Three
|
השלושה
|
Properties of the number three
|
|
- It is the first odd number.
|
הוא ראשון למספרים [הנפרדים][28]
|
- It concludes [the three] kinds of numbers, since it includes the one, and the two types of multitude, which are the even and the odd.
|
ובו נשלם כל טבע המספר וזה שבו האחד והשני מיני הרבוי [שהם][29] הזוג והנפרד
|
Triad in the existences
|
|
As three comes after two in the arrangement of numbers, so in the development of natural existence the triad comes after the dyad.
|
וכמו שהשלשה בסדור המספר אחר שנים כן בהשתלשלות המציאות טבע השלוש מגיע אחר השניות
|
- Since, after we suppose God exists and that He creates the existence, He is described as the form, the actor, and the purpose of the world.
|
וזה שאחר שנניח האלוה ושהוא ממשיך המציאות מאתו יתואר בשהוא צורת העולם ופועלו ותכליתו
|
- These three are one, and do not indicate plurality in God Himself, as Ibn Rushd explained in the second book of his epitome on the Metaphysics.
|
ושלשה אלו הם אחד לא יתנו רבוי בעצמו ית' כמו שביאר [בן רשד][30] בסוף השני מקצורו למה שאחר
|
- It is so in natural things also, because the form, the actor, and the purpose are one in subject and three in observation, as Aristotle explained in the second book of Physics.
|
וגם בדברים הטבעיים הוא כן כי הצורה והפועל והתכלית אחד בנושא שלשה בבחינה כמו שביאר ארסטו בשני מהשמע
|
- God is described also by three [attributes] as: Intellect, endowed with intelligence, Intelligence
|
וכן יתואר הבורא ית' בש בשלוש בשהוא שכל משכיל ומושכל
|
- These [three] do not indicate plurality [in God], as the great sages have explained.
|
ולא יביאו אל רבוי כמו [31]שביארו גדולי החכמים
|
- Thus, Aristotle said at the beginning of the first book of On the Heavens [I, 268a1-268b10] that because three has two ends and a middle, it is whole and complete and therefore we magnify God by this number, in accordance with the act of nature as a law for us.
|
ולזה יאמר ארסטו בתחלת הראשון מספר השמים כשביאר שהשלשה כל ושלם אחר שיש לו שני הקצוות ואמצעי שראוי מפני זה שנגדיל האלוה ית' בזה המספר כדי שנמשך לפועל הטבע ויהיה זה כאלו הוא תורה לנו
|
- Ibn Rushd has explained the number of prayers and sacrifices by [three] and perhaps this was the intention of the founders of our prayers, we [the Israelites], which are three.
|
ובן רשד המפרש פירש בו מספר התפלות והקרבנות ואולי זאת היתה כונת מיסדי תפלותינו שהם שלשה אנחנו [הישראלים][32]
|
- God's attributes of perfection are three: Wisdom, Power, Will.
|
ואם תארי הבורא בשלמות שלשה חכמה ויכולת ורצון
|
- What follows the second cause are three: the first orb, its essence, and the mover of the second orb.
|
והעלה השניה ממשיכה אחריה שלשה והם הגלגל הראשון ונפשו ומניע הגלגל השני
|
- The properties of the heavenly bodies are three: in each of the seven spheres many orbs are moving one star; in the eighth sphere one orb moves one thousand and 22 stars; in the ninth sphere there is no star.
|
ובגרמים השמיים טבע השלוש וזה ששבעת הכדורים בכל אחד גלגלים רבים להניע כוכב אחד ובשמיני גלגל אחד יניע כוכבים אלף כ"ב ובתשיעי אין בו כוכב
|
- From another aspect, the motion of the stars of the eighth heavenly sphere is simple homogeneous around the center of the world; [the motion] of the luminaries is inhomogeneous, not around the center of the world, but they are receding; the five planets are receding - hence, the heavenly bodies differ by three properties in their longitudinal motions.
|
ומצד אחר כוכבי הרקיע השמיני תנועתם פשוטה מתדמה סביב מרכז העולם ובמאורות בלתי מתדמה ולא סביב מרכז העולם אבל ישיגם נזורות ובחמשת כוכבי הנבוכה ישיגם הנזורות הנה נבדלו הגופים הרקיעים בשלשה טבעים בתנועתם [ב][33]אורך
|
- From another aspect - the horizontal motion: the sun have no horizontal motion; the moon moves horizontally, and its horizontal eccentric orb exists; the eccentric orb of five planets does not exist.
|
ומצד אחר בתנועת [הרחב][34] וזה שהשמש אין לו תנועה ברוחב מאזור המזלות והירח יתנועע ברוחב אבל גלגל[ו][35] הנוטה ברחב קיים הנטייה ובחמשת הכוכבים גלגלם הנוטה בלתי קיים
|
- From another aspect - the sun, due to its expansion, is satisfied by the eccentric sphere or the epicycle; the remaining six need both; and the fixed stars has neither.
|
ומצד אחר השמש לפשיטותו יספיק בו יציאת המרכז או גלגל הקפה והששה הנשארים צריכים לשניהם וכוכבי שבת אין בהם לא זה ולא זה
|
- From another aspect - the sun has solar eclipse; the moon has lunar eclipse, which is the total loss of light; the others have neither.
|
ומצד [אחר][36] השמש תקרהו הסתרה והירח לקות והוא אבוד האור לגמרי והנשארים לא זה ולא זה
|
- There are three in them from other aspects, but those I have specified are enough.
|
ויש בהם שלוש מפנים אחרים אבל אלו שאפרש די
|
- The natures of the astrological signs are three: constant, tropical, bicorporal.
|
טבעי המזלות שלשה קיים מתהפך בעל שני גופות
|
- There are also threes in the elements:
|
וכן ביסודות שלש
|
- Among them are those that are completely light, those that are completely heavy, and those that are both light and heavy.
|
מהם קל במוחלט מהם כבד במוחלט מהם כבד וקל במוחלט בהצטרף
|
- From another aspect - among them are those that are completely thick, those that are completely thin, and those that are both thick and thin.
|
[ומצד אחר][37] מהם עב במוחלט ומהם דק במוחלט ומהם עבים ודקים בהצטרף
|
- From another aspect - among them are those that are extremes in quality, as the hot and the dry, the cold and the moist; the others are the mediate between these two, as they share one of their qualities with them.
|
ומצד אחר מהם קצוות בבאיך כמו החם והיבש והקר והלח והנשארים זה מתמצעים בין שני אלו להשתתפם עם הנשארים בבאחד מאיכיותיהם[38]
|
- Work and disobedience are threefold: in thought, speech, and act.
|
העבודה והמרי בג' במחשבה בדבור ובמעשה[39]
|
- The types of movements of the bodies are three: form the center, to the center, and around the center
|
מיני תנועות הגשמים שלשה מן האמצע אל האמצע וסביב [40]האמצעי
|
- From another aspect - the types of movements of the bodies are three: straight, rotative, and a combination of both called spiral.
|
מיני התנועות מצד אחר שלשה ישרה וסבובית ומורכבת משתיהן הנקראת חלזונית
|
- It was explained that the worlds are three and the nature of three is found in each of them, in the way that we also explained about the attributes of God as we mentioned, not other than this.
|
הנה התבאר שהעולמות ג' ובכל אחד מהם מצוי טבע השלוש בדרך שביארנו גם באלוה בתאריו כמו שזכרנו לא זולת זה
|
The nature of three is found in the beings also:
|
גם [בנמצאות][41] מצוי טבע השלוש
|
- The souls are of three species: vegetative, animal, rational.
|
כי הנפשות ג' במין הצומחת והחיונית והמדברת
|
- The types of plants are three: tree, grass, vegetable.
|
מיני הצומח שלשה האילן והעשב והירק
|
- The grass stays for a long time like the tree, while the vegetable seeds and dries within a year.
|
והעשב נשאר זמן כמו האילן והירק מזריע ומתיבש בתוך שנה
|
- The type of animals are three: walking, flying, reptile.
|
מיני החי ג' המהלך והמעופף [והשח][42]
|
- The rational cannot be divided, since it does not have multiple species [?].
|
והמדבר לא יחלק לפי שלא יתרבה במין
|
- The faculties are three: natural, animal, rational.
|
הכחות ג' טבעית חיונית נפשיי
|
- The dimensions are three: length, width, depth.
|
המרחקים ג' האורך והרוחב והעמק
|
- They obtain their beginnings from three: line, surface, body.
|
ולוקחים התחלותיהם משלשה הקו והשטח והגשם
|
- The measure of the newborn is usually threefold in the future to come, as most gentiles have explained.
|
מדת הילוד על הרב ג' מה שעתיד להיות כמו שבארו רב ההנכרים
|
- The first of the plane polygonal shapes consists of three boundaries no less, and this is the triangle; all the other many polygons are decomposed into it, therefore the ancients thought it is an element, as the "Philosopher" [= Aristotle] explained in the third book of On the Heavens, [III, 306b3-29].
|
[התמונות][43] הישרות הקוים השטוחות הראשונה משלשה גבולים לא פחות והוא המשלש וכל שאר התמונות ישרות הצלעות הרבות אליו יותכו ולזה חשבוהו הראשונים יסוד כמו שביאר הפלוסוף בג' מ[ה][44]שמים והעולם
|
- The sciences are three: mathematics, physics, metaphysics.
|
החכמות ג' הלמודיות והטבעיות והאלהיות
|
- The universal syllogisms are three, as explained in the first book of Prior Analytics.
|
תמורות ההקש המולידות ג' כמו שהתבאר בראשון מספר ההקש
|
- The primary types of ratios are three: equality, excess, defect
|
מיני ההקשה הראשונים ג' אם שווי אם תוספת אם חסרון
|
- The general types of proportions are three: arithmetical, geometric, harmonic.
|
מיני היחס הכוללים ג' המספרי המדותיי והנגוניי
|
- The types of speech by the philosophers are three: noun, verb, statement as explained at the beginning of On Interpretation [De Interpretatione, I, 16a1-3]
|
מיני הדבור אצל הפלוסופי' ג' שם פעל מלה כמו שהתבאר בתחלת ספר המליצה
|
- The types of perseverance and and the lack of perseverance of the natures are three: not existing and not perishable - as in God; permanent in species and perishable in the individual - as the elements; the composed of them that is permanent in the individual - as the spheres, the angels, and the stars.
|
מיני הטבעים בהתמדה ולא בהתמדה שלשה לא הווה ולא נפסד באלוה אם מתמיד במין נפסד באיש כיסודות והמורכב מהם מתמיד באיש כמו הגלגלים והמלאכים והכוכבים
|
- The main leading faculties are three: generative, growing, nutritive.
|
האחות הכחות המנהיגות הראשונות ג' מוליד ומגדל וזן
|
- The things that are found in the souls are three: states, faculties, passions - as the "Philosopher" [= Aristotle] explained in the second book of Nicomachean Ethics [II.5, 1105b19-28].
|
הנד הדברים הנמצאים בנפש ג' מקרים כחות ותכונות כמו שביאר הפלוסוף בשני מספר המדות
|
- The types of love are three: love of goodwill, love of pleasure, love of utility - as Aristotle explained at the beginning of the eighth book of Nicomachean Ethics [VIII, 2-3, 1155b17-1156a21].
|
מיני האהבה ג' אהבת מעלה אהבת הנאה אהבת תועלת כמו שביאר ארסטו בתחלת השמיני מספר המדות
|
- The parts of the soul are three: one is for action, which is desire; and two are for judgment, which are sensation and intellect - "what affirmation and negation are in thinking, pursuit and avoidance are in desire" - as explained in the sixth book of Nicomachean Ethics [VI.2, 1139a17-31].
|
בנפש ג' חלקים אחד [לפועל][45] והוא התאוה ושנים לשפוט והם החוש והשכל ומה שהוא בשכל חיוב ושוללות הוא בתאוה דרישה ובריחה כמו שהתבאר בששי מספר המדות
|
- The matters of the propositions are three: necessary, impossible, possible; since the absolute is of the nature of the possible and it is one of its types, according to the opinion of the recent [thinkers].
|
[46]החמרים בגזרות ג' מחויב ונמנע ואיפשר שהמשולח מטבע האפשר והוא מין ממיניו לפי דעת האחרונים
|
- The conic sections of the circular cone are three: sufficient, supplementary, deficient, as explained in the first book of Apollonius, The Conical Sections.
|
השלמויות הם החתוכים הנופלים ג' במחודד העגול ג' המספיק והנוסף והחסר כמו שהתבאר במאמר הראשון מספר אבולינוס בחרוטים
|
- The social conducts [types of life] are three, as Aristotle has shown in the first book of Nicomachean Ethics [I.5, 1095b13-1096a5] and they are: enjoyment, political, contemplative.
|
מיני מנהגי המדינות כ כפי מה שיראה ארסטו בראשון מספר המדות ג' והם התענוג הכבוד העיון
|
|
Nine
|
התשעה
|
Properties of the number nine
|
|
- It is the beginning of the squares of odd numbers.
|
תחלת מרובע מספר נפרד
|
- [The sum of] its divisors is the same as the square of the first even number, because its divisors are three and 1; they are 4, which is the square of 2.
|
וחלקיו הם כמספר מרובע תחלת זוג לפי שחלקיו שלשה וא' והם ד' שהוא מרובע ב'
|
- Its sum is the same as its product by the mean number, which is 5.
|
ומחוברו כמו הכאתו במספר האמצעי והוא ה'
|
- The sum of its sum is 265 and it is the sum of the squares of the odd numbers in the first rank, as Ibn Ezra noted in Sefer ha-Shem.
|
וחבור חבורו עולה רס"ה והוא סך מרובעי הנפרדים שבמעלה הא' כמ"ש בן עזרא בס' השם
|
Nine is the last number of the first rank of the numbers that includes 9 and one.
|
ותשעה סוף המדרגה הראשונה מהמספר וזה שהמספרים ט' והאחד עמהם
|
Representation of the products of nine on a circle [corresponding to the description of Ibn Ezra, Sefer ha-Mispar]
|
|
The sign for this is that if you draw a circle and write around it the nine digits, then you start multiplying 9 by itself, you find the square is 81 - you find 8 for 80 on the right and 1 on the left.
|
והאות ע"ז שאם תעשה עגול ותניח סביבו תשעת המספרים ותתחיל ותכפול ט' על עצמו תמצא המרובע פ"א ותמצא ח' שהוא כנגד פ' אל הימין והא' אל השמאל
|
If you multiply 9 by 8, the result is 72 - you find 7 for 70 on the right and 2 on the left.
|
ואם תכפול ט' על ח' יעלו ע"ב ותמצא ז' שהוא כנגד ע' מימין והב' אל השמאל
|
Likewise for all four numbers preceding 5 - the tens are one the right and the units on the left.
|
וכן כל ארבעת מספרים אשר לפני ה' עגול הכלל מימין והפרט משמאל לארבעתם
|
Five, as it is a mean round number, it revolves around itself and is in this matter as a midpoint of a circle.
|
וחמשה לפי שהוא חשבון עגול אמצעי הוא מתגלגל על עצמו והוא בזה הענין כנקודה אמצעית עגול
|
Therefore, if you multiply 9 by 4, the result is 36 - you find 3 for 30 on the left and 6, which is the units, on the right.
|
ולזה כאשר תכפול ט' על ד' יעלה ל"ו ותמצא ג' שהוא כנגד ל' עגול אל השמאל וו' שהוא הפרט אל הימין
|
Similarly for all four that follow 5, as you can see.
|
וכן כל הד' שאחר ה' כמו שתראה
|
It is clear from this then that the nature of the circulation is in nine, and as 5 is in the middle, it begin to incline to the other side of the circle, because this is the rule of the mover in a circle, that from a point on the circle to half the circle it runs in one state, and from there on it changes the state.
|
הנה יתבאר א"כ מזה כי בתשעה טבע הסבוב ולפי שה' באמצע יתחיל ממנו לנטות אל צד אחר מהעגול כי כן משפט מתנועע בסבוב שמנוקדה מהעגול עד חצי העגול ירוץ במצב א' ומשם והלאה מחליף המצב
|
Special properties of the rank of the units
|
|
Just as it is clear from the numbers themselves that the numbers are nine including 1, it is also clear from their squares and from their cubes.
|
וכמו שהיות המספרים ט' עם הא' התבאר מצד המספרים עצמם יתבאר מצד מרובעיהם ומצד מעוקביהם
|
- From their squares: if you arrange the natural numbers up to 9 in a line and write their squares above them, or beneath them successively, you find that the units of the squares up to the square of 5 return backwards in the squares after it - that is, the units before the square of 5 are 1, 4, 9[, 6]; 5 that is in the middle keeps itself [the units of the square of five are five], then they return backwards, as if they were going in the other half circle - that is, the units after the square of 5 are 6, 9, 4, 1.
|
אמנם מצד מרובעיהם שאם תסדר בטור במספרים הטבעים עד ט' ותניח עליהם או תחתיהם מרובעיהם על הסדר תמצא שהפרטים ההוים במרובעים עד מרובע ה' חוזרים אחורנית במרובעים שאחריו וזה שהפרטים שאחר שלפני מרובע ה' הם אד"ט וה' שבאמצע שומר עצמו ואחר חוזרים לאחוריהם כאלו הם הולכים חצי עגול אחריו וזה שהפרטים שאחר מרובע ה' הם ו' ט' ד' א'
|
- From their cubes, this it becomes clear as follows: if you arrange the cubes of the natural numbers successively up to 9, you find that [the sum of] the units of the first cube [] and the units of the last [cube ] is ten and this is the beginning of the second rank.
|
ואמנם במעוקבים יתבאר הדבר כן אם תסדר מעוקבי המספרים הטבעיים על הסדר עד ט' תמצא פרט המעוקב הראשון עם פרט האחרון הוא כלל והוא ראש המדרגה השנית
|
- The second [after] 1 [] with the second before the last [] form ten.
|
והשני לא' עם השני לאחרון לפניו עושים כלל
|
- And so on, until the mean, which is 5, which is the point in the middle of this matter, as if it were in half the arc of the circle.
|
וכן תמיד עד האמצעי שהוא ה' שהוא הנקודה לאמצע זה הענין כאלו הוא בחצי קשת העיגול
|
- These sums of the of the units of the first nine cubes represent all the possible ways to divide the number ten into two integers:
|
|
- You find here a wonderful thing that all the whole parts into which the number ten can be divided are found in these units - the units before 5 with the units after it: as 1 and 9; 8 and 2; 7 and 3; and [5] in the middle, which is one of its parts, when it is divided in half.
|
ותמצא בכאן דבר מופלא שכל החלקים השלמין שאפשר שיחלק בם מספר העשרה נמצאים באלו הפרטים פרט לפני ה' עם פרט לאחריו וזה כמו א' וט' ח' וב' ז' וג' ובאמצע שהוא א' מחלקיו בהתחלקו לחצי
|
- In another way from the cubes, we explain that the numbers are nine, because, as we have said concerning the number 5, its square plus the square of its double equals its cube.
-
|
ומדרך אחרת מצד המעוקב נבאר שהמספרים ט' שכמו שאמרנו במספר ה' שמרובעו ומרובע כפלו שוה אל מעוקבו
|
- For every number preceding it the ratio of [the sum of] its square plus the square of its double to its cube is the same as the ratio of that simple number to five.
|
וכל מספר שלפניו ערך מרובעו ומרובע כפלו אל מעוקבו כערך אותו המספר פשוט אל חמשה
|
- After five, this matter is reversed, for then the ratio of [the sum of] the square of the number plus the square of its double to its cube is the same as the ratio of five to that number.
|
ואחר החמשה יתהפך הענין וזה שאז יהיה ערך מרובע המספר ומרובע כפלו אל מעוקבו כערך חמשה אל אותו המספר
|
- This is a sign that the 9 is the perfection of the number and it is like a whole circle revolving around itself.
|
וזה לאות שהט' שלמות המספר והוא כדמות עגול שלם סובב על עצמו
|
- What strengthen what we have just said is that if you arrange the nine numbers in a line, and you write above each of them [the sum of] its square plus the square of its double, you find that the units of the first [] is 5, and that the second [] is a product of ten and so on up to 9.
|
וממה שיחזק מה שאמרנו עתה והוא שאם תסדר תשעה המספרים בטור ותשים על כל א' מהם מרובעו ומרובע כפלו תמצא בראשון פרט ה' ובשני כלל וכן עד ט'
|
- The ratio of [the sum of] every square of a certain number plus the square of its double to [the sum of] the square of any number plus the square of its double is the same as the ratio of the simple number to the simple number duplicated.
|
וערך כל מרובע מספר מה עם מרובע כפלו אל מרובע אי זה מספר עם מרובע כפלו כערך המספר הפשוט אל המספר הפשוט שנוי בכפל
|
- If you arrange the squares of the natural numbers with the squares of their doubles in a line, the product of any rank of them by any other rank is always a square.
|
ואם תסדר מרובעי המספרים הטבעיים עם מרובעי כפליהם בטור הנה הכאת איזו מדרגה שתהיה מהם עם איזו מדרגה אחרת לעולם מרובע
|
- Finding the roots of these squares is this way:
|
אמנם ידיעת שרשי אלו המרובעים היא ע"ז הדרך
|
- Multiply the first, which is 5, by 2, then by 3, then by 4, and so on in that order.
|
תכה הראשון שהוא ה' בשני לו ואחר בג' ואחר בד' וכן ע"ז הסדר
|
- You find that the root of the first square is double 5, which is 10.
|
תמצא המרובע הראשון שרשו כפל ה' והוא י'
|
- The root of the second exceeds by 5.
|
ושרש השני יוסיף ה'
|
- The root of the [third] exceeds by 5.
|
ושרש ה' יוסיף ה'
|
- And so on. This is called the first round.
|
וכן כלם וזה יקרא הסבוב הראשון
|
- In all this round you find the squares - one whose units [are 5] and the other is a multiple of ten, and so on forever.
|
ובכל זה הסבוב תמצא המרובעים האחד פרטי והשני כללו וכן לעולם
|
- The second round is by that you multiply the second in the mentioned line by all that follow it.
|
ובסבוב השני והוא שתכה השני מהטור הנז' בכל הבאים אחריו
|
- You find that the resulting squares are four times the former squares, therefore, their roots are double [the former] roots, so they are all multiple of ten.
|
תמצא המרובעים היוצאים ד' דמיוני המרובעים הראשונים ולזה שרשיהם כפלי שרשיהם ולזה הם כלם כללים
|
- In the third round, you multiply the third by all those that follow it; the resulting squares are four times the second [squares], therefore, their roots are double [the previous] roots, so you find that one is a multiple of ten and the other whose units are 5 and so on forever, as the way of the first round, likewise the fifth, the seventh and the ninth.
|
ובסבוב הג' והוא שתכה הג' בכל הבאים אחריו יהיו המרובעים היוצאים ארבעה דמיוני השניים ולזה שרשיהם כפלי שרשיהם ותמצא האחד כלל והשני פרטו ה' וכן תמיד כדרך הסבוב הראשון וכן החמישי והשביעי והט'
|
- In conclusion, the even rounds are in one way and the odd [rounds] are in another way.
|
סוף דבר הסבובים הזוגות בדרך אחת והנפרדים בדרך אחרת
|
- It is seen in these numbers, i.e. the squares of the natural numbers, with the squares of their doubles, that if you add each of them to its simple number, you find the units of the first are 6, then 2, then 8, then 4.
|
וייראה באלו המספרים ר"ל מרובעי המספרים הטבעיים על מרובעי כפליהם שאם תחבר כל א' מהם אל מספרו פשוט תמצא הפרט הראשון ו' עוד ב' עוד ח' עוד ד'
|
|
- The mean, which is 125, with its [simple] number is a multiple of ten.
|
והאמצעי שהוא קכ"ה עם מספרו יהיה כלל
|
- The four numbers after 5 have the same property as the [four] numbers before 5 [= the units of their sum are 6; 2; 8; 4].
|
והמספרים הארבעה שאחריו ה' הענין בם כמו במספרים שלפני ה'
|
- This is a miraculous sign that the numbers 9 alone.
|
וזה אות מופלא שהמספרים ט' לבד
|
Algorithms for checking if a number is a square or a cube and what are the digits of is its root, considering its units:
|
|
We have already clarified that the numbers 9 are alone, so we take scales for squares and cubes from the previously mentioned propositions:
|
הנה כבר ביארנו שהמספרים ט' לבד ולזה נקח מהקדמות הנזכרות ראשונה מאזנים למרובעים ולמעוקבים
|
- It is impossible for any square to have 2, or 3, or 7 units, and if it does it is not a square.
|
וזה שאי אפשר בשום מרובע שיהיה בו פרט ב' או ג' או ז' ואם הוא כן אינו מרובע
|
- If it has 1 or 9 [units], its root has also.
|
ואם יש בו א' או ט' היה בשורש
|
- If it has 4 [units], its root has 2 or 8 [units].
|
ואם יש בו ד' ב' או ח' היה בשורש
|
- If it has 6 [units], its root has 4 or 6 [units].
|
ואם היה בו ו' ד' או ז' היה בשורש
|
- If its units are 5, its root has 5 [units] also.
|
ואם בפרט ה' בשורש ה' ג"כ
|
- And so on.
|
וכן תמיד
|
- As for the cubic numbers: if the number has 1 unit, its root has 1 unit.
|
ואמנם במעוקבים אם יש במספר פרט א' הנה במספר בשורש א'
|
- If it has [8] [units], its root has 2 [units].
|
ואם יש בו ב' בשורש היה ב'
|
- If it has 3 [units], its root has 7 [units].
|
ואם יש בו ג' בשורש היה ז'
|
- If it has 4 [units], its root has 4 [units].
|
ואם יש בו ד' בשורש ד'
|
- If it has 5 [units], its root has 5 [units].
|
ואם יש בו ה' בשורש ה'
|
- If [it has] 6 [units], its root has 6 [units].
|
ואם ו' בשורש ו'
|
- If it has 9 [units], its root has 9 [units].
|
ואם יש בו ט' בשורש ט'
|
These are enough proofs that the numbers are nine alone.
|
ודי בזה ראיות שהמספרים ט' לבד
|
Ennead in the existences
|
|
Know that there are many things in the existences that are run by the number nine:
|
ודע שיש בנמצאות דברים הרבה ירוצו במספרי הט'
|
- The heavenly spheres are no more [than nine], even in the ninth there is quite a bit of doubt.
|
מהם כי הרקיעים לא יותר גם בתשיעי ספק לא מעט
|
- The separate intellects after the exalted God are at least nine, according to the philosophers opinion, but according to the Torah they are too many to be counted.
|
השכלים הנפרדים אחר האלוה ית' לפחות ט' וזה כפי דעת הפילוסופי אבל כפי דעת התורה רבו מלמנות
|
- The temperaments are nine: one balanced, four simple, and four compound.
|
המזגים ט' אחד פשוט שוה וארבעה פשוטים וארבעה מורכבים
|
- The simple essences are nine: God, the intellect, the soul, the orb, the planet, and the four elements.
|
המהויות הפשוטים ט' אלוה השכל הנפש הגלגל הכוכב היסודות הארבעה
|
- The types of agreement and difference between a thing and another are nine: a thing loves a thing; a thing hates a thing; a thing pursues a thing; a thing escapes from a thing; a thing dominates a thing; a thing surrenders to a thing; a thing maintains a thing; a thing damages a thing; the ninth is a thing alien to a thing, i.e. there is no agreement or difference between them.
|
מיני האותות והחילוף שיש בין דבר וזולתו ט' והם טבע יאהב טבע וטבע ישנא טבע טבע רודף טבע טבע בורח מטבע טבע יתגדר על טבע טבע יכנע לטבע טבע מקיים טבע טבע מפסיד טבע והתשעי הוא טבע נכרי לטבע ר"ל שאין ביניהם האותות והתנגדות
|
- These are nine types that include all types of action and effect in the natural properties.
|
ואלו הם ט' סוגים יכנסו תחתיהם כל מיני הפעל וההפעלות בעניינים הטבעיים
|
- In the book of Ikhwān al-Ṣafā examples of the properties of nature are given for each of them.
|
ובס' אכואן אלספא הובאו משלים מפרטי הטבע בכל א' מהם
|
- The ancients used to count 13 types, but the recent thinkers turn them into nine.
|
והראשונים היו מונים אלו הסוגים י"ג והאחרונים השיבום אל ט'
|
- These things are explained in the book The Change of Natures [?].
|
והנה התבארו דברים אלו בס' השתנות הטבעים
|
- The human duplicate organs designed for special actions outside the body are nine: eye; ear; nose, lip; teeth; hand; foot; breasts; testicles.
|
האיברים שייחדם הטבע במין האנושי חוץ מהגוף לפעולות מיוחדות וכפל אותם הם ט' והם העין האזן האף השפה השניים היד הרגל השדים האשכים
|
- The types of accidents are nine, as the "Philosopher" [= Aristotle] explained in the book of Categories.
|
סוגי המקרים ט' והם שביארם הפילוסוף בס' המאמרות בהגיון
|
- The qualities of the homogeneous bodies that signify differences of form - as "the Philosopher" [= Aristotle] counted them in the fourth book of Meteorology [IV, 8, 383a1-20] - are nine: he counted them as 18, but they are actually 9, since he included positive properties and their negations, but the negations are not existing things, as will be clearly explained in its place.
|
טבעי המתדמי החלקים אשר ספרם הפילוסוף ברביעי מאותות השמים שהם כדמות הבדלים צוריים הם ט' וזה שהוא מנאם י"ח שישובו לט' וזה שהוא מנה הקניינים והעדריהם וההעדרים אינם דברים ישיים ובמקומו יתבאר בבירור
|
- The months in which the human embryo stays in the womb are nine - this is an issue that the natural scientists agreed upon, but did not give a sufficient reason for it. Yet, the astrologers elaborated on this with correct words, as [written] in many books, and the most sufficient is what the authors Ikhwān al-Ṣafā noted.
|
חדשי עמידת העובר האנושי בבטן ט' וזה דבר הסכימו בו חכמי הטבע ולא נתנו לזה טעם מספיק אבל האיצטגנינים האריכו בזה בדברים נכונים כמ"ש בספרים הרבה והיותר מספיק בה מה שזכרו מחברי אכואן אלצפא
|
- The types of tastes are [eight]: sweet; bitter; salty; spicy; sour; acidic; creamy; tasteless; but the astringent should not be included as a taste by itself, since it is only the essence of acidity, as Ibn Rushd said in Kitāb Kulliyyāt.
|
מיני הטעמים שמנה מתוק מר מליח חריף חמוץ קובץ דשן תפל ואין למנות העפוץ טעם בפני עצמו לפי שהוא אינו אלא תכלית ה[ק]ביצות כמ"ש בן רשד בס' הכליאת
|
Ten
|
העשרה
|
Properties of the number ten
|
|
- It is the beginning of the second rank and is as one; the second in it is twenty; the third is thirty; and so on until 90. Therefore, their names are derived from the names of the units of the first rank.
|
תחלת המדרגה השנית והוא כאחד והשני בה עשרים והשלישי שלשים וכן עד צ' ולזה נגזרו לאלו שמות משמות אחד המדרגה הראשונה
|
- The units between them consist of both ranks, as 12, 23, 34, 45.
|
והפרטים שבין אלו הם מורכבים משתי המדרגות כמו י"ב כ"ג ל"ד מ"ה
|
- As [ten] is the beginning of the second rank, so the hundred is the beginning of the third [rank], the thousand of the fourth, and so on.
|
וכמו שהוא תחלת מדרגה שנית כן המאה תחלת מדרגה שלישית והאלף רביעית וכן תמיד
|
- If you sum up the squares up to its half, you find [their sum] the same as the simple sum up to ten.
|
ואם תחבר המרובעים שיש עד חציו ר"ל תמצאם כמחובר עשרה פשוט
|
The people and the books used to end at ten, because it is a total, as if the divine Will brought them to this, in order to indicate that it is the end of the counted.
|
ונהגו ההמון והספרים לגמור בעשרה מפני שהוא כלל וכאלו הביאם הרצון האלהי לזה להורות שהוא סוף הספורים
|
Decade
|
|
- The counted are ten: God; intellect; sphere; star; soul; element; mineral; plant; animal; human
|
וזה שהספורים עשרה האלוה והשכל והגלגל והכוכב והנפש והיסוד והדומם והצומח והחי והמדבר
|
- The categories are ten [Aristotle, Categories, 4, 1b].
|
והמאמרות עשרה
|
- The commandments the Holy Torah that were handed down to us at Sinai are ten and they are an honorable divine secret, for being this number.
|
ודברות התורה הקדושה שנמסרו לנו בסיני הם עשרה והם סוד אלהי נכבד בהנהגם בזה המספר
|
- These are the ten "Sefirot Belimah" alluded to in The Book of Creation [Sefer Yetzira].
|
וזה הוא שנרמז בס' יצירה עשר ספירות בלי מה
|
- The branches of the human tree are ten: ten above and ten below, which are the ten fingers and the ten toes.
|
ופארות אילן האדם עשרה למעלה ועשרה למטה והם עשר אצבעות הידים ועשר אצבעות הרגלים
|
It follows from the absolute wonder that the counted follow the number that, as the units are not more than nine or ten, so there is nothing among the universal principles of the existences that is more than this number, except by a hypothetical division, such as the 12 zodiac signs, or the 28 stations of the moon, and their like that are not definite real divisions, and this is one of the wonders of nature without a doubt.
|
ומן הפלא הגמור בהמשך הספורים למספר שכמו שהמספר לא יעבור ט' או עשרה כן לא תמצא בכוללי הנמצאות דבר שיעבור זה המספר כי אם בדרך חלוקה הנחית כמו י"ב מזלות וכ"ח מחנות הלבנה וכיוצא באלו שאינה חלוקה מוגבלת יישיית וזה א' מנפלאות הטבע בלא ספק
|
If I were not afraid of the length and that we would go beyond our discussion, I would elaborate the explanation of wonderful, great and precious matters in this issue, but we dedicated another place to it in the book, where we agreed to discuss the nature of existence.
|
ולולא יראתיהו מהאריכות ושלא נצא ממה שאנחנו בו הייתי מאריך בביאור עניינים נפלאים גדולים ויקרים על זה הדרוש אבל ייעדנו לו מקום אחר בס' הסכמנו לדבר בו בטבע המציאות
|
Because of this wonder and various other, those who assumed that the number is a beginning were mistaken.
|
ומפני הפליאה [79]הזאת עם אחרות רבות טעו המניחים המספר התחלה
|
Know that the universal principles we mentioned for each number are only a few of many, since the human intellect cannot grasp them, even more so for those that are far from perfection, thus a clear remark on those we mentioned is enough.
|
ודע שאותם הכוללים שזכרנו[80] בכל מספר ומספר הם מעט מהרבה כי קצרה יד השכל האנושי להשיגה כל שכן לרחוקים מהשלמות ודי הערה גלויה באותם שזכרנו
|
General Properties of Numbers
|
|
Introduction
|
|
Since we have reached this place, we will present some specific qualities of the nature of number, by way of tale and description.
|
ואחר שהגענו לזה המקום נביא קצת סגולות פרטיות מטבע המספר בדרך הגדה וספור
|
Not as the way used by Euclid in the Elements, books 7-9, because the number does not require this, since the practical counting verifies any hypothetical proposition, even there the reader will not rest until checking it through the counting test, hence you find Euclid at the end of every proposition brings a numerical example, and not just for the numerical propositions, but also for the geometric propositions. Every matter that could be examined with numbers is translated to numbers, as in most of the propositions of the second book of Euclid's Elements
|
לא בדרך שעשה איקלידיס בז' וח' וט' מספרו כי המספר אינו צריך דרך אחר [לזה][81] וכן תמצא מפרש איקלידיס בסוף פירוש כל הקדמה מהן מביא משל מספריי[82] ולא [בהקדמות][83] המספריות לבד אבל גם בהנדסיות כל מה שאפשר לבחון הענין במספר יושב אל מספר כמו רב הקדמות המאמר השני מאקלידס שהספירה המעשית נאמת כל הקדמה מונחת גם שם לא ינוח לב הקורא עד יבחננו במבחן הספירה
|
Some people argue that Euclid needed this as a proposition for a few of the cases of the tenth book of the Elements, but we checked it and did not find it so, therefore Euclid's method in the three mentioned books [books 7-9] is nothing but a rational comprehension that should be rejected.
|
וקצת אנשים אמרו שהוצרך אקלידס מזה להיות לו כהקדמה לקצת מקומות מהמאמר הי' מספרו ואנחנו חפשנו ולא מצאנו הענין כן אם כן דרך איקלידס בשלשת המאמרים הנזכר' הוא יגיעת השכל לא זולת וזה ממה שראוי שירוחק בכל מקום
|
The author declares that by this he wishes to satisfy "Our lord, the great king, may God grant him success" [which could be a reference to king Robert of Anjou]
|
וכל שכן באשר אנחנו בו להפיס בו דעת אדוננו המלך הגדול יצליחהו השכל
|
Therefore, narrative propositions are presented below, which could be proven by counting, collected from the predecessors or formulated by the author himself, according to his testimony
|
ולזה נביא ההקדמות ספוריות ותעיד בם הספירה ונלקוט מה שמצאנו מזה לאשר קדמונו ומה שחדשנוהו אנחנו
|
He who adds to this will be granted long life and peace
|
והמוסיף אחרינו שנות חיים ושלום נוסיפו לו
|
A list of arithmetical statements concerning general properties of the numbers – without demonstrations or proofs
|
|
- Proportional Triad: For every three proportional numbers, the product of the first by the third is the same as the product of the mean by itself
|
כל שלשה מספרים מתיחסים [הנה הכאת][84] הראשון בשלישי כהכאת האמצעי בעצמו
|
- The Rule of Three: If there are four, the product of the extremes is the same as the product of the means.
|
ואם היו ארבעה תהיה הכאת הקצוות כהכאת האמצעיים
|
- The smallest numbers in a certain proportion divide the numbers that maintain their proportion – the smaller ones to small numbers and the larger ones to large numbers.
|
[קטני המספרים על יחס מה הנה הם ימנו המספרים אשר על יחסם הקטן לקטן והרב לרב][85]
|
Relatively prime numbers
|
|
- Each one of the smallest numbers [] in a certain proportion [] is relatively prime to the other; and this proposition can be reversed.
|
קטני המספרים על יחס מה הנה כל אחד מהם ראשון אצל האחר וזאת ההקדמה מתהפכת
|
- When there are two numbers [], each of which is relatively prime to the other, and each of them is multiplied by itself, then each of the products [] is relatively prime to the other.
|
כאשר היו שני מספרים כל אחד מהם ראשון אצל האחר והוכה כל אחד מהם בעצמו הנה כל אחת משתי ההכאות ראשון אצל האחר
|
- Likewise, if two [numbers] [] are relatively prime to two other [numbers] [], and they are multiplied by each other and the two others are [multiplied] by each other, then the two products [] are relatively prime to each other.
|
וכן אם היו שנים ראשונים אצל שנים אחרים והוכו השנים זה בזה [והשנים האחרים זה בזה][86] הנה שתי ההכאות ראשונות זו לזו
|
- When there are two numbers [], each of which is relatively prime to the other, and they are multiplied by each other, then the product [] is relatively prime to each of the two numbers [sic].
|
כאשר היו שני מספרים כל אחד מהם ראשון לאחר והוכו זה בזה הנה אותה ההכאה מספר ראשון אצל [כל א' משני המספרים][87]
|
- When there are two numbers [], each of which is relatively prime to the other, then their sum [] is relatively prime to each of the two numbers.
|
כאשר היו שני מספרים כל אחד מהם ראשון לאחר הנה מקובץ שניהם ראשון אצל כל אחד משני המספרים
|
Successive proportional numbers
|
|
- When there are as many numbers as they may [], successive by ratio, and the extremes [] are relatively prime to each other, then the smallest numbers of this ratio [] are relatively prime to each other; and this proposition can be reversed.
|
כאשר היו מספרים כמה שיהיו וימשכו על יחס והיו הקצוות ראשונים זה לזה הנה קטני המספרים על אותו היחס וזאת ההקדמה מתהפכת
|
- When there are as many numbers as they may [], successive by a certain ratio, and the first [] does not divide [lit. count] the second [], then none of them [] divides the other.
|
כאשר היו מספרים [כמה שיהיו ו][88]ימשכו קצתם לקצת על יחס מה והראשון מהם לא ימנה השני אין מהם מספר ימנה האחר
|
- If the first [] divides the last [], then it divides the second [].
|
ואם היה הראשון מונה האחרון היה הוא מונה השני
|
- When numbers [] fall between numbers [] and they follow each other by a certain ratio, then as many numbers that fall between these two numbers [], so many [numbers] [] fall between every two numbers [] of the same ratio and all [] are following by the same ratio.
|
כאשר נפלו מספרים בין מספרים וימשכו קצתם לקצתם [89]ביחס מה הנה כסך מה שיפול מן[90] המספרים בין שני אותם המספרים כן נפל בין [כל שני][91] מספרים מאותו היחס וימשכו כלם ביחס אחד
|
- When there are two numbers [], each of which is relatively prime to the other, and some numbers fall between them that follow [each other] by a certain ratio [], then as many numbers that fall between the two of them, so many fall between the first and each of them [, ]; and this proposition can be reversed.
|
כאשר היו שני מספרים כל אחד מהם ראשון אצל האחר ונפלו ביניהם מספרים ונמשכו ביחס מה הנה כסך המספרים שנפלו בין שניהם כן יועילו [נ' ינפלו][92] בין האחר וכל אחד מהם וזאת ההקדמה מתהפכת
|
- The ratio of the square numbers to each other is as the ratio of their roots to each other duplicated.
|
המספרים המרובעים יחס קצתם אל קצת כיחס שרשיהם קצתם אל קצת שנוי
|
- When each of the proportional numbers [] is multiplied by itself, then all the products [] are also proportional; and if you multiply the products by the original numbers, the resulting products, which are cubes [], are also proportional; and so on, if they are further multiplied [the products] are proportional.
|
המספרים המתיחסים כשהוכה כל אחד בעצמו הנה כל ההכאות גם כן מתיחסות ואם תכה ההכאות במספרים הראשונים יהיו כמו כן ההכאות השניות שהם מעוקבות מתיחסות וכן אם יוכו עוד לעולם יתיחסו
|
- When a square [] divides another square [], then its factor [] divides its factor [] and vice versa.
|
כאשר ימנה המרובע מרובע אחר הנה צלעו ימנה צלעו ובהפך
|
If a³ is a divisor of b³ then a is a divisor of b and vice versa
|
- The same is for a cube.
|
וכן במעוקב
|
- For every two numbers [], one of which is relatively prime to the other, the ratio of the first to the second is not the same as the ratio of the second to another number [].
|
כל שני מספרים שהאחד מהם ראשון אצל האחר אין יחס הראשון אל [השני][93] כיחס האחר השני אל מספר אחר
|
- When there are two proportional plane numbers [], i.e. the two factors of one plane number are proportional to the two factors of the other plane number [], then there is a proportional number between them and this mean [number] is generated from [the product of] the smaller factor of one of the plane numbers by the greater factor of the other []; and this proposition can be reversed.
|
כאשר היו שני מספרים שטוחים מתדמים ר"ל ששני צלעות המספר האחד אל השטוח על יחס שני צלעות המספר השטוח האחר הנה יפול ביניהם מספר יתמצע ביחס ואותו האמצעי מתמצע נולד מקטן צלע אחד מהשטחים עם גדול צל צלע האחר וזאת ההקדמה מתהפכת
|
- When there are two proportional solid numbers [], there are two numbers between them, so that the four are proportional and the extraction of these two [numbers] is that you first multiply the smaller factor of one of the solid numbers by the second [factor] of the other solid [number], then multiply the product by the greater factor of each of the solid [numbers] and the two resulting [products] are the means []; this proposition can be reversed.
|
כאשר היו שני מספרים מוגשמים מתדמים הנה יפלו ביניהם שני מספרים וימשכו ארבעתם ביחס והוצאת אלו השנים בשתכה עולה תחלה קטן שני צלעות אחד מהם מוגשמים בשני מהמוגשם האחר והיוצא תכהו בצלע הגדול מכל אחד מהם מוגשמים והשנים שיצאו הם האמצעיים וזאת ההקדמה גם כן מתהפכת
|
- When there are two numbers, such that the ratio of one of them to the other is the same as the ratio of a square number to a square number, and one of them is a square [], then the other [] is a square.
|
כאשר היו שני מספרים והיה יחס אחד מהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע והיה האחד מרובע הנה האחר מרובע
|
- If their ratio [is the same as the ratio] of a cube number to a cube number, and one of them is a cube [], then the other [] is a cube.
|
ואם היו ביחס מספר מרובע מעוקב אל מספר מעוקב והיה האחד מעוקב הנה האחר מעוקב
|
- The ratio of proportional plane numbers to each other is as the ratio of a square number to a square number.
|
המספרים השטוחים המתדמים יחס אחד אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
|
- The ratio of proportional solid numbers to each other is as the ratio of a cube number to a cube number.
|
והמוגשמים המתדמים יחס אחד מהם אל האחר כיחס מספר מעוקב אל מספר מעוקב
|
|
- When proportional plane numbers are multiplied by each other, the product is a square number, whose root is a product of the smaller factor of one of them by the greater [factor] of the other.
|
המספרים השטוחים המתדמים כשיכו זה [94]בזה יתקבץ מההכאה מספר מרובע ושרשו הכאת קטן צלע מאחד מהם בגדול האחר
|
|
For a₁<b₁<c₁ and a₂<b₂<c₂ if a₁:a₂=b₁:b₂=c₁:c₂, then (a₁·b₁·c₁)·(a₂·b₂·c₂) is a cubic number and its root is a product of the root of (a₁·b₁·c₁) by the root of (a₂·b₂·c₂)
|
|
- When proportional solid numbers are multiplied by each other, the product is a cube number, whose root is the product of the root of one of the solid [numbers] by the root of the other [solid number]. I say "the root", since [the product] is always a number that has a root.
|
המספרים המוגשמים המתדמים כשיוכו זה בזה יתקבץ מספר מעוקב ושרשו שתכה שורש אחד משני המוגשמים בשורש האחר והיוצא הוא השורש המבוקש ואמנם אמרתי השרש לפי שהוא מספר נגדר לעולם
|
- When there are proportional numbers starting from one [], then the third [] is a square, the fourth [] is a cube, the fifth [] is a square, the sixth [] is a cube, the seventh [] is [a square] and so on endlessly.
|
כאשר היו מספרים מתיחסים מתחילים מהאחד הנה השלישי מרובע והרביעי מעוקב והחמשי מרובע והששי מעוקב והשביעי מרובע מעוקב וכן ימשך לעולם
|
- When there are proportional numbers starting from one [], and the second [] is a square, then all the rest [] are squares.
|
כאשר היו מספרים מתיחסים מתחילים מהאחד והיה השני מרובע הנה הנשארים כלם מרובעים
|
- If it [] is a cube, then all the rest [] are cubes.
|
ואם היה מעוקב יהיו כלם מעוקבים
|
- If the second [] is not a square, then none of them [] is a square. [contradicts the above]
|
ואם לא היה השני מרובע אין בהם שם מרובע
|
- If the second [] is not a cube, then none of them [] is a cube. [contradicts the above]
|
ואם לא היה השני מעוקב אין בהם שום מעוקב
|
- When there are proportional numbers starting from one [], then every prime number [] that divides the last of them [], divides also the [number] that follows one [].
|
כאשר היו מספרים מתיחסים מתחילים מהאחד הנה כל מספר ראשון ימנה האחרון מהם הנה הוא ימנה [..] אשר ילוה לאחד
|
- If the [number] that follows one [] is a prime [number], then the largest of them [] is divisible only by numbers among them [].
|
ואם היה אשר ילוה לאחד ראשון הנה לא ימנה הרב מהם כי אם כי אם מספר מהם
|
- The smallest number divided by some given primes cannot be divided by any number, other than those given primes.
|
כשהיה קטן מספר ימנוהו מספרים ראשונים ידועים הנה לא ימנהו מספר אחר זולתם
|
- If a, b, c are proportional and are the smallest possible numbers in that proportion then a+b is prime to c
|
כאשר היו שלשה מספרים מתיחסים והיו קטני המספרי' על אותו היחס הנה כל שנים מהם מחוברים ראשונים אצל הנשאר
|
- If a and b are prime to each other then there is no other number c so that a:b=b:c
|
כל שני מספרים ראשונים זה אל זה הנה אין יחס הראשון אל השני כיחס השני אל מספר אחר
|
- If a₁, a₂,..., aₙ are proportional; a₁ and aₙ are primes to each other then is not equal to ??
|
כאשר היו מספרים ימשכו קצתם לקצת ביחס מה והיו הקצוות הראשונים זה לזה הנה אין שעור הראשון אצל השני כשיעור האחד אל המספר האחר
|
- If a₁, a₂,..., aₙ are proportional then
|
כאשר היו מספרים נמשכים על יחס מה וחוסר על כל אחד מהשני והאחרון כמו הראשון הנה שעור מה שישאר מהשני אצל הראשון כשעור מה שישאר מהאחרון אצל כל המספרים אשר לפניו כאשר יקובצו
|
Relatively prime numbers
|
|
- Every odd number [] that is relatively prime to another number [] is relatively prime to its double [].
|
כל מספר נפרד ראשון אצל מספר אחר הנה הוא ראשון אצל כפלו
|
- When there are two numbers [] relatively prime to each other, then the divisor of one of them is relatively prime to the other.
|
כשהיו שני מספרים ראשונים זה אל זה הנה אשר ימנה אחד מהם הוא ראשון לאחר
|
- For every two numbers [] multiplied by each other, and there is a prime number [] that divides the product [], then this prime number divides one of the two numbers [] that are multiplied by each other.
|
כל שני מספרים יוכה אחד מהם באחר וימנה אותה ההכאה מספר הראשון [הנה אותו המספר הראשון][95] ימנה אחד משני המספרים אשר [הוכו][96] זה בזה
|
- Proportional numbers are proportional by ??
|
[97]המספרים המתיחסים הנה הם בחלוף ובתמורה ובהבדל ובהרכבה יתיחסו
|
|
כשהוכה מספר בשני מספרים הנה יחס שתי ההכאות אחת מהם לאחרת כיחס המספר למספר
|
The divisors of a plane number
|
|
- Every plane number, whose one factor is a prime number and the other factor is composite [] is divided [lit. counted] by its factors, as well as by any number that divides the factors of the composite [factor], [and by] any product of its prime factor by any number that divides its composite factor. No number other than those divides it.
|
כל מספר שטוח יהיה אחד מצלעותיו מספר ראשון והמספר השני מורכב הנה הוא ימנוהו צלעותיו וכל מספר ימנה צלעות המורכב ככל מספר יתקבץ מהכאת צלעו הראשון בכל מספר ימנה צלעו המורכב ולא ימנהו מספר אחר בלתי אלו
|
- Every plane number, whose factors are composite numbers [] is divided [lit. counted] by its factors, as well as by any number that divides any of its factors, and by any product of any of its factors by any number that divides another factor of them. No number other than those divides it.
|
כל מספר שטוח צלעותיו מספרים מורכבים הנה ימנוהו צלעותיו וכל מספר ימנה כל אחד מצלעותיו וכל מספר יתקבץ מהכאת כל אחת מצלעותיו בכל מספר ימנה הצלע האחר מהם ולא ימנהו מספר אחר בלתי אלו
|
Successive powers of two
|
|
Sorting perfect / superabundant / deficient numbers by the sums of successive powers of two
|
|
- When summing up the successive [powers of two], starting with one, including one, so that a certain amount is obtained [], then the greatest of these numbers is multiplied by a prime number other than two []:
|
כשקובצו מספרים מספרים נמשכים על יחס הכפל מן האחד עם האחד והתקבץ מהם כלל והוכה הרב מספר מאותם המספרים במספר ראשון בלתי השנים
|
- If the prime number equals the sum [], the product [] is a perfect number.
|
הנה אם היה המספר הראשון שוה לכלל אשר קובץ הנה המספר המוקבץ מזה מספר שלם
|
- If the prime number is less than the sum [], the product [] is a superabundant number.
|
ואם היה אותו המספר הראשון פחות מהכלל אשר קובץ הנה הוא מספר נוסף
|
- If the prime number is greater than the sum [], the product [] is a deficient number.
|
ואם היה המספר הראשון יותר מהכלל אשר קובץ מספר חסר
|
- Its excess, if it is superabundant number, or its deficit, if it is a deficient number, is the same as the difference between the sum and the prime number [ or ].
|
והגעת תוספתו אם היה נוסף וחסרונו אם היה חסר כמו יתרון מה שבין אותו הכלל אשר קובץ ואותו המספר הראשון
|
- There is another shorter technique to produce the perfect numbers:
|
ויש בהוצאת המספר השלם תחבולה אחרת יותר קצרה
|
- It is that you arrange the even-times-even numbers in a line and write beneath it the line of the natural odd numbers correspondingly starting from 2, which is even.
|
והיא שתסדר מספר זוג הזוג בטור ותניח תחתיו טור הנפרדים הטבעיים מתחיל כנגד ב' מהזוגות
|
- Multiply every even number of the upper line, beneath which you find a prime number, by [this prime number] and you will receive a perfect number.
|
הנה כל מספר זוג מהטור העליון שתמצא תחתיו מספר ראשון ותכהו בו יצא לך מספר שלם
|
- This way all the perfect numbers are produced successively.
|
ובזה הדרך יצאו המספרים השלמים על סדרם
|
𝐸𝑣𝑒𝑛−𝑡𝑖𝑚𝑒𝑠−𝑒𝑣𝑒𝑛 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2
|
𝑂𝑑𝑑 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟𝑠 |
1093 |
511 |
255 |
127 |
63 |
31 |
15 |
7 |
3
|
𝑃𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟𝑠 |
|
130816 |
|
8128 |
|
496 |
|
28 |
6
|
תקיב |
רנו |
קכח |
סד |
לב |
יו |
ח |
ד |
ב |
מספר זוג הזוג
|
תתרכג |
תקיא |
רצה |
קכז |
סג |
לא |
טו |
ז |
ג |
נפרדים טבעיים
|
|
ואח0גא |
|
חבאח |
|
תצו |
|
כח |
ו |
|
|
- The unites of the perfect numbers are 6, then 8, then again 6, then 8, and so on
|
ומסגלתם שאם יסודרו [אלו][98] השלמים כפי מה שנולדו בטבע תמצא האחד פרטו ו' ואז ואשר אחריו פרטו ח' ואחר ו' ואחר ח' וכן תמיד
|
- When summing up the successive [powers of two], starting with one, including one, so that a certain amount is obtained [], then the greatest of these numbers is multiplied by a plane number, whose factors are two prime numbers other than two [], the product is either a superabundant number or a deficient number:
|
כאשר קובצו מספרים נמשכים על יחס הכפל מהאחד והאחד עמהם והתקבץ מהם כלל והוכה גדול מספר מאותם המספרים במספר שטוח צלעותיו שני מספרים ראשונים בלתי השנים הנה אשר יתקבץ מזה מספר נוסף או מספר חסר
|
- If the plane number is less than the sum plus the product of the sum by the factors of the plane number [], then the product [] is a superabundant number.
|
אמנם אם היה אותו המספר השטוח פחות מהכלל אשר קובץ עם אשר יתקבץ מהכאתם בצלעי אותו המספר השטוח מקובצים הנה המוקבץ מספר נוסף
|
- Its excess is as the excess of their sum over the plane number [].
|
והגעת תוספתו בהגעת תוספתם על המספר השטוח
|
- If the plane number is greater than the sum plus the product of the sum by the factors of the plane number [], then the product is a deficient number.
|
ואמנם אם היה אותו המספר השטוח יותר מהכלל אשר קובץ עם אשר יתקבץ מהכאתו בשני צלעי [99]אותו המספר השטוח מקובצים הנה המספר המוקבץ חסר
|
- Its deficit is as the difference of their sum and the plane number []
|
והגעת חסרונו בהגעת חסרוניהם מהמספר השטוח
|
- For every four successive powers of two, the first of which is the smallest, the plane number generated from the product of the sum of the second and the third by the sum of the third and the fourth is the same as the plane [number] generated from the product of the fourth number by the sum of the first and the fourth.
|
כל ארבעה מספרים נמשכים על יחס הכפל הראשון מהם היותר קטן הנה המספר המשוטח ההווה מהכאת השני והשלישי מקובצים בשלישי והרביעי מקובצים הוא כמו המשוטח ההווה מהכאת המספר הרביעי בראשון והרביעי מקובצים
|
|
- If the plane number generated from the product of the sum of the [third] and the second by the sum of the fourth and the third is the same as the plane [number] generated from the product of the fourth [number] by the sum of the first and the fourth, then the solid number, whose one factor is the third number, its second factor is the sum of the third and the fourth, and its third factor is the sum of the second number and the third, is the same as the solid number whose one factor is the third number, its second [factor] is the fourth number, and [its] third [factor] is the sum of the first number and the fourth.
|
ואם היה המספר המשוטח ההווה מהכאת השני והשני מקובצים ברביעי והשלישי מקובצים כמו המשוטח ההווה מהכאת הרביעי בראשון והרביעי מקובצים הנה המספר המוגשם אשר אחד מצלעותיו המספר השלישי מהם וצלעו השני והשלישי והרביעי מקובצים וצלעו השלישי המספר השני והשלישי מקובצים כמו המספר המוגשם אז אשר אחד מצלעותיו המספר השלישי מהם והשני המספר הרביעי מהם והשלישי המספר הראשון והרביעי מקובצים
|
|
- For every four proportional powers of two, the first of which is the smallest, the solid number generated from the product of the last by the sum of the first and the last minus one is the same as the product of the third of them by the difference between the product of the last by the sum of the first and the last minus one and the product of the sum of the third number and the fourth minus one by the sum of the third and the second minus one.
|
כל ארבעה מספרים מתיחסים ביחס הכפל יהיה הראשון מהם היותר קטן הנה המספר המשוטח ההווה מהכאת האחרון בראשון והאחרון מקובצים מלבד אחד כמו המתקבץ מהכאת המספר השלישי מהם במותר מה שבין השטח ההווה מהכאת האחרון בראשון והאחרון מקובצים מלבד אחד ובין השטח ההווה מהכאת המספר השלישי והרביעי מהם בלתי אחד מקובצים בשלישי והשני בלתי אחד מקובצים
|
|
Euclidean Propositions - Arithmetical Version
|
|
- [Euclid, Elements, Book II, proposition 4:] For any number divided into [two] parts, whichever they may be, the product of the whole number by itself is equal to the sum of the products of each of the two parts by itself and double the product of one of the two parts by the other.
|
כל מספר יחלק בחלקים כמו שיהיו הנה הכאת המספר כלו בעצמו כמו הכאת כל אחד משני החלקים בעצמו וכפל הכאת אחד משני החלקים באחר כאשר יקובצו
|
- [Euclid, Elements, Book II, proposition 1]: For every two numbers, such that one of them is divided into as many parts as there are, [the product of] the number that is not divided by the divided number is equal to the sum of its products by each part of the divided number.
|
כל שני מספרים יחלק אחד מהם בחלקים כמו שיהיו הנה המספר שלא חולק במספר שחולק כמו הכאתו בכל חלקי המספר הנחלק כאשר יקובצו
|
- [Euclid, Elements, Book II, proposition 5]: For any even number divided into halves and into [two] unequal parts, the product of half the [whole] number by itself is equal to [the sum of] the product of the greater part by the smaller [part] and the product of the excess of the half of the [whole] number over the smaller part by itself.
|
כל מספר זוג יחלק לחצאים ולחלקים מתחלפים הנה אשר יהיה מהכאת [חצי][100] המספר בעצמו כמו ההווה מהכאת החלק הגדול בקטן עם הכאת מותר חצי המספר על החלק ההקטן [בכמהו][101]
|
- [Euclid, Elements, Book II, proposition 6]: For any number divided into two halves and another number is added to it, the product of half the number and the additional [number] together by itself is equal to [the sum of] the product of the [whole] number plus the additional [number] by the additional [number] and the product of half the original number by itself.
|
כל מספר זוג יחלק לשני חצאים ויתוסף בו מספר אחר הנה הכאת חצי המספר עם התוספת בכמהו כהכאת המספר עם התוספת בתוספת והכאת חצי המספר הראשון בעצמו
|
- [Euclid, Elements, Book II, proposition 7]: For any number divided into two parts, [the sum of] the product of the [whole] number by itself and [the product of] one of the two parts by itself is equal to twice the product of the [whole] number by the part that is multiplied by itself plus the [product of the] other part by itself.
|
כל מספר יחלק לשני חלקים [..] הנה הכאת המספר בכמוהו ואחד [102]משני החלקים בכמוהו כמו ההווה מהכאת המספר בחלק המוכה בכמוהו שני פעמים והחלק השני בכמוהו
|
- [Euclid, Elements, Book II, proposition 8]: For any number divided into two parts and one of the two parts is added to it, the product of the [whole] number plus the additional [part] by itself is equal to [the sum of] the product of the [whole] number by the additional [part] four times and the product of the other part by itself.
|
כל מספר יחלק בשני חלקים ונוסף עליו כמו אחד משני החלקים הנה הכאת המספר עם התוספת בכמהו כהכאת המספר בתוספת ד' פעמים והכאת החלק האחר בכמהו
|
- [Euclid, Elements, Book II, proposition 9]: For any even number divided into two halves and into two unequal parts, [the sum of the products of] each of the two unequal parts by themselves is equal to [the sum of] twice the product of half the [whole] number by itself and twice the product of the excess of half the [whole] number over the smaller part by itself.
|
כל מספר זוג יחלק בשני חצאים ובשני חלקים מתחלפים הנה כל אחד משני החלקים המתחלפים בכמהו כהכאת חצי המספר בכמהו שני פעמים והכאת מותר חצי המספר על החלק הקטן בכמהו שני פעמים
|
- [Euclid, Elements, Book II, proposition 10]: For any even number divided into half and another number is added to it, [the sum of] twice the product of half the number by itself and twice the product of half the number plus the additional [number] by itself is equal to [the sum of] the product of the [whole] number plus the additional [number] by itself and [the product] of the additional [number] by itself.
|
כל מספר זוג יחלק לחציים ונוסף בו מספר אחר הנה ההווה מהכאת חצי המספר בכמהו שני פעמים והכאת חצי המספר עם התוספת בכמהו שני פעמים הכהכאת המספר עם התוספת בכמהו והתוספת בכמהו
|
- For every number divided into two different parts and into two other different parts, the product of the smallest by the greatest plus the product of the difference between the [two] smaller by the difference between the [sum of the two] smaller and the whole number is equal to the product of the greatest among the [two] smaller by the smallest among the [two] greater.
|
כל מספר יחלק בשני חלקים מתחלפים ובשני חלקים אחרים מתחלפים הנה הכאת כל אחד קטן קטנים בגדול הגדולים ותוספת הכאת מותר מה שבין הקטנים במותר מה שבין הקטנים והמספר כלו כמו הכאת רב הקטנים בקטן הגדולים
|
|
- When there are two different relatively composite numbers and the smaller is repeatedly subtracted from the greater until the remainder is less than [the smaller] or the same as it, [the remainder] is the greatest common factor of the two [given] numbers.
|
כשהיו שני מספרים משותפים מתחלפים [והובדלו][103] מהגדול דמיוני הקטן עד שישאר פחות ממנו או הוא עצמו וכן נסור בסור הקטן מהגדול עד שיכלה אל מספר הנה הוא גדול משותף בין שני המספרים
|
- When we wish to find the smallest number that is counted [= divisible] by two known numbers:
|
אם רצינו למצוא קטן מספר ימנוהו שני מספרים ידועים
|
- If these numbers are prime, we multiply the one by the other and the result is the required.
|
אם היו המספרים ראשונים נכה האחד באחר ויגיע דרושנו
|
- If they are relatively composite, we take their greatest common factor, then we take the number of units by which it divides the smaller and [the number of units] by which it divides the greater, we multiply the smaller among them by the greater among the relatively composite numbers, or the greater by the smaller among the relatively composite numbers, because it is the same, and this [resulting] number is the required.
|
ואם היו משותפים נקח גדול מספר משותף ביניהם ונקח מספר האחדים שהוא מונה הקטן ושהוא[.] מונה הגדול ונכה הקטן מאלו בגדול המספרים המשותפים או הגדול בקטן המספרים המשותפים כי הכל אחד ואותו המספר הוא המבוקש
|
- When we wish to find the smallest number divisible by known numbers, as if one says: 2, 3, and 4, we take the smallest number divisible by 2 and 3, which is 6. If 6 is divisible by 2, 3, and 4, it is good, otherwise, we take the smallest number divisible by 6 and 4, which is 24 and this is the required.
|
כשנ כשנרצה למצוא קטן מספר ימנוהו מספרים ידועים כאלו יאמר ב'ג'ד' הנה נקח קטן ימנוהו מספר ב"ג ונקח ו' והוא ו' ואם היה [ו'][104] ימנוהו בג"ד טוב ואם לא נקח קטן מספר ימנוהו ו' וד' והוא כ"ד והוא הדרוש
|
- When we wish to find the smallest number that has given parts – this is clear from the previous proposition.
|
כשנרצה למצוא קטן מספר בו חלקים ידועים הנה יתבאר מפני ההקדמה שלפני זאת
|
- When we wish to find the smallest numbers in a defined proportion:
|
כשנרצה למצוא [קטני][105] מספרים על יחס מוגבל
|
- If they are primes, then they are the smallest numbers of that proportion.
|
אם היו ראשונים הנה הם קטני המספרים על אותו היחס
|
- If they are relatively composite numbers, we take the greatest number that counts them [= their greatest common divisor].
|
[ואם][106] היו משותפים הנה נקח גדול מספר ימנם
|
- If the numbers are 8, 12, 18, their greatest common divisor is 2. We take the number of units by which 2 divides 8, the number of units by which 2 divides 12, and the number by which it divides 18; you find that they are 4, 6, 9 and they are the smallest numbers in this proportion.
|
ואלו המספרים הם ח' י"ב י"ח וגדול מספר ימנם ב' ונקח מספר אחדים שימנה ב' ח' ומספר שימנה ב' י"ב וכשעור שימנה י"ח ותמצא דו"ט והם קטני המספרים על אותו היחס
|
- When we wish to find the smallest numbers in a given ratio of discontinuous terms - as 1 to 2, which is a half; 4 to 12, which is a third; 6 to 24, which is a quarter - and we want the successive terms, we take the smallest number that has a half [?].
|
[107]כשנרצה למצוא קטני המספרים על יחסים יחסים ידועים בנושאים מפורדים כמו א' אל ב' חצי ד' אל י"ב שליש ו' אל כ"ד רביע רביע ה ונבקשהו בנושאים נלוים הנק הנה נקח קטן מספר שיש לו חצי
|
- We wish to know if two numbers have a proportional [consecutive number]:
|
נרצה לידע כשהיו שני מספרים אם ימצא להם מתיחס
|
- If they are prime, then there is no third [number] proportional to them.
|
הנה אם היו ראשונים לא ימצא שלישי על יחסם
|
- If they are relatively composite numbers, we multiply the second by itself and if the first divides it, they are divisible by a third proportional consecutive number, otherwise they are not.
|
ואם היו משותפים נכה השני בעצמו ואם ימנהו הראשון הנה ימנה להם שלישי מתיחס אחריהם ואם לא לא
|
- If they are three [numbers] and we wish to know if they have a fourth [proportional consecutive number]:
|
ואם היו שלשה ונרצה לידע אם יש להם רביעי
|
- If the first and the third are relatively prime, then they do not have a fourth [proportional consecutive number].
|
הנה אם היו הראשון והשלישי ראשונים זה לזה אין להם רביעי
|
- If they are relatively composite numbers, we multiply the second by the third, if the first divides the resulting product, they have a fourth [proportional consecutive] number, otherwise they are do not.
|
ואם היו משותפים נכה השני בשני בשלישי ויצא מספר מה הנה אם ימנהו הראשון ימצא להם מספר רביעי ואם לא לא
|
Algorithm for finding pairs of amicable numbers
|
|
When we wish to find amicable numbers as many as we wish:
|
כשנרצה למצוא מספרים נאהבים כמה שנרצה
|
We assume consecutive numbers in the double ratio from one, including one. The numbers are summed [up to] the number before the last, including one, then the number before the last is added to the sum [] and the number that comes before the number before the last is subtracted from the sum []. The numbers generated from the addition and the subtraction should be prime numbers and none of them is two. If they are not prime, proceed further until the prime numbers are generated.
|
הנה נניח מספרים[108] נלוים על יחס הכפל מן האחד והאחד עמהם ויקובצו המספרים אשר קודם האחרון והאחד עמהם ונוסף על המקובץ המספר אשר קודם האחרון וחוסר מהנוסף עליו המספר אשר ילוה מה שקודם האחרון הנה יהיו המספרים המתחדשים אחר התוספת והחסרון מספרים ראשונים ואין אחד מהם שנים ואם לא יהיו ראשונים תעבור הלאה עד שיצאו המספרים הראשונים
|
The product of one of them by the other is multiplied by the number before the last. Keep the result.
|
והוכה כל אחד משניהם משוטח[109] אחד מהם באחר במספר אשר קודם האחרון ושמור מה שיצא
|
|
Add to the last the fourth number [before it], or one, if one is fourth [before] it, then multiply the sum by the last number and subtract [one] from the product. The remainder is a prime number. Multiply this prime number by the number before the last.
|
והוסף על האחרון המספר הרביעי או האחד אם היה האחד כרביעי ממנו ונה והכה מה שיתקבץ במספר האחרון וחסר מהיוצא מן ההכאה ויהיה הנשאר מספר ראשון תכה זה המספר הראשון במספר אשר קודם האחרון
|
The result of the multiplication [] and the reserved number [[]] - each of them is equal to [the sum of] all the divisors of the other.
|
הנה היוצא מן ההכאה עם המספר השמור ישוה כל אחד מהם כל חלקי[110] האחר
|
The numbers generated by this technique are called amicable numbers.
|
ואלו המספרים המתילדים מזאת התחבולה נקראו נאהבים
|
- The product of an even [number] by an even number is even.
|
הכאת זוג במספר זוג הוא זוג
|
- The product of an even [number] by an odd [number] is [even].
|
הכאת זוג בנפרד נפרד
|
- The product of an odd [number] by an odd [number] is odd.
|
הכאת נפרד בנפרד נפרד
|
Properties of square numbers
|
|
- When a square [number] is multiplied by a square [number], the result is a square and its root is the product of the root by the root.
|
כשיוכה[111] מרובע במרובע היוצא יהיה מרובע ושרשו כפל השרש על השורש
|
- The ratio of a square [number] to a square [number] is a square and the root of the result is the quotient of the root of the greater by the root of the smaller.
|
וערך מרובע אל מרובע מרובע ושורש היוצא בחלוק השורש הגדול על השורש הקטן
|
- The quarter of every square [number] [] is a square.
|
כל מרובע רביעיתו מרובע
|
- Its quadruple [] is a square.
|
וארבעה דמיוניו מרובע
|
- For every square [number], when you subtract from it its root and the number before [its root], [the result] is a square.
|
כל מרובע שתחסר ממנו השרש והמספר [..] שלפניו הוא מרובע
|
- And if you add to it its root and the number that follows [its root], [the result] is a square.
- is a square
|
ואם תוסיף בו השורש והמספר שלאחריו יהיה מרובע
|
- The difference between a square [number] and the square [number] next to it is as the sum of their two roots.
|
מרחק מרובע [112]ממרובע סמוך לו כמחובר שני השרשים
|
- For every two square [numbers] whether consecutive or not, when the root of one of them is multiplied by the [root of] the other, the result is a proportional number between these two square [numbers].
|
כל שני מרובעים סמוכים או רחוקים יוכה שורש אחד מהם באחר יגיע מספר מתיחס בין שני המרובעים ההם
|
- If you arrange the sums of the natural [numbers] in a row and add each rank to the one that follows it, the square [numbers] are generated.
|
אם תסדר החבור הטבעי בטור ותצרף כל מדרגה עם אשר אחריה יתילדו המרובעים
|
- If you sum the [natural] numbers up to a certain term, then sum them all backwards, the result is the same as the square of the number you stopped at.
|
[אם תקבץ המספרים עד גבול ותחזור לאחור ותקבץ הכל יעלה כמרובע המספר אשר עמדת בו][113]
|
- If you sum the odd numbers successively, including one, the natural square numbers are generated.
|
אם תקבץ המספרים הנפרדים כסדרם והאחד עמהם ותחברם אחד אחד יתילדו המרובעים הטבעיים
|
- As if you write in a line: 1; 3; 5; 7; 9; 11.
|
כמו שתניח בטור א' ג' ה' ז' ט' י"א
|
- The square of 1 is 1.
|
הנה א' מרובעו א'
|
- Add 3 to it; they are 4 and it is the square of 2.
|
תחבר אליו [ג'][114] יהיו ד' והוא מרובע ב'
|
- Add 5 to them; they are 9 and it is the square of 3.
|
תחבר אליהם ה' יהיו [ט'][115] והוא מרובע ג'
|
- And so on.
|
וכן תמיד
|
- If you write the natural even numbers in a row, then sum them, as we did with the odd numbers, then the natural squares plus their roots are generated.
|
אם תניח הזוגות הטבעיים בטור ותחברם כמו שעשינו בנפרדי' יתילדו המרובעים הטבעיים ושרשיהם
|
- As: 2; 4; 6; 8; 10.
|
כמו ב' ד' ו' ח' י'
|
- 2 is 1 plus its root.
|
הנה ב' א' וצלעו
|
- We add 4 to it; they are 6, which is the square of 2 plus its root.
|
נחבר אליו ד' יהיו ו' שהם מרובע ב' וצלעו
|
- Add 6 to them; they are 12, as the square of 3 plus its root.
|
תחבר אליהם [ו'][116] יהיו י"ב והוא כמרובע ג' וצלעו
|
- And so on.
|
וכן לעולם
|
Properties of cube numbers
|
|
- If you arrange the natural odd numbers in a line successively:
|
אם תסדר הנפרדי' הטבעיים בטור נסדרים
|
- The first odd number, which is 1, is the cube of 1.
|
הנה הנכנפרד הראשון והוא א' מעוקב א'
|
- The sum of the two odd numbers that follow it, which are 3 and 5, is the cube of 2.
|
וחבור שני נפרדים אחריו שהם ג' ה' יהיה מעוקב ב'
|
- The three odd numbers that follow 5, which are 7, 9, 11, form the cube of 3.
|
ושלשה נפרדים אחר ה' שהם ז' ט' י"א יולידו מעוקב ג'
|
- The four [odd numbers] that follow 11 form the fourth cube.
|
וארבעה אחר י"א יולידו המעוקב הרביעי
|
- And so on.
|
וכן תמיד
|
- If you sum the even numbers this way, the cube numbers plus their roots are generated.
|
ואם תחבר בזה הדרך הזוגות יתילדו המעוקבים[117] כסדרם וצלעותיהם
|
Sums
|
|
- If you arrange the natural numbers [in a row] and add each rank to the one that follows it, the natural odd numbers are generated
|
אם תסדר המספר הטבעי ותצרף כל מדרגה [אל][118] אשר אחריה יתילדו הנפרדים הטבעיים
|
- If you add up the cube numbers successively as you wish including one, the sum is a square and its root is the sum [of the natural numbers] up to the root of the cube you stopped at.
|
אם תחבר המעוקבים כסדרם כמו שתרצה והאחד עמהם היה המקובץ מרובע ושרשו מרובע התחבור עד שורש מעוקב שעמדת
|
- The sum of the consecutive square numbers is known when you take the sum of [the natural numbers up to] the number that is the root of the square you stopped at and keep it. Take two-thirds of the root of this square plus one-third and multiply it by the reserved. The result is the sum of the square numbers up to this number.
|
חבור המרובעים הנלוים יודע כשתקח מחובר המספר שהוא שורש לאותו המרובע שעמדת בו שמרהו וקח שני שלישי שורש אותו המרובע עם תוספת שלישית אחד ונכפלהו בשמור והעולה הוא מחובר המרובעים עד סוף אותו המספר
|
- The sum of the natural numbers is [formed by that] you multiply whichever [last] number you want to sum by half the number that follows, or by its own half plus one half, and the result is the sum.
|
חבור המספר פשוט הוא שתכפל איזה מספר שתרצה חבורו בחצי המספר הבא אחריו או בחציו וחצי אחד והעולה הוא המחובר
|
- The sum of the odd numbers alone is [formed by that] you multiply the mean number twice by itself, then add the last number to it and this is the required.
|
חבור הנפרדים לבד הוא שתכה המספר המספר האמצעי בעצמו שני פעמים ותוסיף עליו השורש והוא המבוקש
|
- The sum of the even numbers alone is [formed by that] you take half the last number and multiply it by itself, then add its root to it and this is the required.
|
חבור הזוגות לבד תקח חצי סוף החשבון ותכהו בעצמו ותוסיף עליו שרשו והוא המבוקש
|
- The sum of the natural numbers is half the square of the number we stopped at plus its root.
|
החבור הטבעי הוא חצי [מרובע][119] המספר שעמדנו בו וצלעו
|
- If you arrange the natural numbers in a row and write above each of them the sum [of the natural numbers up to it], then relate each one to its sum, you find that [the ratio of the sum to the number] exceeds [the ratio of the sum to the previous number] by half.
|
אם תסדר המספר הטבעי בטור ותשים על כל אחד חבורו ותקיש כל אחד אל חבורו תמצא כל חבור יוסיף על המספר חצי
|
|
36 |
28 |
21 |
15 |
10 |
6 |
3 |
1
|
n |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1
|
|
ל |
כח |
כא |
טו |
י |
ו |
ג |
א
|
ח |
ז |
ו |
ה |
ד |
ג |
ב |
א
|
|
- For example: you find here that 1 is the same as 1.
-
|
דמיון המשל בו שתמצא בכאן [120]א' כמו כמו א'
|
- 3 is the same as 2 plus its half.
|
וג' כמו ב' [וחציו][121]
|
- 6 is two times 3.
|
וו' שני דמיוני ג'
|
- 10 is two times 4 plus its half.
|
וי' שני דמיוני ד' וחציו
|
- 15 is three times 5.
|
וט"ו שלשה דמיוני ה'
|
- And so on it exceeds by half the ratio.
|
וכן תמיד יוסיף בחצי דמיון
|
- For every number that you divide into two parts randomly, you divide the whole by each of its parts, multiply each quotient by the other and keep [the product], then multiply each of the parts by the other and [the resulting product] by the reserved; the result is the same as the square of that number.
|
כל מספר שתחלקהו בשני חלקים איך שיהיה ותחלק כלו על כל אחד מחלקיו ותכה היוצא מכל אחד משתי החלוקות זו בזו ותשמרהו ואחר תכה אחד משני החלקים באחר ותכהו בשמור יעלה כמרובע המספר
|
- For every number that you take its third, multiply it by itself, rise it by one rank, and subtract from it the square of its third, the result is as the square of that number.
|
כל חשבון שתקח שלישיתו ותכהו בעצמו ותעלהו מדרגה אחת ותחסר ממנו מרובע השלישית יעלה כמרובע המספר
|
- If it does not have a third, but it exceeds over [a number that has a third] by one, subtract one from it and do with the remainder as we explained, then add to it the number that has a third and the [original] number itself; the result is the square of the number.
|
ואם לא היה לו שלישית אבל הוא מוסיף אחד חסר ממנו האחד ותעשה בנשאר כאשר תארנו והוסף עליו אחר כן המספר שיש לו שלישית והמספר בעצמו ויגיע מרובע המספר
|
- If it exceeds over [a number that has a third] by two, we do the opposite, that is, we add one, so that it becomes a number that has a third and proceed as [we did] at the beginning, then finally we subtract from it what we added before and the result is the required.
|
ואם תוסיף שנים על שלישית [המספר][122] נעשה בהפך וזה שנוסיף אחד ויהי' מ ויהיה מספר שלישי ונעשה כבראשונה ונחסר ממנו בסוף מה שהיינו מוסיפים ויעלה המבוקש
|
- The product of a cube [number] by a cube [number] is a cube [number] and its root is the product of the root of one of them by [the root of] the other.
|
הכאת מעוקב על מעוקב מעוקב ושרשו הכאת שורש אחד מהם בשני
|
- The quotient of a cube [number] by a cube [number] is a cube [number] and if you divide the root of the greater by the root of the smaller, you find its root.
|
חלוק מעוקב על מעוקב מעוקב ואם תחלק שורש הגדול על הקטן תמצא שרשו
|
- If you arrange the natural numbers including 1, then start multiplying the one by the second, the second by the third, the third by the fourth and so on, the numbers that are mean in ratio between the natural square numbers are generated.
|
[אם תסדר המספר הטבעי והא' עמהם ותתחיל ותכה הא' בשני והשני בג' והג' בד' וכן תמיד יתילדו המספרים שהם אמצעיים ביחס בין המרובעים הטבעיים][123]
|
- For every three proportional numbers, when you multiply the three by each other the result is a cube number, whose root is the mean number.
|
כל שלשה מספרים מתיחסים שתכה שלשתם זה בזה ותקבץ מספר מעוקב ושרשו המספר האמצעי
|
- Every cubic number is between two squares:
|
כל מעוקב יש מצדדיו שני מרובעים
|
- If you subtract one half from half the root of the cube, then multiply the remainder by the root of the cube, you find the root of the smaller square.
|
אם תחסר מחצי שרש המעוקב חצי אחד ותכה הנשאר בשורש המעוקב תמצא שורש המרובע הקטן
|
- If you add one half to half the root of the cube, then multiply it by the root of the cube, you find the root of the greater square.
|
ואם תוסיף על חצי שורש המעוקב חצי אחד ותכהו בשורש המעוקב תמצא שורש המרובע הגדול
|
|
|
- If you subtract the smaller square from the greater square, you find the cube.
|
ואם תחסר המרובע הקטן מהמרובע הגדול תמצא המעוקב
|
- You will see a very sublime wonder in this, if you arrange the natural square numbers in a line and examine the matter of this proposition in them: you find that the first cube generated by the subtraction of a square number is between two square numbers, between which there is one square, the second cube is between two squares, between which there are two squares, and the third cube is between two squares, between which there are three squares and so on, the interval [between and ] always increases by one [square number].
|
והנה תראה בזה פליאה נשגבה מאד שאם תסדר המרובעים הטבעיים בטור ותבחן [.] בהם ענין זאת ההקדמה תמצא שהמעוקב הראשון ההווה מחסרון מרובע ממנו תמצא שאותם שני שני המרובעים שזה דרכם ביניהם מרובע אחד והמעוקב השני שמצדדיו שני מרובעים הנה ביניהם שני מרובעים והמעוקב השלש בין שני מרובעים ביניהם שלשה מרובעים וכן תמיד יוסיף המרחק באחד
|
- As in this diagram:
|
כמו זאת הצורה
|
cubes |
|
|
125 |
|
|
64 |
|
27 |
|
8 |
1
|
squares |
196 |
169 |
144 |
121 |
100 |
81 |
64 |
49 |
36 |
25 |
16 |
9 |
4 |
1
|
|
|
|
קכה |
|
|
סד |
|
כז |
|
ח |
א
|
רכה |
קצו |
קסט |
קמד |
קכא |
ק |
פא |
סד |
מט |
לו |
כה |
יו |
ט |
ד |
א
|
|
- If you arrange the natural numbers including 1, then start multiplying the first by the second, the second by the third, the third by the fourth and so on, the numbers that are mean in ratio between the natural [square] numbers are generated.
|
אם תסדר המספר הטבעי והאחד עמהם ותתחיל ותכה הראשון בשני והשני בשלישי והשלישי ברביעי וכן תמיד יתילד יתילדו המספרים שהם אמצעיים ביחס בין המספרים הטבעיים
|
- If you arrange the natural numbers and write the natural even numbers beneath them successively, then add the first [natural number], which is 1, to the first even number, which is 2, the result is three, which is the first [natural] number, plus its square and its cube.
-
|
אם תסדר המספר [124]הטבעי ותשים תחתיו הזוגות הטבעיים על הסדר ותחבר הראשון הוא א' בזוג הראשון והוא ב' יעלה שלשה והוא המספר הראשון עם מרובעו ומעוקבו
|
- Add the second even number, which is 4, to the three; they are 7. Multiply it by the second [natural] number, which is 2; the result is 14, and this is the second [natural] number, plus its square and its cube.
|
תחבר אל השלשה הזוג השני והוא ד' יהיו ז' תכהו במספר השני והוא ב' יעלו י"ד והוא המספר [השני][125] עם מרובעו ומעוקבו
|
|
- Add the third even number, which is 6, to the 7; they are 13. Multiply it by the third [natural] number, which is [3]; the result is 39, and this is the third [natural] number, plus its square and its cube.
|
תוסיף על הז' הזוג השלישי והוא ו' יהיו י"ג תכהו במספר השלישי שהוא י"ג יעלו ל"ט והוא המספר השלישי עם מרובעו ומעוקבו וכן לעולם
|
|
The squares and cubes of the units and their analogous
|
|
Now we conclude this part by explaining a wonderful property of the numbers, which is that the squares of the nine numbers that are in the first rank are found in two ranks, i.e. the units and the tens:
|
ונחתום עתה זה החלק בביאור סגלה נפלאה מהמספר והוא שמרובעי המספרים התשעה שהם במדרגה הראשונה הם נשלמים בשתי מדרגות ר"ל האחדים והעשרות
|
In the units [the squares of] only three numbers are found, which are 1, 2, 3, whose squares are 1, 4, 9.
|
וזה שבאחדים[126] לא ימצאו רק משלשה מספרי מספרים והם אב"ג שמרובעיהם אד"ט
|
The [squares of the] rest are found in the [rank of] tens.
|
והנשארים ישלמו בעשרות
|
Since the first rank is the beginning and the foundation of all the generated numbers, the squares of [the numbers in it] are analogous to the [squares] of all subsequent ranks endlessly.
|
ולפי שהמדרגה הראשונה התחלה ויסוד לכל המספרים המתחדשים היו מרובעיה דוגמא ומשל לכל המדרגות שאחריה לאין תכלית
|
As the squares of the units in the first rank are found in the two ranks, which are the units and the tens, the third [rank] is analogous to the first [rank], the fourth to the second, the fifth to the first, the sixth to the second, and so on, the odd ranks are analogous to the first [rank] and the even [ranks] to the second [rank].
|
ולפי ולפי שמרובעי אחדי המדרגה הראשונה לוקחים משתי המדרגות שהם אחדים עשרות תחזור השלישית אל הראשונה והרביעית לשנית והחמשית לראשונה והששית לשנית וכן תמיד המדרגות הנפרדות מהראשונה והזוגות מהשנית
|
This is the explanation:
|
וזה לך הפירוש הפ הפ הפירוש
|
- In the first rank: 1, 4, 9 are the squares.
|
במדרגה הראשונה אד"ט מרובעים
|
- In the third [rank]: one hundred, 4 hundred, 9 hundred are also squares and their roots are analogous to their roots, but they are one rank [higher], because the roots of 1, 4, 9 are 1, 2, 3, and the roots of these are ten, twenty, thirty.
|
ובשלישית מאה ד' מאות ט' מאות גם כן מרובעים ושרשיהם דמיון שרשיהם אלא שית שיפלו מדרגה אחת כי שרשי אד"ט אב"ג ושרשי אלו יהיו עשרה עשרים שלשים
|
- There are no squares of tens in the third rank except these, as there are none in the units except 1, 4, 9.
|
ואין במדרגה השלישית מרובעים ראשי כללים רק אלה כאשר אין באחדים רק אד"ט
|
- The squares of the other [units] are 16, 25, 36 etc.
|
ושלמות מרובעי שאר המספרים הטבעיים הם י"ו כ"ה ל"ו וכו'
|
- In the fourth rank: one thousand and 600, two thousand and 500, 3 thousand and 600 etc. and their roots are analogous to the roots of the units, but they are one rank higher, so they are forty, fifty, sixty etc.
|
וכן במדרגה הרביעית אלף ות"ר אלפים ות"ק ג' אלפים ות"ר ות"ר וכו' ושרשיהם דמיוני שרשי מרובעי האחדים אלא שיעלו מדרגה אחת ויהיו ארבעים חמשים ששים וכו'
|
This is maintained by the order of all ranks endlessly.
|
וזה שומר סדר בכל המדרגות עד אין סוף
|
Know that just as there are analogous in the squares, so there are in cubes.
|
ודע שכמו שיש נמשלים במרובעים כן יש במעוקבים
|
The squares of the nine [units] are completed in two ranks, i.e. in the units and the tens, therefore they go over two [ranks] after two [ranks] endlessly.
|
ומרובעי תשעת המספרים ישלמו בשתי מדרגות ר"ל באחדים והעשרות ולזה ידלגו משתים לשתים עד אין תכלית
|
Whereas the cubes have a wonderful property: since the squares have two dimensions, their analogous are completed in two ranks, but, since the cubes have three dimensions, their analogous are completed in three ranks, so they go over three ranks after three ranks endlessly, while their squares go over two after two.
|
ואמנם המעוקבים הפליא בם הטבע ול וזה לפי שהמרובע הוא משני מרחקים [ישלמו נמשליו בשתי מדרגות ולפי שהמעוקב הוא בעל ג' רחקים][127] ישלמו נמשליו בשלשה מדרגות וידלגו אחר כן משלש לשלש מדרגות עד לאין תכלית כאשר היה דולג במרובעם משנים לשנים
|
- One is the cube of one and its root is one.
|
וזה שהאחד מעוקב אחד ושרשו אחד
|
- One thousand, which is the fourth [rank] from it, is a cube and its root is ten, which is one rank higher than one.
|
כן אלף שהוא רביעי לו [128]מעוקב ושרשו אחד עש עשרה שהוא אחד ועלה מדרגה
|
- Eight thousand is a cube, which corresponds to eight and its root is twenty, which corresponds to two.
|
וכן שמנת אלפים מעוקב שהוא כנגד שמנה ושרשו עשרים שהוא כנגד שנים
|
- From there on, keep the order we noted to you.
|
ומשם והלאה תשמור הסדר שזכרנו לך
|
This is a profound proof that the numbers are nine alone.
|
ומכאן ראיה חזקה שהמספרים תשעה לבד
|
Observe this.
|
והתבונן בו
|
Epilogue of the surviving section
|
|
As the numerical properties are endless and therefore further emphasizing concerning them is a waste of time, what is brought is enough for us now, for our intention and according to what was ordered upon us by the great king [again could be a reference to king Robert of Anjou], our lord, may he live and last for long in quiet and safe
|
ולפי שבסגולות המספריות כמעט שאין להם תכלית ולזה ההפלגה בם אבוד הזמן די לנו עתה במה שהבאנו לפי כונתנו ומה שנצטוינו מאת המלך הגדול אדונינו שיחיה ויאריך ימים בכבוד ובהשקט ובטחה
|
Furthermore, we do not want to attach to this a technical section on actualization of calculations and questions, as much was written about it by all nations due to their need of it in their social affairs, hence it was agreed to conclude here our talk on this first section
|
ולזה לא רצינו לחבר[129] אל זה חלק מלאכותי בהוצאת החשבונות והשאלות לפי שחובר על זה הרבה אצל כל האומות לצרכם אליו בעניניהם המדיניים ולזה הסכמנו שיהיה בכאן סוף דברינו בזה החלק הראשון
|
colophon of MS Kepah 36
|
נשלמה העתקת ספרי הראב"ע ז"ל באלול הרמ"ג בקצ"ד לשטרי הצעיר יחיא בן סלי' אלקאפח יצ"ו
|