מלאכת המספר

Introduction
The author said: When I saw the lengthiness of the discussions of the ancient scholars, the composers of the books of number, and that the necessary methods and teachings in astronomy, geometry, and the ratios of music are explained in those books merely in great difficulty; likewise the seven types of [operations] with integers as well as with fractions, the roots and the proportions of numbers; and since the teaching that is [based] on brief and comprehensive methods is better chosen for the student as well as for the teacher, for every lengthiness of words and loquacity are exhaustion of the body [Ecclesiastes 12, 12].	אמר המחבר בראותי אריכות דברי החכמים הקדומים מחברי ספרי המספר ושהסדרים והלמודים ההכרחיים בחכמת התכונה וההנדסה ויחסי המוסיקא אינם מבוארים בספרים ההם אלא בקושי גדול וכן ג"כ בז' מיני שלמים כמו בשברים ובשרשים וביחסי המספרים ולהיות הלמוד שהוא בדרכים הקצרים והכוללים יותר נבחר כן ללומד כמו למלמד כי כל אריכות דברים ולהג הרבה יגיעת בשר‫
Therefore, I Yiẓḥaq b. R. Moshe ʽEli ha-Sefaradi [= the Spanish] from the city of Oriola of the kingdom of Aragon, at the request of my friends, who studied astronomy and geometry, because they used those methods with a great difficulty and bother, I shook out my lap and wrote this short treatise that encompasses all that is necessary for this science, arithmetic, that is called arishmetika, by the grace of God to me [Psalms 57, 2], and according to the good hand of my God upon me [Nehemiah 2, 8].	לכן אני יצחק בכ"ר משה עלי נ"ע הספרדי ממדינת אוריאולה ממלכות ארגון לבקשת קצת אוהבי המעיינים בחכמת התכונה וההנדסה למה שהיה פועלם בקשי ובטורח גדול בדרכים ההם נערתי חצני וחברתי זה החבור הקצר כולל כל מה שהוא הכרחי בזאת המלאכה מלאכת המספר הנקראת ארישמטיקה כפי מה שחנני השם וכפי יד אלהי הטובה עלי
I have written in it comprehensive and short ways in all seven types of [operations] of number, its properties and the existence of the ratios in all that is possible in this science.	וחברתי בו דרכים כוללים וקצרים בכל ז' מיני המספר וסגולותיו ומציאות היחסים בכל מה שהוא אפשרי במלאכה הזאת
This is by demonstrative ways that are loved by the intellectuals, in a manner that anyone who endeavors in studying this short book will comprehend all that is necessary for this science, will be saved from the non-useful lengthiness and from the loss of time, and will attain in it whatever his heart desires; since it is for mathematics as the light of dawn shines ever brighter until the perfect [Proverbs 4, 18].	וזה בדרכים מופתיים ונאהבים למשכילים באופן שכל מי שישתדל לעיין בזה הספר הקצר יקיף בכל מה שהוא הכרחי בזאת המלאכה וינצל מהאריכות הבלתי מועיל ומהפסד הזמן וישיג בו בכל מה שלבו חפץ כי הוא לחכמות הלמודיות כאור נגה הולך ואור עד נכון‫
With the help of God, Blessed is He, I will begin and say:	ובעזר השם ב"ה אתחיל ואומר

Table of content
This work is divided into three books:	הספר הזה יחלק לשלשה מאמרים
In the first book we will discuss the seven types of numerical [operations].	במאמר הראשון נדבר בז' מיני המספר
In the second book we will discuss the methods, ratios, problems and answers needed in this science.	במאמר השני נדבר בדרכים ויחסים ושאלות ותשובות הצריכות במלאכת הזאת
In the third book we will discuss some techniques and premises common to arithmetic and geometry.	במאמר השלישי נדבר בקצת דרכים והתחלות משותפות למלאכת המספר וההנדסה
The first book is divided into four sections:	המאמר הא' יחלק לד' כללים
In the first section we will discuss the definition of arithmetic, number, and unit, as well as a few premises needed and the number of the types of numerical [operations].	בכלל הא' נדבר בגדר מלאכת המספר וגדר המספר והאחדות וקצת התחלות צריכות אליה ומנין מיני המספר
In the second section we will discuss the six types of numerical [operations] with integers.	בכלל השני נדבר בששה מיני המספר השלמים
In the third type we will discuss the seven types of numerical [operations] with fractions and the multiplication techniques of fractions in astrology [= sexagesimal fractions]	בכלל השלישי נדבר בז' מיני השברים ואפני רבוע השברים בחכמת התכונה
	בכלל הרביעי נדבר בדרכים מישרים למציאות שרשי המספרים המרובעים והמעוקבים
	הכלל הא' מהמאמר הא' בגדר מלאכת המספר וגדר המספר והאחדות וקצת התחלות הצריכות אליה ומנין מיני המספר
	הכלל הב' יחלק לששה פרקים
	הפרק הראשון נדבר בו מהמין הראשון מהמספר שהוא הקבוץ
	הפרק השני במין השני שהוא חסור
	הפרק השלישי מהמין השלישי שהוא הכפול ודרכים כוללים בידיעת המספר השלמים
	הפרק הרביעי במין הרביעי שהוא חלוק באמצע
	הפרק החמישי במין החמשי שהוא הרבוע וקצת מסגלותיו
	הפרק הששי במין הששי שהוא המחלק
	הכלל הג' מהמאמר הראשון ויתחלק לשמנה פרקים
	הפרק הראשון בדרכים מישירי בענייני הנחת השברים וגדרם וסדרם
	הפרק השני בקבוץ השברים
	הפרק השלישי בחסור השברים
	הפרק הרביעי בכפול השברים
	הפרק החמשי בחלוק השברים באמצע
	הפרק הששי ברבוע השברים
	הפרק השביעי באופני רבוע השברים בחכמת התכונה
	הפרק השמני מהחלק השברים
	הכלל הד' מהמאמר הראשון ויתחלק לד' פרקים
	הפרק הא' בנתינת דרכים מישירים למציאות שרשי המספרים המרובעים או היותר קרובים למספרים הבלתי מרובעים
	הפרק השני במציאות שרשי המספרים בשברים לבד או בשברים ושלמים יחד
	הפרק השלישי בנתינת דרך אחד כולל למצא בו שרשי המספרים על דרך תוספת הסיפרש
	הפרק הד' בדרכים מישירים למציאות שרשי המספרים המעוקבים או היותר קרובים למספרים הבלתי מעקבים
	המאמר השני יתחלק בשני כללים
	בכלל הראשון נדבר בדרכים ויחסים כוללים בזאת המלאכה
	בכלל השני נדבר בקצת שאלות ותשובות מישירות בעיון ובמעשה בזאת המלאכה
	הכלל הא' מהמאמר השני יחלק לשמנה פרקים
	הפרק הראשון ביחסי המספרים מהשלמים
	הפרק השני בדרכים מישירים למציאות יחסי המספרים השברים
	הפרק הג' בדרכים מישירים למציאות המחולק ביחסי השברים
	הפרק הרבעי בנתינת משל א' כולל לכל חלקי הלמוד במחלק ובמחולק בידיעת יחסי השברים
	הפרק החמשי בידיעת יחסי הד' מספרים המתיחסים בשתי המלאכות וההנדסה
	הפרק הששי בידיעת יחסי כל ג' מספרים המתיחסים
	הפרק הז' בידיעת יחס הששה מספרים המתיחסים
	הכלל השני מהמאמ' השני ויחלק לד' פרקים
	הפרק הראשון בידיעת חלוף המדות והמשקלים והמשורות והמטבעות לפי חלוף מקומם
	הפרק השני בידיעת התיחסות שני מספרים שיש להם זאת הסגולה שאם נחסר א' מהמספר הגדול והוספנוהו על הקטן יהיו שווים ואם בהפך יהיה הגדול הפך הקטן או יותר כפי שנרצה
	הפרק הג' ביחס שני מספרים שאם הגדול יתן אחד לקטן יהיה הקטן הגדול ואם בהפך יהיה הגדול ג' פעמים
	הפרק הד' שבידיעת קבוץ ב' חלקים מתחלפים מאי זה כל או יותר איך נדע הכל
	הפרק הה' בנתינת דרכים כוללים לידיעת איזה מספר בלתי ידוע בדרך המתנגדים
	הפרק הששי בלמוד החבורות
	הפרק הז' בקצת שאלות ותשובות
	המאמר השלשי נדבר בו בקצת התחלות מההנדסה ויתחלק לג' כללים
	הכלל הראשון בידיעת השעור הקוויי
	הכלל השני בידיעת השעור השטחיי
	הכלל השלישי בידיעת השעור הגשמי
	הכלל הראשון מהמאמר השלישי יתחלק לג' פרקים
	הפרק הראשון בקצת התחלות ההנדסה וגדר הקו ובידיעת השעור הקוויי בגבה
	הפרק השני בידיעת השעור הקוויי במישור
	הפרק השלישי בידיעת השעור הקוויי בעמק
	הכלל השני מהמאמר השלישי בידיעת השעור השטחי ויתחלק לה' פרקים
	פרק א' בידיעת שעור השטח המשלש השוה הזויות
	הפרק השני בידיעת שעור שטח המשלש שוה הצלעות
	הפרק השלשי בידיעת שעור שטח המשלש מתחלף הצלעות
	הפרק הד' בידיעת שעור שטח המרובע ושטח הרבוע
	הפרק הה' בידיעת שעור שטח העגול לפי סברת החכמים
	הכלל השלישי מהמאמר השלשי ובו פרק א' והוא בידיעת שעור אי זה גשם שיהיה

Book One: Numbers
Section one: Introduction to Arithmetic – Definitions and Principles	הכלל הראשון מהמאמר הראשון בגדר מלאכת המספר גדר המספר והאחדות וקצת התחלות צריכות אליה ומנין מיני המספר
Necessary preliminary definitions:
Definition of arithmetic: arithmetic is a craft that teaches to count many units, their differences and properties that are easily applied by memory.	מלאכת המספר היא מלאכה תורה למנות הרבה אחדים והבדליהם וסגולתם ובנקלה יקויימו בזכירה
Definition of unit: unit is a foundation and the first part of the number, every number consists of it, but it is apart from every number.	אחדות הוא יסוד וחלק ראשון מהמספר וכל מספר יורכב ממנו אבל הוא חוץ לכל מספר
	כי שנים או שלשה לא יצויירו בלתי האחד
	כי השנים אינם אלא כפל האחד
	והשלשה אינם אלא שלוש האחד
	אבל האחד יצוייר בלתי שיצויירו שנים או שלשה
Definition of number: number is defined as a sum of units	ולכן יגדר המספר בשהוא קבוץ אחדים
The Positional Decimal System
The numerals	והראשון שצריך שתדע שתמונות המספר עשרה והם אלו 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
	התמונה הראשונה או האות או הסימן כמו שתרצה לקרוא לה תורה אחד השנית שתים והשלישית שלשה וכן כסדר עד תשעה
Zero	והעשירית תקרא סיפרא ואינה שוה דבר בעצמה אבל היא להוראת מקום מקנה יותר כמות לאות הנמשכת אליה
The written ranks [= decimal places] and their writing order	ואלה התמונות צריך שיכתבו כמו שהן בכאן כסדר
1) Units	והמקום הראשון שבטור יקרא מקום של אחדים בעבור שירמוז לאחדים בין שתהיה הראשונה תשעה או אי זה שתהיה מהן
2) Tens	והמקום השני שבטור יקרא מקום של עשרות
3) Hundreds	והמקום השלישי יקרא מקום של מאות
4) Thousands	והמקום הרבעי של אלפים
5) Tens of Thousands	והמקום החמשי של עשרת אלפים
6) Hundreds of Thousands	והששי של מאות אלפים
7) Thousands of Thousands	והשביעי של אלף אלפים
8) Tens Thousands of Thousands	והשמני של עשרות אלף אלפים
9) Hundreds Thousands of Thousands	והתשיעי של מאות אלף אלפים
10) Thousands Thousands of Thousands	והמקום העשירי שבטור יקרא מקום של אלף אלפי אלפים בעבור שתרמוז אליהם
Every rank is ten times the preceding rank	וכן מעשרה לעשרה כי כל מעלה או מדרגה עולה יותר מהקודמת לה מנין עשרה וכן אל לא תכלית אם נרצה
The numerals in the written ranks	א"כ התמונות הנזכרות ר"ל האותיות לפי מקומם כך יהיה הוראתם בדרך זה שהאחד במקום האחדים ישווה אחד ובמקום העשרות עשרה ובמקום המאות מאה ובמדרגת האלפים אלף וכן בסדר ממדרגה למדרגה
	וכן שנים במקום האחדים שוה שנים ובמקום העשרות עשרים ובמקום המאות מאתים ובמקום האלפים אלפים
	וכן בסדר ממדרגה למדרגה ממעלה למעלה
Every number is either units, or product of ten, or composed from both	וכל מספר לא ימנע מאחד משלשה דרכים או שיהיה אחדים או כללים או מורכב משניהם
	והאחדים הוא כל מספר שהוא פחות מעשרה
	והכללים הוא מספר ששוה עשרות או מאות או זולת זה מהמדרגות
	ומורכב משניהם הוא כל מספר שיש בו אחדים וכללים יחד
List of the seven arithmetical operations: subtraction, doubling, halving, multiplication, division, and extracting roots of square and cubic numbers	ודע שמיני מלאכת המספר הם שבעה והם קבוץ חסור כפול חלוק באמצע רבוע חלוק מציאות עקרי המספרים המרובעים והמעוקבים

Section Two: Integers	הכלל השני מהמאמר הראשון
	ויתחלק לשבעה פרקים
Chapter One: Addition	הפרק הראשון במין הראשון מהמספר והוא הקבוץ
Definition of the addition operation: addition is summing two numbers or more to one inclusive number.	קבוץ הוא חבור שני מספרים או יותר במספר אחד כולל לכולם
Written Addition
Description of the procedure: In this species we are able to write as much lines as we wish.	במין הזה נוכל לכתוב כל הטורים שנרצה
The units should be written corresponding to the units, the tens corresponding to the tens, the hundreds corresponding to the hundreds and so on, every rank corresponding to its similar.	וצריך לכתוב האחדים כנגד האחדים והעשרות כנגד העשרות ומאות כנגד מאות וכן כסדר מדרגה כנגד כל מדרגה הדומה לה
Then the numerals are summed as units.	ואחר כך יקובצו כל האותיות האחדים
The sum of two digits - three options:	והקבוץ הזה לא ימנע מהיותו אחד משלש דרכים כמו שידעת אם שיהיה מאחדים או מעשרות או מורכב משניהם
The sum of the digits in the rank is equal to units	ואם יהיה מאחדים נכתוב אותו בטור האחדים
The sum of the digits in the rank is equal to tens	ואם יהיה מעשרות נכתוב סיפרא ונעביר עשרה או עשרות אל המדרגה הראשונה הנמשכת אחריה שהיא מדרגת העשרות
The sum of the digits in the rank is equal to units and tens	ואם יהיו אחדים ועשרות יחד נכתוב האחדים תחת האחדים כאמור והעשרות במדרגת העשרות ובסדר הזה בכל מדרגה ומדרגה שיהיה
$\scriptstyle5243+8962$	כפי הנראה בצורה הזאת
5 2 4 3    8 9 6 2 1 4 2 0 5	ג ד ב ה   ב ו ט ח  ה 0 ב ד א
Check: casting out by 9
	והמופת על זה שנשליך המקובץ ט' ט' והנשאר נשמור אותו וכן נעשה בנקבץ ואם הנותר משניהם שוה א"כ הקבוץ היה אמיתי ואם לא אינו אמתי וזה יספיק במין הראשון

Chapter Two: Subtraction	הפרק השני במין חסור
Definition of the subtraction operation: the subtraction is knowing the remainder of any number after a number that is smaller than it was subtracted from it.	חסור הוא ידיעת הנשאר מאי זה מספר שיהיה כשיוסר ממנו מספר אחד פחות ממנו
Written Subtraction
Description of the procedure:	ויעשה בדרך זה נכתוב השני מספרים בשני טורים הגדול למעלה והקטן למטה מסודרים כל מדרגה תחת המדרגה הדומה לה עד תשלום כל המדרגות שיהיו
Subtracting a digit from a digit - three options:	ובזה המין צריך לעיין בשלשה דברים
	או האות האחד מהמספר העליון תהיה שוה לאות האחר מהמספר התחתון או יותר או פחות
The digit of the subtracted is equal to the digit in the corresponding rank of the subtrahend	ואם יהיו שוות נכתוב למטה מהם סיפרא לאות שלא נשאר דבר כמי שמחסר ששה מששה שלא ישאר דבר
The digit of the subtracted is larger than the digit in the corresponding rank of the subtrahend	ואם האות העליון יהיה יותר נחסר מה שלמטה מהמדרגה של מעלה ונכתוב הנותר כמי שמחסר חמשה מששה שישאר אחד
The digit of the subtracted is smaller than the digit in the corresponding rank of the subtrahend: the corresponding digit of the result = the digit of the subtracted + the complement of ten of the subtrahend's digit	ואם העליון יהיה פחות מאותו שלמטה נעיין האות שלמטה כמה יש עד עשרה ומה שיהיה נחבר אותו עם האות העליון שכנגדו וחבור אלו השנים יקרא מותר ונכתוב אותו למטה תחת האות העליון
then one is added to the succeeding digit of the subtrahend	וכשנרצה לחסר האות הנמשכת אליה מהעליונה שכנגדה צריך להוסיף אחד על האות התחתונה הנמשכת
the same as adding one to loaning one from the succeeding digit of the subtracted	וזה הפעל הכרחי בעבור שהאות העליונה הקודמת היתה פחותה מהתחתונה וזה התוספת מהאחד שאמרנו הוא כמו שאם חסרנו אחד מהאות הסמוכה לעליונה הפחותה מהתחתונה שכנגדה ובזה הדרך נעשה עד שיגמר כל הטור
$\scriptstyle4282-2432$	כפי הנראה בזאת הצורה
4 2 8 2 2 4 3 2 1 8 5 0	ב ח ב ד  ב ג ד ב  ‫0 ה ח א
4282 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2-2}}={\color{blue}{0}}}$ 4282 2432 2432    0	וצריך שתדע כמו שאמרנו שבעבור שהאות העליונה שוה לתחתונה כשיחוסר האחת מהאחרת לא נשאר דבר ולכן כתבנו סיפרא
4282 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8-3}}={\color{blue}{5}}}$ 4282 2432 2432   50	ובמדרגה השנית בעבור שהאות העליונה היא שוה יותר מהתחתונה נראה כמה יש מהתחתונה עד תשלום העליונה וידענו שהם ה' ולכן כתבנו ה' למטה
4282 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2+\left(10-4\right)=2+6}}={\color{blue}{8}}}$ 4282 2432 2432  850	ואח"כ במדרגה השלישית בעבור שהאות התחתונה שוה יותר מהעליונה נדע כמה יש ממנה ר"ל מהתחתונה עד תשלום עשרה וידענו שהם ו' ונחבר אליהם האות העליונה שהיא ב' ויהיה קבוץ שניהם ח' והוא המותר ונכתוב אותו תחת הד'
4282 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4-\left(2+1\right)=4-3}}={\color{blue}{1}}}$ 4282 2432 2432 1850	ואח"כ בב' שהיא במדרגה הרביעית נוסיף אחד ויהיה ג' ונחסרם מהד' שהוא האות העליון וישאר למטה א'
	וכסדר הזה צריך לעשות ואם ירבו המדרגות
Check: addition
	והמופת על זה נחבר אותו המספר שחסרנו מהעליון עם המותר
	ואם יהיה למספר העליון כמו מספר העולה מחבור המותר עם המספר שחסרנו דע כי החסור שעשינו הוא אמתי ואם לא אינו אמתי וזה מספיק במין השני

Chapter Three: Doubling	הפרק השלישי במין השלישי והוא הכפול ודרכים כוללים למציאות המספרים השלמים
Definition of the doubling operation: doubling is summing any two numbers that are equal.	כפול הוא קבוץ אי זה שני מספרים שיהיו שווים
starting from the units	וגם בזה המין ראוי שנתחיל מהאחדים
Description of the procedure:	ואי זה מספר שיהיה נכתוב אותו למטה כסדר כפל כל מדרגה ומדרגה בזה הדרך
double the digit is less than ten	שאם יהיה הכפל מאי זו מדרגה שתהיה פחות מעשרה נכתוב אותו
double the digit is equal to ten	ואם יהיה הכפל עשרה שלמים נכתוב סיפרא וישאר בידינו אחד להוסיף על כפל האות הנמשכת אליה
double the digit is more than ten	ואם יהיה יותר מעשרה נכתוב מה שיהיה יותר והעשרה נעבירם למדרגה הנמשכת כמו שעשינו במין הקבוץ לא פחות ולא יותר
$\scriptstyle2\times5372$	כפי הנראה בצורה הזאת
5 3 7 2  1 0 7 4 4	ב ז ג ה  ד ד ז 0 א
the doubles: 2; 2×2=4; 2×4=8	והמין הזה נוכל להתחיל מהאחד שכפלו הב' וכפול הב' ד' וכפול ד' ח'
Perfect Numbers	ובדרך הכפול הזה ימצאו המספרים השלמים
Definition of a perfect number: the definition of a perfect number is any number that generated from the sum of all its divisors, so that when all its divisors are summed they produce it neither less nor more	וגדר מספר השלם הוא כל מספר שיבנה מקבוץ כל חלקיו שכשילקח כל אחד מחלקיו ויקובצו יבנו אותו לא פחות ולא יתר
for a prime number $\scriptstyle\left(2\sdot2^n\right)-1$	והמספר השלם ימצא בדרך זה בשנקח כפל אחד מזה המין ונעיין אם כפלו פחות אחד יהיה מספר ראשון
the number $\scriptstyle2^n\sdot\left[\left(2\sdot2^n\right)-1\right]$ is a perfect number	ואם יהיה מספר ראשון אז נכה אותו הכפל שלקחנו עם כפלו פחות אחד והעולה מהכאה זו הוא מספר שלם
definition of a prime number: every number that is not resulting from a product of any number	וגדר המספר הראשון הוא כל מספר שלא יצא מהכאת שום מספר
example: 7; 31; 3	כמו ז' או ל"א או ג'
6 is the perfect number in the rank of units: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(2\sdot2\right)-1\right]=2\sdot3=6}}$	המשל לקחנו הכפל הראשון מזה המין שהוא ב' ובעבור שכפלו פחות אחד הוא ג' והוא מספר ראשון נכה הכפל הראשון שהוא ב' בכפלו פחות אחד שהוא ג' ויצאו ששה שהוא מספר שלם וזהו המספר השלם שבמדרגת האחדים
in each rank there is only one perfect number	כי בכל מדרגה יש מספר אחד שלם לא יותר
	וימצא בדרך האמור וזה מספיק במין השלישי הזה
Check: halving
	והמופת במין הזה הוא בשנעשה המין הד' שהוא חלוק באמצע
$\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2^i=\left(2\sdot2^n\right)-2$	ולזה המין יש סגלה אחרת שמי שירצה לדעת העולה מכל הנכפל יכפול האחרון ויסיר אחד ויהיה שוה לכל הנכפל והנה לך צורתו
1       2       4       8     1 6     3 2     6 4   1 2 8   2 5 6   5 1 2 1 0 2 4 2 0 4 8 4 0 9 6 8 1 9 2	א       ב       ד       ח     א ו     ג ב     ו ד   א ב ח   ב ה ו   ה א ב א 0 ב ד ב 0 ד ח ד 0 ט ו ח א ט ב

Chapter Four: Halving	הפרק הרביעי במין הד' שהוא חלוק באמצע
Definition of the halving operation: halving is dividing any number into two equal parts	חלוק באמצע והוא חלוק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים שוים
starting from the highest rank	ובזה המין נתחיל לחלק מהאות השוה יותר
Description of the procedure:
half the digit is an even number	ונעשה בדרך זה שאם יהיה זוג נשים תחתיה חציה כמי שמשים תחת ח' ד'
half the digit is an odd number	ואם יהיה נפרד נשאיר אחד ונכתוב חצי הנשאר והאחד שנשאר יהיה עשרה לאות הסמוכה לה
no preceding digit before the odd digit	ואם לא יהיו יותר אותיות נחלק אותו ויהיה חציו של אחד
one of the digits in the middle of the number is zero	ואם באמצע הטורים ימצא אחד נשים תחתיו סיפרא והאחד יחזור עשרה עם האות הסמוכה לה
$\scriptstyle262144\div2$	כפי הנראה בצורה הזאת
2 6 2 1 4 4 1 3 1 0 7 2	ד ד א ב ו ב ב ז 0 א ג א
	צורה אחרת
$\scriptstyle1048876\div2$ 1 0 4 8 8 7 6   5 2 4 4 3 8	א 0 ד ח ח  ז ו    ה ב ד ד ג ח
$\scriptstyle1048576\div2$	1 0 4 8 5 7 6   5 2 4 2 8 8
$\scriptstyle32143\div2$	3 2 1 4 3     1 6 0 7 1 ½
Check: doubling
	והמופת על זה הוא הכפול שאם לאחר שנכפל לא ישוה אינו אמתי וזה מספיק בזה המין מחלוק באמצע

Chapter Five: Multiplication	הפרק החמישי במין החמישי והוא הרבוע וקצת מסגולותיו
Definition of a product: a third number that is necessarily obtained from multiplying any two numbers one by the other so that each of them is found in [the third number] as many times as the units are in the other	רבוע הוא מספר שלשי מתחייב מהכאת אי זה שני מספרים שיהיו האחד באחר שכל כך פעמים ימצא כל אחד מהם בו כאחדים שבאחר
The need of memorizing the multiplication table	וצריך שתדע שכל מי שירצה להיות בקי בזה המין צריך שידע זה הלוח על פה ויקרא לוח הרבוע או לוח ההכאות

ז ב ט ח

ה ו ו ג ח ז ט ז

ד ב ד ח ה ד ז ו ח ו ט ו

ג 0 ג ה ד 0 ד ה ו ה ז ה ח ה ט ה

ב 0 ב ד ב ח ג ב ג ו ה ד ו ד ז ד ח ד ט ד

א ב א ה א ח ב א ב ד ב ז ד ג ה ג ו ג ז ג ח ג ט ג

ו   ח א 0 א ב א ד א ו א ח ג ב ד ב ה ב ו ב ז ב ח ב ט ב

א   ד   ט א ו ב ה ג ו ד ט ו ד ח א א א ב ב ג ג ד ד ה ה ו ו ז ז ח ח ט ט

7 2 9 8

5 6 6 3 8 7 9 7

4 2 4 8 5 4 7 6 8 6 9 6

3 0 3 5 4 0 4 5 6 5 7 5 8 5 9 5

2 0 2 4 2 8 3 2 3 6 5 4 6 4 7 4 8 4 9 4

1 2 1 5 1 8 2 1 2 4 2 7 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 3

6   8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2

1   4   9 1 6 2 5 3 6 4 9 6 4 8 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 70 63 56 49 42 35 28 21 14 7 80 72 64 56 48 40 32 24 16 8 90 81 72 63 54 45 36 27 18 9 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10	י ט ח ז ו ה ד ג ב א כ יח יו יד יב י ח ו ד ב ל כז כד כא יח טו יב ט ו ג מ לו לב כח כד כ יו יב ח ד נ מה מ לה ל כה כ טו י ה ס נד מח מב לו ל כד יח יב ו ע סג נו מז מב לה כח כא יד ז פ עב סד נו מח מ לב כד יו ח צ פא עב סג נד מה לו כז יח ט ק צ פ ע ס נ מ ל כ י
no difference between the two tables - except for the extensiveness versus brevity	ואלו השתי לוחות מה שיושג באחת יושג באחרת ואין ביניהם הבדל אלא באריכות ובקצור
	וכדי שיוכרו בטוב השני מספרים להכות או לרבע נקרא לתחתון פועל ולעליון פעול ונכתוב מהפעול אי זה טור שנרצה ותחתיו נכתוב הפועל
the multiplier consists of one digit: one lines - one starting with units	ואם הפועל יהיה אות אחת נעשה טור אחד ונתחיל מהאחדים
the multiplier consists of two digits: two lines - one starts with units, the second starts with tens	ואם הפועל יהיה משני אותיות נעשה שני טורים הטור הראשון יתחיל באחדים והשני בעשרות
the multiplier consists of three digits: three lines - one starts with units, the second starts with tens, and the third starts with hundreds	ואם הפועל יהיה מג' אותיות נעשה ג' טורים הראשון יתחיל באחדים והשני בעשרות והשלישי במאות
and so on	וכן כסדר הזה
	ואם ירבו האותיות מאד כלומר שתחת מדרגת אות הפועל אי זה שיהיה שם צריך שיכתב התחלת פעלתו וזהו חלוף הטורים שאמרנו כמו שתראה אותם בצורה הבאה תחת צורות הפעול והפועל
	ונעשה כן שבראשונה נכה אות אחדות הפועל באות אחדות הפעול ומההכאה ההיא או יהיו עשרה או יותר או פחות
The product of units by units is equal to ten	ואם יהיו עשרה נכתוב ספרא ונשמור העשרה למדרגה הנמשכת אליה ויהיו שם בשם אחד
The product of units by units is more than ten	ואם יהיו יותר מעשרה נכתוב המותר מהעשרה ונעביר העשרה למדרגה הנמשכת הסמוכה ויהיו שם בשם אחד
The product of units by units is less than ten	ואם יהיו פחות מעשרה נכתוב אותם במקומם
	וכן צריך לעשות מכל אחד מאותיות הפועל עם אותיות הפעול
the multiplier consists of one digit: one interim product	ואם כן אם אות הפועל תהיה אחת הטור תהיה אחת בהכאה
the multiplier consists of two digits: two interim products	ואם יהיו שני הטורים יהיו שנים
the multiplier consists of more than two digits: more than two interim products	ואם יותר יותר
	ואחר נקבץ כל המעלות שעשינו וזו היא ההכאה או רבוע שבקשנו מהשני מספרים
	כמו שיראה בכל אחת מאלו הצורות
$\scriptstyle1234\times12$   1 2 3 4       1 2   2 4 6 8 1 2 3 4   1 4 8 0 8	א ב ג ד       א ב   ב ד ו ח א ב ג ד   א ד ח 0 ח
$\scriptstyle1234\times5$ 1 2 3 4       5 6 1 7 0	א ב ג ד       ה ו א ז 0
$\scriptstyle9876\times25$	9 8 7 6         2 5   4 9 3 8 0 1 9 7 5 2   2 4 6 9 0 0
Check: casting out by 9	והמופת על זה שנמנה כל אותיות הפועל כמו אחדים ונחלקם לתשעיות ונשמור המותר וכן מהפעול והמותר מהפועל נכה אותו במותר הפעול והעולה נשליך ממנו עוד התשיעיו' הנשאר נשמור אותו והמקובץ מההכאה הראשנה נחלקהו ג"כ בתשעיות ונשמור הנשאר ואם זה הנשאר או המותר יהיה שוה למותר העולה מהכאת הפועל והפעול ההכאה ההיא אמתית ואם לא אינה אמיתית
Multiplication with recollection	ויש דרך אחר לרבע
	דע כי כמו שהפועל בהכאתו בפעול עושה כל כך טורים באותיות שיש בו כאשר אמרנו למעלה ואח"כ בקבוץ טוריו מורה הרבוע כן ג"כ אם נרצה להקל מלעשות הרבה טורים באופן שמה שנשיג בהרבה טורים נוכל להשיג במעלה אחת וכבר יש לנו דרך בזה והיא זו
	דע שהתחלת פעלת הפועל היא בהכאת האחדים שלו באחדי הפעול ומקום ההכאה הזאת היא מקום האחדים
	וההכאה שממנה יולדו העשרות צריך שתתחיל במקום העשרות
	וההכאה שממנה יולדו המאות צריך שתתחיל במדרגת המאות
	וכן מהאחרות כסדר
	ולדעת ההכאה שממנה יולדו העשרות וההכאה שממנה יולדו המאות וכן מהמדרגות האחרות זו היא הדרך
	כבר ידעת שהכאת האחדים עם האחדים התחלתה היא באחדים
2 interim products from which the tens of the final product are generated: units of the multiplier×tens of the multiplied tens of the multiplier×units of the multiplied	וההכאה שממנה יולדו העשרות היא זאת שהכאת אחדי הפועל בעשרות הפעול וגם כן עשרות הפועל באחדי הפעול אלו שתי ההכאות לבד הם העשות עשרות
3 interim products from which the hundreds of the final product are generated: units of the multiplier×hundreds of the multiplied tens of the multiplier×tens of the multiplied hundreds of the multiplier×units of the multiplied	וההכאה שממנה יולדו המאות הם ג' הא' מאחדי הפועל במאות הפעול והב' עשרות הפועל בעשרות הפעול וההכאה השלישית היא ממאות הפועל באחדי הפעול וקבוץ שלשתם צריך שיתחיל במדרגת המאות
4 interim products from which the thousands of the final product are generated: units of the multiplier×thousands of the multiplied tens of the multiplier×hundreds of the multiplied hundreds of the multiplier×tens of the multiplied thousands of the multiplier×units of the multiplied	וההכאות שמהם יולדו האלפים הם ד' הראשנה היא הכאת אחדות הפועל באלפי הפעול הב' בעשרות הפועל במאות הפעול הג' הכאת מאות הפועל בעשרות הפעול הד' אלפי הפועל באחדי הפעול והעולה מאלו הד' הכאות צריך להתחיל כתיבתו במדרגת אות האלפים
	וכסדר הזה בכל אותיות הטור שיהיו כי לפי המקום יהיו ההכאות
	ובעבור שמקום האלף הוא מקום ד' לכן עשינו ד' הכאות
	וכמו כן בעשרות אלפים שהוא מקום ה' צריך ה' הכאות
	וכסדר הזה ואם ירבו המדרגות ירבו ההכאות וזה מה שרצינו והנה לך צורתו
$\scriptstyle4321\times1542$       4 3 2 1       1 5 4 2 6 6 6 2 9 8 2	ד ג ב א       א ה ד ב ו ו ו ב ט ח ב
$\scriptstyle3245\times432$	3 2 4 5         4 3 2 1 4 0 1 8 4 0
	ובעבור שבזה המין ימצאו קצת סגלות מיוחדות נאמר אותם הנה והם אלו
Sums
$\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=1+2+3+4+5+\ldots$	ראשנה לדעת קבוץ מספרים הרבה מסודרים במדרגותיהם כמי שמונה אחד שנים שלשה וארבעה וחמשה וכן כסדר
	ואם ירבו מאד ונרצה לדעת קבוץ כלם יש לנו בזה שני דרכים
	הדרך הראשון הוא זה שאמרנו ודרך ידיעתו היא זאת שנעיין המספר האחרון אם הוא זוג או נפרד
even number of items $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n} i=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\sdot\left(2n+1\right)$	ואם יהיה זוג נקח חציו ונכה אותו על האחרון בתוספת אחד ויצא לנו קבוץ כלם
$\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i=1+\ldots+12$	המשל שנרצה לדעת קבוץ אחד מאחד עד י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{12} i=1+\ldots+12=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left(12+1\right)=6\sdot13=78}}$	נקח חצי י"ב שהוא ו' ונכהו בי"ג שהוא המספר האחרון עם תוספת א' ויהיו ע"ח וכך הוא הקבוץ מא' עד י"ב
odd number of items $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n-1} i=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot\left(2n-1\right)$	ואם המספר האחרון יהיה נפרד נקח חציו וחציו של אחד יותר ונכה אותו באחרון ויצא לנו קבוץ כולם
$\scriptstyle\sum_{i=1}^{13} i=1+\ldots+13$	המשל שנרצה לדעת המקובץ מאחד עד י"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{13} i=1+\ldots+13=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot13=\left[\left(6+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot13=7\sdot13=91}}$	נקח ו' וחצי וחצי יותר שהם ז' ונכה אותם על י"ג ויעלו לצ"א וכך הוא הקבוץ מאחד עד י"ג
	וכסדר הזה ואם ירבו המספרים מאד
sum of evens $\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=2+4+6+\ldots$	והדרך השני הוא זה שאם יהיו המספרים כלם זוגות כשנתחיל מב' ואחר ד' ואחר ו' וא"כ ירבו מאד כסדר הזה
$\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=2+4+6+\ldots=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)+1\right]$	לדעת המקובץ מכלם נקח חצי הזוג האחרון ונכה אותו על חציו האחר בתוספת אחד ומה שיעלה הוא קבוץ כל הזוגות
$\scriptstyle\sum_{i=1}^6 2i=2+\ldots+12$	המשל בזה שאם הזוג האחרון יהיה י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^6 2i=2+\ldots+12=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+1\right]=6\sdot\left(6+1\right)=6\sdot7=42}}$	נקח חציו שהוא ו' ונכהו על ז' שהם חצי המספר בתוספת אחד ויעלה למ"ב וכך הוא הקבוץ של כלם
sum of odds $\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=1+3+5+7+\ldots$	ואם יהיו המספרים נפרדים כלם בשנתחיל מאחד ואחר ג' ואחר ה' ואחר ז' ואם ירבו מאד כסדר הזה
$\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=1+3+5+7+\ldots=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]^2$	לדעת המקובץ מכלם נקח חצי המספר האחרון וחצי אחד יותר ונכהו בעצמו ומה שיעלה הוא המקובץ מכלם
$\scriptstyle\sum_{i=1}^8 \left(2i-1\right)=1+\ldots+15$	המשל בזה נרצה לדעת המקובץ מכל הנפרדים מהאחד עד הט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^8 \left(2i-1\right)=1+\ldots+15=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\frac{1}{2}\right]^2=\left[\left(7+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\right]^2=8^2=64}}$	נקח חצי האחרון שהוא ז' וחצי וחצי יותר ויהיו ח' ונכהו בעצמו ויעלה ס"ד וכך הוא המקובץ מכלם
	וכסדר הזה תעשה ואם ירבו המספרים הרבה מאד
Shortcuts	ובמין הזה ר"ל הרבוע יש דרכים אחרים עוד לדעת הכאת המספרים בדרך קצרה
$\scriptstyle a<b<10\longrightarrow a\times b=\left(10\sdot a\right)-\left[\left(10-b\right)\sdot a\right]$	והראשון כשנרצה לדעת כל שני מספרים שהם תחת העשרה נעשה כן נראה המספר היותר גדול כמה הוא פחות מי' וכמו שיהיה הגדול פחות מי' כך פעמים נוציא המספר הפחות מעשיריתו
$\scriptstyle8\times9$	המשל שנרצה לדעת קבוץ הכאת ח' בט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{8<9<10\longrightarrow8\times9=\left(10\sdot8\right)-\left[\left(10-9\right)\sdot8\right]=80-\left(1\sdot8\right)=80-8=72}}$	ומצאנו שהמספר היותר גדול שהוא ט' הוא פחות מי' אחד ולכן נחסר ח' פעם אחת מפ' שהם עשיריתו ונשארו ע"ב וזאת היא ההכאה מח' בט' וכך הוא הסדר באחדים
$\scriptstyle a<b<10\longrightarrow a\times b=\left(10\sdot b\right)-\left[\left(10-a\right)\sdot b\right]$	וכמו שסדרנו פעלתנו על המספר היותר גדול ג"כ נוכל לסדרו על המספר הפחות
$\scriptstyle{\color{blue}{8<9<10\longrightarrow8\times9=\left(10\sdot9\right)-\left[\left(10-8\right)\sdot9\right]=90-\left(2\sdot9\right)=72}}$	המשל כי כמו שאמרנו בהכאת ח' בט' כמה היו הט' פחות מי' כך נעשה כשנעיין כמה היו מח' עד י' שהם פחות ב' ולכן נחסר ב' פעמים ט' מהצ' וישארו ע"ב
	והכל פעלה אחת אלא שהוא יותר נקל כשנסדר פעולתנו על המספר הגדול
$\scriptstyle10\times a=a0$	ואם יהיה ההכאה במדרגת העשרות כשנרצה להכות איזה מספר שיהיה בעשרה נוסיף עליו 0‫'
$\scriptstyle10\times12=120$	המשל אם נרצה לדעת י' פעמים י"ב כמה הם נוסיף 0' על י"ב ויהיו ק"ך ובדרך המספר יסודרו כן 0בא
$\scriptstyle20\times a=\left(2\sdot a\right)0$	ואם יהיה ההכאה על כ' באי זה מספר נכפול המספר המוכה בב' ונוסיף עליו סיפרא
$\scriptstyle20\times5=\left(2\sdot5\right)0=100$	המשל כ' פעמים ה' נכפול הה' ויהיו י' ונוסיף 0' ויהיו ק' וכן מהאחדים
$\scriptstyle30\times a=\left(3\sdot a\right)0$	ואם נרצה להכות בל' אי זה מספר שיהיה נשלשהו ונוסיף עליו 0‫'
$\scriptstyle30\times20=\left(3\sdot20\right)0=600$	המשל ל' פעמים כ' נשלש הכף ויהיו ס' ונוסיף 0' ויהיו ת"ר וזו היא צורתו בדרך המספר 00ו
	וכסדר הזה בכל העשרות
$\scriptstyle100\times a=a00$	ואם נרצה להכות במאה אי זה מספר ונוסיף עליו ב' סיפראש ויהיה מוכה במאה
$\scriptstyle1000\times a=a000$	‫ואם נרצה להכות איזה מספר באלף נוסיף עליו ג' ספרש
	וכן כסדר הזה כשנוסיף תמיד בכל מדרגה 0' אחת

Chapter Six: The Sixth Type which is Division	פרק שישי במין השישי שהוא החלוק
Definition of the division operation: division is dividing any number into equal parts as the number of units in the divisor.	חלוק הוא חלוקת איזה מספר שיהיה בכך חלקים שוים כמספר האחדים שבמחלק
In this type [of operation] one should start from the highest rank.	ובמין הזה צריך להתחיל באות ששוה יותר
We write the divisor beneath the dividend, leaving an empty space between the divisor and the dividend to write in it the quotient required for each part of the divisor.	ונכתוב המחלק תחת המחולק בשנניח מקום פנוי בין המחלק והמחולק שנכתוב בו החלק המבוקש לכל אחד מחלקי המחלק
Since division is only to know how many times the divisor is found in the dividend, we should examine how many times the digit of the divisor is found in the digit of the dividend and we should write the number of these times in the empty space that we left.	ובעבור שהחלוק אינו אלא לדעת כמה פעמים ימצא המחלק במחולק לכן צריך שנעיין כמה פעמים ימצא אות המחלק באות המחולק ומספר אותם הפעמים צריך שנכתוב במקום הפנוי שהנחנו
Example: we wish to divide 144 by 8. $\scriptstyle144\div8$	המשל נרצה לחלק קמ"ד על ח‫'
Do as this diagram:	תעשה כך כצורה הזאת
0   0 6 0 1 4 4   1 8   8	0   0 ו 0 א ד ד   א ח   ח
	וצריך שתדע כי כשהאות המחולק תהיה פחות מהמחלק כמו בזה המשל אז נקח ב' אותיות מהמחולק ונקח היותר גדולה בשם עשרה והאחרת בשם אחדות
	כמו שאתה רואה בזאת הצורה
	הא' בשם עשרה והד' בשם ארבעה וקבוצם י"ד ונאמר כמה פעמים ימצא ח' בי"ד וראינו שימצא פעם אחד ונשארו ו' והאחד שמנו בשם חלק שהיא א' תחת הד' והו' שנשארו כתבנו על הד' של המחולק ובעבור שמהארבעה עשר לא נשארו יותר מו' כתבנו על הא' מהמחולק 0' והו' הנשארים יהיו עשרות להבא
	וא"כ נשארו עדיין לחלק ס"ד ונחלקם בח' ויהיו ח' לחלק ונכתוב אותם תחת הד' הראשון של המחולק ונאמר ח' פעמים ח' הם ס"ד וכשנחסרם מהמחולק שהם ס"ד לא ישאר דבר ולכן כתבנו 0' על הו' ו0' על הד‫'

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{14\div8={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{6}}}}}$	​	$\scriptstyle\longrightarrow$	​	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{64\div8={\color{blue}{8}}}}}$	0
		06		06		060
144		144		144		144
		1		1		18
8		8		8		8

$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{18\ the\ result}}$

the divisor consists of one digit [= units] alone	ובדרך הזה צריך בכל המדרגות ואם ירבו מאד וכל זה כשיהיה המחלק אות אחת בלבד
	ודע כי כשאות החלק יבא תחת אחדי המחולק אז נדע שלא נשאר יותר לחלק וזה יובן בשלמים
	ואם ישאר דבר תיחסהו למחלק וכאותו היחס מחלקי שלם אחד יהיה לכל חלק מהמחלק או תהפך כל א' וא' מהנשארים לכל כך חלקים כמו האחדים שיש במחלק ואחר נחלקם במחלק ואז לא ישאר דבר לחלק
The example is that if the divisor is 8 and what remains to divide is 3, we take the ratio of 3 to 8; the ratio is 3-eighths.	המשל בזה שאם המחלק יהיה ח' והנשאר לחלק היו ג' ניחס הג' לח' ויהיה היחס ג' שמניות
Or we convert every 1 of the remaining 3 into 8 parts; they are 24 parts. We divide them by the divisor that is 8; each part receives 3-eighths.	או נעשה מכל א' מג' הנשארים ח' חלקים ויהיו כ"ד חלקים ונחלקם על המחלק שהם ח' ויבא לכל חלק ג' שמניות
In this way you proceed whenever anything remains for you to divide.	ובדרך הזה תעשה בכל עת שישאר לך דבר לחלק
If the divisor consists of two digits [= units and tens]: we write it beneath the dividend, in the highest rank, leaving a free space, as aforesaid.	ואם יהיה המחלק מב' אותיות נכתוב אותו תחת המחולק במדרגה השוה יותר בהניחנו מקום פנוי כאמור
	וצריך שתדע עוד שאם המחלק יהיה מב' אותיות שהאותיות הנגדיות מהמחולק צריך שבפעלתנו נקח האחת כמו אחדים והאחרת כמו עשרות
If the divisor consists of three digits: [...] corresponding to the dividend, the first is as units, the second as tens and third as hundreds.	ואם המחלק יהיה מג' אותיות הנגדיות מהמחולק תהיה האחת כמו אחדים והב' כמו עשרות והג' כמו מאות
	וכן בסדר הזה ואם ירבו ירבו השמות
	וראשונה נעיין האות השמאלית מהמחלק כמה פעמים ימצא באות הראשון שבמחולק וכל כך פעמים שימצא בו כך נכתבהו בשם חלק במקום הפנוי על אות אחדי המחלק בתנאי זה שהכאת החלק באות הימנית מהמחלק יספיק לחסר אותה מהאות הימנית של המחולק בעזר האות השמאלית שבצדה למה שהשתי אותיות של המחולק נעזרות לעולם וזה הכרחי בכל מדרגות החלוק ואז נחסרם מהמחולק
	ואם שתי האותיות של המחולק היו פחות מאותיות המחלק נכתוב 0' בשם חלק
	ונעבור לבאות ואז צריך שנקח השתי אותיות מהמחולק מצד שמאל בשם אות שמאלית מהמחלק והאחרת בשם אות ימנית ומאלו השתי אותיות מהמחולק מצד שמאל נעיין כמה פעמים אפשר לחסר מהן השמאלית מהמחלק ושכל כך פעמים יחסר האות הימנית מהמחלק מהימנית מהמחולק
	וכדרך זה עד כלות כל אותיות המחולק כאמור למעלה
	כי כונת החלוק אינו אלא שהאות שנשים בשם חלק שכל כך פעמים שיחסר שמאלית המחלק משמאלית המחולק שכל כך פעמים יחסר ימנית המחלק מימנית המחולק ויותר אם יהיו
$\scriptstyle9876\div12$	כנראה בצורה הזאת
0 0 0   1 2 3 0 9 8 7 6   8 2 3 1 2	0 0 0   א ב ג 0 ט ח ז ו   ח ב ג א ב
Suppose we wish to divide 9876 into 12 parts.	ונניח שנרצה לחלק ט' אלפים ותתע"ו בי"ב חלקים
Since the divisor is of two numerals, we take the two last digits of the dividend, which are 9 and 8 - the 8 are as units and the 9 are as tens, which are 98 above the 12.	בעבור שהמחלק הוא משתי אותיות נקח השתי אותיות אחרונות מהמחולק שהם ח'ט' הח' בשם אחדים והט' בשם עשרות שהם צ"ח על י"ב
We examine how many times the leftmost digit of the divisor, which is 1, can be subtracted from the leftmost digit of the dividend, which is 9. We see that it is 9 times in it.	ונעיין כמה פעמים אפשר לחסר האות השמאלי של המחלק שהיא א' מאות השמאלית מהמחולק שהוא ט' ונראה שימצא בה ט' פעמים
Indeed, since we say that as many times as the left [digit] of divisor is found in the left [digit] of the dividend, so many times the right [digit] of the divisor should be subtracted from the right [digit] of the dividend, and that is not enough, thus we write 8 as the quotient and subtract it from the 9; 1 remains above the 9.	האמנם למה שאמרנו שכל כך פעמים כמו שימצא שמאלית המחלק בשמאלית המחולק שכל כך פעמים צריך לחסר ימנית המחלק מימינית המחולק וזה אינו מספיק לכן כתבנו ח' בשם חלק וחסרנו אותם מהט' וישאר א' על הט‫'
We say: 8 times 2, which are 16, when we subtract them from 18, 2 remain above the 8 and zero above the 1 of the dividend.	ונאמר ח' פעמים ב' שהם י"ו כשנחסרם מי"ח ישארו ב' על הח' וסיפרא על הא' מהמחולק
Now we go back and take the 2 and the 7 - the 2 on the left and the 7 on the right as said - and we arrange them as we arranged the two first digits, saying: how many times the left [digit] of the divisor, which is 1, can be subtracted from the left [digit] of the dividend, which is 2. We find that it can be subtracted twice.	ועתה נחזור ונקח הב' והז' הב' בשם שמאלי והז' בשם ימיני כאמור ונסדרם כמו שסדרנו בב' אותיות הראשונות בשנאמר כמה פעמים אפשר לחסר שמאלית המחלק שהיא א' משמאלית המחולק שהיא ב' ונמצא שאפשר שיחסר ב' פעמים
We find also that the right [digit] of the divisor, which is 2, can be subtracted twice from the right [digit] of the dividend, which is 7.	וג"כ נמצא שימינית המחלק שהיא ב' אפשר שיחסר שני פעמים מימינית המחולק שהיא ז‫'
Therefore, we write 2 as the quotient.	ולכן כתבנו ב' בשם חלק
We multiply the 2 of quotient by the 1, which is the left digit of the divisor; the product is 2. We subtract it from the 2, which is the left [digit] of the dividend; 0 remains.	והכינו הב' מהחלק על הא' שהיא אות שמאלית מהמחלק ויעלו ב' ונחסרם מהב' שהיא שמאלית המחולק וישאר 0‫'
We multiply the 2, which is the quotient by the 2, which is the right [digit] of the divisor; the product is 4. We subtract it from the 7; 3 remain above the 7.	עוד נכה הב' שהיא החלק על הב' שהיא ימנית המחלק ויעלו ד' ונחסרם מהז' וישאר ג' על הז‫'

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9-\left(1\sdot{\color{blue}{8}}\right)=9-8={\color{green}{1}}}}\\&\scriptstyle{\color{red}{{\color{green}{1}}8-\left(2\sdot{\color{blue}{8}}\right)=18-16={\color{green}{2}}}}\\\end{align}}$	0	$\scriptstyle\longrightarrow$	0	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{2-\left(1\sdot{\color{blue}{2}}\right)=2-2={\color{green}{0}}}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7-\left(2\sdot{\color{blue}{2}}\right)=7-4={\color{green}{3}}}}\\\end{align}}$	00
		12		12		123
9876		9876		9876		9876
		8		8		82
12		12		12		12

Let 6 be the right [digit] of the dividend and 3 be the left [digit] of the dividend.	ויהיה ו' ימינית המחולק וג' שמאלית המחולק
We examine how many times the 1, which is the left [digit] of the divisor, can be subtracted from the 3, which is the left [digit] of the dividend. We find that it is 3 times.	ונעיין כמה פעמים אפשר לחסר א' שהוא שמאלית המחלק מהג' שהיא שמאלית המחולק ומצאנו שג' פעמים
We check also if the 2, which is the right [digit] of the divisor, is found so many times in the right [digit] of the dividend. We find that it is.	ובקשנו ג"כ אם ימצא הב' שהיא ימנית המחלק כל כך פעמים בימינית של המחולק ומצאנו שכן
Therefore, we write 3 as the quotient.	ולכן כתבנו ג' בשם חלק
We multiply 3 by 1; the product is 3. We subtract it from the 3 of the dividend; 0 remains.	והכינו ג' בא' ועלה לג' ונוציאם מהג' של המחולק וישאר 0‫'
We multiply also the 3 of the quotient by the right [digit] of the divisor, which is 2; the product is 6. We subtract it from the 6, which is the right [digit] of the dividend; 0 remains. We write 0 above the 6.	וגם כן נכה הג' של החלק על ימינית המחלק שהיא ב' ויעלו ו' ונחסרם מהו' שהיא ימינית המחולק וישאר 0' ונכתוב 0' על הו‫'
00   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{3-\left(1\sdot{\color{blue}{3}}\right)=3-3={\color{green}{0}}}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-\left(2\sdot{\color{blue}{3}}\right)=6-6={\color{green}{0}}}}\\\end{align}}$ 000  123  1230 9876 9876  823  823   12   12
$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{823\ the\ result}}$	והנה נחלק הכל ויהיה החלק תתכ"ג
	והמופת על זה הוא שנכה החלק במחלק ואם יהיה שוה למחולק הוא אמת ואם לאו נחזור שנית לחשבוננו
	ומופת אחר שנחסר התשעיות מהמחלק בצד אחד ומהחלק לצד אחר ונכה הנשאר מהשנים שלא יעלה לט' ונוציא ג"כ התשיעיות ומה שלא יעלה לט' נשמרהו ונשליך ג"כ המחולק לתשיעיות ונראה הנשאר שלא הגיע לט' ואם לא נשאר דבר בלתי מתחלק אז נראה אם הנשאר מהתשיעיות המחולק שוה לשמור הרי טוב ואם לא טעינו אמנם אם נשאר דבר בלתי מתחלק נשליך ג"כ המתחלק לתשיעיות והנשאר חסריהו מהנשאר מטור המתחלק או נוסיפהו על הנשאר הראשון שהוא השמור ונראה ואם יהיה שוה לנשאר מההכאה הוא אמת ואם לא אינו אמת
	ואם יהיה המחלק יותר משתי אותיות נעשה בדרך זה בעצמו לא פחות ולא יתר שכל כך פעמים כמו שימצא שמאלית המחלק בשמאלית המחולק כל כך פעמים נחסר ימינית המחלק מימינית המחולק וכל כך פעמים אות הג' של המחלק מאות הג' מהמחולק והד' ג"כ אם יהיה מד‫'
	וכן אם ירבו האותיות הרבה מאד נעשה כסדר הזה
	וזה יספיק בו' מיני השלמים
	ונדבר עתה מו' מיני השברים ומסגולותיהם בעה"ו

Section Three of Book One: [Fractions]	הכלל השלישי מהמאמר הא‫'
It is divided into eight chapters	ויתחלק לח' פרקים
Chapter One: Guiding Methods of the Writing Fractions, their Definition, and their Arrangement	הפרק הראשון בדרכים מיישירים באופני הנחת השברים וגדרם וסדורם
After we discussed the six types [of operations with] integers, we should now discuss the six types [of operations with] fractions.	‫[ואחר שדברנו מו' מיני השלמים עתה צריך שנדבר בו' מיני השברים‫]‫
You should know that as there are six types [of operations with] integers, there are also six types [of operations with] fractions.	וצריך שתדע כי כמו שיש ו' מיני שלמים כן ג"כ יש ששה מיני שברים
Before we discuss them, we should say what is a fraction, how it is arranged in writing, and by which number it is fractionalized.	וקודם שנדבר [מהם]‫ צריך שנאמר מהו שבר ואיך יסודר בכתיבתו ובאיזה חשבון ישבר
definition of fraction: A fraction is any part that is taken from the integer.	השבר הוא אי זה חלק שילקח מהשלם
As a half, or a third, or a quarter, etc.	כמו חצי או שליש או רביע וכדומה
How they are arranged in writing: it is since in every fraction two matters are represented - continuous quantity and discontinuous quantity.	ואיך יסודרו בכתיב[ת]ם הוא זה בעבור שבכל שבר ושבר יצויירו שני עניינים ר"ל כמות ‫מתדבק וכמות מתחלק
Example: when we say 2-thirds, or 3-quarters.	המשל כשנאמ' ב' [שלישיות] או ג' רביעיות
The 2 and 3 are discontinuous quantity, because they state the number and the number is a discontinuous quantity.	הב' והג' הם כמות מתחלק בעבור שמדברים מהמספר כי המספר הוא כמות מתחלק
The thirds and quarters are continuous quantity, because they state the part, or parts of whichever whole, so they indicate a continuous quantity.	והשלישיות והרביעיות כמות מתדבק בעבור שמדברים מחלק או חלקי' מאיזה כל שיהיה ולכן רומזים לכמות מתדבק
Since the fractions consist of two types of quantity as stated, each fraction should be written with two digits - one indicates the continuous quantity and the second [indicates] the discontinuous quantity.	ובעבור שהשברים יוכללו בב' מינים מהכמה כאמור לכן צריך שיכתב כל שבר ושבר בשני אותיות הא' ירמוז [על] הכמה המתדבק והב' לכמה המתחלק
The digit that indicates the discontinuous quantity is written above, and beneath it a line.	והאות הרומזת לכמה המתחלק נכתוב למעלה ותחתיה קו אחד
The digit that indicates the continuous quantity is written beneath the line.	והאות הרומזת לכמת המתדבק נכתוב תחת הקו
Example: if we wish to write 2-thirds.	המשל אם נרצה לכתוב ב' שלישיות
We write 2; beneath the 2 a line; and beneath the line 3. As is shown in this diagram:	נכתוב ב' ותחת הב' קו אחד ותחת הקו ג' כמו שיראה בצורה הזאת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	‫
The upper digit, which is 2, or whichever, indicates the multiplicity of the fractions, as 1, 2, 3, 4, 5, or whichever you want.	והאות העליונה שהיא ב' או מה שיהיה תרמוז לכמות רבוי השברי' כמו א' ב' ג' ד' ה' וכל מה שתרצה
The bottom digit, which is 3, of whichever, indicates the name of the fraction, as a half, a third, a quarter, a fifth, or whichever parts of the whole.	והאות התחתונה שהיא ג' או מה שיהיה תרמוז לשם החלק כמו חצי או שליש או רביע או חש חומש או מה שיהיה מחלקי השלם
For the whole is divided into two halves, three thirds, four quarters, five fifths, six sixths, or any parts, into which we wish to divide the whole.	כי השלם יחלק לב' חצאים ולשלשה שלישיות ולד' רביעיות ולה' חמישיות ולו' ששיות וכן כל החלקים שנרצה לחלק בהם השלם
You should know that as the third is one of three parts of the whole, the whole cannot be divided into thirds that are more than three, nor into quarters that are more than four, nor into fifths that are more than five and so on.	וצריך שתדע כי כמו שהשליש הוא א' משלשה חלקי השלם כך השלם לא יחלק לשלישיות יותר משלש ולא רביעיות יותר מד' ולא בחמישיות יותר מה' וכן כלם כסדר הזה
The fractions are written in the following arrangement:	והשברי' יכתבו בסדר הזה
If you wish to write a half, write it as follows:	שאם תרצה לכתוב חצי שלם תכתוב אותו כך
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$	‫
The thirds - write like this:	והשלישיות תכתוב כך
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$	‫
The quarters - like this:	והרביעיות כך
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$	‫
Three-quarters - we write as follows:	ושלשה רביעיות נכתוב ‫כך
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$	‫
Four-fifths- we write as follows:	וארבעה חמישיות נכתוב כך
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$	‫
Likewise, whatever you want according to this arrangement.	וכן כל מה שתרצה כסדר הסדר הזה

Chapter Two: Addition of Fractions	הפרק השני בקבוץ השברים
Definition of the addition of fractions: it is conversion of two types of fractions, or more, to integers, or to one type of fractions, or to integers and one type of fractions together.	והוא השבת שני מיני שברי' או יותר לשלמי' או למין א' מהשברים [או לשלמים ומין אחד מן השברים]‫ יחד
We do it this way:	ונעשה בדרך זה
We write all the fractions that we want.	נכתוב כל השברי' שנרצה
As the one who wants to add or to know the sum of a half, a third, and a quarter. $\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$	כמו שרוצה לחבר או לדעת [קבוץ]‫ חצי ושליש ורביע
Or whatever it may be, as is seen in this diagram:	או מה שיהיה כצורה זו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$	‫ ‫ ‫
Common denominator
The first thing that you need to know in this type [of operation] is to find one number in which all these fractions are found.	והראשון שצריך שתדע בזה המין הוא למצא חשבון א' שימצאו בו כל אלו השברי‫'
It is found by that we multiply 2 by 3, then we multiply their product by 4 and so on in this order. We always multiply the product of the preceding digits by the one that follows them, until we complete with all the bottom line, i.e. with all the digits that are beneath the line.	וימצא בדרך זה בשנכה ב' על ג' והעולה משניהם נכה בד' וכן כסדר הזה נכה לעולם כל העולה מהכאת כל האותיות העוברות עם הנמשכת אליהם עד שנשלים כל הטור התחתונה ר"ל כל האותיות שהם תחת הקו
The result of all these multiplications is the number in which all the fractions, of whichever type of fractions, are found.	והעולה מכל אלו ההכאות הוא חשבון שימצאו בו כל השברי' באיזה מין שיהיה ממיני השברי‫'
The number in which all the fractions written in the above diagram are found is 24. It is generated this way: we multiply 2 by 3; the result is 6, and all this, i.e. 6, by 4; it is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4=6\sdot4=24}}$	והחשבון שימצאו בו כל השברי' הכתובי' בזאת הצורה שלמעלה הם כ"ד והוא בדרך זה נכה ב' על ג' ויעלו ו' וכל זה ר"ל הו' על הד' ויעלו כ"ד
In this numbers there are a half, a third, a quarter and it is as their whole.	ובזה החשבון ימצאו חצי ושליש ורביע ולזה החשבון ר"ל כ"ד יש להם מקום של שלם
Because, as one takes from the whole whichever part he wants, so we take whichever part we want from this number 24 that is as a whole.	כי כמו שמהשלם יקח אדם איזה חלק שירצה כך מזה החשבון של כ"ד שהם במקום השלם נקח איזה חלק שנרצה
numerator
So, we take the half, the third, and the quarter this way:	ולכן נקח החצי והשליש והרביע בזה הדרך
We start taking the half this way: we multiply the digit that is above the line of the half, which is 1, by the digit of 3 that is beneath the 1 indicating the third; it is 3. We multiply the 3 by 4 that is beneath the digit indicating the quarter; it is 12, which is a half of the number that we said. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot24=1\sdot3\sdot4=3\sdot4=12}}$	נתחיל לקחת החצי בזה הדרך שהאות שנמצאת על קו החצי שהיא א' נכה באות ג' שהיא תחת הא' הרומזת לשליש ויהיו ג' ואלו הג' נכם על ד' שהוא ‫תחת אות הרומזת הרביע ויהיו י"ב שהוא חצי של אותו החשבון שאמרנו
Then, we take the third this way: we multiply the digit of the third that is above the line by the digit of the half that is beneath the line, which is 2; the product is 2. We multiply the 2 by 4; the result is 8, which is a third of this number. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot24=1\sdot2\sdot4=2\sdot4=8}}$	ואח"כ נקח השליש בדרך זה שנכה אות השליש שהוא על הקו עם האות של החצי שהוא תחת הקו והוא ב' והיה המוכה ב' ונכה הב' על ד' ויעלה לח' שהוא השליש של זה החשבון
Then, we multiply the 1 that is above the 4 by the 2 that is beneath the line indicating the half; it is 2. We multiply this 2 by 3 that is beneath the line indicating the third; the result is 6, which is a quarter of this number, i.e. the 24. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot24=1\sdot2\sdot3=2\sdot3=6}}$	ואח"כ נכה הא' שהוא על ד' על הב' שהוא תחת הקו הרומזת החצי ויהיה ב' ואלו הב' נכה אותם בג' שהם תחת הקו הרומזים השלישי ויעלו לו' שהם רביע זה החשבון ר"ל הכ"ד
So, we have three numbers that are a half, a third, and a quarter, which are 12, 8, and 6; their total sum is 26. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot24\right) +\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=12+8+6=26}}$	א"כ יש לנו ג' חשבונות שהם חצי ושליש ורביע שהם י"ב וח' וו' וקבוץ כולם כ"ו
The whole, to which the 26 is related, is 24. Therefore, we divide 26 by 24; the result is one integer and 2 remains that cannot be divided. We relate it to 24 and we find that it is one part of 12 of the whole. Hence, sum of the three aforementioned fractions is 1 integer and one part of 12 parts of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{26}{24}=1+\frac{2}{24}=1+\frac{1}{12}}}$	והשלם שיוחסו אליו אלו הכ"ו הוא כ"ד ולכן נחלק הכ"ו בכ"ד ויצא א' שלם וישארו שנים שלא נחלקו וניחס אותם לחשבון כ"ד ונמצא שהם חלק א' מי"ב של שלם א' וזה העולה מהג' שברי' האמורים למעלה א"כ העולה מהשברים האמורים הוא א' שלם וחלק א' מי"ב חלקי השלם
In order that it will be better understood, we give another example:	וכדי שיובן יותר טוב נעשה משל אחר
Suppose we wish to sum up 2-thirds, 3-quarters, 4-fifths, and 5-sixths. $\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}$	ונניח שנרצה לקבץ ב' שלישיות וג' רביעיות וד' חמישיות וה' ששיות
Their diagram is as follows:	שצורתם היא זאת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	‫ ‫ ‫ ‫
common denominator
The first thing that is needed is that we find the number that is the whole, i.e. in which all these fractions are found. We do that by multiplying all the digits that are beneath the lines like this:	הראשון שצריך שנמצא החשבון שהוא במקום השלם ר"ל שימצאו בו כל אלה השברי' ונעשה כך נכה כל האותיות שתחת הקוים בזה הדרך
First, we multiply 3 by 4; it is 12. We multiply the 12 by 5; the result is 60. We multiply 60 by 6; the result is 360. This is the number, in which all these fractions are found, and it is the whole that is also called the common denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5\sdot6=12\sdot5\sdot6=60\sdot6=360}}$	ראשונה [נכה]‫ ג' בד' ויהיו י"ב ואלו הי"ב נכם בה' ויעלו ס' ונכה ס' בו' ויעלו ש"ס וזה המספר שבו ימצאו כל אלו השברי' והוא מקום שלם ויקרא ג"כ מחלק
numerator
We should extract all the fractions from it this way:	וצריך שנוציא [ממנו]‫ כל השברים ונעשה בדרך זה
First, we extract the first fraction in the said diagram, which is two-thirds, this way: we take the 2 that is above the 3 and multiply it by 4; it is 8. We multiply the 8 by 5 that is beneath 4; it is 40. We multiply 40 by 6 that is beneath the 5; the result is 240 and this number is called two-thirds of the common denominator, i.e. the same common denominator that we said is the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot360=2\sdot4\sdot5\sdot6=8\sdot5\sdot6=40\sdot6=240}}$	ראשונה נוציא השבר הרשון [הראשון]‫ מהצורה האמורה שהיא שני שלישיות בדרך זה בשנקח הב' שהם ‫על הג' ונכם בד' ויהיו ח' ואלו הח' נכם על ה' שהוא תחת ד' ויהיו מ' ומ' נכה בו' שהוא תחת הה' ויעלו ר"מ וזה המספר יקרא שני שלישיים של המחלק ר"ל של אותו המחלק שאמרנו שהוא במקום שלם
Then, we extract the 3-quarters, this way: we take the 3 that is above the 4 and multiply it by all the bottom digits except for the digit that is beneath it, which is 4. As follow: 3 by 3, it is 9; 9 by 5, it is 45; 45 by 6, the result is 270 and this number indicates 3-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot360=3\sdot3\sdot5\sdot6=9\sdot5\sdot6=45\sdot6=270}}$	ואח"כ נוציא הג' רביעיות בדרך זה בשנקח הג' שהיא על הד' ונכהו בכל האותיות התחתונות זולת האות שתחתיה שהיא ד' בדרך זה ג' על ג' ויהיו ט' וט' על ה' ויהיו מ"ה ומ"ה על ו' ויעלו ע"ר וזה החשבון שיורה על ג' רביעיות
Then, we extract the 4-fifths, this way: we take the 4 that is above the 5 and multiply it by all the bottom digits except for the 5 that is beneath the 4. As follow: we multiply 4 by 3, it is 12; 12 by 4, it is 48; 48 by 6, the result is 288 and this number indicates 4-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot360=4\sdot3\sdot4\sdot6=12\sdot4\sdot6=48\sdot6=288}}$	ואח"כ נוציא הד' חמישיות בדרך זה בשנקח הד' שהוא על ה' ונכהו בכל האותיות התחתונות זולת הה' שהיא תחת הד' בדרך זה נכה ד' בג' ויהיו י"ב וי"ב בד' ויעלו מ"ח ומ"ח בו' ויעלו רפ"ח וזהו החשבון שיורה על ד' חמישיות
Then, we extract the five-sixths by taking the 5 that is above the 6 and multiply it by all the bottom [digits] except for the 6 that is beneath it, as follows: we multiply 5 by 3, it is 15; 15 by 4, it is 60; 60 by 5, the result is 300 and this number indicates 5-sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot360=5\sdot3\sdot4\sdot5=15\sdot4\sdot5=60\sdot5=300}}$	ואח"כ נוציא החמשה ששיות בשנקח ה' שהוא על הו' ונכהו בכל התחתונים זולת הו' שתחתיה בדרך זה נכה ה' על ג' ויעלו ט"ו וט"ו על ד' ויעלו ס' וס' בה' ויעלו ש' וזהו החשבון שיורה על ה' ששיות
We extracted all the said fractions. Now we should sum up all these said fractions and we do this as follows: we take the numbers 240, 270, 288, and 300 and we sum up all; their sum is 1098 and this is the sum of all the said fractions. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle \left(\frac{2}{3}\sdot360\right) +\left(\frac{3}{4}\sdot360\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot360\right)\left(\frac{5}{6}\sdot360\right)\\&\scriptstyle=240+270+288+300=1098\\\end{align}}}$	והנה כבר הוצאנו כל השברים שאמרנו ועתה צריך שנקבץ כל אלה השברי' שאמרנו [ונעשה בדרך זה נקח החשבון הר"מ והר"ע והרפ"ח והש' ונחבר הכל ויהיה קבוצם אלף וצ"ח וזהו קבוץ כל השברים שאמרנו‫]‫
We divide all this sum by 360 that is the common denominator, which is the whole as we said; the result is 3 integers and one part of 20 parts of a whole and this is the sum of all the said fractions. Here is its diagram: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}=\frac{1098}{360}=3+\frac{1}{20}}}$	וכל זה הקבוץ נחלקהו בש"ס שהוא המחלק והוא במקום שלם כמו שאמרנו ויצאו ג' שלמים וחלק א' מכ' חלקים של שלם אחד וזהו קבוץ כל השברים שאמרנו והנה לך צורתו
Since we have said that the sum of the whole aforementioned diagram is three integers and one [part] of twenty parts of one whole, we should explain now how we have found this quotient of 20 parts of the whole and how all those that are similar are found.	‫ובעבור שאמרנו שקבוץ כל הצורה האמורה למעלה עולה לשלש שלמים וא' מעשרי' חלקי' משלם אחד צריך עתה שנבאר איך מצאנו אותו החלוק מכ' חלקי השלם ואיך ימצאו כל הדומים
Know that after a number is divided by another number and a certain number remains that cannot be divided as it is less than the divisor, we relate it to the divisor and the ratio between them is its ratio to the whole.	דע כי לאחר שיחלק איזה חשבון שיהיה באחר וישאר איזה חשבון שלא יחלק להיותו פחות מהמחלק אז נייחסהו למחלק והיחס שימצא ביניהם אותו היחס יש לו עם שלם אחד
Example: you have already seen in the above diagram that 18 remains that cannot be divided as it is less than the divisor, which is 360. Therefore, we look for the ratio between 18 and 360 and we find that it is the ratio of 1 to 20, so we said above that is is 1 of 20 parts of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{360}=18:360=1:20}}$	המשל כבר ראית שבצורה שלמעלה נשארו י"ח שלא נחלקו בעבור שהיו פחות מהמחלק שהוא ש"ס לכן בקשנו היחס שיש בין הי"ח והש"ס ומצאנו שהוא יחס הא' לכ' ולכן אמרנו למעלה ש שהוא א' מכ' חלקי השלם
The way to find this ratio is easy: we take these two numbers - 18 above and 360 beneath, and we examine into how many parts the 18 can be divided. We divide the 360 into this number of parts.	והדרך למצא היחס הוא בנקלה נקח אלו הב' מספרים י"ח למעלה וש"ס למטה ונעיין כמה חלקים איפשר לחלק הי"ח וכל כך חלקים נחלק הש"ס
Example: as the 18 is divided into 3 parts and the quotient is 6, so we divide the 360 also into 3 parts and the result is 120. $\scriptstyle{\color{blue}{18\div3=6\longrightarrow360\div3=120}}$	המשל כי כמו שהי"ח יחלקו בג' חלקים ויהיה החלק ו' כן גם כן נחלק הש"ס בג' חלקים ויצא כ"ק
We divide the 6 again into 3 parts; the result is 2. We divide the 120 into 3 also; the result is 40. $\scriptstyle{\color{blue}{6\div3=2\longrightarrow120\div3=40}}$	ונחזור ונחלק הו' בג' חלקי' ויצא ב' ונחלק הק"כ בג' ג"כ ויצאו מ‫'
We divide the 2 again into half; the result is 1. We divide the 40 into half also; the result is 20. So, it is one [part] of 20 parts of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{2\div2=1\longrightarrow40\div2=20\longrightarrow\frac{18}{360}=\frac{1}{20}}}$	עוד נחלק הב' באמצע ויצא א' וגם המ' באמצע ויצאו כ' א"כ יהיה אחד מכ' חלקי השלם
In this way we relate any two numbers, so that into as many parts that one is divided, so the other is divided.	ובדרך זה ניחס כל שני מספרים שבכל כך חלקי' שיחלק האחד יחלק השני והנה לך צורתו
You should know that in this type [of operation], i.e. the addition, you can sum up many different fractions, which is not so in the other types [of operations]. Because, in every type of them two different fractions are enough, which is not so in this type.	וצריך שתדע שבזה המין ר"ל הקבוץ תוכל לקבץ הרבה חלופים משברי' מה שאינו כן במיני' האחרי' כי בכל מין מהם מספיק חלוף ב' שברי' בלבד מה שאינו כן במין הזה
This is enough for this type.	וזה מספיק במין הזה

Chapter Three: Subtraction of Fractions	פרק שלישי בחסור השברי‫'
It was already defined for the types [of the operations with] integers and it is in the way that we write two numbers of whichever fractions we want and we write each next to the other.	וכבר נגדר במיני השלמי' והוא בדרך זה שנניח ב' מספרי' של שברי' איזה שנרצה ונכתוב כל א' אצל חבירו
As seen in this diagram: suppose we want to subtract from three-quarters of the whole two-thirds of the whole and we wish to know how much remains. $\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{2}{3}$	כנראה בזה הצורה ‫שנעשה ונניח שמהשלשה רביעי שלם נרצה לחסר שני שלישי שלם ונרצה לדעת כמה ישארו
We arrange them as follows:	ונסדרם כך
common denominator
The first this that we should do is the common denominator, which is called also the divisor and the whole. We do it by multiplying the digits that are beneath the lines one by the other.	והראשון שצריך שנעשה הוא המספר המשותף ויקרא ג"כ המאזנים ויקרא המורה ויקרא ג"כ המחלק וג"כ במקום שלם ונעשה בדרך זה שנכה האותיות שהם תחת הקוים האחת בחברתה
The example of this diagram: the 4 from one side by the 3 from the other side; the result is 12 and this is the number that we call the common denominator. It is called "common denominator", because the two numbers that are beneath the lines take part in it as said. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=12}}$	המשל מזאת הצורה הד' שהוא מצד א' אחד על הג' שהוא מצד אחר ויעלו לי"ב וזהו המספר שאמרנו שהוא משותף ויקרא משותף כי בו ישתתפו שני המספרי' שתחת הקוים כאמו‫'
numerator
Now, we should extract 3-quarters of the common denominator this way: we multiply the 3 that is above the 4 by the 3 that is beneath the 2; the result is 9 and these are the 3-quarters of the common denominator, which is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot12=3\sdot3=9}}$	ועתה צריך שנוציא ג' רביעיות מהמספר המשותף בדרך זה נכה הג' שעל הד' על הג' שעל [שתחת]‫ הב' ויעלו לט' ואלו הן ג' רביעיות של המחלק שהוא הי"ב
Then, we extract the 2-thirds this way: we multiply the 2 that is above the 3 by the 4 that is beneath the 3; the result is 8 and these are the two-thirds of the common denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot12=2\sdot4=8}}$	ואח"כ נוציא הב' שלישיות בדרך זה נכה הב' שהוא על הג' על הד' שהוא תחת הג' ויעלו ח' ואלו הן שני שלישי המחלק
You see that until now we have done three things in this type [of operation]:	והנך רואה שעד עתה עשינו בזה המין שלשה דברי‫'
First we have found the common denominator, which is the whole.	ראשונה מצאנו המחלק שהוא במקום שלם
Second, we have found its 3-quarters, which is 9.	ושנית מצאנו הג' רביעיות ממנו שהם ט‫'
Third, we have found its two-thirds, which is 8.	ושלישית מצאנו שני שלישיות ממנו שהם ח‫'
Since our intention is to subtract two-thirds from 3-quarters, as we have them, we subtract the 8, which is 2-thirds, from the 9, which is 3-quarters; one remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot12\right) -\left(\frac{2}{3}\sdot12\right)=9-8=1}}$	ובעבור שכוונתינו היה לחסר שני שלישיות מג' רביעיות לאחר שהם נמצאות אצלינו נוציא הח' שהם ב' שלישיות מהט' שהם ג' רביעיות וישאר אחד
We should know what is the one that remains. In order to know this, we divide it by the divisor, or the common denominator, which is 12, then we know what it is. The division method is:	והאחד הזה שנשאר צריך שנדע מה הוא ולדעת זה נחלקהו במחלק או המורה שהוא י"ב ואז נדע מהו ודרך חלוקו הוא זה
So, it is 1 [part] of 12 parts of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12}}}$	א"כ הוא א' מי"ב חלקי מהשלם
Check: addition
The proof of this is that we sum up what we have subtracted, which is 2-thirds, and what remained, which is 1 [part] of 12 parts of the whole. If this sum is 3-quarters, then the subtraction that we did is correct, otherwise it is incorrect. $\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$	והמופת על זה הוא שנחבר מה שהוצאנו שהוא ב' שלישיות ומה שנשאר שהוא א' מי"ב חלקי השלם ואם קבוץ אלו יעלו לג' רביעיות החסור שעשינו הוא אמיתי ואם לאו אינו אמיתי
The way to do this in this type [of operation] is by the addition and you already know it.	‫ודרך עשיית זה במין הוא הקבוץ וכבר ידעתו
As seen in this diagram:	וכמו שיראה בזו הצורה
common denominator
The first thing that should be extracted is the common denominator, which is the product of 3 by 12; it is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot12=36}}$	והראשון שצריך להוציא המחלק שהוא הכאת הג' בי"ב ויהיו ל"ו
numerator
From this we extract 2-thirds this way: we multiply the 2 that is above the 3 by the 12 that is beneath the 1; it is 24 and these are 2-thirds of the common denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot36=2\sdot12=24}}$	ומאלו נוציא ב' שלישיות בדרך זה נכה הב' מהצורה שהיא על הג' על הי"ב שהם תחת הא' ויהיו כ"ד ואלו הם ב' שלישיות המחלק
We extract also 1 [part] of 12 parts of the whole this way: we multiply the 1 that is above the 12 by the 3 that is beneath the 2; it is 3 and this is 1 [part] of 12 parts of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}\sdot36=1\sdot3=3}}$	ונוציא גם הא' מי"ב חלקי השלם בדרך זה נכה הא' שעל הי"ב על הג' שתחת הב' ויהיו ג' וזהו א' מי"ב חלקי השלם
Now, we sum up the 3 with the 24; it is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot36\right) +\left(\frac{1}{12}\sdot36\right)=24+3=27}}$	ועתה נחבר אלו הג' עם הכ"ד ויהיו כ"ז
We divide the 27 by the common denominator, exactly as the way in the first type; it is 27 parts of 36 of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{27}{36}}}$	ואלו הכ"ז נחלקם במחלק בדרך המין הראשון לא פחות ולא יתר ויהיו כ"ז חלקים מל"ו מהשלם
These parts should be 3-quarters of the whole. To know this, you should examine this diagram:	והחלקים האלו צריך שיהיו ג' רביעיות מהשלם ולדעת זה צריך שתעיין בזאת הצורה
We do as follows: we multiply the numbers each by its opposite, i.e. 4 by 27 and 3 by 36. If the products are equal it is a proof that this number is 3-quarters of the whole.	ונעשה כך נכה המספרי' כל א' עם סותרו [ר"ל הד' עם הכ"ז והג' עם הל"ו]‫ ואם ההכאות יהיו שוות היא ראיה שאותו המספר שהוא ג' רביעיות מהשלם
In this way all the proofs are done, when we want to know the equality of any two numbers we want.	ובדרך זה יעשו כל הראיות כשנרצה לדעת שיווי כל ב' מספרי' שנרצה
It is enough for this type.	וזה מספיק במין הזה

Chapter Four: Doubling Fractions	הפרק הד' מכפול השברי‫'
You already know its definition.	וכבר ידעת גדרו
In this operation one type of fractions is enough.	בזה המין יספיק סוג א' משברי‫'
For example: we wish to double 2-thirds, or 5-sixths, or 4-fifths, or any of the fractions we want.	המשל נרצה לכפול ב' שלישיות או ה' ששיות או ד' חמישיות או איזה מהשברי' שנרצה
We do as follows: we double the digit that is above the line. Then, we divide it by the digit that is beneath the line. The quotient is double the fraction, or fractions that we want.	ונעשה כך נכפול האות שעל הקו ומה שיהיה נחלקהו על האות שהיא תחת הקו ומה שיצא לחלק הוא כפול השבר או השברי' שרצינו
As the one who wants to double this number, which is 3-quarters. $\scriptstyle2\times\frac{3}{4}$	כמי שירצה לכפול זה המספר שהוא ג' רביעיות
We double the 3 that is above the line; the result is six. We divide it by 4 that is beneath the line; the result of division is 1 integer and a half, which is double the 3-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times\frac{3}{4}=\frac{2\sdot3}{4}=\frac{6}{4}=1+\frac{1}{2}}}$	נכפול הג' שעל הקו ויעלה לו' ששה ונחלקם בד' שהיא תחת הקו ויצא מהחלוקה א' שלם וחצי שהוא כפל ג' רביעיות
Check: halving
The proof of this type [of operation] is the fourth type [of operation], which is halving.	ומופת זה המין הוא המין הד' שהוא חלוק באמצע
It is enough for this type.	‫[וזה מספיק בזה המין‫]‫

Chapter Five: Halving Fractions	הפרק החמישי‫ מחלוק השברי' באמצע
We have already stated its definition.	וכבר ‫אמרנו גדרו
In this operation you only need to double the digit that is beneath the line and the fraction is the halved.	ובזה המין אינך צריך אלא כפול האות שתחת הקו ויהיה השבר מחולק באמצע
As the one who wants to halve one-quarter, whose form is this: $\scriptstyle\frac{1}{4}\div2$	כמי שרוצה לחלק רביע אחד באמצע [שצורתו זאת]‫
We double the 4 that is beneath; it is: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\div2=\frac{1}{2\sdot4}}}$	נכפול הד' שהיא למטה ויהיה
It is enough for this type.	וזה מספיק בזה הצורה
Check: doubling
The proof is the doubling.	והמופת הוא הכפול

Chapter Six: Multiplication of Fractions	הפרק השישי מרבוע השברי‫'
We have already defined it.	וכבר גדרנוהו
It occurs only in one of five categories:	ולא יקרה אלא בא' מה' פנים‫
1) Integer or integers alone by fraction alone.	הא' השלם או שלמים לבד עם שבר לבד
2) Integer or integers and fraction together by fraction.	הב' שלם או שלמים ושבר יחד עם שבר
3) Integer or integers and fraction together by integer or integers alone.	הג' שלם או שלמים ושבר יחד עם שלם או שלמים לבד
4) Integer or integers and fraction together by integer and fraction together.	הד' שלם או שלמי' ושבר יחד עם שלם ושבר יחד
5) Fraction by fraction alone	הה' שבר לבד בשבר לבד
First, the first category, which is integer or integers alone by fraction alone.	וראשונה מהאופן הא' שהוא משלם או שלמי' לבד עם שבר לבד
Example: we wish to multiply 4 integers by 2-thirds. $\scriptstyle4\times\frac{2}{3}$	המשל נרצה לרבע ד' שלמים בב' שלישיות
We do as follows: we write two numbers on both sides this category.	ונעשה כך נניח ב' מספרי' משני צדדין בדרך זה
denominator
First, we extract the denominator like this: we take the number that is beneath the line and it is the denominator. It is 3 in this diagram.	וראשונה נעשה המחלק בדרך זה שנקח המספר‫ שלמטה מהקו והוא יהיה המחלק והוא ג' בזאת הצורה
numerator
Then, we multiply the 4 integers by 2 that is above the line; it is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2=8}}$	אחרי כן נרבע הד' שלמי' בב' שהם על הקו ויהיו ח‫'
We divide this 8 by the denominator that we said it is 3; the result is 2 integers and 2-thirds and this is the product of the said 4 integers by two-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{4\times\frac{2}{3}=\frac{8}{3}=2+\frac{2}{3}}}$	ואלו הח' נחלקם במחלק שאמרנו שהם ג' ויבואו ב' שלמי' וב' שלישיות וזהו הרבוע מד' שלמים האמורי' בשני לוחות השלישיות
Example for the second category, which is integer or integers and fraction by fraction alone.	ומשל הפן השני שהוא שלם או שלמי' ושבר יחד עם שבר לבד
As the one who wants to multiply 4 and a half by two-thirds. $\scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right)\times\frac{2}{3}$	כמי שרוצה לרבע ד' וחצי עם שני שלישיות
denominator
First, we extract the denominator as follows: we multiply the 2 that is beneath the 1 by the 3 that is beneath the 2; the result is 6 and this 6 is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	ראשונה נעשה המחלק בדרך זה שנרבע הב' שהם תחת הא' על הג' שהיא תחת הב' ויעלו ו' ואלה הו' הם המחלק
numerator
Then, we multiply the 4 integers by 2 that is next to them, beneath the 1; the result is 8. We add to it the 1 that is above the 2; it is 9 and it is the numerator of this side. We multiply the 9 by the 2 of the other side; the result is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot2=\left(8+1\right)\sdot2=9\sdot2=18}}$	ואחר כך נרבע הד' שלמי' בב' שהוא בצדו שהוא תחת הא' ויעלה ח' ונחבר אליהם הא' שהוא על הב' ויהיו ט' וזהו המספר של זה הצד ונכה הט' עם הב' של הצד האחר ויעלו י"ח
We divide this 18 by the denominator, which is 6; the quotient is 3 and this 3 is the product of 4 integers and a half by 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{2}\right)\times\frac{2}{3}=\frac{18}{6}=3}}$	ואלו הי"ח ‫נחלקם על המחלק שהם ו' ויבא לכל חלק ג' ואלו הג' הם הרבוע העשוי מג' [מד']‫ שלמי' וחצי עם ב' השלשיות
Example for the third category, which is integer or integers and fraction together by integer or integers alone.	ומשל לפן הג' שהוא או שלם או שלמי' ושבר יחד עם שלם או שלמי' לבד
As the one who wants to multiply 4 and a third by 6. $\scriptstyle\left(4+\frac{1}{3}\right)\times6$	כמי שרוצה לרבע ד' ושליש עם ו‫'
denominator
Since there is only one type of fractions here, the 3 that is beneath the 1 is the denominator.	ובעבור שאין בכאן אלא מין אחד משברי' בלבד לכן יהיה הג' שהוא תחת הא' הוא המחלק
Keep this rule that wherever there is only one type of fraction, the number that is beneath the fraction line is the denominator.	ותשמור כלל זה שבכל מקום שלא יהיה אלא מין אחד מהשברים יהיה המספר שהוא תחת הקו השבר המחלק
numerator
After we write the method of the denominator, we multiply the 4 integers mentioned by 3 that is beneath the 1; it is 12. We add to it the 1 that is above the 3; it is 13. We multiply the 13 by the 6 integers mentioned; the result is 78. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot3\right)+1\right]\sdot6=\left(12+1\right)\sdot6=13\sdot6=78}}$	ואחר שכתבנו דרך המחלק נכה הד' שלמי' שאמרנו על ג' שהוא תחת הא' ויהיו י"ב ונוסיף לו הא' שעל הג' ויהיו י"ג ואלו הי"ג נכם על הו' השלמים שאמרנו ויצאו ע"ח
We divide the 78 by 3, which is the said denominator; the result of division is 26 and this is the product of 4 integers and one third by 6 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{3}\right)\times6=\frac{78}{3}=26}}$	ואלו הע"ח נחלקם בג' שהוא המחלק שאמרנו ויבאו כ"ו מהחלוקה וזה הוא הרבוע מד' שלמי' ושליש א' על ו' שלמי‫'
Example for the fourth category of integer or integers and fraction together by integer and fraction together.	ומשל הפן הד' משלם או שלמי' ושבר יחד עם שלם ושבר יחד
As the one who wants to multiply this number: $\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\times\left(4+\frac{3}{4}\right)$	כמי שרוצה לרבע זה המספר
denominator
First of all, we extract the denominator, which is the product of the digits that are beneath the fraction lines as follows:	קודם כל דבר נעשה המחלק כן והוא רבוע האותיות שתחת קוי השברי‫'
Example: [we take] the 4 that is beneath the 3 and multiply it by the 2 that is beneath the 1; it is 8 and this is the denominator. We keep it by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2=8}}$	אחר כן נקח המשל הד' שהוא תחת הג' ונכה אותה [אותו]‫ על הב' שהוא תחת הא' ויהיה ח' וזהו המחלק ונשמור אותו בפני עצמו
numerator
Then, we multiply the 4 integers by the 4 that is beneath the 3 next to them; the result is 16. We add to it the 3 that is above the 4 next to it; the result is 19. We keep it.	ואח"כ נכה הד' השלמי' על הד' שהוא תחת הג' שבצדה ויעלה י"ו [ונוסיף עמהם הג' שעל הד' שבצדה ויעלו י"ט ונשמרם]‫
We turn to the other side and multiply the 2 integers by the 2 that is beneath the 1 next to them; the result is 4. We add to it the 1 that is above the 2 next to it; the result is 5. We keep it.	ונעבור לצד האחר ונכה הב' שלמי' בב' שתחת הא' שבצידה ויעלו לד' ונוסיף עמהם הא' שעל הב' שבצדם ויעלו ה' ונשמרם ג"כ
So, we have three things: the first is the denominator; the second is the integers of one side that we have converted to the type of the fractions that are next to them and they are 19; the third is the integers of the other side that we have converted to the type of the fractions that are next to them and they are 5.	א"כ יש לנו ג' דברי' הראשון המחלק והשני שהשלמי' שמהצד א' החזרנו האחד החזרנו אותם למין השברי' שבצדם ועלו י"ט והשלישי שהשלמי' שמהצד האחר החזרנום למין השברים שבצדם ועלו כלם ה‫'
Now, we multiply the 5 by the 19; the result is 95. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot4\right)+3\right]\sdot\left[\left(2\sdot2\right)+1\right]=\left(16+3\right)\sdot\left(4+1\right)=19\sdot5=95}}$	ועתה נכה הה' עם הי"ט ויעלו צ"ה
We divide it by the said denominator, which is 8; the result of division is 11 integers and 7-eighths and this is the product that we wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)\times\left(4+\frac{3}{4}\right)=\frac{95}{8}=11+\frac{7}{8}}}$	ונחלקם על המחלק האמור שהוא ח' ויצא מהחלוקה י"א שלמי' ‫וז' שמיניות וזו היא ההכאה שרצינו
Example for the fifth category, which is the multiplication of a fraction by a fraction.	ומשל הפן הה' שהוא רבוע שבר עם שבר
As the one who wants to multiply 2-thirds by 4-fifths. $\scriptstyle\frac{4}{5}\times\frac{2}{3}$	כמי שרוצה לרבע [ב' שלישיו' וד' חמישיו'‫]‫
denominator
We extract the denominator, which is the product of the digits that are beneath the lines that are 3 and 5; the result is 15. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}$	נוציא המחלק שהוא הכאת האותיות שתחת הקוים שהם ג' וה' ויעלו ט"ו ונשמור אותו
numerator
Then, we multiply the digits that are above the lines that are 2 and 4; the result is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}$	ואחר נכה האותיות שעל הקוים שהם ב' וד' ויעלו ח‫'
We divide the 8 by the denominator, which is 15. Since the divisor is greater than the dividend, we relate the dividend to the divisor; we find 8 parts of 15 of one integer and this is the product of 2-thirds and 4 fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{8}{15}}}$	ואלו הח' נחלקם במחולק שהוא ט"ו ובעבור שהמחלק יותר מהמחולק ניחס המחולק אל המחלק ומצאנו ח' חלקי' מט"ו של שלם [אחד]‫ וזהו הרבוע מב' שלישיות וד' חמישיות
Check: division
The proof of the multiplication of fractions is that we divide the product that is generated from the two sides by one of the sides and the result is the other side, otherwise it is not correct.	והמופת ממין רבוע השברי' הוא זה שנחלק הרבוע שעשינו מהשני צדדי' על א' מהצדדים ויצא הצד האחר ואם לאו אינו אמיתי
Since the proof of the multiplication is by division and we did not speak about the division of fractions yet, we do not elaborate on that until we discuss the division of fractions that follows.	ובעבור שמופת הרבוע הוא בחלוק ועדיין לא דברנו בחלוק השברי' לכן לא הרחבנו בו עד שנדבר מחלוק השברי' הנמשך לזה

Chapter Seven: Multiplication of Fractions in Astrology [= Sexagesimal Fractions]	הפרק השביעי באופני רבוע השברי' בחכמת התכונה
In order to multiply the fractions in astrology [= sexagesimal fractions] you should know that one degree is divided into sixty parts that are called minutes.	האמנם לרבע השברי' שבחכמת התכונה צריך שתדע שהמעלה האחת תתחלק לששים חלקי' ויקראו ראשוני‫'
Each minute is divided into 60 other parts that are called seconds.	וכל א' מהראשוני' יתחלק לס' חלקי' אחרים ויקראו שניים
Each second is divided into 60 parts that are called thirds.	וכל שני יתחלק לס' חלקי' ויקראו שלישיים
Each third is divided into 60 parts that are called fourths.	וכל א' מהשלישיים יתחלק לס' חלקי' ויקראו רבעיים
And so on.	וכן כסדר הזה
Therefore, when we divide the minutes by sixty, they are degrees, for every degree is 60 minutes as said.	ולכן כשנחלק הראשוני' בשישים יהיו מעלות כי כל מעלה ס' ראשוני' כאמור
If we divide the seconds by 60, they become minutes.	ואם נחלק השניים בס' ישובו ראשונים
The same for the others, when we divide them by 60 they are converted to the preceding rank.	וכן מהאחרים כשנחלקם לס' ישובו למדרגה הקודמת להם
You should know that if we multiply degrees by minutes, the result of the multiplication are minutes.	וראוי שתדע שאם נכה מעלות על ראשוני' יהיה כל מה שיצא מההכאה ראשוני‫'
If we multiply degrees by seconds, the result of the multiplication are seconds.	ואם נכה מעלות על שניים יהיה כל מה שיצא שניים
The same for the others, because as the type of the fraction multiplied by a degree so is always the type of the result of multiplication.	וכן מהאחרי' כי לעולם מהמין שיהיה השבר המוכה עם המעלה מאותו מין יהיה מה ‫שיצא מההכאה
You should also know that the product of minutes by minutes are seconds; the product of minutes by seconds are thirds; the product of minutes by thirds are fourths; the product of minutes by fourths are fifths and so on.	ועוד צריך שתדע שהכאת ראשוני' על ראשונים שהיוצא מהם הוא שניים והכאת ראשוני' על שניים היוצא הוא שלישיים והכאת ראשוני' על שלישיים הוצא הוא רביעיים והכאת ראשונים על רביעיים היוצא יהיה חמישיים וכן כסדר הזה
The product of seconds by seconds are fourths; seconds by thirds are fifths; seconds by fourths are sixths and so on.	והכאת שניים על שניים היוצא רביעיים ושניים על שלישיים עושה חמישיים ושניים על רביעיים עושה ששיים וכן כסדר הזה
The rule for knowing all these multiplications easily is by taking the sum of [the ranks of] both multiplied fractions.	והכלל לידיעת כל אלו ההכאות בנקלה הוא בשנקח חבור שני מספרי השברים המוכי‫'
Example: if we multiply seconds by thirds, we say: the decimal value of the seconds is 2 and the decimal value of the thirds is 3; their sum is 5, so the result of their multiplication are fifths.	המשל שאם נכה שניים עם שלישיים נאמר אות השניים הוא ב' ואות השלישיים הוא ג' והחבור משניהם עולה ה' א"כ היוצא מהכאתם יהיה חמישיות
This rule is enough for all the sexagesimal fractions.	וזה הכלל מספיק לכל שברי התכונה
Here you have an example of some of them: suppose we want to multiply 2 degrees, 24 minutes, and 43 seconds by 3 degrees, 3 minutes. and 8 seconds.	והנה לך צורה אחת בקצת זה נניח שרצינו להכות ב' מעלות וכ"ד ראשוניים ומ"ג שניים על ג' מעלות וג' ראשוניים וח' שניים
As seen in this diagram:	כנראה בצורה זו
fourths thirds seconds minutes degrees     43 24 2     8 3 3 44 5 3       12 16       9 2 1 7     12 6       9 2         12   44 26 42 21 7	רביעיים שלישיים שניים ראשונים מעלות     מג כד ב     ח ג ג מד ה ג       יב יו       ט ב א ז     יב ו       ט ב         יב   מד כו מב כא ז
As seen in this diagram, you should write each type in a cell of its own, beneath every type its amount in a cell of its own, and in two lines one above and the other beneath, degrees corresponding to degrees, minutes corresponding to minutes, seconds corresponding to seconds, thirds corresponding to thirds, and so on.	ולפי הנראה בצורה זו צריך שתכתוב כל מין בבית בפני עצמו וב ותחת כל מין כמותו בבית בפני עצמו ובב' טורי' אחד למעלה והאחר למטה מעלות כנגד מעלות וראשונים כנגד ראשונים ושניים כנגד שניים ושלישיים כנגד שלישיים וכן כסדר
Then, we start from the smallest fraction below and multiply it by all the upper digits.	ואחר נתחיל מהשבר היותר קטן מלמטה ונכהו עם כל האותיות שלמעלה
For each product of a fraction by a fraction, we examine of which type it is in the mentioned way: if it is more than 60, we write every 60, as many as they are, in the preceding rank. Likewise for all the fractions.	ומכל הכאות שנעשה משבר עם שבר נעיין מאיזה מין הוא בדרך הנזכר ואם יעלה יותר מס' כל ס' וס' כמו שיהיו נכתוב אותם במעלה הקודמת ובשמה וכן בכל השברי‫'
Example: if the result of multiplication are 124 seconds, we write 4 seconds in the column of the seconds, and we write the 120 seconds that are 2 times sixty that are 2 minutes in the column of the minutes.	המשל אם מההכאה יצאו קכ"ד שניים נכתוב ד' שניים בבית השניים ‫והק"כ שניים שהם ב' פעמי' ששים שהם ב' ראשוני' נכתבם בבית הראשונים
We keep this order of the multiplication of sexagesimal fractions and multiply all the bottom digits by the upper digits according to this order, until we complete the multiplication of each of the bottom [digits] by all the upper [digits] as written in the preceding diagram.	וזה הסדר נשמור בהכאת שברי התכונה וכסדר הזה נכה כל האותיות שלמטה עם האותיות שלמעלה עד שנשלים כלם כולם בהכאות כל אחת מהתחתונות עם כל העליונות כמו שהוא כתוב בצורה שעברה
In order to add a further explanation, I write this second diagram which involves a longer procedure and study.	‫[וכדי להוסיף לך ביאור כתבתי זאת הצורה השנית שיש בה יותר מלאכה ועיון‫]‫

sixths	fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	degrees
			24	50	24	1
			24	50	24	1
36	9	20	9	0	0	0
		36	24	0	0	0
0	0	20	41	20	0	0
		40		50	0	0
0	0	36	9	20	9	0
				36
			24	50	24	1
36	32	32	49	57	35	1

ששיים	חמישיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות
			דב	‫0ה	דב	א
			דב	‫0ה	דב	א
וג	ט	‫0ב	ט	0	0	0
		וג	דב	0	0	0
0	0	‫0ב	אד	‫0ב	0	0
		‫0ד		‫0ה	0	0
0	0	וג	ט	‫0ב	ט	0
				וג
			דב	‫0ה	דב	א
וג	בג	בג	דט	זה	הג	א

Chapter Eight: Division of Fraction	הפרק השמיני והוא מהחלק השברי‫'
You already know its definition.	וכבר ידעת גדרו
This type [of operation] occurs in eight categories:	והמין הזה יקרה בח' פנים
1) Fraction by fraction.	הא' שבר בשבר
2) Fraction by integer.	הב' שבר בשלם
3) Fraction by integer and fraction.	הג' שבר בשלם ושבר
4) Integer and fraction by integer and fraction.	הד' שבר ושלם‫ בשבר ושלם
5) Integer by fraction.	הה' שלם בשבר
6) Integer and fraction by fraction.	הו' שלם ושבר בשבר
7) Integer and fraction by integer.	הז' שלם ושבר בשלם
8) Integer by integer and fraction.	הח' שלם בשלם ושבר
The first category, which is fraction by fraction:	הפן הא' שהוא חלוק שבר בשבר
As the one who wants to divide 3-quarters by 2-thirds. $\scriptstyle\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}$	כמי שרוצה לחלק ג' רביעיות בב' שלישיות
We write each one next to the other as this:	נכתוב כל אחד בצד חבירו בצורה זו
denominator
First of all, we extract the denominator, by that we multiply 2, which is above the 3, by 4, which is beneath the 3; the result is 8 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}$	וקודם כל דבר נעשה המחלק כן שנכה ב' שהיא על הג' על הד' שהוא תחת ג' ויעלו ח' וזה הוא המחלק
numerator
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3=9}}$	ואחר צריך שנעשה המחלק בדרך זה שנכה הג' שהוא על ד' בג' שהוא תחת הב' ויעלה ט' וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}=\frac{9}{8}=1+\frac{1}{8}}}$	אחר כן נחלק המחולק במחלק ויצא שלם א' ושמינית שלם וזהו חלוק ג' רביעיות בב' שלישיות כמו שרצינו
2) Fractions by integers	והב' שהוא חלוק שבר בשלם
	נכתוב כל א' בצד חבירו כמו שעשינו בפן הראשון בדרך זה
$\scriptstyle\frac{3}{8}\div2$	נניח שרצינו לחלק ג' שמיניות בב' שלמי' בצורה זו
denominator
First, we extract the denominator as follows: we multiply the integer, which is 2, by 8, which is beneath the 3; the result is 16 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot8=16}}$	וראשונה נעשה המחלק בדרך זה נכה השלם שהוא ב' על ח' שהוא תחת ג' ויעלו י"ו וזהו המחלק
numerator
	ואחר כך נעשה המחולק כך שנקח הג' שהוא על הח' והוא המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}\div2=\frac{3}{16}}}$	ונחלק זה המחולק שהוא ג' בי"ו שהוא המחלק ויצאו ג' חלקים מי"ו חלקי שלם א' וזהו מה שרצינו
3) Fractions by integers and fractions	והג' שהוא שבר בשלם ושבר
$\scriptstyle\frac{2}{3}\div\left(4+\frac{1}{2}\right)$	‫כמי שרוצה לחלק ב' שלישיות בד' שלמי' וחצי נכתוב כל אחד כצורה זו
denominator
We extract the denominator as follows: we multiply 4 by 2, which is beneath the 1; the result is 8. We add to it the 1 that is above the 2; it is 9. We multiply the 9 by 3 that is beneath the 2, next to the 1; the result is 27 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot3=\left(8+1\right)\sdot3=9\sdot3=27}}$	ונעשה המחלק בדרך זה שנכה ד' על ב' שהוא תחת הא' ויעלו ח' ונוסיף עליהם הא' שהוא על הב' ויהיו ט' ואלו הט' נכה אותם על ג' שהוא תחת הב' [שבצד הא'] ויעלו כ"ז וזהו המחלק
numerator
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4}}$	ונעשה המחולק בדרך זה שנכה הב' שהוא על הג' על הב' שהוא תחת הא' שבצד האחר ויעלו ד' וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\div\left(4+\frac{1}{2}\right)=\frac{4}{27}}}$	ונחלקהו במחלק שהוא כ"ז ויצא מהחלוקה ד' חלקי' מכ"ז חלקי' של שלם וזהו מה שרצינו
4) Integers and fractions by integers and fractions	והד' שהוא שבר ושלם בשבר ושלם נכתו' כל א' כאמו' למעלה
$\scriptstyle\left(9+\frac{1}{2}\right)\div\left(3+\frac{4}{5}\right)$	כמי שרוצה לחלק ט' וחצי בג' וד' חמישיות כזה
denominator
We extract the denominator as follows: we multiply 3 by 5, which is beneath the 4; the result is 15. We add to it the 4 that is above the 5; it is 19. We multiply it by 2 that is beneath the 1 in the other side; the result is 38 and this is the denominator. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(5\sdot3\right)+4\right]\sdot2=\left(15+4\right)\sdot2=19\sdot2=38}}$	ונעשה המחלק בדרך זה שנכה ג' על ה' שהוא תחת הד' ויעלו ט"ו ונוסיף עוד ד' שהוא על הה' על ט"ו ויהיו י"ט ואלו נכם על ב' שהוא תחת א' שבצד האחר ויעלו ל"ח וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(9\sdot2\right)+1\right]\sdot5=\left(18+1\right)\sdot5=19\sdot5=95}}$	ונעשה המחולק בדרך זה שנכה ט' על ב' שתחת א' שבצדה ויעלה י"ח ונוסיף עוד א' שעל הב' שבצדה ויעלו טו"ז [י"ט]‫ ואלו נכה אותם על ה' שתחת הד' שבצד האחר ויעלו צ"ה וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{1}{2}\right)\div\left(3+\frac{4}{5}\right)=\frac{95}{38}=2+\frac{1}{2}}}$	ואחר כך נחלק המחולק במחלק שאמרנו ויצא מהחלוקה ב' שלמי' וחצי וזהו מה שרצינו
5) Integers by fractions	והה' שהוא שלם בשבר
$\scriptstyle12\div\frac{4}{9}$	נכתבם כאמור כמי שרוצה לחלק י"ב בד' תשיעיות כזה
denominator
	ובזה הפן המחלק הוא לעולם האות שהוא על הקו ולכן המחלק הנה הוא עתה בזה הד' שעל הט‫'
numerator
$\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot9=108}}$	[והמחולק יהיה מה שיעלה מהכאת הי"ב שלמים על הט' שתחת הד']‫ ואם כן המחולק הוא ק"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{12\div\frac{4}{9}=\frac{108}{4}=27}}$	ונחלקם בד' שהוא המחלק ויהיו כ"ז בחלוקה ‫וזהו מה שרצינו
6) Integers and fractions by fractions	והו' שהוא שלם ושבר בשבר
$\scriptstyle\left(4+\frac{1}{3}\right)\div\frac{5}{6}$	נכתוב כל אחד כאמור המשל נרצה לחלק ד' ושליש אחד בה' ששיות כזה
denominator
We extract the denominator, by that we multiply 5, which is above the 6, by 3, which is beneath the 1 next to it; the result is 15 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot3=15}}$	ונעשה המחלק כך שנכה ה' שהוא על ו' בג' שתחת הא' שבצדה האחר ויעלה ט"ו וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot3\right)+1\right]\sdot6=\left(12+1\right)\sdot6=13\sdot6=78}}$	ואחר נעשה המחולק בדרך זה שנכה ד' על ג' שתחת הא' שבצדה ויעלו י"ב ונוסיף א' שהוא על ג' שבצדה ויהיו י"ג ונכם בו' שתחת הה' שבצד האחר ויעלו ע"ח וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{3}\right)\div\frac{5}{6}=\frac{78}{15}=5+\frac{1}{5}}}$	ונחלקהו במחלק שהוא ט"ו ויצא מהחלוקה ה' שלמי' וא' חמישית וזהו מה שרצינו
7) Integers and fractions by integer	והז' שהוא שלם ושבר בשלם
	נכתבם כאמור
$\scriptstyle\left(3+\frac{1}{3}\right)\div4$	המשל רצינו לחלק ג' ושלישית בד' כזה
denominator
First, we extract the denominator, by that we multiply 4 by 3, which is beneath the 1 in the other side; the result is 12 and this is the denominator in this category. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=12}}$	ראשונה נעשה המחלק כך שנכה הד' על הג' שהוא תחת הא' שבצד האחר ויעלה י"ב וזהו המחלק בפן הזה
numerator
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot3\right)+1=9+1=10}}$	ונעשה המחולק בדרך זה שנכה הג' שלמי' על הג' שהיא תחת הא' שבצדה ויהיה ט' ונוסיף עליו הא' שעל הג' שבצדה ויעלו עשרה וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{3}\right)\div4=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}}}$	ונחלקהו במחלק שהוא י"ב ויצאו ה' ששיות וזהו מה שרצינו
8) Integers by integers and fractions	והח' שהוא שלם בשלם ושבר
	נכתוב כל אחד כאמור
$\scriptstyle50\div\left(2+\frac{1}{2}\right)$	המשל שנרצה לחלק נ' בשניים וחצי כזה
denominator
First, we extract the denominator as follows: we multiply 2 by 2, which is beneath the 1 next to it; the result is 4. We add to it the 1 that is above the 2 next to it; the result is 5 and this is the denominator. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot2\right)+1=4+1=5}}$	וראשונה נעשה המחלק בדרך זה נכה ב' על ב' שתחת הא' שבצדה ויעלו ד' ונוסיף הא' שעל הב' שבצדה ויעלה ה' וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator
$\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot2=100}}$	ואחר נעשה המחולק בדרך זה שנכה הנ' על ב' שהוא תחת הא' מהצד האחר ויעלו ק' וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{50\div\left(2+\frac{1}{2}\right)=\frac{100}{5}=20}}$	ונחלקהו במחלק ‫שהוא ה' ויצאו מהחלוקה כ' לכל א' מהשנים השלמים של המחלק
	ואחר נתן לכל שבר הראוי לו ביחס מה שנתננו לשלם
	המשל במין הזה שחלקנו נ' בב' וחצי ויצא מהחלוקה כ' לשלם
	א"כ נאמר אם לכל א' מהשלמי' ראוי כ' לחצי ראוי שיהיו עשרה ובדרך זה נחלק החמישים וזה מה שרצינו‫
Check: multiplication
	והמופת לכל מיני החלוק הוא שנכה המחלק בחלק ואם יעלה כמו המחולק שוה בשוה אז נדע שהחלק אמיתי
	המשל כבר ידעת שהחלק האחרון מזה המין היה כ' והמחלק היה שניים וחצי ולכן אם תכה שניים [וחצי] בכ' יעלו לחמישים
	וזה המופת כולל לכל ח' פנים שאמרנו בזה המין שהוא חלוק וזה מה שרצינו

Section Four: Roots	הכלל הרביעי מהמאמר הא‫'
	ויתחלק לב' פרקי‫'
Chapter One: Extracting and Approximation of Square Roots of Integers	הפרק הא' בנתינת דרכי' מיישירי' למציאות שרשי המספרי' המרובעי' או היותר קרובים למספרי' הבלתי מרובעי‫'
	ואחר שדברנו מששת מיני המספר מהשלמי' גם מהשברי' שהם כוללים לכל מה שיצטרך במלאכת המספר עתה צריך שנדבר מדרכי' מיישירי' למציאו' שרשי המספרי' המרובעי' והמעוקבי' בעבור שהם הכרחיי' ומועילים בחכמות הלימודיות וגם בחכמות אחרות כמו שהוא מפורסם אצל בעלי החכמות הלימודיות
	ולכן ראוי שנאמ' ראשונה מהו גדר שורש המספר
	וקודם כל דבר צריך שתדע שיש ב' מיני שרשי מספר כוללים
	‫הראשון שורש המרובע
	והשני יקרא שרש המעוקב
	וראשונה נדבר מהשרש המרובע
	וא"כ גדר שרש המרובע הוא מספר אחד כשיוכה בעצמו מוליד אותו
	ולכן ב' הם שרש ד' בעבור כשיוכה בעצמו יוליד ארבעה
	גדר אחד או הוא מספר אחד כשיוכה בעצמו יוליד מספר ארבעה [מרובע]‫ א"כ כל מספר מוכה בעצמו מוליד מספר שיש לו שורש ומספר שאין לו כזה יקרא מרובע
	כמו ב' פעמי' ב‫'
	או ה' פעמי' ה‫'
	או י' פעמי' י' וכן מהאחרי‫'
	וצריך שתדע שכל מרובע מוכה על איזה מרובע שיהיה יוליד מרובע
	המשל ד' שיש לו שרש מוכה על ט' שגם כן יש לו שרש יולידו ל"ו ששרשם ו‫'
	ואם כשיחולק המחולק במחלק החלק יהיה מרובע אז אם יוכה המחולק במחלק יוליד מההכאה ההוא מרובע
	המשל י"ח מחולק בח' יצאו והשרש מאלו אחד וחצי א"כ אם נכה י"ח על ח' יצאו קמ"ד‫ ושרש המספר בזה הוא י"ב‫ אע"פ שאין שורש לי"ח ולח‫'
	ומכאן יתחייב שצריך שתדעהו שכל הטורים [המדרגות]‫ אין להם שורש אלא אותם שמהכאת אחרי' בעצמם יולדו
	כמו טור [חוץ מדרגת]‫ האחדי' שהוא הטור [המדרגה]‫ הראשונה יש לו שורש שאינה מאחר אלא מהכאתו בעצמו כי פעם אחד אחד הוא א‫'
	והטור השני שהוא עשרות אין לו שרש כי לא ימצא שום מספר שבהכאתו בעצמו יוליד אותו
	והטור השלישי שהוא מאות יש לו שרש כי מהכאת עשרה בעצמו יולד ק‫'
	והטור הרביעי שהוא אלף אין לו שרש כי אין שם מספר שבהכאתו יולד הוא
	והטור הה' שהוא עשרת אלפים יש לו שרש כי המאה מוכה בעצמו יולידהו כי ק' פעמים ק' יולידו עשרת אלפים
	וכן אפשר לומ' מהטורים האחרים עד בלתי תכלית באופן שכל ההבדלי' שבסדר המספר יהיו נפרדים ימצא להם שרש כמו א' ג' ה' ז' כלומ' במדרגת האחדות ואם תרצה לומ' כן מהמאות ובמדרגת עשרות האלפים ובהבדל האלף אלפים וכן מכל המדרגות האחדות שהם נפרדות כאמור
	וההבדלים או מדרגות שיהיו זוגות אין להם שרש כמו מדרגת הב' הרומזת לעשרות או מ' מדרגת הד' הרומזת לאלפים או מדרגת הו' הרומזת למאות האלפים וכן מכל המדרגות האחרות מהזוגות
	ובשברי התכונה או אי זה שיהיו הוא בהפך
	כי השברים התכונים ראשונים אין להם שרש
	אבל אותם שיצאו מאחרים יש להם שרש
	כמו הראשונים שבשברים בעבור שיש להם מקום ראשון אין להם שרש
	אבל השניים יש להם מקום שני בשברים יש להם שרש כי מהכאת הראשונים בעצמם יולדו
	והשלישיים שבמקום שלישי יעמדו אין להם שרש כי לא יולדו מהכאת אחרים בעצמם
	והרבעיים שיש להם מקום הד' יש להם שרש כי מהכאת השניים בעצמם יולדו וכן מהאחרים בדרך זה
	וכן יעשה משברי הסוגים האחרים ר"ל שאינם מהתכונה כשיהיו מההנדסה או מאיזו חכמה שיהיו
	כמו חציים שלשיים וחמשיות וששיות והדומים בעבור שלא יולדו מאחדים ואלו יקראו מהבדל ראשון או שברים ראשונים לכן אין להם שרש
	אבל כל מספר שיוכה בעצמו יקרא שבירה שנייה ולכן יש לו שרש
	כמו מהכאת חצי בעצמו שיוליד רביעית שיקרא חצי של חצי
	ומהכאת השלשית בעצמו שיוליד ט' שיקרא שלשית של שלשית
	ומהכאת החמישית בעצמו שיולד כ"ה ויקרא חמישית החמישית
	אבל העשירית והאחד עשירית והשלשה עשירית וארבע עשירית והדומים אין להם שרש כי הם שברים ראשונים ולא יולדו מהאחרים
	אבל העשירית מעשירית והאחד עשירית מא' עשירית ושלשה עשירית משלשה עשירית וארבעה עשירית מארבע עשירית וחמשה עשירית מחמשה עשירית וכן מהדומים יש להם שרש
	האמנם השברים שמההבדל השלישי שיש להם מקום שלשי אין להם שרש כמו חצי מחצי של חצי או שלשה עשיריות משלשה עשיריות של שלשה עשיריות וכן כל הדומים
	א"כ כל השברים שלא יולדו מהכאת אחרים יקראו שברים של הבדל ראשון ואין להם שרש
	אבל אותם שמהכאת אחרים בעצמם ראשונה יולדו יקראו שברים מהבדל שני ויש להם שרש
	א"כ דבר מבואר הוא בשלמים שאותם ההבדלים שיש להם שרש הם אותם שיהיו נפרדים בטורים אבל בשברים הוא בהפך שהזוגות יש להם שרש ולנפרדים לא
	ואחר ידיעת אלה העניינים כשנרצה למצא שרש אי זה מספר שיהיה נסדרהו בהבדלותיו ר"ל מדרגותיו כלומ' מקומותיו גם אותיותיו
	ובעבור שלעולם ראוי להתחיל מההבדל הנפרד לכן צריך ראשונה להבחין אם ההבדלים יהיו זוגות או נפרדים
	ואם יהיו נפרדים תשים תחת ההבדל האחרון מספר אחד שמנה בעצמו יעשה המספר שוה למספר שעליו או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא אם לא ימצא שוה
	ואם ההבדלים יהיו זוגות יושם תחת האות ר"ל ההבדלים שקודם ההבדל ר"ל האחרונה מספר אחד שכשיוכה בעצמו יוליד מספר שוה או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא למספר שעליו אם לא ימצא לו שוה ויחוסר מאותו שעליו ומחברו
	ואם לא ישאר מאומה אז נכתוב עליהם 0'
	ואם ישאר יכתב מה שישאר באות הקודמת שהיא הימנית ואחר יוכפל ויושם בהבדל הנמשך אליו ובהבדל השלישי יושם מספר אחד שמוכה בנכפל ומחוסר מאותו שעל הנכפל ואחר כך מוכה בעצמו ומחוסר מהמספר שעליו יהיה יותר קרוב לבטל המספר של מעלה משום מספר אחר
	ואם לא ישאר יותר הבדל אז יהיה המספר הראשון והשלשי שרש המספר שלמעלה
	ואם יהיו יותר אותיות ר"ל הבדלים נכפול האות השלישית מהתחתונות ואח"כ נסייע הכפל הראשון אות אחת לפנים ונכפול הכפלים הראשוניים ואחר הכפל השני נניח מספר אחד שכשיוכה בנכפלים ובעצמו ימחוק כל מה שלמעלה כאמור
	ואם יהיו יותר הבדלים ר"ל אותיות יוכפל המספר האחרון ויונח מספר אחר שכשיוכה בנכפלים הצריכים לסיע ממקומם ללכת מדרגה אחרת יותר קודם ההכאה ובעצמו ימחוק כל מה שלמעלה כאמור וכן צריך להעשות עד שיגמר כל הטור באופן שלעולם המספר שהוא אחד הנכפל יוכה בנכפלים ובעצמו
	המשל שנניח מספר אחד שנרצה לבקש שרשו והוא ה"בוה"ו   0       ב     0 ז 0 0 ה ו ב ה   ז ד ה
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{56-{\color{blue}{7}}^2=56-49=}}{\color{green}{7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times7=}}{\color{blue}{14}}\\\end{align}}$ 07   5625 5625  7    74   1	ובעבור שההבדלים הם זוגות צריך שנתחיל באות שקודם האחרונה שהיא ו' וצריך שנניח מספר אחד שיוכה בעצמו יוליד מספר שוה או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא בשלא ימצא מספר שוה לאותו שלמעלה שהוא ו"ה והמספר היותר קרוב לו"ה הוא ז' כי כשיוכה בעצמו יוליד מ"ט וכשיוסרו מהמספר שלמעלה שהוא ו'ה' ישארו ז' ואלו הז' שישארו נשימם על הו' שהיא אחת מאותיות ו"ה ועל הה' נשים 0' והז' ששמנו למטה לשרש נכפול אותם ויהיו י"ד והעשרה נשים תחת הז' ונמחוק הז' והד' ננחם במקו' הנמשך שהוא תחת הב'
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{7-\left(1\times{\color{blue}{5}}\right)=7-5=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{22-\left(4\times{\color{blue}{5}}\right)=22-20=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{25-{\color{blue}{5}}^2=25-25=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$  0    2   0700 5625  745  1	ואח"כ תחת האות האחרת הנמשכת נשים מספר אחד שהוא ה' שכשיוכה בנכפל ובעצמו ימחוק או יבטל אותו שלמעלה באופן זה בהכות הה' באחד שהוא העשרה מהכפל יוליד ה' שכשיוסרו מאותו שלמעלה שהוא ז' ישארו ב' על ז' ואחר נכה הה' הנזכרים בד' ויהיו כ' שכשיוסרו משלמעלה שהוא כ"ב ישארו ב' על הב' ונכתוב 0' על הב' העליון שהיה במקום יוד לבית הנמשכת אח"כ נכה הה' בעצמה ויהיו לנו כ"ה שכשיוסרו משלמעלה שהוא כ"ה לא ישאר כלום ואז יהיה לנו שרש המספר ה"ז כמו שנראה זאת הצורה הראשונה ובעבור שלא נשאר כלום נכתוב 0"0 על ב' ועל ה' וזה מה שרצינו זו היא הצורה הראשונה

Chapter Two: Extracting Square Roots of Fractions or Fractions and Integers	הפרק השני במציאות שרשי המספרים בשברי' לבד או בשברים ושלמים יחד
	כבר ידעת שלא ימצא שרש לכל השברי' אלא לאותם שיולדו מהכאת שברים אחרים בעצמם ולכן נעיין בשברים שנרצה למצא שרשם אם מהם שיש להם שרש אם לא
	ואם יהיו מאותם שיש להם שרש נוציא השרש כמו בשלמים לא פחות ולא יתר
	וראוי שתדע שרש שיצא לך מהשברים אינו מסוג אותם השברים שבקשת שרשם אלא מסוג אחר
	המשל אם השברים שבקשת שרשם יהיו רביעיות השרש שלהם יהיה חציים
	ואם יהיו תשיעיות שרשם יהיה שלישיות
	ולעולם שרשי השברים יהיו יותר כמות במספר מהשברים שאין להם שרש
	כמי שמכה שלישית בעצמו שיוליד תשיעית שהוא מספר פחות מהשליש שהוא שרשו
	ולכן בתכונה ג' ראשונים לא יהיו שרש לט' ראשונים בעבור שהכאת הראשונים בעצמם עושה שניים שהם מסוג אחר
	ואם השברים שבקשנו שרשם לא יהיו מהשברים שיש להם שרש נחליפם לשברים אחרים שיהיו בעלי שרשים
	המשל שאם יהיו שלישיות שאין להם שרש אז נחליפם לתשיעיות שהם בעלי שרש
	וכן בתכונה אם יהיו ראשונים ורצינו לבקש שרשם נחליפם לשניים ואז נוציא שרשם
	ואם נרצה לדעת שרש השלמים והשברים יחד נחזיר השלמים לסוג השברים ואז נוציא שרשם וזהו מה שרצינו

Chapter Three: Short-Cuts for Finding Roots of Numbers	הפרק השלישי בנתינת דרך אחד כולל למצוא שרשי המספר על דרך תוספת הסיפראש
	ודע שיש דרך אחד כולל למצוא בו שרשי המספרים והוא זה והוא שנקח אי זה מספר שנרצה ונוסיף עליו ו' סיפראש או יותר בתנאי שיהיו זוגות כי כל מה שתוסיף בסיפראש יותר בנקלה תמצא השרשים היותר אמתיים ר"ל היותר קרובים למספרים אם לא יהיו בעלי שרשים או האמתיים אם יהיו בעלי שרשים ואחר שתוסיף הסיפראש תוציא השרש בדרך שאמרנו למעלה ואם לאחר הוצאת השרש ישאר אי זה דבר אז תדע שאין שרש אמתי לאותו המספר ואם לא ישאר דבר הנה שכבר נמצא שרשו ואחר תעיין כמה הבדלים יש בשרש שמצאת ואם יהיו יותר מחצי הסיפרא כל מה שיהיו יותר ר"ל מצד שמאל תקחהו בשם שלמים
	המשל שאם הנחת ו' 0' ובשרש שמצאת יהיו יותר מג' הבדלים שהוא חצי ו' 0' שהוא מניין הסיפראש כל מה שיהיה יותר תקח בשם שלמים כאמור והשאר שהוא ג' הבדלים הכהו ב0' והעולה מההכאה תעיין כמה הבדלים יש לו מלבד כמות חצי ה0' ומה שיהיה מלבד חצי ה0' יהיו ראשונים והנשאר נכהו פעם אחרת ב0 ותעיין באופן האמור למעלה ר"ל כמה שהוא יותר מחצי ה0 כלומ' כמה הבדלים שהם יותר מחצי ה0' וכל מה שיהיה יותר יהיו שניים ובדרך הזה תעשה עד שלא ישאר אלא חצי ה0 שהנחת ר"ל שבכל הכאה ישוה הנותר מההכאה פחות מהקודם לה אחת שאם ההכאה הקודמת לה היתה ראשונית שתהיה האחרת הנמשכת לה שניים וההכאה האחרת שלישיים וכן כסדר עד שלא ישארו אלא הג' סיפראש לבד
Example: we wisg to know the approximate possible root for two $\scriptstyle\sqrt{2}$	המשל נרצה לדעת השרש היותר קרוב שאפשר לשניים
	נניח ב' ונוסיף עליה וקודם לה ו' סיפראש
	א ג ו         ב א ז 0   א ב ד ב ט ב ד ב 0 0 0 0 0 0 א ב ד ח א ב ד     ב ב ח
	ונוציא קודם כל דבר השרש בדרך שאמרנו בפרק השרשים ונמצא ששרשם באותו הדרך הוא זה דאדא ומעט יותר
	ובעבור שיש בכאן ד' אותיות נקח האות הד' בשם שלם שהוא א' והאותיות האחרות שהם ככמות חצי ה0' נכם ב0' ויצא מההכאה 0דחדב
	ונקח השתי אותיות האחרונות שהם ב"ד שהם יותר מחצי ה0' ויהיו ראשונים והתת"מ שנשאר נכם ב0' ויצאו מההכאה 00ד0ה
	ונקח מ"ה שהוא יותר מחצי ה0 ויהיו נ' ואלה הנ' יהיו שניים והת' הנשארים נכם ב0' ויצאו מההכאה 000דב
	ונקח הכ"ד שהם יותר מחצי הסיפראש ויהיו שלישיות וישארו הג' סיפראש שהם חצי הסיפראש הראשונות שהוספנו בלבד
	ובדרך זה תעשה במספרים שתרצה עד שלא ישאר אלא חצי הסיפראש
	וא"כ בזה הפעל מצאנו שהשרש היותר קרוב למספר המכוון שהם ב' הוא שלם אחד וכ"ד ראשונים ונ' שניים וכ"ד שלישיים
	ודע כי כמו שלקחת בכאן בהכאות מניין הס' והם ראויים למספרי התכונה ר"ל בשם הראשונים או שניים או שלישיים כמו כן תוכל לקחת בהכאות הדומות לאלו מספר כ' או ל' או מה שתרצה וכמו שייחסנו השברים בכאן למספר הס' כמו כן נוכל ליחס אותם למספר הכ' או ל'ל' כפי המספר שתקח בהכאות או כפי המספר שתרצה וזה מה שרצינו

Chapter Four: Extracting and Approximation of Cubic Roots of Numbers	הפרק הרביעי בנתינת דרכים מישירים למציאות שרש המספרים המעוקבי' או היותר קרובים למספרים הבלתי מעוקבים
	ושרש מעוקב מאי זה מספר שיהיה הוא מספר אחד שכשיוכה במרובע ויוליד מספר אחר יקרא מספר מעקב
$\scriptstyle2^3=2\sdot2^2=2\sdot4=8\longrightarrow\sqrt[3]{8}=2$	כמו ב' שהם שרש מעקב של ח' בעבור שהכאת הב' במרובעם שהם ד' יולידו ח' שהוא מספר מעקב של ב'
$\scriptstyle3^3=3\sdot3^2=3\sdot9=27\longrightarrow\sqrt[3]{27}=3$	וכן ג' הם שרש מעקב כ"ז בעבור שהכאת ג' במרובעם שהוא ט' יוליד כ"ז שהוא מספר מעקב של ג'
$\scriptstyle10^3=10\sdot10^2=10\sdot100=1000\longrightarrow\sqrt[3]{1000}=10$	וכן אלף הוא מספר מעקב של יו"ד כי הוא נולד בהכאת י' במרובעם שהוא ק' וכן מן האחרים
The cubic square of the units should be memorized	ודע ששרש מעקב לא ימצא בזאת התחבולה שנאמ' אם לא שיהיה יותר מתשעה [ר"ל השרש] וכל אותם שהם פחותים מי' צריך שיודעו על פה בהכרח אם כן אתה לא תוכל למצא שרש מספר בתחבולה אם לא שיהיה מאלף ומעלה
	ולהבין השרש הזה הוא הכרחי לדעת מה הם המדרגות שיש להם שרש מעקב
	וצריך שתדע שאין לכל המדרגות שרש אלא לאותם שיולדו מהכאה מעוקבת
units - have cubic roots	כי המדרגה הראשונה מהמספר שהוא מדרגת האחדות יש לו שרש מעקב כי האחד מוכה בעצמו באופן מעוקב יוליד אחד שהוא מספר מעוקב
tens - no cubic roots	והמדרגה השנית שהיא מדרגת העשרות אין לה שרש מעקב כי לא ימצא מספר אחר שמוכה בעצמו באופן מעקב יוליד עשרה
hundreds - no cubic roots	והמדרגה השלישית שהיא מדרגת המאות אין לה שרש מעוקב כי לא ימצא מספר אחר שמוכה בעצמו יולידהו
thousands - have cubic roots	אבל המדרגה הד' שהיא מדרגת האלפים יש לה שרש כי יולד מההכאה המעקבת מהעשרה
tens of thousands - no cubic roots	והמדרגה הה' שהיא עשרת אלפים אין לה שרש מעקב לסבה הנזכרת
hundreds of thousands - no cubic roots	והמדרגה הו' שהיא מאת אלפים אין לה ג"כ שורש מעוקב וסבה הנזכרת
thousands of thousands - have cubic roots	והמדרגה הז' שהיא אלף אלפים יש לה שרש מעוקב כי יולד מההכאה המעוקבת מהמאה
the first rank and the ranks that are a product of thousand (every fourth rank) have square roots; in other ranks there are no square roots	וכן ראוי שיובן בכל המספרים האחדים והוא שלא ימצא שרש מעקב אלא במדרגת האחדים והאלפים
Written calculations
	ואחר שידעת כל זה אם תרצה להוציא זה השרש נכתוב המספר שנרצה בין שיהיה אלף או יותר מאלפים ונרשום האותיות העושות האלפים בשנתחיל מהאחדים
	ודע שהאותיות המורות השרש הם האחדים והאלפים ואלף אלפים ואלף אלפי אלפים ואלף אלפי אלפי אלפים וכן כסדר הזה כלומ' כל האלפים בדרך הזה ר"ל האחדים והאות הד' לה כשימנה עמה והאות הז' והי' והי"ג והי"ו והי"ט והכ"ב והכ"ה וכן מהדומות ארבעה כי אלו הם המורות על בעלה השרש המעוקב
	ואחר ידיעת אלו האותיות המורות אלפים נתחיל לעקב ר"ל לבקש השרש המעוקב מהאות האחרונה מהמורות אלפים בשנכתוב תחתיה אות אחת שכשיוכה בעצמו באופן מעוקב יעשה מספר שוה לאותה שלמעלה הימינה או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא אם לא ימצא שוה ונחסרהו משלמעלה ממנו
	והאות הזאת תקרא תחת המשולשת ואח"כ נשלשה ר"ל שנרצה אותה יותר ממה שהיה ג' פעמים
	המשל אם יהיו ב' נחזירם ז' ונכתוב אותם במקום שלשי אליה ר"ל לתחת המשלשת לצד הימין והתחת המשלשת נסיעה אות אחת לאחור ונרשום הראשונה
	ובמקום הסמוך למשלשת אחריה נכתוב אות אחרת ויקרא אות נמצאת שכשיוכה במשולשת ובתחת משלשת ובעצמה באופן מעקב יוליד מספר שוה או היותר קרוב שאפשר למספר שעליהם ונחסרם ממה שלמעלה מהם
	ואם הטור יהיה יותר באותיות נשלש האות הנמצאת והמשלשת שלה נכתוב במקום השלשי לה בדרך המוזכר שלמעלה והיא ר"ל הנמצאת נרשום אותה ונסיעה אות אחת לאחור והמשולשות האחרות והתחת משולשות נסיעם כל אחת לאחור אות אחת ונרשום הראשונות ונבקש אות אחרת נמצאת שמוכה בכל המשלשות והתחת משלשות ובעצמה באופן מעוקב יוליד מספר שוה או היותר קרוב שאפשר לשלמעלה מהם ונחסרהו מהם וזה הדרך יהיה לנו תמיד ואם ירבו האותיות מאד מאד
	וצריך שתדע שאם המשלשת תהיה ב' אותיות ר"ל אחדים ועשרות האחדים נכתוב כנזכר ר"ל במקום והעשרות נכתוב במקום השלישי לאחדים מצד שמאל אליה שהוא מקום רשימת התחת משלשת וכן לעולם
	ודע שכל אות נמצאת בשתפעול פעולתה ויהיו יותר אותיות תחזור היא תחת משלשת
Example: we wish to know the cube root of 12162. $\scriptstyle\sqrt[3]{12167}$	המשל נרצה לדעת השרש המעקב של י"ב אלף וקס"ב
This is its diagram:	וזו היא צורתו
	0 0 0   0 ד ה ב 0 א ב א ו ז   ב ב ו ג
	ולפי מה שאמרנו למעלה לא ימצא בזה המספר אלא שני מקומות בעלי שרשים מעקבים והם האחדים והאלפים ונתחיל במקום האלפים שהוא ב' וא' עמה והוא המקום האחרון המעוקב מזה המספר ונכתוב ב' תחתיו בעבור שלא ‫נמצא מספר יותר קרוב לב"א [לי"ב]‫ שיקבל הכאה מעוקבת אלא ב‫'
So, we multiply 2 by itself cubically; it yields 8. $\scriptstyle{\color{blue}{2^3=8}}$	אם כן נכה ב' בעצמם באופן מעוקב ויוליד ח‫'
We subtract it from 12; 4 remains above 2 and we write zero above 1. $\scriptstyle{\color{blue}{12-8=4}}$	ונחסרם מי"ב וישארו ד' על ב' ונכתוב ספרא על א‫'
	ואחר נשלש הב' ויהיו ו' ונכתוב אותה תחת האות השלישית לב' שהיא תחת הו' העליונה ונרשום הב' ונסיעה אות אחת לאחור ונשימה אצל המשולשת ובמקום שהיתה שלישית אליה חזרה שניה אליה מצד שמאל
	ואחר המשולשת נכתוב ג' שמוכת במשולשת שהיא ו' יוליד י"ח ואלו הי"ח נכם בתחת משולשת שהיא ב' ויהיו ל"ו
We subtract it from the 41 that is above the 2; 5 remains above the 1 and zero above the 4. $\scriptstyle{\color{blue}{41-36=05}}$	ונחסרם ממ"א שהם על הב' וישארו ה' על הא' וספרא על הד‫'
Then, we multiply the mentioned 3, which is the present digit, by the tripled, which is 6; it yields 18. We multiply it by 3; it yields 54. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(3\sdot6\right)=3\sdot18=54}}$	ואחר נכה הג' הנזכרת שהיא האות הנמצאת במשולשת שהיא ו' ויוליד י"ח וכל זה נכה בג' ויוליד נ"ד
We subtract it from the digits [that are above], which are 56; 2 remains above the 6 and zero above the 5. $\scriptstyle{\color{blue}{56-54=02}}$	ונחסרם מהמספרי' שהוא נ"ו וישארו ב' על הו' וספרא על הה‫'
Then, we multiply the mentioned 3 by itself cubically; it yields 27. $\scriptstyle{\color{blue}{3^3=27}}$	ואחר נכה הג' הנזכרת בעצמה באופן מעוקב ויוליד כ"ז
We subtract it from what is above it, which is 27; nothing remains. $\scriptstyle{\color{blue}{27-27=0}}$	ונחסרם ממה שלמעלה מהם [שהם] כ"ז ולא ישאר מאומה
So, we write zero above the 2 and above the 7.	ולכן נכתוב ספרא על ב' ועל ז‫'
Therefore, we know that this number is a [perfect] cube and its root is 23.	וא"כ ידענו שהמספר הזה הוא מעוקב ושורשו כ"ג

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{12-{\color{blue}{2}}^3=12-8=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3\times2=}}{\color{blue}{6}}\\\end{align}}$	​	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{41-\left(2\times6\times{\color{blue}{3}}\right)=41-\left(2\sdot18\right)=41-36=}}{\color{green}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{56-\left(3\times6\times{\color{blue}{3}}\right)=56-\left(3\sdot18\right)=56-54=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{27-{\color{blue}{3}}^3=27-27=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	000
​		04		04520
12167		12167		12167
2		226		2263

$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{the\ result\ \sqrt[3]{12167}=23}}$

Another example that occurs in a different way: assuming that we wish to know the cube root of 571787. $\scriptstyle\sqrt[3]{571787}$	ומשל אחר אם יקרה באופן אחר נניח שנרצה לדעת השרש המעוקב מת"ק ע"א אלף ותשפ"ז
This is its diagram:	וזאת היא צורתו
	0 0         א א 0 0   0 ה ט ג ב 0 ה ז א ז ח ז     ח ח ד ג     ב
Since only two ranks that have cube roots are found in this diagram, we start from the last, which is 1.	ובעבור שבזאת הצורה לא ימצא אלא ב' מקומות בעלי שרש נתחיל באחרון שהוא א‫'
We write beneath it a number, such that when it is multiplied by itself cubically, it yields a number that is as close to it as possible, which is 8, as there is no closer number there.	ונכתוב תחתיו מספר אחד שמוכה בעצמו באופן מעוקב יוליד מספר היותר קרוב אליו והוא ח' שאין שם מספר יותר קרוב
Because when it is multiplied by itself cubically it yields 512. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot8=24}}$	בעבור שמוכה בעצמו באופן מעוקב יעשה תקי"ב
We subtract it from 571 that is above the 8; 59 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{571-512=59}}$	ונחסרם מת"ק ע"א שהם על הח' וישארו נ"ט
We write the 9 above the 1 and the 6 above the 7.	הט' נכתוב ‫על הא' והה' על הז‫'
We triple the 8; it is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot8=24}}$	ונשלש הח' ויהיו כ"ד
We write the 4 in the [rank] that is third from the 8 that is beneath the tripled.	ונכתוב הד' באות השלישית לח' שהיא תחת משולשת
We write the twenty that is indicated by 2 beneath the 8 that we wrote below at first.	והעשרים הנרמזים בב' נכתוב תחת הח' שכתבנו למטה בראשונה
We shift the 8 one rank backwards and write it.	ונרשום אותה ר"ל הח' ונסיעה לאחור מדרגה אחת
There are three digits below: 2 beneath the upper 9; 8 beneath the 7; and 4 beneath the 8.	ויהיו למטה ג' אותיות הב' למטה כנגד הט' העליונה והח' תחת הז' והד' תחת הח‫'
We write also after the 4 a new digit that is called the present digit, such that when it is multiplied by the three bottom [digits] and by itself cubically, it yields a number that is equal to all the upper digits, or as close as possible. No number that is more suitable for this than 3 is found, so we write 3 beneath the 7 in the first rank.	ונכתוב עוד אחר הד' אות חדשה וא ויקרא אות נמצאת ויהיה רביעית שישוה כל כך שכשיוכה על הג' התחתונות ובעצמה באופן מעוקב יוליד מספר שוה לכל האותיות העליונות או היותר קרוב שאיפשר ולא ימצא אות יותר ראויה לזה מהג' ולכן נכתוב ג' תחת הז' במדרגה הראשונה
The multiplication procedure is as follows:	ודרך ההכאות יהיה זה
We multiply the 3 that we wrote by the digit that is worth 20, which is 2; the result is 6. We multiply this 6 by the tripled, which is 8; the result is 48. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\left(3\sdot2\right)=8\sdot6=48}}$	נכה הג' שכתבנו באות השוה כ' שהיא ב' ויעלו ו' ואלה הו' נכה במשולשת שהיא ח' ויעלו מ"ח
We subtract the 48 from the digits that are above the 2, which are 59; 11 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{59-48=11}}$	ואלו המ"ח נחסרם מהאותיות שעל הב' שהם נ"ט וישארו י"א
We multiply the 3 for the second time by 4, which is the digit of the units of the first tripled above the 8; the result is 12. We multiply it by 8; the result is 96. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\left(3\sdot4\right)=8\sdot12=96}}$	ונחזור ונכה הג' פעם שנית על הד' שהיא אות האחדות מהשלוש הראשון על הח' ויעלה י"ב ואלו הי"ב נכה על הח' ויעלה צ"ו
We multiply the mentioned 3 by the mentioned 2; the result is 6. We multiply this 6 again by 3; it is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(3\sdot2\right)=3\sdot6=18}}$	ואחר כך נכה הג' הנזכרת בב' הנזכרת ויעלה ו' ונחזור ונכה אלה הו' על הג' ויהיו י"ח
This 18 with the 96 is 114. We subtract the 114 from the upper digits that are above the 8, which are 117. When we subtract 114 from them, 3 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{117-\left(18+96\right)=117-114=3}}$	ואלו הי"ח עם הצ"ו יעלו קי"ד ואלו הקי"ד נחסרם מהג' אותיות העליונות שעל הח' שהם קי"ז וכשנחסר מהם קי"ד ישארו ג‫'
We write 3 above the 7 and we write zero above each of the ones.	‫[ונכתוב הג' על הז' ונכתוב סיפרא על כל אחת מהב' אלפים‫]‫
We multiply the 3 for the third time by 4, which is the units of the tripled; it yields 12. We multiply it by 3 itself; the result is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(3\sdot4\right)=3\sdot12=36}}$	ונכה הג' פעם שלישי על הד' שהיא האחדות מהמשולשת ויוליד י"ב ואלו נכה בג' בעצמם ויעלו ל"ו
We subtract it from the digits that are above the 4, which are 38; 2 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{38-36=2}}$	ונחסרם מהאותיות שעל הד' שהם ל"ח וישארו ב‫'
We write it above the 8; and we write zero above the 3.	ונכתוב אותם על הח' ‫העליונה ונכתוב ספרא על הג‫'
We multiply the 3 for the fourth time by itself cubically; the result is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{3^3=27}}$	ופעם ד' נכה הג' בעצמה באופן מעוקב ויעלה כ"ז
We subtract it from the digits that are above the 3, which are 27; nothing remains. $\scriptstyle{\color{blue}{27-27=0}}$	ונחסרם מהאותיות שעל הג' שהם כ"ז ולא ישאר דבר
Therefore, nothing remains after the extraction of this root, so it is deduced that this number is a perfect cube and its root is 83.	וא"כ לא נשאר דבר אחר הוצאת השרש הזה יראה המספר הזה הוא מעוקב שלם ושורשו הוא פ"ג

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{571-{\color{blue}{8}}^3=571-512=}}{\color{green}{59}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3\times8=}}{\color{blue}{24}}\\\end{align}}$	​	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{59-\left(8\times2\times{\color{blue}{3}}\right)=59-\left(8\sdot6\right)=59-48=}}{\color{green}{11}}\\&\scriptstyle{\color{red}{117-\left[\left(8\times4\times{\color{blue}{3}}\right)+\left(3\times2\times{\color{blue}{3}}\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{117-\left[\left(8\sdot12\right)+\left(3\sdot6\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{117-\left(96+18\right)=117-114=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{38-\left(3\times4\times{\color{blue}{3}}\right)=38-\left(3\sdot12\right)=38-36=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{27-{\color{blue}{3}}^3=27-27=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	00
		​		1100
		059		059320
571787		571787		571787
8		884		8843
		2		2

$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{the\ result\ \sqrt[3]{571787}=83}}$

In order to expand the explanation, we give another example and here is its diagram: $\scriptstyle\sqrt[3]{12812904}$	וכדי להוסיף ביאור נעשה משל אחר והנה לך צורתו
	0               ב             א ו 0         א ו ד א 0 0   0 ד ב ז ה ה ו 0 א ב ח א ב ט 0 ד   ב ב ו ג ג ט ד       ב ו
According to what we have said, there are three ranks in this number that have cube roots: the first is the rank of the units, the second is the rank of the thousands, and the third is the rank of the thousands of thousands.	ולפי מה שאמרנו יש במספר הזה שלש מקומות בעלי שרשים מעוקבי' הראשון הוא מקום האחדות והשני מקום האלפי' והשלישי מקום האלף אלפי‫'
Since one should always begin from the last rank, we start from the 2 that is in the rank of the thousands of thousands and it is the last rank.	ובעבור שלעולם צריך להתחיל במקום האחרון א"כ נתחיל מהב' שהוא מקום האלף אלפי' ומקום אחרון
We write 2 beneath it, because no other number is found, such that when it is multiplied by itself cubically it closer than 2 to 12 that is above the 2.	ונכתוב תחתיה ב' כי לא ימצא מספר אחר שמוכה בעצמו באופן מעוקב יהיה יותר כולל [קרוב]‫ לי"ב שהם על הב' מב‫'
So, we multiply the 2 cubically; it yields 8. $\scriptstyle{\color{blue}{2^3=8}}$	ולכן נכה הב' באופן מעוקב ויוליד ח‫'
We subtract it from 12; 4 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{12-8=4}}$	ונחסרם מי"ב וישארו ד‫'
We write it above the 2 that is in last rank of the upper line; and we write zero above the 1.	ונכתוב אותם על הב' שבטור העליון שהוא המקום האחרון ונכתוב ספרא על הא‫'
Then, we triple the 2; it is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2=6}}$	ונשלש הב' ויהיה ו‫'
We write it beneath the digit that is third from the 2 that is beneath the upper 1.	ונכתוב אותה תחת האות השלישי של הב' שהיא תחת הא' העליונה
We shift the bottom 2 one rank backwards as stated above, and write the 2 first at the bottom.	ונסיע הב' התחתונה מדרגה אחת לאחור כאמור למעלה ונרשום הב' הראשונה התחתונה
Then, we write another digit above the 6 that is the tripled digit, such that when it is multiplied by 6 that is the tripled and by 2 that is beneath the tripled and by itself cubically, it yields a number that is equal to all the upper digits that are above them, or as close as possible. Since no number closer than 3 is found, we write 3 above the 6.	ואחר כך נכתוב אות אחת אצל הו' שהיא האות המשולשת באופן שכשיוכה בו' שהוא המשולשת ובב' שהיא תחת המשולשת ובעצמה באופן מעוקב יוליד מספר שוה לכל האותיות העליונות שעליהן או היותר קרוב שאפשר ובעבור שלא ימצא מספר יותר קרוב מג' נכתוב ג' אצל הו‫'
We multiply in this way: We multiply the 3 by the first tripled, which is 6; it is 18. We multiply it by the 2 that is next to it, beneath the tripled; it is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(3\sdot6\right)=2\sdot18=36}}$	ואחר כך נעשה ההכאות בדרך זה שנכה הג' באות המשולשת שהיא ו' ויהיו י"ח ואלו הי"ח נכם על הב' שבצדה והיא התחת משולשת ויהיו ל"ו
We subtract it from the digits that are above the 2, which are 48; 12 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{48-36=12}}$	ונחסרם ‫מהאותיות שעל הב' שהם מ"ח וישארו י"ב
We write 2 above the 8; and 1 above the 4.	ונכתוב ב' על ח' וא' על ד‫'
We multiply the 3 again by 6; it is 18. We multiply it by 3 itself, which is the present digit; it is 54. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(3\sdot6\right)=3\sdot18=54}}$	ונחזור ונכה הג' על הו' ויהיו י"ח ואלו הי"ח נכם בג' עצמו שהיא האות הנמצאת ויהיו נ"ד
We subtract it from the digits that are above the 6, which are 121; 67 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{121-54=67}}$	ואלו נחסרם מהאותיות שעל הו' שהם קכ"א וישארו ס"ז
We write 7 above the 1; 6 above the 2; and 0 above the 1.	ונכתוב ז' על א' וו' על ב' ו0' על הא‫'
We multiply the 3 again by itself cubically; it yields 27. $\scriptstyle{\color{blue}{3^3=27}}$	ונחזור ונכה הג' בעצמו באופן מעוקב ויוליד כ"ז
We subtract it from the digits that are above it; 5 remains above the 2 and 4 above the 7. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{72-27=45}}$	ונחסרם מהאותיות שעליה וישארו ה' על הב' וד' על הז‫'
Then, we triple the 3; it is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3=9}}$	ואח' כך נשלש הג' ויהיה ט‫'
We write it in the third rank from it, which is beneath the 0.	ונכתוב אותם במקום השלישי אליה שהוא תחת ה0‫'
We shift the tripled, which is 3, and write it in the next rank, so it is placed beneath the upper 9.	והמשולשת שהיא ג' נרשום אותה ונסיעה למקום הסמוך אליה ויעמוד תחת הט' העליונה
We shift the 6 also, and write it [next], so it is placed beneath the upper 5.	וג"כ הו' נרשום אותה ונסיעה אות אחת אצלה ויעמוד תחת הה' העליונה
We shift the 2 also, and write it in the next rank, so it is placed beneath the upper 4.	והב' ג"כ נסיעה למקום הסמוך אליה ויעמוד תחת הד' העליונה

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{12-{\color{blue}{2}}^3=12-8=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3\times2=}}{\color{blue}{6}}\\\end{align}}$	​	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{48-\left(2\times6\times{\color{blue}{3}}\right)=48-\left(2\sdot18\right)=48-36=}}{\color{green}{12}}\\&\scriptstyle{\color{red}{121-\left(3\times6\times{\color{blue}{3}}\right)=121-\left(3\sdot18\right)=121-54=}}{\color{green}{67}}\\&\scriptstyle{\color{red}{72-{\color{blue}{3}}^3=72-27=}}{\color{green}{45}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3\times3=}}{\color{blue}{9}}\\\end{align}}$	0
		​		164
		04		04275
12812904		12812904		12812904
2		226		226339
		​		26

Then, we write another digit, such that when it is multiplied by the four bottom digits and by itself cubically, it yields a number that is equal to all the upper digits or as close as possible. Since no number closer than 4 is found, we write 4.	ואח"כ נכתוב עוד אות אחת שכשיוכה באותיות הד' התחתונות ובעצמה באופן מעוקב יולידו מספר שוה לכל האותיות שלמעלה או פחות היותר קרוב שאיפשר שימצא ובעבור שלא ימצא מספר יותר קרוב לד' נכתוב ד‫'
We multiply in this way: We multiply the 4, which is the present digit, by the 6, which is first tripled; the result is 24. We multiply it by 2; it is 48. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(4\sdot6\right)=2\sdot24=48}}$	ונעשה ההכאות בדרך זה שנכה הד' שהיא האות הנמצאת על הו' שהיא המשולשת הר[א]שונה ויעלה כ"ד ואלו נכם בב' ויעשה מ"ח
We subtract it from the digits that are above the 2, which are 64; 16 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{64-48=16}}$	ואלו נחסרם מהאותיות שעל הב' שהם ס"ד וישארו י"ו
We write 6 above the 4; and 1 above the 6.	ונכתוב ו' על הד' וא' על ו‫'
We multiply the mentioned 4 for the second time by the first tripled, which 6; the result is 24. We multiply it by 3 that is beneath the second tripled, which is 9; it is 72. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(4\sdot6\right)=3\sdot24=72}}$	ופעם שנית נכה הד' הנזכרת במשולשת הראשונה שהיא ו' ויעלה כ"ד ואלו נכם בג' שהיא תחת משולשת השנית שהיא תחת ט' ויהיו ע"ב
We multiply the 4 for the third time by 9; the result is 36. We multiply it by 2; it is 72. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(4\sdot9\right)=2\sdot36=72}}$	ופעם שלשית נכה הד' על הט' ויעלה ל"ו ונכם בב' ויהיו ע"ב
With the 72 above; it is 144. We subtract it from the digits that are above the 6, which is the first tripled, that are 165; 21 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{165-\left(72+72\right)=165-144=21}}$	ואלו עם הע"ב שלמעלה יהיו קמ"ד ונחסרם מהאותיות שהם על הו' ‫שהיא המשולשת הראשונה שהם קס"ה וישארו כ"א
We write 1 above the 5; the twenty, which is 2, above the 6; and 0 above the 1.	והא' נכתוב על הה' והעשרים שהם על ב' שהוא ב' על ו' ו0' על הא‫'
We multiply the 4 for the fourth time by 6, which is the first tripled; it is 24. We multiply it by 4 itself; it is 96. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(4\sdot6\right)=4\sdot24=96}}$	ופעם ד' נכה הד' על הו' שהיא המשולשת הראשונה ויהיו כ"ד ואלו נכם על ד' עצמם ויהיו צ"ו
We multiply the 4 for the fifth time by 9, which is the second tripled; it is 36. We multiply it by 3 that is beneath the second tripled; it yields 108. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(4\sdot9\right)=3\sdot36=108}}$	ופעם חמישית נכה הד' על הט' שהיא המשולשת השנית ויהיו ל"ו ואלו נכם בג' שהיא התחת משולשת השנית ויוליד ק"ח
We sum it with 96; it is 204. We subtract it from the digits that are above the 3, which are 219; 15 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{219-\left(108+96\right)=219-204=15}}$	ונחברם עם צ"ו ויהיו ר"ד ונחסרם מהאותיות שהם על הג' שהם רי"ט וישאר ט"ו
We multiply the mentioned 4 for the sixth time by the second tripled, which is 9; the result is 36. We multiply it by 4 itself; it yields 144. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(4\sdot9\right)=4\sdot36=144}}$	ופעם שנית [שישית]‫ נכה הד' הנזכרת במשולשת השנית שהם ט' ויעלה ל"ו ואלו נכם בד' בעצמה ויעשה קמ"ד
We subtract it from the digits that are above it, which are 150; 6 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{150-144=6}}$	ונחסרם מהאותיות שעליו שהם ק"נ וישארו ו‫'
We write it above the 0; and 0 above the 5; and 0 above the 1.	ונכתוב אותם על ה0' ונכתוב 0' על הה' ו0' על הא‫'
We multiply the mentioned 4 for the seventh and last time by itself cubically; it is 64. $\scriptstyle{\color{blue}{4^3=64}}$	ופעם ז' ואחרונה נכה הד' הנזכרת בעצמה באופן מעוקב ויש ויעשה ס"ד
We subtract it from the digits that are above it that are 64; nothing remains. $\scriptstyle{\color{blue}{64-64=0}}$	ונחסרם מהאותיות שעליה שהם ס"ד ולא ישאר דבר
So, we write zero above the upper 4 and above the upper 6.	ולכן נכתוב ספרא על הד' העליונה ועל הו' העליונה
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{64-\left(2\times6\times{\color{blue}{4}}\right)=64-\left(2\sdot24\right)=64-48=}}{\color{green}{16}}\\&\scriptstyle{\color{red}{165-\left[\left(3\times6\times{\color{blue}{4}}\right)+\left(2\times9\times{\color{blue}{4}}\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{165-\left[\left(3\sdot24\right)+\left(2\sdot36\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{165-\left(72+72\right)=165-144=}}{\color{green}{21}}\\&\scriptstyle{\color{red}{219-\left[\left(4\times6\times{\color{blue}{4}}\right)+\left(3\times9\times{\color{blue}{4}}\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{219-\left[\left(4\sdot24\right)+\left(3\sdot36\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{219-\left(96+108\right)=219-204=}}{\color{green}{15}}\\&\scriptstyle{\color{red}{150-\left(4\times9\times{\color{blue}{4}}\right)=150-\left(4\sdot36\right)=150-144=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{64-{\color{blue}{4}}^3=64-64=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$    0       02      0160     164100  04275560 12812904  2263394      26    $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{the\ result\ \sqrt[3]{12812904}=234}}$
Since nothing remains, we call it a cube and its root is 234.	ובעבור שלא נשאר שום דבר לכן נקראהו מעוקב ושורשו רל"ד
Check: cubing
The proof of this is that we multiply the root by itself cubically and it yields the original number. Q.E.D.	והמופת לזה שנכה השרש בעצמו באופן מעוקב ויוליד המספר הראשון וזהו מה שרצינו

Book Two: Proportions	המאמר השני
	ויתחלק לב' כללים
Section One: Proportions	הכלל הא' נדבר בו בדרכים ויחסים כוללים בזאת המלאכה
	ויתחלק לשבעה פרקים
Chapter One: Proportions of Integers	הפרק הא' ביחסי המספרים השלמים
	ואחר שדברנו מו' מיני מספר השלמים ומו' מיני השברים שהם כוללים לכל מה שיצטרך במלאכת המספר ובדרכים מישירים למציאות שרשי המספרי' המרובעים והמעוקבים עתה נדבר מיחסים ודרכים כוללים ושאלות ותשובות בעיון ובמעשה המלאכה הזאת
	וראשונה נדבר מדרכי היחוסים
$\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4$	אם נרצה לדעת שאם כך ישוו כך כמה ישוו כך
$\scriptstyle2:3=5:X$	המשל אם שנים שווים שלשה כמה ישוו ה'
	נסדר אותם ככה
$\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}$	ונעשה בדרך זה שנכה המספר האמצעי בשלשי והיוצא נחלקהו בראשון והיוצא לחלק כך הוא שווי השלשי
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{3\sdot5}{2}=\frac{15}{2}=7+\frac{1}{2}}}$	המשל שאם הכינו ג' שהוא המספר האמצעי בה' שהוא המספר השלשי ויצאו ט"ו נחלקם בב' שהוא המספר הראשון ויצאו לחלק ז' וחצי וזהו שווי המספר השלשי שהוא ה'
Check: $\scriptstyle5:\left(7+\frac{1}{2}\right)=2:X$	והמופת נניח ג' מספרים בדרך זה ונאמ' אם ה' שוים ז' וחצי כמה שוים שנים
	ואלו נסדרם כמו שסדרנו הראשונים
	ואם יצא המספר האמצעי שהוא ג' ביחס הראשון הראשון היה אמתי ואם לא אינו אמתי
	המשל אם ה' ז' וחצי ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)}{5}=\frac{15}{5}=3}}$	ועתה נכה ז' וחצי בב' ויעלה ט"ו ונחלקם בב' הראשון שהוא ויבאו מהחלוקה שלשה שהם המספר האמצעי ביחס הראשון וא"כ הראשון היה אמתי
$\scriptstyle2:3=5:\left(7+\frac{1}{2}\right)$	ולכן נוכל לומ' אם ב' שוים ג' ה' שוים ז' וחצי וזה מה שרצינו
	וזה הדרך מספיק בשלמים לבד האמנם בשברים דרך אחר כמו שיראה בפרק הנמשך לזה

Chapter Two: Proportions of Fractions – finding the common denominator	הפרק השני בדרכים מישירים במציאות יחסי המספרים השברים
	האמנם בשברים צריך לדעת שני דברים והם מציאות המחלק ומציאות המחולק ומציאות המחלק יודע בדרך זה שנעיין המספר הראשון מהשלשה שאמרנו כי לא ימנע מאחד מאלו הה' דרכים הראשון אם שיהיה הראשון שבר לבד והאחרים שלמים הג' או הראשון שבר ושלם יחד ואחדים או בא זה מהם שבר הד' או הראשון שבר ושלם יחד והאחרים שלמים הה' או הראשון שלם ובאחד מהאחרים או בשניהם שבר וראשונה מהראשון
$\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(7+\frac{4}{9}\right)=\frac{4}{13}:X$	המשל אם נרצה לדעת אם ב' שלישיות שוים ז' שלמים וד' תשיעיות כמה שוים ד' שלשה עשריות
	והנה לך צורתם
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot9\right)\sdot13=18\sdot13=234}}$	וראשונה נוציא המחלק שנכה הב' שהיא על ג' בט' שהיא תחת הד' ויעלו י"ח וכל זה נכה על י"ג שהוא תחת ד' ויעלה רלד וזהו המחלק
$\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:X$	ומשל אחר לזה המין אם שני שלישיות שוות ד' וחצי כמה שוים ו‫'
	והנה לך צורתו
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4}}$	ונעשה המחלק כך נכה הב' שעל הג' על ב' שהיא תחת א' ויהיו ד' וזהו המחלק
	הדרך השני או יהיה הראשון שבר לבד והאחרים שלמים
$\scriptstyle\frac{2}{3}:8=9:X$	המשל אם שני שלישיות שוות ח' כמה שווים ט‫'
	והנה לך צורתו
	וימצא המחלק כך שנקח הב' שהיא על הג' כי הוא לבד המחלק בעבור שלא נצטרך במחלק בזה המין למספרים האחדים ר"ל הב' האחרונים אלא כשיהיה באחד מהם או בשניהם שבר או שברים
	הדרך הג' או יהיה הראשון שבר ושלם יחד ובאחד מהאחרים אי זה שיהיה או בשניהם שבר לבד או שבר ושלם יחד
$\scriptstyle\left(5+\frac{2}{3}\right):\left(6+\frac{3}{4}\right)=\left(8+\frac{5}{12}\right):X$	המשל אם ה' וב' שלשיות שוות ו' וג' רביעיות כמה שוים ח' וה' שנים עשריות
	וזו צורתו
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(5\sdot3\right)+2\right]\sdot4\right]\sdot12=\left[\left(15+2\right)\sdot4\right]\sdot12=\left(17\sdot4\right)\sdot12=68\sdot12=816}}$	ולמצוא המחלק נכה ה' על ג' שתחת ב' מצדה ויעלה ט"ו ונוסיף הב' שעל הג' ויעלו י"ז ואלו נכם בד' שהיא תחת ג' של מספר ב' ויעלו ס"ח ואלו נכם בי"ב שהם תחת ה' שהוא המספר הג' ויעלו תתי"ו וזהו המחלק
	וצריך שתדע שהי"ז שעלו הכאת ה' בג' מצדה והוספת הב' שעל הג' ואח"כ הכינו אותם בד' שתחת הג' של מספר שני ועלו ס"ח שאם לא היה עוד שבר במספר הג' זה לבדו ר"ל הס"ח היה המחלק
	וכן הוא הדין אם השבר יהיה במספר השלשי ולא יהיה במספר השני
	הדרך הד' או הראשון שבר ושלם יחד והאחרים שלמים
$\scriptstyle\left(5+\frac{2}{7}\right):4=20:X$	המשל אם ה' וב' שביעיות שוות ד' כמה שוים עשרים
	וזו היא צורתו
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot7\right)+2=35+2=37}}$	ונמצא המחלק כך נכה הה' בז' מצדה שהיא תחת הב' ויעלו ל"ה ונוסיף הב' שעל הז' ויהיו ל"ז וזהו המחלק ובעבור שהשני מספרים האחרים הם שלמים אינם מצטרכים במחלק כאמור
	הדרך הה' או הראשון שלם ובאחד מהאחרים או בשתיהם שבר לבד או שבר ושלם
$\scriptstyle20:\left(15+\frac{5}{37}\right)=\left(5+\frac{2}{7}\right):X$	המשל אם כ' שוים ט"ו וה' חלקים מל"ז כמה שוים ה' וב' שביעיות
	וזאת היא צורתו
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20\sdot37\right)\sdot7=740\sdot7=5180}}$	ונוציא המחלק כך נכה הראשון שהוא הכ' השלמים בל"ז שתחת הה' מהמספר השני ויעלו תש"מ ואלו נכם על ז' שתחת ב' של ‫מספר שלישי ויעלה ה' אלפי' וק"ף וזהו המחלק
	ואם לא יהיה שבר אלא באחד מהמספרי' האחרי' נכה הראשון השלם באותו השבר שתחת הקו והוא יהיה המחלק
	וזה יספיק במה שהוא המחלק ועתה נדבר במחולק

Chapter Three: On Guiding Ways to Find the Numerator in the Proportions of Fractions	הפרק השלישי בדרכי' מיישירי' למציאות המחולק ביחסי השברי‫'
You should know that the numerator is received in one of six ways:	וצריך שתדע שהמחולק יקרה באחד מששה דרכי‫'
1) Either each of the two last numbers is a fraction alone.	הדרך הא' אם שכל אחד משני המספרי' האחרוני' יהיה שבר לבד
2) Or the two numbers are integers.	והשני או השני מספרי' יהיו שלמי‫'
3) Or each of the two numbers is an integer and fraction together.	והשלישי או שכל אחד משני המספרי' יהיה שלם ושבר ביחד
4) Or one of the two numbers is an integer and fraction together and the other is a fraction alone.	והרביעי או אחד מהשני מספרי' יהיה שלם ושבר ביחד והאחר שבר לבד
5) Or one of them is an integer and fraction together and the other is an integer.	והחמישי או אחד מהם שלם ושבר יחד והאחר שלם
6) Or one is an integer and the other is a fraction.	והו' או האחד יהיה שלם והאחר שבר
	וראשונה מהדרך הראשון
Example: if 2-thirds are equal 4-ninths, to how much are 4 parts of 13 equal? $\scriptstyle\frac{2}{3}:\frac{4}{9}=\frac{4}{13}:X$	המשל אם ב' שלישיות שוות ד' תשיעיות כמה שוים ד' חלקי' מי"ג
	והנה לך צורתו
	ונבקש המחולק כך בזה המין שנכה המספר שהוא על הקו של האחד מאחרונים על המספר שהוא על קו המספר האחר וזאת ההכאה נשמור אותה ונכה אותו עוד במספר שתחת קו המספר הראשון וזהו המחולק
	ואם המספר הראשון יהיה שלם לבד אז יהיה המחולק מה שעלה מההכאה הראשונה מהשני מספרי' האחרוני' כמו שאמרנו בעניין המחלק כי איננו צריכים שלימי' אלא לשברי' שתחת הקוים ‫של שני המספרי' האחרונים וכן בעניין המחולק איננו צריכי' מהראשון אם יהיה שלם שום הכאה אלא כשיהיה שבר ואז מה שתחת הקו שלו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot4\right)\sdot3=16\sdot3=48}}$	ויהיה המחולק בזה המשל מ"ח שכך עולה ד' של אחד מהאחרונים על ד' של אחר שהיא י"ו וי"ו על ג' מהמספר הראשון והם מ"ח כאמור
The second way: Or the two numbers are integers.	הדרך השני או השני מספרי' יהיו שלימי‫'
Example: if 2-thirds are equal 8, to how much are nine equal? $\scriptstyle\frac{2}{3}:8=9:X$	המשל אם ב' שלישיות שוות ח' כמה שוים תשעה
	והנה לך צורתו
	ונמצא המחולק כך שנכה השלם האחד באחר והעולה נכהו בשבר שתחת הקו של המספר הראשון
We multiply 8 by 9; the result is 72. We multiply it by 3; the result is 216 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8\sdot9\right)\sdot3=72\sdot3=216}}$	המשל נכה ח' על ט' ועלו ע"ב ואלו נכה אותם בג' ועלו רי"ו וזהו המחולק
The third way: Or each of the two numbers is an integer and fraction together.	הדרך השלישי או שכל מהשני מספרי' יהיה שלם ושבר יחד
Example: if 5 and 2-thirds are equal 6 and 3-quarters, to how much are 8 and 5 parts of 12 equal? $\scriptstyle\left(5+\frac{2}{3}\right):\left(6+\frac{3}{4}\right)=\left(8+\frac{5}{12}\right):X$	המשל אם ה' וב' שלישיות שוות ו' וג' רביעיות כמה שוים ח' וה' חלקי' מי"ב
	והנה לך צורתו
	ונוציא המחולק כך שנכה כל אחד מהשלמי' מהמספרי' האחרוני' במה שתחת הקו שבצדו ונוסיף עוד מה שעל הקו שבצדו ואחר נכה העולה מהשני מספרי' זה על זה ונכה עוד זה ההכאה באות שתחת הקו של מספר ראשון וזהו המחולק
	ואם המספר הראשון יהיה שלם יספיקו למחולק הכאות המספרים האחרונים כמו שאמרנו
The example of this diagram: we multiply 6 by 4 that is next to it; the result is 24. We add 3 that is above the line; the result is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot4\right)+3=24+3=27}}$	והמשל לזאת הצורה נכה ו' בד' שבצדו ויעלו כ"ד ונוסיף ג' שעל הקו ויעלו כ"ז
We multiply also 8 of the last number by 12 that is next to it; the result is 95. We add 5 that is above the line; the result is 101. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8\sdot12\right)+5=96+5=101}}$	עוד נכה ח' מהמספר האחרון על ‫י"ב שבצדו ויעלו צ"ו ונוסיף ה' שעל הקו ויעלו כולם ק"א
We multiply also 101 by 27; the result is 2727. We multiply it by the digit that is beneath the line of the first number; it is 8181 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(101\sdot27\right)\sdot3=2727\sdot3=8181}}$	ועו' נכה ק"א על כ"ז ויעלו אלפים ותשכ"ז ואלו נכם באות שתחת הקו המספר הראשון ויהיו ח' אלפי' וקפ"א וזהו המחולק
	ואם לא יהיה שבר במספר הראשון יהיה המחולק אלפי' ותשכ"ז שהוא הכאת שני המספרי' אחרונים כאמור
The fourth way: Or one of the two last numbers is an integer and fraction together and the other is a fraction alone.	הדרך הרביעי או אחד מהשני מספרי' האחרונים יהיה שלם ושבר יחד והאחר שבר לבד
Example: if one is equal 4-fifths, to how much are two and a half equal? $\scriptstyle1:\frac{4}{5}=\left(2+\frac{1}{2}\right):X$	המשל אם אחד שוה ד' חמישיות כמה שוים שנים וחצי
	והנה צורתו
	ונוציא המחולק בדרך זה שמהצד שימצא השלם עם השבר נכה השלם בשבר שתחת הקו שבצדו ונוסיף עליו מה שעל הקו שבצדו וכל זה נכהו במספר האחד מהאחרונים שהוא על הקו וזהו המחולק
	ואם היה במספר הראשון שבר היינו מכים עמו כל זאת ההכאה האמורה
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot2\right)+1\right]\sdot4=\left(4+1\right)\sdot4=5\sdot4=20}}$	המשל לזאת הצורה נכה ב' שלמי' בב' שהוא שבר שבצדה ויעלה ד' ונוסיף א' שעל [הקו] ויעלו ה' ואלו נכם בד' שהוא על ה' ויעלו כ' וזהו המחולק
	ואם היה שבר במספר הראשון הוצרכנו להכות אלו הכ' באות שתחת הקו של מספר ראשון
The fifth way: Or one of the last number is an integer and fraction together and the other is an integer alone.	הדרך החמישי או יהיה אחד מהמספרי' האחרוני' שלם ושבר יחד והאחר שלם לבד
Example: if 2-thirds are equal 4 and a half, to how much are six equal? $\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:X$	המשל אם ב' שלישיות שוות ד' וחצי מה שוים ששה
	והנה צורתו
	ונבקש המחולק ככה שנכה השלם עם המספר שתחת הקו שהוא מצדו ונוסיף מה שלמעלה המנו וכל זה נכה עם השלם היחידי שהוא מהצד האחר וכל זה נכה עוד ‫עם המספר שהוא תחת הקו שבמספר הראשון אם יהיה בו שבר
	ואם לא יהיה בו שבר אלא שלם לבד אינו צריך יותר הכאה
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot6\right]\sdot3=\left[\left(8+1\right)\sdot6\right]\sdot3=\left(9\sdot6\right)\sdot3=54\sdot3=162}}$	והמשל לצורה נעשה המחלק בדרך זה שנכה הד' על הב' שהיא תחת הקו שבצדה ויעלה ח' ונוסיף עם זה הא' שהיא על הב' ויעלה ט' וזה נכם על הו' שהוא השלם מהמספר השלישי ויעלה נ"ד וזה היה המחולק אם לא היה במספר הראשון שבר אבל בעבור שיש בו שבר נכה הנ"ד שיש בידינו על האות שהיא תחת הקו של אותו שבר שהוא ג' ויעלה קס"ב ואז יהיה זה המחולק
The sixth way: Or one of the last numbers is an integer alone and the other is a fraction alone.	הדרך השישי או יהיה אחד מהמספרי' האחרונים שבר לבד והאחר שלם לבד
Example: if 9 are equal 2-thirds, to how much are 8 equal? $\scriptstyle9:\frac{2}{3}=8:X$	המשל אם ט' שוות ב' שלישיות כמה שוים ח‫'
	והנה צורתו
	ונוציא המחולק כך שאי זה שיהיה מהשני מספרי' האחרונים שלם נכה אותו עם המספר שעל הקו שהוא ג"כ מהאחרוני' וזהו המחולק בעבור שאין שום שבר במספר הראשון
	אבל אם יהיה בו שבר בין שיהיה לבדו בין שיהיה עם שלם אז נכה זאת ההכאה עם המספר שהוא תחת הקו וכל זה אז יהיה המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot2=16}}$	המשל לצורה זו נעשה המחולק כך שנכה הח' שהיא אחד מהאחרוני' על ב' שהוא על ג' ויעלה ט' וזהו המחולק
	אבל אם יהיה במספר הראשון שבר נוסיף להכות האמורים
	וצריך שתדע שבזה המין ר"ל אם כך שוים כך כמה שוים כך כלומ' סוג היחסים האמורים לא ימצאו יותר דרכים מאותם שאמרנו בין במחלק בין במחולק ואחר שיהיו בידינו ‫המחלק והמחולק נחלק המחולק במחלק ויצא לנו מספר רביעי והוא מה שבקשנו וא"כ יש לנו עתה ארבע מספרי' מתיחסים באופן שהיחס שימצא בין הראשון והשני אותו יחס ימצא בין השלישי והרביעי
	והמופת נחליף היחס בדרך זה והוא שנקח הג' מספרים בזה הסדר והוא שנעשה מהמספר השלישי שיש בידינו מספר ראשון והמספר הרביעי נעשה שני והמספר הראשון שלישי ונסדרם כמו שלמעלה ונאמ' אם זה שוה זה [כמה שוה זה] ואם יצא לנו המספר הרביעי בסדר זה המספר שהיה שני בסדר הראשון אז נדע שהמספר הרביעי שיצא בסדר הראשון היה אמיתי ואם לאו לא וזה מספיק בזה הלמוד

Chapter Four: Giving a General Example for all the Teaching Methods of the Denominator and the Numerator in the Context of Knowing the Ratios of Fractions	הפרק הרביעי בנתינת משל אחד כולל לכל אופני הלמוד במחלק ובמחולק בידיעת יחסי המספרי' [השברי']‫
In order to add explanation, we give an example for all part of the teaching together, i.e. the denominator and the numerator and their proof in one of the ways we mentioned.	וכדי להוסיף ביאור נתן משל לכל חלקי הלימוד ביחד ר"ל מהמחלק והמחולק והמופת שלהם וזה באחד מהדרכי' שאמרנו
If 2-thirds are equal 4 and a half, how much are six equal to? $\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:X$	והוא זה אם ב' שלישיות שוים ד' וחצי כמה שוים ששה
6 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 4 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	ו ‫ ד ‫
denominator: First we extract the denominator by that we multiply 2, which is above the 3 of the first number, by 2, which is beneath the 1 of the second number; it is 4 and this is the denominator. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4}}$	וראשונה נוציא המחלק כך שנכה הב' שהיא על ג' מהמספר הראשון על ב' שהיא תחת א' של מספר שני ויהיו ד' וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: Then, we extract the numerator by that we multiply the 4 of the second number by the 2, which is beneath the 1 next to it; the result is 8. We add the 1 that is above the 2 of the second number; the result is 9. We multiply it by the 6 that is the third number; the result is 54. We multiply it also by 3 that is beneath the 2 of the first number; the result is 162 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot6\right]\sdot3=\left[\left(8+1\right)\sdot6\right]\sdot3=\left(9\sdot6\right)\sdot3=54\sdot3=162}}$	ואחר נעשה המחולק כך שנכה ד' מהמספר השני על ב' שהיא תחת הא' שבצדה ויעלה ח' ונוסיף עוד הא' שעל הב' מהמספר השני ויעלה ט' ואלו נכם עוד על ו' שהוא מספר שלישי ויעלה נ"ד עוד נכם על ג' שהוא תחת ב' של מספר ראשון ויעלה קס"ב וזהו המחולק
We divide it by the denominator, which is 4; the result of division is 40 and a half and this is the required fourth number that the 6 is equal to. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{162}{4}=40+\frac{1}{2}}}$	ונחלק אלו במחלק שהוא ד' ויצא מהחלוק מ' וחצי וזהו המספר הד' ששוים ו' [ה]מבוקש
The ratio of two-thirds to 4 and a half is the same ratio of 6 to 40 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:\left(40+\frac{1}{2}\right)}}$	והיחס שיש ‫בין שני שלישיות לד' וחצי אותו היחס יש בין ו' למ' וחצי
The proof: to know if this is correct we arrange them as follows: $\scriptstyle6:\left(40+\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}:X$	והמופת לדעת אם זה אמת נסדרם ככה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 40 6	‫ ‫ מ ו
We say: if 6 are equal 40 and a half, how much are 2-thirds equal to? $\scriptstyle6:\left(40+\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}:X$	ונאמ' אם ו' שוים מ' וחצי כמה שוים ב' שלישיות
denominator: We extract the denominator as follows: we multiply the first number, by 2, which is beneath the 1 of the second number; it is 12. We multiply the 12 by 3 that is beneath the 2 of the third number; the result is 36 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot2\right)\sdot3=12\sdot3=36}}$	נעשה המחלק כך נכה המספר הראשון על ב' שהוא תחת א' של מספר שני ויהיו י"ב ואלו הי"ב נכם בג' שהיא תחת ב' של מספר שלישי ויעלה ל"ו וזהו המחלק
numerator: Then, we extract the numerator this way: we multiply the 40 of the second number by the 2, which is beneath the 1 next to it; the result is 80. We add the 1 that is above the 2 of the second number; the result is 81. We multiply it by the 2 that is above the 3 of the third number; the result is 162 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(40\sdot2\right)+1\right]\sdot2=\left(80+1\right)\sdot2=81\sdot2=162}}$	ואחר נעשה המחולק בדרך זה נכה המ' שהוא מהמספר השני על ב' שהיא תחת א' שבצדה ויעלה פ' ונוסיף א' שהוא על ב' של מספר שני ויעלה פ"א ונכם בב' שעל הג' של מספר שלישי ויעלה קס"ב וזהו המח[ו]לק
We divide it by the 36, which is the denominator; the result of division is 4 and a half and this 4 and a half is the second number of the first order. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{162}{36}=4+\frac{1}{2}}}$	ונחלקהו בל"ו שהוא המחלק ויצא מהחלוק ד' וחצי ואלו הד' וחצי היה המספר השני של סדר ראשון שאמרנו
This proof indicates that the first order that we applied was correct.	וזה המופת יורה שהסדר הראשון שעשינו היה אמיתי
So, if two-thirds are equal 4 and a half, the 6 are equal 40 and a half; and this is what we wanted. $\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:\left(40+\frac{1}{2}\right)$	א"כ אם ב' שלישיות שוות ד' וחצי הו' שוים מ' וחצי וזה מה שרצינו
Another example for further explanation: if 9 are equal 2-thirds, how much are 8 equal to? $\scriptstyle9:\frac{2}{3}=8:X$	ומשל אחר להוסיף ביאור אם ט' שוים ב' שלישיות כמה שוים ח‫'
8 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 9	ח ‫ ט
denominator: We extract the denominator by that we multiply 9, which is the first number, by the 3 that is beneath the 2 of the second number; the result is 27 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot3=27}}$	ונעשה המחלק בשנכה הט' שהוא המספר הראשון על הג' שתחת ב' מהמספר השני ויעלה כ"ז וזהו המחלק
numerator: We extract the numerator by that we multiply the 8, which is the third number, by the 2 that is above the 3 of the second number; the result is 16 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot2=16}}$	ונעשה המחולק ככה בשנכה הח' שהוא מספר שלישי בב' שעל הג' של מספר שני ויעלה י"ו וזהו המחולק
We divide [the 16 by the 27, which is the denominator; the result of division] is 16 parts of 27 of the whole and this is the fourth number that we wanted to know. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{16}{27}}}$	ונחלק [הי"ו על כ"ז שהוא המחלק ויצא מהחלוק] י"ו חלקי' מכ"ז בשלם וזהו המספר הרביעי שרצינו לדעת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 9 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{27}}}$ 8	‫ ט יו כז ח
As a proof of this we say: if 8 are equal 16 [parts of 27], how much are 9 equal to? $\scriptstyle8:\frac{16}{27}=9:X$	ולמופת זה נאמ' אם ח' שוים י"ו כמה שוים ט‫'
denominator: We extract the denominator by that we multiply the 8, which is the first number of this order, by the 27 that is beneath the 16 of the second number; the result is 216 and this is the denominator. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot27=216}}$	ונעשה המחלק בשנכה הח' שהוא מספר ראשון מזה הסדר על כ"ז שתחת י"ו של מספר שני ויעלו רי"ו וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: We extract the numerator by that we multiply the 9 by the 16 that is above the line of the second number; the result is 144 and this is the numerator. $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot16=144}}$	והמחולק נעשה בשנכה ‫הט' על י"ו שהוא על הקו של מספר שני ויעלו קמ"ד וזהו המחולק
We divide it by the denominator, which is 216; the result of division is 144 parts of 216 of the whole and this is its diagram: $\scriptstyle\frac{144}{216}$ $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{144}{216}}}$	ונחלקהו במחלק שהוא רי"ו ויצא מהחלוק קמ"ד חלקי' מרי"ו חלקי' של שלם והנה לך צורתו ‫$\scriptstyle\frac{144}{216}$
If it is equal to the 2-thirds of the second number in the first order, what we have done is correct.	ואם יהיה זה שוה לב' שלישיות של מספר שני של סדר ראשון מה שעשינו הוא אמת
The proof that it is equal to two-thirds is by that we write 2-thirds this way:	ומופת שהם שוים שני שלישיות הוא זה שנכתוב ב' שלישיות בדרך זה
We write the number that we want to know if it is 2-thirds opposite to it, as you see: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{144}{216}\times\frac{2}{3}}}$	והמספר שרצינו לדעת אם הוא ב' שלישיות נכתוב כנגדו כמו שאתה רואה $\scriptstyle\frac{144}{216}\times\frac{2}{3}$
Then, we multiply each digit by its opposite and if the two products are equal, the fractions are equal as we said, so the order that we have done is correct and this is what we wanted.	ואח"כ נכה כל אות עם סותרו ואם ב' ההכאות יהיו שוות השברי' הם שוים כמו שאמרנו א"כ הסדר שעשינו הוא אמיתי וזהו מה שרצינו
Know that this proof concerning the fractions is general for every two fractions, when we want to know if they are equal. Q.E.D.	דע שזה המופת מהשברים שעשינו הוא כולל לכל שני השברי' כשנרצה לדעת אם הם שוים וזהו מה שרצינו

Chapter Five: Knowing the Ratio of the Four Proportional Numbers [= the Rule of Three] in the Two Sciences - Arithmetic and Geometry	הפרק החמישי בידיעת יחס הד' מספרים המתייחסים בשני המלאכות ר"ל מלאכת המספר ומלאכת ההנדסא
After we have discussed in the previous teaching on ratios all the techniques that can be applied concerning them in arithmetic, we shall discuss them now regarding geometry, i.e. as parts of the continuous quantity, although the methods of multiplication and division are the same in both sciences.	ואחר שדברנו בזה הלמוד שעבר מן היחסים בכל הדרכי' שאיפשר שיקרו בהם במה שהיא מלאכת המספר עתה נדבר בהם במה שהם ממלאכת ההנדסא ר"ל במה שהם חלקי הכמה המתדבק ואע"פ שדרך ההכאה והחלוק אחד הוא בשני המלאכות
Know that in geometry they are understood in a way that whenever there are four proportional numbers, such that the ratio of the first to the second is as the ratio of the third to the fourth, and the fourth is unknown, if you wish to know it, we multiply the second by the third, then divide the product by the first and we receive the fourth that we asked for. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}}}$	ודע כי במה שהם במלאכת ההנדסא יובנו בדרך זה שבכל זמן שיהיו ד' מספרי' מתיחסים באופן שיהיה יחס הראשון לשני כיחס השלישי לרביעי והרביעי יהיה בלתי ידוע אם תרצה לדעתו נכה השני בשלישי והעולה נחלקהו בראשון ויבא לנו הרביעי שבקשנו
All the ratios we mentioned above are according to this way.	‫ומעין הדרך הזה הם כל היחסים שאמרנו למעלה
You should know that this ratio has another quality, which is that as the way that we know the fourth unknown number, if it happens that any of the others is unknown to us and the other three are known, we can know it by the mentioned way.	האמנם צריך שתדע שיש לזה היחס עוד סגלה אחרת והיא שכמו שבדרך הזה ידענו המספר הרביעי הבלתי ידוע אם יקרה שלא יודע לנו אי זה מהאחרים אי זה שיהיה והשלשה האחרי' יודעו נוכל לדעתו בדרך הזה שנאמ‫'
Example: let the first number be unknown, while the three others are known, i.e. the second, the third, and the fourth, we know the first number by that we multiply the second by the third, then divide the product by the fourth and we receive the first. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}}}$	המשל נניח שהמספר הראשון בלתי ידוע והג' האחרים ידועים ר"ל השני והשלישי והרביעי אז נדע המספר הראשון בדרך זה שנכה השני בשלישי ונחלק העולה ברביעי ויצא לנו הראשון
If we do not know the second, but we know the others, we multiply the fourth by the first, then divide by the third and we receive the second. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2=\frac{a_4\sdot a_1}{a_3}}}$	ואם נסכל השני וידענו האחרי' נכה הרביעי בראשון ונחלק על הג' ויצא לנו השני
If we do not know the third, we multiply the fourth by the first, then divide the product by the second and the result is the third. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3=\frac{a_4\sdot a_1}{a_2}}}$	ואם נסכל הג' נכה הד' בא' ונחלק העולה בב' ויצא הג‫'
This way the unknown is known through the three knowns and this is what we want.	ובזה הדרך יודע הבלתי ידוע בשלשה הידועים וזה מה שרצינו

Chapter Six: [Proportional Triad]	הפרק השישי
You should know that there is another way of ratios, which is that if there are three proportional numbers, such that the ratio of the first to the second is as the ratio of the second to the third, and the third is unknown, if we wish to know it, we do as follows: we multiply the second number by itself, then divide it by the first, and the result is the third number that we look for. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_3=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}}}$	וצריך שתדע שיש דרך אחר מיחסים והיא זאת שאם יהיו ג' מספרי' מתייחסים באופן שיחס הראשון לשני יהיה כיחס השני לשלישי והשלישי בלתי ידוע אם נרצה לדעתו נעשה כך נכה המספר השני בעצמו ונחלקהו בראשון ויצא המספר השלישי שבקשנו
If we do not know the second number, we know it by that we multiply the first by the third, then we extract the root of the product and this is the second number that we look for. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}}}$	ואם סכלנו המספר השני נדעהו בדרך זה שנכה הראשון בג' ומזאת ההכאה נקח שורשה וזהו המספר השני שבקשנו
If we do not know the first number, we know it by that we multiply the second number by itself, then divide the product by the third, and we receive the first number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=\frac{\left(a_2\right)^2}{3}}}$	ואם סכלנו המספר הראשון נדעהו בדרך זה בשנכה המספר השני בעצמו ונחלק העולה בג' ויצא לנו המספר הראשון
This way the unknown numbers are found through the knowns in this ratio.	ובדרך זה ימצאו המספרי' הבלתי ידועים בידועים בזה היחס
This ratio is quite necessary and useful in geometry.	וזה היחס הוא הכרחי מאד ‫ומועיל במלאכת המתייחסים [ההנדסה]

Chapter Seven: Knowing the Ratio of the Six Proportional Numbers [= the Proportional Hexad]	הפרק השביעי בידיעת יחס הששה מספרי' המתייחסים
There is another way of ratios, which is that if there are six proportional numbers, such that the ratio of the first to the second is as the ratio of the third to the fourth and the ratio of the fifth to the second is as the ratio of the sixth to the fourth, then the ratio of the sum of the first and the fifth to the second is as the ratio of the sum of the third and the sixth to the fourth.	ועוד יש דרך אחרת מיחסים והיא זאת אם יהיו ו' מספרי' מתייחסים באופן שיהיה יחס הראשון לשני כיחס השני השלישי לרביעי ויחס הה' לב' כיחס הו' לד' יהיה יחס קבוץ [ה]ראשון והחמישי לשני כיחס קבוץ השלישי והשישי לרביעי
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\\\scriptstyle a_5:a_2=a_6:a_4\end{cases}\longrightarrow\left(a_1+a_5\right):a_2=\left(a_3+a_6\right):a_4}}$
This ratio is necessary in geometry to know the height required from two aspects.	וזה היחס הוא הכרחי בהנדסא לדעת אי זה גובה שיהיה הכרחי לדעתו בשתי הבטות
Example of six proportional numbers that are:	המשל לששה המספרי' המתייחסי' והם אלו
18 9 6 4 3 2	יח ט ו ד ג ב
Since the ratio of 2, which is the first number, to 3, which is the second number, is as the ratio of 4, which is the third number, to 6, which is the fourth number; and the ratio of 9, which is the fifth number, to 3, which is the second number, is as the ratio of 18, which is the sixth number, to 6, which is the fourth number. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle2:3=4:6\\\scriptstyle 9:3=18:6\end{cases}}}$	ובעבור שיחס ב' שהוא מספר ראשון לג' שהוא מספר שני כיחס ד' שהוא מספר שלישי לו' שהוא מספר רביעי ויחס ט' שהוא מספר חמישי לג' שהוא מספר שני כיחס י"ח שהוא מספר ששי לו' שהוא מספר רביעי
Therefore, as long as the six numbers are in this ratio, then the ratio of the sum of the first number and the fifth number to the second number is as the ratio of the sum of the third number and the sixth number to the fourth number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a_1+a_5\right):a_2=\left(a_3+a_6\right):a_4}}$	לכן כל זמן שיהיו הששה מספרי' בזה היחס יהיה יחס קבוץ המספר הראשון והחמישי למספר השני כיחס קבוץ המספר השלישי והששי למספר הרביעי
As we see in these six numbers: the ratio of 11 that is the sum of the first number, which is 2, and the fifth [number], which is 9, to 3, which is the second number, is as the ratio of 22 that is the sum of 4, which is the third number, and 18, which is the sixth number, to 6, which is the fourth number. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+9\right):3=11:3=22:6=\left(4+18\right):6}}$	כמו שהוא נראה באלו הששה מספרי' שיחס י"א שהוא קבוץ המספר הראשון שהוא ב' והחמישי שהוא ט' לג' שהוא המספר השני כיחס כ"ב שהוא קבוץ ד' שהוא מספר שלישי וי"ח שהוא מספר ששי לו' שהוא מספר רביעי
22 11 6 3	כב יא ו ג
Know that for every six numbers of this ratio, the ratio of the sum of the first and the fifth to the second is as the ratio of the sum of the third and the sixth to the fourth.	ודע שלעולם בכל ששה מספרי' מזה היחס יהיה יחס קבוץ הראשון והה' לב' [והחמישי לשני]‫ כיחס קבוץ השלישי והששי לרביעי
This way, i.e. by summing, it returns to the ratio of the four numbers [= the rule of three] that is stated in the fifth chapter of this section and this is what we want.	ובזה הדרך ר"ל מהקבוץ ישובו ‫ליחס הארבעה מספרי' הנזכרי' בפרק ה' מזה הכלל וזה מה שרצינו

The Second Section of the Second Book: We will Discuss in it Some Theoretical and Practical Problems and Guiding Answers of this Science	הכלל הב' מהמאמר השני נדבר בו בקצת שאלות ותשובות מישרות בעיון ובמעשה בזאת המלאכה
It is divided into seven chapters:	ויתחלק לז' פרקי‫'
The First Chapter: on the Knowledge of the Exchange of Measurements, Weights, Liquid Measures and Currencies According to the Change of Places	הפרק הראשון בידיעת חלוף המדות המשקלים והמשורות והמטבעות לפי חלוף המקומות
Since in many places an exchange of things mentioned is applied, we must discuss a particular general method by which we can know each exchange that we want of them.	בעבור שבהרבה מקומות יש חלוף באלו הדברי' הנזכרי' צריך שנדבר מאי זה דרך כללי שבו נוכל לדעת כל חלוף מאלה שנרצה
First we ask: if four measurements or weights or whatever it will be from Constantinople are worth six from Bursa, and nine from Bursa are worth three from Alexandria [= İskenderun], how much are six from Alexandria worth?	וראשונה נשאל אם ד' מדות או משקלים או מה שיהיה מקושטנטינא שוים ו' מברושה וט' מברושה שוים ג' מאלקשדייא ו' מאלקשדיא כמה שוים מאותם של קושטנדינא
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle4c=6b\\\scriptstyle9b=3a\\\scriptstyle6a=Xc\end{cases}$
To know this we arrange all these numbers as follows:	ולדעת זה נסדר כל אלו המספרי' ככה
6 3 9 6 4 İskenderun İskenderun Bursa Bursa Constantinople	ו ג ט ו ד אלקשדיא אלקשדיא ברושה ברושה קושטדי‫'

Since our question is how much six from Alexandria are worth in Constantinople, we should know first how much the three from Alexandria are worth in Constantinople.	ובעבור שדרושינו הוא שו' מאלקשדייא כמה שוים מקושטדינא צריך שנדע קודם הג' מאלקשדייא כמה שוים מקושטדינא
But, three from Alexandria are worth nine in Bursa, so, when we know how much nine from Bursa are worth in Constantinople, then we will know how much the three from Alexandria are worth in Constantinople.	אבל ג' מאלקשדייא שוים ט' מברושא א"כ כשנדע הט' מברושא כמה שוים מקושטדינא אז נדע הג' מאלקשדייא כמה שוים מקושטדינא אם כן קודם כל דבר צריך שנדע הט' מברושה כמה שוים מקושטדינא
We already know that the six from Bursa are worth four from Constantinople, therefore we say: if 6 are equal 4, how much 9 are equal?	וכבר ידענו שהו' מברושה שוים ד' מקושטדינא א"כ נאמר אם ו' שוים ד' כמה שוים ט‫'
We arrange the diagram as follows: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{6:4=9:X_1}}$	ונסדר הצורה כך
denominator: When the three numbers are integers, the first is the denominator, so the 6 is the denominator.	וכשהשלשה ‫מספרי' הם שלמי' הראשון הוא המחלק וא"כ הו' הם המחלק
numerator: The product of the second number by the third is the numerator, which is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot9=36}}$	והכאת המספר השני בשלישי הוא הוא המחולק שהוא ל"ו
We divide it by 6; the quotient is 6, so we know that the nine from Bursa are worth six from Constantinople. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X_1=\frac{36}{6}=6}}$	ונחלקהו בו' ויבאו ו' מהחלק א"כ ידענו שהט' מברושה שוים ו' מקושטדינא
But three from Alexandria are worth nine from Bursa, so the three from Alexandria are worth six from Constantinople.	אבל ג' מאלקשדייא שוים ט' מברושה א"כ הג' מאלקשדייא שוים ו' מקושטדינא
Since we know that three from Alexandria are worth six from Constantinople, we arrange our question like this and say: if three from Alexandria are worth six from Constantinople, how much are six from Alexandria worth?	ואחר שידענו ששלשה מאלקשדייא שוים ו' מקושטדינא נסדר דרושינו כך ונאמ' אם ג' מאלקשדייא שוים ו' מקושטדינא כמה שוים ו' מאלקשדייא
This is its diagram: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{3:6=6:X_2}}$	וזה צורתו
denominator: You already know that the first number in integers is the denominator, so 3 is the denominator.	וכבר ידעת שהמספר הראשון הוא המחלק בשלמי' א"כ ג' הם המחלק
numerator: The numerator is the product of the second number by the third, which is the product of 6 by 6; so it is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot6=36}}$	והמחולק הוא הכאת המספר השני בשלישי שהוא הכאת ו' על ו' א"כ הם ל"ו
We divide it by 3; the quotient is 12, hence six from Alexandria are worth [12] from Constantinople, and this is what we sought. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X_2=\frac{36}{3}=12}}$	ונחלקם על ג' ויצאו י"ב מהחלוק א"כ ו' מאלקשדייא שוים י"ב מקושטדיניא וזה מה שרצינו

The Second Chapter on Knowing the Relation of Two Numbers that have the following Property: that if we subtract one from the greater number and add it to the smaller number, the two numbers will be equal; and if we subtract one from the smaller number and add it to the greater, the greater will be double the smaller, or more if we wish	הפרק השני בידיעת התייחסות שני מספרי' שיש להם זה הטבע שאם נחסר אחד מהמספר הגדול ונוסיפהו על המספר הקטן יהיו הב' מספרי' שוים ואם נחסר אחד מהמספר הקטן ונוסיפהו בגדול יהיה הגדול כפל הקטן או יותר אם נרצה
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-1=a+1\\\scriptstyle2\sdot\left(a-1\right)=b+1\end{cases}$
We know this in the way that we first assume the two numbers, subtract one from each, and make [the sum of 1+1] a third number, which is 2 and this 2 is the mean by which they are known.	ונדעהו בדרך זה שנניח קודם במחשבה הב' מספרי' ונחסר אחד מכל אחד מהם ונעשהו מספר שלישי ויהיה ב' ואלה הב' יהיו אמצעי לדעת אותם
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle A=a-1\\\scriptstyle B=b-1\\\scriptstyle C=2\end{cases}}}$
It has the property that if we add it to the smaller number, it will be equal to the greater; and if we add it to the greater number, it will be double the smaller number.	ויש להם זה הטבע שאם נוסיפם על המספר הקטן יהיה שוה לגדול ואם נוסיפם בגדול יהיה כפל הקטן
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle A+C=B\\\scriptstyle B+C=2A\end{cases}}}$
Therefore, we have now three numbers that are the greatest, the smallest, and the mean.	א"כ יש לנו עתה ג' מספרי' שהם הגדול והקטן והאמצעי
	ונניח שכולם הם דבר אחד וא"כ כולם דבר אחד
$\scriptstyle A+C=B=\frac{1}{2}\sdot\left(A+B+C\right)$	וכשנוסיף המספר האמצעי לקטן יהיו השני ‫מספרי' הראשונים שוים א"כ יש לנו עתה שני חלקים שוים מהכל ובעבור שכל שני חלקים שוים מהכל כל אחד הוא חצי הכל א"כ כל אחד מאלו הוא חצי הכל
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle A={\color{OliveGreen}{\frac{1}{3}\sdot3A}}=\frac{1}{3}\sdot\left(A+B+C\right)\\\scriptstyle B+C=2A=\frac{2}{3}\sdot\left(A+B+C\right)\end{cases}$	א"כ יראה שב' שהוא מספר אמצעי מחובר לקטן עשהו חצי הכל ואם נחסר אלו השנים שהוספנו למספר הקטן ונוסיפם לגדול והגדול ישוב כפל הקטן א"כ יראה שהגדול יהיה ב' חלקי' מהכל והקטן חלק אחד א"כ הם ג' חלקי' שוים לכל וא"כ המספר הקטן יהיה אז שליש הכל והגדול יהיה ב' שלישיות
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle C&\scriptstyle=\left(A+C\right)-A\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(A+B+C\right)\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(A+B+C\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\sdot\left(A+B+C\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{6}\sdot\left(A+B+C\right)\\\end{align}$	א"כ נאמ' שאם חבור המספר האמצעי למספר הקטן ההיה סבה שיהיה המספר הקטן חצי הכל וחסרונם היה סבה שיהיה שליש הכל א"כ יראה לנו מזה שהמספר האמצעי הוא הבדל שיש מהשליש אל האמצעי [החצי]‫ אבל ההבדל מהשליש אל החצי הוא ששית הכל ולדעת שזהו ההבדל נחסר השליש מהחצי וישאר ששית וא"כ יראה שהאמצעי הוא ששית הכל
$\scriptstyle2=C=\frac{1}{6}\sdot\left(A+B+C\right)$	ואם האמצעי היה ששית הכל והוא היה ב‫'
$\scriptstyle A+B+C=6\sdot2=12$	א"כ הכל יהיה י"ב שהוא ו' פעמי' שנים
$\scriptstyle a+1=A+C=\frac{1}{2}\sdot\left(A+B+C\right)$	ובעבור שאמרנו למעלה שכשנוסיף א' לקטן יהיה חצי הכל
$\scriptstyle a=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(A+B+C\right)\right]-1=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)-1=5$	יראה שהוא חצי הכל פחות אחד ר"ל הקטן ובעבור שהכל י"ב כאמור א"כ המספר הקטן יהיה ה‫'
$\scriptstyle b=7$	ואם הקטן יהיה ה' המספר הגדול יהיה ז' לסבות האמורות
	וכמו שאיפשר לומ' שאם נחסר אחד מהגדול ונתן אותו לקטן יהיה שוה לקטן
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-2=a+2\\\scriptstyle2\sdot\left(a-2\right)=b+2\end{cases}$	כן גם כן אם ישאלו לנו שאם נחסר ב' מהגדול ונתנם לקטן לא שנטרך[נצטרך]‫ למצא אלה המספרי' והדומה אלא לכפול כל אחד משני המספרי' הנמצאים ר"ל הה' והז'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-3=a+3\\\scriptstyle2\sdot\left(a-3\right)=b+3\end{cases}$	ואם התוספת או החסרון יהיה ג' נשלש השני מספרים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-\frac{1}{2}=a+\frac{1}{2}\\\scriptstyle2\sdot\left(a-\frac{1}{2}\right)=b+\frac{1}{2}\end{cases}$	ואם יהיה חצי ר"ל התוספת או החסרון נקח חצי השני מספרים הנמצאים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-\frac{1}{3}=a+\frac{1}{3}\\\scriptstyle2\sdot\left(a-\frac{1}{3}\right)=b+\frac{1}{3}\end{cases}$	ואם התוספת או החסרון יהיה שליש נקח שליש השני מספרים הנמצאים ר"ל הידועים לנו כבר ר"ל הו' והז' כי בזה ייוסדו כל אלו השאלות ובדרך זה נעשה בכל הדומה וזה מה שרצינו
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-1=a+1\\\scriptstyle20\sdot\left(a-1\right)=b+1\end{cases}$	וכדי להוסיף ביאור נעשה משל אחד בשנניח ב' מספרים שאם נחסר אחד מהמספר הגדול ונוסיפה לקטן יהיו השני מספרים שוים ואם נחסר אחד מהמספר הקטן ונוסיפהו בגדול יהיה הגדול עשרים פעמים בקטן
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle A=a-1\\\scriptstyle B=b-1\\\scriptstyle C=2\end{cases}$	ונדעם בדרך זה שנניח קודם במחשבה השני מספרים ונקח אחד מכל אחד מהשני מספרים ונעשהו מספר שלישי ויהיה ב'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle A+C=B\\\scriptstyle B+C=20A\end{cases}$	ויש לזה המספר זה הטבע שאם נוסיפהו על המספר הקטן יהיה שוה לגדול ואם נוסיפהו על המספר הגדול יהיה הגדול כפל המספר הקטן כ' פעמים ר"ל עשרים פעמים בקטן
	א"כ יש לנו עתה ג' מספרים כאמור למעלה גדול וקטן ואמצעי ונניח שכלם יעשו כל אחד א"כ וכולם כל אחד
$\scriptstyle A+C=B=\frac{1}{2}\sdot\left(A+B+C\right)$	וכשנוסיף המספר האמצעי לקטן יהיו שני הב' מספרים הראשונים שוים א"כ יש לנו עתה שני חלקים שוים לכל ובעבור שכל שני חלקים שוים לכל כל אחד הוא חצי הכל א"כ כל אחד מאלו הוא חצי הכל
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle A={\color{OliveGreen}{\frac{1}{21}\sdot21A}}=\frac{1}{21}\sdot\left(A+B+C\right)\\\scriptstyle B+C=20A=\frac{20}{21}\sdot\left(A+B+C\right)\end{cases}$	א"כ יראה שב' שהוא מספר אמצעי מחובר לקטן עשהו חצי הכל ואם נחסרהו מהמספר הקטן ונוסיפהו בגדול ויהיה הגדול כ' פעמים כמו הקטן יראה שהמספר הגדול יהיה כ' חלקים מכ"א מהכל והקטן חלק אחד א"כ הם כ"א חלקים שוים לכל אם כן המספר הקטן יהיה אז חלק אחד מכ"א חלקים מהכל והמספר הגדול יהיה כ' חלקים מכ"א מהכל
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle C&\scriptstyle=\left(A+C\right)-A\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(A+B+C\right)\right]-\left[\frac{1}{21}\sdot\left(A+B+C\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{21}\right)\sdot\left(A+B+C\right)\\&\scriptstyle=\frac{19}{42}\sdot\left(A+B+C\right)\\\end{align}$	אם כן נאמר שאם חבור המספר האמצעי למספר הקטן עשהו חצי הכל וחסרנו חלק עשהו מכ"א חלקי הכל ובין חצי הכל אבל ההבדל בין חלק אחד מכ"א חלקי הכל ובין חצי הכל י"ט חלקים ממ"ב חלקי הכל אם כן האמצעי הוא י"ט חלקים ממ"ב של הכל ולדעת שזהו ההבדל נחסר חלק אחד מכ"א חלק שלם מהחצי וישאר י"ט חלקים ממ"ב חלקי השלם
$\scriptstyle2=C=\frac{19}{42}\sdot\left(A+B+C\right)$	וא"כ יראה שהאמצעי י"ט חלקים ממ"ב חלקי השלם והוא היה שנים
$\scriptstyle A+B+C=\frac{42\sdot2}{19}=4+\frac{8}{19}$	אם כן הכל היה ד' שלמים וח' חלקים מי"ט חלקי השלם
	והמופת על זה נאמר ככה אם ט' שוים ב' כמה שוה האחד שהוא הכל הדרוש
	ונדעהו בא' הדרכים האמורים למעלה בדרכי היחסים וזה מה שרצינו

Chapter Three: finding two numbers that have the following property $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle2\sdot\left(b-1\right)=a+1\\\scriptstyle3\sdot\left(a-1\right)=b+1\end{cases}$	הפרק השלישי ביחס שני מספרים שאם הגדול יתן אחד לקטן היה הקטן כפל הגדול ואם הקטן יתן אחד לגדול יהיה הגדול ג' פעמים יותר מהקטן
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle A=a-1\\\scriptstyle B=b-1\\\scriptstyle C=2\end{cases}$	ואם נרצה לדעת אלו המספרים נעשה קודם כל דבר האמצעי כמו למעלה והאמצעי לעולם הוא ב' שלמים בכיוצא לאלו היחסים
$\scriptstyle A+C=2B=\frac{2}{3}\sdot\left(A+B+C\right)$	א"כ נאמר אם האמצעי מחובר לקטן יעשה כפל הגדול מכאן יראה שהקטן עם האמצעי הם שני שלישי הכל
	ושהמספר הגדול בלתי האמצעי הוא שליש הכל
	וא"כ כשנוסיף האמצעי לגדול יהיה ג' פעמים יותר מהקטן יראה מכאן שהקטן בלתי האמצעי יהיה רביע אחד מהכל וא"כ נאמר עתה אם הכל שהנחנו במחשבה הוא מורכב מג' מספרים שהם גדול וקטן ואמצעי א"כ כמות שלשתם שוה לזה הכל אבל כמות המספר הגדול והקטן הם שליש ורביע הכל א"כ מה שיחסר לתשלום הכל הוא המספר האמצעי בהכרח א"כ נחבר שליש ורביע במין הראשון מהשברים שהוא הקבוץ ויהיה קבוצם א"כ לתשלום כל החסרים וא"כ האמצעי שוה וכבר הוא ידוע שהאמצעי בעצמו הוא ב' שלמים ומיוחס לכל הוא ולכן נעשה דרך היחסים כך ונאמר אם מהכל שוים שני שלמים כמה שוה הכל ובמקום הכל נשים אחד שלם ונעשה הצורה כך ונאמר אם שוים שני שלמים כמה שוה א' שהוא במקום הכל ונמצא שהכל שבקשנו הוא ד' שלמים וארבע חמישיות ועתה צריך שנבקש המספר הגדול והקטן ממנו והגדול נמצאהו כך כבר ידעת שהמספר הגדול בלתי האמצעי היה שליש הכל א"כ נקח מזה הכל השליש שהוא ונוסיף עליו האחד מהשנים של האמצעי ויהיה וזהו הגדול וכבר ידעת שהקטן בלתי האמצעי הוא רביע הכל ולכן נקח רביע הכל שהוא ונוסיף עליו האחד מהשנים מהאמצעי ויהיה המספר הקטן ואלו הם השני מספרים שבקשנו ומה שרצינו

Chapter Four: finding the whole from a given sum of its part using the rule of four	הפרק הרביעי שבידיעת קבוץ ב' חלקים מתחלפים מאי זה כל שיהיה או יותר איך נדע הכל
	ונעשה כן נקח אי זה כל שימצאו בו אותם החלקים מנשאלים ונעשה קבוץ מהם ונאמר כיחס זה הקבוץ מהחלקים אל הכל הידוע שלוקחו ממנו יחס החלקים הנשאלים לכל הבלתי ידוע ונסדרם בדרך הד' מספרים המתיחסים ונקח למספר ראשון חלקי המספר הבלתי ידוע ונשלים דרך היחסים כפי שנאמר במקומו
$\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=10+\frac{1}{2}$	המשל לזה נניח קבוץ אחד משליש ורביע ששוה עשרה וחצי ורצינו לדעת הכל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7}}$	ולדעת זה נבקש מספר אחד שימצאו בו אלו השברים שהנחנו אין שם מספר נותר קרוב מי"ב א"כ נקח קבוץ שלישו ורביעו שהם שבעה
We say: if 7 are equal 12, how much 10 are equal? $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{7:12=\left(10+\frac{1}{2}\right):X}}$	ונאמר אם ז' שוים י"ב כמה שוים י'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=18}}$	ונשלים זה היחס כמו שכבר נאמר בלמוד היחסים ונמצא בזה הדרך שהמספר המבוקש הוא י"ח וזה מה שרצינו
	ובדרך זה יעשו כל הדומים לזה היחס כשיבחנו כל השברים שאפשר שיונחו או שישאל עליהם
$\scriptstyle\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X=5$	כמי שישאל על קבוץ רביע וחמש שהם ה' שלמים ונרצה לדעת הכל כמה הוא
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)=9}}$	נבקש מספר אחד שימצאו בו אלה השברים רביע וחומש שהם נמצאים בעשרים א"כ נקח מכ' הרובע והחומש וקבוצם הוא ט'
We say: if 9 are equal 20, how much 5 are equal? $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{9:20=5:X}}$	ונאמר אם ט' שוים עשרים כמה שוים ה'
	ובדרך היחסים יודע שכל המבוקש הוא וקבוץ רביעתו וחמישיתו ה' וזה מה שרצינו ובדרך יעשו כל הדומים

Chapter Five: finding the whole from a given sum of its part using double false position	הפרק החמישי בנתינת דרכים כוללים לדעת אי זה מספר שיהיה בלתי ידוע בדרך המתנגדים
	וזה יודע בג' דרכים כוללים בעבור שבהם יעשו כאלה היחסים וזולתם אי זה שיהיו ויקראו דרכי המתנגדות
$\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X=10$	והראשון הוא זה נניח שרצינו למצא אי זה כל שקיבוץ שלישיתו וחמישתו יחד הם עשרה
false position (1): $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)=8=10-2}}$	וקודם כל דבר נבקש אי זה מספר שימצאו בו אלו השברים [והמספר שנמצא בו אלו הנזכרים הוא ט"ו] וקבוץ שלישיתו וחמישיתו יחד הוא ח' ואלו הם פחות מהמבוקש שנים
false position (2): $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot30\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)=16=10+6}}$	ונקח מספר אחר שהוא ל' ונראה שקבוץ שלישיתו וחמישיתו הוא י"ו וא"כ יהיו יותר מהמבוקש ו'
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{2+6=8}}$	ועתה נניח כל זה בדרך צורה כן והראשון שצריך שנבקש יחד הם היותר והפחות שהם ב' וו' וזה יהיה המחלק ונשמור אותו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(15\sdot6\right)+\left(30\sdot2\right)=90+60=150}}$	ואחר נעשה המחולק כן שנכה המתנגדים כל אחד עם נגדו כמו ט"ו עם ו' ויעלה צ' ונכה עוד ל' עם ב' ויעלה ס' ונחבר צ' עם ס' ויהיו ק"ן
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{8}=18+\frac{3}{4}}}$	ונחלקם במחלק שהוא ח' ויצא מהחלוקה י"ח וג' רביעיות וזהו המספר שקבוץ שלישיתו וחמישיתו יחד יוד וזה מה שרצינו בדרך הראשון
	הדרך הב' והוא שהשני מספרים שאנו צריכים בדרך הזה למצא בהם השברים המבוקשים צריך שיהיה כל אחד פחות מקבוץ ה' חלקים הכל המבוקשים
$\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=20$	המשל רצינו למצא מספר שקבוץ שלישיתו ורביעיתו יהיה כ'
false position (1): $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7=20-13}}$	נבקש מספר אחד שימצא בו שליש ורביע והוא י"ב וקבוץ שלישיתו ורביעתו ז' א"כ הוא פחות מקבוץ השברים י"ג
false position (2): $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=14=20-6}}$	ונקח עוד מספר אחר שימצא בו שליש ורביע והוא כ"ד וקבוץ שלישיתו ורביעיתו הם י"ד אם כן הוא פחות מהמבוקש ו'
	ואח"כ נאמר י"ב פחות י"ג וכ"ד פחות ו'
	וכמו שלמעלה עשינו מחלק מהיותר והפחות בכאן צריך שנעשה מחלק מהפחות ומהפחות והם י"ג וו'
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{13-6=7}}$	וכמו שלמעלה קבצנו היותר והפחות לעשות המחלק בכאן צריך שנחסר לעשות המחלק ואכ"כ נחסר ו' מי"ג וישארו ז' וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(13\sdot24\right)-\left(6\sdot12\right)=312-72=240}}$	ואחר נכה המתנגדים כאמור למעלה והם י"ג עם כ"ד ויעלו שי"ב ונכה עוד ו' עם י"ב ויעלו ע"ב ונחסר ע"ב משי"ב וישארו לך ר"מ וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{240}{7}=34+\frac{2}{7}}}$	ונחלק במחלק שהוא ז' ויצא מהחלוקה ל"ד וב' שביעיות והנה לך צורתו
	הדרך השלישי והוא שכל אחד משני המספרים שברים נבקש השברים צריך שיהיה יותר
$\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=6$	המשל רצינו למשול מספר אחד שרביעיתו ושלישיתו יהיה ו'
false position (1): $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=6+1}}$	נבקש מספר שימצא בו שליש ורביע והוא י"ב וקבוץ שלישיתו ורביעיתו הוא אחד יותר מהמבוקש
false position (2): $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=6+8}}$	ונבקש ג"כ מספר שהוא כ"ד והוא ח' יותר מהמבוקש ונחסר היותר קטן מהגדול והגדול הוא ח' והקטן הוא א'
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{8-1=7}}$	ונחסר א' מח' וישארו ז' וזהו המחלק
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8\sdot12\right)-\left(1\sdot24\right)=96-24=72}}$	ויעשה המחולק כן נכה המתנגדים הח' על הי"ב ויעלו צ"ו ונכה הא' על הכ"ד ויעלו כ"ד ונחסר כ"ד מצ"ו וישארו ע"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{72}{7}=10+\frac{2}{7}}}$	ונחלקם במחלק שהוא ז' ויצא מחלוקתו וזהו המספר שלישיתו ורביעיתו מקובץ באחד שוה ששה [והנה] זאת היא צורתו
	למוד אחר מיחסים אם ישאל שואל אם כששוה מדת הקמח י"ב לבנים גזר המלך שית[נו] ח' ליטרין לחם בלבן כששוה המדה י"א לבנים כמה ראוי שיתנו לפי אותו היחס
	נעשה כן שנניח דרושינו זה [על] שרש התיחסות הג' מספרים וזה בשנסדר המספר הראשון על שווי האחרון ר"ל לשווי הי"א לבנים והמספר השני נסדר על שווי הראשון ר"ל שווי הי"ב והמספר השלישי כמות הלחם ונאמר א"כ י"ב שוים י"א כמה שוים ח' ונשלים הלמוד כמו שהוא כתוב בדרכי היחסים וזה מה שרצינו
	שאלה אם כשהשקל שוה מ' לבנים ואדם אחד יש לו חתיכת זהב שוקל ה' שקלים ורוצה להחליף ממנו כל כך שקלים שהנשארים יהיו שוים ללבנים ר"ל כמות השקלים הנשארים לו ככמות הלבנים שלקח מהחלוק
	נעשה כן נקח שווי השקל שהוא מ' לבנים ונוסיף א' ויהיו מ"א ונחלק מאה במ"א ויבאו ב' וי"ח ממ"ג של שקל וכל כך שקלים צריך להחליף וזה מה שרצינו

Chapter Six: the Teaching of Partnership	הפרק השישי בלמוד החברות
When we want to know how much is the share of each of the partners in the profit or the loss, in relation to the time and the amount of goods.	והוא כשנרצה לדעת כל אחד מהחבורה כמה יגיע לו מחלק הריוח או ההפסד מיוחס לזמן ולכמות הסחורה
Partnership Problem - For the Same Time
Example: if there are three people in a partnership, one contributed 12½, the second [contributed] 6, the third contributed 7½, and the profit was 50. $\scriptstyle\left(12+\frac{1}{2}\right)a_1+6a_2+\left(7+\frac{1}{2}\right)a_3=50$	המשל אם יהיו בחבורה ג' אנשים והאחד הכניס לחברה י"ב וחצי והשני ו' והשלישי ז' וחצי ויהיה הריוח נ‫'
To know it we sum up all the numbers; the sum is 26 and this sum is called the first number. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{1}{2}\right)+6+\left(7+\frac{1}{2}\right)=26}}$	ולדעת זה נקבץ כל המספרי' ויהיה הקבוץ כ"ו וזה הקבוץ יקרא מספר ראשון
The profit or the loss is the second number.	והריוח או ההפסד יהיה מספר שני
[The contribution of] each of the three is the third number.	וכל אחד מהג' מספר ‫שלישי
We say as follows: if 26 is equal to 50, how much is 12½ equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{26:50=\left(12+\frac{1}{2}\right):a_1}}$	ונאמ' כך אם כ"ו שוים נ' כמה שוים י"ב וחצי
We complete the ratio as you know and the result is [the profit or the loss] of the first, who contributed 12[½].	ונשלים היחס כמו שידעת ומה שיצא הוא [ריוח או הפסד] הראשון שהכניס הי"ב
Then, we say: if 26 is equal to 50, how much is 6 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{26:50=6:a_2}}$	ואחר נאמ' אם כ"ו שוים נ' כמה שוים ו‫'
We complete the ratio also and the result is the profit or the loss of the second, who contributed 6.	ונשלים היחס ג"כ ומה שיצא הוא הריוח או ההפסד השני שהכניס בחלקו הו‫'
Then, we say: if 26 is equal to 50, how much is 7½ equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{26:50=\left(7+\frac{1}{2}\right):a_3}}$	ואחר נאמ' אם כ"ו שוים נ' כמה שוים ז' וחצי
We complete the ratio as above and the result is the profit or the loss of the third, who contributed 7½.	ונשלים היחס כמו שלמעלה ומה שיצא הוא ריוח [או הפסד]‫ השלישי או ההפסד שהכניס ז' וחצי
You do the same with all the ratios that could be done in all partnerships. Q.E.D.	ומכדומה לזה תעשה בכל היחסים שאיפשר להעשות בכל החברות [וזה מה שרצינו]

Chapter Seven: Word Problems	הפרק השביעי בקצת שאילו' ותשובות
Find a Number Problem - Repeated Subtraction
Question: if we subtract 12 from the double of any number, then we subtract another 12 from double the remainder also, and double the remainder is 12, how much is the original number? $\scriptstyle2\sdot\left[\left[2\sdot\left(2X-12\right)\right]-12\right]=12$	שאילה אם מכפלו של אי זה מספר נקח י"ב ומכפל הנשאר נקח ג"כ י"ב אחרי' וכפל הנשאר יהיה י"ב כמה היה המספר הראשון
Answer: we take the known number, which is 12, then add its half to it; it is 18. We take a half of this sum; it is 9. We add another 12 to the 9; it is 21. We take its half; it is ten and a half and this is the original number that we seek for.	התשובה נקח המספר הידוע שהוא י"ב ונחבר אליו חציו ויהיו י"ח ומכל זה נקח החצי ויהיה ט' ואלו הט' נחבר עוד י"ב ויהיו כ"א ונקח חצים והם עשרה וחצי וזהו המספר שבקשנו בתחלה

$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{2}\sdot\left[12+\frac{1}{2}\sdot\left[12+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\right]\right]=\frac{1}{2}\sdot\left[12+\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)\right]=\frac{1}{2}\sdot\left(12+9\right)=\frac{1}{2}\sdot21=10+\frac{1}{2}}}$

Likewise, we can say this for any number, whether integers, or fractions, either few or many.	ובדרך זה נוכל לאמ' בכל מספר שיהיה בין של שלימים בין של שברי' בין מעט או רב
Question: if the half of any amount plus one are subtracted, then the half of the remainder plus one, then the half of the remainder plus one, and one remains, how much is the original number? $\scriptstyle\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[X-\left(\frac{1}{2}X+1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+1\right)\right]\right]+1\right]\right]\\&\scriptstyle-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left[X-\left(\frac{1}{2}X+1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+1\right)\right]\right]+1\right]\right]\right]+1\right]\\&\scriptstyle=1\\\end{align}$	שאילה אם מאי זה כמות ילקח חציו ואחד יותר ומהנשאר חציו ויותר אחד ומהנשאר חציו ויותר אחד ונשאר אחד כמה היה המספר הראשון
Answer: we take the one that remains lastly plus one; it is 2. We double it; it is 4, and add one; it is 5. We double it; it is ten, and add one to it; it is 11. We double it; it is 22, and this is the original number that we seek for.	התשובה נקח האחד שנשאר באחרונה ויותר אחד ויהיו ב' ונכפול אותם ויהיו ד' ונוסיף יותר אחד ויהיו ה' ונכפול אותם ויהיו עשרה ונוסיף עליהם ‫עוד אחד ויהיו י"א ונכפלם ויהיו כ"ב וזהו המספר הראשון שנשאל עליו

$\scriptstyle{\color{blue}{X=2\sdot\left[1+\left[2\sdot\left[1+\left[2\sdot\left(1+1\right)\right]\right]\right]\right]=2\sdot\left[1+\left[2\sdot\left[1+\left(2\sdot2\right)\right]\right]\right]=2\sdot\left[1+\left(2\sdot5\right)\right]=2\sdot\left(1+10\right)=2\sdot11=22}}$

Likewise, you can do even if you add each time two, or three, or as much as you wish, instead of the one.	ובדרך זה תוכל לעשות ואף על פי שתוסיף בכל פעם במקום האחד שנים או ג' או מה שתרצה
Shared Work Problem - Draining a Vessel - Barrel
Question: a barrel has three holes. Through one hole it is drained in a half of a day. Through the second hole, it [is drained] in a two thirds of a day. Through the third hole, it [is drained] in a three quarters of a day. When it is drained through the three holes together, how long will it take [the barrel] to be drained? $\scriptstyle\frac{X}{\frac{1}{2}}+\frac{X}{\frac{2}{3}}+\frac{X}{\frac{3}{4}}=1$	שאילה אם יהיה חבית אחת ויהיו לה ג' נקבים באחד יורק בחצי יום ובנקב השני בב' שלישי יום ובנקב שלישי בג' רביעי יום כשיורק בג' הנקבי' יחד בכמה זמן יורק
Answer: we say as follows:	התשובה נאמ' כך
From the hole that it is drained in half a day two barrels are drained in one day. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{2}}=2}}$	באותו נקב שיורק בחצי יום יורקו ב' [חביו']‫ ביום אחד
From the hole that it is drained in 2-thirds of a day 1 and a half are drained in one day. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{3}}=1+\frac{1}{2}}}$	ובנקב שיורק בב' שלישי יום יורקו ביום אחד א' וחצי
From the hole that it is drained in 3-quarters of a day 1 and a third are drained in one day. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{4}}=1+\frac{1}{3}}}$	ובנקב שיורק בג' רביעיות יורקו ביום אחד חבית אחת ושליש
We sum up all these three numbers; their sum is 4 barrels and 5-sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{2+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{3}\right)=4+\frac{5}{6}}}$	ועתה נחבר כל אלה הג' מספרי' ויהיה קבוצם ד' חביות וה' ששיות
Then, we say as follows: if 4 barrels and 5-sixths of a barrel are equal to one day, how much is one barrel equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{5}{6}\right):1=1:X}}$	ואחר נאמ' כך אם ד' חביות וה' ששיות של חבית שוות יום אחד כמה שוה חבית אחד
We complete the way and find that it is equal to 6 parts of 29 of a day. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{6}{29}}}$	ונשלים הדרך וימצא ששוה ו' חלקי' מכ"ט מיום אחד
Question: if there are three numbers, the [sum of the] first and the second is as the third, and the [sum of the] first and the third is as a hundred of the second. How much is each of the three numbers? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=c\\\scriptstyle a+c=100b\end{cases}$	שאילה אם יהיו ג' מספרי' והראשון והשני יהיו בכמות השלישי והראשון והשלישי כמאה מן השני כמה יהיה כל אחד מהשלשה מספרי‫'
Answer: we assume that these three numbers are parts of one thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+b+c=x}}$	התשובה נניח שאלו הג' מספרי' הם חלקי דבר אחד
We also assume that the [sum of the] first and the second numbers is half that thing and that the third is its other half. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+b=\frac{1}{2}x=c}}$	ונניח עוד שהמספר הראשון והשני הם חצי אותו הדבר והשלישי הוא חציו האחר
We say that if the [sum of the] first and the third is a hundred of the second, it seems that the second is one part of 101 parts of the whole. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+c=100b\longrightarrow b=\frac{1}{101}x}}$	ונאמ' אם הראשון והשלישי הם מאה כשני יראה שהשני הוא אחד ממאה ואחד מחלקי הכל
If the [sum of the] first and the second is half the whole, then we say that the difference between one part of 101 parts of the whole and half the whole is equal to the first number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+b=\frac{1}{2}x\longrightarrow\frac{1}{2}x-\frac{1}{101}x=a}}$	ואם הראשון עם השני הם חצי הכל א"כ נאמ' שההבדל שיש בין חלק אחד ממאה ואחד מחלקי הכל ובין חצי ‫הכל הוא שיווי המספר הראשון
But, the difference is 99 parts of 202 of the whole. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{2}x-\frac{1}{101}x=\frac{99}{202}x}}$	אבל ההבדל הוא צ"ט חלקים ממאתים ושנים מהכל
Hence, we say that the first number is 99 parts of 202 of the whole. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=\frac{99}{202}x}}$	א"כ נאמ' שהמספר הראשון הוא צ"ט חלקי' מר"ב מהכל
If the whole is 202, then the second number is 2, which is one part of 101 of the mentioned whole, which is 202. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=202\longrightarrow b=\frac{1}{101}\sdot202=2}}$	ואם הכל הוא ר"ב יהיה המספר השני ב' שהוא חלק אחד ממאה ואחד מהכל הנזכר שהוא ר"ב
Since the third number is half the whole and the whole is 202, then the third number is 101, which is half the whole and this is what we want. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{c=\frac{1}{2}x\longrightarrow c=\frac{1}{2}\sdot202=101}}$	ובעבור שהמספר השלישי הוא חצי הכל והכל הוא ר"ב א"כ יהיה המספר השלישי מאה ואחד שהוא חצי הכל וזה מה שרצינו
We have now three numbers: the first is 99, the second is 2, and the third is 101. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=99;\quad b=2;\quad c=101}}$	ועתה יש לנו ג' מספרי' הראשון צ"ט והשני ב' והשלישי ק"א
If we sum up the first number with the second, the result is 101 that is equal to the third. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+b=99+2=101=c}}$	ואם נחבר המספר הראשון עם השני יעלה מאה ואחד שהוא שוה לשלישי
If we sum up the first with the third, the result is 200 that is as a hundred times the second number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+c=99+101=200=100b}}$	ואם נחבר הראשון והשלישי יעלה ר' שהם מאה כמספר השני
We can apply this way with all the proportional numbers of this ratio, whether they are more or less. Q.E.D.	ובדרך הזה נוכל לעשות מכל המספרי' המתיחסים בזה היחס ואם היו יותר או פחות ומ"ש
Question: if there are three people in a partnership; half the profit is owed to the first, a third of the profit is owed to the second, and a quarter of the profit is owed to the third; the profit is 12. How much should each get? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=\frac{1}{2}X\\\scriptstyle a_2=\frac{1}{3}X\\\scriptstyle a_3=\frac{1}{4}X\\\scriptstyle X=12\end{cases}$	שאילה אם יהיו ג' אנשים בחברה אחת וחצי הריוח יהיה ראוי לאחד ושלישית הריוח לשני ורביעית הריוח לשלישי והריוח יהיה י"ב כמה יבא לכל אחד מהם
	התשובה צריך שתדע אם נתן לאחד החצי מזה המספר ר"ל הי"ב ושלישיתו לאחר ורביעיתו לאחר לא יספיקו ולכן צריך שנעשה בדרך זה שלמי שראוי החצי יקח פחות וכן השני וכן השלישי ויהיה בדרך זה שנקח אי זה מספר שנרצה שימצאו בו חצי ורביע ושליש כמו י"ב או כ"ד או ל"ו או אי זה שיהיה ונקח חציו ושלישיתו ורביעיתו ונקבצם יחד וזה הקבוץ יקרא מספר ראשון והריוח יהיה מספר שני וכל אחד ‫מחלקי המספר המקובץ יהיה מספר שלישי וכשיהיו בידינו אלו המספרי' נסדרם בדרך זה ונאמ' אם י"ב שוים י"ג כמה שוים ו' ונשלים היחס ונמצא ששוה [ה' וז' מי"ג] ואחר נחזור ונאמ' אם כל המקובץ שוה כל הריוח כמה שוה השליש ובמשלינו זה נאמ' אם י"ג שוים י"ב כמה שוים ד' ונמצא ששוים [ג' וט' מי"ג] ונחזור עוד ונאמ' אם כל המקובץ שוה כל [הריוח כמה שוה‫]‫ הרובע ר"ל אם י"ג שוים י"ב כמה שוים ג' וכו' ונמצא ששוים
	וזה מה שרצינו
	שאילה אם יחלקו העשרה בב' חלקי' שהאחד נחלק באחר שיצאו מהחלוקה ה‫'
	ולדעת זה צריך שנקדים שני הקדמות כוללות
	ההקדמה הראשונה היא שכמו שכל מחולק נחלק במחלק יוליד החלק גם כן כשנחלק המחולק על החלק יוליד המחלק
	ההקדמה השנית היא שמספר החלק ומספר יחס המחולק למחלק שוים
	המשל אם נחלק י' על ב' יהיה החלק ה' ומספר יחס המחולק למחלק ה' כי י' הם ה' פעמים שנים וזהו יחס מחולק למחלק וא"כ המחולק ביחס הוא ה' והחלק ה' בלתי היחס וא"כ במה שיש לכל אחד שם של ה' הם שוים וזה מ"ש
	ואחר ידיעת זה התשובה היא שנקח במחשבתינו חלק אחד מי' בלתי ידוע ויהיה שמו דבר אחד והי' בלתי דבר אחד יהיה המחולק ולפי ההקדמה השנית יהיה שוה לה' שהוא החלק וא"כ אם י' בלתי דבר אחד שוה לה' עם דבר אחד יהיה יותר מה' דבר אחד ובעבור שיהיו שוים החלק והמחולק נוסיף דבר אחד על הה' שהוא החלק ויהיו ו' ואחר שהמחולק והחלק הם שוים נחלק המחולק על החלק ויצא מהחלק שבקשנו שהוא א' ושני שלישיות וזהו הדבר האחד הבלתי ידוע שלקחנו מהעשרה ומה שנשאר עד תשלום י' שהם ח' ושליש המחולק והם ג"כ העשרה בלתי דבר שיהיה ג"כ מספר בלתי ידוע כמו שאמרנו ועתה אם נחלק ח' ושליש א' ושני שלישיות יבא לחלק ה' ואלו השני מספרים המחולק והמחלק הם עשרה וזהו מה שרצינו וכמו שאמרנו בעשרה להיות החלק ה' נוכל לומר גם כן אי זה מספר שנרצה בשנשמור היחסים הראויים לאותו מספר כמו שעשינו בזה המשל כי כמו שלקחנו לחלק ה' מי' נקח לחלק כ"ז משלשים ונעשה כאמור ותמצא באותו דרך שהמחלק הוא והמחלק כ"ח והחלק כ"ז כמו שידעתו וזהו מה שרצינו לזה

Book Three: Geometry	המאמר השלישי נדבר בו בקצת התחלות מההנדסה
	ויתחלק לשלשה כללים
Section One: Line	הכלל הראשון בידיעת השיעור הקווי
	ויתחלק לג' פרקים
Chapter One: Height	הפרק הא' בקצת התחלות ההנדסה וגדר הקו ובידיעת השעור הקווי בגובה
	ואחר שדברנו מז' מינים מיני המספר ומדרכי היחסים וקצת שאלות ותשובות צריך שנדבר עתה מקצת התחלות ההנדסה כדי שתדע הדרך איך תשתמש ביחסי המספרים הצריכים בה
	ולכן ראוי שתדע שתמונות ההנדסה הראשונות שבהן נוכל לדעת כמות אי זה גשם שיהיה או כל אחד ממרחקיו או התיחסות גשם לגשם או שטח לשטח או קו לקו הם שלש עצמיות שהם
triangle	משלש
quadrilateral	מרבע
circle	עגלה
	ובעבור שהגשם כולל בג' סגלות שהם
length	ארך
breadth	רחב
depth	עמק
	לכן נדבר בגדר כל אחד ובשיעורו
	וראשונה נדבר מהארך
	ובעבור שהארך ישוער בקוים נאמר מהו קו
Definition of line: the line is a quantity of length without breadth and depth, whose ends are two points	והקו הוא כמות ארך בלתי רחב ועמק וקצותיו הם שתי נקדות
	ובעבור שמיני השעור הקווי הם ג' שהם
height	גבה
plane	מישור
	עמק
	צריך שנדבר מכל אחד מהם
	וראשונה מהגבה
	כשתרצה לדעת אי זה גבה שיהיה תקח עמוד אחד שתדע שיעורו ויושם במישור מעומד וביושר בלתי שום נטיה ותטה עיניך בארץ בהיותך מביט לקצה הגבה שתרצה באופן שיעבור נצוץ הראות על קצה העמוד הגבה בקו ישר מעיניך עד קצה הגבה שתרצה
a3= the distance between the eye and the starting point of the height	ואחר תשער ממקום נטיית העין עד המקום התחתון מהגבה שאתה מבקש וזה יהיה המספר השלישי
a2= the size of the pole	ושיעור העמוד יהיה המספר השני
a1= the distance between the eye and the pole	והרוחק שיש בין העין והעמוד יהיה המספר הראשון
the height = $\scriptstyle\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}$	ואחר תיחס בדרך שידעת אם זה שוה זה כמה שוה זה בהכותך השני בשלישי ונחלקהו במספר הראשון ויצא לנו הגבה שבקשנו וזה מה שרצינו

Chapter Two: Length	הפרק השני בידיעת שהשיעור הקווי במישור
	כשנרצה לדעת ארך זה מישור שיהיה יושם על הארץ מעומד עמוד אחד ישר שנדע שעורו ובמקום שנרצה ובלתי שום נטיה
length of the surface = BH	ודרך משל יקרא המישור ב"ה
pole = AB	ועמוד הישר א"ב
stick = GD	ובעמוד א"ב נשים יתד אחד שנקרא ג"ד על זויות שוות באופן שכשיביט האדם מראש העמוד לקצה המישור יעבור נצוץ הראות על ראש היתד ביושר עד קצה המישור המבוקש
length = $\scriptstyle BH=\frac{GD\sdot AB}{AG}$	ואחר תכה כמות ג"ד על א"ב וזה יחלק על א"ג ויצא לנו כמות ב"ה שהוא אורך המישור שבקשנו וזה מה שרצינו

Chapter Three: Depth	הפרק השלישי בידיעת השיעור הקווי בעומק
depth = AD	כשנרצה לדעת אי זה עומק שיהיה ונניח שיהיה העומק א"ד
pole = HZ	ונשים עמוד אחד על שפת העומק ויהיה ה"ז
stick = ZB	ונשים יתד אחד בעמוד בזויות נצבות על שפת העומק ויהיה ז"ב ויעבור עד א' ונקודת המבט תהיה ה' שעל ראש העמוד ויעבור נצוץ המבט מנקדת ה' ועל קצה היתר לזויות העומק שהוא ד' באלכסון
$\scriptstyle\angle HZB=\angle BAD = 90^\circ$	והנה בעבור שזוית הז"ב הוא שוה לזוית בא"ד הנצבת
$\scriptstyle\angle ABD=\angle ZBH$	וג"כ זוית אב"ד שוה לזוית זבה הנגדיים
$\scriptstyle\angle BHZ=\angle ADB$	והזוית הנשאר שמקיף אותו בה"ז שוה לזוית שמקיף ‫אותו אד"ב
$\scriptstyle\longrightarrow\triangle ADB\sim\triangle BHZ$	א"כ כל זויות משולש אד"ב שוות לכל זויות משולש בה"ז ולכן צלעותיהם מתיחסות
$\scriptstyle BZ:ZH=BA:AD$	ויהיה יחס ב"ז לז"ה כיחס ב"א לא"ד
Depth = $\scriptstyle AD=\frac{HZ\sdot BA}{ZB}$	ועתה נכה שעור ה"ז על שעור ב"א ונחלקהו על ז"ב ויצא לנו שיעור א"ד וזה מ"ש

Section Two: Surface	הכלל השני מהמאמ' הג' בידיעת [השיעור השטחיי
	ויתחלק לה' פרקי‫'
Chapter One: Equilateral Triangle	הא' בידיעת שיעור‫]‫ שטח המשולש השוה הזויות הצלעות
	ואחר שדברנו מהכמות הקויי וכל שיעוריו עתה צריך שנדבר מהכמות השטחיי ושיעוריו
	וראשונה נדבר מגדרו
Definition of surface: the surface is a quantity that has length and breadth without depth, whose limits are two lines.	השטח הוא כמות בעל אורך ורוחב בלתי עומק שתכליותיו ב' קוים
	והתמונות השטחיות הראשונות הם ג' מינים או יהיה שוה הג' צלעות או שוה השתי צלעות בלבד או מתחלפות ג' הצלעות
	ואם תהיה שוות הג' צלעות צורתה זאת
	ואם נרצה לדעת כמותה נחלק הצלע האחד בב' חלקי' שוים ומנקודת החלוקה ששם ד' נוציא קו ישר עד הזוית הנגדיי שהוא א' וזה הקו נדע כמותו באי זה מדה שנרצה ונשמור אותו
	וצריך שנדע עוד כמות אחד מהצלעות
	ונכה חצי זה הכמות בכמות הקו השמור אצלנו ומה שיעלה הוא כמות כל שטח המשולש וזה מה שרצינו

Chapter Two: Isosceles Triangle	הפרק השני בידיעת שיעור שטח המשולש שוה הצלעות
	ואם יהיה המשולש שוה שתי הצלעות בלבד צורתו היא זאת
	ולדעת כמותה נחלק הצלע הבלתי שוה בשני חלקי' שוים ומנקודת החלוק ששם ‫ד' נוציא קו אחד ישר עד הזוית הנגדיי שהוא א' ונדע כמות חצי הצלע שחלקנו וכמות הקו הישר שעשינו ונכה האחד על האחר ומה שיעלה הוא כמות כל שטח המשולש וזה מ"ש

Chapter Three: Scalene Triangle	הפרק הג' בידיעת שיעור שטח המשולש מתחלף הצלעות
	ואם יהיה המשולש מהג' צלעות מתחלפות צורתו זה
	ולדעת כמותו נוציא קו ישר בלתי שום נטייה מהזויות הרחב ששם א' לצלע הנגדיי ונדע [כמותו]‫ ר"ל כמות הצלע הנגדיי ונשמור אותו ונדע עוד כמות הקו הישר שעשינו ונכה אותו בכמות הצלע השמור אצלינו וחצי מה שיעלה הכל הוא כמות כל שטח המשולש ומ"ש

Chapter Four: Quadrilateral and Square	הפרק הרביעי בידיעת שיעור שטח המרובע ושטח הרבוע
	ומיני המרובע שבהם נדע כמות כל המרובעים שיהיו והם ב‫'
1) square	המין האחד שיהיה שוה האורך והרוחב
2) rectangle	והמין השני שהאורך והרוחב בלתי שוים
	ולדעת כמות המרובע השוה האורך והרוחב שצורתו זאת
area of a square = side1×side1	הוא בדרך זה שצריך שנדע כמות הצלע האחד ונכה אותו בעצמו ומה שיעלה הוא כמות כל שטח המרובע וזה מה שרצינו
	ואם נרצה לדעת כמות שטח המרובע שאורכו ורוחבו בלתי שוים שזאת היא צורתו
area of a rectangle = sidelong×sideshort	צריך שנדע כמות הצלע הגדול וכמות הצלע הקטן ונכה האחד באחר ומה שיעלה ‫הוא כמות השטח כולו וזה מ"ש שתדע כלל אחד לכל מיני המרובעי‫'

Chapter Five on Knowing the Measure of the Circle according to the Opinion of the Sages	הפרק החמישי בידיעת שיעור העגול לפי סברת החכמים
To know the area of a circle approximately, whose shape is this:	ולדעת כמות שטח העגלה בקרוב שזאת היא צורתה
We should know the half of the diameter and multiply it by half the perimeter of the circle; the result is the area. ½diameter × ½perimeter	צריך שנדע חצי האלכסון ונכה אותו בחצי הקף העגלה ומה שיעלה הוא כמות השטח
To know the perimeter of the circle:	ולדעת כמות העגלה
We triple the diameter, then add one-seventh of it; and so the perimeter of the whole circle. perimeter of a circle = (3·diameter) + (⅐·diameter)	נשלש האלכסון ויוסיף עוד החלק השביעי ממנו כך הוא כמות כל העגלה
	ובעבור שאין יחס בין הקו הישר והבלתי ישר לכן הוא נמנע לדעת כמות העגלה בדקדוק אמתי אלא בקרוב
	ובאלו העגלות שאנו עושי' נוכל להתקרב לידיעת אמתתם
	ואם יקרה טעות אינו נחשב למעוטו אבל בעגלות הגדול כ"ש השממיות שיהיה הטעות הגדול מאד
	ולכן אמרו ארגימידש ואלפארבי שמי שיתן לעגלה כמות שליש האלכסון ומע' חלקים ממנו העשרה שנותן פחות מן העשרה א"כ כמות האמתי הוא בין ע' חלקים וע"א מהאלכסו' וזה מה שרצינו בתמונות השטחיות
	ואחר שדברנו מהכמות השטחי נדבר עתה מהגשמי
	ולכן ראוי שנאמר קודם מהו גשם
Definition of solid: solid is a quantity that has three dimensions, which are length, breadth and depth, whose limits are surfaces.	א"כ גשם הוא כמות שיש לו שלשה מרחקים שהם ארך ורחב ועמק שתכליותיו הם שני שטחים

Section Three of Book Three: [Solid]	הכלל הג' מהמאמ' הג‫'
Chapter One: Volume
In it one chapter on knowing the volume of any solid.	ובו פרק א' והוא בידיעת שיעור אי זה גשם שיהיה
The first bodily figures are three and they are:	והתמונות הגשמות [הגשמיות]‫ הראשונות הם ג' שהם
Pyramid	משולש [מחודד]
Square solid	‫מרובע [ומוגשם]
Sphere	ועגולה [כדור]
If we wish to know their volume, as if we wish to know the volume of a square, or non-square, or triangular container, how much it contains, we should know first the area of the base in the way we mentioned, then multiply it by its depth, and the result is it volume.	ואם נרצה לדעת כמותם כמו שאם רצינו לדעת כמות כלי אחד מרובע [מעוקב] או בלתי מרובע [מעקב] או משולש [מחודד] כמה יכיל צריך שנדע קודם שטח התושבת בדרך שאמרנו ואחר נכהו בעומקו ומה שיעלה הוא הגשמיות [כמותו הגשמי]
Example: let there be here a container, whose base is 3 cubits and its depth is 2.	המשל נניח שיש בכאן כלי אחד שהתושבת שלו הוא ג' אמות ועומקו ב‫'
We multiply 2 by 3 and the result is it volume.	נכה הב' בג' ומה שיעלה הוא כמותו
If the area of the bottom base of the container is greater than the area of its upper base, or vice versa, we know the area of each of them, sum them up, take a half [of the sum] and this is the area that should by multiply by the depth. We multiply them and the result is the volume of any solid container.	ואם שטח תושבת הכלי יותר גדול משטח פיו או בהפך נדע שטח כל אחד מהם ונחברם ונקח החצי וזה יהיה כמות השטח הראוי להכות עם העומק ונכם ומה שיעלה הוא כמות כל גשם הכלי
Since there are no other figures that we can know their volume in the way we stated, but these, therefore, if we wish to know the volume of any other figure, we should convert it to one of these triangular or square figures, of whichever type they may be, by cubing the figure we want, or squaring it, Q.E.D.	ובעבור שאין שם תמונות אחרות שנוכל לדעת שיעורם בדרך שאמרנו אלא אלו לכן אם נרצה לדעת שיעור אי זה תמונה אחרת צריך שנהפכנה באחת מאלו התמונות המשולשות או המרובעות מאיזה מין שיהיה מהם וזה בשנשלש התמונה שנרצה או נרבע אותה וזה מה שרצינו
Whoever is well versed in these principles can easily study all the books of Euclid and any science that obtains its principles from arithmetic.	וכל מי שיהיה בקי באלה ההתחלות יוכל לעיין בקלות בכל ספרי אוקלידס וכן בכל חכמה שתקנה התחלותיה ממלאכת המספר
We have already discussed at length everything that is necessary for our purpose.	וכבר הארכנו בכל מה שצריך לכוונתינו
Supplement (Oxford MS d.5) – operations with fractions
	דרך אחרת קצרה יותר ממה שכתבנו בחבורנו בענין ההכאות והחלוק והיחסים
	קודם כל דבר צריך לדעת מספר הפועל ומספר הפעול והם נעשים בדרך זה
	וראשונה המספר הפעול הוא בכל מה שיכתב תחת הקו
	והמספר הפועל הוא בשלש דרכים [שלם לבד] שבר לבדו או שניהם כאחד
	ואם יהיה שלם לבד יקרא מספר פועל
	ואם יהיה שבר לבד המספר שעל הקו שלו יקרא מספר פועל
$\scriptstyle2+\frac{3}{4}$	המשל אם יהיו בידינו ב' שהם שנים שלמים ושלשה רביעיות
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right) +3=8+3=11}}$	נכה הב' שלמים על ד' ויהיו ח' עוד נוסיף עליהם ג' שעל הקו כאמור ויהיו י"א וזהו המספר הפועל שלהם
	א"כ כשנדע המספר הפועל והפעול בדרך שאמרנו ונרצה לעשות שום הכאה נכה פועל המספר האחד עם פועל המספר השני וזאת ההכאה נחלק בהכאת פעול האחד עם הפעול השני
	או יהיה פעול לשני המספרים ואם לא יהיה שם אלא פעול אחד הוא יהיה המחלק
$\scriptstyle\frac{20}{3}\times\frac{19}{5}$	המשל נרצה להכות
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot3=15}}$	נעשה המחלק שהוא הכאת הפעולים שהם ה' וג' שעולה ט"ו וזהו המחלק
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{19\sdot20=380}}$	ואחר נעשה המחולק מהכאת הפועלים שהוא י"ט עם כ' שעולה ש"ף
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{3}\times\frac{19}{5}=\frac{380}{15}}}$	וזה נחלק בט"ו שהוא המחלק
	ודרך החלוק הוא זה שהמספר שרצינו שיהיה המחלק הוא שנכה הפועל שלו עם פעול של האחד וזהו המחלק ואותו שנרצה שיהיה המחולק נכה הפועל שלו בפעול של האחד וזהו המחולק ואח"כ נחלק האחד באחר
$\scriptstyle\frac{3}{5}\div\frac{2}{3}$	המשל נרצה לחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\div\frac{2}{3}=\frac{9}{10}}}$	נעשה הפועלים יותר והראשון הוא ט' והשני י' ונחלק ט' בי' ויהיו ט' עשיריות
	ומדרך היחסים מונחים הג' מספרי היחס שהם ראשון ושני ושלישי נבקש הפועל ראשון בפעול שני וכל מה שיעלה נכה בפעול השלישי אם יהיה לו פעול ואם לא באי זה פעול שימצא וזאת ההכאה תקרא המחלק ונשמור אותה א"כ נכה פועל השני עם פועל השלישי והעולה נכה בפעול המספר הראשון אם לא יהיה לו פעול ואם לא יספיק הכאת הפועלים וזאת ההכאה תקרא המחולק ואחר נחלק המחולק במחלק ויצא היחס המבוקש
$\scriptstyle20:\left(15+\frac{5}{37}\right)=\left(5+\frac{2}{7}\right):X$	המשל אם כ' שוים ט"ו וה' חלקים מל"ז כמה שוים ה' וב' שביעיות וזו היא צורתו
denominator 1: 20	ולפי הנאמר פועל הראשון הוא כ'
denominator 2: 560	ופועל המספר הב' תק"ס
denominator 3: 37	ופועל המספר השלישי ל"ז
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20\sdot37\right)\sdot7=740\sdot7=5180}}$	א"כ נכה הכ' שהם הפועל של המספר הראשון על פעול המספר השני שהם ל"ז ויעלו תש"מ ואלו נכה בפעול המספר השלישי שהם ז' ויעלו ה' אלפים ק"ף וזהו המחלק ונשמור אותם
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{560\sdot37}}$	ואחר כך נכה תק"ס שהוא פועל המספר השני עם ל"ז שהוא פועל המספר השלישי
	וזאת ההכאה נחלק במחלק ששמרנו ומה שיצא הוא היחס המבוקש
	נשלם
	תהלה לאל יתעלה השם
	ונשלם הספר הזה ספר המספר לעלי לידי לי אליאו גבה בכ"ר אליעזר יצ"ו בשנת עזרה בצרות נמצא ליצירה בחדש טבת כ"ה בו

Appendix I: Glossary of Terms

arithmetic	ארישמטיקה
science	חכמה
astrology	חכמת התכונה, התכונה, בתכונה
mathematics	חכמות הלמודיות
music	מוסיקא
arithmetic	מלאכת המספר
geometry	הנדסה
geometry	מלאכת ההנדסה
decimal system
number	מספר (ה), מספרי ה, מספרים
number	מנין, מניין ה
number	חשבון, חשבונות
numeral	תמונה, תמונות המספר
numeral, digit, letter	אות (ה), אותיות, האות ה... מה, אותיותיו
numeral	סימן
zero	סיפרא, סיפרש, סיפראש
unity, unit, units	אחדות
units	אחדים, אחדות, המספרים האחדים
tens	עשרות
hundreds	מאות
thousands	אלף, אלפים
decimal place	מקום (ה / של), מקומם, במקום (ה)
rank	מקום, מקומות, מקומותיו
rank	מעלה, מעלות
rank	מדרגה, מדרגות, מדרגת ה, מדרגותיו, מדרגותיהם
rank	הבדל (ה), הבדלים, הבדלותיו
decade, none-units rank	כלל, כללים
numerical value	בשם
numerical value	כמות במספר
positional decimal method	בדרך המספר
addition
to add	לחבר, נחבר (אותו עם / אליהם / אליו ה / אלו ה... עם ה / ה / עליהם ה / ... עם / הכל / כל אלו ה), נחברם (עם)
summing	חבור (ה... ל), החבור משניהם
addition	תוספת (ה)
to add	להוסיף (על / ... על), הוספנו ל, הוספנוהו על, הוספת ה, נוסיף (אותם עליהם / ה / ל / לו ה / עליהם / עליהם ה / עליו / עליו ה / עמהם ה / ה... ל / ... ל / ... על ה / ... עליה / עוד ה / עוד... על), נוסיפה ל, נוסיפהו (ב / על / על ה), נוסיפם (ב / ל / על ה), תוסיף (ב / ה)
to add	יוסיף עוד ה
to sum	נעשה קבוץ מהם
addition, sum	קבוץ (ה / ה... ל / ה... וה / אלו / ... ל / מה), קבוצם
sum	קבוץ כל ה, קיבוץ... יחד, המקובץ מכל ה, המספר המקובץ
to sum up	לקבץ, נקבץ (כל ה), נקבצם יחד, קבצנו ה... וה
total sum	קבוץ כלם, המקובץ מכלם, הקבוץ של כלם, קבוץ כל ה
added	מחובר ל, נקבץ
to be summed	יקובצו, מקובץ באחד
result of addition, sum	המקובץ, הקבוץ מ...עד
division
division	החלוק, חלוק (ה / ... ב), חלוקת, החלק ה, המחלק, בחלוקה, חלוקו, חלק ה
to divide (by)	לחלק (ה / ... ב), חלקנו... ב, נחלק (ב / ה / ה... ב / ה... על / ה... על ה / ... ב / ... על / זה ה... ב), נחלקהו (ב / על ה), נחלקם (ב / ל / על / על ה)
	נחלקהו במחלק, נחלקם במחלק
	נחלקם על המחלק
	נחלק המחולק במחלק
	נחלק המחולק על החלק
	נחלק ה... ב... חלקים
	נחלק ... בשני חלקים שוים
to be divided (into)	יחולק ה... ב, יחלק (ב / ה / ל / על / ... ב), נחלק (ב / ל), יתחלק ל, תתחלק ל
	יחלקו ב... חלקים
	יחלקו ... ב... חלקים
divisor	מחלק, חלק
dividend, divided	מחולק (ב), מתחלק
indivisible	בלתי מתחלק, שלא נחלקו, שלא יחלק
quotient, result of division	חלק, החלק, מספר החלק, בשם חלק
	יבא מהחלוקה, יבאו מהחלוקה, יבאו ...מהחלוקה, יבאו ... מהחלק
	יבא לחלק
	היוצא לחלק
	יצא מהחלוק, יצא מהחלוקה, יצאו מהחלוקה, יצאו ... מהחלוק
	יצא מחלוקתו
	יצא מהחלק
	יצאו לחלק
	מה שיצא לחלק
halving
halving	חלוק באמצע, חלוק ה... באמצע
to halve	לחלק מ, נחלק אותו, לחלק ... באמצע, נחלק ה... באמצע
to halve	נקח החצי, נקח חצי ה, נקח מה... חציו
	ילקח חציו
	מחולק באמצע
doubling
doubling	הכפול, כפול ה, כפל ה
doubling operation	בדרך הכפול
to double	לכפול (כל אחד מ), יכפול, נכפול (אותם / ה), נכפלם
double	נכפל, כפל (ה), כפלו של, הכפלים
twice	כפול, כפל
first double, 2	הכפל הראשון
to be doubled	יוכפל (ה), נכפל, נכפלים
sum of doubles	הנכפל
sum of doubles	העולה מכל הנכפל
multiplication
multiplication	הכאה (על), הכאת (ה / ה... ב / ה... על ה / ה... עם ה / ... ב / ... על), בהכאתו ב, הכאות
to multiply	בהכות (ה... ב / ... עם), בהכותך ה... ב, להכות (ב / ה / עם ה / אלו ה... ב / ... על)
	הכהו ב, הכינו (אותם ב / ... ב), מכים עמו כל, נכה (אותו ב / אותם ב / אותה על ה / אותו על / אותם על / אותו עם ה / אלו ה... על ה / ב / ה / על ה / עליו ה / עם ה / ה... ב / ה... על / ה... עם / זאת ה... עם / ... ב / ... על / ... עם), נכהו (ב / עם כל ה / ... ב), נכם (ב / על / על ה עם ה), תכה (... ב / ... על)
	נכה ה... זה על זה
	נכה ה... האחת בחברתה
	נכה ה... כל אחד עם שכנגדו
	נכה האחד על האחר, נכה האחד באחר
to be multiplied by	יוכה (ב / על ה / ה... ב), מוכה (ב / על)
multiplied	המספר המוכה, המוכה, המוכה עם ה, המוכים
	הכאת ... בעצמו, הכאת ... בעצמם
	הכאת ה... בעצמו, הכאת ה... בעצמם
	הכאתו בעצמו
to multiply by itself	מכה... בעצמו, נכה אותו בעצמו, נכה ה... בעצמה, נכהו בעצמו
	יוכה בעצמו
	מוכה בעצמו
	נכה ה... באופן מעוקב
	נכה ה... בעצמה באופן מעוקב, נכה ה... בעצמו באופן מעוקב, נכה ... בעצמם באופן מעוקב
	יוכה בעצמו באופן מעוקב
	מוכה בעצמו באופן מעוקב, מוכה בעצמו באופן מעקב
product, result of multiplication	העולה מהכאה, העולה מהכאת, העולה מההכאה
	היוצא מהכאתם
product	הכאה, הכאת, הכאות
total product	קבוץ הכאת
to multiply	לרבע (ה / ... ב / ... עם / זה ה), נרבע (אותה / ה... ב)
multiplication	רבוע (ה / מ / מ... ב / ... עם)
product, result of multiplication	רבוע
product, result of multiplication	העולה, והעולה מ, העולה מהכאת הפועל והפעול
product, result of multiplication	המקובץ מההכאה
multiplier	פועל (ה), מספר הפועל, הפועלים
multiplicand, multiplied	פעול (ה), מספר הפעול
	מה שיצא מההכאה
	יצא מההכאה, יצאו מההכאה
	הכאת .. במרובעם, הכאת ה... במרובעם
	נולד בהכאת ... במרובעם
	הכאה מעוקבת, ההכאה המעוקבת מה, ההכאה המעקבת מה
	יולד מההכאה המעקבת, יולד מההכאה המעוקבת, יולדו מהכאת, יולדו מהכאה מעוקבת
	ובעצמה באופן מעקב, ובעצמה באופן מעוקב
multiplication table	לוח ההכאות
multiplication table	לוח הרבוע
to triple, to multiply by three	נשלש (ה), נשלשה, נשלשהו
tripled	משולשת, המשולשת, המשולשת ה, המשולשות, המשלשות, משלשת, המשלשת
	תחת משלשת, תחת המשלשת, התחת משלשת, התחת המשלשת, תחת המשולשת, התחת משלשות, התחת משולשות
subtraction
subtraction	חסור (ה), החסור, חסרונם
to subtract	לחסר (אותה מ / ... מ), חסריהו מ, חסרנו (אותם מ), נחסר (... מ / ... מה / ה... מה), נחסרהו (מ / מהם), נחסרם (מ / מה / מהם), מחסר
to be subtracted	יחסר, יחוסר, מחוסר (מ / מה), תחוסר
to be subtracted	יוסר ממנו, יוסרו (מ / מה / כל אלו ה)
subtrahend	המספר שחסרנו, המספר המוסר
to subtract	ויסיר
to subtract	נוציא, נוציאם מ
to cast out by nine	נחסר התשעיות מ, נשליך ה... לתשיעיות
to cast out by nine	נשליך ה... ט' ט'
to cast out by nines	נחלקם לתשעיות, נחלקהו בתשעיות
to cast out by nine	נוציא ג"כ התשיעיות
remainder from casting out by nine	הנשאר מהתשיעיות
difference	החסרון
deficiency	מה שיחסר ל, חסרים
ratio
relation, ratio	התיחסות, התיחסות ... ל
ratio, relation	יחס (ה... ל), יחסים (ה), יחסי (ה / ה... מ), יחסי המספרים
	כיחס ... אל, כיחס ה... אל ה
	יחס ... ל... כיחס
	יחס בין ה... וה
	היחס שיש בין ה... וה
	היחס שיש בין ... ל
	יחס ה... ל... כיחס ה... ל
	יחס ה... ל... יהיה כיחס ה... ל
	יחס ... ל... כיחס ... ל
	מספר יחס ה... ל, מספר היחס ה... ל
	היחס שימצא בין ה... וה
	אותו יחס ימצא בין ה... וה
	ביחס (ה) , ביחסי ה, בזה היחס
	לפי אותו היחס
to relate	ליחס אותם ל, ייחסנו ה... ל, ניחס, ניחס אותם ל, ניחסהו ל, תיחס, תיחסהו ל
proportional numbers	מספרי היחס
	המספרי' המתיחסים בזה היחס
	דרך היחסים, דרכי היחוסים, בדרכי היחסים
rule of three	בדרך שאם זה שוה זה, בדרך שכך שוה כך כמה שוה כך
rule of four, proportion of four numbers	יחס הד' מספרים, יחס הד' מספרים המתיחסים, יחסי הד' מספרים המתיחסים
	בדרך הד' מספרים המתיחסים
	ד' מספרי' מתיחסים, ד' מספרים מתיחסים
rule of three, proportion of three numbers	יחסי כל ג' מספרים המתיחסים, ג' מספרים מתיחסים, התיחסות הג' מספרים
rule of six, proportion of six numbers	יחס הששה מספרים המתיחסים, יחס הו' מספרים המתיחסים, ששה המספרים המתיחסים, ו' מספרים מתיחסים
proportional	מתיחסות
	סדר
	סדר ראשון, הסדר הראשון
root
root	שרש (ה / מ / ל), שרשים, שרשי (ה), שרשו, שרשם
root	עקרי
square root	שרש המרובע
cube root	שרש המעוקב, השרש המעוקב, שרש מעקב (של), שרשים מעקבים, שרשי המספרים המעוקבים, שרש המספרים המעוקבי'
approximate	יותר קרוב (ל), היותר קרוב (ל / אליו), היותר קרובים ל, היותר קרוב שאפשר (ל / ש)
	בקרוב
to come close	להתקרב ל
closest	יותר קרוב ל
closer	קרוב מ
imperfect square	מספרים הבלתי מרובעים
imperfect cube	מספרי' הבלתי מעקבים, מספרים הבלתי מעוקבים
square number	מרובע, מרובעים, מספר מרובע, המספרים המרובעים
to cube	לעקב
cube number	מעוקב (מ), מעוקבים, מספר מעוקב, מספר מעקב (של)
	מעוקב שלם
	מציאות שרשי המספרים
	לבקש שרשו, לבקש שרשם, בקשנו שרשם, בקשת שרשם
	לבקש השרש המעוקב
	למצא שרש, למצא שרש מספר, למצא שרשם
	נמצא שרשו, נמצא שרשם, תמצא השרשים
	ימצא להם שרש
	ימצא שרש ל
	ימצא שרש מעקב
	הוצאת השרש
	להוציא זה השרש, נוציא השרש, נוציא שרשם, ונוציא ... השרש, תוציא השרש
	לדעת השרש, לדעת שרש ה, תדע שרש
	לדעת השרש המעקב של
	לדעת השרש המעוקב מ
	יש לה שרש, יש להם שרש, יש לו שרש
	בעלי שרש
	אין שרש ל, אין להם שרש, אין לו שרש, אין שרש אמתי ל
	יש להם שרש מעקב, יש לו שרש מעקב
	בעלי שרשי מעוקבים, בעלי שרשים מעקבים
	אין לה שרש מעקב
fraction
fraction	שבר, שברים, המספרים השברים
to become fraction, to be fractionalized	ישבר
fraction line	קו (של), קו השבר ה, קוי השברים
numerator	המחולק
denominator	מחלק
common denominator	מחלק
common denominator	משותף, המספר המשותף
common denominator	המורה
common denominator	במקום שלם, במקום השלם, מקום שלם, מקום של שלם
to share a common denominator	ישתתפו שני ה
first rank of fractions	שברים ראשונים
second rank of fractions	שבירה שנייה
conversion, transforming	השבת
sexagesimal fraction	שברי התכונה, השברים התכונים, השברים בחכמת התכונה, השברי' שבחכמת התכונה
	מספרי התכונה
degree	מעלה, מעלות
minute	ראשונים, ראשוניים
second	שניים
third	שלישיים , שלשיים, שליש
fourth	רבעיים, רביעיי'
fifth	חמשיים
to be converted	ישובו (ל)
part	חלק (מ / ה... ממנו / ... מ), חלקי (ה), חלקים (מ / ממנו / ... מ), חלקיו
part of unit, part of a whole	מחלקי שלם אחד , חלקי השלם, מ... חלקי השלם, חלקים מהשלם
	אחד מ... חלקי השלם, חלק אחד מ... חלק שלם, חלק אחד מ... חלקים משלם
	אחד מהכל, חלק אחד מ... מהכל, חלק אחד מ... חלקים מהכל
	אחד מחלקי הכל, חלק אחד מ... חלקי הכל, חלק אחד מ... מחלקי הכל
	חלקים מהכל, חלקים מ... חלקי הכל, חלקים מ... של הכל, חלקים מ... מהכל
	החלק ... חלקי השלם
	חלקים מ... חלקי השלם
	חלקים מ... מהשלם, חלקים מ... בשלם
	חלקים מ... של שלם אחד
	חלקים מ... חלקים של שלם, חלקים מ... חלקים של שלם אחד
name of fraction	שם החלק
calculation
calculation	חשבוננו
integer	שלם, שלמים, המספרי' השלמים, המספרים השלמים
last item, an	האחרון, המספר האחרון
even number, even term 2an	זוג, זוגות
odd number	נפרד, נפרדים, נפרדות
perfect number	מספר השלם, המספר השלם, המספרים השלמים
prime number	מספר ראשון, המספר הראשון
to count	למנות, מונה, נמנה
to be counted	ימנה עמה
double false position	בדרך המתנגדים, דרכי המתנגדות
false position	המתנגדים
geometry
figure	תמונה, תמונות (ה), תמונות ההנדסה
shape	צורתה, צורתו
measure, measurement	מדה, מדת ה, מדות
measure	שעור, שיעורו, שעוריו, שעורם
size	שעור (ה), שיעור ה, שעורו, שיעורו
area	שיעור ה
area	השעור השטחי, שעור שטח ה
volume	שעור
size	כמות (ה) , כמותה, כמותו
area	כמות (ה / כל ה), כמותה, כמות השטח, הכמות השטחי
volume	כמות, כמותם, כמותו, כמותו הגשמי
container	כלי
cubit	אמות
pole	עמוד
standing	מעומד
inclination	נטיה, נטייה, נטיית ה
point	נקודת ה, נקדת, נקדות
midpoint	נקודת החלוקה, נקודת החלוק
line	קו, קוים
lined, linear	קווי, קוויי
plane	מישור
surface	שטח, שטחים
area	שטח (ה), כמות שטח ה
plane	השטחיי, השטחי, שטחיות
straight line	קו ישר, הקו הישר, קו... ישר, בקו ישר מ
not straight	הבלתי ישר
straight	ביושר, ישר
angle	זוית (ה), זויות (ה)
right angle	על זויות שוות
right angle	זויות נצבות
right angle	הנצבת
obtuse angle	הזוית הרחב
opposite angle	הזוית הנגדיי, נגדיים
opposite	הנגדיי
distance	רוחק
dimension	מרחקים, מרחקיו
depth	עמק, עומק, עמקו
length	ארך, ארכו, אורך
width	רחב, רחבו, רוחב
height	גבה, גובה
high	הגבה
top of	ראש ה
on top of	על ראש ה
limit	שפת ה
limit	תכליותיו
end	קצה ה, קצותיו
side	צלע (ה), הצלע ה, צלעות, צלעותיהם
triangle	משלש, משולש
triangular	משלשות
equilateral	שוה שלשת הצלעות
isosceles	שוה שתי הצלעות בלבד, שוה בשתי צלעות בלבד
scalene	מתחלף שלש הצלעות
equilateral triangle	המשלש השוה הזויות
equilateral triangle	המשלש שוה הצלעות, המשולש שוה הצלעות
equilateral triangle	המשולש שוה הזויות
scalene triangle	המשלש מתחלף הצלעות
quadrilateral	מרבע, מרובע, מרובעים, מרובעות
square	רבוע, המרובע השוה האורך והרחב
rectangle	המרובע שארכו ורחבו בלתי שוים
circle	עגול, עגלה, עגלות
diameter	האלכסון
diagonally	באלכסון
perimeter of a circle	הקף העגלה
perimeter of a circle	כמות העגלה
noncubic	בלתי מעקב
bottom base	תושבת (ה)
top base	שטח פיו
pyramid	מחודד
cube	מעוקב
solid, solid body	גשם (ה), מוגשם
bodily	גשמי, גשמיות
sphere	כדור
to encompass	מקיף אותו
to draw	נוציא (קו)
to pass	יעבור (... על)
to halve	נחלק ה... בשני חלקים שוים
to divide	חלקנו
to be measured	ישוער ב
to estimate	תשער

א.ה.ב. friend אוהבי favorite, preferred נאהבים א.מ.ר. to say, to declare, to describe, to note לומר, לומ' (ש) אומר, אמר, אמרו, אמרנו (ב / ש), נאמ' (ש), נאמר (אותם / ש / ככה / כן ב) aforementioned זה שאמרנו, שאמרנו (ש), שאמרנו למעלה, אמרנו למעלה ש aforesaid האמור, האמורה, האמורה למעלה, האמורות, האמורים, האמורים למעלה, הנאמר as aforesaid כאמור, כאמור למעלה as aforesaid כמו שאמרנו (ב), כאשר אמרנו למעלה ולפי מה שאמרנו כפי שנאמר במקומו כמו שכבר נאמר ב ולפי מה שאמרנו למעלה הדרכים האמורים למעלה באופן האמור למעלה בדרך שאמרנו (ב / למעלה) treatise מאמרים, מאמר (ה) א.פ.ש.ר. to be possible to אפשר (ל / ש) possible אפשרי א.ר.כ. to elaborate הארכנו ב lengthiness, extensiveness אריכות, באריכות ב.א.ר. to explain נבאר (איך) to be explained, to be interpreted מבואר, מבוארים להוסיף ביאור, להוסיף לך ביאור ב.ו.א. to appear, to come out יבא to result יבא, יבאו, יבא לנו ה יבא לכל חלק, יבא לכל אחד מהם ב.ח.נ. to observe להבחין, יבחנו כל ב.י.נ. to understand להבין to be understood יובן, יובן בכל ה, יובנו ב ב.נ.ה. to generate יבנו אותו to be generated from יבנה מ ב.ק.ש. at the request of לבקשת to seek, to look for בקשנו (ה), מבקש, נבקש (ה / ה... כך / ה... ככה ש) to examine, to check בקשנו sought after, wanted, required המבוקש , המבוקשים, המספר המבוקש מה שבקשנו, שבקשנו ג.ד.ר. to define גדרנוהו to be defined יגדר, נגדר definition גדר, גדרו ד.ב.ר. saying, words דברי, דברים to discuss דברנו (מ / ב), נדבר (ב / מ) to talk about מדברים מ ה.פ.כ. to transform תהפך, תהפכנה vice versa, inversely בהפך reverse, opposite הפך ח.ב.ר. author מחבר to compose חברתי treatise חבור ח.ז.ר. to turn, to become יחזור, תחזור, חזרה to repeat the procedure of נחזור ו, נחזור עוד ו to return again נחזור שנית ל to fractionalize החזרנו אותם ל, החזרנום ל, נחזיר ה... ל to convert נחזירם ח.ל.פ. to convert נחליפם ל to switch נחליף ה to exchange להחליף (ממנו) different מתחלפים, מתחלפות diversity, variety חלוף exchange חלוף change חלוף חלופים ט.ע.ה. to err טעינו error טעות י.ד.ע. knowledge, knowing ידיעת (אלה ה / אלו ה), בידיעת (ה) to know (that) לדעת (אותם / אלו ה / זה / הכל / כל / ש / אם / כמה / מה הם ה), לדעתו (ב) דע (אלו ה / כי / ש), ידענו (ה / ש), ידעת (ש / כל זה), ידעתו, נדע (הכל / ש / מה הוא), נדעהו ב, תדע (ה / כי / ש) כמו שידעת, כמו שידעתו לדעתו בדרך הזה ש, דעהו בדרך זה ש, נדעם בדרך זה ש to be known ידוע ש, יודע (ב / ש / לנו), יודעו בדרך הזה ידענו בזה הדרך יודע ידועים, הידוע, הידועים (לנו) המספר הידוע בלתי ידוע, הבלתי ידוע מספר בלתי ידוע, המספר הבלתי ידוע, המספרים הבלתי ידועים י.כ.ל. to be able יוכל ל, נוכל ל, תוכל ל י.ל.ד. to produce יוליד (ה / אותו), יולידו, יולידהו, מוליד (אותו) to be generated יולד (מ), יולדו (ה / מ) י.צ.א. to result יצא (ה / מ), יצאו יצא לנו (ב / ה) שיצא ב שיצא לך מה שיצא היוצא, היוצא מהם to take from, to extract להוציא ה, נוציא (ב / ה / ממנו / ה... ב / ה... מה / ... ה / ... מה / ... מה ש), הוצאנו נוציא ה... ש, נוציא ה... כך (ש) י.ר.י. meaning, signification הוראתם indication להוראת to indicate יורה ש, מורה, תורה שיורה על indicator המורות (ה / על) to mean, to signify תורה י.ת.ר. remainder, (result of subtraction) מותר, המותר מ, הנותר (מה / משניהם) כ.ו.ל. to contain יכיל כ.ל.ל. to be included יוכללו ב comprehensive כולל, כוללים, כוללות including כולל, כולל ל inclusive כולל לכולם consist of כולל ב כ.ת.ב. writing כתיבתו to write לכתוב, כתבנו (על / למטה), כתבתי זאת ה, נכתוב (אותו / אותם ב / אותם במקום / אותם על ה / אותה תחת ה / ב / במקום / כנגדו / על ה / עליהם / ה / ה... על ה / ... ב / ה... ב / ... אחר ה / ... אצל ה / ... על / ... על ה / תחת / תחתיה / תחתיו / ... תחת / ... תחתיו) נכתוב כל אחד, נכתוב כל אחד אצל חברו, נכתוב כל אחד בצד חברו נכתבהו, נכתבם (ב / על ה) תכתוב... ב to be written יכתבו, יכתב (מה ש) written כתוב ב, הכתובים ל.מ.ד. teaching, doctrine לימוד, למוד (ב / ה / מה), למודים student לומד teacher מלמד ל.ק.ח. to take לקחת (ב), יקח, לקח (מה), לקחנו (מה), נקח (ב / ה / מ... ה / ... מ / מזה הכל ה), תקח ב to be taken שילקח, ילקח מ, שלוקחו ממנו לקחנו ל, נקח ל to consider as נקח ה... בשם, תקח בשם, תקחהו בשם נקח ה... כמו to suppose נקח במחשבתנו מ.ח.ק. to erase ימחוק, נמחוק ה מ.נ.ע. impossible נמנע ל necessarily, inevitably לא ימנע מ מ.צ.א. to find למצוא (ה / אלה ה), למצא (בהם ה / בו / ה), מצאנו (אותו ה / ה), מצאת, נמצא, נמצאהו כך נמצא ה... כך, ונמצא ה... ככה ש to find out that, to discover מצאנו ש, נמצא ש, תמצאנו, תמצא ב... ש to be discovered ימצא ש to be found ימצא (ב / ביניהם אותו ה / לו), ימצאו (ה / בו), נמצא, נמצאו אצלנו, נמצאת ימצא ה... כך ש נמצאת (בש), הנמצאת, הנמצאים, המספרים הנמצאים finding, discovery מציאות (ה) existence מציאות common denominator שימצאו בו כל אלו השברים, המספר שבו ימצאו כל אלו השברים שימצא בו, שימצאו בו שנמצא בו אלו ה נמצאים ב מ.ש.ל. to give an example, to illustrate למשול example משל (ב / ה / ל), המשל (ב / כי / ל / מ / ש), המשל בזה, המשל לזה המשל לזאת הצורה משל אחר (ל) נעשה משל אחר (בש) נ.ב.ט. to look יביט (... מ... ל), מביט ל sight מבט הבטות נ.ג.ע. not exceeding over שלא הגיע ל to deserve יגיע לו מ נ.ו.ח. to leave בשנניח, הנחנו leaving בהניחנו let us suppose, for example נניח, נניח ש, נניח עוד ש הנחנו במחשבה, נניח קודם במחשבה ה to be supposed יונחו to place הנחת, נניח (ה... על / ... על), ננחם ב to be placed יונח denotation הנחת to be given מונחים ה נ.ס.ע. to shift נסיע ה.... לאחור, נסיעה (ל / לאחור / אות אחת לאחור / אות אחת אצלה) נסיעם כל אחת לאחור אות אחת נ.ש.ג. to get, to obtain, to achieve להשיג ב, ישיג בו ב, נשיג ב to be achieved, to be obtained יושג ב נ.ת.נ. giving נתינת (דרך / דרכים / משל) to give, to donate יתן (ל / ... ל), יתנו, נתן (אותו ל / ל), נתנם ל, נתננו ל to yield נותן ס.ד.ר. order סדר, בזה הסדר arrangement, order סדורם method סדר, סדרים to order, to arrange לסדרו, נסדר (אותם), נסדרהו, נסדרם (כך / ככה), סדרנו (ה) נסדר ... כך, נסדר ... ככה נסדר על שווי, נסדר ה... על שווי ה arranged, ordered to be ordered, to be arranged יסודר, יסודרו, מסודרים (ב) and so on וכסדר הזה and so on successively וכן כסדר, וכן כסדר הזה, וכן כלם כסדר הזה successively, sequentially כסדר according to this method כסדר הזה progression בסדר המספר ס.כ.ל. not to know נסכל ה, סכלנו ה ס.פ.ק. to be enough, to be sufficient יספיק, יספיקו ל, מספיק (לכל) וזה יספיק (ב / במה ש), וזה מספיק ב, וזה מספיק בזה (ה) not enough זה אינו מספיק יהיה שלא יספיקו ל ע.ב.ר. to shift, to move נעביר, נעבירם ל to proceed to, move forward to נעבור ל ע.ז.ר. with, with the help of בעזר clinging to each other נעזרות ע.י.נ. to study, to investigate, to examine, to look carefully לעיין (ב), נעיין (ב / ה), עיין, תעיין (ב) המעיינים ב עיון ע.ל.ה. to result יעלו (ל), יעלה (ל), עולה (ל), עלו (כלם), שעלו result העולה (מ), מה שיעלה (מ), מה שעלה מה, כל מה שיעלה to exceed by עולה יותר מ not exceeding over שלא יעלה ל ע.מ.ד. to stand יעמוד תחת ה to rest יעמדו ע.ש.ה. formation, establishing העשות, עשיית זה to do, to operate, to make לעשות (ה / מ), נעשה (ב / בש / כן / כן ה / כן ש / מ / ... ה / ... מה / ... מהם), נעשהו, עושי', עשהו, עשינו (בזה ה), תעשה (ב / ב... ש / כך) to be done נעשים כמו שעשינו (ב / בזה) מה שעשינו שעשינו (מה) נעשה בדרך זה ש, תעשה בדרך זה ש, נעשה ה... בדרך זה (ש) בדרך הזה תעשה נעשה... כך נעשה ה... כך (ש) נעשה ה... כן (ש) נעשה ה... בש, נעשה ה... ככה בש יעשה ה... כן to be performed, to be carried out יעשה (מ), יעשו להעשות (בכל ה) העשוי מ to become יעשה (ה) to convert נעשה (מ / מה) to yield, to produce עושה, העושות ה in theory and practice בעיון ובמעשה פ.ע.ל. operation פעלה, פעלת (ה), פעלתו, פעלתנו, פעולתנו תפעול פעולתה procedure הפעל deed, action, work פועלם צ.י.ר. to be conceived יצויירו to be formed, to be shaped יצויירו צ.ר.כ. should צריך ש, צריך ל required, needed צריך, הצריכים (בה / ל), הצריכות ב, צריכות אליה to need צריכים (מה / ... ל) הוצרכנו ל, נצטרך (ל / ב... ל), מצטרכים ב כל מה שיצטרך ב ק.ד.מ. נקדים ההקדמה ה, הקדמות ancient הקדומים ק.ל.ל. to make easier, to facilitate להקל מ easily בנקלה, יותר בנקל easier יותר נקל easily בקלות ק.נ.י. to acquire תקנה to bestow, to grant מקנה ק.ר.א. to be named, to be called יקרא (ה), יקראו, נקרא (ל), נקראת, תקרא (ה) to call, to name, to designate לקרוא לה, נקראהו ר.א.י. to see תראה אותם, רואה (ש), ראינו (ש), ראית ש, נראה (ש) יראה ש, יראה מכאן ש, יראה לנו מזה ש illustration כמו שיראה בצורה הזאת, כמו שיראה בצורה זו, כמו שנראה זאת הצורה, כמו שנראה ב כנראה בצורה זאת, כנראה בצורה זו לפי הנראה בצורה זו seeing, realizing בראותי visible, can be seen הנראה as seen, as observed כמו שיראה (ב) should, it is advisable that ראוי (ל / ש) הראוי ל, הראויים ל, הראוי לו ב appropriate ראויים ל to deserve יהיה ראוי ל יותר ראויה לזה מה to deserve ראוי ה sight ראות proof ראיה ש, הראיות ר.כ.ב. to consist of, to be composed of יורכב מ composed of; consisting on מורכב מ ר.מ.ז. to ascribe, to refer to ירמוז ל, תרמוז אליהם to allude, to refer רומזים ל, לרמוז על, תרמוז ל alluding, indicating רומזת, הרומזת ל alluded, indicated נרמזים ב ר.צ.ה. to want, to wish תרצה (ל), רוצה (ל), נרצה (ל / אותה), ירצה (ל), רצינו (ל) כמי שרוצה ל אי זה שנרצה אי זה ... שנרצה אי זה מה... שירצה מה שרצינו, מה שתרצה שנרצה, שרצינו, שתרצה the sought after, wanted, required וזה מה שרצינו, וזהו מה שרצינו, וזה הוא מה שרצינו כמו שרצינו whatever you want, and so on as you wish כל מה שתרצה ר.ש.מ. רשימת ה נרשום (אותה / אותה ה / ה) ש.א.ל. question, problem שאלה, שאלות ישאל (על / עליהם), נשאל עליו, נשאל ישאלו לנו ש הנשאלים שואל ש.א.ר. remainder הנשאר, הנשאר מ, הנשארים, שנשאר to remain, to be left ישאר, ישארו (ה / ... על / ... על ה), נשאר (ל), נשארו ישאר בידינו, ישארו לך, הנשארים לו מה שישאר, מה שנשאר to preserve, to leave נשאיר ישאר אי זה דבר לא ישאר אלא the rest השאר nothing remained, no remainder לא ישאר דבר, לא נשאר דבר לא ישאר כלום, לא נשאר כלום לא ישאר מאומה לא ישאר יותר לא נשאר שום דבר no more remains שלא נשאר יותר ש.ו.ב. to return ישובו (ל) to become ישוב ש.ו.ה. equal שוה (ה / ל / כ), שוים (ל), שווים, שוות, שות ל, השוה, ששוה, ששוים (ל), מספר שוה (לכל ה) to be identical to, to be equal to שוה, שווה ל, ישווה, יהיו שווים, יהיו שוים (ה / ל), יהיו שוות, יהיה שוה (ל), תהיה שוה ל to be worth שוה (ה / ל), ישוה ה, ישוו, שישוה כל כך ש worth more שוה יותר מ equal parts חלקים שוים equally שוה בשוה value שווי (ה) highest in value השוה יותר, ששוה יותר unequal הבלתי שוה ש.ו.מ. to place, to mark נשים (תחת ה / ... ב / ... על), ונשימה אצל ה, נשימם על ה, משים, שמנו (למטה), תשים תחת ה יושם (ב / על / תחת ה) ש.ל.מ. completion תשלום, תשלום הכל, עד תשלום finalization, summing up תשלום to complete, to finish נשלים (ה / זה ה) עד שנשלים כלם to be completed נשלם (ה) ש.מ.ר. to keep, to reserve נשמור (אותה / ה), נשמור אותו, נשמרהו, נשמרם reserved, kept שמור, השמור אצלנו תשמור כלל זה ש ש.מ.ש. to use תשתמש ב ת.ח.ל. to begin (with), to start להתחיל (ב / מ), אתחיל, יתחיל ב, נתחיל (ב / ל / מ), תתחיל ב beginning התחלת at first תחלה premise, principle התחלות, התחלות מ, התחלותיה

wise, sage, wise man החכמים learned, intellectual, thinker משכילי' the Spanish הספרדי city ממדינת kingdom ממלכות necessary הכרחיים, ההכרחיים necessary הכרחי (ב / ל) בהכרח with great effort, with great trouble ובטורח גדול barely, with great difficulty בקושי גדול short, brief קצר brevity, briefness ובקצור preferable נבחר to strive, to make an effort ישתדל ל to comprehend יקיף ב to be saved from וינצל מ useful, beneficial מועיל (ב), מועילים ב loss of time, waste of time ומהפסד הזמן to desire, to wish לבו חפץ arithmetic book ספר המספר, ספרי המספר book ספר, ספרי booklet הספר הקצר section כלל, כללים, הכלל (ה / ה... מה) chapter פרק (ה), פרקים, הפרק ה... ב column טור (ה), טורים row טור (ה), טורים, שבטור (ה) answer, solution תשובה, תשובות בקצת שאלות ותשובות מישירות בקצת שאלות ותשובות question, problem דרושינו, דרושנו required דרוש check מופת (ה / זה ה / ל / לזה) proof מופת (ש / זה / מה), והמופת על זה (ש) demonstrative, exemplary מופתיים skill מלאכה science מלאכה, מלאכות work מלאכה property סגלה, סגולה, סגלות, סגולותיהם, סגולותיו, סגולתם type מין, מיני (ה) category, class מין, מיני (ה), המין (ה / הזה / ש), במין (ה / הזה / זה ש) בזה המין (ש) מזה המין באי זה מין הוא types of operations מיני (ה) type סוג (ה), הסוגים ה manner, way אפני, אופני (ה) באופן ש, באופן זה, באופן אחר פן (ה), הפן ה, פנים affair, matter ענין (ה), ענייני, עניינים element עניינים property, characteristic הטבע ש reason סבה ש, סיבה ש, לסבה ה, לסבות ה principle שרש on basis of על שרש method דרך (ה / ל), דרכים type דרכים through, by way of ע"ד, על דרך procedure הדרך (ה / הזה), בדרך (ה / הזה / זה / זה ש / ש), בזה הדרך (ש), כדרך זה, זה הדרך מדרך ה ודרך משל another method דרך אחר (מ), דרך אחרת מ shortcut בדרך קצרה, בדרכים הקצרים דרכים מישירים (ב / ל) דרך כללי שבו דרך אחד כולל ל דרכים כוללים form, figure צורות illustration צורה, צורות בצורה (זו / הזאת), בזאת הצורה (זה / זו / זהו) צורתו, זאת היא צורתו, זו היא צורתו, צורתו היא זאת זו היא הצורה ה, זאת הצורה ה והנה צורתו, והנה לך צורתו, והנה לך צורה, והנה לך צורתם שצורתו זאת, שצורתם היא זאת מהצורה לצורה זו ש quantity הכמה quantity כמות (ה), כמותו, בכמות ה, בכמות מן ה continuous quantity כמות המתדבק, כמות מתדבק, הכמה מתדבק, הכמה המתדבק discontinuous quantity כמות המתחלק, כמות מתחלק, הכמה המתחלק shared by, common to משותפות ל guiding, leading straight מישרים, מישירות aspect חלקי (ה) portion חלקים opinion, assumption סברת foundation, element יסוד primary element, primary part חלק ראשון to be remembered, maintained by memorizing יקויימו בזכירה aforementioned הנזכר, הנזכרת, הנזכרות, הנזכרים (ב) בדרך המוזכר שלמעלה בדרך הנזכר כנזכר smallness למעוטו מעט מעט יותר רב smaller than, less than פחות (מ / מה / ממנו / מן ה), פחותה מ, פחותים מ smaller number המספר הפחות larger, greater than, more than יותר (ב / מ / מה) more than יותר... משום no more and no less לא פחות ולא יותר, לא פחות ולא יתר deficit הפחות excess היותר minus פחות minus בלתי (ה) plus ויותר plus עם (ה) plus בתוספת supplement התוספת מ excess התוספת more עוד further, in addition עוד another עוד as a sign that לאות ש עשרה לאות הסמוכה לה, עשרה עם האות הסמוכה לה necessarily יתחייב ש, מתחייב מ skilled בקי ב to know by heart ידע זה הלוח על פה table לוחות distinction הבדל, הבדליהם difference הבדל, ההבדל מה... אל ה, ההבדל בין ... ובין, ההבדל שיש בין... ובין to be identified יוכרו בטוב to be plenty, to be a lot of ירבו, ירבו ה... מאד מאד multitude הרבה multitude רבוי remainder המותר מה, מותר ה empty space מקום פנוי name, designation שם (של), שמו, בשם ה, השמות considered as units בשם decimal position בשם end, completion כלות intention כונתינו (היה ל) meaning כונת (ה) required מספר המכוון related שיוחסו אליו with respect to מיוחס ל better יותר טוב into half באמצע side צד, צדדים, מהצד ש, בצד to elaborate הרחבנו בו rule הכלל ל, זה הכלל rubric בית (ה) to remove לבטל ה, יבטל to shift נסייע ה, לסיע מ to be shifted ללכת to be complete יגמר כל ה technique בתחבולה, בזאת התחבולה to be subject to שיקבל the same applies הוא הדין liquid measure משורות currency מטבעות geographical location, place מקום, המקום ה, המקומות flour קמח bread לחם לבן, לבנים to decree גזר ה... ש king מלך ליטרין שקל, שקלים gold bar חתיכת זהב to weigh שוקל weight משקלים partnership חבורה, חבורות, חברה share חלק ה, בחלקו profit ריוח (ה) loss הפסד amount לכמות ה amount, total, whole הכל (ה), כל goods סחורה man אדם people אנשים to contribute הכניס (ה / ל) thing, x דבר, דברים barrel חבית, חביות hole נקב, נקבים to be drained יורק ב, יורקו (ב / ... ב) day היום time זמן as long as כל זמן ש, בכל זמן ש times פעם, פעמים (ב / יותר מה / כמו ה) as many times as שכל כך פעמים... כ essence, element עצמיות ground ארץ to look תטה עיניך ב ray of sight נצוץ ה eye עין, עיניך stick יתד accuracy, exactly בדקדוק true meaning אמתתם to happen, to occur יקרה (ש / ב), יקרו בהם to be considered נחשב heavenly השממיות to have יהיו בידינו, יהיה לו, יהיה לנו, יהיו לה, יהיו לנו, יש ל, יש להם, יש לו, יש לנו, שיש להם, שיש בידינו having בעל to be, to result להיות, היותו, היה (ה), היינו, יהיו (ה / ב / מ / מה), יהיה (ה / זה / ב / בו), תהיה, שיהיה, שתהיה ה בהיותך there is יש (ב / בו), יש בכאן, שיש (בה / בו) אין, אינו (מ), אינם (מה), שאינו, אין בכאן, אין שם, אין שום, אינו כן ב אנו, אתה, הנך הוא (ה / ש / כש / זה), היא (ה / זאת / ש), הם (ה / אלו) those ההם, ההיא שהוא (ה), שהיא (ה), שהם (ה) הזה, זה (ב / ה / ש / הוא / בש), זהו (ה), הזאת, זאת (ה), זו (ה / היא), אלה (ה), אלו (ה / הם / הן), האלו בזה (ה), באלו ה, מאלה, מאלו (ה) מזה ה, לזה ה כזה any, all, every כל (ה / אלו ה / זה), כלם, כולם, כולו, הכל, בכל (ה / ... מהם), שבכל, מכל (ה), כל ... ביחד each of כל אחד (מ / מה / מאלו / מהם), כל אחת (מ / מה), כל א' (מה) מכל אחד מהן, כל א' וא' for each לכל, לכל אחד (מ / מה) one of אחד (מ / מה / מהם / מן ה), אחד מאלו ה, אחת (מ / מאלו ה) what מה ש, מה שיהיה what is מהו all that כל מה ש(יהיה / יהיו) במה (ש / שהם) whoever מי ש, למי ש whoever כל מי ש as someone who כמי ש whichever, any שום whichever כל ... שיהיו, כל ... שיהיה whatever, any of אי זה (מה / ... ש), אי זה שיהיה, אי זה שיהיו, אי זה שתהיה (מ), אי זה... שיהיה, איזה ... שיהיו, איזה ... שיהיה, אי זה ... שיהיה (מהם) whatever מאיזה, מאי זה... שיהיה, מאי זו ... שתהיה, מאיזו ... שיהיו באי זה ... ש, באי זה ... שיהיה whatever כמו ש anything מה שהוא itself עצמו, בעצמה, בעצמו, בפני עצמו same אותו (ה / ש), אותם (ש / שמ / ה.... ש), באותו (ה), מאותו (ש), מאותם (ש / של), כל אותם שהם whichever אי זה of של (ה), שלה, שלהם, שלו of מן ה of them שבהם, שבהן, בהם, מהם ש right ימיני, ימנית left שמאלי, שמאלית preceding קודם לה, הקודמת, הקודמת לה, הקודמת להם preceding שעבר, שעברה, העוברות next, consecutive הבאה, באות, להבא succeeding, successive, sequential נמשך אליו, הנמשך לזה, הנמשכת (אליה / אליהן / אחריה / לה) near, closest הסמוכה, הסמוך (אליה / ל) large, great, large number גדול, הגדול, המספר הגדול יהיה יותר גדול מ המספר היותר גדול היותר גדולה הגדול מאד small, small number קטן, הקטן, הקטון, המספר הקטן, המספר הקטון היותר קטן הקטן ממנו mean אמצעי, מספר אמצעי, המספר האמצעי bottom תחתון (מה), תחתונה, תחתונות less than, smaller than תחת upper, top עליון, עליונה, עליונות other חברו others האחרים another, other אחר, אחרת, אחרים, אחרות the rest האחרות last אחרון, אחרונה, אחרונים, אחרונות, המספרים האחרונים correct, true אמיתי, אמיתית, האמתיים, אמתי, אמת incorrect, erroneous אינו אמתי, אינו אמת, אינה אמיתית היותר אמתיים corresponding, similar הדומה (לה), הדומים (ל), הדומות (ל) single היחידי special מיוחדות new חדשה opposite סותרו separate from הוא חוץ ל preposition above, on top למעלה, כמו למעלה שלמעלה (מהם / ממנו), של מעלה, אותו שלמעלה, אותה שלמעלה הימינה כמו שלמעלה מה שלמעלה הימנו, מה שלמעלה מהם כל מה שלמעלה upwards ומעלה beneath, underneath למטה (מהם) שלמטה (מה), אותו שלמטה, מה שלמטה, מלמטה by, times, multiplied by על אל ה, אליה with עם, עמה above על (ה), שעל (ה), שעליה, שעליהם, שעליהן, שעליו, מה שעל ה beneath תחת (ה), תחתי, שתחת (ה), שתחת תחת ה, מה שתחת ה next to it שבצד (ה), שבצדה, שבצדו (ה), שבצדם, שמצד (ה) מצד, מהצד ה, מצדה, מצדו לצד ה to the right לצד הימין to the left מצד שמאל (אליה) in the middle of באמצע corresponding to כנגד (ה), שכנגדו, נגדו, הנגדיות ממנו between בין ... ו; בין ה... וה, בין... ובין in בו after אחר (ה / ש), לאחר (ש), אחריה before קודם ש, יותר קודם ה, שקודם ה until עד (ה / ש) מ... עד ה except for מלבד as much as כל מה ש as, as much as כמו (ש / ה) as well as כמו such as כמו as כפי (ה / ש / מה ש) כמי ש as, a kind of מעין ה in order that כדי (ל / ש) according to לפי (ה) except אלא except for זולת, זולתם, זולת זה מ without בלתי (ה / ש / שום) אצל ה, שאצלה adverb always לעולם, וכן לעולם always תמיד every time, whenever בכל פעם whenever בכל עת ש then אז now עתה still עדיין infinitely אל לא תכלית, עד בלתי תכלית then, afterwards אחר, אחר כך, אח"כ firstly, first of all קודם כל דבר first, firstly בראשונה, ראשונה, וראשונה first קודם here בכאן together יחד, ביחד, יחד עם only, alone לבד, לבדו only בלבד except that, only אלא ש a few of קצת, קצת מ, בקצת (זה) very מאד therefore לכן then אם כן, א"כ also, moreover וכמו כן also גם, גם כן, ג"כ, כן ג"כ similarly וכן similarly ובדומה לזה et cetera וכו' similar בכיוצא לאלו ה so, thus כן, כך (ה / הוא), ככה, שכך as many as כל כך, כל כך ... ש, בכל כך how much, how many, by how much כמה (הוא / הם / היה ה / שהוא / ...יש ב / ...יש לו), בכמה כמה יש עד כמה יש מ... עד תשלום thereby בש how איך where ששם there שם here הנה (ש / הוא) instead במקום (ה) anywhere בכל מקום ש hence מכאן indeed האמנם indeed וכבר already כבר at the end, finally באחרונה backward לאחור forward לפנים by heart על פה very well הרי טוב meaning, i.e. כלומר, כלומ' i.e., that is to say ר"ל all the more so כ"ש conjunction because, for למה ש because, for כי hence לכן if אם if not ואם לאו and so on וכדומה moreover וכן yet אבל but אבל but אלא since היות, להיות ה, להיותו since אחר ש because, since בעבור ש provided that בתנאי זה ש, בתנאי ש whether… or אם... או, אם ש... או ש אם ... אז אם... אם לא בין ... בין בין ש...בין ש, בין ש... או even if ואם when כש except for אלא although ואע"פ ש

אינו אלא, אינם אלא nothing but, only אין ... אלא, אינך ... אלא אין... שום לא... אלא (ה / ל) לא... שום ואם לא לא ואכ"כ first thing והראשון ש ראשון, ראשונה (מ / מה), ראשונות, ראשונים, מספר ראשון, המספר הראשון שני, שנית חצי ה, חציים, חציו ה, החצי מ שליש, שלשי, שלישי, שלישית, שלשית, שלשיות, שלישיות, שלשיים, שלישי ה רבעי, רביעי, רביעית, מספר רביעי, רבעיות, רביעיות, רביע, רובע חמישי, חמשי, חמישית, חמשיות, חמישיות, חומש ששי, מספר ששי, ששית, ששיות שביעי, שביעיות שמני, שמיני תשיעי, תשיעית, תשיעיות עשירי, עשירית, עשיריות decuple, ten‑fold עשיריתו אליאו גבה בכ"ר אליעזר יצ"ו בכ"ר son of the honorable Rabbi נ"ע God rest his soul ובעזר השם, ב"ה , בע"ה, בעה"ו with God's help Alexandria אלישנדריאה, אלישנדריא', אלכסדריאה Aragon ארגון Bursa ברוסה Constantinople קוסטנטינה, קוסטנדינה, קושטנדינה Oriola אוריאולה Euclid אקלידס Archimedes ארגימידש al-Fārābī אלפארבי תהלה לאל יתעלה השם much study is a weariness of the flesh (Ecclesiastes 12, 12) ולהג הרבה יגיעת בשר the hand of my God which was good upon me (Nehemiah 2, 18) יד אלהי הטובה עלי shook my lap (Nehemiah 5, 13) נערתי חצני Be merciful unto me (Psalm 57, 2) חננני השם as the shining light, that shineth more and more unto the perfect day (Proverbs 4, 18) כאור נגה הולך ואור עד נכון

Appendix II: Bibliography

Isaac Ben Moses ‘Eli / ‘Ali
Oriola, Aragon, Spain, 15th century
Meleket ha-Mispar

Manuscripts:

1) Leiden, Bibliotheek der Rijksuniversiteit Cod. Or. 1090/3 (IMHM: f 19382), ff. 25v-49r (16th century)

2) Oxford, Bodleian Library MS Heb. d. 3 (IMHM: f 22729), ff. 21r-44r (Cat. Neub. 2774, 2); (16th century)

3) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 141 (IMHM: f 22111), ff. 17r-36r (Cat. Neub. 1297, 2); (15th century)

4) Oxford, Bodleian Library MS Poc. 187 (IMHM: f 19350), ff. 9r-46v (Cat. Neub. 2060, 1); (1503)

Poc. 187

5) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/4 (IMHM: f 15721), ff. 72r-83v (15th-16th century)

heb. 1029/4

6) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1095/2 (IMHM: f 15045), ff. 7-49 (15th century)

heb. 1095/2

The transcript of the text is based on manuscript Paris 1095.

Bibliography:

• Steinschneider, Moritz. 1893–1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, p. 208 (h74); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.