Book One
Part One: Addition & Subtraction
|
|
Chapter One of The First Part of The First Book: Introduction
|
הפרק הראשון מהחלק הראשון מהספר הראשון
|
| We should inform why we precede [the discussion on] the addition of a number to a number before the rest of the operations.
|
ראוי שנודיע למה הקדמנו קבוץ מספר על מספר משאר החלקים
|
| I say that it is because it is simpler than them and it precedes them by nature, since it is simpler than them, as each of them consists of it and of the property that is specific for it; and for any thing that is composed of a thing, the thing of which it is composed is simpler than the one that is composed.
|
ואומר לפי שהוא יותר פשוט מהם וקודם בטבע מהם אם היותו יותר פשוט מהם להיות שכל אחד מהם מורכב מזה ומהענין המיוחד לו והדבר אשר יורכב מדבר הדבר אשר יורכב ממנו הוא יותר פשוט מהמורכב ההוא
|
| I say that [each operation] consists of it, I mean, of one of its two categories or of both together.
|
[ואומר][8] שכל אחד מורכב מזה ארצה מאחד משני חלקיו או משניהם יחד
|
| Because it is divided into two types:
|
כי זה יחלק לשני מינים
|
- Either the sum does not differ from the rank of its addends: one up to nine times; two up to four times; three up to three times; and if it consists of them it is according to its specific calculation.
|
אם שיהיה הקבוץ הזה בלתי משתנה ממדרגת נקבציו וזה באחד עד תשעה פעמים ובשנים עד ארבעה פעמים ובשלשה עד שלשה פעמים ואם יורכב מאלה [יהיה][9] לפי חשבונו המיוחד לו
|
- Or the sum differs from the rank of its addends and this is divided into two categories:
|
או שיהיה הקבוץ הזה משתנה ממדרגת נקבציו וזה ישתנה ויחלק לשני חלקים
|
- Either it differs from the rank of its addends and there is no digit in that rank at all.
|
אם שישתנה ממדרגת נקבציו ולא יהיה שם רושם כלל מהמדרגה ההיא
|
- Or it differs, but a digit remains there also in the rank of its addends.
|
או שישתנה וישאר גם רושם מדרגת נקבציו שם
|
| Therefore it precedes those that consist of it.
|
ולכן הוא קודם מהמורכבים ממנו
|
| One cannot say that because it is simple, it should follow the composite, according to the Aristotle's explanation at the beginning of the Physics that the general should precede the special, for three reasons:
|
ואין לאומר שיאמר כי להיותו פשוט ראוי לאחרו מן המורכב ממה שבאר ארסטו בתחלת ספר השמע שראוי להקדים הכולל מהמיוחד לשלש סבות
|
- The first: that the general is better known than the special, and one should proceed from the better known to the more hidden.
|
האחת שהכולל יותר ידוע מהמיוחד וראוי ללכת מהיותר ידוע אל היותר מוסכל
|
- The second: that we should not repeat the discussion many times.
|
והשנית שלא נשיב המאמר האחד פעמים הרבה
|
- The third is that the presuppositions are special, for the general whose definition is superior to the special is correct, as the definition of species is superior to its items and also the number is superior to its parts.
|
והשלישית שתהיינה ההקדמות מיוחדות כי יצדק הכולל שגדרו נשוא על המיוחד כאשר ינשא גדר המין על אישיו וכן המספר נשוא על חלקיו
|
| But, the definition of ten from the aspect of its being a ten, is not superior to any other number, not to nine and not to any other.
|
אולם גדר העשרה מצד מה שהם עשרה לא ינשאו על מספר אחר לא על [10]תשעה ולא על זולתו
|
| Therefore, the special should precede the general, because the general is known from its summing.
|
ולכן בכזה ראוי להקדים המיוחד על הכולל כי מקבוצו יודע הכולל
|
| It precedes them by nature, since when it is conceived they are conceived also, but not vice versa, and when they are found it is found also.
|
ואם היותו קודם בטבע מהם מפני [שכאשר][11] נעלה הוא יעלו גם הם ולא יתהפך וכשימצאו הם ימצא גם הוא
|
| For these reasons, it should precede them.
|
ומפני אלו הסבות היה ראוי להקדימו מהם
|
| We should note first that all the numbers are included in nine.
|
וראוי שנקדים להזכיר קודם שכל המספרים נכללים בתשעה
|
| Since from one to nine the units are completed; and as you arrive to the ten you have reached one tithe [= one unit of the rank of tens], until you complete the tens when arriving to ninety; again from a hundred you start with a unit [of the rank of hundreds] and when arriving to nine hundreds you have completed the hundreds; until you start once more from a thousand as a unit [of the rank of thousands]; and so on endlessly.
|
כי מאחד עד תשעה ישלמו האחדים ובהגיעך אל העשרה הגעת אל עשירית אחת עד שתשלים [כל][12] העשרות בהגיעך עד תשעים עוד ממאה התחלת באחד ובהגיעך אל תשע מאות השלמת כל המאות עד שתתחיל עוד מאלף אחד וכן ללא תכלית
|
| Be it by nature, as many have thought, or by free choice, as we think, now it is not the time to decide on that, for this is not our intention
|
ולהיות זה בטבע כאשר חשבו רבים או בבחירה כאשר נחשב אנחנו אין עת [להכריע][13] עתה בזה כי אינו מכונתינו
|
| Therefore the people of India have applied nine letters as being indicators of nine numbers; and the diversity of their ranks indicates the diversity of the ranks of ninths, as we will explain.
|
ולכן תקנו אנשי הודו תשעה אותיות להיותן מורין על תשעה מספרים והתחלפות מדרגותם יורו על התחלפות מדרגות התשיעיות כאשר נבאר
|
| These are their shapes:
|
וזה צורתם
|
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
| They were not satisfied with the letters of the alphabet, as each of them has a special accepted shape, which is not so for those letters, since they are devoid of all attributes, shared by every shape applied on them, they are as the form of the prime matter, and their positional rank is the same as their shape [= that is to say, their shape does not change when placed in different ranks].
|
ולא הסתפקו עם אותיות האלפבית כי לכל אחד מהם צורה מיוחדת הנחיית מה שאין כן לאלו האותיות כי הן מופשטו' מכל הנחה ומשותפות לכל צורה שתחול עליהן והן כדמות ההיולי הראשון ומדרגת הנחתן היה כמו הצורה להן
|
| So every person can create other letters different than those.
|
וכן יוכל האדם לחדש אותיות אחרות זולת אלה
|
| By saying letters I do not mean the letters of the alphabet, but signs devoid of any numerical [value] as these, although all arithmeticians already tend to use these.
|
ואמרי אותיות לא ארצה מן אותיות האלפביתא אבל סימנים מופשטים מכל חשבון כאלה אבל כבר נהגו כל בעלי החשבון להשתמש באלה
|
Chapter Two: Addition
|
הפרק השני
|
| It should be noted that the numbers, which are from one to nine, are called "units"; and from the tens onwards they called "kelalim" [i.e. products of ten], namely the tens, hundreds, thousands, tens of thousands and the rest.
|
ראוי להודיע כי המספרים אשר הם מאחד עד תשעה יקראו פרטים ומן העשרות ומעלה יקראו כללים ר"ל העשרות והמאות והאלפים והרבבות והשאר
|
| Though they are called by the name "kelal", their rank is not one; there is only one kelal which includes another kelal and so on until reaching the units.
|
ואע"פ שיקראו בשם הכלל אבל אין מדרגתם אחת רק יש כלל כולל כלל אחד וכן זה אחד עד שיגיע אל האחדות
|
| Therefore, the arithmeticians should write the ranks of their number orderly by writing the most inclusive kelal first and after it the lower kelal and so on successively until reaching the units.
|
לכן ראוי לבעלי החשבון לכתוב [מדרגות][14] חשבונם כסדר שיכתבו הכלל היותר כולל ראשונה ואחריו הכלל השפל ממנו וכן על הסדר עד שיגיעו אל האחדים
|
| When they turn to write another number beneath them, they should keep this order and write each kelal under its corresponding, i.e. the tens of thousands under the tens of thousands, the thousands under the thousands, the hundreds under the hunderds, and the units under the units.
|
עוד כשיבאו לכתוב מספר אחר תחת אלה שישמרו הסדר הזה ויכתבו כל כלל תחת הדומה לו ר"ל הרבבה תחת הרבבה והאלף תחת האלפים והמאה תחת המאות והאחדים תחת האחדים
|
| So, we call the units "first rank", the tens "second rank", the hundreds "third rank", the thousands "furth rank" and so on endlessly.
|
ונקרא א"כ האחדים מדרגה ראשונה והעשרות מדרגה שניה והמאות מדרגה שלישית והאלפים מדרגה רביעית וכן ללא תכלית
|
| If you have a number that is not arranged in all its ranks, as when you have thousands, tens, and units, yet the hundreds are missing there. Be careful not to write the tens next to the thousand, but write the thousands and in the place of the hundreds write a zero [lit. circle], 0, called in Arabic "sifra", in Greek "oudến" and in foreign language "nulla"; meaning that here is the place of the hundreds and there is nothing there.
|
ואם יהיה בידך מספר שאינו מסודר בכל מדרגותיו כגון שהיו בידך אלפים ועשרות ואחדים והנה המאות הם חסרים משם השמר לך שלא תכתוב העשרות בצד האלפים אבל תכתוב האלפים ובמקום המאות תכתוב גלגל א' 0 הנקרא בלשון [15]ישמעאל סיפרא ובלשון יון אודין ובלשון לעז נולא כלומר כי בכאן הוא מקום המאות ואין שם דבר
|
| After the zero, write the tens in their place, and by that the ranks will be together one after the other in a straight line.
|
ואחר הגלגל תכתוב העשרות במקומו ובזה יהיו המדרגות כל אחת עם חברתה על קו ישר
|
| When you want to sum up the lines making them one number, always begin from the units and go down in a straight line to the units below them in all the lines.
|
וכשתרצה לקבץ כל הטורים לעשות אותם סך אחד תעשה ותתחיל מן האחדים לעולם ותרד על קו ישר באחדים אשר תחתיהם בכל הטורים
|
| If they do not reach ten, write what you find beneath all, corresponding to the units below.
|
ואם לא יעלו עד עשר כתוב מה שתמצא תחת הכל כנגד האחדים למטה
|
| If they are more than ten, write in the [rank of] tens a dot for each ten, i.e. as the number of tens, so is the [number of] dots you write, and write what remains that does not reach ten beneath the units.
|
ואם יעלו יותר מעשר בכל עשירית ועשירית כתוב נקדה אחת בעשרות ר"ל כמספר העשרות יהיו הנקדות שתכתוב והנשארים אשר לא הגיעו לכלל עשר כתוב אותם תחת האחדים
|
| Go down the rank of tens also and sum them up together with the dots you wrote.
|
עוד תרד במדרגת העשרות ועם הנקדות שכתבת וקבצם
|
| Proceed according to the rule that if you do not get ten, write what you find beneath the tens; if you get tens, write dots in the [rank of] hundreds as the number of the resulting tens, and write what remains that does not reach ten beneath the rank of tens.
|
ותעשה כמשפט הזה כי אם לא תגיע לעשר כתוב מה שתמצא תחת העשרות ואם הגעת לעשרות ככמות העשרות שעלו תעשה נקדות במאות והשאר אשר לא הגיעו לעשרות כתבם תחת מדרגת העשרות
|
| And so on endlessly.
|
וכן אל בלתי תכלית
|
|
|
ואם כן יהיה הסך למטה בכל אחת מהמדרגות פחות מעשר והנמצאים בסך במדרגת האחדים הם אחדים ובמדרגת העשרות הם עשרות וכן בכל מדרגה כפי מדרגתה
|
|
|
ואם היו הטורים אשר רצית לעשות אותם סך הרבה מאד תחלקם לשלשה חלקים או לארבעה או לפחות או ליתר לפי רוב הטורים ומיעוטם ותעשה סך לכל חלק וחלק בפני עצמו כאשר הראית אחר כן תחבר סכי כל החלקים ותעשה אותם סך כזה המשפט בעצמו והמקובץ יהיה סך כל החלקים יחד
|
| This is the type of addition called sum:
|
וזאת צורת הקבוץ הנקרא סך
|
- We wish to sum one thousand two hundred and fifteen with two thousand three hundred and twenty-two.
|
רצינו לקבץ אלף ומאתים וחמש עשרה ואלפים ושלש מאות ועשרים ושנים
|
|
|
כתבנו אותם סך כך
|
|
|
|
|
|
אחר חברנו אותם והיה קבוצם למטה שבע אחדים ושלש עשרות וחמש מאות ושלשת אלפים וידענו שהם שלשת אלפים וחמש מאות ושלשים ושבעה
|
|
|
ואלה המספרים בסכום היורד לא הגיעו לכלל עשר בשום מדרגה
|
|
|
ונצייר עוד צורה אחרת המגעת במדרגותיה לכלל העשרות והיא שנחבר עוד תחת אלה השני טורים שני טורים אחרים האחד תשעת אלפי' ושש מאות וחמשים ושבעה והשנית שמנת אלפים וחמש מאות וששים ושלש וזאת היא הצורה
|
|
|
| |
1 |
2 |
1 |
5
|
| |
2 |
3 |
2 |
2
|
| |
9 |
6 |
5 |
7
|
| |
8 |
5 |
6 |
3
|
| 2 |
1 |
7 |
5 |
7
|
|
|
|
|
קבצנו אותם ויצא הסך למטה שבעה אחדים וחמש עשרות ושבע מאות ואלף אחת ושתי רבבות
|
|
|
והנה קבוץ האחדים כאשר תרד במדרגותם על קו היושר תמצאם שבעה עשר הוצאנו העשרה מהם וכתבנו נקדה אחת במדרגת העשרות ונשארו שבעה וכתבנו אותם תחת האחדים
|
|
|
עוד כאשר קבצנו מדרגת העשרות על קו היורד ביושר עם הנקדה שכתבנו [16]שם בעד העשירית שהוצאנו מהאחדים מצאנום חמש עשרה הוצאנו עוד העשרה מהם וכתבנו נקדה בעבורם במדרגת המאות והחמשה הנשארים כתבנום למטה במדרגתן של העשרות וכן כשקבצנו המאות בירידתנו על קו היושר יחד עם הנקדה שכתבנו כנגד העשירית שהוצאנו מהעשרות מצאנום שבעה עשר הוצאנו מהם העשרה וכתבנו בעדם נקדה במדרגת האלפים והשבעה הנשארים כתבנו אותם במדרגת המאות
|
|
|
וכן כשקבצנו את האלפים בירידתנו על קו היושר עם הנקדה שכתבנו עמם בעד העשירית שהוצאנו מהמאות מצאנו אותם עשרים ואחד הוצאנו העשרים שהם ב' עשרות וכתבנו בעבורם שתי נקדות במדרגת הרבבות והאחד הנשאר כתבנוהו תחת האלפים וידענו מזה שהם שתי רבבות ואלף אחד ושבע מאות וחמשים ושבעה
|
|
|
מאזנים לדעת אם הסכום שלך אפשר להיותו אמת על דרך התשעה תחשוב כל המדרגו' כאלו הם אחדים ותקבצם ותשליכם תשעה תשעה ומה שישאר שמרהו ואם לא ישאר דבר תחשוב בלבך סיפרא
|
|
|
עוד קבץ מדרגות הסך גם הוא כאלו הם אחדים והשליכם ט' ט' ואם ישארו בידך ההשארות כראשון אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לא ישארו כראשונים דע בודאי שטעית ותחזור ותחשוב בטוב
|
|
|
מאזנים אחרים על דרך השבעה תחשוב כל המדרגות כאשר הם ר"ל האלפים אלפים והמאות מאות והעשרות עשרות והאחדים אחדים לא שתחשבם כאלו הם אחדים כאשר עשית בדרך התשעה ואחר שתחשבם השליכם ז' ז' והשאר שמרהו ואם לא ישאר דבר שמור שמור בלבך סיפרא
|
|
|
אחר תבא אל מדרגות הסך ותתחיל מהכלל היותר גדול עם מה שבצדו ותחשוב כאלו הכלל הם עשרות ומה שבצדו אחדים והשליכם ז' ז' ומה שישאר תחשבהו עשרות וחברהו עם מה שבצדו ותחשוב מה שבצדו לאחדים והשליכם ז' ז' וכן תעשה עד שתגיע אל האחדים וכשתגיע אליהם והשלכתם ז' ז' ראה הנותר ואם הוא שוה עם מה ששמרת אפשר שחשבונך יהיה אמתי ואם הוא בלתי שוה דע בודאי שטעית ותחזור ותחשוב בטוב
|
|
|
וכן אם חלקת הטורים לחלקים מצד רבויים כאשר הזכרתי ועשית הסך חלקים חלקים תעשה גם המאזנים [שלהם][17] ככה אחר חבר גם המאזנים ככה כמו שתחבר הסכום על הדרך אשר ידעת
|
Part Two: Multiplication
|
החלק השני מהספר הראשון
|
The First Chapter: To Multiply a Number by a Number
|
הפרק הראשון לכפול מספר על מספר
|
| Whoever wants to multiply a number by a number should memorize this table, because by that he can multiply quickly a certain number by a certain number from 1 to 9.
|
הרוצה לכפול מספר על מספר ראוי שיהיה הלוח הזה שגור בפיו כי בזה יהיה זריז לכפול מספר פלוני על מספר פלוני מא' עד ט'
|
| If the numbers he wants to multiply by [each other] are each of one rank, or whichever rank they are, he takes for each their analogous in the rank of units, multiply one by the other as if they are units and see the result.
|
ואם יהיה המספר אשר ירצה לכפול על מספר אחר כל אחד ממדרגה אחת או מאיזו מדרגה שיורה יקח דמיון לכל אחד ממדרגת האחדים ויכפול זה על זה כאלו הם אחדים ויראה העולה
|
| Then, he takes for each the value of its rank: if the one is of the tens and the other is of the hundreds, we take two for the tens and three for the hundreds. We sum them; it is five.
|
ואח"כ יקח לכל האחד מספר במדרגתו שאם היה האחד עשרות והאחר מאות נקח בעד העשרות שנים ובעד המאות שלשה ונחברם ויהיו חמשה
|
| We always subtract one and the remainder indicates for us of what rank [the product] is.
|
אח"כ נשליך לעולם אחד והשאר יורה לנו העולה מאיזה מדרגה הוא
|
- Example: we wish to multiply eighty by five hundred.
|
דמיון זה רצינו לכפול שמנים על חמש מאות
|
- We take their analogous in the rank of units: eight for the eighty and five for the five hundred.
|
לקחנו דמיונם מהאחדים בעד השמני' שמנה ובעד החמש מאות חמשה
|
- We multiply five by eight; we get forty.
|
וכפלנו חמשה על שמנה ויצא לנו הסכום ארבעים
|
- We take also three for the hundreds and two for the eighty, because they are in the second rank; we sum them up; it is five. We subtract one; four remains and this four is the rank of thousands.
|
עוד לקחנו בעד המאות שלשה ובעד השמנים שנים כי הם מהמדרגה השנית חברנום ונהיו חמשה השלכנו אחד ונשארו ארבעה ואלה הארבעה הם מדרגת האלפים
|
- We know from this that the forty resulting when we multiply eighty by five hundred is forty thousand.
|
וידענו מזה שהארבעים אשר יצאו כשכפלנו השמנים על החמש מאות הם ארבעים אלף
|
| Yet, if you want to multiply two digits by two digits, we should write each of them in its rank and multiply them four times, each one of the bottom line by each one of the upper line.
|
אולם כשתרצה לכפול שני מספרים על שני מספרים צריך שנכתוב אותן כל אחד במדרגתו ושנכפול אותן ארבעה פעמים כל אחד מהטור שלמטה עם כל אחד מהטור שלמעלה
|
| We write the given number in the first line and the number, by which we want to multiply it, in the bottom line.
|
ונכתוב המספר המונח בטור הראשון והמספר אשר נרצה לכפול עליו בטור התחתון
|
| We start multiplying the units of the bottom [line] by the units of the upper [line].
|
ונתחיל לכפול אחדי התחתון על אחדי העליון
|
| We write the result beneath in the rank of units, if it does not reach tens.
|
וההוה נכתוב אותו למטה במדרגת האחדים וזה אם לא הגיע לעשרות
|
| But, if it reaches tens, we take out the tens and keep them. We write the remaining that does not reach ten in the rank of units.
|
אבל אם הגיע לעשרות נוציא העשרות מהם ונשמרם והנשארים אשר לא הגיעו לכלל העשרה נכתוב במדרגת האחדים
|
| We also multiply the units below by the rank of tens above.
|
עוד נכפול האחדים שלמטה עם מדרגת העשרות שלמעלה
|
| We add the number of tens we kept to the units of this product, because although they are tens, the result is as if they are tens and units, for we multiply everything as units.
|
ואשר יהיה נחבר גם מספר העשרות ששמרנו עם אחדי זה הכפל כי אע"פ שהם עשרות אבל מה שיצא מהם יהיה כאלו הם עשרות ואחדים כי על דמיון האחדים אנו כופלים הכל
|
| We write the units resulting from this multiplication in the rank of tens and we write the tens in the third rank.
|
והאחדים אשר יתקבצו מזה הכפל נכתבם במדרגת העשרות והעשרות אם יהיו נכתבם במדרגה השלישית
|
| Then, we look at the result and this is the product of this number.
|
אחר נראה העולה והוא חשבון כפל המספר ההוא
|
- Example: we wish to multiply twenty-five by forty-three.
|
דמיון רצינו לכפול עשרים וחמשה על ארבעים ושלשה
|
|
|
כזה
|
| |
|
2 |
5
|
| |
|
4 |
3
|
| |
2 |
1 |
5
|
| |
8 |
6 |
|
| 1 |
0 |
7 |
5
|
|
|
|
- We multiply 5 by 3; it is 15.
|
כפלנו הה' על הג' ונהיו ט"ו
|
- We subtract the ten and keep it; 5 remains. We write it in the rank of units.
|
גרענו העשירית ושמרנוה נשארו ה' וכתבנום במדרגת האחדים
|
- We multiply 5 by 4; it is twenty.
|
עוד כפלנו הה' על הד' ונהיו עשרים
|
- Since no units were received, we write the ten we kept alone in the place of the tens and we write the twenty in the third rank.
|
ומפני שלא יצאו מזה אחדים כתבנו העשירית האחת לבד ששמרנו במקום העשרות והעשרים כתבנום במדרגה השלישית
|
- We multiply 2 by 3; it is six.
|
עוד כפלנו הב' על הג' ונהיו ששה
|
- Since no units were received here also, we write zero in the place of the units and we write the six in the place of the tens.
|
ומפני שלא יצאו גם בכאן אחדים כתבנו במקום האחדים סיפרא והששה כתבנום במקום העשרות
|
- We multiply twenty by forty; it is eight hundred.
|
עוד כפלנו העשרים על הארבעי' ונהיו שמנה מאות
|
- We write it in the third rank, because each of the multiplicands is in the second rank and when subtracting one, three remains.
|
וכתבנום במדרגה השלישית כי כל אחד מהכפולים היו ממדרגה שנית ובהשלכת האחד נשארו שלשה
|
- Then, we sum them up and it is one thousand and seventy-five.
|
אחר כן קבצנום ונהיו אלף ושבעים וחמשה
|
| If we want to multiply three digits by three digits, we should multiply them nine times by this order.
|
ואם נרצה לכפול שלשה מספרים על שלשה מספרים אז ראוי שנכפלם תשעה פעמים בזה הסדר
|
- Example: we wish to multiply three hundred forty-eight by two hundred thirty-five.
|
דמיון רצינו לכפול שלש מאות וארבעים ושמנה על מאתים ושלשים וחמשה
|
- We write them according to this diagram:
|
כתבנו אותם בצורה הזאת
|
| |
|
3 |
4 |
8
|
| |
|
2 |
3 |
5
|
| |
1 |
8 |
8 |
0
|
| |
9 |
4 |
0 |
|
| 7 |
0 |
5 |
|
|
| 8 |
1 |
7 |
8 |
0
|
|
|
|
- We multiply 8 by 5; it is forty.
|
כפלנו הח' על הה' ונהיו ארבעים
|
- Since there are no units here, we write a zero in the rank of units and keep the four tens.
|
ומפני שאין כאן אחדים כתבנו סיפרא במדרגת האחדים ושמרנו העשרות הארבעה
|
- We multiply 3 by 8; it is 24.
|
עוד כפלנו הג' על הח' ונהיו כ"ד
|
- We keep the two tens and sum the four that are their units with the four we kept; it is eight. We write it in the rank of tens.
|
שמרנו שתי עשרות ועם הארבעה שהם אחדיו חברנו הארבעה אשר שמרנו ונהיו שמנה וכתבנום במדרגת העשרות
|
- We multiply 2 by 8; it is 16.
|
עוד כפלנו הב' על הח' ונהיו י"ו
|
- We keep the ten and sum the two tens we kept with its units that are six; it is 8. We write it in the rank of hundreds and we write the ten we kept in the rank of thousands.
|
שמרנו העשירית האחת וחברנו עם אחדיו שהם הששה את השתי עשרות שהיו שמורות לנו ונהיו ח' וכתבנום במדרגת המאות והעשירית האחת אשר שמרנו עתה כתבנוה במדרגת האלפים
|
- We have already multiplied 8 by each of the three digits in the first line.
|
הנה כבר כפלנו הח' על כל אחד ואחד מהמספרים שבטור הראשון השלשה
|
- We multiply 4 by each of them:
|
עוד שבנו לכפול הד' עם כל אחד ואחד מהם
|
- We multiply it first by 5; it is twenty.
|
וכפלנוה תחלה עם הה' ונהיו עשרים
|
- Since no units were received, we write zero in the rank of tens, which is the rank of its units, because the numbers we multiply are of the first and second ranks; and we keep the twenty that are two tens.
|
ומפני שלא יצאו אחדים כתבנו ספרא במדרגת העשרות שהיא מדרגת אחדיו כי המספרים שכפלנו הם ממדרגה הראשונה והשנית והעשרים שהם שני עשרות שמרנום
|
- We multiply 4 by 3; it is 12.
|
עוד כפלנו הד' עם הג' ונהיו י"ב
|
- We keep the ten and sum the two tens we kept with the two that are its units; it is 4. We write it in the rank of hundreds, because the numbers we multiply are of the second rank.
|
שמרנו העשירית האחת וחברנו עם השנים שהם אחדיו השני עשרות שהיו שמורות לנו ונהיו ד' כתבנום במדרגת המאות לפי שהמספרים שכפלנו הם במדרגה השניה
|
- We multiply four by 2; it is 8.
|
עוד כפלנו הארבעה עם הב' ונהיו ח'
|
- We add also the ten we kept to it; it is 9. We write it in the rank of thousands, because the numbers we multiply are of the second and third ranks.
|
חברנו גם העשירית השמורה לנו עמם ונהיו ט' כתבנום במדרגת האלפים לפי שהמספרים אשר כפלנו היו ממדרגה השנית והשלישית
|
- We have already multiplied the 4 in the bottom line by each of the three digits in the upper line.
|
הנה כבר כפלנו גם הד' שבטור השפל עם כל אחד ואחד מהשלש מספרים שבטור העליון
|
- We multiply 3 by each of the three upper digits:
|
עוד נשוב לכפול הג' עם כל אחד ואחד מן שלשת המספרים העליונים
|
- We multiply it by 5; it is 15.
|
כפלנו אותו עם ה' והיה ט"ו
|
- We take out the ten and keep it. We write the 5 beneath in the rank of hundreds, because the ranks of these two numbers are the first and the third.
|
הוצאנו העשירית ושמרנוה והה' כתבנום למטה במדרגת המאות כי שני המספרים האלה מדרגותם הם הראשונה והשלישית
|
- We multiply it also by 3; it is 9.
|
עוד כפלנו אותם עם ג' ונהיו ט'
|
- We add also the reserved ten; it is 10. There are no units there, so we write zero in the rank of thousands and keep the ten.
|
חברנו גם העשירית השמורה ונהיו י' ולא היו לשם אחדים ולכן כתבנו במדרגת האלפים ספרא והעשירית אנו שומרים אותה
|
- We multiply it also by two; it is 6.
|
עוד הכינו אותם עם שנים ונהיו ו'
|
- We add also the reserved ten to it; it is 7. We write it in the rank of tens of thousands, because these two numbers are in the third rank.
|
חברנו גם העשירית השמורה עמם ונהיו ז' וכתבנום במדרגת הרבבות כי שני המספרים האלה הם במדרגה השלישית
|
- Then, we sum up the three amounts according to the rule; it is 81 thousand, seven hundred and eighty.
|
אחרי כן קבצנו שלשה הסכום כמשפט ונהיו פ"א אלף ושבע מאות ושמנים
|
- Another example of a number that has a zero:
|
דמיון אחר במספר שיש לו ספרא
|
- We wish to multiply a hundred and five by two hundred and twenty-four.
|
רצינו לכפול מאה וחמשה על מאתים ועשרים וארבעה
|
- We write them according to this diagram:
|
כתבנו אותם ככה בזאת הצורה
|
| |
|
2 |
2 |
4
|
| |
|
1 |
0 |
5
|
| |
1 |
1 |
2 |
0
|
| |
0 |
0 |
0 |
|
| 2 |
2 |
4 |
|
|
| 2 |
3 |
5 |
2 |
0
|
|
|
| |
|
ב |
ב |
ד
|
| |
|
א |
0 |
ה
|
| |
א |
א |
ב |
0
|
| |
0 |
0 |
0 |
|
| ב |
ב |
ד |
|
|
| ב |
ג |
ה |
ב |
0
|
|
|
- We multiply 5 by 4; it is 20.
|
כפלנו הה' על הד' ונהיו כ'
|
- Since there are no units here, we write a zero in the rank of units and keep the two tens.
|
ומפני שאין שם אחדים כתבנו סיפרא במדרגת האחדים והשתי עשרות שמרנום
|
- We multiply 5 by 2; it is 10.
|
עוד כפלנו הה' עם הב' ונהיו י'
|
- Since there are no units here, we write the two reserved tens in the rank of tens and keep this ten.
|
ומפני שאין שם אחדים כתבנו הב' עשרות השמורות במדרגת העשרות וזאת העשירית שמרנוה
|
- We multiply 5 by 2; it is 10.
|
עוד כפלנו הה' עם הב' ונהיו י'
|
- Since there are no units here, we write the ten we kept beneath in the rank of hundreds and keep this ten in the rank of thousands.
|
ומפני שאין שם אחדים כתבנו למטה העשירית אשר שמרנו במדרגת המאות וזאת העשירית במדרגת האלפים
|
- We multiply again each of the upper digits by zero and write zero in the rank of tens, in the rank of hundreds, and in the rank of thousands.
|
עוד שבנו להכות כל אחד משלשה המספרים העליונים עם הסיפרא וכתבנו סיפרא במדרגת העשרות וכן במדרגת המאות וכן במדרגת האלפים
|
- We multiply 1 by 4; it is 4.
|
עוד שבנו לכפול הא' עם הד' ונהיה ד'
|
- We write it in the rank of hundreds, because the two multiplied numbers are in the first and third ranks.
|
וכתבנוהו במדרגת המאות כי שני המספרים הנכפלים היו מהמדרגה הראשונה והשלישית
|
- We multiply 1 by 2; it is 2.
|
עוד כפלנו הא' עם הב' ונהיו ב'
|
- We write it in the rank of thousands, because one of the two multiplied numbers is in the second rank and the other in the third rank.
|
וכתבנום במדרגת האלפים כי שני המספרים הכפולים היה האחד מהמדרגה השנית והאחר מהמדרגה השלישית
|
- We multiply 1 by two; it is 2.
|
עוד כפלנו הא' עם השנים ונהיו ב'
|
- We write it in the rank of tens of thousands, because each of two multiplied numbers is in the third rank.
|
וכתבנום במדרגת הרבבות כי שני המספרים הכפולים היה כל אחד מהמדרגה השלישית
|
- Then, we sum up the results; it is 23 thousand, five hundred and twenty.
|
אחר כן קבצנו העולה מהם והם כ"ג אלף וחמש מאות ועשרים
|
|
|
אמר מרדכי ראיתי להודיעך הכפל הזה בדרך אחרת נקלה מצאתיה אצל חכמי הישמעלים והוא שתעשה כל סך הנכפלים בשטה אחת מבלתי שתצטרך אל יותר מזה
|
|
|
וככה תעשה תשים המספר אשר תרצה לכפול עליו בשטה העליונה כמנהג
|
|
|
עוד שים המספר אשר תרצה לכפול אותו עליו בשטה השפלה כל מדרגה כנגד הדומה לה
|
| Then, start to multiply the units by the units and write the result below.
|
ואחר כן החל לכפול האחדים על האחדים ותכתוב העולה למטה
|
| If tens are received, keep them and write only the units below.
|
ואם יעלו עשרות תפוש אותם בלבך ותכתוב האחדים לבדם למטה
|
| Multiply also the units that are in the bottom line by the tens that are in the upper line as if they are units by units.
|
עוד תכפול האחדים שבשטה השפלה עם העשרות שבשטה העליונה כאלו הם אחדים על אחדים
|
| Consider the tens you kept from the first product as units and add them to these.
|
והעשרות אשר תפשת בלבך מהחשבון הראשון חשוב אותם אחדים וחברם עם אלה
|
| Multiply also the units that are in the upper line by the tens that are in the second line.
|
גם תכפול האחדים שהם בשטה העליונה עם העשרות שהם בשטה השניה
|
| Sum up all and write the result .
|
וחבר הכל ותכתוב העולה למטה
|
| If tens are received, meaning of a higher rank than the present rank, keep them.
|
ואם עלו עשרות והטעם מדרגה עליונה מזאת תפוס בלבך
|
| Multiply also the units that are in the bottom line by the hundreds that are in the upper line.
|
גם תכפול האחדים שבשטה השפלה עם המאות שבשטה העליונה
|
| Also the units that are in the upper line by the hundreds that are in the bottom line.
|
וכן האחדים שבשטה העליונה עם המאות שבשטה השפלה
|
| Also the tens that are in the bottom line by the tens that are in the upper line.
|
גם העשרות שבשטה השפלה עם העשרות שבשטה העליונה
|
|
|
והכלל המדרגות אשר בקבוצן תהיינה שוות הסך
|
|
|
כי הראשונה עם השלשה יעשו ד' וככה השלישית עם הראשונה והשנית עם השנית
|
|
|
גם הראשונה עם הרביעית יעשו חמשה וככה השנית עם השלישית
|
|
|
וככה תעשה עד אין קץ ואשר יהיה תחבר המספר שהיה במדרגה שחשבנוה עשרות שתפשת בלבך עמם וכתבם למטה והוא הסך המבוקש
|
- Example: we wish to multiply three hundred and forty-eight by two hundred and thirty-five.
|
דמיון רצינו לכפול שלש מאות וארבעים ושמנה על מאתים ושלשים וחמשה
|
|
|
כזה
|
|
|
|
- We multiply 8 by 5; it is 40.
|
כפלנו הח' על הה' ונהיו מ'
|
|
|
ובעבור שלא נשארו אחדים כתבנו גלגל במדרגה הראשונה והמ' תפשנום בלבנו ארבע
|
- We multiply 8 by 3; it is 24. Also 4 by 5, for they are of the same rank; it is 20. We add it to the 24; it is 44.
|
עוד כפלנו ח' עם ג' והיו כ"ד גם ד' עם ה' כי הם שוה המדרגות והיו כ' חברנום עם הכ"ד והיו מ"ד
|
|
|
גם חברנו עמהם הד' שתפשנו בלבנו היו מ"ח וכתבנו למטה במדרגת העשרות ח' והמ' תפשנו בלבנו ד'
|
- We multiply 8 by 2; it is 16. Also 3 by 5; it is 15. Also 4 by 3; it is 12. For all of them are of the same rank. It is 43.
|
עוד כפלנו ח' עם ב' והיו י"ו גם ג' עם ה' והיו ט"ו גם ד' עם ג' והיו י"ב כי כל אלה שוה המדרגות והם מ"ג
|
|
|
חברנו עמהם הד' שתפשנו בלבנו והם מ"ז כתבנו הז' במדרגת המאות והד' שהם המ' תפשנו בלבנו
|
- We multiply 4 by 2; it is 8. We multiply also 3 by 3; it is 9. We add to them the 4 we kept; it is 21.
|
עוד כפלנו ד' עם ב' והיו ח' גם כפלנו ג' עם ג' והיו ט' גם חברנו הד' שתפשנו בלבנו עמם והיו כ"א
|
|
|
כתבנו הא' במדרגת האלפים והכ' תפשנו אותם בלבנו שנים
|
- We multiply 3 by 2; it is 6.
|
עוד כפלנו ג' עם ב' והיו ו'
|
|
|
חברנו עמהם הב' שתפשנו בלבנו והיו ח' כתבנו הח' במדרגת הרבבות
|
|
|
וידענו מזה שהסך העולה מכפל השטה השפלה על השטה העליונה הם שמנים ואחת אלפים ושבע מאות ושמנים
|
Shortcuts
|
|
| The arithmeticians tend to multiply by a third method:
|
וכבר נהגו בעלי החשבון לכפול בדרך שלישית
|
It is that you take the third of the number, multiply it by itself, the product is the square [of its third], take its analogous in the next rank that is higher than [the present rank], then subtract the square of the third from this rank and the remainder is the required.
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2=\left[\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\sdot10\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2}}](/mediawiki/images/math/b/d/2/bd2b11faf7327118afeb2bc0763a2ca1.png)
|
והוא שתקח שלישית המספר ותכפלהו על עצמו וההוה הוא מרובעו ותקח כדומה לו ממדרגה הבאה אשר היא יותר עליונה ממנה ותוציא מזאת המדרגה מרובע השלישית והנשאר הוא המבוקש
|
- Example: we wish to know the square of 9.
|
דמיון רצינו לדעת מרובע ט'
|
- We take its third, multiply it by itself; it becomes 9. We take its analogous in the next higher rank; it is 90. We subtract 9 from it, which is the square of the third; 81 remains and it is the required.
![\scriptstyle{\color{blue}{9^2=\left[\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\sdot10\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2=\left(9\sdot10\right)-9=90-9=81}}](/mediawiki/images/math/d/c/6/dc6d03049d8219da7fc669593dfde1fd.png)
|
ולקחנו שלישיתו וכפלנו אותו על עצמו ונהיה ט' לקחנו דמיונו ממדרגה הבאה העליונה ממנה והיה צ' הוצאנו ממנו הט' שהוא מרובע השלישית ונשארו פ"א והוא המבוקש
|
If you want to multiply a number that does not have a third, you take a third of the closest number to it, square it and do according to the rule, then examine if the number, whose third you took, is less than the required number, sum up the two numbers and add them to the amount; the result is the wanted.
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+1\right)^2=\left[\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\sdot10\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2+a+\left(a+1\right)}}](/mediawiki/images/math/7/9/b/79b38ce6f03b950bd4495033daa3b109.png)
|
ואם רצית לכפול מספר שאין לו שלישית אתה לוקח שלישית המספר היותר קרוב אליו ותרבע אותו ותעשה כמשפט אחר תעיין ואם המספר אשר לקחת שלישיתו הוא יותר פחות מהמספר המבוקש קבץ שני המספרים והוסיפם על הסך וההוה הוא המבוקש
|
- Example: we wish to know the square of ten.
|
דמיון רצינו לדעת מרובע עשרה
|
- It does not have a third and the closest number that has a third is nine, which is less than it. We take the square of its third, which is 9. We take its analogous in the next rank, which is 90. We subtract 9 from it; 81 remains. Since the number, whose third we took, is less than the required number, we sum up the two numbers, the 9 with the 10; it is 19. We add it to the 81; it is 100 and this is the square of ten.
|
וזה אין לו שלישית והמספר הקרוב אליו אשר יש לו השלישית הוא התשעה והוא פחות ממנו לקחנו מרובע שלישיתם והוא ט' ולקחנו דמיונם מהמדרגה הבאה והוא צ' גרענו ממנו הט' ונשארו פ"א ומפני שהמספר אשר לקחנו השלישית ממנו הוא פחות מהמספר המבוקש קבצנו שני המספרים הט' עם הי' ונהיו י"ט הוספנום על הפ"א ונהיו ק' והוא מרובע העשרה
|
![\scriptstyle{\color{blue}{10^2=\left[\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\sdot10\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2+\left(9+10\right)=\left(9\sdot10\right)-9+19=90-9+19=81+19=100}}](/mediawiki/images/math/0/0/5/0057acdc2e9669f94829fc55743129ac.png)
|
But, if the number, whose third we took, is greater than the required number, we sum up the two numbers and subtract them from the amount; the remainder is the wanted.
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a-1\right)^2=\left[\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\sdot10\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2-a-\left(a+1\right)}}](/mediawiki/images/math/8/0/c/80c0ca0cf352b24ef92eec33eddcc4e1.png)
|
אבל אם היה המספר אשר לקחנו השלישית ממנו יותר מהמספר המבוקש אנו מקבצים שני המספרים וגורעים אותם מהסך והנשאר הוא המבוקש
|
- Example: we wish to know the square of 11.
|
דמיון רצינו לדעת מרובע י"א
|
- Since it does not have a third and the closest number that has a third is 12, which is greater than it, we take its third and square it, then we take its analogous in the next rank, which is 160. We subtract 16 from it, which is the square of the third; 144 remains. Since the number, whose third we took, which is 12, is greater than the number, whose square is wanted, which is 11, we sum up both [numbers]; it is 23. We subtract it from 144; 121 remains and this is the required, which is the square of 11.
|
ומפני שאין לו שלישית והמספר הקרוב אליו שיש לו שלישית הוא הי"ב והוא יותר ממנו לקחנו שלישיתו וכפלנוהו במספר המרובע ולקחנו דמיונו במדרגה הבאה והוא ק"ס גרענו ממנו הי"ו שהוא מרובע השלישית ונשארו קמ"ד ומפני שהמספר אשר לקחנו השלישית ממנו שהוא י"ב הוא יותר מהמספר המבוקש מרובעו שהוא י"א קבצנו שתיהן ונהיו כ"ג וגרענו אותם מן קמ"ד ונשארו קכ"א וזהו המבוקש שהוא מרובע י"א
|
![\scriptstyle{\color{blue}{11^2=\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)^2\sdot10\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)^2-\left(11+12\right)=\left(16\sdot10\right)-16-23=160-16-23=144-23=121}}](/mediawiki/images/math/8/5/d/85d63118acc5de20882447a88c48cec9.png)
|
| Said Mordecai: I have found a respectable way of multiplication by the method of fifths:
|
אמר מרדכי מצאתי דרך נכבד בענין הכפל בדרך החמישיות
|
That is when you wish to multiply a number by itself, take its fifth, multiply it by itself, raise it to the next rank, then multiply it by two and a half and this is the required.
|
והוא כי כאשר תרצה לכפול מספר על עצמו תקח חמישיתו ותכפלהו על עצמו ותעלהו במעלה הבאה הסמוכה לה אחר תכפול אותה על שנים וחצי והוא המבוקש
|
- Example: we wish to multiply sixty by sixty.
|
דמיון רצינו לכפול ששים על ששים
|
- Its fifth is 12. We multiply it by itself; it becomes 144. We raise it to the next rank; it becomes one thousand, four hundred and forty. We multiply it by 2 and a half; it becomes 3 thousand and 600 and this is the required.
|
וחמישיתו י"ב כפלנום על עצמם נהיו קמ"ד העלנו אותם במדרגה הבאה הסמוכה להם ונהיו אלף וארבע מאות וארבעים כפלנום על ב' וחצי ונהיו ג' אלפים ת"ר וזהו המבוקש
|
|
- Another example: we wish to multiply fifty by fifty.
|
דמיון אחר רצינו לכפול חמשים על חמשים
|
- Its fifth is ten. We multiply it by itself; it becomes one hunderd. We raise it to the next rank; it becomes one thousand. We multiply it by 2 and a half; it becomes 2 thousand and [five hundred] and this is the required.
|
וחמישיתו עשרה כפלנוהו על עצמו ונהיה מאה העלינוהו אל המדרגה הסמוכה לה ונהיו אלף כפלנום על ב' וחצי ונהיו ב' אלפים וחצי וזהו המבוקש
|
|
| If you want to multiply a number by itself, but it does not have a fifth. Examine the closest number to it that has a fifth, whether preceding it or following it. The difference never exceeds over two.
|
ואם רצית לכפול מספר על עצמו ואין לו חמישית תעיין המספר הקרוב אליו שיש לו חמישית אם מלפניו אם מלאחריו ולא יעבור ההפרש לעולם על שנים
|
If the closest number to your number that has a fifth precedes your number by one, calculate it by the method I have mentioned first regarding the number that has a fifth, then sum up your number with the number that has a fifth, add it to the amount and this is the required.
|
ואם היה המספר אשר יש לו חמישית הקרוב אל מספרך קודם ממספרך באחד תחשבהו בדרך שהזכרתי ראשונה על המספר שיש לו חמישית אחר תחבר מספרך עם המספר שיש לו החמשית ותוסיפהו על הסך והוא המבוקש
|
If the difference is two, multiply your number, after you sum it up with the number that has a fifth, by two, then add it to the amount and this is the required.
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+2\right)^2=\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\sdot10\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)+2\sdot\left[a+\left(a+2\right)\right]}}](/mediawiki/images/math/4/8/d/48d582c5ad66bcefe735c392cb4c4701.png)
|
ואם היה ההפרש שנים תכפול מספרך אחר שתחברהו עם המספר שיש לו חמישית עם שנים ואחר תוסיפנו על הסך והוא המבוקש
|
| If the number that has a fifth follows your number, calculate your it using the number that has a fifth, then add your number to the number once, if the difference is one, or multiply it by 2 after you sum [them] up, if the difference is two. Subtract [the sum] from the amount and the remainder is the required.
|
אמנם אם המספר שיש לו החמשית הוא אחר מספרך תחשוב חשבונך על המספר שיש לו החמישית אחר תחבר מספרך עם המספר פעם אחת אם ההפרש אחד או תכפול אותו עם ב' אחר שחברתו אם ההפרש שנים ותגרעהו מהסך והנשאר הוא המבוקש
|
- Example: we wish to multiply 11 by 11.
|
דמיון רצינו לכפול י"א על י"א
|
- This number does not have a fifth. The closest number to it that has a fifth is ten.
|
והנה זה המספר אין לו חמשית והמספר הקרוב אליו אשר יש לו חמישית הוא העשרה
|
- We multiply it by the method of the fifths; the result is 100. Then, we sum up the 10 that has a fifth with the 11, which is our number, once, since the difference between our number and 10 is one; the sum is 21. We add it to the 100; it is 121 and this is the required.
|
וכפלנו אותו בדרך החמישיות ועלו ק' אחר חברנו הי' שיש לו החמישית עם הי"א שהוא מספרינו פעם אחת מפני שההפרש בין שמספרנו ובין י' הוא אחד ונהיו כ"א חברנו עם הק' ונהיו קכ"א וזהו המבוקש
|
| Another example of a number, such that the difference is two:
|
דמיון אחר במספר שההפרש שנים
|
- We wish to multiply 12 by 12.
|
רצינו לכפול י"ב על י"ב
|
- This number does not have a fifth. The closest number to it that has a fifth is ten.
|
והנה זה המספר אין לו חמישית והמספר הקרוב לו בעל החמשית הוא העשירי'
|
- We multiply it by the method of the fifths; it is 100. Then, we sum up the 10 that has a fifth with the 12, which is our number; it is 22. Since the difference is two; we multiply it by 2; it is 44. We add it to the 100; it is 144 and this is the required.
|
כפלנוהו בדרך החמישיות ונהיו ק' אחר חברנו הי' שיש לו החמישית עם הי"ב שהוא מספרנו ונהיו כ"ב ומפני שההפרש שנים כפלנום ב' פעמים ונהיו מ"ד וחברנום עם הק' והיו קמ"ד וזהו המבוקש
|
| Other examples of numbers, such that the closest number to them that has a fifth comes after them, because in the examples we gave it precedes them:
|
דמיון אחר במספרים אשר המספר שיש לו חמשית הקרוב אליו הוא אחריהם כי הדמיונים אשר עשינו היה בהיותו לפניהם
|
- We wish to multiply 14 by 14.
|
רצינו לכפול י"ד על י"ד
|
- This number does not have a fifth. We see that the closest number to it that has a fifth is 15.
|
והנה זה המספר אין לו חמישית ראינו המספר אשר יש לו חמישית הקרוב אליו והוא ט"ו
|
- We multiply it by the method of the fifths; the result is 225. Then, we sum up this number that has a fifth with our number, which is 14, once, since the difference is one; it is 29. We subtract it from the amount, since the number that has a fifth follows our number; 196 remains and this is the required.
|
כפלנום בדרך החמישיות ועלה רכ"ה אחר חברנו את המספר הזה שיש לו חמישית עם מספרינו שהוא י"ד פעם אחת מפני שההפרש אחד והיה כ"ט גרענום מן הסך מפני כי המספר אשר יש לו החמישית היה אחרי מספרנו ונשארו קצ"ו וזהו המבוקש
|
| Example of a number, such that the difference between it and the [number] that has a fifth is two:
|
דמיון במספר כזה שההפרש אשר בינו ובין אשר יש לו החמישית שנים
|
- We wish to multiply 13 by 13.
|
רצינו לכפול י"ג על י"ג
|
- This number does not have a fifth. The closest number to it that has a fifth is fifteen.
|
וזה המספר אין לו חמישית והמספר הקרוב אליו שיש לו החמישית הוא החמשה עשר
|
- We multiply it by the method of the fifths; it is 225. Then, we sum up this number that has a fifth with 13, which is our number; it is 28. We multiply it by 2, since the difference between the two numbers is 2; it is 56. We subtract it from 225, since the number that has a fifth follows our number; 169 remains and this is the required.
|
כפלנוהו בדרך החמישיות והיה רכ"ה אחר חברנו זה המספר שיש לו החמישית עם י"ג שהוא מספרנו ונהיו כ"ח כפלנום על ב' מפני שההפרש אשר בין שני המספרים ב' ונהיו נ"ו גרענום מן רכ"ה מפני שהמספר שיש לו החמישית הוא אחרי מספרנו ונשארו קס"ט וזהו המבוקש
|
| If you want to multiply a number by a number that are far from the kelal by the same amount, one smaller than it and the other exceeding it, you can multiply the kelal by itself, then square the excess and subtract it from the product of the kelal; the result is the required.
|
ואם תרצה לכפול מספר על מספר שהם רחוקים מהכלל בשווי האחד חסר ממנו והאחר מוסיף עליו אתה יכול לכפול הכלל על עצמו אחר תרבע המספר היתר והחסר ותגרעהו מחשבון הכלל וההוה הוא המבוקש
|
- Example: we wish to multiply twenty-five by thirty-five.
|
דמיון רצינו לכפול כ"ה על ל"ה
|
- The kelal is 30 and the 5 is added and subtracted.
|
והכלל ל' והה' בתוספת וחסרון
|
- We multiply the kelal; it is 900. Then we multiply the 5; it is 25. We subtract it from 900; 875 remains and this is the required.
|
כפלנו הכלל ונהיו תת"ק אחר כפלנו הה' ונהיה כ"ה גרענום מהתת"ק ונשארו תתע"ה והוא המבוקש
|
| Said Mordecai: although we have said that if the numbers are two [digits] by two [digits], you should multiply them four by four, i.e. four times [= four interim products], you should know that if their kelal is the same, it is enough to multiply them three times [= three interim products].
|
אמר מרדכי עם היות שאמרנו שאם היו המספרים שתים על שתים אתה צריך לכפלם ארבעה על ארבעה ר"ל ארבעה פעמים צריך אתה לדעת שאם היה כללם אחד יספיק לכפלם שלש פעמים
|
- As the one who wants to multiply 13 by 14.
|
כגון הרוצה לכפול י"ג על י"ד
|
- The kelal of both is ten. Sum up the two [numbers of] units; it is 7. Multiply 7 times 10 - it is 70; 10 times 10 - it is 100; and 3 times 4 - it is 12. The result is 182 and this is the required.
|
והנה כלל שניהם עשרה תחבר שני הפרטים ויהיו ז' ותכפול ז' פעמים י' נהיו ע' וי' פעמים י' הרי ק' וג' פעמים ד' הרי י"ב והעולה קפ"ב וזהו המבוקש
|
![\scriptstyle{\color{blue}{13\times14=\left[\left(3+4\right)\sdot10\right]+\left(10\sdot10\right)+\left(3\sdot4\right)=\left(7\sdot10\right)+\left(10\sdot10\right)+\left(3\sdot4\right)=70+100+12=182}}](/mediawiki/images/math/1/0/c/10c237cbc16020c219c6b4097db68c3a.png)
|
Check
|
|
|
|
מאזנים על הכפל בדרך הט'
|
|
|
תחשוב הטור העליון כולו כאלו הם אחדים והשליכם ט' ט' והשאר שמרהו וזה יקרא השמור הראשון
|
|
|
עוד תעשה כן בטור השפל והשאר יקרא השמור השני
|
|
|
תכפול השמור הראשון על השמור השני ואשר יהיה השליכהו ט' ט' והשאר שמרהו וזה יקרא השמור השלישי
|
|
|
אחר תעיין הטור השלישי השפל אשר יקרא הסך ותחשבהו כאלו הם אחדים והשליכם ט' ט' והשאר עיין ואם הוא שוה לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע בודאי שטעית
|
|
|
מאזנים בדרך השבעה
|
|
|
עיין מספרי הטור הראשון ותתחיל מהיותר כולל ותחשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם ז' ז' ואשר ישאר חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם עוד ז' ז' ואשר ישאר עוד חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם עוד ז' ז' ואשר ישאר עוד חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם ז' ז' וכן תעשה עד שתגיע למעלת האחדים ואשר ישאר שמרהו וזה יקרא השמור הראשון
|
|
|
עוד תקח מספרי הטור השני ועשה כמשפט הזה ואשר ישאר יקרא השמור השני
|
|
|
אחר תכפול השמור השני על השמור הראשון ואשר יהיה השליכהו ז' ז' והשאר יקרא השמור השלישי
|
|
|
אחר כן תעיין מספרי הטור השפל השלישי אשר יקרא הסך ועשהו כמשפטי הטורים העליונים ועיין הנשאר ואם הוא שוה לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע בודאי שטעית
|
Euclidean Propositions
|
|
| Said Mordecai: I thought to write you some issues of number to train you to be be quick in these matters.
|
אמר מרדכי ראיתי לכתוב לך דברים מעניני המספר להרגילך בהם כדי שתהיה זרִיז בענינים אלו
|
Euclid, Elements, Book II, propositions 2: I say: if you divide any number into parts as you wish, [the sum of] the products of each of the parts by the whole number is equal to the square of the whole number.
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n \left[\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\sdot a_k\right]=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2}}](/mediawiki/images/math/9/9/f/99fd3737e42a1acf970a92fb7a977c13.png)
|
ואומר כל מספר שחלקת אותו לחלקים איך שרצית הנה כפל כל אחד מהחלקים על כל המספר מקובץ שוה למרובע כל המספר
|
- Example: the number 12; we divide it into three, four and five.
|
דמיון המספר י"ב וחלקנוהו על שלשה וארבעה וחמשה
|
- We multiply 3 by 12; it is 36.
|
כפלנו הג' על הי"ב והיו ל"ו
|
- We also multiply 4 by 12; it is 48.
|
עוד כפלנו הד' על הי"ב והיו מ"ח
|
- We also multiply 5 by 12; it is 60.
|
עוד כפלנו הה' על הי"ב והיו ס'
|
- We sum them up; the total is 144 and it is equal to the square of 12.
|
חברנו אותם והיו הכל קמ"ד והם שוים למרובע י"ב
|
Euclid, Elements, Book II, proposition 2: For every number that you divide randomly into two parts, the sum of the products of each of the two parts by the whole number is equal to the square of the whole number.
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]=\left(a+b\right)^2}}](/mediawiki/images/math/8/a/a/8aae9db1c4694d4c859578e458487970.png)
|
עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה כפל כל אחד משני החלקים על כל המספר מקובץ שוה למרובע כל המספר
|
- Example: the number ten; we divide it into 7 and 3.
|
דמיון המספר עשרה וחלקנוהו על ז' וג'
|
- We multiply 7 by 10; it is seventy.
|
כפלנו הז' על הי' והיו שבעים
|
- We multiply also the other part, which is three, by it; it is 30.
|
גם ככה כפלנו החלק האחר שהם השלשה עליו והיו ל'
|
- Together they are 100 and it is the square of ten.
|
ושניהם ק' והוא מרובע העשרה
|
- Euclid, Elements, Book II, proposition 3: For any number divided into two parts as you wish, the product of the whole number by any of its two parts is equal to the product of the one part by the other plus the square of the part by which you multiplied the whole number.
|
עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה כפל המספר כולו על אחד משני חלקיו איזה שיהיה שוה לכפל החלק האחד על השני ולמרובע החלק משניהם אשר כפלת על כל המספר
|
- Example: the number ten, we divide it into two parts - three and seven.
|
דמיון המספר עשרה חלקנוהו לשני חלקים על שלשה ושבעה
|
- We multiply three by it; it is 30, and it is equal to the product of 3 by seven, which is 21, plus the square of 3, which is 9, and this is the part by which we multiply.
|
כפלנו השלשה עמו והיו ל' וזה שוה לכפל הג' על השבעה שהם כ"א ולמרובע הג' שהם ט' שהוא החלק אשר כפלנו
|
- Likewise if we multiply 7, which is the other part, by ten; it is seventy and it is equal to the product of 3 by 7, which is 21, plus the square of 7, which is 49, and this is the part by which we multiply; together they are seventy.
|
גם ככה אם היינו כופלים הז' שהוא החלק האחד על העשרה היו שבעים וזה שוה לכפל הג' על הז' שהם כ"א ולמרובע הז' שהם מ"ט שהוא החלק אשר כפלנו ושניהם שבעים
|
- Euclid, Elements, Book II, proposition 4: For any number divided into two parts as you wish, the square of the whole number is equal to [the sum of] the squares of the two parts and twice the product of the one part by the other.
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]}}](/mediawiki/images/math/d/f/2/df26d1cdaf50844081193e48666b1eeb.png)
|
עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה מרובע כל המספר שוה לשני המרובעים ההוים משני החלקים ולכפל החלק האחד על חברו פעמים
|
- Example: the number ten; we divide it into three and seven.
|
דמיון המספר עשרה חלקנוהו על שלשה ושבעה
|
- The square of 3 is 9; the square of 7 is 49; the product of 3 by 7 is 21; we multiply it twice; it is 42. The total is 100, and it is equal to the square of ten.
|
ומרובע הג' ט' ומרובע הז' מ"ט וכפל הג' על הז' כ"א וחשבהו פעמים הם מ"ב והכל ק' וזה שוה למרובע העשרה
|
![\scriptstyle{\color{blue}{3^2+7^2+\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]=9+49+\left(2\sdot21\right)=9+49+42=100=10^2=\left(3+7\right)^2}}](/mediawiki/images/math/a/a/7/aa76f2ff07aa1dec6d3c46d015817f63.png)
|
- Euclid, Elements, Book II, proposition 5: For any number divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the product of one of the unequal parts by the other and the square of the difference between the two parts, i.e. between the equal part [= the half of the whole number] and the unequal [part] is equal to the square of half the [whole] number.
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left(a\sdot b\right)+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2}}](/mediawiki/images/math/7/0/c/70cf1effca1e2303b584ecf2bb737846.png)
|
עוד כל מספר כאשר תחלקהו לשני חלקים שוים ולשני חלקים בלתי שוים הנה כפל החלק האחד אל חברו מהחלקים הבלתי שוים ומרובע מה שבין שני החלקים ר"ל בין החלק השוה ובלתי שוה שוה למרובע חצי המספר
|
- Example: the number ten, we divide it to five and five, which are equal parts, then we divide it also to 7 and 3, which are unequal parts.
|
דמיון המספר עשרה חלקנוהו לחמשה וחמשה שהם חלקים שוים גם חלקנוהו לז' וג' שהם חלקים בלתי שוים
|
- We multiply 3 by 7; it is 21.
|
כפלנו הג' על הז' והיו כ"א
|
- We take the square of two, which is [the difference] between 5 that is the equal part and three or 7 that are the unequal parts; it is 4.
|
עוד לקחנו מרובע השנים שהם בין הה' שהם החלק השוה לשלשה או לז' שהם החלק הבלתי שוה והיו ד'
|
- The total is 25 and it is equal to the square of 5, which is the square of half the number.
|
style="text-align:right;"והכל כ"ה והם שוים למרובע ה' שהוא מרובע חצי המספר
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left(3\sdot7\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-3\right]^2=\left(3\sdot7\right)+\left(5-3\right)^2}}](/mediawiki/images/math/0/3/d/03dfdce3ec288d58b8f094e10b1397f2.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot7\right)+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2=\left(3\sdot7\right)+\left(7-5\right)^2=\left(3\sdot7\right)+2^2=21+4=25=5^2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}}](/mediawiki/images/math/0/6/b/06bc86c67148dd7b41b0715d8e16b65a.png)
|
- Euclid, Elements, Book II, proposition 6: If you divide any number into half and add to it another number, [the sum of] the product of the whole number plus the additional [number] by the additional [number] and the square of half the number is equal to the square of half the number and the additional [number] together.
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2}}](/mediawiki/images/math/a/9/2/a92046fe5abf282c91d09104586c53a7.png)
|
עוד כל מספר כאשר חלקת אותו לחצאים והוספת עליו מספר אחר הנה כפל המספר כלו מקובץ עם התוספת בתוספת והמרובע ההוה מחצי המספר שוה למרובע חצי המספר והתוספת ביחד
|
- Example: the number ten, we divide it into two halves, which are five each, then we add two to the ten, they are 12.
|
דמיון המספר עשרה וחלקנוהו לשני חצאים שהם כל חצי חמשה הוספנו על העשרה שנים והיו י"ב
|
- We multiply the whole 12, which is the number and the addition together, by two, which is the addition; it is 24.
|
כפלנו כל הי"ב שהוא המספר עם התוספת ביחד עם השנים שהם התוספת והיו כ"ד
|
- We add 25 to it, which is the square of 5 that is half the number; it is 49 and this is equal to the square of 7, which is half the number and the addition together.
|
חברנו עמהם כ"ה שהם מרובע ה' שהוא חצי המספר והיו מ"ט וזה שוה למרובע ז' שהוא חצי המספר עם התוספת ביחד
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(10+2\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2=\left(2\sdot12\right)+5^2=24+25=49=7^2=\left(5+2\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2}}](/mediawiki/images/math/8/1/8/818e21e090d00b6643f2d405697773bf.png)
|
- Euclid, Elements, Book II, proposition 7: For any number divided into two parts, the sum of the square of the whole number and the square of one of the parts is equal to twice the product of this part by the whole number plus the product of the other part by itself.
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+b\right)^2+a^2=2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2}}](/mediawiki/images/math/0/3/a/03a8d96192812ea7db90d5166ad5177a.png)
|
עוד כל מספר כאשר תחלקהו בשני חלקים איך שיקרה הנה המרובע ההוה מן המספר כלו והמרובע ההוה מאחד משני חלקים כאשר התקבצו שוים לכפל המספר כלו עם החלק הנזכר פעמים והמרובע ההוה מן החלק השני
|
- Example: the number ten, we divide it randomly to seven and three.
|
דמיון המספר עשרה וחלקנוהו איך שקרה על שבעה ועל שלשה
|
- The square that consists of ten is 100 and the one that consist is of 7 is 49; their sum is 149 and it is equal to twice the product of ten by 7, which is one hundred and forty, plus the square of 3, which is 9 that is the second part, and the total is 149.
|
והמרובע ההוה מעשרה הם ק' וההוה מז' הם מ"ט ומקובצים קמ"ט והם שוים לכפל העשרה על ז' פעמים שהם מאה וארבעים ולמרובע ג' שהם ט' שהוא החלק השני והכל קמ"ט
|
![\scriptstyle{\color{blue}{10^2+7^2=100+49=149=140+9=\left[2\sdot\left(7\sdot10\right)\right]+3^2}}](/mediawiki/images/math/7/3/0/730c333f2c3cd5673b8c62296b570f67.png)
|
- Euclid, Elements, Book II, proposition 8: For any number divided into two parts as you wish, if you multiply the whole number by one of the parts four times, the sum of the product with the square of the other part is equal to the [square] of the whole number plus the one part.
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2}}](/mediawiki/images/math/c/a/f/caf2f89aa2a00ea5e45e6eed3d4bc694.png)
|
עוד כל מספר כאשר חלקת אותו בשני חלקים איך שיקרה וכפלת המספר כלו עם אחד משני חלקיו ארבעה פעמים ועם מרובע החלק הנשאר שוה למרובע ההוה מן המספר כלו והחלק הנזכר כאשר תחברם ביחד ותקח מרובעם
|
- Example: we have the number ten, we divide it randomly to 3 and 7.
|
דמיון יש לנו מספר מניינו העשרה וחלקנוהו איך שהזדמן על ג' ועל ז'
|
- When we multiply 7 by 10 four times, it is 280, and when we add to it the square of 3, which is 9 and it is the second part, it becomes 289 and this is equal to the square of 17, which is the whole number plus the part, by which we multiply the whole number. This as well as this is 289.
![\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left[4\sdot\left(10\sdot7\right)\right]+3^2=280+9=289=17^2=\left(10+7\right)^2}}](/mediawiki/images/math/2/d/9/2d930b3cf54ef8cfc52718dc74fc4c81.png)
|
הנה כאשר כפלנו הז' עם הי' ד' פעמי' היו ר"פ וכאשר חברנו עמהם מרובע הג' שהוא ט' והוא החלק השני נהיו רפ"ט והם שוים למרובע י"ז שהוא המספר כלו יחד עם החלק אשר כפלנוהו עם המספר כולו והם גם אלה רפ"ט
|
- Euclid, Elements, Book II, proposition 9: For any number divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the squares of the unequal parts is equal to twice [the sum of] the square of half the [whole] number and the square of the difference between the large part and the half [of the whole number].
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+b^2=2\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2+\left[a-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2\right]}}](/mediawiki/images/math/3/7/c/37cd2d64c6505f872e3604129685d3bc.png)
|
עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים אשר יהיו מהחלקים הבלתי שוים הם כפל שני המרובעים אשר יהיו מחצי המספר ומהתוספת אשר לחלק הגדול על המחצית
|
- Example: we have the number ten, we divide it into two equal parts, which are 5, and into two unequal parts, which are 3 and 7.
|
דמיון יש לנו מספר מנינו עשרה וחלקנוהו לשני חלקים שוים על ה' ושני חלקים בלתי שוים על ג' וז'
|
- The square of 7, which is 9, and the square of 3, which is 49, are together 58. This is [as the sum of] double the square of 5, which is 25, and it is half the number, plus double the square of 2, which is 4, that is the excess of 7, which is the greater part, over 5, which is the half; together they are 29.
|
הנה מרובע ג' שהוא ט' ומרובע ז' שהוא מ"ט שניהם נ"ח הם כפל מרובע ה' שהוא כ"ה והוא מחצית המספר וכפל מרובע ב' שהוא ד' ושניהם כ"ט שהוא התוספת שיש לז' שהוא החלק הגדול על הה' שהוא המחצית
|
![\scriptstyle{\color{blue}{7^2+3^2=58=2\sdot\left(25+4\right)=2\sdot\left(5^2+2^2\right)=2\sdot\left[5^2+\left(7-5\right)^2\right]=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2\right]}}](/mediawiki/images/math/9/9/a/99a17ded1fe72199555d6cbb2166b760.png)
|
- Euclid, Elements, Book II, proposition 10: If you divide any number into half and add to it another number, [the sum of] the square of the whole number plus the additional [number] and the square of the additional [number] is equal to twice [the sum of] the square of half the number and the square of half the number plus the additional [number] together.
![\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+b\right)^2+b^2=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2\right]}}](/mediawiki/images/math/0/1/f/01f5c12dc0db0f20f362991f00bed1d8.png)
|
עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חציים והוספת עליו מספר אחר הנה מרובע המספר עם התוספת יחד ומרובע התוספת בעצמו הם כפל שני המרובעים שהם מרובע חצי המספר ומרובע חצי המספר עם התוספת יחד כאשר יחוברו
|
- Example: we have the number ten, we divide it into two halves, which are 5, and add to it another number 2, so it bacomes 12.
|
דמיון יש לנו מספר מניינו עשרה וחלקנוהו לשני חצאים על הה' והוספנו עליו מספר אחר ב' ונהיה י"ב
|
- The square of 12, which is the number together with the addition, is 144.
|
הנה מרובע י"ב שהוא המספר עם התוספת יחד קמ"ד
|
- The square of 2, which is the addition, is 4.
|
ומרובע ב' שהוא התוספת ד'
|
- Their sum is 148 and it is double the square of 5, which is 25, plus the square of 7, which is 49; their sum is 74, which is the square of half the number plus the square of half the number and the addition together.
|
ושניהם קמ"ח והוא כפל מרובע ה' שהוא כ"ה ומרובע ז' שהוא מ"ט ושניהם ע"ד אשר הוא מרובע חצי המספר והתוספת ביחד
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+2\right)^2+2^2&\scriptstyle=12^2+2^2=144+4=148=2\sdot74=2\sdot\left(25+49\right)=2\sdot\left(5^2+7^2\right)=2\sdot\left[5^2+\left(5+2\right)^2\right]\\&\scriptstyle=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2\right]\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/e/b/8/eb8f69d48765173e3615403e795a39d7.png)
|
| I have informed you of useful proper ways of numbers, for if different ways lead to one calculation, when an error results from one way it can be corrected in the other way. Practice them.
|
הנה הודעתיך דרכים נאותים במספרים מועילים כי כאשר יהיו דרכים מתחלפים מוציאים אל חשבון אחד כאשר יטעה מהדרך האחד יתיישר מהדרך האחר ותרגיל עצמך בהם
|
Part Four: To Relate a Number To a Number
|
החלק הרביעי לערוך מספר על מספר
|
|
|
זה השער נדבר בו על שלמים כי לנשברים יש דרך אחרת נבאר אותה בפרק הבא ונאמר שעם היות שהאמצעיים הם עשרה אבל הקדמונים לא בחרו רק שלשת מיני הערכים והם ערכי החשבון וערכי המדות וערכי הנגונים ואנחנו לא נזכיר הנה רק ערכי המדות כי הם צורך לרוב השאלות הנעשות בחשבון
|
|
|
וכבר התבאר בחכמת השעור כי התיחסו' לא תתכן בפחות משלשה גבולים ואם הגבול האמצעי הוא בעד שני גבולים התיחסות תפול בד' גבולים
|
| Therefore, for all the numbers, such that the ratio of the first to the second is as the ratio of the third to the fourth, if you sum the squares of the four of them, it is equal to [the sum of] the square of the first and the fourth summed together and the square of the difference between the second and the third.
|
מפני זה כל המספרים אשר יחס הראשון אל השני כיחס השלישי אל הרביעי אם תחבר מרובע ארבעתם יהיה שוה למרובע הראשון והרביעי מחוברים ומרובע ההפרש שיש בין השני והשלישי
|
| Also, if you sum the square of the second and the third together with the square of the difference between the first and the fourth it is equal to this number.
|
וכן אם תחבר מרובע השני והשלישי יחד עם מרובע ההפרש שיש בין הראשון לרביעי יהיה שוה בחשבון הזה
|
|
|
|
וכן כאשר הומרו היו מתיחסים כי יחס הראשון אל השלישי יהיה כיחס השני אל הרביעי
ומפני זה מהשלשה הידועים נדע הרביעי המוסכל
|
|
|
וכבר נהגו בעלי החשבון לכתוב המוסכל בקצה האחרון לעולם בין שיהיה מהאמצעיים ובין שיהיה הקצה הראשון ובלבד שידע איך יסדר האחרים
|
- Example: if one asks: if the 8 yield 4, how much will the 6 yield?
|
דמיון אם שאל שואל שאם השמנה ירויחו ד' הו' מה ירויחו
|
|
|
הנה נקראו האמצעיים הד' והו' ושתי הקצוות השמנה והגלגל כזה
|
|
|
|
|
|
כפלנו שני האמצעיים ונהיו כ"ד חלקנום על הקצה הידוע שהם הח' ונהיה החלק ג' ומזה ידענו שבמקום הגלגל צריך ג' והוא המבוקש
|
|
|
וכן אם הפך הסדר ושאל אם [22]הד' הרויחו אותם הח' מהו אשר ירויחו הו'
|
|
|
ועתה נהיו שני האמצעיים השמנה והגלגל כזה
|
|
|
|
|
|
והנה כשנכפול שתי הקצוות ונחלקהו על האמצעי הידוע נמצא האמצעי המוסכל כפלנו ד' על ו' ונהיו כ"ד חלקנום על ח' ונהיה החלק ג' וזהו המבוקש
|
|
|
וכן אם הפך השאלה ושם הגלגל ראשונה ואמר מה ירויחו הו' אם הח' ירויחו ארבעה
|
|
|
כזה
|
|
|
|
|
|
נכפל הקצה הידוע עם האמצעי אשר בצד המוסכל ונחלקהו על האמצעי אשר בצד הקצה הידוע ונמצא המוסכל
ואע"פ שכל אלה הם דרך נכונה אבל לעולם בעלי החשבון יהפכו הגלגל אל הקצה האחרון בלבד שישמרו הסדר עד שיהיו המרויחים במקומם והריוח במקומו וכן אם היו מדות ודינרים שיהיו הדינרים במקומם והמדות במקומם ויזהר שלא יחליף כי יטעה
|
| Example: one asks: a man sells 7 measures of wheat for 12 pešuṭim. How many measures will he sell for 14 pešuṭim?
|
דמיון אם שאל שואל שאדם אחד מוכר חטה ז' מדות בי"ב פשוטים כמה מדות יתן בי"ד פשוטים
|
|
|
ראוי להפך השטה לבד שישמור הסדר ושיכתוב כך אם י"ב פשוטים נתנו ז' מדות הי"ד פשוטים מה יתנו ואז נופל הגלגל בתכלית האחד ולעולם בזה הסדר
|
|
|
|
|
|
הוא כופל האמצעיים ומחלק אותם על הקצה הראשון ולומד על הקצה האחרון
וכאשר תחלק הכפול על הנחלק עליו ולא יצא בצמצום אבל נשאר חשבון אשר לא נתחלק [תעיין ואם זה החשבון אשר לא נתחלק][23] הוא תחת כפלי החשבון אשר נתחלק עליו דע כי הוא חלק ממנו לפי הפעמים אשר ישערהו כי אם ישערוהו ב' פעמים הוא מחציתו ואם בג' פעמים הוא שלישיתו וכיוצא בם ואם לא יהיה תחת כפליו אם תרצה תוציא ממנו חלק אשר יהיה תחת כפליו והשאר השיבהו אל פרטים או אם תרצה השב הכל אל הפרטים וחלקהו ואם ישאר עוד השיבהו אל פרטי פרטים עד שיצא בצמצום או עד שישאר דבר שאין חששא בו
|
|
|
דמיון שאלנו אם הי"ב דינרים נתנו שבעה דינרים ריוח הי"ד [דינ'][24] כמה יתנו
|
|
|
וכתבנו אותם כך
|
|
|
|
|
|
כפלנו האמצעיים ונהיו צ"ח חלקנום על הקצה האחד שהם י"ב ונהיה החלק הא' ח' ונשארו גם ב' אשר לא נתחלקו ומפני שאלה הב' הם תחת כפלי הי"ב וישערום בששה פעמים ידענו מזה שהמבוקש הוא ח' וששית
|
|
|
אבל אם שאל אם הי"א דינרים נתנו [ז'][25] דינרים ריוח הי"ד מה יתנו
|
|
|
כתבנום כך
|
|
|
|
|
|
כפלנו האמצעיים ונהיו צ"ח חלקנום על הי"א ונהיה החלק ח' ונשארו י' אשר לא נתחלקו השיבונו אותם אל פרטים שהם י"ב בדינר ונהיו ק"כ חלקנום אל י"א ונהיה [החלק הא' י' פרטים ונשארו עוד י' בלתי מתחלקים השיבונום אל פרטי פרטים שהם גם הם י"ב בפרוטה ונהיו ק"כ חלקנום על י"א ונהיה][26] החלק האחד י' ונשארו י' בלתי מתחלקים ומפני שאין בם חששא הנחנום וידענו מזה שהחלק הא' הוא ח' דינרים וי' פרוטות מי"ב בדינר וי' פרטי פרוטות מי"ב פרוטות ודבר שאין בו חששא וזהו הריוח אשר יתנו הי"ד דינרים ואלה הם אשר יקראו אותם בעלי שלשת הצורות
|
| There are other problems, which they call "proportional pentad" [lit. having five figures]
|
אולם יש שאלות אחרות אשר יקראו אותם בעלי חמש צורות והם אשר ישתף השואל דבר אחד עם כל אחד מהיחסים כגון זמן וכיוצא בו ואז נכתבם ככה
|
|
|
דמיון אם אדם שכר ששה אנשים לעבוד עמו שלשה ימים בח' דינרים ועבדו עמו הארבעה בשני ימים כמה יקחו
|
|
|
אע"פ שאין ספק שזה מחובר משני ערכים אל שלש צורות אבל בעלי החשבון נתנו דרך למצא הכל בתשובה אחת כדי להקל על המחשב כאלו הוא ערך אחד וקראו אותו בעל חמש צורות ונעשה ככה
|
|
|
|
|
|
[27]אנו כופלים את הקצה הראשון עם הימים אשר בצדו ומה שיהיה הוא היסוד אשר אנו חולקים עליו את השאר כאשר נראה כפלנו הששה בשלשה ונהיו י"ח והוא היסוד אחד כפלנו הח' בד' ונהיו ל"ב עוד הל"ב בב' ונהיו ס"ד חלקנו [הס"ד][28] על הי"ח ונהיה החלק הא' ג' ונשארו גם י' בלתי מתחלקים השיבונו הי' אל הפרוטות אשר הם י"ב באחד ונהיו ק"כ חלקנום על הי"ח ונהיה החלק הא' ו' פרוטות ונשארו גם י"ב בלתי מתחלקים השיבונו הי"ב אל פרוטי פרוטות אשר הם י"ב באחד ונהיו קמ"ד חלקנום אל הי"ח ונהיה החלק הא' ח' וידענו מזה שהד' אנשים בשני ימים אשר עברו יקחו ג' דינרים וו' פרוטות [וח' פרוטי פרוטות][29] לפי חשבון התנאי אשר התנה לעבוד עמו הו' אנשי' בשלשה ימים ולקחת ח' דינרים
|
The Separate Part: Discusses Fractions
|
החלק הנפרד המדבר על הנשברים
|
| Said Mordecai: since the number is a discontinuous quantity and the fractions are continuous quantity, and the discontinuous and the continuous are two opposites, for one is endlessly subject to addition but not endlessly subject to division, because it stops [when reaching] one, while the other is endlessly subject to division, because the magnitude cannot be composed of parts that are indivisible.
|
אמר מרדכי להיות שהחשבון הוא מהכמה המתחלק והשברים הם שבר הכמה המתדבק והמתחלק עם המתדבק הם שני הפכים כי זה יקבל התוספת אל בלתי תכלית ולא יקבל החלוקה אל בלתי תכלית כי יעמוד באחד וזה יקבל החלוקה אל בלתי תכלית כי אי אפשר להיות הגודל מחובר מחלקים אשר לא יתחלקו
|
| Therefore, the rules of fractions are the opposite of the rules of integers.
|
לכן היה משפטי השברים הפך משפטי השלמים
|
| For, the product of integers is greater than the multiplicands, while the product of fractions is smaller than the multiplicands.
|
כי כפל השלמים הוא יותר מהמספרים אשר יכפלו [וכפל השברי' הוא פחות מהממספרי' אשר יכפלו][30]
|
| Since one is mean between the integers and the fractions, its product is equal to itself, because it is drawn to both sides equally.
|
ומפני שהאחד הוא אמצעי בין השלמים ובין השברים לכן היה כפלו כמוהו כי ימשך אל שתי צדדיו בשווי
|
|
|
ומפני שהשברים בגודל יסכימו עם החלקים שהם בכלל אחד מקובץ לקחו השם מהם כי החצי נגזר משנים והשלישית מג' והרביעית מד' ולכן יהיה המורה מהם כאשר נבאר אחר יחלקו על מרובע המדה וימצא המבוקש
|
| Multiplication of Fractions
|
|
- Example: one asks: how much is the product of a third by a third?
|
דמיון שאל השואל כפל שלישית על שלישית כמה יהיה
|
- The denominator is 9, because we multiply 3 by 3.
|
והנה המורה ט' כי כפלנו ג' על ג'
|
- Its square is 81.
|
ומרבעו פ"א
|
- We divide the denominator by its square; the result is one ninth and from this we know that the product of a third by a third is a ninth.
|
חלקנו המורה על מרובעו ועלה תשיעי' אחת ומזה ידענו שכפל שלישית על שלישית יהיה תשיעית
|
- Also if they are two thirds by two thirds
|
וכן אם היו ב' שלישיות על ב' שלישיות
|
- The denominator is 9, because we multiply three by three, so it is 9.
|
המורה ט' כי כפלנו שלש על שלש הם ט'
|
- Its square is 81.
|
ומרובעו פ"א
|
- Since the thirds are 2 by 2, we take 6 for the 2-thirds and 6 for the other 2-thirds. We multiply 6 by 6; it is 36.
|
ומפני שהשלישיות היו ב' על ב' לקחנו בעד הב' שלישיות [ו' וכן ו' בעד הב' שלישיות][31] האחרים כפלנו ו' על ו' ונהיו ל"ו
|
- We divide it by 81; the quotient is a third and a ninth and this is the required.
|
חלקנום על פ"א ונהיה החלק האחד שלישית ותשיעית וזהו המבוקש
|
- Another example: one asks: how much are 3 quarters multiplied by 4 ninths?
|
דמיון אחר השואל כמה ג' רביעיות הנכפלות על ארבע תשיעיות
|
- The denominator is 36, because the product of four by 9 is 36.
|
הנה המורה ל"ו כי כפל הארבעה על הט' הם ל"ו
|
- Its square is 1296.
|
ומרבעו אלף רצ"ו
|
- Since the quarters are 3, we take 12 for them, because 3 times 4 is 12. Since the ninths are 4, we take 36 for them. We multiply 12 by 36; it is 432.
|
ומפני כי הרביעיות היו ג' לקחנו י"ב בעדם כי ג' פעמים ד' הם י"ב ומפני שהתשיעיות הם ד' לקחנו בעדם ל"ו הכינו הי"ב עם הל"ו ונהיו תל"ב
|
- We divide it by the square of the denominator, which is 1296; the quotient is one third and from this we know that the required is one third.
|
חלקנום על מרובע המורה שהם אלף רצ"ו ונהיה החלק האחד שלישית אחד ומזה ידענו שהמבוקש הוא שלישית אחד
|
| However, the arithmeticians extract the denominator in an easier way, because this denominator is a large number, so they do like that:
|
אבל בעלי החשבון לוקחים המורה באופן יותר נקל כי זה המורה הוא רב החשבון ועושים ככה
|
- When they are asked about the multiplication of a third by a third, they write the one above, then they draw a line and write the three below. They do the same with the other third. According to this diagram.
|
כשישאלו על כפל שלישית אחד על שלישית אחד כותבים האחד למעלה ואחר הם מתווכים עם קו וכותבים השלישית למטה וככה יעשו בשלישית האחרת כזאת הצורה
|
|
|
|
- They multiply the one by the one; it is one. They multiply the 3 by the 3; it is 9. Then, they examine what is the ratio of 1 to 9 and it is the required.
|
וכופלים האחד על האחד ונהיה אחד אחר כן יכפלו הג' על הג' ונהיו ט' אחר רואים מה ערך הא' אל הט' והוא המבוקש
|
- Another example: how much are 2 thirds multiplied by 4 quarters?
|
דמיון אחר כמה ב' שלישיות הכפולות על ד' רביעיות
|
- We write the 2 above and the three below and draw a line between them. We do the same with the 4-quarters. Like this:
|
כתבנו הב' למעלה [32]והשלישיות למטה והתווכנו עם קו אחד וכן עשינו בד' הרביעיות כזה
|
|
|
|
- We multiply 2 by 4; it is 8. We multiply also the 3 below by the 4 below; it is 12. Then, we examine what is the ratio of 8 to 12; it is two-thirds. From this we know that the required is two-thirds of one.
|
כפלנו [הב' עם הד' ונהיו ח' עוד כפלנו][33] הג' שלמטה עם הד' שלמטה ונהיו י"ב אחר עייננו מה ערך הח' אל הי"ב והם שני שלישים וידענו מזה שהמבוקש הם שני שלישיות אחד
|
| If we want to multiply integers and fractions by integers and fractions:
|
ואם רצינו לכפול שלמים ונשברים עם שלמים ונשברים
|
| We write them like this: the integers and next to the them fractions; the same for those by which we want to multiply them.
|
אנו כותבים אותם ככה השלמים ובצדם הנשברים וכן אשר נרצה לכפול עליהם
|
| Then, we decompose the integers to fractions as follows: we multiply the parts of the continuous by the integers as if they are also integers and add the number of the parts to them also, so they are all become fractions, like this:
|
אחר אנו משברים השלמים בכזה האופן אנו מכים חלקי המתדבק עם השלמים כמו שאם היו גם הם שלמים ואנו מחברים גם מספר החלקים עמהם ואז שבו כלם נשברים כזה
|
- How much are 5 integers and 3-quarters multiplied by 4 integers and 2-thirds?
|
כמה הם חמשה שלמים ושלשת רביעיות הכפולים על ד' שלמים וב' שלישיות
|
- This is the diagram:
|
והנה הצורה
|
|
|
 |
5
|
 |
4
|
|
|
- We multiply the four, which is the denominator of the continuous part, by the five integers; they become 20. We add also the 3, which is the number of the quarters; it is 23-quarters.
|
הכינו הארבעה שהם מורה החלק המתדבק עם החמשה שלמים ושבו כ' חברנו גם הג' שהם מספר הרביעיות ונהיו כ' וג' רביעיות
|
- We multiply the 3, which is the denominator of the continuous part, by the 4 integers; they become 12. We add to it also the two; it is 14-thirds.
|
עוד הכינו הג' שהם מורה חלקי המתדבק עם הד' השלמי' ונהיו י"ב חברנו גם השנים עמהם ונהיו י"ד שלישיות
|
- So, the former are 23-quarters and these are 14-thirds. We multiply these by those; it is 322.
|
והנה הראשונים כ"ג רביעיות ואלה י"ד שלישיות הכינו אלה עם אלה והיו שכ"ב
|
- We multiply also the 4 by the 3, which are the denominators of the thirds and the quarters; it is 12.
|
עוד הכינו הד' עם הג' שהם מורי השלישיות והרביעיות ונהיו י"ב
|
- We examine what is the ratio of 322 to 12; it is 27 minus a sixth. From this we know that the product of 5 integers and 3-quarters by 4 integers and 2-thirds is 27 minus a sixth.
|
ראינו מה ערך השכ"ב אל הי"ב והם כ"ז פחות ששית וידענו מזה כי כפל ה' שלמים וג' רביעיות על ד' שלמים וב' שלישיות הם כ"ז פחות ששית
|
| This is the method the arithmeticians use when there are fractions with integers, whether they are integers alone by integers and fractions, or integers and fractions by integers and fractions, or integers alone by fractions alone.
|
זאת היא הדרך אשר נהגו בעלי החשבון להתנהג בהיות שם שברים עם שלמים בין שהיו שלמים לבד עם שלמים ושברים ובין שהיו שלמים ושברים [עם שלימי' ושברי'][34] ובין שהיו שלמים לבד עם שברים לבד
|
| When there are integers alone by fractions alone, there is also another way: that we take for the integers a denominator as their number, we multiply it by the numerator of the fraction, then divide it by the denominator of the fraction; the result is the required.
|
אמנם בהיות שלמים לבד עם שברים לבד יש גם כן דרך אחרת והיא שנקח בעבור השלמי' מורה כמספרם ונכה אותו עם מספר חלקי השברים ונחלקהו על המורה שנקח מהשברי' והעולה הוא המבוקש
|
- Example: how much are 2 integers multiplied by 3-quarters?
|
דמיון כמה הם ב' שלמים הכפולים על ג' רביעיות
|
- We take 2 for the 2 integers and this is their denominator. We multiply it by 3, which is the numerator of the fraction; it is 6. We divide it by four, which is the denominator of the fraction; it is one and a half and this is the required.
|
לקחנו בעד הב' שלמים ב' והוא המורה שלהם כפלנום עם ג' שהוא מספר חלקי השברים נהיו ו' חלקנום על ארבעה שהוא המורה שלקחנו מהשברים ונהיו אחד וחצי וזהו המבוקש
|
| Proportions of Fractions
|
|
| If you want to relate fractions to fractions, whether there are integers with each of them, or with one of them, you should decompose the integers to fractions first and convert them to fractions according to the type of the fractions that are summed with them.
|
ואם רצית לערוך שברים על שברים בין שיהיו שלמים עם כל אחד מהם [או עם האחד][35] לבד ראוי בתחלה לשבור השלמים ולעשותם שברים כפי המין אשר היו השברים הדבקים עמהם
|
- Write them as follows:
|
וככה תכתבם
|
|
|
|
- First, multiply the two integers by the three, which is the denominator of the thirds; it is 6. Then, add to it also the 2, which is the number of the thirds; it is 8-thirds.
|
תכה בתחלה השני שלמים עם השלש שהוא מורה השלישיות ונהיו ו' אחר תחבר גם הב' עמהם שהוא מספר השלישיות ונהיו ח' שלישיות
|
- We multiply the 3 integers by the 5, which is the denominator of the fifths; it is 15. We add to it also the 4, which is the number of the fifths; it is nineteen fifths.
|
עוד הכינו הג' שלמים עם הה' שהוא מורה החמישיות ונהיו ט"ו חברנו גם הד' עמהם שהם מספר החמישיות ונהיו תשע עשרה חמישיות
|
- We multiply the 4 integers by the 6, which is the denominator of the sixths; it is 24. We add to it also the 3, which is the number of the sixths; it is 27-sixths.
|
עוד הכינו הד' שלמים עם הו' שהם מורה הששיות ונהיו כ"ד חברנו גם הג' שהם מספר הששיות עמהם ונהיו כ"ז ששיות
|
- For, the problem is: if 2 measures and 2-thirds give us 3 dinar and 4-fifths, how much will 4 measures and three-sixths give [us]?
|
כי השאלה היתה אם הב' מדות וב' שלישיות יתנו לנו ג' דינרים וד' חמישיות הד' מדות ושלש ששיות כמה יתנו
|
- It becomes now: if 8-thirds give us 19-fifths, how much will 27-sixths give [us]?
|
ושבה השאלה עתה אם הח' שלישיות יתנו לנו י"ט חמשיות הכ"ז ששיות כמה יתנו
|
- After we convert the problem into fractions, we write them as follows:
|
ואחר שהשיבונו השאלה אל השברים אנו כותבים אותם כך
|
|
|
|
- Then, we multiply them in the form of scissors:
|
אחר כן אנו מכים אותם כדמות מספריים
|
- We multiply 8 by 5; it is 40. We write it beneath the 5.
|
ואנו מכים הח' עם הה' ונהיו מ' ואנו כותבים אותם [36]תחת הה'
|
- We multiply 40 by the 6; it is 240. We write it beneath the 6 and this is the denominator by which we divide.
|
עוד אנו מכים המ' עם הו' ונהיו ר"מ ואנו כותבים תחת הו' וזהו המספר אשר נחלוק עליו
|
- We start multiplying 3 by 19; it is 57. We write it above the 19.
|
עוד אנו מתחילים להכות הג' עם הי"ט ונהיו נ"ז ואנו כותבים אותם על הי"ט
|
- We multiply 57 by 27; it is 1539.
|
עוד אנו מכים הנ"ז עם הכ"ז ונהיו אלף תקל"ט
|
- Then, we divide it by 240; it is 6 integers and 2-fifths and one part of eighty and this is the required that gives us the wanted amount.
|
אחר כן אנו מחלקים אותם על הר"מ ונהיו ו' שלמי' וב' חמישיות וחלק אחד משמנים וזהו המבוקש אשר יתן לנו החשבון הדרוש
|
| Yet, if the problem involves proportional pentad, for instance, when the one who asks adds another thing to his question, like time etc., as we have explained for integers, then we write as follows:
|
אבל אם החשבון יהיה בעל חמש צורות כגון שישתף השואל דבר אחר עם שאלתו כגון זמן וכדומה לו כאשר בארנו בשלמים אז נכתוב ככה
|
- Example: one asks if 2-quarters of a dinar in 4-eighths of a day, which are 12 hours, because an eighth of a day is 3 hours, earn 3-quarters of a dinar, how much will 4-quarters earn in 4-eighths?
|
דמיון שאל השואל אם ב' רביעיות דינר בד' שמיניות היום שהם י"ב שעות כי שמינית היום ג' שעות הרויחו ג' רביעיות דינר הד' רביעיות בד' שמיניות היום כמה ירויחו
|
- This is its diagram:
|
וזה צורתו
|
|
|
| |
1536 |
384 |
96 |
8
|
| 0 |
 |
 |
|
|
|
| |
1024 |
32 |
|
32
|
| |
|
|
|
4
|
| |
|
|
|
128
|
|
|
- We multiply 2 by the 4 in the upper line, which are the numbers of the quarters and the eighths; it is 8.
|
אז נכפול הב' עם הד' שבטור העליון והם מספר הרביעיות והשמיניות ונהיו ח'
|
- Then, we multiply 8 by the 4 in the bottom line; it is 32. We write it beneath it.
|
אחר הכינו הח' עם הד' שבטור השפל ונהיו ל"ב וכתבנום תחתיהם
|
- We multiply 32 by the 4 next to it, beneath the 4 in the upper line; it is 128. We write it beneath it.
|
עוד הכינו הל"ב עם הד' אשר בצדם שהם תחת הד' שבטור העליון ונהיו קכ"ח וכתבנום תחתיהם
|
- We multiply 128 by the eight next to it; it is 1024. We write it beneath it and this is the denominator by which we divide.
|
עוד הכינו הקכ"ח עם השמנה אשר בצדם ונהיו אלף כ"ד וכתבנום תחתיהם ואלה הם היסוד אשר נחלוק עליהם
|
- We multiply 4 by the 8 in the bottom line; it is 32. We write it beneath them.
|
עוד אנו מכים הד' עם הח' שבטור השפל ונהיו ל"ב ואנו כותבי' אותם תחתיהם
|
- We multiply 32 by the 3 in the upper line; it is 96. We write it above it.
|
עוד אנו מכים הל"ב עם הג' שבטור העליון ונהיו צ"ו ואנו כותבים אותם עליהם
|
- We multiply 96 by the 4 next to it; it is 384. We write it above it.
|
עוד אנו מכים הצ"ו עם הד' אשר בצדם ונהיו שפ"ד ואנו כותבים אותם עליהם
|
- We multiply 386 by the 4 next to it; it is 1536. We write it above it.
|
עוד אנו מכים השפ"ד עם הד' אשר בצדם ונהיו אלף תקל"ו ואנו כותבים אותם עליהם
|
- Then, we divide it by 1024; the resulting quotient is one and a half. From this we know that the wanted amount that the 4-quarters earn in 4-eighths of a day is 1 and a half dinar.
|
אחר כן אנו מחלקים אותם על האלף וכ"ד ויצא החלק אחד וחצי וידענו מזה שזהו החשבון המבוקש אשר ירויחו הד' רביעיות בד' שמיניות היום כי ירויחו א' וחצי דינר
|
- Another example: we wish to know if 2-thirds of a dinar in 4-fifths of a day earn 6-sevenths, how much will 8-ninths earn in 10-tenths?
|
דמיון אחר לזה רצינו לדעת אם הב' שלישיות דינר בד' חמישיות היום ירויחו ו' שביעיות הח' תשיעיות בי' עשיריות כמה יתנו
|
- We write them like this:
|
וכתבנום ככה
|
|
|
| |
7200 |
720 |
90 |
8
|
| 0 |
 |
 |
 |
 |
|
| |
5040 |
504 |
56 |
15 |
|
|
|
- We multiply 2 by the 4 in the upper line; it is 8. We write it above them.
|
כפלנו הב' עם הד' שבטור העליון ונהיו ח' וכתבנום עליהם
|
- We multiply 8 by the 7 that is third in the bottom line; it is 56. We write it beneath the 7 in the bottom line.
|
עוד הכינו הח' עם הז' שהוא שלישי לטור השפל ונהיו נ"ו וכתבנום תחת הז' שבטור השפל
|
- We multiply 56 by 9; it is 504. We write it beneath the 9.
|
עוד הכינו הנ"ו עם הט' ונהיו תק"ד וכתבנום תחת הט'
|
- We multiply 504 by the 10; it is 5 thousand and 40. We write it beneath the ten and this is the denominator by which we divide.
|
עוד הכינו התק"ד עם הי' ונהיו ה' אלפים ומ' וכתבנום תחת העשרה ואלה הם היסוד אשר נחלק עליהם
|
- We multiply 3 by the 5 in the bottom line; it is 15. We write it beneath the 5.
|
עוד חזרנו והכינו את הג' עם הה' שבטור השפל ונהיו ט"ו וכתבנום למטה תחת הה'
|
- We multiply 15 by the 6 that is third in the upper line; it is 90. We write it above the 6.
|
אחר הכינו את הט"ו עם הוו' שבטור העליון שהוא השלישי והיו צ' וכתבנום על הו'
|
- We multiply 90 by the 8; it is seven hundred and 20. We write it above the 8.
|
עוד הכינו הצ' עם הח' ונהיו שבע מאות וכ' וכתבנום על הח'
|
- We multiply the seven hundred and 20 by 10; it is 7 thousand and two hundred.
|
עוד הכינו את השבע מאות וכ' עם הי' ונהיו ז' אלפים ומאתים
|
- We divide it by the denominator, which is 5040; the resulting quotient is one plus a third and one part of 10. From this we know that this is what the 8-ninths of a dinar earn in 10-tenths of a day, if 2-thirds of a dinar earn 6-sevenths in 4-fifths of a day.
|
חלקנו אותם על היסוד שהם ה' אלפי' מ' ונהיה החלק אחד ושליש וחלק א' מי' וידענו מזה שזהו מה שירויחו הח' תשיעיות דינר בי' עשיריות היום אם הב' שלישיות דינר הרויחו ו' שביעיות בד' חמישיות היום
|
|
|
זהו הדרך אשר ישתמשו בה כל הסוחרים ובעלי החשבון באלה שתי מיני הצורות לשברים ר"ל בבעלי השלש צורות ובעלי החמש צורות
|
|
|
אולם יש דרך אחרת גם היא נכונה אבל יצטרך לחלק שלש פעמים והיא זאת
|
- Example of the first proportional triad, the problem is: if 8-thirds yield 19-fifths, how much will 27-sixths yield?
|
דמיון בבעלת [37]השלש צורות הראשונה שהשאלה היא אם הח' שלישיות יתנו לנו י"ט חמישיות הכ"ז ששיות כמה יתנו
|
|
|
אנו כותבים אותם כמשפט הראשון עם הקו המתויך כך אחר אנו מכים מספר החלקים שבטור העליון השני עם השלישי ואנו מחלקי' אותם על הראשון וכן נעשה גם בטור השפל אחר כן אנו מחלקים מה שיצא מן החלק בטור העליון על מה שיצא מן החלק בטור השפל והיוצא הוא המבוקש
|
|
|
דמיון הכינו הי"ט עם הכ"ז ונהיו תקי"ג חלקנו אותם על הח' ונהיה החלק הא' ס"ד ושמינית ושמרנום עוד הכינו הה' עם הו' שבטור השפל ונהיו ל' חלקנו אותם על הג' ונהיה החלק האחד י' אחר כן חלקנו הס"ד ושמינית השמורים על הי' ונהיה החלק הא' ו' שלמים וב' חמישיות וחלק א' משמנים
|
- Another example of the first proportional pentad, the problem is: if 2-quarters of a dinar in 4-eighths of a day earn 3-quarters of a dinar in 4-eighths of a day, how much will 4-quarters earn?
|
דמיון אחר על בעלת חמש צורות הראשונות אשר השאלה היא אם ב' רביעיות דינר בד' שמיניות היום הרויחו ג' רביעיות דינר בד' שמיניות היום כמה ירויחו ד' רביעיות
|
|
|
וכתבנום כמשפט הראשון ככה כפלנו הב' על הד' שבטור העליון ונהיו ח' ושמרנום כי על אלה השמנה נחלק כפל המספרים הנשארים אשר בטור העליון אחר כן כפלנו הג' שבטור העליון על הד' שבטור השפל אשר תחתיו ונהיה י"ב עוד הכינו הי"ב עם הד' שבטור העליון אשר בצדם ונהיה מ"ח חלקנו אותם על הח' השמורים ונהיה החלק הא' ששה ושמרנום עוד כפלנו הד' על הח' שבטור השפל ונהיו שלשים ושנים ושמרנום כי על אלה הל"ב נחלק כפל המספרים הנשארים אשר בטור השפל [אח"כ כפלנו הד' על הד' אשר בטור השפל][38] בצדם ונהיו י"ו עוד כפלנו הי"ו עם [הח'][39] אשר בצדם ונהיו קכ"ח חלקנו אותם על הל"ב השמורים ונהיה החלק האחד ד' אחר כן חלקנו הששה אשר שמרנום על אלה הד' ונהיה החלק א' וחצי ומזה ידענו שהריוח אשר ירויחו הד' רביעיות דינר בד' שמיניות היום הוא אחד וחצי דינר אם הב' רביעיות בד' שמיניות הרויחו ג' רביעיות דינר
|
| Addition of Fractions
|
|
|
|
ואם רצית לקבץ שברים עם שברים אתה צריך לעשות מורה מהם ולהביט השברים ההם על אותו המורה ולערוך אותם על המורה ואז תדע כמה יהיה הסך
|
- Example: if one asks: we summed 2 thirds with 3 quarters. How much are they?
|
דמיון שאל שואל קבצנו ב' שלישיות עם ג' רביעיות כמה יהיו
|
- We multiply 3 by 4; it is 12 and this is the denominator.
|
הכינו הג' עם הד' ונהיו י"ב והוא המורה
|
- Its 2-thirds are 8.
|
וב' שלישיותיו ח'
|
- Its 3-quarters are 9.
|
וג' רביעיותיו ט'
|
|
|
ושניהם מקובצים י"ז תערכם אל הי"ב שהוא האחד השלם יהיו א' שלם ושליש וחלק א' מי"ב
|
|
|
וכן אם היו מיני השברים יותר ככה תעשה
|
- Example: we summed 2 thirds, 3 quarters and 4 fifths. How much is the sum?
|
דמיון [קבצנו][40] ב' שלישיות וג' רביעיות וד' חמישיות כמה יהיה המקובץ
|
- We multiply 3 by 4; it is 12. We multiply 12 by 5; it is 60 and this is the denominator.
|
כפלנו ג' על ד' ונהיו י"ב עוד כפלנו הי"ב על הה' ונהיו ס' והוא המורה
|
- Its 2-thirds are 40.
|
וב' שלישיותיו מ'
|
- Its 3-quarters are 45.
|
וג' רביעיותיו מ"ה
|
- Its 4-fifths are 48.
|
וד' חמישיותיו מ"ח
|
|
|
והכל מקובצים קל"ג ערכנו אותם על ס' שהוא המורה והוא האחד השלם ונהיו שנים שלמים וחמישית אחת וחלק אחד מששים
|
|
|
וכן אם תרצה לקבץ יותר מאלה כן תעשה כמשפט הזה
|
| Division of Fractions
|
|
|
|
ואם תרצה לחלק נשברים על נשברים בקש מורה אחד לשניהם וקח ממנו כמספר החלקים הדרושים וחלק זה על זה והעולה הוא המבוקש
|
- Example: we wish to divide 4-ninths by 5-sevenths.
|
דמיון רצינו לחלק ד' תשיעיות על ה' שביעיות
|
- The denominator is 63, because 9 times 7 is 63.
|
והמורה הוא ס"ג כי ט' פעמים ז' הם ס"ג
|
- Its 4-ninths are 28.
|
וד' תשיעיותיו הם כ"ח
|
- Its 5-sevenths are 45.
|
וה' שביעיותיו הם מ"ה
|
|
|
חלקנו הכ"ח על המ"ה ונהיו חצי אחד ותשיעית אחד וחלק א' מתשעים וזהו המבוקש
|
|
|
ואם היו שם שלמים עם שברים תעשה ככה בקש המורה והוא הא' השלם ועליו תביט את מספר החלקים ותכפלם כמספרו ותחבר גם את השברים עמהם וכן תעשה גם במספר אשר תחלוק עליו אחר [41]כן חלק זה על זה והעולה הוא המבוקש
|
|
|
דמיון רצינו לחלק ג' שלמים וב' חמישיות על ב' שלמים וד' שביעיות אחד
|
|
|
והמורה ל"ה כי ה' פעמים ז' הם ל"ה והוא הא' השלם והג' שלמים הם ק"ה כי ג' פעמים ל"ה הם ק"ה והב' חמישיות הם י"ד כי חמישית הל"ה הם ז' חברנום עם הק"ה ונהיו קי"ט עוד שמנו הב' שלמים האחרים ע' והד' שביעיות כ' כי שביעית הל"ה הם ה' חברנום עם הע' ונהיו צ' חלקנו עליהם הקי"ט ונהיה אחד שלם ונשארו כ"ט חלקים שהם ב' תשיעיות מן הצ' ועשירית אחד
|
| Subtraction of Fractions
|
|
|
|
וכן אם רצית לחסר שברים משברים ככה תעשה בקש המורה בתחלה וראה חלקיו וחסר אלה מאלה
|
|
|
דמיון רצינו לחסר ב' שביעיות מד' תשיעיות
|
- The denominator is 63.
|
והמורה הוא ס"ג
|
- Its 2-sevenths are 18.
|
וב' שביעיותיו י"ח
|
- Its 4-ninths are 28.
|
וארבע תשיעיותיו כ"ח
|
|
|
תחסר י"ח מכ"ח ונשארו י' שהם פחות מששית מעט
|
|
|
ועתה ארגילך בענין השאלות כדי שתהיה זריז בחשבונך
|
The Place of the Problems
|
מקום השאלות
|
| Multiplication of Fractions
|
|
- 1) How much are 9 parts of 13 multiplied by 17 parts of 19?
|
א כמה ט' חלקים מי"ג הכפולים על י"ז חלקים מי"ט
|
- These do not have an expressible ratio, therefore you should know how to multiply and what to do.
|
כי אלה אין להם ערך מדובר לכן ראוי שתדע איך תכפול ומה תעשה
|
- common denominator: We should know the denominator first. We multiply 13 by 19; it is 247 and this is the denominator.
|
ראוי שנדע בתחלה המורה והנה נכפל י"ג על י"ט יהיו רמ"ז והוא המורה
|
- Then, we take 19 for each of the 9 parts; it is 171 and this is the first number.
|
אח"כ נקח לכל אחד מט' חלקים י"ט נהיו קע"א והוא המספר האחד
|
- We take also 13 for each of the 17 parts; it is 221.
|
עוד נקח לכל אחד מי"ז חלקי' י"ג נהיו רכ"א
|
- We multiply one by the other; it is 37791.
|
נכפול זה על זה נהיו ל"ז אלפים תשצ"א
|
- We divide it by 247; the result is 153.
|
חלקנו אותם על רמ"ז ועלו קנ"ג
|
- The product of 9 by 17 is also 153.
|
והנה העולה מכפל ט' בי"ז גם כן קנ"ג
|
- The ratio of it to 247 is as the ratio of the first number, i.e. 37791, to the square of 247 and this is the required.
|
וערך זה אל רמ"ז כערך המספר הראשון [ר"ל מספר ל"ז אלפים תשצ"א] אל מרובע רמ"ז והוא המבוקש
|
- If you want to be precise, divide 153 by 19; the result is 8 parts of 13 and one fraction remains, which is one part of 19.
|
ואם תרצה לדקדקו חלק קנ"ג על י"ט יהיה העולה ח' חלקים מי"ג וישאר שבר א' שהוא שבר חלק מי"ט
|
- Or, if you want, we divide 153 by 13; the result is 11 parts of 19 and 10 parts of 13 of one part of 19.
|
או אם תרצה חלקנו זה קנ"ג על י"ג ויהיו י"א חלקים שלימים מי"ט וי' נשברים שי"ג מהם עושה חלק אחד מי"ט
|
| How Much Problems
|
|
| Road
|
|
- 2) Question: a road, we add to it its quarter and its fifth and the sum is 10 miles.
- How long is the road?
|
ב שאלה דרך חברנו אליה רביעיתה וחמשיתה והיתה י' מילין
כמה היתה הדרך
|
- False Position - common denominator: We define the denominator 20, because 4 times 5 is 20.
|
נשים המורה כ' כי ד' פעמי' ה' הם כ'
|
- Its quarter and its fifth are 9. We add it to the denominator; it is 29.
|
ורביעיתו וחמשיתו הם ט' נחברם עם המורה נהיו כ"ט
|
- Rule of Three: We multiply 20 by 10; it is 200.
|
נכפול הכ' עם הי' ונהיו ר'
|
- We divide it by 29; it is 6+½+⅓+¹/₁₅ miles approximately and this is [the length of] the road.
|
נחלקם על כ"ט ונהיו ו' מילין וחצי מיל ושליש מיל וחלק אחד מט"ו בקרוב וככה היא הדרך
|
| Money
|
|
- 3) Question: we take a ninth of an amount of money, its tenth, and its one part of 11. How much is the ratio of all of this to the amount of money?
|
ג שאלה לקחנו תשיעית ממון ועשיריתו וחלק אחד מי"א ממנו
כמה הוא כל זה מערך הממון
|
- This is easy for the one who knows to add fractions, as we wrote concerning their addition.
|
והנה זה נקל הוא מי שידע לחבר השברים כאשר כתבנו בחבורם
|
- We do as follows: we look for a denominator by multiplying 9 by 10; it is 90. Then 90 by 11; it is 990 and this is the denominator.
|
וכן נעשה נבקש מורה והוא שנכפול ט' על י' ונהיו צ' עוד צ' על י"א ונהיו תתק"ץ וזהו המורה
|
- Its ninth is 110; its tenth is 99; its one part of 11 is 90; and the total sum is 299.
|
ותשיעיתו ק"י ועשיריתו צ"ט וחלק אחד י' ממנו צ' והכל מחוברי' רצ"ט
|
- The ratio of 299 to 990 is the ratio of these to the amount of money.
|
וערך רצ"ט אל תתק"צ ככה אלה מערך הממון
|
- We divide it by 90, which is one part of 11; it is 3 parts of 11 and 29 parts of 90, which are one-third of one part of 11 minus something.
|
חלקנו אותם אל צ' שהוא חלק אחד מי"א ונהיו ג' חלקי' מי"א וכ"ט חלקי' מצ' שהם שלישית חלק מי"א פחות משהו
|
- 4) Question: an amount of money, we add to it its half, its third, its fifth, and its sixth and the sum is 60.
- How much is the amount of money?
|
ד שאלה ממון הוספנו עליו מחציתו שלישיתו חמשיתו וששיתו ובין הכל היו ס'
כמה היה הממון
|
- We know that the half, the third, and the six are one integer.
|
ידענו שהחצי והשלישית והששית הוא אחד שלם
|
- We think as if it were one, so it is now two and a fifth.
- False Position:
|
ונחשב שהיה לו אחד והיה לו עתה שנים וחמשית
|
- Rule of Three: We divide 60 by 2⅕ and so is the amount of money.
|
נחלק הס' על הב' וחמשית וכך היה הממון
|
- Convert the 2 integers into fifths, since we have a fifth, then we add the fifth that we have to them; they are 11 fifths.
|
והנה תשיב הב' שלימי' אל חמשיות מפני שיש לנו חמשית ונחבר גם החמשית שיש לנו עמם ונהיו י"א חמשיות
|
- We multiply 5 by 60; it is 300 and this is the denominator.
|
נכפול ה' על ס' ונהיו ש' והוא המורה
|
- We divide it by 11; the quotient is 27 and 3 parts of 11 and this is the amount of money.
|
נחלקם על י"א והיה החלק כ"ז וג' חלקי' מי"א וככה היה הממון
|
| How Many Problem - horses
|
|
- 5) Question: a riding man saw a man pulling horses and said to him: where are you leading these 100 horses?
- He answered him: these and other like them and a half of them and a quarter of them with the horse you ride are 100.
- How much were the horses?
|
ה שאלה אדם רוכב ראה איש מושך סוסים וא"ל אנה אתה מוליך אלה הק' סוסים
והשיב לו אלה ואחרים כמותם ומחציתם ורביעיתם ועם הסוס שאתה רוכב הם ק'
כמה היו הסוסים
|
- We subtract the rider's horse; 99 remains.
|
הנה נוציא הסוס שרוכב זה ונשארו צ"ט
|
- False Position: We have two, a half, and a quarter. Since we have a quarter, we convert all into quarters: the 2 integers are 8 quarters; the half is 2; so they are 10. We add the quarters that we have to them also; they are 11 quarters.
|
יש לנו שנים ומחצית ורביעית ומפני שיש לנו רביעית נשיב הכל לרביעיות והנה הב' שלימי' הם ח' רביעיות והמחצית ב' הרי י' נחבר גם הרביעיות שיש לנו עמם נהיו י"א רביעיות
|
- Rule of Three: We return to the ratios and write: if the 11-quarters yield 99, how much will the 4-quarter that are one integer yield?
|
אחר נשיב אותם אל הערכים ונכתוב אם הי"א רביעיות נתנו צ"ט הד' רביעיות שהוא האחד השלם כמה יתנו
|
- We multiply the means, which are 4 by 99, then divide them by 11, which is the extreme; it is 36 and this is the number of the horses.
|
נכפל האמצעיים שהם הד' על הצ"ט ונחלקם על י"א שהוא הקצה נהיו ל"ו וככה מספר הסוסים
|
| Buy and Sell Problems
|
|
- 6) Question: a man bought 24 liṭra for 24 dinar. He sold 12 [of them] at 1¼ liṭra for one dinar, and the [other] 12 liṭra at (1‒¼) liṭra for one dinar.
- We want to know: did he earn or lose?
|
ו שאלה אדם קנה כ"ד ליט' בכ"ד דינ' ומכר הי"ב ליט' ורביע ליט' בדינר והי"ב ליט' מכר ליט' פחות רביע ליט' בדינר
נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד
|
- We convert the first 12 liṭra into quarters; they are 48
|
נשיב הי"ב ליט' הראשוני' לרביעיות ונהיו מ"ח
|
- We divide them by 5, since he sold 5 quarters for one dinar; it is 9+½+⅒, and these are the dinar he earned from the first 12 liṭra.
|
נחלקם על ה' כי ה' רביעיות מכר בדינר ונהיו ט' וחצי ועשירית ואלה הם הדינ' שלקח מהי"ב ליט' הראשונים
|
- We multiply the other 12 liṭra by 4, since he sold (1‒¼) liṭra for one dinar; they are 48.
|
עוד נכה הי"ב ליט' האחרוני' בד' כי ליט' פחות רביע מכר בדינ' ונהיו מ"ח
|
- We divide them by 3, since (1‒¼) liṭra are ¾; it is 16, and these are the dinar he earned from the other 12 liṭra.
|
נחלקם על ג' מפני שהליט' פחות רביע הם ג' רביעיות ונהיו י"ו ואלה הם הדינ' שלקח מהי"ב ליט' האחרונים
|
- We sum up the two amounts of money; they are 25+½+⅒.
|
נחבר שני הממונות נהיו כ"ה וחצי ועשירית
|
- We subtract the 24 dinar of the original amount; 1+½+⅒ dinar remains and this is the profit.
|
נוציא כ"ד דינ' של הקרן נשאר דינר וחצי ועשירית וזהו הריוח
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{12}{1+\frac{1}{4}}+\frac{12}{1-\frac{1}{4}}\right)-24&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot12}{5}+\frac{4\sdot12}{3}\right)-24\\&\scriptstyle=\left(\frac{48}{5}+\frac{48}{3}\right)-24\\&\scriptstyle=\left[\left(9+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\right)+16\right]-24\\&\scriptstyle=\left(25+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\right)-24=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/5/e/3/5e3a2961b99ecea99fbb5358aff1322e.png)
|
|
- 7) Question: a man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
- How much money did he have originally?
|
ז שאלה אדם קנה ג' חמשיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט
כמה היה ממונו
|
- common denominator: We look for a denominator; it is 35.
|
נבקש המורה והוא ל"ה
|
- Its 3-fifths are 21.
|
וג' חמשיותיו כ"א
|
- Its 4-sevenths are 20.
|
וד' שביעיותיו כ'
|
- Check: The amount of money was 20 pešuṭim, because for each pašuṭ he earns one part of 20 of a pašuṭ and when he sells for 20 pešuṭim he earns one pašuṭ.
|
והממון היה כ' פשוטי' כי בכל פשוט ירויח חלק אחד מכ' בפשוט וכשימכור של כ' פשוטי' ירויח פשוט אחד
|
- Question: a man bought 9/17 parts of a liṭra for one pašuṭ, then he sold 10/19 parts [of a liṭra] for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
- How much was the money?
|
שאלה אדם קנה ט' חלקים מי"ז חלקי' ליטר' בפשוט ומכר י' חלקי' מי"ט בפשוט והרויח פשוט
כמה היה הממון
|
- common denominator: We look for a denominator by multiplying 17 by 19; it is 323.
|
נבקש המורה והוא שנכפול י"ז על י"ט ונהיו שכ"ג
|
- It is known that 9 parts of 17 are 171 and this was the amount of money.
|
וידוע כי ט' חלקי' מי"ז הם קע"א וככה היה הממון
|
- 10 parts of 19 are 170.
|
וי' חלקי' מי"ט הם ק"ע
|
- Check: So, he earned one pašuṭ.
|
והנה הרויח הפשוט
|
| How Much Problem - Money
|
|
- 8) Question: an amount of money, we sum its third, its quarter, and its fifth and the sum is 30.
- How much is the amount of money?
|
ח שאלה ממון חברנו שלישיתו רביעיתו חמשיתו והיו ל'
כמה הוא כל הממון
|
- False Position - common denominator: We look for the denominator; it is 60.
|
נבקש המורה והוא ס'
|
- Its third is 20; its quarter is 15; its fifth is 12; together they are 47.
|
ושלישיתו כ' ורביעיתו ט"ו וחמשיתו י"ב וכלם מ"ז
|
- Rule of Three: As the ratio of 47 to 60 so is the ratio of 30 to the whole amount of money.
|
הנה כערך מ"ז אל ס' כן ערך ל' אל כל הממון
|
- We write like this: if 47 yields 60, how much will 30 yield?
|
ונכתו' ככה אם המ"ז יתנו ס' הל' כמה יתנו
|
|
|
- We miltiply the means; it is 1800.
|
נכפול האמצעיים כך ונהיו אלף ת"ת
|
- We divide it by the extreme, which is 47; the quotient is 38¼, and 2¼ parts of 47.
|
נחלקם על הקצה שהוא המ"ז נהיה החלק ל"ח ורביעית וב' חלקי' ורביע חלק ממ"ז
|
| Partnership Problem - For the Same Time
|
|
- 9) Question: five people - the first gave 6 dinar, the second 7 dinar, the third 8 [dinar], the fourth 9 dinar, and the fifth 10 dinar.
- They earned a total of 11 dinar.
- How much should each of them take [from the profit]?
|
ט שאלה אם אנשים ה' נתן האחד ו' דינ' והשני ז' דינ' והשלישי ח' והרביעי ט' דינ' והחמשי י' דינ'
והרויחו בין הכל י"א דינ'
כמה יקח כל אחד מהם
|
- The 11 dinar is what is earned by the sum of all these dinar.
|
הנה אלה הי"א דינ' הרויחו אותם כל הדינ' מקובצי'
|
- We look how much they are, then we convert them to the ratio of each and as the ratio of the money of each so each takes.
|
ונראה אותם כמה הם אח"כ נשיב אותם אל הערך של כל אחד ואחד וכפי ערך ממונו ככה יקח
|
- The sum of the given dinar is 40 dinar.
|
והנה הדינרי' מקובצי' הם מ' דינ'
|
- We write the ratio of the first as follows:
|
ונכתו' הערך של הראשון ככה
|
|
|
- Rule of Three: If 40 dinar earn 11, how much will 6 earn?
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א הו' כמה ירויחו
|
- We multiply the means; it is 66.
|
נכפול האמצעיים ונהיו ס"ו
|
- We divide it by 40, which is the extreme; the quotient is 1+½+⅛+¹/₄₀ and so the owner of the 6 dinar takes.
|
ונחלקם על מ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד אחד וחצי ושמינית וחלק אחד ממ' וככה יקח בעל הו' דינר
|
- We write also the ratio of the second as follows:
|
עוד נכתו' הערך של השני ככה
|
|
|
- Rule of Three: If 40 dinar earn 11, how much will 7 earn?
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א הז' דינ' כמה ירויחו
|
- We multiply the means; it is 77.
|
נכפל האמצעיים ונהיו ע"ז
|
- We divide it by the extreme, which is 40; the quotient is 1+¾+⅛+¹/₂₀ and so the owner of the 7 dinar takes.
|
נחלקם על הקצה שהוא המ' ונהיה החלק האחד אחד וג' רביעיות ושמינית וחלק א' מכ' וככה יקח בעל הז' דינ'
|
- We write also the ratio of the third as follows:
|
עוד נכתו' הערך של השלישי ככה
|
|
|
- Rule of Three: If 40 dinar earn 11, how much will 8 earn?
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א דינ' הח' דינ' כמה ירויחו
|
- We multiply the means; it is 88.
|
נכפל האמצעיים ונהיו פ"ח
|
- We divide it by 40, which is the extreme; the quotient is 2+⅕ and so the owner of the 8 dinar takes.
|
נחלקם על המ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד ב' וחמשית וככה יקח בעל הח' דינ'
|
- We write also the ratio of the fourth as follows:
|
עוד נכתו' הערך של הרביעי ככה
|
|
|
- Rule of Three: If 40 dinar earn 11, how much will 9 earn?
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א הט' דינ' כמה ירויחו
|
- We multiply the means; it is 99.
|
נכפול האמצעיים ונהיו צ"ט
|
- We divide it by 40; the quotient is 2+¼+⅕+¹/₄₀ and so the owner of the 9 dinar takes.
|
נחלקם על המ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד ב' ורביעית וחמשית וחלק אחד ממ' וככה יקח בעל הט' דינ'
|
- We write also the ratio of the fifth as follows:
|
עוד נכתו' הערך של החמשי ככה
|
|
|
- Rule of Three: If 40 dinar earn 11, how much will 10 earn?
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א הי' כמה ירויחו
|
- We multiply the means; it is 110.
|
נכפול האמצעיים ונהיו ק"י
|
- We divide it by 40, which is the extreme; the quotient is 2+¾ and so the owner of the 10 dinar takes.
|
נחלקם על מ' שהוא הקצה ונהיה החלק הא' ב' וג' רביעיות וככה יקח בעל הי' דינ'
|
- Check: When you sum all the shares that they take, you find them 11, no more and no less.
|
וכשתקבץ כל החלקי' שיקחו הכל תמצאם י"א לא פחות ולא יתר
|
- Another method to find this:
|
דרך אחרת למצוא זה
|
- Convert the 11 dinar that are the total profit into pešuṭim, then divide them by 40 and you will see how much is the profit of each dinar of the 40.
|
תעשה הי"א דינ' שהם הריוח כלם פשוטי' ותחלקם על מ' ותראה כמה ריוח יגיע לכל דינר מהמ'
|
- Multiply this profit by 6 and the result is the share of the owner of the 6 dinar.
|
והריוח ההוא תכפול אותו עם הו' ואשר יהיה ככה יגיע לבעל הו'
|
- Multiply it by 7 and the result is the share of the owner of the 7 dinar.
|
עוד תכפול אותו עם הז' ואשר יהיה ככה יגיע לבעל הז'
|
- Do likewise with 8, 9, and 10.
|
וכן תעשה עם הח' והט' והי'
|
| Purchase Problem - Equal Amount
|
|
- 10) Question: the buyer had three [kinds of] coins.
- He went to the seller to buy one liṭra of silk.
- The first coin was worth 3 dinar.
- The second coin was worth 4 dinar.
- The third coin was worth 6 dinar.
- The buyer said: give me one liṭra of silk and take from my three coins equally so that you will take the value of the liṭra
- How much should he take from each coin?
|
י שאלה יש אצל הקונה שלשה מטבעים
והלך אצל המוכר לקנות ליט' אחת משי
והמטבע האחת היתה שווה ג' דינ'
והמטבע השנית היתה שוה ד' דינ'
והמטבע השלישי' היתה שוה ו' דינ'
ואמ' הקונה תן לי ליט' משי וקח מג' מטבעותי בשווי עד שתקח מה ששוה הליט'
כמה יקח מכל מטבע ומטבע
|
- common denominator: We look for the denominator; it is 72, because the product of 3 by 4 is 12 and the product of 12 by 6 is 72.
|
נבקש המורה והוא ע"ב כי כפל ג' על ד' י"ב וכפל י"ב על ו' ע"ב
|
- Its third is 24; its quarter is 18; its sixth is 12; the total sum is 54 dinar.
|
ושלישיתו כ"ד ורביעיתו י"ח וששיתו י"ב והכל נ"ד וזהו הדינ'
|
- We divide the denominator, which is 72, by 54; the quotient is 1⅓ and so he will take from each coin.
|
נחלק המורה שהוא ע"ב על נ"ד ונהיה החלק האחד אחד ושליש וככה יקח מכל מטבע
|
- We convert the dinar into 12 perutot and he takes 16 perutot from each [type of] coin:
|
והנה נעשה הדינ' י"ב פרוטו' ויקח י"ו פרוטות מכל מטבע
|
- If you want to know how:
|
ואם תרצה לדעת איך הוא
|
- Think as if he wants to take 36 perutot from the coin of 3 dinar and he takes 16 perutot from it.
|
כך תחשוב שרוצה לקחת ל"ו פרוטות ממטבע ששוה ג' דינ' ולקח ממנו י"ו פרוטות
|
- When he takes 16 perutot from the coin of 4 dinar, it is as if he takes 12 perutot from the coin of 3 dinar, as the ratio of 4 to 3.
|
וכשלקח עוד י"ו פרוטות ממטבע ששוה ד' דינ' כאלו לקח י"ב פרוטו' ממטבע ששוה ג' דינ' כערך הד' אל הג'
|
- We sum up 12 with 16; it is 28.
|
נחבר הי"ב עם הי"ו ונהיו כ"ח
|
- When he takes 16 perutot from the coin of 6 dinar, it is as if he took 8 perutot from the coin of 3 dinar, as the ratio of 3 to 6.
|
עוד כשלקח י"ו פרוטות ממטבע ששוה ו' דינ' הוא כאלו לקח ח' פרוטו' ממטבע ששוה ג' דינ' כערך הג' אל הו'
|
- We sum up 8 with 28; it is 36 and it is the required.
|
נחבר הח' עם הכ"ח ונהיו ל"ו וזהו המבוקש
|
| Payment Problems
|
|
| constructing a shelf
|
|
- 11) Question: a man agreed with a craftsman to construct for him a shelf of 6 in length and 6 in width and he will pay him 8 dinar.
- He constructed for him [a shelf of] 3 in length and 3 in width.
- How much should he pay him?
|
יא שאלה אדם התנה עם אומן לבנות לו אצטבא ו' באורך ו' וו' ברוחב ויתן לו ח' דינ'
והוא בנה לו ג' בארך וג' ברחב
כמה יתן לו
|
- He will be paid a quarter
|
אין ספק כי יתן לו הרביעית שהוא ב' דינ' כי כפל חצי על חצי הוא רביעית אחד
|
- If he had constructed a half of the length by the whole width or half of the width by the whole length, he would have been paid a half of the payment
|
שאלו היה בונה כל האורך עם חצי הרוחב או ההפך היה נותן לו המחצית
|
- If he agreed with him to construct for him [a shelf of] 5 in length, 6 in width, and 7 in height and he will pay him 8 dinar.
- He constructed for him [a shelf of] 4 in length, 5 in width, and 6 in height.
- How much should he pay him?
|
אבל אם התנה עמו שיבנה לו ה' בארך ו' ברוחב ז' בגובה ויתן לו ח' דינ'
והוא בנה ד' בארך וה' ברחב וו' בגובה
כמה יתן לו
|
- We should sum up all the numbers of the condition, then take their ratio, and likewise the measures of the construction:
|
אז ראוי שנחבר כל מספרי התנאי ונשיבם אל הערכים וכן מספרי הבניין
|
- We sum up first the numbers of the condition; the sum is 18.
|
חברנו תחלה מספרי התנאי ונהיו י"ח
|
- We sum up also the measures of the construction; the sum is 15.
|
עוד חברנו מספרי הבניין ונהיו ט"ו
|
- Rule of Three: We take the ratio as follows: If 18 yield 8 dinar, how much will 15 yield?
|
ועשינו הערך ככה אם אם הי"ח יתנו ח' דינ' הט"ו כמה יתנו
|
|
|
- We multiply the means; it is 120.
|
כפלנו האמצעיים ונהיו ק"כ
|
- We divide it by 18, which is the extreme; the quotient is 6⅔ and so he is paid.
|
חלקנום על הי"ח שהוא הקצה ונהיה החלק ו' וב' שלישיות וככה יקח
|
| three workers, three different daily wages, the same actual payment
|
|
- 12) Question: a man hired three brothers - Reuven, Shimon and Levi - for two days so that one of them will work with him.
- If Reuven will work with him the whole two days he will pay him 6 dinar.
- If Shimon will work alone he will pay him 4 dinar.
- If Levi will work alone he will pay him 3 dinar.
- They worked a total of two days together.
- Finally, he paid each of them an equal share.
- How much is the share of each of them and how many hours did each of them work?
|
יב שאלה אדם אחד שכר ג' אחים ראובן שמעון לוי לעבוד אחד מהם עמו ב' ימי'
ואם יעבוד ראובן עמו כל הב' ימי' יתן לו ו' דינ'
ואם יעבוד שמעון לבדו יתן לו ד' דינ'
ואם יעבוד לוי לבדו יתן לו ג' דינ'
עתה בין הכל עבדו ב' ימי'
ובאחרונה פרע לכל חלק שוה
כמה פרע כל אחד ואחד וכמה שעות עבד כל אחד ואחד
|
- common denominator: We look for the denominator; it is 72, because the product of 6 by 4 is 24, and this by 3 is 72.
|
נבקש המורה והוא ע"ב כי כפל ו' על ד' הם כ"ד ואלה על ג' הם ע"ב
|
- Its sixth, its third, and its quarter are 54.
|
וששיתו ושלישיתו ורביעיתו הם נ"ד
|
- As the ratio of 72 to 54, so one is paid from the dinar. The ratio of 72 to 54 is 1⅓ and so each of them is paid.
|
הנה כערך ע"ב אל נ"ד ככה יקח מהדינרי' וערך ע"ב אל נ"ד הוא אחד ושליש וככה יקח כל אחד ואחד
|
- We wish to know how many hours each of them worked:
|
נבקש לדעת כמה שעות עבד כל אחד ואחד
|
- We take the ratio and convert the dinar into thirds, because of the third that is added to the dinar.
|
ונשיבהו אל הערכים ונשיב הדינ' שלישיות מפני השליש שעודף על הדינר
|
- The day is 12 hours.
|
והיום י"ב שעות
|
- Rule of Three: We take Reuven's ratio as follows: If 18-thirds are 24 hours, how much will 4-thirds yield?
|
ונעשה ערך ראובן כך אם הי"ח שלישיות כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
|
- We multiply the means; it is 96.
|
נכפול האמצעיים ונהיו צ"ו
|
- We divide it by 18; the quotient is 5⅓ and so Reuven worked.
|
נחלקם על י"ח ונהיה החלק ה' שעות ושליש וככה עבד ראובן
|
|
|
- Rule of Three: We take Shimon's ratio as follows: If 12-thirds are 24 hours, how much will 4-thirds yield?
|
ונעשה ערך שמעון כך אם הי"ב שלישיות כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
|
|
|
- We multiply the means; it is 96.
|
כפלנו האמצעיים והם צ"ו
|
- We divide it by 12; the quotient is 8 hours and so Shimon worked.
|
חלקנום על י"ב ונהיה החלק ח' שעות וככה עבד שמעון
|
- Rule of Three: We take Levi's ratio as follows: If 9-thirds yield 24 hours, how much will 4-thirds yield?
|
ונעשה ערך לוי כך אם הט' שלישיות יתנו כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
|
|
|
- We multiply the means; it is 96.
|
כפלנו האמצעים ונהיו צ"ו
|
- We divide it by 9; the quotient is 10⅔ hours and so Levi worked.
|
חלקנום על ט' ונהיה החלק י' שעות וב' שלישיים וככה עבד לוי
|
- Check: Sum up all the hours that the three of them worked and you will find that they are 24 hours, which are two days.
|
חבר כל השעות שעבדו שלשתם ותמצאם כ"ד שעות שהם ב' ימים
|
|
|
הזה בסוף השאלה הט' עיין הטב
|
| Boiling Problem
|
|
- 13) Question: a man was boiling 6 measures of a beverage and he wanted that one third will remain. One measure was evaporated while cooking, then one measure overflow and four measures remained.
- He wants to [reduce] them [as planned for the original amount]
|
יג שאלה אדם אחד היה מבשל משקה ו' מדות ורצה שישאר השליש ונחסרה המדה האחת בבשול אחר נשפכה מדה אחת ונשארו הד' מדות
ורוצה להשיבם להשאירם כמשפט הראשון
|
- Rule of Three:
|
נשיבם אל הערכים ככה אם הה' מדות יתנו ב' הד' כמה יתנו
|
|
נכפל האמצעיים ונהיו ח' נחלקם על הקצה שהוא הה' ונהיה החלק אחד וחצי ועשירית וככה ראוי שישאר
|
- 14) Question: a sheet of 100 cubits long.
- Reuven began to measure it from one end and Shimon from the other end.
- Reuven measures 10 cubit in one hour and Shimon [measures] 12 [cubit in one hour]
- When will they meet?
|
יד שאלה יריעה ק' אמות
והתחיל למנותה ראובן מן הקצה האחד ושמעון מן הקצה האחר
וראובן מונה י' אמות בשעה ושמעון י"ב
מתי יפגשו
|
 hours
|
נחבר שני המניינים אשר הם כ"ב אמות בשעה ונחלק הק' אמות עליהם ונהיה החלק ד' וחצי וחלק אחד מכ"ב
וידענו שבד' שעות וחצי וחלק מכ"ב בשעה יפגשו שניהם על המניין
|
- the number of cubits measured by Reuven
|
ואם תרצה לדעת כמה אמות מנה ראובן תכפול י' בד' וחצי וחלק א' מכ"ב ואשר יעלה כן מספר האמות אשר מנה ראובן
|
- the number of cubits measured by Shimon
|
וכן אם תרצה לדעת כמה מנה שמעון תכפול תכפול הד' שעות וחצי וחלק מכ"ב על י"ב ואשר יעלה כך מספר האמות אשר מנה שמעון
|
| Shared Work Problem - Draining a Vessel - Barrel
|
|
- 15) Question: a full barrel has three taps
- If the first is opened the barrel is drained in half a day.
- If the second is opened it is drained in a third of a day.
- If the third is opened it is drained in a quarter of a day.
- If you opened all three taps together, in how many hours will the barrel to be drained?
|
טו שאלה חבית מליאה יש בה ג' נקבים
אם תפתח הא' יכלה החבית בחצי היום
ואם תפתח השנית יכלה בשלישית יום
ואם תפתח השלישית יכלה ברביעית יום
ואם פתחת השלשה נקבים ביחד בכמה שעות יכלה החבית
|
- day = 12 hours
|
אתה צריך לדעת כי היום י"ב שעות
|
- barrel = 48 measures
|
וכן החבית כמה מדות מכילה ונניח שמכילה מ"ח מדות
|
- through the first tap it is drained in
 hours
 measures in one hour
|
והנה בפתיחת הנקב האחד יכלה בו' שעות שהם ח' מדות בשעה
|
- through the second tap it is drained in
 hours
 measures in one hour
|
ובפתיחת הנקב השני יכלה בד' שעות שהם י"ב מדות בשעה
|
- through the third tap it is drained in
 hours
 measures in one hour
|
ובפתיחת הנקב הג' יכלה בג' שעות שהם י"ו מדות בשעה
|
- through all three taps in one hour:
 measures
|
תחבר כל המדות אשר יכלו בשעה אחת והם ל"ו
|
- the barrel is drained through all three taps in
 hours
|
תחלק המ"ח על הל"ו יהיה אחד ושליש והנה בשעה אחת ושליש תכלה הכל
|
- Rule of Three:
|
ונעשה הערכים ככה אם הל"ו שעה אחת המ"ח על כמה יהיה
|
|
|
|
נכפול האמצעיים והם מ"ח נחלקם על הקצה שהם ל"ו ונהיה החלק אחד ושלישית
|
The Second Book of this Treatise Discusses Geometry
|
[42]הספר השני מזה החבור המדבר בחכמת המדות
|
[The First Section]
|
|
Chapter One of the First Section of the Second Book
|
הפרק הראשון מהחלק הראשון מהספר השני
|
| Mordechai said: before discussing geometry it is appropriate to explain the names used by the masters of this craft and science, for in each science, the masters of this science use specific names that indicate issues of this science, not issues that are indicated in other than this science, as they are conventional.
|
אמר מרדכי קודם שנדבר על חכמת המדות ראוי לבאר שמות שנשתמשו בהם בעלי זאת המלאכה והחכמה כי לכל חכמה שמות מיוחדות נשתמשו בהם בעלי החכמה ההיא מורות בענינים באותה החכמה בלתי הענינים אשר יורו בזולת החכמה ההיא להיות שהם הסכמיים
|
|
|
וכאשר הניחו בזולת החכמה ההיא על מה שהניחו כן יוכלו להעתיקם ממה שהניחום למה שהניחום בחכמה מיוחדת אם על דרך השאלה או על דרך הספוק או על דרך ההעתקה ולפעמים גם ע"ד השתוף הגמור ולכן ראוי למחבר ספר אם ירצה להיות דבריו מובנים לבאר תחילה השמות אשר נשתמשו בם בעלי החכמה ההיא וכן עשה גם החכם אקלידס בספר היסודות אשר ביאר בהצעת כל מאמר דברים הצריכים באותו מאמר
|
|
|
ונאמר שכשתשמע הנה נקדה תבין שתורה על דבר שאין לו שעור כלל לא ארך ולא רחב ולא עומק והיא נמצאת בראש הקו כי היא תכליתו וכן היא אשר תמצא באמצע הקו כשתשער רמיזה היא תכלית חצי הקו והיא בעצמה ראש חצי הקו האחר
|
| The line is a length with no breadth drawn between two points that are its limits.
|
והקו הוא אורך בלא רחב נמשך בין שתי נקדות אשר הן תכליותיו
|
| The surface is a breadth stretched between lines, which has only length and breadth and its limits are the lines.
|
והשטח הוא הרחב המתוח בין הקוים ויש לו אורך ורחב לבד ותכליותיו הם הקוים
|
| The plane angle is that which is encompassed by two straight lines.
|
והזוית השטוחה היא אשר יקיפו בה שני קוי' ישרי'
|
| Among the angles there are right angles, acute angles and obtuse angles.
|
והזוית ממנה נצבת וממה חדה וממנה נרוחת
|
| The right angle is [generated] when a straight line falls on a straight line and makes the two angles on its either sides equal.
|
והזוית הנצבת היא כשיפול הקו הישר על קו ישר וישים השתי זויות אשר משתי צדדיו שוות כזה ┴
|
| The acute angle is the one that is smaller than it.
|
והחדה היא אשר היא יותר קטנה מזאת
|
| The obtuse angle is the one that is greater than it.
|
והנרוחת היא אשר היא יותר גדולה מזאת
|
| When a line falls on a line and makes the two angles on its either sides equal, it is called perpendicular.
|
והקו אשר יפול על הקו ויעשה שתי הזויות אשר משתי צדדיו שוות יקרא עמוד
|
| The line on which it stands is called base.
|
והקו שהוא עומד עליו יקרא תושבת
|
|
|
והקוים הנכחיים הם אשר כשיוצאו לכל א' משני צדדים ואפילו ללא תכלית לא יפגשו
|
|
|
והתמונה השטחית תחלק אל ישרת הקוים ואל בלתי ישרת הקוים
|
|
|
והתמונה הישרת קוים היא אשר יקיפו בה ג' קוים או יותר
|
|
|
ואשר יקיפו בה ג' קוים לא יותר תקרא משולש
|
|
|
ואשר יקיפו בה ד' קוים תקרא מרובע
|
|
|
ואשר יקיפו בה ה' קוים תקרא מחומש
|
|
|
וכן כל כיוצא בזה
|
|
|
והקוים אשר יקיפו בתמונה יקראו צלעות
|
| The triangle is divided into three species:
|
והמשולש יחלק אל שלשה מינים
|
| One is called equilateral, which is the one whose three sides are equal.
|
הא' יקרא שוה הצלעות והוא אשר שלש צלעותיו שוים
|
| The second is called isosceles, which is the one whose two sides are equal and the third is unequal, whether it is longer than both, or shorter than both.
|
והשני יקרא שוה השוקים והוא אשר תהיינה שתי צלעותיו שוות והשלישית בלתי שוה אם יותר ארוכה מכל אחת מהן או יותר קצרה מכל אחת מהן
|
| The third is called scalene, which none [of its sides] is equal to the other.
|
והשלישי יקרא מתחלף הצלעות והוא אשר אין אחת שוה לחברתה
|
|
|
עוד [43]המשולש יחלק אל נצב הזויות והוא אשר זויתו האחת נצבת כזה
|
|
|
ואל נרוחת הזוית והוא שזויתו האחת מרווחת כזה
|
|
|
ואל חד הזויות והוא אשר שלש זויותיו חדות
|
|
|
ובעל הד' צלעות יחלק אל מרובע שוה הצלעות ואל בלתי שוה הצלעות
|
|
|
עוד השוה הצלעות יחלק אל מה שהוא נצב הזויות ויקרא שוה הצלעות נצב הזויות כזה
|
|
|
ואל מה שהוא בלתי נצב הזויות כזה ויקרא מעויין
|
|
|
עוד הבלתי שוה הצלעות יחלק אל מה שהוא שתי צלעותיו הנכוחיים שוים וזויותיו נצבות ויקרא מרובע ארוך כזה
|
|
|
ואל כל ששתי צלעותיו שוות אבל אין זויותיו נצבות ויקרא דומה למעויין כזה
|
|
|
ואל זולת אלה ויקרא הנוטה
|
|
|
והוא ארבע תמונות יתבארו בזה החבור
|
|
|
והתמונה הבלתי ישרת הקוים השטוחה תחלק אל עגולה וחצי עגולה
|
|
|
והעגולה היא תמונה יקיף בה קו אחד בתוכה נקדה כל הקוים היוצאים ממנה אל המקיף שוים
|
|
|
והנקדה ההיא תקרא מרכז העגולה
|
|
|
והקו אשר יצא ממקיף העגולה ויעבור על המרכז יקרא מיתר
|
|
|
והחתיכה אשר תושבתה במיתר יקרא קשת
|
|
|
וחצי העגולה היא אשר יקיף בה חצי הקו המקיף והאלכסון
|
|
|
וחתיכת העגולה היא תמונה תקיף בה היתר והקשת ותחלק לשני מינים אם שהיא קטנה מחצי עגולה או גדולה הימנה
|
| The area of the shape is the right-angled quadrilateral parts, whose length is as their width, or those that are equal to them, that are filling the shape.
|
ותשבורת התמונה הוא החלקים המרובעים נצבי הזויות אשר ארכם כרחבם או השוים להם הממלאים את התמונה הדרושים על התמונה
|
| The multiplication is the product of a side by a side, or of a straight line by a curve, or of a number by a number.
|
וההכאה היא כפל צלע בצלע או קו ישר בקו קשתי או מספר במספר
|
| Euclid has already explained in a book that he wrote about the measurement of land that the plane geometry is based on four things: directions, points, lines, and angles; and it also has species and types.
|
וכבר ביאר אקלידס בספר אחד שחבר במדידת הארץ כי חכמת המדות השטוחה היא מיוסדת מארבעה דברים מהפאות ומהנקודות ומהקוים ומהזויות וגם כן היא מקבלת סוגים ומינים
|
| The directions are east, west, north, and south.
|
והפאות הם מזרח ומערב וצפון ודרום
|
| The points are those that you regard as a beginning or a sign of a thing.
|
והנקדות הם אשר תקח אותם התחלה או סימן לדבר
|
| The lines are ten: straight line, base, top, perpendicular, parallel line, diagonal, legs, perimeter, diameter, and hypotenuse.
|
והקוים הם י' קו ישר ותושבת וראש ועמוד וקו נכחי וקטר ושוקים ומקיף ואלכסון ומיתר
|
| The straight line is that which is drawn straightly from both its ends that are two points.
|
והקו הישר הוא הנמשך על יושר משתי תכליותיו שהם שתי נקדות
|
| The base is a straight line on which another straight line stands and makes the two angles on both its sides right angles
|
והתושבת היא קו ישר אחד עומד עליו קו ישר אחר ועושה השתי זויות אשר משני צדדיו נצבות
|
| The top is the line that stands above the base.
|
והראש הוא הקו העומד על התושבת
|
| The perpendicular is a line that goes down from the top to the base and makes the two angles on both its sides right angles.
|
והעמוד הוא הקו היורד מהראש אל התושבת ועושה השתי זויות אשר משתי צדדיו נצבות
|
| The parallel line is a line that stands in parallel to another line and the distances of their extremes that are at right angles are equal.
|
והקו הנכחי הוא קו עומד נכח קו אחר ומרחקי קצותיהם אשר על זויות נצבות שוים
|
| The diagonal is a line that is drawn from the one of the vertices of the quadrilaterals and their like to another vertex.
|
והקטר הוא הקו הנמשך מזויות המרובעים וכיוצא בהם עם הזוית האחרת
|
| The legs
|
והשוקים הם קוים ישרים יורדים מקצות הארץ עד שתי קצות התושבת
|
| The perimeter
|
והמקיף הוא הקו הסובב במרחק שהוא המרכז עד הקו ההוא והקוים היוצאים אליו מהמרכז שוים
|
| The diameter
|
והאלכסון הוא [44]קו יוצא מהמקיף ועובר על מרכזו ויוצא אל המקיף מהצד האחר וחולק את המקיף בשני חלקים שוים
|
| The hypotenuse
|
והמיתר הוא הקו הישר אשר תחת הזוית הנצבת
|
|
|
והזויות הם ג' נצבת חדה ונרוחת
|
|
|
הנצבת היא כאשר יעמוד קו ישר על קו ישר ויעשה הזויות אשר משני צדדיו שוות כל אחת תקרא נצבת
|
|
|
והזוית אשר היא קטנה מזאת תקרא חדה
|
|
|
ואשר היא גדולה מזאת תקרא נרוחת
|
|
|
סוגי המדידה הם שלש מהארבעה קוים הישרי' ומדידת התמונה ר"ל תשבורת התמונות ומדידת הגופנים
|
|
|
מדידת הקוים הישרים היא אשר ימדדו על יושר באורך לבד וזה יקרא מדידה מספרית
|
|
|
מדידת תשבורת התמונות הוא אשר יש לו אורך ורחב ועובי כי ממנו יודע מדידת הגופנים ויקרא גם כן מעוקב
|
|
|
ומיני המדידה הם חמשה המרובע והמשולש והמעוין והנוטה והעגולות
|
|
|
והתמונות י"ח
|
|
|
אם תמונות המרובעים ב' מרובע נכחי הצלעות ונצב הזויות
|
|
|
ואם תמונות המשולשים משולש שוה הצלעות ומשולש שוה השוקים ומשולש מתחלף הצלעות ומשולש נצב הזויות ומשולש נרוח הזויות ומשולש חד הזויות
|
|
|
ואם תמונות המעויינים ב' המעויין והדומה למעויין
|
|
|
ואם תמונות הנוטים הם ד' נוטה נצב הזויות נוטה שוה השוקים נוטה חד הזויות נוטה נרוח הזויות
|
|
|
ואם תמונות העגולות ד' העגולה וחצי העגולה וחתיכת העגולה מחציה ומעלה וחתיכת העגולה הקטנה שהיא קטנה ממנה
|
Chapter Two
|
הפרק השני
|
| Know that the triangle is the basis and foundation for all the planar shapes that consist of straight lines, for they are composed of it and decomposed to it, as Nicomachus of Gerasa stated in the second section of the Introduction to Arithmetic he wrote.
|
דע כי המשולש הוא שרש ופנה לכל התמונות השטחיות ישרות הקוים כי ממנו חוברו ואליו יותכו כאשר הודיע זה ניקומאכוש הגיהרשיני במאמר השני מספר הארתימישיקא שחבר
|
| Therefore, whoever knows how to measure the triangles knows how to measure all the shapes by multiplying the area of the triangle by the number that generates the change if they are regular and if they are irregular it is by summing the areas of all the triangles that generate them.
|
ולכן מי שידע למדוד המשולשים ידע למדוד כל התמונות בכפל תשבורת המשולש במספר אשר יולידו התמורה אם הם שוים ואם היו בלתי שוים יהיה זה בקבוץ תשבורת כל המשולשי' אשר יולידוהו
|
| Because of this it is enough to present the measuring of the triangle alone, however because the measure and the size by which we measure is a square, the length of which is equal to its width, for the area of the shapes is measured by the square cubits, since we know its definition, and the size of the triangle is verified only in comparison with the square, because its demonstration is obtained by comparison with the square. Hence, we should first introduce the measuring of the [squares], then we shall state the methods of the triangles and the others.
|
ומפני זה היה מספיק להודיע מדידת המשולש למנין לבד אבל מפני שהמדה והשעור אשר נשער בה מרובעת ארכה כרחבה כי תשבורת התמונות הם משוערות על האמות המרובעות כאשר הודענו מן גדרה והמשולש בעצמו לא יתאמת מנינו רק בהצטרפו אל המרובע כי המופת שיובא עליו בהקשה אל המרובע לכן ראוי שנודיע מדידת המשולשים [נ' המרובעים] תחלה אח"כ נודיע דרכי המשולשים והשאר
|
| Before that, we announce that every unknown is obtained only through the known, therefore all those that are required are raised to the axioms or to one of the species which are known by themselves.
|
וקודם זה נודיע שכל מוסכל לא יגיע אלא בידוע ולכן עלו כל הדרושים אל המושכלות הראשונות או אל אחד מהמינים אשר הם ידועים בעצמם
|
| It is known that when we seek to find the area of any shape, it is unknown to us before we find it.
|
וידוע כי כשנדרוש למצוא תשבורת תמונה איזו שתהיה קודם שנמצאנה היא מוסכלת אצלנו
|
| Therefore, we should obtain it through the known and the known that we obtain is the knowledge of a part of it, whether one of its sides, its height, its base, or other than these.
|
ולכן ראוי להגיעה לנו בידוע והידוע אשר יגיע לנו היא ידיעת חלק ממנה אם צלעות מצלעותיה או עמוד ותושבת וזולת זה
|
| If these are also unknown, then we obtain the cubits by which they are measured, so we should say that the known cubit, by which we obtain the measured that are unknown, is only length, without extension, it is not a square cubit, as the cubits of the area, for the ends of the square [cubit] are also lines that are only length and they limit it.
|
ואם גם אלה הם מוסכלים אז תגיע לנו האמה אשר ימדדו בה ולכן ראוי להודיע [45]שהאמה הזאת ידועה אשר תגיע לנו ידיעת המוסכלים מהנמדדים היא אורך לבד בלי מרחב ואינה אמה מרובעת כאשר הם אמות התשבורת כי גם המרובעת תכליותיה הם הקוים אשר הם אורך לבד והם המגבילים אותה
|
| From here I begin to explain how the quadrangles are measured and we start from the right-angled equilateral square, because it is as a foundation for the rest of the quadrangles, since the rhombus is similar to it by its equal sides and the rectangle by its right angles.
|
ומהנה אתחיל לבאר איך ימדדו המרובעים ונתחיל ממרובע שוה הצלעות נצב הזויות כי הוא כשרש לשאר המרובעים אחרי שהמעויין ידמה לו בשווי הצלעות והארוך בהתיצבות הזויות
|
| The cubit of the area is square, equilateral and equiangular.
|
ועוד כי אמת התשבורת היא מרובעת הצלעות שוים והזויות
|
| It is a cubit of the area, because it demonstrates for us the measure of the shape and the thing that demonstrates the measure of the thing should be equally known.
|
והיתה זאת אמת התשבורת כי זאת תודיע לנו השעור של התמונה והדבר אשר יודיע שעור הדבר ראוי שיהיה שוה נודע
|
| It is known that the right angles are always equal, which is not the case for acute angle and obtuse angle that can be smaller or greater; and the thing that can be the smaller and greater is unlimited; and the unlimited is unknown; and the unknown itself cannot be a reason for other.
|
וידוע שהזויות הנצבות הם שוות לעולם מה שאין כן החדה והנרוחת כי יקבלו הפחות והיתר והדבר אשר יקבל הפחות והיתר הוא בלתי מוגבל והבלתי מוגבל הוא בלתי ידוע והבלתי ידוע בעצמו איך יהיה סבה לזולתו
|
| The discussion on the measuring of the equilateral right-angled quadrangle [= square]
|
הדבור על מדידת המרובע שוה הצלעות נצב הזויות
|
| You should know in general that for every right-angled quadrangle, its area is the product of its one side by its other side.
|
ראוי שתדע בכלל כי כל בעל ארבעה צלעות נצב הזויות הארבעה הנה הכאת צלעו האחד בצלעו האחר ככה תשברתו
|
| This is the reason that the square of its one side is equal to the product of its one side by its other side [sic.].
|
והיה זה סבה להיות שמרובע צלעו האחד שוה להכאת צלעו הא' בצלעו השני
|
- Example: an equilateral quadrangle [square] ABGD, we define each of its sides ten cubits.
|
דמיון מרובע אבג"ד הוא שוה הצלעות כי נשים כל א' מצלעותיו עשר אמות
|
- The square of its one side is one hundred cubits and this is its area.
|
והנה מרובע צלעו האחד מאה אמה וככה הוא תשברתו
|
- For they are one hundred right-angled square cubits, each cubit of them is square and similar to the great square.
|
כי הם מאה אמות מרובעות נצבות הזויות כל אמה מהן מרובעת דומה אל המרובע הגדול
|
| Proof: we divide each of its side by ten cubits with ten points and we draw a line from each point on one side to the side parallel to it.
|
המופת על זה נחלק כל צלע ממנו על עשר אמות בעשרה נקדות ונגיע מכל נקדה מהצלע האחד קו על הצלע הנכחי לו
|
- These lines are parallel to each other and to the side of the large square, because the distances of their perpendicular ends are equal.
|
הנה יהיו הקוים נכוחיים האחד לחברו ולצלעו המרובע הגדול כי מרחקי קצותיהם אשר הם על זויות נצבות שוים
|
- So,
 ; 
|
אם כן קו ה"ו נכחי אל קו א"ד וקו כ"ל נכחי אל קו א"ב
|
- We say first that line AD falls on the two parallel lines AB and KL.
|
ונאמר תחלה כי קו א"ד נפל על שני קוי א"ב וכ"ל הנכוחיים
|
- The [sum of] two [consecutive] interior angles is equal to [the sum of] two right angles.
|
הנה ישרת שתי הזויות הפנימיות אשר בצד אחד שוות לשתי נצבות
|
|
וזוית א' היא נצבת
|
- So,
|
אם כן גם זוית כ' היא נצבת על כל פנים
|
- The opposite angles in parallelograms are equal.
|
[46]והתמונות הנכחיות הצלעות יהיו זויותיהם המומרות שוות
|
- So,
|
א"כ גם זוית ה' נצבת
|
- The remaining angle of this small quadrangle, which is the cubit, is also right.
|
וגם הזוית הנשארת מזה המרובע הקטן שהוא האמה נצבת
|
- Line HW falls on line AB.
|
עוד קו ו"ה נפל על קו א"ב
|
- When a straight line falls on a straight line, the two angles on its side [= supplementary angles] are either right angles, or [their sum is] equal to [the sum of] two right angles.
|
והקו הישר אשר יפול על קו ישר הנה ב' הזויות אשר בצדו אם נצבות או שוות לשתי נצבות
|
- , therefore the adjacent angle is also right angle.
|
וזוית ה' נצבת אם כן גם הזוית אשר בצדו נצבת
|
- It is clear from this that the four angles of the cubit are also right and so it is clear for all ten cubits of the first line.
|
ומזה יתבאר כי גם על ד' זויות האמות נצבות וכן יתבארו כל הי' אמות אשר בטור הא'
|
- Line KL is intersected by line line HW.
|
עוד קו כ"ל נחתך בקו ה"ו
|
- The vertical angles of two intersecting lines are equal.
|
וב' הקוים אשר יחתכו זויותיהם המקבילות שוות
|
- Therefore, the angle of the first cubit of the second line on the left is also right angle, and its opposite angle is right angle.
|
א"כ גם זוית האמה הראשונה אשר בטור הב' השמאלית נצבת וכנגדה נצבת
|
- Similarly all the cubits of this area are verified.
|
וכן יתבארו כל האמות אשר בתשבורת הזאת
|
- Their being equilateral is verified from the division of each side into equal parts, also because when you subtract [equal quantities] from equal [quantities], the remainders are equal and the two things that are equal to equal things are equal as well.
|
ולהיותם שוי הצלעות יתבאר מחלוקת כל צלע השוה לחלקים וכשתחסר מן השוים יהיה הנשאר שוים והב' דברים השוים לדברים שוים גם הם שוים
|
| Finding the Area of a Rectangle
|
|
| This measuring is true for the right-angled quadrangle [= rectangle], i.e. that you multiply its one side by its other side that are encompassing one angle [= adjacent sides] and find the area.
|
וזאת המדידה נכונה בבעלות ד' הנצבות הזויות הד' ר"ל שתכפול צלעו הא' על צלעו השני המקיפו' בזוית א' ולמצוא התשבורת
|
- Example of a right-angled quadrangle [= rectangle], one side of which is 10 and the other side is 5.
|
דמיון בבעלת ד' צלעות נצב הזויות הד' נכוחי הצלעות אשר צלעה הא' י' וצלעה האחרת ה'
|
- Like this:
|
כזה
|
- The product of 5 by 10 is 50 and this is the area of this shape.
|
הנה כפילת הה' על הי' הם נ' וזהו התשבורת של זאת התמונה
|
- Its proof is like the previous proof.
|
ומופתה כמופת הקודם
|
| Finding the Area of a Rhombus
|
|
| However, if the shape is equilateral but not right-angled, it cannot be measured by its sides, because it leads to a huge error.
|
אבל אם היתה התמונה שוה הצלעות ולא היתה נצבת הזויות ולא יתכן שימדד במדידת צלעותיה כי זה יביא לטעות גדולה
|
- Example: we have an equilateral quadrangle ABGD that is not right-angled [= rhombus], each of its sides is 10 cubits.
|
דמיון יש לנו מרובע שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות עליו אבג"ד ויהיה כל א' מצלעיו י' אמות
|
- If you multiply its one side by its other side, or if you take the square of its one side, the result is 100 and this is not the area of this quadrangle.
|
הנה אם תכפול צלעו הא' בצלעו השני אז אם תקח מרובע צלעו הא' יעלה ק' ואין זה תשבורת המרובע הזה
|
|
|
המופת נוציא ב' קוטרים מזויותיו הא' קוטר א"ג והב' קטר ב"ד ויהיה קטר א"ג י"ו אמה וקטר ב"ד י"ב אמה ויחתכו על נקדת ה' הנה נעשה שטח נכוחי הצלעות נצב הזויות אשר צלעו אחת כקטר הארוך וצלעו האחרת כקטר הקצר ויהיה כל צלע נכוחי לקטר הדומה לו כי שתי הקטרים יחתכו על זויות נצבות כאשר נראה המופת במדידתו ונכתוב עליו ה' ו' ז' ח' הנה נחלק השטח הנצב הזויות לד' חלקים שוים עם קטרי המרובע הקטן אשר אין זויותיו נצבות
|
|
|
עוד כל חלק מהד' חלקים נחלק לשני חלקים שוים עם צלעות המרובע הקטן לא פחות ולא יתר
|
|
|
ותשבורת השטח הנצב הזויות הוא בכפל צלעו האחד על השני וצלעו הא' הוא י"ו אמה כי [47]הוא שוה לקטר הארוך מהמרובע וצלעו השנית הוא י"ב אמה כי הוא שוה לקטר הקצר מהמרובע וכפל י"ו על י"ב הם קצ"ב וזהו תשבורת השטח הנצב הזויות אשר הוא כפל תשבורת המרובע אשר בתוכו
|
|
|
ואם כן תשבורת המרובע הם צ"ו אמות אשר בתוכו ואלו היינו נשענים על כפל צלעותיו היה יוצא ק' אמה וזאת שגיאה גדולה
|
|
|
ולכן אמרו בעלי השעור שזה המרובע יהיה נמדד בכפילת מחצית קטרו הא' על קטרו השני והוא תשברתו
|
|
|
המופת על המדידה הזאת ידוע שכאשר יהיה שוה הצלעות הנה שני קטריו יחתכו על זויות נצבות כי כל קטר הוא מחלק אותו לשני משולשים שוה השוקים והקטר תושבת שני המשולשים וכאשר יצא הקטר האחד מזוית משולש שוה השוקים אשר התושבת היא מיתרה עד הזוית האחרת ממשולש שוה השוקים שזאת התושבת היא מיתר גם אותה תחלק התושבת לשני חלקי' שוים [48] ועל זויות נצבות וכפילת כל הקוטר בכל הקטר יהיה תשבורת המרובע החיצון אשר הוא כפלו לכן מרובע חציו בכולו הוא מחצית זה שהוא תשבורת המרובע הזה ולכן אמרו כשתמצא מרובע שוה הצלעות בין שיהיה נצב הזויות בין שלא יהיה לא תמנה אותו כי עם מדידת האלכסונים ולא תטעה לעולם כי להכיר האדם הזוית הנצבת מהבלתי נצבת אינו בקלות ולכן ראוי להשמר מן הטעות
|
| Finding the Side of a Square
|
|
|
|
ואם היה המרובע שוה הצלעות נצב הזויות ולא ידעת צלעו או רצית למדדו מקטרו האחד תקח מרובעו ותחלקהו על שני חלקים והחלק האחד הוא תשבורת המרובע ההוא ושרש החלק הוא אורך צלעו
|
- Example: an equilateral right-angled quadrangle ABGD [= square], the square of its diagonal is 200.
|
דמיון מרובע אשר עליו אבג"ד שוה הצלעות נצב הזויות והיה מרובע קטרו ר'
|
- Divide the 200 into two parts, the one part is 100 and this is the area of the square.
|
תחלק הר' לשני חלקים יהיה החלק הא' ק' והוא תשבורת המרובע
|
- The root of 100, which is 10, is the length of its side.
|
ושרש הק' שהם י' הם אורך צלעו
|
| Finding the Side of a Rectangle
|
|
|
|
וכן אם אינו שוה הצלעות אבל הוא נצב הזויות יהיה הקטר ידוע אליך והצלע האחד ורצית למדדו משתי אלה תקח מרובע הקטר ותגרע ממנו מרובע הצלע הידוע והנשאר הוא מרובע הצלע הנשאר תקח שרשו והוא אורך הצלע תכה אותו עם הצלע הידוע והוא תשבורת המרובע
|
- Example: rectangle ABGD, its side AB is 10 cubits and its diagonal AG is 12 cubits.
|
דמיון מרובע ארוך אשר עליו אבג"ד והיה צלע א"ב י' אמות וקטר א"ג י"ב אמות
|
- We take the square of the diagonal, which is 144 cubits. We subtract from it 100 cubits, which is the square of the known side that is 10 cubits; 44 cubits remain. Their root is 6 cubits and two-thirds of a cubit minus something, which is the length of the other side.
|
לקחנו מרובע הקטר והוא קמ"ד אמות גרענו ממנו ק' אמה שהוא מרובע הצלע הידוע שהוא י' אמות ונשארו מ"ד אמות ושרשם ו' אמות ושני שלישי אמה פחות משהו שהוא אורך הצלע השני
|
- We multiply 6 and two-thirds minus something by 10; it is 66 cubits and two-thirds minus something and this is the area of the rectangle.
|
הכינו הו' ושני שלישי' פחות משהו עם הי' ונהיו ס"ו אמות ושני שלישים פחות משהו והוא תשבורת המרובע
|
|
|
המופת על שתי [49]על שתי אלו המדידות ידוע שהקטר הוא חילק את שני המרובעים האלה על שני משלשים שוים נצבי הזויות להיות שהם נכוחיי הצלעות והקטר משותף בשניהם וזוית אחת בכל משלש נצבת והקטר הוא מיתר הזוית הנצבת לכל משולש מהם וכבר התבאר בחכמת המדות שהמשולש הנצב הזוית שני המרובעים אשר יהיו מהצלעות המקיפות בזוית הנצבת שוות למרובע ההוה מהצלע שהוא מיתר לזוית הנצבת א"כ כשתגרע מהשוה לשנים האחד ישאר השני ושרשו הוא המבוקש הנולד מנפילתו בחברו אשר יקיף עמו בזוית הנצבת הוא תשבורת המרובע ההוא
|
|
|
ואם היתה תשבורת המרובע ידועה לך וידעת גם צלעו האחד ולא ידעת גם צלעו השני תחלק תשבורת המרובע על הצלע הידוע ויצא לך הצלע האחר הבלתי ידוע
|
- Example: a [right-angled] quadrangle, its area is 100 cubits and one of its sides is 10 cubits.
|
דמיון היה מרובע תשברתו ק' אמה וצלעו האחד י' אמה
|
- Divide its area, which is 100 cubits by 10; you receive 10 and from this you know that its other side is also 10 cubits and the quadrangle is equilateral.
|
תחלק תשברתו שהוא הק' אמה על י' ויצא לך החלק י' ומזה ידעת שגם צלעו האחר י' אמות והמרובע הזה שוה הצלעות
|
- Likewise if its area is 100 cubits and one of its sides is 20 cubits.
|
וכן אם היה תשברתו ק' אמה וצלעו הא' כ' אמה
|
- Divide 100 by 20; you receive 5, which is its other side, and from this you know that it is a parallelogram that is called rectangle.
|
תחלק הק' על הכ' ויצא לך החלק ה' והוא צלעו האחר ומזה ידעת שהוא שטח נכחי הצלעות אשר יקרא מרובע ארוך
|
|
|
המופת על זה כי התשבורת הוא מספר נולד מכפילת חלקי הצלע האחד בחלקי הצלע האחר והמספר הנכפל במספר אחר ימצא באותה תולדה המספר האחר בכמות המספר האחר וכן האחר בזה וכשידעת כמות מספר האחד והתולדת אם תחלק התולדת על כמות המספר הנודע ידענו המספר אשר ימצא בכמות המספר הנודע ובהתקבצו כפעמי המספר הנודע נהיה התולדת
|
|
|
ולכן חלקנו תשבורת המרובע על צלעו הנודע והוא יודיע לנו צלעו הבלתי נודע
|
| Finding the Side of a Rhombus
|
|
- If the quadrangle is equilateral but not right-angled, which is called rhombus, its one diagonal is 16 cubits and its other diagonal is 12, how much is its side?
|
ואם היה המרובע שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות והוא אשר יקרא מעויין והיה קטרו הא' י"ו אמה וקטרו הב' י"ב אמה כמה יהיה צלעו
|
|
|
תחלק כל קטר לשני חלקים וקח מכל אחד מרובע החלק האחר ותחבר שני המרובעי' כאלו הם מספר אחד וקח השרש והוא צלע המרובע ההוא
|
- Example: we divide the digonal into 8 and 8. We take the square of 8, which is 64. Similarly, [we divide] the diagonal of 12 into 6 and 6. We take the square of 6, which is 36. We add the 64 to the 36; it is 100. Its root is 10 and it is the side of the quadrangle.
|
דמיון חלקנו קטר י"ו על ח' ח' ולקחנו מרובע ח' שהם ס"ד וכן קטר הי"ב על ו' ו' ולקחנו מרובע הו' שהם ל"ו חברנו הס"ד עם הל"ו ונהיו ק' ושרשו י' והוא צלע המרובע
|
|
|
המופת על זה כי כל צלע מצלעי זה המרובע יהיה קטר לשטח נכחי הצלעות נצב הזויות אשר צלעו הא' ח' וצלעו השני ו' כאשר הודענו במדידת המרובע הזה ומרובע הקטר ראוי להיותו שוה לשני מרובעי כי הוא מיתר למשלש בזויתו הנצבת ולכן ישוה זה צלע המרובע לשני ש שני מרובעי חציי קטריו
|
- If one asks: a rhombus, one diagonal of which is 16 cubits and its side is 10 cubits, how much is its other diagonal?
|
ואם שאל השואל מעויין שקטרו האחד [50]שקטרו האחד י"ו אמה וצלעו י' אמה כמה קטרו האחר
|
- Take the square of half the known diagonal, which is 8; its square is 64. Subtract it from the square of the side, which is 100; the remainder, which is 36 is the square of half the other diagonal. Extract its root; it is 6 and this is half the diagonal. Double it; it is 12 and it is the other diagonal.
|
תקח מרובע מחצית הקטר הידוע שהוא ח' ומרובעו ס"ד ותגרעהו ממרובע הצלע שהוא ק' ונשאר שהוא ל"ו הוא מרובע חצי הקטר האחר תקח שרשו והוא ו' והוא מחצית הקטר כפלהו והוא י"ב והוא הקטר האחר
|
|
|
המופת על זה ידוע שמחצית כל קטר משניהם עומד על הקטר האחר על זויות נצבות ומחצית הקטר הידוע עם מחצית הקטר הבלתי ידוע וצלע המרובע יעשו משלש נצב הזויות והצלע יהיה מיתר הזוית הנצבת ומרובע הצלע שהוא מיתר לזוית הנצבת ישוה לשני מרובעי שתי הצלעות הנשארות שהם וחציי הקטרים וכאשר תגרע מרובע הצלע הא' המקיף בזוית נצבת אשר הוא בזה מחצית הקטר ממרובע צלע המרובע שהוא המיתר לזוית הנצבת ישאר מרובע חצי הקטר האחר שהוא המקיף האחר לזוית הנצבת ושרשו הוא חצי הקטר ואם תכפלהו תמצא כל הקטר
|
|
|
ובכאלה השאלות תוכל להוציא גם אתה שאלות אחרות ולהשיב עליהן
|
|
|
ומהנה נכנס בבאור מדידת המשולשי' למיניהם אחר נבאר מדידת הנוטים כי לא נוכל לבאר מדידת הנוטים ראשונה למדידת המשולשים אחר שהמשולשים הם יסוד לנוטים כי כל נוטה יחלק לשני משולשים מתחלפים או ליותר מזה וכאשר תדע מדידת המשולשים למיניהם יגיע לך בקלות ידיעת מדידת הנוטים
|
Chapter Three on the Measuring of the Various Triangles
|
הפרק השלישי במדידת המשולשים למיניהם
|
|
|
כבר ידעת שהמשולשים נחלקו לשוי הצלעות ולשוי השוקים ולמתחלפי הצלעות
|
|
|
ונקדים לבאר תחלה דרכי המשלש השוה הצלעות כי בו יפול העמוד במחצית התושבת בכל צלע שתרצה להוציאו אחר נדבר על המשלשים האחרים
|
|
|
ונאמר בתחלה כי הדבר הכולל לכל המשלשים במדידתם הוא שתכפול העמוד במחצית התושבת או כל התושבת במחצית העמוד וההוה הוא תשבורת המשלש המבוקש
|
|
|
ומפני זה ראוי להודיע בתחלה איך יצא העמוד בכל משלש ומשלש עד שיהיה ידוע כי בו יגיע לנו תשבורת המשלש המוסכלת
|
|
|
ונאמר כי במשלש השוה הצלעות לעולם יפול העמוד במחצית התושבת אחר שג' זויותיה הם חדות לעולם וג' צלעותיה שוות וארצה בעמוד הקו הנופל מזוית ראש המשלש אשר יקרא גובה התמונה על תושבתה על זויות נצבות
|
- Example:
 is equilateral and the height that is drawn from the top of the triangle, which is point A, to its base falls on point D. I say that point D is the midpoint of the base.
|
המשל בזה משלש אב"ג שוה הצלעות ועמוד אשר יצא מראש המשלש אשר הוא נקדת א' על תושבתה יפול בנקדת ד' ואומר שנקדת ד' היא מחצית התושבת
|
- Proof: the height divides the triangle into two triangles, two sides of each of these triangles are equal to two sides of the other, each to its corresponding:
|
המופת בזה העמוד חולק את המשלש לשני משלשים אשר שתי צלעות כל משולש ממנו שוות לשתי הצלעות מהאחר כל אחד [51]לגילו
|
|
צלע א"ג שוה לצלע א"ב
|
- AD is a common side of both.
|
ועמוד א"ד צלע משותף לשתיהן
|
 , because both are right angles.
|
וזוית אד"ב שוה לזוית אד"ג כי שתיהן נצבות
|
- Therefore,
|
אם כן צלע ג"ד שוה לצלע ד"ב
|
 are the whole base, so each of them is half the base.
|
וצלע ג"ד וד"ב הם מחוברים הם כל התושבת אם כן כל אחת מהן היא מחצית התושבת
|
|
|
והמופת אשר תשבורת כל משלש הוא כפילת העמוד בחצי תושבת או כל התושבת בחצי העמוד אם במשולש שוה הצלעות או במשלש שוה השוקים אשר הוצאת עמודו על צלעו המתחלפת
|
|
|
הוא זה כי המופת אשר הורה במשלש שוה הצלעות הוא בעצמו יורה זה על שוה השוקים כאשר הוצאת עמודו על צלעו המתחלפת כי כאשר הוצאת העמוד על מחצית התושבת אח"כ הוצאת קו על קצה התושבת נכחי אל העמוד עוד הוצאת קו מראש העמוד הנכחי אל מחצית התושבת כבר נהיה שטח נכחי הצלעות אשר צלעו האחת העמוד וצלעו האחר מחצית התושבת
|
|
|
והשטח הזה שוה למשלש הנזכר כי צלע המשלש הנז' הוא קטר לנכחי הצלעות הנז' ומחלק אותו לשני המשלשים שוים והמשולש האחד הוא מחצית כל המשלש הנזכר אם כן כל שטח הנכחי הצלעות אשר הוא נחלק לשני משולשים הוא שוה לכל המשלש הנז' ותשבורת השטח הנכחי הצלעות הוא כפילת צלעו האחת בצלעו האחרת וצלעו האחת היא עמוד המשלש וצלעו האחרת היא מחצית תושבת המשלש אם כן תשבורת המשלש הוא כפילת העמוד בחצי תושבתו אחר שהוא שוה לשטח הנכחי הצלעות
|
- Example: is equilateral or isoscelesand, and its height is line AD. We draw from the base of this triangle at point B line BH parallel to line AD and from point H we draw line AH parallel to line DB. I say that rectangle ADHB is equal to .
|
המשל בזה משלש אב"ג הוא שוה הצלעות או השוקים ועמודו הוא קו א"ד והוצאנו על קצה מחצית תושבת המשלש הזה קו ב"ה על נקדת ב' נכחי לקו א"ד ועל נקדת ה' הוצאנו קו א"ה נכחי לקו ד"ב הנה אומר כי שטח א"דה"ב הנכחיי הצלעו' שוה למשלש אב"ג
|
- Proof:
 , because both are right angles.
|
המופת בזה כי זוית אה"ב שוה לזוית אד"ב כי שתיהן נצבות
|
- The hypotenuse, which is side AB of the triangle that divides the surface into two equal triangles, because it is a straight line that falls on two parallel lines, forms the two alternate angles equal.
|
והקטר שהוא צלע המשלש שהוא א"ב חלק את השטח לשני משלשים שוים אחר שהוא קו ישר ונפל על שני קוים נכוחיים שם את שתי הזויות המומרות שוות
|
- Therefore,
|
אם כן זוית ב"ד היא שוה לזוית בא"ה
|
- The hypotenuse AB is a common [side].
|
וקטר א"ב משותף
|
- Hence,
|
אם כן משלש הא"ב שוה למשלש אב"ד
|
 is half the rectangle HADB and it is half
|
ומשלש אב"ד הוא חצי שטח הנכחי הצלעות שהוא שטח ה"אד"ב והוא חצי משלש אב"ג
|
- So, the rectangle HABD is equal to .
|
אם כן שטח ה"אב"ד שוה למשולש אב"ג
|
- The area of the rectangle is the product of its one by its other side.
|
ושטח נכחי הצלעות הנצב הזויות כפילת צלעו האחת בצלעו האחרת היא תשברתו
|
- Therefore, the area of is also the product of the one side of the rectangle, which is the height of the triangle, by its other side, which is half the base of the triangle.
|
אם כן גם תשבורת משלש אב"ג הוא כפילת צלע נכחי הצלעות האחת שהוא עמוד המשלש בצלעו האחרת שהוא מחצית תושבת המשולש
|
- Q.E.D.
|
וזמש"ל
|
|
|
ואם המופת שבכפילת מחצית העמוד על [52]על כל התושבת נמצא התשבורת הוא זה אם תרצה מהכלל הידוע שכל חשבון כפולת חציו בחשבון אחר כלו הוא בכפולת כלו כמחצית אותו החשבון
|
- If you want, we provide proof in geometry:
|
ואם תרצה נביא מופת מחכמת המדות והוא זה
|
- is equilateral.
|
משלש אב"ג שוה הצלעות
|
- We draw a height from point A of it to base BG, which is line AD.
|
ונוציא מנקדת א' ממנו עמוד אל תושבת ב"ג והוא קו א"ד
|
- We mark point H in its middle.
|
ונסמן במחציתו נקדת ה'
|
- We draw two adjacent straight lines equal to base BG that are HZ and HC.
|
ונוציא מנקדת ה' שני קוים דבקים על יושר נכוחיים ושוים לתושבת ב"ג והם ה"ז ה"ח
|
- We join lines CB and ZG.
|
ונגיע קוי ח"ב ז"ג
|
- I say that rectangle BGZC is equal to .
|
הנה אומר כי שטח ב"ג ז"ח הנכחיי הצלעות שוה למשלש אב"ג
|
- The proof:
- Trapezium TKBG is shared by surface CGZC and triangle ABG
|
המופת כי נוטה ט"כב"ג משותף לשטח ב"גז"ח ולמשלש אב"ג
|
- What is left:
|
ונשאר משלש חט"ב כמשלש אט"ה
|
- Because:
|
כי זוית חט"ב שוה לזוית הט"א
|
|
וזוית אה"ט שוה לזוית בח"ט
|
 because both are half the height.
|
וצלע א"ה שוה לצלע ב"ח כי שתיהם מחצית העמוד
|
- Therefore:
|
אם כן משלש חט"ב שוה למשלש אט"ה
|
- Also:
|
וכן משלש כז"ג שוה למשלש אכ"ה
|
- The procedure is the same.
|
וההנהגה אחת
|
- So, trapezium TKBG +
 , which is the whole rectangle, is equal to trapezium TKBG +  , which is the whole .
|
א"כ נוטה ט"כב"ג עם שני משולשי חט"ב כז"ג שהם כל השטח נכחי הצלעות שוה לנוטה ט"כב"ג עם שני משולשי אט"ה אכ"ה שהם כל משלש אב"ג
|
- Therefore: is equal to rectangle BGZC.
|
אם כן משלש אב"ג שוה לשטח נכחי הצלעות ב"גז"ח
|
- The area of the rectangle is the product of its one side, which is equal to half the height of the triangle, by its other side, which is equal to the whole base of the triangle.
|
ותשבורת השטח הנכחי הצלעות הוא הכאת צלעו האחד שהוא שוה למחצית העמוד של המשולש בצלעו האחר שהוא שוה לכל תושבת המשולש
|
- Hence, the area of the triangle that is equal to it is also the product of half the height by the whole base.
|
אם כן גם תשבורת המשולש שהוא שווה לו הוא הכאת מחצית העמוד בכל התושבת
|
- Q.E.D.
|
וזה מש"ל
|
|
|
וכן זה המופת בעצמו יורה על משלש שוה השוקים כאשר הוצאת העמוד על צלעו המתחלפת
|
|
|
הנה כבר ידעת שכשיבא בידך הן משלש שוה הצלעות הן שוה השוקים תכפול העמוד במחצי' התושבת או ההפך ותמצא התשבורת
|
|
|
ולדעת העמוד מהצלע הן במשלש שוה הצלעות או במשולש שוה השוקים תעשה כן תקח מרובע חצי התושבת ותגרעהו ממרובע הצלע ואשר ישאר יקח שרשו והוא העמוד
|
|
|
המופת על זה כי צלע המשולש הוא מיתר הזוית הנצבת אשר יקיפו בה העמוד ומחצית התושבת והתבאר בחכמת השעור כי מרובע הצלע אשר היא מיתר הזוית הנצבת[53] ותקח שרש הנשאר תמצא את צלע האחרת
|
|
|
אולם בעלי השעור נתנו כללים אחרים במדידת המשולש השוה הצלעות כדי להקל על המחשב ואמרו לעולם תקח מט"ו בצלעו י"ג והוא העמוד או תהיה מרבע את הצלע והוצא ממנו הרביעית וקח שתי הרביעיות הג' והוא עמוד המשולש הזה
|
|
|
ואלה הכללים וכדומה להם יצאו מהמופת הנז'
|
|
|
ומה שאמרנו בענין משלש שוה השוקים הוא כשהוצאת עמודו על צלעו המתחלפת אבל אם הוצאת אותו על צלע אחד מצלעותיו דע שיש לו שני משפטים אחרים נבארם כשנבאר [54]משפטי המשלש שמתחלף הצלעות
|
| Scalene triangle: its height and the distance from the position of the height on the base to the side
|
|
| If we wish to measure a scalene triangle, we should extract its height on its side first and to know its distance from one of the sides, for the height that we extract in the equilateral triangle and in the isosceles triangle always falls on the middle of the base, yet this height that is drawn in the scalene triangle does not fall on the middle [of the base] at all, but it is far from one side and close to the other side.
|
אם נרצה לשער המשלש המתחלף הצלעות תחלה ראוי להוציא עמודו על צלעו המתחלפת ולדעת מרחקו מאחת הצלעות כי העמוד אשר הוצאנו במשלש השוה הצלעות ובמשולש שוה השוקים הוא נופל במחצית התושבת לעולם אבל אין העמוד הזה היוצא במשולש המתחלף הצלעות יוצא על המחצית כלל אבל הוא רחוק מהצלע האחת והוא קרוב אל הצלע השנית
|
| We call its distance from the first side "the close distance" and we call its distance from the far side "the far distance".
|
ומרחקו מהצלע האחת אנו קוראים אותו המרחק הקרוב ומרחקו מהצלע הרחוק אנו קוראים אותו המרחק הרחוק
|
| After we know the position of the height on one of the sides, we can then announce the length of its height.
|
ואחר שנדע גבול מעמדו באחת מהצלעות אז נביא להודיע אורך עמודו
|
- Let us say: is a scalene triangle, whose side AB is 20 cubits, side AG is 18 cubits, and side GB is, on which we draw the height, which is the base, is 16 cubits.
|
ונאמר משלש אב"ג מתחלף הצלעות אשר צלע א"ב ממנו עשרים אמה וצלע א"ג ממנו י"ח אמה וצלע ג"ב ממנו אשר עליו נוציא את העמוד והוא התושבת י"ו אמה
|
- We wish to know the distance of the height from its position to side AG, which is the short side:
|
ונרצה לדעת גבול מעומד העמוד מצלע א"ג אשר הוא הקצר
|
- We already know that the length of this side is 18 cubits.
|
וכבר ידענו שאורך הצלע הזה י"ו אמה
|
- We take its square, it is 324.
|
נקח מרובעו הוא שכ"ד
|
- We add to it the square of the base, which is 256; the result is 580.
|
ונחבר אליו מרובע התושבת שהוא רנ"ו ויהיו תק"ף
|
- Then, we subtract the square of AB, which is the longer side, from 580; we already know that it is 20, and its square is 400; we subtract it from 580; the remainder is 180.
|
אחר נגרע מן תק"ף מרובע א"ב אשר הוא הצלע הארוך וכבר ידענו שהוא כ' ומרובעו הוא ת' נגרעם מן תק"ף נשארו ק"פ
|
- We take its half; it is 90.
|
נקח מחציתם והם צ'
|
- We divide it by the base, whose length is 16; the first part is 5, one-half, and an eighth; and this is the distance on the base from the position of the height to the short side.
|
ונחלק אותם על התושבת שארכה י"ו ונהיה החלק הא' ה' וחצי ושמינית וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הקצר על התושבת
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(18^2+16^2\right)-20^2\right]}{16}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(324+256\right)-400\right]}{16}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(580-400\right)}{16}=\frac{\frac{1}{2}\sdot180}{16}=\frac{90}{16}=5+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}}}](/mediawiki/images/math/f/7/3/f73435d35ad5400be494c8303131c9e3.png)
|
- We wish to know the distance from its position to the long side:
|
ואם רצינו לדעת גבול מעמדו מן הצלע הארוך
|
- We take its square, which is 400, and add it to the square of the base, which is 256; together it is 656.
|
נקח מרובעו שהוא ת' ונחבר אותו עם מרובע התושבת שהוא רנ"ו ושניהם תרנ"ו
|
- We subtract from it the square of the short side, which is 324; the remainder is 332.
|
נגרע מאלה מרובע הצלע הקצר שהוא שכ"ד נשארו של"ב
|
- We take its half; it is 166.
|
נקח מחציתם והם קס"ו
|
- We divide it by the base, which is 16; the result is 10, one-third, and one part of 24; and this is the distance from the position of the height on the base to the long side.
|
ונחלקם על התושבת שהם י"ו ונהיה י' ושליש וחלק אחד מכ"ד וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הארוך על התושבת
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(20^2+16^2\right)-18^2\right]}{16}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(400+256\right)-324\right]}{16}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(656-324\right)}{16}=\frac{\frac{1}{2}\sdot332}{16}=\frac{166}{16}=10+\frac{1}{3}+\frac{1}{24}}}](/mediawiki/images/math/d/e/e/dee0caefa78f17b2cef3bcf2cd2a4f40.png)
|
- We give another example of a scalene triangle with integers, i.e. that the distance of the height from its position on the base is an integer without a fraction.
|
עוד נמשיל במשלש מתחלף הצלעות משל אחד על חשבון שלם ר"ל שיצא גבול מעמד עמודו על התושבת באחדים שלמים מבלתי חלק
|
- We say: , whose side AG is 13, side AB is 15, and side AB that is the base is 14.
|
ונאמר משלש אב"ג אשר צלע א"ג ממנו י"ג וצלע א"ב ממנו ט"ו וצלע ב"ג ממנו אשר הוא התושבת י"ד
|
- We wish to know the distance of the height from its position on the base to the short side, which is AG:
|
ורצינו לדעת גבול מעמד העמוד על התושבת מהצלע הקצר שהוא א"ג ממנו
|
- We add the square of the base to the square of this side; the result is 365.
|
חברנו אל מרובע הצלע הזה מרובע התושבת ונהיו שס"ה
|
- We subtract from it the square of the long side, which is 225; the remainder is 140.
|
גרענו מזה המרובע מהצלע הארוך אשר הוא רכ"ה ונשארו ק"מ
|
- We take its half; it is 70.
|
לקחנו חצים והם ע'
|
- We divide it by 14, which is the base; the first part is 5; and this is the distance from the position of the height to the short side.
|
חלקנום על י"ד שהוא חותך התושבת והיה החלק האחד ה' וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הקצר
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(13^2+14^2\right)-15^2\right]}{14}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(365-225\right)}{14}=\frac{\frac{1}{2}\sdot140}{14}=\frac{70}{14}=5}}](/mediawiki/images/math/7/8/3/783a551c01b9ea613ff5c0eabfac1652.png)
|
- If you wish to know its distance from its position to the long side:
|
ואם תרצה לדעת גבול מעמדו מן הצלע הארוך
|
- We add its square to the square of the base; the result is 421.
|
נחבר מרובעו עם מרובע התושבת ונהיו תכ"א
|
- We subtract from it the square of the short side, which is 169; the remainder is 252.
|
הוצאנו מהם מרובע הצלע הקצר שהוא קס"ט נשארו רנ"ב
|
- We take its half; it is 126.
|
לקחנו חצים והם קכ"ו
|
- We divide it by 14, which is the base; the [second] part is 9; and this is the distance from the position of the height to the long side.
|
וחלקנום על י"ד שהוא התושבת היה החלק הא' ט' וזהו גבול [55]מעמד העמוד מן הצלע הארוך
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(15^2+14^2\right)-13^2\right]}{14}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(421-169\right)}{14}=\frac{\frac{1}{2}\sdot252}{14}=\frac{126}{14}=9}}](/mediawiki/images/math/b/f/7/bf766cb8e6b3c557c5d462a068fd9fb8.png)
|
| The proof of this has already been clarified in geometry, that the square of the side, which is opposite an acute angle, is less than the sum of the squares of the two other sides by double the rectangle that is encompassed by the whole base and the distance from the position of the height to that side.
|
המופת על זה כבר התבאר בחכמת השעור שמרובע הצלע אשר הוא מיתר זוית חדה הוא פוחת מן מרובעי שתי צלעות הנשארות בכפל שטח הנצב הזויות אשר יקיף בו התושבת כלו עם מקום מעמד העמוד מאותו הצד
|
| Therefore, when you add the square of the side to the square of the base and subtract the square of the other side from this, the remainder is double the rectangle that is encompassed by the whole base and the distance from the position of the height to that side.
|
ולכן כאשר תחבר מרובע הצלע עם מרובע התושבת ותוציא מהם מרובע הצלע הנשאר ישאר ככפל הנצב הזויות אשר יקיף בו כל התושבת והחלק אשר יצא עליו העמוד מאותו הצד
|
| Thus, we divide it by two and then divide by the base, as the sum is a double, and the result is the distance from the position of the height to that side.
|
ולכן נחלק אותו לשנים והחלק האחד נחלקהו על התושבת אחרי שהסך הוא כפל ואשר יצא הוא מקום מעמד העמוד על אותו הצד
|
- The example for this is the triangle we have drawn:
|
המשל בזה המשלש אשר ציירנו
|
- We know that side AG is 13 cubits and its square is 169.
|
ידענו שצלע א"ג ממנו הוא י"ג אמה ומרובעו קס"ט
|
- The base is 14 cubits and its square is 196.
|
והתושבת י"ד אמה ומרובעה קצ"ו
|
- The [sum of the] two squares is 365.
|
ושתי המרובעים שס"ה
|
- Side AB is 15 cubits and its square is 225.
|
וצלע א"ב אשר הוא ט"ו אמה ומרובעו רכ"ה
|
- It is less than [the sum of] the squares mentioned by double the rectangle that is encompassed by GD by GB.
|
יהיה פוחת משני המרובעים הנזכרי' בכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו ג"ד בג"ב
|
|
- So, when we subtract 225 from 365, 140 remains, which is double the rectangle that is encompassed by GD by GB.
|
א"כ כאשר גרענו רכ"ה משס"ה ישאר ק"מ והוא ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו ג"ד בג"ב
|
- Since it is a double, we take its half, which is 70, and it is the same as the rectangle that is encompassed by GD by GB.
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(AG^2+GB^2\right)-AB^2\right]=GD\sdot GB}}](/mediawiki/images/math/7/4/8/748508ebd173b2cc55dfe28afe598058.png)
|
ומפני שהוא כפל לקחנו חציו והוא ע' והוא כשטח הנצב הזויו' אשר יקיף ג"ד בג"ב
|
- We divide it by the base, which is 14, and we know that the quotient is the distance from the position of the height to that side; this quotient is 5.
|
חלקנוהו על התושבת שהוא י"ד וידענו שהחלק האחד ממנו הוא מקום מעמד העמוד מאותו הצד והחלק הוא ה'
|
- Therefore, we know that the distance from the position of the height to that side is 5.
|
ומזה ידענו שמרחק העמוד מאותו הצלע הוא ה'
|
| After we have determined the position of the height, we can calculate its length. We do as follows:
|
ואחר שידענו גבול מעמדו נבא לדעת ארכו וכן נעשה
|
| We subtract the square of the distance of the height on the base from the square of the adjacent side, so the remainder is the square of the height.
|
נגרע מרובע החלק מן התושבת אשר עומד עליו העמוד ממרובע הצלע הדבק בו ואשר ישאר הוא מרובע העמוד
|
|
|
המשל בזה המשלש גרענו מרובע ה' שהוא כ"ה ממרובע הצלע הדבק בו ואשר ישאר הוא מרובע העמוד גרענו כ"ה ממרובע הצלע הדבק בו שהוא קס"ט ושרשו י"ב והוא אורך העמוד
|
|
|
וכן אם רצינו לדעת אותו מהחלק האחר מהתושבת אשר הוא ט' ומרובעו פ"א גרענו אותו ממרובע הצלע הדבק בו אשר הוא רכ"ה נשארו קמ"ד ושרשו י"ב והוא אורך העמוד
|
|
|
והמופת על זה כי מרובע כל צלע מהם שוה עם מרובע העמוד והחלק מן התושבת הדבק בו מפני שהוא מיתר לזוית הנצבת כל א' במשלשו כי כאשר הוצאת העמוד כבר נחלק המשלש לשני משלשים וכאשר גרעת מרובע החלק מן התושבת וממרובע הצלע הדבק בו נשאר במרובע הצלע מרובע העמוד וכשלקחת שרשו מצאת אורך העמוד
|
|
|
הנה בארנו מדידת כל המשלשים למיניהם והבדלם מצד הצלעות
|
|
|
ואעפ"י שבמדות האלה יכללו גם מתחלפי הזויות כי המשלש שוה השוקים לא ימלט מהיותו חד הזויות ואם נצב הזויות או נרוח גם ככה המתחלף הצלעות אמנם בעבור שיש להם מדות מיוחדות [56]גם מפני הזויות נבארם ואין זה צורך
|
|
|
ונאמר כי המשלש הנצב הזויות אין צורך להוציא עמודו על צלעו שהוא מיתר הזוית הנצבת כי כל אחת משתי צלעותיו המקיפות בזוית הנצבת הן עמודיו ולכן אם תכה אחד מהצלעות הנזכרות בצלעו האחרת המקפת עמו הזוית הנצבת תמצא תשברתו
|
|
|
והמופת על זה ידוע ממה שבארנו במשלשים הקודמים
|
|
|
עוד המשלש הנרוח הזוית אין הכרח להוציא עמודו על צלעו שהוא מיתר הזוית הנרוחת לבד
|
|
|
אבל אם רצית להוציאו בדרך זו אשר אורה לך
|
|
|
כבר התבאר בחכמת השעור שמרובע מיתר הזוית הנרוחת עודף על מרבעי שתי הצלעות המקיפות בה בכפל התושבת אשר עליה הצלע בקו היוצא חוצה מקצה התושבת הנזכרת עד מקום נפילת העמוד פעמים
|
- Example: is an obtuse triangle, and its
 is the obtuse angle. I say that the square of AB, which is the side opposite to the obtuse angle, exceeds [the sum of] the square of AG and GB by twice the product of GB by GD.
|
המשל בזה משלש אב"ג נרוחת הזויות וזוית אג"ב ממנו היא הנרוחת אומר שמרובע א"ב שהוא מיתר הזוית הנרוחת עודף על מרובע צלע א"ג וג"ב בכפל ג"ב בג"ד פעמים
|
|
|
ודרך הוצאת העמוד הזה במשלש הזה כך נשים הזוית הנרוחת אשר עליה ג' וצלע ג"א ד' אמות וצלע ב"ג י"ג אמה וצלע א"ב שהוא מיתר הזוית ט"ו אמה ומרובע ט"ו מוסיף על מרובע י"ג ומרובע ד' אשר הם קפ"ה אמה מ' אמה ואם תחלק מחצית התוספת על אחת מהצלעות יצא לך מרחק העמוד חוצה מן הצלע ההוא עד"מ חלקנו מחצית המ' אשר הוא התוספת והם כ' על קו ג"א אשר הוא ד' אמות ויצא החלק ה' וידענו מזה שהעמוד נפל חוצה מן צלע ג"א ה' אמות והוא קו ג"ד והעמוד עליה עמוד א"ד ואם תחלק אותו על קו ב"ג אשר ארכו י"ג אמה יצא החלק האחד שבעים ואחד חלקים מי"ג והוא מרחק העמוד היוצא חוצה מן ג"ב והעמוד עליו
|
Chapter Four on the Measuring of the Various Non-Parallelogram Quadrilateral
|
הפרק הרביעי במדידת הנוטים למיניהם
|
|
|
הנוטה הוא תמונה בעלת ד' צלעות שאינה לא מרובע ולא נכחי הצלעות ארוך ולא מעויין ולא דומה למעויין והם מינים רבים אעפ"י שכלם נכללים בד'
|
|
|
יש מהם ג' ששתי צלעותיו המקבילות שוות והראש והתושבת בלתי שוות אבל הם נכחיות כזה
|
|
|
ויש מהם ששתי הצלעות שוות והראש והתושבת בלתי שוות ולא נכחיות כזה
|
|
|
ויש מהם ששתי הצלעות הדבקות מהם שוות האחת לחברתה כזה וכן השתי צלעות האחרות
|
|
|
ויש מהם חד הזוית כזה ויש מהם שאין צלע הא' שוה עם האחר כזה
|
|
|
ויש מהם נצב הזויות כזה
|
|
|
ויש מהם נצב הזוית האחת כזה
|
|
|
ויש מהם נרוח הזוית כזה
|
|
|
ויש מהם תמונות עקלקלות זולת אלו לכן ראוי לך שאתן דרך הצריכה לנו במדידתם
|
| Isosceles trapezium
|
|
| I start with the non-parallelogram quadrilateral whose two sides are equal but not parallel, whose the top base and bottom base are not equal but are parallel.
|
ואחל מהנוטה אשר שתי צלעותיו שוות ואינם נכוחיות והראש והתושבת בלתי שוות אבל [57]הם נכוחיות
|
- We say that if ABGD is a non-parallelogram quadrilateral, AB is 8 cubits, DG is 18 cubits, both AD and BG are 13 cubits each, and you wish to find its area.
|
ונאמר אם היה נוטה אבג"ד וצלע א"ב ח' אמות וצלע ד"ג י"ח אמות ושני צלעי א"ד ב"ג כל אחד מי"ג אמה ותרצה למצוא תשברתו
|
| Do as follows:
|
תעשה כך
|
| Subtract the top base from the bottom base, take half the remainder, then count that much from one vertex of the bottom base and mark a dot there.
|
תגרע הראש מהתושבת ומהמותר תקח מחציתו ומנה כמה הוא מזוית התושבת האחת וסמן שם נקדה
|
| Count also that much from the other vertex of the bottom base and mark a dot there.
|
עוד מנה כמה הוא מזוית התושבת האחרת וסמן שם נקדה
|
- Example: we subtract 8 from 18; 10 remains.
|
דמיון גרענו הח' מן הי"ח ונשארו י'
|
- We take its half; it is 5.
|
לקחנו מחציתם והם ה'
|
- We count that much from vertex G and mark point Z there.
|
מנינו כן מזוית ג' וסמננו שם נקדת ז'
|
- We count also that much from vertex D and mark point H there.
|
עוד מנינו כן מזוית ד' וסמננו שם נקדת ה'
|
- We draw AH and BZ and so we know the heights of this shape.
|
הגענו א"ה וב"ז וידענו עמודי זאת התמונה
|
- We wish to know the length of the heights:
|
רצינו לדעת ארך העמודים
|
- We multiply the side, which is 13, by itself; it is 169.
|
וכפלנו הצלע שהם י"ג על עצמם והיו קס"ט
|
- We subtract from it 25, which is the square of 5; 144 remains.
|
הוצאנו מהם כ"ה שהוא מרובע ה' נשארו קמ"ד
|
- We extract its root; it is 12.
|
לקחנו גדרם והם י"ב
|
- Hence, we know that the length of the height is 12.
|
וידענו שארך העמוד הם י"ב
|
- We add the top base to the bottom base; it is 26.
|
חברנו הראש עם התושבת והם כ"ו
|
- We take its half; it is 13.
|
ולקחנו מחציתם והם י"ג
|
- We multiply it by the height, which is 12; it is 156 and this is the area of non-parallelogram quadrilateral.
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+18\right)\right]\sdot12=\left(\frac{1}{2}\sdot26\right)\sdot12=13\sdot12=156}}](/mediawiki/images/math/e/a/0/ea08993541dcdb6a714ee276acb87ff0.png)
|
וכפלנום עם העמוד שהם י"ב והיו קנ"ו וזהו תשבורת הנוטה הזה
|
|
|
המופת על זה
|
- It is known that half the excess is on one side and its half is on the other side up to the heights that are [drawn] on them.
|
ידוע שמחצית העודף יהיה מהצד האחד ומחציתו מהצד האחר עד שיוציאו העמודים עליהם
|
- Side AD is the hypotenuse of the right angle.
|
וצלע א"ד הוא מיתר הזוית הנצבת
|
- Therefore its square is equal to the square of the height with [the square of] the base of
|
ולכן מרבעו שוה למרובע העמוד עם תושבת משלש אד"ה
|
- The base of is 5.
|
ותושבת משלש אד"ה ה'
|
- Its square is 25.
|
ומרבעו כ"ה
|
- Subtract is from the square of the side, which is 169; 144 remains.
|
תגרעהו ממרובע הצלע אשר הוא קס"ט נשאר קמ"ד
|
- Its root is 12 and this is the length of the height.
|
וגדרו י"ב והוא ארך העמוד
|
- It is known that the area of is the product of the height by half DH.
|
וידוע שתשבורת משלש אד"ה הוא כפילת העמוד בחצי ד"ה
|
- Also the area of
 is the product of the height by half ZG.
|
וכן תשבורת משלש בז"ג הוא כפילת העמוד בחצי ז"ג
|
- So, the area of both these triangles is the product of the height by the whole DH.
|
אם כן תשבורת שני משולשים האלה הוא כפילת העמוד בכל תושבת ד"ה
|
- But, the area of the rectangle ABHZ is the product of the height by the base HZ.
|
ותשבורת השטח הנצב הזויות והוא שטח אבה"ז הנה הוא כפילת העמוד בתושבת ה"ז
|
- So, the product of DZ by the height is the area of trapezium ABGD.
|
אם כן כפילת ד"ז עם העמוד הוא תשבורת נוטה אבג"ד
|
- This is also clarified by the proof of a different shape:
|
ויתבאר גם כן זה בצורה אחרת מהמופת
|
- We have an isosceles trapezium; AB=GD, each is 13 cubits; AG is 6 cubits; BD is 16 cubits. We wish to know the area and the height.
|
והוא יש לנו נוטה אבג"ד שוה השוקים וצלע א"ב שוה לצלע ג"ד וכל אחת מהן בעלת י"ג אמות וצלע א"ג ו' אמות וצלע ב"ד י"ו אמות ונרצה למצוא התשבורת והעמוד
|
- I draw line AH parallel to line GD.
|
אוציא קו נכחי א"ה לקו ג"ד
|
|
ואוציא עמוד א"ז על קו ב"ד
|
- So surface AHGD is a rectangle.
|
אם כן שטח אהג"ד הוא נכחי הצלעות
|
- Therefore
|
וא"כ א"ב שוה לה"ד
|
|
וג"ד לא"ה
|
- Since BD is 16 cubits and HD is 6 cubits, the remaining BH is 10 cubits.
|
ולפי שב"ד י"ו אמו' וה"ד ו' אמו' א"כ ב"ה הנשארת תהיה י' אמות
|
- Since
 is isosceles and each of its sides is known, height AZ is also known and it is 12 cubits, as previously known.
|
ולפי שמשלש אב"ה שוה השוקים וכל אחת מצלעותיו ידועה יהיה א"כ גם עמוד א"ז ידוע והוא י"ב אמות כאשר קדם ידיעתו
|
- We halve AB and GD at points C and T.
|
ונחלק צלעי א"ב ג"ד באמצע על נקדת ח"ט
|
- We draw heights KCL, MTN to line BD.
|
ונוציא עמוד כח"ל מט"נ על קו ב"ד
|
- Therefore:
|
אם כן משלש אכ"ח שוה למשלש בח"ל
|
|
ומשלש דמ"ט שוה למשלש גנ"ט
|
- So, if we add the shared hexagon ACLNTD, the area of rectangle KLMN is equal to the area of trapezium ABGD.
|
לכן אם נוסיף בשתוף בעל שש צלעות א"ח ל"נ ט"ד ישוה שטח כ"ל מ"נ הנכחי הצלעות לנוטה אבג"ד
|
- And since:
|
ולפי שא"כ שוה לב"ל
|
|
וד"מ שוה לג"נ
|
- AK, DM are equal to BL, NG
|
אם כן א"כ ד"מ שוים לב"ל נ"ג
|
- When the shared AD, LN are added:
|
וכשיתוסף עליהם בשתוף א"ד ל"נ יהיו שני' כ"מ ל"נ שהם שני פעמים כ"מ שוה לשני [58]א"ד ב"ג
|
- AD, BG are known, for they are 22 cubits.
|
ושני א"ד ב"ג ידועים כי הם כ"ב אמות
|
- Therefore:
|
א"כ גם כ"מ פעמים כ"ב
|
- Hence, KM is 11 cubits.
|
ויהיה כ"מ י"א אמות
|
- But, KL is 12 cubits.
|
אבל גם כ"ל י"ב אמות
|
- And trapezium ABGD is equal to rectangle KLMN
|
ונוטה אבג"ד שוה לשטח כ"ל מ"נ הנכחי בצלעות
|
- Therefore, its area is 132 cubits as the area of the rectangle.
|
א"כ יהיה תשברתו קל"ב אמות כתשבורת הנכחי הצלעות
|
| Acute trapezium
|
|
- If you wish to measure an acute trapezium, such as trapezium ABGD, whose angle B is acute, AB is 13 cubits, GD is 20 cubits, AD is 6 cubits, and BG is 27 cubits. You wish to find the area and the height.
|
ואם רצית למדוד נוטה חד הזוית כגון נוטה אבג"ד והזוית אשר אצל ב' חדה וצלע א"ב י"ג אמות וצלע ג"ד כ' אמות וצלע א"ד ו' אמות וצלע ב"ג כ"ז אמות ותרצה למצוא התשבורת והעמוד
|
- Do as follows:
|
כך תעשה
|
- Subtract 6 cubits from 27 cubits; 21 cubits remain.
|
תגרע הו' אמות מן הכ"ז אמות וישארו כ"א אמות
|
- Since the sides of the acute triangle are known - 13, 21, 20 - the length of the height AZ is also known, which is 12 cubits, as we knew it previously.
|
ובהיות צלעות משלש החד הזויות ידועות והם י"ג וכ"א וכ' יודע גם ארך א"ז העמוד שהוא י"ב אמות כמו שידענו זה מקודם
|
- Add 6 cubits to 27 cubits; its half is 16½.
|
ותחבר עם הו' אמות כ"ז אמות ויהיה מחציתו י"ו אמות וחצי
|
- Multiply it by the height; it is 198 and this is the area of the trapezium.
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(27+6\right)\right]\sdot12=\left(16+\frac{1}{2}\right)\sdot12=198}}](/mediawiki/images/math/9/d/e/9de6313c2fd3f200764fd0870f5a2185.png)
|
כפלם עם העמוד ויהיו קצ"ח והם תשבורת הנוטה
|
|
|
והמופת על זה
|
- I draw line AH parallel to line GD.
|
אוציא קו א"ה נכחי לקו ג"ד
|
- I draw height AZ.
|
ואוציא א"ז עמוד
|
- Since AH is 20 cubits and GH is 6 cubits, the remaining BH is 21 cubits.
|
ולפי שא"ה כ' אמות וג"ה ו' אמות אם כן ב"ה הנשאר כ"א אמות
|
- Since line AZ, which is the height of the acute triangle ABH, is 12 cubits; lines AB and GD are halved at points C and T; BDL is the height from TN also, as we have shown concerning the shape that precedes this one; it is clear that trapezium ABGD is equal to the rectangle KLMN.
|
ולפי שקו א"ז העמוד במשלש אב"ה החד הזויות הוא י"ב אמות וצלעי א"ב ג"ד נחלקים באמצע על נקדת ח' וט' ובח"ל הוא העמוד גם מט"נ כמו שהראנו בצורה הזאת הקודמת לזה יראה שנוטה אבג"ד שוה לשטח כ"ל מ"נ נכחי הצלעות
|
|
וקוי ב"ג א"ד ביחד הם כפל כ"מ
|
 cubits.
|
וכ"מ הוא י"ו אמות וחצי
|
 cubits, because so is line AZ.
|
וכ"ל הוא י"ב אמות כי כן הוא קו א"ז
|
- Therefore the area of this trapezium is 198 cubits.
|
א"כ תשבורת הנוטה הזה הוא קצ"ח אמות
|
| Obtuse trapezium
|
|
- If you wish to measure an obtuse trapezium, such as trapezium ABGD, whose angle B is obtuse, AB is 13 cubits, GD is 20 cubits, AG is 6 cubits, and BD is 17 cubits.
|
אם רצית למדוד נוטה נרוח הזויות כמו נוטה אבג"ד והזוית אשר אצל ב' נרוחת והיה צלע א"ב י"ג אמות וצלע ג"ד כ' אמות וצלע א"ג ו' אמות וצלע ב"ד י"ז אמות
|
- Like this:
|
כזה
|
- Subtract 6 cubits from 17 cubits; 11 cubits remain.
|
תגרע הו' אמות מהי"ז אמות וישארו י"א אמות
|
- Since the sides of the obtuse triangle are known - 13, 17, 20 - the height is also found, which is 12.
|
ובהיות צלעי המשלש נרוח הזוית ידועות י"ג וי"ז וכ' ימצא גם העמוד שהוא י"ב
|
- Add 17 to 6; it is 23.
|
תחבר הי"ז עם הו' הם כ"ג
|
- Its half is 11½.
|
ומחצית זה הם י"א וחצי
|
- Multiply it by 12; it is 138 and this is the area of this trapezium.
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(17+6\right)\right]\sdot12=\left(\frac{1}{2}\sdot23\right)\sdot12=\left(11+\frac{1}{2}\right)\sdot12=138}}](/mediawiki/images/math/7/4/8/748dbe89048135b7801384e661ea0d80.png)
|
תכפלם על י"ב יהיו קל"ח והוא תשבורת הנוטה הזה
|
- The proof of this measuring:
|
והמופת על זאת המדידה
|
|
אוציא עמוד א"ה
|
- I draw line AZ parallel to line GD.
|
ואוציא קו א"ז נכחי לקו ג"ד
|
- Therefore:
|
יהיה א"כ קו א"ז כ' אמות
|
|
וקו ז"ד ו' אמות
|
- So, the remaining BZ is 11 cubits.
|
ואם כן קו ב"ז הנשאר יהיה י"א אמות
|
- Since
 is obtuse, line AH is 12 cubits.
|
ולכן לפי שמשלש אב"ז הוא נרוח הזוית יהיה קו א"ה י"ב אמות
|
- As explained above,
 is double the trapezium ABGD.
|
וכן לפי מה שהתבאר למעלה השטח אשר יהיה מב"ד א"ג ביחד ומא"ה הוא כפל נוטה אבג"ד
|
- Hence, the area of this trapezium is 138 cubits.
|
אם כן תשבורת הנוטה הזה הוא קל"ח אמות
|
| Scalene non-parallelogram quadrilateral
|
|
- If you wish to measure a non-parallelogram quadrilateral, such that none of its sides are parallel, angle G is right, and each of its sides is known: AB is 13 cubits, BG is 10 cubits, GD is 20 cubits, and DA is 17 cubits.
|
ואם רצית למדוד נוטה אבג"ד ולא יהיה צלע מצלעותיה נכוחי והזוית אשר אצל ג' נצבת ויהיה כל צלע מצלעותיה ידוע אם צלע א"ב י"ג אמות ואם ב"ג י' אמות ואם ג"ד כ' אמות [59]ואם ד"א י"ז אמות כזה
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the 10 cubits by the 20 cubits; it is 200.
|
תכפול הי' אמות על הכ' אמות ויהיו ר'
|
- Take its half; it is 100.
|
וקח מחציתם והוא ק'
|
- Multiply the 10 by itself; it is 100.
|
ועוד תכפול הי' על עצמם ויהיו ק'
|
- And the 20 by itself; it is 400.
|
והכ' על עצמם ויהיו ת'
|
- Sum them; it is 500.
|
וחברם ויהיו ת"ק
|
- The 13 by itself; it is 169.
|
והי"ג על עצמם ויהיו קס"ט
|
- Add it to 500; it is 669.
|
חברם עם הת"ק ויהיו תרס"ט
|
- Subtract from it the square of 17; 380 remains.
|
גרע מהם מרובע י"ז וישארו ש"פ
|
- Take its half; it is 190.
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(10^2+20^2+13^2\right)-17^2\right]=\frac{1}{2}\sdot380=190}}](/mediawiki/images/math/4/3/b/43beba494c89b2c59109ae39f2e9c4df.png)
|
קח חציים והוא ק"צ
|
- Multiply it by itself; it is 36100.
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(10^2+20^2+13^2\right)-17^2\right]\right]^2=190^2=36100}}](/mediawiki/images/math/d/3/2/d32b40bae389ab2b11098e28e104034e.png)
|
כפלם על עצמם ויהיו ל"ו אלפי' וק'
|
- Divide it by 500; the quotient is 72 and one-fifth.
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(10^2+20^2+13^2\right)-17^2\right]\right]^2}{10^2+20^2}=\frac{36100}{500}=72+\frac{1}{5}}}](/mediawiki/images/math/7/e/7/7e79a9d986890aa1aeed4f4f699036a9.png)
|
חלקם על ת'[ק'] ויהיה החלק ע"ב וחמישית
|
- Subtract it from 169; the remainder is 96, a half, one-fifth, and one-tenth.
|
תגרעם מן קס"ט ישארו צ"ו וחצי וחמישית ועשירית
|
![\scriptstyle{\color{blue}{13^2-\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(10^2+20^2+13^2\right)-17^2\right]\right]^2}{10^2+20^2}=169-\left(72+\frac{1}{5}\right)=96+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}}}](/mediawiki/images/math/2/f/f/2ff4a286617161ba6538fe16cd9340f1.png)
|
- Multiply it by 500; it is 48400.
|
כפלם על ת"ק ויהיו מ"ח אלף ות'
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[13^2-\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(10^2+20^2+13^2\right)-17^2\right]\right]^2}{10^2+20^2}\right]\sdot\left(10^2+20^2\right)=\left(96+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}\right)\sdot500=48400}}](/mediawiki/images/math/7/e/9/7e9c6104a753be345410bd51bea66300.png)
|
- Extract its root; it is 22[0].
|
קח גדרם ויהיו רכ"א
|
- Take its half; it is 110 and this is the area of .
|
וקח מחציתם ויהיה ק"י והוא תשבורת משלש אב"ד
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[13^2-\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(10^2+20^2+13^2\right)-17^2\right]\right]^2}{10^2+20^2}\right]\sdot\left(10^2+20^2\right)}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{48400}=\frac{1}{2}\sdot220=110}}](/mediawiki/images/math/3/e/0/3e012163af7ea7eb69192f5c8acba60d.png)
|
|
|
אבל גם תשבורת משולש בג"ד ק' אמות אם כן תשבורת נוטה אבג"ד ר"י אמות
|
- The proof of this measuring:
|
המופת על המדידה הזאת
|
|
|
נגיע קו ב"ד
|
|
|
ואעמיד עליה עמוד קו א"ה
|
|
|
ולפי שכל אחד מצלעי ב"ג ג"ד הם ידועות וזוית שאצל ג' נצבת אם כן משלש בג"ד יהיה ידוע
|
|
|
ויהיה גם מרובע ב"ד ידוע והוא ת"ק אמות
|
|
|
אבל גם מרובע א"ב ידוע
|
|
|
א"כ מרובעי א"ב ב"ד ידועים והם יותר ממרובע א"ד
|
|
|
אם כן זוית אב"ד תהיה חדה
|
|
|
ואם כן מרובעי א"ב ב"ד גדולים ממרובע א"ד בכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א' ב"ה פעם אחת ידוע והוא גדר מרובע ב"ד על מרובע ב"ה
|
|
|
אם כן גם מרובע ד"ב על מרובע ב"ה ידוע
|
|
|
ומרובע ב"ד ידוע
|
|
|
א"כ גם מרובע ב"ה ידוע
|
|
|
אבל גם מרובע ה"א על מרובע ב"ד וגדרו הוא השטח אשר יקיפו ב"ד א"ה
|
|
|
א"כ גם השטח אשר יקיפו בו ב"ד ד"ה ידוע והוא כפל משלש אב"ד
|
|
|
אם כן גם משלש אב"ד ידוע
|
|
|
אבל גם משלש בג"ד ידוע
|
|
|
ולכן כל בעלת ד' צלעות אבג"ד ידועה
|
|
|
והיות גם העמוד היוצא מנקדת א' על קו ב"ד ידוע הנה אני מביא עליו המופת יהיה נוטה עליו אבג"ד וכל אחת מצלעותיו תהיה ידועה וזוית בג"ד נצבת
|
|
|
והיות העמוד היוצא מנקדת א' על קו ג"ד ידוע אוציא אם על קו ג"ד עמוד א"ז ועל קו א"ז עמוד ב"ח ועל קו ב"ד עמוד א"ה והוא מבואר כי קו ב"ד ידוע וא"ה העמוד אשר עליה לפי שגם ב"א א"ד הם ידועים ולפי שזוית גב"ד שוה לזוית בט"א אבל גם זוית בג"ד הנצבת שוה לזוית אה"ט הנצבת אם כן יחס א"ה אל ה"ט ויחס ג"ד אל ג"ב ידוע א"כ גם יחס א"ה אל ה"ט ידוע וא"ה ידוע אם כן גם ה"ט ידוע והם מקיפים בזוית נצבת אם כן גם א"ט ידוע ולפי שכל אחת מב"ה ה"ט ידוע אם כן גם השטח נצב הזויות ידוע אשר יקיפו בו בט"ה ויהיה שוה לשטח אשר יקיפו בו אט"ח והזוית אשר אצל כל אחת מה"ח נצבת אם כן גם ח"ט ידוע ולכן יהיה גם א"ח ידוע אבל גם ח"ז שוה לב"ג אם כן גם א"ז כולו יהיה ידוע ויהיה אופן המעשה כן
|
|
|
אם צלע א"ב יהיה י"ג אמו' ואם צלע ב"ג י' אמות ואם צלע ג"ד כ' אמות ואם צלע ד"א י"ז אמו' [60]ונרצה למצוא התשבורת הנז' ויהיה אם עמוד א"ה בכח צ"ו וחצי וחמש יתחלק א' מט"ו ואם ב"ה יהיה בכח ע"ב וחמש ואם ב"ד יהיה בכח ת"ק ולפי שאם צלע ג"ד היא כ' אמות ואם ג"ב היא עשר אמות א"כ מרובעם יהיה ת' אמות וק' אמות ועשה כך
|
|
|
ראה כיחס ת' אל הק' מה היחס אל צ"ו ורביעית וחמישית ותמצא שהוא אל כ"ד וחמישית
|
|
|
וכן מרבע ה"ט וכפל הע"ב על כ"ד וחמישית וקח גדר ההוה וכפלהו בשנים וההוה הוא ככפל השטח הנצב הזוית אשר יקיפו בו ב"ה ונוסיף מרובע ב"ה ב"ט כלומר מרובע ע"ב וחמישית וכ"ד וחמישית מחוברים ונדע כ"ט בכח שהוא ק"פ וחבר קצ"ו וחצי וחמישית ועשירית והכ"ד וחמישיתו ויעלה קכ"ד וכפל הק"ף על הכ"ד וחמישית יהיה בכח ד' אלפים שכ"ו וחלקם על הקכ"א יהיה ל"ו ונגרע מקכ"א בכח ל"ו בכח וישארו כ"ה בכח שהם ה' באורך ותוסיף כל שעור ב"ג והוא י' אמות וההוה ט"ו וזהו שעור העמוד ואם ה"ט בכח כ"ד וחמישית ואם ח"ט באורך ו' ואם באורך י"א
|
|
|
ואם תרצה למדוד נוטה אבג"ד אשר הזוית שאצל ג' נצבת ויהיה צלע א"ב י"ג אמות וצלע ב"ג י' אמות וצלע ג"ד ח' אמות וצלע א"ד כ"ה אמות כזה ותרצה למצוא תשברתו
|
|
|
תעשה כן
|
- Multiply the 10 by itself; it is 100.
|
תכפול הי' על עצמם יעלו ק'
|
- Multiply also the 8 by itself; it is 64.
|
גם הח' על עצמם יעלו ס"ד
|
- Sum them; it is 164.
|
תחברם יעלו קס"ד
|
- Multiply also the 13 by itself; it is 169.
|
גם תכפול הי"ג על עצמם יעלו קס"ט
|
- Sum them; it is 333.
|
חברם עמם יעלו של"ג
|
- Multiply also the 25 by itself; it is 625.
|
גם כפול הכ"ה על עצמם יעלו תרכ"ה
|
- Subtract 333; 292 remains.
|
גרע של"ג ישארו רצ"ב
|
- Take its half; it is 146.
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left[25^2-\left(10^2+8^2+13^2\right)\right]=\frac{1}{2}\sdot292=146}}](/mediawiki/images/math/e/c/c/ecc7586dd5f035eea6f671d3d5081e76.png)
|
קח חציים והם קמ"ו
|
- Multiply it by itself; it is 21316.
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[25^2-\left(10^2+8^2+13^2\right)\right]\right]^2=146^2=21316}}](/mediawiki/images/math/a/5/7/a577a8cc66f154ab7d983ad2e8945cd1.png)
|
כפלם על עצמם יעלו כ"א אלף שי"ו
|
- Divide it by 164; the quotient is 129 and 160 parts of 164.
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[25^2-\left(10^2+8^2+13^2\right)\right]\right]^2}{10^2+8^2}=\frac{21316}{164}=129+\frac{160}{164}}}](/mediawiki/images/math/a/c/e/ace687e014ef4c62a1d24f2f3cdd18b7.png)
|
חלקם על קס"ד יהיה החלק קכ"ט וק"ס חלקים מקס"ד באחד
|
- Subtract it from 169; 39 and 4 parts of 164 remain.
|
גרעם מן קס"ט ישארו ל"ט וד' חלקים מן קס"ד באחד
|
![\scriptstyle{\color{blue}{13^2-\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[25^2-\left(10^2+8^2+13^2\right)\right]\right]^2}{10^2+8^2}=169-\left(129+\frac{160}{164}\right)=39+\frac{4}{164}}}](/mediawiki/images/math/2/6/8/2684f199f49f71fe83bbd250bb2984a0.png)
|
- Multiply them by 164; it is 6400.
|
כפלם על קס"ד יעלו ו' אלפים ות'
|
- Its root is 80.
|
וגדרו פ'
|
|
|
וחציים מ' ויהיה תשבורת משולש אב"ד מ' אמות
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left[13^2-\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[25^2-\left(10^2+8^2+13^2\right)\right]\right]^2}{10^2+8^2}\right]\sdot\left(10^2+8^2\right)}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\left(39+\frac{4}{164}\right)\sdot164}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{6400}=\frac{1}{2}\sdot80=40}}](/mediawiki/images/math/b/0/7/b078274bfeaef1d36ed0842ecfa02b58.png)
|
|
|
|
אבל גם תשבורת משולש בג"ד כן מ' אמות אם כן תשבורת כל נוטה אבג"ד פ' אמות
|
- The proof of this measuring:
|
והמופת על המדידה הזאת
|
|
|
נגיע ב"ד
|
|
|
ויהיה תשבורת משולש בג"ד ידוע
|
|
|
ומרובע ב"ד יהיה קס"ד אמות
|
|
|
אבל גם מרובע א"ב קס"ט אמות
|
|
|
א"כ מרובע א"ב ב"ד ככפל השטח הנצב הזויות שהם של"ג אמות והם פחותים ממרובע א"ד
|
|
|
אם כן זוית אב"ד נרוחת
|
|
|
ואוציא עמוד א"ה על ד"ב בהוציאי אותו עד ה'
|
|
|
א"כ מרובע א"ד יותר גדול ממרובעי א"ב ב"ד ככפל השטח הנצב הזויו' אשר יקיפו בו קוי ב"ה ידוע
|
|
|
לכן גם השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו ב"ד ב"ה יהיה ידוע
|
|
|
ויהיה גדר מרובע ב"ד על ב"ה א"כ מרובע ב"ד על מרובע ב"ה ידוע
|
|
|
אבל גם מרובע ב"ד גם מרובע ה"ב הנשאר ידוע
|
|
|
והזוית אשר אצל ה' נצבת
|
|
|
א"כ גם מרובע א"ה ידוע
|
|
|
לכן גם מרובע א"ה על מרובע ב"ד ידוע
|
|
|
ויהיה גדרו השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ה ב"ד
|
|
|
אם כן גם שטח הנצב הזוית אשר יקיפו בו א"ה ב"ד ידוע
|
|
|
וחציו הוא משלש אב"ד שהוא מ' אמות כמו שזכרנו
|
|
|
[61]אם כן גם משלש אב"ד ידוע לכך גם כל בעל ד' צלעות אבג"ד יהיה ידוע
|
Chapter Five on Knowing the Round Shapes
|
הפרק החמישי בידיעת התמונות העגולות
|
|
|
דע שהעגולה היא קו אחד בתוכה נקדה שכל הקוי' היוצאים ממנה אל המקיף שוים
|
|
|
והנה בזה השער יכנסו מדידת העגולה השלימה אשר גדרנוה ומדידת חתיכות העגולה וחתיכות העגולה ג' מינים
|
- The first is a semicircle.
|
הא' הוא חצי העגולה
|
- The second is greater than a semicircle.
|
השני יותר מחציה
|
- The third is less than a semicircle.
|
השלישי פחות מחציה
|
|
|
ונחל במדידת העגולה השלימה אחר נדבר במדידת חתיכותיה
|
| Circle
|
|
| We say that the area of the circle is [obtained] by that you multiply half of its diameter by half of its perimeter.
|
ונאמר כי תשבורת העגולה היא בשתכה את מחצית קטרה במחצית הקו המקיף אותה
|
| The ratio of its perimeter, i.e. the line surrounding the circle, to its diameter is as the ratio of 22 to 7.
|
והנה ערך הקו המקיף אותה ר"ל את העגולה מקטרה כערך כ"ב אל הז'
|
| We find that the ratio of the perimeter is 3⅐ according to the opinion of the geometricians that are experts in this science.
|
נמצא שהקו המקיף הוא בערך ג' ושביעית וזה לפי דעת חכמי המדות המדקדקים בחכמה הזאת
|
|
|
אמנם בטלמיוס עשה כל חשבונותיו בספר המג'יסטי על חשבון שיהיה הקטר שלישית הקו המקיף כי חלק את העגולה על ש"ס מעלות והקטר על ק"כ מעלות ואעפ"י שאין יחס בין הקטר שהוא קו ישר לקו המקיף שהוא קו עגול אבל היחס יפול במספר לא בשעור
|
- If you wish to find the area of the circle from the perimeter alone:
|
ואם רצית למצוא תשבורת העגולה מהמקיף לבד
|
- Take the square of the perimeter by multiplying it by itself, multiply the product by 7, then take one part of 88 from the result and it is the area of the circle.
|
תקח מרובע הקו המקיף וזה בשתכה אותו על עצמו וההוה תכה אותם על ז' וההוה קח מהם חלק א' מפ"ח והוא תשבורת העגולה
|
- Example: we multiply 22 by itself; it is 484.
|
המשל בזה הכינו כ"ב על עצמם והם תפ"ד
|
- We multiply it 7 times; it it is 3388.
|
כפלנום ז' פעמים והם ג' אלפים ושפ"ח
|
- We take from it one part of 88; it is 38½ and this is the area of the circle.
|
לקחנו מהם חלק מפ"ח והם ל"ח וחצי והוא תשבורת העגולה
|
- Another example: if you wish to find the area of the circle from the perimeter alone:
|
דמיון אחר אם רצית למצוא תשבורת העגולה מהמקיף לבד
|
- Add to the perimeter its half and its quarter and the result is the area of the circle.
|
תוסיף על המקיף חציו ורביעיתו וההוה הוא תשבורת העגולה
|
- Example: we add to the perimeter, which is 22 cubits, its half and its quarter that are 16½; the result is 38½ and this is the area of the circle.
|
המשל בזה הוספנו על הקו המקיף שהוא כ"ב אמות חציו ורביעיתו שהם י"ו אמות וחצי ההוה ל"ח וחצי והם תשבורת העגולה
|
|
|
ואם רצית תשבורת העגולה מהקטר לבד מבלתי שתביט אל הקו המקיף כפול מרובע הקטר על י"א וחלק העולה על י"ד והעולה הוא תשבורת העגולה וזה על חשבון חכמי המדות
|
|
|
ובטלמיוס אמר במקום אחר כי ערך הקו המקיף אל כל האלכסון והוא ג' וח' חלקי' מששים באחד
|
|
|
ואין הפרש בין זה החשבון ובין חשבון חכמי המדות רק דבר מועט שאינו מזיק בחשבון לכן סמכנו את חשבוננו על דעת חכמי המדות
|
|
|
עוד אם רצית למצוא תשבורת העגולה מהקטר לבד תקח הקטר וכפלהו על הקו המקיף וקח מההוה רביעיתו והוא תשבורת העגולה
|
|
|
המשל בזה הקטר ז' והקו המקיף כ"ב כפלנו זה על זה וההוה קנ"ד ורביעיתו ל"ח וחצי והוא תשבורת העגולה
|
|
|
הנה כבר בארנו דרך תשבורת מדידת העגולה
|
|
|
[62]ומעתה נחל לבאר דרך מדידת חתיכותיה ונאמר כי מקצת העגולה היא מקפת מן קצת הקו המקיף את העגולה ומקו ישר יקרא המיתר והוא המשוך מקצה הקו המקיף אותה עד קצהו האחר
|
|
|
וכאשר יצא ממחצית המיתר קו על זוית נצבת אל המקיף יקרא החץ
|
|
|
ועיין אל כל חתיכה ואם החצי יהיה כמחצית המיתר דע שהחתיכה היא חצי עגולה
|
|
|
ואם יהיה קצר ממחצית היתר דע שהחתיכה היא פחותה מחצי העגולה
|
|
|
ואם הוא יותר ארוך ממחצית היתר החתיכה היא גדולה ממחצית העגולה
|
|
|
וכאשר היתה החתיכה חצי עגולה ורצית לדעת תשברתה תכפול חצי היתר שהוא אלכסון החצי עם חצי הקו המקיף אותה וההוה הוא תשבורת מחצית העגולה כי מחצית הקו המקיף העגולה שהיא החתיכה הוא רביע הקו המקיף כל העגולה השלימה
|
|
|
וכאשר הכית מחצית הקטר ברביע העגולה תמצא תשבורת כל העגולה
|
|
|
וכאשר תכה מחצית הקטר ברביע העגולה תמצא תשבורת חצי העגולה
|
|
|
כי כל חשבון שתכה חציו בכולו יהיה ההוה מחצית הכאת כלו
|
|
|
ואם תכה חציו בחציו ההוה רביע הכאת כלו בכולו
|
|
|
המשל בזה עגולה שלימה אשר הקו המקיף אותה כ"ב אמות ידענו שקטרה ז' אמות רצינו למצוא תשברתה
|
|
|
הכינו מחצית הקטר שהוא ג' וחצי על מחצית הקו המקיף שהוא י"א אמות וההוה ל"ח וחצי ידענו מזה שתשבורת העגולה ל"ח וחצי אמות
|
| Semicircle
|
|
|
|
רצינו לדעת תשבורת מחצית העגולה הזאת לקחנו מחצית הקו המקיף אותה שהוא ה' וחצי והכינו אותם עם מחצית הקטר שהוא ג' וחצי וההוה י"ט ורביע והוא תשבורת חצי העגולה
|
- Example: a semicircle whose diameter is 14 cubits and the versine is 7 cubits.
|
המשל בזה חצי עגולה שיהיה קטרה י"ד אמות והחץ ז' אמות
|
- Take the square of the diameter, which is 196, multiply it by 11; the result is 2156.
|
תקח מרובע הקטר והוא קצ"ו אמות ותכפלהו בי"א ההוה ב' אלפים קנ"ו
|
- Take one part of 28, which is 77 cubits, and this is the area of the semicircle.
|
קח החלק האחד מכ"ח שהם ע"ז אמות והם תשבורת חצי העגולה
|
- If you wish to find its area using the versine, do as follows:
|
ואם רצית למצוא את תשבורתה מהחץ תעשה כך
|
- Take the square of the versine, multiply it by 11, then take its seventh and this is the area of the semicircle.
|
תקח מרובע החץ ותכפלהו על י"א ותקח שביעיתו והוא תשבורת חצי העגולה
|
- Example: take the square of the versine, which is 7 and its square is 49, multiply it by 11; the result is 539 and its seventh is 77 and this is the area of the semicircle.
|
המשל בזה קח מרובע החץ שהוא ז' ומרובעו מ"ט כפלהו על י"א ההוה תקל"ט ושביעיתו ע"ז והוא תשבורת חצי העגולה
|
- Another semicircle, whose diameter is 7 cubits, its versine is half the diameter, which is 3½, and the perimeter is 11 cubits. You wish to know its area.
|
עוד חצי עגולה אשר קטרה ז' אמות וחצה חצי הקטר שהוא ג' וחצי והקו המקיף י"א אמות ותרצה לדעת תשברתה
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the 7 cubits of the diameter by the 11 cubits of the perimeter; the result is 77 cubits; take its quarter, which is 19¼ cubits and this is the area of the semicircle.
|
תכפול הז' אמות של הקטר עם הי"א אמות של הקו המקיף וההוה ע"ז אמות קח רביעיתם והם י"ט אמות ורביע והם תשבורת חצי העגולה
|
- In another way, do as follows:
|
ובאופן אחר תעשה כך
|
- Take the square of the diameter, which is 7 cubits and its square is 49, multiply it by 11; the result is 539.
|
תקח מרובע הקטר שהוא ז' אמות ומרובעו מ"ט כפלם על י"א וההוה תקל"ט
|
- Take one part of 28; its is 19¼ cubits and this is the area.
|
קח חלק א' מכ"ח והוא י"ט אמות ורביע וזהו התשבורת
|
|
|
[63]רצינו למצוא תשבורת חתיכת עגולה פחות מחציה ובזה הוא הכרח למצוא קטר כל העגולה אשר זאת החתיכה ממנה וככה נעשה
|
|
|
כבר התבאר בספר היסודות לאקלידס כי כל עגולה יפלו בה שני מיתרים ויחתכו זה את זה יהיה חלק המיתר בחברו האחר ככפל חלק המיתר השני בחברו
|
|
|
וכאשר רצינו למצוא אלכסון העגולה אשר זו החתיכה נחצבת ממנו נעבירהו חותך המיתר על זויות נצבות ויחתכהו באמצע כפי מה שהתבאר בספר היסודות לאקלידס
|
|
|
ונכפול חצי המיתר על מחציתו וההוה ממנו ראוי שיהיה כמו ההוה מחץ החתיכה הזאת על שארית האלכסון
|
|
|
וכאשר ידענו כמות אורך החץ נכפלהו על מספר שיהיה ההוה מכפלו כמו ההוה ממחצי' המיתר על מחציתו והמספר אשר כפלנו אותו עליו יחד עם החץ יהיה שעור אלכסון
|
|
|
המשל בזה יהיה חתיכת עגולה פחות מחציה חתיכת א"ב ויהיה מיתרה ח' אמות וחצה ב' אמות והוא ג"ד חותך על זויות נצבות את המיתר
|
|
|
ובהכרח שיחתוך אותו אל חצאים וכשנוציאנו עד מקיף העגולה כאשר נשלים אותה יעבור על מרכז העגולה
|
|
|
והנה חתך המיתר על ד' ד' אם כן כשנעריך חצי המיתר על חציו ההוה י"ו וכבר הנחנו החץ ב' נעריך אותו על מספר שיהיה ההוה י"ו ואין מספר כזה זולתי הח' וידענו שהחסר מן החץ עד תשלום האלכסון הם ח' חברנום עם החץ ביחד והיו י' והוא אורך כל האלכסון ונעשה חצו בה ונשלים העגולה ונאמר שנוציא שני קוים מנקדת ח' שהוא חצי האלכסון ומרכז העגולה אל נקדת א' ונקדת ב' ונכה מחצית הקטר שהוא ח"ג במחצית הקשת המקיף את החתיכה והוא קשת א"ג וההוה הוא תשבורת המשולש אשר שתי צלעותיו ח"א ח"ב ותושבתו קשת אב"ג
|
|
|
אחר כך נכה מחצית המיתר בעמוד המשולש הוא קו א"ד וההוה הוא תשבורת המשולש ישר הקוים
|
|
|
נגרע התשבורת מתשבורת המשולש אשר תושבותיו קשת אב"ג ואשר ישאר הוא תשבורת החתיכה הדרושה
|
|
|
וכאשר רצינו לדעת זאת המדידה באופן אחר מבלתי שנצטרך להוציא כל אלכסון העגולה נחבר המיתר והחץ ונקח חציים ונכה אותם עם החץ גם נכה חצי המיתר על עצמו ונקח מהכאת חצי המיתר על עצמו חלק א' מן ארבעה עשר ונוסיף אותם על הכאת חצי המיתר והחצי עם החץ והוא התשבורת
|
|
|
כגון מיתר י"ב עם חץ ד' שהם י"ו וחציים ח' נכה בד' הם ל"ב וחצי המיתר על עצמו הם ל"ו חלקו מי"ד ב' אמות וחצי וחלק מי"ד נוסיפם [64]על הל"ב אמות יהיה תשבורת החתיכה ל"ד אמות וחצי וחלק א' מי"ד
|
|
|
נרצה למצוא תשבורת חתיכת העגולה אשר היא גדולה מחציה
|
|
|
והחתיכה הזאת היא קשת אב"ג עם מיתר א"ג
|
|
|
ותוכל לדעת התשבורת כשתמצא קטר העגולה אשר זאת החתיכה היא חתיכה ממנה ותהיה כופל חצי הקטר בחצי הקשת ותהיה מוסיף עליו תשבורת המשולש אשר תושבתו המיתר וראשו מרכז העגולה וההוה הוא תשבורת החתיכה
|
|
|
ונעמוד על ידיעת האלכסון כן נקח מרובע חצי המיתר ונחלקהו על החץ ונוסיף העולה על החץ וההוה הוא אלכסון העגולה אשר זאת החתיכה נחתכה ממנה
|
|
|
המשל בזה יהיה חתיכת העגולה קשת אב"ג והמיתר א"ג וארכו י"ב אמות והחץ ב"ד וארכו ח' אמות
|
|
|
לקחנו מרובע חצי היתר שהוא ל"ו וחלקנוהו על החץ שהוא ח' ועלה החלק ד' אמות וחצי הוספנום על החץ והם י"ב אמות וחצי וידענו שהאלכסון הוא י"ב אמות וחצי
|
|
|
רצינו למצוא את התשבורת ולקחנו חצי הקטר שהוא ו' אמות ורביע וכפלנו אותו על חצי הקשת וההוה שמרנוהו
|
|
|
אחר כך מצאנו תשבורת המשולש שתשברתו א"ג ועמודו ה"ד ושתי צלעותיו הם א"ה ג"ה ומצאנוהו כן ידענו שאורך כל א' מצלעותיו השתים הוא כארך חצי הקטר ולכן יהיה מרובע הצלע כמרובע העמוד ומרובע מחצי' המיתר כי הוא תושבת לזוית הנצבת ואחרי שמרובע מחצית המיתר ל"ו נגרעהו ממרובע הצלע שהוא ל"ט אמות וחלק א' מי"ו נשארו ג' אמות וחלק א' מי"ו והם מרובע ארך העמוד
|
|
|
כפלנו העמוד עם מחצי' התושבת שהם ו' אמות וההוה הם י"ח אמות ושלישית וחלק מל' גם אחד מק"כ והוא תשבורת משלש אה"ג
|
|
|
הוספנו על השמור וההוה הוא תשבורת החתיכה הנזכרת
|
|
|
ואם רצינו למצוא התשבורת הזאת מבלי שנצטרך להוציא האלכסון נעשה כך
|
|
|
נכה המיתר עם החץ וההוה נכה אותו עם י"א ומן ההוה נקח חלק א' מי"ד והוא תשבורת החתיכה הזאת
|
|
|
המשל בזה חתיכת עגולה גדולה מחציה היא קשת אב"ג ומיתרה א"ג וארכו כ"ד אמות והחץ י"ו אמות
|
|
|
הכינו החץ עם המיתר ההוה שפ"ד אמות הכינו שפ"ד עם י"א ההוה ד' אלפים ורכ"ד לקחנו מהם חלק א' מהי"ד וההוה ש"א אמות וחצי ושביעית וחלק מי"ד והוא תשבורת החתיכה הנזכרת
|
|
|
אמר מרדכי בעבור שאלה המדידות אנו צריכים למצוא כמות הקשת המקפת בחתיכו' העגולה וזה מתבאר בלוחות המיתרים והקשתות כי בידיעת המיתר נדע הקשת גם בידיעת הקשת נדע המיתר כמו שביאר זה בטלמיוס במאמר א' מספר האלמג'יסטי [65]מאג'יסטי ואין מדרך חבורנו זה לכתוב בו לוחות ראיתי להמציא לך דרך לדעת הקשתות מבלי שתצטרך אל הלוחות ההם
|
|
|
ואומר אם חתכת העגולה תהיה פחות מחציה ותרצה לדעת כמות הקשת המקיף אותה תעשה כך לעולם
|
|
|
תחבר המיתר על החץ ותגרע מהם רביעיתם וקח מהנשארים רביעיתם והוסף עליהם וההוה הוא כמות הקשת המקיף את החתיכה
|
|
|
המשל בזה תהיה חתיכת עגולה פחות מחציה חתיכת א"ב ומיתרה מ' אמות וחצה י' אמות חברנו המיתר עם החץ ההוה נ' אמות גרענו אלו י"ב אמות וחצי שהם רביעיתם נשארו ל"ז אמות וחצי לקחנו ט' אמות ורביע ושמינית שהם רביע הל"ז אמות וחצי אשר נשארו והוספנו אותם עליהם ההוה מ"ו אמות וג' רביעיות ושמינית והוא כמות הקו המקיף את החתיכה אמנם גרענו רביע והוספנו רביע בעבור שהחץ הוא רביעית חלק מהמיתר
|
|
|
ואחר שבארנו מעתה אתה יכול למדוד כל הצורות שיש להם צלע עקום
|
|
|
כגון משלש אב"ג אשר שתי צלעותיו ישרים ותושבתה קשת עגול והוא קשת ב"ג
|
|
|
שתמדוד המשלש בפני עצמו וזה בשתמשוך קו ישר מב' עד ג' ותוציא העמוד על קו ב"ג ותכהו במחצית התושבת כמו במדידת המשלשים
|
|
|
עוד נמצא את הקשת הזה במצאינו עגולה מאיזו נחצבה כמו שבארנו במדידת החתיכות שהם פחותות מחצי עגולה או עודפות על חצי עגולה ונמצא תשבורתה ונחבר אותה עם תשבורת המשולש והמחובר הוא תשבורת התמונה הזאת
|
|
|
גם ככה נעשה בהיות שתי הצלעות עקומו' כזה והאחרת קו ישר
|
|
|
כגון תמונת אב"ג שנמשך שני קוים ישרים מנקודת א' וב' אל נקדת ג'
|
|
|
ונעשה משלש ישר הקוים ונמדוד אותו כמשפט
|
|
|
עוד נמדוד שני העקומות כל אחת בהיותה חתיכת עגולה כי שתי צלעות המשולש הם מיתרים לשתי החתיכות הנזכרות ונחבר שלשת המדידות כלומר מדידת המשולש ומדידת כל אחת משתי החתיכות וההוה הוא תשבורת תמונה הזאת
|
|
|
גם ככה אם היו שתי צלעותיה עקומות ובם תשלם התמונה
|
|
|
כמו תמונת אב"ג שנוציא קו ישר מנקדת ב' אל נקדת ד' ויהיה מיתר לשתי חתיכות של העגולה לחתיכת בא"ד ולחתיכת בג"ד
|
|
|
ונמדוד כל חתיכה בפני עצמה ונחבר שתי המדידות והם יהיו תשבורת התמונה
|
Chapter Six on the Measuring of Regular Polygons
|
הפרק הששי במדידת התמונות רבות הזויות
|
|
|
דע שכל תמונה ישרת הקוים תחלק אל משלשים ואפי' המשולש עצמו כמו שהתבאר בספרי הקדמונים שהמשולש הוא שרש ויסוד לכל התמונות ישרות הקוים [66]כי מהם התהוו ואליהם יותכו וכבר ידעת מדידת המשולשים למיניהם
|
|
|
וכאשר תרצה למדוד תמונה רבת הזויות תוציא קו ישר מכל זוית מזויותיו אל מרכז התמונה ואז תחלק למשלשי' בכמות הזויות
|
|
|
וכאשר תמדוד כל המשלשים ותקבץ מנינם המקובץ הוא תשבורת התמונה ההיא
|
|
|
ואם צלעות המשולש שוים כלומר תושבותיהם גם השוקים שלהם וזה כשתעגל ממרכז התמונה ובמרחק זוית מזויותיה עגולה ותמשש כל הזויות אז תמדוד המשלש הא' לבד ותמצא תשברתו
|
|
|
אח"כ תכה את התשבורת הנזכרת במנין הזויות וההוה הוא תשבורת התמונה וזהו הכלל הנתון במדידת התמונות רבות הזויות
|
|
|
אמנם כדי להקל על המחשב נתנו החכמים דרכים במדידתם ולכן נכתבם פה
|
|
|
ונחל ממדידת תמונה בעלת ה' צלעות ובעלת ה' זויות כי המשלשים גם המרובעים כבר זכרנום
|
|
|
ואלה התמונות אשר נזכיר הם שתמשש העגולה זויותיהם ותהיינה שוה הצלעות והזויות ונאמר
|
| Pentagon
|
|
- If you wish to measure a pentagon
|
אם רצית למדוד תמונה בעלת חמש זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה ככה
|
- Multiply the side by itself, then multiply the product 5 times and take its third and this is the area of the mentioned shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו ה' פעמים וקח שלישיתו והוא תשבורת התמונה הנזכרת
|
- Example: we have a pentagon ABGDH, each of its sides is 10 cubits.
|
המשל יש לנו תמונת אבגד"ה בעלת ה' זויות וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply 10 by itself; the result is 100.
|
כפלנו הי' על עצמו וההוה ק'
|
- We multiply it by 5; the result is 500.
|
כפלנו זה על ה' וההוה ת"ק
|
- We take its third; it is 166⅔ cubits and this is the area of the shape.
|
לקחנו שלישיתם והם קס"ו אמות וב' שלישי אמה והם תשבורת התמונה
|
|
|
ואם תרצה למצוא גם קטר העגולה הממששת התמונה תכפול הצלע שהם עשרה אמות על י"ז ההוה ק"ע חלקם על י' וההוה י"ז והם קטר העגולה
|
| Hexagon
|
|
- If you wish to measure a hexagon
|
ואם רצית למדוד תמונת בעלת שש צלעות ושש זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the side by itself, then multiply the product by 6 and take a third and a tenth of it and this is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על ו' ותקח מהם השלישית והעשירית והם תשבורת התמונה
|
- Example: we have a [hexagon] ABGDHW, each of its sides is 30 cubits and the diameter is 60 cubits.
|
המשל יש לנו תמונת אבגדה"ו וכל צלעותיה ל' אמות והקטר ס' אמות
|
- We multiply 30 by itself; the result is 900.
|
כפלנו הל' על עצמו וההוה תת"ק
|
- We multiply it by 6; the result is 5400.
|
כפלנום על ו' ההוה ה' אלפים וארבע מאות
|
- We take its third and its tenth; it is 2340 and this is the area of the shape.
|
לקחנו מהם השלישית והעשירית ההוה ב' אלפים ש"מ והוא תשבורת התמונה
|
| Heptagon
|
|
- If you wish to measure a heptagon
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת שבע זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the side by itself, then multiply the result by 43 and take one part of 12 of the product and the result is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפול אותו על מ"ג ומההוה קח חלק א' מי"ב וההוה הוא תשבורת התמונה
|
- Example: we have a [heptagon] ABGDHWZ, each of its sides is 10 cubits.
|
המשל יש לנו תמונת אבגדהו"ז וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply 10 by itself, then multiply the result by 43; it is 4300.
|
כפול הי' על עצמם ההוה כפלם על מ"ג ההוה ד' אלפים ש'
|
- Take one part of 12; the result is 358⅓ and this is the area of the shape.
|
קח חלק [67]אחד מי"ב וההוה שנ"ח ושליש והם תשבורת התמונה
|
| Octagon
|
|
- If you wish to measure an octagon
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת שמנה זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the side by itself, then multiply the product by 29 and take its sixth and this is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על כ"ט וקח ששיתו והוא תשבורת התמונה
|
- Example: we have an [octagon] ABGDHWZC, each of its sides is 10 cubits.
|
המשל יש לנו תמונת אבגדהוז"ח וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply 10 by itself; the result is 100.
|
כפלנו הי' על עצמם העולה ק'
|
- We multiply the 100 by 29; the result is 2900.
|
כפלנו הק' על כ"ט ההוה ב' אלפים תת"ק
|
- We take its sixth; the result is 483⅓ and this is the area of the shape.
|
לקחנו את ששיתו ההוה תפ"ג ושליש והוא תשבורת התמונה
|
| Nonagon
|
|
- If you wish to measure a nonagon
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת ט' צלעות וט' זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the side by itself, then multiply the product by 51 and take its eighth and this is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על נ"א וקח שמיניתם והוא תשבורת התמונה
|
|
|
המשל יש לנו תמונת אבגדהוזח"ט וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply 10 by itself; the result is 100.
|
כפלנו העשרה על עצמם ההוה ק'
|
- We multiply it by 51; the result is 5100.
|
כפלנום על נ"א וההוה ה' אלפים ק'
|
- We take its eighth; the result is 637½ and this is the area of the shape.
|
לקחנו שמיניתם והם תרל"ז אמות וחצי וככה תשבורת התמונה
|
| Decagon
|
|
- If you wish to measure a decagon
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י' צלעות וי' זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the side by itself, then take the product and multiply it by 15 and take its half and this is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה קח אותו וכפלהו על ט"ו וקח חצי ההוה והוא תשבורת התמונה
|
|
|
והמשל בזה יש לנו תמונת אבגדהוזחט"י וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply 10 by itself; it is 100.
|
כפלנו הי' על עצמם והיו ק'
|
- We multiply it by 15; the result is 1500.
|
כפלנום על ט"ו ההוה אלף ת"ק
|
- Its half is 750 and this is the area of the shape.
|
וחציים שבע מאות וחמשי' וככה תשבורת התמונה
|
|
|
ובפנים האחרים גם כן כפלנו הי' על עצמם וההוה ק' כפלנום על ל"ח וההוה ג' אלפים ות"ת לקחנו חמישיתו והם תש"ס והוא תשבורת התמונה וזה החשבון יותר מדוקדק
|
| Hendecagon
|
|
- If you wish to measure a hendecagon
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י"א זויות
|
- Do as follows:
|
עשה כך
|
- Multiply the side by itself, then multiply the product by 66 and take from the result its seventh and this is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על ס"ו ומן ההוה קח שביעיתו והוא תשבורת התמונה
|
|
|
המשל יש לנו תמונת אבגדהוזחטי י"א וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply the side by itself; the result is 100.
|
כפלנו הצלע על עצמו ההוה ק'
|
- We multiply it by 66; the result is 6600.
|
כפלנום על ס"ו והיו ו' אלפים ת"ר
|
- We take its seventh; it is 943 and this is the area of the shape.
|
לקחנו שביעיתם והם תתקמ"ג וככה תשבורת התמונה
|
| Dodecagon
|
|
- If you wish to measure a dodecagon
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י"ב זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the side by itself, then multiply the product by 45 and take from the result its quarter and this is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על [68]עצמו וההוה כפלהו על מ"ה ומההוה קח רביעיתם וככה תשבורת התמונה
|
|
|
המשל יש לנו תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' י"א י"ב וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply the side by itself; it is 100.
|
כפלנו הצלע על עצמו היו ק'
|
- We multiply it by 45; the result is 4500.
|
כפלנום על מ"ה וההוה ד' אלפים ת"ק
|
- We take its quarter; it is 1125 and this is its area.
|
לקחנו רביעיתם והם אלף קכ"ה וככה תשברתם
|
|
|
ושאר התמונות רבות הזויות אשר אינן שוות הצלעות והזויות נמדדות במדידת המשולשים אשר עליהן תחלקנה
|
|
|
אמר מרדכי הנה הודעתיך מדידת התמונות רבות הזויות מן המחומש עד בעל י"ב זויות בקלות ובלי יגיעה
|
|
|
אמנם לא הבאתי המופת על כל תמונה ותמונה כדי שלא אבלבל התלמיד אבל הבאתי אופן המעשה וטרם שאביא המופת על כל תמונה ותמונה
|
|
|
ועתה אחל המופת מן המחומש כמו שהחלותי באופן המעשה
|
|
|
ואקים תחלה שני משולשים להיותם לעזר במה שנרצה לבאר
|
| Equilateral triangle
|
|
- We say that is equilateral, each of its sides is 10 cubits.
|
ונאמר משולש אב"ג שוה הצלעות אשר כל אחת מצלעותיו י' אמות
|
- I draw perpendicular AD on line GB.
|
אוציא עמוד א"ד על קו ג"ב
|
- Since
 , then 
|
לפי שקו ב"ג כלו' קו ב"א הוא כפל ב"ד אם כן מרובע א"ב הוא ד' כפלי מרובע ב"ד
|
- Therefore,
|
ולכן מרובע א"ד הוא שלשה כפלי מרובע ד"ב
|
|
ומרובע ג"ב ד' כפלי מרובע ד"ב
|
- Therefore,
|
א"כ מרובע ב"ג הוא חלק א' ושליש ממרובע א"ד
|
- So,
|
אם כן יחס מרובע ב"ג אל מרובע א"ד כיחס ד' אל ג'
|
- Always,
|
ולעולם על מרובע ב"ג כלו' שיכפל ב"ג על עצמו ומרובע א"ד על מרבע ב"ג אם כן כח מרובע ב"ג אצל מרובע ב"ג על מרובע א"ד יחסו כיחס ד' אל ג' שהוא כיחס י"ו אל י"ב
|
- The square on BG by the square on AD is as the product of the rectangle on AD and BG by itself, meaning the two triangles by themselves.
|
ומרובע ב"ג על מרובע א"ד הוא ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ד ב"ג על עצמו כלומר שני משולשים על עצמם כלומר שני משולשים על עצמם
|
- So, the ratio of the square of the square on BG to the product of the two triangles by themselves is
|
אם כן כחו של מרובע ב"ג על כפל שני משלשים על עצמם יחסם כיחס י"ו אל י"ב
|
- But, the product of the two triangles by themselves is 4 times the product of one triangle by itself.
|
וכפל שני משלשים על עצמם הוא ד' כפלי משלש א' על עצמו
|
- Therefore, the ratio of the square of the square on BG to the product of one triangle by itself is
|
[אם כן כחו על מרבע ב"ג אצל כפל משלש אחד על עצמו יחסו כיחס י"ו אל ג']
|
- Hence, the square of the square on BG is known, so the product of the triangle by itself is also known and therefore the triangle itself is known.
|
אם כן כחו של מרובע ב"ג ידוע [אם כן גם תשברת המשלש על עצמו ידוע] ולכן גם המשולש עצמו ידוע
|
- The procedure is as follows:
|
ואופן המעשה כן
|
- Multiply 10 by itself; the result is 100.
|
כפול הי' על עצמם יעלו ק'
|
- Also 100 by itself; the result is 10000.
|
עוד הק' על עצמם יעלו רבבה אחת
|
- We take a third and one part of 24 from its half; it is 1875.
|
קח מאלה שלישית מחציתם וחלק א' מכ"ד יהיה אלף תתע"ה
|
- Extract its root, but since it does not have an expressible root, I extract its root approximately; so, its area is 43+⅓+¹/₃₈+¹/₄₀+¹/₄₁.
|
קח גדרם ולפי שאין להם גדר [מדבר] אני לוקח גדרו הקרוב ויהיה התשבורת מ"ג ושליש וחלק מל"ח וחלק ממ' וחלק ממ"א
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{24}\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10^2\right)^2\right]}=\sqrt{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{24}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot100^2\right)}=\sqrt{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{24}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10000\right)}=\sqrt{1875}\approx43+\frac{1}{3}+\frac{1}{38}+\frac{1}{40}+\frac{1}{41}}}](/mediawiki/images/math/c/6/9/c699eb1ec0e0c67dfff24b1c91e554de.png)
|
| Right-angled triangle
|
|
- If you wish to know a right-angled triangle, which is
|
אם תרצה לדעת משלש נצב הזויות והוא משלש אב"ג
|
- The angle at G is
|
והזוית אשר אצל ג' נצבת
|
- The angle at A is
|
ואשר אצל א' שני חומשי נצבת
|
- I say that the square that is generated from lines BA and AG together is five times the square on AG.
|
ונאמר כי המרובע ההוה משני קוי ב"א א"ג ביחד הוא כפלי ה' פעמים מרובע א"ג
|
- I draw AG until D.
|
אוציא א"ג עד ד'
|
- I define
 .
|
ואשים גם א"ג שוה לג"ד
|
- I draw BD.
|
ואגיע ב"ד
|
- So,
|
א"כ אם א"ב שוה לב"ד
|
|
ואם זוית אב"ג שוה לזוית גב"ד
|
- So,
|
אבל זוית גב"ד היא ג' חומשי נצבת
|
- Since,
|
בעבור שזוית בא"ג היא שני חומשי נצבת
|
- Hence,
|
אם כן זוית אב"ד היא ו' חומשי נצבת
|
- Therefore,
 is an angle of a pentagon.
|
א"כ זוית אב"ד [69]היא זוית של בעלת ה' זויות
|
|
וא"ב שוה לב"ד
|
- Then, line AD is divided by a geometric ratio [lit. ratio of a mean and two extremes], so that the greater part is line AB.
|
א"כ קו א"ד נחלק על יחס אמצעי ושני קצוות והחלק הגדול הוא קו א"ב
|
|
וקו א"ג הוא חצי א"ד
|
- Hence, the square on lines BA and AG is five times the square on AG.
|
אם כן המרובע ההוה משני קוי ב"א א"ג הוא [חמשה] כפלים ממרובע א"ג
|
| Pentagon
|
|
- I say: I draw pentagon ABGDH, each of its sides is 10 cubits, and I wish to find its area.
|
ואומר אחוק מחומש אבגד"ה אשר כל אחד מצלעותיו י' אמות וארצה למצוא תשברתו
|
- I determine the center of the circumscribed circle, which is Z.
|
אקח מרכז העגולה המקפת את התמונה והיא ז'
|
- We draw lines ZG and ZD.
|
ואגיע ז"ג ז"ד
|
- I set perpendicular ZC on line GD.
|
ואעמיד עמוד ז"ח על קו ג"ד
|
- Then,
|
אם כן זוית גז"ד היא ד' חומשי הנצבת
|
- So,
|
אם כן זוית גז"ח היא ב' חומשי הנצבת
|
- The angle encompassed by lines GC and CZ is a right angle.
|
והזוית אשר יקיפוה קוי ג"ח ח"ז היא הנצבת
|
- Hence,
|
אם כן המרובע ההוה משני קוי ג"ז ז"ח מדובקים הם ה' כפלי מרובע ז"ח
|
- But, since it is impossible to find among the numbers five times a square that is [equal to] a square, we should approximate it, so it is
 .
|
אבל לפי שבמספרים לא יתכן למצוא ה' כפלי מרובע שיהיה מרובע ראוי שנקח הקרוב לו ויהיה הפ"א אל י"ו
|
- Then,
|
אם כן יחס קו ג"ז ז"ח מדובקים אל קו ז"ח כיחס ט' אל ד'
|
- When we separate:
|
וכשנבדיל יהיה יחס קו ג"ז אל ז"ח כיחס ה' אל ד'
|
- So,
|
אם כן יחס מרובע ג"ז אל מרובע ז"ח כיחס כ"ה אל י"ו
|
- It remains that:
|
גם הנשאר מרובע ג"ח אל מרובע ז"ח כיחס ט' אל י"ו
|
- Hence,
|
אם כן יחס ג"ח אל ח"ז כיחס ג' אל ד'
|
- Therefore,
|
לכן יחס ג"ד אל ז"ח כיחס ו' אל ד' שהוא כיחס ג' אל ב'
|
- So the ratio of the square on GD to the rectangle on GD and ZC is as the ratio of 3 to 2.
|
א"כ יחס מרובע ג"ד אל השטח אשר יקיפו בו קוי ג"ד ז"ח כיחס ג' אל ב'
|
- The square on GD is known, therefore, the rectangle on GD and ZC is also known and it is twice
 , which is a fifth of pentagon ABGDH.
|
ויהיה מרובע ג"ד ידוע א"כ יודע גם השטח המוקף מקוי ג"ד ז"ח והוא כפל משלש גז"ד והוא חלק חמישי מתמונת אבגד"ה בעלת חמשת זויות
|
- Hence, pentagon ABGDH is also known and its area is approximately 166⅔ cubits.
|
יהיה אם כן גם תמונת אבגד"ה ידוע ויהיה תשברתו קס"ו אמות וב' שלישי אמה בקרוב
|
- If another square is found that is closer to five times the other square, then we will find that the area of the shape more accurate.
|
ואם ימצא מרובע אחר ויהיה יותר קרוב לה' כפלי מרובע אחר אז נמצא תשבורת התמונה מדוקדקת יותר
|
| Hexagon
|
|
| I shall further declare the proof of the hexagon and say:
|
עוד אודיע מופת המשושה ואומר
|
- I draw hexagon ABGDHW, each of its sides is 10 cubits, and I wish to find its area.
|
אחוק משושה עליו אבגדה"ו אשר כל אחת מצלעותיו י' אמות וארצה למצוא תשברתו
|
- I determine the center of the circumscribed circle, which is C.
|
אקח מרכז העגולה המקפת אותו והוא ח'
|
- We draw lines GC and CD.
|
ונגיע ג"ח ח"ד
|
- Then, GD is equal to both GC and CD.
|
א"כ ג"ד שוה לכל אחד מן ג"ח ח"ד
|
- So,
 is equilateral and its side is known.
|
אם כן משולש גח"ד שוה הצלעות וצלעו ידועה
|
- Therefore, is also known and it is one-sixth of the hexagon.
|
אם כן גם משולש גח"ד ידוע והוא ששית חלק המשושה
|
- Hence, hexagon ABGDHW is also known.
|
אם כן גם משושה אבגדה"ו ידוע
|
| Since the method of the procedure is different than what we have written at first, I shall write it here:
|
ובעבור שאופן המעשה בזה על פנים אחרים ממה שכתבנו תחלה אכתבנו פה
|
- We multiply 10 by itself; the result is 100.
|
נכפול הי' על עצמם ההוה ק'
|
- 100 by itself is 10000.
|
עוד הק' על עצמם הוא רבבה
|
- We take its quarter, which is 2500.
|
ונקח רביעיתם והם אלפים ב' ות"ק
|
- Multiply it by 27; the result is 67500.
|
כפלם עם כ"ז ההוה ס"ז אלפי' ות"ק
|
- Extract its root; it is 259 and so is the area of the hexagon.
|
קח שרשם והם רנ"ט וככה תשבורת משושה
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left[\frac{1}{4}\sdot\left(10^2\right)^2\right]\sdot27}=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\sdot100^2\right)\sdot27}=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\sdot10000\right)\sdot27}=\sqrt{2500\sdot27}=\sqrt{67500}\approx259}}](/mediawiki/images/math/4/d/3/4d3bdac682ce6ffdd58bcb8ea53b6bd7.png)
|
|
Proposition: if you draw a hexagon in a circle, the ratio of the line that is drawn from the center of the circle to the side of the hexagon is 
|
הקדמה אם תחקק בעגולה תמונה בעלת ו' צלעות שוות וז' זויות הקו אשר יצא ממרכז העגולה יחסו אל צלע התמונה בעלת ז' הזויות יחס הח' אל הז'
|
- A circle BG on the center A.
|
ויהיה עגולת ב"ג על מרכז א'
|
- I draw on it a side of a hexagon, which is BG, i.e. it is equal to the line that is drawn from the center of the circle.
|
ואחוק עליו צלע התמונה בעלת שש הזויות והוא צלע ב"ג כלו' שתהיה שוה לקו היוצא ממרכז העגולה
|
- I set perpendicular AD on it.
|
ואעמיד עליה העמוד א"ד
|
- So, AD is approximately equal to a side of a heptagon.
|
אם כן יהיה א"ד בקרוב שוה [70]לצלע בעלת ז' זויות
|
- We draw lines BA and AG.
|
ונגיע קוי ב"א א"ג
|
- So, is equilateral.
|
אם כן משלש אב"ג שוה הצלעות
|
- Therefore,
|
אם כן מרובע א"ד הוא ג' כפלי מרבע ד"ב
|
|
א"כ יחס ד"א אל ד"ב בכח כיחס מ"ט אל י"ו בקירוב
|
|
ובאורך יחס ד"א אל א"ב כיחס ז' אל ד'
|
|
ויהיה ב"ג כפל ב"ד
|
- Hence,
|
אם כן יחס ב"ג אל ד"א כיחס ח' אל ז'
|
| Heptagon
|
|
- If you wish to measure a heptagon:
|
ואם תרצה למדוד תמונה בעלת ז' זויות
|
- I draw heptagon ABGDHWZ, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
|
אחוק תמונת אבגדהו"ז אשר כל צלעותיו בעלי י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
|
- I determine the center of the circumscribed circle, which is point T.
|
אקח מרכז העגולה המקפת אותה והיא נקדת ט'
|
- I draw lines DT and TH.
|
ואגיע קו ד"ט ט"ה
|
- I set perpendicular TD on line DH.
|
ואעמיד עמוד ט"ד על קו ד"ה
|
- So,
|
אם כן יחס ט"ד אל ד"ה כיחס ח' אל ג'
|
- And to DK
|
ואל ד"כ כיחס ח' אל ג' וחצי והוא כיחס י"ו אל ז'
|
- Therefore,
|
לכן יחס ט"כ אל כ"ד כיחס י"ד ושליש אל ז' בקרוב והוא יחס מ"ג אל כ"א
|
- Also,
|
לכן גם יחס ד"ה אל כ"ט כיחס מ"ב אל מ"ג והוא יחס פ"ד אל פ"ו
|
- So, the square of DH to the rectangle on DH and KT is as the same ratio.
|
אם כן מרובע ד"ה אצל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו ד"ה כ"ט הוא כזה היחס בעצמו
|
- Its ratio to
 is  .
|
אם כן יחסו אל משלש דה"ט כיחס פ"ד אל מ"ג
|
- Therefore, the ratio of the triangle to the heptagon is
|
ויחס המשלש אל בעלת ז' זויות כיחס א' אל ז'
|
- So, the ratio of the square of DH to the heptagon is
|
א"כ יחסו של מרובע ד"ה אל בעלת ז' זויות כיחס י"ב אל מ"ג
|
- Hence, the square on DH is known, therefore the heptagon is known.
|
ומרובע ד"ה ידוע אם כן גם בעלת ז' זויות ידועה
|
| Octagon
|
|
- If you wish to measure an octagon
|
ואם תרצה למדוד תמונה בעלת ח' זויות
|
- I draw octagon ABGDHWZC, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
|
אחוק תמונת אבגדהוז"ח אשר כל צלע מצלעותיה בעלת י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
|
- I determine the center of the circumscribed circle, which is point K.
|
אקח מרכז העגולה המקפת אותה והיא נקדת כ'
|
- I draw lines DK and HK.
|
ואגיע קוי ד"כ ה"כ
|
- I set perpendicular KL on line DH.
|
ואעמיד עמוד כ"ל על קו ד"ה
|
- Then,
|
אם כן זויות דכ"ה היא חצי נצבת
|
- So,
|
לכן היא זוית דכ"ל רביע נצבת
|
- I define
 equal to it.
|
ואעשה זוית כד"מ שוה לה
|
- So,
|
אם כן גם זוית כד"מ רביע נצבת
|
- Hence,
|
אם כן זוית דמ"ל חצי נצבת
|
- The angle at L is a right angle.
|
והזוית אשר אצל ל' נצבת
|
- Then,
|
אם כן קו ד"ל שוה לקו מ"ל
|
- So,
|
אם כן מרובע ד"מ כפל מרובע מ"ל
|
- Therefore,
|
אם כן יחס ד"מ אל מ"ל כיחס י"ז אל י"ב בקרוב
|
|
וד"מ שוה למ"כ
|
- So,
|
אם כן יחס כ"מ אל מ"ל כיחס י"ז אל י"ב
|
- Therefore,
|
אם כן יחס כ"ל אל מ"ל שהוא ד"ל כיחס כ"ט אל י"ב
|
- Hence, its ratio to DH is
 .
|
אם כן יחסו אל ד"ה כיחס כ"ט אל כ"ד
|
- So, the ratio of the square on DH to the rectangle on DH and KL is
 .
|
אם כן יחס מרובע ד"ה אל שטח נצבת הזויות אשר יקיפו בו קוי ד"ה כ"ל כיחס כ"ד אל כ"ט
|
- Its ratio to
 is  .
|
אם כן יחסו אל משלש כה"ד כיחס כ"ד אל י"ד וחצי
|
- So, its ratio to octagon ABGDHWZC is
|
ויחסו א"כ אל תמונת אבגדהוז"ח בעלת ח' זויות כיחס כ"ד אל קי"ו שהם כיחס ו' אל כ"ט
|
- Hence, the square on DH is known, therefore the octagon is known.
|
ומרובע ד"ה ידוע אם כן גם התמונה בעלת ח' זויות ידועה
|
| Nonagon
|
|
- If you wish to measure a nonagon:
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת ט' צלעות וט' זויות
|
- I draw nonagon ABGDHWZCT, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
|
אחוק תמונת אבגדהוזח"ט ויהיה כל צלע מצלעותיה בעל י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
|
- I draw a circumscribed circle around the shape.
|
אחוק עגולה סביב התמונה
|
- Its center is point L.
|
ויהיה מרכזה נקדת ל'
|
- I draw HL until M.
|
ואגיע ה"ל ואוציאנה עד מ'
|
- I draw MZ.
|
ואגיע מ"ז
|
- So,
 of the nonagon is known.
|
אם כן משלש הז"מ מתמונת בעלת [71]ט' זויות ידוע
|
- It has already been clarified concerning the lines of the circle that
|
וכבר התבאר בקוי העגולה כי קו ז"ה הוא שלישית ה"מ בקרוב
|
- Therefore,
|
אם כן מרובע ה"מ הוא ט' כפלי מרובע ה"ז
|
- So,
|
לכן מרובע מ"ז הוא ח' כפלי מרובע ה"ז
|
- But in the semicircle the angle at Z must be a right angle.
|
ובחצי העגולה יתחייב להיות הזויות אשר אצל ז' נצבת
|
- Therefore,
|
אם כן יחס מרובע מ"ז אל מרובע ז"ה כיחס רפ"ט אל ל"ו בקרוב
|
- So,
|
אם כן יחס מ"ז אל ז"ה כיחס י"ז אל ו' בקרוב
|
- Hence,
|
לכן יחס מרובע ה"ז אל משולש המ"ז כיחס ל"ו אל נ"א כלומר כיחס י"ב אל י"ז
|
- So, its ratio to the nonagon is
|
ואם כן יחסו אל התמונה בעלת ט' זויות כיחס י"ב אל ע"ו וחצי כלו' כיחס כ"ד אל קנ"ג שהם כיחס ח' אל נ"א
|
- Hence, the square on HZ is known, therefore the nonagon is known.
|
ומרובע ה"ז ידוע אם כן גם תמונת בעלת ט' זויות ידועה
|
| Decagon
|
|
- If you wish to measure a decagon:
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י' זויות
|
- I draw decagon ABGDHWZCTI, each of its sides is 10 cubits, and you wish [to find] its area.
|
אחוק תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' ויהיה כל צלע מצלעותיה בעל י' אמות ותרצה תשברתה
|
- I determine point M as the center of the circumscribed circle.
|
אקח מרכז העגולה המקפת אותה נקדת מ'
|
- I draw MH and MZ.
|
ואגיע מ"ה מ"ז
|
- I set perpendicular MN on line HZ.
|
ואעמיד עמוד מ"נ על קו ה"ז
|
- Then,
|
אם כן זוית המ"ז היא שני חומשי נצבת
|
- So,
|
לכן זוית המ"נ היא חומש נצבת
|
- I define
 equal to it.
|
ואעמיד זוית מה"ס שוה לה
|
- So,
|
אם כן זוית נס"ה היא שני חומשי נצבת
|
|
וזוית הנ"ס נצבת
|
- Therefore,
|
[אם כן] יחס ה"ס אל נ"ס כיחס ה' אל ד'
|
- And its ratio to HN is as the ratio of 5 to 3.
|
ויחסה אל ה"נ כיחס ה' אל ג'
|
- HS=SM and HN=BZ
|
ושוים אם ה"ס אל ס"מ ואם ה"נ אל נ"ז
|
- So,
|
ואם כן יחס ה"ז אל מ"נ כיחס ו' אל ט' שהם כיחס ב' אל ג'
|
- So, the ratio of the square on H[Z] to the rectangle on [HZ and MN] is
 .
|
וא"כ יחס מרובע ה' אל השטח נצב הזויות אשר יקיפו בו הז"מ כיחס ב' אל ג'
|
- Its ratio to is .
|
לכן יחסו אל משולש הז"מ כיחס ב' אל ג'
|
- So, its ratio to is
 .
|
לכן יחסו אל משולש הז"מ כיחס [א'] אל א' וחצי
|
- Therefore, its ratio to the decagon is
|
לכן יחסו אל התמונה בעלת י' זויות כיחס ב' אל ט"ו
|
- Hence, the square on HZ is known, therefore the decagon is known.
|
ומרובע ה"ז ידוע א"כ גם התמונה בעלת י' זויות ידועה
|
| Hendecagon
|
|
- If you wish to measure a hendecagon:
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י"א זויות
|
- I draw hendecagon ABGDHWZCTIU, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
|
אחוק תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' י"א וכל צלע מצלעותיה י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
|
- I draw a circumscribed circle around the hendecagon, whose center is point N.
|
אחוק עגולה סביב התמונה אשר מרכזה יהיה נקדת נ'
|
- I draw ZN until S.
|
ואגיע ז"נ ואוציאנו עד ס'
|
- I draw SC.
|
ואגיע ס"ח
|
- So,
 is ²/₁₁ of the hendecagon.
|
אם כן משולש זח"ס הם שני חלקים מי"א מתמונת בעלת י"א זויות
|
- It has already been clarified concerning the lines of the circle that
|
וכבר התבאר בקוי העגולה כי יחס ז"ס ז"ח כיחס כ"ה אל ז' בקרוב
|
- Therefore:
|
ואם כן יחס ס"ח אל ח"ז כיחס כ"ד אל ז'
|
- So:
|
א"כ יחס מרובע ז"ח אל משולש זח"ס יחס מ"ט אל פ"ד שהוא כיחס ז' אל י"ב
|
- But, if the ratio of the triangle to the hendecagon is
 , the ratio of the square on ZC to the hendecagon is 
|
ואם יחס המשולש אל התמונה בעלת י"א זויות כיחס ב' אל י"א [לכן יחס מרבע ז"ח אל התמונה בעלת אחת עשרה זויות כיחס ז'] אל ס"ו
|
- Hence, the square on ZC is known, therefore the hendecagon is known.
|
ומרובע ז"ח ידוע אם כן גם התמונה בעלת י"א זויות ידועה
|
| Dodecagon
|
|
- If you wish to measure a dodecagon:
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י"ב זויות
|
- I draw dodecagon ABGDHWZCTIUX, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
|
אחוק תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' י"א י"ב ותהיה כל צלע מצלעותיה בעלת י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
|
- I determine the center of the circumscribed circle, which is S.
|
אקח מרכז העגולה המקפת אותה והיא נקדת ס'
|
- I draw SC and SZ.
|
ואגיע ס"ח ס"ז
|
- I set perpendicular SE on line HZ.
|
ואעמיד עמוד ס"ע על קו ה"ז
|
- Then,
|
אם כן זוית זס"ע הוא ששית הנצבת
|
- I define
 equal to it.
|
ואעשה זוית סז"פ שוה לה
|
- So,
|
אם כן זוית זפ"ע שלישית נצבת
|
- Then,
|
אם כן מרובע פ"ע הוא שלישית כפלי מרובע ע"ז
|
|
אם כן יחס פ"ע אל ע"ז כיחס ז' אל ד' בקרוב
|
|
[72]לכן גם יחס ז"ח והוא ס"פ אל פ"ע כיחס ח' אל ז' בקרוב
|
|
לכן גם יחס ז"ח אל ס"ע כיחס [ח'] אל ט"ו
|
- So the ratio of the square on ZC to the rectangle on ZC and SE is as the ratio of 8 to 15
|
אם כן גם יחס מרובע ז"ח אל יחס השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו ז"ח ס"ע הוא כיחס [ח'] אל ט"ו
|
- And its ratio to is
|
ויחסו אל משולש זח"ס יהיה א"כ כיחס ח' אל ז' וחצי
|
- Therefore, its ratio to the dodecagon is
|
ואם כן יהיה יחסו אל התמונה בעלת י"ב זויות כיחס ח' אל צ' שהוא כיחס ד' אל מ"ה
|
- The square on ZC is known, therefore the dodecagon is known.
|
ומרובע ז"ח ידוע אם כן גם תמונת בעלת י"ב זויות ידועה
|
[The Second Section on the Division of Plane Shapes]
|
|
The First Chapter of the Second Section of the Second Book on the Division of Plane Shapes
|
הפרק הראשון מהחלק השני מהספר השני בחלוקת התמונו' השטחיות
|
| We start with the triangles
|
ונחל מהמשלשים
|
| If you wish to divide an isosceles triangle into two equal parts, draw a perpendicular from one of its vertices to the base, by dividing the angle into two equal parts, so the triangle is divided into two equal triangles
|
אם רצית לחלוק משולש שוה הצלעות לשני חלקים שוים אוציא עמוד מזוית אחד מזויותיו אל התושבת וזה בשתחלוק הזוית אל שני חלקים שוים ואז יהיה המשולש נחלק לשני משלשים שוים
|
| Do so if the triangle is equilateral triangle, draw a perpendicular from the vertex opposite to its base to the base.
|
וככה תעשה אם המשולש שוה ותוציא מזויתו שהיא מיתר התושבת עמוד אל התושבת
|
| Likewise, if you want to divide it into more than two parts, divide the base into as many parts you wish and draw from each part a straight line to the vertex, meaning the top of the triangle. Then the triangle is divided as the number of parts of the base.
|
גם אם רצית לחלקו ביותר משני חלקים תחלק התושבת בשיווי לחלקים שתרצה ותוציא מכל חלק מהם קו ישר אל הזוית כלומר אל ראש המשולש ואז יחלק המשולש בשעור חלקי התושבת
|
- The proof of this division has already been clarified in Euclid's VI.1.
|
ומופת זה התבאר בתמונה הא' ממאמר ו' לאקלידס
|
- Example: we wish to divide into two equal parts.
|
דמיון רצינו לחלק משולש אב"ג לשני חלקים שוים
|
- We divide the base BG into two equal parts at point D
|
חלקנו התושבת שהוא ב"ג על נקדת ד' לשני חלקים שוים
|
- We draw a perpendicular from point D to the top of the triangle, which is A, and by this it is divided into two equal triangles.
|
והוצאנו עמוד מנקדת ד' אל ראש המשולש שהוא א' ובזה נחלק לשני משולשים שוים
|
- If we wish to divide it into three
|
ואם רצינו לחלקו על ג'
|
- We divide the base into three equal parts, which ar AD, DH, HG.
|
חלקנו התושבת על ג' חלקים שוים והם א"ד ד"ה ה"ג
|
- Then, we draw DA and HA, and by this it is divided into three equal parts.
|
אחר הוצאנו ד"א ה"א ובזה נחלק על שלשה חלקים שוים
|
| Do the same if you wish to divide it into more than that.
|
גם ככה תעשה אם רצית לחלקו יותר מזה
|
| If you wish to divide the triangle mentioned into two equal parts, so that one part is a triangle and the other part is a trapezium.
|
אמנם אם רצית לחלק המשולש הנזכר לב' חלקים שוים מהצד האחד עד שיהיה החלק משולש והאחד נוטה
|
- As : we divide it into and trapezium DHBG
|
כגון משולש אב"ג ונחלקהו על משולש אד"ה ועל נוטה ד"הב"ג
|
- We do as follows:
|
נעשה כך
|
|
|
נחלק הצלע האחד על נקדה שיהיה מרובע החלק האחד כפל מרובע החלק השני ונוציא מהנקודה ההיא קו נכוחי לתושבת המשולש ונגיעהו על הצלע האחד ואז נחלק המשלש לשני חלקים שוים משלש אד"ה ונוטה ד"הב"ג
|
|
|
והמופת על זה כבר ביאר אקלידס בתמונת י"ח ממאמר ו' שכל שני משלשים דומים יחס המשולש אל המשולש כיחס צלעו אל צלעו הנכחי לו שנוי
|
|
|
וידוע שהמשלש הגדול והוא המשולש אב"ג דומה אל המשולש הקטן והוא משולש אד"ה
|
|
|
כי הזוית אשר אצל ח' משותפת לשני המשולשי'
|
|
וזוית אד"ה שוה לזוית אב"ג כי הם שתי זויות המומרות אשר על קוים נכוחיים כשנפל עליהם קו ישר והחיצונה [73]שוה לשכנגדה
|
|
|
גם ככה זוית אה"ד שוה לזוית אג"ב לזה הענין עצמו
|
|
|
אם כן מיתרי הזויות השוות מתיחסות יחס א"ב אל א"ד כיחס א"ה אל ה"ג וכיחס ד"ה אל ב"ג אם כן שני המשולשים דומים ולכן יהיה יחס משלש אב"ג אל משלש אד"ה כיחס צלע א"ב אל צלע א"ד שנוי וזה היחס מי"ו מח' בעצמו הוא יחס צלע מרובע א"ב אל מרובע צלע א"ד כי כאשר תכפול יחס הצלע אל הצלע בעצמו והוא אשר יקרא היחס שנוי יהיה הנולד יחס המרבע אל מרבע
|
|
|
דמיון אם צלע א"ב ו' אמות וצלע א"ד ב' אמות יהיה יחס ב' אל ו' כיחס השלישית אל האחד וכאשר תקח יחס השלישית אל האחד שנוי וזה כשתכפול השלישית על השלישית יהיה הנולד תשיעית וזהו יחס המשלש הקטן אל המשלש הגדול
|
|
|
גם ככה כשתקח מרובע ו' שהוא הצלע האחד הוא ל"ו ומרובע ב' שהוא צלע המשולש האחד ד' יהיה יחס ד' אל ל"ו יחס התשיעית אל האחד והוא המשלש הקטן אל הגדול
|
|
|
על כן כשתרצה לחלק המשולש לשני חלקים שוים נחלק צלע א"ב על נקודה והיא ד' עד שיהיה מרובע צלע א"ב כפל מרובע א"ד וכאשר עשינו כן הוצאנו מנקדת ד' קו נכחי לקו ב"ג והוא ד"ה ובזה נחלק המשלש לשני חלקים שוים החלק האחד משלש אד"ה והשני נוטה ד"ה ב"ג
|
|
|
דמיון שתקח מנקדת א' אשר היא ראש המשולש ה' חלקים מז' בו פחות עשירית השביעית
|
|
|
המשל שקו א"ב ז' אמות ומרובעו מ"ט ונמדוד מנקדת א' ה' אמות פחות עשירית השביעית ונסמן שם נקדה ויהיה מרובע הקו אשר הוא מנקדת א' עד הנקדה אשר סמננו כ"ד אמות וחצי והוא מחצית התשבורת של המשלש הגדול
|
|
|
ידענו מזה שהמשולש הקטן הוא חצי המשולש הגדול ונשאר הנוטה חציו אחר
|
|
|
ואם רצית לחלקו לג' חלקים עד שיהיו שני נוטים ומשולש א' חלק צלע הגדול על ו' ומנה מנקדת א' שהוא ראש המשולש ה' וחמישית בקרוב וסמן שם נקדה והיא ב' והוצא מזאת הנקודה קו נכחי לתושבת המשולש הגדול והוא ב"ג והנה יחלק אל משלש קטן ואל נוטה ויהיה הקטן שלישית המשולש הגדול
|
|
|
עוד תחלק הנוטה בשני חצאים וזה כשנחלק תושבת המשולש הגדול לשני חלקים שוים ונסמן שם נקדה והיא ז' עוד נחלק תושבת המשולש הקטן כן ונגיע קו ישר מנקדה אל נקדה או נחלק הנוטה לשני חלקים שוים
|
|
|
ואם רצית לחלקו לשני משלשים שוים ולנוטה מנה מראש המשולש אשר הוא חלקים פחות מעט מט' בצלע וסמן שם נקדת ד' והוצא נקדת קו נכחי מנקדת ד' אל תושבת המשולש הגדול והוא קו ד"ה ויהיה המשלש הקטן שני חלקים מהמשולש הגדול ונשאר נוטה ד"ה ב"ג החלק השלישי ומשלש אד"ה שני חלקים תחלק תושבת ד"ה לחצאים על נקדת ז' והוצא ממנו קו אל ראש המשולש הנה נחלק המשלש הקטן לשנים ונמצא כל המשולש הגדול נחלק לג' [74]חלקים שוים לשני משלשי אד"ז אז"ה ולנוטה ד"ה ב"ה וזה במשלש שוה הצלעות או שוה השוקים שתהיה צלע המתחלפ' תושבת המשולש
|
|
|
ואם היה המשולש שוה הצלעות או שוה השוקים ולא תהיה הצלע המתחלפת תושבת המשולש ותרצה לחלקו בשני חלקים שוים
|
|
|
דמיון משלש אב"ג מתחלף הצלעות או משולש דא"ז שוה השוקים ואין התושבת צלע המתחלפת ונרצה לחלקם בשני חלקים או בג' תמצא תשבורת כל המשולש כמו שהודעתיך במדידת המשולשים אח"כ תסמן בצלעו האחת נקדה ונחלקהו אל משולש נצב הזויות ואל נוטה עד שיהיה תשבורת המשולש נצב הזויות חציו או שלישיתו כפי מה שתבקש והשאר ישארו הנוטה וכבר הודעתיך מדידת כל אלה
|
The Second Chapter on the Division of the quadrilateral and the Circle
|
הפרק השני בחלוקת התמונות המרובעות והעגולה
|
| You already know the types of the quadrilateral shapes and how they are divided into square, rhombus, parallelogram and scalene quadrilateral; and the scalene quadrilaterals are divided into various types.
|
כבר ידעת מיני התמונות המרובעות ואיך יחלק אל שוה הצלעות נצב הזויות ואל שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות ואל מרובע ארוך בלתי נצב הזויות שוה הצלעות הנכחיות ואל נוטה והנוטה מינים רבים
|
| Division of a square into parts
|
|
| I shall start with the square, as it precedes them by nature and by degree
|
ואחל מהמרובע שוה הצלעות נצב הזויות כי הוא הקודם בטבע ומעלה מהם
|
| I say that if you wish to divide the square ABGD into two [equal] parts, divide DG into two halves at point Z, and draw a line from point Z parallel to each of the sides AD and BG, hence the square is divided into two equal part
|
ואומר אם תרצה לחלק מרבע אבג"ד שוה הצלעות נצב הזויות לשני חלקי' תחלק צלע ד"ג לשני חצאים על נקדת ז' ותוציא מנקדת ז' צלע נכחי לכל אחת מצלעות א"ד ב"ג ובזה יחלק המרובע לשני חלקים שוים
|
- The proof of this division has already been clarified in Euclid's VI.1 that the ratio of the sides of the parallelograms, whose heights are the same magnitude, to one another is as the ratio of their bases to one another.
|
והמופת על זה החלוק כבר התבאר בתמונת א' ממאמר ו' מאקלידס שהצלעות נכחיי הצלעות כאשר היה גבהותם בשעור אחד הנה יחס קצתם אל קצתם כיחס תושבותיהם קצתם אל קצת
|
|
ויחס ד"ג אל ז"ג כפל א"ב
|
|
ד"ז מחצית ד"ג
|
|
גם ככה ז"ג מחצית ד"ג
|
|
|
ובזה המופת בעצמו יחלק גם מצלע א"ד אל ב"ג וכן תעשה אם רצית לחלקו לג' חלקים ויותר
|
|
|
ואם רצית לחלקו מהזויות תגיע זוית א' אל זוית ג' ויחלק המרבע לשנים חלקים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי שני משלשי אב"ג אג"ד שוים
|
|
כי צלע א"ב שוה לצלע ד"ג
|
|
וצלע ב"ג לצלע א"ד
|
|
וזוית אב"ג שוה לזוית אד"ג
|
- The base is shared by both.
|
והתושבת משותפת
|
|
|
אם כן שני המשולשים שוים
|
| If you wish to divide it into three equal parts:
|
ואם רצית לחלקו לשלשה חלקים שוים
|
| By the first way - you already know the way.
|
בדרך הראשונה כבר ידעת דרכו
|
| By the second way, do as follows:
|
אמנם בזאת הדרך השנית תעשה כך
|
| Mark 2-thirds of the side and join the point with the vertex. Do the same with the other side, then the square is divided into three equal parts.
|
תקח מהצלע ב' שלישיו ותגיע הזוית עד הנקודה וככה תעשה מהצלע האחר ויחלק המרובע לג' חלקי' שוים
|
- Example: we wish to divide
 into three [equal] parts through the vertices.
|
דמיון רצינו לחלק מרבע אבג"ד לשלשה חלקים מדרך הזויות
|
- Let each of its side by 10 cubits.
|
ויהיה כל צלע מצלעותיו י' אמות
|
- We take
|
לקחנו מצלע ד"ג ו' חלקים ושני שלישי חלק עד נקדת ה' והגענו א"ה והנה משולש [75]אד"ה נצב הזויות לשלישית המרובע גם ככה עשינו מנקדת ב' חלקנוהו ו' חלקים ושני שלישי חלק עד נקדת ז' והגענו ג"ז והנה משולש גז"ב נצב הזויות השלישית האחד ונשאר א"ה ז"ג הנכחי הצלעות השלישית האחר
|
- The proof of this division:
|
והמופת על זה החלוק כבר התבאר בתמונת ל"ו ממאמר א' מאיקלידס שהשטחים הנכחיי הצלעות מהמשולשים שהם על תושבות שוות ובמה שבין שני קוים נכוחיים יהיה השטח הנכחי הצלעות כפל המשולש
|
|
|
והנה תושבת א"ז ה"ג מחצית תושבת משולש גב"ז וראוי שיהיו שוים ועוד כי שטח א"ז ה"ג שוה לשטח ב"ט ה"ג הנכחי הצלעות ונצב הזויות כי הם תושבת אחת ובמה שבין קוים הנכוחיים ושטח א"ז ה"ג שלישית מרובע אבג"ד כי כן יחס תושבתו אל תושבתו א"כ שטח א"ז ה"ג שלישית כל המרובע ושני המשולשים שוים
|
|
כי צלע א"ד כמו צלע ב"ג
|
|
וצלע ד"ה כמו צלע ב"ז
|
|
וזוית אד"ה שוה לזוית גב"ז
|
|
|
הנה אם כן מרובע אבג"ד נחלק לג' חלקים שוים
|
|
|
ואם רצית לחלקו לד' חלקים אם מן הדרך הראשונה תוכל לחלקו בשני אופנים האחד שתחלק צלע המרובע על ד' חלקים שוים על א"ה ועל ה"ז ועל ז"ח ועל ח"ב ותגיע ח"ט ז"כ ח"ל ויחלק המרובע לד' חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת בארתיו בחלוקתו לשני חלקים
|
|
|
והאופן השני שתחלקהו מהאורך לשני חלקים עוד מהרחב תחלקהו ויחלק לד' חלקים שוים
|
|
|
דמיון רצינו לחלק מרבע אבג"ד לד' חלקים חלקנו צלע א"ב לשני חלקים על נקדת ה' והגענו ה"ז ויפול נכחי לא"ד ולב"ג ויחלק המרובע לב' חלקים
|
|
|
עוד חלקנו צלע א"ד לשנים על נקדת ח' והגענו ויפול נכחי לא"ב ולד"ג ויחלק המרובע על ד' חלקים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי מרובע אהה"ב שוה למרובע חבד"ז כי צלע א"ה שוה לצלע א"ח כי כשתחסר מן השוה שוה יהיה הנשאר שוה ולצלע ח"ב וב"ה כי הם נכחיי הצלעות וכן לג' המרובעים הנשארים אם כן כל מרובע אבג"ד נחלק לד' מרובעים דומים למרובע אבג"ד
|
|
|
ואם רצית לחלקו לג' חלקים מדרך השנית כלומר מדרך הזויות תגיע ב' אלכסוניו ויחלק לד' חלקים שוים וכל חלק יהיה משולש שוה השוקים
|
|
|
דמיון רצינו לחלק מרבע אבג"ד לד' חלקים שוים מדרך הזויות
|
|
|
הוצאנו אלכסון א"ג ואלכסון ב"ד ויחלק המרובע לד' משולשים משולש אה"ב ומשולש בה"ג ומשולש גה"ד ומשולש דה"א
|
|
והנה משולש אה"ב שוה למשולש דה"ג
|
|
כי זוית אה"ב לזוית דה"ג
|
|
וזוית אב"ה שוה לזוית הד"ג
|
|
וצלע א"ב שוה לצלע ד"ג בעצמו
|
|
ולזה ישוה משולש אה"ד אל משולש בה"ג
|
|
ומשולש אה"ד ישוה למשולש אה"ב
|
|
כי צלע א"ד ישוה לצלע א"ב
|
|
וצלע א"ב משותף
|
 as both are right angles.
|
וזוית אה"ב שוה לזוית אה"ד כי שתיהן נצבות
|
|
|
ואמרי שהם שוה השוקים כי צלע המרובע הגדול מחצית הקצר וחציי הקטרים הכל שוים
|
|
|
[76]הנה כבר בארנו משפטי חלוקת המרובע השוה הצלעות נצב הזויות וזה המשפט בעצמו אל הנכחי הצלעות הנצב הזויות הנקרא ארוך כזה כי הוא שוה עמו בכל הדרכים ומופתיו כמופתיו
|
- If you wish to divide an equilateral quadrilateral that is not right-angled, like this, into two [equal] parts:
|
ואם רצית לחלק המרובע שהוא שוה הצלעות אך הוא בלתי נצב הזויות כזה לשני חלקים
|
|
|
מדרך הראשונה תחלק צלע א"ב לשני חלקים על נקדת ה' ותוציא מנקדת ה' קו נכחי לקו א"ד ולקו ב"ג והוא קו ה"ז ובזה נחלק המרובע לשני חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזו כי א"ה כמו ה"ב
|
|
וא"ד כמו ב"ג
|
|
וה"ז משותף
|
|
וזוית דא"ה שוה לזוית זה"ב
|
|
וזוית אד"ז שוה לזוית הז"ג
|
|
וזוית אה"ז שוה לזוית הב"ג
|
|
וזוית אז"ד שוה לזוית בג"ז
|
- The area of one equal to [the area of] the other.
|
והשטח האחד שוה לחברו
|
|
|
וככה תעשה אם רצית לחלקו בג' וד' חלקים
|
|
|
גם אם רצית לחלקו מצלע א"ד חלקהו בכזה הדרך בעצמו ומאלה המופתים בעצמם
|
|
|
ואם רצית לחלקו מן דרך הזויות אם רצית לחלקו בשני חלקים שוים תגיע אלכסון א"ג ויחלק על שני חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי משולש אב"ג שוה למשולש אד"ג
|
|
צלע א"ב כמו צלע ד"ג
|
|
וצלע א"ד כמו צלע ב"ג
|
 since they are sides of the same base.
|
וזוית אב"ג שוה לזוית אד"ג כי הם מיתרי תושבת אחת
|
- Therefore the two triangles are equal and they are the two parts of the quadrilateral.
|
אם כן שני המשולשים שוים והם שני חלקי המרובע
|
- Do likewise if you wish to divide it by using diagonal BD, relying on this same proof.
|
גם ככה תעשה אם רצית לחלקו מאלכסון ב"ד בכזה המופת בעצמו
|
|
|
ואם רצית לחלקו לשלשה חלקים שוים אם מהדרך הראשונה חלק צלע א"ב לג' חלקים שוים על א"ה ה"ז וז"ב והוצא קו ה"ח נכוחי לא"ד וקו ז"ט נכוחי לב"ג ויחלק המרובע לג' חלקים שוים וכן אם רצית לחלקו לד' חלקים ויותר
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי צלע א"ד שוה לצלע ה"ח
|
|
וצלע ה"ח שוה לצלע ז"ט
|
|
וצלע ז"ט שוה לצלע ב"ג
|
|
וצלע א"ה שוה לצלע ה"ז ז"ב
|
|
וזוית הא"ד שוה לזויות זה"ח בז"ט
|
|
וזוית אד"ח שוה לזוית הח"ט זט"ג
|
|
וזוית הח"ד שוה לזויות זט"ח בג"ט
|
|
|
אם כן גם השטחים נכחיי הצלעות שוים והם ג' חלקי המרובע
|
|
|
ואם רצית לחלקו מדרך השנית עשה כך חלק צלע ד"ג ויהיה מנקדת ד' עד נקדת ה' שני שלישי הצלע ותגיע א"ה עוד חלק צלע א"ב ויהיה מנקדת ב' עד נקדת ז' שני שלישי הצלע ותגיע ג"ז ובזה נחלק המרובע לג' חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי יחס משולש אד"ה אל שטח א"ז ה"ג נכחי הצלעות כחצי יחס תושבתו אל תושבתו כי הם בין שני קוים נכוחיים
|
|
|
וכן יחס משולש גב"ז אל שטח א"ז ה"ג לזאת הסבה בעצמה וחצי יחס תושבתו על תושבתו כמוהו אם כן שני המשולשים והשטח שלשה חלקים שוים והם חלקי המרובע
|
|
|
ואם רצית לחלקו לד' חלקי' שוים תחלק צלע א"ב לשני חלקים שוים על נקדת ה' גם ככה תחלק צלע ד"ג על נקדת ו' ותגיע א"ז וג"ה עוד תחלק א"ה לשני חלקים שוים על נקודת ח' גם תחלק ז"ג על נקדת ט' ותגיע ח"ט ובזה נחלק המרובע אל ארבעה [77]חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת לפי שתושבת משולש אד"ז בתושבת שטח א"ה ז"ג נכחי הצלעות והם בין שני קוים נכחיים יהיה השטח הזה כפל כל אחד ממשולשי אד"ז גב"ה וכאשר חלקנו זה לשני
חלקים שוים לשטח א"ח ז"ט ולשטח ח"ה ט"ג יהיה כל אחד מהשטחים שהם חלקי השטח האחד שוה לכל אחד מהמשולשים ושני השטחים עם שני המשולשים הם כל חלקי המרובע הנה נחלק כל המרובע לד' חלקים שוים
|
|
|
עוד אם רצית לחלקו לארבעה חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי משולש אה"ב שוה למשולש אה"ד
|
|
צלע א"ב שוה לצלע א"ד
|
|
וצלע א"ה משותף
|
|
וזוית דא"ה שוה לזוית הא"ב
|
- Because
|
לפי שצלע א"ב שוה לצלע א"ד
|
|
וצלע א"ג משותף
|
|
ותושבת ב"ג שוה לתושבת ד"ג
|
|
תהיה זוית דא"ג שוה לזוית גא"ב
|
|
|
וזוית גא"ד וגא"ב הן זויות דא"ה והא"ב
|
|
אם כן משולש אה"ב שוה למשולש אה"ד
|
|
ומשולש אה"ד שוה למשולש גה"ד
|
|
לפי שצלע א"ד שוה לצלע ג"ד
|
|
וצלע ד"ה משותף
|
|
וזוית אד"ה שוה לזוית הד"ג
|
|
|
לפי שצלע א"ד ממשולש אד"ב שוה לצלע ד"ג ממשולש דב"ג
|
|
וצלע ד"ב משותף
|
|
|
ותושבת א"ב שוה לתושבת ב"ג
|
- Therefore
|
אם כן זוית אד"ב שוה לזוית בד"ג
|
|
|
וזויות אד"ב ובד"ג הן זויות אד"ה והד"ג
|
|
אם כן משולש אה"ד שוה למשולש גה"ד
|
|
|
ובזה הדרך בעצמו יתבאר שמשולש גד"ה שוה למשולש גה"ב אם כן המשולשים הד' שהם כל חלקי המרובע שוים
|
|
|
ואם רצית לחלק מדרך אחרת עשה כך
|
|
|
דמיון רצינו לחלק מרובע אבג"ד לד' חלקים חלקנו צלע א"ד על נקדת ה' והיא חצי הצלע גם חלקנו צלע ב"ג לשני חצאים על נקדת ז' גם חלקנו צלע א"ב לשני חציים על נקדת ה' גם חלקנו צלע ד"ג לשני חצאים על נקדת ט' אחר כך הגענו ה"ז ח"ט ויפגשו על נקדת כ' ויחלק המרובע לד' חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת לפי שצלע ה"ז נכחי לצלע ד"ג כי מרחק תושבתו של כל א' מהם שוה
|
|
|
ותושבת ג"ט שוה לתושבת ט"ד
|
|
|
יהיה מרובע ג"ז כ"ט שוה למרובע ט"ב ה"ד
|
|
|
ולפי שצלע ח"ט נכחי לצלע א"ד
|
|
|
ותושבת ד"ה שוה לתושבת ה"א
|
|
|
יהיה מרובע ט"כ ה"ד שוה למרובע ה"כ ח"א
|
|
|
ובזה הדרך בעצמו ישוה להם מרובע ח"ב ז"כ ואלה ד' מרובעי' הם כל חלקי המרובע הגדול והם שוים
|
|
|
ודרך חלוקת זה המרובע הבלתי נצב הזויות הוא דרך חלוקת המרובע הארוך הבלתי נצב הזויות הנכחי הצלעות ומופתיו כמופתיו
|
|
|
ומעתה נבאר חלוקת הנוטים כי הם מינים הרבה
|
|
|
ונחל מן הנוטה אשר צלעיו שוים וראשו ותושבתו בלתי שוים וראשו נכח תושבתו והוא אשר יקרא משולש חתוך הראש כזה
|
|
|
ויש ממנו נצב הזויות אך אין ראשו נכח תושבתו
|
|
|
וכאשר רצינו לחלק נוטה אבג"ד שראשו נכח תושבתו ושתי צלעותיו שוים לשני חלקים שוים
|
|
|
נחלק צלע א"ב לשני חלקים שוים על נקדת ה' וכן [78]נחלק צלע ג"ד על נקדת ז' ונגיע ה"ז ויחלק נוטה אבג"ד לשני חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת לפי שצלע א"ד שוה לצלע ב"ג
|
|
|
ותושבת ד"ז לתושבת ז"ג
|
|
|
וראש א"ה לראש ה"ב
|
|
וצלע ה"ז הוא משותף
|
|
|
אם כן נוטה א"ה ד"ז שוה לנוטה ה"ב ז"ג והם כל נוטה אבג"ד והנה נחלק לשני חלקים שוים
|
|
|
ואם רצית לחלקו לג' חלקים שוים והיה הראש כמו מחצית התושבת תחלק התושבת לשני חלקים שוים על נקדת ז' ותגיע א"ז ב"ז ויחלק הנוטה לג' משולשים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת ששטח א"ב ד"ז נכחי הצלעות והוא כפל משולש אד"ז כי הם על תושבת אחת ובין שני קוים נכוחיים וכפל משלש אד"ז שוה לשני משולשי אד"ז אז"ב עוד שח"ט א"ב ג"ז שוה לכפל משולש בז"ג לסבה הזאת בעצמה וכפל משולש בז"ג שוה לשני משולשי אז"ב בז"ג א"כ גם ג' המשלשים שוים כי כשתפיל אב"ז המשותף ישאר משלש אד"ז שוה למשלש בז"ג והם כל חלקי הנוטה
|
|
|
אמנם אם ראש הנוטה איננו במחצית התושבת אבל עודף עליו ותרצה לחלק אותו בשלשה חלקים שוים או יהיה פוחת ממנו תעשה כך
|
|
|
תמצא תשברתו אחר כך חלק מספר התשבורת לג' חלקים וככה יהיה חלוקתו כלומר מספר שלישית השברים הוא שלישית הנוטה וככה כל חלק וחלק וככה תחלק את הנוטה שהוא נצב הזויות ואין ראשו נכח תושבתו
|
|
|
גם אם רצית לחלק העגולה לשני חלקים שוים תוציא אלכסון העגולה ובעברה על המרכז תחלק לשני חלקים שוים
|
|
|
והמופת על החלוקה הזאת כי קשת חצי העגולה שוה לקשת חציה האחר והאלכסון משותף אם כן התמונה האחת שוה לאחרת
|
|
|
ואם רצית לחלקה לג' חלקים שוים או ליותר כמה חלקים שתרצה תחלק העגולה כמספר החלקי' שתרצה ותסמן נקדות כמספר החלקים על העגולה אח"כ הוצא מכל נקודה קו ישר אל המרכז והנה נחלקה העגולה על מספר החלקים שרצית
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי הקשתות שוות והקוים שוים כי הם יוצאים מהמקיף אל המרכז ואם כן נחלקה העגולה אל משלשים שוים אשר תושבותם קשתות שוות מהעגולה
|
The Third Section on the Measuring of Solids
|
החלק השלישי במדידת הגופנים
|
The First Chapter
|
הפרק הראשון
|
| Know that the solids are those that have length, width and height.
|
דע שהגופנים הם אשר יש להם אורך ורחב וגובה
|
- Among them are those that are called pyramid, of which all the bases are triangular [= triangular pyramid], like this:
|
ויש מהם אשר יקרא מחודד וכל תושבותיו משולשים כזה
|
- It is a shape that rises in height and ends at one point
|
והיא תמונה אשר תעלה בגובהה ותכלה אל נקדה אחת
|
- Among them are those, whose base is quadrilateral and their faces are triangular [= quadrilateral pyramid], like this:
|
ויש מהם אשר תושבתו מרובע וצדדיו משולשים כזה
|
- They rise in height to one point.
|
ויפלו בגבהם אל נקדה
|
- Among them are those, whose base is circular, that rise in height and end at one point [= cone], like this:
|
ויש מהם שתושבתם עולה בשטח עגול ויכלה בגבהו אל נקדה כזה
|
- Among them are those, whose base is a polygon, that end at one point [= polygonal pyramid].
|
[79]ויש מהם שתושבתם רבת הזויות ותכלה אל נקדה
|
- Among them are those, whose bottom base is a triangle, their upper base is a triangle, their faces are quadrangles that rise laterally at right angle [= triangular prism], like this:
|
ויש מהם שתושבתם משולש וראשם משלש וצדדיהם המרובעים עולים על צד זוית נצבת כזה
|
- [Among them] are those that rise to a point, but end before reaching the point [= truncated pyramid], like this:
|
ויש שאינם עולים על נקדה אבל נפסקים קודם שיגיעו אל הנקדה כזה
|
- Among them is the shape of a sphere, like this:
|
ויש מהם תמונת הכדור כזה
|
| We begin to explain the measurement of the shape, whose bottom base is quadrangular, its upper base is quadrangular, and its faces are quadrangular, rising at right angle.
|
ונחל לפרש מדידת התמונה שתושבתה מרובע וראש המרובע וצדדיה מרבעים עולים על זויות נצבות
|
| Cube
|
|
| I say that if the length, width and the height of this shape are equal, its measurement is as follows:
|
ואומר שזאת התמונה אם היא שוה ארכה ורחבה וגבהה מדידתה כן
|
| We multiply its length by its width, then we multiply the product by its height and this is the volume of this shape that is called a cube.
|
נכפול ארכה על רחבה וההוה נכפלהו על גבהה וככה מדידת זאת התמונה והיא הנקראת מעוקב
|
- Example: its length is ten, its altitude is ten, and its breadth is ten.
|
דמיון ארכה עשרה גבהה עשרה ורחבה עשרה
|
- We multiply 10 by 10; it is 100. We multiply also 10 by 100; it is 1000 and this is the volume of this shape.
|
כפלנו י' על י' ההוה ק' עוד כפלנו י' על ק' ההוה אלף והוא מדידת זאת התמונה
|
| Cuboid
|
|
| If one of the three dimensions is greater than the others, or each is different from the other, we measure it also this way:
|
ואם הצד הא' מן הג' יותר מהאחרים או כל אחד לא ישוה לחברו גם כן ככה נמדדהו
|
- Example: the length is 10, the breadth is 15, and the altitude is 20.
|
דמיון האורך י' והרחב ט"ו והגובה כ'
|
- We multiply 10 by 15; it is 150. We multiply it by 20; it is 3000 and this is its volume.
|
נכפול י' על ט"ו ההוה ק"נ נכפלם על כ' ההוה ג' אלפים וזאת היא מדידתה
|
| Know that the cubit, by which we measure the solid shapes is cubit in length, cubit in width, and cubit in height, and it is called solid cubit.
|
ודע שהאמה אשר בה אנו מודדי' התמונות הגופניות היא אמה אורך ואמה רחב ואמה גובה וזאת תקרא אמה מוגשמת
|
| Space diagonal
|
|
| The space diagonal of these shapes is drawn from one vertex at its upper base to the opposite vertex at its bottom base.
|
ואלכסון אלה התמונות יוצא מזויות אחת אשר בראשה אל נכח הזוית אשר בתושבתה
|
- For instance, if it is drawn from the northeastern vertex at its upper base, it reaches to the southwestern vertex at its bottom base.
|
דמיון אם יצא בראשה מזויות מזרחי' צפונית יגיע בתושבתה אל זוית מערבית דרומית
|
| The measurement of the length of the space diagonal is as follows:
|
ומדידת אורך האלכסון כך
|
- Example: a cube shape, each side of which is 10.
|
דמיון בצורת המעוקב אשר כל צלע מצלעותיו י'
|
- We take the square of the diagonal of the base, add it to the square of the altitude, and extract its root and it is the length of the required space diagonal.
|
נקח מרובע אלכסון התושבת ונחברהו עם מרובע הגובה ונקח שרשו והוא אורך האלכסון המבוקש
|
- It is known that the square of the diagonal of the base is 200. We add it to the square of the altitude, which is 100; the result is 300. We extract its root; it is approximately 16, a quarter, and one part of 15.
|
וידוע שמרובע אלכסון התושבת הוא ר' ונחברהו עם מרובע הגובה שהוא ק' עלו ש' ונקח שרשם והם י"ו ורביע וחלק א' מט"ו בקרוב
|
| We measure the space diagonal of the shapes whose length is greater than their breadth [= cuboids] also this way: by that we find the diagonal of the base, add its square to the square of the altitude, then extract the root and this is the length of the space diagonal of the shape.
|
גם ככה נמדוד אלכסון התמונות אשר ארכם יותר מרחבם כשנמצא אלכסון התושבת ונחבר מרובעו עם מרובע הגובה ונקח השרש והוא אורך אלכסון התמונה
|
| diagonal of the base
|
|
| When we want to find the diagonal of the base, we add the square of the long side of the base to the square of its short side, then extract the root and it is the diagonal of the base.
|
וכאשר נרצה למצוא אלכסון התושבת נחבר מרובע צלע התושבת הארוך עם מרובע צלעו הקצר ונקח השרש והוא ארך אלכסון התושבת
|
| Prism
|
|
- If the [bases] of the shape are not at right angles, but they are as a parallelogram or rhombus, measure its base, as you know the measuring of these shapes, then multiply the result by the altitude and this is the volume of such shapes.
|
ואם היתה התמונה צדדיה בלתי עולים על זויות נצבות אבל דומים למעויין או תהיינה מעויינות תמדוד תושבתה כמו שידעת במדידת הצורות האלה אחר כך מה שיצא כפלהו על הגובה והוא מדידת זאת התמונה כאלה
|
- If its bottom base is triangular, its upper base is triangular, and its faces are quadrangular, find the area of the triangle that is its base, multiply it by the altitude and the result is the volume of this shape, provided that the triangle of its upper base and the triangle of its bottom base are equal.
|
ואם היתה תושבתה משולש וראשה משולש וצדדיה מרובעים תמצא תשבורת המשולש אשר הוא תושבתה ותכפול אותו על הגובה והעולה היא מדידת זאת התמונה בלבד שיהיה משלש ראשה עם משולש תושבתה שוים
|
- Similarly, if the bottom base of the shape and it upper base are equal pentagons, or equal hexagons, or others like these, find the area of the base, multiply it by the altitude and the result is [the volume of] the required shape.
|
גם אם היתה תושבת התמונה וראשה מחומשים שוים או משושים שוים ויתר מאלה תמצא תשבורת [80]התושבת וכפלהו על הגובה והעולה היא התמונה המבוקשת
|
- If the bottom base of the shape is a circle and the upper base is a circle equal to it, find the area of the circle and multiply it by the altitude; the result is the volume of this shape.
|
ואם היתה תושבת התמונה עגולה וראש עגולה שוה לה תמצא תשבורת העגולה ותכפלהו על הגובה והעולה הוא מדידת התמונה ההיא
|
| Pyramid
|
|
| But, if the shape rises gradually and ends at one point:
|
אך אם התמונה עולה בהדרגה וכלה אל נקדה
|
- If its base is triangular, find the area of the base, multiply it by a third of the altitude and the result is the volume of this shape.
|
אם תושבתה משולש תמצא תשבורת התושבת וכפלהו על שלישית הגובה והעולה הוא מדידת זאת התמונה
|
- Likewise, if its base is quadrangular, or pentagonal, and their like, always multiply the area of the base by a third of the altitude, or the whole altitude by a third of the area of the base, and the result is the required.
|
וככה אם תושבתה מרובעת או מחומשת וכדומה להם שתכפול לעולם תשבורת התושבת עם שליש הגובה או כל הגובה עם שליש תשבורת התושבת והעולה הוא המבוקש
|
| Cone
|
|
- Also if the base is circular, find the area of the circle, multiply it by a third of the altitude, or multiply the length of the altitude by a third of the area of the base, and the result is the required.
|
וכן אם תושבתה עגולה תמצא תשבורת העגולה וכפלה על שלישית הגובה או על כפל אורך הגובה על שלישית התשבורת של התושבת והעולה הוא המבוקש
|
| Altitude
|
|
| To know how we find the altitude of the shape, I shall tell you this matter here:
|
ולדעת איך נמצא גובה התמונה אודיעך ענינו פה
|
| Know that the altitude is the perpendicular that is drawn at right angles from the bottom base of the shape to its top.
|
דע שהגובה הוא עמוד יוצא מתושבת התמונה אל ראשה על זויות נצבות
|
- If the base of the shape is a circle:
|
ואם היתה תושבת התמונה עגולה
|
- We take half of its diameter and multiply it by itself. We take the height of the lateral face and multiply it by itself. We subtract the square of half its diameter from the square of [the height of] the lateral face. We extract the root of the remainder and this is the length of the altitude.
|
נקח חצי קטרה ונכפלה על עצמה עוד נקח גובה הצד ונכפלהו על עצמו ונוציא מרובע חצי קטרה ממרובע הצד והנשאר נקח גדרו והוא אורך הגובה
|
- Example: a circle; half its diameter is 6 and its square is 36; the height of the lateral face is 10 and its square is 100.
|
דמיון עגולה חצי קטרה ו' ומרובעו ל"ו וגובה הצד י' ומרובעו ק'
|
- We subtract 36 from 100; 64 remains. We extract its root; it is 8 and this is the length of the altitude.
|
גרענו ל"ו מן ק' ונשארו ס"ד לקחנו שרשם והם ח' וככה אורך הגובה
|
- If the base of the shape is an equilateral triangle:
|
ואם היתה התושבת של התמונה משלש שוה הצלעות
|
- Draw a height from the top of the triangle of the base to its base and divide it into two [equal] parts. The place where it is divided is the middle of the height; mark a point there.
|
תוציא עמוד מראש משלש התושבת אל תושבתו ותחלקהו לשני חלקי' ובמקום שיתחלק שם הוא מחצית העמוד וסמן שם נקדה
|
- Divide the side of the triangle of the base also into two equal parts. The place where it is divided is the middle of the side; mark a point there.
|
עוד תחלק צלע משלש התושבת לשני חלקים שוים ובמקום שיתחלק הוא מחצית הצלע וסמן שם נקדה
|
- Then, see [the length] between the midpoint of the height and the midpoint of the side, take its square and subtract it from the square of the height of the face of the shape. Take the root of the remainder and it is the altitude of the shape.
|
אח"כ ראה מה בין נקדת מחצית העמוד לנקדת מחצית הצלע וקח מרובעו וגרעהו ממרובע גובה צד התמונה וקח שרש הנשאר והוא גובה התמונה
|
- If the base of the shape is a regular pentagon, hexagon, polygon, or a square:
|
אך אם תושבת התמונה הוא מחומש שוה הצלעות והזויות או משושה והכלל רב הזויות וכן מרובע שוה הצלעות
|
- Take half the sum of all the sides [= half the circumference] and divide the area of the base by it, square the quotient [= the apothem] and subtract its square from the square of the height of the face. Take the root of the remainder and it is the altitude of that shape.
|
והוא שתקח מחצית כל הצלעות ותקבצם יחד ותחלק על המחצית ההוא מרבע התושבת והיוצא מן החלוקה תרבעהו ותוציא את מרובעו ממרובע גובה הצד והנשאר בידך קח גדרו והוא גובה התמונה ההיא
|
| Pyramid with irregular polygonal base
|
|
- If the sides and angles of the base are unequal, you should find the height with an instrument, then find the area of all the different triangles into which the base can be divided, by drawing [straight] lines from its vertices to its center. Sum them and multiply [the sum] by a third of the altitude. The result is the required.
|
ואם לא היו הצלעות שוות כלומר צלעות התושבת גם לא הזויות אתה צריך למצוא גובה על יד כלי מעשה ואז תמצא תשבורת כל המשלשים הבלתי שוים אשר התושבת נחלקת עליהם בהוציאך קוים מזויותיה אל מרכזה ותחברם ותכפול על שלישית הגובה וההוה הוא המבוקש
|
| Truncated pyramid
|
|
| However, if the shape does not end at one point, but rather ends at a triangular or square surface, or other than these shapes, provided that its upper base is smaller than the bottom base, there are other methods [for calculating its volume], which will be explained here:
|
אך אם התמונה אינה כלה אל נקדה אבל כלה אל שטח משלש או מרובע או זולת אלה בתמונה אשר תושבתה לבד שהראש קטן מן התושבת יש לה דרכים אחרי' יתבארו פה
|
| Such shape is called a truncated pyramid, because, if you extend its faces upwards it becomes a pyramid, and we have already explained to you the rules of the pyramid.
|
וזאת התמונה תקרא חתוכת הראש לפי שאם תוציא צדדיה למעלה תכלה אל מחודד וכבר בארנו לך משפטי המחודד
|
| This shape is divided into two pyramids: the large pyramid that ends at one point, and the smaller pyramid, the base of which is the upper base of the truncated pyramid, and it rises to one point.
|
והנה זאת התמונה תחלק אל שני מחודדים אל המחדד הגדול אשר כלה אל נקדה ואל [81]המחדד הקטן שראש התמונה חתוכת הראש תושבת לו ועולה אל הנקודה
|
- If the bottom base is quadrangular and so is the upper base, extend the lateral sides up to the top point, then you can measure the large pyramid as you know.
|
ואם היתה תושבת בעלת ד' צלעות וככה הראש תוציא אורך הצדדים עד הנקודה למעלה ואתה יכול למדוד המחודד הגדול כמו שידעת
|
- Measure also the smaller pyramid and subtract it from the larger. The remainder is the volume of the truncated pyramid.
|
עוד תמדוד המחודד הקטן וגרעהו מהגדול והנשאר הוא מדידת התמונה חתוכת הראש
|
- Therefore, you should be taught how to find the lateral sides from the top of the shape outside it to the point:
|
ולכן צריך להודיעך איך תמצא ארך הצדדים אשר הם מראש התמונה מחוץ עד הנקודה
|
- Example: a truncated pyramid ABGD; its bottom base is line AB, which is 6 cubits; its upper base is GD, which is 4 cubits; and its altitude in the middle, which is line HZ, is 10 cubits.
|
דמיון תמונת אבג"ד חתוכת הראש ותושבתה קו א"ב והוא ו' אמות וראשה ג"ד והוא ד' אמות וגובה העמוד אשר באמצע והוא קו ה"ז י' אמות
|
- Multiply the upper base by the altitude; the result is 40 cubits.
|
כפול הראש לכל הגובה יעלה מ' אמות
|
- Divide them by 2, which is the excess of the bottom base over the upper base; it is 20 and this is the length of line HT that remains from the altitude.
|
חלק אותם על ב' אשר הם יתרון התושבת על הראש יהיו כ' והוא אורך קו ה"ט הנשאר מהגובה
|
- You want to find the length of the lateral sides that are above the upper base up to the apex:
|
רצית למצוא ארך הצדדים אשר הם למעלה מהראש עד הנקודה
|
- Take the square of 20, which is the lenght of HT; it is 400.
|
תקח מרובע כ' שהם ארך ה"ט והם ת'
|
- And the square of 2, which is the length of GH; it is 4.
|
ומרובע ב' שהם אורך ג"ה והם ד'
|
- Add it to 400; it is 404. [Take] its root, which is approximately 20 cubits and a tenth of a cubit, and it is the length of side GT that is outside the [truncated pyramid].
|
וחברם עם ת' והם ת"ד גם גדרם שהם כ' אמות ועשירית אמה בקרוב והם אורך צלע ג"ט שהוא מחוץ
|
|
- If you want to find the length of the whole lateral side of the pyramid, which is side AT:
|
ואם רצית למצוא אורך כל צלע המחודד שהוא צלע א"ט
|
- Take the square of line ZT, whose lenght is 30; its square is 900.
|
תקח מרובע קו ז"ט שארכו ל' ומרובעו תת"ק
|
- Also the square of half the bottom base that is line AZ, which is 3 cubits; its square is 9.
|
גם מרובע חצי התושבת שהוא קו א"ז והוא ג' אמות ומרובעו ט'
|
- Add it to 900; the result is 909. Extract its root, which is [approximately] 30, a tenth, and one part of 30, and it is the length of the whole lateral side.
|
חברם עם תת"ק יעלו תתק"ט קח גדרם והוא ל' ועשירית א' וחלק אחד מל' והוא אורך כל התשבורת של הצלע
|
|
- Find the area of the base of the great pyramid, which is 6 by 6 cubits; the result is 36.
|
תמצא תשבורת תושבת המחודד הגדול שהוא ו' על ו' אמות וההוה ל"ו
|
- Multiply it by a third of the altitude, which is 10, because the whole altitude is 30; the result is 360 and it is the volume of the great pyramid.
|
כפלם עם שלישית הגובה שהם י' כי כל הגובה הם ל' וההוה ש"ס והוא מדידת המחודד הגדול
|
- Measure also the small pyramid, whose base is 4 by 4; its area is 16.
|
עוד תשוב למדוד המחודד הקטן שתושבתו ד' על ד' ותשברתה הם י"ו
|
- Multiply it by 6 and 2-thirds, which is a third of its altitude; the result is 106 and 2-thirds.
|
כפלם עם ו' וב' שלישיות שהם שליש גבהו וההוה ק"ו וב' שלישיות
|
- Subtract it from 360, which is the volume of the great pyramid; 253 and one-third remain and it is the volume of the required truncated pyramid.
|
תגרעם מן ש"ס שהם מדידת המחודד הגדול ישארו רנ"ג ושלישית אחד והוא מדידת התמונה חתוכת הראש המבוקשת
|
- Yet, since the calculation is a bit difficult, the arithmeticians introduce another shorter method:
|
אך מפני שהחשבון קשה מעט נתנו בעלי החשבון דרך אחרת קצרה מזאת
|
- Take the square of the bottom base, which is 36, and the square of the upper base, which is 16. Multiply the root of the upper base by the root of the bottom base; the result is 24. Sum up the 36, the 16, and the 24; the result is 76. Multiply it by a third of the altitude, which is 3 and one-third; the result is 223 and one-third and this is the volume of the required truncated pyramid.
|
והוא שתקח מרובע התושבת והוא ל"ו ומרובע הראש והוא י"ו ותכפול גדר הראש בגדר התושבת וההוה כ"ד תחבר הל"ו והי"ו והכ"ד והעולה ע"ו כפלם עם שלישית הגובה שהם ג' ושליש ההוה רכ"ג ושליש והוא מדידת התמונה חתוכת הראש
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[6^2+4^2+\left(6\sdot4\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)=\left(36+16+24\right)\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)=76\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)=253+\frac{1}{3}}}](/mediawiki/images/math/c/e/6/ce63e386ef65503bd3c5888990558e47.png)
|
- If the bottom base of the shape is a circle and so is its upper base.
|
ואם היתה תושבת התמונה עגולה וכן ראשה
|
- As the shape whose bottom base is a circle and the diameter of the circle is 4 cubits, the upper base is a circle, whose diameter is 2 cubits, [and the altitude is 12 cubits].
|
כגון תמונה אשר תושבתה עגולה וקטר העגולה ד' אמות וראש העגולה וקטרה ב' אמות
|
- The square of 4, which is the diameter of the bottom base is 16; the square of 2, which is the diameter of the upper base is 4. Multiply 2 by 4; it is 8. The total sum is 28.
|
המרובע ד' אשר הוא קטר התושבת והוא י"ו ומרובע ב' שהוא קטר הראש והוא ד' וכפול ב' בד' הרי ח' והכל כ"ח
|
- Subtract its seventh and one part of 14; 22 remains. Multiply it by 4, which is a third of the altitude; the result is 88 and it is the volume of this shape.
|
גרע [שביעיתם][82] וחלק אחד מי"ד נשארו כ"ב כפלם עם ד' שהוא שלישית הגובה יעלו פ"ח והוא מדידת התמונה הזאת
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[4^2+2^2+\left(4\sdot2\right)\right]-\left[\left[4^2+2^2+\left(4\sdot2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{14}\right)\right]\right]\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)=\left[28-\left[28\sdot\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{14}\right)\right]\right]\sdot4=22\sdot4=88}}](/mediawiki/images/math/2/b/6/2b604c49ea587ec240c8db56055c8195.png)
|
- Sometimes a container is found that consists of two shapes as the mentioned shape, the two bases of which are small circles and the middle it is wider.
|
ולפעמים ימצא כלי אחד מחובר משתי תמונות כזאת התמונה הנזכרת שיהיו שני ראשיו עגולות קטנות ואמצעיתו רחב כזאת התמונה הנזכרת
|
- Measure each of the two parts of the container by itself as you know, then sum them up and this is the volume of the container.
|
ותמדוד כל אחת מן חלקי הכלי השנים בפני עצמו כמו שידעת וחבר שניהם וככה מדידת הכלי
|
- If the bottom and the upper bases of the shape are equilateral triangles, but the sides of the bottom base are longer than the sides of the upper base:
|
ואם היה תושבת התמונה וראשה [83]משלשים שוי הצלעות אך צלעות התושבת גדולות מצלעות הראש
|
- As the shape whose bottom base is an equilateral triangle, each of its sides are 8 cubits, upper base is an equilateral triangle, each of its sides are 4 cubits, and its altitude is 6 cubits.
|
כגון תמונה שתושבתה משלש שוה הצלעו' כל אחת מצלעותיו [ח' אמות וראשה משלש שוה הצלעות כל אחת מצלעותיו][84] ד' אמות וגבהו ו' אמות
|
- You know that the area of the triangle of the bottom base is approximately 28 minus 2-sevenths and the root of this number is 5 cubits and 2-sevenths.
|
אתה יודע כי תשבורת משלש התושבת כ"ח פחות ב' שביעיו' האחד בקירוב וגדר המספר הזה ה' אמות וב' שביעיות
|
- You can know the [the area of the upper base] by taking a quarter of the [bottom triangle].
|
ואתה יכול לדעת הרביע מחלק רבוע המשלשים
|
- You find the [area] of the triangle of the upper base is 7 minus a half of a seventh and the root of this number is two cubits, 2-sevenths and a half of a seventh.
|
ותמצא רבוע משלש הראש ז' אמות פחות חצי שביעית וגדר המספר הזה שנים וד' שביעיות אמה וחצי שביעית
|
- Sum up the areas of the two triangles; it is 34 cubits and 9 parts of 14 of a cubit.
|
חבר תשבורת שני המשלשים ויהיו ל"ד אמות וט' חלקים מי"ד באמה
|
- Add to them [the product of] the root of the triangle of the bottom base by the root of the triangle of the upper base, which is approximately 14 cubits minus a seventh; the total sum is 48 and a half.
|
הוסף עליהם גדר משלש התושבת בגדר משלש הראש ויהיו י"ד אמה פחות שביעית על דרך קירוב יהיה הכל מ"ח וחצי
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left(28-\frac{2}{7}\right)+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]+\left[\sqrt{28-\frac{2}{7}}\sdot\sqrt{7-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}\right]=\left(28-\frac{2}{7}\right)+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]+\left(14-\frac{1}{7}\right)=48+\frac{1}{2}}}](/mediawiki/images/math/1/5/7/157501bac8e8587cbb10d16187fde90c.png)
|
- Multiply it by a third of the altitude, which is 2; the total is 97 and this is the volume of the truncated pyramid.
|
מונה אותו בשליש הגובה והוא ב' יהיה הכל צ"ז והוא מדידת חתוכת הראש
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(28-\frac{2}{7}\right)+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]+\left[\sqrt{28-\frac{2}{7}}\sdot\sqrt{7-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}\right]\right]\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=\left(48+\frac{1}{2}\right)\sdot2=97}}](/mediawiki/images/math/d/b/1/db12d412ae287a496fec4608880231a5.png)
|
| This way you know the volume of every truncated pyramid, whose bottom base is a pentagon, or other shape:
|
ועל הדרך הזה תדע מדידת כל תמונה חתוכת הראש אשר תושבתה מחומש או תמונה אחרת
|
| You know the areas of the two bases, add to them the product of the root of the area of the upper base by the root of the area of the bottom base, sum up all, then multiply [the sum] by a third of the altitude, and you find the volume of that shape.
|
והוא שתהיה יודע השני ראשים בתשברתם ותוסיף עליהם רבוע גדר תשבורת הראש בגדר תשבורת התושבת ותכלול הכל ותכפול אותו בשליש הגובה ותמצא מדידת התמונה ההיא
|
| I give you here examples of many shapes, so that you may train yourself in measuring them:
|
והנה אתן לך דמיון בתמונות הרבה כדי שתרגיל את עצמך במדידתם
|
| Pyramid with a square base
|
|
- A pyramid, whose base is a square is measured as follows: each of the sides of the base is 24 cubits, and the lateral sides of the pyramid are 18 cubits.
|
תמונה מחודדת תושבתה מרובע נמדדה כך יהיה כל אחד מצלעות התושבת מכ"ד אמות וצלעות המחודד מי"ח אמות
|
- Take the square of 24; the result is 576. Take its half; it is 288.
|
תקח מרובע הכ"ד וההוה תקע"ו קח מחציתם והם רפ"ח
|
- Take also the square of 18; the result is 324.
|
גם קח מרובע הי"ח וההוה שכ"ד
|
- Subtract the 288 from it; 36 remains. Extract its root; it is 6 and this is the size of the altitude of the pyramid.
|
תגרע מאלה הרפ"ח נשארו ל"ו קח גדרם והם ו' וזהו שעור עמוד המחודד
|
- Since the altitude is 6, we take its third; it is 2. Multiply it by 576; the result is 1152 and this is the volume of the pyramid.
|
ולפי שהעמוד הוא ו' נקח שלישיתו הם ב' ותכהו עם התקע"ו וההוה אלף קנ"ב וזהו תשבורת המחודד
|
- A pyramid, whose base is a square, each of the sides of its base is 12 cubits, and its lateral sides are 36 cubits.
|
מחודד שתושבתו מרובע אשר כל אחת מצלעות תושבתו בעל י"ב אמות וצלעות גבהותו מל"ו אמות
|
- We wish to find its altitude
|
ונרצה למצוא העמוד
|
- We do as follows:
|
נעשה כך
|
- We multiply the side of the base, i.e. the 12, by itself; the result is 144.
|
נכפול צלע התושבת כלומ' הי"ב על עצמם וההוה קמ"ד
|
- We multiply also the other side by itself; the result is 144.
|
עוד נכפול הצלע האחר על עצמו וההוה קמ"ד
|
- We sum them up; the result is 288.
|
נחברם ביחד ההוה רפ"ח
|
- We extract its root; it is 16 and a little excess and this is the diagonal of the base.
|
נקח גדרם והם י"ו גם תוספת מעט וכך הוא קטר התושבת
|
- We take a half of 16; it is 8 and a half.
|
נקח מחצית הי"ו והם ח' וחצי
|
- We multiply it by itself; the result is 72 and a quarter.
|
ונכפלם על עצמם ההוה ע"ב ורביע
|
- We multiply also the 36, which is the lateral side, by itself; the result is 1296.
|
עוד נכפול הל"ו שהם צלע גבהותו על עצמם ההוה אלף רצ"ו
|
- We subtract the 72 and a quarter from it; 1224 remains with a little excess.
|
נגרע מאלה הע"ב ורביע וישארו אלף רכ"ד עם תוספת מעט שבם
|
- We extract its root; the result is 35 with a little excess and this is the length of the altitude.
|
ונקח גדרם וההוה ל"ה עם תוספת מעט שבו וכן הוא אורך העמוד
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{36^2-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(16+\right)\right]^2}=\sqrt{36^2-\left(8+\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{1296-\left(72+\frac{1}{4}\right)}=\sqrt{1224+}=35+}}](/mediawiki/images/math/a/d/9/ad976f00757975e4d9e26432b8e1ea14.png)
|
- Multiply it by 144, which is the area of the base; the result is 5040.
|
תכה אלה עם הקמ"ד שהם תשבורת התושבת ההוה ה' אלפים ומ'
|
- We take its third; the result is 1680 and this is the volume of the solid.
|
נקח שלישית אלה ההוה אלף תר"פ וכן הוא תשבורת המוגשם
|
| The reason we take the third is that every triangular prism is divided into three pyramids, whose altitudes are equal and their bases are triangles [Elements XII.3].
|
ולמה אנו לוקחים השלישית כי כל [מוגדר][85] מוגשם נחלק לג' מחודדים כשהם שוה הגובה ותושבותיהם [86]משולשים
|
| However, we based our calculation on the [quadrangular] prism and the [quadrangular] prism is divided into two triangular prisms. So, every triangular prism of the altitude of the pyramid is three times half the given pyramid that have a square base.
|
ואנו עשינו חשבוננו על מוגשם נכחי השטחים והמוגשם הנכחי נחלק לב' מגודרים וכל מגודר של עמוד של המחודד הוא ג' כפלי מחצית המחודד המונח והוא בעל תושבת מרובעת
|
| As Euclid has demonstrated in Book 12 [Elements XII.7].
|
כן הראה זה במופת אקלידס במאמר [הי"ב][87]
|
| Truncated pyramid with a square base
|
|
| A truncated square pyramid, i.e. whose top is truncated, the sides of its bottom base are ten cubits, the sides of its upper base are 2 cubits, and its lateral sides are 9 cubits; we measure it as follows:
|
מחודד מזונב כלומר חתוך הראש מרבע אשר צלעות תושבתו מעשר אמות וצלעות הראש מב' אמות וצלעות גבהותו מט' אמות נמדוד אותו כן
|
- Subtract the two cubits of the sides of the upper base from the sides of the bottom base; the remainder is 8.
|
תגרע השני אמות של צלעות הראש מצלעות של התושבת וישארו ח'
|
- Multiply it by itself; it is 64.
|
תכפלם על עצמם ויהיו ס"ד
|
- We take its half; it is 32.
|
נקח מחציתם והם ל"ב
|
- We multiply also the 9 by itself; it is 81.
|
גם נכפול הט' על עצמם ויהיו פ"א
|
- We subtract 32 from it; the remainder is 49.
|
נגרעם מאלה הל"ב ישארו מ"ט
|
- We extract its root; it is 7 and this is the altitude.
|
נקח גדרם והם ז' וכן הוא העמוד
|
|
- Since the altitude is 7 cubits, we find the volume of the solid as follows:
|
ולפי שהעמוד ז' אמות נמצא תשבורת המוגשם כן
|
- We add the 2 of the upper base to the 10 of the bottom base; it is 12.
|
נחבר הב' של הראש עם הי' של התושבת ויהיו י"ב
|
- We take its half; it is 6.
|
ונקח חציים והם ו'
|
- We multiply it by itself; the result is 36.
|
נכפלם על עצמם ויהיו ל"ו
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+10\right)\right]^2=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2=6^2=36}}](/mediawiki/images/math/b/2/4/b2458bff7c27d0dc621756937c322dc0.png)
|
|
- Then, subtract 2 of the upper base from 10; the remainder is 8.
|
אחר כך תגרע מהי' הב' של הראש וישארו ח'
|
- We take its half; it is 4.
|
ונקח חציים והם ד'
|
- We multiply it by itself; the result is 16.
|
ונכפלם על עצמם ויהיו י"ו
|
- We take its third; it is 5 and one third.
|
ונקח שלישיתם יהיו ה' ושליש
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-2\right)\right]^2=\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2=\left(\frac{1}{3}\sdot16\right)=5+\frac{1}{3}}}](/mediawiki/images/math/7/f/6/7f6d4ba7462cf8de2a87c8880b5298a4.png)
|
|
- Add it to the 36; it is 41 and a third.
|
הוסף אלה על הל"ו ויהיו מ"א ושליש
|
- Multiply it by 7; the result is 289 and one third; and this is the volume.
|
כפלם על הז' ויהיו רפ"ט ושליש וכן הוא התשבורת
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+10\right)\right]^2+\frac{1}{3}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-2\right)\right]^2\right]\sdot7=\left[36+\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\sdot7=\left(41+\frac{1}{3}\right)\sdot7=289+\frac{1}{3}}}](/mediawiki/images/math/d/3/d/d3d9a6d51896998616e58e3ca9e8393d.png)
|
| Pyramid with a right-angled triangular base
|
|
| If you wish to measure a pyramid whose base is a right-angled triangle, it is not necessary to investigate the lateral sides in order to find the altitude, because it has a right angle.
|
אם תרצה למדוד מחודד אשר תושבתו משולש נצב אינו הכרח לחקור על צלעות הגבהות למצוא העמוד בהיותו בעל זוית נצבת
|
- Let the altitude be 25 cubits, if one side of the right angle of the triangle's base is 4 cubits and the other is 5 cubits, do this:
|
ויהיה אם העמוד כ"ה אמות ואם הראשונה שאצל הזוית שאצל תושבת המשולש ד' אמות ואם האחרת ה' אמות תעשה כך
|
- Multiply 4 by 5; the result is 20.
|
כפול הד' על הה' ההוה כ'
|
- Take its half; it is 10.
|
קח חציים והם י'
|
- Multiply this by the 25, which is the altitude; the result is 250.
|
כפלם על כ"ה שהוא העמוד ההוה ר"נ
|
- Take its third; it is 41 and two thirds.
|
קח שישיתם והם מ"א וב' שלישים
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(4\sdot5\right)\right]\sdot25\right]=\frac{1}{6}\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)\sdot25\right]=\frac{1}{6}\sdot\left(10\sdot25\right)=\frac{1}{6}\sdot250=41+\frac{2}{3}}}](/mediawiki/images/math/1/3/c/13ce602347a2c0b86a591749a333d20b.png)
|
| Due to the reason that I mention, which is that every prism whose base is a triangle, which is half a square, is divided into three pyramids that have triangular bases, so is this prism.
|
בעבור הסבה שאזכור והיא כל מגודר אשר תושבתו משלש בחצי מרבע הוא נחלק לג' מחודדים בעלי תושבות משולשים וכן המגודר הזה
|
- As Euclid has shown in Book XII.
|
כן הראה במופת אקלידס במאמר השני
|
| The triangular prism is a half of a square [prism] and is divided into three pyramids, the result is six, [which is] a half and a third.
|
והמגודר הוא חצי מרובע ונחלק לג' מחודדים ההוה הוא ו' וחצי ושליש
|
| The pyramid with a triangular base is necessarily a sixth of the square [prism], so we take one sixth.
|
ובהכרח שהמחודד בעל תושבת משלשי שלה ששית תושבת מהמרובע ונקח הששית
|
| Pyramid with an isosceles triangular base
|
|
- If the triangle is isosceles, the legs are 12 cubits, the base is 8 cubits, the lateral sides are 25 cubits, and you wish to measure the pyramid, do as follows:
|
ואם המשולש שוה השוקים ויהיו השוקים מי"ב אמות והתושבת ח' אמות וצלעות הגבהות מכ"ה אמות ותרצה למדוד המחודד תעשה כך
|
- Divide the base, which is 8 cubits, into halves; the result is 4.
|
תחלק התושבת שהוא ח' אמות לחצאין ההוה ד'
|
- Multiply it by itself; the result is 16.
|
כפלם על עצמם ההוה י"ו
|
- Multiply one of the sides by itself, that is 12 by itself; the result is 144.
|
וכפול אחת הצלעות על עצמו כלומר הי"ב על עצמם ההוה קמ"ד
|
- Subtract the square of 4 from it, which is 16; the remainder is 128.
|
גרע מאלה מרובע ד' שהם י"ו ישארו קכ"ח
|
- Extract the root, which is 11, a quarter, one part of 22, and one part of 44. This is the size of the height on the base of the isosceles triangle.
|
קח גדרם שהם י"א ורביע וחלק מכ"ב וחלק ממ"ד וזהו השעור של העמוד אשר על תושבת המשלש שוה השוקים
|
|
- If you wish to find the area, do as follows: multiply the altitude by the base, i.e. 11, a quarter, one part of 22, and one part of 44 by 8; the result is 90 and one part of 22.
|
ואם תרצה למצא התשברת תעשה כך תכפול העמוד על התושבת כלו' י"א ורביע וחלק מכ"ב וחלק ממ"ד על הח' ההוה צ' וחלק מכ"ב
|
- Multiply it by the altitude of the pyramid.
|
כפלם על עמוד המחודד
|
- You find it as follows: since for every triangle we take a half of the altitude to the base, we take a half of the 11, one quarter, one part of 22, and one part of 44; the result is 5, a half, an eighth, one part of 44, and one part of 88.
|
ותמצאנו כך לפי שבכל [88]משולש אנו לוקחים חצי עמוד התושבת נקח חצי הי"א ורביע וחלק מכ"ב וחלק ממ"ד והם ה' וחצי ושמינית וחלק ממ"ד וחלק מפ"ח
|
- We Multiply this by itself; the result is 32 and one part of 44.
|
נכפלם על עצמם וההוה ל"ב וחלק ממ"ד
|
- We multiply also the lateral side, which is 25, by itself; the result is 625.
|
גם נכפול צלעות הגבהות על עצמם שהם כ"ה ההווה תרכ"ה
|
- Subtract the 33 and [one part of 44]; the remainder is 593.
|
תגרע הל"ב ורביע ההוה תקצ"ג
|
- We extract its root; the result is 24, a quarter and an eighth with a remainder and this is the size of the altitude.
|
נקח גדרם והם כ"ד ורביע ושמיני' עם התוספת מעט וזהו שעור העמוד
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{25^2-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(11+\frac{1}{4}+\frac{1}{22}+\frac{1}{44}\right)\right]^2}&\scriptstyle=\sqrt{25^2-\left(5+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{44}+\frac{1}{88}\right)^2}=\sqrt{625-\left(32+\frac{1}{44}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{593}=24+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\end{align}}}](/mediawiki/images/math/1/8/6/18653ed83078f9459e14ef5c51954d35.png)
|
- Multiply it by the area of the triangle, i.e. the 90 and one part of 22; the result is 2199.
|
כפול אלה על תשבורת המשולש כלו' הצ' וחלק מכ"ב ההוה אלפים וקצ"ט
|
- We take from this a sixth of the square; the result is 367 and a half; and this is the volume of the pyramid.
|
נקח מאלה ששית המרובע וההוה שס"ו וחצי וזהו תשבורת המחודד
|
| Pyramid with an obtuse-angled triangular base
|
|
|
|
ואם המחודד יהיה נרוח הזויות ויהיה תושבת משולש נרוח הזויות תכפול תשבורת המשלש נרוח הזויות עם העמוד ונקח השליש וישאר לך תשבורת המחודד
|
|
|
וכן אם יהיה חד הזויות
|
| Pyramid with a right-angled triangular base
|
|
- A pyramid, whose base is a right-angled triangle, the height is 6 cubits, its base is 8 cubits, the hypotenuse that is opposite to the right angle is 10 cubits, and each of the lateral sides of the pyramid is 13 cubits. We wish to find its altitude.
|
מחודד שתושבתו משלש נצב הזויות ויהיה עמוד ו' אמות ותושבתו ח' אמות והמיתר לזוית הנצבת י' אמות והמחודד כל אחת מצלעותיו י"ג אמות ונרצה למצוא עמודו
|
- We do as follows:
|
נעשה כך
|
- First, we find the diameter of the circle that circumscribes the triangle, which is 10 cubits, and it is the hypotenuse that is opposite to the right angle.
|
נמצא בתחלה אלכסון העגולה המקפת המשולש שיהיה י' אמות שהוא המיתר לזוית הנצבת
|
- I take its half, which is 5, multiply it by itself; it is 25.
|
ואקח חצייה והם ה' ואכפלם על עצמם וההוה כ"ה
|
- I multiply the 13 of the lateral side by itself; the result is 169.
|
גם אכפול הי"ג של צלע הגבהו' על עצמם וההוה קס"ט
|
- I subtract the 25 from it; 144 remains.
|
ואגרע מאלה הכ"ה וישארו קמ"ד
|
- I extract its root; it is 12. The size [of the altitude] is found.
|
ואקח גדרם והם י"ב והתשבורת נמצאה
|
- Also, I first find the area of the triangle; it is 24 cubits.
|
וכן בתחלה אמצא תשבורת המשולש והוא כ"ד אמות
|
- I take a third of the altitude, which is the altitude of the pyramid; it is 4.
|
ואקח שלישית העמוד שהוא עמוד המחודד והם ד'
|
- Multiply it by the area of the base; it is 96 cubits and this is the volume of the pyramid.
|
כפלם על תשבורת התושבת ויהיו צ"ו אמות וכן הוא תשבורת המחודד
|
| Pyramid with an equilateral triangular base
|
|
- A pyramid standing on an equilateral triangle - we measure it as follows:
|
מחודד העומד על משולש שוה הצלעות נמדדהו כך
|
- Let each of the sides of the base be 30 cubits and the lateral sides 20 cubits.
|
יהיה כל צלע מצלעות התושבת מל' אמות וצלעות הגבהות כ' אמות
|
- Multiply the 30 by itself; the result is 900. We take its third; it is 300.
|
כפול הל' על עצמם וההוה תק"ת נקח שלישיתם והם ש'
|
- We multiply also the [20] by itself; the result is 400.
|
גם נכפול הת' על עצמם ההוה ת'
|
- I subtract the 300 from it; 100 remains. Extract its root; it is 10 and this is the length of the altitude.
|
ומאלה אגרע הש' נשארו ק' וקח גדרם והם י' וזהו אורך העמוד
|
|
- Since the altitude is 10 cubits, the volume is found as follows:
|
ולפי שהעמוד י' אמות ימצא התשבורת כן
|
- We multiply the 30 by itself; the result is 900. We take its third and its tenth; it is 390. We take a third of it; it is 130.
|
נכפול הל' על עצמם ההוה תת"ק נקח מאלה השלישית והעשירית והוא ש"צ נקח שלישית אלה והוא ק"ל
|
- We multiply it by 10, which is the size of the altitude; the result is 1300 and this is the volume of the pyramid.
|
נכפול אלה על י' שהוא שעור העמוד ההוה אלף וש' וזהו תשבורת המחודד
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{10}\right)\sdot30^2\right]\right]\sdot10=\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{10}\right)\sdot900\right]\right]\sdot10=\left(\frac{1}{3}\sdot390\right)\sdot10=130\sdot10=1300}}](/mediawiki/images/math/1/0/f/10ff2874527bf72809b882277f0e1e56.png)
|
| Pyramid with a pentagonal base
|
|
- A pyramid on pentagonal base, each of the sides of the base is 12 cubits and the lateral sides are 35 cubits. We want to find the altitude and the volume of the pyramid.
|
מחודד על תושבת בעלת ה' זויות אשר כל אחת מצלעות התושבת מי"ב אמות וצלעות הגבהות מל"ה אמות ונרצה למצוא העמוד וגם תשבורת המחודד
|
- I draw [a circle] around the pentagon, whose perimeter is 63 cubits.
|
אחוק על הבעל ה' זויות אשר הקו המקיף ס"ג אמות
|
- So, the diameter is 20 cubits.
|
ואם כן האלכסון יהיה כ' אמות
|
- Take half of it; it is 10. Multiply it by itself; the result is 100.
|
קח מאלה חציים והם י' וכפלם על עצמם עלו ק'
|
- Multiply also the 35 cubits of the lateral side by themselves; the result is 1225.
|
עוד [89]כפול הל"ה אמות של גבהות הצלעות על עצמם יעלו אלף רכ"ה
|
- Subtract from it the 100; 1125 remains. Extract its root; it is 33, a half, one part of 22, and a little excess, and this is the length of the altitude.
|
גרע מאלה הק' ישארו אלף קכ"ה קח גדרם והם ל"ג וחצי וחלק מכ"ב עם תוספת וזהו אורך העמוד
|
|
- Multiply it by the area of the pentagon. Do as follows:
|
כפול תשבורת התושבת הבעלת ה' זויות וכן תעשה
|
- Take half the 12 cubits of the [side of the base]; it is 6. Multiply it by itself; the result is 36.
|
מן הי"ב אמות של התוספת קח חציים והם ו' וכפלם על עצמם וההוה ל"ו
|
- We multiply also half the diameter, which is 10, by itself; the result is 100.
|
עוד נכפול חצי האלכסון שהם י' על עצמם וההוה ק'
|
- Subtract from it the 36; 64 remains. Extract its root; it is 8 and this is the size of the height of the triangle.
|
גרע מאלו הל"ו ונשארו ס"ד קח גדרם והם ח' והוא שעור העמוד של המשולש
|
- Multiply it by [the side of] the base, which is 12; the result is 96. Take its half; it is 48 and this is the area of the triangle.
|
כפלם עם התושבת שהם י"ב יעלה צ"ו קח חציים והם מ"ח והם תשבורת המשלש
|
- Multiply it 5 times, since they are five triangles; it is 240 cubits. Multiply it by the altitude, which is 33, a half, and one part of 22; the result is 8050.
|
כפול אלה ה' פעמים אחרי שהם ה' משולשים ויהיו ר"מ אמות כפול אלה על העמוד שהוא ל"ג וחצי וחלק מכ"ב יעלו ח' אלפים ונ'
|
- Take its sixth, which is [a sixth of the triangular prism]; the result is 1341 and 2-thirds; this is the volume of the pyramid.
|
ומאלה קח ששיתם אחרי שהם ששה מגודרים ההוה אלף שמ"א וב' שלישים וזהו תשבורת המחודד
|
|
|
ונוכל למצוא גם בלתי חקיקת העגולה את האלכסון לפי שצלע המחומש יש לו כח על צלע המשושה ועל צלע המעושר נקח חצי הצלע כלומר חצי הי"ב ויהיו ו' נכפלם על עצמם יעלו ל"ו גם נכפול הי"ב על עצמם יעלו קמ"ד גרע מאלה הל"ו נשארו ק"ח קח גדרם והוא י' אמות ושליש וחלק מט"ו וזהו שעור צלע בעל שש הזויות גם זהו שעור הארך מן המרכז
|
| Pyramid with a hexagonal base
|
|
| The measuring of a hexagonal [pyramid] is the same, without requiring the diagonal
|
ויהיה גם מדידת בעל השש זויות כך בלתי שאדרוש את האלכסון
|
- For example, let a hexagonal pyramid, each side of which is 12 cubits, the lateral sides are 35 cubits, and we wish to find the altitude and the volume of the pyramid, we do as follows:
|
כגון שיהיה מחודד בעל שש זויות ויהיה כל א' מהצלעות מי"ב אמות וצלעות הגבהות מל"ה אמות ונרצה למצוא העמוד ותשבורת המחודד נעשה כך
|
- We multiply 12 by itself; the result is 144.
|
נכפול הי"ב על עצמם יעלו קמ"ד
|
- 35 by its self; the result is 1225
|
והל"ה על עצמם יעלו אלף רכ"ה
|
- Subtract 144 from it; the remainder is 1081
|
גרע מאלה הקמ"ד יעלו אלף פ"א
|
- We extract its root; it is 32 cubits, a half, a quarter, an eighth, and one part of 64; we know that this is the size of the altitude.
|
נקח גדרם והוא ל"ב אמות וחצי ורביע ושמינית וחלק מס"ד וידענו שזהו שעור העמוד
|
- Multiply it by the area of the hexagon. Extract it as follows:
|
כפול אותו על תשבורת בעל השש וקח אותו כך
|
- Since the hexagon consists of six equiangular triangles, take the area of one triangle and multiply it 6 times; you will find the area of the hexagon.
|
לפי שבעל השש זויות יש לו ו' משולשים שוי הזויות קח תשבורת המשלש האחד וכפלהו ו' פעמים ותמצא תשבורת בעל הו' זויות
|
- Do as follows with the equilateral triangle
|
ועשה כן במשלש השוה הצלעות
|
- Multiply its one side by itself; the result is 144.
|
תכה צלעו הראשון על עצמו יעלה קמ"ד
|
- We take its third; it is 48; and its tenth; it is 14, a third, and one part of 15. Sum them up; it is 62, a third, and one part of 15.
|
נקח השליש והם מ"ח גם העשירית יהיו י"ד ושליש וחלק מט"ו חברם יהיו ס"ב ושליש וחלק מט"ו
|
|
- Multiply them 6 times, since they are six triangles; the result is 374, a quarter, and one part of 15.
|
כפול אלה ו' פעמים אחרי שהם ו' משולשים יעלו שע"ד ורביע וחלק מט"ו
|
- Multiply it by the altitude, which is 32, a half, a quarter, an eighth, and one part of 64; the result is 12414 and a third.
|
כפול אלה על העמוד שהם ל"ב וחצי ורביע ושמינית וחלק מס"ד יעלו י"ב אלף תי"ד ושליש
|
- Take its sixth, which is a sixth of the triangular prism; the result is 2052 and a third; this is the volume of the pyramid.
|
קח ששיתם שהוא ששית המגודר יעלו ב' אלפים ונ"ב ושליש והם שעור המחודד
|
| Pyramid with an octagonal base
|
|
- A pyramid whose base is octagonal and we wish to measure it.
|
מחודד אשר תושבתו בעל ח' זויות ונרצה למדוד אותה
|
- Let it be a pyramid that each of the sides of its base is 10 cubits and its lateral sides are 15 cubits.
|
יהיה מחודד אשר כל צלע מצלעות תושבתו מי' אמות וצלעות גבהותו מט"ו אמות
|
- If you want to find the altitude and the volume of the pyramid, do as follows:
|
ואם תרצה למצוא העמוד ותשבורת המחודד תעשה כך
|
- Take half the side of the base of the octagon, i.e. half 10; it is 5. Multiply it by itself; it is 25. Double it; it is 50. Extract its root; it is 7 cubits and one part of 14.
|
קח חצי צלע התושבת של בעל ח' זויות כלו' מהי' חציים [90]וההוה ה' וכפלם על עצמם וההוה כ"ה כפלם בשנים וההוה נ' קח גדרם והוא ז' אמות וחלק מי"ד
|
- Add half the side of the octagon to them, which is 5; the sum is 12 and one part of 14. Multiply it by itself; the result is 146 plus a small excess.
|
הוסף על אלה חצי צלע בעל שמנה תושבות שהם ה' ויהיה הסך י"ב וחלק מי"ד כפלם על עצמם ההוה קמ"ו עם תוספת מעט
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\sqrt{2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2&\scriptstyle=\left(\sqrt{2\sdot5^2}+5\right)^2=\left(\sqrt{2\sdot25}+5\right)^2=\left(\sqrt{50}+5\right)^2\\&\scriptstyle=\left[\left(7+\frac{1}{14}\right)+5\right]^2=\left(12+\frac{1}{14}\right)^2=146+\end{align}}}](/mediawiki/images/math/7/0/8/70856a90276917f921a2e6a8bdd63be7.png)
|
- Multiply half the side by itself; it is 25. Add it to 146; the result is 171. Subtract 117; 54 remains. Extract its root; it is seven and a third and this is the size of the altitude.
|
וכפול חצי הצלע על עצמו ההוה כ"ה חברם עם הקמ"ו וההוה קע"א גרע קי"ז וישארו נ"ד קח גדרם והם שבע ושליש וכן הוא שעור העמוד
|
|
|
|
והתשבורת של המחודד תמצאהו ככה
|
|
|
קח תשבורת תושבת בעל הח' זויות וכפלה עם העמוד ושלישית ההוה הוא אלף וקפ"א וזהו שעור אמות תשבורת מחודד בעל ח' זויות
|
| Triangular pyramid with concavities
|
|
- Triangular pyramid with concavities, whose base consists of arcs that are less than a semicircle from end to end, the chord of each arc of the base is 10 cubits; the heights [of the arcs on these chords] are 2; and the lateral sides are 20.
|
מחודד משולש בעל [מגרעות][91] על תושבת קשתות קטנות מחצי העגולה מן הקצה אל הקצה ומיתר הקשת שבתושבת כל אחת י' אמות והעמודים הנופלים רחב ב' אמות וצלעות הגבהות מכ' אמות
|
- We do as follows:
|
ונעשה כך
|
- We take half one of the chords of the base; it is 5. We multiply it by itself; the result is 25.
|
נקח חצי מיתר אחת שבתושבת ויהיו ה' נכפלם על עצמם יעלו כ"ה
|
- We multiply the other chord by itself; the result is 100.
|
והמיתר האחר שהוא י' נכפלהו על עצמו וההוה ק'
|
- Subtract the 25 from it; 75 remains. Extract its root; it is 8, a half, an eighth, and one part of 16, and this is the measure from the top of the triangle to the base, which is the height.
|
גרע מאלה הכ"ה וישארו ע"ה קח גדרם והם ח' וחצי ושמינית וחלק א' מי"ו וכך הוא השעור שמראש המשולש עד התושבת והוא העמוד
|
|
- We take their half, which is 4, a quarter, one part of 16, and one part of 32. Multiply them by themselves; the result is 16, a half, a quarter, and a ninth with a little excess and this is the size of half the base.
|
נקח חציים והם ד' ורביע וחלק מי"ו וחלק מל"ב כפלם על עצמם ההוה י"ו וחצי ורביעית ותשיעית עם תוספת מעט וזהו שעור חצי התושבת
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\right)\right]^2=\left(4+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\right)^2=16+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+}}](/mediawiki/images/math/7/7/9/779acdb7cd08e06a81b97e4a8c56ab36.png)
|
- Multiply 5 by itself; the result is 25. The total sum is 43, a half, a quarter, and a ninth. Take their root; it is 6, a half, and a ninth, and this is [the distance] from the center of the circle that circumscribes the triangle.
|
כפול הה' על עצמם ההוה כ"ה והסך ביחד יהיו מ"ג וחצי ורביעית ותשיעית קח גדרם והוא ו' וחצי ותשיעית וכן הוא ממרכז העגולה המקפת המשלש
|
|
- When you want to find the altitude, do as follows:
|
וכשתרצה למצוא העמוד תעשה כן
|
- Multiply the 6, a half, and a ninth by themselves; the result is 43, a half, a quarter, and a ninth.
|
כפול הו' וחצי ותשיעית על עצמם ההוה מ"ג אמות וחצי ורביעית ותשיעי'
|
- Multiply also the lateral side, which is 20, by itself; the result is 400.
|
גם כפול צלעות הגבהות שהם כ' על עצמם ההוה ת'
|
- Subtract the 43, a half, a quarter, and a ninth from it; 356 and one part of 18 remain. take their root; it is 18, a half, a quarter, and a ninth, and this is the size of the altitude.
|
גרע מאלה המ"ג וחצי ורביעית ותשיעית ישארו שנ"ו וחלק מי"ח קח גדרם והוא י"ח וחצי ורביעית ותשיעית וכן הוא שעור העמוד
|
|
- Multiply it by the triangular base, and this is how you extract it:
|
כפלהו עם תושבת המשולש וכך תקחהו
|
- [Multiply] the 5, which is half [the chord of] the base by the height of the triangular base, which is 8, a half, an eighth, and one part of 16; the result is 43 and a half and this is the number of cubits that are the area of the triangle.
|
הה' שהם מחצית התושבת על עמוד תושבת המשולש שהם ח' וחצי ושמינית וחלק א' מי"ו ההוה מ"ג וחצי וכן הוא שעור אמות התשבורת המשולש
|
- Multiply it by 1[8], a half, a quarter, and a ninth; the result is 820 plus a little excess and this is the volume of the triangular [prism].
|
כפלם על י"א וחצי ורביע ותשיעית ההוה תת"כ עם תוספת מעט וזהו תשבורת המשולש
|
- From this the concavities should be subtracted. Do as follows:
|
ומזה ראוי להוציא המגרעות וכן תעשה
|
- Sum up [the chord of] the base and the height [of the arc on the chord], 10 and 2; it is 12 cubits. Multiply them by the altitude of the pyramid, which is 1[8], a half, a quarter, and a ninth; the result is 226 cubits. Multiply them by 3, since there are three concavities; the result is 679.
|
תחבר התושבת והעמוד הי' והב' וההוא י"ב אמות כפלם עם עמוד המחודד שהם י"א וחצי ורביע ותשיעית ההוה רכ"ו אמות כפלם על ג' לפי ששם ג' מגרעות ההוה תרע"ט
|
![\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left[\left(10+2\right)\sdot\left(18+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}\right)\right]=3\sdot\left[12\sdot\left(18+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}\right)\right]=3\sdot226=679}}](/mediawiki/images/math/d/b/7/db7d38b302d88c4d4817baa1dbaeaa7b.png)
|
- The whole complement is 820 cubits. We subtract the 679 from them; 141 remains. We take a sixth of it, because this is the triangular prism; it is 23 and [a half] and this is the volume of the shape.
|
וכל התשלום הוא תת"כ אמות נגרע מאלה התרע"ט ונשארו קמ"א נקח מאלה הששית ההוה כ"ג ושלישים ב' אחרי שהם מהמגודר הם כ"ג וב' שלישים וזהו תשבורת התמונה
|
|
|
וכבר התבאר במאמר הי"ב מספר היסודות שכל מגודר שתושבתו משולשת יחלק לג' מחודדים שוים
|
|
|
[92]וידוע שכל מחודד הוא שלישית המגודר כשיהיו בעלי צלעות שוות וגובה שוה
|
|
|
ומבואר מזה שכל מחודד שיהיה על איזו תמונה שיהיה הוא שלישית המוגשם הנכחי שתושבתו שוה לתושבתו וגבהו הוא שוה לגבהו
|
|
|
התמונה הנקראת בלשון יון מישקו והיא תמונה שהיא מתחלפת הצלעות צלעות התושבת גם הראש נמדדה כך
|
- The height is 50 cubits.
|
הגובה יהיה נ' אמות
|
- If the long side of the base of this shape is 24 cubits and the short [side] is 16 cubits.
|
ואם תושבת התמונה צלעה האחת הגדולה בעלת כ"ד אמות והקטן בעל י"ו אמות
|
- If the long side of the top is 12 cubits and the short [side] is 8 cubits.
|
ואם הראש הצלע הגדולה בעלת י"ב אמות ואם הקטנה בעלת ח' אמות
|
- We sum up the long sides of the top and the base, meaning the 12 and the 24; it is 36.
|
נחבר הצלעו' הגדולו' של הראש ושל התושבת כלומר הי"ב הכ"ד ההוה ל"ו
|
- I sum up also the short sides of the top and the base, meaning the 16 and the 8; it is 24.
|
וכן חברתי הצלעות הקטנות של הראש ושל התושבת כלומר הי"ו והח' וההוה כ"ד
|
- Take half the 36; it is 18; also half the 24; it is 12. Multiply it by 18; the result is 216.
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(12+24\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(16+8\right)\right]=\left(\frac{1}{2}\sdot36\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)=\left(18\sdot12\right)=216}}](/mediawiki/images/math/f/a/4/fa44a56090e19950596fc53b53bcf9eb.png)
|
קח חצי הל"ו וההוה י"ח וכן חצי הכ"ד וההוה י"ב כפול אלה על י"ח וההוה רי"ו
|
- We subtract the long side of 12 from the 24; 12 remains. We take its half; it is 6.
|
ועוד נגרע מן הצלע הגדולה הי"ב מן הכ"ד וישארו י"ב נקח חציים והם ו'
|
- We subtract the side of the top from [the side of] the base, meaning the short side, which is 8, from 16; 8 remains. We take its half; it is 4.
|
נגרע צלע הראש מן התושבת כלומ' הצלע הקטן והם הח' מן הי"ו וישארו ח' נקח חציים ויהיו ד'
|
- We multiply it by 6; the result is 24. Take its third; it is 8.
|
כפלם על ו' ההוה כ"ד קח השלישית והם ח'
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(24-12\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(16-8\right)\right]\right]=\frac{1}{3}\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]=\frac{1}{3}\sdot\left(6\sdot4\right)=\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)=8}}](/mediawiki/images/math/f/6/b/f6b2f5acadf9bb789f4bec03ee5a20ee.png)
|
- We add it to 216; the sum is 224.
|
ונוסיפם על הרי"ו ויהיו יחד רכ"ד
|
- We multiply it by the height, which is 50; the result is 11200 and this is the volume of this shape.
|
כפלם על הגובה שהם נ' ההוה י"א אלף ר' והם שעור תשבורת זאת התמונה
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(12+24\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(16+8\right)\right]\right]+\frac{1}{3}\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(24-12\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(16-8\right)\right]\right]\right]\sdot50=\left(216+8\right)\sdot50=224\sdot50=11200}}](/mediawiki/images/math/4/0/4/404c21577a11bbb9613d1b665ae11a93.png)
|
|
|
וכן נמדדהו גם אם היה בעל משפטים אחרים
|
Chapter Two on the Measuring of the Spheres and Round Solids
|
הפרק השני במדידת הכדורים והגופים העגולים
|
| The sphare: Euclid has defined it in Book Eleven of the Elements that "it is when the semicircle is drawn round with the diameter fixed in two points, so they do not move, and the arc, which is half the perimeter, revolves until it returns to its position; it is the circular solid. The center of the the sphare and the center of the circle are the same".
|
הכדור גדרו אקלידס במאמר אחד עשר מספר היסודות שהוא אשר יעבור חצי עגולה כאשר יקויים קו הקוטר בשני צירים עד שלא יסורו וסבבה הקשת אשר היא חצי הקו המקיף עד שתשוב אל מקומם והוא מוגשם העגול ומרכז הכדור ומרכז העגולה אחת
|
| Sphere
|
|
| One can measure the area of the surface surrounding the sphere alone, or measure the volume of the whole solid.
|
והכדור יתכן למדוד התשבורת של השטח המקיף אותו לבד גם יתכן למדוד תשבורת כל גופו
|
| When we want to find the area of the surface, square the diameter of the sphere, multiply this square by three and one-seventh, and you will get the area of the surface of the sphere.
|
וכאשר נרצה למצוא תשבורת השטח תרבע את קטר הכדור ותכפול את המרובע הזה ג' פעמים ושביעית פעם ויעלה בידך משיחת שטח הכדור
|
| Multiply if by a sixth of the diameter and you will receive the volume of the sphere.
|
כפלהו בשתות הקטר ויעלה בידך תשבורת גוף הכדור
|
- As a sphere whose diameter is 7 cubits, the perimeter is 22 cubits and we wish to find its volume.
|
כגון ז' אמות כדור בקטרו והקו המקיף כ"ב אמות ונרצה למצוא תשבורת גופו
|
- We do as follows:
|
נעשה כך
|
- We multiply the diameter by itself; the result is 49. When you multiply this square by 3 and one-seventh, it will be 154 and these are the cubits of the surface of the sphere.
|
נכפול הקטר על עצמו ויעלו מ"ט וכשתכפול זה המרובע ג' פעמים ושביעית פעם יהיה קנ"ד והן אמות שטח הכדור
|
- Multiply them by a sixth of the diameter, which is 1 and a sixth; it is 180 minus a third and this is the volume of this sphere.
|
כפול אותן בשתות הקטר והוא א' ושתות יהיה ק"פ פחות שלש והוא תשבורת הכדור הזה
|
- Another way: a sphere whose diameter is 7 cubits, the perimeter is 22 cubits and we wish to find its volume.
|
דרך אחרת כדור אשר קטרו ז' אמות והקו המקיף כ"ב [93]אמות ונרצה למצוא תשבורת גופו
|
- We do as follows:
|
נעשה כך
|
- We multiply the diameter by itself; the result is 49. We multiply it again by the diameter, which is 7; the result is 343 cubits. We multiply them 11 times; they are 3773 cubits. We divide them by 21; the resulting quotient is 179 and 2-thirds and this is the volume of the sphere.
|
נכפול הקטר על עצמו וההוה מ"ט עוד נכפול אלה על הקטר שהם ז' יעלו שמ"ג אמות נכפול אלה י"א פעם יהיו ג' אלפים תשע"ג אמות נחלקם על כ"א ויעלה החלק האחד קע"ט וב' שלישים וכן שעור תשבורת גוף הכדור
|
- If you want to measure the surface, do as follows:
|
ואם תרצה למדוד השטח תעשה כך
|
- We always find the diameter, which is 7 in our example, and multiply it by the perimeter, which is 22; the result is 154 and this is the area of the surface of the sphere.
|
נמצא לעולם הקטר והם במשלינו ז' ונכפלם עם המקיף שהם כ"ב ההוה קנ"ד וכן הוא תשבורת שעור שטח הכדור
|
| If you wish to calculate the air enclosed by the sphere, according to the explanation we have preceded concerning the measuring of the sphere without the thickness of the sphere walls.
|
אם תרצה למדוד האויר המוקף בכדור תמדוד לפי הביאור אשר הקדמנו במדידת הכדור בלתי עובי הכתלים
|
- As when the length of the diameter of the sphere's airspace is 8 cubits and the thickness of the walls is 2 cubits.
|
כגון שיהיה אורך קטר האויר מהכדור ח' אמות ועובי שתי הכתלים ב' אמות
|
- Multiply the 8 cubits of the diameter of the airspace by themselves; the result is 64. Multiply it again by the 8 of the diameter; the result is 512 cubits. Multiply them by 11; the result is 5632. Divide it by 21; the result is 268 cubits, one-seventh and one part of 21, and this is the volume of the airspace.
|
כפול הח' אמות של קטר האויר על עצמם יעלו ס"ד כפול אלה עוד על הח' של הקטר יעלו תקי"ב אמו' כפלם על י"א יעלו ה' אלפים תרל"ב חלקם על כ"א יעלו רס"ח אמות ושביעית וחלק מן כ"א וזהו תשבורת אויר הכדור
|
| Hemisphere
|
|
| If you wish to measure a hemisphere, measure it according to the explanation of the measurement of the sphere, then divide the product by 42.
|
אם תרצה למדוד חצי כדור תמדדהו לפי באור מדידת הכדור והנקבצים תחלקם על מ"ב
|
- Example: the diameter is 7 cubits, the perimeter is 22 cubits and you wish to find the volume of the hemisphere.
|
דמיון הקטר ז' אמות והקו המקיף כ"ב אמות ותרצה למצוא תשבורת גופני של חצי הכדור
|
- Do as follows:
|
תעשה כן
|
- Multiply the 7 cubits of diameter by themselves; the result is 49. Multiply them again by the 7 cubits of diameter; the result is 343 cubits. Multiply them by 11, then divide the product by 42; the result is 89, a half and one-third and this is the volume of the hemisphere.
|
כפול הז' אמות של הקטר על עצמם ההוה מ"ט כפול עוד אלה על הז' אמות של הקטר ההוה שמ"ג כפול אלה על י"א וחלק העולה על מ"ב וההוה פ"ט אמות וחצי ושליש וכן הוא שעור חצי הכדור
|
| If you want to measure [the volume of] the hemisphere's airspace, measure it according to the explanation preceded regarding the measurement of the hemisphere without the thickness of the walls.
|
אם תרצה למדוד אויר חצי הכדור תמדדהו לפי הביאור אשר קדם במדידת תשבורת חצי הכדור בלתי עובי הכתלים
|
- Example: the diameter of the hemisphere's airspace is 10 cubits and the thickness of the walls is 4 cubits.
|
דמיון יהיה קטר אויר חצי הכדור י' אמות ועובי שתי הכתלים ד' אמות
|
- Multiply the 10 cubits of the diameter of the airspace alone by themselves; the result is 100. Multiply the 100 again by the 10 mentioned; the result is 1000. Multiply it by 11; the result is 11000. Divide it by 42; the result is 261 cubits, a half, one-third and one part of 14, and this is the volume of the hemisphere's airspace.
|
כפל י' אמות קטר האויר לבד על עצמם וההוה ק' עוד כפול הק' על הי' הנזכרים ההוה אלף כפלם על י"א ההוה אלפים י"א חלקם על מ"ב ההוה רס"א אמות וחצי ושלישית חלק מי"ד וזהו שעור אמות אויר חצי הכדור
|
| Quarter of a sphere
|
|
| If you wish to measure a quarter of a sphere, measure it according to the explanation we have preceded of the measurement of the hemisphere, then divide the product by 84.
|
אם תרצה למדוד רביע הכדור תמדוד לפי הבאור שהקדמנו במדידת חצי הכדור והנקבצים חלקם על פ"ד
|
- Example: the diameter of the quarter of the sphere with the thickness of the walls is 14 cubits.
|
דמיון קטר הרביע עם עובי ב' כתלים [י"ד][94] אמות
|
- Multiply them by themselves; the result is 196. Multiply them by the diameter mentioned; the result is 2744. Multiply them by 11; the result is 30184. Divide them by 84 and take the quotient; the result is 359 and one-third and this is the volume of the quarter of the sphere.
|
כפלם על עצמם ההוה קצ"ו כפול אלה על י"ד של הקטר הנזכר ההוה ב' אלפים תשמ"ד כפלם על י"א ההוה ל' אלף וקפ"ד חלקם על פ"ד וקח החלק האחד וההוה הוא שנ"ט ושלישית וכן הוא שעור רביע הכדור
|
| If you want to measure the airspace of the mentioned quarter and find its volume, measure it according to the explanation mentioned regarding the measurement of the quarter without the thickness of the walls.
|
אם תרצה למדוד אויר הרביע הנז' ולמצוא תשברתו הגופני תמדוד לפי הביאור הנזכר [95]במדידת הרביע בלתי עובי הכתלים
|
- Meaning the 10 cubits of the diameter of the airspace; the result is 100. Multiply the 100 again by the 10; the result is one thousand. Multiply the thousand by 11; the result is 11000. Divide it by 84; the result is 130 cubits, a half, one-third, one part of 12 and one part of 28, and this is the volume of the quarter's airspace.
|
כלומר הי' אמות של קטר האויר ויהיו ק' עוד כפול הק' על הי' ההוה אלף כפול האלף על י"א ההוה י"א אלפים חלקם על פ"ד ההוה ק"ל אמות וחצי ושליש וחלק מי"ב וחלק מכ"ח וכן הוא שעור מדידת אויר [הרביע][96]
|
|
- Subtract them from 359 and one-third; 228 cubits remain, a quarter and an eighth, and this is the required volume [of the walls].
|
גרעם מהשנ"ט ושליש הנחברים וישארו רכ"ח אמות ורביע ושמינית וזהו תשבורת המבוקש
|
| Hemispherical pool
|
|
| If you want to measure a round spherical pool that is hemispherical, I have already demonstrated to you its measurement by measuring the hemisphere.
|
אם רצית למדוד בריכה מעוגלת כדוריית והיא חצי כדור כבר הראיתיך מדידתו במדידת חצי הכדור
|
| Pool smaller than a hemisphere
|
|
| But, if it is smaller than a hemisphere, and you know this when its depth is less than a half of its surface, measure it as follows:
|
אך אמנם אם היא פחותה מחצי כדור וזה תדעהו כשיהיה עמקה פחות מחצי רחב פיה תמדדה כך
|
- As a pool, whose surface is 6 cubits and one-third, and its depth is 2 cubits.
|
כגון בריכה שרוחב פיה ו' אמות ושליש ועמקה ב' אמות
|
| First, find its diameter, as I have taught you in the fifth chapter on the measurement of the circular shapes and those that are smaller than a circle.
|
תמצא את קטרה בראשונה כמו שלמדת בפרק החמישי במדידת התמונות העגולות והפחותות מחצי עגולה
|
- When you calculate the diameter of [the sphere formed from] this pool, you find it 7 cubits.
|
וכשתחשוב את קטר הבריכה הזו תמצאנו שהוא ז' אמו'
|
- Multiply the 2, which is the depth of the pool, by the 7, which is the diameter of the sphere; it is 14. Multiply it by 3 and one-seventh; it is 44 and this is the area of the pool's surface.
|
כפול הב' שהם עמק הבריכה על הז' שהם קטר הכדור יהיו י"ד כפלם ג' פעמים ושביעית פעם יהיו מ"ד והוא מדידת שטח הבריכה
|
- Multiply it by a sixth of the diameter, which is 1 and one-sixth; the result is 51 and one-third and this is the volume of the pool.
|
כפול אותו בשתות הקטר והוא א' ושתות יעלו נ"א ושליש וזהו תשבורת גוף הבריכה
|
| Pool larger than a hemisphere
|
|
| If the pool is larger than a hemisphere, you know this when its depth is greater than a half of its surface:
|
ואם היתה הבריכה יותר מחצי כדור וזה תדעהו כשיהיה העומק יותר ממחצית רחב פיה
|
- As a pool, whose surface is 6 cubits and one-third, and its depth is 5 cubits.
|
כגון בריכה שרחב פיה ו' אמות ושליש ועמקה ה' אמות
|
- When you want to know the diameter of the sphere formed from it, you find it is 7.
|
כשתבקש לדעת קטר הכדור הנחצבת ממנה תמצאנו ז'
|
- Multiply the depth, which is 5 cubits, by the 7 cubits of the diameter; the result is 35. Multiply it by 3 and one-seventh; it is 110 and this is the area of the pool's surface.
|
תכפול העומק שהם ה' אמות בז' אמות הקטר ההוה ל"ה כפלם ג' פעמים ושביעית פעם יהיו ק"י וזהו מדידת שטח הבריכה
|
- Multiply it by a sixth of the diameter; is 128 and one-third and this is the volume of the pool.
|
כפול אותה בשתות הקטר יהיו קכ"ח ושליש וזהו תשבורת גוף הבריכה
|
| Cylinder
|
|
| If you want to measure a solid called in Greek Kýlindros, which is a long rounded solid, the width of its upper base is equal to [the width of] its bottom base:
|
אם רצית למדוד גוף נקרא בלשון יון קלידירו והוא גוף ארוך מעוגל שוה הרחב ראשו לתושבתו
|
- Example: such a solid whose altitude is 50 cubits, the diameter is 7 cubits, and the perimeter is 22 cubits.
|
דמיון גוף כזה אשר ארכו נ' אמות והקטר ז' אמות והמקיף כ"ב אמות
|
- We find the surface from the perimeter, as we do when measuring the circle; it is 38 cubits and a half.
|
ונמצא מהמקיף כמו שאנו עושים במדידת העגולה התשבורת והוא ל"ח אמות וחצי
|
- Multiply them by the altitude, which is 50; the result is 1925 and it is the volume of this solid.
|
כפול אלה על האורך שהם נ' ההוה אלף תתקכ"ה והוא תשבורת הגוף הזה
|
| Cone
|
|
| If you want to measure a cone, do as follows:
|
אם רצית למדוד אצטוונא מחודדת תעשה כך
|
- Example: a cone, the diameter of its base is 7 cubits and its altitude from its top is 30 cubits.
|
דמיון אצטוונא שקטר תושבתה ז' אמות והעמוד היורד מראשה ל' אמות
|
- We measure the base by the 7 cubits of the diameter and we find its area, as we do when measuring the circle; the area is 38 cubits and a half.
|
נמדד התושבת מהקטר הז' אמות [ונמצא תשברתה כמו שאנו עושים במדידת העגולה ויהיה התשברת ל"ח אמות וחצי
|
- We take a third of the length of the altitude, which is 10, and multiply it by the 38 and a half; the result is 385 cubits and this is the volume of the mentioned cone.
|
ונקח מל' אמות][97] של גובה העמוד השליש והוא י' ונכפלם על הל"ח וחצי ההוה שפ"ה אמות וזהו תשבורת הגוף של האצטוונא הנזכרת
|
- If you want to find the volume of a cone that has a circular base, whose diameter is 42 cubits, and each lateral side of the cone is 75 cubits.
|
אם רצית למצוא תשבורת אצטוונ' מחודדת [98]מקשיית ויש לו תושבת העגולה אשר הקטר מ"ב אמות וצלעות גבהות האצטוונא כל אחת[99] מע"ה אמות
|
- You want to find the altitude. Find it as follows:
|
ותרצה למצא העמוד תמצאהו כך
|
- Take the length of the lateral side, which is 75 cubits, and multiply them by themselves; the result is 5625.
|
קח גובה הצלעות אשר הם ע"ה אמות וכפלם על עצמם וההווה ה' אלפים תרכ"ה
|
- Half the diameter of the base is 21, multiply it by itself; the result is 441.
|
וחצי קטר התושבת אשר הם כ"א כפלם על עצמם וההווה תמ"א
|
- Subtract it from 5625; 5[184] remains. Extract its root; it is 72 and this is the length of the altitude of the cone.
|
גרעם מה' אלפים תרכ"ה נשארו ה' אלפים קח גדרם הם ע"ב וזהו ארך העמוד של האצטוונה
|
- Find also the area of the circle; it is 1086 cubits.
|
ותמצא גם תשברת העגלה והם אלף פ"ו אמות
|
- Multiply them by a third of the altitude, which is 24; the result is 26064 and this is the volume of the cone.
|
כפלם עם שלישית העמוד שהם כ"ד ההווה כ"ו אלף ס"ד וזהו תשברת גוף האצטוונא
|
- If you want to find the area of its surface, take half the diameter of the base, which is 21. Multiply it by the altitude, which is 72; the result is 1512. Multiply it by 22; the result is 33264. Take its seventh; the result is approximately 4755 and this is the area of the surface of the cone.
|
ואם תרצה למצא תשברת שטחה קח חצי קטר התושבת שהם כ"א וכפלם על העמוד שהם ע"ב ההווה אלף תקי"ב כפל אלה על כ"ב ההווה ל"ג אלף רס"ד קח שביעית אלה ההווה ד' אלפים תשנ"ה בקרוב וכן הוא תשברת שטח האצטוונא
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)\sdot72\sdot22\right]=\frac{1}{7}\sdot\left(21\sdot72\sdot22\right)=\frac{1}{7}\sdot\left(1512\sdot22\right)=\frac{1}{7}\sdot33264\approx4755}}](/mediawiki/images/math/3/c/0/3c06fa38cad1b6ded072dacc71951d98.png)
|
| Truncated cone
|
|
- If you want to measure a truncated cone, whose longer diameter is 10 cubits, the shorter is 4 cubits, the altitude is 30 cubits, and you wish to find its volume.
|
אם תרצה למדד אצטוונא מזונבת כלומר חתוכת הראש שהקטר היותר גדול שלה י' אמות והקטן ד' אמות והארך ל' אמות ותרצה למצא תשברת גופה
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Sum up the two diameters, the 10 and the 4; the result is 14. Take its half; it is 7 and we consider it as a diameter.
|
תחבר שני הקטרים הי' והד' וההווה י"ד וקח חציים והם ז' ונחשבהו קטר
|
- We find the area of the circle, whose diameter is 7, as you know; it is 38 cubits and a half.
|
ונמצא תשברת [100]העגלה אשר קטרה ז' כמו שידעת ויהיה ל"ח אמות וחצי
|
- Multiply it by the 30 cubits of the altitude; the result is 1155 cubits and this is the volume of the cone.
|
תכפלם על הל' אמות של הארך וההווה אלף קנ"ה אמות והוא תשברת גוף האצטוונא
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot6\right)+\left[2\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]+\left(2\sdot4\right)=12+9+8=29}}](/mediawiki/images/math/4/b/6/4b603e8d3bbbfa2a95c54b43550e6b90.png)
