נמצאות אצלינו נוציא הח' שהם ב' שלישיות מהט' שהם ג' רביעיות וישאר אחד
We should know what is the one that remains. In order to know this, we divide it by the divisor, or the common denominator, which is 12, then we know what it is. The division method is:	והאחד הזה שנשאר צריך שנדע מה הוא ולדעת זה נחלקהו במחלק או המורה שהוא י"ב ואז נדע מהו ודרך חלוקו הוא זה
So, it is 1 [part] of 12 parts of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12}}}$	א"כ הוא א' מי"ב חלקי מהשלם
Check: addition
The proof of this is that we sum up what we have subtracted, which is 2-thirds, and what remained, which is 1 [part] of 12 parts of the whole. If this sum is 3-quarters, then the subtraction that we did is correct, otherwise it is incorrect. $\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$	והמופת על זה הוא שנחבר מה שהוצאנו שהוא ב' שלישיות ומה שנשאר שהוא א' מי"ב חלקי השלם ואם קבוץ אלו יעלו לג' רביעיות החסור שעשינו הוא אמיתי ואם לאו אינו אמיתי
The way to do this in this type [of operation] is by the addition and you already know it.	‫ודרך עשיית זה במין הוא הקבוץ וכבר ידעתו
As seen in this diagram:	וכמו שיראה בזו הצורה
common denominator
The first thing that should be extracted is the common denominator, which is the product of 3 by 12; it is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot12=36}}$	והראשון שצריך להוציא המחלק שהוא הכאת הג' בי"ב ויהיו ל"ו
numerator
From this we extract 2-thirds this way: we multiply the 2 that is above the 3 by the 12 that is beneath the 1; it is 24 and these are 2-thirds of the common denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot36=2\sdot12=24}}$	ומאלו נוציא ב' שלישיות בדרך זה נכה הב' מהצורה שהיא על הג' על הי"ב שהם תחת הא' ויהיו כ"ד ואלו הם ב' שלישיות המחלק
We extract also 1 [part] of 12 parts of the whole this way: we multiply the 1 that is above the 12 by the 3 that is beneath the 2; it is 3 and this is 1 [part] of 12 parts of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}\sdot36=1\sdot3=3}}$	ונוציא גם הא' מי"ב חלקי השלם בדרך זה נכה הא' שעל הי"ב על הג' שתחת הב' ויהיו ג' וזהו א' מי"ב חלקי השלם
Now, we sum up the 3 with the 24; it is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot36\right) +\left(\frac{1}{12}\sdot36\right)=24+3=27}}$	ועתה נחבר אלו הג' עם הכ"ד ויהיו כ"ז
We divide the 27 by the common denominator, exactly as the way in the first type; it is 27 parts of 36 of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{27}{36}}}$	ואלו הכ"ז נחלקם במחלק בדרך המין הראשון לא פחות ולא יתר ויהיו כ"ז חלקים מל"ו מהשלם
These parts should be 3-quarters of the whole. To know this, you should examine this diagram:	והחלקים האלו צריך שיהיו ג' רביעיות מהשלם ולדעת זה צריך שתעיין בזאת הצורה
We do as follows: we multiply the numbers each by its opposite, i.e. 4 by 27 and 3 by 36. If the products are equal it is a proof that this number is 3-quarters of the whole.	ונעשה כך נכה המספרי' כל א' עם סותרו [ר"ל הד' עם הכ"ז והג' עם הל"ו]‫ ואם ההכאות יהיו שוות היא ראיה שאותו המספר שהוא ג' רביעיות מהשלם
In this way all the proofs are done, when we want to know the equality of any two numbers we want.	ובדרך זה יעשו כל הראיות כשנרצה לדעת שיווי כל ב' מספרי' שנרצה
It is enough for this type.	וזה מספיק במין הזה

Chapter Four: Doubling Fractions	הפרק הד' מכפול השברי‫'
You already know its definition.	וכבר ידעת גדרו
In this operation one type of fractions is enough.	בזה המין יספיק סוג א' משברי‫'
For example: we wish to double 2-thirds, or 5-sixths, or 4-fifths, or any of the fractions we want.	המשל נרצה לכפול ב' שלישיות או ה' ששיות או ד' חמישיות או איזה מהשברי' שנרצה
We do as follows: we double the digit that is above the line. Then, we divide it by the digit that is beneath the line. The quotient is double the fraction, or fractions that we want.	ונעשה כך נכפול האות שעל הקו ומה שיהיה נחלקהו על האות שהיא תחת הקו ומה שיצא לחלק הוא כפול השבר או השברי' שרצינו
As the one who wants to double this number, which is 3-quarters. $\scriptstyle2\times\frac{3}{4}$	כמי שירצה לכפול זה המספר שהוא ג' רביעיות
We double the 3 that is above the line; the result is six. We divide it by 4 that is beneath the line; the result of division is 1 integer and a half, which is double the 3-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times\frac{3}{4}=\frac{2\sdot3}{4}=\frac{6}{4}=1+\frac{1}{2}}}$	נכפול הג' שעל הקו ויעלה לו' ששה ונחלקם בד' שהיא תחת הקו ויצא מהחלוקה א' שלם וחצי שהוא כפל ג' רביעיות
Check: halving
The proof of this type [of operation] is the fourth type [of operation], which is halving.	ומופת זה המין הוא המין הד' שהוא חלוק באמצע
It is enough for this type.	‫[וזה מספיק בזה המין‫]‫

Chapter Five: Halving Fractions	הפרק החמישי‫ מחלוק השברי' באמצע
We have already stated its definition.	וכבר ‫אמרנו גדרו
In this operation you only need to double the digit that is beneath the line and the fraction is the halved.	ובזה המין אינך צריך אלא כפול האות שתחת הקו ויהיה השבר מחולק באמצע
As the one who wants to halve one-quarter, whose form is this: $\scriptstyle\frac{1}{4}\div2$	כמי שרוצה לחלק רביע אחד באמצע [שצורתו זאת]‫
We double the 4 that is beneath; it is: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\div2=\frac{1}{2\sdot4}}}$	נכפול הד' שהיא למטה ויהיה
It is enough for this type.	וזה מספיק בזה הצורה
Check: doubling
The proof is the doubling.	והמופת הוא הכפול

Chapter Six: Multiplication of Fractions	הפרק השישי מרבוע השברי‫'
We have already defined it.	וכבר גדרנוהו
It occurs only in one of five categories:	ולא יקרה אלא בא' מה' פנים‫
1) Integer or integers alone by fraction alone.	הא' השלם או שלמים לבד עם שבר לבד
2) Integer or integers and fraction together by fraction.	הב' שלם או שלמים ושבר יחד עם שבר
3) Integer or integers and fraction together by integer or integers alone.	הג' שלם או שלמים ושבר יחד עם שלם או שלמים לבד
4) Integer or integers and fraction together by integer and fraction together.	הד' שלם או שלמי' ושבר יחד עם שלם ושבר יחד
5) Fraction by fraction alone	הה' שבר לבד בשבר לבד
First, the first category, which is integer or integers alone by fraction alone.	וראשונה מהאופן הא' שהוא משלם או שלמי' לבד עם שבר לבד
Example: we wish to multiply 4 integers by 2-thirds. $\scriptstyle4\times\frac{2}{3}$	המשל נרצה לרבע ד' שלמים בב' שלישיות
We do as follows: we write two numbers on both sides this category.	ונעשה כך נניח ב' מספרי' משני צדדין בדרך זה
denominator: First, we extract the denominator like this: we take the number that is beneath the line and it is the denominator. It is 3 in this diagram.	וראשונה נעשה המחלק בדרך זה שנקח המספר‫ שלמטה מהקו והוא יהיה המחלק והוא ג' בזאת הצורה
numerator: Then, we multiply the 4 integers by 2 that is above the line; it is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2=8}}$	אחרי כן נרבע הד' שלמי' בב' שהם על הקו ויהיו ח‫'
We divide this 8 by the denominator that we said it is 3; the result is 2 integers and 2-thirds and this is the product of the said 4 integers by two-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{4\times\frac{2}{3}=\frac{8}{3}=2+\frac{2}{3}}}$	ואלו הח' נחלקם במחלק שאמרנו שהם ג' ויבואו ב' שלמי' וב' שלישיות וזהו הרבוע מד' שלמים האמורי' בשני לוחות השלישיות
Example for the second category, which is integer or integers and fraction by fraction alone.	ומשל הפן השני שהוא שלם או שלמי' ושבר יחד עם שבר לבד
As the one who wants to multiply 4 and a half by two-thirds. $\scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right)\times\frac{2}{3}$	כמי שרוצה לרבע ד' וחצי עם שני שלישיות
denominator: First, we extract the denominator as follows: we multiply the 2 that is beneath the 1 by the 3 that is beneath the 2; the result is 6 and this 6 is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	ראשונה נעשה המחלק בדרך זה שנרבע הב' שהם תחת הא' על הג' שהיא תחת הב' ויעלו ו' ואלה הו' הם המחלק
numerator: Then, we multiply the 4 integers by 2 that is next to them, beneath the 1; the result is 8. We add to it the 1 that is above the 2; it is 9 and it is the numerator of this side. We multiply the 9 by the 2 of the other side; the result is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot2=\left(8+1\right)\sdot2=9\sdot2=18}}$	ואחר כך נרבע הד' שלמי' בב' שהוא בצדו שהוא תחת הא' ויעלה ח' ונחבר אליהם הא' שהוא על הב' ויהיו ט' וזהו המספר של זה הצד ונכה הט' עם הב' של הצד האחר ויעלו י"ח
We divide this 18 by the denominator, which is 6; the quotient is 3 and this 3 is the product of 4 integers and a half by 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{2}\right)\times\frac{2}{3}=\frac{18}{6}=3}}$	ואלו הי"ח ‫נחלקם על המחלק שהם ו' ויבא לכל חלק ג' ואלו הג' הם הרבוע העשוי מג' [מד']‫ שלמי' וחצי עם ב' השלשיות
Example for the third category, which is integer or integers and fraction together by integer or integers alone.	ומשל לפן הג' שהוא או שלם או שלמי' ושבר יחד עם שלם או שלמי' לבד
As the one who wants to multiply 4 and a third by 6. $\scriptstyle\left(4+\frac{1}{3}\right)\times6$	כמי שרוצה לרבע ד' ושליש עם ו‫'
denominator: Since there is only one type of fractions here, the 3 that is beneath the 1 is the denominator.	ובעבור שאין בכאן אלא מין אחד משברי' בלבד לכן יהיה הג' שהוא תחת הא' הוא המחלק
Keep this rule that wherever there is only one type of fraction, the number that is beneath the fraction line is the denominator.	ותשמור כלל זה שבכל מקום שלא יהיה אלא מין אחד מהשברים יהיה המספר שהוא תחת הקו השבר המחלק
numerator: After we write the method of the denominator, we multiply the 4 integers mentioned by 3 that is beneath the 1; it is 12. We add to it the 1 that is above the 3; it is 13. We multiply the 13 by the 6 integers mentioned; the result is 78. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot3\right)+1\right]\sdot6=\left(12+1\right)\sdot6=13\sdot6=78}}$	ואחר שכתבנו דרך המחלק נכה הד' שלמי' שאמרנו על ג' שהוא תחת הא' ויהיו י"ב ונוסיף לו הא' שעל הג' ויהיו י"ג ואלו הי"ג נכם על הו' השלמים שאמרנו ויצאו ע"ח
We divide the 78 by 3, which is the said denominator; the result of division is 26 and this is the product of 4 integers and one third by 6 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{3}\right)\times6=\frac{78}{3}=26}}$	ואלו הע"ח נחלקם בג' שהוא המחלק שאמרנו ויבאו כ"ו מהחלוקה וזה הוא הרבוע מד' שלמי' ושליש א' על ו' שלמי‫'
Example for the fourth category of integer or integers and fraction together by integer and fraction together.	ומשל הפן הד' משלם או שלמי' ושבר יחד עם שלם ושבר יחד
As the one who wants to multiply this number: $\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\times\left(4+\frac{3}{4}\right)$	כמי שרוצה לרבע זה המספר
denominator: First of all, we extract the denominator, which is the product of the digits that are beneath the fraction lines as follows:	קודם כל דבר נעשה המחלק כן והוא רבוע האותיות שתחת קוי השברי‫'
Example: [we take] the 4 that is beneath the 3 and multiply it by the 2 that is beneath the 1; it is 8 and this is the denominator. We keep it by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2=8}}$	אחר כן נקח המשל הד' שהוא תחת הג' ונכה אותה [אותו]‫ על הב' שהוא תחת הא' ויהיה ח' וזהו המחלק ונשמור אותו בפני עצמו
numerator: Then, we multiply the 4 integers by the 4 that is beneath the 3 next to them; the result is 16. We add to it the 3 that is above the 4 next to it; the result is 19. We keep it.	ואח"כ נכה הד' השלמי' על הד' שהוא תחת הג' שבצדה ויעלה י"ו [ונוסיף עמהם הג' שעל הד' שבצדה ויעלו י"ט ונשמרם]‫
We turn to the other side and multiply the 2 integers by the 2 that is beneath the 1 next to them; the result is 4. We add to it the 1 that is above the 2 next to it; the result is 5. We keep it.	ונעבור לצד האחר ונכה הב' שלמי' בב' שתחת הא' שבצידה ויעלו לד' ונוסיף עמהם הא' שעל הב' שבצדם ויעלו ה' ונשמרם ג"כ
So, we have three things: the first is the denominator; the second is the integers of one side that we have converted to the type of the fractions that are next to them and they are 19; the third is the integers of the other side that we have converted to the type of the fractions that are next to them and they are 5.	א"כ יש לנו ג' דברי' הראשון המחלק והשני שהשלמי' שמהצד א' החזרנו האחד החזרנו אותם למין השברי' שבצדם ועלו י"ט והשלישי שהשלמי' שמהצד האחר החזרנום למין השברים שבצדם ועלו כלם ה‫'
Now, we multiply the 5 by the 19; the result is 95. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot4\right)+3\right]\sdot\left[\left(2\sdot2\right)+1\right]=\left(16+3\right)\sdot\left(4+1\right)=19\sdot5=95}}$	ועתה נכה הה' עם הי"ט ויעלו צ"ה
We divide it by the said denominator, which is 8; the result of division is 11 integers and 7-eighths and this is the product that we wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)\times\left(4+\frac{3}{4}\right)=\frac{95}{8}=11+\frac{7}{8}}}$	ונחלקם על המחלק האמור שהוא ח' ויצא מהחלוקה י"א שלמי' ‫וז' שמיניות וזו היא ההכאה שרצינו
Example for the fifth category, which is the multiplication of a fraction by a fraction.	ומשל הפן הה' שהוא רבוע שבר עם שבר
As the one who wants to multiply 2-thirds by 4-fifths. $\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}$	כמי שרוצה לרבע [ב' שלישיו' וד' חמישיו'‫]‫
denominator: We extract the denominator, which is the product of the digits that are beneath the lines that are 3 and 5; the result is 15. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}$	נוציא המחלק שהוא הכאת האותיות שתחת הקוים שהם ג' וה' ויעלו ט"ו ונשמור אותו
numerator: Then, we multiply the digits that are above the lines that are 2 and 4; the result is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}$	ואחר נכה האותיות שעל הקוים שהם ב' וד' ויעלו ח‫'
We divide the 8 by the denominator, which is 15. Since the divisor is greater than the dividend, we relate the dividend to the divisor; we find 8 parts of 15 of one integer and this is the product of 2-thirds and 4 fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{8}{15}}}$	ואלו הח' נחלקם במחולק שהוא ט"ו ובעבור שהמחלק יותר מהמחולק ניחס המחולק אל המחלק ומצאנו ח' חלקי' מט"ו של שלם [אחד]‫ וזהו הרבוע מב' שלישיות וד' חמישיות
Check: division
The proof of the multiplication of fractions is that we divide the product that is generated from the two sides by one of the sides and the result is the other side, otherwise it is not correct.	והמופת ממין רבוע השברי' הוא זה שנחלק הרבוע שעשינו מהשני צדדי' על א' מהצדדים ויצא הצד האחר ואם לאו אינו אמיתי
Since the proof of the multiplication is by division and we did not speak about the division of fractions yet, we do not elaborate on that until we discuss the division of fractions that follows.	ובעבור שמופת הרבוע הוא בחלוק ועדיין לא דברנו בחלוק השברי' לכן לא הרחבנו בו עד שנדבר מחלוק השברי' הנמשך לזה

Chapter Seven: Multiplication of Fractions in Astrology [= Sexagesimal Fractions]	הפרק השביעי באופני רבוע השברי' בחכמת התכונה
In order to multiply the fractions in astrology [= sexagesimal fractions] you should know that one degree is divided into sixty parts that are called minutes.	האמנם לרבע השברי' שבחכמת התכונה צריך שתדע שהמעלה האחת תתחלק לששים חלקי' ויקראו ראשוני‫'
Each minute is divided into 60 other parts that are called seconds.	וכל א' מהראשוני' יתחלק לס' חלקי' אחרים ויקראו שניים
Each second is divided into 60 parts that are called thirds.	וכל שני יתחלק לס' חלקי' ויקראו שלישיים
Each third is divided into 60 parts that are called fourths.	וכל א' מהשלישיים יתחלק לס' חלקי' ויקראו רבעיים
And so on.	וכן כסדר הזה
Therefore, when we divide the minutes by sixty, they are degrees, for every degree is 60 minutes as said.	ולכן כשנחלק הראשוני' בשישים יהיו מעלות כי כל מעלה ס' ראשוני' כאמור
If we divide the seconds by 60, they become minutes.	ואם נחלק השניים בס' ישובו ראשונים
The same for the others, when we divide them by 60 they are converted to the preceding rank.	וכן מהאחרים כשנחלקם לס' ישובו למדרגה הקודמת להם
You should know that if we multiply degrees by minutes, the result of the multiplication are minutes.	וראוי שתדע שאם נכה מעלות על ראשוני' יהיה כל מה שיצא מההכאה ראשוני‫'
If we multiply degrees by seconds, the result of the multiplication are seconds.	ואם נכה מעלות על שניים יהיה כל מה שיצא שניים
The same for the others, because as the type of the fraction multiplied by a degree so is always the type of the result of multiplication.	וכן מהאחרי' כי לעולם מהמין שיהיה השבר המוכה עם המעלה מאותו מין יהיה מה ‫שיצא מההכאה
You should also know that the product of minutes by minutes are seconds; the product of minutes by seconds are thirds; the product of minutes by thirds are fourths; the product of minutes by fourths are fifths and so on.	ועוד צריך שתדע שהכאת ראשוני' על ראשונים שהיוצא מהם הוא שניים והכאת ראשוני' על שניים היוצא הוא שלישיים והכאת ראשוני' על שלישיים הוצא הוא רביעיים והכאת ראשונים על רביעיים היוצא יהיה חמישיים וכן כסדר הזה
The product of seconds by seconds are fourths; seconds by thirds are fifths; seconds by fourths are sixths and so on.	והכאת שניים על שניים היוצא רביעיים ושניים על שלישיים עושה חמישיים ושניים על רביעיים עושה ששיים וכן כסדר הזה
The rule for knowing all these multiplications easily is by taking the sum of [the ranks of] both multiplied fractions.	והכלל לידיעת כל אלו ההכאות בנקלה הוא בשנקח חבור שני מספרי השברים המוכי‫'
Example: if we multiply seconds by thirds, we say: the decimal value of the seconds is 2 and the decimal value of the thirds is 3; their sum is 5, so the result of their multiplication are fifths.	המשל שאם נכה שניים עם שלישיים נאמר אות השניים הוא ב' ואות השלישיים הוא ג' והחבור משניהם עולה ה' א"כ היוצא מהכאתם יהיה חמישיות
This rule is enough for all the sexagesimal fractions.	וזה הכלל מספיק לכל שברי התכונה
Here you have an example of some of them: suppose we want to multiply 2 degrees, 24 minutes, and 43 seconds by 3 degrees, 3 minutes. and 8 seconds.	והנה לך צורה אחת בקצת זה נניח שרצינו להכות ב' מעלות וכ"ד ראשוניים ומ"ג שניים על ג' מעלות וג' ראשוניים וח' שניים
As seen in this diagram:	כנראה בצורה זו
fourths thirds seconds minutes degrees     43 24 2     8 3 3 44 5 3       12 16       9 2 1 7     12 6       9 2         12   44 26 42 21 7
רביעיים שלישיים שניים ראשונים מעלות     מג כד ב     ח ג ג מד ה ג       יב יו       ט ב א ז     יב ו       ט ב         יב   מד כו מב כא ז
As seen in this diagram, you should write each type in a cell of its own, beneath every type its amount in a cell of its own, and in two lines one above and the other beneath, degrees corresponding to degrees, minutes corresponding to minutes, seconds corresponding to seconds, thirds corresponding to thirds, and so on.	ולפי הנראה בצורה זו צריך שתכתוב כל מין בבית בפני עצמו וב ותחת כל מין כמותו בבית בפני עצמו ובב' טורי' אחד למעלה והאחר למטה מעלות כנגד מעלות וראשונים כנגד ראשונים ושניים כנגד שניים ושלישיים כנגד שלישיים וכן כסדר
Then, we start from the smallest fraction below and multiply it by all the upper digits.	ואחר נתחיל מהשבר היותר קטן מלמטה ונכהו עם כל האותיות שלמעלה
For each product of a fraction by a fraction, we examine of which type it is in the mentioned way: if it is more than 60, we write every 60, as many as they are, in the preceding rank. Likewise for all the fractions.	ומכל הכאות שנעשה משבר עם שבר נעיין מאיזה מין הוא בדרך הנזכר ואם יעלה יותר מס' כל ס' וס' כמו שיהיו נכתוב אותם במעלה הקודמת ובשמה וכן בכל השברי‫'
Example: if the result of multiplication are 124 seconds, we write 4 seconds in the column of the seconds, and we write the 120 seconds that are 2 times sixty that are 2 minutes in the column of the minutes.	המשל אם מההכאה יצאו קכ"ד שניים נכתוב ד' שניים בבית השניים ‫והק"כ שניים שהם ב' פעמי' ששים שהם ב' ראשוני' נכתבם בבית הראשונים
We keep this order of the multiplication of sexagesimal fractions and multiply all the bottom digits by the upper digits according to this order, until we complete the multiplication of each of the bottom [digits] by all the upper [digits] as written in the preceding diagram.	וזה הסדר נשמור בהכאת שברי התכונה וכסדר הזה נכה כל האותיות שלמטה עם האותיות שלמעלה עד שנשלים כלם כולם בהכאות כל אחת מהתחתונות עם כל העליונות כמו שהוא כתוב בצורה שעברה
In order to add a further explanation, I write this second diagram which involves a longer procedure and study.	‫[וכדי להוסיף לך ביאור כתבתי זאת הצורה השנית שיש בה יותר מלאכה ועיון‫]‫
sixths fifths fourths thirds seconds minutes degrees       24 50 24 1       24 50 24 1 36 9 20 9 0 0 0     36 24 0 0 0 0 0 20 41 20 0 0     40   50 0 0 0 0 36 9 20 9 0         36           24 50 24 1 36 32 32 49 57 35 1
ששיים חמישיים רביעיים שלישיים שניים ראשונים מעלות       דב ‫0ה דב א       דב ‫0ה דב א וג ט ‫0ב ט 0 0 0     וג דב 0 0 0 0 0 ‫0ב אד ‫0ב 0 0     ‫0ד   ‫0ה 0 0 0 0 וג ט ‫0ב ט 0         וג           דב ‫0ה דב א וג בג בג דט זה הג א
Chapter Eight: Division of Fraction	הפרק השמיני והוא מהחלק השברי‫'
You already know its definition.	וכבר ידעת גדרו
This type [of operation] occurs in eight categories:	והמין הזה יקרה בח' פנים
1) Fraction by fraction.	הא' שבר בשבר
2) Fraction by integer.	הב' שבר בשלם
3) Fraction by integer and fraction.	הג' שבר בשלם ושבר
4) Integer and fraction by integer and fraction.	הד' שבר ושלם‫ בשבר ושלם
5) Integer by fraction.	הה' שלם בשבר
6) Integer and fraction by fraction.	הו' שלם ושבר בשבר
7) Integer and fraction by integer.	הז' שלם ושבר בשלם
8) Integer by integer and fraction.	הח' שלם בשלם ושבר
The first category, which is fraction by fraction	הפן הא' שהוא חלוק שבר בשבר
As the one who wants to divide 3-quarters by 2-thirds. $\scriptstyle\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}$	כמי שרוצה לחלק ג' רביעיות בב' שלישיות
We write each one next to the other as this:	נכתוב כל אחד בצד חבירו בצורה זו
denominator: First of all, we extract the denominator, by that we multiply 2, which is above the 3, by 4, which is beneath the 3; the result is 8 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}$	וקודם כל דבר נעשה המחלק כן שנכה ב' שהיא על הג' על הד' שהוא תחת ג' ויעלו ח' וזה הוא המחלק
numerator: Then, we should extract the [numerator], by that we multiply the 3 that is above the 4 by the 3 that is beneath the 2; the result is 9 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3=9}}$	ואחר צריך שנעשה המחלק בדרך זה שנכה הג' שהוא על ד' בג' שהוא תחת הב' ויעלה ט' וזהו המחולק
Next, we divide the numerator by the denominator; the result is 1 and an eighth of a whole and this is the result of division of 3-quarters by 2-thirds that we wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}=\frac{9}{8}=1+\frac{1}{8}}}$	אחר כן נחלק המחולק במחלק ויצא שלם א' ושמינית שלם וזהו חלוק ג' רביעיות בב' שלישיות כמו שרצינו
The second [category], which is a division of a fractions by an integer	והב' שהוא חלוק שבר בשלם
We write each one next to the other, as we did in the first category, as follows:	נכתוב כל א' בצד חבירו כמו שעשינו בפן הראשון בדרך זה
Suppose we wish to divide 3-eighths by 2 integers. $\scriptstyle\frac{3}{8}\div2$	נניח שרצינו לחלק ג' שמיניות בב' שלמי‫'
As this diagram:	בצורה זו
denominator: First, we extract the denominator as follows: we multiply the integer, which is 2, by 8, which is beneath the 3; the result is 16 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot8=16}}$	וראשונה נעשה המחלק בדרך זה נכה השלם שהוא ב' על ח' שהוא תחת ג' ויעלו י"ו וזהו המחלק
numerator: Then, we extract the numerator, by taking the 3 that is above the 8 and this is the numerator.	ואחר כך נעשה המחולק כך שנקח הג' שהוא על הח' והוא המחולק
We divide this numerator, which is 3, by 16, which is the denominator; the result are 3 parts of 16 parts of one whole and this is what we wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}\div2=\frac{3}{16}}}$	ונחלק זה המחולק שהוא ג' בי"ו שהוא המחלק ויצאו ג' חלקים מי"ו חלקי שלם א' וזהו מה שרצינו
The third [category], which is a fraction by integer and fraction.	והג' שהוא שבר בשלם ושבר
As the one who wants to divide 2-thirds by 4 integers and a half. $\scriptstyle\frac{2}{3}\div\left(4+\frac{1}{2}\right)$	‫כמי שרוצה לחלק ב' שלישיות בד' שלמי' וחצי
We write each one as in this diagram:	נכתוב כל אחד כצורה זו
denominator: We extract the denominator as follows: we multiply 4 by 2, which is beneath the 1; the result is 8. We add to it the 1 that is above the 2; it is 9. We multiply the 9 by 3 that is beneath the 2, next to the 1; the result is 27 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot3=\left(8+1\right)\sdot3=9\sdot3=27}}$	ונעשה המחלק בדרך זה שנכה ד' על ב' שהוא תחת הא' ויעלו ח' ונוסיף עליהם הא' שהוא על הב' ויהיו ט' ואלו הט' נכה אותם על ג' שהוא תחת הב' [שבצד הא'] ויעלו כ"ז וזהו המחלק
numerator: We extract the numerator, by that we multiply the 2 that is above the 3 by the 2 that is beneath the 1 of the other side; the result is 4 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4}}$	ונעשה המחולק בדרך זה שנכה הב' שהוא על הג' על הב' שהוא תחת הא' שבצד האחר ויעלו ד' וזהו המחולק
We divide it by the denominator, which is 27; the result of division is 4 parts of 27 parts of the whole and this is what we wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\div\left(4+\frac{1}{2}\right)=\frac{4}{27}}}$	ונחלקהו במחלק שהוא כ"ז ויצא מהחלוקה ד' חלקי' מכ"ז חלקי' של שלם וזהו מה שרצינו
The fourth [category], which is integer and fraction by integer and fraction	והד' שהוא שבר ושלם בשבר ושלם
We write each one as said above.	נכתו' כל א' כאמו' למעלה
As the one who wants to divide 9 and a half by 3 and 4-fifths. Like this: $\scriptstyle\left(9+\frac{1}{2}\right)\div\left(3+\frac{4}{5}\right)$	כמי שרוצה לחלק ט' וחצי בג' וד' חמישיות כזה
denominator: We extract the denominator as follows: we multiply 3 by 5, which is beneath the 4; the result is 15. We add to it the 4 that is above the 5; it is 19. We multiply it by 2 that is beneath the 1 in the other side; the result is 38 and this is the denominator. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(5\sdot3\right)+4\right]\sdot2=\left(15+4\right)\sdot2=19\sdot2=38}}$	ונעשה המחלק בדרך זה שנכה ג' על ה' שהוא תחת הד' ויעלו ט"ו ונוסיף עוד ד' שהוא על הה' על ט"ו ויהיו י"ט ואלו נכם על ב' שהוא תחת א' שבצד האחר ויעלו ל"ח וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: We extract the numerator by that we multiply 9 by 2 that is beneath the 1 next to it; the result is 18. We add also the 1 that is above the 2 next to it; the result is 19. We multiply this by 5 that is beneath the 4 of the other side; the result is 95 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(9\sdot2\right)+1\right]\sdot5=\left(18+1\right)\sdot5=19\sdot5=95}}$	ונעשה המחולק בדרך זה שנכה ט' על ב' שתחת א' שבצדה ויעלה י"ח ונוסיף עוד א' שעל הב' שבצדה ויעלו טו"ז [י"ט]‫ ואלו נכה אותם על ה' שתחת הד' שבצד האחר ויעלו צ"ה וזהו המחולק
Then, we divide the numerator by the said denominator; the result of division is 2 integers and a half and this is what we wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{1}{2}\right)\div\left(3+\frac{4}{5}\right)=\frac{95}{38}=2+\frac{1}{2}}}$	ואחר כך נחלק המחולק במחלק שאמרנו ויצא מהחלוקה ב' שלמי' וחצי וזהו מה שרצינו
The fifth [category], which is integer by fraction	והה' שהוא שלם בשבר
We write them as said.	נכתבם כאמור
As the one who wants to divide 12 by 4-ninths, like this: $\scriptstyle12\div\frac{4}{9}$	כמי שרוצה לחלק י"ב בד' תשיעיות כזה
denominator: In this category the denominator is always the digit that is above the line, so the denominator now is the 4 that is above the 9.	ובזה הפן המחלק הוא לעולם האות שהוא על הקו ולכן המחלק הנה הוא עתה בזה הד' שעל הט‫'
numerator: The numerator is the product of the 12 integers by the 9 that is beneath the 4; so the numerator is 108. $\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot9=108}}$	‫[והמחולק יהיה מה שיעלה מהכאת הי"ב שלמים על הט' שתחת הד'‫]‫ ואם כן המחולק הוא ק"ח
We divide it by 4, which is the denominator; it is 27 in the division we wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{12\div\frac{4}{9}=\frac{108}{4}=27}}$	ונחלקם בד' שהוא המחלק ויהיו כ"ז בחלוקה ‫וזהו מה שרצינו
The sixth [category], which is integer and fraction by fraction	והו' שהוא שלם ושבר בשבר
We write each one as said above.	נכתוב כל אחד כאמור
Example: we wish to divide 4 and one-third by 5-sixths, like this: $\scriptstyle\left(4+\frac{1}{3}\right)\div\frac{5}{6}$	המשל נרצה לחלק ד' ושליש אחד בה' ששיות כזה
denominator: We extract the denominator, by that we multiply 5, which is above the 6, by 3, which is beneath the 1 next to it; the result is 15 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot3=15}}$	ונעשה המחלק כך שנכה ה' שהוא על ו' בג' שתחת הא' שבצדה האחר ויעלה ט"ו וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: Then, we extract the numerator by that we multiply 4 by 3 that is beneath the 1 next to it; the result is 12. We add the 1 that is above the 3 next to it; it is 13. We multiply this by 6 that is beneath the 5 of the other side; the result is 78 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot3\right)+1\right]\sdot6=\left(12+1\right)\sdot6=13\sdot6=78}}$	ואחר נעשה המחולק בדרך זה שנכה ד' על ג' שתחת הא' שבצדה ויעלו י"ב ונוסיף א' שהוא על ג' שבצדה ויהיו י"ג ונכם בו' שתחת הה' שבצד האחר ויעלו ע"ח וזהו המחולק
We divide it by the denominator, which is 15; the result division is 5 integers and one-fifth and this is what we wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{3}\right)\div\frac{5}{6}=\frac{78}{15}=5+\frac{1}{5}}}$	ונחלקהו במחלק שהוא ט"ו ויצא מהחלוקה ה' שלמי' וא' חמישית וזהו מה שרצינו
The seventh [category], which is integer and fraction by integer	והז' שהוא שלם ושבר בשלם
We write them as said above.	נכתבם כאמור
We wish to divide 3 and one-third by 4, like this: $\scriptstyle\left(3+\frac{1}{3}\right)\div4$	המשל רצינו לחלק ג' ושלישית בד' כזה
denominator: First, we extract the denominator, by that we multiply 4 by 3, which is beneath the 1 in the other side; the result is 12 and this is the denominator in this category. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=12}}$	ראשונה נעשה המחלק כך שנכה הד' על הג' שהוא תחת הא' שבצד האחר ויעלה י"ב וזהו המחלק בפן הזה
numerator: We extract the numerator by that we multiply the 3 integers by the 3 that is beneath the 1 next to it; it is 9. We add to it the 1 that is above the 3 next to it; the result is ten and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot3\right)+1=9+1=10}}$	ונעשה המחולק בדרך זה שנכה הג' שלמי' על הג' שהיא תחת הא' שבצדה ויהיה ט' ונוסיף עליו הא' שעל הג' שבצדה ויעלו עשרה וזהו המחולק
We divide it by the denominator, which is 12; the result is 5-sixths and this is what we wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{3}\right)\div4=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}}}$	ונחלקהו במחלק שהוא י"ב ויצאו ה' ששיות וזהו מה שרצינו
The eighth [category], which is integer by integer and fraction	והח' שהוא שלם בשלם ושבר
We write each one as said above.	נכתוב כל אחד כאמור
Example: we wish to divide 50 by two and a half, like this: $\scriptstyle50\div\left(2+\frac{1}{2}\right)$	המשל שנרצה לחלק נ' בשניים וחצי כזה
denominator: First, we extract the denominator as follows: we multiply 2 by 2, which is beneath the 1 next to it; the result is 4. We add to it the 1 that is above the 2 next to it; the result is 5 and this is the denominator. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot2\right)+1=4+1=5}}$	וראשונה נעשה המחלק בדרך זה נכה ב' על ב' שתחת הא' שבצדה ויעלו ד' ונוסיף הא' שעל הב' שבצדה ויעלה ה' וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: Then, we extract the numerator by that we multiply the 50 by the 2 that is beneath the 1 of the other side; the result is 100 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot2=100}}$	ואחר נעשה המחולק בדרך זה שנכה הנ' על ב' שהוא תחת הא' מהצד האחר ויעלו ק' וזהו המחולק
We divide it by the denominator, which is 5; the result division is 20 for each one of the two integers of the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{50\div\left(2+\frac{1}{2}\right)=\frac{100}{5}=20}}$	ונחלקהו במחלק ‫שהוא ה' ויצאו מהחלוקה כ' לכל א' מהשנים השלמים של המחלק
Then, we give each fraction its share in relation to what we gave to the whole.	ואחר נתן לכל שבר הראוי לו ביחס מה שנתננו לשלם
Example: in this category, when we divide 50 by 2 and a half; the result of division is 20 to the whole.	המשל במין הזה שחלקנו נ' בב' וחצי ויצא מהחלוקה כ' לשלם
So, we say: if each of the integers receives 20, the half should receive ten, and according to this we divide the fifty.	א"כ נאמר אם לכל א' מהשלמי' ראוי כ' לחצי ראוי שיהיו עשרה ובדרך זה נחלק החמישים
This is what we wanted.	וזה מה שרצינו‫
Check: multiplication
The proof for all types of division is by that we multiply the divisor by the quotient and if the result is exactly as the dividend, then we know that the quotient is true.	והמופת לכל מיני החלוק הוא שנכה המחלק בחלק ואם יעלה כמו המחולק שוה בשוה אז נדע שהחלק אמיתי
Example: you already know that the quotient of the last [example] of this type was 20 and the divisor was two and a half. So, if you multiply two and a half by 20, the result is fifty.	המשל כבר ידעת שהחלק האחרון מזה המין היה כ' והמחלק היה שניים וחצי ולכן אם תכה שניים [וחצי] בכ' יעלו לחמישים
This proof is inclusive for all the eight categories of this type of operation, which is division, and this is what we wanted.	וזה המופת כולל לכל ח' פנים שאמרנו בזה המין שהוא חלוק וזה מה שרצינו

Section Four of the First Book: [Roots]	הכלל הרביעי מהמאמר הא‫'
It is divided into two chapters.	ויתחלק לב' פרקי‫'
Chapter One: Giving Guiding Ways for Finding Roots of Square Numbers or Approximate Roots of Non-Square Numbers	הפרק הא' בנתינת דרכי' מיישירי' למציאות שרשי המספרי' המרובעי' או היותר קרובים למספרי' הבלתי מרובעי‫'
After we spoke about the six types of arithmetic operations with integers and with fractions that include all that is needed in arithmetic, we should talk now about guiding methods for finding roots of square and cube numbers, since they are necessary and useful in mathematics as well as in other sciences, as used by the mathematicians.	ואחר שדברנו מששת מיני המספר מהשלמי' גם מהשברי' שהם כוללים לכל מה שיצטרך במלאכת המספר עתה צריך שנדבר מדרכי' מיישירי' למציאו' שרשי המספרי' המרובעי' והמעוקבי' בעבור שהם הכרחיי' ומועילים בחכמות הלימודיות וגם בחכמות אחרות כמו שהוא מפורסם אצל בעלי החכמות הלימודיות
Therefore, we should first say what is the definition of a root of a number.	ולכן ראוי שנאמ' ראשונה מהו גדר שורש המספר
First of all, you must know that there are two general types of roots of numbers	וקודם כל דבר צריך שתדע שיש ב' מיני שרשי מספר כוללים
The first is the root of a square.	‫הראשון שורש המרובע
The second is called the root of a cube.	והשני יקרא שרש המעוקב
First, we shall discuss the root of the square:	וראשונה נדבר מהשרש המרובע
Definition of a square root: The definition of the root of the square is another number that generates it when it is multiplied by itself.	וא"כ גדר שרש המרובע הוא מספר אחר כשיוכה בעצמו מוליד אותו
So, 2 is the root of 4, because when it is multiplied by itself it generates four.	ולכן ב' הם שרש ד' בעבור כשיוכה בעצמו יוליד ארבעה
Another definition: or it is a number, such that when it is multiplied by itself it generates a square number.	גדר אחר או הוא מספר אחד כשיוכה בעצמו יוליד מספר ארבעה [מרובע]‫
Hence, every number that is multiplied by itself generates a number that has a root and this number is called a square.	א"כ כל מספר מוכה בעצמו מוליד מספר שיש לו שורש ומספר שאין לו כזה יקרא מרובע
Such as 2 times 2; or 5 times 5; or 10 times 10; and so on for the others.	כמו ב' פעמי' ב' או ה' פעמי' ה' או י' פעמי' י' וכן מהאחרי‫'
You should know that every square number that is multiplied by a square number generates a square number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2\times b^2=\left(a\sdot b\right)^2}}$	וצריך שתדע שכל מרובע מוכה על איזה מרובע שיהיה יוליד מרובע
Example: 4 that has a root is multiplied by 9 that has a root also yields 36, whose root is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{4\times9=36=6^2}}$	המשל ד' שיש לו שרש מוכה על ט' שגם כן יש לו שרש יולידו ל"ו ששרשם ו‫'
If when the dividend is divided by the divisor, the quotient is a square number, then when the dividend is multiplied by the divisor, the resulting product is a square number.	ואם כשיחולק המחולק במחלק החלק יהיה מרובע אז אם יוכה המחולק במחלק יוליד מההכאה ההוא מרובע
Example: 18 is divided by 8; the result is [2 and a quarter]; its root is one and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{18\div8=2+\frac{1}{4}=\left(2+\frac{1}{2}\right)^2}}$	המשל י"ח מחולק בח' יצאו והשרש מאלו אחד וחצי
If we multiply 18 by 8, the result is 144 and the root of this number is 12, even though 18 and 8 do not have roots. $\scriptstyle{\color{blue}{18\times8=144=12^2}}$	א"כ אם נכה י"ח על ח' יצאו קמ"ד‫ ושרש המספר בזה הוא י"ב‫ אע"פ שאין שורש לי"ח ולח‫'
Hence, you must know that all the ranks do not have a root, except for those that are formed from the multiplication of other [ranks] by themselves.	ומכאן יתחייב שצריך שתדעהו שכל הטורים [המדרגות]‫ אין להם שורש אלא אותם שמהכאת אחרי' בעצמם יולדו
With the exception of the units, which is the first rank, that has a root that is not generated from other [ranks], but from its product by itself, because one time 1 is 1.	כמו טור [חוץ מדרגת]‫ האחדי' שהוא הטור [המדרגה]‫ הראשונה יש לו שורש שאינה מאחר אלא מהכאתו בעצמו כי פעם א' א' הוא א‫'
The second rank, which is the tens, does not have a root, because there is no number, whose product by itself generates it.	והמדרגה השנית שהוא עשרות אין לו שורש כי לא ימצא שום מספר שבהכאתו בעצמו יוליד אותו
The third rank, which is the hundreds, has a root, because the product of ten by itself generates 100.	והמדרגה הג' שהוא מאות יש לו שורש כי מהכאת עשרה בעצמו יוליד ק‫'
The fourth rank, which is the [thousands], does not have a root, because there is no number, whose product by itself generates it.	והמדרגה הד' שהוא אלף אין לו שורש כי אין שם מספר שבהכאתו ‫בעצמו יולדהו
The fifth rank, which is the tens of thousands, has a root, because the hundred multiplied by itself generates it, for 100 times 100 yields ten thousand.	והטור הה' שהוא עשרת אלפי' יש לו שרש כי המאה מוכה בעצמו יולידהו כי ק' פעמי' ק' יולידו עשרת אלפי‫'
The same can be said about the other ranks endlessly that all the ranks that are odd according to the natural succession have a root, such as 1, 3, 5, 7, 9, i.e. the rank of units, the rank of hundreds, the rank of tens of thousand, the rank of thousands of thousands, and the same for all the other ranks that are odd as said.	וכן איפשר לאמר מהטורים האחרים עד בלתי תכלית באופן שכל ההבדלי' שבסדר המספר יהיו נפרדי' ימצא להם שרש כמו א' ג' ה' ז' ט' כלומר במדרגת האחדות או במדרגת הבדל אם תרצה לומ' כן מהמאות ובמדרגת עשרת האלפי' ובהבדל האלף אלפי' וכן מכל המדרגות האחרות שהם נפרדות כאמור
The ranks that are even do not have a root, such as the second rank that indicates the tens, or the fourth rank the indicates the thousands, or the sixth rank that indicates the hundreds of thousands, and the same for all the other ranks that are even.	וההבדלים או מדרגות שיהיו זוגות אין להם שרש כמו מדרגות הב' הרומזת לעשרות או מדרגת הד' הרומזת לאלפי' או מדרגת הו' הרומזת למאות אלפי' וכן מכל המדרגות האחרות מהזוגות
In the sexagesimal fractions, or whichever they are, it is vice versa.	ובשברי התכונה או איזו שיהיו הוא בהפך
For, the first [rank of] sexagesimal fractions do not have a root.	כי השברים התכונים‫ בראשונים אין להם שרש
But, those that are generated from others have a root.	אבל אותם שיצאו מאחרים יש להם שרש
The minutes, since they are in the first rank of fractions, do not have a root.	כמו הראשונים שבשברי' בעבור שיש להם מקום ראשון אין להם שרש
The seconds that are in the second rank of fractions have a root, because they are generated from the multiplication of the minutes by themselves.	אבל השניים שיש להם מקום שני בשברים יש להם שרש כי מהכאת הראשונים בעצמם יולדו
The thirds that are in the third rank do not have a root, because they are not generated from the multiplication of others by themselves.	והשלישיים שבמקום שלישי יעמדו אין להם שרש כי לא יולדו מהכאת אחרים בעצמם
The fourths that are in the fourth rank have a root, because they are generated from the multiplication of the seconds by themselves.	והרביעיים שיש להם מקום ההבדל הרביעי יש להם שרש כי מהכאת השניים בעצמם יולדו
This way for the others.	וכן מהאחרי' בדרך זה
Likewise for fractions of the other types, i.e. that are not sexagesimal fraction, whether they are of geometry or whichever science.	וכן יעשה בשברי הסוגים האחרים ר"ל שאינם מהתכונה בין שיהיו מההנדסא או מאיזו חכמה שיהיו
As halves, thirds, fifths, sixths and their like.	‫כמו חציים שלישיי' וחמשיי' וששיי' והדומי‫'
Since they are not generated from others, they are called first degree, therefore they do not have a root.	בעבור שלא יולדו מאחרי' יקראו הבדל ראשון או שברי' ראשוני' ולכן אין להם שורש
But, every [fraction] that is multiplied by itself is called fraction of second degree, therefore it has a root.	אבל כל מספר שיוכה בעצמו יקרא שבירה שנייה לכן יש לו שרש
As the product of a half by itself that generates a quarter, which is called a half of a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}}}$	כמו מהכאת חצי בעצמו שיוליד רביעית שיקרא חצי של חצי
The product of a third by itself that generates a ninth, which is called a third of a third. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}}}$	ומהכאת השלישי' בעצמו שיוליד תשיעית שיקרא שלישית של שלישית
As the product of a fifth by itself that generates one [part] of 25, which is called a fifth of a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\right)^2=\frac{1}{25}=\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	ומהכאת החמישית בעצמו שיולד אחד מכ"ה ויקרא חמישית החמישית
The tenth, the eleventh, the twelfth, the thirteenth, the fourteenth, and their like do not have a root, for they are fractions of first degree and they are not formed from others.	אבל העשירי' והאחד עשירית ושנים עשירית ושלשה עשירית וארבעה עשירית והדומי' אין להם שורש כי הם שברי' ראשוני' ולא יולדו מהאחרי‫'
The tenth of a tenth, the eleventh of an eleventh, the twelfth of a twelfth, the thirteenth of a thirteenth, the fourteenth of a fourteenth, the fifteenth of a fifteenth, and their like have a root.	אבל העשירי' מעשירי' והאחד עשירית מאחד עשירית ושנים עשירית משנים עשירית ושלשה עשירית משלשה עשירית וארבעה עשירית מארבעה עשירית וחמשה עשירית מחמשה עשירית וכן הדומי' יש להם שורש
The fractions that are of third degree do not have a root.	האמנם השברי' שמההבדל השלישי שיש להם מקום שלישי אין להם שורש
Such as a half of a half of a half, or a thirteenth of a thirteenth of a thirteenth, and all their like.	כמו חצי מחצי של חצי או שלשה עשיריות משלשה עשיריות של שלשה עשיריות וכן כל הדומי‫'
So, all the fractions that are not generated from the product of others are called fractions of first degree and they do not have a root.	א"כ כל השברי' שלא יולדו מהכאת אחרי' יקראו שברי' של הבדל ראשון ואין להם שורש
But, all those that are generated from the product of others by themselves are called fractions of second degree and they have a root.	אבל אותם שמהכאת אחרי' בעצמם יולדו יקראו שברי' מהבדל שני ויש להם שורש
Therefore, it is a clear thing for integers that the ranks that have a root are the odd ranks, but for fractions it is the opposite, the evens have a root and the odds not.	א"כ דבר מבואר הוא בשלמי' שאותם ההבדלי' שיש להם שורש הם אותם שיהיו נפרדי' בטורי' אבל בשברי' הוא בהפך שהזוגות יש להם שורש ולנפרדי' לא
Written calculations
After knowing these matters, when we wish to find a root of any number, we arrange it by its ranks, i.e. its decimal positions and its digits.	ואחר ידיעת אלה הענייני' כשנרצה למצוא שורש איזה מספר שיהיה נסדרהו בהבדלותיו ר"ל מדרגותיו כלומר מקומותיו גם אותיותיו
Since one should always begin from the odd rank, one should see if the [number of] the ranks is even or odd.	ובעבור שלעולם ראוי להתחיל מההבדל הנפרד לכן צריך ראשונה להבחין אם ההבדלי' יהיו זוגות או נפרדי‫'
If it is odd, write beneath the last rank a number whose product by itself is a number that is equal to the number that is above it, or as close as possible, if an equal number cannot be found.	ואם יהיו נפרדי' תשים תחת ההבדל האחרון מספר אחד שמונה בעצמו יעשה מספר שוה למספר שעליו או פחות היותר קרוב שאפשר ‫שימצא אם לא ימצא שוה
If [the number of] the ranks is even, one writes beneath the rank that precedes the last rank a number, such that when multiplied by itself yields a number that is equal to the number that is above it, or as close as possible, if a number equal to it cannot be found.	ואם ההבדלי' יהיו זוגות יושם תחת האות ר"ל ההבדל שקודם ההבדל ר"ל האחרונה מספר אחד כשיוכה בעצמו יוליד מספר שוה או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא למספר שעליו אם לא ימצא שוה לו
It is subtracted from the one that is above it and from the next to it.	ויחוסר מאותו שעליו ומחברו
If nothing remains, we write zero above them.	ואם לא ישאר מאומה נכתו' עליהם סיפרא
If there is a remainder, what remains is written above the preceding digit, which is the right of the two [digits].	ואם ישאר יכתב מה שישאר באות הקודמת שהיא הימנית משניהם
Then, it is doubled and written in the preceding rank.	ואחר יוכפל ויושם בהבדל הנמשך אליו
In the third rank [from the left] one writes a number, whose product by the double is subtracted from the number that is above the doubled, then its product by itself is subtracted from the number that is above it, so that it is closer than any other number to consume the upper number.	ובהבדל השלישי יושם מספר אחד שמוכה בנכפל ומחוסר מאותו שעל הנכפל ואחר כן מוכה בעצמו ומחוסר מהמספר שעליו יהיה יותר קרוב לבטל המספר שלמעלה משום מספר אחר
If there are no ranks left, then the first and the third [bottom] digits are the root of the upper number.	ואם לא ישאר יותר הבדל אז יהיה המספר הראשון והשלישי שורש המספר שלמעלה
If there are more digits, i.e. ranks, we double the third of the bottom digits, then shift the first doubled by one rank backwards. We erase the first doubled and write after the second doubled a number, such that when multiplied by the doubles and by itself, will consume all the upper [digits] as said.	ואם יהיה יותר אותיות ר"ל הבדלי' נכפול האות השלישית מהתחתונות ואח"כ נסיע הכפל הראשון אות אחת לפנים ונמחוק הכפלי' הראשוני' ואחר הכפל השני נניח מספר אחד שיוכה בנכפלי' ובעצמו ימחוק כל מה שלמעלה כאמור
If there are more ranks, i.e. digits, the last [bottom] digit is doubled, then another number is written, such that when multiplied by the doubles, which should be shifted from their place to the preceding rank before the multiplication, and by itself, will consume all the upper [digits] as said.	ואם יהיו יותר הבדלי' ר"ל אותיות יוכפל המספר האחרון ויונח מספר אחר כשיוכה בנכפלי' הצריכי' לסעת ממקומם ללכת מדרגה אחת יותר קודם ההכאה ובעצמו ימחוק כל מה שלמעלה כאמור
This should be done, until the whole rank is gone, by that the number that is after the doubled is multiplied by the doubles and by itself.	וכן צריך להעשות עד שיגמר כל הטור באופן שלעולם המספר שהוא אחר הנכפל יוכה בנכפלי' ובעצמו
Example: suppose we want to look for the root of a number, which is 5625.	המשל שנניח מספר אחד שנרצה לבקש שורשו והוא ה'ב'ו'ה ה' אלפי' תרכ"ה
0       2     0 7 0 0 5 6 2 5   7 4 5	0       ב     0 ז 0 0 ה ו ב ה   ז ד ה
Since the [number of] ranks is even, we should begin from the digit that precedes the last, which 6.	ובעבור שההבדלי' הם זוגות צריך שנתחיל באות שקודם האחרונה שהיא ו‫'
We should write a number, such that when it is multiplied by itself, it yields the same number, or the smallest closest number, when no number is found that is equal to the one that is above, which is 56.	וצריך שנניח מספר א' כשיוכה בעצמו יוליד מספר שוה או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא כשלא ימצא מספר שוה לאותו שלמעלה שהוא נ"ו
The number that is closest to 56 is 7, because when it is multiplied by itself, it yields 49.	והמספר היותר קרוב לנ"ו הוא ז' כי כשיוכה בעצמו יוליד מ"ט
When 49 is subtracted from the number that is above, which is 56, 7 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{56-7^2=56-49=7}}$	ומ"ט כשיוסרו מהמספר שלמעלה שהוא נ"ו ישארו ז‫'
We write the remaining 7 above the 6, which is one of the digits of 56; and above the 5 we write zero.	ואלו הז' שישארו נשימם על הו' שהוא אחת מאותיות נ"ו ועל הה' נשים סיפרא
We double the 7 that we wrote below as a root; it is 14. We write the ten beneath the 7, erase the 7, and write the 4 in the following rank, beneath the 2.	והז' ששמנו למטה לשורש נכפול אותם ויהיו י"ד והעשרה נשים תחת הז' ונמחוק הז' ‫והד' נניחם במקום הנמשך שהוא תחת ב‫'
Then, beneath the next digit, we write a number, which is 5, such that when it is multiplied by the doubled and by itself, it erases, or consumes the one that is above, as follows:	אחר כך תחת האות האחרת הנמשכת נשים מספר אחד שהוא ה' כשיוכה [בנכפלים ובעצמו‫]‫ ימחוק או יבטל אותו שלמעלה באופן זה
When multiplying 5 by the one, which is ten of the doubled, the result is 5. When it is subtracted from what is above, which is 7, 2 remains above the 7. $\scriptstyle{\color{blue}{7-\left(5\sdot1\right)=7-5=2}}$	בהכות הה' באחד שהוא העשרה מהכפל יוליד ה' כשיוסר מאותו שלמעלה שהוא ז' ישארו ב' על הז‫'
Then, we multiply the mentioned 5 by 4; it is 20. When it is subtracted from what is above, which is 22, 2 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{22-\left(5\sdot4\right)=22-20=2}}$	ואחר נכה הה' הנזכרים בד' ויהיו כ' כשיוסרו משלמעלה שהוא כ"ב ישארו ב‫'
We write 0 above the upper 2 that is tens for the 2 that follows.	ונכתוב 0' על ב' העליון שהיה במקום י' לערך הב' הנמשכת
Next, we multiply the 5 by itself; we get 25. When it is subtracted from what is above, which is 25, nothing remains.	אחר כך נכה הה' בעצמו ויהיו לנו כ"ה כשיוסרו משלמעלה שהוא כ"ה לא ישאר כלום
We receive that the root of the number is 75, as seen in this diagram.	ואז יהיה לנו שרש המספר ע"ה כמו שנראה בזו הצורה
Since nothing remains, we write 0'0' above the 2 and the 5 and this is what we wanted.	ובעבור שלא נשאר כלום נכתוב 0'0' על ב' ועל ה' וזה מה שרצינו
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{56-{\color{blue}{7}}^2=56-49=}}{\color{green}{7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times7=}}{\color{blue}{14}}\\\end{align}}$ ​ $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{7-\left(1\times{\color{blue}{5}}\right)=7-5=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{22-\left(4\times{\color{blue}{5}}\right)=22-20=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{25-{\color{blue}{5}}^2=25-25=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$  0   ​  2   07   0700 5625 5625 5625  7    74   745  1    1
Chapter Two: Finding the Roots of Fractions Alone or Fractions and Integers Together	הפרק השני במציאות שרשי המספרים בשברי' לבד או בשברי' ושלמי' יחד
You already know that a root can not be found for all fractions, but only for those that are formed from a product of other fractions by themselves.	כבר ידעת שלא ימצא שורש לכל השברי' אלא לאותם שיולדו מהכאת שברי' אחרי' בעצמם
Therefore, we examine the fractions, whose root we want to find, whether they are of those that have a root or not.	ולכן נעין בשברי' שנרצה למצא שורשם אם הם ‫מאותם שיש להם שרש אם לא
If they are of those that have [a root], we extract the root exactly as with integers.	ואם יהיו מאותם שיש להם נוציא השרש כמו בשלמי' לא פחות ולא יתר
You should know that the root you get for fractions is not of the same type of the fractions, whose root you are looking for, but of a different type.	וראוי שתדע שהשרש שיצא לך מהשברי' איננו מסוג אותם השברי' שבקשת שרשם אלא מסוג אחר
Example: if the fractions, whose root you are looking for, are quarters, their root is halves.	המשל אם השברי' שבקשת שרשם יהיו רביעיות השרש שלהם יהיו חציים
If they are ninths, their root is thirds.	ואם יהיו תשיעיות שרשם יהיו שלישיות
The roots of the fractions are always of a higher rank than the fractions, of which they are roots.	ולעולם שרשי המספרי' [השברי']‫ יהיו יותר מכמות מספר השברי' שהם להם שרש
As the one who multiplies thirds by themselves that yield ninths, which is a number that is smaller than the thirds that is its root.	כמי שמכה שלישיות בעצמו שיוליד תשיעיות שהוא מספר פחות מהשלישיות שהוא שרשו
So, in astrology, 3 minutes are not the root of 9 minutes, since the product of minutes by themselves is seconds that are of a different type.	ולכן בתכונה ג' ראשוני' לא יהיו שרש לט' ראשונים בעבור שהכאת הראשונים בעצמם עושה שניים שהם מסוג אחר
If the fractions, whose root we are looking for, are not of those that have a root, we convert them to other fractions that have roots.	ואם השברי' שבקשנו שרשם לא יהיו מהשברי' שיש להם שרש נחליפם לשברי' אחרי' שיהיו בעלי שרשים
Example: if they are thirds that do not have a root, we convert them to ninths that have a root.	המשל שאם יהיו שלישיים שאין להם שרש אז נחליפם לתשיעיות שהם בעלי שרש
Likewise in astrology, if they are minutes and we wish to extract their root, we convert them to seconds and then extract their root.	וגם בתכונה אם יהיו ראשוני' ורצינו לבקש שורשם נחליפם לשניים‫ ואז נוציא שרשם
If we want to know the root of integers and fractions together, we convert the integers to the same type of the fractions, then we extract their root, if the fractions are of a type that has a root; if not, we convert both the integers and the fractions to a type of fraction that has a root, then extract their root.	ואם נרצה לדעת שורש השלמי' והשברי' יחד נחזיר השלמי' לסוג השברי' ואז נוציא שרשם אם השברי' ממין אותם שיש להם שורש ואם לא נחזיר השלמי' גם השברי' לסוג השברי' שיש להם שרש ואז נוציא שרשם

Chapter Three: Giving one inclusive Method for Finding the Roots of Numbers by Adding Zeros	הפרק השלישי בנתינת דרך א' כולל למצא שרשי המספרי' על דרך תוספת הספרש
Know that there is another inclusive method for finding the roots of numbers and it is that we take whichever number we want and add to it six zeros or more, provided that their number is even.	‫ודע שיש דרך אחר כולל למצא בו שרשי המספרי' והוא זה והוא שנקח איזה מספר שנרצה ונוסיף עליו ו' ספרש או יותר בתנאי שיהיו זוגות
For, as many zeros you add as easier it will be for you to find the approximate root of numbers if they do not have roots, or the real roots, if they have roots.	כי כל מה שתוסיף בספרש יותר בנקלה תמצא השרשים היותר אמיתיים ר"ל היותר קרובים למספרי' אם לא יהיו בעלי שרשים או אמיתיים אם יהיו בעלי שרשים
After you add the zeros, extract the root as we said above.	ואחר שתוסיף הספרש תוציא [השרש‫]‫ בדרך שאמרנו למעלה
If something remains after the extraction of the root, know that this number does not have a root, but if nothing remains, then the root is found.	ואם לאחר הוצאת השרש ישאר איזה דבר תדע שאין שרש לאותו מספר ואם לא ישאר דבר הנה שכבר נמצא שרש
Next, examine how many ranks there is in the root you have found. If they are more than half the zeros, take the [exceeding ranks] to the left as integers.	ואחר תעיין כמה הבדלים יש בשרש שמצאת ואם יהיו יותר מחצי הספרש כל מה שיהיו יותר ר"ל מצד שמאל תקחהו בשם שלמי‫'
Example: if you wrote six zeros and you find that there are more than three digits in the root, which is half the six that is [the number of] the zeros, take the [exceeding ranks] as integers as said and multiply the remaining that are three ranks by sixty.	המשל שאם הנחת ו' ספרש ובשרש שמצאת יהיו יותר מג' אותיות שהוא חצי ששה שהוא מניין הספרש כל מה שיהיו יותר תקחם בשם שלמי' כאמור והשאר שהוא ג' הבדלים הכהו בששים
Examine [by] how much [the number of] the ranks of the product [exceeds] the number of half the zeros. The [ranks that exceed the number of] half the zeros are minutes. Multiply the remaining again by sixty.	והעולה מההכאה תעיין כמה הבדלים יש לו מלבד כמות חצי הספרש ומה שיהיה מלבד חצי הספרש יהיו ראשוני' והנשאר נכהו פעם אחרת בששים
Examine in the way stated above by how much [the number of] the digits exceeds the number of half the zeros. All that exceeds are seconds.	ותעיין באופן האמור למעלה ויהיו שניים כמה הוא יותר מחצי הספרש כלומר כמה אותיות הם יותר מחצי הספרש וכל מה שיהיה יותר יהיו שניים
Do like this until only half the zeros that you wrote remain, i.e. in each product what remains from the multiplication is smaller than the preceding [product] by one rank.	וכדרך זה תעשה עד שלא ישאר אלא חצי הספרש שהנחת ר"ל שבכל הכאה ישוה הנותר מההכאה פחות מהקודם לה מדרגה אחת
So, if the preceding product was minutes, the next [product] is seconds and the next product is thirds and so on, until only three zeros remain.	שאם ההכאה הקודמת לה היתה ראשונים ‫שתהיה האחרת הנמשכת לה שניים וההכאה האחרת שלישיים וכן כסדר עד שלא ישארו אלא הג' ספרש לבד
Example: we wish to know the approximate root of two $\scriptstyle\sqrt{2}$	המשל נרצה לדעת השרש היותר קרוב שאיפשר לשנים
We write 2 and add six zeros before it.	נניח ב' ונוסיף עליה קודם לה ו' ספרש
1 3 6         2 1 7 0   1 2 4 2 9 2 4 2 0 0 0 0 0 0 1 2 4 8 1 2 4     2 2 8	א ג ו         ב א ז 0   א ב ד ב ט ב ד ב 0 0 0 0 0 0 א ב ד ח א ב ד     ב ב ח
First of all, we extract the root in the way that we said in the chapter on roots: we find that its root according to this way is 1414 and a bit more. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2000000}=1414+r}}$	ונוציא קודם כל דבר השרש בדרך זה שאמרנו בפרק השרשים ונמצא ששורשם באותו הדרך הוא זה [דאדא‫]‫ ומעט יותר
Since there are four digits here, we take the fourth digit as integer, which is one, and we multiply the rest of the digits that are as the number of half the zeros by sixty. The result of multiplication is 24840. $\scriptstyle{\color{blue}{414\sdot60=24840}}$	ובעבור שיש בכאן ד' אותיות נקח האות הד' הרביעי בשם שלם שהוא אחד והאותיות האחרות שהם בכמות חצי הספרש נכם בששים ויצא מההכאה [0דחדב‫]‫
We take the two last digits, which are 2 and 4, that are more than [the number of] half the zeros and they are minutes. We multiply the remaining 840 by sixty; the result of multiplication is 50400. $\scriptstyle{\color{blue}{840\sdot60=50400}}$	ונקח הב' אותיות האחרונות שהם ב'ד' שהם יותר מחצי הספרש ויהיו ראשונים והתת"מ שנשארו נכם בששים ויצאו [מההכאה 00ד0ה‫]‫
We take what is more than [the number of] half the zeros; it is 50 and this 50 are seconds. We multiply the remaining 400 by sixty; the result of multiplication is 24000. $\scriptstyle{\color{blue}{400\sdot60=24000}}$	ונקח מה שהוא יותר מחצי הספרש ויהיו נ' ואלו הנ' יהיו שניים והת' הנשארי' נכם בששים ויצאו מההכאה [000דב‫]‫
We take the 24 that is more than [the number of] half the zeros and they are thirds. Three zeros remain that are half the original zeros that we added.	ונקח הכ"ד שהם יותר מחצי הספרש ויהיו שלישיות וישארו הג' ספרש שהם חצי הספרש הראשונות שהוספנו בלבד
Apply this way on the numbers you want, until only half [the number of] the zeros remains.	ובדרך זה תעשה במספרי' שתרצה עד שלא ישאר אלא חצי הספרש
So, in this procedure we have found that the approximate root of the required number, which is 2, is 1 integer, 24 minutes, 50 seconds, and 24 thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+24^\prime+50^{\prime\prime}+24^{\prime\prime\prime}}}$	וא"כ בזה הפועל מצאנו שהשרש היותר קרוב למספר המכוון שהם ב' הוא שלם א' וכ"ד ראשוני' ונ' שניים וכ"ד שלישיים
Know that as you took here the number of the zeros in the multiplications according to the sexagesimal fractions, i.e. minutes, or seconds, or thirds, you can take 20, or 30, or whatever you wish, in similar multiplications, and as we related the fractions here to 60, we can relate them to 20 or 30, according to the number that you take in the multiplications, or according to any number you wish, Q.E.D.	ודע כי כמו שלקחת בכאן בהכאות מניין הספרש והם ראויים למספרי התכונה ר"ל בשם ראשונים או שניים או שלישיים כמו כן תוכל לקחת בהכאות הדומים לאלו מספר כ' או ל' או מה שתרצה וכמו שייחסנו השברי' בכאן למספר הס' כמו כן נוכל ליחס אותם למספר הכ' או לל' כפי המספר שתקח בהכאות או כפי המספר שתרצה וזה מה שרצינו

Chapter Four: Giving Guiding Ways for Finding Roots of Cube Numbers or Approximate Roots of Non-Cube Numbers	הפרק הרביעי בנתינת דרכים מיישירים למציאות שרשי המספרי' ‫המעוקבים או היותר קרובים למספרים הבלתי מעוקבים
The cube root of any number is a number that is multiplied by its square and generates another number that is called a cube number.	ושרש מעקב מאיזה מספר שיהיה הוא מספר אחד שיוכה במרובעו ויוליד מספר אחר ויקרא מספר מעוקב
As 2, which is a cube root of 8. For, the product of 2 by its square, which is 4, generates 8, which is the cube number of 2. $\scriptstyle{\color{blue}{2^3=2\sdot2^2=2\sdot4=8\longrightarrow\sqrt[3]{8}=2}}$	כמו ב' שהם שורש מעוקב של ח' בעבור שהכאת הב' במרובעם שהם ד' יולידו ח' שהוא מספר מעוקב של ב‫'
Likewise 3 is a cube root of 27, because the product of 3 by its square, which is 9, generates 27, which is the cube number of 3. $\scriptstyle{\color{blue}{3^3=3\sdot3^2=3\sdot9=27\longrightarrow\sqrt[3]{27}=3}}$	וכן ג' הם שרש מעוקב של כ"ז בעבור שהכאת ג' במרובעם שהוא ט' יוליד כ"ז שהוא מספר מעוקב של ג‫'
Also 1000 is a cube root of 10, as it is generated from the product of 10 by its square, which is 100. $\scriptstyle{\color{blue}{10^3=10\sdot10^2=10\sdot100=1000\longrightarrow\sqrt[3]{1000}=10}}$	וכן אלף הוא מספר מעוקב של י' כי הוא נולד מהכאת י' במרובעו שהוא ק' וכן מהאחרי‫'
Know that the cubic square cannot be found by the technique that will be stated if it is not greater than 9 and all that are less than 10 should necessarily be memorized.	ודע ששורש המעוקב לא ימצאו בזאת התחבולה שנאמ' אם לא שיהיה יותר מט' וכל אותם שהם פחותים מי' צריך שיודעו על פה בהכרח
Hence, you cannot find the root of a number by the technique if it is not from 1000 and up.	א"כ אתה לא תוכל למצא שרש מספר בתחבולה אם לא שיהיה מאלף ומעלה
This principle is necessary to know which ranks have a cube root.	ולהבין שהשרש הזה הוא הכרחי לדעת מה הם המדרגות שיש להם שרש מעוקב
You must know that not all the ranks have a root, but only those that are generated from cubing.	וצריך שתדע שאין לכל המדרגות שורש אלא לאותם שיולדו מהכאה מעוקבת‫
For, the first numerical rank, which is the rank of units, has a cube root. Because, the one that is cubically multiplied generates one, which is a cube number.	כי המדרגה הראשונה מהמספר שהוא מדרגת האחדות יש לו שרש מעוקב כי האחד מוכה בעצמו באופן מעוקב יוליד אחד שהוא מספר מעוקב
The second rank, which is the rank of tens, do not have a cube root, because no number can be found that when multiplied cubically generates ten.	והמדרגה הב' שהיא מדרגת העשרות אין לה שרש מעוקב כי לא נמצא שום מספר שמוכה בעצמו באופן מעוקב יוליד עשרה
The third rank, which is the rank of hundreds, do not have a cube root, because no number can be found that generates it when multiplied cubically.	והמדרגה השלישית שהיא מדרגת המאות אין לה שרש מעוקב כי לא ימצא מספר א' שמוכה בעצמו באופן מעוקב יולידהו
The fourth rank, which is the rank of thousands, have a cube roots, because it is generated by cubing the ten.	אבל המדרגה הד' שהיא מדרגת האלפי' יש לה שרש כי יולד מההכאה המעוקבת מהעשרה
The fifth rank, which is the tens of thousands, do not have a cube root, for the reason mentioned.	והמדרגה הה' שהיא עשרת אלפי' אין לה ‫שרש מעוקב לסבה הנזכרת
The sixth rank, which is the hundreds of thousands, do not have a cube root also, for the reason mentioned.	והמדרגה הו' שהיא מאת אלפי' אין לה ג"כ שרש מעוקב לסבה הנזכרת
The seventh rank, which is the thousands of thousands, have a cube roots, because it is generated by cubing the hundred.	והמדרגה הז' שהיא אלף אלפי' יש לה שרש מעוקב כי יולד מהכאה מעוקבת מהמאה
The same should be understood for all the other numbers, that a cube root can be found only in the ranks of units and of thousands.	וכן ראוי שיובן בכל המספרי' האחרים והוא שלא ימצא שרש מעוקב אלא במדרגת האחדות והאלפי‫'
Written calculations
After you know all this, if you want to extract a root, we write the number we wish, whether it is a thousand or more and we write the digits starting from the units.	ואחר שידעת כל זה אם תרצה להוציא זה השרש נכתוב המספר שנרצה בין שיהיה אלף או יותר ונרשום האותיות העושות האלפי' בשנתחיל מהאחדות
Know that the digits that indicate the root are the units, the thousands, the thousands of thousands, the thousands of thousands of thousands and so on by this order, i.e. all the thousands, according to this way: the units, the digit that is fourth to it, counting with it, the seventh digit, the tenth, the 13th, the 16th, the 19th, the 22nd, the 25th and those that are similar, four by four, because all these indicate the [rank] that have a cube root.	ודע שהאותיות המורות השרש הם האחדות והאלפי' והאלף אלפי' והאלף אלפי אלפי' וכן כסדר הזה כלומ' כל האלפי' בדרך זה ר"ל האחדות והאות הרביע לה כשימנה עמה והאות השביעי והעשירי' והי"ג והי"ו והי"ט והכ"ב והכ"ה וכן מהדומות מארבעה ארבעה כי אלו הן המורות על בעלת השרש המעוקב
After knowing these digits that indicate the thousands, we start to extract the cube root, i.e. to look for a cube root, from the last digit of the hundreds[?] of thousand, by writing a digit beneath it, such that when multiplied by itself cubically, becomes a number that is equal to the one that is above it, or as close as can be found, if the same cannot be found.	ואחר ידיעת אלו האותיות המורות אלפי' נתחיל לעקב ר"ל לבקש השרש המעוקב מהאות האחרונה מהמאות אלפי' בשנכתוב תחתיה אות אחת שכשיוכה בעצמו באופן מעוקב יעשה מספר שוה לאותה שלמעלה המינה או פחות היותר קרוב שאיפשר שימצא אם לא ימצא שוה
We subtract it from what is above it.	ונחסרהו משלמעלה ממנו
This digit is called "sub-triple". We triple it, i.e. multiply it three times.	והאות הזה תקרא תחת המשולש' ואחר כך נשלשה ר"ל שנרבה אותה יותר ממה שהיה ג' פעמי‫'
Example: if it is 2, we turn it to 6.	המשל אם יהיו ב' נחזירם ו‫'
We write it in the rank that is third to it, i.e. to the right of the sub-triple. We shift the sub-triple one rank backwards and write the original digit.	ונכתוב אותם במקום שלישי אליה ר"ל שלתחת המשולשת לצד הימין והתחת משולשת נסיעה אות אחת לאחור ונרשום הראשונה
Next to the triple we write another digit called the "present digit", such that when multiplied by the triple, by the sub-triple, and by itself cubically, generates numbers that are equal or as close as possible to the numbers that are above them.	ובמקום הסמוך למשולשת אחריה נכתוב אות אחרת ויקרא אות ‫נמצאת שכשיוכה במשולשת ובתחת משלשת משולשת ובעצמה באופן מעוקב יוליד מספר שוה או היותר קרוב שאיפשר למספר שעליהם
We subtract them from what is above them.	ונחסרם ממה שלמעלה מהם
If the line has more digits, we triple the present digit and write its triple in the rank that is third to it in the abovementioned way.	ואם הטור יהיה יותר באותיות נשלש האות הנמצאת והמשולשת שלה נכתוב במקום השלישי לה בדרך הנזכר למעלה
We shift it, i.e. the present digit, and write it one rank backwards.	והיא ר"ל הנמצאת נרשום אותה ונסיעה אות אחת לאחור
We shift each of the other triples and sub-triples one rank backwards and write the original digits.	והמשולשות האחרות והתחת משולשות נסיעם כל אחת לאחור אות אחת ונרשום הראשונות
We look for another digit, such that when multiplied by all the triples, by the sub-triples, and by itself cubically, generates numbers that are equal or as close as possible to the [numbers] that are above them.	ונבקש אות אחרת נמצאת שמוכת בכל המשולשות והתחת משולשות ובעצמה באופן מעוקב יוליד מספר שוה או היותר קרוב שאיפשר לשלמעלה מהם
We subtract them from them.	ונחסרהו מהם
We always have this way, even if the digits are numerous.	וזה הדרך יהיה לנו תמיד ואם ירבו מאד האותיות
You should know that if the triple is two digits, i.e. units and tens, we write the units as stated, i.e. in the place of the units, and we write the tens in the rank that is third to the left of the units, which is the place where the sub-triple is written and so on.	וצריך שתדע שאם המשולשת תהיה ב' אותיות ר"ל אחדות ועשרות האחדות נכתוב כנזכר ר"ל במקום האחדות והעשרות נכתוב במקום השלישי לאחדות מצד שמאל אליה שהוא מקום רשימת התחת משולשת וכן לעולם
Know that the present digit do its function, then, if there are more digits, it becomes a sub-triple.	ודע שכל אות נמצאת בשתפעול פעולתם ויהיו יותר אותיות תחזור היא תחת משולשת
Example: we wish to know the cube root of 12162. $\scriptstyle\sqrt[3]{12167}$	המשל נרצה לדעת השורש המעוקב של י"ב אלף וקס"ז
This is its diagram:	וזו היא צורתו
0 0 0   0 4 5 2 0 1 2 1 6 7   2 2 6 3	0 0 0   0 ד ה ב 0 א ב א ו ז   ב ב ו ג
According to what we have said above, there are only two ranks that have cube roots in this number: the units and the thousands, so we start from the rank of the thousands that is the last cube rank of this number, which is 2, and the 1 that is with it.	ולפי מה שאמרנו למעלה לא ימצא בזה המספר אלא ב' מקומות בעלי שרשים מעוקבי' והם האחדות והאלפי' ונתחיל במקום האלפי' שהוא ב' וא' ל עמה והוא המקום האחרון המעוקב מזה המספר
We write 2 beneath it, since we cannot find a number, [whose cube] is closer to 12 other than 2.	ונכתוב ב' תחתיו בעבור שלא ‫נמצא מספר יותר קרוב לב"א [לי"ב]‫ שיקבל הכאה מעוקבת אלא ב‫'
So, we multiply 2 by itself cubically; it yields 8. $\scriptstyle{\color{blue}{2^3=8}}$	אם כן נכה ב' בעצמם באופן מעוקב ויוליד ח‫'
We subtract it from 12; 4 remains above 2 and we write zero above 1. $\scriptstyle{\color{blue}{12-8=4}}$	ונחסרם מי"ב וישארו ד' על ב' ונכתוב ספרא על א‫'
Then, we triple the 2; it is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2=6}}$	ואחר נשלש הב' ויהיו ו‫'
We write it beneath the digit that is third from the 2 that is beneath the upper 6.	ונכתוב אותה תחת האות השלישית לב' שהיא תחת הו' העליונה
We shift the 2 one rank backwards and write it next to the triple, so instead of being third it becomes second to the left.	ונרשום הב' ונסיעה אות אחת לאחור ונשימה אצל המשולשת ובמקום שהיתה שלישית אליה חזרה שניה אליה מצד שמאל
After the triple, we write 3, whose product by the triple, which is 6, yields 18, and we multiply the 18 by the sub-triple, which is 2; it is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(3\sdot6\right)=2\sdot18=36}}$	ואחר המשולשת נכתוב ג' שמוכת במשולשת שהיא ו' יוליד י"ח ואלו הי"ח נכם בתחת משולשת שהיא ב' ויהיו ל"ו
We subtract it from the 41 that is above the 2; 5 remains above the 1 and zero above the 4. $\scriptstyle{\color{blue}{41-36=05}}$	ונחסרם ממ"א שהם על הב' וישארו ה' על הא' וספרא על הד‫'
Then, we multiply the mentioned 3, which is the present digit, by the triple, which is 6; it yields 18. We multiply it by 3; it yields 54. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(3\sdot6\right)=3\sdot18=54}}$	ואחר נכה הג' הנזכרת שהיא האות הנמצאת במשולשת שהיא ו' ויוליד י"ח וכל זה נכה בג' ויוליד נ"ד
We subtract it from the digits [that are above], which are 56; 2 remains above the 6 and zero above the 5. $\scriptstyle{\color{blue}{56-54=02}}$	ונחסרם מהמספרי' שהוא נ"ו וישארו ב' על הו' וספרא על הה‫'
Then, we multiply the mentioned 3 by itself cubically; it yields 27. $\scriptstyle{\color{blue}{3^3=27}}$	ואחר נכה הג' הנזכרת בעצמה באופן מעוקב ויוליד כ"ז
We subtract it from what is above it, which is 27; nothing remains. $\scriptstyle{\color{blue}{27-27=0}}$	ונחסרם ממה שלמעלה מהם [שהם] כ"ז ולא ישאר מאומה
So, we write zero above the 2 and above the 7.	ולכן נכתוב ספרא על ב' ועל ז‫'
Therefore, we know that this number is a [perfect] cube and its root is 23.	וא"כ ידענו שהמספר הזה הוא מעוקב ושורשו כ"ג
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{12-{\color{blue}{2}}^3=12-8=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3\times2=}}{\color{blue}{6}}\\\end{align}}$ ​ $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{41-\left(2\times6\times{\color{blue}{3}}\right)=41-\left(2\sdot18\right)=41-36=}}{\color{green}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{56-\left(3\times6\times{\color{blue}{3}}\right)=56-\left(3\sdot18\right)=56-54=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{27-{\color{blue}{3}}^3=27-27=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$  000  ​ 04    04520 12167 12167 12167  2     226   2263 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{the\ result\ \sqrt[3]{12167}=23}}$
Another example that occurs in a different way: assuming that we wish to know the cube root of 571787. $\scriptstyle\sqrt[3]{571787}$	ומשל אחר אם יקרה באופן אחר נניח שנרצה לדעת השרש המעוקב מת"ק ע"א אלף ותשפ"ז
This is its diagram:	וזאת היא צורתו
0 0         1 1 0 0   0 5 9 3 2 0 5 7 1 7 8 7     8 8 4 3     2	0 0         א א 0 0   0 ה ט ג ב 0 ה ז א ז ח ז     ח ח ד ג     ב
Since only two ranks that have cube roots are found in this diagram, we start from the last, which is 1.	ובעבור שבזאת הצורה לא ימצא אלא ב' מקומות בעלי שרש נתחיל באחרון שהוא א‫'
We write beneath it a number, such that when it is multiplied by itself cubically, it yields a number that is as close to it as possible, which is 8, as there is no closer number there.	ונכתוב תחתיו מספר אחד שמוכה בעצמו באופן מעוקב יוליד מספר היותר קרוב אליו והוא ח' שאין שם מספר יותר קרוב
Because when it is multiplied by itself cubically it yields 512. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot8=24}}$	בעבור שמוכה בעצמו באופן מעוקב יעשה תקי"ב
We subtract it from 571 that is above the 8; 59 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{571-512=59}}$	ונחסרם מת"ק ע"א שהם על הח' וישארו נ"ט
We write the 9 above the 1 and the 6 above the 7.	הט' נכתוב ‫על הא' והה' על הז‫'
We triple the 8; it is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot8=24}}$	ונשלש הח' ויהיו כ"ד
We write the 4 in the [rank] that is third from the 8 that is the sub-triple.	ונכתוב הד' באות השלישית לח' שהיא תחת משולשת
We write the twenty that is indicated by 2 beneath the 8 that we wrote below at first.	והעשרים הנרמזים בב' נכתוב תחת הח' שכתבנו למטה בראשונה
We shift the 8 one rank backwards and write it.	ונרשום אותה ר"ל הח' ונסיעה לאחור מדרגה אחת
There are three digits below: 2 beneath the upper 9; 8 beneath the 7; and 4 beneath the 8.	ויהיו למטה ג' אותיות הב' למטה כנגד הט' העליונה והח' תחת הז' והד' תחת הח‫'
We write also after the 4 a new digit that is called the present digit, such that when it is multiplied by the three bottom [digits] and by itself cubically, it yields a number that is equal to all the upper digits, or as close as possible. No number that is more suitable for this than 3 is found, so we write 3 beneath the 7 in the first rank.	ונכתוב עוד אחר הד' אות חדשה וא ויקרא אות נמצאת ויהיה רביעית שישוה כל כך שכשיוכה על הג' התחתונות ובעצמה באופן מעוקב יוליד מספר שוה לכל האותיות העליונות או היותר קרוב שאיפשר ולא ימצא אות יותר ראויה לזה מהג' ולכן נכתוב ג' תחת הז' במדרגה הראשונה
The multiplication procedure is as follows:	ודרך ההכאות יהיה זה
We multiply the 3 that we wrote by the digit that is worth 20, which is 2; the result is 6. We multiply this 6 by the triple, which is 8; the result is 48. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\left(3\sdot2\right)=8\sdot6=48}}$	נכה הג' שכתבנו באות השוה כ' שהיא ב' ויעלו ו' ואלה הו' נכה במשולשת שהיא ח' ויעלו מ"ח
We subtract the 48 from the digits that are above the 2, which are 59; 11 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{59-48=11}}$	ואלו המ"ח נחסרם מהאותיות שעל הב' שהם נ"ט וישארו י"א
We multiply the 3 for the second time by 4, which is the digit of the units of the first triple above the 8; the result is 12. We multiply it by 8; the result is 96. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\left(3\sdot4\right)=8\sdot12=96}}$	ונחזור ונכה הג' פעם שנית על הד' שהיא אות האחדות מהשלוש הראשון על הח' ויעלה י"ב ואלו הי"ב נכה על הח' ויעלה צ"ו
We multiply the mentioned 3 by the mentioned 2; the result is 6. We multiply this 6 again by 3; it is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(3\sdot2\right)=3\sdot6=18}}$	ואחר כך נכה הג' הנזכרת בב' הנזכרת ויעלה ו' ונחזור ונכה אלה הו' על הג' ויהיו י"ח
This 18 with the 96 is 114. We subtract the 114 from the upper digits that are above the 8, which are 117. When we subtract 114 from them, 3 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{117-\left(18+96\right)=117-114=3}}$	ואלו הי"ח עם הצ"ו יעלו קי"ד ואלו הקי"ד נחסרם מהג' אותיות העליונות שעל הח' שהם קי"ז וכשנחסר מהם קי"ד ישארו ג‫'
We write 3 above the 7 and we write zero above each of the ones.	‫[ונכתוב הג' על הז' ונכתוב סיפרא על כל אחת מהב' אלפים‫]‫
We multiply the 3 for the third time by 4, which is the units of the triple; it yields 12. We multiply it by 3 itself; the result is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(3\sdot4\right)=3\sdot12=36}}$	ונכה הג' פעם שלישי על הד' שהיא האחדות מהמשולשת ויוליד י"ב ואלו נכה בג' בעצמם ויעלו ל"ו
We subtract it from the digits that are above the 4, which are 38; 2 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{38-36=2}}$	ונחסרם מהאותיות שעל הד' שהם ל"ח וישארו ב‫'
We write it above the 8; and we write zero above the 3.	ונכתוב אותם על הח' ‫העליונה ונכתוב ספרא על הג‫'
We multiply the 3 for the fourth time by itself cubically; the result is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{3^3=27}}$	ופעם ד' נכה הג' בעצמה באופן מעוקב ויעלה כ"ז
We subtract it from the digits that are above the 3, which are 27; nothing remains. $\scriptstyle{\color{blue}{27-27=0}}$	ונחסרם מהאותיות שעל הג' שהם כ"ז ולא ישאר דבר
Therefore, nothing remains after the extraction of this root, so it is deduced that this number is a perfect cube and its root is 83.	וא"כ לא נשאר דבר אחר הוצאת השרש הזה יראה המספר הזה הוא מעוקב שלם ושורשו הוא פ"ג
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{571-{\color{blue}{8}}^3=571-512=}}{\color{green}{59}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3\times8=}}{\color{blue}{24}}\\\end{align}}$ ​ $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{59-\left(8\times2\times{\color{blue}{3}}\right)=59-\left(8\sdot6\right)=59-48=}}{\color{green}{11}}\\&\scriptstyle{\color{red}{117-\left[\left(8\times4\times{\color{blue}{3}}\right)+\left(3\times2\times{\color{blue}{3}}\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{117-\left[\left(8\sdot12\right)+\left(3\sdot6\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{117-\left(96+18\right)=117-114=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{38-\left(3\times4\times{\color{blue}{3}}\right)=38-\left(3\sdot12\right)=38-36=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{27-{\color{blue}{3}}^3=27-27=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$  00    ​  1100  059    059320 571787 571787 571787   8      884    8843   2      2    $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{the\ result\ \sqrt[3]{571787}=83}}$
In order to expand the explanation, we give another example and here is its diagram: $\scriptstyle\sqrt[3]{12812904}$	וכדי להוסיף ביאור נעשה משל אחר והנה לך צורתו
0               2             1 6 0         1 6 4 1 0 0   0 4 2 7 5 5 6 0 1 2 8 1 2 9 0 4   2 2 6 3 3 9 4       2 6	0               ב             א ו 0         א ו ד א 0 0   0 ד ב ז ה ה ו 0 א ב ח א ב ט 0 ד   ב ב ו ג ג ט ד       ב ו
According to what we have said, there are three ranks in this number that have cube roots: the first is the rank of the units, the second is the rank of the thousands, and the third is the rank of the thousands of thousands.	ולפי מה שאמרנו יש במספר הזה שלש מקומות בעלי שרשים מעוקבי' הראשון הוא מקום האחדות והשני מקום האלפי' והשלישי מקום האלף אלפי‫'
Since one should always begin from the last rank, we start from the 2 that is in the rank of the thousands of thousands and it is the last rank.	ובעבור שלעולם צריך להתחיל במקום האחרון א"כ נתחיל מהב' שהוא מקום האלף אלפי' ומקום אחרון
We write 2 beneath it, because no other number is found, such that when it is multiplied by itself cubically it closer than 2 to 12 that is above the 2.	ונכתוב תחתיה ב' כי לא ימצא מספר אחר שמוכה בעצמו באופן מעוקב יהיה יותר כולל [קרוב]‫ לי"ב שהם על הב' מב‫'
So, we multiply the 2 cubically; it yields 8. $\scriptstyle{\color{blue}{2^3=8}}$	ולכן נכה הב' באופן מעוקב ויוליד ח‫'
We subtract it from 12; 4 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{12-8=4}}$	ונחסרם מי"ב וישארו ד‫'
We write it above the 2 that is in last rank of the upper line; and we write zero above the 1.	ונכתוב אותם על הב' שבטור העליון שהוא המקום האחרון ונכתוב ספרא על הא‫'
Then, we triple the 2; it is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2=6}}$	ונשלש הב' ויהיה ו‫'
We write it beneath the digit that is third from the 2 that is beneath the upper 1.	ונכתוב אותה תחת האות השלישי של הב' שהיא תחת הא' העליונה
We shift the bottom 2 one rank backwards as stated above, and write the 2 first at the bottom.	ונסיע הב' התחתונה מדרגה אחת לאחור כאמור למעלה ונרשום הב' הראשונה התחתונה
Then, we write another digit above the 6 that is the tripled digit, such that when it is multiplied by 6 that is the triple and by 2 that is the sub-triple and by itself cubically, it yields a number that is equal to all the upper digits that are above them, or as close as possible. Since no number closer than 3 is found, we write 3 above the 6.	ואחר כך נכתוב אות אחת אצל הו' שהיא האות המשולשת באופן שכשיוכה בו' שהוא המשולשת ובב' שהיא תחת המשולשת ובעצמה באופן מעוקב יוליד מספר שוה לכל האותיות העליונות שעליהן או היותר קרוב שאפשר ובעבור שלא ימצא מספר יותר קרוב מג' נכתוב ג' אצל הו‫'
We multiply in this way: We multiply the 3 by the first triple, which is 6; it is 18. We multiply it by the 2 that is next to it, the sub-triple; it is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(3\sdot6\right)=2\sdot18=36}}$	ואחר כך נעשה ההכאות בדרך זה שנכה הג' באות המשולשת שהיא ו' ויהיו י"ח ואלו הי"ח נכם על הב' שבצדה והיא התחת משולשת ויהיו ל"ו
We subtract it from the digits that are above the 2, which are 48; 12 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{48-36=12}}$	ונחסרם ‫מהאותיות שעל הב' שהם מ"ח וישארו י"ב
We write 2 above the 8; and 1 above the 4.	ונכתוב ב' על ח' וא' על ד‫'
We multiply the 3 again by 6; it is 18. We multiply it by 3 itself, which is the present digit; it is 54. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(3\sdot6\right)=3\sdot18=54}}$	ונחזור ונכה הג' על הו' ויהיו י"ח ואלו הי"ח נכם בג' עצמו שהיא האות הנמצאת ויהיו נ"ד
We subtract it from the digits that are above the 6, which are 121; 67 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{121-54=67}}$	ואלו נחסרם מהאותיות שעל הו' שהם קכ"א וישארו ס"ז
We write 7 above the 1; 6 above the 2; and 0 above the 1.	ונכתוב ז' על א' וו' על ב' ו0' על הא‫'
We multiply the 3 again by itself cubically; it yields 27. $\scriptstyle{\color{blue}{3^3=27}}$	ונחזור ונכה הג' בעצמו באופן מעוקב ויוליד כ"ז
We subtract it from the digits that are above it; 5 remains above the 2 and 4 above the 7. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{72-27=45}}$	ונחסרם מהאותיות שעליה וישארו ה' על הב' וד' על הז‫'
Then, we triple the 3; it is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3=9}}$	ואח' כך נשלש הג' ויהיה ט‫'
We write it in the third rank from it, which is beneath the 0.	ונכתוב אותם במקום השלישי אליה שהוא תחת ה0‫'
We shift the triple, which is 3, and write it in the next rank, so it is placed beneath the upper 9.	והמשולשת שהיא ג' נרשום אותה ונסיעה למקום הסמוך אליה ויעמוד תחת הט' העליונה
We shift the 6 also, and write it [next], so it is placed beneath the upper 5.	וג"כ הו' נרשום אותה ונסיעה אות אחת אצלה ויעמוד תחת הה' העליונה
We shift the 2 also, and write it in the next rank, so it is placed beneath the upper 4.	והב' ג"כ נסיעה למקום הסמוך אליה ויעמוד תחת הד' העליונה
[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{12-{\color{blue}{2}}^3=12-8=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3\times2=}}{\color{blue}{6}}\\\end{align}}$	​	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{48-\left(2\times6\times{\color{blue}{3}}\right)=48-\left(2\sdot18\right)=48-36=}}{\color{green}{12}}\\&\scriptstyle{\color{red}{121-\left(3\times6\times{\color{blue}{3}}\right)=121-\left(3\sdot18\right)=121-54=}}{\color{green}{67}}\\&\scriptstyle{\color{red}{72-{\color{blue}{3}}^3=72-27=}}{\color{green}{45}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3\times3=}}{\color{blue}{9}}\\\end{align}}$	0
		​		164
		04		04275
12812904		12812904		12812904
2		226		226339
		​		26

Then, we write another digit, such that when it is multiplied by the four bottom digits and by itself cubically, it yields a number that is equal to all the upper digits or as close as possible. Since no number closer than 4 is found, we write 4.	ואח"כ נכתוב עוד אות אחת שכשיוכה באותיות הד' התחתונות ובעצמה באופן מעוקב יולידו מספר שוה לכל האותיות שלמעלה או פחות היותר קרוב שאיפשר שימצא ובעבור שלא ימצא מספר יותר קרוב לד' נכתוב ד‫'
We multiply in this way: We multiply the 4, which is the present digit, by the 6, which is first triple; the result is 24. We multiply it by 2; it is 48. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(4\sdot6\right)=2\sdot24=48}}$	ונעשה ההכאות בדרך זה שנכה הד' שהיא האות הנמצאת על הו' שהיא המשולשת הר[א]שונה ויעלה כ"ד ואלו נכם בב' ויעשה מ"ח
We subtract it from the digits that are above the 2, which are 64; 16 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{64-48=16}}$	ואלו נחסרם מהאותיות שעל הב' שהם ס"ד וישארו י"ו
We write 6 above the 4; and 1 above the 6.	ונכתוב ו' על הד' וא' על ו‫'
We multiply the mentioned 4 for the second time by the first triple, which 6; the result is 24. We multiply it by 3 that is the second sub-triple, which is 9; it is 72. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(4\sdot6\right)=3\sdot24=72}}$	ופעם שנית נכה הד' הנזכרת במשולשת הראשונה שהיא ו' ויעלה כ"ד ואלו נכם בג' שהיא תחת משולשת השנית שהיא תחת ט' ויהיו ע"ב
We multiply the 4 for the third time by 9; the result is 36. We multiply it by 2; it is 72. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(4\sdot9\right)=2\sdot36=72}}$	ופעם שלשית נכה הד' על הט' ויעלה ל"ו ונכם בב' ויהיו ע"ב
With the 72 above; it is 144. We subtract it from the digits that are above the 6, which is the first triple, that are 165; 21 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{165-\left(72+72\right)=165-144=21}}$	ואלו עם הע"ב שלמעלה יהיו קמ"ד ונחסרם מהאותיות שהם על הו' ‫שהיא המשולשת הראשונה שהם קס"ה וישארו כ"א
We write 1 above the 5; the twenty, which is 2, above the 6; and 0 above the 1.	והא' נכתוב על הה' והעשרים שהם על ב' שהוא ב' על ו' ו0' על הא‫'
We multiply the 4 for the fourth time by 6, which is the first triple; it is 24. We multiply it by 4 itself; it is 96. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(4\sdot6\right)=4\sdot24=96}}$	ופעם ד' נכה הד' על הו' שהיא המשולשת הראשונה ויהיו כ"ד ואלו נכם על ד' עצמם ויהיו צ"ו
We multiply the 4 for the fifth time by 9, which is the second triple; it is 36. We multiply it by 3 that is the second sub-triple; it yields 108. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(4\sdot9\right)=3\sdot36=108}}$	ופעם חמישית נכה הד' על הט' שהיא המשולשת השנית ויהיו ל"ו ואלו נכם בג' שהיא התחת משולשת השנית ויוליד ק"ח
We sum it with 96; it is 204. We subtract it from the digits that are above the 3, which are 219; 15 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{219-\left(108+96\right)=219-204=15}}$	ונחברם עם צ"ו ויהיו ר"ד ונחסרם מהאותיות שהם על הג' שהם רי"ט וישאר ט"ו
We multiply the mentioned 4 for the sixth time by the second triple, which is 9; the result is 36. We multiply it by 4 itself; it yields 144. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(4\sdot9\right)=4\sdot36=144}}$	ופעם שנית [שישית]‫ נכה הד' הנזכרת במשולשת השנית שהם ט' ויעלה ל"ו ואלו נכם בד' בעצמה ויעשה קמ"ד
We subtract it from the digits that are above it, which are 150; 6 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{150-144=6}}$	ונחסרם מהאותיות שעליו שהם ק"נ וישארו ו‫'
We write it above the 0; and 0 above the 5; and 0 above the 1.	ונכתוב אותם על ה0' ונכתוב 0' על הה' ו0' על הא‫'
We multiply the mentioned 4 for the seventh and last time by itself cubically; it is 64. $\scriptstyle{\color{blue}{4^3=64}}$	ופעם ז' ואחרונה נכה הד' הנזכרת בעצמה באופן מעוקב ויש ויעשה ס"ד
We subtract it from the digits that are above it that are 64; nothing remains. $\scriptstyle{\color{blue}{64-64=0}}$	ונחסרם מהאותיות שעליה שהם ס"ד ולא ישאר דבר
So, we write zero above the upper 4 and above the upper 6.	ולכן נכתוב ספרא על הד' העליונה ועל הו' העליונה
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{64-\left(2\times6\times{\color{blue}{4}}\right)=64-\left(2\sdot24\right)=64-48=}}{\color{green}{16}}\\&\scriptstyle{\color{red}{165-\left[\left(3\times6\times{\color{blue}{4}}\right)+\left(2\times9\times{\color{blue}{4}}\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{165-\left[\left(3\sdot24\right)+\left(2\sdot36\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{165-\left(72+72\right)=165-144=}}{\color{green}{21}}\\&\scriptstyle{\color{red}{219-\left[\left(4\times6\times{\color{blue}{4}}\right)+\left(3\times9\times{\color{blue}{4}}\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{219-\left[\left(4\sdot24\right)+\left(3\sdot36\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{219-\left(96+108\right)=219-204=}}{\color{green}{15}}\\&\scriptstyle{\color{red}{150-\left(4\times9\times{\color{blue}{4}}\right)=150-\left(4\sdot36\right)=150-144=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{64-{\color{blue}{4}}^3=64-64=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$    0       02      0160     164100  04275560 12812904  2263394      26    $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{the\ result\ \sqrt[3]{12812904}=234}}$
Since nothing remains, we call it a cube and its root is 234.	ובעבור שלא נשאר שום דבר לכן נקראהו מעוקב ושורשו רל"ד
Check: cubing
The proof of this is that we multiply the root by itself cubically and it yields the original number. Q.E.D.	והמופת לזה שנכה השרש בעצמו באופן מעוקב ויוליד המספר הראשון וזהו מה שרצינו

Book Two: [Proportions]	המאמר השני
It is divided into two sections.	ויחלק לשני כללים
Section One: We Talk in It about General Methods and Proportions of This Science	הכלל הראשון נדבר בו בדרכי' ויחסים כוללים בזאת המלאכה
It is divided into seven chapters.	ויחלק לז' פרקי‫'
Chapter One: Proportions of Integers	הפרק הא' ביחסי המספרי' השלמי‫'
After we discussed the six types of arithmetical operations with integers and the six types of arithmetical operations with fractions that include all that is needed in arithmetic and the guiding ways for finding the roots of square and cube numbers, we shall now talk about proportions, general methods, questions and answers in theory and in practice of this science.	ואחר שדברנו מו' מיני המספר השלמים ‫ומו' מיני השברי' שהם כוללים לכל מה שיצטרך במלאכת המספר ובדרכים מיישירי' למציאות שרשי המספרי' המרובעי' והמעוקבי' עתה נדבר מיחסים ודרכים כוללים ושאילות ותשובות בעיון ובמעשה המלאכה הזאת
First we will discuss the rule of three [lit. the ways of proportions]:	וראשונה נדבר מדרכי היחסים
If we wish to know: if so and so are equal so and so, how much such and such are equal? $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_3:a_4}}$	אם נרצה לדעת שאם כך ישוו כך כמה ישוו כך
Example: if 2 is equal to 3, how much is 5 equal? $\scriptstyle2:3=5:X$	המשל אם ב' שוים ג' כמה ישוו ה‫'
We arrange them like this:	ונסדר אותם כך
5 3 2	ה ג ב
We do it by that we multiply the middle number by the third, then divide the product by the first and the result of division is what the third equals to. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}}}$	ונעשה בדרך זה שנכה המספר האמצעי בשלישי והיוצא נחלקהו בראשון והיוצא לחלק כך הוא השווי השלישי
In the example: if we multiply 3, which is the middle number, by 5, which is the third number; the product is 15. We divide it by 2, which is the first number; the result of division is 7 and a half and this is what the third, which is 5, equals to. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{3\sdot5}{2}=\frac{15}{2}=7+\frac{1}{2}}}$	המשל שאם הכינו ג' [שהוא המספר האמצעי בה'‫]‫ שהוא המספר השלישי ויצא ט"ו נחלקם בב' שהוא המספר הראשון ויצאו לחלק ז' וחצי וזהו שיווי המספר השלישי שהוא ה‫'
Check
The proof: we set three numbers this way and say: if 5 is equal to 7 and a half, how much is 2 equal? $\scriptstyle5:\left(7+\frac{1}{2}\right)=2:X$	והמופת נניח ג' מספרי' בדרך זה ונאמ' אם ה' שוים ז' וחצי כמה שוים ב‫'
We arrange them as we have arranged the formers.	ואלו נסדרם כמו שסדרנו הראשוני‫'
If the result is the middle number, which is 3 in the original proportion, then the original proportion is correct, otherwise it is incorrect.	ואם יצא המספר האמצעי שהוא ג' ביחס הראשון הראשון היה אמיתי ואם לאו אינו אמיתי
Example: if 5 is equal to 7 and a half, how much is 2 equal? $\scriptstyle5:\left(7+\frac{1}{2}\right)=2:X$	המשל אם [הה' ז' וחצי הב' כמה ישוו‫]‫
2 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 7 5	ב ‫ ז ה
We multiply 7 and a half by 2; the product is 15. We divide it by 5, which is the first number; the result of division is 3, which is the middle number in the original proportion, so the original proportion is correct. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)}{5}=\frac{15}{5}=3}}$	ועתה נכה ז' וחצי בב' ויעלו ט"ו ונחלקם בה' שהוא הראשון ויבוא מהחלוקה ג' שהם המספר האמצעי ביחס הראשון וא"כ הראשון היה אמיתי
Therefore, we can say: if 2 is equal to 3, then 5 is equal to 7 and a half. Q.E.D. $\scriptstyle2:3=5:\left(7+\frac{1}{2}\right)$	ולכן נוכל לאמר אם ב' שוים ג' ה' שוים ז' וחצי וזהו מה שרצינו
This method is enough for integers alone, but for fractions another method is needed, as will be seen in the chapter that follows.	וזה הדרך מספיק בשלימי' לבד האמנם בשברי' צריך דרך אחר כמו שיראה בפרק הנמשך לזה‫

Chapter Two: Guiding Ways for Finding Proportions of Fractions	הפרק השני בדרכים מיישירי' במציאות יחסי המספרי' ‫השבריי‫'
Concerning to fractions, there are two things that one should know, which are finding the denominator and finding the numerator.	האמנם בשברי' צריך לדעת ב' דברי' והם מציאות המחלק ומציאות המחולק
Finding the denominator is known by that we examine the first number of the three stated, for it necessarily belongs to one of these five categories:	ומציאות המחלק יודע בדרך זה שנעיין המספר הראשון מהשלשה שאמרנו כי לא ימנע מא' מאלו הה' דרכי‫'
1) The first is a fraction alone and the others or whichever of them is a fraction.	הא' אם שיהיה הראשון שבר לבד ובאחרי' או באיזה מהם שיהיה שבר
2) The first is fraction alone and the others are integers.	השני או הראשון שבר לבד והאחרי' שלימי‫'
3) The first is fraction and integer together and the others or whichever of them is a fraction.	הג' או הראשון שבר ושלם יחד ובאחרי' או באיזה מהם שבר
4) The first is fraction and integer together and the others are integers.	הד' או הראשון שבר ושלם יחד והאחרי' שלימי‫'
5) The first is integer and one of the others or both are fraction.	הה' או הראשון שלם ובאחד מהאחרי' או בשניהם שבר
The first [category]	וראשונה מהראשון הנמשל
Example: if we wish to know if 2-thirds are equal to 7 integers and 4-ninths, how much are 4 and 4-thirteenths equal to? $\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(7+\frac{4}{9}\right)=\frac{4}{13}:X$	המשל אם נרצה לדעת אם ב' שלישיות שוים ז' שלימי' וד' תשיעיות כמה שוים ד' וד' שלשה עשיריות
This is their diagram:	וזה צורתם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{13}}}$ 4 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}}}$ 7 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	ד יג ד ‫ ז ‫
denominator: First, we extract the denominator by that we multiply the 2 that is above the 3 by 9 that is beneath the 4; the result is 18. We multiply it by 13 that is beneath 4; the result is 234 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot9\right)\sdot13=18\sdot13=234}}$	וראשונה נוציא המחלק שנכה הב' שהוא על הג' בט' שהוא תחת הד' ויעלו י"ח וכל זה נכה על י"ג שהוא תחת ד' ויעלה רל"ד וזהו המחלק
Another example of this category: if two-thirds are equal to 4 and a half, how much is 6 equal to? $\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:X$	ומשל אחר לזה המין אם שני שלישיות שוות ד' וחצי כמה שוים ו‫'
Here is their diagram:	והנה לך צורתם
6 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 4 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	ו ‫ ד ‫
denominator: We extract the denominator as follows: we multiply the 2 that is above the 3 by 2 that is beneath the 1; it is 4 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4}}$	ונעשה המחלק כך נכה הב' שעל הג' על ב' שהיא תחת א' ויהיה ד' וזהו המחלק
The second category: the first is fraction alone and the others are integers.	הדרך השני או יהיה הראשון שבר לבד והאחרי' שלמי‫'
Example: if 2-thirds are equal to 8, how much is 9 equal to? $\scriptstyle\frac{2}{3}:8=9:X$	המשל אם ב' שלישיות שוות ח' כמה שווים ט‫'
This is their diagram:	וזה צורתם
9 8 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	ט ח ‫
denominator: The denominator is found by that we take the 2 that is above the 3, because it is the denominator alone, since we do not need any other numbers, i.e. of the two last numbers, for the denominator of this category, only when there is a fraction in one of them.	וימצא המחלק כך שנקח הב' שהיא על הג' כי הוא לבד המחלק בעבור שלא נצטרך במחלק בזה המין למספרי' אחרי' ר"ל השנים האחרונים אלא כשיהיה באחד מהם או בשניהם שבר או שברי‫'
The third category: the first is fraction and integer together and the two others are either fraction alone, or fraction and integer together.	הדרך השלישי או יהיה הראשון שבר ושלם יחד ‫ובאחד מהאחרי' מאיזה שיהיה או בשניהם שבר בלבד או שבר ושלם יחד
Example: if 5 and 2-thirds are equal to 6 and 3-quarters, how much are 8 and 5-twelfths equal to? $\scriptstyle\left(5+\frac{2}{3}\right):\left(6+\frac{3}{4}\right)=\left(8+\frac{5}{12}\right):X$	המשל אם ה'ב' [ה' וב'‫]‫ שלישיות שוות ו' וג' רביעיות כמה שוים ח' וה' שנים עשיריות
This is their diagram:	וזה צורתם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{12}}}$ 8 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ 6 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 5	ה יב ח ‫ ו ‫ ה
denominator: To find the denominator, we multiply 5 by 3 that is beneath the 2 next to it ; the result is 15. We add the 2 that is above the 3; the result is 17. We multiply it by 4 that is beneath the 3 of the second number; the result is 68. We multiply it by 12 that is beneath the 5 of the third number; the result is 816 and this is the denominator.	ולמצא המחלק נכה ה' על ג' שתחת ב' שבצדה ויעלה ט"ו ונוסיף הב' שעל הג' ויעלו י"ז ואלו נכם בד' שהיא תחת ג' של מספר שני ויעלו ס"ח ואלו נכם בי"ב שהם תחת ה' שהוא המספר השלישי ויעלו תתי"ו וזהו המחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(5\sdot3\right)+2\right]\sdot4\right]\sdot12=\left[\left(15+2\right)\sdot4\right]\sdot12=\left(17\sdot4\right)\sdot12=68\sdot12=816}}$
You should know that when the 17 results from the multiplication of 5 by 3 that is next to it, you add the 2 that is above the 3, then we multiply it by 4 that is beneath the 3 of the second number, and the result is 68; if there is no additional fraction in the third number, then the 68 alone is the denominator.	וצריך שתדע שהי"ז שעלו מהכאת ה' בג' מצדה והוספת הב' שעל הג' ואח"כ הכינו אותם בד' שתחת הג' של מספר שני ועלו ס"ח שאם לא היה עוד שבר במספר השלישי זה לבדו ר"ל הס"ח היה המחלק
The same is true if there is a fraction in the third number, but not in the second number.	וכן הוא הדין אם שבר יהיה במספר השלישי ולא יהיה במספר השני
The fourth category: the first is fraction and integer together and the others are integers.	הדרך הרביעי או הראשון שבר ושלם יחד והאחרי' שלמי‫'
Example: if 5 and 2-sevenths are equal to 4, how much are twenty equal to? $\scriptstyle\left(5+\frac{2}{7}\right):4=20:X$	המשל אם ה' וב' שביעיות שוות ד' כמה שוים עשרי‫'
This is their diagram:	וזה צורתו
20 4 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}}}$ 5	כ ד ‫ ה
denominator: We extract the denominator as follows: we multiply 5 by 7 that is next to it beneath the 2; the result is 35. We add the 2 that is above the 7; it is 37 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot7\right)+2=35+2=37}}$	ונמצא המחלק כך נכה הה' בז' שבצדה שהיא תחת הב' ויעלו ל"ה ונוסיף הב' שעל הז' ויהיו ל"ז וזהו המחלק
Since the two other numbers are integers, they are not add to the denominator as said.	ובעבור שהשני מספרי' האחרי' הם שלמי' אינם מצטרפי' במחלק כאמור
The fifth category: the first is integer and the two others are either fraction alone, or integer and fraction.	הדרך הה' או הראשון שלם ובאחד מהאחרי' או בשתיהם שבר לבד או שלם ושבר
Example: if 20 are equal to 15 and 5 parts of 37, how much are 5 and 2-sevenths equal to? $\scriptstyle20:\left(15+\frac{5}{37}\right)=\left(5+\frac{2}{7}\right):X$	המשל אם כ' שוים ט"ו וה' חלקי' מל"ז כמה שוים ה' וב' שביעיות
This is their diagram:	וזה צורתו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}}}$ 5 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{37}}}$ 15 20	‫ ה ה לז טו כ
denominator: We extract the denominator as follows: we multiply the first, which is 20 integers, by 37 that is beneath the 2 of the second number; the result is 740. We multiply it by 7 that is beneath the 2 of the third number; the result is 5180 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20\sdot37\right)\sdot7=740\sdot7=5180}}$	ונוציא המחלק כך נכה הראשון שהוא הכ' השלמי' בל"ז שתחת הב' מהמספר השני ויעלו תש"ם ואלו נכם על ז' שתחת ב' של ‫מספר שלישי ויעלה ה' אלפי' וק"ף וזהו המחלק
If there is a fraction only in one of the other numbers, we multiply the first integer by the denominator that is beneath the line and this is the denominator.	ואם לא יהיה שבר אלא באחד מהמספרי' האחרי' נכה הראשון השלם באותו השבר שתחת הקו והוא יהיה המחלק
This is enough with regard to the denominator and now we shall talk about the numerator.	וזה יספיק במה שהוא המחלק ועתה נדבר במחולק

Chapter Three: Guiding Ways for Finding the Numerator in the Proportions of Fractions	הפרק השלישי בדרכי' מיישירי' למציאות המחולק ביחסי השברי‫'
You should know that the numerator is of one of six categories:	וצריך שתדע שהמחולק יקרה באחד מששה דרכי‫'
1) Either each of the two last numbers is a fraction alone.	הדרך הא' אם שכל אחד משני המספרי' האחרוני' יהיה שבר לבד
2) Or the two numbers are integers.	והשני או השני מספרי' יהיו שלמי‫'
3) Or each of the two numbers is an integer and fraction together.	והשלישי או שכל אחד משני המספרי' יהיה שלם ושבר ביחד
4) Or one of the two numbers is an integer and fraction together and the other is a fraction alone.	והרביעי או אחד מהשני מספרי' יהיה שלם ושבר ביחד והאחר שבר לבד
5) Or one of them is an integer and fraction together and the other is an integer.	והחמישי או אחד מהם שלם ושבר יחד והאחר שלם
6) Or one is an integer and the other is a fraction.	והו' או האחד יהיה שלם והאחר שבר
The first category:	וראשונה מהדרך הראשון
Example: if 2-thirds are equal 4-ninths, to how much are 4 parts of 13 equal? $\scriptstyle\frac{2}{3}:\frac{4}{9}=\frac{4}{13}:X$	המשל אם ב' שלישיות שוות ד' תשיעיות כמה שוים ד' חלקי' מי"ג
Here is its diagram:	והנה לך צורתו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{13}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	ד יג ‫ ‫
We extract the numerator of this category by that we multiply the number that is above the line of one of the last numbers by the number that is above the line of the other number and keep the product, then we multiply it also by the number that is beneath the line of the first number and this is the numerator.	ונבקש המחולק כך בזה המין שנכה המספר שהוא על הקו של האחד מאחרונים על המספר שהוא על קו המספר האחר וזאת ההכאה נשמור אותה ונכה אותו עוד במספר שתחת קו המספר הראשון וזהו המחולק
If the first number is an integer alone, the numerator is the result of the first multiplication of the two last numbers. As we said regarding the denominator that we do not need the integers, only the denominators that are beneath the lines of the two last numbers, so regarding the numerator, we do not need to multiply the first number if it is an integer, only what is beneath the line if there is a fraction.	ואם המספר הראשון יהיה שלם לבד אז יהיה המחולק מה שעלה מההכאה הראשונה מהשני מספרי' האחרוני' כמו שאמרנו בעניין המחלק כי איננו צריכים שלימי' אלא לשברי' שתחת הקוים ‫של שני המספרי' האחרונים וכן בעניין המחולק איננו צריכי' מהראשון אם יהיה שלם שום הכאה אלא כשיהיה שבר ואז מה שתחת הקו שלו
numerator: The numerator in this example is 48: the product of 4 of one of the last numbers by 4 of the other, which is 16, then 16 by 3 of the first number, which is 48 as said. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot4\right)\sdot3=16\sdot3=48}}$	ויהיה המחולק בזה המשל מ"ח שכך עולה ד' של אחד מהאחרונים על ד' של אחר שהיא י"ו וי"ו על ג' מהמספר הראשון והם מ"ח כאמור
The second category: the two numbers are integers.	הדרך השני או השני מספרי' יהיו שלימי‫'
Example: if 2-thirds are equal 8, to how much are nine equal? $\scriptstyle\frac{2}{3}:8=9:X$	המשל אם ב' שלישיות שוות ח' כמה שוים תשעה
Here is its diagram:	והנה לך צורתו
9 8 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	ט ח ‫
We find the numerator by that we multiply one integer by the other, then multiply the product by the denominator that is beneath the line of the first number.	ונמצא המחולק כך שנכה השלם האחד באחר והעולה נכהו בשבר שתחת הקו של המספר הראשון
numerator: We multiply 8 by 9; the result is 72. We multiply it by 3; the result is 216 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8\sdot9\right)\sdot3=72\sdot3=216}}$	המשל נכה ח' על ט' ועלו ע"ב ואלו נכה אותם בג' ועלו רי"ו וזהו המחולק
The third category: each of the two numbers is an integer and fraction together.	הדרך השלישי או שכל מהשני מספרי' יהיה שלם ושבר יחד
Example: if 5 and 2-thirds are equal 6 and 3-quarters, to how much are 8 and 5 parts of 12 equal? $\scriptstyle\left(5+\frac{2}{3}\right):\left(6+\frac{3}{4}\right)=\left(8+\frac{5}{12}\right):X$	המשל אם ה' וב' שלישיות שוות ו' וג' רביעיות כמה שוים ח' וה' חלקי' מי"ב
Here is its diagram:	והנה לך צורתו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{12}}}$ 8 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ 6 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 5	ה יב ח ‫ ו ‫ ה
We extract the numerator by that we multiply each of the integers of the last numbers by what is beneath the line next to it, we add what is above the line next to it and multiply the results of the two numbers by each other, then we multiply this product by the digit that is beneath the line of the first number and this is the numerator.	ונוציא המחולק כך שנכה כל אחד מהשלמי' מהמספרי' האחרוני' במה שתחת הקו שבצדו ונוסיף עוד מה שעל הקו שבצדו ואחר נכה העולה מהשני מספרי' זה על זה ונכה עוד זה ההכאה באות שתחת הקו של מספר ראשון וזהו המחולק
If the first number is an integer, the said product of the last numbers is enough for the numerator.	ואם המספר הראשון יהיה שלם יספיקו למחולק הכאות המספרים האחרונים כמו שאמרנו
The example of this diagram: we multiply 6 by 4 that is next to it; the result is 24. We add 3 that is above the line; the result is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot4\right)+3=24+3=27}}$	והמשל לזאת הצורה נכה ו' בד' שבצדו ויעלו כ"ד ונוסיף ג' שעל הקו ויעלו כ"ז
We multiply also 8 of the last number by 12 that is next to it; the result is 95. We add 5 that is above the line; the result is 101. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8\sdot12\right)+5=96+5=101}}$	עוד נכה ח' מהמספר האחרון על ‫י"ב שבצדו ויעלו צ"ו ונוסיף ה' שעל הקו ויעלו כולם ק"א
We multiply also 101 by 27; the result is 2727. We multiply it by the digit that is beneath the line of the first number; it is 8181 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(101\sdot27\right)\sdot3=2727\sdot3=8181}}$	ועו' נכה ק"א על כ"ז ויעלו אלפים ותשכ"ז ואלו נכם באות שתחת הקו המספר הראשון ויהיו ח' אלפי' וקפ"א וזהו המחולק
If there were no fraction in the first number, the numerator would have been 2727, which is the product of the two last numbers, as said.	ואם לא יהיה שבר במספר הראשון יהיה המחולק אלפי' ותשכ"ז שהוא הכאת שני המספרי' אחרונים כאמור
The fourth category: one of the two last numbers is an integer and fraction together and the other is a fraction alone.	הדרך הרביעי או אחד מהשני מספרי' האחרונים יהיה שלם ושבר יחד והאחר שבר לבד
Example: if one is equal 4-fifths, to how much are two and a half equal? $\scriptstyle1:\frac{4}{5}=\left(2+\frac{1}{2}\right):X$	המשל אם אחד שוה ד' חמישיות כמה שוים שנים וחצי
Here is its diagram:	והנה צורתו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 2 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ 1	‫ ב ‫ א
We extract the numerator by that since there is an integer with a fraction, we multiply the integer by the denominator that is beneath the line next to it and add what is above the line next to it, then we multiply all this by the number that is above the line of the last numbers and this is the numerator.	ונוציא המחולק בדרך זה שמהצד שימצא השלם עם השבר נכה השלם בשבר שתחת הקו שבצדו ונוסיף עליו מה שעל הקו שבצדו וכל זה נכהו במספר האחד מהאחרונים שהוא על הקו וזהו המחולק
If there is [an integer] in the first number, we multiply the whole said product by it.	ואם היה במספר הראשון שבר היינו מכים עמו כל זאת ההכאה האמורה
numerator: In the example of this category, we multiply 2 integers by 2 that is the denominator next to it; the result is 4. We add the 1 that is above the line; the result is 5. We multiply it by 4 that is above the 5; the result is 20 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot2\right)+1\right]\sdot4=\left(4+1\right)\sdot4=5\sdot4=20}}$	המשל לזאת הצורה נכה ב' שלמי' בב' שהוא שבר שבצדה ויעלה ד' ונוסיף א' שעל [הקו] ויעלו ה' ואלו נכם בד' שהוא על ה' ויעלו כ' וזהו המחולק
If there were [an integer] in the first number, we would have to multiply the 20 by the [integer] of the first number.	ואם היה שבר במספר הראשון הוצרכנו להכות אלו הכ' באות שתחת הקו של מספר ראשון
The fifth category: one of the last number is an integer and fraction together and the other is an integer alone.	הדרך החמישי או יהיה אחד מהמספרי' האחרוני' שלם ושבר יחד והאחר שלם לבד
Example: if 2-thirds are equal 4 and a half, to how much are six equal? $\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:X$	המשל אם ב' שלישיות שוות ד' וחצי מה שוים ששה
Here is its diagram:	והנה צורתו
6 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 4 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	ו ‫ ד ‫
We extract the numerator by that we multiply the integer by the number that is beneath the line next to it and add what is above it and multiply all this by the only integer that is in the other side, then we multiply all this also by the number that is beneath the line of the first number, if there is a fraction there.	ונבקש המחולק ככה שנכה השלם עם המספר שתחת הקו שהוא מצדו ונוסיף מה שלמעלה המנו וכל זה נכה עם השלם היחידי שהוא מהצד האחר וכל זה נכה עוד ‫עם המספר שהוא תחת הקו שבמספר הראשון אם יהיה בו שבר
If there is no fraction [in the first number], only an integer, there is no need for further multiplication.	ואם לא יהיה בו שבר אלא שלם לבד אינו צריך יותר הכאה
numerator: In the example of this category, we extract the numerator by that we multiply 4 by the 2 that is beneath the line next to it; the result is 8. We add to it the 1 that is above the 2; the result is 9. We multiply it by the 6, which is the integer of the third number; the result is 54 and this were the numerator, if there were no fraction in the first number. Since there is a fraction in it, we multiply the 54 that we have by the digit that is beneath the line of that fraction, which is 3; the result is 162 and this is the numerator.	והמשל לצורה נעשה המחלק בדרך זה שנכה הד' על הב' שהיא תחת הקו שבצדה ויעלה ח' ונוסיף עם זה הא' שהיא על הב' ויעלה ט' וזה נכם על הו' שהוא השלם מהמספר השלישי ויעלה נ"ד וזה היה המחולק אם לא היה במספר הראשון שבר אבל בעבור שיש בו שבר נכה הנ"ד שיש בידינו על האות שהיא תחת הקו של אותו שבר שהוא ג' ויעלה קס"ב ואז יהיה זה המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot6\right]\sdot3=\left[\left(8+1\right)\sdot6\right]\sdot3=\left(9\sdot6\right)\sdot3=54\sdot3=162}}$
The sixth category: one of the last numbers is an integer alone and the other is a fraction alone.	הדרך השישי או יהיה אחד מהמספרי' האחרונים שבר לבד והאחר שלם לבד
Example: if 9 are equal 2-thirds, to how much are 8 equal? $\scriptstyle9:\frac{2}{3}=8:X$	המשל אם ט' שוות ב' שלישיות כמה שוים ח‫'
Here is its diagram:	והנה צורתו
8 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 9	ח ‫ ט
We extract the numerator by that we multiply whichever of the two last numbers that is an integer by the number that is above the line of the last numbers also and this is the numerator, since there is no fraction in the first number.	ונוציא המחולק כך שאי זה שיהיה מהשני מספרי' האחרונים שלם נכה אותו עם המספר שעל הקו שהוא ג"כ מהאחרוני' וזהו המחולק בעבור שאין שום שבר במספר הראשון
But, if there is a fraction [in the first number] whether alone or with an integer, we multiply this product by the number that is beneath the line and all this is the numerator.	אבל אם יהיה בו שבר בין שיהיה לבדו בין שיהיה עם שלם אז נכה זאת ההכאה עם המספר שהוא תחת הקו וכל זה אז יהיה המחולק
numerator: In the example of this category, we extract the numerator by that we multiply the 8 that is one of the last numbers by 2 that is above the 3; the result is 16 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot2=16}}$	המשל לצורה זו נעשה המחולק כך שנכה הח' שהיא אחד מהאחרוני' על ב' שהוא על ג' ויעלה [ט"ו] וזהו המחולק
But, if there is a fraction in the first number, we multiply the said [product] again.	אבל אם יהיה במספר הראשון שבר נוסיף להכות האמורים
You should know that in this type, i.e. "if so and so are equal so and so, how much such and such are equal?", meaning the type of the said proportions, there are no more categories than those we presented, whether for the denominator or for the numerator.	וצריך שתדע שבזה המין ר"ל אם כך שוים כך כמה שוים כך כלומ' סוג היחסים האמורים לא ימצאו יותר דרכים מאותם שאמרנו בין במחלק בין במחולק
After we have the denominator and the numerator in our hands, we divide the numerator by the denominator and we receive the fourth number, which is what we asked for.	ואחר שיהיו בידינו ‫המחלק והמחולק נחלק המחולק במחלק ויצא לנו מספר רביעי והוא מה שבקשנו
So, we have now four proportional numbers, such that the ratio that is between the first and the second is the same as the ratio that is between the third and the fourth.	וא"כ יש לנו עתה ארבע מספרי' מתיחסים באופן שהיחס שימצא בין הראשון והשני אותו יחס ימצא בין השלישי והרביעי
Check
The proof is that we switch the ratio in the way that we take the three numbers according to this order: we make the third number that we have in our hand a first number, we make the fourth number a second [number], and the first number a third [number]. We arrange them as above and say: if this is equal that, how much is this equal?	והמופת נחליף היחס בדרך זה והוא שנקח הג' מספרים בזה הסדר והוא שנעשה מהמספר השלישי שיש בידינו מספר ראשון והמספר הרביעי נעשה שני והמספר הראשון שלישי ונסדרם כמו שלמעלה ונאמ' אם זה שוה זה [כמה שוה זה]
If we receive that the fourth number in this order is the number that was second in the first order, we know that the fourth number that was received in the first order is correct, otherwise it is not.	ואם יצא לנו המספר הרביעי בסדר זה המספר שהיה שני בסדר הראשון אז נדע שהמספר הרביעי שיצא בסדר הראשון היה אמיתי ואם לאו לא
It is enough for this teaching.	וזה מספיק בזה הלמוד

Chapter Four: Giving a General Example for all the Teaching Methods of the Denominator and the Numerator in the Context of Knowing the Ratios of Fractions	הפרק הרביעי בנתינת משל אחד כולל לכל אופני הלמוד במחלק ובמחולק בידיעת יחסי המספרי' [השברי']‫
In order to add explanation, we give an example for all part of the teaching together, i.e. the denominator and the numerator and their proof in one of the ways we mentioned.	וכדי להוסיף ביאור נתן משל לכל חלקי הלימוד ביחד ר"ל מהמחלק והמחולק והמופת שלהם וזה באחד מהדרכי' שאמרנו
If 2-thirds are equal 4 and a half, how much are six equal to? $\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:X$	והוא זה אם ב' שלישיות שוים ד' וחצי כמה שוים ששה
6 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 4 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	ו ‫ ד ‫
denominator: First we extract the denominator by that we multiply 2, which is above the 3 of the first number, by 2, which is beneath the 1 of the second number; it is 4 and this is the denominator. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4}}$	וראשונה נוציא המחלק כך שנכה הב' שהיא על ג' מהמספר הראשון על ב' שהיא תחת א' של מספר שני ויהיו ד' וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: Then, we extract the numerator by that we multiply the 4 of the second number by the 2, which is beneath the 1 next to it; the result is 8. We add the 1 that is above the 2 of the second number; the result is 9. We multiply it by the 6 that is the third number; the result is 54. We multiply it also by 3 that is beneath the 2 of the first number; the result is 162 and this is the numerator.	ואחר נעשה המחולק כך שנכה ד' מהמספר השני על ב' שהיא תחת הא' שבצדה ויעלה ח' ונוסיף עוד הא' שעל הב' מהמספר השני ויעלה ט' ואלו נכם עוד על ו' שהוא מספר שלישי ויעלה נ"ד עוד נכם על ג' שהוא תחת ב' של מספר ראשון ויעלה קס"ב וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot6\right]\sdot3=\left[\left(8+1\right)\sdot6\right]\sdot3=\left(9\sdot6\right)\sdot3=54\sdot3=162}}$
We divide it by the denominator, which is 4; the result of division is 40 and a half and this is the required fourth number that the 6 is equal to. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{162}{4}=40+\frac{1}{2}}}$	ונחלק אלו במחלק שהוא ד' ויצא מהחלוק מ' וחצי וזהו המספר הד' ששוים ו' [ה]מבוקש
The ratio of two-thirds to 4 and a half is the same ratio of 6 to 40 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:\left(40+\frac{1}{2}\right)}}$	והיחס שיש ‫בין שני שלישיות לד' וחצי אותו היחס יש בין ו' למ' וחצי
The proof: to know if this is correct we arrange them as follows: $\scriptstyle6:\left(40+\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}:X$	והמופת לדעת אם זה אמת נסדרם ככה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 40 6	‫ ‫ מ ו
We say: if 6 are equal 40 and a half, how much are 2-thirds equal to? $\scriptstyle6:\left(40+\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}:X$	ונאמ' אם ו' שוים מ' וחצי כמה שוים ב' שלישיות
denominator: We extract the denominator as follows: we multiply the first number, by 2, which is beneath the 1 of the second number; it is 12. We multiply the 12 by 3 that is beneath the 2 of the third number; the result is 36 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot2\right)\sdot3=12\sdot3=36}}$	נעשה המחלק כך נכה המספר הראשון על ב' שהוא תחת א' של מספר שני ויהיו י"ב ואלו הי"ב נכם בג' שהיא תחת ב' של מספר שלישי ויעלה ל"ו וזהו המחלק
numerator: Then, we extract the numerator this way: we multiply the 40 of the second number by the 2, which is beneath the 1 next to it; the result is 80. We add the 1 that is above the 2 of the second number; the result is 81. We multiply it by the 2 that is above the 3 of the third number; the result is 162 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(40\sdot2\right)+1\right]\sdot2=\left(80+1\right)\sdot2=81\sdot2=162}}$	ואחר נעשה המחולק בדרך זה נכה המ' שהוא מהמספר השני על ב' שהיא תחת א' שבצדה ויעלה פ' ונוסיף א' שהוא על ב' של מספר שני ויעלה פ"א ונכם בב' שעל הג' של מספר שלישי ויעלה קס"ב וזהו המח[ו]לק
We divide it by the 36, which is the denominator; the result of division is 4 and a half and this 4 and a half is the second number of the first order. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{162}{36}=4+\frac{1}{2}}}$	ונחלקהו בל"ו שהוא המחלק ויצא מהחלוק ד' וחצי ואלו הד' וחצי היה המספר השני של סדר ראשון שאמרנו
This proof indicates that the first order that we applied was correct.	וזה המופת יורה שהסדר הראשון שעשינו היה אמיתי
So, if two-thirds are equal 4 and a half, the 6 are equal 40 and a half; and this is what we wanted. $\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:\left(40+\frac{1}{2}\right)$	א"כ אם ב' שלישיות שוות ד' וחצי הו' שוים מ' וחצי וזה מה שרצינו
Another example for further explanation: if 9 are equal 2-thirds, how much are 8 equal to? $\scriptstyle9:\frac{2}{3}=8:X$	ומשל אחר להוסיף ביאור אם ט' שוים ב' שלישיות כמה שוים ח‫'
8 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 9	ח ‫ ט
denominator: We extract the denominator by that we multiply 9, which is the first number, by the 3 that is beneath the 2 of the second number; the result is 27 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot3=27}}$	ונעשה המחלק בשנכה הט' שהוא המספר הראשון על הג' שתחת ב' מהמספר השני ויעלה כ"ז וזהו המחלק
numerator: We extract the numerator by that we multiply the 8, which is the third number, by the 2 that is above the 3 of the second number; the result is 16 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot2=16}}$	ונעשה המחולק ככה בשנכה הח' שהוא מספר שלישי בב' שעל הג' של מספר שני ויעלה י"ו וזהו המחולק
We divide [the 16 by the 27, which is the denominator; the result of division] is 16 parts of 27 of the whole and this is the fourth number that we wanted to know. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{16}{27}}}$	ונחלק [הי"ו על כ"ז שהוא המחלק ויצא מהחלוק] י"ו חלקי' מכ"ז בשלם וזהו המספר הרביעי שרצינו לדעת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 9 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{27}}}$ 8	‫ ט יו כז ח
As a proof of this we say: if 8 are equal 16 [parts of 27], how much are 9 equal to? $\scriptstyle8:\frac{16}{27}=9:X$	ולמופת זה נאמ' אם ח' שוים י"ו כמה שוים ט‫'
denominator: We extract the denominator by that we multiply the 8, which is the first number of this order, by the 27 that is beneath the 16 of the second number; the result is 216 and this is the denominator. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot27=216}}$	ונעשה המחלק בשנכה הח' שהוא מספר ראשון מזה הסדר על כ"ז שתחת י"ו של מספר שני ויעלו רי"ו וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: We extract the numerator by that we multiply the 9 by the 16 that is above the line of the second number; the result is 144 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot16=144}}$	והמחולק נעשה בשנכה ‫הט' על י"ו שהוא על הקו של מספר שני ויעלו קמ"ד וזהו המחולק
We divide it by the denominator, which is 216; the result of division is 144 parts of 216 of the whole and this is its diagram: $\scriptstyle\frac{144}{216}$ $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{144}{216}}}$	ונחלקהו במחלק שהוא רי"ו ויצא מהחלוק קמ"ד חלקי' מרי"ו חלקי' של שלם והנה לך צורתו ‫$\scriptstyle\frac{144}{216}$
If it is equal to the 2-thirds of the second number in the first order, what we have done is correct.	ואם יהיה זה שוה לב' שלישיות של מספר שני של סדר ראשון מה שעשינו הוא אמת
The proof that it is equal to two-thirds is by that we write 2-thirds this way:	ומופת שהם שוים שני שלישיות הוא זה שנכתוב ב' שלישיות בדרך זה
We write the number that we want to know if it is 2-thirds opposite to it, as you see: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{144}{216}\times\frac{2}{3}}}$	והמספר שרצינו לדעת אם הוא ב' שלישיות נכתוב כנגדו כמו שאתה רואה $\scriptstyle\frac{144}{216}\times\frac{2}{3}$
Then, we multiply each digit by its opposite and if the two products are equal, the fractions are equal as we said, so the order that we have done is correct and this is what we wanted.	ואח"כ נכה כל אות עם סותרו ואם ב' ההכאות יהיו שוות השברי' הם שוים כמו שאמרנו א"כ הסדר שעשינו הוא אמיתי וזהו מה שרצינו
Know that this proof concerning the fractions is general for every two fractions, when we want to know if they are equal. Q.E.D.	דע שזה המופת מהשברים שעשינו הוא כולל לכל שני השברי' כשנרצה לדעת אם הם שוים וזהו מה שרצינו

Chapter Five: Knowing the Ratio of the Four Proportional Numbers [= the Rule of Three] in the Two Sciences - Arithmetic and Geometry	הפרק החמישי בידיעת יחס הד' מספרים המתייחסים בשני המלאכות ר"ל מלאכת המספר ומלאכת ההנדסא
After we have discussed in the previous teaching on ratios all the techniques that can be applied concerning them in arithmetic, we shall discuss them now regarding geometry, i.e. as parts of the continuous quantity, although the methods of multiplication and division are the same in both sciences.	ואחר שדברנו בזה הלמוד שעבר מן היחסים בכל הדרכי' שאיפשר שיקרו בהם במה שהיא מלאכת המספר עתה נדבר בהם במה שהם ממלאכת ההנדסא ר"ל במה שהם חלקי הכמה המתדבק ואע"פ שדרך ההכאה והחלוק אחד הוא בשני המלאכות
Know that in geometry they are understood in a way that whenever there are four proportional numbers, such that the ratio of the first to the second is as the ratio of the third to the fourth, and the fourth is unknown, if you wish to know it, we multiply the second by the third, then divide the product by the first and we receive the fourth that we asked for. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}}}$	ודע כי במה שהם במלאכת ההנדסא יובנו בדרך זה שבכל זמן שיהיו ד' מספרי' מתיחסים באופן שיהיה יחס הראשון לשני כיחס השלישי לרביעי והרביעי יהיה בלתי ידוע אם תרצה לדעתו נכה השני בשלישי והעולה נחלקהו בראשון ויבא לנו הרביעי שבקשנו
All the ratios we mentioned above are according to this way.	‫ומעין הדרך הזה הם כל היחסים שאמרנו למעלה
You should know that this ratio has another quality, which is that as the way that we know the fourth unknown number, if it happens that any of the others is unknown to us and the other three are known, we can know it by the mentioned way.	האמנם צריך שתדע שיש לזה היחס עוד סגלה אחרת והיא שכמו שבדרך הזה ידענו המספר הרביעי הבלתי ידוע אם יקרה שלא יודע לנו אי זה מהאחרים אי זה שיהיה והשלשה האחרי' יודעו נוכל לדעתו בדרך הזה שנאמ‫'
Example: let the first number be unknown, while the three others are known, i.e. the second, the third, and the fourth, we know the first number by that we multiply the second by the third, then divide the product by the fourth and we receive the first. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}}}$	המשל נניח שהמספר הראשון בלתי ידוע והג' האחרים ידועים ר"ל השני והשלישי והרביעי אז נדע המספר הראשון בדרך זה שנכה השני בשלישי ונחלק העולה ברביעי ויצא לנו הראשון
If we do not know the second, but we know the others, we multiply the fourth by the first, then divide by the third and we receive the second. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2=\frac{a_4\sdot a_1}{a_3}}}$	ואם נסכל השני וידענו האחרי' נכה הרביעי בראשון ונחלק על הג' ויצא לנו השני
If we do not know the third, we multiply the fourth by the first, then divide the product by the second and the result is the third. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3=\frac{a_4\sdot a_1}{a_2}}}$	ואם נסכל הג' נכה הד' בא' ונחלק העולה בב' ויצא הג‫'
This way the unknown is known through the three knowns and this is what we want.	ובזה הדרך יודע הבלתי ידוע בשלשה הידועים וזה מה שרצינו

Chapter Six: [Proportional Triad]	הפרק השישי
You should know that there is another way of ratios, which is that if there are three proportional numbers, such that the ratio of the first to the second is as the ratio of the second to the third, and the third is unknown, if we wish to know it, we do as follows: we multiply the second number by itself, then divide it by the first, and the result is the third number that we look for. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_3=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}}}$	וצריך שתדע שיש דרך אחר מיחסים והיא זאת שאם יהיו ג' מספרי' מתייחסים באופן שיחס הראשון לשני יהיה כיחס השני לשלישי והשלישי בלתי ידוע אם נרצה לדעתו נעשה כך נכה המספר השני בעצמו ונחלקהו בראשון ויצא המספר השלישי שבקשנו
If we do not know the second number, we know it by that we multiply the first by the third, then we extract the root of the product and this is the second number that we look for. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}}}$	ואם סכלנו המספר השני נדעהו בדרך זה שנכה הראשון בג' ומזאת ההכאה נקח שורשה וזהו המספר השני שבקשנו
If we do not know the first number, we know it by that we multiply the second number by itself, then divide the product by the third, and we receive the first number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=\frac{\left(a_2\right)^2}{3}}}$	ואם סכלנו המספר הראשון נדעהו בדרך זה בשנכה המספר השני בעצמו ונחלק העולה בג' ויצא לנו המספר הראשון
This way the unknown numbers are found through the knowns in this ratio.	ובדרך זה ימצאו המספרי' הבלתי ידועים בידועים בזה היחס
This ratio is quite necessary and useful in geometry.	וזה היחס הוא הכרחי מאד ‫ומועיל במלאכת המתייחסים [ההנדסה]

Chapter Seven: Knowing the Ratio of the Six Proportional Numbers [= the Proportional Hexad]	הפרק השביעי בידיעת יחס הששה מספרי' המתייחסים
There is another way of ratios, which is that if there are six proportional numbers, such that the ratio of the first to the second is as the ratio of the third to the fourth and the ratio of the fifth to the second is as the ratio of the sixth to the fourth, then the ratio of the sum of the first and the fifth to the second is as the ratio of the sum of the third and the sixth to the fourth.	ועוד יש דרך אחרת מיחסים והיא זאת אם יהיו ו' מספרי' מתייחסים באופן שיהיה יחס הראשון לשני כיחס השני השלישי לרביעי ויחס הה' לב' כיחס הו' לד' יהיה יחס קבוץ [ה]ראשון והחמישי לשני כיחס קבוץ השלישי והשישי לרביעי
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\\\scriptstyle a_5:a_2=a_6:a_4\end{cases}\longrightarrow\left(a_1+a_5\right):a_2=\left(a_3+a_6\right):a_4}}$
This ratio is necessary in geometry to know the height required from two aspects.	וזה היחס הוא הכרחי בהנדסא לדעת אי זה גובה שיהיה הכרחי לדעתו בשתי הבטות
Example of six proportional numbers that are:	המשל לששה המספרי' המתייחסי' והם אלו
18 9 6 4 3 2	יח ט ו ד ג ב
Since the ratio of 2, which is the first number, to 3, which is the second number, is as the ratio of 4, which is the third number, to 6, which is the fourth number; and the ratio of 9, which is the fifth number, to 3, which is the second number, is as the ratio of 18, which is the sixth number, to 6, which is the fourth number. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle2:3=4:6\\\scriptstyle 9:3=18:6\end{cases}}}$	ובעבור שיחס ב' שהוא מספר ראשון לג' שהוא מספר שני כיחס ד' שהוא מספר שלישי לו' שהוא מספר רביעי ויחס ט' שהוא מספר חמישי לג' שהוא מספר שני כיחס י"ח שהוא מספר ששי לו' שהוא מספר רביעי
Therefore, as long as the six numbers are in this ratio, then the ratio of the sum of the first number and the fifth number to the second number is as the ratio of the sum of the third number and the sixth number to the fourth number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a_1+a_5\right):a_2=\left(a_3+a_6\right):a_4}}$	לכן כל זמן שיהיו הששה מספרי' בזה היחס יהיה יחס קבוץ המספר הראשון והחמישי למספר השני כיחס קבוץ המספר השלישי והששי למספר הרביעי
As we see in these six numbers: the ratio of 11 that is the sum of the first number, which is 2, and the fifth [number], which is 9, to 3, which is the second number, is as the ratio of 22 that is the sum of 4, which is the third number, and 18, which is the sixth number, to 6, which is the fourth number. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+9\right):3=11:3=22:6=\left(4+18\right):6}}$	כמו שהוא נראה באלו הששה מספרי' שיחס י"א שהוא קבוץ המספר הראשון שהוא ב' והחמישי שהוא ט' לג' שהוא המספר השני כיחס כ"ב שהוא קבוץ ד' שהוא מספר שלישי וי"ח שהוא מספר ששי לו' שהוא מספר רביעי
22 11 6 3	כב יא ו ג
Know that for every six numbers of this ratio, the ratio of the sum of the first and the fifth to the second is as the ratio of the sum of the third and the sixth to the fourth.	ודע שלעולם בכל ששה מספרי' מזה היחס יהיה יחס קבוץ הראשון והה' לב' [והחמישי לשני]‫ כיחס קבוץ השלישי והששי לרביעי
This way, i.e. by summing, it returns to the ratio of the four numbers [= the rule of three] that is stated in the fifth chapter of this section and this is what we want.	ובזה הדרך ר"ל מהקבוץ ישובו ‫ליחס הארבעה מספרי' הנזכרי' בפרק ה' מזה הכלל וזה מה שרצינו

The Second Section of the Second Book: We will Discuss in it Some Theoretical and Practical Problems and Guiding Answers of this Science	הכלל הב' מהמאמר השני נדבר בו בקצת שאלות ותשובות מישרות בעיון ובמעשה בזאת המלאכה
It is divided into seven chapters:	ויתחלק לז' פרקי‫'
The First Chapter: on the Knowledge of the Exchange of Measurements, Weights, Liquid Measures and Currencies According to the Change of Places	הפרק הראשון בידיעת חלוף המדות המשקלים והמשורות והמטבעות לפי חלוף המקומות
Since in many places an exchange of things mentioned is applied, we must discuss a particular general method by which we can know each exchange that we want of them.	בעבור שבהרבה מקומות יש חלוף באלו הדברי' הנזכרי' צריך שנדבר מאי זה דרך כללי שבו נוכל לדעת כל חלוף מאלה שנרצה
First we ask: if four measurements or weights or whatever it will be from Constantinople are worth six from Bursa, and nine from Bursa are worth three from Alexandria [= İskenderun], how much are six from Alexandria worth?	וראשונה נשאל אם ד' מדות או משקלים או מה שיהיה מקושטנטינא שוים ו' מברושה וט' מברושה שוים ג' מאלקשדייא ו' מאלקשדיא כמה שוים מאותם של קושטנדינא
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle4c=6b\\\scriptstyle9b=3a\\\scriptstyle6a=Xc\end{cases}$
To know this we arrange all these numbers as follows:	ולדעת זה נסדר כל אלו המספרי' ככה
6 3 9 6 4 İskenderun İskenderun Bursa Bursa Constantinople
ו ג ט ו ד אלקשדיא אלקשדיא ברושה ברושה קושטדי‫'

Since our question is how much six from Alexandria are worth in Constantinople, we should know first how much the three from Alexandria are worth in Constantinople.	ובעבור שדרושינו הוא שו' מאלקשדייא כמה שוים מקושטדינא צריך שנדע קודם הג' מאלקשדייא כמה שוים מקושטדינא
But, three from Alexandria are worth nine in Bursa, so, when we know how much nine from Bursa are worth in Constantinople, then we will know how much the three from Alexandria are worth in Constantinople.	אבל ג' מאלקשדייא שוים ט' מברושא א"כ כשנדע הט' מברושא כמה שוים מקושטדינא אז נדע הג' מאלקשדייא כמה שוים מקושטדינא אם כן קודם כל דבר צריך שנדע הט' מברושה כמה שוים מקושטדינא
We already know that the six from Bursa are worth four from Constantinople, therefore we say: if 6 are equal 4, how much 9 are equal?	וכבר ידענו שהו' מברושה שוים ד' מקושטדינא א"כ נאמר אם ו' שוים ד' כמה שוים ט‫'
We arrange the diagram as follows: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{6:4=9:X_1}}$	ונסדר הצורה כך
denominator: When the three numbers are integers, the first is the denominator, so the 6 is the denominator.	וכשהשלשה ‫מספרי' הם שלמי' הראשון הוא המחלק וא"כ הו' הם המחלק
numerator: The product of the second number by the third is the numerator, which is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot9=36}}$	והכאת המספר השני בשלישי הוא הוא המחולק שהוא ל"ו
We divide it by 6; the quotient is 6, so we know that the nine from Bursa are worth six from Constantinople. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X_1=\frac{36}{6}=6}}$	ונחלקהו בו' ויבאו ו' מהחלק א"כ ידענו שהט' מברושה שוים ו' מקושטדינא
But three from Alexandria are worth nine from Bursa, so the three from Alexandria are worth six from Constantinople.	אבל ג' מאלקשדייא שוים ט' מברושה א"כ הג' מאלקשדייא שוים ו' מקושטדינא
Since we know that three from Alexandria are worth six from Constantinople, we arrange our question like this and say: if three from Alexandria are worth six from Constantinople, how much are six from Alexandria worth?	ואחר שידענו ששלשה מאלקשדייא שוים ו' מקושטדינא נסדר דרושינו כך ונאמ' אם ג' מאלקשדייא שוים ו' מקושטדינא כמה שוים ו' מאלקשדייא
This is its diagram: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{3:6=6:X_2}}$	וזה צורתו
denominator: You already know that the first number in integers is the denominator, so 3 is the denominator.	וכבר ידעת שהמספר הראשון הוא המחלק בשלמי' א"כ ג' הם המחלק
numerator: The numerator is the product of the second number by the third, which is the product of 6 by 6; so it is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot6=36}}$	והמחולק הוא הכאת המספר השני בשלישי שהוא הכאת ו' על ו' א"כ הם ל"ו
We divide it by 3; the quotient is 12, hence six from Alexandria are worth [12] from Constantinople, and this is what we sought. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X_2=\frac{36}{3}=12}}$	ונחלקם על ג' ויצאו י"ב מהחלוק א"כ ו' מאלקשדייא שוים י"ב מקושטדיניא וזה מה שרצינו

The Second Chapter: Knowing the relation of two numbers that have the property that if we subtract one from the greater number and add it to the smaller number, the two numbers become equal; and if we subtract one from the smaller number and add it to the greater, the greater becomes double the smaller, or more if we wish	הפרק השני בידיעת התייחסות שני מספרי' שיש להם זה הטבע שאם נחסר אחד מהמספר הגדול ונוסיפהו על המספר הקטן יהיו הב' מספרי' שוים ואם נחסר אחד מהמספר הקטן ונוסיפהו בגדול יהיה הגדול כפל הקטן או יותר אם נרצה
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-1=a+1\\\scriptstyle2\sdot\left(a-1\right)=b+1\end{cases}$
We know this by that we first assume the two numbers and we subtract one from each, then we make [the sum of 1+1] a third number, which is 2 and this 2 is the mean by which they are known.	ונדעהו בדרך זה שנניח קודם במחשבה הב' מספרי' ונחסר אחד מכל אחד מהם ונעשהו מספר שלישי ויהיה ב' ואלה הב' יהיו אמצעי לדעת אותם
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle A=a-1\\\scriptstyle B=b-1\\\scriptstyle C=2\end{cases}}}$
It has the property that if we add it to the smaller number, it will be equal to the greater; and if we add it to the greater number, it will be double the smaller number.	ויש להם זה הטבע שאם נוסיפם על המספר הקטן יהיה שוה לגדול ואם נוסיפם בגדול יהיה כפל הקטן
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle A+C=B\\\scriptstyle B+C=2A\end{cases}}}$
Therefore, we have now three numbers that are the greatest, the smallest, and the mean.	א"כ יש לנו עתה ג' מספרי' שהם הגדול והקטן והאמצעי
Suppose that they are all one thing.	ונניח שכולם הם דבר אחד
So, they are all one thing and when we add the mean number to the smaller, the two first numbers are equal. Therefore, we have now two equal parts of the whole and since each two equal parts of the whole is a half of the whole, then each of them is half the whole. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{A+C=B=\frac{1}{2}\sdot\left(A+B+C\right)}}$	וא"כ כולם דבר אחד וכשנוסיף המספר האמצעי לקטן יהיו השני ‫מספרי' הראשונים שוים א"כ יש לנו עתה שני חלקים שוים מהכל ובעבור שכל שני חלקים שוים מהכל כל אחד הוא חצי הכל א"כ כל אחד מאלו הוא חצי הכל
Therefore, it is visible that when 2, which is the mean number, is added to the smaller, it makes it half the whole; and if we subtract the 2 that we added to the smaller number and add it to the greater number, the greater becomes double the smaller.	א"כ יראה שב' שהוא מספר אמצעי מחובר לקטן עשהו חצי הכל ואם נחסר אלו השנים שהוספנו למספר הקטן ונוסיפם לגדול והגדול ישוב כפל הקטן
Hence, it is clear that the greater is two parts of the whole and the smaller is one part, so they are three equal parts of the whole.	א"כ יראה שהגדול יהיה ב' חלקי' מהכל והקטן חלק אחד א"כ הם ג' חלקי' שוים לכל
Thus, the smaller number is a third of the whole and the greater is 2-thirds [of the whole].	וא"כ המספר הקטן יהיה אז שליש הכל והגדול יהיה ב' שלישיות
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle A=\frac{1}{3}\sdot3A=\frac{1}{3}\sdot\left(A+B+C\right)\\\scriptstyle B+C=2A=\frac{2}{3}\sdot\left(A+B+C\right)\end{cases}}}$
So, we say that if the sum of the mean number with the smaller number is the reason that the smaller number is half the whole and their difference is the reason that it is a third of the whole, then we can deduce from this that the mean number is the difference from the third to the half. But, the difference from the third to the half is a sixth of the whole. To know that this is indeed the difference, we subtract the third from the half; a sixth remains. Hence the mean is a sixth of the whole.	א"כ נאמ' שאם חבור המספר האמצעי למספר הקטן ההיה סבה שיהיה המספר הקטן חצי הכל וחסרונם היה סבה שיהיה שליש הכל א"כ יראה לנו מזה שהמספר האמצעי הוא הבדל שיש מהשליש אל האמצעי [החצי]‫ אבל ההבדל מהשליש אל החצי הוא ששית הכל ולדעת שזהו ההבדל נחסר השליש מהחצי וישאר ששית וא"כ יראה שהאמצעי הוא ששית הכל
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{C=\left(A+C\right)-A=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(A+B+C\right)\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(A+B+C\right)\right]=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\sdot\left(A+B+C\right)=\frac{1}{6}\sdot\left(A+B+C\right)}}$
If the mean is a sixth of the whole, and it is 2, then the whole is 12, which is 6 times two.	ואם האמצעי היה ששית הכל והוא היה ב' א"כ הכל יהיה י"ב שהוא ו' פעמי' שנים
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{C=\frac{1}{6}\sdot\left(A+B+C\right)=2}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{A+B+C=6\sdot2=12}}$
Since we said above that when we add 1 to the smaller it will become a half of the whole, it is clear that it is a half of the whole minus one, i.e. the smaller; and since the whole is 12, as said, then the smaller is 5.	ובעבור שאמרנו למעלה שכשנוסיף א' לקטן יהיה חצי הכל יראה שהוא חצי הכל פחות אחד ר"ל הקטן ובעבור שהכל י"ב כאמור א"כ המספר הקטן יהיה ה‫'
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+1=A+C=\frac{1}{2}\sdot\left(A+B+C\right)}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(A+B+C\right)\right]-1=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)-1=5}}$
If the smaller is 5, the greater number is 7 for the said reasons. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b=7}}$	ואם הקטן יהיה ה' המספר הגדול יהיה ז' לסבות האמורות
As one can say: "if we subtract one from the greater and give it to the smaller, it will become equal to the smaller", if we are asked to subtract 2 from the greater and give it to the smaller, we do not need to find these numbers and their similar, but to multiply each of the two current numbers, i.e. 5 and 7.	וכמו שאיפשר לומ' שאם נחסר אחד מהגדול ונתן אותו לקטן יהיה שוה לקטן כן גם כן אם ישאלו לנו שאם נחסר ב' מהגדול ונתנם לקטן לא שנטרך[נצטרך]‫ למצא אלה המספרי' והדומה אלא לכפול כל אחד משני המספרי' ‫הנמצאים ר"ל הה' והז‫'
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle b-2=a+2\\\scriptstyle2\sdot\left(a-2\right)=b+2\end{cases}}}$
If the addition or subtraction is by 3, we triple the two numbers.	‫[ואם‫] התוספת או החסרון יהיה ג' נשלש השני המספ[רים‫]
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle b-3=a+3\\\scriptstyle2\sdot\left(a-3\right)=b+3\end{cases}}}$
If it is by a half, i.e. the addition or subtraction, we take half the two current numbers.	‫[ו‫]אם [יהי]ה חצי ר"ל התוספת או החסרון [נ]קח ח[צי ה]שני מספרי' הנמצאי[ם‫]
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle b-\frac{1}{2}=a+\frac{1}{2}\\\scriptstyle2\sdot\left(a-\frac{1}{2}\right)=b+\frac{1}{2}\end{cases}}}$
If the addition or subtraction is by a third, we take a third of the two current numbers that are already known to us, i.e. 5 and 7.	‫[ואם התוספת או החסרון יהיה שליש נקח שליש השני מספרי' הנמצאים ר"ל‫]‫ הידועים לנו כבר ר"ל [הה' והז'‫]
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle b-\frac{1}{3}=a+\frac{1}{3}\\\scriptstyle2\sdot\left(a-\frac{1}{3}\right)=b+\frac{1}{3}\end{cases}}}$
Because all these questions are established on this and we apply this method in all that is similar, Q.E.D.	כי בזה ייוסדו כל אלה השאלות ובדרך זה נעשה בכל הדומה וזה מה שרצינו
In order to elaborate the explanation, we give another example: we assume two numbers, such that if we subtract one from the greater number and add it to the smaller, both numbers become equal; and if we subtract one from the smaller number and add it to the greater, the greater becomes twenty times the smaller.	‫[ו‫]כדי לה[וסי]ף ביאור נעשה משל אחר בשנניח ב' מספר[ים] שאם נחסר אחד מהמספר הגדול [ו]נוסיפהו לקטן יהיה [ה]שני מספרי' שוים ואם נחסר אחד מהמספר הקטן ונוסיפהו בגדול יהיה הגדול עשרי' פעמי' בקטן
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-1=a+1\\\scriptstyle20\sdot\left(a-1\right)=b+1\end{cases}$
We know them by that we first think of the two numbers and take one from each of the numbers. We make it a third number, which is 2.	ונדעם בדרך זה שנניח קודם במחשבה השני מספרי' ונקח אחד מכל אחד מהשני מספרי' ונעשהו מספר שלישי ויהיה ב‫'
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle A=a-1\\\scriptstyle B=b-1\\\scriptstyle C=2\end{cases}}}$
This number has the property that if we add it to the smaller number, it becomes equal to the greater; and if we add it to the greater number, the greater becomes 20 times the smaller number, i.e. twenty times as the smaller. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle A+C=B\\\scriptstyle B+C=20A\end{cases}}}$	ויש לזה המספר [.] זה הטבע שאם נוס[י]פהו על המספר הקטן יהיה שוה לגדול ואם נוסיפהו על המספר הגדול יהיה הגדול כפל המספר הקטן כ' פעמים ר"ל עשרי' פעמי' כקטן
So, we now have three numbers as said above, a great, a small, and a mean.	א"כ יש לנו עתה ג' מספרי' כאמור למעלה גדול וקטן ואמצעי
Suppose that they are all one amount.	ונניח שכולם יעשו כלל אחד
So, they are all one amount and when we add the mean number to the smaller, the two first numbers are equal. Therefore, we have two equal parts of the whole and since each two equal parts of the whole is a half of the whole, then each of them is half the whole. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{A+C=B=\frac{1}{2}\sdot\left(A+B+C\right)}}$	א"כ כולם כלל אחד וכשנוסיף המספר האמצעי לקטן יהיו הב' מספרי' הראשונים שוים א"כ יש לנו ב' חלקי' שוים לכל ובעבור שכל שני חלקים שוים לכל כל אחד [.] הוא חצי הכל א"כ [כל אחד מאלו הוא חצי הכל
Therefore, it is visible that when 2, which is the mean number, is added to the smaller, it makes it half the whole; and if we subtract it from the smaller number and add it to the greater, the greater becomes twenty times as the smaller.	א"כ יראה‫]‫ שב' שהוא מספר [אמצעי‫]‫ מחובר לקטן [עשהו‫]‫ חצי הכל ואם נחסרהו מהמספר הקטן ונוסיפהו בגדול ויהיה הגדול עשרי' פעמי' כמו הקטן
Hence, it is clear that the greater is 20 parts of 21 of the whole and the smaller is one part, so they are 21 equal parts of the whole.	יראה שהמספר הגדול יהיה כ' חלקי' מכ"א מהכל והקטן חלק אחד א"כ הם כ"א חלקי' ‫שוים לכל
Thus, the smaller number is one part of 21 parts of the whole and the greater is 20 parts of 21 parts of the whole.	א"כ המספר הקטן [י]היה אז חלק אחד מכ"א חלקי' מהכל והמספר [הגדול יהיה] כ' חלקים מכ"א [מהכל
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle A={\color{OliveGreen}{\frac{1}{21}\sdot21A}}=\frac{1}{21}\sdot\left(A+B+C\right)\\\scriptstyle B+C=20A=\frac{20}{21}\sdot\left(A+B+C\right)\end{cases}}}$
So, we say that if the sum of the mean number with the smaller number makes it half the whole and its subtraction makes it one part of 21 parts of the whole, then it can be deduced from this that the mean number is [the difference from] one part of 21 parts of the whole to a half of the whole. But, the difference from one part of 21 parts of the whole to a half of the whole is 19 parts of 42 parts of the whole. So, the mean is 19 parts of 42 parts of the whole. To know that this is indeed the difference, we subtract one part of 21 parts of the whole from a half; 19 parts of 42 parts of the whole remain.	אם כן נאמר] שאם חבור [המספר] האמצעי [למספר הקטן ע]שהו חצי הכל [וחסרנו] עשהו [אחד מכ"א חלקי הכ]ל א"כ יראה מזה [שה]מספר האמצעי הוא [...] שיש [...]לה אחד מכ"א חלקי הכל ובין חצי הכל אבל [ההבדל בין] חלק [אחד מכ]"א חלקי ה[כל] ובין [חצי] הכל י"ט חלקי' ממ"ב חלקי הכל א[ם כן ה]אמצ[עי] הוא י"ט חלקי' ממ"ב של הכל [ול]דעת שזה [ההבדל] נחסר חלק אחד מכ"א חלקי ש[לם מה]חצי וישאר י"ט חלקי' ממ"ב חלקי השלם
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{C=\left(A+C\right)-A=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(A+B+C\right)\right]-\left[\frac{1}{21}\sdot\left(A+B+C\right)\right]=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{21}\right)\sdot\left(A+B+C\right)=\frac{19}{42}\sdot\left(A+B+C\right)}}$
It is clear that the mean is 19 parts of 42 parts of the whole. But, if it is 19 parts of 42 parts of the whole and it is 2, then the whole is 4 integers and 8 parts of 19 parts of the whole.	‫[וא"כ‫] יראה שהאמצעי י"ט חלקי' ממ"ב חלקי השלם ואם האמצעי הוא י"ט חלקי' ממ"ב חלקי השלם והוא היה שנים א"כ הכל היה [ד'] שלמי' וח' חלקי' מי"ט חלקי השלם
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{C=\frac{19}{42}\sdot\left(A+B+C\right)=2}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{A+B+C=\frac{42\sdot2}{19}=4+\frac{8}{19}}}$
Check
The proof of this: we say as follows: if 9 is equal to 2, how much is the one that is the required whole equal to?	והמופת על זה נאמר ככה אם [ט'] שוים ב' כמה שוה האחד שהוא הכל הדרוש
We know it by one of the methods stated above regarding the ways of proportions. Q.E.D.	וזה נדעהו באחד הדרכי' האמורי' למעלה בדרכי היחסים וזה מה שרצינו

Chapter Three: The relation of two numbers such that if the greater gives one to the smaller, the smaller becomes double the greater; and if the smaller gives one to the greater, the greater becomes three times the smaller	הפרק הג' ביחס שני מספרי' שאם הגדול יתן אחד לקטן יהיה הקטן כפל הגדול ואם הקטן יתן אחד לגדול יהיה הגדול שלשה פעמי' יותר מהקטן
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle2\sdot\left(b-1\right)=a+1\\\scriptstyle3\sdot\left(a-1\right)=b+1\end{cases}$
If we want to know these numbers, we define the mean first of all as above. The mean is always 2 integers in relations like this.	ואם נרצה לדעת אלו המספרי' נעשה קודם כל דבר האמצעי כמו למעלה והאמצעי לעולם הוא ב' שלמי' בכיוצא לאלו היחסים
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle A=a-1\\\scriptstyle B=b-1\\\scriptstyle C=2\end{cases}}}$
So, we say: if the mean is added to the smaller, it becomes double the greater. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{A+C=2B}}$	א"כ נאמ' אם האמצעי מחובר לקטן יעשה כפל הגדול
Therefore, it is clear that the smaller plus the mean are two-thirds of the whole. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{A+C=\frac{2}{3}\sdot\left(A+B+C\right)}}$	מכאן יראה שהקטן עם האמצעי הם ‫שני שלישי הכל
And the greater number minus the mean is a third of the whole. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{B-C=\frac{1}{3}\sdot\left(A+B+C\right)}}$	ושהמספר הגדול בלתי האמצעי [הוא שליש הכל
Hence, when we add the mean to the greater, it becomes 3 times the smaller. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{B+C=3A}}$	וא"כ כשנוסיף האמצעי לגדול‫]‫ יהיה ג' פעמי' יותר מהקטן
Therefore, it is clear that the smaller minus the mean is a quarter of the whole. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{A-C=\frac{1}{4}\sdot\left(A+B+C\right)}}$	יראה מכאן שהקטן בלתי האמצעי יהיה רביע אחד מהכל
We say now: if the whole that we think of consists of three numbers, which are the greater, the smaller, and the mean, then their sum is equal to this whole.	וא"כ נאמ' עתה אם הכל שהנחנו במחשבה הוא מורכב מג' מספרי' שהם גדול וקטן ואמצעי א"כ כמות שלשתם שוה לזה הכל
But, the greater and the smaller numbers are a third and a quarter of the whole, so the mean number is necessarily their complement to the whole.	אבל כמות המספר הגדול והקטן הם שליש ורביע הכל א"כ מה שיחסר לתשלום הכל הוא המספר האמצעי בהכרח
Therefore, we sum up a third and a quarter, according to the first type of operations with fractions, which is addition. Their sum is: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}}}$	א"כ נחבר שליש ורביע במין הראשון מהשברי' שהוא הקבוץ ויהיה קבוצם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{12}}}$	ז בא
The complement of the whole is: $\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}}}$	א"כ לתשלום הכל החסרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{12}}}$	ה בא
So, the mean is equal to:	וא"כ האמצעי שוה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{12}}}$	ה בא
It is already known the the mean itself is 2 integers and related to the whole it is:	וכבר הוא ידוע שהאמצעי בעצמו הוא ב' שלמי' ומיוחס לכל הוא
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{12}}}$	ה בא
We apply the rule of three as follows and say: if 5 parts of twelve of the whole are equal to two integers, how much is the whole equal to?	ולכן נעשה דרך היחסים כך ונאמ' אם ה' חלקי' מי"ב חלקי' מהכל שוים שני שלמי' כמה שוה הכל
We place one integer for the whole and do the diagram like this:	ובמקום הכל נשים אחד שלם ונעשה הצורה כך
We say: if $\scriptstyle\frac{5}{12}$ is equal to 2 integers, how much is the one that is instead of the whole equal to? $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{5}{12}:2=1:X}}$	שוים ב' שלמי‫' ה בא אם ונאמ‫' כמה שוה אחד שהוא במקום הכל
We find that the whole that we are looking for is 4 integers and 4-fifths. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X=4+\frac{4}{5}}}$	ונמצא שהכל שבקשנו הוא ד' שלמי' וד' חמישיות
Now, we should look for the greater and the smaller numbers using it.	ועתה צריך שנבקש המספר הגדול והקטן ממנו
We find the greater as follows: you already know that the greater number minus the mean is a third of the whole. So, we take a third of this whole, which is:	והגדול נמצאהו כך כבר ידעת שהמספר הגדול בלתי האמצעי היה שליש הכל א"כ נקח מזה הכל השליש שהוא
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ 1	‫ א
We add to it one of the two of the mean; it is:	ונוסיף עליו האחד מהשנים של האמצעי ויהיה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ 2	‫ ב
And this is the greater. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{B=\left[\frac{1}{3}\sdot\left(4+\frac{4}{5}\right)\right]+1=\left(1+\frac{3}{5}\right)+1=2+\frac{3}{5}}}$	וזהו הגדול
You already know that the smaller minus the mean is a quarter of the whole. So, we take a quarter of the whole, which is:	וכבר ידעת שהקטן בלתי האמצעי הוא רביע הכל ולכן נקח רביע הכל שהוא
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ 1	‫ א
We add to it one of the two of the mean; the smaller number is: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{A=\left[\frac{1}{4}\sdot\left(4+\frac{4}{5}\right)\right]+1=\left(1+\frac{1}{5}\right)+1=2+\frac{1}{5}}}$	ונוסיף עליו האחד מהשנים מהאמצעי ויהיה המספר הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ 2	‫ ב
These are the two numbers that we are looking for. Q.E.D.	ואלו הם השני מספרי' שבקשנו ומה שרצינו

Chapter Four: Knowing the whole, whichever it may be, from the sum of its two different parts	הפרק הרביעי בידיעת קבוץ שני חלקי' מתחלפי' ‫מאי זה כל שיהיה או יותר איך נדע הכל
We do as follows: we take any whole, in which the parts in question are found, and sum them up, then we say: as the ratio of this sum of the parts to the known whole, from which they are taken, so is the ratio of the parts in question to the unknown whole.	ונעשה כך נקח אי זה כל שימצאו בו אותם החלקי' הנשאלים ונעשה קבוץ מהם ונאמ' כיחס זה הקבוץ מהחלקי' אל הכל הידוע שלוקחו ממנו יחס החלקי' הנשאלים לכל הבלתי ידוע
We arrange them in the rule of three, and take the parts of the known number as the first number, the whole known number as the second number, the parts of the unknown number as the third number. Then, we complete the rule of three as said in its place.	ונסדרם בדרך הרביעי הד' מספרי' המתיחסים ונקח למספר ראשון חלקי המספר הידוע ולמספר שני המספר הידוע כלו ולמספר שלישי חלקי המספר הבלתי ידוע ונשלים דרך היחסים כפי שנאמ' במקומו
Example for this: suppose the sum of a third and a quarter of the whole is equal to ten and a half and we wish to know the whole. $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=10+\frac{1}{2}$	המשל לזה נניח קבוץ אחד משליש ורביע ששוה עשרה וחצי ורצינו לדעת הכל
To know this we look for a number, in which these fractions are found. For finding these fractions, there is no closer number than 12. So, we take its third and its quarter that are 7. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7}}$	ולדעת זה נבקש מספר אחד שימצאו בו אלו השברי' ולמציאות אלו השברי' שהנחנו אין שם מספר יותר קרוב מי"ב א"כ נקח קבוץ שלישו ורביעו שהם ז‫'
We say: if 7 are equal 12, how much 10 are equal? $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{7:12=\left(10+\frac{1}{2}\right):X}}$	ונאמ' אם ז' שוים י"ב כמה שוים י' וחצי
We complete this ratio as already stated in the teaching of the proportions, and we find in this way that the required number is 18. Q.E.D. $\scriptstyle{\color{blue}{X=18}}$	ונשלים זה היחס כמו שכבר נאמ' בלמוד היחסים ונמצא בזה הדרך שהמספר המבוקש הוא י"ח וזה מה שרצינו
In this way all that are similar to this proportion are solved by examining all the fractions that may be assumed or asked about.	ובדרך זה יעשו כל הדומים לזה היחס כשיבחנו כל השברי' שאיפשר שיונחו או שישאל עליהם
As the one who asks about the sum of a quarter and a fifth [of a whole], which is 5 integers, and we wish to know how much is the whole. $\scriptstyle\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X=5$	כמי שישאל על קבוץ רביע וחומש שהם ה' שלימי' ונרצה לדעת הכל כמה הוא
We look for a number, in which these fractions are found. A quarter and a fifth are found in twenty. So, we take a quarter and a fifth of 20; their sum is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)=9}}$	נבקש מספר אחד שימצאו בו אלה השברי' רביע וחומש שהם נמצאים בעשרים א"כ נקח מכ' הרובע והחומש וקבוצם הוא ט‫'
We say: if 9 are equal 20, how much 5 are equal? $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{9:20=5:X}}$	ונאמ' אם ט' שוים עשרי' כמה שוים ה‫'
By the rule of three it is known that the required whole is:	ובדרך היחסים יודע שהכל המבוקש הוא
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}}}$ 11	‫ אא
The sum of its quarter and its fifth is 5. Q.E.D.	וקבוץ רביעיתו וחמישיתו ה' וזה מה שרצינו
In this way all that are similar are solved.	ובדרך זה יעשו כל הדומים

Chapter Five: Giving general ways for finding any unknown number by the method of double false position	הפרק החמישי בנתינת ‫דרכי' כוללים לדעת אי זה מספר שיהיה בלתי ידוע בדרך המתנגדים
It is known in three general ways, in which proportions like these and others whatever they may be are solved. They are called "double false position" [lit. ways of opposites]	וזה יודע בג' דרכי' כוללים בעבור שבהם יעשו כאלה היחסים וזולתם אי זה שיהיו‫ ויקראו דרכי המתנגדות‫
The first way	והראשון הוא זה
Suppose we want to find any whole, such that the sum of its third and its fifth together is ten. $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X=10$	נניח שרצינו למצא אי זה כל שקבוץ שלישיתו וחמישיתו יחד הם עשרה
false position (1): First of all, we look for a number, in which these fractions are found; it is 15. The sum of its third and its fifth together is 8, which is smaller by two than the wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)=8=10-2}}$	וקודם כל דבר נבקש אי זה מספר שימצאו בו אלו השברי' והוא ט"ו וקבוץ שלישיתו וחמישיתו יחד הוא ח' ואלו הם פחות מהמבוקש שנים
false position (2): We take another number, which is 30. We see that the sum of its third and its fifth is 16. So, it is greater by 6 than the wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot30\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)=16=10+6}}$	ונקח מספר אחר שהוא ל' ונראה שקבוץ שלישיתו וחמישיתו הוא י"ו וא"כ יהיו יותר מהמבוקש ו‫'
Now, we write all this in a diagram: $\scriptstyle{\color{blue}{2+6=8}}$	ועתה נניח כל זה בדרך צורה
denominator: First, we should sum up the excess and the deficit, which are 2 and 6 and this will be the denominator. We keep it.	והראשון שצריך שנקבץ יחד הם יותר והפחות שהם ב' וו' וזה יהיה המחלק ונשמור אותו
numerator: Then, we extract the numerator by that we multiply each of the false positions [lit. opposites] by its contrary: as 15 by 6; the result is 90. We multiply also 30 by 2; the result is 60. We sum up 90 with 60; it is 150. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(15\sdot6\right)+\left(30\sdot2\right)=90+60=150}}$	ואחר נעשה המחולק כך שנכה המתנגדים כל אחד עם מנגדו כמו ט"ו עם ו' ויעלה צ' ונכה עוד ל' עם ב' ויעלה ס' ונחבר צ' עם ס' ויהיו ק"נ
We divide it by the denominator, which is 8; the result of division is 18 and 3-quarters and this is the number that the sum of its third and its fifth together is 10. This is what we wanted according to the first way. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{8}=18+\frac{3}{4}}}$	ונחלקם במחלק שהוא ח' ויצא מהחלוקה י"ח וג' רביעיות וזהו המספר שקבוץ שלישיתו וחמישיתו יחד י' וזה מה שרצינו בדרך הראשון
The second way	הדרך השני
In this way, the two numbers, in which we need to find the required fractions, should each be smaller than the sum of the required parts.	והוא שהב' מספרי' שאנו צריכים בדרך זה למצא בהם השברי' המבוקשים צריך שיהיה כל אחד פחות מקבוץ החלקים המבוקשים
Example: we wish to find a number that the sum of its third and its quarter is 20. $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=20$	המשל רצינו למצא מספר שקבוץ שלישיתו ורביעיתו יהיה כ‫'
false position (1): We look for a number, in which a third and a quarter are found; it is 12. The sum of its third and its quarter is 7, so it is smaller by 13 than the sum of the fractions. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7=20-13}}$	נבקש מספר אחד שימצא בו שליש ורביע והוא י"ב וקבוץ שלישיתו ורביעתו ז' א"כ הוא ‫פחות מקבוץ השברי' י"ג
false position (2): We take another number, in which a third and a quarter are found; it is 24. The sum of its third and its quarter is 14. So, it is smaller by 6 than the wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=14=20-6}}$	ונקח עוד מספר אחר שימצא בו שליש ורביע והוא כ"ד וקבוץ שלישיתו ורביעיתו הם י"ד וא"כ הוא פחות מהמבוקש ו‫'
Then we say: 12 is less by 13 and 24 is less by 6.	ואח"כ נאמר י"ב פחות י"ג וכ"ד פחות ו‫'
As we extracted above a denominator from the excess and the deficit, here we should extract a denominator from the deficit and the deficit, which are 13 and 6.	וכמו שלמעלה עשינו מחלק מהיותר והפחות בכאן צריך שנעשה מחלק מהפחות ומהפחות והם י"ג וו‫'
As we summed above the excess and the deficit in order to extract the denominator, here we should subtract in order to extract the denominator.	וכמו שלמעלה קבצנו היותר והפחות לעשות המחלק בכאן צריך שנחסר לעשות המחלק
denominator: So, we subtract 6 from 13; 7 remains and this is denominator. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{13-6=7}}$	וא"כ נחסר ו' מי"ג וישארו ז' וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: Then, we multiply the false positions [lit. opposites] as stated above: 13 by 24; the result is 312. We multiply also 6 by 12; the result is 72. We subtract 72 from 312; you are left with 240 and this is the [numerator]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(13\sdot24\right)-\left(6\sdot12\right)=312-72=240}}$	ואחר נכה המתנגדים כאמור למעלה והם י"ג עם כ"ד ויעלו שי"ב ונכה עוד ו' עם י"ב ויעלו ע"ב ונחסר ע"ב מ משי"ב וישארו לך ר"מ וזהו המחלק
We divide it by the denominator, which is 7; the result of division is 34 and 2-sevenths and this is its diagram: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{240}{7}=34+\frac{2}{7}}}$	ונחלקהו במחלק שהוא ז' ויצא מהחלוקה ל"ד וב' שביעיות [וזה צורתו‫]‫
The third way	הדרך השלישי
Each of the two numbers, in which we find the fractions, should be greater [than the sum of the parts].	והוא שכל אחד משני המספרי' שבהם נבקש השברי' צריך שיהיה יותר
Example: we wish to find a number, whose quarter and third are 6. $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=6$	המשל רצינו למצא מספר אחד שרביעיתו ושלישיתו יהיה ו‫'
false position (1): We look for a number, in which a third and a quarter are found; it is 12. The sum of its third and its quarter is greater by one than the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=6+1}}$	נבקש מספר אחד שימצא בו שליש ורביע והוא י"ב וקבוץ שלישיתו ורביעיתו הוא אחד יותר מהמבוקש
false position (2): We look also for [another] number, which is 24. It is greater by 8 than the wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=6+8}}$	ונבקש ג"כ מספר שהוא כ"ד והוא ח' יותר מהמבוקש
denominator: We subtract the [smaller] from the [greater]; the greater is 8 and the smaller is 1. We subtract 1 from 8; 7 remains and this is denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{8-1=7}}$	ונחסר היותר גדול מהקטן והגדול הוא ח' והקטן הוא אחד ונחסר אחד מח' וישארו ז' וזהו המחלק
numerator: The numerator is extracted like this: we multiply the false positions [lit. opposites] this way: 8 by 12; the result is 96. We multiply 1 by 24; the result is 24. We subtract 24 from 96; 72 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8\sdot12\right)-\left(1\sdot24\right)=96-24=72}}$	ויעשה המחולק כך נכה המתנגדים באופן זה הח' על י"ב ויעלו צ"ו ונכה האחד על כ"ד ויעלו כ"ד ונחסר כ"ד מצ"ו וישארו ע"ב
We divide it by the denominator, which is 7; the result of division is 6 and 2-sevenths; and this is the number, whose third and quarter summed together are equal to six. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{72}{7}=10+\frac{2}{7}}}$	ונחלקם במחלק שהוא ז' ויצא מהחלוקה ו' וב' שביעיות וזהו המספר ‫ששלישיתו ורביעיתו מקובץ כאחת ששוה ששה
Another teaching of proportions	לימוד אחר מיחסים
If one asks: if, when the measure of flour is worth 12 whites, the king orders to give 8 liṭra of bread for one white, when one measure is worth 11 whites, how much should it be given at the same ratio.	אם ישאל שואל אם כששוה מדת הקמח י"ב לבני' גזר המלך שיתנו ח' ליטרי' לחם בלבן כששוה כששוה המדה י"א לבני' כמה ראוי שיתנו לפי אותו היחס
We do like this: we set our question on the basis of the rule of three, by arranging the first number in equivalence to the last [number], i.e. in equivalence to the 11 whites, and arranging the second number in equivalence to the first, i.e. in equivalence to the 12; and the third number is the amount of bread.	נעשה כך שנניח דרושינו זה על שורש התיחסות הג' מספרי' וזה בשנסדר המספר הראשון על השיווי האחרון ר"ל לשיווי הי"א לבני' והמספר השני נסדר על השווי הראשון ר"ל שווי הי"ב והמספר השלישי כמות הלחם
We say as follows: if 11 is equal to 12, how much is 8 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{11:12=8:X}}$	ונאמ' כך אם י"א שוים י"ב כמה שוים ח‫'
We complete the teaching as written regarding the rule of three and this is what we want.	ונשלים הלמוד כמו שהוא כתוב בדרכי היחסים וזה מה שרצינו
Question: if, when one peraḥ is worth 40 whites, a man has 100 peraḥim and he wants to exchange such and such peraḥim, so that the remaining will be equal to the whites, i.e. the number of peraḥim he has left is as the number of whites he has left.	שאילה אם כשהפרח שוה מ' לבני' ואדם אחד יש לו ק' פרחי' ורוצה להחליף כל כך פרחי' שהנשארי' יהיו שוים ללבני' ר"ל כמות הפרחי' הנשארי' לו ככמות הלבני' הנשארי' לו
We do as follows: we take the value of one peraḥ, which is 40 whites. We add 1; it is 41. We divide 100 by 41; the result is 2 and 18 parts of 41 of a peraḥ, and so are the peraḥim he has to exchange. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{40+1}=\frac{100}{41}=2+\frac{18}{41}}}$	נעשה כן נקח שווי הפרח שהוא מ' לבני' ונוסיף א' ויהיו מ"א ונחלק ק' במ"א ויבואו ב' וי"ח ממ"א של פרח כל כך פרחי' צריך להחליף‫

Chapter Six: the Teaching of Partnership	הפרק השישי בלמוד החברות
When we want to know how much is the share of each of the partners in the profit or the loss, in relation to the time and the amount of goods.	והוא כשנרצה לדעת כל אחד מהחבורה כמה יגיע לו מחלק הריוח או ההפסד מיוחס לזמן ולכמות הסחורה
Partnership Problem - For the Same Time
Example: if there are three people in a partnership, one contributed 12½, the second [contributed] 6, the third contributed 7½, and the profit was 50. $\scriptstyle\left(12+\frac{1}{2}\right)a_1+6a_2+\left(7+\frac{1}{2}\right)a_3=50$	המשל אם יהיו בחבורה ג' אנשים והאחד הכניס לחברה י"ב וחצי והשני ו' והשלישי ז' וחצי ויהיה הריוח נ‫'
To know it we sum up all the numbers; the sum is 26 and this sum is called the first number. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{1}{2}\right)+6+\left(7+\frac{1}{2}\right)=26}}$	ולדעת זה נקבץ כל המספרי' ויהיה הקבוץ כ"ו וזה הקבוץ יקרא מספר ראשון
The profit or the loss is the second number.	והריוח או ההפסד יהיה מספר שני
[The contribution of] each of the three is the third number.	וכל אחד מהג' מספר ‫שלישי
We say as follows: if 26 is equal to 50, how much is 12½ equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{26:50=\left(12+\frac{1}{2}\right):a_1}}$	ונאמ' כך אם כ"ו שוים נ' כמה שוים י"ב וחצי
We complete the ratio as you know and the result is [the profit or the loss] of the first, who contributed 12[½].	ונשלים היחס כמו שידעת ומה שיצא הוא [ריוח או הפסד] הראשון שהכניס הי"ב
Then, we say: if 26 is equal to 50, how much is 6 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{26:50=6:a_2}}$	ואחר נאמ' אם כ"ו שוים נ' כמה שוים ו‫'
We complete the ratio also and the result is the profit or the loss of the second, who contributed 6.	ונשלים היחס ג"כ ומה שיצא הוא הריוח או ההפסד השני שהכניס בחלקו הו‫'
Then, we say: if 26 is equal to 50, how much is 7½ equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{26:50=\left(7+\frac{1}{2}\right):a_3}}$	ואחר נאמ' אם כ"ו שוים נ' כמה שוים ז' וחצי
We complete the ratio as above and the result is the profit or the loss of the third, who contributed 7½.	ונשלים היחס כמו שלמעלה ומה שיצא הוא ריוח [או הפסד]‫ השלישי או ההפסד שהכניס ז' וחצי
You do the same with all the ratios that could be done in all partnerships. Q.E.D.	ומכדומה לזה תעשה בכל היחסים שאיפשר להעשות בכל החברות [וזה מה שרצינו]

Chapter Seven: Some Questions and Answers	הפרק השביעי בקצת שאילו' ותשובות
Find a Number Problem - Repeated Subtraction
Question: if we subtract 12 from the double of any number, then we subtract another 12 from double the remainder also, and double the remainder is 12, how much is the original number? $\scriptstyle2\sdot\left[\left[2\sdot\left(2X-12\right)\right]-12\right]=12$	שאילה אם מכפלו של אי זה מספר נקח י"ב ומכפל הנשאר נקח ג"כ י"ב אחרי' וכפל הנשאר יהיה י"ב כמה היה המספר הראשון
Answer: we take the known number, which is 12, then add its half to it; it is 18. We take a half of this sum; it is 9. We add another 12 to the 9; it is 21. We take its half; it is ten and a half and this is the original number that we seek for.	התשובה נקח המספר הידוע שהוא י"ב ונחבר אליו חציו ויהיו י"ח ומכל זה נקח החצי ויהיה ט' ואלו הט' נחבר עוד י"ב ויהיו כ"א ונקח חצים והם עשרה וחצי וזהו המספר שבקשנו בתחלה

$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{2}\sdot\left[12+\frac{1}{2}\sdot\left[12+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\right]\right]=\frac{1}{2}\sdot\left[12+\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)\right]=\frac{1}{2}\sdot\left(12+9\right)=\frac{1}{2}\sdot21=10+\frac{1}{2}}}$

Likewise, we can say this for any number, whether integers, or fractions, either few or many.	ובדרך זה נוכל לאמ' בכל מספר שיהיה בין של שלימים בין של שברי' בין מעט או רב
Question: if the half of any amount plus one are subtracted, then the half of the remainder plus one, then the half of the remainder plus one, and one remains, how much is the original number?	שאילה אם מאי זה כמות ילקח חציו ואחד יותר ומהנשאר חציו ויותר אחד ומהנשאר חציו ויותר אחד ונשאר אחד כמה היה המספר הראשון

$\scriptstyle\left[\left[X-\left(\frac{1}{2}X+1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+1\right)\right]\right]+1\right]\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left[X-\left(\frac{1}{2}X+1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+1\right)\right]\right]+1\right]\right]\right]+1\right]=1$

Answer: we take the one that remains lastly plus one; it is 2. We double it; it is 4, and add one; it is 5. We double it; it is ten, and add one to it; it is 11. We double it; it is 22, and this is the original number that we seek for.

התשובה נקח האחד שנשאר באחרונה ויותר אחד ויהיו ב' ונכפול אותם ויהיו ד' ונוסיף יותר אחד ויהיו ה' ונכפול אותם ויהיו עשרה ונוסיף עליהם ‫עוד אחד ויהיו י"א ונכפלם ויהיו כ"ב וזהו המספר הראשון שנשאל עליו

$\scriptstyle{\color{blue}{X=2\sdot\left[1+\left[2\sdot\left[1+\left[2\sdot\left(1+1\right)\right]\right]\right]\right]=2\sdot\left[1+\left[2\sdot\left[1+\left(2\sdot2\right)\right]\right]\right]=2\sdot\left[1+\left(2\sdot5\right)\right]=2\sdot\left(1+10\right)=2\sdot11=22}}$

Likewise, you can do even if you add each time two, or three, or as much as you wish, instead of the one.	ובדרך זה תוכל לעשות ואף על פי שתוסיף בכל פעם במקום האחד שנים או ג' או מה שתרצה
Shared Work Problem - Draining a Vessel - Barrel
Question: a barrel has three holes. Through one hole it is drained in a half of a day. Through the second hole, it [is drained] in a two thirds of a day. Through the third hole, it [is drained] in a three quarters of a day. When it is drained through the three holes together, how long will it take [the barrel] to be drained? $\scriptstyle\frac{X}{\frac{1}{2}}+\frac{X}{\frac{2}{3}}+\frac{X}{\frac{3}{4}}=1$	שאילה אם יהיה חבית אחת ויהיו לה ג' נקבים באחד יורק בחצי יום ובנקב השני בב' שלישי יום ובנקב שלישי בג' רביעי יום כשיורק בג' הנקבי' יחד בכמה זמן יורק
Answer: we say as follows:	התשובה נאמ' כך
From the hole that it is drained in half a day two barrels are drained in one day. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{2}}=2}}$	באותו נקב שיורק בחצי יום יורקו ב' [חביו']‫ ביום אחד
From the hole that it is drained in 2-thirds of a day 1 and a half are drained in one day. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{3}}=1+\frac{1}{2}}}$	ובנקב שיורק בב' שלישי יום יורקו ביום אחד א' וחצי
From the hole that it is drained in 3-quarters of a day 1 and a third are drained in one day. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{4}}=1+\frac{1}{3}}}$	ובנקב שיורק בג' רביעיות יורקו ביום אחד חבית אחת ושליש
We sum up all these three numbers; their sum is 4 barrels and 5-sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{2+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{3}\right)=4+\frac{5}{6}}}$	ועתה נחבר כל אלה הג' מספרי' ויהיה קבוצם ד' חביות וה' ששיות
Then, we say as follows: if 4 barrels and 5-sixths of a barrel are equal to one day, how much is one barrel equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{5}{6}\right):1=1:X}}$	ואחר נאמ' כך אם ד' חביות וה' ששיות של חבית שוות יום אחד כמה שוה חבית אחד
We complete the way and find that it is equal to 6 parts of 29 of a day. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{6}{29}}}$	ונשלים הדרך וימצא ששוה ו' חלקי' מכ"ט מיום אחד
Question: if there are three numbers, the [sum of the] first and the second is as the third, and the [sum of the] first and the third is as a hundred of the second. How much is each of the three numbers?	שאילה אם יהיו ג' מספרי' והראשון והשני יהיו בכמות השלישי והראשון והשלישי כמאה מן השני כמה יהיה כל אחד מהשלשה מספרי‫'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=c\\\scriptstyle a+c=100b\end{cases}$
Answer: we assume that these three numbers are parts of one thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+b+c=X}}$	התשובה נניח שאלו הג' מספרי' הם חלקי דבר אחד
We also assume that the [sum of the] first and the second numbers is half that thing and that the third is its other half. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+b=\frac{1}{2}X=c}}$	ונניח עוד שהמספר הראשון והשני הם חצי אותו הדבר והשלישי הוא חציו האחר
We say that if the [sum of the] first and the third is a hundred of the second, it seems that the second is one part of 101 parts of the whole. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+c=100b\longrightarrow b=\frac{1}{101}X}}$	ונאמ' אם הראשון והשלישי הם מאה כשני יראה שהשני הוא אחד ממאה ואחד מחלקי הכל
If the [sum of the] first and the second is half the whole, then we say that the difference between one part of 101 parts of the whole and half the whole is equal to the first number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+b=\frac{1}{2}X\longrightarrow\frac{1}{2}X-\frac{1}{101}X=a}}$	ואם הראשון עם השני הם חצי הכל א"כ נאמ' שההבדל שיש בין חלק אחד ממאה ואחד מחלקי הכל ובין חצי ‫הכל הוא שיווי המספר הראשון
But, the difference is 99 parts of 202 of the whole. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{2}X-\frac{1}{101}X=\frac{99}{202}X}}$	אבל ההבדל הוא צ"ט חלקים ממאתים ושנים מהכל
Hence, we say that the first number is 99 parts of 202 of the whole. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=\frac{99}{202}X}}$	א"כ נאמ' שהמספר הראשון הוא צ"ט חלקי' מר"ב מהכל
If the whole is 202, then the second number is 2, which is one part of 101 of the mentioned whole, which is 202. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X=202\longrightarrow b=\frac{1}{101}\sdot202=2}}$	ואם הכל הוא ר"ב יהיה המספר השני ב' שהוא חלק אחד ממאה ואחד מהכל הנזכר שהוא ר"ב
Since the third number is half the whole and the whole is 202, then the third number is 101, which is half the whole and this is what we want. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{c=\frac{1}{2}X\longrightarrow c=\frac{1}{2}\sdot202=101}}$	ובעבור שהמספר השלישי הוא חצי הכל והכל הוא ר"ב א"כ יהיה המספר השלישי מאה ואחד שהוא חצי הכל וזה מה שרצינו
We have now three numbers: the first is 99, the second is 2, and the third is 101. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=99;\quad b=2;\quad c=101}}$	ועתה יש לנו ג' מספרי' הראשון צ"ט והשני ב' והשלישי ק"א
If we sum up the first number with the second, the result is 101 that is equal to the third. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+b=99+2=101=c}}$	ואם נחבר המספר הראשון עם השני יעלה מאה ואחד שהוא שוה לשלישי
If we sum up the first with the third, the result is 200 that is as a hundred times the second number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+c=99+101=200=100b}}$	ואם נחבר הראשון והשלישי יעלה ר' שהם מאה כמספר השני
We can apply this way with all the proportional numbers of this ratio, whether they are more or less. Q.E.D.	ובדרך הזה נוכל לעשות מכל המספרי' המתיחסים בזה היחס ואם היו יותר או פחות ומ"ש
Question: if there are three people in a partnership; half the profit is owed to the first, a third of the profit is owed to the second, and a quarter of the profit is owed to the third; the profit is 12. How much should each get?	שאילה אם יהיו ג' אנשים בחברה אחת וחצי הריוח יהיה ראוי לאחד ושלישית הריוח לשני ורביעית הריוח לשלישי והריוח יהיה י"ב כמה יבא לכל אחד מהם
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=\frac{1}{2}X\\\scriptstyle a_2=\frac{1}{3}X\\\scriptstyle a_3=\frac{1}{4}X\\\scriptstyle X=12\end{cases}$
Answer: you should know that if we give a half of this number, i.e. the 12, to one, and its third to another, and its quarter to another, it will not be enough.	התשובה צריך שתדע אם נתן לאחד החצי מזה המספר ר"ל הי"ב ושלישיתו לאחר ורביעיתו לאחר לא יספיקו
Therefore, we should do it this way: the one who deserves a half will take less, and the same for the second, and the third.	ולכן צריך שנעשה בדרך זה שלמי שראוי החצי יקח פחות וכן השני וכן השלישי
It is as follows: we take any number we want that a half, a quarter and a third are found in it, such as 12, or 24, or 36, or whichever it may be.	ויהיה בדרך זה שנקח אי זה מספר שנרצה שימצאו בו חצי ורביע ושליש כמו י"ב או כ"ד או ל"ו או אי זה שיהיה
We take its half, its third, and its quarter, and sum them up; this sum is called the first number.	ונקח חציו ושלישיתו ורביעיתו ונקבצם יחד וזה הקבוץ יקרא מספר ראשון
The profit is the second number.	והריוח יהיה מספר שני
Each part of the summed number is a third number.	וכל אחד ‫מחלקי המספר המקובץ יהיה מספר שלישי
When we have these numbers, we arrange them this way and say: if [13] is equal to [12], how much is 6 equal to? $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{13:12=6:X}}$	וכשיהיו בידינו אלו המספרי' נסדרם בדרך זה ונאמ' אם י"ב שוים י"ג כמה שוים ו‫'
We complete the proportion and find that it equals 5 and 7 parts of 13. $\scriptstyle{\color{blue}{X=5+\frac{7}{13}}}$	ונשלים היחס ונמצא ששוה [ה' וז' מי"ג‫]‫
Then, we say again: if the whole sum is equal to the whole profit, how much is the third equal to?	ואחר נחזור ונאמ' אם כל המקובץ שוה כל הריוח כמה שוה השליש
In our example we say: if 13 is equal to 12, how much is 4 equal to? $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{13:12=4:X}}$	ובמשלינו זה נאמ' אם י"ג שוים י"ב כמה שוים ד‫'
We find that it equals 3 and 9 parts of 13. $\scriptstyle{\color{blue}{X=3+\frac{9}{13}}}$	ונמצא ששוים [ג' וט' מי"ג‫]‫
Then, we say again: if the whole sum is equal to the whole profit, how much is the quarter equal to?	ונחזור עוד ונאמ' אם כל המקובץ שוה כל [הריוח כמה שוה‫]‫ הרובע
I.e.: if 13 is equal to 12, how much is 3 equal to? etc. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{13:12=3:X}}$	ר"ל אם י"ג שוים י"ב כמה שוים ג' וכו‫'
We find that it equals:	ונמצא ששוים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{13}}}$ 2	י גא ב
Q.E.D.	וזה מה שרצינו
Question: if ten is divided into two parts, such that when one is divided by the other the result of division is 5.	שאילה אם יחלקו העשרה בב' חלקי' שהאחד נחלק באחר שיצאו מהחלוקה ה‫'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle 10=a+b\\\scriptstyle\frac{a}{b}=5\end{cases}$
To know this, we should precede two general premises:	ולדעת זה צריך שנקדים שני הקדמות כוללות
The first premise: as every dividend divided by the divisor generates the quotient, so when the dividend is divided by the quotient it generates the divisor.	ההקדמה הראשונה היא שכמו שכל מחולק נחלק במחלק יוליד החלק גם כן כשנחלק המחולק על החלק יוליד המחלק
The second premise: the quotient and the number [that represents] the ratio of the dividend to the divisor are equal.	ההקדמה השנית היא שמספר החלק ומספר יחס המחולק למחלק שוים
Example: if we divide 10 by 2, the part is 5 and the number [that represents] the ratio of the dividend to the divisor is 5, because 10 is 5 times two and this is the ratio of the dividend to the divisor. So, the ratio of the dividend [to the divisor] is 5 and the quotient is 5. Therefore, since each is 5, they are equal. Q.E.D.	המשל אם נחלק י' על ב' יהיה החלק ה' ומספר יחס המחולק למחלק ה' כי י' הם ה' פעמים שנים וזהו יחס מחולק למחלק וא"כ המחולק ביחס הוא ה' והחלק ה' בלתי היחס וא"כ במה שיש לכל אחד שם של ה' הם שוים וזה מ"ש
After knowing this, the answer is that we consider one part of 10 as an unknown and its name is "a thing".	ואחר ידיעת זה התשובה היא שנקח במחשבתינו חלק אחד מי' בלתי ידוע ויהיה שמו דבר אחד
We say as follows: if we take one thing from ten, the ten becomes ten minus one thing, and the 10 minus a thing is the dividend.	ונאמ' כך אם נקח מהעשרה דבר אחד ישארו העשרה עשרה בלתי הדבר אחד והי' בלתי הדבר אחד יהיה המחולק
According to the second premise, [the ratio] is equal to 5, which is the quotient. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{10-X}{X}=5}}$	ולפי ההקדמה ‫השנית יהיה שוה לה' שהוא החלק
So, if 10 minus the thing is equal to 5 [times] the thing, than [10] is greater than 5 [times the thing] by a thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10-X=5X}}$	וא"כ אם י' בלתי הדבר אחד שוה לה' עם הדבר אחד יהיה יותר מה' דבר אחד
Since, the divided [= 10] and the quotient are equal, we add a thing to the 5 [times the thing], which is the quotient; it is 6. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10=6X}}$	ובעבור שיהיו שוים החלק והמחולק נוסיף דבר אחד על הה' שהוא החלק ויהיו ו‫'
Since, the divided [= 10] and the quotient are equal, we divide the dividend by the quotient; the result is the divisor that we are looking for, which is: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10}{6}=1+\frac{2}{3}}}$	ואחר שהמחולק והחלק הם שוים נחלק המחולק על החלק ויצא המחלק שבקשנו שהוא
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 1	‫ א
This is the unknown thing we took from ten.	וזהו הדבר האחד הבלתי ידוע שלקחנו מהעשרה
Its complement to 10 is:	ומה שנשאר עד תשלום י' שהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ 8	‫ ח
This is the dividend and it is also the ten minus a thing, which is also the unknown number, as we said.	הם המחולק והם ג"כ העשרה בלתי דבר שהוא ג"כ מספר בלתי ידוע כמו שאמרנו
Now, we divide:	ועתה אם נחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 1 by $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ 8	‫ א על ‫ ח
The quotient is 5, and these two numbers, the dividend and the divisor, are ten. Q.E.D.	יבא לחלק ה' ואלו השני מספרי' המחולק והמחלק הם עשרה ומ"ש‫
As we said for ten that the quotient is 5, we can say also for any number we want and for whichever number that we want to keep its ratio to that number, as we did here.	וכמו שאמרנו בעשרה להיות החלק ה' נוכל לאמ' ג"כ איזה מספר שנמצא ועל איזה מספר שנרצה בשנשמור היחסים הראויים לאותו מספר כמו שעשינו בזה
Example: as we took 5 as the quotient for 10, we take 27 as the quotient for thirty.	המשל כי כמו שלקחנו לחלק ה' מי' נקח לחלק כ"ז משלשים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle 30=a+b\\\scriptstyle\frac{a}{b}=27\end{cases}$
We do as said. You find in the same way that the divisor is:	ונעשה כאמור ותמצא באותו דרך שהמחלק הוא
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{14}}}$ 1	א דא א
The dividend is:	והמחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13}{14}}}$ 28	גא דא כח
The quotient is 27 as you know. Q.E.D.	והחלק כ"ז כמו שידעת וזה מה שרצינו‫

Book Three: We Talk in it about Some Principles of Geometry	המאמר השלישי נדבר בו בקצת התחלות מההנדסה
It is divided into three sections.	ויתחלק לג' כללי‫'
Section One: Knowing the Measure of the Line	הראשון בידיעת השיעור הקויי
It is divided into three chapters.	ויתחלק לג' פרקי‫'
Chapter One: Some Principles of Geometry, Definition of a Line, and Knowing the Measure of the Line as a Height	הפרק הראשון בקצת התחלות ההנדסא וגדר הקו ובידיעת השיעור הקויי בגובה
After we discussed the six types of arithmetical operations, the methods of proportions, and some questions and answers, we should start talking now about some principles of geometry, in order that we know the way to use the proportions of numbers in it.	ואחר שדברנו ‫מז' מיני המספר ומדרכי היחסים וקצת שאילות ותשובות צריך שנדבר עתה מקצת התחלות ההנדסא כדי שנדע הדרך איך נשתמש ביחסי המספרי' הצריכים בה
You should know that the first geometrical shapes, by which we can know the measure of any solid, or each of its dimensions, or the relation of a solid to a solid, or a surface to a surface, or a line to a line, are three entities that are:	ולכן ראוי שתדע שתמונות ההנדסא הראשונות שבהם נוכל לדעת כמות אי זה גשם שיהיה או כל אחד ממרחקיו או התיחסות גשם לגשם או שטח לשטח או קו לקו הם ג' עצמיות שהם
triangle	משולש
quadrilateral	ומרובע
circle	ועגולה
Since the solid includes three properties that are:	ובעבור שהגשם כולל בג' סגולות שהם
length	אורך
breadth	ורוחב
depth	ועומק
We shall talk about the definition of each and its measure:	לכן נדבר בגדר כל אחד ובשיעורו
First, we talk about length.	וראשונה נדבר מהאורך
Since the length is measured by lines, we determine what is a line:	ובעבור שהאורך ישוער בקוים נאמ' מהו הקו
Definition of line: the line is a quantity of length without breadth and depth, whose ends are two points.	והקו הוא כמות אורך בלתי רוחב ועומק וקצותיו הם ב' נקודות
The types of the linear measure are three, which are:	ובעבור שמיני השיעור הקויי הם ג' שהם
plane	מישור
height	וגובה
depth	ועומק
We should discuss each of them.	צריך שנדבר מכל אחד מהם
First, the height:	וראשונה מהגובה
When you want to know the height, whichever it may be, take a pole whose size you know and place it on the surface, standing straight with no inclination	כשתרצה לדעת אי זה גובה שיהיה תקח עמוד אחד שתדע שיעורו ויושם במישור מעומד וביושר בלתי שום נטייה
Turn your eyes to the ground while looking at the edge of the height you want in a way that the ray of sight passes through the edge of pole's height in a straight line from your eye to the edge of the height you want.	ותטה עינך בארץ בהיותך מביט לקצה הגובה שתרצה באופן שיעבור ניצוץ הראות על קצה העמוד הגובה בקו ישר מעינך עד קצה הגובה שתרצה
Then, estimate [the distance] from the place of inclination of the eye to the bottom of the height you want and this is the third number.	ואחר תשער ממקום נטיית העין עד המקום התחתון מהגובה שאתה מבקש וזה יהיה המספר השלישי
The size of the pole is the second number.	ושיעור העמוד יהיה המספר השני
The distance between the eye and the pole is the first number.	והרוחק שיש בין העין והעמוד יהיה המספר הראשון
Extract the proportion the way you know: if this is equal to that, how much is this equal to?	ואחר תיחס בדרך שידעת אם זה שוה זה כמה שוה [זה‫]‫
Multiply the second by the third, then divide it by the first number; we get the height we want. Q.E.D. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}}}$	בהכותך ‫השני בשלישי ונחלקהו במספר הראשון ויצא לנו הגובה שבקשנו וזה מה שרצינו

Chapter Two: Knowing the Measure of the Line in the Surface [= Length]	הפרק השני בידיעת השיעור הקויי במישור
When we want to know the length of a surface, a straight pole, whose size we know, is placed on the ground where we want, standing straight with no inclination.	כשנרצה לדעת אורך אי זה מישור שיהיה יושם על הארץ מעומד עמוד אחד ישר שנדע שיעורו ובמקום שנרצה ובלתי שום נטיה
For example: the [length of the] surface is called BH, the straight pole is AB, and on the pole AB we place a stick called GD perpendicularly, in a way that when a person looks from the top of the pole to the end of the surface, the ray of sight passes through the top of the stick in a straight line to the edge of the required surface.	ודרך משל יקרא המישור ב"ה ועמוד הישר א"ב ובעמוד א"ב נשים יתד אחד שיקרא ג"ד על זויות שוות באופן שכשיביט האדם מראש העמוד לקצה המישור יעבור ניצוץ הראות על ראש היתד ביושר עד קצה‫ המישור המבוקש
Multiply the size of GD by AB, then divide by AG, and we get the size of BH, which is the length of the surface we want. Q.E.D. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{BH=\frac{GD\sdot AB}{AG}}}$	ואחר תכה כמות ג"ד על א"ב וזה יחלק על א"ג ויצא לנו כמות ב"ה שהוא אורך המישור שבקשנו וזה מה שרצינו

Chapter Three: Knowing the Measure of the Line as a Depth	הפרק השלישי בידיעת השיעור הקויי בעומק
When we want to know a certain depth:	כשנרצה לדעת אי זה עומק שיהיה
Suppose the depth is AD and we place a pole at the end of this depth, which is HZ. We place on the pole a stick, which is ZB, perpendicularly at end of this depth that is drawn until A, so that the viewpoint is H that is the top of the pole and the observer's ray of sight passes from point H through the top of the stick to vertex D of the depth diagonally.	ונניח שיהיה עומק א"ד ונשים עמוד אחד על שפת העומק ויהיה ה"ז ונשים יתד אחד בעמוד בזויות נצבות על שפת העומק ויהיה ז"ב ויעבור עד א' ונקדת המבט יהיה ה' שעל ראש העמוד ויעבור ניצוץ המביט מנקודת ה' ועל קצה היתד לזויות העומק שהוא ד' באלכסון
Since angle HZB is equal to the right angle BAD, $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\angle HZB=\angle BAD = 90^\circ}}$	והנה בעבור שזוית‫ הז"ב הוא שוה לזוית‫ בא"ד הנצבת
Also angle ABD is equal to its opposite angle ZBHת $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\angle ABD=\angle ZBH}}$	וג"כ זוית אב"ד שוה לזוית זב"ה הנגדיים
And the remaining encompassing angle BHZ is equal to the encompassing angle ADB, $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\angle BHZ=\angle ADB}}$	והזוית הנשארת שמקיף אותו בה"ז שוה לזוית שמקיף ‫אותו אד"ב
Then all the angles of triangle ADB are equal to all the angles of triangle BHZ, therefore their sides are proportional. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\triangle ADB\sim\triangle BHZ}}$	א"כ כל זויות משולש אד"ב שוות לכל זויות משולש בה"ז ולכן צלעותיהם מתיחסות
The ratio of BZ to ZH is as the ratio of BA to AD. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{BZ:ZH=BA:AD}}$	ויהיה יחס ב"ז לז"ה כיחס ב"א לא"ד
Now, we multiply the size of HZ by the size of BA, then divide it by ZB, and we get the size of AD. Q.E.D. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{AD=\frac{HZ\sdot BA}{ZB}}}$	ועתה נכה שעור ה"ז על שעור ב"א ונחלקהו על ז"ב ויצא לנו שיעור א"ד וזה מ"ש

Section Two of Book Three: Knowing the Measure of the Surface	הכלל השני מהמאמ' הג' בידיעת [השיעור השטחיי
It is divided into five chapters.	ויתחלק לה' פרקי‫'
Chapter One: Knowing the Area of the Equilateral Triangle	הא' בידיעת שיעור‫]‫ שטח המשולש השוה הזויות הצלעות
After we discussed the size of the line and all its measures, we should now talk about the size of the surface and its measures.	ואחר שדברנו מהכמות הקויי וכל שיעוריו עתה צריך שנדבר מהכמות השטחיי ושיעוריו
First, we state its definition:	וראשונה נדבר מגדרו
Definition of surface: the surface is a quantity that has length and breadth without depth, whose limits are two lines.	השטח הוא כמות בעל אורך ורוחב בלתי עומק שתכליותיו ב' קוים
The primary plane shapes are of three types: either equilateral [lit. having three equal sides], or isosceles [lit. having only two equal sides], or scalene [lit. having three unequal sides].	והתמונות השטחיות הראשונות הם ג' מינים או יהיה שוה הג' צלעות או שוה השתי צלעות בלבד או מתחלפות ג' הצלעות
If it is equilateral, its shape is this:	ואם תהיה שוות הג' צלעות צורתה זאת
If we want to know its area, we divide its side into two equal segments, then draw a straight line from the midpoint D to the opposite vertex, which is A.	ואם נרצה לדעת כמותה נחלק הצלע האחד בב' חלקי' שוים ומנקודת החלוקה ששם ד' נוציא קו ישר עד הזוית הנגדיי שהוא א‫'
We should know the size of this line, whatever size we want, and keep it.	וזה הקו נדע כמותו באי זה מדה שנרצה ונשמור אותו
We must also know the size of one of the sides.	וצריך שנדע עוד כמות אחד מהצלעות
We multiply half this size by the size of the line that we kept and the result is the area of the whole triangle. Q.E.D.	ונכה חצי זה הכמות בכמות הקו השמור אצלנו ומה שיעלה הוא כמות כל שטח המשולש וזה מה שרצינו

Chapter Two: Knowing the Area of the Isosceles Triangle	הפרק השני בידיעת שיעור שטח המשולש שוה הצלעות
If the triangle is equilateral [lit. having only two equal sides], its shape is this:	ואם יהיה המשולש שוה שתי הצלעות בלבד צורתו היא זאת
To know its area, we divide the unequal side into two equal segments, then we draw a straight line from the midpoint D to the opposite vertex, which is A.	ולדעת כמותה נחלק הצלע הבלתי שוה בשני חלקי' שוים ומנקודת החלוק ששם ‫ד' נוציא קו אחד ישר עד הזוית הנגדיי שהוא א‫'
We know the size of half the side we divided and the size of the line we drew.	ונדע כמות חצי הצלע שחלקנו וכמות הקו הישר שעשינו
We multiply one by the other and the result is the area of the whole triangle. Q.E.D.	ונכה האחד על האחר ומה שיעלה הוא כמות כל שטח המשולש וזה מ"ש

Chapter Three: Knowing the Area of the Scalene Triangle	הפרק הג' בידיעת שיעור שטח המשולש מתחלף הצלעות
If the triangle is scalene, its shape is this:	ואם יהיה המשולש מהג' צלעות מתחלפות צורתו זה
To know its area, we draw a straight line without any inclination from the obtuse angle A to the opposite side.	ולדעת כמותו נוציא קו ישר בלתי שום נטייה מהזויות הרחב ששם א' לצלע הנגדיי
We know its size, i.e. the size of the opposite side, and keep it.	ונדע [כמותו]‫ ר"ל כמות הצלע הנגדיי ונשמור אותו
We know also the size of the straight line we drew.	ונדע עוד כמות הקו הישר שעשינו
We multiply it by the side we kept, the result is the area of the whole triangle. Q.E.D.	ונכה אותו בכמות הצלע השמור אצלינו וחצי מה שיעלה הכל הוא כמות כל שטח המשולש ומ"ש

Chapter Four: Knowing the Area of the Quadrilateral and the Area of the Square	הפרק הרביעי בידיעת שיעור שטח המרובע ושטח הרבוע
The types of the quadrilaterals, from which we know the area of any quadrilateral are two:	ומיני המרובע שבהם נדע כמות כל המרובעים שיהיו והם ב‫'
The first type is equal in length and width [square].	המין האחד שיהיה שוה האורך והרוחב
The second is having unequal length and width [rectangle].	והמין השני שהאורך והרוחב בלתי שוים
To know the area of the quadrilateral that is equal in length and width [= square], whose shape is this:	ולדעת כמות המרובע השוה האורך והרוחב שצורתו זאת
It is this way: we should know the size of one side and multiply it by itself. The result is the area of the whole square. Q.E.D.	הוא בדרך זה שצריך שנדע כמות הצלע האחד ונכה אותו בעצמו ומה שיעלה הוא כמות כל שטח המרובע וזה מה שרצינו
If we want to know the area of the quadrilateral, whose length and width are not equal [= rectangle], its shape is this:	ואם נרצה לדעת כמות שטח המרובע שאורכו ורוחבו בלתי שוים שזאת היא צורתו
We should know the size of the long side and the size of the short side. We multiply the one by the other and the result is the area of the whole rectangle. Q.E.D.	צריך שנדע כמות הצלע הגדול וכמות הצלע הקטן ונכה האחד באחר ומה שיעלה ‫הוא כמות השטח כולו וזה מ"ש
Know that there is one rule for all types of quadrilaterals.	שתדע כלל אחד לכל מיני המרובעי‫'

Chapter Five: Knowing the Measure of the Circle according to the Opinion of the Sages	הפרק [החמישי]‫ בידיעת שיעור [‫העגול לפי סברת החכמים
To know the area of a circle approximately, whose shape is this:	ולדעת כמות‫]‫ שטח העגלה בקרוב שזאת צורתה
We should know the size of half of the diameter and multiply it by half the perimeter of the circle; the result is the area. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\mathbf{circle}=\left(\frac{1}{2}\sdot\mathbf{diameter}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\mathbf{perimeter}\right)}}$	צריך שנדע כמות חצי האלכסון ונכהו בחצי הקף העגולה ומה שיעלה הוא כמות השטח
To know the perimeter of the circle:	ולדעת כמות העגולה
We triple the diameter, then add one-seventh of it; and so the perimeter of the whole circle. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\mathbf{perimeter}=\left(3+\frac{1}{7}\right)\sdot\mathbf{diameter}}}$	נשלש האלכסון ונוסיף עוד החלק השביעי ממנו כך הוא כמות כל העגולה
Since there is no relation between the straight line and the curved line, it is impossible to know the perimeter of the circle exactly, but only approximately.	ובעבור שאין יחס בין הקו הישר והבלתי ישר אלא לכן הוא נמנע לדעת כמות העגולה בדקדוק אמיתי אלא בקירוב
In the circles we draw we can get closer to knowing their truth.	ובאלו העגולות שאנו עושים נוכל להתקרב לידיעת אמיתתם
If an error occurs it does not count due to its minimality, but as regards to the great circles and all the more so the heavenly circles, the error is enormous.	ואם יקרה טעות אינו נחשב למיעוטו אבל העגלות הגדולות כ"ש השממיות שיהיה הטעות גדול מאד
Therefore, Archimedes and al-Fārābī said that whoever gives the circle a perimeter of three times the diameter and ten parts of 70 of it, gives it more than appropriate, and whoever gives it three times the diameter and ten parts of 71 of it, gives it less than appropriate. So, the true size of the perimeter is between 70 parts and 71 parts of the diameter. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(3+\frac{10}{71}\right)\sdot\mathbf{diameter}<\mathbf{perimeter}<\left(3+\frac{10}{70}\right)\sdot\mathbf{diameter}}}$	ולכן אמ' ארגמידש ואלפרבי שמי שיתן לעגולה כמות שלוש האלכסון ומע' חלקי' ממנו העשרה שהוא נותן יותר מן הראוי ומי שיתן שלוש האלכסון ומע"א חלקי' ממנו העשרה שנותן פחות מן הראוי א"כ הכמות האמיתי הוא בין ע' חלקי' וע"א מהאלכסון
This is what we wanted concerning the plane shapes.	וזה מה שרצינו בתמונות השטחיות
Having discussed the measure of the surface, we shall talk now about the [measure of] the solid.	ואחר שדברנו מכמות השטחי נדבר עתה מהגשמי
First, we should define what is a solid:	ולכן ראוי שנאמ' קודם מה הוא הגשם
Definition of solid: The solid is a quantity that has three dimensions, which are length, breadth and depth, whose limits are surfaces.	הגשם הוא כמות שיש לו ג' מרחקי' שהם אורך ורוחב ועומק שתכליותיו הם ב' שטחי‫'

Section Three of Book Three: [Solid]	הכלל הג' מהמאמ' הג‫'
Chapter One: Volume
In it one chapter on knowing the volume of any solid.	ובו פרק א' והוא בידיעת שיעור אי זה גשם שיהיה
The first bodily figures are three and they are:	והתמונות הגשמות [הגשמיות]‫ הראשונות הם ג' שהם
Pyramid	משולש [מחודד]
Square solid	‫מרובע [ומוגשם]
Sphere	ועגולה [כדור]
If we wish to know their volume, as if we wish to know the volume of a square, or non-square, or triangular container, how much it contains, we should know first the area of the base in the way we mentioned, then multiply it by its depth, and the result is it volume.	ואם נרצה לדעת כמותם כמו שאם רצינו לדעת כמות כלי אחד מרובע [מעוקב] או בלתי מרובע [מעקב] או משולש [מחודד] כמה יכיל צריך שנדע קודם שטח התושבת בדרך שאמרנו ואחר נכהו בעומקו ומה שיעלה הוא הגשמיות [כמותו הגשמי]
Example: let there be here a container, whose base is 3 cubits and its depth is 2.	המשל נניח שיש בכאן כלי אחד שהתושבת שלו הוא ג' אמות ועומקו ב‫'
We multiply 2 by 3 and the result is it volume.	נכה הב' בג' ומה שיעלה הוא כמותו
If the area of the bottom base of the container is greater than the area of its upper base, or vice versa, we know the area of each of them, sum them up, take a half [of the sum] and this is the area that should by multiply by the depth. We multiply them and the result is the volume of any solid container.	ואם שטח תושבת הכלי יותר גדול משטח פיו או בהפך נדע שטח כל אחד מהם ונחברם ונקח החצי וזה יהיה כמות השטח הראוי להכות עם העומק ונכם ומה שיעלה הוא כמות כל גשם הכלי
Since there are no other figures that we can know their volume in the way we stated, but these, therefore, if we wish to know the volume of any other figure, we should convert it to one of these triangular or square figures, of whichever type they may be, by cubing the figure we want, or squaring it, Q.E.D.	ובעבור שאין שם תמונות אחרות שנוכל לדעת שיעורם בדרך שאמרנו אלא אלו לכן אם נרצה לדעת שיעור אי זה תמונה אחרת צריך שנהפכנה באחת מאלו התמונות המשולשות או המרובעות מאיזה מין שיהיה מהם וזה בשנשלש התמונה שנרצה או נרבע אותה וזה מה שרצינו
Whoever is well versed in these principles can easily study all the books of Euclid and any science that obtains its principles from arithmetic.	וכל מי שיהיה בקי באלה ההתחלות יוכל לעיין בקלות בכל ספרי אוקלידס וכן בכל חכמה שתקנה התחלותיה ממלאכת המספר
We have already discussed at length everything that is necessary for our purpose.	וכבר הארכנו בכל מה שצריך לכוונתינו
Supplement (Oxford MS d.5) – operations with fractions
Another method shorter than what we wrote in our book on multiplication, division and proportions [of fractions]:	דרך אחרת קצרה יותר ממה שכתבנו בחבורנו בענין ההכאות והחלוק והיחסים
First of all, one should know the number of the numerator and the number of the denominator and this is done as follows:	קודם כל דבר צריך לדעת מספר הפועל ומספר הפעול והם נעשים בדרך זה
The denominator is all that is written beneath the line.	וראשונה המספר הפעול הוא בכל מה שיכתב תחת הקו
The numerator is one of three categories: an integer alone, a fraction alone, or both together.	והמספר הפועל הוא בשלש דרכים [שלם לבד] שבר לבדו או שניהם כאחד
If it is an integer alone, it is called a numerator.	ואם יהיה שלם לבד יקרא מספר פועל
If it is a fraction alone, the number that is above the line is called a numerator.	ואם יהיה שבר לבד המספר שעל הקו שלו יקרא מספר פועל
Example: if we have 2, which is two integers, and three-quarters. $\scriptstyle2+\frac{3}{4}$	המשל אם יהיו בידינו ב' שהם שנים שלמים ושלשה רביעיות
numerator: We multiply the 2 integers by 4; it is 8. We add to it the 3 that is above the line as aforesaid; it is 11 and this is their numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right) +3=8+3=11}}$	נכה הב' שלמים על ד' ויהיו ח' עוד נוסיף עליהם ג' שעל הקו כאמור ויהיו י"א וזהו המספר הפועל שלהם
When we know the numbers of the numerator and the denominator the way we stated and we want to multiply, we multiply the numerator of the first number by the numerator of the second number, then divide this product by the product of the first denominator by the second denominator.	א"כ כשנדע המספר הפועל והפעול בדרך שאמרנו ונרצה לעשות שום הכאה נכה פועל המספר האחד עם פועל המספר השני וזאת ההכאה נחלק בהכאת פעול האחד עם הפעול השני
Or if there is one denominator in both numbers, even if there is only one denominator. it is the denominator.	או יהיה פעול לשני המספרים ואם לא יהיה שם אלא פעול אחד הוא יהיה המחלק
Example: we wish to multiply: $\scriptstyle\frac{20}{3}\times\frac{19}{5}$	המשל נרצה להכות
common denominator: We extract the common denominator, which is the product of the denominators that are 5 and 3; the result is 15 and this is the common denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot3=15}}$	נעשה המחלק שהוא הכאת הפעולים שהם ה' וג' שעולה ט"ו וזהו המחלק
numerator: Then, we extract the numerator by multiplying the numerators, which is 19 by 20; the result is 380. $\scriptstyle{\color{blue}{19\sdot20=380}}$	ואחר נעשה המחולק מהכאת הפועלים שהוא י"ט עם כ' שעולה ש"ף
We divide it by 15, which is the common denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{3}\times\frac{19}{5}=\frac{380}{15}}}$	וזה נחלק בט"ו שהוא המחלק
The method of division is that we multiply the numerator of the number that we want it to be the divisor by the denominator of the other, and this is the divisor.	ודרך החלוק הוא זה שהמספר שרצינו שיהיה המחלק הוא שנכה הפועל שלו עם פעול של האחר וזהו המחלק
We multiply the numerator of the one that we want it to be the dividend by the denominator of the other and this is the dividend.	ואותו שנרצה שיהיה המחולק נכה הפועל שלו בפעול של האחר וזהו המחולק
Then, we divide the one by the other.	ואח"כ נחלק האחד באחר
Example: we wish to divide: $\scriptstyle\frac{3}{5}\div\frac{2}{3}$	המשל נרצה לחלק
We extract [the numerator and the denominator]: the first is 9 and the other is 10. We divide 9 by 10; they are 9-tenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\div\frac{2}{3}=\frac{9}{10}}}$	נעשה הפועלים יותר והראשון הוא ט' והשני י' ונחלק ט' בי' ויהיו ט' עשיריות
In the rule of three, the three proportional numbers are given, which are the first, second, and third.	ומדרך היחסים מונחים הג' מספרי היחס שהם ראשון ושני ושלישי
We multiply the numerator of the first [number] by the denominator of the second [number] and we multiply the result by the denominator of the third [number], if they have denominators, and if not by whichever denominator found. This product is called the divisor. We keep it.	נבקש הפועל ראשון בפעול שני וכל מה שיעלה נכה בפעול השלישי אם יהיה לו פעול ואם לא באי זה פעול שימצא וזאת ההכאה תקרא המחלק ונשמור אותה
Then, we multiply the numerator of the second [number] by the numerator of the third [number] and we multiply this product by the denominator of the first number, if it has a denominator and if the product of the numerators is not enough. This product is called the dividend.	א"כ נכה פועל השני עם פועל השלישי והעולה נכה בפעול המספר הראשון אם לא יהיה לו פעול ואם לא יספיק הכאת הפועלים וזאת ההכאה תקרא המחולק
We divide the dividend by the divisor and the result is the wanted ratio.	ואחר נחלק המחולק במחלק ויצא היחס המבוקש
Example: if 20 is equal to 15 and 5 parts of 37, how much are 5 and 2-sevenths equal to? $\scriptstyle20:\left(15+\frac{5}{37}\right)=\left(5+\frac{2}{7}\right):X$	המשל אם כ' שוים ט"ו וה' חלקים מל"ז כמה שוים ה' וב' שביעיות
This is its diagram:	וזו היא צורתו
The first numerator is 20.	ולפי הנאמר פועל הראשון הוא כ‫'
The numerator of the second number is 560.	ופועל המספר הב' תק"ס
The numerator of the third number is 37.	ופועל המספר השלישי ל"ז
common denominator: We multiply the 20, which is the numerator of the first number, by the denominator of the second number, which is 37; the result is 740. We multiply it by the denominator of the third number, which is 7; the result is 5180 and this is the divisor. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20\sdot37\right)\sdot7=740\sdot7=5180}}$	א"כ נכה הכ' שהם הפועל של המספר הראשון על פעול המספר השני שהם ל"ז ויעלו תש"מ ואלו נכה בפעול המספר השלישי שהם ז' ויעלו ה' אלפים ק"ף וזהו המחלק ונשמור אותם
numerator: Then, we multiply 560, which is the numerator of the second number, by 37, which is the numerator of the third number. $\scriptstyle{\color{blue}{560\sdot37}}$	ואחר כך נכה תק"ס שהוא פועל המספר השני עם ל"ז שהוא פועל המספר השלישי
We divide this product by the divisor we kept and the result is the wanted ratio.	וזאת ההכאה נחלק במחלק ששמרנו ומה שיצא הוא היחס המבוקש
Over and done.	נשלם
Praise be to God, may the Lord ascend.	תהלה לאל יתעלה השם
This book is complete	ונשלם הספר הזה
Colophon
The book of number by ‘Eli in my handwriting, Elijah the son of the honorable rabbi Eliezer may his Rock and Redeemer keep him safe.	ספר המספר לעלי לידי לי אליאו גבה בכ"ר אליעזר יצ"ו
In the year help in troubles is present [Psalms 46:2], 25 in Tevet.	בשנת עזרה בצרות נמצא ליצירה בחדש טבת כ"ה בו

Appendix I: Glossary of Terms

arithmetic	ארישמטיקה
science	חכמה
astrology	חכמת התכונה, התכונה, בתכונה
mathematics	חכמות הלמודיות
music	מוסיקא
arithmetic	מלאכת המספר
geometry	הנדסה
geometry	מלאכת ההנדסה
decimal system
number	מספר (ה), מספרי ה, מספרים
number	מנין, מניין ה
number	חשבון, חשבונות
numeral	תמונה, תמונות המספר
numeral, digit, letter	אות (ה), אותיות, האות ה... מה, אותיותיו
numeral	סימן
zero	סיפרא, סיפרש, סיפראש
unity, unit, units	אחדות
units	אחדים, אחדות, המספרים האחדים
tens	עשרות
hundreds	מאות
thousands	אלף, אלפים
decimal place	מקום (ה / של), מקומם, במקום (ה)
rank	מקום, מקומות, מקומותיו
rank	מעלה, מעלות
rank	מדרגה, מדרגות, מדרגת ה, מדרגותיו, מדרגותיהם
rank	הבדל (ה), הבדלים, הבדלותיו
decade, none-units rank	כלל, כללים
numerical value	בשם
numerical value	כמות במספר
positional decimal method	בדרך המספר
addition
to add	לחבר, נחבר (אותו עם / אליהם / אליו ה / אלו ה... עם ה / ה / עליהם ה / ... עם / הכל / כל אלו ה), נחברם (עם)
summing	חבור (ה... ל), החבור משניהם
addition	תוספת (ה)
to add	להוסיף (על / ... על), הוספנו ל, הוספנוהו על, הוספת ה, נוסיף (אותם עליהם / ה / ל / לו ה / עליהם / עליהם ה / עליו / עליו ה / עמהם ה / ה... ל / ... ל / ... על ה / ... עליה / עוד ה / עוד... על), נוסיפה ל, נוסיפהו (ב / על / על ה), נוסיפם (ב / ל / על ה), תוסיף (ב / ה)
to add	יוסיף עוד ה
to sum	נעשה קבוץ מהם
addition, sum	קבוץ (ה / ה... ל / ה... וה / אלו / ... ל / מה), קבוצם
sum	קבוץ כל ה, קיבוץ... יחד, המקובץ מכל ה, המספר המקובץ
to sum up	לקבץ, נקבץ (כל ה), נקבצם יחד, קבצנו ה... וה
total sum	קבוץ כלם, המקובץ מכלם, הקבוץ של כלם, קבוץ כל ה
added	מחובר ל, נקבץ
to be summed	יקובצו, מקובץ באחד
result of addition, sum	המקובץ, הקבוץ מ...עד
division
division	החלוק, חלוק (ה / ... ב), חלוקת, החלק ה, המחלק, בחלוקה, חלוקו, חלק ה
to divide (by)	לחלק (ה / ... ב), חלקנו... ב, נחלק (ב / ה / ה... ב / ה... על / ה... על ה / ... ב / ... על / זה ה... ב), נחלקהו (ב / על ה), נחלקם (ב / ל / על / על ה)
	נחלקהו במחלק, נחלקם במחלק
	נחלקם על המחלק
	נחלק המחולק במחלק
	נחלק המחולק על החלק
	נחלק ה... ב... חלקים
	נחלק ... בשני חלקים שוים
to be divided (into)	יחולק ה... ב, יחלק (ב / ה / ל / על / ... ב), נחלק (ב / ל), יתחלק ל, תתחלק ל
	יחלקו ב... חלקים
	יחלקו ... ב... חלקים
divisor	מחלק, חלק
dividend, divided	מחולק (ב), מתחלק
indivisible	בלתי מתחלק, שלא נחלקו, שלא יחלק
quotient, result of division	חלק, החלק, מספר החלק, בשם חלק
	יבא מהחלוקה, יבאו מהחלוקה, יבאו ...מהחלוקה, יבאו ... מהחלק
	יבא לחלק
	היוצא לחלק
	יצא מהחלוק, יצא מהחלוקה, יצאו מהחלוקה, יצאו ... מהחלוק
	יצא מחלוקתו
	יצא מהחלק
	יצאו לחלק
	מה שיצא לחלק
halving
halving	חלוק באמצע, חלוק ה... באמצע
to halve	לחלק מ, נחלק אותו, לחלק ... באמצע, נחלק ה... באמצע
to halve	נקח החצי, נקח חצי ה, נקח מה... חציו
	ילקח חציו
	מחולק באמצע
doubling
doubling	הכפול, כפול ה, כפל ה
doubling operation	בדרך הכפול
to double	לכפול (כל אחד מ), יכפול, נכפול (אותם / ה), נכפלם
double	נכפל, כפל (ה), כפלו של, הכפלים
twice	כפול, כפל
first double, 2	הכפל הראשון
to be doubled	יוכפל (ה), נכפל, נכפלים
sum of doubles	הנכפל
sum of doubles	העולה מכל הנכפל
multiplication
multiplication	הכאה (על), הכאת (ה / ה... ב / ה... על ה / ה... עם ה / ... ב / ... על), בהכאתו ב, הכאות
to multiply	בהכות (ה... ב / ... עם), בהכותך ה... ב, להכות (ב / ה / עם ה / אלו ה... ב / ... על)
	הכהו ב, הכינו (אותם ב / ... ב), מכים עמו כל, נכה (אותו ב / אותם ב / אותה על ה / אותו על / אותם על / אותו עם ה / אלו ה... על ה / ב / ה / על ה / עליו ה / עם ה / ה... ב / ה... על / ה... עם / זאת ה... עם / ... ב / ... על / ... עם), נכהו (ב / עם כל ה / ... ב), נכם (ב / על / על ה עם ה), תכה (... ב / ... על)
	נכה ה... זה על זה
	נכה ה... האחת בחברתה
	נכה ה... כל אחד עם שכנגדו
	נכה האחד על האחר, נכה האחד באחר
to be multiplied by	יוכה (ב / על ה / ה... ב), מוכה (ב / על)
multiplied	המספר המוכה, המוכה, המוכה עם ה, המוכים
	הכאת ... בעצמו, הכאת ... בעצמם
	הכאת ה... בעצמו, הכאת ה... בעצמם
	הכאתו בעצמו
to multiply by itself	מכה... בעצמו, נכה אותו בעצמו, נכה ה... בעצמה, נכהו בעצמו
	יוכה בעצמו
	מוכה בעצמו
	נכה ה... באופן מעוקב
	נכה ה... בעצמה באופן מעוקב, נכה ה... בעצמו באופן מעוקב, נכה ... בעצמם באופן מעוקב
	יוכה בעצמו באופן מעוקב
	מוכה בעצמו באופן מעוקב, מוכה בעצמו באופן מעקב
product, result of multiplication	העולה מהכאה, העולה מהכאת, העולה מההכאה
	היוצא מהכאתם
product	הכאה, הכאת, הכאות
total product	קבוץ הכאת
to multiply	לרבע (ה / ... ב / ... עם / זה ה), נרבע (אותה / ה... ב)
multiplication	רבוע (ה / מ / מ... ב / ... עם)
product, result of multiplication	רבוע
product, result of multiplication	העולה, והעולה מ, העולה מהכאת הפועל והפעול
product, result of multiplication	המקובץ מההכאה
multiplier	פועל (ה), מספר הפועל, הפועלים
multiplicand, multiplied	פעול (ה), מספר הפעול
	מה שיצא מההכאה
	יצא מההכאה, יצאו מההכאה
	הכאת .. במרובעם, הכאת ה... במרובעם
	נולד בהכאת ... במרובעם
	הכאה מעוקבת, ההכאה המעוקבת מה, ההכאה המעקבת מה
	יולד מההכאה המעקבת, יולד מההכאה המעוקבת, יולדו מהכאת, יולדו מהכאה מעוקבת
	ובעצמה באופן מעקב, ובעצמה באופן מעוקב
multiplication table	לוח ההכאות
multiplication table	לוח הרבוע
to triple, to multiply by three	נשלש (ה), נשלשה, נשלשהו
tripled	משולשת, המשולשת, המשולשת ה, המשולשות, המשלשות, משלשת, המשלשת
	תחת משלשת, תחת המשלשת, התחת משלשת, התחת המשלשת, תחת המשולשת, התחת משלשות, התחת משולשות
subtraction
subtraction	חסור (ה), החסור, חסרונם
to subtract	לחסר (אותה מ / ... מ), חסריהו מ, חסרנו (אותם מ), נחסר (... מ / ... מה / ה... מה), נחסרהו (מ / מהם), נחסרם (מ / מה / מהם), מחסר
to be subtracted	יחסר, יחוסר, מחוסר (מ / מה), תחוסר
to be subtracted	יוסר ממנו, יוסרו (מ / מה / כל אלו ה)
subtrahend	המספר שחסרנו, המספר המוסר
to subtract	ויסיר
to subtract	נוציא, נוציאם מ
to cast out by nine	נחסר התשעיות מ, נשליך ה... לתשיעיות
to cast out by nine	נשליך ה... ט' ט'
to cast out by nines	נחלקם לתשעיות, נחלקהו בתשעיות
to cast out by nine	נוציא ג"כ התשיעיות
remainder from casting out by nine	הנשאר מהתשיעיות
difference	החסרון
deficiency	מה שיחסר ל, חסרים
ratio
relation, ratio	התיחסות, התיחסות ... ל
ratio, relation	יחס (ה... ל), יחסים (ה), יחסי (ה / ה... מ), יחסי המספרים
	כיחס ... אל, כיחס ה... אל ה
	יחס ... ל... כיחס
	יחס בין ה... וה
	היחס שיש בין ה... וה
	היחס שיש בין ... ל
	יחס ה... ל... כיחס ה... ל
	יחס ה... ל... יהיה כיחס ה... ל
	יחס ... ל... כיחס ... ל
	מספר יחס ה... ל, מספר היחס ה... ל
	היחס שימצא בין ה... וה
	אותו יחס ימצא בין ה... וה
	ביחס (ה) , ביחסי ה, בזה היחס
	לפי אותו היחס
to relate	ליחס אותם ל, ייחסנו ה... ל, ניחס, ניחס אותם ל, ניחסהו ל, תיחס, תיחסהו ל
proportional numbers	מספרי היחס
	המספרי' המתיחסים בזה היחס
	דרך היחסים, דרכי היחוסים, בדרכי היחסים
rule of three	בדרך שאם זה שוה זה, בדרך שכך שוה כך כמה שוה כך
rule of four, proportion of four numbers	יחס הד' מספרים, יחס הד' מספרים המתיחסים, יחסי הד' מספרים המתיחסים
	בדרך הד' מספרים המתיחסים
	ד' מספרי' מתיחסים, ד' מספרים מתיחסים
rule of three, proportion of three numbers	יחסי כל ג' מספרים המתיחסים, ג' מספרים מתיחסים, התיחסות הג' מספרים
rule of six, proportion of six numbers	יחס הששה מספרים המתיחסים, יחס הו' מספרים המתיחסים, ששה המספרים המתיחסים, ו' מספרים מתיחסים
proportional	מתיחסות
	סדר
	סדר ראשון, הסדר הראשון
root
root	שרש (ה / מ / ל), שרשים, שרשי (ה), שרשו, שרשם
root	עקרי
square root	שרש המרובע
cube root	שרש המעוקב, השרש המעוקב, שרש מעקב (של), שרשים מעקבים, שרשי המספרים המעוקבים, שרש המספרים המעוקבי'
approximate	יותר קרוב (ל), היותר קרוב (ל / אליו), היותר קרובים ל, היותר קרוב שאפשר (ל / ש)
	בקרוב
to come close	להתקרב ל
closest	יותר קרוב ל
closer	קרוב מ
imperfect square	מספרים הבלתי מרובעים
imperfect cube	מספרי' הבלתי מעקבים, מספרים הבלתי מעוקבים
square number	מרובע, מרובעים, מספר מרובע, המספרים המרובעים
to cube	לעקב
cube number	מעוקב (מ), מעוקבים, מספר מעוקב, מספר מעקב (של)
	מעוקב שלם
	מציאות שרשי המספרים
	לבקש שרשו, לבקש שרשם, בקשנו שרשם, בקשת שרשם
	לבקש השרש המעוקב
	למצא שרש, למצא שרש מספר, למצא שרשם
	נמצא שרשו, נמצא שרשם, תמצא השרשים
	ימצא להם שרש
	ימצא שרש ל
	ימצא שרש מעקב
	הוצאת השרש
	להוציא זה השרש, נוציא השרש, נוציא שרשם, ונוציא ... השרש, תוציא השרש
	לדעת השרש, לדעת שרש ה, תדע שרש
	לדעת השרש המעקב של
	לדעת השרש המעוקב מ
	יש לה שרש, יש להם שרש, יש לו שרש
	בעלי שרש
	אין שרש ל, אין להם שרש, אין לו שרש, אין שרש אמתי ל
	יש להם שרש מעקב, יש לו שרש מעקב
	בעלי שרשי מעוקבים, בעלי שרשים מעקבים
	אין לה שרש מעקב
fraction
fraction	שבר, שברים, המספרים השברים
to become fraction, to be fractionalized	ישבר
fraction line	קו (של), קו השבר ה, קוי השברים
numerator	המחולק
denominator	מחלק
common denominator	מחלק
common denominator	משותף, המספר המשותף
common denominator	המורה
common denominator	במקום שלם, במקום השלם, מקום שלם, מקום של שלם
to share a common denominator	ישתתפו שני ה
first rank of fractions	שברים ראשונים
second rank of fractions	שבירה שנייה
conversion, transforming	השבת
sexagesimal fraction	שברי התכונה, השברים התכונים, השברים בחכמת התכונה, השברי' שבחכמת התכונה
	מספרי התכונה
degree	מעלה, מעלות
minute	ראשונים, ראשוניים
second	שניים
third	שלישיים , שלשיים, שליש
fourth	רבעיים, רביעיי'
fifth	חמשיים
to be converted	ישובו (ל)
part	חלק (מ / ה... ממנו / ... מ), חלקי (ה), חלקים (מ / ממנו / ... מ), חלקיו
part of unit, part of a whole	מחלקי שלם אחד , חלקי השלם, מ... חלקי השלם, חלקים מהשלם
	אחד מ... חלקי השלם, חלק אחד מ... חלק שלם, חלק אחד מ... חלקים משלם
	אחד מהכל, חלק אחד מ... מהכל, חלק אחד מ... חלקים מהכל
	אחד מחלקי הכל, חלק אחד מ... חלקי הכל, חלק אחד מ... מחלקי הכל
	חלקים מהכל, חלקים מ... חלקי הכל, חלקים מ... של הכל, חלקים מ... מהכל
	החלק ... חלקי השלם
	חלקים מ... חלקי השלם
	חלקים מ... מהשלם, חלקים מ... בשלם
	חלקים מ... של שלם אחד
	חלקים מ... חלקים של שלם, חלקים מ... חלקים של שלם אחד
name of fraction	שם החלק
calculation
calculation	חשבוננו
integer	שלם, שלמים, המספרי' השלמים, המספרים השלמים
last item, an	האחרון, המספר האחרון
even number, even term 2an	זוג, זוגות
odd number	נפרד, נפרדים, נפרדות
perfect number	מספר השלם, המספר השלם, המספרים השלמים
prime number	מספר ראשון, המספר הראשון
to count	למנות, מונה, נמנה
to be counted	ימנה עמה
double false position	בדרך המתנגדים, דרכי המתנגדות
false position	המתנגדים
geometry
figure	תמונה, תמונות (ה), תמונות ההנדסה
shape	צורתה, צורתו
measure, measurement	מדה, מדת ה, מדות
measure	שעור, שיעורו, שעוריו, שעורם
size	שעור (ה), שיעור ה, שעורו, שיעורו
area	שיעור ה
area	השעור השטחי, שעור שטח ה
volume	שעור
size	כמות (ה) , כמותה, כמותו
area	כמות (ה / כל ה), כמותה, כמות השטח, הכמות השטחי
volume	כמות, כמותם, כמותו, כמותו הגשמי
container	כלי
cubit	אמות
pole	עמוד
standing	מעומד
inclination	נטיה, נטייה, נטיית ה
point	נקודת ה, נקדת, נקדות
midpoint	נקודת החלוקה, נקודת החלוק
line	קו, קוים
lined, linear	קווי, קוויי
plane	מישור
surface	שטח, שטחים
area	שטח (ה), כמות שטח ה
plane	השטחיי, השטחי, שטחיות
straight line	קו ישר, הקו הישר, קו... ישר, בקו ישר מ
not straight	הבלתי ישר
straight	ביושר, ישר
angle	זוית (ה), זויות (ה)
right angle	על זויות שוות
right angle	זויות נצבות
right angle	הנצבת
obtuse angle	הזוית הרחב
opposite angle	הזוית הנגדיי, נגדיים
opposite	הנגדיי
distance	רוחק
dimension	מרחקים, מרחקיו
depth	עמק, עומק, עמקו
length	ארך, ארכו, אורך
width	רחב, רחבו, רוחב
height	גבה, גובה
high	הגבה
top of	ראש ה
on top of	על ראש ה
limit	שפת ה
limit	תכליותיו
end	קצה ה, קצותיו
side	צלע (ה), הצלע ה, צלעות, צלעותיהם
triangle	משלש, משולש
triangular	משלשות
equilateral	שוה שלשת הצלעות
isosceles	שוה שתי הצלעות בלבד, שוה בשתי צלעות בלבד
scalene	מתחלף שלש הצלעות
equilateral triangle	המשלש השוה הזויות
equilateral triangle	המשלש שוה הצלעות, המשולש שוה הצלעות
equilateral triangle	המשולש שוה הזויות
scalene triangle	המשלש מתחלף הצלעות
quadrilateral	מרבע, מרובע, מרובעים, מרובעות
square	רבוע, המרובע השוה האורך והרחב
rectangle	המרובע שארכו ורחבו בלתי שוים
circle	עגול, עגלה, עגלות
diameter	האלכסון
diagonally	באלכסון
perimeter of a circle	הקף העגלה
perimeter of a circle	כמות העגלה
noncubic	בלתי מעקב
bottom base	תושבת (ה)
top base	שטח פיו
pyramid	מחודד
cube	מעוקב
solid, solid body	גשם (ה), מוגשם
bodily	גשמי, גשמיות
sphere	כדור
to encompass	מקיף אותו
to draw	נוציא (קו)
to pass	יעבור (... על)
to halve	נחלק ה... בשני חלקים שוים
to divide	חלקנו
to be measured	ישוער ב
to estimate	תשער
	א.ה.ב.
friend	אוהבי
favorite, preferred	נאהבים
	א.מ.ר.
to say, to declare, to describe, to note	לומר, לומ' (ש)
	אומר, אמר, אמרו, אמרנו (ב / ש), נאמ' (ש), נאמר (אותם / ש / ככה / כן ב)
aforementioned	זה שאמרנו, שאמרנו (ש), שאמרנו למעלה, אמרנו למעלה ש
aforesaid	האמור, האמורה, האמורה למעלה, האמורות, האמורים, האמורים למעלה, הנאמר
as aforesaid	כאמור, כאמור למעלה
as aforesaid	כמו שאמרנו (ב), כאשר אמרנו למעלה
	ולפי מה שאמרנו
	כפי שנאמר במקומו
	כמו שכבר נאמר ב
	ולפי מה שאמרנו למעלה
	הדרכים האמורים למעלה
	באופן האמור למעלה
	בדרך שאמרנו (ב / למעלה)
treatise	מאמרים, מאמר (ה)
	א.מ.ת.
true meaning	אמתתם
correct, true	אמיתי, אמיתית, האמתיים, אמתי, אמת
incorrect, erroneous	אינו אמתי, אינו אמת, אינה אמיתית
	היותר אמתיים
	א.פ.ש.ר.
to be possible to	אפשר (ל / ש)
possible	אפשרי
	א.ר.כ.
to elaborate	הארכנו ב
lengthiness, extensiveness	אריכות, באריכות
	ב.א.ר.
to explain	נבאר (איך)
to be explained, to be interpreted	מבואר, מבוארים
	להוסיף ביאור, להוסיף לך ביאור
	ב.ד.ל.
distinction	הבדל, הבדליהם
difference	הבדל, ההבדל מה... אל ה, ההבדל בין ... ובין, ההבדל שיש בין... ובין
	ב.ו.א.
to appear, to come out	יבא
to result	יבא, יבאו, יבא לנו ה
	יבא לכל חלק, יבא לכל אחד מהם
	ב.ח.נ.
to observe	להבחין, יבחנו כל
	ב.ח.ר.
preferable	נבחר
	ב.ט.ל.
to remove	לבטל ה, יבטל
	ב.י.נ.
to understand	להבין
to be understood	יובן, יובן בכל ה, יובנו ב
	ב.נ.ה.
to generate	יבנו אותו
to be generated from	יבנה מ
	ב.ק.ש.
at the request of	לבקשת
to seek, to look for	בקשנו (ה), מבקש, נבקש (ה / ה... כך / ה... ככה ש)
to examine, to check	בקשנו
sought after, wanted, required	המבוקש , המבוקשים, המספר המבוקש
	מה שבקשנו, שבקשנו
	ג.ד.ר.
to define	גדרנוהו
to be defined	יגדר, נגדר
definition	גדר, גדרו
	ג.ז.ר.
to decree	גזר ה... ש
	ג.מ.ר.
to be complete	יגמר כל ה
	ד.ב.ר.
saying, words	דברי, דברים
to discuss	דברנו (מ / ב), נדבר (ב / מ)
to talk about	מדברים מ
	ד.ר.כ.
method	דרך (ה / ל), דרכים
type	דרכים
through, by way of	ע"ד, על דרך
procedure	הדרך (ה / הזה), בדרך (ה / הזה / זה / זה ש / ש), בזה הדרך (ש), כדרך זה, זה הדרך
	מדרך ה
	ודרך משל
another method	דרך אחר (מ), דרך אחרת מ
shortcut	בדרך קצרה, בדרכים הקצרים
	דרכים מישירים (ב / ל)
	דרך כללי שבו
	דרך אחד כולל ל
	דרכים כוללים
	ד.ר.ש.
question, problem	דרושינו, דרושנו
required	דרוש
	ה.ל.כ.
to be shifted	ללכת
	ה.פ.כ.
to transform	תהפך, תהפכנה
vice versa, inversely	בהפך
reverse, opposite	הפך
	ז.כ.ר.
to be remembered, maintained by memorizing	יקויימו בזכירה
aforementioned	הנזכר, הנזכרת, הנזכרות, הנזכרים (ב)
	בדרך המוזכר שלמעלה
	בדרך הנזכר
	כנזכר
	ח.ב.ר.
author	מחבר
to compose	חברתי
treatise	חבור
partnership	חבורה, חבורות, חברה
	ח.ז.ר.
to turn, to become	יחזור, תחזור, חזרה
to repeat the procedure of	נחזור ו, נחזור עוד ו
to return again	נחזור שנית ל
to fractionalize	החזרנו אותם ל, החזרנום ל, נחזיר ה... ל
to convert	נחזירם
	ח.י.ב.
necessarily	יתחייב ש, מתחייב מ
	ח.ל.פ.
to convert	נחליפם ל
to switch	נחליף ה
to exchange	להחליף (ממנו)
different	מתחלפים, מתחלפות
diversity, variety	חלוף
exchange	חלוף
change	חלוף
	חלופים
	ח.ל.ק.
aspect	חלקי (ה)
portion	חלקים
primary element, primary part	חלק ראשון
share	חלק ה, בחלקו
	ח.ש.ב.
to be considered	נחשב
	ט.ע.ה.
to err	טעינו
error	טעות
	י.ד.ע.
knowledge, knowing	ידיעת (אלה ה / אלו ה), בידיעת (ה)
to know (that)	לדעת (אותם / אלו ה / זה / הכל / כל / ש / אם / כמה / מה הם ה), לדעתו (ב)
	דע (אלו ה / כי / ש), ידענו (ה / ש), ידעת (ש / כל זה), ידעתו, נדע (הכל / ש / מה הוא), נדעהו ב, תדע (ה / כי / ש)
	כמו שידעת, כמו שידעתו
	לדעתו בדרך הזה ש, דעהו בדרך זה ש, נדעם בדרך זה ש
to be known	ידוע ש, יודע (ב / ש / לנו), יודעו
	בדרך הזה ידענו
	בזה הדרך יודע
	ידועים, הידוע, הידועים (לנו)
	המספר הידוע
	בלתי ידוע, הבלתי ידוע
	מספר בלתי ידוע, המספר הבלתי ידוע, המספרים הבלתי ידועים
	י.כ.ל.
to be able	יוכל ל, נוכל ל, תוכל ל
	י.ל.ד.
to produce	יוליד (ה / אותו), יולידו, יולידהו, מוליד (אותו)
to be generated	יולד (מ), יולדו (ה / מ)
	י.פ.ת.
check	מופת (ה / זה ה / ל / לזה)
proof	מופת (ש / זה / מה), והמופת על זה (ש)
demonstrative, exemplary	מופתיים
	י.צ.א.
to result	יצא (ה / מ), יצאו
	יצא לנו (ב / ה)
	שיצא ב
	שיצא לך
	מה שיצא
	היוצא, היוצא מהם
to take from, to extract	להוציא ה, נוציא (ב / ה / ממנו / ה... ב / ה... מה / ... ה / ... מה / ... מה ש), הוצאנו
	נוציא ה... ש, נוציא ה... כך (ש)
	י.ר.י.
meaning, signification	הוראתם
indication	להוראת
to indicate	יורה ש, מורה, תורה
	שיורה על
indicator	המורות (ה / על)
to mean, to signify	תורה
	י.ת.ר.
remainder, (result of subtraction)	מותר, המותר מ, הנותר (מה / משניהם)
	כ.ו.ל.
to contain	יכיל
	כ.ל.ל.
to be included	יוכללו ב
comprehensive	כולל, כוללים, כוללות
including	כולל, כולל ל
inclusive	כולל לכולם
consist of	כולל ב
	כ.נ.ס.
to contribute	הכניס (ה / ל)
	כ.ר.ח.
necessary	הכרחיים, ההכרחיים
necessary	הכרחי (ב / ל)
	בהכרח
	כ.ת.ב.
writing	כתיבתו
to write	לכתוב, כתבנו (על / למטה), כתבתי זאת ה, נכתוב (אותו / אותם ב / אותם במקום / אותם על ה / אותה תחת ה / ב / במקום / כנגדו / על ה / עליהם / ה / ה... על ה / ... ב / ה... ב / ... אחר ה / ... אצל ה / ... על / ... על ה / תחת / תחתיה / תחתיו / ... תחת / ... תחתיו)
	נכתוב כל אחד, נכתוב כל אחד אצל חברו, נכתוב כל אחד בצד חברו
	נכתבהו, נכתבם (ב / על ה)
	תכתוב... ב
to be written	יכתבו, יכתב (מה ש)
written	כתוב ב, הכתובים
	ל.א.כ.
skill	מלאכה
science	מלאכה, מלאכות
work	מלאכה
	ל.מ.ד.
teaching, doctrine	לימוד, למוד (ב / ה / מה), למודים
student	לומד
teacher	מלמד
	ל.ק.ח.
to take	לקחת (ב), יקח, לקח (מה), לקחנו (מה), נקח (ב / ה / מ... ה / ... מ / מזה הכל ה), תקח ב
to be taken	שילקח, ילקח מ, שלוקחו ממנו
	לקחנו ל, נקח ל
to consider as	נקח ה... בשם, תקח בשם, תקחהו בשם
	נקח ה... כמו
to suppose	נקח במחשבתנו
	מ.ח.ק.
to erase	ימחוק, נמחוק ה
	מ.נ.ע.
impossible	נמנע ל
necessarily, inevitably	לא ימנע מ
	מ.צ.א.
to find	למצוא (ה / אלה ה), למצא (בהם ה / בו / ה), מצאנו (אותו ה / ה), מצאת, נמצא, נמצאהו כך
	נמצא ה... כך, ונמצא ה... ככה ש
to find out that, to discover	מצאנו ש, נמצא ש, תמצאנו, תמצא ב... ש
to be discovered	ימצא ש
to be found	ימצא (ב / ביניהם אותו ה / לו), ימצאו (ה / בו), נמצא, נמצאו אצלנו, נמצאת
	ימצא ה... כך ש
	נמצאת (בש), הנמצאת, הנמצאים, המספרים הנמצאים
finding, discovery	מציאות (ה)
existence	מציאות
common denominator	שימצאו בו כל אלו השברים, המספר שבו ימצאו כל אלו השברים
	שימצא בו, שימצאו בו
	שנמצא בו אלו ה
	נמצאים ב
	מ.ש.ל.
to give an example, to illustrate	למשול
example	משל (ב / ה / ל), המשל (ב / כי / ל / מ / ש), המשל בזה, המשל לזה
	המשל לזאת הצורה
	משל אחר (ל)
	נעשה משל אחר (בש)
	נ.ב.ט.
to look	יביט (... מ... ל), מביט ל
sight	מבט
	הבטות
	נ.ג.ע.
not exceeding over	שלא הגיע ל
to deserve	יגיע לו מ
	נ.ו.ח.
to leave	בשנניח, הנחנו
leaving	בהניחנו
let us suppose, for example	נניח, נניח ש, נניח עוד ש
	הנחנו במחשבה, נניח קודם במחשבה ה
to be supposed	יונחו
to place	הנחת, נניח (ה... על / ... על), ננחם ב
to be placed	יונח
denotation	הנחת
to be given	מונחים ה
	נ.ס.ע.
to shift	לסיע מ, נסייע ה, נסיע ה.... לאחור, נסיעה (ל / לאחור / אות אחת לאחור / אות אחת אצלה)
	נסיעם כל אחת לאחור אות אחת
	נ.צ.ל.
to be saved from	וינצל מ
	נ.ש.ג.
to get, to obtain, to achieve	להשיג ב, ישיג בו ב, נשיג ב
to be achieved, to be obtained	יושג ב
	נ.ת.נ.
giving	נתינת (דרך / דרכים / משל)
to give, to donate	יתן (ל / ... ל), יתנו, נתן (אותו ל / ל), נתנם ל, נתננו ל
to yield	נותן
	ס.ד.ר.
order	סדר, בזה הסדר
arrangement, order	סדורם
method	סדר, סדרים
to order, to arrange	לסדרו, נסדר (אותם), נסדרהו, נסדרם (כך / ככה), סדרנו (ה)
	נסדר ... כך, נסדר ... ככה
	נסדר על שווי, נסדר ה... על שווי ה
arranged, ordered to be ordered, to be arranged	יסודר, יסודרו, מסודרים (ב)
and so on	וכסדר הזה
and so on successively	וכן כסדר, וכן כסדר הזה, וכן כלם כסדר הזה
successively, sequentially	כסדר
according to this method	כסדר הזה
progression	בסדר המספר
	ס.כ.ל.
not to know	נסכל ה, סכלנו ה
	ס.פ.ק.
to be enough, to be sufficient	יספיק, יספיקו ל, מספיק (לכל)
	וזה יספיק (ב / במה ש), וזה מספיק ב, וזה מספיק בזה (ה)
not enough	זה אינו מספיק
	יהיה שלא יספיקו ל
	ע.ב.ר.
to shift, to move	נעביר, נעבירם ל
to proceed to, move forward to	נעבור ל
	ע.ז.ר.
with, with the help of	בעזר
clinging to each other	נעזרות
	ע.י.נ.
to study, to investigate, to examine, to look carefully	לעיין (ב), נעיין (ב / ה), עיין, תעיין (ב)
	המעיינים ב
	עיון
	ע.ל.ה.
to result	יעלו (ל), יעלה (ל), עולה (ל), עלו (כלם), שעלו
result	העולה (מ), מה שיעלה (מ), מה שעלה מה, כל מה שיעלה
to exceed by	עולה יותר מ
not exceeding over	שלא יעלה ל
	ע.מ.ד.
to stand	יעמוד תחת ה
to rest	יעמדו
	ע.ש.ה.
formation, establishing	העשות, עשיית זה
to do, to operate, to make	לעשות (ה / מ), נעשה (ב / בש / כן / כן ה / כן ש / מ / ... ה / ... מה / ... מהם), נעשהו, עושי', עשהו, עשינו (בזה ה), תעשה (ב / ב... ש / כך)
to be done	נעשים
	כמו שעשינו (ב / בזה)
	מה שעשינו
	שעשינו (מה)
	נעשה בדרך זה ש, תעשה בדרך זה ש, נעשה ה... בדרך זה (ש)
	בדרך הזה תעשה
	נעשה... כך
	נעשה ה... כך (ש)
	נעשה ה... כן (ש)
	נעשה ה... בש, נעשה ה... ככה בש
	יעשה ה... כן
to be performed, to be carried out	יעשה (מ), יעשו
	להעשות (בכל ה)
	העשוי מ
to become	יעשה (ה)
to convert	נעשה (מ / מה)
to yield, to produce	עושה, העושות ה
in theory and practice	בעיון ובמעשה
	פ.ע.ל.
operation	פעלה, פעלת (ה), פעלתו, פעלתנו, פעולתנו
	תפעול פעולתה
procedure	הפעל
deed, action, work	פועלם
	צ.י.ר.
to be conceived	יצויירו
to be formed, to be shaped	יצויירו
	צ.ר.כ.
should	צריך ש, צריך ל
required, needed	צריך, הצריכים (בה / ל), הצריכות ב, צריכות אליה
to need	צריכים (מה / ... ל)
	הוצרכנו ל, נצטרך (ל / ב... ל), מצטרכים ב
	כל מה שיצטרך ב
	ק.ב.ל.
to be subject to	שיקבל
	ק.ד.מ.
	נקדים
	ההקדמה ה, הקדמות
ancient	הקדומים
	ק.ל.ל.
to make easier, to facilitate	להקל מ
easily	בנקלה, יותר בנקל
easier	יותר נקל
easily	בקלות
	ק.נ.י.
to acquire	תקנה
to bestow, to grant	מקנה
	ק.צ.ר.
short, brief	קצר
brevity, briefness	ובקצור
	ק.ר.א.
to be named, to be called	יקרא (ה), יקראו, נקרא (ל), נקראת, תקרא (ה)
to call, to name, to designate	לקרוא לה, נקראהו
	ק.ר.י.
to happen, to occur	יקרה (ש / ב), יקרו בהם
	ר.א.י.
to see	תראה אותם, רואה (ש), ראינו (ש), ראית ש, נראה (ש)
	יראה ש, יראה מכאן ש, יראה לנו מזה ש
illustration	כמו שיראה בצורה הזאת, כמו שיראה בצורה זו, כמו שנראה זאת הצורה, כמו שנראה ב
	כנראה בצורה זאת, כנראה בצורה זו
	לפי הנראה בצורה זו
seeing, realizing	בראותי
visible, can be seen	הנראה
as seen, as observed	כמו שיראה (ב)
should, it is advisable that	ראוי (ל / ש)
	הראוי ל, הראויים ל, הראוי לו ב
appropriate	ראויים ל
to deserve	יהיה ראוי ל
	יותר ראויה לזה מה
to deserve	ראוי ה
sight	ראות
proof	ראיה ש, הראיות
	ר.ב.י.
	רב
to be plenty, to be a lot of	ירבו, ירבו ה... מאד מאד
multitude	הרבה
multitude	רבוי
	ר.י.ק.
to be drained	יורק ב, יורקו (ב / ... ב)
	ר.כ.ב.
to consist of, to be composed of	יורכב מ
composed of; consisting on	מורכב מ
	ר.מ.ז.
to ascribe, to refer to	ירמוז ל, תרמוז אליהם
to allude, to refer	רומזים ל, לרמוז על, תרמוז ל
alluding, indicating	רומזת, הרומזת ל
alluded, indicated	נרמזים ב
	ר.צ.ה.
to want, to wish	תרצה (ל), רוצה (ל), נרצה (ל / אותה), ירצה (ל), רצינו (ל)
	כמי שרוצה ל
	אי זה שנרצה
	אי זה ... שנרצה
	אי זה מה... שירצה
	מה שרצינו, מה שתרצה
	שנרצה, שרצינו, שתרצה
the sought after, wanted, required	וזה מה שרצינו, וזהו מה שרצינו, וזה הוא מה שרצינו
	כמו שרצינו
whatever you want, and so on as you wish	כל מה שתרצה
	ר.ש.מ.
	רשימת ה
	נרשום (אותה / אותה ה / ה)
	ש.א.ל.
question, problem	שאלה, שאלות
	ישאל (על / עליהם), נשאל עליו, נשאל
	ישאלו לנו ש
	הנשאלים
	שואל
	ש.א.ר.
remainder	הנשאר, הנשאר מ, הנשארים, שנשאר
to remain, to be left	ישאר, ישארו (ה / ... על / ... על ה), נשאר (ל), נשארו
	ישאר בידינו, ישארו לך, הנשארים לו
	מה שישאר, מה שנשאר
to preserve, to leave	נשאיר
	ישאר אי זה דבר
	לא ישאר אלא
the rest	השאר
nothing remained, no remainder	לא ישאר דבר, לא נשאר דבר
	לא ישאר כלום, לא נשאר כלום
	לא ישאר מאומה
	לא ישאר יותר
	לא נשאר שום דבר
no more remains	שלא נשאר יותר
	ש.ד.ל.
to strive, to make an effort	ישתדל ל
	ש.ו.ב.
to return	ישובו (ל)
to become	ישוב
	ש.ו.ה.
equal	שוה (ה / ל / כ), שוים (ל), שווים, שוות, שות ל, השוה, ששוה, ששוים (ל), מספר שוה (לכל ה)
to be identical to, to be equal to	שוה, שווה ל, ישווה, יהיו שווים, יהיו שוים (ה / ל), יהיו שוות, יהיה שוה (ל), תהיה שוה ל
to be worth	שוה (ה / ל), ישוה ה, ישוו, שישוה כל כך ש
worth more	שוה יותר מ
equal parts	חלקים שוים
equally	שוה בשוה
value	שווי (ה)
highest in value	השוה יותר, ששוה יותר
unequal	הבלתי שוה
	ש.ו.מ.
to place, to mark	נשים (תחת ה / ... ב / ... על), ונשימה אצל ה, נשימם על ה, משים, שמנו (למטה), תשים תחת ה
	יושם (ב / על / תחת ה)
	ש.כ.ל.
learned, intellectual, thinker	משכילי'
	ש.ל.מ.
completion	תשלום, תשלום הכל, עד תשלום
finalization, summing up	תשלום
to complete, to finish	נשלים (ה / זה ה)
	עד שנשלים כלם
to be completed	נשלם (ה)
	ש.מ.ר.
to keep, to reserve	נשמור (אותה / ה), נשמור אותו, נשמרהו, נשמרם
reserved, kept	שמור, השמור אצלנו
	תשמור כלל זה ש
	ש.מ.ש.
to use	תשתמש ב
	ש.מ.ש.
to weigh	שוקל
weight	משקלים
	ת.ח.ל.
to begin (with), to start	להתחיל (ב / מ), אתחיל, יתחיל ב, נתחיל (ב / ל / מ), תתחיל ב
beginning	התחלת
at first	תחלה
premise, principle	התחלות, התחלות מ, התחלותיה
wise, sage, wise man	החכמים
with great effort, with great trouble	ובטורח גדול
barely, with great difficulty	בקושי גדול
to comprehend	יקיף ב
useful, beneficial	מועיל (ב), מועילים ב
loss of time, waste of time	ומהפסד הזמן
to desire, to wish	לבו חפץ
arithmetic book	ספר המספר, ספרי המספר
book	ספר, ספרי
booklet	הספר הקצר
section	כלל, כללים, הכלל (ה / ה... מה)
chapter	פרק (ה), פרקים, הפרק ה... ב
column	טור (ה), טורים
row	טור (ה), טורים, שבטור (ה)
answer, solution	תשובה, תשובות
	בקצת שאלות ותשובות מישירות
	בקצת שאלות ותשובות
property	סגלה, סגולה, סגלות, סגולותיהם, סגולותיו, סגולתם
type	מין, מיני (ה)
category, class	מין, מיני (ה), המין (ה / הזה / ש), במין (ה / הזה / זה ש)
	בזה המין (ש)
	מזה המין
	באי זה מין הוא
types of operations	מיני (ה)
type	סוג (ה), הסוגים ה
manner, way	אפני, אופני (ה)
	באופן ש, באופן זה, באופן אחר
	פן (ה), הפן ה, פנים
affair, matter	ענין (ה), ענייני, עניינים
element	עניינים
property, characteristic	הטבע ש
reason	סבה ש, סיבה ש, לסבה ה, לסבות ה
principle	שרש
on basis of	על שרש
form, figure	צורות
illustration	צורה, צורות
	בצורה (זו / הזאת), בזאת הצורה
	(זה / זו / זהו) צורתו, זאת היא צורתו, זו היא צורתו, צורתו היא זאת
	זו היא הצורה ה, זאת הצורה ה
	והנה צורתו, והנה לך צורתו, והנה לך צורה, והנה לך צורתם
	שצורתו זאת, שצורתם היא זאת
	מהצורה
	לצורה זו ש
quantity	הכמה
quantity	כמות (ה), כמותו, בכמות ה, בכמות מן ה
continuous quantity	כמות המתדבק, כמות מתדבק, הכמה מתדבק, הכמה המתדבק
discontinuous quantity	כמות המתחלק, כמות מתחלק, הכמה המתחלק
shared by, common to	משותפות ל
guiding, leading straight	מישרים, מישירות
opinion, assumption	סברת
foundation, element	יסוד
smallness	למעוטו
	מעט
	מעט יותר
smaller than, less than	פחות (מ / מה / ממנו / מן ה), פחותה מ, פחותים מ
smaller number	המספר הפחות
no more and no less	לא פחות ולא יותר, לא פחות ולא יתר
deficit	הפחות
minus	פחות
larger, greater than, more than	יותר (ב / מ / מה)
more than	יותר... משום
excess	היותר
plus	ויותר
minus	בלתי (ה)
plus	עם (ה)
plus	בתוספת
supplement	התוספת מ
excess	התוספת
more	עוד
further, in addition	עוד
another	עוד
as a sign that	לאות ש
	עשרה לאות הסמוכה לה, עשרה עם האות הסמוכה לה
skilled	בקי ב
to know by heart	ידע זה הלוח על פה
table	לוחות
to be identified	יוכרו בטוב
remainder	המותר מה, מותר ה
empty space	מקום פנוי
name, designation	שם (של), שמו, בשם ה, השמות
considered as units	בשם
decimal position	בשם
end, completion	כלות
intention	כונתינו (היה ל)
meaning	כונת (ה)
required	מספר המכוון
related	שיוחסו אליו
with respect to	מיוחס ל
better	יותר טוב
into half	באמצע
side	צד, צדדים, מהצד ש, בצד
to elaborate	הרחבנו בו
rule	הכלל ל, זה הכלל
rubric	בית (ה)
technique	בתחבולה, בזאת התחבולה
the same applies	הוא הדין
liquid measure	משורות
currency	מטבעות
geographical location, place	מקום, המקום ה, המקומות
flour	קמח
bread	לחם
	לבן, לבנים
king	מלך
	ליטרין
	שקל, שקלים
gold bar	חתיכת זהב
profit	ריוח (ה)
loss	הפסד
amount	לכמות ה
amount, total, whole	הכל (ה), כל
goods	סחורה
man	אדם
people	אנשים
thing, x	דבר, דברים
barrel	חבית, חביות
hole	נקב, נקבים
day	היום
time	זמן
as long as	כל זמן ש, בכל זמן ש
times	פעם, פעמים (ב / יותר מה / כמו ה)
as many times as	שכל כך פעמים... כ
essence, element	עצמיות
ground	ארץ
to look	תטה עיניך ב
ray of sight	נצוץ ה
eye	עין, עיניך
stick	יתד
accuracy, exactly	בדקדוק
heavenly	השממיות
to have	יהיו בידינו, יהיה לו, יהיה לנו, יהיו לה, יהיו לנו, יש ל, יש להם, יש לו, יש לנו, שיש להם, שיש בידינו
having	בעל
to be, to result	להיות, היותו, היה (ה), היינו, יהיו (ה / ב / מ / מה), יהיה (ה / זה / ב / בו), תהיה, שיהיה, שתהיה ה
	בהיותך
there is	יש (ב / בו), יש בכאן, שיש (בה / בו)
	אין, אינו (מ), אינם (מה), שאינו, אין בכאן, אין שם, אין שום, אינו כן ב
	אנו, אתה, הנך
	הוא (ה / ש / כש / זה), היא (ה / זאת / ש), הם (ה / אלו)
those	ההם, ההיא
	שהוא (ה), שהיא (ה), שהם (ה)
	הזה, זה (ב / ה / ש / הוא / בש), זהו (ה), הזאת, זאת (ה), זו (ה / היא), אלה (ה), אלו (ה / הם / הן), האלו
	בזה (ה), באלו ה, מאלה, מאלו (ה)
	מזה ה, לזה ה
	כזה
any, all, every	כל (ה / אלו ה / זה), כלם, כולם, כולו, הכל, בכל (ה / ... מהם), שבכל, מכל (ה), כל ... ביחד
each of	כל אחד (מ / מה / מאלו / מהם), כל אחת (מ / מה), כל א' (מה)
	מכל אחד מהן, כל א' וא'
for each	לכל, לכל אחד (מ / מה)
one of	אחד (מ / מה / מהם / מן ה), אחד מאלו ה, אחת (מ / מאלו ה)
what	מה ש, מה שיהיה
what is	מהו
all that	כל מה ש(יהיה / יהיו)
	במה (ש / שהם)
whoever	מי ש, למי ש
whoever	כל מי ש
as someone who	כמי ש
whichever, any	שום
whichever	כל ... שיהיו, כל ... שיהיה
whatever, any of	אי זה (מה / ... ש), אי זה שיהיה, אי זה שיהיו, אי זה שתהיה (מ), אי זה... שיהיה, איזה ... שיהיו, איזה ... שיהיה, אי זה ... שיהיה (מהם)
whatever	מאיזה, מאי זה... שיהיה, מאי זו ... שתהיה, מאיזו ... שיהיו
	באי זה ... ש, באי זה ... שיהיה
whatever	כמו ש
anything	מה שהוא
itself	עצמו, בעצמה, בעצמו, בפני עצמו
same	אותו (ה / ש), אותם (ש / שמ / ה.... ש), באותו (ה), מאותו (ש), מאותם (ש / של), כל אותם שהם
whichever	אי זה
of	של (ה), שלה, שלהם, שלו
of	מן ה
of them	שבהם, שבהן, בהם, מהם ש
right	ימיני, ימנית
left	שמאלי, שמאלית
preceding	קודם לה, הקודמת, הקודמת לה, הקודמת להם
preceding	שעבר, שעברה, העוברות
next, consecutive	הבאה, באות, להבא
succeeding, successive, sequential	נמשך אליו, הנמשך לזה, הנמשכת (אליה / אליהן / אחריה / לה)
near, closest	הסמוכה, הסמוך (אליה / ל)
large, great, large number	גדול, הגדול, המספר הגדול
	יהיה יותר גדול מ
	המספר היותר גדול
	היותר גדולה
	הגדול מאד
small, small number	קטן, הקטן, הקטון, המספר הקטן, המספר הקטון
	היותר קטן
	הקטן ממנו
mean	אמצעי, מספר אמצעי, המספר האמצעי
bottom	תחתון (מה), תחתונה, תחתונות
less than, smaller than	תחת
upper, top	עליון, עליונה, עליונות
other	חברו
others	האחרים
another, other	אחר, אחרת, אחרים, אחרות
the rest	האחרות
last	אחרון, אחרונה, אחרונים, אחרונות, המספרים האחרונים
corresponding, similar	הדומה (לה), הדומים (ל), הדומות (ל)
single	היחידי
special	מיוחדות
new	חדשה
opposite	סותרו
separate from	הוא חוץ ל
preposition
above, on top	למעלה, כמו למעלה
	שלמעלה (מהם / ממנו), של מעלה, אותו שלמעלה, אותה שלמעלה הימינה
	כמו שלמעלה
	מה שלמעלה הימנו, מה שלמעלה מהם
	כל מה שלמעלה
upwards	ומעלה
beneath, underneath	למטה (מהם)
	שלמטה (מה), אותו שלמטה, מה שלמטה, מלמטה
by, times, multiplied by	על
	אל ה, אליה
with	עם, עמה
above	על (ה), שעל (ה), שעליה, שעליהם, שעליהן, שעליו, מה שעל ה
beneath	תחת (ה), תחתי, שתחת (ה), שתחת תחת ה, מה שתחת ה
next to it	שבצד (ה), שבצדה, שבצדו (ה), שבצדם, שמצד (ה)
	מצד, מהצד ה, מצדה, מצדו
	לצד ה
to the right	לצד הימין
to the left	מצד שמאל (אליה)
in the middle of	באמצע
corresponding to	כנגד (ה), שכנגדו, נגדו, הנגדיות
	ממנו
between	בין ... ו; בין ה... וה, בין... ובין
in	בו
after	אחר (ה / ש), לאחר (ש), אחריה
before	קודם ש, יותר קודם ה, שקודם ה
until	עד (ה / ש)
	מ... עד ה
except for	מלבד
as much as	כל מה ש
as, as much as	כמו (ש / ה)
as well as	כמו
such as	כמו
as	כפי (ה / ש / מה ש)
	כמי ש
as, a kind of	מעין ה
in order that	כדי (ל / ש)
according to	לפי (ה)
except	אלא
except for	זולת, זולתם, זולת זה מ
without	בלתי (ה / ש / שום)
	אצל ה, שאצלה
adverb
always	לעולם, וכן לעולם
always	תמיד
every time, whenever	בכל פעם
whenever	בכל עת ש
then	אז
now	עתה
still	עדיין
infinitely	אל לא תכלית, עד בלתי תכלית
then, afterwards	אחר, אחר כך, אח"כ
firstly, first of all	קודם כל דבר
first, firstly	בראשונה, ראשונה, וראשונה
first	קודם
here	בכאן
together	יחד, ביחד, יחד עם
only, alone	לבד, לבדו
only	בלבד
except that, only	אלא ש
a few of	קצת, קצת מ, בקצת (זה)
very	מאד
therefore	לכן
then	אם כן, א"כ
also, moreover	וכמו כן
also	גם, גם כן, ג"כ, כן ג"כ
similarly	וכן
similarly	ובדומה לזה
et cetera	וכו'
similar	בכיוצא לאלו ה
so, thus	כן, כך (ה / הוא), ככה, שכך
as many as	כל כך, כל כך ... ש, בכל כך
how much, how many, by how much	כמה (הוא / הם / היה ה / שהוא / ...יש ב / ...יש לו), בכמה
	כמה יש עד
	כמה יש מ... עד תשלום
thereby	בש
how	איך
where	ששם
there	שם
here	הנה (ש / הוא)
instead	במקום (ה)
anywhere	בכל מקום ש
hence	מכאן
indeed	האמנם
indeed	וכבר
already	כבר
at the end, finally	באחרונה
backward	לאחור
forward	לפנים
by heart	על פה
very well	הרי טוב
meaning, i.e.	כלומר, כלומ'
i.e., that is to say	ר"ל
all the more so	כ"ש
conjunction
because, for	למה ש
because, for	כי
hence	לכן
if	אם
if not	ואם לאו
and so on	וכדומה
moreover	וכן
yet	אבל
but	אבל
but	אלא
since	היות, להיות ה, להיותו
since	אחר ש
because, since	בעבור ש
provided that	בתנאי זה ש, בתנאי ש
whether… or	אם... או, אם ש... או ש
	אם ... אז
	אם... אם לא
	בין ... בין
	בין ש...בין ש, בין ש... או
even if	ואם
when	כש
except for	אלא
although	ואע"פ ש
nothing but, only	אינו אלא, אינם אלא
	אין ... אלא, אינך ... אלא
	אין... שום
	לא... אלא (ה / ל)
	לא... שום
	ואם לא לא
	ואכ"כ
first thing	והראשון ש
	ראשון, ראשונה (מ / מה), ראשונות, ראשונים, מספר ראשון, המספר הראשון
	שני, שנית
	חצי ה, חציים, חציו ה, החצי מ
	שליש, שלשי, שלישי, שלישית, שלשית, שלשיות, שלישיות, שלשיים, שלישי ה
	רבעי, רביעי, רביעית, מספר רביעי, רבעיות, רביעיות, רביע, רובע
	חמישי, חמשי, חמישית, חמשיות, חמישיות, חומש
	ששי, מספר ששי, ששית, ששיות
	שביעי, שביעיות
	שמני, שמיני
	תשיעי, תשיעית, תשיעיות
	עשירי, עשירית, עשיריות
decuple, ten‑fold	עשיריתו
	אליאו גבה בכ"ר אליעזר יצ"ו
son of the honorable Rabbi	בכ"ר
God rest his soul	נ"ע
with God's help	ובעזר השם, ב"ה , בע"ה, בעה"ו
the Spanish	הספרדי
city	ממדינת
kingdom	ממלכות
Alexandria	אלישנדריאה, אלישנדריא', אלכסדריאה
Aragon	ארגון
Bursa	ברוסה
Constantinople	קוסטנטינה, קוסטנדינה, קושטנדינה
Oriola	אוריאולה
Euclid	אקלידס
Archimedes	ארגימידש
al-Fārābī	אלפארבי
	תהלה לאל יתעלה השם
much study is a weariness of the flesh (Ecclesiastes 12, 12)	ולהג הרבה יגיעת בשר
the hand of my God which was good upon me (Nehemiah 2, 18)	יד אלהי הטובה עלי
shook my lap (Nehemiah 5, 13)	נערתי חצני
Be merciful unto me (Psalm 57, 2)	חננני השם
as the shining light, that shineth more and more unto the perfect day (Proverbs 4, 18)	כאור נגה הולך ואור עד נכון

Appendix II: Bibliography

Isaac Ben Moses ‘Eli / ‘Ali
Oriola, Aragon, Spain, 15th century
Meleket ha-Mispar

Manuscripts:

1) Leiden, Bibliotheek der Rijksuniversiteit Cod. Or. 1090/3 (IMHM: f 19382), ff. 25v-49r (16th century)

2) Oxford, Bodleian Library MS Heb. d. 3 (IMHM: f 22729), ff. 21r-44r (Cat. Neub. 2774, 2); (16th century)

3) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 141 (IMHM: f 22111), ff. 17r-36r (Cat. Neub. 1297, 2); (15th century)

4) Oxford, Bodleian Library MS Poc. 187 (IMHM: f 19350), ff. 9r-46v (Cat. Neub. 2060, 1); (1503)

Poc. 187

5) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/4 (IMHM: f 15721), ff. 72r-83v (15th-16th century)

heb. 1029/4

6) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1095/2 (IMHM: f 15045), ff. 7-49 (15th century)

heb. 1095/2

The transcript of the text is based on manuscript Paris 1095.

Bibliography:

• Steinschneider, Moritz. 1893–1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, p. 208 (h74); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.