ספר המספר / אליהו מזרחי

ספר המספר להחכם האלהי מוהר"ר אליה המזרחי ז"ל : בקוסטנטינא קרית אדוננו המלך הגדול והאדיר שולטאן שולימאן ירום הודו ויתנשא : בשנת שתים עשרה למלכו:

	בבית צעיר המחוקקים קטון התלמידים
	גרשם בן הח"ר אשה בן החכם המופלג הר"ר ישראל נתן שונצין בן שמואל בן ה"ר משה ז"ל
	והוא נלחם בעיר פירט נגד הרשע פרא יואן די קאפישטראנו וגרש אותו עם כל חילו משם
	והוא היה דור חמישי למה"ר משה משפירה הנזכר בתוספות מטוך
	שנת כי גר הייתי בארץ נכריה
	רצונך סבריך לחסר תסדר זה כנגד זה למולם
	ותגביהי לשבת בימני בשפל השמאלי הך במקלם
	ותוסיף עוד להכות כן שניים שפל ימין כגובה מ-שמאלם
	והמספר מעט מרב תחסר והנותר כתוב זכר לעולם
	בהכותך שתי אלה פעמים הלא תראה באלכסון שבילם
	ומכתך בפעם זאת שלישית ישרה היא והם תוכו לדגלם
	והעולה כתוב אותו למטה לנותרך וזה חסור משולש
	והמופת קחה חסור ונגדו לימין או שמאל דרוש בגילם
	והשמר לבל תשים מרובה מעט מהשניים שים טפלם
	והך אלכסונית פעמים והעולה תקבץ כל נטילם
	והך דרך ישרה עם שפלם ותחת המקובץ הם זבולם
	כנגדם רב דרושך שים שתים פעמים הך באלכסון במילם
	ואם צעדו פעמיהם בשוה שבריך בחזקתם ותלם
	וחשבונך בלי ספק אמתי בעסקיך יהיה שלום בחילם
	שמע וראה בחון שירי ידידי אשר עמם רצונך תם ונשלם
	ואשא עוד משלי ואומר
	אני יוסף בנו יואל ליחס בני ביבאם ספרדים וגרים
	לבקשת ידי תלמיד חמודות אליהו למשפחת גברים
	בכל מעלות ומדות ה חשובות מעוטרת מפוארת לדורים
	לזכרון אשורר ו אזמר זמירותי בחסור ה שברים

  ב"ק יברך ב 2

Prologue
The author: Elijah b. the honorable R. Abraham ha-Mizraḥi	אמר אליה בן ב"ר אברהם המזרחי יעמ"ש
The theoretical knowledge is divided to three:	להיות שהידיעה העיונית נחלקת לשלשה חלקים
1. metaphysics	האחד מהם נקרא החכמה האלהית והפילוסופיא הראשונה
2. mathematics	והשני יקרא החכמה ההרגלית והלמודית
3. physics (natural science)	והשלישי יקרא החכמה הטבעית הפחותה
The reason for this division is that all rational things are either free from matter or depend on it	והיה עלת החלוק הזה אמנם הוא מפני חלוק הענינים המושכלים וזה שהענינים המושכלים לא ימנעו מהיותם נקיים מהחומר וההתלות בו או דבקים ונתלים בו
Those that depend on matter are either conceivable separately from the matter (as a triangle or a square) or can not be thought of as apart from it (as a man or a plant)	עוד אם היו נתלים בחומר לא ימנע מהיותם דבקים בחומר מעויין עד אי אפשר שיגיעו במחשבה נקיים מן החומר שמעויין כאדם והצמח וזולתו ואם שאפשר הגעתם במחשבה בזולת חומר מעויין ואם לא יעמדו במציאותם אלא בחומר מעויין כמשולש והמרובע וזולתו כי כבר יגיעו במחשבה בזולת חומר מעויין היו מבשר או עצם או איזה חומר שיהיה
Metaphysics is a divine wisdom that deals with what is free of matter	והיתה החכמה אשר ימשך העיון בה במה שהוא נקי מהחומר תקרא האלהית
Physics is a natural wisdom that examines the things that depend on matter	ואשר ימשך העיון בה במה שהוא דבק בחומר מעויין תקרא החכמה הטבעית
Mathematics is a wisdom that engaged with things that depend on matter but conceived as separate from it	ואשר ימשך העיון בה במה שהוא דבק בחומר אך לא בחומר מעויין וזה במחשבה זולת המציאות תקרא החכמה הלמודית
Since mathematics is between metaphysics and physics like a mediator between two extremes, we should persevere its study inasmuch as it is shared by all wisdoms	והיה נושא החכמה הלמודית כדמות ממוצע בין נושא החכמה האלהית והטבעית והממוצע הוא אשר בו חלק משני הקצוות כאשר התבאר בחכמה הטבעית הנה מן המחוייב עלינו אם כן להרבות עיוננו ושקידתנו תמיד בזאת החכמה אחר שהיא משותפת לכל החכמות
Mathematics bridges between the ordinary material perceptible things and the unusual rational things	מצורף לזה כי הוא מהמבואר בעצמו שזאת החכמה היא במדרגת הגשר אשר בו תעבור מחשבתנו מאלה הדברי' הגשמיים המוחשי' אל הדברים הנמצאים המושכלים ויעבור שכלנו מאלה הדברים הגשמיים אשר גדלנו בם מנערותנו והרגלנום אל הדברים הזרים אצלנו אשר לא הרגילום חושינו אשר הם בדקותם דומים לנפשותינו
The types of the real beings are known only through the mathematical sciences – arithmetic, geometry, astronomy and music	ושאין דרך אל ידיעת מיני מה שנאמר שהם נמצאים באמת אלא באלו האומניות הארבעה שהם הארמתיקא וההנדסא והתכונה והמוסיקא אשר הם מיני זאת החכמה או חלקיה
These four arts are needed for philosophy, as every art requires skill	וכמו שכל מלאכה מן המלאכות יצטרך לעושיה אל בקיאות במלאכתו ודמיון יתיישר ממנו בהוצאת דרושו כן אלו החכמות במלאכת הפלוסופיא
Arithmetic and geometry are closer to philosophy and more important than astronomy and music, since they are more inclusive and comprehensive fields – therefore it is necessary to teach them	ובאשר היה זה כן והיו שני חלקי החכמה הזאת שהם המספר וההנדסא אמנם הם יותר נכבדים ויותר קרובים אל הפלוסופיא הראשונה משני חלקיה האחרים שהם התכונה והמוסיקא למה שהיה נושא חכמת המספר אמנם הוא המספר המשותף לכל חומר איזה חומר שיהיה ולא נושא המוסיקה כי הוא ואם היה משותף לכל מיני הקולות אמנם הוא מספר קוליי לבד לא זולתו וכן נושא ההנדסה אמנם הוא המשותף לכל השיעורים איזה שיעור שיהיה ומאיזה חומר שיהיה ולא כן חכמת התכונה כי נושאה אמנם הוא החומר הגלגליי לבד ועל צורת כדור לא זולת זה הנה אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שנבאר מאלה הארבעה חלקים השנים חלקים לבד לחשיבות נושאם והדמותם בנושא החכמה האלהית
Arithmetic precedes geometry by nature – geometry exists only when arithmetic exists, but arithmetic can exist without geometry, and so arithmetic should be taught firstly	אמנם להיות שחכמת המספר ואם היא משותפת ומתדמה לחכמת ההנדסה לסבות שזכרנום אולם היא יותר קודמת בטבע מחכמת ההנדסה וזה שכאשר נעלה המספר נעלה ההנדסה ולא יעלה הוא בהעלות ההנדסה וכאשר ימצא ההנדסה ימצא המספר ולא ימצא הוא בהמצא המספר וזה שכאשר תהיה המדידה אין ספק שיהיה החשבון עמה כי כשיהיה במדות משולש או מרובע או בעל שמונה תושבות ודומיהם הנה כבר השתמשת בזה במלאכת החשבון ולא תמצא מלאכת המדות דקה מן החשבון המצטרך לשמות הנגזרים מהם ואמנם הפך זה כבר יתכן כי כבר ימצאו השלשה והארבעה ודומיהם מושגים במחשבה ואם לא היו הגדלים נגזרי השמות מהם ידועים וכאשר היה זה כן והיה זה גדר הקודם בטבע הנה אם כן המחוייב מזה שיהיה המאמר בזאת החכמה ומשפטי הדבור בה יותר ראשון בקדימה מכל שאר החכמות
The reasons that drove Mizraḥi to write his book, even though other scholars had already wrote arithmetic textbooks before him	ואולם הסבות המניעות אותי בדבור ואם כבר קדמוני בזה החכמים הקדמונים הנה הם שתי סבות
1) The main intention of the previous scholars was only to summarize the methods that lead to the knowledge of the arithmetical principles but not their reasons. Consequently, the students did not understand the way these arithmetical principles are executed using the methods	הסבה האחת שכל הקדמונים אשר הגיעו חבוריהם אצלינו בזאת החכמה אמנם השתדלו בהודעת הדרכים והאופנים אשר בם יגיעו בכל דרוש מדרושי זאת החכמה ולא היתה עיקר כוונתם רק לקצר הדרכים המישרים אל ידיעתם לבד לא זולת זה והדרכים ההם הם בעיני התלמידים כחלום בלי פתרון כי לא ידעו אופן הגעת הדרוש מהדרך ההיא ואיך היתה הסבה במציאותו וממששים קיר כעורים
2) Each of the previous authors taught only his favorite methods, and since they did not explain the reasons behind those methods, their student were able to solve only those problems that were solved by the authors and could not draw from them tricks and solutions for new problems	והסבה השנית היא כי כאשר יעלמו מהתלמידים סבות הדרכים המיישרים אל ידיעתם הנה לא ידעו רק דרכי המחבר אשר התעסקו בדרכיו ואולם דרכי שאר המחברים לא ידעו מוצאם ומובאם אבל יהיו הדרכים ההם סגורים ומסוגרים אין יוצא ואין בא וכל שכן שלא יוכל לחדש מעצמו דרך ותחבולה בשום דרוש מדרשי החכמה הזאת וכל שכן בשאלות הנופלות בזאת החכמה שלא יוכל להשיב מהם רק מהשאלות אשר התעסק בהם לבד לא זולתם וכבר ידעת שעקר החכמה הזאת אמנם הם השאלות הנופלות בזאת החכמה כי בהם נגיע אל החקירות העמוקות שבזאת החכמה
The request of the Mizraḥi's students to write them arithmetic textbook and his duty to fulfill their wish	ובאשר היה זה כן וכבר נוספה על אלה הסבות סבה אחרת גם כן והיא אהבת התלמידים היקרים ז"ל אשר בקשו ממני לחבר להם ספר מודיע כל הדרכים אשר השתמשו בהם כל הקדמונים אשר הגיעו חבוריהם אלינו מחוברים בסבותיהם ומופתיהם ממה שהיה בו מהאפשרות עד שיהיה זה סבה שיפקחו עיניהם בתחבולות זאת החכמה ודרכיה ומוצאיה ומובאיה ולא יכולתי להשיב פניהם ריקם למה שכבר דמוני בזה שבידי להועילם תועלת גדול וכאלו אהיה אני המונע תועלתם אם לא אפיק רצונם שלזה ראיתי לחבר זה הספר להם ולכל הדומים להם ואולי שישמחו בי גם כן קצת מהחכמים ואם כבר יקל זה בעיניהם למה שינצלו מהטורח והחקירה הצריכה לזה
The pedagogic approach – introducing the proofs and the reasons of the arithmetical procedures will enable the reader to find all possible arithmetical techniques and principles by himself	ודע כי כבר תמצא בתוך החבור הזה דרכים חדשים חדשתים שם וחורפות נכבדות ואם הם צריכות לטורח גדול כי כוונתי להודיע תחבולות זאת החכמה כי רבוי הדרכים ופלפולם יעזור אל מציאות הסבות בדרכים ההם ולא תקוה ממני ולא תוחיל שאודיע לך כל הדרכים האפשריים למציאות הדרושים המספריים אבל עם הסבות והמופתים אשר כתבתי לך תוכל לדעת תחבולות המחברים כלם ועקריהם אשר בידיעתם כבר תובל אם חנן השם לך שכל לחדש כאלה וכאלה ומעתה אתחיל במה שיעדתי לדבר ומהשם יתברך אשר הוא העוזר אשאלה עזר להחל ולכלות וזה החלי

Introduction
Necessary preliminary definitions:
Definition of arithmetic: arithmetic is a wisdom by which the ways of the techniques and the methods that are guiding to the knowledge of the numerical principles are known easily without exhaustion and effort	המספר היא חכמה יודעו ממנה אופני התחבולו' והדרכים המיישרים אל ידיעת הדרושים המספריים בקלות מבלי יגע ועמל
Preliminary numerical principles:	ולהיות שאי אפשר לכל דורש החכמה הזאת להגיע אל זה אלא אחר הקדמת ידיעת מספר הדרושים המספריים כי הדרושים אמנם יהיו תחלה דרושים עוד אחר זה יהיו תולדות הנה אם כן מהמחויב עלינו לחלק הדרושים המספריים תחלה אחר זה נביא המאמר המודיע אופן כל אחד ואחד מהם איש על דגלו ואיש על מחנהו באותות ר"ל עם המאזנים אשר בם יאוזן דרך כל אחד ואחד אשר בהם יודע הצדק מהכזב והריוח מהאבדה
number	וטרם החלי בחלוק הדרושים המספריים אודיע גדר המספר כי זהו הקודם מכל מה שנכוין לדבר בו כי לולא זה לא נוכל לדעת חלוקי המספר כי הדורש בידיעת חלקי דבר מה איזה דבר היה הנה אמנם מהמחויב לו לדעת תחלה מהות הדבר ההוא אחר כן יחלק אותו לחלקים אם אל מינים ואל אישים אם היה אפשר זה או אל אישים לבד וכאשר היה זה כן הנה אם כן מהמחויב עלינו לחקור תחלה בידיעת גדר המספר
The ancients: number = sum of units, or total quantity that consists of units	ואומר שהמספר הנה גדרוהו הראשונים בספר הארתמטיקא בהעברה מן המאמר שהוא קבוץ האחדים או האחדיות עוד גדרוהו כשהוא כלל הכמות המורכב מהאחדים
These definitions do not refer to the genus of number	ואמרו שהוא בדרך העברה הוא מפני שלא הזכירו בו סוג המספר ולא הבדלו כמו שהוא מהמחויב לכל הגדרים ואמנם גדרוהו בהעברה כי אין כוונתם הנה אלא הרושם לבד לא זולת זה והרושם כבר יהיה בזולת זכירת סוג והבדל כמו שהוא מהמבואר לכל מי שעסק מעט במלאכת ההגיון
Mizraḥi's definition: number = discontinuous magnitude whose total is measured by the unit	אולם גדר המספר המודיע מהותו הוא כמה מתפרדת אשר החלק אשר בו ישוער כללותו הוא האחד
Magnitude – its incomprehensible genus; Discontinuous – its comprehensible genus	והכמה הוא סוגו הרחוק ובו יובדל מהאיך ושאר המאמרות ומתפרדת הוא סוגו הקרוב כי בו יובדל מהכמה המתדבק והם הקו והשטח והגשם והמקום והזמן ואשר בו ישוער כללותו הוא האחד הוא ההבדל אשר בו יובדל מהדבור
Number cannot be defined by a single word	ואומנם הוצרכנו להזכיר בזה הגדר סוגו הרחוק ואם אין מתנאי הגדר למה שאין לנו שם נפרד מורה על הכמה המתפרד כמו שעשו זה בגדר החי בהזכירם הגשם ואם הוא סוג רחוק והשתמשו עם שתי מלות גשם נזון במקום מלה אחת
Alternative definition: number = sum whose total is measured by the unit	ואולם אם נרצה בשם הכלל או הקבוץ שיורה על הכמה המתפרד הנה יהיה הגדר בשהוא הכלל או הקבוץ אשר החלק אשר ישוער בו כללותו הוא האחד ואולי שכוונו לזה הקדמונים ובאמרם המורכב מהאחדים רצו בו על שהמשער הכלל הוא האחד כי כמו שהמורכב אמנם הוא מורכב מהפשוטים כך הכלל אמנם הוא מורכב מהחלקים הקטנים אשר ישערו הם הכלל ולא ישער אותם זולתם ולכן יהיה זה הגדר גדר אמתי לא רושם
Types of numbers	אולם חלקי המספר הנה אין כוונתנו בזה אלא החלקים אשר נצטרך בם בזה המאמר לא החלקים היוצאים מכלל כוונתנו זה כמו חלוק המספר אל הזוג והנפרד ושהזוג ממנו זוג הזוג וממנו זוג הנפרד וממנו זוג הזוג והנפרד ושהנפרד ממנו ראשון וממנו מורכב וממנו ראשון בערך ומורכב בערך והדומים לאלה כי אין זה מוטל עלינו הנה במה שאנחנו בדרכו אולם החלקים הצריכים לענייננו זה הם כמו החלקים בשהמספר ממנו מובן בעצמו לא יצטרך בציורו אל הזולת וממנו אשר לא יובן בעצמו אלא בזולתו
Integers	אולם החלק הראשון מזה הנה הם המספרים השלמים ורצוני בשלמים כמו שנים שלשה וארבעה והדומים להם כאשר לא נקישם אל זולתם
Fractions	ואולם החלק השני הם השברים ורצוני בשברים בשנקיש מספר מה עם מספר אחר ויהיה האחד חלק או חלקים לאחר
Fractions as ratios:
the less
subsuperparticular	משל הראשון והוא החלק בהקישך השנים עם הארבעה או עם הששה והדומים להם
$\scriptstyle{\color{blue}{2:4=\frac{1}{2}}}$	כי הב' ימנה הד' ב' פעמים והוא חצי
$\scriptstyle{\color{blue}{2:6=\frac{1}{3}}}$	וימנה הו' ג' פעמים והוא שליש
	והחצי הוא חלק אחד משני חלקי הכל והשליש אחד מג' חלקיו
	ויקרא הגדול בשם נגזר ממנו הקטן כי אם היה הקטן שליש נקרא הגדול משולש בכפל ואם היה רביע נקרא הגדול מרובע בכפל
subsuperpartient	ומשל החלק השני והוא החלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{2:3=\frac{2}{3}}}$	בהקישך השנים עם השלשה אשר הם שתי שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{2:5=\frac{2}{5}}}$	או בהקישך השנים עם החמישי אשר הם שתי חמישיות
	ובכלל כאשר לא ימנה האחד את האחר
	והגדול אחר שהוא בלתי מנוי מהקטן והוא מהמחויב שיהיה אם כמוהו ויותר או כפל ויותר או כפלים ויותר
the greater	ושהיותר אם שיהיה חלק או חלקים לקטן הנה נקראהו בשתי שמות שם בהקש אל מה שהוא נמנה ושם בהקש אל הנשאר הנוסף שהוא בלתי נמנה
superparticular
$\scriptstyle{\color{blue}{3:2=1+\frac{1}{2}}}$	המשל אם הקשת הג' אל הב' הנה אחר שהג' הוא כמו הב' פעם אחת ויותר והיותר הוא אחד משני חלקי הב' הנה נקרא הג' בהקש אל הב' כמוהו וחציו
	והנה שם כמוהו מורה על שהוא נמנה מהקטן פעם אחת
	ושם חציו מורה על שהנשאר מהגדול ימנה הקטן והוא חלק לו
multiple superparticular
$\scriptstyle{\color{blue}{5:2=2+\frac{1}{2}}}$	ואם הקשת הה' אל הב' הנה אחר שהה' הוא כמו הב' ב' פעמים ויותר והיותר הוא אחד משני חלקי הב' הנה נקרא הה' כפל וחצי
	והנה שם הכפל מורה על שהוא נמנה מהקטן פעמים
	ושם חצי מורה על שהנשאר מהגדול הוא מונה לקטן והוא חלק לו
superpartient
$\scriptstyle{\color{blue}{7:5=1+\frac{2}{5}}}$	וכן אם הקשת הז' על הה' הנה אחר שהוא כמו הה' ויותר והיותר הוא ב' חלקים מה' חלקי הה' הנה אם כן נקרא לו שתי שמות שם בהקש אל מה שהוא נמנה ושם בהקש אל מה שהנשאר הוא חלקים לקטן
Mizraḥi blames his contemporaries for understanding the fractions as parts of the absolute one instead of the relative one	והוצרכתי להאריך בזה למה שראיתי אנשי זמננו חושבים כי השלמים הם מאחד ומעלה כמו א' או ב' או ג' או איזה מספר שיהיה והשברים הם מא' ולמטה כמו חצי הא' או שלישיתו או רביעיתו ובכלל שברי הא' ודבריהם צודקים בצד זולת צד ר"ל בקשור והם תעו ולקחו המשולח תמורת המקושר
Fractions are parts of the one as a divisible whole, not as an indivisible absolute unit	ר"ל כי דבריהם אמנם צדקו בשהשברים אמנם הם שברי השלם האחד אבל זה האחד ראוי שתדע שהוא מספר מה יכונה בשם שלם
	כי כל כלל במה הוא כלל אמנם יכונה בשם שלם בהקש אל חלקיו
	ר"ל כמו הב' אל הח' עד"מ שהם רביעית הח' והנה יקרא הב' רביעית הח' בשיכונה הח' בשם שלם והב' בשם חלק
	ויהיה הח' מרובע בכפל והוא ד' כפלי הב'
	זהו האחד אשר נחשב ממנו שבריו לא האחד האמתי הבלתי מתחלק
	כי גדר הכולל ראוי שינשא על המיוחד
	ואם יהיו שני מיני המספר שלמים ושברים ויהיו השברים שברי האחד הבלתי מתחלק הנה לא יצדק שם המספר וגדרו אשר הוא קבוץ האחדים
	כי האחד האמתי איננו מספר וכ"ש שברי האחד
	והחכם בן עזרא נתעורר בזה ואמר ידוע כי האחד כמו הנקודה בתוך העגולה
	ע"כ לא יתכן להיות האחד נשבר רק בעבור שיקרא הכלל בשם האחד כמו הצורה שהיא כוללת כל הגוף והגוף מורכב
	ובעבור זה יעשה האדם במחשבה מן האחד שברים ושברי שברים
Three categories of numbers: integers, fractions, integers and fractions	הנה א"כ כבר התבאר לך ענין השלמים והשברים אשר המספר נחלק עליהם ר"ל חלקיו הפשוטים וכבר יתחייב מזה חלק שלישי מחובר מהשלמים והשברים יחד הנה אם כן יחוייב מזה שיהיו חלקי המספר מזה הצד שלשה והם שלמים לבד ושברים לבד ושלמים עם שברים יחד וכבר בארנו ענינם אין צורך להאריך יותר בבאורם
The practical need for arithmetical knowledge – the necessity of the operations of adding, subtracting and dividing for bargaining, geometry, astronomy etc.	ואחר שכבר בארנו שחלקי המספר הם שלשה חלקים והם שלמים לבד ושברים לבד וחבור השלמים והשברים יחד והיה הדרישה המוטלת עלינו אמנם היא הדרישה מידיעת המספר הנופל תחת המשא והמתן והיא העסק המדיניי וידיעת המדות והתמונות השטוחות והמוגשמות ודברים רבים מענייני ההנדסא אשר הם הכרחיים בידיעת חלוקי הבתים והחצרות כי זה הוא אשר נצטרך בידיעתו להנצל מהעושק והחמס אשר הזהירה עליהם תורתנו הקדושה ובכלל לתת לכל אחד חקו והדרישה בחקירת מהלכי הכוכבים ותנועותיהם אשר לא יתכן ידיעתם בזולת ידיעתו כי זהו אשר נצטרך בידיעתו למציאות החדשים והמועדים וכל התלוים בם והיה הדרישה באלה הידיעות אמנם תישלש בשלשה מינים והם אם תוספת מספר על מספר או חסרון מספר ממספר או חלוק מספר על מספר
Four ways for relating a number to another: adding a number to the other; subtracting a number from the other; ratio of a number to the other; addition and subtraction together	וזה שהדרישה מידיעת המספר איננו מצד הבטתנו המספר האחד בעינו כי המספר האחד בעינו איננו מצטרך לחקירה כלל כי הוא ענין נודע בעצמו אולם חקירתנו בידיעת המספר אמנם הוא מצד הקשתו אל הזולת וההקשה אל הזולת כבר יחויב שיהיה אחד מארבעה פנים אם שיהיה מצד שנוסיף אותו אל הזולת ואם מצד שנחסר אותו ממנו ואם לא זה ולא זה והוא הדרישה בידיעת ערך מספר ממספר ויחסו ממנו מבלתי שיהיה שם תוספת או מגרעת ואם זה וזה והוא התוספת והמגרעת יחד
Adding and subtracting are opposites – cannot be applied at the same time on the same subject	ואחר שהאופן הארבעה נמנע כי התוספת והמגרעת הם שני הפכים ולא יתכן שימצאו יחד בנושא אחד בזמן אחד מצד אחד
Three operations should be known – addition, subtraction, ratio – specified for each of the three categories of numbers – integers, fractions, integers and fractions	והנה ישארו השלשה פנים והוא ידיעת התוספת וידיעת המגרעת וידיעת יחס זה אל זה הנה מן המבואר בעצמו שכל אחד משלשה חלקי המספר שהם השלמים לבד והשברים לבד וחבור שניהם יחד שהוא יחלק עוד לשלשה חלקים אלו שהם התוספת והמגרעת ויחס זה אל זה
Addition is either by summing or by multiplying	ולהיות שהתוספת יהיה אם בקבוץ זה על זה ואם בהכאה כי ההכאה אינו רק קבוץ מספרים רבים כאשר יתבאר ענינו במה שיבא
	והמגרעת יהיה בחסור זה מזה
Ratio is known by division	ויחס זה אל זה אמנם יודע בחלוק כי עם החלוק נדע כמות הפעמים אשר ימנה הקטן את הגדול והנה אם לא ישאר דבר בלתי מחולק ידענו שהמספר הקטן הוא חלק לגדול והגדול כפל או כפלים לו ואם ישאר דבר בלתי מחולק הנה אין ספק שיהיה הנשאר חלק או חלקים והנה ידענו שהגדול כמוהו וחלק או חלקים מהקטן או כפל וחלק או חלקים או כפלים וחלק או חלקים והקטן חלקים לגדול
Four operations should be known – summing, multiplication, subtraction, division – specified for each of the three categories of numbers – integers, fractions, integers and fractions	הנה מן המבואר מזה שמיני הדרושים המספריים המצטרפים לענינינו זה הם ד' קבוץ הכאה חסור וחלוק וזה בכל אחד מג' מיני המספר שהם השלמים והשברים והשלמים עם השברים כי כל אחד מהם יחלק לאלו הד' מינים וכאשר היה זה כן הנה א"כ יהיו כלל מיני המספר י"ב וזהו מה שכווננו באורו
The ancients count two additional operations: doubling and halving	ואולם קצת מהראשונים כבר הוסיפו עוד ב' מינים זולת אלו הד' והם כפול וחלוק באמצע
Doubling is multiplying by two	והוא טעו' בידם כי הכפול הוא ההכאה בעצמו רק שההכא' כולל הכאת מספר אחד איזה מספר היה עם מספ' אחר איזה מספר היה אולם הכפול הוא הכאת מספר אחד איזה מספר היה עם מספר שנים לבד לכן כל כפול הכאה ואין כל הכא' כפול
Halving is multiplying by half	ואולם החלוק באמצע הוא הכאת השברים עם השלמים רק שהכאת השלמים עם השברים יהיה עם איזה מין שברים שיהיו ואולם החלוק באמצע הוא הכאת החצי עם השלמים לא שאר מיני השברים ולכן כל חלוק באמצע הכאת שברים עם השלמים ואין כל הכאת שברים עם השלמים כחלוק באמצע
Every duplication is multiplication, but not every multiplication is duplication Every multiplication is summing, but not every summing is multiplication	ואין לטעון על זה שכאשר אין ראוי למנות הכפול וההכאה שני מינים מפני שכל כפול הכאה ואם אין כל הכאה כפול כן אין ראוי למנות הקבוץ וההכאה שני מינים מפני שכל הכאה קבוץ ואם אין כל קבוץ הכאה
the sum $\scriptstyle{\color{blue}{16+16+16}}$ can be described as multiplication – $\scriptstyle{\color{blue}{3\times16}}$	וזה כי הכאת שלשה עם ששה עשר הם מ"ח וכן אם תסדר ששה עשר בשלשה טורים ויקובצו יעלו מ"ח רק שההכאה יקצר בכתיבה לבד כי לא יצטרך לכתוב שם שלשה טורים וזה במספרים השוים לבד
sum $\scriptstyle{\color{blue}{16+17+18}}$ cannot be described as multiplication	אולם במספרים המתחלפים כמו מספרי י"ו י"ז י"ח עד"מ הנה אין דרך להשיבם אל מספר אחד אלא עם הקבוץ לבד
	ולכן כל מה שיצדק בו דרך ההכאה שהם המספרים השוים יצדק בו דרך הקבוץ
	ולא כל מה שיצדק בו דרך הקבוץ יצדק בו דרך ההכאה כי המספרים המתחלפים לא יצדק קבוצם אלא עם הקבוץ בלבד
Summing identical numbers and multiplication – defferent operations, same result Duplication and multiplication by 2 – identical operations, identical result	כי התשובה בזה מבוארת בעצמה וזה שהקבוץ וההכאה יתחלפו בפעלותם ואם תכליתם הוא אחד בעצמו וזה בכתיבה ובסדור ובאורך ובקצור ואולם הכפול וההכאה הוא מין אחד בעצמו בפעולתם ובתכילתם
Multiplication is an easier way to write a sum of identical numbers, but a sum of different numbers cannot be described as multiplication – hence the use of summing is needed as well as multiplication	ולו היה אפשר להשתמש עם ההכאה בכל המספרים הנוספים זה על זה לא היינו מצטרכים אל הקבוץ כלל אחר שהוא בלתי מצטרך להנחת טורים רבים ולא לפעלות רבות אבל בעבור שהמספרים המתחלפים שאינם ממין אחד לא יתכן ידיעתם אלא עם הקבוץ לבד אחר שהם מתחלפים לכן הוכרחנו להשתמש עם הקבוץ
	ואחר שהיה זה כן הנה א"כ מהמחויב מזה שיהיו מיני המספר ד' קבוץ הכאה חסור וחלוק
	וזה אם בשלמים לבד ואם בשברים לבד ואם בשלמים עם השברים יחד
	ואלו הם הדרושים המספריים הצריכים לעניננו זה
	אולם סדורם ואופן הנחתם הנה יתבאר בחלוק מאמרנו זה אל חלקי' ראשונים עוד כל אחד מהם אל חלקים שניים כפי מספר החלקים הראויים לכל חלק וחלק
	ואומר דע שמאמרנו זה יחלק תחלה לשלשה מאמרים
	המאמר הראשון כוונתנו בו להודיע כל הדרושים המספריים במה הם מספריים
	המאמר השני כוונתנו בו להודיע הדרושים המספרים המשיגים להנדסא והתכונה אף כי אינם למספר במה הוא מספר כאשר יתבאר בע"ה
	המאמר השלישי כוונתנו בו להודיע השאלות הנופלות במספר מצד מה שהוא מספר ובהנדסא והתכונה מצד מה שישיגם המספר ואופן התשובה בכל אחד ואחד מהם

Book One
	והמאמר הראשון יחלק לשלשה שערים
	השער הראשון יודיע הדרושים המספריים שבשלמים
	השער השני יודיע הדרושים המספריים שבשברים
	השער השלישי יודיע הדרושים המספריים שבשלמים עם השברים יחד
	אולם השער הראשון יחלק לד' פרקים
	הפרק הראשון יודיע דרך הקבוץ
	הפרק השני יודיע דרך ההכאה
	הפרק השלישי יודיע דרך החסור
	הפרק הרביעי יודיע דרך החלוק
	וכן השער הב' והשער הג' יחלק כל אחד מהם לאלו הד' פרקים כי כל שער ושער יתבארו בם אלו הד' מינים הנזכרים
Section One - Integers	השער הראשון במספרים השלמים
Chapter One - Addition	הפרק הראשון במין הקבוץ
Introduction
Necessary preliminary clarification:
Precedence of addition over the other operations – addition is the simplest operation and all other operations consist on it	ואמנם הקדמנו זה המין מזולתו משאר מיני המספר למה שהיה מדרגתו משאר המינים מדרגת הפשוט מהמורכב
	וזה שכמו שהפשוט אמנם יורכבו ממנו כל המורכבים ולא יורכב הוא מזולתו כן מין הקבוץ אמנם יתרכבו ממנו שאר המינים ולא יתרכב הוא מהם
	וכאשר היה כן הנה כמו שיחוייב למרכיב אם בידיעה ואם במציאות שיקדים הפשוטים על המורכבים אחר שהפשוטים קודמים על המורכבים כן יחויב עלינו להקדים זה המין משאר מיני המספר
Definition of the addition operation: I say that the addition is restoring many numbers, whatever given numbers they may be, whether equal or different, into one number.	ואומר שהקבוץ הוא השבת מספרים רבים איזה מספרים מונחים שיהיו שוים או מתחלפים למספר אחד
The Positional Decimal System:
The written numerals	והנה המתחיל במלאכה הזאת יצטרך לדעת ראשונה הסימנים ההודיים או העבריים או איזה סימנים שיהיו המורים ובהסכמה כל המספרים עוד אחר זה יכנס במלאכה
The Hindu numerals	ולהיות שהסימנים ההודיים פשטו בכל ארץ מערב וברוב ארצות מזרח לכן בחרנו לכתוב הסימנים ההודיים בספרנו זה מכל שאר הסימנים וזה סימנם
	1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
The Hebrew numerals	ואם רצית להשתמש עם האותיות הקדושות אשר לנו הנה כזה
	א ב ג ד ה ו ז ח ט 0
numerical value (kamut) and positional place (eykut)	ואולם אופן הוראתם על המספרים הנה הוא מב' צדדין מצד הכמות ומצד האיכות
	אולם הכמות הנה יורו בו בעצמם
	ואולם האיכות הנה יורו בו מצד מקומם
numerical value	ונרצה בכמות באשר לא נביט בהם רק מספר החלקים הנכללים בם לבד לא אם יהיו החלקים ההם אחדים או עשרות או מאות או זולת זה
	כמו סימן השלשה עד"מ כשלא נביט בהם רק השלוש לבד ר"ל שהם מחוברים משלשה חלקים
	ולא נביט החלקים ההם אם הם אחדים והם שלשה
	או אם הם עשרות והם שלשים
	או אם הם מאות והם שלש מאות והדומים להם
positional value	ונרצה באיכות כאשר נביט בחלקים הנכללים בם מאיזה מין הם אם הם מהאחדים או מהעשרות או מהמאות או מזולת זה מהמדרגות
	כי האות הראשון המורה על א לפי כמותו אם היה במקום הראשון לפי הנחת הסימנים יורה על מדרגת האחדים והנה יהיה אחד
	ואם היה במקום השני יורה על מדרגת העשרות והנה יהיה י'
	ואם היה במקום הג' יורה על מדרגת המאות והנה יהיה אז ק'
	וכן בזה הדרך לעולם לפי רבוי המקומות יתרבו המדרגות המורות על האיכות
The numerical value of a numeral is unchangeable, but its positional value is changeable	אמנם כמותו לעולם אחד רק שיתחלף האחד שיהיה פעם א' מהאחדים ופעם א' מהעשרות ופעם א' מהמאות
	וכן האות השני המורה ב' מצד כמותו אם היה במקום הראשון יורה על מדרגת האחדים ויהיו שני אחדים
	ואם היה במקום השני יורה על עשרות ויהיו אז שני עשרות שהם עשרים
	ואם היה במקום הג' יורה על מדרגת המאות והנה יהיה אז שני מאות ר"ל מאתים
	וכן כלם יתרבו המדרגות בהתרבות המקומות והכמות אחד בעצמו
The positional value of a given rank is unchangeable, but its numerical value is changing according to the replacement of the numeral placed in it	ואולם אם המקום אחד ויתחלפו האותיות יתרבה הכמות והמדרגה תהיה אחת בעצמה
	ר"ל אם שמת במקום השני ד"מ סימן הב' יורה על שתי עשרות
	ואם שמת בו סימן הג' יורה על ג' עשרות
	ואם שמת בו סימן הט' יורה על ט' עשרות
	הנה כבר התבאר לך תכלית ביאור אופן הוראת האותיות האלו על המספרים בכמות ובאיכות
Zero – placeholder digit, which have no decimal value	ואולם הסימן העשירי שהוא כדמות גלגל הנה הוא בלתי מורה כמות כלל
	ונקרא בלשון לעז נולא והוא נגזר מינו אשר יורה בלשונם על האין
	ובלשון ישמעאל סיפרא אשר יורה ג"כ בלשונם על ההעדר
	ובלשון יון אודן אשר יורה גם כן על האין
	אמנם אף כי איננה מורה על כמות כלל אבל היא סבה על האיכות
	ר"ל שהאות הנמשך אחריה יורה כמותו אז על מדרגה אחרת מהמדרגה המורה מקום הנחת הסיפרא
10	כי עד"מ אם רצינו לכתוב י' הנה נכתוב סיפרא תחלה ואחריו האות הראשון מהאותיות אשר הוא מורה על אחד מצד כמותו והנה יורה אז על עשרה אחר שמקום הנחתו הוא אחר מקום הסיפרא אשר הסיפרא ואם איננה מורה על כמות אבל היא מורה על מדרגה ולכן האות הראשון הנמשך אחריה יורה על מדרגה נמשכת למדרגה הקודמת לה
101	וכן אם רצית לכתוב מאה ואחד עד"מ אשר הנחת הסיפרא אז הוא באמצע הנה אין ספק האות הראשון אז יורה על א' מהאחדים בעבור שכמותו יורה א' ומקומו מקום האחדים והסיפרא הנמשכת לה תורה על מדרגת העשרות ולא תורה על מספר כלל כי איננה מורה על כמות כאשר בארנו והאות הראשון הנמשך לסיפרא הנה הוא יורה על א' מהמאות כי כמותו יורה א' לפי שהוא האות הראשון ומקומו יורה על מאות אחר שהוא מקום ג'
	הנה שתועלת הסיפרא הוא להרבות מקום המדרגות לא זולת זה
	וכן לפי הדרך הזאת כבר תוכל לכתוב איזה מספר שרצית עם אלה הסימנים הכתובים הנה אשר הט' מהם יורו על כמות והעשירי בלתי מורה על כמות כלל
The reason for using only nine numerals	ואחר שכבר התבאר לך הוראת הסימנים האלו למקומותם למושבותם וידיעת הנחת המספרים עם הסימנים האלו איזה מספרים שיהיו הנה כבר מה שנשאר עלינו להודיע הוא הדרך אשר בו נגיע אל ידיעת זה המין וטרם החלי בהודעת דרך ידיעת זה המין אודיע לך הסבה אשר בעבורה היו הסימנים ט' לבד והיא שלמה
Every number is either units, or a product of ten, or a combination of both	שהיה כל מספר אם שיהיה פרטים לבד או כללים לבד או מחובר מהפרטי' והכללים יחד
units	והפרטים לבד הם המספרים אשר מא' ועד ט'
products of ten	והכללים לבד הם המספרים הנמשלים לאחדים והם העשרות והמאות והאלפים והרבבות ודומיהם
combinations of units and products of ten such as 25 (units and tens) or 203 (units and hundreds)	והכללים עם הפרטים יחד הם המספרים המחוברי' מאחדים ומעשרות כמו כ"ה עד"מ או מהאחדים ומאות כמו ר"ג עד"מ ודומיהם
	והיו הכללים נכללים תחת האחדים אחר שהם נמשלים להם
	כי העשרה כמו א' בחשבון וכן הק' והאלף והרבבה
	והכ' הם כמו ב' בחשבון וכן הר' והאלפים והרבותים
	והשלשים הם כמו הג' בחשבון וכן הש' והשלשה אלפים והג' רבבות
	וכן התשעים הם כמו הט' בחשבון וכן התשע מאות והתשעה אלפים והתשעה רבבות
	וכן בזה הדרך לעולם
	והכללים עם הפרטים יחד הנה הם גם כן יכללו באחדים
	כי הכ"ה על דרך משל הנה הכ' מהם הם כמו ב' כאשר בארנו והה' הם אחדים בעצמם
	וכן הר"ג הנה הר' מהם הם כמו הב' והג' הם אחדים בעצמם
	והנה יתחייב מזה שיהיה כמות כל מספר נכלל בתוך הט' האחדים
	לכך היו סימני המספר ט' לבד
	ואולם הסבה אשר בעבורה הסכימו כל הקדמונים להיות האחדים ט' לא פחות ולא יתר
	הנה כבר כתבו הראשוני' בזה ובפרט החכם ראב"ע ואמרו שהסבה בזה הוא מפני שבהם ישלם העגול
	שאם יונחו הט' מספרי' בעגול כמו זה ויוכה הט' על עצמו יעלה פ"א והנה הא' מצד ימין והח' שהוא כמו פ' הוא מצד שמאל
	והכאת הח' עם הט' עולה ע"ב והנה הב' מצד ימין והז' שהוא כמו הע' מצד שמאל
	וכן תמיד על זה הדרך עד שיוכה הה' עם הט' ואז יתהפך שיהיו העשרות ימניים והאחדים שמאליים
	וכאשר היה זה כן הנה יהיו המספרי' ט' בהכרח
	ואין ספק שזאת הסבה היא אמתית אבל היא סבה הנדסיית לא מספריית
	אולם הסבה המספריית לזה היא זאת לפי דעתי
	והוא שלהיות הא' ואם הוא סבת כל מספר איננו מספר
	והיה המחובר ממנו אשר הוא המספר נחלק לשני מינים מתחלפים והם הזוג והנפרד
	הנה מן המחויב שיחלקו האחדים לשלשה חלקים ראשונים והם האחד והב' והג'
	כי האחד איננו מספר והשנים אשר הוא ההרכבה הראשונה הם זוג והג' אשר הם ההרכבה השנית הם הנפרד
	ואלה השני חלקים שהם הב' והג' הם המספרים הפשוטים
	ולהיות שהמורכבים הראשונים יחלקו לשני חלקים ראשונים
	והם אם שיהיו שני חלקיו יחד פשוטים
	ואם שיהיה החלק האחד פשוט והאחר מורכב
	והיה החלק הראשון נחלק לשלשה חלקים שניים
	והם אם שיהיו שני חלקיו יחד מהפשוט הראשון
	ואם שיהיו שני חלקיו יחד מהפשו' השני
	ואם שיהיה אחד משני חלקיו מהפשוט הראשון והאחר מהפשוט השני
	והיה החלק השני נחלק גם כן לששה חלקים שניים
	והם אם שיהיה החלק האחד מהפשוט הראשון והחלק השני מהמורכב מהפשוט הראשון שהוא המין הראשון משלשה מיני המורכבים
	ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט הראשון בעצמו אבל החלק האחר יהיה מהמורכב מהפשוט השני שהוא המין השני משלשה מיני המורכבים
	ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט הראשון והחלק האחר מהמורכב מהפשוט הראשון והפשוט השני שהוא המין השלישי משלש מיני המורכבים
	ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט השני והחלק האחר מהמורכב הראשון
	ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט השני והחלק האחר מהמורכב השני
	ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט ה[ש]ני והחלק האחר מהמורכב השלישי
	והיו השלשה חלקים מהו' נופלי' כי הם נכנסים אל החלקים הראשונים
	והנה ישארו גם אלה שלשה חלקי'
	הנה מן המחויב לנו א"כ שיהיו מיני המורכבים ו'
	וכבר קדם שהמינים הראשונים שלשה הפשוטים השנים והאחד אשר איננו מספר הנה יהיו החלקים תשעה בהכרח
	וזה מה שרצינו לבאר
Written Addition	ומעתה נתחיל בהודעת דרך הקבוץ
Description of the algorithm	ואומר שכאשר תרצה להוסיף מספרים יותר מאחד קצתם על קצת להשיבם אל מספר אחד
	הנה ראוי שתסדר כל טורי המספרים זה תחת זה ושתהיה כל מדרגה תחת המדרגה הדומה לה ר"ל האחדים תחת האחדים והעשרות תחת העשרות וכן תמיד
	אחר זה תחבר כמות כל הסימני' המתחלפי' או השוים אשר הם בעלי איכות אחד ר"ל במדרגה אחת
	והמספר העולה מהם לא ימלט מאחד מג' פנים לפי מה שקדם
1) Adding units to units	אם שיהיו פרטי' לבד
2) Adding products of ten to products of ten	ואם כללים לבד
3) Adding units and products of ten to units and products of ten	ואם חבור שניהם יחד
The sum is units	ואם היו פרטים לבד הנה תכתבנו למטה באותה המדרג' עצמה אחר שתמשיך קו תחת כל הנקבצים ר"ל אם היו הנקבצים במדרגת האחדים תכתוב גם הסך במדרגת האחדי' תחת הקו המבדיל
	ואם הנקבצים במדרגת העשרות כתוב גם הסך במדרגת העשרות תחת הקו המבדיל וכן בכל מדרגה ומדרגה
The sum is a product of tens	ואם היה הסך כלל לבד ראוי שנביט הכלל ההוא מאיזה מדרגה הוא וכפי מדרגתו יונח כל אחד ואחד
	ר"ל אם היו הנקבצים אחדים והסך עלה כ' על דרך משל שהם כלל יכתוב שני סימנים במדרגה השנית או שתי נקודות ותחת מדרגת האחדים יכתוב סיפרא
	וכן אם היו הנקבצים עשרות והסך עלה כ' על דרך משל שהם כלל יכתוב שני סימנים או נקודות במדרגה השנית לה ותחת מדרגת העשרות יכתוב סיפרא
The sum is two kinds of products of tens	ואם היה הסך העולה ב' מיני כללים כמו ק"כ על דרך משל הנה ראוי שיכתוב ב' סימני' או נקודות במדרגה השנית לה בעד כלל הכ' שבידינו וא' במדרגה השלישית לה בעד כלל הק' שבידינו או ירשום י"ב נקודות או סימנים מורים על י"ב על המדרגה השנית לה ותחת המדרגה הנקבצת נכתוב סיפרא
The sum consists of units and tens	ואם היה הסך כלל ופרט יחד הנה יכתו' הכלל במקומו לפי מדרגתו כאשר בארנו והפרט תחת המדרגה הנקבצת
	ובזה הדרך תוכל לחבר איזה מספרים שיהיו אל מספר אחד ירבו מה שירבו המדרגות אין חשש בזה
Example: we wish to sum 1101, 3931, 9755, 57052 and 28067. $\scriptstyle1101+3931+9755+57052+28067$	המשל בזה רצינו לקבץ אלף ומאה ואחד וג' אלפים תשע מאות ל"א וט' אלפים תשנ"ה ונ"ז אלפים ונ"ב וכ"ח אלפי' וס"ז
	2 1 2 1     1 1 0 1   3 9 3 1   9 7 5 5 5 7 0 5 2 2 8 0 6 7 9 9 9 0 6
	הנה נסדר הטורים ונתחיל מהאחדים מפני שאם יהיה הסך העולה כלל הנה מקום הנחתו הוא במדרגה הנמשכת לה ולכן נקבץ האחדי' כלם והנה הם י"ו וזהו הסך העולה מהאחדים
	ונמשוך קו אחד תחת הנקבצים ונכתוב תחתיו הסך ר"ל הו' תחת מדרגת האחדים והי' אשר כמותו א' להיות שהם העשרות ראוי שיכתב במדרגה הנמשכת לה
	אחר זה נקבץ מדרגת העשרות והם עשרים ולהיות שהם כלל עשרות ואין שם אחדים כלל לכן כתבנו סיפרא תחת המדרגה הנקבצת וב' במדרגה הנמשכת לה לפי מה שקדם
	אחר זה נקבץ מדרגת המאות והם י"ט ולהיות שהם כלל מחובר עם האחדים נכתוב האחדי' שהם הט' תחת המאות שהוא מדרגתו וא' שהוא כלל נכתבהו במדרג' הנמשכת לה
	אחר זה נקבץ מדרגת האלפים והם כ"ט ונכתוב הט' תחת מדרגתו שהוא מדרגת האלפי' והב' שהם כלל נכתבם במדרגה הנמשכת לה
	אחר זה קבצנו מדרגת הרבבות ועלה ט' ולהיות שהם אחדים לבד כתבנום תחת מדרגתם כאשר הקדמנו
	וזה סך כל המספרי' הנזכרים וא"כ ידענו שסך האלף ק"א והג' אלפים תשע מאות ל"א והט' אלפים תשנ"א והנ"ז אלפים נ"ב והכ"ח והכ"א אלפים ס"ז הם תשעים ותשעה אלפים תתק"ו
Methods of checking	והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין
Unreliable tests - reliable only for the false findings	הנה כבר כתבו הראשונים על זה שני מינים
	האחד על דרך התשיעיות והאחר על דרך השביעיות
I. Casting out by 9	אולם המין הראשון מהם הוא שתשליך כמות כל הנקבצים ט' ט' ר"ל שלא תביט בהם האיכות והנשארים שלא הגיעו לכלל ט' שמרם עוד תשליך כמות הסך ט' ט' ולא תביט בהם האיכות והנשארים שלא הגיעו לכלל ט' שמרם ואם שני השמורים בלתי שוים דע שכזבת
	ואם הם שוים אפשר שצדקת לא שהוא מחויב כי יתכן שיהיה הטעות ט' אם בתוספ' אם בחסרון
	ולכן ראוי שיקראו אלה המאזנים מאזני מרמה אחר שלא יחייב הצדק והכזב רק הצד הא' לבד
II. Casting out by 7	ואולם המין השני מהם הוא ע"ד השביעיות
	והוא שתתחיל מהמדרגה האחרונה ותחשבה לאחדים ותשליך כמות כל נקבצים לז"ז והנשאר תחשבהו לעשרו' וחברהו עם המדרגה הקודמת לה כשתחשוב אותה לאחדי' ותשליך העולה מכמו' כל נקבצים לז"ז והנשאר תחשבהו לעשרו' חברהו עם המדרגה הקודמת לה כמשפט הראשון עד שיכלו כל המדרגו' הנשאר שלא הגיעו לכלל שבעה שמרהו עוד לך לך אל הסך ותתחיל מהמדרגה האחרונה שהיא היותר רבת האיכות וחבר עמה המדרגה הקודמת ממנה וחשוב האחרונה לעשרות והקודמת לאחדים והשלך כמותם ז"ז והנשאר שלא הגיע לכלל ז' תחשבהו לעשרות וחברם עם המדרגה הקודמת לה ותחשבהו לאחדים והשלך כמותם ז"ז והנשאר שמרהו וכן עד המדרגה הראשונה
	ואם יהיה השמור השני היוצא לך מהסך שוה לשמור הראשון אפשר שצדקת ואם לאו כזבת
	וגם אלה מאזני מרמה אחר שלא יחייב הצדק והכזב רק הצד האחד לבד
Reliable tests:	ואולם המאזני צדק אשר בזה המין אשר בו יאוזן הצדק והכזב יחד
1) Casting out by 9 - considering the signs of the digits for recollection	עם מאזני התשיעיות
	הוא מה שאומר שנקבץ כמות כל נקבצי המדרגה הא' ותשליך אותן ט' ט' כאשר בארנו ודע כמה תשיעיות יש בידך וכמה אחדים שלא הגיעו לט' ושמרם בידך וקח גם הסך הכתוב למטה ממדרגתו ומהסימנים שכתבנו במדרגה שאחריה תמורת הכלל שבסך אם היה שם כלל קח מכל אחד מהם תשיעית א' וא' מהאחדים וחברם עם האחדים שבסך והעולים מהתשיעיות והאחדים אם הם שוים לתשיעיות והאחדים שבידך הנה צדקת ואם לאו כזבת
$\scriptstyle1101+3931+9755+57052+28067=99906$	המשל במשלנו זה הכתוב הנה קבצנו התשיעיו' והאחדי' מכל הנקבצים ממדרגת האחדים ועלו תשיעית א וג' אחדים אחר כן ראינו המקובץ והוא ב' והכלל שאחריו שכתבנוהו במדרגה הנמשכת הוא א' והנה הוא תשיעית א' וא' אחד שהוא עשרה חברנוהו עם ב' אחדי' הסך והנה הם תשיעית א' וב' אחדים וככה הוא מה שבידנו מהנקבצים עוד אחר זה קבצנו התשיעיות והאחדים שבנקבצי מדרגת העשרות והנה הם ב' תשיעיות וב אחדים וככה הוא גם הסך שתחת העשרות עם הכלל הנמשך אחריו כי הכלל הנמשך ב' והם ב' תשיעיו' וב' אחדי' ותחת העשרו' הוא ספרא וא"כ הם ב' תשיעיות וב' אחדים עוד אחר זה קבצנו התשיעיות והאחדים שבנקבצי מדרגת המאות והנה הם ב' תשיעיות וא' מהאחדים וככה הוא גם הסך שתחת המאות עם הכלל הנמשך אחריו כי הכלל הנמשך א' והוא תשיעית א' וא' מהאחדים ותחת המאות ט' הנה ב' תשיעיות וא' מהאחדים עוד אחר זה קבצנו התשיעיות והאחדים שבנקבצי מדרגת האלפים והם ג' תשיעיות וב' אחדים וככה הוא הסך כי תחתיו ט' והנה תשיעית א' ועם הכלל הנמשך אחריו שהם ב' תשיעיות וב' אחדי' והם שוים למה שבידנו מהנקבצים עוד אחר זה קבצנו התשיעיות והאחדים שבנקבצי מדרגת הרבבות והם תשיעית אחד וככה הוא המקובץ וזה מה שרצינו לבאר
2) Two addends - subtracting one of them from the sum $\scriptstyle\left(a+b\right)-1=b$	ואם היו הנקבצים ב' מספרים לבד שוים או מתחלפים יהיו שם עוד מאזני צדק אחרים זולת אלו
	והוא חסור המספר הא' מהמקובץ והנשאר אם יהיה שוה למספר האחד הקבוץ אמת ואם לאו שקר
3) two identical addends - halving $\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\left(a+a\right)=a$	ואם היו הנקבצים שנים מספרים שוים יהיו לו עוד מאזני צדק שלישיים
	והוא החלוק באמצ' אשר הוא הכאת החצי עם המקובץ והיוצא אם הוא שוה למספר הא' הוא אמת ואם לאו דע שטעית
	ולהיות שיש דרך קצר זולת זה בקבוץ קצת מינים מהמספרים אף כי אין הקצר הזה באיזה מין מספרים שיהיו רק במינים מעויינים
	הנה ראוי לנו להודיע גם זה אמנם למה שלא יודע הדרך ההוא אלא בידיעת מין ההכאה לכן ראוי לנו שנמתין הענין עד באנו אל המין ההוא אם ירצה השם
Reasons and Explanations
The reason for the adding procedure	והסבה למציאות זה המין מבואר בעצמו
All ranks are similar to the units	וזה שאחר שהעשרו' והק' והאלפים והרבבות כלם נמשלים ר"ל שהי' במדרגה הראשונה הם א' במדרגה הנמשכת לה והי' שבמדרגה השנית הם א' במדרגה הנמשכת לה וכן תמיד
	הנה אם כן אין הבדל בזה שנקח כל העולם מהנקבצים מהמדרגה האחת או שנקח האחדים שתחת אותה המדרגה עם האחדי' ששמנו במדרגה הנמשכת לה תמורת הכלל המחובר עם האחדים
Example: we wish to sum 723, 865 and 957. $\scriptstyle723+865+957$	המשל בזה אם רצינו לקבץ תשכ"ג ותתס"ה ותתקנ"ז
	אשר הסך העולה מהם הוא ב' אלפים תקמ"ה
	הנה אין הבדל שנקח כל הנקבצים ממדרגת האחדים שהם ט"ו אחדים או שנקח הה' שבמדרגת האחדים והא' שבמדרגה הנמשכת לה אחר שהי' באחדים הם אחד בעשרות וכן אין הבדל שנקח כל הנקבצים ממדרגת העשרות שהם י"ג עשרות או שנקח הג' שבמדרגת העשרות והא' שבמדרגת המאות אחר שהי' בעשרות הם א' במאות וכן תמיד ולכן אין הבדל שנאמר שהסך העולה מהמספרים האלה הם ט"ו אחדים וי"ג עשרות וכ"ד מאות או שנקרא הכ' מהכ"ד ב' אלפים והד' מאות נחבר עמהם הי' עשרות שהם א' במאות ונאמר ב' אלפים וחמש מאות ונחבר עם הג' עשרות הי' אחדים שהם א' בעשרות ויהיו ד' עשרות שהם מ' והנה יהיה הכל ב' אלפים תק"מה וזה מה שכוננו ביאורו
$\scriptstyle r_a+r_b\equiv r_{a+b}\left(mod k\right)$	ואולם הסבה אשר בעבורה היו מאזני התשיעיות והשביעיות מורים על שהקבוץ איננו אמתי כאשר לא יהיו מותרי הסך והנקבצים שוים הוא מבואר
Euclid, Elements, Introduction: This is because it was already clarified in the introduction of Euclid's book that when equal is subtracted from equals, then the remainders are equal $\scriptstyle a=b\longrightarrow a-c=b-c$	וזה שכבר התבאר בפתיחת ספר אקלידס כאשר חוסר מהשוים שוה יהיה הנשאר שוה
	וזה דבר מוסכם לכל ואם כן יתחייב מזה בהכרח שאם מספר הסך הוא שוה למספר כל הנקבצים שיהיו מותרי שניהם שוים כאשר מוסר מהם מספרים שוים שהם מספרי התשיעיות והשביעיות וזה הקש תנאי מתדבק
	וכבר התבאר בספר ההקש כי סותר הנמשך יוליד סותר הקודם
$\scriptstyle a-c\ne b-c\longrightarrow a\ne b$	אם כן יחוייב מזה שכאשר ימצא מקביל הנמשך והוא היות המותרים בלתי שוים שיחויב מזה מקביל הקודם והוא שהסך בלתי שוה לנקבצים
	וכבר היה מתנאי הסך האמתי שיהיה שוה לנקבצים לפי מה שקדם
	אם כן זה הסך הוא בלתי אמתי בהכרח
	ואין לטוען לטעון על מאזני התשיעיות על היותנו חושבים כל המדרגות כמו אחדים בין בסך בין בנקבצים ולומר שאמנם היה זה צודק ר"ל כאשר יהיו המותרים בלתי שוים שיהיה הסך בלתי אמתי אלו היינו גורעים התשיעיות מכל הסך ומכל הנקבצים אחרי שנתיך שניהם לאחדים כי אז יהיו המספרים הנחסרים שוים ויתחייב שיהיו המותרים שוים בהכרח
	ואולם אנחנו אחר שחשבנו על המדרגות לאחדים הפך האמת הנה לא חוסר משני המספרים השוים מספר שוה עד יהיו הנשארים שוים בהכרח
	כי התשובה בזה מבוארת בעצמה והוא שאחר שהעשרות או המאות כאשר תשליך מהם התשיעיות לא ישארו מהם רק אחדי'
	וזה שהנשאר מהעשרה אחד וכן מהמאה ומהאלף ומהרבבה וזולת זה מכל שאר המדרגו'
	אם כן אין הבדל בין שנחשוב כל המדרגות לאחדים או לעשרות או למאות או לאלפים או זולת זה מהמדרגות
	כי עד"מ מספרי ת"ש אם חשבנום לז' אחדים הנה הם ז' ואם חשבנום לשבע עשרות הנה הנשאר מהם גם כן שבעה ואם חשבנום לז' מאות הנה הנשאר מהם גם כן שבעה
	וכאשר היה כן הנה אין הבדל בזה אם נחשוב כל המספרים שבכל המדרגות כמו אחדים או כמו עשרות או כמו מאות כי המותר שוה לעולם
	ולהיות שזה הקצור הנפלא והוא שיחשבו כל המספרי' שבכל המדרגות לאחדים הוא ענין בלתי צודק למספר אחר זולת הט' והג' על כן השתמשו בתשיעיות משאר כל המספרים
	והניחו השלשה לרוב קטנותו כי המספר היותר גדול בו יותך המספר בקלות מאשר יותך אל המספר הקטן ממנו
	גם אין לטוען לטעון על מאזני השביעיות על היותנו חושבים כל מדרגות הסך חוץ ממדרגת האחדים לעשרות ונחבר עם כל מדרגה המדרגה הקודמת לה ונחשבה לאחדים ואם הם מאות או אלפים או זולת זה מהמדרגות ולומר שאמנם היה צודק שכאשר יהיו המותרי' בלתי שוים שיהיה הסך בלתי אמתי אלו היינו גורעים השביעיות מכל הסך ומכל הנקבצים אחרי שנתיך שניהם לאחדים כי אז יהיו המספרים הנחסרים שוים ויתחייב שיהיו המותרים שוים בהכרח
	אולם אנחנו אחרי שחשבנו המדרגה האחרונה לעשרות והקודמת לה לאחדים ואם הם אלפים או מאות הפך האמתי הנה לא חוסר משני המספרים שוים מספר שוה עד יהיו הנשארים שוים בהכרח
	כי התשובה בזה מבוארת גם כן והוא שמצד הנשלכים אין הבדל שיהיו עשרות או מאות או אלפים או זולת זה המדרגות
	כי התשעה על דרך משל כאשר תחסר מהם שבעה אין הבדל בין שיהיו התשעה תשע האחדים ויחסרו מהם שבעה ובין שיהיו תשע עשרות אשר הז' הנשלכים ממנו אז הם עשרות ובין שיהיו ט' מאות אשר הז' הנשלכים ממנו אז הם ת"ש וכן תמיד כי כלם יכלו בשביעיות ר"ל הז' אחדים והז' עשרות והז' מאות והז' אלפים וזולת זה
	ולכן אין הזק אם נחשוב המאות או האלפים או זולתם עשרות ונשליך מהם השביעיות ואם מצד המותרים אין הזק גם כן וזה שהמותרים ואם הם בלתי שוים
	כי מספר התשעה עד"מ אם היה אחדים הנה כאשר נשליך מהם השביעיות ישארו שני אחדים ואם היו עשרות הנה ישארו ו' אחדים ואם היו מאות ישארו מהם ד' אחדים
	אולם עם ההתכה יתוקן זה הענין בהכרח וזה שאחרי שאנחנו מתיכים כל אחד מהנשארים לעשרה במדרגה הקודמת לה ומשליכים מהם השביעיות וכן הנשארים מהם עוד אנחנו מתיכים כל אחד מהם לעשרה עד שנגיע למדרגת האחדים הנה אין הזק בזה
	וזה שהתשעה עד"מ הנה אם היו אחדים יהיו הנשארים ב' אחדי'
	וכן אם היו עשרות יהיו הנשארים מהם ב' עשרות והנה אחרי שיש להם מדרגה אחת קודמת אחר שהם עשרות ויתחייב שנחשוב כל אחד מהם לעשרה פעם אחת במדרגת האחדים הקודמת לה הנה ישובו הב' לעשרים ונשליך מהם השביעיות וישארו ו' והנה הדבר שוה כאלו חשבנום מתחלה לתשעים וחסרנו מהם השביעיות אשר יהיו הנשארים מהם ו'
	וכן אם היו מאות יהיה הנשאר מהם ר' והנה אחרי שיש להם שתי מדרגות קודמות להם אחרי שהם מאות ויתחייב עם זאת התחבולה שיותכו ב' פעמי' פעם ראשונ' במדרגת העשרות ופעם שנית במדרגת האחדים הנה אם כן ישובו הב' עשרים במדרגת העשרות ונשליך מהם השביעיות וישארו ששה עוד ישובו הששה לששים במדרגת האחדים ונשליך מהם השביעיות וישארו ארבעה והנה הדבר שוה כאלו חשבנום מתחלה לתת"ק וחסרנו מהם השביעיות אשר הנשארים הם ארבעה
	ואולם הסבה אשר נחבר המדרגה הקודמת לאחרונה עם האחרונה ונחשוב האחרונה לעשרות והקודמת לאחדים ולא חשבנו כל מדרגה לאחדים ונשליך מהם השביעיות אחר שבנשלכים אין חשש ועם ההתכה יתוקן המותר כאשר בארנו היא זאת שאנחנו אם נקח המדרגה האחרונה לבדה ונחשבנה לאחדים הנה המותר מהם יתחייב שיותך לעשרה ויחוייב שנחבר אותה עם המדרגה הקודמת ונחשוב הקודמת לאחדי' והמותר לעשרות לפי מה שקדם ולכן חברנוה מתחלה
	ואולם הסבה אשר לא חשבנו כל אחד לפי מדרגתו היא מפני שהעשרות יותכו אליהם השביעיות יותר בקלות מאשר יותכו אל המדרגות היותר גדולות
	כי מהעשרה יחוסרו פעם אחת שבעה
	ומהמאה ארבעה עשר פעמים
	ומהאלף קמ"ב פעמים
	וכאשר היה זה כן הנה כבר התבאר לך תכלית ביאור שעם הדרך הזאת נוכל למצוא המותר מהשביעיות כמו שנמצאהו אם נתיך הכל לאחדים
	ולכן אין ראוי לטרוח בהתכת הכל לאחדים ולא בהשלכת השביעיות מכל מדרגה לפי מדרגתה אחר שזאת הדרך היא הקצור הנפלא שבדרכים ולולא שהנקבצים הם מספרים רבים בכל מדרגה אבל היינו משתמשים בם גם כן עם הדרך הזה לרוב קצורו ולכן בשאר מיני המספר אשר הטורי' המונחים אינם יותר מא' השתמשו שם גם כן עם זה הדרך כמו בסך
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן הדבר שוה כאלו התכנו הנקבצים והסך כל אחד מהם לאחדים והשלכנו מהם השביעיות
	וכאשר בארנו שאחדי הנקבצים והסך שוים הנה אם כן יהיו המותרים שוים בהכרח
	וזהו הנרצה בזה המין מהמאזנים
	אלא שתמהתי מאד על הקודמים מדוע השתמשו בזה המין בשביעיות לבד אחר שעם זה המין נוכל להשתמש בכל מספר שנרצה לפי הסבה הנתונה בזה ר"ל אם רצית להשליכם שלשה שלשה או ד' ד' או ה' ה' או ו' ו' או ח' ח' או ט' ט' או י"א י"א או ט"ו ט"ו וכן תמיד וזה מספיק בידיעת זה המין
	ואולם סבת המאזני צדק הנה היא ידועה בעצמה
	וזה שאחר שמאזני התשיעיות אמנם הם מאזני מרמה מאשר לא יוליד עין הנמשך והוא שווי המותרים עין הקודם והוא שווי שני המספרי' שהם הנקבצים והסך
	וזה מפני שכבר יתכן שיהיה המספר האחד מתחלף מחברו אם בתוספת תשיעיות או במגרעת ועוד יהיו המותרים שוים
	הנה אם כן כאשר נשמור בידינו התשיעיות והאחדים שבכל מדרגה ומדרגה והתשיעיות והמותרים שבסך שתחת כל מדרגה ומדרגה עם הסימנים הנרשמים במדרגה הנמשכת לה תמורת הכללים שבסך הנה לא יקרה מזה טעות בהכרח לא בתוספת תשיעיות ולא בגרעונם וזה מבואר מאד
	ואולם סבת המאזני צדק השניים שהם ע"ד החסור גם היא מבוארת בעצמה
	וזה שאחר שהקבוץ הוא תוספת מספר על מספר כאשר התבאר
	ואם כן הסך הוא מורכב מב' מספרים
	והחסור הוא הפך התוספת כמו שההתכה הפך ההרכבה
$\scriptstyle\left(a+b\right)-a=b$	לכן יתחייב מזה שכאשר נחסר מהסך המספר הא' שהוא אחד משני חלקי הסך אשר הורכב מהם שישאר החלק האחר שהוא המספר האחד ואם לאו דע שכזבת
	ואולם סבת המאזנים השלישיים שהם על דרך החלוק באמצע הנה גם היא מבוארת מהסבה הקודמת
$\scriptstyle\frac{a+a}{2}=\left(a+a\right)-a=a$	והוא שאחר שהסך מורכב משני מספרים שוים והחלוק באמצע הוא חסור החלק האחד משני חלקי הכל השוים הנה יהיה הנשאר הוא החלק האחד בהכרח שהוא המספר האחד משני המספרים השוים
Special Properties	וסגלת זה המין
Euclid, Elements, Book IX, Proposition 21: When even numbers are summed, as many as they may be, their sum is an even number.	הוא כאשר נקבצו מספרי זוגות כמה שיהיו הנה קבוצם מספר זוג
Euclid, Elements, Book IX, Proposition 22: When odd numbers are summed, as many as they may be, and their multitude is even, their sum is an even number.	וכאשר נקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו והיה מספרם זוג הנה קבוצם מספר זוג
Euclid, Elements, Book IX, Proposition 23: When odd numbers are summed, as many as they may be, and their multitude is odd, their sum is an odd number.	וכאשר נקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו והיה מספרם מפרד הנה קבוצם נפרד
If odd numbers and even numbers as many as they may be are summed together, and the multitude of the odd numbers is even, then their sum is even	וכאשר נקבצו מספרי' נפרדים וזוגות יחד כמה שיהיו והיה מספר הנפרדים זוג הנה קבוצם זוג
If the multitude of the odd numbers is odd, then their sum is odd	ואם היה מספרם נפרד הנה קבוצם נפרד
	וסבות הסגלה הזאת הנם כתובים בספר היסודות לאקלידס במאמר התשיעי ממנו ואין צורך להכפיל המאמר הנה
	הנה כבר התבאר לך זה המין עם הדרכים אשר בהם השתמשו הקדמונים ועם המאזנים אשר בהם יאוזן הכזב או אשר יאוזן בהם הצדק והכזב יחד עם הסגלה המיוחדת בו וזה מחובר בסבותיהם יחד וזהו מה שכוננו ביאורו
	ומעתה אתחיל לבאר מין ההכאה להיות שזה המין דומה למין הקבוץ כאשר התבאר וכאשר יתבאר עוד

Chapter Two - Multiplication	הפרק השני במין ההכאה
Introduction
Definition of the multiplication operation: multiplication is summing identical numbers, as many as they may be, so that not all of them are given but one alone.	ההכאה הוא קבוץ מספרים שוים כמה שיהיו בלתי מונחים מכללם רק האחד לבד
Six kinds of multiplications	ולהיות שמיני ההכאות יחלקו לששה חלקים והם
Multiplication of units by units	הכאת פרטים עם פרטים
Multiplication of units by products of tens	והכאת פרטים עם כללים
Multiplication of units by units and products of tens	והכאת פרטים עם פרטים וכללים יחד
Multiplication of products of tens by products of tens	והכאת כללים עם כללים
Multiplication of products of tens by units and products of tens	והכאת כללים עם כללים ופרטים יחד
Multiplication of units and products of tens by units and products of tens	והכאת כללים ופרטים יחד עם כללים ופרטים יחד
	וזה שכבר קדם שהמספרים נחלקים לג' חלקים כללים לבד ופרטים לבד וחבור שניהם יחד
	וכאשר יוכו כל אחד מהם עם חברו יעלו ט' ויפלו מהם הג' מיני' המשותפים והנה נשארו ו' מיני הכאות
	והיה דרך הכאות כל המינים האלו אמנם הוא עם ידיע' הכאת המין הראשון והוא הכאת הפרטים עם הפרטים
	וזה שכל המדרגות אמנם יחשבו כמו אחדי' בענין ההכאה כאשר יתבאר הנה
	אם כן מן המחויב לכל דורש ידיעת מין ההכאה לדעת תחלה הכאת הפרטים עם הפרטים אחר זה ידרוש בידיעת ההכאה במינים הנשארים

Multiplication of Units by Units
	ולהיות שידיעת הכאת הפרטים עם הפרטים אמנם יגיע בהרגל לבד כי אין שם תחבולה ודרך אל ידיעתו לכן היה מן המחוייב לנו לתקן לוח כולל כל מיני הכאות הפרטים עם הפרטים אי זה פרטים שיהיו עד ירגיל בו האדם עצמו
	והנה הלוח הכולל הוא זה
9 8 7 6 5 4 3 2 1 18 16 14 12 10 8 6 4 2 27 24 21 18 15 12 9   3 36 32 28 24 20 16     4 45 40 35 30 25       5 54 48 42 36         6 63 56 49           7 72 64             8 81               9	ט ח ז ו ה ד ג ב א חא וא דא בא ‫0א ח ו ד ב זב דב אב חא הא בא ט   ג וג בג חב דב ‫0ב וא     ד הד ‫0ד הג ‫0ג הב       ה דה חד בד וג         ו גו וה טד           ז בז דו             ח אח               ט

Written multiplication
	ואחר שכבר ידעת זה על פה הנה כבר תוכל להכנס בדרך ידיעת זה המין
	ונאמר שכבר בארנו שההכאה הוא קבוץ מספרים שוים רבים בלתי מונחים מכללם רק האחד
	כי לולא זה לא נדע איזה מין מספרים הם הנקבצים ולכן יחוייב עלינו שנכתוב בטור אחד המספר המוכה
	עוד נניח תחתיו טור שני מודיע כמות הפעמים אשר יכפל המספר ההוא שהוא הנקבץ עם השוים לו
For example: if you wish to sum three numbers, each of which is sixteen. $\scriptstyle16+16+16$	כמו על דרך משל אם רצית לקבץ שלשה מספרים כל אחד מהם ששה עשר
	הנה מן ההכרח הוא לכתוב ששה עשר בטור אחד להודיע שהמין הנקבץ עם השוים לו הוא ששה עשר
	ואין צורך לכתוב עוד ששה עשר בשני טורים אחרים כמו שהוא מהמחויב בקבוץ המספרים זה עם זה
	אחר זה נכתוב תחתיו מספר שלשה המודיע לנו כמות הפעמים אשר יכפל מספר הי"ו
	והנה הדבר שוה כאלו כתבנו עוד בשני טורים אחרים מספר ששה עשר כי אין הבדל שנקבץ הי"ו הכתובים בשלשה טורים או שנכפול הששה עשר האחד שלשה פעמים
	כי הכפל הוא קבוץ המספר האחד עם עצמו והמשלש בכפל הוא קבוץ המספר האחד עם שני פעמים כמו עצמו
	אחר זה נמשיך קו תחת השני טורים הראשונים ונכתוב תחתיו המספר היוצא מההכאה
	וזאת היא ההנחה הכוללה לכל מיני ההכאות
	אלא שאם היו כללים לבד או כללים ופרטים יחד מוכים עם פרטי' לבד יהיה המספר הכתוב תחת הקו אשר הוא היוצא מההכאה טור אחד לבד
	ואם היו מוכים עם כללים או עם כללים ופרטים יחד הנה ירבו הטורים המונחים תחת הקו בהכרח
	וגם נצטרך בו להנחות מתחלפות הצריכים אל ביאור
	ואומר שהכאת כללים לבד או כללים ופרטים יחד עם פרטים לבד דרך אחד להם
	והוא שנסדר תמיד המספר הרב המדרגות בטור הראשון
	והפרטים המודיעים כמות הפעמים אשר יכפל המספר ההוא תחתיו
	אחר נכה הפרט עם כל מדרגה ממדרגות הטור העליון ונכתוב כל העולה מכל מדרגה ומדרגה
	אם היה פרטים לבד במדרגתה ר"ל העולה מהאחדים במדרגת האחדים
	והעולה מהעשרות במדרגת העשרות
	וכן בכל מדרגה ומדרגה בטור שלישי
	אחר שנמשיך קו מבדיל בין הטור השני לטור השלישי
	ואם היו כללים לבד נכתוב סיפרא והכלל נשמרהו במדרגה הנמשכת
	ואם היו כללים ופרטים יחד נכתוב הפרטים במקומם והכללים נשמרם במדרגה הנמשכת ואחר שתשלים הכאות כל המדרגות הנה ידעת שהסך העולה מהכאת המספר ההוא עם הפרט שבטור השני הוא המספר שבטור השלישי
	ואולם הכאת הכללים לבד או הכללים והפרטים יחד עם הכללים לבד או עם כללים ופרטים יחד דרך אחד להם
	והוא שנכה אחדי הטור השני עם כל המדרגות הטור העליון ונכתוב העולה בטור השלישי לפי מה שקדם
	אחר זה נכה עשרות הטור השני עם כל מדרגות הטור העליון ונכתוב גם כן העולה בטור רביעי תחת הטור השלישי כפי הסדר שזכרנו
	רק שנתחיל ראש הטור הרביעי ממקום העשרות מפני שהתחלנו מהעשרות
	אחר כך נכה מאות הטור השני עם כל מדרגות הטור העליון ונכתוב העולה בטור החמישי כפי הסדר שזכרנו רק שנתחיל הטור החמישי ממקום המאות
	וכן בזה הדרך לעולם
	אחר כך נקבץ כל הטורים שתחת הקו המבדיל והעולה הוא הסך העולה מהכאת המספר שבטור העליון עם המספר שבטור השני לו
The example of the first method is: $\scriptstyle5\times320$	משל הדרך הראשון הנה הוא כזה
3 2 0       5 1 6 0 0	‫ג ב 0       ה א ו 0 0

[Illustration of the procedure:]

320	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(5\times0\right)}}={\color{blue}{0}}}$	320	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(5\times2\right)}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{0}}}$	320	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(5\times3\right)}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{15+1}}={\color{blue}{16}}}$	320
5		5		5		5
		0		00		1600

	הכינו הה' עם הסיפרא שבטור העליון ועלה סיפרא
	וכתבנו הסיפרא תחת הקו במדרגת האחדים
	עוד הכינו הה' עם הב' שבטור העליון ועלה י' ולהיות שהוא כלל שמרנוהו בידינו לחברו עם העולה מהכאת הה' עם הג' שבטור העליון
	וכתבנו תחת הקו סיפרא במדרגה הנמשכת
	אחר זה הכינו הה' עם הג' שבטור העליון ועלו ט"ו חברנו עמם הא' שבידינו ועלו י"ו
	וכתבנו הו' תחת הקו במדרגה הנמשכת והי' שהוא א' במדרגה הנמשכת לה
	והנה העולה מהכאת החמשה עם השלשה מאות ועשרים הם אלף ושש מאות
The example of the second method, which is multiplication of tens, or tens and units together, by tens, or tens and units together, is as follows: $\scriptstyle236\times135$	ומשל הדרך השני והוא הכאת הכללים או הכללים והפרטים יחד עם הכללים או עם הכללים ופרטים יחד הנה הוא כזה
1 2 5     2 3 6     ‫7 5 0   3 7 5   2 5 0     2 9 5 0 0	א ב ה     ב ג ו     ‫ז ה 0   ג ז ה   ‫ב ה 0     ב ט ה 0 0

[Illustration of the procedure:]

125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times5\right)}}={\color{green}{3}}{\color{blue}{0}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times2\right)}}+{\color{green}{3}}={\color{red}{12+3}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{5}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times1\right)}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{6+1}}={\color{blue}{7}}}$	125
236		236		236		236
		0		50		750

Multiplying 6 in the second line by 5 in the upper line - the result is 30 $\scriptstyle{\color{blue}{6\times5=30}}$.	הכינו הו' שבטור השני עם הה' שבטור העליון ועלה שלשים
Writing 0 in the third line, in the rank of units.	וכתבנו ספרא בטור השלישי במדרגת האחדים
Reserving the 30.	והשלשים שמרנום בידינו
Multiplying 6 by 2 in the upper line - the result is 12 $\scriptstyle{\color{blue}{6\times2=12}}$.	עוד הכינו הו' עם הב' שבטור העליון ועלו י"ב
Adding it to the 3 reserved - the result is 15.	חברנו' עם הג' שבידנו ועלו ט"ו
Writing the 5 in the third line, in the successive rank.	כתבנו הה' הפרטים בטור השלישי במדרגה הנמשכת
Reserving the 10.	והעשרה שמרנום
Multiplying 6 by 1 in the upper line - the result is 6 $\scriptstyle{\color{blue}{6\times1=6}}$.	עוד הכינו הו' בא' שבטור העליון ועלה ששה
Adding it to the 1 reserved - the result is 7.	חברנום עם הא' שבידינו ועלו ז‫'
Writing it in the third line, in the successive rank.	כתבנום בטור השלישי במדרגה הנמשכת

[Illustration of the procedure:]

125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times5}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{5}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times2}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{6+1}}={\color{blue}{7}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times1}}={\color{blue}{3}}}$	125
236		236		236		236
750		750		750		750
		5		75		375

	אחר כן שבנו להכות הג' שבטור השפל עם כל מדרגות הטור העליון
Multiplying 3 in the bottom line by 5 in the upper line - the result is 15 $\scriptstyle{\color{blue}{3\times5=15}}$.	והכינו הג' שבטור השפל עם הה' שבטור העליון ועלו ט"ו
Writing 5 in the fourth line, in the rank of tens.	וכתבנו הה' בטור הרביעי במדרגת העשרות
Reserving the 10.	והי' שמרנום
Multiplying 3 by 2 in the upper line - the result is 6$\scriptstyle{\color{blue}{3\times2=6}}$.	עוד הכינו הג' עם הב' שבטור העליון ועלה ששה
Adding it to the 1 reserved - the result is 7.	חברנום עם הא' שבידינו ועלו שבעה
Writing it in the fourth line, in the successive rank.	וכתבנום בטור הרביעי במדרגה הנמשכת
Multiplying 3 by 1 in the upper line - the result is 3 $\scriptstyle{\color{blue}{3\times1=3}}$.	עוד הכינו הג' עם הא' שבטור העליון ועלה שלשה
Writing it in the fourth line, in the successive rank.	וכתבנום בטור הרביעי במדרגה הנמשכת

[Illustration of the procedure:]

125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{0}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times2}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{4+1}}={\color{blue}{5}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times1}}={\color{blue}{2}}}$	125
236		236		236		236
750		750		750		750
375		375		375		375
		0		50		250

	אחר כן שבנו להכות הב' שבטור השפל עם כל מדרגות הטור העליון כמשפט
Multiplying 2 in the bottom line by 5 in the upper line - the result is 10 $\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}$.	והכינו הב' שבטור השפל עם הה' שבטור העליון ועלו י‫'
	ולהיות שהוא כלל לבדו על כן שמרנוהו
Writing the 5 in the fifth line, in the rank of hundreds.	וכתבנו בטור הה' סיפרא במדרגת המאות
Multiplying 2 in the bottom line by 2 in the upper line - the result is 4 $\scriptstyle{\color{blue}{2\times2=4}}$.	עוד הכינו הב' שבטור השפל עם הב' שבטור העליון ועלו ד‫'
Adding it to the 1 reserved - the result is 5.	חברנו עמו הא' שבידנו ועלו ה‫'
Writing it in the fifth line, in the successive rank.	וכתבנום בטור הה' במדרגה הנמשכת
Multiplying 2 by 1 in the upper line - the result is 2 $\scriptstyle{\color{blue}{2\times1=2}}$.	עוד הכינו הב' עם הא' שבטור העליון ועלו ב‫'
Writing it in the fifth line, in the successive rank.	וכתבנום בטור החמישי במדרגה הנמשכת
	אחר זה קבצנו השלשה טורים שתחת הקו והיה העולה כ"ט אלף ות"ק וזהו סך הכאת הרל"ו עם הקכ"ה
	הנה כבר התבארו לך הב' דרכים הכוללים כל המינים הה' הנזכרי' תכלית באור
	עוד מצאתי דרך אחרת שלא תצטרך לשמירה כלל והוא כי אם היה העולה מההכאה כלל ופרט הנה תכתוב הפרט במקום האחדים והכלל במקום העשרות לא שתשמרהו
	אחר כך הכה האות השפל עם האות הנמשך שבטור העליון
	ואם היה העולה מהכאתם כלל ופרט יחד תכתוב הפרט במדרגת העשרות והכלל במדרגת המאות וכן תמיד
	המשל בזה בהכאת כללים ופרטים יחד עם כללים ופרטים יחד והוא המשל הנזכר למעלה בעצמו כדי שתבדיל בין דרך לדרך והוא זה
1 2 5     2 3 6 2 3 1 3 0   1 6 2     4 1 5       6         0	א ב ה     ב ג ו ב ג א ג 0   א ו ב     ד א ה       ו         0

[Illustration of the procedure:]

125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times5\right)}}={\color{blue}{30}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times2\right)}}={\color{blue}{12}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times1\right)}}={\color{blue}{6}}}$	125
236		236		236		236
		30		130		130
				2		62

Multiplying 6 in the bottom line by 5 in the upper line - the result is 30 $\scriptstyle{\color{blue}{6\times5=30}}$.	הכינו הו' שבטור השפל עם הה' שבטור העליון ועלו ל‫'
Writing 0 in the rank of units and 3 in the successive [rank].	כתבנו סיפרא במדרגת האחדים והג' בטור הנמשך
Multiplying 6 by 2 in the upper line - the result is 12 $\scriptstyle{\color{blue}{6\times2=12}}$.	עוד הכינו הו' עם הב' שבטור העליון ועלו י"ב
Writing 2 in the rank of tens and 10 in the rank of hundreds.	כתבנו הב' במדרגת העשרות והי' במדרגת המאות
Multiplying 6 by 1 in the upper line - the result is 6 $\scriptstyle{\color{blue}{6\times1=6}}$.	עוד הכינו הו' עם הא' שבטור העליון ועלו ו‫'
Writing it in the rank of hundreds.	וכתבנום במדרגת המאות

[Illustration of the procedure:]

125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times5}}={\color{blue}{15}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times2}}={\color{blue}{6}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times1}}={\color{blue}{3}}}$	125
236		236		236		236
130		130		130		3130
62		62		62		62
		15		15		15
				6		6

Multiplying 3 in the bottom line by 5 in the upper line - the result is 15 $\scriptstyle{\color{blue}{3\times5=15}}$.	שבנו להכות הג' שבטור השפל עם הה' שבטור העליון ועלו ט"ו
Writing 5 in the rank of tens and 10 in the rank of hundreds.	כתבנו הה' במדרגת העשרות והי' במדרגת המאות
Multiplying 3 by 2 in the upper line - the result is 6 $\scriptstyle{\color{blue}{3\times2=6}}$.	עוד הכינו הג' בב' שבטור העליון ועלו ו‫'
Writing 6 in the rank of hundreds.	וכתבנום ו' במדרגת המאות
Multiplying 3 by 1 in the upper line - the result is 3 $\scriptstyle{\color{blue}{3\times1=3}}$.	עוד הכינו הג' עם הא' שבטור העליון ועלו ג‫'
Writing it in the rank of thousands.	וכתבנום במדרגת האלפים

[Illustration of the procedure:]

125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times2}}={\color{blue}{4}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times1}}={\color{blue}{2}}}$	125
236		236		236		236
3130		3130		3130		23130
62		162		162		162
15		15		415		415
6		6		6		6
		0		0		0

Multiplying 2 in the bottom line by 5 in the upper line - the result is 10 $\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}$.	שבנו להכות הב' שבטור השפל עם הה' שבטור העליון והנה העולה י'
Writing 0 in the rank of hundreds and 10 in the successive rank, which is the rank of thousands.	וכתבנו סיפרא במדרגת המאות והי' במדרגה הנמשכת שהיא מדרגת האלפים
Multiplying 2 in the bottom line by 2 in the upper line - the result is 4 $\scriptstyle{\color{blue}{2\times2=4}}$.	עוד הכינו הב' שבטור השפל עם הב' שבטור העליון ועלו ד‫'
Writing it in the rank of thousands.	וכתבנום במדרגת האלפים
Multiplying 2 in the bottom line by 1 in the upper line - the result is 2 $\scriptstyle{\color{blue}{2\times1=2}}$.	עוד הכינו הב' שבטור השפל עם הא' שבטור העליון ועלה ב‫'
	וכתבנום במדרגת הרבבות
	והנה בזה הדרך אין צורך להביט טורים כלל אלא המקום הראוי לבד
	קבצנו כל המספרים שתחת הקו והיה העולה כ"ט אלף ת"ק כאשר עלה עם הדרך הראשון
	ואין ספק שהדרך הזאת היא נכבדת מאד מפני שלא נצטרך בה לזכירה כלל רק שהוא ארוך בכתיבה
Gelosia
	ולפי שהדרך הראשון יצטרך לשני ענינים והוא שמירת הכללים והנחת הטורי' ולפעמים יטעה מצד שכחת השמור ופעם מצד בלבול הנחת הטורים והיה הדרך הב' ואם הוא יותר מעט השגיאה להיותו בלתי מצטרך לשמירה אמנם כבר יתכן שיקרהו הטעות מצד בלבול ההנחה
	לכן ראינו לחדש דרך שלישי בלתי מצטרך לשמירה ולא להנחה ובזה נהיה בטוחים מהשגיאה והוא הדרך היותר נכון ואם הוא צריך אורך
	והוא שנכתוב הטור המוכה באורך והמכה ברוחב ונמשוך קוים באורך וברוחב עד שיתחדשו שם מרובעים רבים ונחלק כל אחד מהם לחצאים עם אלכסון השטה ההוא ונכתוב העולה מההכאה בחציו האחד הפרטים ובחציו האחר הכללים אחר כן נקבץ כל המספרים הכתובים שם על דרך האלכסון כזה
	הכינו איזה שרצינו ממספרי האורך עם איזה שרצינו ממספרי הרוחב כי אין צורך בזה סדור כלל
	ונאמר על דרך משל כי הכינו הב' עם הב' ועלו ארבעה
	וכתבנום בחצי המרובע המשותף לשני המספרים וזה בחציו הימני שהוא בית הפרטים להיות שהד' שבידינו הם פרטים
	עוד הכינו עד"מ הו' עם הה' ועלו ל‫'
	וכתבנום במרובע המשותף לשניהם בחציו השמאלי להיותו בית הכללים
	אחר זה הכינו הג' עם הא' ועלו שלשה
	וכתבנום בחצי הימני של המרובע המשותף להם
	עוד הכינו הב' עם הא' ועלו ב‫'
	וכתבנום בחצי הימני של המרובע המשותף להם
	עוד הכינו הג' עם הה' ועלו ט"ו
	וכתבנום במרובע המשותף להם האחדים בחצי הימני והכללים בחצי השמאלי
	עוד הכינו הג' עם הב' ועלו ו‫'
	וכתבנום בחצי הימני של המרובע המשותף להם
	עוד הכינו הב' עם הה ועלו י‫'
	וכתבנו א' בחצי הימני של המרובע המשותף להם
	עוד הכינו הו' עם הב' ועלו י"ב
	וכתבנו הב' בחצי הימני של המרובע המשותף להם והא' בחציו השמאלי
	עוד הכינו הו' עם הא' ועלו ו‫'
	כתבנום בחצי הימני של המרובע המשותף להם
	ולהיות שנשלמו המרובעים כי אין שום מרובע פנוי בלתי כתוב בו ידענו שנשלם הענין ולא נצטרך בזה לא סדור ולא הנחה ולא שמירה
	ולכן ערכתי במשלי זה הכאת המספרים קצתם עם קצת בקדימה ואיחור למען יודע למעיין שאין צורך לסדור הנחיי כלל
	אחר כן קבצנום על דרך האלכסון ויצא כזה
Cross multiplication
	אולם אם רצית לקצר מאד בכתיבה עד שלא תצטרך רק לטור אחד ואם ירבו מדרגות הטור השפל
	הנה הדרך אל ידיעת זה הוא שנסדר השני טורים ונמשיך קו מבדיל ביניהם ובין הטור השלישי כמנהג
	אחר זה נכה אחדי הטור השני עם אחדי הטור העליון והעולה נכתבהו במדרגת האחדים והכלל נשמרהו
	עוד נכה אחדי הטור השני עם עשרות הטור העליון
	גם נכה האלכסון השוה לו הנחתך עמו והוא אחדי הטור העליון עם עשרות הטור השפל והעולה נחברהו עם השמור ונכתוב העולה במדרגת העשרות והכלל נשמרהו
	עוד נכה אחדי הטור השני עם מאות הטור העליון
	גם נכה האלכסון השוה לו הנחתך עמו והוא אחדי הטור העליון עם מאות הטור השפל
	גם נכה מה שביניהם והם העשרות עם העשרות והעולה נחברהו עם השמור ונכתבהו במדרגת המאות והכלל נשמרהו
	אחר זה נכה אחדי הטור השני עם אלפי הטור העליון גם נכה האלכסון השוה לו הנחתך עמו והוא אחדי העליון עם אלפי השפל
	גם נכה שני האלכסונים הנחתכים ביניהם והם עשרות העליון עם מאות השפל ועשרות השפל עם מאות העליון והעולה נחברהו עם השמור ונכתבהו במדרגת האלפים והכלל נשמרהו
	וכאשר יגיע אלכסון ההכאות להיותו עם קצוות המכים והמוכים אז נבדיל בין אחדי המכים והמוכים בקו מבדיל ביניהם ונכה עשרות המכים עם המדרגה האחרונה של המוכים על דרך האלכסון וכן מה שביניהם כמשפט הראשון
	עוד נבדיל בקו מבדיל בין עשרות המכים והמוכים ונכה מאות המכים עם המדרגה האחרונה של המוכים כמשפט הראשון עד שיוכו אחדי המדרגה האחרונה של המכים עם המדרגה האחרונה של המוכים והעולה הוא הסך כזה
1 2 2 3 5 6 2 9 5 0 0	א ב ב ג ה ו ב ט ה 0 0
	הכינו הו' עם הה' ועלו ל‫'
	וכתבנו תחת הקו במדרגת האחדים סיפרא
	ושמרנו בידינו ג‫'
	אחר זה הכינו שני אלכסוני ו"ב ג"ה הב' עם הו' והה' עם הג' ועלו כ"ז חברנום עם הג' שבידינו ועלו ל‫'
	וכתבנו סיפרא תחת הקו במדרגת העשרות
	והשלשה שמרנום
	אחר זה הכינו שני אלכסוני א"ו ב"ה ומה שביניהם עם הנכח רוצה לומר הו' עם הא' והה' עם הב' והג' עם הב' ועלו כ"ב חברנום עם הג' שבידינו ועלו כ"ה
	כתבנו הה' תחת הקו במדרגת המאות
	והב' שמרנום
	אחר זה המשכנו קו יורד מבדיל אחדי הטור העליון והשפל משאר המדרגות להורות שכבר שלמה פעלתם
	והכינו אלכסוני ג"א בב' ועלו ז' חברנום עם הב' שבידינו ועלו תשע
	וכתבנום למטה תחת הקו במדרגת האלפים
	אחר זה המשכנו קו מבדיל עשרות הטור העליון והשפל להורות כי שלמה פעלתם
	והכינו ב"א בנכח ר"ל הב' עם הא' שכנגדו והם ב‫'
	וכתבנום תחת הקו במדרגת הרבבות
	והנה נשלם הטור השלישי והם כ"ט אלף ת"ק והוא העולה מהכאת רל"ו עם קכ"ה
	וכן אם רצית להכות הרבה מיני הכאות בטור אחד
Such as, for example: the multiplication of 355 by 296 and the multiplication of 447 by 178 and the multiplication of 396 by 539. $\scriptstyle\left(355\times296\right)+\left(447\times178\right)+\left(396\times539\right)$	כמו על דרך משל הכאת מספר שנ"ה עם מספר רצ"ו והכאת מספר תמ"ז עם מספר קע"ח והכאת מספר שצ"ו עם מספר תקל"ט
	וכן אם ירבו מאד הנה כבר תוכל להגיע אל זה כשתסדר כל המספרים זה על גב זה כל מין עם מינו כזה
3 9 6       4 4 7       3 5 5       2 9 6       1 7 8       5 3 9 3 9 8 0 9 0	ג ט ו       ד ד ז       ג ה ה       ב ט ו       א ז ח       ה ג ט ג ט ח 0 ט 0
	והכה אחדי שני טורי ההכאה הראשונה זה עם זה
	וכן אחדי שני טורי ההכאה השנית זה עם זה
	וכן אחדי שני טורי ההכאה השלישית זה עם זה
	והעולה כתבהו במדרגת האחדים אם היו שם אחדים והכלל שמרהו
	אח"כ הכה אחדי ההכאה האחת עם עשרותיה ועשרותיה עם אחדיה לפי הדרך השלישית ר"ל בדרך האלכסונים וכן במיני ההכאה השנית וכן בג‫'
	והעולה חברהו עם השמור בידך והעולה כתבהו במדרגת העשרות
	וכן בסדר הזה עד שתכלה ההכאה והעולה הוא סך ג' מיני ההכאות יחד
	המשל בזה הכינו הו' עם הה' והח' עם הז' והט' עם הו' והעולה כתבנוהו במדרגת האחדים והכלל שמרנוהו כמשפט
	אחר כך הכינו הה' עם הו' והה' עם הט' והח' עם הד' והז' עם הז' והט' עם הט' והו' עם הג' והעולה כתבנוהו כמנהג
	אחר כך הכינו הג' עם הו' והה' עם הב' והה' עם הט' והד' עם הה' והז עם הח' והד' עם הז' והג' עם הט' והו' עם הה' והט' עם הג' והעולה כתבנוהו כמשפט
	אחר כך הכינו הג' עם הט' והב' עם הה' והז' עם הד' והא' עם הד' והג' עם הג' והט' עם הה' והעולה כתבנוהו כמשפט
	אחר כך הכינו הג' עם הב' והא' עם הד' והג' עם הה' והעולה כתבנוהו כמשפט
	והעולה הוא סך שלשה מיני ההכאות האלו וזה מה שכווננו בביאורו
	ואולם אם רצית להשתמש במין ההכאה עם מין הקבוץ עד שלא תצטרך אל הכאה כלל
	הנה תסדר המספר הרב בטור אחד והוא המוכה
	והמספר המעט בטור אחר בצדו רחוק ממנו והוא המוכה
	ותכתוב הטור המוכה בטורים רבים זה תחת זה כפי אחדי כמות המדרגה האחרונה של טור המכה
	אחר זה תכתוב בראש כל טור וטור מהטורים האלה סיפרש כמספר מדרגות טור המכה פחות א‫'
	אחר זה תכתוב הטור המוכה בטורים רבים זה תחת זה מספרים כמספר כמות המדרגה הקודמת לאחרונה שבטור המכה ויהיה הנחת הטורים האלו מדרגתם האחרונה היא תחת המדרגה הקודמת למדרגה האחרונה שבטורים הראשונים
	אחר זה תכתוב בכל טור וטור מהטורים האלו סיפרש עד שיגיעו עד ראשי הטורים הראשונים
	וכן תמיד על זה הדרך רק שאם היו הטורים אשר תצטרך לסדר יתר מה' או ה' חלק הטור המוכה לשנים וכתוב חציו בטור א' מדרגתו האחרונה היא ממדרגה אחת נמשכת ממקום הנחתו אלו היה פחות מה' וזה יעלה לך במקום חמשה טורים וכמספר הטורים הנוספים על הה' כתוב המוכה בעצמו במדרגה הראויה לפי מה שקדם
Example: if you wish to multiply 755 by 653. $\scriptstyle755\times653$	המשל בזה אם רצית להכות מספר תשנ"ה עם מספר תרנ"ג
	כתוב תשנ"ה שהוא המוכה בטור אחד ובצדו רחוק ממנו תרנ"ג שהוא המכה בטור אחר כזה
6 5 3 7 5 5 0 0 3 7 7 5 0 0   3 7 7 5 0       7 5 5       7 5 5       7 5 5 4 0 3 0 1 5	ג ה ו ז ה ה 0 0 ג ז ז ה 0 0   ג ז ז ה 0       ז ה ה       ז ה ה       ז ה ה ד 0 ג 0 א ה
	הנה מפני שכמות המדרגה האחרונה של המכה הם ששה והם יותר מה' חלקנו המוכה באמצע וכתבנו חציו בטור א' התחלתו מהמדרגה הנמשכת לאחרונה
	ולהיות שהתוספת שעל החמשה הוא אחד ואנחנו צריכים לכתוב המוכה בעצמו בטור אחד כפי הנחתו על כן הנחנו הטור המוכה הכתוב למעלה במקומו והנה ששה טורים
	כי חצי המוכה שהוא מתחיל מהמדרגה הנמשכת לאחרונה הוא במקום חמשה טורים
	ולהיות שמספר מדרגות המכה הם שלשה וכשהשלכנו אחד נשארו שנים על כן כתבנו שנים סיפרש בסוף הטורים
	עוד אחר זה כתבנו חצי המוכה בטור אחד תחתיהם מתחיל ממדרגה האחרונה של המוכה כי אלו היה פחות מה' היינו כותבים המוכה בעצמו בטור מתחיל ממדרגה הקודמת למדרגה האחרונה שבמוכה ונשלים הטורים בסיפרש עד שנגיע אל ראשי הטורים הראשונים
	אחר כתבנו המוכה בשלשה טורים זה תחת זה כמספר כמות המדרגה הראשונה שבמכה התחלתם מהמדרגה הקודמת לקודמת שבמדרגה ההאחרונה של הטור הראשון וקבצנו הכל ועלו תצ"ג אלפים וט"ו וזהו העולה מהכאת תרנ"ג עם תשנ"ה

Methods of Checking	והמאזנים אשר בם יאוזן זה המין
	הוא זה שנשליך כמות מדרגות הטור המוכה ט' ט' והנשאר נשמרהו
	עוד נשליך כמות מדרגות המכה ט' ט' והנשאר נשמרהו
	אחר זה נכה השמור עם השמור והעולה נשליך ממנו התשיעיות והנשאר נשמרהו
	עוד נשליך כמות מדרגות הסך לתשיעיות והנשאר אם הוא בלתי שוה לשמור שבידינו דע שטעית
	ואם לא אפשר שהוא אמת לא שהוא מחויב ואלה מאזני מרמה והוא שלא יחייב רק הצד האחד לבד
	עוד מאזנים אחרים על דרך השביעיות והוא שנשליך כל טור וטור מהשני טורים העליונים שהם המכה והמוכה לשביעיות לפי מה שקדם לך
	ר"ל אם כשתחשוב כל מדרגה לפי איכותה ותשליך ממנה השביעיו‫'
	או כשתחבר המדרגה האחרונה עם הקודמת לה ותחשוב האחרונה לעשרות והקודמת ממנה לאחדים לפי מה שקדם
	והכל עולה בקנה אחד
	אחר זה הכה המותר מהטור המכה עם המותר מהטור המוכה והעולה השלך ממנה השביעיות והמותר שמרהו
	אחר זה השלך השביעיות גם מהסך לפי מה שקדם ואם המותר מהסך שוה לשמור אפשר שצדקת ואם לא כזבת
	וגם אלה מאזני מרמה אחר שלא יחייב השני צדדים יחד
	ואולם המאזני צדק שבזה המין הוא במין החלוק כאשר יתבאר במקומו ב"עה"י
	כי אם חלקת הסך על אחד משני הטורים המוכים והיוצא בחלוקה יהיה הטור האחר הנה צדקת ואם לאו כזבת
	ואם היה הטור העליון מוכה עם שנים אחרים לבד הנה יהיו לו מאזני צדק אחרים זולת אלו
	והוא שאם תחסר הטור המוכה מהסך ויהיה הנשאר שוה לו הנה צדקת ואם לא כזבת
	אולם בזה הדרך אשר הוא על דרך הקבוץ יהיו לו עוד הג' מאזני הקבוץ
	הנה אלה הם הדרכים אשר בהם נגיע בידיעת זה המין וזה עם הכתיבה

Mental Multiplication
	אולם אם רצית לדעת זה על פה הנה לא תוכל מפני הזכירה הצריכה לזה וזה במספרים הרבים
	אולם בהכאת מספר אחד עם מספר אחר ר"ל כלל עם כלל או עם פרט אי זה שיהיה הנה כבר נתנו הקדמונים דרכים רבים
	ואנחנו מפני בחרנו הקצור אין ראוי להתעסק בהכאתם
	אולם הדרך הנכבד מהם והקצר הוא זה שנכה כמות המספר האחד עם כמות המספר האחר מבלתי שנביט בהם האיכות והעולה נשמרהו
	אחר כן נקבץ מדרגות ממספר האחד עם מדרגות המספר האחר ונשליך מהם מדרגה אחת והנשאר הוא מדרגת השמור
Example of the multiplication of tens by tens: multiplication of twenty by two hundred. $\scriptstyle20\times200$	והמשל בהכאת כלל עם כלל הוא הכאת עשרים במאתים עד"מ
	כי העשרים הם שנים מצד הכמות וכן המאתים
	ולכן נכה הב' עם הב' והם ד' ונשמרם
	אחר זה נחבר מדרגת העשרים עם מדרגת המאתים והם ה' כי מדרגת העשרות הם ב' ומדרגת המאות הם ג' ונשליך מהם א' וישארו ד' מדרגות והוא מדרגת האלפים וידענו שהשמור שבידינו שהם הד' הם ד' אלפים
Example of the multiplication of units by tens: multiplication of 9 by two hundred. $\scriptstyle9\times200$	ומשל הכאת הפרט עם הכלל הוא כמו הכאת הט' במאתים עד"מ
	כי המאתי' הם ב' מצד הכמות והט' הם ט' בעצמם
	נכה הט' בעצמה עם הב' הם י"ח ונשמרם בידינו
	אחר זה נחבר מדרגות האחדים שהם א' עם מדרגות המאות שהם ג' והנה הם ד' נשליך מהם א' ונשארו ג' והוא מדרגת המאות וידענו שהשמור שבידינו הם י"ח מאות וא"כ הם אלף ושמנה מאות
	וכן אם רצית להכות מספר אחד עם מספרים שנים ויהיה הא' כלל או פרט והמספרים השנים הם כללים לבד או כללים ופרטים יחד הנה כבר תוכל לעשות גם זה על פה עם הדרך הזה
Example: multiplication 5 by 220. $\scriptstyle5\times220$	משל זה הכאת הה' בר"כ
	נכה הה' בר' שהם ב' מצד הכמות ויהיה העולה י' ונשמרהו
	גם נכה הה' בכ' שהוא ב' מצד הכמות והעולה י' ונשמרהו גם כן
	אחר כן נביט מדרגות המכה והמוכה ונחברם יחד והנה מדרגות הב' שהם אחדים עם מדרגות הב' שהם עשרות הם ג' נשליך מהם א' ישארו ב' מדרגות והם עשרות וידענו שהי' האחרונים השמורים בידינו הם עשרות שהם ק' וכן הי' הראשונים השמורים בידינו הם מאות שהם אלף ואם כן ידענו שהכאת הה' בר"כ הוא אלף ומאה
Example for units by tens and units together: multiplication 5 by 27. $\scriptstyle5\times27$	ומשל הפרטים לבד עם הכללים והפרטים יחד הוא כמו הכאת הה' בכ"ז
	כי נכה הה' עם הכ' שהם ב' מצד הכמות ויהיה העולה י' ונשמרהו
	גם נכה הה' בז' והם ל"ה אחדי‫'
	אחר זה נחבר מדרגות המוכה והמכה שהם הה' והכ' והם שלשה נשליך מהם אחד וישארו שנים והם עשרות וא"כ הי' השמורים בידינו הם מאה נחבר עמהם הל"ה אחדים שבידינו והם קל"ה וככה הוא העולה מהכאת ה' עם כ"ז
Example for tens by tens: multiplication 20 by 230. $\scriptstyle20\times230$	ומשל הכלל עם הכלל הוא הכאת הכ' עם הר"ל
	כי הכ' שהוא ב' מצד הכמות כאשר יוכה עם הר' שהוא ב' יעלו ד' ונשמרהו
	עוד נכה הכ' שהוא ב' עם הל' שהוא ג' ויעלו ו' ונשמרהו
	נחבר מדרגות הכ' שהם ב' עם מדרגות הל' שהם ב' ועלו ד‫'
	השלכנו הא' ונשארו ג' והוא מדרגת המאות וידענו שהו' שבידינו שהם ת"ר
	ולהיות שהד' שבידינו הם נוספים מדרגה אחת מפני שהם מאות הנה יהיו הד' שבידינו ד' אלפים
	והנה ידענו שהכאת הכ' בר"ל הם ד' אלפים ת"ר
Example for tens by tens and units: multiplication 20 by 35. $\scriptstyle20\times35$	ומשל הכלל עם הכלל והפרט הוא כמו הכאת הכ' עם הל"ה
	כי נכה הכ' שהוא ב' עם הל' שהוא ג' והוא ו' ונשמרהו
	גם נכהו עם הה' ויעלו י‫'
	נחבר מדרגות הכ' שהוא ב' עם מדרגות הה' שהוא אחדים והעולה ג' נשליך מהם אחד וישארו ב' מדרגות והוא מדרגת העשרות
	וידענו שהי' שבידינו הם עשרות ואם כן הם מאה
	ולהיות שהו' שבידינו הם נוספים מדרגה אחת מהי' שבידינו אם כן ידענו שהם מאות
	ואם כן העולה מהכאת הכ' בל"ה הוא ת"ש
	הנה כבר הודעתיך הדרך בידיעת הכאת מספר א' עם מספר א' או עם מספרים שנים איזה מספרים שיהיו על פה
	אולם הכאת ב' מספרים עם שנים מספרים לא יתקיימו בזכירה מפני שיצטרכו לד' הכאות וכל אחת מהם יצטרך לשמירה וזהו קשה מאד
	ואולם יכולתי להשיב הד' הכאות לג' וזה בג' מינים אלו
	שהם שני הכללים והפרטים יחד כמו כ"ה פעמים כ"ה
	או שני הכללים לבד כמו כ"ה פעמים כ"ו
	או שני הפרטים לבד כמו כ"ה פעמים ל"ה
	שנחבר ב' הכללים ונקח חציים
	גם נחבר האחדים ונכם עם חצי ב' הכללים והעולה נשמרהו
	עוד נכה הכללים עם הכללים והפרטים עם הפרטים והעולה נחברהו עם השמור
	והעולה הוא הכאת הכללים והפרטים יחד עם הכללים והפרטים יחד בשלשה מינים הנזכרים וזה מה שרצינו לבאר
	ואולם אם היו השני מספרים המוכים עם שני מספרים מרחק כל אחד מהם שוה מחשבון כלל האחד במגרעת והאחר בתוספת
	דע העולה ממרובע הכלל וגרע ממנו מרובע מספר התוספת או המגרעת והנשאר הוא המבוקש
Example: we wish to multiply 29 by 31. $\scriptstyle29\times31$	המשל בזה רצינו להכות כ"ט עם ל"א
	הנה הכלל הממוצע ביניהם הוא ל' והעולה מהכאתו בעצמו הם תת"ק לפי הדרך הקודם
	נגרע מהם אחד שהוא העולה מהכאת הא' בעצמו שהוא תוספת הל"א על הל' או מגרעת הכ"ט מהל' וישארו ת"תצט וזהו העולה מהכאת הכ"ט עם הל"א
Also if we wish to multiply 250 by 350. $\scriptstyle250\times350$	וכן אם רצינו להכות ר"נ עם ש"נ
	הכינו הכלל שביניהם שהם ש' עם עצמו לפי מה שקדם ועלו צ' אלף
	גרענו מהם העולה מהכאת הנ' בעצמו שהוא תוספת הש"נ על הש' או מגרעת הר"נ מהש' שהם ב' אלפים ת"ק ונשארו פ"ז אלף ת"ק
	וכן בכל הדומים לזה דרך אחד להם
$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2$	ואולם אם היו השני מספרים מוכים עם עצמם הנה תוכל להשתמש עם דרך אחרת והיא שאם היה לו שליש קח שלישיתו והכהו עם עצמו והעולה העלהו מדרגה אחת גבוהה ממדרגתו וגרע מרובע השלישית ממנו והנשאר הוא העולה מהכאת המספרים ההם בעצמם
Example: we wish to multiply 24 by itself. $\scriptstyle24^2$	המשל בזה רצינו להכות כ"ד עם עצמו
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot 24\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot8^2\right)-8^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot64\right)-64=640-64=576\\\end{align}}}$	נקח שלישיתו שהוא ח' ונכהו עם עצמו והוא ס"ד ונעלהו מדרגה אחת והם תר"מ נגרע ממנו ס"ד וישארו תקע"ו וככה הוא מרובע כ"ד
$\scriptstyle\left(a+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]+\left(a+1\right)+a$	ואם היה מספר שאין לו שליש קח המספר היותר קרוב לו שיש לו שליש אם בתוספת אם במגרעת וקח שלישיתו ועשה כמשפט אחר זה נחבר עם העולה המספר שיש לו שליש והמספר הדרוש והעולה הוא המבוקש אם היה המספר שיש לו שליש פחות מהדרוש
$\scriptstyle\left(a-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(a-1\right)-a$	או נגרעם ממנו אם היה יותר מהדרוש
Example of a number [that exceeds the number that has a third]: 25. $\scriptstyle25^2$	המשל במספר הפחות הוא כ"ה
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle25^2&\scriptstyle=\left(24+1\right)^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot 24\right)^2+25+24\\&\scriptstyle=576+25+24=576+49=625\\\end{align}}}$	כי הקרוב לזה שיהיה לו שליש הם הכ"ד לקחנו שלישיתו ועשינו כמשפט ועלה תקע"ו חברנו עם זה המספר הדרוש והמספר שיש לו שליש שהם מ"ט והם תרכ"ה וככה הוא מרובע כ"ה
Example of a number [that is less than the number that has a third]: 23. $\scriptstyle23^2$	ומשל המספר היתר הוא כ"ג
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle23^2&\scriptstyle=\left(24-1\right)^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot 24\right)^2-23-24\\&\scriptstyle=576-23-24=576-47=529\\\end{align}}}$	לקחנו המספר היותר קרוב לו שיש שליש לו והוא כ"ד ועשינו עמו כמשפט ועלה תקע"ו גרענו מזה המספר הדרוש והמספר שיש לו שליש שהם מ"ז נשארו תקכ"ט וככה הוא מרובע כ"ג
	וכן בכל המספרים הדומים לו דרך אחד לכל
	גם יתכן בדרך החמישיות
$\scriptstyle a^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]$	והוא שתקח חמישיתו והכהו על עצמו והעולה העלהו במדרגה הגבוהה ממנה והכהו עם ב' וחצי והעולה הוא המבוקש
Example: 25. $\scriptstyle25^2$	המשל בזה מספר כ"ה
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle25^2&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10\sdot5^2\right)\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10\sdot25\right)=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot250=625\\\end{align}}}$	קח חמישיתו והוא ה‫' והכהו עם עצמו והעולה כ"ה העלהו במדרגה הגבוהה ממנה והם ר"נ והכם עם ב' וחצי והם תרכ"ה
$\scriptstyle\left(a+1\right)^2=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]\right]+\left(a+1\right)+a$	ואם אין למספר הדרוש חמישית בקשנו הקרוב לו שיש לו חמישית אם לפניו או לאחריו ולא יעבור השנים וקח חמישיתו והכהו עם עצמו והעולה שמרהו וחבר המספר הדרוש עם המספר שיש לו חמישית והוסיפהו על השמור אם היה הדרוש נוסף על המספר שיש לו חמישית אחד
$\scriptstyle\left(a+2\right)^2=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]\right]+\left[2\sdot\left[\left(a+2\right)+a\right]\right]$	או כפול העולה מהמספר הדרוש והמספר שיש לו חומש שנים ואחר כן חברהו על השמור והעולה אחר זה הוא מרובע המספר הדרוש
$\scriptstyle\left(a-1\right)^2=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]\right]-\left[\left(a+1\right)+a\right]$	ואם היה הדרוש פחות מהמספר שיש לו חומש אחד חבר הדרוש והמספר שיש לו חומש ותגרעהו מהשמור
$\scriptstyle\left(a-2\right)^2=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]\right]-\left[2\sdot\left[\left(a+2\right)+a\right]\right]$	ואם היה פחות ב' חבר הדרוש עם המספר שיש לו חומש וכפלהו אחר זה תגרעהו מהשמור והנשאר הוא מרובע הדרוש
Example when the required number exceeds the number that has a fifth by one: 26. $\scriptstyle26^2$	המשל כשהדרוש נוסף מהמספר שיש לו חומש אחד הוא מספר כ"ו
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle26^2&\scriptstyle=\left(25+1\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]+26+25\\&\scriptstyle=625+\left(26+25\right)\\&\scriptstyle=625+51=676\\\end{align}}}$	לקחנו חומש כ"ה ועשינו כמשפט ועלה מרובעו תרכ"ה חברנו הכ"ה עם הכ"ו ועלו נ"א חברנום עם תרכ"ה ועלו תרע"ו וככה הוא מרובע כ"ו
Example [when the required number] exceeds [the number that has a fifth] by 2: 27. $\scriptstyle27^2$	ומשל הנוסף ב' הוא מספר כ"ז
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle27^2&\scriptstyle=\left(25+2\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]+\left[2\sdot\left(27+25\right)\right]\\&\scriptstyle=625+\left[2\sdot\left(27+25\right)\right]\\&\scriptstyle=625+\left(2\sdot52\right)=625+104=729\\\end{align}}}$	לקחנו חומש מספר הכ"ה ועשינו כמשפט ועלה מרובעו תרכ"ה אחר זה חברנו הכ"ה עם הכ"ז ועלו נ"ב כפלנום ועלו ק"ד חברנום עם תרכ"ה ועלו תשכ"ט וככה הוא מרובע כ"ז
Example [when the required number] is smaller [than the number that has a fifth] by one: 24. $\scriptstyle24^2$	ומשל הפחות אחד הוא מספר כ"ד
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24^2&\scriptstyle=\left(25-1\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]-24-25\\&\scriptstyle=625-\left(24+25\right)\\&\scriptstyle=625-49=576\\\end{align}}}$	לקחנו ממספר כ"ה חמישיתו ועשינו עמו כמשפט ועלו תרכ"ה אחר זה חברנו הכ"ה כ"ד ועלו מ"ט גרענום מתרכ"ה ונשארו תקע"ו וככה הוא מרובע כ"ד
Example [when the required number] is smaller [than the number that has a fifth] by 2: 23. $\scriptstyle23^2$	ומשל הפחות מספר ב' הכ"ג
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle23^2&\scriptstyle=\left(25-2\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]-\left[2\sdot\left(23+25\right)\right]\\&\scriptstyle=625-\left[2\sdot\left(23+25\right)\right]\\&\scriptstyle=625-\left(2\sdot48\right)=625-96=529\\\end{align}}}$	לקחנו חמישית הכ"ה ועשינו כמשפט ועלו תרכ"ה חברנו הכ"ה והכ"ג והם מ"ח כפלנום ועלו צ"ו גרענום מתרכ"ה ונשארו תקכ"ט וככה הוא מרובע מספר כ"ג
	וכן על זה הדרך בכל המספרים הדומים
	הנה כבר בארתי לך אופני ההכאה בכתיבה ובעל פה כיד אלהי הטובה עלי

Euclidean Propositions	ולהיות שראיתי דברים יפים מועילים מאד בזה המין הזכירם החכם אקלידס בספרו
	ראיתי להביאם הנה למה שתגיע תועלת גדולה לתלמידים
Euclid, Elements, Book II, propositions 2: Any number that you divide into parts as you wish, [the sum of] the products of each of the parts by the whole number is equal to the square of the whole number. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left[\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\sdot a_k\right]=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2$	והוא שכל מספר שחלקת אותו לחלקים איך שרצית הנה הכאת כל אחד מהחלקים עם כל המספר שוה למרובע כל המספר
Example: the number 12, we divide it to three, four and five.	דמיון זה המספר י"ב וחלקנוהו על שלשה וארבעה וחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot12\right)+\left(4\sdot12\right)+\left(5\sdot12\right)=36+48+60=144}}$	הכינו שלשה עם הי"ב ועלו ל"ו עוד הכינו הארבעה על הי"ב והיו מ"ח עוד כפלנו החמשה על הי"ב והיו ששים והכל קמ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{12^2=144}}$	והם שוים למרובע י"ב
Euclid, Elements, Book II, proposition 3: For any number that you divide into two parts randomly, the product of the whole number by any of its two parts is equal to the product of the one part by the other plus the square of the part by which you have multiplied the whole number. $\scriptstyle\left(a+b\right)\sdot b=\left(a\sdot b\right)+b^2$	עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה הכאת המספר כלו עם כל אחד משני חלקיו איזה שיהיה שוה להכאת החלק האחד עם השני ולמרובע החלק אשר הכית עם כל המספר
Example: the number ten, we divide into two parts - three and seven.	דמיון המספר עשרה חלקנוהו לשני חלקים על שלשה ושבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+3\right)\sdot3=10\sdot3=30}}$	הכינו השלשה עמו והיו ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\sdot3\right)+3^2=21+9=30}}$	וזה שוה להכאת השלשה עם השבעה שהם כ"א ולמרובע השלש שהם ט' שהוא החלק אשר הכינו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+3\right)\sdot7=10\sdot7=70}}$	גם ככה אם היינו מכים השבעה שהוא החלק האחר עם העשרה היו שבעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot7\right)+7^2=21+49=70}}$	וזה שוה להכאת השלשה עם השבעה שהם כ"א ולמרובע השבעה שהם ארבעים ותשעה שהוא החלק אשר הכינו ושניהם שבעים
Euclid, Elements, Book II, proposition 4: For any number that you divide into two parts randomly, the square of the whole number is equal to [the sum of] the squares of the two parts and twice the product of the one part by the other. $\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]$	עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה מרובע כל המספר שוה לשני המרובעי' ההווים משני החלקים ולהכאת החלק האחד עם חברו פעמים
Example: the number ten, we divide it to three and seven.	דמיון המספר עשרה חלקנוהו על שלשה ושבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle 3^2+7^2+\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]&\scriptstyle=9+49+\left(2\sdot21\right)\\&\scriptstyle=9+49+42\\&\scriptstyle=100\\\end{align}}}$	ומרובע השלושה ט' ומרובע השבעה מ"ט והכאת השלשה עם השבעה כ"א וחשבנוהו פעמים והם מ"ב והכל מאה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+7\right)^2=10^2=100}}$	וזה שוה למרובע העשרה
Euclid, Elements, Book II, proposition 5: For any number, when you divide it into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the product of one of the unequal parts by the other and the square of the difference between the two parts, i.e. between the equal part [= the half of the whole number] and the unequal [part] is equal to the square of half the [whole] number. $\scriptstyle\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left(a\sdot b\right)+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2$	עוד כל מספר כאשר תחלקהו לשני חלקים שוים ולשני חלקים בלתי שוים הנה הכאת החלק האחד עם חברו מהחלקים הבלתי שוים ומרובע מה שבין שני החלקים ר"ל בין החלק השוה ובלתי שוה שוה למרובע חצי המספר
Example: the number ten, we divide it to five and five, which are equal parts, then we divide it also to seven and three, which are unequal parts.	דמיון המספר עשרה חלקנוהו לחמשה וחמשה שהם חלקים שוים גם חלקנוהו לשבעה ושלשה שהם חלקים בלתי שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left(3\sdot7\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-3\right]^2=\left(3\sdot7\right)+\left(5-3\right)^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3\sdot7\right)+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+\left(7-5\right)^2\\&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+2^2\\&\scriptstyle=21+4=25\\\end{align}}}$	הכינו השלשה עם השבעה והיו כ"א עוד לקחנו מרובע השנים שהם בין הה' שהם החלק השוה לשלשה או לשבעה שהם החלק הבלתי שוה והיו ארבעה הכל כ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2=5^2=25}}$	והם שוים למרובע ה' שהוא מרובע חצי המספר
Euclid, Elements, Book II, proposition 6: For any number, when you divide it into half and add to it another number, [the sum of] the product of the whole number plus the additional [number] by the additional [number] and the square of half the number is equal to the square of half the number and the additional [number] together. $\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2$	עוד כל מספר כאשר חלקת אותו לחצי והוספת עליו מספר אחר הנה הכאת המספר כלו מקובץ עם התוספת בתוספת והמרובע ההווה מחצי המספר שוה למרובע חצי המספר והתוספת ביחד
Example: the number ten, we divide it into two halves, which are five each, then we add two to the ten, they are 12.	דמיון המספר עשרה וחלקנוהו לשני חצאים שהם כל חצי חמשה הוספנו על העשרה שנים והיו י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[2\sdot\left(10+2\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2&\scriptstyle=\left(2\sdot12\right)+5^2\\&\scriptstyle=24+25=49\\\end{align}}}$	הכינו כל הי"ב שהוא המספר עם התוספת ביחד עם השנים שהם התוספת והיו כ"ד חברנו עמהם כ"ה שהוא מרובע ה' שהוא חצי המספר והיו מ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2=7^2=49}}$	וזה שוה למרובע ז' שהוא חצי המספר עם התוספת ביחד
Euclid, Elements, Book II, proposition 7: For any number, when you divide it into two parts randomly, [the sum of] the square of the whole number and the square of one of the two parts is equal to twice the product of the whole number by the mentioned part plus the square of the second part. $\scriptstyle\left(a+b\right)^2+a^2=2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2$	עוד כל מספר כאשר תחלקהו בשני חלקים איך שיקרה המרובע ההווה מן המספר כלו והמרובה ההווה מאחד משנים החלקים כאשר התקבצו שוים להכאת המספר כלו עם החלק הנזכר פעמים והמרובע ההווה מן החלק השני
Example: the number ten, we divide it randomly to 7 and 3.	דמיון המספר עשרה וחלקנוהו איך שקרה על ז' ועל ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{10^2+7^2=100+49=149}}$	והמרובע ההווה מעשרה הם ק' וההווה משבעה הם מ"ט ומקבוצם קמ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(7\sdot10\right)\right]+3^2=140+9=149}}$	והם שוים להכאת העשרה עם שבעה פעמים שהם מאה וארבעים ומרובע ג' שהם ט' שהוא החלק השני והכל קמ"ט
Euclid, Elements, Book II, proposition 8: For any number, when you divide it into two parts randomly and you multiply the whole number by one of the two parts four times, then sum [the product] with the square of the other part [it] is equal to the [square] of the whole number plus the mentioned part when you sum them together. $\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2$	עוד כל מספר כאשר חלקת אותו בשני חלקים איך שיקרה והכית המספר כלו עם אחד משני חלקיו ארבעה פעמים וחברת אותו עם מרובע החלק הנשאר שוה למרובע ההווה מן המספר כלו והחלק הנזכר כאשר תחברם ביחד
Example: we have the number ten, we divide it randomly to 3 and 7.	דמיון יש לנו מספר עשרה וחלקנוהו איך שהזדמן על ג' ועל ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left[4\sdot\left(10\sdot7\right)\right]+3^2=280+9=289}}$	הנה כאשר הכינו הז' עם הי' ארבעה פעמים היו ר"פ וכאשר חברנו עמהם מרובע הג' שהוא ט' והוא החלק השני נהיו רפ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+7\right)^2=17^2=289}}$	והם שוים למרובע י"ז שהוא המספר כלו יחד עם החלק אשר הכינו אותו עם המספר כלו והם גם אלה רפ"ט
Euclid, Elements, Book II, proposition 9: For any number that you divide into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the two squares of the unequal parts is equal to twice [the sum of] the square of half the [whole] number and [the square] of the excess of the large part over the half [of the whole number]. $\scriptstyle a^2+b^2=2\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2+\left[a-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2\right]$	עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים אשר יהיו מהחלקים הבלתי שוים הם כפל שני המרובעים אשר יהיו מחצי המספר ומהתוספת אשר לחלק הגדול על הה' שהוא המחצית
Example: the number 10, we divide it into two equal parts, which are 5, and into two unequal parts, which are 7 and 3.	דמיון המספר י' וחלקנוהו לשני חלקים שוים והם ה' ולשני חלקים בלתי שוים והם ז' ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{7^2+3^2=58}}$	הנה שני מרובעי ז' ג' שהם נ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2\right]&\scriptstyle=2\sdot\left[5^2+\left(7-5\right)^2\right]\\&\scriptstyle=2\sdot\left(5^2+2^2\right)=58\\\end{align}}}$	הם כפל מרובע ה' שהם כ"ה ומרובע תוספת הז' על הה' שהם ב‫'
Euclid, Elements, Book II, proposition 10: Any number that you divide into half and add to it another number, [the sum of] the square of the [whole] number plus the additional [number] and the square of the additional [number] is equal to twice [the sum of] the square of half the number and the square of half the number plus the additional [number] when they are summed together. $\scriptstyle\left(a+b\right)^2+b^2=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2\right]$	עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חצאים והוספת עליו מספר אחר הנה מרובע המספר עם התוספת יחד ומרובע התוספת בעצמו הם כפל שני המרובעים שהם מרובע חצי המספר ומרובע חצי המספר עם התוספת יחד כאשר יחוברו
Example: we have the number ten, we divide it into two halves and add to it the number 2, so it bacomes 12.	דמיון יש לנו מספר עשרה וחלקנוהו לשני חציים והוספנו עליו מספר ב' ונהיה י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+2\right)^2+2^2&\scriptstyle=12^2+2^2\\&\scriptstyle=144+4=148\\\end{align}}}$	הנה מרובע י"ב שהוא המספר עם התוספת יחד קמ"ד ומרובע ב' שהוא התוספת ד' ושניהם קמ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2\right]&\scriptstyle=2\sdot\left[5^2+\left(5+2\right)^2\right]\\&\scriptstyle=2\sdot\left(5^2+7^2\right)\\&\scriptstyle=2\sdot\left(25+49\right)=2\sdot74=148\\\end{align}}}$	והוא כפל מרובע ה' שהוא כ"ה ומרובע ז' שהוא מ"ט ושניהם ע"ד אשר הוא מרובע חצי המספר ומרובע חצי המספר והתוספת ביחד

Sums
	ולהיות שכבר יעדנו להודיע דרך קצר בקבוץ קצת מינים מהמספרים מבלתי שיצטרך לקבוץ המספרים הנקבצים והמתננו זה עד הנה למה שלא יתכן הדרך ההוא אלא בידיעת זה המין הנה אם כן מן המחויב עלינו להשלים מה שיעדנו
Arithmetic Progression
$\scriptstyle{\color{red}{a_1=1;\;d=1}}$
I say: if the summed numbers exceed each other, i.e. each by one over its preceding, such as 1; 2; 3; 4; 5; and so on endlessly.	ואומר שאם היו המספרים הנקבצים נוספים קצתם על קצת ר"ל כל אחד מן הקודם לו א' כמו מספר א' ב' ג' ד' ה' וכן לבלתי תכלית
You wish to know the sum of all the numbers from 1 to 15 for example $\scriptstyle\sum_{i=1}^{15} i$	ורצית לדעת קבוץ כל המספרים שמא' עד ט"ו עד"מ
The ancients already wrote that If the last number is odd, such as 15, for example: $\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{2n-1} i=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot\left(2n-1\right)}}$	הנה כבר כתבו הראשונים על זה שאם היה המספר האחרון נפרד כמו מספר ט"ו עד"מ
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{15} i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot15=8\sdot15=120}}$	הנה נקח חצי הט"ו בתוספת חצי והוא ח' ונכהו עם הט"ו והעולה יהיה ק"כ וזהו קבוץ כל המספרים שמא' עד ט"ו
If the last number is even $\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{2n} i=\left(2n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)}}$	ואם היה המספר האחרון זוג
Such as 14: $\scriptstyle\sum_{i=1}^{14} i$	כמו מספר י"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{14} i=\left(14+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)=15\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)}}$	הנה נוסיף על י"ד אחד ויעלו ט"ו ונכהו עם חצי הי"ד והעולה הוא קבוץ כל המספרים שמא' עד י"ד
This is the short way written by the ancients for the sum of given numbers that exceed each other by one alone.	זה הדרך הקצר אשר כתבו הראשוני' בקבוץ מספרים מונחים נוספי' קצתם על קצת בתוספת אחד לבד
$\scriptstyle{\color{red}{a_1=1;\;d=2}}$
But, if the given numbers exceed each other by two, such as 1; 3; 5; 7; and you wish to know the sum of all the numbers without summing all the addends.	אולם אם היו המספרים המונחים נוספים קצתם על קצת בתוספת ב' כמו מספרי א' ג' ה' ז' ורצית לדעת קבוץ כל המספרים מבלתי שתצטרך לקבץ כל הנקבצים
Odds $\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]^2$
The ancients already wrote about it: we take half the last number plus a half, such as the 15 in our example, whose half plus a half is 8, we multiply it by itself and the result is the sum of all the numbers from 1 to 15. So on always by this way. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{8} \left(2k-1\right)=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\frac{1}{2}\right]^2=8^2}}$	הנה כבר כתבו הראשונים בזה והוא שנקח חצי המספר האחרון בתוספת חצי כמו הט"ו במשלנו אשר חציו בתוספת חצי הוא ח' ונכהו בעצמו והיוצא הוא קבוץ כל המספרים שמא' עד ט"ו וכן בזה הדרך לעולם
Evens: $\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} 2k=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)+1\right]$ But, if the beginning of the numbers is from 2 and the numbers exceed each other by 2	אולם אם היתה התחלת המספרים מהב' ויהיו המספרים נוספים קצתם על קצת בתוספת ב'
Such as 2, 4, 6, 8, and you wish to know the sum of all the numbers from 2 to 16 for example $\scriptstyle\sum_{k=1}^{8} 2k$	כמו ב' ד' ו' ח' ורצית לדעת קבוץ כל המספרים שמב' עד י"ו עד"מ
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{8} 2k=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+1\right]=8\sdot9=72}}$	נקח חצי מספר הי"ו והוא ח' ונכהו עם חציו האחר בתוספת א' והוא ט' והעולה הוא ע"ב וזהו קבוץ כל המספרים שמב' עד י"ו
These are the short ways written by the ancients	אלו הם הדרכים הקצרים אשר כתבו הראשונים
The first number is not 1 or 2
Yet, to find the sum of given numbers exceeding by 1 or 2, the ancients informed us the knowledge of the sum of the numbers that exceed each other by 1, whose beginning is only from 1 and the knowledge of the sum of the numbers that exceed each other by 2, whose beginning is only from 1 or 2, such as 1, 3, 5, 7, or 2, 4, 6, 8, these ways are not enough for the knowledge of the sum of these type of numbers.	אולם למציאות קבוץ מספרים מונחים בתוספת א' או בתוספת ב' להיות שהקדמונים לא הודיעו לנו מידיעת קבוץ המספרים הנוספים בתוספת א' רק במספרים שהתחלתם מהא' ולא מידיעת קבוץ המספרים הנוספים בתוספת ב' רק המספרי' שהתחלתם מא' או מב' כמו מספרי א'ג'ה'ז' או ב'ד'ו'ח' והיו הדרכים האלו בלתי מספיקים בידיעת קבוץ מיני המספרים האלו
For example: if their beginning is from 10 [$\scriptstyle a_1=10$]	אם היתה התחלתם מהי' עד"מ
Such as 10, 11, 12, 13 in the first type $\scriptstyle\sum_{k=10}^{13} k$	כמו י' י"א י"ב י"ג במין הראשון
Or 10, 12, 14, 16, in the second type $\scriptstyle\sum_{k=5}^{8} 2k$	או י' י"ב י"ד י"ו במין השני
Therefore, I saw to fill this absence with the meaning of the statement of ancients itself.	על כן ראיתי למלאת זה החסרון והוא בכח מאמר הקדמונים בעצמו
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=m}^{n} a\sdot i=\left(\sum_{i=1}^{n} a\sdot i\right)-\left(\sum_{k=1}^{m-1} a\sdot i\right)}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=10}^{13} k&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{13} k\right)-\left(\sum_{k=1}^{9} k\right)=10+11+12+13\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot13\right]-45\\&\scriptstyle=\left(7\sdot13\right)-45=91-45=46\\\end{align}}}$	וזה כי במין הראשון אם היה מספר י"ג עד"מ והתחלתו מי' הנה נשתמש בידיעת זה בדרך הראשונים בעצמו והוא שנקח חצי מספר הי"ג בתוספת חצי והוא ז' ונכהו עם הי"ג והעולה צ"א וזהו העולה מכל המספרים שמא' עד י"ג אחר זה דע העולה מכל המספרים שמא' עד ט' עם הדרך הקודם בעצמו והעולה מ"ה אחר זה תחסר המ"ה מהצ"א והנשאר הוא מ"ו והוא קבוץ כל המספרים שמהי' עד הי"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=5}^{8} 2k&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{8} 2k\right)-\left(\sum_{k=1}^{4} 2k\right)=10+12+14+16\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+1\right]\right]-20\\&\scriptstyle=72-20=52\\\end{align}}}$	ואולם במין השני אם היה מספר י"ו עד"מ והתחלתו מי' הנה נשתמש עם הדרך הראשון בעצמו והוא שתקח חצי המספר האחרון שהוא הי"ו במשלנו ותכהו עם חציו האחר בתוספת א' והעולה הוא ע"ב וידענו שהעולה מכל המספרים שמהב' עד י"ו הוא ע"ב אחר כן קבצנו כל המספרים שמהב' עד הח' עם הדרך ההוא בעצמו והוא כ' חסרנום מהע"ב והנשאר הוא נ"ב וזהו קבוץ מספרי י' י"ב י"ד י"ו
	זהו מה שראיתי לכתוב בהשלמת קצור דברי הקדמונים
The ancients encountered imperfection from two aspects:	אולם להיות שהקדמונים קרה להם החסרון משני פנים
1) They did not give us the way for all the species, that is to say as the given numbers that exceed each other by 3, or 4, or 5 and so on endlessly.	האחד כי לא נתנו לנו דרך לכל המינים רוצה לומר כמו המספרים המונחים הנוספים בתוספת ג' או בתוספת ד' או בתוספת ה' וכן לבלתי תכלית
2) The way that they gave us for the two mentioned species differs for each of the two mentioned species.	והשני כי הדרך אשר נתנו בשני המינים הנזכרים הוא משתנה לכל אחד מהשני מינים הנזכרים
Therefore I saw to illustrate one general way for all the species together	על כן ראיתי להראות דרך אחד כולל לכל המינים יחד
General formula for the sum of any arithmetic progression
The first number equals to the difference between the consecutive numbers $\scriptstyle a_1=d$
$\scriptstyle S_n=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot a_n$	ר"ל איזה תוספת שתרצה והוא שנדע כמות המדרגות שמהמספר הראשון אשר הוא שוה לתוספת הנוספים בו קצתם על קצת עד המספר האחרון ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר האחרון והעולה הוא סך כל המספרים שמהמספר הראשון עד המספר האחרון בכל המינים יחד
$\scriptstyle a_1=d=1;\; n=15$	המשל בזה במספרים הנוספים בתוספת א' אשר התחלתם מהא' במספר ט"ו מהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{15} k=1+\ldots+15=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot15=8\sdot15=120}}$	הנה כמות המדרגות שמהא' עד הט"ו הוא ט"ו וחצים בתוספת חצי הוא ח' נכם עם הט"ו והעולה הוא ק"כ וזהו כל המספרים שמהא' עד הט"ו
$\scriptstyle a_1=d=2;\; n=16$	וכן במספרים הנוספים בתוספת ב' שהתחלתם מהב' במספר י"ו מהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{8} 2k=2+\ldots+16=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot16=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot16=72}}$	הנה כמות המדרגות שמהב' עד הי"ו הם ח וחצים בתוספת חצי הם ד' וחצי ונכם עם הי"ו והם ע"ב וזהו קבוץ כל המספרים שמב' עד י"ו
	וכן בכל מין ומין מכל שאר המינים המתחלפים דרך אחד לכל
The first number is smaller than the difference between the consecutive numbers $\scriptstyle a_1<d$	ואולם אם היה המספר הראשון אשר ממנו יתחילו המספרים הנוספים יותר קטן מתוספת הנוספים בו קצתם על קצת
$\scriptstyle S_n=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot n\right]$
$\scriptstyle a_1=1<d=2;\; n=8$	כמו מספרי אגה"ז עד"מ אשר תוספת הנוספי' בו קצתם על קצת הוא ב' והמספר הראשון מהם הוא הא' אשר הוא קטן מהתוספת אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n&\scriptstyle=\sum_{k=1}^{8} \left(2k-1\right)\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[15+\left(2-1\right)\right]\right]-\left[\left(2-1\right)\sdot8\right]\\&\scriptstyle=\left[\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(15+1\right)\right]-\left(1\sdot8\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot16\right]-8=72-8=64\\\end{align}}}$	הנה נעשה הדרך הקודם בעצמו ר"ל שנקח כמות המדרגות שמהמספר הראשון שהוא הא' במשלנו זה עד הט"ו שהוא המספר האחרון והם ח' נקח חצים בתוספת חצי והם ד' וחצי ונכם עם המספר האחרון כמשפט רק בעבור שהיתה התחלת המספרים האלו קטן מהתוספת א' הנה נוסיף הא' על המספר האחרון ויהיה י"ו ונכם עם הד' וחצי והעולה ע"ב ולהיות שהתחלת אלו המספרים קטן מהתוספת א' כאשר הזכרנו הנה נגרע גם כן מהע"ב ח' לפי שכמות כל המדרגות שמא' עד ט"ו הם ח' וישארו ס"ד וזהו קבוץ המספרים שמא' עד ט"ו בתוספת ב'
The difference between the consecutive numbers is 3	וכן במספרים הנוספים ג' עד"מ
The first number is 3: $\scriptstyle a_1=d=3;\; n=5$	הנה אם היה המספר הראשון הג' בעצמו כמו מספרי ג' ו' ט' י"ב ט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n&\scriptstyle=\sum_{k=1}^{5} 3k\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot15=3\sdot15=45\\\end{align}}}$	הנה נקח כמות המדרגות שמהג' עד הט"ו והם ה' נקח חצים בתוספת חצי והם ג' ונכם עם המספר האחרון שהם הט"ו במשלנו והם מ"ה וזהו קבוצם
The first number is 2: $\scriptstyle a_1=2<d=3;\; n=5$	אולם אם היה המספר הראשון להם ב' עד"מ אשר הוא קטן מהתוספת שהוא ג' כמו מספרי ב' ה' ח' י"א י"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n&\scriptstyle=\sum_{k=1}^{5} \left[2+3\sdot\left(k-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[14+\left(3-2\right)\right]\right]-\left[\left(3-2\right)\sdot5\right]\\&\scriptstyle=\left[3\sdot\left(14+1\right)\right]-\left(1\sdot5\right)\\&\scriptstyle=45-5=40\\\end{align}}}$	הנה נקח חצי המדרגות שמהב' עד הי"ד בתוספת חצי והם ג' נכם עם המספר האחרון בתוספת א' בעבור שהתחלתם קטן מהתוספת א' כאשר הזכרנו ויהיה העולה מ"ה ולהיות שהתחלתם חסר א' מהתוספת נגרע מהם ה' לפי שכמות כל המספרים שמהב' עד הי"ד הם ה' וישארו מ' וזהו קבוץ כל המספרים שמהב' עד הי"ד
The first number is 1: $\scriptstyle a_1=1<d=3;\; n=5$	וכן בזה המין בעצמו אם היה התחלת המספרים מהא' כמו מספרי א' ד' ז' י' י"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n&\scriptstyle=\sum_{k=1}^{5} \left[1+3\sdot\left(k-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[13+\left(3-1\right)\right]\right]-\left[\left(3-1\right)\sdot5\right]\\&\scriptstyle=\left[3\sdot\left(13+2\right)\right]-\left(2\sdot5\right)\\&\scriptstyle=45-10=35\\\end{align}}}$	הנה להיות שכמות המדרגות שמא' עד הי"ג הם ה' נקח חצים בתוספת חצי והם ג' נכם עם המספר האחרון בתוספת ב' בעבור שהתחלת המספרים חסר ב' מהתוספת ויעלה מ"ה ולהיות שכמות המדרגות הם ה' וההתחלה הראשונה חסרה ב' מהתוספת נקח ב' לכל אחד מהם והם י' נגרעם מהמ"ה והנשאר ל"ה וזהו קבוץ כל המספרים שמהא' עד הי"ג
$\scriptstyle a_1=d\longrightarrow S_n=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot a_n$	ובכלל כאשר יהיה התחלת המספרים שוה לתוספת אשר בו יהיו נוספים קצתם על קצת הנה נכה המספר האחרון עם חצי כמות המדרגו' שמהמספר הראשון עד המספר האחרון בתוספת חצי והעולה הוא קבוצם
$\scriptstyle a_1<d\longrightarrow S_n=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot n\right]$	אך אם היה התחלת המספרים חסר מהתוספת הנה החסרון תוסיפנו על המספר האחרון ואז הכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והעולה גרע ממנו העולה מהכאת החסרון עם המדרגות והנשאר הוא קבוצם
	זהו הדרך הכולל לכל החלופים
The first number is greater than the difference between the consecutive numbers $\scriptstyle a_1>d$	ואולם אם היה המספר הראשון אשר ממנו יתחילו המספרי' הנוספים גדול מתוספת הנוספים
$\scriptstyle a_1>d\longrightarrow S_n=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(a_1-d\right)\right]\right]-\left(a_1-d\right)$
$\scriptstyle a_1=3>d=2;\; n=5$	כמו מספרי ג' ה' ז' ט' י"א על דרך משל אשר תוספת קצתם על קצת הוא ב' והמספר הראשון הוא ג' אשר הוא גדול מהתוספת אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n&\scriptstyle=\sum_{k=1}^{5} \left[3+2\sdot\left(k-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[11+\left(3-2\right)\right]\right]-\left(3-2\right)\\&\scriptstyle=\left[3\sdot\left(11+1\right)\right]-1\\&\scriptstyle=\left(3\sdot12\right)-1=36-1=35\\\end{align}}}$	הנה נעשה הדרך הראשון בעינה שנקח כמות המדרגות שמהמספר הראשון שהוא הג' במשלנו עד הי"א שהוא המספר האחרון והם ה' נקח חצים בתוספת חצי והם ג' ונכם עם המספר האחרון כמשפט רק בעבור שהיתה התחלת המספרים האלו גדול מהתוספת אחד נוסיף האחד על המספר האחרון ויהיו י"ב ונכה הג' עם הי"ב ויעלו ל"ו ולהיות שראשון המספרים האלו גדול מן התוספת אחד גרענוהו מן הל"ו ונשאר ל"ה וככה הוא קבוץ המספרים שמהג' עד הי"א
	וזה דרך כוללת לכל מיני חלופי תוספת המספר הראשון מתוספת קצתם על קצת
	דרך אחרת לזה שאם היה המספר הראשון מהמספרים שנרצה לדעת קבוצם יותר גדול מהתוספת קצתם על קצת
$\scriptstyle a_m=8>d=2$ $\scriptstyle{\color{blue}{8+10+12+14}}$	כמו על דרך משל מספרי ח' י' י"ב י"ד אשר תוספת קצתם על קצת הוא ב' והמספר הראשון מהנקבצים הוא ח' אשר הוא גדול מהתוספת
$\scriptstyle a_m=7>d=2$ $\scriptstyle{\color{blue}{7+9+11+13}}$	או כמו מספרי ז' ט' י"א י"ג שתוספת קצתם על קצת הוא ב' והמספר הראשון מהמספרים הנקבצים הוא ז' אשר הוא גדול מהתוספת
$\scriptstyle a_m=47>d=5$ $\scriptstyle{\color{blue}{47+52+57+62}}$	או כמו מספרי מ"ז נ"ב נ"ז ס"ב אשר תוספת קצתם על קצת הוא א' והמספר הראשון מהנקבצים הוא מ"ז וכן כל כיוצא בזה
$\scriptstyle a_1=d\longrightarrow$ $\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} a_i&\scriptstyle=a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n\\&\scriptstyle=S_n-S_{m-1}=\left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)-\left(\sum_{k=1}^{m-1} a_i\right)\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot a_n\right]-\left[\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(m-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot a_{m-1}\right]\\\end{align}$	הנה נעשה הדרך הקודם בעינו ר"ל שנדע כמות כל המדרגות שמהמספר הראשון שממנו צמיחתם עד המספר האחרון ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר האחרון אם היה המספר הראשון שממנו צמיחתם שוה לתוספתם והעולה נשמרהו אחר זה נדע כמות כל המדרגות שהמספר הראשון שממנו צמיחתם עד המספר הקודם מהמספר הראשון לנקבצים מדרגה אחת ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר הקודם מהמספר הראשון לנקבצים מדרגה אחת והעולה נחסרהו מהשמור והנשאר הוא סך כל המספרי' הנוספים שמהמספר הראשון לנקבצים עד המספר האחרון
$\scriptstyle a_1<d\longrightarrow$	ואם היה המספר הראשון שממנו צמיחתם קטן מתוספתם
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} a_i&\scriptstyle=a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n\\&\scriptstyle=S_n-S_{m-1}=\left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)-\left(\sum_{k=1}^{m-1} a_i\right)\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot n\right]\right]\\&\scriptstyle-\left[\left[\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(m-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_{m-1}+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot\left(m-1\right)\right]\right]\\\end{align}$	נדע כמות כל המדרגות שמהמספר הראשון שממנו צמיחתם עד המספר האחרון ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר האחרון אחר שנוסיף עליו מגרעת המספר הראשון אשר ממנו צמיחתם מתוספתם והעולה נגרע ממנו העולה מהכאת המגרעת עם כמות המדרגות שמהמספר הראשון אשר ממנו צמיחתם עד המספר האחרון והנשאר נשמרהו אח"ז נדע המדרגו' כמות שמהמספר הראשון שממנו צמיחת' עד המספר הקודם למספר הראשון לנקבצים מדרגה אחת ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר הקודם לנקבצי' מדרגה אחת אחר שנוסיף עליו מגרעת הראשון שממנו צמיחתם מתוספתם והעולה נגרע ממנו העולה מהכאת המגרעת עם כמות המדרגות שמהמספר הראשון שממנו למספר הקודם לנקבצים מדרגה צמיחתם עד המספר הקודם לנקבצים והנשאר נגרעהו מהשמור והנשאר אחר זה הוא סך כל המספרים שמהמספר הראשון לנקבצים עד המספר האחרון
Finding the number of items and the first number in a sequence	ואולם הדרך שבו נדע כמות המדרגות והמספר הראשון שממנו צמיחתם אם הוא שוה לתוספתם או קטן ממנו
	וכמות קטנותו הנה הוא כשתחלק המספר האחרון על מספר תוספתם
$\scriptstyle\exists m\in N:\; a_n=m\sdot d\quad\;\;\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle n=\frac{a_n}{d}=m\\\scriptstyle a_1=d\end{cases}$	ואם לא ישאר דבר הנה היוצא הוא מספר כמות המדרגות והראשון לצמיחתם הוא שוה לתוספתם
$\scriptstyle\exists m\in N:\; a_n=\left(m\sdot d\right)+r\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle n-1=m\\\scriptstyle a_1=r<d\end{cases}$	ואם ישאר דבר הנה היוצא לך הוא כמות פחות מדרגה אחת והנשאר הוא הראשון לצמיחתם
Another shorter method that includes all types of arithmetic progression	דרך אחרת יותר קצרה כוללת כל מיני התוספת
If The first number of the sequence is smaller than or equals to the excess $\scriptstyle a_1\le d$	והיא זאת שאם היה המספר הראשון לנקבצים שוה לתוספתם או פחות מהם
Divide the last number by excess - if there is no remainder, keep the quotient; otherwise add 1 to the quotient and keep the result - then, add the first number to the last, take half [the sum] and multiply it by the reserved and the result is the required. $\scriptstyle\exists m\in N:\; a_n=m\sdot d\quad\;\;\longrightarrow S_n=m\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]$ $\scriptstyle\exists m\in N:\; a_n=\left(m\sdot d\right)+r\longrightarrow S_n=\left(m+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]$	תחלק המספר האחרון על מספר תוספת' ואם לא ישאר דבר הנה היוצא שמרהו ואם לאו הוסף על היוצא א' והעולה שמרהו אחר זה חבר המספר הראשון עם האחרון וקח חציו והכהו עם השמור והיוצא הוא המבוקש
The first number is greater than the excess $\scriptstyle a_1>d$	ואם היה המספר הראשון לנקבצים יתר מתוספתם
$\scriptstyle S_n=\left(\frac{a_n-a_1}{d}+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]$	חסר המספר הראשון לנקבצים מהמספר האחרון והנשאר תחלקהו על מספר תוספתם והיוצא הוסף עליו אחד והעולה הוא השמור אחר זה חבר המספר הראשון לנקבצים עם האחרון וקח חציו והכהו עם השמור והיוצא הוא המבוקש
$\scriptstyle a_1\le d$	משל המין הראשון והוא שהמספר הראשון לנקבצים שוה או פחות מתוספת
$\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{3} \left[2+4\sdot\left(k-1\right)\right]=2+6+10$	הנה הם מספרי ב' ו' י'
$\scriptstyle\frac{a_n}{d}=\frac{10}{4}=2+r$	חלקנו הי' על תוספתם שהם ד' ויצא ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{3} \left[2+4\sdot\left(k-1\right)\right]&\scriptstyle=2+6+10\\&\scriptstyle=\left(2+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+10\right)\right]\\&\scriptstyle=3\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=3\sdot6=18\\\end{align}}}$	ולהיות שנשאר מהחלוק הוספנו על הב' היוצא מהחלוק א' ועלו ג' ושמרנום אח"ז חברנו הב' שהוא המספר הראשון לנקבצים עם הי' שהוא המספר האחרון ועלו י"ב ולקחנו חצים והם ו' והכינום עם השמור ועלו י"ח
$\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{3} \left[4+4\sdot\left(k-1\right)\right]=4+8+12$	ובמספרי ד' ח' י"ב
$\scriptstyle\frac{a_n}{d}=\frac{12}{4}=3$	חלקנו הי"ב על הד' ויצאו ג'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{3} \left[4+4\sdot\left(k-1\right)\right]&\scriptstyle=4+8+12\\&\scriptstyle=3\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(4+12\right)\right]\\&\scriptstyle=3\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=3\sdot8=24\\\end{align}}}$	ולהיות שלא נשאר מהחלוק כלום שמרנום אחר זה חברנו הד' עם הי"ב ועלו י"ו לקחנו חצים והם ח' הכינום עם השמור ועלו כ"ד
$\scriptstyle a_1>d$	ומשל המין השני והוא אשר המספר הראשון לנקבצים יתר מתוספתם
$\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{2} \left[8+4\sdot\left(k-1\right)\right]=8+12$	הם מספרי ח' י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{2} \left[8+4\sdot\left(k-1\right)\right]&\scriptstyle=8+12\\&\scriptstyle=\left(\frac{12-8}{4}+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+12\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{4}{4}+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)\\&\scriptstyle=\left(1+1\right)\sdot10=2\sdot10=20\\\end{align}}}$	חסרנו הח' מהי"ב שהוא המספר האחרון ונשארו ד' וחלקנום על הד' שהיא תוספתם ויצא אחד הוספנו עליו א' ועלה ב' והוא השמור אחר זה חברנו המספר הראשון לנקבצים שהוא הח' עם הי"ב שהוא המספר האחרון ועלו כ' ולקחנו חצים והם י' והכנום עם השמור ועלו כ'
	והנה כבר נתבאר לך הדרך הכולל לכל מיני התוספת איזה תוספת שיהיה
	גם חלופי המין הא' בעצמו ר"ל אם היה התחלת המספרים שוה לתוספת אשר בו יהיו המספרים נוספים קצתם על קצת
	או קטן ממנו אי זה קטנות שיהיה אם א' אם ב' אם ג' והדומים להם
Geometric Progression
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$	אולם אם היו המספרי' המונחים קצתם על קצת מתייחסי' ביחס הכפל והם המספרים אשר תוספת קצתם על קצתם מתחלף אבל הוא שומר היחס
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{4} 2^{k-1}=1+2+4+8}}$	כמו מספרי א' ב' ד' ח'
	ורצית לדעת קבוץ כל המספרים המונחים מזה המין מבלתי שתצטרך לקבץ הכל
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}=2a_n-1=\left[\left(2\sdot2^{n-1}\right)-1\right]$	הנה כבר כתבו הראשונים גם בזה דרך והוא שתכפול המספר האחרון ותגרע אחד מהמחובר והנשאר הוא קבוץ כל המספרים המונחים
	אלא שקצרו בביאורו כי לא יצדק זה רק אם היה התחלתם מהא' אולם אם היה התחלתם מהי' עד"מ הנה לא נתנו בזה דרך אל ידיעתו
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} a\sdot2^{k-1}=2a_n-a_1=\left[\left[2\sdot\left(a\sdot2^{n-1}\right)\right]-a\right]$	אולם הדרך הכולל בידיעת קבוץ זה המין מאיזה מספר שתהיה התחלתו הוא שתכפול המספר האחרון ותגרע מהמחובר המספר הראשון אשר ממנו החלו המספרי' והנשאר הוא קבוצם
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 10\sdot2^{k-1}=10+20+40+80$	המשל כמו מספרי' כ' מ' פ'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 10\sdot2^{k-1}&\scriptstyle=10+20+40+80\\&\scriptstyle=\left(2\sdot80\right)-10=160-10=150\\\end{align}}}$	נכפול הפ' ועלו ק"ס נגרע מהם הי' שהוא המספר הראשון להם והנשאר הוא ק"נ וככה הוא קבוצם
	זהו מה שראינו לכתוב בהשלמת זה הקצור
	אולם להיות שכבר קרה להם החסרון גם בזה המין ר"ל אשר תוספתם מתיחס לא שוה כאשר קרה להם החסרון כאשר תוספתם שוה לא מתיחס
	וזה כי כמו שקרה להם שם החסרון כשהדרך אשר השתדלו בהישרת ידיעת זה המין איננו מספיק לכל מיני התוספת כן קרה להם החסרון הנה כשהדרך אשר נתנו איננו מספיק לכל מיני היחס ר"ל למינים שהם על זולת יחס הכפל
General formula for the sum of any geometric progression	לכן ראיתי לכתוב גם הנה דרך כולל לכל מיני היחס
	והוא זה שכבר בארנו בתחלת חבורנו זה שהחצי הוא שם נגזר מהשנים והשליש הוא נגזר מהשלשה והרביע הוא נגזר מהארבעה וכן לב"ת
$\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{n} a_1\sdot q^{k-1}=a_n+\frac{1}{q-1}\sdot\left(a_n-a_1\right)$	ולזה ברצותך לדעת קבוץ המספרים המונחים המתיחסים קח המספר אשר יגזר ממנו שם היחס אשר יתיחסו בו המספרים המונחים וגרע ממנו א' והנשאר שמרהו וקח המין מהשברים הנגזר ממנו מהמספר האחרון אחר שתגרע ממנו המספר הראשון לכל המספרים המונחים והוסיפהו על המספר האחרון והמחובר הוא קבוץ לכל המספרים המונחים
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{6} 2^{k-1}=1+2+4+8+16+32$	המשל אם רצית לדעת קבוץ מספרי א' ב' ד' ח' י"ו ל"ב אשר הם ביחס החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{6} 2^{k-1}&\scriptstyle=1+2+4+8+16+32\\&\scriptstyle=32+\left[\frac{1}{2-1}\sdot\left(32-1\right)\right]\\&\scriptstyle=32+\left(1\sdot31\right)=32+31=63\\\end{align}}}$	להיו' שיחס החצי נגזר מהב' גרע מהם א' וישאר אחד שהוא מורה על השלם ולכן לקחנו כל המספר האחרון שהוא הל"ב וגרענו ממנו א' נשארו ל"א והוספנו' על הל"ב והם ס"ג וככה הוא קבוץ מספרי א' ב' ד' ח' י"ו ל"ב
$\scriptstyle a_1\ne1$
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 8\sdot2^{k-1}=8+16+32$	ואם התחלת בזה המין בעצמו מהח' עד"מ שהם ח' י"ו ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 8\sdot2^{k-1}&\scriptstyle=8+16+32\\&\scriptstyle=32+\left[\frac{1}{2-1}\sdot\left(32-8\right)\right]\\&\scriptstyle=32+\left(1\sdot24\right)=32+24=56\\\end{align}}}$	קח הל"ב פעם אחת ותגרע ממנו הח' שהוא המספר הראשון במשלנו זה וישארו כ"ד והוסיפם על הל"ב והם נ"ו וככה הוא קבוצם
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$	ואם היו המספרים המונחים מתיחסים יחס השליש
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 3^{k-1}=1+3+9+27$	כמו מספרי א' ג' ט' כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 3^{k-1}&\scriptstyle=1+3+9+27\\&\scriptstyle=27+\left[\frac{1}{3-1}\sdot\left(27-1\right)\right]\\&\scriptstyle=27+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(27-1\right)\right]=27+13=40\\\end{align}}}$	הנה להיות שהשליש הוא נגזר מהשלש' גרע א' וישארו ב' והשבר הנגזר מהם הוא חצי על כן קח חצי המספר האחרון שהם הכ"ז אחר שתגרע מהם המספר הראשון שהוא י"ג והוסיפהו על הכ"ז ויעלו מ' וככה הוא קבוץ כל המספרים המונחים שמהא' עד הכ"ז
$\scriptstyle a_1\ne1$
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 3\sdot3^{k-1}=3+9+27$	וכן אם התחלת בזה המין בעצמו מהג' עד"מ
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 3\sdot3^{k-1}&\scriptstyle=3+9+27\\&\scriptstyle=27+\left[\frac{1}{3-1}\sdot\left(27-3\right)\right]\\&\scriptstyle=27+\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)=27+12=39\\\end{align}}}$	גרע מהמספר האחרון הכ"ז במשלנו הג' וישארו כ"ד וחציו י"ב הוסיפהו על הכ"ז והוא ל"ט וככה הוא קבוצם
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} 4^{k-1}$	ואם היו המספרים המונחים מתיחסים ביחס הרביע
$\scriptstyle\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 4^{k-1}=1+4+16+64$	כמו מספרי א' ד' י"ו ס"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 4^{k-1}&\scriptstyle=1+4+16+64\\&\scriptstyle=64+\left[\frac{1}{4-1}\sdot\left(64-1\right)\right]\\&\scriptstyle=64+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(64-1\right)\right]=64+21=85\\\end{align}}}$	הנה להיות שהרביע הוא נגזר מארבעה כשנחסר ממנו א' ישארו ג' והשבר הנגזר מהם הוא שליש על כן קח שליש המספר האחרון שהוא הס"ד אחר שתגרע ממנו המספר הראשון והם כ"א והוסיפהו על הס"ד ויעלו פ"ה וככה הוא קבוץ כל המספרים המונחים שמהא' עד הס"ד
$\scriptstyle a_1\ne1$
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{2} 16\sdot4^{k-1}=16+64$	וכן אם התחלת בזה המין בעצמו מהי"ו עד"מ
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{2} 16\sdot4^{k-1}&\scriptstyle=16+64\\&\scriptstyle=64+\left[\frac{1}{4-1}\sdot\left(64-16\right)\right]\\&\scriptstyle=64+\left(\frac{1}{3}\sdot48\right)=64+16=80\\\end{align}}}$	גרע מהס"ד י"ו וישארו מ"ח ושלישו י"ו הוסיפהו על הס"ד והעולה פ' וככה הוא קבוצם
	הנה כבר הוריתיך הדרך הכולל לכל מיני היחסים איזה יחס היה עם חלופי ההתחלות אין להאריך יותר בביאורו
Other Progressions
	ולהיות שהמספרים המונחים הנוספים קצתם על קצת יחלקו לג' פנים
	אם שיהיו המותרים שוים והמספרים בלתי מתיחסים
	ואם שיהיו המותרים מתחלפים והמספרים מתיחסים
	ואם שיהיו המותרים מתחלפים וגם המספרים בלתי מתיחסים
	כי החלק הד' והוא שיהיו המותרים שוים וגם המספרי' מתיחסי' הוא נמנע
	וכבר ביארנו הדרכים המודיעי' קבוץ כל המספרים המונחים מבלתי שיצטרכו בקבוץ הכל בב' המינים הראשונים
	הנה מה שנשאר עלינו לבאר הוא המין הג' בלבד והוא אשר מותריו מתחלפים ומספריו בלתי מתיחסים
	ואומר שהראשונים כבר חקרו בכל המינים הנכללים תחת זה המין ולא יכלו למצוא דרך רק בשני מינים מכלל מיניו לבד
the sequence of square numbers: 1; 4; 9; 16;...	והם מרובעי המספרים הטבעיים על הסדר כמו מספרי א' ד' ט' י"ו
the sequence of cubic numbers: 1; 8; 27; 64;...	ומעוקבי המספרי' הטבעיים על הסדר כמו מספרי א' ח' כ"ז ס"ד
	שמותריהם בלתי שוים ומספריהם בלתי מתיחסים
Definition of a square number: a square is the number resulting from the multiplication of the number by itself, whatever number it may be.	והמרובע הוא המספר היוצא מהכאת המספר הא' בעצמו איזה מספר היה
Definition of a cubic number: a cubic [number] is the number resulting from the multiplication of the number by its square.	והמעוקב הוא המספר היוצא מהכאת המספר הא' עם מרובעו
Sum of square numbers	אולם הדרך בידיעת קבוץ מרובעי המספרים הטבעיים המונחים
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k^2&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]\\\end{align}$	הנה הוא שתדע שרש המרובע האחרון וממנו תדע קבוץ כל שרשי המרובעים וזה עם הדרך הקודם ר"ל שתקח חצי המדרגות בתוספת חצי ותכהו עם השרש האחרון והעולה שמרהו אחר זה קח שתי שלישיות השרש האחרון והוסף עליו שליש האחד והעולה הכהו עם השמור והעולה הוא קבוץ כל המרובעים המונחים מהא'
$\scriptstyle\sum_{k=m}^{n} k^2=\left(\sum_{k=1}^{n} k^2\right)-\left(\sum_{k=1}^{m-1} k^2\right)$	ואם היה התחלתם ממספר אחר זולת הא' חסר קבוץ המרובעים שמהא' עד המספר ההוא מקבוץ כל המרובעים שמהא' עד המרובע האחרון והנשאר הוא קבוץ המרובעים שהתחלתם ממספר אחר
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^2=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16$	המשל בזה אם רצית לדעת קבוץ מספר א' ד' ט' י"ו שהם מרובעי מספרי א' ב' ג' ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^2&\scriptstyle=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\\&\scriptstyle=\left[4\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot\left[\left(2+\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{3}\right]=10\sdot3=30\\\end{align}}}$	הנה נקח שרש הי"ו והוא ד' נכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והעולה י' וזהו קבוץ שרשי המרובעים האלו ונשמרם אחר כן נקח ב' שלישיות הד' שהוא שרש הי"ו והם ב' וב' שלישיות נוסיף עליהם שליש והם ג' נכהו עם השמור שבידינו והעולה ל' וזהו קבוץ מספרי א' ד' ט' י"ו
$\scriptstyle\sum_{k=3}^{4} k^2=3^2+4^2=9+16$	ואם התחלת בזה המין מהט'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=3}^{4} k^2&\scriptstyle=3^2+4^2=9+16\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{4} k^2\right)-\left(\sum_{k=1}^{2} k^2\right)=\left(1+4+9+16\right)-\left(1+4\right)\\&\scriptstyle=30-\left[\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot2\right)+\frac{1}{3}\right]\right]\\&\scriptstyle=30-\left[3\sdot\left[\left(1+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}\right]\right]\\&\scriptstyle=30-\left[3\sdot\left(1+\frac{2}{3}\right)\right]=30-5=25\\\end{align}}}$	הנה נמצא שרש הד' שהוא אחרון למרובעים החסרים מא' ד' ט' י"ו ושרשם ב' נכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והעולה ג' ונשמרהו אחר נקח ב' שלישיות הב' שהם שרש הד' והם א' ושליש נוסיף עליו שליש והם א' וב' שלישיות נכהו עם השמור שהם הג' והעולה ה' נחסרהו מהל' שהם קבוץ א' ד' ט' י"ו והנשאר כ"ה וזהו קבוץ מרובעי ט' י"ו הדרושים
Sum of cubic numbers	ואולם המין האחר והם מעוקבי המספרים הטבעיים
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k^3=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$	הנה כבר כתבו הראשונים דרך בידיעת זה המין גם כן והוא שתקח יסוד המעוקב האחרון ודע בו עם הדרך הקודם קבוץ כל המספרים הטבעיים אשר הם יסודות המעוקבים ההם ושמרהו אחר כן הכה השמור בעצמו והעולה הוא קבוץ כל המעוקבים המונחים
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^3=1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64$	המשל בזה אם רצית לדעת קבוץ מספרי א' ח' כ"ז ס"ד אשר הם מעוקבי מספרי א' ב' ג' ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^3&\scriptstyle=1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)^2\\&\scriptstyle=\left[4\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]\right]^2=10^2=100\\\end{align}}}$	הנה נקח יסוד הס"ד והוא ד' ונכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והם י' ונכה הי' עם עצמם והם ק' וזהו קבוץ מספרי א' ח' כ"ז ס"ד
$\scriptstyle\sum_{k=3}^{4} k^3=3^3+4^3=27+64$	ואם התחלת בזה המין מהכ"ז על דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=3}^{4} k^3&\scriptstyle=3^3+4^3=27+64\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{4} k^3\right)-\left(\sum_{k=1}^{2} k^3\right)=\left(1+8+27+64\right)-\left(1+8\right)\\&\scriptstyle=100-\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]\right]^2\\&\scriptstyle=100-3^2=100-9=91\\\end{align}}}$	הנה נקח יסוד הח' והוא ב' ונכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והוא ג' נכה הג' בעצמו והוא ט' נחסרם מהק' שהם קבוץ מספרי א' ח' כ"ז ס"ד והנשאר הוא צ"א זהו קבוץ כ"ז ס"ד הדרושים
	אלה הם הדרכים אשר כתבו הראשונים בידיעת קבוץ המספרים אשר מותריהם בלתי שוים ומספריהם בלתי מתיחסים וזה בשני מינים לבד במרובעים והמעוקבים
	אולם המינים האחרים היוצאים מאלה השני מינים לא מצאתי דרך אל ידיעתם כלל
	זהו מה שיכולתי להביא מידיעת מין הקבוץ מבלתי שיצטרך אל קבוץ כל המספרים המונחים
	וזאת החקירה אמנם היא מידיעת המין הראשון שהוא הקבוץ אלא שהזכרתיו הנה למה שלא יתכן זה אלא בידיעת זה המין כאשר הזכרתי

Reasons and Explanations
	ואולם סבת מציאות זה המין עם אלה הדרכים ואם הם רבים הנה היא אחת בעינה
	וזה שכבר קדם לך שמין ההכאה הוא מין הקבוץ בעינו כקבוץ המספרים השנים ושאין ביניהם הבדל כלל רק בהנחה ר"ל שבמין הקבוץ נצטרך לכתוב כל הטורים הנקבצים ובמין ההכאה לא נצטרך בהנחת כל הנקבצים
	וכאשר היה זה כן הנה א"כ כמו שיחויב למקבץ שיניח אחדי הסך תחת מדרגת הנקבצים והכלל במדרגה הנמשכת לסבה שזכרנוה
	כן יחויב למכה שיניח אחדי הסך תחת מדרגת המוכה והכלל במדרגה הנמשכת וזה בג' מיני ההכאה שהם הכאת הפרטים או הכללים או שניהם יחד עם הפרטים לבד
	ואולם בשאר מיני ההכאה ואם נצטרך בהם אל טורים רבים ואל הנחות מתחלפות הנה סבתם גם כן אחת
	וזה שהוא מן המבואר בעצמו במין הקבוץ שכאשר יהיו מספר הטורים השוים המונחים עשרות יחויב שיהיו אחדי סך הנקבצים ממדרגת האחדים עשרות וממדרגת העשרות מאות וממדרגת המאות אלפים וכן תמיד מדרגה אחת נמשכת ממדרגת הנקבצים
	ואם היו מספר הטורים המונחים מאות יחויב שיהיו אחדי סך הנקבצים ממדרגת האחדים מאות וממדרגת העשרות אלפים וממדרגת המאות רבבות וכן תמיד שני מדרגות נמשכות ממדרגת הנקבצים
	ואם היו מספר הטורים המונחים אלפים יחויב שיהיו אחדי סך הנקבצים מכל מדרגה ומדרגה ג' מדרגות נמשכות ממנה
	וכן תמיד על זה הסדר
	וזה שאחדי הנקבצים כאשר יהיו נוספים קצת על קצת י' פעמים עד"מ הנה מן המחויב שישוב כל אחד ואחד מאחדי הנקבצים עשרה והנה ישובו כל אחד מהאחדים עשרה פעמים ממה שהיה ואם כן ישובו האחדים עשרות והעשרות מאות וכן תמיד
	וכן אם יהיו אחדי הנקבצים נוספים קצתם על קצת מאה פעמים עד"מ הנה מן המחויב שישוב כל אחד ואחד מאחדי הנקבצים מאה והנה ישובו כל אחד מהאחדים מאה פעמים ממה שהיה ואם כן ישובו האחדים מאות והעשרות אלפים וכן תמיד בתוספת שני מדרגו'
	וכאשר היה זה כן הנה כמו שיחויב לנו מזה שכאשר נרצה לקבץ מספרים שוים מונחים בטורים רבים מספר הטורים כללים ופרטים יחד שנכתוב העולה מכל מדרגה ומדרגה מהנקבצים מהטורים שמספרם אחדים תחת המדרגה הנקבצת ומהטורי' שמספרם עשרות תחת המדרגה הנמשכת למדרגה הנקבצת ומהטורי' שמספרם מאות במדרגה השלישית לה אחר זה נקבץ הכל
	כן כשנרצה להכות כללים לבד או כללים ופרטים יחד עם כללים ופרטים יחד
	נכה פרטי הטור המכה עם כל מדרגות הטור המוכה ונכתוב הסך תחת המדרגה המוכה אחר זה נכה עשרות הטור המכה עם כל מדרגות הטור המוכה ונכתוב העולה תחת המדרגה הנמשכת למדרגה המוכה ואחר נכה מאות הטור המכה עם כל מדרגות הטור המוכה ונכתוב העולה תחת המדרגה השלישית מהנמשכת למדרגה המוכה וכן תמיד על זה הדרך אחר זה נקבץ כל הטורים ההם שתחת המוכה והעולה יהיה הסך בהכרח
	הנה כבר התבאר לך סבת זה המין וסבת רבוי הטורי' המצטרכי' לקצת ההכאות וסבת חלוף הנחותיהם
	אלא שמה שנשאר עלינו מהחקירה הוא כי יתחייב לפי הדרך הזה כשרצינו על דרך משל להכות ש"ט עם רמ"ה שנקבץ הו' ר' פעמים ויעלו אלף ומאתים והאלף ומאתים הם י"ב מאות ונכתבם תחת הש' וכן העולה מקבוץ הו' מ' פעמים הם ר"מ והר"מ הם כ"ד עשרות ויכתבו תחת הנ' לא שנחשוב הר' פעמים לב' ונקבץ הו' ב' פעמים ולא שנחשוב המ' פעמים לד' ונקבץ הו' ד' פעמים
	אמנם עם הסבה הנתונה במין הקבוץ כבר התבאר לך שאין הזק בזה ר"ל אם נחשוב הר' לב' והמ' לד'
	וזה שכמו שאין הזק שנחשוב העשרות והמאות לאחדים במין הקבוץ ונכתוב העולה תחת המדרגה הנקבצת
	כן אין הזק לחשוב הפעמים שהם עשרות או מאות לאחדים ונכתוב העולה מהעשרות במדרגה השנית למדרגה הנקבצת והעולה מהמאות במדרגה השלישית למדרגה הנקבצת
	וזה שכבר התבאר לך במין הקבוץ שהמדרגות כלם ואם הם מתחלפות באיכות אולם מצד הכמות הם שוות
	וזה שהשנים והעשרים והמאתים ואם הם מתחלפים מצד האיכות אבל הם שוים מצד הכמות כי כלם שנים
	ולזה אין הבדל שיונחו העשרה תחת האחדים או שיכתוב אחד תחת העשרות
	ואם כן גם בזה המין אחר שהוא מין הקבוץ בעינו לפי מה שקדם אין הזק בזה אם נחשוב המ' פעמים לד' והר' פעמים לב' אחר שהכמות העולה מהכאת מספר א' עם הר' הוא שוה להכאת המספר ההוא עם הכ' או עם הב' ר"ל מצד הכמות לבד לא מצד האיכות
	וזה שהח' על דרך משל אם יוכו עם הב' יעלו י"ו אחדים ואם יוכו עם הכ' יעלו י"ו עשרות ואם יוכו עם הר' יעלו י"ו מאות
	ואחר שאין ההבדל מצד הכמות רק מצד האיכות הנה אם כן אין הזק בזה אם נחשוב כל מדרגות הפעמים לאחדים ונכם עם כל מדרגות המספרים והעולה נכתבהו כל אחד במדרגתו הראויה לו לפי מה שקדם
	כי עם ההנחה הראויה לו יתוקן האיכות המתחלף לכל מדרגה ומדרגה ממדרגות הפעמים
	הנה כבר התבארו לך עם זה סבות כל הדרכים המתחלפים אשר בזה המין
	וזה שהדרך הראשון והשני והשלישי הם מבוארים בעצמם עם כתיבת אלה הסבות אין צורך בהם לחקירה כלל
	אולם הדרך הרביעי הנה נצטרך בו לתוספת ביאור והוא שלמה שכבר התבאר לך הנחת כל סך וסך מהסכים לפי מדרגותו והיתה המדרגה הראשונה היא הנחת הסך העולה מקבוץ האחדים עם אחדי הפעמים לבד והמדרגה השנית היא הנחת הסך העולה מקבוץ העשרות עם אחדי הפעמים והסך העולה מקבוץ האחדים עם עשרות הפעמים והמדרגה השלישית היא הנחת הסך העולה מקבוץ המאות עם אחדי הפעמים והסך העולה מקבוץ האחדים עם מאות הפעמים והסך העולה מקבוץ העשרות עם עשרות הפעמים וכן כל מדרגה ומדרגה
	לכן חברנו כל ההנחות הראויות לכל מדרגה ומדרגה וכתבנום בטור אחד
	וזה מספיק לך מידיעת זה הדרך לא תצטרך בזה לתוספת ביאור
	אולם רבוי מיני ההכאות בבת אחת גם זה מבואר מידיעת זה המין
	וזה שכמו שלא יצטרכו בזה המין ממיני הדרכים לטורים רבים למה שראו ההנחות הראויות לכל מדרגה ומדרגה מהמדרגות וחברו הכל וכתבום בטור אחד
	כן לא הצטרכו בזה המין מרבוי מיני ההכאו' בבת אחת טורים רבים והכאות מתחלפו' למה שראו ההנחות הראויות לכל מדרגה ומדרגה מהמדרגו' מכל מיני ההכאות וחברו הכל וכתבום בטור אחר וזה מבואר מאד
	אולם הדרך החמישי והוא ההכאה שעל הדרך הקבוץ גם הוא מבואר ממה שקדם
	שהנחת הסך העולה מקבוץ אחדי המספרים עם מאות הפעמי' הוא במדרגה השלישית לאחדים והנחת הסך העולה מקבוץ האחדים עם עשרות הפעמים הוא במדרגה השנית לאחדים
	ולכך הניחו סיפראש בראש הטורים כמספר מדרגות הפעמים פחות אחד עד שיהיו כל מדרגות המספר במדרגה הראויה לה כל אחת לפי הנחתה
	המשל בזה אם היו הפעמים מאות לפי שהוא מהמחויב שיונח הסך העולה מקבוץ כל מדרגה ומדרגה ממדרגות המספרים במאות הפעמי' במדרגה השלישית למדרגה הנקבצת ממנו ב' סיפרש בראש הטורים והנה שבו כל המדרגות במדרגה השלישית לה
	ואולם כתבנו המספר ההוא בעינו בטורים רבים מספרם כמספר אחדי כמות המדרגה האחרונה ממדרגות הפעמים ואם הם מאות לפי מה שקדם שאין הזק אם נחשב כל מדרגה ומדרגה ממדרגות הפעמים לאחדים אחר זה כתבנו המספר ההוא בעינו כל מדרגה ומדרגה ממנו במדרגה הקודמת לה למה שקדם שהנחת הסך העולה מכל מדרגו' המספר עם עשרות הפעמים הוא במדרגה השנית למדרגה הנקבצת וכתבנו המספר ההוא בעינו בטורים רבים זה תחת זה כמספר אחדים שבעשרות הפעמים
	אחר זה כתבנו המספר ההוא בעינו כל מדרגה ומדרגה ממנו במדרגה הקודמת לה למה שקדם לך שהנחת הסך העולה מקבוץ כל מדרגות המספר עם אחדי הפעמים הוא במדרגה הנקבצת בעצמה וכתבנו המספר ההוא בעינו בטורים רבים זה תחת זה מספרם כמספר אחדי הפעמים אחר זה קבצנו כל הטורים וכתבנו העולה תחת כל מדרגה אחר שכבר הם מונחי' בהנחה הראויה להם והנה יצא לך הסך העולה מקבוץ המספר ההוא לפי הפעמים ההם וזה ענין מבואר מאד
	אלא שראוי לבאר לך בזה ענין אחד לבד והוא מה שכתבתי לך בזה המין מההכאה שאם יהיו אחדי הפעמים שבכל מדרגה ומדרגה ממדרגות הפעמים ה' או יותר שנחלק המספר באמצע ונקח חציו ונכתוב כל מדרגה ומדרגה ממנו במדרגה הנמשכת למדרגה אשר היה מקום הנחתה אלו לא הספיקו אחדיו לה'
	והסבה בזה גם כן מבוארת וזה שהוא מהידוע בעצמו שאין הבדל בין שנכתוב המספר המוכה ה' פעמים ובין שנקח חצי המספר המוכה ונכתבהו במדרגה הנמשכת
$\scriptstyle5a=10\sdot\frac{1}{2}a$	וזה שהעולה מקבוץ המספר המוכה ה' פעמי' הוא ה' כפלי המספר המוכה והעולה מהמספר המוכה בעינו במדרגה הנמשכת הוא י' פעמים כמוהו וחציו הוא ה' כפליו
	והנה אין הבדל בזה אם נכתבהו במדרגה הנמשכת ונקח חציו או אם נקח חציו ואחר זה נכתבהו במדרגה הנמשכת
	וכאשר היה זה כן הנה השתמשנו עם הקצור
$\scriptstyle n\sdot a=10\sdot\left(\frac{n}{10}\sdot a\right)$	וכן נוכל להשתמש עם זאת התחבולה עצמה בכל אחדי הפעמים
$\scriptstyle7a=10\sdot\left(\frac{7}{10}\sdot a\right)$	ר"ל שאם היו אחדי הפעמים שבעה עד"מ נקח ז' עשיריות המספר אחר זה נכתבהו במדרגה הנמשכת וישוה הטור ההוא לשבעה טורים מהמספר ההוא בעינו במדרגת הקודמת
$\scriptstyle6a=10\sdot\left(\frac{6}{10}\sdot a\right)$	וכן אם היו ששה נקח ששה עשרות וכן תמיד
	אלא שחלוק המספר אל שאר חלקיו זולת חציו הוא קשה מאד במלאכתו ולכן לא השתמשנו בו וזהו מה שכווננו בביאורו
$\scriptstyle4a=\left[10\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)\right]-a$	וכן אם רצית לכתוב ד' טורים עד"מ וחלקת המספר באמצע וכתבת אותו במדרגה הנמשכת והנה יחשב לה' טורים אחר זה חסרת מהעולה המספר ההוא בעינו מהמדרגה הקודמת בה הנה יחשב כמו ד' טורים
$\scriptstyle294\times40$	המשל בזה אם רצית להכות רצ"ד עם מ'
$\scriptstyle{\color{blue}{294\times40=\left[10\sdot\left(10\sdot\frac{294}{2}\right)\right]-\left(10\sdot294\right)=14700-2940=11760}}$	הנה נחלק רצ"ד באמצע ונעלהו מדרגה אחת ויהיה העולה י"ד אלפים ת"ש חסר מהם שני אלפים תתק"מ ישארו י"א אלפים תש"ס וככה הוא ארבעים פעמים רצ"ד וכן תמיד על הסדר הזה כי הכונה אחת
	ואולם סבת מאזני התשיעיות והשביעיות אשר בזה המין הנה כבר כתבנוה במין הקבוץ
	וזה שאחר שעם הדרך הזאת הנה הדבר שוה כאלו התכנו כל המספר המוכה לאחדים והשלכנו מהם התשיעיות והשביעיות ונשאר בידינו המותר
the product of a number multiplied by 9 or 7 has no remainder when casting out by 9 or 7	והוא מהמבואר בעצמו שהעולה מהכאת התשיעיו' והשביעיו' עם איזה מספ' היה יכלה בשביעיו' והתשיעיות
	הנה אם כן אשר נשאר עלינו לחקור ממנו התשיעיות והשביעיות לדעת המותר
	אמנם הוא המותר השמור מהמספר המוכה לבד לא זולתו
	וכן עם הדרך הזאת בעצמה יודע לך שאין ראוי להכות המותר השמור עם כל מספר הפעמים רק עם המותר מהם מהשביעיות והתשיעיות אחר שנשליך מהם השביעיות והתשיעיות
	וזה שהעולה מהכאת המותר איזה מותר היה עם השביעיות והתשיעיות יכלה בשביעיות והתשיעיות בהכרח
$\scriptstyle r_a\times r_b\equiv r_{a\times b}\left(mod\; k\right)$	וכאשר היה זה כן הנה מן המבואר בעצמו שמה שנשאר עלינו לחקור ממנו התשיעיות והשביעיו' לדעת המותר אמנם הוא העולה מהכאת המותר השמור מהמוכה עם המותר השמור מהפעמים ונשליך ממנו התשיעיו' והשביעיות והמותר ממנו הוא מותר העולה מקבוץ המספר המוכה עם מספר הפעמים אחר שנשליך ממנו השביעיות והתשיעיות ולכן יתחייב שיהיה הוא מותר הסך בהכרח וזהו מה שרצינו לבאר
	וכבר כתבנו מה שבאלה המאזנים מהחסרון ושדרך מאזני השביעיות צודק בכל מספר לא בשביעיות בלבד כאשר חשבו הקדמונים
	ואולם סבת המאזני צדק אשר בזה המין והוא החלוק הנה היא מבוארת גם כן ממה שקדם
	והוא שכבר קדם שעם החלוק יודע יחס המספר אל המספר ר"ל שהיוצא מהחלוקה הוא המורה על כמות הפעמים אשר ימנה המחלק את המחולק וכאשר היה זה כן והיו שני טורי המכה והמוכה כל אחד מהם מורה על כמות הפעמים אשר ימנה המספר האחד הסך העולה מהכאתם
	הנה אם כן מהמחוייב מזה שכאשר נחלק הסך העולה מהכאתם על אחד משני המספרים המוכים שיצא מהחלוקה המספר האחר בהכרח וזה מספיק לך מידיעת סבת זה המין
	ואולם המאזנים האחרים כבר קדם ביאורם אין צורך להכפיל המאמרים
	ואולם סבת כל הדרכים אשר בהם השתמשו על פה הנה נסדר אותם זה אחר זה כל אחד על ענינו
	והוא שהדרך האחד מהם והוא שאנחנו מכים הכמות עם הכמות ונשמרהו אחר זה נחבר מדרגות המכה והמוכה ונשליך מהם אחד והנשאר הוא מדרגת השמור סבתו ידועה ממה שקדם
	וזה שלמה שהתבאר לך שכל מספר מוכה עם מספר הנה אין הבדל שיוכה לפי איכותו או לפי כמותו
	הנה אם כן אין הזק אם נכה הכמות ונשמרהו מבלתי שנביט האיכות
	וכן למה שהתבאר לך שהעולה מהכאת המספר עם אחדי הפעמים יונחו תחת המדרגה המוכה והעולה מהכאת המספר עם עשרות הפעמים יונחו תחת המדרגה הנמשכת וכן תמיד על הסדר הזה
	וזה חבור השתי מדרגות המכה והמוכה בהשלכת מדרגה אחת
	הנה אם כן יתחייב מזה שיהיה מדרגת השמור חבור מספרי מדרגות המכה והמוכה בהשלכת מדרגה אחת בהכרח
$\scriptstyle\left(10a+b\right)\times\left(10c+d\right)=\left(10a\times d\right)+\left(b\times10c\right)+\left(10a\times10c\right)+\left(b\times d\right)$	ואולם הדרך האחר והוא שישובו הארבעה הכאות לשלשה הכאו' לבד וזה במספרים שכלליהם או פרטיהם או שניהם יחד שוים הנה סבתו גם כן ידועה
Euclid, Elements, Book II, Proposition 1: It was already clarified in Euclid's Book of Elements, in the [second] section, in the first proposition that for any two straight lines, one of which is cut into segments as many as they may be, the sum of the surfaces generated from the whole straight line and each of the segments of the other straight line equals the surface generated from the whole straight line and the whole divided line. $\scriptstyle ab_1+ab_2+\ldots+ab_n=a\sdot\left(b_1+b_2+\ldots+b_n\right)$	וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס במאמר השלישי ממנו בתמונה הראשונה שכל שני קוים שנחלק אחד מהם לחלקים כמה שיהיו הנה השטח ההוא מהקו האחד כלו עם כל אחד מחלקי הקו האחר יחד הוא שוה לשטח ההווה מהקו האחד עם כל הקו הנחלק
	וכן במספרים כי המופת צודק בהם וכאשר היה זה כן הנה אם כן העולה מהכאת עשרות המספר האחד עם אחדי המספר האחר והכאת אחדי המספר האחד עם עשרות המספר האחר הוא שוה לעולה מהכאת חבור האחדים עם חצי שני הכללים יחד
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle a=c\longrightarrow\left(10a\times d\right)+\left(b\times10c\right)&\scriptstyle=\left(10a\times d\right)+\left(b\times10a\right)\\&\scriptstyle=10a\times\left(d+b\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10a+10a\right)\right]\times\left(b+d\right)\\\end{align}$	וזה שאם היו הכללים והפרטים או הכללים לבד שוים הנה הכאת הכלל עם הפרט והפרט עם הכלל הוא שוה להכאת הכלל האחד שהוא חצי הכללים אחר שהם שוים עם כל אחד מהפרטים שהוא שוה להכאת חצי הכללים עם כלל חבור שני הפרטים יחד לפי מה שהתבאר בספר היסודות לאקלידס
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle b=d\longrightarrow\left(10a\times d\right)+\left(b\times10c\right)&\scriptstyle=\left(10a\times b\right)+\left(b\times10c\right)\\&\scriptstyle=b\times\left(10a+10c\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+b\right)\right]\times\left(10a+10c\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10b+10b\right)\right]\times\left(a+c\right)\\\end{align}$	ואם היו הפרטים לבד שוים הנה הכאת הכלל עם הפרט והפרט עם הכלל הוא שוה להכאת הפרט האחד שהוא חצי הפרטים אחר שהם שוים עם כל אחד מהכללים שהוא שוה להכאת חצי הפרטים עם כלל חבור שני הכללים יחד לפי ההקדמה שהתבארה לנו מספר היסודות אשר הוא שוה להכאת חצי הכללי' עם כלל חבור שני הפרטים יחד
relying on Euclid $\scriptstyle a\times b=2a\times\frac{1}{2}b$	וזה שכל שני מספרים שיוכה אחד מהם עם האחר העולה מהם שוה למספר העולה מהכאת כפל האחד מהם עם חצי המספר האחר כאשר התבאר בספר היסודות לאקלידס וזה מה שרצינו לבאר
$\scriptstyle\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\times\left[\left(a\sdot10^n\right)+b\right]=\left(a\sdot10^n\right)^2-b^2$	ואולם הדרך האחר והוא שאם היו שני מספרים מוכים עם שני מספרים שרחקם שוה מכלל אחד האחד למגרעת והאחר לתוספת שיוכה הכלל עם עצמו והעולה נגרע ממנו מרובע המגרעת או התוספת הנה סבתו גם כן ידועה עם ההקדמה הנזכרת
	והוא כי הכלל אשר יתרחקו ממנו שני המספרים המוכים הוא נמצא במספר הנוסף בהכרח
$\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)^2=\left(a\sdot10^n\right)\times\left[\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]+b\right]$	והוא מהמבואר שהכאת הכלל עם הכלל הוא שוה בהכרח להכאת הכלל שבמספר הנוסף עם המספר הנגרע ועם המגרעת לפי ההקדמה הנזכרת
$\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)\times b=b\times\left[\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]+b\right]$	ויתחייב עוד מזאת ההקדמה בעצמה שהכאת הכלל עם המגרעת הוא שוה להכאת המגרעת עם המספר הנגרע ועם המגרעת
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)^2&\scriptstyle=\left[\left(a\sdot10^n\right)\times\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\right]+\left[b\times\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\right]+\left(b\times b\right)\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\times\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\right]+b^2\\\end{align}$	הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה הכלל עם הכלל שוה לשלש הכאות הכאת הכלל שבמספר הנוסף עם המספר הנגרע והכאת המגרעת עם המספר הנגרע והכאת המגרעת עם המגרעת אולם ההכאה הראשונה מהשלש הכאות הנה הוא הכאת הכלל שבמספר הנוסף עם כל המספר הנגרע ואולם ההכאה השנית הנה הוא הכאת אחדי המספר הנוסף שהם שוים למגרעת עם כל המספר הנגרע ואולם הכאת המגרעת עם המגרעת הנה הוא יתר
	וזה שעם ב' ההכאות הראשונות כבר נכללו ד' הכאות השני מספרים עם שני מספרים
	ולכן יתחייב תמיד שיהיה הכאת השני מספרים עם שני מספרים שרחקם מכל אחד בעצמו רוחק שוה האחד לתוספת והאחר למגרעת
	חסר מהכאת הכלל עם הכלל כמו הכאת המגרעת עם המגרעת שהוא מרובע המגרעת או מרובע התוספת אחר שהם שוים וזה מה שרצינו לבאר
$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2$	ואולם הדרך האחר והוא שנקח מרובע שלשית המספר המוכה עם עצמו ונעלהו מדרגה אחת ונגרע ממנו מרובע שלישיתו
Euclid, Elements, Book VIII, Proposition 11: Its reason is also known from what was clarified in Euclid's Book of Elements, in the eighth section that for every two squares numbers the ratio of one of them to the other is as the duplicate ratio of that which the side has to the side. $\scriptstyle a^2:b^2=\left(a:b\right)^2$	הנה סבתו ג"כ ידועה ממה שהתבאר בספר היסודו' לאקלידס במאמר הח' ממנו שכל שני מספרים מרובעים הנה יחס הא' מהם אל חברו הוא כיחס צלעו אל צלעו שנוי בכפל
$\scriptstyle\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2:a^2=\left[\left(\frac{1}{3}\sdot a\right):a\right]^2=\frac{1}{3}^2=\frac{1}{9}$	וזה שיתחייב מזה שיהיה יחס מרובע שלישית המספר אל מרובע כל המספר כיחס שליש המספר אל כל המספר שנוי בכפל ויחס שליש המספר אל כל המספר הוא יחס השליש והשליש מוכה עם עצמו הוא תשיעית אם כן יתחייב מזה בהכרח שיהיה יחס מרובע שליש המספר אל מרובע כל המספר יחס התשיעית
$\scriptstyle a^2=9\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2$	ולכן יהיה מרובע כל המספר תשעה כפלי מרובע שלישיתו וכאשר נעלה מרובע השלישית אל מדרגה אחת גבוהה ממנה יתחייב שישוב עשרה כפלי מרובע השליש וכאשר יחוסר ממנו מרובע השליש וישארו תשעה כפלי מרובע השליש הוא שוה בהכרח למרובע כל המספר האחר שהוא תשעה כפלי מרובע השליש
Euclid, Elements, Book V, Proposition 9: For, any two magnitudes, which have the same ratio to the same magnitude, necessarily equal one another, according to what is clarified in Euclid's Book of Elements. $\scriptstyle a:c=b:c\longrightarrow a=b$	כי כל שני שעורים שיחסם אל שעור אחר בעצמו יחס אחד הנה הם שוים בהכרח לפי מה שהתבאר בספר היסודות לאקלידס
	ולהיות שלא יצדק זה הטבע בזולת השליש רוצה לומר שלא ימצא שום חלק מחלקי המספר אשר יהיה מרובעו בתוספת מדרגה אחת בחסרון ממנו שוה למרובע הכל
	לכן בחרו זה החלק מכל שאר החלקים כי כל שאר החלקים זולתו ואף כי נוכל להשתמש עמם בזאת התחבולה
$\scriptstyle\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)^2=\frac{1}{16}\sdot a^2$	וזה כי רביעית המספר על דרך משל יתחייב לפי מה שקדם שיהיה מרובעו חלק אחד מי"ו חלקי מרובע הכל
$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left[\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)^2+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)^2\right]\right]\right]+\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)^2$	ולכן כאשר נקח מרובע רביעיתו ונוסיף עליו חציו ונעלהו מדרגה אחת אחר זה נוסיף עליו מרובע רביעיתו יתחייב בהכרח שיהיה שוה למרובע הכל
$\scriptstyle\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2=\frac{1}{49}\sdot a^2$	וכן שביעית המספר עד"מ להיות שהוא מחוייב שיהיה מרובע חלק אחד ממ"ט חלקי מרובע הכל לפי מה שקדם
$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot5\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2$	אם כן כאשר נקח מרובע שביעיתו ונכהו בה' והעולה נעלהו מדרגה אחת ויחוסר ממנו מרובע שביעיתו יחויב בהכרח שיהיה שוה למרובע הכל וכן בכל שאר החלקים
	אולם הניחום למה שיצטרך בזה הכאות
	ולכן קצת מהקדמונים שחשבו שכבר מצאו דרך חדש להשתמש עם חמישית המספר
$\scriptstyle a^2=10\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2$	וזה כשלקחו מרובע חמישיתו והכוהו בב' וחצי והעלוהו מדרגה אחת הנה כברו השתמשו עם דרך משותפת לכל שאר החלקים
	ואתמה מהם מדוע בחרו דרך החמישית מכל שאר החלקים אם לא שנחשוב שלא שערו בסבת זה הפועל
	כי אלו שערו בו הנה לא היו בוחרים זה החלק מכל שאר החלקים אחר שדרך זה החלק הוא דרך מושתפת לכל שאר החלקים
$\scriptstyle\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2=\frac{1}{49}\sdot a^2$	וזה שכמו שמרובע השביעית עד"מ למה שהוא חלק אחד ממ"ט חלקי מרובע הכל
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\left[10\sdot5\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2&\scriptstyle=\left[50\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2\\&\scriptstyle=49\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2=a^2\\\end{align}$	ויתחייב שיוכה מרובע השביעית בה' ונעלהו מדרגה אחת ויהיה נ' כפלי מרובע השביעית וכשיחוסר ממנו מרובע השביעית יחוייב שיהיה מ"ט כפלי מרובע השביעית שהוא שוה למרובע הכל
$\scriptstyle\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2=\frac{1}{25}\sdot a^2$	כן למרובע החמישית למה שהוא חלק אחד מכ"ה חלקי מרובע הכל
$\scriptstyle10\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2=25\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2=a^2$	יתחייב שיוכה מרובעו בב' וחצי ונעלהו מדרגה אחת ויהיה כ"ה כפלי מרובע החמישית שהוא שוה למרובע הכל
	אלא אם יאמר אומר שאין עזיבת שאר המינים מפני רבוי ההכאות אך מפני רבוי המינים הצריכים להם שהם הכאות והעתקות וחסורים
$\scriptstyle\left(a+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]+a+\left(a+1\right)$ $\scriptstyle\left(a-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-a-\left(a-1\right)$	ואולם כאשר לא יהיה למספר הדרוש שליש הנה השתמשנו עם המספר שיש לו שליש והוא הנוסף או הנגרע מהמספר הדרוש אחד כמשפט ושמרנוהו אחר זה חברנו המספר הדרוש עם המספר שיש לו שליש והוספנוהו על השמור אם היה המספר הדרוש נוסף על המספר שיש לו שליש או גרענוהו אם היה המספר הדרוש נגרע מהמספר שיש לו שליש
$\scriptstyle a^2-\left(a-b\right)^2=\left[a+\left(a-b\right)\right]\times b$	וסבת זה גם כן מבוארת וזה שהוא מהמבואר שתוספת מרובע מספר מה על מרובע מספר אחר נגרע ממנו הנה הוא שוה לחבור שני המספרים יחד מוכה עם המגרעת
$\scriptstyle a\times\left(a-b\right)=\left[\left(a-b\right)\times\left(a-b\right)\right]+\left[b\times\left(a-b\right)\right]$	וזה שהכאת המספר הנוסף עם המספר הנגרע הוא שוה להכאת המספר הנגרע עם הנגרע והכאת המגרעת עם הנגרע יחד לפי מה שקדם לך מההקדמה המקובלת ממאמר שני מאקלידס
$\scriptstyle a\times a=\left[a\times\left(a-b\right)\right]+\left(b\times a\right)$	והכאת המספר הנוסף עם המספר הנוסף הוא שוה להכאת המספר הנוסף עם הנגרע והכאת המגרעת עם הנוסף לזאת הסבה בעצמה
$\scriptstyle a\times a=\left[\left(a-b\right)\times\left(a-b\right)\right]+\left(b\times a\right)+\left[b\times\left(a-b\right)\right]$	וכאשר היה זה כן הנה יחוייב בהכרח שיהיה הכאת המספר הנוסף עם המספר הנוסף שוה לג' הכאות הכאת המספר הנגרע עם הנגרע והכאת המגרעת עם הנוסף והכאת הנגרע עם הנגרע
$\scriptstyle\left(b\times a\right)+\left[b\times\left(a-b\right)\right]=b\times\left[\left(a-b\right)+a\right]$	ואלה השני הכאות האחרונות שוות להכאת המגרעת עם חבור הנגרע והנוסף יחד לפי ההקדמה הנזכרת
$\scriptstyle a\times a=\left[\left(a-b\right)\times\left(a-b\right)\right]+\left[b\times\left[\left(a-b\right)+a\right]\right]$	הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה הכאת הנוסף עם הנוסף שוה להכאת הנגרע עם הנגרע והכאת המגרעת עם חבור הנוסף והנגרע
$\scriptstyle\left(a+1\right)^2=a^2+\left[\left(a+1\right)+\left[\left(a+1\right)-1\right]\right]$	וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב בהכרח שאם יהיה מספר הדרוש נוסף א' מהמספר שיש לו שליש שיחובר המספר הנוסף עם הנגרע ונוסיפהו על מורבע המספר שיש לו שליש והמחובר הוא מרובע הדרוש
$\scriptstyle\left(a+2\right)^2=a^2+\left[2\sdot\left[\left(a+2\right)+\left[\left(a+2\right)-2\right]\right]\right]$	ואם מספר הדרוש נוסף ב' מהמספר שיש לו שליש שיחובר המספר הנוסף עם הנגרע והעולה נכהו עם ב' והמחובר נוסיפהו על מרובע המספר שיש לו שליש והעולה הוא מרובע מספר הדרוש
$\scriptstyle\left(a+3\right)^2=a^2+\left[3\sdot\left[\left(a+3\right)+\left[\left(a+3\right)-3\right]\right]\right]$	ואם הדרוש נוסף ג' נכה העולה מחבור מספר הדרוש עם המספר שיש לו שליש עם ג' והעולה נוסיפהו על מרובע המספר שיש לו שליש והעולה הוא מרובע הדרוש
	וכן על זה הדרך תמיד
	ואולם בחלק השליש לא נצטרך להשתמש אלא אם במגרעת אחד מהדרוש אם בתוספת אחד מהדרוש
	כי כאשר יהיה התוספת ב' כבר הוא נגרע אחד מהמספר הנוסף ממנו שיש לו שליש
	ולזה בחרו הקדמונים להשתמש עם חלק השלישי למה שאין ההבדל בין המספר הדרוש ובין המספר שיש לו שליש לעולם רק אחד אם בתוספת ואם במגרעת
	ולא יצטרכו להכאת המגרעת עם חבור מספר הדרוש והמספר שיש לו שליש לפי מה שקדם
	ואולם המשתמשים עם חלק החמישית הנה יקרה להם שיצטרכו להכאת המגרעת עם חבור שני המספרים שהם המספר הדרוש והמספר שיש לו חמישית ובזה ישתתפו כל שאר החלקים
	ולכן תמהתי עליהם מדוע בחרו חלק החמישית משאר החלקים אחר שהדרך הזאת משותפת לכל החלקים וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם החלוקים הנזכרים בספר אקלידס לא אצטרך בזה להזכיר הסבות והמופתים הנופלי' עליהם כי כבר הזכירם אקלידס בספרו אין צורך להכפיל המאמרי'
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]$	ואולם הדרך אשר בו השתמשו הקדמונים בקבוץ כל המספרים המונחים הנוספים קצתם על קצת בתוספת אחד על סדר המספרים הטבעיים כשיכו המספר האחרון עם חציו בתוספת חצי הנה סבתו גם כן מבוארת בעצמה
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right):n&\scriptstyle=\left[\left(\sum_{k=1}^{n-2} k\right):\left(n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\\&\scriptstyle=\underbrace{\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ldots+\frac{1}{2} }_{\left(n-1\right)\; times}=\frac{1}{2}\sdot\left(n-1\right)\\\end{align}$	וזה שהמספרים הטבעיים לפי הנחתם הנה כל מספר ומספר מהם כאשר תערוך כל המספרים הקודמים ממנו אליו הנה יהיה תוספת ערך הקודמים מהמספר המאוחר על ערך הקודמי' מהקודם לו בתוספת חצי
$\scriptstyle{\color{blue}{1:2=\frac{1}{2}}}$	וזה שערך הא' אל הב' הוא ערך החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+2\right):3=1}}$	וערך הא'ב' אל הג' הוא ערך השלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+2+3\right):4=1+\frac{1}{2}}}$	וערך הא'ב'ג' אל הד' הוא ערך האחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+2+3+4\right):5=2}}$	וערך הא'ב'ג'ד' אל הה' הוא ערך הב'
	וכן תמיד בתוספת חצי
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן כאשר רצו לדעת קבוץ כל המספרי' הטבעיים שהתחלתם מהאחד עד מספר מה איזה מספר היה הנה אחר שכל המספרים הקודמים לו יהיה ערכם אל המספר האחרון כמו קבוץ החצאים הנוספים בכל מדרגה ומדרגה ממדרגות המספר לפי מה שקדם
	הנה אם כן בהכרח ראוי לדעת כמות המדרגות שמהא' עד המספר ההוא ויחשוב הקודמים לב' חצי והקודמים לג' אחד והקודמים לד' אחד וחצי וכן תמיד עד שיגיעו אל המספר האחרון וכפי מה שיצא החשבון ככה יהיה ערך הקודמים אליו ונחבר עמם המספר האחרון
:$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)+n$	ובזה יודע קבוץ כל המספרים אחר שכל המספרים אינם רק המספרים הקודמים מהמספר האחרון עם המספר האחרון
	ואולם הראשונים קצרו הדרך ולקחו מספר המדרגות וחלקום לחצאים ולקחו חצים להיות שכל שתי מדרגו' הם שלם אחד כי השני חצאים הנוספים בשתי המדרגות הם אחד והיה ראוי שיקחו פחות מחצי המדרגות חצי בעבור שחצאי המדרגות מתחילים ממספר ב' כי הא' אין לו קודמים
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)+n\\&\scriptstyle=\left[n\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n-1\right)\right]\right]+n\\&\scriptstyle=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)-\frac{1}{2}+1\right]\\&\scriptstyle=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\\\end{align}$	ואולם בעבור שחברו עם ערך הקודמים גם המספר האחרון עצמו והמספר האחרון הוא במדרגת השלם כי כל הקודמים אמנם יחשבו חלקים בערך אליו ואם כן יתחייב מזה בהכרח שבמקום שהיה ראוי שיקחו חצי כמות כל המדרגות שמהאחד עד המספר האחרון פחות חצי שיוסיפו עליהם חצי כי כאשר תוסיף אחד על חצי הכמות פחות חצי יהיה חצי הכמות וחצי ולכן יתחייב מזה שנקח חצי כמות המדרגות בתוספת חצי ונכם עם המספר האחרון ויצא לנו קבוץ כל המספרי'
	והוסיפו עוד הקדמוני' לקצר על זה עד שלא הוצרכו למנות המדרגות רק לקחו חצי המספר האחרון בתוספת חצי תמורת חצי כמות המדרגות בתוספת חצי בעבור שכמות המספר האחרון איזה מספר היה הוא בעצמו כמות המדרגות שמהא' עד המספר ההוא במספרים הטבעיים
$\scriptstyle n=2m\longrightarrow$	ואולם כאשר יהיה המספר האחרון זוג
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]=\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)\sdot\left(n+1\right)$	הנה יקחו חציו לבד ויוסיפו על המספר האחרון א' ויכוהו עמו להיות שהכאת חצי המספר בתוספת חצי עם המספר האחרון הוא שוה להכאת חצי המספר לבד עם המספר האחרון בתוספת אחד
	ולכן השתמשו בזה והניחו הדרך הקודם שלא יצטרכו במלאכתם לשברים כלל
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)+\frac{1}{2}\right]^2$	ואולם הדרך אשר בו השתמשו בקבוץ כל המספרים הנוספים קצתם על קצת בתוספת ב' על סדר הנפרדים הטבעיים כמו מספרי א' ג' ה' ז' כשיכו חצי המספר האחרון בתוספת חצי עם עצמו הנה סבתו גם כן ידועה
Nicomachus	והוא שכבר התבאר בספר הארתימטיקא לניקומכוש הגהרשיני במאמר השני
the square numbers ("same") are generated from the sum of the odd numbers $\scriptstyle n^2=\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)$	שהמספרים ההויים והם המספרים המרובעים הנה צמיחתם תהיה בתוספת הנפרדים הטבעיים קצתם על קצת
$\scriptstyle{\color{blue}{1=1}}$	שהתחלתם האחד אשר הוא הנפרד בכח
$\scriptstyle{\color{blue}{4=1+3}}$	כי השלשה אשר הם נפרד ראשון בפועל כאשר נוספו על האחד היה הגעת זה ארבעה והוא המרובע הראשון בפועל
	וכן תמיד וכל צלע מצלעות כל מרובע מהם שהוא שרש אותו המרובע הנה הוא מספר המדרגו' בעצמם
	כאשר התבאר זה במאמר הראשון מספר הארתמטיקא רוצה לומר שאם נניח הנפרדים הטבעיים זה אחר זה נמשכים מבלתי שנדלג מהם כלל כמו מספרי א' ג' ה' ז' ט' י"א
$\scriptstyle{\color{blue}{1+3=4=2^2}}$	הנה קבוץ הג' א' הם ד' שהם מרובע וצלע זה המרובע שהוא שרשו הנה הוא כמו המדרגות שמהא' עד הג' שהם ב' כי שני פעמים ב' הם ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5=9=3^2}}$	וכן קבוץ א' ג' ה' הם ט' והוא מרובע ושרשו הוא כמות המדרגות שמהא' עד הה' שהם ג' כי ג' פעמים ג' הם ט' וכן תמיד
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)=n^2=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]^2$	וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שכאשר נקח כמות המדרגות שמהא' עד המספר האחרון ונכם עם עצמם שיולד קבוץ כל המספרים שמהא' עד המספר האחרון ואולם הקדמונים למה שראו שכמות המדרגו' שמהא' עד המספר האחרון איזה מספר היה הנה הוא שוה לחצי המספר האחרון עם תוספת חצי הנה לא הוצרכו למנו' המדרגות רק לקחו חצי המספר האחרון בתוספת חצי והכוהו עם עצמו והעולה הוא קבוץ כל המספרים שמהא' עד המספר האחרון וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם הדרך אשר בו השתמשו בקבוץ כל המספרים הנוספים בתוספת ב' קצתם על קצתם על סדר מספרי הזוגות הטבעיים כמו מספרי ב' ד' ו' ח' י' כשיכו חצי המספר האחרון עם חציו האחר בתוספת אחד הנה סבתו גם כן ידועה
Heteromecic numbers $\scriptstyle n\sdot\left(n-1\right)$	והוא שכבר התבאר בספר הארתמטיקא לניקומכוש הגהרשיני במאמר השני שהמספרים הזולתיים שהם אשר יהיו צלעותיו נוסף אחד מהם על האחר בתוספת האחד כמו א"ב וב"ג וג"ד וד"ה וכן תמיד הנה צמיחתם תהיה בתוספת הזוגות הטבעיים קצתם על קצת
$\scriptstyle{\color{blue}{2+4=6=2\sdot3}}$	כי השנים אשר הוא הזוג הראשון כאשר נוסף על הד' שהוא הזוג השני היה הגעת זה ששה והוא הזולתיי הראשון בפועל
$\scriptstyle{\color{blue}{2+4+6=12=3\sdot4}}$	וכאשר נוספו על הו' שהוא הזוג השלישי שתי הזוגות הראשונות שהם הב' ד' יעלו י"ב שהוא הזולתיי השני בפועל וכן תמיד
	וצלעו' כל זולתיי וזולתיי מהם הצלע האחד מהם שהוא הקטן שבשניהם הוא כמות המדרגות בעצמם שמהשנים עד המספר האחרון והגדול הוא כמות המדרגות בעצמם בתוספת אחד אחר שהתחלפות הצלע הגדול מהם אל הקטן איננו כי אם במספרים הזולתיים לפי מה שקדם
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שכאשר נקח כמות המדרגות שמהמספר הראשון עד המספר האחרון ונכהו עם הכמות הזה בעצמו בתוספת אחד שיולד המספר הזולתיי היוצא מקבוץ כל הזוגו' הטבעיים הקודמים למספר האחרון עם המספר האחרון בהכרח שהוא קבוץ כל מספרי הזוגות הטבעיים המונחים
	ואולם הקדמונים למה שראו שכמות המדרגו' שמהמספר הראשון עד המספר האחרון איזה מספר היה הנה הוא שוה לחצי המספר האחרון הנה לא הוצרכו למנות המדרגות לדעת כמותם רק לקחו חצי המספר האחרון והכוהו עם חציו בתוספת אחד והעולה הוא קבוץ כל המספרים שמהמספר הראשון עד המספר האחרון וזהו מה שכווננו ביאורו
$\scriptstyle S_n=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot a_n$	ואולם הדרך אשר חדשנו אנחנו הכוללת לכל מיני התוספת אשר בו יתוספו המספרי' המונחים קצתם על קצת איזה תוספת היה כשנכה חצי כמות המדרגות שמהמספר הראשון השוה לתוספת עד המספר האחרון בתוספת חצי עם המספר האחרון והעולה הוא שוה לכל המספרים המונחים סבתו גם כן ידועה ממה שקדם מנתינת הסבה במספרים הטבעיים
Euclid, Elements, Book V, Proposition 15: For, it was already clarified in Euclid's Book of Elements, in the fifth section, that any numbers, whose multiples are equal, have the same ratio as the ratio of their equimultiples. $\scriptstyle\left(n\sdot a\right):\left(n\sdot b\right)=a:b$	וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס במאמר החמישי ממנו שהמספרים אשר כפליהם שוים הנה יחס קצתם אל קצת כיחס כפליהם קצתם אל קצת
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(a\sdot k\right)=a\sdot\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)$	וכאשר היה זה כן והיו כל שאר מיני המספרים הנוספים קצתם אל קצת בתוספת שוה הם כפלי המספרים הטבעיים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{4} 2k=2+4+6+8=2\sdot\left(1+2+3+4\right)=2\sdot\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)}}$	וזה שמספרי ב' ד' ו' ח' על דרך משל הנוספים בתוספת ב' הם שני כפלי א' ב' ג' ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{4} 3k=3+6+9+12=3\sdot\left(1+2+3+4\right)=3\sdot\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)}}$	ומספרי ג' ו' ט' י"ב הנוספים בתוספת ג' הם שלשה כפלי א' ב' ג' ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{4} 4k=4+8+12+16=4\sdot\left(1+2+3+4\right)=4\sdot\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)}}$	ומספרי ד' ח' י"ב י"ו הנוספים בתוספת ד' הם ארבע כפלי א' ב' ג' ד' הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיו על יחס א' ב' ג' ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{1:2=2:4=3:6=4:8}}$	רוצה לומר שיחס האחד אל השנים הוא כיחס השנים אל הארבעה והג' אל הו' והד' אל הח'
$\scriptstyle{\color{blue}{2:3=4:6=6:9=8:12}}$	וכן יחס הב' אל הג' הוא כיחס הד' אל הו' והו' אל הט' והח' אל הי"ב וכן תמיד
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה כל מספר ומספר מכל המספרים המתחלפים שתוספתם שוה כאשר תעריך כל המספרים הקודמים ממנו אליו יהיה תוספת ערך הקודמים ממנו אליו מערך הקודמים מהמספר הקודם לו אל הקודם לו בתוספת חצי
	כמו שהיה זה במספרים הטבעיים וזה שהמספרי' הנוספים קצתם על קצת בתוספת ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{2:4=\frac{1}{2}}}$	הנה יהיה ערך הב' אל הד' חצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+4\right):6=\frac{2}{2}}}$	וערך הב' ד' אל הו' שני חצאים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+4+6\right):8=\frac{3}{2}}}$	וערך הב' ד' ו' אל הח' שלשה חצאים
	וכן תמיד בתוספת חצי
	וכן במספרים הנוספים קצתם על קצת בתוספת ג'
$\scriptstyle{\color{blue}{3:6=\frac{1}{2}}}$	כי ערך השלשה אל הששה חצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+6\right):9=\frac{2}{2}}}$	וערך הג' ו' אל הט' שני חצאים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+6+9\right):12=\frac{3}{2}}}$	וערך ג' ו' ט' אל הי"ב שלשה חצאים וכן תמיד בתוספת חצי
	וכאשר היה זה כן הנה כמו שיחוייב במספרים הטבעיים שנקח חצי כמות כל המדרגות שמהמספר הראשון עד המספר האחרון בתוספת חצי ונכהו עם המספר האחרון והעולה הוא סך כל המספרים המונחים לסבה שזכרנוה
	כן יחוייב שנקח חצי כמות כל המספרים המונחים הנוספים קצתם על קצת באיזה תוספת היה בתוספת חצי ונכהו עם המספר האחרון ויצא לך סך כל המספרים המונחים אחר שהם מתדמי היחס למספרים הטבעיים לפי מה שקדם
	ואולם אשר נעלם מהקדמונים הוא כי הם לא שערו שהסבה בהכאת חצי המספר האחרון בתוספת חצי עם המספר האחרון הוא מפני שהוא שוה להכאת חצי המדרגות בתוספת חצי עם המספר האחרון
	וזה מפני שחצי המדרגות הוא חצי המספר האחרון במספרים הטבעיים
	אבל חשבו שהוא מצד שהוא חצי המספר האחרון לבד
	וכאשר היה זה בלתי צודק רק למספרים הטבעיים הנוספים קצתם על קצת בתוספת א' חשבו שאין הדרך הזאת צודקת רק במספרים הטבעיים
	אולם אנחנו למה שכבר ביארנו שאין זה מצד חצי המספר האחרון רק מצד מה שקרה שחצי המדרגות הם חצי המספר האחרון אבל הסבה אשר בעצם ועל הכוונה הראשונה אמנם הוא מצד חצי המדרגות בתוספת חצי
	הנה אם כן יחוייב בהכרח שכמו שבהכאת חצי כמות מדרגות המספרים הטבעיים בתוספת חצי עם המספר האחרון יצא לך סך כל המספרים הטבעיים
	כן יחוייב מזה שבהכאת כמות חצי מדרגות המספרים המונחים הנוספים בתוספת שוה איזה תוספת היה עם המספר האחרון יצא לך סך כל המספרים המונחים בהכרח
	ואולם כאשר היה המספר הראשון מכל המספרים המונחים פחות מהתוספת אשר בו יתוספו קצתם על קצת איזה פחיתות היה הנה נוסיפהו על המספר האחרון ונכהו עם חצי כמות המדרגות בתוספת חצי והעולה נגרע ממנו העולה מהכאת המגרעת עם כמות המדרגות והנשאר הוא סך כל המספרים המונחים
	וסבת זה גם כן ידועה ממה שקדם וזה שהוא מהמבואר בעצמו שכאשר נוסיף המגרעת על המספר האחרון הוא שוה כאלו התחלנו המדרגו' מהמספר אשר הוא שוה לתוספת המספרי' המונחים קצתם על קצת
	ואם כן מהכאתו עם חצי כמות המדרגות בתוספת חצי יחוייב שיצא סך כל המספרים הנוספים קצתם על קצת כאשר יהיה התחלתם מהמספר השוה לתוספת לפי מה שקדם מהמאמר
	וכאשר נגרע מכל אחד מהמספרים המונחים מגרעת המספר הראשון מהמספר השוה לתוספת אשר בו יתחלפו אלה המספרים המונחים מהמספרים אשר התחלתם מהמספר השוה לתוספת
	הנה יחוייב מזה בהכרח שישאר לנו הסך העולה מכל אלה המספרים המונחים וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם הדרך אשר בו השתמשו במספרים המונחים המתיחסים ביחס הכפל כשיכפלו המספר האחרון ויגרעו ממנו המספר הראשון מהמספרים המונחים והנשאר הוא סך כל המספרים המונחים הנה סבתו גם כן ידועה
	וזה שכפל המספר האחרון הוא כמו חבור המספר האחרון עם כפל הקודם וכפל הקודם הוא שוה לחבור הקודם עם כלל קודם הקודם
	אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה כפל המספר האחרון שוה לחבור המספר האחרון עם הקודם ועם כפל קודם הקודם
	וכן יתחייב בזה הדרך בעצמו שיהיה כפל המספר האחרון שוה לחבור המספר האחרון עם הקודם ועם קודם הקודם ועם כפל קודם קודם הקודם וכן תמיד עד שיכלה אל המספר הראשון למספרים המונחים המתיחסים ביחס הכפל
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה כפל המספר האחרון שוה לחבור המספר האחרון עם כל המספרים הקודמים חוץ מהמספר הראשון וכפל המספר הראשון שהוא שני פעמים כמו המספר הראשון
	ואם כן כפל המספר האחרון הוא נוסף על חבור המספר האחרון עם כל המספרים הקודמים כמו המספר הראשון
	ולכן כאשר נגרע מכפל המספר האחרון המספר הראשון יהיה הנשאר שוה בהכרח לחבור המספר האחרון עם כל הקודמים המונחים וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם הדרך אשר חדשנו אנחנו בזה המין והוא שנגרע אחד מהמספר אשר יגזר ממנו היחס איזה יחס היה וכפי השבר הנגזר מהמספר הנשאר כן נקח מהמספר האחרון אחר שנגרע ממנו המספר הראשון ונוסיפהו על המספר האחרון והוא סך כל המספרים המונחים המוחסים איזה התיחסות שיהיה הנה סבתו גם כן ידועה
	וזה שהוא מהמבואר בעצמו שהמספרים המונחים המתיחסים באיזה יחס שיהיה הנה הקודם מהמספר האחרון כאשר יכפל במספר כפלי המספרים המונחים יהיה שוה למספר האחרון בהכרח
	משל זה ביחס הכפל הנה מספר ח' כאשר יכפל שני פעמים יהיה שוה למספר י"ו שהוא אחריו
	וכן ביחס המשלש בכפל הנה מספר ט' כאשר יכפל שלשה פעמים יהיה שוה בהכרח למספר הכ"ז שהוא אחריו
	וכן בכל יחס ויחס איזה יחס היה
	וכאשר היה זה כן והוא מן המבואר בעצמו שהעולה מכפלי המספר הקודם איזה כפלים שיהיו הנה הוא שוה לחבור העולה מכפלי הקודם פחות אחד מכפליו עם העולה מכפלי קודם הקודם כאשר יהיו כפליו שוים לכפלי הקודם טרם שנגרע ממנו הכפל האחד
	משל זה במשלנו הקודם הנה העולה משני כפלי הח' הוא שוה לחבור הח' עם העולה משני כפלי הד' הקודם ממנו וכן העולה מג' כפלי הט' הוא שוה לחבור העולה משני כפלי הט' עם העולה מג' כפלי הג' הקודם ממנו
	והסבה בזה הוא שאחר שהקודם לקודם כאשר יכפל במספר כפלי המספרי' המתיחסים קצתם אל קצת הנה הוא שוה למספר המאוחר ממנו אם כן אין הבדל בזה בין שנקח ג' כפלי המספר האמוחר עד"מ ובין שנקח ב' כפלי המאוחר וג' כפלי הקודם אשר הם שוים למספר המאוחר
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שכאשר יהיו מספרים מונחים מתיחסים ביחס מה ונכפול המספר הקודם מהמספר האחרון במספר כפלי המספרים המונחים שיהיה העולה ממנו שוה למספר האחרון לפי ההקדמה הראשונה והוא שוה גם כן לחבור העולה ממנו כאשר יכפל במספרי כפלי המספרים המתיחסים פחות אחד עם העולה מכפלי הקודם ממנו שהוא קודם לקודם כאשר יהיו כפליו ככפלי היחס לפי ההקדמה השנית
	אם כן יחוייב מזה בהכרח שהעולה מהמספר הקודם הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות אחד כאשר יחובר עם העולה מהמספר הקודם לקודם הנכפל בכפלי המספרים המתיחסים ישוה למספר האחרון
	וכן בזה הדרך בעצמו יחויב שיהיה העולה מהמספר הקודם הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות אחד מחובר עם העולה מהמספר הקודם לקודם הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות א' ועם העולה מהמספר הקודם קודם לקודם הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים שוה למספר האחרון וכן תמיד עד שיכלה אל המספר הראשון
	ואם כן יחוייב מזה בהכרח שהעולה מכל המספרי' הקודמים למספר האחרון חוץ מהראשון הנכפלים במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות כפל אחד כאשר יחובר עם העולה מהמספר הראשון הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים שיהיה שוה למספר האחרון והעולה מהמספר הראשון הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים הוא נוסף על העולה ממנו כאשר יכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות כפל אחד כמו המספר הראשון
	אם כן יהיה המספר האחרון שוה לעולה מכל המספרים הקודמים הנכפלים בכפלי המספרים המתיחסים פחות אחד מחוברים עם המספר הראשון
	וכאשר יחוסר מהמספר האחרון המספר הראשון יתחייב שיהיה הנשאר מהמספר האחרון שוה לעולה מכל המספרי' הקודמים ממנו כאשר יכפלו במספר כפלי המספרי' המתיחסים פחות אחד
	ויתחייב מזה בהכרח שכאשר נקח מהעולה מכל המספרים הקודמי' הנכפלים במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות אחד העולה מהמספרים הקודמים הבלתי נכפלים ונקח גם מהנשאר מהמספר האחרון אחר שיחוסר ממנו המספר הראשון כמו יחס העולה מהמספרים הקודמים הבלתי נכפלים אל העולה מהמספרים הקודמים הנכפלים
	הנה יחוייב בהכרח שיהיה העולה מכל המספרים הקודמים שוה לחלק הלקוח מהמספר האחרון אחר מגרעת המספר הראשון ממנו
Euclid, Elements, Introduction: For, when equal is subtracted from equals, then the remainders are necessarily equal, according to what is clarified in the introduction of the first section of Euclid's [book]. $\scriptstyle a=b\longrightarrow a-c=b-c$	כי כאשר יחוסר מהשוים שוה יהיו הנשארים שוים בהכרח לפי מה שהתבאר בפתיחת המאמר הראשון מאקלידס
	והוא מהמושכלים הראשונים
	ואם כן כאשר יחובר הלקוח מהמספר האחרון עם המספר האחרון יחוייב שיהיה שוה בהכרח לכל העולה מכל המספרים המונחים המתיחסים
	וכאשר היה זה כן והיה זה מופת כולל צודק בכל מיני המתיחסים הנה אם כן כאשר נגרע המספר הראשון מהמספר האחרון ונשמרהו אחר כן נגרע אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס המספרים המתיחסי' וישאר המספר אשר יגזר ממנו יחס המספרי' הנכפלים במספר כפלי המתיחסים פחות אחד אחר זה נקח השבר הנגזר מהמספר אשר יגזר ממנו יחס המספרים פחות אחד שהוא יחס העולה מכל הקודמים הבלתי נכפלים אל העולה מכל הקודמים הנכפלים ונקח כמוהו מהשמור יתחייב שיהיה שוה לכל העולה מכל המספרים הקודמים הבלתי נכפלים
	וכאשר נוסיפהו על המספר האחרון יחוייב שיהיה העולה מהם שוה למה שיעלה מכל המספרים המונחי' עם המספר האחרון וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם הדרך אשר בו השתמשו הקדמונים בקבוץ כל מרובעי המספרים הטבעיים המונחים כשיכו שתי שלישיות שרש המרובע האחרון בתוספת שליש עם סך שרשי כל המרובעים המונחי' הנה סבתו גם כן ידועה
	וזה שמרובעי המספרים הטבעיים הנה כאשר תערוך סך כל המרובעים שמהאחד עד המרובע האחרון עם המרובע האחרון יחד אל סך כל שרשי המרובעים המונחים הנה יהיה תוספת זה הערך על ערך סך כל המרובעים הקודמים למרובע האחרון אל סך שרשי כל מרובעיהם בתוספת שתי שלישיות וכן הקודמים מהקודמים לקודמים וכן תמיד
$\scriptstyle{\color{blue}{1^2:1=1:1=1=\frac{3}{3}}}$	וזה שערך מרובע אחד אל שרשו שהוא גם כן אחד הוא שלם א' שהוא ג' שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^2+2^2\right):\left(1+2\right)&\scriptstyle=\left(1+4\right):\left(1+2\right)\\&\scriptstyle=5:3=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}\\&\scriptstyle=\frac{3}{3}+\frac{2}{3}=\left(1^2:1\right)+\frac{2}{3}\\\end{align}}}$	וערך מרובע הא"ד יחד שהם ה' אל שרשיהם שהם ג' הוא א' ושתי שלישיות שהם ה' שלישיות והנה תוספת זה הערך על הערך הקודם הוא שתי שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^2+2^2+3^2\right):\left(1+2+3\right)&\scriptstyle=\left(1+4+9\right):\left(1+2+3\right)\\&\scriptstyle=14:6=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\\&\scriptstyle=\frac{5}{3}+\frac{2}{3}=\left[\left(1^2+2^2\right):\left(1+2\right)\right]+\frac{2}{3}\\\end{align}}}$	וכן ערך מרובעי אד"ט יחד שהם י"ד אל שרשיהם שהם ו' הוא ב' ושליש שהם ז' שלישיות והנה תוספת זה הערך על הערך הקודם הוא ב' שלישיות
	וכן תמיד על זה הדרך ר"ל שתוספת הערכים קצתם על קצת בתוספת ב' שלישיות
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן כאשר נרצה לדעת קבוץ כל מרובעי המספרים הטבעיים שהתחלתם מהא' עד מרובע מה איזה מרובע היה
	הנה מן המחוייב עלינו שנדע כמות המדרגות שמהא' עד המרובע האחרון וכפי כפל כמות המדרגות ככה נקח מהשלישיות ונוסיף עליהם שלישית אחת למה שהיה ערך מרובע האחד אל שרשו הוא שלם אחד נוסף על הב' שלישיות שבכל מדרגה ומדרגה אחר זה נכהו עם סך שרשיהם והעולה הוא סך כל המרובעים בהכרח
	ואולם הקדמונים למה שראו שמספר כמות המדרגות שמהאחד עד המרובע האחרון הוא שוה לשרש המרובע האחרון על כן לא רצו למנות המדרגות רק מצאו שרש המרובע האחרון ולקחו שתי שלישיותיו בתוספת שליש והוא שוה כאלו לקחו מכל מדרגה ומדרגה מהמדרגות שלישיות והוסיפו באחרונה שליש אחד
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^2=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16$	המשל בזה רצינו לדעת קבוץ כל המרובעים המונחים שמהאחד עד מרובע י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^2&\scriptstyle=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\sqrt{16}\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left(1+2+3+4\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(2+\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot10=3\sdot10=30\\\end{align}}}$	הנה לקחנו שרשו והוא ד' לקחנו שני שלישיותיו והם ב' ושתי שלישיות הוספנו עליו שליש א' והנה הם ג' שלמים הכינום עם א' ב' ג' ד' שהם שרשי כל המרובעים ההם שהם י' ועלה שלשים וככה הוא סך מרובעי א' ד' ט' י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^2&\scriptstyle=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{8}{3}+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(1+2+3+4\right)\\&\scriptstyle=\frac{9}{3}\sdot\left(1+2+3+4\right)=3\sdot\left(1+2+3+4\right)=30\\\end{align}}}$	והנה הדבר שוה כאלו לקחנו מכל מדרגה מד' מדרגות א' ד' ט' י"ו שתי שלישיות ועלו ח' שלישיות והוספנו עליהם שליש אחד ועלו ט' שלישיות שהם ג' שלמים וזה שד' פעמים שתי שלישיות הוא שוה לשתי שלישיות ד' ועם תוספת שליש יהיו ט' שלישיות שהם ג' וזהו מה שרצינו לבאר
	וכבר יתחייב לפי הדרך הזאת שכאשר יהיו מספרים מונחים כמה שיהיו והיו כפלי מרובעי המספרים הטבעיים איזה כפלים שיהיו התחלתם מכפלי האחד ונרצה לדעת סך כל המספרים ההם
	הנה נדע כמות מדרגות המספרים המונחים ונקח מהכמות ההוא שתי שלישיותיו בתוספת שליש ונשמרהו אחר זה נקח חצי כמות המדרגות בתוספת חצי ונכהו עם הכמות והעולה נכהו עם השמור והעולה הוא קבוץ כל המספרים המונחים
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 3\sdot k^2=3+12+27+48$	המשל בזה אם רצית לדעת סך כל מספרי ג' י"ב כ"ז מ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 3\sdot k^2&\scriptstyle=\left(3\sdot1^2\right)+\left(3\sdot2^2\right)+\left(3\sdot3^2\right)+\left(3\sdot4^2\right)\\&\scriptstyle=3+12+27+48\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left[3\sdot\left[\sdot4\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\right]\\&\scriptstyle=3\sdot\left[3\sdot\left[\sdot4\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=3\sdot\left(3\sdot10\right)=3\sdot30=90\\\end{align}}}$	הנה להיות שכמות מדרגותיהם הם ד' נקח שתי שלישיותיו בתוספת שליש והם שלשה שלמי' ונשמרם אחר נקח חצי הכמות בתוספת חצי שהם ב' וחצי ונכם עם הכמות ויעלו עשרה נכם עם שלשה שהם מספר כפלי המספרים המונחים על מרובעי המספרים הטבעיים ויעלו שלשים נכם עם השמור שהם שלשה ויעלו תשעים וככה הוא סך מספרי ג' י"ב כ"ז מ"ח וסבת זה גם כן ידועה
Based on Euclid $\scriptstyle\left(a\sdot c\right):\left(b\sdot c\right)=a:b$	וזה שכבר התבאר בספר היסודות לפי מה שקדם מהמאמר שהמספרים שהם כפלי מספרים אחרים מונחים כמה שיהיו הנה יחס הכפלים קצתם אל קצת כיחס המספרים המונחים הבלתי נכפלים קצתם אל קצת
	ולכן יהיו הערכים נוספים קצתם על קצת בתוספת שתי שלישיות כמו מרובעי המספרים הטבעיים
	ולכן כאשר היה זה כן הנה יחוייב מזה בהכרח שיהיה הדרך אל מציאותם הוא הדרך אל מציאות המרובעים בעינו אחר שסבתם היא אחת בעינה
	ואולם מה שחדשנו הנה אמנם הוא הכאת מספר כפלי המספרים המונחי' עם העולה מהכאת כמות חצי המדרגו' בתוספת חצי עם כמות המדרגות שמהמספר הראשון עד המספר האחרון וסבת זה גם כן ידועה
	והוא שהערכים אמנם הם שוים עם ערכי המרובעים הטבעיים כאשר נכפול שרשי המרובעים במספר כפלי המספרים המונחים מהמרובעים
	הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שנכה העולה מהכאת חצי המדרגות בתוספת חצי עם כמות המדרגות שהוא סך שרשי המרובעים אשר המספרים המונחים כפלים להם עם מספר כפלי המספרים המונחים על המרובעים הטבעיים וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם הדרך אשר בו השתמשו בקבוץ כל מעוקבי המספרים הטבעיים המונחים כשיכו סך יסודות המעוקבים המונחים בעצמו הנה סבתו גם כן ידועה
$\scriptstyle\left(\sum_{k=1}^{n} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)=\left[\left(\sum_{k=1}^{n-1} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)\right]+n$	וזה שכפלי סך כל המעוקבים המונחים כמה שיהיו על סך כל יסודותיהם הם נוספים על כפלי סך כל המעוקבים המונחים הקודמים מהמעוקב האחרון על סך יסודותיהם כמו יסוד המעוקב האחרון
$\scriptstyle\left(\sum_{k=1}^{n-1} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)=\left[\left(\sum_{k=1}^{n-2} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n-2} k\right)\right]+\left(n-1\right)$	וכן הקודמים נוספים על הקודמים לקודמים כמו יסוד הקודמים
$\scriptstyle{\color{blue}{1^3:1=1}}$	וכן תמיד עד שיגיע למעוקב הראשון רוצה לומר שהערכים נוספים קצתם על קצת כמו המספרים הטבעיים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^3+2^3\right):\left(1+2\right)&\scriptstyle=\left(1+8\right):\left(1+2\right)\\&\scriptstyle=9:3=3=1+2=\left(1^3:1\right)+2\\\end{align}}}$	משל זה שערך מעוקבי א' ח' שהם תשעה על סך יסודם שהם שלשה הוא נוסף על ערך מעוקב אחד על יסודו שהוא אחד כמו יסוד שמונה שהוא שנים כי הערך הראשון היה השוה שהוא מורה על פעם אחד כמו היסוד וזה הערך הוא שלשה כפלי היסוד שהוא שני פעמים נוספים על הפעם האחת שבערך הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^3+2^3+3^3\right):\left(1+2+3\right)&\scriptstyle=\left(1+8+27\right):\left(1+2+3\right)\\&\scriptstyle=36:6=6=3+3\\&\scriptstyle=\left[\left(1^3+2^2\right):\left(1+2\right)\right]+3\\\end{align}}}$	וכן ערך מעוקבי א' ח' כ"ז שהם ל"ו על סך יסודם שהם ששה הוא ששה כפלים והוא נוסף על הערך הראשון ממנו כמו יסוד הכ"ז שהם שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^3+2^3+3^3+4^3\right):\left(1+2+3+4\right)&\scriptstyle=\left(1+8+27+64\right):\left(1+2+3+4\right)\\&\scriptstyle=100:10=10=6+4\\&\scriptstyle=\left[\left(1^3+2^2+3^3\right):\left(1+2+3\right)\right]+3\\\end{align}}}$	וכן ערך מעוקבי א' ח' כ"ז ס"ד שהם מאה על סך יסודם שהם י' הוא עשרה כפלים והוא נוסף על ערך הו' כפלים הקודם ממנו כמו יסוד הס"ד שהם ד'
	וכן תמיד על זה הדרך רוצה לומר שתוספת הערך על הערך הוא כמו היסודות המעוקבים האחרונים
	ויסודות המעוקבים האחרונים הם המספרים הטבעיים בעינם
$\scriptstyle{\color{blue}{1^3:1=1}}$	הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה ערך מעוקב אחד אל יסודו הוא אחד רוצה לומר שוה לו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1^3+2^3\right):\left(1+2\right)=\left(1+8\right):\left(1+2\right)=1+2=3}}$	וערך מעוקבי א' ח' אל סך יסודם הוא שלשה רוצה לומר שלשה פעמים כמוהו שהוא חבור השנים עם האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^3+2^3+3^3\right):\left(1+2+3\right)&\scriptstyle=\left(1+8+27\right):\left(1+2+3\right)\\&\scriptstyle=\left(1+2\right)+3=6\\\end{align}}}$	וערך מעוקבי א' ח' כ"ז אל סך יסודם הוא ו' רוצה לומר ו' פעמים כמוהו שהוא חבור הג' עם הא"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^3+2^3+3^3+4^3\right):\left(1+2+3+4\right)&\scriptstyle=\left(1+8+27+64\right):\left(1+2+3+4\right)\\&\scriptstyle=\left(1+2+3\right)+4=10\\\end{align}}}$	וערך מעוקבי א' ח' כ"ז ס"ד אל סך יסודם הוא י' רוצה לומר י' פעמים כמוהו שהוא חבור הד' עם א' ב' ג' וכן תמיד
the sum of the cubes = the product of the sum of their roots by the sum of the indexes of the cubes from the first to the last $\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k^3=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)\sdot\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)=\left[n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot\left[n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]$	וכאשר היה זה כן הנה אם כן ברצותנו לדעת קבוץ כל המעוקבים המונחים כמה שהיו הנה נמצא יסוד המעוקב האחרון ונכהו עם חציו בתוספת חצי והעולה הוא קבוץ יסודות כל המעוקבים המונחים אחר זה נבקש לדעת כמות המדרגות שמהמעוקב הראשון עם המעוקב האחרון ונקח למדרגה הראשונה א' ולשנית ב' ולשלישית ג' ולרביעית ד' וכן תמיד עד שנגיע אל המרובע האחרון אחר זה נחבר כלם יחד והם כפלי סך כל המעוקבים על סך יסודותיהם ולכן נכה סך יסודותיהם עם העולה מחבור כל המספרים הטבעיים שהוא חבור כל המדרגות והעולה הוא חבור כל המעוקבים המונחים
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k^3=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$	אולם הקדמונים למה שראו שהעולה מחבור כל המדרגות שהם המספרים הטבעיים הוא בעצמו סך כל יסודותיהם הנה הכו סך כל יסודותיהם עם עצמו והעולה הוא סך כל המעוקבים המונחים וזה מה שכווננו ביאורו
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} a\sdot k^3=\left[n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot a\sdot\left[n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]$	וכבר יתחייב מזה לפי הדרך הזאת שכאשר יהיו מספרים מונחים כמה שיהיו והיו כפלי מעוקבי המספרים הטבעיים איזה כפלים שיהיו התחלתם מכפלי המעוקב הראשון שהוא א' א' ונרצה לדעת סך כל המספרים המונחים הנה נדע כמות מדרגות המספרים המונחים ונקח מהכמות ההוא חציו בתוספת חצי ונכהו עם הכמות והעולה נשמרהו ואחר זה נכהו עם מספר כפלי המספרים המונחים על המעוקבים הטבעיים והעולה נכהו עם השמור והעולה הוא קבוץ כל המספרים המונחים
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 3\sdot k^3=3+24+81$	המשל בזה במספרי ג' כ"ד פ"א שכל אחד מהם הוא ג' כפלי המעוקבים הטבעיים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 3\sdot k^3&\scriptstyle=\left(3\sdot1^3\right)+\left(3\sdot2^3\right)+\left(3\sdot3^3\right)\\&\scriptstyle=\left(3\sdot1\right)+\left(3\sdot8\right)+\left(3\sdot27\right)=3+24+81\\&\scriptstyle=\left[3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot3\sdot\left[3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\\&\scriptstyle=6\sdot3\sdot6=18\sdot6=108\\\end{align}}}$	כי הג' הוא ג' כפלי הא' שהוא המעוקב הראשון והכ"ד הוא ג' כפלי הח' שהוא המעוקב השני והפ"א הוא ג' כפלי הכ"ז שהוא המעוקב השלישי וכמות מדרגותיהם הוא ג' נכהו עם חציו בתוספת חצי ויעלו ו' ונשמרהו אחר זה נכה הו' עם הג' שהם מספר כפלי המספרים האלו על המעוקבים לפי מה שקדם ויעלו י"ח אחר זה נכה הי"ח עם הו' השמורים ויעלו ק"ח וזהו קבוץ מספר ג' כ"ד פ"א
	וסבת זה גם כן ידועה ממה שקדם
Euclid, Elements, Book V, Proposition 15: For, it was already clarified in Euclid's Book of Elements, according to what was preceded in this section, that the given numbers have the same ratio as the ratio of their equimultiples. $\scriptstyle\left(n\sdot a\right):\left(n\sdot b\right)=a:b$	וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס לפי מה שקדם מן המאמר שמהמספרים המונחים הם יחס קצתם אל קצת הוא כיחס כפליהם קצתם אל קצת
$\scriptstyle\left(\sum_{k=1}^{n} a\sdot k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n} a\sdot k\right)=\left(\sum_{k=1}^{n} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)$	ולכן יהיו ערכי המספרים האלו גם כן על סך מדרגותיהם מוכים במספר כפלי המספרים המונחים כיחס ערכי המעוקבים על סך יסודם
	וכאשר היה זה כן הנה יחוייב מזה בהכרח שיהיה הדרך אל מציאותם הוא הדרך אל מציאות המעוקבים בעינו אחר שסבתם היא אחת בעינה וזה מה שכווננו ביאורו
Special Properties	וסגולת זה המין
Euclid, Elements, Book IX, Proposition 28: When an even number is multiplied by an odd number, or by an even number, then the product is even. $\scriptstyle odd\times even=even$; $\scriptstyle even\times even=even$	הוא שכאשר הוכה מספר זוג במספר נפרד או במספר זוג הנה המקובץ זוג
Euclid, Elements, Book IX, Proposition 29: When an odd number is multiplied by an odd number, then the product is odd. $\scriptstyle odd\times odd=odd$	וכאשר הוכה מספר נפרד במספר נפרד הנה המקובץ נפרד
	הנה כבר התבאר לך זה המין עם הדרכים אשר בהם השתמשו הקדמונים ועם הדרכים אשר חדשתי אני ועם המאזנים אשר בהם יאוזן הכזב או אשר יאוזן בהם הצדק והכזב יחד מחובר בסבותיהם יחד
	ומעתה אתחיל במין החסור

Chapter Three - Subtraction	הפרק השלישי במין החסור
Definition of the subtraction operation: subtraction is the subtraction of a number from another number that is greater than it.	החסור הוא מגרעת מספר מה ממספר אחר גדול ממנו
	ואמרי ממספר אחר גדול ממנו כוונתי על כל הטור
	אולם מצד המדרגות כבר יתכן זה ר"ל שיתכן שיהיו אחדי הטור השפל יותר מאחדי הטור העליון וכן העשרות מהעשרות וכן המאות מהמאות
	ואולם אחדי מדרגת האלפים מהטור העליון הוא יותר מאחדי מדרגת האלפים מהטור השפל וכן לעולם
	ר"ל שתביט שיהיה הכלל האחרון מהטור העליון גדול מהכלל האחרון שבטור השפל לא שתביט המדרגה עם המדרגה כי כבר יתכן בזולת זה
	והדרך אל ידיעת זה המין ואופן הנחתו הוא זה שתסדר השני מספרים בשני טורים המספר היותר גדול בטור העליון והמספר הקטן בטור השפל
	וזה כשתניח כל מדרגה תחת המדרגה הדומה לה ר"ל מדרגת האחדים כנגד האחדים והעשרות כנגד העשרות
	ואחר תחסר כל מדרגה מהשפל ממה שכנגדה מהעליון והנשאר כתבהו בטור שלישי תחת הטור השני כנגד המדרגה ההיא בעצמה אחר שתמשוך קו מבדיל בין הטור השני והטור השלישי
	וזה אם היתה המדרגה השפלה פחותה מהעליונה
	ואם היתה שוה לה תכתוב סיפרא למטה כנגד המדרגה ההיא
	ואם היתה מדרגת הטור השפל גדולה ממנה הנה נכתוב בטור השלישי כנגד המדרגה ההיא בעצמה העולה מקבוץ המדרגה העליונ' עם מגרעת התחתונ' מהעשרה ונגרע מהמדרגה הנמשכת לה מהטור העליון א' או נוסיף א' במדרגה הנמשכת מהטור השפל ואחר נעשה כמשפט ר"ל כפי מה שהורונו בידיעת המדרגה הקודמת לה
	המשל בזה אם רצינו לגרוע מספר אלף של"ט ממספר גדול ממנו והוא מספר ב' אלפים שמ"ה 2 3 4 5 1 3 3 9 1 0 0 6
	הנה נגרע הט' שהם אחדי הטור השפל מהה' שהם אחדי הטור העליון ולהיות שהט' יותר מהה' הנה נחבר הה' שבטור העליון עם הא' שהוא הנשאר ממגרעת הט' שבטור השפל מהי' והעולה ו' ונכתבהו תחת הקו כנגד מדרגת האחדים בעצמה אחר זה נוסיף אחד על מספר ג' הנמשך למדרגת האחדים מהשפל או נגרע א' מהד' הנמשך למדרגת הה' שבטור העליון כי הכל ענין אחד ונחסר השפל מהעליון והם שוים ונכתוב סיפרא בטור השלישי במדרגת העשרות אחר זה נגרע הג' שבמדרגת המאות מהשפל מהג' שבמדרגת המאות מהעליון והם שוים ולזה נכתוב סיפרא בטור הג' במדרגת המאות אחר זה נגרע הא' שבמדרגת האלפים מהעליון והנשאר א' ונכתבהו בטור השלישי במדרגת האלפים והעולה בטור השלישי הוא הנשאר מחסור הטור השפל מהטור העליון
	והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין
	הוא שתשליך הטור העליון ט' ט' והנשאר מהתשיעיות שמרהו עוד תשליך הטור השפל גם כן תשיעיות והנשאר שמרהו אחר זה חסר השמור השפל מהשמור העליון אם השמור העליון גדול מהשמור השפל או הוסף על השמור העליון ט' אם השמור העליון קטן ממנו אחר זה חסר השמור השפל מהעליון והנשאר שמרהו אחר זה השלך גם אותיות הטור השלישי לתשיעיות והנשאר אם הוא בלתי שוה לשמור שבידך דע שטעית
	אלא שגם אלה מאזני מרמה
	עוד מאזנים אחרים על דרך השביעיות
	והוא שנשליך מכל טור וטור מהשני טורים העליונים השביעיות לפי מה שקדם אם כשתחשב כל מדרגה לפי איכותה ואם כשתחבר המדרגה האחרונה עם הקודמת לה ותחשוב האחרונה לעשרות והקודמת לה לאחדים והכל עולה בקנה אחד אחר זה חסר מהמותר מהטור הגדול המותר מהטור הקטן והנשאר שמרהו אחר זה השלך השביעיות גם מהטור השלישי ואם המותר בלתי שוה למותר כזבת אלא שגם אלה מאזני מרמה
	אולם המאזני צדק אשר בזה המין
	הוא זה שתקבץ הטור השפל עם הטור השלישי והעולה אם הוא שוה לטור העליון דע שצדקת ואם לאו כזבת
	ואולם סבת מציאות זה המין עם הדרך הזאת הנה היא מבוארת בעצמה
	וזה שהוא מן המבואר שכאשר תהיה המדרגה השפלה יותר גדולה מהמדרגה העליונה שכנגדה ונקח אחד מהמדרגה הנמשכת לעליונה שהוא עשרה בערך אל המדרגה הקודמת ונחסר ממנו המדרגה השפלה שתחת המדרגה הקודמת לה שיהיה הנשאר ממנו מחובר עם המדרגה העליונה הקודמת שוה למותר אשר ישאר ממגרעת המדרגה השפלה מהעליונה מחוברת עם הא' הלקוח מהמדרגה הנמשכת לה הנחשב לעשרה
	ושהמדרגה הנמשכת למדרגה השפלה הנה כאשר נוסיף לה אחד ונגרעה מהעליונה שכנגדה מבלתי שנגרע ממנה האחד שגרענו ממנה בתחלה הנה הנשאר ממנה שוה למה שישאר ממגרעת המדרגה השפלה הנמשכת מבלתי שנוסיף לה דבר מהמדרגה העליונה שכנגדה כאשר נגרע ממנה האחד שגרענו ממנה בתחלה וכן בכל המדרגות דרך אחד לכל
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן כאשר תהיה המדרגה השפלה יותר פחותה מהעליונה שכנגדה נגרע השפלה מהעליונה והנשאר נכתבהו תחתיה
	ואם היתה שוה לה נכתוב תחתיו סיפרא
	ואם היתה יותר גדולה נגרעה מהעשרה והנשאר נחברהו עם המדרגה העליונה שכנגדו והעולה נכתבהו תחת מדרגתה
	אחר זה נוסיף אחד על המדרגה השפלה הנמשכת ונגרעה מהעליונה שכנגדה והנשאר נכתבהו תחת מדרגתה וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם סבת מאזני התשיעיות והשביעיות הנה היא מבוארת ממה שקדם אין צורך להכפיל המאמרים
	ואולם סבת המאזני צדק אשר בזה המין הנה היא מבוארת גם כן
	וזה שהוא מן המבואר בעצמו שהמספר הנגרע עם המותר הוא שוה למספר הנגרע ממנו
	ולכן כאשר נקבץ המותר והנגרע ראוי שישוה למספר הגדול וזהו מה שכווננו ביאורו
	וסגולת זה המין שכאשר חוסר מספר זוג ממספר זוג הנה הנשאר זוג
	ואם חוסר מספר זוג ממספר נפרד הנה הנשאר נפרד
	וכאשר חוסר מספר נפרד ממספר נפרד הנה הנשאר זוג
	ואם חוסר מספר נפרד ממספר זוג הנה הנשאר נפרד
	ומעתה אתחיל בביאור המין הרביעי והוא החלוק

Chapter Four - Division	הפרק הרביעי במין החלוק
Definition of the division operation: division is the announcing of the number of parts of a given number that are equal to a given number that is smaller than it.	החלוק הוא המודיע מספר חלקי מספר מה מונח השוים למספר מה מונח קטן ממנו
	ולהיות שמציאות זה הדבר אמנם הוא עם חלוקת המספר הגדול לחלקים שוים למספר המונח הקטן ממנו כי אם לא יחלק תחלה לחלקים שוים לקטן לא יתכן שימצא מספרם כי המספר אמנם הוא אחר מציאות הדבר לכן קראנו שם זה המין חלוק
	ובו יודע יחס מספר מה אל מספר אחר קטן ממנו
	וזה שכפי מספר חלקי המספר הגדול ככה הם כפליו מהמספר הקטן ממנו אשר חלקיו שוים לו וכפי המותר הבלתי מתחלק אל המספר הקטן הנחלק עליו ככה הם החלקים הנוספים לו על כפליו
	כי עד"מ הכ"ה אל הי' להיות שמספר חלקי הכ"ה השוים לי' הם ב' ידענו שכפלי הכ"ה הם שני כפלי הי' ולהיות שהמותר הבלתי מתחלק ממנו הם ה' והמספר הנחלק עליו הם י' ידענו שהחלקים הנוספים לו על כפליו הם ה' חלקים מהי' ובזה ידענו שיחס הכ"ה אל הי' הם ב' כפלים וה' עשיריות
	ואולם יחס המספר הקטן אל המספר הגדול ממנו הנה אם היה הקטן חלק מהגדול יקרא בשם נגזר ממספר כפלי הגדול
	כי כבר הקדמנו בפתיחת זה המאמר כי השברים נגזרים מכפלי המספר הגדול כמו החצי מהכפל והשליש ממשלש בכפל
	ואולם אם היה הקטן חלקים לגדול הנה יש לו דרך ייחדהו במה שיבא אם ירצה האל יתברך
	ולהיות שהמספר הקטן יהיה חלק או חלקים לגדול והחלק הוא אשר ימנה המספר הגדול והגדול יהיה כפל או כפלים לקטן ויקרא הגדול בשם אחד בלבד והוא השם הנגזר משם שבר הקטן לפי מה שקדם
	והחלקים הוא אשר לא ימנה לגדול בין שימצא מספר אחד ימנם יחד והם המשותפים ובין שלא ימצא מספר אחד ימנם יחד והם הנבדלים והגדול יהיה אז כמו הקטן וחלק או חלקים לקטן או כפלים וחלק או חלקים לקטן
	ויקרא הגדול בשני שמות שם במה שהוא נמנה ושם במה שהוא בלתי נמנה לפי מה שקדם
	וידיעת הפשוט קודם מידיעת המורכב כמו שמציאותו קודם ממציאותו
	הנה אם כן מן המחוייב להקדים דרך מציאות חלוק המספר אשר הוא נמנה מהקטן אחר זה המספר הבלתי נמנה מהקטן
	ואומר שהדרך הכולל בידיעת זה המין הוא שתסדר המספר המחולק בטור ראשון ותחתיו המספר המחלק בטור שני ותהיה מדרגתו האחרונה תחת המדרגה האחרונה שבטור העליון אחר זה תמשיך קו ותכתוב תחתיו היוצא מהחלוקה ויקרא בשם חלק ותהיה מדרגתו האחרונה תחת המדרגה הראשונה שבטור השני שהוא המחלק זהו סדר הנחת המחלק והמחולק והחלק בכל חלקי זה המין
	ואולם דרך השמוש בו הוא זה שתחשוב כל מדרגות המחולק כמו אחדים ושתתחיל מהמדרגה האחרונה של המחולק
	ואם המחלק פרט לבד תחקור מספר הפעמי' אשר ימנה אותו המחלק והמספר ההווה כתבהו תחת הקו כנגד אותה המדרגה
	וכן בכל המדרגות דרך אחד לכל ר"ל שמספר הפעמים אשר ימצא המחלק כל מדרגה ומדרגה ממדרגות המחולק יכתוב תחת הקו כנגד המדרגות הנמנות מהמחלק
	ואם המחלק גדול מהמדרגה האחרונה שבמחולק לא נכתוב תחת הקו כנגד המדרגה ההיא מאומה אבל נחשב אותה לעשרות והקודמת לה לאחדים ונחברם יחד ונחקור מספר הפעמים אשר ימנם המחלק והמספר ההוה יכתוב תחת הקו כנגד המדרגה הקודמת למדרגה האחרונה
	אולם אם היה המחלק פרט וכלל יחד נחקור מספר הפעמים אשר ימנה המדרגה האחרונה מהמחלק את המדרגה האחרונה מהמחולק באופן שיספיק העולה מהכאת מספר הפעמים עם המדרגה האחרונה מן המחלק שיחוסר מהמדרגה האחרונה מהמחולק וכן העולה מהכאת מספר הפעמי' עם המדרג' הקודמת שבמחלק שיחוסר מהמדרג' הקודמת שבמחולק עם עזר הנשאר מהמדרגה האחרונה שבמחולק כשיחשבו לעשרו' בערך המדרגה הקודמת ומספר הפעמים ההם יכתבו תחת הקו כנגד המדרגה הראשונה שבמחלק
	וכן תמיד דרך אחד להם ירבו מה שירבו מדרגות המחולק או המחלק או שניהם יחד
	משל המין הראשון והוא שהמחלק פרט לבד הוא זה   3     2 7 2 8   8       3 4 1
	בקשנו מספר הפעמים אשר ימנה המחלק שהוא מספר ח' המדרגה האחרונה שבטור העליון שהוא הב' ולא מצאנו מספר כלל לפי שהוא יותר קטן ממנו ולזה לא כתבנו מאומה תחת הקו כנגד הח' כמשפט אחר זה נעתקנו אל המדרגה הקודמת שבטור העליון והוא הז' וחברנו עמה המדרגה הנמשכת לה והם כ"ז בקשנו מספר הפעמים שימנם הח' שהוא המחלק והם ג' ולכן כתבנו ג' תחת הקו כנגד המדרגה הקודמת והנשארים ממספר הכ"ז הבלתי נמנים שהם ג' כתבנום על הז' להורות על הנשאר ומחקנו הב' להורות שלא נשאר כלום מהם אחר זה נעתקנו אל המדרגה הקודמת מזאת המדרגה והיא הב' וחברנו עמם שארית המדרגה הנמשכת לה שהם ל"ב בקשנו מספר הפעמים שימנם המחלק והם ד' וכתבנו הד' תחת הקו כנגד המדרגה הקודמת ולהיות שלא נשאר כלום מחקנו הל"ב להורות שלא נשאר כלום מהם אחר זה נעתקנו אל המדרגה הקודמת מזאת המדרגה והיא הח' שבטור העליון ובקשנו מספר הפעמים שימנם המחלק והם א' וכתבנו הא' תחת הקו כנגד המדרגה הקודמת ולהיות שלא נשאר כלום מחקנו הא' להורות שלא נשאר כלום ולהיות שכבר הגיע מדרגת הטור הג' כנגד המדרגה הראשונה שבטור העליון על כן ידענו שכבר נשלם הטור הג' והנה אם כן מספר הטור הג' הוא שמ"א וככה הוא מנין הפעמים אשר ימנו הח' למספר ב' אלפים ותשכ"ח ולכן יהיה המספר שמ"א כפלי הח' והוא חלק אחד משמ"א
	ומשל המין השני והוא שהמחלק כלל ופרט יחד הוא זה   2 4     8 8   1 9     2 3 6 8 1 4 8       1 6
	בקשנו מספר הפעמים שימנה האחד שבמדרגה האחרונה שבמחלק למספר ב' שהוא המדרגה האחרונה מהמחולק והם ב' אולם למה שכבר קדם שראוי שתחסר העולה מהכאת מספר הפעמים עם כל מדרגות המחלק כל אחד ממדרגתו הנכחית לו וזה לא יספיק כי שני פעמים אחד הם שנים ויחוסרו מהב' שבמדרגה האחרונה מהטור העליון וב' פעמים ד' הם ח' ולא יספיקו שיחוסרו מהג' שבטור העליון על כן כתבנו תחת הקו כנגד המדרגה הראשונה מטור השני אחד למה שיספיק זה המספר שיחוסר העולה מהכאתו עם כל מדרגות המחולק כל אחד מהנכחית לו וזה שאחד פעמים א' הם אחד ויחוסרו מהב' שכנגדו מהטור העליון וישאר א' ונכתבהו למעלה להורות על הנשאר גם נכה האחד עם הד' שבמחלק ויעלו ד' ויחוסרו מהי"ג שבטור העליון שהם חבור הג' שבמדרג' הנכחית לו מהטור העליון עם הא' הנשאר שבמדרגה הנמשכת לה וישארו ט' ונכתבם על הג' להורות על הנשאר ונמחוק האחד הנשאר גם נכה הא' עם הח' שבמחלק ויעלו ח' ונחסרם מהצ"ו שבטור העליון שהם חבור הו' שבמדרגה הנכחית לו מהטור העליון עם הט' הנשאר שבמדרגה הנמשכת לה וישארו פ"ח ונכתוב ח' על הט' וח' על הו' להורות על הנשאר אחר זה למה שכבר השלמנו לחסר מהטור העליון העולה מהכאת מספר האחד עם כל מדרגות המחלק שבנו לבקש מספר הפעמים אשר ימנה הא' שבמחלק הח' הנשארים שבמדרגה הקודמת מהמדרגה האחרונה שמהטור העליון והנה הם ח' פעמים אולם למה שלא יספיקו המספרים שבטור העליון לגרוע מהם העולה מהכאת הח' עם כל מדרגות המחלק ולא מהעולה מהכאת הז' עם כל מדרגות המחלק לכן כתבנו ו' במדרגה הקודמת לא' שתחת הקו והכינו הו' עם הא' שבמחלק ועלו ו' גרענום מהח' הנשארים בטור העליון ונשארו ב' וכתבנו ב' על הח' להורות על הנשאר אחר זה הכינו הו' עם הד' שבמחלק ועלו כ"ד גרענום מהכ"ח שבטור העליון שהם חבור הח' שבמדרגה השנית מהטור העליון עם הב' הנשארים שבמדרגה השלישית מהטור העליון ונשארו ד' כתבנו הד' על הח' להורות על הנשאר ומחקנו הב' שבמדרגה השלישית להורות שלא נשאר כלום אחר זה הכינו הו' עם הח' שבמחלק ועלו מ"ח גרענום מהמ"ח שבטור העליון שהם חבור הח' שבמדרגה הראשונה עם הארבעה הנשארי' שבמדרגה השנית מהטור העליון ולהיות שלא נשאר כלום מחקנום להורות שלא נשאר כלום שכבר הגיע מדרגת הטור השלישי שתחת הקו כנגד המדרגה הראשונה שבטור העליון ידענו שכבר נשלם פועל החלוק והנה אם כן מספר הפעמים שימנו הקמ"ח למספר ב' אלפים שס"ח הם י"ו פעמים ולכן יהיה המספר הגדול י"ו כפלי הקטן והקטן חלק אחד מי"ו חלקי הגדול
	ואחר שכבר ביארנו המין הפשוט ממנו והיה חלוף המין הפשוט מהמורכב אמנם הוא מפני המותר הבלתי מתחלק בלבד כי דרך החלוק בשניהם אח'
	והיה דרך חכמי המספר להשתמש עם קטון היחס
	והיה המותר פעמים יהיה יחסו אל המחלק קטון היחס ופעמים לא
	לכן ראוי להודיע הדרך אשר בו נוכל לדעת קטון היחס שבכל אחד ואחד מהמתיחסים איזה יחס שיהיה
	כי כאשר יודע זה הנה אין צורך לחקירה אחרת זולת מה שהתבאר במין הפשוט מזה
	ואומר שהשני מספרים המתיחסים איזה מספרים שיהיו הנה בהכרח לא ימלטו מאחד משני פנים אם שיהיו משותפים ואם שיהיו נבדלים
	והמשותפים יחלקו לשני חלקים והם אם שימנה האחד את האחר או שלא ימנה האחד את האחר רק מספר ימנם יחד
	והנבדלים גם כן יחלקו לארבעה חלקים והם אם שיהיו שניהם ראשונים או שניהם מורכבים או האחד מורכב והאחר ראשון
	וזה על שני פנים אם שיהיה הקטן מורכב והגדול ראשון או ההפך
	והראשון הוא אשר לא ימנהו רק האחד
	והמורכב הוא אשר ימנהו מספר זולת האחד
	אולם המין הראשון מהמשותף ר"ל שימנה האחד את האחר הנה כאשר נחלק הגדול על הקטן יהיה החלק היוצא מהחלוקה מורה על קטון היחס בהכרח
	כי עד"מ אם היו שני המספרים המתיחסים י' וק' הנה נחלק הק' על הי' ויצאו י' ואלה הי' מורים שהק' י' כפלי הי' ושהי' א' מעשרה חלקי הק' ואם כן קטון זה היחס הוא אחד ועשרה כמו שהתבאר זה במין הפשוט
	ואולם הד' מיני הנבדלים הנה הם קטני היחס בעצמם
	וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס כי כל שני מספרים נבדלים הנה יחס האחד מהם אל האחר הוא קטן היחס בהכרח
	ולכן יחס הקטן אל הגדול הוא המספר הקטן בעינו אל הגדול
	ואולם יחס הגדול אל הקטן הנה ימצא עם החלוק כי בו יודע כמות כפלי הגדול מהקטן
	והמותר יודיע יחס הנשאר מכפלי הגדול מהקטן
	ויחס המותר אל הקטן הוא בעצמו המותר אל הקטן אחר שהם נבדלים ויחויב שיהיו קטני היחס לפי מה שקדם מן המאמר
	המשל בזה אם היו שני המספרים הנבדלים מספרי ז' ל"א הנה יחס הז' אל הל"א הוא הז' אל הל"א בעצמם אחר שהם נבדלים
	אולם יחס הל"א אל הז' יודע כשנחלק הל"א על הז' ויצאו בחלוקה ארבעה וישארו מותר ג'
	ואם כן יתחייב מזה שיהיה יחס הל"א אל הז' ד' כפלי הז' וג' שביעיות
	ואולם הראיה שהמותר מחלוק הנבדל הגדול על הקטן היא נבדל לנבדל הקטן הוא זה שאם לא יהיה נבדל ממנו הנה יהיה משותף זה לו וזה אם כשימנהו ואם שימצא מספר ימנם יחד
	ואם ימנהו הנה אחר שהקטן ימנה החלק הנחלק מהגדול יהיה גם המותר המונה לקטן ימנה החלק הנחלק בהכרח
	כי המונה למונה גם הוא מונה למה שימנה המונה לפי מה שהתבאר בספר היסודות לאקלידס
	ואחר שהמותר מונה החלק הנחלק מהגדול ומונה גם עצמו הנה אם כן מונה כל הגדול והוא מקובץ המותר והחלק הנחלק וכבר ימנה גם הקטן הנה אם כן יהיו הקטן והגדול אשר הנחנום נבדלי' משותפים אחר שמספר המותר ימנם יחד וזה חלוף לא יתכן
	וכן אם הנחנו מספר אחד מונה המותר והקטן הנה יחויב מזה שימנה גם החלק הנחלק מהגדול אחר שהוא מנוי מהקטן וכבר ימנה גם המותר
	אם כן ימנה מקובץ הב' חלקי הגדול שהם המותר והחלק הנחלק וכבר מנה הקטן אם כן יהיו הנבדלים משותפים זה שקר
	אם כן כבר התבאר מזה שכאשר יהיו שני מספרים נבדלים ונחלק הגדול על הקטן הנה המותר אשר ישאר מהגדול הנה גם הוא נבדל בהכרח
	יהיו הנבדלי' ראשונים או מורכבים או האחד מורכב ואחר ראשון איזה מהם היה הנה המתחייב מהם א' תמיד בהכרח אי אפשר זולת זה וזה מה שרצינו לבאר
	ואולם הדרך אשר בו ידעו המספרים הנבדלי' אם הם נבדלים אם לא הנה הוא שתחלק המספר הגדול על הקטן אחר זה תחלק הקטן על המותר עוד לא תסור מחלק האחד על האחר ואם יכלה אל הא' דע שהם נבדלים ואם לאו הם משותפים
	ואולם המין החמישי והוא המין השני מהמשותפים ר"ל שיהיו השני משותפים ימנה שניהם מספר אחד והם לא ימנו זה את זה
	הנה הדרך אל מציאות קטון היחס שבאלה המספרים הוא זה שתמצא גדול המספר אשר ימנה שני המספרים המשותפים יחד וזה כשתחלק המספר הגדול על הקטן אחר כן המספר הקטן על המותר אחר כן המותר הראשון על המותר השני ולא תסור מחלוק המותר על המותר עד שיכלה אל מספר אי אפשר שישאר בו מותר והוא גדול המספר אשר ימנה שניהם יחד אחר זה בקש מספר הפעמים אשר ימנה המספר הקטן וזה כשתחלקהו עליו והעולה שמרהו גם בקש מספר הפעמים אשר ימנה הגדול והעולה שמרהו והשני שמורים הם קטני היחס ההוא
	המשל בזה המותר י"ב והמספר הקטן כ"ז חלקנו הכ"ז על הי"ב ונשארו ג' חלקנו הי"ב על הג' ולא נשאר מזה מותר ולכן ידענו שגדול המספר אשר ימנם יחד הוא ג' בקשנו מספר הפעמים אשר ימנה הי"ב וזה כשחלקנו הי"ב על הג' והיה העולה ד' ושמרנום גם חלקנו הכ"ז על הג' והיה העולה ט' ושמרנום וידענו שהד' והט' הם קטני היחס ההוא ולכן ידענו שיחס הי"ב אל הכ"ז הוא ד' תשיעיות
	הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת החלוק בין שישאר בו מותר ובין שלא ישאר כלום ובארנו הדרך בידיעת יחס המספר האחד אל האחר איזה מספרים שיהיו והארכנו בו מאד להיותו קשה הציור
	אולם קצת מהראשונים השתמשו בידיעת קטני היחס בדרך ההתכה
	ר"ל שאם היה המותר מספר כ"א עד"מ והמספר הקטן הם קמ"ז מחלקים הכ"א לג' חלקים והקמ"ז לג' חלקים שנמצא המותר ז' והמספר הקטן שהוא המחולק מ"ט עוד מחלקים המותר שהוא הז' לז' חלקים והמ"ט גם כן לז' חלקים ונשאר המותר אחד והמחלק שהוא מספר הקטן ז' וידענו שיחס המותר למחלק הוא שביעית
	וזאת הדרך רחוקה מני כי מי יתן ואדע במה יודע להם החלוק המשותף לב' המספרי' אם הם ג' או ה' או ז' או הדומים לאלה או אם הם נבדלים ואינם נחלקים בשום חלוק משותף
	ואם ישיבו על זה בדרך החפוש הנה להם לעורון כי ימששו כעורי' קיר וילאו למצוא הפתח
	אולם קצת מהראשונים השתמשו בדרך החלוק באופן אחר והוא הנקרא בלשונם גַליאָה
	והוא זה שמעתיקים המחלק ממדרגה למדרגה בכל מבוקש ממבוקשי הטור השלישי וכותבים החלק בצד המספר המחולק אחר שימשיכו קו יותר בעבור שלא יתבלבל המעיין מצד העתק המחלק ממדרגה למדרגה כזה     1 7     3 6 3   1 4 9 4 1 7 3 2 5 8       3 1 7
	ואין הבדל בין זה הדרך ובין הדרך הקודם רק מצד העתק המחלק ממדרגה למדרג' למען לא יתבלבל התלמיד אבל פעלתו היא פעלת הדרך הקודם בעינו
	אולם אני כבר חדשתי דרך יותר רחוקה מהבלבול ויותר נכונה מהשתי דרכים הראשונים והיא עם דרך הקבוץ
	והוא שנסדר המחולק בטור העליון והמחלק תחתיו בטור שני ונמשיך קו מבדיל בין המחלק למחולק וכבר התבאר במה שקדם כי המדרג' האחרונה מהמחלק היא כנגד המדרגה האחרונה מהמחולק ואם מדרגת האחדים מהמחלק תחת מדרגת האחדים מהמחולק הנה נכתוב המחלק בעינו בטורי' רבים זה תחת זה עד שישוה או יקרב העולה מכלל הטורים למחולק וכמספר הטורים ככה מספר החלק המורה על כמות הפעמים אשר ימנה המחלק למחולק ולהיות שאחדי המחלק תחת אחדי המחולק לכן ידענו שהחלק היוצא הוא במדרגת האחדים
	ואולם אם היו אחדי המחלק תחת מדרגת העשרות שבמחולק או תחת מדרגת המאות או זולת זה מהמדרגות הנה אם היה המספר הכתוב במדרגה האחרונה קטן או שוה למדרגה האחרונה של המחולק נשלים הטור בסיפראש עד שנגיע אל מדרגת אחדי המחולק ונכתוב טורים רבים כמו זה הטור בעינו זה תחת זה עד שישוה או יקרב העולה מכלל כל הטורים למחולק וכפי מספר הטורים ככה מספר החלק וכפי מספר הסיפראש הנוספות על הטורים לתשלום הטורים בתוספת אחת ככה מספר מדרגות החלק
	ואולם אם היה גדול ממנו נעתיק כל מדרגות המחולק אל המדרגה הקודמת לה ואז נשלים הטור עם סיפראש ונכתוב אותו בטורים רבים זה תחת זה עד שישוה או יקרב העולה מכללם למחולק וכפי מספר הטורים ההם ככה יהיה מספר החלק וכמספר הסיפרש בתוספת אחת ככה מספר מדרגו' החלק אחר כן אם לא ישוה המספר העולה מכל הטורים כמו המחולק נעתיק כל מדרגה ומדרגה מהמחלק אל מדרגה אחת קודמת לה ונשלי' הטור ההוא ג"כ עם הסיפרש כראשונה ונרבה הטורים האלה גם כן עד שישוה או יקרב העולה מהם למחולק וכפי מספר הטורים ההם ככה יהיה מספר החלק וכמספר הסיפראש בתוספת אחת ככה יהיה מספר מדרגות החלק
	אולם אם לא יכולנו לכתוב אפילו טור אחד מפני שהעולה ממנו יותר מהמחולק הנה נכתוב סיפרא בשם חלק אחר כן תעתיק כל מדרגות המחולק אל מדרגות הקודמות להן ותשלים הטור עם הסיפרש כמשפט הראשון וכן תמיד עד שיגיעו אחדי המחלק עם אחדי המחולק ותרבה הטורי' זה תחת זה עד שישוה או יקריב העולה מקבוץ כל הטורים למחולק וכמספר הטורים ככה מספר החלק
	וכבר קדם שהוא אחדים אחר שאחדי המחלק תחת אחדי המחולק
	אולם אם היו הטורי' ה' או יותר חלק המחלק לשני' והעולה כתבהו בטור א' במדרגה הנמשכת למדרגה הראויה לו אם היה בלתי מתחלק לחצאים והוא עולה במקום חמשה טורים
	ואם היו יותר מחמשה טורים נכתוב אחר זה המחלק במדרגה הקודמת בטורים רבים מספרם כמספר הטורים הנוספים על החמשה טורים
	משל זה הנה המחולק הוא שבעים אלף ותתקס"ב והמחלק רל"א סדרנו הרל"א זה תחת זה כסדר הזה אשר אתה מראה בצורה הזאת 7 0 9 6 2 החלק 2 3 1 0 0 2 3 1 0 0 2 3 1 0 0   1 1 5 5     2 3 1     2 3 1 307 7 0 9 1 7   המותר 4 5
	ולהיות שהעולה מהשלשה טורים הוא ס"ט אלף וש' ולא יתכן לכתוב עוד טור רביעי כי יעלה מספר יותר מהע' אלף תתקס"ב שהוא המחולק על כן לא כתבנו רק שלשה טורים ולהיות שהם ג' ידענו שגם מספר כמות החלק הוא ג' ולהיות שהוספנו לתשלום הטורים ב' סיפרש ובתוספת אחת יהיו ג' לכן ידענו שמדרגות החלק שהם הג' הם ג' לכן יהיו ש' אחר זה בקשנו לכתוב המחלק כל המותר מדרגה ממנו במדרגה הקודמת לה ולא יכולנו כי יעלה המספר יותר מהמחולק ולכן כתבנו סיפרא בחלק במדרגה הקודמת לש' אחר זה רצינו לכתוב המחלק במדרגה הקודמת לקודמת כמשפט ולהיות שראינו שמספר הטורים יהיו יותר מה' חלקנו המחלק לשנים וכתבנו החצי במדרגה הקודמת שהיא הנמשכת לקודמת הקודמת ולהיות שלא ישוה העולה למחולק כתבנו עוד שני טורים והיה העולה מכללם שבעי' אלף תתקי"ז חסרנום מהשבעים אלף ותתקס"ב ונשארו מ"ה וידענו שהמותר הבלתי מתחלק הוא מ"ה ולהיות שמספר הטורים האחרונים הם ז' הטור האחד שבמדרגה הקודמת העולה במקום ה' טורים והב' טורים אשר תחתיו שבמדרגה הקודמת לקודמת הרי ז' לכן ידענו שהחלק ז' וכתבנום במדרגה הקודמת לסיפרא שבמחלק והיו הכל ש"ז וזהו החלק
	זאת היא הדרך היותר רחוקת המבוכה והבלבול ואל יטעך רבוי הכתיבה כי רבוי הכתיבה עם מעוט בלבול המחשבה הוא הדרך הנכונה גם היא נכונה מצד אחר כי היא רחוקת הטעות כי הכל כתוב שם ולא כן עם ההכאה וזה מה שרצינו לבאר
	והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין הוא שתמנה המחלק כלו כמו אחדים ר"ל שתקח הכמות לבד והשליכהו לתשיעיות והנשאר שמרהו וכן תעשה לחלק והנשאר שמרהו והכה השמור עם השמור והעולה השלך מהם התשיעיות והנשאר שמרהו והוסף עליו המותר הנשאר מהחלוק אחר השלכת התשיעיות ממנו והעולה תשליך ממנו התשיעיות והמותר שמרהו בידך אחר זה מנה גם המחולק לתשיעיות וזה כשתקח כמותם לבד והנשאר אם הוא שוה לשמור שבידך אפשר שהוא אמת ואם לאו דע שטעית אך אם לא נשאר מותר מהחלוק כלל הנה אין צורך לכל זה רק קח המותר מהתשיעיות מהמחלק והחלק והכה המותרים זה עם זה והעולה השלך ממנו התשיעיות ואם המותר מהם שוה למותר מתשיעיות המחולק אפשר שהוא אמת ואם לאו כזבת אלא שאלה מאזני מרמה אחר שלא יצדק בשני הצדדים יחד ר"ל באמת ובשרק
	עוד מאזניים אחרים על דרך השביעיות והוא שתשליך המחלק והחלק כל אחד מהם לשביעיות לפי מה שקדם אם בשתחשוב כל מדרגה לפי איכותה ואם בשתחבר המדרגה האחרונה והקודמת לה יחד ותהיה המדרגה האחרונה בשם עשרות והקודמת לה בשם אחדים והכל עולה בקנה אחד אחר זה הכה המותר מהמחלק עם המותר מהחלק והעולה השלך ממנו השביעיות והמותר שמרהו וכן תעשה למותר מהחלוק אם היה והנשאר הוסיפהו על השמור והשלך מהם השביעיות והמותר שמרהו בידך אחר זה השלך השביעיות גם כן מהמחולק בזה הדרך בעצמו והמותר אם הוא שוה לשמור שבידך אפשר שהוא אמת ואם לאו כזבת אלא שגם אלה מאזני מרמה לזה הצד בעצמו
	ואולם המאזני צדק אשר בזה המין הוא שתכה המחלק עם החלק והעולה אם הוא שוה למחולק דע שהוא צודק ואם לאו דע שטעית וזה כאשר לא ישאר מותר מהחלוק כלל
	אולם אם נשאר מותר מהחלוק הוסף על העולה מהכאת המחלק והחלק המותר מהחלוק והעולה אחר זה אם הוא שוה למחולק דע שהוא צודק ואם לאו דע שטעית
	ודע שאלה המאזנים גם כן אמנם הם מאזני צדק כאשר לא ישאר מותר מהחלוק כלל
	אולם כאשר ישאר מותר דע שהם מאזני מרמה כי יתכן שהחלק כוזב וגם המותר כוזב ואז יתכן שישוה מאזני הכאת המחלק עם החלק עם תוספת המותר עליו למאזני המחולק ויתכן שלא ישוה לו כאשר חשבו הקדמוני' שאלה מאזני צדק בכלל
	גם יתכן לעשות עוד מאזנים אחרים זולת אלו והם על דרך החלוק בעצמו והם מאזני צדק והוא שתחלק המחולק על החלק ואם יצא לך המחלק דע שצדקת ואם לאו כזבת וזה אם לא נשאר מותר כלל
	אולם אם נשאר מותר כלל נגרעהו מהמחולק והנשאר נחלקהו על החלק ואם יצא לך המחלק צדקת ואם לאו כזבת או נחלק המחולק על החלק ואם יצא לך המחלק והמותר הראשון דע שצדקת ואם לאו כזבת
	אולם בדרך החלוק אשר חדשתי אני כבר יהיו לו עוד מאזנים אחרים זולת אלו והם הג' מאזני הקבוץ
	ואולם סבת מציאות זה המין הנה היא מבוארת בעצמה ממה שקדם במין ההכאה וזה שהוא מהמבואר בעצמו שמין החלוק הוא מין ההכאה בעינו וזה ששלשה טורי ההכאה שהם המכה והמוכה והעולה מהכאתם הם הם בעצמם שלשה טורי החלוק שהם המחולק והחלק והמחלק
	אלא שהטורים הידועים בהכאה אינם הטורים הידועים בחלוק וזה שהטורים הידועים בהכאה הם המכה והמוכה והמוסכל הוא העולה מהכאתם והטורים הידועים בחלוק הם העולה מההכאה והמכה והמוסכל הוא המוכה וזה שהוא מהמבואר בעצמו שהעולה מהכאת החלק במחלק הוא המחולק
	וכאשר היה זה כן הנה מן המחויב מזה בהכרח שיהיו סבות מין ההכאה הם הם סבות זה המין בעינם ולזה כמו שיקשה על הדרוש העולה מהכאת המוכה והמכה להכות כל מדרגות המכה עם כל מדרגות המוכה והשתמשו עם התחבולה ההיא ר"ל בשיכו אחדי המכה עם כל מדרגות המוכה ויכתבו העולה תחת המדרגה המוכה עוד יכו עשרות המכה עם כל מדרגות המוכה ויכתבו העולה תחת המדרגה הנמשכת למדרגת המוכה וכן תמיד על זה הסדר ושיחשבו כמו אחדים כל מדרגות המכה והמוכה ולא יקרה מזה בטל בין מצד הכמות בין מצד האיכות כאשר התבאר שם
	כן יקשה עליהם בזה המין גם כן לבקש המספר אשר יוכה בו המחלק ויעלה המחולק
	רק בשישתמשו עם תחבולת ההכאה בעצמה ר"ל שיבקשו מספר מה אשר בו יכו כל מדרגות המחלק ויהיה העולה מכל מדרגה ומדרגה מהמחלק שוה או קרוב למדרגה שכנגדה מהמחולק אחר שיסודרו מדרגות המחלק תחת מדרגות המחולק ותהיה המדרגה האחרונה מהמחלק תחת המדרגה האחרונה מהמחולק או תחת הקודמת לה אם היה המחלק יותר גדול מהמחולק שכנגדו כאשר ביארנו
	וכמו שאין הזק בהכאה אם נחשוב כל המדרגות לאחדים מצד הכמות ושהאיכות יתוקן מצד ההנחה הנזכרת אין הזק בזה המין גם כן אם נחשוב כל מדרגות המחלק והמחולק שכנגדם לאחדים מצד הכמות כי המספר היוצא והוא החלק הוא אחד בעינו מצד הכמות ושהאיכות יתוקן מצד ההנחה
	וזה שכמו שבמין ההכאה יהיה הנחת העולה מהכאת האחדי' בכל מדרגות המוכה תחת המדרגה המוכה והנחת העולה מהכאת העשרות בכל מדרגות המוכה הוא תחת המדרגה הקודמת למדרגה המוכה וכן תמיד
	כן בזה המין גם כן ראוי שנעיין בעולה מההכאה ואם היה העולה מהכאת המספר המבוקש עם אחדי המחלק שהיא המדרג' הנחסרת מהמחולק אחדים ידענו שהמספר המבוקש הוא אחדים בהכרח כי כבר קדם שהנחת העולה מהכאת אחדי המכה עם כל מדרגות המוכה הם תחת המוכה
	ויחויב מזה שהנחת העולה מהכאת אחדי המכה עם אחדי המוכה הוא תחלת אחדי המוכה ואם כן העולה מהם הוא אחדים
	ואם כן יתחייב הפך זה גם כן והוא שאם יהיה העולה מהכאת מספר מה בלתי ידוע איכותו ומדרגתו עם אחדי המוכה אחדי' יתחייב מזה בהכרח שיהיה המספר הבלתי נודע מדרגתו המוכה באחדי המוכה אחדים בהכרח
	וכן מזה הצד בעינו יתחייב שנשפוט אם היה העולה מהכאת המספר המבוקש עם אחדי המחלק שהיא המדרגה הנחסרת מהמחולק עשרות שיהיה המספר המבוקש עשרות ואם היה מאות יתחייב שיהיה המספר המבוקש מאות וכן לבלתי תכלית
	ולזה יתחייב מזה בהכרח שיהיה מקום הנחת המספר המבוקש תחת המדרגה הנכחית למדרגת אחדי המחלק אחר זה יבקשו המספר אשר יוכו בו כל מדרגות המחלק וישוה או יקרב העולה מהם למדרגות שבמחולק הקודמו' למדרגות הנכחיות למחלק ויכתבו המבוקש במדרגה הקודמת למבוקש הראשון לזאת הסבה בעצמה הנזכרת למבוקש הראשון
	כי כאשר נחשוב מדרגות המחלק נעתקות אל המדרגות הקודמות להן יהיו הנכחיות להן מהמחולק קודמות למדרגות הנכחיות הראשונות ויתחייב לזה שיכתב המבוקש היוצא תחת המדרגה הנכחית לאחדי המחלק שהיא המדרגה הקודמת למבוקש הראשון וכן תמיד
	ולכן השתמשו בעלי הגליִאָה הנזכרת עם העתקות מדרגות המחלק
	אולם הראשונים לא חששו לזה כי יספיק להם המחשבה בלבד ר"ל שיחשבו כל מדרגו' המחלק כדמות נעתקות זהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם סבת המין אשר חדשתי אני שהוא על דרך הקבוץ
	הנה התבארה לך ממה שקדם במין ההכאה בדרך הרביעי ממנו שהוא על דרך הקבוץ אין צורך להכפיל המאמרי'
	רק כדי שנוסיף לזה ביאור נניח משל אחד ויהיה המשל המונח לזה בעינו ונערוך אליו הסבות המחייבות והוא זה 7 0 9 6 2     2 3 1 0 0 2 3 1 0 0 2 3 1 0 0   1 1 5 5     2 3 1     2 3 1 החלק 307   7 0 9 1 7         4 5 המותר
	הנה להיות שהמחלק כאשר הונחה מדרגתו האחרונה תחת המדרגה האחרונה שבמחולק נוספו עליו ב' סיפרש למלאת טור המחולק ושבו אחדי המחלק במדרגה השלישית המורה על המאות
	וכבר ידעת במה שקדם שכאשר יוכה מספר מה עם האחד יהיה העולה מההכאה הוא החלק המספר המוכה בעינו
	וכאשר יוכה בעשרה יהיה העולה הוא המספר המוכה בעינו בחלוף כל מדרגה ממנו אל המדרגה הנמשכת ר"ל שישובו האחדים ממנו עשרות והעשרות מאות והמאות אלפים
	וכאשר יוכה במאה יהיה העולה מההכא' הוא המספר המוכה בעינו בחלוף כל מדרגה ממנו אל המדרגה השלישית הנמשכת לה ר"ל שישובו האחדים מאות והעשרות אלפים והמאות רבבות
	הנה מן המחויב מזה בהכרח שיהיה זה המחלק המונח אשר שבה כל מדרגה ממנו אל המדרגה השלישית הנמשכת מוכה במאה בהכרח
	ולהיות שהטורים המונחים השוים למחלק המונח הם ג' וכל אחד מהם מורה על היותו מוכה במאה
	הנה אם כן יתחייב מזה שיהיה המספר המוכה במחלק ש' בהכרח ולכן כתבנו ש' בצדו להורות על המספר המוכה בו שהוא החלק אחר זה קבצנום ועלו ס"ט אלף ושלש מאות והם קרובים למחולק ולא יתכן לכתוב טור אחר באותה המדרגה כי כל טור וטור מהם מורה על כ"ג אלף ק' ואנחנו צריכים עד תשלום המחולק אלף ותרס"ב לבד וכן לא כתבנו גם כן טור אחר במדרגות הקודמות למדרגות ג' טורי המחלק כי כל טור מהם יורה על שני אלפים ש"י והוא יותר מהשארית אשר אנחנו צריכים להשלים המחולק ולהיות שאין שם טור כלל ידענו שלא הוכה המחלק אפילו בי' וכל שכן מעשרה ומעלה ולכן כתבנו סיפרא במדרגה הקודמת לש' שהוא החלק להורות שלא הוכה בעשרות המחלק כלל אחר זה בקשנו לכתוב המחלק בטור שיהיו מדרגותיו קודמות למדרגות ג' טורי המחלק ב' מדרגות ולהיות שכל טור וטור מהם מורה על רל"א ונצטרך בזה טורים רבים יותר מחמשה להשלים השארית אשר אנחנו צריכים להגיע אל המחולק לכן חלקנו המחלק לשנים וכתבנו חציו בטור אחד במדרגות הנמשכות למדרגות הטורים האלו המורים על הכאת המחלק בעשרה ולהיות שהוא חצי המחלק הנה יהיה מורה הטור הזה על הכאת המחלק בה' והנה הוא שוה לה' טורים במדרגות הקודמות המורות על הכאת המחלק באחד והוא אלף וקנ"ה ולהיות שאנו צריכים עד תשלום האלף תרס"ב תק"ז וכל טור וטור מהטורים המונחים במדרגות הקודמות לג' טורי המחלק ב' מדרגות מורה על הכאת המחלק בא' והוא רל"א שהוא המחלק בעינו כאשר התבאר אם כן יחויב מזה בהכרח שנכתוב ב' טורים שיעלה מספרם תס"ב והנה יחסר עד תשלום המחולק מ"ה והוא פחות מטור אחד ולכן לא נכתוב במדרגה האחרונה רק שני טורים המורים על הכאת המחלק בשני אחדים וכבר כתבנו טור אחד במדרגה הנמשכת והוא חצי המחלק המורה על הכאת המחלק בה' אחדים אם כן יהיה המחלק מוכה בז' אחדים בהכרח ולכן כתבנו במדרגה הקודמת לסיפרא שבחלק ז' והנה הכל ש"ז וזהו החלק והמותר הם המ"ה וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם סבת מאזני התשיעיות והשביעיות הנה כבר כתבנוה במין ההכאה כי כבר קדם ששלשה טורי ההכאה הם הם ג' טורי החלוק
	ולכן יהיה מאזני צדק זה המין כאשר יוכו ב' טורי החלק והמחלק ויהיה העולה שוה למחולק
	וכאשר היה זה כן הנה יהיו מאזני זה המין גם כן שהם על דרך התשיעיות והשביעיות כמו שיהיו במין ההכאה וסבתם אחת בעצמה
	ואולם הסבה שכאשר ישאר מותר בלתי מחולק יחויב שנקח מאזניו ונוסיפם על מאזני החלק והמחלק השמור הנה היא מבוארת בעצמה
	וזה שמאזני החלק והמחלק השמור הוא מאזני המספר העולה מהכאתם לפי מה שקדם במין ההכאה
	וכאשר נוסיף עליהם מאזני המותר מהחלוק אשר הוא מותר העולה מהכאתם יחויב שישוו אלה המאזנים למאזני המחולק בכללו אשר הוא חבור המותר והמספר העולה מהכאתם
	או אם תרצה תגרע מאזני המותר ממאזני המחולק ויחויב שיהיו המאזנים הנשארים אחדי הגרעון שוים למאזני החלק והמחולק השמור
	וזה שמאזני המותר אשר הם הנוספים על העולה מהכאת החלק במחלק כאשר תגרעם מהמחולק בכללו יתחייב שישארו מאזני העולה מהכאת החלק במחלק וכאשר תגרעם מהמחולק בכללו יתחייב שישארו מאזני העולה מהכאת החלק במחלק
	ולכן יחויב מזה שישוו המאזנים הנשארים אחר הגרעון אשר הם מאזני העולה מהכאתם למאזני החלק והמחלק לפי מה שביארנו במין ההכאה
	וסגולת זה המין הוא שאם היה המחלק חלק למחולק והיה נפרד והמחולק זוג הנה החלק היוצא מהחלוק גם כן יהיה זוג
	ואם היה המחלק והמחולק נפרדי' הנה ג"כ החלק היוצא מהחלוקה יהיה נפרד
	וכן אם היה המחלק והמחולק זוגות הנה גם כן החלק יהיה זוג
	אולם שיהיה המחלק זוג והמחולק נפרד לא יתכן שיהיה בזה המין אשר המחלק חלק למחולק כי הכאת החלק זוג היה או נפרד עם המחלק שהוא זוג הנה העולה מההכאה אשר הוא המחולק יהיה זוג בהכרח וכבר הנחנוהו נפרד זה חלוף לא יתכן
	הנה כבר התבארו דרכי ידיעת המינים הד' בשלמי' לבד עם סבותיהם וסגלותיהם עם מאזניהם
	ומעתה נתחיל בביאור המינים הד' אשר הם שברים לבד
	ומהשם אשר עזרני עד כה אשאל העזר במה שעתיד לבא

Section Two - Fractions	השער השני
Introduction
	ואחר שכבר דברנו בדרכים המישירים אל ידיעת הד' מיני השלמים
	והיו חלקי המספר שלשה והם השלמים והשברים והשלמים עם השברים יחד
	והיה החלק השני מאלה החלקים קודם מהחלק השלישי למה שהיה הפשוט קודם מהמורכב אם במציאות ואם בידיעה
Precedence of the issue of fractions over integers and fractions: the simple precedes the compound	הנה מן המחויב עלינו אם כן להקדים המאמר בשברי' על המאמ' בשברי' עם השלמי' יחד
	וטרם החלי לדבר אודיע חלקיהם ואופן הנחתם
The Types of Fractions
First division: two types of fractions	ואומר שהשברים בכלל יחלקו חלוקה ראשונה לשני חלקים
1. One part of	האחד מהם חלק
2. Parts of	והשני חלקים
	וכבר קדם ענין החלק והחלקים
Second division: two types of fractions	עוד כל אחד מהם יחלק לשני מינים אחרים
1. Fraction of one	והם אם שיהיה שבר השלם האחד
2. Fraction of integers	או שיהיה שבר השלמים הרבים
Subdivision of both types	וכל אחד מהם גם כן יחלק לשני מינים אחרים
1. fraction alone	והם אם שיהיה שבר לבד
2. fraction of fraction	ואם שיהיה שבר השבר
3. fraction of fraction of fraction	או שבר שבר השבר וזה לבלתי תכלית
types of fractions of fractions	עוד כל אחד משני חלקי שבר השבר יחלק לשני חלקים
1. one is a part and the other is parts	אם שיהיה המין האחד חלק והאחר חלקים
2. both are of the same type	או שניהם ממין אחד
Linguistic division	אולם חלוק השברים אל מה שאיכותו מאחד ועד עשרה ואל מה שאיכותו מי' ומעלה אין זה לשברים במה שהם שברים אבל אמנם קרה להם מצד הלשון לבד
1. The denominator of which is between 1 and 10 - in Hebrew and Arabic each of these fractions have one name alone	ר"ל כי מאחד עד י' נקראים בלשון הערבי והעברי בשם אחד כמו חצי שליש רביע חומש ששית שביעית שמינית תשיעית עשירית
2. The denominator is greater than 10 - these fractions are called "one part of … of the parts of the whole"	ומעשרה ומעלה נאמר חלק אחד מי"א חלקי הכל וחלק אחד מי"ב חלקי הכל ולא נאמר אחד עשר שנים עשר
	ולזה נשתמשה תורתנו התמימה בימי חנוכת המזבח שני שלישי עד עשירי ומעשרה ומעלה אמרה אחד עשר יום שנים עשר יום והדומים לזה
	ואולם חכמי הישמעלים כבר חלקו השברים אל זה המין
Ibn Ezra - following the linguistic division converted the fractions whose denominators are larger than 10 to fractions whose denominators are smaller than 10	ונמשך החכם ר' אברהם ן' עזרא בדעותיהם וחלקם גם הוא אל זה החלוק עד שנצטרך להשיב הנשברים אשר מעשרה ומעלה אל נשברים למטה מהעשרה ואמר שאפשר שהא' מט"ו הוא שליש החמישית והדומים לזה
In Greek - all fractions have one name	ואין צורך לכל זה כי הנה בלשון היוני יקרא האחד מי"ב דודיקטו כמו האחד מג' טריטו
The twelve simple types of fractions:	ויתחייב אם כן לפי זאת החלוקה שיהיו מיני השברים שנים עשר והם
1) Fraction of one	שבר השלם האחד
2) Fraction of integers	ושבר השלמים הרבים
3) Fraction of fraction of one	ושבר שבר השלם האחד
4) Fraction of fraction of integers	ושבר שבר השלמים הרבים
5) fraction of fractions of one	ושבר שברי השלם האחד
6) fraction of fractions of integers	ושבר שברי השלמים הרבים
7) fractions of one	ושברי השלם האחד
8) fractions of integers	ושברי השלמים הרבים
9) fractions of fractions of one	ושברי שברי השלם האחד
10) fractions of fractions of integers	ושברי שברי השלמים הרבים
11) fractions of fraction of one	ושברי שברי השלם האחד
12) fractions of fraction of integers	ושברי שברי השלמים הרבים
Examples of these types:
1)  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$;  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$	משל המין הראשון כמו שליש האחד או רביעיתו
2)  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot2}}$;  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot3}}$	ומשל המין השני כמו שליש הב' או הג' והדומים להם
3)  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}}}$;  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}}}$	ומשל המין השלישי כמו שליש רביעית האחד או רביעית שביעית האחד
4)  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot2}}$;  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot3}}$	ומשל המין הרביעי כמו שליש רביע השנים או רביע שלישית הג'
5)  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{2}{3}}}$;  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{4}{5}}}$	ומשל המין החמישי כמו שליש ב' שלישיות האחד או שליש ד' חמישיות האחד
6)  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{4}{5}\sdot2}}$;  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\frac{2}{5}\sdot3}}$	ומשל המין הששי כמו שליש ד' חמישיות השנים או שביעיות ב' חמישיות הג'
7)  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$;  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$	ומשל המין השביעי כמו ב' שלישי האחד או ג' רביעיותיו
8)  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot2}}$;  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot2}}$	ומשל המין השמיני כמו שני שלישי השנים או ג' רביעיותיו
9)  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}}}$;  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{5}}}$	ומשל המין התשיעי כמו שני שלישי ג' רביעיות האחד או שני שלישיות ג' חמישיות האחד
10)  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{5}{7}\sdot3}}$;  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{5}\sdot3}}$	ומשל המין העשירי הוא שני שלישיות ה' שביעיות הג' או ג' רביעיות שני חמישיות הג'
11)  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}}}$;  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{7}}}$	ומשל המין הי"א הוא שני שלישי רביעית האחד או ג' חמישיות שביעית האחד
12)  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot3}}$;  $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot6}}$	ומשל המין הי"ב הוא שני שלישי רביעית הג' או ג' חמישיות שביעית הו'
Reduction of Fractions
The arithmeticians are using reduced fractions	ודע כי חכמי המספר השתמשו בשברים בקטני היחס
	ולכן לא יתכן לומר שני רביעיות או ד' ששיות והדומים להם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}}$	כי קטן היחס הד' ששיות הוא ב' שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}=\frac{1}{2}}}$	וקטון יחס הב' רביעיות הוא חצי
Improper Fractions
When the numerator is equal to the denominator - it should not be counted as fraction - for two reasons:	וכן אין ראוי לומר ג' שלישיות או ד' רביעיות לשתי סבות
1) it should be reduced	הסבה הראשונה היא הסבה הקודמת בעצמה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{3}=\frac{4}{4}=1:1}}$	כי קטן יחס הג' שלישיות והד' רביעיות הוא יחס הא' אל הא'
2) it falls into the category of integers	והשנית היא מפני שהג' שלישיות והד' רביעיות ובכלל כל השברים אשר כמותם שוה לאיכותם נכנסים בגדר השלמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{3}=\frac{4}{4}=1}}$	וזה כי הג' שלישיות הם שלם וכן הד' רביעיות
	ולזה אין ראוי שנשתמש בזה המין עם השברים
Integer and fraction should not be counted as a fraction $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{3};\; \frac{5}{4}}}$	וכן אין ראוי לומר ד' שלישיות או ה' רביעיות כי אז יהיה שלם ושבר
Integers should not be fractionalized	ואין ראוי לשבר השלמים אלא להשלים השברים לשלמים אם היה אפשר זהו חלוק השברים על תכלית מה שאפשר לחלקם
Writing Fractions	אולם אופן הנחתם הוא הנחת שתי אותיות זה על גב זה בכל שבר ושבר וקו מבדיל ביניהם כזה 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2
Fraction consists of two names:	והסבה בזה הוא להיות שהשבר מחובר משני שמות שם מורה על הכמות ושם מורה על האיכות
1) denominator [lit. quality] - indicating the number of the total parts dividing the whole - continuous magnitude	אולם השם אשר לו מהאיכות הוא שם המספר המורה על חלקי השלם
2) numerator [lit. quantity] - indicating the number of the parts considered from the total parts of the whole - discontinuous magnitude	ואולם השם אשר לו מהכמות הוא שם המספר המורה על החלקים הלקוחים מהשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3};\; \frac{4}{5}}}$	כאמרך שני שלישיות או ד' חמישיות ודומיהם
2 and 4 are indicating the amount of the fraction	אשר הב' והד' מורים על כמות המין ההוא
3 and 5 are indicating the quality of the fraction	והג' והה' מורי' על איכות המין ההוא
	ובכלל הב' והד' מורים על כמה מתפרדת ר"ל על מספר החלקים הלקוחים מחלקי השלם
	והג' והה' מורים על כמה מתדבק ר"ל על מספר החלקים אשר בהם ישבר המספר המכונה בשם שלם אשר השלם מורה על מתדבק
The fractions are varied from one another from the aspects of the numerator and the denominator:	והנה יתחלפו השברים קצתם מקצת פעם מצד הכמות ופעם מצד האיכות ופעם מצד שניהם יחד
1. diversity from the aspect of the numerator $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5};\; \frac{3}{5};\; \frac{4}{5}}}$	משל החלוף אשר ישיגם מצד הכמות הוא כאמרך ב' חמישיות ג' חמישיות ד' חמישיות ודומיהם
2. diversity from the aspect of the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5};\; \frac{2}{7};\; \frac{2}{9}}}$	ומשל החלוף אשר ישיגם מצד האיכות כאמרך ב' חמישיות ב' שביעיות שני ב' תשיעיות והדומים להם
3. diversity from both aspects $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3};\; \frac{3}{4};\; \frac{4}{5}}}$	ומשל החלוף אשר ישיגם משני הצדדים יחד כאמרך שתי שלישיות וג' רביעיות וד' חמישיות ודומיהם
The written fraction consists of two signs: one signifies the numerator and the other signifies the denominator	וכאשר היה זה כן הנה אם כן מן המחויב עלינו לכתוב בכל שבר שני סימנים שם מורה על הכמות ושם מורה על האיכות
The Spanish sages - wrote the sign of the numerator above and the sign of the denominator underneath they draw a line between them as a symbol that the fraction is continuous	וכבר נהגו חכמי ספרד לכתוב הסימן המורה על הכמות מלמעלה והסימן המורה על האיכות למטה ממנה
	ואולם מה שנהגו להמשיך קו ביניהם לפי דעתי שהסבה בזה הוא למה שהקו מורה על המתדבק והשבר גם כן מהמתדבק כי לא יתכן שידומה שליש או רביע או חומש והדומים להם אם לא בשידומה המספר אשר הם חלקים לו בשם שלם המורה על המתדבק
	הנה כבר התבאר לך חלוק השברים ואופן הנחתם בתכלית מה שאפשר
	ומהנה נתחיל בדרכים המיישירים אל ידיעתם
Chapter One - Multiplication	הפרק הראשון מהשער השני הוא במין ההכאה
Introduction
Precedence of multiplication of fractions over addition of fractions - since its knowledge is needed for all other operations	ואולם הקדמנו זה המין בשברי' ואם היה הקבוץ יותר פשוט ממנו מפני שכל מיני השברים הנזכרים יצטרכו להתכה אל שני מינים מהם לבד שהם שבר האחד ושבריו ולא יתכן זה אלא במין ההכאה כאשר יתבאר במקומו בעזרת האל
Definition: multiplication of fractions = conversion of a fraction of fraction to a single fraction, or an integer, an integer and fraction	וההכאה היא התכת שבר השבר אל שבר אחד ולפעמים ישוב אל שלם או שלם ושבר
	וזה שלא כמנהג הטבעי כי כבר קדם שאין ראוי לשבר השלמים אלא להשלים השברים
Multiplication of fractions differs from multiplication of integers from two aspects:	והכאת השברים מתחלף מהכאת השלמי' משני פנים
1) the product of integers is larger than the multiplicands - the product of fractions is smaller that the multiplicands	האחד שההכאה בשלמים תשים המעט לרב ובשברים הפך זה
2) multiplication of integers is a sum of identical numbers - in multiplication of fractions one enlarges and the other lessens	והאחר שההכאה בשלמים הוא קבוץ מספרים שוים ובשברים הוא בהפך ר"ל שהאחד לתוספת והאחר למגרעת
These differences of the fractions are caused from the aspect of their denominator	ואלו החלופים אמנם יקרו בשברים מצד איכותם לא מצד כמותם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{4}\times\frac{10}{4}=\frac{100}{16}}}$	וזה כי הי' רביעיות על דרך משל כאשר הוכו עם הי' רביעיות יעלו ק' שש עשיריות
the numerator grows $\scriptstyle{\color{blue}{10<100}}$ the denominator decreases $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}>\frac{1}{16}}}$	והנה התרבו מצד הכמות כמשפט השלמים ונתמעטו מצד האיכות ושבו הרביעיות שש עשיריות אשר זה האיכות הוא פחות מאיכות הרביעות
Multiplication of Fractions	ומעתה אתחיל בהודעת הדרך אשר בו נגיע אל ידיעת זה המין
Two alternatives for multiplication of a fraction by a fraction:	ואומר שלהיות שהכאת השברים עם השברים יחלקו לשני חלקים והם
1) the two fractions are of the same type	אם שיהיו שני השברים יחד ממין אחד
2) each fraction is of a different type	ואם שיהיו משני מינים
144 types of multiplication of fractions: [12 simple types of fractions, both multiplicands are of the same type or of different types of fractions (12×12=144)]	ויתחייבו מזה מאה וארבעים וארבעה מינים
78 different types of composite fractions [144 types minus 66 identical types]	וכאשר יושלכו מהם המינים המשותפים ישארו מהם שבעים ושמנה מינים מתחלפים
All different types of composite fractions are converted into three basic types of multiplication of fractions:	והיו כל המינים האלו אמנם יותכו אל שלשה מינים מהם אשר הם
1) multiplication of fraction of one by fraction of one	שבר האחד בשבר האחד
2) multiplication of fractions of one by fraction of one	ושברי האחד בשבר האחד
3) multiplication of fractions of one by fractions of one	ושברי האחד בשברי האחד
Algorithms for multiplying one of the simple types of fractions by one of the simple types of fractions	הנה אם כן מן המחויב עלינו להודיע תחלה הדרך אל ידיעת השלשה מינים האלה
	אחר זה נודיע דרך התכת כל המינים האחדים אליהם ובזה נגיע אל ידיעת דרך כל המינים הנזכרים בקלות
1) General algorithm for all three types of multiplication	ואומר שהדרך הכולל לכל השלשה מינים האלו שהם במדרגת השרשים והיסודות לכל המינים הנשארים
$\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}$	הנה הוא שתכה הכמות עם הכמות ושמרהו אחר זה הכה האיכות עם האיכות ושמרהו ויחס השמור הראשון אל השמור השני הוא השבר או השברים היוצאים מן ההכאה אשר הם שבר או שברים לאחר
	ונצייר לזה שלשה משלים לאלה המינים השלשה והם אלו $\scriptstyle\frac{3}{4}$ $\scriptstyle\frac{2}{3}$ $\scriptstyle\frac{1}{2}$ $\scriptstyle\frac{0}{12}$ $\scriptstyle\frac{2}{3}$ $\scriptstyle\frac{1}{3}$ $\scriptstyle\frac{2}{9}$ $\scriptstyle\frac{1}{4}$ $\scriptstyle\frac{1}{3}$ $\scriptstyle\frac{1}{12}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1\sdot1}{3\sdot4}=\frac{1}{12}}}$	הנה במין הראשון הכינו הכמות עם הכמות ועלה אחד וכתבנוהו למטה מהם והמשכנו קו תחתיו אחר זה הכינו האיכות עם האיכות ועלו י"ב וכתבנום למטה מהקו והם אחד מי"ב וככה הוא העולה מהכאת השליש עם הרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{1\sdot2}{3\sdot3}=\frac{2}{9}}}$	ובמין השני הכינו הכמות עם הכמות ועלו שנים וכתבנום למטה והמשכנו קו תחתיו אחר זה הכינו האיכות עם האיכות ועלו ט' וכתבנום תחת הקו והם שני תשיעות וזהו העולה מהכאת השליש עם השני שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{2\sdot3}{3\sdot4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}}}$	ובמין השלישי הכינו הכמות עם הכמות ועלו ו' וכתבנום למטה והמשכנו קו תחתיו אחר זה הכינו האיכות עם האיכות ועלו י"ב וכתבנום תחת הקו והם ששה חלקים מי"ב וקטון יחסם הוא חצי וכתבנוהו בצדו וזהו העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות
	זהו הדרך הקצר מכל שאר הדרכי' אשר כתבו הראשונים
2) Another algorithm	אולם הראשונים כבר כתבו עוד דרך אחר זולת זה
$\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)\sdot\left(c\sdot b\right)}{\left(b\sdot d\right)^2}$	והוא שמכים האיכות עם האיכות כאשר ביארנו אחר זה מכים העולה מהכאתם עם עצמו והעולה ישמרוהו אחר זה מכים כמות השבר האחד עם איכות השבר האחר והעולה ישמרוהו עוד יכו כמות השבר האחד עם איכות האחר והעולה ישמרוהו אחר זה מכים השמור עם השמור והעולה ייחסוהו עם השמור הראשון והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{\left(1\sdot4\right)\sdot\left(1\sdot3\right)}{\left(3\sdot4\right)^2}=\frac{4\sdot3}{144}=\frac{12}{144}=\frac{1}{12}}}$	משל המין הראשון מאלה המינים השלשה המונחים יכו הג' עם הד' והעולה עם עצמו ויעלו קמ"ד וישמרוהו אחר זה יכו הא' עם הד' ויעלו ד' גם יכו הא' עם הג' ויעלו ג' ויכו הד' עם הג' ויעלו י"ב ויחס הי"ב אל הקמ"ד אשר קטון יחסם הוא חלק אחד מי"ב הוא העולה מהכאת המין הראשון המונח
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{\left(1\sdot3\right)\sdot\left(2\sdot3\right)}{\left(3\sdot3\right)^2}=\frac{3\sdot6}{81}=\frac{18}{81}=\frac{2}{9}}}$	ובמין השני יכו הג' עם הג' והעולה עם עצמו ויעלו פ"א וישמרוהו אחר זה יכו האחד עם הג' ויעלו ג' גם יכו הב' עם הג' ויעלו ו' ויכו הג' עם הו' ויעלו י"ח ויחס הי"ח אל הפ"א אשר קטון יחסם הוא שני תשיעיות הוא העולה מהכאת המין השני המונח
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{\left(2\sdot4\right)\sdot\left(3\sdot3\right)}{\left(3\sdot4\right)^2}=\frac{8\sdot9}{144}=\frac{72}{144}=\frac{1}{2}}}$	ובמין השלישי יכו הג' עם הד' והעולה עם עצמם ויעלו קמ"ד וישמרוהו אחר זה יכו הב' עם הד' ויעלו ח' גם יכו הג' עם הג' ויעלו ט' ויכו הח' עם הט' ויעלו ע"ב ויחס הע"ב אל הקמ"ד אשר קטון יחסם הוא חצי הוא העולה מהכאת המין השלישי המונח
	זהו הדרך הארוך אשר בו השתמשו קצת מהראשונים ואנחנו הזכרנוהו להודיע בחירת הדרך מהדרך
Converting the 78 different types of composite fractions to the three basic types	ואחר שכבר ביארנו לך שני מיני הדרכים אשר בהם תוכל להשתמש בזה המין הנה הנשאר עלינו אם כן הוא שנודיע הדרך בידיעת התכת המינים הנשארים מכלל הע"ח מינים הנזכרים אל אלו המינים השלשה ובזה נגיע אל המכוון
Converting the 12 simple types of fractions to the two simplest types of fractions - fraction / fractions	ודע כי ההודעה בהתכת הי"ב מינים הפשוטים אל השני מינים מהם שהם שבר האחד ושבריו יספיק מידיעת התכת המינים המורכבים מהם אל המינים השלשה המורכבים שהם שבר בשבר ושבר בשברים ושברים בשברים אחר שאין במורכבים זולת פשוטיהם
Converting 10 of the 12 simple types of fractions to a fraction or fractions - will be enough, since the composed types consist on the simple types
1) fraction of integer / fractions of integer $\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot c=\frac{a\sdot c}{b}$	ואומר שהשני מינים מהם והוא שבר השלמים הרבים ושבריהם הנה הדרך בהתכתם הוא שניחס העולה מהכאת כמות השבר או השברים עם השלמים אל איכותם והעולה הוא המבוקש
2) fraction of fraction / fractions of fractions / fraction of fractions / fractions of fraction $\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}$	ואולם הד' מינים מהם שהם שבר שבר האחד ושברי שבריו ושבר שברי האחד ושברי שברו הנה הדרך בהתכתם הוא שניחס העולה מהכאת הכמות עם הכמות אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה הוא המבוקש
3) fraction of fraction of integers / fractions of fractions of integers / fraction of fractions of integers / fractions of fraction of integers $\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\sdot n=\frac{a\sdot c\sdot n}{b\sdot d}$	ואולם הד' מינים הנשארים שהם שבר השבר הרבים ושברי שבריהם ושבר שברי הרבים ושברי שברם
	הנה הדרך בהתכתם הוא שנייחס העולה מהכאת הכמות עם הכמות והעולה עם מספר השלמים אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה הוא המבוקש
	הנה כבר ביארנו לך הדרך בידיעת התכת העשרה מינים מהי"ב מינים הנזכרים אל השנים מהם שהם שבר האחד ושבריו
	ומהנה כבר תוכל להשיב כל הע"ח מינים המורכבים מאלה הי"ב מינים הפשוטים אל המינים הג' מהם אשר הזכרנו
Multiplication of fractions without converting	ואולם אם רצית להשתמש בידיעת כל המינים מבלתי שתצטרך להתיכם אל המינים השלשה אשר זכרנו
$\scriptstyle\frac{a_1}{b_1}\sdot\frac{a_2}{b_2}\cdots\frac{a_n}{b_n}=\frac{a_1\sdot{a_2}\cdots{a_n}}{b_1\sdot{b_2}\cdots{b_n}}$	הכה כמות השבר הראשון עם כמות השבר השני והעולה עם כמות השלישי והעולה עם כמות הרביעי וכן לבלתי תכלית והעולה שמרהו אחר כן הכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי וכן לבלתי תכלית והעולה שמרהו ונייחס אליו השמור הראשון והוא המבוקש
	המשל בזה אם רצית להכות ב' שלישי הג' רביעיות של ב' חמישיות הד' עם ג' רביעיות הב' שביעיות של חמישיות הג'
	תסדר השברים בזה הדרך 3 $\scriptstyle\frac{2}{5}$ $\scriptstyle\frac{2}{7}$ $\scriptstyle\frac{3}{4}$ 4 $\scriptstyle\frac{2}{5}$ $\scriptstyle\frac{3}{4}$ $\scriptstyle\frac{2}{3}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2\sdot3\sdot2\sdot4\sdot3\sdot2\sdot2\sdot3&\scriptstyle=6\sdot2\sdot4\sdot3\sdot2\sdot2\sdot3\\&\scriptstyle=12\sdot4\sdot3\sdot2\sdot2\sdot3\\&\scriptstyle=48\sdot3\sdot2\sdot2\sdot3\\&\scriptstyle=144\sdot2\sdot2\sdot3\\&\scriptstyle=288\sdot2\sdot3\\&\scriptstyle=576\sdot3=1728\\\end{align}}}$	ותכה הב' עם הג' ויעלו ו' והו' עם הב' ויעלו י"ב והי"ב עם הד' ויעלו מ"ח והמ"ח עם הג' ויעלו קמ"ד ואלה עם הב' ויעלו רפ"ח ואלה עם הב' ויעלו תקע"ו ואלה עם הג' ויעלו אלף תשכ"ח ונשמרם
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle3\sdot4\sdot5\sdot4\sdot7\sdot5&\scriptstyle=12\sdot5\sdot4\sdot7\sdot5\\&\scriptstyle=60\sdot4\sdot7\sdot5\\&\scriptstyle=240\sdot7\sdot5\\&\scriptstyle=1680\sdot5=8400\\\end{align}}}$	אחר זה נכה הג' עם הד' ויעלו י"ב ואלה עם הה' ויעלו ס' ואלה עם הד' ויעלו ר"מ ואלה עם הז' ויעלו אלף תר"ף ואלה עם הה' ויעלו שמנה אלפים ות'
	ויונחו תחת השמור שבידינו שהם אלף תשכ"ח וזהו בעצמו היוצא עם הדרך ההתכה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{5}\sdot4=\frac{48}{60}=\frac{4}{5}}}$	כי המין הראשון הוא מ"ח חלקים מששים אשר קטון זה היחס הוא ד' חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{7}\sdot\frac{2}{5}\sdot3=\frac{36}{140}=\frac{9}{35}}}$	והמין השני הוא ל"ו חלקים מק"מ אשר קטן זה היחס הוא תשעה חלקים מל"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{5}\sdot4\right)\times\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{7}\sdot\frac{2}{5}\sdot3\right)=\frac{4}{5}\sdot\frac{9}{35}=\frac{36}{175}=\frac{1728}{8400}}}$	וכאשר יוכו עם הדרך הקודם בג' מיני השברים המורכבים הנה יעלו ל"ו חלקים מקע"ה וזהו יחס האלף תשכ"ח אל השמנה אלפים ות' היוצא בזולת ההתכה
	אלה הם הדרכים אשר בם תוכל לדעת העולה מהכאת מין אחד פשוט עם מין אחר פשוט מי"ב מיני השברים הפשוטים
Composite types of multiplication of fractions
Algorithm for a sum pf multiples without multiplying each one separately and then summing them together
$\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{a_2}{b_2}\right)+\left(\frac{a_3}{b_3}\times\frac{a_4}{b_4}\right)+\cdots+\left(\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\times\frac{a_n}{b_n}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(a_1\sdot{a_2}\sdot{b_3}\cdots{b_n}\right)+\left(a_3\sdot{a_4}\sdot{b_1}\sdot{b_2}\sdot{b_5}\cdots{b_n}\right)+\cdots+\left(a_{n-1}\sdot{a_n}\sdot{b_1}\cdots{b_{n-2}}\right)}{\prod_{k=1}^n b_k}\\\end{align}$	אולם אם רצית להכות פשוטים רבים עם פשוטים רבים בפעם אחת לדעת העולה מהכאתם מבלתי שתצטרך להכות כל אחד מהם לבדו אוחר זה לקבצם
	כמו על דרך משל הכאת השני שלישיות עם הג' רביעיות והכאת הד' חמישיות עם הה' ששיות והכאת הששה שביעיות עם השבעה שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(2\sdot3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\right)+\left(4\sdot5\sdot3\sdot4\sdot7\sdot8\right)+\left(6\sdot7\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\right)}{3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{10080+13440+15120}{20160}\\&\scriptstyle=\frac{38640}{20160}\\&\scriptstyle=1+\frac{18480}{20160}\\\end{align}}}$	יסודרו השברים בזה הסדר $\scriptstyle\frac{7}{8}$ $\scriptstyle\frac{6}{7}$ χ $\scriptstyle\frac{5}{6}$ $\scriptstyle\frac{4}{5}$ χ $\scriptstyle\frac{3}{3}$ $\scriptstyle\frac{2}{4}$
We multiply the numerator of the first fraction by the numerator of the second fraction, this product by the third numerator, this product by the fourth numerator, this product by the fifth numerator, this product by the sixth numerator and so on until all the fractions are complete. The result of our example is twenty thousand and 160. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8=20160}}$	ואחר נכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והעולה עם איכות החמישי והעולה עם איכות הששי וכן תמיד עד שיכלו כל השברים והנה העולה במשלנו זה הוא עשרים אלף וק"ס
	אחר זה נכה כמות הראשון עם כמות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי ועולה עם איכות החמישי והעולה עם איכות הששי והעולה נשמרהו והוא י' אלף פ' במשלנו
	אחר זה נכה כמות השבר השלישי עם כמות הרביעי והעולה עם איכות הראשון והעולה עם איכות השני והעולה עם איכות החמישי והעולה עם איכות הששי והעולה נשמרהו והוא י"ג אלף ת"מ אחר זה נכה כמות השבר החמישי עם כמות הששי והעולה עם איכות הראשון והעולה עם איכות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והעולה נשמרהו והוא ט"ו אלף ק"כ נקבץ השמורים והם ל"ח אלף תר"מ נחלקם על העשרים אלף ק"ס שבידינו והעולה הוא שלם א' וי"ח אלף ת"פ מכ' אלף ק"ס וזהו העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות ומהכאת הד' חמישיות עם החמשה ששיות ומהכאת הששה שביעיות עם השבעה שמיניות
	דמיון אחר אם רצית לדעת העולה מהכאת השני שלישיות עם השלשה רביעיות ומהכאת הארבעה חמישיות עם השני שביעיות
	הנה נסדרם ככה $\scriptstyle\frac{2}{7}$ $\scriptstyle\frac{4}{5}$ χ $\scriptstyle\frac{3}{4}$ $\scriptstyle\frac{2}{3}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{2}{7}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(2\sdot3\sdot5\sdot7\right)+\left(4\sdot2\sdot3\sdot4\right)}{3\sdot4\sdot5\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{210+96}{420}\\&\scriptstyle=\frac{306}{420}\\\end{align}}}$	ונכה איכות השבר הראשון עם איכות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכו' הרביעי והעולה ת"כ אחר זה נכה כמות הראשון עם כמות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והנשמרהו והם ר"י אחר זה נכה כמות הג' עם כמות הד' והעולה עם איכות הראשון והעולה עם איכות השני והעולה נשמרהו והם צ"ו נקבץ השמורים והם ש"ו נחלקם על הת"כ שבידינו והם ש"ו חלקים מת"כ וזהו העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות ומהכאת הד' חמישיות עם הב' שביעיות
Algorithm for a multiple of sums without summing each one separately and then multiplying them by each other
$\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}\right)\times\left(\frac{a_3}{b_3}+\frac{a_4}{b_4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)}{\prod_{k=1}^4 b_k}\\\end{align}$
	ואולם אם רצית להכות הב' שלישיות והג' רביעיות יחד עם הד' חמישיות וב' שביעיות יחד לדעת העולה מהכאתם מבלתי שתצטרך לקבץ השני שלישיות עם הג' רביעיות והד' חמישיות עם השני שביעיות ואחר זה להכות שני המקובצים אבל יצא הכל מתוקן בפעם אחת $\scriptstyle\frac{2}{7}$ χ $\scriptstyle\frac{4}{5}$ χ $\scriptstyle\frac{3}{4}$ χ $\scriptstyle\frac{2}{3}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)\times\left(\frac{4}{5}+\frac{2}{7}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(2\sdot4\sdot5\sdot2\right)+\left(3\sdot3\sdot4\sdot7\right)+\left(2\sdot4\sdot4\sdot7\right)+\left(3\sdot3\sdot5\sdot2\right)}{3\sdot4\sdot5\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{80+252+224+90}{420}\\&\scriptstyle=\frac{646}{420}=1+\frac{226}{420}\\\end{align}}}$	הנה נכה איכות הראשון עם איכו' הב' והעולה עם איכות הג' והעולה עם איכות הד' והם במשלנו ת"כ ונשמרם אחר זה נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה עם איכו' השלישי והעולה עם כמות הד' ויעלו פ' גם נכה כמות השני עם איכות הראשון והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם רנ"ב גם נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם רכ"ד גם נכה כמות השני עם איכות הראשון והעולה עם איכות השלישי והעולה עם כמות הרביעי והם צ' נקבץ הכל חוץ מהשמור והם תרמ"ו חלקם על הת"כ השמורים ויצאו אחד שלם ורכ"ו חלקים מת"כ וככה הוא העולה מהכאת קבוץ הב' שלישיות וג' רביעיות עם קבוץ הד' חמישיות וב' שביעיות
Methods of checking
1) Division	והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין
$\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)\div\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$	הוא שנחלק העולה מהכאת השבר עם השבר על השבר הא' מהמוכים איזה מהם שרצית ואם היוצא בחלוקה ישוה לשבר האחר צדקת ואם לאו כזבת
	המשל בזה אם הכית השליש עם הרביע יעלה אחד מי"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\div\frac{1}{3}=\frac{1}{12}\div\frac{1}{3}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}}}$	והמאזנים לזה הוא שנחלק אחד מי"ב על השליש שהוא השבר הא' מהמוכים והיוצא הוא שלשה חלקים מי"ב וקטון היחס הזה הוא רביע וזהו השבר השני מהמוכים
	ואופן החלוק הנה יתבאר במקומו אם ירצה השם אלו הם מאזני הראשונים
2) Another test:	אולם אני אודיעך מאזנים אחרים זולת אלה
$\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)\sdot\frac{c}{d}\right]+\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}$	והוא שנכה ההבדל שבין השבר הקטן עד תשלום הא' השלם עם השבר הגדול והעולה נקבצנו עם העולה מההכאה הראשונה והעולה אם ישוה לשבר הגדול דע שצדקת ואם לאו כזבת
	המשל בזה אם רצית להכות השליש עם הרביע הנה העולה הוא אחד מי"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1-\frac{1}{4}\right)\sdot\frac{1}{3}\right]+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}}}$	והמאזנים לזה הוא שנקח מהרביע הג' רביעיות שהם עד תשלום השלם האחד ונכם עם השליש והעולה הוא שלשה חלקים מי"ב ונקבצם עם האחד מי"ב היוצא מההכאה הראשונה ויעלו ד' חלקים מי"ב וקטון היחס הזה הוא שליש וזהו השבר האחר ודרך הקבוץ יתבאר במקומו בע"ה
If each of the two fractions are larger than 1 $\scriptstyle\frac{a}{b};\; \frac{c}{d}>1\longrightarrow\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)-\left[\left(\frac{a}{b}-1\right)\sdot\frac{c}{d}\right]=\frac{c}{d}$	ואולם אם היה כל אחד מהשני שברים המוכים יותר משלם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{3};\; \frac{6}{4}>1\longrightarrow\left(\frac{4}{3}\sdot\frac{6}{4}\right)-\left[\left(\frac{4}{3}-1\right)\sdot\frac{6}{4}\right]=\left(\frac{4}{3}\sdot\frac{6}{4}\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{6}{4}\right)=\frac{6}{4}}}$	כמו על דרך משל הכאת ד' שלישיות עם ששה רביעיות הנה נקח מהארבעה שלישיות העודף על השלם האחד והוא השליש האחד ונכהו עם הששה רביעיות והעולה נחסרהו מהעולה מהכאת הד' שלישיות עם הו' רביעיות ואם הנשאר ישוה לששה רביעיות אשר הוא השבר האחר דע שצדקת ואם לאו טעית ודרך החסור יתבאר במקומו בעזרת הש"י
Converting the result of the checking method to a reduced fraction	ולהיות שהיוצא מהמאזנים יהיה לפעמים שבר קשה ההתכה אל קטון יחסו ויראה שהוא מתחלף מהשבר האחר ואם הוא שוה לא ראינו להודיע הדרך אל זה ביותר קלות ממה שאפשר
	והוא שנסדר השבר האחד בצד אחד והיוצא מהמאזנים בצדו כזה $\scriptstyle\frac{4}{12}$ χ $\scriptstyle\frac{1}{3}$   12     12
$\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\longleftrightarrow a\sdot d=c\sdot b$	ונכה כמות השבר האחד עם כמות השבר האחר באלכסון והעולה נכתבהו תחתיו גם נכה כמות השבר האחד עם איכות האחר באלכסון ונכתבהו תחתיו ואם ישוו העולים מהשתי הכאות דע שהשני שברים שוים ואם לאו הם בלתי שוים בהכרח
This method is very simple, but not enough for finding the reduced fraction, only for equalization of the fractions	וזה הדרך קל מאד אלא שלא יספיק למציאות קטון היחס רק למציאות שווי השברים לבד
3) Another test - easier than the last one	עוד חדשתי מאזנים אחרים יותר קלים ויותר קצרים מהראשונים
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):x=\frac{a}{b}\longleftrightarrow x:\left(b\sdot d\right)=\frac{c}{d}$	והוא שנקח כמות השבר היוצא מהכאת השברים המוכים ונבקש מספר שיהיה יחסו אליו יחס השבר האחד מהשברים המוכים איזה מהם רצית ואם היה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא מהכאת השברים המוכים שוה אל יחס השבר הנשאר דע שצדקת ואם לאו כזבת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}}$	משל זה אם הכית השליש עם הרביע שהעולה מהכאתם הוא אחד מי"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot1\right):x=1:x=\frac{1}{3}\longrightarrow x=3\longrightarrow3:\left(3\sdot4\right)=3:12=\frac{1}{4}}}$	נקח האחד מהשבר היוצא ונבקש מספר שיהיה יחס האחד עליו יחס השליש שהוא השבר האחד מהמוכים והם ג' ויהיה יחס הג' אל הי"ב שהוא איכות השבר היוצא שוה ליחס הרביע שהוא השבר האחד מהמוכים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot1\right):x=1:x=\frac{1}{4}\longrightarrow x=4\longrightarrow4:\left(3\sdot4\right)=4:12=\frac{1}{3}}}$	או אם תרצה תבקש מספר שיהיה יחס האחד אליו יחס הרביע והם ד' ויתחייב מזה שיהיה יחס הד' אל הי"ב הוא יחס השליש שהוא השבר האחד מהמוכים
finding the number to which the numerator of the result is proportional	ואולם הדרך בידיעת מציאות המספר המתיחס אליו כמות השבר היוצא בבלתי חפוש
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):x=\frac{a}{b}\longrightarrow x=\frac{b\sdot\left(a\sdot c\right)}{a}$	הוא שתסדר השבר המוכה אשר תרצה להיות יחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש כיחסו בצד א' ובצדו האחר תכתוב כמות השבר היוצא מההכאה והכה זה הכמות עם איכות השבר שהונח בצדו בדרך אלכסון והעולה מההכאה חלקם על כמות השבר המונח בצדו והיוצא הוא המספר הדרוש
$\scriptstyle{\color{blue}{18:x=\frac{6}{4}\longrightarrow x=\frac{4\sdot18}{6}=\frac{72}{6}=12\longrightarrow18:12=\frac{6}{4}}}$	משל זה אם רצינו לדעת המספר אשר יהיה יחס השמנה עשר אליו הוא יחס השש רביעיות הנה יונח שבר השש רביעיות בצד אחד והי"ח בצד אחר כזה $\scriptstyle\frac{18}{12}$ χ $\scriptstyle\frac{6}{4}$
	ויוכה הד' עם הי"ח והעולה ע"ב נחלקהו על הו' והיוצא הוא מספר י"ב וזהו המספר המבוקש אשר יחס הי"ח אליו הוא יחס הו' אל הד' רביעיות
Reasons and Explanations
The reason for the general multiplication procedure	ואולם סבת מציאות זה המין בשנכה הכמות עם הכמות והאיכות עם האיכות
Clarified by five propositions:	הנה היא מבוארת בעצמה אחר הצעת חמש הקדמות
The first [proposition]: $\scriptstyle\frac{a\sdot c}{b\sdot c}=\frac{a}{b}$	האחת מהן היא שכל שבר מהשברי' כאשר יכפל כמותו ואיכותו איזה כפלים שיהיו שוי הפעמים הנה העולה מכפלי כמותו ואיכותו כאשר ייוחסו זה אצל זה הנה יהיה הוא השבר הראשון בעינו אשר הוא מייחס הכמות אל האיכות הבלתי נכפלים
$\scriptstyle\frac{a\div c}{b\div c}=\frac{a}{b}$	וכן בחלוק ר"ל כאשר תחלק כמותו ואיכותו לחלקי' שוים איזה חלקים שיהיו ותקח מכל א' מחלקי הכמו' והאיכות חלקים שוים ותייחס החלקים הלקוחים מהכמו' אל החלקים הלקוחי' מהאיכות יהיה השבר המתחדש מהם הוא השבר הראשון בעינו אשר הוא מיחס הכמות והאיכו' הבלתי נחלקים
The proof is based on Euclid, Elements, Book V, proposition 15	וסבתו ידועה בספר היסודות לאקלידס במאמר הה' ממנו
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):\left(b\sdot c\right)=a:b$	באמרו החלקים אשר כפליהם שוים הנה יחס קצתם אל קצת כיחס חלקי קצתם אל קצת כי המופת בשניהם אחד
The second proposition: our saying "we multiply the fraction by the fraction" is equal to our saying "we take a fraction of the fraction".	ההקדמה השנית היא שבאמרנו נכה השבר עם השבר שוה לאמרנו נקח שבר השבר
	וזה מבואר מאד
The third proposition: $\scriptstyle\frac{1}{b}\sdot\left(a\sdot b\right)=a$	ההקדמה השלישית היא שכל מספר נכפל בכפלי' מה כמה שיהיו הנה המספר הנכפל יהיה למספר העולה מכפליו שבר נגזר משם מספר מספר הכפלים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(2\sdot3\right)=\frac{1}{3}\sdot6=2}}$	משל זה שמספר ב' כאשר יכפל בג' וישובו ו' הנה מספר הב' יהיה שליש הו' אשר שם השליש הוא נגזר מהג' אשר הם כפלי הב'
Based on Nicomachus	וזה מבואר גם כן מספר ניקומכוש
The fourth proposition: $\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}=\frac{\frac{a}{b}\sdot c}{d}$	ההקדמה הרביעית היא שכאשר תרצה לקחת משברים מה חלק מה הנה נקח מכמות השברים המונחים לפי החלק הדרוש וניחסהו אל איכות השברים המונחים והיוצא הוא החלק הלקוח מהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{9}{10}=\frac{\frac{1}{3}\sdot9}{10}=\frac{3}{10}}}$	משל זה אם רצית לקחת שליש הט' עשיריות הנה נקח שליש הט' והם ג' ונייחסם אל עשיריות והם ג' עשיריות וכן תמיד וגם זה מבואר בעצמו
The fifth proposition: $\scriptstyle c\sdot\frac{a}{b}=\frac{c\sdot a}{b}$	ההקדמה החמישית היא שכאשר תרצה לכפול שברים מונחים בכפלים מה איזה כפלים שיהיו הנה נכפול הכמות ונייחסהו אל האיכות והיוצא הוא העולה מכפלי השברים המונחים
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\frac{2}{9}=\frac{3\sdot2}{9}=\frac{6}{9}}}$	משל זה אם רצית להכות שני תשיעיות בג' הנה נכה הב' בג' ויעלו ו' וניחסם אל התשיעיות ויעלו ו' תשיעיות וזהו העולה מכפילת השני תשיעיות בג' וגם זה מבואר בעצמו
Since these propositions are clarified - the multiplication procedure is clarified	ואחר שכבר התבארו לך אלה ההקדמות הנה כבר התבאר לך עלת זה המין בתכלית מה שהיה אפשר לבארו
according to (2): $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{9}=\frac{3}{4}of\frac{2}{9}}}$	וזה שאמרנו נכה הג' רביעיות בב' תשיעיות עד"מ הנה הוא שוה לאמרנו נקח ג' רביעיות הב' תשיעיות לפי מה שקדם בהקדמה השנית
according to (4) and (5): $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{9}=3\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{2}{9}\right)=3\sdot\frac{\frac{1}{4}\sdot2}{9}=\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot2\right)\sdot3}{9}}}$	ואלו היה כמות הב' תשיעיות נחלק לד' חלקים עד נקח מהם רביעיתם היינו לוקחים אותו והיינו מיחסים אותו אל איכותם והיוצא היה מורה על רביעית השני תשיעיות לפי מה שקדם בהקדמה הרביעית ואחר זה היינו כופלים כמות הרביעית הא' בג' והיה עולה ג' רביעיות השני תשיעיות לפי מה שקדם שהקדמה החמישית
	אך מפני שכמות הב' תשיעיות בלתי נחלק לד' חלקים היה מן ההכרח שנכהו בד' שהוא איכות הג' רביעיות עד שיהיה העולה מהכאת הב' בד' נחלק לארבעה חלקים
according to (1); (4) and (5): $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{9}=\frac{3}{4}\sdot\frac{2\sdot4}{9\sdot4}=3\sdot\frac{\frac{1}{4}\sdot\left(2\sdot4\right)}{9\sdot4}=\frac{\left[\frac{1}{4}\sdot\left(2\sdot4\right)\right]\sdot3}{9\sdot4}}}$	וכאשר היה זה כן היה מחויב עלינו גם כן להכות גם התשעה שהם איכות השני תשיעיות עם איכות הד' עד יהיה העולה מכפלי הב' והט' עם הד' כאשר יתיחסו זה אל זה שוים לשני תשיעיות לפי מה שקדם בהקדמה הראשונה ונקח מהעולה מהכאת הכמות עם האיכות שהוא כמות השבר ההוה רביעיתם וניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות שהוא איכות השבר ההוה וההוה הוא רביעית הב' תשיעיות לפי מה שקדם בהקדמה הרביעית אחר זה נכפול כמותו בג' והוא מורה על ג' רביעיות השני תשיעיות לפי ההקדמה החמישית
according to (1); (4); (3) and (5): $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{9}=\frac{3}{4}\sdot\frac{2\sdot4}{9\sdot4}=3\sdot\frac{\frac{1}{4}\sdot\left(2\sdot4\right)}{9\sdot4}=3\sdot\frac{\frac{1}{4}\sdot8}{9\sdot4}=3\sdot\frac{2}{9\sdot4}=\frac{3\sdot2}{4\sdot9}}}$	אלא שהקדמונים ראו לקצר הדרך והכו האיכות עם האיכות לבד והניחו הכאת הכמות עם האיכות ולקיחת רביעיתו כי כבר קדם בהקדמה השלישית שכל מספר נכפל בכפלי' מה הנה המספר הנכפל יהיה למספר העולה מהכפלים שבר נגזר מכפליו ולכן יחויב מזה בהכרח שיהיו הב' שהוא כמות הב' תשיעיות בעינם רביעית המספר העולה מהכאת הב' בד' ואם כן אין הבדל בין שנקח כמות השני תשיעיות בעינו או שנכה הב' עם הד' ויעלו ח' ונקח מהם רביעיתם שהם ב' וכאשר היה זה כן הנה אם כן אין צורך רק להכאת האיכות על האיכות ולקיחת הכמות בעינו וניחס הכמות אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והיוצא יורה על רביעית השני תשיעיות אמנם בעבור שדרושנו הוא ג' רביעיות הב' תשיעיות והיוצא לא יורה כי אם על רביעית אחד לכן הוצרכנו להכות כמות היוצא המורה על רביעית אחד שהוא כמות הב' תשיעיות בעינו לפי מה שקדם עם הג' שהוא כמות הג' רביעיות וייוחס העולה אל האיכות היוצא והעולה יורה על שלשה רביעיות הב' תשיעיות בהכרח לפי מה שקדם בהקדמה החמישית וזהו מה שכווננו ביאורו
The reason for the second algorithm	ואולם הדרך אשר בו השתמשו הקדמונים
$\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)\sdot\left(c\sdot b\right)}{\left(b\sdot d\right)^2}$	והוא שמכים האיכות עם האיכות והעולה עם עצמו גם מכים הכמות עם האיכות באלכסון גם כמות האחר עם איכות חברו באלכסון אחר זה יכו העולים מהאלכסונים זה עם זה והעולה ייחסוהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם עצמו הנה היא הסבה הנזכרת בעצמה בדרך הקדום
$\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot d}{b\sdot d}\sdot\frac{c\sdot b}{d\sdot b}=\frac{\left(a\sdot d\right)\sdot\left(c\sdot b\right)}{\left(b\sdot d\right)^2}$	וזה שכאשר יכו האיכות עם האיכות הנה העולה מהם יהיו בו שני האיכויות בהכרח ולזה הצטרכו בו בעבור שיהיו במספר ההוה מהם שני האיכויות יחד עד ילקח מהם השבר האחד והאחר ויהיו מתחלפים בכמות ושוים באיכות וזה כשילקח כמותם על דרך אלכסון כאשר יתבאר במין הקבוץ אי"ה
	משל זה במשלנו הקדום אם רצית להכות ג' רביעיות עם שני תשיעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{9}=\frac{3\sdot9}{4\sdot9}\sdot\frac{2\sdot4}{9\sdot4}=\frac{27}{36}\sdot\frac{8}{36}=\frac{27\sdot8}{36^2}=\frac{216}{1296}=\frac{6}{36}}}$	הנה יכו הט' עם הד' ויעלו ל"ו וזהו במקום שלם אחר זה יכו הג' עם הט' ויעלו כ"ז ונייחסם אל הל"ו והם כ"ז חלקים מל"ו שהם שוים לג' רביעיות כמו שיבא אחר זה יכו הב' עם הד' ויעלו שמנה ונייחס אל הל"ו ויהיו שמנה חלקים מל"ו שהם שוים לב' תשיעיות הנה לפי הדרך הזאת כבר נהיה תמורת הכאת הג' רביעיות עם הב' תשיעיות הכאת הכ"ז חלקים מל"ו עם השמנה חלקים מל"ו אחר שהם שוים להם וכאשר יוכה האיכות עם האיכות כאשר קדם ויעלו אלף רצ"ו גם יוכה הכמות עם הכמות כאשר קדם ויעלו רי"ו ונייחסם אל האלף רצ"ו הנה הם שוים לששה חלקים מל"ו ההוים לפי הדרך הקודם וסיבתם היא אחת אחר ששב זה הדרך אל הדרך הקודם בעינו וזהו מה שכווננו ביאורו
The explanation of the conversion of 10 of the 12 simple types of multiplication of fractions to the two simplest types of them	וכבר יתבאר לך גם כן ענין התכת כל העשרה מינים מכלל הי"ב הפשוטים אל השני מינים
based on the second proposition - the method of converting these types is the same as multiplying $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}=\frac{1}{3}of\frac{1}{4}}}$	וזה כי כבר קדם בהקדמה השנית כי באמרנו נכה השליש עם הרביע הוא שוה לאמרנו נקח שליש הרביע
	ואחר שהמינים העשרה מכלל הי"ב מינים הפשוטים הם שבר השבר או שבר השברים או שבר שבר השבר והדומה לזה אשר זהו ענין הכאת השברים הנה אם כן בהכרח שיהיה דרך התכת השברים העשרה אל השני מינים הפשוטים הוא דרך ההכאה בעינה
Explanation of the algorithm of multiplication of fractions without converting	ואולם סבת מציאות זה המין בזולת ההתכה
$\scriptstyle\frac{a_1}{b_1}\sdot\frac{a_2}{b_2}\cdots\frac{a_n}{b_n}=\frac{a_1\sdot{a_2}\cdots{a_n}}{b_1\sdot{b_2}\cdots{b_n}}$	וזה בשנכה הכמות עם הכמות והעולה עם הכמות וכן תמיד עד שיכלו כל השברים המכים והמוכי' והעולה נשמרהו עוד אחר זה נכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו השברים המכים והמוכים ונייחס אל העולה מהם השמור הראשון
Fractions of fractions by fraction	הנה סבתו גם כן ידועה וזה שאם רצית להכות שברי שברים עם שברים
	כמו שני שלישיות הג' רביעיות עם הד' חמישיות על דרך משל $\scriptstyle\frac{4}{5}$   $\scriptstyle\frac{3}{4}$ $\scriptstyle\frac{2}{3}$ $\scriptstyle\frac{6}{12}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\right)\times\frac{4}{5}=\frac{2\sdot3}{3\sdot4}\sdot\frac{4}{5}=\frac{6}{12}\sdot\frac{4}{5}=\frac{6\sdot4}{12\sdot5}=\frac{24}{60}}}$	הנה אין הבדל בין שנתיכם בשנכה הב' עם הג' ויעלו ו' וניחסם אל העולה מהכאת הג' בד' שהם ו' חלקים מי"ב ואחר נכם עם הד' חמישיות בשנכה הו' עם הד' ויעלו כ"ד וניחסם אל העולה מהכאת הי"ב עם הה' שהם כ"ד חלקים מששים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\right)\times\frac{4}{5}=\frac{2\sdot3\sdot4}{3\sdot4\sdot5}=\frac{24}{60}}}$	ובין שנכה הב' עם הג' והעולה עם הד' וניחסם אל העולה מהכאת הג' בד' והעולה בה' שהם כ"ד חלקים בס'
The simultaneous multiplications are the same as a repeated multiplication according to the first method	כי ההכאות ההוות בזה הדרך ר"ל בבת אחת הם ההכאות בעצמם ההוות בשני פעמים כמו הדרך הראשון וזה מבואר מאד אין צורך לביאור
Fractions of fractions by fraction fractions	ואולם אם רצית להכות שברי שברים עם שברי שברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{4}{5}\right)\times\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{5}{6}\right)}}$	כמו שני שלישיות הד' חמשיות עם ג' רביעיות הה' ששיות $\scriptstyle\frac{5}{6}$ $\scriptstyle\frac{3}{4}$ $\scriptstyle\frac{15}{24}$ $\scriptstyle\frac{4}{5}$ $\scriptstyle\frac{2}{3}$ $\scriptstyle\frac{8}{15}$
The proof is based on Euclid, Elements, Book VII, proposition 17	הנה בזה נצטרך אל ביאור ואומר שהוא מן המבואר ממה שהתבאר בספר אקלידס במאמ' השביעי בתמונת י"ז
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):\left(b\sdot c\right)=a:b$	שכל מספר יוכו בו ב' מספרים הנה יחס אחד משני השטחים אצל האחר כיחס אחד משני המספרים אצל האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)\sdot\left(3\sdot5\right)=8\sdot15=\left[\left(2\sdot4\right)\sdot3\right]\sdot5}}$	ולכן יחויב מזה בהכרח במשלנו זה שיהיה העולה מהכאת הב' בד' שהוא ח' כאשר יוכה עם העולה מהכאת הג' בה' שהם ט"ו שוה לעולה מהכאת הב' בד' והעולה בג' והעולה בה'
	וכן באיכיות דרך אחד להם ר"ל שכמו שהיה בכמויות העולה מהכאת הח' בט"ו שהם העולים מהכאת הב' בד' והכאת הג' בה' שוה לעולה מהכאת הב' בד' עם הג' והעולה מהם עם הה'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot5\right)\sdot\left(4\sdot6\right)=15\sdot24=\left[\left(3\sdot5\right)\sdot4\right]\sdot6}}$	כן באיכויות העולה מהכאת הט"ו בכ"ד שהם העולים מהכאת הג' בה' והכאת הד' בו' הם שוים לעולה מהכאת הג' בה' עם בד' והעולה מהם עם הו'
	והסבה בזה מבואר ממה שקדם מההקדמה הנזכרת בספר אקלידס
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot5\right)\sdot\left(2\sdot4\right)=\left(3\sdot5\right)\sdot8=\left(8\sdot3\right)\sdot5}}$	וזה שיתחייב מההקדמה ההיא בהכרח שהעולה מהכאת הג' בה' כאשר יוכה עם הח' העולה מהכאת הב' בד' הוא שוה לעולה מהכאת הח' בג' עם הה'
$\scriptstyle{\color{blue}{8:5=\left(8\sdot3\right):\left(5\sdot3\right)=24:15}}$	וזה כי אחר שהג' הוכה עם הח' ועלו כ"ד גם הוכה עם הה' ועלו ט"ו הנה יהיה יחס הח' אל הה' כיחס הכ"ד אל הט"ו
Euclid, Elements, Book VII, proposition 19	וכבר התבאר בתמונת י"ט מן המאמר ההוא בעצמו
$\scriptstyle a:b=c:d\longrightarrow\left(a\sdot d\right)=\left(b\sdot c\right)$	שכל ארבעה מספרים מתיחסים הנה השטח העולה מהכאת הראשון באחרון שוה לשטח העולה מהכאת השני בשלישי
$\scriptstyle{\color{blue}{8:5=24:15\longrightarrow8\sdot15=5\sdot24}}$	אם כן יחויב מזה בהכרח שהעולה מהכאת הח' עם הט"ו הוא שוה לעולה מהכאת הה' עם הכ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)\sdot3=24\longrightarrow\left[\left(2\sdot4\right)\sdot3\right]\sdot5=8\sdot15}}$	ואחר שהיה זה כן וכבר קדם שהכ"ד הם ההוים מהכאת הב' עם הד' והעולה עם הג' אם כן כאשר יוכה הב' בד' והעולה עם הג' והעולה עם הה' יהיה שוה בהכרח לעולה מהכאת הח' עם הט"ו
	וכן תוכל לדעת זה בכל מיני השברים ואם ירבו מאד כי המופת צודק לכל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{5}\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{6}{7}\sdot\frac{7}{8}\right)}}$	משל זה אם רצית להכות אלו $\scriptstyle\frac{7}{8}$ $\scriptstyle\frac{6}{7}$ $\scriptstyle\frac{5}{6}$ $\scriptstyle\frac{4}{5}$ $\scriptstyle\frac{3}{4}$ $\scriptstyle\frac{2}{3}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)\sdot4=2\sdot\left(3\sdot4\right)}}$	הנה העולה מהכאת הב' בג' והעולה עם הד' הוא שוה לעולה מהכאת הב' עם העולה מהכאת הג' עם ד' כמו שקדם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6=\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\right)}}$	וכן העולה משלשתם כאשר יוכה עם הה' והעולה עם הו' הוא שוה לעולה מהכאת העולה משלשתם עם העולה מהכאת הה' בו' לזאת הסבה בעינה כי המספר הראשון הוא העולה משלשתן והשני מספרים האחרים הם הה' והו'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\right)\right]\sdot7=\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\sdot7\right)}}$	וכן העולה משלשתן כאשר יוכה עם העולה מב' מספרי ה"ו והעולה עם הז' הוא שוה לעולה מהכאת העולה משלשתן עם העולה משלשה המספרים האחרים שהם מספרי ה'ו'ז' לזאת הסבה בעצמה כי המספר הראשון הוא ההוה משלשתן והמספר השני הוא ההוה משני מספרי ה"ו והמספר השלישי הוא מספר ז' ולכן יהיה העולה מהכאת העולה משלשתן עם העולה משני מספרי ה"ו והעולה עם ז' שוה לעולה מהכאת העולה משלשתן עם העולה מג' מספרי ה'ו'ז' וכבר קדם שהעולה מהכאת העולה משלשתן עם העולה משני מספרי ה"ו הוא שוה לעולה מהכאת העולה משלשתן עם הה' והעולה עם ו'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\sdot7\right)=\left[\left[\left[\left(2\sdot3\right)\sdot4\right]\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7=}}$	אם כן יתחייב מזה בהכרח שיהיה העולה מהכאת ההוה משלשתן עם ההווה מהשלשה הנשארים שוה לעולה מהכאת הב' בג' והעולה עם ד' והעולה עם ה' והעולה עם ו' והעולה עם ז' וזהו מה שכווננו ביאורו
Explanation of the algorithm for a sum of multiples without multiplying each one separately and then summing them together	ואולם סבת מציאו' הכאו' רבות בפעם אחת מבלתי שתצטרך לקבץ העולי' מההכאות הרבות
$\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{a_2}{b_2}\right)+\left(\frac{a_3}{b_3}\times\frac{a_4}{b_4}\right)+\cdots+\left(\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\times\frac{a_n}{b_n}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(a_1\sdot{a_2}\sdot{b_3}\cdots{b_n}\right)+\left(a_3\sdot{a_4}\sdot{b_1}\sdot{b_2}\sdot{b_5}\cdots{b_n}\right)+\cdots+\left(a_{n-1}\sdot{a_n}\sdot{b_1}\cdots{b_{n-2}}\right)}{\prod_{k=1}^n b_k}\\\end{align}$	בשנכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו כל השברים המונחים בכל ההכאות ונשמרהו אחר זה ניחס אליו העולה מהכאת כמויות כל הכאה והכאה זה עם זה על הסדר והעולה נכהו עם כל אכויות ההכאות האחרות ואם רבו על הסדר
Clarified by the algorithm for addition of fractions	הנה אמנם התבאר לך ביאור מספיק אחר שיתבאר לך מין קבוץ השברים וסבתם
$\scriptstyle\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq{k}}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k}$	וזה שבמין הקבוץ נבאר שהדרך אל מציאותו אמנם הוא בשנכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו כל השברים המונחים והעולה נשמרהו אחר זה נכה כמות כל שבר ושבר עם כל איכויות השברים נקבצים עמו והעולים מהכאת כמות כל השברים עם כל איכויות הנקבצים מהם נקבצם וניחסם אל השמור הראשון והוא סך כל השברים הנקבצים
Together with the property of the associativity of multiplication $\scriptstyle\left[\left(a\sdot b\right)\sdot c\right]\sdot d=\left(a\sdot b\right)\sdot\left(c\sdot d\right)$	וכאשר היה זה כן וכבר קדם שהעולה מהכאת המספר האחד עם המספר הב' והעולה עם המספר הג' והעולה עם המספר הרביעי הוא שוה לעולה מהכאת העולה מהמספר הא' והב' עם העולה מהכאת המספר הג' והד'
	אם כן מן המחויב מזה בהכרח שיהיה מציאות סך כל ההכאות מבלתי קבוץ עם הדרך הנזכרת
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}\right)}}$	משל זה אם רצית לדעת סך כל העולה מהכאת שני שלישיות עם ג' רביעיות והכאת ד' חמישיות עם ה' ששיות והכאת ו' שביעיות עם שבעה שמיניות כזה $\scriptstyle\frac{7}{8}$ $\scriptstyle\frac{6}{7}$ $\scriptstyle\frac{42}{56}$ $\scriptstyle\frac{5}{6}$ $\scriptstyle\frac{4}{5}$ $\scriptstyle\frac{20}{30}$ $\scriptstyle\frac{3}{4}$ $\scriptstyle\frac{2}{3}$ $\scriptstyle\frac{6}{12}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{2\sdot3}{3\sdot4}+\frac{4\sdot5}{5\sdot6}+\frac{6\sdot7}{7\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{6}{12}+\frac{20}{30}+\frac{42}{56}\\&\scriptstyle=\frac{\left(6\sdot30\sdot56\right)+\left(20\sdot12\sdot56\right)+\left(42\sdot30\sdot12\right)}{12\sdot30\sdot56}\\\end{align}}}$	הנה למה שקדם שהכאת כל מין ומין מהם אמנם הוא בשנכה הכמות עם הכמות והאיכות עם האיכות וזה בכל מין ומין לעצמו ונכתוב העולה מכל מין תחתיו ויחויב שיהיו העולים ששה חלקים מי"ב ועשרים חלקים משלשים ומ"ב חלקים מנ"ו ועוד יתבאר במה שיבא שקבוץ השברים אמנם הוא בשנכה כל האיכויות זה עם זה ונשמרהו גם נכה כמות כל שבר עם איכות כל השברים הנקבצים עמו ונקבצם והעולה נייחסהו אל השמור שבידינו והוא סך הכל ואם כן יחויב שנכה הי"ב עם השלשים והעולה עם הנ"ו והעולה נשמרהו וזהו השמור הראשון אחר זה נכה הו' עם השלשים והעולה עם הנ"ו גם נכה הכ' עם הי"ב והעולה עם הנ"ו גם נכה המ"ב עם השלשים והעולה עם הי"ב ונקבץ כל העולים והעולה נייחסהו אל השמור הראשון והוא סך כל השברים
$\scriptstyle\left[\left(a\sdot b\right)\sdot c\right]\sdot d=\left(a\sdot b\right)\sdot\left(c\sdot d\right)$	וכבר קדם שאין הבדל בין שנכה המספר האחד עם המספר השני והעולה עם הג' והעולה עם הד' ובין שנכה העולה מהא' והב' עם העולה מהג' והד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{2\sdot3}{3\sdot4}+\frac{4\sdot5}{5\sdot6}+\frac{6\sdot7}{7\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{6}{12}+\frac{20}{30}+\frac{42}{56}\\&\scriptstyle=\frac{\left(6\sdot30\sdot56\right)+\left(20\sdot12\sdot56\right)+\left(42\sdot30\sdot12\right)}{12\sdot30\sdot56}\\\end{align}}}$	הנה אם כן אין הבדל בין שנכה תחלה השני שלישיות עם הג' רביעיות ויעלו ששה חלקים מי"ב והד' חמישיות עם הה' ששיות ויעלו כ' חלקים משלשים והו' שביעיות עם הז' שמיניות ויעלו מ"ב חלקים מנ"ו ואחר זה נכה הי"ב עם השלשים והעולה עם הנ"ו גם נכה הכ' עם הי"ב והעולה עם הנ"ו גם נכה המ"ב עם הי"ב והעולה עם השלשים ונקבץ הכל וניחסם אל השמור הראשון
	אשר הדרך הזאת היא הדרך הפשוטה ר"ל שנכה כל מין ומין לעצמו ואחר נקבץ כל העולים עם דרך הקבוץ
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(2\sdot3\right)\sdot30\right]\sdot56\right]+\left[\left[\left(4\sdot5\right)\sdot12\right]\sdot56\right]+\left[\left[\left(7\sdot6\right)\sdot30\right]\sdot12\right]}{\left[\left[\left[\left(3\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7\right]\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(6\sdot30\right)\sdot56\right]+\left[\left(20\sdot12\right)\sdot56\right]+\left[\left(42\sdot30\right)\sdot12\right]}{\left[\left[\left[\left(3\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7\right]\sdot8}\\\end{align}}}$	ובין שנכה מתחלה הב' עם הג' ויעלה ו' והו' עם השלשים והעולה עם הנ"ו גם נכה הד' עם הה' ויעלו כ' והכ' עם הי"ב והעולה עם הנ"ו גם נכה הז' עם הו' ויעלו מ"ב והמ"ב עם השלשים והשלשים עם הי"ב והעולים מהכל נקבצם וניחסם מהעולה מהכאת הג' עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והעולה עם הח'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\right)\right]\sdot\left(7\sdot8\right)=\left(12\sdot30\right)\sdot56=\left[\left[\left[\left(3\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7\right]\sdot8}}$	וזה שהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו הוא שוה לפי מה שקדם להכאת העולה מאיכות הא' והב' עם העולה מאיכות הג' והד' והעולה עם העולה מאיכות הה' והו' ואם כן אין צורך להכות האיכות הראשון עם השני ויעלה י"ב ואחר נכה האיכות השלישי והרביעי ויעלו שלשים ואחר נכה האיכות החמישי והששי ויעלו נ"ו ואחר נכה הי"ב עם השלשים והעולה עם הנ"ו רק נכה האיכות הראשון עם השני והעולה עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הו' ויהיו שני הפעלות יחד ר"ל פעלת ההכאה והקבוץ
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot3\right)\sdot\left(5\sdot6\right)\right]\sdot\left(7\sdot8\right)=\left(6\sdot30\right)\sdot56=\left[\left[\left[\left(2\sdot3\right)\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7\right]\sdot8}}$	וכן אחר שהכאת הכמות הא' עם הכמות הב' והעולה עם איכות הה' והעולה עם איכות הו' הוא שוה לפי מה שקדם להכאת העולה מכמות הא' והב' עם העולה מאיכות הג' והד' והעולה עם העולה מאיכות הה' והו' לכן אין צורך להכות הכמות הראשון עם השני ויעלו ו' ונכה הה' עם הו' ויעלו שלשים ונכה הח' עם הז' ויעלו נ"ו ואחר נכה הו' עם הל' והעולה עם הנ"ו רק נכה הב' עם הג' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והעולה עם הח' ויהיו הפעלות יחד ר"ל פעלת ההכאה והקבוץ וזה מה שרצינו לבאר
Explanation of the algorithm for a multiple of sums without summing each one separately and then multiplying them by each other	ואולם סבת מציאות הכאת שברים רבים עם שברים רבים מבלתי שתצטרך לקבץ השברים המכים לחוד והשברים המוכים לחוד ואחרי כן להכותם אבל יצא לך הכל מזומן ומתוקן בפעם אחת
$\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}\right)\times\left(\frac{a_3}{b_3}+\frac{a_4}{b_4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)}{\prod_{k=1}^4 b_k}\\\end{align}$	בשנכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו כל האיכויות והעולה נשמרהו אחר זה נכה כמות השבר הראשון מהמכים עם איכות השבר השני מהמכים והעולה עם איכות השבר הראשון מהמוכים והעולה עם כמות השבר השני מהמוכים גם נכה כמות השבר האחד מהמכים עם איכות השבר השני מהמוכים והעולה עם כמות השבר האחד מהמוכים והעולה עם איכות השבר השני מהמוכים גם נכה כמות השבר השני מהמכים עם איכות השבר האחד מהמוכים והעולה עם איכות השבר הא' מהמוכים והעולה עם כמות השבר השני מהמכים גם נכה כמות השבר השני מהמכי' עם איכות השבר הא' מהמכים והעולה עם כמות השבר הא' מהמוכים והעולה עם איכו' השבר הב' מהמכים ונקבץ כל העולי' ונייחסהו אל השמור הראשון העולה מהכאת כל האיכויות על הסדר
Explained by the proof of the previous algorithm	הנה כבר התבארה מהסבה הקודמת אין צורך לכפול המאמרים
Based on Euclid, Elements, Book II, [proposition 1]	אלא שראוי שתדע בביאור הסבה הזאת הקדמה אחת כבר התבארה בתמונה הראשונה מהמאמר השני מספר אקלידס החכם
$\scriptstyle a\sdot\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)=\sum_{i=1}^n \left(a\sdot b_i\right)$	והוא מה שקדם גם כן בהכאת השלמים שכל מספר יוכה עם מספר מה איזה מספר היה הנה העולה מהם שוה לעולה מהכאת המספר המוכה עם כל אחד מחלקי המספר המכה על איזה חלקים שנחלק
The reason for the checking by division	ואולם סבת מאזני הקדמונים שהוא עם החלוק
Is clarified above for integers	כבר קדמה במאזני הכאת השלמים אין צורך לכפול המאמרים
Explanation of the test	ואולם סבת המאזנים אשר חדשתי אני
$\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)\sdot\frac{c}{d}\right]+\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}$	אשר הוא בהכאת הנשאר מהשבר המכה עד תשלום הא' השלם עם השבר המוכה והעולה נקבצנו אם ישוה לשבר המוכה צדק ואם לאו כזב
$\scriptstyle\frac{c}{d}=1\sdot\frac{c}{d}=\left[\frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\sdot\frac{c}{d}=\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)+\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)\sdot\frac{c}{d}\right]$	הנה סבתו מבוארת בעצמה וזה שהוא מהמבואר בעצמו שכל שבר יוכה באחד שלם הנה העולה מההכאה הוא השבר המוכה בעינו ולזה כאשר הוכה השבר המוכה עם הנשאר מהשבר המכה עד תשלום האחד ויקובץ העולה עם היוצא מההכאה הראשונה הנה יחויב העולה מקבוצם הוא השבר המוכה בעינו אחר שהוכה השבר המוכה עם השבר המכה ועם החסרון אשר יחסר ממנו עד תשלום האחד אשר חבור שניהם הם אחד
$\scriptstyle\frac{a}{b}>1$:	ולכן כאשר יהיה המכה יותר משלם אחד הנה כאשר יוכה המוכה עם העודף שבמכה על האחד השלם ונחסר העולה מזאת ההכאה מהעולה מהכאת המוכה עם המכה בכללו הנה לזאת הסבה בעינה יחויב שיהיה הנשאר ממנה שוה למוכה בלי ספק
$\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}=\left[1+\left(\frac{a}{b}-1\right)\right]\sdot\frac{c}{d}=\left(1\sdot\frac{c}{d}\right)+\left[\left(\frac{a}{b}-1\right)\sdot\frac{c}{d}\right]=\frac{c}{d}+\left[\left(\frac{a}{b}-1\right)\sdot\frac{c}{d}\right]$	וזה שהעולה מהכאת כל המכה עם המוכה הוא שוה לעולה מהכאת האחד השלם עם המוכה והעודף עם המוכה
$\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)-\left[\left(\frac{a}{b}-1\right)\sdot\frac{c}{d}\right]=\frac{c}{d}$	ולזה יחויב מזה בהכרח שכאשר נחסר מהכאת כל המכה עם המוכה הכאת העודף עם המוכה שישאר ממנה בהכרח העולה מהכאת האחד עם המוכה אשר הוא המוכה בעינו וזה מה שכווננו ביאורו
The reason why when the cross products of two fractions are equal the two fractions are equal $\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\longleftrightarrow a\sdot d=c\sdot b$	ואולם הסבה אשר חויב ממנה שכאשר יהיו שני שברים מונחים ויוכה כמות השבר הראשון עם איכות השני וכמות השני עם איכות הראשון וישוו העולים משני הכאות האלכסונים שיהיו שני שברים שוים בהכרח היא מבוארת ממה שקדם
[Based on Euclid, Elements, Book VII, proposition 19: the rule of four] $\scriptstyle a:b=c:d\longrightarrow a\sdot d=b\sdot c$	וזה שכבר קדם שכל ד' מספרים מתיחסים הנה השטח ההוה מהכאת הראשון באחרון הוא שוה לשטח ההוה מהכאת השני בשלישי
$\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\longrightarrow a\sdot d=c\sdot b$	והוא מהמבואר בעצמו שכל שני שברים שוים הנה יחס כמות האחד אל איכותו כיחס כמות האחר אל איכותו
	אם כן יחויב מזה בהכרח שיהיה השטח ההוה מהכאת הכמות הראשון באיכות השני שוה לשטח ההווה מהכאת איכו' הראשון בכמות השני וזה מה שרצינו לבארו
Explanation of the third test	ואולם המאזנים האחרים אשר חדשתי
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):x=\frac{a}{b}\longleftrightarrow x:\left(b\sdot d\right)=\frac{c}{d}$	והוא שנקח כמות השבר היוצא מההכאה ונבקש מספר שיהיה יחסו אליו יחס השבר האחד מהשברים המוכים איזה מהם רצית
	ואם היה יחס המספר המבוקש אל איכות היוצא מההכאה שוה ליחס השבר הנשאר מהשני שברים המוכים צדקנו ואם לאו כזבנו
Apparently based on Euclid, but the reference is inaccurate	הנה סבתו גם כן ידועה ממה שהתבאר מכח תמונת כ"ג מהמאמר הששי
$\scriptstyle a:b=\left(a:c\right)\sdot\left(c:b\right)$	כי שם התבאר שכל שני מספרים מונחים איזה מספרים שיהיו הנה יחס האחד מהם אחד האחר מחובר מיחס המספר האחד משני המספרים אל מספר מה ומיחס המספר ההוא אל מספר השני מהשני מספרים המונחים
$\scriptstyle{\color{blue}{3:4=\frac{3}{4}=\frac{3}{5}\sdot\frac{5}{4}=\left(3:5\right)\sdot\left(5:4\right)}}$	משל זה שני מספרי ג"ד הנה יחס הג' אל הד' מחובר מיחס הג' אל הה' ומיחס הה' אל הד' ר"ל הג' אל הד' שהוא ג' רביעיות הוא הווה מהכאת יחס הג' חמישיות עם יחס הה' רביעיות
	ואם כן יתחייב מזה בהכרח שיהיה יחס כמות השבר היוצא אל איכותו הווה מהכאת כמותו אל מספר מה עם יחס המספר ההוא אל איכותו
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):x=\frac{a}{b}\longleftrightarrow x:\left(b\sdot d\right)=\frac{c}{d}$	ולכן כאשר בקשנו מספר שיתיחס אליו כמות השבר היוצא יחס השבר האחד מהשני שברים המוכים יחויב מזה בהכרח שיהיה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא הוא יחס השבר השני מהשני שברים המוכים
$\scriptstyle\left[\left(a\sdot c\right):x\right]\sdot\left[x:\left(b\sdot d\right)\right]=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}=\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}$	וזה שכבר התבאר מזאת ההקדמה שהיחס ההווה מהכאת יחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש עם יחס המספר המבוקש אל איכותו הוא יחס השבר היוצא והוא בעצמו ההווה מהכאת שני יחסי השברים המוכים
$\scriptstyle\left(a:b\right)\sdot\left(c:d\right)=\left(a\sdot c\right):\left(b\sdot d\right)=\left[\left(a\sdot c\right):x\right]\sdot\left[x:\left(b\sdot d\right)\right]$	אם כן יתחייב מזה בהכרח שיהיה היוצא מהכאת שני יחסי השברים המוכים שוה ליוצא מהכאת יחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש עם יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא ויחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש הוא אחד מב' יחסי השברים המוכים הנה יחויב מזה בהכרח שיהיה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא הוא הנשאר משני יחסי השברים המוכים
According to Euclid, Elements, Book V, proposition 15	וזה ממה שהתבאר מכח תמונת י"ז ממאמר החמישי
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):\left(b\sdot c\right)=a:b$	שכל שני מספרים יוכו במספר אחר הנה יחס אחד משני השטחים ההווים מהם אצל האחר כיחס השני המספרים המוכים האחד אצל האחר
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right)=\left(b\sdot c\right)\longleftrightarrow a=b$	ויחויב מזה בהכרח שכאשר יהיו השני שטחים שוים שיהיו גם השני מספרים המוכים במספר האחד שוים
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):x=a:b\longrightarrow\left[\left(a\sdot c\right):x\right]\sdot\left[x:\left(b\sdot d\right)\right]=\left[\left(a\sdot c\right):x\right]\sdot\left(c:d\right)\longrightarrow x:\left(b\sdot d\right)=c:d$	ולכן יתחייב מזה בהכרח שיהיה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא שוה ליחס השבר הנשאר מהב' שברים המוכים אחר שאלה השני יחסים יוכו עם יחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש שהוא יחס השבר האחד מהם ויתהווה משניהם יחס אחד והוא יחס השבר היוצא והשני יחסים השוים הם יחס אחד בעצמו הנה אם כן יחויב מזה בהכרח שיהיה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא הוא בעצמו יחס השבר הנשאר מהשני שברים המוכים וזה מה שרצינו לבאר
The reason for the existence of the proportional number x so that $\scriptstyle\left(a\sdot c\right):x=\frac{a}{b}\longrightarrow x=\frac{b\sdot\left(a\sdot c\right)}{a}$	ואולם סבת מציאות המספר המבוקש בשנחלק העולה מהכאת כמות השבר היוצא עם איכות השבר האחד על כמותו הנה היא מבוארת ממה שהתבאר במיני היחסים
	וזה שיחס כמות השבר המונח אל איכותו הוא כיחס כמות היוצא אל המספר המבוקש
The rule of four - three are known and the fourth is unknown	והנה אם כן מהארבעה המספרים המתייחסים השלשה מהם ידועים והאחד מהם מוסכל
$\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{a\sdot c}{x}=\longrightarrow x=\frac{b\sdot\left(a\sdot c\right)}{a}$	ולכן כאשר יוכה השני בשלישי שהוא כמות היוצא עם איכות המונח ויחולק על הראשון שהוא כמות השבר המונח יצא המספר הרביעי בהכרח שהוא המספר המבוקש כאשר יתבאר במה שיבא וזהו מה שכווננו ביאורו
	הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת זה המין עם מאזניו ואותיותיו מחובר בראיותיהם ומופתיהם
	ומהנה נתחיל בביאור דרך הקבוץ בע"ה

Chapter Two - Addition	פרק שני במין הקבוץ
Introduction
Definition of the addition operation - the same as the definition of addition for integers	גדר הקבוץ ידוע מגדר קבוץ השלמים
The types of simple and composite fractions - repetition	ולהיות שמיני השברים הפשוטים והמורכבים אשר בזה המין הם הם בעינם מיני הפשוטים והמורכבים אשר במין ההכאה
	וכבר קדם שמיני הפשוטים הם י"ב ומיני המורכבים מהם הם ע"ח
	ושהפשוטים יותכו אל שני מינים מהם והם שבר האחד ושבריו
	והמורכבים יותכו אל ג' מינים מהם והם שבר עם שבר ושברים עם שברים ושבר עם שברים וכבר התבאר לך אופן ההתכה
	הנה אם כן מהמחויב עלינו להודיע הדרך במציאות הקבוץ באלה המינים השלשה המורכבי' מכלל הע"ח מינים ובזה נגיע אל המכוון
	ודע שהע"ח מינים המורכבים אשר זכרנו במין ההכאה אמנם יהיו הם בעינם במין הקבוץ כאשר יורכב הקבוץ משני מיני שברים לבד
	אולם כאשר ירבו מיני הנקבצים אין ספק שירבו המורכבים אבל אנחנו לא נצטרך בזכירתם למה שיהיה הדרך אשר בו נגיע אל מציאותם הוא עצמו הדרך אשר בו נגיע אל מציאות הע"ח מינים ולזה אין לנו עסק בהכאתם
Addition of Fractions
1) General algorithm for all types of composite fractions	והדרך הכולל לכל מיני המורכבים
$\scriptstyle\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq{k}}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k}$	הוא שנכה האיכות אם האיכות והעולה עם האיכות והעולה נשמרהו אחר זה נכה כמות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם איכות השלישי וכן תמיד עד שיכלו כל האיכויות חוץ מאיכו' השבר הראשון גם נכה כמות השבר השני עם איכות הראשון והעולה עם איכות השלישי וכן תמיד עד שיכלו כל האיכויות חוץ מאיכות השבר השני גם נכה כמות השבר השלישי עם איכות האחד והעולה עם איכות השני וכן תמיד עד שיכלו כל האיכויות חוץ מאיכות השבר השלישי גם נכה כמות השבר הרביעי עם כל האיכויות חוץ מאיכותו על זה הדרך וכן תמיד עד שיכלו כל השברים אחר זה נקבץ כל העולים מכל ההכאות והעולה ניחסהו אל השמור אם הוא יותר קטן ממנו או נחלקנו עליו אם הוא יותר גדול והיוצא הוא סך כל השברים הנקבצים
	ונצייר לזה משלים לג' מיני המורכבים והם אלו $\scriptstyle\frac{1}{5}$ $\scriptstyle\frac{1}{4}$ $\scriptstyle\frac{1}{3}$ $\scriptstyle\frac{2}{7}$ $\scriptstyle\frac{3}{5}$ $\scriptstyle\frac{1}{4}$ $\scriptstyle\frac{4}{5}$ $\scriptstyle\frac{3}{4}$ $\scriptstyle\frac{2}{3}$
1) $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}&\scriptstyle=\frac{\left(2\sdot4\sdot5\right)+\left(3\sdot3\sdot5\right)+\left(4\sdot3\sdot4\right)}{3\sdot4\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{40+45+48}{60}\\&\scriptstyle=\frac{133}{60}=2+\frac{13}{60}\\\end{align}}}$	הנה במין הראשון הכינו איכות הג' עם איכות הד' ועלה י"ב והי"ב עם הה' ועלה ששים ושמרנום אחר זה הכינו הב' עם הד' ועלה ח' והח' עם הה' ועלה מ' גם הכינו הג' עם הג' ועלה ט' והט' עם הה' ועלה מ"ה גם הכינו הד' עם הג' ועלה י"ב והי"ב עם הד' ועלה מ"ח קבצנום ועלו קל"ג חלקנום על הס' השמורים ויצאו ב' שלמים וי"ג חלקים מששים וזהו המין הראשון
2) $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}+\frac{3}{5}+\frac{2}{7}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{4}+\frac{3}{5}+\frac{2}{7}&\scriptstyle=\frac{\left(1\sdot5\sdot7\right)+\left(3\sdot4\sdot7\right)+\left(2\sdot4\sdot5\right)}{4\sdot5\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{35+84+40}{140}\\&\scriptstyle=\frac{159}{140}=1+\frac{19}{140}\\\end{align}}}$	ובמין השני הכינו הד' עם הה' והעולה עם הז' ועלו ק"מ ושמרנום אחר זה הכינו הא' עם הה' והעולה עם הז' ועלה ל"ה גם הכינו הג' עם הד' והעולה עם הז' ועלו פ"ד גם הכינו הב' עם הד' והעולה עם הה' ועלו מ' קבצנום ועלו קנ"ט חלקנום על הק"מ השמורים ויצאו שלם אחד וי"ט חלקים מק"מ וזהו סך המין השני
3) $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}&\scriptstyle=\frac{\left(1\sdot4\sdot5\right)+\left(1\sdot3\sdot5\right)+\left(1\sdot3\sdot4\right)}{3\sdot4\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{20+15+12}{60}\\&\scriptstyle=\frac{47}{60}\\\end{align}}}$	ובמין השלישי הכינו הג' עם הד' והעולה עם הה' ועלו ס' גם הכינו הא' עם הד' ועם הה' ועלו כ' גם הכינו הא' עם הג' והעולה עם הה' ועלו ט"ו גם הכינו הא' עם הג' והעולה עם הד' ועלו י"ב קבצנום ועלו מ"ז יחסנום אל הס' השמורים ויצאו מ"ז חלקים מס' וזהו סך המין השלישי
	אלה הם הדרכים אשר בהם השתמשו הראשונים בידיעת זה המין
2) Addition of numerous fractions	ואם תרצה לקבץ שברים רבים ואתה ירא מלהתבלבל לך הדרך
repetitive addition	הנה כבר תוכל להשתמש בזה עם קבוץ שני שברים בלבד והעולה קבצנו עם האחר והעולה עם האחר ויצא לך קבוץ כל השברים המונחים
	המשל בזה אם רצית לקבץ ט' שברים כזה $\scriptstyle\frac{1}{10}$ $\scriptstyle\frac{1}{9}$ $\scriptstyle\frac{1}{8}$ $\scriptstyle\frac{1}{7}$ $\scriptstyle\frac{1}{6}$ $\scriptstyle\frac{1}{5}$ $\scriptstyle\frac{1}{4}$ $\scriptstyle\frac{1}{3}$ $\scriptstyle\frac{1}{2}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=\frac{5}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=\frac{26}{24}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=1+\frac{1}{12}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=1+\frac{17}{60}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=1+\frac{162}{360}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=1+\frac{1494}{2520}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=1+\frac{14472}{20160}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=1+\frac{150408}{181440}+\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=1+\frac{1685520}{1814400}\\\end{align}}}$	הנה תקבץ החצי והשליש והם ה' ששיות והה' ששיות עם הרביע והם כ"ו חלקים מכ"ד שהוא שלם אחד וחלק אחד מי"ב שמור בידך השלם וקבץ לבד הא' מי"ב עם החומש ויעלו י"ז חלקים מס' עוד קבץ הי"ז חלקים מס' עם הששית והעולה הוא קס"ב חלקים מש"ס עוד קבץ הקס"ב מש"ס עם השביעית ויעלו אלף תצ"ד חלקים מב' אלפים תק"כ עוד קבץ זה השבר עם השמינית ויעלה י"ד אלף תע"ב חלקים מכ' אלף ק"ס עוד קבץ זה השבר עם התשיעית ויעלה ק"נ אלף ת"ח חלקים מקפ"א ת"מ עוד קבץ זה השבר עם העשירית ויעלו אלף תרפ"ה אלפים תק"כ חלקים מאלף תתי"ד ות' הוסף עליהם האחד השלם השמור שבידך והם א' ואלף תרפ"ה אלפים ותק"כ חלקים מאלף תתי"ד אלפים ות' וזהו קבוץ כל התשעה שברים הנכתבים פה
3) Another algorithm - using sutraction	עוד מצאתי דרך אחרת על דרך החסור
for two fractions $\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$
$\scriptstyle\left(1-\frac{a}{b}\right)>\frac{c}{d}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]$	והוא שתקח החסרון אשר יחסר מהשבר האחד עד תשלום האחד השלם ונחסר ממנו השבר האחר הנקבץ עמו אם היה החסרון גדול ממנו והיוצא קח החסר ממנו עד שלמות האחד השלם והוא סך השני שברים הנקבצים
$\scriptstyle\left(1-\frac{a}{b}\right)<\frac{c}{d}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]+1$	או תחסרהו מהשבר הנקבץ עמו אם היה קטן ממנו והיוצא תחבר עמו שלם אחד והוא סך השני שברים הנקבצים
for three fractions $\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}$	ואם רצית לקבץ עוד שבר אחד עם השנים הראשוני'
$\scriptstyle\left[1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\right]>\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\right]-\frac{e}{f}\right]$	הנה תוכל להשתמש עם הדרך הקודם בעינו ר"ל בשנקח החסרון אשר יחסר מסך השני שברי' עד תשלום האחד השלם ונחסרהו מהשבר השלישי הנקבץ עם השנים הקודמים אם היה גדול ממנו
$\scriptstyle\left[1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\right]<\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\right]\right]+1$	או נחסר השבר ממנו אם היה קטן ממנו וננהיג הדרך הקודם בעינו
	או אם תרצה להשתמש בדרך אחרת תוכל להשתמש בזה הסדר
$\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]<\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\frac{e}{f}-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]\right]+1$	והוא שתקח היוצא טרם שתחסרהו או שתוסיפהו ואם היה היוצא מאשר יחסר מהשלם קטן מהשבר השלישי אשר תרצה לקבצו עם השני' הקודמים הנה תחסרהו מהשבר ההוא והיוצא הוא התוספת על השלם האחד וכאשר תוסיף עליו שלם אחד יהיה ההווה סך הג' שברים המונחים
$\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]>\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]-\frac{e}{f}\right]$	ואם היה היוצא גדול מהשבר אשר תרצה לקבצו הנה תחסר השבר מהיוצא והיוצא לך הוא החסרון אשר יחסר משלמות השלם האחד
	ואולם אם היה היוצא מאשר נוסיף על השלם האחד הנה נשמור האחד הנוסף על היוצא ונבקש החסרון אשר יחסר מהיוצא עד תשלום השלם האחד
$\scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]<\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]\right]+1\right]+1$	ואם היה החסרון ההוא קטן מהשבר הנקבץ הנה נחסרהו ממנו והיוצא הוא תוספת על השלם האחד ולכן נוסיף עליו אחד ועוד נוסיף עליהם האחד השמור שבידינו והעולה הוא סך הג' שברים
$\scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]>\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[1-\left[\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]-\frac{e}{f}\right]\right]+1$	ואם היה החסרון גדול מהשבר הנקבץ הנה נחסר השבר ממנו והיוצא נקח ממנו החסרון שעד תשלום האחד ונוסיף עליו השמור שבידינו והעולה הוא סך הג' שברים
	וכן בזה הדרך תעשה תמיד עד שיכלו כל השברים הנקבצים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{3}<\frac{1}{2}&\scriptstyle=1-\frac{1}{2}\\&\scriptstyle\longrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\\&\scriptstyle=1-\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{3}\right]=1-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\\\end{align}}}$	המשל בזה במשלנו זה שהוא קבוץ התשעה שברים הנה נבקש החסרון אשר יחסר מהחצי עד תשלום האחד והוא חצי ולהיות שהשליש הנקבץ עם החצי הוא קטן ממנו על כן נחסר השליש מהחצי וישאר ששית אחד וזהו החסרון מהשלם האחד נקח החסרון שעד תשלום האחד והם ה' ששיות והוא העולה מקבוץ השליש וחצי
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{4}>\frac{1}{6}&\scriptstyle=1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\\&\scriptstyle\longrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{4}-\left[1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\right]\right]+1\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)+1=1+\frac{1}{12}\\\end{align}}}$	ואולם אנחנו למה שאין כוונתנו עתה לקבץ השני שברים האלה לבד לכן לא נקח רק היוצא שהוא הששית האחד ולהיות שהרביעית הנקבץ עמהם גדול ממנו על כן נחסר הששית מהרביעית והיוצא הוא א' מי"ב ויתחייב לפי מה שקדם שיהיה הוא התוספת על האחד אחר שחסרנו היוצא מהשבר ואם כן נוסיף עליו אחד והעולה הוא שלם אחד וחלק אחד מי"ב וזהו סך הג' שברים שהם החצי והשלישית והרביעית
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{5}<\frac{11}{12}&\scriptstyle=1-\frac{1}{12}=1-\left[\left(1+\frac{1}{12}\right)-1\right]=1-\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-1\right]\\&\scriptstyle\longrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=1+\left[1-\left[\left[1-\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-1\right]\right]-\frac{1}{5}\right]\right]\\&\scriptstyle=1+\left[1-\left[\left[1-\left[\left(1+\frac{1}{12}\right)-1\right]\right]-\frac{1}{5}\right]\right]\\&\scriptstyle=1+\left[1-\left[\left(1-\frac{1}{12}\right)-\frac{1}{5}\right]\right]\\&\scriptstyle=1+\left[1-\left(\frac{11}{12}-\frac{1}{5}\right)\right]=1+\left(1-\frac{43}{60}\right)=1+\frac{17}{60}\\\end{align}}}$	ואולם אנחנו למה שאין כוונתנו עתה בקבוץ הג' שברים לבד לכן נשמור האחד בידינו בידינו ונשתמש עם האחד מי"ב לבדו שהוא היוצא ולהיות שהאחד מי"ב היוצא הוא תוספת על השלם האחד לכן נשמור האחד הנוסף עליו בידינו ונשתמש עם האחד מי"ב לבדו וזה בשנקח החסרון עד תשלום הא' השלם שהוא י"א חלקים מי"ב ונחסר ממנו החמישית הנקבץ עמהם אחר שהוא קטן ממנו והיוצא הוא מ"ג חלקים מששים ולהיות שחסרנו השבר הנקבץ ממנו על כן נקח החסרון שעד תשלום האחד השלם והוא י"ז חלקים מששים נוסיף עליו האחד השמור שבידינו והוא אחד וי"ז חלקים מששים וזהו סך קבוץ הד' שברים שהם החצי והשליש והרביעית והחמישית וכן תמיד על זה הדרך
4) Another algorithm - based on the smallest common denominator (the lowest common multiple) $\scriptstyle\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[\frac{a_k}{b_k}\sdot LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)\right]}{LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)}$	עוד מצאתי דרך אחרת יותר קצרה מכל אלה הדרכים והוא שתדע שהמחולק היותר קטן אשר יכלול כל מיני השברים
For one half to a tenth, without the seventh - it is 360	שמהחצי עד העשירית חוץ מהשביעית הוא הש"ס ועם השביעית הוא שני אלפים תק"כ ולכן ברצותך לקבץ שברים רבים נכללים במינים שמהחצי עד העשירית חוץ מהשביעית דע שהם ש"ס ואין צורך לטרוח בהוצאת המחולק עם ההכאות וברבוי המגיע מהם שהם יותר מת"ק אלף
For one half to a tenth, including the seventh - it is 2520	וכן אם רצית לקבץ כל השברים שעד העשירית עם השביעית יחד דע שהם שני אלפים תק"כ ולא תצטרך לטרוח בהכאותיהם וברבוי המגיע מהם שהם יותר מל"ו פעמים ק' אלפים
	אחר זה תחלק המחולק על כל אחד מאיכות השברים המונחים והיוצא מכל אחד מהם שמרהו אחר זה קבץ כל השמורים והעולה חלקהו על המחלק ר"ל על הש"ס או על השני אלפים תק"כ והיוצא הוא סך כל השברים המונחים
For a denominator larger than ten - multiply it by the given common denominator	ואם היה שם שבר מעשירית ומעלה הכה איכות השבר ההוא אשר הוא מעשירית ומעלה עם המחלק המונח ר"ל עם הש"ס או עם השני אלפים תק"כ והעולה הוא המחלק
${\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{2520}{2}+\frac{2520}{3}+\frac{2520}{4}+\frac{2520}{5}+\frac{2520}{6}+\frac{2520}{7}+\frac{2520}{8}+\frac{2520}{9}+\frac{1}{2520}}{2520}\\&\scriptstyle=\frac{1260+840+630+504+420+360+315+280+252}{2520}\\&\scriptstyle=\frac{4861}{2520}\\&\scriptstyle=1+\frac{2341}{2520}\\\end{align}}}$	המשל בשברים שמהחצי עד העשירית הנה המחלק הוא שני אלפים תק"כ חלק זה המספר על הב' שהוא החצי ויעלו אלף ר"ס ושמרם עוד חלקם על הג' ויעלו תת"מ עוד חלקם על הד' שהוא הרביע ויעלו תר"ל ושמרם עוד חלקם על הה' שהוא החמישית ויעלו תק"ד עוד חלקם על הו' שהוא הששית ויעלו ת"כ עוד חלקם על הז' שהוא השביעית ויעלו ש"ס עוד חלקם על הח' שהוא השמינית ויעלו שט"ו עוד חלקם על הט' שהוא התשיעית ויעלו ר"פ עוד חלקם על הי' שהוא העשירית ויעלו רנ"ב קבץ הנשארים ויעלו ד' אלפים תתס"א חלקם על שני אלפים תק"כ ויצא אחד שלם ושני אלפים שמ"א חלקים משני אלפים תק"כ
	וזהו בעצמו מה שיצא לך מהדרכים הקודמים רק שהם גדולי היחס וזה קטן היחס וכבר קדמו לך דרכי הבחינה
Finding the lowest common multiple	ואולם אם רצית לדעת הדרך בידיעת קטון המספר אשר ימצאו בו השברי' המונחים איזה שברים שיהיו הנה הדרך בידיעת זה הוא
1) If the denominators are primes to each other - multiply them by each other	שאם היו שני שברים לבד הנה אם היו איכויותיהם מספרים נבדלים יוכו זה עם זה והעולה הוא קטון המספר אשר ימצאו בו השברים ההם
2) If the denominators have a common divisor	ואם יהיו משותפים הנה אם שיהיה האחד מונה האחר ואם שלא ימנהו
1. If one of them count the other - the largest of them is the LCM	ואם ימנהו הנה המספר הגדול מהם הוא בעצמו קטון המספר אשר ימצאו בו שני השברים המונחים
2. Else - their greatest common divisor should be found $\scriptstyle LCM\left[\left(a\sdot b\right),\left(c\sdot b\right)\right]=\left(a\sdot b\right)\sdot c=a\sdot\left(c\sdot b\right)$	ואם לא ימנהו הנה נמצא קטון יחסם עם הדרך הקודם ונכה המספר הגדול משני האיכויות המונחים עם המספר הקטן משני איכויות קטון יחסם או נכה המספר הקטן משני האיכויות המונחים עם המספר הגדול משני איכויות קטון יחסם והעולה הוא קטן המספר אשר ימצאו בו שני השברים המונחים
finding the smallest common denominator of $\scriptstyle\frac{1}{6};\;\frac{1}{8}$	המשל בזה אם רצית לדעת קטן המספר אשר ימצאו בו הששית והשמינית הנה אם היו הששה מונים השמנה הנה מספר השמנה הוא קטון המספר אשר ימצאו בו השמינית והששית
	וכן אם היו הששה והשמנה נבדלים הנה היינו מכים הששה עם השמנה והיו מ"ח והיה זה המספר קטון המספר אשר ימצאו בו הששית והשמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(8,6\right)=LCM\left[\left(4\sdot2\right),\left(3\sdot2\right)\right]=8\sdot3=4\sdot6=24}}$	אבל בעבור שאינם נבדלי' גם אין האחד מונה האחר הנה נמצא קטון יחסם עם הדרך הקודם והם שני מספרי ג"ד ונכה הג' שהוא קטון מספרי ג"ד עם הח' שהוא גדול מספרי ו"ח ויעלו כ"ד או נכה הד' שהוא גדול מספרי ג"ד עם קטון מספרי ו"ח שהוא הו' ויעלו גם כן כ"ד והוא קטון המספר שימצאו הששית והשמינית
For numerous fractions	ואם היו שברים רבים
Repetitive procedure of finding the LCM of two number	הנה הדרך למציאות זה הוא שתמצא קטון המספר שימצאו בו השני שברים מהם לפי מה שקדם אחר כך לא ימלט המספר ההוא מאחד מהג' פנים הנזכרים והם אם שיהיה השבר הג' מונהו או לא ימנהו ואם לא ימנהו אם שיהיו נבדלים או משותפים
	ונעשה הדרך הראשון בעצמו והוא שאם יהיה השבר הג' מונה קטון המספר אשר ימצאו בו השני שברים הקודמים הנה הוא קטון המספר אשר ימצאו בו השלשה שברים יחד
	ואם לא יהיה השבר הג' מונה אותו והם נבדלים נכהו עמו והיוצא הוא קטון המספר אשר ימצאו בו הג' שברים יחד
	ואם יהיה השבר השלישי משותף עמו הנה נמצא קטון יחסם ונקח הקטן שמשני מספרי קטון היחס ונכהו עם הגדול שבשני המספרי' המונחים שהם קטון המספר אשר ימצאו בו השני שברים הראשונים והשבר הג' והעולה משניהם הוא קטון המספר אשר ימצאו בו הג' שברים יחד
	עוד אחר זה אם היה שבר רביעי נקח קטון המספר אשר ימצאו בו הג' שברים והשבר הד' ונחקור בהם הג' פנים אשר הזכרנו ונעשה בהם כמשפט
	וכן תמיד עד שיכלו השברים ירבו מה שירבו דרך אחד לכלם
finding the smallest common denominator of $\scriptstyle\frac{1}{2};\;\frac{1}{3};\;\frac{1}{4};\;\frac{1}{5};\;\frac{1}{6};\;\frac{1}{7};\;\frac{1}{8};\;\frac{1}{9};\;\frac{1}{10}$	המשל בזה אם רצית לדעת קטון המספר אשר ימצאו בו החצי והשלישית והרביעית והחמישית והששית והשביעית והשמינית והתשיעית והעשירית הנה נסדרם בזה הדרך $\scriptstyle\frac{1}{10}$ $\scriptstyle\frac{1}{9}$ $\scriptstyle\frac{1}{8}$ $\scriptstyle\frac{1}{7}$ $\scriptstyle\frac{1}{6}$ $\scriptstyle\frac{1}{5}$ $\scriptstyle\frac{1}{4}$ $\scriptstyle\frac{1}{3}$ $\scriptstyle\frac{1}{2}$
$\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(2,3\right)=2\sdot3=6}}$	ולהיות שהב' והג' הם מספרים נבדלים ע"כ נכה הב' עם הג' ויעלו ו'
$\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(6,4\right)=LCM\left[\left(3\sdot2\right),\left(2\sdot2\right)\right]=6\sdot2=12}}$	ולהיות שהו' עם הד' הם משותפי' ואין האחד מונה את חברו ע"כ בקשנו קטן יחסם והם שני מספרי ג"ב והכינו הב' שהוא קטון ב' מספרי ג"ב עם הו' גדול ב' מספרי ו"ד ועלה י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(12,5\right)=12\sdot5=60}}$	ולהיות שהי"ב עם הה' הם שני מספרים נבדלים על כן הכינו הה' בי"ב ועלה ס'
$\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(60,6\right)=60}}$	ולהיות שהס' עם הו' האחד ימנה האחר על כן לא הכינום רק לקחנו הס' כאשר בתחלה
$\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(60,7\right)=60\sdot7=420}}$	ולהיות שהס' עם הז' הם שני מספרים נבדלים על כן הכינום זה בזה ועלה ת"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(420,8\right)=LCM\left[\left(105\sdot4\right),\left(2\sdot4\right)\right]=420\sdot2=840}}$	ולהיות שהת"כ עם הח' הם משותפים ואין האחד מונה את חברו על כן בקשנו קטון יחסם והם שני מספרי ב' ק"ה ולקחנו הב' שהוא הקטן משני אלה המספרים והכינום עם מספר ת"כ שהם גדול שני מספרי ת"כ ח' ועלה תת"מ
$\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(840,9\right)=LCM\left[\left(280\sdot3\right),\left(3\sdot3\right)\right]=840\sdot3=2520}}$	ולהיות שזה המספר עם הט' הם שני מספרים משותפים ואין האחד מונה את חברו על כן בקשנו קטון יחסם והם שני מספרי ג' ר"פ והכינו הג' שהוא קטון שני אלה המספרים עם תת"מ שהוא גדול מספרי תת"מ ט' ועלו שני אלפים תק"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(2520,10\right)=2520}}$	ולהיות שזה המספר עם הי' האחד מונה את חברו על כן תפשנו בידינו זה המספר
$\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\right)=2520}}$	וידענו שמספר ב' אלפים תק"כ הוא הקטן מספר אשר ימצאו בו כל אלה השברים
the smallest common denominator of $\scriptstyle\frac{1}{2};\;\frac{1}{3};\;\frac{1}{4};\;\frac{1}{5};\;\frac{1}{6};\;\frac{1}{8};\;\frac{1}{9};\;\frac{1}{10}$ $\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10\right)=360}}$	ועם זה הדרך בעצמו תוכל לדעת שקטון המספר אשר ימצאו בו כל אלה השברים חוץ מהשביעית הוא מספר ש"ס
	וכן אם רצית לקטן מספר אשר ימצאו בו כל השברים המונחים ירבו מה שירבו דרך אחד לכל
Methods of checking	והמאזנים אשר יאוזן זה המין
1) Subtraction $\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$	הנה כבר מצאתי דרך והוא שנחסר השבר האחד איזה מהם שתרצה מהמקובץ והנשאר אם היו השברים הנקבצים שנים יהיה הוא השבר הנשאר
	ואם היו השברים הנקבצים יותר משנים יהיה הוא העולה מקבוץ השברים הנשארים ואם לאו כזבת
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{3}=\frac{7}{12}-\frac{1}{3}=\frac{1}{4}}}$	המשל בזה בקבוץ השליש והרביע שהעולה מקבוצם הוא שבעה חלקים מי"ב כאשר חסרנו השליש מהמקובץ ישאר הרביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}=\frac{7}{12}-\frac{1}{4}=\frac{1}{3}}}$	וכשנחסר הרביע ישאר השליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{3}=\frac{47}{60}-\frac{1}{3}=\frac{9}{20}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}}$	ובקבוץ השליש והרביע והחומש שהעולה מהם מ"ז חלקים מששים כשנחסר מהם השליש ישארו ט' חלקים מכ' וככה הוא סך הרביע והחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{5}=\frac{47}{60}-\frac{1}{5}=\frac{7}{12}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}$	ואם תחסר מהם החומש ישארו שבעה חלקים מי"ב וככה הוא סך השליש והרביע
2) Addition $\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-1=\frac{c}{d}$	עוד מצאתי מאזנים אחרים על דרך הקבוץ בעצמו הוא שתקבץ עם המקובץ החסר משלמות איזה שבר שתרצה מהנקבצי' עד האחד השלם והעולה תשליך ממנו אחד ואם הנשאר שוה לעולה מהנקבצים הנשארים דע שצדקת ואם לאו כזבת
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{4}\right)\right]-1=\left(\frac{7}{12}+\frac{3}{4}\right)-1=\left(1+\frac{1}{3}\right)-1=\frac{1}{3}}}$	המשל בזה בקבוץ השליש והרביע שהעולה מקבוצם הוא שבעה חלקי' מי"ב כאשר תקבץ עמהם החסר משלמות הרביע עד האחד שהוא ג' רביעיות הנה העולה מהם הוא אחד שלם ושליש תשליך האחד והנשאר שליש והוא השבר הנשאר מהנקבצים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]-1=\left(\frac{7}{12}+\frac{2}{3}\right)-1=\left(1+\frac{1}{4}\right)-1=\frac{1}{4}}}$	ואם רצית לקבץ עמהם החסר משלמות השליש שהוא הב' שלישיו' העולה הוא אחד שלם ורביע תשליך האחד והנשאר רביע והוא השבר הנשאר מהנקבצים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)+\left(1-\frac{1}{4}\right)\right]-1&\scriptstyle=\left(\frac{47}{60}+\frac{3}{4}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{8}{15}\right)-1=\frac{8}{15}=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\\\end{align}}}$	ובקבוץ השליש והרביע והחמישית שהעולה מקבוצם הוא מ"ז חלקים מששים תקבץ עמהם החסר משלמו' הרביע עד האחד השלם שהוא ג' רביעיות והעולה הוא אחד שלם ושמנה חלקים מט"ו תשליך האחד והנשאר שמנה חלקים מט"ו והוא קבוץ השליש והחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]-1&\scriptstyle=\left(\frac{47}{60}+\frac{2}{3}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{9}{20}\right)-1=\frac{9}{20}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\\\end{align}}}$	או קבץ עמהם החסר משלמות השליש עד השלם האחד שהם ב' שלישיות ויעלה אחד ותשעה חלקים מכ' תשליך האחד וישארו ט' חלקים מעשרים שהוא העולה מקבוץ הנשאר מהנקבצים וזה מה שרצינו לבאר
Reasons and Explanations
The reason for the general adding procedure	ואולם סבת מציאות זה המין
$\scriptstyle\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq{k}}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k}$	בשנכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות והעולה נשמרהו אחר זה נכה כמות השבר האחד עם איכות השבר האחר והעולה עם איכות האחר וכן תמיד חוץ מאיכות השבר ההוא והעולה נחברהו עם העולה מהכאת כמות השבר האחד עם כל האיכויות חוץ מאיכותו על הדרך הנזכר והעולה נחברהו עם הכאת השבר האחר עם כל האיכיות חוץ מאיכותו על הצד הנזכר והעולה נחלקהו על השמור הנה היא מבוארת
According to the multiplication rules: $\scriptstyle\left(a\sdot c\right):\left(b\sdot c\right)=a:b$ $\scriptstyle\frac{a\sdot c}{b\sdot c}=\frac{a}{b}$	וזה שכבר קדם במין ההכאה שהעולה מהכאת כמות השבר האחד עם איכות השבר האחר כאשר ניחסהו אל העולה מהכאת איכותו עם איכות השבר האחד הנה יהיה יחסו אליו יחס כמות השבר אל איכותו ואם כן הוא השבר הראשון בעינו
	וכאשר היה זה כן והיה העולה מהכאת האיכות עם האיכות אשר אליו יתיחסו העולים מהכאת כל הכמויות עם כל האיכויות על הצד הנזכר משותף לכל השברים המונחי'
This procedure converts fractions with various denominators to fractions with a common denominator	הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שעם הדרך הזאת ישובו השברים המונחים המתחלפים באיכות בעלי איכות אחת
	המשל בזה באשר נניח שני שברים מתחלפי האיכות כמו השליש והרביע כמו זה $\scriptstyle\frac{1}{4}$ $\scriptstyle\frac{1}{3}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1\sdot4}{3\sdot4}+\frac{1\sdot3}{4\sdot3}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}}$	והכינו הג' עם הד' ועלו י"ב ושמרנוהו אחר זה הכינו האחד עם הד' וניחס הד' עם הי"ב השמורים ויעלו ד' יביי"ם והוא שבר הרביע והנה השברים הראשוני' שהם השליש והרביע אף כי נשתנו לצורה אחרת ושבו ג' יביי"ם וד' יביי"ם אבל הם שליש ורביע כאשר בתחלה רק במקום שהיו בעלי שני איכויות שהם השלישיות ורביעיות שבו עתה להיות בעלי איכות אחד כי כלם יביי"ם
Addition of fractions with identical denominator is done by summing their numerators	והוא מהמבואר בעצמו שכל שברים מונחים בעלי איכות אחת כאשר רצית לקבצם תקבץ הכמויות לבד והעולה ניחסהו אל איכותם והוא העולה מקבוצם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=\frac{2+4}{7}=\frac{6}{7}}}$	המשל בזה הב' שביעיים והד' שביעיים הנה נקבץ הב' עם הד' ויעלו ו' וניחסם אל השבעה והם ו' שביעיים וככה הוא העולה מקבוצם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{4+3}{12}=\frac{7}{12}}}$	הנה מן המבואר מזה בהכרח שנקבץ במשלנו זה הג' והד' שהם כמות הד' יביי"ם והג' יביי"ם הנולדים והעולה מהם ניחסהו אל הי"ב שהוא איכותם והם שבעה יביי"ם וככה הוא העולה מקבוצם וכאשר היה זה כן הנה אם כן נקבץ העולה מהכאת הכמות עם האיכות שהוא הג' עם העולה מהכאת הכמות עם האיכות שהוא הד' והעולה נחלקהו על העולה מהכאת האיכות עם האיכות שהוא הי"ב ויצא לך קבוצם וזהו מה שרצינו לבאר
For addition of numerous fractions	ואין לאומר שיאמר שזה אמנם יצדק כאשר היו השברים הנקבצים שנים לבד לא כאשר היו הנקבצים יותר משנים
$\scriptstyle\left[\left(a\sdot b\right)\sdot c\right]\sdot d=\left(a\sdot b\right)\sdot\left(c\sdot d\right)=\left(a\sdot b\sdot c\right)\sdot d$	כי כבר קדם במין ההכאה שאין הבדל בהכאה בין שנכה המספר הראשון עם השני והעולה עם השלישי והעולה עם הרביעי ובין שנכה העולה מהכאת הראשון עם השני עם העולה מהכאת השלישי עם הרביעי ובין שנכה העולה מהכאת הראשון עם השני עם השלישי והעולה עם הרביעי כי הכל אחד וכבר קדמה הסבה
	וכאשר היה זה כך הנה אם כן כאשר הונחו השברי' הנקבצים ארבעה על דרך משל כמו החצי והשליש והרביע והחומש כזה $\scriptstyle\frac{1}{5}$ $\scriptstyle\frac{1}{4}$ $\scriptstyle\frac{1}{3}$ $\scriptstyle\frac{1}{2}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}&\scriptstyle=\frac{\left(1\sdot3\sdot4\sdot5\right)+\left(1\sdot2\sdot4\sdot5\right)+\left(1\sdot3\sdot2\sdot5\right)+\left(1\sdot4\sdot3\sdot2\right)}{2\sdot3\sdot4\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{60+40+30+24}{120}\\&\scriptstyle=\frac{154}{120}\\\end{align}}}$	הנה אין הבדל בשנכה הב' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' שהם ק"כ וניחס אליהם הקנ"ד שהם העולה מקבוץ העולה מהכאת הא' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' שהם ס' עם העולה מהכאת הא' בב' והעולה עם הד' והעולה עם הה' שהם מ' ועם העולה מהכאת הא' בג' והעולה עם הב' והעולה הה' שהם שלשי' ועם העולה מהכאת הא' בד' והעולה עם הג' והעולה עם הב' שהם כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}&\scriptstyle=\left(\frac{1\sdot3}{2\sdot3}+\frac{1\sdot2}{3\sdot2}\right)+\left(\frac{1\sdot5}{4\sdot5}+\frac{1\sdot4}{5\sdot4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{5}{6}+\frac{9}{20}\\&\scriptstyle=\frac{\left(5\sdot20\right)+\left(9\sdot6\right)}{6\sdot20}=\frac{154}{120}\\\end{align}}}$	או בשנכה הב' עם הג' ויעלו ו' וניחס אליהם הה' שהם העולה מהכאת הא' בג' והא' בב' והנה הם ששיים ונשמרם ואחר נכה הד' עם הה' ויעלו כ' וניחס אליהם הט' שהם העולה מהכאת הא' בה' והא' בד' והנה הם ט' עשרימיים ונשמרם ואחר נקבץ הה' ששיים עם הט' עשרימיים בשנכה הו' עם הכ' ויעלו ק"כ וניחס אליהם הקנ"ד שהם העולה מהכאת הה' בכ' והט' בו'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot3\right)\sdot4\right]\sdot5=120}}$	אחר מבמין הראשון נמצא האיכות בשנכה הב' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)\sdot\left(4\sdot5\right)=6\sdot20=120}}$	ובמין השני נמצא האיכות בשנכה הו' עם הכ' שהם העולה מהכאת הב' הג' והעולה מהכאת הד' בה' וכבר קדם שאין הבדל בין שני המינים האלה כלל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(1\sdot3\right)\sdot4\right]\sdot5\right]+\left[\left[\left(1\sdot2\right)\sdot4\right]\sdot5\right]+\left[\left[\left(1\sdot3\right)\sdot2\right]\sdot5\right]+\left[\left[\left(1\sdot4\right)\sdot3\right]\sdot2\right]=154}}$	וכן הכמות נמצא עם המין הראשון בשנכה הא' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' ונשמרהו גם נכה הא' עם הב' והעולה עם הד' והעולה עם הה' ונשמרהו גם נכה הא' עם הג' והעולה עם הב' והעולה עם הה' ונשמרהו גם נכה הא' עם הד' והעולה עם הג' והעולה עם הב' ונשמרהו ואחר נקבץ כל השמורים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\left(1\sdot2\right)+\left(1\sdot3\right)\right]\sdot20\right]+\left[\left[\left(1\sdot4\right)+\left(1\sdot5\right)\right]\sdot6\right]\\&\scriptstyle=\left(5\sdot20\right)+\left(9\sdot6\right)=154\\\end{align}}}$	ובמין השני נמצא הכמות בשנכה הה' עם הכ' והעולה נשמרהו גם נכה הט' עם הו' והעולה נשמרהו ונקבץ שני השמורים אשר הה' והט' הם העולה מהכאת הא' בב' והא' בג' והעולה מהכאת בד' והא' בה'
	וכבר קדם שאין הבדל בין שני המיני' כלל אחר שההכאות ההוות במין האחד הם הם בעצמם ההכאות שבמין האחר
	ושאין הבדל ביניהם כלל רק שבמין האחד יעשה כל ההכאות ביחד ובמין השני יעשה חצי ההכאות ראשונה ונקח העולה מהם ונכם שנית
$\scriptstyle{\color{blue}{20\sdot5}}$	וזה שבמין השני הוכו הכ' עם הה' שהם קבוץ העולים מהכאת שני איכויות החצי והשליש עם כמויותיהם על דרך אלכסון
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(5\sdot4\right)\sdot\left(1\sdot3\right)\right]+\left[\left(5\sdot4\right)\sdot\left(1\sdot2\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(20\sdot3\right)+\left(20\sdot2\right)=20\sdot5\\\end{align}}}$	ובמין הראשון הוכו הה' עם הד' ועלו כ' והכ' עם הג' שהוא העולה מהכאת איכות השליש עם כמות החצי גם הוכו הה' עם הד' ועלו כ' והכ' עם הב' שהוא העולה מהכאת איכות החצי עם כמות השליש
	אם כן כבר ראית בעיניך שהכאת הה' עם הכ' שבמין השני הם בעצמם הכ' עם הג' ועם הב' שבמין הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot9}}$	וכן במין השני הוכו הו' עם הט' שהם קבוץ העולים מהכאת שני איכויות הרביע והחומש עם כמויותיהם על דרך אלכסון
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(2\sdot3\right)\sdot\left(1\sdot4\right)\right]+\left[\left(2\sdot3\right)\sdot\left(1\sdot5\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(6\sdot4\right)+\left(6\sdot5\right)=6\sdot9\\\end{align}}}$	ובמין הראשון הוכו הב' עם הג' ועלו ו' והו' עם הד' שהוא העולה מהכאת איכות הרביע עם כמות החומש גם הוכו הב' עם הג' ועלו ו' והו' עם הה' שהוא העולה מהכאת איכות החומש עם כמות הרביע וכבר הארכתי בביאורו במין ההכאה אין צורך לכפול המאמרים
The reason for the repetitive addition of numerous fractions	ואולם סבת הדרך השני והוא קבוץ שני שברים בלבד והעולה עם השלישי והעולה עם הד' וכן תמיד
Clarified by the above explanation of the previous algorithm	הנה אין צורך לזכרה כי כבר התבארה עם הדרך הקודם
The reason for the third algorithm - using subtraction	ואולם סבת הדרך השלישי והוא דרך החסור בלקיחת חסרון השבר האחד עם תשלום השלם האחד ושיחסר ממנו השבר האחר הנקבץ עמו אם היה החסרון גדול ממנו כ"ו הנה סבתו גם כן מבוארת בעצמה
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b}\right)=1$	וזה שהוא מהמבואר בעצמו שהעולה מקבוץ השבר הראשון עם מה שיחסר ממנו עד תשלום השלם האח' הוא שלם אחד בהכרח
$\scriptstyle\frac{c}{d}=1-\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b}\right)=1$	ושקבוצו עם השבר השני אם היה השבר השני שוה למה שיחסר משלמות הראשון עד אחד הנה הוא גם כן שלם אחד
$\scriptstyle\frac{c}{d}<1-\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]$	ואם היה פחות ממנו הנה יהיה קבוצו עמו פחות מהשלם האחד כמו העודף אשר בין השבר השני ובין מה שיחסר מהשבר הראשון עד תשלום האחד
$\scriptstyle\frac{c}{d}>1-\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]+1$	ואם היה יתר ממנו הנה יהיה קבוצו עמו יותר מהשלם האחד כמו העודף אשר בין השבר השני ובין מה שיחסר מהשבר הראשון עד תשלום האחד
	ולכן יחויב מזה בהכרח לחקור העודף שבין השבר השני ובין מה שיחסר מהשבר הראשון עד תשלום האחד ואם היה השבר השני פחות ממנו נגרע העודף מהשלם ואם היה יתר ממנו נוסיפהו על השלם והעולה אחרי התוספת או הגרעון הוא ההווה מקבוץ השבר הראשון והשני בהכרח
This algorithm can be used repeatedly for more than two fractions - by using the difference of a sum of fractions from 1 $\scriptstyle1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\gtreqqless\frac{e}{f}$	וכן תעשה תמיד אם תרצה לקבץ יותר משני שברים ר"ל כשתעשה הדרך הזאת בעינה בקבוץ העולה משני השברים עם השבר השלישי
or by another way: $\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]=1$	ואולם אם רצית להשתמש בקבוץ השבר השלישי עם השנים הקודמים בדרך השני ר"ל בשתקח היוצא ותחסרהו מהשלישי אם היה קטן ממנו כ"ו
$\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]<\frac{e}{f}$	הנה גם זה נכון וסבתו ידועה וזה שאם היה היוצא מאשר יחסר מהשלם והיה השבר השלישי הנקבץ עם השנים הקודמים יותר גדול מהיוצא
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}>1\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1+\left[\frac{e}{f}-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]\right]$	הנה יחויב מזה בהכרח שיהיה העודף אשר בין השלישי והיוצא כאשר נוסיפהו על השלם האחד שיהיה הוא סך הג' שברים הנקבצים וזה כי אחר שהיוצא הוא מאשר יחסר מהשלם והנשאר הוא סך השני שברים הקודמים הנה אם כן היוצא עם קבוץ שני השברים הוא אחד שלם והשבר השלישי גדול מהיוצא הנה יהיה השבר השלישי עם קבוץ שני השברים גדול מאחד שלם ויהיה יתרונו על השלם כמו העודף אשר בין השבר השלישי והיוצא ולכן כאשר יחוסר היוצא מהשבר השלישי ויצא לנו העודף אשר ביניהם ויחובר העודף עם האחד השלם יהיה הוא הסך העולה מקבוץ השבר השלישי עם קבוץ שני השברים הקודמים
$\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]>\frac{e}{f}$	ואולם אם היה היוצא הנזכר גדול מהשבר השלישי
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}<1\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]-\frac{e}{f}\right]$	הנה אחר שהיוצא עם קבוץ שני השברים הוא אחד שלם והשבר השלישי קטן מהיוצא הנה יהיה השבר השלישי עם קבוץ שני השברים קטן מאחד שלם ויהיה פחיתותו מהשלם כמו העודף אשר בין היוצא והשבר השלישי ולכן כאשר יחוסר השבר השלישי מהיוצא ויצא העודף אשר ביניהם ונחסרהו מהשלם יהיה הנשאר הסך העולה מקבוץ השבר השלישי עם השנים הקודמים
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1+\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]$	ואולם כאשר היה היוצא מאשר נוסיפהו על השלם האחד הנה אחר שקבוץ ב' שברים הוא שלם אחד והיוצא
$\scriptstyle2-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)=1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]$	ואם כן מה שיחסר מקבוץ השני שברים עד תשלום הב' שלמים הוא מה שיחסר מהיוצא עד תשלום האחד
$\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]=2$	אם כן יחויב מזה בהכרח שיהיה הקבוץ החסר מהיוצא עד תשלום האחד עם קבוץ השני שברים הם שנים שלמים
$\scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]<\frac{e}{f}$	ולכן אם היה השבר השלישי גדול מהחסר מהיוצא עד תשלום האחד
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}>2\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=2+\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]\right]$	יהיה קבוץ השבר השלישי עם קבוץ השני שברים גדול מב' שלמים ויהיה יתרונו על השנים השלמי' כמו העודף אשר בין השבר השלישי והחסר משלמות היוצא עד תשלום האחד ולכן כאשר יחוסר החסר משלמות היוצא מהשבר השלישי ויצא לנו העודף עם השנים השלמים יצא לך הסך העולה מקבוץ השלשה שברים
$\scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]>\frac{e}{f}$	ואולם אם היה החסר משלמות היוצא עד האחד גדול מהשבר השלישי
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}<2\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=2-\left[\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]-\frac{e}{f}\right]$	יהיה קבוץ השבר השלישי עם קבוץ השני שברים פחות משנים שלמים ויהיה פחיתותו מהב' שלמים כמו העודף אשר בין השבר השלישי והחסר משלמות היוצא עד האחד ולכן כאשר יחוסר השבר השלישי מהחסר משלמו' היוצא עד האחד ויצא לנו העודף אשר ביניהם ונחסרהו מהב' שלמים יהיה הנשאר הסך העולה מקבוץ הג' שברים וזהו מה שכווננו ביאורו
The reason for the fourth algorithm - based on the smallest common denominator (the lowest common multiple) $\scriptstyle\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[\frac{a_k}{b_k}\sdot LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)\right]}{LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)}$	ואולם סבת הדרך הרביעית והוא התיחסות כל השברים שמהחצי עד העשירי חוץ מהשביעי אל מספר הש"ס ועם השביעי אל מספר השני אלפים תק"כ וזה בשנחלק הש"ס או השני אלפים תק"כ אל כל אחד מאיכויות השברים המונחים כ"ו הנה סבתו גם כן ידועה
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}=\frac{\sum_{k=1}^n \left(\frac{a_k}{b_k}\sdot m\right)}{m}$	והוא שהוא מהידוע בעצמו שכאשר נקח ממספר מה איזה מספר היה חלקים מה איזה חלקים שיהיו ונקבצם כמנהג השלמים שהעולה מהם כאשר ניחסהו אל המספר ההוה הנה ההווה מהיחס ההוא הוא העולה מקבוץ כל אותם החלקים הלקוחים
	המשל בזה כאשר לקחנו ממספר כ"ד חציו ושלישיתו ורביעיתו וששיתו ושמיניתו וחלק אחד מי"ב
${\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}\\&\scriptstyle=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{8}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{12}\sdot24\right)}{24}\\&\scriptstyle\frac{\frac{24}{2}+\frac{24}{3}+\frac{24}{4}+\frac{24}{6}+\frac{24}{8}+\frac{24}{12}}{24}\\&\scriptstyle=\frac{12+8+6+4+3+2}{24}\\&\scriptstyle=\frac{35}{24}\\&\scriptstyle=1+\frac{11}{24}\\\end{align}}}$	וזה בשנחלק הכ"ד אל הב' שהוא איכות החצי ויצאו י"ב וידענו שחציו י"ב ונשמרם גם נחלקהו אל הג' שהוא איכות השליש ויצאו ח' והם שלישיתו ונשמרם גם נחלקהו אל הד' שהוא איכות הרביע ויצאו ו' והם רביעיתו ונשמרם גם נחלקם אל הו' שהם איכות הששית ויצאו ד' והם ששיתו ונשמרם גם נחלקם אל הח' שהם איכות השמינית ויצאו ג' והם שמיניתו ונשמרם גם נחלקם אל הי"ב שהוא איכות החלק מי"ב ויצאו ב' והם חלק אחד מי"ב אחר זה נקבץ הכל והם ל"ה וניחסם אל הכ"ד והם שלם אחד וי"א חלקים מכ"ד וככה קבוץ החצי עם השליש והרביע והששית והשמינית והחלק מי"ב
	וכאשר היה זה כן הוא מהמבואר בעצמו גם כן שאין הבדל בזה בשנקח השברים מהכ"ד או מהמ"ח או מאיזה מספר שיהיה לבד שיהיו החלקים ההם נמצאים בו
${\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}\\&\scriptstyle=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot48\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot48\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot48\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot48\right)+\left(\frac{1}{8}\sdot48\right)+\left(\frac{1}{12}\sdot48\right)}{48}\\&\scriptstyle=\frac{70}{48}\\&\scriptstyle=1+\frac{22}{48}=1+\frac{11}{24}\\\end{align}}}$	כי על דרך משל אם רצית לקחת אלה החלקים מהמ"ח הנה כאשר יקובצו יעלו שבעים וכשייוחסו אל המ"ח הם שלם אחד וכ"ב חלקים ממ"ח אשר קטון יחסם הוא אחד שלם וי"א חלקים מכ"ד והנה זהו היוצא בעצמו מחלקי הכ"ד
	וכאשר היה זה כן הנה בקשנו המספר היותר קטן שימצאו בו החלקים שמהחצי עד העשירי חוץ מהשביעי והם ש"ס ולקחנו החלקים הנזכרים ממנו ולא נצטרך לקחת אותם מהמספר הגדול היוצא מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות אשר ימצאו בו גם כן אלה החלקים וזהו מה שכווננו ביאור
Explanation for the procedure of finding the lowest common multiple	ואולם סבת הדרך בידיעת קטון המספר אשר ימצאו בו השברים המונחים
Found in Euclid, Elements, Book VII, proposition 34	הלא היא מבוארת בספר היסודות לאקלידס במאמר הח' ממנו אין צורך לכתבה שנית
The reason for the first checking method - by subtraction $\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$	ואולם סבת מאזני זה המין בחסרון השבר האחד מהשברים המונחים והנשאר אם היו השברים שנים יהיה הוא השבר הנשאר ואם היו יותר משנים יהיה הוא העולה מקבוץ השברים הנשארי'
Is clear by itself	הנה היא מבוארת בעצמה אין צורך לביאור כלל
The reason for the second checking method - by addition $\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-1=\frac{c}{d}$	ואולם סבת המאזנים השנים שהם על דרך הקבוץ
Clarified from the third adding algorithm $\scriptstyle\frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b}\right)=1$	הנה היא מבוארת ממה שקדם בדרך השלישי אשר בזה המין והוא שהוא מן המבואר בעצמו שקבוץ החסר משלמות איזה שבר שנרצה מהנקבצים עד תשלום האחד עם אותו השבר בעצמו הוא אחד
$\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)=1+\frac{c}{d}$	ולכן יחויב שיהיה העולה מהקבוץ החסר משלמו' השבר עד האחד עם שני השברי' הנקבצים יחד שהוא המקובץ משניהם שוה לאחד עם השבר האחר הנקבץ עם השבר אשר לקחנו החסר משלמותו עם האחר
$\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-1=\frac{c}{d}$	ולכן כאשר נשליך מהם אחד ישאר בהכרח השבר האחר
For more than two fractions	וכן אם היו השברים הנקבצים יותר משנים
$\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)=1+\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)$	יחויב מזה הצד בעינו שיהיה העולה מקבוץ החסר משלמות השבר האחד עם המקובץ שוה לאחר עם קבוץ השברים הנשארים
$\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-1=\frac{c}{d}+\frac{e}{f}$	וכאשר נשליך מהם האחד יחויב בהכרח שיהיה הנשאר שוה לקבוץ השברים הנשארים וזהו מה שכווננו ביאורו
	הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת זה המין עם מאזניו ואותותיו מחובר בראיותיהם ומופתיהם
	ומהנה נתחיל בביאור דרך החסור בעזרת האל

Chapter Three - Subtraction	הפרק השלישי במין החסור
Introduction
Definition: subtraction = announcing the type of fraction that remains from subtracting a fraction of integer from a greater fraction of integer	החסור הוא הודעת מין השבר הנשאר אחר חסרון שבר השלם משבר השלם גדול ממנו
The difference between subtraction and multiplication of fraction:	ואמרי שבר השלם משבר השלם הוא ההבדל אשר בו יובדל זה המין ממין ההכאה
Multiplication of fractions is also a subtraction of something from something - taking a fraction of a fraction	וזה שמין הכאת השברים גם כן הוא חסרון דבר מדבר כי כבר התבאר שם שאמרנו נכה שבר בשבר ירצה נקח שבר השבר
In multiplication a fraction of fraction is subtracted from a fraction, while in subtraction a fraction of integer is subtracted from a fraction	אלא שבמין ההכאה יהיה חסרון שבר השבר משבר האחד לא שבר האחד משבר האחד
	וזה כי אמרך רביע פעמים שליש הוא כמו אמרך רביע השליש והנה הרביע הוא רביע השליש שהוא שבר לא רביע השלם האחד והשליש הוא שליש האחד השלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}}$	ואולם בזה המין אמרך חסר רביע מהשליש הוא אמרך חסר רביע השלם משליש השלם והנה הוא חסרון שבר משבר השלם ולכן בחסור כשיחוסר הרביע מהשליש ישאר אחד מי"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{3}=\frac{3}{12}}}$	ובהכאה כשילוקח הרביע מהשליש ישארו ג' חלקים מי"ב כי השליש שהוא שבר האחד כאשר תחסר ממנו רביעיתו שהוא א' מי"ב ישארו ג' רביעיותיו שהם ג' חלקים מי"ב
	וזהו ההבדל אשר בזה המין למין ההכאה
	ולכן היה גדר ההכאה התכת שבר השבר לשבר
	והיה גדר החסור הודעת השבר הנשאר מחסרון שבר השלם משבר השלם
In subtraction the sought is the remainder from subtracting a fraction from fraction, while in multiplication the sought is what is taken and not what remains	גם כי יובדל זה המין ממין ההכאה כאשר זה המין יבוקש בו הנשאר מחסרון השבר מהשבר ובמין ההכאה יבוקש בו הנלקח ממנו והוא החסרון לא הנשאר
The ancients doubted the need for the subtraction of fractions, since it is already known from multiplication of fractions - but the differences between these two operations resolve their doubt	ומהנה כבר הותר הספק אשר ספקו בו קצת מהקדמונים ואמרו אחר שעם ההכאה נדע לקחת איזה שבר שיהיה מאיזה שבר שיהיה הנה כבר תוכל לדעת הנשאר ומה צורך למין החסור
	ואמנם אנחנו כבר התרנו זה בשאמרנו שמין החסור יודיע לנו הנשאר מחסרון שבר השלם משבר השלם ומין ההכאה יודע לנו הנשאר מחסרון שבר השבר משבר השלם
Subtraction of Fractions	ומעתה אתחיל בביאור הודעת זה המין ואומר שזה המין גם כן אין ספק שיהיו בו הי"ב מיני השברים הפשוטים והע"ח מינים המתחדשים מהרכבתם
In the operation of subtraction of fractions the composite types are multiplied - because of the significance of the position, every simple type is doubled	אלא שירבו המינים המורכבי' בזה המין למה שהיו כל מין מהם כאשר היה מהמתחלפי' הפשוטים נחלק לשנים
In the multiplication and addition operations the position is not significant	ולא כן במיני ההכאה והקבוץ כי במין ההכאה והקבוץ אין הבדל בין הכאת השבר עם השברים ובין הכאת השברים עם השבר וכן בקבוץ כי היוצא מהם