ספר ציפרא

Prologue
[MS Paris, Séminaire Israélite de France (École Rabbinique) 158/1 (IMHM 4102) f. 197r, lines 1-16]
	זה ספר חכמת התשבורת [הנקרא] טשיפרא סיבתו: אני את לבי גם מנעורי גרסה נפשי לדעת חכמה ובקש חשבון ומי יתן ואמצאם בספר ויחקו בעט סופר מהיר ‫. ולסבה שזאת היא חכמת החיצוניות לא נמצאת לפנינו בישראל, והמיעוט שבמיעוט הנמצא נאסף אל תוך הבית בחדרי חדרים, לכן העירוני רעיוני ללקט האמרים מיד כל אשר ימצא אתו ולכל[...] לזכרון‫.
	וקודם שאתחיל אבקש מיד כל רואיו לבל יכרעני לכף חובה ולומר מה לך פה כלך בהוייות דאביי ורבא חלילה וחס [לי'] לזרעא דאבא, כי לא לקחתי זאת לשום עיקר ותכלית, רק לחדד השכל ולבא בחשבון במקרה ושנייה ובחידוד דאביי ורבא בעצם וראשונה ועל זאת אמרו המושלים באו חשבון ‫ כמו שכתוב הרמבם ז"ל פרק חמישי מה[קדמת] ה פרקי אבות ‫ וז"ל‫:
	ומה שאין בו תועלת לו בתכלית ההוא כשאלות החשבון וספר החר[וט]ים והתחבולות הרבות משאלות אל ההנד[ס]ה ומשיכת המשקלים והרבה כיוצא בא[ילו] יהיה הכוונה בהם לחדד השכל ולהרגיל כח השכלי בדרכי המופת עד שיגיע לו לאדם קניין ידיעת ההיקש המופתי מזולתו ויהיה לו זה הדרך שיגיע בה לידעת אמיתות מציאתו ית' עכל‫'
Introduction
	בטוב גדא
	אתחיל דא
	ספר ציפרא
The book contains nine chapters	לידע ולפרש ספר המספר שיש בו ט' שערים
The basic conventions needed for the calculation practice	ואפרש תחילה הקבלות אשר צריך לידע המחשב הוא המפתח ויכול אחר כך לידע כל החשבונות
The Positional Decimal System
The numerals
There is no number [= numeral] smaller than one	דע כי אין לך חשבון קטן מן א' שהוא אחד
There is no number [= numeral] greater than nine	ואין לך חשבון גדול מן ט‫'
The nine numerals from which all numbers are formed - the nine first Hebrew letters	ובאלו ט' אותיות מן א' ועד ט' יש בו כל החשבונות שבעולם עד אין מספר
The written ranks [= decimal places]
Units	כיצד מעלה הראשונה היא נקראת מעלת היחידים כי כאשר יקראו האות כך מניינם פי' א' אחד ב' שנים ג’ שלש וכן עד ט' שהיא תשע
Tens	וכשתחשוב עשרה אז צריך אתה לכתוב ב' מעלות א' במעלה שנייה ולפניו ציפרא
Zero – placeholder digit	שהוא גלגל כזה 0 שאין בו ממש אלא שומר המעלות וזכר לדבר כגלגל לפני רוח ‫
10	הוא י‫' א ‫0
11	הוא י"א א א
	כי הא' הראשונה מן היחידים שהיא במעלה ראשונה וא' שנייה היא מן העשיריות הרי י"א
12	הרי י"ב א ב
13	הרי י"ג א ג
19	שהוא י"ט א ט וככה עד
20	הוא עשרים ב ‫0
21	הוא אחד ועשרים ב א
22	הוא שנים ועשרים ב ב
29	ב ט וככה עד תשע ועשרים שהוא
Hundreds	ומעלה השלישית היא מעלת המאות כזה
100	שהוא ק‫’ א ‫0 0
200	הוא ר‫’ ב ‫0 0
300	הוא ש‫’ ג ‫0 0
900	ט ‫0 0 וככה עד ט' מאות שהוא
111	הוא קי"א א א א
110	הוא ק"א א 0 א
Thousands	ומעלה הרביעית היא מעלת האלפים
1000	הוא אלף א ‫0 0 0
2000	הוא ב' אלפים ב ‫0 0 0
3000	הוא ג' אלפים ג ‫0 0 0
וככה עד ט' אלפים שהוא 000"ט
Tens of thousands	ומעלה החמישית היא מעלת הרבבות שהוא י' אלפים
Hundreds of thousands	ומעלה ששית היא מעלת מאה אלפים
Thousands of thousands	ומעלה שביעית היא מעלת אלף אלפים
and so on endlessly	וככה עד אין מספר תוכל לכתוב
Every rank is ten times the preceding rank	וכל מעלה היא עשרה פעמים יותר מן המעלה שלפניה
Example: writing the number 3020	כמה הן ג 0 ב 0 ואם ישאלך השואל
	תשיב אל לבך כי הגלגל אין לו מניין רק שומר המעלות והנה החשבון עשרים וג' אלפים
This is the meaning of the written numerals and their numerical value	והנה ביארתי לך מניין ועניין הכתיבה
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 20 30	‫0ג ‫0ב ‫0א 0 ט ח ז ו ה ד ג ב א
Chapter One: Multiplication of Units - Shortcuts	שער הכפל הקטן

• $\scriptstyle{\color{red}{x,y<10\quad x\sdot y=\left[10\sdot\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]+\left[\left[x-\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]\sdot\left[y-\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]\right]}}$

	אם תרצה לידע כמה עולה ט' פעמים ט' או ט' פעמים ח' או ה' פעמים ט' או ו' פעמים ט' וכן כל כיוצא בזה שכל אחד פחות מעשרה
$\scriptstyle9\times9$	אשכילך אם תחפוץ לידע כמה ט’ פעמים ט’ אז כתוב כזה
9 9	ט ט
9 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(9+9\right)-10}}={\color{blue}{8}}}$ 89 $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{9-8}}={\color{blue}{1}}\\\scriptstyle{\color{red}{9-8}}={\color{blue}{1}}\end{cases}}$ 89 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\sdot1}}={\color{blue}{1}}}$ 81 9  9  9  9 11 11	ואחר כך חשוב כמה יותר על עשרה ויהיה ח' ואותה ח' כתוב אצל הט' העליונה בצד שמאל כזה
8 9   9	ח ט   ט
	ואחר כך חשוב כמה ט' העליונה יותר על ח' ותמצא רק אחד אותו א’ כתוב בצד ט’ התחתונה
8 9   9   1	ח ט   ט   א
	ואחר כך חשוב כמה ט’ התחתונה יותר על הח’ ויהיה א’ כתוב אותה א’ ג”כ בצד ט’ תחתונה כזה
8 9   9 1 1	ח ט   ט א א
	ותחשוב א' פעמים א' היינו אחד כתוב א' לפני הח' כזה
8 1   9 1 1	ח א   ט א א
	ומחוק הט' למטה ולמעלה ויהיו אחד ושמונים
$\scriptstyle9\times8$	וכן אם תרצה לידע כמה ט' פעמים ח' כתוב כזה
9 8	ט ח
9 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(9+8\right)-10}}={\color{blue}{7}}}$ 79 $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{9-7}}={\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{8-7}}={\color{blue}{1}}\end{cases}}$ 79 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\sdot2}}={\color{blue}{2}}}$ 72 8  8  8  8 12 12	וחשוב כמה ח'ט' יותר על עשרה דהיינו ז' כתוב הז' אצל הט' כזה
7 9   8	ז ט   ח
	וחשוב כמה הט' עודף על הז' דהיינו ב' וכמה הח' עודף על ז' א' וכתוב כזה
7 9   8 1 2	ז ט   ח א ב
	תכפול א' על ב' היינו ב' אותה ב' כתוב קודם הז’ כזה
7 2   8 1 2	ז ב   ח א ב
	נמצא ט' פעמים ח' יהיה ע"ב
$\scriptstyle6\times6$ [MS Paris 1088, 4v]	דומיון אם תחפוץ לידע כמה ו' פעם ו' אז כתו' הו' תחת הו' כזה
6 6	ו ו
6 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6+6\right)-10}}={\color{blue}{2}}}$ 26 $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{6-2}}={\color{blue}{4}}\\\scriptstyle{\color{red}{6-2}}={\color{blue}{4}}\end{cases}}$ [26] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20+\left(4\sdot4\right)}}={\color{blue}{36}}}$ 36 6  6  [6]  6 [44]	ואז תאמר כמה השני ו' למעלה מי' זהו ב' ואותו ב' תכתו' לאחר הו' כזה
2 6   6	ב ו   ו
	ואז תאמ' כמה הו' יתיר על הב' זהו ד' והו' השנייה נמי למעל' מב' זהו ד' ואז תכפול ט ד' פעמי' ד' זהו ו"א פי' י"ו ואז תכתוב שים הא' על הב' כי הב' מעלה שניי' ויהיה ג' ועוד הוה ו' ואות' ו' תכתו' לפני הג' כזה
3 6   6	ג ו   ו
	נמצא שו' פעמ' ו' עולה ו"ג פי' ל"ו וכן עשה לעולם
	וכן לעולם תכפול המותר מזה ומזה והעולה כתוב קודם העודף עליו ואז תשכיל בכל אשר תעשה
$\scriptstyle{\color{red}{x,y<10\quad x\sdot y=\left[10\sdot\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]+\left[\left(10-y\right)\sdot\left(10-x\right)\right]}}$ [MS Paris 158, 198r] taken from a Latin book	דמיון אחר שהעתקתי מספר גלחות חברם יחד הב' אותיות והשליך עשרה והמניין הקטון כתוב ואח"כ תכפול יחד החשבון שיש מכל אחד עד עשרה וכתוב זה לפני המנין הקטן שבידך ואם בא לידך מה כפל הזה ב' מעלות אז תחבר המעלה שנייה אל המניין שבידך כגון אילו החשבונות החרו[ת]ים לפניך ממנו תשכיל ותחכם עוד
$\scriptstyle{\color{blue}{8\times9}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{7\times8}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{6\times7}}$ 8 2 7 3 6 4 9 1 8 2 7 3 72 56 42	8 2 7 3 6 4 9 1 8 2 7 3 72 56 42
$\scriptstyle{\color{red}{x<y<10\quad x\sdot y=\left(x\sdot10\right)-\left[x\sdot\left(10-y\right)\right]}}$ [MS Paris 158, 198r]	או כלך לדרך זו כתוב לפני המניין קטון שבשני אותיות גלגל כזה 0
$\scriptstyle7\times8$	כגון את"ל ז'פ'ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{7<8<10\quad 7\times8=\left(7\sdot10\right)-\left[7\sdot\left(10-8\right)\right]=70-\left(7\sdot2\right)=70-14=56}}$	כתוב כזה 0ז‫' וקח ממנו מה שבא מן הכפל שתכפול המניין מאות הגדול עד עשרה עם האות הקטן כגון מה שלפניך אמור ז'פ'ב' הם ד"א ותקח ד"א מן 0"ז ונשאר ו"ה וכגון אילו
$\scriptstyle{\color{blue}{8\times8}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{6\times7}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4\times9}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{5\times8}}$ 8 0 6 0 4 0 5 0 8 2 7 3 9 1 8 2 64 42 36 40	ח ‫0 ‫ו 0 ד ‫0 ‫ה 0 ח ב ז ג ט א ח ב דו בד וג ‫0ד
$\scriptstyle{\color{red}{x+y<10\quad x\sdot y=10+\left[\left(x-1\right)\sdot\left(y-1\right)\right]-\left[11\left(x+y\right)\right]}}$	ואם תרצה לידע ולחשוב כמה ג' פעמים ג' או ד' פעמים ד' וכן כל כיוצא בזה שאפילו צירופו אינו מגיע לעשרה
	אשכילך לעשות שתלוה לו כמה שצריך שיהיה בכל פעם אחד יותר מעשרה וככלות חשבונך קח מה שהלוית לו וישאר מתכונך
$\scriptstyle4\times4$	דמיון בקשנו ד' פעמים ד' כזה
4 4	ד ד

4	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left[4+4+\left[11-\left(4+4\right)\right]\right]-10}}={\color{blue}{1}}}$	14	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{4-1}}={\color{blue}{3}}\\\scriptstyle{\color{red}{4-1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}$	14	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\sdot3}}={\color{blue}{9}}}$	19	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-\left[11-\left(4+4\right)\right]}}={\color{blue}{6}}}$	16
4		4		4		4		4
				33

	והנה תלוה לו ג' שיעלה י"א והשלך עשרה וישאר בידך א' ורשום כזה
1 4   4	א ד   ד
	ואחר כך חשוב כמה ד' הראשונה יותר על הא' הוי אומר ג' וכן ד' השנייה גם כן יותר ג‫'
1 4   4 3 3	א ד   ד ג ג
	כפול ג' על ג' הרי ט' כתוב הט' לפני הא’ כזה
1 9   4	א ט   ד
	והנה קח ג' שהלוית לו וישאר ו"א והם י"ו ותמצא חשבונך מכוון
1 6   4	א ו   ד
$\scriptstyle{\color{red}{x+y<10\quad x\sdot y=\left[\left(10-y\right)\sdot\left(10-x\right)\right]-\left[10\sdot\left[10-\left(x+y\right)\right]\right]}}$	עניין אחר אם תרצה לידע כמה ג’ פעמים ג’ או ד’ פעמים ד’ וכן כל כיוצא בזה שאפילו צירופו אינו מגיע לעשרה
$\scriptstyle4\times4$	אשכילך דמיון אם תרצה לחשוב ד’ פעמים ד’ אז תכתוב אותו כזה
4 4	ד ד
4 $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{10-4}}={\color{blue}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{10-4}}={\color{blue}{6}}\end{cases}}$ [4] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6\sdot6}}={\color{blue}{36}}}$ [36] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{10-\left(4+4\right)=2}}\\\scriptstyle{\color{red}{3-2}}={\color{blue}{1}}\end{cases}}$ 16 4  [4]  [4] [66] [66]	וחשוב כמה ד’ ראשונה פחות מי’ ויהיה ו’ וחשוב גם השנייה כמה השנייה פחות מי’ ותמצא ג”כ ו‫’ ואז תכפול ו’ על ו’ ויעלה בידך ו”ג אז חשוב כמה השני ד’ פחותים מעשרה ויהיה ב’ השלך ב’ ממעלה שנייה מהג’ וישאר לך ו”א נמצא ד’ פעמים ד’ הוא ו”א וכן כולם ודוק
$\scriptstyle{\color{red}{x+y<10\quad x\sdot y=\left[\left(10-y\right)\sdot\left(10-x\right)\right]+\left[10\sdot\left(x+y\right)\right]-\left(10\sdot10\right)}}$ [MS Oxford 60, 151v, 161r]	ואם יהיה המספר אשר תרצה לכפול זע"ז פחות מי' כשתצרף שני המספרים יחד
$\scriptstyle4\times3$	דימיון אם בקשת לכפול ד' על ג‫'
$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(10-4\right)\sdot\left(10-3\right)=6\sdot7}}={\color{blue}{42}}}$ 42 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4+3}}={\color{blue}{7}}}$ 742 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(7+4\right)-10}}={\color{blue}{1}}}$ 12	אז תקח המרחק מן י' מכל אחד דהיינו מד' עד י' ו' ומג' עד י' ז זפ"ז ב"ד אותו ב"ד כתו' לזכרון [בד] ואח"כ צרוף ד' ג' יחד ויהיה ז' אות ז' כתוב לצד שמאל אצל ב"ד כזה [בדז] ואח"כ השלך י' מצד אותיות של שמאל וישאר ב'א' היינו החשבון אשר בקשת לידע וכפי זה תקיש והנה כתבתי זה אף כי הוא מושכל ראשון החשבון אשר בקשת להודיעך שאין בדרך הזה [...]
$\scriptstyle{\color{red}{x,y<10\quad x\sdot y=\left[\left(10-y\right)\sdot\left(10-x\right)\right]+\left[10\sdot\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]}}$ [MS New York, 94r-v; MS Oxford 60, 161r; MS Oxford 440, 115r, 124r] taken from another book	דרך אחרת לכפל קטן בספר אחר מצאתי או כלך בדרך זו קח המרחק עד י’ מן כל אחד ואחד שתרצה לכפול יחד וחשוב אותו ב’ מרחקים זה על זה ומה שיעלה בידך כתוב לזכרון אחר כך צורפם יחד בשער החיבור והעולה בידך קח מה שלמטה מן י’ וי’ השלך מידך וכתוב אותו למטה בצד שמאל למה שכתבת כבר ויהיה חשבונך מכוון
$\scriptstyle7\times9$	דמיון הנה רצונך לכפול ז’ פעמים ט‫’
$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(10-7\right)\sdot\left(10-9\right)=3\sdot1}}={\color{blue}{3}}}$ 3 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(7+9\right)-10=16-10}}={\color{blue}{6}}}$ 63	קח המרחק מן הז' עד י' דהיינו ג' והמרחק מן ט’ עד י’ דהיינו א’ ואמור ג’ פעמים א’ היינו ג’ אותו ג’ כתוב לזכרון כזה ג אחר כך חבור ז' על ט' ויעלה ו"א פי' י"ו השלך הי’ והו’ קח בידך וכתוב אותה בצד שמאל אצל הג’ הנשארת ויהיה כזה גו ששי' ושלש ועיין
$\scriptstyle6\times8$	דמיון אחר הנה רצונך לכפול ו’ פעמים ח‫’
$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(10-6\right)\sdot\left(10-8\right)=4\sdot2}}={\color{blue}{8}}}$ [8] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6+8\right)-10=14-10}}={\color{blue}{4}}}$ [48]	קח המרחק מן ו’ עד י’ דהיינו ד’ והמרחק מן ח’ היינו ב’ ואמור ב’ פעמים ד’ היינו ח’ אותו ח’ כתוב לזכרון [ח] אחר כך חבור ו’ על ח’ ויעלה י”ד השלך י’ וקח ד’ בידך וכתוב ד’ בצד שמאל אל ח’ אשר כתבת כבר ויעלה מ”ח היינו חשבון ח’פ’ו’ עיין ודוק [חד]
$\scriptstyle5\times6$ [MS Oxford 440, 115r]	דמיון אחר אם תרצה לידע הפ"ו
$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(10-5\right)\sdot\left(10-6\right)=5\sdot4}}={\color{blue}{20}}}$ [20] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{\left(5+6\right)-10=1}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}$ [30]	קח המרחק מן ה' עד י' ויהיה ה' צרפם יחד הה’ והו’ ויהיה א' השלך עשרה ונשאר לך א' צרפם 0"ב ויהיה ג' נמצא ל' ודוק
Multiplication Table
multiplication table of 1 to 9	והנה ארשום לך לוח מתוקנת על שער הכפל קטן כדי שתוכל לראות בקלות כל מה שתרצה בלא שום חשבון מן א' פעמים א' עד ט' פעמים ט' ודוק
half multiplication table [MS Oxford 440, 115r; Oxford 60, 175r]	והחצי לוח עשיתי למצוא כל חשבון ואינך צריך הרבה כל כך
	סליק שער כפל קטן ואז תשכיל כל אשר תעשה

Chapter Two: Addition	שער החיבור
If you wish to sum 3372 with 3392. $\scriptstyle3372+3392$	אם תרצה לחבר שנים ושבעים וג' מאות וג' אלפים עם שנים ותשעים וג' מאות וג' אלפים
Write as follows:	תכתוב כזה
3 3 7 2 3 3 9 2	ג ג ז ב ג ג ט ב

[Illustration of the procedure:]

3372	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2+2}}={\color{blue}{4}}}$	[3372]	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7+9}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}}$	[3372]	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{1}}+3+3}}={\color{blue}{7}}}$	[3372]	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3+3}}={\color{blue}{6}}}$	[3372]
3392		[3392]		[3392]		[3392]		[3392]
		4		64		764		6764

Add the bottom 2 to the upper 2 and it is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{2+2=4}}$	תחבר ב' תחתונה על ב' עליונה ויהי ד‫'
3 3 7 2 3 3 9 2       4	ג ג ז ב ג ג ט ב       ד
Add the bottom 9 to the upper 7 and it is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{9+7=16}}$ Write the 6 in the second rank, after the 4 that you wrote, like this:	תחבר ט' תחתונה על ז' עליונה ויהיה ו"א הו' כתוב במעלה שניה אחר ד' שכתבת כזה
6 4	ו ד
Add the remaining 1 to the threes that follow it in the third rank, like this:	והא' הנשארת חבור אל הג'ג' שלאחריו שהם למעלה מזו כזה במעלה השלישי
3 3	ג ג
So, the total is 7 $\scriptstyle{\color{blue}{1+3+3=7}}$:	ויהיה הכל ז' כזה
7 6 4	ז ו ד
Then, add the two last threes in the fourth rank, their sum is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{3+3=6}}$ Write this 6 in the fourth rank, after 764 that you wrote, like this:	ואחר כך תחבר שני הג'ג' האחרונים במעלה הרביעי' ויהיה חבורם ו' אות' ו' כתוב במעלה הרביעי' אחר דוז שכתבת כזה
6 7 6 4	ו ז ו ד
The procedure is complete and the sum is 6764, i.e. as follows:	ותשלם המלאכה ויהיה חבורו ארבע וששי' ז' מאות ו' אלפי' דהיינו כזה
6 7 6 4	ו ז ו ד
The highest rank of the sum exceeds the addend by one rank to the left at most, sometimes it does not exceed [its ranks] at all.	לעולם לא תמצא הטור מן החיבור אשר בעליונה שעברת על המחובר רק מעלה לשמאל לכל היותר ולפעמים לא תעבור כלל
[MS Paris 1088, 7v:] Here follows a chapter on addition, to add every thing and to establish its methods	הילך שער חיבור לחבר כל דבר [..] ולישב על אופניו
Such as, if you wish to sum some numbers together.	כגון אם תרצה לחבר כמה חשבונות יחד
Now, I sum one number and according to this you shall apply for others:	ועתה אחבר חשבון אחד ומהם תבין אחר
Write numeral by numeral [lit. letter by letter], but not as is written in the multiplication chapter, but write as I will demonstrate, with God's help.	ותכתו' אות תחת אות ולא תכתו' כאשר כותבין בשער כפל אלא תכתו' כזה שאראך בע"ה
Example: we want to sum 3372 with 9892. $\scriptstyle3372+9892$	דומיון בקשנו לחבר ע"ב וג' מאות וג' אלפי' עם צ"ב וח' מאות וט' אלפים
Here is how you write it and its diagram is as follows:	הילך היאך תכתוב אותו וצורתו כזה
3 3 7 2 9 8 9 2	ג ג ז ב ט ח ט ב

[Illustration of the procedure:]

3372	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2+2}}={\color{blue}{4}}}$	3372	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{7+9}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{3+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{4}}\end{cases}}$	3472	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{4+8}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{3+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{4}}\end{cases}}$	4472	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4+9}}={\color{blue}{13}}}$	3372
9892		9892		9892		9892		9892
		4		64		264		13264

	נחבר ב' תחתונ' עם ב' עליונ' הרי ד' אות' ד' נכתוב נגד ב' תחתונ‫'
	נחבר כמו כן ט' תחתונ' עם ז' עליונ' ויעלה ו"א נכתוב ו' תחת הט‫'
	ונוסיף א' על אות שבשיט' עליונ' הסמוכ' לה ושם יש ג' ונוסיף א' עליה ויהיה כאילו נכתו' ד' במקום ג‫'
	ונחבר ד' עליונ' עם ח' תחתונ' ויעלה ב"א נכתו' ב' למטה תחת הח‫'
	ונוסיף א' על אות הסמוך לד' עליונ' ושם יש ג' ונוסיף א' עליה ויהא ד‫'
	נחבר ד' עליונ' על ט' שלמטה ויעלה ג"א נכתוב ג' למט' תחת הט' וא' נכתוב לאחריה ויהיה כזה
3 3 7 2   9 8 9 2 1 3 2 6 4	ג ג ז ב   ט ח ט ב א ג ב ו ד
	זה הכלל לא ימוש מפיך כשמותר הא' משיט' ראשונ' אני מוסיף אות' על שיט' שלאחריה כי הא' הנותרת לי היא כמו כן מן העשיריות נגד שיט' ראשונ' לכך אני מוסיף אות' תדיר עליה נמצא החיבור שחברנו לעיל הוא עולה ס"ד ומאתים וי"ג אלפים ודוק
[MS Paris158, 198v]	ציור זה בגלחת ונקרא אדירין
$\scriptstyle{\color{blue}{78312+87547}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{68975+87496}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{37064+52056}}$   7 8 3 1 2   8 7 5 4 7   6 8 9 7 5   8 7 4 9 6 3 7 0 6 4 5 2 0 5 6 1 6 5 8 5 9 1 5 6 4 7 1 8 9 1 2 0	ז ח ג א ב   ח ז ה ד ז   ו ח ט ז ה   ח ז ד ט ו ג ז 0 ו ד ה ב 0 ה ו א ו ה ח ה ט א ה ו ד ז א ח ט א ב 0
Checking Methods	ועתה תדע שאכתוב לך שני משקלים
[MS Paris158, 198v]
1) Casting out 9 by 9	הא' השלך ט"ט כל כמה שתוכל מב' שיטות עליונות ומה שנשמר לך למטה מט' קח בידך לאבני המשקל ואח"כ השלך ג"כ השיטה התחתונה בט"ט ומה שנשאר לך אם משקלו כאבן הראשון דע שכוינת חשבונך
2) Subtraction	משקל השני יקח השני שיטות העליונות מהשיטה התחתונה אם יצא במבוקש בלי חסרון ויתרון אז חשבונך מכוון ודוק ותמצא

Chapter Three: Subtraction	שער החיסור
	אם תרצה לחסור ולנכות חשבון מן חשבון הילך איך תעשה תכתוב החשבון שאתה רוצה לנכות ולחסר ממנו אותו חשבון כתוב למעלה כפי מעלותיו והחשבון שאתה מנכה הימנו כתוב למטה כפי מעלותיו ואחר כך תנכה מן החשבון שלמעלה
$\scriptstyle1000-999$	ועתה אכתוב לך הדמיון להשכילך: הנה בקשנו לחסור ט' מאות ותשעים ותשע מאלף הילך היאך תכתוב אותו כזה
1 0 0 0   9 9 9	א 0 0 0   ט ט ט
1000 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-9}}={\color{blue}{1}}}$ 100 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-9}}={\color{blue}{1}}}$ 10 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-9}}={\color{blue}{1}}}$ 1  999  99  9	נמצא הא' שבשיטה העליונה במעלה רביעי' עולה עשרה לגבי ט' שלישית שבתחתונה עתה נחסר מאותו עשרה ט' וישאר לך א' אותו א' כתוב במקום גלגל השלישי נגד הט' שחסרת ואותו ט' מחוק כזה
1 0 0   9 9	א 0 0   ט ט
	ועכשיו כמו כן הא' שבמעלה שלישית שבשיטה העליונה עולה עשרה לגבי ט' שבשיטה תחתונה נחסר ט' שנייה ונשאר א' ואותו א' כתוב במקום הגלגל השני ותמחוק ט' שנייה שחסרנו וגם תמחוק הא' העליונה שבמעלה שלישית שחסרנו ממנו ויהיה כזה
1 0   9	א 0   ט
	שוב נחסר ט' תחת הגלגל מן א' שלמעלה במעלה השנייה כי גם היא עולה עשרה לגבי ט' כדלעיל והנה כשנחסר ט' מן י' וישאר א' אותו א' כתוב במקום הגלגל ומחק הא' העליונה אשר במעלה שנייה וגם הט' מחק ואז נשאר רק א‫' נמצא כשחסרנו ט' מאות וצ"ט מאלף נשאר א‫'
$\scriptstyle654-321$	דמיון אחר אם בקשנו לחסור אב"ג מן דה"ו כתוב כזה
6 5 4 3 2 1	ו ה ד ג ב א
654 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6-3}}={\color{blue}{3}}}$ 354 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-2}}={\color{blue}{3}}}$ 334 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4-1}}={\color{blue}{3}}}$ 333 321  21   1	נחסר ג' התחתונה מן ו' העליונה שכנגדה וישאר ג' מחק הו' וכתוב במקומה הג' שנשאר ומחק גם כן הג' שנשאר שלמטה ויהיה כזה
3 5 4   2 1	ג ה ד   ב א
	שוב נחסר ב' התחתונה מן ה' עליונה שכנגדה וישאר ג' אותו ג' כתוב במקום הה' ומחק הב' שלמטה וגם ה' שלמעלה ויהיה כזה
3 3 4     1	ג ג ד     א
	שוב נחסר א' התחתונה מן ד' עליונה שכנגדה וישאר ג' ומחוק ד' שלמעלה וגם א' שלמטה וכתוב ג' במקום ד' שלמעלה ויהיה כזה
3 3 3	ג ג ג
	נמצא כשחסרנו אב"ג מן דה"ו לא נשאר כי אם ג'ג'ג‫'
If the digit of the subtrahend is larger than the digit of the subtracted in the corresponding rank	וכאשר תמצא שהאות העליון אשר בקשנו לחסר ממנו פחות מן האות התחתון שתרצ' לחסר
$\scriptstyle956-867$	כגון אם תרצ' לחסר ז ו ח מן ו ה ט כזה
9 5 6 8 6 7	ט ה ו ח ו ז
956 $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{16-7}}={\color{blue}{9}}\\\scriptstyle{\color{red}{5-1}}={\color{green}{4}}\end{cases}}$ [949] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{14-6}}={\color{blue}{8}}\\\scriptstyle{\color{red}{9-1}}={\color{green}{8}}\end{cases}}$ [889] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8-8}}={\color{blue}{0}}}$ [89] 867 [86 ] [8  ]	היאך תחסור מרובה ממועט כזה ז' מן ו' לא תוכל וכן ו' מן ה' בדרך זה תעשה: טול א' מן ה' אשר אצל ו' ומחוק הה' וכתוב ד' אותו א' כמה עולה לחבירו עם הו' י"ו כי היא במעלה שנייה מן הו' הרי י"ו חסר ז' אשר בטור השפל מן י"ו וישאר ט‫' אחר כך צריך לחסר ו' מן ד' עשר ג"כ כמו שצויתיך מחוק א' מן ט' ויהיה במעלה שלפניו י"ד וחסר ממנו ו' וישאר ח' ול"ד זה שייך לשער הכפל קטון
[MS Oxford 60, 153r-v]
956 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-8}}={\color{blue}{1}}}$ 156 $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{15-6}}={\color{blue}{9}}\\\scriptstyle{\color{red}{1-1=0}}\end{cases}}$ 96 $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{16-7}}={\color{blue}{9}}\\\scriptstyle{\color{red}{9-1}}={\color{blue}{8}}\end{cases}}$ 89 867  67  7	אשכילך היאך תעשה כי לא תוכל לחסר ז' מן ו' וכן ו' מה' בדרך זה תעשה: בתחילה חסר ח' תחתונה מט' עליונ' וישאר א' מחוק הט' וכתוב א' במקומ' גם ח' תחתונ' מחוק ויהיה כזה
1 5 6   6 7	א ה ו   ו ז
	עתה צריכין אנו לחסר ו' תחתונ' מה' עליונ' ולא יכולנ' לכן לך לך אל הא' אשר לשמאל ה' עליונ' וצרפ' יחד א' וה' ויהיה ט"ו ונחסור הו' ממנו וישאר ט' מחוק הא' העליונ' גם ה' העליונ' וכתוב במקומם ט' גם ו' תחתונ' תמחוק וישאר כזה
9 6   7	ט ו   ז
	שוב צריכין אנו לחסר ז' תחתונ' מו' ולא יכולנ' עתה לך לך וקח אחד מן הט' שבצד הו' בשיט' עליונ' וצרפ' יחד הו' גם הא' והיא עשרה אצל הו' ויהיה י"ו ועתה חסר ז' מן י"ו וישאר ט' מחק ו' ט' עליונ' וכתוב ט' ח' במקומם כאשר ציויתיך ומחוק ג"כ הז' התחתונ' ויהיה כזה
8 9	ח ט
	ותשלם המלאכה עיין היטב
Checking Methods
Addition $\scriptstyle333+321=654$	ואם תרצה לידע אם אמת חשבת אז תחבר בשער החיבור אב"ג עם גג"ג אז תמצא דה"ו אז החיסור מכוון
$\scriptstyle867+89=956$ [MS Oxford 60, 153v]	ואם תרצ' לידע אם אמת חשבת אז חבר בשער החיבור ז ו ח עם ט ח הנשארי' ואם תמצא ו ה ט אז כיוונת
The checking method of addition is subtraction and the checking method of subtraction is addition	זה הכלל שער החיסור מאזני צדק לשער החיבור ושער החיבור מאזני צדק לשער החיסור
Chapter Four: Multiplication	שער הכפל
If you wish to multiply 1234 by 4321. $\scriptstyle1234\times4321$	אם תרצה לכפול רל"ד ואלף על ד' אלפים ושכ"א

[Illustration of the procedure:]

4321	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4\times1}}={\color{blue}{4}}}$	4  4321	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4\times2}}={\color{blue}{8}}}$	48 4321	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{4\times3}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{8+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{9}}\end{cases}}$	4924321	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{4\times4}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}$	4936321
1234		234		34		4

	הילך צורתו כאשר תכתבנו חשבון האחד בצד השני ומכוון אות ראשון בחשבון התחתון תחת אות האחרון שבחשבון העליון כזה
4 3 2 1 1 2 3 4	ד ג ב א א ב ג ד
	וכפול א' תחתונה על ד' עליונה פי' חשוב א' פעמים ד' זה ד' אות ד' כתוב נגד א' התחתונה ומחוק א' תחתונה כזה
4     4 3 2 1   2 3 4	ד     ד ג ב א   ב ג ד
	עוד כפול ב' תחתונה על ד' עליונה ויעלה ח' אותו ח' כתוב נגד ב' התחתונה ומחק ב' התחתונה כזה
4 8   4 3 2 1     3 4	ד ח   ד ג ב א     ג ד
	עוד נכפל ג' תחתונה על ד' עליונה ויעלה ב"א פי' י"ב עתה כתוב ב' נגד ג' תחתונה וא' על ח' אחריה ויעלה ט' כי הוא מעלה אחת שהיא עשרה אחר ב' שלפניה ומחוק ג' תחתונה כזה
4 9 2 4 3 2 1       4	ד ט ב ד ג ב א       ד
	עוד נכפל ד' תחתונה על ד' עליונה ויעלה ו"א פי' י"ו עתה נכתב ו' נגד ד' תחתונה במקום ד' עליונה כי עתה חשבנו ד' עליונה בכל חלקים וכתוב א' על ב' שלאחריה ויהיה ג' כזה
4 9 3 6 3 2 1	ד ט ג ו ג ב א

[Illustration of the procedure:]

4936321	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{3\times1}}={\color{green}{3}}\\\scriptstyle{\color{red}{9+}}{\color{green}{3}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{4+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{5}}\end{cases}}$	5236321	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{3\times2}}={\color{green}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{3+}}{\color{green}{6}}={\color{blue}{9}}\end{cases}}$	5296321	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{3\times3}}={\color{green}{9}}\\\scriptstyle{\color{red}{6+}}{\color{green}{9}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{5}}\\\scriptstyle{\color{red}{9+}}{\color{green}{1}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}$	5305321
1234		234		34		4

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{3\times4}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{5+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{6}}\end{cases}}$

5306221

	ועתה נמשך ד"ג ב"א מעלה לאחורית תחת ג' עליונה כדי לחשוב ג' עליונה כדי לחשוב ג' גם בכל תוצאותיה ד"גב"א כזה
4 9 3 6 3 2 1   1 2 3 4	ד ט ג ו ג ב א   א ב ג ד
	כפול א' תחתונה על ג' עליונה פי' ג' פעמים א' זהו ג' ושים אותו ג' על ט' שעל א' התחתונה ויעל ב"א פי' י"ב עתה כתוב ב' במקום ט' א' שהיא עשרה שים אותו במעלה שנייה דהיינו ד' ועשה ד' אחרונה ה' ומחוק א' תחתונה כזה
5 2 3 6 3 2 1     2 3 4	ה ב ג ו ג ב א     ב ג ד
	עוד כפול ב' תחתונה על ג' עליונה ויעלה ב' פעמים ג' דהיינו ו' ושים אותו ו' על ג' שעליה ויהיה ט' ומחוק ב' תחתונה כזה
5 2 9 6 3 2 1       3 4	ה ב ט ו ג ב א       ג ד
	עוד כפול ג' תחתונה על ג' עליונה ג' פעמים יעלה ט' ושים אותו ט' על ו' שעליה ויעלה ה"א ה' כתוב במקום ו' א' כתוב במעלה שנייה דהיינו אל ט' שלאחריה ויהיה עשרה אך אין ראוי לכתוב עשרה כי אין כותבין בחשבונות הציפרא עשרה רק ט' לכן כתוב גלגל כזה במקום ט' וכת' א' במעלה שלאחריה דהיינו אל ב‫'
5 3 0 5 3 2 1         4	ה ג 0 ה ג ב א         ד
	ועתה יהיה ג' מחוק ג' תחתונה כזה עוד כפול ד' תחתונה על ג' עליונה ויעלה ב"א עתה כתב ב' במקום ג' עליונה כי חשבונו גם כן ג' בכל חילוקה א' כתוב במעלה שנייה אל ה' ויהיה ו' ומחוק ד' תחתונה כזה
5 3 0 6 2 2 1	ה ג 0 ו ב ב א

[Illustration of the procedure:]

5306221	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times1=}}{\color{blue}{2}}}$	5326221	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{2\times2}}={\color{green}{4}}\\\scriptstyle{\color{red}{6+}}{\color{green}{4}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}$	5330221	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{2\times3}}={\color{green}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{6}}={\color{blue}{8}}\end{cases}}$	5330821	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{2\times4}}={\color{blue}{8}}}$	5330881
1234		234		34		4

	ועתה נמשך ד"ג ב"א מעלה אחת לאחורית תחת ב' עליונה כזה
5 3 0 6 2 2 1     1 2 3 4	ה ג 0 ו ב ב א     א ב ג ד
	עוד כפול א' תחתונה על ב' עליונ' א' פעמים ב' דהיינו ב' כתוב אותו ב' נגד א' תחתונה במקום גלגל ומחוק א' תחתונה כזה
5 3 2 6 2 2 1       2 3 4	ה ג ב ו ב ב א       ב ג ד
	שוב כפול תחתונה על ב' עליונה ב' פעמים ב' היינו ד' אותו ד' כתוב למעלה נגד ב' תחתונה דהיינו אל ו' הרי י' כתוב במקום ו' גלגל ואחר הגלגל תוסיף א' היינו אל ב' ויהיה כזה
5 3 3 0 2 2 1         3 4	ה ג ג 0 ב ב א         ג ד
	שוב כפול ג' תחתונה על ב' עליונה ג' פעמים ב' היינו ו' אותה ו' כתו' נגד ג' תחתונה דהיינו אל ב' עליונה ויהיה ח' ומחוק ג' תחתונה כזה
5 3 3 0 8 2 1           4	ה ג ג 0 ח ב א           ד
	שוב כפול ד' תחתונה על ב' עליונה ד' פעמים ב' ויעלה ח' כתוב ח' במקום ב' עליונה כי חשבנו ב' בכל חילוקיה ומחוק ד' תחתונה כזה
5 3 3 0 8 8 1	ה ג ג 0 ח ח א

[Illustration of the procedure:]

5330881	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{1\times1}}={\color{green}{1}}\\\scriptstyle{\color{red}{0+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{1}}\end{cases}}$	5331881	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{1\times2}}={\color{green}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{8+}}{\color{green}{2}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{1+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{2}}\end{cases}}$	5332081	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{1\times3}}={\color{green}{3}}\\\scriptstyle{\color{red}{8+}}{\color{green}{3}}={\color{blue}{11}}\end{cases}}$	5332111	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{1\times4}}={\color{blue}{4}}}$	5332114
1234		234		34		4

	ועתה נמשך דגב"א מעלה לאחורית כדי לכפול אותו על א' ראשונה ויהיה כזה
5 3 3 0 8 8 1       1 2 3 4	ה ג ג 0 ח ח א       א ב ג ד
	כפול א' תחתונה על א' עליונה א' פעמים א' זה א' אותו א' כתוב נגד א' תחתונה במקום גלגל ומחק א' תחתונה כזה
5 3 3 1 8 8 1         2 3 4	ה ג ג א ח ח א         ב ג ד
	שוב כפול ב' תחתונה על א' עליונה ב' פעמים א' היינו ב' אותו ב' כתוב על התחתונה דהיינו אל ח' ויהיה עשרה כתוב במקום ח' גלגל אחר גלגל תוסיף א' על א' ויהיה ב' ומחוק ב' תחתונה כזה
5 3 3 2 0 8 1           3 4	ה ג ג ב 0 ח א           ג ד
	שוב כפול ג' תחתונה על א' עליונה ג' פעמים א' זה ג' אותו ג' כתוב נגד ג' תחתונה דהיינו אל ח' הרי י"א מחוק ח' וכתוב במקומה א' ואחריה במקום גלגל א' ומחוק ג' תחתונה כזה
5 3 3 2 1 1 1             4	ה ג ג ב א א א             ד
	שוב כפול ד' תחתונה אל א' עליונה ד' פעמים א' היינו ד' אותו ד' כתוב במקום א' שכנגדה אבל לא תצרף אותו א' עם ד' כמו שצויתיך כבר כי על אותו א' כפלנו עכשיו דגב"א ולא היתה א' רק לסימן לכן לא חיידיא לצירוף ומחוק ד' תחתונה כזה
5 3 3 2 1 1 4	ה ג ג ב א א ד
	נמצא כי א"בג"ד פעמים דגב"א עולה בחשבון דא"אב"ג ג"ה היינו י"ד ומאה וגם ב' אלפים גם ל' אלפים וגם מאה אלפים וגם ה' מאות רבבות וד"ל

Another example: we wish to multiply 209 by 3030. $\scriptstyle209\times3030$	דמיון אחר הנה בקשנו לכפול ט' ומאתים על ג' אלפים ושלשים
[Illustration of the procedure:]   3030 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times2}}={\color{blue}{6}}}$ 603030 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times9}}={\color{blue}{27}}}$ 627030 209      9	הילך היאך תכתוב צורתו כזה
3 0 3 0 2 0 9	ג 0 ג 0 ב 0 ט
	כפול ב' תחתונה על ג' עליונה ב' פעמים ג' היינו ו' אותו ו' כתוב נגד ב' תחתונה ומחוק ב' תחתונה וגם הגלגל שלפני ב' מחוק וכתוב גלגל לפניו כזה כי נכפול גלגל ג' פעמים ויהיה גלגל
6 0 3 0 3 0     9	ו 0 ג 0 ג 0     ט
	שוב כפול ט' על ג' שעליה ט' פעמים ג' היינו ז"ב אותו ז' כתוב למעלה במקום ג' אחרונה ויהיה ז' במקום וגם ב' כתוב במקום גלגל ומחק ט' תחתונה כזה
6 2 7 0 3 0	ו ב ז 0 ג 0

[Illustration of the procedure:]

627030	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{3\times2}}={\color{green}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{7+}}{\color{green}{6}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{3}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}$	633030	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times9}}={\color{blue}{27}}}$	633270
209		9

	ועתה משוך 0ט"ב לאחוריו ב' מעלות כדי שתהא ט' תחתונה שהיא אות ראשונה שבשיטה תחתונה נגד ג' עליונה כזה
6 2 7 0 3 0     2 0 9	ו ב ז 0 ג 0     ב 0 ט
	ואת"ל למה לא כתבנו ט0"ב תחת גלגל עליון ודאי עשינו כך אבל מ"מ לא עלה יותר מגלגל כי כאשר תמצא אותיות כתובים ואת' צריך לצרף עמהם גלגל אין צירופין עמהם ול"ד כמו שפי' לקמן
	כפול ב' תחתונה על ג' עליונה ב' פעמים ג' היינו ו' אותו ו' כתוב נגד ב' תחתונה דהיינו אל ז' ויהיה י"ג מחוק ז' וכתוב במקומה ג' ואחריה תוסיף א' על ב' כי הוא עשרה כמו שכתבתי לעיל ויהיה ג"כ ג' ומחוק ב' תחתונה וגם גלגל שלפניה
Zero cannot replace a non-zero digit in the upper line (the result line) in this erasing and shifting procedure -as this will decrease the numerical value of the rank, and there is no need for the zero as a place holder, since the current non-zero digit is already holding the place	ואין אתה צריך לצייר אותו הגלגל למעלה כמו שעשית כבר כי בלאו הכי יש גלגל כנגדו וכ"ש אם היה אות נגד הגלגל שלא היינו מוחקים האות לצייר שם גלגל שאם היינו מוחק' האות כדי לצייר שם גלגל אז היינו ממעטים החשבון ואם לעשות כדי להרחיק המעלה זה אינו כי בלאו הכי האות מרחיק המעלה כללא דמילתא לעולם אין אנו מציירין גלגל התחתון למעלה אלא אם אין כנגדו שום דבר
Zero does not need to replace a zero in the upper line as it is only a place holder, and the rank is already held by the current zero	אבל אם יש שום גלגל או אות נגד אותו גלגל התחתון אז אין אנו צריכין לצייר שום גלגל כי ציורו אינו אלא שומר המעלה כמו שכתבתי לעיל כי הגלגל מודיע שאות אחריו עולה מעלה אחת יותר ממה שהיית עושה אם לא היית שם שום ציור גלגל
	ועתה נחזור לחשבון דלעיל כמו שפרטתי אז יהיה כזה
6 3 3 0 3 0         9	ו ג ג 0 ג 0         ט
	שוב כפול ט' תחתונה על ג' עליונה ט' פעמים ג' היינו ז"ב כתוב במקום ג' עליונה ז' ואחריה במקום גלגל כתוב ב' ומחק ט' תחתונה כזה וגם ג' עליונה מחק
6 3 3 2 7 0	ו ג ג ב ז 0
	תמצא שמאתים וט' פעמים ג' אלפים ול' יש ס"ג רבבות וג' אלפים ומאתים ושבעים
	הנה אראך בדרך אחר לכפול
If you wish to know how much are 15 times 1080. $\scriptstyle15\times1080$	אם תרצה לידע כמה ט"ו פעמים תתר"ף

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times1}}={\color{blue}{1}}}$	1	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times0}}={\color{blue}{0}}}$	10	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times8}}={\color{blue}{8}}}$	108	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times0}}={\color{blue}{0}}}$	1080
1080		1080		1080		1080		1080
15		15		15		15		15

	עשה טור ראשון מתתר"ף ושים תחתיו ט"ו ה' תחת הא' וא' לשמאלו כזה
1 0 8 0 1 5	א 0 ח 0 א ה
	אז תכפול הא' על כל הטור העליון ואחר כך ה' על כל הטור העליון וכה תאמר א' פעם א' הרי א' שים א' כנגד א' השפל מן הכפלות כל כך גבוה שיהא הוא למעלה מן התתר"ף מכוון כנגד הא' התחתונ' ויהיה צורת' כזה
1           1 0 8 0 1 5	א           א 0 ח 0 א ה
	ואחר כך כפול א' פעמי' גלגל הרי גלגל שים אותו גלגל לפני הא' אשר כתבתי למעלה מן התתר"ף מכוונ' נגד הא' בשיט' ראשונ' ויהיה כזה
1 0         1 0 8 0 1 5	א 0         א 0 ח 0 א ה
	ואחר כך כפול א' פעמי' ח' יעלה ח' כתוב ח' לפני ה0' שכתבת בשיט' עליונ' מכוונת נגד הציפר' שבשיט' אמצעי' ויהיה כזה
1 0 8       1 0 8 0 1 5	א 0 ח       א 0 ח 0 א ה
	ואחר כך כפול א' פעם 0' ויעלה 0' שימהו לפני הח' אשר כתבת בשיט' עליונ' מכוון נגד 0' שבשיט' אמצעי' גם תמחוק הא' כי נכפל על כל התתר"ף ויהיה כזה דמיונו
1 0 8 0     1 0 8 0   5	א 0 ח 0     א 0 ח 0   ה
	והנה כפלת הא' על כל התתר"ף

[Illustration of the procedure:]

1080	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\times1}}={\color{blue}{5}}}$	1580	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{5\times0}}={\color{green}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{8+}}{\color{green}{0}}={\color{blue}{8}}\\\end{cases}}$	1580	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{5\times8}}={\color{green}{4}}{\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{8+}}{\color{green}{4}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{5+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{6}}\\\end{cases}}$	1620	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\times0}}={\color{blue}{0}}}$	16200
1080		1080		1080		1080
15		15		15		15

	ואחר כך כפול הה' על כל התתרף ותתחיל לכופלו כנגדו ממש למעלה כאשר התחלת לכפול הא' כנגד א' כן תכפול הה' ועלה כך ה' פעמים א' היינו ה' שים אות ה' נגד הא' למעלה הימנו דהיינו במקום גלגל כזה
1 5 8 0     1 0 8 0   5	א ה ח 0     א 0 ח 0   ה
	ואחר כך אמור ה' פעמים 0' אם לא היה נכתב מאומה על הגלגל היית נותן שם גלגל עכשיו שרשום עליו ח' לא תעשה מהגלגל כלום כי אוחז מקומו ואחר כך אמור ה' פעמים ח' יעלה ארבעים ולא תשימהו במקום הגלגל כי תצטרך לגלגל אלא כתוב ד' על הח' לשמאל אז תמצא ד"ח זה על זה תמחוק שניהם ותכתוב במקומו ב' ועל הה' אשר כתבת לשמאל כתוב א' הרי ו' כזה
1 6 2 0     1 0 8 0   5	א ו ב 0     א 0 ח 0   ה
	ואחר כך אמור ה' פעמים גלגל היינו גלגל שים גלגל על גלגל ויהא דמיונו כזה
1 6 2 0 0	א ו ב 0 0
	תבין שלא נשלם הטור העליון נגד הטור השפל עד אשר תכפול כל האותיות מן הכפולות על כל החשבון ולמבין די ודו"ק

Checking Methods	ואם לבך מפקפק לומר מאן יאמר שכך הוא הילך מאזני צדק היאך תשקול ותבחין אם טעות אם לאו
Casting out 9 by 9	בראשונה קח חשבון שבשיטה העליונה אשר בקשת לכפול והשלך אותו ט"ט והמותר קח בידך
	ואם לא תמצא אפילו פעם אחת ט' אז תקח הכל
	ואחר כך קח החשבון התחתון והשלך גם כן בט"ט
	ומה שנשאר בידך קח נא והשלך אותו בשער הכפל על מה שנשאר לך בשיטה עליונה אחר שהשלכת ממנו ט"ט ומה שיעלה בידך השלך אותו ג"כ בט"ט ומה שנשאר שלא הגיע לכלל ט' קח נא בידך
	ואחר כך קח החשבון היוצא לך כבר כשכפלת הב' חשבונות יחד והשלך ג"כ אותו בט"ט
	ומה שנשאר בידך אם הוא מכוון כנגד מה שנשאר לך כבר ידוע תדע שאמת חשבת ואם לאו בודאי טעית
$\scriptstyle209\times3030$	ועתה שקול חשבון דלעיל למען יבין המבין ויוסיף לקח הדמיון היה 0"ג0"ג פעמים ט0"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{3+0+3+0=3+3=6\equiv_96}}$	בתחילה נחבר ב' פעמים ג' היינו ו' ואין כאן אפילו פעם אחת ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2+0+9=2+9=11\equiv_92}}$	ואחר כך חבר חשבון התחתון דהיינו ט0"ב חיבור ט"ב היינו י"א השלך ט' וישאר ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{6\times2=12\equiv_93}}$	כפול ב' על ו' ב' פעמים ו' היינו י"ב השלך ט' וישאר ג' וזה יהיה לך לזכרון
$\scriptstyle{\color{blue}{6\times2=12\longrightarrow1+2=3}}$	זה הכלל ראה בכפל מה שנשאר לך כגון עתה הוצרכת לכפול ב' פעמים ו' ויהיה י"ב כתוב י"ב בציפור ויהיה ב"א היינו יתיר על ט' ג' וכן לעולם
$\scriptstyle{\color{blue}{3030\times209=633270\longrightarrow6+3+3+2+7+0=21\equiv_93}}$	ואחר כך ראה מה שיעלה בידך כשכפלתה 0"ג0"ג על ט0"ב דהיינו 0'ז'ב'ג'ג'ו' חבור אותו יחד ויהיה כ"א השלך אותו ט"ט וישאר ג' כמו שנשאר לך כבר ואם כן החשבון מכוון

Chapter Five: Gelosia	שער הכפל בסולם
	ציור נקרא סולם ויפה לשער הכפל גדול
The number of cells corresponds to the number of ranks of the multiplicands	וכמה שתרצה לכפול חשבון על חשבון כן עשה מניין הבתים
Number with three ranks by number with three ranks - three cells horizontally by three cells vertically	אם תכפול חשבון בן ג' מעלות על ג' מעלות כמו כן תצייר שליבות הסולם ג' בתים לארכה ולרחבה
Number with three ranks by number with two ranks - three cells horizontally by two cells vertically	ואם תכפל סך בן ג' אותיות על ב' אותיות עשה ג' בתים לרחבה וב' בתים לארכה
	וכן להיפך מלמעלה למטה אחד המרבה ואחד הממעיט ובלבד שיכווין לבו כל אות במקומו לפי הציור
$\scriptstyle321\times654$	דמיון אם תרצה לידע כמה כ"א וג' מאות פעמים נ"ד וגם ת"ר שרשימתו א'ב'ג' ד'ה'ו‫'
The multiplier is written in the top line and the multiplicand in the rightmost column	רשום למעלה על הבתים כאשר תראה בסולם שרשמתי והנכפול כתוב בצדו זה תחת זה כמצוייר
first line $\scriptstyle{\color{blue}{4\times1}}$	ובראשונה חשוב כמה ד' פעמים א' ויעלה ד' וכתוב אות בחצי הבית ראשון שמכוון תחת הא' וגם נגד הד‫'
Every cell is divided to two: the upper part is for the units of the interim product and the bottom part is for the tens	כי כל בית נחלק מחציתו העליון אחדים והתחתוני' עשיריים
$\scriptstyle{\color{blue}{4\times2}}$	ואחר כך חשוב כמה ד' פעמים ב' ויעלה ח' רשומיהו בחצי בית העליון שתחת ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\times3}}$	ואחר כך חשוב כמה ד' פעמים ג' ויעלה ב"א רשומיהו באותו בית שתחת הג' וכתוב ב' בחצי' בית העליון וא' בחצי השניי‫'
	ומעתה מחוק הד' כי היא נחשבת בכל חילוקים
second line $\scriptstyle{\color{blue}{5\times1}}$	מעתה תצטרך לחשוב ה' פעמים א' ויעלה ה' רשומיהו בבית שבצד הה' מכוון תחת הא‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{5\times2}}$	ואחר כך חשוב ה' פעמים ב' ויעלה 0"א רשומיהו בחצי בית התחתון בבית חמישי
$\scriptstyle{\color{blue}{5\times3}}$	ואחר כך חשוב ה' פעמים ג' ויעלה ה"א רשומיהו בבית ששי ה' בחצי העליון א' בחצי תחתון
	ומעתה מחוק ה‫'
third line $\scriptstyle{\color{blue}{6\times1}}$	והנה חשוב ו' פעמים א' ויעלה ו' רשומיהו בצדו מכוון בטור שתחת הא‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{6\times2}}$	ו' פעמים ב' כ"א רשומיהו בבית השמיני
$\scriptstyle{\color{blue}{6\times3}}$	ו' פעמים ג' היינו ח"א רשומיהו בבית האחרון
	והנה כפלנו כולה
	ואשכילך כמה יעלה סכום שלה קח אות ראשון שבבית ראשון שהיא ד' וכתביהו במקום מיוחד
	ואחר כך חשוב בשליבה שנייה בכל השיפוע מאות ח' עד אות ה' וצירוף אות הה' עם הח' ויעלה ג'א' הג' כתוב בצד הד' הנרשמת כבר כזה ד ג
	וגם הא' שהיא עשרה צרוף לשליבה שתחתיו וחבריהו אל הב' בתחילת שליבה שלישית ויעלה ג' וחבור אחר כך גם הו' שבסוף השיפוע ויהיה ט' רשומיהו אצל ד"ג כזה ד ג ט
	ואחר כך חשוב וצרוף אותיות שבשליבה רביעי' מראש ועד סוף ויעלה ט' כתוב ט' אצל דג"ט כזה ד ג ט ט
	והנה חשוב אותיות שבשליבה חמישית בשיפוע ויעלה צירופו עשרה
The tens in the sum of the interim products are added to the subsequent sum of interim products	וכבר אמרתי שלעולם העשירי מצטרף לשליבה שתחתיו ואין רושמין אותה בצד המיוחדין
If there are no units left in the sum - zero should be written in order to hold the rank	אבל תצטרך להשיב גלגל במקום העשרה לשמור המעלה הואיל ולא נשאר אפילו אחד לשמור המורה המעלה
	והנה כשתצטרף העשרה לא' שבשליבה אחרונה יעלה ב' וכתביהו בצד ד'ג'ט'ט' המיוחדים ויהיה כזה ד ג ט ט 0 ב
	זה מכוון חשבון של כפולת אב"ג על דה"ו
The checking method of the result is the same method as in the previous chapter on multiplication	ומאזנים שלו כמו שכתבתי לעיל בשער הכפל הגדול
$\scriptstyle464\times464$	ד'ו'ד' פעמים ד'ו'ד' עולה חשבונו ו'ט'ב'ה'א'ב' ודוק
	סליק שער הכפל

Multiplication - Check MS Mantova f. 69r	כשתרצה לידע משקל אם אתא שפיר כשיש לפניך הכפל
$\scriptstyle464\times464=215296$	כגו' א דוד פעם דוד כגו' ו'ט'ב'ה'א'ב' או כל כפלים אם הן שפיר או לאו
$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle4+6+4=14\equiv_95\\\scriptstyle4+6+4=14\equiv_95\end{cases}\scriptstyle\longrightarrow5\times5=25\equiv_97}}$	אז קח לפניך דוד במניין נמצא י"ד ואמ' כמה הוא יותר מט' נמצא ה' ותשליך הט' ממך ואמ' כמה ה' פעמי' ה' נמצא כ"ה ותשליך ממך כל הט' שבתוך כ"ה ויתר לך ז'
$\scriptstyle{\color{blue}{215296\equiv_97}}$	אז תשליך נמי ו'ט'ב'ה'א'ב' בט' אז ישאר לך ז' וכן תעשה לכל הכפולים שבעולם ודו"ק

Chapter Six: Division	שער החילוק
Dividing a large number into a few smaller numbers	והוא טוב לחלק חשבון גדול לכמה חשבונות קטנים
	ועתה ידוע תדע שאין כותבין בשער זה כמו בשער הכפל אות ראשונה משורה תחתונה נגד אות אחרונה משורה עליונה אלא כותבין שורה עליונה כפי מעלותיה ושורה תחתונה כמו כן כפי מעלותיה ויכוון אות אחרונה שבשורה תחתונה נגד אות אחרונה שבשורה עליונה
The digit in the highest rank of the dividend is smaller than the digit of the highest rank of the divisor - shifting the divisor to the lower rank to the right	ואם אות אחרונה שבשורה תחתונה יותר מאות אחרונה שבשורה עליונה אז יסיג שורה תחתונה מעלה אחת לאחוריה אלא א"כ דאותו שורה תחתונה יש בה יותר מאות אחת
The digit in the highest rank of the dividend is the same as the digit of the highest rank of the divisor and the divisor consists of one digit only - no need to shift the divisor to the lower rank to the right	אבל אם עלו שוות לא יסוג לאחריה אלא אם כן דאותו שורה יש בה יותר מאות אחת
Shifting the divisor to the lower rank to the right and dividing the dividend by it	וכשיש בה יותר מאות אחת יסיג כל השורה מעלה אחת לאחוריה ואז יכול לחלק אותיות עליונה על אותיות תחתונות
The place of the result of division	והחילוק שחילקו יכתוב נגד מעלה ראשונה שבשורה תחתונה הן אם אותו מעלה אות או גלגל
All the digits of the divisor should be subtracted from the dividend the same number of times as the digit in the highest rank is subtracted	וכשתחלוק ב' אותיו' פי' שהיו בשורה תחתונה ב' אותיות אז אין חילוק של שתיהם רק מנין אחד יהיה ג' אותיות או ד' וכן עד סוף כל הדורות וכל כך כמה פעמים שחלקת האות האחרונה מן החשבון כן תקח כל שאר אותיות ול"ד
Examples	ועתה אכתוב דמיונים למען יבין המבין ותן לחכם ויחכם עוד ויוסיף לקח
$\scriptstyle218\div7$	ועתה אתחיל בחילוק קטן אם ישאל השואל כמה פעמים ז' יש במאתים וי"ח
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{21\div7}}={\color{blue}{3}}}$  3  $\scriptstyle\longrightarrow$ 3  $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8\div7}}={\color{blue}{1}}+\frac{{\color{blue}{1}}}{7}}$ 31 218 218  8  1  7   7   7  7	הילך היאך תעשה כתוב המאתים וי"ח כזה
2 1 8	ב א ח
	והז' היה מן הדין לכתוב תחת הב' כדי לחלק הב' לז' ז' פי' למנה כמה פעמים ז' יש בב' אלא שאין הב' מגיע לחילוק של ז' לכן נסוג הז' לאחור כדי שתהא הב' במעלה שנייה לה ותעלה לנגדה עשרים ואחת כזה
2 1 8   7	ב א ח   ז
	ואותו עשרים ואחת תחלוק לז'ז' פי' מנה כמה פעמים ז' יש באחת ועשרים ונמצא שיש בהם ג' פעמים ז' אותו ג' כתוב למעלה על הא' שבשורה עליונה נגד ז' שבשורה התחתונה כזה
3   2 1 8   7	ג   ב א ח   ז
	ואחר כך מחוק הא"ב שמצאת בהם ג' פעמי' ז' ואחר כך סוג הז' מעלה אחת לאחוריה ויהיה תחת הח' כזה
3     8   7	ג     ח   ז
	ומנה כמה פעמי' ז' יש בח' ולא מצאת בה רק פעם אחת ז' ועוד יש א' יותר אז כתוב א' נגד הז' על הח' כזה והאחד העודפת כתוב במקום הח' כזה
3 1   1   7	ג א   א   ז
	נמצא ברי"ח יש ל"א פעמים ז' וישאר אחת וכן לעולם ועיין
Word problem: I have 10127 pazan(?) and I want to know how many zehuvim are they, if each [zahuv] is 15 pazan $\scriptstyle10127\div15$	דמיון אחר הנה יש לי עשרת אלפים פצין ומאה ועשרים ושבע פצין ואבקש לידע כמה זהובי' יש בתוכם שכל אחד יש ט"ו פצין
	והנה רשומיהו כזה
1 0 1 2 7	א 0 א ב ז
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-\left({\color{blue}{6}}\sdot1\right)}}={\color{blue}{4}}}$  6   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{40-\left(6\sdot5\right)}}={\color{blue}{1}}{\color{red}{0}}}$  6   10127 4127 1127  15    5	והנה רשום תחת זה הז'ב'א'0'א' החשבון ה'א' ואם תכתבהו תחת הסופיים כמחוייב נמצא א' תחת א' ולא ישאר לך דבר וא"כ מאין תקח ה'פעמים א' כי כמה פעמים שתקח אות אחת כמו כן תקח חבירתה כמו שכתבתי לעיל וא"כ סוג ה'א' אחור וכתו' א' תחת גלגל וכתו' ה' תחת א' שלפני גלגל ויהיה כזה
1 0 1 2 7   1 5	א 0 א ב ז   א ה
	והנה צריכין אנו לשער באם נקח הא' מהאותיות שעליו שגם יעדיף למצא הה' בעודף בחשבון הזה ואם תרצה לומר ליקח ט' פעמים מן י' א"כ לא ישאר רק אחד ותבא א' במקום גלגל ויהיה א"א ומעתה לא תוכל ליקח ט' פעמים ה' מן א"א וכן אם תקח ח' פעמים א' לא ישאר רק ב' ולא תוכל ליקח ח' פעמים ה' מן ב"א וכן אם תיקח ז' לא ישאר רק ג' ולא תוכל ליקח ז' פעמים ה' מן ג"א אלא קח ו' וישאר ד' כתוב ו' על הא' ויהיה כזה
6     4 1 2 7   5	ו     ד א ב ז   ה
	ואז תוכל ליקח ו' פעמים ה' מן א"ד וישאר לך מן הד' שהיא א' עשרה ואם כן כתוב א' במקום הד' ומחק ה' ויהיה כזה
6     1 1 2 7	ו     א א ב ז
[Illustration of the procedure:]  6   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{11-\left({\color{blue}{7}}\sdot1\right)}}={\color{blue}{4}}}$ 67  $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{40-\left(7\sdot5\right)}}={\color{green}{5}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{5}}={\color{blue}{7}}\end{cases}}$ 67  1127 427  77  15   5	ואחר כך בקשנו ליקח הא' מן החשבון הזה י' פעמים לא תוכל ליקח כמו שפירשתי וגם זה הכלל נקוט בידך לעולם לא תוכל ליקח י' רק ט' או ח' או ז' ולמטה לכן עשה כך: כתוב ה'א' תחת ב'א' כזה
6     1 1 2 7   1 5	ו     א א ב ז   א ה
	וקח ז' פעמים וישאר ד' שעודף י"א על ז' ד' וכתוב ז' למעלה נגד הה' תחתונה ומחק הא' תחתונה ומחק ג"כ הא'א' עליונה וכתב תחתיהן ד' כזה
6 7   4 2 7   5	ו ז   ד ב ז   ה
[Illustration of the procedure:] 67  $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7-\left({\color{blue}{5}}\sdot1\right)}}={\color{blue}{2}}}$ 675 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{27-\left(5\sdot5\right)}}={\color{blue}{2}}}$ 675  77  27   2  15   5  15	והנה קח ז' פעמים ה' מן ד' שבצידה דהיינו ל"ה וישאר ה' כי הד' היא במעלה שנייה מן הה' עולה ארבעים ועתה קח ממנה ל"ה וישאר ה' צרוף הה' אל הב' שלפניה ויהיה ז' כזה
6 7     7 7   1 5	ו ז     ז ז   א ה
	וקח ה' פעמים א' מן ז' כי ז' פעמים לא נוכל ליקח כמו שפי' לעיל שאז לא נוכל ליקח ז' פעמים או ו' פעמים ה' ודו"ק לכן קח ה' פעמי' וכתוב למעלה ה' בצד הז' נגד ה' תחתונה ויעדיף ב' אותו ב' כתוב במקום ז' כזה
6 7 5   2 7     5	ו ז ה   ב ז     ה
	והנה קח ה' פעמי' ה' מן ז"ב וישאר ב' שאינו מגיע לחשבון הא' וצורתו כזה
6 7 5     2	ו ז ה     ב
	נמצא מכוון שעשרת אלפים ומאה וכ"ז פצין עולה ה' זהו' וגם ת"ר זהו' ושני פצין
Checking Methods	ואם לבך מגמגם כפול העודף האחרון על ה'א' ויצא לך חשבון הראשון ששאלת
The checking method of division is multiplication and the checking method of multiplication is division	וזהו מאזני צדק על שער החילוק נמצא כפל מברר החילוק והחילוק מברר הכפל

• $\scriptstyle10127\div15$→ Check: $\scriptstyle15\times\left(675+\frac{2}{15}\right)$
  

[Illustration of the procedure:]

15	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{1\times6}}={\color{blue}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{1\times7}}={\color{blue}{7}}\\\scriptstyle{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}\end{cases}}$	6755	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{5\times6}}={\color{green}{3}}{\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{6+}}{\color{green}{3}}={\color{blue}{9}}\end{cases}}$	9755	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{5\times7}}={\color{green}{35}}\\\scriptstyle{\color{red}{5+}}{\color{green}{35}}={\color{green}{4}}{\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{7+}}{\color{green}{4}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{1}}\\\scriptstyle{\color{red}{9+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{10}}\end{cases}}$	10105	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{5\times5}}={\color{blue}{25}}}$	10125	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{5+2}}={\color{blue}{7}}}$	10127
675		675		75		5

	דמיון למאזנים כתוב ה'א' וכתוב תחתיו ה'ז'ו' הנשאר באחרונה חוץ מן הב' שלא הגיע לחשבון ט"ו אל תצטרף עמהן עד סופו חיבורו לאות ראשונה כזה
1 5 6 7 5	א ה ו ז ה
	כפול ו' על א' יעלה ו' כפול ז' על א' יעלה ז' כפול ה' על א' ויעלה ה' כזה
6 7 5 5	ו ז ה ה
	והנה כתוב ה'ז'ו' תחת ה' של ה'א' כזה
6 7 5 5   6 7 5	ו ז ה ה   ו ז ה
	כפול ו' על ה' ויעלה ל' חבור על ז' שעליו כמו שצויתיך בשער הכפול אם כן צריך אתה ליתן הג' אל הו' ויהיה ט' כזה
9 7 5 5     7 5	ט ז ה ה     ז ה
	ואחר כך כפול ז' על ה' ויעלה ה"ג ועליו ה' דהיינו 0"ד עשה גלגל במקום ה' ותן ד' לז' ויהיה א"א כתוב במקום ז"א ותן א' על הט' ויהיה י' אז צריך אתה לעשות גלגל במקום הט' ואחריו א' כזה
1 0 1 0 5         5	א 0 א 0 ה         ה
	ואחר כך כפול ה' על ה' ויעלה ה"ב כתוב ה' במקום ה' העליונה ואל תצטרף ה' ראשונה עליה כמו שצויתיך בשער הכפל ואחר כך כתוב ב' במקום גלגל כזה
1 0 1 2 5	א 0 א ב ה
	והנה חבר ב' שלא הגיע לכלל ט"ו אל הה' הראשונה ויהיה ז' ואז יהיה החשבון כזה
1 0 1 2 7	א 0 א ב ז
	והיינו כיון השאלה
	סליק שער החילוק
$\scriptstyle568\times568$→ Check: $\scriptstyle322624\div568$ [MS Paris1088, 5r-v]	ועוד אראה לך דומיון חושבתי מן חו"ה פעמי' חו"ה הכי
3 2 2 6 2 4	ג ב ב ו ב ד

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{32-\left({\color{blue}{5}}\sdot5\right)}}={\color{blue}{7}}}$	5	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{72-\left(5\sdot6\right)}}={\color{blue}{42}}}$	5	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{400-100}}={\color{blue}{3}}{\color{red}{00}}\\\scriptstyle{\color{red}{100-\left(5\sdot8\right)}}={\color{green}{6}}{\color{red}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{6}}={\color{blue}{8}}\end{cases}}$	5
322624		72624		42624		38624
568		68		8

	ורציתי לחלק אם חושבתי שפיר וכה תעשה תכתוב לפניך החשבון שעולה ממנה ותכתוב תחתיו חו"ה וצורתו כזה
3 2 2 6 2 4   5 6 8	ג ב ב ו ב ד   ה ו ח
	כי לא אתה יכול לחלק ה' מן ג' כי ג' לא מגיע אפי' פעם אחת לה' לפיכך סוג הה' לאחרי' ואז תאמר כמה פעמים ה' בב"ג זהו ה' פעמים אע"ג שיש לי לקח עוד פעם אחת ה' אלא מטעם זה אני לקח נוטל אות' ה' פעמים ולא יותר כי אם אני נוטל ו' פעמי' אז לא היה נשאר מן הב"ג אלא ב' ואז לא היה יכול לקח הו' מן חו"ה נמי ו' פעמי' מן ב"ב פי' מן כ"ב והדין בזה השער כי כמה פעמי' שתחלק האות ראשו' אז אתה עושה לכל האותיות לפי זה אני נוטל ה' פעמי' ואז נשאר ז' ואז אני יכול לנטול גם הו' ה' פעמים ואות' ה' תכתוב למעלה על הו' נגד הח' התחתונ' ונמחוק הב"ג ותכתוב במקומ' הז' וצורתו כזה
5     7 2 6 2 4   6 8	ה     ז ב ו ב ד   ו ח
	ושוב תחלוק הו' מן חו"ה נמי ה' פעמים מן ב"ז ואז נשאר לך ב"ד ותמחוק הז' ותכתוב במקו' ד' וצורתו כזה
5     4 2 6 2 4     8	ה     ד ב ו ב ד     ח
	ואז תחלוק הח' נמי ה' פעמי' מן ו'ב"ד פי' כ"ו ד' מאות אז תקח מאה מן הד' מאו' ועוד נשאר ג' מאות ואז קח מן המאה הח' פעם ה' וזהו 0"ד פי' מ' ועוד נשאר 0"ו ואותו ו' תשים על הב' ויהיה ח' וצורתו כזה
5     3 8 6 2 4	ה     ג ח ו ב ד

[Illustration of the procedure:]

5	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{38-\left({\color{blue}{6}}\sdot5\right)}}={\color{blue}{8}}}$	56	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{86-\left(6\sdot6\right)}}={\color{blue}{50}}}$	56	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{500-100}}={\color{blue}{4}}{\color{red}{00}}\\\scriptstyle{\color{red}{100-}}{\color{green}{50}}={\color{blue}{5}}{\color{red}{0}}\\\scriptstyle{\color{green}{50-}}{\color{red}{\left(6\sdot8\right)}}={\color{green}{2}}{\color{red}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{2}}={\color{blue}{4}}\end{cases}}$	56
38624		8624		5024		4544
568		68		8

	נמשוך חו"ה לאחריה תחת הב' וצורתו כזה
5     3 8 6 2 4   5 6 8	ה     ג ח ו ב ד   ה ו ח
	ואז תאמר כמה פעמי' ה' בח"ג ויעלה ו' ועוד נשאר ח' ותמחוק הג' שאחר הח' והו' העולה מן הח"ג תכתו' על הב' בשור' עליונ' נגד הח' שלמטה וצורתו כזה
5 6   8 6 2 4   6 8	ה ו   ח ו ב ד   ו ח
	ואז תקח הו' נמי ו' פעמי' מן ו"ח פי' מן פ"ו ועשה הכי תקח ה"ג פי' ה"ל מן ה"ח ואז נשאר נ' וקח הו' שלפני הח' ושים במקומ' גלגל כי ו' פעמי' ו' זהו ו"ג וצורתו כזה
5 6   5 0 2 4     8	ה ו   ה 0 ב ד     ח
	ותמחוק הו' של חו"ה כמו שציירתי ושוב קח הח' נמי ו' פעמים מן ה' מאות ואז שוב עשה הכי קח מאה מן הה' מאות ועוד נשאר ד' מאות וקח מן המאה ח' פעמי' ו' וזהו ח"ד פי' מ"ח ואז קח מן המאה נ' ואז נשאר נ' ואות' נ' תכתו' במקו' הגלגל שלפני הד' ועוד יש ב' יותר שאני צריך אלא מ"ח ואני לקחתי נ' ואות' ב' תשים על הב' של אחר הד' הראשונ' ונמחוק הח' מן חו"ה וצורתו כזה
5 6   4 5 4 4	ה ו   ד ה ד ד

[Illustration of the procedure:]

56	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{45-\left({\color{blue}{8}}\sdot5\right)}}={\color{blue}{5}}}$	568	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{54-\left(8\sdot6\right)}}={\color{blue}{6}}}$	568	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{64-\left(8\sdot8\right)}}={\color{blue}{0}}}$	568
4544		544		64
568		68		8

	נמשוך חו"ה לאחריה תח הח' תחת הד' והו' תחת הד' השניי' והה' תחת הה' וצורתו כזה
5 6   4 5 4 4   5 6 8	ה ו   ד ה ד ד   ה ו ח
	ואז תאמר כמה פעמי' ה' בה"ד פי' מ"ה ויעלה ח' פעמי' ואות' ח' תכתו' למעלה על הד' נגד ח' התחתונ' ועוד נשאר ה' ותמחוק הד' שאחר הה' ותמחוק הה' של חו"ה וצורתו כזה
5 6 8 5 4 4   6 8	ה ו ח ה ד ד   ו ח
	ושוב נחלק הו' נמי ח' פעמים מן ד"ה פי' מן נ"ה וע ועשה הכי קח מן הנ' ח' פעמי' ו' ועוד נשאר ב' כי ח' פעמי' ו' זהו ח"ד פי' מ"ח ועוד נשאר ב' ואות' ב' תשים על הד' שלפני הה' והוה ו' וצור ונמחק ו' של חו"ה והה' אחר הד' וצורת' כזה
5 6 8   6 4     8	ה ו ח   ו ד     ח
	ואז תאמר ח' פעמי' ח' וזהו ד"ו פי' ס"ד סליק דומיון של שער החילוק
	נמצא כשחלקתי חו"ה מן ד'ב'ו'ב'ב'ג' אז לא נשאר מאומה
	וכן בכל מקום אשר אתה מחשב דבר השוה כגו' ח'ו'ה' פעמי' ח'ו'ה' או דו"ד פעמי' דו"ד וכשתחלק ממנ' אות' שחשבת ולא נשאר לך מאומה אז החשבון אמת ודו"ק ותמצא
	ועוד אראה לך דומיון שאינ' חשבון שוה כגו' א"ב פעמי' ה"ד
	ואז אתה לא עושה כדרך זה קח חד מן הפרטות הא"ב או הה"ד ותחלק מן החשבון ואז עולה הפרט השיני ודו"ק
$\scriptstyle45\times21$→ Check: $\scriptstyle945\div45$ [MS Paris1088, 6r]	דומיון חשבנו ה"ד פעמים א"ב ועולה ממנ' כזה
9 4 5	ט ד ה
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-\left({\color{blue}{2}}\sdot4\right)}}={\color{blue}{1}}}$  2  $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{14-\left(2\sdot5\right)}}={\color{blue}{4}}}$ 2  945 145 45 45   5	ואז נחלק אם חשבנו אמת אז קח הכלל העולה ותכתוב תחתיו חד פרט ותאמר כמה פעם זה הפרט בזה הכלל אז עולה הפרט השני' והילך צורתו אשר תכתביהו הכלל ותחתיו הד פרט איזה שתרצה ועת' נרא' קח הכלל ה' ד' ט' ותכתוב תחתיו הפרט ה"ד וצורתו כזה
9 4 5 4 5	ט ד ה ד ה
	ותאמר כמה פעמים ד' בט' נמצא ב' פעמי' ולא יותר אות' ב' תכתוב על הד' נגד הה' שלמט' ותמחוק הט' ותכתוב במקומ' א' ואז קח ותמחוק ד' תחתונ' וצורת' כזה
2   1 4 5   5	ב   א ד ה   ה
	ואז קח הה' נמי ב' פעמי' מן ד"א ונשאר הד' ונמחוק הא' והה' שלמט' וצורתו כזה
2   4 5	ב   ד ה
[Illustration of the procedure:] 2  $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4-\left({\color{blue}{1}}\sdot4\right)}}={\color{blue}{0}}}$ 21 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-\left(1\sdot5\right)}}={\color{blue}{0}}}$ 21 45  5 45  5	ואז תמשוך הה"ד מעלה אחת לאחריה הה' תחת הה' והד' תחת הד' וצורתו כזה
2   4 5 4 5	ב   ד ה ד ה
	ואז תאמר כמה פעמי' ד' בד' נמצא רק א' ואות' א' תכתו' על השני ה' קודם הב' וצורתו כזה ונמחק השני ד' כזה
2 1   5   5	ב א   ה   ה
	ואז תאמר תקח הה' נמי א' פעם אז לא נשאר לך מאומה נמצא כשחלקתי חד פרט אז עולה הפרט השיני וכן תמצא בכל פעם אשר אתה מחלק
$\scriptstyle218\div7$→ Check: $\scriptstyle\left(31+\frac{1}{7}\right)\times7$ [MS Paris1088, 6r]	והילך שער טוב לראות אם חלקתי אמת וטוב מאד מאד ואראה לך דומיון רציתי לחלק כמה פעם ז' בב' מאות וי"ח כאשר נחלק כבר בתחילת שער החילוק והוה עולה [א"ג] ונשאר א' ואז ראה אם חלקתי אמת
[Illustration of the procedure:] 31 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\sdot7}}={\color{blue}{21}}}$ 211 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\sdot7}}={\color{blue}{7}}}$ 217 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7+1}}={\color{blue}{8}}}$ 218 7    7	קח הז' שחלקתי ושים אותה תחת הג' [‫כזה‫]
3 1 7	ג א ז
	ותאמר כמה ז' פעמים ג' זהו כ"א א"ב פי' כ"א
2 1 1     7	ב א א     ז
	ואז קח הז' ושים אות' תחת הא' ותאמ' ז' פעמי' א' זהו ז' ואות' ז' תכתו' קודם הא"ב שעולין מן ג' פעמי' ז' כזה
2 1 7	ב א ז
	ואז קח הא' שלא חלקת לז' ושים עתה על ה ז' שעולה השת' מן א"ג פעם ז' ויהיה ויהיה ח' וצורתו כזה
2 1 8	ב א ח
	נמצא כשלקחתי הח'א'ב' וחלקתי ממנ' כמה פעמי' ז' ועולה א"ג ונשאר א' ואז לקחתי הא"ג וזרקתי ג' ל[...] הז' וחשבתי כמה פ' ז' פעמים א"ג ועולה ממנ' זא"ב ואז לקחתי הא' שנשאר כבר וזרקתי על זה הז' והוה ח' כמו נמצא ח'א'ב' כמו בראשון

Chapter Seven: Proportions	שער הערכין
The purpose of this chapter - deducing and estimating a thing from another thing	הילך שער נכבד הנקרא שער הערך אשר לכולא עלמא צריך למנות ולחשוב ולהחכים ולהשכיל ולדעת ולהבין דבר מתוך דבר ולהעריך דבר אחר דבר ולעמוד על יסודו ועל בוריו
Estimating the price of a small amount of goods based on the given price of a larger amount of the same goods	כיצד אם לקחת מקח גדול בדמים מרובים ואתה רוצה להעריך מקח קטון לפי אותן דמים פי’ כמה מגיע מן הדמים למקח הקטון שקנית
Estimating the price of a large amount of goods based on the given price of a smaller amount of the same goods	או להפך שקנית מקח קטון בדמים מועטים ואתה תרצה להעריך מקח גדול אחריו
The procedure:	הילך היאך תעשה ותמנה ותעריך
Calculating the price of a small amount of goods based on a given price of a larger amount of the goods:	תכתוב המקח הגדול וסכום הדמים מן הגדול תכתוב תחת המקח הגדול ואחר כך כתוב המקח קטון תחת הסכום
$\scriptstyle\frac{\left(price\ of\ large\ amount\ of\ goods\right)\times\left(small\ amount\ of\ goods\right)}{large\ amount\ of\ goods}$	וכפול דמי המקח הגדול אשר כתבת למעלה אחר המקח הגדול על מניין המקח הקטון והעולה קח בידך ותחלוק אותו בשער החילוק על המקח הגדול ומה שיעלה בידך כך ערך המקח הקטן
If there is a remainder - the price is represented by [an integer and] fractions	ואם יותר לך חלקים שלא יעלה לחלק המבוקש אז תאמר עוד נשאר לי חלקים כך וכך שסכום כך וכך עולה לחלק א' המבוקש
Calculating the price of a large amount of goods based on a given price of a smaller amount of the goods:	ואם להיפך שאתה רוצה להעריך חשבון מקח גדול אחר חשבון מקח קטן אז כתוב חשבון הקטן למעלה ואחריו כתוב דמים הידועים לאותו מקח לחשבון הגדול כתו' למטה תחת דמיו של חשבון הקטון
$\scriptstyle\frac{\left(price\ of\ small\ amount\ of\ goods\right)\times\left(large\ amount\ of\ goods\right)}{small\ amount\ of\ goods}$	וכפול חשבון הגדול על דמים הידועים של מקח הקטון והעולה תחלק בשער החילוק על המקח הקטון כדלעיל
The writing rule of the calculation procedure: the given amount of goods its price the amount of goods of which the price is unknown	זה הכלל: המקח אשר ידעת כתוב תחילה ואחר כך כתוב דמיו ואחר כך המקח אשר בקשת לידע ולהעריך ותכפול ואחר כך תעריך כמו שצויתיך
Word Problems
Now I will write two or three examples so you may understand and become wise.	ועתה אכתוב לך ב' או ג' דמיונות כדי שתוכל להבין ולהשכיל
Pricing Problems - Find the Price
A man who asks you: I bought 70 cubits of cloth for 40 dinar, how much will 55 cubits cost? $\scriptstyle\frac{70}{40}=\frac{55}{X}$	איש אשר ישאלך הנה קניתי ע' אמות בגד בעד מ' דינרין כמה מגיע לנ"ה אמות
First write 70 cubits, then the price of the bargain, and then the 55 cubits, whose price you wish to know, as this:	אז תכתוב תחילה ע' אמות ואחר כך דמי המקח ואחר נ"ה אמות אשר בקשת לידע עירוכיהן כזה
70 40 55	‫0ז ‫0ד הה
Multiply 55 by 40 and the result is 2200, as this:	וכפול נ"ה על מ' ועולה הוא ב' אלפים וב' מאות כזה
2 2 0 0	ב ב ‫0 ‫0
Then, divide 2200 by 70, meaning, divide according to the chapter of division: how many times 70 is in it? The division is 31 times 70 and 30 smaller parts of which 70 are a whole, i.e. a dinar.	ואחר כך תחלק ב' אלפים וב' מאות לע'ע' פי' חלוק בשער החילוק כמה פעמים ע' יש בהן והחילוק הוא ל"א פעמים ע' ועוד ל' חלקים קטנים שע' מהם הם חלוק שלם דהיינו דינר
We find the question that you were asked: when 70 cubits were bought for 40 dinar, how much will 55 cubits cost? [is solved by:] 31 dinar and 30 parts of which 70 are one dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{55\sdot40}{70}=\frac{2200}{70}=31+\frac{30}{70}}}$ dinar	נמצא השאלה ששואל לך כשקנה ע' אמות עבור מ' דינרין כמה מגיע לנ"ה אמות ל"א דינרין ועוד ל' חלקים שע' עושין חלק שלם שהוא דינר
Check: If you think: where it is proven and where we are told it is so? Lest the ratio is not as you had calculated.	ואם תעלה על דעתך מאן מוכח ומאן לימא לן שכך הוא שמא הערך אינו כמו שחשבת
Think about the 15 cubits that exceed the 55, for from 55 to 70 there are 15. $\scriptstyle{\color{blue}{70-55=15}}$	אז צא וחשוב ט"ו אמות העודפים על נ"ה כי מן נ"ה עד ע' יש ט"ו
Evaluate: how much will 15 cubits cost, when 70 cubits are bought for 40 dinar? $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{70}{40}=\frac{15}{y}}}$	ותעריך כמה מגיע לט"ו אמות כשע' אמות באו עבור מ' דינרין
Here is how you do it:	והילך היאך תעשה
Write 70 cubits, then 15 cubits, as this:	כתוב ע' אמות ואחר כך ט"ו אמות כזה
70 40 15	‫0ז ‫0ד הא
Multiply 15 by 40, meaning: think how much is 15 times 40? The result is 600	וכפול ט"ו על מ' פי' חשוב כמה ט"ו פעמים מ' ועולה ו' מאות
Divide 600 to 70, meaning: count how many times 70 is in 600? The result is eight times 70 and 40 parts remain, of which 70 are a whole, meaning one dinar.	ואחר חלוק ו' מאות לע"ע פי' מנה כמה פעמים ע' יש בו' מאות ויעלה שמונה פעמים ע' ועוד ישארו מ' חלקים שע' מהם עושין חלק שלם פי' דינר אחד
We find that when you buy 70 cubits for 40 dinar, 15 cubits are cost 8 dinar and 40 parts of which 70 are one dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{15\sdot40}{70}=\frac{600}{70}=8+\frac{40}{70}}}$ dinar	נמצא כשקנית ע' אמות בעד מ' דינרין מגיע לט"ו אמות ח' דינרין ומ' חלקים שע' מהם עושין דינר שלם
Above we calculated that 55 cost 31 dinar and 30 parts of which 70 are one dinar. Now sum the prices together: 31 dinar and 8 dinar are 39 dinar; sum the 40 parts that remain for the 15 cubits with the 30 parts that remain for the 55, they are 70, i.e. a whole dinar. Add this dinar to the 39 and they are 40. We find that 55 cubits and 15 cubits cost 40 dinar. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(31\frac{30}{70}\right)+\left(8+\frac{40}{70}\right)&\scriptstyle=\left(31+8\right)+\left(\frac{30}{70}+\frac{40}{70}\right)\\&\scriptstyle=39+\frac{70}{70}\\&\scriptstyle=39+1=40\\\end{align}}}$	ולמעלה חשבנו שמגיע לנ"ה אמות ל"א דינרין ול' חלקים שע' מהם עושין דינר שלם עתה חבור הערך יחד ל"א דינרין וח' דינרין הרי ל"ט דינרין ומ' חלקים הנותרים בט"ו אמות ול' חלקים הנותרים בנ"ה צרפם יחד ויהיה ע' דהיינו דינר שלם תן אותו דינר עם הל"ט ויהיה מ‫' נמצא שנ"ה אמות וט"ו אמות באו בעד מ' דינרין
Sum 55 and 15, it is 70. $\scriptstyle{\color{blue}{55+15=70}}$	צרוף נ"ה וט"ו ויהיה ע‫'
We find that now you know and understand that you calculated rightly and correctly.	נמצא שעכשיו אתה יודע ומבין שחשבת כדין וביושר ול"ד ע"א
Another example: If a person asks you: I bought 100 barrels for 90 liṭra, how much will one barrel cost? $\scriptstyle\frac{100}{90}=\frac{1}{X}$	דמיון אחר אם ישאלך אדם הנה קניתי ק' חבית בעד צ' ליטרות כמה מגיע לחבית אחת
First write 100 barrels, then their price, i.e. 90 liṭra and beneath the 90 liṭra write one barrel, like this:	אז כתוב תחילה ק' חבית ואחר כך דמיהם דהיינו צ' ליטרות ותחת צ' ליטרו' כתוב החבית האחד כזה
100 90 1	‫00א ‫0ט א
Multiply the bottom 1 by 90 that is above it, 1 times 90, the result is 90. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot90}{100}=\frac{90}{100}}}$	וכפול א' התחתונה על צ' שלמעלה הימנה א' פעמים צ' יעלה צ'
Then divide the 90 by 100, meaning: how many times 100 is in 90? You will not get even one time 100. On the contrary, you are missing ten and this is the price of one barrel: 90 parts of which 100 are one liṭra.	ואחר כך תחלק אותו צדיק לק"ק פי' כמה פעמים ק' יש בצ' ולא תשיג ידך אפי' פעם אחת ק' אדרבה חסר לך עשרה וזה הערך המגיע לחבית אחד צדיק חלקי' שק' מהן עולין ליטרו‫'
This our teacher R. Wiesel found in another book, in these words.	זה מוצא מהר"ר וייזל בספר אחר וזה לשונו
In my opinion there is no need for this premise, as a person does not think of dividing 90 parts of which 100 are a whole.	ולפי דעתי שאין צריך לטעם זה כי אין מחשבתו של אדם לחלק צ' חלקים שק' מהן חלק א'
The premise that is more appropriate, in my opinion, in the Gentile calculations also, is as I will write below concerning the question "100 barrels for 90 liṭra, how much will one [barrel] cost?"	וזה הטעם ראוי יותר בעיני גם חשבונות של גוים נמי כזה שאכתוב הנה שאלת ק' חבית בעד צ' ליטרו' כמה מגיע לאחד
Write like this:	כתוב כזה
100 90 1	‫00א ‫0ט א
Think in your mind: how many pešuṭim there are in 90 liṭra, if in one liṭra there are 20 pešuṭim?	חשוב בדעתך כמה פשוטים יש בצ' ליטרו' אם היה בליטר' כ' פשוטים
Multiply 20 times 90, the result is 1800, as this:	חשוב כ' פעמים צ' ויעלה ח' מאות ואלף כזה
1 8 0 0	א ח ‫0 ‫0
Think according to the chapter of division: how many times 100 is in 1800? You will find 18 times exactly and so is the price: 18 pešuṭim for one barrel. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot\left(90\sdot20\right)}{100}=\frac{1800}{100}=18}}$	חשוב בשער החילוק כמה פעמים מאה יש באלף וח' מאות ותמצא י"ח פעמים מכוון כך היא החשבון י"ח פשיטי' לחבית אחד
And if you have small parts remaining, say: such and such parts, of which so and so are a whole, meaning one pašuṭ.	ואם ישארו לך חלקי' קטנים אמור כך וכך חלקים שכך וכך עולה לחלק שלם פי' פשי' ודוק ע"א
We wish to evaluate:	הנה בקשנו להעריך
If a person asks: I bought 19 cubits of cloth for 13 dinar, how much will 13 cubits cost? $\scriptstyle\frac{19}{13}=\frac{13}{X}$	אם ישאל אדם קניתי י"ט אמות בגד עבור י"ג דינרין כמה מגיע לי"ג אמות
Evaluate as follows:	אז תערוך כך
First write 19 cubits, then their price, i.e. 13 dinar, then 13 cubits, like this:	וכתוב תחילה י"ט אמות אחר כך דמיו דהיינו י"ג דינרין ואחר כך י"ג אמות כזה
19 13 13	טא גא גא
Multiply 13 above by 13 below, meaning: calculate how much is 13 times 13, you will find that the result is 169, as this:	וכפול י"ג שלמעלה על י"ג שלמטה פי' מנה כמה עולה י"ג פעמים י"ג ותמצא שיעלה קס"ט כזה
1 6 9	א ו ט
Then, divide 169 by 19, meaning: how many times 100 is in 1800? You will find that there are 8 times 19 in it and 17 parts remain, of which 19 are one whole.	ואז תחלק קס"ט לי"ט י"ט פי' כמה פעמים י"ט יש בקס"ט ותמצא שיש בו ח' פעמים י"ט ונשארו י"ז חלקים שי"ט מהן עולה חלק אחד
This is the price of 13 cubits: when 19 cubits are bought for 13 dinar, 13 cubits cost 8 dinar and 17 parts, of which 19 are one whole, i.e. one dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{13\sdot13}{19}=\frac{169}{19}=8+\frac{17}{19}}}$ dinar	וזה הערך המגיע לי"ג אמות כשקונין י"ט אמות בעד י"ג דינרין אז מגיע לי"ג אמו' ח' דינרין וי"ז חלקים שי"ט מהן עושין חלק שלם דהיינו דינר אחד ול"ד
Likewise, if you wish to evaluate a large amount of merchandise through a small amount of merchandise, I will teach how:	וכן אם תרצה להעריך מקח גדול אחר מקח קטן אשכילך היאך
I bought 21 cubits of cloth for 43 dinar, how much will 65 cubits cost? $\scriptstyle\frac{21}{43}=\frac{65}{X}$	הנה קנית כ"א אמות מ"ג דינרין כמה מגיע לס"ה אמות
First write 21 cubits, then 43 dinar, then 65 cubits that you wish to evaluate, like this:	כתוב בתחילה כ"א אמות ואח"כ מ"ג דינרין ואחר כך ס"ה אמות אשר בקשת לערוך כזה
small amount of merchandise 21 price 43 large amount of merchandise 65	מקח קטן אב מעות גד מקח גדול הו
Multiply 65 by 43, meaning how much is 43 times 65, the result is 2795.	וכפול ה"ו על ג"ד פי' כמה עולה ג"ד פעמים ה"ו ויעלה ה'ט'ז'ב‫'
Then, divide 2795 according to the chapter of division: how many times 21 is [in it]? You find that there are 133 times 21 in it and 2 parts remain, of which 21 are one whole, i.e. one dinar.	ואחר כך חלוק ה'ט'ז'ב' בשער החילוק כמה פעמים א"ב יש ותמצא גג"א פעמים א"ב שיש בהן ועוד נשארו ב' חלקים שא"ב מהן עושין חלק שלם דהיינו דינר
We find that if you bought 21 cubits for 43 dinar, 65 cubits cost 133 dinar and 2 parts, of which 21 are one dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{65\sdot43}{21}=\frac{2795}{21}=133+\frac{2}{21}}}$	נמצא אם קנית א"ב אמות בעד ג"ד דינרין מגיע לה"ו אמות ג'ג'א' דינרין וב' חלקים שא"ב מהן דינר שלם
Check: If you wish to know if you calculated correctly or not.	ואם תרצה לידע אם אמת חשבת אם לאו
See by how much 65 exceeds 21, i.e. by 44. $\scriptstyle{\color{blue}{65-21=44}}$	ראה כמה ה'ו' עולה יותר מן א'ב' היינו ד'ד‫'
	השלך ד"ד בשער הכפל על ג"ד פי' ג"ד פעמים ד"ד דהיינו ב'ט'ח'א‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{44\sdot43}{21}=\frac{1892}{21}=90+\frac{2}{21}}}$	ואחר כך חלקהו בשער החילוק כמה פעמים שיש בהם א"ב נמצא 0"ט פעמים ועוד נשאר ב' חלקים קטנים שא"ב מהן חלק אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{43+\left(90+\frac{2}{21}\right)=133+\frac{2}{21}}}$	חבור 0"ט וב' חלקים קטנים על ג"ד דהיינו דינרין השייכי' לא"ב אמות ויהיה גג"א וב' חלקים קטנים כזה
133 2 43 90	גגא ב גד ‫0ט
	והיינו כוונת החשבון ול"ד ודוק

Boiling Problem
Question: you have 50 se'ah [1 se'ah = ca. 22 liter], and you say: when I boil them on fire, while boiling 7 se'ah evaporate each day, if 5 se'ah overflowed, and we reduce the heat accordingly, how much will be evaporated from the remaining 45 se'ah each day? $\scriptstyle\frac{50}{7}=\frac{50-5}{X}$ $\scriptstyle\frac{50}{7}=\frac{45}{X}$	שאלה היוצא משער הערך הזה הנה לפניך נ' סאין ועתה שואלין אם נשפכו ה' סאין ואינו ממעטי' האור לפי זה כמה יחסרו מה' סאין הנותרות ביום אחד
	הילך היאך תעשה
First write 50 se'ah, then write 7 se'ah that evaporate each day and beneath the 7 se'ah write the remaining 45 se'ah, like this:	כתוב תחילה נ' סאין ואחר כך כתוב ז' סאין הנחסרים ביום אחד ותחת ז' סאין כתוב מ"ה סאין הנותרות כזה
50 7 45	‫0ה ז הד
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{45\sdot7}{50}=\frac{315}{50}=6+\frac{15}{50}}}$	וכפול מה שלמטה על ז' שלמעלה הימנה פירו' חשוב כמה עולה מ"ה פעמים ז' ויעלה שט"ו חלק אותו לנ'נ' פי' חשוב כמה פעמים נ' יש בשט"ו ותמצא בו ו' פעמים נ' ועוד נשארו ט"ו חלקים שנ' מהן עושה חלק שלם נמצא כשנ' סאין יחסרו ז' סאין ביום אחד מ"ה סאין יחסרו ו' סאין וט"ו חלקים שנ' מהן עושה חלק שלם
Question: there are 91 se'ah of water, when boiling on fire 9 se'ah evaporate each day, if we add to them 11 se'ah more, so there are now 102 se'ah and we increase the heat accordingly [...] how much will be evaporated from the 102 se'ah each day? $\scriptstyle\frac{91}{9}=\frac{91+11}{X}$ $\scriptstyle\frac{91}{9}=\frac{102}{X}$	עוד שאלה אם ישאל השואל הנה יש צ"א סאין מים ואם יתבשלו על האור יחסרו ביום א' ט' סאין ואם נוסיף עליהן עוד י"א סאין שיהיה הכל ק"ב סאין ואנו מרבים את האש לפי זה שאם לא היינו מרבים את האש אז לא היו המים מתמעטים וחסרים לפי חשבון זה כי האור אינו שולט כל כך כשהמים הרבה כמו שאם היו המים מעט לפיכך כשמרבים מים אז צריכי' להרבות אש או אם מתמעטים המים צריכין למעט האש נחזור לשאלה ששאלנו כמה יחסרו ק"ב סאין ביום אחד כשצ"א סאין חסירין סאין
	הילך היאך תעשה
First write 91 se'ah, then write 9 se'ah, then 102 beneath, like this:	כתוב תחילה צ"א סאין ואחר כך ט' סאין ולאחר כך ק"ב למטה כזה
91 9 102	אט ט ב0א
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{102\sdot9}{91}=\frac{918}{91}=10+\frac{8}{91}}}$	וכפול ק"ב שלמטה על ט' שלמעלה פי' כמה ט' פעמים ק"ב ויעלה תתקי"ח תחלק תתקי"ח לצ"א פי' כמה פעמים צ"א יש בתתקי"ח והיינו י' פעמים צ"א וח' חלקים קטני' שצ"א מהן עושה חלק שלם נמצא כשצ"א חסרין ביום אחד ט' סאין יחסרו ק"ב י' סאין וחלקים שצ"א מהן עושה חלק שלם והמאזנים על זה כמו שכתבתי לעיל עם הבגדים
Note: the boiling water problems are similar to the pricing problems therefore their solving method and checking procedure are similar	זה הכלל זה השאלות עם המים כמו השאלות עם הבגד לכן יש להם מאזני צדק אחד וחשבון אחד ול"ד
	והרבה חכמות ושאלות יוצאין משער זה אשר לא יוכל הסופר לספר ועתה אפרש קצת מהם ובזה אתחיל ואומר

Find a Quantity Problems - Whole from Parts
A tree - a half of it is [ingrained] in the soil, a third of it is in the water, and 5 cubits of it are up above the water, how much is the length of the whole tree? $\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+5=X$	הנה לך אילן שחציו בארץ ושלישיו במים ומעל המים הוא גבוה ה' אמות כמה אורכה של כל האילן
$\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=3-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=1}}$	הילך היאך תעשה ותבין העניין חשוב כל כך איזה חשבון הקרוב שיכולין לחלק לב' חלקים ולג' חלקים זהו ו' חסר מן ו' החצי' וישאר ג' חסר ג"כ השליש וישאר א' אותו א' כתוב בצד שמאל אצל א' כתוב ו' ותחת א' כתוב ה' אמות כזה
6 1   5	ו א   ה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot6}{1}=\frac{30}{1}=30}}$	וכפול ה' שתחת א' על ו' אצל א' בשיטה עליונה פי' מנה כמה עולה ה' פעמים ו' והעולה הוא ל' אותו ל' תחלק לא'א' פי' מנה כמה פעמים א' יש בל' ודבר ידוע לכל שיש בל' ל' פעמים א' וזהו אורך האילן אשר שאלת אם חציו בארץ ושליש עומד במים ומעל לארץ הוא ה' אמות ושאלת כמה ארכו הנה ארכו ל' אמות ודמיון כזה
3 0	ג ‫0
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(\frac{1}{2}\sdot30\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot30\right)=30-15-10=30-25=5}}$	ואם אתה ירא שמא אינו כך אז קח רומח שארכו ל' אמות חסר ממנו ט"ו זהו חציו אחר כך חסר ממנו שליש זהו עשרה עשרה וט"ו הרי כ"ה נמצא שאין נשאר כי אם ה' אמות
	דמיון אחר למען ירוץ הקורא בו ויבן מעלותיו וטובו והוא שאלה ששואלין
A lance is embedded one third, a quarter, and one fifth in the earth, and it is 7 cubits above the earth, how much is the length of the whole lance? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+7=X$	והנה לך רומח שעמד השליש והרביעי והחומש בארץ ולמעלה מן הארץ ארכו ז' אמות כמה ארכו של כל הרומח
$\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=60-20-15-12=60-47=13}}$	אז חשוב שיש בו שליש ורביעי וחומש וזהו שיכולי' לחלק לג' לד' לה' חסר מן ס' שליש זהו כ' חסר כמו ג"כ רביעי זהו ט"ו חסר ג"כ החמישי והוא י"ב סך הכל מ"ז עוד נשאר לך מן ס' י"ג אז כתוב תחילה י"ג שנשאר לך ואת י"ג כתו' בצדו רחוק מעט ס' ותחת י"ג כתוב ז' אמות ויהיה כזה
60 13   7	‫0ו גא   ז
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{7\sdot60}{13}=\frac{420}{13}=32+\frac{4}{13}}}$	כפול ז' שלמטה על ס' שבשיטה עליונה פי' חשוב ומנה כמה פעמים עולה ז' פעמים ס' ויעלה ת"ך תחלק ת"ך לי"ג פי' חשוב כמה י"ג יש בת"ך ותמצא שיש בו ל"ב פעמים י"ג ועוד נשארו ד' שלא יכולנו לעשו' מהם י"ג והם ד' חלקים שי"ג מהן עושין חלק שלם נמצא שהרומח ששאלת בשליש וברביעי ובחומש בארץ ולמעלה מן הארץ ז' אמות ארכו וששאלת כמה אורך של כל הרומח ל"ב אמות וד' חלקים שי"ג מהן חלק שלם ודוק
Another question: a wall whose base is buried 5 cubits in the ground, and it is a half, one third, and a seventh up above the ground, how much is the height of the whole wall? $\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{7}X+5=X$	שאלה אחרת הנה חומה שיסודה שקוע בארץ ה' אמות ולמעלה מן הארץ היא גבוה החצי' והשליש והשביעי כמה גבהו של כל החומה
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot7=2\sdot21=42}}$	אז חשוב איזה חשבון שיכול לחלק לב' לג' לז' בקל לפי רגע והנה לך דרך היאך תעשה אותו חשבון המתחלק לב' לג' לז' מנה ז"פ ג' באה כ"א כ"א פעמים שנים הרי הן מ"ב הרי מ"ב מתחלק לשנים לשליש ולשביעי
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot7=\left(6\sdot6\right)+6=36+6=42}}$	או כלך לדרך זו והכל אחד ב' פעמים ג' הרי ו' ו' פעמים ו' הרי ל"ו וכבר היו לך ו' צרוף ו' עם ל"ו הרי מ"ב הוא
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot7=6\sdot7=42}}$	או נלך לדרך זו והכל אחד חשוב בפ"ג הרי ו' ו'פ"ז הרי מ"ב נמצא שמ"ב הוא
Finding the least common multiple:	וכן לעולם כשישאלך דבר המתחלק לשביעי ולתשיעי ולעשירי או לכל דבר המתחלק אז כפול אותו חילוק על האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot9}}$	כגון אם שאל דבר המתחלק לעשרה ולתשעה אז כפול י' על ט' פי' מנה כמה עולה י' פעמים ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5}}$	ואם ישאלך דבר המתחלק לחמישי ולרביעי או למאות או לאלפים או לכל דבר המתחלק לג' לד' לה' אז כפול תחילה ג' על ד' והעולה כפול על ה' או איפכה כפול ה' על ד' והעולה בידך כפול על ג‫'
	ועתה נחזו' לשאילתינו דלעיל החומה אשר היא חצי' ושלישית ושביעית גבוה מן הקרקע ויסודה שקועה בקרקע ה' אמות כמה גובה של כל החומה
$\scriptstyle{\color{blue}{42-\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot42\right)-\left(\frac{1}{7}\sdot42\right)=42-21-14-6=42-41=1}}$	נמצא ששאלנו על דבר המתחלק לב' לג' לז' זהו מ"ב ועתה סור מן מ"ב החצי' זהו כ"א נסיר כמו כן השליש זהו י"ד נסיר כמו כן השביעי' ויהיה ו' סך הכל מ"א עוד נשאר מן מ"ב א' נמצא אם היינו שואלין גבוה החומה שיסודה בקרקע אז יהיה גבוה של כל החומה מ"ב אמות עכשיו צריכין אנו ללמוד ולהעריך כמה מגיע לה' אמות פי' שהוא שקוע בקרקע ה' אמות וכן עשה הערך כתוב תחילה אמה אחת ואחר רחוק ממנו מעט כתוב מ"ב אמות תחת האמה אחת כתוב ה' אמות ששאלנו ויהיה כזה
42 1   5	בד א   ה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot42}{1}=\frac{210}{1}=210}}$	כפול ה' על מ"ב פי' כמה עולה ה' פעמים מ"ב והעולה הוא ר"י חלוק ר"י לא'א' פי' מנה כמה פעמים א' יש בר"י ונמצא ר"י פעמי' א' יש בתוכה לזה גבוה ששאלנו והדמיון כזה
2 1 0	ב א ‫0
$\scriptstyle{\color{blue}{X=2\sdot5\sdot3\sdot7=10\sdot3\sdot7=30\sdot7=210}}$	וזה לך דרך אחר בקיצר היאך תוכל לידע גבוה של כל החומה כשהיא משוקעת בארץ ה' אמות ולמעלה מן הארץ היא גבוה החצי' והשליש והשביעי קח ב' פעמים ה' הרי י' י' פעמים ג' הרי ל' ל' פעמים ז' הרי ר"י או כלך לדרך זה ב' פעמים ה' הרי י' י' פעמים ג' הרי ל' ל' פעמים ז' הרי ר"י ול"ד ודוק

Joint Purchase Problems - If You Give Me
Another question: there is a fish to sell, and 3 people want to buy it. One of them said to his friends: I will give all that I have and each of you will give a half of his and the fish is paid. The second said: I will give all that I have and each of you will give one third. The third said: I will give all that I have and each of you [will give] a quarter. Now it is asked: for how much is the fish being sold and how much does each of them have? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)=17\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)=17\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)=17\\\end{cases}$	שאלה אחרת אם אדם אחד אמר לך הנה יש כאן דג אחד למכור והנה ג' בני אדם רוצים לקנות הדג ואחד מהם אומר לחבירו אתן כל אשר לי וכל אחד מכם יתן החצי' ממה שלו ואז פרוע והשני אמר אתן כל אשר לי ואתם יתנו שליש ואז יהיה פרוע והשלישי אמר אתן כל אשר לי ואתם תנו כל אחד רביעי‫' ועתה שואלין בכמה רוצין ליתן הדג או כמה מעות יש לכל אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=5\\\scriptstyle b=11\\\scriptstyle c=13\\\end{cases}}}$	תשובה הדג רוצה ליתן בעד י"ז פשוטי' הראשון יש לו ה' פשוטי' והשני יש לו י"א פשוטי' והשלישי יש לו י"ג פשוטי' זהו בשלימים
If the amounts of money of the partners are not integers solely but involved also fractions	אבל בשבורי' כגון אם ישאל השואל כשהדג נקנה בעד ח' פשוטי' או בעד ט' פשוטים או ל' פשוטי' או א' פשוטי' או איזה סכום שירצה לשאול ולאותו סכום ששאל אמר אחד אתן כל אשר לי ואתם תנו החצי' שלכם והשני אמר אתן כל אשר לי ואתם תנו השליש שלכם והשלישי אמר אתן כל אשר לי ואתם תנו רביעית שלכם כמה יהיה לכל אחד ואחד שיהיה הסכום שזה והנה אכתוב לך שנים או שלשה דמיונים כדי שתוכל להבין כל כיוצא בזה
If the price of the fish is 8 pešuṭim $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=8\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+Z\right)=8\\\scriptstyle Z+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y\right)=8\\\end{cases}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle X=2+\frac{6}{17}\\\scriptstyle Y=5+\frac{3}{17}\\\scriptstyle Z=6+\frac{2}{17}\\\end{cases}}}$	כשנקנה הדג בעד ח' פשוטי' ואמר הראשון כדלעיל וכן השיני וכן השלישי צריך שיהא לראשון ב' פשוטים וששה חלקים שי"ז עושין חלק שלם ולשני ה' פשיטי' וג' חלק שי"ז עושין חלק שלם ולשלישי ו' פשיטי' וב' חלקים שי"ז עושין חלק שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{17}=\frac{8}{X}}}$	ועתה אראה לך הדרך שתראה שכן הוא הנה אם היה בשלימות אז היה לראשון ה' פשוטים כמו שפרשתי לעיל עתה שהוא בשבורים ואתה שואל כשהדג נקנה בעד ח' פשוטים
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{8\sdot5}{17}=\frac{40}{17}=2+\frac{6}{17}}}$	אז צריך אתה לכפול בשער הכפל ח' פעמי' ה' הרי זו מ' ואחר כך צריך אתה להטותו בשער החילוק כמה פעמים י"ז יש בא' והנה יש ב' פעמים וששה עודפת שלא הגיע לי"ז שהן חלק שלם נמצא שיש לראשון ב' פשיטים וששה חלקים שי"ז מהן חלק שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{Y=\frac{8\sdot11}{17}=\frac{88}{17}=5+\frac{3}{17}}}$	ועתה אראה לך הדרך כמה יש לשני הנה אם היה בשלימות אז היה לו י"א פשוטי' ועתה שהוא בשברים אז תאמר כמו שאמרת לראשון לראשון אמרת ח' פעמים ה' כן תאמר לזה ח' פעמים י"א ויעלה פ"ח ואחר כך תחלק לי"ז פי' כמה פעמים י"ז יש בפ"ח והנה יש בו ה' פעמים י"ז וג' עודפת נמצא שיש לשני ה' פשוטי' וג' חלקים שי"ז מהן עושין חלק שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{Z=\frac{8\sdot13}{17}=\frac{104}{17}=6+\frac{2}{17}}}$	וכן תעשו לשלישי ותאמר אם היה בשלימו' היה לו י"ג פשוטי' עכשיו שהוא בשברים אז תאמר לו ח' פשיטי' י"ג הרי ק"ד ואחר כך תחלק לי"ז פי' כמה פעמים י"ז יש בק"ד ותמצא בו ו' פעמים י"ז וב' עודפות נמצא שיש לשלישי ו' פשיטי' וב' עודפות שי"ז מהן עושין חלק שלם
If the price of the fish is 30 pešuṭim $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=30\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+Z\right)=30\\\scriptstyle Z+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y\right)=30\\\end{cases}$ $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30\sdot5}{17}}}$	ואם בשאלה מדג שנקנה בעד ל' פשוטי' אז אמור ל' פעמים ה' לראשון והעולה כתיב ואחר כך תסלקהו לי"ז כמו שצויתיך וכן לשני וכן לשלישי כדלעיל
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=a\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+Z\right)=a\\\scriptstyle Z+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y\right)=a\\\end{cases}$ $\scriptstyle{\color{blue}{5+11+13=29}}$	ועתה כתבתי לעיל שיש לראשון ה' פשיטים ולשני י"א ולשלישי י"ג בשלמים הנה אראך הדרך שתמצא שהכלל כן הוא שלכולם יש כ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{4-\left(\frac{1}{4}\sdot4\right)=3}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]=3}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)=3}}$	קח ג' חשבונות כשתסיר מהם החצי' והשליש והרביעית וישאר בידך ג' ואלו הן ד' ד' וחצי ו‫' תסיר הרביעי מן ד' וישאר ג' השליש מן ד' וחצי וישאר ג' חצי מן ו' וישאר ג' מכל אחד ואחד וזה המורה תועי רוח בינה ‫
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=9}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6=12}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{8+9+12=29}}$	ועתה יען כי אין במורה שלימי' כי אין ד' וחצי שלם כפול ד' ויהיה ח‫' כפול ד' וחצי ויהיה ט‫' כפול ו' ויהיה י"ב סך הכל כ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{X=29-\left(2\sdot12\right)=5}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{Y=29-\left(2\sdot9\right)=11}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{Z=29-\left(2\sdot8\right)=13}}$	ועדיין אין אנו יודעין כמה יש לכל אחד לחלקו ועתה אשכילך הסר ב' פעמים י"ב מן כ"ט וישאר ה' והוא חלקו של ראשון וכן הסר ב' פעמים ט' וישאר י"א והוא חלקו של שני וכן הסר ב' פעמים ה' וישאר י"ג והוא חלוק של שלישי
$\scriptstyle{\color{blue}{a=X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=17}}$	נמצא כשראשון יתן כל אשר לו וכל אחד מהם יתן החצי' ויהיה ס"ה י"ז נמצא שהדג נקנה בעד י"ז פשוטי' וכן כולם ודו"ק
	וכן אם הקונים ד' או ה' עד אין קץ הרוצים לקנות הדג קח מנין השוה לכולם פי' אם קונין ג' או קח מנין כשתסיר השליש לרביעי וחצי וישאר ג' אם הקונים ד' קח מנין כשתסיר חצי' ושליש ורביעי וחומש וישאר ד' וכן לכולם כשאין המנין בשלימות כפול אותו שיהיו חשבון שלם ואחר כך כטעית החשבון שלם אם הקונין ג' תסיר ב' פעמים ואם הן ד' תסיר ג' פעמים הכפל וכן לכולם
[MS P1088: margin] If the buyers are four and the fourth says: I will give all that I have and you will give only a fifth $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+U+V\right)=a\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+U+V\right)=a\\\scriptstyle U+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y+V\right)=a\\\scriptstyle V+\frac{1}{5}\sdot\left(X+Y+U\right)=a\\\end{cases}$	ואם הקוני' ד' והרביעי אומ' אתן כא"ל וכל אחד יתן רק החומש
$\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{3}\right)-\left[\frac{1}{4}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(\frac{1}{5}\sdot5\right)=4}}$	אז קח ד' מנינים אחר תסיר ממנו חצי וישאר ד' וזהו ח‫' ואחר תסיר ממנו שליש וישאר ד' זהו ו‫' ואחר תסיר ממנו רביעי וישאר ד' זהו ה' ושלישי ואחר תסיר ממנו החומש וישאר ד' זהו ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot8=24}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot6=18}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)=16}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{24+18+16+15=73}}$	וצריך לקח' זה החשבונות ג' פעמים ואז יהא השליש שלם ועתה קח ח' ג' פעמי' זהו ד"ב קח ו' ג"פ זהו ח"א קח ה' ושלי' ג"פ זהו ו"א קח ה' ג"פ זהו ה"א סך הכל ג"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{X=73-\left(3\sdot24\right)=1}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{Y=73-\left(3\sdot18\right)=19}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{U=73-\left(3\sdot16\right)=25}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{V=73-\left(3\sdot15\right)=28}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{a=37}}$	ועתה הסר ג"פ ד"ב מג"ז וישאר א' נמצא ש[......] ראובן א‫' והסר ג"פ ח"א מג"ז וישאר ט"א זה סך שמעון והסר ו"א ג"פ מג"ז וישאר ה"ב זהו סך לוי והסר ה"א ג"פ מג"ז וישאר ח"ב זהו סך יודא הכל ג"ז והדג נקנה בעד ז"ג ודוק ותמצא
Question: three people - Reuven, Shimon, and Levi – are going to the market to buy something. Reuven said: I will give all that I have and each of you will give one third of what is in his pocket. Shimon said: I will give all that I have and each of you will give a sixth of what is in his pocket. Levi said: I will give all that I have and each of you will give a ninth of what is in his pocket $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{3}\sdot\left(Y+Z\right)=a\\\scriptstyle Y+\frac{1}{6}\sdot\left(X+Z\right)=a\\\scriptstyle Z+\frac{1}{9}\sdot\left(X+Y\right)=a\\\end{cases}$	שאלה הנה ג' אנשים הולכים על השוק ראובן שמעון לוי ורוצים לקנות דבר והנה ראובן אומר אתן כל אשר לי ואתם יתן כל אחד מכם שליש שבכיסו שמעון אומר אתן כל אשר לי וכל אחד מכם יתן שישית שבכיסו ולוי אומר אתן כל אשר לי ואתם יתן כל אחד התשיעי' שבכיסו
	ועתה אשכילך הדרך הנה יש לך ג' אנשים ראובן שמעון לוי ראובן שאל שליש שמעון שישית לוי תשיעית נגדו כתוב ג' אותיות כנגד שאלת כזה
9 6 3	ט ו ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]=3}}$	וקח חשבון המיעוט שתקח ממנו שליש וישאר ג' נגד בני החידה וזהו ד' וחצי וכתבו תחת ג' כזה
9 6 3     4 half	ט ו ג     ד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{5}\right)-\left[\frac{1}{6}\sdot\left(3+\frac{3}{5}\right)\right]=3}}$	וקח חשבון המיעוט שתקח ממנו שישית וישאר ג' נגד בני החידה וזהו ג' וג' חומשין וכתבהו תחת ו' כזה
9 6 3   3 4   53 half	ט ו ג   ג ד   גה וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{8}\right)-\left[\frac{1}{9}\sdot\left(3+\frac{3}{8}\right)\right]=3}}$	וקח חשבון המיעוט שתקח ממנו תשיעית וישאר ג' נגד בני החידה זה ג' וג' שמינית וכתבו תחת ט' כזה
9 6 3 3 3 4 83 53 half	ט ו ג ג ג ד גח גה וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot5=10}}$	ועתה קח חשבון המיעוט שתמצא בו חשבון שלם נגד אותן חלקים שברים כגון חצי' עתה קח חשבון שתמצא בו חצי' שלם זהו ב' קח חשבון המעוט שתמצא חמשית שלם זהו ה' וגם קח חשבון המיעוט שתמצא בו שמינית שלם זהו ח' כפול ב' על ה' ויהיה עשרה כזה
1 0	א ‫0
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=10\sdot4=40}}$	בזה תמצא שניהם שלם חצי שלם וחמישית שלם עתה כפול ותאמר י' פעמים ד' דהיינו חצי ח' זהו מ' כזה
4 0	ד ‫0
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\sdot8=80}}$	בזה תמצא חצי שלם וחמישית שלם ושמינית שלם ובדין היה לכפול ח' עם עשרה נגד חלקים שערים דהן ג' שמינית ואז היה עולה כזה
8 0	ח ‫0
Least common multiple: LCM(2,5,8) = 40	אך היתה מוצא יותר מצרכיך כי בא תמצא החשבון כמו ב"פ ולעולם קח חשבון המועט תפשת מרובה לא תפשת תפשת מועט תפשת‫
$\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=180}}$	ועתה כפול על מ' מה שכתוב תחת כל אחד הנה מצאת תחת ראובן ד' וחצי כפול 0'ד' על ד' וחצי ויעלה כזה
1 8 0	א ח ‫0
$\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(3+\frac{3}{5}\right)=144}}$	וכפול 0"ד על שכתוב תחת לוי דהיינו ג' וג' חומשין ויעלה כזה
1 4 4	א ד ד
$\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(3+\frac{3}{8}\right)=135}}$	וכפול 0'ד' על מה שכתוב תחת שמעון דהיינו ג' וג' שמינית ויהיה כזה
1 3 5	א ג ה
$\scriptstyle{\color{blue}{180+144+135=459}}$	עתה חיבור אלו ג' חשבונות יחד ויעלה כזה
4 5 9	ד ה ט
$\scriptstyle{\color{blue}{Reuven\ =X=459-\left(2\sdot180\right)=459-360=99}}$	והוא זה המורה את החידה כפול 0"חא ב' פעמים ויעלה 0'ו'ג' ונכהו מן המורה את החידה שהוא ט'ה'ד' ויותר לך ט'ט' כך מעות יש לראובן
$\scriptstyle{\color{blue}{Shimon\ =Y=459-\left(2\sdot144\right)=459-288=171}}$	ואחר כך כפול ב' פעמים ד'ד'א' והוא היה כפול של שמעון ועולה ח'ח'ב' תנכהו מן המורה ויותר לך א'ז'א' כך מעות יש לשמעון
$\scriptstyle{\color{blue}{Levi\ =Z=459-\left(2\sdot135\right)=459-270=189}}$	ואחר כך כפול ב' פעמים ה'ג'א' שהוא כפול של לוי ויעלה 0'ז'ב' תנכהו מן המורה ויותר לך ט'ח'א' כך מעות יש ללוי
	עתה מצאת הכל לראובן ט'ט' לשמעון א'ז'א' ללוי ט'ח'א' והמבין יבין וק"ל ודוק ול"ד
-	Find a Quantity Problems - Whole from Parts Question: a tree - its third, its fifth, and its ninth are planted in the soil and 10 cubits remain up above the ground, how long is it? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{9}X+10=X$ שאלה אילן התקוע בארץ שלישיתו וחמישיתו ותשיעתו ונותר למעלה מן הארץ עשרה אמות כמה היה תחילתו והא לך דמות אשר תערוך כתוב כזה דהיינו נגד החלקים ששאלת $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5\sdot9=15\sdot9=135}}$ Least common multiple: LCM(3,5,9) = 45 עתה שים דעתך למצא חשבון המועט שנמצא בו החלקים ששאלת שליש שלם חמישית שלם תשיעית שלם וכה תאמר ג' פעמים ה' היינו ה"א ט' פעמי' ה"א יעלה הג"א ואינך צריך כ"כ כי תמצאנה בה"ד שהוא שליש מן הג"א קח המועט ולא המרובה $\scriptstyle{\color{blue}{45-\left(\frac{1}{3}\sdot45\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot45\right)-\left(\frac{1}{9}\sdot45\right)=45-15-9-5=16}}$ חסור מן ה"ד כל החלקים ששאלת דהיינו שלישית חמישית תשיעית שליש מן ה"ד זהו ה"א חמישית ט' תשיעית ה' חסור כולם מן המורה שהוא ה"ד וישאר ו'א‫' $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot45}{16}=\frac{450}{16}=28+\frac{2}{16}}}$ עתה כפול האמות הנותרים למעלה מן הארץ והם 0"א על המורה שהוא ה"ד ויעלה 0'ה'ד' עתה חלוק ממנו ו"א הנותרים בשער החילוק פי' כמה פעמים יש ו"א ב0'ה'ד' ויעלה החילוק ח'ב' וב' חלקים שו'א' עושין חלק שלם וכן כל האילן ח"ב אמות וב' חלקים שו'א' מהן עושין חלק שלם Question: a lance - one sticks a half of the whole lance in the ground, then another comes and raises a third of the whole lance, another one comes and sticks a quarter of the whole lance, and one more comes and raises a sixth of the whole lance. After lowering the high and raising the low, 11 cubits remain above the ground. How many cubits are the length of the whole lance? $\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X-\frac{1}{6}X+11=X$ שאלה הנה רומח לפניך ובא אחד ותוקעו בארץ חציו של כל הרומח ובא אחד והגביה שלישיתו של כל הרומח ובא אחד ותוקעו רביעיתו של כל הרומח ובא אחד והגביה שישיתו של כל הרומח ולאחר מן הארץ הגבהה וזה הגביה הנמוך נותר למעלה מן הארץ א'א' אמות כמה אמות ארכו של כל הרומח וזה לך הדרך כתוב נגד החלקים ששאלת נגד החצי' ב' נגד שליש ג' נגד רביעי' ד' נגד שישית ו' כתוב עליו א'א' אמות הנותרים כזה $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle12-\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)&\scriptstyle=6+4-3+2\\&\scriptstyle=10-3+2=7+2=9\\\end{align}}}$ וקח חשבון המעט שתמצא בו אלו דהיינו ב"א וזה המורה חסר מן ב'א' חצי' וישאר ו' הוסיף שליש מן ב"א על ו' דהיינו ד' ויהיה 0"א חסר הרביעי' מן ב"א דהיינו ג' וקח אותם מן 0"א וישאר ז' הוסיף השישית של ב"א דהיינו ב' על ז' ויהיה ט' אותו ט' כתוב בצד אחר ויהיו עיניך רואות את פני מוריך ‫ שהוא ב"א $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{11\sdot12}{9}=\frac{132}{9}=14+\frac{6}{9}}}$ וכפול עליו א'א' הנותרים למעלה מן הארץ ויעלה כזה א ג ב חלוק ממנו בשער החילוק מה שנותר לך מן המורה לאחר שחסרת והוספת כל החלקים זהו ט' כמה פעמים ט' יש בה'ג'א' זהו ד"א פעמים ונותרים ו' שאינו מגיע לכלל ט' וכן אורך הרומח ד"א אמות ו' חלקים שט' מהן עושין חלק שלם דהיינו אמה $\scriptstyle X+\frac{1}{a}X=b\longrightarrow X=b-\left(\frac{1}{a+1}\sdot b\right)$ זה כלל כשתאמר שים שליש עליו או חמישית או רביעית או כל כמה שתרצה ויהיה כך וכך כמה היה בתחילה אראה לך הדרך אשר תלך בה לעולם חסר מן החשבון המפורש חלק אחד יותר מחשבון הנעלם שדעתך לצרף עליו $\scriptstyle{\color{blue}{X+\frac{1}{3}X=5\longrightarrow X=5-\left(\frac{1}{3+1}\sdot5\right)=5-\left(\frac{1}{4}\sdot5\right)}}$ כגון אם תאמר עשה שליש עליו ויהיה ה' זה המפורש כמה היה בתחילה אז חסר מן הה' המפורש רביעי' זהו חלק אחד יותר ממה שבדעתך לצרף עליו כי היה בדעתך לצרף שליש וזהו רביעי' תסיר מן ה' רביעי' אז הנשא הוא המבוקש וכשתעשה עליו שליש יהיה ה‫' $\scriptstyle{\color{blue}{X+\frac{1}{7}X=3\longrightarrow X=3-\left(\frac{1}{7+1}\sdot3\right)=3-\left(\frac{1}{8}\sdot3\right)}}$ או אם תאמר עשה שביעית עליו ויהיה ג' זה המפורש אז הסר מן ג' המפורש שמינית ומה שנשאר הוא הסכום מה שיהיה בתחילה ואם תרצה לידע אם אמת חשבת צרוף השביעית על הנשאר ויהיה ג' וכן לעולם עשה כאשר הראיתיך $\scriptstyle X-\frac{1}{a}X=b\longrightarrow X=b+\left(\frac{1}{a-1}\sdot b\right)$ אבל אם ת"ל כשתקח שליש וישאר כך וכך או תקח ממנו כל מה שתרצה וישאר כך וכך כמה היה בתחילה אז תחלוק חשבון הנשאר לחלק אחת פחות ממה שחסרת ממנה וחלק אחד מן החלקים צרוף עם זה הנשאר ותמצא כמה שהיה בתחילה Shared Work Problems - Filling/Draining a Vessel Shared Work Problem - Filling/Draining a Vessel - Well - the water is flowing into it through 3 pipes and draining out of it through 2 pipes. Through one of the 3 pipes, from which the water flows into it, the well is filled in a sixth of a day, if the water does not drain out from it. Through the second pipe, from which [the water] flows into it, the well is filled in a fifth of a day, if the water does not drain out from it. Through the third pipe, from which [the water] flows into it, the well is filled in a quarter of a day. The two pipes that are draining the well: through one of them, the well is drained in a half of a day, if the water does not flow into it; through the second pipe, the well is drained in a third of a day. When the filling pipes are filling the well with water and the draining pipes are draining it all at once, how long will it take the well to be filled? $\scriptstyle6X+5X+4X-2X-3X=1$ שאלה הנה לך בור שמימיו נכנסין בו קנים ויוצאי' ממנה דרך ב' קנים ומהאחת מג' קנים שמימיו נכנסים בו היה הבור מתמלא מששית היום אם לא היו יוצאי' מן הבור מים כלל ומן הקנה השני שנכנס בו היה הבור מתמלא אם לא היו יוצאים מים ממנה בחמישית היום ומן הקנה השלישית שנכנס בו היה הבור מתמלא ברביעית היום אם לא היו יוצאי' ממנה מים וב' קנים המוריקי' את הבור מן האחד נתרקה הבור כשאין נכנסין בו שום מים בחצי היו' ומן הקנה השני נתרוקנה הבור בשליש היום וכשאלו הקנים מכניסין מים ממלאין את הבור יחד וב' קנים המוריקין מוריקין יחד ואלו ממלאין בכמה היו מתמלאין $\scriptstyle{\color{blue}{6+5+4=15}}$ תשובה בעשירית היום מתמלא ואשכילך הדרך כיצד קנה האחד שממלא הבור בשישי' היום יוכל למלאות ששה בורות ביום אחד והשני שממלא בחמישית היום יוכל למלאות ה' בורות ביום אחד והשלישי שממלא ברביעית היום יכול למלאות ארבעה בורות ביום אחד הרי ט"ו בורות שג' קנים הללו ממלאים ביום אחד אם לא היו אלו ב' קנים מוריקין $\scriptstyle{\color{blue}{2+3=5}}$ ובכמה הן מוריקין האחד המוריקה בחצי היום מוריק ב' ליום והשני שמוריקה בשליש היום מוריק ג' ליום אחד הרי ה' בורות שאלו ב' קנים ממריקין ביום אחד $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{15-5}=\frac{1}{10}}}$ ועדיין נשארה עשרה בורות שהג' ממלאים ביום אחד כשהב' ממריקים נמצא שהבור מתמלא בעשירית היום Shared Work Problem - Draining a Vessel - Barrel - with three taps. When flowing from it through one tap, it is drained in one day. Through the second tap, it is drained in a half of a day. Through the third tap, it [is drained] in a third of a day. If all of the [taps] are dripping together, how long will it take the barrel to be drained? $\scriptstyle X+2X+3X=1$ ובזה תוכל להבין כל כזה וכיוצא בו כגון אם ישאל השואל יש כאן חביות שלג' ברזות שהוא יוצא ממנו דרך ברזא אחד ביום אחד ודרך ברזא השני יוצא בחצי היום ובדרך ברזא השלישי יוצא בשליש היום וכשהן יוצאין כולם יחד בכמה החבית יוצא $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3=6}}$ תשובה שבשישית היום יצא היאך הברזא האחד שהוא יוצא ממנו ביום שלם מוריק ביום אחד השני שהוא יוצא בחצי היום מוריק שני חבית ביום אחד והשלישי שיוצא ממנו בשליש היום מוריק ג' חביות ביום אחד סך הכל כשמוריקין יחד ממריקין ו' חבית ביום אחד $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{6}}}$ נמצא שמוריקין בשישית היום Shared Work Problem - Draining a Vessel - Barrel - with three taps. When one is dripping alone, it drains it in one hour. The second drains it in 2 hours. The third drains it in 3 hours. If all of the [taps] are dripping together, how long will it take them to drain [the barrel]? שאלה אם ישאל השואל הנה בחבית ג' ברזות האחד כשהוא יוצא לבדה מוריק בשעה והשני לבד מוריק בב' שעות ושלישי מוריק בג' שעות וביצאו כולם ביחד בכמה מוריקין $\scriptstyle6X+3X+2X=12$ אבקש לך דמיון בחבית המחזיק י"ב הין שממרק בחצי שעה ובחלק א"א שבחצי שעה $\scriptstyle{\color{blue}{6+3+2=11}}$ וכה תעשה אמור בתחילה הברזא שמוריקין בשעה כמה ממריק בחצי שעה ו' הין וממריק בב' שעות כמה ממריק בחצי שעה ג' הין והממריק בג' שעות ממריק בחצי שעה ב' הין שנמצא שג' ברזות מוריקין א'ב'ג' מוריקין בחביות שמחזיק י"ב הין בחצי שעה י"א הין $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12}{11}=1+\frac{1}{11}}}$ כמה נשאר עוד הין נמצא שאותו הין ממריק בחלק א"א שבחצי שעה Shared Work Problem - Rivers Filling a Fountain - four rivers are flowing towards a fountain. The first fills it in a day, the second in two days, the third in 3 days, and fourth in 4 days. If all are flowing together, how long will it take [the fountain] to be filled $\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=1$ ועוד שאלה ד' נהרות רצים אל מעיין אחד הראשון ממלא אותו ביום אחד השני ממלא אותו בב' ימים הג' ממלא אותו בג' ימים הד' ממלא אותו בד' ימים ואם רצים כולם ביחד בכמה מתמלא $\scriptstyle{\color{blue}{12+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=12+6+4+3=25}}$ עשה על זה בדרך אומר אחד חצי שליש רביעי' אנא ימצאון ר"ל על דרך המועט כדלעיל דהיינו י"ב אחד י"ב חצי ו' שליש ד' רביעית ג' רביעית ג' צורפם יחד הרי כ"ה וזה המורה נמצא בי"ב ימים ימלא כ"ה מעיינות כיצד הראשון ממלא בי"ב ימים י"ב מעיינות והשני בי"ב ימים ו' מעיינות השלישי בי"ב ימים ד' מעיינות הרביעי ג' אם כן כ"ה מעיינות בי"ב ימים $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot12}{25}=\frac{12}{25}}}$ מעיין אחד בכמה אז כפול א' על י"ב ויעלה י"ב חלקהו בשער החילוק בכ"ה פי' כמה פעמים כ"ה יש בי"ב כנ"ל אש' נמצא שמעיין אחד מתמלא בי"ב חלקים שכ"ה מהן חלק שלם first river: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot12}{25}=\frac{12}{25}}}$ לידע כמה חלק מים של כל מעיין לראשון כפול י"ב על א' ויעלה י"ב חלקהו בשער החילוק בכ"ה נמצא שמימיו י"ב חלקים שכ"ה מהן חלק שלם second river: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot6}{25}=\frac{6}{25}}}$ לשיני' כפול ו' על א' ויעלה ו' חלקהו בשער החילוק בכ"ה הרי ו' חלקי' מן כ"ה third river: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot4}{25}}}$ לשלישי כפול ד' על א' fourth river: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot3}{25}}}$ לרביעי כפול ג' על א' ודוק ותבין Multiple Quantities Problems Multiple Quantities - Women Selling Eggs Pose a riddle: three women are selling eggs. One has 10 eggs, the second has 30, and the third has 50. Each of them gives a certain amount of eggs for one ḥalish and they earns the same amount of money $\scriptstyle10X=30Y=50Z$ חוד חידה ג' נשים מוכרות ביצות לאחת יש עשרה ביצת לשנייה יש ל' בצים ולשלישי יש וכל אחת תתן סך בצים בחליש אחד כמו חברתה ויפדו מעות שוות each one will give 7 eggs for one ḥalish and what remained - one egg for 3 ḥalish $\scriptstyle{\color{red}{\begin{cases}\scriptstyle1+\left[3\sdot\left[10-\left(1\sdot7\right)\right]\right]=1+\left[3\sdot\left(10-7\right)\right]=1+\left(3\sdot3\right)\\\scriptstyle4+\left[3\sdot\left[30-\left(4\sdot7\right)\right]\right]=4+\left[3\sdot\left(30-28\right)\right]=4+\left(3\sdot2\right)\\\scriptstyle7+\left[3\sdot\left[50-\left(7\sdot7\right)\right]\right]=7+\left[3\sdot\left(50-49\right)\right]=7+\left(3\sdot1\right)\end{cases}}}$ תשובה כל אחת תתן ז' בחליש כל מה שנותר על השביעית תתן ביצה אחת בחליש If they are four [women]. The fourth has 70. the calculation is the same ואם היתה ארבע לרביעי' יש לה ע' וחשבון כמו כן Multiple Quantities - Brothers Sharing an Inheritance Question: an inheritance was given to three brothers. The first took as much as he wanted, and so did the second and the third. Then the second and the third returned to first and complained against him: you took more than you deserved, therefore you should share with us equally. He answered: do not judge me, I will give each of you the same amount as he has, be it is much or less; and so he did. Later the first and the third returned to the second and he answered them the same as the first. Afterwards the first and the second returned to the third and he too said the same as the previous. Now the division between them became equal. How much did each of them took at the beginning and how much is the whole amount of the money? שאלה אם נפלה ירושה לפני ג' אנשים אחים ראשון לוקח כל מה שרוצה וכן השני וכן השלישי ואחר כך חזרו השני והשלישי על ראשון וטוענין אותו לא נטלת מן הראוי לך לכן חלוק עמנו שוה בשוה והוא אומר אל תדונו עמי אתן לכל אחד מכם כמה שיש לכם כבר הן רב והן מעט וכן עשה ואחר כך חזרו הראשון והשלישי על השני והוא משיב להם ג"כ כמו הראשון ואחר כך חזרו הראשון והשני על השלישי והוא אומר ג"כ כמו הראשונים ואז יהיה החלוקה שוה ביניהם חוד כמה לקח כל אחד בתחילה או כמה סך מעות ביחד $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=24\\\scriptstyle a_3=3+1=4\\\scriptstyle a_2=\left(2\sdot a_3\right)-1=\left(2\sdot4\right)-1=8-1=7\\\scriptstyle a_1=\left(2\sdot a_2\right)-1=\left(2\sdot7\right)-1=14-1=13\end{cases}$ תשובה הכל יהיה כ"ד הראשון לקח י"ג והשני ז' והשלישי ד' והילך המורה את החידה אם הם רק ג' אז קח לאחרון ג' ואחד יותר זהו ד‫' ולאמצע קח כפלים כמו לאחרון זהו ח' רק אחת תסיר ויהיה ז‫' ולראשון קח כפלים כמו לאמצע דהיינו י"ד תסיר אחד ויהיה י"ג וכן לעולם כמה הן אז קח לאחרון כמניין כולם ואחד יותר ואחר כך כפול המבוקש ותסיר א‫' If they were four brothers $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_4=4+1=5\\\scriptstyle a_3=\left(2\sdot a_4\right)-1=\left(2\sdot5\right)-1=10-1=9\\\scriptstyle a_2=\left(2\sdot a_3\right)-1=\left(2\sdot9\right)-1=18-1=17\\\scriptstyle a_1=\left(2\sdot a_2\right)-1=\left(2\sdot17\right)-1=34-1=33\end{cases}$ וכן אם הם ד' קח לאחרון ד' ואחד יותר וזה ה‫' ולשלישי עשרה ואחד תסיר וזהו ט‫' ולשני י"ח ואחד תסיר זהו י"ז לראשון ל"ד ואחד תסיר זהו ל"ג בין תבין את אשר לפניך‫ Payment Problem - Digging a Hole - a worker was hired to dig a hole with a length of 17 cubits and a width of 7 cubits for 33 zehuvim (golden coins), but the worker dug [a hole with a width of] 3 cubits and a length of 17 cubits. How much should be his payment? $\scriptstyle\frac{7\sdot17}{33}=\frac{3\sdot17}{X}$ השוכר את הפועל לחפור בור ארוכה י"ז אמות ברוחב ז' אמות בעד ל"ג זהו' והפועל חופר ג' אמות במשוך יז' כמה שכרו של פועל זה $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot17}{119}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot17}{51}}}$ תשובה כפול בתחלה בשער הכפל ז' פעמים י"ז ויעלה ט'א'א' נמצא שהשוכר את הפועל לחפור קי"ט אמות ברוחב אמה בעד ל"ג זהו‫' והפועל חופר ג' אמות במשוך י"ז כפול ג' על י"ז ויעלה א"ה נמצא שלא חפר רק נ"א אמות והיה לחפור קי"ט אמות $\scriptstyle\frac{119}{33}=\frac{51}{X}$ אחר כך כתוב קי"ט אמות למטה ממנו כתוב נ"א כזה א א ט   ג ג   ה א $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{33\sdot51}{119}=\frac{1683}{119}=14+\frac{17}{119}}}$ וכפול בשער הכפל א"ה על ג'ג' ויעלה ג"חו"א חלוק ג"חו"א לקי"ט פי' כמה פעמים קי"ט יש בגחו"א ותמצא י"ד פעמים קי"ט וי"ז חלקים שקי"ט מהן עושין חלק שלם נמצא שכר הפועל י"ד זהו' וי"ז חלקים שקי"ט מהן חלק שלם דהיינו זהוב Find a Quantity Problem - Stolen Amount of Money - a man gave his purse with some money to his friend for safekeeping and it was stolen. Both the depositor and the keeper do not know how much money was in the purse. The depositor remembers that when he counted the money by two 1 remained, by three 1 remained, by four 1 remained, by five 1 remained, by six 1 remained, and by seven nothing remained. $\scriptstyle2a_1+1=3a_2+1=4a_3+1=5a_4+1=6a_5+1=7a_6$ אדם הפקיד לחבירו כיסו מלא מעות וגנבו בפשיעה והמפקיד והנפקד אינם יודעי' סכום המעות שהיה בו אלא המפקיד זכר המעות ב'ב'ב' נשאר א' ג'ג' נשאר א' ד'ד' נשאר א' ה'ה' נשאר א' ו'ו' נשאר א' ז'ז' יצא מכוון והנה חוד כמה היו המעות הללו $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\right)+1&\scriptstyle=\left(6\sdot4\sdot5\sdot6\right)+1\\&\scriptstyle=\left(24\sdot5\sdot6\right)+1\\&\scriptstyle=\left(120\sdot6\right)+1\\&\scriptstyle=720+1=721\\\end{align}}}$ תשובה המעות היו אחת וג' מאות או ת'ש'כ'א' היו המעות והנה אשכילך הדרך היאך תעשה כתוב כנגד כל מניין השאלה מספר המועט שתמצא בו השאלה פי' שאילתך מניין הנמנה ב'ב' וישאר א' נגד זה כתו' ב' ושאלת מניין הנמנה ג'ג' נגדו כתו' ג' ושאלת מניין הנמנה ד'ד' נגדו כתוב ד' ושאלת מניין הנמנה ה'ה' כתוב ה' ושאלת מניין הנמנה ו'ו' כתוב ו‫' אחר כך כפול ב' על ג' ויעלה ו‫' כפול ו' על ד' ויעלה ד'ב‫' כפול ד'ב' על ה' ויעלה 0'ב'א‫' כפול 0'ב'א' על ו' ויעלה 0'ב'ז' פי' עשרים וז' מאות זהו מספר המחלק לב' לג' לד' לה' לו‫' ובהוסיפך עוד אחד שיהיה אב"ז אז כשתחלקהו לב'ג'ד' ה"ו ישאר בכל מנין א' חלקהו לז'ז' יוצא מכוון If the number is divided by 2-8 with a remainder of 1 and by 9 with no remainder $\scriptstyle2a_1+1=3a_2+1=4a_3+1=5a_4+1=6a_5+1=7a_6+1=8a_7+1=9a_8$ וכן אם ישאלך השואל מספר המחלק לב'ג"ד ה"ו ז"ח וישאר א' ובט' יוצא מכוון $\scriptstyle{\color{blue}{\left[720\sdot\left(7\sdot8\right)\right]+1=\left(720\sdot56\right)+1}}$ אזי כפול ז' על ח' ויעלה ו"ה כפול זה על 0'ב"ז והעולה הוא מתחלק לב"ג"ד ה"ו ז"ח ובהוסיפך אחת ישאר א' בכל מניין ובט' יוצא מכוון If the remainder from division by all the numbers 2-6 is 3 $\scriptstyle2a_1+3=3a_2+3=4a_3+3=5a_4+3=6a_5+3=7a_6$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\right)+3}}$ ואם ישאל השואל מניין הנותר ג' בכל מניינם אזי תוסיף ג' על העולה אחר כפלך מספרם המועטים If the remainder from division by all the numbers 2-6 is 4 $\scriptstyle2a_1+4=3a_2+4=4a_3+4=5a_4+4=6a_5+4=7a_6$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\right)+4}}$ וכן אם ישאלך מניין הנותר ד' אזי תוסיף ד' וכן לעולם בדרך זו ודוק Find a Quantity Problem - How Much Problem - Amount of Money - we add to it its half, its third, its quarter, its fifth, and its sixth, and the total is 40. How much was the original amount of money? $\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X=40$ שאלה ממון הוספנו עליו מחציתו שלישיתו רביעיתו וחמישיתו שישיתו והכל הוא ארבעים כמה היה הממון $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle60+\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)\\&\scriptstyle=60+30+20+15+12+10=60+87=147\\\end{align}}}$ בתחילה אשכילך קח מספר המועט המתחלק לחצאין לשליש לרביעי לחומש לשישית וזהו 0"ו ששים ותוסיף על ששים כל החלקים ששאלת החצי' הוא ל' והשליש כ' הרביעי ט"ו והחמישית י"ב והשישית י' וצרפם הכל יחד ויהיה פ"ז חבור פ"ז עם ששים ויעלה קמ"ז נמצא אם היו שואלין אותך ממון שהוספנו עליו מחציתו שלישיתו רביעיתו חמישיתו ששיתו ובין הכל קמ"ז כמה תחילת הממון היינו משיבין תחילתו ששים $\scriptstyle\frac{147}{60}=\frac{40}{X}$ ועתה שהוא סך הכל רק א' כמה תחילתו אז כתוב אותו קמ"ז בטור העליון ורחוק ממנו קצת כתוב הששים ותחת ס' כתוב מ' שאנו שואלין ויהיה כזה ‫0ו זדא ‫0ד   $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{40\sdot60}{147}=\frac{2400}{147}=16+\frac{48}{147}}}$ כפול 0"ד על 0"ו שעליה ויעלה 0'0'ד'ב' פי' כ"ד מאות חלוק בשער החילוק כמה פעמים זד"א יש בכ"ד מאות ותמצא שיש בו י"ו פעמים זד"א ונותר מ"ח חלקים קטנים שאינן עולין לזד"א נמצא שתחילת הממון היו י"ו שלמים ומ"ח חלקים קטנים שזד"א מהן חלק שלם Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(147\sdot16\right)+48=2352+48=2400}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2400+\left(\frac{1}{2}\sdot2400\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot2400\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot2400\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot2400\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot2400\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot147}}$ ואם תחפוץ לשקול חשבונך אם הוא מכוון אז כפול זד"א על י"ו פי' ב' אלפים ג' מאות נ"ב חבור עמהם מ"ח חלקים הנותרים למעלה שלא עולה לזד"א ויהיה 0'0'ד'ב' פי' כ"ד מאות תוסיף עליהם החצי' השליש הרביעי החומש השישית וחיבור הכל עם כ"ד מאות ואחר כך כפול 0ד פי' מ' עם זד"א ואם תמצא מכוון מה שיעלה לך אחר שתכפול מ' על קמ"ז כמו חשבון שמצאת בהוסיפך בג"דה"ו על כ"ד מאות אז חשבונך מכוון ואם לאו ודאי טעית ודוק Divide a Quantity - Loans Repayment - Reuven and Shimon lent two loans: Reuven lent 37 zehuvim with an interest of one pašuṭ for each zahuv every week for 55 weeks. Shimon lent to the same borrower 23 zehuvim for 33 weeks. Then came the borrower and said to them: I will give both of you 13 zehuvim together and you will compromise. How much should Reuven receive and how much should Shimon receive from the 13 zehuvim? $\scriptstyle\frac{1}{37\sdot55}X+\frac{1}{23\sdot33}X=13$ שאלה אם ישאל השואל הנה ראובן ושמעון הלא שני חובות ראובן הלווה ל"ז זהו' ועולה על כל זהו' פשוט לשבועה ועומד נ"ה שבועות ושמעון הלווה לאותן חוב כ"ג זהו' ועומד ל"ג שבועות ואחר כך בא הבעל חוב ואמר להם אתן לכם י"ג זהו' רבית מן הכל ואתם התפשרו התפשרו יחד ואשכילך הדרך אשר תמצא בו כמה מגיע לראובן וכמה מגיע לשמעון מן הי"ג זהו' כאשר קבלתי מרבי‫' Reuven's interest: $\scriptstyle{\color{blue}{37\sdot55=2035}}$ חשוב כמה רבית של ראובן שהוא ל"ז על נ"ה ויעלה ה"ג0"ב פשי' פירו' ב' אלפים ועוד ל"ה זה היה ריבית שהיה שייך מן הדין לראובן Shimon's interest: $\scriptstyle{\color{blue}{23\sdot33=759}}$ ואחר כך כפול כ"ג זהו' של שמעון על ל"ג שבועות ויעלה ט'ה'ז' שהוא ריבית שהיה שייך מן הדין לשמעון $\scriptstyle{\color{blue}{2035+759=2794}}$ ואחר כך חבור ט'ה'ז' עם ה'ג'0'ב' ויעלה ד'ט'ז'ב' וזה המורה את החידה Reuven: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13\sdot2035}{2794}=\frac{26455}{2794}=9+\frac{1309}{2794}}}$ אחר כך כפול י"ג זהו' על ה"ג0"ב שהוא ריבית שהיה שייך לראובן ויעלה ה'ה'ד'ו'ב' אחר כך נכהו שהוא ד'ט'ז'ב' פי' כמה פעמים ד'ט'ז'ב' יש בה'ה'ט'ו'ב' ותמצא שיש בו ט' פעמים ונותרים עדיין ט'0'ג'א' שלא יעלה למניין ד'ט'ז'ב' נמצא שלראובן שייך מן י"ג זהו' ט' זהו' ואלף ועוד ש"ט חלקים שלא הגיע הכלל ד'ט'ז'ב‫' Shimon: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13\sdot759}{2794}=\frac{9867}{2794}=3+\frac{1485}{2794}}}$ ואת"ל כמה מגיע לשמעון על דרך שאמרנו לראובן אז כפול י"ג על ט'ה'ז' ויעלה ז'ו'ח'ט' נכהו מן המורה שהוא ד'ט'ז'ב' פי' כמה פעמים ד'ט'ז'ב' יש בז'ו'ח'ט' נמצא שיש בו ג' פעמים ונותרים ה'ח'ד'א' חלקים שד'ט'ז'ב' מהן עושין חלק שלם דהיינו זהו' נמצא ששייך לשמעון ג' זהו' ועוד ה'ח'ד"א חלקים שד"טז"ב מהן עושין חלק שלם Check: $\scriptstyle{\color{blue}{1309+1485=2794}}$ חיבור ה'ח'ד'א' עם ט'0'ג'א' שנותרים לראובן ויעלה ד'ט'ז'ב‫' ואם תחפוץ לידע חשבון בצמצום אז חלק הי"ג זהו' לפשוטים ואחר כך כפול בהם ה'ה'ד'ו'ב' ריביתו של ראובן או ד"טז"ב ריביתו של שמעון ואז חלוק ד'ט'ז'ב' לחלקי פשוטים ודו"ק Multiple Quantities - Dividing a Total Weight to Several Weights - finding four weights weighing together 40, or 5 weights weighing together 121, so that you can weigh with them the heavy as well as the light up to 40. How much will each of them weigh by itself? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\sum_{i=1}^4 a_i =40\ \quad \sum_{i=1}^5 a_i =121\\\scriptstyle a_i=3^{i-1}\\\scriptstyle a_i:a_{i+1}=a_{i+1}:a_{i+2}\end{cases}$ שאלה אם ישאלך השואל איך תמצא ארבע משקלות שמשקל כולם רק ארבעים ליטרות ואתה תוכל לשקול בו הן רב הן מעט עד ארבעים כמה משקל כל אחד בפני עצמו או אם ה' משקלות שמשקלותם קכ"א ואתה תוכל לשקול בו הן רב הן מעט כמה משקל כל אחד בפני עצמו כה תעשה אם תחפוץ להוסיף משקלות: הראשון משקלו ליטרא, השני משקלו ג' ליטרות, השלישי משקלו ט' לטרי', הרביעי משקלו כ"ז לטרין, חמישי משקלו פ"א $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1}}$ וככה עשה: כתוב בתחילה א' משקלו של הראשון ואחר כך כתוב עוד אחת תחתיו כזה א א $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(1+1\right)+1=2+1=3}}$ חברם יחד ויהיה ב' תוסיף עוד אחת עליהן ויהיה ג' ליטרי' זהו משקל השני אחר כך כתוב ג' ועוד ג תחתיו כזה א א ג ג $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(1+1\right)+\left(3+3\right)+1=8+1=9}}$ חברם יחד ויהיה ח' תוסיף עוד אחת ויהיה ט' ליטרו' זהו משקל השלישי אחר כך כתוב ט' ועוד ט' אחד תחתיה כזה א א ג ג ט ט $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\left(1+1\right)+\left(3+3\right)+\left(9+9\right)+1=26+1=27}}$ חברם יחד ויהיה כ"ו תוסיף עוד אחת ויהיה כ"ז זהו משקל הרביעי ואם תרצה לידע משקל החמישי כתוב זב תחת זב כדלעיל כזה א א ג ג ט ט זב זב $\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\left(1+1\right)+\left(3+3\right)+\left(9+9\right)+\left(27+27\right)+1=80+1=81}}$ חברם יחד ויהיה פ' תוסיף עוד ויהיה פ"א זהו משקל חמשי $\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1+3+9+27+81=121}}$ סך הכל קכ"א ועל דרך זה תוכל להוסיף $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1 =1\\\scriptstyle a_2=3\sdot a_1=3\sdot1=3\\\scriptstyle a_3=3\sdot a_2=3\sdot3=9\\\scriptstyle a_4=3\sdot a_3=3\sdot9=27\\\scriptstyle a_5=3\sdot a_4=3\sdot27=81\\\scriptstyle a_i=3\sdot a_{i-1}\end{cases}}}$ או כלך אצל דרך זה למשקל הראשון קח א' לשני ג' פעמי' א' לשלישי ג"פ ג' לרביעי ג' פעמים ט' לחמישי ג"פ כ"ז וכן לעולם וסימניך ושלישים על כולו פי' ג"פ וק"ל ודוק Divide a Quantity - Money - if you want to divide 5 pešiṭim to one third and one quarter so that nothing remains $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=5$ שאלה אם תרצה לחלוק ה' פשוטים לשליש ולרביעי ולא ישאר מהם כלום $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=4+3=7}}$ אמור תחילה שליש ורביעי בכמה ימצאון בי"ב השליש הוא ד' הרביעי הוא ג' חברם יחד הרי ז' וזהו המורה $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{4\sdot5}{7}=\frac{20}{7}=2+\frac{6}{7}}}$ אם ת"ל כמה מגיע לזה שיש לו שליש שהוא ד' כפול ד' על ה' הרי 0"ב חלוק אותו ז' ותמצא בו ב' פעמים ז' ועוד ששה חלקים שז' מהם עושין חלק שלם הרי שיש לזה ב' פשוטים שלימי' ו' חלקי' שבורים שז' מהן עושין חלק שלם $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{3\sdot5}{7}=\frac{15}{7}=2+\frac{1}{7}}}$ ומי שיש לו רביעי כפול ג' על ה' ויעלה ט"ו תחלק ממנו ז' ויעלה ב' פשוטים וחלק א' שז' מהן חלק שלם דהיינו פשוט הרי שנחלקו ה' פשוטים לג' ולד' ולא נשאר מהם כלום Divide a Quantity - Money - if you have 12 and you wish to divide them to a third, a half, and a quarter, so that nothing remains $\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=12$ וכן אם בידך י"ב פשוטים ותרצה לחלקם לחצאין לשליש לרביעי ולא ישאר כלום $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=6+4+3=13}}$ אמור חצי שליש ורביע אנא ימצאון בי"ב החצי ו' השליש ד' הרביע ג' צורפם יחד הרי י"ג וזהו המורה $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X=\frac{6\sdot12}{13}=\frac{72}{13}=5+\frac{7}{13}}}$ אחר כך כפול ו' שהיא החציה על י"ב ותמצא ב"ז חלוק כמה פעמים י"ג יש בו ותמצא ה' פעמים וז' שבורים שי"ג מהן פשוט שלם $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{4\sdot12}{13}=\frac{48}{13}=3+\frac{9}{13}}}$ אחר כך כפול השליש שהוא ד' על י"ב ויעלה ח"ד חלוק ממנו י"ג ותמצא ג' ועוד ט' שבורים שי"ג מהן פשוט שלם $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{3\sdot12}{13}=\frac{36}{13}=2+\frac{10}{13}}}$ וכן כפול ג' על י"ב ויעלה ו"ג חלוק מהן י"ג ותמצא ב' פעמים וי' שבורים שי"ג מהן חלק שלם וכן לעולם ול"ד Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Fish - its body weighs 10 liṭra and its tail and head weigh a third, a quarter, a fifth, and a sixth of its whole. How much is the weight of the whole [fish]? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+10=X$ שאלה הרי יש לפניך דג שמשקל גופו עשרה לטרות ומשקל זנבו וראשו שלישיתו רביעיתו חמישתו שישיתו כמה כל משקלו $\scriptstyle{\color{blue}{60-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)\right]=60-57=3}}$ תשובה מנה מספר המתחלק לג"ד ה"ו וזה 0'ו' כשתסיר מן 0"ו ג"דה"ו פי' שליש רביעי' חמישית שישית וצרפם יחד ויעלה ז"ה ועודף ג' וזהו המורה $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot60}{3}=\frac{600}{3}=200}}$ כפול 0"א על 0"ו ויעלה 00"ו חלוק ממנו ג' ותמצא בו מאתים פעמים ג' וכן כל משקל של דג ששאלת מאתים ליטרות Multiple Quantities - Boys Selling Cubits of a Cloth - a man gave his three sons 30 cubits of cloth to sell. One sold one cubit for 4 zehuvim, the second for 5 zehuvim, and the third for 6 zehuvim. All of them earned the same amount of money. How much money did each of them get from the sale and how many cubits did each of them sell? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+Y+Z=30\\\scriptstyle4X=5Y=6Z\end{cases}$ שאלה אדם נותן לג' בניו בגד למכור ל' אמות והאחד מכר אמה בעד ד' זהו' השני בעד ו' זהו' והג' עבור ו' זהו' וכולם מביאין מעות שוות זה כזה. חוד כמה מעות גובה מן המקח וכמה אמות מכר כל אחד $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=15+12+10=37}}$ תשובה בתחילה אראך כמה שהיה לזה שנותן אמה בעד ד' זהו' אמור תחילה רביעית חמישית ששית בכמה ימצאון בס' רביעי' ט"ו חומש י"ב שתות י' חברם יחד ויהיה ל"ז זה המורה $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{15\sdot30}{37}=\frac{450}{37}=12+\frac{6}{37}}}$ אחר כך כפול ט"ו שהוא רביעי' על ל' כמידת הבגד ותמצא 0'ה'ד' חלוק אותם על ל"ז ותמצא בו ב"א פעמים ל"ז וששה חלקים של"ז חלק שלם ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle4X &\scriptstyle=4\sdot\left(12+\frac{6}{37}\right)\\&\scriptstyle=\left(4\sdot12\right)+\left(4\sdot\frac{6}{37}\right)\\&\scriptstyle=48+\frac{\frac{28\sdot6}{37}}{7}\\&\scriptstyle=48+\frac{\frac{168}{37}}{7}=48+\frac{4+\frac{20}{37}}{7}=48+\frac{4}{7}+\frac{\frac{20}{37}}{7}\\\end{align}}}$ ואת"ל כמה מעות יש לזה שנותן אמה בעד ד' זהו' י"ב אמות היה לו וששה חלקים של"ז מהן אמה שלימה הרי י"ב פעמים ד' עולה מ"ח ומן ו' חלקים הנותרים עשה כך חלוק כל זהו' על ז' תפוחים ותאמר כך אילו היו אלו ו' חלקי ל"ז דהיינו דמיהם של בגד אמה אז היה דמיהם כ"ח תפוחים עתה שהם רק ו' כמה אז כפול ו' על כ"ח ויעלה ח'ו'א' חלוק אותם לל"ז ותמצא בו ד' פעמים ל"ז ועשרים חלקים של"ז מהן תפוח שלם נמצא שזה גובה מ"ח זהו' וד' תפוחים ועשרים חלקים של"ז מהן תפוח שלם $\scriptstyle{\color{blue}{Y=\frac{12\sdot30}{37}=\frac{360}{37}=9+\frac{27}{37}}}$ לדעת כמה אמות מכר זה שנתן אמה בעד ה' זהו' עשה כך כפול החומש מששים דהיינו י"ב על מנין אמות הבגד שהוא ל' ויעלה 0'ו'ג' וחלוק אותם ל"ז שהוא המורה ותמצא בו ט' פעמים דהיינו ט' אמות וכ"ז חלקים של"ז עושין אמה שלימה ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5Y &\scriptstyle=5\sdot\left(9+\frac{27}{37}\right)\\&\scriptstyle=\left(5\sdot9\right)+\left(5\sdot\frac{27}{37}\right)\\&\scriptstyle=45+\frac{\frac{35\sdot27}{37}}{7}\\&\scriptstyle=45+\frac{\frac{945}{37}}{7}\\&\scriptstyle=45+\frac{25+\frac{20}{37}}{7}\\&\scriptstyle=45+\frac{21+4+\frac{20}{37}}{7}=45+3+\frac{4}{7}+\frac{\frac{20}{37}}{7}=48+\frac{4}{7}+\frac{\frac{20}{37}}{7}\\\end{align}}}$ ואת"ל כמה מעות גבה ט' אמות היינו מ"ה זהו' וכ"ז חלקים אלו היה ל"ז היו נמכרים בעד ל"ה תפוחים כשתעריך כל זהו' בעד ז' תפוחים כדלעיל עתה שהוא רק כ"ז כמה כפול כ"ז על ל"ה ויעלה הד"ט חלוק אותם ל"ז ותמצא בו כ"ה תפוחים ועשרים חלקים של"ז עושה תפוחים שלם עשה מן כ"א תפוחים ג' זהו' וחברם יחד עם מ"ה ויהיה מ"ח ויותרו לך ד' תפוחים ועשרים חלקים של"ז תפוח שלם נמצא מעות השני כראשון $\scriptstyle{\color{blue}{Z=\frac{10\sdot30}{37}=\frac{300}{37}=8+\frac{4}{37}}}$ לדעת מעות ואמות המוכר אמה בעד ו' זהו' כפול חלק שישית מן ס' על מנין האמות דהיינו ל' ויעלה 0'0'ג' חלוק אותם ל"ז ותמצא בו ח' אמות וגם ד' חלקים של"ז מהן עושין חלק שלם ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle6Z &\scriptstyle=6\sdot\left(8+\frac{4}{37}\right)\\&\scriptstyle=\left(6\sdot8\right)+\left(6\sdot\frac{4}{37}\right)\\&\scriptstyle=48+\frac{\frac{42\sdot4}{37}}{7}\\&\scriptstyle=48+\frac{\frac{168}{37}}{7}=48+\frac{4+\frac{20}{37}}{7}=48+\frac{4}{7}+\frac{\frac{20}{37}}{7}\\\end{align}}}$ לדעת כמה מעותיו ח' פעמים ו' דהיינו מ"ח זהו' ד' חלקים הנותרים אילו היה ל"ז היו נמכרים בעד מ"ב תפוחים עתה שהם רק ד' בכמה כפול ד' על מ"ב ויעלה חו"א חלוק אותם ל"ז ותמצא בו ד' תפוחים ועשרים חלקים של"ז מהן תפוח שלם נמצא שאין בין זה לזה במנין המעות והראשון מכר י"ב אמו' יותר ו' חלקים ושני מכר ט' אמות וכ"ז חלקים ושלישי מכר ח' אמות וד' חלקים וזהו סימנם Divide a Quantity - Amount Given by a Group of People - three friends want to donate together as a group 40 liṭra zehuvim. The first has gold that worth 3 zehuvim per liṭra, the second [has gold that] worth 5 zehuvim [per liṭra], and the third has gold that worth 8 zehuvim per liṭra. How many liter does each of them has equally? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{8}X=40$ שאלה שלשה חברים רוצים לתת בחבורה מ' ליטרי' זהו' לראשון יש לו זהב ששוה הליטרא ג' זהו' והשני יש לו זהב ששוה הליטרא ה' זהו' ולשלישי יש לו זהב ששוה הליטרא ח' זהו' כמה יש לכל אחד ליטרין שוה בשוה $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5\sdot8=15\sdot8=120}}$ תשובה עשה מספר המתחלק לג'ה'ח' כפול ג' על ה' ויעלה ט"ו כפול ח' על ט"ו ויעלה ק"כ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot120\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot120\right)-\left(\frac{1}{8}\sdot120\right)=79}}$ חסר מק"כ שליש חומש שמינית וחברם יחד ויהיה ע"ט וזה המורה $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot120\right)\sdot40}{79}=\frac{40\sdot40}{79}}}$ לדעת כמה ליטרן יש לשום זה שזה שוות ג' זהו' קח השליש מן ק"כ וזהו מ' כפול מ' על מ' מנין הליטרין ומן העולה חלוק ע"ט וכן לכולם $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}X=\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot120\right)\sdot40}{79}}}$ לשני כפול החומש מן ק"כ על מ' כבר הארכתי בעניין זה ודוק Multiple Quantities - Coins that Worth an Amount of Money - four coins are worth 40 pešuṭim: the first is equal to a half and a sixth of the second. What is left from the second equals two thirds of the third. The third is equal to a third, a quarter, and a sixth of the first. The fourth is equal to four fifths of the third. How much does each [of the coins] worth? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\sum_{i=1}^4 a_i =40\\\scriptstyle a_1=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\\\scriptstyle a_2-\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\right]=a_2-a_1=\frac{2}{3}a_3\\\scriptstyle a_3=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_1\\\scriptstyle a_4=\frac{4}{5}\sdot{\color{red}{a_3}}\end{cases}$ שאלה הרי שיש לפניך ד' מטבעות ששוים מ' פשוטים הראשונה שוה החצי והשתות מן השנייה והנשאר מן השני הוא ב' שלישים מן השלישית והשלישי שוה שליש ורביעית ושתות מן הראשונ‫' והרביעי' שוה ד' חומשין מן השניה לדעת כמה שוה אחד מחבירו בקיצור $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)=3+1=4\longrightarrow a_1=\frac{2}{3}a_2}}$ עשה כך הראשונה ששוה חצי' ושתות מן השניי' באיזה מספר תמצא חצי ושתות שלמים בששה החציה ג' והשתות א' הרי ד' מו' הרי כאלו אמר הראשונה ב' שלישים מן השני $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=4+3+2=9\longrightarrow a_3=\frac{9}{12}a_1=\frac{3}{4}a_1}}$ ושלישית ששוה שליש ורביעי ושתות מן הראשון אלו החלקים בכמה נמצאין בי"ב שליש ד' רביעית ג' שתות ב' הרי ט' מן י"ב הוי כאלו אמר השליש ג' רביעי' מן הראשון $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{4}{5}{\color{red}{a_3}}}}$ והד' שוה ד' חומשין מן השני אין צריך ביאור דהא מבואר היטב $\scriptstyle{\color{blue}{b_2=60}}$ לדעת איך תמצא החלקים בפירוש הבן איזה חלקי' הזכרנו בשאל' חצי ושתות ובכל מקום שתמצא שתות תמצא גם שליש גם הוזכרנו רביעי' וחומש וכל אלו החלקים נמצאים בששי' נמצא מטבע שנייה ס‫' $\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot b_2=\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=30+10=40}}$ החצי ל' והשתות י' כללם יחד ויהיה מ' זהו' מטבע ראשונה $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}b_3=b_2-b_1=60-40=20\longrightarrow b_3=30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{b_3=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot b_1=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot40=30}}$ כמה עודף ס' על מ' כ' זהו' שאמרנו בשאלה והנשאר מן השני עודף על הראשון הוא שני שליש מן השלישי כי מטבע שלישי ל' כשתסיר גד"ו פי' שליש רביעי שתות מן מ' תמצא שלישי $\scriptstyle{\color{blue}{b_4=\frac{4}{5}\sdot b_3=\frac{4}{5}\sdot30=\frac{4}{5}\sdot5\sdot6=24}}$ לדעת מטבע רביעית תחלוק לה' חלקים נמצא ל' ה' פעמי' ו' ד' חומשין מל' הרי כ"ד $\scriptstyle{\color{blue}{b_1+b_2+b_3+b_4=40+60+30+24=154}}$ וזהו סידורן מ' ס' ל' כ"ד חבור אותם יחד קנ"ד וזה המורה את החידה $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{40\sdot40}{154}=10+\frac{60}{154}}}$ לדעת כמה מטבע ראשונה למלאות מנין ארבעים כפול מ' על מ' שהוא מנין המעות ומן העולה תחלוק קנ"ד ותמצא צורתו כזה פי' י' פשוטים וששים חלקים שקנ"ד מן פשוטים שלם זהו סך מטבע ראשונה $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{60\sdot40}{154}=15+\frac{90}{154}}}$ אחר כך כפול ס' על מ' ומן העולה חלוק קנ"ד ויהיה צורתו כזה פי' ט"ו פשוטי' וצ' חלקים שקנ"ד מן פשוט שלם זה סך מטבע שני‫' $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{30\sdot40}{154}=7+\frac{122}{154}}}$ אחר כך כפול ל' על מ' וחלוק לקנ"ד וצורתו כזה פי' ז' פשוטי' קכ"ב חלקים שקנ"ד מהן חלק שלם זהו מטבע שלישית $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{24\sdot40}{154}=6+\frac{36}{154}}}$ אחר כך כפול כ"ד על מ' ומן העולה תחלק קנ"ד וצורתו כזה פי' ו' פשוטי' ל"ו חלקים שקנ"ד מהן פשוט שלם $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4&\scriptstyle=\left(10+\frac{60}{154}\right)+\left(15+\frac{90}{154}\right)+\left(7+\frac{122}{154}\right)+\left(6+\frac{36}{154}\right)\\&\scriptstyle=\left(10+15+7+6\right)+\left(\frac{60}{154}+\frac{90}{154}+\frac{122}{154}+\frac{36}{154}\right)\\&\scriptstyle=38+\frac{308}{154}=38+\frac{2\sdot154}{154}=38+2=40\\\end{align}}}$ צרוף יחד י' וט"ו וז' ועוד ו' הרי ל"ח וצרוף יחד החלקים שתחתיהן ויעלה ח' וג' מאות היינו ב' פעמים קנ"ד וזהו ב' פשוטי' ול"ד Divide a Quantity - Boys Sharing Property of Their Father - a rich man talking to his sons, divided his assets and said to one of his sons: take from my purse one zahuv first, and then take a tithe of the remaining. To the second he said: take two zehuvim and a tithe of the remaining. To the third he said: take three zehuvim and a tithe of the remaining. And so on to all, first one zahuv more than the preceding should be taken, and then a tithe. How much is the money and how many are the sons, so that when they took according to their father's instruction each received as the other? $\scriptstyle1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-1\right)\right]=2+\frac{1}{10}\sdot\left[X-\left[\left[1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-1\right)\right]\right]+2\right]\right]$ חידה אדם עשיר המחלק נכסיו על פיו ואמר לאחד מבניו טול מנכסי זהו' בראש ואחר כך טול המעשר מן הנותר ולשני אמר טול אתה ב' זהו' ועישור נכסי מן הנותרים ולשליש אמר טול אתה ג' ועישור נכסי' מן הנותרים וכן לכולם הוסיף ליקח זהו' יותר בראש מן הקדמון ואחר כך עישור חוד כמה המעות כמה הבני' וכשנטלו כאשר ציום אביהם הגיע לזה כזה number of sons: $\scriptstyle{\color{blue}{10-1=9}}$ תשובה אמור לפי החשבון השבור שבזה הוא עשרה תפחות א' מעשרה ויהיה ט' הרי ט' היו הבנים number of zehuvim: $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot9=81}}$ אמור אחר זה ט' פעמים ט' ויעלה פ"א הרי פ"א היו הזהובים number of zehuvim each one received: $\scriptstyle{\color{blue}{9}}$ ולכל אחד הגיע ט' זהו‫' וכן לעולם היאך שהיה השבור שאמר לבניו ליקח אחד קח אחת פחות ועשה כמו שצויתיך ודוק Motion Problem - Pursuit Question: a man is walking ten miles a day. His friend is walking one mile on the first day, two miles on the second day, and so on in each day he goes on walking one mile more. In how many days will he reach the one who walks 10 miles? $\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x i$ שאלה אדם שמהלך בכל יום י' מילין וחבירו הולך ביום ראשון מיל יום שני ב' מילין וכן בכל יום מוסיף והולך מיל בכמה ימים מגיע למהלך י' מיל Answer: sum 10 with 10, the result is 20. Subtract one and 19 remain, so he will reach his friend in 19 days. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\left(10+10\right)-1=20-1=19}}$ תשובה חבר י' עם י' ויעלה כ' חסר אחד וישאר י"ט הרי בי"ט ימים מגיע לחבירו Thus, always double the walk of the one who walks in a constant [velocity], then subtract 1 and this is [the number of] days within which he will reach him. $\scriptstyle n\sdot X=\sum_{i=1}^x i\longrightarrow X=2n-1$ וכן לעולם כפול מהלכו של המהלך קביעתו והסר א' ובאלו הימים הגיעו If the second is walking 1; 3; 5; 7. $\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x \left(2i-1\right)$ ואם השני מהלך א'ג'ה'ז‫' Subtract 10 from the walk and he will reach him in $\scriptstyle{\color{blue}{X=10}}$ days. תחוסר מן המהלך י' וישיגו בי' ימים If he [= the second] is walking 2; 4; 6; 8. $\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x 2i$ ואם הוא מהלך ב'ד'ו'ח‫' He will reach him in $\scriptstyle{\color{blue}{X=9}}$ days. ישיגו בט' ימים וזה לך סימן לעולם על המהלך א'ב'ג' שתדע בקיצור כמה מילין הלך Sums - Stock of Coins - arranged in sequence: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... → finding their sum $\scriptstyle\sum_{i=1}^n i$ שאלה אם ישאלך השואל הנה צבור מעות מונחים כאן וכולן מונחים על דרך א'ב'ג'ד'ה'ו‫' If the last is 9: תבין בסוף השיטה אם סוף השיטה ט‫' $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^9 i={\color{red}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(9+1\right)\right]\sdot9}}=5\sdot9=45}}$ אז קח אמצעית אותו שיטה שהוא חמשה ואמור ה' פעמים ט' הרי מ"ה וכך המעות מ"ה If the last is 10: ואם סוף השיטה י‫' $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot10\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\left(5\sdot10\right)+5=50+5=55}}$ אז קח אחת מאמצעי' השיטה ואמור ה' פעמים י' הרי זה נ' ותוסיף עוד חצי שיטה היינו ה' והיינו הכל נ"ה The rule: נקט האי כללא בידך $\scriptstyle n=2m\longrightarrow\sum_{k=1}^n k=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)\sdot n\right]+\frac{1}{2}n$ כשסוף השיטה בזוגות אז כפול אמצעית השיטה על השיטה השלימה ותוסיף חצי השיטה $\scriptstyle n=2m+1\longrightarrow\sum_{k=1}^n k=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n+1\right)\right]\sdot n$ ואם סוף השיטה בפרודות כגון ז' ט' י"א י"ג ט"ו אז כפול אמצעי השיטה על כל השיטה ואינך צריך להוסיף דבר ודוק Divide a Quantity - Sharing Food - two sat down to eat some bread. One had three loafs of bread and the second had two loafs of bread. A third came and ate with them. At the end of the meal, he went leaving five pešiṭim for the two. How should these two share the five pešiṭim? $\scriptstyle\left(2-\frac{5}{3}\right)X+\left(3-\frac{5}{3}\right)X=\frac{5}{3}$ חידה שנים הסיבו לאכול לחם ואחד יש לו ג' ככרות והשני יש לו ב' ככרות ובא עוד שלישי ואכל עמהם ובגמר הסעודה הלך לו והניח לפני השנים ה' פשוטים חוד איך יחלקו אלו השנים הה' פשוטים $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}}}$ ודע והבין כמה מגיע לכל אחד מן הלחם צריך לומר כיכר שלם ושני שלישית $\scriptstyle{\color{blue}{2-\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}}}$ כמה הפסיד בעל ב' ככרות רק שליש $\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(1+\frac{2}{3}\right)=1+\frac{1}{3}}}$ וכמה הפסיד בעל ג' ככרות ככר ושליש $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}=\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}}$ נמצא שנתן בעד ה' שלישיות ה' פשוטים זה נוטל ארבע פשי' וזה נוטל פשוט Multiple Quantities - Men, Women, and Children as Guests - people came to eat. Among them, there were men, women, and children. All in all 20 [people]. The host came and said to them: every man should give me three pešiṭim, every woman – two pešiṭim, and every child – a half pašuṭ, and so they did. The total amount of money [paid by] all of them together was 20. How many men, women, and children were there? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle3X+2Y+\frac{1}{2}Z=20\\\scriptstyle X+Y+Z=20\end{cases}$ חוד חידה הנה באו הנה נפשות לאכול ויש ביניהם אנשים ונשים וטף וסך כולם עשרים ובא להן בעל הבית ואמר להן תנו לי איש אחד מכם ג' פשוטים ואשה ב' פשוטים ותינוק חצי פשוט וכן עשו ועלה הסך של מעות כולם עשרים פשוטים חוד כמה היו האנשים וכמה הנשים וכמה הטף $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle men=X=1\\\scriptstyle women=Y=5\\\scriptstyle children=Z=14\end{cases}}}$ תשובה איש אחד חמשה נשים י"ד תינוקות ודוק Multiple Quantities - Men, Women, and Children as Guests - a hundred people came to a guesthouse and sat to eat together. Among them, there were men, women, and children. The host came and said to them: every man should give me ten pešiṭim, every woman – five pešiṭim, and every child – a half pašuṭ, and so they did. The total amount of money [paid by] all of them together was 100 pešiṭim. How many men, women, and children were there? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle10X+5Y+\frac{1}{2}Z=100\\\scriptstyle X+Y+Z=100\end{cases}$ דרך אחר הנה באו מאה נפשות למלון אחד וישבו יחד לאכול והיה ג"כ ביניהם אנשים ונשים וטף ובא ג"כ להם בעל אושפיזין ואמר להם תנו לי כל איש עשרה פשוטי' ואשה ה' פשוט ותינוק חצי פשי' וכן עשו והיה הסך של מעות מאה פשוטי' חוד כמה היו אנשים וכמה הנשים וכמה טף $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle men=X=1\\\scriptstyle women=Y=9\\\scriptstyle children=Z=90\end{cases}}}$ תשובה איש אחד ט' נשים צ' תינוקות Double False Position Question by R. Israel from Prague: שאלה מפי הר"ר ישראל מפראג ממון שהוספנו עלינו כמה שהיה בתחלה כגון אם הוא ג' תוסיף עליו ג' וגם מחציתו ורביעתו ויהיה הכל עשרים או ל' או מ' או כפי רצונך כמה שתרצה ותכתוב שני חשבונות שקרים ותחשוב מהם האמת כמה היה בתחילה Find a Quantity Problem - How Much Problem - Amount of Money - we add to it as it was at first, and its half and its quarter and the total is 20 $\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X=20$ והנה לך דימיון כגון ממון שהוספנו עליו כמו שהיה בתחילה ומחציתו ורביעתו ויהיה הכל עשרים 1) $\scriptstyle{\color{blue}{4+4+\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot4\right)=4+4+2+1=11}}$ אז חשוב אם היה בתחלה המעות ד' זהו' והוספנו עליו עוד ד' ועוד מחציתו שהוא ב' ורביעתו שהוא א' והנה הכל ביחד א'א' $\scriptstyle{\color{blue}{20-11=9}}$ והנה הוא שקר כי היה ראוי להיות הכל 0"ב כי שאילתינו כשהוספנו עליו כמו שהיה בתחילה ומחציתו ורביעתו ויהיה הכל עשרים וזה אינו רק א'א' אז חשוב כמה הוא מן א'א' עד 0"ב ויהיה ט' אותו ט' כתוב תחת ד' שאמרנו שהיו המעות בתחילה כזה ד ט 2) $\scriptstyle{\color{blue}{8+8+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)=8+8+4+2=22}}$ ואח"כ חשוב אם היו המעו' בתחילה ח' והוספנו עליו כפי שאילתינו עוד ח' ומחציתו שהוא ד' ורביעיתו שהוא ב' והנה הכל ביחד ב'ב' $\scriptstyle{\color{blue}{22-20=2}}$ א"כ זהו ג"כ שקר כי הוא ראוי להיות הכל ביחד 0"ב כמו ששאלנו כי שאלנו כשהוספנו עליו כמו שהיה בתחילה ומחציתו ורביעתו ויהיה הכל 0"ב אז תנכה 0"ב מן החשבון כפי שאילתנו ויהיה יותר ב' אותו ב' כתוב תחת ח' שאמרנו שהיה המעות בתחילה וכתוב ח' בצד שמאל של ד' וגם ב' הנשאר מן החשבון כתוב בצד שמאל על ט' כזה ח ד ב ט $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(2\sdot4\right)+\left(9\sdot8\right)}{9+2}=\frac{8+72}{11}=\frac{80}{11}=7+\frac{3}{11}}}$ והנה צרוף ט"ב ביחד כי הם נשארים מן החשבונות השקרים ויהיה א'א' וזה המורה אח"כ כפל ב' שתחת על ד' ויהיה ח' אותו ח' כתוב שלא תשכח ואח"כ כפול ט' שתחת ד' על ח' ויהיה ב"ז וקח ח' שכתבת כבר ושים אותו על ב' ויהיה עשרה כתוב גלגל במקום ב' ומחוק ד' וכתוב במקומה ח' ויהיה 0"ח פי' פ' ואח"כ חלוק בשער החילוק כמה פעמים א'א' יש בשמונים כי הוא המורה ותמצא בו ז' פעמים ועוד ג' חלקים שא'א' מהן חלק שלם פי' שלם זהב שלם וכך היא המעות בתחילה ששאלנו והמבין יבין וזה החשבון דלעיל מכוון כששני חשבונות השקרים אחד פחות ואחד יותר אבל אם שני חשבונות שקרים כל אחד יותר על חשבון היוצא או שניהם חסרים אשכילך האיך תעשה אז תנכה החשבון המועט הנשאר מן חשבון המרובע ומה שישאר לך זהו המורה וכשכפלת שני חשבונות יחד אז תנכה גם כן חשבון המועט מן המרובה Find a Quantity Problem - How Much Problem - Amount of Money - you add to it the same amount, and its half and its quarter and the total is 20 $\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X=20$ והנה אכתוב לך דימיון כגון אם יש לך סך מעות וכפלת עליו סך שהיה כבר ומחציתו ורביעתו ויהיה בין הכל 0"ב 1) $\scriptstyle{\color{blue}{8+8+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)=8+8+4+2=22}}$ אשכילך האיך תעשה אם תאמר שהיה סך מעות ח' זהו' והוספנו עליו עוד ח' ומחציתו שהוא ד' ורביעתו שהוא ב' ויהיה [ס]ך הכל ב'ב' $\scriptstyle{\color{blue}{22-20=2}}$ וזה שקר כי היה ראוי להיות סך הכל 0"ב אז תנכה 0"ב וישאר ב' אותו ב' כתוב שלא [ת]שכח 2) $\scriptstyle{\color{blue}{16+16+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)=16+16+8+4=44}}$ ואז תחשוב חשבון השני ותאמר אם היו סך המעות ו"א והוספנו עליו ו"א ומחציתו שהוא ח' ורביעיתו שהוא ד' ויהיה בין הכל ד"ד $\scriptstyle{\color{blue}{44-20=24}}$ וזה שקר גמור כי היה ראוי להיות 0"ב אז תנכה 0"ב שהוא סך היוצא מן מעות מן ד"ד וישאר ד"ב $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(24\sdot8\right)+\left(2\sdot16\right)}{24-2}=\frac{192-32}{22}=\frac{160}{22}=7+\frac{6}{22}}}$ ואח"כ ב' הנשאר מן חשבון הראשון מן ד"ב הנשאר מן חשבון השני וישאר ב"ב וזהו המורה ואז כפול ב' שתחת ח' על ו"א ויהיה ב"ג כתוב שלא תשכח ואח"כ כפול ד'ב' על ח' ויעלה ב'ט'א' אז תנכה החשבון הראשון אשר כפלת שהוא ב"ג מן החשבון השני שהוא ב'ט'א' כי הוא חשבון המועט וישאר 0'ו'א' אז חלוק בשער החילוק כמה פעמים ב'ב' יש בו כי הוא המורה ותמצא שיש בו ז' פעמים וגם ו' חלקים שב'ב' מהן חלק שלם דהיינו זהו' והמבין יבין סליק Additional Word Problems Mantova, Comunità Ebraica MS ebr. 8/16 Into how many parts you should divide a piece [of bread] so that [the parts] will be divisible by 3, 4, and 5 והנה אגלה לך שער השברים אם נשאל לך השואל על פת אחת לכמה חלקים שצריך אתה לשבר הפת שתמצא בה שלישית ורביעית וחמישית אז תכתוב כך השאלה ה ד ג ותאמ' ג' פעמים ד' ויעלה ב"א ותכפול פעם אחת הב"א תוך הה' אז יעל' לך ס"ו וזה חלוקים שתמצא שלישית ורביעית וחמישית דהא 0"ב שלישית מס"ו ורביעית ה"א וחמישית זהו ב"א סליק 12 barrels are bought for 6 zehuvim, how much are 9 barrels cost? והנה אגלה לך שער הערך וזהוא דמיונו אם נשאל לך השואל הנה לפניך ב"א חביות שנקנין עבור ו' זהובי' ט' חביות כמה הן עולין אז תכתו' כך השאלה ט ו בא ואז תאמר ו' פעמי' ט' ויעלה לך ד"ה אז תחלוק הב"א מד"ה ותאמר כמה א' בה' והא' הוי תוך הה' ה' פעמים אבל לא תוכל ליקח ה' פעמים דאל"כ לא תוכל ליקח הב' מן הד' ה' פעמים וכמה פעמים שתקח הא' מן הה' כך הרבה פעמים צריך אתה ליקח הב' מן הד' אלא לא תוכל ליקח הא' מן הה' אלא ד' פעמים ואז נשאר לך ד"א והד' תכתו' למעלה דה"ד הוי הזהו' ואז צריך ליקח הב' מן ד"א נמי ד' פעמי' אז נשאר לך ו' וזהו ג' גדולי' שעולי' י"ב על הזהוב אחד ונמצא לכשתקנה ב"א חביות עבור ו' זהובי' שט' חביות עולים ד' זהובי' וחצי כן תעשה לכל פעם Two lent a loan of 34 zehuvim - one had a debt of 15 zehuvim and the other had a debt of 19 zehuvim and they charged an interest of 13 zehuvim, how much will each have of the interest? ועוד אפרש לך ערך אחר שנים שהלוו על חוב אחד ד"ג זהובי' ולאחד יש לו בחוב ה"א זהובי' ולשיני יש לו בחוב ט"א זהובי' ולקחו שנים לרבית ג"א זהובי' כמה יש לכל אחד בה ג"א זהובי' לפי הערך והנה אפרש לך בקיצור איך תעשה שתמצא היושר אז תכתו' כל אחד לחוד וכך תכתו' הריבי' למעלה ואח"כ המעות שיש לו ב' בחוב ואח"כ הסך כולה וזה דומיונו שכתו' מבראי ותכפל המעות שלו תוך הריבית ותאמ' פ' א'פ'א' ואח"כ תאמ' א'פ'ה' שהוא ה' ואח"כ תכתו' עוד פעם אחת ה"א תחת הג' שלמעלה ויהיה כך דמיונו ותאמ' גפ"א שהוא ג' ותשים על הה' שלמעלה אז יהיה ח' ותאמ' עוד פ"א גפ"ה שהוא ה"א אז תמצא הט' א' אז תחליק הד"ג מן הט"א ותאמ' כמה יש ג' בתוך ט"א והוא הוי ביה ו'פ' אבל תוכל לקח ו' פ' כי אז אין נשאר לך אלא ה' א' ולא תוכל ליקח ו'פ'ד' מה"א אלא לא תוכל ליקח אל ה'פ' אז נשאר לך הד' והה' תכתו' למעלה כמו כן ותקח ה'פ'ד' מן ה'ד' אז תשאר לך ה"ב אז יהיה לזה בחלקו ה' זהוב' והב' גדולי' שעולים ד"ג על זהוב אחד ועשית' גם כן לצד השני ותמצא שיהיה לשני בחלקו ז' זהובי' וט' גדולי' שעולי' ד"ג על זהוב אחד סליק Boiling Water Problem - you have 15 se'ah of water, if they are boiled on fire for one day, 7 se'ah are evaporated, if there are only 13 se'ah on fire, how much will be evaporated according to this ratio? $\scriptstyle\frac{15}{7}=\frac{13}{X}$ הנה אפרש לך ערך אחר אם ישאל לך השואל כי הנה ה"א סאין מים לפניך ואם מתבשלין על האור יום אחד אז הוי מתמעטין ז' סאין הנה אם היו רק ג"א סאין על האש והאש הוי מממועט לפי זה הערך כמה הוי מתמעט מן הג"א סאין ביום אחד אז תכתו' כך השאלה כדכתי' מבדאי $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{13\times7}{15}=\frac{91}{15}=6+\frac{1}{15}}}$ ותעשה כמו שפרשתי לעיל תכפול הג"א תוך הז' ותמצא א"ט אז תחלוק ה"א מן הא"ט ותמצא שהוי הג"א סאין מתמעט ביום אחד ו' סאין וחלק אחד שה"א עושין על סאה אחת סליק השורש מערך שנים שהלוו על חוב ט' זהו' לאחד יש ה' זהו' ולאחד ד' זהו' ולקחו לרבית י"ג ונמצא דשייך לכל אחד ב' זהוב י"ג תשיעיו' לרבית ונמצא דשייך לזה שיש לו ה' זהו' ה'פ' י"ג תשיעיו' שהם וו' תשיעיו' וכשתחלוק ממנו ט' שהוא המור' פי' כל ט' תשיעיות הם רבי' זהוב וכך תעשה גם לשני סליק והנה אפרש לך ערך מתוך ערך והנה אחד שלוה על חוב ט' זהובי' והם עומדים ד"א שבועות ואחד שלוה על חוב א"א זהובי' והם עומדי' ה"א שבועות ולקחו שניהם ליחד ריבית ז' זהובי' כמה יש לכל אחד בחלקו לפי הערך הנה אפרש לך בקיצור איך שתעשה שתמצ' האמת תכתו' לכל אחד לבדו כמה שהכתב מבדאי הריבי' לעי' ואח"כ המעות ואח"כ השובועו' ותשים צד אחד לפניך איזי שתרצה ותכפל המעות תוך השבועות ותאמ' ט'פ'א' שהוא ט' ואח"כ תאמ' טפ"ד ותמצא הוא אז תחבר וב"א ותעשה ג"כ לצד השיני ותמצא הוא אז תחבר אותם ליחד וב"א והוא ותמצא אט"ב וזה תרשום לפניך כי הוא המור' ואח"כ תכפול כל אחד ואחד וב"א והוא תוך הריבית וכשתכפול וב"א תוך הז' אז תמצא בח"ח ותחליק אט"ב הנזכרים לעיל מן בח"ח ותמצ' אט"ב תוך בח"ח ג"פ והג' הוא הזהו' שיהיו לו בחלקו וגם ט' נשאר לך מן החילק הוא הוי ט' גדולי' שעולי' אט"ב על אט"ב על אט"ב זהוב אחד ותעשה ג"כ לצד השני ותיכפול הוא תוך הז' ותמצא ה"ה א"א ותחליק ג"כ אט"ב מן ה"ה א"א ותמצא אטב תוך ה"א א"א ג"פ שהוא הזהו' שיהיו לו בחלקו וגם נשאר לך בח"ב שלא יכולים להשיג לכלל אט"ב שהוא גדולים שעולים אט"ב על זהו' אחד ונמצא שיהיו לזה בחלקו ג' זהו' ובח"ב גדולי' שעולי' אט"ב על זהוב אחד סליק דוק ואם נשאל לך על זה העיגול כמה כי יאמר לך החץ וחצי היתור אותו אז תאמר כמה היתור חצי הוא הד' אמות אז תאמ' ד'פ'ד' והוא ו"א ותאמ' כמה אורך החץ והוא אמה אז תחלק האמ' מן הו"א ותאמר כמה א' בתוך ו"א והוא ו"א והוא ו"א פ' בתוכה אז תעשה אורך החץ שהוא א' על הו"א אז יהיה ז"א וקח הו"א אורכו העיגול וכן תעשה לכל פעם תכפול היתור תחלק החץ מן ה' הנכפל ודוק הנה אפרש לך שאלה שנקר' הסולם אם נשאל לך על סולם אחד שהיא גבוה עשרה אמות ואם נישג הסולם למעלה ב' אמות כמה אמות השיג למטה מחומה כמה זה אז תעשה כך תאמ' כמה אורך הסול' אורכה עשרה ותאמ' י'פ'י' שהי' ק' ותאמ' כמה אורך החומה מן הארץ עד ראש הסולם והיא ח' אמות ותאמ' ח'פ'ח' והוא ד"ו ותחלק הח' מן ה0'0'א' ונשאר ו"ג ותעשה שורת בה'ו'ג' והשורת בהוג הוא ו' זה אורך הקרקע מן החומה עד הסולם. זליק בזה הוכיח דלאכח מה שבריבוע מאה על אמה שהאלכסון שלו אמ' ותרי חומשין כי זה 0"א אמות על 0"א אמו' ודוק Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 714/4 שאלה הנה שוורים הרבה בזה אחר זה וב[...] זה . בכל פעם כשקניתי הראשון [.....] א' אז קניתי אותו שור של [...] בעד [...] וכן [...] אותו [...] כגון הא' קניתי השור א' זהוב הב' בב' זהובי' הג' בד' וכן כולם והנה השאלה כמה כל המעות הללו בסך אחת תשובה זאת ועוד אחרת דוגמא זה למצוא ולחשוב ולעמוד על בוריו תעשה בענין זה ואופן זה בתחלה תראה ותבין כמה הוא סך הראשון שקנית בו השור הראשון ואח"כ תראה ג"כ כמה הוא הסך האחרון ב' פעמים בשער הכפל גדול ותחסר ממנו בשער החיסור הסך הראשון שקנית בו השור הראשון ומה שישאר בידך כשחסרת ממנו הסך הא' הוא סכום כל המעות שקנית בהם [אלה] השוורים והנה לך הדמיון כגון הראשון קנית בעד א' זהוב והשני בעד ב' והשלישי בעד ד' והרביעי בעד ח' והה' בעד י"ו והו' בעד ל"ב והז' בעד ס"ד . והנה תראה אתה שהסך האחרון שקנית בו השור הז' היינו השור האחרון הוא ס"ד זהובים א"כ תחשוב הכפול הגדול ב' פעמים ס"ד ויהיה ס"ד ויהיה קכ"ח אז החסר מן קכ"ח הסך הראשון שקנית בו השור הא' שהוא א' זהוב וישאר בידך קכ"ז זה כל כך מעות קנית [האלה] השוורים [...] מן הסך [...] הראשון [...]קא אם הסך הראשון א' שהוא [...] אם הסך הא' ב' או ג' או ד' או כמה שהוא בתחלה ת[חסר] מן הסך האחרון כשכפלת אותו ב"פ ואל תש[.]ה מעניין זה כי חשבון א' הוא ואמת שאלה אם תרצה לידע ולחשוב חשבון מה שתרצה בעניין זה בכל פעם אותו חשבון שלאחריו הוא ד' פעמים כמו אותו חשבון שלפניו כגון א' ד' י"ו . ס"ד . ס"ד . רנ"ו . ותרצה לידע ולחשוב כמה הוא סך אחד . אשכילך בדרך זו הילך למען תצליח שתשכיל . והנה אראך הדרך אשר תלך בה בתחלה תראה ותבין ג"כ על הסך הראשון ועל הסך האחרון כמה הם אמנם אינו צריך לכפול סך האחרון כמו שהראיתיך לעיל . רק קח בידך כמו שתמצא אותו עתה ותחסר ממנו סך הראשון מן סך האחרון אז תוכל לחלק הנשאר בידך לג' חלקים שוים וזה קל להבין לכל בר משכיל אשר הערה את נפשו למלאכה היקרה הזאת . כי אמשול לך משל בדמיון קטן ואשכילך בו למען הבין ממנו ותראה בעיניך שתוכל לחלק הנשאר אז בידך לג' חלקים אחרי שחסרת ממנו הסך הראשון [..] והנה לך הדמיון [...] [...] תראה [...] האחרון הוא רנ"ו והסך הא' הוא א' ותרצה לחשוב כל הסכומין בסך אחד אז קח הסך האחרון היינו רנ"ו ותחסר ממנו הסך הראשון היינו א' וישאר לך רנ"ה ואח"כ תחלק בשער החלוק כמה יש ברנ"ה הג' כ[.] תמצא שיצא החשבון לג' חלקים שוים ולא ישאר לך מהם כלום . אחר אשר חסרת ממנו הסך הראשון היינו א' . ואם אתה עושה כן תמצא שיש בו פ"ה פעמים ג' ברנ"ה והיינו השליש מן הרנ"ה כי פ"ה פעמים ג' היינו רנ"ה . אם כן תראה עתה שיצא החשבון בג' חלקים שוים אחרי שחסרת ממנו הסך הראשון אח"כ קח אותו השליש מן רנ"ה דהיינו פ"ה וחבר אותו אל רנ"ו כי כן היה הסך האחרון מתחלה קודם שחסרת ממנו הסך הראשון ותמצא אחר החיבור שיצא לך תר"ל (?) והיינו כל החשבון אשר חפצת לידע כי כשתחבר ביחד א' ד' י"ו ס"ד ס"ד רנ"ו יעלה לך תר"ל (?) . ותן לבך להבין ולא לשכוח בכל פעם לחסר החשבון הראשון מן סך האחרון ויצא אחר החיסור לג' חלקים שוים אח"כ תוכל ליקח [החלק] הג' היינו השליש ולחברו אל הסך [...] בתחלה [...] [...] אם הסך הראשון ב' או ג' או [...] או כמה שתרצה . תוכל בכל פעם לחסר אותו מן הסך האחרון ויצא לך הסך בכל פעם אחר החיסור לג' חלקים שוים וחבור אותו השליש לסך האחרון כמו שהיה בתחלה וזהו חשבון ודוק תם אדם הלך לשוק [...] והוציא [...] פשוטים [...] [...] [...] [....] כמה היה הקרן שהוליך כמו בשוק הראשון עשה כך בעבור הראשון נצטרך להוציא החצי מן הי"ב שהוציא ובעבור השני נקח הרביעי ובעבור השלישי נקח השמינית מי"ב שהוא פשוט וחצי הסר א' פשוט וחצי מי"ב ישארו י' וחצי וכן היה הקרן שהוליך לשוק הראשון ועל זה הדרך תוכל לעשות ואם ילך לכמה שווקים כי בעבור השוק הרביעי נסיר מן הי"ב פ' שהיה מוציא בכל פעם חלק א' מי"ו ובעבור החמישי נסיר חלק א' מל"ב ובעבור השישי נסיר חלק א' מס"ד וכאשר תרבה השווקים כן תכפול מה שיש בידך ועל הכפול חלק מה שהוציא ומה שיעלה בחילוק הסר ממה שהוציא והוא המבוקש אדם א' הלך לפרדס א' ללקוט תפוחים ויש לו ללקוט מהם כל כך שיתן לשוער הפנימי של הפרדס חצי התפוחים שלקט וא' יותר ולשוער השני מן השער הב' יש לו ליתן החצי מן [התפוחים הנותרים] וא' יותר וכן יש לו [...] לכל שוער החצי וא' [יותר] [...] תפוחים לא פחות ולא יותר עשה כך תפוש מספר הה' שהוא חייב להביא ותוסיף עליו א' הרי ו' כפול ו' ויהא י"ב הרי שער א' הוסיף עליו א' הרי י"ג כפול אותם ויהיו כ"ו הרי ב' שערים תוסיף עליו א' ויהיו כ"ז כפול אותם ויהיו נ"ד הרי ג' שערים תוסיף עליהם א' ויהיו נ"ה כפול אותם ויהיו ק"י הרי ד' שערים תוסיף עליהם א' ויהיו קי"א כפול אותם ויהיו רכ"ב הרי ה' שערים תוסיף עליהם א' ויהיו רכ"ג כפול אותם ויהיו תמ"ו הרי ו' שערים הרי שיש לו ללקט תמ"ו תפוחים בין הכל וישארו בידו ה' תפוחים להביא לא פיחות ולא יותר ואם יש לו ללקט מהם כל כך שיתן לשוער הפנימי החצי ממה שלקט וא' יותר ולשוער הב' חצי הנשאר וב' יותר ולשוער הג' חצי הנשאר וג' יותר ולשוער הד' חצי הנשאר וד' יותר וד' תפוחים יש לו להביא לא פחות ולא יותר ע[...] משער הד' [...] לש[...הרי שער] א' [הוסף] [עליהם א' ויהיו] י"ט כפלם ויהיו ל"ח . הרי ב' שערים הוסף עליהם ב' ויהיו מ' כפלם ויהיו פ' הרי ג' שערים הוסף עליהם א' יהיו פ"א כפלם ויהיו קס"ב הרי ד' שערים והתפוחים שלקט היו קס"ב והנשארים בידו ד' תפוחים חנית מעוכה בארץ שלישיתה ורביעיתה ולמעלה מן הארץ היא פ' אמה כמה אמות היא בין כולה עשה כך תמצא מספר שיש לו שליש ורביע והוא י"ב ושליש ורביע מי"ב הוא ז' והוא התחוב בארץ ולמעלה מן הארץ נשאר ה' אם כך אמור כך אם ה' שווה י"ב כמה ישוה כ' כפול אותם כ"פ י"ב יעלו ר"מ חלקם על ה' יעלו מ"ח בחלוק א"כ אורך החנית מ"ח אמות Reuven hired Shimon to build him a house in 30 days - for a day working in construction he will earn 9 liṭra, and for an unemployment day he will lose 4 liṭra. At the end of 30 days he did not earn or lose. How many days did he work and how many days he did not work? $\scriptstyle3x=\left(30-x\right)\sdot4$ ראובן שכר שמעון שיבנה לו בית א' בל' יום והיום שיעבוד בבנין ירויח ג' ליט' והיום שלא יעבוד יפסיד ד' ליט' ובסוף ל' יום לא הרויח ולא הפסיד כלום כמה ימים עבד וכמה ימים לא עבד $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot30}{3+4}=\frac{120}{7}=17+\frac{1}{7}}}$ [י"ב ימים חלקים של ז' והם הימים שלא עבד בה ואחר הכפיל ד"פ ל' ויעלו ק"כ חלקם עם ז' ויעלו י"ז יום וחלק א' מז' ביום] עשה כך אין ספק כי מה שירויח בד' ימים לחשבון ג' ליט' [ליום] יפסיד בג' ימים לחשבון ד' ליט' ל[...] [...] וכן ימים עבד [...] If for a day working in building the house he will earn 36 pešuṭim, for an unemployment day he will lose 41 pešuṭim and at the end of 30 days he did not earn or lose $\scriptstyle36x=\left(30-x\right)\sdot41$ ואם יאמר כי היום שיעבוד בבית ירויח ל"ו פשוט והיום שלא יעבוד יפסיד מ"א פשוטים ובסוף ל' יום לא הרויח ולא הפסיד כלום $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{36\sdot30}{36+41}=\frac{1080}{77}=14+\frac{2}{77}}}$ עשה כך אין ספק כי מה שירויח במ"א יום לחשבון ל"ו פשוטים ליום יפסיד בל"ו יום לחשבון מ"א פשוטים ליום תחבר ל"ו עם מ"א יעלו ע"ז כפול ל"ו פעמים ל' יהיו לך י"ד יום שלמים יעלה לך אלף ופ' חלקם על ע"ז ויעלו בחלוק י"ד יום שלם וב' חלקים מע"ז ביום וכך ימים לא עבד בבית $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{41\sdot30}{36+41}=\frac{1230}{77}=15+\frac{75}{77}}}$ ועוד כפול מ"א פעמים ל' ויעלה אלף ור"ל חלקם על ע"ז ויעלו בחלוק ט"ו ימים שלמים וע"ה חלקים מע"ז ביום Divide a Quantity - Sharing Food Two men sat down to eat. One had two loafs of bread and the second had three loafs of bread. A third came and ate with them. [The three ate the five loafs of bread and after they ate and drank, the third who came to eat with them gave five pešiṭim for the two. How should they share the five pešiṭim]? $\scriptstyle\left[\left(2-\frac{5}{3}\right)\sdot X\right]+\left[\left(3-\frac{5}{3}\right)\sdot X\right]=5$ ב' אנשים היו יושבין לאכול לאחד היו ב' לחמים ולשני ג' לחמים בא אדם שלישי ואכל עמהם וא[.] ליתן של[...] אלו [...] לפשוט לאמרו שאכלו [...] [...]ם [...] חלק מכל לחם אכל כל א' מהם א' לחם וב' שלישיות מלחם א"כ אותו שהיו לו ב' לחמים ואכל א' לחם וב' שלישיות לא הפסיד כי אם שליש לחם ואותו שהיו לו ג' לחמים ואכל א' לחם וב' שלישיות הפסיד א' לחם ושליש שהם ד' שלישיות לחם א"כ אותו שהיו לו ב' לחמים יקח א' פשוט כי הפסיד שליש לחם ואותו שהיו לו ג' לחמים יקח ד' פשוטים כי הפסיד לחם א' ושליש שהם ד' שלישי לחם Motion Problem - To and From - an Ant Climbing a Tower A tower is 20 cubits tall. An ant wants to climb up. Every day it climbs up one third of a cubit and every night it goes down a quarter of a cubit. How much further up it moves each day and in how many days it will reach to the top? $\scriptstyle\frac{1}{3}X-\frac{1}{4}X=20$ מגדל שהוא גבוה כ' אמה ונמלה א' רוצה לעלות למעלה ובכל יום עולה שליש אמה ובכל לילה יורדה רביע אמה כמה יתרון יש לה בכל יום ובכמה ימים תעלה למעלה $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}}$ אמור תחלה כמה הוא יותר השליש מן הרביע א' חלק מי"ב הרי שבי"ב ימים היא עולה א' אמה $\scriptstyle{\color{blue}{x=12\sdot20=240}}$ ובעבור שהמגדל היא גבוה כ' אמות אמור י"ב פעמים כ' הרי ר"מ הרי שבר"מ ימים היא עולה לראש המגדל How Much Problem – Money You have some money. You take a third, a quarter, and a fifth of it and their sum is nine. How much remains? $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X\right)=9$ הרי שיש לך מעות והוצאת מהם השליש והרביע והחומש והחומש והם ט' פשוטים כמה יהיו הנשארים אמור [מ]כלם שליש ורביע וחומש ימצאו בס' השליש הוא כ' ה[רביע] הוא [ט"ו] החומש הוא י"ב וכללם יהיו מ"ז הרי שה[...] חלקים מס' נמצא שהנשאר [...] ולכן אמור אם מ"ז חלקים מס' שוים ט' פשוטים י"ג חלקים מס' כמה שוים אמור י"ג פעמים ט' הם קי"ז חלקם במ"ז יבואו (ב' ו)כ"ג חלקים ממ"ז נמצא שהיו בכיס י"א פשוטים וכ"ג חלקים ממ"ז ומה שהוציא הוא ט' ומה שנשאר היו ב' וכ"ג חלקים ממ"ז וכן לכל חשבון שתרצה A man has a jug with maximum capacity of 8 cups of wine and he wants to divide its content between two people, giving each 4 cups, but he has only two jars – one with a maximum capacity of 3 cups and the other [with a maximum capacity of] 5 [cups]. How will he divide it, giving each 4 [cups]? אדם א' יש לו קנקן שמחזיק ח' כוסות של יין ורוצה לחלקו לשני אנשים וליתן לכל א' ד' כוסות ואין לו רק שני כלים שהא' מחזיק ג' כוסות וא' ה' היאך יעשה לחלק אותם וליתן ד' לכל א' Filling the small jar [3 cups] and pouring its content to the medium jar [5 cups] 3 cups - medium jar 5 cups - large jug תחלה ימלא הכלי שמחזיק ג' כוסות וישים אותם בתוך הכלי המחזיק ה' Filling the small jar once more, pouring its content to the medium jar until it is full 1 cup - small jar 5 cups - medium jar [2 cups - large jug] ואח"כ ימלא פעם אחר הכלי המחזיק ג' ויריק כמו כן באותו הכלי המחזיק ה' הרי שהכלי המחזיק ה' מלא ונשאר בכלי המחזיק ג' כוס א' Pouring the content of the medium jar to the large jug [8 cups] 1 cup - small jar [7] cups - large jug אח"כ יריק הכלי מלא של ה' כוסות בתוך הקנקן המחזיק ח' ונמצא שבתוך הקנקן גדול יש בו ה' כוסות ובכלי המחזיק ג' יש בו כוס א' Pouring the content of the small jar [1 cup] to the medium jar, then filling the small jar once again from the large jug and pouring the content of the small jar [3 cup] to the medium jar 4 cups - medium jar 4 cups - large jug אח"כ יריק הכלי של ג' כוסות שיש בו מהם א' בתוך הכלי המחזיק [ה'] [...] וימלא הכלי המחזיק ג' מתוך הכלי המחזיק ח' ויריק בתוך הכלי המחזיק ה' ונמצא עכשיו ד' כוסות בתוך הכלי המחזיק ח' וד' כוסות בתוך הכלי המחזיק ה' ועם זה היין חלוק בשוה Joint Purchase Problem - If You Give Me - Amounts of Money Three friend, one said to his two friends: know that all I have in my purse with a half of what the both of you have is 60. The second answers and says: all I have in my purse and a quarter of what the both of you have is 60. The third answers: all I have in my purse and a third of what the both of you have is 60. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)\right]=60\\\scriptstyle Y+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(X+Z\right)\right]=60\\\scriptstyle Z+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X+Y\right)\right]=60\end{cases}$ שלשה חברים היו ואמר הא' לשני חבריו דעו כי כל מה שבכיסי והחצי משניכם עולה ס' ויען השני ויאמר כל מה שבכיסי ורביע משניכם עולה ס' ויען השלישי כל מה שבכיסי ושליש משניכם עולה ס' False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle X_1=5\\\scriptstyle Y_1=11\\\scriptstyle Z_1=13\end{cases}}}$ מצאנו ג' מספרים והם ה' י"א וי"ג שהם כעין השאלה הזאת $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle X_1+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(Y_1+Z_1\right)\right]=17\\\scriptstyle Y_1+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(X_1+Z_1\right)\right]=17\\\scriptstyle Z_1+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Y_1\right)\right]=17\end{cases}}}$ כי ה' אומר לי"א ולי"ג אני וחצי שניכם י"ז וי"א אומר לה' ולי"ג אני ושליש שניכם י"ז וי"ג אומר לה' ולי"א אני ורביע שניכם י"ז Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{17}=\frac{X}{60}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{17}=\frac{Y}{60}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13}{17}=\frac{Z}{60}}}$ והנך רואה שאלו אמרו מחובר שלשתנו י"ז יהיה לא' ה' ולשני י"א ולשלישי י"ג ועכשיו שאמרו מחובר שלשתנו יחד ס' נשוב לערכים ונאמר כערך ה' לי"ז כן ערך הקטן אל ס' הוא ששאל לחבריו החצי וכערך י"א לי"ז כן ערך השני לס' והוא ששאל לחבריו השליש וכערך י"ג לי"ז כן ערך הגדול אל ס' [והוא] ששאל לחביריו הרביע וכן תערוך לכל הס' [...]הם תשים המורה [...] וי"ג ודרך הערכים הוא [...] $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{17}{5}=\frac{60}{X}\longrightarrow X=\frac{60\sdot5}{17}=\frac{300}{17}=17+\frac{11}{17}}}$ אמור אם בעת שהמחובר הוא י"ז יהיה חלק הקטן ה' בהיות המחובר ס' כמה הם חלקיו אמור ספ"ה הוא ש' וחלקם בי"ז יהיו י"ז וי"א חלקים מי"ז $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{17}{11}=\frac{60}{Y}\longrightarrow Y=\frac{60\sdot11}{17}=\frac{660}{17}=38+\frac{14}{17}}}$ ולדעת החלק האמצעי אמור אם בעת שהמחובר הוא י"ז שוה חלק האמצעי י"א בהיות המחובר ס' כמה הם חלקו אמור ס"פ י"א הם תר"ס חלקם בי"ז יהיו ל"ח וי"ד חלקים מי"ז $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{17}{13}=\frac{60}{Z}\longrightarrow Z=\frac{60\sdot13}{17}=\frac{780}{17}=45+\frac{15}{17}}}$ ולדעת חלקי הגדול אמור אם בעת שהמחובר הוא י"ז יהיה החלק הגדול י"ג בהיות המחובר ס' כמה יהיה חלקו אמור ס"פ י"ג תש"פ חלקם בי"ז יהיו מ"ה וט"ו חלקים מי"ז Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)\right]&\scriptstyle=\left(17+\frac{11}{17}\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(38+\frac{14}{17}\right)+\left(45+\frac{15}{17}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(17+\frac{11}{17}\right)+\left(19+\frac{7}{17}\right)+\left(22+\frac{16}{17}\right)=60\\\end{align}}}$ ויהיה סדר הענין כך אומר הקטן אני שאני י"ז וי"א חלקים וחצי האמצעי שהם י"ט וז' חלקים מי"ז וחצי הגדול שהם כ"ב וי"ו חלקים מי"ז מחובר שלשתם ס' $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle Y+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X+Z\right)\right]&\scriptstyle=\left(38+\frac{14}{17}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\left(17+\frac{11}{17}\right)+\left(45+\frac{15}{17}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(38+\frac{14}{17}\right)+\left(5+\frac{15}{17}\right)+\left(15+\frac{5}{17}\right)=60\\\end{align}}}$ ואומר האמצעי אני שאני ל"ח וי"ד חלקים מי"ז ושליש הקטן שהם ה' וט"ו חלקים מי"ז ושליש הגדול שהם ט"ו וה' חלקים מי"ז מחובר שלשתנו ס' $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle Z+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y\right)\right]&\scriptstyle=\left(45+\frac{15}{17}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[\left(17+\frac{11}{17}\right)+\left(38+\frac{14}{17}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(45+\frac{15}{17}\right)+\left(4+\frac{7}{17}\right)+\left(9+\frac{12}{17}\right)=60\\\end{align}}}$ ואומר הגדול אני שאני מ"ה וט"ו חלקים מי"ז ורביע הקטן שהוא ד' וז' חלקים מי"ז ורביע האמצעי שהוא ט' וי"ב חלקים מי"ז מחובר שלושתנו עולה ס' Jacob divided [a certain amount] between his three sons. The share of Reuven was greater than the share of Shimon and the share of Shimon was greater than the share of Levi. Reuven gave his two brothers from his shares as much as their shares, Shimon gave his brothers also as much as their shares and Levi gave his brothers also as much as their shares, then the shares of the three were equal. How much was the [original] share of each? שאלה יעקב חלק לבניו [ג'] והיה חלק ראובן גדול [משל שמעון וחלק] שמעון גדול משל לוי נתן ראובן לשני אחיו מחלקו כפי מה שהיה חלקם ושמעון גם הוא נתן לאחיו כפי חלקם ולוי גם כן נתן לאחיו כפי חלקם ואז נמצא חלק שלשתם שוה כמה היה חלק כל א' מהם אמור כי חלק הראשון היה ד' וחלק השני ז' וחלק השלישי י"ג ונמצא בסוף חלקם שוה והיה ח' פשוטים לכל א' כיצד דרך משל חלק ראובן היה י"ג וחלק שמעון ז' וחלק לוי ד' והנה התחיל ראובן ונתן מחלקו לשמעון ז' כפי שהיה לו וללוי ד' ושנים נשאר בידו ואח"כ שמעון שעכשיו היה לו י"ד נתן ללוי ח' כפי מה שהיה בידו ולראובן ב' כפי מה שהיה עכשיו בידו ואח"כ לוי שעכשיו היה לו י"ו נתן מאלו לראובן ד' ונמצא שיש לו ח' וד' לשמעון ועם זה נמצא שביד כולם יש ח' פשוט' וחלקם שוה A man said: here are two baskets of figs in each there are 100 figs, the fine are [sold at a rate of] 20 for one pašuṭ, the defective are [sold at a rate of] 30 for one pašuṭ. Their total price is 8 pešuṭim and one third. אדם א' אמר הנה שני כלכלות של תאנים ובכל א' יש ק תאנים משל היפות כ' לפשוט והרעות ל' לפשוט עולה חשבונם ח' פשוטים ושליש בא א' [לקצוב] ואמר היאך אתה מוכר אמר מאלו אתן לך ל' ומאלו כ' השיב הקונה אם כן תן לי מאלו ומאלו ב' בב' פשוטים ונתן הכל בח' פשוטים [...] אדם שכר שכיר לל' יום בשכר [...] פשוט לכל יום והיה צריך לפרוע מידי יום ביום ולא היה לו כי אם ששה מטבעות ששוויים בין הכל ל' פשוטים ועכשיו שואלים מה יהיה שווי המטבעות כדי שיוכל לפרוע מידי יום ביומו תשובה שיווי המטבעות צריך להיות כזה א' ב' ג' ד' ח' י"ב Ordering Problem A man had a wolf, a goat, and a cabbage, and he had to move them across the water. He had nothing but a small boat that could contain only the person and one more thing. If he will leave the goat and the cabbage and move the wolf the goat will eat the cabbage, if he will move the cabbage and leave the wolf with the goat the wolf will eat the goat אדם היה לו זאב ועז וכרוב והיה לו לעבור מעבר מים ולא היה כי אם ספינה קטנה מאד שאינה מחזיק כי אם האדם ודבר אחד ולא יותר ואם תניח העז והכרוב ויעביר הזאב העז אכל הכרוב ואם הכרוב יעביר הכרוב ויניח הזאב אצל העז הזאב יאכל העז וכמו כן אם יעביר הא' ויחזור ליקח השני להעביר בעוד שיבא ליקח א' יאכל א' חבירו ואם כן כיצד יעשה He should move first the goat, leaving the wolf and the cabbage, then move the cabbage and bring the goat back with him, then he should move the wolf to the other side and go back to move the goat with him to the other side תחלה יעביר העז ויניח הזאב והכרוב ואחר יעביר הכרוב ויחזור להעביר העז עמו למקום הראשון ויעביר הזאב לעבר האחר ויחזור להעביר העז עמו לעבר הא' ויעביר הכרוב ויניח העז ואחר יחזור ליקח העז Joint Purchase Problem - "If You Give Me" Reuven told Shimon: if you will give me one thousand zehuvim my amount will be equal to your amount of money. Shimon answered Reuven: if you will give me one thousand zehuvim my money will be double your amount of money. How much money did each of them have? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+1000=Y-1000\\\scriptstyle 2\sdot\left(X-1000\right)=Y+1000\end{cases}$ ראובן אמר לשמעון אם אתה נותן לי אלף זהובים יעלה הקרן שלי כסכום מעותיך ושמעון משיב לראובן ואם אתה נותן לי אלף זהובים אני אכפול מעותי לסכום מעותיך כמה מעות יש לכל אחד $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle X=5000\\\scriptstyle Y=7000\end{cases}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle 5000+1000=6000=7000-1000\\\scriptstyle 2\sdot\left(5000-1000\right)=2\sdot4000=8000=7000+1000\end{cases}}}$ תשובה ראובן יש לו ה' אלפים זהובים ושמעון יש לו ז' אלפים וזה פי' ראובן שואל לשמעון אלף זהובים ואם שמעון יתן לו נשאר ביד שמעון ו' אלפים וראובן שהיה לו ה' אלפים תחלה עכשיו עם האלף שנותן לו שמעון יש לו ו' אלפים נמצא שלכל א' יש להם ו' אלפים ושמעון אומר לראובן אם אתה תתן לי אלף זהובים נמצא שישאר ביד ראובן ד' אלפים והקרן של שמעון שהיה ז' אלפים נמצא עכשיו עולה לסכום ח' אלפים והיינו הכפל ממה שנשאר ביד ראובן Chapter On Cubic Roots [P1088 2r-v] והילך שער על דבר מרובע על כל עבריו $\scriptstyle{\color{blue}{568\times568}}$ כגון שתחשוב חוה פעם חוה וזהו רבוע $\scriptstyle{\color{blue}{2\times2}}$ כמו שתאמר ב פעמים ב' זהו ד' כזה $\scriptstyle{\color{blue}{2\times2\times2}}$ ואם תאמר ותחשוב הד' חתיכות גם ב' פעמים [...] ויהיו ח' זהו רבוע על כל עבריו ב' פעם ב' זהו ד' ב' פעמים ד' זהו ח' כו' $\scriptstyle{\color{blue}{464\times464}}$ כשתחשוב דוד פעם דוד עולה וטבהאב $\scriptstyle{\color{blue}{464\times464\times464}}$ תאמר דוד פעם וטבהאב ועולה דדגזטחטט כו' $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{149721291}}}$ דומיון הנה הכלל העולה מן החשבון המרובע [לג'] צדדין הוא כזה א ד ט ז ב א ב ט א $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{149-{\color{blue}{5}}^3}}=149-125={\color{blue}{24}}}$  5       $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times5}}={\color{blue}{15}}}$    5     149721291 24721291 24721291  5         15     ותמנה לעולם ברביעיות [....] [אטב]א אבזט טדא ומה שלא עולה לרבעיות מאות[...] תוכל להבין החשבון עתה בכלל הנרשם טדא ג' אותיות ותאמר [מה] הריבוע המרובע על כל עבריו אטדא באה ג' אותיות טדא ע"כ לא יותר מן ה' כי ה' פעמי' ה' זהו ה"ב ה' פעמים ה"ב זהו הבא ועתה הסר הבא מן טדא ונשאר ד"ב ויהא כזה ותכתוב ה' תחת הד' ועל הד' כזה   5             2 4 7 2 1 2 9 1   5               ה             ב ד ז ב א ב ט א   ה             ומעתה תשלש האות הנמצא ר"ל ה' ונסוג שלש מעלות לאחריך דהיינו מן ה' יהיה ה"א ותכתוב ה' תחת ב' וא' תחת ז' כזה       5         2 4 7 2 1 2 9 1     1 5               ה         ב ד ז ב א ב ט א     א ה            53    $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{3}}\times{\color{red}{53\times15}}={\color{blue}{2385}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{23850+}}{\color{red}{3^3}}=23850+27=238{\color{blue}{77}}}$   24721291       15     2385 23877 ועתה תעיין מה אות מצורף לאות ה' שממנה בא זה החשבון הכלל הנרשם ואז תנסה ותצרף אליה אות שאם תחשוב כאשר אשכילך שיהא מכוון אות האחרון מן חשבון העולה לאות אחרון מן חשבון אשר אנו מתעסקים בו או בקרוב דומה לאות אחרון ועתה הילך הדרך תלך בו תקח ג' וכתוב למעלה על הא' אחד לפני הה' העומדת על הב' כזה       5 3       2 4 7 2 1 2 9 1     1 5               ה ג       ב ד ז ב א ב ט א     א ה         ועתה נסה אם אמת הדבר תצרף ג"ה של מעלה עם ה"א של מטה ויעלה ה ט ז ועתה תאמר תצרף ג' העולה עם הט"ז ג' פעמים ז' ג' פעמי' ט' ג' פעמי' ה' כו ויעלה כזה 2 3 8 5 ב ג ח ה ואז תוסיף עליו על זה החשבון ג' פעמי' ג' על כל עבריו זהו ז"ב אותו ז"ב שים על החג"ב וככה תעשה אות ראשון מן ז"ב ר"ל הז' כתוב קו לפני החג"ב [...] דהיינו ב' שים על ה' כזה 2 3 8 7 7 ב ג ח ז ז   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{24721-23877}}={\color{blue}{844}}}$   24721291 844291 23877       ו[...] ה' אות [ה] שים נגד האותיות [..]כלל הנרשם דהוא כזה 2 4 7 2 1 2 9 1 2 3 8 7 7       ב ד ז ב א ב ט א ב ג ח ז ז       ו[תחסר] כלל התחתון מן העליון ונש[אר] כזה 8 4 4 2 9 1 ח ד ד ב ט א  53    $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times3}}={\color{blue}{9}}}$   844291 844291 15        159 ועתה יהיה החשבון צורתו כזה   5 3       8 4 4 2 9 1 1 5           ה ג       ח ד ד ב ט א א ה         ועתה [...] ג' מעלות לאחריך ונסוג ג' ג"כ לאחריך ג' מעלות ותשלש ויהיה ט' וצורתו כזה 8 4 4 2 9 1       1 5 9 ח ד ד ב ט א       א ה ט $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{53{\color{blue}{1}}\times159}}={\color{blue}{84429}}}$ 84429 ועתה תאמר מה היה אות ראשון ע"כ היה א' כי לעולם כשיהיה א' אות ראשון מן הכלל העולה היה הפרט א' ואם אות ראשון ח' אז היה השרש ב' [..] ועתה תחשב אג"ה עם טה"א ויעלה טבדדח $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{844290+1}}={\color{blue}{844291}}}$ 844291 ועתה תצרף הא' ג"כ עם כל אות אטבדד"ח ותשים לפניו א' פעמים א' ויהיה כזה 8 4 4 2 9 1 ח ד ד ב ט א נמצא שהם מכוונים זה העולה מן אג"ה פעמים טה"א אחד צרופך והכלל הנרשם למעלה ולעולם כשהם מכוונים אז החשבון אמת ואם יוותר לך אפי' אות אחת תוכל להבין שלא [נאות] $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{99897344}}}$ דומיון אחר הכלל העולה ד ד ג ז ט ח ט ט $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{99-{\color{blue}{4}}^3}}=99-64={\color{blue}{35}}\\\scriptstyle{\color{red}{3\times4=}}{\color{blue}{12}}\end{cases}}$   46     99897344 35897344   12     נתחיל מאות ט' הראשונה כי היא אות רביעית ונקח מן ט"ט הריבוע והוא ע"כ ד' כי לא תוכל ליקח יותר והוא ד' פעמים ד' עלה ד"ו חסר ד"ו מן ט"ט ונשאר ה"ג אותו ד' תכתוב למטה תחת הט' ולמעלה נסוג ד' ג' מעלות ותשלש לאחריך ויהיה ב"א תכתוב ב' תחת הט' וא' תחת ח' כזה     4 6         3 5 8 9 7 3 4 4     1 2             ד ו         ג ה ח ט ז ג ד ד     א ב         $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{6}}\times{\color{red}{46\times12}}=6\sdot552={\color{blue}{3312}}}$ 3312 ואח' תצרף אל הד' ד' מנין השוה בדעתך וזהו ו' ואם תצרף אליו ה' אז אינו מכוון פרט העולה לחשבון הכלל ולפעמים לפי האמת אינו מכוון אך תדקדק על אות הסמוך לאות אחרון שהוא דומה קצת ועתה קח ו' ותצרף לד' ותאמר ו"ד פעמי' ב"א ויעלה בה"ה תצרף ו' עם בה"ה ויעלה כזה 3 3 1 2 ג ג א ב $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{33120+}}{\color{red}{6^3}}=33{\color{blue}{336}}}$ 33336 ושים עליו ו' פעמים ו' ויהיה כזה 3 3 3 3 6 ג ג ג ג ו $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{35897-33336=}}{\color{blue}{2561}}}$   46    2561344  12     תחסר זה העולה מן ה' אותיות החשבון הנרשם ויהיה אחר חסרונך כזה ועתה צורתו כזה     4 6       2 5 6 1 3 4 4   1 2             ד ו       ב ה ו א ג ד ד   א ב         $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{120+\left(3\times6\right)=1}}{\color{blue}{38}}}$     46  2561344     138 ועתה נסוג עם ו' העולה ג' מעלות לאחריך ותשלש וב"א ג"כ ג' מעלות לאחריך ויהיה כזה         4 6   2 5 6 1 3 4 4         1 3 8         ד ו   ב ה ו א ג ד ד         א ג ח $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left[\left[4\times\left(464\times138\right)\right]\sdot10\right]+4^3}}={\color{blue}{2561344}}}$ 2561344 ועתה מה היה אות ראשון ע"כ ד' ותחבר [...] עם חג"א ויעלה [...] ושים עליו ד' פעמי' ד' ויעלה הפרט אות באות [...] הכלל ודוק Chapter on Square Roots [P1088 6v-7v] הילך שער ונקר' שער השורש ושייך על דבר כשחשבת ריבוע כגו' $\scriptstyle{\color{blue}{568\times568}}$ חו"ה פעם חו"ה $\scriptstyle{\color{blue}{257\times257}}$ או זה"ב פעם זה"ב שתראה מה תחילת החשבון אע"ג שלא ידעת בתחילה הפרט $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{215296}}}$ ועת' אכתו' דומיון חשבתי דבר ועולה ממנה כזה הוה הכלל ב א ה ב ט ו וראה מה היה מתחילה הפרט שעולה ממנ' ועתה אשכילך ותן לחכם ויחכם עוד ויסף לקח קח הכלל לפניך ואראה לך דבר לעולם תתחיל מן האו' שלא מכוון כגו' אם ו' ז' או ט' אם האותיות ו' אז תתחיל באות ה' ואם האותיו' ח' אז תתחיל באות ז' וכן לעולם ואם האותיו' ז' אז תתחיל באות האחרון $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{21-{\color{blue}{4}}^2}}=21-16={\color{blue}{5}}}$ 4     $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times4}}={\color{blue}{8}}}$  4    215296 55296 55296 4      8    ועתה אראה חשב' הכלל ו' אותיות ו"טב"הא"ב אז תתחיל באו' ה' וזהו א' ותאמ' מה הריבוע בא"ב פי' מה אות אתה יכול ליקח זה פעם זה אי אתה יכול ליקח ה' פעם ה' מן א"ב כי ה' פעם ה' זהו כ"ה והשו' אין לך אלא כ"א אלא אתה יכול [לומ'] ליקח ד' פעם ד' כי ד' פעם ד' זהו ו"א פי' י"ו ועוד נשאר לך ה' ואות' ד' העולה כי הריבוע בא"ב זהו ד' פעם ד' ואות' ד' תכתוב על הא' מן ו'ט'ב'ה'א'ב' ותחת הא' וצורת ותמחק הא"ב מן וטבהא"ב ותכתוב במקומ' ה' כי מן ד' פעם ד' נשאר ה' והד' תכתו' למעלה מן הה' ולמט' מן הה' והילך צורתו 4         5 5 2 9 6 4         ד         ה ה ב ט ו ד         ואז תכפול הד' הריבוע העומד [ותמשוך] הח' לאחריה תחת ה' השנייה ויהא ח' והד' העומדת על הה' תמשוך ג"כ לאחריה על ה' השניי' אבל לא תכפול אות' וצורתו כזה   4       5 5 2 9 6   8         ד       ה ה ב ט ו   ח        46   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{55-\left({\color{blue}{6}}\times8\right)=}}{\color{blue}{7}}}$ 46   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{72-6^2}}=72-36={\color{blue}{36}}}$ 46   55296 7296 3696  86   86   86   ואז תאמר כמה פעם ח' בה"ה פי' בנ"ה והוה בה ו' פעמים אות' ו' תכתוב למעלה מן הב' ולמטה מן הב' כזה   4 6     5 5 2 9 6   8 6       ד ו     ה ה ב ט ו   ח ו     ועוד נשאר ז' וז' מן ה"ה ותמחוק השני ה' ותכתו' במקומ' הז' ויהא צורתו כזה 4 6     7 2 9 6 8 6     ד ו     ז ב ט ו ח ו     והו' העולה מן השני ה' העומדת על הב' ולמט' מן הב' תקח אות' נמי ו' פעמי' ו' פעם ו' זהו ו"ג פי' ל"ו וקח הו"ג מן הב"ז קח ארבעי' מן הע' כי הב"ז הוה ע"ב ועוד נשאר ב' ודע שלקחת ארבעי' ולא אתה צרך אל צריך אלא ל"ו אז קח הד' מן המ' ושים אות' על הב' שלפני הז' ויהא צורתו כזה 4 6     3 6 9 6 8 6     ד ו     ג ו ט ו ח ו     $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{80+\left(2\times6\right)=80+12=}}{\color{blue}{92}}}$  46  $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{36-\left({\color{blue}{4}}\times9\right)=36-36=0}}}$ 464 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-\left(4\times2\right)=}}{\color{blue}{1}}}$ 464 3696  96  16  92   24   4 ועתה תכפול הו' ג"כ לאחריה ויהא י"ב ואז תכתו' הכי שים הב"א לאחריה והח' נמי לאחרי' ואז תעשה הכי שים הב' תחת הט' והא' שים על הח' ויהיה ט' ותשים נמי למפריע הו' העליונ' ולא תכפול ושי' אות' על הט' והד' העליונ' תמשוך נמי לאחריה על הו' נגד הט' כזה   4 6   3 6 9 6   9 2     ד ו   ג ו ט ו   ט ב   ואז תאמ' כמה פעמים ט' בו"ג פי' בל"ו והוה בו ד' פעמים ולא נשארי' לך מאומה ואות' ד' תכתו' על הו' הראשונ' ותחת הו' ותמחק הו"ג של מעלה והט' של מטה וצורת' כזה 4 6 4   9 6   2 4 ד ו ד   ט ו   ב ד ואז קח הב' נמי ד' פעמים מן הט' ועוד נשאר לך א' ונמח' הט' ותכתוב במקו' א' ונמח' הב' תחתונ' כי לקחנו נמי ד' פעמי' ועוד נשאר כזה 4 6 4   1 6     4 ד ו ד   א ו     ד $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{16-4^2}}=16-16={\color{blue}{0}}}$ 464×464=215296 ואז קח הד' נמי ד' פעמי' מן ו"א פי' מן י"ו ואז לא נשאר לך מאומה נמצא שהפרט היה בתחילה דו"ד פעם דו"ד ועולה הכלל ו"טב"הא"ב ודע לעולם כשתעשה בדרך זה ולא נשאר לך מאומ' אז מה שעולה בידך זה היה תחילת החשבון $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{97344}}}$ ועוד אראה לך דומיון החשבון עולה כזה ט ז ג ד ד 3     $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{9-{\color{blue}{3}}^2=9-9-0}}\\\scriptstyle{\color{red}{2\times3}}={\color{blue}{6}}\end{cases}}$ 3    97344 7344 3     6    אז תתחיל בט' כי הט' אות חמיש' ואז תאמר כמה הריבוע בט' ודע שהריבוע בט' הוה ג' כי ג' פעמי' ג' זהו ט' ולא נשאר לך מאומה והג' תכתוב תחת הט' ועל הט' כזה 3         9 7 3 4 4 3         ג         ט ז ג ד ד ג         ואז תכפול הג' לאחריה והוה ו' ותשים לאחריה תחת הז' והג' שלמעלה תמשוך לאחריה על הז' אבל [לא] תכפול כמו שתעשה לג' תחתונ' והילך צורתו ונמחק הט' כזה 3       7 3 4 4 6       ג       ז ג ד ד ו       $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7-\left({\color{blue}{1}}\times6\right)=}}{\color{blue}{1}}}$ 31   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{13-{\color{blue}{1}}^2=}}{\color{blue}{12}}}$ 31   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times1=}}{\color{blue}{2}}}$  31  $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{12-\left({\color{blue}{2}}\times6\right)=0}}}$ 312 1344 1244 1244  44 61   61    62   22 ואז תאמ' כמה פעמי' ו' בז' ואינ' אלא פעם א' ועוד נשאר א' ואות' א' שעולה מן הז' תכתוב על הג' שלפני הז' ותחת הג' ונמח' הז' ותכתו' במקומ' א' הנשארת מן הז' שלא מגיע נמי לז' וזה וצורת' כזה 3 1     1 3 4 4 6 1     ג א     א ג ד ד ו א     ואז תקח הא' נמי א' פעם מן ג"א ועדיין הוה ב"א 3 1     1 2 4 4 6 1     ג א     א ב ד ד ו א     ואז תכפול הא' שתחת הב' לאחריה תחת הד' ויהא ב' והו' תשים ג"כ לאחרי' אבל לא תכפול שכבר כפלת הו' ותשים אות' ו' תחת הב' שכבר עומד שם הא' והא' למעלה על הב' נמי תמשוך לאחריה על הד' ולא תכפול והג' במקו' הא' על הב' כזה   3 1   1 2 4 4   6 2     ג א   א ב ד ד   ו ב   ואז תאמר כמה פעמים ו' בב"א פי' בי"ב והוה בו ב' פעמים אות' ב' תכתוב על הד' הראשונ' ותחת הד' ותמחוק הב"א ויהא צורתו כזה והו' של מט' נמי תמחוק ויהא כזה 3 1 2   4 4   2 2 ג א ב   ד ד   ב ב $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{4-\left(2\times2\right)}}=4-4={\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{4-2^2}}=4-4={\color{blue}{0}}\end{cases}}$ 312×312=97344 ואז תקח הב' נמי ב' פעמים והוה ד' ולא נשאר מאומ' והב' השנייה נמי תקח ב' פעמים מן הד' ואז לא נשאר לך מאומא נמצא הפרט הוה ב'א'ג' פעם ב'א'ג' ויוצא ממנ' כלל ד'ד'ג'ז'ט' ודוק ותובין לעולם בדרך זה Notes Appendix: Bibliography Anonymous Sefer Ṣifra Manuscripts: 1) Budapest, Magyar Tudományos Akadámia, Ms. Kaufmann A 520/10 (IMHM: f 15170), ff. 179-200; 217-218 (16th century) Kaufmann A 520/10 2) Cincinnati, Hebrew Union College 890/1 (IMHM: f 30901), ff. 4r-18v (Hanau, 1641) Cincinnati 890 3) Mantova, Comunità Ebraica MS ebr. 8/16 (IMHM: f 788), ff. 69r-71v (Porto, 1464-1471)‬ Mantova 8 4) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 714/4 (IMHM: f 27994), ff. 64r-83v (17th-18th century) 5) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 394/4 (IMHM: f 1223), ff. 109v-127r (1566) München Cod. hebr. 394 6) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2634/6 (IMHM: f 28887), ff. 94r-124v JTS 2634 7) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 60/11 (IMHM: f 22085), ff. 151r-176v (cat. Neub. 2171); (Frankfurt am Main, 1537) 8) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 440/4 (IMHM: f 19984), ff. 114v-124v (cat. Neub. 2170); (1645) 9) Paris, Bibliothèque Nationale heb. 1088/1 (IMHM: f 14921), ff. 1r-23v (15th century) heb.1088 10) Paris, Séminaire Israélite de France (École Rabbinique) 158/1 (IMHM: f 4102), ff. 197r-211v (1604) 11) Warszaw, Żydowski Instytut Historyczny 288/1 (IMHM: f 12013), ff. 1r-5v (15th century) 12) Warszaw, Żydowski Instytut Historyczny 295/4 (IMHM: f 10129), f. 56v (16th century) Bibliography: Steinschneider, Moritz (Moshe). 1893–1901. Die Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann; repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001. pp. 216-217 [i478-i479] ———. 1905. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 49, pp. 85-86. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, pp. 8-9.