מפתח האלגיברה חדשה
אלה תולדות ומאורעות שקרו לי את האלגיברה יונתי תמתי [שיר השירים ה, ב] These are the chronicles and events that introduced to me the algebra my dove, my perfection [Song of Songs 5, 2] אחוז בחבלי [אסתר א, ו] הבלי הזמן ורעיוני Caught up by cords of [Esther 1, 6] the waste of time and ideas על משכבי סליקו [דניאל ב, כט] Upon my bed [Daniel 2, 29] מסעיפי' מחזיונות לילה [איוב ד, יג] In thoughts from the visions of the night [Job 4, 13] והנה היליל בן שחר [ישעיה יד, יב] עלה ממסוכתו The day-star, son of the dawn [Isaiah 14, 12] כאיש נדהם [ירמיהו יד, ט] As a man surprised [Jeremiah 14, 9] וכגבור לרוץ ארח [תהילים יט, ו] As a strong man to run his course [Psalms 19, 6] וזהב השמש נשקף בעד בחלון The gold of the sun was reflected through the window ובעד האשנב [שופטים ה, כח] Through the lattice [Judges 5, 28] מציץ מן החרכים [שיר השירים ב, ט] Peering through the lattice [Song of Songs 2, 9] ושרעפי הרהיבוני My disquieting thoughts have overcome me לדחפוני ממשכבי העצלות Pushed me out of the bed of laziness והנה קולי דודי דופק [שיר השירים ה, ב] A sound! My beloved knocks [Song of Songs 5, 2] קום נצא בשדה נלינה בכפרים [שיר השירים ז, יב] Get up, let us lodge in the villages [Song of Songs 7, 12] כי הנצנים נראו בארץ ועת הזמיר הגיע [שיר השירים ב, יב] The flowers have appeared in the land; the time of the nightingale has come [Song of Songs 2, 12] הגשם חלף והלך לו [שיר השירים ב, יא] . The rain is over and gone [Song of Songs 2, 11] למה לנצח תקמוט בלא עת לשחוק אמרתי מהולל [קהלת ב, ב] כי מה הוה לאדם [קהלת ב, כב] ברעיון לבו [קהלת ב, כב] שכל ימיו מכאובי' [קהלת ב, כג] וגם בלילה לא שכב לבו [קהלת ב, כג] ואשמע לקולו ויוציאני החוצה מקדם לעיר [יונה ד, ה] עודנו הלוך ושב והנה השמש יצא על הארץ [בראשית יט, כג] מנרתיקו ואין נסתר מחמתו [תהילים יט, ז] . וימן אלהים רוח קדים חרישית ותך השמש על ראשי [יונה, ד, ח] ואתעלף ותקצר נפשי [זכריה יא, ח] לחם הקלוקל [במדבר כא, ה] ותשאל מנוס אנה מחמתה תברח . ובקשתי את שאהבה נפשי בקשתיו ולא מצאתיו [שיר השירים ג, א] . ויצא רוח מלפני אלהים רוח חזק מפרק הרים ושובר סלעי' [מלכים א יט, יא] ויאחזני בציצת ראשי [יחזקאל ח, ג] ויוליכני אל הארץ הטובה [דברים ד, כא] ארץ אשר ה' דורש אותה [דברים יא, יב] ועיניו משוטטות בה מראשית השנה עד אחרית השנה [דברים יא, יב] ארץ נחלי [דברים ח, ז] ומעינות מים ונהר פלגיו [תהילים מו, ה] ישמח אלהים ואנשים אנשי אל כגנות עלי נהר [במדבר כד, ו]
כארזים עלי מים [במדבר כד, ו] רבים לא ישטופהו ומדליו יזלו מור ואהלות וקנמון וכל ראשי בשמים [שיר השירים ד, יד] ובתוכו אתמלאה ציצים ופרחים וכל עץ מאכל ובאמצעיתו אהלים אשר נטע ה' וסוכה תהיה לצל יומם ומחסה מורם לילה ולפניה עץ קומתו דמתה לתמר וגבהו בחור מארזים עץ שתול על פלגי מים [תהילים א, ג] ופריו פרי מגדים ממגד תבואות שמש וממגד גרש ירחים [דברים לג, יד] וריחו כריח התפוח בעצי היער בצלו חמדתי וישבתי ופריו מתוק לחכי אז אחזתי בסנסניו ועליתי על במותיו ויראני משם את כל הככר והנה כלו משקה כגן ה' ואת הים הגדול ורחב ידים שם אניות יהלכון ואשמע אחרי קול רעש גדול קול ענו' מקולו' מים רבי' אדירי' ומשברי ים [תהילים צג, ד] גליו יהמון והים הולך וסוער ויהיה סער גדול בים ויורדי הים באניות עלו השמים ירדו תהומות ונפשם ברעה תתמוגג ורב החובל והמלחים וכל תופשי משוט חתרו להשיב אל היבשה ולא יכלו כי הים סוער ומזעפו מי יקום [תהילים צד, טז] וייראו המלחים לנפשם ויצעקו וידרו נדרים [יונה א, טז] וזבח לים בהטלת כליהם להקל מעליהם שיקם סערה לדממ' ושיחשו גליו [תהילים קז, כט] אבל שוא עמלו מנהיגיה בה ויעזבו אותה למקרים ובכל זאת לא נחם אלהים [שמות יג, יז] למחוז חפצם [תהילים קז, ל] ויחוגו וינועו כשכור [תהילים קז, כז] ולא מיין [ישעיהו נא, כא] וכל חכמתם תתבלע [תהילים קז, כז]. ויהיה כבוא לעת ערב שמשם ובעד כוכבים יחתם [איוב ט, ז] והנה רוח בסערה סוער בלב ים בקולות ובברקים בעמוד אש וענן [שמות יד, כד] ויהמם ויסר את מבצרי האניה ותשבר וינערו בים וכל יושביה עמה יבולון צללו כעופרת במים אדירים [שמות ו, י] וינתנו מאכל לעם לציים [תהילים עד, יד] וקצתם אחזו בדופני הספינה ובירכותיו ובקרשיו ויעזבו את נפשם לגלי הים לשוט פן תמצאנה פליטה מרדת שחת [איוב לג, כד] את כל אלה ראו עיני המעשים אשר נעשו תחת השמש [קהלת א, יד] ויכמרו רחמי ועיני לאו מראות ברעה אשר הגיע לבוטחי' על קורי עכביש ועל משענת קנה רצוץ [ישעיה לו, ו] וארד מחודת האילן ואחשוב למצוא תקוה ותוחלת [משלי יא, ז] להשטים על פני המים ואתן לי מהלכים בין העומדים [זכריה ג, ז] מפה ומפה בדרך לא סלולה [ירמיה יח, טו] ובנתיב לא ידע עיט [איוב כח, ז] עד הגיעי על שפת הים מקום רבים חללים הפילה [משלי ז, כו] ורבים שכבו בחוצות חבקו אשפתות [איכה ד, ה] אשר העלה זוטו של ים ורוחם בל אתם ואהי להם למשיב נפש [רות ד, טו] ובחובם נערה אחת Among them there was one girl. שטוחה על הארץ Lying on the ground ופניה כבושות בקרקע Her face buried in the ground בתולה טובת מראה [אסתר ב, ג] Virgin of beautiful appearance [Esther 2, 3] ואיש לא ידעה [בראשית כד, טז] No man had known her [Genesis 24, 15] אכן סר מר המות [שמואל א טו, לב] עלה בחלונה Surely the bitterness of death is at hand [Samuel 1 15, 32] appeared at her window ורוח לא נותרה בה ומראה נשחת No breath left in her and her appearance was ruined. לא הוד ולא הדר לה [ישעיה נג, ב] She had no form or beauty [Isaiah 53, 2] אזל סומקא ואתי חיורא [בבא מציעא נח, ב, יב] The red left ]her face[ and pallor came [Baba Metzia 58, 2, 12] ואשתומם על המראה [דניאל ח, כז] I was astonished at the vision [Daniel 8, 27] ונפשי נבהלה [תהילים ו, ד] בקרבי והחי יתן אל לבו [קהלת ז, ב] עודני משתאה מחריש לדעת [בראשית כד, כא] מה יעשה לה [שמות ב, ד] While I kept staring at her, silently to find out [Genesis 24, 21] what would be done to [Exodus 2, 4] her ואראה והנה עוד נשמת חיים באפה [בראשית ז, כב] I looked, and behold, the spirit of life is still in her nostrils [Genesis 7, 22] ואמהר לעשות משפט פן אפדה ממות נפשה ואפשוט את כתנת בד מאטון מצרים [משלי ז, טז] מעליה I took off the linen tunic of the yarn of Egypt [Proverbs 7, 16] over her לראות היש מצליח דרכי [בראשית כד, מב] וליתן רוח בין הדבקים [מלכים א כב, לד] ואריק ממנה המים אשר באו בקרבה ואעריף עליה מים חיים ממקור נוזלים ויהיו כמים קרים על נפש עיפה [משלי כה, כה] ואשוכה בשמנים הטובים ובאפרסמון נוסף עליהם דברים [ירמיה לו, לב] אשר ריחם לא נמר [ירמיה מח, יא] ותחי רוחה בקרבה ותפקח עיניה כיונים על אפיקי מים [שיר השירים ה, יב] Like doves by the water courses [Song of Songs 5, 12] ואקח אותה על כתיפי ואשא אותה כאשר ישא האומן את היונק [במדבר יא, יב] As the nursing-parent carries the sucking child [Numbers, 11, 12] וכנשר על אברתו [דברים לב, יא] Like the eagle on his pinion [Deuteronomy 32, 11] עד אשר הבאתה אל מקום אויתי למושב לי ואסור את שמלת שביה מעליה [דברים כא, יג] I put off her raiment of captivity from her [Deuteronomy 21, 13] ואציע לה מטות על רצפת בהט ושש [אסתר א, ו] I made a bed for her upon a pavement of green, and white [Esther 1,6] אשקה אותה יין עסיס ומעשה מרקחים והאכלתיה לחם אבירים [תהילים עח, כה] I fed her bread of the mighty [Psalms 78, 25] עד שבימים מועטים שבה בריאותה על כנה ועל תלה אז פיה פתחה בחכמה ותורת חסד על לשונה [משלי לא, כו] Then, she opened her mouth with wisdom; and the law of kindness is on her tongue [Proverbs 31, 26] לשון מדברת גדולות [תהילים יב, ד] Tongue that speaks great things [Psalms 12, 4] ואשאל מעמה להודיעני דרכיה דרכי נועם [משלי ג, יז] Her ways are ways of pleasantness [Proverbs 3, 17] ולמה תהיי כגר בארץ וכאורח נטה ללון [ירמיה יד, ח] Why are you like a stranger in the land, like a visitor who stops only for the night? [Jeremiah 14, 8] צחוק לכל העמים נגינתם כל היום [איכה ג, יד] A mockery to all the people, their song the entire day [Lamentations 3, 14] ותהי כמחריש [שמואל א י, כז] as one that held his peace [Samuel 1 10, 27] ויהי בדברי אליה יום יום ולא שמעה אלי כפעם בפעם הלכתי לרוח היום בגן [בראשית ג, ח] I walked in the garden in the breeze of the day [Genesis 3, 8] ומזימותי כל אתי ותפגע בי ולא ראיתיה עד הגיע' אצלי ואהי בעיניה כמתעתע [בראשית כז, יב] I seemed to her as a deceiver [Genesis 27, 12] ואז בטיתי באפיה ותלהב אהבתה בקרבה ומים רבים לא יוכל לכבות האהבה ההיא [שיר השירים ח, ז] Many waters cannot quench love [Song of Songs 8, 7] אז אחזתיה ולא ארפנה עד שהביאתיה אל בית אמי ואל חדר הורתי [שיר השירים ג, ד] I held her, and would not let her go, until I had brought her into my mother’s house, And into the chamber of her who conceived me [Song of Songs 3, 4] ואקוד לפניה שבע פעמים ארצה [בראשית לג, ג] I bowed before her to the ground seven times [Genesis 33,3] ואומר אליה למה לא תחוס על נפש פעליך ולמה אמות לנגד עיניך כמים הנגרים ארצה [שמואל ב יד, יד] like water that is poured out on the ground [Samuel 2 14, 14] ותהי כמתחר' על אודותי ועל דברי ותען ותאמר חי ה' וחי נפשי כי לא תמות אתה שעשית לי תשועה גדולה ופורקן ימינך משכה אותי מטיט היון [תהילים מ, ג] From the slimy clay [Proverbs 40, 3] ותוציאני לרויה [תהילים סו, יב] You brought me out into abundance [Proverbs 66, 12] אשר זולתך הייתי מיורדי בור ושחת ועתה אתהלך בארצות החיים [תהילים קטז, ט] Now I walk in the land of the living [Proverbs 116, 9] וחיתה נפשי בגללך [בראשית יב, יג] And my soul shall live because of you [Genesis 12, 13] ובזאת תדע כי [שמות ז, יז] In this you shall know that [Exodus 7, 17] בחנתי את מסלול דרכיך והם ישרים בעיני כי מפענח אנכי לך נעלמים ואגיד לך קצת דרכי ישרים הם למוצאי דעת כי באתרי' דלא ידעיה שרי אינש לאודועי נפשי [נדרים ס"ב, א] For in a place where he is not known it is permitted for a person to make himself known [Nedarim 62, 1] אני הייתי בת מאחד מיקירי ירושלים האמונים עלי תולע [איכה ד, ה] They that were brought up in scarlet [Lamentations 4, 5] אשר הגלתה עם הגולה אשר הגלתה [אסתר ב, ו] Who was exiled with the captives exiled [Esther 2, 6] מפני חמת חרב המציק [ישעיה נא, יג] Because of the fury of the oppressor’s [Isaiah 51, 13] sword ובמקום שהיו שרים מציקי ואומני מלכי ארץ עבדי' משלו בי [איכה ה, ח] Slaves ruled over me [Lamentations 5, 8] ותזנח משלום נפשי [איכה ג, יז] My soul was removed from peace [Lamentations 3, 17] ואלך כגר בארץ [ירמיה יד, ח] I wandered like a stranger in the land [Jeremiah 14, 8] וכל רעי בגדו בי וארא אל האבות [שמות ו, ג] I appeared to the Patriarchs [Exodus 6, 3] הקדושים אשר בארץ המה [תהילים טז, ג] The holy ones that are in the land [Proverbs 16, 3] ורק בשמי נודעתי להם [שמות ו, ג] I made myself known to them only by my name [Exodus 6, 3] והם כתבו וחתמו ספרי' בשמי כמו הכולל הרופא המפורסם כמהור"ר יוסף שלמה מקנדיאה שיעד להוציא לאור את חיבורו עיר גבורים על האלגיברה ואולי נשבר או נאבד וחבל על דאבדין ולא משתכחין [סנהדרין קיא, א] Woe over those who are gone and are not found [Sanhadrin 111, 1] אכן קצת תהילתי אביע לך אני היא המדדת בשעלה מים וכל חללי דעלמא [סנהדרין צז, א] The entire world [Sanhadrin 97, 1] המשימת עקוב למישור [ישעיה מ, ד] The rugged shall be made level [Isaiah 40, 3] כי כל הר ישפל וכל גיא ינשא For every mountain shall be made low and ever valley shall be lifted up [Isaiah 40, 3] ההרים ירכסון והגבעות הרצדון ועמודי הארץ יתפלצון [איוב ט, ו] The pillars of the earth will quake [Job 9, 6] בי יתגאו הגאים ורוזני הארץ נוסדו בי יחד המוציאה כוכבים במספר וכל רז לא אניס לי בידי מאזני משקל ופלס בי יסחרוה הארץ והיתה למס עובד ואהיה להם לעמוד אש להנחותם בדרך [נחמיה ט, יט] I shall be a pillar of fire for them to lead them on the way [Nehemiah 9, 19] באישון ואפילה [משלי ז, ט] In the blackness and the darkness [Proverbs 7, 9] בגיא צלמות [תהילים כג, ד] Through the valley of the shadow of death [Psalms 23, 4] ומיום שיצאת מארצי בשביה נקראתי בלאומים אלגיברה זה שמי וזה זכרי [שמות ג, טו] This is my name, and this is my memorial [Exodus 3, 15] ועתה לא אעזבך [בראשית כח, טו] Now I will not leave you [Genesis 28, 15] כי באש' תלין אלין [רות א, טז] For wherever you lodge, I will lodge [Ruth 1, 16] ומיום ההוא והלאה [שמואל א יח, ט] From that day on [Samuel 1 18, 9] לא זזה מקורות ביתי She did not depart out of the beams of my house. ואשבצה משבצות זהב I adorned her with frames of gold. ולבושה רקמות וארגמן Dressed with embroideries and scarlet ואקחה לי לבת I took her to be my wife. ואשנה את שמה I changed her name. ואכנה אותה סרח בת אשר סרח בגימטריא אלכיברה כשמה האמיתי בלשון הערביים זרח בחושך אורה [ישעיה נח, י] Her light shall shine in darkness [Isaiah 58, 10] וילכו עמים לאורה אז אמרתי הנה אבוא במגילת ספר כתוב [תהילים מ, ח] Then I said, I come with the scroll of the book which is written [Psalms 40, 8] יושר דברי אמת [קהלת יב, י] Uprightly truthful sayings [Ecclesiastes 12, 10] להראות לעיני השרים והעמים יפיה כי טובת מראה היא [אסתר א, יא] To show the princes and the peoples her beauty; for she is fair to look on [Esther 1, 11] ואקוד לאלהי [בראשית כד, מח] I bow the Lord [Genesis 24, 48] ואהלל לו על כי הרבה חסדו אתי והוא יהי לי לאלהים וינהגני עלמות
מפתח האלגיברה חדשה
אלגיברה היא פילוסופיא כמותית חוקרת כל כמות אשר אפשרות למציאותן ואשר לא תחקר בשארי כללי החשבון והמדידה Algebra is a quantitative philosophy that explores any quantity that can be found and that is not studied by the other rules of arithmetic and geometry.
והנה משמה לא יגיע לנו מזה תועלת אם גזעו בארץ שבא או אם נולד מברכי היונים We have no benefit for this in its name, whether its origin is in the land Sheva, or whether it originated from the Greeks.
רק נחקור אחר הויתה ונאמר We will only investigate its essence and say:
(42r) הוית חכמה זו בשלשה כללים כוללים The essence of this science is in three general rules:
בציור הכמות נודעה ובלתי נודע' בכוללות ובמסבבי הדברים ובזה נעשה את הנודע ונמציא הבלתי נודע ולזה יקרא כינוי Perceiving the known and unknown quantity through general rules and the causes of things. By that we apply the known and find the unknown. Therefore, it is called a figurative expression.
נחפש לפי הוראות ומסבבי השאלה שתי כמות שוות אשר האחת מהם נודע' בכללה או בחלקה וזה נקרא השוואה According to the instructions and the results of the question, we are looking for two equal quantities, one of which is known in whole or in part; this is called an equation.
הואיל ונלמד מהצעה ידועה ומוסכמת באם נעסוק משתי כמות שוות בשווה ר"ל בקיבוץ בגרעון בהכפלה בחילוק בהוצאת השורש ישארו בתמידית באותו שיווי' כך נעסוק משתי כמות מצואות כל כך עד שנמצא כמות ידוע מצד אחד ומצד השני ישאר רק הסימן של כמות מחופש וזה יקרא הולדה או תיקון וזה המורה כמות הבלתי נודעת עדיין Since we learn from a well-known and agreed-upon proposition that if we apply addition, subtraction, multiplication, division, root extraction, to two equal quantities they will always remain in the same equality, we apply manipulations to two given quantities, until we find a known quantity on one side [of the equation] and on the other side remains only the sign of the required quantity. This is called restoration and it indicates the quantity that is still unknown.
האמצעיים אשר יוצרכו להשגת חכמה זו הם שנים The means needed for the attainment of this science are two:
סימנים או אותיות אשר הם משונים מחשבון המספרי כי הסימני' המספריים הם משתנים בעלית ההוספה בשאירות הניכוי בהולדת ההכפלה ובכמות החילוק Signs or letters that differ from the arithmetic numbers, because the arithmetic signs change in the sum of addition, the remainder of subtraction, the product of multiplication and the quotient of division.
כמו בהוספת 5 אל 3 עולה מספר 8 Such as:
By adding 5 to 3, the result is the number 8.
בניכוי 7 מן 12 ישאר 5 By subtracting 7 from 12, 5 remains.
בהכפלת 9 עם 3 נולד יולד 27 By multiplying 9 by 3, the product is 27.
בחלוקת בהחליק 8 ב על עם 32 כמות החלק 4 By dividing 32 by 8 the quotient is 4.
וכן בדומיהם
ובזה הם נשארים לעולם בסימנים ויחוברו או יפורדו מסימנים בחיריים
בבחינת הוית ובמסבבי השאלה וכמו כן ביחוסי הכמות ובפרטית המספרים אשר הם כבר הם נזכרים ונעשים במיני ובערכי המספר אשר קדם מאמרינו מהם
הסימנים אשר יובחרו מהאלגבריים הם אותיות האלפא ביתא או ביותר אַ בֶע צֶע וכו' אשר בעצמותם לא יורו כמות מוגבלת כמו סימני סימני המספרים או אותיות העבריים והיונים ודומיהם מלשונותם המזרחיות לכך מהם עלולים לקבל כמותים כלם נודעים ובלתי נודעים
אבל זה יודע כי חכמי האלגיברה שומרים את החילוק הזה כי ירשמו את מספר או כמות ידוע באותיות ראשונות שהם a b c ec ec a b c ואת הכמותים בלתי נודעים ואשר נחקור באותיות אחרונות שלהם שהם z x y z
והקדמונים רשמו בכללי קאס שלהם את הפשוטים בלתי נודעים שורשים כזה 3R 2R 1R ודומיהם
אבל חדשים מקרוב באו רשמו כזה לפשוטים בלתי נודעים כזה 1x 〖2x〗^3x 3x
וכן קראו הקדמונים למרובע בלתי נודעי' צענסוס ורשמו אותו בצורתו z וכן למעוקב בלתי נודע c
אבל האחרוני' יסמנו למרובע בלתי נודע בצורת xx ולמעוקב בצורת xxx או כזה x3 x2
תועליות שימשכו מסימנים אלו רבו מלמנות והיושבים ראשונה במלכות הם
שנידע בקלות בלי סביכות רעיונינו הסימן שלקחנו והגבול אשר גבלנו להסימן אשר בחרנו כי תמיד ישאר באותו ציור ומזה ימשך
שתיכף נראה מאיזה מין ממיני החשבון סימנינו
ומי יכול יוכל לבאר הכרחם בהוצאות השרשים עד אין תכלית כאשר נבאר כיד ה' הטובה עלינו לקמן
שילוקח במקום שורשי' או מרובעים רבים ודומיהם רק סימן אחד
ואין חקר לתועלתו בהשוואה בלתי טהורה כי ומיד יראה לעיני המשכיל ההעדר
והנה עד זמנינו זה חשבו להעדר הרבה מקנינים כמותיים להיותם נעדרים מתועליות רבות אשר ימשכו מסימנים בחיריים
והנה רבים לו יחכמו הלכו בחשך ולא ראו אור וילכו אחר ההבל ויהבלו ורבים לאו למצוא הפתח בהתיר הרבה מהספיקות וחשבו אותו למעוות שאינו יוכל לתקן
והנה הכולל כמהר"ר ישר מקנדיאה כאשר ראה כי לא נעשתה עצתו בתשובו' הרבה מהשאלות כמותיות ע"ד האלגיברה אמר כי בהרבה שאלות קצרה יד האלגיברה מלהושיע
אבל כאשר עיניו למרחוק יביטו חשב לתקן העדר הקדמונים בבחרו סימנים חדשי' כאשר כתב תלמידו החכ' כמהר"ר משה ממין בתשובתו לכמהר"ר זרח וז"ל
ואני צריך להודיעך רשומי האלגיברה שישתמש בהם מורי כדי שתדע בקלות כל היוצא מאלו הפעולות I must inform you the algebra signs that my teacher uses, so that you will easily know everything that comes out of these operations
הנה ואני מודיעך המספר הפשוט יורשם עם ס The simple number is marked by S
והשורש עם א The root by A
והמרובע עם ב The square by B
והמעוקב עם ג The cube by D
ומרובע של מרובע עם ד
ומרובע של מעוקב עם ה
וכן לאין תכלית
ויש לסימנים אלו תועליות וקלות יותר מרשומי הקדמונים
וסימן היתרון ירשום מורי עם אות ת
והחסרון עם פ
עכ"ד והנה אף שתקן מקצתו לא תקן כלו כי כאשר ברר לו לעצמו אותיות העברים אשר להם כמות מוגבלת לא ימלט משינוים ומהתחלפות אשר מהם ימשכו ביטולים רבים כמבואר
(42v) מיני החשבון הם ארבעה כי לא ימלט או שנקבץ או שנגרע או שנכפיל או שנחלוק
וכל אחד מהן מהם הוא או פשוט או מורכב
הפשוט הוא באותיות או סימנים מאוחדים בין מאוחדים עם מאוחדים או מאוחדים עם מורכבים
והמורכב הוא בכמות מרובות שיעוסקו שיועסקו במינים אלו
לארבע אם אבות החשבון אלו יוצרכו להזכיר או שנים או יותר כמותים והנה גם אלה לא ימלטו מחלוקת ארבע אלו או שיהיה שווים או שאחד יותר מחבירו או האחד פחות מחבירו או שיהיה איש אל אחיו מוערכים
ורשמו לסימן השוה השיווי כזה =
ולסימן היתור כזה *
ולסימן הפחות הפחיתות כזה –
ולסימן ההערכה כזה ÷
והנה סימני היתור והגרעון או הם במוניטון מתחלפים
כאילו נאמר 2a*2b שהם ב' זהובי' ושני פנים פעמים
או c-3d שהם א' צ"ל פחות ג' פשיטים
או במספר ובדבר שווה נקרא אצל חכמי החשבון בלתי מסוים
כמו 8*2 שהוא 10 או 8-2 8-3 שהוא 6
וסימני ההערכה כזה 2÷3=8÷12
כאילו נאמר כערך 2 אל 3 כך ערך 8 אל 12
בקיבוץ Addition
או בחיבור הסימנים פשוטים נעשה כך
אם האותיות דומות אז יסופרו ובעליה ירושמו בסימן מספרי כמו
■(2&36&40x)
■(a&3b&4c&1x&23x@▁a&▁2b&1c&▁2x&▁75x@&&▁2c&&@2a&5b&7c&3x&98x)
אבל אם נחבר אותיות בלתי דומות מאוחדות אז נכתוב אותן בקו אחת עם סימן היתור כזה * כמו נחבר a אל b אז יעלה a*b וכן בחיבור b c d יחדיו יעלה b*c*d וכן תקיש
בגרעון Subtraction
הסימנים פשוטים נעשה כך אם האותיות עם האותיות דומות ינוכה מספרם זה מזה והשאירות יושם תחת הקו
כמו ינוכה 3a*a ישאר 2a
וכן b5 מן 7b ישאר 2b
וכן x מן 2x ישאר x
■(98x&2x&7b@▁75x&▁x&▁5b@23x&x&2b)
אבל אם האותיות אינן דומות אז נשים את המנכה סמוך למנוכה עם סימן הפחיתות כזה - כמו ינוכה b מן a ואז ישאר a-b וכן ננכה c מן a*b ישאר a*b-c וכן מן x ינוכה a*b אז ישאר x-a-b כזה
■(x@▁(a*b)@x-a-b)
כי הואיל שינוכו שניהם a וכן וגם b מן x ישאר x-b אז יקחו שניהם סימן הפחיתות וכן תקיש
בהכפלה בהכפלת Multiplication
או בריבוי האותיות מיוחדת מאוחדות זו עם זו בין שתהיו דומות או בלתי דומות אז יכתבו בלי סימן זו אצל זו וזו היא התולדה כמו יכפל נכפיל a עם a יולד aa
אע"פ אף שראוי להיות aba אבל הואיל והמכפיל דומה למוכפל אז יכתוב אצלו
■(ab&ab&וכן&2a@▁a&▁c&&▁a@aab&abc&&2aa)
וכן אם יש כמות מספרי שיוכפלו כדין והאותיות יכתבו זו אצל זו
ואם יבואו שני אותיות בלי סימן בינתים סמוכות זו לזו אז נדע שהן הולדת ההכפלה
ובחילוק Division
האותיות מאוחדות אם האות או האותיות הנחלקות ואות החולקת דומות ובין שתהינה כמות נחלקת וחולקות נרשמות בסימן מספרי או הכמות נחלקת לבד נרשמות נרשמה בסימני המספר אז יעשה כדין חילוק המספרי כמו נחלוק a על ב 3a ויהיה הכמות 3a הכמות כי האחדות אינו חולק
├ ■(4b@2b)┤|2b
אבל אם האותיות הנחלקות בלתי דומות למחלקת אז נעמוד המחלק תחת הקו ועליו הנחלק כמו בחשבון בציור השברים ויהיה א"כ אות המחלקת מכנה השבר והנחלקת מונה כמו אם נחלק a על ידי ע"י b אז יהיה כזה a/b
וכן a*b ע"י c אז יהיה כך (a*b)/c
עד כאן ע"כ דברנו מחשבון האותיות בפשוטים או מאוחדי הכמות אבל אם נרצה לידע חשבון המורכבים אשר הם מאותיות רבות (43r) או דומות או מתחלפות עם סימנים או שווים או שונים נצריך שתבחין שיבחן זה באמיתית מה שנבאר בשני כללים כוללים והם
(א) והאחד אם נחבר העדר או חסרון אל קניין אז יוגרע כמות החסרוןא' (כי לדבר קנין ההעדר הוא שיחסר ממנו מה)
(ב) וכן אם ינוכה העדר או חסרון מקנין או מהעדר אז נצרך להוסיף החסרון מהכמותב' בראשונה
ומזה יולד שאם יבואו בחיבור שני סימנים שונים או * למעלה - למטה או להיפיך בהיפוך אז נעשה במקום החיבור ניכוי הקטן מהגדול מן הגדול והנשאר יקבל סימן שהי' ההיה אצל כמות הגדולה ואם הכמות העליון בשווה ולהעדר התחתון אז לא ישאר כלוםג' כמו בחבור זה
■(3a&*&b&*&2c@a&-&b&-&1c@4a&*&c&&)
■(a&*&3b&-&c@2a&-&b&*&2c@3a&*&2b&*&c)
■(4a&-&2b&-&3c@-2a&*&3b&*&c@2a&*&b&-&2c)
כי בנדון הנזכר הם שני סימנים שונים בתמידית העדר או חסרון אשר קיבוצו ממלא החסרון
וכדי להקל למתחיל נעשה מהמשלים הקודמים מספרים נודעים כמו
■(A&&pf&&E@1&*&3&-&1@2&-&1&*&2@3&*&2&*&1)
■(A&&E&&pf@4&-&2&-&3@-2&*&3&*&1@2&*&1&-&2)
בניכוי
בסימנים שונים ו אז נעשה הקיבוץ במקום הניכוי באותה בית כיתה ואותו מספר יקבל סימן העליון הראוי אשר ממנו ינוכה כמו
■(17x3*18x2-16x*12@9x3*14x2-11x*10@8x3*4x2-5x*2) ■(17x^3+18x^2-16x+12@9x^3+14x^2-11x+10@8x^3+4x^2-5x+2)
■(3a*2b*c@a-b*c@2a*3b)
ולהקל נציג לפניך המשלים במספרים ידועים
■(A&b&c)
■(א&ב&ג)
■(3*2*1&2-x*2@▁(1-1*1)&▁(1*1-1)@2*3&1-2*3)
ואם מספר המנכה גדול ממספר המנוכה (חוץ בכיתה ראשונה) ואצל שניהם סימן היתור * אז נגרע העליון מן התחתון עם סימן הפחיתות כמו ■(3a*2b*c&2a*2b*2c@▁(a*3b*3c)&▁(a*4b*3c)@2a-b-2c&a-2b-c) ובמספרי הוא כך ■(3*2*1&2*2*2@▁(1*3*3)&▁(1*4*3)@2-1-2&2-1-1) ואם ננכה מספר העדרי מן העדר הקטון ממנו אז נעשה כמו כן שינוכה העליון מן התחתון והשארית והשאירות יורשם בסימן היתור כמו ■(3a-b&2a-3b@a-2b&a-5b@2a*b&a*2b) ■(2a-b c@▁(a-3b-a)@a*2b) ובמספרי הוא כך ■(3-1&2-3@1-2&1-5@2*1&1*2) ■(2-1-1@▁(1-3-1)@1*2) ויהיה דמיון זה כולל כל הכללים שזכרנו ■(9x8-15x6*4x5*5x4-8x3-9x2-4x*9@▁(6x8*10x6-6x5*9x4-12x3-6x2*9x-6)@3x8-25x6*10x5-4x4*4x3-3x2-13x*15) בהכפלות האותיות אם יבואו כמות נצמדות ע"י על ידי סימנים ידועים והמכפיל הוא מאות אח' לבדו אז יחובר לכל אחד מאותיות המוכפלות בלי סימן מפסיק ביניהם כנ"ל כאשר ביארנו למעלה כמו ■(a*b*c@ d@ad*bd*cd) אבל אם הן אותיות רבות המכפילות אשר הם הן כמו כן מחוברות בסימנים אז יחוזר ההכפלה בכל אחד מהאותיות ויעמדו בסדר הראוי כפי כללי ההכפלי ההכפלה המספרית והמספרים הנולדים יקובצו כפי כללי החיבור בזאת החכמה אשר זכרנו קדם מאמרינו מהם אבל זאת לדעת אם יהיו סימנים המכפילים שווים לסימני המוכפלים בין שיהיו שניהם * או שניהם - שיורשם סימן היתור * להולדת ההכפלה ואם הם בלתי שווים יולידו לעולם הפחיתות כמו ■(a*b&a*c@▁(a*c)&▁(a*c)@ *ac*bc& *ac*cc@aa*ab &aa*ac @aa*ab*ac*bc&aa*2ac*cc) ■(a*b&a-b@▁(a-b)&▁(a-b)@ -ab*bb& -ab*bb@▁(aa*ab )&▁(aa-ab )@aa-bb&aa-2ab*bb) ובמספרי נניח a הוא 2 b הוא 3 c הוא 4 א"כ כזה ■(2-3@▁(2-3)@-6*9@▁(4-6 )@4-12*9)
■(2*3-4@▁(2*3-4)@-8-12*16@*6*9-12 @▁(4*6-8) @4*12*9*16-24*16) ואל תתמה באומרינו שנים פחות שלשה כי כן מבואר למשכילים בחשבון האותיות ועל זה נבנה סוד הבריאה יש מן האין כמו שביארנו באריכות בחיבורינו הגדול (חלקות אש"ר) ושם יתנו עידיהן ויצדקו הרבה מופתים טבעים יקרי הערך ולזה כתב החכם השלם כמהר"ר יש"ר מקנדיא במעין חתום תמר ח' וז"ל אודיעך דבר נפלא שתדע להשיב למכחישי אפשרות יש מאין כאשר נאמין אנחנו בני ברית שה' ברא העולם מאין המוחלט והוא שאם תכפול (כפי דרכי האלגיברה) מספרים פחותים מאין יולידו מספרים ואי אפשר להכחיש המלאכה שהיא כבר ברורה ונתאמתה במספרים של ממשות ע"כ והרי לך כמה מספרים אין מולידים יש וכמוהם בלתי בעלת תכלית ■(3-7@3-7@ -21*44@4-21 @4-42*44) והם 16 ועוד נבאר זה כיד ה' הטובה עלינו מסגולות מספרים אלו והכרחם להתר ספיקות רבות ■(4-10@8-4@ -36*90@▁(32-80 )@32-116*90) והם 86 בחילוק חשבון זו נעשה כך אם האות או האותיות של המחלק הם בכיתות הנחלקים אז נסיר את אותיות המחלק עם אותיות הדומות מהנחלקים והנשארים הם כמות המבוקש אבל תדע זאת צריך שנדע אם סימני המחלק עם הנחלק הם שווים אז נרשום לכמות היוצא סימן היתור * ואם היו בלתי שווים אז נרשם סימן - וכמו שזכרנו שקדם מאמרינו בכללי ההכפלה כמו ├ ■(ab@a )┤|b
├ ■(abc@b)┤|ac
├ ■(ab*ac@a a)┤|b*c
├ ■(ac*ad*bc*bd@4 * d c * d)┤|a*b
├ ■(aa-2ab*bb@a-abb=b@a b)┤|a-b ובמספרי יהיה a 1 b הוא 2 c הוא 3 d הוא (43v) 4 וא"כ ab דהיינו 2 שנחלק עם 1 יהיה הכמות b דהיינו 2 וכן 3*4*6*8 יחלק על ידי 3*4 דהיינו 21 על ידי 7 יהיה הכמות 1*2 דהיינו 3 וכן תקיש אבל אם אותיות המחלקות אינן דומות לאותיות הנחלקות או בכללן או בקצתן אז נמשך קו בין המחלק ובין הנחלק כדמיון שבר ויהיה מכנה שבר המחלק ומונה הנחלק כזה ■(ab&bcd&ab*cc&ac-ad@c&ab&d&a*b) עד הנה כתבנו ממיני החשבון בשלמי' נשאר לנו לבאר ממיני החשבון בשברים בקיבוץ השברים יעשה כמו בקיבוץ השברים מספריים וכמו שהורינוך בכללי קיבוץ בשלמים ואינו מן ההכרח לחדש המלאכה בכללים חדשים כמו נקבץ כזה ■(■(4&106)@▁(■(a/2&3a/4))@8) ■(▁8@4@▁6@▁01@8)1 1/2 בניכוי השברים יעשה כמו בגרעון השברים המספריים רק שתעשה ההכפלה והגרעון ע"ד האלגיברה כאשר הורינוך בשלמים והיו למאורות דמיונות אלו אך זאת תדע כי ההכפלת שתי וערב היא היותר נכונה וקלה כמו בקיבוץ כך בגרעון ■(2x@▁(■(2x&4x))@■(x/4&x/2)@8) ■(14 xx/4-5 2x/3*1 3/4@83xx/4-9x*7 1/4) ולפי הכללים שהורינוך יבוא שישאר 5 xx/2*3x/3-5 1/2 4/(2x*3) יוגרע (2xx*5)/(2x*3) ישאר אחר הקטנת השבר (2xx*1)/(2x*3) בהכפלת השברים יעשה כמו במספריים אבל שנעשה ההכפלה ע"ד הכללים שזכרנו בהכפלת השלמים באלגיברה ויהיו להאיר עיני שכלך דמיונות אלו ├ ■(▁6x@■(2x/3&3/4)@12)┤| ■(3/4x&2/3x) יולד 1/2 xx ■(5xx/6&6x/7) יולד 30x3/42
ובהקטנה 5x3/7
בחילוק השברים נעשה כמו בחילוק השברים מספריים דהיינו שההכפלה והאופנים יהיה ע"ד האלגיברה וכמו שהורינוך בחילוק ובהכפלת השלמים ותן עיניך בדמיונות אלו ■(3/4&x/2&3/4x&1/2 xx) ■(4x@2@3x) יוחלק 6xx ■(6&├ 4/6x┤|&2/3x) ■(6x/7&5x3/7) לוח להוצאת השרשים והוא מראה דרך ההכפלה בהוצאת השרשים בב"ת לוח זה נולד מהכפלת x*1 עם x*1 והנולד יוחזר ויוכפל עם x*1 וכן חלילה עד בלי תכלית :
