השאלות החרשות/האלמות

Prologue
In the name of God	בשם השם
Abū Kāmil said: after we have completed inferring the summary of much of them	אמר אבו כאמל אחר שהשלמנו להוציא מה שהיה קצור מהרבה מהם
and commenting on words of the geometricians of our time and the ancients regarding to:	ונעיר על זה המהנדסים אשר בזמננו זה ומאשר חברו לנו דבריהם מהקודמים
the lines that are cutting the pentagon and decagon, each of which is circumscribed by a known circle, or both are circumscribed by a known circle.	מהקוים המחתכים המחומש והמעושר אשר תקיף לכל אחד מהם עגולה ידועה או שתקיף לשניהם עגולה ידועה
extracting the diameter of the circle circumscribing the known pentagon and decagon, or inscribed by known pentagon and decagon.	והוצאת קטר העגולה המקפת במחומש ובמעושר הידועים או כשיקיפו בעגולה מחומש ומעושר ידועים
extracting the measure of one of the parts of the circumference of the known circle [= arc].	והוצאת שעור קו חלק אחד מחלקי מקיף העגולה הידועה
extracting the measure of the sides of the regular pentagon and decagon, when their area is known; and the sides of the triangles whose area is known, when they are in a regular pentagon or a regular decagon.	והוצאת שעור צלעות המחומש והמעושר שוי הצלעות והזויות כאשר היה שעורם ידוע וצלעות המשולשים ידועי השעור כאשר היו במחומש או במעושר שוה הצלעו' והזיות
and more, that we explained in our book.	ויותר מזה שבארנו בספרנו זה
Now, I shall explain many of the indeterminate problems, that were inferred by the arithmeticians, each by itself.	ועתה אבאר הרבה מהשאלות החרשות נ' האלמות שהוציאום החשבנים כל דבר בעצמו
That is to say, they will be solved through many methods, by straight knowledge, in ways that consist of techniques used by the arithmeticians.	רצוני שהוצאתם היה בדרכים רבים וידיעה ישרה ובפנים מורכבים מאופנים נהוגים בין החשבנים
Those techniques were deprived of proofs, that should have been done.	והם אופנים משוללים ממופתים היה ראוי לעשות עליהם
Many of them are derived from proper speculation and good skill.	ומהם אשר הוצאו עם עיון טוב ומלאכה נאותה והרבה מהם
Praised be the Lord, for every praise, for he is informer of every knowledge.	ומשובח יהיה היוצר על כל שבח כי הוא המודיע כל ידיעה
I shall further explain much of what was given by the arithmeticians in their books, which they solved by the techniques of restoration and confrontation [algebra], in order that the reader will understand them properly.	ואבאר עוד הרבה מאשר הניחום החשבנים בספריהם ועשו אותם עם האופנים מאלגבר ואלמוקאבלה בעבור שיבינם הקורא הבנה טובה
Indeterminate Problems
1) When you are told: a square that has a root, if you add five to it, it has a root. How much is the square? $\scriptstyle x^2+5=n^2$	א כאשר יאמרו לך אלגו שמחזיק שרש אם תוסיף עליו חמשה יחזיק שרש כמה הוא האלגו
This is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
It has many solving methods - we will state two of them and how they are executed, so you will understand from them how to apply whichever of them you wish.	ולה דרכים רבים ונאמר אנחנו שנים מהם ואיך ייעשו להיותם מובנים לך לעשות איזה מהם שתרצה
The first method is that you assume that your square is a square that has a root [= perfect square], whose root is a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}=x}}$].	והדרך האחת היא שתניח האלגו שלך אלגו המחזיק שרש ושרשו הוא דבר
Add five to it; it is a square plus five and it should have a root. $\scriptstyle n^2=x^2+5$	ותוסיף עליו חמשה יותר ויהיה אלגו וחמשה יותר וצריך שיחזיק שרש
You already know that its root is greater than a thing, since the root of the square is a thing. $\scriptstyle n=\sqrt{x^2+5}>\sqrt{x^2}=x$	וכבר ידעת כי שרשו יותר מדבר בעבור כי האלגו היה שרשו דבר
Suppose its root is a thing plus a number. $\scriptstyle n=\sqrt{x^2+5}=x+a$	ותשים שרשו דבר ומספר
When this number is multiplied by itself, its square is less than the additional five. $\scriptstyle a^2<5$	יהיה מאותו המספר אלגו כשיוכה בעצמו יהיה פחות מהחמשה הנוספים
We suppose it is a thing plus one dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\sqrt{x^2+5}}}$	ונשימיהו דבר ודרהם אחד
Multiply it by itself; it is a square and one dirham plus two things equal a square and five dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+1\right)^2=x^2+1+2x=x^2+5=\left(\sqrt{x^2+5}\right)^2}}$	ותכה זה בעצמו ויהיה אלגו ודרהם אחד ושני דברים ישוה אלגו וחמשה דרהמי
Subtract the square and one dirham from the square and five dirham; two things remain equal to four dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+5-\left(x^2+1\right)\longrightarrow2x=4}}$	ותגרע אלגו ודרהם אחד מאלגו וחמשה דרהמי וישאר שני דברים ישוו ארבעה דרהמי
The thing is two and it is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}$	והדבר שנים והם שרש האלגו
The square is four dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4}}$	והאלגו ארבעה דרהמי
When you add five to it, it becomes nine dirham and its root is three. $\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+5=9\longrightarrow n=\sqrt{x^2+5}=3}}$	וכשתוסיף עליו חמשה יהיה תשעה דרהמי ושרשו שלשה
If you assume its root is a thing plus two dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{x+2=\sqrt{x^2+5}}}$	ואם תניח שרשו דבר ושני דרהמי
Multiply it by itself; it is a square and four dirham plus four things equal a square and five dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+2\right)^2=x^2+4+4x=x^2+5=\left(\sqrt{x^2+5}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו יהיה אלגו וארבעה דרהמי וארבעה דברים ישוו אלגו וחמשה דרהמי
Subtract the square and four dirham from the square and five dirham; four things remain equal to one dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+5-\left(x^2+4\right)\longrightarrow4x=1}}$	תגרע אלגו וארבעה דרהמי מאלגו וחמשה דרהמי ישאר ארבעה דברים ישוו דרהם אחד
The thing is equal to a quarter of a dirham and it is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{4}}}$	והדבר ישוה רביע דרהם והוא שרש האלגו
The square is half an eighth of a dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}$	והאלגו חצי שמינית מדרהם
When you add five dirham to it, it becomes five plus half an eighth and its root is two dirham and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+5=5+\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\longrightarrow\sqrt{x^2+5}=2+\frac{1}{4}}}$	וכשתוסיף עליו חמשה דרהמי יהיה חמשה וחצי שמינית ושרשו שני דרהמי ורביע
If you wish, suppose the root of the square is a thing plus half a dirham; $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+5}=x+\frac{1}{2}}}$	ואם תרצה תניח שרש האלגו דבר וחצי דרהם
Or a thing plus one dirham and two thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+5}=x+\frac{2}{3}}}$	או דבר ודרהם אחד ושני שלישים
Or any other number you wish, provided that when the number you add to the thing is multiplied by itself, it is less than 5	או איזה מספר שתרצה אחר שיהיה המספר שתוסיף על הדבר כאשר הוכה בעצמו יהיה פחות מחמשה דרהמי
Whatever you ask of this kind is solved by the same procedure.	וכן כל אשר תשאל מזה ייעשה כמעשה הזה
2) When you are told: a square that has a root, if you subtract ten dirham from it, what remains has a root. $\scriptstyle x^2-10=n^2$	ב וכאשר יאמרו לך אלגו המחזיק שורש אם תגרע ממנו עשרה דרהמי יחזיק מה שישאר שרש
This is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
You already know that the root of the square is a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}=x}}$].	וכבר ידעת כי שרש מאלגו דבר
The root of the square minus ten dirham is less than a thing. $\scriptstyle n=\sqrt{x^2-10}>x$	ושרש מאלגו פחות עשרה דרהמי הוא פחות מדבר
Suppose it is a thing minus one dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-10}=x-1}}$	ותניחהו דבר פחות דרהם אחד
Or minus two dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-10}=x-2}}$	או פחות שני דרהמי
Or minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-10}=x-x^2}}$[?]	או פחות אלגו
Add either a number and fractions, or fractions.	תוסיף מהמספר והשברים או מהשברים
We suppose it is a thing minus one dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x-1=\sqrt{x^2-10}}}$	ונניחהו דבר פחות דרהם אחד
Multiply it by itself; it is a square and one dirham minus two things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-1\right)^2=x^2+1-2x}}$	ותכה אותו בעצמו ויהיה אלגו ודרהם אחד פחות שני דברים
So, it is a square and 11 dirham minus two things equal a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+11-2x=x^2}}$	ויהיה אלגו וי"א דרהמי פחות שני דברים ישוה אלגו
Restore the two things and add them to the square, then subtract a square from a square; 11 dirham remain equal to two things. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x^2+11-2x+2x=x^2-x^2+2x\longrightarrow11=2x}}$	איאימיינטה השני דברים ותוסיפם על האלגו ותגרע אלגו מאלגו וישאר י"א דרהמי ישוו שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{1}{2}}}$	והדבר חמשה וחצי והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=30+\frac{1}{4}}}$	והאלגו שלשים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-10=20+\frac{1}{4}}}$	וכאשר תגרע מהם עשרה דרהמי ישאר עשרים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-10}=4+\frac{1}{2}}}$	ושרשו ארבעה וחצי
Defining the root of the square minus ten dirham as a thing minus two dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{x-2=\sqrt{x^2-10}}}$	ואם תניח שרש האלגו שלך פחות עשרה דרהמי דבר פחות שני דרהמי
Confrontation:
Multiply it by itself and confront it with $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-2\right)^2=x^2-10}}$	ותכה אותו בעצמו ותכונהו עם המחובר מהכאת אלגו פחות עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=3+\frac{1}{2}}}$	יהיה שרש האלגו שלשה וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=12+\frac{1}{4}}}$	והאלגו י"ב ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-10=2+\frac{1}{4}}}$	ואם תגרע מהם עשרה ישאר שנים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-10}=1+\frac{1}{2}}}$	ושרשו אחד וחצי
If you define the number that is subtracted from the thing as such that when multiplied by itself is greater than the dirham that are subtracted from one square: $\scriptstyle a^2>b$	ואם תניח המספר הנמשך לדבר כאשר תכה אותו בעצמו יתקבץ יותר מהדרהמי הנמשכים אל האלגו אחד
Then: $\scriptstyle\sqrt{x^2-b}=a-x$	תדע כי שרש האלגו פחות אותו המספר יהיה אז אותו המספר מהדבר פחות אותו הדבר
Since: $\scriptstyle\sqrt{x^2-10}=a-x$	בעבור כי שרש האלגו פחות עשרה יהיה אותו המספר הנמשך לדבר פחות דבר
And also $\scriptstyle\left(a-x\right)^2=\left(x-a\right)^2$	וכן הכאת המספר מהדבר פחות מהמספר בעצמו כמו הכאת הדבר פחות אותו המספר בעצמו
3) $\scriptstyle x^2+3x=n^2$	ג ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שרשו שלשה פעמים יחזיק שרש כמה יהיה האלגו
This is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
Defining the root of the square plus three things as a thing plus one dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+3x}=x+1}}$	תניח שרש האלגו ושלשה דברים דבר ודרהם אחד
Or as a thing plus half the dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+3x}=x+\frac{1}{2}}}$	או דבר וחצי דרהם
Or as a thing plus one dirham[?]: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+3x}=x+1}}$[?]	או דבר ואדרהם אחד על האלגו והוא בזאת השאלה שלשה דברים
Defining it as a thing plus one dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\sqrt{x^2+3x}}}$	ונניחהו דבר ודרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+1\right)^2=\left(\sqrt{x^2+3x}\right)^2}}$	ותכה אותו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1+2x=x^2+3x}}$	יהיה אלגו ודרהם אחד ושני דברים ישוה אלגו ושלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x-\left(x^2+2x\right)}}$	ותגרע אלגו ושני דברים מאלגו ושלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=1}}$	ישאר דבר אחד ישוה דרהם אחד והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=1}}$	והאלגו דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+3x=4}}$	ואם תוסיף עליו שלשה פעמי' שרשו יהיה ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2+3x}=2}}$	ושרשו שנים
4) $\scriptstyle x^2-6x=n^2$	ד ואם יאמרו לך אלגו מחזיק שרש כאשר גרענו ממנו שרשו ששה פעמים יחזיק שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
Defining the square as a [perfect] square: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתה הוא שנניח האלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-6x}}$	ונגרע ממנו שרשו ששה פעמים וישאר אלגו פחות ששה שרשיו
$\scriptstyle n=\sqrt{x^2-6x}>x$	ושרשו פחות מהדבר
Defining it as a thing minus four dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2+5}=x-4}}$	אם כן תניחהו דבר פחות ארבעה דרהמי
Or minus five [dirham]: $\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2+5}=x-5}}$	או פחות חמשה
Or minus three and a half [dirham]: $\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2+5}=x-\left(3+\frac{1}{2}\right)}}$	או פחות שלשה וחצי
Or any number greater than half the six roots $\scriptstyle n=\sqrt{x^2+5}=x-a$ such that $\scriptstyle a>\frac{1}{2}\sdot6$	או פחות מהמספר שתרצה אחר שיהיה יותר מהחצי מהששה דברים הנמשכים אל האלגו
Defining it as a thing minus four dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{x-4=\sqrt{x^2-6x}}}$	ונניחיהו דבר פחות ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-4\right)^2=\left(\sqrt{x^2-6x}\right)^2}}$	ונכה אותם בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+16-8x=x^2-6x}}$	ויהיה אלגו וי"ו דרהמי פחות שמנה דברי' ישוה אלגו פחות ששה דברים
Confrontation:
$\scriptstyle{\color{blue}{x=8}}$	ותנכחהו עמו ויהיה הדבר שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=64}}$	והאלגו הוא ששים וארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-6x=64-48=16}}$	תגרע מהם שרשו ששה פעמים והוא מ"ח ישארו י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-6x}=4}}$	ושרשו ארבעה
5) $\scriptstyle x^2+10x+20=n^2$	ה ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו עשרה פעמים שרשו ועשרה דרהמי יחזיק שרש
This is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
Defining the square as [a perfect] square: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתה שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+10x+20}}$	ותוסיף עליו שרשו עשרה פעמי' ועשרי' דרהמי אחד
The root of it is a thing plus a number $\scriptstyle n=\sqrt{x^2+10x+20}=x+a$	יהיה שרש זה דבר ומספר
Such that for $\scriptstyle\left(x+a\right)^2$ it is impossible that the product by $\scriptstyle x$ will be less or more than 10 and it is impossible that $\scriptstyle a^2$ will be less or more than 20	שכאשר הוכה בעצמו יהיה המתקבץ מן ההכאה בדברי' פחות מהעשרה ובדרהמי יהיה יותר מהעשרים דרהמי ולא יעבור שיהיה פחות משניהם רצוני מהעשרה ומהעשרים ולא יותר משניהם
Confrontation:
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x+20=\left(x+a\right)^2}}$	בעבור כי כאשר תכונוהו עם מה שיתקבץ מההכאה האלגו והעשרה דברים והעשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x+1=x}}$[?]	ישאר דבר ודרהמי אחד ישוה הדבר
Defining it as a thing plus four and a half dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{x-\left(4+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{x^2+10x+20}}}$	אחר תניחהו דבר וארבעה דרהמי וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[x+\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]^2=\left(\sqrt{x^2+10x+20}\right)^2}}$	ותכה זה בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x+\left(20+\frac{1}{4}\right)=x^2+10x+20}}$	ויהיה אלגו ותשעה דברים ועשרים דרהמי ורביע ישוה אלגו ועשרה דברים ועשרים דרהמי
Confrontation:
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{4}}}$	ותכונם עמו ויהיה הדבר הוא רביע דרהם והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}$	והאלגו חצי שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+10x+20=22+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	ואם תוסיף עליו שרשו עשרה פעמים ועשרים דרהמי יהיה עשרים ושנים וחצי וחצי שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2+10x+20}=4+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}}$	ושרש זה ארבעה דרהמי וחצי ורביע
6) $\scriptstyle x^2-8x-30=n^2$	ו ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תגרע ממנו שרשו שמנה פעמי' ושלשים דרהמי יחזיק מה שישאר שרש
This is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
Defining the square as a [perfect] square: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתה שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-8x-30}}$	תגרע ממנו שרשו שמנה פעמים ושלשים דרהמי וישאר אלגו פחות שמנה דברים ופחות שלשים דרהמי
It root is less than a thing $\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-8x-30}<x}}$	ושרשו פחות מדבר
Defining it as a thing minus five dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-8x-30}=x-5}}$	וננחיהו דבר פחות חמשה דרהמי
Or minus six $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-8x-30}=x-6}}$	או פחות ששה
Or $\scriptstyle\sqrt{x^2-8x-30}=x-a$ for any number greater than half the eight roots of the square: $\scriptstyle{\color{blue}{a>\frac{1}{2}\sdot8}}$	או פחות מהמספר שתרצה שיהיה יותר מחצי השמנה דברים הנשנים באלגו
$\scriptstyle\sqrt{x^2-8x-30}=a-x$ for any number greater than half the eight roots of the square: $\scriptstyle{\color{blue}{a>\frac{1}{2}\sdot8}}$	ואם תרצה תניח שרשו מספר פחות דבר ויהיה המספר יותר מחצי הדברים הנשנים באלגו
Defining it as a thing minus five dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{x-5=\sqrt{x^2-8x-30}}}$	ונניחהו דבר פחות חמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-5\right)^2=\left(\sqrt{x^2-8x-30}\right)^2}}$	ותכה אותו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+25-10x=x^2-8x-30}}$	ויהיה אלגו וכ"ה דרהמיש פחות עשרה דברים ישוה אלגו פחות שמנה דברים ושְלֹשִים דרהמי
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=2{\color{red}{7}}+\frac{1}{2}}}$	ותכונהו עמו ויהיה הדבר ישוה כ"ו וחצי והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=756+\frac{1}{4}}}$	והאלגו תשנ"ו דרהמי ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-8x-30=506+\frac{1}{4}}}$	ותסיר ממנו שרשו שמנה פעמי' ושלשים דרהמי וישאר תק"ו ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-8x-30}=2{\color{red}{2}}+\frac{1}{4}}}$	ושרשו כ"ו וחצי
7) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+x=n^2\\\scriptstyle x^2+2x=m^2\end{cases}$	ז ואם יאמרו לך אלגו שיחזיק שרש אם תוסיף עליו שרשו יחזיק שרש ואם תוסיף עליו אלגו שני שרשיו יחזיק שרש
This is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
The solving procedure:	ותעשה אותה כמעשה
Seeking a number that has a root $\scriptstyle{\color{blue}{a^2}}$, such that: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2+2b=m^2\end{cases}}}$	שתחפש מספר שיחזיק שרש ואם תוסיף עליו מספר אחר יחזיק שרש ואם תוסיף עליו שני שרשיו יחזיק שרש
Then: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}}}$	וכאשר מצאת אותו המספר תחלקהו על המספר הנוסף והעולה יהיה שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=1\\\scriptstyle b=24\\\scriptstyle 2b=48\end{cases}}}$	והמספר המחזיק שרש אחד והמספר הנוסף כ"ד ומ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{1+48=49=7^2}}$	וכבר ידעת כי בהוסיפך על אחד מ"ח יהיה מ"ט ושרשו שבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+24=25=5^2}}$	ואם תוסיף כ"ד על האחד יהיה כ"ה ושרשו חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}=\frac{1}{24}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}}}$	ואם בקשת לדעת כמה היה האלגו תחלק האחד על כ"ד ויעלה שלישית משמינית והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{576}}}$	והאלגו חלק אחד מתקע"ו חלקים באחד
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+x=\frac{1}{576}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)=\left(\frac{5}{24}\right)^2}}$	ואם תוסיף עליו שרשו והוא שלישית משמינית וחלק אחד מתקע"ו יחזיק שרש ושרשו חמשה חלקים מכ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{m^2=x^2+2x=\frac{1}{576}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)=\left(\frac{7}{24}\right)^2}}$	ואם תוסיף באלגו שני שרשיו והוא חצי ששית וחלק אחד מתקע"ו ומחזיק שרש ושרשו שבעה חלקים מכ"ד
[?]	והאלגו ששית משמינית
Defining: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=49\\\scriptstyle b=120\\\scriptstyle 2b=240\end{cases}}}$	ואם תרצה תניח המספר המושג או המחופש שמחזיק שרש מ"ט והחלק הנוסף ק"כ ור"מ
$\scriptstyle{\color{blue}{49+120=169=13^2}}$	ואתה יודע כי כשתוסיף על מ"ט ק"כ יהיה קס"ט ושרשו י"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{49+240=289=17^2}}$	ואם תוסיף עליו ר"מ יהיה רפ"ט ושרשו י"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}=\frac{49}{120}=\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	וכאשר תרצה לדעת שעור האלגו תחלק מ"ט על ק"כ ויעלה לחלק חומש אחד ושמינית אחד וחצי ששית והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{2401}{14400}}}$	והאלגו אלפיים ות"א חלקים מי"ד אלפים ות' באחד
	ואם תוסיף עליו שרשו והוא חמשת אלפים ותת"פ מי"ד אלפים ות' יהיה שמנת אלפים ורפ"א מי"ד אלפים ות' ויחזיק שרש ושרשו צ"א חלקים מק"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+x=\frac{2401}{14400}+\left[\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=\frac{2401}{14400}+\frac{5880}{14400}=\frac{8281}{14400}=\left(\frac{91}{120}\right)^2}}$
	ואם תוסיף על האלגו שני שרשיו והוא י"א אלפים ותש"ס מי"ד אלפים ות' יהיה י"ד אלפים ות' ויחזיק שרש ושרשו קי"ט מק"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{m^2=x^2+2x=\frac{2401}{14400}+2\sdot\left[\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=\frac{2401}{14400}+\frac{11760}{14400}=\frac{14161}{14400}=\left(\frac{119}{120}\right)^2}}$
8) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+x=n^2\\\scriptstyle x^2+3x=m^2\end{cases}$	ח וכן אם יאמרו לך אלגו אם תוסיף עליו שרשו יחזיק שרש ואם תוסיף עליו שלשה שרשיו יחזיק שרש
[?]	ואם תוסיף עליו שלשה פעמים שעור האלגו יחזיק שרש ואמרנו זה בעבור כי משולש השרשים הוא משלשה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=1\\\scriptstyle b=8\\\scriptstyle 3b=24\end{cases}}}$	והמספר הנשאל אשר מחזיק שרש אחד והמספר הנוסף עליו שמנה וכ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}=\frac{1}{8}}}$	ותחלק האחד על שמנה יעלה שמינית אחד והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}}}$	והאלגו שמינית השמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x=\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{8}=\left(\frac{3}{8}\right)^2}}$	ואם תוסיף עליו שרשו והוא שמינית יהיה שמינית ושמינית השמינית ויחזיק שרש ושרשו שלשה שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x=\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(3\sdot\frac{1}{8}\right)=\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)+\frac{3}{8}=\left(\frac{5}{8}\right)^2}}$	ואם תוסיף עליו שלשה שרשים והוא שלשה שמיניות יהיה שלשה שמיניות ושמינית השמינית ויחזיק שרש ושרשו חמשה שמיניות
Defining: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=169\\\scriptstyle b=120\\\scriptstyle 3b=360\end{cases}}}$	ואם תרצה תניח המספר המחזיק שרש קס"ט והמספר הנוסף עליו ק"כ וש"ס
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+b=169+120=289=17^2}}$	וזה כי כשתוסיף על קס"ט ק"כ יהיה רפ"ט ומחזיק שרשו ושרשו הוא שבעה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+3b=169+360=529=23^2}}$	ואם תוסיף עליו ש"ס יהיה תקכ"ט ומחזיק שרש ושרשו שלשה ועשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}=\frac{169}{120}=1+\frac{49}{120}}}$	ואם רצונך לדעת שעור המרובע תחלק קס"ט על ק"כ ויעלה אחד ומ"ט חלקים מק"כ והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=1+\frac{14161}{14400}}}$	והמרובע יהיה אחד שלם וי"ד אלפים וקס"א חלקי' מי"ד אלפים ות' באחד
	ואם תוסיף עליו שרשו יעלה שלשה שלמים ותרע"ו אלפים ותתק"כ חלקים מאלף אלפים ותשכ"ח אלפים באחד ומחזיק שרש ושרשו הוא אחד וק"א חלקי' מק"כ באחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x=\left(1+\frac{14161}{14400}\right)+\left(1+\frac{49}{120}\right)=3+\frac{676920}{1728000}=\left(1+\frac{101}{120}\right)^2}}$
	ואם תוסיף עליו שלשת שרשיו והם ארבעה דרהמי ועשרים ושבעה חלקים מק"כ באחד יהיה ששה דרהמי ושלשת אלפי' חלקי' מי"ד אלפים ות' ומחזיק שרש ושרשו אחד ונ"ט מק"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x=\left(1+\frac{14161}{14400}\right)+3\sdot\left(1+\frac{49}{120}\right)=\left(1+\frac{14161}{14400}\right)+\left(4+\frac{27}{120}\right)=6+\frac{300{\color{red}{1}}}{14400}=\left({\color{red}{2}}+\frac{59}{120}\right)^2}}$
There are many ways to solve this problem and its similar	ולזאת השאלה ולדומים אליה דרכים רבים
Explanation: the reason for the extraction of these numbers	ועתה אבאר לך הסבה בהוצאת אלו המספרים
For testing all these solutions.	למען תהיה לך למאזנים לכל אלו האופנים
Know that for any square that has a root, if you add to it its two roots plus one dirham, [the sum] has a root and its root is as the root of the original square plus one. $\scriptstyle x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2$	דע כי כל מרובע המחזיק שרש אם תקבץ עמו שני שרשיו ואדרהם אחד יחזיק שרש ושרשו הוא כמו שרש המרובע הראשון עם תוספת אחד
And when you wish to find a number that has a root, such that when you add to it another number, [their sum] has a root, and when you add to it twice the number that you added at the first time, or thrice, or four times, or as many times as you wish, the sum has a root: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2+2b=m^2\end{cases}$ $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2+3b=m^2\end{cases}$ $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2+4b=m^2\end{cases}$	וכאשר תבקש למצוא מספר מהמספרים שיחזיק שרש וכאשר תוסיף עליו מספר מה אחר יחזיק שרש וכאשר תוסיף עליו שני פעמים המספר שהוספת בראשונה או שלשה פעמים או ארבעה פעמים או כמה שתרצה מהפעמים יהיה לאשר יתקבץ מהם שרש
Define the square as a [perfect] square: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	תניח המרובע שלך מרובע
$\scriptstyle x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2$	ותקבץ עמו שנים משרשיו ואדרהם אחד ויהיה העולה יחזיק שרש ושרשו הוא דבר ואדרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2\sdot\left(2x+1\right)=x^2+4x+2}}$	ואם תרצה להוסיף על המרובע כשעור המספר הראשון תקבץ עמו ארבעה שרשים ושנים דרהמי ואם תרצה שלשה פעמים או ארבעה תקח כפי זה
[Defining: $\scriptstyle{\color{red}{\left(x+1+\frac{1}{2}\right)^2}}=x^2+4x+2$]	ואם לקחת כשעור המספר יהיה מרובע וארבעה שרשים ושנים דרהמי ותכונהו עמהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{4}}}$	ויהיה דבר ישוה רביעית אדרהם והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}$	והמרובע הוא חצי שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+1=1+\frac{1}{2}}}$	ונהיה כאלו הנחנו המספר הנוסף עליו שני דברים ודרהם אחד ויהיה אדרהם אחד וחצי בעבור כי הדבר הוא רביע דרהם
[Defining]: one dirham = 16	והדרהם ששה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=16\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=24}}$	ויהיה מפני זה האדרהם וחצי עשרים וארבעה חלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{1+24=n^2}}$	והוא המספר שכאשר תוסיף אותו על האחד יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{1+\left(2\sdot24\right)=1+48=m^2}}$	ואם תוסיפהו שני פעמים והוא מ"ח יחזיק גם כן שרש ותשוה אחר זה כאשר בארתי לך
Another method	ואם תרצה תעשה לזאת השאלה דרך אחרת
Defining: $\scriptstyle{\color{blue}{x+1+\frac{2}{3}=\sqrt{x^2+4x+2}}}$	תניח שרש המרובע והארבעה דברים ושני דרהמי דבר ודרהם אחד ושני שלישי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x+2=\left(x+1+\frac{2}{3}\right)^2}}$	ותכה זה השרש בעצמו
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x+2=x^2+\left(3+\frac{1}{3}\right)x+\left(2+\frac{7}{9}\right)}}$	ויהיה מרובע ושני דרהמי ושבע תשיעיות מדרהם ושלשה דברים ושליש דבר ישוו מרובע וארבעה דברים ושני דרהמי ותכונם יחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{6}}}$	ויהיה הדבר דרהם אחד ושתות והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{49}{36}}}$	והמרובע יהיה מ"ט חלקים מל"ו חלקים באדרהם והוא החלק הנשאל שיחזיק שרש
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle49+a=n^2\\\scriptstyle49+2a=m^2\end{cases}$	ואם רצית לדעת המספר שכאשר תוסיפהו על מ"ט יחזיק שרש ואם תוסיפהו עליו שני פעמים יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{a=2x+1=2\sdot\left(1+\frac{1}{6}\right)+1=3+\frac{1}{3}}}$ Defining: one dirham = 36	הנה ידעת שהנחת המספר הראשון הנוסף שני שרשים ודרהם אחד וכבר בארנו שהשרש הוא דרהם אחד ושתות והאדרהם ל"ו חלקים ויהיו שני השרשים ואדרהם שלשה ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{a=36\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)=120}}$	ותכה שלשה ושליש בל"ו ויהיה ק"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{49+120=n^2}}$	והוא המספר שכאשר תוסיפהו על מ"ט יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{49+\left(2\sdot120\right)=49+240=m^2}}$	ואם תוסיף על מ"ט שני פעמים ק"כ והוא ר"מ יחזיק שרש ותעשה כאשר בארתי
9) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2-2x=n^2\\\scriptstyle x^2-3x=m^2\end{cases}$	ט וכן אם יאמרו לך מרובע המחזיק שרש אם תגרע ממנו שני שרשים יחזיק הנשאר שרש ואם תגרע מהמרובע שלשה שרשים יחזיק הנשאר שרש
this is an indeterminate problem	וזאת השאלה חרשת
the solving procedure:	ותעשה אותה כמעשה הזה
seeking a number $\scriptstyle{\color{blue}{a^2}}$, such that: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2-b=n^2\\\scriptstyle a^2-\left(b+\frac{1}{2}b\right)=m^2\end{cases}$	שתבקש מספר שיחזיק שרש וכאשר תגרע ממנו מספר אחר יהיה הנשאר יחזיק שרש ואם תגרע ממנו אותו המספר וכמו חציו יהיה הנשאר יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{3x=2x+\left(\frac{1}{2}\sdot2x\right)}}$	בעבור כי שלשת השרשים כמו שני המספרים וחצי יותר
then: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{\frac{1}{2}b}}}$	וכאשר תמצא אותו המספר תחלקהו על חצי המספר הנגרע והעולה לחלק יהיה שרש המרובע
dividing by half the subtracted number, since the subtracted number represents the two roots of the square, and its half represents the root of the square	וחלקת על חצי המספר הנגרע בעבור כי המספר הנגרע עלה במחשבת המספרים כפי שני שרשי המרובע והחצי עלה כפי שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=25\\\scriptstyle b=2x=16\\\scriptstyle\frac{1}{2}b=x=8\\\scriptstyle3x=24\end{cases}}}$	והמספר הנגרע שיחזיק שרש כ"ה והמספר הנגרע ממנו הוא י"ו והוא צמח ועלה משני שרשים כל שרש שמנה והמספר האחר שהוא שלשה שרשים כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{25-16=9=3^2}}$	כאשר תגרע מכ"ה י"ו ישאר תשעה ומחזיק שרש והוא שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{25-24=1=1^2}}$	וכאשר תגרע מהם כ"ד ישאר אחד ושרשו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{25}{8}=3+\frac{1}{8}}}$	וכאשר תרצה לדעת שעור המרובע תחלק כ"ה על שמנה ויעלה לחלק שלשה ושמינית והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9+\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	והמרובע תשעה וששה שמיניות ושמינית השמינית
	ותגרע ממנו שני שרשיו והוא ששה ורביע וישאר שלשה וחצי ושמינית השמינית ומחזיק שרש והוא אחד ושבעה שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-2x=\left[9+\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\left(6+\frac{1}{4}\right)=3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)=\left(1+\frac{7}{8}\right)^2}}$
	ותגרע מהמרובע שלשת שרשיו שהם תשעה ושלשה שמיניות ישאר שלשה שמיניו' ושמינית השמינית ויחזיק שרש והוא חמשה שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-3x=\left[9+\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\left(9+\frac{3}{8}\right)=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)=\left(\frac{5}{8}\right)^2}}$
The extraction of these numbers is already obvious from what was shown,	והוצאת המספרים האלה כבר תהיה נגלית מאשר הראינו לך
but, it will be further taught in order that it will be memorized properly.	אבל אשכילך עוד עליהם למען יכנס הדבר בלבך היטב
Know that for any number that has a root, if you subtract from it its two roots minus one dirham, the remainder has a root and its root is as the root of the original square minus one dirham.$\scriptstyle n^2-\left(2n-1\right)=\left(n-1\right)^2$	דע כי כל מספר המחזיק שרש כאשר תגרע ממנו שני שרשיו פחות דרהם אחד יהיה לנשאר שרש ושרשו יהיה כמו שרש המרובע פחות דרהם אחד
And when you wish to find a number that has a root, such that when you subtract from it another number, the remainder has a root, and if you subtract from it again the other number and its half, the remainder has a root: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2-b=n^2\\\scriptstyle a^2-\left(1+\frac{1}{2}\right)b=m^2\end{cases}$	וכאשר תרצה למצוא מספר המחזיק שרש שכאשר תגרע ממנו מספר אחר יהיה לנשאר שרש ואם תגרע עוד ממנו כמו המספר האחר וכמו חציו יהיה לנשאר שרש
Define the square as a [perfect] square: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	תניח המרובע שלך מרובע
$\scriptstyle x^2-\left(2x-1\right)=x^2+1-2x=\left(x-1\right)^2$	ותגרע ממנו שני שרשיו פחות דרהם אחד וישאר מרובע ודרהם אחד פחות שני שרשים ושרשו הוא דבר פחות דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(2x-1\right)=x^2+\left(1+\frac{1}{2}\right)-3x}}$	ותגרע מזה המרובע שני שרשיו פחות דרהם אחד ועוד כמו חציו וישאר מרובע ודרהם וחצי פחות שלשה דברים
[Defining: $\scriptstyle{\color{red}{\left(3-x\right)^2}}=x^2+\left(1+\frac{1}{2}\right)-3x$]
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\frac{1}{2}}}$	ותכוין עמהם כמו שבארתי לך ויהיה הדבר שני דרהמי וחצי והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}}}$	והמרובע ששה ורביע והוא כ"ה חלקים מארבעה בדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{2x-1=4}}$	ונניח המספר הנגרע ממנו שני שרשים פחות דרהם אחד והוא ארבעה דרהמי
[Defining]: one dirham = 4	וכל דרהם ארבעה חלקי'
$\scriptstyle{\color{blue}{b=4\sdot4=16}}$	ויהיו שש עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=25\\\scriptstyle b=16\\\scriptstyle\left(1+\frac{1}{2}\right)b=24\\\scriptstyle3x=24\end{cases}}}$	והנה יהיה המספר המבוקש אשר יחזיק שרש כ"ה והמספר הנגרע ממנו י"ו והמספר השני הנגרע כ"ד
proceeding as shown for the rest of the problem	ותעשה מהנשאר בשאלה כאשר הראיתיך
This problem and similar can be solved by other methods, as one wishes.	והנה תוכל לעשות לזאת השאלה ולדומים אליה דרכים אחרים כרצונך כאשר בארתי לך
10) $\scriptstyle x-x^2=n^2$	י ואם יאמרו לך מרובע המחזיק שרש אם תגרעהו מן שרשו יהיה לנשאר שרש
This is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
Defining the square as a [perfect] square: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ונניח המרובע מרובע
$\scriptstyle n^2=x-x^2$ should have a root	ונגרעהו משרשו והוא דבר וישאר דבר פחות מרובע וצריך שיחזיק שרש
Its root can be $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ or more or less	תניח שרשו איזה שתרצה מהדברים אם תרצה יהיה דבר או אם תרצה יהיה יותר או אם תרצה יהיה פחות
Defining it as a thing: $\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x-x^2}=x}}$	ותנחיהו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(\sqrt{x-x^2}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=x-x^2}}$	ויהיה מרובע ישוה דבר פחות מרובע
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{2}}}$	ותכוין עמו כאשר אמרתי ויהיה הדבר ישוה חצי דרהם והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{4}}}$	והמרובע רביעי דרהם
Defining its root as two things: $\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x-x^2}=2x}}$	ואם נניח שרשו שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{5}}}$	יעלה הדבר ישוה חמישית דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	והמרובע חמישית מחמישית דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x-x^2=\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}=\left(\frac{2}{5}\right)^2}}$	ותגרעהו משרשו והוא חמישית דרהם וישאר ארבעה חֳמשים מחמישית דרהם ויחזיק שרש והוא שני חומשים מחמישית דרהם
11) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x+x^2=n^2\\\scriptstyle x-x^2=m^2\end{cases}$	יא ואם יאמרו לך מרובע המחזיק שרש אם תוסיף עליו שרשו יחזיק שרש ואם תגרע המרובע משרשו יהיה לנשאר שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
the solving procedure:	ותעשה אותה כמעשה
seeking a number $\scriptstyle{\color{blue}{a^2}}$, such that: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle b-a^2=m^2\end{cases}$	שתבקש מספר שיחזיק שרש ואם תקבץ עמו מספר אחר יחזיק שרש ואם תגרע המספר הראשון המחזיק שרש מהמספר האחר הנוסף יחזיק הנשאר שרש
then: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}}}$	וכאשר תמצא זה המספר תחלקהו על המספר הנוסף והעולה לחלק יהיה שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=4\\\scriptstyle b=5\end{cases}}}$	והמספר המחזיק שרש ארבעה והמספר הנוסף חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{4+5=9=3^2}}$	וכאשר תוסיף על ארבעה חמשה יהיה תשעה ומחזיק שרש ושרשו שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{5-4=1=1^2}}$	וכאשר תגרע הארבעה מהחמשה ישאר אחד ומחזיק שרש והוא אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{5}}}$	וכאשר תרצה לדעת שעור המרובע תחלק ארבעה על חמשה ויעלה לחלק ארבעה חומשים והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	והמרובע יהיה שלשה חומשים וחמישית מחמישית
The procedure of extracting these numbers was explained here.	ובארתי לך הנה המלאכה להוציא אלו המספרים
As explained hitherto:	וכבר בארתי במה שעבר עד הנה
Defining the square as having a root [= perfect square]: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	שאם נניח מרובע שיחזיק שרש
$\scriptstyle n^2=2x+1-x^2$	ואם תגרעהו משני שרשיו ואדרהם אחד ישאר שני שרשים ואדרהם אחד פחות מרובע
Defining its root as a thing minus one dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{2x+1-x^2}=x-1}}$	אחר זה נניח שרשו דבר פחות דרהם אחד
the reason why $\scriptstyle{\color{blue}{x-1}}$ was chosen - in order that squares equal roots will remain after equalizing.	ושניתי האדרהם בדבר בעבור שיעלה בהכאה דרהם אחד וכאשר תכוין עמו ישאר מרובע ישוה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-1\right)^2=\left(\sqrt{2x+1-x^2}\right)^2}}$	אחר זה תכה דבר פחות דרהם אחד בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1-2x=2x+1-x^2}}$	ויהיה מרובע ואדרהם אחד פחות שני דברים ישוה שני דברים ואדרהם אחד פחות מרובע
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=2x}}$	ותכוין עמו ויהיה מרובע ישוה שני דברי'
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}$	והדבר שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4}}$	והמרובע ארבעה והוא המספר המחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+1=4+1=5}}$	והמספר האחר הוא ארבעה ואדרהם אחד והוא חמשה
Defining the root as half a thing plus one dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{2x+1-x^2}=\frac{1}{2}x+1}}$	ואם נניח שרש המרובע חצי דבר ואדרהם אחד
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2=\left(\sqrt{2x+1-x^2}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו ותכונהו עם העולה מהכאת שני דברי' ודרהם אחד פחות מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{16}{{\color{red}{25}}}}}$	יעלה המספר המחזיק שרש ששה עשר
[?]	והמספר האחר חמשה ושני דברים ויהיה שרש המרובע ששה עשר חלקים מס"ה חלקים באחד
Similar cases should be solved by this procedure, or by any chosen method	וכל מה שיפול בידך מזה האופן תעשהו במעשה הזה ותקח הדרך אשר תבחר
Another method	ועתה אבאר לך זאת השאלה בהבנת דרך אחרת
Know that for every number that is divided into two parts, each of which has a root $\scriptstyle a^2+b^2=n$, and into two other parts that have no root:	דע כי כל מספר שיחלק לשני חלקים באופן שיהיה לכל חלק שרש ולשני חלקים אחרים שלא יהיה להם אטימו
It will be explained now:	ועתה אבאר לך זה למען תבינהו
12) $\scriptstyle a^2+b^2=5$	יב אם יאמרו לך חמשה דרהמי תחלקם לשני חלקים ולכל חלק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1^2=1\\\scriptstyle b_1^2=4\end{cases}}}$	וכבר ידעת שאחד החלקים הוא אחד והאחר ארבעה
Dividing the number into two other numbers that have roots:	וכאשר תרצה לחלקם לשני חלקים אחרים בלעדי אלו החלקים באופן שיהיה לכל חלק שרש
$\scriptstyle a_2^2=\left(a_1+x\right)^2$	תקח שרש החלק האחד ותוסיף עליו דבר ותכהו בעצמו והיוצא יהיה החלק האחד
$\scriptstyle b_2^2=5-a_2$	ותגרעהו מחמשה וישאר החלק האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1^2=1}}$	ולקחנו החלק האחד והוא אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1}}$	ושרשו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2^2=\left(1+x\right)^2=x^2+1+2x}}$	הוספנו עליו דבר ויהיה אחד ודבר אחד הכינו אותו בעצמו והיה מרובע ודרהם אחד ושני דברים והוא החלק האחד משני החלקים המבוקשים
$\scriptstyle{\color{blue}{b_2^2=5-\left(x^2+1+2x\right)=4-x^2-2x}}$ should have a root	ותגרעהו מן החמשה וישאר ארבעה פחות מרובע ופחות שני דברים והוא החלק האחר וצריך שיחזיק שרש
the root should be less than 2	וכבר ידענו ששרשו פחות משני דרהמי
Defining it as two things minus [one and a third of a dirham]: $\scriptstyle b_2=\sqrt{4-x^2-2x}=2-\left(1+\frac{{\color{red}{1}}}{3}\right)x$	ונניחיהו שני דברי' פחות דבר ושני שלישי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[2-\left(1+\frac{1}{3}\right)x\right]^2=\left(\sqrt{4-x^2-2x}\right)^2}}$	והכינום בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{4+\left(1+\frac{7}{9}\right)x^2-\left(5+\frac{1}{3}\right)x=4-x^2-2x}}$	ויהיה ארבעה דרהמי ואלגו ושבעה תשיעיות מאלגו פחות חמשה דברים ושליש דבר ישוה ארבעה דרהמי פחות אלגו ופחות שני דברים
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{5}}}$	ותכוין עמו כאשר ידעת ויהיה הדבר דרהם אחד וחמישית אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=x+1=2+\frac{1}{5}}}$	והנחנו שרש החלק האחד מהשנים דבר ודרהם אחד ויהיה שרש החלק האחד שני דרהמי וחמישית
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2^2=\left(2+\frac{1}{5}\right)^2=4+\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ותכהו בעצמו ויהיה ארבעה דרהמי וארבעה חומשים וחמישית החמישית והוא החלק האחד אשר בקשת
$\scriptstyle{\color{blue}{b_2^2=5-\left[4+\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	והאחר הוא הנשאר מהחמשה והוא ארבעה חומשי החומש
Dividing the number into two other numbers that have root:	ואם תרצה לחלק אותו לשנים חלקים אחרים זולת אלו החלקים
Defining the smaller part as: $\scriptstyle b_2=\sqrt{4-x^2-2x}=2-\left({\color{red}{1+\frac{1}{2}}}\right)x$	תניח החלק הקטן שרש מארבעה דרהמי פחות אלגו ופחות שני דברים ושנים דרהמי פחות שני דברים
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[2-\left(1+\frac{1}{2}\right)x\right]^2=\left(\sqrt{4-x^2-2x}\right)^2}}$	ותכם בעצמם ותכונהו עם המתקבץ מהכאת ארבעה דרהמי פחות אלגו ופחות שני דברים
proceeding as been said above	ותעשה כאשר אמרתי לך
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=x+1=2+\frac{3}{13}}}$	ויהיה שרש החלק האחד שנים דרהמי ושלשה חלקים משלשה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{b_2=\frac{2}{13}}}$	ושרש החלק האחר שנים חלקים מי"ג
multiplying each by itself:	ותכה כל אחד משניהם בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2^2=4+\frac{12}{13}+\frac{9}{169}}}$	ויהיה החלק האחד ארבעה דרהמי וי"ב חלקים מי"ג חלקים באחד ותשעה חלקים מקס"ט
All cases of this type should be solved by this procedure.	וכן תעשה לכל אשר יבוא לך מזה המין תעשה עמו כמעשה הזה ויחזיק מהחלקים כמה שתרצה
for $\scriptstyle n=a^2+b^2$ [seeking two other numbers, such that $\scriptstyle n=a_2^2+b_2^2$] $\scriptstyle a_2^2=\left(a+x\right)^2$	והוא שלעולם תקח שרש האחד מהשני חלקים ותוסיף עליו דבר ותכה זה בעצמו והיוצא הוא האחד מהשני חלקים אשר בקשת
$\scriptstyle b_2^2=n-a_2^2$, which is a number that has a root, and this number is of the type of a number minus a square and roots. [$\scriptstyle b_2^2=b^2-2ax-x^2$]	ותגרעהו מהמספר אשר תרצה לחלק לשני חלקים אשר לכל חלק מהם שרש והנשאר הוא החלק האחר והוא מספר שיחזיק שרש הנשנה לו אלגו ודבר
$\scriptstyle b_2=\sqrt{b^2-2ax-x^2}=b-kx$ $\scriptstyle b^2-2ax-x^2=\left(b-kx\right)^2$	ותקח שרש המספר ותשנה לו אשר תרצה מהדברים אחר אשר לא יכוונו כאשר תכם בעצמם
$\scriptstyle{\color{red}{\left(k^2+1\right)x^2=2\left(bk-a\right)x}}$	ותכוין עמו החלק שהוא מספר המחזיק שרש נשנה מהאלגו ודבר ויעלו לך מן החלקים עד אין להם תכלית
13) If you are told: divide ten into two parts. Add the one part to twenty and the sum has a root. Subtract the other part from fifty and the remainder has a root. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle20+a=n^2\\\scriptstyle50-b=m^2\end{cases}$	יג ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשני חלקים ותוסיף החלק האחד על עשרים ויהיה מה שיחזיק שרש ותגרע החלק האחר מחמשים ויחזיק הנשאר שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
Its procedure: Defining one part as a square minus twenty: $\scriptstyle{\color{blue}{a=x^2-20}}$	ומעשהו שנניח החלק האחד אלגו פחות עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{a+20=x^2}}$	באופן שכאשר תוסיפיהו על עשרים יחזיק שרש והוא אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a+20}=\sqrt{x^2}=x}}$	ושרשו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-a=30-x^2}}$	והחלק האחר יהיה הנשאר מהעשרה והוא שלשים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{50-b=50-\left(30-x^2\right)=x^2+20}}$ which should have a root	ותגרעם מן החמשים וישאר אלגו ועשרים דרהמי וצריך שיחזיק שרש
Defining the square as greater than twenty and less than thirty $\scriptstyle{\color{blue}{20<x^2<30}}$, for this number has many manners.	וכאשר תבקש לדעתו תניח האלגו יותר מעשרים ופחות משלשים כי זה המספר לו אופנים רבים
One manner - defining: $\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{1}{6}}}$	והאופן האחד שתניח שרש האלגו חמשה ושתות
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=26+\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$	והאלגו יהיה כ"ו ושני שלישים ורביע תשיעית
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x^2-20=\left[26+\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]-20=6+\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$	ותגרע ממנו עשרים דרהמי וישאר ששה ושני שלישים ורביע תשיעית והוא אחד מהשני חלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{a+20=\left(5+\frac{1}{6}\right)^2}}$	וכאשר תוסיפהו על עשרים יחזיק שרש ושרשו חמשה ושתות
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-a=10-\left[6+\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]=3+\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$	והחלק האחר יהיה מה שישאר מהעשרה והוא שלשה דרהמי ורביע וחצי תשיעית
$\scriptstyle{\color{blue}{50-b=46+\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)=\left(6+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)^2}}$	וכאשר תגרעם מחמשים ישאר מ"ו ושני שלישים ורביע תשיעית ומחזיק שרש ושרשו הוא ששה דרהמי וחצי ושליש
If one wishes to know why $\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{1}{6}}}$ was defined:	וכאשר נרצה לדעת איך נניח שרש המרובע חמשה ושתות
Defining: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+20}=\left(1+\frac{2}{3}\right)+x}}$	תניח שרש מאלגו ועשרים דרהמי דרהם אחד ושני שלישי ודבר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+\frac{2}{3}\right)+x\right]^2=\left(\sqrt{x^2+20}\right)^2}}$	ותכם בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{7}{9}\right)+x^2+\left(3+\frac{1}{3}\right)x=x^2+20}}$	ויהיה שני דרהמי ושבעה תשיעיות ואלגו ושלשה דברים ושלישית דבר ישוה אלגו ועשרים דרהמי
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{1}{6}}}$	ותכוין עמו ויהיה הדבר חמשה ושתות
If another solution is desired - one should proceed as is said in the previous solution	ואם תרצה אופן אחר זולת זה תעשה כאשר אמרתי לך קודם זה
14) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle20+a=n^2\\\scriptstyle50+b=m^2\end{cases}$	יד ואם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים ותוסיף החלק האחד על עשרים ויחזיק שרש ותוסיף החלק האחר על חמשים ויחזיק שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
Its procedure: Defining one part as a square minus twenty: $\scriptstyle{\color{blue}{a=x^2-20}}$	ומלאכתו שנניח החלק האחד אלגו פחות עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a+20=x^2}}$	באופן שכאשר תוסיפהו על עשרים יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-a=30-x^2}}$	והחלק האחר הנשאר מן העשרה יהיה שלשים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{50+b=50+\left(30-x^2\right)=80-x^2}}$ which should have a root	וכשתוסיפם על החמשים יהיו שמנים דרהמי פחות אלגו וצריך שיחזיק שרש
dividing eighty into two parts, each of which has a root $\scriptstyle A^2+B^2=80$	כאלו אמר תחלק שמנים לשני חלקים ולכל חלק שרש
Problems of this type should be solved by this procedure - through finding a number that can be divided into two parts, each of which has a root: $\scriptstyle n=a^2+a^2$	וכאשר יפלו לפניך שאלות מזה המין תעשה כמעשה הזה עד שיעלה לך מספר שתחלקהו לשני חלקים ויחזיק כל חלק שרש אם הניח מספר שיוכל להתחלק
If the given number cannot be divided like this - the problem cannot be solved.	ואם לאו השאלה היא לא יתכן שתגיע אל תכלית
Defining: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle A^2+B^2=80\\\scriptstyle20<A^2<30\\\scriptstyle50<B^2<60\end{cases}$	ותחלק השמנים לשני חלקים ולכל חלק שרש ותניח אחד החלקים יותר מעשרי' ופחות משלשים והחלק האחר יותר מחמשים ופחות מששים
This problem has many solutions, endlessly.	ולזה הדרך אופנים רבים עד אין מספר
The procedure for extracting any desired solution is the one described before.	והמלאכה להוציא איזה אופן שתרצה מהם היא כפי מה שאמרתי לך קודם
$\scriptstyle{\color{blue}{A^2=26+\frac{30}{289}}}$	ואחד מהאופנים שתשים החלק האחד כ"ו דרהמי ול' חלקים מרפ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{B^2=80-\left(26+\frac{30}{289}\right)=53+\frac{259}{289}}}$	והחלק האחר הנשאר משמנים והוא נ"ג ורנ"ט חלקים מרפ"ט חלקים באחד
When you wish to know the measure of each of the parts of ten:	וכאשר תרצה לדעת שעור כל חלק מן העשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=A^2-20=\left(26+\frac{{\color{red}{2}}30}{289}\right)-20=6+\frac{{\color{red}{2}}30}{289}}}$	תגרע מהחלק ראשון מהשמנים עשרים וישאר ששה דרהמי ושלשים חלקים מרפ"ט והוא החלק ראשון מהעשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-a=10-\left(6+\frac{{\color{red}{2}}30}{289}\right)=3+\frac{{\color{red}{59}}}{289}}}$	והחלק האחר הוא הנשאר מעשרה והוא שלשה דרהמי ורנ"ט חלקים מרפ"ט חלקים באחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a+20=A^2=26+\frac{{\color{red}{2}}30}{289}=\left(5+\frac{3}{17}\right)^2}}$	וכאשר נוסיף החלק הגדול משני חלקי העשרה על עשרים יהיה עשרים ושש ושלשים חלקים מרפ"ט ומחזיק שרש והוא חמשה דרהמי ושלשה חלקים משבעה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{b+50=B^2=53+\frac{{\color{red}{59}}}{289}=\left(7+\frac{5}{17}\right)^2}}$	וכאשר נוסיף החלק הקטן מן העשרה על החמשים יהיה חמשים ושלשה דרהמי ורנ"ט חלקים מרפ"ט ומחזיק שרש והוא שבעה דרהמי וחמשה חלקים משבעה עשר
15) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle3-x^2=n^2\\\scriptstyle2+x^2=m^2\end{cases}$	טו ואם יאמרו לך מרובע אם תגרעהו משלשה דרהמי יחזיק הנשאר שרש ואם תוסיפהו על שני דרהמי יהיה למתקבץ שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
$\scriptstyle{\color{blue}{3+2=5}}$	ומעשהו שתקבץ השנים עם השלשה ויהיו חמשה
divide them into two parts, each of which has a root $\scriptstyle{\color{blue}{5=n^2+m^2}}$	תחלקם לשני חלקים יחזיק כל חלק שרש
Defining one part as greater than two and less than three: $\scriptstyle{\color{blue}{2<n^2<3}}$	ותניח החלק האחד יותר משנים ופחות משלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=m^2-2}}$	ותגרע השנים מהחלק האחד ומה שישאר יהיה המרובע
Defining: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{23}{169}}}$	ואם תרצה תניח האלגו עשרים ושלשה חלקים מקס"ט חלקים באחד
Defining: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{146}{169}}}$	ואם תרצה תניחהו קמ"ו מקס"ט
Defining: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{431}{625}}}$	ואם תרצה תניחהו תל"א חלקים מתרכ"ה חלקים באחד
This problem and similar can be executed according to the chosen solutions as explained before.	והנה תוכל לעשות זאת השאלה והדומים אליה כפי האופנים אשר תבחר כאשר בארתי לך לפנים
16) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle10-x^2=n^2\\\scriptstyle20-x^2=m^2\end{cases}$	יו ואם יאמרו לך אלגו אם תגרעהו מעשרה דרהמי יחזיק הנשאר שרש ואם תגרעהו מעשרים יחזיק הנשאר שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
Defining the square as ten dirham minus a square: $\scriptstyle{\color{blue}{n^2=10-x^2}}$	ומעשהו שתניח האלגו שלך עשרה דרהמי פחות אלגו
Or $\scriptstyle{\color{blue}{n^2=20-x^2}}$	ואם תרצה עשרים דרהמי פחות אלגו
So that when subtracting $\scriptstyle{\color{blue}{n^2}}$ from 10 or from 20, the remainder will be a square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$ whose root is $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ותניחהו כן בעבור כי כאשר תגרעהו מאחד מהם ישאר אלגו ומחזיק שרש והוא דבר
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{n^2=10-x^2}}$	ונניחהו עשרה דרהמי פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{10-n^2=x^2}}$	וכאשר תגרעהו מן עשרה ישאר אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{20-n^2=x^2+10}}$ which should have a root	ואם תגרעהו מעשרים ישאר אלגו ועשרה דרהמי וצריך שיחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+10}>x}}$	וכבר ידעת ששרשו יותר מדבר
defining its root as a thing plus two dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+10}=x+2}}$	ונניח שרשו דבר ושני דרהמי
or a thing plus three $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+10}=x+3}}$	או דבר ושלשה
or whichever numbers you wish $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+10}=x+a}}$ according to what was explained before.	או אשר תרצה מהמספרים כאשר בארתי לך לפנים
then $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+a\right)^2=x^2+10}}$	אחר שיהיה כאשר הכינו אותו בעצמו ונכוין עמהם אלגו ועשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2<10}}$	יהיה האלגו פחות מעשרה דרהמי
Defining it as a thing plus two dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+10}=x+2}}$	ותניחהו דבר ושני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+2\right)^2=\left(\sqrt{x^2+10}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4+4x=x^2+10}}$	יהיה אלגו וארבעה דרהמי וארבעה דברים ישוה אלגו ועשרה דרהמי
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{2}}}$	ותכוין עמו ויהיה שרש האלגו אדרהם אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=2+\frac{1}{4}}}$	והאלגו שנים דרהמי ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=10-x^2}}$	והנחנו האלגו עשרה דרהמי פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=7+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}}$	ויהיה האלגו המבוקש שבעה דרהמי וחצי ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=10-n^2=2+\frac{1}{4}}}$	ואם נגרעהו מעשרה ישאר שנים ורביע ושרשו אחד וחצי
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+10}=x+3}}$	ואם הנחנו שרש מאלגו מעשרה דרהמי דבר ושלשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=9+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	יהיה האלגו תשעה דרהמי וחצי ושליש וחמשה ששיות הששית
The solutions defined in this problem and in its similar are more than any number.	והאופנים הם שתניח בזאת השאלה ובדומים אליה יותר מאשר הוא המספר
17) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle20+x^2=n^2\\\scriptstyle30+x^2=m^2\end{cases}$	יז ואם יאמרו לך אלגו אם תוסיפהו על עשרים יחזיק שרש ואם תוסיפיהו על שלשים יחזיק שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{a^2=x^2-20}}$	ומעשהו שנניח האלגו אלגו פחות עשרים דרהמי
or $\scriptstyle{\color{blue}{a^2=x^2-30}}$	או אם תרצה אלגו פחות שלשים
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{a^2=x^2-20}}$	ונניחהו אלגו פחות עשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+20=x^2}}$	ובתוספתו על עשרים יעלה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a^2+20}=x}}$	ושרשו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+{\color{red}{30}}=x^2+10}}$ which should have a square	ונוסיפהו על שנים ויהיה אלגו ועשרה דרהמי וצריך שיחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2>20}}$	ויהיה האלגו יותר מעשרים
Defining its root as a thing plus one dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+10}=x+1}}$	ותניח שרשו דבר ואדרהם אחד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+1\right)^2=\left(\sqrt{x^2+10}\right)^2}}$	ותכם בעצמם
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=20+\frac{1}{4}}}$	ותכונהו עם המתקבץ מהכאת אלגו ועשרה דרהמי ויהיה המרובע עשרים דרהמי ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2=x^2-20=\frac{1}{4}}}$	ותגרע ממנו עשרי' דרהמי וישאר רביע אחד והוא המרובע המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+20}}$ has a root	ואם תוסיפהו על עשרים יחזיק שרש
or $\scriptstyle{\color{blue}{a^2=75+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	ואם תרצה תאמר האלגו ע"ה דרהמי וחצי שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+20=\left(9+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)^2}}$	אם תוסיפהו על עשרים יחזיק שרש ושרשו תשעה דרהמי וחצי ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+30=\left(10+\frac{1}{4}\right)^2}}$	ואם תוסיפהו על שלשים יחזיק שרש והוא עשרה דרהמי ורביע
This problem and its similar have many solutions.	ולזאת השאלה ולדומים אליה אופנים רבים
18) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle10+x^2=n^2\\\scriptstyle10-x^2=m^2\end{cases}$	יח ואם יאמרו לך אלגו אם תוסיפהו על עשרה יחזיק שרש ואם תגרעהו מעשרה יחזיק שרש
If the two numbers in this problem are the same, one of them should be divided into two parts, each of which has a root - there are an infinite number of solutions.	וכאשר ישתוו השני מספרים בזאת השאלה ונניח אחד מהשני מספרים שיחלקו לשני חלקים לכל חלק שרש אז תחזיק מהאופנים מה שלא יסופרו
If it cannot be divided into two parts, each of which has a root, the problem has no solution.	ואם לא יתחלק לשני חלקים שיחזיק כל חלק שרש תהיה השאלה חרשת זולת שום אופן
$\scriptstyle10=a^2+b^2$	ותחלק העשרה לשני חלקים ולכל חלק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{10=1+9}}$	והוא אחד ותשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(\sqrt{1}+\sqrt{9}\right)^2-10=4^2-10=16-10=6}}$	ותקח שרשי אחד ותשעה ויהיו ארבעה ותכם בעצמם ויהיה ששה עשר תגרע מהם העשרה וישאר ששה והוא האלגו אשר כאשר תוסיפהו על העשרה יחזיק שרש ואם תגרעהו מן העשרה יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{m^2=10-x^2=10-6=4}}$	והמשפט בזאת השאלה הוא עולה בעבור כי כאשר תגרע האלגו שהוא ששה מעשרה ישאר ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}\right)^2=\left(\sqrt{9}-\sqrt{1}\right)^2=4=m^2}}$	והארבעה הם מהכאת העודף מאחד משני החלקים על שרש החלק האחר אין שיבוש
19) $\scriptstyle8x+109-x^2=n^2$	יט ואם יאמרו לך אלגו אם תגרעהו משמנה שרשים וק"ט דרהמי יחזיק שרש
(½roots)²+numbers	וכאשר יקרה לפניך שאלה כזאת תכה מחצית השרשים בעצמם ותוסיפהו על האדרהמי
if this sum can be divided into two parts, each of which has a root - the problem is solvable, and it has a countless number of solutions.	ואם יתחלק המקובץ מהם לשני חלקים ויחזיק כל חלק שרש תהיה השאלה נשלמת ותחזיק מהאופנים הרבה אשר לא יוכלו להמנות
if this sum cannot be divided into two parts, each of which has a root, the problem has no solution.	ואם לא יתחלק המתקבץ מהם לשני חלקים ולכל חלק מהם שרש תהיה השאלה חרשת בזולת שום אופן
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2+109=16+109=125}}$	ותכה מחצית השרשים בעצמם ויהיו ששה עשר ותוסיפם על ק"ט ויהיה קכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{125=a^2+b^2}}$	ותחלק קכ"ה לשני חלקים שיחזיק כל חלק שרש
Defining one part as 25 and the other as 100 $\scriptstyle{\color{blue}{125=25+100}}$	ואם תרצה תניח החלק האחד כ"ה והאחר מאה
Defining one as 4 and the other as 121 $\scriptstyle{\color{blue}{125=4+121}}$	ואם תרצה תניח האחד ארבעה והאחר קכ"א
One can divide it into whichever two parts one wishes, as stated and explained above	ואם תרצה תחלקהו לשני חלקים אחרי' כאשר אמרתי ובארתי
then, one of the two parts is added to the square: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+a^2}}$	ותשוב ותקח החלק האחד מאיזה משני חלקי' שתרצה ותוסיפהו על המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+25}}$	אחר תקח כ"ה ותוסיפהו על המרובע ויהיה אלגו וכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+25=8x+109}}$	ונאמר אלגו וכ"ה דרהמי ישוו שמנה דברים וק"ט דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{109-25}}$	ותגרע כ"ה מק"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=8x+84}}$	וישאר אלגו ישוה שמנה דברים ופ"ד דרהמי
	ומחצית הדברים יהיה ארבעה תכם בעצמם ויהיו ששה עשר תוסיפם על פ"ד ויהיה מאה והם החלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{b^2=\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2+84=4^2+84=16+84=100}}$
The reason for this procedure:	והמשפט למה הוצאנוה בזה המעשה
the division of the sum into two parts, each of which has a root: $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{roots}\right)^2+\rm{numbers}=a^2+b^2$	וחלקנום לשני חלקים לכל חלק שרש
is because if: $\scriptstyle x^2+a^2=\left(\rm{roots}\sdot x\right)+\rm{numbers}$	בעבור כי כשהוספנו החלק האחד על האלגו והשוינו עמו הדברים והדרהמי אשר במספרנו
then: $\scriptstyle b^2=\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{roots}\right)^2+\rm{numbers}-a^2$	וחצינו הדברים והכינום בעצמם והוספנוהו על המספר או גרענו המספר ממנו יהיה המתקבץ ממנו או הנשאר הוא החלק האחר
$\scriptstyle a^2=\left(\rm{roots}\sdot x\right)+\rm{numbers}-x^2$	ויהיה מה שישאר מהשרשים והדרהמי אחר גרעון האלגו מהמספר יהיה החלק הנוסף עליו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{100}+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=10+4=14}}$	ותשוב ותקח שרש המאה והוא עשרה ותוסיף עליהם מחצית השרשים והוא ארבעה ויהיו ארבעה עשר והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=196}}$	והאלגו קצ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=8x+109-x^2=221-196=25=5^2}}$	ותגרעהו משמנה שרשיו וק"ט דרהמי והם רכ"א וישאר כ"ה ושרשו חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+100}}$	ואם לקחנו החלק האחד והוא מאה דרהמי והוספנום על האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+100=8x+109}}$	ונכוין המתקבץ עם שמנה שרשיו וק"ט דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=81}}$	יהיה האלגו פ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4}}$	ואם לקחנו החלק האחר והוא ארבעה והוספנוהו על האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4=8x+109}}$	ונכוין עמו שמנה שרשיו וק"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=225}}$	יהיה המרובע רכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+36}}$	ואם תרצה ל"ו ואם תרצה ארבעה
The solutions of this problem are numerous.	והאופנים לזאת השאלה הם רבים
20) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle8x+x^2=n^2\\\scriptstyle2x-x^2=m^2\end{cases}$	כ ואם יאמרו לך אלגו אם תוסיף עליו שמנה שרשיו יחזיק שרש ואם תגרעהו משני שרשיו יהיה לנשאר שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
the procedure:	וחכמתה
defining the eight roots are $\scriptstyle{\color{blue}{16X+64}}$	שנניח השמנה שרשים הנוספים באלגו ששה עשר דברים וס"ד דרהמי
so that $\scriptstyle{\color{blue}{X^2+16X+64=\left(X+8\right)^2}}$	באופן שיהיה למתקבץ שרש ושרשו דבר ושמנה דרהמי
If other is defined it is possible provided that [the sum] has a root.	ואם הנחנו אחר זולת זה יעבר אחר זה שיהיה שיחזיק שרש
if the eight roots are: $\scriptstyle{\color{blue}{16X+64}}$	וכאשר הנחנו השמנה שרשים י"ו דברים וס"ד דרהמי
then each root is: $\scriptstyle{\color{blue}{2X+8}}$	הנה אז תדע כי כל שרש שני דברים ושמנה דרהמי
and two roots are: $\scriptstyle{\color{blue}{4X+16}}$	והשני שרשי' ארבעה דברים וי"ו דרהמי
Then the problem is the same as: $\scriptstyle4X+16-X^2=N^2$	והוא כמו שיאמר אלגו אם תגרעהו מארבעה שרשיו וששה עשר יחזיק מה שישאר שרש
proceeding as described above	ותעשה כאשר אמרתי
$\scriptstyle{\color{blue}{X^2=36}}$	ויהיה האלגו שלשים ושש והוא האלגו
the root is defined to be: $\scriptstyle{\color{blue}{2X+8}}$, then $\scriptstyle{\color{blue}{2X+8=20}}$	ותשוב ותאמר כבר הנחנו שרש האלגו שני דברים ושמנה דרהמי ועשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{36}{20}=1+\frac{4}{5}}}$	ותחלק ל"ו על עשרים יעלה דרהם אחד וארבעה חומשי' והוא שרש האלגו המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	והאלגו שלשה דרהמי וחמשית וחומש החמישית
	ואם תוסיף עליהם שמנה שרשיו והוא ארבעה עשר דרהמי ושני חומשים יהיה שבעה עשר ושלשה חומשים וחומש החמישית ושרשו ארבעה וחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{8x+x^2=\left(14+\frac{2}{5}\right)+\left[3+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=17+\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)=\left(4+\frac{1}{5}\right)^2}}$
	ואם תגרע מהאלגו שהוא שלשה דרהמי וחמישית וחומש החמישית משני שרשיו שהם שלשה דרהמי ושלשה חומשים ישאר חומש אחד וארבעה חומשים מחמישית ושרשו שלשה חומשים
$\scriptstyle{\color{blue}{2x-x^2=\left(3+\frac{3}{5}\right)-\left[3+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{1}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)=\left(\frac{3}{5}\right)^2}}$
[?]	ואם תעשה זה באופן החלק האחר יהיה האלגו דרהם אחד
This problem can be resolved by many solutions.	והיטב תוכל לעשות לזאת השאלה באופנים רבים
21) $\scriptstyle2x+49-x^2=n^2$	כא ואם יאמרו לך אלגו אם תגרעהו משני שרשיו ומ"ט דרהמי יחזיק הנשאר שרש
One can proceed as described before, if wishes.	אם תרצה תעשה כאשר אמרתי
Or: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=2^2}}$	ואם תרצה תכה שני השרשים בעצמם והיוצא יהיה האלגו
since $\scriptstyle{\color{blue}{49}}$ has a root.	והסיבה למה עשינו כזה בעבור כי המ"ט מחזיקים שרש
If the number have no root - proceeding as explained previously	ואם לא יחזיק המספר שרש תשוב למעשה הראשון שבארתי לך קודם זאת השאלה
Since this procedure is possible only for a number that has a root, and it involves many solutions, not one.	כי זה המעשה לא יתכן כי אם במספר שיחזיק שרש ולא יחזיק אופן אחד כי אם רבים
The first solving procedure of this problem and its similar has many solutions.	והמעשה הראשון לזאת השאלה ולדומים אליה יהיה באופנים רבים
22) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+x=n^2\\\scriptstyle x^2-x=m^2\end{cases}$	כב ואם יאמרו לך אלגו אם תוסיף עליו שרשו יהיה למתקבץ שרש ואם תגרע ממנו שרשו יחזיק הנשאר שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
the solving procedure:	ותעשה אותה כמעשה
seeking a number $\scriptstyle{\color{blue}{a^2}}$, such that: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2-b=m^2\end{cases}$	שתבקש מספר שיחזיק שרש וכאשר תקבץ עמו מספר אחר יחזיק שרש ואם תגרע ממנו אותו המספר יחזיק שרש
then: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}}}$	וכאשר מצאת אותו המספר תחלק אותו על המספר הנוסף ומה שיעלה לחלק יהיה שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=25\\\scriptstyle b=24\end{cases}}}$	והמספר המחזיק שרש הוא כ"ה והמספר הנוסף עליו כ"ד והמספר הנגרע כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{25+24=49=7^2}}$	וכבר ידעת כי כאשר תוסיף כ"ד על כ"ה יהיה מ"ט ושרשו שבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{25-24=1=1^2}}$	וכאשר תגרע כ"ד מכ"ה ישאר אחד ושרשו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{25}{24}=1+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	ואם תבקש לדעת שעור האלגו תחלק כ"ה על כ"ד ויהיה אחד ושלישית השמינית והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=1+\left(\frac{2}{3}{\color{red}{\sdot\frac{1}{8}}}\right)+\frac{1}{576}}}$	והאלגו אחד ושני שלישים וחלק אחד מתקע"ו באחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2+x&\scriptstyle=\left[1+\left(\frac{2}{3}{\color{red}{\sdot\frac{1}{8}}}\right)+\frac{1}{576}\right]+\left[1+\left({\color{red}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}}}\right)\right]\\&\scriptstyle=2+\frac{1}{8}+\frac{1}{576}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}\right)^2\\\end{align}}}$	ואם תוסיף עליו שרשו והוא אחד ורביע ושתות יהיה שנים דרהמי ושמינית אחד וחלק אחד מתקע"ו ומחזיק שרש והוא אחד ושליש ושמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2-x&\scriptstyle=\left[1+\left(\frac{2}{3}{\color{red}{\sdot\frac{1}{8}}}\right)+\frac{1}{576}\right]-\left[1+\left({\color{red}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}}}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{25}{576}\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]^2\\\end{align}}}$	ואם תגרע ממנו שרשו והוא אחד ושליש ושמינית ישאר כ"ה חלקים מתקע"ו חלקים באחד ומחזיק שרש והוא שמינית אחד וחצי ששית
Defining: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=169\\\scriptstyle b=120\end{cases}}}$	ואם תרצה תניח המספר המבוקש המחזיק שרש קס"ט והמספר הנוסף ק"כ והמספר הנגרע ממנו ק"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{169+120=17^2}}$	ואתה יודע כי כשתוסיף על קס"ט ק"כ יהיה למתקבץ שרש והוא שבעה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{169-120=7^2}}$	וכאשר תגרע מהם ק"כ יהיה לנשאר שרש והוא שבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{169}{120}=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	וכאשר תרצה לדעת שעור האלגו תחלק קס"ט על ק"כ ויעלה לחלק אחד וחמישית אחד ושמינית אחד וחצי שתות והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{169}{120}=1+\frac{14161}{14400}}}$	והאלגו אחד וי"ד אלפים וקס"א מי"ד אלפים ות' באחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2+x&\scriptstyle=\left(1+\frac{14161}{14400}\right)+\left[1+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\left({\color{red}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}}}\right)\right]\\&\scriptstyle=3+\frac{5641}{14400}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{{\color{red}{101}}}{120}\right)^2\\\end{align}}}$	ואם תוסיף באלגו שרשו שהוא אחד וחמישית ושמינית וחצי שמינית ושתות אחד יהיה שלשה דרהמי וחמשת אלפים ותרמ"א חלקים מי"ד אלפים ות' חלקים באחד ומחזיק שרש והוא אחד ועשרה חלקים מק"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2-x&\scriptstyle=\left(1+\frac{14161}{14400}\right)-\left[1+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{8281}{14400}\\&\scriptstyle=\left(\frac{91}{120}\right)^2\\\end{align}}}$	ואם תגרע ממנו שרשו שהוא אחד וחמישית ושמינית וחצי שתות ישארו שמנת אלפים ורפ"א מי"ד אלפים ות' ומחזיק שרש והוא צ"א חלקים מק"כ
This problem and its similar have many solutions.	ולזאת השאלה ולדומים אליה אופנים רבים
The extraction of these numbers or those desired, for there are solutions as many as one wishes - is already explained.	וכבר בארתי לך המלאכה בהוצאת אלו המספרים או אשר תרצה מהם כי הם מחזיקים אופנים רבים כרצונך
The extraction of these numbers is further explained:	ואני אשכילך עוד בהוצאת אלו המספרים למען יחכם בהם לבבך
$\scriptstyle x^2+2x+1$ has a root	כבר הודעתיך שכל אלגו שיחזיק שרש כאשר תוסיף עליו שני שרשיו ודרהם אחד יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(2x+1\right)}}$	אחר זה תגרע מהאלגו שני שרשיו ודרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+1}}$ is the sought number	ותאמר שני שרשיו ודרהם אחד יהיה המספר המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-\left(2x+1\right)}<x}}$	וישאר אלגו פחות שני שרשים ודרהם אחד וכבר ידעת ששרשו פחות מדבר
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-\left(2x+1\right)}=x-2}}$	וננחיהו דבר פחות שני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-2\right)^2=\left(\sqrt{x^2-\left(2x+1\right)}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4-4x=x^2-\left(2x+1\right)}}$	ויהיה אלגו וארבעה דרהמי פחות ארבעה דברים ישוה אלגו פחות שני שרשים ודרהם אחד
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\frac{1}{2}}}$	ותכונהו עמו ויהיה הדבר ישוה שני דרהמי וחצי והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6+\frac{1}{4}}}$	והאלגו ששה ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+1=2\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)+1=6}}$	ונניח המספר הנוסף עליו שני שרשים ודרהם אחד והוא ששה בעבור כי השרש הוא שנים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=6+\frac{1}{4}\\\scriptstyle b=6\end{cases}}}$	ויהיה המספר המבוקש ששה ורביע והמספר הנוסף ששה והמספר הנגרע ששה
converting to quarters:	תשיבם לרביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=25\\\scriptstyle b=24\end{cases}}}$	ויהיה המספר המבוקש כ"ה והמספר הנוסף כ"ד והמספר הנגרע כ"ד
defining: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-\left(2x+1\right)}=x-\left(1+\frac{1}{2}\right)}}$	ואם נניח שרש האלגו פחות שני דברים ודרהם אחד דבר פחות דרהם וחצי תכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2+\frac{1}{4}-3x=x^2-\left({\color{red}{2}}x+1\right)}}$	ויהיה אלגו ושני דרהמי ורביע פחות שלשה דברים ישוה אלגו פחות דבר ודרהם אחד
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=3+\frac{1}{4}}}$	ותכונהו עמו ויהיה הדבר ישוה שלשה דרהמי ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{13}{{\color{red}{4}}}}}$	ותכנהו עמו ויהיה הדבר שלשה עשר והוא שרש האלגו המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{169}{16}}}$	שיחזיק שרש והוא קס"ט כל ששה עשר ממנו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+1=2\sdot\left(3+\frac{1}{4}\right)+1={\color{red}{7}}+\frac{1}{2}}}$	והמספר הנוסף עליו הוא שני שרשים ודרהם אחד והוא ששה וחצי בעבור כי השרש שלשה דרהמי ורביע
[defining] one dirham = 16	כל דרהם ששה עשר חלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+1=120}}$	ויהיה זה ק"כ חלקים
proceeding with the following as shown	ותעשה בנמשך כאשר הראיתי לך
23) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+2x=n^2\\\scriptstyle x^2-3x=m^2\end{cases}$	כג ואם יאמרו לך אלגו אם תוסיף עליו שני שרשיו יחזיק שרש ואם תגרע ממנו שלשה שרשיו יחזיק שרש
seeking a number $\scriptstyle{\color{blue}{a^2}}$, such that: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2-\left(b+\frac{1}{2}b\right)=m^2\end{cases}$	וצריך שתבקש מספר שיחזיק שרש וכאשר תוסיף עליו מספר מה אחר יחזיק שרש וכאשר תגרע ממנו כמו המספר הנוסף וכמו חציו יחזיק הנשאר שרש
since $\scriptstyle{\color{blue}{3x=2x+\left(\frac{1}{2}\sdot2x\right)}}$	בעבור כי שלשת השרשים הם שני השרשים וכמו חציים
$\scriptstyle x=\frac{a^2}{\frac{1}{2}b}=\frac{a^2}{\frac{1}{3}\left(b+\frac{1}{2}b\right)}$	וכאשר מצאת אותו המספר תחלקהו על חצי המספר הנוסף או על שלישית המספר הנגרע והעולה לחלק יהיה שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=121\\\scriptstyle b=48\\\scriptstyle b+\frac{1}{2}b=72\end{cases}}}$	והמספר המחזיק שרש קכ"א והמספר הנוסף עליו מ"ח והמספר הנגרע ע"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{121}{\frac{1}{2}\sdot48}=\frac{121}{\frac{1}{3}\sdot72}=\frac{121}{24}=5+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	וכאשר תרצה לדעת שעור המספר תחלק קכ"א אם תרצה על מחצית המ"ח או אם תרצה על שליש הע"ב שהוא כ"ד ומה שיעלה לחלק יהיה חמשה ושלישית השמינית והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=25+\frac{1}{4}{\color{red}{+}}\frac{1}{6}+\frac{1}{576}}}$	והאלגו כ"ה ורביעית הששית וחלק אחד מתקע"ו באחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2+2x&\scriptstyle=\left(25+\frac{1}{4}{\color{red}{+}}\frac{1}{6}+\frac{1}{576}\right)+\left[10+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\\&\scriptstyle=35+{\color{red}{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{576}\\&\scriptstyle=\left(5+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}{\color{red}{+}}\frac{1}{8}\right)^2\\\end{align}}}$	ואם תוסיף עליו שני שרשיו שהם עשרה דרהמי וחצי ששית ויהיה ל"ה דרהמי ושלשה רביעי ששית וחלק אחד מתקע"ו ומחזיק שרש והוא חמשה דרהמי וחצי ושלישית השמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2-3x&\scriptstyle=\left(25+\frac{1}{4}{\color{red}{+}}\frac{1}{6}+\frac{1}{576}\right)-\left(15+\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=10+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{576}\\&\scriptstyle=\left[3+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]^2\\\end{align}}}$	ואם תגרע מהאלגו שלשת שרשיו שהם ט"ו ושמינית אחד ישאר עשרה ושתות ושמינית וחלק אחד מתקע"ו ומחזיק שרש והוא שלשה ושמינית וחצי ששית
Defining: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=49\\\scriptstyle b={\color{red}{32}}\\\scriptstyle b+\frac{1}{2}b=48\end{cases}}}$	ואם תרצה תניח המספר המבוקש שיחזיק שרש מ"ט והמספר הנגרע מ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{49}{16}=3+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	ותחלק מ"ט על ששה עשר ועלה לחלק שלשה וחצי שמינית והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9+\frac{3}{8}+\frac{1}{256}}}$	והאלגו תשעה ושלשה שמיניות וחלק אחד מרנ"ו
Defining: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=625\\\scriptstyle b=336\\\scriptstyle b+\frac{1}{2}b=504\end{cases}}}$	ואם תרצה תניח המספר המחזיק שרש תרכ"ה והמספר הנוסף של"ו והמספר הנגרע תק"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{625}{\frac{1}{2}\sdot336}=\frac{625}{\frac{1}{3}\sdot504}=\frac{625}{168}\\&\scriptstyle=3+\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	ותחלק תרכ"ה על מחצית של"ו או על שלישית תק"ד והוא קס"ח ויעלה לחלק שלשה ושני שלישים ורביע השביעית ושמינית השביעית והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=13+\frac{141}{1{\color{red}{68}}}+\frac{25}{28224}}}$	והאלגו שלשה עשר דרהמי וקמ"א חלקים מקפ"ט וכ"ה חלקים מכ"ח אלפים ורכ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2+2x&\scriptstyle=\left(13+\frac{141}{1{\color{red}{68}}}+\frac{25}{28224}\right)+\left(7+\frac{{\color{red}{74}}}{1{\color{red}{68}}}\right)\\&\scriptstyle=21+\frac{47}{168}+\frac{25}{28224}\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{103}{16{\color{red}{8}}}\right)^2\\\end{align}}}$	ואם תוסיף עליו שני שרשיו והם שבעה דרהמי וצ"ד חלקים מקפ"ט יהיה כ"א דרהמי ומ"ז חלקים מקס"ח חלקים וכ"ה חלקים מכ"ח אלפים ורכ"ד חלקים ומחזיק שרש והוא ארבעה דרהמי וק"ג חלקים מקס"ג חלקים מאחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2-3x&\scriptstyle=2+\frac{114}{168}+\frac{25}{28224}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{10{\color{red}{7}}}{168}\right)^2\\\end{align}}}$	ואם תגרע מהאלגו שלשת שרשיו ישאר שני אדרהמי וקי"ד חלקים מקס"ח וכ"ה חלקים מכ"ח אלפים ורכ"ד חלקים מאחד ומחזיק שרש והוא דרהם אחד וק"ט מקס"ח חלקים באחד
The reason for the extraction of these numbers is explained above.	וסבת הוצאת אלו המספרים תהיה מבוארת ממה שבארנו קודם
$\scriptstyle\sqrt{x^2+{\color{red}{2x+1}}}=x+1$	וכבר הראיתי לך שכל אלגו שיחזיק שרש והוא דבר ודרהם אחד
Defining: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+2x+1=n^2\\\scriptstyle x^2-\left[3x+\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]=m^2\end{cases}$	תניח המספר הנוסף על האלגו שני דברים ודרהם אחד והמספר הנגרע ממנו שלשת שרשיו ודרהם אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left[3x+\left(1+{\color{red}{\frac{1}{2}}}\right)\right]}}$	ותגרע מהאלגו שלשת שרשיו ודרהם וחצי וישאר אלגו פחות שלשה שרשים ודרהם אחד
Defining its root as [a thing] minus two dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-\left[3x+\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]}={\color{red}{x}}-2}}$	ותניח שרשו ושני דברים פחות שני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-2\right)^2=\left[\sqrt{x^2-\left[3x+\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]}\right]^2}}$	ותכם בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4-4x=x^2-\left[3x+\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]}}$	ויהיה אלגו וארבעה דרהמי פחות ארבעה דברים ישוה אלגו פחות שלשה דברים ודרהם אחד וחצי
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{1}{2}}}$	ותכונם עמהם ויהיה הדבר חמשה וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=30+\frac{1}{4}}}$	והאלגו שלשים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+1=12}}$	ונניח המספר הנוסף עליו שני דברים ודרהם אחד והוא שנים עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{3x+\left(1+\frac{1}{2}\right)=18}}$	ונניח המספר הנגרע ממנו שלשה דברים ודרהם וחצי והוא שמנה עשר
converting to quarters:	השיבם רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=121\\\scriptstyle b=48\\\scriptstyle b+\frac{1}{2}b=72\end{cases}}}$	ויהיה המספר המבוקש שיחזיק שרש קכ"א והמספר הנוסף מ"ח והנגרע ע"ב
proceeding with the procedure as stated.	ותעשה בפעולתם כמו שאמרתי לך
24) $\scriptstyle10x-8-x^2=n^2$	כד ואם יאמרו לך אלגו שיחזיק שרש אם תגרעהו מעשרת שרשיו פחות שמנה דרהמי יחזיק מה שישאר שרש
(½roots)²-numbers	כאשר יקרה לך שאלות ככה תכה מחצית השרשים בעצמם והמתקבץ תגרע ממנו האדרהמי
if the remainder can be divided into two parts, each of which has a root - the problem has many solutions as one wishes.	ומה שישאר אם יתחלק לשני חלקים שיחזיק כל חלק שרש הנה תחזיק השאלה רבים מהאופנים כמה שתרצה
if the remainder cannot be divided into two parts, each of which has a root, the problem has no solution and no solving procedure.	ואם לא יתחלק לשני חלקים שיחזיק כל חלק שרש הנה לא יהיה לשאלה אופן ולא מלאכה
if (½roots)²=numbers, or (½roots)²<numbers - the problem is incorrect.	ואם כאשר תכה מחצית השרשים בעצמו יצא כמו שעור הדרהמי או פחות מהם לא היתה השאלה נכונה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a^2+b^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-8\\&\scriptstyle=5^2-8\\&\scriptstyle=25-8=17=16+1\\\end{align}}}$	ונכה מחצית השרשים בעצמם בזאת השאלה והוא חמשה ויהיה עשרים וחמשה תגרע מהם שמנה הדרהמי וישאר שבעה עשר חלקם לשני חלקים ולכל חלק שרש והם ששה עשר ואחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+16=10x-8}}$	ואם תרצה תאמר אלגו וששה עשר דרהמי ישוה עשרה שרשים פחות שמנה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1=10x-8}}$	ואם תרצה תאמר אלגו ודרהם אחד ישוה עשרה שרשים פחות שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+16=10x-8}}$	והוא כאלו תאמר אלגו וששה עשר דרהמי ישוה עשרה שרשים פחות שמנה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1^2=36}}$	ויהיה האלגו אם תרצה ל"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2={1\color{red}{6}}}}$	ואם תרצה יהיה שמנה עשר
25) $\scriptstyle x^2+1=10x-8$	כה ואם יאמרו לך אלגו ודרהם אחד ישוו עשרה שרשים פחות שמנה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1^2=1}}$	יהיה האלגו אם תרצה אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=81}}$	ואם תרצה יהיה שמנים ואחד
26) $\scriptstyle260-6x-x^2=n^2$	כו ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תגרעהו מר"ס פחות ששה שרשים יחזיק הנשאר שרש
(½roots)²+numbers	וכאשר תפול לפניך שאלה כזאת תכה מחצית השרשים בעצמם ותוסיפם על הדרהמי
if the sum can be divided into two parts, each of which has a root - the problem has solutions as many as one wishes.	ומה שיתקבץ אם יתחלק לשני חלקים שיחזיק כל חלק שרש תהיה השאלה אז בעלת אופנים כמה שתרצה
if it cannot be divided like that, the problem is not solvable and has no solution.	ואם לא יתחלק ככה תהיה השאלה חרשת בזולת האופן
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a^2+b^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2+260\\&\scriptstyle=3^2+260\\&\scriptstyle=9+260=269=100+169\\\end{align}}}$	אחר זה הנה הכאת מחצית השרשים בעצמם בזאת השאלה היא תשעה כי מחציתם שלשה תוסיפם על ר"ס ויהיה רס"ט תחלקם לשני חלקים שיחזיק כל חלק שרש ויהיו קס"ט ומאה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+169=260-6x}}$	ותאמר אם תרצה אלגו וקס"ט ישוו ר"ס דרהמי פחות ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+100=260-6y}}$	ואם תרצה תאמר אלגו ומאה דרהמי ישוו ר"ס פחות ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=49}}$	ויהיה האלגו מ"ט דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+100=260-6y}}$	ואם אמרת אלגו ומאה דרהמי ישוו ר"ס דרהמי פחות ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=100}}$	יהיה האלגו מאה דרהמי
27) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+2x=n^2\\\scriptstyle x^2+2x+3\sqrt{x^2+2x}=m^2\end{cases}$	כז ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שני שרשיו יחזיק שרש ואם תוסיף על המקובץ שלשת שרשיו יחזיק שרש
Its procedure: Defining the square as a [perfect] square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	מלאכתו שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x}}$	תוסיף עליו שני שרשיו ויהיה אלגו ושני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+2x}=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$	ויחזיק שרש והוא דבר וחצי
the reason for defining its root is $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$:	והסבה למה הנחתי שרשו דבר וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{x^2+2x}=2\sqrt{x^2+2x}+\left(\frac{1}{2}\sdot2\sqrt{x^2+2x}\right)}}$	בעבור כי שלשת השרשים כמו שני השרשים וכמו חציים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)x\right]^2=\left(\sqrt{x^2+2x}\right)^2}}$	ותכה דבר וחצי בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{4}\right)x^2=x^2+2x}}$	ויהיה שני אלגו ורביע ישוה אלגו ושני שרשים
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{3}{5}}}$	ותכונהו עמו ויהיה שרש האלגו דרהם אחד ושלשה חומשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=2+\frac{2}{5}+\left({\color{red}{\frac{4}{5}}}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	והאלגו שני דרהמי ושני חומשים ורביע חומש החומש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x=\left[2+\frac{2}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]+\left(3+\frac{1}{5}\right)=5+\frac{3}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ואם תוסיף עליו שני שרשיו והם שלשה וחמשית יהיה חמשה דרהמי ושלשה חומשי' וארבעה חומשי החומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+2x}=2+\frac{2}{5}=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$	והוא ידוע כי שרשו כמו שרש האלגו הראשון וכמו חציו והוא שני דרהמי ושני חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{2x=\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}}$	ושני השרשים כמו האלגו וכמו רביעיתו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle3\sqrt{x^2+2x}&\scriptstyle=\sqrt{5+\frac{3}{5}+\left({\color{red}{\frac{4}{5}}}\sdot\frac{1}{5}\right)}\\&\scriptstyle=7+\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(x^2+2x\right)\\\end{align}}}$	והוא מחויב שיהיו שלשת שרשים מחמשה דרהמי ושלשה חומשים ורביע חומש מחמישית כמו שהוא האלגו ורביעיתו יותר והוא שבעה וחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2+2x+3\sqrt{x^2+2x}&\scriptstyle=\left[5+\frac{3}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]+\left(7+\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=12+\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}$	וכאשר תוסיפם על חמשה דרהמי ושלשה חומשים וארבעה חומשי החומש יהיה שנים עשר וארבעה חומשים וארבעה חומשי החומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{x^2+2x+3\sqrt{x^2+2x}}&\scriptstyle=\sqrt{12+\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}\\&\scriptstyle=3+\frac{3}{5}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\sqrt{5+\frac{3}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}\\\end{align}}}$	והוא ידוע כי שרשו הוא כמו שרש אחד וחצי מחמשה ושלשה חומשים וארבעה חומשי החומש והוא שלשה דרהמיש ושלשה חומשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\sqrt{12+\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}&\scriptstyle=16+\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{4}\right)\sdot\left[12+\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\\\end{align}}}$	והוא ראוי שיהיו ארבעה שרשים וחצי מי"ב וארבעה חומשים וארבעה חומשי החומש שיהיו כמו האלגו וכמו רביעיתו יותר והוא י"ו וחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{1}{5}\right)+\left[12+\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=29+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	וכאשר תוסיפם על י"ב וארבעה חומשים וארבעה חומשי החומש יהיה כ"ט וארבעה חומשי החומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{29+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}&\scriptstyle=5+\frac{2}{5}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\sqrt{12+\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}\\\end{align}}}$	והוא ידוע כי שרשו הוא כמו שרש אחד וחצי מי"ב וארבעה חומשי' וארבעה חומשי החומש והוא חמשה דרהמי ושני חומשים
	וכן אם תוסיף מה שתרצה מהשרשים על המתיחס אליו שאשר יתקבץ ממנו יחזיק שרש כמו שנאמר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\sqrt{\left[29+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]+\left(6+\frac{3}{4}\right)\sdot\sqrt{29+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}\\&\scriptstyle={\color{red}{8+\frac{1}{10}}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\sqrt{29+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}\\\end{align}}}$	כי כאשר נוסיף על כ"ט וארבעה חומשי החומש ששת שרשיו ושלשה רביעי השרש יהיה למתקבץ מהם שרש והוא כמו שרש וחצי מכ"ט וארבעה חומשים מחומש והוא שמנה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\sqrt{\left(8+\frac{1}{10}\right)^2+\left(10+\frac{1}{8}\right)\sdot\sqrt{\left(8+\frac{1}{10}\right)^2}}\\&\scriptstyle={\color{red}{12+\frac{1}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(8+\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}$	וכאשר תוסיף על המתקבץ עשרת שרשיו ושמינית השרש יחזיק המתקבץ מהם שרש והוא כמו שמנה עשר וכמו חציו שהם כ"ז
	וכן ימשכו כל אשר תרצה מההוספות כמו זה האופן כאשר תניח התוספת מתיחס לשאלה כאלו אמרנו שיחס השאלה הוא שששת שרשיו הם כמו שני השרשים וכמו חצים והולכים ומתוספים עד אין להם סוף
28) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+3x=n^2\\\scriptstyle x^2+3x+6\sqrt{x^2+3x}=m^2\end{cases}$	כח וכן אם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שלשת שרשיו יחזיק שרש ואם תקבץ עם העולה ששת שרשיו יחזיק שרש
Its procedure: Defining the square as a [perfect] square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	מלאכתו שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x}}$	תוסיף עליו שלשת שרשיו ויהיה האלגו ושלשה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+3x}=2x}}$	ושרשו שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{x^2+3x}=6x}}$	והסיבה בהניחנו שרשו שני דברים הוא בעבור כי ששת השרשים כמו שלשה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{2x\sdot2x}}$	ותכה שני דברים בשני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{4x^2=x^2+3x}}$	ויהיה ארבעה אלגוש ישוו אלגו ושלשה דברים
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=1}}$	ותכונהו עמו ויהיה הדבר ישוה דרהם אחד והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=1}}$	והאלגו דרהם אחד
	וכמו זה ימשך מה שתרצה מההוספות כפי יחס השאלה
$\scriptstyle\begin{align}&\scriptstyle x^2+3x\\&\scriptstyle+6\sqrt{x^2+3x}\\&\scriptstyle+12\sqrt{x^2+3x+6\sqrt{x^2+3x}}\\\end{align}$	נאמר כי כאשר תוסיף על מה שהתקבץ שנים עשר שרשים יחזיק שרש
	ואם תוסיף על המקובץ שרשו יחזיק שרש
$\scriptstyle+24\sqrt{x^2+3x+6\sqrt{x^2+3x}+12\sqrt{x^2+3x+6\sqrt{x^2+3x}}}$	וכאשר תוסיף על זה המקובץ עשרי' וארבעה שרשיו יחזיק המתקבץ שרש
$\scriptstyle+48\sqrt{\ldots}$ has a root	ואם תוסיף מ"ח שרשים יחזיק שורש
$\scriptstyle+96\sqrt{\ldots}$ has a root	ואם תוסיף צ"ו שרשים יחזיק שרש
	וכמעשה הזה יעלו כל מה שיפלו לפניך מזה המין כאשר יניחו השרשים השניים יותר מהראשונים
	ואם יונחו פחות מהראשונים לא יצאו עם זה המעשה
	אבל להם דרכים אחרים יצאו בהם והם אלו
29) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+2x=n^2\\\scriptstyle x^2+2x+\sqrt{x^2+2x}=m^2\end{cases}$	כט כאשר יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שני שרשים יחזיק שרש ואם תוסיף על המקובץ שרשו יחזיק שרש
Defining the square as a [perfect] square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ולידיעתו תניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x}}$	ותוסיף עליו שני שרשיו ויהיה אלגו ושני שרשי'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x+\sqrt{x^2+2x}}}$ should have a root	ותוסיף על הנקבץ שרשו והוא שרש האלגו ושני שרשים ויהיה אלגו ושני שרשי' ושרש האלגו ושני שרשים וצריך שיחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+2x+\sqrt{x^2+2x}}=x+\frac{1}{2}}}$	ונניח שרשו דבר וחצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x+\frac{1}{4}=x^2+2x+\sqrt{x^2+2x}}}$	ויהיה אלגו ודבר ורביעית דרהם ישוה אלגו ושני דברים ושרש מאלגו ושני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x-\left(x^2+x\right)}}$	ותגרע אלגו ושרש מאלגו ושני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\sqrt{x^2+2x}=\frac{1}{4}}}$	וישאר שרש ושרש מאלגו ושני שרשים ישוו רביעית דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}-x}}$	ותגרע שרש מרביעית דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}-x=\sqrt{x^2+2x}}}$	ישאר רביעית דרהם פחות שרש ישוה שרש מאלגו ושני שרשי'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}-x\right)^2}}$	ותכה רביעית דרהם פחות שרש בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{16}+x^2-\frac{1}{2}x=x^2+2x}}$	ויהיה חלק מי"ו ואלגו פחות חצי דבר ישוה אלגו ושני שרשים
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}}}$	ותכונהו עמו ויהיה השרש רביעית העשירית
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{1600}}}$	והאלגו חלק אחד מאלף ות"ר
We defined the root as $\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}}}$ in order that the square will be consumed and it will remain that things are equal to numbers.	והנחנו השרש דבר וחצי דרהם כדי שישחתו האלגוש וישארו דברים ישוו למספרים
30) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+4x=n^2\\\scriptstyle x^2+4x+2\sqrt{x^2+4x}=m^2\end{cases}$	ל וכן אם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו ארבעת שרשיו יחזיק שרש ואם תוסיף על המתקבץ שני שרשיו יחזיק שרש
Defining the square as a [perfect] square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x}}$	ותוסיף עליו ארבעת שרשיו ויהיה אלגו וארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x+2\sqrt{x^2+4x}=x^2+4x+\sqrt{4x^2+16x}}}$	ותוסיף על אלגו וארבעה דברים שני שרשיו ושרש ארבעה אלגוש וי"ו דברים ויהיה אלגו וארבעה דברים ושרש מארבעה אלגוש וי"ו דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x-\left(x^2+2x\right)}}$	ותגרע אלגוש ושני דברים מאלגו וארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{1=2x+\sqrt{4x^2+16x}}}$	וישאר דרהם אחד ישוה שני דברים ושרש מארבעה אלגוש וי"ו דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{1-2x}}$	ותגרע שני הדברים מהדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{1-2x=\sqrt{4x^2+16x}}}$	וישאר דרהם אחד פחות שני דברים ישוה שרש מארבעה אלגוש וי"ו דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1-2x\right)^2}}$	ותכה דרהם אחד פחות שני דברים בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{1+4x^2-4x=4x^2+16x}}$	ויהיה דרהם אחד וארבעה אלגוש פחות ארבעה שרשים ישוה ארבעה אלגוש וי"ו דברים
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}}}$	ותכוין עמו ויהיה הדבר חצי עשירית מדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{400}}}$	והאלגו חלק אחד מארבע מאות
Whichever of this species that you have, apply the procedure on its root, until you find it by reduction, when it remains that things are equal to numbers.	וכל אשר יפול בידך מזה המין תעשה מלאכה בשרשו עד שכאשר מצאת אותו עם הכוון ישאר דברים ישוו מספרים
This procedure is very useful.	וזאת המלאכה גדולת התועלת די מוגו אפרוביגו
31) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2-4x=n^2\\\scriptstyle x^2-4x-2\sqrt{x^2-4x}=m^2\end{cases}$	לא ואם יאמרו לך אלגו אם תגרע ממנו ארבעה שרשיו יחזיק שרש ואם תגרע מהנשאר שני שרשיו יחזיק שרש
Defining the square as a [perfect] square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ולידיעת זה תניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-4x}}$	ותגרע ממנו ארבעה שרשיו וישאר אלגו פחות ארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-4x=\left(\frac{1}{2}x\right)^2}}$	ויחזיק שרש והוא חצי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{2x=\frac{1}{2}\sdot4x}}$	והסיבה למה הנחתי חצי הדבר בעבור כי היו שני שרשים חצי הארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}x\right)^2}}$	ותכה חצי דבר בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}x^2=x^2-4{\color{red}{x}}}}$	ויהיה רביע אלגו ישוה אלגו פחות ארבעה אלגוש
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=5+\frac{1}{3}}}$	ותכונהו עמו ויהיה שרש האלגו חמשה ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=28+\frac{4}{9}}}$	והאלגו עשרים ושמנה וארבעה תשיעיות
The ratio of the roots in this question and its similar is treated as in the preceding question.	וזאת השאלה והדומים אליה יתנהג בה יחס השרשים כאשר נהגנו בשאלה שקדמה לה
We say that when you subtract from the remainder its root, it has a root; and if you subtract from that remainder half of its root, it has a root; then a quarter of its root; an eighth of its root; half the eighth of its root - each of the subtracted numbers are half their preceding numbers, for two roots and half the four roots $\scriptstyle{\color{blue}{2a=\frac{1}{2}\sdot4a}}$	נאמר כי כאשר תגרע מהנשאר שרשו יחזיק שרש ואם תגרע מהנשאר חצי שרשו יחזיק שרש וכן רביעית שרשו ושמינית שרשו וחצי שמינית שרשו כל אחד מאלו המספרים הנגרעים חצי המספרים הנגרעים שהם קודמים אליו בעבור כי שני השרשים חצי הארבעה השרשים
Whichever of this species that you have, solve it by this method when the secondary roots are less than the primary roots.	וכל אשר יפול לפניך מזה המין תעשהו עם זה האופן כאשר הניחו השרשים השניים פחות מהראשונים
32) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+x=n^2\\\scriptstyle x^2+1=m^2\end{cases}$	לב ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שרשו יחזיק שרשו ואם תוסיף עליו דרהם אחד יחזיק שרש
Defining the square as a [perfect] square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x}}$ has a root	ותוסיף עליו שרשו ויהיה אלגו ודבר ויחזיק שורש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1}}$ has a root	ותוסיף על האלגו אדרהם אחד ויהיה אלגו ודרהם אחד ויחזיק שורש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+x}}}$	ותשוב ותניח שרש האלגו ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{2}}}$	ושרש מאלגו ודרהם אחד פחות חצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{x^2+x}\right)^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{2}\right)^2}}$	ותכם בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1+\frac{1}{4}-\sqrt{x^2+1}=x^2+x}}$	ויהיה אלגו ודרהם ורביע פחות שרש מאלגו ודרהם אחד ישוה אלגו ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x^2}}$	ותגרע אלגו מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{4}-\sqrt{x^2+1}=x}}$	וישאר דרהם אחד ורביע פחות שרש מאלגו ודרהם אחד ישוה שרש
Restoring the $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{4}}}$: $\scriptstyle{\color{blue}{x+\sqrt{x^2+1}}}$	ותאסוף האדרהם ורביע עם שרש מאלגו ודרהם אחד ותוסיפם על השרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\sqrt{x^2+1}=1+\frac{1}{4}}}$	ויהיה שרש ושרש מאלגו ודרהם אחד ישוה דרהם ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{4}\right)-x}}$	ותגרע השרש מדרהם ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{4}\right)-x=\sqrt{x^2+1}}}$	ישאר דרהם ורביע פחות דבר ישוה שרש מאלגו ודרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+\frac{1}{4}\right)-x\right]^2}}$	ותכה האדרהם ורביע פחות דבר בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+{\color{red}{x^2}}-\left(2+\frac{1}{2}\right)x=x^2+1}}$	ויהיה אדרהם וחצי וחצי שמינית פחות שני שרשים וחצי ישוה אלגו ודרהם אחד
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=\frac{9}{40}}}$	ותכונהו עמהם ויהיה הדבר ישוה תשעה חלקים מארבעים והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{81}{1600}}}$	והאלגו פ"א חלקים מאלף ות"ר
Its root was defined as $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{2}}}$ in order that after the reduction the roots will be equal to [dirhams].	והנחנו שרשו אלגו ודרהם פחות חצי דרהם למען ישאר אחר הכוון שרשים ישוו לדרהם אחד
33) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2-5=n^2\\\scriptstyle x^2-5+\sqrt{x^2-5}=m^2\end{cases}$	לג ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תגרע ממנו חמשה דרהמי יחזיק הנשאר שרש ואם תוסיף על הנשאר שרשו יחזיק המקובץ שרש
Defining the square as a [perfect] square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-5}}$ [has a root]	ותגרע ממנו חמשה דרהמי וישאר אלגו פחות חמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-5+\sqrt{x^2-5}}}$ [has a root]	ותוסיף על אלגו פחות חמשה דרהמי שרשו והוא שרש האלגו פחות חמשה דרהמי ויהיה אלגו פחות חמשה דרהמי ושרש מהאלגו פחות חמשה דרהמי
Defining its root as a thing [minus half dirham] $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-5+\sqrt{x^2-5}}=x{\color{red}{-\frac{1}{2}}}}}$	ותניח שרשו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x{\color{red}{-\frac{1}{2}}}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\frac{1}{4}-x=x^2-5+\sqrt{x^2-5}}}$	ויהיה אלגו ורביע דרהם פחות שרש ישוה אלגו פחות חמשה דרהמי והוא שרש מאלגו פחות חמשה דרהמי
Restoring the $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\sqrt{x^2-5}}}$: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\frac{1}{4}-x+5}}$	ותאסוף זה האלגו עם החמשה וזה יהיה עם השרש ותוסיף החמשה על אלגו ורביע דרהם והשרש אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{4}\right){\color{red}{-x}}=\sqrt{x^2-5}}}$	ויהיה השרש אלגו וחמשה דרהמי ורביע מהדברים ישוה שרש האלגו פחות חמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(5+\frac{1}{4}\right){\color{red}{-x}}\right]^2}}$	ותכה חמשה דרהמי ורביע הדברי' בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[27+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+x^2-\left(10+\frac{1}{2}\right)x=x^2-5}}$	ויהיה עשרים ושבעה דרהמי וחצי וחצי שמינית ואלגו פחות עשרה שרשים וחצי שרש ישוה אלגו פחות חמשה דרהמי
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=3+\frac{17}{1{\color{red}{68}}}}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר ישוה שלשה דרהמי ושבעה עשר חלקים מקפ"ט והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9+\frac{103}{168}+\frac{121}{28224}}}$	והאלגו תשעה דרהמי וק"ג חלקים מקס"ח חלקים וקכ"א חלקים מכ"ח אלפים ורכ"ד חלקים באחד
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2-5=4+\frac{103}{168}+\frac{121}{28224}}}$	וכאשר תגרע ממנו חמשה ישאר ארבעה דרהמי וק"ג חלקים מקס"ח וקכ"א חלקים מכ"ח אלפים ורכ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2-5+\sqrt{x^2-5}&\scriptstyle=\left(4+\frac{103}{168}+\frac{121}{28224}\right)+\left(2+{\color{red}{\frac{25}{168}}}\right)\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{10{\color{red}{1}}}{168}\right)^2\\\end{align}}}$	ותוסיף עליו שרשו שהוא שני דרהמי וכ"ה חלקים מקס"ח וקכ"א חלקים מכ"ח אלפים ורכ"ד ויחזיק שורש והוא שני דרהמי ומאה דרהמי מקס"ח חלקים
34) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+4x=n^2\\\scriptstyle x^2-\left(2x+1\right)=m^2\end{cases}$	לד ואם יאמרו לך אלגו שיחזיק שורש אם תוסיף עליו ארבעת שרשיו יחזיק שרש ואם תגרע ממנו שני שרשיו ודרהם אחד יחזיק הנשאר שרש
Defining the square as a [perfect] square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x}}$ has a root	ותוסיף עליו ארבעת שרשיו ויהיה אלגו וארבעה שרשי' ויחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(2x+1\right)}}$ has a root	ותגרע מהאלגו שני שרשיו ודרהם אחד וישאר אלגו פחות שני שרשים ודרהם אחד ויחזיק שרש
Define its root as I explained to you in the reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+4x}-3}}$	ותניח שרשו כמו שאבאר לך בכוון שלא יתכן להיות שרש אחד מאלגו וארבעה דברים פחות שלשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{x^2+4x}-3\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9+4x-6\sqrt{x^2+4x}=x^2-\left(2x+1\right)}}$	ויהיה אלגו ותשעה דרהמי וארבעה שרשים פחות ששה שרשים מאלגו וארבעה דברים ישוו אלגו פחות שני שרשים ודרהם אחד
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+6x+10=x^2+6\sdot\sqrt{x^2+4x}}}$	ותכוין עמו ויהיה אלגו וששה שרשים ועשרה דרהמי ישוה אלגו וששה שרשים מאלגו וארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot\sqrt{x^2+4x}=\sqrt{36x^2+144x}}}$	וששה שרשים מאלגו וארבעה דברים שרש מל"ו אלגוש וקמ"ד דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x^2}}$	ותגרע אלגו מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{6x+10=\sqrt{36x^2+144x}}}$	וישאר ששה שרשים ועשרה דרהמי ישוה שרש מל"ו אלגוש וקמ"ד דברים
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=4+\frac{1}{6}}}$	ותכוין בהם ויהיה הדבר ישוה ארבעה דרהמי ושתות והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=17+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$	והאלגו שבעה עשר דרהמיש ורביע התשיעית
35) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2-2x=n^2\\\scriptstyle x^2-2x+\sqrt{x^2-2x}=m^2\end{cases}$	לה ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תגרע ממנו שני שרשיו יחזיק שרש ואם תוסיף על הנשאר שרשו יחזיק שרש
Defining the square as a [perfect] square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-2x}}$ [has a root]	ותגרע ממנו שני שרשיו וישאר אלגו פחות שני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-2x+\sqrt{x^2-2x}}}$ has a root	ותוסיף עליו שרשו ויהיה אלגו פחות שני שרשים ושרש האלגו פחות שני שרשים ויחזיק שרש
Defining its root as a thing minus one and a half dirham $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-2x+\sqrt{x^2-2x}}=x-\left(1+\frac{1}{2}\right)}}$	ותניח שרשו דבר פחות דרהם אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[x-\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]^2}}$	ותכם בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\left(2+\frac{1}{4}\right)-3x=x^2-2x+\sqrt{x^2-2x}}}$	ויהיה אלגו ושני דרהמי ורביע פחות שלשה שרשים ישוה אלגו פחות שני שרשים ושרש מאלגו פחות שני שרשים
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x+\sqrt{x^2-2x}=2+\frac{1}{4}}}$	ותכוין בהם ויהיה אחר הכוון דבר ושרש מאלגו פחות שני שרשים ישוו שני דרהמי ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{4}\right)-x}}$	ותגרע דבר משני דרהמי ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{4}\right)-x=\sqrt{x^2-2x}}}$	ישאר שני דרהמי ורביע פחות דבר ישוה שרש מאלגו פחות שני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2+\frac{1}{4}\right)-x\right]^2}}$	ותכה שני דרהמי ורביע פחות דבר בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+x^2-\left(4+\frac{1}{2}\right)x=x^2-2x}}$	ויהיה חמשה דרהמי וחצי שמינית ואלגו פחות ארבעה דברים וחצי דבר ישוה אלגו פחות שני שרשים
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר שני דרהמי ורביע עשירית והוא שורש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4+\frac{1}{10}{\color{red}{+}}\frac{1}{1600}}}$	והאלגו ארבעה ועשירית אחד מחלק אחד מאלף ת"ר
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2-2x&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{10}+\frac{1}{1600}\right)-\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)+\frac{1}{1600}\\\end{align}}}$	ותגרע ממנו שני שרשיו והם ארבעה וחצי עשירית ישאר חצי עשירית וחלק אחד מאלף ת"ר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2-2x+\sqrt{x^2-2x}&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)+\frac{1}{1600}\right]+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)+\frac{1}{1600}\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]^2\\\end{align}}}$	ותוסיף עליו שרשו והוא חומש אחד ורביעית העשירית יהיה רביע אחד ורובע העשירית וחלק אחד מאלף ת"ר ומחזיק שרש והוא חצי ורביע העשירית
36) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+3x+1=n^2\\\scriptstyle x^2-\left(3x-2\right)=m^2\end{cases}$	לו ואם יאמרו לך אלגו שיחזיק שרש אם תוסיף עליו שלשת שרשיו ודרהם אחד יחזיק שרש ואם תגרע ממנו שלשת שרשיו פחות שני דרהמי יחזיק מה שישאר שרש
Defining the square as a [perfect] square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x+1}}$ has a root	ותוסיף עליו שלשת שרשיו ודרהם אחד ויהיה אלגו ושלשה שרשים ודרהם אחד ויחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(3x-2\right)=x^2+2-3x}}$ has a root	ותגרע מהאלגו שלשת שרשיו פחות שני דרהמי וישאר אלגו ושני דרהמי פחות שלשה שרשים ומחזיק שרש
Defining its root as a root of a square plus three roots and one dirham minus three dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+2-3x}=\sqrt{x^2+3x+1}-3}}$	ותניח שרשו שרש מאלגו ושלשה שרשים ודרהם אחד פחות שלשה דרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{x^2+3x+1}-3\right)^2}}$	ותכם בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x+10-\sqrt{36x^2+36+108x}=x^2+2-3x}}$	ויבא אלגו ושלשה שרשים ועשרה דרהמי פחות שרש מל"ו אלגוש ול"ו דרהמי וק"ח דברים ישוו אלגו ושני דרהמי פחות שלשה שרשים
Confrontation:
$\scriptstyle{\color{blue}{6x+8=\sqrt{36x^2+36+{\color{red}{1}}08x}}}$	ותכוין עמהם ויהיה אחר הכוון ששה דברים ושמנה דרהמי ישוה שרש מל"ו אלגוש ול"ו דרהמיש ור"ח דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(6x+8\right)^2}}$	ותכה ששה דברים ושמנה דרהמי בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{36x^2+96x+64=36x^2+36+108x}}$	ויהיה ל"ו אלגוש וצ"ו דברי' וס"ד דרהמי ישוו ל"ו אלגו ול"ו דרהמי וק"ח דברים
Confrontation:
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=2+\frac{1}{3}}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר שני דרהמי ושליש אחד והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=5+\frac{4}{9}}}$	והאלגו חמשה דרהמי וארבעה תשיעיות
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x+1=13+\frac{4}{9}=\left(3+\frac{2}{3}\right)^2}}$	ואם תוסיף עליו שלשת שרשיו ודרהם אחד יהיה שלשה עשר דרהמי וארבעה תשיעיות ושרשו ג' דרהמי ושני שלישים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(3x-2\right)=\frac{4}{9}=\left(\frac{2}{3}\right)^2}}$	ואם תגרע ממנו שלשת שרשיו פחות שנים דרהמי ישאר ארבעה תשיעיות ושרשו שנים שלישיות
37) If you are told: a square that has a root, if you subtract one dirham minus the root of the square from it, it has a root; [and if you subtract its root minus one dirham from it, it has a root]. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{x^2-\left(x-1\right)=n^2}}\\\scriptstyle x^2-\left(1-x\right)=m^2\end{cases}$	לז ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תגרע ממנו דרהם אחד פחות שרש האלגו יחזיק הנשאר שרש
Defining the square as a [perfect] square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1-x}}$ has a root	ותוסיף עליו דרהם אחד פחות שרש האלגו ויהיה אלגו ודרהם אחד פחות שרש האלגו ומחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(1-x\right)=x^2+x-1}}$ has a root	ואם תגרע מהאלגו דרהם אחד פחות שרש האלגו ישאר אלגו ושרש פחות דרהם אחד ומחזיק שרש
Defining: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+1-x}=1-\sqrt{x^2+x-1}}}$	ותניח שרש האלגו אלגו ודרהם אחד פחות דבר ודרהם אחד פחות שרש האלגו ושרש פחות דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1-\sqrt{x^2+x-1}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x-2\sqrt{x^2+x-1}=x^2+1-x}}$	ויהיה אלגו ושרש פחות שני שרשים מאלגו ושרש פחות דרהם אחד ישוה אלגו ודרהם אחד פחות שרש
Restoration:
Restore them with the root by adding it to the square and the root; restore the one with two roots of a square and a root minus one dirham by adding it to the square and one dirham; subtract a square from a square; one dirham and [two roots] of a square and a root minus one dirham remain equal two things. $\scriptstyle{\color{blue}{x+x=x^2-x^2+1+2\sqrt{x^2+x-1}\longrightarrow1+{\color{red}{2}}\sdot\sqrt{x^2+x-1}=2x}}$	ותאספם עם השרש ותוסיפהו עם האלגו ושרש ותאסוף האחד עם שני שרשים מאלגו ושרש פחות דרהם אחד ותוסיפהו על האלגו ודרהם אחד ותגרע אלגו מאלגו וישאר דרהם אחד ושרש מאלגו ושרש פחות דרהם אחד ישוו שני דברים
Subtract one dirham from two things; two things minus one dirham remain equal two roots of a square and a root minus one dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{2x-1=2\sdot\sqrt{x^2+x-1}}}$	ותגרע דרהם אחד משני דברים וישאר שני דברים פחות דרהם אחד ישוה שני שרשים מאלגו ושרש פחות דרהם אחד
It half, which is a thing minus half a dirham, is equal to a root of a square and a root minus one dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{2x-1=2\sdot\sqrt{x^2+x-1}\quad/\sdot\frac{1}{2}\longrightarrow x-\frac{1}{2}=\sqrt{x^2+x-1}}}$	וחציו שהוא דבר פחות חצי דרהם ישוה שרש מאלגו ושרש פחות דרהם אחד
Multiply a thing minus half a dirham by itself; it is a square and a quarter of a dirham minus a thing equal a square and a root minus one dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=x^2+\frac{1}{4}-x=x^2+x-1}}$	ותכה דבר פחות חצי דרהם בעצמו ויהיה אלגו ורביע דרהם פחות דבר ישוה אלגו ושרש פחות דרהם אחד
Confrontation:
Confront them; the thing is five-eighths of a dirham and this is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=\frac{5}{8}}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר חמשה שמיניות מדרהם והוא שרש האלגו
The square is three-eighths and one-eighth of an eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	והאלגו שלשה שמיניות ושמינית אחד משמינית
38) If you are told: a square that has a root, if you add two dirham minus the root of the square to it, it has a root; and if you subtract three minus the root of the square from it, it has a root. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+\left(2-x\right)=n^2\\\scriptstyle x^2-\left(3-x\right)=m^2\end{cases}$	לח ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שני דרהמי פחות שרש האלגו יחזיק שרש ואם תגרע ממנו שלשה פחות שרש האלגו יחזיק שרש
Defining the square as a [perfect] square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ולידיעת זה תשים האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2-x}}$ has a root	ותוסיף עליו שני דרהמי פחות שרש ויהיה אלגו ושני דרהמי פחות שרש ויחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(3-x\right)=x^2+x-3}}$ has a root	ותגרע ממנו שלשה פחות שרש וישאר אלגו ושרש פחות שלשה דרהמי ויחזיק שרש
Defining: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+2-x}=1+\sqrt{x^2+x-3}}}$	ותניח שרש האלגו ושני דרהמי פחות שרש מדרהם אחד ושרש מאלגו ושרש פחות שלשה דרהמי
Multiply it by itself; it is a square and a root minus two dirham plus two roots of a square [and a root] minus three dirham equal a square and two dirham minus a root. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\sqrt{x^2+x-3}\right)^2=x^2+x-2+2\sqrt{x^2+{\color{red}{x}}-3}=x^2+2-x}}$	ותכהו בעצמו ויהיה אלגו ושרש פחות שני דרהמי ושני שרשים מאלגו פחות שלשה דרהמי ישוה אלגו ושנים דרהמי פחות שרש
Restoration:
Restore the square and two dirham with the root by adding it to the square and the root minus two dirham and subtract a square from a square; two roots and [two roots] of a square and a root minus three dirham remain equal four dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x^2+x+x+2\sqrt{x^2+{\color{red}{x}}-3}=2+2\longrightarrow2x+{\color{red}{2}}\sqrt{x^2+x-3}=4}}$	ותאסוף האלגו ושני דרהמי עם השרש ותוסיפיהו עם האלגו ושרש פחות שני דרהמי ותגרע אלגו מאלגו וישאר שני שרשים ושרש מאלגו ושרש פחות שלשה דרהמי ישוה ארבעה דרהמי
Subtract the two roots from the four dirham; four dirham minus two roots remain equal two roots of a square and a root minus three dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{4-2x=2\sdot\sqrt{x^2+x-3}}}$	ותגרע שני השרשים מהארבעה דרהמיש ישאר ארבעה דרהמי פחות שני שרשים ישוה שנים שרשים מאלגו ושרש פחות שלשה דרהמי
Take its half; it is two dirham minus a root equal a root of a square and a root minus three dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{4-2x=2\sdot\sqrt{x^2+x-3}\quad/\sdot\frac{1}{2}\longrightarrow2-x=\sqrt{x^2+x-3}}}$	ותקח חציו והוא שני דרהמי פחות שרש ישוה אלגו ושרש פחות שלשה דרהמי
Multiply two dirham minus a thing by itself; it is four dirham and a square minus four things equal a square and a root minus three dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2-x\right)^2=4+x^2-4x=x^2+x-3}}$	ותכה שני דרהמי פחות דבר בעצמו ויהיה ארבעה דרהמי ואלגו פחות ארבעה דברים ישוה אלגו ושרש פחות שלשה דרהמי
Confrontation:
Confront them; the thing is equal to one dirham and two-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{2}{5}}}$	ותכוין בהם ויהיה הדבר ישוה דרהם אחד ושני חומשים
The square is one dirham, four-fifths, and four-fifths of a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=1+\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	והאלגו דרהם אחד וארבעה חומשים וארבעה חומשים מחומש
39) If you are told: a square that has a root, if you add its root plus one dirham to it, it has a root; and if you add to the square its two roots plus two dirham, it has a root. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+x+1=n^2\\\scriptstyle x^2+2x+2=m^2\end{cases}$	לט ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שרשו ודרהם אחד יחזיק שרש ואם תוסיף על האלגו שני שרשיו ושני דרהמי יחזיק שרש
Knowing this is that you assume the square is a square [$\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$].	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו
Add its root plus one dirham to it; it is a square and a root plus one dirham and it has a root. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x+1}}$	ותוסיף עליו שרשו ודרהם אחד ויהיה אלגו ושרש ודרהם אחד ויחזיק שרש
Add to the square its two roots plus two dirham; it has a root. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x+2}}$ has a root	ותוסיף על האלגו שני שרשיו ושני דרהמי ויחזיק שרש
Suppose its root is half a dirham plus a root of a square plus a root and one dirham that is equal to a square and two roots plus two dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+2x+2}=\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}}}$	ותניח שרשו חצי דרהם ושרש מאלגו ושרש ודרהם אחד ישוה אלגו ושני שרשים ושני דרהמי
Subtract a square plus a root and one dirham and a quarter from a square plus two roots and two dirham; a thing plus three-quarters of a dirham remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2+2x+2\right)-\left[\left(x^2+x+1\right)+\frac{1}{4}\right]=x+\frac{3}{4}}}$	ותגרע אלגו ושרש ודרהם אחד ורביע מאלגו ושני שרשים ושני דרהמי וישאר דבר ושלשה רביעי דרהם
Multiply it by itself; it is a square, plus a thing and a half, plus half a dirham and half an eighth equal a square and a root plus [one] dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+\frac{3}{4}\right)^2\longrightarrow x^2+\left(1+\frac{1}{2}\right)x+\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]=x^2+x+{\color{red}{1}}}}$	ותכהו בעצמו ויהיה אלגו ודבר וחצי וחצי דרהם וחצי שמינית ישוה אלגו ושרש ושני דרהמי
Confrontation:
Confront them; the thing is seven-eighths and this is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=\frac{7}{8}}}$	ותכוין בהם ויהיה הדבר שבעה שמיניות והוא שרש האלגו
The square is [six] eighths and one-eighth of an eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{{\color{red}{6}}}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	והאלגו חמשה שמיניות ושמינית השמינית

Word Problems
40) If you are told: four people gathered to buy a beast. The first said to the three [others]: if you give me half of what you have I will have the price of the beast. The second asked the three [others] for a third. The third asked the three [others] for a quarter. The fourth asked the three [others] for a fifth of what they have How much is the price of the beast and how much money does each of them have?	מ) ואם יאמרו לך ארבעה אנשים התקבצו יחד לקנות בהמה אחת ואמר הראשון לשלשה אם תתנו לי החצי מאשר תחזיקו יהיה לי ערך הבהמה ושאל השני לשלשה השלישית ושאל השלישי לשלשה הרביעית ושאל האיש הרביעי לשלשה החומש מאשר להם כמה יהיה ערך הבהמה וכמה ממון כל אחד מהם
$\scriptstyle{\color{blue}{a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c+d\right)\right]=b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c+d\right)\right]=c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b+d\right)\right]=d+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a+b+c\right)\right]}}$
Knowing this is that you assume the first has a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$], the second a dinar [$\scriptstyle{\color{blue}{y}}$], the third a dirham [$\scriptstyle{\color{blue}{u}}$], and the fourth a fals [$\scriptstyle{\color{blue}{v}}$]	וידיעת זה שתניח אל האחד דבר ולשני דינר אחד ולשלישי דרהם אחד ולרביעי פלס אחד
The first, who has a thing, says to the three: give me half of what you have, I will add it to what I have and I will have the price of the beast.	ואמר הראשון שמחזיק דבר אל השלשה תנו לי החצי מאשר לכם ואקבצהו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה
Half of what they have is half a dinar, half a dirham, and half a fals. When they are added to the thing that he has, it is a thing, half a dinar, half a dirham, and half a fals; this is the price of the beast. $\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v}}$	ומחצית אשר להם הוא חצי דינר וחצי דרהם וחצי פלס וכאשר קובצו עם הדבר אשר הוא מחזיק יהיה דבר וחצי דינר וחצי דרהם וחצי פלס והוא ערך הבהמה
The second, who has one dinar, says to the three: give me a third of what you have, I will add it to what I have and I will have the price of the beast.	ואמר השני אשר לו דינר אחד לשלשה תנו לי השלישית מאשר לכם ואקבצהו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה
A third of what they have is: a third of a thing, a third of a dirham, and a third of a fals. When they are added to the dinar that he has, he has in his hand one dinar, a third of a thing, a third of a dirham, and a third of a fals; this is the price of the beast. $\scriptstyle{\color{blue}{y+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}v}}$	ושלישית אשר להם הוא שלישית דבר ושלישית דרהם ושלישית פלס וכאשר קובצו עם הדינר אשר לו יהיו בידו דינר אחד ושלישית דבר ושלישית דרהם ושלישית פלס והוא ערך הבהמה
It is equal to the thing, half a dinar, half a dirham, and half a fals. $\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v=y+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}v}}$	וזה יהיה שוה לדבר וחצי דינר וחצי דרהם וחצי פלס
Confrontation:
You confront them by subtracting a third of a thing from a whole thing; two-thirds of a thing remain. $\scriptstyle{\color{blue}{x-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}x}}$	ותכוין בהם ויהיה זה שתגרע שלישית דבר מדבר שלם וישאר שני שלישי דבר
Subtract a third of a dirham from half a dirham; one-sixth of a dirham remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}u-\frac{1}{3}u=\frac{1}{6}u}}$	ותגרע שליש דרהם מחצי דרהם וישאר ששית דרהם
Subtract a third of a fals from half a fals; one-sixth of a fals remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}v-\frac{1}{3}v=\frac{1}{6}v}}$	ותגרע שליש פלס מחצי פלס וישאר ששית פלס
Subtract half of [a dinar] from one dinar; half dinar remains, which is equal to two-thirds of a thing, a sixth of a dirham, and a sixth of a fals. $\scriptstyle{\color{blue}{y-\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}u+\frac{1}{6}v}}$	ותגרע חצי גאקיש מדינר אחד וישאר חצי דינר ישוה שני שלישי דבר ושתות דרהם ושתות פלס
The dinar equals a thing and one-third of a thing, one-third of a dirham, and one-third of a fals. $\scriptstyle{\color{blue}{y=1\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}v}}$	והדינר ישוה דבר ושליש דבר ושליש דרהם ושליש אלפלס
A quarter of a dinar equals one-third of a thing, half a sixth of a dirham, and half a sixth of a fals. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}y=\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)u+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)v}}$	ורביע דינר ישוה שליש דבר וחצי שתות דרהם וחצי שתות פלס
A fifth of a dinar equals one-fifth of a thing and a fifth of a third of a thing, a fifth of a third of a dirham, and fifth of a third of a fals. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}y=\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\right)\right]x+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\right)u+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\right)v}}$	וחמישית דינר ישוה חמישית דבר וחמישית שלישית הדבר וחמישית שלישית דרהם וחמישית שלישית פלס
Suppose the price of the beast is a thing, half a dinar, half a dirham, and half a fals.	ותניח ערך הבהמה דבר וחצי דינר וחצי דרהם וחצי אלפלס
Remove half the dinar from the price of the beast and put half the worth of the dinar instead, which is two-thirds of a thing, one-sixth of a dirham, and one-sixth of a fals. The price of the beast is a thing and two-thirds of a thing, two-thirds of a dirham and two-thirds of a fals.	ותגרע חצי הדינר מערך הבהמה ותניח במקומו חצי אשר ישוה הדינר והוא שני שלישי דבר ושתות דרהם ושתות אלפלס ויהיה ערך הבהמה דבר ושני שלישים מדבר ושני שלישי דרהם ושני שלישי אלפלס
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v=x+\left[\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}u+\frac{1}{6}v\right]+\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v=1\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}u+\frac{2}{3}v}}$
We have already removed the dinar and placed a thing and a third of a thing, a third of a dirham and a third of a fals instead.	וכבר הסירונו מספר הדינר והנחנו במקומו דבר ושליש דבר ושליש דרהם ושליש פלס
The third, who has one dirham, says: give me a quarter of what you have, I will add it to what I have and I will have the price of the beast.	ואמר השלישי אשר לו דרהם אחד תנו לי הרביעית מאשר לכם ואקבצהו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה
A quarter of what they have is: a quarter of a thing, a quarter of a dinar, and a quarter of a fals. When you add them to the dirham that he has, then remove the amount of the dinar and put instead the value of a quarter of a dinar as explained above, what is in his hand is a third and a quarter of a thing, one dirham and half a sixth of a dirham, and a third of a fals; this is the price of the beast. It is equal to a thing and two-thirds of a thing, two-thirds of a dirham, and two-thirds of a fals.	ורביעית אשר להם הוא רביעית הדבר ורביעית דינר ורביעית פלס וכאשר תקבצם עם האדרהם אשר לו יהיו ותסיר סך הדינר ותניח במקומו אשר ישוה רביעית הדינר כמבואר למעלה יהיו אז מה שבידו שלישית דבר ורביעית דבר ודרהם וחצי שתות דרהם ושליש אלפלס והוא ערך הבהמה ויהיה שוה לדבר ושני שלישי דבר ושני שלישי דרהם ושני שלישי אלפלס
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle u+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}v=u+\frac{1}{4}x+\left[\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)u+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)v\right]+\frac{1}{4}v&\scriptstyle=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)x+\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]u+\frac{1}{3}v\\&\scriptstyle=1\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}u+\frac{2}{3}v\\\end{align}}}$
Confrontation:
You confront them by subtracting a third and a quarter of a thing from a thing and two-thirds of a thing; and a third of a fals from two-thirds of a fals; a thing and half a sixth plus one-third of a fals remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+\frac{2}{3}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\right]x+\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right)v=\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x+\frac{1}{3}v}}$	ותכוין בהם והוא שתגרע שלישית דבר ורביעית דבר מדבר ושני שלישי דבר ושליש פלאס משני שלישי פלאס וישאר דבר וחצי ושתות ושליש פלאס
Subtract two-thirds of a dirham from a dirham and half a sixth; a quarter and a sixth of a dirham remain that are equal to a thing and half a sixth of a thing plus one-third of a fals. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]-\frac{2}{3}\right]u=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)u=\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x+\frac{1}{3}v}}$	ותגרע שני שלישי דרהם מדרהם וחצי שתות וישאר רביע ושתות דרהם ישוה דבר וחצי שתות דבר ושליש פלאס
The dirham equals two things and three-fifths of a thing, plus four-fifths of a fals. $\scriptstyle{\color{blue}{u=\left(2+\frac{3}{5}\right)x+\frac{4}{5}v}}$	והדרהם ישוה שני דברים ושלשה חומשי דבר וארבעה חומשי אלפלאס
Remove two-thirds of a dirham from the price of the beast and put two-thirds the value of the dirham instead, which is a thing, a third and two-fifths of a thing, plus one-third and one-fifth of a fals. The price of the beast is three things and two-fifths of a thing, plus one fals and a fifth of a fals.	ותסיר השני שלישי דרהם מערך הבהמה ותשים במקומם שני שלישים ממה ששוה הדרהם והוא דבר ושליש ושני חומשי דבר ושליש וחומש אלפלאס ויהיה ערך הבהמה שלשה דברים ושני חומשי דבר ופלס אחד וחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{1\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}u+\frac{2}{3}v=1\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\sdot\left[\left(2+\frac{3}{5}\right)x+\frac{4}{5}v\right]+\frac{2}{3}v=1\frac{2}{3}x+\left[\left(1+\frac{1}{3}+\frac{2}{5}\right)x+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)v\right]+\frac{2}{3}z=3\frac{2}{5}x+1\frac{1}{5}v}}$
We have already removed the dirham and placed two things and three-fifths of a thing, plus four-fifths of a fals instead.	וכבר לקחנו הדרהם ושמנו במקומו שני דברים ושלשה חומשי דבר וארבעה חומשי אלפלאס
Remove a third of the dirham from the value of the dinar and put a third of the worth of the dirham instead, which is two-thirds and a fifth of a thing, plus a fifth and a third of a fifth of a fals. The value of the dinar is two things and a fifth, plus three-fifths of a fals.	ותגרע שלישית הדרהם אשר הוא בערך הדינר ותניח במקומו שלישית מה שישוה הדרהם והוא שני שלישי דבר וחומש דבר וחומש אלפלאס ושלישית חומש אלפלאס ויהיה ערך הדינר שני דברים וחומש ושלשה חומשי אלפלאס
$\scriptstyle{\color{blue}{y=1\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}v=1\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\sdot\left[\left(2+\frac{3}{5}\right)x+\frac{4}{5}v\right]+\frac{1}{3}v=1\frac{1}{3}x+\left[\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\right)x+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]v\right]+\frac{1}{3}v=2\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}v}}$
It turns out that the first has a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$]	הנה התבאר שיחזיק הראשון דבר
The second that has a dinar, has two things and a fifth, plus three-fifths of a fals. $\scriptstyle{\color{blue}{y=2\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}v}}$	והשני והוא אותו מהדינר יחזיק שני דברים וחומש ושלשה חומשי אלפלס
The third that has a dirham, has two things and three-fifths of a thing, plus four-fifths of a fals. $\scriptstyle{\color{blue}{u=2\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}v}}$	והשלישי והוא אותו מהדרהם יחזיק שני דברים ושלשה חומשי דבר וארבעה חומשי אלפלס
The price of the beast is three things and two-fifths, plus one fals and a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{3\frac{2}{5}x+1\frac{1}{5}v}}$	וערך הבהמה יהיה שלשה דברים ושני חומשי דבר ופלס אחד וחומש
The fourth man, who has one fals, says to the three: give me a fifth of what you have, I will add it to what I have and I will have the price of the beast.	ואמר האיש הרביעי המחזיק אלפלס אחד אל השלשה תנו לי החמישית ממה שבידכם ואקבצהו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה
A fifth of what they have is: a thing and four-fifths of a fifth of a thing, plus a fifth of a fals and two-fifths of a fifth of a fals. When we add them to the fals that he has, he gets one fals, a fifth and two-fifths of a fifth of a fals, plus a thing and four-fifths of a fifth of a thing. All this is equal to the price of the beast, which is three things and two-fifths of a thing, plus one fals and a fifth of a fals.	וחמישית אשר להם הוא דבר וארבעה חומשי חמישית דבר וחמישית אלפלס ושני חומשי חמישית אלפלס וכאשר קבצנום עם האלפלס אשר הוא מחזיק יהיה לו אלפלס אחד וחמישית אלפלס ושני חומשי חמישית אלפלאס ודבר וארבעה חומשי חמשית דבר וישוה כל זה ערך הבהמה שהוא שלשה דברים ושני חומשי דבר ופלס אחד וחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle v+\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}u&\scriptstyle=v+\frac{1}{5}\sdot\left[x+\left(2\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}v\right)+\left(2\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}v\right)\right]=v+\left[\left[1+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]x+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]v\right]\\&\scriptstyle=\left[1+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]x+\left[1+\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]v=3\frac{2}{5}x+1\frac{1}{5}v\\\end{align}}}$
Confrontation:
Subtract a fals and a fifth of a fals from a fals, a fifth, and two-fifth of a fifth of a fals; two-fifths of a fifth of a fals remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[1+\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]v-1\frac{1}{5}v=\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}v}}$	תגרע פלס וחומש מפלס וחומש ושני חומשי חמשית פלס וישאר שני חומשי חמישית פלס
Subtract a thing and four-fifths of a fifth of a thing from three things and two-fifths of a thing; two things, a fifth and a fifth of a fifth of a thing remain that are equal to two-fifths of a fifth of a fals. $\scriptstyle{\color{blue}{3\frac{2}{5}x-\left[1+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]x=\left[2+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]x=\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}v}}$	ותגרע דבר וארבעה חומשי חמישית דבר משלשה דברים ושני חומשי דבר וישאר שני דברים וחומש וחמישית חמישית הדבר וישוה שְני חומשי חמשית אלפלס
The fals equals twenty-eight things. $\scriptstyle{\color{blue}{v=28x}}$	והפלס ישוה עשרים ושמנה דברים
Suppose the thing is one and this is what the first has. $\scriptstyle{\color{blue}{x=1}}$	ונניח הדבר אחד והוא מה שמחזיק הראשון
The second [has] nineteen, since it is three-fifths of what the fourth has plus twice of what the first has and [a fifth] of it. $\scriptstyle{\color{blue}{y=2\frac{{\color{red}{1}}}{5}x+\frac{3}{5}v=\left[\left(2+\frac{1}{5}\right)\sdot1\right]+\left(\frac{3}{5}\sdot28\right)=19}}$	והשני תשעה עשר בעבור כי הוא שלשה חומשים ממה שמחזיק הרביעי וכמו הכפל מאשר יחזיק הראשון ושני חומשיו יותר
The third [has] twenty-five, since it is four-fifths of what the fourth has plus twice of what the first has and three-fifths of it. $\scriptstyle{\color{blue}{u=2\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}v=\left[\left(2+\frac{3}{5}\right)\sdot1\right]+\left(\frac{4}{5}\sdot28\right)=25}}$	והשלישי עשרים וחמשה בעבור כי הוא ארבעה חומשי מאשר לרביעי וכמו הכפל מהראשון ושלשה חומשי יותר
The price of the beast is thirty-seven, since it is as what the fourth has and a fifth of it plus three times of what the first has and [two-fifths] of it. $\scriptstyle{\color{blue}{3\frac{{\color{red}{2}}}{5}x+1\frac{1}{5}v=\left[\left(3+\frac{2}{5}\right)\sdot1\right]+\left(1+\frac{1}{5}\sdot28\right)=37}}$	וערך הבהמה שלשים ושבע בעבור כי הוא כמו אשר לרביעי וכמו החומש וכמו שלשה דימיוני אשר לראשון וכמו חמישיתו
This procedure is the one that is known to the arithmeticians and it is a complete understanding, except that it is very subtle and the number is extracted with great difficulty.	וזה המעשה הוא אשר ידעו אותו בעלי המספר ביניהם והיא הבנה שלימה זולת שהיא מאד דקה ובקושי גדול יצא החשבון
I solve this with a direct procedure and full understanding:	וכבר אוצאוהו לאור אני עם [נ"ר אם] המלאכה ישרה והבנה שלימה
Suppose all they have is one dirham [$\scriptstyle{\color{blue}{y}}$].	וזה שנניח כל אשר יחזיקו דרהם אחד
Suppose the first has a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$] of this dirham.	ונניח שיהיה לאחד מזה הדרהם דבר
Then, the three are left with a dirham minus a thing. [$\scriptstyle{\color{blue}{y-x}}$]	וישאר לשלשה דרהם פחות דבר
When we add its half to what the first has, which is a thing, the price of the beast is half a thing plus half a dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(y-x\right)\right]=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y}}$	וכאשר נקבץ חציים עם אשר לראשון שהוא דבר יהיה ערך הבהמה חצי דבר וחצי דרהם
Suppose the second has one dinar [$\scriptstyle{\color{blue}{u}}$].	ותניח לשני דינר אחד
When we add a third of a dirham to the dinar, the price of the beast is two-thirds of a dinar plus a third of a dirham. This is equal to the price of the beast in the first stage, which is half a thing plus half a dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{u+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(y-u\right)\right]=\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y}}$	וכאשר נקבץ שלישית הדרהם עם הדינר יהיה ערך הבהמה שני שלישיות מדינר ושלישית אדרהם וישוה ערך הבהמה מהחלק האחד שהיה חצי דבר וחצי דרהם
Subtract a third of a dirham from half a dirham; two-thirds of a dinar remain equal to half a thing plus a sixth of a dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}u=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{3}y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y}}$	ותגרע שליש דרהם מחצי דרהם וישאר שני שלישי דינר ישוה חצי דבר וששית דרהם
The dinar is three-quarters of a thing plus a quarter of a dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{u=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y}}$	והדינר שלשה רביעי דבר ורביע דרהם
When the dinar is removed, three-quarters plus a quarter of a dirham remain instead.	והוסר שם הדינר ונשאר במקומו שלשה רביעי דבר ורביע דרהם
Suppose the third has one dinar [$\scriptstyle{\color{blue}{u}}$].	ותניח לשלישי דינר אחד
Then, the three are left with a dirham minus a dinar. [$\scriptstyle{\color{blue}{y-u}}$]	וישאר לשלשה דרהם אחד פחות דינר
When we add its quarter to what the third has, which is a dinar, the price of the beast is three-quarters of a dinar plus a quarter of a dirham. This is equal to the price of the beast in the first stage, which is half a thing plus half a dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{u+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(y-u\right)\right]=\frac{3}{4}u+\frac{1}{4}y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y}}$	וכאשר קבצנו רביעיתו עם אשר לשלישי שהוא דינר אחד יהיה ערך הבהמה שלשה רביעי דינר ורביעית דרהם וישוה ערך הבהמה מהחלק האחד שהוא חצי דבר וחצי דרהם
Subtract a quarter of a dirham from half a dirham; half a thing plus a quarter of a dirham remain equal to three-quarters of a dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}u=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{4}y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y}}$	ותגרע רביעית דרהם מחצי דרהם וישאר חצי דבר ורביע דרהם ישוה שלשה רביעי דינר
The dinar is equal to two-thirds of a thing plus a third of a dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{u=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y}}$	והדינר ישוה שני שלישי דבר ושליש דרהם
The three have a total of two things, a quarter and a sixth of a thing, plus a third and a quarter of a dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x+\left(\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y\right)+\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y\right)=\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)y}}$	ויהיה כל אשר לשלשה שני דברים ורביע ושתות דבר ושליש ורביע דבר ושליש ורביע דרהם
We assumed the four have a dirham, hence the fourth is left with a quarter and a sixth of a dirham minus two things, a quarter and a sixth of a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{y-\left[\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)y\right]=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y-\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x}}$	וכבר הנחנו לארבעתם דרהם אחד ומפני זה ישאר לרביעי רביע ושתות מדרהם פחות שני דברים ורביע ושתות דבר
The fourth man says to the three that have two things, a quarter and a sixth of a thing, plus a third and a quarter of a dirham: give me a fifth of what you have, I will add it to what I have and I will have the price of the beast.	ואמר זה האיש הרביעי אל השלשה המחזיקים שני דברים ורביע ושתות דבר ושליש ורביע דרהם תנו לי החומש מאשר לכם ואקבצנו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה
A fifth of what they have is 29 parts of 60 parts of a thing and 7 parts of 60 of a dirham.	והחומש אשר להם הוא כ"ט חלקים מס' חלקים בדבר וז' חלקים מס' בדרהם
When you add this to what he has, which is a quarter and a sixth of a dirham minus two things, a quarter and a sixth of a thing, the fourth has 32 parts of sixty of a dirham minus a thing and fifty-six parts of sixty parts of the thing, which is the price of the beast. This is equal to the price in the first stage, which is half a thing plus half a dirham.	וכאשר תקבצהו עם אשר לו שהוא רביע ושתות מדרהם פחות שני דברים ורביע ושתות מדבר יהיה אשר יחזיק הרביעי ל"ב חלקים מששים בדרהם אחד פחות דבר וחמישים וששה חלקים מששים חלקים בדבר והוא ערך הבהמה וישוה לערך מהחלק האחד שהוא חצי דבר וחצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y-\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)y\right]\right]&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y-\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x\right]+\left(\frac{29}{60}x+\frac{7}{60}y\right)\\&\scriptstyle=\frac{32}{60}y-1\frac{56}{60}x=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y\\\end{align}}}$
Confrontation:
Confront them and it becomes after the confrontation a third of a tenth of a dirham equals two things, a third and a tenth of a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{10}\right)y=\left(2+\frac{1}{3}+\frac{1}{10}\right)x}}$	ותכוין בהם ויהיה אחר הכיון שלישית העשירית מדרהם ישוה שְנֵי דברים ושלישית דבר ועשירית דבר
The dirham is equal to 73 things. $\scriptstyle{\color{blue}{y=73x}}$	והדרהם ישוה ע"ג דברים
Suppose the value of the dirham is 73 and this is the total that the four have. $\scriptstyle{\color{blue}{y=73}}$	ותניח שווי הדרהם ע"ג והוא כל אשר מחזיקים ארבעתם
The value of the thing is one and this is what the first has. $\scriptstyle{\color{blue}{x=1}}$	ושווי הדבר אחד והוא מה שיש לראשון
The second has nineteen, since what he has is equal to a quarter of a dirham and three-quarters of a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=19}}$	ואשר לשני יהיה תשע עשרה בעבור כי היה לו כדי אשר ישוה רביע דרהם ושלשה רביעי דבר
The third has twenty-five, since what he has is equal to a third of a dirham and two-thirds of a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=25}}$	ולשלישי עשרים וחמשה בעבור כי היה לו כדי שליש דרהם ושני שלישי דבר
The fourth has 28, since what he has is equal to a quarter and a sixth of a dirham minus two things, a quarter and a sixth of a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y-\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x=28}}$	ולרביעי כ"ח בעבור כי היה לו כדי רביע ושתות דרהם פחות שני דברים ורביעי ושתות דבר
If you wish, sum up what the first, the second, and the third have; it is 45. Subtract it from 73; what remains is what the fourth man has, which is 28. $\scriptstyle{\color{blue}{73-\left(1+19+25\right)=73-45=28}}$	ואם תרצה תקבץ אשר לראשון ולשיני ולשלישי ויהיה מ"ה ותגרעם מע"ג ויהיה מה שישאר אשר לאיש הרביעי והוא כ"ח
The price of the beast is 37, since it is assumed to be half of a dirham plus half of what the first has. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=37}}$	וערך הבהמה ל"ז בעבור כי הונח חצי מה ששוה דרהם וחצי מה שיש לראשון
From now on you will be able to apply this procedure to whatever that falls into your hands of this kind and its mysteries will be solved.	ומעתה תוכל לעשות כמעשה הזה כל אשר יפול בידך מזה האופן ויצא לאור תעלומותיו
41) If you are told: five people gathered to buy a beast. The first said to the second and the third: give me half of what you have and I will have enough to buy it. The second said to the third and the fourth: give me a third of what you have and I will have the price of the beast. The third said to the fourth and the fifth: give me a quarter of what you have and I will have the price of the beast. The fourth said to the fifth and the first: give me a fifth of what you have and I will have the price of the beast The fifth said to the first and the second: give me a sixth of what you have and I will have the price of the beast How much is the price of the beast and how much does each of the five have?	מא) ואם יאמרו לך חמשה אנשים התקבצו יחד לקנות אלפאגה אחת ואמר הראשון לשיני ולשלישי תנו לי החצי מאשר לכם ויהיה לי כדי לקנותה ואמר השני לשלישי ולרביעי תנו לי שלישית אשר לכם ויהיה לי ערך הבהמה ואמר השלישי לרביעי ולחמישי תנו לי רביעית אשר לכם ויהיה לי ערך הבהמה ואמר הרביעי לחמישי ולראשון תנו לי חמישית אשר לכם ויהיה לי ערך האלפאגה ואמר החמישי לראשון ולשיני תנו לי הששית מאשר לכם ויהיה לי ערך הבהמה כמה יהיה ערך הבהמה וכמה יהיה לכל אחד מהחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)\right]=b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(c+d\right)\right]=c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(d+e\right)\right]=d+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(e+a\right)\right]=e+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(a+b\right)\right]}}$
To know this we give the first a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$], the second a dinar [$\scriptstyle{\color{blue}{y}}$], and the third a dirham [$\scriptstyle{\color{blue}{u}}$].	ולדעת זה נניח לראשון דבר ולשני דינר אחד ולשלישי דרהם אחד
We do not need more than these three species in this problem and its similar, in order to extract the number.	ולא נצטרך בזאת השאלה ולדומים אליה כדי להוציא החשבון ליותר מאילו השלשה מינים
The first, who has a thing, says to the second and the third, who have a dinar and a dirham: give me half of what you have, I will add it to what I have and I will have the price of the beast.	אחר כן אמר הראשון המחזיק דבר לשני ולשלישי המחזיקים דינר ודרהם תנו לי החצי מאשר לכם ואקבצהו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה
Half of what they have is half a dinar and half a dirham. So, he has one thing, half a dinar, and half a dirham; this is the price of the beast. $\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u}}$	והחצי מאשר מחזיקים הוא חצי דינר וחצי דרהם ולכן יהיה לו דבר אחד וחצי דינר וחצי דרהם והוא ערך הבהמה
The second, who has one dinar, says to the third and the fourth: give me a third of what you have, and with what I have, which is one dinar, I will have the price of the beast, which is one thing, half a dinar, and half a dirham.	ואמר השני אשר לו דינר אחד לשלישי ולרביעי תנו לי שלישית החלק מאשר לכם ועם אשר לי שהוא דינר אחד אחזיק ערך הבהמה שֵיהַיַה דבר אחד וחצי דינר וחצי ודרהם
Subtract one dinar from the price of the beast; one thing and half a dirham remain minus half a dinar and this is a third of what the third and the fourth have. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u\right)-y=x+\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}y}}$	ותגרע מערך הבהמה דינר אחד וישאר דבר אחד וחצי דרהם פחות חצי דינר והוא שליש מה שיחזיקו השלישי והרביעי
Multiply it by three; it is three things, a dirham and a half minus a dinar and a half and this is all that the third and the fourth have. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(x+\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}y\right)=3x+1\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y}}$	ותכהו בשלשה ויהיה שלשה דברים ודרהם אחד וחצי פחות דינר וחצי והוא כל אשר יחזיקו השלישי והרביעי
Subtract what the third has, which is one dirham; what the fourth has remains, which is three things and half a dirham minus one dinar and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3x+1\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y\right)-u=3x+\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y}}$	ותגרע אשר לשלישי שהוא דרהם אחד וישאר מה שהוא לרביעי והוא שלשה דברים וחצי דרהם פחות דינר אחד וחצי
The third, who has one dirham, says to the fourth and the fifth: give me a quarter of what you have, and with what I have, I will have the price of the beast, which is one thing, half a dinar, and half a dirham.	ואמר השלישי המחזיק דרהם אחד לרביעי ולחמישי תנו לי רביעית אשר לכם ועם אשר לי יהיה לי ערך הבהמה והוא דבר אחד וחצי דינר וחצי דרהם
Subtract what the third has, which is one dinar, from the price of the beast; one thing and half a dinar remain minus half a dirham and this is a quarter of what the fourth and the fifth have. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u\right)-u=x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}u}}$	ותגרע מערך הבהמה אשר לשלישי שהוא דרהם אחד וישאר דבר וחצי דינר פחות חצי דרהם והוא רביעית אשר לרביעי ולחמשי
Multiply it by four; it is four things and two dinar minus two dirham and this is all that the fourth and the fifth have. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}u\right)=4x+2y-2u}}$	ותכהו בארבעה ויהיה ארבעה דברים ושני דינרים פחות שני דרהמי והוא כל אשר לרביעי ולחמישי
Subtract from it what the fourth has, which is three things and half a dirham minus one dinar and a half; what the fifth has remains, which is one thing and three dinar and a half minus two dirham and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4x+2y-2u\right)-\left(3x+\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y\right)=x+3\frac{1}{2}y-2\frac{1}{2}u}}$	ותגרע מהם מה שיש לרביעי שהוא שלשה דברים וחצי דרהם פחות דינר אחד וחצי וישאר מה שיש לחמשי דבר אחד ושלשה דינרים וחצי פחות שני דרהם וחצי
The fourth, who has three things and half a dirham minus one dinar and a half, says to the fifth and the first, who have two things and three dinar and a half minus two dirham and a half: give me a fifth of what you have, and with what I have, I will have the price of the beast.	ואמר הרביעי המחזיק שלשה דברים וחצי דרהם פחות דינר אחד וחצי לחמישי ולראשון המחזיקים שני דברים ושלשה דינרים וחצי פחות שני דרהמי וחצי תנו לי החמישית מאשר לכם ועם אשר לי יהיה בידי כמו ערך הבהמה
	וחמישית אשר להם הוא שני חומשי דבר ושבעה עשיריות דינר פחות חצי דרהם וכאשר תקבצם עם אשר לו יהיה בידו שלשה דברים ושני חומשים פחות ארבעה חומשי דינר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3x+\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y\right)+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(2x+3\frac{1}{2}y-2\frac{1}{2}u\right)\right]=\left(3x+\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y\right)+\left(\frac{2}{5}x+\frac{7}{10}y-\frac{1}{2}u\right)=3\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}y}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u=3\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}y}}$	והוא שוה לערך הבהמה מהחלק האחר שיהיה דבר וחצי דינר וחצי דרהם
Confrontation:
$\scriptstyle{\color{blue}{u=4\frac{4}{5}x-2\frac{3}{5}y}}$	ותכוין בהם ויהיה הדרהם יהיה שוה ארבעה דברים וארבעה חומשי דבר פחות שני דינרים ושלשה חומשי דינר
the price = $\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(4\frac{4}{5}x-2\frac{3}{5}y\right)\right]=x+\frac{1}{2}y+2\frac{2}{5}x-1\frac{3}{10}y=3\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}y}}$	ותגרע חצי הדרהם אשר בערך הבהמה ותניח במקומו חצי מה ששוה הדרהם והוא שני דברים ושני חומשי דבר פחות דינר אחד ושלשה עשירית מדינר ויהיה ערך הבהמה שלשה דברים ושני חומשי דבר פחות ארבעה חומשי דינר
The first $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	והנה אשר לראשון הוא דבר
The second: $\scriptstyle{\color{blue}{y}}$	ואשר לשני הוא דינר אחד
The third: $\scriptstyle{\color{blue}{4\frac{4}{5}x-2\frac{3}{5}y}}$	ולשלישי ארבעה דברים וארבעה חומשי דבר פחות שני דינרים ושלשה חומשי דינר
The fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{5\frac{2}{5}x-2\frac{4}{5}y}}$	ולרביעי חמשה דברים ושני חומשי דבר פחות שני דינרים וארבעה חומשי דינר
the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{3x+\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y=5\frac{2}{5}x-2\frac{4}{5}y}}$	והסבה למה הנחנו ככה לרביעי הוא בעבור שהיה לרביעי שלשה דברים וחצי פחות דינר אחד וחצי ותגרע חצי דרהם מאשר בידו ותניח במקומו החצי ממה ששוה הדרהם
the fifth: $\scriptstyle{\color{blue}{x+3\frac{1}{2}y-2\frac{1}{2}u=10y-11x}}$	וצריך הוא כפי מה שביארנו לחמישי עשרה דינרי' פחות אחד עשרה דברים
the price = the fifth + sixth of the first and the second:	ואמר לראשון ולשני אשר להם דבר אחד ודינר אחד תנו לי הששית מאשר לכם ואקבצנו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה והששית מאשר להם הוא ששית דבר וששית דינר ויהיה מה שיחזיק החמישי עשרה דינרים ושתות פחות עשרה דברים וחמשה ששיות הדבר והוא ערך הבהמה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10y-11x\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(x+y\right)\right]=\left(10y-11x\right)+\left(\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}y\right)=10\frac{1}{6}y-10\frac{5}{6}x}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{3\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}y=10\frac{1}{6}y-10\frac{5}{6}x}}$	וישוה לערך הבהמה מהחלק האחר שהוא ג' דברים ושני חומשי דבר פחות ארבעה חומשי דינר
Confrontation:
the first has = $\scriptstyle{\color{blue}{x=47}}$	ותכוין בהם ויהיו אחרי זה הכיון הדבר ארבעים ושבעה והוא אשר לראשון
the second has = $\scriptstyle{\color{blue}{y=61}}$	והדינר ששים ואחד והוא אשר לשני
the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{4\frac{4}{5}x-2\frac{3}{5}y=67}}$	ואשר לשלישי ששים ושבעה בעבור כי הוא ארבעה דימיונים וארבעה חומשים ממה שיש לראשון פחות שני דמיונים ושלשה חומשים ממה שיש לשני
the fourth has = $\scriptstyle{\color{blue}{5\frac{2}{5}x-2\frac{4}{5}y=83}}$	ולרביעי שמונים ושלשה בעבור כי לו חמשה דימיונים ושני חומשים ממה שיש לראשון פחות שני דימיונים וארבעה חומשים ממה שיש לשני
the fifth has = $\scriptstyle{\color{blue}{10y-11x=93}}$	ולחמישי תשעים ושלשה בעבור כי הוא עשרה דימיונים מאשר לשני פחות אחד עשר דימיוני אשר אל הראשון
the price of the beast = $\scriptstyle{\color{blue}{3\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}y=111}}$	וערך הבהמה קי"א בעבור כי הוא שלשה דימיונים ושני חומשים מאשר לראשון פחות ארבעה חומשים מאשר לשני
	ואם בקשת להוציא אשר לרביעי ואשר לחמישי אחר זה המעשה
the first has 47	הנה כבר ידעת שאשר לראשון מ"ז
the second has 61	ואשר לשני ס"א
the third has 67	ואשר לשלישי ס"ז
the fourth = 3×(the price - the second) - the third = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[3\sdot\left(111-61\right)\right]-67=\left(3\sdot50\right)-67=150-67=83}}$	ותגרע מה שיש לשני מערך הבהמה וישאר חמישים ותכם בשלשה ויהיה ק"נ ותגרע מהם מה שיש לשלישי והוא ס"ז ישאר אשר לרביעי פ"ג
the fifth = 4×(the price - the third) - the fourth = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(111-67\right)\right]-83=\left(4\sdot44\right)-83=176-83=93}}$	ואם בקשת לדעת אשר לחמישי תגרע מה שיש לשלישי מערך הבהמה וישאר מ"ד ותכם ארבעה ויהיה קעו ותגרע מהם מה שיש לרביעי והוא פ"ג וישאר צ"ג והוא מה שיש לחמישי
Defininig: The first: $\scriptstyle{\color{blue}{davar=x}}$	ואם תרצה תניח לראשון דבר אחד
The second: $\scriptstyle{\color{blue}{dinar=y}}$	ולשני דינר אחד
The third: $\scriptstyle{\color{blue}{dirham=u}}$	ולשלישי דרהם אחד
The fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{fals=v}}$	ולרביעי אלפלס אחד
	ולא יצטרך לזאת השאלה ולדומים אליה כדי להוציא החשבון ליותר מאילו הארבעה מינים
the price = the first + half of the second and the third: $\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u}}$	ואמר הראשון לשני ולשלישי תנו לי החציה אשר לכם ואקבצהו עם אשר לי ויהיה עימי ערך הבהמה ויהיה ערך הבהמה דבר וחצי דינר וחצי דררהם
the price = the second + third of the third and the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{y+\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}v}}$	ואמר השני לשלישי ולרביעי תנו לי שלישית אשר לכם ועם אשר לי יהיה לי ערך הבהמה ויהיה ערכה מזה החלק דינר ושליש דרהם ושליש אלפלס
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u=y+\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}v}}$	וישוה לערך הבהמה מהחלק האחר שהוא דבר וחצי דינר וחצי דרהם
Confrontation:
the fourth has = $\scriptstyle{\color{blue}{v=3x+\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y}}$	ותכוין בהם ויהיה האלפלס ישוה שלשה דברים וחצי דרהם פחות דינר וחצי והוא אשר לרביעי
Defining: the fifth has: $\scriptstyle{\color{blue}{fals=v}}$	ותניח לחמישי אלפלס אחד
the price = the third + quarter of the fourth and the fifth:	ואמר השלישי אשר לו דרהם אחד לרביעי ולחמישי אשר להם אלפלס אחד ושלשה דברים וחצי דרהם פחות שני דינרים וחצי תנו לי רביעית אשר לכם ועם אשר לי יהיה ערך הבהמה ורביעית אשר להם היא שלשה רביעי דבר ורביעית אלפלס ושמינית דרהם פחות ג' שמיניות מדינר וכאשר קובצו עם הדרהם אשר לו יהיה בידו כמו ערך הבהמה ויהיה ערך הבהמה מזה החלק דרהם אחד ושמינית אחד מדרהם ורביע אלפלס ושלשה רביעי דבר פחות שלשה שמיניות מדינר
$\scriptstyle{\color{blue}{u+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[\left(3x+\frac{1}{2}u-{\color{red}{1}}\frac{1}{2}y\right)+v\right]\right]=u+\left(\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}v+\frac{1}{8}u-\frac{3}{8}y\right)=1\frac{1}{8}u+\frac{1}{4}v+\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}y}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u=1\frac{1}{8}u+\frac{1}{4}v+\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}y}}$	ויהיה שוה לערך הבהמה מהחלק הראשון שהוא דבר וחצי דינר וחצי דרהם
Confrontation:
the fifth has = $\scriptstyle{\color{blue}{v=x+3\frac{1}{2}y-2\frac{1}{2}u}}$	ותכוין בהם ויהיה אלפלס ישוה דבר ושלשה דינרי' וחצי פחות שני דרהמי וחצי והוא אשר לחמישי
	ותעשה הנשאר מן השאלה כפי מה שהראתיך
42) If you are told: five people gathered. The first said to the second: if you give me half of what you have I will have the price of the beast. The second said to the third: if you give me a third of what you have I will have the price of the beast. The third said to the fourth: if you give me a quarter of what you have I will have the price of the beast. The fourth said to the fifth: if you give me a fifth of what you have I will have the price of the beast The fifth said to the first: if you give me a sixth of what you have I will have the price of the beast How much is the price of the beast and how much does each of them have? $\scriptstyle{\color{blue}{a+\frac{1}{2}b=b+\frac{1}{3}c=c+\frac{1}{4}d=d+\frac{1}{5}e=e+\frac{1}{6}a}}$	מב) ואם יאמרו לך חמשה אנשים התקבצו ואמר הראשון לשני אם תתן לי החצי מאשר בידך יהיה לי ערך הבהמה ואמר השני לשלישי אם תתן לי השלישית מאשר בידך יהיה לי ערך הבהמה ואמר השלישי לרביעי אם תתן לי הרביעית מאשר בידך יהיה לי ערך הבהמה ואמר הרביעי לחמישי אם תתן לי החמישית מאשר בידך יהיה לי ערך הבהמה ואמר החמישי לראשון אם תתן לי ששית אשר בידך יהיה לי ערך הבהמה כמה יהיה ערך הבהמה וכמה יהיה אלגו מכל אחד מהחמשה
Defining: the first has: $\scriptstyle{\color{blue}{davar=x}}$	ולדעת זה תניח לראשון דבר
the second has: $\scriptstyle{\color{blue}{dinar=y}}$	ולשני דינר אחד
the third has: $\scriptstyle{\color{blue}{dirham=u}}$	ולשלישי דרהם אחד
the price = the first + half of the second: $\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y}}$	ואמר הראשון אשר בידו דבר אחד לשני אשר בידו דינר אחד אם תתן לי החצי מאשר לך יהיה לי ערך האלפאגה ויהיה ערך הבהמה דבר וחצי דינר
the price = the second + third of the third: $\scriptstyle{\color{blue}{y+\frac{1}{3}u}}$	ואמר השני אשר בידו דינר אחד לשלישי אשר בידו דרהם אחד אם תתן לי השלישית מאשר לך יהיה לי ערך הבהמה ויהיה ערך הבהמה מזה החלק דינר אחד ושלישית דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y=y+\frac{1}{3}u}}$	ויהיה שוה לערך הבהמה מהחלק האחד שהיה דבר וחצי דינר
Confrontation:
the third has $\scriptstyle{\color{blue}{u=3x-1\frac{1}{2}y}}$	ותכוין בהם ויהיה הדרהם ישוה שלשה דברים פחות דינר אחד וחצי והוא אשר לשלישי
Defining: the fourth has = $\scriptstyle{\color{blue}{dirham=u}}$	ותניח לרביעי דרהם אחד
the price = the third + quarter of the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3x-1\frac{1}{2}y\right)+\frac{1}{4}u=3x+\frac{1}{4}u-1\frac{1}{2}y}}$	ואמר השלישי אשר לו שלשה דברים פחות דינר וחצי לרביע אשר לו דרהם אחד אם תתן לי הרביעית מאשר לך יהיה ערך הבהמה ויהיה ערך הבהמה מזה החלק שלשה דברים ורביע דרהם פחות דינר וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y=3x+\frac{1}{4}u-1\frac{1}{2}y}}$	וישוה ערך הבהמה והחלק האחד שהוא דבר וחצי דינר
Confrontation:
the fourth has $\scriptstyle{\color{blue}{u=8y-8x}}$	ותכוין עמו ויהיה הדרהם ישווה שמונה דינרים פחות שמנה דברים והוא אשר לרביעי
Defining: the fifth has = $\scriptstyle{\color{blue}{dirham=u}}$	ותניח לחמישי דרהם אחד
the price = the fourth + fifth of the fifth: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8y-8x\right)+\frac{1}{5}u=8y+\frac{1}{5}u-8x}}$	ואמר הרביעי אשר לו שמנה דינרים פחות שמנה דברים לחמישי אשר לו דרהם אחד אם תתן לי החמישית מאשר לך יהיה לי ערך הבהמה ויהיה ערך הבהמה מזה החלק שמנה דינרים וחמשית דרהם פחות שמנה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y=8y+\frac{1}{5}u-8x}}$	ויהיה שוה לערך הבהמה והחלק האחר שהוא דבר וחצי דינר
Confrontation:
the fifth has $\scriptstyle{\color{blue}{u=45x-37\frac{1}{2}y}}$	ותכוין בהם ויהיה הדרהם ישוה מ"ה דברים פחות ל"ז דינרים וחצי והוא מה שיש לחמישי
the price = the fifth + sixth of the first: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(45x-37\frac{1}{2}y\right)+\frac{1}{6}x=45x+\frac{1}{6}x-37\frac{1}{2}y}}$	ואמר לראשון אשר לו דבר אם תתן לי הששית מאשר בידך יהיה לי ערך הבהמה והששית מהראשון הוא ששית דבר ונקבציהו עם מה שמחזיק ויהיה ערך הבהמה מזה החלק מ"ה דברים וששית דבר פחות ל"ז דינרים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y=45x+\frac{1}{6}x-37\frac{1}{2}y}}$	ויהיה שוה לערך הבהמה מהחלק האחר שהוא דבר וחצי דינר
Confrontation:
$\scriptstyle{\color{blue}{44\frac{1}{6}x=38y}}$	ותכוין בהם ויהיה אחר הכוון מ"ד דברים וששית דבר ישוה ל"ח דינרים
the first has = $\scriptstyle{\color{blue}{x=228}}$	והשיבם כלם ששיות ויהיה הדבר רכ"ח והוא אשר לראשון
the second has = $\scriptstyle{\color{blue}{y=265}}$	והדינר רס"ה והוא אשר לשיני
the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{3x-1\frac{1}{2}y=286\frac{1}{2}}}$	ולשלישי שלשה דברים פחות דינר אחד וחצי והוא רפ"ו וחצי
the first has = $\scriptstyle{\color{blue}{x=2\sdot228=456}}$	והשיבם כלם חצאים ויהיה הדבר והוא אשר לראשון תנ"ו
the second has = $\scriptstyle{\color{blue}{y=2\sdot265=530}}$	ויהיה הדינר והוא מה שיש לשני תק"ל
the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(286\frac{1}{2}\right)=573}}$	ויהיה אשר לשלישי תקע"ג
the fourth has = $\scriptstyle{\color{blue}{8y-8x=592}}$	ולרביעי שמנה דינרים פחות שמנה דברים ויהיה תקצ"ב
the fifth has = $\scriptstyle{\color{blue}{45x-37\frac{1}{2}y=645}}$	ולחמישי מ"ה דברים פחות ל"ז דינרים וחצי והוא תרמ"ה
the price = $\scriptstyle{\color{red}{721}}$	ויהיה ערך הבהמה תתקכ"א
43) If you are told: four people gathered to buy a beast. The first said to the second: if you give me one dirham I will have twice as much of what remains with you. The second said to the third: if you give me two dirham I will have three times as much of what remains with you. The third said to the fourth: if you give me three dirham I will have four times as much of what remains with you. The fourth said to the first: if you give me four dirham I will have five times as much of what remains with you. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a+1=2\sdot\left(b-1\right)\\\scriptstyle b+2=3\sdot\left(c-2\right)\\\scriptstyle c+3=4\sdot\left(d-3\right)\\\scriptstyle d+4=5\sdot\left(a-4\right)\end{cases}}}$	מג) ואם יאמרו לך ארבעה אנשים התקבצו לקנות בהמה אחת ואמר הראשון לשני אם תתן לי דרהם אחד יהיה לי הכפל ממה שנשאר לך ואמר השני לשלישי אם תתן לי שני דרהמי יהיה לי שלשה כפלים ממה שנשאר לך ואמר השלישי לרביעי אם תתן לי שלשה דרהמי יהיה לי ארבעה כפלים ממה שנשאר לך ואמר הרביעי לראשון אם תתן לי ארבעה דרהמי יהיה לי חמשה כפלים ממה שנשאר לך
Defining: the first has: $\scriptstyle{\color{blue}{davar=x}}$	ולדעת זה תניח לראשון דבר
the second has: $\scriptstyle{\color{blue}{dinar=y}}$	ולשני דינר אחד
the first took one dirham from the second: $\scriptstyle{\color{blue}{x+1=2\sdot\left(y-1\right)=2y-2}}$	וכאשר לקח הראשון מהשני דרהם אחד יהיה לראשון דבר ודרהם אחד ויהיה כמו הכפל ממה שנשאר לשני והוא שני דברים פחות שני דרהמי
Confrontation:
the second has = $\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{1}{2}x+1\frac{1}{2}}}$	ותכוין בהם ויהיה הדינר ישוה חצי דבר ודרהם וחצי והוא אשר לשני
Defining the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{dinar=y}}$	ותניח לשלישי דינר אחד
the second took two dirham from the third: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+1\frac{1}{2}+2=\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}=3\sdot\left(y-2\right)=3y-6}}$	וכאשר לקח ממנו השני שני דרהמי יהיה לשני חצי דבר ושלשה דרהמי וחצי ויהיה שוה לשלשה דימיוני מה שנשאר לשלישי והוא שלשה דינרים פחות ששה דרהמי
Confrontation:
the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{1}{6}x+3\frac{1}{6}}}$	ותכוין בהם וישוה הדינר שתות דבר ושלשה דרהמי ושתות והוא אשר לשלישי
Defining: the fourth has = dinar = y	ונניח לרביעי דינר אחד
the third took two dirham from the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}x+3\frac{1}{6}+3=\frac{1}{6}x+6\frac{1}{6}=4\sdot\left(y-3\right)=4y-12}}$	וכאשר לקח ממנו השלישי שלשה דרהמי יהיה לו שתות דבר וששה דרהמי ושתות וישוה ארבעה דימיונים ממה שנשאר לרביעי והוא ארבעה דינרים פחות שנים עשר דרהמי
Confrontation:
the fourth has = $\scriptstyle{\color{blue}{y=\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)x+4\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}}}$	ותכוין בהם ויהיה שוה הדינר שלישית השמינית מדבר וארבע דרהמי ורביע ושתות ושמינית דרהם והוא אשר לרביעי
the fourth took 4 dirham from the first: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)x+4\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+4=\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)x+8\frac{13}{24}=5\sdot\left(x-4\right)=5x-20}}$	וכאשר לקח מהראשון ארבעה דרהמי יהיה לו שמנה דרהמי וי"ג חלקים מכ"ד חלקים בדרהם ושלישית השמינית מדבר וישוה לחמשה דימיונים מאשר נשאר לראשון והוא חמשה דברים פחות עשרים דרהמי
the first has = $\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{90}{119}}}$	ותכוון בהם יהיה הדבר ישוה לחמשה דרהמי ותשעים חלקים מקי"ט חלקים מאחד והוא אשר לראשון
the second has = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+1\frac{1}{2}=4+\frac{45}{119}}}$	ולשני החצי ממה שיש לראשון ודרהם אחד וחצי יותר ויהיה ארבעה דרהמי ומ"ה חלקים מקי"ט
the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}x+3\frac{1}{6}=4+\frac{15}{119}}}$	ולשלישי הששית ממה שיש לראשון ושלשה דרהמי ושתות יותר והוא ארבעה דרהמי וט"ו חלקים מקי"ט חלקים בדרהם
the fourth has = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)x+4\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=4+\frac{95}{119}}}$	ולרביעי שליש השמינית מאשר לראשון וארבעה דרהמי ושתות ושמינית והוא ארבעה דרהמי וצ"ג חלקים מקי"ט חלקים בדרהם
44) If you are told: an amount of money [is shared] between three people: one has a half, the second has a third and the third has a sixth. They earned the money. Then the one who has the half returned a half of his share. The one who has the third returned a third of his share. The one who has the sixth returned a sixth of his share. They shared all their earning and divided it equally between the three of them and each received his proper share.	מד) ואם יאמרו לך אלגו בין שלשה אנשים לאחד החצי ולשני השליש ולשלישי השתות והרויחו האלגו ביניהם והחזיר אשר לו החצי המחצית מחלקו והחזיר אשר לו השליש השלישית מחלקו והשיב בעל השתות הששית מחלקו ושתפו כל אשר הרויחו שלשתם וחלקוהו בין שלשתם בשוה ועלה לכל אחד מהם
Defining: the amount of money = davar+dinar+dirham = x+y+u $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle davar=x\\\scriptstyle dinar=y\\\scriptstyle dirham=u\end{cases}}}$	ולדעת זה נניח האלגו דבר ודינר אחד ודרהם אחד אידיו נ"א איגאנו נראה לי
the profit of owner of the half = x	והרויח בעל החצי דבר
the profit of owner of the third = y	ובעל השליש דינר אחד
the profit of owner of the sixth = u	ובעל השתות דרהם אחד
the owner of the half returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x}}$	והשיב בעל החצי חצי דבר
the owner of the third returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}y}}$	והשיב בעל השליש שלישית הדינר
the owner of the sixth returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}u}}$	והשיב בעל השתות ששית דרהם
the sum of what they returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}u}}$	והתקבץ מאשר השיבו חצי דבר ושלישית דינר וששית דרהם
each received a third of this sum = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}u\right)=\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)u}}$	וחלקו אותו ביניהם לשליש והמגיע לכל אחד מהם שתות דבר ותשיעית דינר וחצי תשיעית דרהם
	וקבצוהו כל אחד מהם עם מה שנשאר להם
the proper share of the owner of the half = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)u=\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}y+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)u}}$	ויהיה לבעל החצי שני שלישי דבר ותשיעית דינר וחצי תשיעית דרהם
this is equal to half the amount of money: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}y+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)u=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u}}$	וישוה לחצי האלגו שהוא חצי דבר וחצי דינר וחצי דרהם
Confrontation:
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2\frac{1}{3}y+2\frac{2}{3}u}}$	ותכוין בהם ויהיה הדבר ישוה שני דינרים ושליש ושני דרהמי ושני שלישיות
then the amount of money is = $\scriptstyle{\color{blue}{x+y+u=3\frac{1}{3}y+3\frac{2}{3}u}}$	וצריך שיהיה האלגו שלשה דינרים ושליש ושלשה דרהמי ושני שלישים
the owner of the half returned half of his share = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}\sdot\left(2\frac{1}{3}y+2\frac{2}{3}u\right)=1\frac{1}{6}y+1\frac{1}{3}u}}$	ושב חציו והוא דינר ושתות ודרהם ושליש
the sum of what they returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}u=1\frac{1}{2}y+1\frac{1}{2}u}}$	וכל מה שהשיבו דינר אחד וחצי ודרהם וחצי
each received a third of this sum = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(1\frac{1}{2}y+1\frac{1}{2}u\right)=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u}}$	וחלקוהו לשליש לכל אחד חצי דינר וחצי דרהם
the proper share of the owner of the third = $\scriptstyle{\color{red}{\frac{2}{3}y+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u=1\frac{1}{6}y+\frac{1}{2}u}}$ this is equal to a third of the amount of money: $\scriptstyle{\color{blue}{1\frac{1}{6}y+\frac{1}{2}u=\frac{1}{3}\sdot\left(3\frac{1}{3}y+3\frac{2}{3}u\right)=1\frac{1}{9}y+1\frac{2}{9}u}}$	ויהיה לבעל הדינר אשר לו שלישית האלגו והוא דינר ותשיעית דינר ודרהם ושני תשיעיות דרהם
Confrontation:
$\scriptstyle{\color{blue}{y=13u}}$	ותכוין בהם ויהיה הדינר ישוה י"ג דרהמיש והוא מה שהרויח בעל השלישית
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2\frac{1}{3}y+2\frac{2}{3}u=33u}}$	והדבר שני דינרים ושליש ושני דרהמיש ושני שלישים והוא שלשים ושלשה והוא מה שהרויח בעל החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{u_1=1}}$	והרויח בעל השתות דרהם אחד והוא אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle u=6\\\scriptstyle y=6\sdot13=78\\\scriptstyle x=6\sdot33=198\\\scriptstyle x+y+u=282\end{cases}}}$	וצריך מבלי טורח כאשר תנסהו שתכהו בששה פעמים ויהיה מה שהרויח בעל החצי קצ"ח ובעל השלישית ע"ח ובעל השתות ששה והאלגו כולו רפ"ב
	וכמעשה הזה יעשוהו בעלי החשבון ביניהם והיא הבנה שלימה אלא שתתדקדק ביותר על מי שיעשהו במספר רב אם יניחו האנשים הרבה ואוציאהו אני לחפשי עם מלאכה ישרה והבנה מובנת
the amount of money = x	והוא שנניח האלגו דבר
	ואשר הרויח כל אחד מהם מן אלגו ואחר מה שהשיבו כפי הנחתנו מדרהמי שליש וחלקוהו לִשְלִיש ועלה לכל אחד מהם וקבצהו עם מה שנשאר לו ויהיה לכל אחד
the owner of the half returned half of his share and was left with = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x-y}}$	ובנקלה תדע שאשר נשאר לבעל החצי אחר שהשיב החצי ממה שהרויח חצי דבר פחות דרהם
the owner of the half returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x-y}}$	ומה ששב הוא חצי דבר פחות דרהם אחד
the owner of the third returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}x-{\color{red}{\frac{1}{2}}}y}}$	ולשלישי שב שתות דבר פחות דרהם אחד
the owner of the sixth returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{30}x-\frac{1}{5}y}}$	ומה ששב אחד משלשים בדבר חמשה דרהמי
they returned a total of: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}x-y\right)+\left(\frac{1}{6}x-{\color{red}{\frac{1}{2}}}y\right)+\left(\frac{1}{30}x-\frac{1}{5}y\right)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{5}x-y-\frac{7}{10}y=3y}}$	ויהיה כל אשר השיבו חצי דבר וחמישית דבר פחות דרהם אחד וז' עשיריות מדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x=6\frac{5}{7}y}}$	וה' שביעיות מדרהם והוא כל האלגו
the owner of the half has = $\scriptstyle{\color{blue}{x-2y=4\frac{5}{7}y}}$	וכאשר תרצה לדעת כמה הרויח בעל החצי דבר פחות שני דרהמי והוא ארבעה דרהמי וה' שביעיות מדרהם
the owner of the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x-1\frac{1}{2}y=1\frac{6}{7}y}}$	והרויח בעל השליש חצי דבר פחות דרהם אחד וחצי והוא דרהם אחד וו' שביעיות מדרהם
the owner of the sixth has = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}x-1\frac{1}{5}y=\frac{1}{7}y}}$	ומה שהרויח בעל השתות חמישית דבר פחות דרהם אחד וחומש והוא שביעית דרהם
Defining: the dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{y=42}}$	ותניח כל דרהם מ"ב חלקים
the amount of money: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(6+\frac{5}{7}\right)\sdot42=282}}$	ויהיה האלגו רפ"ב
the owner of the half has = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{5}{7}\right)\sdot42=198}}$	ומה שהרויח בעל החצי קצ"ח
the owner of the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{6}{7}\right)\sdot42=78}}$	ומה שהרויח בעל השליש ע"ח
the owner of the sixth has = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot42=6}}$	ומה שהרויח בעל השתות ששה
Garments
45) If you are told: there are ten garments, the price of the first garment is one dirham and the price of each of the others exceeds one by the other by one dirham - the second exceeds the first by one dirham, the third exceeds the second by one dirham and so on for all the others, how much is the total price?	מה) ואם יאמרו לך עשרה בגדים ערך הבגד הראשון דרהם אחד וערך כל אחד מן האחרים יוסיפו האחד על האחר דרהם אחד השני יעדיף על הראשון דרהם אחד והשלישי יעדיף על השני דרהם אחד וכן כל האחרים כמה יהיה ערך כלם
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_{10}=1+10}}$	וכבר תדע כי ערך הבגד הראשון דרהם אחד והעשירי עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2+a_9=2+9}}$	וערך השני שנים והתשיעי תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3+a_8=3+8}}$	וערך השלשי שלשה והשמיני שמנה
the price of all these pairs = 11	והנה הערך מכל אחד מאלו הזוגות אחד עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left(1+10\right)+\left(2+9\right)+\left(3+8\right)+\left(4+7\right)+\left(5+6\right)=11\sdot5=55}}$	וכמו כן יהיה ערך כל הזוגות כאלו והם חמשה זוגות ותכה אחד עשר בחמשה ויהיה נ"ה וככה ערך עשרת הבגדים
46) If you are told: the price of the first garment is one and the price of each of the rest exceeds the former by 2, how much is the total price?	מו) ואם יאמרו לך ערך הבגד הראשון אחד ויוסיף ערך כל אחד מהנשארים שנים על ערך חבירו כמה יהיה ערך כלם
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=19}}$	הנה יהיה ערך הבגד העשירי י"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=a_1+2}}$	בעבור כי הוסיף השני על הראשון שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=a_2+2}}$	והשלישי על השני שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=a_1+4}}$	ויוסיף השלישי על הראשון ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_4=a_1+6}}$	והרביעי על הראשון ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=a_1+18}}$	והעשירי יוסיף על הראשון י"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_{10}=20}}$	וכפי זה יהיה ערך הראשון עם העשירי מקובצים עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} \left(2i-1\right)=20\sdot5=100}}$	ותכה עשרים בחמשה ויהיה מאה וככה יהיה ערך עשרת הבגדים
47) If you are told: there are ten garments, the value of the first garment is three dirham and the price of each of the others exceeds one by the other by four, how much is the total price?	מז) ואם יאמרו לך עשרה בגדים ערך הראשון שלשה דרהמים ויוסיף ערך האחרים האחד על האחר ארבעה ארבעה כמה יהיה ערך כלם
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=\left[d\sdot\left(n-1\right)+a_1\right]=\left[4\sdot\left(10-1\right)\right]+a_1=36+3=39}}$	והמעשה בזה כאשר ביארתי והוא שתכה יתרון האחד על האחר והוא ארבעה במספר הבגדים פחות אחד ויהיה ל"ו ותוסיף עליהם שלשה והוא ערך הבגד הראשון ויתקבץ ל"ט
	ויהיה ערך הראשון והעשירי ארבעים ‫ושנים וכן ערך התשיעי והשני יהיה ארבעים ושנים ובדרך הזה יהיה ערך כל שני בגדים מהם ותכה מ"ב בחמשה ויהיה מאתים ועשר וככה ערך כל הבגדים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} \left[3+4\sdot\left(i-1\right)\right]=\left(a_1+a_{10}\right)+\left(a_2+a_9\right)+\ldots=42+42+\ldots=42\sdot5=210}}$
Group of People
48) If you are told: a group of people earned, the first earned one dirham, each of them earned one dirham more than the former, and they earned a total of 300. How many people were in the group?	מח) ואם יאמרו לך חבורה מאנשים עלו להרויח והרויח הראשון דרהם אחד והרויח כל אחד מהם יותר מאשר לפניו דרהם אחד והיה כל אשר הרויחו שלש מאות כמה היו האנשים מהחבורה
To know this, suppose that the number of people in the group is a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$].	ולדעת זה תניח מספר אנשי החבורה דבר
Every two of them should earn a thing plus one dirham, according to the said method regarding the garments. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_x=x_2+a_{x-1}=\ldots=x+1}}$	וצריך שירויחו בין כל שנים מהם כפי הסדר האמור בבגדי' דבר ודרהם אחד
Multiply a thing plus one dirham by half a thing; it is half a square plus half a thing and this is all they earned, so it is equal three hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+1\right)\sdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x=300}}$	ותכה דבר ודרהם אחד בחצי דבר ויהיה חצי אלגו וחצי דבר והוא כל מה שהרויחו ויהיה שוה שלש מאות דרהמי
Confrontation:
Confront them; the thing is twenty-four and so is the number of people in the group. $\scriptstyle{\color{blue}{x=24}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר עשרים וארבעה וככה מספר אנשי החבורה
49) If you are told: a group of people, the first earned two dirham, each of them exceed his former by three, and they earned a total of 126. How many people were in the group?	מט) ואם יאמרו לך חבורה מאנשים והראשון הרויח שני דרהמי והוסיף כל אחד על אשר לפניו שלשה והיה כל מה שהרויחו מאה ועשרים ושש כמה יהיה מספר החבורה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_x=\left[d\sdot\left(n-1\right)\right]+a_1=\left[3\sdot\left(x-1\right)\right]+2=\left(3x-3\right)+2=3x-1}}$	ולדעת זה תניח כמו שבארתי לך בבגדים שתכה מה שיותיר כל אחד במספר החבורה פחות אחד ויהיה שלשה דברים פחות שלשה דרהמי ותוסיף עליו מה שהרויח הראשון והוא שנים ויהיה שלשה דברים פחות דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_x=x_2+a_{x-1}=\ldots=3x+1}}$	ויהיה מה שהרויח הראשון והאחרון שלשה דברים ודרהם אחד והוא מה שהרויח כל אחד שנים מהם כפי הסדר האמור
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3x+1\right)\sdot{\color{red}{\frac{1}{2}}}x=1\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x=126}}$	ותכה זה במספר החבורה ויהיה אלגו וחצי וחצי דבר והוא כל מה שהרויחה החבורה והוא ישוה קכ"ו דרהמי
Confrontation:
$\scriptstyle{\color{blue}{x=9}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר תשעה והוא מספר החבורה
50) If you are told: a group of people, the first earned one dirham, each of them exceeded his former by one dirham. They summed the total of what they earned together then divided it equally and each got 10 dirham.	נ) ואם יאמרו לך חבורה מאנשים שהרויח הראשון דרהם אחד והוסיף כל אחד על אשר לפניו אחד דרהם וקבצו כל אשר הרויחו יחד וחלקוהו בשוה ועלה לחלק לכל אחד מהם עשרה דרהמי
the total earning: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	וכבר בארנו שכל אשר הרויחו הוא חצי אלגו וחצי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}{x}=10}}$	וחלקנוהו על מספר החבורה והוא דבר ויגיע לחלק עשרה דרהמי
51) If you are told: a group, two thirds of which, the first earned one dirham, and each of them exceeded his former by two dirham. When they summed the total of what they earned together and divided it equally between the whole group each got 4 dirham. How many were in the group?	‫נא) ואם יאמרו לך חבורה אשר שני שלישיתיה הרויח הראשון דרהם אחד והוסיפו בשלשה בשנים דרהמי וכאשר שבו קבצו כל אשר הרויחו וחלקוהו בין כל החבורה בשוה והגיע לכל אחד מהם ארבעה דרהמי כמה יהיה מספר החבורה
To know this, we suppose that the number of [members in] the group is a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$].	ולדעת זה נשים מספר החבורה דבר
	ושני שלישם הרויח הראשון דרהם אחד והוסיפו בשני דרהם
the total earning = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}x^2}}$	וצריך כפי מה שבארנו שיהיה כל אשר הרויחו ארבעה תשיעיות מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{4}{9}x^2}{x}=4}}$	ואנו נחלקם על מספר החבורה שהוא דבר ויצא ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}x^2=4x}}$	ותכה ארבעה דרהמי בדבר ויהיה ארבעה דברים ישוו ארבעה תשיעיות מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9x}}$	והאלגו ישוה ארבעה תשעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=9}}$	והדבר ישוה תשעה והם מספר החבורה
52) If you are told: a group, its three quarters earned, the first earned two dirham, and the others exceeded by three dirham. When they divided the total of what they earned equally between the whole group each got 24 dirham. How many were in the group?	נב) ואם יאמרו לך חבורה ששלשת רביעיה עלו להרויח והרויח הראשון שני דרהמי והוסיפו האחרים בשלשה רביעים וכאשר שבו חלקום כל אשר הרויחו בין כל החבורה בשוה והגיע לכל אחד מהם עשרים וארבעה דרהמי כמה יהיה מספר החבורה
To know this, suppose that the number of [members in] the group is a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$].	ולדעת זה תניח מספר החבורה דבר
three quarters of the group = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}x}}$	ועלו שלשת רביעיה להרויח והם שלשה רביעי דבר
	והרויח הראשון שנים דרהמי והוסיפו בשלשה שלשה רביעים
the total earning of the $\scriptstyle\frac{3}{4}x$ = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}x^2+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)x^2+\frac{3}{8}x}}$	וצריך כפי מה שבארנו שיהיה כל אשר הרויחו שלשת רביעי הדבר ששה שמיניות מאלגו ושלשת רביעי שמינית האלגו ושלשה שמיניות מדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{6}{8}x^2+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)x^2+\frac{3}{8}x}{x}=24}}$	ותחלקהו על מספר החבורה שהוא דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}x^2+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)x^2+\frac{3}{8}x=24x}}$	ויהיה עשרים וארבעה דברים ישוה שלשה רביעי אלגו ושלשה שמיניות מדבר
Confrontation:
Confront them; the thing is twenty-eight and this is the number of [members in] the group. $\scriptstyle{\color{blue}{x=28}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר עשרים ושמנה והוא מספר החבורה
53) If you are told: a group, its two thirds earned, the first earned one dirham, and [the others] exceeded by two dirham. The remaining third - the first earned two dirham and [the others] exceeded by four [dirham]. Then the total earning of all people of the group was summed up and divided equally between them and each got 20 dirham. How many were in the group?	נג) ואם יאמרו לך חבורה ששני שלישיה יצאו להרויח והרויח הראשון מהם דרהם אחד והוסיפו בשני דרהמי והשלישית הנשאר הרויח הראשון מהם שנים דרהמי והוסיפו בארבעה וקבצו כל מה שהרויחו כל אנשי החבורה וחלקוהו בין שניהם ביניהם בשוה והגיע לכל אחד מהם עשרים דרהמי כמה יהיה מספר החבורה
To know this, suppose that the number of [members in] the group is a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$].	ולדעת זה תניח מספר החבורה דבר
	ויצאו ‫שני שלישיה להרויח והם שלישי דבר והרויח הראשון דרהם אחד ונתוספו בשני דרהמי
the total earning of the $\scriptstyle\frac{2}{3}x$ = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}x^2}}$	וצריך לפי מה שבארנו שיהיה מה שהרויחו שני השלישים ארבעה תשיעיות מאלגו
	והשליש האחר הרויח הראשון מהם שני דרהמי ונתוספו הארבעה
the total earning of the $\scriptstyle\frac{1}{3}x$ = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}x^2}}$	וצריך כפי מה שבארנו שיהיה מה שהרויח השלישית שתי תשיעיות מאלגו
the total earning of the whole group = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}x^2+\frac{2}{9}x^2=\frac{2}{3}x^2}}$	ותקבצם עם אשר הרויחו השני שלישים והוא ארבעה תשיעיות ויהיה כל אשר הרויחו כל אנשי החבורה שני שלישיות מאלגו
Divide it by the number of [members in] the group, which is a thing; it is twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{2}{3}x^2}{x}=20}}$	ותחלקהו על מספר החבורה שהוא דבר ויהיה עשרים
Multiply twenty by a thing; it is twenty things equal two-thirds of a square. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x^2=20x}}$	ותכה עשרים בדבר ויהיה עשרים דברים ישוו שני שלישי אלגו
The square equals thirty things. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=30x}}$	והאלגו ישוה שלשים דברים
The thing is thirty and this is the number of [members in] the group. $\scriptstyle{\color{blue}{x=30}}$	והדבר שלשים והוא מספר החבורה
54) If you are told: a group of people earned, the first earned one dirham, and [each of them] exceeded by one dirham. Then they summed up the total earning of all and divided it equally between them and each got [an amount] equal to two thirds of the number of [members in] the group	נד) ואם יאמרו לך חבורה מאנשים יצאו להרויח והרויח הראשון דרהם אחד ונתוספו באחד וכאשר שבו קבצו יחד כל מה שהרויחו כלם וחלקוהו ביניהם בשוה והגיע לכל אחד מהם כמו שני שלישי מספר החבורה
The number of [members in] the group should be a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$], as we assumed.	וצריך שיהיה כאשר הנחנו מספר החבורה דבר
the total earning of the whole group = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	שיהיה כמו שבארנו כל מה שהרויחו בם חצי אלגו וחצי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}{x}=\frac{2}{3}x}}$	ונחלקהו על מספר החבורה והוא דבר ויהיה שני שלישי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}x^2}}$	ותכה שני שלישי דבר בדבר ויהיה שני שלישי אלגו ישוה חצי אלגו וחצי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=3}}$	והדבר ישוה שלשה דרהמי והוא מספר החבורה
55) If you are told: a group, 4½ of its root earned, the first earned one dirham, and [each of them] exceeded by one dirham. Then they shared the total earning between all [members of] the group and each got 10½ dirham. How many were in the group?	נה) ואם יאמרו לך חבורה שיצאו ארבעה שרשיה וחצי שרש להרויח והרויח הראשון דרהם אחד ונתוספו באדרהם אחד וכאשר שבו חלקו מה שהרויחו בין כל החבורה בשוה והגיע לכל אחד מהם עשרה דרהמי וחצי כמה יהיה מספר החבורה
To know this, suppose that the number of [members in] the group is a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$].	ולדעת זה תניח מספר החבורה בצד אלגו
the number of earning members = $\scriptstyle{\color{blue}{4\frac{1}{2}\sqrt{x^2}=4\frac{1}{2}x}}$	ויצאו ארבעת שרשיו וחצי והוא ארבעה דברי' וחצי
	והריוח הראשון דרהם אחד ונתוספו באדרהם אחד
the total earning = $\scriptstyle{\color{blue}{10\frac{1}{8}x^2+2\frac{1}{4}x}}$	וצריך שיהיה מה שהרויחו כפי מה שבארנו עשרה אלגוש ושמינית מאלגו ושני דברים ורביע דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10\frac{1}{8}x^2+2\frac{1}{4}x}{x^2}=10\frac{1}{2}}}$	ונחלקם על מספר החבורה והוא אלגו ויצא לחלק עשרה דרהמי וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{10\frac{1}{8}x^2+2\frac{1}{4}x=10\frac{1}{2}x^2}}$	ותכה עשרה דרהמי וחצי באלגו ויהיה עשרה אלגוש וחצי ישוו עשרה אלגוש ושמינית מאלגו ושני דברים ורביע
Confrontation:
Confront them; the thing is six. $\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר ‫ששה
The square is thirty-six and this is the number of [members in] the group. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}$	והאלגו שלשים וששה והוא מספר החבורה
56) If you are told: 30 people, the first earned one dirham, and [each of them] exceeded by one thing. Their total earning was 1335. By how much did each one exceed his former?	נו) ואם יאמרו לך שלשים אנשים הרויח הראשון דרהם אחד ונתוספו בדבר אחד והיה כל אשר הרויחו אלף ושלש מאות ושלשים וחמשה בכמה נתוספו כל אחד על האחר אשר לפניו
To know this, suppose that the second exceeds over the first by one thing, the third over the second by one thing, the fourth over the third by one thing and so on until the last.	ולדעת זה תניח השני שהוסיף על הראשון בדבר אחד והשלישי על השני בדבר אחד והרביעי על השלישי בדבר אחד וכן עד האחרון
Do as I explained, that is, always multiply the excess, which is a thing, by the whole [number of members in the] group minus one, which is twenty-nine, then add to it what the first earned, which is one dirham; it is 29 things and one dirham and this is what the last earned. $\scriptstyle{\color{blue}{a_{30}=a_n=\left[d\sdot\left(n-1\right)\right]+a_1=\left[x\sdot\left(30-1\right)\right]+1=29x+1}}$	ותעשה בהם כאשר בארתי והוא שתכה מה שיעדיף שהוא ההעדף והוא דבר בחבורה כלה פחות אחד לעולם ויהיה עשרים ותשעה ותוסיף עליהם מה שהרויח הראשון והוא דרהם ויהיה כ"ט דברים ודרהם אחד והוא מה שהרויח האחרון
Add to it what the first earned, which is one dirham; it is 29 things and two dirham and this is what every two of them earned according to the method we explained. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_{30}=a_2+a_{30-1}=\ldots=29x+1+1=29x+2}}$	ותוסיף עליו מה שהרויח הראשון והוא דרהם אחד ויהיה כ"ט דברים ושני דרהמי והוא מה שהרויח כל אחד שנים מהם כפי הסדר שבארנו
Multiply it by fifteen, which is half the [number of members in the] group; it is thirty dirham plus 435 things, which is all they earned and it is one thousand, three hundred and thirty-five dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(29x+2\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot30\right)=\left(29x+2\right)\sdot15=435x+30=1335}}$	ותכם בחמש עשרה שהוא מחצית החבורה ויהיה שלשים דרהמי ותל"ה דברים והוא כל אשר הרויחו א"י אלוגלו ויהיה אלף ושלש מאות ושלשים וחמשה דרהמי
Confrontation:
Confront them; the thing is three and by this each one exceeds his former. $\scriptstyle{\color{blue}{x=3}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר שלשה והוא כל מה שהוסיף כל אחד מהם על אשר לפניו
Motion Problems
57) If you are told: I sent a man from the city and ordered him to walk on the first day one parsa and add one parsa each day. He walked 81 days. Then I sent another man and ordered him to walk on the first day one parsa and add two parsa each day. In how many days he will meet the other one?	נז) ואם יאמרו לך שלחתי איש אחד מן העיר וצויתיו שילך [ביום ראשון]‫ בכל יום פרסא אחת ושיוסיף בכל יום פרסא אחת והלך שמנים וארבעה ימים ואחר זה שלחתי איש אחר וצויתיו שילך [ביום ראשון]‫ בכל יום פרסא אחת ושיוסיף בכל יום שתי פרסאות בכמה ימים יפגוש באחר
Knowing this is that you assume the number of days the first walked is a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$].	וידיעת זה היא שתניח מספר הימי' הראשונים שהלך האיש הראשון דבר
The number of parsa he walked should be half a square plus half a thing, according to what we explained with regard to partnership. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^x i=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	וצריך כפי מה שבארנו בחבורה שיהיה מספר הפרסאות שהלך חצי אלגו וחצי דבר
The [number of] days the second walked is a thing minus 84 days. $\scriptstyle{\color{blue}{x-84}}$	ויהיה מה שהלך השני מהימים דבר פחות פ"ד ימים
The number of parsa, according to what we explained with regard to partnership, should be half a square plus seven thousand and fifty-six minus 168 things, and this is equal to half a square plus half a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{x-84} \left(2i-1\right)=x^2+7056-168x=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	וצריך שיהיה מספר הפרסאות כפי מה שבארנו בחבורה אלגו ושבעה אלפים וחמשים וששה פחות קס"ח דברים ויהיה שוה חצי אלגו וחצי דבר
Confrontation:
Confront them; the thing is two hundred and eighty-eight and this is [the number of days] that the first walked. $\scriptstyle{\color{blue}{x=288}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר מאתים ושמנים ושמנה והוא מה שהלך האיש הראשון
The second walked two hundred and four days. $\scriptstyle{\color{blue}{288-84=204}}$	והלך השני מאתים וארבעה ימים
58) If you are told: I ordered the first to walk on the first day one parsa and add one parsa each day. He walked 8 days. I ordered the second to walk on the first day one parsa and add three parsa each day. In how many days he will find him?	‫נח) ואם יאמרו לך צויתי לראשון שילך ביום ראשון פרסא אחת ושיוסיף בכל יום פרסא אחת והלך שמנה ימים וצויתי לשני שילך בכל יום הראשון פרסא אחת ושיוסיף בכל יום שלשה פרסאות בכמה ימים ימצאנו
To know this, suppose the number of days the first walked is a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$].	ולדעת זה תניח מספר הימים שהלך הראשון דבר
The number of parsa should be half a square plus half a thing, according to what we explained with regard to partnership. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^x i=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	וצריך כפי מה שבארנו בחבורה שיהיה מספר הפרסאות חצי אלגו וחצי דבר
Number of days the second walked is a thing minus eight. $\scriptstyle{\color{blue}{x-8}}$	ויהיה מה שהלך השני מן הימים דבר פחות שמנה
The number of parsa [he walked] should be should be a square and a half plus one hundred minus 24 things and a half and this is equal to half a square plus half a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{x-8} \left[1+\left(3i-3\right)\right]=1\frac{1}{2}x^2+100-24\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	וצריך שיהיה מספר פרסותיו אלגו וחצי ומאה דרהמי פחות כ"ד דברים וחצי והוא ישוה חצי אלגו וחצי דבר
Confrontation:
Confront them; the thing is twenty days and this is [the number of days] that the first walked. $\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר עשרים ימים והוא מה שהלך הראשון
The second walked twelve days. $\scriptstyle{\color{blue}{20-8=12}}$	ומה שהלך השני הוא שנים עשר ימים
59) If you are told: a man left the city and I ordered him to walk each day 20 parsa. He walked 15 days. Then I sent another man after him and ordered him to walk each day the root of the number of parsa that the first one walked.	נט) ואם יאמרו לך איש אחד עלה מן העיר וצורתיו וצויתיו שילך בכל יום עשרים פרסאות והלך ט"ו ימים וצויתי ושלחתי לאיש אחר אחר זה וצויתיו שילך בכל יום שרש מספר הפרסאות שיפגע בהם הראשון
Knowing this is that you assume [the number of] parsa the first walked is a square [$\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$].	וידיעתו שתניח מה שהלך הראשון מן הפרסאות אלגו
The number of days he walked should be half a tenth of a square. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}x^2}}$	וצריך שיהיה מספר הימים שהלך חצי עשירית מאלגו
The second man has walked 15 days less than the first, so the number of days [he walked] is half a tenth of a square minus 15 days. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}x^2-15}}$	והאיש השני הלך פחות מהראשון בחמשה עשר ימים ויהיה מספר ימיו חצי עשירית מאלגו פחות ט"ו ימים
Multiply it by what he walked each day, which is a thing, since he was ordered to walk each day the root of the number of parsa that [the first walked] and the number of parsa is a square, whose root is a thing; it is half a tenth of a cube, de cúbico in a foreign language, minus fifteen things equal a square $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}x^2-15\right)\sdot\sqrt{x^2}=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}x^2-15\right)\sdot x=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}x^3-15x=x^2}}$	ותכם במה שהלך בכל יום והוא דבר בעבור שצוה ללכת בכל יום שרש מספר הפרסאות שימצאהו בהם ומספר הפרסאות הוא אלגו ושרשו דבר ויהיה חצי עשירית ממעוקב דיקוביקא בלעז פחות חמשה עשר דברים ישוה אלגו
Confrontation:
Confront them; it is a square equals three hundred plus twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=20x+300}}$	ותכוין עמהם ויהיה אלגו ישוה שלש מאות דרהמי ועשרים דברים
The thing is equal to thirty and this is the number of parsa that the first walked. $\scriptstyle{\color{blue}{x=30}}$	והדבר ישוה שלשים והוא שרש מספר הפרסאות שהלך הראשון
Multiply it by itself; it is nine hundred parsa. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=30^2=900}}$	ותכם בעצמם ויהיה תשע מאות פרסאות
Divide them by the [number of] parsa he walked each day, which is twenty; the quotient is 45 daysand they are the [walking] days of the [first]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x^2}{20}=\frac{900}{20}=45}}$	ותחלקם על הפרסאות שהלך בכל יום והם עשרים ויעלה לחלק מ"ה ימים והם ימי השני
60) If you are told: a man left the city and I ordered him to walk each day 20 parsa. He walked 4[4] days. Then I sent another man after him and ordered him to walk each day the root of the number of days that the first one walked.	ס) ואם יאמרו לך איש אחד עלה מן העיר וצויתיו שילך בכל יום עשרים פרסאות והלך מ"ה ימים ושלחתי אחר זה אחר וצויתיו שילך בכל יום שרש מאשר הלך הראשון מהימים שימצאהו בהם
Knowing this is that you assume [the number of parsa] the first walked each day is a square $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתו שתניח בכל יום שרש מאשר הלך הראשון מהימים אלגו
The [total number of] parsa he walked is twenty squares. $\scriptstyle{\color{blue}{20x^2}}$	ויהיה מספר פרסותיו שהלך עשרים אלגוש
The number of days the second [walked] is a square minus 4[4] days. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2-4{\color{red}{4}}}}$	‫ויהיה מספר ימי השני אלגו פחות מ"ה ימים
Multiply it by what he walked each day, which is a thing; it is a cube minus 4[4] things equal twenty squares. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-4{\color{red}{4}}\right)\sdot\sqrt{x^2}=\left(x^2-4{\color{red}{4}}\right)\sdot x=x^3-4{\color{red}{4}}x=20x^2}}$	ותכם במה שהלך כל יום והוא דבר והנה קוביקא פחות מ"ה דברים ישוה עשרים אלגו
Confrontation:
Confront them; the thing is twenty-two and it is the root of [the number of] days the first walked. $\scriptstyle{\color{blue}{x=22}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר עשרים ושנים והוא שרש הימים שהלך הראשון
Multiply it by itself; it is 484 and this is the [number of] days that the first walked. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=22^2=484}}$	ותכם בעצמם ויהיה תפ"ד והם הימים שהלך הראשון
Multiply it by twenty; it is nine thousand and 680 and this is the number of parsa that he walked. $\scriptstyle{\color{blue}{20x^2=20\sdot484=9680}}$	ותכם בעשרים ויהיה תשעה אלפים ותר"פ והוא מספר הפרסאות שהלך
The number [of days] the second [walked] is 440. $\scriptstyle{\color{blue}{484-44=440}}$	ומספר אשר מהשני ת"מ
Multiply it by the [number of] parsa he walked each day, which is 22; it is nine thousand and 680. $\scriptstyle{\color{blue}{22\sdot440=9680}}$	ותכם בפרסאות שהלך כל יום והם כ"ב ויהיו תשעה אלפים ותר"פ
Buy and Sell Problems
61) If you are told: one ounce for 20 dirham, one ounce for 15 dirham and one ounce for 10, and you are told to take of all one ounce for 18 dirham	סא ואם יאמרו לך אונקיא אחת בעד עשרים דרהמי ואונקיא אחת בעד ט"ו דרהמי ואונקיא בעד עשרה ואמרו לך תקח מהכל אונקי' אחת בעד י"ח דרהמי
This is an indeterminate problem	זאת השאלה היא חרשת
Knowing this is that you take a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$] of the ounce for ten at [ten] things of dirham [$\scriptstyle{\color{blue}{10x}}$] and a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$] of the ounce for 15 at 15 things of dirham [$\scriptstyle{\color{blue}{15x}}$].	וידיעתה שתקח דבר מהאונקיא שהיא בעד עשרה דברים מהדרהמי ודבר מהאונקיא שהיא בעד ט"ו דברים מהדרהמי
An ounce minus two things remain of the ounce. $\scriptstyle{\color{blue}{1-2x}}$	וישאר מהאונקיא אונקיא פחות שני דברים
18 dirham minus 25 things remain of the dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{18-10x-15x=18-25x}}$	ומהדרהמי י"ח דרהמי פחות כ"ה דברים
Take an ounce minus two things of the ounce for 20 [dirham] at twenty dirham minus forty things. $\scriptstyle{\color{blue}{20\sdot\left(1-2x\right)=20-40x}}$	ותקח מאונקיא שהיא בעד עשרים אונקיא פחות שני דברים בעד עשרים דרהמי פחות ארבעים דברים
It is 18 dirham minus 25 things equal twenty dirham minus forty things. $\scriptstyle{\color{blue}{18-25x=20-40x}}$	ויהיה י"ח דרהמי פחות כ"ה דברים ישוה עשרים דרהמי פחות ארבעים דברים
Confrontation:
Confront them; the thing equals two-thirds of a fifth and so he bought of the ounce for 10 [dirham]. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר ישוה שני שלישי החומש ומספר וקנה מן האונקיא שהיא בעד עשרה
from the ounce for 15 dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{15}}}$	ומאשר היא בעד ט"ו מכל אחת ב' מט"ו מאונקיא
from the ounce for 20 dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{15}}}$	ומספר וקנה מן האונקיא שהיא בעד עשרים י"א מט"ו מאונקיא
take from the ounce for 10 dirham: x for 10x	ואם תרצה תקח דבר מהאונקיא שהיא בעד עשרה דברים מהדרהמי
take from the ounce for 15 dirham: 2x for 30x	ותקח שני דברים מהאונקיא שהיא בעד ט"ו דברים מהדרהמי
remains from the 18 dirham: 18 dirham−40x	וישאר ערך האונקיא י"ח דרהמי פחות ארבעים דברים
remains from the ounce: 1 ounce−3x	ומהאונקיא אונקיא פחות שלשה דברים
take from the ounce for 20 dirham: 1 ounce−3x for 20−60x	וקנה בהם מהאונקיא שהיא בעד עשרים דרהמי בעד עשרים דרהמי פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{1{\color{red}{8}}-40x=20-{\color{red}{60}}x}}$	והדבר ישוה י"ו דרהמי פחות ארבעים דברים
Confrontation:
Confront them; the thing is [a tenth], so take one tenth of the ounce for 10 [dirham]. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{10}}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר עשרה ותקח מהאונקיא שהיא בעד עשרה עשירית אחד מאונקיא
from the ounce for 15 dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$	ומאשר היא בעד ט"ו חמישית אחד מאונקיא
from the ounce for 20 dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}}$	ומאשר היא בעד עשרים שבעה עשיריות מאונקיא וחצי וחומש מאונקיא
62) If you are told: one liṭra for 5 dirham, one liṭra for 4 dirham and 10 liṭra for one dirham - take from all one liṭra for 2 dirham	‫סב ואם יאמרו לך ליט' אחת בעד חמשה דרהמי וליט' אחת בעד ארבעה דרהמי ועשרה ליט' בעד דרהם אחד תקח מהכל ליט' אחת בעד שני דרהמי
This is an indeterminate problem	זאת השאלה היא חרשת
take from the liṭra for 5 dirham: x for 5x	וידיעתו שתניח דבר מהליט' שהיא בעד חמשה דרהמי בעד חמשה דברים מהשני דרהמי
take from the liṭra for 4 dirham: x for 4x	ודבר מהליט' שהיא בעד ארבעה דרהמי בעד ארבעה דברים משני הדרהמי
remains from the 2 dirham: 2 dirham−9x	וישאר משני הדרהמי שני דרהמי פחות תשעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\frac{1}{10}}}-\frac{1}{5}x=2-9x}}$	ישוה עשרה דרהמי פחות חמישית דבר
Confrontation:
Confront them; the thing is [a ninth] of 88 parts of a liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{{\color{red}{1}}9}{88}}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר ט' מפ"ח בליט‫'
take from the liṭra for 5 dirham: x for 5x [take from the liṭra for 4 dirham: 5x for 20x - missing]	ואם תרצה תקח מהליט' שהיא בעד חמשה דברים דבר בחמשה דברים משני הדרהמי
remains from the 2 dirham: 2 dirham−25x	וישאר משני הדרהמי שני דרהמי פחות כ"ה דברים
remains from the liṭra : liṭra−6x	ומהליט' ליט' פחות ששה דברים
take from the 10 liṭra for one dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\frac{1}{10}\sdot\left(1-6x\right)=\frac{1}{10}}}-\frac{3}{5}x}}$	ותקח מאשר הוא עשרה ליט' בעד דרהם אחד עם עשרה דרהמי פחות שלשה חומשי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\frac{1}{10}}}-\frac{{\color{red}{3}}}{5}x=2-25x}}$	ויהיה אז שני דרהמי פחות כ"ה דברי' ישוה עשרה דרהמי פחות שני חומשי דבר
Confrontation:
Confront them; the thing is 19 parts of 244 and this is what he bought of the liṭra for 5 dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{19}{244}}}$	ותכוין עמו ויהיה הדבר י"ט מרמ"ד והוא מה שקנה מהליט' אשר בעד חמשה דרהמי
from the liṭra for 4 dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{5x=\frac{95}{244}}}$	וקנה מהליט' אשר בעד ארבעה דרהמי צ"ה מרפ"ד בליט‫'
take from the liṭra for 5 dirham: $\scriptstyle\frac{3}{10}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)$ for $\scriptstyle1\frac{1}{2}+\frac{1}{5}$	ואם תרצה תקח מהליט' שהיא בעד חמשה ג' מעשרה בליט' ושני חומשים מעשירית הליט' בעד דרהם אחד וחצי וחומש
take from the liṭra for 4 dirham: $\scriptstyle\frac{3}{50}$ for $\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{5}}}+\frac{2}{50}$	ומהליט' שהיא בעד ארבעה דרהמי שלשה מחמשים בליט' בעד חמשה דרהמי ושנים מחמשים באדרהם
take from the 10 liṭra for one dirham: $\scriptstyle\frac{3}{5}$ for $\scriptstyle\frac{3}{50}$	ומהליט' שהיא עשרה ליט' בעד דרהם אחד שלשה חומשים מליט' בעד שלשה מחמשים בדרהם
63) If you are told: I bought wheat for ten dirham at the rate of [three] qafiz for one dirham and I bought sesame [الجلجلان] for three dirham at unknown rate, then I sold both of them at the price of the other and four dirham remained. How much was the price of the sesame?	סג ואם יאמרו לך קניתי בעד עשרה דרהמי חטה לחשבון הקאפיזיש בעד דרהם אחד וקניתי עם שלשה דרהמי גולגולאן לחשבון בלתי ידוע ומכרתי מכל אחד מהם מהחטה כפי סוגו השעור מהגולגולאן ויותירו ארבעה דרהמי כמה יהיה ערך הגולגלאן
the wheat is bought: $\scriptstyle10\times3=30$ qafiz for 10 dirham	וידיעתו שתקנה ל' קאפיזיש מחטה בעד עשרה דרהמי לחשבון שלשה קאפיזיש בעד דרהם אחד
the sesame is bought: $\scriptstyle3\times x=3x$ for 3 dirham	וקניתי עם שלשה דרהמי גולגולאן לחשבון דבר אחד בעד דרהם אחד ויהיה שלשה דברים
the sesame sold at the price of the wheat: $\scriptstyle3x$ for $\scriptstyle\frac{3x}{3}=x$ dirham	ושלשת הדברים לחשבון שלשה דרהמי ויעלה שוויו דבר
the value of the wheat sold at the price of the sesame: $\scriptstyle\left(10+3+4\right)-x=17-x$ dirham	וישאר מהקרן ומהריוח שבעה עשר ‫פחות דבר והוא שווי החטה כאשר מכרוהו בכלל הגולגולאן ויהיה אותו מהחטה ותהיה החטה והיא ל' קאפיזיש לחשבון דבר אחד בעד דרהם אחד יהיה י"ז דרהמי פחות דבר
the amount of the wheat sold at the price of the sesame $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(17-x\right)=17x-x^2=30}}$	תכה דבר אחד בי"ז דרהמי פחות דבר ויהיה י"ז דברים פחות אלגו ישוה שלשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1=15}}$ qafiz of sesame $\scriptstyle{\color{blue}{x_2=2}}$ qafiz of sesame	וכוין עמו ויהיה הדבר אם תרצה ט"ו ואם תרצה שנים ואמור הכלל מהגולגולאן אם תרצה ט"ו קאפיזיש ואם תרצה שנים
	וכאשר יקרה לפניך שאלה כזאת או דומה אליה אם יחלק הקרן והריוח או הקרן פחות מהחסרון מההפסד אם יאמר חסר הפסדתי לשני חלקים יהיה הכאת האחד באחר כמו הכאת אחד מהשני מאנירי בשווי האחר המאטרא האחרת ותהיה השאלה ואם לא יחלק תהיה חרשת
64) If you are told: unknown qafiz are worth 93 dirham, the sum of the number of qafiz plus the price of one qafiz is 34. How many are the qafiz and what is the price of each qafiz?	סד ואם יאמרו לך קאפיזיש בלתי ידועים שוויים צ"ג דרהמי אלא ששווי שמספר הקאפיזיש עם שווי קאפיז אחד מהם ל"ד כמה יהיה מספר הקאפיזיש ושווי כל קאפיז
Knowing this is that you suppose the price of [one] qafiz is a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$].	וידיעתו שתניח שווי הקאפיז דבר
The number of the qafiz remains 34 minus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{34-x}}$	ישאר מספר הקאפיזיש ל"ד פחות דבר
Multiply a thing by 34 minus a thing; it is 34 things minus a square equal 93 dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(34-x\right)=34x-x^2=93}}$	תכה דבר בל"ד פחות דבר יהיה ל"ד דברים פחות אלגו ישוה צ"ג דרהמי
Confrontation:
Confront; the thing is three and its the price of [one] qafiz. $\scriptstyle{\color{blue}{x_1=3}}$	ותכוין ויהיה הדבר שלשה והוא שווי הקאפיז
The [number of] qafiz is 31. $\scriptstyle{\color{blue}{34-x_1=31}}$	והקאפיזיש ל"א
If you wish, suppose the [number of] qafiz is three. $\scriptstyle{\color{blue}{34-x_2=3}}$	ואם תרצה תניח הקאפיזיש שלשה
Thus, the price of [one] qafiz is 31. $\scriptstyle{\color{blue}{x_2=31}}$	ושווי הקאפיז ל"א
65) If you are told: unknown [number of] qafiz - the first is sold for one dirham, then [the price of each] exceed by one dirham. Take a square of the total sum and add to the [unknown] number and the result is 14	סה ואם יאמרו לך קאפיזיש בלתי ידועים מכר הראשון בעד דרהם אחד והוסיפו בדרהם אחד ולקח שרש הכל והוסיפהו על מספרו ויצא י"ד
The solution is that you suppose the number of the qafiz is a thing [$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$].	חכמתו שתניח מספר הקאפיזיש דבר
Their price should be half a square plus half a thing, as we explained about the partnerships. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^x i =\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	וצריך שיהיה שוויו כפי מה שבארנו בחבורות חצי אלגו וחצי דבר
Its root plus a thing is 14. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}+x=14}}$	ושרשו נוסף על דבר יהיה י"ד
Subtract a thing from 14; 14 minus a thing remais, which is equal to a root of half a square plus half a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{14-x=\sqrt{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}}$	ותגרע דבר מי"ד ישאר י"ד פחות דבר ישוה שרש מחצי אלגו וחצי דבר
Multiply 14 minus a thing by itself; it becomes 196 dirham and a square minus 28 things equal half a square plus half a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(14-x\right)^2=196+x^2-28x=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	תכה י"ד פחות דבר בעצמו יהיה קצ"ו דרהמי' ואלגו פחות כ"ח דברים ישוה חצי אלגו וחצי דבר
Confrontation:
Confront them; the thing is eight and its is [the number of] the qafiz. $\scriptstyle{\color{blue}{x=8}}$	ותכוין בהם ויהיה הדבר שמנה והם הקאפיזיש

Appendix: Bibliography

Kitāb Masā’il allatī hiya ghair Maḥdūda (The third section on indeterminate equations) / by Abū Kāmil Shujāʽ Ibn Aslam Ibn Muḥammad ibn Shujāʽ (Egypt, ca. 850-930)
– Hebrew translation –
by Mordecai (Angelo) Finzi (Mantua, d. 1475)
Ḥeshbon ha-ʽAgulah (ha-Sheʼelot ha-Ḥershot ve-ha-ʼIlmot)

Manuscripts:

1) Mantova, Comunita Israelitica MS ebr. 17/3 (IMHM: f 797), ff. 63v-85v; 112r-113v (15th century; autograph)

Abu Kamil Shudeya, Algebra

2) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 225/3 (IMHM: f 1118), ff. 166v-191v (15th century)

Mathematische Abhandlungen, vielleicht von Mordechai Finzi (1445-1473)

Bibliography:

• Lévy, Tony. 2007. L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (II). Dans l’Italie des XVe et XVIe siècles, sources arabes et sources vernaculaires, Arabic Sciences and Philosophy 17, pp. 81-107.
• Schub, Pincus and Martin Levey. 1968. Book on Indeterminate Problems of abū Kāmil (850-930), Centaurus 13, pp. 91-94.
• ———. 1970. Indeterminate Problems of abū Kāmil (850-930), Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Memorie della classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, ser. VIII, vol. X, no.2, pp. 23-96.
• Sesiano, Jacques. 1977. Les Méthodes d'analyse indéterminée chez Abū Kāmil, Centaurus 21, pp. 89-105.
• Yadegari, Mohammad. 1978. The Use of Mathematical Induction by Abū Kāmil Shujā‘ Ibn Aslam (850-930), Isis, vol. 69, no. 2 (Jun., 1978), pp. 259-262.