كتاب اوقْلِيدس في الأُصول

	بسم الله الرحمن الرحيم وصلى الله على محمد وعلى أله وسلم
Book II	المقاله الثانية من كتاب اوقْلِيدس في الأُصول
	كل سطح متوازي الاضلاع قايم الزوايا فان الخطين المستقيمين المحيطين باحدى زواياه القائمة يقال لهما المحيطين به
	وكل سطح متوازي الاضلاع فليسم احد السطحين المتوازي الاضلاع الذين علي قطره اينما كانا مع كلا السطحين المتممين العلم
Proposition 1	إذا كان خطان مستقيمان وقسم احدهما اقساما كم كانت فان السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخطان المستقيمان مساو للسطوح القائمة الزوايا التي يحيط بها الخط الذي لم يقسم وكل واحد من الأقسام
	فليكن خطان مستقيمان وعليهما الف وبا جيم ولنقسم خط با جيم اقساما كم كانت على نقطتي الدال والها فأقول ان السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف وبا جيم مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف وبا دال والسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف ودال ها والسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف وها جيم فلنخرج من نقطة البا من خط با جيم المستقيم خطا مستقيما على زوايا قايمة وهو خط با زاي ولنصير خط با زاي المستقيم مساويا لخط الالف المستقيم ولنخرج من نقطة الزاي ايضا خط زاي حا موازيا لخط با جيم المستقيم ونخرج من نقطة الدال والها والجيم خطوطا مستقيمة موازية لخط با زاي وهي خطوط دال طا وها كاف وجيم حا فكل واحد من سطوح با طا ودال كاف وها حا متوازية الاضلاع فسطح با حا مساو لجماعة سطوح با طا ودال كاف وها حا فاما سطح با طا فانه مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف وبا دال لان خط با زاي مساو لخط الالف واما سطح دال كاف فانه مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف ودال ها لان خط دال طا مساو لخط الالف [واما سطح ها حا فانه مساو] للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الالف وجيم ها لان خط ها كاف مساو لخط الالف فالسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خط الف وبا جيم مساو لجماعة السطوح القائمة الزوايا التي يحيط بها خطا الف وبا دال وخطا الف ودال ها وخطا الف وها جيم
	فاذا كان خطان مستقيمان وقسم احدهما أقساما كم كانت فان السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخطان المستقيمان مساو لجماعة السطوح القائمه الزوايا التي يحيط بها الخط الذي لم يقسم وكل واحد من الأقسام وذلك ما اردنا ان نبين
	وفي نسخة الحجاج يقول كل خطين يقسم احدهما باقسام كم كانت فان الذي يكون من ضرب احد الخطين في الاخر مثل الذي يكون من ضرب الخط الذي لم يقسم في جميع اقسام الخط المقسوم
Proposition 2	إذا قسم خط مستقيم كيف ما اتفق فإن السطوح القائمة الزوايا التي يحيط بها الخط كله وكل واحد من اقسامه مساو للمربع الكاين من الخط كله
	فليكن خط مستقيم عليه الف با ولنقسم كيف ما اتفق على نقطة الجيم فاقول إن السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با والف جيم مع السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم مساويان للمربع الكاين من خط الف با فلنعمل من خط الف با مربعا عليه الف دال ها با ولنخرج من نقطة الجيم خطا مستقيما موازيا لكل واحد من خطي الف دال وها با وهو خط جيم زاي فكل واحد من سطحي الف زاي وجيم ها متوازي الاضلاع فسطح الف ها مساو لسطحي الف زاي وجيم ها وسطح الف زاي مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا با الف والف جيم وخط دال الف مساو لخط الف وسطح جيم ها مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم لان خط الف با مساو لخط با ها وسطح الف ها هو المربع الكاين من خط الف با فالسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا با الف والف جيم مع السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم مساويان للمربع الكاين من خط الف با
	فاذا قسم خط مستقيم كيف ما اتفق فان السطوح القايمة التي يحيط بها الخط كله وكل واحد من اقسامه مساو للمربع الكاين من الخط كله
	وفي نسخة الحجاج يقول كل خط يقسم اقساما فان الذي يكون من ضرب الخط في جميع اقسامه مثل الذي يكون من ضرب الخط كله في نفسه وذلك ما أردنا ان نبين
Proposition 3	إذا قسم خط مستقيم بقسمين كيف ما اتفق فإن السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط كله واحد قسميه مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به القسمان والمربع الكاين من القسم الذي ذكرنا
	فليكن خط مستقيم عليه الف با وليقسم بقسمين كيف ما اتفق علي نقطة الجيم فأقول ان السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وجيم بمساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف جيم وجيم با والمربع الكاين من خط جيم با
	فلنعمل من خط جيم با مربعا عليه با جيم دال ها ونتمم سطح جيم الف زاي دال المتوازي الاضلاع فكل واحد من سطحي الف دال وجيم ها متوازي الاضلاع فسطح الف ها مساو لسطحي الف دال وجيم ها المذكورين وسطح الف ها مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم لان خط با جيم مساو لخط جيم دال وسطح جيم ها هو المربع الكاين من خط جيم با وسطح الف دال مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف جيم وجيم با لان خط جيم با مثل خط جيم دال فالسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف جيم وجيم با مع المربع الكاين من خط با جيم
	فاذا قسم خط مستقيم بقسمين كيف ما اتفق فان السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط كله واحد قسميه مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به القسمين والمربع الكاين من القسم الذي ذكرنا
	وفي نسخة الحجاج يقول كل خط يقسم بقسمين فان الذي يكون من ضرب جميع الخط في احد القسمين متل الذي يكون من ضرب احد القسمين في الاخر ومن ضرب القسم الذي ضرب فيه في نفسه
Proposition 4	إذا قسم خط مستقيم بقسمين كيف ما اتفق فإن المربع الكاين من الخط كله مساو للمربعين الكاينين من القسمين وضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به القسمان
	فليكن خط مستقيم عليه الف با وليقسم بقسمين كيف ما اتفق علي نقطة الجيم فاقول ان المربع الكاين من خط الف با مساو للمربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم با مع ضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف جيم وجيم با فلنعمل من خط الف با مربع الف دال ها با ونصل الدال بالبا ونخرج من نقطة الجيم خطا موازيا لخطي الف دال وها با وهو خط جيم حا زاي ونخرج من نقطة الحا خطا موازيا لخطي الف با ودال ها وهو خط طا حا كاف فلان خط جيم زاي مواز لخط الف دال وقد وقع [عليهما] خط با دال المستقيم تكون زاوية جيم حا با الخارجة مساوية لزاوية الف دال با الداخلة التي تقابلها ولكن زاوية الف دال با مساوية لزاوية دال با الف لان ضلع دال الف مساو لضلع الف با فزاوية جيم حا با مساوية لزاوية الف با دال فيكون ضلع جيم حا مساويا لضلع با جيم ولاكن ضلع جيم حا مساو لضلع با كاف وضلع با جيم مساو لضلع حا كاف فخطوط با جيم وجيم حا وحا كاف وكاف با الاربعة مساوية بعضها لبعض فسطح جيم كاف مساوي الاضلاع واقول ايضا انه قايم الزوايا فلان خط جيم حا مواز لخط با كاف وقد وقع عليهما خط جيم با تكون زاويتا جيم با كاف وحا جيم با مساويتين لقايمتين وزاوية كاف با جيم قايمة فزاوية با جيم حا قايمة وتكون لذلك زاويتا جيم حا كاف وحا كاف با المقابلتان لهما قايمتين فسطح جيم حا كاف با قايم الزوايا وقد كان تبين انه متساوي الاضلاع فسطح حا با مربع وهو الكاين من خط جيم با وكذلك يتبين ان سطح طا زاي مربع وهو ايض االكاين من خط طا حا الذي هو مساو لخط ااف جيم فسطح طا زاي وجيم كاف مربعان وهما المربعان الكاينان من خطي ااف جيم وجيم با ولان سطح الف حا المتمم مساو لسطح كاف زاي المتمم فسطحا ااف حا وزاي كاف مساويان لضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا ااف جيم وجيم با وقد تبين ان سطح طا زاي وسطح حا با مساويان للمربعين الكاينين من خطي ااف جيم وجيم با فسطوح طا زاي وحا با والف حا وحا ها مساوية للمربعين الكاينين من خطي الف جيم ب وجيم با مع ضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خط الف جيم وجيم با ولاكن سطوح طا زاي وجيم كاف والف حا وحا ها مساوية لسطح الف دال ها با كله الذي هو المربع الكاين من خط الف با فالمربع الكاين من خط الف با مساو للمربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم با مع ضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف جيم وجيم با فاذا قسم خط مستقيم بقسمين كيف ما اتفق فان المربع الكاين من الخط كله مساو للمربعين الكاينين من القسمين وضعف السطح القائم الزوايا الذي تحيط به القسمان وهنا لك استبان ان كل سطح مربع فان السطحين المتوازيي الاضلاع الذين علي قطره ايضا مربعان فقد تبين من هذا الشكل ان السطوح المتوازية الاضلاع التي تكون علي اقطار سطوح مربعة هي ايضا مربعة
	قال ثابت بن كرة وجدنا في نسخة اخرى انه يتبين على وجه اخر ان المربع الكاين من خط الف با مساو للمربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم با وضعف السطح القائم الزوايا الذي تحيط به خطا الف جيم وجيم با فلان خط الف با مساو لخط الف دال تكون زاوية الف با دال مساوية لزاوية الف دال با ولاكن كل مثلث فان زواياه الثلاث مساوية لزاويتين قايمتين تكون زاويا الف دال با ودال با الف وبا الف دال الثلاث من مثلث الف دال با مساوية لزاويتين قايمتين وزاوية با الف دال منه قايمة فزاويتا الف دال با والف با دال الباقيتين مساويتان لزاوية قايمة وهما متساويتان فكل واحد منهما نصف قايمة وزاوية با جيم حا قايمة لانهما مساوية للزاوية التي عند الالف التي تقابلها فزاوية جيم حا با الباقية نصف قايمة فزاوية جيم حا با إذن مساوية لزاوية جيم با حا فيكون اذن ضلع با جيم مساويا لضلع جيم حا ولاكن ضلع با جيم مساو لضلع حا كاف وضلع جيم حا مساو لضلع با كاف فسطح جيم كاف متساوي الاضلاع وزاوية جيم با كاف منه قايمة فسطح جيم كاف مربع وهو الكاين من خط جيم با ولهده الاشيا يتبين ان سطح طا زاي ايضا مربع وهو مساو للمربع الكاين من خط الف جيم فسطحا جيم كاف وطا زاي مربعان وهما مساويان للمربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم با ولان سطح الف حا مساو لسطح حا ها وسطح الف حا هو السطح الذي يحيط به خطا الف جيم وجيم با لان خط جيم حا مساو لخط جيم با فسطح حا ها مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف جيم وجيم با فسطحا الف حا وحا ها مساويان لضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف جيم وجيم با وسطحا جيم كاف وطا زاي مساويان للمربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم با فسطوح جيم كاف وطا زاي والف حا وحا ها الاربعة مساوية للمربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم با وضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف جيم وجيم با ولاكن سطحا جيم كاف وطا زاي وسطحا الف حا وحا ها هي سطح الف ها كله القائم الزوايا الذي هو المربع الكاين من خط الف با فالمربع الكاين من خط الف با مساو للمربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم با مع ضعف السطح القائم الزوايا التي تحيط به خطا الف جيم وجيم با وذلك ما أردنا ان نبين
	وفي نسخة الحجاج يقول كل خط يقسم بقسمين فان الذي يكون من ضرب جميع الخط في نفسه مثل الذي يكون من ضرب كل قسم في نفسه ومن ضرب احد القسمين في الاخر مرتين وقال أيضا وهنا لك استبان أن السطحين الذين يكونان في سطح مربع ويقطعها القطر مربعان
Proposition 5	إذا قسم خط مستقيم بقسمين متساويين وقسمين غير متساويين فان السطح القائم الزوايا الذي يحيط به قسما الخط كله اللذان ليسا متساويين مع المربع الكاين من الخط الذي فيما بين موضوعي القسمين مساو للمربع الكاين من نصف الخط
	فليكن خط مستقيم عليه الف با وليقسم بقسمين متساويين علي نقطة الجيم وقسمين غير متساويين علي نقطة الدال فأقول إن السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف دال ودال با مع المربع الكاين من خط جيم دال مساو للمربع الكاين من خط جيم با الذي هو نصف الخط فنعمل من خط جيم با مربعا وهو مربع جيم ها زاي با ونرسم الشكل ونتمم سطح الف طا لام جيم المتوازي الاضلاع فلان سطح جيم حا مساو لسطح حا زاي ونجعل سطح دال كاف مشتركا يكون سطح جيم كاف كله مساويا لسطح دال زاي كله ولان ضلع الف جيم مساو لضلع جيم با لانه نصف الخط يكون سطح الف لام مساويا لسطح جيم كاف وقد كان سطح جيم كاف مساويا لسطح دال زاي فيكون سطح الف لام مساويا لسطح دال زاي فنجعل ايضا سطح جيم حا مشتركا فسطح الف حا كله مساو لعلم الميم والنون السين ولاكن سطح الف حا مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف دال ودال با لان خط با دال مساو لخط دال حا وذلك ان سطح دال كاف مربع بعلم ميم نون مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف دال ودال با ونجعل سطح لام عين الذي هو مساو للمربع الكاين من خط جيم دال مشتركا فيكون علم ميم نون سين وسطح لام عين مساويا للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف دال ودال با مع المربع الكاين من خط جيم دال ولاكن علم ميم نون سين وسطح لام عين هما سطح جيم زاي كله وهو المربع الكاين من خط جيم با فالسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف دال ودال با مع المربع الكاين من خط جيم دال مساو للمربع الكاين من خط جيم با فاذا قسم خط مستقيم بنصفين متساويين وقسمين غير متساويين فان السطح القائم الزوايا الذي يحيط به قسما الخط كله الذان ليسا متساويين مع الكاين من الخط الذي فيما بين موضعي القسمين مساو للمربع الكاين من نصف الخط وذلك ما أردنا ان نبين
	وفي نسخة الحجاج يقول كل خط يقسم بنصفين ثم أيضا يقسم بقسمين فان الذي يكون من ضرب القسم الاطول في القسم الأصغر ومن فضل نصف الخط على القسم الاصغر في نفسه هو مثل الذي يكون من ضرب نصف الخط في نفسه
Proposition 6	إذا قسم خط مستقيم بنصفين وزيد عليه خط مستقيم علي استقامة فان السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط كله مع الزيادة والزيادة مع المربع الكاين من نصف الخط مساو للمربع الكاين من الخط المركب من نصف الخط والزيادة
	فليكون خط مستقيم عليه الف با وليقسم بنصفين علي نقطة الجيم وليزد عليه خط مستقيم وهو خط با دال فأقول إن السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف دال ودال با مع المربع الكاين من خط جيم با مساو للمربع الكاين من خط جيم دال فنعمل من خط جيم دال مربع جيم ها زاي دال ونرسم الشكل ونتمم سطح جيم الف طا كاف المتوازي الاضلاع فلان خط الف جيم مساو لخط جيم با يكون سطح الف كاف المتوازي الاضلاع مساويا لسطح جيم حا المتوازي الاضلاع ولاكن سطح جيم حا مساو لسطح حا زاي فسطح الف كاف مساو لسطح حا زاي ونجعل سطح جيم لام مشتركا فسطح الف لام كله مساو لعلم ميم نون سين كله ولاكن السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف دال ودال با مساو لسطح الف لام القائم الزوايا المساوي للعلم لان خط با دال مساو لخط دال لام فعلم ميم نون سين مساو للسطح القايم الزاويا الذي يحيط به خطا الف دال ودال با وسطح كاف عين مساو للمربع الكاين من خط جيم با فعلم ميم نون سين مع سطح كاف عين مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف دال ودال با مع المربع الكاين من خط با جيم ولاكن علم ميم نون سين ومربع كاف عين هو سطح جيم زاي كله الذي هو المربع الكاين من خط جيم دال فالسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف دال ودال با مع المربع الكاين من خط با جيم مساو للمربع الكاين من خط جيم دال
	فاذا قسم خط مستقيم بنصفين وزيد عليه خط مستقيم علي استقامة فان السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط كله مع الزيادة والزيادة مع المربع الكاين من نصف الخط مساو للمربع الكاين من الخط المركب من نصف الخط والزيادة
	وفي نسخة الحجاج يقول كل خط يقسم بنصفين ثم يزاد في طوله خط اخر فان الذي يكون من ضرب جميع ذلك كله في الخط المزيد ومن ضرب نصف الخط الأول في نفسه جميعا هو مثل الذي يكون من ضرب نصف الخط الأول اذا اضيف اليه الخط المزيد ثم يضرب كله في نفسه
Proposition 7	إذا قسم خط مستقيم بقسمين كيف ما اتفق فان المربع الكاين من الخط كله والمربع الكاين من احد قسميه اذ اجمعا كانا مساويين لضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط كله مع القسم الذي ذكرنا والمربع الكاين من القسم الباقي
	فليكون خط مستقيم عليه الف با وليقسم كيف ما اتفق علي نقطة الجيم فاقول ان المربعين الكاينين من خطي الف با وبا جيم مساويين لضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم والمربع الكاين من خط الف جيم فنرسم من خط الف با مربع الف دال ها با ونفصل من خط با ها مثل خط با جيم وهو خط با كاف ونرسم الشكل فسطح الف زاي مساو لسطح زاي ها لانهما المتممان ونجعل سطح جيم كاف مشتركا فيكون سطح الف كاف كله مساويا لسطح جيم ها كله فسطحا الف كاف وجيم ها ضعف سطح الف كاف ولاكن جميع سطح الف كاف مع سطح جيم ها علم لام ميم نون ومربع جيم كاف فعلم لام ميم نون ومربع جيم كاف هما ضعف سطح الف كاف وسطح الف كاف هو السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم لانه يحيط به خطا الف با وبا كاف وخط با كاف مساو لخط با جيم فعلم لام ميم نون ومربع جيم كاف مساويان لضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم ونجعل المربع الكاين من خط الف جيم مشتركا وهو مربع طا حا فضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم مع المربع الكاين من خط الف جيم مساو لعلم لام ميم نون وسطحي جيم كاف وطا حا لاكن علم لام ميم نون وسطحا جيم كاف وطا حا هو مربع الف ها ومربع جيم كاف ومربع الف ها هو المربع الكاين من خط الف با ومربع كاف جيم هو المربع الكاين من خط جيم با فالمربعان الكاينان من خطي الف با وبا جيم مساويان لضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم والمربع الكاين من خط الف جيم
	فادا قسم خط مستقيم بقسمين كيف ما اتفق فان المربع الكاين من الخط كله والمربع الكاين من احد قسميه اذ اجمعا كانا مساويين لضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط كله والقسم الذي ذكرنا مع المربع الكاين من القسم الباقي
	وفي نسخة الحجاج يقول كل خط يقسم بقسمين فالذي يكون من ضرب الخط في نفسه وضرب احد القسمين في نفسه مجموعين مثل الذي يكون من ضرب الخط في القسم الذي ضرب في نفسه مرتين مع ضرب القسم الباقي في نفسه
Proposition 8	إذا قسم خط مستقيم بقسمين كيف ما اتفق فان اربعة امثال السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط كله واحد قسميه مع المربع الكاين من القسم الباقي مساو للمربع الكاين من الخط كله والقسم الذي تقدم ذكره اذا جملا كخط واحد
	فليكون خط مستقيم عليه الف با وليقسم كيف ما اتفق علي نقطة الجيم فأقول ان اربعة امثال السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم مع المربع الكاين من خط الف جيم مساو للمربع الكاين من خط الف با وبا جيم اذا جملا كخط واحد فليخرج خط الف با على استقامة الى نقطة الدال وليكن خط با دال مساويا لخط با جيم فنعمل من خط الف دال مربعا وهو مربع الف دال ها زاي ولنصل نقطة الدال بالزاي ولنخرج من نقطتي الجيم والبا خطان موازيان لخطي الف زاي ودال ها وهما خطا جيم حا وبا طا ومن نقطتي الكاف والقاف خطان موازيان لخطي الف دال وزاي ها وهما خطا ميم نون وسين لام فلان خط با جيم مساو لخط با دال وخط با جيم مساو لكل واحد من خطي فا كاف وقاف عين وخط با دال أيضا مساو لكل واحد من خطي كاف نون وعين لام يكون خط نون كاف مساويا لكل واحد من خطوط كاف فا وعين قاف وعين لام فسطح كاف جيم المتوازي الاضلاع مساو لسطح با نون المتوازي الاضلاع وسطح فا عين المتوازي الأضلاع مساو لسطح كاف لام المتوازي الاضلاع وسطح قاف طا ايضا مساو لسطح عين ها ولان سطح جيم كاف المتوازي الاضلاع مساو لسطح با نون المتوازي الاضلاع وسطح فا عين مساو لسطح كاف لام وان سطحي جيم كاف وكاف لام متساويان لانهما متممان يكون سطح با نون مساويا لسطح فا عين فسطوح جيم كاف و با نون وفا عين وكاف لام الاربعة اربعة امثال سطح جيم كاف ولاكن سطوح جيم كاف و با نون وفا عين وكاف لام هو جميع سطح جيم لام الذي هو اربعة امثال سطح جيم كاف ولان خط با جيم ايضا مساو لخط با دال وخط جيم با مساو لخط فا كاف الذي يقابله وهو ايضا مساو لخط فا قاف لان سطح فا عين مربع وخط با دال مساو لخط با كاف لان سطح با نون مربع وهو ايضا مساو لخط فا جيم الذي يقابله فيكون خط فا جيم مساويا لخط فا قاف فسطح الف فا اذن مساوي لسطح ميم قاف وسطح قاف طا مساو لسطح عين ها وسطح الف قاف مثل سطح قاف ها لانهما متممان ولاكن سطح ميم قاف مساو لسطح قاف طا لانهما ايضا متممان فسطح الف فا مساو لسطح عين ها فسطوح الف فا وميم قاف وقاف طا وعين ها الاربعة هي اربعة امثال سطح الف فا وسطح جيم لام المتوازي الاضلاع قد كان اربعة امثال سطح جيم كاف فجميع علم شين تا ثا اربعة امثال سطح الف كاف وسطح الف كاف هو السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا كاف وخط با كاف هو مساو لخط با جيم وهو ايضا مساو لخط با دال فعلم شين تا ثا اربعة امثال السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم فاربعة امثال السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم اذن مساو لعلم شين تا ثا ولنجعل المربع الكاين من خط الف جيم مشتركا وهو مربع سين حا فاربعة امثال السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم مع المربع الكاين من خط الف جيم مساو لعلم شين تا ثا مع مربع سين حا ولاكن علم شين تا ثا ومربع سين حا هما جميعا مثل سطح الف ها الذي هو المربع الكاين من خط الف دال فاربعة امثال السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا جيم مع المربع الكاين من خط الف جيم مساو للمربع الكاين من خط الف با وبا جيم اذا جعلا خطا واحدا
	فاذا قسم خط مستقيم بقسمين كيف ما اتفق فان اربعة امثال السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط كله واحد قسميه مع المربع الكاين من القسم الباقي مساو للمربع الكاين من الخط كله والقسم الذي تقدم ذكره اذا جعلا كخط واحد
	وفي نسخة الحجاج يقول كل خط يقسم بقسمين ثم يزاد في طول الخط مثل احد القسمين فان الذي يكون من ضرب جميع ذلك في نفسه مثل الذي يكون من ضرب الخط الاول في القسم المزيد اربع مرات وضرب القسم الاخر في نفسه جميعا وذلك ما أردنا ان نبين
Proposition 9	اذا قسم خط مستقيم بقسمين متساويين وقسمين غير متساويين فان المربعين الكاينين من قسمي الخط كله الذين ليسا بمتساويين هما ضعف المربعين الكاينين من نصف الخط كله ومن الخط الذي فيما بين موضوعي القسمين
	فليكن خط مستقيم عليه الف با وليقسم بقسمين متساويين علي نقطة الجيم وقسمين غير متساويين علي نقطة الدال فاقول ان المربعين الكاينين من خطي الف دال ودال با هما ضعف المربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم دال فلنخرج من نقطة الجيم من خط الف با المستقيم خطا مستقيما علي زاويا قايمه وهو خط جيم ها ولنجعل خط جيم ها مساويا لكل واحد من خطي الف جيم وجيم با ولنصل خطي الف ها وها با ولنكرج من نقطة الدال خطا مستقيما علي زاويا قايمة وهو خط دال زاي ولنخرج من نقطة الزاي خطا موازيا لخط دال جيم وهو خط زاي حا ولنصل الزاي بالالف فلان خط ها جيم مساو لخط جيم الف تكون زاوية جيم الف ها متساوية لزاوية جيم ها الف ولان زاويه الف جيم ها قايمة تكون زاويتا ها الف جيم والف ها جيم الباقيتان مساويتين لزاوية قايمة وهما متساويتان فكل واحدة من زاويتي جيم ها الف وجيم الف ها نصف قايمة ولان خط ها جيم ايضا مساو لخط جيم با تكون زاوية جيم ها با مساوية لزاوية جيم با ها وزاوية با جيم ها قايمة فكل واحدة من زاويتي جيم ها با وجيم با ها نصف قايمة ولان كل واحدة من زاويتي جيم ها با والف ها جيم نصف قايمة تكون زاوية الف ها زاي قايمة ولان زاوية جيم با ها نصف قايمة وزاوية زاي دال با قايمة تكون زاوية دال زاي با نصف قايمة فخط با دال مساو لخط دال زاي ولذلك ايضا يكون خط زاي حا مساويا لخط حا ها ولان خط ها جيم مساو لخط جيم الف يكون المربع الكاين من خط ها جيم مساويا للمربع الكاين من خط جيم الف فالمربعان الكاينان من خطي ها جيم وجيم الف هما ضعف المربع الكاين من خط جيم الف والمربع الكاين من خط الف ها مساو للمربعين الكاينين من خطي ها جيم وجيم الف لان زاوية ها جيم الف قايمة فالمربع الكاين من خط الف ها هو ضعف المربع الكاين من خط الف جيم ولان خط ها حا مساو لخط زاي حا يكون المربع الكاين من خط ها حا مساويا للمربع الكاين من خط زاي حا فالمربعان من خطي ها حا وزاي حا هما ضعف المربع الكاين من خط زاي حا والمربع الكاين من خط ها زاي مساو للمربعين الكاينين من خطي ها حا وحا زاي فالمربع الكاين من خط زاي ها هو ضعف المربع الكاين من خط زاي حا وخط حا زاي مساو لخط جيم دال فالمربع الكاين من خط ها زاي ضعف المربع الكاين من خط جيم دال وقد تبين ايضا ان المربع الكاين من خط الف ها هو ضعف المربع الكاين من خط الف جيم فالمربعان الكاينان من خطي زاي ها وها ألف هما ضعف المربعين الكاينين من خط الف جيم وجيم دال والمربع الكاين من خط الف زاي مساو للمربعين الكاينين من خطي زاي ها وها الف لان زاوية الف ها زاي قايمة فالمربع الكاين من خط الف زاي ضعف المربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم دال والمربع الكاين من خط الف زاي مساو للمربعين الكاينين من خطي الف دال ودال زاي لان زاوية الف دال زاي قايمة فالمربعان الكاينان من خطي الف دال ودال زاي ضعف المربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم دال وخط دال زاي مساو لخط دال با فالمربعان الكاينان من خطي الف دال ودال با ضعف المربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم دال
	فادا قسم خط مستقيم بقسمين متساويين وقسمين غير متساويين فان المربعين الكاينين من قسمي الخط كله الذي ليسا بمتساويين هما ضعف المربعين الكاينين من قسمي الخط كله ومن الخط الذي فيما بين موضعي القسمين
	وفي نسخة الحجاج قال كل خط يقسم بقسمين متساويين ثم أيضا بقسمين مختلفين فان الذي يكون من ضرب القسمين المختلفين كل واحد منهما في نفسه مجموعين هما مثلا ما يكون من ضرب نصف الخط في نفسه ومثلا ما يكون من ضرب فضل نصف الخط على القسم الاقصر في نفسه جميعا وذلك ما اردنا ان نبين
Proposition 10	إذا قسم خط مستقيم بنصفين وزيد عليه خط مستقيم علي استقامة فان المربع الكاين من الخط كله مع الزيادة والمربع الكاين من الزيادة هما ضعف المربعين الكاينين من نصف الخط ومن الخط المركب من نصف الخط والزيادة
	فليكون الخط المستقيم خط الف با وليقسم بنصفين على نقطة الجيم وليزد عليه خط مستقيم علي استقامة وهو خط با دال فأقول إن المربعين الكاينين من خطي الف دال وبا دال مجموعين هما ضعف المربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم دال فلنكرج من نقطة الجيم خطا مستقيما على زاويا قايمة وهو خط جيم ها ونجعله مساويا لكل واحد من خطي الف جيم وجيم با ولنصل الالف بالها والبا بالها ولنخرج من نقطة الدال خطا مستقيما موازيا لخط جيم ها وهو خط دال زاي ومن نقطة الها خطا مستقيما موازيا لخط جيم دال وهو خط ها زاي فلان خط جيم ها مواز لخط دال زاي وقد وقع عليهما خط ها زاي المستقيم تكون زاويتا جيم ها زاي وها زاي دال الداخلتان مساويتين لقايمتين فزاويتا با ها زاي وها زاي دال أصغر من زاويتين قايمتين والخطوط التي تخرج من اقل من زاويتين قايمتين الى غير نهاية فلا بد ان تلتقي فخط ها با وزاي دال اذا اخرجا الى غير نهاية التقيا فليخرجا ويلتقيا على نقطة الحا ولنصل الالف باالحا فلان خط ها جيم مساو لخط جيم الف تكون زاوية جيم ها الف مساوية لزاوية جيم الف ها وزاوية ألف جيم ها قايمة فكل واحدة من زاويتي ها الف جيم وجيم الف ها نصف قايمة ولان خط ها جيم ايضا مساو لخط جيم با تكون زاوية جيم ها با مساوية لزاوية جيم با ها وزاوية با جيم ها قايمة فكل واحدة من زاويتي جيم ها با وجيم با ها نصف قايمة ولان كل واحدة من زاويتي الف ها جيم وبا ها جيم نصف قايمة تكون زاوية الف ها با قايمة ولان زاوية ها با جيم نصف قايمة تكون زاوية دال با حا أيضا نصف قايمة وزاوية با دال حا قايمة لانها مساوية لزاوية دال جيم ها التي تبادلها لان خط جيم ها مواز لخط دال زاي وقد وقع عليهما خط جيم دال فالمتبادلتان متساويتان تكون زاوية دال جيم ها مساوية لزاوية با دال حا وان شيت قلت ان زاوية با دال حا الخارجة مساوية لزاوية ها زاي دال الداخلة لان خط جيم دال مواز لخط ها زاي وقد وقع عليهما خط زاي دال فزاوية ها زاي دال الداخلة مساوية لزاوية با دال حا الخارجة فتبقى زاوية دال حا با نصف قايمة فزاوية دال حا با مساوية لزاوية دال با حا فيكون ضلع با دال مساويا لضلع حا دال ولان زاوية ها حا زاي ايضا نصف قايمة والتي عند الزاي قايمة لانها مساوية للتي تقابلها وهي التي عند الجيم تبقى زاوية زاي ها حا نصف قايمة فتكون زاوية ها حا زاي مساوية لزاوية زاي ها حا فيكون لذلك ضلع حا زاي مساويا لضلع ها زاي ولان خط ها جيم مساو لخط جيم الف يكون المربع الكاين من خط ها جيم مساويا للمربع الكاين من خط جيم الف فالمربعان الكاينان من خطي ها جيم وجيم الف ضعف المربع الكاين من خط جيم الف فالمربع الكاين من خط ها الف اذن مساو للمربعين الكاينين من خطي ها جيم وجيم الف لان زاوية ها جيم الف قايمة فالمربع الكاين من خط ها الف ضعف المربع الكاين من خط جيم الف ولان خط ها زاي أيضا مساو لخط زاي حا يكون المربع الكاين من خط ها زاي مساويا للمربع الكاين من خط زاي حا فالمربعان الكاينان من خطي زاي حا وها زاي هما ضعف المربع الكاين من خط ها زاي والمربعان الكاينان من خطي ها زاي وزاي حا مساويان للمربع الكاين من خط ها حا فالمربع الكاين من خط ها حا ضعف المربع الكاين من خط ها زاي وخط ها زاي مساو لخط جيم دال فالمربع الكاين من خط ها حا ضعف المربع الكاين من خط جيم دال وقد كان تبين قبل ان المربع الكاين من خط ها الف ضعف المربع الكاين من خط الف جيم فالمربعان الكاينان من خطي ها حا وها الف ضعف المربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم دال والمربعان الكاينان من خطي ها حا وها الف مساويان للمربع الكاين من خط الف حا لان زاوية الف ها حا قايمة فالمربع الكاين من خط الف حا ضعف المربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم دال والمربع الكاين من خط الف حا مساو للمربعين الكاينين من خطي الف دال ودال حا لان زاوية الف دال حا قايمة فالمربعان الكاينان من خطي الف دال ودال حا هما ضعف المربعين الكاينين من خطي الف جيم وجيم دال وخط حا دال مساو لخط با دال فالمربعان الكاينان من خطي الف دال ودال با هما ضعف المربعين الكاينين من خطي الف وجيم ودال
	فاذا قسم خط مستقيم بنصفين وزيد في طوله خط مستقيم على استقامة فان المربع الكاين من الخط كله مع الزيادة والمربع الكاين من الزيادة هما ضعف المربعين اذا جمعا اعني المربع من نصف الخط والمربع الكاين من الخط المركب من نصف الخط ومن الزيادة
Proposition 11	نريد ان نقسم خطا مستقيما مفروضا حتى يكون السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط كله واحد القسمين مساويا للمربع الكاين من القسم الباقي
	فليكن الخط المستقيم المفروض خط الف با وينبغي ان نقسمه حتى يكون السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط كله واحد قسميه مساويا للمربع الكاين من القسم الباقي فلنعمل من خط الف با مربع الف با جيم دال ولنقسم خط الف دال بنصفين على نقطة الها ونصل البا بالها ولنكرج على استقامة خط الف ها خط الف زاي المستقيم وليكن خط ها زاي مساويا لخط با ها ولنعمل علي خط الف زاي مربع الف زاي حا طا ولنخرج على استقامة خط حا طا خط طا كاف المستقيم فأقول ان خط الف با قد قسم على نقطة الطا قسمة يكون السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا طا مساويا للمربع الكاين من خط ااف طا فلان خط الف دال المستقيم قد قسم بنصفين على نقطة الها وزيد عليه خط مستقيم على استقامة وهو خط الف زاي يكون السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا دال زاي وزاي الف مع المربع الكاين من خط الف ها هو مساو للمربع الكاين من خط ها زاي وخط ها زاي مساو لخط ها با فالسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا دال زاي والف زاي مع المربع الكاين من خط ها الف مساو للمربع الكاين من خط ها با لان خط ها با مساو لخط ها زاي والمربعان الكاينان من خطي با الف والف ها مساويان للمربع الكاين من خط ها با لان زاوية با الف ها قايمة فالسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا دال زاي وزاي الف والمربع الكاين من خط الف ها مساو للمربعين الكاينين من خطي با الف والف ها فننقص منهما المربع المشترك الكاين من خط الف ها فيبقى السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا دال زاي وزاي الف مساو للمربع الكاين من خط الف با لاكن السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا دال زاي وزاي حا هو مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا دال زاي وزاي الف لان خط زاي الف هو مساو لخط زاي حا والمربع الكاين من خط الف با هو سطح الف با جيم دال فسطح زاي كاف مساو لمربع الف جيم فينقص منهما سطح الف كاف المشترك فيبقى سطح زاي طا مساويا لسطح طا جيم الباقي ولاكن سطح طا جيم مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا طا لان خط الف با مساو لخط با جيم وسطح زاي طا هو المربع الكاين من خط الف طا فالسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا طا مساو للمربع الكاين من خط الف طا فقد قسمنا خط الف با المستقيم المفروض على نقطة الطاء وكان السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا طا مساويا للمربع الكاين من خط الف طا وذلك ما أردنا ان نبين
Proposition 12	المربع الكاين من الضلع الذي يوتر الزاوية المنفرجة من المثلثات المنفرجة الزاويا اعظم من المربعين الكاينين من المحيطين بالزاوية المنفرجة بزيادة ضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط الذي يقع عليه العمود من الخطين المحيطين بالزاوية المنفرجة والخط الذي يفصل العمود من خارج مما يلي الزاوية المنفرجة
	فليكن المثلث المنفرج الزاوية مثلث الف با جيم ولتكون زاوية با الف جيم منه منفرجة وليخرج خط الف دال المستقيم على استقامة خط جيم الف ولنخرج من نقطة البا الى خط دال المستقيم عمود با دال فأقول ان المربع الكاين من خط با جيم اعظم من المربعين الكاينين من خطي با الف والف جيم بضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم الف والف دال فلان خط دال جيم قد قسم بقسمين كيف ما اتفق على نقطة الالف يكون المربع الكاين من خط دال جيم مساويا لمربعين الكاينين من خطي دال الف والف جيم وضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا دال الف والف جيم ونجعل المربع الكاين من خط با دال مشتركا فالمربعان الكاينان من خطي جيم دال ودال با مساويان للمربعان الكاينان من خطوط با دال ودال الف والف جيم وضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم الف والف دال ولاكن المربعان الكاينان من خطي با دال ودال جيم مساويان للمربع الكاين من خط با جيم لان زاوية با دال الف قايمة فالمربع الكاين من خط با جيم مساو للمربعين الكاينين من خطي با الف والف جيم مع ضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا دال الف والف جيم فيكون المربع الكاين من خط با جيم اعظم من المربعين الكاينين من خطي با الف والف جيم بضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا دال الف والف جيم
	فالمربع الكاين من الضلع الذي يوتر الزاوية المنفرجة من المثلثات المنفرجة الزاوية اعظم من المربعين الكاينين من الضلعين المحيطين بالزاوية المنفرجة بضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط الذي يقع عليه العمود من الخطين المحيطين بالزاوية المنفرجة والخط الذي يفصله من خارج مما يلي الزاوية المنفرجة
Proposition 13	المربع الكاين من الضلع الذي يوتر الزاوية الحادة من المثلثات الحادة الزاويا اصغر من المربعين الكاينين من الضلعين المحيطين بالزاوية الحادة بضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط الذي يقع عليه العمود من الخطين المحيطين بالزاوية الحادة والخط الذي يفصله العمود مما يلي الزاوية الحادة
	فليكن المثلث الحاد الزوايا مثلث الف با جيم ولتكن زاوية الف با جيم منه حادة ولنخرج من نقطة الالف الى خط با جيم عمود الف دال فأقول ان المربع الكاين من خط الف جيم اصغر من المربعين الكاينين من خطي با جيم وبا الف بضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم با وبا دال فلان خط با جيم المستقيم قد قسم بقسمين كيف ما اتفق على نقطة الدال يكون المربعان الكاينان من خطي جيم با وبا دال مساويين لضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم با وبا دال والمربع الكاين من خط دال جيم فنجعل المربع الكاين من خط الف دال مشتركا فالمربعات الكاينات من خطوط جيم با وبا دال ودال الف مساوية لضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم با وبا دال والمربعين الكاينين من خطي الف دال ودال جيم ولاكن المربعين الكاينين من خطي الف دال ودال جيم مساويين للمربع الكاين من خط الف جيم لان زاوية الف دال جيم قايمة فالمربعان الكاينان من خطي جيم با وبا الف مساويان لضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم با وبا دال مع المربع الكاين من خط جيم الف فالمربع الكاين من خط جيم الف اصغر من المربعين الكاينين من خطي با الف وبا جيم بضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم با وبا دال
	فالمربع الكاين من الضلع الذي يوتر الزاوية الحادة من المثلثات الحادة الزوايا اصغر من المربعين الكاينين من الضلعين المحيطين بالزاوية الحادة بضعف السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط الذي يقع عليه العمود من الخطيين المحيطين بالزاوية الحادة الذي يفصله العمود مما يلي الزاوية الحادة وذلك ما أردنا ان نبين
Proposition 14	نريد أن نعمل مربعا مساويا لشكل مستقيم الأضلاع مفروض فليكن الشكل المستقيم الاضلاع المفروض شكل الالف وينبغي ان نعمل مربعا [مساو] لشكل الالف المستقيم الأضلاع فلنقم سطحا متوازي الاضلاع قايم الزوايا مساويا لشكل الالف المفروض المستقيم الاضلاع وهو سطح جيم با ها دال فاما ان يكون خط با ها مساويا لخط ها دال واما ان يكون احدهما اعظم من الاخر فان كانا متساويين فقد عملنا ما اردنا وان لم يكونا متساويين فان احدهما اعظم من الاخر فليكن احد خطي با ها وها دال اعظم من الاخر وليكن الاعظم خط با ها ولنخرج خط ها زاي المستقيم على استقامة خط با ها المستقيم ونجعل خط ها زاي مساويا لخط ها دال ولنقسم خط با زاي بنصفين على نقطة الحا ونخط على مركز حا ونبعد خطي با حا وحا زاي نصف دايرة طا زاي ونخرج خط ها طا المستقيم على استقامة خط دال ها الى الخط المحيط ونصل الطا بالحا فلان خط با زاي المستقيم قد قسم بقسمين [متساويين على نقطة الحاء وبقسمين غير] متساويين على نقطة الها يكون السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا با ها وها زاي مع المربع الكاين من خط ها حا مساويا للمربع الكاين من خط حا زاي وخط حا زاي مساو لخط حا طا فالسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا با ها وها زاي مع المربع الكاين من خط ها حا مساو للمربع الكاين من خط حا طا والمربع الكاين من خط حا طا مساو للمربعين الكاينين من خطي طا ها وها حا لان زاوية طا ها حا قايمة فالسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا با ها وها زاي مع المربع الكاين من خط ها حا مساو للمربعين الكاينين من خطي طا ها وها حا فينقض المربع المشترك الكاين من خط ها حا فيبقى السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا با ها وها زاي مساويا للمربع الباقي الكاين من خط طا ها والسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا با ها وها زاي مساو لسطح با دال المتوازي الاضلاع لانه يحيط به خطا با ها وها دال وخط زاي ها مساو لخط دال ها فسطح با دال مساو للمربع الكاين من خط ها طا وسطح با دال مساو لشكل الالف المستقيم الخطوط فشكل الالف مساو للمربع الكاين من خط ها طا فقد عملنا مربعا مساويا لشكل الالف المستقيم الخطوط وهو المربع الكاين من خط ها طا وذلك ما اردنا ان نبين تمت المقالة الثانية من كتاب اوقليدس في الأصول والحمد لله رب العلمين وصلى الله على محمد
	وجه ثان في الشكل الذي خرة
	نريد ان نبين كيف نقسم خطا مستقيما مفروضا حتى يكون السطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخط كله واحد القسمين مساويا للمربع الكاين من القسم الباقي فليكن الخط المستقيم المفروض خط الف با ونخرجه على استقامة في احدى جهتيه الى نقطة الجيم وليكن خط الف جيم مساويا لخط الف با ونجعل نقطة الالف مركزا ونقدر بعد الف با ونخط نصف دايرة عليهما با دال جيم ثم نخرج من نقطة الالف عمودا على خط با جيم وهو عمود الف دال ثم نقسم خط الف جيم بنصفين على نقطة الها ثم نصل نقطة الها بنقطة الدال بخط ها دال ثم نقطع من خط با ها خطا مساويا لخط ها دال وهو خط ها زاي فأقول إنا قذ قسمنا خط الف با بالقسمة المطلوبة على نقطة الزاي وان القسمين خط الف زاي وزاي با واعظمهما خط الف زاي فلان خط الف جيم قذ قسم بنصفين على نقطة الهاء وزيد في طوله خط اخر وهو خط الف زاي فالمربع الكاين من خط ها زاي مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم زاي وزاي الف مع مربع خط الف ها لاكن خط ها زاي مساو لخط ها دال ومربع خط ها دال مساو للمربعين الكاينين من خطي ها الف والف دال اذ زاوية ها الف دال قايمة فمربع خطي ها الف والف دال مساويان للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم زاي وزاي الف مع مربع خط الف ها فنسقط خط الف ها المشترك يبقى السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم زاي وزاي الف مساويا لمربع خط الف دال وخط الف دال مثل خط الف با فمربع خط الف با مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم زاي وزاي الف والسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم زاي وزاي الف مساو لمربع خط الف زاي مع السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم الف والف زاي فمربع خط الف با مساو لمربع خط الف زاي مع السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم الف والف زاي والسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا جيم الف والف زاي مساو للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا با الف والف زاي فمربع خط الف با مساو لمربع خط الف زاي مع السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا با الف والف زاي ومربع خط الف با مساو للسطحين القائمين الزوايا الذين يحيط به خطا الف با وكل واحد من خطي الف زاي فمربع خط الف زاي مع السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا با الف والف زاي وزاي بمثل السطحين القائمين الزوايا الذين يحيط به خط الف با وكل واحد من خطي الف زاي وزاي با وادا اسقطنا السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با والف زاي يبقي مربع خط الف زاي مساويا للسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا الف با وبا زاي فقد قسمنا خط الف با بالقسمة المطلوبة وذلك ما اردنا ان نبين