Part One: Addition & Subtraction
|
|
Chapter One: Introduction
|
הפרק הראשון מהחלק הראשון מהספר הראשון
|
|
ראוי שנודיע למה הקדמנו קבוץ מספר על מספר משאר החלקים
|
|
ואומר לפי שהוא יותר פשוט מהם וקודם בטבע מהם עם היותו יותר פשוט מהם להיות שכל אחד מהם מורכב מזה ומהענין המיוחד לו
|
|
והדבר אשר יורכב מדבר הדבר אשר יורכב ממנו הוא יותר פשוט מהמורכב ההוא
|
|
ואומר שכל אחד מהם מורכב מזה ארצה מאחד משני חלקיו או משניהם יחד
|
|
כי זה יחלק לשני מינים
|
|
אם שיהיה הקבוץ הזה בלתי משתנה ממדרגת נקבציו וזה באחד עד תשעה פעמים ובשנים עד ארבעה פעמים ובשלשה עד שלשה פעמים
|
|
ואם יורכב מאלה יהיה לפי חשבונו המיוחד לו או שיהיה הקבוץ הזה משתנה ממדרגת נקבציו וזה יחלק לשני חלקים
|
|
אם שישתנה ממדרגת נקבציו ולא יהיה שם רושם כלל מהמדרגה ההיא
|
|
או שישתנה וישאר גם רושם מדרגת נקבציו שם ולכן הוא קודם מהמורכבים ממנו
|
|
ואין לאומר שיאמר כי להיותו פשוט ראוי לאחרו מן המורכב ממה שביאר אריסטו בתחלת ספר השמע שראוי להקדים הכולל מהמיוחד לשלש סבות
|
|
האחת שהכולל יותר ידוע מהמיוחד וראוי ללכת מהיותר ידוע אל היותר מוסכל
|
|
והשנית שלא נשיב המאמר האחד פעמים הרבה
|
|
והשלישית שתהיינה ההקדמות מיוחדות כי יצדק הכולל שגדרו נשוא על המיוחד כאשר ינשא גדר המין על אישיו וכן המספר נשוא על חלקיו
|
|
אולם גדר העשרה מצד מה שהם עשרה לא ינשאו על מספר אחר לא על תשעה ולא על זולתו
|
|
ולכן בכזה ראוי להקדים המיוחד על הכולל כי מקבוצו יודע הכולל
|
|
ואם היותו קודם בטבע מהם מפני שכאשר נעלה הוא יעלו גם הם ולא יתהפך וכשימצאו הם ימצא גם הוא ומפני אלו הסבות היה ראוי להקדימו מהם
|
|
וראוי שנקדים להזכיר קודם שכל המספרים נכללים בתשעה
|
|
כי מאחד עד תשעה ישלמו האחדים ובהגיעך אל העשרה הגעת אל עשירית אחת עד שתשלים כל העשרות עד תשעים
|
|
עוד ממאה התחלת באחד ובהגיעך אל תשע מאות השלמת כל המאות עד שתתחיל עוד מאלף אחד וכן ללא תכלית
|
|
ולהיות זה בטבע כאשר חשבו רבים או בבחירה כאשר נחשב אנחנו אין עת להכריע עתה בזה כי אינו מכונתינו
|
|
ולכן תקנו אנשי הודו תשעה אותיות להיותן מורין על תשעה מספרים והתחלפות מדרגותם יורו על התחלפות מדרגות התשיעיות כאשר נבאר וזה צורתם
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
|
ולא הסתפקו באותיות האלפבית כי לכל אחד מהם צורה מיוחדת הנחיית מה שאין כן לאלו האותיות כי הן מופשטות מכל הנחה ומשותפות לכל צורה שתחול עליהן והן כדמות ההיולי הראשון
|
|
ומדרגת הנחתן הוא כמו הצורה להן
|
|
וכן יוכל כל אדם לחדש אותיות אחרות זולת אלה
|
|
ואמרי אותיות לא ארצה מן אותיות האלפביתא אבל סימנים מופשטים מכל חשבון כאלה
|
|
אבל כבר נהגו כל בעלי החשבון להשתמש באלה
|
Chapter Two: Addition
|
הפרק השני
|
|
ראוי להודיע כי המספרים אשר הם מאחד ועד תשעה יקראו פרטים
|
|
ומן העשרות ומעלה יקראו כללים ר"ל העשרות והמאות והאלפים והרבבות והשאר
|
|
ואע"פ שיקראו בשם הכלל אבל אין מדרגתם אחת רק יש כלל כולל כלל אחד וכן זה אחד עד שיגיע אל האחדות
|
|
לכן ראוי לבעלי החשבון לכתוב מדרגות חשבונם כסדר שיכתבו הכלל היותר כולל ראשונה ואחריו הכלל השפל ממנו וכן על הסדר עד שיגיעו אל האחדים
|
|
עוד כשיבואו לכתוב מספר אחר תחת אלה שישמרו הסדר הזה ויכתבו כל כלל תחת הדומה לו ר"ל הרבבה תחת הרבבה והאלף תחת האלפים והמאה תחת המאות והאחדים תחת האחדים
|
|
ונקרא א"כ האחדים מדרגה ראשונה והעשרות מדרגה שניה והמאות מדרגה שלישית והאלפים מדרגה רביעית וכן ללא תכלית
|
|
ואם יהיה בידך מספר שאינו מסודר בכל מדרגותיו כגון שהיו בידך אלפים ועשרות ואחדים והנה המאות הם חסרים משם השמר לך שלא תכתוב העשרות בצד האלפים אבל תכתוב האלפים ובמקום המאות תכתוב גלגל אחד 0 הנקרא בלשון ישמעאל סיפרא ובלשון יון אודין ובלשון לעז נולא
|
|
כלומר כי בכאן הוא מקום המאות ואין שם דבר
|
|
ואחר הגלגל תכתוב העשרות במקומו ובזה יהיו המדרגות כל אחת עם חברתה על קו ישר
|
|
וכשתרצה לקבץ כל הטורים לעשות אותם סך אחד תעשה ותתחיל מן האחדים לעולם ותרד על קו ישר באחדים אשר תחתיהם בכל הטורים
|
|
ואם לא יעלו עד עשר כתוב מה שתמצא תחת הכל כנגד האחדים למטה
|
|
ואם יעלו יותר מעשר בכל עשירית ועשירית כתוב נקדה אחת בעשרות ר"ל כמספר העשרות יהיו הנקודות שתכתוב והנשארים אשר לא הגיעו לכלל עשר כתוב אותם תחת האחדים
|
|
עוד תרד במדרגת העשרות ועם הנקודות שכתבת וקבצם ותעשה כמשפט הזה כי אם לא תגיע לעשר כתוב מה שתמצא תחת העשרות ואם הגעת לעשרות בכמות העשרות שעלו תעשה נקודות במאות והשאר אשר לא הגיעו לעשרות כתבם תחת מדרגת העשרות וכן אל בלתי תכלית
|
|
ואם כן יהיה הסך למטה בכל אחת מהמדרגות פחות מעשר והנמצאים בסך במדרגת האחדים הם אחדים ובמדרגות העשרות הם עשרות וכן בכל מדרגה כפי מדרגתה
|
|
ואם היו הטורים אשר רצית לעשות אותם סך הרבה מאד תחלקם לשלשה חלקים או לארבעה או לפחות או ליתר לפי רוב הטורים ומיעוטם ותעשה סך לכל חלק וחלק בפני עצמו כאשר הראית אחר כן תחבר שני החלקים ותעשה אותם סך כזה המשפט בעצמו והמקובץ יהיה סך כל החלקים יחד
|
|
וזאת צורת הקבוץ הנקרא סך
|
- We wish to sum one thousand two hundred and fifteen with two thousand three hundred and twenty-two.
|
רצינו לקבץ אלף ומאתים וחמש עשרה ואלפים ושלש מאות ועשרים ושנים
|
|
כתבנו אותם סך כך
|
|
|
|
אחר חברנו אותם והיה קבוצם למטה שבע אחדים ושלש עשרות וחמש מאות ושלשת אלפים וידענו שהם שלשת אלפים וחמש מאות ושלשים ושבעה
|
|
ואלה המספרים בסכום היורד לא הגיעו לכלל עשר בשום מדרגה
|
|
ונצייר עוד צורה אחרת המגעת במדרגותיה לכלל העשרות והיא שנחבר עוד תחת אלה השני טורים שני טורים אחרים האחד תשעת אלפי' ושש מאות וחמשים ושבעה והשנית שמנת אלפים וחמש מאות וששים ושלש וזאת היא הצורה
|
|
|
1 |
2 |
1 |
5
|
|
2 |
3 |
2 |
2
|
|
9 |
6 |
5 |
7
|
|
8 |
5 |
6 |
3
|
2 |
1 |
7 |
5 |
7
|
|
|
|
קבצנו אותם ויצא הסך למטה שבעה אחדים וחמש עשרות ושבע מאות ואלף אחת ושתי רבבות
|
|
והנה קבוץ האחדים כאשר תרד במדרגותם על קו היושר תמצאם שבעה עשר הוצאנו העשרה מהם וכתבנו נקודה אחת במדרגת העשרות ונשארו שבעה וכתבנו אותם תחת האחדים
|
|
עוד כאשר קבצנו מדרגת העשרות על קו היורד ביושר יחד עם הנקודה שכתבנו שם כנגד העשירית שהוצאנו מהאחדים מצאנום חמש עשרה הוצאנו עוד העשרה מהם וכתבנו נקדה בעבורם במדרגת המאות והחמשה הנשארים כתבנום למטה במדרגת העשרות וכן כשקבצנו המאות בירידתנו על קו היושר יחד עם הנקדה שכתבנו כנגד העשירית שהוצאנו מהעשרות מצאנום שבעה עשר הוצאנו מהם העשרה וכתבנו בעדם נקדה במדרגת האלפים והשבעה הנשארים כתבנו אותם במדרגת המאות
|
|
וכן כשקבצנו את האלפים בירידתנו על קו היושר עם הנקדה שכתבנו עמם בעד העשירית שהוצאנו מהמאות מצאנו אותם עשרים ואחד הוצאנו העשרים שהם ב' עשרות וכתבנו בעבורם שתי נקודות במדרגת הרבבות והאחד הנשאר כתבנוהו תחת האלפים וידענו מזה שהם שתי רבבות ואלף אחד ושבע מאות וחמשים ושבעה
|
|
מאזנים לדעת אם הסכום שלך אפשר להיותו אמת על דרך התשעה תחשוב כל המדרגות כאילו הם אחדים ותקבצם ותשליכם תשעה תשעה ומה שישאר שמרהו ואם לא ישאר דבר תחשוב בליבך סיפרא
|
|
עוד קבץ מדרגות הסך גם הוא כאילו הם אחדים והשליכם ט' ט' ואם ישארו בידך כהשארות הראשון אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לא ישארו כראשונים דע בודאי שטעית ותחזור ותחשוב בטוב
|
|
מאזנים אחרים על דרך השבעה תחשוב כל המדרגות כאשר הם ר"ל האלפים אלפים והמאות מאות והעשרות עשרות והאחדים אחדים לא שתחשבם כאילו הם אחדים הכל כאשר עשית בדרך התשעה ואחר שתחשבם השליכם ז' ז' והשאר שמרהו ואם לא ישאר דבר שמור בלבך סיפרא
|
|
אחר תבוא אל מדרגות הסך ותתחיל מהכלל היותר גדול עם מה שבצדו ותחשוב כאילו הכלל הם עשרות ומה שבצדו אחדים והשליכם ז' ז' ומה שישאר תחשבהו עשרות וחברהו עם מה שבצדו ותחשוב מה שבצדו לאחדים והשליכם ז' ז' וכן תעשה עד שתגיע אל האחדים וכשתגיע אליהם והשלכתם ז' ז' ראה הנותר ואם הוא שוה עם מה ששמרת אפשר שחשבונך יהיה אמתי ואם הוא בלתי שוה דע בודאי שטעית ותחזור ותחשוב בטוב
|
|
וכן אם חלקת הטורים לחלקים מצד ריבויים כאשר הזכרתי ועשית הסך חלקים חלקים תעשה גם המאזנים שלהם ככה אחר חבר גם המאזנים כמו שתחבר הסכום על הדרך אשר ידעת
|
Part Two: Multiplication
|
החלק השני מהספר הראשון
|
|
הפרק הראשון לכפול מספר על מספר
|
|
הרוצה לכפול מספר על מספר ראוי שיהיה הלוח הזה שגור בפיו כי בזה יהיה זריז לכפול מספר פלוני על מספר פלוני מא' עד ט'
|
|
ואם יהיה המספר אשר ירצה לכפול על מספר אחר כל אחד ממדרגה אחת או מאיזו מדרגה שיורה יקח דמיון לכל אחד ממדרגת האחדים ויכפול זה על זה כאלו הם אחדים ויראה העולה ואח"כ יקח לכל האחד מספר במדרגתו שאם היה האחד עשרות והאחר מאות נקח בעד העשרות שנים ובעד המאות שלשה ונחברם ויהיו חמשה אח"כ נשליך לעולם אחד והשאר יורה לנו העולה מאיזה מדרגה הוא
|
- Example: we wish to multiply eighty by five hundred.
|
דמיון זה רצינו לכפול שמנים על חמש מאות
|
|
לקחנו דמיונם מהאחדים בעד השמני' שמנה ובעד החמש מאות חמשה וכפלנו חמשה על שמנה ויצא לנו הסכום ארבעים
|
|
עוד לקחנו בעד המאות שלשה ובעד השמנים שנים כי הם מהמדרגה השנית חברנום ונהיו חמשה השלכנו אחד ונשארו ארבעה ואלה הארבעה הם מדרגת האלפים
|
|
וידענו מזה שהארבעים אשר יצאו כשכפלנו השמנים על החמש מאות הם ארבעים אלף
|
|
אולם כשתרצה לכפול שני מספרים על שני מספרים צריך שנכתוב אותן כל אחד במדרגתו ושנכפול אותן ארבעה פעמים כל אחד מהטור שלמטה עם כל אחד מהטור שלמעלה ונכתוב המספר המונח בטור הראשון והמספר אשר נרצה לכפול עליו בטור התחתון ונתחיל לכפול אחדי התחתון על אחדי העליון וההוה נכתוב אותו למטה במדרגת האחדים וזה אם לא הגיע לעשרות
|
|
אבל אם הגיע לעשרות נוציא העשרות מהם ונשמרם והנשארים אשר לא הגיעו לכלל העשרה נכתוב במדרגת האחדים
|
|
עוד נכפול האחדים שלמטה עם מדרגת העשרות שלמעלה ואשר יהיה נחבר גם מספר העשרות ששמרנו עם אחדי זה הכפל כי אע"פ שהם עשרות אבל מה שיצא מהם יהיה כאלו הם עשרות ואחדים כי על דמיון האחדים אנו כופלים הכל והאחדים אשר יתקבצו מזה הכפל נכתבם במדרגת העשרות והעשרות אם יהיו נכתבם במדרגה השלישית
|
|
אחר נראה העולה והוא חשבון כפל המספר ההוא
|
- Example: we wish to multiply twenty-five by forty-three.
|
דמיון רצינו לכפול עשרים וחמשה על ארבעים ושלשה
|
|
כזה
|
|
|
2 |
5
|
|
|
4 |
3
|
|
2 |
1 |
5
|
|
8 |
6 |
|
1 |
0 |
7 |
5
|
|
|
|
|
כפלנו הה' על הג' ונהיו ט"ו גרענו העשירית ושמרנוה נשארו ה' וכתבנום במדרגת האחדים
|
|
עוד כפלנו הה' על הד' ונהיו עשרים ומפני שלא יצאו מזה אחדים כתבנו העשירית האחת לבד ששמרנו במקום העשרות והעשרים כתבנום במדרגה השלישית
|
|
עוד כפלנו הב' על הג' ונהיו ששה ומפני שלא יצאו גם בכאן אחדים כתבנו במקום האחדים סיפרא והששה כתבנום במקום העשרות
|
|
עוד כפלנו העשרים על הארבעי' ונהיו שמנה מאות וכתבנום במדרגה השלישית כי כל אחד מהכפולים היו ממדרגה שנית ובהשלכת האחד נשארו שלשה
|
|
אחר כן קבצנום ונהיו אלף ושבעים וחמשה
|
|
ואם נרצה לכפול שלשה מספרים על שלשה מספרים אז ראוי שנכפלם תשעה פעמים בזה הסדר
|
- Example: we wish to multiply three hundred forty-eight by two hundred thirty-five.
|
דמיון רצינו לכפול שלש מאות וארבעים ושמנה על מאתים ושלשים וחמשה
|
|
כתבנו אותם בצורה הזאת
|
|
|
3 |
4 |
8
|
|
|
2 |
3 |
5
|
|
1 |
8 |
8 |
0
|
|
9 |
4 |
0 |
|
7 |
0 |
5 |
|
|
8 |
1 |
7 |
8 |
0
|
|
|
|
|
כפלנו הח' על הה' ונהיו ארבעים ומפני שאין כאן אחדים כתבנו סיפרא במדרגת האחדים ושמרנו העשרות הארבעה
|
|
עוד כפלנו הג' על הח' ונהיו כ"ד שמרנו שתי עשרות ועם הארבעה שהם אחדיו חברנו הארבעה אשר שמרנו ונהיו שמנה וכתבנום במדרגת העשרות
|
|
עוד כפלנו הב' על הח' ונהיו י"ו שמרנו העשירית האחת וחברנו עם אחדיו שהם הששה את השתי עשרות שהיו שמורות לנו ונהיו ח' וכתבנום במדרגת המאות והעשירית האחת אשר שמרנו עתה כתבנוה במדרגת האלפים
|
|
הנה כבר כפלנו הח' על כל אחד ואחד מהמספרים שבטור הראשון השלשה
|
|
עוד שבנו לכפול הד' עם כל אחד ואחד מהם וכפלנוה תחלה עם הה' ונהיו עשרים ומפני שלא יצאו אחדים כתבנו ספרא במדרגת העשרות שהיא מדרגת אחדיו כי המספרים שכפלנו הם ממדרגה הראשונה והשנית והעשרים שהם שני עשרות שמרנום
|
|
עוד כפלנו הד' עם הג' ונהיו י"ב שמרנו העשירית האחת וחברנו עם השנים שהם אחדיו השני עשרות שהיו שמורות לנו ונהיו ד' כתבנום במדרגת המאות לפי שהמספרים שכפלנו הם במדרגה השניה
|
|
עוד כפלנו הארבעה עם הב' ונהיו ח' חברנו גם העשירית השמורה לנו עמם ונהיו ט' כתבנום במדרגת האלפים לפי שהמספרים אשר כפלנו היו ממדרגה השנית והשלישית
|
|
הנה כבר כפלנו גם הד' שבטור השפל עם כל אחד ואחד מהשלש מספרים שבטור העליון
|
|
עוד נשוב לכפול הג' עם כל אחד ואחד מן שלשת המספרים העליונים כפלנו אותו עם ה' והיה ט"ו הוצאנו העשירית ושמרנוה והה' כתבנום למטה במדרגת המאות כי שני המספרים האלה מדרגותם הם הראשונה והשלישית
|
|
עוד כפלנו אותם עם ג' ונהיו ט' חברנו גם העשירית השמורה ונהיו י' ולא היו לשם אחדים ולכן כתבנו במדרגת האלפים ספרא והעשירית אנו שומרים אותה
|
|
עוד הכינו אותם עם שנים ונהיו ו' חברנו גם העשירית השמורה עמם ונהיו ז' וכתבנום במדרגת הרבבות כי שני המספרים האלה הם במדרגה השלישית
|
|
אחרי כן קבצנו שלשה הסכום כמשפט ונהיו פ"א אלף ושבע מאות ושמנים
|
|
דמיון אחר במספר שיש לו ספרא
|
- We wish to multiply a hundred and five by two hundred and twenty-four.
|
רצינו לכפול מאה וחמשה על מאתים ועשרים וארבעה
|
|
כתבנו אותם ככה בזאת הצורה
|
|
|
2 |
2 |
4
|
|
|
1 |
0 |
5
|
|
1 |
1 |
2 |
0
|
|
0 |
0 |
0 |
|
2 |
2 |
4 |
|
|
2 |
3 |
5 |
2 |
0
|
|
|
|
|
ב |
ב |
ד
|
|
|
א |
0 |
ה
|
|
א |
א |
ב |
0
|
|
0 |
0 |
0 |
|
ב |
ב |
ד |
|
|
ב |
ג |
ה |
ב |
0
|
|
|
|
כפלנו הה' על הד' ונהיו כ' ומפני שאין שם אחדים כתבנו סיפרא במדרגת האחדים והשתי עשרות שמרנום
|
|
עוד כפלנו הה' עם הב' ונהיו י' ומפני שאין שם אחדים כתבנו הב' עשרות השמורות במדרגת העשרות וזאת העשירית שמרנוה
|
|
עוד כפלנו הה' עם ב הב' ונהיו י' ומפני שאין שם אחדים כתבנו למטה העשירית אשר שמרנו במדרגת המאות וזאת העשירית במדרגת האלפים
|
|
עוד שבנו להכות כל אחד משלשה המספרים העליונים עם הסיפרא וכתבנו סיפרא במדרגת העשרות וכן במדרגת המאות וכן במדרגת האלפים
|
|
עוד שבנו לכפול הא' עם הד' ונהיה ד' וכתבנוהו במדרגת המאות כי שני המספרים הנכפלים היו מהמדרגה הראשונה והשלישית
|
|
עוד כפלנו הא' עם הב' ונהיו ב' וכתבנום במדרגת האלפים כי שני המספרים הכפולים היה האחד מהמדרגה השנית והאחר מהמדרגה השלישית
|
|
עוד כפלנו הא' עם השנים ונהיו ב' וכתבנום במדרגת הרבבות כי שני המספרים הכפולים היה כל אחד מהמדרגה השלישית
|
|
אחר כן קבצנו העולה מהם והם כ"ג אלף וחמש מאות ועשרים
|
|
אמר מרדכי ראיתי להודיעך הכפל הזה בדרך אחרת נקלה מצאתיה אצל חכמי הישמעלים והוא שתעשה כל סך הנכפלים בשטה אחת מבלתי שתצטרך אל יותר מזה
|
|
וככה תעשה תשים המספר אשר תרצה לכפול עליו בשטה העליונה כמנהג
|
|
עוד שים המספר אשר תרצה לכפול אותו עליו בשטה השפלה כל מדרגה כנגד הדומה לה
|
|
ואחר כן החל לכפול האחדים על האחדים ותכתוב העולה למטה
|
|
ואם יעלו עשרות תפוש אותם בלבך ותכתוב האחדים לבדם למטה
|
|
עוד תכפול האחדים שבשטה השפלה עם העשרות שבשטה העליונה כאלו הם אחדים על אחדים והעשרות אשר תפשת בלבך מהחשבון הראשון חשוב אותם אחדים וחברם עם אלה
|
|
גם תכפול האחדים שהם בשטה העליונה עם העשרות שהם בשטה השניה וחבר הכל ותכתוב העולה למטה
|
|
ואם עלו עשרות והטעם מדרגה עליונה מזאת תפוס בלבך
|
|
גם תכפול האחדים שבשטה השפלה עם המאות שבשטה העליונה
|
|
וכן האחדים שבשטה העליונה עם המאות שבשטה השפלה
|
|
גם העשרות שבשטה השפלה עם העשרות שבשטה העליונה
|
|
והכלל המדרגות אשר בקבוצן תהיינה שוות הסך
|
|
כי הראשונה עם השלשה יעשו ד' וככה השלישית עם הראשונה והשנית עם השנית
|
|
גם הראשונה עם הרביעית יעשו חמשה וככה השנית עם השלישית
|
|
וככה תעשה עד אין קץ ואשר יהיה תחבר המספר שהיה במדרגה שחשבנוה עשרות שתפשת בלבך עמם וכתבם למטה והוא הסך המבוקש
|
- Example: we wish to multiply three hundred and forty-eight by two hundred and thirty-five.
|
דמיון רצינו לכפול שלש מאות וארבעים ושמנה על מאתים ושלשים וחמשה
|
|
כזה
|
|
|
|
כפלנו הח' על הה' ונהיו מ' ובעבור שלא נשארו אחדים כתבנו גלגל במדרגה הראשונה והמ' תפשנום בלבנו ארבע
|
|
עוד כפלנו ח' עם ג' והיו כ"ד גם ד' עם ה' כי הם שוה המדרגות והיו כ' חברנום עם הכ"ד והיו מ"ד גם חברנו עמהם הד' שתפשנו בלבנו היו מ"ח וכתבנו למטה במדרגת העשרות ח' והמ' תפשנו בלבנו ד'
|
|
עוד כפלנו ח' עם ב' והיו י"ו גם ג' עם ה' והיו ט"ו גם ד' עם ג' והיו י"ב כי כל אלה שוה המדרגות והם מ"ג חברנו עמהם הד' שתפשנו בלבנו והם מ"ז כתבנו הז' במדרגת המאות והד' שהם המ' תפשנו בלבנו
|
|
עוד כפלנו ד' עם ב' והיו ח' גם כפלנו ג' עם ג' והיו ט' גם חברנו הד' שתפשנו בלבנו עמם והיו כ"א כתבנו הא' במדרגת האלפים והכ' תפשנו אותם בלבנו שנים
|
|
עוד כפלנו ג' עם ב' והיו ו' חברנו עמהם הב' שתפשנו בלבנו והיו ח' כתבנו הח' במדרגת הרבבות
|
|
וידענו מזה שהסך העולה מכפל השטה השפלה על השטה העליונה הם שמנים ואחת אלפים ושבע מאות ושמנים
|
|
וכבר נהגו בעלי החשבון לכפול בדרך שלישית
|
|
והוא שתקח שלישית המספר ותכפלהו על עצמו וההוה הוא מרובעו ותקח כדומה לו ממדרגה הבאה אשר היא יותר עליונה ממנה ותוציא מזאת המדרגה מרובע השלישית והנשאר הוא המבוקש
|
- Example: we wish to know the square of 9.
|
דמיון רצינו לדעת מרובע ט'
|
|
ולקחנו שלישיתו וכפלנו אותו על עצמו ונהיה ט' לקחנו דמיונו ממדרגה הבאה העליונה ממנה והיה צ' הוצאנו ממנו הט' שהוא מרובע השלישית ונשארו פ"א והוא המבוקש
|
|
ואם רצית לכפול מספר שאין לו שלישית אתה לוקח שלישית המספר היותר קרוב אליו ותרבע אותו ותעשה כמשפט אחר תעיין ואם המספר אשר לקחת שלישיתו הוא יותר פחות מהמספר המבוקש קבץ שני המספרים והוסיפם על הסך וההוה הוא המבוקש
|
- Example: we wish to know the square of ten.
|
דמיון רצינו לדעת מרובע עשרה
|
|
וזה אין לו שלישית והמספר הקרוב אליו אשר יש לו השלישית הוא התשעה והוא פחות ממנו לקחנו מרובע שלישיתם והוא ט' ולקחנו דמיונם מהמדרגה הבאה והוא צ' גרענו ממנו הט' ונשארו פ"א ומפני שהמספר אשר לקחנו השלישית ממנו הוא פחות מהמספר המבוקש קבצנו שני המספרים הט' עם הי' ונהיו י"ט הוספנום על הפ"א ונהיו ק' והוא מרובע העשרה
|
|
אבל אם היה המספר אשר לקחנו השלישית ממנו יותר מהמספר המבוקש אנו מקבצים שני המספרים וגורעים אותם מהסך והנשאר הוא המבוקש
|
- Example: we wish to know the square of 11.
|
דמיון רצינו לדעת מרובע י"א
|
|
ומפני שאין לו שלישית והמספר הקרוב אליו שיש לו שלישית הוא הי"ב והוא יותר ממנו לקחנו שלישיתו וכפלנוהו במספר המרובע ולקחנו דמיונו במדרגה הבאה והוא ק"ס גרענו ממנו הי"ו שהוא מרובע השלישית ונשארו קמ"ד ומפני שהמספר אשר לקחנו השלישית ממנו שהוא י"ב הוא יותר מהמספר המבוקש מרובעו שהוא י"א קבצנו שתיהן ונהיו כ"ג וגרענו אותם מן קמ"ד ונשארו קכ"א וזהו המבוקש שהוא מרובע י"א
|
|
אמר מרדכי מצאתי דרך נכבד בענין הכפל בדרך החמישיות והוא כי כאשר תרצה לכפול מספר על עצמו תקח חמישיתו ותכפלהו על עצמו ותעלהו במעלה הבאה הסמוכה לה אחר תכפול אותה על שנים וחצי והוא המבוקש
|
- Example: we wish to multiply sixty by sixty.
|
דמיון רצינו לכפול ששים על ששים
|
|
וחמישיתו י"ב כפלנום על עצמם נהיו קמ"ד העלנו אותם במדרגה הבאה הסמוכה להם ונהיו אלף וארבע מאות וארבעים כפלנום על ב' וחצי ונהיו ג' אלפים ת"ר וזהו המבוקש
|
- Another example: we wish to multiply fifty by fifty.
|
דמיון אחר רצינו לכפול חמשים על חמשים
|
|
וחמישיתו עשרה כפלנוהו על עצמו ונהיה מאה העלינוהו אל המדרגה הסמוכה לה ונהיו אלף כפלנום על ב' וחצי ונהיו ב' אלפים וחצי וזהו המבוקש
|
|
ואם רצית לכפול מספר על עצמו ואין לו חמישית תעיין המספר הקרוב אליו שיש לו חמישית אם מלפניו אם מלאחריו ולא יעבור ההפרש לעולם על שנים
|
|
ואם היה המספר אשר יש לו חמישית הקרוב אל מספרך קודם ממספרך באחד תחשבהו בדרך שהזכרתי ראשונה על המספר שיש לו חמישית אחר תחבר מספרך עם המספר שיש לו החמשית ותוסיפהו על הסך והוא המבוקש
|
|
ואם היה ההפרש שנים תכפול מספרך אחר שתחברהו עם המספר שיש לו חמישית עם שנים ואחר תוסיפנו על הסך והוא המבוקש
|
|
אמנם אם המספר שיש לו החמשית הוא אחר מספרך תחשוב חשבונך על המספר שיש לו החמישית אחר תחבר מספרך עם המספר פעם אחת אם ההפרש אחד או תכפול אותו עם ב' אחר שחברתו אם ההפרש שנים ותגרעהו מהסך והנשאר הוא המבוקש
|
- Example: we wish to multiply 11 by 11.
|
דמיון רצינו לכפול י"א על י"א
|
|
והנה זה המספר אין לו חמשית והמספר הקרוב אליו אשר יש לו חמישית הוא העשרה וכפלנו אותו בדרך החמישיות ועלו ק' אחר חברנו הי' שיש לו החמישית עם הי"א שהוא מספרינו פעם אחת מפני שההפרש בין שמספרנו ובין י' הוא אחד ונהיו כ"א חברנו עם הק' ונהיו קכ"א וזהו המבוקש
|
|
דמיון אחר במספר שההפרש שנים
|
- We wish to multiply 12 by 12.
|
רצינו לכפול י"ב על י"ב
|
|
והנה זה המספר אין לו חמישית והמספר הקרוב לו בעל החמשית הוא העשירי' כפלנוהו בדרך החמישיות ונהיו ק' אחר חברנו הי' שיש לו החמישית עם הי"ב שהוא מספרנו ונהיו כ"ב ומפני שההפרש שנים כפלנום ב' פעמים ונהיו מ"ד וחברנום עם הק' והיו קמ"ד וזהו המבוקש
|
|
דמיון אחר במספרים אשר המספר שיש לו חמשית הקרוב אליו הוא אחריהם כי הדמיונים אשר עשינו היה בהיותו לפניהם
|
- We wish to multiply 14 by 14.
|
רצינו לכפול י"ד על י"ד
|
|
והנה זה המספר אין לו חמישית ראינו המספר אשר יש לו חמישית הקרוב אליו והוא ט"ו כפלנום בדרך החמישיות ועלה רכ"ה אחר חברנו את המספר הזה שיש לו חמישית עם מספרינו שהוא י"ד פעם אחת מפני שההפרש אחד והיה כ"ט גרענום מן הסך מפני כי המספר אשר יש לו החמישית היה אחרי מספרנו ונשארו קצ"ו וזהו המבוקש
|
|
דמיון במספר כזה שההפרש אשר בינו ובין אשר יש לו החמישית שנים
|
- We wish to multiply 13 by 13.
|
רצינו לכפול י"ג על י"ג
|
|
וזה המספר אין לו חמישית והמספר הקרוב אליו שיש לו החמישית הוא החמשה עשר כפלנוהו בדרך החמישיות והיה רכ"ה אחר חברנו זה המספר שיש לו החמישית עם י"ג שהוא מספרנו ונהיו כ"ח כפלנום על ב' מפני שההפרש אשר בין שני המספרים ב' ונהיו נ"ו גרענום מן רכ"ה מפני שהמספר שיש לו החמישית הוא אחרי מספרנו ונשארו קס"ט וזהו המבוקש
|
|
ואם תרצה לכפול מספר על מספר שהם רחוקים מהכלל בשווי האחד חסר ממנו והאחר מוסיף עליו אתה יכול לכפול הכלל על עצמו אחר תרבע המספר היתר והחסר ותגרעהו מחשבון הכלל וההוה הוא המבוקש
|
- Example: we wish to multiply twenty-five by thirty-five.
|
דמיון רצינו לכפול כ"ה על ל"ה
|
|
והכלל ל' והה' בתוספת וחסרון כפלנו הכלל ונהיו תת"ק אחר כפלנו הה' ונהיה כ"ה גרענום מהתת"ק ונשארו תתע"ה והוא המבוקש
|
|
אמר מרדכי עם היות שאמרנו שאם היו המספרים שתים על שתים אתה צריך לכפלם ארבעה על ארבעה ר"ל ארבעה פעמים צריך אתה לדעת שאם היה כללם אחד יספיק לכפלם שלש פעמים
|
|
כגון הרוצה לכפול י"ג על י"ד והנה כלל שניהם עשרה תחבר שני הפרטים ויהיו ז' ותכפול ז' פעמים י' נהיו ע' וי' פעמים י' הרי ק' וג' פעמים ד' הרי י"ב והעולה קפ"ב וזהו המבוקש
|
|
מאזנים על הכפל בדרך הט'
|
|
תחשוב הטור העליון כולו כאלו הם אחדים והשליכם ט' ט' והשאר שמרהו וזה יקרא השמור הראשון
|
|
עוד תעשה כן בטור השפל והשאר יקרא השמור השני
|
|
תכפול השמור הראשון על השמור השני ואשר יהיה השליכהו ט' ט' והשאר שמרהו וזה יקרא השמור השלישי
|
|
אחר תעיין הטור השלישי השפל אשר יקרא הסך ותחשבהו כאלו הם אחדים והשליכם ט' ט' והשאר עיין ואם הוא שוה לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע בודאי שטעית
|
|
מאזנים בדרך השבעה
|
|
עיין מספרי הטור הראשון ותתחיל מהיותר כולל ותחשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם ז' ז' ואשר ישאר חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם עוד ז' ז' ואשר ישאר עוד חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם עוד ז' ז' ואשר ישאר עוד חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם ז' ז' וכן תעשה עד שתגיע למעלת האחדים ואשר ישאר שמרהו וזה יקרא השמור הראשון
|
|
עוד תקח מספרי הטור השני ועשה כמשפט הזה ואשר ישאר יקרא השמור השני
|
|
אחר תכפול השמור השני על השמור הראשון ואשר יהיה השליכהו ז' ז' והשאר יקרא השמור השלישי
|
|
אחר כן תעיין מספרי הטור השפל השלישי אשר יקרא הסך ועשהו כמשפטי הטורים העליונים ועיין הנשאר ואם הוא שוה לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע בודאי שטעית
|
Euclidean Propositions
|
|
|
אמר מרדכי ראיתי לכתוב לך דברים מעניני המספר להרגילך בהם כדי שתהיה זרִיז בענינים אלו
|
Euclid, Elements, Book II, propositions 2: If you divide any number into parts as you wish, [the sum of] the products of each of the parts by the whole number is equal to the square of the whole number
|
ואומר כל מספר שחלקת אותו לחלקים איך שרצית הנה כפל כל אחד מהחלקים על כל המספר מקובץ שוה למרובע כל המספר
|
|
דמיון המספר י"ב וחלקנוהו על שלשה וארבעה וחמשה כפלנו הג' על הי"ב והיו ל"ו עוד כפלנו הד' על הי"ב והיו מ"ח עוד כפלנו הה' על הי"ב והיו ס' חברנו אותם והיו הכל קמ"ד והם שוים למרובע י"ב
|
Euclid, Elements, Book II, proposition 2:
|
עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה כפל כל אחד משני החלקים על כל המספר מקובץ שוה למרובע כל המספר
|
|
דמיון המספר עשרה וחלקנוהו על ז' וג' כפלנו הז' על הי' והיו שבעים גם ככה כפלנו החלק האחר שהם השלשה עליו והיו ל' ושניהם ק' והוא מרובע העשרה
|
- Euclid, Elements, Book II, proposition 3: For any number divided into two parts as you wish, the product of the whole number by any of its two parts is equal to the product of the one part by the other plus the square of the part by which you multiplied the whole number.
|
עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה כפל המספר כולו על אחד משני חלקיו איזה שיהיה שוה לכפל החלק האחד על השני ולמרובע החלק משניהם אשר כפלת על כל המספר
|
- Example: the number ten, we divide it into two parts - three and seven.
|
דמיון המספר עשרה חלקנוהו לשני חלקים על שלשה ושבעה
|
|
כפלנו השלשה עמו והיו ל' וזה שוה לכפל הג' על השבעה שהם כ"א ולמרובע הג' שהם ט' שהוא החלק אשר כפלנו
|
|
גם ככה אם היינו כופלים הז' שהוא החלק האחד על העשרה היו שבעים וזה שוה לכפל הג' על הז' שהם כ"א ולמרובע הז' שהם מ"ט שהוא החלק אשר כפלנו ושניהם שבעים
|
- Euclid, Elements, Book II, proposition 4: For any number divided into two parts as you wish, the square of the whole number is equal to [the sum of] the squares of the two parts and twice the product of the one part by the other.
|
עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה מרובע כל המספר שוה לשני המרובעים ההוים משני החלקים ולכפל החלק האחד על חברו פעמים
|
|
דמיון המספר עשרה חלקנוהו על שלשה ושבעה ומרובע הג' ט' ומרובע הז' מ"ט וכפל הג' על הז' כ"א וחשבהו פעמים הם מ"ב והכל ק' וזה שוה למרובע העשרה
|
- Euclid, Elements, Book II, proposition 5: For any number divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the product of one of the unequal parts by the other and the square of the difference between the two parts, i.e. between the equal part [= the half of the whole number] and the unequal [part] is equal to the square of half the [whole] number.
|
עוד כל מספר כאשר תחלקהו לשני חלקים שוים ולשני חלקים בלתי שוים הנה כפל החלק האחד אל חברו מהחלקים הבלתי שוים ומרובע מה שבין שני החלקים ר"ל בין החלק השוה ובלתי שוה שוה למרובע חצי המספר
|
|
דמיון המספר עשרה חלקנוהו לחמשה וחמשה שהם חלקים שוים גם חלקנוהו לז' וג' שהם חלקים בלתי שוים כפלנו הג' על הז' והיו כ"א עוד לקחנו מרובע השנים שהם בין הה' שהם החלק השוה לשלשה או לז' שהם החלק הבלתי שוה והיו ד' והכל כ"ה והם שוים למרובע ה' שהוא מרובע חצי המספר
|
- Euclid, Elements, Book II, proposition 6: If you divide any number into half and add to it another number, [the sum of] the product of the whole number plus the additional [number] by the additional [number] and the square of half the number is equal to the square of half the number and the additional [number] together.
|
עוד כל מספר כאשר חלקת אותו לחצאים והוספת עליו מספר אחר הנה כפל המספר כלו מקובץ עם התוספת בתוספת והמרובע ההוה מחצי המספר שוה למרובע חצי המספר והתוספת ביחד
|
|
דמיון המספר עשרה וחלקנוהו לשני חצאים שהם כל חצי חמשה הוספנו על העשרה שנים והיו י"ב כפלנו כל הי"ב שהוא המספר עם התוספת ביחד עם השנים שהם התוספת והיו כ"ד חברנו עמהם כ"ה שהם מרובע ה' שהוא חצי המספר והיו מ"ט וזה שוה למרובע ז' שהוא חצי המספר עם התוספת ביחד
|
Euclid, Elements, Book II, proposition 7: For any number divided into two parts, the sum of the square of the whole number and the square of one of the parts is equal to twice the product of this part by the whole number plus the product of the other part by itself
|
עוד כל מספר כאשר תחלקהו בשני חלקים איך שיקרה הנה המרובע ההוה מן המספר כלו והמרובע ההוה מאחד משני חלקים כאשר התקבצו שוים לכפל המספר כלו עם החלק הנזכר פעמים והמרובע ההוה מן החלק השני
|
|
דמיון המספר עשרה וחלקנוהו איך שקרה על שבעה ועל שלשה והמרובע ההוה מעשרה הם ק' וההוה מז' הם מ"ט ומקובצים קמ"ט והם שוים לכפל העשרה על ז' פעמים שהם מאה וארבעים ולמרובע ג' שהם ט' שהוא החלק השני והכל קמ"ט
|
Euclid, Elements, Book II, proposition 8: For any number divided into two parts as you wish, if you multiply the whole number by one of the parts four times, the sum of the product with the square of the other part is equal to the [square] of the whole number plus the one part
|
עוד כל מספר כאשר חלקת אותו בשני חלקים איך שיקרה וכפלת המספר כלו עם אחד משני חלקיו ארבעה פעמים ועם מרובע החלק הנשאר שוה למרובע ההוה מן המספר כלו והחלק הנזכר כאשר תחברם ביחד ותקח מרובעם
|
|
דמיון יש לנו מספר מניינו העשרה וחלקנוהו איך שהזדמן על ג' ועל ז' הנה כאשר כפלנו הז' עם הי' ד' פעמי' היו ר"פ וכאשר חברנו עמהם מרובע הג' שהוא ט' והוא החלק השני נהיו רפ"ט והם שוים למרובע י"ז שהוא המספר כלו יחד עם החלק אשר כפלנוהו עם המספר כולו והם גם אלה רפ"ט
|
Euclid, Elements, Book II, proposition 9: For any number divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the squares of the unequal parts is equal to twice [the sum of] the square of half the [whole] number and the square of the difference between the large part and the half [of the whole number]
|
עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים אשר יהיו מהחלקים הבלתי שוים הם כפל שני המרובעים אשר יהיו מחצי המספר ומהתוספת אשר לחלק הגדול על המחצית
|
|
דמיון יש לנו מספר מנינו עשרה וחלקנוהו לשני חלקים שוים על ה' ושני חלקים בלתי שוים על ג' וז' הנה מרובע ג' שהוא ט' ומרובע ז' שהוא מ"ט שניהם נ"ח הם כפל מרובע ה' שהוא כ"ה והוא מחצית המספר וכפל מרובע ב' שהוא
ד' ושניהם כ"ט שהוא התוספת שיש לז' שהוא החלק הגדול על הה' שהוא המחצית
|
Euclid, Elements, Book II, proposition 10: If you divide any number into half and add to it another number, [the sum of] the square of the whole number plus the additional [number] and the square of the additional [number] is equal to twice [the sum of] the square of half the number and the square of half the number plus the additional [number] together
|
עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חציים והוספת עליו מספר אחר הנה מרובע המספר עם התוספת יחד ומרובע התוספת בעצמו הם כפל שני המרובעים שהם מרובע חצי המספר ומרובע חצי המספר עם התוספת יחד כאשר יחוברו
|
|
דמיון יש לנו מספר מניינו עשרה וחלקנוהו לשני חצאים על הה' והוספנו עליו מספר אחר ב' ונהיה י"ב הנה מרובע י"ב שהוא המספר עם התוספת יחד קמ"ד ומרובע ב' שהוא התוספת ד' ושניהם קמ"ח והוא כפל מרובע ה' שהוא כ"ה ומרובע ז' שהוא מ"ט ושניהם ע"ד אשר הוא מרובע חצי המספר והתוספת ביחד
|
|
הנה הודעתיך דרכים נאותים במספרים מועילים כי כאשר יהיו דרכים מתחלפים מוציאים אל חשבון אחד כאשר יטעה מהדרך האחד יתיישר מהדרך האחר ותרגיל עצמך בהם
|
Word Problems
|
מקום השאלות
|
- 1)
|
א כמה ט' חלקים מי"ג הכפולים על י"ז חלקים מי"ט
|
|
כי אלה אין להם ערך מדובר לכן ראוי שתדע איך תכפול ומה תעשה
|
- common denominator:
|
ראוי שנדע בתחלה המורה והנה נכפל י"ג על י"ט יהיו רמ"ז והוא המורה
|
|
אח"כ נקח לכל אחד מט' חלקים י"ט נהיו קע"א והוא המספר האחד
|
|
עוד נקח לכל אחד מי"ז חלקי' י"ג נהיו רכ"א
|
|
נכפול זה על זה נהיו ל"ז אלפים תשצ"א חלקנו אותם על רמ"ז ועלו קנ"ג
|
|
והנה העולה מכפל ט' בי"ז גם כן קנ"ג
|
|
וערך זה אל רמ"ז כערך המספר הראשון [ר"ל מספר ל"ז אלפים תשצ"א] אל מרובע רמ"ז והוא המבוקש
|
|
ואם תרצה לדקדקו חלק קנ"ג על י"ט יהיה העולה ח' חלקים מי"ג וישאר שבר א' שהוא שבר חלק מי"ט
|
|
או אם תרצה חלקנו זה קנ"ג על י"ג ויהיו י"א חלקים שלימים מי"ט וי' נשברים שי"ג מהם עושה חלק אחד מי"ט
|
How Much Problem - road
|
|
- 2) Question: a road, we add to it its quarter and its fifth and the sum is 10 miles.
- How long is the road?
|
ב שאלה דרך חברנו אליה רביעיתה וחמשיתה והיתה י' מילין
כמה היתה הדרך
|
- False Position - common denominator:
|
נשים המורה כ' כי ד' פעמי' ה' הם כ'
|
|
ורביעיתו וחמשיתו הם ט' נחברם עם המורה נהיו כ"ט
|
- Rule of Four:
|
נכפול הכ' עם הי' ונהיו ר' נחלקם על כ"ט ונהיו ו' מילין וחצי מיל ושליש מיל וחלק אחד מט"ו בקרוב וככה היא הדרך
|
|
ג שאלה לקחנו תשיעית ממון ועשיריתו וחלק אחד מי"א ממנו
כמה הוא כל זה מערך הממון
|
|
והנה זה נקל הוא מי שידע לחבר השברים כאשר כתבנו בחבורם
וכן נעשה נבקש מורה והוא שנכפול ט' על י' ונהיו צ' עוד צ' על י"א ונהיו תתק"ץ וזהו המורה
ותשיעיתו ק"י ועשיריתו צ"ט וחלק אחד י' ממנו צ' והכל מחוברי' רצ"ט
וערך רצ"ט אל תתק"צ ככה אלה מערך הממון חלקנו אותם אל צ' שהוא חלק אחד מאחת מי"א ונהיו ג' חלקי' מי"א וכ"ט חלקי' מצ' שהם שלישית חלק מי"א פחות משהו
|
How Much Problem - Money
|
|
- 4) Question: an amount of money, we add to it its half, its third, its fifth, and its sixth and the sum is 60.
- How much is the amount of money?
|
ד שאלה ממון הוספנו עליו מחציתו שלישיתו חמשיתו וששיתו ובין הכל היו ס'
כמה היה הממון
|
|
ידענו שהחצי והשלישית והששית הוא אחד שלם
|
- False Position:
|
ונחשב שהיה לו אחד והיה לו עתה שנים וחמשית
|
- Rule of Four:
|
נחלק הס' על הב' וחמשית וכך היה הממון
והנה תשיב הב' שלימי' אל חמשיות מפני שיש לנו חמשית ונחבר גם החמשית שיש לנו עמם ונהיו י"א חמשיות
נכפול ה' על ס' ונהיו ש' והוא המורה
נחלקם על י"א והיה החלק כ"ז וג' חלקי' מי"א וככה היה הממון
|
How Many Problem - horses
|
|
- 5) Question: a riding man saw a man pulling horses and said to him: where are you leading these 100 horses?
- He answered him: these and other like them and a half of them and a quarter of them with the horse you ride are 100.
- How much were the horses?
|
ה שאלה אדם רוכב ראה איש מושך סוסים וא"ל אנה אתה מוליך אלה הק' סוסים
והשיב לו אלה ואחרים כמותם ומחציתם ורביעיתם ועם הסוס שאתה רוכב הם ק'
כמה היו הסוסים
|
- subtracting the rider's horse:
|
הנה נוציא הסוס שרוכב זה ונשארו צ"ט
|
- converting to fourths - False Position:
|
יש לנו שנים ומחצית ורביעית ומפני שיש לנו רביעית נשיב הכל לרביעיות והנה הב' שלימי' הם ח' רביעיות והמחצית ב' הרי י' נחבר גם הרביעיות שיש לנו עמם נהיו י"א רביעיות
|
- Rule of Four:
|
אחר נשיב אותם אל הערכים ונכתוב אם הי"א רביעיות נתנו צ"ט הד' רביעיות שהוא האחד השלם כמה יתנו'
|
- the number of horses:
|
נכפל האמצעיים שהם הד' על הצ"ט ונחלקם על י"א שהוא הקצה נהיו ל"ו וככה מספר הסוסים
|
Buy and Sell Problem
|
|
- 6) Question: a man bought 24 liṭra for 24 dinar. He sold 12 [of them] at 1¼ liṭra for one dinar, and the [other] 12 liṭra at (1‒¼) liṭra for one dinar.
- We want to know: did he earn or lose?
|
ו שאלה אדם קנה כ"ד ליט' בכ"ד דינ' ומכר הי"ב ליט' ורביע ליט' בדינר והי"ב ליט' מכר ליט' פחות רביע ליט' בדינר
נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד
|
|
נשיב הי"ב ליט' הראשוני' לרביעיות ונהיו מ"ח
נחלקם על ה' כי ה' רביעיות מכר בדינר ונהיו ט' וחצי ועשירית ואלה הם הדינ' שלקח מהי"ב ליט' הראשונים
עוד נכה הי"ב ליט' האחרוני' בד' כי ליט' פחות רביע מכר בדינ' ונהיו מ"ח נחלקם על ג' מפני שהליט' פחות רביע הם ג' רביעיות ונהיו י"ו ואלה הם הדינ' שלקח מהי"ב ליט' האחרונים
נחבר שני הממונות נהיו כ"ה וחצי ועשירית נוציא כ"ד דינ' של הקרן נשאר דינר וחצי ועשירית וזהו הריוח
|
Buy and Sell Problem
|
|
- 7) Question: a man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
- How much money did he have originally?
|
ז שאלה אדם קנה ג' חמשיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט
כמה היה ממונו
|
- common denominator:
|
נבקש המורה והוא ל"ה
|
|
וג' חמשיותיו כ"א
|
|
וד' שביעיותיו כ'
|
- Check: the profit is one pašuṭ
|
והממון היה כ' פשוטי' כי בכל פשוט ירויח חלק אחד מכ' בפשוט וכשימכור של כ' פשוטי' ירויח פשוט אחד
|
Buy and Sell Problem
|
|
- Question: a man bought 9/17 parts of a liṭra for one pašuṭ, then he sold 10/19 parts [of a liṭra] for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
- How much was the money?
|
שאלה אדם קנה ט' חלקים מי"ז חלקי' ליטר' בפשוט ומכר י' חלקי' מי"ט בפשוט והרויח פשוט
כמה היה הממון
|
- common denominator:
|
נבקש המורה והוא שנכפול י"ז על י"ט ונהיו שכ"ג
|
|
וידוע כי ט' חלקי' מי"ז הם קע"א וככה היה הממון
|
|
וי' חלקי' מי"ט הם ק"ע
|
- Check: the profit is one pašuṭ
|
והנה הרויח הפשוט
|
How Much Problem - Money
|
|
- 8) Question: an amount of money, we sum its third, its quarter, and its fifth and the sum is 30.
- How much is the amount of money?
|
ח שאלה ממון חברנו שלישיתו רביעיתו חמשיתו והיו ל'
כמה הוא כל הממון
|
- False Position - common denominator:
|
נבקש המורה והוא ס'
|
|
ושלישיתו כ' ורביעיתו ט"ו וחמשיתו י"ב וכלם מ"ז
|
- Rule of Four:
|
הנה כערך מ"ז אל ס' כן ערך ל' אל כל הממון
|
|
ונכתו' ככה אם המ"ז יתנו ס' הל' כמה יתנו
|
|
|
|
נכפול האמצעיים כך ונהיו אלף ת"ת נחלקם על הקצה שהוא המ"ז נהיה החלק ל"ח ורביעית וב' חלקי' ורביע חלק ממ"ז
|
Partnership Problem - For the Same Time
|
|
- 9) Question: five people - the first gave 6 dinar, the second 7 dinar, the third 8 [dinar], the fourth 9 dinar, and the fifth 10 dinar.
- They earned a total of 11 dinar.
- How much should each of them take [from the profit]?
|
ט שאלה אם אנשים ה' נתן האחד ו' דינ' והשני ז' דינ' והשלישי ח' והרביעי ט' דינ' והחמשי י' דינ'
והרויחו בין הכל י"א דינ'
כמה יקח כל אחד מהם
|
|
הנה אלה הי"א דינ' הרויחו אותם כל הדינ' מקובצי' ונראה אותם כמה הם
אח"כ נשיב אותם אל הערך של כל אחד ואחד וכפי ערך ממונו ככה יקח
|
- the sum of the given dinar:
|
והנה הדינרי' מקובצי' הם מ' דינ'
|
|
ונכתו' הערך של הראשון ככה
|
|
|
- Rule of Four:
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א הו' כמה ירויחו
|
- the owner of the 6 dinar
|
נכפול האמצעיים ונהיו ס"ו ונחלקם על מ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד אחד וחצי ושמינית וחלק אחד ממ' וככה יקח בעל הו' דינר
|
|
עוד נכתו' הערך של השני ככה
|
|
|
- Rule of Four:
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א הז' דינ' כמה ירויחו
|
- the owner of the 7 dinar
|
נכפל האמצעיים ונהיו ע"ז נחלקם על הקצה שהוא המ' ונהיה החלק האחד אחד וג' רביעיות ושמינית וחלק א' מכ' וככה יקח בעל הי' הז' דינ'
|
|
עוד נכתו' הערך של השלישי ככה
|
|
|
- Rule of Four:
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א דינ' הח' דינ' כמה ירויחו
|
- the owner of the 8 dinar
|
נכפל האמצעיים ונהיו פ"ח נחלקם על המ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד ב' וחמשית וככה יקח בעל הח' דינ'
|
|
עוד נכתו' הערך של הרביעי ככה
|
|
|
- Rule of Four:
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א הט' דינ' כמה ירויחו
|
- the owner of the 9 dinar
|
נכפול האמצעיים ונהיו צ"ט נחלקם על המ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד ב' ורביעית וחמשית וחלק אחד ממ' וככה יקח בעל הט' דינ'
|
|
עוד נכתו' הערך של החמשי ככה
|
|
|
- Rule of Four:
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א הי' כמה ירויחו
|
- the owner of the 10 dinar
|
נכפול האמצעיים ונהיו ק"י נחלקם על מ' שהוא הקצה ונהיה החלק הא' ב' וג' רביעיות וככה יקח בעל הי' דינ'
|
-
|
וכשתקבץ כל החלקי' שיקחו הכל תמצאם י"א לא פחות ולא יתר
|
|
דרך אחרת למצוא זה
|
- converting the profit of 11 dinar into pešuṭim, then dividing by 40 and multiplying by the number of dinar given by each
|
תעשה הי"א דינ' שהם הריוח כלם פשוטי' ותחלקם על מ' ותראה כמה ריוח יגיע לכל דינר מהמ'
|
- multiplying by 6 = the share of the owner of the 6 dinar
|
והריוח ההוא תכפול אותו עם הו' ואשר יהיה ככה יגיע לבעל הו'
|
- multiplying by 7 = the share of the owner of the 7 dinar
|
עוד תכפול אותו עם הז' ואשר יהיה ככה יגיע לבעל הז'
|
|
וכן תעשה עם הח' והט' והי'
|
- 10) Question: the buyer had three [kinds of] coins.
- He went to the seller to buy one liṭra of silk.
- The first coin was worth 3 dinar.
- The second coin was worth 4 dinar.
- The third coin was worth 6 dinar.
- The buyer said: give me one liṭra of silk and take from my three coins equally so that you will take the value of the liṭra
- How much should he take from each coin?
|
י שאלה יש אצל הקונה שלשה מטבעים
והלך אצל המוכר לקנות ליט' אחת משי
והמטבע האחת היתה שווה ג' דינ'
והמטבע השנית היתה שוה ד' דינ'
והמטבע השלישי' היתה שוה ו' דינ'
ואמ' הקונה תן לי ליט' משי וקח מג' מטבעותי בשווי עד שתקח מה ששוה הליט'
כמה יקח מכל מטבע ומטבע
|
- common denominator:
|
נבקש המורה והוא ע"ב כי כפל ג' על ד' י"ב וכפל י"ב על ו' ע"ב
|
|
ושלישיתו כ"ד ורביעיתו י"ח וששיתו י"ב והכל נ"ד וזהו הדינ'
|
- he will take from each coin:
|
נחלק המורה שהוא ע"ב על נ"ד ונהיה החלק האחד אחד ושליש וככה יקח מכל מטבע
|
- Converting the dinar into 12 perutot
- he will take from each coin: perutot
|
והנה נעשה הדינ' י"ב פרוטו' ויקח י"ו פרוטות מכל מטבע
|
- 3 dinar from the coin of 3 dinar = perutot
|
ואם תרצה לדעת איך הוא כך תחשוב שרוצה לקחת ל"ו פרוטות ממטבע ששוה ג' דינ'
|
- 16 perutot from the coin of 3 dinar
|
ולקח ממנו י"ו פרוטות
|
- + 16 perutot from the coin of 4 dinar = perutot from the coin of 3 dinar
|
וכשלקח עוד י"ו פרוטות ממטבע ששוה ד' דינ' כאלו לקח י"ב פרוטו' ממטבע ששוה ג' דינ' כערך הד' אל הג' נחבר הי"ב עם הי"ו ונהיו כ"ח
|
- + 16 perutot from the coin of 4 dinar = perutot from the coin of 3 dinar
|
עוד כשלקח י"ו פרוטות ממטבע ששוה ו' דינ' הוא כאלו לקח ח' פרוטו' ממטבע ששוה ג' דינ' כערך הג' אל הו' נחבר הח' עם הכ"ח ונהיו ל"ו וזהו המבוקש
|
Payment Problem - constructing a shelf
|
|
- 11) Question: a man agreed with a craftsman to construct for him a shelf of 6 in length and 6 in width and he will pay him 8 dinar.
- He constructed for him [a shelf of] 3 in length and 3 in width.
- How much should he pay him?
|
יא שאלה אדם התנה עם אומן לבנות לו אצטבא ו' באורך ו' וו' ברוחב ויתן לו ח' דינ'
והוא בנה לו ג' בארך וג' ברחב
כמה יתן לו
|
- He will be paid a quarter
|
אין ספק כי יתן לו הרביעית שהוא ב' דינ' כי כפל חצי על חצי הוא רביעית אחד
|
- If he had constructed a half of the length by the whole width or half of the width by the whole length, he would have been paid a half of the payment
|
שאלו היה בונה כל האורך עם חצי הרוחב או ההפך היה נותן לו המחצית
|
- If he agreed with him to construct for him [a shelf of] 5 in length, 6 in width, and 7 in height and he will pay him 8 dinar.
- He constructed for him [a shelf of] 4 in length, 5 in width, and 6 in height.
- How much should he pay him?
|
אבל אם התנה עמו שיבנה לו ה' בארך ו' ברוחב ז' בגובה ויתן לו ח' דינ'
והוא בנה ד' בארך וה' ברחב וו' בגובה
כמה יתן לו
|
|
אז ראוי שנחבר כל מספרי התנאי ונשיבם אל הערכים וכן מספרי הבניין
|
|
חברנו תחלה מספרי התנאי ונהיו י"ח
|
|
עוד חברנו מספרי הבניין ונהיו ט"ו
|
- Rule of Four:
|
ועשינו הערך ככה אם אם הי"ח יתנו ח' דינ' הט"ו כמה יתנו
|
|
|
|
כפלנו האמצעיים ונהיו ק"כ חלקנום על הי"ח שהוא הקצה ונהיה החלק ו' וב' שלישיות וככה יקח
|
Payment Problem - three workers, three different daily wages, the same actual payment
|
|
- 12) Question: a man hired three brothers - Reuven, Shimon and Levi - for two days so that one of them will work with him.
- If Reuven will work with him the whole two days he will pay him 6 dinar.
- If Shimon will work alone he will pay him 4 dinar.
- If Levi will work alone he will pay him 3 dinar.
- They worked a total of two days together.
- Finally, he paid each of them an equal share.
- How much is the share of each of them and how many hours did each of them work?
|
יב שאלה אדם אחד שכר ג' אחים ראובן שמעון לוי לעבוד אחד מהם עמו ב' ימי'
ואם יעבוד ראובן עמו כל הב' ימי' יתן לו ו' דינ'
ואם יעבוד שמעון לבדו יתן לו ד' דינ'
ואם יעבוד לוי לבדו יתן לו ג' דינ'
עתה בין הכל עבדו ב' ימי'
ובאחרונה פרע לכל חלק שוה
כמה פרע כל אחד ואחד וכמה שעות עבד כל אחד ואחד
|
- common denominator:
|
נבקש המורה והוא ע"ב כי כפל ו' על ד' הם כ"ד ואלה על ג' הם ע"ב
|
|
וששיתו ושלישיתו ורביעיתו הם נ"ד
|
- each of them will be paid dinar
|
הנה כערך ע"ב אל נ"ד ככה יקח מהדינרי' וערך ע"ב אל נ"ד הוא אחד ושליש וככה יקח כל אחד ואחד
|
- calculating the working hours of each:
|
נבקש לדעת כמה שעות עבד כל אחד ואחד
|
- the dinar should be converted into thirds
|
ונשיבהו אל הערכים ונשיב הדינ' שלישיות מפני השליש שעודף על הדינר
|
- 1 day = 12 hours
|
והיום י"ב שעות
|
- Rule of Four:
|
ונעשה ערך ראובן כך אם הי"ח שלישיות כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
|
- Reuven worked: hours
|
נכפול האמצעיים ונהיו צ"ו נחלקם על י"ח ונהיה החלק ה' שעות ושליש וככה עבד ראובן
|
|
|
- Rule of Four:
|
ונעשה ערך שמעון כך אם הי"ב שלישיות כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
|
|
|
- Shimon worked: hours
|
כפלנו האמצעיים והם צ"ו חלקנום על י"ב ונהיה החלק ח' שעות וככה עבד ראובן שמעון
|
- Rule of Four:
|
ונעשה ערך לוי כך אם הט' שלישיות יתנו כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
|
|
|
- Shimon worked: hours
|
כפלנו האמצעים ונהיו צ"ו חלקנום על ט' ונהיה החלק י' שעות וב' שלישיים וככה עבד לוי
|
-
- hours = 2 days
|
חבר כל השעות שעבדו שלשתם ותמצאם כ"ד שעות שהם ב' ימים
|
|
הזה בסוף השאלה הט' עיין הטב
|
Boiling Problem
|
|
- 13) Question: a man was boiling 6 measures of a beverage and he wanted that one third will remain. One measure was evaporated while cooking, then one measure overflow and four measures remained.
- He wants to [reduce] them [as planned for the original amount]
|
יג שאלה אדם אחד היה מבשל משקה ו' מדות ורצה שישאר השליש ונחסרה המדה האחת בבשול אחר נשפכה מדה אחת ונשארו הד' מדות
ורוצה להשיבם להשאירם כמשפט הראשון
|
- Rule of Four:
|
נשיבם אל הערכים ככה אם הה' מדות יתנו ב' הד' כמה יתנו
|
|
נכפל האמצעיים ונהיו ח' נחלקם על הקצה שהוא הה' ונהיה החלק אחד וחצי ועשירית וככה ראוי שישאר
|
- 14) Question: a sheet of 100 cubits long.
- Reuven began to measure it from one end and Shimon from the other end.
- Reuven measures 10 cubit in one hour and Shimon [measures] 12 [cubit in one hour]
- When will they meet?
|
יד שאלה יריעה ק' אמות
והתחיל למנותה ראובן מן הקצה האחד ושמעון מן הקצה האחר
וראובן מונה י' אמות בשעה ושמעון י"ב
מתי יפגשו
|
- hours
|
נחבר שני המניינים אשר הם כ"ב אמות בשעה ונחלק הק' אמות עליהם ונהיה החלק ד' וחצי וחלק אחד מכ"ב
וידענו שבד' שעות וחצי וחלק מכ"ב בשעה יפגשו שניהם על המניין
|
- the number of cubits measured by Reuven
|
ואם תרצה לדעת כמה אמות מנה ראובן תכפול י' בד' וחצי וחלק א' מכ"ב ואשר יעלה כן מספר האמות אשר מנה ראובן
|
- the number of cubits measured by Shimon
|
וכן אם תרצה לדעת כמה מנה שמעון תכפול תכפול הד' שעות וחצי וחלק מכ"ב על י"ב ואשר יעלה כך מספר האמות אשר מנה שמעון
|
Shared Work Problem - Draining a Vessel - Barrel
|
|
- 15) Question: a full barrel has three taps
- If the first is opened the barrel is drained in half a day.
- If the second is opened it is drained in a third of a day.
- If the third is opened it is drained in a quarter of a day.
- If you opened all three taps together, in how many hours will the barrel to be drained?
|
טו שאלה חבית מליאה יש בה ג' נקבים
אם תפתח הא' יכלה החבית בחצי היום
ואם תפתח השנית יכלה בשלישית יום
ואם תפתח השלישית יכלה ברביעית יום
ואם פתחת השלשה נקבים ביחד בכמה שעות יכלה החבית
|
- day = 12 hours
|
אתה צריך לדעת כי היום י"ב שעות
|
- barrel = 48 measures
|
וכן החבית כמה מדות מכילה ונניח שמכילה מ"ח מדות
|
- through the first tap it is drained in hours
- measures in one hour
|
והנה בפתיחת הנקב האחד יכלה בו' שעות שהם ח' מדות בשעה
|
- through the second tap it is drained in hours
- measures in one hour
|
ובפתיחת הנקב השני יכלה בד' שעות שהם י"ב מדות בשעה
|
- through the third tap it is drained in hours
- measures in one hour
|
ובפתיחת הנקב הג' יכלה בג' שעות שהם י"ו מדות בשעה
|
- through all three taps in one hour: measures
|
תחבר כל המדות אשר יכלו בשעה אחת והם ל"ו
|
- the barrel is drained through all three taps in hours
|
תחלק המ"ח על הל"ו יהיה אחד ושליש והנה בשעה אחת ושליש תכלה הכל
|
- Rule of Four:
|
ונעשה הערכים ככה אם הל"ו שעה אחת המ"ח על כמה יהיה
|
|
|
|
נכפול האמצעיים והם מ"ח נחלקם על הקצה שהם ל"ו ונהיה החלק אחד ושלישית
|
Find a Quantity Problem - Whole from Parts Problem - Lance
|
|
- 16) Question: a lance, a half of it is in the water, a third of it is in the soil, and up above [the water] it is 6 cubits long.
- What is the length of the lance?
|
טז שאלה רומח חציו במים שלישיתו בעפר ולמעלה ו' אמות
כמה גבהות כל הרומח
|
- False Position - common denominator:
|
נבקש המורה והוא ו'
|
|
וחציו ושלישיתו ה' נגרעם מן הו' ונשארו א'
|
- the length of the lance:
|
נכפול הו' עם הו' שהם האמצעיים ונחלקם על הא' שהוא הקצה נהיה ל"ו וככה גובה הרומח
|
- Check:
|
וחציו י"ח ושלישיתו י"ב הרי ל' ולמעלה ו'
|
- Rule of Four:
|
ונעשה הערך כך אם הא' יתנו ו' הו' כמה יתנו
|
Find a Quantity Problem - Whole from Parts Problem - Tree
|
|
- 17) Question: a tree, a fifth of it is [ingrained] in the soil, a sixth of it is in the water, and up above the water it is 7 cubits long.
- What is the height of the tree?
|
יז שאלה אילן חמשיתו בעפר וששיתו במים ולמעלה מהמים ז' אמות כמה גבהות כל האילן
|
- False Position - common denominator:
|
הנה המורה ל'
|
|
וחמשיתו וששיתו י"א נגרעם מל' שהוא המורה נשארו י"ט
|
- the height of the tree:
|
נכפול האמצעיים שהם הז' בל' נהיו ר"י נחלקם על י"ט ונהיו י"א חלקים וחלק אחד מי"ט וככה גבהות האילן
|
- Rule of Four:
|
ונעשה הערך כך
|
|
|
Triangulation Problem - Two towers
|
|
- 18) Question: there are two towers, the height of one is 60 cubits and the height of the other is 40 cubits.
- The distance between them is 50 cubits.
- At the top of each tower sits a bird.
- Between them a water pool.
- The birds are flying at the same speed, going down and drinking at the same time, then taking off at the same time.
- How far is the pool from the base of each tower?
|
יח שאלה אם היו שני מגדלים גובה הא' ס' אמה וגובה השני מ' אמה
והמרחק שביניהם נ' אמה
ובראש כל מגדל צפור יושב
ובין המגדלים בריכת מים
ועפים הצפרים בהתעופפות שוה ויורדים ושותים בזמן שוה ועולים בזמן שוה
כמה מרחק הבריכה מיסוד כל מגדל
|
- denominator:
|
נחבר מרובע מ' שהוא אלף ת"ר עם מרובע נ' שהוא אלפים ות"ק נהיו ד' אלפי' ק'
אח"כ נקח מרובע ס' שהוא ג' אלפי' ות"ר ונגרעם משתי המרובעים הנזכרים שהם ד'ק' ונשארו ת"ק והוא המורה
|
- the distance between the pool and the tower whose height is 60 cubits:
|
נכפול גם מרחק שני המגדלים שהוא נ' על ב' ונהיו ק' נחלקם המורה עליהם ונהיו ה' וככה מרחק הבריכה מן המגדל שגובהו ס' אמו'
|
- the distance between the pool and the other tower:
|
ומהמגדל האחר המ"ה אמות הנשארות
|
Joint Purchase Problem - If You Give Me - Buying a Fish
|
- 19) Question: three men went to the market to buy a fish.
- The first said: I will give all of what I have and you will give a half of what you have and we will buy the fish.
- The second said: I will give all of what I have and you will give a third of what you have and we will buy the fish.
- The third said: I will give all of what I have and you will give a quarter of what you have and we will buy the fish.
|
יט שאלה ג' אנשים אשר הלכו בשוק לקנות דג אחד
האחד אמר אני אתן כל מה שיש לי ואתם תנו החצי ממה שיש לכם ונקנה הדג
אמר השני אני אתן כל מה שיש לי ואתם תנו שליש ממה שיש לכם ונקנה הדג
אמר הג' אני אתן כל מה שיש ואתם תנו הרביע ממה שיש לכם ונקנה הדג
|
|
כתוב דבר הקונים החצי והרביע כזה
|
|
אח"כ תאמר מהו כאשר תקח חציו ממנו ישאר ג' כמספר הקונים והנה הוא ו' כתוב אותו תחת הב'
|
|
עוד תאמר מהו כאשר תקח שלישיתו ממנו ישאר ג' כמספר הקונים והנה הוא ד' וחצי כתוב אותו תחת הג'
|
|
עוד תאמר מהו כאשר תקח רביעיתו ממנו ישאר ג' כמספר הקונים והנה הוא ד' תכתבהו תחת הד'
|
|
4 |
4 |
6
|
|
|
|
|
- common denominator:
|
כפול הכל עם הב' ותאמר ב' פעמי' ו' הם י"ב
עוד ב' פעמי' ד' וחצי הם ט'
עוד ב' פעמי' ד' הם ח'
חבר הכל הם כ"ט וזהו המורה
|
|
כפול הראשון שהוא י"ב עם ב' וחסרהו מן המורה נשארו ה' וכך יש לראשון בכיסו
|
|
כפול השני שהוא ט' עם הב' וחסרהו מן המורה נשארו י"א וכך יש לשני בכסו
|
|
כפול השלישי שהוא ח' עם ב' וחסרהו מן המורה ונשארו י"ג וכך יש לשלישי בכסו
|
|
נמצא שקנו הדג בי"ז
|
|
ואם תרצה לבחון זה
|
|
תביט כי הראשון נתן כל מה שיש לו והיו ה' והם נתנו החצי שיש להם ומה שיש להם הם כ"ד כי השני יש לו י"א והג' י"ג והחצי י"ב תחברם עם הה' והוא י"ז והוא מחיר הדג
|
|
עוד השני נתן כל אשר לו והם י"א והראשון והשלישי נתנו השליש ממה שיש להם והם ו' כי לשניהם י"ח לראשון ה' ולשלישי י"ג חבר הי"א עם הו' ונהיו י"ז והוא מחיר הדג
|
|
עוד השלישי נתן כל אשר לו והם הי"ג והראשון עם השני נתנו ד' שהוא הרביע ממה שיש להם כי לראשון ה' ולשני י"א והם י"ז והוא מחיר הדג
|
Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Promissory Note
|
|
- 20) Question: four men issued a promissory note with a man.
- The first [was promised] that if he would work with him for a month, he will pay him 10 zehuvim.
- The second [was promised] that if he would work with him for a month, he will pay him 5 zehuvim which are a half.
- The third [was promised] that if he would work with him for a month, he will pay him 3⅓ zehuvim which are a third.
- The fourth [was promised] that if he would work with him for a month, he will pay him 2½ zehuvim which are a quarter.
- They all worked a whole month, but he did not pay any one and died.
- All that he had were only 10 zehuvim
|
כ שאלה אדם אחד הוציאו עליו שטר חוב ד' אנשים
הראשון שאם יעבוד עמו חדש ימי' יתן לו י' זהובי'
והשני שאם יעבוד עמו חדש ימים יתן לו ה' זהובים שהם מחציתם
והשלישי שאם יעבוד עמו חדש ימים יתן לו ג' זהובים ושליש שהם שלישיתם
והד' שאם יעבוד עמו חדש ימים יתן לו ב' זהובים וחצי שהוא רביעיתם
ועבדו כלם החדש בשלימות ולא פרע לשום אחד ומת
ולא נמצא לו יותר מי' זהובים בכל אשר היה לו
|
- The division according to the arithmeticians: each one receives his proportional share
|
הנה חכמי החשבון יתנו לכל אחד כפי ערך ממונו
|
- False Position - common denominator:
|
והנה המורה כ"ד כי תכפול הב' על הג' והם ו' עוד הו' על הד' הם כ"ד ובזה ימצאו כל החלקי' הנשארי' ונשים האחד השלם כ"ד כי הוא המורה
|
|
וכשתחבר אליו חציו ושלישיתו ורביעיתו יהיה בין הכל נ'
|
- converting the zehuvim into pešuṭim [1 zahuv = 12 pešuṭim]:
|
ונעשה הי' זהובים ק"כ פשוטי' מי"ב פשוטי' בזהוב
|
- Rule of Four:
|
ונעשה ערך הראשון כך אם הנ' יתנו לו כ"ד הק"כ מה יתנו לנו
|
|
|
- the share of the owner of the 10 zehuvim:
|
נכפול האמצעיים ונהיו ב' אלפים תת"פ נחלקם על הנ' שהוא הקצה נהיה החלק נ"ז פשוטים וחצי פשוט ועשירית פשוט וזהו חלק הראשון בעל הי' זהובים
|
- Rule of Four:
|
ונעשה ערך השני כך אם הנ' יתנו לנו י"ב הק"כ מה יתנו לנו
|
|
|
- the share of the owner of the 5 zehuvim:
|
נכפול האמצעיים ונהיו אלף ת"מ נחלקם על הנ' שהוא הקצה ועלו כ"ח פשוטי' וחצי פשוט וחמשית פשוט ועשרית פשוט וזהו החלק השני בעל הה' זהובים
|
- Rule of Four:
|
ונעשה ערך השלישי ככה אם הנ' יתנו ח' הק"כ כמה יתנו
|
|
|
- the share of the owner of the 3⅓ zehuvim:
|
נכפול האמצעיים ונהיו תתק"ס נחלקם על הנ' שהוא הקצה יהיו י"ט פשוטי' וחמשית פשוט וזהו חלק השלישי בעל ג' זהובים ושליש
|
- Rule of Four:
|
ונעשה ערך הרביעי ככה אם הנ' יתנו ו' הק"כ כמה יתנו
|
|
|
- the share of the owner of the 2½ zehuvim:
|
נכפול האמצעיים ונהיו תש"כ נחלקם על הנ' שהוא הקצה ונהיו י"ד פשוטי' וב' חמשיות פשוט וזהו חלק הרביעי בעל הב' זהובי' וחצי
|
-
|
וכשתחבר כל כל אלה החלקים יעלו ק"כ פשוטי' שהם י' זהובי'
|
|
ואם לא תרצה להשיב הכל אל הערכים מפני הטורח תעשה כך אחר שידעת חלק הראשון מן הערכי' תן מחציתו לשני ושלישיתו לשלישי ורביעיתו לרביעי ושוה יהיה זה וזה
|
|
וכן תוכל אתה לעשות שאלות אחרות עד אין קץ ותוכל להשיב עליהם אם תדע ואם תדע הכללים שהקפנו בהם בזה החבור ולא הזכרתי דרך מציאות שרשי המרובעים הנה כי אינם צורך בזה החבור ואחרתים עד מקומם ושם אבארם אם יחפוץ הנותן ליעף כח
|
|
תם ונשלם שבח לבורא עולם אבגדה גם
|
The Second Book of this Treatise Discusses Geometry
|
[1]הספר השני מזה החבור המדבר בחכמת המדות
|
[The First Section]
|
|
Chapter One
|
הפרק הראשון מהחלק הראשון מהספר השני
|
|
אמר מרדכי קודם שנדבר על חכמת המדות ראוי לבאר שמות שנשתמשו בהם בעלי זאת המלאכה והחכמה כי לכל חכמה שמות מיוחדות נשתמשו בהם בעלי החכמה ההיא מורות בענינים באותה החכמה בלתי הענינים אשר יורו בזולת החכמה ההיא להיות שהם הסכמיים וכאשר הניחו בזולת החכמה ההיא על מה שהניחו כן יוכלו להעתיקם ממה שהניחום למה שהניחום בחכמה מיוחדת אם על דרך השאלה או על דרך הספוק או על דרך ההעתקה ולפעמים גם ע"ד השתוף הגמור ולכן ראוי למחבר ספר אם ירצה להיות דבריו מובנים לבאר תחילה השמות אשר נשתמשו בם בעלי החכמה ההיא וכן עשה גם החכם אקלידס בספר היסודות אשר ביאר בהצעת כל מאמר דברים הצריכים באותו מאמר
|
|
ונאמר שכשתשמע הנה נקדה תבין שתורה על דבר שאין לו שעור כלל לא ארך ולא רחב ולא עומק והיא נמצאת בראש הקו כי היא תכליתו וכן היא אשר תמצא באמצע הקו כשתשער רמיזה היא תכלית חצי הקו והיא בעצמה ראש חצי הקו האחר
|
|
והקו הוא אורך בי רחב נמשך בין שתי נקדות אשר הן תכליותיו
|
|
והשטח הוא הרחב המתוח בין הקוים ויש לו אורך ורחב לבד ותכליותיו הם הקוים
|
|
והזוית השטוחה היא אשר יקיפו בה שני קוי' ישרי'
|
|
והזוית ממנה נצבת וממנה נרוחת
|
|
והזוית הנצבת היא כשיפול הקו הישר על קו ישר וישים השתי זויות נצבות כזה ┴
|
|
והחדה היא אשר היא יותר קטנה מזאת
|
|
והנרוחת היא אשר היא יותר גדולה מזאת
|
|
והקו אשר יפול על הקו ויעשה שתי זויות יקרא עמוד
|
|
והקו שהוא עומד הקו יקרא תושבת
|
|
והקוים הנכחיים הם אשר כשיוצאו לכל א' משני צדדים ואפילו ללא תכלית לא יפגשו
|
|
והתמונה השטחית תחלק אל ישרת הקוים ואל בלתי ישרת הקוים
|
|
והתמונה הישרת קוים היא אשר יקיפו בה ג' קוים או יותר
|
|
ואשר יקיפו בה ג' קוים לא יותר תקרא משולש
|
|
ואשר יקיפו בה ד' קוים תקרא מרובע
|
|
ואשר יקיפו בה ה' קוים תקרא מחומש
|
|
וכן כל כיוצא בזה
|
|
והקוים אשר יקיפו בתמונה יקראו צלעות
|
|
והמשולש יחלק אל שלשה מינים
|
|
הא' יקרא שוה הצלעות והוא אשר שלש צלעותיו שוים
|
|
והשני יקרא שוה השוקים והוא אשר תהיינה שתי צלעותיו שוות והשלישית בלתי שוה אם יותר ארוכה מכל אחת מהן או יותר קצרה מכל אחת מהן
|
|
והשלישי יקרא מתחלף הצלעות והוא אשר אין אחת שוה לחברתה
|
|
עוד [2]המשולש יחלק אל נצב הזויות והוא אשר זויתו האחת נצבת כזה
|
|
ואל נרוחת הזוית והוא שזויתו האחת מרווחת כזה
|
|
ואל חד הזויות והוא אשר שלש זויותיו חדות
|
|
ובעל הד' צלעות יחלק אל מרובע שוה הצלעות ואל בלתי שוה הצלעות
|
|
עוד השוה הצלעות יחלק אל מה שהוא נצב הזויות ויקרא שוה הצלעות נצב הזויות כזה
|
|
ואל מה שהוא בלתי נצב הזויות כזה ויקרא מעויין
|
|
עוד הבלתי שוה הצלעות יחלק אל מה שהוא שתי צלעותיו הנכוחיים שוים וזויותיו נצבות ויקרא מרובע ארוך כזה
|
|
ואל כל ששתי צלעותיו שוות אבל אין זויותיו נצבות ויקרא דומה למעויין כזה
|
|
ואל זולת אלה ויקרא הנוטה
|
|
והוא ארבע תמונות יתבארו בזה החבור
|
|
והתמונה הבלתי ישרת הקוים השטוחה תחלק אל עגולה וחצי עגולה
|
|
והעגולה היא תמונה יקיף בה קו אחד בתוכה נקדה כל הקוים היוצאים ממנה אל המקיף שוים
|
|
והנקדה ההיא תקרא מרכז העגולה
|
|
והקו אשר יצא ממקיף העגולה ויעבור על המרכז יקרא מיתר
|
|
והחתיכה אשר תושבתה במיתר יקרא קשת
|
|
וחצי העגולה היא אשר יקיף בה חצי הקו המקיף והאלכסון
|
|
וחתיכת העגולה היא תמונה תקיף בה היתר והקשת ותחלק לשני מינים אם שהיא קטנה מחצי עגולה או גדולה הימנה
|
|
ותשבורת התמונה הוא החלקים המרובעים נצבי הזויות אשר ארכם כרחבם או השוים להם הממלאים את התמונה הדרושים על התמונה
|
|
וההכאה היא כפל צלע בצלע או קו ישר בקו קשתי או מספר במספר
|
|
וכבר ביאר אקלידס בספר אחד שחבר במדידת הארץ כי חכמת המדות השטוחה היא מיוסדת מארבעה דברים מהפאות ומהנקודות ומהקוים ומהזויות וגם כן היא מקבלת סוגים ומינים
|
|
והפאות הם מזרח ומערב וצפון ודרום
|
|
והנקדות הם אשר תקח אותם התחלה או סימן לדבר
|
|
והקוים הם י' קו ישר ותושבת וראש ועמוד וקו נכחי וקטר ושוקים ומקיף ואלכסון ומיתר
|
|
והקו הישר הוא הנמשך על יושר משתי תכליותיו שהם שתי נקדות
|
|
והתושבת היא קו ישר אחד עומד עליו קו ישר אחר ועושה השתי זויות אשר משני צדדיו נצבות
|
|
והראש הוא הקו העומד על התושבת
|
|
והעמוד הוא הקו היורד מהראש אל התושבת ועושה השתי זויות אשר משתי צדדיו נצבות
|
|
והקו הנכחי הוא קו עומד נכח קו אחר ומרחקי קצותיהם אשר על זויות נצבות שוים
|
|
והקטר הוא הקו הנמשך מזויות המרובעים וכיוצא בהם עם הזוית האחרת
|
|
והשוקים הם קוים ישרים יורדים מקצות הארץ עד שתי קצות התושבת
|
|
והמקיף הוא הקו הסובב במרחק שהוא המרכז עד הקו ההוא והקוים היוצאים אליו מהמרכז שוים
|
|
והאלכסון הוא [3]קו יוצא מהמקיף ועובר על מרכזו ויוצא אל המקיף מהצד האחר וחולק את המקיף בשני חלקים שוים
|
|
והמיתר הוא הקו הישר אשר תחת הזוית הנצבת
|
|
והזויות הם ג' נצבת חדה ונרוחת
|
|
הנצבת היא כאשר יעמוד קו ישר על קו ישר ויעשה הזויות אשר משני צדדיו שוות כל אחת תקרא נצבת
|
|
והזוית אשר היא קטנה מזאת תקרא חדה
|
|
ואשר היא גדולה מזאת תקרא נרוחת
|
|
סוגי המדידה הם שלש מהארבעה קוים הישרי' ומדידת התמונה ר"ל תשבורת התמונות ומדידת הגופנים
|
|
מדידת הקוים הישרים היא אשר ימדדו על יושר באורך לבד וזה יקרא מדידה מספרית
|
|
מדידת תשבורת התמונות הוא אשר יש לו אורך ורחב ועובי כי ממנו יודע מדידת הגופנים ויקרא גם כן מעוקב
|
|
ומיני המדידה הם חמשה המרובע והמשולש והמעוין והנוטה והעגולות
|
|
והתמונות י"ח
|
|
אם תמונות המרובעים ב' מרובע נכחי הצלעות ונצב הזויות
|
|
ואם תמונות המשולשים משולש שוה הצלעות ומשולש שוה השוקים ומשולש מתחלף הצלעות ומשולש נצב הזויות ומשולש נרוח הזויות ומשולש חד הזויות
|
|
ואם תמונות המעויינים ב' המעויין והדומה למעויין
|
|
ואם תמונות הנוטים הם ד' נוטה נצב הזויות נוטה שוה השוקים נוטה חד הזויות נוטה נרוח הזויות
|
|
ואם תמונות העגולות ד' העגולה וחצי העגולה וחתיכת העגולה מחציה ומעלה וחתיכת העגולה הקטנה שהיא קטנה ממנה
|
Chapter Two
|
הפרק השני
|
|
דע כי המשולש הוא שרש ופנה לכל התמונות השטחיות ישרות הקוים כי ממנו חוברו ואליו יותכו כאשר הודיע זה ניקומאכוש הגיהרשיני במאמר השני מספר הארתימישיקא שחבר
|
|
ולכן מי שידע למדוד המשולשים ידע למדוד כל התמונות בכפל תשבורת המשולש במספר אשר יולידו התמורה אם הם שוים ואם היו בלתי שוים יהיה זה בקבוץ תשבורת כל המשולשי' אשר יולידוהו ומפני זה היה מספיק להודיע מדידת המשולש למנין לבד אבל מפני שהמדה והשעור אשר נשער בה מרובעת ארכה כרחבה
|
|
כי תשבורת התמונות הם משוערות על האמות המרובעות כאשר הודענו מן גדרה
|
|
והמשולש בעצמו לא יתאמת מנינו רק בהצטרפו אל המרובע כי המופת שיובא עליו בהקשה אל המרובע לכן ראוי שנודיע מדידת המשולשים [נ' המרובעים] תחלה אח"כ נודיע דרכי המשולשים והשאר
|
|
וקודם זה נודיע שכל מוסכל לא יגיע אלא בידוע ולכן עלו כל הדרושים אל המושכלות הראשונות או אל אחד מהמינים אשר הם ידועים בעצמם
|
|
וידוע כי כשנדרוש למצוא תשבורת תמונה איזו שתהיה קודם שנמצאנה היא מוסכלת אצלנו
|
|
ולכן ראוי להגיעה לנו בידוע והידוע אשר יגיע לנו היא ידיעת חלק ממנה אם צלעות מצלעותיה או עמוד ותושבת וזולת זה
|
|
ואם גם אלה הם מוסכלים אז תגיע לנו האמה אשר ימדדו בה ולכן ראוי להודיע [4]שהאמה הזאת ידועה אשר תגיע לנו ידיעת המוסכלים מהנמדדים היא אורך לבד בלי מרחב ואינה אמה מרובעת כאשר הם אמות התשבורת כי גם המרובעת תכליותיה הם הקוים אשר הם אורך לבד והם המגבילים אותה
|
|
ומהנה אתחיל לבאר איך ימדדו המרובעים ונתחיל ממרובע שוה הצלעות נצב הזויות כי הוא כשרש לשאר המרובעים אחרי שהמעויין ידמה לו בשווי הצלעות והארוך בהתיצבות הזויות
|
|
ועוד כי אמת התשבורת היא מרובעת הצלעות שוים והזויות
|
|
והיתה זאת אמת התשבורת כי זאת תודיע לנו השעור של התמונה והדבר אשר יודיע שעור הדבר ראוי שיהיה שוה נודע וידוע שהזויות הנצבות הם שוות לעולם מה שאין כן החדה והנרוחת כי יקבלו הפחות והיתר והדבר אשר יקבל הפחות והיתר הוא בלתי מוגבל והבלתי מוגבל הוא בלתי ידוע והבלתי ידוע בעצמו איך יהיה סבה לזולתו
|
|
הדבור על מדידת המרובע שוה הצלעות נצב הזויות
|
|
ראוי שתדע בכלל כי כל בעל ארבעה צלעות נצב הזויות הארבעה הנה הכאת צלעו האחד בצלעו האחר ככה תשברתו
|
|
והיה זה סבה להיות שמרובע צלעו האחד שוה להכאת צלעו הא' בצלעו השני
|
|
דמיון מרובע אבג"ד הוא שוה הצלעות כי נשים כל א' מצלעותיו עשר אמות והנה מרובע צלעו האחד מאה אמה וככה הוא תשברתו כי הם מאה אמות מרובעות נצבות הזויות כל אמה מהן מרובעת דומה אל המרובע הגדול
|
|
המופת על זה נחלק כל צלע ממנו על עשר אמות בעשרה נקדות ונגיע מכל נקדה מהצלע האחד קו על הצלע הנכחי לו הנה יהיו הקוים נכוחיים האחד לחברו ולצלעו המרובע הגדול כי מרחקי קצותיהם אשר הם על זויות נצבות שוים אם כן קו ה"ו נכחי אל קו א"ד וקו ב"ל נכחי אל קו א"ב
|
|
ונאמר תחלה כי קו א"ד נפל על שני קוי א"ב וב"ל הנכוחיים
|
|
הנה ישרת שתי הזויות הפנימיות אשר בצד אחד שוות לשתי נצבות וזוית א' היא נצבת אם כן גם זוית ב' היא נצבת על כל פנים [5]והתמונות הנכחיות הצלעות יהיו זויותיהם המומרות שוות א"כ גם זוית ה' נצבת וגם הזוית הנשארת מזה המרובע הקטן שהוא האמה נצבת
|
|
עוד קו ו"ה נפל על קו א"ב והקו הישר אשר יפול על קו ישר הנה ב' הזויות אשר בצדו אם נצבות או שוות לשתי נצבות וזוית ה' נצבת אם כן גם הזוית אשר בצדו נצבת ומזה יתבאר כי גם על ד' זויות האמות נצבות וכן יתבארו כל הי' אמות אשר בטור הא'
|
|
עוד קו ב"ל נחתך בקו ה"ו וב' הקוים אשר יחתכו זויותיהם המקבילות שוות א"כ גם זוית האמה הראשונה אשר בטור הב' השמאלית נצבת וכנגדה נצבת וכן יתבארו כל האמות אשר בתשבורת הזאת ולהיותם שוי הצלעות יתבאר מחלוקת כל צלע השוה לחלקים וכשתחסר מן השוים יהיה הנשאר שוים והב' דברים השוים לדברים שוים גם הם שוים
|
|
וזאת המדידה נכונה בבעלות ד' הנצבות הזויות הד' ר"ל שתכפול צלעו הא' על צלעו השני המקיפו' בזוית א' ולמצוא התשבורת
|
|
דמיון בבעלת ד' צלעות נצב הזויות הד' נכוחי הצלעות אשר צלעה הא' י' וצלעה האחרת ה' כזה הנה כפילת הה' על הי' הם נ' וזהו התשבורת של זאת התמונה ומופתה כמופת הקודם
|
|
אבל אם היתה התמונה שוה הצלעות ולא היתה נצבת הזויות ולא יתכן שימדד במדידת צלעותיה כי זה יביא לטעות גדולה
|
|
דמיון יש לנו מרובע שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות עליו אבג"ד ויהיה כל א' מצלעיו י' אמות הנה אם תכפול צלעו הא' בצלעו השני אז אם תקח מרובע צלעו הא' יעלה ק' ואין זה תשבורת המרובע הזה
|
|
המופת נוציא ב' קוטרים מזויותיו הא' קוטר א"ג והב' קטר ב"ד ויהיה קטר א"ג י"ו אמה וקטר ב"ד י"ב אמה ויחתכו על נקדת ה' הנה נעשה שטח נכוחי הצלעות נצב הזויות אשר צלעו אחת כקטר הארוך וצלעו האחרת כקטר הקצר ויהיה כל צלע נכוחי לקטר הדומה לו כי שתי הקטרים יחתכו על זויות נצבות כאשר נראה המופת במדידתו ונכתוב עליו ה' ו' ז' ח' הנה נחלק השטח הנצב הזויות לד' חלקים שוים עם קטרי המרובע הקטן אשר אין זויותיו נצבות
|
|
עוד כל חלק מהד' חלקים נחלק לשני חלקים שוים עם צלעות המרובע הקטן לא פחות ולא יתר
|
|
ותשבורת השטח הנצב הזויות הוא בכפל צלעו האחד על השני וצלעו הא' הוא י"ו אמה כי [6]הוא שוה לקטר הארוך מהמרובע וצלעו השנית הוא י"ב אמה כי הוא שוה לקטר הקצר מהמרובע וכפל י"ו על י"ב הם קצ"ב וזהו תשבורת השטח הנצב הזויות אשר הוא כפל תשבורת המרובע אשר בתוכו
|
|
ואם כן תשבורת המרובע הם צ"ו אמות אשר בתוכו ואלו היינו נשענים על כפל צלעותיו היה יוצא ק' אמה וזאת שגיאה גדולה
|
|
ולכן אמרו בעלי השעור שזה המרובע יהיה נמדד בכפילת מחצית קטרו הא' על קטרו השני והוא תשברתו
|
|
המופת על המדידה הזאת ידוע שכאשר יהיה שוה הצלעות הנה שני קטריו יחתכו על זויות נצבות כי כל קטר הוא מחלק אותו לשני משולשים שוה השוקים והקטר תושבת שני המשולשים וכאשר יצא הקטר האחד מזוית משולש שוה השוקים אשר התושבת היא מיתרה עד הזוית האחרת ממשולש שוה השוקים שזאת התושבת היא מיתר גם אותה תחלק התושבת לשני חלקי' שוים [7] ועל זויות נצבות וכפילת כל הקוטר בכל הקטר יהיה תשבורת המרובע החיצון אשר הוא כפלו לכן מרובע חציו בכולו הוא מחצית זה שהוא תשבורת המרובע הזה ולכן אמרו כשתמצא מרובע שוה הצלעות בין שיהיה נצב הזויות בין שלא יהיה לא תמנה אותו כי עם מדידת האלכסונים ולא תטעה לעולם כי להכיר האדם הזוית הנצבת מהבלתי נצבת אינו בקלות ולכן ראוי להשמר מן הטעות
|
|
ואם היה המרובע שוה הצלעות נצב הזויות ולא ידעת צלעו או רצית למדדו מקטרו האחד תקח מרובעו ותחלקהו על שני חלקים והחלק האחד הוא תשבורת המרובע ההוא ושרש החלק הוא אורך צלעו
|
|
דמיון מרובע אשר עליו אבג"ד שוה הצלעות נצב הזויות והיה מרובע קטרו ר' תחלק הר' לשני חלקים יהיה החלק הא' ק' והוא תשבורת המרובע ושרש הק' שהם י' הם אורך צלעו וכן אם אינו שוה הצלעות אבל הוא נצב הזויות יהיה הקטר ידוע אליך והצלע האחד ורצית למדדו משתי אלה תקח מרובע הקטר ותגרע ממנו מרובע הצלע הידוע והנשאר הוא מרובע הצלע הנשאר תקח שרשו והוא אורך הצלע תכה אותו עם הצלע הידוע והוא תשבורת המרובע
|
|
דמיון מרובע ארוך אשר עליו אבג"ד והיה צלע א"ב י' אמות וקטר א"ג י"ב אמות
|
|
לקחנו מרובע הקטר והוא קמ"ד אמות גרענו ממנו ק' אמה שהוא מרובע הצלע הידוע שהוא י' אמות ונשארו מ"ד אמות ושרשם ו' אמות ושני שלישי אמה פחות משהו שהוא אורך הצלע השני הכינו הו' ושני שלישי' פחות משהו עם הי' ונהיו ס"ו אמות ושני שלישים פחות משהו והוא תשבורת המרובע
|
|
המופת על שתי [8]על שתי אלו המדידות ידוע שהקטר הוא חילק את שני המרובעים האלה על שני משלשים שוים נצבי הזויות להיות שהם נכוחיי הצלעות והקטר משותף בשניהם וזוית אחת בכל משלש נצבת והקטר הוא מיתר הזוית הנצבת לכל משולש מהם וכבר התבאר בחכמת המדות שהמשולש הנצב הזוית שני המרובעים אשר יהיו מהצלעות המקיפות בזוית הנצבת שוות למרובע ההוה מהצלע שהוא מיתר לזוית הנצבת א"כ כשתגרע מהשוה לשנים האחד ישאר השני ושרשו הוא המבוקש הנולד מנפילתו בחברו אשר יקיף עמו בזוית הנצבת הוא תשבורת המרובע ההוא
|
|
ואם היתה תשבורת המרובע ידועה לך וידעת גם צלעו האחד ולא ידעת גם צלעו השני תחלק תשבורת המרובע על הצלע הידוע ויצא לך הצלע האחר הבלתי ידוע
|
|
דמיון היה מרובע תשברתו ק' אמה וצלעו האחר י' אמה תחלק תשברתו שהוא הק' אמה על י' ויצא לך החלק י' ומזה ידעת שגם צלעו האחר י' אמות והמרובע הזה שוה הצלעות
|
|
וכן אם היה תשברתו ק' אמה וצלעו הא' כ' אמה תחלק הק' על הכ' ויצא לך החלק ה' והוא צלעו האחר ומזה ידעת שהוא שטח נכחי הצלעות אשר יקרא מרובע ארוך
|
|
המופת על זה כי התשבורת הוא מספר נולד מכפילת חלקי הצלע האחד בחלקי הצלע האחר והמספר הנכפל במספר אחר ימצא באותה תולדה המספר האחר בכמות המספר האחר וכן האחר בזה וכשידעת כמות מספר האחד והתולדת אם תחלק התולדת על כמות המספר הנודע ידענו המספר אשר ימצא בכמות המספר הנודע ובהתקבצו כפעמי המספר הנודע נהיה התולדת
|
|
ולכן חלקנו תשבורת המרובע על צלעו הנודע והוא יודיע לנו צלעו הבלתי נודע
|
|
ואם היה המרובע שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות והוא אשר יקרא מעויין והיה קטרו הא' י"ו אמה וקטרו הב' י"ב אמה כמה יהיה צלעו תחלק כל קטר לשני חלקים וקח מכל אחד מרובע החלק האחר ותחבר שני המרובעי' כאלו הם מספר אחד וקח השרש והוא צלע המרובע ההוא
|
|
דמיון חלקנו קטר י"ו על ח' ח' ולקחנו מרובע ח' שהם ס"ד וכן קטר הי"ב על ו' ו' ולקחנו מרובע הו' שהם ל"ו חברנו הס"ד עם הל"ו ונהיו ק' ושרשו י' והוא צלע המרובע
|
|
המופת על זה כי כל צלע מצלעי זה המרובע יהיה קטר לשטח נכחי הצלעות נצב הזויות אשר צלעו הא' ח' וצלעו השני ו' כאשר הודענו במדידת המרובע הזה ומרובע הקטר ראוי להיותו שוה לשני מרובעי כי הוא מיתר למשלש בזויתו הנצבת ולכן ישוה זה צלע המרובע לשני ש שני מרובעי חציי קטריו
|
|
ואם שאל השואל מעויין שקטרו האחד [9]שקטרו האחד י"ו אמה וצלעו י' אמה כמה קטרו האחד תקח מרובע מחצית הקטר הידוע שהוא ח' ומרובעו ס"ד
ותגרעהו ממרובע הצלע שהוא ק' ונשאר שהוא ל"ו הוא מרובע חצי הקטר האחר תקח שרשו והוא ו' והוא מחצית
הקטר כפלהו והוא י"ב והוא הקטר האחר
|
|
המופת על זה ידוע שמחצית כל קטר משניהם עומד על הקטר האחר על זויות נצבות ומחצית הקטר הידוע עם מחצית הקטר הבלתי ידוע וצלע המרובע יעשו משלש נצב הזויות והצלע יהיה מיתר הזוית הנצבת ומרובע הצלע שהוא מיתר לזוית הנצבת ישוה לשני מרובעי שתי הצלעות הנשארות שהם וחציי הקטרים וכאשר תגרע מרובע הצלע הא' המקיף בזוית נצבת אשר הוא בזה מחצית הקטר ממרובע צלע המרובע שהוא המיתר לזוית הנצבת ישאר מרובע חצי הקטר האחר שהוא המקיף האחר לזוית הנצבת ושרשו הוא חצי הקטר ואם תכפלהו תמצא כל הקטר
|
|
ובכאלה השאלות תוכל להוציא גם אתה שאלות אחרות ולהשיב עליהן
|
|
ומהנה נכנס בבאור מדידת המשולשי' למיניהם אחר נבאר מדידת הנוטים כי לא נוכל לבאר מדידת הנוטים ראשונה למדידת המשולשים אחר שהמשולשים הם יסוד לנוטים כי כל נוטה יחלק לשני משולשים מתחלפים או ליותר מזה וכאשר תדע מדידת המשולשים למיניהם יגיע לך בקלות ידיעת מדידת הנוטים
|
Chapter Three on the Measuring of the Various Triangles
|
הפרק השלישי במדידת המשולשים למיניהם
|
|
כבר ידעת שהמשולשים נחלקו לשוי הצלעות ולשוי השוקים ולמתחלפי הצלעות
|
|
ונקדים לבאר תחלה דרכי המשלש השוה הצלעות כי בו יפול העמוד במחצית התושבת בכל צלע שתרצה להוציאו אחר נדבר על המשלשים האחרים
|
|
ונאמר בתחלה כי הדבר הכולל לכל המשלשים במדידתם הוא שתכפול העמוד במחצית התושבת או כל התושבת במחצית העמוד וההוה הוא תשבורת המשלש המבוקש
|
|
ומפני זה ראוי להודיע בתחלה איך יצא העמוד בכל משלש ומשלש עד שיהיה ידוע כי בו יגיע לנו תשבורת המשלש המוסכלת
|
|
ונאמר כי במשלש השוה הצלעות לעולם יפול העמוד במחצית התושבת אחר שג' זויותיה הם חדות לעולם וג' צלעותיה שוות וארצה בעמוד הקו הנופל מזוית ראש המשלש אשר יקרא גובה התמונה על תושבתה על זויות נצבות
|
|
המשל בזה משלש אב"ג שוה הצלעות ועמוד אשר יצא מראש המשלש אשר הוא נקדת א' על תושבתה יפול בנקדת ד' ואומר שנקדת ד' היא מחצית התושבת
|
|
המופת בזה העמוד חולק את המשלש לשני משלשים אשר שתי צלעות כל משולש ממנו שוות לשתי הצלעות מהאחר כל אחד [10]לגילו צלע א"ג שוה לצלע א"ב ועמוד א"ד צלע משותף לשתיהן וזוית אד"ב שוה לזוית אד"ג כי שתיהן נצבות אם כן צלע ג"ד שוה לצלע ד"ב וצלע ג"ד וד"ב הם מחוברים הם כל התושבת אם כן כל אחת מהן היא מחצית התושבת
|
|
והמופת אשר תשבורת כל משלש הוא כפילת העמוד בחצי תושבת או כל התושבת בחצי העמוד אם במשולש שוה הצלעות או במשלש שוה השוקים אשר הוצאת עמודו על צלעו המתחלפת הוא זה כי המופת אשר הורה במשלש שוה הצלעות הוא בעצמו יורה זה על שוה השוקים כאשר הוצאת עמודו על צלעו המתחלפת כי כאשר הוצאת העמוד על מחצית התושבת אח"כ הוצאת קו על קצה התושבת נכחי אל העמוד עוד הוצאת קו מראש העמוד הנכחי אל מחצית התושבת כבר נהיה שטח נכחי הצלעות אשר צלעו האחת העמוד וצלעו האחר מחצית התושבת
|
|
והשטח הזה שוה למשלש הנזכר כי צלע המשלש הנז' הוא קטר לנכחי הצלעות הנז' ומחלק אותו לשני המשלשים שוים והמשולש האחד הוא מחצית כל המשלש הנזכר אם כן כל שטח הנכחי הצלעות אשר הוא נחלק לשני משולשים הוא שוה לכל המשלש הנז' ותשבורת השטח הנכחי הצלעות הוא כפילת צלעו האחת בצלעו האחרת וצלעו האחת היא עמוד המשלש וצלעו האחרת היא מחצית תושבת המשלש אם כן תשבורת המשלש הוא כפילת העמוד בחצי תושבתו אחר שהוא שוה לשטח הנכחי הצלעות
|
|
המשל בזה משלש אב"ג הוא שוה הצלעות או השוקים ועמודו הוא קו א"ד והוצאנו על קצה מחצית תושבת המשלש הזה קו ב"ה על נקדת ב' נכחי לקו א"ד ועל נקדת ה' הוצאנו קו א"ה נכחי לקו ד"ב
|
|
הנה אומר כי שטח א"ד ה"ב הנכחיי הצלעו' שוה למשלש אב"ג
|
|
המופת בזה כי זוית אה"ב שוה לזוית אד"ב כי שתיהן נצבות והקטר שהוא צלע המשלש שהוא א"ב חלק את השטח לשני משלשים שוים אחר שהוא קו ישר ונפל על שני קוים נכוחיים שם את שתי הזויות המומרות שוות אם כן זוית ב"ד היא שוה לזוית בא"ה וקטר א"ב משותף אם כן משלש הא"ב שוה למשלש אב"ד ומשלש אב"ד הוא חצי שטח הנכחי הצלעות שהוא שטח ה"אד"ב והוא חצי משלש אב"ג אם כן שטח ה"אב"ד שוה למשולש אב"ג ושטח נכחי הצלעות הנצב הזויות כפילת צלעו האחת בצלעו האחרת היא תשברתו אם כן גם תשבורת משלש אב"ג הוא כפילת צלע נכחי הצלעות האחת שהוא עמוד המשלש בצלעו האחרת שהוא מחצית תושבת המשולש וזמש"ל
|
|
ואם המופת שבכפילת מחצית העמוד על [11]על כל התושבת נמצא התשבורת הוא זה אם תרצה מהכלל הידוע שכל חשבון כפולת חציו בחשבון אחר כלו הוא בכפולת כלו כמחצית אותו החשבון
|
|
ואם תרצה נביא מופת מחכמת המדות והוא זה משלש אב"ג שוה הצלעות ונוציא מנקדת ח' ממנו עמוד אל תושבת ב"ג והוא קו א"ד ונסמן במחציתו נקדת ה' ונוציא מנקדת ה' שני קוים דבקים על יושר נכוחיים ושוים לתושבת ב"ג והם ה"ז ה"ח ונגיע קוי ח"ב ז"ג הנה אומר כי שטח ב"ג ז"ח הנכחיי הצלעות שוה למשלש אב"ג
|
|
המופת כי נוטה ט"ב ב"ג משותף לשטח ב"ג ז"ח ולמשלש אב"ג ונשאר משלש חט"ב כמשלש אט"ה כי זוית חט"ב שוה לזוית הט"א וזוית אה"ט שוה לזוית בח"ט וצלע א"ה שוה לצלע ב"ח כי שתיהם מחצית העמוד אם כן משלש חט"ב שוה למשלש אט"ה וכן משלש בז"ג שוה למשלש אב"ה וההנהגה אחת א"כ נוטה ט"ב ב"ג עם שני משולשי חט"ב בז"ג שהם כל השטח נכחי הצלעות שוה לנוטה ט"ב ב"ג עם שני משולשי אט"ה אב"ה שהם כל משלש אב"ג אם כן משלש אב"ג שוה לשטח נכחי הצלעות ב"ג ז"ח ותשבורת השטח הנכחי הצלעות הוא הכאת צלעו האחד שהוא שוה למחצית העמוד של המשולש בצלעו האחר שהוא שוה לכל תושבת המשולש אם כן גם תשבורת המשולש שהוא שווה לו הוא הכאת מחצית העמוד בכל התושבת וזה מש"ל
|
|
וכן זה המופת בעצמו יורה על משלש שוה השוקים כאשר הוצאת העמוד על צלעו המתחלפת
|
|
הנה כבר ידעת שכשיבא בידך הן משלש שוה הצלעות הן שוה השוקים תכפול העמוד במחצי' התושבת או ההפך ותמצא התשבורת
|
|
ולדעת העמוד מהצלע הן במשלש שוה הצלעות או במשולש שוה השוקים
תעשה כן תקח מרובע חצי התושבת ותגרעהו ממרובע הצלע ואשר ישאר יקח שרשו והוא העמוד
|
|
המופת על זה כי צלע המשולש הוא מיתר הזוית הנצבת אשר יקיפו בה העמוד ומחצית התושבת והתבאר בחכמת השעור כי מרובע הצלע אשר היא מיתר הזוית הנצבת[12] ותקח שרש הנשאר תמצא את צלע האחרת
|
|
אולם בעלי השעור נתנו כללים אחרים במדידת המשולש השוה הצלעות כדי להקל על המחשב ואמרו לעולם תקח מט"ו בצלעו י"ג והוא העמוד או תהיה מרבע את הצלע והוצא ממנו הרביעית וקח שתי הרביעיות הג' והוא עמוד המשולש הזה
|
|
ואלה הכללים וכדומה להם יצאו מהמופת הנז'
|
|
ומה שאמרנו בענין משלש שוה השוקים הוא כשהוצאת עמודו על צלעו המתחלפת אבל אם הוצאת אותו על צלע אחד מצלעותיו דע שיש לו שני משפטים אחרים נבארם כשנבאר [13]משפטי המשלש שמתחלף הצלעות
|
|
אם נרצה לשער המשלש המתחלף הצלעות תחלה ראוי להוציא עמודו על צלעו המתחלפת ולדעת מרחקו מאחת הצלעות כי העמוד אשר הוצאנו במשלש השוה הצלעות ובמשולש שוה השוקים הוא נופל במחצית התושבת לעולם אבל אין העמוד הזה היוצא במשולש המתחלף הצלעות יוצא על המחצית כלל אבל הוא רחוק מהצלע האחת והוא קרוב אל הצלע השנית ומרחקו מהצלע האחת אנו קוראים אותו המרחק הקרוב ומרחקו מהצלע הרחוק אנו קוראים אותו המרחק הרחוק
|
|
ואחר שנדע גבול מעמדו באחת מהצלעות אז נביא להודיע אורך עמודו
|
|
ונאמר משלש אב"ג מתחלף הצלעות אשר צלע א"ב ממנו עשרים אמה וצלע א"ג ממנו י"ח אמה וצלע ג"ב ממנו אשר עליו נוציא את העמוד והוא התושבת י"ו אמה ונרצה לדעת גבול מעומד העמוד מצלע א"ג אשר הוא הקצר וכבר ידענו שאורך הצלע הזה י"ו אמה נקח מרובעו הוא שכ"ד ונחבר אליו מרובע התושבת שהוא רנ"ו ויהיו תק"ף אחר נגרע מן תק"ף מרובע א"ב אשר הוא הצלע הארוך וכבר ידענו שהוא כ' ומרובעו הוא ת' נגרעם מן תק"ף נשארו ק"פ נקח מחציתם והם צ' ונחלק אותם על התושבת שארכה י"ו ונהיה החלק הא' ה' וחצי ושמינית וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הקצר על התושבת
|
|
ואם רצינו לדעת גבול מעמדו מן הצלע הארוך נקח מרובעו שהוא ת' ונחבר אותו עם מרובע התושבת שהוא רנ"ו ושניהם תרנ"ו נגרע מאלה מרובע הצלע הקצר שהוא שכ"ד נשארו של"ב נקח מחציתם והם קצ"ו ונחלקם על התושבת שהם י"ו ונהיה י"ו שליש וחלק אחד מכ"ד וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הארוך על התושבת
|
|
עוד נמשיל במשלש מתחלף הצלעות משל אחד על חשבון שלם ר"ל שיצא גבול מעמד עמודו על התושבת באחדים שלמים מבלתי חלק
|
|
ונאמר משלש אב"ג אשר צלע א"ג ממנו י"ג וצלע א"ב ממנו ט"ו וצלע ב"ג ממנו אשר הוא התושבת י"ד ורצינו לדעת גבול מעמד העמוד על התושבת מהצלע הקצר שהוא א"ג ממנו
|
|
חברנו אל מרובע הצלע הזה מרובע התושבת ונהיו שס"ה גרענו מזה המרובע מהצלע הארוך אשר הוא רכ"ה ונשארו ק"מ לקחנו חצים והם ע' חלקנום על י"ד שהוא חותך התושבת והיה החלק האחד ה' וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הקצר
|
|
ואם תרצה לדעת גבול מעמדו מן הצלע הארוך נחבר מרובעו עם מרובע התושבת ונהיו תכ"א הוצאנו מהם מרובע הצלע הקצר שהוא קס"ט נשארו רנ"ב לקחנו חצים והם קכ"ו וחלקנום על י"ד שהוא התושבת היה החלק הא' ט' וזהו גבול [14]מעמד העמוד מן הצלע הארוך
|
|
המופת על זה כבר התבאר בחכמת השעור שמרובע הצלע אשר הוא מיתר זוית חדה הוא פוחת מן מרובעי שתי צלעות הנשארות בכפל שטח הנצב הזויות אשר יקיף בו התושבת כלו עם מקום מעמד העמוד מאותו הצד ולכן כאשר תחבר מרובע הצלע עם מרובע התושבת ותוציא מהם מרובע הצלע הנשאר ישאר בכפל הנצב הזויות אשר יקיף בו כל התושבת והחלק אשר יצא עליו העמוד מאותו הצד ולכן נחלק אותו לשנים והחלק האחד נחלקהו על התושבת אחרי שהסך הוא כפל ואשר יצא הוא מקום מעמד העמוד על אותו הצד
|
|
המשל בזה המשלש אשר ציירנו ידענו שצלע א"ג ממנו הוא י"ג אמה ומרובעו קס"ט והתושבת י"ד אמה ומרובעה קצ"ו ושתי המרובעים שס"ה וצלע א"ב אשר הוא ט"ו אמה ומרובעו רכ"ה יהיה פוחת משני המרובעים הנזכרי' בכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו ג"ד בג"ב א"כ כאשר גרענו רכ"ה משס"ה ישאר ק"מ והוא ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו ג"ד בג"ב ומפני שהוא כפל לקחנו חציו והוא ע' והוא כשטח הנצב הזויו' אשר יקיף ג"ד בג"ב חלקנוהו על התושבת שהוא י"ד וידענו שהחלק האחד ממנו הוא מקום מעמד העמוד מאותו הצד והחלק הוא ה' ומזה ידענו שמרחק העמוד מאותו הצלע הוא ה'
|
|
ואחר שידענו גבול מעמדו נבא לדעת ארכו וכן נעשה נגרע מרובע החלק מן התושבת אשר עומד עליו העמוד ממרובע הצלע הדבק בו ואשר ישאר הוא מרובע העמוד
|
|
המשל בזה המשלש גרענו מרובע ה' שהוא כ"ה ממרובע הצלע הדבק בו ואשר ישאר הוא מרובע העמוד גרענו כ"ה ממרובע הצלע הדבק בו שהוא קס"ט ושרשו י"ב והוא אורך העמוד
|
|
וכן אם רצינו לדעת אותו מהחלק האחר מהתושבת אשר הוא ט' ומרובעו פ"א גרענו אותו ממרובע הצלע הדבק בו אשר הוא רכ"ה נשארו קמ"ד ושרשו י"ב והוא אורך העמוד
|
|
והמופת על זה כי מרובע כל צלע מהם שוה עם מרובע העמוד והחלק מן התושבת הדבק בו מפני שהוא מיתר לזוית הנצבת כל א' במשלשו כי כאשר הוצאת העמוד כבר נחלק המשלש לשני משלשים וכאשר גרעת מרובע החלק מן התושבת וממרובע הצלע הדבק בו נשאר במרובע הצלע מרובע העמוד וכשלקחת שרשו מצאת אורך העמוד
|
|
הנה בארנו מדידת כל המשלשים למיניהם והבדלם מצד הצלעות
|
|
ואעפ"י שבמדות האלה יכללו גם מתחלפי הזויות כי המשלש שוה השוקים לא ימלט מהיותו חד הזויות ואם נצב הזויות או נרוח גם ככה המתחלף הצלעות אמנם בעבור שיש להם מדות מיוחדות [15]גם מפני הזויות נבארם ואין זה צורך
|
|
ונאמר כי המשלש הנצב הזויות אין צורך להוציא עמודו על צלעו שהוא מיתר הזוית הנצבת כי כל אחת משתי צלעותיו המקיפות בזוית הנצבת הן עמודיו ולכן אם תכה אחד מהצלעות הנזכרות בצלעו האחרת המקפת עמו הזוית הנצבת תמצא תשברתו
|
|
והמופת על זה ידוע ממה שבארנו במשלשים הקודמים
|
|
עוד המשלש הנרוח הזוית אין הכרח להוציא עמודו על צלעו שהוא מיתר הזוית הנרוחת לבד
|
|
אבל אם רצית להוציאו בדרך זו אשר אורה לך
|
|
כבר התבאר בחכמת השעור שמרובע מיתר הזוית הנרוחת עודף על מרבעי שתי הצלעות המקיפות בה בכפל התושבת אשר עליה הצלע בקו היוצא חוצה מקצה התושבת הנזכרת עד מקום נפילת העמוד פעמים
|
|
המשל בזה משלש אב"ג נרוחת הזויות וזוית אג"ב ממנו היא הנרוחת אומר שמרובע א"ב שהוא מיתר הזוית הנרוחת עודף על מרובע צלע א"ג וג"ב בכפל בג"ד פעמים
|
|
ודרך הוצאת העמוד הזה במשלש הזה כך נשים הזוית הנרוחת אשר עליה ג' וצלע ג"א ד' אמות וצלע ב"ג י"ג אמה וצלע א"ב שהוא מיתר הזוית ט"ו אמה ומרובע ט"ו מוסיף על מרובע י"ג ומרובע ד' אשר הם קפ"ה אמה מ' אמה ואם תחלק מחצית התוספת על אחת מהצלעות יצא לך מרחק העמוד חוצה מן הצלע ההוא עד"מ חלקנו מחצית המ' אשר הוא התוספת והם כ' על קו ג"א אשר הוא ד' אמות ויצא החלק ה' וידענו מזה שהעמוד נפל חוצה מן צלע ג"א ה' אמות והוא קו ג"ד והעמוד עליה עמוד א"ד ואם תחלק אותו על קו ב"ג אשר ארכו י"ג אמה יצא החלק האחד שבעים ואחד חלקים מי"ג והוא מרחק העמוד היוצא חוצה מן ג"ב והעמוד עליו
|
Chapter Four on the Measuring of the Various trapezoids
|
הפרק הרביעי במדידת הנוטים למיניהם
|
|
הנוטה הוא תמונה בעלת ד' צלעות שאינה לא מרובע ולא נכחי הצלעות ארוך ולא מעויין ולא דומה למעויין והם מינים רבים אעפ"י שכלם נכללים בד' יש מהם ג' ששתי צלעותיו המקבילות שוות והראש והתושבת בלתי שוות אבל הם נכחיות כזה ויש מהם ששתי הצלעות שוות והראש והתושבת בלתי שוות ולא נכחיות כזה ויש מהם ששתי הצלעות הדבקות מהם שוות האחת לחברתה כזה וכן השתי צלעות האחרות
|
|
ויש מהם חד הזוית כזה ויש מהם שאין צלע הא' שוה עם האחר כזה ויש מהם נצב הזויות כזה ויש מהם נצב הזוית האחת כזה ויש מהם נרוח הזוית כזה ויש מהם תמונות עקלקלות זולת אלו לכן ראוי לך שאתן דרך הצריכה לנו במדידתם
|
|
ואחל מהנוטה אשר שתי צלעותיו שוות ואינם נכוחיות והראש והתושבת בלתי שוות אבל
|
הם נכוחיות ונאמר אם היה נוטה אבג"ד וצלע א"ב ח' אמות וצלע ד"ג י"ח אמות ושני צלעי א"ד ב"ג כל
אחד מי"ג אמה ותרצה למצוא תשברתו תעשה כך תגרע הראש מהתושבת ומהמותר תקח מחציתו ומנה
כמה הוא מזאת התושבת האחת וסמן שם נקדה . עוד מנה כמה הוא מזוית התושבת האחרת וסמן שם נקדה
49
א"ד ב"ג ושני א"ד ב"ג ידועים כי הם כ"ב אמות א"כ גם נ"מ פעמים כ"ב ויהיה כ"מ י"א אמות אבל גם כ"ל
י"ב אמות ונוטה אבג"ד שוה לשטח כ"ל מ"נ הנכחי בצלעות א"כ יהיה תשברתו קל"ב אמות כתשבורת
הנכחי הצלעות . ואם רצית למדוד נוטה חד הזוית כגון נוטה אבג"ד והזוית אשר אצל ב' חדה וצלע א"ב
ואם ד"א י"ז אמות כזה . תעשה כך תכפול הי' אמות על הכ' אמות ויהיו ר' וקח מחציתם והוא ק' . ועוד תכפול הי'
על עצמם ויהיו ק' והכ' על עצמם ויהיו ת' וחברם ויהיו ת"ק והי"ג על עצמם ויהיו קס"ט
חברם עם הת"ק ויהיו תרס"ט גרע מהם מרובע י"ז וישארו ש"פ קח חציים והוא
50
ונרצה למצוא התשבורת הנז' ויהיה אם עמוד א"ה בכח צ"ו וחצי וחמש יתחלק א' מט"ו ואם ב"ה יהיה בכח
ע"ב וחמש ואם ב"ד יהיה בכח ת"ק ולפי שאם צלע ג"ד היא כ' אמות ואם ג"ב היא עשר אמות א"כ מרובעם יהיה
ת' אמות וק' אמות ועשה כך ראה כיחס ת' אל הק' מה היחס אל צ"ו ורביעית וחמישית ותמצא שהוא אל כ"ד
51
ומעתה נחל לבאר דרך מדידת חתיכותיה ונאמר כי מקצת העגולה היא מקפת מן קצת הקו המקיף את
העגולה ומקו ישר יקרא המיתר והוא המשוך מקצה הקו המקיף אותה עד קצהו האחר וכאשר יצא
ממחצית המיתר קו על זוית נצבת אל המקיף יקרא החץ ועיין אל כל חתיכה ואם החצי יהיה כמחצית המיתר
רצינו למצוא תשבורת חתיכת עגולה פחות מחציה ובזה הוא הכרח למצוא קטר כל העגולה אשר זאת החתיכה
ממנה וככה נעשה כבר התבאר בספר היסודות לאקלידס כי כל עגולה יפלו בה שני מיתרים ויחתכו
ויחתכו זה את זה יהיה חלק המיתר בחברו האחר ככפל חלק המיתר השני בחברו . וכאשר רצינו למצוא אלכסון העגולה
52
על הל"ב אמות יהיה תשבורת החתיכה ל"ד אמות וחצי וחלק א' מי"ד
נרצה למצוא תשבורת חתיכת העגולה אשר היא גדולה מחציה והחתיכה
הזאת היא קשת אב"ג עם מיתר א"ג ותוכל לדעת התשבורת כשתמצא קטר העגולה אשר זאת
מאגיסטי ואין מדרך חבורנו זה לכתוב בו לוחות ראיתי להמציא לך דרך לדעת הקשתות מבלי שתצטרך
אל הלוחות ההם ואומר אם חתכת העגולה תהיה פחות מחציה ותרצה לדעת כמות הקשת המקיף אותה תעשה
כך לעולם . תחבר המיתר על החץ ותגרע מהם רביעיתם וקח מהנשארים רביעיתם והוסף עליהם וההוה
53
כי מהם התהוו ואליהם יותכו וכבר ידעת מדידת המשולשים למיניהם . וכאשר תרצה למדוד
תמונה רבת הזויות תוציא קו ישר מכל זוית מזויותיו אל מרכז התמונה ואז תחלק למשלשי'
בכמות הזויות . וכאשר תמדוד כל המשלשים ותקבץ מנינם המקובץ הוא תשבורת התמונה ההיא ואם
אחד מי"ב וההוה שנ"ח ושליש והם תשבורת התמונה
ואם רצית למדוד תמונה בעלת שמנה זויות תעשה כך
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על כ"ט וקח ששיתו
54
עצמו וההוה כפלהו על מ"ה ומההוה קח רביעיתם וככה תשבורת התמונה . המשל יש לנו תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'
ח'ט'י' י"א י"ב וכל צלע מצלעותיה י' אמות כפלנו הצלע על עצמו היו ק' כפלנום
על מ"ה וההוה ד' אלפים ת"ק לקחנו רביעיתם והם אלף קכ"ה וככה תשברתם
היא זוית של בעלת ה' זויות וא"כ שוה לב"ד א"ב קו א"ד ונחלקהו על יחס אמצעי ושני קצוות והחלק הגדול הוא קו א"ב
וקו א"ג הוא חצי א"ד אם כן המרובע ההוה משני קוי ב"א א"ג הוא כפלים ממרובע א"ג . ואומר אחוק מחומש אבגדה"ו
אשר כל אחד מצלעותיו י' אמות וארצה למצוא תשברתו אקח מרכז העגולה המקפת את התמונה והיא ז' ואגיע
55
לצלע בעלת ז' זויות ונגיע קוי ב"א א"ג אם כן משלש אב"ג שוה הצלעות אם כן מרובע א"ד הוא ג' כפלי מרבע
ד"ב א"ב יחס ד"א אל ד"ב בכח כיחס מט' אל ח' בקירוב ובאורך יחס ד"א אל א"ב כיחס ז' אל ד' ויהיה ב"ג כפל
ב"ד אם כן יחס אל ד"א כיחס ח' אל ז' . ואם תרצה למדוד תמונה בעלת ז' זויות אחוק תמונת אבגדהו"ז
ט' זויות ידוע וכבר התבאר בקוי העגולה כי קו ז"ה הוא שלישית ה"מ בקרוב אם כן מרובע ה"מ הוא ט' כפלי מרובע
ה"ז לכן מרובע מ"ז הוא ח' כפלי מרובע ה"ז ובחצי העגולה יתחייב להיות הזויות אשר אצל ז' נצבת אם כן יחס מרובע מ"ז
אל מרובע ז"ה כיחס רפ"ט אל ל"ו בקרוב אם כן יחס מ"ז אל ז"ה כיחס י"ז אל ו' בקרוב לכן יחס מרובע ה"ז אל משולש
שוה לשכנגדה גם ככה זוית אה"ד שוה לזוית אג"ב לזה הענין עצמו אם כן מיתרי הזויות השוות מתיחסות יחס א"ב
אל א"ד כיחס א"ה אל ה"ג וכיחס ד"ה אל ב"ג אם כן שני המשולשים דומים ולכן יהיה יחס משלש אב"ג אל משלש
אד"ה כיחס צלע א"ב אל צלע א"ד שנוי וזה היחס מי"ו מח' בעצמו הוא יחס צלע מרובע א"ב אל מרובע