Excerpts Attributed to Immanuel Bonfils

Introduction - Decimal Fractions
The division method of R. Immanuel	‫דרך חלוק לר' עמנואל וע'א‫'
Introduction	הקדמה
Know that the one is divided into ten parts called primes; each prime is divided into ten parts calles seconds and so on endlessly.	דע כי האחד נחלק לעשרה חלקים יקראו ראשונים וכן כל ראשון נחלק לעשרה חלקים יקראו שניים וכן לאין תכלית
Similarly I want to remind you that I call the rank of tens of integers "primes"; the hundreds of integers "seconds" and so on endlessly.	וכן אמרתי להזכירך כי הנני קורא למעלת העשרות שלימים ראאשונים ולמאות שלמים שניים וכן לאין תכלית
I call the rank of units by their name "units", since it is mean between the integers and the fractions, therefore, when the units are multiplied by units the result is units.	אמנם מעלת האחדים אני קורא אותם בשמם אחדים לפי שהוא אמצעי בין השלמים והשברים ולזה כשיכפל אחדים באחדים יצאו אחדים
I call the ranks whose name is greater "having a greater name", meaning I call the thirds "having a greater name than" the seconds, since the [name of] the thirds is derived from three and [the name of] the seconds [is derived] from two; likewise the fourths "having a greater name than" the thirds, and so the fifths ["having a greater name than"] the fourths. This is for the integers as well as for the fractions.	וכן אני קורא המעלות שהם גדולות השם גדול השם רצוני בזה שלישיים אני קורא יותר גדול השם משניים לפני ששלישיים נגזר משלשה ושניים משנים וכן רביעיים יותר גדול השם משלישיים וכן חמשיים מרביעיים וזה הוא בשלמים ובשברים
When I say: add the name of this to the name of this, or subtract the name of this from the name of this:	וכן כשאומר חבר שם זה עם שם זה או גרע שם זה משם זה
I mean add the name of the seconds to the name of the thirds and they are fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{10^{2+3}=10^5}}$	רצוני בזה חבר שם שניים עם שם שלישיים ויהיו חמשיים
If the name of the seconds to the name of the seconds, they are fourths. $\scriptstyle{\color{blue}{10^{2+2}=10^4}}$	ואם שם שניים עם שם שניים יהיו רביעיים
Also, subtract the name of the seconds from the name of the thirds; primes remain. $\scriptstyle{\color{blue}{10^{3-2}=10^1}}$	וכן גרע שם שניים משם שלישיים וישאר ראשונים
If the name of the seconds from the name of the seconds, nothing remains, so they are in the rank of the units. $\scriptstyle{\color{blue}{10^{2-2}=10^0}}$	ואם שם שניים משם שניים לא ישאר דבר ויפול במעלת האחדים
This is for integers as well as for fractions.	וזה בשלמים ובשברים
When you subtract a greater name from a smaller name, as if we say: we subtract fourths from seconds, whether fractions, or integers; the result is in the rank of seconds of the other type.	וכאשר תגרע שם גדול משם קטן כאמרנו נגרע רביעיים משניים הן בשברים [הן בשלמים] יביא במעלת השניים לצד האחר
As if we say: we subtract the name of the fourths that are fractions from the name of the seconds that are fractions; the result is in the rank of seconds that are integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10^{2-4}}=10^2}}$	כאמרנו נגרע שם רביעיים בשברים משם שניים גם כן בשברים יפול במעלת שלמים שניים
When we say this for integers, i.e. we wish to subtract the name of the fourths that are integers from the name of the seconds that are integers, the result is of the seconds that are fractions. $\scriptstyle{\color{blue}{10^{2-4}=\frac{1}{10^2}}}$	וכן באמרנו זה בשלמים ר"ל שנרצה לגרוע שם רביעיים שלמים משם שניים שלמים יפול בשברים שניים
When you multiply a number by a number and they are both integers or both fractions:	כשתכפול מספר על מספר ושניהם שלמים או שניהם שברים
Add the names of the ranks [one to the other] and the product is [in the rank whose name is their sum], of the integers, if both are integers, or of the fractions, if both are fractions. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10^n\sdot10^m=10^{n+m}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{10^n}\sdot\frac{1}{10^m}=\frac{1}{10^{n+m}}}}$	חבר שם המדרגות האחד ושם היא הנכפל בשלמים אם שניהם שלמים ובשברים אם שניהם שברים
If [one is] integer and the other fraction:	ואם שלמים והאחר שברים
If their names are the same, the product is in the rank of units. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10^n\sdot\frac{1}{10^n}=10^0}}$	אם הם שוים בשם הנה יכפול הנכפל במעלת האחדים
If the name of one is greater than the other, subtract the smaller from the greater and the product is as the name that remains: integers, if the [name of] the integers is greater, or fractions, if the [name of] the fractions is greater. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{m<n\;10^n\sdot\frac{1}{10^m}=10^{n-m}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{m>n\;10^n\sdot\frac{1}{10^m}=\frac{1}{10^{m-n}}}}$	ואם שם האחד רב על האחר גרע הקטן מהגדול וכמספר השם שישאר שם יפול הנכפל בשלמים אם הם שלמים היותר גדול או בשברים אם שם השברים הוא יותר גדול
When you divide a number by a number and they are both integers or both fractions:	כשתחלק מספר על מספר ושניהם שלמים או שניהם שברים
If the names of their ranks are the same, the quotient is in the rank of units. Because, when you subtract this name from this name, nothing remains, so it is in the rank of units. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10^n\div10^n=10^{n-n}=10^0}}$	ושם מדרגותיהם שוה הנה יפול החלוקה במעלת האחדים לפי שכאשר תגרע שם זה משם זה לא ישאר דבר ויפול במעלת האחדים
If [the name of] the upper is greater than the name of the lower, subtract the name of the lower from the name of the upper and the quotient is as the name that remains of the same type, i.e. integers, if [both are] integers, or fractions, if [both are] fractions. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{m<n\;10^n\div10^m=10^{n-m}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{m<n\;\frac{1}{10^n}\div\frac{1}{10^m}=\frac{1}{10^{n-m}}}}$	ואם העליון יותר גדול השם מתחתון גרע שם התחתון משם העליון וכמספר שֵם הנשאר יפול החלוקה בצד ההוא ר"ל בשלמים אם היאו שלמים או בשברים אם היאו שברים
If [the name of] the lower is greater, subtract the name of the greater from the name of the lower and the quotient is as the name that remains of the opposite type: fractions, if both are integers, or integers, if both are fractions. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n<m\;10^n\div10^m=\frac{1}{10^{m-n}}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n<m\;\frac{1}{10^n}\div\frac{1}{10^m}=10^{m-n}}}$	ואם התחתון יותר גדול גרע שם העליון משם התחתון וכמספר שם הנשאר יפול החלוקה בהפך הצד ר"ל בשברים אם היו שניהם שלמים או בשלמים אם היו שניהם שברים
If one is integer and the other is fraction and the names of their ranks are the same, or not the same, add the names of their ranks and the quotient is as the name of the sum: fraction, if the upper is a fraction, or integer, if the upper if integer. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{10^n}\div10^m=\frac{1}{10^{n+m}}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10^n\div\frac{1}{10^m}=10^{n+m}}}$	ואם האחד שלמים והשני שברים ושם מדרגותיהם שוה או בלתי שוה חבר שם המדרגות וכמספר שם העולה בשברים אם העליון שברים או בשלמים אם העליון שלמים שם יפול החלוקה
Another Version - MS Paris 903
	דע כי האחד נחלק לי' חלקים יקראו שלמי'שברי' ראשוני' וכל אחד מהראשוני' לי' חלקי' יקראו שלמי' שברי' שניים וכל שניי' לי' שלישיי' וכל שלישיי' לי' רביעיי' וכן עד אין קץ
	וכן אני קורא מעלת העשרו' שלמים ראשונים ולמאות שלמי' שניי' ולאלפי' שלמי' שלשיי' ולרבואות שלמים רביעיי' ולרבבות חמשיי' וכן עד אין קץ
	אך האחדי' אני קור' בשמם אחדי' כי הם כאמצעיים בין השלמי' והשברי' על כן בכפל אחדי' באחדי' יצאו אחדי' מש"כ בשום מעל' אחרת
	וכן אני קורא לשניי' גדולי השם מראשוני' וכן שלישיים משניי' וכן כלם בי' בשלמי' בי' בשברי' וכן באמ' חבר שם שניי' עם שם שלישיי' יצא חמשיי' וכן כלם
	וכן באמ' גרע שם ראשוני' משם שניים ישאר ראשוני‫'
	ואם משם ראשונים לא ישאר דבר ויכפול במעל' האחדי' בי' בשלמי' בי' בשברי‫'
	ואם הנגרע גדול השם מאשר גרעון ממנו כגון שתגרע רביעיי' משניי' אם הם בשברי' יצאו שניי' שלמי‫'
	ואם הם בשלמי' יצאו שברי' שניים וכשתכפל שלמי' בשלמי' או שברי' בשברי' חבר שם המדרגו' ושם יפול הנכפל וכשתכפל שלמי' בשברי' אם הם שוים בשם יפול הנכפל באחדי‫'
	ואם לאו גרע שם הקטן מן שם הגדול ושם יפול הנכפל [..] בצד הגדול בשם הנשאר אחר הגרעון
	כאלו תכפול ג' שלמי' שניי' בב' שברי' שביעיי' תגרע ב' מז' וישאר ה נמצ' יעלה הכפל ו' שברי' חמשיים
	ואם ג' שברי' שניי' בב' שלמי' שביעיי' יהיה הנכפל ו' שלמי' חמשיים
	וזו לך צורה לזה כשתחלק מספר על מספר ושניהם שלמי' או שניה' שברי' אם שם מדרגותיה' שוה תפול החלוק באחדי' לעולם
	ואם שם העליון גדול מהתחתון גרע שם התחתון ממנו וכמספר הנשאר תפול החלוקה בצד ההו' ר"ל אם הם שלמי' שלמי' ואם שברי' שברי‫'
	ואם שם התחתון גדול גרע העליון ממנו וכמספר הנשאר תפול החלוק בהפך הצד ר"ל בשברי' אם החולק והנחלק שלמי' ובשלמי' אם הם שברים
	ואם האחד שלם והשני שברי' יהיה שם מדרגותיהם שוה או בלתי שוה חבר שמות המדרגו' יחד וכמספר המחובר יהיה שם הנופל בחלוק לצד שבו היה המספר העליון ר"ל המתחלק אם שלמי' בשלמי' ושברי' בשברי‫'
MS Paris 1081 15r
	אמר עמנואל בן יעקב לפי שמעשה החלוק יותר קשה למתלמדים ממעשה הכפל והיא הדרך לשאר החשבנים החכמים להוציא המספר האחד הנעלם איזה שיהיה מתוך ידיעת החמשה מספרים הנשארים ויעשה בזה שני כפלים ושני חלקים בדרכים שונים ראינו לבאר להוציא הנעלם מתוך ידיעת החמשה הנשארים ויעשה בזה שלשה כפלים וחלוק אחד ואומר ראשונה לתת קצת אותות אל זה המעשה הנה יחס א' אל ב' מחובר מיחס ג' אל ד' ומיחס ה' אל ו' וכבר התבאר מתמונת כ"ג מששי אקלידיס שיחס השטח ההווה מן ג' בה' אל השטח ההוה מן ד' בו' מחובר מיחס צלע ג' אל צלע ד' ומיחס צלע ה' אל צלע ו' אם כן יחס ו' אל ב' כיחס השטח ההווה מן ג' בה' אל השטח ההווה מן ד' בו' ויהיה שטח ג' בה' מספר ז' ושטח ד' בו' מספר ט' אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ט' אם כן נכפול הקצות שהם א' בט' ויהיה ל' ונחלק ל' על האמצעי והוא ב' ויעלה הז' שהוא האמצעי האחר או נחלק ל' על האמצעי והוא ז' ויעלה ב' והוא האמצע האחר או נכפול האמצעיים שהם ב' בט' ויהיה ל' ונחלק על הקצה
Table – multiplication of sexagesimal fractions (Firenze)	לוח כפילת המעלות ושבריהם
חמישיים רביעיים שלישיים שניים שברים מעלות   חמישיים רביעיים שלישיים שניים שברים מעלות מעלות ששיים חמישיים רביעיים שלישיים שניים שברים שברים שבעיים ששיים חמישיים רביעיים שלישיים שניים שניים שמיניים שביעיים ששיים חמישיים רביעיים שלישיים שלישיים תשיעיים שמיניים שביעיים ששיים חמישיים רביעיים רביעיים עשיריים תשיעיים שמיניים שביעיים ששיים חמשיים חמישיים
Table – multiplication of sexagesimal fractions (Firenze)	לוח חילוק השברים האחד על השני
ששיים חמישיים רביעיים שלישיים שניים שברים מעלות חמישיים רביעיים שלישיים שניים שברים מעלות שברים רביעיים שלישיים שניים שברים מעלות שברים שניים שלישיים שניים שברים מעלות שברים שניים שלישיים שניים שברים מעלות שברים שניים שלישיים רביעיים שברים מעלות שברים שניים שלישיים רביעיים חמישיים מעלות שברים שניים שלישיים רביעיים חמישיים ששיים

Multiplication of integers (Firenze)
Example for the multiplication methods: we wish to multiply 127 by 355. $\scriptstyle127\times355$	דמיון על דרכי הכפל רצינו לכפול קכ"ז על שנ"ה
We write 127 on the upper line and 355 on the other lower [line]. This is its diagram:	וכתבנו בטור העליון קכ"ז ובשני השפל שנ"ה וזה צורתו
	א ב ז ג ה ה   ב ד ח ה   ז א 0   ג ה ה     המחובר ד ה 0 ח ה
We multiply 7 by 5; it is 35. $\scriptstyle{\color{blue}{7\times5=35}}$	כפלנו ז' על ה' והוא ל"ה
We write 5 in the first rank, corresponding to 7; and keep the 3, in order to add it to the second rank.	כתבנו ה' במעלה הראשונה כנגד ז' ושמרנו הג' כדי לצרף אותה אל המעלה השנייה
We multiply 7 by the second lower 5; the result is 35. $\scriptstyle{\color{blue}{7\times5=35}}$	עוד כפלנו ז' על ה' השני התחתון עלו ל"ה
We add the 5 to the 3 we kept; the result is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{5+3=8}}$	חברנו הה' עם הג' ששמרנו ועלו ח‫'
We write 8 in the second rank, beneath the 2 of the upper line and we write the 3 in the third rank, beneath the 1 of the upper line, with the result of multiplication of that rank.	ושמנו ח' במעלה השנית תחת ב' מטור העליון והג' שמנו במעלה השלישית תחת הא' מטור העליון עם היוצא מכפל אותה המעלה
We multiply the first 7 by the lower 3; the result is 21. $\scriptstyle{\color{blue}{7\times3=21}}$	עוד כפלנו ז' הראשון על הג' התחתון עלו כ"א
We add the 1 to the 3 we kept; it is 84. $\scriptstyle{\color{blue}{1+3=4}}$	חברנו א' עם הג' ששמרנו והיו ד‫'
We write 4 beneath the 1 in the third rank and 2 in the fourth rank.	וכתבנו ד' תחת הא' במעלה השלישית וב' במעלה רביעית
We multiply the upper middle 2 by the first 5 on the lower line; the result is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}$	עוד כפלנו ב' האמצעי העליון על ה' הראשון מן הטור השפל עלו עשר
We write a zero in the second [rank] and 1 in the third [rank], beneath the 3 of the lower line.	כתבנו ציפרא בשינית וא' בשלישית תחת הג' שבטור השפל
We multiply the upper 2 by the second upper 5; the result is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}$	עוד כפלנו ב' העליון על הה' השני התחתון עלו עשר
We add the 10 to the 1 we kept; it is 11. $\scriptstyle{\color{blue}{10+1=11}}$	חברנו י' עם הא' ששמרנו והיא י"א
We write 1 in the third [rank] and keep the 1 in the fourth [rank].	שמנו א' בשלישית וא' שמרנו ברביעית
We multiply 2 by 3; it is six. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}$	עוד כפלנו ב' על ג' והיו ששה
We add the 6 to the 1; it is 7. We write it in the fourth [rank]. $\scriptstyle{\color{blue}{6+1=7}}$	חברנו הו' עם הא' והיו ז' וכתבנוהו ברביעית
We multiply 1 by the first 5 in the lower line; we write 5 in the third [rank]. $\scriptstyle{\color{blue}{1\times5=5}}$	עוד כפלנו א' על ה' הראשונ שבטור השפל וכתבנו ה' בשלישית עוד כפלנו א' על ה' הראשון שבטור השפל וכתבנו ה' בשלישית
We multiply 1 by the second 5; we write 5 in the fourth [rank]. $\scriptstyle{\color{blue}{1\times5=5}}$	עוד כפלנו א' על ה' השני וכתבנו ה' ברביעית
We multiply 1 by 3; we write 3 in the fifth [rank]. $\scriptstyle{\color{blue}{1\times3=3}}$	עוד כפלנו א' על ג' וכתבנו ג' במעלה החמישית
The multiplication is complete.	נשלם כפל החבור
	נבוא לחבר היוצא מכפל שני הטורים ונכתוב ה' לכח במעלה הראשונה וח' בשנית וד' וא' וה' עולים עשרה נעשה 0' בשלישית ונשים נקודה ברביעית להיות לזיכר בעבו' העשרה
	ואחר נחבר ב'ז'ה' והם י"ד ואחר השמור הרי ט"ו נשים ה' במעלה הרביעית ונקודה בחמישית
	נחבר אחד עם הג' ויהיו ד' ונכתוב ד' במעלה החמשית נשלם החבור
	המאזניים מן הכפל על חש' ט' ט‫'
	הנה חשבנו חשבון הטור העליון כאילו הם אחדים והיו עשרה כזה הדרך השלכנו התשעה ונשאר א' וכתבנוהו בצד הטור העליון
	א א ב ז ג ה ה ד
	אחר כן חשבנו הטור השפל ומצאנוהו עולה י"ג הפלנו הט' ונשארו ד' וכתבנום בצדו אחד
	ואחר כפלנו א' על ד' והיה ד' ושמרנום
	ואחר חשבנו המחובר והיה זה ה ח 0 ה ד ועלה כ"ב השלכנו י"ח שהולך לתשיעיות ונשארו ד' והוא שווה לכפל מאזני שני הטורים ואז ידענו שחשבונינו אמתי
	והכלל הוא כי כשאחד ממדרגות הכפל הולך לתשיעיות הן העליון הן השפל היוצא מחבור הכפל ראוי ללכת בתשיעיות ואם לאו אינו צורך
	ואם אינו הולך לתשיעיות כל אחד משניהם תכפול העודף משני טורי הכפל זה על זה וראה מה שיעדיף על תשיעיות אם ה' אם ו' אם ז'
	ר"ל תראה מה שיעלה הטור העליון ותכפלהו על מה שיעלה הטור השפל כאלו יהיה בעליון ד' ג' שעולה ז' ובתחתון ג' ב' שעולה ה' תכפול ז' על ה' עולה ל"ה נשאר על תשיעיות שהשלכת ח' וכן יהיה בחבור בלי פחות ויתר כאשר תעיין כמה חבור הכפל וכמה יעדיף על תשעה
	ואם בין הטור העליון והשפל לא יעלה הכל ט' תפיל העליון על השפל וראה מה שיעדיף על תשיעיות וככה יהיה החבור אם הכפל יצדק ואם לא יצדק תם

Division of integers
	‫עשאו שין בונפייל נ"ע‫
	כשתרצה לחלק מספרים רבים על מספרים רבים כמה שיהיו תשים המספר שתרצה לחלקו והוא ביותר גדול בטור כל אחד ואחד כפי מעלתו וקרא טור עליון‫
	והמספר השני שתרצה לחלק עליו והוא היותר קטן תשים בטור אחד תחת הטור העליון כל מין תחת מינו ר"ל אחדים תחת אחדים עשרות תחת עשרות וכו' שהטור יקרא הטור השפל‫
	וריוח תשים בין שני הטורים שהזכרנו כדי שתוכל לכתוב ביניהם העולה בחלוק וזה הטור יקרא טור אמצעי‫
	וכאשר תחל לחלק חשבונך ותחשוב כל המספרי' כאלו [הם] אחדים תראה כמה פעמים יהיה המספר האחרון שבטור השפל כמספר אחרון שבטור עליון
	ובאופן שיהיה מספר הפעמים ההם השני לאחרון שבטור השפל ר"ל לפניו השני לאחרון שבטור העליון לפניו‫
	וכן השלשי לאחרון שבטור השל השפל לפניו כשלשי לאחרון שבטור העליון לפניו וכן כולם כסדר הזה‫
	ואותו המספר אשר יעלה לך עם האופן הקודם ר"ל מספר הפעמים אשר יהיה המספר האחרון שבטור השפל כמספר האחרון שבטור העליון תכתוב בטור האמצעי ר"ל בין הטור העליון והשפל ותכתוב כמספר ההוא רחוק מהמספר האחרון שבטור העליון אשר תקח ממנו החלק כמו מדרגות אשר רחק כמספר האחרון שבטור השפל ממדרגת האחדים‫
	ודע לך שאם לא תוכל לקחת שום פעם המספר האחרון שבטור השפל כמספר האחרון שבטור העליון כאלו נאמר דרך משל‫
	שהאחרון שבטור השפל הוא א' והאחרון שבטור העליון הוא ח' או פחות כמו בדמיונו זה‫
	ח ט ד ג ב א         ט       ט ד ג ב
	אז תשוב כל המספר ההוא אחורנית ר"ל מספר על הח' על הט' שלפניו ב' ותקח לכל אחד עשרה ר"ל שעם הט' אשר לפני הח' יהיו פ"ט ותראה כמה פעמים יהיה ט' שהוא מספר האחרון שבטור השפל בפ"ט ותחשוב בעצמך שיהיה המספר ד' שהיא לפני הט' שבטור השפל בכמו הפעמים ההם באות הד' אשר לפני הט' שבטור העליון כאלו תאמר הנה תוכל לקחת ט' פעמים ט' בכמו במספר פ"ט שהם פ"א ונשארו שם ח' ועם הד' שלפניו יהיו פ"ד הנה אם כן תוכל לקחת ט' פעמים ד' במספר פ"ד לזה תקח ט' ותכתבנה א' בטור האמצעי רחוק מהאות שלקחת החלוק ממנו שהוא ט' בכמו המספר אשר רחק האות האחרון שבטור השפל שהוא ט' ממדרגתו והם ארבע מדרגות לכן תכתוב בט' אשר יצא לך בחלוק במדרגת העשרות שהוא תחת הב' שבטור העליון‫
	אחר כן תשים קו תחת הטור השפל וכפול זאת האות שיצא לך בחלוק ר"ל ט' עם כל הטור השפל כאשר ידעת דרך הכפל והיוצא מהכפל גרע מהטור העליון כל מין ממינו ונתחיל מן המדרגה הקרובה אל האחדים או מן האחדים אם יש שם אחדים והנשאר אחר הגרעון‫ כתוב על הטור הראשון העליון‫
	אחר זה שוב לחלק הנשאר על הטור העליון על הטור השפל על הדרך שביארנו ואחר כפול האות היוצא בחלוק על כל הטור השפל כאשר בתחלה ואחר גרע העולה מהכפל מן הנשאר בטור העליון וישאר הנשאר עליו‫
	ואחר תשוב לחלק עוד אם יש בה לחלק ולכפול ולגרוע כדבר האמור‫
	והסימן לזה הדרך ח'כ'ם' ר"ל חלוק כפל ומגרעת‫
	וכן תעשה תמיד עד שישאר בטור עליון פחות ממה שבטור השפל
	וכאשר עשית זה ונשאר בטור העליון פחות ממה שבטור השפל ותרצה לבחון אם נעשית מלאכתך בזולת נפילת בה שום טעות תחבר כל טורי הכפל אשר יצאו לך כל מין עם מינו וגם הנשאר לך בטור עליון ותנהוג מנהג החבור אשר ידעת מנהגו ואם המחובר יהיה שוה למספר שיהיה לך ראשונה בטור העליון הנה החשבון אמיתי ואם תמצא שום התחלפות ביניהם הנה טעות ודוק ותשכח‫
Table in MS Firenze $\scriptstyle{\color{red}{8}}894321\div94932$	הנשאר לחלק 0 ו ה ו ד ה המחולק השני ג ה 0 ד ד א מגיע לכל חלק לפי ערך החילוק ח ט ד ג ב א         ט ג   ט ד ט ג ב הטור העליון ורק הוא המחולק ראשון הטור האמצעי והוא החילוק הטור השפל והוא המחלק הכפל מאות ראשונה מן החלוק עם המחלק הכפל מאות שנייה מן החלוק עם המחלק הנשאר לחלק כדי לצרפו עם כל טורי הכפל לעשות המאזניים ח ה ד ג ח ח   0 ב ח ד ז ט ו 0 0 ו ה ו ד ה אחרי הצירוף מהטור הזה תחתון והוא הנשאר לחלק לעיל יעלה מחובר מהג' טורין אם החלוק אמתי וצודק והם למאזניים כשצודק עם המחולק בראשונה אם לא ח ט ד ג ב א
MS Firenze margin	שלא מן המאמ' והוא תוס' ביאור ואם תרצה לחלק עוד הנשאר לחלק בזה הדרך שעשינו שבר הנשאר למעלה ולמדרגה שלפניה ר"ל אם הנשאר הם מותר מדקים שברם לשניים וכן לשלישיים אם הקודמי' היו שניים וכן לרביעיים אם קדמו השלישיים וכן עד כולם כל אשר יימשך החשבון ועיין בלוח הקודם מהחילוק ותמצא ביאור העולים מה יהיו
Extracting roots
After I have explained to you the method of division in the easiest possible way, in addition to mentioning most of the number operations such as division, multiplication and subtraction, as well as addition and checking, I intend to clarify and inform an easy way to find the square roots of the numbers that have a real root, or the closest to the numbers that do not have a real root, whether they are integers alone, integers with fractions, or fractions alone; their rules and approximations, while mentioning the other methods of calculation also.	‫אחר שביארתי לך דרך החלוק על הדרך היותר קל שאיפשר מצורף מה שיש בו מן ההזכרה מרוב דרכי המספר כמו חלוק כפל ומגרעת גם החיבור בבחינה אמרתי לבאר ולהודיע דרך קל למצא שרשי המרובעים מהמספרים שיש להם שורש אמיתי או היותר קרוב להם מהמספרים אשר אין להם שורש אמיתי שלמי' לבדם הן מהמספרים שיש שלמים עם נשברים או מנשברים לבדם הן וכלליהם ודקדוקהם ויהיה גם זה מן ההזכרה בשאר דרכי החשבון‫
From now on I will start and say:	ומעתה אתחיל ואומר‫
Know that in the rank of units there are three square numbers, i.e. whose roots are known integers and they are: one, whose root is one; four, whose root is two; and nine, whose root is three. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1}=1\quad\sqrt{4}=2\quad\sqrt{9}=3}}$	דע כי במעלת האחדים יש בה שלשה מספרים מרובעים ר"ל ששרשיהם שלמים וידועים והם אחד ששרשו אחד וארבעה ששרשו שנים ותשעה ששרשו שלשה‫
The second rank, which is the rank of tens, does not have a square number at all, only together with units, because ten is not a square number, nor twenty, nor 30, nor 40, nor 50, 60, 70, 80, 90. Yet with the addition of units, it has six squares, i.e. we add to the number of tens some units: like 16, whose root is 4; 25, whose root is 5; 36, whose root is 6; 49, whose root is 7; 64 whose root is 8; 81, whose root is 9.	ובמעלה השנית שהיא מעלת עשרות אין בה מספר מרובע כלל רק עם חבור אחדים כי עשרה אינו מספר מרובע ולא עשרים ולא ל' ולא מ' ולא נ' ס' ע' פ' צ' אמנם עם חבור אחדים יש בה ששה מרובעים ר"ל שנוסיף על מספר העשרות אחדים מה כמו י"ו שרשו ד' כ"ה שרשו ה' ל"ו שרשו ו' מ"ט שרשו ז' ס"ד שרשו ח' פ"א שרשו ט‫'‫
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}=4\quad\sqrt{25}=5\quad\sqrt{36}=6\quad\sqrt{49}=7\quad\sqrt{64}=8\quad\sqrt{81}=9}}$
Every rank of a number, whose numerical position is odd, such as third, fifth, seventh, ninth, and the like endlessly, is analogous to the rank of units.	וכל מעלת המספר שמספר מדרגתה נפרד כמו שלישית חמישית שביעית תשיעית ודומיהן לאין תכלית דומה למעלה האחדים‫
As, if you say, for example, the rank of hundreds, which is the third rank, also has three squares:	כאלו תאמר דרך משל במעלת המאיות שהיא מדרגת שלישית יש בה גם כן שלשה מרובעים‫
A hundred, which is analogous to one, whose root is ten, which is analogous to one. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{100}=10}}$	והוא מאה שדומה לאחד שרשו עשרה שדומה לאחד‫
Four hundreds, which is analogous to four units, whose root is twenty, which is analogous to two. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{400}=20\quad\sqrt{4}=2}}$	וארבע מאות שדומה לארבע אחדים שרשו עשרים שדומה לשנים‫
9 hundreds, which is analogous to 9 units, whose root is thirty, which is analogous to three. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{900}=30\quad\sqrt{9}=2}}$	וט' מאות שדומה לט' אחדים שרשו שלשים שדומה לשלש‫
Likewise every rank whose numerical position is even, like fourth, sixth, eighth, tenth, and so on endlessly, which is called an even rank, is analogous to the rank of tens, which has six squares by adding units to it as we have explained. So, the rank of thousands has six squares by adding hundreds, i.e. we shift each thousand backward as ten hundreds and add them to what is in the hundreds:	וכן כל מעלה שמספר מדרגתה זוג כמו רביעית ששית שמינית עשירית וכן לאין תכלית והיא אשר תקרא מעלה זוגיית דומה למעלה העשרות שיש בה ששה מרובעים עם חבור אחדים בה כמו שבארנו כן במעלת האלפים יש בה ששה מרובעים עם חבור המאיות ר"ל שנשים כל אלף ואלף אחורנית לעשרה מאיות ותחבר עם מה שנמצא במאיות‫
Like one thousand and six hundred, which is analogous to sixteen, whose root is forty, which is analogous to four. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1600}=40\quad\sqrt{16}=4}}$	כמו אלף ושש מאות הדומה לשש עשרה שרשו ארבעים הדומה לארבעה‫
Two thousands and 500, which is analogous to 25, whose root is fifty, which is analogous to five. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2500}=50\quad\sqrt{25}=5}}$	ואלפים ות"ק הדומה לכ"ה שרשו חמשים הדומה לחמשה
Three thousand and six hundred, which is analogous to 36, whose root is sixty, which is analogous to six. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3600}=60\quad\sqrt{36}=6}}$	ושלשת אלפים ושש מאות הדומה אל ל"ו שרשו ששים הדומה לששה‫
Four thousand and nine hundred, which is analogous to 49, whose root is seventy, which is analogous to seven. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4900}=70\quad\sqrt{49}=7}}$	וארבעה אלפים ותשע מאות שדומה למ"ט שרשו שבעים שדומה לשבעה
Six thousand and four hundred, which is analogous to 64, whose root is eighty, which is analogous to eight. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6400}=80\quad\sqrt{64}=8}}$	וששת אלפים ארבע מאות הדומה לס"ד שרשו שמנים הדומה לשמנה
Eight thousand and one hundred, which is analogous to 81, whose root is ninety, which is analogous to nine. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8100}=90\quad\sqrt{81}=9}}$	ושמנה אלפים ומאה הדומה לפ"א שרשו תשעים הדומה לתשעה‫
And so on every rank whose numerical position is even, like fourth, sixth, eighth, to infinity.	וכן כל מעלה שמספר מדרגתה זוג כמו רביעית ששית שמינית לאין תכלית‫
You should know that the result of any number falls in the middle rank of the ranks of that number.	ולך לדעת כי היוצא מכלל איזה מספר שיהיה יפול במעלת האמצעית שבמספר המדרגות‫
As, if you say, for example: we have the number 4 in the seventh rank, which is an odd rank, like in this diagram: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4000000}}}$	כאלו תאמר דרך משל יש לנו מספר ד' במעלה השביעית שהוא מעלה נפרדת כמו הענין בזאת הצורה‫
4 0 0 0 0 0 0       2	ד 0 0 0 0 0 0       ב
Its root is 2. As we explained, 2 should be written in the fourth rank, which is the middle rank that has 3 rank before it and the same after it.	ושרשו ב' כמו שביארנו שראוי לכתוב ב' במעלה הרביעית שהיא מעלה האמצעית שיש לפניה ג' מדרגות וכהנה לאחריה‫
Understand it for the other odd ranks.	ובין תבין בשאר המעלות הנפרדות
The same for the even rank: as we explained, there is no square in it, unless we return the last digit in the even rank backward, so each unit becomes a ten and we add everything to what is in the preceding rank. Then, the root should be extracted. The number of the ranks becomes odd, and every odd rank has a middle rank.	וגם במעלה הזוגיית כמו שבארנו אין בה שום מרובע אם לא בהשיב כל אחד מהמספר האחרון שבמעלה הזוגיית אחורנית ולעשות מכל אחד עשרה ולחבר הכל עם מה שבמעלה שלפניה ואז ראוי לקחת השרש ואז ישובו מספרי המעלות נפרד וכל נפרד יש לה מעלה אמצעית‫
The resulting root should be written in the middle rank, i.e. as far from the last rank, from which it is extracted, as its distant from the units, because the units stand by themselves, in their rank and the root of the units is in the rank of the units.	וראוי לכתוב השרש היוצא במדרגת האמצעית ר"ל רחוק ממדרגה האחרונה אשר ילקח מהם כאשר מרחקו מן האחדים מפני שהאחדים עומדים בעצמם ובמקומם והוא שרש האחדים בטור האחדים‫
The meaning is that the root is as far from the rank from which it is extracted as it is far from the units, i.e. the distance from the units is the same.	והענין אחר שהשרש נקו רחוק ממדרגת אשר לוקח ממנו כאשר ירחק מן האחדים ר"ל שזה וזה לא ירחקו דבר מן האחדים‫
After I have introduced this to you, I remind you the arrangement of the squares that are in the rank of units, which is the first: 1, 4, 9, whose roots are: 1, 2, 3 and in the rank of tens there are six squares: 16, 25, 36, 49, 64, 81 and their roots are: 4, 5, 6, 7, 8, 9. This is already known to you.	ואחר שהקדמתי לך זה אזהירך להזכירך מסורת המרובעים אשר במדרגת האחדים שהיא הראשונה שהם א' ד' ט' ושרשם א' ב' ג' ובמדרגות העשרות יש ששה מרובעים והם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א ושרשם ד' ה' ו' ז' ח' ט' ויהיה זה ידוע אצלך‫
I have already informed you that the odd rank follows the rule of the units and the even [rank] follows the rule of the tens.	וכבר הודעתיך כי המעלה הנפרדת הנה דינה כדין האחדים והזוגית דינה כדין העשרות‫
Now I will teach you the procedure you apply in order to find the root of any number you want, whether it has a real root or the closest to it, if it does not have a real root:	ועתה אורה אותך דרך זו תלך בידיעת שרש איזה מספר שתרצה אם יש להם שרש [אמתי] או היותר קרוב לפניו אם אין להם שרש אמיתי‫
Write the number, whose root you want to know, in one row by its ranks as many as they may be.	הנה תכתוב המספר אשר תרצה לדעת שרשו בטור אחד איזו מדרגות שתהיינה‫
Suppose first that it has five ranks, for example: 12345.	ותאמר תחלה שתהיינה ה' מדרגות דרך משל א'ב'ג'ד'ה'‫
0 0 3 2 0 1 4     1         5 4 3 2 1     2 3 3     4 6   4 0 0     1 2 9 0     1 3 8 9 5 4 3 2 1	0 0 ג ב 0 א ד     א         ה ד ג ב א     ב ג ג     ד ו   ד 0 0     א ב ט 0     א ג ח ט ה ד ג ב א
The last rank is odd, so it follows the rule of the units. Therefore, we consider the last digit 5 as if it is 5 units. The closest preceding root is 2, which is the root of 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2}}$	הנה המעלה האחרונה היא נפרדת ודינה כדין האחדים לכן נדמה מספר ה' האחרון כאלו הוא ה' אחדים הנה שרשו היותר קרוב לו לפניו הוא ב' שהוא שרש ד‫'‫
Therefore, we write 2 in the middle, beneath the digit 3, and we draw a line beneath the 2 with some space, so that we can multiply the resulting digit of the root.	לכן נכתוב ב' באמצע שהוא תחת אות הג' ונרשום קו תחת הב' עם מעט ריוח כדי שנוכל לכפול אות השרש היוצאת‫
We multiply the digit 2, which is the root, by itself. The product should be written following it, as far from it as it is far from the units. Zeros should be written as the number of the ranks before it, starting straightly corresponding to the 2 in its rank, as we say now corresponding to the 2, we start writing 2 zeros, as the digit 2 is far from the units by two ranks. After the 2 zeros, we multiply the 2 by itself. Understand and remember it for every product. Then, subtract the product from the first corresponding digit, as known in the subtraction procedure, and the remainder remains above the upper row. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{5-2^2=5-4=1}}$	ונכפול אות הב' שהוא השרש בעצמו והנה ראו[י] לכתוב הכפולה רחוק ממנה אחריה כאשר היא רחוקה מן האחדים וראוי לכתוב גלגלים כמספר המדרגות אשר לפניה והתחלתם כנגד הב' ביושר ובמדרגתה כאשר נאמר עתה כנגד הב' נתחיל ‫לכתוב ב' גלגלים כאשר אות הב' רחוקה מן האחדים שני מדרגות ואחר השני גלגלים נכפול הב' בעצמה ויהיה ד' ובין תבין בכל התחלת הכפולה וזכור לך זה ואחר גרע העולה מהכפל מהמספר הראשון מן במינו כאשר נודע המגרעת והנשאר ישאר על הטור העליון‫
Then, multiply the root by two, i.e.: if it is 3, write 6 beneath it; if it is 4, [write] 8. In this example, it is 2, so write 4 and this is the root multiplied by two. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times2=4}}$	אחר תכפול השרש בשנים ר"ל שאם היה ג' תכתוב תחתיה ו' ואם ד' ח' ובדמיונו זה שהיה ב' תכתוב ד' והוא השרש הכפול בשנים‫
Divide the remainder of the first digit by this 4: take as much as you can, so that you can take the square of the quotient. As you say in this example: we return the 1 back, because we cannot take 4 from it even once. We return it back to the 4 that precedes it; it is 14. We say: how many times can we take 4 from 14? We take 3, because we can take 3 times 3, which is the square of the quotient, from what is left before. We write 3 before the first root.	תחלק הנשאר מהמספר הראשון על זאת הד' ותקח כל מה שתוכל באופן שתוכל לקחת מרובע המספר אשר יצא מהחלוקה כאלו תאמר בדמיונו זה הנה נשוב הא' אחורנית כי לא נוכל לקחת ד' ממנו אפי' פעם אחד ונשיבהו אחורנית עם הד' אשר לפניה ויהיה י"ד ונאמר כמה פעמים נוכל לקחת ד' מן י"ד הנה נקח ג' כי מהנשאר לפניו נוכל לקחת ג' פעמים ג' שהוא מרובע המספר היוצא מחלוקה ונכתוב ג' לפני השרש הראשון‫
We multiply the 3 first by itself and then by the doubled root.	ונכפול זאת הג על עצמה ראשונה ואחר על השרש הכפול‫
We start with the 1 next to it: write as many zeros as the distance of the digit 3 from the units; it is one zero corresponding to the 3.	ונתחיל לכתוב זאת האות הנופלת א' בצדה ותעשה ראשונה גלגלים כאשר אות הג' רחוקה מהאחדים והוא גלגל אחד ראשונה כנגד הג‫'
We say: 3 times 3 is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{3\times3=9}}$	ואחר נאמר ג' פעמים ג' הם ט‫'
We say: 3 times 4 is 12. Write 12. $\scriptstyle{\color{blue}{3\times4=12}}$	ואחר נאמר ג' פעמים ד' הם ב'א' ותכתוב ב'א‫'
We subtract the multiplied row from the the remainder above, each from the one that corresponds to it, according to the rule of subtraction, and what is left remains above in the upper row. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{143-129=14}}$	ואחר נגרע זה הטור הנכפל מן הנשאר למעלה מן במינו כמשפט המגרעת והנשאר ישאר למעלה בטור העליון‫
Then, multiply the second digit of the root, which is 3, by two. We write 6 beneath it. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}$	אחר זאת תכפול זאת האות השנית מן השרש שהיא ג' בשנים ונכתוב ו' תחתיה‫
We divide again all that remains above by the whole doubled root, which is 46. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times23=46}}$	ונשב ונשוב לחלקו כל הנשאר למעלה על כל השרש הנכפל שהוא ו'ד‫'
We take as much as we can, so that we can take the square of the quotient from the last [digit]. As you say in this example: we return the 1 back, because we cannot take 4 from it; it is 14. We take 13, because we can take 3 times from the remainder and we can take 3 times 3 from the remainder after it. We write 3 before the 6, which is in the rank of the units.	ונקח כל מה שנוכל באופן שנוכל לקחת באחרונה מרובע המספר היוצא מן החלוקה כאלו תאמר בדמיונו זה הנה נשוב הא' אחורנית כי לא נוכל לקחת ד' ממנו ויהיו י"ד ונקח ג"א כי מהנשאר נוכל לקחת ג' פעמים ומהנשאר אחר זה נוכל לקחת ג' פעמים ג' ונכתוב ג' לפני הו' והיא במעלת האחדים‫
First, we multiply this 3 by itself; it is 9. We write it corresponding to it, because the digit 3 is in the rank of the units. $\scriptstyle{\color{blue}{3\times3=9}}$	ונכפול זאת הג' ראשונה בעצמה והוא ט' ונכתבנה כנגדה לפי שאות הג' היא במעלת האחדים‫
Next, we multiply 3 by 6 and 3 by 4. We subtract the products from what is left above and the remainder remains above.	אחר נכפול ג' על ו' ואחר ג' על ד' ואחר נגרע העולה מהכפל מן הנשאר למעלה והנשאר ישאר למעלה‫
The remainder above is 32 and the root is 233. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1421-1389=32}}$	וישאר למעלה ל"ב והשרש ג'ג'ב‫'
The explanation is complete.	ונשלם באורו
I will give you various rules, the knowledge of which is necessary for the root extraction procedure.	אך אמנם אתן לך כללים מתחלפים יש צורך בידיעתם במעשה השרשים‫
The first rule: when you extract the first root from the last digit you have, if it is in an odd rank, or in the preceding to the last, if it is in an even rank, you should write that root in the middle rank, as I have shown you and take as much as you can. If you cannot take anything from what remains in that last rank, and you take from the [rank] that is second to it, write it as far from the place, from which you take the quotient, as the first root is far from the units. So, you should write a zero in the place that precedes the first root, and before this zero you should write the result of the division.	הכלל הראשון כאשר לקחת השרש הראשון מהמספר האחרון אשר בידך אם היא מדרגת נפרדת או מהקודם לאחרון אם הוא מדרגת זוגית ראוי לכתוב השרש ההוא במדרגת האמצעית כאשר הראיתיך ותקח כל מה שתוכל ואם לא תוכל לקחת דבר מהמקום ההוא האחרון הנשאר ולקחת מהשני לו גם כן תכתבהו רחוק מהמקום אשר תקח ממנו החלוק כאשר השרש הראשון רחוק מהאחדים ולכן ראוי לכתוב גלגל במקום אשר לפני השרש הראשון וקודם ‫לזה הגלגל תכתוב היוצא מן החלוקה‫
The second rule: when you divide again what remains of the number you have by double the root, do not take the last number from which you took it first, even if you see that it is possible to take from it, because when you take the root from it first, you already take from it everything that should [be taken from it], as you see in our example	הכלל השני כאשר תשוב לחלק הנשאר מהמספר אשר בידך כפול השרש לא תקח המספר האחרון אשר לקחת ממנו ראשונה ואף כי מהמספר אשר אחריו ואף כי תראה כי האפשר לקחת בו מפני שכאשר לוקח ממנו השרש ראשונה כבר לוקח ממנו כל הראוי כמו שנראה בדמיונו זה‫
6     3 9 9   1     2	ו     ג ט ט   א     ב
	רצינו לדעת השרש הקרוב אל ט'ט'ג' והנה לקחנו השרש הקרוב והוא א' וכתב וכתבנוהו במדרגת האמצעית שהוא תחת הט' השניה וגרענו א' מהמספר האחרון שהוא ג' ונשאר ב' על הג' ונכפול אות הא' והיא הב' ולא נאמר ולראות כמה פעמים יהיה ב' שהוא כפל השרש במספר הנשאר ממספר הראשון והוא ב' מאשר נוכל לקחת פעם אחת ב' מב' וגם נוכל לקחת מרובע א' מהנשאר זה אין ראוי לעשות מפני כי יהיה מהראוי לכתוב זה הא' היוצא רחוק מהמספר אשר לקחנו ממנו החלוק כאשר אות הא' הנכתב ראשונה נכתב כמשפט הזה וכבר לקחנו כל המצטרך במדריגה ההיא ולכן נשוב הב' אחורנית על הט' אשר לפניה ויהיה כ"ט ונאמר כמה פעמים יהיה ב' שהוא כפל השרש במספר כ"ט באופן שנוכל לקחת מהמדרגה שלפניה מרובע המספר היוצא מהחלוקה ודי בזה זה הכלל והוא נמשך עם הכלל השלישי‫
	הכלל השלישי כאשר שבת לחלק המספר הנשאר על השרש הכפול לא תטריח בעצמך לראות אם תוכל לקחת עשרה פעמים המחלק במחולק כמו שנאמר בדמיונו שלמעלה מזה נראה כמה פעמים יהיה ב' במספר כ"ט ונאמר שיהיה בו עשרה כי זה אי אפשר ואף כי יותר מעשרה כי לא תוכל לקחת מהמדרגה שלפנינו עשרה פעמים עשרה ואין ראוי לטרוח בזה וכן זה הדין בענין החלוק‫
	הכלל הרביעי מאשר אמרנו בכלל השני כי כאשר נשוב לחלק הנשאר על [כפל] השרש שלא נשוב לקחת מהמדרגה אשר לקחנו ראשונה זהו כאשר היה כשכפל[נו] זה השרש לא הוספנו עליו מדרגה כמו אם כפלנו ב' היה ד' באותה מדרגה וכן ג' וכן ד' אמנם אם היה השורש ה' או ו' או ז' או ח' או ט' והנה כשכפלנו זה השורש כבר נתוספה בשורש מדרגה אחת כאלו תאמר היה השורש ו' עשרות הנה כפל השורש ב' עשרות ומאה הנה ותוספת השרש מדרגת אחת ולפי זה כאשר תשוב לחלק תקח מהמדרגה אשר לקחת ממנו ראשונה ותכתבנה גם כן רחוקה מהמספר האחרון כאשר ראש השרש הכפול רחוק מן האחדים וזהו מה שרצינו לבאר‫
Another Version - MS Paris 903
	‫ הדרך להוציא שרשי המרובעי' ממספר בעל שרש אמתי או שרש המרוב' הקרוב מאשר אי' להן שרש אמתי הן משלמי' לבד או נשברי' לבד הן ממספר שלמי' ונשברי' יחד
	דע כי במעלת האחדי' יש בה ג' מספרי' מרובעי' ר"ל ששרשם שלמי' וידועי' והם א' וד' וט' ששרשם א' ב' ג‫'
	ובמעלה השנית שהי' עשרות [אין בה] מספר מרובע כלל רק עם חבור אחדי' כי י'כ'ל'מ'נ'ס'ע'פ'צ' אי גם אחד מהם מרובע אך עם חבור אחדי' יש בה ו' מרובעי' כמו י"ו שרשו ד' כ"ה שרשו ה' ל"ו שרשו ו' מ"ט שרשו ז' ס"ד שרשו ח' פ"א שרשו ט‫'
	וכל מעלה נפרד' כגו' המאו' שהי' השלישי' או הרבואו' שהם חמישית ושביעי' ותשיעי' וכן כלם דומי' דומי' למעל' האחדי' בשיש בם ג"כ ג' מרובעי‫'
	כגו' במאו' יש ק' ושרשו י' ת' ושרשו כ' ת'ת'ק' ושרשו ל' וכן כלם ולעול' א'ד'ט' מרבעי' במעלו' נפרדו' ושרשם א'ב'ג' מהמעלה שלפניה וימינה הקרובה לה
	וכן כל מעלה זוגית דומ' לעשרו‫'
	כגו' האלפי' יש בה ו' מרובעי‫'
	וכמו שבעשרו' המרובעי' עם חבור אחדי' מה שהיא המעל' הקרובה לימינ לפניה כן תחבר לעולם עם המעל' הזוגיי' אחדי' מהמעלה שלפניה במספר שתצטרך להוסיף אחדי' ע' העשרו‫'
	כגו' באלפי' יש אלף ות"ר הדומ' לי"ו ושרשו ת'מ' והו' דומ' לד‫'
	אלפים ות"ק הדומ' לכ"ה ושרשו נ' הדומ' לה‫'
	ג' אלפי' ות"ר הדומ' לל"ו ושרשו ס' הדומ' לו‫'
	וד' אלפים תת"ק הדומ' למ"ט ושרשו ע' הדומ' לז‫'
	וו' אלפי' ות' הדומ' לס"ד ושרשו פ' הדומ' לח‫'
	וח' אלפי' ק' הדומ' לפ"א ושרשו צ' הדומ' לט‫'
	וכן כל מעל' זוגיית
	וזה הכלל כל מרובע של מעלה נפרדת הו' א' ד' ט' ושרשם א' ב' ג' וכל מעל' זוגיי' שרש מרובעיה ו"א ה"ב ו"ג ט"ד ד"ו א"ח ושרשם ד' ה' ו' ז' ח' ט‫'
	ואבל אי' מעלת השרשי' לעול' הסמוכה לה
	וכה תדע מעלת מקו' השרש לעולם ראה במספרי' מעל' נפרדת להשיב השרש רחוק מהמרובע אחורני' מספר מעלו' כמספר מעלו' שירחק מהאחדי‫'
Example: we find 4 in the ninth rank, like this:	והמשל מצאנו ד' במעל' תשיעי' כזה
4 0 0 0 0 0 0 0 0         2	ד 0 0 0 0 0 0 0 0         ב
We know that this number is square, because it is in an odd rank, so it is analogous to the units; in the units 4 is a square and its root is 2, so its root is also 2.	הנה ידענו כי זה המספר מרובע כי הו' מעלה נפרד' ודומ' לאחדי' ובאחדי' ד' הו' מרובע ושרשו הו' ב' א"כ גם זה שרשו ב‫'
The position of the 2 should be in the middle between the rank of the units and the rank of the square, meaning the fifth [rank].	ומקומה של הב' ראויה להיות ממוצעת בין מעלת האחדי' ומעלת המרובע והיינו בחמשית
	וכן מספרי' הזוגו' מאחר שצריך לך לעול' לחבר עם המרובע אחדי' מהמעלה שלפניו וצריך להשיב מעלת הזוג אחורנית לחשבה בעשרו' ויהיו שם במעלה נפרדת עשה ג"כ כנ"ל ושים השרש באמצע
	כאלו תאמ' מצאנו ו'ג' במעל' ח' והי' זוגיי' ודומה לל"ו שבעשרו' שהו' מרובע ושרשו ו' א"כ גם זה שרשו ו' וצרי' להשים הו' בין תחלת המספר המרובע ובין האחדי' באמצע דהיינו במעל' ד' שהו' רחוק מהאחדי' ג' מעלו' וכן הו' רחוק מהמעל' הה' אשר שם החל מספר המרובע
3 6 0 0 0 0 0 0       6	ג ו 0 0 0 0 0 0       ו
	והילך מעשה ידיע' השרש הקדו' או האמתי
	כתו' המספר הדרוש שרשו בטור אחד כפי מעלותיו
	המשל בזה שמטהו ה' מעלו' כזה
0 0 3 2 0 1 4     1         5 4 3 2 1     2 3 3     4 6   4 0 0     1 2 9 0     1 3 8 9 5 4 2 8 9       3 2 5 4 3 2 1	0 0 ג ב 0 א ד     א         ה ד ג ב א     ב ג ג     ד ו   ד 0 0     א ב ט 0     א ג ח ט ה ד ב ח ט       ג ב ה ד ג ב א
You know from the above that this number [is in] an odd [rank] and it is analogous to the units, i.e. the 5. The closest root to it is 2, which is the root of 4, which is closest to it, preceding it.	והנה ידעת מהנ"ל שזה המספר נפרד ודומ' לאחדי' ר"ל הה' ושרש היותר קרו' בה הו' ב' שהו' שרש ד' הקרוב לה לפניו
The place of this 2 as above is in the third rank beneath the 3.	ומקו' הב' כנ"ל הו' במעל' ג' תחת הג‫'
Now, see how many ranks there are from the units to the place of the 2, which is your root, and start writing zeros from there, as the number of these ranks.	ראה מעתה כמה מעלו' עברו מהאחדי' עד מקו' הב' שהי' שרשך ושם החל לכתו' גלגלי' כמספר המעלו' ההם
As, if you say: from the units to the 2 there are 2 ranks, so we write two zeros beneath the line, starting from the 2 itself and going to the left.	כאלו תאמ' מהאחדי' עד הב' יש ב' מעלו' לכן נכתו' תחת הקו ב' גלגלי' מתחילי' תחת הב' בעצמ' והולכי' לשמאל
Then, we write the product of 2 by 2 there and this is 4.	אח"כ נכתו' העול' מכפל ב' על ב' שם והו' ד‫'
Subtract the 4 from the 5 of the required number; 1 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{5-4=1}}$	אח"כ גרע הד' מהה' של מספר הדרוש וישאר א‫'
Write 1 above the 5 and strike out the 5, because it is not needed any more.	וכן כתו' א' ממעל לה' והעבר קו סביב הה' כי אי' בה צורך עוד
Now, you should to know the root that is closer than the 2:	ומעתה נשאר לדעת השרש היותר קרוב מהב‫'
You should take a number to add to the root, so that you add double that number to twice the root, which is 2 in our example, in the rank of hundreds, as well as the product of that number by itself.	וזה יצטרך לקחת לכל מה מספר שתוסיף על השרש כפל אותו מספר על פעמים זה השרש שהו' הב' במשלינו במעל' המאות וגם כפל המספר ההו' על עצמו
The proof of this is that we assume a square number of 4 tens of thousands, so its root is 2 hundred, as you have seen, and its root is one side of the square itself. Because a length of 2 hundred cubits by a width of 2 hundred cubits is 4 tens of thousands of cubits by cubit.	ומופת זה כי אנחנו הנחנו מספר מרובע של ד' רבואו' א"כ שרשו ב' מאו' כמ' שראית ושרשו הוא מספר הצלע האחת מהמרובע בעצמ' כי ב' מאו' אמ' ארך על ב' מאו' אמ' רחב ימצא בם ד' רבואו' אמו' של אמה על אמ‫'
Suppose we add thirty to the root of this square, so one side of this square is 230.	ונניח שנוסיף על שרש זה המרובע ג' שלשי' ויהיה צלע אחד של המרובע ר"ל
We find that when you put 30 strips, each of which is two hundred cubits long and 1 cubit wide, that is, one strip of two hundred by 30, and you add them to one side of this square - as, if you say to its east - then, its length exceeds its width - its length is 230 and its width is 200.	נמצא שתשים ל' רצועו' כל אחת של מאתים אמ' ארך וא' אמ' רחב דהיינו רצועה אחת של מאתים על ל' ותחברנה בצלע אחד מהמרובע כאלו תאמ' למזרחו ויהיה המרובע אז ארכו יתר על רחבו ארכו ר"ל ורחבו ר‫'
Then, you add another strip of 200 by 30 to the south of the square, so its width is also 230.	אח"כ הוספת עוד רצוע' ל' של ר' על ל' אז לדרומו של המרובע ויהיה רחבו ג"כ ר"ל
Therefore, you already added to this [square] a product of 30 by 200 - once to the east and once to the south.	וא"כ כבר הוספת על זה השרש כפל ל' על ר' פעמי' פעם א' המזרח ופעם א' הדרום
This is a product of 30 by 400.	ועו והו' הו' כפל ל' על ת‫'
There is still a "remote corner" missing in this rectangle, and it is the southeastern corner, which is not filled until after you put there a square of 30 by 30. Then, the rectangle becomes an equilateral square, whose root is 230.	ועדיין חסרה קרן זוית בזה המרובע והי' הקרן דרומי' מזרחי' אשר לא תתמלא רק אחר שומך שם מרובע ל' על ל' ואז ישוב מרובע שוה הצלעו' שרשו ר"ל
	‫[...] והיוצא מזה [...] שתכפול מה שתרצה להוסיף עליו על עצמו אח"כ על ב' פעמי [...] לעשו' שיהא בא צריך להוסיף עליו כפל ד' על עצמו שהו' י"ו [...] פעמי [...] גם כפל ד' ל"ד שהו' ב' פעמי' י"ז
	ונשוב לכונתינו ונאמ' אחרי שמצאת [...] וכתבתם [..] על מקומ' גם חסרונ' מרובעה של הב' מה"ה ונשאר א' שוב מעתה הוסיף על השרש מהמספר הנשאר והו' א' ב' ג' ד' א' ככל מה שתוכל וזה הדרך תלך בו
	קח השרש שמצאת ב' פעמים ר"ל כפול אותו עם ב' אם הו' ג' כתו' ו' ואם ח' ו'א' ובדמיוננו הו' ב' לכן כת'[...] במעלתו ד‫'
Now, divide the upper number by the 4 and see how many times 4 is in the last 1 with the 4 that precedes it, when you shift it backwards and they become 14:	וחלק מעתה המספר העליון על הד' וראה כמ' פעמי' ימצא ד' בא' האחרונ' עם הד' שלפניה כשתשיבנה אחורני' ויהיו י"ד
It is found 3 times, but you need to see if it is enough to fill the "remote corner", which is 9 and it is the product of 30 by 30.	הוי או' ג' פעמי' ימצא וצריך לראו' אם ימצא ג"כ למלאת הקרן זוי' והו' ט' וו שהו' כפל 0"ג על 0"ג
If it was not enough, I would take only 2, but in our example we can take 3.	כי אם לא היה אפשר לא הייתי לוקח רק ב' והנה בדמיוננו נוכל לקח[ת] ג‫'
We write 3 before the 2, to its right.	ונכתו' מעת' ג' קדם הב' לימינ‫'
Again do as above, like this:	ומ ושוב לעשו' כנ"ל והו' זה
See how many ranks there are from the units to the 3; there is one.	ראה כמ' מעלו' מהאחדי' עד הג' והנה הי' אחת
So, write one zero beneath the line in the second rank, i.e. beneath that 3.	לכן כתו' תחת הקו במעלה ב' דהיינו תחת הג' ההי' גלגל אחד
Then, multiply 3 by itself; the result is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9}}$	אח"כ כפול ג' על עצמו ויצא ט‫'
Write it in its place beneath the line, to the left of the single zero you wrote below the 3.	כתבהו במקומו תחת הקו לשמאל הגלגל היחיד שעשית תחת הג‫'
Multiply again the 3 by the 4, which is twice the root; the result is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(2\sdot2\right)=3\sdot4=12}}$	שוב כפול הג' על בב' הד' שיהי' ב' פעמי' השרש ויעלה ב"א
Write it in its place after the 9, beneath the line. Because the 3 is of the rank of tens and the 4 is of the rank of hundreds and the product of tens by hundreds is thousands. So, start writing the 2 beneath the rank of thousands and the 1 beneath the tens of thousands.	וכתבם במקומ' אחרי הט' תחת הקו כי הג' הי' ממעל' העשרו' והד' מהמאו' וכפל עשרו' במאו' יעלו אלפי' לכן תחל לכתו' הב' תחת מעלת האלפי' והא' תחת הרבואו‫'
Then, subtract it from the upper number, each from its corresponding:	אח"כ גרע זה מהמספר העליון כל מין ממינו
Meaning, the 1 from 1 - nothing remains; the 2 from 4 - 2 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{1-1=0}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4-2=2}}$	דהיינו הא' מן הא' ולא ישאר דבר והב' מהד' ישאר ב‫'
Since we cannot subtract the 9 from 3, we shift 1 backwards and write 1. $\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}$	ולפי שלא נוכל לקחת אז הט' מהג' לכן נשיב א' אחורני' ונכתו' א‫'
We subtract the 9 from the 1 that is shifted backwards to the 3, so they are 13; 4 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+3\right)-9=13-9=4}}$	ונקח הט' מהא' המושבת אחורני' על הג' שהם י"ג וישארו ד‫'
We write 4 and we write all above the upper line each in its rank as you see in our diagram.	וכן נכתו' ד' ונכתו' זה למעלה מהטור העליון איש איש על מעלתו כמו שתראה בדמיונינו זה
Strike out the 4, 3 and 1, because they are not needed.	והעבר קו על ג"ד ועל א' כי אי' בם צרך
You find the approximate root 230.	והנה מצאת שרש הקרו' ר"ל
You want to increase the square and root further, because there are more digits of the original required number, since you are still left with 1421.	עו' תרצה להגדיל המרובע והשרש כי יש עוד מספר רב מן המספר הראשון הדרוש כי נשאר לך עדיין א' ב' ד' א' לכן חלקהו על הג' ותראה כמה פעמי' ימצא ג' ב
Multiply the 3 also by 2; it is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	ושוב מעתה לכפול גם הג' בב' ויהיה ו‫'
Write it beneath the 3.	כתבה תחת הג‫'
Now, divide the number remaining from the required by double the whole root, which is 46, meaning 460, because the root is 230. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot230=460}}$	ומעתה חלק המספר הנותר מהדרוש על כפל כל השרש והו' ו'ד' דהיינו ת"ס כי השרש הו' ר"ל
See how many times 4 is in 14; it is 3 times in it.	וראה כמה פעמי' ימצא ד' בי"ד והנהו ג' פעמי‫'
Write 3 before the 23 of the root, beneath the 1.	כתו' ג' לפני הג'ב' של השרש ותחת הא‫'
Multiply 3 by itself; it is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9}}$	וכפול מעתה ג' על עצמו ויהיה ט‫'
Write it beneath the line and beneath the 3 of the units, in order to complete the "remote corner", and since the 3 is not at all far from the rank of units, there is no need to write a zero.	כתבה תחת הקו ותחת הג' האחדית [ויהיה למלא הקרן זוית] ולפי שהג' אינ' רחוקה דבר ממעלת האחדי' ע"כ אין צרי' לשים שום גלגל
Multiply the 3 also by twice the root, which is 46; you find 138. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(2\sdot23\right)=3\sdot46=138}}$	עוד כפול הג' בשרש ב' פעמי' שהם ו'ד' ותמצא ח'ג'א‫'
Write it in its place, meaning, start from the lower 9.	כתבם על מקומ' דהיינו שתתחיל אצל הט' למטה
The result of multiplying 3 by itself and by double the root is 1389.	ויהיה המספר היוצא מכפל ג' על עצמו ועל השרש פעמים ט ח ג א
Subtract this number from what you have left of the required number, which is 1421: $\scriptstyle{\color{blue}{1421-1389}}$	וזה המספר גרע מאשר נשאר לך מהמספר הדרוש והו' א ב ד א
Subtract 1 from 1; nothing remains. $\scriptstyle{\color{blue}{1-1=0}}$	והנה חסר א' מא' לא ישאר כלום
Subtract 3 from 4; 1 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}$	עוד חסר ג' מד' ישאר א‫'
Since we cannot subtract 8 from 2, we should shift this 1 backwards, so nothing remains in this rank also. $\scriptstyle{\color{blue}{1-1=0}}$	ולפי שלא נוכל לקחת ח' מב' צריך להשיב זו הא' אחורנית ולא ישאר כלו' בזאת המעל' ג"כ
Subtract 8 from 12; 4 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{12-8=4}}$	חסר ח' מב'א' ר"ל מי"ב ישאר ד‫'
We still need to shift 1 backwards from the 4; 3 remains. Write it down. $\scriptstyle{\color{blue}{4-1=3}}$	ועו' צרי' להשי' אחורני' א' מהד' נשאר ג' וכן תכתו‫'
Subtract 9 from 11; 2 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{11-9=2}}$	עו' חסר ט' מא"א והו' י"א וישאר ב‫'
	וכתבה במקומ' והעבר קו על א"ב ד"א כי אי' בם צורך עוד
	ויהיה השרש הקרוב למספר אבגדה בדרוש גגב ויהיה המרוב כמספר כל המרובעי' שהוצאת מהשרשי' מגגב אחרי התחברם והו' טחבדה והנשאר מהמספר הו ב"ג ואם תשוב לחבר ב"ג על המרובע יצא לך המספר הדרוש ויהיה השרש הקרוב למספר א ב ג ד ה הדרוש . ג' ג' ב' . ויהיה המרובע כמספר כל המ[רובעי'] שהוצאת מהשרשי' מגג"ב אחרי התחברם והו' ט ח ב ד ה . והנשאר מהמספר הו' ב"ג
	ואם תשוב לחבר ב"ג על המרובע יצא לך המספר הדרוש
	אך אמנם אתן לך כללי' מתחלפי' יש צורך בידיעתם במעשה השרשים
	הכלל הא' כשלקחת השרש הראשון מהמספר האחרון שבידי אם הו' מעלה נפרדת או מהקודם לאחרון אם היא מעלה זוגיית ראוי לכתו' השרש ההו' במדרגה האמצעי' כהראיתיך ותקח כל מה שתוכל ואם לא תוכל לקחת דבר מהמקו' ההוא הראשון ולקחת מהשני לו גם כן תכתבהו רחוק מהמקו' שתקח ממנו ראש החלוק כאש[ר] השרש הראשון רחוק מהאחדי' ולכן ראוי לכתו' גלגל במקו' שלפני השרש הראשו' וק[ודם] לזה הגלגל תכתו' היוצא מהחלוק
	הכלל הב' כשתשוב לחלק הנשאר מהמספר שבידך על כפל השרש לא תקח המספר האחרון שלקחת ממנו ראשונה ואף כי מהמספר [שאחריו] ואף כי תראה כי האפשר לקחת בו מפני שכשלוקח ממנו השרש ראשונה כבר לו[קח ממנו כל הראוי
Division of sexagesimal fractions
When you wish to divide a number that consists of degrees, minutes and seconds by another number, smaller or greater:	‫כאשר תרצה לחלק חשבון מעלות ודקים ושניים על חשבון אחר יותר קטן או יותר גדול
Take the number of the bottom row, which is the number by which you divide the number of the upper row, and convert all into the lowest type of fractions in it.	תקח חשבון הטור התחתון והוא החשבון אשר עליו מחלק חשבון הטור העליון ותשבר הכל אל מין השבר היותר קטן אשר בו
I.e. if the lowest fraction in it is seconds, convert all into seconds; if thirds, convert all into thirds and so on.	ר"ל שאם השבר היותר קטן אשר בו הוא שניים תעשה מהכל שניים ואם שלשיים תעשה מה מהכל שלשיים וכן על זה הדרך
Then, take the number of the top row, which is the number divided by the number of the bottom row, and convert all into the [type of] fractions, which is as far from the type of fractions, into which you converted the bottom [number], as the type you want to receive in the division is far from the degrees.	ואחר כן קח חשבון הטור העליון והוא החשבון אשר יחולק על חשבון הטור התחתון וישבר אותו אל מן השברים שיהיה רחוק ממין השברים ששברת בו התחתון כמו שיהיה מרחק המין שתרצה שיצא לך בחלוקה מן המעלות
I.e. if you converted the number of the bottom row into seconds and you want to receive thirds in division, convert the number of the top row into fifths that are three ranks away from the seconds, as the distance of the thirds from the rank of the degrees; the result of division will be thirds.	ר"ל שאם שברת חשבון הטור התחתון מן השניים ותרצה שיצא לך בחלוקה שלשיים הנה תשבר חשבון הטור העליון למין חמשיים שהוא רחוק מן השניים שלשה מדרגות כמו מרחק השלשיים מגדר המעלות וזה יצא בחלוקה שלשיים
If you want to be more precise, so that the result of division will be fourths, convert the top row into sixths that are four ranks away from the seconds, as the distance of the fourths from the rank of the degrees; then you will get fourths from the division.	ואם תרצה לדקדק עוד שיצא בחלוקה רבעיים תשבר הטור העליון לששיים שהוא רחוק מהשניים ארבע מדרגות כמו מרחק הרבעיים מגדר המעלות ואז יצא לך בחלוקה רבעיים
And so on this way.	וכן על זה הדרך
If you covert the bottom row into thirds and you want to be more precise, so that you will get fourths from the division, convert the number of the top row into sevenths that are four ranks away from the fractions of the bottom row, as the distance of the fourths from the rank of the degrees; then you will get fourths from the division.	וכן אם שברת הטור התחתון לשלשיים ותרצה לדקדק עד שיצא לך בחלוקה רבעיים תשבר חשבון הטור העליון לשבעים שהוא רחוק משברי הטור התחתון ארבע מדרגות כמו מרחק הרביעיים מגדר המעלות ויצא לך בחלוק רביעיים
If you want to be more precise, so that you will get fifths from the division, convert the number of the top row into eighths that are five ranks away from the fractions of the bottom row, as the distance of the fifths from the rank of the degrees; then you will get fifths from the division.	ואם תרצה לדקדק עד שיצא לך בחלוקה חמשיים תשבר חשבון הטור העליון לשמניים שהוא רחוק משברי הטור התחתון חמש מדרגות כמו מרחק החמשיים מגדר המעלות ויצא לידך בחלוקה חמשיים
And so on this way.	וכן על זה הדרך
This is enough for you.	ודי לך בזה
Extracting roots of sexagesimal fractions
If you wish to find a root of any number you have consisting of degrees, minutes and seconds as many as they may be.	וכן אם תרצה למצוא שרש אי זה חשבון שיהיה בידך ממעלות הראשונים ושניים כפי מה שיהיה
Know up to which [type of] fractions you wish the root to be approximated, i.e. fourths, or fifths, or sixths, or which ever type of fraction you wish the approximate root to be composed of and denominate the root by it.	דע לך עד כמה שברים תרצה לדקדק שיצא בשרש ר"ל אם רבעיים או חמשיים או ששיים או אי זה מן שברים אשר תרצה לדקדק שיצא בשרש תקראהו מין השרש
Then, convert the whole number you have into the type of fractions, which is as far from the type [of the fractions] of the root as the [type of the fractions of the] root is far from the degrees.	ואחר זה תתיך כל החשבון אשר בידך אל מין השברים שיהיה רחוק ממין השרש כמו מרחק מן השרש מהמעלות
If the type [of the fractions] of the root is fourths, convert the number into eighths and the resulting root will be fourths.	שאם מין השרש רביעיים תתיך חשבון לשמוניים ומה שיצא השרש יהיה רביעיים
If the type [of the fractions] of the root is fifths, convert the number into [tenths] and the resulting root will be fifths.	ואם מין השרש חמישיים תתיך החשבון לרביעיים ומה שיצא בשרש זה יהיה חמשיים
And so on this way.	וכן על זה הדרך
The rule of this method is that you multiply the type [of the fractions] of the root by its own name, one duplication: if its is seconds, convert them into fourths; if it is thirds, convert them into sixths; if it is fourths, convert them into eighths; if it is fifths, convert them into tenths.	והכלל בזה הדרך שתכפול מן השרש בשלו המראה לו כפלה פשוטה שאם יהיה שניים תתיך לרביעיים ואם יהיה שלשיים תתיך לששיים ואם יהיה רביעיים תתיך לשמוניים ואם הוא חמישיים תתיך לעשריים
Multiplication of sexagesimal fractions
When multiplying a number by a number, convert the top row into its lowest [type of] fraction.	אמנם בכפילת חשבון עם חשבון תתיך הטור העליון אל מין השבר היותר קטון אשר בו
Convert also the bottom row into its lowest type of fraction.	וכן הטור התחתון תתיך אל מין השבר היותר קטון אשר בו
The result of multiplication will be of the type of fraction denominated by the sum of the types of both rows.	והיוצא בכפילה יהיה מין השבר יקרא בשם המחובר המחובר משום הטורים
I.e. if you multiply seconds by seconds, the result will be fourths.	ר"ל שאם תכפול שניים על שניים יהיה היוצא רביעיי
If seconds by thirds, the result will be fifths.	‫ואם שניים על שלשיים יהיה היוצא חמישיים
A Rule for Checking the Squares	‫[כלל בבחינת המרובעים]‫
When you have a number and you wish to check if it is a square, you can check it with the square that precedes it, or with the square that follows it:	כאשר יהיה בידך מספר ותרצה לבחון אותו אם הוא מרובע תוכל לבחון אותו עם המרובע הקודם לו לפניו ועם המרובע הקודם לו לאחריו
First with the square that precedes it:	ראשונה עם המרובע הקודם לו לפניו
Consider the difference between the preceding square and the number you have.	תחשוב המרחק שבין המרובע שעבר ובין המספר אשר בידך
Divide the difference by double the root of the preceding square, the least possible by as little as you can.	חלק המרחק ההוא על כפל שרש המרובע שעבר פחת מן האפשר על המעט שתוכל
Subtract the quotient [and] the square of the quotient from the difference.	גרע מהמרחק ההוא היוצא מחלוקה וזה מרובע המספר היוצא מחלוקה
If the result of dividing the difference by double the preceding root plus the square of the quotient equals the difference you have, no more and no less, then the number is a square. Otherwise, you are wrong.	ואם היוצא לך מחלק המרחק על כפל השרש [שעבר] עם מרובע המספר היוצא מחלוקה שוה אל המרחק אשר בידך לא פחות ולא יתר הנה המספר מרובע ואם לא הנה טעית
You can check it also with the square that follows it:	תוכל לבחון גם כן עם המרובע הקודם לו לאחריו
Consider the difference between the number and the following square.	תחשוב המרחק שבין מספר ובין המרובע העתיד
Divide the difference by double the following square, and give it as much possible by as little as you can.	חלק המרחק ההוא על כפל שרש המרובע העתיד ונכון לו יותר על האפשר על המעט שנוכל
Subtract the difference and the square of the quotient from the quotient.	גרע המרחק ומרובע המספר היוצא מחלוקה מהעולה בחלוק
If the result of division plus the square of the quotient equals the difference, then the number is a square. Otherwise, you are wrong.	ואם העולה מהחלוקה עם מרובע המספר היוצא מחלוקה שוה למרחק הנה המספר מרובע ואם לא הנה טעות
Over and done	תם ונשלם
Praise be to the Lord of the world.	תהלה לאל עולם
	כאשר יהיה המרובע הנמשל פחות מהמספר המבוקש צריך שנקח החלוק מספר היותר גדול שנוכל שיעלה בחלוקה המרחק כאשר יחוסר ממנו מרובע מה שיעלה בחלוק
	וכאשר תוסיף על המרובע הנמשל כמו הכפל עם מרובע מה שיעלה בחלוק הוא המרובע היותר קרוב על המספר המבוקש וכאשר תוסיף על שורש המרובע הנמשל מספר מה שיעלה בחלק הוא שרשו
	וכאשר היה המספר המבוקש פחות מהמרובע הנמשל צריך שנקח החלוק מספר היותר קטן שנוכל שיעלה כמו המרחק מחובר עם מרובע מה שיעלה בחלוק
	וכאשר תגרע מהמרובע הנמשל כמו הכפל כאשר יחובר ממנו מרובע מה שיעלה בחלוק הוא המרובע היותר קרוב אל המספר המבוקש
	וכאשר תגרע משרש הנמשל מספר מה שיעלה בחלוק הוא שרשו
	המרחק הוא המרחק שבין המרובע הנמשל ובין המספר המבוקש
	הנכפל הוא מה שיעלה מכפלת מספר מה שיעלה בחלוק עם כפל שורש המרובע הנמשל כי יהיו שני מרובעים מתחלפים יחס המחובר מכפלת אחד מן השרשים על האחר אל המרובע הראשון כיחס המרובע השני אל המחובר

MS London 7r-v
	אמר טעם החלוק הם שניים א שנכפול בדרך הכפל מה שיצא בחלוק על הטור השפל שמחלקים עליו תחבר עם העולה מה שנשאר לחלק [.....] דבר ואם המחובר שוה למספר הטור המחולק עשינו נכונה הב' שנכפול מאזני מה שעלה בחלוק עם [.....] הטור השפל ונקח ממנו העולה ואם נשאר דבר לחלק נחבריהו עמו ואם הוא שוה למאזני הטור העליון חשבונינו אמת והטעם למאזנים הראשונים כי בחשבון המחולק [....] החשבון שמחלקים עליו כשיעור אחד מה שיעלה בחלוק הוא מספר מה שימנה המספר שמחלקים עליו למספר גדול המחולק לזה הכה זה על זה ויצא המחולק
Chapter on Summation	שער המחברת
To know how much is the sum of numbers from a known number to the last number.	לדעת כמה המחובר מהמספרי' ממספר ידוע עד סוף מספר
As if you say: we wish to know the sum from one to ten, as 1 with 2 - it is 3; 3 with 4 - it is 7; and you want to know easily:	כאלו תאמר רצינו לדעת המחוברים מאחד עד עשרה כמו א' עם ב' הם ג' ג' עם ד' הם ז' ותרצה לדעת בקצור
If their number is even, as ten: we add 1 to it. Take a half of ten, which is five, and multiply the five by 11 and this is the last number [= the sum]. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left(10+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=11\sdot5}}$	אם הם זוג כמו עשרה ונוסיף עליו א' ותקח חצי העשר שהם חמשה וכפול החמשה על הי"א והוא המספר האחרון
If [their number] is even, as from one to seven: add one to seven; it is 8. Take half of this number; it is 4. Multiply 4 by 7 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^7 i=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(7+1\right)\right]\sdot7=\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\sdot7=4\sdot7}}$	ואם נפרד כמו מאחד עד שבע תוסיף על ז' אחד ויהיו ח' ותקח חצי המספר והם ד' וכפול הד' על הז' והוא המכוון
Do this with any number, small of large, even or odd.	וכן תעשה בכל מספר קטן או גדול זוג א[ו] נפרד
	אם תרצה לדעת ערך נעלם כמו שתאמר ערך ד' אל ו' כערך ח' אל הנעלם ותרצה לדעת האמצעיים ו' על ח' יהיו מ"ח ותחלק המספר הראשון שהוא ד' על המ"ח ויעלה לך חלק מ"ח והוא הנעלם
	אמר אברהם מצאתי דרך אחר שהמוסיף על מרובע סוף החשבון שרשו ולוקח חצי בעולה שם ימצא המחובר והדרך הזה יורה להבין הפך השאלה
	דמיון שאל שואל חברתי מספרים עלו תס"ה כמה יהיה סוף החשבון כלל זה תקח בידך היוצא מחודך כפול לעולם החשבון המחובר והשורש תקח מן המרובע כלו' [..] הנכפל שעבר ובחן אותו כ"א נשאר בין המרובע ובין הנכפל כמו שורש בלי תוספת ומגרעת תדע כי החשבון והשורש הוא המבוקש והנה כפלנו תס"ה על(ה) תתק"ל ידענו כי מרובע שעבר הוא ט מאות ושרשו ל' שהם המספרי' המרובעי' ואין בין המרובע והנכפל כ"א ל' ועל כן תבין כי נכון מה שחשב והמבוקש ל'
Word Problems
"How Many" Problem
Question: a man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us with you will make one hundred. $\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100$	שאלה אדם עבר על אמר אנשים אמר להם שלו' לכם מאה איש ענו אין אנו מאה איש אך אנו ואחרים כמונו ומחציתינו ורביעיתינו ועמך נהיה מאה
We take one for them; add one to them; add its half to them; it is two and a half. We add its quarter; they are 3-quarter. Since they are quarters added to integers, we convert the integers into quarters; [2] and 3-quarters are 11. $\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}}}$	נקח להם אחד נוסיף להם עוד אחד הנה נוסיף להם מחציתו הנה שנים וחצי נוסיף רביעיתו יהיה ג רביעי' ובעבור שהם רביעיות נוספות על השלמי' נשים גם השלמי' לרביעיות ויהיו ה וג' רביעיות הנה י"א
Since he said that they are [100], their number without the addition of the one who spoke with them is 99.	ובעבו' כי אמר שיהיו יהיה מספרם עם התוספת ט"ט לבד אותו שדבר עמהם
We convert the 99 into quarters; they are 396. $\scriptstyle{\color{blue}{100-1=99=\frac{396}{4}}}$	נחלק הט"ט שברים לרביעי' ויהיו שצ"ו
We divide them by 11; it is 36 and this is their number. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{396}{4}\div\frac{11}{4}=\frac{396}{11}=36}}$	נחלקם על י"א יהיו ל"ו וככה מספרם
"If You Give Me" Problem
Question: four buy one item. One said to his friends: each one will give half of what is in his purse and I will give everything I have in my purse and I will buy the item. The second [said]: each one will give a third of what is in his purse and I [will give] everything I have in my purse and I will buy the item. The third said: each one will give a quarter and I [will give] everything I have in my purse and I will buy the item. The fourth said: each one will give a fifth and I [will give] everything I have in my purse and I will buy the item. How much is the price of the item and how much does each have in his purse?	שאלה ארבעה קונים חפץ אחד אחד אמר לחבירו כל אחד יתן החצי אשר בכיסו ואני אתן כל מה שיש בכיסי ואקנה החפץ והשיני כל אחד יתן שליש כל מה שבכיסו ואני כל מה בכיסי ואקנה החפץ והשלישי אמר כל אחד יתן הרביע ואני כל מה שבכיסי ואקנה החפץ והרביעי אמר כל אחד יתן חומש ואני כל מה שבכיסי ואקנה החפץ כמה ערך החפץ וכמה לכל אחד בכיסו
The price of the item is 46 dinar.	ערך החפץ מ"ו דינרי‫'
The first has 15 pešiṭim.	לראשון ט"ו פשוטי‫'
The second has 23 dinar and 9 pešiṭim.	ולשיני כ"ג דינרי' וט' פשיטי‫'
The third has 31 dinar and 3 pešiṭim.	לשלישי ל"א דינרי' ג פשיטי‫'
The fourth has 35 dinar.	לרביעי ל"ה דינרי‫'
It is also possible to reach a half, a third and a quarter: the item 17 pešiṭim; the first - 5; the second - 11; and the third 13.	ע"א להגיע עד חצי שליש ורביע החפץ י"ז פשיטי' לאחד ה' לשנים י"א לשלישי י"ג
"Find the Amount" Problem
Question: A man sells 13 measures for 23 pešiṭim. How many measures will he sell for 7 pešiṭim?	שאלה אדם מכר י"ג מדות בכ"ג פשי‫' כמה מדות יתן בז' פש‫'
As the ratio of 7 to 23 so is the ratio of the unknown to 13. $\scriptstyle{\color{blue}{7:23=X:13}}$	ערך ז' אל כ"ג כן ערך הנעלם אל י"ג
We multiply the extremes that are known; they are 91.	נכפול הקצוות שהם נודעים יהיו צ"א
We divide them by 23; the result is 3 measures and 22 parts of 23 of one measure. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot13}{23}=\frac{91}{23}=3+\frac{22}{23}}}$	נחלקם על כ"ג יעלו ג' מדות וכ"ב חלקי' מכ"ג במדה
"Find the Price" Problem
We reverse the matter: we want to know for how much will he sell 7 measures?	ועוד נהפך הענין שנרצה לדעת בכמה יתן לו ז' מדות
We do like this: we multiply the extremes; they are 161.	והנה נעשה הדמיון הזה נכפול הקצוות יהיו קס"א
We divide them by 1[3]; they are 12 pešiṭim and 5 parts of 13 of one pašiṭ. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot23}{13}=\frac{161}{13}=12+\frac{5}{13}}}$	נחלקם על י"א והיו י"ב פשיטי' וה' חלקי' מי"ג בפשיט
If it is asked for how much will he sell 7 measures, the ratio of the unknown to 23 is the same as the ratio of 7 to 13. $\scriptstyle{\color{blue}{X:23=7:13}}$	אם שאל בכמה יתן ז' מדות יהיה ערך הנעלם בכ"ג אל כ"ג כערך ז' אל י"ג
Pursuit Problem
Question: A man walks 29 miles a day. After 10 days, another starts walking 37 miles a day. When will he catch up with him?	שאלה אדם הולך בכל יום כ"ט מילין אחר י' ימים נסע השני ההולך בכל יום ל"ז מילין מתי ישיגהו
Multiply the miles he walks by 10 days; they are 290.	כפול המילין שהולך בי' ימים יהיו ר"צ
We divide it by the difference between the two velocities, which is 8; it is 36 days and a quarter of a day. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{29\sdot10}{8}=\frac{290}{8}=36+\frac{1}{4}}}$	נחלקם על היתרון שיש בין שני המהלכים שהוא ח' והנה ל"ו ימים ורבע יום
As the ratio of 10 days to the unknown so is the ratio of the difference, which is 8, to 29. $\scriptstyle{\color{blue}{10:X=8:29}}$	הנה כערך י' ימים אל הנעלם כן ערך היתרון שהוא ח' אל כ"ט
Encounter Problem
Question: In how many days a 100 [miles] walk will be completed by two walkers at a [speed of] 19 and 17 towards each other?	שאלה בכמה ימים יכלה מהלך ק' על ידי שני מהלכים של י"ט ושל י"ז זה לקראת זה
It is easy to know that it is as the ratio of the sum of both to 100. Divide it by it; it is 2 and 28 [parts] of 36 [...]; 28 of 36 are 7-ninths of a day. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{19+17}=2+\frac{28}{36}=2+\frac{7}{9}}}$	וקל לדעת כי הוא כערך מחובר שניהם אל קו וחלקם עליו יהיה ב' וכ"ח מל"ו כמו כן בב' ימים וכ"ח מל"ו ביום יכל ישהו לכלות וכ"ח מל"ו הם ז' תשיעיות היום
If you want to know how many hours they are: it is known that the hours of the day are 12.	ואם תרצה לדעת כמה שעות הם ידוע הוא כי שעות היום י"ב
[As the ratio of] 7 to 9 so is the ratio of the unknown to 19. $\scriptstyle{\color{blue}{7:9=X:19}}$	והנה ז' אל ט' כן ערך הנעלם אל י"ט
	שאלה אדם עם ג' שיתן לראשון ה' זהובים ויעבוד לו כ' ימי' ולא רצה לגמור כל העבודה ואמר לשיני שיתן לו ד' ולא רצה לגמור אמר לשלישי שיתן לו ה' ולא רצה ג"כ לגמור אמר לשלישי שיתן לו ה' ולא רצה והלכו שלשתן ועשו הכל ביניהם והשוכר נתן לאחד אחד שוה
	הנה זה דומה לשאלת המחליף אך נשים הזהובים המחולקי' לפועלי' במטבעות והעבודה הנשכרת היא הזהוב והמורה הוא ס' ומחובר החלקי' מ"ז
As the ratio of 47 to 60 so is the ratio of the zahuv to the unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{47:60=1:X}}$	והנה כערך מ"ז אל ס' כן ערך הזהוב אל הנעלם
	והנה החלק השוה זהו' אחד וי"ג ממ"ז בזהוב אחר נבקש ערך כל אחד ב‫'
	והנה בעל הג' הם ו' ימי' וב' שלישיות היום
	ובעל הד' בזהו' אחד ה' ימים
	ובעל הה' בזהוב אחר ד' ימי‫'
	והנה של ג' עובד בשביל ח חלק העולה לו במ"ז כערך י"ג אל מ"ז כן ערך הנעלם אל כ' שהוא מספר שעות עבודתו בזהו' אחד
	ושל ד' כערך י"ג אל מ"ז כן ערך הנעלם אל מ"ח
	ואם תחבר כל העולה בזה יעלה המחובר כ ימים
Boiling Problems
Question: A man wanted to cook ten measures of must so that one-third remains. After 2 [measures] were reduced and 8 remained, 2 [measures] overflowed, so they were 6. Thus, one asks: how much should remain, so that it will be cooked according to the first plan, when it is known that at the beginning 3 and one-third should have been reduced? $\scriptstyle6:8=X:\left(3+\frac{1}{3}\right)$	שאלה אדם אמר לבשל עשרה מדות מתירוש עד השאיר שליש לאחר שנתמעטו ב והיו ח נשפך ב והיו ו ושאל השואל כמה יהיה ראוי לישאר מן העומד לכ' לפנינו אם יבא לבשלו עד שיהיה כמשפט הראשון לפי מה שהתחיל כי ידוע שנתמעטו מג' ושליש
As the ratio of 6 to 8 so is the ratio of the unknown to 3 and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{10:8=X:\left(3+\frac{1}{3}\right)}}$	והנה כערך ו' אל ח' כן ערך הנעלם אל ג' ושליש
Whole from Parts Problems - lance
Question: a lance, a third of it is in the water, a quarter of it is in the soil, and [up above the water] it is 7 cubits [long]. What is the length of the whole [lance]? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+7=X$	שאלה רומח מחציתו שלישיתו במים רביעיתו בעפר וגלוי ז אמות כמה גבהות כלו
	הנה המורה י"ב נכסה ממנו חלקיו אלה יהיה הגלוי ה
As the ratio of 5 to 12 so is the ratio of 7 to the unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{5:12=7:X}}$	והנה כערך ה' אל י"ב כן ערך ז' אל הנעלם
Multiple Quantities Problems
Question: A man ordered to give 20 pešuṭim to 20 people - men and women and children - he gave 2 pešiṭim to each man, a half to each woman, and [a quarter to each child]. How many [men, women, and children were there]? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle2X+\frac{1}{2}Y+\frac{1}{4}Z=20\\\scriptstyle X+Y+Z=20\end{cases}$	שאלה אדם צוה לתת כ' פשוט לכ' בני אדם אנשים ונשים ובנים לאיש נתן ב' פשיט ולאישה מחצה ולבנים [...] כמה לאיש
For 8 men - 16 pešiṭim.	לח' אנשי' יו פשיטי‫'
For 8 children - 2 pešiṭim	לח' בני' ב' פשיטי‫'
For 4 women - 2 pešiṭim.	לד' נשי' ב' פשי‫'
Question: A man said to his slave: Take 30 pešiṭim and buy me 30 poultry - a goose for 2 pešiṭim, a pheasant for a half, and a pullet for one pašiṭ. How many were there of each kind? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle2X+\frac{1}{2}Y+Z=20\\\scriptstyle X+Y+Z=30\end{cases}$	שאלה אדם אמר לעבדו קח ל' פשיטי' וקנה לי ל' עופות אווז ב' פשיטי' שליו מחצה פרגיות פשיט כמה יהיו מכל מין
6 pullets, 8 geese, and 16 pheasants.	ו' פרגיות ח' אווזות י"ו שלוים
Whole from Parts Problems - fish
Question: a fish is 15 fingerbreadth [etzba'ot] in its body, without its tail and its head; its head is one-third of the whole fish and its tail is its quarter. How much is its whole with the head and the tail? $\scriptstyle15+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=X$	שאלה דג יש לו טו אצבעות בגודל גופו לבד ראשו וזנבו וראשו מחזיק שלישית כל הדג והזנב מחזיק רביעיתו כמה מחזיק כלו עם הראש והזנב
36 fingers: its third is 12; its quarter is 9.	ל"ו אצבעות שלישיתו י"ב והרביעית ט
	כפל החשבון שלישי' ורביעי' ותמצא כך
Question: A thief walks a fixed distance and the pursuer [walks] on the first day 1, on the second day 2 and so on he adds 2 every day, so the distance increases twice [the distance of] the thief. In how many days will he catch the thief walking the entire distance he walked each day?	שאלה גנב הולך סכום אחד והרודף יום ראשון א ויום שיני ב וכן ויוסיף כל הימי' ב' כאשר יגדלו הסכום כפל הגנב ובתוך כך תפל אחד ובתוך כך סכום ימים ישיג הגנב בכל סכום שילך כמה בכל יום
Question: Shimon earned a seventh of his money on one day, the next day he earned a fifth of the whole amount, on the third day a third of the whole amount and the total sum is 10 dinar. We ask: how much is the amount of money? $\scriptstyle\frac{1}{7}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{3}X=10$	שאלה שמעון הרויח שביעית ממנו היום ולמחר הרויח מן הכל חמישית ויום שלישי מן הכל שלישית והתחבר י' דינרי' ונשאל כמה הממון המורה [..]
	שאלה לשקול ביא אבני' ס' [..] גם בי"ח טבעות לשכירות לד שנים וב חדשי' יצא בכפל למשקל וכן תעשה בטבעות א ב ד ח י"ו וכפול עד שיעלה החשבון ובאבנים יצא בשלישות א ג ט כז
Glosses on Abraham Ibn Ezra’s Book of the number (P1026; London)
"The author of the Sefer Yezira"	ובעל ספר יצירה
Explanation: The intention of the author of Sefer Yezira [= the Book of Creation] is to inform how man was created by one act from the creatures.	פי' בעל כוונת ספר יצירה להודיע איך נברא האדם בתחבולה אחת מין הנבראים
He said that three matters were needed for this:	ואמ' שיצטרכו בו ג' עניני‫'
"Sefar" = the writing: through the faculties of the letters that are indicating him, the creation is done by the letters.	הספר הוא הכתיבה כי בכחות האותיות יורו בו באותיות יעשה היצירה
"Sefer" = the number: because composition and merging are only done by that one number is the duplication of the other.	וספר הוא המנין כי ההרכבה והמזגה לא תעשה רק במספר שבאחד מהם יהיה בו מיסוד האחד כפל האחר
	וספור כי חכמי חכמה זו הניחו שהם יורידו כח אשר נתן כח בהרכבה ההיא עד שיעשה פעל הכח בלתי מדבר אבל לא מדבר כי זה לא יתכן אלא לאל ית‫'
	בעבור
	מלת בעבור נמשכת עד אמרו למטה על כן כל מאזני כל מספר
	ספר הוא המרוכב
	וספר הוא המספר כמו אחר הספר אשר ספרם
	וספור הוא הדבור באחדים
	בכלל הגבוה
	פי' הקרוב לו לפניו
	והנשאר הוא המבוקש
Explanation: a third multiplied by a third is a ninth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}}}$	פי' שהשלישית הנכפל על השלישית יצא תשיעית
Therefore, when we multiply a third of a number by its third, we receive a ninth of the required square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)\times\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)=\frac{1}{9}a^2}}$	אם כן בכפלנו שליש המספר על שלישו יצא לנו תשיעית מרובע הדרוש
When we take the same in the higher rank, we receive ten times the ninth of the square.	וכאשר לקחנו כמוהו בכלל הגבוה ממנו יצא לנו עשרה דמיוני תשיעית המרובע
Therefore, when we subtract from it the square of the third, which is a ninth of the square, the remainder equals the required square.	אם כן כשחסרנו מזה מרובע השליש שהוא תשיעית המרובע ישאר שוה למרובע הדרוש
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left[\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)\times\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)\right]-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)\times\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)\right]=\left(10\sdot\frac{1}{9}a^2\right)-\frac{1}{9}a^2=a^2}}$
	והמחובר הוא הדרוש
	פי' אעפ"י שלא זכר המחבר דרך זו רק בהוצאת המרובעים יתכן זה בכפל כל שני מספרים בעלי שליש כמו י"ב וי"ח
We multiply a third of the one, which is 4, by the third of the other, which is 6; the result is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\times\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=4\times6=24}}$	אנו נכפול שליש האחד והוא ד' בשליש השני והוא ו' ויעלה כ"ד
We rise it one rank higher; it is 240.	נגביההו מעלה אחת ויהיה ר"מ
Subtract the product of the two-thirds, which is 24; 216 remains and this is the product of 18 by 12.	הסיר כפל השני שלישיות שהוא כ"ד ישארו רי"ו והוא כפל י"ח על י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{12\times18=10\sdot\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\times\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)\right]-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\times\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)\right]=10\sdot\left(4\times6\right)-\left(4\times6\right)=240-24=216}}$
If they [are not divisible by three], but exceed by one, as 13 and 19, we do as follows:	ואם שהם נעדרי השליש ומוסיפין אחד כמו י"ג י"ט נעש[ה] כן
	נוציא סך החשבון לי"ב וי"ח ויעלה רי"ו
	ולפי שכל אחד מהמספרים מוסיף אחד על השליש נוסיף י"ב וי"ח ואחד ועלה רמ"ז וזהו כפל י"ג בי"ט
	ואם היו שני המספרים חסרין אחד בי"א וי"ז נעשה החשבון בי"ב וי"ח ויעלה רי"ו ובעד חסרון האחד נגרע י"א וי"ז ואחד מן רי"ו וישאר קפ"ז והוא כפל י"א בי"ז
	ואם האחד מוסיף אחד והשני חוסר אחד בי"א וי"ט או י"ג וי"ז נעשה החשבון בי"ב וי"ח ויעלה רי"ו הנה אם היו י"א וי"ט התוספת הוא י"א והחסרון הוא י"ח אם כן החסרון רב על התוספת ז' חסרם מן רי"ו וישאר ר"ט והוא הדרוש
	ואם היו י"ג וי"ז הנה התוספת הוא י"ז והחסרון י"ג אם כן התוספת רב ה' נוסיפם על רי"ו והיה רכ"א והוא הדרוש
	ואם הן כמו י"ח וי"ג נוסיף על רי"ו י"ח והיה רל"ב והוא הדרוש ואם הן י"ח וי"א נגרע י"ח מן רי"ו וישאר קצ"ח
	דמיון רצינו לכפול כ"ט על ל"א
	פי' דמיון אחר ברצותנו לכפול כמשל ח' על י"ב שמרחקם מי' שהוא כלל מספר שוה והוא ב' נכפול י' על עצמו והיה ק' נחסר ממנו ד' שהוא מרובע ב‫'
The explanation of this is that the multiplication of 8 by 12 is the multiplication of 8 by 10 and by 2. $\scriptstyle{\color{blue}{8\times12=\left(8\times10\right)+\left(8\times2\right)}}$	ובאור זה שכפל ח' על י"ב הוא כפל ח' על י' ועל ב‫'
The multiplication of 10 by 10 consists of the multiplication of 10 by 8 and by 2. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=\left(10\times8\right)+\left(10\times2\right)}}$	וכפל י' על י' הוא כולל כפל י' על ח' ועל ב‫'
The multiplication of 10 by 2 consists of the multiplication of 8 by 2 and 2 by 2. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times2=\left(8\times2\right)+\left(2\times2\right)}}$	וכפל י' על ב' הוא כולל כפל ח' על ב' וב' על ב‫'
We find that the excess of 10 by 10 over 8 by 12 is 2 by 2. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10\times10\right)-\left(8\times12\right)=2\times2}}$	נמצא יתרון י' על י' מן ח' על י"ב הוא ב' על ב‫'
	ומזה תבין לכל המשלים האחרים וזה מתמונת ו' ממאמר ב' לאיקלידיס
	וכן ההנהגה בכל שני מספרים מתחלפים אך כי לא יהיו כללים שנוסיף על המספר היותר קטן חצי יתרון שבין שני המספרים ונרבעהו ונחסר מהמרובע מרובע חצי היתרון והנשאר ישוה להכאת אחד משני המספרים באחר
	אך זה החכם בא להקל ולא להחמיר ולזה לא באר במספרים שמרחקן מחשבון כלל מספר שוה
	ודע כי אם יהיו שני מספרים לכפול
	פי' כי אם תרצה להכות ב' על מ' אין כאן הכאה רק ממדרגה האחת על האחרת אך אם יהיה לנו מספר על שני מספרים או שנים על שנים אז צריך לכפול המעלות זו על זו כפי מנין המספרים
	אתה צריך
	פי' אמ' זה בשלוח אעפי שלפעמים יתכן בפחות מזה כי כן אמר למעלה ואם הם שנים על שנים צריך לעשות זה ד' פעמים ואחר כן באר שאפשר בפחות וגם בזה אפשר בפחות ובין
	כאלו הם אחדים
	פי' וסבת זה כי כל כלל יוסיף אחד על תשיעיות וכן שנים על שנים וכן כלן אם כן לנו שנחשב אחד לכל כלל וסבת זה היות ט' מספרים וסוד החשבון והכא אחדיהם הוא כולל והוא אמרו בראש הספר על כן היו מאזני המספר ט'
	לא יקבל שנוי
	פי' כי השנוי יבא מצד ההרכבה והאחד פשוט כי מהיותו אחד
	לא יקבל רבוי כי א' על א' הוא א‫'
	ולא חלוק כי אם תחלקהו יהיו שנים
	והוא סבת כל שנוי כי בהרכבת שני ענינים יבא השנוי וכן במספר
	כפי מעלתו
	פי' אחדים כנגד אחדים ועשרות כנגד עשרות
	ופחות מהמספר
	פי' שהמספר המחולק ראוי להיות יותר גדול מהמספר המחלק כי זה כמו המדה עם הנמדד
	וזה ביותר נכון לא מחויב כמו שיתבאר בחלוק השברים שנחלק חמש תשיעיות על שלם
	ולא הגיע למעלת האחדים
	פי' שהיוצא בחלוק לא הגיע למעלת האחדים שאם היה כן כבר יצא לחוץ ולא יקבל עוד החלוקה שכבר נתך המחולק אל מספר יותר קטן מהמחולק עליו
	ובאמרנו לא יקבל החלוקה ר"ל בשלמים אך בשברים יקבל החלוק ובין
	כי לא יצא לחוץ
	פי' התכת המחולק עד שיגיע למספר יותר קטן מהמחולק עליו יקרא יציאה לחוץ
	שאם נחלק [..]יצא לחוץ ממעלת האחדים ויהיו שברים אשר העשרה מהם הוא אחד שלם יקראו ראשוניים וכן כל ראשון יחלק לי' שניים והוא לא כיון רק בחלוק שלמים על שלמים
	ולעולם נחזור אחורנית
It is necessary to investigate what brought him to this, because it is more correct and easier to subtract directly.	צ"ע מה הביאו לזה כי יותר נכון ונקל לחסר ביושר
	האחד כנקדה
	פי' כי הנקדה כיסוד לעגול כי המקוה לעגול טרם הקוותו יניח מוצק עליה יכונן רחב העגול וכן האחד הוא יסוד המספר ולכן לא יתכן לחלק כמו הנקדה מצד שהוא אחד ואולם מצד ההוה כל כלל בשם אחד עם היותו מורכב מאישים רבים כמו הגוף המורכב מד' ליחות ומשאר אברים מתדמי החלקים ומהיד והזרוע ושאר אברים הכליים והנה הוא בלי ספק יתכן בו התפרקו לחלקו חוץ לשכל יתחדש בו הדבור בעבור זה החליטו החלוק הפשוט להעשותו בו בשכל כי חוץ לשכל אי אפשר בשום פנים
	עוד פי' כל זה הצעה לחלוקת האחד לשברים וכמו שהנקדה היא דבר בלתי מתחלק וכל הקוים יוצאים ממנה כן האחד ולזה לא היה ראוי לחלק
	מורכב משטחים
	פי' אין כונתו שהגוף הרכבה מזגיית משטחים ולא מקוים ונקדות כמבואר בספרי הטבע אך כונתו באמרו שטחים התכליות המקיפות ורבים בגוף האדם כמו הגלגלת יקיפהו שטח אחד וכן אברים רבים והגוף יקרא אחד
	והוא דומה לנפרד
Explanation: when you sum up the odds in sequence the squares of the number of the odds are generated.	פי' שכשתחבר הנפרדים על הסדר יולידו מרובעי מספר הנפרדים
Because 1 is the square of 1. $\scriptstyle{\color{blue}{1=1^2}}$	כי א' הוא מרובע א‫'
1 and [3] is the square of 2. $\scriptstyle{\color{blue}{1+3=2^2}}$	וא' עם הוא מרובע ב‫'
1, 3 and 5 is the square of 3. $\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5=3^2}}$	וא' עם ג' וה' הוא מרובע ג‫'
This is one of the properties of the number.	וזה אחד מסגלת המספר
	הוא חצי שמינית
	אם תחלק הנכפל על מרובע המורה יהיה היוצא מהחלוקה שלמים
	ואם לא יתחלק ר"ל שיהיה מרובע המורה יותר גדול מהנכפל או יתחלק וישאר שלא יתחלק יהיו שברים נקראין בשם המרובע ואם תחלק הנכפל על המורה יהיה היוצא שברים נקראין בשם המורה ומה שלא יתחלק יהיו שברי שברים נקראין בשם המורה ובין
	ויהיה כלל זה מסור בידך אחר שתדע המורה ומרובעו והנכפל תחלק המרובע על הנכפל או תחלק הנכפל על המורה
	רק אלמד דרך קצרה
	פי' כי לפי מה שאמרנו למעלה היה צריך לעשות מורה אחד לכלן בכפל האחד על האחר כי הסבה מענין המורה הוא למצא מספר שיהיו בו כל חלקים אלו
	עוד באמת לא היה צריך לקחת ששיים כי די לו בשלישיות וזה נכפול על ה' יהיו ט"ו עוד נכפול זה על ז' יהיו ק"ה עו' נכפול זה בח' יהיו תק"מ והוא המורה
	נבקש המספר ראשון שהוא ב' שלישית רביעית החמשית יהיו ר"ח כי החמשית הוא קס"ח ורביעיתו מ"ב ושתי שלישיותיו כ"ח וזהו החשבון הראשון
	וידענו ששמיניתו ק"ה
	ושביעיתו ט"ו
	והשש שביעיות הם צ‫'
	נכפול כ"ח על צ' יעלה אלפים ת"ק חלקנום על תת"מ שהוא המורה ויעלה ג' שהן חלקים מהתת"מ שלמים והן חמשית שביעית השמינית שהשמינית ק"ה ושביעיתו ט"ו וחמישיתו ג' והוא הדרוש
	וצ"ע בדמיון שלקח החכם כי יותר ראוי לקחת הדמיון בקטן המספר שאפשר
	גם צ"ע למה הוצרך לבאר שאחר שיש לנו ששיות אין צריך לשלישית כאלו היה צריך לחלק ששית
	החמשית והתשיעית ארבע
	צ"ע איך לקח דרך זה הראשון כי לא ימשך בכל המספרים וזה שנאמר לקחנו שלישית הממון וחמשיתו ושביעיתו כמה הוא מערך הממון ולפי דרכו יהיה כן נחשב כאלו הן ג' שביעיות שהוא השבר היותר פחות אחר נכפול מה שבין השביעית והשלישית שהוא ד' על מה שבין החמישית והשלישית שהוא ב' ויעלה הכפל ח' ונעשה מהחמשה שביעית אחת ויהיו ד' שביעיות וישאר ג' ונחברם עם ב' שהוא היתרון שבין שלישית לחמישית והיה ה' ולפי זה יהיה הערך ה' שביעיות ויעלה ע"ה לפי שהמורה ק"ה ולפי הדרך שני שהוא האמתי יהיו ע"ה חלקים מן ה'
	עו' צ"ע איך אמ' בדמיונו שהשלשה היו ג' חמשיות שביעית התשיעית והוא אמר תחלה נעשה מן הו' תשיעית אחת
	ויש בזה דרך אחרת נכונה רק שיהיה הדלוג בשברים שוה כמו ד'ה'ו' ה'ז'ט' והוא לקחת מקום הג' מינין ג' שברים ממין האמצעי ואחר יוכפל מרחק הקצוות כמרחק הדלוגים והמחובר הוא הדרוש
	דמיון ערך ד' וה'
	פי' וזה יתבאר כי מרובע הקו כלו שהוא י"ו שוה לשני מרובעי י"ב וד' בתמונת ד' מ"ב לאקלידיס ושטח ו' בח' שוה לשטח שיקיפו בו י"ב וד' לפי שיחס ד' אל ו' כיחס ח' אל י"ב אם כן מרובע י"ו שוה לשני מרובעי י"ב וד' ולכפל השטח שיקיפו בו ו' וח' אבל שני מרובעי ו' ח' שוין לכפל השטח שיקיפו בו ו' ח' עם מרובע מה שבין ו' ח' כמבואר בה' מ"ב אם כן מרובע י"ו עם מרובע היתרון שבין ו' לח' שוה לד' מרובעי ד' ו' ח' י"ב ובזה יתבאר מהשני והשלישי
	כי ערכיה מורכבין
	פי' ערכי הנגונים הן מורכבים ערכי המדות וערכי המספר כי יעשה בחלק היתרון האחד על האחר וכיחס המספר האחד אל המספר האחר
	כי לעולם יהיה הערך
	כי לעולם יהיה היחס מה שבין הראשון והאמצעי אל מה שבין האמצעי והאחרון כיחס המספר הראשון אל האחרון
	שאלה ראובן שכר שמעון
	הכלל בכל דרכים אלו שנכפול י"א על ט' ויהיו צ"ט וחלקם על י"ו ועלה ה' פשו' וי"ד חלקים מי"ו בפשו'
	כלל זה יהיה בידך בערכין שאותו המספר שיהיה גיל הנעלם שהוא מקום הגלגל מן המורה שאם היה הגלגל אחד מהקצוות הקצה האחד הוא המורה ואם הגלגל הוא אחד מהאמצעיים האמצעי האחר הוא המורה
	ולא תדע השלישי כפול הראשון על השני
	זה יתבאר מי"ט מה' באמת כאשר היה המחובר אל המחובר כיחס הכל אל הכל הנה יחס הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל
	ולכן בדמיונו השני לפי שיחס היתרון שבין ג' וד' הידוע אל היתרון שבין ד' והמספר הנעלם כיחס ג' הידוע אל ו' הנעלם והנה הנעלם גדול מיתרונו על ד' הנה אם כן ג' גדול יותר מהיתרון שבין ג' לד' מי"ד מה' אקלידיס
	והיתרון שבין ג' לד' ידוע אם כן כשחסרנוהו מג' יהיה הנשאר ידוע והוא ב' וגם כן ידענו שד' הוא הנשאר כשחסרנו מו' היתרון שנוסף על ו'
	ועתה יש לנו ג' מספרים ידועין האחד ב' והוא הנשאר מג' כשחוסר ממנו היתרון שבין ג' לד' השני ג' שהוא הכל ידוע השלישי ד' שהוא הנשאר מהנעלם כשחוסר ממנו היתרון שהוא נוסף על ד' וידענו שיחס המחוסר מג' אל המחוסר מהנעלם כיחס ג' שהוא הכל אל הנעלם אם כן יחס ב' הנשאר אל ד' הנשאר כיחס ג' אל הנעלם ולכן נכפול האמצעיים שהן ד' וג' והיו י"ב ונחלק י"ב על ב' והיה ו' וכו'
	וכן תבין האחרים מי"ח מה' אקלידיס
	צורת הי"ו מוציאין אותה בדרך זו לוקחין הראשונה והשביעית והן יתדות ומוציאין משתיהן צורה אחת ומהרביעית והעשירית והן יתדות מוציאין צורה אחרת ומשתיהן מוציאין צורה אחת והיא נקראת הי"ו והיא חזקה מכלן
	ומצאתי בע"ה צורת הי"ו נקח הצורה הראשונה והשביעית ועושין משתיהן צורה אחת ונקח צורת הט"ו ומשתים אלו נעשה צורה אחרת והיא הי"ו וזה סוד
	שאלה שלשה הלכו לקנות דג בשוק ערכו ה' פשו' אמר אחד אני אתן כל מה שבכיסי ואתם לא תתנו רק החצי שבכיסכם אמר האחר אני אתן כל מה שבכיסי ואתם לא תתנו רק שליש שלכם אמר האחר אני אתן כל מה שבכיסי ואתם לא תתנו רק הרביע שבכיסכם כמה יהיה בכיס כל אחד
	נבקש המורה והוא י"ב כ"ט כי ממנו נוכל לעשות ג' מספרים שישתוו שלשתן למספר אחד והן ה' י"א י"ג בעל ה' ישאל החצי בעל י"א ישאל השליש בעל י"ג ישאל הרביע
Question: Reuven, Shimon, Levi and Yehuda. Reuven told Shimon: everything in my purse plus a half of what is in your purse is 5 dinar. Shimon told Levi: everything in my purse plus a third of what is in your purse is 5 dinar. Levi told Yehuda: everything in my purse plus a quarter of what is in your purse is 5 dinar. Yehuda, the fourth, told Reuven, the first: everything in my purse plus a fifth of what is in your purse is 5 dinar. How much is in the purse of each of them?	שאלה ראובן שמעון לוי ויהודה אמ' ראובן לשמעון כל מה שבכיסי עם חצי שבכיסך הוא ה' די‫' אמ' שמעון ללוי כל מה שבכיסי עם שליש שבכיסך הוא ה' די‫' אמ' לוי ליהודה כל מה שבכיסי עם רביע מה שבכיסך הוא ה' די‫' אמ' יהודה הרביעי לראובן הראשון כל מה שבכיסי עם חומש מה שבכיסך הוא ה' די‫' כמה בכיס כל אחד
	תשובה ראובן ל"ז פשו' צ"ז חלקי' מקי"ו בפשו‫' שמעון מ"ד פשי' מ"ד חלקים לוי מ"ו פשו' ק"ו חלקים יהודה נ"ב פשי' נב חלקים
	ובזה נמצא כל ראובן עם חצי שמעון ה‫' וכן שמעון עם שליש לוי וכן לוי עם רביע יהודה אם כן ראובן שוה וכן יהודה עם חומש ראובן
	נסיר חצי שמעון המשותף וישאר ראובן שוה לחצי שמעון עם שליש לוי ושמעון שוה לשני שלישי לוי עם רביע יהודה
	אם כן ראובן שוה לשני שלישי לוי עם שמינית יהודה אם כן לוי שוה לג' רבעי יהודה עם חומש ראובן אם כן ראובן שוה לה' שמיניות יהודה וב' חלקי' מט"ו מראובן עצמו
	א'פ'ד' ראובן ע"ה שמעון פ"ח לוי צ"ג יהודה ק"ד
	או ראובן ל"ז וחצי שמעון מ"ד לוי מ"ו וחצי יהודה נ"ב וכן לחציין וכן וכן
Question: a man arrived to a country and took an oath that if he will double his money every day, he will would spend a certain amount of it each day. After a few days he had nothing left. How much money did he have?	שאלה אדם נכנס [בע]יר ונודר שאם יכפול ממונו בכל יום יוציא ממנו בכל יום סך מוגבל ולימים לא נשאר בידו מאומה כמה הוא הממון שבידו
The method: we look for a number, such that, when doubled in a double ratio as many times as the number of days, at the end of which he has nothing left, the result is the amount he spends every day. We subtract this required number from the amount he spends each day and the remainder is the amount of money he has.	הדרך בזה שנבקש מספר שבהכפלו פעמים כמספר הימים על יחס הכפל שאחריהם לא נשאר לו מאומה יעלה לסך שיוציא מהם בכל יום והמספר ההוא המבוקש נגרע מהסך שיוציא בכל יום והנשאר הוא הממון שבידו
Example: he spends 48 pešiṭim every day and at the end of three days he has nothing left.	המשל שיוציא בכל יום מ"ח פשי' ולסוף ג' ימים לא נשאר לו מאומה
6 is the number that when doubled in a double ratio as many times as the number of days, which is 3, the result is 48.	הנה המספר שבהכפלו על יחס הכפל כמספר הימים שהם ג' יעלה מ"ח הוא ו‫'
Because, when we double 6, the result is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6=12}}$	כי כשנכפול ו' יעלה י"ב
When we double 12, the result is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot12=24}}$	וכשנכפול י"ב עלה כ"ד
And when we double 24, the result is 48. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot24=48}}$	וכשנכפול כ"ד עלה מ"ח
We subtract 6 from 48; 42 remains and this is the amount of money he has. $\scriptstyle{\color{blue}{48-6=42}}$	נגרע מספר ו' ממ"ח וישאר מ"ב והם המעות שבידו
Or: he spends 18 pešiṭim every day and at the end of five days he has nothing left.	או שיוציא בכל יום י"ח פשי' ולסוף ה' ימים לא נשאר לו מאומה
One half and one part of 16, which is 9 parts of 16, is the number that when doubled in a double ratio as many times as the number of days, which is 5, the result is 18.	הנה המספר שבהכפלו על יחס הכפל פעמים כמספר הימים שהוא ה' יעלה י"ח הוא חצי וחלק אחד מי"ו שהן ט' חלקים מי"ו
Because, when we double one half and one part of 16, the result is 1 and one-eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{16}\right)=1+\frac{1}{8}}}$	כי כשנכפול חצי וחלק אחד מי"ו יעלה א' ושמינית
When we double 1 and one-eighth, the result is 2 and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(1+\frac{1}{8}\right)=2+\frac{1}{4}}}$	וכשנכפול א' ושמינית יעלה ב' ורביע
When we double 2 and a quarter, the result is 4 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)=4+\frac{1}{2}}}$	וכשנכפול ב' ורביע יעלה ד' וחצי
When we double 4 and a half, the result is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=9}}$	וכשנכפול ד' וחצי יעלה ט‫'
And when we double 9 for the fifth time, the result is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot9=18}}$	וכשנכפול חמשית ט' יעלה י"ח
We subtract a half and one part of 16 [from 18]; the result is 17 and 7 parts of 16 and this is the amount of money he has. $\scriptstyle{\color{blue}{18-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{16}\right)=17+\frac{7}{16}}}$	נגרע מספר חצי וחלק אחד מי"ו יעלה י"ז וז' חלקים מי"ו והם המעות שבידו
	טעם למה יוציא השרש אל אמצע המדרגות בין שיהיו המדרגות נפרדים כמו זה או זוגות שנשים המדרגה הזוגיית למעלה מהמדרגה שלפניה שנחבר הכל כמו שנשים [ז'] למעלה מט' ויהיה שבעים
	לפי שלעולם בכל כפל המדרגות כפולות אחד שנעשה מהם מרובע מהכאתם עולה לששה מדרגות אם יש ליוצא מההכאה זוגות כמו זה שח' על ח' עולה לס"ד ולכן ס"ד הוא תחת המדרגה הששית
	ואם המספר נפרד לא נקח שרש כי אם מה

Appendix: Bibliography

Immanuel ben Jacob Tov-Elem / Immanuel Bonfils / Immanuel of Trascon (flourished c. 1340-1377)

Manuscripts:

1) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut. 88.30/2 (IMHM: f 17853), ff. 37r-38r (15th century)

Plut. 88.30/2

2) London, British Library Or. 10878 (IMHM: f 8193), ff. 6r-7v (15th century)

Or. 10878

3) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 365/11 (IMHM: f 43035), ff. 193v-196v (15th-16th century)

Guenzburg 365

4) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 903/7 (IMHM: f 26859), ff. 138r-140r (15th century)

heb. 903/7

5) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1026/6 (IMHM: f 15025), ff. 72r-80v (16th century)

heb. 1026/6

6) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1054/8 (IMHM: f 33997), ff. 31r-v (15th century)

heb. 1054/8

7) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1081/3 (IMHM: f 15037), ff. 4r-15v (16th-17th century)

heb. 1081/3

Bibliography:

• Gandz, Solomon. 1936. The Invention of the Decimal Fractions and the Application of the Exponential Calculus by Immanuel Bonfils of Tarascon (c. 1350), Isis XXIV, pp. 16–45.
• Lévy, Tony. 2003. Immanuel ben Jacob de Tarascon (XIVe s.): fractions décimales, puissances de 10 et opérations arithmétiques, Centaurus 45, pp. 284-304.
• ———. 2012. Immanuel ben Jacob of Tarascon (Fourteenth Century) and Archimedean Geometry: An Alternative Proof for the Area of a Circle, Aleph. 12.1, pp. 135-159.
• Rabinovitch, Nahum. 1974. An Archimedean Tract of Immanuel Tov-Elem (14th Cent.), Historia Mathematica 1, pp. 13–27.
• Rashed, Roshdi. 1994. The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra. Translated by A.F.W. Armstrong. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, pp. 85-146.
• Sarton, George. 1934. Simon Stevin of Bruges (1548-1620), Isis, vol. 21, no. 2 (Jul., 1934), pp. 241-303.
• ———.1935. The First Explanation of Decimal Fractions and Measures (1585). Together with a History of the Decimal Idea and a Facsimile (No. XVII) of Stevin's Disme, Isis, vol. 23, no. 1 (Jun., 1935), pp. 153-244.
• Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, pp. 155-163 (f79-f87); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.