ספר הנקרא בר נותן טעם
לחכם ר' יעקב קפנתון ז"ל

Prologue

בעיני נכבדת	מאשר יקרת
אהבת נפש חשקתיך	ואני אהבתיך‫^[1]
יפה פה תאר [ונחמד] מראה	החבר הנאה
ר' יואל ן' דאוד
כל בניינה בנוי לתלפיות	אשר נפשך חשקה בחכמת הלימודיות
מרחקת שוא ודבר כזב תפל והתול	אין בה עקש ופתלתול
מעוות לא תוכל לתקן וחסרון לא תמלא	צדק תצדיק ויושר תעלה
אומרת על הן הן ועל לאו לאו	תחת לשונה דבש וחלב ‫^[2]
חכמת המספר כסבה ואחותה	ולהיות יסודה וכלי אומנותה
קצור קצר לגלות מצפוניה	וזה כמה כתבתי עליה
ולהטעים דרכיה דרכי נועם ‫^[3]
בלשון עם נועז‫^[4]
ללעוזות בלעז‫^[5]
בלי דופי ולעז
החזיקתני ותאצילני להשיבו בלשון עברי	ויען לא ישרה נפשך ללמוד בלשון נכרי
ומשלים מבוארים	בהרחבת דברים
ולתת את שאלתך	ראיתי למלאת את תאותך
להתעסק בידיעות וחוכמות	ואם טרדות הזמן בלתי מסכימות
ולכל בהם חיי רוח נפש חיה יחיו	כי באשר עליהם יחיו
והיו כלא היו	ולכל שאר ידיעות המושכלות יהיו
ונפשם משכלת יחיו	אמרתי אשר מן האנשים חיו
יעזרם אלהים צור בו חציו חסיו‫^[6]
ואליהם אהלים ישליו‫^[7]
ושנות מספר יאתיו‫^[8]
רזה ודלה	ואם ידעתי חכמת המספר בזויה ונקלה
מיודעים ואלופים	בעיני קצת מתפלספים
בחכמות הבנויות על האיפשר
חשקה נפשם ועמהם לבם נקשר
וכל לומדם בעיניהם יכשר
ישבחוהו לאומים ותומכם מאושר
ולהיות על שתי הסעיפים פוצח [פוסח]‫^[9]	בהם יוכל להשתרר ולנצח
וכמקשה המלונה	כאשר בתוך המים ינוד הקנה‫^[10]
ללכת כרצייו אנה ואנה‫^[11]
פעם לאסור ופעם להתיר	יניע בראש ובשפה יפטיר
ולא יעמוד איש בפניהן	בחכמת הטבע ודומיהן
ובלומדי אזן [לא יפתחו] לשמוע בלימודים	לכן קצה נפשם בכל חכמת הלימודיות
להן יקראו זמן הנערות
ולהם יתנו זמן הבחרות
ילדות ושחרות
אשר הם בלתי מקבלים מרות	ועריהן יגזור לבם בשרירות
שוים בכל נושאיהם	להיותם בעיניהם
כאלו דומים לעצמים
שוים בכל ומפורסמים
לא במקרים בפחות וביתר ובלתי מסכימים
ועל זולתו לועגו ויתלוצצו	לכן בחרו באשר חפצו
לאיפשר החזיקו יד אם קרוב ואם רחוק	כי יהיה להם לשחוק
[כי יהיה להם לשחוק]	ולמחוייב ולנמנע לא ישימו חוק
ובתבונתם אין מספר	בכל חכמתם לא יסופר
אשר ימין ושמאל אין לנטות	כי אין עסקם בפשוטות
ומה יתרון לבעל הלשון	מושגות בבבת עין ואישון
במדע ובהשכל מסויימים	ואם כה יאמרו חכמים
והאלהים עשה אותם ישר‫^[12]	מה יעשו הסכלים אשר לא ידעו אי זה יכשר
והמה בקשו חשבונות רבים
הכל מרבים מחסרים ומחברים
אם מעטים ואם רבים
כמה מעלות טובות	אחדים ועשרות
למאות לאלפים ולרבבות	מאליפות מרובבות
מדרגה תחת מדרגה מונים	מי[..] ממינים שונים
אלו יורדים ואלו עולים	דגלים דגלים שבילים שבילים
אשר בחפצם מתנודדים	ואליהם רזום ירמזון על ידי דברים נעים ונדים
וברצונם יעקרו שוד וישנו את תפקידם	יען באפם יגזלו מאנשי ה[ה]ודם ומאודם
ומהם בפולי ועדשים וכל מיני זרעונים	מהם עושים בזוזים ודרכמונים
ולעשוק מסחרים	להונות חברים
אלו ואלו מונים	כמוכרים כקונים
זה עולה וזה יוריד	זה ישכיב וזה יחריד
זה ישפיל וזה ירים‫^[13]
זה יגנוב הדינרים
וזה יאכל ב'ג' גרגרים
ירא וחרד על דברו	ואשר על יש שברו
[מהדק] מהמדקדקים	להחזיק ולהקים
להיתם פשע ולכלות אשם	להרים מכשול לכל יחטא ואשם
מונה ביתדות וקשרי אצבעות	נזהר מהיות מקצץ בנטיעות
ובראות עצמו איש אמונה
ואת פושעים לא מנה
מודה ומשבח לאלוהי מעונה
אשר לו אצל תבונה
וחלק לו בבינה
הבדילו מן התועים ומעשה ידיהו כוננה‫^[14]
והיו ידיו אמונה

הם ילכו איש אל אשר לבו פונה
וכל אחד את רעהו יונה
והוא שומר דרכי אל ומי כמוהו מונה‫^[15]

מחזיק במצותיו
ואל משפטיו וחקותיו
קורץ בעיניו
מולל ברגליו
מורה באצבעותיו
ורוע מזלו	על זה בחר מעוני שכלו
ולהתמיד צדקו	הלא טוב לו למלאת ספקו
לבל יחליף וימיר
ולא יאכל גרגרים מראש אמיר
לחלוק לחקוק אותו בלוח ברזל בצפורן שמיר
לנצח יוכל להבחן במופתיו	אהל בל יצען בל יסע יתדותיו‫^[16]
בכל מיני אזון וחקור	יתברר ויתלבן בבחינה [ובקור] ובכור
הן כל אלה הדברי' מחלישים דעתי
ומכבים אש גחלתי
מרפים ידי לשמור משמרתי
אהבה מקלקלת את השורה	וחבתן על כולם גברה
לכן אני הקטן יעקב בן החכם ר' יצחק קנפנטון
הלא היא גדר הענוה	ז"ל פרצתי חומה נשגבה
עד שקמתי בפניהם קימה שאין בה הדור	פרץ על בני פרץ בלי סדור
כי לאמת לבדה אחלוק הכבוד ארבה המשרה
להעשר סידורה
כמשפט הבכורה‫^[17]

וחברתי קיצור זה בדרכי המספר וטעמיהם

ובר נותן טעם קראתיו
כי מספר החכמים הברותיו
וטוב טעמיהם מלאתיו
כי לא באתי להראות גבורות	ואם ידע יודע הנסתרות
כי לא מלבי אראה נפלאות ונוראות	ולהורות הוראות
כאיש אשר לא שומע [יודע] ומימיו לא ראה מאורות	אבל כמקטלט שבלים‫^[18] ואורות
ואם מדעתי אמציא המצאות
אפי' תיבה או אות
הלא הנה טעיות
ידועים ומפורסמים	הלא גם הם חכמים הרשומים
[...]יצעקו	יענו כי יתנו עיריהם ואותי יצדיקו
וטענות התנצלותי ישמיעו	לרבים אותם יודיעו
וגם חוכמות שרותיה תענינה	ויאמרו אמת ואמונה
כי לא מחכמה שאל על זאת הקלה
ולא בכוונה ממכוונה לבקשת מעלה
עזב את הגבירות מרבות השררה והגדולה
ורבות בנות עשו חיל ופירות	אשר להם סנסנים ופארות
ופשט ידו במלאכה כמבזה סורה וגזלה
גלמודה ושכולה
מונח בקרן זוית עצורה ועזובה דורש אין לה
ומתוך היחס אשר בינו לבינה	כי מקוצר רוח דעת ותבונה
והניח את הספק צפון ונעלם	אחז את סודה המפורסם ובריא אולם‫^[19]
כי אין לאל ידו לברר את המסופק ולעשר אומדות	והוא גם הוא יעיד על עצמו ולא ראה להודות
מבררים ומלבנים בנות שכלנו	כמונו היום אומדים מדעתנו
וטענות התנצלותי זה חזקות ומוחזקות בידיהם	אחשוב זאת היתה כוונתי בעיניהם
עזרם ומגינם	ואת יסוד בע בניינם
ומעט הבנתי	אשר הוא קוצר השגתי
לא נקטף עודנו באבו	יתד אהל תלוי בו
תקוע במקום נאמן	חזק ומוחזק נטע נעמן
אכן יודע האמת ידע כי כוונתי לשום שמים
לפתוח פתח בריח ודלתים
ולהציע הצעות ולהבין הבנות למלאכת השמים
כי להקדים את המוקדם ולאחר את המאוחר	ולא ביניהם בין קל וחומר אבחן ואבאר
לבנות יסודות ולהעמיד עמודים חזקים ונכונים
במיעוט שכלי המפורסם להעמיד הבית והחדרים אשר עליהם נשענים
וזה אחל לעשות בעזרת שוכן מרומים מעונים

Notes
	↑ ישעיהו מג, ד ↑ שיר השירים ד, י"א ↑ משלי ג, י"ז ↑ ישעיה ל"ג, י"ט ↑ מועד, מגילה, ב, א ↑ דברים ל"ב, ל"ז ↑ איוב י"ב, ו ↑ איוב טז, כ"ב ↑ מלכים א י"ח, כ"א ↑ מלכים א י"ד, ט"ו ↑ מלכים א ב, מ"א ↑ קהלת ז, כ"ט ↑ תהילים ע"ה, ח ↑ תהילים צ, י"ז ↑ איוב ל"ו, כ"ב ↑ ישעיה לג, כ ↑ דברים כ"א, י"ז ↑ ישעיה, י"ז, ה ↑ תהילים עג, ד

Introduction: The Positional Decimal System

The numerals: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 and the corresponding Hebrew letters

הרשמים ה[...] במספר בספרי חכמי הגוים הם אלו‫:

א	1
ב	2
ג	3
ד	4
ה	5
ו	6
ז	7
ח	8
ט	9
סיפרא	0

Zero - not a number

וזה הרושם האחרון הנקרא סיפרא אינננו מספר

The meaning of the decimal places

אכן הונח בזאת החכמה בכל מעלה ומעלה חלקה ממספר, כמו שיתבאר כדי להראות מעלות המספרים הבאים אחריה

The ranks are written from right to left

ואלו המעלות מתחילות מהימין

Every rank is ten times the preceding rank

וכל מעלה העולה היא לצד שמאל עולה עשר ידות מאשר לפניה

The written ranks [= decimal places]

Units

ר"ל שרושם המספר אשר במעלה הא' יהיו אחדים

Tens

ובשנית עשרות

Hundreds

ובג' מאות

Thousands

ובד' אלפים

Illustration: naming the number 30678002

וכן לעולם בענין שרשמים אלו 30678002 עולים שלשים אלפי אלפים הנקראים חשבונות ושש מאות ושבעים ושמונת אלפים ושנים

The significance of the zeros as a place holders - without them the number 30678002 would be written similarly as the number 36782

ולפי שאין בכאן עשרות ומאות, גם אחדדי חשבונות, הושמו הספרות במקומם, להורות מעלות שאר המספרים. כי זולתם לא היו עולים רשמים אלו, כי אם שלשים ושש אלף ושבע מאות ושמונים ושנים והקש על זה

השער הראשון בפריטה	הפרק הא' בחבור
השער הב' בהכאה	הפרק הב' בחסרון
השער הג' בהשואה	הפרק הג' בכפל
ועוד בו ששה פרקים בשברי‫'	הפרק הד' בחילוק
הפרק הראשון בחבור וכן	הפרק הה' בערכים
הפרקים הה' הנשארים הם כנזכרים [בשלמים‫]	הפרק הו' בשרשים

‫[מאמ' ההמרה גם מאמר האחדות‫]

Section One: Integers

החלק הראשון בשלמים

Chapter One: Addition

הפרק הא' בחיבור

Written Addition

Description of the Procedure

When you wish to sum two or three numbers or more, set the rows of the digits one beneath the other, each rank beneath its corresponding, i.e. the units under the units, the tens under the tens, the hundreds under the hundreds, and so on.

כאשר תרצה לחבר ב' או ג' מספרים או יותר תשים שורות רשמי המספרים זו תחת זו כל מעלה תחת בת גילה ר"ל האחדים תחת האחדים העשרות תחת ^[1]העשרות והמאות תחת המאות וכן כולם

Draw a line [beneath] all the rows.

ותשרט קו דיו על כל השורות

Then, sum all the numbers that are in the first ranks in all the rows.

ותחבר כל המספרים הנמצאים בכל השורות במעלה ראשונה

If you do not find there any number, but zeros, put a zero in the rank of the units.

ואם לא תמצא שם מספר כי אם סיפרות תשים א^תחת הקו במקום מעלת האחדים סיפרא

If you find a number or numbers with zeros, do not [pay attention to] the zeros and sum the numbers that are in that rank.

ואם תמצא מספר או מספרים עם סיפרות לא תחוש לסיפרו^ת~~אות~~ ותחבר [המספרים] הנמצאים במעלה ההיא

If the [interim] result is ten or tens, without units, put a zero beneath the line, in the place of that rank, and keep the ten, or tens, as units to sum them with what you find in the succeeding rank.

ואם יעלה לעשר או עשרות מצומצמות בלא אחדים שים סיפרא תחת הקו במקום אותה המעלה ושמור העשר או העשרות והיו לאחדים בידך לחברם עם אשר תמצא במעלה הבאה אחריה

In order that you will not forget them, put a dot or dots on top of the number in the succeeding rank, as the number of the reserved tens that are kept as units.

וכדי שלא תשכחם שים על ראש מספר המעלה הבאה אחריה נקודה או נקודות כמספר העשרות השמורים אשר הם לאחדים בידך

If the [interim] result is ten or tens and units, put the number of the units beneath the line, in the place of that rank, and keep the ten, or tens, as units to sum them with what you find in the succeeding rank.

ואם יעלה לעשר או עשרות ואחדים שים מספר האחדים ההם תחת הקו במקום אותה המעלה ושמור העשר או העשרות לאחדים לחברם עד אשר תמצא במעלה הבאה אחריה

If you do not find in the succeeding rank but zeros, do not pay attention to them, since you have a [reserved] ten, or tens, to put as units in that rank. Put these tens as units beneath the line corresponding to that rank.

ואם למעלה הבאה אחריה לא תמצא כי אם סיפרות לא תחוש להם אחרי היות בידך עשר או עשרות לשום במעלה ההיא לאחדים ותשים העשרות ההם לאחדים תחת הקו כנגד המעלה ההיא

If you do not have a ten, or tens, and you find in that rank only zeros, put beneath the line a zero corresponding to that rank, as mentioned for the first rank, when there is no number there but zeros, for there is one rule to this.

אכן אם לא היו בידך עשר או עשרות ומצאת במעלה ההיא כולה סיפרות תשים תחת הקו כנגד אותה המעלה סיפרא אחת כאשר הזכרתי במעלה הראשונה כשאין שם מספר כי אם סיפרות כי משפט אחד להנה

Always proceed so that the tens that are resulted in a certain rank are units to be summed in the succeeding rank, or to be placed in [that rank] if you do not find there any number, whether all are zeros, or it is the end of the number. Do so always until [the digits] are complete.

וכן תעשה לעולם שהעשרות ^[2]שעלו בידך משום מעלה יהיו לאחדים בידך לחברם עם אשר תמצא במעלה שאחריה או לשומם במקומה אם לא מצאת שם מספר בין שהיה כלה סיפרות או שכלה כבר המספר ועשה כן לעולם עד כלותם

What is obtained under the line is the result of the addition.

והיוצא תחת הקו הוא העולה מהחיבור ההוא

Example

המשל

You wish to sum up two hundred and five thousand and five with three hundred ninety thousand and five and with six hundred twenty five thousand and two.

\scriptstyle205003+390005+625002

רצית לחבר מאתים וחמשת אלפים ושלשה עם שלש מאות ותשעים אלף וחמשה ועם שש מאות ועשרים וחמשת אלפים ושנים

Set the digits as follows:

שים הצורות ככה

205003

390005

625002

1220010

[Illustration of the procedure:]

205003	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3+5+2=8+2}}={\color{blue}{10}}}$	205003	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{0+0+1}}={\color{blue}{1}}}$	205003	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{0+0+0}}={\color{blue}{0}}}$	205003
390005		390005		390005		390005
625002		625002		625002		625002
		0		10		010

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5+0+5}}={\color{blue}{10}}}$	205003	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1+9+2}}={\color{blue}{12}}}$	ֹ205003	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1+2+3+6}}={\color{blue}{12}}}$	205003
	390005		390005		390005
	625002		625002		625002
	0010		20010		1220010

First rank: Say: 3 and 5 are 8, plus 2 they are 10. $\scriptstyle{\color{blue}{3+5+2=8+2=10}}$	ותאמ' 3 ו 5 הם 8 ו 2 הם 10
Since you do not have units, but a whole ten, put 0 beneath the line corresponding to the first rank.	ואחר שאין לך אחדי' כי עם עשר שלם תשיבם ⁰ תחת הקו כנגד המעלה הראשונה
Keep the ten, as one, for the succeeding rank, and put one dot above it so it will not be forgotten.	ותשמר העשר לאחד למעלה הבאה אחריה ותשים נקדה אחת עליה שלא ישכח
Second rank: Since you do not find there any number, and you have that ten, do not pay attention to these zeros, put one under the line corresponding to the second rank, for the ten that you reserved as one.	ואחר שלא מצאת שם מספר כי אם סיפרות ויש בידך עשר זה לא תחוש לסיפרות ההן ותשים [כנגד המעלה ההיא השנית]^[3] ~~נקודה~~ אחת תחת הקו בעד העשר אשר היה בידך לאחד
Third rank: Go to the third rank and since all of it are zeros and you do not have any reserved number, put one zero beneath the line corresponding to the third rank.	ולך אל המעלה השלישית ואחרי היות כלה סיפרות ויש בידך בלי מספר ואין בידך מאומה שים סיפרא אחת תחת הקו כנגד אותה המעלה השלישית
Fourth rank: Go to the fourth rank and you will find there numbers and a zero. Since there is a number or numbers there, do not pay attention to the zero or the zeros that are there.	ולך אל הרביעית ותמצא שם מספרים וסיפרא ואחר היות שם מספר או מספרים אל תחוש לסיפרא או סיפרות שיהיו שם
Say: 5 and 5 are 10. $\scriptstyle{\color{blue}{5+5=10}}$	ותאמר 5 ו5 הם 10
Put 0 beneath the line, corresponding to that rank, as you did in the first rank.	ותשים 0 תחת הקו כנגד אותה המעלה כאשר עשית במעלה הראשונה
Keep the 10 as one to sum it with what you find in the fifth succeeding rank and put one dot above it so it will not be forgotten.	ותשמור ה ה10 לאחד לחבירו עם אשר תמצא במעלה הה' הבאה אחריה ותשים עליה נקודה אחת בעדו שלא ~~ישרך~~ ישכח
Fifth rank: Say: one for the reserved and 9 are 10, plus 2 are 12. $\scriptstyle{\color{blue}{1+9+2=10+2=12}}$	ותאמ' אחד על השמור ^[4]ו9 הם 10 ו2 הם 12
Put the two units beneath the line, keep one for the ten, and put one dot above the following rank.	שים השנים האחדים תחת הקו ושמור אחד על העשר ושים נקדה אחת על המעלה הבאה אחריה
Sixth rank: Say: one for the reserved and 2 are 3, plus 3 are 6, plus 6 are 12. $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+6=3+3+6=6+6=12}}$	ותאמר אחד בעבור השמור ו2 הם 3 ו3 הם 6 ו6 הם 12
Put the two units beneath the line, corresponding to that rank, and keep the ten as one in the succeeding rank.	שים השנים האחדים תחת הקו כנגד המדרגה ההיא והעשר יהיו בידך לאחד למדרגה הבאה אחריה
Since the numbers are complete [and there is no more rank there] put that ten as 1 in the seventh rank, which is the succeeding rank.	ואחר שכבר כלה המספר ואין ש[.....] מעלה שים העשר ההוא לא' במעלה הז' שהיא המעלה הבאה אחריה
Hence, you have already summed them and their sum is [1220010].	וכבר חברת אותם ועלה חיבורם

Check

If you wish to examine whether you did it rightly and correctly with no error

ואם תרצה להבחין אם עשית כדין וכשורה בלי טעות

Subtraction: subtract the first row from the result, subtract the second [row] from the remainder and so on, until only one [row] is left to subtract and the remainder then is equal to [the row] that you did not subtract.

חסר מזה העולה השורה האחת ומהנשאר תחסר השנית וכן כולם עד אשר לא תשאר מלחסר כי אם אחת והנשאר בעת ההיא יהיה שוה לאשר לא חסרת

As appears in the following diagram:

כאשר בא בזאת הצורה

Example: $\scriptstyle{\color{red}{1220010-625002-390005=205003}}$

1220010

595008

205003

For, when we subtract the row 625002 from their sum beneath the line, which is 1220010, 595008 remains, we subtract from this the other row, which is 390005, and 205003 remains, which is equal to the remaining row that was not subtracted yet.

\scriptstyle{\color{blue}{1220010-625002-390005=595008-390005=205003}}

כי כאשר חסרנו מאשר עולה חיבורם תחת הקו שהוא 1220010 וחסרנו ממנו שורת 625002 ונשאר 595008 ומזה הנשאר חסרנו השורה האחרת והוא שורת 390005 ונשאר 205003 השוה לצורה הנשארת אשר לא נחסרה עד הנה

Q.E.D.

וזה מה שרצינו לבאר

Reason: Procedure

The reason of the procedure is clear.

הטעם במעשה ברור

For, every rank is ten times of the preceding rank.

כי כל מעלה עולה לעשר מאשר לפניה

Therefore, the ten of the preceding rank is one in the succeeding rank.

א"כ העשר מהקודמת אינו כי אם אחד מהבאה אחריה

Reason: Check

The reason of the examination is also clear.

גם טעם הבחינה מבואר

For, since the number that is under the line is generated from the sum of all the rows together, when we subtract them one by one it will be gone.

כי אחר שהמספר אשר תחת הקו נתחדש ^[5]מקיבוץ כל השורות יחד כאשר נסירם ממנה אחת יצא כלו בהם בשוה

Hence, when only one is left to subtract, the remainder is the same as it, so when we subtract it from [the remainder] nothing is left.

ולזה כאשר [לא]^[6] נשאר מלחסר כי אם אחד יהיה הנשאר כמוה בענין שכאשר נסירה ממנו לא יחס' ולא ישאר

Chapter Two: Subtraction

הפרק השני בחסרון

Written Subtraction

Description of the Procedure

When you wish to subtract a small number from a greater number, set the smaller beneath the greater, each rank beneath its corresponding.

כאשר תרצה לחסו' מספר קטן ממספר גדול ממנו תשים הקטן תחת הגדול כל מעלה תחת מינה

Draw a line beneath them.

ורשום קו דיו תחתיהן

Then, subtract each bottom digit from the corresponding upper [digit] above it and put the remainder under the line in the corresponding rank.

וחסר כל מספ' תחתון מהעליון אשר על ראשו שהוא ממינו והנשאר שים אותו תחת הקו כנגד זאת המעלה

If you cannot subtract it from what is above it, as it is smaller than it or 0, take one from the upper digit that is in the succeeding rank, so it is ten in the [present] rank, and put one dot beneath the upper digit, from which you have borrowed the one.

ואם לא תוכל לחסרו מאשר על ראשו שהוא קטן ממנו או 0 קח אחד מהמספר העליון אשר במעלה הבאה אחריה ויהיה לעשר במעלה ותשים נקדה אחת תחת הרושם העליון אשר ממנו לוית האחד

Even if there is 0 [in the succeeding upper rank], borrow from it and put a dot under it, so the one that you have borrowed is 10 in the [present] rank.

ואף אם היה שם 0 לא תחדל מהיות לווה ממנה ותשים תחתיה נקדה וזה האחד אשר לוית אשר הוא ל10 במעלה זו

Even if there is only 0 in this rank, subtract the bottom [digit] from it and put the remainder from these 10 under the line.

ו[ואם]^[7]אין במעלה זו מספר כי אם 0 גרע ממנו התחתון ~~אשר מ ממינו~~ והנשאר ^{מאלו ה}10 תשים תחת הקו

If there is a number in the [present] rank, add the 10 to what you find there and subtract the corresponding bottom digit from the total sum, then put the remainder under the line, corresponding to the [present] rank.

ואם היה שם מספר במעלה הזאת יחבר ה10 עם אשר מצאת שם ומהכל תסיר המספר התחתון אשר ממינו והנשאר תשים תחת הקו כנגד המעלה ההיא

When you go to the rank, from which you have borrowed the one, where you have put the dot, add one for it to what you find in that rank in the bottom row, if there is a number there, and subtract the total from this rank in the upper row.

‫[ובלכתך למעלה אשר ממנה לוית האחד ושמת שם נקודה תוסיף אחד בעדו על אשר תמצא במעלה ההיא]^[8] בשורה התחתונה אם היה שם מספר ותחסר הכל מהמעלה ההיא מהשורה העליונה

If you do not find there enough to subtract, borrow one from the succeeding rank and put a dot under it, so it is ten in the [present] rank, as explained and so on.

ואם לא תמצא שם מחסורך אשר יחסר לך תלוה אחד מהמעלה הבאה אחריה ותשים תחתיה ^נקודה ויהיה לעש' במעלה זו כאשר ביארנו וכן לעולם

If there is no number on the bottom row in the place of the dot, for instance when there is a zero there, or nothing, as the bottom row is already complete, subtract the one from the rank, under which the dot is, if there is a number there, and put the remainder under the line, corresponding to the [present] rank.

ואם במקום הנקודה ^[9]אין בשורה התחתונה מספר כגון שיש שם סיפרא או לא דבר שכלתה כבר השורה התחתונה תחסר אותו האחד מהמעלה אשר הנקדה תחתיה אם יש שם מספר והנשאר תשים תחת הקו כנגד המעלה ההיא

If there is no number but 0 in the [upper] row corresponding to the dot, borrow one from the succeeding rank and put under it a dot, so that this one is ten [in the present rank]. Subtract from it the one and put the remainder under the line, corresponding to the [present] rank.

ואם אין בשורה ההיא כנגד הנקדה ההיא מספר כי אם 0 תלוה אחד מהמעלה הבאה אחריה ותשים תחתיה נקודה והאחד ההוא יהיה לעשר בידך ותחסר מהם האחד והנשארים תשימם תחת הקו כנגד המעלה ההיא

When the whole procedure is complete, if there are still digits on the upper row, under which there is no number, nor 0, or a dot, since all is complete, put them as a remainder under the line, as they are.

וכאשר כלית כל מלאכתך אם נשארו עוד רשמים בשורה העליונה אשר אין תחתיהן לא מספר ולא 0 ולא נקודה שכבר נשלם הכל תשימם לשארית תחת הקו כמות שהן

Example

המשל

We wish to subtract 40438 the smaller from the greater number that is 76540304.

\scriptstyle76540304-40438

רצינו לחסר 40438 הקטן ממספר הגדול והוא 76540304

נשימם הקטן תחת הגדול כזה

76540304

40438

76499866

76540304

‫[זאת הצורה הב' היא ככה]^[10]

[Illustration of the procedure:]

76540304	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{14-8}}={\color{blue}{6}}}$	76540304	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-\left(3+1\right)}}={\color{blue}{6}}}$	76540304	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{13-\left(4+1\right)}}={\color{blue}{8}}}$	76540304
40438		40438		40438		40438
		6		66		866

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{14-\left(4+1\right)}}={\color{blue}{9}}}$	76540304	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-1}}={\color{blue}{9}}}$	76540304	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-1}}={\color{blue}{4}}}$	76540304
	.40438		40438		40438
	99866		9866		499866

	ונתחיל לחסר מהמעלה הראשונה ונאמ' 8 מ 4 לא יוכלו לצאת ונלוה אחד מהמעלה העליונה הבאה אחריה אשר שם ה0 תשים תחתיה נקדה וזה האחד יהיה במעלה הראשונה לעשר ועם ה 4 אשר בה יהיו 14 לא נוכל לחסרם וזה אשר בשורה העליונה במעלה נסיר מהם 8 ישארו 6 נשימם תחת הקו כנגד המעלה הראשונה ההיא
	נלך למעלה השנית, נמצאנו שם נקדה הוספנוהו על ה 3 הנמצאים במעלה ההיא בשורה התחתונה יהיו 4 לא נוכל ^[11]לחסרם מה0 אשר בשורה העליונה במעלה ההיא, לכן נלוה אחד מהמעלה הג' ונשים נקדה תחתיה ויהיה לנו לעשר, נסיר מהם ה 4 ישארו 6, נשימם תחת הקו כנגד המעלה השנית ההיא
	נלך למעלה השלישית ונוסיף הנקדה על ה 4 אשר בשורה התחתונה יהיו 5 ולא נוכל להוציאם מהג' [.] אשר על ראשם, לכן נוליד נלוה אחד מהמעלה הרביעית אשר שם ה0' ונשים תחתיה נקדה וזה האחד הראשון יהיה לנו [.] ל10 ונחבר אליהם הג' אשר בשורה התחתונה יהיו 5 ולא נוכל להוציאם מהג' אשר על ראשם לכן נלוה אחד מהמעלה העליונה במעלה השלישית ההיא יהיו כלם 13 ונסיר מהם ה 5 ישארו 8, נשימם תחת הקו כנגד המעלה
	ונלך למעלה הרביעית ונמצא שם נקדה ואין מספר במעלה הרביעית ההיא בשורה התחתונה ההיא לחברו עמו כי אם 0, לכן נחסר זה האחד לבדו מהנמצא במעלה הרביעית ההיא בשורה העליונה ולא נוכל כי אין שם מספר כי אם 0, לכן נקרא ראשון אחד מהמעלה החמישית ונשים תחתיה נקדה וזה הא' יהיה לנו לעשר נסירם ממנו ה 1, ישארו 9, נשימם תחת הקו כנגד המעלה ההיא
	ונלך למעלה החמישית ונוסיף הנקדה הנמצאת שם עם ה 4 הנמצא במעלה הה' ההיא בשורה ה התחתונה ויהיו 5 ולא נוכל לחסרם מה 4 אשר על ראשם, לכן [נלוה] א' מהמעלה השישית הבאה אחריה ונשים תחתיה נקדה ויהיו לנו ל 10 ועם ה 4 יהיו 14, נסיר מהם ה 5 ישארו 9^[12] ונשימם תחת הקו
	ונלך למעלה השישית ומצאנו שם נקדה ואין כנגדה מספר בשורה התחתונה כי כבר נשלם, לכן נסיר זה האחד לבדו מהה' אשר במעלה הו' ההיא בשורה העליונה וישארו 4, נשימם תחת הקו
	וכבר כלו אלו הרשמים אשר בשורה התחתונה גם הנקדות ונשארו שני רשמים בשורה העליונה, נשימם תחת הקו לשארית כמו שהן על הסדר זה אחר זה וזה אשר יצא תחת הקו הוא אשר נשאר מהמספר הגדול אחר אשר חסרנו ממנו הקטן
Reason: Check
larger number [= the subtracted] is equal to the sum of the smaller number [= the subtrahend] and the remainder of the subtraction	נמצא שמספר הגדול הוא כמו המספר הקטן אשר חסרנו ממנו וכמו זה הנשאר יחד בלי תוספת ומגרעת
Check	לכן כאשר תרצה להבחין מעשיך
Addition	חבר אלו שני המספרים אשר תחת העליון, ר"ל המספר הקטן אשר חסרת והנשאר אשר תחת הקו, ואם יעלה כמספר הגדול אשר חסרת ממנו בלי תוספת ומגרעת הנה אמת הנה נכון ואם לאו דע שטעית והקש על זה

Chapter Three: Multiplication

הפרק השלישי בכפל

Written Multiplication

Description of the Procedure

כאשר תרצה לכפול מספר במספר, ר"ל לראות כמה יעלו כפלי המספר האחד כשיוכפל כפלים בחשבון המספר האחר, שיש [שים] שתי צורות מספרים אלו זו על זו על הסדר ותרשום קו דיו תחתיהן

The procedure starts by multiplying the digit in the lowest rank of the number in the top line [= the multiplier] - the first digit on the right - by all the digits of the second number in the line below [= the multiplicand]

וכפול המספר הראשון העליון בכל אחד מהמספרים התחתונים [וכאשר תעלה מכפלו עם כל אחד מהמספרים התחתונים תשים לעולם] תשים לעולם האחדים תחת הקו כנגד המספר התחתון ההוא והעשרות תשמור והיו לאחדים בידך לחברם עם העולה מכפלו עם המספר הנמשך אליו לצד שמאלי

ואם לא יהיה במעלה שאחר או שום מספר בשורה התחתונה שנשלמה כבר או שיש שם [סיפרא], תשים במעלה שאחר זו תחת הקו מספר האחדים אשר בידך

Multiplying a digit by zero - when there are no tens in the product of the digit by the digit to the right of the zero

אכן אם כשתכפול המספ' העליון עם הסיפרא [...] לא יהיו בידך אחדים תשים סיפרא כנגד המעלה ההיא

Multiplying a digit by zero - when there are tens in the product of the digit by the digit to the right of the zero

אבל אם יהיו בידך עשרות לאחר שת[שימם]במעלה ההיא תחת הקו כנזכר ולא תשים סיפרא כלל

ואחר שתשלים לכפול המספר הראשון העליון עם כל אחד מהמספרים התחתוני' תשוב כבתחלה ותכפול המספר השני העליון עם כל אחד מהמספרים התחתונים ותעשה ממנו שורה שנית

The product of two digits is equal to units and tens - the tens are kept for the next rank

ותשי' לעולם האחדים ותשמור העשרות לאחדים לחברם עם הבא אחריו כנזכר

The decimal place of the product of a certain digit of the multiplier by all the digits of the multiplicand is the rank of that digit of the multiplier

אכן יש לך לדעת ששורת כפל כל אחד מהמספרים העליונים תתחיל מהמעלה הדומה לה, ר"ל שכשתתחיל לכפול המספר השני העליון עם הראשון התחתון, האחדים העולים מהכפל ההוא תשימם במעלה השנית הדומה למספר העליון ההוא וצורת המספר הג' העליון תתחיל מהמעלה הג' וכן כלם

The decimal place of the product of a digit of the multiplier by a digit of the multiplicand is equal to the sum of the ranks of both digits minus 1

עד שיצא לנו מזה שלעולם מספר מעלות מקום אחדי כפל שום מספר עליון עם שום מספר תחתון יהיה כמנין מעלות שני המספרים מחוברות יחד חסר אחת

Summing the interim products

ואחר שתשלים לכפול כל המספרי' העליונים עם התחתונים, תרשום קו דיו תחת כל שורות אלו ותחברם יחד, כל מעלה עם כל בת גילה, כמו שביארנו בפרק החיבור והעולה הוא המבוקש והוא כפל שני המספרי' זה בזה

Zero in multiplier - no need for a line of zeros - as each interim product is placed in its appropriate rank

ואם היה סיפרא בשורה העליונה מהנכפלים,היה נראה שיעשה ממנה שורה אחת כל הסיפרות ואין צורך כי בהיותך שומרע שכל התחלת שורה תתחיל מהמעלה הדומה למעלת המספר העליון ההוא אשר אתה כופל בכל התחתונים בשורה ההיא [...] שתתרחק תלך לצד שמאל מעלה אחת לעולם בהיותך נזהר מכל זה אינך צריך לחוש מהסיפרות ה[...]ת כלל ל[...]ת מהם שורות סיפרות כלל

A zero or a sequence of zeros at the lowest rank/s of the multiplier - indicate a zero or a sequence of zeros at the lowest rank/s of the multiplication result

אכן אם בתחלת השורה העליונה תמצא סיפרא או סיפרו' קודם שום מספר, תצטרך לעשות בעד כל סיפרא מהן סיפרא אחת תחת הקו ותשלים [...] ההיא בכפל המספר הבא אחריהם בשורה העליונה על כל המספרים התחתונים. ואם תרצה ג"כ כדי שלא תטעה [...] זה המעשה בעצמו לעולם ר"ל שתשים בעד כל סיפרא שבשורה העליונה, אף אם הם באמצע, סיפרא אחת במעלה הדומה למעלתה בשורה הראויה לסיפרא ההיא אם היה מספר ותשלים לשורה ההיא בכפל [...] עם כל המספרי' התחתונים

Example

המשל

רצינו לכפול מספר 9007500 במספר אחר שהוא 5400920 ותשים המספרים זה על זה על הסדר

כזה

90070500

5400920

2700460000

378064400

4860828000

486463564860000

[Illustration of the procedure:]

90070500	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{00}}}$	90070500	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{5\times0}}={\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{5\times2}}=1{\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{5\times9}}\right)+1=4{\color{blue}{6}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{5\times0}}\right)+4={\color{blue}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{5\times0}}={\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{5\times4}}=2{\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{5\times5}}\right)+2={\color{blue}{27}}\\\end{align}}$	90070500
5400920		5400920		5400920
		00		2700460000

ולפי שבתחלת השורה העליונה שתי סיפרות, תשים בתחלת השורה העליונ' בעדן תחת הקו שתי סיפרו' כמספרן

ותשלים השורה ההיא מכפל המספר העליון הבא אחריהן והוא ה5

ותכפול ה5 בסיפרא שהיא אשר במעלה הראשונה מהמספר התחתון ויהיה סיפרא ותשימנה אחר השתי סיפרות הנזכרות שהיא המעלה השלישית הדומה למעלה הרביעית והנה בא על מתכונתו ששורתו מתחלת במעלה הג' שהיא מעלתו
ותאמ' אח"כ כפול 5 ב-2 הוא 10, תשים סיפרא אחר הסיפרות הנזכרות
ותשמור ה-10 לאחד לחברו עם כפל 5 ב-9 שהוא 45 ויהיה הכל 46 ותשים ה6 אחר כל הסיפרות ותשמור ה-4
וכאש' תכפול ה5 בסיפרא הבאה אחר ה9, (לא) תשים סיפרא אחר היות בידך 4 ותשימם במקומה אחר ה6
אכן כאש' תכפול ה5 בסיפרא הנמשכת לא תשים סיפרא אחר ה4 אחר שאין בידך מאומה
ותכפול 5 ב-4 ויעלו 20, תשים סיפרא ותשמר 2
ותכפול 5 ב5 ויהיו 25 ועם ה2 אשר בידך יהיה עם הכל 27 שים 7 ותשים אחריהם 2, כי כבר נשלם כפל המספר העליון בכל המספרים התחתונים

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{0}}}$	90070500
	5400920
	2700460000
	0

ואתה היותך מוצא אחר ה5 העליון הנכפל כבר היה הדין נותן לכפלה עם כל המספרים התחתונים ולעשות ממנו שורה אחת

ואין צורך אלא שתתחיל מה7 אשר אחריה ותעשה שורתו בלבד שתתחיל שורת ה7 מהמעלה הה' אשר היא מעלתו כנזכר
אכן כדי שלא תטעה תשים בראש שורת ה7 במעלה סיפרא בעד הסיפרא העליונה אשר בין הה' וה7 אשר מעלתה המעלה ה5

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{7\times0}}={\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7\times2}}=1{\color{blue}{4}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{7\times9}}\right)+1=6{\color{blue}{4}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{7\times0}}\right)+6={\color{blue}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7\times0}}={\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7\times4}}=2{\color{blue}{8}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{7\times5}}\right)+2={\color{blue}{37}}\\\end{align}}$	90070500
	5400920
	2700460000
	378064400

ותשלים השורה בכפל ה7 הבאה אחריה בכל הרשמים התחתונים

ותאמ' כפל 7 בסיפרא הוא סיפרא ותשים סיפרא אחרת
ותאמר עוד כפל 7 [ב2 ויעלו 14, תשים 4 שהם האחדים אחר הסיפרות הנזכרות ותשמור הא'
ותאמר עוד כפל 7 ב9] ב9 ויעלה 63 ועוד האחד אשר בידינו, יעלה 64, נשים ה4 ונשמר ה6 לאחדים בידינו.
ונאמר עוד כפל 7 בסיפרא היה עולה סיפרא, אכן להיות בידינו ה6 לא נשים סיפרא, אבל נשים ה6 אשר בידינו למקומה
ונאמר כפל 7 בסיפרא עולה סיפרא ונשים סיפרא, אחר שאין בידינו אחדים כלל
ונאמר כפל 7 ב4 עולה 28, נשים 8 ותשמור 2
ונאמר כפל 7 ב5 עולה 35 ועם השנים אשר בידינו יעלו 37, נשים 7 ואחריהם 3, כי כבר נשלם כפל זה ה7 על כל הרשמי' התחתונים

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{00}}}$	90070500
	5400920
	2700460000
	378064400
	00

ואחר היות שתי סיפרות בשורה העליונה אחר ה7, כדי שלא נטעה, נשים שתי סיפרות כנגד מעלתן בהתחלת שורת ה9 הבא אחריהן

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9\times0}}={\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9\times2}}=1{\color{blue}{8}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{9\times9}}\right)+1=8{\color{blue}{2}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{9\times0}}\right)+8={\color{blue}{8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9\times0}}={\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9\times4}}=3{\color{blue}{6}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{9\times5}}\right)+3={\color{blue}{48}}\\\end{align}}$	90070500
	5400920
	2700460000
	378064400
	4860828000

ושוב נאמ' כפל 9 בסיפרא הוא סיפרא ותשים סיפרא אחר השתי סיפרות כאשר שמנו בג[ת]חלת שורה זו

ונאמר כפל 9 ב2 עולה 18, נשים 8 אחר השלשה סיפרות הנזכרות ונשמור אחד
ונאמר כפל 9 ב7 ב9 עולה 18 81 ואחר שהיה בידינו 1 יעלו 82, נשים 2 ונשמור 8
ונאמר כפל 9 בסיפרא הוא סיפרא ונשים ה8 אשר בידינו במקומה
ונאמר כפל 9 בסיפרא הוא סיפרא ונשימה אחר שאין בידינו דבר שוב
ונאמר כפל 9 ב4 עולה 36, נשים 6 ונשמור 3
ונאמר כפל 9 ב5 עולה 45 ו3 אשר בידינו יעלו 48 ונשים 8 ואחריהן 7 כי כבר נשלם כפל 9 זה בכל הרשמים התחתונים

ואחרי אשר כבר נכפלו, ר"ל הרשמים העליונים עם כל התחתונים, נרשום תחת כל השורות קו דיו ונחבר כל השורות שנתחדשו מכפליהן, ר"ל ה3 שורות אשר בין הקוים להנה, יעלה בידינו שכפל הב' מספרים הנשאלים זה בזה עלה 486463564860000

Check

Division

ואם תרצה לבחון אם עשית כדין אם לאו, יתחלק זה המספר הגדול העולה מהכפל לאחד מהב' מספרים הנכפלים ויצא בחילוק האחר ולא ישאר דבר. ואם יחסר או יעדיף, דע לך שטעית באחד המעשים בכפל או בחילוק

Reason: Procedure

הטעם

The reason for the decimal place of the product of each digit of the multiplier:

בהתחלת שורת כפל כל מספר עליון בתחתונים מהמעלה הדומה לו

The product [of units] by hundreds - are hundreds

כי על ד"מ אם המספר העליון הוא מאות, שהוא במעלה הג', כשנכפלם באחדי המספר התחתון יהיה העולה מאות

The product [of units] by thousands - are thousands

ואם יהיה אלפים, שהוא בד', יהיה העולה אלפים

The units of a product [of units] by hundreds are hundreds; the tens of this product are units of the subsequent rank

לכן כאשר יהיו [מקום האחדים] אחדים העולי' מהכפל הראשון ההוא במעלה הג', שהיא המעלה הדומה למעלתו והעשרות העולות מזה הכפל הם אחדים במעלה הבאה אחריהן, כמו שנתבאר בתחלת הספר בפי' המעלות, לכן תשמרם לאחדים לחברם עם הבא אחריהן

The product of tens by hundreds - are tens of hundreds, i.e. thousands

וכשנכפול מספר עליון זה באשר במעלה השנית מהתחתונים יהיו העולה עשירי מאות, שהם אלפים, אם העליון הוא מאות

The product of tens by thousands - are tens of thousands - which is the rank that follows the rank of thousands

ואם הוא אלפים, יהיו העשרות האלה עשרות אלפים, לכן נשימהו במעלה הנמשכת לאשר שמנו בתחלת שורה זו ונחבר להם השמור בידינו מהכפל הקודם

Therefore, the rank of the units in the product of a digit of the multiplier by a digit of the multiplicand is equal to the sum of the ranks of both digits minus 1

וכן לעולם כאשר יתרחק יעלה מעלה אחר מעלה, עד שיצא לנו מזה ברור מה שאמרנו, כי אחדי כפל כל מספר עליון בתחתון יהיה מקום האחדים העולים מהכפל ההוא במעלה אשר מנין מדרגותיה כמנין מעלות שני רשמים האלו הנכפלים זה בזה, העליון והתחתון יחד, חסר אחת

The product of units by a certain rank - the units are placed in that certain rank

וזה שאם האחד מהם במעלה הראשונה הרי ביארנו שמקומו הוא במעלה הדומה למעלתו

The product of tens by a certain rank - the units are placed one rank higher than that certain rank

ואם יהיה בשנית יעלה מעלה אחת על מעלות המספר האחר כמנין מעלותיו כמו שביארנו

The product of hundreds by a certain rank - the units are placed in the second rank higher than that certain rank

ואם הוא בג' יעלה שתים וכן יוסיף לעולם על מעלות המספר האחר כמנין מעלותיו כמו שביארנו ואם הוא בג' יעלה שתים

So, the digit of the multiplier adds its rank minus 1 to the decimal place of the product in addition to the rank of the digit of the multiplicand

וכן יוסיף לעולם על מעלות המספר האחר כמנין מעלותיו חסר אחת

Hence, the rank of the units in the product of a digit of the multiplier by a digit of the multiplicand is equal to the sum of the ranks of both digits minus 1

והנה יהיה מעלות אחדי העולים מהכפל כמעלות שני הרשמים הנכפלים זה בזה חסר אחת וכל זה ברור בטעם

Reason: Check

וטעם הבחינה

Multiplication is the inverse operation of division

הוא כי הכפל הוא הפך החילוק

Practical illustration: dividing a given property equally between a certain number of people

כי כאשר למין מה ממספר תשים ידועים ויעלה לכל אחד מהם מנין ממון ידוע

property÷(number of people) = share of each

הרי יש בכל הממון כפלי ממספר האנשים כמספר הממון העולה לכל אחד מהן

property÷(share of each) = number of people

או אם תרצה לומר כפלי הממון שיצא לכל אחד מהם כמספר האנשים ההם והכל אחד

Example: dividing 12 golden coins equally between 3 people - the share of each will be 4

\scriptstyle{\color{blue}{12=3\times4=4\times3\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle\frac{12}{4}=3\\\scriptstyle\frac{12}{3}=4\end{cases}}}

כי המשל אם חלקנו 12 זהובים ל3 אנשים, עלה לכל אחד מהם 2 4, הרי השנים עשר הם כפל 3 ב4, או ה4 ב3 ואם נחלק 2 12 אלו ל3 ל4 אנשים, יעלה לכל אחד מהם ג' ואם לג', יעלה לכל אחד מהם 4

The result of dividing a product of multiplication by one of the multiplicands is precisely the other multiplicand - thus, the check of the multiplication operation is division, and the check of the division operation is multiplication

הרי שכאשר נחלק העולה מהכפל לאחד מהמספרים הנכפלים, יצא השני בחילוק בלי תוספת ומגרעת

הרי שבחינת הכפל בחילוק וכן בחינת החילוק בכפל וזה דבר ברור

Chapter Four: Division

הפרק הרביעי בחילוק

written division

Division of a large number by a smaller number

כאשר תרצה לחלק מספר גדול למספר קטן

description of the procedure

ונשימם זה על זה על הסדר, הגדול למעלה נקראנוהו המתחלק והקטן למטה וקראנוהו אשר נחלק עליו עליו ותשים כל מעלה תחת בת גילה ויהיו שתי שורות אלו מרווחות, [..] ר"ל שתשים ריוח בין זו לזו לשים ביניהם היוצא בחילוק כאשר יתבאר בחילוק

The procedure starts with the highest rank - the last digit on the left of the divisor

וראה המספר האחרון התחתון אשר לצד שמאל, כמה פעמים יצא מהמספר האחרון אשר בעליון

The leftmost digit of the dividend is smaller than the corresponding digit of the divisor or its multiple - considering the next rank of the dividend as tens

ואם איננו בו אפי' פעם אחת שהוא קטן ממנו, ראה כמה פעמים יצא מזה האחרון ומאשר לפניו בקחתך האחרון לעשרות ואשר לפניו לאחדים ומנין פעמים אלו הוא הנקרא היוצא בחילוק

The interim result should be multiplied by all digits of the divisor and the products are extracted from the corresponding digits of the dividend

ודע שיש לך להוציא כ"כ פעמים המספרים אשר לפני האחרון התחתון מאשר לפני האחרון או האחרונים העליונים אשר הוצאת מהם כפלי האחרון התחתון כפעמים אשר הוצאת האחרון התחתון מהאחרון העליו' או האחרונים

[ואם אין בו וכאשר נשאר מהאחרון או מהאחרונים בקחתך אותם לעשרות ולמאות כפי ערכם אל המעלה הזאת כפולים אשר הוצאת האחרון התחתון מן האחרון העליון או האחרונים], לא תוציא לאחרון כפל הכפלים ההם, כי לעולם יש לך להוציא כל אחד כל פעמים מהעליון הראוי לו כפעמים אשר תוציא האחרון מן האחרון או מן האחרונים

An interim digit of the dividend is smaller than the corresponding digit of the divisor or its multiple - considering the next rank of the dividend - keeping in mind the value of each rank in relation to the present rank

א[כן] יש לך לדעת כי בכל עת שתרצה להוציא התחתון מהעליון ואין דיו לכופליו כאשר תמצא במעלה הראויה לו, שאם יש בנמשך אחר הנמשך תוכל להוציא ממנו ובלבד שתשמור לעולם ערך המעלות, שכל מספר הוא במעלה שלפניו לעשרות ואשר לפני פניו למאות וכן לעולם על הערך הזה

ואחר שתדע הכפלים אשר תוכל להוציא כל אחד מהמספרים התחתונים מהמעלה או מעלות הראויות להם מהעליונים, ר"ל כי עד"מ אם האחרון התחתון לקח מהמעלה הו' התחתון ואשר לפני האחרון יקח מו' ואשר לפני פניו מהה' עד כלותם

The decimal place of the interim result of division

ובמעלה אשר יכלו, ר"ל שהראשון התחתון יש לו לקחת בפעם ההיא מהמעלה ההיא על סדר שביארנו, כנגד המעלה ההיא תשים מנין הכפלים אשר לקחו ותשימם תחת המספר העליון

The remainder of the division

וכאשר ישאר שום דבר משום מספר עליון, תשים עליו השארית ושארית זה יהיה לעולם בין עיניך להועיל ממנו לעשרות או למאות לאשר לפניו ולפני פניו כמו שביארנו

Proceeding to the next interim division

וכאשר תמו כל התחתונות לקחת מן הראויות להם, אם נשאר עוד במספר העליון כמספר התחתון או יותר ממנו, נשוב לחלקו עליו כבתחלה ונראה כמה פעמים יצא האחרון התחתון מהאחרון או אחרוני' שארית זו כמו שעשינו בתחלה בכל המספר ואשר לפניו מאשר לפניו, לכולם כפלים שווים כל אחד מהראוי לו

The last interim division

וכן נשוב לעולם פעם אחר פעם, עד הגיע עת יקח כל אחד מהתחתונים ממעלתו ממש, ר"ל האחדי' מהאחדים והעשרות מהעשרות ומספר הכפלים יושם בעת ההיא במעלה הראשונה ולא נשוב עוד לחלק כי לא ישאר אז כי אם הפחות מהמספר התחתון והפחות על הרב לא יוכל לחלק לשלמים כי אם לשברים ועוד נזכיר בפרק זה איך יתחלק לשברים

וזכור לעולם שתשים בכל פעם היוצא בחילוק בפעם ההיא, ר"ל לפעמים הכפלים אשר תוציא בפעם ההיא כנגד המעלה אשר משם [יקח] המספר הראשון התחתון, ר"ל אשר יהיה במעלה הראשונה, אם יהיה שם מספר [ואף אם לא יהיה שם מספר] כי אם סיפרא, תראה מהיכן היה לו ראוי ליקח אם היה שם מספר כי אם סיפרא ושם תשים היוצא בחילוק בפעם ההיא

Tracing the rank of the dividend to be divided by a certain digit of the divisor

ויצא לנו מכך כי כאשר נרצה לידע אי זה מקום ראוי לקחת ממנו שום מספר מהתחתונים בשום פנים, שנראה מאי זו מעלה לקחת לאחרון שבתחתונים בפעם ההיא ותמנה משם לצד ימין מנין מעלות כמספר מעלות מרחק המספר ההוא התחתון [לצד ימין מהמספר האחרון התחתון] ובמקום שיכלו מהעליונות משם יקח

The decimal place of the interim result of division

גם כאשר תרצה לידע באיזה מקום תשים היוצא בחילוק בכל פעם, ראה מאיזה מקום לקח האחרון התחתון בפעם ההיא ומנה משם לצד ימין כמנין רשמי התחתון וכאשר תכלה המנין ההוא, שם תשים היוצא בחלוק בפעם ההיא ומהמעלה ההיא בעצמה יקח המספר אשר במעלה הראשונה בטור התחתון בעת ההיא

example

המשל

\scriptstyle4380408998\div46079

רצינו לחלק 4380408998 על מספר קטן ממנו והוא 46079, נשימם בשני טורים מרווחים זה על זה על הסדר כזה‫:

0
01
13
054
00290102
23324924
0744193751
4380408998
95063
46079

[אמ' משה זה טעות אבל האמת הוא כי היוצא בחלוק לכל א' [...] הוא זה 95000 שלמים נוסף על השברים]

ונאמ' מה שהוא המספר האחרון העליון יוכל לצאת 4 שהוא המספר האחרון התחתון פעם אחת

אכן מד' אשר לפני האחרון העליון שהוא אשר לפני האחרון התחתון לא נוכל לצאת 6 שהוא אשר לפני האחרון התחתון לכן לא נוציא משום [משם] דבר, אבל נוציא מהשנים האחרונים שהם 43
ונאמר 43 כמה פעמים יש 4 ולא נאמר עשרה, שמהמעלה הזאת היה יכול לקחת 10 היה לוקח מהאחרון אחרון שהוא 10 בערך המעלה הזאת, לכן לא נאמ' כי אם 9
והנה השורה התחתונה היא 5 רשמים, לכן לא נמנה מהג [3] העליון אשר לוקח משם 5 מעלות לצד ימין ויכלו בסיפרא ונשים תחתיה אלו ה9 היוצאים בחילוק, שהוא מספר הכפלים אשר לנו להוציא התחתונים מהעליונים בפעם הזאת כל אחד מהמעלה הראויה לו כנזכר

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{9\times4}}=36\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-1=3\\&\scriptstyle1{\color{red}{3}}-6={\color{green}{7}}\\&\scriptstyle3-3={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	07
4380408998		4380408998
		9
46079		46079

ונאמר 9 פעמים 4 הם 36 ואלו 6 האחדים היה לנו להוציאם מה3 וה3 עשרות מה4

ואין ב3 כדאי להוציאם מהם ה6 האחדים, לכן נקח עשר אחד מה4 מוסיף על ה3 עשרות אשר יש לנו לקחת משם
לכן נקח כל ה4 ונשים עליו סיפרא, או נעביר עליו הקולמו‫'
וזה העשר הנוסף אשר לקחנו נחברהו אל ה3 העליון ויהיו 13 נקח משם ה6 אחדים אשר לנו לקחת משם, ישארו 7 ונשימם על ה3
והנה כבר לקחנו האחדים גם העשרות כל אחד מהמעלה הראויה לו

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{9\times6}}=54\\&\scriptstyle{\color{red}{8}}-4={\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7}}-5={\color{green}{2}}\\\end{align}}$	2
	074
	4380408998
	9
	46079

ועוד נאמר 9 [פעמים] 6 הם 54

ונקח ה4 אחדים מהמעלה אשר לפני האחרונים העליונים הנזכרים שהוא ה8 וישארו 4, נשימם עליהם
עוד נקח ה5 עשרות מהמעלה שאחריו לצד שמאל, שהם עשרות בעדה ותשים ותמצא שם 7, תסיר מהם 5, ישארו ב' ונשימם עליהם

עוד 9 פעמים 7, כי לא נחוש לסיפרא התחתונה, כי אם לשמירת המדרגות, ר"ל שהיא מורה לנו שאין להוציא כפל 7 זה אשר לפניה ממקום הסיפרא העליונה, אשר לפני ה8 אשר לקחנו משם ל6, אבל ממקום ה4 שהוא לפני ה8, 2 מעלות, כדרך שה7 לפני ה6, 2 מעלות

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{9\times7}}=63\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-3={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-1={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle1{\color{red}{0}}-6={\color{green}{4}}\\\end{align}}$	23
	07441
	4380408998
	9
	46079

ונאמר 9 פעמים 7 הם 63

נסיר ה3 אחדים מה4 העליון הנזכר וישאר 1 ונשימנו עליו
והיה ראוי לנו לקחת ה6 עשרות ממקום הסיפרא ואחר שאין שם כדאי להוציאם, נקח אחד מהמעלה הבאה האחריה, תמצא שם 4, נקח אחד, ישארו 3, נשימם עליו
וזה האחד הוא עשר בערך מעלת הסיפרא העליונה, אשר משם נקח העשרות, כי כל אחד מאלו העשרה הוא עשר בערך ה4, אשר משם לקח ה7 ונסור ה6 עשרות, אשר עליו, להוציא מאלו ה10 וישארו 4 ונשימם על הסיפרא

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{9\times9}}=81\\&\scriptstyle{1\color{red}{0}}-1={\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-1={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{1}}0-8={\color{green}{2}}\\\end{align}}$	2332
	074419
	4380408998
	9
	46079

עוד נאמ' 9 פעמים 9 והיו 81

וזה האחד היה לנו לקחתו ממקום הסיפרא העליונה אשר לפני 4, אשר לקחנו משם ל7 ואין שם דבר, לכן נקח האחד אשר על ה4 ויהיה כאן עשרה. נקח האחד ישארו 9 ונשימם עליה
וה8 עשרות היה לנו לקחת אותם ממעלת ה4 ואין שם דבר, כי אפי' האחד שיהיה שם כבר לקחנוהו ל[...] האחד, לכן נקח אחד מהד' אשר על הסיפרא הבאה אחריה וישארו 3 ונשימם עליו
וזה האחד יהיה לעשר על ה4 אשר משם נקח ה8 עשרות וכל אחד מאלו העשרה הוא עשר, כערך מקום הסיפרא אשר משם לקח ה9 ונסיר ה8 [עשרות מעשר] עשרות אלו, ישארו 2 ונשימם על ה4, ר"ל על האחד שהיה על ה4
וכבר לקחו כל התחתונים כ"כ כפלים כל אחד מהראוי לו כאשר לקח האחרון התחתון מהאחרוני' התחתונים
ונשאר לנו 233298998 במספר העליון, שהוא יותר מהתחתון כמה כפלי כפלים
לכן נשוב לחלק להם זאת השארית כאשר בתחלה ונרשום קו על כל הנשאר, כדי שלא נתבלבל

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{5\times4}}=20\\&\scriptstyle{\color{red}{2}}-2={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	0
	2332
	074419
	4380408998
	95
	46079

ונאמ' מהשנים השארית האחרון לא יוכל לצאת הד' האחרון התחתון אפי' פעם א' פעמים, לכן נחלק ונקח לו מהכ"ג האחרוני' ויהיה שם חמשה פעמים ונשים זה הה' תחת הראשון שהוא לה' מעלות מזה הג', אשר אנו לוקחים משם לצד ימין, שהם כמספר מעלות השורה התחתונה

ונאמ' ה' פעמי' 4 הם כ‫'
ואחר שאין שם אחדים, לא נקח מהג' דבר, אבל הב' עשרות אלו נקח מהב' הבא אחריו ולא ישאר דבר ונעביר עליו ב‫'

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{5\times6}}=30\\&\scriptstyle{\color{red}{3}}-3={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	00
	2332
	074419
	4380408998
	95
	46079

[missing]

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{5\times7}}=35\\&\scriptstyle{\color{red}{9}}-5={\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3}}-1={\color{green}{2}}\\&\scriptstyle1{\color{red}{2}}-3={\color{green}{9}}\\\end{align}}$	0029
	23324
	074419
	4380408998
	95
	46079

ועוד נאמ' ה' פעמים ז' הם 35

ואלו ה5 אחדים נקחם מה9 אשר על ה0' כי שם מקום לקיחתם במעלת 4 לצד ימין מה3, אשר על ה8 העליון, אש' לקח רושם האחרון התחתון כמרחק זה הז' לצד ימין מה4 האחרון התחתון כמרחק ואחר קחתנו אלו ה5 אחדים מה9 הנזכרים, ישארו 4 ונשימם עליהם
והג' עשרות נקחם מהב' אשר עליהם כי שם מקום לקיחתם הבא אחריו ולא נוכל, לכן נקח אחד מהג' הבא אחריו וישארו 2, נשימם עליו
וזה הא' הוא עשרה בערך השנים ונחברם אליהם, יהיה 12, נקח מהם ה3 עשרות, ישארו 9 ונשימם עליהם

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{5\times9}}=45\\&\scriptstyle{\color{red}{8}}-5={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-4={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	00290
	23324
	0744193
	4380408998
	95
	46079

עוד נאמר 5 פעמים 9 הם 45

נסיר ה5 מה8, ישארו 3
נסיר ה4 עשרות מה4 ולא ישאר דבר ונשים עליו 0
והנה לקחו כל התחתונות ונשאר לנו במספר העליון 2943998 והוא הרבה מאד יותר מהתחתון ונשוב לחלקם להם ונרשום על זאת השארית קו דיו, כדי שלא נתבלבל

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{6\times4}}=24\\&\scriptstyle{\color{red}{9}}-4={\color{green}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2}}-2={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	05
	00290
	23324
	0744193
	4380408998
	9506
	46079

ונאמר מ2 לא יצאו 4, אבל יצאו 4 מ29 ויצאו משם ז' פעמים ולא ישאר כי אם 1 1 ולא יהיה בו די לעשרות כפל הז' ב6, אשר לפני ה,4 שהם 4 עשרות

לכן לא נקח כי אם 6 ונשימם תחת ה9 שהוא ה5 לצד ימין מה9 כנגד [....] העליון, אשר משם נקח לאחרון התחתון, ר"ל שהוא כמנין מעלות השורה התחתונה
ואחר שיש מעלה חלקה ממספר בין ה5, אשר יצא לנו בחילוק מתחלה וזהו אשר יצא לנו עתה, נשים 0 במעלה החלקה ממספר, כי זה מעשה ה0, כאשר ביארנו בתחלת הספר
ונאמר 6 פעמים 4 הם 24
נקח 4 אחדים מה9, ישארו 5 ונשימם עליהם
ונקח ה2 עשרות מה2 הבא אחריו ולא ישאר דבר ונעביר עליו הקולמוס

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{6\times6}}=36\\&\scriptstyle{\color{red}{5}}-1=4\\&\scriptstyle1{\color{red}{0}}-6={\color{green}{4}}\\&\scriptstyle4-3={\color{green}{1}}\\\end{align}}$	1
	054
	00290
	23324
	0744193
	4380408998
	9506
	46079

ונאמ' 6 פעמים 6 הם 36

היה לנו לקחת ה6 אחדים מהם אשר בזו השארית ולא נוכל, לכן נקח אחד מה5 אשר משם נקח הג' עשרות
ויהיה כאן עשרה, נקח 6 אחדים, ישארו 4 ונשימם עליהם
עוד נקח ה3 עשרות מה5 וכבר לקחנו 1, הנה לא ישאר שם כי אם 1 ונשימהו עליו

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{6\times7}}=42\\&\scriptstyle{\color{red}{9}}-2={\color{green}{7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-1={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle1{\color{red}{3}}-4={\color{green}{9}}\\\end{align}}$	13
	054
	00290
	233249
	07441937
	4380408998
	9506
	46079

עוד נאמר 6 פעמים 7 הם 42

נקח השנים אחדים מה9, ר"ל אשר במעלת המאות שהוא ל4 מעלות לצד ימין מהמקום שלקח האחרון התחתון, ישארו 7 ונשימם עליהם
ו[...] לנו לקחת ה4 עשרות מה3 ואין בו די, נקח אחד מה4 הבא אחריו וישארו 3 ונשימם עליו
וזה ה1 הוא 10 במדרגת ה3 ונחברם ויהיו 13, נקח מהם ה4 עשרות, ישארו 9 ונשימם עליהם

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{6\times9}}=54\\&\scriptstyle{\color{red}{9}}-4={\color{green}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7}}-5={\color{green}{2}}\\\end{align}}$	13
	054
	00290
	2332492
	074419375
	4380408998
	9506
	46079

ונאמר 6 פעמים 9 הם 54

ונקח ה4 מה9, ישארו 5 ונשימם עליהם
[missing]
והנה לקחו כולם ונשאר עוד בעליון 139258 והוא יותר מהתחתון, לכן נשוב לחלקם עליהם, נרשום קו דיו עליהם על השארית הנזכר

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{3\times4}}=12\\&\scriptstyle{\color{red}{3}}-2={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{1}}-1={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	01
	13
	054
	00290
	2332492
	074419375
	4380408998
	95063
	46079

ונאמ' מא' אין די ל4 אבל נקח מי"ג האחרונים בשארית ויקח 3 פעמים ונשים ה3 הנמצא בחלוק תחת ה8 העליון, שהוא במעלה הראשונה, שהיא 5 ל3 זה אשר משם נקח לצד ימין, שהוא כמנין מעלות השורה התחתונה

ונאמ' ג' פעמים 4 הם 12
ונקח ה2 מה3 וישאר 1 ונשימהו עליו
ונקח ה1 מה1 ולא ישאר דבר ונעביר עליו הקולמוס

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{3\times6}}=18\\&\scriptstyle{\color{red}{9}}-8={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{1}}-1={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	0
	01
	13
	054
	002901
	2332492
	074419375
	4380408998
	95063
	46079

ונאמ' 3 פעמים 6 הם 18

ונקח ה8 מה9 וישאר 1 ונשימהו עליו
ונקח ה1 מה1 ולא ישאר דבר ונעביר עליו הקולמוס

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{3\times7}}=21\\&\scriptstyle{\color{red}{5}}-1={\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2}}-2={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	0
	01
	13
	054
	0029010
	23324924
	074419375
	4380408998
	95063
	46079

ונאמ' 6 פעמים 6 2 הם 12 21

ונקח ה1 מה5 וישארו 4 ונשימם עליו
ונקח ה2 מה2 ולא ישאר דבר ונעביר עליו הקולמוס

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{3\times9}}=27\\&\scriptstyle{\color{red}{8}}-7={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-2={\color{green}{2}}\\\end{align}}$	0
	01
	13
	054
	00290102
	23324924
	0744193751
	4380408998
	95063
	46079

ונאמ' 3 פעמים 9 הם 28 27

ונקח ה7 מה8, ישאר 1 ונשימהו עליו
ונקח ה2 עשרות מה4, ישארו 2 ונשימם עליו

\scriptstyle1021<46079\longrightarrow{\color{red}{\begin{align}&\scriptstyle95063\ the\ result\\&\scriptstyle1021\ the\ remainder\\\end{align}}}

הנה כבר לקחו כלם ונשארו 1021 והוא פחות מהתחתון ולא יוכל להתחלק עליו לשלמים, לכן תאמר שכלית כל מלאכתך על השלמות ושיצא בחילוק לכל אחד 95063 ונשאר במספר העליון שלא יוכל להתחלק לשלמים 1021 ועוד נדבר בזה הפרק בעצמו

check

Multiplication

ואם תרצה לבחון מעשיך, לדעת אם לא טעית

$\scriptstyle\left(95063\times46079\right)+1021=4380408998$

כפול היוצא בחילוק, ר"ל 95063, במספר אשר חלקנו עליו, ר"ל 46079, ותוסיף השארית, ר"ל ה1021, על העולה מכפל[ם] ויצא לך החשבון המתחלק, ר"ל 4380408998, שזה המספר אשר חלקת עליהם

ואם לא יצא ראשון כמותו, דע לך שטעית באחד המעשים, ר"ל בחילוק או בכפל. כל זה תמצא רמוז בצורה הנזכרת

$\scriptstyle486463564860000\div5400920$

וכדי שתתלמד, ארשום כאן בחינת המשל, אשר הבאתי בפרק הג' בכפל והוא שנחלק העולה מהכפל ההוא והוא 486463564860000 [על אחד מהב' מספרים הנכפלים ויהיה תחלה ל5400920] ונשימם זו על זו הגדולה למעלה כזה‫:

0

020

0 0302 000

03038270141

486463564860000

90070500

5400920

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{5\times{\color{blue}{9}}=}}{\color{YellowOrange}{45}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-}}{\color{YellowOrange}{5}}={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-}}{\color{YellowOrange}{4}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	03
486463564860000		486463564860000
		9
5400920		5400920

ונאמר מ4 לא יצאו 5 ויקחו מ48 ויהיו שם 9 פעמים ונעשום זה ה9 תחת ה6, שהוא לשבע מעלות לצד ימין מה8, כמספר מעלות השורה התחתונה

ונאמר 9 ב5 הם 45
נסיר ה5 מה8, ישאר 3
נסיר ה4 מה4, לא ישאר דבר

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4\times{\color{blue}{9}}=}}{\color{YellowOrange}{36}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-}}{\color{YellowOrange}{6}}={\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3-}}{\color{YellowOrange}{3}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	0
	030
	486463564860000
	9
	5400920

[עוד נאמר 9 ב4 הם 36

נסיר ה6 מה6, לא ישאר דבר
ונסיר] ונסיר ה3 מה3, לא ישאר ג"כ דבר

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9\times{\color{blue}{9}}=}}{\color{YellowOrange}{81}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3-}}{\color{YellowOrange}{1}}={\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-}}{\color{YellowOrange}{1}}={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{16-}}{\color{YellowOrange}{8}}={\color{green}{8}}\\\end{align}}$	0
	030382
	486463564860000
	9
	5400920

עוד נאמר 9 ב9 הם 81

ולדעת מאיזו מדרגה וקח [נקח] תעשה אחד מ2 דברים: או תמנה מהמעלה [אשר שמת שם היוצא בחלוק, שהוא ה6, לצד שמאל 3 מעלות במרחק זה ה9 מהמעלה הא'] הא' ויכלו ב[3] העליון ומשם נקח זה האחד שעלה בכפל
ואם תרצה תמנה מהמקום אשר משם לקח המספר האחרון התחתון והוא ה8 [העליון, 5] מעלות לצד ימין כמרחק זה ה9 מה5 המספר האחרון לצד ימין ויכלו ג"כ ג' ומשם נקח ה1 וישארו 2
ונקח ה8 עשרות מה6 ואין די ויקחו מה4 וישארו 3 וזה הראשון הוא לעשרה ועם ה6 יהיו 16, נסיר מהם ה8, ישארו 8

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{2\times{\color{blue}{9}}=}}{\color{YellowOrange}{18}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2-}}{\color{YellowOrange}{1=1}}\\&\scriptstyle{\color{YellowOrange}{1}}{\color{red}{5-}}{\color{YellowOrange}{8}}={\color{green}{7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{1-}}{\color{YellowOrange}{1}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	0 0
	0303827
	486463564860000
	9
	5400920

ונאמר עוד 9 ב2 הם 18

ומה5 לא יוכל לצאת ה8, לכן נקח 1 מה2 ועוד נקח משם 1 לעשר ולא ישאר דבר
וזה ה1 הראשון אשר לקחנו יהיה עשרה ועם ה5 יהיו 9, נסיר מהם 8, ישארו 7 [ישאר 7]

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{5\times{\color{blue}{7}}=}}{\color{YellowOrange}{35}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-}}{\color{YellowOrange}{5}}={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3-}}{\color{YellowOrange}{3}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	0 030
	0303827
	486463564860000
	9007
	5400920

וכבר לקחו כל המספרים, כי ה0 ולא תקח דבר

והנה נשאר בעליון 3807648606000 והוא רב מאד מהמספר התחתון, לכן נשוב נחלקנו עליו ונרשום קו דיו עליהם
ונאמ' מ3 אין די ל5 ונקח מ38 ויהיה בהם 7 פעמים 5, תשים זה ה7 היוצא בחילוק תחת ה6, כי שם יכלו הד' מעלות מזה ה8 לצד ימין, אשר הם כמנין מעלות השורה התחתונה
ונאמ' 7 ב5 הם 35
ונקח ה5 מה8, ישארו 3
וה3 מה3, לא ישאר דבר

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4\times{\color{blue}{7}}=}}{\color{YellowOrange}{28}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3-}}{\color{YellowOrange}{1=2}}\\&\scriptstyle{\color{YellowOrange}{10-8}}={\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{YellowOrange}{2-2}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	02
	0 030
	0303827
	486463564860000
	9007
	5400920

ונאמר 7 ב4 הם 28

וה8 לא יוכלו לצאת מהם ונקח 1 מה3 ויהיה 34, נקח ה8 וישארו ב' ונשימם עליו
ונקח עוד מה3 ויהיה 4 הב' עשרות ולא ישאר דבר

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9\times{\color{blue}{7}}=}}{\color{YellowOrange}{63}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-}}{\color{YellowOrange}{3}}={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-}}{\color{YellowOrange}{6}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	02
	0 030
	030382701
	486463564860000
	9007
	5400920

עוד נאמר ז' בט' הם 63

ונקח ה3 מה4, שהיא מדרגה הראויה לו כמו שהזכרנו באחד מהב' דרכים, אם להיותה שלישית לשמאל ואם להיותה חמישית לימין, כמו שהוא ה9 וישאר א' מה4 ונשימהו עליו
והו' עשרות נסירם מה6 ולא ישאר דבר והנה לקחו כלם

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{2\times{\color{blue}{7}}=}}{\color{YellowOrange}{14}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-}}{\color{YellowOrange}{4}}={\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{1-}}{\color{YellowOrange}{1}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	02
	0 030 0
	0303827014
	486463564860000
	9007
	5400920

עוד נאמר 7 ב2 הם 14

נסיר ה4 מה8, ישארו 4
ונסיר ה1 מ1 ולא ישאר דבר

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{5\times{\color{blue}{5}}=}}{\color{YellowOrange}{25}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7-}}{\color{YellowOrange}{5}}={\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2-}}{\color{YellowOrange}{2}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	0
	02
	0 0302 0
	0303827014
	486463564860000
	900705
	5400920

והנה לקחו כלם ונשאר בעליון 2700460000

וה7, לפי שהוא תחת הקו הרשום תחלה ואולי תשכחהו, שימהו על הקו הרשום ועוד תרשום קו על הכל ותשוב לחלקים אחרי היותם יותר מהתחתון
ונאמר ב2 אין די ל5, ניקח מ27 ויהיו בו ה' פעמים ונשימהו תחת השלישית, כי שם יכלו ה7 מעלות לצד ימין, שהם כמנין מעלות השורה התחתונה ונאמר 5 ב5 הם 25
נסיר הה' מהז', ישארו שנים
ונסיר הב' מהב' ולא ישאר דבר

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4\times{\color{blue}{5}}=}}{\color{YellowOrange}{20}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2-}}{\color{YellowOrange}{2}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	0
	020
	0 0302 0
	0303827014
	486463564860000
	900705
	5400920

ונאמ' ה' בד' הם כ‫'

ולא נקח אחדים
אכן הב' עשרות נקחם מהב' אשר שמנו עתה על הז' ולא ישאר דבר

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9\times{\color{blue}{5}}=}}{\color{YellowOrange}{45}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-}}{\color{YellowOrange}{5}}={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-}}{\color{YellowOrange}{4}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	0
	020
	0 0302 00
	03038270141
	486463564860000
	900705
	5400920

עוד נאמר ה' בט' הם מ"ה

נסיר הה' מהו', כי היא מעלה הראויה לו כנזכר וישאר א‫'
ונסיר הד' מהד' ולא ישאר דבר הנה לנו שכלה כל החשבון

[the last step is missing

\scriptstyle{\color{red}{2\times5=10\longrightarrow1-1=0}}

]

ולהיות לנו בזה היוצא בחלוק מעלות חלקות מהמספר, הן בתחלה, הן באמצע, נשים ספרות במקומם, כי זה מעשה הסיפרות ותועלתם כאשר הזכרנו

והנה יצא לנו שכאשר חלקנו העולה מהכפל באחת הנכפלים, יצא השני בלי תוספת ומגרעת ובלי שארית כלל

$\scriptstyle486463564860000\div90070500$

וכן אם תחלקנה לחבירתה, תצא חבירתה בחילוק, כאשר בא בזאת הצורה

0
1
020
0838 000
03011100141
486463564860000
5400920
90070500

ולא ראיתי להאריך בזה עוד והכל מבואר למבין

reason: procedure

The reason for the decimal place of the interim result of division: this decimal place is set according to the rank of the dividend from which the multiple of the rightmost digit of the divisor was subtracted

וטעם מקום הנחת היוצא בחילוק הוא כי כפי המדרגה אשר ממנה לקח המספר הראשון, הם הפעמים אשר לקחו

$\scriptstyle600\div3$

ר"ל שאם חלקנו שש מאות לג' אחדים

\scriptstyle{\color{blue}{600\div3=200}}

הנה יגיע לכל אחד ב' והמדרגה אשר ממנה לקח היא מדרגת המאות, הנה השנים אשר יצאו בחלוק היא הם מאותה המדרגה והם מאתים

\scriptstyle a00\div b=c00\longrightarrow a000\div b0=c00

ואם היו שם עוד אלפים בעליון ועשרות בתחתון, הנה הפעמים אשר יגיעו לאחדים מהמאות, יגיעו לעשרות מהאלפים

As the tens are tens in relation to the units, so the thousands are tens in relation to the hundreds; and as the hundreds are in relation to the units, so the thousands are in relation to the tens, and the tens of thousands are in relation to the hundreds

כי כמו שהעשרות הם עשרות לאחדים, [ככה האלפים הם עשרות למאות, הנה כאשר הגיע לאחדים מהמאות] מהמאות, יגיעו לעשרות מהאלפים וכן למאות מהעשרות אלפים וכן לעולם, כי כמו שזה עולה לאשר כמותו כן עולה זה

The rank of the division by units is the rank of the dividend - thus, if the units were extracted from the hundreds, the tens will be extracted from the thousands, and the hundreds will be extracted from the tens of thousands

כבר ביארנו כי מדרגת הפעמים אשר הגיעו לאחדים היא מרוחק המדרגה אשר ממנו לקח והיא בעצמה המדרגה אשר לקחו העשרות מהאלפים והמאות מהעשרות אלפים וכן כולם

The multiple of a certain digit of the divisor should be extracted from the rank of the dividend that is placed in relation to the rank from which the multiple of the divisor's units was extracted, as the decimal position of that certain digit of the divisor in relation to its units

ר"ל שכל אחד מהתחתונות, מדרגתה הראויה לקחת ממנה היא מרוחקת לצד שמאל [מהמדרגה אשר לקחו ממנה האחדים, כמספר המדרגות אשר היא מהאחדים] מהאחדים

If the units of the divisor were extracted from the hundreds of the dividend, then the hundreds of the divisor, that are on the third rank in relation to the units of the divisor, should be taken from the tens of thousands of the dividend, that are on the third rank in relation to the hundreds of the dividend

ר"ל כמספר אשר זה התחתון לצד שמאל מהאחדים ר"ל כמספר אשר זה התחתון לצד שמאל מהאחדים, שהרי המאות מדרגתם היא שלישית לצד שמאל מהאחדים וכן העשרות אלפים, אשר ראוי לו לקחת מהם בקחת האחדים מהמאות כאשר זכרנו, גם הם שלישיים לצד שמאל מהמאות, אשר היא המדרגה אשר ממנה לקחו האחדים והקש על זה, ובזה נכלל טעם כל המעשה

reason: check

וטעם הבחינה

The reason for the checking procedure: multiplication is the inverse operation of division

כי הכפל הוא הפך החילוק

The meaning of division: finding out how many times the small number is in the larger number

ר"ל שהחילוק הוא לידע כמה פעמים המספר הקטון במספר הגדול

The meaning of multiplication: [finding out] how much is the sum of the multiples of a given number for a given number of times

והכפל הוא כמה סך כפלי מספר ידוע פעמים ידועים

$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle20\div5=4\\\scriptstyle20\div4=5\end{cases}\longrightarrow20=4\times5}}$

וכן אם בחלקנו כ' לה', יעלה לכל אחד ד‫'

או לד' לכל אחד ה‫'
הנה כ' הוא כפל ד' בה', שהם המספר אשר חלקנו עליו והיוצא בחילוק

$\scriptstyle{\color{blue}{21\div4=5+\frac{1}{4}\longrightarrow21=\left(4\times5\right)+1}}$

ואם חלקנו כ"א לד', כמה יעלה לכל אחד, ה' וישאר א‫'

ולזה כאשר כפלנו ד' בה' ויעלה כ', הוספנו עליהם הא' הנשאר, יעלה הכל כ"א, שהוא כמספר המתחלק וכל זה ברור

Finding the proper fraction of the remainder from division - reference to the section on fractions

וכאשר תרצה לחבר המעט הנשאר על המספר התחתון, שהוא גדול ממנו, או שום אחד מספר קטן על מספר אחד גדול ממנו, תמצא בחלק הב' בפרק הא' במאמ' האחדות, אשר בו דרך כולל לכל המספרים, בין יהיו להם מורים, בין אם יהיו פשוטים

divisibility of a number

For an inclusive method of dividing a large number by a smaller number and vice versa - the author uses a technique of the ancients of finding the fractions [= divisors] of numbers

אכן לתת לך דרך כולל, בין לחלק רב למעט, או בהפך, דרכתי דרך הראשונים והוא שתוציא המורים מהחשבון אשר תרצה לחלק עליו, אם מועט אם הרבה, והוא ל[ראו'] המספרים אשר הוא מורכב מהם, אם איננו פשוט

3; 6; 9

To find out if a given number has a third, a sixth, or a ninth [= if 3, 6, or 9 are divisors of the number]

ראשונה אם תרצה לדעת אם יש לו שלישית, או שישית, או תשיעית, מבלי שברים

six: If the units of the number are not even - the number has no sixth [= not divisible by 6]

עיין אם האות הראשונה אשר במעלה הא' מהחשבון הוא נפרד, תדע שאין לו שישית

If it is an even number and it has a third [= divisible by 3] - it has a sixth [= divisible by 6]

ואם הוא ס^זוג, [אז] דע שאם יהיה לו שלישית, יהיה לו ג"כ שישית ואם לאו לאו

nine and three:

If it has a ninth [= divisible by 9] - it has a third [= divisible by 3]

וכל שיש לו תשיעית, יש לו ג"כ שלישית ולא יתהפך

Considering the remainder after casting out nines from the sum of all the digits of the given number

ולדעת אם יש למספר תשיעית, או שלישית, הבט כל רשמי מספרי החשבון כאלו היו כולם מהמעלה הראשונה, ר"ל שתחברם כלם כאלו היו אחדים וחסר כל ט' ט' שבחבור ההוא

No remainder - the number has a ninth [= divisible by 9] and therefore has a third [= divisible by 3] also

ואם יצא כולו תשיעיות, תדע שיש לו תשיעית וכ"ש שלישית

The reminder is 3 - it has a third [= divisible by 3], but does not have a ninth [not divisible by 9]

ואם ישארו ו' או ג', יהיה לו שלישית, לא תשיעית

The reminder is a number other than 3 - it has no third [= not divisible by 3]

ואם ישאר מספר אחר, כמו ד', או ה', או הדומה להם, אין לו אפי' שלישי‫'

The reason that the reminder after casting out nines is an indicator for a division by 9: every [unit of] a certain rank is ten [units of] the preceding rank, therefore the result of subtracting nine from the ten of a certain rank will belong to the preceding rank, and so on repeatedly

הטעם מה שא[נו] לוקחים כל רשמי המספרים לאחדים, בלי עיון אל מעלותיהן, הוא לפי שכל מעלה היא עשר בערך אל אשר לפניה, בהסר מהעשרה תשע, ישאר כמותה וכן כולם. נמצא שלאחר הסרת התשיעיות כלם שוים

The reason that a number does not have sixth [= 6 is not a divisor of the number] if its units are odd: since the whole number is odd, and an odd number cannot be composed of an even number and therefore cannot be divided by an even number

ואמרנו שאם הרושם הראשון הוא מספר נעדר, שאין לו שישית, הוא לפי שכל החשבון בכללו הוא נפרד שאין לו שישית הוא לפי שכל החשבון בכללו הוא נפרד והחשבון הנפרד לא נחלק לשלמים אל חשבון זוג, ר"ל שאינו מורכב מחשבון זוג, אפי' עם הנפרד, כ"ש עם הזוג

The reason that an even number that is divisible by three is divisible also by six: since it is even number, the multiplier of three in it is an even number. For if it was an odd number, the whole number was odd, as a product of odd number by odd number, but as the number is even it is divisible by even times three, that is to six

ואמרנו שאם הוא זוג, שאם יש לו שלישית, יש לו ג"כ שישית, הוא לפי שמאחר שהחשבון בכללו זוג, מספר כפלי הג' ג' אשר בו הוא זוג, שאם היה נפרד, הנה היה מורכב מנפרד בנפרד והיה כולו בנפרד, ואחר שהחשבון אשר בו הג' ג' הוא זוג, א"כ הוא נחלק לזוגי ג', ר"ל לששה ששה והנה יש לו שישית על השלימות וזה מבואר

2; 4; 8

To find out if a given number has a half, a quarter, or an eighth [= if 2, 4, or 8 are divisors of a the number]

ואם תרצה לדעת אם יש לו מחצית, או רביעית, או שמינית

Considering its units:

ראה הרושם הראשון

If it is an odd number, it does not have a half, a quarter or an eighth [not divisible by 2, 4, or 8] - from the same reason mentioned above concerning the sixth [= 6 as a divisor]

אם הוא חשבון נפרד, הנה אין לו אח' מהם, מהטעם שאמרנו בשישית

two: if it is an even number or 0 - then the whole number is even, for the tens and up are even - therefore it has a half [= divisible by 2]

ואם הוא זוג, או 0', הרי כל החשבון בכללו זוג, כי העשרות ומהם ולמ[ע]לה כלם זוג אחדים וא"כ בידוע שיש לו מחצית

four and eight: if it is an even number or 0

ולדעת אם יש לו ג"כ רביעית ושמינית

The digits of the whole number are summed according to the following procedure:

for a number of the type $\scriptstyle2a+10b+\left[100\sdot\left(2c-1\right)\right]$

→ the sum is

\scriptstyle2a+2b+4

for a number of the type $\scriptstyle2a+10b+\left(100\sdot2c\right)$

→ the sum is

\scriptstyle2a+2b

קח המספר אשר במעלה הראשונה כמו שהוא ואשר בשנייה כפול, אם יש שם מספר ואשר בשלישי', אם הוא נפרד, קח בעבורו ד' אחדים

ואם הוא זוג, או 0, לא תקח בעבורו מאומה וכן מהמעלה השלישית ולמעלה לא תקח דבר

Considering the remainder after casting out eights from this sum

וחבר כל אשר לקחת והשלך אותו ח' ח‫'

No remainder - the number has an eighth and a quarter [= divisible by 8 and 4]

ואם יצא הכל, הנה יש לו שמינית ורביעית

The remainder is 4 - the number has a quarter [= divisible by 4]

ואם ישאר [ארבעה] יש לו רביעית לבד

The remainder is a number other than 4 - the number does not have an eighth or a quarter [=not divisible by 4 or 8]

ואם ישאר חשבון אחר, אין לו לא שמינית ולא רביעית

The reason for doubling the digit of the tens in the sum: when extracting eight from each ten the remainder is two

וטעם אומרנו שנקח אשר במעלה השנית כפול, הוא לפי שהם עשרות ומכל עשר, כאשר תסיר ח', ישארו ב', הרי שישאר לנו מכל עשר שנים, לכן אנו כופלים כל העשרות ולכך אנו לוקחים אותם כפולות

The reason for not taking any digit for an even number of hundreds in the sum: every even number of hundreds is divisible by 8 (for example: 200÷8=25)

ואשר במעלה השלישית הם מאות וכל זוגי מאות יש להם שמינית, כי שמינית מאתים הוא כ"ה, לכן לא נקח בעבור זוגי המאות דבר

The reason for taking 4 for an odd number of hundreds in the sum: when extracting eights from one hundred the remainder is four - 100-(12·8)=100-96=4

אך אם יש שם מאה נפרד, אחר הסרת זוגי המאות, נקח בעבורו ד', כי בהסיר שמיניות המאה, שהם י"ב שמיניות, שהם עולים לצ"ו, ישארו ד‫'

No need to take any thing for the ranks that are higher than the hundreds - because all of them are an even number of hundreds and therefore are divisible by 8

ומהמעלה השלישית ולמעלה לא תקח דבר, כי כלם הם זוגי מאות ויש להם שמינית כמו שביארנו

7

To find out if a given number has a seventh [= if 7 is a divisor of a given number]

ואם תרצה לדעת אם יש לו שביעית

Considering the final remainder from the following procedure: multiplying the leftmost digit of the number by 3, adding the product to the digit in the preceding rank on the right and casting out sevens from the sum. Multiplying the remainder by 3, adding the product to the preceding rank on the right and casting out sevens from the sum, and so on repeatedly

ראה הרושם האחרון אשר לצד שמאל וכפלהו בג' וחברהו לאשר תמצא במעלה לאשר לפניה והסר לעולם השביעיות והנשאר כפלהו בג' וחברהו עם אשר תמצא אשר לפניה ואם לא תמצא שם מספר כי אם 0', כפלהו פעם שנית בג' וכן על כל 0' וחברהו עם אשר תמצא לפניו והשלך לעולם הז' ז‫'

If there is no remainder - the number has a seventh [= divisible by 7]

ואם יצא הכל לשביעיות, הרי ידענו שיש לו שביעית

Otherwise - it does not

ואם לאו לאו

The reason for multiplying each rank by 3 and adding the product to the preceding rank: [the unit of] every rank is ten [units of] the preceding rank and when subtracting 7 from 10 the remainder is 3. Therefore, each unit is valued 3 in the preceding rank after subtracting 7 from it

הטעם מה שאנו כופלים כל מעלה בג' לחברו לאש' לפניה, הוא לפי שכל מעלה היא עשר בערך אשר לפניה ובהסר מהם הז' [ישארו ג', הנה כל אחד הוא כשלש בערך אשר לפניו, אחרי הסרת הז‫']

5; 10

To find out if a given number has a tenth, or a fifth [= if 10, or 5 are divisors of a given number]

ואם תרצה לדעת אם יש לו עשירית, או חמישית

If the digit of the units is zero - the whole number is tens and therefore it has a tenth and a fifth [= divisible by 10 and 5]

אם הרושם הראשון הוא 0, הנה הכל עשרות, [כי אם המאות ומשם ולמעלה הכל הוא עשרות] והנה יש לו עשירית גם חמישית

If the digit of the units is 5 - the number has a fifth [= divisible by 5]

ואם הוא ה', הנה יש לו חמישית לבד

If the digit of the units is other than 0 or 5 - it does not have a fifth [= not divisible by 5]

ואם הוא מספר אחר גם חמישית אין לו

11

To find out if a given number has 11th [= if 11 is a divisor of a given number]

ואם תרצה לדעת אם יש לו י"א

Meaning: completely divisible by 11 - no remainder is left when casting out by elevens

פי' אם יתחלק לי"א על השלימות והוא שיושלך כלו י"א י"א ולא ישאר דבר וכיוצא בזה הוא מה שאמרנו בכל המורים העוברים

Subtracting the numeral in the highest rank of the given number from the numeral in the previous rank, then subtracting the remainder from the preceding numeral and so on repeatedly

ראה הרושם האחרון והוצא ה1' מאשר תמצא במעלה אשר לפניו והנשאר הוציאנו מה שתמצא מאשר לפני פניו וכן עד הגיעו לראש

If there is no remainder - the number has an 11th [= divisible by 11]

ואם יצא הכל, יש לו י"א י"א

Otherwise - it does not

ואם לאו לאו

If one of the numerals is a zero or if it is smaller than the subtrahend, 11 is added to this numeral and the procedure continues as described

ואם בשום מקום תמצא סיפרא, או שום מספר קטן במנין, שלא תוכל להוציא ממנו אשר צוויתיך, הוסיף י"א על הנמצא שם סיפרא 0, וכן או שמונה חשבון קטן ומהכל תוציא אשר ציויתיך והנשאר מאשר לפניו, כן לעולם

The reason for the procedure: every rank is ten times the preceding rank, therefore when taken with the preceding rank these are tens and units

הטעם כי כל מספר הוא עשרה בערך במעלה אשר לפניו, לכן כאשר תקחנו לעשרות ואשר לפניו לאחדים זה בזה, הרי כל מה שלקחת הם י"א י"א

The reason for adding 11 to a small number is that 11 will be extracted anyway in this procedure

ואשר הוא לפי אמרנו ולהוסיף אות י"א באשר לפניו, כאשר לא תמצא שם די מחסורו, הוא לפי שאם נוסיף כמה י"א י"א בחשבוננו, לא יעלה ולא יוריד, כי הוא בעצמו יושלך לי"א י"א, ר ג"כ יצא אחר התוספת ואם לאו לאו וזה מבואר

13

To find out if a given number has 13th [= if 13 is a divisor of a given number]

ואם תרצה לדעת אם יש לו י"ג

Multiplying the leftmost digit of the number by 3, casting out thirteens from the product, subtracting the remainder from the preceding rank then multiplying the result of subtraction by 3 again and so on

ראה הרושם האחרון וכפלהו בג' והוצא הי"ג י"ג אשר בו והנשאר הוציאהו מאשר תמצא במעלה אשר לפניו והנשאר כפלהו שנית בג' והוצא הי"ג אשר בו ~~והנשאר כפלהו שנית בג' והוצא הג' אשר בו~~ והנשאר הוציאהו מאשר לפניו וכן לעולם עד תכליתם

If there is no remainder - the number has a 13th [= divisible by 13]

ואם יצא הכל יש לו י"ג

Otherwise - it does not

ואם לאו לאו

If there is a small number in one of the ranks so that 13 cannot be extracted in the above procedure: 13 should be add to the preceding rank then the small number should be subtracted from the sum and the procedure can continue

וכאשר יחסר בשום פנים מעלה, שלא תמצא די להוציא אשר ציויתיך, הוסף י"ג והוצא [מהמתחבר אשר עליך להוציא והנשאר כפלהו בג' והוצא] הי"ג י"ג והנ' הוציאהו מאשר לפניו וכן לעולם

The reason for the procedure: every number is ten times its value in the preceding rank, so for each 13 subtracted - the 3 units are subtracted from the preceding rank

הטעם כי כל מספ' הוא עשרה כערך אשר במעלה הקודמת וכאשר תסירנו ותסיר ג' שכמותו מהמעלה הקודמת שהי' לה לאחדים, הרי כל אשר הוצאת הוא עשרות וג' ואחדים על כל עשר, מספר הנה כל מספר הוא י"ג י"ג

Adding 13 to a small number will not harm the procedure for the same reason noted above regarding 11

גם התוספת אש' ציויתיך להוסיף מהי"ג לא יזיק בהוצאת הי"ג, כאשר הזכרנו בהוספת הי"א בהמצאת מורה הי"א וזה מבואר

general rules

If the numbers 2-11, 13 are not [divisors] of a given number - any [divisor] of the given number is not divisible by these numbers

והמספר אשר לא תמצא לו אחד מהמורים הנזכרים ותרצה לידע אם יש לו מורה אחר המורה הזה, אשר תבקש הוא שלא יהיה לו שום מורה מהמורים

The reason: if one of these numbers was a [divisor] of the [divisor], then this [divisor] could not have been a [divisor] of the given number, for if it were a [divisor] of the given number then its own [divisor] should have been the [divisor] of the given number also

הטעם שאם היה לו שום מורה מהם, בידוע שאינו מורה לזה החשבון, שאם הוא מורה לזה החשבון, הנה לחשבון ג"כ יש לו המורה אשר לזה המורה ואתה לא מצאתו

21 is a [divisor] → 7 and 3 are also [divisors]

המשל אם יקח כ"א, הנה אם כ"א הוא מורה לחשבון, הנה יש לחשבון מורי זה המורה, ר"ל שביעית ושלישית וכבר ידעת שאין לחשבונך אחד מהם, לכן לא יהיה לו כ"א

If 1; 2; 3; …; n-1 are not [divisors] of a given number a, and a<n² - then n is not a [divisor] of a

גם אם מספר אשר בקשת לו כל המורים העוברים זה אחר זה ולא מצאתם, אם הוא פחות ממרובע המורה הסמוך אשר תרצה לבקש, אינך צריך לבקשו, כי איננו לו מורה אם לא מורה אחר בעולם, כי בידוע שהוא מספר פשוט

The reason: if n is a [divisor] of a and a<n², then there is b<n, so that a=b·n, but b cannot be a [divisor] of a according to the condition that 1; 2; 3; …; n-1 are not [divisors] of a → contradiction

הטעם שאם היה לו זה המורה הפשוט הסמוך אשר אתה מבקש ואין צריך לומר אחר גדול ממנו, הנה להיות חשבונך פחות ממרובעו, הנה הפעמים אשר יהיה בו המורה ההוא יהיה מספרם פחות ממספר המורה בעצמו וגם מספר הפעמים יהיה לו למורה, כי כל דבר הנחלק למספר מה ויצא בחילוק מספר מה ולא נשאר דבר, הנה שניהם לו מורים, כי כאשר יתחלק לאשר יוצא עתה בחילוק, יצא בחלוק אשר נחלקו עליו עתה ולא ישאר דבר ואולם להיות מספר פעמים אלו פחות ממספר מורה המבוקש, הלא הם כאחד המורים הקודמים וא"כ היה לו אחד מהמורים הקודמים ואתה לא מצאתם הרי זה שקר

1; 2; 3; …; 16 are not [divisors] of a → if a is divided by 17, 17 times or more, then a≥17² = 289; and if it is divided by 17, 16 times or less, then one of the numbers smaller than 17 is a [divisor] of a → contradiction

המשל אם בקשת עד י"ז ולא מצאת ותרצה לבקש אם יש לו י"ז ומספרך שהוא פחות מרפ"ט, שהוא ממרובע י"ז, הנה בידוע שאם היה יוצא לי"ז י"ז, שהפעמים אשר בו י"ז י"ז הם פחות מי"ז, שאם היו י"ז לא או יותר, הרי חשבונך היה כמרובע י"ז, או גדול ממנו והוא קטן

ואם הפעמים האלה אשר י"ז בו הם פחות מי"ז, המשל י"ו ומשם ולמטה, הנה היה לו רביעית, או אחד מהמורים הקודמים, שהרי יתחלק למספר פעמים אלו ג"כ ויצא בחילוף הי"ז וזה שקר, שהרי לא מצאת לו אחד מהעוברים

If 1; 2; 3; …; n-1 are not [divisors] of a given number a, and a≥n²

ואולם כאשר יהיה חשבונך כמרובע המורה הנמשך אשר תבקש, או גדול ממנו ותרצה לדעת אם תמצא לו זה המורה הסמוך

If there is an integer m, so that a÷n=m → then n and m are [divisors] of a

ואם יתחלק אליו לשלימים מבלי שארית הוא לו למורה צדק גם היוצא בחילוק

Otherwise - n is not a [divisor] of a

ואם לאו לאו

Repetitive division of a number by its [divisors]

Dividing a number by a known [divisor] and receiving an integer as a result

וכאשר ידעת שיש לו שום מורה, חלק המספר כולו לזה המורה ותחלק אליו לשלימים והיוצא בחילוק

The [divisor] and the result of the division are both [divisors] of the number

ואם לא תרצה לבקש יותר, הנה אלו השני מספרים, ר"ל המורה אשר חלקת עליו והיוצא בחילוק הם הם מוריו

Dividing the result of division by its [divisor] - this [divisor] must be also a [divisor] of the given number itself

אכן אם היוצא בחילוק הוא חשבון גדול ותרצה לבקש לו מורה ג"כ, עשה כדרכים הנזכרים

ואולם דע שהמורים אשר לא מצאת לחשבון הגדול, לא תמצאם ג"כ לזה היוצא בחילוק וזה ברור ואין לך לבקש אחד מהם כי אם הדומה לאשר מצאת, או למעלה ממנו, אם מצאת לו מורה, חלקנו עליו והיוצא בחילוק יהיה מורה שלישי

Dividing the second result of division by its divisor, and so on

ואם זה ג"כ גדול ותרצה לבקש לו ג"כ מורה אחר, עשה כנזכר וחלקנו על המורה אשר ידעת אשר הוא למורה לו והיוצא בחילוק יהיה לו למורה רביעי

ואם תרצה תוכל ל[...] לבקש עוד חמישי, או שישי, או זולתם

$\scriptstyle2447235\div50335084800$

המשל רצינו לחלק 2447235 על 50335084800

Are 3, 6, 9 [divisors] of 50335084800?

נוציא [....] המורים לזה החשבון הגדול אשר רצינו לחלק עליו ונראה ראשונה אם יש לו ג', או ששה, או ט‫'

the first digit is 0 → if 3 or 9 are [divisors] of 50335084800 then 6 is also its [divisor]

ואחר שהרושם הראשון הוא 0, ידענו שאם יש לו ג', או ט', יש לו ג"כ ששה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle5+0+3+3+5+0+8+4+8+0+0\\&\scriptstyle=5+3+3+5+8+\left(4+8\right)=5+3+3+5+8+12\equiv_95+3+3+5+\left(8+3\right)\\&\scriptstyle=5+3+3+5+11\equiv_95+3+3+\left(5+2\right)\\&\scriptstyle=5+3+\left(3+7\right)=5+3+10\equiv_95+\left(3+1\right)\\&\scriptstyle=5+4=9\equiv_90\\\end{align}}}

ולדעת אם יש לו ג', או ט', נחברם כלם כאלו הם אחדים

ונאמ' ח' עם ד' הם י"ב, נוציא מהם הט' ישארו [.] ג‫'
ועם 8 הם י"א, נסיר הט', ישארו ב‫'
ועם ה' יהיו ז' ועם הג' יהיו עשרה, נסיר ט', ישארו א‫'
ועם הג' יהיו ד' ועם הה' יהיו כולם ט' ט', הרי יצא החשבון לט' ט‫'

→3, 6, 9 are [divisors] of 50335084800

וידענו שיש לו ט' וג', גם ו' לסבה שזכרנו ונקח מהם אשר תרצה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50335084800}{6}=8389180800}}

ועל דרך משל, נקח למורה ו' ונחלקנו על ו' ויצא בחלוקם 8389180800

\scriptstyle{\color{blue}{8+3+8+9+1+8+0+8+0+0\equiv_90}}

the first digit is 0

→3, 6, 9 are [divisors] of 8389180800

ואחר שהיוצא בחילוק הוא חשבון גדול, נבקש לו מורה ונעשה לזה כאשר לחשבון הראשון ויצא הכל לט' ט‫'

ואחר שהרושם הראשון סיפרא
ויש לו ט', יש לו ג"כ ו' וכ"ש ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8389180800}{9}=932131200}}

ונקח ט' למורה ונחלק זה החשבון לט' ויצא בחילו' 932131200

\scriptstyle{\color{blue}{9+3+2+1+3+1+2+0+0\equiv_93}}

the first digit is 0

→3, 6 are [divisors] of 8389180800

ונעשה לזה כאשר עשינו לקודמים וישארו ג‫'

הנה יש לו ג‫'
ג"כ ו' להיות הראשונה סיפרא

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{932131200}{3}=310710400}}

ונקח למורה ג' ונחלקנו עליו ויצא בחילוקם 310710400

Since 9 is not a [divisor] of 8389180800 → 3 is not a [divisor] of 310710400

ואחר שהקודם לא היה לו ט', בידוע שלזה אין לו אפי' ג‫'

הטעם לפי שזה שלישית הקודם ואם לזה היה לו שלישית הקודם ואם לזה היה לו שלישית, הנה שלישיתו, ר"ל שלישית זה שהיה שלישית הראשון, הוא לראשון שלישית שלישית, שהוא תשיעית ולא מצאנוהו

\scriptstyle{\color{blue}{3+1+0+7+1+0+4+0+0\equiv_97}}

וכן הוא האמת, כאשר תחברם ותוציא הט' ט' ישארו ז‫'

Are 2, 4, 8 [divisors] of 310710400?

ונעיין אם יש לו ב' וד', או ח‫'

the first digit is 0 → 2 is a [divisor] of 310710400

ואחר שהראשון סיפרא, בידוע שיש לרוב לו ב‫'

the first digit is 0; the second digit is 0; the third digit is an even number

\scriptstyle{\color{blue}{0+0+0\equiv_80}}

→ 4 and 8 are [divisors] of 310710400

ולדעת אם יש לו ד', או ח', היה לנו לקחת אשר [במעלה] הראשונה ולא מצאנו שם כי אם 0 ולא נקח דבר כי אם בשנית, היה לנו לכופלו ולא מצאנו שם כי אם 0, לא נקח דבר והשלישית אחר שהוא זוג, אין לנו לקחת בעבורה דבר ולא ממנה ולמעלה

הנה יש לו ח' וד' וב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{310710400}{8}=38838800}}

ונקח למורה אשר נחפוץ מהם, המשל ח' ונחלקנו לח' ויצא בחילוק 38838800

the first digit is 0; the second digit is 0; the third digit is an even number

\scriptstyle{\color{blue}{0+0+0\equiv_80}}

→ 4 and 8 are [divisors] of 38838800

ולזאת ג"כ יש לה שמינית ורביעית וחצי לסבה הנזכרת

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{38838800}{4}=9709700}}

ונקח א' מהם, המשל ד' וחלקנו עליו ויצא בחילוק 9709700

the first digit is 0; the second digit is 0; but the third digit is an odd number

\scriptstyle{\color{blue}{0+0+4\equiv_84}}

→ only 2 and 4 are [divisors] of 9709700

ולזאת אין לה שמינית, כי הראשונה והשנית הם 0 ולא נקח בעבורם דבר והשלישית היא ז' שהוא נפרד ונקח בעבורו ד‫'

הנה שאין לו כי אם ד' וב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9709700}{2}=4854850}}

ונקח אחד מהם, המשל ב' ונחלקנו עליו ויצא בחילוק 4854850

Since 8 is not a [divisor] of 9709700 → 4 is not a [divisor] of 4854850

מאחר שזו היא מחצית הראשונה, אין לנו רביעית, לפי שלא היה לראשונה שמינית, כי רביעית זו היא רביעית חצי הראשונה שהוא שמינית

\scriptstyle{\color{blue}{0+\left(2\sdot5\right)+0=10\equiv_82}}

וכן תמצאנו בבחינה שאין לו רביעית, כי בראשונה אין מספר וכל השניה היא עשרה והשלישית היא זוג ולא נקח דבר בעבורה, הרי שאין בידינו כי אם עשר, נסיר ח', ישארו ב', הרי שאין לו כי אם חצי

Are 5, 10 [divisors] of 4854850?

ואם לא תרצה לקחתו שנית למורה, [עיין] אם יש לו עשר, או ה‫'

the first digit is 0

→ 5, 10 are [divisors] of 4854850

ואחר שהראשונה 0, בידוע שיש לו [עשר וגם] ה‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4854850}{5}=970970}}

ונקח אחד מהם, המשל ה' ונחלקנו עליו ויצא בחילוק 970970

the first digit is 0

→ 5, 10 are [divisors] of 970970

וגם זה, אחר שהראשונה 0, יש לה י', גם ה‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{970970}{10}=97097}}

ונקח עד"מ העשרה ונחלקנו לי' ויצא בחילוק 97097

the first digit is not 0

→ 5, 10 are not [divisors] of 97097

ואחר שהראשונה אינה לא ה' ולא 0, אין לו לא ה' ולא עשרה

Is 7 [divisor] of 97097?

ונראה אם יש לו שביעית

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle9\equiv_72&\scriptstyle\longrightarrow\left(2\sdot3\right)+7=6+7=13\equiv_76\\&\scriptstyle\longrightarrow6\sdot3=18\equiv_74\\&\scriptstyle\longrightarrow4\sdot3=12\equiv_75\\&\scriptstyle\longrightarrow5+9=14\equiv_70\\&\scriptstyle\longrightarrow0+7=7\equiv_70\\\end{align}}}

→ 7 is a [divisor] of 97097

ומהט' האחרון נסיר שבעה, ישארו שנים

ונכפלהו בג', יהיו ו' ונחברם לז' אשר לפניו, יהיו י"ג, נסיר הז', ישארו ו‫'
נכפלהו בג', יהיו י"ח, נסיר מהם י"ד, שני שביעיות, ישארו ד‫'
ואחר שבמעלה שלפני זאת אין שם חשבון כי אם 0, נכפול אלו הד' בג', יהיו י"ב, נסיר ז', ישארו חמשה
נחברם לט' שלפני זאת, יהיו י"ד והם שביעיות, גם הראשונה ז', הנה יצא הכל ז' ז‫'
הנה יש לו שביעית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{97097}{7}=13871}}

ונקחנו למורה ונחלקנו עליו ויצא בחילוק 13871

Is 7 a [divisor] of 13871?

ונשוב לראות ונעיין אם יש לזה ג"כ ז‫'

the remainder 4

→ 7 is not a [divisor] of 13871

ונמצא שישארו ד‫'

הנה אין לו ז‫'

Is 11 a [divisor] of 13871?

ונראה אם יש לו י"א

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle3-1=2&\scriptstyle\longrightarrow8-2=6\\&\scriptstyle\longrightarrow7-6=1\\&\scriptstyle\longrightarrow1-1=0\\\end{align}}}

→ 11 is a [divisor] of 13871

ונחסר הא' האחרון מהג' שלפניו וישארו ב‫'

נסירם מהח' שלפניהם, ישארו ו‫'
נסירם מהז' שלפניהם, ישאר א‫'
נסירם מהא' שלפניו ולא ישאר דבר, הרי יש לו י"א

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13871}{11}=1261}}

ונקחנו למורה ונחלקנו עליו ויצא בחילוק 1261

Is 11 a [divisor] of 1261?

ונשוב לראות אם יש לו הי"א

the remainder 7

→ 11 is not a [divisor] of 1261

ונמצא שישארו ז‫'

הנה אין לו י"א

Is 13 a [divisor] of 1261?

ונעיין אם יש לו י"ג

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(2+13\right)-\left(3\sdot1\right)=15-3=12&\scriptstyle\longrightarrow\left(3\sdot12\right)=36\equiv_{13}10\\&\scriptstyle\longrightarrow\left(6+13\right)-10=19-10=9\\&\scriptstyle\longrightarrow3\sdot9=27\equiv_{13}1\\&\scriptstyle\longrightarrow1-1=0\\\end{align}}}

→ 13 is a [divisor] of 1261

ונכפול הא' אחרון בג' ולא נוכל להסירם מהב' שלפניהם, לכן נוסיף עליהם י"ג ויהיו ט"ו, נסיר הג', ישארו י"ב

ונכפלם בג' ויהיו ל"ו, נסיר כ"ו שהם י"ג י"ג, ישארו י‫'
[ולא נוכל להסירם מהו' שלפניהם ונוסיף עליהם י"ג ויהיה י"ט, נסיר מהם י', ישארו] ישארו ט‫'
נכפלם בג', יהיו כ"ז, נסיר כ"ו, ישאר א‫'
נסירנו מהא' הראשון ולא ישאר דבר
הרי יש לו י"ג

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1261}{13}=97}}

נקחנו למורה ונחלקנו עליו ויצא בחילוק 97

\scriptstyle{\color{blue}{97<13^2}}

the numbers 1-12 are not [divisors] of 97

→ 13 is not a [divisor] of 97

ואחר שזה החשבון הוא פחות ממרובע י"ג, אינך צריך לעיין עוד אם יש לו [הי"ג] י"ג וכ"ש מורה גדול ממנו ולא אחד מהקודמים, אשחר שלא נמצא לראשונים, לכן נקחנו בעצמו למורה

הנה יצאו לנו מורים לזה החשבון והחשבון הקטן אשר רצינו לחלק לזה החשבון הגדול היה 2447235 ונחלקנו לאלו המורים ונשימם זה אחר זה כרצוננו, כי זה לא יזיק, כי אין מוקדם ומאוחר במורים ותחלק כל החשבון למורה האחרון אשר לצד שמאל והנשאר שים תחתיו והיוצא בחילוק חלק לאשר לפניו וכן לעולם, עד אשר יכלה המספר ויגיע למקום שהיוצא בחילוק יהיה פחות מהמורה אשר לפניו, כי אז תשים זה היוצא תחת המורה הזה אשר לפניו וכבר כלית כל מלאכתך

ואם יכלו המורים והמספר לא יכלה וזה יקרה כאשר היה המספר המתחלק גדול מהמספר אשר רצינו לחלק עליו, אשר הורכב מהמורים ההם, פי' שיצאו ממנו המורים ההם, אז היוצא בחילוק בחלקך למורה הראשון תשימנו מבחוץ והם שלמים וכאשר עשינו זה המעש', ר"ל כשחלקנו מספרינו למורים אלו להיות המתחלק קטן מהמספר אשר רצינו לחלק עליו, אשר הוא [מע]ל המורים, יכלה המספר והמה לא יכלו

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2447235\div50335084800&\scriptstyle=\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{5}{10}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{4}{11}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{9}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{22}{97}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align}}}

ויצא לנו כי כאשר נחלק 2447235 על 50335084800, שהיוצא בחילוק הוא ש[נ]י חמישיות חצי רביעית שמינית שלישית תשיעית שישית, פי' כי כאשר עשינו האח' השלם ו' חלקים וא' מאלו הו' ט' וא' מאלו ה[.] הט' ג' וא' מאלו הג' ח' וא' מהח' א' ד' וא מהד' ב' וא' מב' אלו חמשה, שיוצא לכל אחד מאחדי המספר הגדול אשר חלקנו עליו, שתי חלקים חלק זה מהחלקים האחרונים האלו ה[.....]

ועוד יצא בחלוקנו זה ה' עשיריות חלק זה פי'[ה'][עשיריות] ה[חמיש]ית חצי רביעית שמינית שלישית תשיעית שישית
ועוד שביעית עשירית חמישית חצי רביעית וכו‫'
ועוד ד' חלקים מי"א מז' מי' מה' וכו‫'
ועוד [ט' חלקים מי"ג מי"א מז' מי' מה' וכו‫'
ועוד כ"ב] כ"ב חלקים מצ"ז מי"ג מי"א מז' מי' מה' וכו‫'

97	13	11	7	10	5	2	4	8	3	9	6
22	9	4	1	5	2

Receiving reduced fractions from the division operation - both the dividend and the divisor are divided by a common divisor

ואם תרצה שיצאו לך חלקים נאותים יותר, תעיין לעולם כאשר תחלק המספר למורים, אם למספר הזה יש שום אחד מהמורים ההם

המשל במספרינו וזה המתחלק שיש לו תשיעית ותשים המורה ההוא האחרון לצד שמאל ותחלק עליו ראשונה ולא ישאר דבר לשום תחתיו וגם ליוצא בחילוק נעיין אם יש לו א' מהמורים הנותרים ונשימנו לפני זה אשר חלקנו עליו ונחלק [עליו ולא ישאר [.] דבר

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2447235\div50335084800&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align}}}

וכן נעשה לעולם בענין שיצא לנו בחלקינו זה] זה המספר הקטן הנזכר לגדול, שהיוצא לכל א' הוא חצי חלק מי"ג מי"א מד' מג' מו' ועוד ט' חלקים מצ"ז מי' מח' מחצי וכו' הכל כמו שהוא בצורה הזאת‫:

9	5	7	97	10	8	2	13	11	4	3	6
			9			1

Both division procedures are correct - the division that is based on the divisors of the given number and ends with reduced fractions is more proper and therefore is called perfect beauty

ואלו שני המעשים הכל אחד, אלא שבמעשה השני חלקים יותר נאותים

ולחלוקה על המורים עליו השגחה זו נקרא לו כלילת יופי, לפי שהוא לעשות מהפרטים כללים יפים ונאותים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2447235}{9}=271915}}

וכ[די להרחיב הענין ו]לבארו בפי' אמשול משל לחלוקנו זה והוא כי המספר המתחלק יש לו תשיעית, לכן שמנו הט' האחרון וחלקנוהו עליו ולא נשאר דבר, על כן לא שמנו תחתיו דבר ויצא לנו בחלוק 271915

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{271915}{5}=54383}}

ויש לזה היוצא בחילוק חמישית, לכן שמנו הה' לפני הט' וחלקנו עליו ולא נשאר דבר ויצא [לזה] היוצא בחלוק 54383

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54383}{7}=7769}}

ויש לו שביעית, לכן שמנו מיד ל[פני] המורים הנזכרים הז' וחלקנוהו עליו ולא נשאר דבר ויצא בחילוק [7769]

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7769}{97}=80+\frac{9}{97}}}

ואין לו שום אחד מהמורים הנותרים, לכן נשים אשר נרצה ושמנו היותר גדול והוא הצ"ז וחלקנו עליו ונשאר ט' ושמנוהו תחתיו ויצא בחילוק 80

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{80+\frac{9}{97}}{10}=8+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\right)}}

ויש לו עשירית לכן שמנו מיד ה10 וחלקנום עליו ולא נשאר דבר ויצא בחלוק ח‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\right)}{8}=1+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{8}\right)}}

ויש לו שמינית, לכן שמנו מיד הח' וחלקנום עליו ולא נשאר דבר ויצא בחלוק

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{8}\right)}{2\sdot13\sdot11\sdot4\sdot3\sdot6}&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align}}}

ואחר שהוא פחות משום אחד מהמורים הנותרים, אין לנו עוד לחלק, אבל נשימהו תחת המורה אשר נשים מיד לפני המושמים הנזכרים ושמנו הב' ושמנו תחתיו זה הא' אשר יצא באחרונה בחלוק ואחר שמנו המורים הנותרים כאשר הזדמן

The general rule: dividing the dividend by the divisors of the given divisor [= the number by which the dividend should be divided]

הכלל העולה מהדברים הוא שכאשר נרצה לחלק שום מספר גדול, או קטן, על מספר אחר גדול ממנו, או קטן ממנו, שנוציא מורה המספר אשר רצינו לחלק עליו ונשים אותם כפי המזדמן זה אחר זה, או אם ירצה ישגיח בהנחתם, יען יצאו החלקים יותר נאותים כאשר ביארנו ונחלק המספר המתחלק על המורה האחרון אשר לצד שמאל והנשאר נשים תחתיו והיוצא נחלק לאשר לפניו וכן לעולם

The dividend is smaller than the divisor

ואם היה המתחלק קטן מאשר חלקנו עליו, יכלה המספר והמה לא יכלו

וכאשר יכלה, יהיה היוצא בחילוק פחות מהמורה אשר לפני המורים אשר חלקנו כבר עליהם, לכן אין לנו לחלק זה היוצא המעט על זה המורה הרב ממנו, אבל שימהו תחתיו

The dividend is larger than the divisor

ואם היה המספר המתחלק גדול מאשר רצינו לחלק עליו, יכלו המורים והמספר לא יכלה והיוצא מן החלוק האחרון [....] נשימהו חוץ לצורה והם השלמים אשר יצאו בחלוק ואשר בתוך הצורה תחת המורים הם השברים ושברי שברים, אשר יצאו בחלוק מוסף על השלימים הנזכרים

$\scriptstyle3123740520\div216$

וכדי להרחיב הענין אעשה משל אחר, המשל רצינו לחלק 3123740520 על 216

\scriptstyle{\color{blue}{216=3\sdot8\sdot9}}

והנה מורה זה המספר הקטן, אשר רצינו לחלק עליו, הם אלו | 3 | 8 | 9

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3123740520}{9}=347082280}}

וחלקנו מספרינו זה הגדול על הט' ולא נשאר דבר ויצא בחילוק 347082280

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{347082280}{8}=43385285}}

וחלקנום [על הח'] ולא נשאר דבר ויצא בחילוק 43385285

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{43385285}{3}=14461761+\frac{2}{3}}}

[וחלקנום על הג' ויצא לנו בחלוק הזה האחרון 14461761 והם] והם השלמים ונשארו ב' ושמנום תחת הג' והם השברים היוצאים בחילוק, הנוספים על השלמים

ואם גם עתה בזה החילוק האחרון לא היה נשאר דבר, לא היינו שמים תחתיו דבר וכיון שלא נמצא דבר תחת המורים, לא היו יוצאים בחילוק שברים כלל, כי אם השלמים לבד וזה יקרה כאשר החשבון אשר חלקנו עליו יהיה ראוי להיות מורה לחשבון המתחלה

\scriptstyle{\color{blue}{3123740520\div216=14461761+\frac{2}{3}}}

ואולם במשלנו זה אח' אשר נשארו בחלוק האחרון ב', יש לו ג"כ שברים ושמנום תחת הג' ויצא לנו כי כאשר חלקנו 3123740520 על 216 שיות עד שיגיע לכל אחד מהם 14461761 שלמים וב' שלישיות, כאשר בא בזאת הצורה

9	8	3
		2	14461761

Checking the extraction the divisors: multiplying them one by one

ואם רצית לבחון הוצאת המורים ההיתה כתקנה, כפול הראשון בשני והעולה בשלישי והעולה ברביעי וכן לכלם עד כלותם ואם יצא לך מזה החשבון המספר הראשון בלי תוספת ומגרעת, תדע שיצאו כתקנם ואם לאו לאו

\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot8\sdot3=72\sdot3=216}}

המשל בצורה הנזכרת: אם רצינו לידע אם המורי' יצאו על היושר, נכפול ט' בח', יהיו ע"ב, נכפלים בג', יעלו 216 והנה כלו המורים ויצא החשבון בעל המורים בעינו

Checking the division by the divisors: multiplying the result by the divisors

ואם תרצה לידע אם חלקת המספר על המורים על היוש‫'

There are integers in the final result

אם יש שם שלמים כפול השלמים במורה הא' ההוא וכל המקובץ כפלהו במורה השני והוסף על העולה אשר תמצא תחתיו וכפול הכל על המורה [..] השלישי והוסף עליו אשר תמצא תחתיו וכן תעשה לעולם עד כלותם ואם ככלות המורים יצא לנו המספר המתחלק, הלא מעשיך אמת ויציב ואם לאו לאו

There are no integers in the final result

ואם אין שם שלמים, קח אשר תמצא ראשונה תחת המורה הקודם אשר תמצא תחתיו דבר וכפלהו במורה הסמוך לו לצד שמאל וחבר הנמצא תחתיו עם העולה וכפול הכל על המורה הנמשך הנמשך והוסף אשר תחתיו וכן לעולם עד כלותם ואם אז יצא החשבון המתחלק בעינו, הנה [נכון] ואם לאו לאו

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(14461761+\frac{2}{3}\right)\sdot3\sdot8\sdot9&\scriptstyle=\left[\left(14461761\sdot3\right)+2\right]\sdot8\sdot9\\&\scriptstyle=\left(43385283+2\right)\sdot8\sdot9\\&\scriptstyle=43385285\sdot8\sdot9\\&\scriptstyle=347082280\sdot9=3123740520\\\end{align}}}

ונכפול השלמים בג' שהוא המורה הראשון ויעלה 43385283

נחבר לזה הב' אשר תחת המורה הזה ויעלה הכל 43385285
נכפלם על הח' שהוא המורה השני ויעלה 347082280
ואחר שלא נמצא תחת זה המורה דבר, לא נוסיף עליהם דבר
ונשוב ונכפלם בט' שהוא המורה השלישי ויצא לנו החשבון המתחלק בעינו שהוא 3123740520

$\scriptstyle2447235\div50335084800$

עוד אמשול זה בדרך קצרה בצורה הקודמת לזאת, אשר אין שם שלמים ביוצא בחילוק כי אם שברים לבד‫:

המשל בתמונה זו

9	5	7	97	10	8	2	13	11	4	3	6
			9			1

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot50335084800\\&\scriptstyle=\left[\left(1\sdot8\sdot10\sdot97\right)+9\right]\sdot7\sdot5\sdot9\\&\scriptstyle=\left[\left(8\sdot10\sdot97\right)+9\right]\sdot7\sdot5\sdot9\\&\scriptstyle=\left[\left(80\sdot97\right)+9\right]\sdot7\sdot5\sdot9\\&\scriptstyle=\left(7760+9\right)\sdot7\sdot5\sdot9\\&\scriptstyle=7769\sdot7\sdot5\sdot9\\&\scriptstyle=54383\sdot5\sdot9\\&\scriptstyle=271915\sdot9=2447235\\\end{align}}}

ונקח הראשון אשר תחת הב' שהוא המורה הראשון אשר נמצא תחתיו דבר ונכפלהו בח' שהוא המורה הסמוך ויעלה ח' ואחר שאין תחתיו דבר, לא נוסיף עליהם דבר ונכפלם בי' שהוא המורה הסמוך ויעלה פ' ואחר שלא נמצא תחתיו דבר, נשוב ונכפלם בלי תוספת על הצד שהוא המורה הסמוך ויעלה 7760, נחבר אליהם הט' אשר תמצא תחתיו ויעלה 7769 ונכפלם בז' ויעלה 54383 ונשוב ונכפלם בה' ויעלה 271915 ונכפלם בט' שהוא המורה האחרון ויצא לנו החשבון המתחלק בעינו והוא 2447235 והנה [נכון הנה אמת]

The reason for dividing the dividend by the divisors of the divisor: since the divisor by which the dividend should be divided is a product of all its divisors

[וטעם הוצאת המורים וחלקנו עליהם המספר כנזכר הוא כי אחר שהמספר] עליהם המספר כנזכר הוא כי אחר שהמספר אשר רצינו לחלק עליו הוא מורכב מאלו המורים כמוהו כמוהם

$\scriptstyle1\div100$

ר"ל כי מי שיחלק א' על מאה עד"מ, הנה יגיע ממנו לכל א' מהמאה חלק עליו ממאה שבו, פי' שנעשה הא' השלם אשר רצינו לחלק [מאה חלקים שוים ויגיע לכל א' מהמאה אשר רצינו לחלק עליהם] עליהם הא' הראשון חלק א' מהם

\scriptstyle{\color{blue}{1\div100=\frac{1}{20}\sdot\frac{1}{5}}}

ואחר שחשבון הק' אשר רצינו לחלק [עליהם] הא' חלק א' מהם ואחר שחשבון יש לו חמישית וחמישיתו הוא כ', נמצא שכל א' מהמאה הוא חלק א' מכ' מחמישית שבמאה וכאשר נעשה א' שלם ק' אקלימים חלקים, הנה כל אחד מהם הוא חלק אחד מק' שבשלם שבשלם וגם הוא חלק א' מעשרים מחמישית השלם, הרי שאמרנו חלק א' מק' שבשלם כאומרנו חלק אחד מכ' מחמישית שבשלם

\scriptstyle{\color{blue}{1\div20=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}}}

ולסבה זו בעינה יהיה אומרנו רביעית חמישית כאומרנו חלק א' מכ', לפי שעשרים יש לו חמישית וחמישיתו ד', נמצא שעשרים מורכב מה' וד' ושהאחד הוא חמישית רביעית, או רביעית חמישית, כי הכל א', הרי לנו ש שאמרנו רביעית חמישית כאומרנו חלק א' מכ' שבשלם

\scriptstyle{\color{blue}{1\div100=\frac{1}{20}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}

[ואולם אמרנו חלק אחד מכ' מה' שבשלם הוא כאמרנו חלק א' מק' שבשלם כאשר] כאשר ביארנו, הנה יצא לנו שאומרנו רביעית חמישית חמישית הוא כאומרנו חלק א' מק' שבשלם

ובדמיון זה בכל חשבון מורכב ממורים כמה שיהיו

\scriptstyle{\color{blue}{1\div100=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}

ואם כאשר חלקנו א' שלם לק', הגיע לכל א' מהם חלק אחד מק' שבשלם, שהוא רביעית חמישית החמישית

$\scriptstyle2\div100$

ואם חלקנו על ק' ב' שלמים

\scriptstyle{\color{blue}{2\div100=\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}

יגיע לכל א' ב' רביעיות חמישיות חמישית

$\scriptstyle3\div100$

\scriptstyle{\color{blue}{3\div100=\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}

ואם ג' ג‫'

$\scriptstyle n\div100$

\scriptstyle{\color{blue}{n\div100=\frac{n}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}

הרי [הרי] כי מספר השלמים אשר נחלק אל ק' מספר הרביעיות חמישיות חמישית שיגיעו לכל אחד מהם וזה ברור

$\scriptstyle70\div100$

ולזה אם רצינו לחלק ע' על ק‫'

\scriptstyle{\color{blue}{70\div100=\frac{70}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}

ידענו שיגיע לכל אחד מהם ע' רביעיות חמישיות חמישית והרי הוא כאלו שמנו המורים כזה הסדר, ושמנו הע' רביעיות תחת המורה האחרון‫:

4	5	5
70

\scriptstyle{\color{blue}{70\div100=\frac{70}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}=\left(\frac{17}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

ואחר שיש בידיך 70 רביעיות חמשיות חמשית, אם בקשנו לדעת כמה חמשיות חמישית הם, הרי הוא כאלו היו בידינו ע' רביעיות ורצינו לדעת כמה שלמים הם וזה יודע בחלקנו אותם לד', לפי שכל ד' רביעיות הם א' שלם וכן כל ד' רביעיות חמישית [חמישית חמישית הם חמישית חמישית שלם, לכן נחלק אלו הע' רביעיות חמישית] חמישית והנשאר יהיה מהמין הראשון, ר"ל רביעיות חמישיות חמישית ולזה ראוי לנו לשים היוצא בחלוק, שהוא י"ז, תחת הה' אשר הוא המורה אשר לפניו והנשאר שהוא תחת הד' שהוא המורה אשר לפניו והנשאר, שהוא ב', תחת הד' שהוא המורה האחרון אשר חלקנו עליו כזה‫:

4	5	5
2	17

הנה ידענו כי כאשר חלקנו ע' על ק', שהגיע לכל אחד מהם י"ז חמישיות חמישית וב' רביעיות חמשית חמישית

\scriptstyle{\color{blue}{70\div100=\frac{70}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}=\left(\frac{17}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

ואחר שיש בידינו י"ז חמישיות חמישית, ידענו שהם שלשה חמישיות שלמות ויותר, לפי שכל חמש חמשיות חמישית הם חמישית אחד, כמו שחמש חמשיות שלם הן שלם וראוי לנו לידע כמה חמישיות שלמות הן, לכן נחלקם על הה' ויצא לנו בחלוק ג', שהוא ג' חמישיות שלימות, לכן נשימם תחת הה' הראשון והב' השני והנשארים הם ממין במינם כבתחלה, ר"ל חמישיות חמישית, לכן שמנום תחת הה' השני כזה‫:

4	5	5
2	2	3

ואם אלו הג' אשר תחת המורה הראשון היה כמותו, או גדול ממנו, ר"ל שהיה ה' או יותר, היה העולה לשלם, או לשלימים, כי כל חמש חמשיות הן שלם אחד והיה ראוי לנו לחלק אותן על ה' והיוצא בחילוק היו שלימים והנשאר היה חמישיות כאשר בתחלה

אכן אחר שהוא קטן מהמורה, ר"ל שהוא פחות מה' שהוא המורה שהוא המורה הראשון, אין כאן שלם כלל ואין לנו לעשות שום חלוק, אבל כבר השגנו מבוקשנו והוא כי כאשר חלקנו ע' על ק', שהגיע לכל אחד מהם ג' חמישיות וב' חמישיות חמישית וב' רביעיות חמישית חמישית

הכלל העולה מאלו מהדברים שהמחלק ע' על ק' יגיע לכל אחד ע' חלקים מק' חלקים בשלם

Checking the extraction of the divisors

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot5\sdot4=25\sdot4=100}}

ואחר שמאה הוא מורכב מאלו השלשה מספרים, ר"ל מה' וה' וד' וזה כי כאשר כפלנו הא' בחבירו והעולה בנשאר, עולה ק', פי' כי כפל ה' בה' הוא כ"ה וכאשר כפלנום בד', יעלו ק' וזאת היא בחינת הוצאת המורים אשר הזכרנו למעלה, כי בכפול זה בזה והעולה באחר וכן לעולם עד כלותם ויצא לנו החשבון הראשון, ידענו שהחשבון ההוא מורכב מאלו ה[ב'] מספרים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{100}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}}}

ואחר היות הק' מורכב מה' הד', כך הוא אומרנו חלק מק' שבשלם כאומרנו רביעית חמישית חמישית רביעית חמישית, או כאומרנו חמישית חמישית רביעית, כי הכל אחד

The arrangement of the fractions of the division result can be changed - in order to receive proper reduced fractions

ומטעם אחר על זה אמרנו שבידינו לסדר המורים זה אחר זה כפי המזדמן, אם בהשגחה, כדי שיצאו השברים היותר שלמים שיוכל והיותר נאותים

\scriptstyle{\color{blue}{70\div100=\frac{70}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}=\frac{70}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{70}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}}}

וזה כי כאשר אמרנו שהמחלק ע' על המאה יגיע לכל אחד ע' רביעיות חמישית חמישית, היינו יכולים לומר ע' חמשיות רביעית חמישית, או ע' חמישיות חמישית רביעית

\scriptstyle{\color{blue}{70\div100=\frac{70}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{14}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

ואחר שבידינו לסדרם כחפצנו, ראוי לסדרם ולהשגיח בסדורו

וזה כי כאשר רצינו לחלק אלו הע' לאלו המורים, אחר שהעין יש לו חמישית שהוא א' מאלו המורים, ראוי לנו לחלקם ראשונה על הה' ונשימנו אחרון, כדי שלא ישאר דבר לשים תחתנו ויצא בחילוק י"ד
ואם היה להם רביעית, היה ראוי לחלקם על ד' ולשומו לפני האחרון
ואם היה לו ה' לה‫'
אכן שאין לו אחד מהם, נסדר אלו השני המורים הנשארים כפי המזדמן
וע'ד'מ' נחלק אלו היד לד' ונשימהו לפני האחרון ויצא בחילוק ג' ואחר שהוא פחות מהה' שהוא המורה האח', נשימהו תחתיו והב' הנשארים נשימם תחת הד' שהוא המורה השני [אשר] נחלקנו עליו כזה‫:

5	4	5
	2	3

\scriptstyle{\color{blue}{70\div100=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

והנה יצאו לנו חלקים יותר נאותים, כי יותר נאות הוא לומר ג' חמישיות [ושני רביעיות חמישית], שהן חצי חמישית, כאשר בא בצורה הזאת, מאומרנו ג' חמישיות ושני חמישיות חמישית וב' רביעיות חמישית חמישית

Check: converting the fractions

וידוע הוא כי בחינת זה הוא להשיבם כלם מהמין הראשון, ר"ל חמישיות רביעית חמישית, כפי צורה זו האחרונה, או רביעית חמישית חמישית, כפי הצורה הקודמת וזה יקרא פריטה כאשר יתבאר בחלק השני

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(3\sdot4\right)+2}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{12+2}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{14}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{14\sdot5}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{70}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=70\div100\\\end{align}}}

ואחר שיש לו חמישיות שלמות, גם רביעיות חמישית, נשיבם כלם ראשונה רביעיות חמישית

וידוע כי כל חמישית שלמה היא ד' רביעיותיה, פי' ד' רביעית חמישית, כמו שכל שלם ד' רביעיות שלם, הרי לנו כי כל אחד מאלו הג' חמישיות שלימות היא ד' רביעיות חמישית ולדעת כמה הם נכפול ג', שהוא מספר החמישיות, בד' שהוא המורה הבא אחריו ויעלה י"ב, הרי לנו שהג' חמישיות הם י"ב רביעיות חמישית
ומצאנו תחתיו שנים שהם מזה המין, פי' שהם רביעיות חמישיות, נחברם אליהם ויהיו י"ד רביעיות חמישית
וכאש' נרצה לדעת כמה חמישיות רביעית חמישית הם, נכפלם בה' שהוא המורה הבא אחריהם ויעלו כלם ע‫'
ואם תחת זה המורה היה נמצא דבר, זה היה ג"כ חמישיות רביעית חמישית והיינו מחברים אותם אליהם
אכן אחר שלא נמצא תחתיו דבר וכבר כלו המורים, כבר כלינו מעשינו
ואחר שעלה לחשבוננו הראשון, פי' לעין [ע'], שהוא החשבון הקטן אשר רצינו לחלק על הק' שהוא בעל אלו המורים מבלי תוספת ומגרעת, ידענו כי כל מעשינו בצדק ובמשפט

Division of a large number by a smaller number, with a result of integers and fractions

הרי לנו מבוארים טעמי' כל הנזכר, גם המעשה, גם הבחינות וביאור הכל בכלל ובפרט

וכדי להתלמד, אביא משל אחר, שיהיה המתחלק על אלו הק' גדול מהם, כדי שיצאו שם שברים גם שלמים‫:

$\scriptstyle140\div100$

המשל רצינו לחלק ק"מ על ק‫'

\scriptstyle{\color{blue}{140\div5=28}}

ואחר שאלו הק"מ, שהם החשבון אש' רצינו לחלק, יש לה כל אלו המורים, נשים אשר נחפוץ אחרון ונחלקנו עליו, המשל על הה' ויצא ושבא בחילוק כ"ח ולא נשאר דבר

\scriptstyle{\color{blue}{28\div4=7}}

ואחר שיש להם רביעית, נחלקם על הד' ונשימנו לפני האחרון ויצא בחילוק ז‫'

\scriptstyle{\color{blue}{7\div5=1+\frac{2}{5}}}

ואחר שהם כמורה הנשאר וגדול ממנו, נחלקם עליו ויצא בחילוק א', שהוא א' שלם, כי כבר שלמו המורים ונשימנו מחוץ והב' הנשארים נשימם תחתיו כזה‫:

5	4	5
		2

\scriptstyle{\color{blue}{140\div100=\frac{140}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{28}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{7}{5}=1+\frac{2}{5}}}

הרי לנו כי כאשר חלקנו ק"מ על ק', שעולה לכל 1 ואחד מהמאה ק"מ חלקים ממאה שבשלם, שהם ק"מ חמישיות רביעית חמישית, שהם כ"ח רביעיות חמישיות, שהם ז' חמישיות שלמות, שהם א' שלם וב' חמישיות

\scriptstyle{\color{blue}{140\div100=\left(2\sdot70\right)\div100}}

וכמו שזה החשבון המתחלק הזה כפל החשבון המתחלק ראשונה

\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}=2\sdot\left[\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=2\sdot\left[\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]}}

כן היוצא בחילוק, שהוא א' שלם וב' חמישיות, שהם ז' חמישיות, הוא כפל היוצא בחילוק ראשונה, שהיה ג' חמישיות וב' רביעיות חמישית פי' ג' חמישיות וב' רביעיות חמישית פי' שלשה חמישיות וחצי חמישית

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+\frac{2}{5}&\scriptstyle=\frac{\left(1\sdot5\right)+2}{5}=\frac{7}{5}\\&\scriptstyle=\frac{7\sdot4}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{28}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{28\sdot5}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{140}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=140\div100\\\end{align}}}

הנה כל המעשה ברור ומבורר, גם הבחינה והיא להשיב הכל לקדמותו וזה כי האחד נשיבהו חמשיות שלמות וזה בכופלנו אותו בה', שהוא המורה על החמישיות, ויהיו ה' ונחבר אליהם הב' הנמצא תחתיו שהם ג"כ חמישיות שלימות וזה בכפלנו אותו בה' שהוא המורה על החמישיות ויהיו ה' ונחבר אליהם הב' הנמצא תחתיו, שהם ג"כ חמשיות שלמות, [יהיו כלם ז' חמישיות שלמות]

וכאשר נרצה להשיבם רביעיות חמישית, נכפלם בד' ויהיו כ"ח רביעיות חמישית ואחר שלא נמצא תחתיו דבר, לא נחבר אליהם דבר
עוד נשיבם חמישיות רביעית חמישית וזה בכפלנו אותו בה' ויעלה ק"מ חמישיות רביעית חמישית והנה כלו המורים ואין תחתיו דבר לחבר על העולה

ויצא לנו כחשבוננו הראשון שוה בשוה וב[דרך זה] תעשה כפל המספרי' הנשארים, הן למעשה, הן לבחינה

Chapter Five: Proportions

הפרק הה‫'

Rule of Four

Finding the number whose ratio to a given number is the same ratio of the given number to another known number

אם תרצה לדעת הערך שיש למספר ידוע למספר ידוע אחר, אצל איזה מספר יש לו אותו הערך בעצמו

$\scriptstyle5:b=c:d$

המשל הערך לה', אצל איזה מספר יש לו אותו הערך בעצמו

$\scriptstyle5:7=10:x$

המשל הערך שיש לה' אצל ז', אצל מי יש לי' זה הערך

$\scriptstyle5:7=x:14$

או אצל י"ד למי שיש לו זה הערך

וכדי להבינו בקוצר, אשים להם סדר והוא כי כאשר נאמ' הערך שיש לה' אצל ז', נקרא הה' ראשון והז' שני, לפי שהה' הוא הנערך אצל ז‫'

$\scriptstyle5:7=10:x$

והנה אם תאמר אצל מי יש ערך זה לי', יחסר אשר אליו אנו מעריכים, שהוא השני מהאחרים

$\scriptstyle5:7=x:14$

ואם נאמר למי יש זה הערך אצל י"ד, יחסר הנערך, שהוא הראשון מהאחרים

\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4

זה הכלל כי לנערך, הן מן הראשונים, הן מן האחרונים, נקרא ראשון ולאשר מעריך אצלו נקרא שני

$\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}$

וכאשר תרצה לדעת הנעלם, אם יש בידך הראשון מן השנים האחרונים ונעלם השני שבאחרונים, נכפול אותו הראשון [בשני] מן השנים הראשונים הידועים וחלקנו לנשאר מהג' הידועים, ר"ל לראשון שבראשונים והיוצא בחילוק הוא הנעלם

$\scriptstyle a_3=\frac{a_4\sdot a_1}{a_2}$

ואם היה בידך השני שבאחרונים ונעלם הראשון, כפול אותו השני הידוע בראשון שבראשונים והעולה חלקהו לשני שבראשונים והיוצא בחילוק הוא הנעלם המבוקש

The general rule: multiply the first number of one of the two ratios by the second number of the other ratio and divide the product by the third known number - the result will be the fourth unknown number

וכאשר תחלק העולה על השני שבראשונים, או על הראשון, אם תרצה תוציא המורים, אם זה הראשון, או השני אשר תחלק עליו, הוא חשבון גדול והיוצא בין שלמים ושברים הוא המבוקש הנעלם

זה הכלל לעולם תכפול הראשון מאלו בשני מאלו והעולה תחלק על הנשאר מהידועים והיוצא בחילוק הוא הנעלם

$\scriptstyle3:7=5:x$

המשל אם אמרנו הערך שיש לג' אצל הז', לה' אצל מי יש לו זה הערך בעצמו

ונשימם לו על זה כזה‫:

7	3
	5

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5\sdot7}{3}=\frac{35}{3}=11+\frac{2}{3}}}

הנה ידענו הנערך שבאחרונים והוא הנקרא ראשון והוא הה' ונכפלנו בשני שבראשונים והוא הז' ויעלו ל"ה ונחלקנו לנשאר מהידועים והוא הג' ויצא בחילוק י"א שלמים [וב' שלישיות וזהו הנעלם המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{3:7=5:\left(11+\frac{2}{3}\right)}}

פי' כי הערך אשר לג' אצל הז' הוא הערך בעצמו אשר לה' אצל י"א וב' שלישיות] וב' שלישיות

\scriptstyle{\color{blue}{7=3\sdot\left(2+\frac{1}{3}\right)=\left(2\sdot3\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)=\left(2\sdot3\right)+1}}

וזה ברור שכמו שז' הוא כפל ג' ועוד שלישיתם שהוא א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{11+\frac{2}{3}=5\sdot\left(2+\frac{1}{3}\right)=\left(2\sdot5\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot5\right)=\left(2\sdot5\right)+\left(1+\frac{2}{3}\right)}}

כן י"א וב' שלישיות הוא כפל ה' ועוד שלישיתו שהוא א' וב' שלישיות

$\scriptstyle3:7=x:\left(11+\frac{2}{3}\right)$

ואם אמרו הערך אשר לג' אצל ז', אצל י"א וב' שלישיות למי יש לו זה הערך נשימם בצורה הזאת‫:

	7	3
3
2	11

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(11+\frac{2}{3}\right)\sdot3}{7}=\frac{35}{7}=5}}

הנה הנעלם הוא הנערך, שהוא הראשון שבאחרונים והידוע שבהם הי"א וב' שלישיות והוא השני שבהם, לכן נכפלנו בראשון שבראשונים שהוא הג' ויעלה ל"ה ונחלקם לנשאר מהידועי' והוא הז' ויצא בחלוקה

Written calculation

זה הכלל נקרא להם שם ונסדרם מין תחת מינו ונכפלם מין בשאינו מינו, שהם האלכסונים, ונחלקנו למינו, היוצא בחילוק הוא הנעלם המבוקש

ואם הם בעצמם היה להם שינוי בשמות אשר בהם נודע איזה מינו, או שאינו מינו, לא נצטרך לקרוא להם שם חדש

Examples - two word problems:

Exchange Problem - Currencies: If 3 golden dinar are worth 50 silver dinar, how many silver dinar will 11 golden dinar be worth?

\scriptstyle3:50=11:x

המשל אם ג' דינרי זהב שוים נ' דינרי כסף, י"א דינרי זהב כמה דינרי כסף שוים

נסדרם מין תחת מינו, הזהב תחת הזהב כזה‫:

50	3
	11

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{11\sdot50}{3}=\frac{550}{3}=183+\frac{1}{3}}}

ונכפול למין בשאינו מינו, שהם הזהב והכסף, והם הי"א בנ', שהם האלכסונים, ויעלה 550 ונחלקם על מינו, פי' על ג' של זהב ויצא בחילוק 183 ושליש, שהם הדינרי כסף הנעלמים

\scriptstyle{\color{blue}{3:50=11:\left(183+\frac{1}{3}\right)}}

הרי לנו שאם שלשה דינרי זהב שוים נ' של כסף, י"א דינרי זהב שוים 183 דינרי כסף ועוד שליש דינר כזה‫:

		550	3
3	ו	183	11
1

Exchange Problem - Currencies: If 3 golden dinar are worth 50 silver dinar, how many [golden dinar] will 183⅓ silver dinar be worth?

\scriptstyle3:50=x:\left(183+\frac{1}{3}\right)

ואם השאלה היתה להפך, שנעלם לנו הזהב, כאומרנו ואם ג' דינרי זהב שוים נ' של כסף, 183 דינרי כסף ושליש דינר כמה שוים

נשימם מין על מינו כזה‫:

3	50	3
1	183	11

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(183+\frac{1}{3}\right)\sdot3}{50}=\frac{550}{50}=11}}

ונכפול מין בשאינו מינו, פי' הכסף בזהב, שהם האלכסונים ויעלו 550 ונחלקם על מינו, שהוא הכסף הנשאר והוא הנ' ויצא בחילוק י"א והם דינרי זהב הנעלמים והכל עולה לענין אחד

The reason for the solution of the first example:

\scriptstyle3:7=5:x

הטעם כי כאשר אמרנו הערך שיש לג' אצל ז', לה' אצל מי שיש לו זה הערך

\scriptstyle{\color{blue}{3:7=\left(\frac{1}{3}\sdot3\right):\left(\frac{1}{3}\sdot7\right)=1:\left(\frac{1}{3}\sdot7\right)=1:\frac{7}{3}=5:\left(\frac{7}{3}\sdot5\right)=5:\frac{5\sdot7}{3}}}

הנה ידענו שהערך שיש לג' אצל ז', יש לאחד, שהוא שליש הג', אצל שליש [הז', פי' שאם הג' על דרך משל שליש הז', הנה האחד הוא שליש שלישית הז' וזה ברור ואחר שידענו שערך א' אצל שליש ז' הוא] ז' הוא כערך ג' אצל ז', שהוא הערך הנשאל ושליש ז' הוא ז' שלישיות, הנה ידענו שזה הערך בעצמו יש לה' אצל ה' פעמים ז' שלישיות ולדעת כמה שלישיות הם, יש לנו לכפול ה' בז' והעולה הם שלישיות ולדעת כמה שלמים הם, חלקנום על הג‫'

The reason for the solution of the second example:

\scriptstyle3:7=x:\left(11+\frac{2}{3}\right)

וכן בדמיון השני, כי אחר שידענו ערך ג' אצל ז' ורצינו לידע למי יש לו זה הערך בעצמו אצל י"א וב' שלישיות, הרי הוא כאלו ידענו ערך ז' אצל ג' ונרצה לידע לי"א וב' שלישיות אצל מי יש לו זה הערך והנה הטעם ברור, שהרי שב כדמיון הראשון בעינו, אכן כדי להרחיב ביאור אבארנו בעודו בעינו

\scriptstyle{\color{blue}{3:7=\left(\frac{1}{3}\sdot3\right):\left(\frac{1}{3}\sdot7\right)=1:\frac{7}{3}\longrightarrow\left(11+\frac{2}{3}\right):\frac{7}{3}=\frac{\left(11+\frac{2}{3}\right)\sdot3}{7}=\frac{35}{7}=5}}

ואומר כי אחר שידענו שהערך שיש לג' אצל ז' הוא הערך בעצמו שיש לאחד, שהוא שליש הג', אצל ז' שלישיות, שהם שליש הז' כאשר ביארנו, א"כ לכל שבעה שלישיות אשר בי"א וב' שלישיות הנערך אליהם הוא א' וכמספר כמה ז' שלישיות יש בהם, כך הוא המספר אחדי הנערך אליהם הנעלם ולדעת כמה שלמים ז' שלישיות יש בי"א וב' שלישיות, נדע תחלה כמה שלישיות הוא וזה יודע בכפלהו אותם בג', לכן כפלנום בג' ועלה ל"ה, הנה ידענו שיש בהם [ל"ה] שלישיות ולדעת כמה פעמים יש בהם ז' שלישיות, חלקנום על ז' ויצא לנו ה' והוא המספר הפעמים אשר יש ז' שלישיות בי"א וב' שלישיות

\scriptstyle{\color{blue}{3:7=1:\frac{7}{3}=5:\left(\frac{7}{3}\sdot5\right)=5:\left(11+\frac{2}{3}\right)}}

וכבר ידענו שהנערך אצל כל ז' שלישיות הוא א' שלם, א"כ הנערך אצל ה' פעמים ז' שלישיות הוא ה' שלמים ואולם ידענו שהי"א וב' שלישיות הוא ה' פעמים ז' שלישיות, א"כ הנערך אליהם הוא ה' שלמים

The reasons for the solutions of the exchange problems:

ועוד במשלי הדינרים

The first problem: $\scriptstyle3:50=11:x$

כי כאשר ידענו שג' דינרי זהב שוים נ' של כסף

\scriptstyle{\color{blue}{3:50=1:\left(\frac{1}{3}\sdot50\right)=1:\frac{50}{3}=11:\left(11\sdot\frac{50}{3}\right)=11:\frac{11\sdot50}{3}=11:\frac{550}{3}=11:\left(183+\frac{1}{3}\right)}}

נודע שדינר זהב אחד, שהוא שוה שליש נ' דינרים של כסף, שהוא חמישים שלישי דינר ונודע מזה שהי"א דינרי זהב שוים י"א פעמים נ' שלישי דינר כסף ולדעת כמה שלישים הם, כפלנו הי"א בנ' ועלה 550, הנה ידענו שהי"א דינרי זהב שוים 550 שלישי דינר כסף ולדעת כמה דינרי כסף הם, חלקנום על ג' ויצא 183 ושליש והם הדינרי כסף ששוים הי"א דינרי זהב וזה ברור

The second problem: $\scriptstyle3:50=x:\left(183+\frac{1}{3}\right)$

ועוד אבארנו במשל השני והוא כי ביודעינו שג' דינרי זהב שוים נ' דינרי כסף, כל דינרי זהב שוה נ' שלישי דינר כסף, כמו שביארנו

\scriptstyle{\color{blue}{\left(183+\frac{1}{3}\right):\frac{50}{3}=\frac{\left(183+\frac{1}{3}\right)\sdot3}{50}=\frac{550}{50}=11}}

וא"כ כל נ' שלישי דינר, אשר בק'פ'ג' ושליש, שוה דינר זהב ולדעת כמה פעמים יש בהם נ' שלישי דינר, נדע תחלה כמה שלישי דינר הם וזה יודע בכפלנו אותם בג' כאש' עשינו ועלו 550 והם שלישי דינר וכל נ' מהם שוים דינר זהב, א"כ בחלקנום אותם על נ' כאשר עשינו, נדע כמה דינרי זהב שוים, שהוא כמספר היוצא בחלוקו, הוא י"א וכל זה ברור

\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3

והנה יתבאר מכל הנזכר במעט עיון כי כל ד' מספרים נערכים, כפל הראשון מאלו בשני מן האחרים ככפל השני בראשון מן האחרים

\scriptstyle{\color{blue}{3:7=5:\left(11+\frac{2}{3}\right)\longrightarrow5\sdot7=35=3\sdot\left(11+\frac{2}{3}\right)}}

כי בדמיון הראשון כפל הה' בז', שהוא ל"ה, ככפל הג' בי"א וב' שלישיות, אשר היה הנעלם

Therefore, when one of the numbers is unknown, the product of the first number of one of the two ratios by the second number of the other ratio is equal to the product of the unknown number by the remaining known number

\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3

ולזה, כאש' נעלם אחד מהם, איזה מהם שיהיה, כפלנו מהנודעים הראשון מאלו בשני מאלו וידענו שזה בעצמו הוא כפל הנעלם בנשאר מהנודעים ולזה בחלקנו אותו לנודע, יצא הנעלם

Rule of Three

\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3

ולפעמים לא יהיו המספרים הנערכים כי אם ג', פי' שהאמצעי יהיה ראשון לאחרונים ושני לראשונים

\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3

ואולם כבר ביארנו שכל ד' מספרים נערכים כפל הראשון מאלו בשני מאלו ככפל הראשון מאלו בשני מאלו, פי' כפל הראשון באחרון ככפל הב' האמצעיים זה בזה

\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=\left(a_2\right)^2

ואולם כשהם ג' לבד, האמצעי עומד במקום השנים האמצעיי', שהוא שני לראשונים וראשון לאחרונים, א"כ כפל הראשון בשלישי, שהוא השני מהאחרונים, ככפל האמצעי בעצמו, שהוא ראשון ושני כאשר ביארנו

$\scriptstyle a_1=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_3}$
$\scriptstyle a_3=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}$

ולזה בהודע האמצעי ואחד מן האחרים יודע הנעלם, כי נכפול האמצעי בעצמו ונחלקנו לאחר הנודע ויצא הנעלם

$\scriptstyle\left(a_2\right)^2=a_1\sdot a_3$

גם בהודע השנים יודע האמצעי וזה בהכפל השנים הנודעים והעולה הוא ככפל האמצעי בעצמו, פי' שהוא כמרובע

$\scriptstyle a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}$

והאמצעי הוא השרש ונוציא שורש זה המספר, שהוא לבקש מספר שכפלו על עצמו עולה כפי החשבון, והשרש אשר יצא הוא האמצעי הנעלם

The author states that the extraction of roots is difficult and that there are numbers that do not have real roots only approximate roots

ודרך הוצאת השרשים הוא קשה מאד ויש מספרים אשר לא יודע בהם שרש אמיתי לעולם כי בקירוב, על זה הקצתי לו פרק לעצמו והוא הפרק הבא אחר זה

Example for the rule of three:

דמיון הג' מספרים נערכים

$\scriptstyle2:4=4:8$

הוא כאומרנו הערך אשר לב' אצל הד' כערך ד' אצל ח', שהד' האמצעי הוא במקום שנים, שהוא שני מן הראשונים וראשון מן האחרונים

$\scriptstyle x:4=4:8$

ואם הנעלם מהקצוות, המשל הב' ונודע הד' והח', כלומר ששאל השואל למי יש ערך אצל ד' כערך אשר לד' אצל שמונה

Exchange Problem - Currencies: How many golden dinar are worth 4 silver dinar, if 4 golden dinar are worth [8] silver dinar?

או שאמ' כמה דינרי זהב שוים ד' דינרי כסף, אם ד' דינרי זהב שוים אחד דינרי כסף

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16=8\sdot x\longrightarrow x=\frac{4\sdot4}{8}=\frac{16}{8}=2}}

הנה ידענו שכפל ד' בד', שהוא האמצעי, שהוא שהם י"ו, שהוא ככפל ח' הידוע בנעלם, לכן נחלקם על הח' והיוצא והוצרך בחלוק והוא ב' הוא הנעלם

$\scriptstyle2:4=4:x$

וכן אם נודעו השנים והד' ונעלם הח', ששאל השואל הערך אשר לב' אצל ד' אצל מי יש לד' זה הערך

Exchange Problem - Currencies: If 2 golden dinar are worth 4 silver dinar, how many silver dinar will 4 golden dinar be worth?

או ששאל אם שני דינרי זהב שוים ד' דינרי כסף, ד' דינרי זהב כמה דינרי כסף שוים

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot4}{{\color{red}{2}}}=\frac{16}{{\color{red}{2}}}={\color{red}{8}}}}

נכפול הד' בעצמו ויעלה י"ו ונחלקם על הח' ויצא בחילוק ב' והוא הנעלם

$\scriptstyle2:x=x:8$

ואם היה הנעלם הד', שהוא האמצעי העומד במקום שנים והנודעים הב' והח', ראשון ואחרון

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=2\sdot8=16\longrightarrow x=\sqrt{2\sdot8}=\sqrt{16}=4}}

נכפול הב' בח' ויעלה י"ו וזה כפל האמצעי הנעלם בעצמו כמו שביארנו ואלו הי"ו הם מרובע האמצעי והאמצעי הוא שרושם ושרש י"ו הוא ד‫'

והכל מבואר בדמיונות אלו

The next chapter will present the extraction of the root for difficult cases, and approximation of roots

ואם זה הי"ו היה החשבון, אשר יקשה עלינו בקשת שרשו, או שהוא נמנע בחקנו לידע שרשו האמיתי כי אם בקרוב, נדרוך בבקשת השרש ההוא כמו שיתבאר בפרק ו' זה אשר הקציתי לו

Chapter Six: Roots	הפרק השישי בהוצאת השרשים
written extraction of roots
description of the procedure
	כאשר תרצה להוציא שורש שום מספר, תמנה מספר מעלות ההוא, אם זוג ואם נפרד
The highest rank of the number is odd	ואם הם נפרד, עיין הרושם האחרון כאלו היא אם אחדים, איזה מספר נכפול על עצמו ויצא כל זה הרושם האחרון, או היותר שנוכל ונשימנו תחתיו
The remainder from subtracting the square of the leftmost digit of the root from the leftmost digit of the given number	ואם ישאר שום דבר מזה החשבון האחרון העליון, אחר הוצאת כפל המספר אשר שמת תחתיו בעצמו, תשים הנשאר ההוא על המספר האחרון
The highest rank of the number is even	ואם מספר מעלות החשבון אשר רצית לדעת שרשו יהיה זוג, תקח האות האחרון לעשרות ואשר תמצא במעלה אשר לפניה לאחדים ותבקש מספר שיהיה מרובעו בכל אלו העשרות והאחדים אשר לקחת, או היותר שתוכל להוציאו מהם וזה המספר אשר מצאת תשימהו תחת המעלה אשר לפני המעלה האחרונה
The remainder from subtracting the square of the leftmost digit of the root from the two leftmost digits of the given number	ואשר ישאר אחר הוצאת מרובע המספר אשר מצאת מאלו האחדים והעשרות אשר מצאת בשתי המעלות האחרונו', אם ישאר שום עשרת, שימהו על האות האחרון ואם אחדים, תשימם אשר לפני האות האחרון
Doubling the leftmost digit of the root	ואחר עשותך כל זה, הן במספר אשר מעלותיו זוג, הן באשר הן מעלותיו מספר נפרד, תכפול זה המספר אשר שמת תחת המספר העליון
The result are units	ואם לא יעלה מזה הכפל שום עשר, תשים אחדי הכפל הזה תחת המעלה אשר לפני המעלה אשר שמת אותו בתחלה
The result are units and tens	ואם עלה לעשר או יותר, תשים העשר תחת המעלה אשר היה שם המספר הזה בתחלה והאחדים במעלה אשר לפניו
The result are tens	ואם לא יהיו שם אחדים, תשים במעלה אשר לפניו
The second leftmost digit of the root	ותעבור הקולמוס על המספר הראשון אשר כפלת ואחר כך תבקש מספ' אשר תשים במעלה אשר לפני אלו הנזכרות אשר בכפול אותו במספר, או מספרים, אשר שמת עתה שנתחדשו מכפל הראשון וגם בעצמו והוציא כל כפל וכפל מהם מהמעלה אשר כנגדו ויצא הכל, או היותר שתוכל, ותשימנו במעלה הנזכרת, ר"ל במעלה הנזכרת ר"ל במעלה שלפני המעלות אשר שמת בהם כפל המספר הראשון ותכפלנו במספרים הראשונים, מלבד אשר שמת ראשון שעבר עליו הקולמוס, ואשר יעלה, תוציאנו מהרשמים אשר על ראשם ותכפלנו המספרים הראשונים מלבד אשר שמת ראשון שעבר עליו הקולמוס על עצמו ותוציאנו מהמעלה אשר על ראשו והנשאר בשום מקום, תשימנו על הרושם אשר ממנו נותר
The remainder of the given number in corresponding ranks is not enough for subtracting the subtrahend from it - shifting the subtrahend to a lower rank	ואם כאשר כפלת המספר ושמת כפלו במעלה אשר לפניו, אם אין ברשמים אשר עליהם כדי להוציאם אפי' פעם אחת ושישאר במעלה אשר לפניהם אחד להוציא ממנו כפל האחר בעצמו, אז תשים 0 לפניהם ותורידם מעלה אחת, גם ל0, גם לכל רושם מהם, ותבקש מספר שתשים לפניהם ותכפלנו בכל אחד מהם ובעצמו ותוציא כל דבר מאשר על ראשו
Placing the remainder and the subtrahend	והנותר תשים על הרושם אשר על ראשו ותורידם עוד מעלה אחרת ובלבד שתורידם לעולם, בכל הורדה שתורידם, שיורדו כמות שהם, בלי כפל כלל, זולתי המספר האחרון שנתחדש בפעם ההיא שתכפלנו
Doubling the interim rightmost digit of the root - the result are units alone	ואם לא נתחדש שם עשר, תשימנו במעלה שלפני המעלות אשר תשים הרשמי' האחרים בהורדתם
Doubling the interim rightmost digit of the root - the result are units and tens	ואם מהכפל ההוא יתחדש עשר, תחברנו עם הרושם אשר שמת ראשון לצד ימין ואם מהכפל ההוא יתחדש עשר תחברנו עם הרושם אשר שמת ראשון לצד ימין ואם לא היה כי אם 0, תסירנה ותשים הא', ר"ל העשר, במקומה והאחדים אשר נתחדשו מהכפל עם זה העשרה שימם במעלה שלפניהם
Doubling the interim rightmost digit of the root - the result are tens alone	ואם לא נתחדשו שם אחדים, כגון שהרושם האחרון היה חמשה וכפלו יהיה עשרה שלם בלתי אחדים, תשים הי' כאשר אמרתי במקום ה0', או תחברנו עם אשר תמצא במעלה לצד ימין, ואחר שאין אחדים שם, תשים 0' לפני המעלות ההם
Repeating the process	ותבקש עוד מספר כמו שנזכר וכן תעשה עד תומם
The final root	והשרש הוא כל המספרים אשר בקשת בכל עת בלי כפל

examples

$\scriptstyle\sqrt{344680129066}$

המשל רצינו לבקש שרש 344680129066

117
1250642
1151248513
98261861540
344680129066
5
108
1167
11740
117409
1174184

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{34>5^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{34-{\color{blue}{5}}^2=}}{\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times5=}}{\color{blue}{10}}\\\end{align}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9-\left(1\times{\color{blue}{8}}\right)=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{{\color{blue}{8}}^2=}}{\color{YellowOrange}{64}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-{\color{YellowOrange}{4}}=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{14-{\color{YellowOrange}{6}}=}}{\color{green}{8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\sdot8=}}{\color{blue}{16}}\\\end{align}}$	1
		9		982
344680129066		344680129066		344680129066
		5		5
		10		108
				116

והנה מעלות מספר זה הם י"ב והם זוג, נקח השני רשמים האחרונים, האחרון אחרון לעשרות ואשר לפניו לאחדים ויהיו 34

ונבקש מספר שנכפלנו על עצמו ויוציא כל ה34, או היותר שאפשר, והוא ה' ונשימנו תחת הד' ונאמר ה' פעמים ה' הם כ"ה, נוציאם מהל"ד, ישארו ט' ונעביר קולמוס על הג' ונשים הט' על הד‫'
ונכפול הה' ואחר שאין ונעביר עליו הקולמוס והנה כופלו הוא י', נשים א' תחת הה' ואחר שאין עם עשר זה אחדים כלל, נשים לפני זה האחד 0
ונבקש מספר נשימהו במעלה שלפני ה0' ונכפלנו ב בא' ובעצמו ונוציא כל היותר שנוכל מאשר נשאר על הד', גם מהמ"ו אשר לפניו, שהם השלימות המעלות אשר עליהן, ויהיה ח' ונשימנו לפניהם ונכפול ח' בא', יהיו ח', נוציאם מהט' אשר עליו, ישאר אחד, נשימנו עליו
עוד נכפול ח' על עצמו ויעלה ס"ד ונוציא הד' האחדים מהו' אשר על ראשו, ישארו ב', נשימם על הו‫'
והס' שהם ו' עשרות לא נוכל להוציאם מהד' שאחר הו' שהוא עשרות נגדו ונקרא הא' אשר אחריהם ונעביר עליו הקולמוס ויהיה עשר במעלת הד' הנזכר ונחבר אליהם הד' עצמו, יהיו כלם י"ד, נוציא מהם הס' אשר הם ו' עשרות, נשארו ח' ונשימנו על הד‫'
אחר זה נורידם מעלה אחת ונכפול הח' אשר נתחדש בפעם הזאת ואחר אשר נתחדש מכפלו אחדים ועשר, לא נשים ה0', אבל נשים א' בעד העשר במקומה ונשים הו' אחדים לפניו

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{8-\left(1\times{\color{blue}{7}}\right)=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{12-\left(1\times{\color{blue}{7}}\right)=}}{\color{green}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6\times{\color{blue}{7}}=}}{\color{YellowOrange}{42}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-{\color{YellowOrange}{2}}=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{5-{\color{YellowOrange}{4}}=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-{\color{YellowOrange}{5}}=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{YellowOrange}{50-49}}={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{{\color{blue}{7}}^2=}}{\color{YellowOrange}{49}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\sdot7=}}{\color{blue}{{\color{YellowOrange}{1}}4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6+{\color{YellowOrange}{1}}=}}{\color{blue}{7}}\\\end{align}}$	1
	1151
	98261
	344680129066
	5
	108
	1167
	1174

ונבקש מספר שנשים לפניהם שנכפלנו בהם ובעצמו ונוציא היותר שאפש' מאשר עליהם ויהיה ז' ונשימנו לפניהם ונאמ' שבעה פעמים א' הם ז', נוציאם מהח' אשר על ראשו וישאר א' ונשימנו עליו

עוד נאמר ז' פעמים א' על הא' אשר לפניו הם ז' ולא נוכל להוציאם מהב' אשר על ראשם, נקח הא' אשר שמנו עתה על הח' ונעביר עליו הקולמוס ויהיו לעשרה ועם הב' יהיו י"ב, נוציא מהם הז', ישארו ה', נשימם על הב‫'
עוד נכפול הז' בו', יעלו מ"ב, נסיר הב' מהח' ואש' עליהם ישארו ו', נשימם עליהם ונסיר הד' עשרות מהה' אשר במעלה שאחריהם וישאר א' ונשימנו עליו
עוד נכפול הז' על עצמו ויעלה מ"ט ומה0 אשר עליו לא נוכל להסיר אפילו האחדים, לכן נסיר מהו' שאחרי הה' וישאר א' ויהיה נ' במעלתם ה0', נסיר מהם המ"ט וישארו א' ונשימנו עליהם
עוד נורידם מעלה אחת ונכפול הז' אשר נתחדש בזאת הפעם ויהיו י"ד ונחבר העשר לא' עם הו' אשר אחריו לצד שמאל ויהיו ז', אחרי כן נשים הד' שהם האחדים לפני הז‫'

the next digit of the root to the right is 0

ונבקש מספר לכפול על כולם ועל עצמו כבשאר הפעמים ולא נמצא, כי אין גם אחד, לפי שלא יוכלו לצאת מאשר על ראשם אפי' פעם אחת, לכן נשים [סיפרא] לפניהם ונורידם עוד מעלה אחת ולא נכפול שום מספר, כי לא נתחדש מספ' בפעם הזאת וה0' אינה מספר לכפלה

the next digit of the root to the right is 9 - the procedure is not detailed

ונבקש מספר שנשים לפניהם ויהיה ט' ונכפלנו בכל אחד ונוציאנו מאשר ימצא על ראשו וגם בעצמו ונוציאנו מאשר על ראשו, כאשר תראה בצורה הרשומה, עוד נורידם ונכפול הט' שנתחדש עתה בפעם הזאת ויהיו י"ח ואחר שנתחדש כאן עשר עם האחדים, לא נשים ה0' בהורדה זו, אבל נשים א' לעשר במקומה ונשים הח' שהם אחדים לפניו

the next digit of the root to the right is 4 - the procedure is not detailed

ונבקש מספר, נשים לפניהם כפעם בפעם ויהיו ד' ונכפלנו בכל אחד גם בעצמו ונוציא כל דבר ממקומו הראוי לו כנזכר והנה הגענו למעלה הראשונה, לכן אין לנו להורידם

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle587094\ the\ root\\&\scriptstyle764230\ the\ remainder\\\end{align}}}

ויהיה השרש המספר שחדשנו בכל פעם אחד והם 587094

ואם לא היה נשאר דבר, היה זה השרש אמיתי, אבל אחר שנשאר דבר והוא 764230, אין השרש הזה אמיתי כי אם בקרוב

ועוד נתבאר אחר זה איך נתקרב יותר אל האמת ואם האמת נעדרת

$\scriptstyle\sqrt{10375}$

משל אחר רצינו לדעת שרש מספר זה 10375

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{1-{\color{blue}{1}}^2=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times1=}}{\color{blue}{2}}\\\end{align}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{3-\left(2\times{\color{blue}{1}}\right)=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{5-{\color{blue}{1}}^2=}}{\color{green}{4}}\\\end{align}}$	1 4
10375		10375		10375
		120		120
				201

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle101\ the\ root\\&\scriptstyle174\ the\ remainder\\\end{align}}}

ואחר שמספר המעלות נפרד, שהן ה', נקח הא' אשר נמצא במעלה האחרונה ונבקש מספר שנכפלנו בעצמו ונוציאנו כלו, או היותר שאיפשר, ויהיה א' ונשימנו תחתיו ונכפול לא' זה על עצמו ונוציאנו מהא' אשר על אשר על ראשו ונעביר עליו קולמוס

ונכפלנו ונורידנו ולא נוכל להוציאם מה0' אשר עליהם אפי' פעם אחת, גם על האחד לא נותר דבר, לכן נשים 0 לפניו, עוד נורידם ולא נכפול דבר, כי לא נתחדש מספר בזה הפעם
ונבקש מספר אשר נשים לפניהם כנזכר ויהיה א' ונשימנו לפניהם ונכפול הא' על הב' ויהיו ב', נסירם מהג' אשר עליהם, ישאר א' ונשימנו עליו ונכפול הא' על עצמו ויעלה א', נסירנו מהה' אשר עליו וישארו ד', נשימם עליו
וכבר שלמו המעלות ולא נוריד עוד והנה האותיות, והם שנתחדשו פעם בפעם, הם השרש והוא 101

1 4

10375

120

201

ולפי שנשאר ולפי שנשאר שם מספר מה, אין זה שרש אמיתי, אבל הקרוב ועוד נתבאר איך נתקרב יותר אל האמת

reason: procedure

The reason for distinguishing between an odd number or an even number of ranks for the beginning of the procedure: the rank of the units of

\scriptstyle a^2

in the multiple of a product of tens by itself

\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)^2

is always an odd number (2n-1)

וטעם אמרנו שאם מספר מעלות החשבון נפרד, שנקח האחרון לבד ונבקש מספר נשים תחתיו וכו' ואם הם זוג שנקח השני רשמים האחרונים, האחרון לעשרות ושלפניו לאחדים, הוא לפי שכל כפל כלל בעצמו, הנה מעלת האחדים העולים בכפל ההוא היא נפרד לעולם

Since the rank of the units in the product of two digits of the multiplied numbers is equal to the sum of the ranks of both digits minus 1

לפי שמקום הנחת כפל כל שני מספרים, ר"ל שמדרגת הכפל ההוא כמדרגות שני המספרים יחד חסר אחד, כמו שביארנו בפרק הג' ולזה מדרגת אחדי מספר כפל מספר על עצמו והיא כפל מדרגותיו חסר אחד והנה הם הנפרדים לעולם

If the number of ranks of the given number is odd - the square of the leftmost digit of the root will be subtracted from the highest rank of the given number

ולזה כשהמספר מעלות המספר נפרד, אנו מוציאים מהמעלה האחרונה, שהיא נפרדת, מרובע השרש, ר"ל מרובע המספרים אשר שמנו תחתיו שהוא חלק השרש

If the number of ranks of the given number is even - the square of the leftmost digit of the root will be subtracted from the highest rank of the given number together with its preceding rank as units and tens, for the units of the product will always be placed in an odd rank and the tens in an even rank

ואם הם זוג, לקחנו השתים האחרונות זו לעשרות וזו לאחדי', בענין שלעולם אחדי כפל כל מספר בעצמו יצאו ממעלה נפרדת והעשרות ממעלת זוג וזה ברור

For every rank added to the ranks of the root, two ranks are added to the ranks of its square, therefore, for every two ranks of the given number one rank is added to the ranks of its root

ואחר שביארנו שמדרגות אחדי הכפל הם כפל מעלות השרש, שהוא המספר שכפלנוהו על עצמו, חסר אחת, נמצא שאם השרשם הוא בראשונה, [הכפל ג"כ בראשונה] ואם השרש בשנית, המרובע בשלישית ואם בשלישית בחמישית ואם ברביעית בשביעית וכן לעולם, הנה כי תוספת מעלה אחת בשרש יחייב תוספת א"כ ב' מעלות במרובע וכן נעשה במעשה, כ כי לכל ב' מעלות מתוספת בחשבון אנו מוסיפים אחד בשרש וזה שאנו מורידין השרש מעלה אחת בכל פעם ומוסיפים עליו מעלה אחת והוא המספר אשר אנו שמים לפניהם בכל פעם

The number of the shifting phases in the procedure is equal to the number of the even ranks in the given number as well as to the number of ranks of the root

נמצא שכמספר פעמי ההורדה כך הוא מספר זוגי מעלות החשבון על מקום ההנחה הראשונה וכמספר זה הוא זהו מספר מעלות השרש על המעלה האחת הראשונה וכל זה תראה מפורש בצורה

The reason for shifting the subtrahend one rank to the right each phase: in each phase the preceding rank of the root is added. So if the highest rank of the given number indicates the rank of the leftmost digit of its root, then the preceding rank of the given number indicates the rank of the product of the leftmost digit of the root by its preceding digit

והטעם הורדת מעלה אחת בכל פעם הוא לפי שהמתוסף בשרש בפעם הזאת הוא מעלה אחת פחות מאשר נתוסף בתחלה וא"כ מעלת הכפל יהיה ג"כ מעלה אחת פחות, ר"ל כפול זה המתוסף עתה בשרש באשר היה כבר המונח לשרש בפעם או בפעמים העוברים

כי ע'ד'מ' המושם בתחלה הוא מכפל המספר בעצמו וכאשר אנחנו מוסיפים עתה בשרש זה המתוסף הוא פחות מעלה אחת מהראשון וכאש' כפלנוהו בראשון יגרע זאת המעלה אשר גרע זה ממנו

Example: if the leftmost digit of the root is subtracted from the fifth rank of given number, then the rank of that digit in the root is the third rank (5=(3+3)-1)

\scriptstyle\left(a00\right)^2=\left(a^2\right)0000

כי המשל אם כפל השרש הראשון בעצמו היה לוקח מהמעלה החמישית, הוא היה מן המעלה השלישית ולזה לקח מהחמישית, שהוא כפל מעלותיו חסר אחת

The preceding digit of the root will be in the second rank, and therefore double the product of the leftmost two digits of the root will be represented in the given number in the fourth rank - i.e. the number of both ranks minus 1 (4=(3+2)-1) → therefore the subtrahend was shifted one rank to the right, from the fifth to the fourth rank

וכאשר נוסיף זה עתה בשרש, יהיה המתוסף מהמעלה השנית וכאשר כפלנו אשר מהמעלה השנית על אשר במעלה הג', ר"ל כאשר אנו כופלים זה המתחדש עתה, שהוא במעלה הב', באשר היה בתחלה שהוא מהמעלה הג', יהיה מדרגת זה הכפל במדרגת הד', שהם מספר מעלות שני המספרים חסר אחת ולזה שמנו אשר בתחלה מעלה אחת למטה, כי משם הוא ראוי לקחתו

The product of the digit in the second rank of the root by itself is subtracted from the third rank of the given number, for the rank of this product is twice the rank of this digit in the root minus 1 (3=(2+2)-1) → so, again the subtrahend is shifted one rank to the right from the fourth to the third rank

\scriptstyle\left(ab0\right)^2=\left(a^2\right)0000+\left[2\sdot\left[\left(a\sdot b\right)000\right]\right]+\left(b^2\right)00

השרש המתוסף כאשר כפלנוהו בעצמו יגרע מעלה אחרת ואין לו לקח' כי אם מהמעלה השלישית, כי כפל בעל שתי מעלות בבעל שתי מעלות יש לו לקחת מהשלישית, שהוא כמדרגות שני המספרים חסר אחת, לכן שמנוהו מעלה אחת לפניהם, כי משם ראוי לו לקחת וכן בכל פעם יחסר מעלה ממקום הראוי לקחת עתה בכפל המתחדש בראשונים מאשר היה מכפל המתחדש בפעם העובר עמהם וכפלו בעצמו יחסר שתים וכל זה מבואר בטעם ובצורה

When the subtrahend cannot be subtracted from a certain rank of the given number it is shifted another rank to the right - for this means that the preceding digit in the root is two ranks to the right of the present digit, and hence the product of this digit by itself will be subtracted from the fourth rank to the right of the present rank

וכאשר אין אנו יכולים להוציאם אפי' פעם אחת, אנו שמים ומורידים אותם פעם אחרת, כי כאשר תוסף בשרש יהיה פחות ב' מעלות מאשר בתחלה, לכן הורדנום ב' מעלות שיקחו מב' מעלות פחות וכפל השרש המתוסף בעצמו יקח מד' מעלות פחות, לפי שירד שני מעלות

Example: if the leftmost digit of the root is in the fourth rank, its product by itself is subtracted from the seventh rank of given number, then if the digit in the preceding rank of the root is a zero, its preceding digit will be in the second rank and its product by itself will be subtracted from the third rank of the given number, which is four ranks to the right of its seventh rank

\scriptstyle\left(a0b0\right)^2=\left(a^2\right)000000+\left[2\sdot\left[\left(a\sdot b\right)00000\right]\right]+\left(b^2\right)00

כי המשל אם הראשון היה ברביעית, היה לו ליקח כפלתו בעצמו מהמעלה השביעית ואשר מתוסף עתה כשהיה 0 בפעם אשר בנתים יהיה בשנית וראוי לקחת כפלו בעצמו מהשלישית, הרי כשנגרע ד' מעלות גם כל זה הוא מבואר בטעם ובצורה

The reason for doubling the digits of the root: in every phase of the procedure the digit that is added is multiplied by itself and by double the subsequent digit of the root, since every thing that is added to the root is added to both sides [= multiplicands] of the square

וטעם הכפל השרש: ר"ל שבכל הולדה אנו כופלים אשר הו נתחדש אז ונמצא שאנו כופלים המתחדש בכפל השרש הראשון ובעצמו, הוא לפי שכאשר ניתוסף דבר בשרש הוא ניתוסף בשתי צלעות המרובע

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(30\right)^2=900}}$

ר"ל שאם מתחלה היה השרש 30, הנה המרובע היה 900

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(30+5\right)^2=\left(35\right)^2=35\sdot35=\left(30\sdot30\right)+\left(5\sdot30\right)+\left(30\sdot5\right)+\left(5\sdot5\right)=\left(30\right)^2+\left[\left[2\sdot\left(5\sdot30\right)+5^2\right]\right]}}$

ואם אנו מוסיפים עליו ה' יהיוה ל"ה ומרובעו הוא כפל ל"ה על ל"ה, שהוא כאומרנו לכפל ל' בל' וכפל ה' [בל' וכפל ל' בה' וכפל ה'] בה', נמצא שנתוסף בסבת תוספת הה' כפל ה' על ל' פעמים, ר"ל ה' בה' פעם אחת ובעצמו פעם אחת

Each digit is multiplied by double the subsequent digit only, as all the other digits are already doubled, therefore they should not be doubled again

ולזה אנו כופלים השרש וכשאנו מורידים, אין אנו כופלים אלא אשר מתוסף בפעם העובר בסמוך שלא נכפל, אבל כל אחדים כבר נכפלו, לכן אין אנו כופלים אותו פעם אחרת כלל ומכל זה תדע כי השרש הוא המספרים המתחדשים בכל פעם פשוטים בלי כפל כלל

Approximations
When the extraction process ends with a remainder: $\scriptstyle a^2+b$	וכאשר נשאר שם דבר מה אחר אשר השלמת להוציא השרש ותרצה להתקרב עוד אל האמת, עיין אשר נשאר
First approximation $\scriptstyle b<a\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}$	ואם הוא פחות מהשרש, כפול השרש והוצא את מוריו וחלק השארית ההיא עליהם והיוצא הוא העודף בשרש על השלמים ההם
$\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a+1}$	ואם השארית היתה גדולה מהשרש או כמותו ואין דעתך להתקרב עוד אל השרש כי אם מה שתתקרב אליו בפעם זו לבד, תכפול השרש ותוסיף עליו א' ותחלק עליהם זאת השארית והיוצא הם השברים הנוספים בשרש על השלמי' אשר יצאו ראשונה
Reference to a certain proof by Euclid according to which reaching the accurate root [of irrational number] is impossible	ואם תרצה להתקרב עוד אל האמת, ואם האמת נעלמה מעיני כל חי כאשר ביאר אוקלידס במופת
Second approximation	כפול אלו השלמים והשברים על עצמם כאשר אבאר בחלק השברים בפרק הכפל ויעלה פחות או יותר מהחשבון הראשון
$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2>a^2+b\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	וכפול השרש כאשר אמרנו וחלק אליו זה העודף או חסרון והיוצא הוציאנו מהשברים הראשונים, אם המספר היה פחות ממרובע השרש אשר הוצאת בפעם הקודמת
$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2<a^2+b\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a}\right)+\frac{\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	ואם היה המרובע פחות מהמספר, תוסיף זה היוצא על השברים הראשונים
	והעולה או הנותר יהיו השברים העודפי' בשרש על השלמים הראשונים
$\scriptstyle\sqrt{10375}$ First approximation ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle174>101\longrightarrow\sqrt{10375}&\scriptstyle\approx101+\frac{174}{\left(2\sdot101\right)+1}\\&\scriptstyle=101+\frac{174}{202+1}\\&\scriptstyle=101+\frac{174}{203}\\&\scriptstyle=101+\frac{174}{7\sdot209}=101+\frac{6}{7}\\\end{align}}}$	המשל בזה הוא בצורה השנית 174 ואם היה פחות מהשרש, היינו מחלקים אותו לכפל השרש שהוא 202 בלי תוספת אחד וכן עתה שהוא יותר מהשרש, נכפול השרש שהנו 101 ויהא 202 ונוסיף עליו א' ויהיו 203 ונוציא מוריו ונמצא שיש לו שביעית ושביעיתו 29 ואלו הם מוריו, ר"ל ז' כ"ט ונחלק אליהם השארית שהוא 174 ויצא בחילוק ו' שביעיות שלמות ואלו הם השברים העודפים בשרש על הק"א השלמים הראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle10375-\left(101+\frac{6}{7}\right)^2&\scriptstyle=10375-\left[10374+\frac{6}{7}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle\longrightarrow\left(101+\frac{6}{7}\right)^2<10375\\\end{align}}}$	ואם נרצה להתקרב עוד אל האמת, נכפול זה השרש, ר"ל ק"א שלמים וו' שביעיות על עצמו: 10374 שלמים וו' שביעיות שלימות ושביעית שביעית, כאשר יתבאר בחלק הב' בפרק הג' וזהו פחות מהחשבון הנשאל בו' שביעיות שביעית
Second approximation $\scriptstyle{\color{blue}{\left(101+\frac{6}{7}\right)^2<10375\longrightarrow\sqrt{10375}\approx\left(101+\frac{6}{7}\right)+\frac{\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{7}}{2\sdot\left(101+\frac{6}{7}\right)}}}$	לכן אם אתה רוצה להתקרב עוד אל האמת, יש לך לכפול השרש, ר"ל הק"א שלימים וו' שביעיות שלימות ולחלק אליהם אלו הו' שביעיות שביעית לכן אם אתה רוצה להתקרב עוד אל האמת יש לך לכפול השרש ר"ל הק"א שלימים וו' שביעיות שלמות ולחלק אליהם אלו הו' שביעיות שביעית והיוצא היה לך להוסיף אותו על השרש הקודם שהיה ק"א שלימים וו' שביעיות וכן לעולם
The rule [of approximating the root]:	זה הכלל‫:
$\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a+1}$	ראשונה תחלק הנשאר לכפל השרש עם תוספת א', אם הנשאר גדול מהשרש או כמותו
$\scriptstyle b<a\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}$	ואם פחות לא תוסיף א' והיוצא תוסיפנו על השרש
	ותכפול אותו השרש על עצמו שלמים ונשברים
$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2>a^2+b\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	ואם יעלה יותר מהחשבון הראשון, תחלק העודף ההוא על כפל השרש ותחסרנו ממנו
$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2<a^2+b\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a}\right)+\frac{\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	ואם היה העולה פחות מהחשבון, תראה בכמה הוא ותחלקנו לכפל השרש ג"כ ותוסיפנו על השרש הקודם וכן לעולם
	ולעולם תתקרב יותר אל האמת ולא תשיגנה לעולם
Shortcuts	וכאשר תעיין הטב, תראה שתוכל לעשותו בלי כ"כ יגיעה והוא שתעיין השברים שנתחדשו בעת ההיא
The approximation $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a+1}$	ואם היו לתוספת ונעשה בתוספת א' על כפל השרש
The error of the approximation $\scriptstyle\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2=\frac{b}{2a+1}\sdot\left(1-\frac{b}{2a+1}\right)$	ראה כמה כפל השברים המתחדשים ההם בפעם ההיא במה שיש מהשברים ההם עד תשלום והעולה הוא אשר יחסר, כאשר תכפול השרש בעצמו מהחשבון הראשון
The second approximation $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)+\frac{\frac{b}{2a+1}\sdot\left(1-\frac{b}{2a+1}\right)}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)}$	והוא אשר יש לך לחלק עוד על כפל השרש בעצמו ולהוסיפו עליו
$\scriptstyle{\color{blue}{10375-\left(101+\frac{6}{7}\right)^2=\frac{6}{7}\sdot\left(1-\frac{6}{7}\right)=\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{7}}}$	וזה תוכל לראות ברור בדמיון שעבר שהיה לתוספת ובתוספת א' והשברים ההם שהיו ששה שביעיות והנה השלמתם לשלם הוא שביעית אחת וכאשר תכפלם בהשלמה זו, יעלה ו' שביעיות שביעית וזה בעצמו הוא שמצינו חסר בכפל השרש מהחשבון [הא] וצוינו לחלקו לכפל השרש ולהוסיפו על השרש
The approximation $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}$	אך אם היה לתוספת בלי תוספת א' שהיו למגרעת
The error of the approximation $\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)=\left(\frac{b}{2a}\right)^2$	נראה כפל השברים אשר נתחדשו על עצמם ונחלקם לכפול השרש, לפי שזהו בעצמו אשר יהיה כפל השרש בעצמו יותר על החשבון
The second approximation $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	והיוצא נחסרנו לעולם מהשרש הקודם וכן לעולם
Repeating the approximation procedure brings closer to the real root, but the real root can never be obtained at the end	ולזה אם רצונך להכפל זה המעשה, כדי להתקרב אל האמת, כי כל מה שתוסיף להכפל זה הענין תוסיף להתקרב אל האמת ואם לא תשיגנה לעולם כמו שביארנו
In the repetitive procedure one should always use this approximation $\scriptstyle a+\frac{b}{2a}$ instead of the previous approximation $\scriptstyle a+\frac{b}{2a+1}$ , even if b≥a, in order to avoid confusion	לא תוסיף א' לעולם על כפל השרש [ואף אם יהיה הנשאר הרבה מאד על השורש], כדי שלא יבלבל עליך, כי לא ציויתיו אלא למסתפק בפעם אחת
Indeed the previous approximation $\scriptstyle a+\frac{b}{2a+1}$ brings closer to the real root, but if the approximation $\scriptstyle a+\frac{b}{2a}$ is repeated more than once it brings very close to the real root, therefore adding 1 to the denominator is not needed	ובתוספת הא' כשהנשאר בשרש או יותר הוא מתקרב יותר כמו שכתבתי, אבל המכפיל פעמי המעשה אינך צריך לתוספת זה, כי בהכפל המעשה יתקרב מאד מאד, אף מבלי תוספת הא' וטוב שלא נוסיפנו, כדי שיהיה כל מעשהו בסגנון אחד ולא יתבלבל
The reason for dividing the remainder by double the [approximate] root, if the remainder is smaller than the [approximate] root:	וטעם אומרנו שאם ישאר דבר והוא פחו' מהשרש, שנחלקנו לכפל השרש
$\scriptstyle\left(a+b\right)^2-a^2=2ab+b^2$	הוא לפי שאש' יתוסף בשורש יוסיף במרובע כפלו בשורש הראשון פעמים גם כפלו בעצמו כאשר ביארנו בשלמים
The excess of the first approximation: $\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2\approx a^2+\left[2\sdot\left(a\sdot\frac{b}{2a}\right)\right]=a^2+b$	ואנו עושים מעשינו כאלו אינו מוסיף כי אם כפלו בשרש פעמים ואם היה זה האמת, ר"ל שהמתוסף על השרש לא היה מוסיף על המרובע כי אם כפל זה המתוסף בכפל השרש לבד, הנה היה בידינו המספר העולה מהכפל הזה והוא השארית הנזכרת שהיא נוספת בחשבון על מרובע השלימים
$\scriptstyle2a\sdot\frac{b}{2a}=b$	וכאשר נוסיף בשרש דבר מה שיהיה שוה כפלו בכפל השרש כזה התוספת בעצמו הגענו אל מבוקשנו
	ועם היות שנעלם ממנו תוספת זה ומ"מ אחר שידענו העולה מהכפל ההוא והיא השארית הנזכרת, גם ידענו אחד מהנכפלים והוא כפל השרש, [הנה בחלקנו זה העולה לכפל השורש יצא] יצא הנעלם שהוא התוספת, ר"ל כי בכפול זה התוספת בכפול השרש יעלה כנשאר הנזכר וזה ברור
$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)=\left(\frac{b}{2a}\right)^2$	אכן לפי שהמתוסף על השרש מוסיף עוד במרובע כפלו בעצמו, ר"ל כפל התוספת הזה בעצמו, לכן כאשר נכפול השרש בעצמו אחר הוסיף עליו זה התוספת, יעלה המרובע מוסף על החשבון הראשון כפל התוספת הזה בעצמו וכן ביארנוהו למעלה
The second approximation $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	ואם היינו רוצים להתקרב עוד ואנו מחלקים זה התוספת לכפל השרש הזה והיוצא יחסר מזה השרש כאשר ביארנו למעלה
The excess of the second approximation: $\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left[\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2=\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\sdot\left[\left[2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)\right]-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]$	הנה זה שאנו מחסרים היה מוסיף על המרובע ככפלו על כפל השרש המחוסר הזה לאחר חסרונו וכפלו על עצמו בלי כפל
$\scriptstyle\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}=\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{\left[2\sdot\left[\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]\right]+\left[2\sdot\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]}$	ואולם התוספת אשר היה לנו חלקנוהו על כפל כל השרש טרם טרם החסרו והוא כמו שחלקנוהו על כפל השרש הזה המחוסר ועל כפל החסרון זה
$\scriptstyle\left[\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2-\left(a^2+b\right)=\left[\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2$	ואולם הוא לא היה מוסיף כי אם כפלו על כפל השרש הזה המחוס' וכפלו על עצמו בלי כפל, נמצא שלא חסרנו בכל הצורך, אבל עוד ישאר במרובע זה השרש המחוסר תוספת על החשבון הראשון ככפל זה החסרון על עצמו וזה ברור וכן יהיה לעולם
Hence, when using a repetitive procedure for extracting the root the square of the fractions that are added to the previous [approximate] root from the second phase and onwards should be divided by twice the previous [approximate] root and the result should always be subtracted from the previous [approximate] root	לכן כאשר לא נוסיף א' ונרצה להתקרב אל האמת, אין לנו להוסיף על השרש כי אם השברים הראשונים אשר נתחדשו בפעם הראשון מאשר נשאר לנו, אבל מכאן ואילך לעולם יש לנו לחלק כפל השברים המתחדשים בפעם ההיא על כפל השרש הקודם לו והיוצא נחסרהו לעולם מהשרש הקודם לו
$\scriptstyle\sqrt{7}$	המשל בקשנו שרש ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\approx2+\frac{7-4}{2\sdot2}=2+\frac{3}{4}}}$	הנה השלמי' אשר בשרשו הם ב' ונשארו ג‫' ואם חלקנום לכפל השרש, יצא בחילוק ג' רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{3}{4}\right)^2-2^2=3+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}$	והנה זה התוספת, כאשר נחברהו אל הב' השלמים ונעשה מהכל שרש אחת, הנה יתוסף במרובעו יותר על מרובע הב, שיהיה ד' שלמים, ככפל שלש רביעיות אלו בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{3=4\sdot\frac{3}{4}=2^2\sdot\frac{3}{4}}}$	ואולם שאריתנו לא היה כי אם ככפל הג' רביעיות בד' השלמים, אשר הם כפל השרש הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{3}{4}\right)^2-7=\left[7+\left(\frac{3}{4}\right)^2\right]-7=\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{4}\sdot\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	נמצא שנתוספו בשרשנו זה שברים יותר מדאי, עד שמרובע הכל יהיה יותר על הז' שלמים ככפל הג' רביעיות בעצמם, שהם ט' רביעיות רביעית, שהם ב' רביעיות שלמות ורביעית רביעית וזה ברור, כי כפל ב' וג' רביעיות עולה ז' שלמים וב' רביעיות רביעית כאשר יתבאר בחלק הב' בפרק הג' ממנו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{7}&\scriptstyle\approx\left(2+\frac{3}{4}\right)-\frac{\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}{2\sdot\left(2+\frac{3}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{3}{4}\right)-\frac{\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}{5+\frac{2}{4}}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{3}{4}\right)-\frac{\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}{5+\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{3}{4}\right)-\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{2}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}$	ולזה ראוי לנו לחלק תוספת זה על כפל השרש כאשר ביארנו. והנה כפל השרש הוא ה' שלמים וב' רביעיות, שהם חצי שלם וכאשר נחלק עליהם ב' רביעיות ורביעית רביעית, יצא בחילוק ט' חלקים מי"א מחצי רביעית וכאשר נסירם מהשרש הקודם, ישאר ב' שלמים וב' רביעיות שלמות וחצי רביעית וב' חלקים מי"א מחצי רביעית וכל זה יתבאר מעשהו בחלק הב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{3}{4}\right)^2-\left[2+\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{2}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]^2=\left[\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left[2\sdot\left(2+\frac{3}{4}\right)\right]\right]-\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)^2}}$	והנה יחסר מרובע השרש הזה, ר"ל הב' שלמים וב' רביעיות וחצי רביעית וב' חלקים מי"א מחצי רביעית, אחרי החסרו מאשר לפניו, ככפל החסרון הזה, ר"ל הט' חלקים מי"א מחצי רביעית, על כפל השרש המחוסר, וככפלו לעצמו
	ואולם התוספת הראשו', אשר היה במרובע על החשבון, היה ככפל החסרון זה בכפל השרש הראשון, ר"ל בכפל השרש הזה המחוסר ובכפל החסרון הזה, שהרי כאשר חלקנו התוספת על כפל השרש הקודם, ר"ל על כפל השרש המחוסר ועל כפל זה החסרון, [יצא בחלוק זה החסרון]
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left[2\sdot\left(2+\frac{3}{4}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left[\left[2\sdot\left[2+\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\left(\frac{2}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]+\left[2\sdot\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}$	נמצא שכפל זה החסרון, ר"ל הט' חלקים מי"א מחצי רביעית, בכפל השרש הראשון, שהוא ב' שלמים וג' רביעיות, שכפלו ה' שלימים וחצי, שהוא כמו כפל השרש המחוסר הזה, ר"ל הב' שלימים וב' רביעיות וב' חלקים מי"א מחצי רביעית וכפל זה החסרון, שהוא הט' חלקים מי"א מחצי רביעית וכפל זה החסרון שהוא הט' חלקים מי"א הוא כמו התוספת אשר היה לנו, שהוא הב' רביעיות ורביעית רביעית שחלקנו עליהם
$\scriptstyle a\sdot\left(b_1+b_2+\ldots+b_n\right)=\left(a\sdot b_1\right)+\left(a\sdot b_2\right)+\ldots+\left(a\sdot b_n\right)$	כי ידוע הוא במעט התבוניות, כי כפל מספר על מספר הוא ככפלו בכל חלקי המספר האחד כל אחד בפני עצמו והוא הטעם שכפל מספר ידוע על כפל מספר ידוע אחר
$\scriptstyle{\color{blue}{4^2=\left(4\sdot1\right)+\left(4\sdot3\right)}}$	המשל על כפל ד' הוא ככפלו על כפל כל חלקיו כל אחד בפני עצמו המשל על כפל ג' ועל כפל א‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left[2\sdot\left(2+\frac{3}{4}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left[2\sdot\left[\left[2+\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\left(\frac{2}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]+\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\\\end{align}}}$	וזהו כאומרנו שכפל הט' חלקים מי"א מחצי רביעית בכפל השרש הראשון שהוא הב' שלמים וג' רביעיות הוא כמו כפלו בכל חלקיו כל אחד בפני עצמו, ר"ל בכפל השרש המחוסר ובכפל החסרון, שהם חלקי השרש הקודם וזה ברור
$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)=\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\sdot\left[2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)\right]$	ואחר שהמרובע הקודם היה מוסיף על החשבון, אשר רצינו לידע שרשו, ככפל החסרון על כפל כל השורש הקודם, שהרי כשחלקנו אותו על כפל השורש הקודם, [יצא זה החסרון, הנה כאשר נכפול זה החסרון בכפל השורש הקודם], שהוא כפל היוצא בחילוק במספר אשר חלקנו עליו, יעלה כמספר המתחלק שהוא התוספת שהיה לנו
$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left[\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2=\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\sdot\left[\left[2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)\right]-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]$	ואולם בשביל זה החסרון, אשר אנו מחסרים עתה מהשרש, לא יחסר המרובע הזה מהראשון כי בכפל זה החסרון בכפל המחוסר ובעצמו בלי כפל
$\scriptstyle\left[\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2-\left(a^2+b\right)=\left[\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2$	א"כ ישאר עוד מהתוספת כפל זה החסרון בעצמו
And so on repeatedly: the excess of the subtracted over the given number $\scriptstyle a^2+b$ is the square of the subtrahend	הנה ביארנו כי בעשותינו זה כמה פעמים, לעולם ישאר במרובע תוספת מרובע השברים שיצאו בחילוק בעת ההיא, שהם אשר עלינו להוסיף על השרש במעשה הראשון, או לחסרו מן השרש בשאר הפעמים כלם, אם לא נעשנו בתוספת אחד, ר"ל אם לא נוסיף אחד על כפל השרש לחלק על הכל, אם יהיה התוספת גדול מהשרש, אלא שנחלק התוספת על כפל השרש לבד, בלי תוספת אחד כלל
	ולזה אמרנו כי כאשר לא נעשה בתוספת אחד, לעולם נקח מרובע השברים אשר יצאו בפעם האחרונה, הן לתוספת, או למגרעת ונחלקם על כפל השרש המחוסר והיוצא נחסרנו מהשרש וכן נעשה לעולם וכל זה ברור בטעם
The reason for dividing the remainder by double the [approximate] root plus 1, if the remainder is equal to or greater than the [approximate] root: $\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a+1}$	וטעם אומרנו כי כאשר הנשאר הוא כשורש, או יותר ממנו, שיש לנו לחלקו על כפל השרש בתוספת אחד, אם אין דעתינו להכפיל המעשה להתקרב עוד אל האמת זולתי בפעם הזאת לבד
$\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)=\left(\frac{b}{2a}\right)^2\ge\frac{1}{4}$	הוא לפי שאם לא היינו מוסיפים אחד, היה מרובע השרש המקובץ מהשלמים והשברים עודף על החשבון ככפל השברים אשר יצאו בחילוק וזה יהיה רביעית אחת או יותר
$\scriptstyle b=a\longrightarrow\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{a}{2a}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$	לפי שאם יהיה כשורש בעינו ונחלקנו על כפל השרש, יצא בחלוק חצי ומרובעו, ר"ל כפלו בעצמו, שהוא התוספת, שיהיה רביעית שלמה
$\scriptstyle b>a\longrightarrow\left(\frac{b}{2a}\right)^2>\left(\frac{a}{2a}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$	ואם יהיה השארית יותר גדול מהשרש, כשנחלקנו על כפל השרש, יהיה היוצא יותר מחצי ומרובעו יותר מרביעית
$\scriptstyle\sqrt{6}$	והמשל: בקשנו לידע שרש ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}\approx2+\frac{6-4}{2\sdot2}=2+\frac{2}{4}=2+\frac{1}{2}}}$	הנה השלמים אשר יצאו בשרש הם ב' וישארו ב', שהוא כמו השרש בעצמו ואם חלקנום על כפל השרש בלי תוספת אחת, יתחלק לד' שהוא כפל השרש ויצא בחילוק חצי ויהיה כל השרש ב' שלמים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)^2=6+\frac{1}{4}}}$	ומרובעם ו' שלמים ורביע
$\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2=\frac{b}{2a+1}\sdot\left(1-\frac{b}{2a+1}\right)<\frac{1}{2}\sdot\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$	ואם היינו מוסיפים א', הנה יחסר מהמרובע ככפל היוצא בחילוק, שיהיה פחות מחצי בהשלמתו לאחד וזה יהיה פחות מרביע, הנה א"כ הוא קרוב אל האמת, כי לא יחסר רביע במרובע מהחשבון ואם לא נוסיף א', נוסיף רביע וכ"ש אם היה גדול מהשרש
$\scriptstyle b>a\longrightarrow\left(\frac{b}{2a}\right)^2>\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$	כי כאשר נחלקנו לכפול השרש, יצא בחילוק יותר מחצי ומרובעו יותר מרביע כאשר תראה במשל הקודם לזה
$\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2=\frac{b}{2a+1}\sdot\left(1-\frac{b}{2a+1}\right)<\frac{1}{2}\sdot\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$	ואם תחלקנו על כפל השרש בתוספת א', יחסר מרובע השרש המקובץ מהחשבון הנשאל ככפל היוצא בחלוק בהשלמתו לאחד ולא יהיה אפי' רביע בשום פנים
The product of a portion of a line by its remaining portion will never exceed one quarter	כי כאשר תכפול קצת הקו, או המספר, בקצתו האחר, לא יעלה לעולם לרביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}}$	שאם תכפול חציו בחציו יהיה רביע
$\scriptstyle\left(1-\frac{n}{m}\right)>\frac{n}{m}\longrightarrow\frac{1}{4}-\left[\frac{n}{m}\sdot\left(1-\frac{n}{m}\right)\right]=\left(\frac{1}{2}-\frac{n}{m}\right)^2$	ואם תכפול מעוטו ברובו, לא יהיה רביע וזה ברור, אבל יחסר ממנו כמרובע מרחקם מחצי הקו, או המספר
dividing a line to ¼ and ¾ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}=4\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	כי ע'ד'מ' אם חלקנו הקו לרביע הקו וג' רביעיות, הנה אם תכפול החצי בחצי הוא כאלו תכפול רביע הקו עם ברביע הקו ד' פעמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}\sdot\frac{3}{4}=3\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	ואם תכפול רביע הקו בג' רביעיות המשלימות אותו לאחד שלם, לא יהיה כי אם כפל רביע הקו ברביע הקו ג' פעמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{4}\sdot\left(1-\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$	הנה יחסר מחצי על חצי ככפל רביע על רביע, שהוא מרחק כל אחד מחלקי הקו מהחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=6\sdot6=36=30+6=\left(6\sdot5\right)+\left(6\sdot1\right)}}$	ואם תכפול ע'ד'מ' חצי מספר י"ב בחציו, שהוא ו' בו', יעלה ל"ו, שהוא כפל ו' בה' שהם ל' וכפלו ו' בא', שהם ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(6-1\right)\sdot\left(6+1\right)=5\sdot7=35=30+5=\left(5\sdot6\right)+\left(5\sdot1\right)}}$	ואולם אם תכפול ה' בז', שהם השלמתו לאחד, לא יהיה כי אם ל"ה, לפי שהוא ככפל ה' בו', שהם ל', וכפל ה' בא', שהם ה‫'
	וכל מה שיתחלקו יותר החלקים, יחסר יותר
$\scriptstyle\left(1-\frac{n}{m}\right)>\frac{n}{m}\longrightarrow\frac{1}{4}-\left[\frac{n}{m}\sdot\left(1-\frac{n}{m}\right)\right]=\left(\frac{1}{2}-\frac{n}{m}\right)^2$	וזה שהחסרון מרביע הוא כמרובע הרחקתם מחצי
	כבמשלנו זה שהיה כמרובע האחד, אשר נתרחקו מו', שהוא החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\right]-\left[3\sdot\left(12-3\right)\right]=\left(6\sdot6\right)-\left(3\sdot9\right)=36-27=9=3^2}}$	ואם היינו כופלים ג' בהשלמתו לי"ב, שהוא ט', הנה לא יעלה כי אם כ"ז ויחסר כמרובע ג' שנתרחקו מהחצי, שהוא ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=6\sdot6=\left(6\sdot3\right)+\left(6\sdot3\right)=\left[2\sdot\left(3\sdot3\right)\right]+\left[2\sdot\left(3\sdot3\right)\right]}}$	וזה כי כפל ו' בו' הוא ככפל ו' בג' וככפלו ו' בג', שהוא כפל ג' בג' פעמים
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(12-3\right)=3\sdot9=\left(3\sdot6\right)+\left(3\sdot3\right)}}$	ואולם כפל ג' בט' אינו כי אם כפל ג' בו' וכפל ג' בג' פעם אחת לבד
$\scriptstyle\frac{1}{4}n^2-\left[m\sdot\left(n-m\right)\right]=\left[\left(\frac{1}{2}n\right)\sdot\left(\frac{1}{2}n\right)\right]-\left[m\sdot\left(n-m\right)\right]=\left[\left(\frac{1}{2}n\right)-m\right]^2$	לכן יחסר מרביע מרובע המספר ככפל ריחוקם מהחצי בעצמו והוא רביע רביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\right]-\left[3\sdot\left(12-3\right)\right]=3^2=\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)^2}}$	לפי שרחוקם היה ג', שהוא רביע הי"ב, דוק ותשכח
The reason for: $\scriptstyle\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2=\frac{b}{2a+1}\sdot\left(1-\frac{b}{2a+1}\right)$	ואולם אומרנו שכאשר נחלקנו לכפל השרש בתוספת אחד, שיהיה החסרון אשר במרובע השרש המקובץ מהחשבון ככפל היוצא בחילוק בהשלמתו
	אבארנו תחלה במשלים העוברים וא'ח'כ' אבארנו בטעם‫:
$\scriptstyle\sqrt{7}$	המשל כאשר בקשנו שרש ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\approx2+\frac{7-4}{\left(2\sdot2\right)+1}=2+\frac{3}{5}}}$	והיה ב שלמים ונשארו ג', שהם יותר מהשרש וחלקנום לכפל השרש בתוספת א', ר"ל על ה', יצא בחילוק ג' חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7-\left(2+\frac{3}{5}\right)^2&\scriptstyle=7-\left[6+\frac{3}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{6}{5}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{3}{5}\sdot\frac{2}{5}\\&\scriptstyle=\frac{3}{5}\sdot\left(1-\frac{3}{5}\right)\\\end{align}}}$	וכאשר נכפול שני שלמים וג' חמישיות על עצמו, יהיה מרובעו ו' שלמים וג' חמישיות וד' חמישיות חמישית והחשבון הנשאל היה ז' שלימים, הנה יחסר זה המרובע מז' שלמים חמישית [אחת שלמה וחמישית חמישית וזה] וזה בעצמו הוא כפל הג' חמישיות אשר יצאו בחלוק על השלמתם לאחד שלם, שהוא ב' חמישיות כי כפל ג' חמישיות בב' חמישיות הוא ו' חמישיות חמישית, שהן חמישית אחד שלם וחמישית חמישית
$\scriptstyle\sqrt{6}$	ובמשל בשני
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}\approx2+\frac{6-4}{\left(2\sdot2\right)+1}=2+\frac{2}{5}}}$	אם בקשנו שרש והנה יצאו ב' שלמים ונשארו ב', שהוא כמו השרש, אם חלקנום על כפל השרש בתוספת א', ר"ל על ה', יצא בחילוק ב' חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle6-\left(2+\frac{2}{5}\right)^2&\scriptstyle=6-\left[5+\frac{3}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{6}{5}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}\sdot\frac{3}{5}\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}\sdot\left(1-\frac{2}{5}\right)\\\end{align}}}$	וכאשר כפלנו שני שלמים וב' חמישיות על עצמם יעלה ה' מרובעו ה' שלמים וג' [חמישיות] וד' חמישיות חמישית ואולם החשבון הנשאל אשר בקשנו שרשו היה ו' שלמים, הנה יחסר זה המרובע מהחשבון ההוא חמישית אחת שלימה וחמישית חמישית והוא ככפל הב' חמישיות אשר יצאו בחילוק בהשלמתם לאחד, שהוא ג' חמישיות כי כפל ב' חמישיות בג' חמישיות הוא ו' חמישיות חמישית, שהן חמישית אחד שלמה וחמישית חמישית כאשר ביארנו
$\scriptstyle b=\frac{b}{2a+1}\sdot\left(2a+1\right)=\left(\frac{b}{2a+1}\sdot2a\right)+\left(\frac{b}{2a+1}\sdot1\right)$	והטעם הוא לפי שהשארית היה ככפל זה היוצא בחילוק בכפל השרש הראשון ובאחד, שהרי בחלקנו השארית לכפל השרש בתוספת א' יצא זה בחלוק, נמצא שהשארית היה ככפל זה היוצא בחלוק בכפל השרש הקודם [ובא‫']
$\scriptstyle\left(a+b\right)^2-a^2=\left(2\sdot a\sdot b\right)+b^2$	ואולם תוספת זה היוצא בשרש הקודם לא יוסיף במרובע כי אם ככפלו בכפל השרש הקודם ובכפלו בעצמו
$\scriptstyle\left(b\sdot1\right)-b^2=b\sdot\left(1-b\right)$	וכפלו בעצמו יחס' מכפלו בא' כפלו בהשלמתו לאחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot1\right)=\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]}}$	כי המשל: כפל שליש באחד הוא ככפלו בכל חלקיו, ר"ל ככפלו בשליש, ר"ל בעצמו, וככפלו בשתי שלישים, אשר הם המשלים אותו כאחד וזה ברור
$\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2<\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)$ → $\scriptstyle a+\frac{b}{2a+1}$ is a closer approximation	הנה ביארנו כי כאשר השארית היה כשרש או יותר ממנו, כי בחלקנו אותו לכפל השרש בתוספת א' יתקרב אל האמת לחסרון מאשר יתקרב אל האמת לתוספת בחלקנו אותו לכפל השרש בלי תוספת אחד
$\scriptstyle b<a\longrightarrow\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2>\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)$ → $\scriptstyle a+\frac{b}{2a}$ is a closer approximation	ואולם אם השארית פחות מהשרש, יהיה להפך
$\scriptstyle\sqrt{29}$	המשל: אם בקשנו שרש כ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{29}\approx5+\frac{29-25}{2\sdot5}=5+\frac{4}{10}}}$	הנה השלמים אשר יצאו בשרש הם ה' ונשארו ד‫' ואם חלקנום לכפל השרש בלי תוספת, שהוא י', יצאו ד' עשיריות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{4}{10}\right)^2-29=\frac{16}{10}\sdot\frac{1}{10}=\frac{16}{100}}}$	וריחוקו מן האמת לתוספת הוא ככפל זה היוצא בעצמו, שהוא י"ו עשיריות עשירית, ר"ל י"ו חלקים מק' שבשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{29}\approx5+\frac{29-25}{\left(2\sdot5\right)+1}=5+\frac{4}{11}}}$	ואם חלקנום בתוספת א', שהוא י"א, יצאו בחלוק ד' חלקים מי"א בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{29-\left(5+\frac{4}{11}\right)^2=\frac{4}{11}\sdot\left(1-\frac{4}{11}\right)=\frac{4}{11}\sdot\frac{7}{11}=\frac{28}{11}\sdot\frac{1}{11}=\frac{28}{121}>\frac{1}{5}}}$	ויתרחק מן האמת בכפל והיוצא בהשלמתו לאחד, שהוא ז' חלקים מי"א כאשר ביארנו והוא כ"ח חלקים מי"א מחלק אחד עשר בשלם, ר"ל כ"ח חלקים מקכ"א בשלם והוא יותר מחמישית שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{4}{10}\right)^2-29=\frac{16}{10}\sdot\frac{1}{10}=\frac{16}{100}<\frac{1}{6}}}$	ואולם הראשונים לא היו אפי' שישית אחת והקש על זה
$\scriptstyle\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-\frac{b}{2a+1}\right)^2$	והטעם כי זה יחסר רחוקו מן האמת מרביעיתו ככפל מרחקו מחצי בעצמו
$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)=\frac{1}{4}-\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{b}{2a}\right)^2+\left[2\sdot\frac{b}{2a}\sdot\left(\frac{1}{2}-\frac{b}{2a}\right)\right]\right]$	וזה יחסר רחוקו מן האמת ככפל רחוקו מחצי בעצמו וככפל זה הריחוק פעמים בזה השרש המתוסף
$\scriptstyle{\color{blue}{29-\left(5+\frac{4}{11}\right)^2=\frac{4}{11}\sdot\frac{7}{11}=\frac{1}{4}-\frac{2+\frac{1}{4}}{11^2}=\frac{1}{4}-\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\frac{1}{11}\right]^2=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-\frac{4}{11}\right)^2}}$	המשל במשלנו הקודם כי כאשר יעשה [בתוספת א', המשל שחלקנו הד' על י"א ויצאו ד'י"א, הנה] י"א הנה יתרחק מן האמת ככפל אלו הד' בז' כנזכר ויחסר מרביע ככפל חלק אחד וחצי שהוא מרחקו מחצי הי"א בעצמו שהוא מרובע מרחקו, שהוא ב' ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{4}{10}\right)^2-29=\left(\frac{4}{10}\right)^2=\frac{16}{100}=\frac{1}{4}-\frac{9}{100}=\frac{1}{4}-\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{4}{10}\right)^2+\left[2\sdot\frac{4}{10}\sdot\left(\frac{1}{2}-\frac{4}{10}\right)\right]\right]}}$	ואולם כאשר חלקנוהו מבלי תוספת, המשל על י', הנה עלה בחלוק ד' עשיריות ויתרחק מן האמת ככפלו בעצמו שהוא פחות מרביע כמרובע מרחקו מחצי, שהוא האחד, וכפל זה האחד בכפל זה השרש שעולה הכל ט‫'
	ועם היות שאין הריחוקים שוים ולא החלקים מ"מ אין הקומץ משביע את הארי ולא חששתי לדקדק יותר כי די באשר דקדקתי בזה המקום
Additional emphasis: in the repetitive procedure one should always use this approximation $\scriptstyle a+\frac{b}{2a}$ instead of the previous approximation $\scriptstyle a+\frac{b}{2a+1}$ , even if b≥a, in order to avoid confusion	ועוד שכבר אמרנו שהרוצה להכפיל המעשים, שאין לו צורך להוסיף אחד, אף אם יהיה השארית גדול מהשרש, כי בהכפל יתקרב אל האמת בכל מאויו ולא יתבלבל במעשיו בתוספת אחד, אבל לעולם יעשה בלי תוספת ואין לו לעיין כי אם לקחת מרובע השברים היוצאים בחלוק בפעם ההיא ולחלקו לכפל השרש והיוצא יחסרהו משרשו וכן לעולם כי לא ציויתי להוסיף אחד כאשר השארית כשרש, או יותר, אלא למסתפק בפעם אחת אבל הרוצה לידע להתקרב מאד ולהכפיל המעשים לא יוסיף ולא יתבלבל
Another approximation: $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{2\sdot a\sdot b}{\left(2a\right)^2+b}$	ואם תרצה להתקרב אל האמת ברגע במעט עמל, חבר הנשאר למרובע כפל השרש שבידיך וחלק עליו כפל הנשאר בכפל השרש והיוצא חברהו לשרש שבידיך ויהיה שרש קרוב מאד אל האמת
The second approximation: $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx\left[a+\frac{2\sdot a\sdot b}{\left(2a\right)^2+b}\right]+\frac{2\sdot\left[a+\frac{2\sdot a\sdot b}{\left(2a\right)^2+b}\right]\sdot\frac{b^3}{\left[\left(2a\right)^2+b\right]^2}}{\left[2\sdot\left[a+\frac{2\sdot a\sdot b}{\left(2a\right)^2+b}\right]\right]^2+\frac{b^3}{\left[\left(2a\right)^2+b\right]^2}}$	ואם תרצה להתקרב יותר אל האמת, קח מעוקב הנשאר הנזכר מהמורה כפול
$\scriptstyle\sqrt{3}$	ר"ל שאם רצינו לדעת שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3}\approx1+\frac{2\sdot1\sdot\left(3-1\right)}{\left(2\sdot1\right)^2+\left(3-1\right)}=1+\frac{2\sdot1\sdot2}{\left(2\sdot1\right)^2+2}=1+\frac{4}{6}}}$	והיה כפל השרש מחובר עם הנשאר היה הכל ששה והנשאר בתחלה היו שתים
$\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(1+\frac{4}{6}\right)^2=\frac{2^3}{\left[\left(2\sdot1\right)^2+2\right]^2}=\frac{8}{6}\sdot\frac{1}{6}}}$	תקח מעוקב השנים, שהוא שמונה, ותקרא לו שם משישית שישית, ר"ל ח' ששמה שישית, וזה יהיה הנשאר במרובע על כפל השרש האחרון
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3}\approx\left(1+\frac{4}{6}\right)+\frac{2\sdot\left(1+\frac{4}{6}\right)\sdot\left(\frac{8}{6}\sdot\frac{1}{6}\right)}{\left[2\sdot\left(1+\frac{4}{6}\right)\right]^2+\left(\frac{8}{6}\sdot\frac{1}{6}\right)}=1+\frac{112}{153}}}$	ותעשה ממנו עם זה השרש האחרון כמו שעשית לשארית הראשון עם השרש הראשון ויעלה כל השרש א' שלם וקי"ב חלקים מקנ"ג בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{112}{153}\right)^2=3-\frac{2}{153^2}}}$	שמרובעו הוא ג' שלימים חסר ב' חלקים ממרובע קנ"ג בשלם
	וראה גם ראה גם נתקרבת אל האמת, שאין ממרובע השרשך למרובע הנשאל אחד מרבבה בשלם ודי

Section Two: Fractions

החלק השני בשברים

Introduction

Before the chapters, I will open with introduction that consist of three chapters:

לפני הפרקים אקדים הקדמה אחת ובה שלשה פרקים

Chapter one on fractionalization

השער הא' בפריטה

Chapter two on multiplication [= fractions of fractions, fractions of integers]

השער הב' בהכאה

Chapter three on equalization

השער השלישי בהשואה

Chapter One on Fractionalization

‫^[13]השער הראשון בפריטה

Fractionalization = converting the integers to fractions of whichever type you wish

הפריטה היא חזרת השלימים לחלקים מהמין אשר תרצה

If you have integers and fractions - converting all to the type of these fractions

ואם יש בידיך שלמים ושברים להשיב הכל ממין השברי' ההם

If you have fractions and fractions of fractions - converting all to the lower type of them.

וכן אם יש לך שברים ושברי שברים כמו שיהיו להשיב כלם מהמין הקטן מהם

Example for integers and fractions:

\scriptstyle{\color{red}{n+\frac{a}{b}=\frac{\left(n\sdot b\right)+a}{b}}}

המשל שלימים בשברים

If you have 3 integers and 5 sevenths.

\scriptstyle3+\frac{5}{7}

אם היו בידיך ג' שלמים וה' שביעיות

The integers are converted to sevenths, which is the type of fractions that are with them, by multiplying these three integers by the denominator of the sevenths, which is 7. The result is 21. By adding the 5 sevenths to them, the total is 26 sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{5}{7}=\frac{\left(3\sdot7\right)+5}{7}=\frac{21+5}{7}=\frac{26}{7}}}

הנה השילימים ישובו שביעיות שהוא מין שברים שעמו בהכפל אלו השלשה שלימים במורה השביעיות שהוא הז' ויעלו כ"א ובחברך אליהם הה' שביעיות אשר עמהם יהיו הכל כ"ו שלימים שביעיות

All this is seen clear and its reason is explained in the examination of the [divisors] as clarified in chapter four - this is the rule and the reason.

וכל זה תראה ברור ומפורש בטעם בבחינת המתחלק למורים כמו שנתבאר בפרק הד' והוא הדין והוא הטעם

If you have fractions and fractions of fractions, multiply the fractions by the denominator of the fractions of fractions, then add to them the fractions of fractions.

\scriptstyle{\color{red}{\frac{g}{b}+\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)=\frac{\left(g\sdot d\right)+\left(a\sdot c\right)}{b}\sdot\frac{1}{d}}}

כי אם אין בידיך כי אם שברים ושברי שברים שתכפול השברים במורה השברי שברים ושבר שברים שתכפול ותחבר אליהם השברי שברים וכן לעולם

I will give one example for all this:

ואביא משל א' לכל זה

Example: if you have 3 integers, 2 quarters of a fifth and 4 eighths of quarters of a fifth, like this:

\scriptstyle3+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)

המשל אם היו לך ג' שלימים וב' רביעיות חמישית וד' שמיניות רביעית חמישית כזה

3	9	8	4	5
2		4	2

First we convert the 3 integers to fifths by multiplying them by 5, which is their denominator. This is because each integer is 5 fifths. Hence, they are 15 fifths.

\scriptstyle{\color{blue}{3=\frac{3\sdot5}{5}=\frac{15}{5}}}

נשיב ראשונה הג' שלמים לחמישיות והוא בכפלנו אותם בה' שהוא המורה עליהם וזה כי כל שלם הוא ה' חמישיות ויהיה ט"ו חמישיות

If there was a number beneath it [as the numerator of the 5] we would have add it to them, so they are also fifths.

ואם היה תחתיו מספר היינו מחברים אותו עליהם שהיו ^[14]ג"כ חמישיות

Since there is no [number beneath the 5], we further convert them to quarters of a fifth, which is the denominator of the 2, by multiplying them by 4. Because each fifth is 4 quarters of a fifth. The result is 60 quarters of a fifth. We add to them the two that is beneath [the 4], which is also of the same type, i.e. quarters of a fifth. The total is 62.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{\left(15\sdot4\right)+2}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{60+2}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{62}{4}\sdot\frac{1}{5}}}

אכן אחר אשר לא נמצא שם נשיבם עוד רביעיות חמישית [שהוא המורה הב' וזה שנכפלם בד' כי כל חמישית שלמה היא ד' רביעיות החמישית ויעלו ס' רביעיות חמישית]‫^[15] ונחבר אליהם השנים אשר תחתיו שהם ג"כ מזה המין ר"ל רביעיות חמישית ^{ויעלו ס' רביעיות חמישית} ונחבר אליהם הב' אשר תחתיו שהם ג"כ מזה המין ר"ל רביעיות חמישית יעלה הכל ס"ב

We convert them to eighths of quarters of a fifth by multiplying them by 8, the result is 496. We add to them the 4 that is beneath [the 8], which is of their type. The total is 500.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{62}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(62\sdot8\right)+4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{496+4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{500}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\\end{align}}}

נשיבם שמיניות רביעיות חמישית וזה בשנכפלם בח' יעלה תצ"ו נחבר להם הד' אשר תחתיו שהם ממינם יעלה הכל ת"ק

We convert them to ninths of eighths of quarters of a fifth by multiplying them by 9, the result is 4500. Since we do not find anything beneath [the 9] we do not add anything to them.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{500}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{500\sdot9}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{4500}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}}}

נשיבם תשיעיות שמינית רביעית חמישית וזה בשנכפלם בט' יעלו 4500 ואחרי שלא נמצא תחתיו דבר לא נחבר אליהם דבר

We convert them to thirds of ninths of eighths of quarters of a fifth by multiplying them by 3, the result is 13500. We add to them the 2 that is beneath [the 3], which is of their type. The total is 13502 and we completed the procedure.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{4500}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(4500\sdot3\right)+2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{13500+2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{13502}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\\end{align}}}

אבל נשיבם שלישיות תשיעית שמינית רביעית חמישית והוא שנכפלם בג' יעלו 13500 נחבר אליהם הב' אשר תחתיו שהוא ממינם יעלה הכל 13502 וכלינו כל מלאכתנו

If there are no integers there at all.

\scriptstyle{\color{red}{\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

ואם לא היה שם שלמים כלל

We should start from the 2 that is beneath the first denominator beneath which there is a number, even if it were the second of the denominators. We multiply them by 8, which is the next denominator. The result is 16. We add to them the 4 that is beneath [the 8]. The result is 20.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(2\sdot8\right)+4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{16+4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{20}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\\end{align}}}

היה לנו להתחיל מהב' אשר תחת המורה הראשון אשר תחתיו מספר מה ואם הוא שני לחשבון המורים והיה לנו לכפלם בח' שהוא המורה הסמוך ויעלו י"ו ולחבר להם הד' אשר תחתיו ויעלו כ‫'

Then we multiply them by 9. The result is 180. We multiply them also by 3. The result is 540. We add to them the 2 that is beneath [the 3]. The total is 542.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{20}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)&\scriptstyle=\left(\frac{20\sdot9}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(180\sdot3\right)+2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{540+2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{542}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\\end{align}}}

ונכפלם עוד בט' יהיו ק"פ נכפלם עוד בג' יעלו 540 נחבר להם הב' אשר תחתיו ויעלה הכל 542

הרי לנו הכל מפורש במעשה ובטעם איך ישוב הכל מהמין האחרון בין אם יש שלמים עם שברים בין אם אין שם שלמים והיוצא באחרונה הם מהמין האחרון ר"ל כי אלו אשר יצאו לנו במשלנו הנזכר הם שלישיות תשיעית שמינית רביעית חמישית

Chapter Two on Multiplication

השער השני בהכאה

The multiplication [= compound fractions] is when the fractions are not [fractions] of one integer, or of one fraction, but they are [fractions] of a number of integers or a number of fractions.

^ההכאה היא כאשר השברים אינם שברים ^[16]משלם אחד או משבר אחד אבל הם ממספר שלמים או ממספר שברים

As when we say: two fifths of three quarters of 5 integers, like this:

\scriptstyle\frac{2}{5}\sdot\frac{3}{4}\sdot5

ר"ל כאומרנו שתי חמישיות משלש רביעיות מה' שלמים כזה

		5
	4
5	3
2

Our saying two fifths of 3 quarters of 5 integers is as saying that we take 5 integers and divide them into 4 equal parts. We take 3 of them, which are 3 quarters of the 5 integers, and divide these three parts further into 5 equal parts. Then we take 2 of them, which are 2 fifths of 3 quarters of 5 integers.

והנה אומרנו שני חמישיו' מג' רביעיות מה' שלמים הוא כאומרנו שלקחנו ה' שלמים ועשינו מהם ד' חלקי' שוים ולקחנו הג' מהם שזהו ג' רביעיות מה' שלמים וחלקנו עוד אלו הג' חלקים לה' חלקים שוים ולקחנו הב' מהם שזהו פי' ב' חמשיות מג' רביעיות מה' שלמים

The fractions here are of one type only, therefore, there is no need for fractionalization at all.

\scriptstyle{\color{red}{\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b}\sdot\frac{1}{d}}}

\scriptstyle{\color{red}{\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\sdot n=\frac{a\sdot c\sdot n}{b}\sdot\frac{1}{d}}}

ואין כאן שברים כי אם ממין אחד ואינך צריך לעשות פריטה כלל

Yet, there is a need for multiplication.

אבל אתה צריך לעשות הכאה

For, our saying: 2 fifths of 3 quarters is as our saying: 2 fifths of a quarter, plus 2 fifths of a quarter, plus 2 fifths of a quarter. Therefore, we multiply 2 by 3, which is the number of the quarters. The result is 6. Hence, we know that the 2 fifths of 3 quarters are 6 fifths of a quarter and this clear by the operation and by reason.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{5}\sdot\frac{3}{4}&\scriptstyle=\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{2\sdot3}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{6}{5}\sdot\frac{1}{4}\\\end{align}}}

והוא כי אומרנו ב' חמישיות מג' רביעיות הרי הוא כאומרנו ב' חמישיות רביעית וב' חמישיות רביעית וב' חמישיות רביעית ולזה נכה הב' בג' ^שהוא מספר הרביעיות יעלו ו' הנה ידענו שהב' חמישיות מג' רביעיות הם ו' חמישיות רביעיות והוא ברור במעשה ובטעם

Since we say "of 5 integers" it is as if we have 6 fifths of a quarter of one five times. Therefore, we multiply 6, which is the number of the fractions that we have, by 5, which is the number of the integers, as the number of the duplications of what we have. The result is 30. Hence, 2 fifths of 3 quarters of 5 integers are 30 fifths of a quarter.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{5}\sdot\frac{3}{4}\sdot5&\scriptstyle=\frac{6}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot5\\&\scriptstyle=\frac{6\sdot5}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{30}{5}\sdot\frac{1}{4}\\\end{align}}}

ולפי שאמרנו מה' שלמים הוא כאלו יש לנו בידינו ו' חמישיות רביעית משלם וכן עד ה' פעמים לכן נכה הו' שהוא מספר השברים אשר בידינו בה' שהוא מספר השלמים שהוא כמספר הפעמים אשר ישנך בידינו ויעלו ל' הרי לנו שה^ב' חמישיו' מג' רביעיות מה' שלמים הם ל' חמישיות רביעית והקש על זה

Sometimes the fractions and fractions of fractions are of a number of fractions or integers and for this you should apply both operations i.e. the fractionalization and multiplication.

ולפעמים יהיה כמספר שברים ושברי שברים משבר אחת גם ממספר שברים או שלמים ולזה תצטרך לעשות שני ~~דברים~~ ^המעשים ר"ל הפריטה והכאה

Example: two quarters and 3 fifths of a quarter of 3 sevenths of an eighth and 4 fifths of sevenths of an eighth of 3 ninths of a tenth of 4 integers.

\scriptstyle\left[\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left(\frac{3}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\sdot4

המשל שני רביעיות וג' חמישיות רביעית מג' שביעיות שמינית וד' חמישיות שביעית שמינית מג' ^[17]תשיעיות עשירית מד' שלמים

Set the following diagram:

תעשה הצורה כזה

							4
					9	10
		5	7	8	3
5	4	4	3
3

First apply the fractionalization on each of them:

ועשה הפריטה לכל אחד מהם תחלה

Fractionalizing the 3 sevenths of an eighth that are related [to the four fifths of sevenths of an eighth] by multiplying them by each other, that is by multiplying the 3 that is the number of the [sevenths] by 5, which is the next denominator. The result is 15. We add to them the 4 that is beneath [the 5], which is of the same type. The total is 19.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(3\sdot5\right)+4}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\\&\scriptstyle=\frac{15+4}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\\&\scriptstyle=\frac{19}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\\\end{align}}}

ונעשה פריטה לג' שביעיות שמינית שהן נקשרות בשנכפול זו בזו וזה בשנכפול הג' שהם מספ' השברים בה' שהוא המורה הסמוך ויעלו ט"ו ונחבר להם הד' אשר תחתיו שהם ממין זה יהיו כלם י"ט

Fractionalizing 2 quarters and 3 fifths of a quarter that are also related, by multiplying 2 by 5. The result is 10. We add to them the 3 that is beneath [the 5]. The result is 13.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(2\sdot5\right)+3}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{10+3}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{13}{5}\sdot\frac{1}{4}\\\end{align}}}

עוד נעשה פריטה לב' רביעיות וג' ~~נחשת~~ חמשיות רביעית שהם ג"כ נקשרות וזה שנכפול הב' בה' ויעלו י' ונחבר להם הג' אשר תחתיו ויעלו י"ג

Thus, our first question is as if saying: we have 13 fifths of a quarter of 19 fifths of sevenths of an eighth of 3 ninths of a tenth of 4 integers. As follows:

הנה שאלתנו הראשונה הוא כאלו אמרו שיש בידינו י"ג חמישיות רביעית מי"ט חמישיות שביעית שמינית מג' תשיעיות עשירית הד' שלמים כזה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left(\frac{3}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\sdot4\\&\scriptstyle=\left(\frac{13}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left(\frac{19}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left(\frac{3}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\sdot4\\\end{align}}}

							4
					9	10
		5	7	8	3
5	4	19
13

Hence, the explanation of our question is if we were told:

We took 4 integers and divided them, i.e. the four of them together, into ten equal parts.

והנה ביאור שאלתנו הוא כאלו אמרנו לנו לשלקחנו ד' שלמים ועשינו מהם ר"ל מארבעתם ביחד עשרה חלקים שווים

We took one part of them and divided it into 9 parts.

ולקחנו [חלק אחד מהם ועשינו אותו ט' חלקים

We took 3 parts of these 9 latter together and divided them into 8 equal parts.

ולקחנו]^[18] ג' חלקים מאלו הט' האחרונים ביחד ועשינו ח' חלקים שוים

We took one part of them, divided it into 7 equal parts, then divided each part of them into 5.

ולקחנו חלק אחד מהם ועשינו אותו ז' חלקים וחלקנו כל חלק מהם לה‫'

We took 19 parts of the type of the latter, divided them into 4 equal parts, then divided each part of them into 5.

ולקחנו י"ט חלקים ממין אלו האחרונים ביחד ועשינו אותם ד' חלקים שוים וחלקנו כל חלק מהם לה' חלקים

So we have 13 of the type of these latter parts and we wish to know which are they.

ויש לנו ממין אלו החלקים האחרונים י"ג ונרצה לידע מה המה אלה

We should understand, since it is said "of 19 fifths" etc. and it is said "of 3 ninths" etc. and it said "of 4 integers", that from this we know that they are not of one fraction nor of one integer, but of a number of integers and fractions.

והננו צריכים להבנה לפי שאמרו מי"ט חמישיות וכו' גם לאומרם מג' תשיעיות וכו' גם לאומרם מד' שלמים כי בזה ידענו שאינם משבר אחד אף לא משלם אחד כי מספר שלמים וממספר שברים

לכן נכה מספר השברים אשר בידינו במספר השברים אשר הזכירו גם במספר השלמים זה אחר זה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{13}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left(\frac{19}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{13\sdot19}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\\&\scriptstyle=\frac{247}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\\\end{align}}}

וזה כי אומרנו י"ג חמישיות רביעיות י"ט חמישיות וכו' הוא כאומרנו י"ט פעמי' י"ג חמישיות [רביעית חמישית] וכו' לכן נכפול הי"ג בי"ט ויעלו 247 חמישיות רביעיות חמישית וכו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{247}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left(\frac{3}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)&\scriptstyle=\frac{247\sdot3}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=\frac{741}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\\end{align}}}

גם כאשר אמרו לנו מג' תשיעיות הוא כאלו אמרו לנו ג' פעמים כל אשר בידינו [ולזה נכפול כל אשר בידינו] שהוא 247 בג' ויעלה 741 והם חמישיות רביעיות חמישיות שביעיות שמיניות תשיעיות עשירית וכו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{741}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\sdot4&\scriptstyle=\frac{741\sdot4}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=\frac{2964}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\\end{align}}}

ולפי שאמרו לנו מד' שלמים הוא כאלו אמרו לנו ד' פעמים כל אשר בידינו לכן כל אשר בידינו שהוא 741 בארבעה ויעלה 2964 חמישיות רביעית חמישית שביעית שמינית תשיעית עשירית

Note: the number on top of a certain number is its denominator

וזכור לעולם כי המספר אשר תמצא על ראשו מספר אחר שהתחתון איננו מורה כי העליון

The order of the denominators is unimportant

ואם בקשנו לידע כלם אלו החלקים הנפרטו' כמה שלמים או כמה שברים או שברי שברים מאלו הם כבר ידעת שיש כאן שבעה מורים ותושיבם כרצונך או כסדרם עתה או בהשגחה כדי שיצאו החלקים יותר נאותים כי הסדר לא יזיק לעולם כי אם התוספת בהם או המגרעת כאשר ביארנו בפרק הד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left(\frac{3}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot4\right)\\&\scriptstyle=\frac{2964}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=\frac{2964}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=\frac{741}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=\left(\frac{148}{4}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{37}{7}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{5}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}

ונחלק עליהם 2964 שהוא מספר אשר בידינו נפרטות וקראנו לזה כלילת יופי

ואחר שיש לחשבון רביעית נשימהו לאחרון כדי שיתבטל ונחלקם על ד' ויצא בחילוק 741 ולא ישאר דבר
וזה היוצא בחלוק אין לו אחד מהמורים הנשארים לכן נשים אשר נספק לפני האחרון אשר שמנו ויהיה ה' ונחלקם על הה' ויצא בחלוק 148 וישאר א' ונשימנו תחתיו
ואחר שיש לו החשבון רביעית נתיך המורה השמינית שהוא הח' ונעשה ממנו ב'ד' ונשימם במקומו כך הוא הוראת חצי רביעית או רביעית חצי [כמו] או שמינית ועוד נבאר זה בסוף הספר ואחר התיכנו אותו ר"ל שנסירהו ונשים במקומו ב'ד' נשים הד' לפני המורי' המושמים ונחלק לו אשר בידינו ויצא בחלוק ל"ז חלקים
ונחלקם לאשר נחפוץ ויהיה על הז' ויצא בחילוק ה' וישארו ב' ונשימם תחתיו
ונחלק הה' שיצאו בחלוק למורה הה' הא' ויצא א' בחלוק ולא ישאר דבר
ואחר שאשר יצא בחלוק הוא פחות מהקטן שבכל המורים הנזכרים אין לנו לחלק עוד אבל נשימם על הסדר לפני המושמים בכל השגחה ונשים זה האחד אשר יצא בחילוק באחרונה תחת המורה הסמוך למושמים עד הנה והנה יצא לנו מבוקשינו והוא שהנשאל לנו תחלה עולה חצי תשיעית עשירית ושתי שביעיות חמישית חצי תשיעית עשירית וחמישית רביעית שביעית וכו‫'

5	4	7	5	2	9
1		2		1

The number of denominators in the above example has increased from 7 to 8 - due to the factorization of the eighths to halves of quarters

ואל תתמה שלא היו לך כי אם ז' מורים ועתה הם ח' כי זה היה להתכת המורה השמינית והוא הח' שהסרנו אותו מהם ושמנו במקומו שני מורים והם ב'ד' והקש על זה כי הכל ברור המעשה והטעם

Common Denominator

השער השלישי בהשואה

Equalizing fractions of various types that are not related to each other, i.e. not fractions of each other

ההשואה היא כאשר יהיו לך שברים ממינים שונים, בלתי נקשרים זה בזה כלל, ר"ל שאין אלו שברי שברים אלו

$\scriptstyle\left[2+\frac{3}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\quad\frac{4}{5}\quad\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]$

המשל אם היו בידיך שני שלמים ועוד וג' שמינית וב' רביעיות שמינית ועוד ד' חמישיות ועוד ו' שביעיות וג' שמיניות שביעית כזה ותרצה להשיבם כלם ממין אחד

8	7	5	4	8	2
3	6	4	2	3	2

First we convert the 2 integers plus the 3 eighths and the 2 quarters of an eighth, then the 4 fifths and then the 6 sevenths

ונעשה תחלה פריטה לב' שלמים וג' שמיניות וב' רביעיות שמינית ועוד ד' חמישיות ועוד ו' שביעיות אחרי היותם נקשרים גם לו' שביעיות וג' שמיניות שביעית כי גם הם נקשרים וצריכים פריטה

We start by saying: 2 units how many eighths are they? this is known by multiplying them by 8, they are 16, we add to them the 3 that is beneath [the 8] and the total is 19.

\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{3}{8}=\frac{\left(2\sdot8\right)+3}{8}=\frac{16+3}{8}=\frac{19}{8}}}

ונתחיל לומר ב' אחדים כמה שמיניות הם וזה יודע בהכפלם בח' יהיו י"ו ונחבר להם הג' אשר תחתיו יהיו כלם י"ט

We convert them further to quarters of an eighth by multiplying them by 4, the result is 76, then add to them the 2 that is beneath [the 4], the resilt is 78 quarters of an eighth.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{19}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)=\frac{\left(19\sdot4\right)+2}{4}\sdot\frac{1}{8}=\frac{76+2}{4}\sdot\frac{1}{8}=\frac{78}{4}\sdot\frac{1}{8}}}

עוד נשיבם רביעיות שמיני' וזה יהיה בהכפלם כלם בד' יעלו ע"ו ונחבר להם הב' אשר תחתיו יעלו ע"ח רביעיות שמינית

We also convert the 6 sevenths plus 3 eighths of a seventh by saying: 6 sevenths how many eighths of a seventh are they? this is known by multiplying them by 8, they are 48, we add to them the 3 that is beneath [the 8] and the result is 51 eighths of a seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{\left(6\sdot8\right)+3}{8}\sdot\frac{1}{7}=\frac{48+3}{8}\sdot\frac{1}{7}=\frac{51}{8}\sdot\frac{1}{7}}}

עוד נפרוט הו' שביעיות וג' שמיניות שביעית ונאמרו ו' שביעיות שלמות כמה שלמות שמיניות שביעית הם וזה יודע בהכפלם בח' ויעלו מ"ח ונחבר להם הג' אשר תחתיו ועלו נ"א שמיניות שביעית

והרי הוא כאלו שאלו לנו להשיב למין אחד עין ע"ח רביעיות שמינית וד' חמישיות ונ"א שמיניות שביעית שביעי כזה‫:

8	7	5	4	8
51		4	78

ואחרי היות בידינו מורים משונים ושברים משונים, ראוי לנו לבאר איך נשיבם כלם ממין אחד מבלתי שינוי ביניהם, ר"ל שיהיו כלם שברים ממורים אחדים

The order of the denominators is unimportant

\scriptstyle\frac{1}{a}\sdot\frac{1}{b}=\frac{1}{b}\sdot\frac{1}{a}

וקודם זה אציע שסדור המורים אינו מעלה ומוריד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}=\frac{1}{56}=\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}}}

כי כך הוא שביעית שמינית עד"מ כמו שמינית שביעית, כי כל אחד מהם הוא חלקנו מנ"ו בשלם, שהוא המספר אשר הוא מורכב מאלו המורים וזה ברור

$\scriptstyle\frac{3}{7}\quad\frac{4}{8}$

לכן כאשר היה לנו ע'ד'מ' ג' שביעיות וד' שמינית

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{8}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot8}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot7}{7}\sdot\frac{1}{8}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{24}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28}{7}\sdot\frac{1}{8}}}$

נשיבם כלם שביעיות שמינית, שהוא שמיניות שביעית

וזה יעשה בכפול הג' שברי השביעיות בח' ויהיו כ"ד שמיניות שביעיות
וזה ברור, כי כל שביעיות הוא ח' שמיניות שביעית, כמו שכל שלם הוא שמונה שמיניות השלם
וכן נעשה לד' שמיניות, שנשיבם לשביעיות שמינית והוא בכפול הד', שהוא מספר השברים, בז', שהוא מורה השביעיות ויעלו כ"ח
והם כ"ח שביעיות שמינית והאחרות עלו כ"ד שמיניות שביעית, הנה כלם ממין אחד כמו שהזכרנו שאין חלוף בין אומרנו שביעית שמינית לאומרנו שמינית שביעית

\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{a\sdot d}{b}\sdot\frac{1}{d}=\frac{a\sdot d}{d}\sdot\frac{1}{b}

$\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{a\sdot d}{d}\sdot\frac{1}{b}=\frac{a\sdot d}{b}\sdot\frac{1}{d}$

ואחר שהצענו הצעה זו, נשוב למעשינו הראשון והוא לכפול כל מספר שברים אשר בידינו במורי חברותיה, זה אחר זה, וכן לכלם ואז תהיה כל אחד שברים מכל המורים והנח הם שוים, כי סדור המורים בקדימה ואיחור לא יזיק

$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left[2+\frac{3}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{4}{5}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{78}{4}\sdot\frac{1}{8}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{4}{5}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{51}{7}\sdot\frac{1}{8}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{78\sdot5}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{4\sdot8}{8}\sdot\frac{1}{5}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{51\sdot5}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{390\sdot7}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{32\sdot4}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{255\sdot4}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2730\sdot8}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{128\sdot7}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{1020\sdot8}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{21840}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{896\sdot8}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{8160}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{21840}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{7168}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{8160}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$

ונתחיל במעשינו ונאמר 78 רביעיות שמינית, כאשר נכפלם בה', שהוא מורה החמישיות, יעלו 390 חמישיות רביעית שמינית

עוד נכפול זה המחובר בז', שהוא מורה השביעית ויעלו 2730 שביעיות חמישיות רביעית שמינית
עוד נכפול כל זה בח', שהוא המורה השמיניות ויעלו 21840 שמיניות שביעיות חמישיות רביעיות שמיניות וזהו העולה מה78 רביעיות שמיניות
עוד נכפול הד', שהוא ד' חמישיות, בכל מורי חברותיה זה אחר זה ונאמר ד בח' הם [ל"ב] שמיניות חמשית
עוד נכפלם בד', יהיו 128 רביעיות שמיניות חמישית
ונכפלם בז', יהיה 896 שביעיות רביעית שמינית חמישית
עוד נכפלם בח' 8, יעלו 7168 שמיניות שביעית רביעית שמינית חמישית
עוד נכפול הנ"א, שהם נ"א שמיניות שביעית, בה', יעלו 255 חמישיות שמיניות שביעית
נכפלם בד', יעלו 1020 רביעית חמישיות שמיניות שביעית
עוד נכפלם בח', יעלו 8160 שמיניות רביעיות חמישית שמינית שביעית
הרי כלם ממין אחד, כי המורים שוים, כי הסדר אינו מעלה ומוריד כאשר ביארנו

Summing the numerators is done as part of the fractionalization, in which all fractions are converted to the lowest fraction, but not as part of the equalization

והשמר לך מאד פן תטעה בעשותך השואה זו, לחבר לעולה מכפל השברים במורים מה שנמצא תחת המורי', כי זה לא יעשה כי אם בפריטה לבד, שאנו רוצים לחבר כל השברים הנזכרים הנקשרים ולפרטם למין הפרוטות

Example: converting different kinds of coins (peraḥim, zehuvim, peruṭot) to the currency of the lowest value (peruṭot)

המשל במי שיש לו פרחים וזהובים ופרוטות, שרוצה להשיב הפרוטות שיש לו, או להשיב הפרחים זהובים, ר"ל לראות כמה זהובים יעלו ולחבר לעולה הזהובים אשר היו בידו ואחר כך להשי' כל הזהובים פרוטות ולחבר עמהם הפרוטות אשר בידו ויהיה אז הכל מחובר ונפרט

אבל ההשואה אין בה חבור כלל, כי אם לעשות כל שברים מהם ממין האחדים, לכן לא יחברם כלל וזה מבואר בטעם

ולזה שמתי להם שמות שונים, מורי' על הענין ברמז‫:

Hašavah (equalization) = converting fractions that are related together into one type of fractions by multiplying each of these fractions by the denominators of the others. The intention is not to sum the fractions together, but only to equalize their denominators

כי להחזרת השברים הבלתי נקשרות למין אחד, בהכאת כל אחד מהם במורי חברותיה, קראתי השואה, שאין כונתינו חבור כלל, כי אם ההשואה לבד

Periṭah (fractionalization) = converting fractions that are related together into the lowest type of fractions

ולהשבת השברים הנקשרים כלם יחד למין השברים הגרועים מהם קראתי פריטה

Two reasons for the use of the term periṭah:

לשתי כוונות‫:

1) the root is used for converting different kinds of coins to the currency of the lowest value (peruṭot) and for converting the general to particular (peraṭim)

האחת שהוא כפורט ועושה מהפרחים וזהובים ופרוטות פרוטות וכמשיב הכללים לפרטים

2) reminding of the details (peraṭ) that should be considered in the procedure - i.e. the numerators that are written beneath the denominators

והכונה השנית היא כי בשם זה יזכר שיש לו לקחת עמו הפרט והעוללות אשר ימצא תחת המורים

When multiplication and fractionalization are needed - the fractionalization should be applied first, and then the multiplication

ובכל מספר שצריך הכאה עם הפריטה, יעשה קודם הפריטה לבעלי ההכאה ואחר ההכאה

לכן בכל מקום אשר נזכיר ונצוה לעשות פריטה רצוננו ואחריה ההכאה, אם הוצרך איליה, או אשר מהם יצטרך, שאם יהיה לך מספר מורכב מהשברים הצריכים הכאה ועם הצריכים פריטה

$\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]$

המשל: ג' רביעיות מב' חמישיות וג' רביעיות חמישיות מד' ששיות ושלישית ששית, תשימם על הסדר כזה‫:

			3	6
	4	5	1	4
4	3	2
3

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{3}{4}\sdot\left[\frac{\left(2\sdot4\right)+3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right]\sdot\left[\frac{\left(4\sdot3\right)+1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right]\\&\scriptstyle=\frac{3}{4}\sdot\left(\frac{11}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left(\frac{13}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align}}}

ותעשה פריטה לד' שביעיות ושלישית שישית והוא שתכפול הד' בג' ותחבר להם האחד אשר תחתיו ויעלו י"ג שלישיות ששית

וכן תעשה לב' חמישיות וג' רביעיות חמישית ויעלו י"א רביעיות חמישית
וישוב מספרך כאלו אמרו ג' רביעיות מי"ח רביעיות חמישית מי"ג שלישיות שישית כזה‫:

			3	6
	4	5	13
4	11
3

The numerators are multiplied after the fractionalization

ואחר עשותך פריטה זו כנזכר, תעשה ההכאה והוא לתת סבות להכות הג', שהם השברים האחרונים במספר השברים, לא במורים השברים וגם לזה ירשמו בשם ההכאה, כי בהכאה יבא השבר והשבר הוא תחת המורה, כמו שהנשבר הוא שפל ובזוי עם

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{3}{4}\sdot\left(\frac{11}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left(\frac{13}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle=\frac{3\sdot11\sdot13}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\\&\scriptstyle=\frac{33\sdot13}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\\&\scriptstyle=\frac{429}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\\\end{align}}}

ותתחיל להכות ולומר שלשה בי"א הם ל"ג ול"ג בי"ג הם 429, הרי עלו כל השברים הנשאלים 429 רביעית חמישית שלישית שישית, כזה‫:

4	4	5	3	6
429

Then the product is divided by the denominators

ותחלק אלו ה429 למורים אלו, ר"ל לד' והיוצא לד' האחר והיוצא לה' וכן לכלם עד כלותם

The remainder of division by a certain denominator is written beneath that denominator

וכאשר ישאר דבר בשום חלוקה מהן, תשימהו תחת המורה ההוא

The most beautiful arrangement: dividing firstly by the denominator the division by which generates the smallest remainder, preferably dividing first by the divisors of the product if there are any among the denominators and placing these denominators at the end [to the right] starting from the largest to the smallest

וככלות החשבון קודם כלות המורים ויצא לך בחלוק על אחד מהן פחות מהמורה אשר לפניו, תשים אותו היוצא תחת המורה הזה אשר לפני. ואז תדע כמה שישיות, או כמה שלישיות שישיות הן. וזה נקרא כלילת יופי כמו שנזכר למעלה, לפי שהוא לעשות מהפרטים כללים, יען יהיו השברים יותר גדולים ויותר יפים

והיופי האמיתי כשתעיין בתחלה המספר המתחלק, אם יש לו שום אחד מהמורים ההם ואותו תשים אחרון וכן בשנית ביוצא וכן בשלישית וכן לעולם

For equalization purpose only, there is no need to divide by the denominators

ולא תעשה זה כי אם כאשר ישאלו לך כמה עולים חלקים אלו הנשארות, אכן אם עשית זה לצורך ההשואה, או לצורך אחד מהשערים הבאים, לא תחלקהו על המורים כלל, כי לא כתבתיו כאן, כי אם ללמדך על המעשה ואם אין זה מקומו ונזכר כבר במקומות אחרים

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{429}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}=\left(\frac{107}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$

ובעשותך זה בדמיוננו זה ר"ל שתחלק ה429 על הד' שהוא המורה האחרון, יצא בחילוק 107 וישאר א' ותשימהו תחתיו

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{107}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}=\left(\frac{26}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$

‫[ותחלק זה היוצא לד' הקודם לו יצא בחלוק כ"ו וישארו ג' תשימם תחתיו

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{26}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}=\left(\frac{5}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$

ותחלק זה היוצא לה' ויצא בחלוק ה' וישאר א' ותשימהו תחתיו

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}\sdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$

ותחלק]‫ ותחלק ה' אלו על הג' ויצא א' וישארו ב' ותשימם תחתיו

וזה הא' אם היה גדול מהו' מדות שהוא המורה אשר לפני אלו הסמוך להם היה לנו לחלקם עליו והיוצא בחלוק היה שלימים

אחר שהוא ראשון וכבר כלו המורים והנשאר הינו שמים אותו תחתיו והיה שישיות שלמות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=\frac{1}{6}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)}}

	אכן לפי שהוא פחות ממנו נשימם תחתיו מיד ויצא לנו מזה שהשברים הנשארים עלו ששית א' שלמה וב' שלישיות ששית וחמישית שלישית שישית וג' רביעיות חמישית שלישית שישית ורביעית רביעית חמישית שלישית שישית
	ועל דרך היופי ר"ל לשים המורים בסדר בהשגחה יצאו החלקים כפי הצורה השנית והכל עולה לסך אחד
If one of the denominators appears the same number of times in all numbers to be equalized, there is no need to multiply any of the numbers by this denominator $\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{1}{n}\quad\frac{c}{d}\sdot\frac{1}{n}$	וכדי להקל מעליך כאשר תעשה ההשואה אם תמצא לכל אחד מהמספרים שום מורה שוה לכלם פעמים שוות ר"ל ע'ד'מ' שהח' בכל אחת מהם פעם אחת או פעמי' שלש לא תכפול שום המספרים ההם במור[ר]ה ההוא כלל ובהשימך כל המורים לא תשימה כי אם כפעמים שישנו באחד מהמספרי‫'
If one of the denominators appears different number of times in all numbers to be equalized, each number should be multiplied by this denominator as the number of times its maximal appearance in one of these numbers exceeds its appearance in the present number $\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{1}{n}=\frac{a}{b}\sdot\frac{1}{n}\sdot\frac{n}{n}\sdot\frac{n}{n}\quad\frac{c}{d}\sdot\frac{1}{n}\sdot\frac{1}{n}\sdot\frac{1}{n}$	ואם הוא בכלם, אבל אינו בהם פעמים שוות, אבל בזה פעם אחת ובזה שנים, או שלשה ע'ד'מ', אשר ישנו שם פעמים, לא תכפלנו במורה זה [כלל וכל אחד משאר המספרים תכפלנו במורה זה] כ"כ פעמים, כפעמים שהוא יותר כמספר הרב הפעמים שבמספר הזה הנכפל בו עתה
	ובהשימך המורה לא תשימנו כי אם כפעמים אשר הוא באשר הוא יותר פעמים
If one of the denominators appears in a few of the numbers to be equalized but not in all of them, each number should be multiplied by this denominator as the number of times its maximal appearance in one of these numbers exceeds its appearance in the present number $\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\sdot\frac{n}{n}\sdot\frac{n}{n}\quad\frac{c}{d}\sdot\frac{1}{n}\sdot\frac{1}{n}$	ואם אינו בכלן כי אם בשנים, או בג' מהם, המספרי' אשר אינו בהם כלל תכפול כל אחד מהם במורה זה, כמספר הפעמים אשר הוא באשר הוא יותר פעמים והמספר אשר הוא בו יותר פעמים לא תכפלנו כלל והמספרים אשר ישנו בהם תכפול כל אחד בו כמספר הפעמים העודפים באשר הוא היותר פעמים מבזה הנכפל
	ואם הוא בהם פעמים שוות, לא תכפול בו שום אחד מהמספרים אשר הוא בו ובהשימך המורים לא תשימנו כי אם כפעמים אשר הוא באשר הוא יותר רב פעמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{78}{4}\sdot\frac{1}{8}\quad\frac{51}{7}\sdot\frac{1}{8}}}$	ויצא מזה כי במשל ההשואה שעשינו בתחלת שער זה לא היה לנו לכפול הע"ח רביעיות שמינית בח' כלל, גם לא השמיניות שביעית, להיותו בשניהם בשוה גם לא היה לנו לשום הח' כי אם פעם אחת, כאשר הוא באחד מהאחרים ובמורים לא היה לנו לשום הח' כי אם פעם אחת, כפעמים אשר ישנו באחד מהם וכל זה אינו מזיק אם לא יעשה, אבל כי תכבד העבודה

Chapter One: Addition

הפרק האחד ~~עשר~~ בחבור

Summing fractions with integers or fractions with fractions

בחיבור ובו מאמ' האמרה והאחדות

כאשר תרצה לחבר שברים עם שלמים ושברים, [או] עם שברים ממין אחר

The procedure: the numbers are converted to the lowest type of fraction, then their numerators are multiplied, and they are equalized; at the end the numerators are summed and the result is divided by the denominators

בתחלה תפרוט כל אחד מהמספרים לבדו אשר יצטרך פריטה, גם תכה הצריך להכאה, ואחר שתפרוט וכל אחד מהם הצריך להם, או לאחד מהם, ר"ל לפריטה או להכאה, תשוה המספרים אחד אל אחד, עד שיהיו כלם ממין אחד והעולה בכל אחד מהם חבר הכל יחד, ר"ל מספר השברים וחלקנו על כל המורים אשר לכל אחד השברים

$\scriptstyle\left[2+\frac{3}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{4}{5}+\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]$

כי ע'ד'מ' אם במשלנו אשר עשינו בהשואה בתחלת השער הג' שאלו לך שתחברם ותאמ' כמה הם

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[2+\frac{3}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{4}{5}+\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{21840}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{7168}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{8160}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=\frac{37168}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\\end{align}}}

היה לך לעשות כל אשר עשינו הפריטה לכל אחד וההשואה לכלם, עד שיגיעו לאשר הגיעו

והוא שהשנים השלמים וג' שמיניות וב' רביעיות שמינית עלו ל21840 [שמיניות שביעית חמשית רביעית שמינית
והד' חמשיות עלו ל8160] מכל המורים
ואחר עשותך כל זה, היה לך לחבר יחד כל מספרי השברים, ר"ל ה21840 עם ה7168 ועם ה8160 ויעלו 37168 והם מהה' מורים הנזכרים, ר"ל ה8 וה4 והה' והז' והח', שהם כל מורי המספרים הראשונים

The order of the denominators in the sum is unimportant

ותשימם על הסדר כאשר תרצה, או בהשגחה כאשר הזכרנו בפרק הרביעי, כדי שיצאו החלקים יותר נאותים ושם תמצאנו מבואר באר הטב

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[2+\frac{3}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{4}{5}+\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{37168}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle=\frac{4646}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\\&\scriptstyle=\left(\frac{663}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle={\color{red}{\left(\frac{165}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)}}\\&\scriptstyle=\frac{33}{8}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=4+\frac{1}{8}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}

ולהיות לזה החשבון 37168 המתחלק שמינית, שהוא אחד מהמורים, נשימנו אחרון, ר"ל הראשון

ונחלק חשבונננו זה עליו, ר"ל 7 ויצא בחילוק 663 [נ' 3] וישארו ה' ונשימם תחתיו
ונחלקם על הד' ויצא בחילוק ל"ג ולא ישאר דבר
ונחלקם אלו הל"ג היוצאים בחילוק על הח' שהוא המורה הנשאר ויצא בחלוק ד' ד' והם שלמים לפי שכבר כלו כל המורים ונשימם מחוץ וישאר א' והוא שמינית שלימה ונשימה תחת כזה‫:

4	7	4	5	8
	5	3		1

הנה עלה בידינו שכאשר חברנו השנים שלמים וג' שמיניות וב' רביעיות שמינית עם ד' חמישיות ועם ו שביעיות וג' שמיניות שביעית, שעלה הכל ד' שלמים ושמינית אחת וג' רביעיות חמישית שמינית וה' שביעיות רביעית חמישית שמינית והקש על זה

והה' והוא הטעם אם אמרו לך מספרים רבים והיו בהם שצריכין ג"כ הכאה קודם השיווי, שתעשה להם ג"כ ההכאה קודם השיווי ואחר כך ההשוואה וא'ח'כ' החבור כנזכר

If its is asked how many of a certain type of fractions is the sum

If the certain type of fractions is one of the given denominators of the sum - then this denominator is placed first among the denominators of the sum

ואולם אם לא שאלו לך בסתם כמה הם

Example: how many fifths is the above sum?

אבל אמרו לך ע'ד'מ' כמה חמישיות הם, אחר שזה הה' הוא במורים, אינך צריך לעשות פועל חדש, כי אם שתשים הה' הראשון מהמורים כזה‫:

4	7	4	8	5
	5	3	25

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[2+\frac{3}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{4}{5}+\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=4+\frac{1}{8}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=4+\left(\frac{25}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}

ויעלה בידך ד' שלמים כ"ה שמיניות חמישית חמישית וג' רביעיות שמינית חמישית וה' שביעיות רביעית שמינית חמישית והכל אחד ודי למבין

If the certain type of fractions is not one of the given denominators of the sum

אכן אם אמרו לך להחזירם ממין אחר שאינו במורי‫'

Example: how many ninths is the above sum?

המשל שאמרו לך כמה תשיעיות הן

Conversion: after fractionalizing, multiplying, and equalizing - multiplying the result by the denominator of the specific fraction required (9 in the above example) - then dividing by the denominators of the given fractions

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[2+\frac{3}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{4}{5}+\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{37168}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle=\frac{37168\sdot9}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{334512}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{41814}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\left(\frac{10453}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle={\color{red}{\left(\frac{2090}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)}}\\&\scriptstyle=\left(\frac{298}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\frac{37}{9}+\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=4+\frac{1}{9}+\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}

זה יקרא מאמר ההמרה והוא שאחרי עשותך הפריטה וההכאה וההשואה, קודם שתחלקם למורים הנזכרים, תכפול כל חשבון השברים, ר"ל ה37168, בזה המורה אשר רצו להחליפם אליו, ר"ל הט', שהוא המורה התשיעית ויעלו 334512 ונשים הט' למורה ראשון וכל המורים האחרי' אחריו, אם כאשר יזדמן, אם בהשגחה

ובחלקנו ראשונה לח' ויצא בחילוק 41814 ולא ישאר דבר
ונחלק זה היוצא לד' ויצא בחילוק 10453 וישארו ב' ונשימם תחתיו
ונחלקנו לז' ויצא בחילוק 298 וישארו ד' ונשימם תחתיו
ונחלק זה היוצא על הח' ויצא בחילוק ל"ז וישארו ב' ונשימם תחתיו
ונחלק זה היוצא על הט' ויצא בחילוק ד' והם שלמים וישאר א' ונשימהו תחתיו והנה המרנו החלקים, ר"ל השברים, לתשיעית וחלקי תשיעית

The rule of conversion

כלל זה מאמר זה הוא שכאשר ישאלו לך על חלקי' ידועים שונים ובלתי שונים, שתמירם למין אחר, בין אם יאמרו לך לשבר, או לשבר שבר

Example: converting to $\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}$

כמו שיאמרו לך השיבם לחמישיות שביעית שמינית, או הדומה לזה

Fractionalizing, multiplying, and equalizing the given fractions, then summing the resulted fractions and multiplying the sum by the denominator of the fraction into which the sum should be converted

יש לך לעשות תחלה פריטה והכאה והשואה לשברים, אם היו שונים, ושוב תחברם יחד ושוב תכפלם כלם ביחד על המורה, או המורים אשר רוצים שתמירם אליהם

Example: converting to $\scriptstyle\frac{1}{5}$ → multiplying by 5

ר"ל שאם אמרו לך שתמירם לחמישיות, תכפלם בה' לבד

Example: converting to $\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}$ → multiplying by 8, 7, and 5

ואם אמרו לך לחמישיות שביעית שמינית, תכפלם בח' והעולה בז' והעולה בה‫'

The denominators of the fractions into which the sum should be converted are written first in the final result, then the denominators of the given summed fractions

ואחר עשותך כל זה, תשים מורה, או מורה ההמרה, ראשונה לצד ימין על הסדר שנשאל הח' תחלה ואחריו הז' ואחריו הה' ושוב תסדר אחריהם מורה שבידך, כפי המזדמן, או בהשגחה, ותחלק על כלם המספר אשר עלה לידיך מכפל מספר שבריך במורה ,או מורי ההמרה וכל זה ברור בטעם

כי לעולם אם תכפול אשר בידך במורים מונחים, הנה יהיה למקובץ מורים אלו מוספים על מוריו הראשונים ולכן כאשר תרצה לעשות להם כלילת יופי, ר"ל להשיב שברים אלו הנפרטות לכללים וחלקים יפים, יש לך לסדר עם מוריו הראשונים אלו המורים אשר הוכפלו בהם והסדר לא יזיק ולפי ששאלו כמה חלקים הם מהמורים האלו, לכן נשימם ראשונה במלאכה

ha-Aḥdut (unification) - converting the sum of fractions into one fraction (one denominator)

אכן אם יאמרו לך להשיבם לחלק אחר הגדול שאיפשר, לכן נקראה האחדות והוא ענין נכבד, כי ממנו יצא לנו לחלק מעט על רב ולחדש מורים ב בעצמינו, מבלי הוצאת מורי המספר שרצינו לחלק עליו, או גם להוסיף על מוריו

לזה הקצתי לו מאמר לבדו ואכתבנו בזה הפרק, לפי שהוא כעין חבור

וקראתי לו שם שם האחדות, לפי שאנו רוצים לעשותם חלק אחד אם איפשר ואם הוא בלתי איפשר

ואם הוא בלתי איפשר, יש לנו להוסיף אחד במלאכה כאש' יתבאר

The term aḥdut has two meaning, as will be explained below

לב' כוונות אלו קראתי לו שם האחדות

Summing fractions to one fraction

מאמר האחדות

אם רצית להשיב שברים שוים שוים, או שונים, לחלק אחד אם איפשר, או לגדול שאיפשר

$\scriptstyle\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2\right)+\left[\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]$

המשל שני חמישיות מב' תשיעיות מב' שלמים ועוד שמינית אחת ושני תשיעיות שביעית שמינית מרביעית ושתי ששיות רביעית, תשימם על הסדר כזה‫:

		2
	9
5	2
2

			6	4
9	7	8	2	1
2		1

The order of the operations: fractionalization, multiplication, equalization, and summing

תעשה להם פריטה והכאה והשוואה וחיבור

וכדי להרגילך עוד במעשה אעשה אחת אחת‫:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[\frac{\left(1\sdot7\sdot9\right)+2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right]\sdot\left[\frac{\left(1\sdot6\right)+2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{63+2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left(\frac{6+2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{65}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left(\frac{8}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}

נעשה פריטה לרביעית ושתי שישיות רביעית: נכפול א' בו', יהיו ו' ונחבר להם הפרט אשר נמצא תחתיו, ר"ל הב', יעלו ח' שישיות רביעית

עוד נעשה פריטה לשביעית וב' תשיעיות שביעית שמינית: נכפול א' בז', נכפלם עוד בט', יהיו ס"ג ונחבר להם השנים ויעלו ס"ה תשיעיות שביעיות שמינית
והרי הוא כאלו אמרו ס"ה תשיעיות שביעית שמינית מח' שישיות רביעית כזה‫:

			6	4
9	7	8	8
65

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2&\scriptstyle=\frac{2\sdot2\sdot2}{5}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{4\sdot2}{5}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{8}{5}\sdot\frac{1}{9}\\\end{align}}}

עוד נעשה הכאה לשני מספרי' שבידינו

ונתחיל במספ' הראשון: ונאמ ב' בב' הם ד', נכפלם עוד בשני השלמים, יהיו ח' חמישיות תשיעית שלימה כזה‫:

5	9
8

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{65}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left(\frac{8}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{65\sdot8}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{520}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\\\end{align}}}

עוד נכה במספר השני השמונה ששיות רביעית בס"ה ויעלו 520 תשיעיות שביעית שמינית שישית רביעית כזה‫:

9	7	8	6	4
520

ונעשה ההשואה לאלו השני מספרים‫:

ואחר היות בכל אחת מהם מורה הט' פעם אחת, לא נכפול בו שום אחד מהמספרים ולא נסדרהו כי אם פעם אחת, כאשר הזכרתי בסוף השער הג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2&\scriptstyle=\frac{8}{5}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{8\sdot4\sdot6\sdot8\sdot7}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle=\frac{32\sdot6\sdot8\sdot7}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle=\frac{192\sdot8\sdot7}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle=\frac{1536\sdot7}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle=\frac{10752}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\\end{align}}}

ונכפול הח' חמישיות תשיעיות בכל מורה המספר האחר, זולתי הט' כאשר התבאר ונאמר שמונה בד' יעלה ל"ב

נכפלם בו', יעלו 192
נכפלם בח', יעלו 1536
נכפלם בז', יעלו 10752

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{520}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{520\sdot5}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{2600}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\\end{align}}}

עוד נשוב לכפול ה520, שהם מספ' השברים האחרים, בה' שהוא מורה חבריהם ולא בט' כנזכר ויעלו 2600 נסדרם זה על זה כזה‫:

10752

2600

13352

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2\right)+\left[\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{10752}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{2600}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{13352}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}

ונחברם יחד יעלו 13352

נסדר כל המורים, ר"ל כל מורי שני המספרי' בלתי הט', שלא נשימנו כי אם פעם אחת, ונשים מספרינו תחת המורה האחרון, לפי שהוא שברים נפרטות מכל אלו המורים
והרי זה כאלו שאלו לנו 13352 שביעיות שמינית שישית רביעית חמישית תשיעית, איזה חלק הם, אם הם חלק אחד ממש, או החלק הגדול שאפשר

Finding the common denominator - by multiplying all the denominators one by one

נעיין תחלה איזהו המספר שהוא בעל אלו המורים כלם לבדם, ר"ל שהוא מורכב מהם ונקרא למספר הזה אם המורים, כי היא ילדתם וממנה יצאו, וזה יודע בכפול כל המורים אחד באחד והעולה באחר וכן כלם עד כלותם‫:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle9\sdot5\sdot4\sdot6\sdot8\sdot7&\scriptstyle=45\sdot4\sdot6\sdot8\sdot7\\&\scriptstyle=180\sdot6\sdot8\sdot7=1080\sdot8\sdot7=8640\sdot7=60480\\\end{align}}}

ונאמ' ט' בה' יעלו מ"ה, נכפלם בד', יעלו [180, נכפלם בו', יעלו 1080, נכפלם בח', יעלו] 8640, נכפלם בז', יעלו 60480

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{68480}{13352}}}

ולזאת קרינו אם המורים למספר השברים, ר"ל שנחלק ה68480 ל13352 ואם יתחלק כלו לשלימים, בלי תוספת ומגרעת, הנה היוצא בחילוק בצמצום הוא מורה החלק, אשר הם כל השברים הנשאלים יחד מהשלם, ר"ל רביעית אחד, או הדומ' לו

Dividing the common denominator by the summed numerator

No remainder:

\scriptstyle\frac{a\sdot n}{a}=n\longrightarrow\frac{a}{a\sdot n}=\frac{1}{n}

ואם לא יתחלק כלו לשלמים בלי תוספת ומגרעת, הנה היוצא בחלוק בצמצום הוא מורה החלק, אשר הם כל השברים הנשאלים יחד מהשלם, ר"ל רביעית אחת, או הדומה לו

There is a remainder:

\scriptstyle\frac{\left(a\sdot n\right)+r}{a}=n+\frac{r}{a}\longrightarrow\frac{a}{\left(a\sdot n\right)+r}=\frac{1}{n+1}+\frac{a-r}{\left(n+1\right)\sdot\left[\left(a\sdot n\right)+r\right]}

ואם לא יתחלק כלו לשלמים וישאר שום מספר

\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{68480}{13352}=4+\frac{7072}{13352}\longrightarrow}}

כמשלינו זה, שיצא בחילוק ד' ונשאר 7072

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2\right)+\left[\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{13352}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\frac{13352}{68480}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4+1}+\frac{13352-7072}{5\sdot68480}\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{6280}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}

נוסיף א' על היוצא בחילוק ויהיה ה' והוא מורה החלק הגדול שאפשר, ר"ל חמשית אחת

עוד נחסר ה7072 הנשארים מה13352 אשר חלקנו עליו וישאר 6280, שהוא חלקים מכל המורים מזה החלק, ר"ל מחמישית אחת
ר"ל שיצא לנו שכל השברים הנשאלים הם חמישית אחת ו6280 שביעיות שמינית שישית רביעית חמישית תשיעית חמישית כזה‫:

5	9	5	4	6	8	7
1						0826

The order of the denominators of compound fractions of fractions is unimportant, but the denominator of the simple fraction should be placed separately, on the right

[ואם תרצה לעשות לשברים אלו כלילת יופי, ר"ל לחלקם על המורים, תסדרם] תסדרם כפי שהם עתה, או כפי המזדמן, או בהשגחה כנזכר למעלה ובלבד שתניח הה' ראשון לצד ימין עם הא' אשר תחתיו, כי זה אין בידיך לשנותו וכל האחרים נקשרים בו, ר"ל שהם כלם שברים ושברי שברים ממנו, ר"ל מחמשית מהשלם

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2\right)+\left[\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{6280}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{6280}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{785}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{157}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{39}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{6}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}

ונחלקם תחלה לח' ויצא בחלוק 785 ולא ישאר דבר

ונחלק זה היוצא לה' ויצא בחילוק 157 ולא ישאר דבר
ונחלקם לד' ויצא בחילוק ל"ט וישאר א' ונשימנו תחתיו
ונחלקם לו' ויצא בחילוק ו' וישארו ג‫'
[ונ]תיך הט', ר"ל שנעשה ממנו ב' מורים, שהם ג' ג', כי כך הוא שלישית שלישית, כמו תשיעית ועוד אדבר בזה בכלל האחרון ב"ה י"ת
ונחלק הו', אשר יצאו בחלוק באחרונה, על האחד מהם, ר"ל על הג' ויצא בחילוק ב' ולא ישאר דבר
ואלו הב', אחר שהוא מספר קטן משאר המורים, אין לנו עוד לחלקם, רק להשימם תחת המורה הסמוך אשר נשים לפניהם ויהיו הג' השני כדי שלא ישכח ונשימם תחתיו
ונסדר עוד הט [הו'] המורה הנשאר לפניהם ולפניו הה' ראשונה ונשים תחתיו הא', אשר היה תחתיו, שהוא המורה היותר חלק גדול הגדול שאיפשר אשר בקשנו
הנה יצא לנו שהשברים הנשאלים יעלו חמשית א' שלמה וב' שלישיות שביעית חמישית וג' ששיות שלישית שלישית שביעית חמישית ורביעית שישית שלישית שלישית שביעית חמישית כזה

4	6	3	3	7	5
1	3	0	2	0	1

והקש על זה

The reason that if there is no remainder the result is

\scriptstyle\frac{a\sdot n}{a}=n\longrightarrow\frac{a}{a\sdot n}=\frac{1}{n}

וטעם אומרנו שאם לא ישאר דבר, שהיוצא בחילוק בעצמו הוא מורה החלק אשר השברים מהשלם

The portions of the denominators are the portions of their common denominator in one unit

\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}

הוא לפי שאמרנו אלו החלקים מאלו המורים הוא כאלו אמרנו כ"כ מחלקי אם המורים בשלם

$\scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}$

ר"ל כי ע'ד'מ' אם היו לנו ב' שלישיות רביעית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}=\frac{2}{3\sdot4}=\frac{2}{12}}}

הוא כאומרנו שני חלקים מי"ב בשלם, שהיא אם אלו המורים, ר"ל שהוא מורכב מהם, שכפל ג' בד' עולה י"ב

$\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}$

וכן אומרנו ג' רביעיות חצי שלישית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}=\frac{3}{24}}}

היא כאומרנו ג' חלקים מכ"ד בשלם, שהוא אם שלש מורים אלו וזה ברור

The fractions are fractions of fractions of their common denominator in one unit

ועוד נחבר בפ' הרביעי מהחלק הא' הנה ידענו שאלו השברים הם חלקים מחלקי האם בשלם

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{3}\sdot a}{a}=\frac{1}{3}\sdot1}}$

ואם הם היה שלישיתם, הם שלישית השלם

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{4}\sdot a}{a}=\frac{1}{4}\sdot1}}$

ואם רביעיתם, רביעית

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot a}{a}=1\sdot1}}$

ואם כמותם הם א' שלם

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{5}\sdot a}{a}=\frac{1}{5}\sdot1\longrightarrow\frac{a}{\frac{1}{5}\sdot a}=5}}$

וע'ד'מ' אם מספר השברים היה חמישית האם, ר"ל חמישית השלם, בחלקנו האם עליהם היה היוצא בחלוק ה' ולא היה נשאר דבר

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{4}\sdot a}{a}=\frac{1}{4}\sdot1\longrightarrow\frac{a}{\frac{1}{4}\sdot a}=4}}$

ואם היה רביעית, יצאו ד‫'

הרי לנו שהיוצא בחילוק הוא המורה החלק אשר השברים מהשלם וזה ברור בטעם, כאשר נתחלק הכל ולא נשאר דבר

The reason that if there is a remainder the result is

\scriptstyle\frac{\left(a\sdot n\right)+r}{a}=n+\frac{r}{a}\longrightarrow\frac{a}{\left(a\sdot n\right)+r}=\frac{1}{n+1}+\frac{a-r}{\left(n+1\right)\sdot\left[\left(a\sdot n\right)+r\right]}

ולברר טעם אומרנו שכאשר נשאר שם דבר, שנוסיף א' על היוצאות וכו', אביא משל אח‫':

$\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}$

המשל היו בידינו ג' רביעיות שביעית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}=\frac{3}{28}}}

ר"ל שלשה חלקים מכ"ח, שהוא אם המורים בשלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28}{3}=9+\frac{1}{3}\longrightarrow\frac{3}{28}=\frac{1}{9+1}+{\color{red}{\frac{3-1}{\left(9+1\right)\sdot28}}}=\frac{1}{10}+{\color{red}{\frac{3-1}{10\sdot28}}}}}

ואם נחלק אלו הכ"ח אל הג', יצאו ט' בחילוק וישאר א‫'

נוסיף א' על הט' היוצא בחילוק, יעלה עשרה, המורה על העשירית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{3}=10\longrightarrow\frac{3}{30}=\frac{1}{10}}}

ואם החלקים הראשונים היו ג' חלקים מל' באחד, היו עשירית אחד בצמצום, כי בחלקנו הל' בשלשה היו יוצאים ולא היה נשאר דבר ואז היו עשירית שלמה כמו שביארנו

\scriptstyle{\color{blue}{28\sdot30=840\longrightarrow\frac{1}{840}=\frac{1}{30}\sdot\frac{1}{28}=\frac{1}{28}\sdot\frac{1}{30}}}

אכן להיותם ג' חלקים מכ"ח בשלם יותר מעשירית אחת ולדעת כמה הם יותר, נכפול הכ"ח בל' ויעלו 840 והנה אומרנו חלק אחד מ840 בשלם הוא כאומרנו חלק אחד מל' מכ"ח בשלם, או חלק אחד מכ"ח מל' בשלם, כי הם המורים אשר מהם הורכב וכל זה נתבאר הטב בפרק הד' מהחלק הא‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{840}=\frac{1}{28}}}

וא"כ הל' חלקים מה840 בשלם הם חלק אחד מכ"ח בשלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28}{840}=\frac{1}{30}}}

וכן הכ"ח חלקים מ840 בשלם הם חלק אחד מל' בשלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{30}=\frac{28}{840}}}

הרי לנו שהחלק אחד מל' בשלם הוא כ"ח חלקים מ840 בשלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{28}=\frac{30}{840}}}

וכן החלק מכ"ח בשלם הוא ל' חלקים מ840

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{28}=\frac{3\sdot30}{840}=\frac{90}{840}}}

נמצא שהג' חלקי' מכ"ח בשלם הוא ג' פעמים ל', שהם 90 חלקים מ840 בשלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{30}=\frac{3\sdot28}{840}=\frac{84}{840}}}

והג' חלקים מל' בשלם הם ג' פעמים הם כ"ח שהם פ"ד חלקים מ840

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{28}-\frac{3}{30}=\frac{90}{840}-\frac{84}{840}=\frac{6}{840}=\frac{6}{30\sdot28}}}

הנה יעדפו עליהם ו' חלקים מ840 בשלם, ר"ל ו' חלקים מל' מכ"ח בשלם, כי הם מוריו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{840}=\frac{1}{10}\sdot\frac{30}{840}=\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{28}=\frac{1}{28}\sdot\frac{1}{10}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}}}

וכל ג' חלקים מאלו הם עשירית הל', שהם, ר"ל שהם הל', הם חלקי א' מכ"ח בשלם כמו שנתבאר, א"כ כל שלשה מהם הם עשירית [חלק מכ"ח בשלם, ר"ל חלק מכ"ח מעשירית בשלם, שהוא] הל' שהם ר"ל הל' הם חלקי א' מכ"ח בשלם כמו שנתבאר א"כ כל שלשה מהם הם עשירית הל' חלק מכ"ח בשלם ר"ל חלק מכ"ח מעשירית בשלם שהוא רביעית שביעית עשירית מהשלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{28}-\frac{3}{30}=\frac{6}{840}=\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}}}

והששה הנוספות, אשר מצאנו לג' חלקים מכ"ח אשר היו בידינו, על הג' חלקים מל', אשר מצאנו לג' חלקים, היו עשירית שלמה, יעלו א"כ ב' רביעיות שביעית עשירית

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{28}{3}=9+\frac{1}{3}\longrightarrow\frac{3}{28}&\scriptstyle=\frac{1}{9+1}+\frac{3-1}{\left(9+1\right)\sdot28}\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\frac{2}{10\sdot28}\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\left(\frac{3}{28}-\frac{3}{30}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}

הרי לנו שכאשר חלקנו הכ"ח, שהוא האם, על הג', שהיו מספר החלקים, ויצא ט' ונשאר א', שכאשר הוספנו אחד על הט' ועלה י' והורה עשירית, שנשאר לנו לתוספת ב' רביעיות שביעית עשירית, שהם התוספת אשר למספר אשר חלקנו עליו, שהיה ג' על השארית שהיה א', ר"ל שאלו הב' הם חלקים מהמורים, שהיו רביעית שמינית מהמורה שנתחדש, שהוא עשירית וכל זה ברור בטעם למבין והקש על זה

Dividing a small number by a greater number - without [divisors] or with [divisors]

ויצא לנו מזה שהרוצה לחלק מעט על רב, שיוכל לחלקו בלי הוצאת המורים, או בהוצאת המורים ויצאו לנו ג"כ החלק היותר גדול שאיפשר בשם אחד

The method is very effective for division of a prime number (that has no [divisors]), such as 101

וזה יועיל מאד כאשר אנו רוצים לחלק למספר פשוט, כמו ק"א, או כדומה לו, שאין לו מורים

Two examples - with divisors and without divisors

וכדי לבאר הענין יפה יפה, אביא שני משלים: אחד עם הוצאת המורים ואחד מבלי הוצאת המורים

Example with divisors: $\scriptstyle73\div240$

המשל רצינו לחלק 73 על 240

\scriptstyle{\color{blue}{240=6\sdot8\sdot5}}

והנה מוריו הם אלו ו' ח' ה', כי מהם מורים הוא מורכב והוא האם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{240}{73}=3+\frac{21}{73}}}

ונחלק האם, שהוא המספר הגדול אשר רצינו לחלק עליו, על המספר הקטן, ר"ל ה73, אשר הוא המספר אשר רצינו לחלק עליו על המספר הקטן, ר"ל ה73, אשר הוא המספר אשר רצינו לחלק ויצא בחילוק ג' וישארו כ"א

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle73\div240&\scriptstyle=\frac{1}{3+1}+\frac{73-21}{\left(3+1\right)\sdot240}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\frac{52}{240}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\left(\frac{52}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}

נוסיף א' על היוצא, יהיה ד' והוא המורה החלק גדול והוא רביעית אחת ונשימנו ראשונה ונשים תחתיו א', עוד נשים הכ"א הנותרים מהע"ג, שהוא החשבון אשר חלקנו עליו עתה, ישארו נ"ב והם מוסיפים על הרביעית, ר"ל שהעולה שיצא לנו בחלוק ה73 המספר הקטן על ה240, שהוא המספר הגדול, רביעית אחת ונ"ב חלקים מ240 מרביעית

או אם תרצה, תקח מורה במקומו ותאמר רביעית אחת ונ"ב חמישיות שמינית שישית רביעית
ואם תרצה תעשה להם כלילת יופי ויעלו רביעית אחת וחמישית רביעית וד' שמיניות שישית חמישית רביעית והקש על זה

Example without divisors - illustrating that the procedure can be used repeatedly until reaching to a simple fraction (whose numerator is 1) -

ועוד אעשה משל אחר מאשר אין לו מורים כלל

ושם אאריך, שאנו יכולים לעשות מעשינו זה פעם אחר פעם עד כלות המספר והגיעו לחלק אחד, כי גם לזה קראתיו אחדות, כי יגיעם כלם לאחד ואפי' בין כל המורים למורה האחרון, נוכל להכניס מורה חדש ככל חפצנו

Example without divisors: $\scriptstyle38\div101$

המשל לחלק ל"ח לק"א, כי זה המספר, ר"ל ק"א

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{101}{38}=2+\frac{25}{38}}}

ונחלק הק"א לל"ח [ויצאו בחלוק ב' וישארו כ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle38\div101&\scriptstyle=\frac{1}{2+1}+\frac{38-25}{\left(2+1\right)\sdot101}\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\left(\frac{13}{101}\sdot\frac{1}{3}\right)\\\end{align}}}

נוסיף א' על הב', יהיו ג' ונשימהו למורה ראשון ונשים תחתיו א' ונגרע השארית מהל"ח אשר] אשר חלקנו עליו עתה וישארו י"ג

ואם לא היו כ"כ, הינו שמים למורה שני הק"א והינו שמים זה השארית, ר"ל אלו הי"ג, תחתיו והינו אומרים שהמחלק ל"ח על ק"א, שיגיע לכל אחד מהם שלישית אחת וי"ג חלקים מק"א משלישית שלמה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{101}{13}=7+\frac{10}{13}}}

אכן להיותם הרבה וכדי שנמצא חלקים יותר נאותות, נשוב לחלק הק"א לאלו הי"ג ויצא בחילוק ז' וישאר י‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle38\div101&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\frac{13}{101}\sdot\frac{1}{3}\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sdot\left[\frac{1}{7+1}+\frac{13-10}{\left(7+1\right)\sdot101}\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sdot\left[\frac{1}{8}+\frac{3}{8\sdot101}\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{3}{101}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}

ונשים זה הז' בתוספת אחד והוא ח' למורה שני ונשים תחתיו א' ונשים הי', שהם השארית מהי"ג אשר חלקנו עליהם עתה וישארו ג‫'

ואם תרצה, כבר כלית כל מלאכתך ותשים הק"א למורה שלישי ותשים למורה שלישי ותשים אלו הג' תחתיו שהם השארית הנשארה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{101}{3}=33+\frac{2}{3}}}

אכן אם תרצה עוד להכפל המעשיך, יען תגיע לאחדות גמורה, ר"ל שלא יהיו שם מנין שברים כי אם אחד אחד, תשוב תחלק הק"א על אלו הג' ויצא בחילוק ל"ג וישארו ב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle38\div101&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{3}{101}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\left[\frac{1}{33+1}+\frac{3-2}{\left(33+1\right)\sdot101}\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\left[\frac{1}{34}+\frac{1}{34\sdot101}\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{34}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{34}\sdot\frac{1}{101}\right)\\\end{align}}}

ונוסיף א' על הל"ג ויהיו ל"ד ונשימם למורה שלמי ונשים א' תחתיו ונחסר אלו שני הנשארים מהג' אשר חלקנו עליהם עתה וישאר א' וכבר הגענו לאחדות הגמור וכלינו מלאכתנו מכל וכל ונשים ק"א למורה [...] ונשים א' תחתיו

הרי לך שלש צורות שכלם אמיתיות ותוכל להשיב כאשר תרצה מהם וכן היה הרשות בידך לעשות זה פעם אחר פעם, [כאשר [..] מחלק אם המורים, כבמשל הא', ונשים כל המורים המתחדשים פעם אחר פעם זה] זה אחר זה כ"א תחת כל אחד

Aḥdut (unification)- reminder for placing 1 [as a numerator of the simple fractions] beneath each denominator

כי לכל זה יועיל שם האחדות, שלא תשכח מלשים א' תחת כל מורה מתחדש ואחר תשים האם עצמה, או מוריה במקומה

If the unification is complete - [the final fraction is simple i.e. its numerator is 1] - placing 1 beneath the last denominator

ותחת האחרון א', אם הגעת לאחדות הגמורה

If the unification is incomplete - placing the remainder beneath the last denominator

ואם אין, תשים תחתיו הנשאר באחרונה, אחרי הסירך הנשאר מהמספר אשר אתה מחלק עליו בעת ההיא באחרונה [.]השארית האחרונה ההיא תשים תחת המורה האחרון אשר לאם

The option to continue the procedure when the remainder is greater than 1, by dividing the denominator by the remainder

ואם יהיה רב ממנו, תעשה מהם כלילת יופי, רצוני לומר לחלק השארית הא' ההיא על המורה האחרון והיוצא שלפניו והנשאר תשים תחתיו וכן לעולם עד כלותו וכל זה מבואר ונכפל פעמים רבות

וגם בכל מספר אחר, אשר חלקת הכל למורים, אם תראה שאשר שמת תחת המורה האחרון הוא מספר רב ותרצה להמציא בין כל המורים הראשונים זה האחרון אשר לצד שמאל משום מורה מחודש, או מורים, חלק המורה האחרון על אשר תחתיו

כאשר עשית במה שבין הצורה השנית והשלישית, שהרי הק"א היה המורה האחרון בצורה הראשונה ולפי שמצאת הי"ג, שהם מספר רב, תחתיו, המצאת המורה הח' ששמת שני והוא שלישי בידך, שבא בצורה השנית

וכן עשית פעם אחת מהצורה השנית לשלישית והמצאת מורה אחר והוא הל"א ושמת הק"א רביעי

The procedure continues considering the common denominator - the last denominator to the left

ובלבד שלא תעשה זה כי אם למורה האחרון אשר לצד שמאל וכל זה מבורר בטעם הראשון למבין

Considering other divisors - fractionalizing the common denominator

ואם תרצה להוציא המורים בין המורים האמצעיים, תצטרך להוציא המורים לכל המורה האחרון אשר לצד שמאל והאם ההיא תחלק למנין השברים, אשר היו תחת המספר המורים ההם, אחרי עשות להם פריטה, אם כבר נתחלק להם המספר וכל זה ברור בטעם

כי אחר שהוצאת האם למורים האם, הרי שבו כלם כמורה אחד ואתה מבקש בין הראשונים ובינו מורה, או מורים אחדים ואחר שהמצאת המורים אשר רצית, תשים האם הזאת אחריהם לצד שמאל, או המורים אשר הורכבה מהם, זה אחר זה במקומה, כי הכל אחד ודי למבין

Checking the unification: fractionalization

ואם תרצה לבחון מעשיך, עשה פריטה לכל אלו השברים אשר באו לך

Division of a small number by a greater number: if one of the denominators is the given large number by which the smaller number should be divided - dividing the numerator which is the result of the fractionalization by all the denominators except for the large number - the result of division should be the small number divided originally

ואם יש במוריך אלו המספר הגדול אשר רצית לחלק עליו, ר"ל הק"א במשל האחרון, חלק זה העולה מהשברים הנפרטים על כל שאר המורים מבלעדיו זה אחר זה, או על אמם ויצא לך באחרונה כמנין המספר הקטן אשר רצית לחלק ולא נשאר דבר בשום חלוקה מאלו, הנה מעשיך אמת ונכון, ואם לאו, דע שטעית

A sum of fractions: dividing the numerators by the unified denominators

גם במשל הראשון, אם יש במוריך אלו הם המורים הראשונים, או המורים עצמם, חלק כל מספר השברים הנפרטות על שאר המורים שנתחדשו במלאכת האחדות, או על אמם ואם לא ישאר לעולם דבר ויצא באחרונה כמספר הקטן אש' רצית לחלק, או כשברים הנפרטים במשל ראש המאמר, הנה אמת הנה נכון ואם לאו דע שטעית

If the large number or the common denominator does not appear as a denominator in the final result - multiplying the numerators of the result by this large number or the common denominator and dividing the product by the other denominators - the result of division should be the small number to be divided, or the original numerators

ואם אין במלאכתך זאת, ר"ל במוריך, לא אם המורים ולא המורים עצמם, כפול כל המספר השברים הנפרטים בחשבון הגדול אשר רצית לחלק עליו, אם באם המורים מהחלקים הנשאלים, כבמשל הראשון אשר בראש זה המאמר, אם במספר הגדול אשר רצית לחלק עליו, כבמשל השני והעולה חלקנו לכל מוריך אלו, או לאמם ואם יצא כמספר השברים הנפרטים הנשאלים במשל הראשון, או כמספר הקטן אשר רצית לחלק במשל השני, מבלי שארית כלל, הנה אמת ואם לאו שקר

Checking the above three examples:

וקודם התחילי בטעם בחינה זאת, כדי להרגילך במעשה, אעשה בחינה בכל אחד משלשת המשלים הנזכרים‫:

$\scriptstyle\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2\right)+\left[\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]$

הנה פריטת המשל הראשון

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{\left(3\sdot7\right)+2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{21+2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{\left(23\sdot3\sdot6\right)+3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{\left(69\sdot6\right)+3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{414+3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(417\sdot4\right)+1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{1668+1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{1669\sdot5}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{8345\sdot8}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{66760}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\\\end{align}}}

היה 7 ב3 21, 23 ב3 69, 69 ב6 414 וה3 הם 417 וב4 1668, 1668 ו1 1669, 5 1669 8345, 8345 ב8 66760 והנה עלה בידינו שהפריטה היא 66760

ואם לא היו בידינו כל המורים הראשונים, היו כופלים זה בכל המורים הראשונים והעולה היינו מחלקים אל כל שמונת מורים אלו אחד אחד אחד, או לאמם והיא יוצא מספר פריטת השברים הנשאלים והיא 13352

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle=\frac{66760}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}&\scriptstyle=\frac{66760}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{13352}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\\\end{align}}}

אכן אחרי היות בידינו כל המורים הראשונים, ר"ל כל מורה השברים הנשאלים ואל יטעך שאין כאן הט', שהרי במקומו ג' ג', שהם מוריו

ונחלוק זה אשר עלה לנו מפריטתינו זאת, ר"ל ה66760, למורים שנתחדשו במלאכתינו, ר"ל לה' הראשון לבדו, כי לא נתחדשו עוד ויצא בחילוק 13352, שהוא מספר פריטת השברים הנשאלים ולא נשאר דבר והנה אמת

$\scriptstyle73\div240$

ובמשל השני

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)&\scriptstyle=\left(\frac{\left(1\sdot5\right)+1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{5+1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(6\sdot6\sdot8\right)+4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{\left(36\sdot8\right)+4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{288+4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle\frac{292}{4}\sdot\frac{1}{240}\\&\scriptstyle=\frac{73}{240}\\\end{align}}}

הוא הפריטה א' בה' ה', וא' ו‫'

ו'בו' ל"ו, בח' 288
ו4 292
נחלקם לד', שהוא המורה המתחדש, יצא בחילוק מבלי שארית 73, שהוא המספר הקטן שרצינו לחלק והנה אמת

$\scriptstyle38\div101$

ובמשל השלישי

\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{1}{3}+\left(\frac{13}{101}\sdot\frac{1}{3}\right)=\frac{114}{3}\sdot\frac{1}{101}=\frac{38}{101}}}

בצורה הראשונה, הנה הפריטה עולה 114, נחלקם לג', שהוא המורה המתחדש, יצאו הל"ח, שהוא המספר הקטן אשר רצינו לחלק

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{3}{101}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{912}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{101}\\&\scriptstyle=\frac{304}{8}\sdot\frac{1}{101}\\&\scriptstyle=\frac{38}{101}\\\end{align}}}

ובצורה השנית הפריטה 912, נחלקם לג' ולח', שהם המורים החדשי', תחלה לג', יצא 304, נחלקם לח' ויצאו הל"ח

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{34}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{34}\sdot\frac{1}{101}\right)&\scriptstyle=\frac{31008}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{34}\sdot\frac{1}{101}\\&\scriptstyle=\frac{10336}{8}\sdot\frac{1}{34}\sdot\frac{1}{101}\\&\scriptstyle=\frac{1292}{34}\sdot\frac{1}{101}\\&\scriptstyle=\frac{38}{101}\\\end{align}}}

ובצורה השלישית הפריטה 31008, נחלקם לג', יצא 10336, נחלקם לח', יצא 1292, נחלקם לל"ד, שהוא המורה הנשאר מהמורים החדשים, יצא הל"ח והנה אמת

The reason for checking the unification by fractionalization: fractionalizing means finding the numerator of the fraction that consists of all the denominators - the original denominators and the renewed denominators - therefore by dividing this numerator by the renewed denominators the original numerator will be received

וטעם בחינה זה הוא ברור, כי כשיש במורינו המורי' הראשונים, או האם או האם, או המספר הגדול אשר רצינו לחלק עליו, הנה הפריטה היא מספר שברים מכל המורים חדשים גם שנים וזה ברור כמו שנתבאר פעמים רבות

כי הפריטה הוא להשיבם פרוטות כי הפריטה הוא מספר שברים מכל המורים, שהוא המין האחרון והוא נקשר בכל המורים וכאשר נחלקם על המורים המתחדשים, הוא כעושה כלילת יופי, כי הסדר לא יזיק ואחר שנתחלק על כל החדשים ולא נשאר דבר, הנה יצאו מן הכלל והיוצא באחרונה הם שברים מהמורים הראשונים, או מאמם כבראשונה, או מהמספר הגדול

ר"ל שהל"ח שיצאו לנו, אחר שחלקנו הפריטה במורים החדשי' ויצאו הם מן הכלל, הם חלקים מק"א חלקים בשלם, כי לכל אחד מהל"ח יעלה לכל אחד חלק אחד מק"א בשלם ומהל"ח ל"ח

The reason for multiplying the fractionalized numerator by the original denominators, if the original denominators do not appear in the final result after it was fractionalized: multiplying by the original denominators means further fractionalizing the numerator to be a numerator of the original denominators as well

וטעם אומרנו שאם אין המורים הראשונים, או אמם, או המספר הגדול במורינו, שנכפול הפריטה במורים הראשונים, או באמם, או במספר הגדול ונחלקנו בכל המורים, שיצא מבלי שארית כמספר פריטת השברים הנשאלים במשל הראשון, או כמספר הקטן במשל השני, הוא לפי שהפריטה היא שברים מכל אלו המורים וכאשר אנו כופלים אותה במורים הראשונים, או באמם, או במספר הגדול, הוא שאנו פורטים אותה עוד לשברי שברים מהראשונים

$\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}$

ר"ל כי אם יש בידינו ג' רביעיות שמינית ע'ד'מ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}=\frac{7\sdot3}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}}}

אם נכפלם בז', היוצא שביעית רביעית שמינית וזה נתברר פעמים רבות

Therefore, the product by the original denominators is a numerator of a fraction that consists of the renewed denominators as well as the original denominators and when divided by the renewed denominators, the result of division should be a numerator of a fraction that consists of the original denominators - the original numerator

והנה במעשינו היוצא אחר הכפל יהיו שברים מכל אלו המורים אשר לנו ומהראשונים, או מאמם, או מהמספר הגדול שהוספנו עליהם עתה וכאשר נחלקנו למורינו, ר"ל מבלתי הראשונים אשר הוספנו עתה, או מבלתי אמם, או מבלתי המספר הגדול אשר הוספנו עתה, כי להן לא נחלקם, ישאר היוצא שברים מהמורים הראשונים, או מאמם, או מהמספר הגדול

והנה אם היוצא היה כמספר פריטת השברים הנשאלים במשל הראשון, או כמספר הקטן בשני, הנה שב כבתחלה והנה כל מעשינו אמת ויציב

Note: if the denominator or the large number [by which the small number is divided] is a prime number (such as 101) - it cannot be converted or be absent after the unification procedure, since it has no divisors and therefore cannot be divided by another number without a remainder

ודע כי המספר הפשוט, ר"ל אם היה המספר הגדול מספר פשוט, שאין לו מורים, כבמשל השלישי שהוא קי"א, כי לעולם לא יעדר ולא יומר וזה ברור, כי הוא לא יתחלק לשום מספר בשלימות מבלי שארית, אחר שהוא פשוט

Chapter Two: Subtraction

הפרק השני בחסרון

$\scriptstyle\left[\left[\frac{8}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\left(\frac{5}{6}\sdot3\right)\right]-\left[\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\frac{2}{9}\right]$

המשל אם אמרו לך שלש רביעיות ושתי חמישיות רביעית משתי תשיעיות, חסרם משמונה תשיעיות ושלש שביעיות חמשית תשיעית מחמש ששיות מג' שלמים

The written subtrahend - the smaller number

תשים הצורה הראשונה והוא המעט, כזה‫:

		9
5	4	2
2	3

The written subtracted - the larger number

והצורה השנית והוא הרב, תשים כזה‫:

			3
			6
7	5	9	5
3		8

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\frac{2}{9}=\frac{34}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}}}

והנה המעט, אחרי אשר הוכה ונפרט, יעלה 34 חמישיות רביעית תשיעית כזה‫:

5	4	9
34

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{8}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\left(\frac{5}{6}\sdot3\right)=\frac{4245}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}}}

והרב יעלה, אחרי שנפרט והוכה שביעיות, 4245 שביעיות חמישית תשיעית ששית

Equalizing the subtrahend and the subtracted after multiplying and fractionalizing each of them

\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{a\sdot d}{b}\sdot\frac{1}{d}\quad\frac{c}{d}=\frac{c\sdot b}{d}\sdot\frac{1}{b}

ואחרי שהוכו ונפרטו, יש לנו להשוותם וזה בכפול מספר שברי כל אחת במורי חברתה ואז היו כל אחת מהם שברים

אכן להקל עלינו המעשה, אחרי היות בש[בריהם] הט' והה' פעמים שוות והוא פעם אחת, לא נכפול בהם שום אחת מהם, כמו שנתבאר בסוף השער הג' וגם לא נסדרם שום אחת מהם, כי אם פעם אחת

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\frac{2}{9}&\scriptstyle=\frac{34}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{34\sdot6\sdot7}{7}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{1428}{7}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\\\end{align}}}

והנה המעט, אחרי הכפלו בו' ובז' זה אחר זה, שהם מורי חברתה מזולת הט' והה', שלא נכפול בהם כנזכר, יעלה 1828 ואחר שהוכה בו' ובז', נתוספו לו מורים אלו על מוריו, לכן יהיו אלו ה1428 שביעיות שישית חמישית רביעית תשיעית

ובכאן נתבאר הטעם למה אנו מסדרים כל המורים ולמה אין אנו מסדרי' הט' והח' פעם אחרת ואם הם בחברתה והוא לפי שלא נכפלו בהם וזה ברור

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{8}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\left(\frac{5}{6}\sdot3\right)&\scriptstyle=\frac{4245}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\\&\scriptstyle=\frac{4245\sdot4}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\\&\scriptstyle=\frac{16980}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\\\end{align}}}

והרב אחרי הכפלו בד', שהוא המורה הנשאר בחברתה שאינו בה, יעלה 16980 ואחר שהוכה על הד' ונוסף גם הוא על מוריו, יהיו רביעיות שביעית חמישית תשיעית ששית

והנה שניהן שוות, כי הסדר לא יזיק

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\frac{8}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\left(\frac{5}{6}\sdot3\right)\right]-\left[\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\frac{2}{9}\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{16980}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\left(\frac{1428}{7}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\frac{15552}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\\&\scriptstyle=2+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}

ונשים המספרים זה על זה ונחסרנו כמעשינו בשלמים ונשארו 15552 רביעיות שביעית חמשית תשיעית שישית

ואם תרצה, תעשה להם כלילת יופי ויעלה זה השארית ב' שלמים וב' שביעיות חמישית והקש על זה

The procedure: fractionalizing and multiplying each of the subtracted and the subtrahend, if needed, equalizing them, then subtracting [the numerator of] one from the other as integers and arranging all the denominators that are included originally in each of them

זה הכלל שנעשה לכל אחד מהמספרים, הרב והמעט, פריטה והכאה, או אשר יצטרך מהם ואחר כך נעשה להם השוואה ואחר כך נחסרם זה מזה כדרכנו בשלמים והנשאר נעשה לו כלילת יופי והוא כל השברים, ר"ל היו לאחת מהם עם אשר הוכתה בהם מאשר בחברתה

Chapter Three: Multiplication	הפרק השלישי בכפל
This operation is the same operation described above as the second principle of compound fractions	הנה מעשה זה הפרק הוא מעש' השער השני הנקרא שער ההכאה
$\scriptstyle\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}$	כי אמרנו כפול ג' רביעיות על ד' חמישיות ע'ד'מ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{3}{4}\, of\, \frac{4}{5}}}$	הוא כאומרנו ג' רביעיות מד' חמישיות
$\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{d}\sdot\frac{1}{b}$	ונכפול מספר השברים במספר השברים, לא במורים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{3\sdot4}{5}\sdot\frac{1}{4}=\frac{12}{5}\sdot\frac{1}{4}}}$	‫[ר"ל הג' על הד', יעלו י"ב והם שברים ממורי שני המספרים, ר"ל]‫ ר"ל שהן חמישיות רביעית
No need for equalizing as the fractions are related to each other [i.e. fractions of each other]	ולזה אין מבוא בזה השער להשואה כלל, כי אינם שני מינים שברים, אבל הם שברים נקשרים זו בזו כמו שביארנו
	וכדי להרגילך במעשה אביא משל אחד‫:
$\scriptstyle\left[\left[\frac{4}{7}\sdot\left(\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot\left(\frac{2}{3}\sdot5\right)\right]$	המשל רצינו לכפול ד' שביעיות מה' תשיעיות שמינית על ג' חמשיות תשיעית מב' שלישיות מה' שלמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\frac{4}{7}\sdot\left(\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot\left(\frac{2}{3}\sdot5\right)\right]&\scriptstyle=\frac{4}{7}\sdot\left(\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot\left(\frac{2}{3}\sdot5\right)\\&\scriptstyle=\frac{600}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}\\\end{align}}}$	אין לך לעשות דבר כי אם לקשרם יחד ולשים במקום על מ', ר"ל שתאמר הם ד' שביעיות מה' תשיעיות שמינית [מג'] חמישיות תשיעית מב' שלישיות מה' שלמים והרי לנו חזרו לשער ההכאה ואם תרצה לידע מה המה אלה, עשה להם הכאה, כי בזה המשל אין מבוא לפריטה והעולה נעשה לו כלילת יופי על כל המורים, כי כלם נקשרים זה בזה ויעלה אחר ההכאה 600 שביעיות תשיעית שמינית חמישית תשיעית שלישית
The denominators are always written on top	ודע שלעולם המורים עליונים ולא תמצא עליהם דבר ובזה תבחין בין המורים למספר השברים
Metaphor - the denominators are on top and the numerators are beneath, as the student and his teacher	ואם א[י]ן ראיה לדבר זכר לדבר^[19] את לרבות תלמידי חכמים^[20] שהמורים ראויין להיות גבוהים על הכל והשברים למטה מהם, כתלמיד לפני רבו, או בית פתוח לרוחה תחת המורה ויבא מי שירצה
There is nothing above or beneath integers	אבל השלמים, לעולם אין עליהם ולא תחתיהם דבר ולא בית פתוח, כי אינם מורי הוראה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\frac{4}{7}\sdot\left(\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot\left(\frac{2}{3}\sdot5\right)\right]=\frac{600}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}=\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}}}$	ואחרי עשותנו להם כלילת יופי, שהן חמש תשיעיות שביעית תשיעית
The procedure: no need for equalization, all that needs to be done is to relate the fractions to each other: multiplying, then fractionalizing if necessary, and dividing by the denominators	זה הכלל שאין לנו לעשות בזה ההשואה כלל, כי אין לנו לעשות כי אם לקשרם יחד והוא לשים מ' במקום על כמו שבארנו ואחר כן נעשה לה הכאה, גם פריטה, אם הוצרך אליה ואחר כל זה לעשות לה כלילת יופי והוא לחלקם על המורים, שהרי העליונים לעולם כמו שביארנו והיוצא הוא המבוקש
Notes
	↑ 4v ↑ 5r ↑ marg. ↑ 5v ↑ 6r ↑ marg. ↑ marg. ↑ marg. ↑ 6v ↑ marg. ↑ 7r ↑ 7v ↑ 41r ↑ 41v ↑ marg. ↑ 42r ↑ 42v ↑ marg. ↑ תוספתא, מועד, פסחים א, א ↑ בבלי, קודשים, בכורות, דף ו, ב

Chapter Four: Division

הפרק הרביעי בחלוק

$\scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\frac{2}{3}\right]$

רצינו לחלק שלש רביעיות וב' שלשיות רביעית על ד' תשיעיות וה' ששיות תשיעית מב' שלישיות

The written dividend - the larger number

הנה צורת הרב היא כזה‫:

3	4
2	3

The written divisor - the smaller number

וצורת המעט כזה‫:

		3
6	9	2
5	4

The dividend, the large number - requires fractionalization alone

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)=\frac{11}{3}\sdot\frac{1}{4}}}

והרב אינו צריך כי אם פריטה ויעלה אחר הפריטה י"א שלישיות רביעיות

The divisor, the small number - requires fractionalization and multiplication

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\frac{2}{3}=\frac{58}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}}}

אכן המעט צריך פריטה והכאה ויעלה אחר הפריטה וההכאה נ"ח ששיות תשיעית שלישית

After fractionalizing and multiplying the dividend and the divisor if needed, they should be equalized

ואחר שעשינו לכל אחד מהם אשר הוצרך מפריטה והכאה, נשוום יחד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)=\frac{11}{3}\sdot\frac{1}{4}=\frac{594}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\frac{2}{3}=\frac{58}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}=\frac{232}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}}}

ואחרי היות הג' בשתיהן פעם אחת לא נכפלם בו

ויעלה הרב אחר ההשואה 594
והמעט יעלה 232
והם, ר"ל שני המספרים האלו, שברים מהד' מורים, שהם שישיות תשיעית שלישית רביעית

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\frac{2}{3}\right]&\scriptstyle=\left(\frac{594}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\div\left(\frac{232}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{594}{232}\\\end{align}}}

ואחרי היותם שוות, הרי הוא כאלו שאלו לנו שנחלק 594 שישיות תשיעיות שלישית רביעית

והרי הוא כאלו אמרו לנו נחלק 594 שלמים על 232

After converting them to fractions of the same type, their numerators can be divided as integers

כי אחר שהם ממין אחד מה לי אם הם שלמים, או שברים, או זוזים, או פרחים והרי מעשהו שוה לחלוקת השלמים שוה בשוה

The denominators of the result are extracted from the numerator of the divisor, not from its denominator

וכדי שיצאו לנו שברים ושלמים יחד, לא נביאנו על דרך האחדות, כי אם ע"ד הוצאת המורים והוא שנוציא מורי המספר אשר רצינו לחלק עליו והוא המספר המעט אשר במשלינו

ואל תטעה לחשוב כי מוריו אשר עליו הם המורים לחלקי הפריטה אחר ההשואה ושאלו הם המורים אשר לך לבקש ולחלק עליהם, כי זה אינו כלל ואין לך לחלק עליהם, כי אם בעשותך כלילת יופי

אבל המורים אשר לך לבקש הוא לדעת ה232, שהוא מספר השברים אשר רצינו לחלק עליהם מספר השברים האחרים, אם הוא פשוט, או מורכב, או מאי זה מספרים הוא מורכב

Example: if the numerator of the divisor is multiplied by 4 [in the equalization procedure] - then 4 will be one of the denominators of the result

ודע לך שאחר שכפלת והעולה בפריטתה בד' בעת ההשואה, בידוע שיש לה רביעית וכן כל המורים אשר היו בחברתה ולא בה

The denominators of the result are the divisors of the numerator of the divisor and all the numbers by which the numerator of the divisor should be multiplied in the equalization procedure

לכן אם תרצה להקל מעליך המעשה, לא תכפלנו בהם ולא תצטרך לחלקה עתה להם, בעת הוצאת המורים, אבל תקחם למורים שתחלק עליהם ועל היוצא מפריטתה ותבקש מורי המספר היוצא מפריטתה ותבקש ותשימם עמהם

וכל זה אמרנו במספר אשר תרצה לחלק עליו אבל המספר אשר תרצה לחלק עליו, אבל המספר אשר תרצה לחלק צריך אתה לעולם לכפלו במורים אשר בחברתה ולא בה

\scriptstyle{\color{blue}{232=4\sdot58=4\sdot2\sdot29}}

המשל לזה במשלינו כי אם רצינו לבקש מורים ל232

ואחר שבעת ההשואה הוכפל היוצא מהפריטה וההכאה בד', שהיא מורה חברתה, ידענו שלזה העולה יש לו רביעית ונחלקנו על ד' ויצא בחילוק נ"ח
ונבקש עוד מורים לנ"ח ונמצא לו חצי ונחלקנו עליו, ר"ל על ב' ויצא בחילוק כ"ט והוא מספר פשוט
הנה מורי מספר השברים אשר רצינו לחלק עליהם הם הב' והד' והכ"ט

ובזה תראה ברור מה שאמרתי, שאם הינו רוצים להקל המעשה מעלינו, היינו לוקחים מתחלה מתחלה הד' למורה ראשון

No need to multiply the numerator of the divisor in the equalization procedure - the numbers by which it should have been multiplied should be considered as denominators of the result

וכן אם היה שם הרבה ולא היינו צריכים לכפול בהם המספר אשר רצינו לחלק עליו

ר"ל הנ"ח, אבל נבקש מורים לנ"ח, או לשים אותה עצמה למורה ולשים עמהם הד' והכל אחד

The reason for this: multiplication and division are inverse operations

והטעם ברור כי הכפל והחלוקה הפכים הם

Multiplying a given number by another number then dividing the product by the same number will produce the original given number

\scriptstyle\frac{a\sdot b}{b}=a

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{58\sdot4}{4}=58}}

ואם נכפול מספר, ר"ל הנ"ח, על מספר מה, ר"ל הד' ונחלק העולה לזה המספר בעצמו, ר"ל לד', יצא לנו אשר היה לנו בתחלה, ר"ל הנ"ח והמעשה עולה אחד והמלאכת יותר קלה

ובלבד שלא תטעה מלכפול המספר אשר רצית לחלק, ר"ל הי"א, במורי חברתה, כי זה מחוייב לעולם

[it is not clear why the divisors 4, 2, 29 were replaced here by 3, 2, 29]

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{594}{3\sdot2\sdot29}=3+\left(\frac{24}{29}\sdot\frac{1}{2}\right)}}

ונשלים המשל ונחלק ה594 על הג' מורים שיצאו לנו זה אחר זה ונחלקם תחלה לג' ויצא בחילוק ג' והם שלמי' ולא ישאר דבר ונשימם מחוץ

הנה היוצא הוא כי בחלקנו המספר הרב למעט הנזכרים במשל, שיצא בחילוק ג' שלמים וכ"ד חלקים מכ"ט חלקים מחצי שלם

ור"ל שהמספר המעט הוא ברב ג' פעמי‫'

וזה, ר"ל השלשה שלמים ואם יהיו שנים שלמים, ירצה לומר שהוא בו שתי פעמים ואם יותר יותר

והשברים, ר"ל שהם עוד בו חלקי פעם כנזכר ולא היה פעם שלמה כלל

Dividing small fractions by greater fractions - using unification after fractionalization, multiplication, and equalization

וכאשר השאלה כן ר"ל שהם עוד בו חלקי פעם כנזכר ולא היה פעם שלמה כלל וכאשר השאלה כן, ר"ל שנחלק שברים קטנים לשברים רבים וגדולים מהם, נוכל לעשות בדרך האחדות, אחרי עשותנו הפריטה וההכאה וההשוואה

The procedure: fractionalization and multiplication of dividend and the divisor if needed, then equalizing them and dividing the numerator of the dividend by the numerator of the divisor, as integers. The integer in the result of division indicates the number of times the divisor appears in the dividend; the fraction in the result indicates the additional parts of one time the divisor appears in the dividend.

זה הכלל שאחר עשותנו הפריטה וההכאה וההשואה לכל אחד מהם, או אשר תצטרך ואחר כך ההשוואה כנזכר, נחלק היוצא בזו ליוצא באחרת, ככל דרכם השלמים מכל וכל והשלמים היוצאים יהיו מספר הפעמים והשברים חלקי פעם והכל ברור

Note: the checks in the chapters dealing with fractions are the same as in the chapters dealing with integers – the inverse operations: addition ↔ subtraction; division ↔ multiplication, and so on

ומופתי כל פרקי השברים העוברים והבאים הם כמופתי השלמים, ר"ל כל דבר להפכו: החבור והחסרון זה לזה והחלוק והכפל זה לזה, גם בערכים ובשרשים מופתיהם כמופתי השלמים

Chapter Five: Proportions

הפרק הה' בערכים

Finding the number whose ratio to some given fractions is the same ratio of these given fractions to other known fractions

הערכים הוא כאומרנו הערך שיש לשברים אלו אצל שברים ידועים, אצל מי יש לשברים אלו האחרים זה הערך, או למי יש זה הערך אצל אלו השברים האחרים

If a given number of portions of gold are equal to a certain number of portions of silver, how many portions of silver worth another number of portions of gold

או אם אלו השברים מזהב ע'ד'מ' שוים אלו של כסף אחרות, אלו של זהב כמה שוים [אלו] של כסף

If a given number of portions of gold are equal to a certain number of portions of silver, how many portions of gold worth another number of portions of silver

או אלו של כסף כמה שוים של זהב

The same way as with integers

כל זהו כמו בשלימים

The procedure: fractionalizing and multiplying each of the three given numbers separately; multiplying the first number of the first [pair] by the second number of the second [pair] without equalizing; then equalizing the product with the third given number; finally dividing the numerator of the product after equalization by the numerator of the third number after the equalization

$\scriptstyle\frac{a_1}{b_1}:\frac{a_2}{b_2}=X:\frac{a_3}{b_3}\longrightarrow X=\frac{\frac{a_1}{b_1}\sdot\frac{a_3}{b_3}}{\frac{a_2}{b_2}}=\frac{\left(a_1\sdot a_3\right)\sdot b_2}{a_2\sdot\left(b_1\sdot b_3\right)}$

ומעשהו היה הדין נותן שנעשה פריטה והכאה לכל אחד מהג' מספרים לעצמו

ולכפול, ר"ל להכות הראשון מאלו [בב' מאלו], מבלי השואה כלל ויהיה היוצא חלקים ממורי שני מספרים אלו
ולהשוות זה העולה עתה, שאין חלקים ממוריו גם ממורה חברתה אשר הוכפלה בה, עם הנשאר, ר"ל לכפול זה העולה מהכפל הנזכר במוריה הנשאר, שהוא ראשון, או שני וכן כלם, זה פירושם גם לכפול השלישית במורי השנים, שהם מורי זה העולה מהכפל כנזכר
ואחר שכל זה, לחלק זה העולה, אחר שהושווה, לשלישי, אחר שהושווה והיו השלמים היוצאים בחילוק שלמים ממש מהנעלם והשברים שבר שלם

$\scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3-\frac{1}{4}\right)\right]:\left[\frac{4}{5}\sdot\left(5-\frac{1}{5}\right)\right]=\left[\frac{5}{6}\sdot\left(6-\frac{1}{6}\right)\right]:X$

המשל אם ג' רביעיות מג' שלמים פחות רביע שלם שוים ד' חמישיות מה' שלימים פחות חומש שלם, חמש שישיות מו' שלימים פחות שישית שלם כמה שוים

נעשה לכל אחד צורה בפנים עצמה כזה‫:

	4
4	3	2
3

	5
5	4	4
4

	6
6	5	5
5

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\left(3-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}\sdot\left(2+\frac{3}{4}\right)}}

וזה כי אומרו ג' רביעיות מג' שלימים פחות רביע שלם הוא כאומרו משני שלימי' וג' רביעיות שלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot\left(5-\frac{1}{5}\right)=\frac{4}{5}\sdot\left(4+\frac{4}{5}\right)}}

וכן מהה' פחות חומש הוא כמו מד' שלמים וד' חמישיות משלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot\left(6-\frac{1}{6}\right)=\frac{5}{6}\sdot\left(5+\frac{5}{6}\right)}}

וכן מששה שלמים פחות שישית כאומרו מה' שלימים וה' שישיות שלם

ואחרי ששם הצורות כתקנם, נעשה לכל אחד פריטה והכאה‫:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\left(3-\frac{1}{4}\right)&\scriptstyle=\frac{3}{4}\sdot\left(2+\frac{3}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{3}{4}\sdot\frac{\left(2\sdot4\right)+3}{4}\\&\scriptstyle=\frac{3}{4}\sdot\frac{8+3}{4}\\&\scriptstyle=\frac{3}{4}\sdot\frac{11}{4}\\&\scriptstyle=\frac{3\sdot11}{4}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}\\\end{align}}}

ובצורה הראשונה נפרוט הב' שלימים ונכפלם במורה הרביעיות והוא ד' ויהיו ח' רביעיות ונחבר להם הג' אשר תחתיו, שהם ג' רביעיות שלם, יעלו י"א רביעיות שלם והרי הוא כאלו אמרו ג' רביעיות מי"א רביעיות, לכן נכה הי"א בג', יעלו ל"ג, הלא הם ל"ג רביעיות רביעית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot\left(5-\frac{1}{5}\right)=\frac{4}{5}\sdot\left(4+\frac{4}{5}\right)=\frac{96}{5}\sdot\frac{1}{5}}}

וכן נעש' לשנית ויעלו 96 חמישיות חמישית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot\left(6-\frac{1}{6}\right)=\frac{5}{6}\sdot\left(5+\frac{5}{6}\right)=\frac{175}{6}\sdot\frac{1}{6}}}

וכן לראשונה מהאחרות ויעלו 175 שישיות שישית

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3-\frac{1}{4}\right)\right]:\left[\frac{4}{5}\sdot\left(5-\frac{1}{5}\right)\right]=\left[\frac{5}{6}\sdot\left(6-\frac{1}{6}\right)\right]:X\longleftrightarrow\left(\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}\right):\left(\frac{96}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)=\left(\frac{175}{6}\sdot\frac{1}{6}\right):X}}

והנה שבא הכל כאלו שאלו לנו אם 33 רביעיות רביעית שוות 96 חמישיות, 175 שישיות שישית כמה שוות

או הערך אשר ל33 רביעיות רביעיות אצל 96 חמישיות חמישית, ל175 שישיות שישית אצל מי יש לו זה הערך

והרי לנו כל השברים נפרטים ומורים כל אחד לבדו

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X&\scriptstyle=\frac{\left(\frac{96}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left(\frac{175}{6}\sdot\frac{1}{6}\right)}{\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{16800}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{6}}{\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\frac{16800\sdot4\sdot4}{33\sdot5\sdot5\sdot6\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{67200\sdot4}{33\sdot5\sdot5\sdot6\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{268800}{33\sdot5\sdot5\sdot6\sdot6}\\\end{align}}}

ויש לנו לכפול הב' בראשון, ר"ל הו'ט' חמישיות חמישית 571 שישית שישיות מבלי השואה כלל, לפי שהוא כאומרנו 96 חמישיות חמשית מ175 שישיות שישית ונכם זה בזה, ר"ל מספר השברים בשברים, לא במורים, יעלו 16800 חמישיות חמישית ששית ששית

ויש לנו לחלקם לראשון מהאחדים, שהוא ה33 רביעיות רביעית
וכבר אמרנו בפ"ד מזה החלק, שאם נרצה, נשוה תחלה המתחלק ואשר נחלק עליו, ר"ל שנכפול ה16800, אשר אנו רוצים לחלק, במורה ה33 רביעיות רביעית, ר"ל בד' ויעלה 67200 ונכפלם בד' המורה האחר ויעלה 268800 רביעיות רביעית חמישית שישית שישית
ונכפול ג"כ ה33 רביעיות רביעית והוא המספר אשר רצינו לחלק עליו, במורי המספר המתחלק והם הו' והה‫'
ואחר שנכפלם בזה זה, אחר זה נבקש מורה כל העולה ונחלק עליהם המספר המתחלק, ר"ל ה268800
ואם בקשנו לז' [לו] אלו המורים אשר נכפול בהם, ר"ל הו' והה' ונחלק אליהם אחד אחד

No need to multiply the denominators of the product of the two first numbers by the numerator of the third number, but to consider each of them as denominator of the final result [i.e. in the above notation - no need to calculate the product

\scriptstyle a_2\sdot b_1\sdot b_3

]

יצא בחילוק האחרון ל"ג, שהוא המספר אשר כפלנו בהם אחד אחד ומאחר שכן, למה ניגע לבהלה לכפול בהם ולחלק העולה עליהם לבטלה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X&\scriptstyle=\frac{268800}{33\sdot5\sdot5\sdot6\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{268800}{3\sdot11\sdot5\sdot5\sdot6\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{268800}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{11}\\&\scriptstyle=9+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}

לכן לא נכפול המספר אשר רצינו לחלק עליו, ר"ל ה33, במורי המספר המתחלק, אבל נקח המורים ההם למורים ראשונים ונשים עמהם ה33 עצמו

או נרצה נבקש לו מורים ויהיו י"א ג' ונשימם במקומו עם המורים הנזכרים, ר"ל מורי המספר אשר רצינו לחלק ויהיו כלם 6 6 5 5 11 3
ונחלק עליהם המספר המתחלק והוא 268800 וזה לעשות להם כלילת יופי, כי אם רצינו יכולנו לו' שהנעלם מהארבעה הנערכים הוא 268800 שלישיות חמישית ששית מאחד עשר בשלם
אכן לדעת מה המה אלה, נעשה להם כלילת יופי והוא שנחלקם למורים אלו ויעלה ט' שלימים ושלשית חלק אחד מי"א בשלם וד' שישיות שלישית חלק אחד מי"א בשלם

6	5	5	6	3	11	9
			4	1		9

Check: multiplying the result, which is the second [of the second pair], by the first of the first [pair], then dividing the product by one of the two remaining numbers - the result should be the last remaining number

$\scriptstyle a_1:a_2=a_3:X\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle a_2=\frac{X\sdot a_1}{a_3}\\\scriptstyle a_3=\frac{X\sdot a_1}{a_2}\end{cases}$

ואם תרצה לבחון מעשיך, כפול זה השני, שהיה נעלם, בל"ג רביעיות רביעית, שהוא הראשון מהאחדים וחלק העולה על אחד מהנשארים ויצא האחר בעינו ואם לא, דע שטעית

\scriptstyle{\color{blue}{\left[9+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\sdot\left(\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}

והנה כאשר נכפול זה בל"ג רביעיות רביעית, הוא כאומרנו ל"ג רביעיות רביעית מט' שלמים ושלישית חלק מי"א בשלם כזה‫:

		6	3	11
4	4	4	1
33	1

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[9+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\sdot\left(\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)&\scriptstyle=\left(\frac{1792}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\sdot\left(\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{59136}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\\\end{align}}}

ונפרוט הט' שלמים והשברים אשר עמו ויעלו 7921 ושישיות שלישית מי"א בשלם כזה‫:

4	4	6	3	11
59136

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\left[9+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\sdot\left(\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}{\frac{96}{5}\sdot\frac{1}{5}}&\scriptstyle=\frac{\frac{59136}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}}{\frac{96}{5}\sdot\frac{1}{5}}\\&\scriptstyle=\frac{59136\sdot5\sdot5}{4\sdot4\sdot6\sdot3\sdot11\sdot96}\\&\scriptstyle=\frac{1478400}{4\sdot4\sdot6\sdot3\sdot11\sdot2\sdot8\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{1478400}{11\sdot3\sdot4\sdot8\sdot4\sdot2\sdot6\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{1478400}{8448\sdot6\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{1478400}{8448}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{6}\\&\scriptstyle=\frac{175\sdot8448}{8448}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{6}\\&\scriptstyle=\frac{175}{6}\sdot\frac{1}{6}\\\end{align}}}

ונחלק לשני מהאחרות והיא 96 חמישיות חמישית ותצא הנשארת, שהיא ה175 שישיות שישית

ונכפול המספר המתחלק, ר"ל ה59136, במורי ה96, שהם 5 5, ויעלה 1478400
וכדי שלא להכפל הענין כמו שביארנו, לא נכפול ה96 במורי האחרת, אבל נקחם למורים שנחלק עליה ועל ה96
ואם נרצה נקח מוריהם והם 6 8 2 ונשימם עם הראשונים
ולפי שאנו מבקשים לידע אם רצה בחילוק 175 שישיות שישית, הרי הוא כאלו שאלו לנו כמה שישיות שישית יצא מהחלוקה
ואם לא היו במורינו, היינו צריכים לכפול כל המספר המתחלק בהם ולהוסיפם על האחרים ולשומם ראשונה, כמו שנתבאר למעלה
אם אכן אחרי היותם במורינו, לא נצטרך לכפול בהם, אבל כי נשימם ראשונה במל[..]ת כזה 6 6 2 4 8 4 3 11 ונחלק על כל האחרונים זולתם
ונראה כאשר יגיע אליהם יצא בו בחלוק, ר"ל בחלוקנו לב' שהו' המורה הסמוך להם בצורה זו, אם יצא בחלוק 175, אז נדע שלא טעינו, כי הם שישיות שישית ובלבד שלא ישאר בלרשום חלוק מהעוברים
וכדי להקל מעלינו, כבר ידעת כי כך הוא החלק על המורים כעל אמם ונוציא אם כל המורים זולתי ה6 6 הנזכרים וזה בכפול אותם זה בזה והעולה באחר וכן כלם ותהיה האם 8448
ואם כאשר נחלק מספרינו על ה8448, שהיא אם המורים כלם זולתי ה66, יצא בחילוק 175 ולא ישאר דבר, נדע שלא טעינו
נמצא שאם היה עולה מספרינו בכפול זאת האם בה'17, נדע שלא טעינו
וכדי להקל מעלינו הכפל במעשה החילוק, נכפול הה'17 באם, ר"ל ב8448 ונדע אם יצא מספרינו
והאמת כן הוא שכפל הה'17 ב8448 יעלה 1478400 והוא מספרינו ובחנהו והנה כל מעשינו אמת והקש על זה

Summary of the procedure: fractionalizing and multiplying each of the two numbers separately if needed, then multiplying them one by the other and dividing the product by the third number

זה הכלל שערכי השברים הוא לעשות לכל א' מהג' מספרים לבדו פריטה והכאה, או אשר מהן יצטרך, לכפול הראשון בשני ולחלקו בשלישי

The check: if the unknown was second [in one of the two pairs] - multiplying it by the first of the other [pair]; if the unknown was first [in one of the two pairs] - multiplying it by the second of the other [pair]; then dividing the product by one of the two remaining numbers and the result should be the other remaining number

$\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}\\\scriptstyle a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}\\\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}\\\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}\end{cases}$

והמופת לכפול היוצא לנו במקום הנעלם, אם הוא שני, נכפלנו בראשון שאינו ראשון ואם היה הנעלם אם הוא שני, נכפלנו בראשון שאינו ראשון לו ואם היה הנעלם אשר חדשנו ראשון, נכפלנו בשני שאינו שני לו ונחלקנו לאחד מהנשארים ויצא האחר

The reason: the same as for integers - since the operation is the same

וטעם כל זה כטעמו בשלמים, כי אם אחר שהמעשה אחד בעצמו גם הטעם אחד בעצמו

Chapter Six: Roots

הפרק הששי בשרשים

The procedure: fractionalization and multiplication if needed, multiplication by the denominators, extracting the root as in the case of the integers, then reducing and arranging the denominators

\scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{a\sdot b}{b}\sdot\frac{1}{b}}

גם בזה תצטרך לעשות לשבריך פריטה, גם הכאה, או מה שיצטרכו מהם והיוצא תשוב תכפול אותו בכל המורים אחד אחד זה אחר זה, או באמם

ושמור נפשך מאד שמר, שלא תחבר לו הנמצא תחת המורי', כי זה לא יעשה כי אם בפריטה

ומכל העולה הוצא השרש ככל כמעשיך בשלימים והשלימים היוצאים בשרש הם חלקים משלם מאלו המורים

ואם תרצה, [עשה להם] כלילת יופי והשברים היוצאים בשרש הם שברים מחלק אחד מכל אלו המורים בשלם

$\scriptstyle\sqrt{\frac{4}{6}\sdot\left(4+\frac{5}{9}\right)}$

המשל רצינו לדעת שרש ד' שישיות מד' שלמים וה' תשיעיות כזה‫:

	9	4
6	5
4

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\frac{4}{6}\sdot\left(4+\frac{5}{9}\right)}&\scriptstyle=\sqrt{\frac{4}{6}\sdot\frac{36+5}{9}}=\sqrt{\frac{4}{6}\sdot\frac{41}{9}}=\sqrt{\frac{164}{6}\sdot\frac{1}{9}}\\&\scriptstyle\approx\left(\frac{94}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{20}{94\sdot2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}

ויצאו 94 שלימים שהם 94 שישיות תשיעיות נפרוט הד' שלימים ונכפול אותם בט', יעלו 36 ועם ה5, יהיו 41, נכם בד', יעלו 164 שישיות תשיעית כזה

ויצאו 94 שלימים, שהם 94 שישיות תשיעיות ונשארו 20

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{94\sdot2}{20}=\frac{188}{20}=9+\frac{8}{20}}}

ואם רצית להתקרב אל האמת, כפול השרש שהוא 94 וחלקם עליהם

ויעלה בדרך האחדות והוא שנחלק כפל ה94, שהוא 188, ל20 ועלו ט' ונשארו ח‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{20}{94\sdot2}&\scriptstyle=\frac{20}{188}\\&\scriptstyle=\frac{1}{9+1}+\frac{20-8}{\left(9+1\right)\sdot188}\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\frac{12}{10\sdot188}\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\left(\frac{12}{188}\sdot\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\left(\frac{12}{4\sdot47}\sdot\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\left(\frac{12}{4}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}

הוספנו א' מעל הט', היה 10, שהוא מורה עשירית אחת ונחסר הח' הנותרים מן ה20, נשארו י"ב, שהם חלקים מ188 ומעשירית

ומורה ה188 והם 47 [874] והנה הי"ב הם י"ב רביעיות חלק ממ"ז בעשירית כזה
נעשה להם כלילת יופי והוא שנחלקם לד', יצאו ג' ולא ישאר דבר ואחר שהם פחות מהמ"ז, נשימם תחתיו כזה‫:

4	47	10
	3	1

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\frac{4}{6}\sdot\left(4+\frac{5}{9}\right)}&\scriptstyle\approx\left(\frac{94}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{20}{94\sdot2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{94}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left[\left[\frac{1}{10}+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{94}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{6}{9}+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{2}{3}+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}

הנה עלה לנו כל השרש 94 ועשירית וג' חלקים מ47 מעשירית וכל אלו הם חלקים משישית תשיעית כנזכר

א"כ השרש היוצא הוא 94 שישיות תשיעית ועשירית שישית תשיעית וג' חלקים ממ"ז מעשירית שישית תשיעית כזה‫:

47	10	6	9
3	1	94

ונעשה כלילת יופי ל94 ויעלה א' לשלם וזהו שלם באמת ועוד ו' תשיעיות, שהם שני שלישיות ועוד ד' תשיעיות שישיות ויש לנו עוד עמהם עשירית שישית תשיעית וג' חלקים ממ"ז מעשירית ששית תשיעית כזה‫:

47	10	6	9
3	1	4	6

וזהו השרש הקרוב

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]^2&\scriptstyle=\frac{2500}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle\left(\frac{4}{9}\sdot\frac{1}{47}\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}

ואם תרצה לבחון אותו, כפול אותו על עצמו וראה אם יתקרב לנשאל, שהוא 146 שישיות תשיעית בתוספת אחד, בכמו מרובע השברים אשר הוספנו על שרש השברים הראשון אשר הוצאנו והעשירית שישית תשיעית וג' חלקי' ממ"ז מעשירית שישית תשיעית, שמרובעם, ר"ל כפלם בעצמם אחר הפריטה, יעלה 2500 חלקים ממ"ז מעשירית שישית תשיעיות ממ"ז מעשירית תשיעית

וכאשר תעשה להם כלילת יופי, יעלה ד' תשיעיות ממ"ז ממ"ז משישית תשיעית ושישית מתשיעית ממ"ז ממ"ז מששית תשיעית

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\frac{4}{6}\sdot\left(4+\frac{5}{9}\right)}&\scriptstyle\approx1+\frac{2}{3}+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\frac{44230}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\\\end{align}}}

והנה פריטת זה השרש יעלה 44230 חלקים מחלק ממ"ז מעשירית משישית תשיעית

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[1+\frac{2}{3}+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]^2&\scriptstyle=\left(\frac{44230}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)^2\\&\scriptstyle=\frac{44230}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{44230}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{1956292900}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\\\end{align}}}

וכאשר נכפול זה על עצמו הוא כאומרנו 44230 חלקים מחלק מ"ז מעשירית שישית תשיעית [מ442300 חלקים מחלק מ"ז מעשירית ששית תשיעית כזה]‫ כזה‫:

				47	10	6	9
47	10	6	9	44230
44230

ונכה ה44230 ויעלה 1956292900 חלקים מחלק מ"ז מעשירית שישית תשיעית מחלק מ"ז מעשירית תשיעית בשלם כזה

47	10	6	9	47	10	6	9
1956292900

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[1+\frac{2}{3}+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]^2\\&\scriptstyle=\frac{1956292900}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\left(\frac{164}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left[\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]^2\\&\scriptstyle\left(\frac{164}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{9}\sdot\frac{1}{47}\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}

ונעשה להם כלילת יופי, ר"ל שנחלקנו לכל המורים האלו, עד הגיענו אל הט' והו', המורים הראשונים ובהיגיענו שם נדע כמה שישית תשיעיות יעלה, אם יגיע למספר הנשאל שהוא 164 שישיות תשיעית ועוד מרובע השברים הנוספים הנזכרים כנזכר ואשר עלינו זה עלה 164 שישיות תשיעית ועוד ד' תשיעיות ממ"ז ממ"ז [נ' ד'] משישית תשיעית וזה התוספת שוה ממש למרובע השברים הנוספים בשרש על שרש השברים אשר יצא ראשונה והיה כל מלאכתך אמת

\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)=\left(\frac{b}{2a}\right)^2

ויצא לנו עוד מזה, שנתאמת מה שאמרנו בפ"ז מהחלק הא', שכאשר נחלק הנשאר על כפל השרש מבלי תוספת אחר, שיעדף המרובע האחרון על החשבון הנשאל כמרובע השברי' הנוספים וכן יהיה בכל פעם ופעם דוק ותשכח

The reason for multiplying the numerator by the denominators: so that the denominator will be a square - the product of the denominators by themselves

\scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{a\sdot b}{b^2}}

וטעם אמרנו שאחר הפריטה נכה המספר הפריטה בכל המורים הוא כדי שיהיה זה המרובע חלקים מאלו המורים פעמים, ר"ל נשנים

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$

שאם היו רביעיות, יהיו עתה רביעיות רביעית

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}}}$

ואם היו חמישיות רביעית, יהיו עתה חמישיות רביעית חמישית רביעית וכן לעולם

והוצרכנו לזה לפי שמורי השרש לעולם הם נשנים במורי המרובע

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}\right)^2=\frac{4}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$

וזה שאם השרש ע'ד'מ' ב' רביעיות, יהיה המרובע ד' רביעיות [רביעית]

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)^2=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}}}$

ואם יהיה השרש ב' חמישיות רביעית, יהיה המרובע ד' חמישיות רביעית חמישית רביעית

Multiplication of fractions by fractions means fractions of fractions: 2 quarters by 2 quarters is 2 quarters of 2 quarters

והטעם בזה לפי שהכפל בשברים שהוא אומרנו ע'ד'מ' כפל ב' רביעיות בב' רביעיות, הוא כאומרנו ב' רביעיות מב' רביעיות, כמו שביארנו למעלה

How much quarters of quarters there are in 2 quarters of 2 quarters? - 2×2

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{2}{4}=\frac{2\sdot2}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$

ולדעת כמה רביעיות רביעית הם, יש לנו להכות הב' בב‫'

When calculating the square of a given fraction, the numerator is multiplied by itself, as in the calculation of the square of an integer the integer is multiplied by itself

\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a\sdot a}{b^2}

\scriptstyle n^2=\frac{n\sdot n}{1}

ר"ל המספר שברי השרש בעצמם, כדרכנו במרובע השלמים, [כי מרובע השלמים במרובע השלמים] כמספר החלקים והשינוי בהם

\scriptstyle n\, is\, integer\longrightarrow n^2\, is\, integer

כי בשלמים מספר השרש ומספר המרובע הם ממין אחד, ר"ל שהם שלימים

$\scriptstyle n>1\longrightarrow n^2>n$

ולזה יהיה לעולם גדול המרובע מהשרש

$\scriptstyle n,m>1\longrightarrow n\times m>n$

וכן כל כפל מספר שלם במספר

$\scriptstyle n>1\longrightarrow n\times\frac{a}{b}>\frac{a}{b}$

ואף אם יהיה כפל שלימים בשברים

The numerator is growing by multiplication, but the type of number does not change

\scriptstyle n\times m=\frac{n\sdot m}{1}

\scriptstyle n\times\frac{a}{b}=\frac{n\sdot a}{b}

וזה לפי שהמספר מתרבה בכפל והמין אינו משתנה

\scriptstyle{\color{blue}{3\times4=3\, times\, 4}}

\scriptstyle{\color{blue}{3\times\frac{4}{5}=3\, times\, \frac{4}{5}}}

כי כאשר תאמר ע'ד'מ' כפול ג' שלמים בד' שלימים, או בד' חמישיות, הוא כאומרך כפול ג' פעמים ד' שלימים, או ד' חמישיות, הנה שהמספר מתרבה והדין לא ישתנה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{3}{5}=\frac{2}{4}\, times\, \frac{3}{5}}}

אבל בשברים אומרנו כפול ב' רביעיות בג' חמישיות הוא כאומרנו שני רביעיות פעם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\frac{3}{5}=\frac{1}{4}\, times\, \frac{3}{5}=\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}}}

ואם אומרנו כפול רביעית אחת בג' חמישיות הוא כאומרנו ג' חמישיות רביעית פעם והוא ג' חמישיות רביעית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{3}{5}=2\, times\, \frac{1}{4}\, times\, \frac{3}{5}=2\, times\, \left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)=\frac{6}{5}\sdot\frac{1}{4}}}

ואולם אומרנו שני רביעיות, יהיה בב' פעמים רביעית פעם וכל פעם הוא ג' חמישיות רביעית, הנה הב' רביעיות יהיו ו' חמישיות רביעית

The number is increasing through the multiplication of the numerator by the numerator

וכן לעולם יתרבה המספר בכפל [מספר השברים במספר] משבר השברים

The product of the numerators is a fraction whose denominator is a product of the denominator of one of the numbers by the denominator of the other number

\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot b}{b\sdot d}

ויהיה העולה מכל שני מורי שני המספרים הנכפלים יחד, כבמשלנו זה שהם חמישיות רביעיות

Hence the numerator of the square is a square of the numerator of the root

\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}

ולזה יהיה מספר שברי המרובע כמרובע מספר שברי השרש כדרכו בשלם שוה בשוה

The denominator of the square is a square of the denominators of the root

אבל כי המורים נשנים, לפי שאנו כופלים השרש בכמותו ומורי שניהם יהיה כפל מורי האחר, כי שוים הם במורים וכל זה ברור בטעם

This is illustrated in the calculation of area

גם זה יתבאר בשאנו כופלים בשטח‫:

The area of 4 length and 3 width = 4×3

כי כאשר אנו או[מרי]ם בשטח ג' פעמים ד', הוא כאומרנו שיש בארך ד‫'

The area of 4 length and 1 width = 4×1=4

ואלו לא היה ברחבו כי אם א', לא היו כי אם ד‫'

Area consists of one [dimension] of length and one [dimension] of breadth

לפי שכל אחד שאנו אומרים בשטח, הוא שיהיה לו א' באורך וא' ברוחב

Body consists of one [dimension] of length, one [dimension] of breadth, and one [dimension] of height

וכן בגשם: א' באורך וא' ברוחב ואחד בגובה

\scriptstyle1=1^2=1^3

לזה לא יתרבה מרובע האחד ולא גם המעוקב, כי אומרנו אחד בשטח הוא כאומרנו אחד מרובע וכן בגשם מעוקב

4 length and 3 width = 3 stripes of 4 length = 3×4

וכאשר היו ד' באורך וג' ברוחב, הרי הם ג' רצועות של ד' ד' והוא כאומרנו ג' פעמים ד' ול וכן לעולם

The meaning of multiplying fraction by fraction

אבל כשא[א]נו כופלים שבר בשבר‫:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{4}{5}\, length\, of\, the\, whole\, by\, \frac{3}{4}\, width\, of\, the\, whole}}

המשל ג' רביעיות בד' חמישיות, הוא כאומרנו שארכו ד' חמישיות השלם ורחבו ג' רביעיות השלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times1=1\, length\, by\, \frac{3}{4}\, width=whole\, minus\, \frac{1}{4}=\frac{3}{4}}}

ואם ארכו אחד שלם, היה ג' רביעיות שלם, כי מן השלם המרובע חסר הרביע שנפצל מרחבו וזה מובן במעט עיון

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{3}{4}-\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{3}{4}\right)=\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{3}{4}\right)\sdot4=4\sdot\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{12}{4}\sdot\frac{1}{5}}}

אבל לפי שמארכו נפצל ג"כ חמישיתו, הנה הוא כמי שהסיר מהג' רביעיות חמישיתם ונשארו ד' חמישיותיהם, הנה השטח הוא ד' חמישיות מג' רביעיות [וכל חמישית מהם היא חמישית ג' רביעיות, שהוא כשלש רביעיות חמישית, כי כך הוא חמישית רביעית כרביעית חמישית, א"כ הד' החמישיות מג' רביעיות הם ד' פעמים] הם ד' פעמים ג' רביעיות רביעיות חמישית, שהם י"ב

If the denominator is a square, there is no need to multiply the numerator by the denominator, when extracting the root of the fraction

\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\right)^2\longrightarrow\sqrt{\frac{a}{b}\sdot\frac{1}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{b}

ולזה אנו כופלים בהכאה מספר השברים במספר השברים וכן בשרש והכל עולה לענין אחד

ואחר שביארנו שמורי המרובע הם נשנים ממורי השרש ומספר שברי המרובע הוא כמרובע מספר שברי השרש, נתבא' שאם היו לזה המרובע מורים נכפלים, ר"ל ד'ד', או ה'ה' וכדומה לזה, שלא היינו צריכים לכפול במוריום, כי אם להוציא השרש לבד מהמספר שב[..]ו כ[ער]ך בשלמים ומורי השרש היוצא היו חצי מוריו המרובע ונחלקנו אליהם, ר"ל לחצי מוריו

$\scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b^2}}=\frac{\sqrt{a}}{b}$

$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{a}{9}}=\frac{\sqrt{a}}{3}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{a}{4}}=\frac{\sqrt{a}}{2}}}$

וכן אפי' אם לא היו כלם כפולים, אבל שכל אחד מאשר אינם בו פעמים הוא כפול, ר"ל כי אם הם כפולים בעצמם, ר"ל שהם מרובעים, כד', או כט', תקח שרש המורה ההוא אשר למרובע במקומו למורה השרש, ר"ל הב' במקום ד' והג' במקו' הט'. וזה שהרי בידיך לשום כמורי המרובע במקום הד' השנים, או במקום הט' ג'ג' ותקח אחד מהם בשרש וכל זה ברור

This issue is explained in a special chapter on factorization at the end of the book

ויתבאר עוד במאמ' ההתכה, אשר בכלל אשר ייעדתי לשום בסוף הספר

If some of the denominators are squares and some are not squares, those that are not squares should be multiplied by the numerator

\scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b^2\sdot c}}=\sqrt{\frac{a\sdot c}{b^2\sdot c^2}}=\frac{\sqrt{a\sdot c}}{b\sdot c}

ואם יהיו שם מאלו ומאלו, תכפול מספר שברי המרובע באשר אינם נכפלים ולא מרובעים ותוסיפם על חצי הנכפלים ושרשי המורים המרובעים אשר לקחת במקומם ועליהם תחלק השלימים היוצאים בשרש והשברים היוצאים בשרש הם חלקים מחלק אחד מאלו המורים, אשר להם תחלק שלימי השרש והכל נתבאר במעשה ובטעם

In order to avoid confusion, the author instructs to multiply the numerators by the denominators in any case, even if the denominators are squares

\scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b^2}}=\sqrt{\frac{a\sdot b^2}{b^2\sdot b^2}}=\frac{\sqrt{a\sdot b^2}}{b\sdot b}

אכן כדי שלא לבלבלך בזה לראות אם הם נכפלים ולקחת חציים, או לקחת מהמרובעים שתים במקומם, ציויתיך צויתיך לכפלו בכלם ויהיו לו, ר"ל למרובע הנשאל, כפל המורים אשר לו עתה ונחלק מספר שברי השרש לאשר לו בתחלה, שהם חצי מאשר לו עתה

If one is not well versed in the procedure, it is better for him to make an effort, even if it is needlessly, in order to avoid confusion

וטוב שתטרח ואם לו לצורך, כדי שלא תתבלבל, אם אינך בקי במלאכה

But, if one is skilled, he can skip this, in order to make the procedure easier for himself

ואם ראית בעצמך, שאתה ראוי להיות שצו ש'צ' כהן הנושא כפיו, תוכל להקל מעליך העבודה ואתה רשאי ולא אני

General Rules for Operations with Fractions
	ואחר אש' השלמנו הו' פרקים אשר בשערים, נתחיל בכל אשר ייעדנו שהוא מועיל לכלם‫:
Finding the Common Denominator
All the issues of the chapters on fractions should be solved using a common denominator which will include all the denominators in question	הכלל המועיל לכל השברים: אם תרצה להוציא כל ענייני פרקי השברים על השלימות, תבקש לכל המספרים מורה א' גדול כולל אותם, ר"ל אם כל מוריהם ושם תמצא כל מבוקשך בברור, ר"ל שתוכל למצוא במורה ההוא כמה הוא הרביעית והחמישית, או כל מה שתצטרך בכל השברים ההם
$\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)$	כי המשל אם אמרנו חבר ג' רביעיות תשיעית עם ד' חמישיות תשיעית עם 7 חמישיות שביעית
	הנה מורה החשבונים הגדול אשר אמרתי הוא אם ד' מורים אלו והוא בהכפל זה בזה והעולה באחר, עד תומם ויהיה 1260
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(\frac{1}{9}\sdot1260\right)\right]+\left[\frac{4}{5}\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot1260\right)\right]}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{\left(\frac{3}{4}\sdot140\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot180\right)}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{\left(3\sdot35\right)+\left(4\sdot36\right)}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{105+144}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{249}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\\\end{align}}}$	והוא שעשינו האחד השלם 1260 חלקים והנה תשיעית הוא ק"מ והוא ככפל הג' מורים הנזכרים, ר"ל באמם ורביעית התשיעית יהיה ברביעית זה והוא ל"ה והוא אם המורים הנזכרים, ר"ל ככפל ה' בז‫' והג' רביעיות התשיעית יהיו שלשה פעמים ל"ה, שהם 105 ושביעית המורה הוא אם השלשה הנשארים והם 180 וחמישית שביעית הוא חמישית זה והוא ל"ו והוא אם הנשארים והד' חמישיות שביעית הם ד' פעמים ל"ו, או אם תרצה לומר ד' פעמים כפל הב' מורים זה בזה, ר"ל ט' בד', שהוא ל"ו והעולה יהיה 144 ותחברם עם הה'10, שעלו הג' רביעיות תשיעית, יעלו 249 ב0ובא חלקים בשלם, כי זה מורה הוא מספר המורה הגדול אשר לקחת וכל חלק מאלו הוא חלק מכל אלו המורים
	וזה כי 140 הם תשיעיות אחד ול"ה, שהם רביעיתם, הם רביעית תשיעית והה', שהם שביעית הל"ה, הם שביעית רביעית תשיעית והא', שהוא חמישית הה', הוא חמישית תשיעית רביעית שביעית א"כ אלו ה249 הם חמישיות תשיעית רביעית שביעית
	ואם תרצה לידע מה המה אלה, הנה אחר שכל ה' מהם הם תשיעיות רביעית תשיעית, תחלקם לה' והיוצא יהיו שביעיות רביעית תשיעית
	ואם נשאר דבר, הוא כבתחלה חמישיות תשיעית רביעית שביעית
	ומהשביעית רביעיות תשיעית, וכאשר תחלק לז', יהיה היוצא רביעיות תשיעיות
	וכשתחלק זה היוצא לד', יהיה היוצא תשיעית
	וכשתחלקנו לט', ה יהיה היוצא שלימים
The order of the denominators is unimportant	וכל זה אי המעשה הנזכר למעלה עין בעין, כמו שנרמז בצורות הרמוזות מחוץ לספר, כי הסדר לא יזיק, דוק ותשכח
	והנה העולה מחבור השברים הנשאלות, על כל א' מהדרכים כי הכל אחד, הוא שביעית אחת ורביעית שביעית וד' תשיעיות רביעית שביעית וד' חמישיות תשיעית רביעית שביעית והקש על זה בכל שאר הפרקים
Completion of Fractions	מאמר ההשלמה
Completion is used when subtracting fractions or fractions of fractions from fractions or fractions of fractions, in the procedure of extraction of roots for instance	ההשלמה הוא כאשר יש בידינו שבורים ידועים, או שברי שברים ואנו צריכים לגרעם משברים, או שברי שברים אחרים, שיש בידינו ממיניהם וזה יקרה בהוצאת השרשים, כמו כפי שנכתב בפ' ו' מזה החלק
The need to find the completion of fractions from integer or from a larger fraction - adding the completion to the subtracted in the subtraction procedure, relying on the following principle: $\scriptstyle a-b=\left(a-c\right)+\left(c-b\right)$	ולפעמים השברי שברים הנגרעי' הם רבים מאשר יגרע מהם, אכן יש שם שברי רבים, או שלימים, למלאת די מחסורנו, לכן אנו צריכים לידע, כאשר נקח השלם, או השבר הגדול, להוציא ממנו שברי שברים אלו, שנדע בקלות הנשאר מהשלם, או מהשבר הגדול [ההוא, אחר שהוצאנו ממנו, שזה הוא מה שחסרים אלו השברי שברים מאחד שלם או שבר גדול] להוציא ממנו שברי שברים אלו שנדע בקלות הנשאר מהשלם או מהשבר הגדול להוציא ממנו שברי שברים אלו שנדע בקלות הנשאר מהשלם או מהשבר הגדול ההוא אחר שהוצאנו ממנו שזה הוא מה שחסרים אלו השברי ה' שברים מאחד שלם או שבר גדול וזוהי השלמתן לאחד
	ואחר שנדע השלמתן לאחד, אם היו לנו שברי שברים ממינם, כאשר נגרע מהם, אלא שהיו מעט אשר בידינו, נחבר זאת ההשלמה עמהן והמחובר יהיה הנשאר
$\scriptstyle\left[3+\frac{5}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]-\left[\frac{7}{9}+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]$	המשל רצינו לגרוע ז' תשיעיות וה' שביעיות תשיעית וג' רביעיות שביעית תשיעית מג' שלמים וה' תשיעיות ושלש שביעיות תשיעית
	הנה להיות הג' רביעיות רב מהב', גם הה' שביעיות מהג', גם הז' תשיעיות מהה', נצטרך לקחת אחד שלם למלאת די מחסורינו וישארו ב' שלמים
The completion is the remainder from subtracting the given number from the whole	ולדעת כמה ישאר ממנו אחר קחתנו ממנו די ספקנו, נצטרך להשלימם לאחד שלם וההשלמה הוא השארית וזה ברור בטעם
	וזאת ההשלמה נחברנה עם השברים, אשר היו לנו ולא היה בהם די ספקנו, כי להם משפט הגאולה והמחובר הוא הנשאר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle \left[3+\frac{5}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]-\left[\frac{7}{9}+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[\left(3-1\right)+\frac{5}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]+\left[1-\left[\frac{7}{9}+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left[2+\frac{5}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=2+\frac{6}{9}+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}$	ונאמר ג' רביעיות שביעית תשיעית בכמה יהיו שביעית תשיעית, ברביע אחד, נשים א' תחתיהם עוד נאמר הרי השלמנו [לשביעית תשיעית אחד וחמש שביעיות תשיעית שהיו לנו, הרי ו' ובכמה ישלומו לתשיעית אחד] לתשיעית אחד שלמה, באחד נשימנו תחתיו ונאמר הרי השלמנו לתשיעית שלמה וז' שיש בידינו, הרי כאן ח', בכמה ישלמו לשלם, באחד, נשים תחתיהם א‫' הרי לנו שנשאר מהאחד השלם תשיעית אחת ושביעית תשיעית ורביעית שביעית תשיעית ונחברם עם אשר בעליונה ויעלה שנשאר בידינו ב' שלימים וו' תשיעיות וד' רביעיות שביעית תשיעית [וג' רביעיות שביעית תשיעית] וכל זה ברור בטעם
The written procedure of completion: writing the numerator of the complement under the fraction to be complete; e.g. 1 under ¾ to indicate that ¼ is its complement $\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{3}{4}=\frac{4-3}{4}=\frac{1}{4}}}$	וכדי להקל מעליך המעשה, אתן לך כלל כי לאחרון אשר לצד שמאל, אשר שם יתחיל הצורך, נשים תחתיו כדי השלמת מספר שבריו למורה אשר עליו שוה בשוה
	ר"ל הג' רביעיות בכמה ישלימו הג' לד', שהוא המורה אשר עליו, בא', נשימנו תחתיו ובכל האחרים, עד אשר נמצא מקום רב, אשר משם נקח האחד אשר הוצרכנו
	לעולם נשים תחת מספר השברים כדי השלמתן למורה אשר עליהם חסר אחד והוא האחד אשר הושלם כבר באשר אחריו לצד שמאל
Another solving method - similar to the subtraction of integers - borrowing one unit from a fraction of a higher type, and marking the loan with a dot as a reminder	ואם היינו רוצים, היינו עושים כדרך שאנו עושי' בשלימי' ולא נצטרך להשלמה כלל
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle \left[3+\frac{5}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]-\left[\frac{7}{9}+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\frac{5}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left[\left(\frac{4}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\right]-\left[\frac{7}{9}+\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\frac{5}{9}+\left[\left(\frac{7}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]-\left[\frac{8}{9}+\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\left(\frac{9}{9}+\frac{5}{9}\right)+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]-\left(1+\frac{8}{9}\right)\\&\scriptstyle=3+\frac{6}{9}+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)-1\\&\scriptstyle=2+\frac{6}{9}+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}$	והוא שנאמ' ברביעיות, שהוא אחרון, ג' מב' לא יוכלו לצאת כלו, הא' ממקום השביעיות אשר לפניו ונשים נקודה על מספר השביעיות אשר לנו לגרוע, כדי שנזכור להסירו עמהם בהגיענו שם, כדרך שאנו עושים בשלימים להוסיף על הנגרעים א' בשביל הנקודה ונסירה כלו ממינו ואחר שלוינו האחד ושמנו זה הנקודה, נקח בעד זה האחד כמורה שהוא ד' ונאמ' ד' וב' הם ו', נסיר מהם הג', ישארו ג‫' ונאמר ה' שביעיות ונקודה הם ו', לא נוכל להסירם מהג', נשים נקודה על הז' תשיעיות אשר לנו לגרוע ונאמר זה האחד הוא ז' כמורה וג', הרי י', נסיר מהם ו', ישארו ד‫' עוד נאמר ז' ונקודה הם שמונה, לא יצאו מה', נשים נקודה מחוץ במקום הראוי לשלימים, אם היו לנו שלימים ונאמר זה האחד הוא ט' כמורה וה', הרי י"ד, נסיר מהם ח', ישארו [ו‫', עוד נסיר הנקודה, שהוא א' שלם, מהג' שלימים, ישארו ב'] ב' שלימים והנה כל המעשה אחד והכל ברור בטעם ודי למבין
Factorization of Fractions	מאמר התכת השברים והרכבתן, או שתיהן יחד
Factorizing a composite denominator into two denominators	לפי שלפעמים יצטרך להשיב מורים למורים אחרים בהשואה ובכלילת יופי להוציאם מן הכלל, ראיתי לבאר איך יותך מורה אחד לשני מורים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}}}$	וזהו כאשר המורה מורכב, כו', שהוא מורכב מב' וג', שנסירהו ונשים תחתיו ב'ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}}}$	וכן בעד ט' ג' ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}}}$	ובעד ח' ב' ד‫'
The rule: the product of the denominators should be the original denominator $\scriptstyle\frac{1}{a\sdot b}=\frac{1}{a}\sdot\frac{1}{b}$	זה הכלל שכפל המורים המושמים תחתיו יהיה כמו המוסר
Sometimes the opposite operation is needed - a defactorization of the denominators - replacing them by their common denominator $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}}}$	ולפעמים נעשה להפך, שנשים הב' אחד, ר"ל שנשים הב' והד' ונשים תחתיו הח' וכן בכללן
	וזהו כמו לשים האם תחת המורים, או המורים תחת האם
Other times all denominators are replaced by other divisors of their common denominator $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}}}$	ולפעמים נצטרך הכל, כגון שיש בידינו ו' ד' ואנו צריכים ג' ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}=\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{2}}}$	או שיש בידינו ג' ד' ואנו צריכים ו' ב‫'
The rule: $\scriptstyle\frac{1}{a}\sdot\frac{1}{b}=\frac{1}{a\sdot b}$	זה הכלל: אם אשר שמנו הוא א' במקום רבים, צריך שיהיה מספרו ככפל המורים זה בזה
$\scriptstyle\frac{1}{a\sdot b}=\frac{1}{a}\sdot\frac{1}{b}$	ואם רבים תחת אחד, שיהיה כפלם זה בזה כמספר המוסר
$\scriptstyle a\sdot b=c\sdot d\longrightarrow \frac{1}{a}\sdot\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\sdot\frac{1}{d}$	ואם רבים במקום רבים, שיעלה כפל אלו זה בזה ודי למבין

Additional Rules for Operations with Fractions	כלל קצר לכל פרקי השברים
Addition	החבור
$\scriptstyle b>d\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c+\frac{c\sdot\left(b-d\right)}{d}}{b}$	תכפול אשר מורהו, או מוריו, קטנים בתוספת מורי האחרת על מוריו ותחלקנו למורים הקטנים והיוצא בחילוק תחברנו לשברי שניהם חלקי המורה, או המורים הגדולים
If there is a remainder from the division of c·(b-d) by d: the denominators of this remainder are both b and d	ואם בחלוקה הראשונה ישאר דבר, הוא חלק מכל המורים גדולים וקטנים
$\scriptstyle\frac{3}{7}+\frac{2}{3}$	המשל אם אמרו חבר ג' שביעיות עם ב' שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}+\frac{2}{3}=\frac{3+2+\frac{2\sdot\left(7-3\right)}{3}}{7}=\frac{3+2+\frac{2\sdot4}{3}}{7}=\frac{3+2+\frac{8}{3}}{7}=\frac{3+2+2+\frac{2}{3}}{7}=\frac{7+\frac{2}{3}}{7}=1+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	כפול הב' בד' יהיו ח', חלקם לג' ויצא בחלוק ב' וישארו ב' וב' אלו, שיצאו בחלוק, חברם עם הג' והב', שהם שברי שני המספרי' ויעלה הכל ז', חלקם לז', יעלה א' ולא נשאר דבר וזה האחד היוצא בחלוק הוא א' שלם ואם היה נשאר דבר, היה שביעיות והב' שנשארו בחלוקה ראשון הם שלישיות שביעית נמצא שעלה מחבורם אחד שלם ושתי שלשיות שביעית
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+\frac{c\sdot b}{d}}{b}$	[ו]אם תרצה, כפול שברי האחד במורי האחרת וחלקנו למורי עצמה והיוצא ב בחלוק חברם לשברי האחרת ויהיו חלקים ממורי האחרת
If there is a remainder from the division of c·b by d: the denominators of this remainder are both b and d	ואם נשאר שום דבר בחלוקה הם חלקים ממורי שתיהן
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}+\frac{2}{3}=\frac{3+\frac{2\sdot7}{3}}{7}=\frac{3+\frac{14}{3}}{7}=\frac{3+4+\frac{2}{3}}{7}=\frac{7+\frac{2}{3}}{7}=1+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	המשל כפול ב' בז', יעלו י"ד, חלקם לג', יצאו ד' וישארו ב', חבר הד' לג', שהם שברי האחרת, יעלו ז' והם ז' שביעי[ו]ת, שהם א' שלם והב', שנשארו בחלוקה, הם ב' שלשיות שביעית
	והכל עולה לדרך אחד
Subtraction	החסרון
$\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\frac{a\sdot d}{b}-c}{d}$	כפול שברי הגדולה במורי הקטנה והעולה תחלקנו למורי הגדולה ומהיוצא בחילוק תחסר שברי הקטנה והעולה תחלקנו למורי הגדולה והנשאר הוא חלקים ממורי הקטנה והגדולה
If there is a remainder from the division of a·d by b: the denominators of this remainder are both b and d	[ואם נשאר דבר בחלוקה ראשונה, הם חלקים ממורי הקטנה והגדולה]
$\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{2}{8}$	המשל רצינו לחסר ב' שמיניות מג' רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}-\frac{2}{8}=\frac{\frac{3\sdot8}{4}-2}{8}=\frac{\frac{24}{4}-2}{8}=\frac{6-2}{8}=\frac{4}{8}}}$	נכפול הג' בח' ויעלו כ"ד, נחלקם לד', יצא בחילוק ו', נסיר מהם הב', ישארו ד' והם ד' שמיניות והוא הנשאר
	ואם בחלוקה הראשונה היה נשאר שום דבר, היה רביעיות שמיניות
Multiplication	ההכאה
$\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b}\sdot\frac{1}{d}$	כבר נרמז שאין צריך כי אם לכפול השברים בשברים והעולה הוא חלקים מכל המורים
$\scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{5}{6}$	המשל רצינו לכפול ד' שביעיות בה' שישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}\times\frac{5}{6}=\frac{4\sdot5}{6}\sdot\frac{1}{7}=\frac{20}{6}\sdot\frac{1}{7}=\frac{3}{7}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	הכה ד' בה' ויעלה כ' והם כ' שישיות שביעית וחלקם עליהם ויעלה ג' שביעיות וב' שישיות שביעית
Division	החלוק
$\scriptstyle\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\sdot d}{b}\sdot\frac{1}{c}$	כפול שברי הגדולה במורי הקטנה והעולה חלקנו למורי הגדולה ושברי הקטנה, בקחתך אותם למורים
$\scriptstyle\frac{6}{7}\div\frac{2}{5}$	המשל רצינו לחלק ו' שביעיות על ב' חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\div\frac{2}{5}=\frac{6\sdot5}{2}\sdot\frac{1}{7}=\frac{30}{2}\sdot\frac{1}{7}=2+\frac{1}{7}}}$	כפול ו' בה' ויעלה ל' והם חצאי שביעיות, חלקם עליהם, יעלה ב' שלימים ושביעית אחת
Proportions	הערכים
$\scriptstyle\frac{a_1}{b_2}:\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}:X\longrightarrow X=\frac{a_2\sdot a_3\sdot b_1}{a_1}\sdot\frac{1}{b_2}\sdot\frac{1}{b_3}$	כפול שברי השנית בשברי השלישית והעולה כפול אותו במורה הראשונה והעולה הם חלקים משברי הראשונה ומורי השנית והשלישית
$\scriptstyle\frac{3}{7}:\frac{8}{9}=\frac{4}{5}:X$	המשל רצינו לידע אם ג' שביעיות שוים ח' תשיעיות, ד' חמישיות כמה הם שוות
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{8\sdot4\sdot7}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{5}=\frac{32\sdot7}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{5}=\frac{224}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{5}=1+\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	נכפול הח' בד' ויעלה ל"ב, נכפול בז' יעלו 224 והם שלישיות תשיעית חמישית ונחלקם עליהם ויצא א' שלם וג' חמישיות וב' תשיעיות חמישית וב' שלישיות תשיעית חמישית
Roots	השרשים
$\scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a\sdot b}}{b}$	כפול שברי המספר במוריו ומהעולה נוציא שרשו, כמו שכתו' למעלה ויהיה חלקים ממוריו
$\scriptstyle\sqrt{\frac{2}{8}}$	המשל רצינו לדעת שרש ב' שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{8}}=\frac{\sqrt{2\sdot8}}{8}=\frac{\sqrt{16}}{8}=\frac{4}{8}}}$	נכפול ב' בח', יעלו י"ו, נקח שרשו והוא ד' והם ד' שמיניות והוא השרש
Additional rule for division of fractions	ולקצר עוד מעשה החלוק ולהשיב מיד תשובה נכונה לכל שואל נאיתרו לתחבל ולהחזירו להכאה, בהפוך הקטנה השברים למורים והמורים לשברים
$\scriptstyle\frac{6}{7}\div\frac{2}{5}$	המשל אם אמרו לך במשלינו הראשון רצינו לחלק ב' [ו'] שביעיות על ב' חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\div\frac{2}{5}=\frac{6}{7}\sdot\frac{5}{2}}}$	תשיב מיד שהם ו' שביעיות מה' חצאין והכה אותן והרי הוא כמעשה הראשון בעינו
Additional rule for proportions of fractions	וכן בערכים: הפוך הראשונה ותחזור להכאה
$\scriptstyle\frac{3}{7}:\frac{8}{9}=\frac{4}{5}:X$	פי' במשלנו כאשר אמרנו אם ג' ת שביעיות שוים ח' תשיעיות, ד' חמישיות כמה הם שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{3}{7}\sdot\frac{8}{9}\sdot\frac{4}{5}}}$	תשיב מיד שהם ז' שלישיות מח' תשיעיות מד' חמישיות והכה אותן והרי הוא כמעשה הראשון
	תם ונשלם ת"ל בורא עולם

Appendix: Bibliography

Jacob Canpanṭon
Castile, Spain, ca. 1430
Bar Noten Ta‛am
Manuscripts:

London, British Library Or. 1053 (IMHM: f 5932), ff. 1r-65r (cat. Margo. 1012, 1) (15th century)

Bar noten ṭa῾am (בר נותן טעם)

Bibliography:

Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, p. 186 (g99); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.

[1] ישעיהו מג, ד

[2] שיר השירים ד, י"א

[3] משלי ג, י"ז

[4] ישעיה ל"ג, י"ט

[5] מועד, מגילה, ב, א

[6] דברים ל"ב, ל"ז

[7] איוב י"ב, ו

[8] איוב טז, כ"ב

[9] מלכים א י"ח, כ"א

[10] מלכים א י"ד, ט"ו

[11] מלכים א ב, מ"א

[12] קהלת ז, כ"ט

[13] תהילים ע"ה, ח

[14] תהילים צ, י"ז

[15] איוב ל"ו, כ"ב

[16] ישעיה לג, כ

[17] דברים כ"א, י"ז

[18] ישעיה, י"ז, ה

[19] תהילים עג, ד

[20] 4v

[21] 5r

[22] rg.

[23] 5v

[24] 6r

[25] rg.

[26] rg.

[27] rg.

[28] 6v

[29] rg.

[30] 7r

[31] 7v

[32] 41r

[33] 41v

[34] rg.

[35] 42r

[36] 42v

[37] rg.

[38] תוספתא, מועד, פסחים א, א

[39] בבלי, קודשים, בכורות, דף ו, ב

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

בר נותן טעם

Contents

Prologue

Notes

Introduction: The Positional Decimal System

Table of Contents

Section One: Integers

Chapter One: Addition

Written Addition

Description of the Procedure

Example

Check

Reason: Procedure

Reason: Check

Chapter Two: Subtraction

Written Subtraction

Description of the Procedure

Example

Reason: Check

Check

Chapter Three: Multiplication

Written Multiplication

Description of the Procedure

Example

Check

Reason: Procedure

Reason: Check

Chapter Four: Division

written division

description of the procedure

example

check

reason: procedure

reason: check

divisibility of a number

3; 6; 9

2; 4; 8

7

5; 10

11

13

general rules

Repetitive division of a number by its [divisors]

Chapter Five: Proportions

Rule of Four

Rule of Three

Chapter Six: Roots

written extraction of roots

description of the procedure

examples

reason: procedure

Approximations

Section Two: Fractions

Introduction

Chapter One on Fractionalization

Chapter Two on Multiplication

Common Denominator

Chapter One: Addition

Summing fractions to one fraction

Chapter Two: Subtraction

Chapter Three: Multiplication

Notes

Chapter Four: Division

Chapter Five: Proportions

Chapter Six: Roots

General Rules for Operations with Fractions

Finding the Common Denominator

Completion of Fractions

Factorization of Fractions

Additional Rules for Operations with Fractions

Addition

Subtraction

Multiplication

Division

Proportions

Roots

Additional rule for division of fractions

Additional rule for proportions of fractions

Appendix: Bibliography

Navigation menu