משנת המדות

[Chapter One]
[1)] Geometry is determined by four ways: quadrangular, triangular, circle, and a segment of a circle.	בארבעה דרכים המדידה נקצבת ואלו הן המרבעת והמשלשת והעגלה והקשותה
This is the rule:	זה הכלל
the second [= the triangle] is half the first [= the quadrangular]	השנייה חצי הראשון
the fourth [= the segment of a circle] is half the third [= the third]	והרביעית חצי השלישית
and the rest [= the other geometrical shapes] interwoven with each other as an apron upon people	ושאר האחרות משלבות זו בזו כסינר בבריות
2) The quadrangle [is recognized] by three ways: by the side, by the diagonal, and by the surface.	ב' המרובעת בג' פנים בצלע בחוט ובגג
What is the side? it is the holder of the surface's walls, as it is said: the altar shall be square.	אי זו היא הצלע זה המחזיק דופנותיו של גג שנ' רבוע יהיה המזבח‫
The diagonal is the cutting from an angle to an angle, end to end, and it is the greater length of the surface.	והחוט זה המפסיק מזוית לזוית מן הקצה אל הקצה והוא היותר בארכו של גג
The surface itself is the area.	והגג עצמו היא המשיחה
3) The triangle [is recognized] by four ways: by the side, by the base, by the height, and by the surface.	ג' והמשלשת בד' פנים בשני בצלע בקבע בעמוד בגג
The two sides are the two that are drawn on the right and on the left, as it is said: for right and left shall you prevail [Isaiah 54, 3].	אלו הן שני צלע זה השנ' משוכים ימין ויכין שנ' כי ימין ושמאל תפרוצי‫
The base is that upon which two sides are fixed, upon which the temple is founded.	והקבע זה ששני צלעים קבועים עליו שני אשר הבית נכון עליהם
The height a perpendicular line descending from between the two sides until the base, and it is angled to the walls of the temple.	והעמוד זה חוט הכולל היורד מבין שני הצלעים לקבע והוא בזוית למקצעות המשכן
The surface itself is the area.	והגג עצמו היא המשיחה
4) The circle [is recognized] by three ways: by the perimeter, by the diameter, and by the surface.	ד' העגול בג' פנים בסביבה בחוט ובגג
What is the perimeter? it is the line that circumscribes the circle, as it is said: and a line of thirty cubits did compass it round about [Chronicles 2, 4, 2].	איזו היא סביבה הוא הקו המקיף את העגול שנ' וקו שלשים באמה יסב אותו סביב ‫
The diameter is the drawn from edge to edge, as it is said: from brim to brim [Chronicles 2, 4, 2].	והחוט זה המשוך משפה אל שפה שנ' משפתו אל שפתו‫
The surface itself is the area.	והגג עצמו היא המשיחה
5) The segment of a circle [is recognized] by four ways: by the arc, by the chord, by the sagitta, and by the surface.	ה' והקשותה בד' פנים בקשת וביתר ובחץ ובגג
What is the arc? it is the part of the circle, as it is said: like the appearance of the rainbow that is in the cloud [Ezekiel 1, 28].	איזו היא קשת החלק מן העגול שנ' כמראה הקשת אשר יהיה בענן‫
The chord is the holder of the arc, as it is said: bent bow [Isaiah 21, 15].	והיתר זה המחזיק בפי הקשת שנ' קשת דרוכה‫
The sagitta is the drawn from the middle of the arc until the middle of the chord, as it is said: they set their arrow on the bowstring [Psalms 11, 2].	והחץ הוא המשוך מאמצע הקשת לאמצע היתר שנ' כוננו חצם על יתר‫
The surface itself is the area.	והגג עצמו היא המשיחה
6) How is the area measured by number?	ו' כיצד מודדין את המשיחה במניין
Multiply one by one - it is the area, which is a cubit by a cubit.	אתה מחשב אחד על אחד זהו המשיחה והיא אמה על אמה
We find that the surface whose sides and angles are equal [= square] is measured side by side.	נמצא הגג השוה בצלעים ובזויותיו הרי אתה מונה אותם מכל צד
The rectangle that stands upon two of each side and its angles [are equal] - its measure holds 4 measures by the measure of 1, which is a cubit by a cubit.	והטבלא העומדת שנים מכל צד והזויות שנים והמדידה מחזקת ד' מונים במדת הא' שהיא אמה בתוך אמה
When it is 3 of each side - it is of [9] measures by the measure of 1	וכשהוא ג' מכל צד הרי היא בו' מינים במדת הא‫'
The same for 4 by 4.	וכן ד' על ד‫'
And 5 by 5.	וה' על ה‫'
From here on, multiply by this measure and up.	מכאן ואילך צא וחשוב במדה זאת ולמעלה
7) For those that are less than 1 - this is how you divide them:	ז' והפחותין מן הא' כך אתה מחלקן
One cubit into two diagonals, intersecting each other in the middle, from the right side to the [left] side, and from top to bottom.	אמה אחת לשני חוטין והמספיק את זה באמצע מצלע ימין לצלע ימין וכן מרום לתחת
Thus, we find the surface is divided into four sections.	נמצא הגג חלוק בד' פסקאות
You find half the cubit by half the cubit - the area itself is a part of [4] of the cubit, which is a quarter of each side.	ואתה מוצא חצי אמה על חצי אמה ומשיחה עצמה מחלק מ' אמה שהוא רבע מכל צד
The same for a third by a third, and a fifth by a fifth, for regulars or for irregulars	וכן שליש על שליש וחומש בתוך חומש בשוים ובחלופים
From here on, multiply the fractions by this measure and below.	מכאן ואילך צא וחשוב בשבורים במדה הזאת ולמטה
8) It has already been said:	ח' כבר אמרו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}}$	מחצה על מחצה הוא מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}}}$	וכן שליש על שליש הוא מתשע
For these and for similar, whether they are equal or unequal.	בהן ובדומין להן אלא בשוין ובחלופים
How do they know that this is how it is?	מנים להם אב אהוא כך
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	אתה מונה עשרה על עשרה הרי הן עולין ק‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot10=5}}$	וחצי העשר הוא ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{5\times5=25=\frac{1}{4}\sdot100}}$	ה' פעמים ה' הם כ"ה והוא רבע ק‫'
The foundation of 10 is 1, the foundation of 100 is 10, and [the foundation of] 1000 is 100.	ומעמד הי' בא' ומעמד הק' בי' ואלף בק‫'
From here on, multiply the fractions by the measure of the integers.	מכאן ואילך צא וחשוב בשבורים במדה האחדים
For integers it adds, and for fractions it subtracts.	אבל באחדים הוא מוסיף ובפחותים הוא גורע
9) This is the rule:	ט' זה הכלל
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}}}$ a half of a half	מחצה על מחצה חצי המחצה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}}}$ [a third] of a third	ושליש על שליש חצי השליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}}$ half a third	וכן מחצה על השליש חצי השליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}}}$ a quarter of a third	וכן רביע על השליש רביע השליש
For these and for similar, whether they are equal or unequal.	בהן ובדומין להן בשוים ובחלופים

Chapter Two	פרק שני
[1)] The one who wants to measure the regular or irregular quadrangular fields, multiplies the length by the breadth, and the result is the area.	הרוצה למוד השדות המרבעות בשוים ובחלופים מצרף הארך על הרחב והעולה משניהם הוא הרחב המשיחה
2) For the triangle - whether regular or irregular - multiply the height by half the base, and the result is the area.	ב' ובמשלשת בין בשוים בין בחלופים מצרף העומד בחצי הקבע והעולה משניהם היא המשיחה
	והרבה מבואותה בה
3) circle	ג' העגולה כיצד מצרף החוט בתוך עצמו ומשליך ממנו שביעו וחצי שביעו והיתר היא המשיחה כמו חוט שהוא משוך לז' וצרופו מ"ט ושביע וחצי שביע הוא נמצאת המשיחה ל"ח ומחצה
4) segment (of a circle)	ד' הקשותה כיצד נותן החץ על היתר שניהם בבת אחת ומצרף אותה בתוך חצי החץ ומעמידן לצד וחוזר ולוקח חצי היתר וצורפו בתוך עצמו ומחלק על י"ד והעולה מוסיפו על העומד והעולה היא המשיחה ויש בה פנים אחרים
	ה' הרוצה למוד את הגג המרובע אפי' שהוא שוה אפי' הוא מחלף שהוא ארך ורחב הגג
	במניין שש פנים שש כנפים לאחד מצרף ארך בתוך רחב בתוך העמק והעלה משלשתן היא משיחת הגג והוא הגוף
	ו' ואם היה עגול או משולש או לכל מיני צדדין מלבד שיהיה עמקו ישר ושוה ממה מודד הגג במדד שלו במדה שאמרו ותדע המשיחה והמודע אותה מצרפו בתוך העומק הוא משיחת הגוף
	ז' והמשוך ראשו חד וסופו ממוצע ואפי' מרובע או שיהיה עגול או משולש
	אתה מודד משיחת הגוף והשלך שני שלישי המשיחה ואחוז השליש אחר
	ואתה מצרפו בתוך הקומה והעולה הוא משיחת הגוף וראש ועד סוף
to measure the hemisphere or a spherical thing	ח' הצריך למוד התל או דבר מקובה ובלבד שיהיו דופנותיו שוות מכל צד כחצי כדור או כדומה לו
	מצרף א' מן החוטין מן הקצה אל הקצה בתוך חצי האחד והעולה משניהם היא המשיחה
	ט' עמוד ובעמוד אם היה משוך לראשו וראשו חד או משוך לחציו הקובה או לכל שהוא מכין בסופו ובקטועו שהוא הקטוע הראש מוחלק זה מזה כשיעור הסוף ומורדו בחשבון האתרוג ומשליך הקטן מן החבל והנשאר הוא משיחת העמוד
	י' כיצד משער כגון עמוד מרבע וסופו ד' אמות בתוך ד' אמות חסר ועולה חסר ועולה וראשו שתי אמות על שתי אמות רבוע וצריך אתה לידע כמה משיחתו וכמה קומתו
	וכבר נאמ' באתרוג אלא שזו קטוע
	ועדין אי אתה יודע כמה הוא העמוד עד שיכלה אחד מלמעלה
	י"א במניין אתה משערת מדת שתים מארבעה כן ארך העמוד שהוא חצי המעלה
	נמצא כל העמוד עד שיכלה הראש עשרים אמה ועד הקטופה י' אמות הא' למדת שמדת שנים מן הארבעה כמדת הי' מן העשרים
	י"ב הצריך למוד אוחז שליש ראשו חד צורף בסוף והם ה' ושליש ומצרפו בתוך כ' אז הם עולים ק"ו אמות ושני שלישי אמה ומעמידן לצד אחד וחוזר ואוחז שליש צרוף הקטופה ב' על ב' והוא אמה ושליש ומצרפו בתוך עשר אמות עליונות והם עולים י"ג אמה ושליש והשלך מן ר"ו ושלישים נשתיירו שם ע"ט ושליש והוא מ"ב ומשליך אותם מן ק"ו ושלישים נשתיירו שם ש"ט ושליש והוא באת העמוד גוו הקטוע ואם היה עגול השלך ממנו השביע וחצי השביע זה נשאר בו הוא
Chapter Three	פרק ג'
	חמשה פנים יש במרובעות ואלו הן
1) square	ישרה בצלעותיה ובזויותיה
2) rectangle	ב' ויש מי שהיא משונה בצלעותיה וישרה בזויותיה
3) rhombus	ג' ויש שהיא ישרה בצלעותיה ומשונה בזויותיה
4) rhomboid	ד' ויש שהיא ישרה משונה בצלעותיה ובזויותיה ושני ארכן שוין לבד ושני רחבן לבד
5) trapezium	ה' ויש מי שהיא משונה בצלעותיה ובזויותיה כל עקר
	ב' השוה בצלעות ובזויות איזו היא כגון עשרה מן צד מצרף ארך על הרחב והעולה היא המשיחה והם ק' והצלע האחר הוא עקרה האחד ושני צלעותיה הם שני עקרה וכן ג' וכן ד'
	ג' והמשונה בצלעותיה וישרה בזויותיה כגון ז' בשני צלע וששה בשני צלע מצרף ארך על רחב שהן מ"ח והיא המשיחה ישרה בצלע וישרה בקו
	ד' הישרה בצלעותיה ומשונה בזויותיה איזו היא כגון ה' מכל צד ושני זויות צרים וב' זויות רחבים וב' חוטין מפסיקין זה את זה באמצע הא' משמנה והב' מששה והרוצה למוד מצרף הא' מן החוטין בתוך חצי חברו והעולה משניהם היא המשיחה כ"ד אמה כזה
	ה' המשונה בצלעות ובזויות ושני ארכן לבד ושני רחבן לבד
	והזויות עקומות כיצד ממחשבה אמה פוסקה שנים מזוית לזוית ומעמיד בשניים ומחשב אחד כל בפני עצמה כמדת המשולשת וכן היא המשיחה
	וכן אתה מודד חשבון המשנה בכל עקר וכל פסקה לשנים המרבעות המשונות עשה אותם משלישותיה המשונה בכל עקר כזה פסקה לשנים
Chapter Four	פרק ד'
	שלש מדות במשלשת ואלו הן הנצבה החדה הפסוחה
right-angled triangle	איזו היא נצבה שני צדיה הקצורים מצורפים כל אחד בפני עצמו והוא שוה לראשון
	כגון ששה מצד זה ושמנה מצד זה והעולה מאלו בפני עצמן מאה ומזה בפני עצמן מאה
	והצריך למוד מן הקצורים בתוך חצי חברו או ח' בתוך ג' או ו' בתוך ה' והעולה היא המשיחה
	ב' והזוית שהיא עומדת בין הקצורים היא הנצבה והיא חצייה של מרובעת שהיא משונה בצלעים וישרה בזויות
	המבקש לחשבה בעמוד יחשוב כדרכו והוא ששני צלעותיה הקצורים כן הם שני צלעותיה עמודיה והם דומים סמוכים ישרים
	ג' והעמוד המשך מהם אל צד הארוך נופל והוא מקבע והרוצה למוד מצרף העמוד בתוך החצי הקבע והעולה מן החשבון היא המשיחה
4) acute-angled triangle	ד' החדה כיצד שני צלעותיה קצורים או השוים כל אחד ואחד מצורף בפני עצמה קבועים זה עם זה והצלע השני שהוא הקבוע מצורף בפני עצמו הצרוף הראשון ויותר מן האחרון
	ויש מן החדה שצלעותיה ישרות והרוצה למוד מחשב אותה כנגד הקבע נמצא הזויות חדות כמדת הראשון כן מדת האחרון מן החדים צלעי
	ה' הרוצה לדעת במדת העמוד בצלעות השוות מצרף את האחד מן הצלעות בתוך עצמו ומשליך המיעוט מן המרובה והנשאר הוא היסוד והנמצא הוא העמוד
	ו' כיצד מונים עשרה על עשרה ק' וחצי הצלע השני שהוא ה' מצורף בפני עצמו כ"ה ומשליך הקטן מן הרב נשאר שם ע"ה והוא היסוד ועקרו ה' ושירים
	והצריך למוד מצרף העקר בתוך החצי הצלע התחתון והעולה מן המשיחה שהיא מ"ג ושירים
	ז' שבעה פנים אחרות ממשולשות
equilateral triangle	השוה בצלעותיה כל צלע וצלע
	ראיה בפני עצמו את האמור של בזה ואת האמור של זה בזה
	והמבין בתפוח מצרף אחד מהם בפני עצמו שהם ק' ומשליך את הרבע שהוא כ"ה ונשאר ע"ה
	והצריך למוד מצרף ע"ה בתוך כ"ה שהם ג' רבעים ברבע כ"ה אחד והם עולים אלף ות"ת וע"ה ותופש את העיקר והוא המשיחה והוא מ"ג ושירים
	מכאן אתה מוצא שהעמוד של חצי הקבע ס"א נופל לעולם
	ח' הרי שהוצאת השוה וכן הדומה לו אבל חשבון חלופים אין לך קשת מהם בחשבון המשיחה והמדקדק בהם ישפיל ב' צלעים בין בעמוד עם הקבע
	ט' כיצד משער כגון משלשת חלופים שהיא חדה בזויות ט"ו מצד ראשון י"ד מצד שני י"ג מצד שלישי
	והצריך למוד מחזיק שלשתן בבת אחת עולים מ"ב ולוקח את המחצה ורואהו כמה הוא יתר על צד ראשון ומצרף המחצה על היתר שהוא כ"א בתוך ו' והם נעשים קכ"ו ומעמידו לצד
	וחוזר שנית ולוקח את המחצה ורואה כמה הוא יתר על צד שני ומצרף את היתר שהוא ז' בתוך קכ"ו הם הראשונים והם עולים ת"ת ופ"ב ומעמידו לצד
	וחוזר שלישית ולוקח המחצה ורואה כמה הוא יתר על צד שלישי ומצרף את היתר שהוא ח' בתוך ת"ת וכ"ב האחרים והם עולים ז' אלפים ונ"ו ועקרם פ"ד והם הם שיעור המשיחה
10) obtuse-angled triangle	י' הפסוחה כיצד צלעותיה הקצרים כל אחד מהם מצורף בפני עצמו ומוסיפין זה על זה והצלע הג' שהוא הקבע מצורף בפני עצמו הצירוף האחרון יתר מן הראשון כמו ה' מצד ו' מצד זה ט' מצד ז' נמצאת א' מן הזויות כסוחה ורחבה נמצא הראשון ס"א והאחרון פ"א והצריך למוד מחשבה ברורה בעמוד עם הקבע
	ואם חפץ הוא בחשבון הצלעים והמחצה מחשבה מדה אחת לעולם
Chapter Five	פרק ה'
	שלש מדות בעגולה ואלו הן התלויה התלולה והשפלה
1) sphere	אי זו היא התלויה זו היא העומדת עקר ד' עגולה מכל צד כדור או שהיתה המשיחה באבטיח שהיא העגולה לסביבותיה ובלבד עגולתה בשוה ארך ורחב ועמק במדה
	כיצד מודד מצרף את החוטין
	הא' בתוך חצי עצמו והעולה היא המשיחה והכפל אותה שהן קירותיה
2) hemisphere	ב' התלולה אי זו היא זו שעומדת בחצי התלויה כתל או כמו נקובה ובלבד שתהא שוה
	והצריך למוד מצרף אחד מן החוטין מן הקצה אל הקצה בתוך חצי האחד או בתוך חצי עצמו והעולה היא המשיחה
3) circle	ג' השפלה אי זו היא זו הנתונה על הארץ כשדה עגולה או צורה עגולה
	הצריך למוד מצרף החוט בתוך עצמו ומשליך ממנו שביעו וחצי שביעו והנשאר הוא המשיחה הוא גגה
	ואם אתה חפץ לידע את הסיבוב חלילה חלילה הוא מצרף את החוט בתוך ג' ושביע ועולה כ"ב
	ואם אתה חפץ לשער את המשיחה אחוז חצי הסביבה שהיא י"א וצרף אותה בחצי החוט שהוא ג' וחצי ועולין ל'ה' ומחצה. כן בראשונה כן באחרונה הרי הוא אומר ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו אל שפתו עגל סביב ושלשים אמה קומתו שנ' וקו שלשים באמה סב. אתה סביב מה תלמוד וקו שלשים באמה וגומ' לפי שאמרו בני ארץ בעגולה שהסביבה מחזקת שלש פעמים ושבע כחוט יצא מהם שבוע אחד בעביו של ים לשתי שפתות ונותר ל' שם אמה יסוב אותו סביב ובשעור הזה אחד שוים הימים והמקואות והבורות בארך וברחב ועמק הא למדת מדה העגולה
	ה' ג' דברים נאמרו בקשותה ואלו הן הישרה החסרה והיתרה
semicircle	איזו היא ישרה כל שהיא עומדת בחצי העגולה לא חסר ולא יתר
segment smaller than a semicircle	החסרה כל שהיא פחותה מחצי העגולה
segment larger than a semicircle	והיתרה כל שהיא עודפת על חצי העגולה
	זה הכלל כל שחצייה עומד פחות מחצי היתר שהיא חסרה
	וכל שחצייה יותר מחצי היתר בידוע שהיא יתרה
	ו' הרוצה למוד את היתר הישרה מצרף את היתר בתוך עצמו כולו ומשליך ממנו שביעו והנותר משליך חציו והנמצא הוא המשיחה
	ז' והאחרות צריך אתה לידע כמה שיעור עגלתה
	כיצד מצרף את חצי היתר בתוך עצמו והעולה מחלקו על החץ והנמצא מן החלוק מוסיפו מן החץ והעולה הוא חוט העגולה ואוחז חצי החוט הזה ומצרף אותו בתוך חצי החץ והעולה מעמידו על צד ורואה אם היתה הקשותה חסרה משליך חצה מחצי חוט העגולה ומצרף הנותר בתוך חצי היתר ופוחת אותו מן הצד והנשאר מן המשיחה י"ח ומשליך
	ואם היתה הקשותה יתרה משליך העגולה מחצה עצמה ומצרף את הנשאר בתוך חצי היתר ומוסיף אותו על הצד והעולה היא המשיחה כמדת הראשון כן מדת האחרון
	נשלם הפרק ובהשלמתו תמה משנת המדות בעזר יודע חידות
	כלל גדול אמ' במדות מרבע ב' קוים כמרבע אלכסונה שורה נתונה נחלקת לב'. ניהוג כל השורה נצבת מחלקיה במרבע הנשאר מתוך המשלש אשר בתוך העגול אתה למד שברי העגול שבסביביו כשתעשה

München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 36/11 (IMHM: f 1166), ff. 138v-140r (Istanbul, 1485)