ספר היסודות לאקלידס

Book Two	המאמר השני מספר אקלידס החכם
definition: two straight lines containing a rectangular parallelogram	כל שטח נכחי הצלעות נצב הזויות הנה שני הקוים הישרים המקיפים באחת מזויותיו הנצבות יקרא לשניהם המקיפים בו
definition: gnomon	וכל שטח נכחי הצלעות הנה יקרא אחד משני השטחים הנכחי הצלעות אשר הם על קוטרו אי זה משניהם היה עם שני השטחים המתמימים הרושם‫
Proposition 1 The distributive law for multiplication over addition: $\scriptstyle a\times\left(b_1+b_2\right)=\left(a\times b_1\right)+\left(a\times b_2\right)$	א כאשר היו שני קוים ישרים וחולק אחד מהם לחלקים איזה מספר שיהיה הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו השני קוים הישרים שוה לכל השטחים הנצבי הזויות אשר יקיף בכל אחד מהם הקו אשר לא יחלק וכל אחד מן החלקים‫
	ויהיו שני קוים ישרים על שניהם א' ב"ג ונחלק ב"ג לחלקים כמה שיהיו על שתי נקודות ד'ה' הנה אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ב"ג שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ב"ד והשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ד"ה והשטח הנצב הזויות גם כן אשר יקיפו בו א' ה"ג
	ונוציא מנקודת ב' מן קו ב"ג הישר קו ישר על זוית נצבת והוא ב"ז מי”א מא’ ונשים קו ב"ז הישר שוה לקו א' הישר מג’ מא’ ונוציא מנקודת ז' קו ז"ח נכחי לקו ב"ג הישר ונוציא מן ד' ה' ג' קוים נכחיים לקו ב"ז והם קוי ד"ט ה"כ ג"ח מל”א מא’ הנה כל אחד משטחי ב"ט ד"כ ה"ח נכחי הצלעות ושטח ב"ח שוה לשטחי ב"ט ד"כ ה"ח מפתיחת הראשון ואולם שטח ב"ח הנה הוא שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ב"ג מפני כי קו ב"ז שוה לקו א' ואולם שטח ב"ט הנה הוא שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ב"ד מפני כי קו ב"ז שוה לקו א' ואולם שטח ד"כ הנה הוא שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ד"ה מפני כי קו א' שוה לקו ד"ט ואולם שטח ה"ח הנה הוא שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ה"ג מפני כי קו א' שוה לקו ה"כ מל”ד מא’ הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ב"ג שוה לשטחים נצבי הזויות אשר יקיפו בהם א' ב"ד וא' ד"ה וא' ה"ג
	הנה כאשר היו שני קוים ישרים ונחלק אחד משניהם לחלקים כמה שיהיו הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני הקוים הישרים שוה לכל השטחים הנצבים הזויות אשר יקיף בהם הקו אשר לא נחלק וכל אחד מן החלקים
	וזה מה שרצינו לבאר
Proposition 2	ב כאשר נחלק קו ישר איך שקרה הנה השטחים נצבי הזויות אשר יקיף בהם הקו כלו וכל אחד מחלקיו שוה למרובע המתהוה מן הקו כלו
	ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחלק איך שיקרה על נקודת ג' הנה אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב א"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ב
	והנה נעשה על קו א"ב מרובע עליו א"דה"ב ממ”ו מא’ ונוציא מנקודת ג' קו ישר נכחי לכל אחד משני קוי א"ד ב"ה והוא ג"ז מל”א מא’ הנה כל אחד משני שטחי א"ז ג"ה נכחי הצלעות ושטח א"ה שוה לשני שטחי א"ז ג"ה מא’ מזה ושטח א"ז שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו ב"א א"ג כי הוא יקיפו בו שני קוי א"ד א"ג וקו א"ד שוה לקו א"ב ושטח ג"ה שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג מפני שא"ב שוה לב"ה ושטח א"ה הוא המרובע ההווה מקו א"ב הנה השטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב א"ג עם השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ב
	הנה כאשר נחלק קו ישר איך שקרה הנה השטחים הנצבי הזויות אשר יקיף בהם הקו כלו וכל אחד מחלקיו שוה למרובע המתהוה מן הקו כלו
	וזה מה שרצינו לבאר
Proposition 3	ג כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים איך שקרה הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו ואחד משני חלקיו שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו השני חלקים והמרובע המתהוה מן החלק אשר זכרנו ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחלק איך שיקרה על נקודת ג' הנה אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א"ב ב"ג שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב והמרובע המתהוה מן ג"ב
	ונעשה מן קו ג"ב מרובע עליו בגד"ה ממ”ו מא’ ונתמים שטח א"ג ד"ז הנכחי הצלעות מל”א וממ”ב מא’ הנה כל אחד משני שטחי א"ה א"ד נכחי הצלעות ושטח א"ה שוה לשטח א"ד עם ג"ה מא’ מזה וא"ה שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג מפני כי ב"ג שוה לב"ה ושטח א"ד שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב מפני כי ב"ג שוה לג"ד ושטח ה"ג הוא המרובע המתהוה מן ג"ב הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב והמרובע המתהוה מן ג"ב
	הנה כאשר חולק קו ישר בשני חלקים איך שיקרה הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו ואחד משני חלקיו שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו השני חלקים והמרובע המתהוה מן החלק אשר זכרנו
	וזה מה שרצינו לבאר
Proposition 4	ד כאשר חולק קו ישר בשני חלקים איך שיקרה הנה המרובע המתהוה מן הקו כלו שוה לשני המרובעים המתהוים מן השני חלקים וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו השני חלקים
	ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחולק איך שיקרה על נקודת ג' הנה אומר כי המרובע המתהוה מן א"ב שוה לשני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
	הנה נעשה מן א"ב מרובע א"דה"ב ממ”ו מא’ ונגיע ד"ב ונוציא מנקודת ג' קו נכחי לשני קוי א"ד ב"ה והוא ג"ז מל”א מא’ ויחתוך קו ד"ב על נקודת ח' ונוציא מנקודת ח' קו נכחי לשני קוי א"ב ד"ה והוא קו ט"כ הנה מפני כי קו ג"ז נכחי לקו א"ד וכבר נפל על שניהם קו ב"ד הישר תהיה זוית ג'ח'ב' החיצונה שוה לזוית א'ד'ב' הפנימית אשר תקבילה מכ”ט מא’ אבל זוית א'ד'ב' שוה לזוית ד'ב'א' מפני כי צלע א"ד שוה לצלע א"ב מה’ מא’ הנה זוית ג'ח'ב' שוה לזוית א'ב'ד' הנה יהיה צלע ג"ח שוה לצלע ג"ב מו’ מא’ ומפני כי צלע ג"ח שוה לב"כ וג"ב שוה לח"כ יהיו קוי ב"ג ג"ח ח"כ כ"ב הארבעה שוים קצתם אל קצת הנה שטח ג"כ שוה הצלעות מל”ד מא’
	ואומר גם כן כי הוא נצב הזויות הנה מפני כי ג"ח נכחי לב"כ וכבר נפל על שניהם ג"ב יהיו שתי זויות ג'ב'כ' ח'ג'ב' שוות לשתי נצבות מכ”ט מא’ וזוית כ'ב'ג' נצבת הנה זוית ב'ג'ח' נצבת ויהיו מפני זה שתי זויות ג'ח'כ' ח'כ'ב' המקבילות לשתיהן נצבות מל”ד מא’ הנה שטח ח"ג כ"ב נצב הזויות וכבר התבאר שהוא שוה הצלעות הנה שטח ג"כ מרובע והוא המתהוה מן ג"ב
	וכן התבאר ששטח ט"ז גם כן מרובע והוא המתהוה מן ט”ח אשר הוא שוה לקו א”ג הנה שני שטחי כ"ג ט"ז שני מרובעים והם שוים לשני מרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב
	אבל ה"ח שוה לא"ח ממ”ג מא’ וא"ח שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב מפני שג"ב שוה לג"ח הנה ה"ח שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב הנה שני שטחי א"ח ח"ה שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב ושני שטחי ט”ז ג”כ שוים לשני המרובעים המתהוים מן קוי א”ג ג”ב הנה כבר התבאר ששטחי ט"ז ג"כ א"ח ח"ה שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א”ג ג”ב ומכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א”ג ג”ב אבל שטחי ט”ז ג”כ א”ח ח”ה הם שוים לשטח א"ד ה"ב אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ב הנה המרובע המתהוה מן א"ב שוה לשני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב
	הנה כאשר נחלק קו ישר איך שיקרה הנה המרובע המתהוה מן הקו כלו שוה לשני המרובעים המתהוים משני החלקים וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו השני חלקים
	וזה מה שרצינו לבאר
	ובכאן התבאר כי כל שטח מרובע הנה שני שטחים הנכחי הצלעות אשר על קוטרו גם כן מרובעים
	הנה כבר התבאר מן התמונה הזאת כי השטחים הנכחי הצלעות אשר יהיו על קוטרו שני שטחים מרובעים הם גם כן מרובעים
	אמר תאבת מצאנו בנסחא אחרת שהוא יתבאר על פנים אחרים כי המרובע המתהוה מן א"ב שוה לשני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
	הנה מפני שא"ב שוה לא"ד תהיה זוית א'ב'ד' שוה לזוית א'ד'ב' מה’ מא’ ומפני כי כל משולש הנה זויותיו השלש שוות לשתי נצבות מל”ב מא’ יהיו זויות א’ד’ב’ א’ב’ד’ ב’א’ד’ השלש ממשולש א'ד'ב' שוות לשתי זויות נצבות וזוית ב'א'ד' נצבת הנה שתי זויות א'ב'ד' א'ד'ב' הנשארות שוות לזוית נצבת ושתיהן שוות מה’ מא’ הנה כל אחת מהן חצי נצבת וזוית ב'ג'ח' נצבת כי היא שוה לזוית אשר אצל א' אשר תנגדה מכ”ט מא’ וזוית ג'ב'ח' חצי נצבת הנה זוית ג'ח'ב' הנשארת חצי נצבת הנה זוית ג'ח'ב' אם כן שוה לזוית ג'ב'ח' ויהיה מפני זה צלע ב"ג שוה לצלע ג"ח מו’ מא’ אבל ג"ב שוה לח"כ מל”ד מא’ וג"ח שוה לכ"ב הנה שטח ג"כ שוה הצלעות וזוית ב'ג'ח' נצבת הנה ג"כ מרובע והוא המתהוה מן ג"ב ומפני הדברים האלה גם כן התבאר כי ז"ט מרובע והוא שוה למרובע המתהוה מן א"ג הנה ג"כ וט"ז שני מרובעים והם שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב ומפני שא"ח שוה לה"ח ממ”ג מא’ וא"ח הוא אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב מפני שג"ח שוה לג"ב הנה ה"ח שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב הנה אם כן שני שטחי א"ח ח"ה שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב ושני שטחי ג"כ ט"ז שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב הנה שטחי ג"כ ט"ז א"ח ח"ה שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אבל שני שטחי ג"כ ט"ז ושני שטחי א"ח ח"ה הם שטח א"ה הנצב הזויות כלו אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ב הנה המרובע המתהוה מן א"ב שוה לשני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
	וזה מה שרצינו לבאר
Proposition 5	ה כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני חלקי הקו כלו אשר הם בלתי שוים עם המרובע המתהוה מן הקו אשר במה שבין שני מקומות השני חלקים שוה למרובע המתהוה מחצי הקו
	ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחלק בשני חלקים שוים על נקודת ג' מי’ מא’ ושני חלקים בלתי שוים על נקודת ד' הנה אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב עם המרובע המתהוה מן ג"ד שוה למרובע המתהוה מן ג"ב
	ונעשה מקו ג"ב מרובע ג"הז"ב ממ”ו מא’ ונרשום התמונה ונשלים שטח א"גט"ל הנכחי הצלעות מד’ מזה הנה מפני כי ג"ח שוה לח"ז ונשים ד"כ משותף הנה יהיה ג"כ כלו שוה לד"ז כלו ממ”ג מא’ ומפני שצלע א"ג שוה לצלע ג"ב יהיה שטח ל"א שוה לשטח ג"כ מל”א מא’ וכבר היה שטח ג"כ שוה לשטח ד"ז הנה יהיה שטח ל"א שוה לשטח ד"ז מפתיח’ א’
	ונשים ג"ח משותף הנה א"ח כלו שוה לרושם מנ"ס אבל א"ח שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב מפני כי ב"ד שוה לד"ח וזה כי ד"כ מרובע משלפניה הנה רושם מנ"ס שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב ונשים ל"ע אשר הוא שוה למרובע המתהוה מן ג"ד משותף ויהיה רושם מנ"ס ושטח ל"ע כמו השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב והמרובע המתהוה מן ג"ד אבל רושם מנ"ס ושטח ל"ע הוא שטח ג"ז כלו ושטח ג"ז כלו הוא שטח המרובע המתהוה מן ג"ב הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ד ד"ב עם המרובע המתהוה מן ג"ד שוה למרובע המתהוה מן ג"ב
	וכאשר נחלק קו ישר בשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני חלקי הקו כלו אשר הם בלתי שוים עם המרובע המתהוה מן הקו אשר במה שבין שני מקומות שני החלקים שוה למרובע המתהוה מחצי הקו
	וזה מה שרצינו לבאר
Proposition 6	ו כאשר נחלק קו ישר בחציים ונוסף עליו קו ישר על יושר הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת עם המרובע המתהוה מחצי הקו שוה למרובע המתהוה מן הקו המורכב מחצי הקו והתוספת
	ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחלק בחציים על נקודת ג' מי’ מא’ ויוסיף עליו קו ישר על יושר והוא ב"ד הנה אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב עם המרובע המתהוה מן ג"ב שוה למרובע המתהוה מן ג"ד
	ונעשה מן ג"ד מרובע ג"ה ז"ד ממ”ו מא’ ונרשום התמונה ונתמים שטח א"גט"כ הנכחי הצלעות מד’ מזה הנה מפני כי א"ג שוה לג"ב יהיה שטח א"כ הנכחי הצלעות שוה לשטח ג"ח הנכחי הצלעות אבל ג"ח שוה לח"ז הנה שטח א"כ שוה לשטח ח"ז ממ”ג מא’ ונשים ג"ל משותף הנה שטח ל"א כלו שוה לרושם מנ"ס כלו אבל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב שוה לשטח ל"א הנצב הזויות מפני שב"ד שוה לד"ל מד’ מזה הנה רושם מנ"ס שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב ושטח כ"ע שוה למרובע המתהוה מן ג"ב הנה רושם מנ"ס עם שטח כ"ע שוה לשטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב והמרובע המתהוה מן ב"ג אבל רושם מנ"ס ומרובע כ"ע הוא ג"ז אשר הוא המרובע המתהוה מן ג"ד
	הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב עם המרובע המתהוה מן ב"ג שוה למרובע המתהוה מן ג"ד
	והנה כאשר נחלק קו ישר בשני חציים והוסף עליו קו ישר על יושר הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת עם המרובע המתהוה מחצי הקו שוה למרובע המתהוה מן הקו המורכב מחצי הקו והתוספת
	וזה מה שרצינו לבאר
Proposition 7	ז כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים איך שיקרה הנה המרובע המתהוה מן הקו כלו והמרובע המתהוה מאחד משני חלקים כאשר התקבצו שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו והחלק אשר זכרנו והמרובע המתהוה מן החלק השני
	ויהיה קו ישר עליו א"ב ויתחלק איך שיקרה על נקודת ג' הנה אומר כי שני המרובעים המתהוים משני קוי א"ב ב"ג שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג והמרובע המתהוה מן א"ג
	ונרשום מן א"ב מרובע א"דה"ב ממ”ו מא’ ונבדיל מן ב"ה כמו ב"ג והוא ב"כ מג’ מא’ ונרשום התמונה הנה שטח א"ז שוה לשטח ז"ה ממ”ג מא’ ונשים ג"כ משותף הנה יהיה א"כ כלו שוה לג"ה כלו הנה א"כ עם ג"ה כפל א"כ
	אבל ג"ה עם א"כ הוא רושם למ"נ ומרובע ג"כ הנה רושם למ"נ ומרובע ג"כ שניהם כפל א"כ וא"כ הוא השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב וב"ג כי הוא יקיפו בו שני קוי א"ב ב"כ וב"כ שוה לב"ג הנה רושם למ"נ ומרובע ג"כ שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג ונשים המרובע המתהוה מן א"ג משותף והוא מרובע ח"ט הנה כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה לרושם למ"נ ושני שטחי ג"כ ט"ח
	אבל רושם למ"נ ושני שטחי ג"כ ט"ח הם א"ה וג"כ וא"ה המרובע המתהוה מן א"ב וג"כ הוא המרובע המתהוה מן ג"ב הנה שני המרובעים המתהוים מן א"ב ב"ג שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג והמרובע המתהוה מן א"ג
	הנה כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים איך שקרה הנה המרובע המתהוה מהקו כלו והמרובע המתהוה מאחד משני החלקים כאשר התקבצו שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו והחלק אשר זכרנו והמרובע המתהוה מן החלק הנשאר
	וזה מה שרצינו לבאר
Proposition 8	ח כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים איך שיקרה הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו ואחד משני חלקיו עם המרובע המתהוה מן החלק הנשאר שוה למרובע המתהוה מן הקו כלו והחלק אשר קדם זכרו כאשר הושמו שניהם בקו אחד
	ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחולק איך שיקרה על נקודת ג' הנה אומר כי ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ב ב"ג כאשר הושמו בקו אחד
	הנה נוציא א"ב אל נקודת ד' מפתי’ א’ ויהיה ב"ד שוה לב"ג מג’ מא’ ונעשה מן א"ד מרובע אדה"ז ממ”ו מא’ ונמשיך ד"ז ונוציא משתי נקודות ג"ב שני קוים נכחיים לשני קוי א"ז ד"ה והם ג"ח ב"ט מל”א מא’ ויחתוך ב"ט קו ד"ז על נקודת כ' וג"ח על נקודת ק' ונוציא משתי נקודות כ"ק שני קוים נכחיים לשני קוי א"ד ז"ה והם מ"נ ס"ר מל”ד מא’
	הנה מפני כי ג"ב שוה לב"ד וג"ב שוה לכל אחד מפ"כ ק"ע וב"ד שוה לכל אחד מן כ"נ ר"ע יהיה פ"כ שוה אל כ"נ וק"ע לר"ע הנה שטח כ"ג הנכחי הצלעות שוה לשטח ב"נ הנכחי הצלעות מל”ו מא’ ופ"ע לכ"ר וק"ט גם כן לה"ע ומפני כי ג"כ הנכחי הצלעות שוה לשטח ב"נ הנכחי הצלעות ופ"ע אל כ"ר וג"כ שוה אל כ"ר ממ”ג מא’ יהיה ב"נ שוה לכל אחד מן פ"ע כ"ר ויהיה פ"ע שוה לכל אחד מן ג"כ ב"נ הנה שטחי ג"כ ב"נ פ"ע כ"ר ארבעה דמיוני ג"כ אבל שטחי ג"כ ב"נ פ"ע כ"ר הם כל שטח ג"ר אשר הוא ארבעה דמיוני שטח ג"כ ומפני כי ג"ב גם כן שוה אל ב"ד וג"ב שוה אל פ"כ אשר יקבילהו והוא גם כן שוה אל פ"ק מפני כי פ"ע מרובע מד’ מזה וב"ד שוה אל ב"כ ממרובע ב"נ וב"כ הוא גם כן שוה אל ג"פ וג"פ שוה אל פ"ק והנה שטח א"פ שוה לשטח מ"ק מל”ו מא’ וק"ט שוה אל ר"ט אבל מ"ק שוה אל ק"ט מפני כי שניהם מתמימים ממ”ג מא’ הנה א"פ שוה אל ר"ט הנה שטחי א"פ מ"ק ק"ט ע"ה הארבעה ארבעה דמיוני שטח א"פ
	ושטח ג"ד הנכחי הצלעות ארבעה דמיוני שטח ג"כ הנה כל רושם שת"ת ארבעה דמיוני שטח א"כ וא"כ הוא השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"כ וב"כ שוה אל ב"ג כי הוא שוה אל ב"ד ממרובע ב"ג הנה רושם שת"ת ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג אם כן שוים לרושם שת"ת ונשים המרובע המתהוה מן א"ג משותף והוא ס"ח הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה לרושם שת"ת ומרובע ס"ח אבל רושם שת"ת וס"ח שניהם יחד שטח א"ה אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ד הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ד אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ב וב"ג כאשר הושמו בקו אחד
	הנה כאשר חולק קו ישר בשני חלקים איך שקרה הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו ואחד מחלקיו עם המרובע המתהוה מן החלק הנשאר שוה למרובע המתהוה מן הקו כלו והחלק אשר קדם זכרו כאשר הושמו בקו אחד
	וזה מה שרצינו לבאר
Proposition 9	ט כאשר חולק קו ישר לשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים המתהוים משני חלקי הקו כלו אשר הם בלתי שוים שניהם כפל שני המרובעים המתהוים מחצי הקו ומן הקו אשר במה שבין שתי מקומות השני חלקים
	ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחלק לשני חלקים שוים על נקודת ג' מי’ מא’ ושני חלקים בלתי שוים על נקודת ד' הנה אומר כי שני המרובעים המתהוים מן שני קוי א"ד ד"ב כפל שני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ד
	ונוציא מנקודת ג' מקו א"ב הישר קו ישר על זוית נצבה והוא ג"ה מי”א מא’ ונשים ה"ג שוה לכל אחד משני קוי א"ג ג"ב מב’ מא’ ונמשיך קו א"ה ה"ב מפתיח’ א’ ונוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו ג"ה והוא ד"ז מל”א מא’ ונוציא מנקודת ז' קו נכחי לקו ג"ד והוא ז"ח ונמשיך א"ז
	הנה מפני כי ה"ג שוה אל א"ג תהיה זוית גה"א שוה לזוית גא"ה מה’ מא’ ומפני כי זוית אג"ה נצבת יהיו שתי זויות הא"ג אה"ג הנשארות שוות לזוית נצבת מל”ב מא’ ושתיהם שוות הנה כל אחת משתי זויות גה"א גא"ה חצי נצבת ומפני כי ה"ג גם כן שוה לג"ב תהיה זוית גה"ב שוה לזוית גב"ה מה’ מא’ וזוית בג"ה נצבת הנה כל אחת משתי זויות גה"ב גב"ה חצי נצבת אבל כל אחת משתי זויות גה"ב אה"ג חצי נצבת תהיה זוית אה"ז נצבת ומפני כי זוית גב"ה חצי נצבת וזוית זד"ב נצבת תהיה זוית דז"ב חצי נצבת מל”ב מא’ הנה קו ב"ד שוה לקו ד"ז מו’ מא’ ולכן גם כן יהיה ז"ח שוה אל ח"ה ומפני כי ה"ג שוה אל א"ג יהיה המרובע המתהוה מן ה"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ג הנה שני המרובעים המתהוים משני קוי ה"ג א"ג כפל המרובע המתהוה מן א"ג הנה המרובע המתהוה מן א"ה שוה לשני המרובעים המתהוים משני קוי ה"ג א"ג ממ”ז מא’ מפני כי זוית הג"א נצבת הנה המרובע המתהוה מן א"ה כפל המרובע המתהוה מן א"ג ומפני כי ה"ח גם כן שוה אל ז"ח יהיה המרובע ההוה מן ה"ח שוה למרובע ההוה מן ח"ז הנה שני המרובעים ההוים משני קוי ה"ח ח"ז כפל המרובע ההוה מן ח"ז והמרובע ההוה מן ה"ז שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ה"ח ח"ז ממ”ז מא’ הנה המרובע ההוה מן ה"ז כפל המרובע ההוה מן ח"ז וח"ז שוה אל ג"ד הנה המרובע ההוה מן ה"ז כפל המרובע ההוה מן ג"ד
	וכבר התבאר גם כן שהמרובע ההוה מן ה"א כפל המרובע ההוה מן א"ג הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ה ה"ז כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד והמרובע ההוה מן א"ז שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ה ה"ז ממ”ז מא’ מפני כי זוית אה"ז נצבת הנה המרובע ההוה מן א"ז כפל שני המרובעים ההוים מן א"ג ג"ד והמרובע ההוה מן א"ז כמו שני המרובעים ההוים מן א"ד ד"ז ממ”ז מא’ מפני כי זוית אד"ז נצבת הנה שני המרובעים ההוים מן א”ד ד”ז כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א”ג ג”ד וז”ד שוה לד”ב הנה שני המרובעים ההוים מן א"ד ד"ב כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד
	הנה כאשר חולק קו ישר לשני חלקים שוים ולשני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים ההוים משני חלקי הקו כלו אשר הם בלתי שוים שניהם כפל שני המרובעים ההוים מחצי הקו כלו ומן הקו אשר במה שבין שני מקומות השני חלקים
	וזה מה שרצינו לבאר
Proposition 10	י כאשר נחלק קו ישר לשני חציים והוסף עליו קו ישר על יושר הנה המרובע ההווה מן הקו כלו עם התוספת והמרובע ההוה מן התוספת כפל שני המרובעים כאשר יחוברו כלומר המרובע ההווה מחצי הקו והמרובע ההווה מן הקו המורכב מחצי הקו והתוספת
	ויהיה הקו הישר א"ב ויחלק לשני חציים על נקודת ג' ויוסיף עליו קו ישר על יושר והוא ב"ד הנה אומר כי שני המרובעים ההוים משני קוי א"ד ד"ב כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג וג"ד
	ונוציא מנקודת ג' קו ישר על זוית נצבת והוא ג"ה מי”א מא’ ויושם שוה לכל אחד משני קוי א"ג וג"ב מג’ מא’ ונגיע קו א"ה ה"ב ונוציא מנקודת ד' קו ישר נכחי לקו ג"ה והוא ד"ז ומנקודת ה' קו ישר נכחי לקו ג"ד והוא ה"ז מל”א מא’
	הנה מפני כי ה"ג נכחי אל ז"ד וכבר נפל על שניהם קו ה"ז הישר יהיו שתי זויות גה"ז הז"ד הפנימיות שוות לשתי זויות נצבות מכ”ט מא’ הנה שתי זויות בה"ז והז"ד קטנות משתי זויות נצבות והקוים אשר יצאו מפחות משתי זויות נצבות אל לא תכלית יפגשו מפתיחת א’ הנה קו ה"ב וז"ד כאשר הוצאו אל לא תכלית יפגשו ויפגשו על נקודת ח' ונגיע א"ח הנה מפני כי ה"ג שוה אל א"ג תהיה זוית גה"א שוה לזוית גא"ה מה’ מא’ וזוית אג"ה נצבת הנה כל אחת משתי זויות גה"א גא"ה חצי נצבת מל”ב מא’ ומפני כי ה"ג גם כן שוה לג"ב תהיה זוית גה"ב שוה לזוית גב"ה וזוית בג"ה נצבת הנה כל אחת משתי זויות הב"ג וגה"ב חצי נצבת ומפני כי כל אחת משתי זויות אה"ג בה"ג חצי נצבת תהיה זוית אה"ב נצבת ומפני כי זוית הב"ג חצי נצבת תהיה זוית דב"ח חצי נצבת מט”ו מא’ וזוית בד"ח נצבת כי היא שוה לזוית דג"ה אשר תמירה מכ”ט מא’ ותשאר זוית דח"ב חצי נצבת
	הנה זוית דח"ב אם כן שוה לזוית דב"ח ויהיה מפני זה צלע ב"ד שוה לצלע ח"ד מו’ מא’ ומפני כי זוית הח"ז גם כן חצי נצבת ואשר אצל ז' נצבת מפני כי היא שוה לאשר תקבילה מל”ד מא’ והיא אשר אצל ג' תשאר זוית זה"ח חצי נצבת ותהיה זוית הח"ז שוה לזוית זה"ח ולכן יהיה צלע ח"ז שוה לצלע ה"ז
	ומפני כי ה"ג שוה אל א"ג יהיה המרובע ההוה מן ה"ג שוה למרובע ההוה מן א"ג ושני המרובעים ההוים משני קוי ה"ג וא"ג כפל המרובע ההוה מן א"ג והמרובע ההוה מן א"ה שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ה"ג א"ג מפני כי זוית הג"א נצבת ממ”ז מא’ הנה המרובע ההוה מן א"ה כפל המרובע ההוה מן א"ג
	ומפני כי ה"ז גם כן שוה אל ז"ח יהיה המרובע ההוה מן ה"ז שוה למרובע ההוה מן ז"ח הנה שני המרובעים ההוים משני קוי ה"ז ז"ח כפל המרובע ההוה מן ה"ז ושני המרובעים ההוים משני קוי ה"ז ז"ח שוים למרובע ההוה מן ה"ח ממ”ז מא’ הנה המרובע ההוה מן ה"ח כפל המרובע ההוה מן ה"ז
	וה"ז שוה אל ג"ד מל”ד מא’ הנה המרובע ההוה מן ה"ח כפל המרובע ההוה מן ג"ד וכבר התבאר גם כן כי המרובע ההוה מן א"ה כפל המרובע ההוה מן א"ג הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ה וה"ח כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד ושני המרובעים ההוים משני קוי א"ה ה"ח שוים למרובע ההוה מן א"ח מפני כי זוית אה"ח נצבת ממ”ז מא’ הנה המרובע ההוה מן א"ח כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד והמרובע ההוה מן א"ח שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ד ד"ח מפני כי זוית אד"ח נצבת הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ד וד"ח כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג וג"ד
	וקו ח"ד שוה לקו ד"ב הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ד ד"ב כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג וג"ד
	הנה כאשר חולק קו ישר בשני חציים והוסף עליו קו ישר על יושר הנה המרובע ההווה מן הקו כלו עם התוספת והמרובע ההווה מן התוספת כפל שני המרובעים כאשר יחוברו כלומר המרובע ההווה מחצי הקו והמרובע ההווה מן הקו המורכב מחצי הקו ומן התוספת
	וזה מה שרצינו לבאר

Notes

Apparatus