משנת המדות

[Chapter One]
[1)] Geometry is determined by four ways: quadrilateral, triangular, circle, and a segment of a circle.	בארבעה דרכים המדידה נקצבת ואלו הן המרבעת והמשלשת והעגלה והקשותה
This is the rule:	זה הכלל
the second [= the triangle] is half the first [= the quadrilateral]	השנייה חצי הראשון
the fourth [= the segment of a circle] is half the third [= the third]	והרביעית חצי השלישית
and the rest [= the other geometrical shapes] interwoven with each other as an apron upon people	ושאר האחרות משלבות זו בזו כסינר בבריות
2) The quadrilateral [is recognized] by three categories: by the side, by the diagonal, and by the surface.	ב' המרובעת בג' פנים בצלע בחוט ובגג
What is the side? it is the holder of the surface's walls, as it is said: the altar shall be square.	אי זו היא הצלע זה המחזיק דופנותיו של גג שנ' רבוע יהיה המזבח‫
The diagonal is the cutting from an angle to an angle, end to end, and it is the greater length of the surface.	והחוט זה המפסיק מזוית לזוית מן הקצה אל הקצה והוא היותר בארכו של גג
The surface itself is the area.	והגג עצמו היא המשיחה
3) The triangle [is recognized] by four categories: by the side, by the base, by the height, and by the surface.	ג' והמשלשת בד' פנים בשני בצלע בקבע בעמוד בגג
The two sides are the two that are drawn on the right and on the left, as it is said: for right and left shall you prevail [Isaiah 54, 3].	אלו הן שני צלע זה השנ' משוכים ימין ויכין שנ' כי ימין ושמאל תפרוצי‫
The base is that upon which two sides are fixed, upon which the house rests [Judges 16, 26; 29].	והקבע זה ששני צלעים קבועים עליו שני אשר הבית נכון עליהם‫
The height is a perpendicular line descending from between the two sides to the base, and it is angled to the walls of the temple.	והעמוד זה חוט הכולל היורד מבין שני הצלעים לקבע והוא בזוית למקצעות המשכן
The surface itself is the area.	והגג עצמו היא המשיחה
4) The circle [is recognized] by three categories: by the perimeter, by the diameter, and by the surface.	ד' העגול בג' פנים בסביבה בחוט ובגג
What is the perimeter? it is the line that circumscribes the circle, as it is said: and a line of thirty cubits did compass it round about [Chronicles 2, 4, 2].	איזו היא סביבה הוא הקו המקיף את העגול שנ' וקו שלשים באמה יסב אותו סביב ‫
The diameter is the drawn from edge to edge, as it is said: from brim to brim [Chronicles 2, 4, 2].	והחוט זה המשוך משפה אל שפה שנ' משפתו אל שפתו‫
The surface itself is the area.	והגג עצמו היא המשיחה
5) The segment of a circle [is recognized] by four categories: by the arc, by the chord, by the sagitta, and by the surface.	ה' והקשותה בד' פנים בקשת וביתר ובחץ ובגג
What is the arc? it is the part of the circle, as it is said: like the appearance of the rainbow that is in the cloud [Ezekiel 1, 28].	איזו היא קשת החלק מן העגול שנ' כמראה הקשת אשר יהיה בענן‫
The chord is the holder of the arc, as it is said: bent bow [Isaiah 21, 15].	והיתר זה המחזיק בפי הקשת שנ' קשת דרוכה‫
The sagitta is the drawn from the middle of the arc until the middle of the chord, as it is said: they set their arrow on the bowstring [Psalms 11, 2].	והחץ הוא המשוך מאמצע הקשת לאמצע היתר שנ' כוננו חצם על יתר‫
The surface itself is the area.	והגג עצמו היא המשיחה
6) How is the area measured by number?	ו' כיצד מודדין את המשיחה במניין
Multiply one by one - it is the area, which is a cubit by a cubit.	אתה מחשב אחד על אחד זהו המשיחה והיא אמה על אמה
We find that the surface whose sides and angles are equal [= square] is measured side by side.	נמצא הגג השוה בצלעים ובזויותיו הרי אתה מונה אותם מכל צד
The rectangle that stands upon two of each side and its angles [are equal] - its measure holds 4 times the measure of 1, which is a cubit by a cubit.	והטבלא העומדת שנים מכל צד והזויות שנים והמדידה מחזקת ד' מונים במדת הא' שהיא אמה בתוך אמה
When it is 3 of each side - it is of [9] measures by the measure of 1	וכשהוא ג' מכל צד הרי היא בו' מונים במדת הא‫'
The same for 4 by 4.	וכן ד' על ד‫'
And 5 by 5.	וה' על ה‫'
From here on, multiply by this measure and up.	מכאן ואילך צא וחשוב במדה זאת ולמעלה
7) For those that are less than 1 - this is how you divide them:	ז' והפחותין מן הא' כך אתה מחלקן
One cubit into two diagonals, intersecting each other in the middle, from the right side to the [left] side, and from top to bottom.	אמה אחת לשני חוטין והמספיק את זה באמצע מצלע ימין לצלע ימין וכן מרום לתחת
Thus, we find the surface is divided into four sections.	נמצא הגג חלוק בד' פסקאות
You find half the cubit by half the cubit - the area itself is a part of [4] of the cubit, which is a quarter of each side.	ואתה מוצא חצי אמה על חצי אמה ומשיחה עצמה מחלק מ' אמה שהוא רבע מכל צד
The same for a third by a third, and a fifth by a fifth, for regulars or for irregulars	וכן שליש על שליש וחומש בתוך חומש בשוים ובחלופים
From here on, multiply the fractions by this measure and below.	מכאן ואילך צא וחשוב בשבורים במדה הזאת ולמטה
8) It has already been said:	ח' כבר אמרו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}}$	מחצה על מחצה הוא מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}}}$	וכן שליש על שליש הוא מתשע
For these and for similar, whether they are equal or unequal.	בהן ובדומין להן אלא בשוין ובחלופים
How do they know that this is how it is?	מני[ן] להם אב אהוא כך
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	אתה מונה עשרה על עשרה הרי הן עולין ק‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot10=5}}$	וחצי העשר הוא ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{5\times5=25=\frac{1}{4}\sdot100}}$	ה' פעמים ה' הם כ"ה והוא רבע ק‫'
The foundation of 10 is 1, the foundation of 100 is 10, and [the foundation of] 1000 is 100.	ומעמד הי' בא' ומעמד הק' בי' ואלף בק‫'
From here on, multiply the fractions by the measure of the integers.	מכאן ואילך צא וחשוב בשבורים במדה האחדים
For integers it adds, and for fractions it subtracts.	אבל באחדים הוא מוסיף ובפחותים הוא גורע
9) This is the rule:	ט' זה הכלל
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}}}$ a half of a half	מחצה על מחצה חצי המחצה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}}}$ [a third] of a third	ושליש על שליש חצי השליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}}$ half a third	וכן מחצה על השליש חצי השליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}}}$ a quarter of a third	וכן רביע על השליש רביע השליש
For these and for similar, whether they are equal or unequal.	בהן ובדומין להן בשוים ובחלופים

Chapter Two	פרק שני
[1)] The one who wants to measure the regular or irregular quadrilateral fields:	הרוצה למוד השדות המרבעות בשוים ובחלופים
Multiplies the length by the breadth, and the result is the area.	מצרף הארך על הרחב והעולה משניהם הוא הרחב המשיחה
2) For the triangle - whether regular or irregular:	ב' ובמשלשת בין בשוים בין בחלופים
Multiply the height by half the base, and the result is the area.	מצרף העומד בחצי הקבע והעולה משניהם היא המשיחה
	והרבה מבואותה בה
3) The circle how?	ג' העגולה כיצד
Multiply the diameter by itself, then subtract from it its seventh and its half of a seventh, and the remainder is the area. $\scriptstyle\left(2r\right)^2-\left[\frac{1}{7}\sdot\left(2r\right)^2\right]-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\sdot\left(2r\right)^2\right]$	מצרף החוט בתוך עצמו ומשליך ממנו שביעו וחצי שביעו והיתר היא המשיחה
as the diameter that is drawn to 7	כמו חוט שהוא משוך לז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{7^2=49}}$	וצרופו מ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{7}\sdot49\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\sdot49\right]={\color{red}{10+\frac{1}{2}}}}}$	ושביע וחצי שביע הוא
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{38+\frac{1}{2}}}$	נמצאת המשיחה ל"ח ומחצה
4) The segment how?	ד' הקשותה כיצד
Sum the sagitta and the chord together, and multiply it by half the sagitta, put them aside; then take half the chord and multiply it by itself, divide by 14, and add the result to the reserved; the outcome is the area. $\scriptstyle\left(\rm{sagitta+chord}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{sagitta}\right)+\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{chord}\right)^2}{14}$	נותן החץ על היתר שניהם בבת אחת ומצרף אותה בתוך חצי החץ ומעמידן לצד וחוזר ולוקח חצי היתר וצורפו בתוך עצמו ומחלק על י"ד והעולה מוסיפו על העומד והעולה היא המשיחה
It has other categories.	ויש בה פנים אחרים
5) The one who wants to measure the quadrilateral [body], whether regular or irregular, which has surface lengthwise, and breadthwise, six faces by number, six wings to each one [Isaiah 6, 2]:	ה' הרוצה למוד את הגג המרובע אפי' שהוא שוה אפי' הוא מחלף שהוא ארך ורחב הגג במניין שש פנים שש כנפים לאחד‫
Multiplies the length by the breadth by the height and the result is the area of the surface, which is the body.	מצרף ארך בתוך רחב בתוך העמק והעלה משלשתן היא משיחת הגג והוא הגוף
6) If it were circular, or triangular, or any other shapes, as long as its height is straight and equal:	ו' ואם היה עגול או משולש או לכל מיני צדדין מלבד שיהיה עמקו ישר ושוה
Measure its size by the said measure, to know its area, then multiply the known by the height, and this is the volume of the body.	ממה מודד הגג במדד שלו במדה שאמרו ותדע המשיחה והמודע אותה מצרפו בתוך העומק הוא משיחת הגוף
7) The conical, whose apex is sharp and base is planar, whether quadrilateral, or circular, or triangular:	ז' והמשוך ראשו חד וסופו ממוצע ואפי' מרובע או שיהיה עגול או משולש
You measure the area of the [base], subtract two thirds of the area, take the other third multiply it by the height, and the result is the volume of the body, from the apex to the base.	אתה מודד משיחת הגוף והשלך שני שלישי המשיחה ואחוז השליש אחר ואתה מצרפו בתוך הקומה והעולה הוא משיחת הגוף וראש ועד סוף
8) The one who needs to measure the hill, or a spherical thing, as long as its walls are even from each side, as the hemisphere or its similar:	ח' הצריך למוד התל או דבר מקובה ובלבד שיהיו דופנותיו שוות מכל צד כחצי כדור או כדומה לו
Multiplies one of the diameters from the edge to the edge by half the other, [then multiplies the result by three and a seventh] and the result is the volume.	מצרף א' מן החוטין מן הקצה אל הקצה בתוך חצי האחד והעולה משניהם היא המשיחה
9) [The text is unclear] Prism - the prism is either drawn to its upper base, and its upper base is sharp, or drawn to half its truncated base, or any that measures its bottom base and its truncated base, which is the truncated upper base.	ט' עמוד ובעמוד אם היה משוך לראשו וראשו חד או משוך לחציו הקובה או לכל שהוא מכין בסופו ובקטועו שהוא הקטוע הראש
They are separated from each other, as the measure of the bottom base, so one measures according to the cone calculation, subtractes the smaller from the [greater], and the remainder is the volume of the prism.	מוחלק זה מזה כשיעור הסוף ומודדו בחשבון האתרוג ומשליך הקטן מן החבל והנשאר הוא משיחת העמוד
10) How it is measured?	י' כיצד משער
For example: a quadrilateral prism, its bottom base is four cubits by four cubits, rising and becoming smaller, its upper base is two cubits by two cubits, you should know: how much is its volume and how much is its height?	כגון עמוד מרבע וסופו ד' אמות בתוך ד' אמות חסר ועולה חסר ועולה וראשו שתי אמות על שתי אמות רבוע וצריך אתה לידע כמה משיחתו וכמה קומתו
It has already been said about the cone, but this one is truncated.	וכבר נאמ' באתרוג אלא שזו קטוע
Still, you do not know how much is the prism until one ends at the top.	ועדין אי אתה יודע כמה הוא העמוד עד שיכלה אחד מלמעלה
11) In number you measure: as the measure of two from four so is the height of the prism, which is half the height.	י"א במניין אתה משערת מדת שתים מארבעה כן ארך העמוד שהוא חצי המעלה
We find the whole prism until the top ends, twenty cubits, and until the section, 10 cubits.	נמצא כל העמוד עד שיכלה הראש עשרים אמה ועד הקטופה י' אמות
Thus, you have learned that the measure of two from four is as the measure of ten from twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{2:4=10:20}}$	הא למדת שמדת שנים מן הארבעה כמדת הי' מן העשרים
12) The one who needs to measure: takes a third of the sharp upper base and multiplies it by the bottom base, they are 5 and a third, multiplies it by 20, the result is 106 cubits and two thirds of a cubit, and puts them aside. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{3}\sdot4\right)\times4\right]\times20=\left(5+\frac{1}{3}\right)\times20=106+\frac{2}{3}}}$	י"ב הצריך למוד אוחז שליש ראשו חד צורף בסוף והם ה' ושליש ומצרפו בתוך כ' אז הם עולים ק"ו אמות ושני שלישי אמה ומעמידן לצד אחד
Then, he takes a third of the product of the section, 2 by 2, which is a cubit and a third, and multiplies it by the ten upper cubits, the result is 13 cubits and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{3}\sdot\left(2\times2\right)\right]\times10=\left(1+\frac{1}{3}\right)\times10=13+\frac{1}{3}}}$	וחוזר ואוחז שליש צרוף הקטופה ב' על ב' והוא אמה ושליש ומצרפו בתוך עשר אמות עליונות והם עולים י"ג אמה ושליש
Subtract them from the 106 and two thirds, [93] and a third remain, which is the [volume] of the truncated body. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(106+\frac{2}{3}\right)-\left(13+\frac{1}{3}\right)={\color{red}{93}}+\frac{1}{3}}}$	והשלך מן ר"ו ושלישים נשתיירו שם ע"ט ושליש והוא מ"ב ומשליך אותם מן ק"ו ושלישים נשתיירו שם ש"ט ושליש והוא באת העמוד גוו הקטוע
If it were a circle: [multiply the diameter by itself], then subtract from it the seventh and half the seventh, and the remainder is [the area].	ואם היה עגול השלך ממנו השביע וחצי השביע זה נשאר בו הוא

Chapter Three	פרק ג‫'
[1)] There are five categories of the quadrilaterals, and these are:	חמשה פנים יש במרובעות ואלו הן
1) [Square] - its sides and its angles are equal.	ישרה בצלעותיה ובזויותיה
2) [Rectangle] - its sides are unequal and its angles are equal.	ב' ויש מי שהיא משונה בצלעותיה וישרה בזויותיה
3) [Rhombus] - its sides are equal and its angles are unequal.	ג' ויש שהיא ישרה בצלעותיה ומשונה בזויותיה
4) [Parallelogram] - its sides and its angles are unequal, the two lengths are equal, and the two breadths are equal.	ד' ויש שהיא ישרה משונה בצלעותיה ובזויותיה ושני ארכן שוין לבד ושני רחבן לבד
5) [Trapezium] - its sides and its angles are completely unequal	ה' ויש מי שהיא משונה בצלעותיה ובזויותיה כל עקר
2) [Square] - the equal in sides and angles, which is it?	ב' השוה בצלעות ובזויות איזו היא
For example: ten in each side.	כגון עשרה מן צד
Multiply the length by the breadth and the result is the area, which is 100. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	מצרף ארך על הרחב והעולה היא המשיחה והם ק‫'
The one side is its one root.	והצלע האחד הוא עקרה האחד
Its two sides are its two roots.	ושני צלעותיה הם שני עקרה
The same for 3 and 4.	וכן ג' וכן ד‫'
3) [Rectangle] - the unequal in sides and equal in angles:	ג' והמשונה בצלעותיה וישרה בזויותיה
For example: [8] in two sides, and 6 in two sides.	כגון ז' בשני צלע וששה בשני צלע
Multiply the length by the breadth, which is 48, and this is the area of the one that is [un]equal in side and equal in [angle]. $\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{8}}\times6=48}}$	מצרף ארך על רחב שהן מ"ח והיא המשיחה ישרה בצלע וישרה בקו
4) [Rhombus] - the equal in sides and unequal in angles, which is it?	ד' הישרה בצלעותיה ומשונה בזויותיה איזו היא
For example: 5 in each side, two acute angles, two obtuse angles, and two diagonals intersect each other in the middle - one is eight, and the other is six.	כגון ה' מכל צד ושני זויות צרים וב' זויות רחבים וב' חוטין מפסיקין זה את זה באמצע הא' משמנה והב' מששה
The one who wants to measure, multiplies one of the diagonals by half the other, and the result is the area, which is 24 cubits, like this.	והרוצה למוד מצרף הא' מן החוטין בתוך חצי חברו והעולה משניהם היא המשיחה כ"ד אמה כזה
5) [Trapezium] - the unequal in sides and angles, the two lengths by themselves, the two breadths by themselves, and the angles are unequal - how it is calculated?	ה' המשונה בצלעות ובזויות ושני ארכן לבד ושני רחבן לבד והזויות עקומות כיצד ממחשבה
Cut it in two [triangles], from angle to angle, and calculate each by it self as the measure of the triangle, and this is the area.	אמה פוסקה שנים מזוית לזוית ומעמיד בשניים ומחשב אחד כל בפני עצמה כמדת המשולשת וכן היא המשיחה
In this way you measure the calculation of the completely unequal [= Trapezium] by cutting it in two [triangles].	וכן אתה מודד חשבון המשנה בכל עקר וכל פסקה לשנים
For any irregular quadrilateral, cut it in two triangles, like this.	המרבעות המשונות עשה אותם משלישותיה המשונה בכל עקר כזה פסקה לשנים

Chapter Four	פרק ד‫'
[1)] There are three types of triangles: the right-angled, the acute-angled, and the obtuse-angled.	שלש מדות במשלשת ואלו הן הנצבה החדה הפסוחה
Which is the right-angled triangle?	איזו היא נצבה
[Pythagorean Theorem:] [the sum of] its two short sides, each multiplied by itself, is equal to the first [side multiplied by itself].	שני צדיה הקצורים מצורפים כל אחד בפני עצמו והוא שוה לראשון
For example: six on one side, and eight on the other side	כגון ששה מצד זה ושמנה מצד זה
The [sum of the] products of each of them by itself is one hundred, and the product of this by itself is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{6^2+8^2=100=10^2}}$	והעולה מאלו בפני עצמן מאה ומזה בפני עצמן מאה
The one who needs to measure: [multiplies one of] the short sides by half the other - 8 by 3, or 6 by 5 - and the result is the area. $\scriptstyle{\color{blue}{8\times\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)=8\times3=6\times\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=6\times5}}$	והצריך למוד מן הקצורים בתוך חצי חברו או ח' בתוך ג' או ו' בתוך ה' והעולה היא המשיחה
2) The angle that stands between the short sides is the right angle.	ב' והזוית שהיא עומדת בין הקצורים היא הנצבה
The [right-angled triangle] is half the unequal in sides and equal in angles [= Rectangle]	והיא חצייה של מרובעת שהיא משונה בצלעים וישרה בזויות
The one who seeks to multiply it by the height:	המבקש לחשבה בעמוד
Multiplies as usual, i.e. its two short sides are its two heights, and they are attached.	יחשוב כדרכו והוא ששני צלעותיה הקצורים כן הם שני צלעותיה עמודיה והם דומים סמוכים ישרים
3) [Or] the height is drawn from them to the longer side [= the hypotenuse], which is the base.	ג' והעמוד המשך מהם אל צד הארוך נופל והוא מקבע
The one who wants to measure:	והרוצה למוד
Multiplies the height by half the base, and the result of the calculation is the area.	מצרף העמוד בתוך החצי הקבע והעולה מן החשבון היא המשיחה
4) The acute-angled triangle how?	ד' החדה כיצד
Each of its two short or equal sides is multiplied by itself, then both [products] are summed together.	שני צלעותיה קצורים או השוים כל אחד ואחד מצורף בפני עצמה קבועים זה עם זה
The third side, which is the hypotenuse, is multiplied by itself, and the first [sum] is greater than the last [product]. $\scriptstyle a^2+b^2>c^2$	והצלע השני שהוא הקבוע מצורף בפני עצמו הצרוף הראשון ויותר מן האחרון
Among the acute-angled triangles are those whose sides are equal	ויש מן החדה שצלעותיה ישרות
The one who wants to measure:	והרוצה למוד
Multiplies [the height] by the base.	מחשב אותה כנגד הקבע
We find the angles are acute as the measure of the first so is the measure of the last of the acute.	נמצא הזויות חדות כמדת הראשון כן מדת האחרון מן החדים צלעי
5) The one who wants to know the measure of the height in an equilateral triangle:	ה' הרוצה לדעת במדת העמוד בצלעות השוות
Multiplies one of the sides by itself, [and half the other side by itself], then subtracts the smaller from the greater - the remainder is the radicand and the found is the height.	מצרף את האחד מן הצלעות בתוך עצמו ומשליך המיעוט מן המרובה והנשאר הוא היסוד והנמצא הוא העמוד
6) How it is multiplied?	ו' כיצד מונים
$\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100}}$	עשרה על עשרה ק‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2=5^2=25}}$	וחצי הצלע השני שהוא ה' מצורף בפני עצמו כ"ה
subtracting the smaller from the greater, the remainder is: $\scriptstyle{\color{blue}{100-25=75}}$ which is the radicand.	ומשליך הקטן מן הרב נשאר שם ע"ה והוא היסוד
Its root is 5 and a remainder.	ועקרו ה' ושירים
The one who needs to measure:	והצריך למוד
Multiplies the root by half the bottom side, and the result is the area, which is 43 and a remainder.	מצרף העקר בתוך החצי הצלע התחתון והעולה מן המשיחה שהיא מ"ג ושירים
7) Other categories of triangles:	ז' שבעה פנים אחרות ממשולשות
The equilateral triangle	השוה בצלעותיה כל צלע וצלע
Seeing each by itself: the said of this by this and the said of this by this	ראיה בפני עצמו את האמור של בזה ואת האמור של זה בזה
The one who understands [?] multiplies one of them by itself, which is 100, and subtracts the quarter, which is 25, and the remainder is 75. $\scriptstyle{\color{blue}{10^2-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2=100-\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)=100-25=75}}$	והמבין בתפוח מצרף אחד מהם בפני עצמו שהם ק' ומשליך את הרבע שהוא כ"ה ונשאר ע"ה
The one who needs to measure:	והצריך למוד
Multiplies: $\scriptstyle{\color{blue}{75\times25=\left(\frac{3}{4}\sdot100\right)\times\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)=1875}}$	מצרף ע"ה בתוך כ"ה שהם ג' רבעים ברבע כ"ה אחד והם עולים אלף ות"ת וע"ה
Then extracts the root: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1875}=43+\rm{remainder}}}$ which is the area.	ותופש את העיקר והוא המשיחה והוא מ"ג ושירים
Hence, you find the height of half the base [?].	מכאן אתה מוצא שהעמוד של חצי הקבע ס"א נופל לעולם
8) Thus, you have extracted the equilateral triangle and its similar, but the calculation of the scalene triangle, you do not have more difficult than it in the calculation of area.	ח' הרי שהוצאת השוה וכן הדומה לו אבל חשבון חלופים אין לך קש[ה] מהם בחשבון המשיחה
The pedantic concerning them will [become wise] whether in [the calculation of] the sides or in [the calculation of] the height and the base.	והמדקדק בהם יש[כ]יל [בין ב]צלעים בין בעמוד עם הקבע
9) How it is measured?	ט' כיצד משער
For example: a scalene acute-angled triangle - 15 on one side, 14 on second side, 13 on third side.	כגון משלשת חלופים שהיא חדה בזויות ט"ו מצד ראשון י"ד מצד שני י"ג מצד שלישי
[Heron's Formula] The one who needs to measure, sums the three of them together, the sum is 42. $\scriptstyle{\color{blue}{15+14+13=42}}$	והצריך למוד מחזיק שלשתן בבת אחת עולים מ"ב
He takes its half and looks by how much it exceeds the first side, then multiplies the half by the excess, which is 21 by 6, the result is 126; he puts it aside. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)\times\left[\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)-15\right]=21\times6=126}}$	ולוקח את המחצה ורואהו כמה הוא יתר על צד ראשון ומצרף המחצה על היתר שהוא כ"א בתוך ו' והם נעשים קכ"ו ומעמידו לצד
He takes its half and looks by how much it exceeds the second side, then multiplies the excess, which is 7, by the former 126, the result is 882; he puts it aside. $\scriptstyle{\color{blue}{126\times\left[\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)-14\right]=126\times7=882}}$	וחוזר שנית ולוקח את המחצה ורואה כמה הוא יתר על צד שני ומצרף את היתר שהוא ז' בתוך קכ"ו הם הראשונים והם עולים ת"ת ופ"ב ומעמידו לצד
He takes its half and looks by how much it exceeds the third side, then multiplies the excess, which is 8, by the other 8[8]2, the result is 7056. $\scriptstyle{\color{blue}{882\times\left[\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)-13\right]=882\times8=7056}}$	וחוזר שלישית ולוקח המחצה ורואה כמה הוא יתר על צד שלישי ומצרף את היתר שהוא ח' בתוך ת"ת וכ"ב האחרים והם עולים ז' אלפים ונ"ו
Its root is 84, which is the measure of the area. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7056}=84}}$	ועקרם פ"ד והם הם שיעור המשיחה
10) The obtuse-angled triangle how?	י' הפסוחה כיצד
Each of its short sides is multiplied by itself, then they are summed together.	צלעותיה הקצרים כל אחד מהם מצורף בפני עצמו ומוסיפין זה על זה
The third side, which is the hypotenuse, is multiplied by itself.	והצלע הג' שהוא הקבע מצורף בפני עצמו
The last product is greater than the first [sum]. $\scriptstyle a^2+b^2<c^2$	הצירוף האחרון יתר מן הראשון
For example: 5 on this side, 6 on that side, 9 on the [third] side.	כמו ה' מצד ו' מצד זה ט' מצד ז‫'
One of the angles is obtuse angle.	נמצאת א' מן הזויות כסוחה ורחבה
We find the first 61: $\scriptstyle{\color{blue}{5^2+6^2=61}}$	נמצא הראשון ס"א
and the last 81: $\scriptstyle{\color{blue}{9^2=81}}$	והאחרון פ"א
The one who needs to measure:	והצריך למוד
Multiplies the height by the base.	מחשבה ברורה בעמוד עם הקבע
Or, if he wishes, he calculates according to the calculation of the sides and the half [Heron's Formula]	ואם חפץ הוא בחשבון הצלעים והמחצה מחשבה
Always one [and the same] measure.	מדה אחת לעולם

Chapter Five	פרק ה‫'
[1)] There are three types of circle: the sphere, the hemisphere, and the circle.	שלש מדות בעגולה ואלו הן התלויה התלולה והשפלה
Which is the sphere?	אי זו היא התלויה
It is the circular from every side, as a ball, or the volume is as watermelon that is circular in its perimeters, as long as its circle is equal in measure by length, breadth, and depth.	זו היא העומדת עקר ד' עגולה מכל צד כדור או שהיתה המשיחה כאבטיח שהיא העגולה לסביבותיה ובלבד עגולתה בשוה ארך ורחב ועמק במדה
How one measures?	כיצד מודד
Multiplies the diameters, one by half itself, [then multiplies the product by 3 and a seventh], doubles it, and the result is the volume.	מצרף את החוטין הא' בתוך חצי עצמו והעולה היא המשיחה והכפל אותה שהן קירותיה
2) Which is the hemisphere?	ב' התלולה אי זו היא
It is half the sphere, as a hill, or convex, as long as it is equal.	זו שעומדת כחצי התלויה כתל או כמו נקובה ובלבד שתהא שוה
The one needs to measure:	והצריך למוד
Multiplies one of the diameters from end to end by half the other, or by half itself, [then multiplies the product by 3 and a seventh], and the result is the volume.	מצרף אחד מן החוטין מן הקצה אל הקצה בתוך חצי האחד או בתוך חצי עצמו והעולה היא המשיחה
3) Which is the circle?	ג' השפלה אי זו היא
It is the given on the ground, as a circular field, or a circular shape.	זו הנתונה על הארץ כשדה עגולה או צורה עגולה
The one who needs to measure:	הצריך למוד
Multiplies the diameter by itself, then subtract from it its seventh and half its seventh, and the remainder is the area of its surface.	מצרף החוט בתוך עצמו ומשליך ממנו שביעו וחצי שביעו והנשאר הוא המשיחה הוא גגה
If you want to know the perimeter:	ואם אתה חפץ לידע את הסיבוב חלילה חלילה
He multiplies the diameter by 3 and a seventh and the result is 22. $\scriptstyle2r\times\left(3+\frac{1}{7}\right)=2r\times\frac{22}{7}$	הוא מצרף את החוט בתוך ג' ושביע ועולה כ"ב
If you wish to measure the area:	ואם אתה חפץ לשער את המשיחה
Take half the perimeter, which is 11, and multiply it by half the diameter, which is 3 and a half, and the result is 38 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot7\sdot\frac{22}{7}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot7\right)=11\times\left(3+\frac{1}{2}\right)=38+\frac{1}{2}}}$	אחוז חצי הסביבה שהיא י"א וצרף אותה בחצי החוט שהוא ג' וחצי ועולין ל"ח ומחצה
As in the first, so is the last.	כן בראשונה כן באחרונה
[4)] For he says: And he made the molten sea, ten cubits from brim to brim; round all about [Kings I, 7, 23], and its height 30 cubits, as it is said: and a line of thirty cubits did compass it round about.	הרי הוא אומר ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו אל שפתו עגל סביב ושלשים אמה קומתו שנ' וקו שלשים באמה סב אתה סביב‫
The scripture says: a line of thirty cubits and so on, since the people of the land believed concerning the circle, that the perimeter holds three and a seventh times the diameter minus one seventh of the thickness of the sea for the two shores, and there were thirty cubits remain compass it round about.	מה תלמוד וקו שלשים באמה וגומ' לפי שאמרו בני ארץ בעגולה שהסביבה מחזקת שלש פעמים ושביע כחוט יצא מהם שביע אחד בעביו של ים לשתי שפתות ונותר ל' שם אמה יסוב אותו סביב
By this one measure, the seas, the ritual baths, and the wells are equal in length, breadth, and depth.	ובשעור הזה אחד שוים הימים והמקואות והבורות בארך וברחב ועמק
Thus, you have learned the measure of the circle.	הא למדת מדה העגולה
5) Three things were said concerning the circular segment, which are: the semicircle, the deficient, and the surplus.	ה' ג' דברים נאמרו בקשותה ואלו הן הישרה החסרה והיתרה
Which is the semicircle?	איזו היא ישרה
Any segment that is half a circle, no more and no less.	כל שהיא עומדת בחצי העגולה לא חסר ולא יתר
The deficient segment is any segment that is smaller than a semicircle.	החסרה כל שהיא פחותה מחצי העגולה
The surplus segment is any segment that is greater than a semicircle.	והיתרה כל שהיא עודפת על חצי העגולה
This is the rule:	זה הכלל
For any [segment] whose [versine] is smaller than half the chord, [it is known] that it is deficient segment.	כל שחצייה עומד פחות מחצי היתר שהיא חסרה
For any [segment] whose [versine] is greater than half the chord, it is known that it is surplus segment.	וכל שחצייה יותר מחצי היתר בידוע שהיא יתרה
6) The one who wants to measure the [semicircle]:	ו' הרוצה למוד את היתר הישרה
Multiplies the whole diameter by itself, and subtracts from it its seventh and [half its seventh], then subtract from the remainder its half, and the found is the area.	מצרף את היתר בתוך עצמו כולו ומשליך ממנו שביעו והנותר משליך חציו והנמצא הוא המשיחה
7) As for the others, one should know how much is the measure of their circle	ז' והאחרות צריך אתה לידע כמה שיעור עגלתה
How? multiplies half the chord by itself, divides the product by the versine, then adds the quotient to the versine, and the result is the diameter of the circle.	כיצד מצרף את חצי היתר בתוך עצמו והעולה מחלקו על החץ והנמצא מן החלוק מוסיפו מן החץ והעולה הוא חוט העגולה
He takes half this diameter, multiplies it by half the [arc], puts the result aside, and looks:	ואוחז חצי החוט הזה ומצרף אותו בתוך חצי החץ והעולה מעמידו על צד ורואה
If the segment is deficient, he subtracts its versine from half the diameter of the circle, multiplies the remainder by half the chord, then subtracts it from what was put aside, and the remainder is the area.	אם היתה הקשותה חסרה משליך חצה מחצי חוט העגולה ומצרף הנותר בתוך חצי היתר ופוחת אותו מן הצד והנשאר מן המשיחה י"ח ומשליך
If the segment is surplus, he subtracts [half the diameter of] the circle from its versine, multiplies the remainder by half the chord, then adds it to what was put aside, and the sum is the area.	ואם היתה הקשותה יתרה משליך העגולה מחצה עצמה ומצרף את הנשאר בתוך חצי היתר ומוסיף אותו על הצד והעולה היא המשיחה
As the measure of the first, so is the measure of the latter.	כמדת הראשון כן מדת האחרון‫

Chapter Six	פרק ו‫'
[1)]So he says: the length of the courtyard shall be one hundred cubits [Exodus 27, 18]	הרי הוא אומ' אורך החצר מאה באמה‫
If the length was fifty by fifty, what the scripture says?	אם האורך היה חמשים בחמשים מה תל' לו‫'
If the breadth was fifty by fifty, what the scripture says concerning one hundred cubits?	ואם הרוחב חמשים בחמשים מאה באמה מה תל' לו‫'
The sides of the courtyard were not equal, how come?	וצלעי החצר אינן שוים הא כיצד
Fifty by fifty in front of the Tent of Meeting, on the east side, where the washstand and the altar for the burnt offering are.	חמשים בחמשים לפני אהל מועד לצד מזרחי שבו נתון כיור ומזבח העולה
And the remaining three, fifty by fifty, which are south, west and north:	ושלשה הנותרים חמשים בחמשים שהם דרום ומערב וצפון
Twenty cubits on each side, and the tent in the middle, thirty in length and ten in width, minus one cubit for the thicknesses of the planks.	עשרים אמה לכל רוח והאוהל באמצע שלשים אורך ועשר רוחב צא מהן אמה אחת לעובין של קרשים
Nineteen cubits remain there in each direction.	נותר שם תשע עשרה אמה לכל רוח
We find the thicknesses of the planks with the ground one cubit minus the thicknesses of the socket.	נמצא עובין [של קרשים עם הקרקע אמה אחת חסר עוביו] של אדן
2) Nehemiah says: the sides of the Tent were found from the inside seventy whole cubits; from the outside, with the ground, seventy four cubits, minus the thicknesses of the sockets on each side; on the middle their thicknesses was seventy two cubits minus slightly from each side; mostly their thicknesses was seventy one minus slightly from each side, which is seventy cubits and a remainder; and the top of the planks was just seventy cubits.	ב' נחמיה אומ' נמצאו צידי האוהל מבפנים שבעים אמות שלימות ומבחוץ עם הקרקע שבעים וארבע אמות חסר עובין של אדנים [לכל צד] ובאמצע עובין שבעים ושתי אמות חסר קימאה מכל צד וברוב עובין שבעים ואחת אמה חסר קימאה מכל צד שהוא שבעים אמה ושיריים וראשן של קרשים שבעים אמה בלבד
Thus, you learn that the thicknesses of the planks on the outside has been reduced to the top.	הא למדתה שהיו עוביין של קרשים מבחוץ כלין ועולין עד הראש
Accordingly, the breadth of two planks [on the west] has been reduced at length diagonally hither and thither to both corners, facing the thicknesses of the planks [on the south and on the north], and with their backs reduced towards six planks.	וכנגדן רוחבן של שני קרשים לעומת האורך היו חסירים ועולין לוכסון מיכן ומיכן לשני המקצועות כנגד עוביין של קרשים ובגביהן כלין ועולין כלפי ששה קרשים
And the curtains were spread, their length against the width of the tent and their width against its length.	והיריעות פרוסות אורכן כנגד רוחבן של אוהל ורוחבן כנגד אורכו
3) It is said: those two planks were smaller than all the planks as the measure of the third of the one.	ג' נמצאת אומ' שהיו שני קרשים הללו קטנים מכל הקרשים כשיעור השליש מן האחד
How much was the measure of the planks?	כמה היתה מידתן של קרשים
One cubit and a half in breadth by ten cubits in length, that are fifteen cubits. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\times10=15}}$	אמה וחצי רוחב על עשר אמות אורך שהן עולין חמש עשרה אמה
Of [the] two planks?	של שני קרשים
One cubit and a half on the bottom by a half of a cubit on top, that are ten cubits: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\frac{1}{2}+\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]\times10}{2}=10}}$	אמה וחצי אמה מלמטן וחצי אמה מלמעלן שהן עשר אמות
A half of a cubit in breadth by ten cubits in length, are five cubits on the inside; and the same for the other side.	חצי אמה רוחב על עשר אמות אורך חמש אמות מבפנים וכן לצד השיני קרשים
There was one cubit remain on the bottom, decreasing diagonally against the thicknesses of the planks from the outside on the north and south, which are the other five cubits.	נשתייר שם אמה אחת מלמטן חסר עולה לוכסון כנגד עוביין של קרשים מבחוץ שבצפון ושבדרום שהן חמש מאות אחרות
So he says: And they shall be matched evenly from below [Exodus 26, 24]	כן הוא אומ' והיו תואמים מלמטה‫
And it is written: And there shall be eight planks [Exodus 26, 25]	וכת' והיו שמונה קרשים‫
So shall the Mishkan become one [Exodus 26, 6] no more and no less.	והיה המשכן אחד לא חסר ולא יותר
4) We find the thicknesses of the planks with half their height, that are against the hangings of the courtyard, their thicknesses there is half a cubit only, no more and no less, which is with half the [hanging?] from the outside 48 planks evenly.	ד' נמצא עוביין של קרשים עם חצי קומתן שהוא לעומת קלעי החצר עוביין שם חצי אמה בלבד לא חסר ולא יתר והוא עם חצי הכלא מבחוץ לארבעים ושמונה קרש בשוה
What do I uphold then?	אם כן מה אני מקיים
And the middle bar in the midst of the planks shall pass through from end to end [Exodus 26, 28]	והבריח התיכון בתוך הקרשים מבריח מן הקצה אל הקצה‫
Surely, this middle bar, which has length, breadth and depth, was seen from outside on the planks.	והלא התיכון הזה שהוא אורך ורוחב ועומק היה נראה מבחוץ על גבי הקרשים
This bar should have been pierced in the thicknesses of the planks.	וצריך שיהיה הבריח הזה בנקובת עוביין של קרשים
But, there is no thickness at all there but half a cubit from the outside and from the inside, how come?	והרי אין שם עובי כלל אלא חצי אמה בלבד מחציו ולפנים הא כיצד
Indeed, all the apertures should be in thicknesses of half the remaining cubit with half the height beside the Tent, a quarter of a cubit here, and a quarter of a cubit there, and the bar latches them, so that there would be four that are holding from the outside and it [= the middle bar] from within.	אלא שיהו הנקובות כולן בתוך עובי חצי האמה הנשארה עם חצי הקומה לצד האוהל רביע אמה מיכן ורביע אמה מיכן והבריח מבריחן כדי שיהו ארבעה נאחזים מבחוץ וזה בפנים
5) We find the measure of the length of middle bar seventy cubits and a remainder and it is the root of five thousand cubits, which cannot be calculated [= irrational]. $\scriptstyle{\color{blue}{70+\rm{remainder}=\sqrt{5000}}}$	ה' נמצא מקום אורך הבריח התיכון שבעים אמה ושירים והוא עיקר חמשת אלפים אמה ואינו יוצא בחשבון
This remainder, its half was on this corner and its half was on that corner, on the westward end.	והשירים הזה חציו היה בזוית זה וחציו היה בזוית זה בירכתים ימה
Thus, you have learned the measure of the root from the Torah.	הא למדתה מידת העיקר מן התורה
The root is a sign of the Holy Word.	סימן לדבר הקודש עיקר
As the table whose [volume?] is the root of [the sum of] its three sides.	כיוצא בו בשולחן שהיה תוכו עיקר צלעותיו שהן שלש [...]
Also the golden altar whose [volume?] was the root of half [the sum of] its sides.	[וכן] במזבח הזהב שהיה תוכו עיקר חצי צלעותיו
[Cannot be calculated] that is to say that there are roots that can be calculated, and there are roots that cannot be calculated, only approximately.	ויצאו להבן בחשבון הוי או' שהעיקר יש בו שהוא יוצא ויש בו שאינו יוצא אבל יוצא הוא בקרוב לו
6) How much is its approximation?	ו' כמה הוא הקרוב לו
It is written: the length of the courtyard shall be one hundred cubits [Exodus 27, 18]	כת' ארך החצר מאה באמה וג‫'
One hundred in length by fifty in breadth are five thousand cubits, and their root is seventy and a remainder by seventy and a remainder. $\scriptstyle{\color{blue}{100\times50=5000}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5000}=70+\rm{remainder}}}$	מאה אורך על חמשים רוחב חמשת אלפים אמה ועיקרם שבעים ושיריים על שבעים ושיריים
How much are seventy cubits and seven tenths of a cubit?	וכמה הן שבעים אמה ושבעה עשרונים מן האמה
When multiplied they yield four thousand, nine hundred, and ninety-eight cubits, and a half minus a little. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(70+\frac{7}{10}\right)^2=4998+\frac{1}{2}-\rm{somewhat}}}$	והמצרפן הן עולין ארבעת אלפים אמה ותשע מאות ותשעים ושמונה אמה מחצה חסר קימאה
$\scriptstyle{\color{blue}{70\times70=4900}}$	כיצד מצרפן שבעים אמה על שבעים אמה ארבעת אלפים ותשע מאות אמה
$\scriptstyle{\color{blue}{70\times\frac{7}{10}=49}}$	ושבעים אמה על שבעה עשרנים ארבעים ותשע אמה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{10}\times70=49}}$	ושבעה עשרנים על שבעים אמה ארבעים ותשע אמה אחרות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{10}\times\frac{7}{10}=\frac{1}{2}-\frac{36}{3600}}}$	ושבעה עשרנים על שבעה עשרנים חצי אמה חסר שלשים וששה חלק מן הסעורה
one cubit = 60 seʼurah	שהאמה כולה ששים סעורה
seʼurah = 60 parts $\scriptstyle{\color{blue}{60\sdot\frac{1}{3600}}}$	והסעורה ששים חלק
Four faces each for each one [Ezekiel 10, 21]	ארבעה פנים לאחד‫
They were multiplied four times [= four interim products]	כבר נצרפו ארבעה פעמים
The pedantic adds.	והמדקדק מוסיף
How much does he add?	במה הוא מוסיף
$\scriptstyle{\color{blue}{70+\frac{7}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	שבעים אמה ושבעה עשרנים וחצי שתות [העשרון]
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[70+\frac{7}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]^2=4999+\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{60}\right)}}$	והמצרפן הן עולין ארבעת אלפים ותשע מאות תשעים ותשע אמות ושני שלישי אמה ועשירית הסעורה [ורובע שתות מעשירית] הסעורה
	והמוסיף הוא עודף על הצירוף [סימן באדם ובה]מה יצאו כנים מן הבהמה

München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 36/11 (IMHM: f 1166), ff. 138v-140r (Istanbul, 1485)