Arithmetic Textbook by R. Aharon ben Isaac

Table of Contents

‫[...] שער ‫[...] ‫[הכלל] הראשון [...] השני בדרכי [...] בדרכי הערכים [...] מכפל וחילוק וחיבור [...] בשברים וכן במורכבים ‫[הכלל השני] בשאלות שלמים ושברים ומורכבים הכלל השלשי בערכים משלמים ושברים ומורכבי' וכל כלל מחולק לשערים ולפרקים

בצורות המספר והגדת המעלות   ב ג ד פרק ראשון בחיבור וב' משלים מחיבור הפרק ה ו ז ראובן חייב תפ"ד ושפ"ט     ומשל אחד 0ח0ב עוד ג' אלפים ס' עו' ד' אלפים ס‫'     משל אחר רמ"ח כורי חיטה עם תשע"ב     והישרה להרגיל לצורך הכפל והחילוק וגדר המספר ושהאחד הוא בין השלם והשבר     ולוח הרגיל המספר     כפל מרובע וכל תמונותיו הפרק השני בכפל שלמים ח ט המשל מרובע אורכו כרוחבו י"ב ואחר ואחר ואחרים   י בניין כותלים ומגדלים בינין כותלים יא יב ובניין ידיעת צירוף האותות     [..] הקבלה והלוחות     כפל צורה מרובעת דרך יג יד שלישי במגרעת השלמים ומשלים ופרק   בחילוק השלמים ומשלים פרק יד טו יו יז יח ושאלה ראובן קנה כ"ד אמות בגד כחק צ"ו פרטים שאלתי סך כל אמה     והבחינה ואחר מזמן מעיבור     ‫[...]   ‫[דף] יח ‫[...] פרק ‫[דף] יט משל ‫[...]   דף כ מאזני הכפל וה‫[...]   דף כא פרק ראשון בהקדמה והדבור [...] ופיאות האחד וצורה לשלמים ולשברים השער השני דף כא כב כג לוח לקצר השברים ולערכים ולידיעת המורה הכולל ומתחלפי המורים על ד' דרכים ועוד ד' דרכים אחרים סדר לכל אחד   דף כד כה כו בקיצור המורה ולוח ומשלים   דף כז סדר שלשי בקיצור המורה ומשל וצורה וקיצור השברי ואב המורים   דף כח כט מהנעשה מהנשאר בחלוקה והשואת השברים   דף ל דרך שני בהשואת השברים ומשלים   דף לא לב בכפל השברים פרק דף לד דרך ראשון כולל בכפל השברים ומשלים ודרך שני   דף לה עייון ומשל ופרק במגרעת השברים והדרך הראשון פרק מגרעת דף לו דף לז לח לט מגרעת צורות ומשלים ודרך שני     חילוק שברים ומשלים פרק חילוק דף מ מא פרק א חיבור שלמים ושברים ומשלים השער ג דף מב לחבר שלמים ושברי שלמים ומשלים   דף מג חיבור שלמים ושברים מדברים מתחלפים   דף מד דף מה ליטרין כיכרים כורין שנים מזלות וחלקים עיבוריין     ‫[...] ג' רביעיות [...] ג' שלמים וג' רביעיות [...] י"ב די' וד' פשי' ב' דרכים [...] לסך ה' ליטרין [...] פשיטי' [...] ענבים לסך ח' די' וט' פשי' [...] עלו ק"כ וג' פשי' על י"ד     כפל שלמים ושברי שברים על שלמים ושברים   ‫[דף] מ"ט נ"ח שלמים וד' ששיות מד' חמשיות על מ"ד שלמים וג' חמשיות     אחר ז' שלמים על ג' רביעיות מד' שלמים     אחר שלמים ושברי שלמים על שלמים ושברי שלמים     כמו י"ג שלמים וב' חמשיות מי"ב שלמים על כ"ב שלמים וב' שלישיות מט' שלמים     לכפול שלמים ושברי שברי שלמים ע שלמים ושברי שברי שלמים   דף נ כמו ב' שלמים וחצי שלשית י"א על עצמו     עוד שלמים על שלמים ושברים     כמו ד' שלמים על ה שלמים וג רביעיות       הפרק הג' במגרעת המורכבי‫'   רט"ו שנים וקנ"ג ימים כ"א שעו' וכו' והצורה לגרוע דף נא עוד לגרע שלמים ושברים משלמים ושברים     כמו י"ד שלמים וח' שברים מא מי"א בשלם מכ"ד שלמים וט' שברים מי"ג בשלם והצורה ודרך אחרת     לגרוע קס"ה ליטרי' ממון ועשרה ד' וט' פשיט ומחצה ורביע מרפ"ז ליטרי‫' לגרוע דברים מתחלפים דף נב והצורה לגרוע ח' מזלות י"ז מעלו' מ"ב די' וכו' מב' מזלות ואחר והצורות     ‫[...] תתקע"ו [...]   ‫[דף] נג אחר לגרוע שלמים [...] כמו קי"א שלמים שלמים [...] תשעיות שרצינו לגרוע מקמ"ד תשיעיות עשרית מד' שלמים     והצורה מהעבר   דף נד בחילוק שלמים ושברים על שלמים ושברים הפרק בחילוק מורכב דף נה רצינו לחלק כ"ב ליטרי' ועשרה די' ושצ"ו פשי' על ששה     משל אחר לחלק שלמים על שברים     כמו כ"ה שלמים על ג' חמשיות והצורה     אחר ג' שלמים וג' רביעיות על ב' שלישים     משל אחר רצינו לחלק מ"ט שלמים וה' ששיות על ג' רביעי ששית מ"ב חמשיות והצורה     לחלק שלמים ושברי שלמים על שברי שלמים   דף נו כמו ק"ח שלמים וד' תשיעיות מי"ח שלמים על ג' שביעיות ח' שלמים והצורה     משלים ובחינה ודרך אחרת   דף נז פרק במאזני השברים משל במאזני החיבור   דף נח משל במאזני הכפל משברים   דף נט משל במאזני המגרעת     משל במאזני החילוק     הפרק הראשון חלוקתו לד' מינים והקדמה בראשונה השער המורכב   ‫[...] והמשל [...] וקכ"ד והצורה [...] והצורה ‫[...]     ‫[בהו]צאת השרשים‫ [המין השני]‫ ‫[...] שורש מעוקב והצורה   דף סד בידיעת שורש מן המספר שאין להם שורש אמתי המין השלישי דף סה מחולק זה המין בשני סדרים     והסדר הראשון בשני דרכים   דף סו משל שורש ה' ומשל מי"א     והדרך השני ומשל שורש ח' ומשל שורש ל"ב     והסדר השני לדקדק השורש     בידיעת שורש השברים ומשלים המין הרביעי דף סז בידיעת חשבונות נמשכים ובו ג' חלקים פרק שני דף סח הראשון מדבר בסגולת האחד     החלק השני מדבר בשטחים     במספרים נמשכים ובו דרכים ומשלים   דף סט לוחות ערכים והדרך הרביעי ומשלים   דף ע החלק השלישי מי שלקח ממעוקב חצי צלעו מעוקב הוא לקח שמינית המעוקב   דף עא משל אחר מי שלקח שלישית הצלע מעוקב לקח חלק מכ"ז עוד לחלק אבן לשקול בו וכו‫'     בדרכי השאלות הכלל השני דף עב שער בשאלות חיבור וחלקתו ל פרקים     שער בש[א]לות כפל חילקתיו ל פרק     שער ג' בשאלות גירעון חילקתיו ל פרק     שער ד' בשאלות חילוק חלקתיו ל פר[ק]ים     שער ה' בשאלות מעורבות חלקתיו ל פרקין     הערה לדרך השלשה וחלוקתה לג' מנהגים ומשלים     ‫[...] מנהג שלישי [דף] עג קנה ‫[...] ראובן   קנה כור חיטה [...] בשני פשי' שאלתי [...] כמה אוקיות יתן ב ‫[...] ראובן   עו' אם ד' פשיטי סרגוסה שוים ה' פשיטי ברצילונה וכו‫'     ולוח השלושה מנהגים מדרך השלישת ודרך שלישי     ופרק בהקדמות הראיות     משלי ארבעה מספרים מתיחסים   דף עד המשל מהו המספר אשר חציו ושלישיתו יהיה ששה הדרך השני מונח כוזיב דף עה המשל מהו המספר אשר חציו ושלישיתו יהיה ששית הדרך השלישי ב' מונחי כוזבים דף עה צורת ב' מונחים כוזבים   דף עו הדרך הרביעי' שהוא דרך יחידי הדרך הרביעי   משל ג' תלמידים קנו ספר בסך כ"ד די' ולא ידענו מה שפרע כל אחד אבל ידענו כי השני פרע כפל הראשון ועוד ג' והשלישי פרע ג' כפלי השני פחות ז' שאלתי כמה פרע כל אחד התשובה והצורה     צורת השאלה שעברה   דף עז משל ג' גביעים אשר סך כולם פ"ה פרחים ומשקלם פ"ה אוקיות ולא ידענו סך הראשונה אבל ידענו כי סך השנית ג' כפלי הראשונה ועוד ה' וסך השלישית ד' כפלי השנית פחות ז' התשובה והצורה ואחר מסדרה

‫[...] וכו' שאלתי [...] הבית אנשים ונשים [...] לכל איש כ' פשי ולכל אשה [...] כמה אנשים הם וכמה נשים ‫[...] ‫[...] ‫[...] אחד חלק לי [..] על אנשים ונשים ונערים לכל איש [..] פשיט ולכל אשה פשוט ולכל נער מחצה שאלתי כמה אנשים וכמה נערים משל     המספר אשר תחבר עליו חציו וחמשיתו ושביעיתו זה על זה לא יהיה אלא שנים מהו פרק שאלות חיבור שלמים דף עט המספר אשר תחבר עליו שלשיתו ועל העולה ב' חמשיות מן העולה ועל העולה ג' חמשיות רביעיות מכל העולה ושיהיו י"ג מהו     המספר שנחבר עליו חצי שלישית רביעיתו ושלישית רביעית חמשיתו ורבעית חמשית ששיתו ושלא יהיה אלא אחד מהו     המספר אשר חיברנו עליו חצי חציו ושלשית ושלישית שלישיתו ורביעית רביעיתו ולא יהיה אלא ז‫' מהו     עשו חברה ראובן נתן ז' די' ושמעון י"א והרויחו ג' שאלתי כיצד יחלקו והצורה ראובן ושמעון חברה דף פ עשו חברה ראובן נתן כ"ט ליטרי ושמעון כ"ה ולוי י"א והרויחו י"ג ליטרי כיצד יחלוק והצורה ראובן שמעו לוי חברה   עשו חברה ראובן נתן ג' די' ביום ראש השנה ושמעון נתן ה' די' ביום ראשון לחודש אדר ושהו בחברה עד ראש השנה הבאה והרויח ד' די שאלתי הראוי לכל אחד והצורה ר"ש חברה דף פא עשו חברה ראובן נתן ג' די' ושהה ד' חדשים ושמעון ד' די' ושהה ה' חדשים ולוי ה' די ושהה ו' חדשים והרויח ששה די' שאלתי כיצד יחלוקו רש"ל חברה דף פב והצורה       ‫[...]   ראובן שמעון לוי דף פג נתן [...] כלוי ועוד [...] העולה ועוד ג' [...] ורביעית העולה ועוד ד‫' ‫[...] ושמון     נתן כראובן ושמעון ושלישית העולה [...] ימים ולוי     ועם זה הממון ושהיתם בחברה הרויחו ז' ליטרין שאלתי כיצד יחלוקו והצורה       יהיה יכול הערה ואם הערה   לקצר ומשל ודרך לקצר השאלות דף פד שלא נקצר כלל או שלא נוכל לקצר הא‫' פרק ששה מני הקיצור דף פד שנוכל לקצרו פעם או יותר הב‫'     קיצור הממון ולא הזמן הג‫'     קיצור הזמן ולא הממון הד‫'     קיצור הממון והזמן הה‫'     קיצור הכפלת הממון והזמן הו‫'     כל זה בחברות ובדרך השלושה       במין ראשון ראובן נתן ח די' ושמעון כ"ד והרויחו עשרה והצורה משל   דף פה במין השני שנוכל לקצר פעם או יותר הנה לראובן ח' ולשמעון כ"ד שנוכל לקצרם ג' פעמים וישובו לראובן א' ולשמון ג‫' משל     ‫[...] הזמן כמו [...] [ש]מון נתן י"ב [...] ישארו ד' [...] נקצר בחצי יהיו ב' [...] וכו‫' ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] בקיצור הזמן ולא הממון ‫[משל] ‫[המין הרביעי]   ראובן ח' ושהה ו' ושמעון י"ב ושהה י"ב יהיה לראובן ח"ג ולשמעון י"ב ב‫'       במין החמשי בקיצור הממון והזמן כמו שנתן ראובן ח' ושהה ו' ושמעון יב ושהה י"ב נקצר ממונם וזמנם יהיו לראובן ד' וג' ולשמעון ו' וו‫' משל המין החמשי   במין הששי בקיצור הנכפל מהממון והזמן כמו שנתן ראובן ח' ושהה ו' וכפלם מח ושמעו נתן יב ושהה יב וכפלם קמ"ד משל המין השישי   נקצרם בחיצי יהיה לראובן כ"ד ולשמעון ע"ב       עוד נקצרם יהיו י"ב לראובן ל"ו לשמעו‫'       עוד נקצרם יהיו ו' לראובן י"ח לשמעון       עו' נקצרם יהיו ג' לראובן ט' לשמעון       עו' נקצרם בשליש יהיו א' לראובן ג' לשמעון       נוכל לפסוק פסק ועיון לדרך ונאמר אם ג' שוה ט' ח' מה יהיה שוה נכפול ח' על ט' יעלו ע"ב נחלקם על ג' יעלו כ"ד [.] וכן יעלו אם נקצר בשלש ג' וט' שאז יהיו א' וג' ונאמר אם א' נתן ג' ח' מה יתן נכפול ח' על ג' יהיו כ"ד נחלקם על א' הם כ"ד כו‫' בזה הדרך הערה ועיון דף פו אחר אם ג' נתן ו' ט' מה יתן משל   דף פז אחר אם ג' נתן ג' ג' מה יתן משל     אחר אם ב' נתן ו' עשרה מה יתן משל     אחר אם ה' נתן ט"ו כ' מה יתן משל     והלוח       ‫[...] ‫[...] פרק בהשואת הממונות דף פז ‫[...] הדרך     בזה [....] ליטר ‫[...] המשל     אחרת נהפוך [...] לעליונה אם י"ו מסרגוסה שוה [...] מברצלונה ת"ת ליטרי סרגוסה כמה ליטרי ברצלונה יהיו שאלה     חייב לאחר ל"ו אשקודוש ורצה לפורעו בדוקאדוש וסך האשקודו י"ט די' וסך הדוקדו כ"ב שאלתי כמה דוקדוש יתן לו סוחר   דף פח חייב לאחד כ"ח דוקאדוש וי"א די' ורצה לפורעו באשקודוש והסך כ"ב וי"ט שאלתי כמה אשקודוש יש לו סוחר     אחר רצונו לעשות מפרחים די' או מדינר פרחים כמו כמה המשל שרצינו לעשות מרנ"ב די' פרחים והפרח שוה ט' די' וב' פשי‫' משל     אחר רצינו לעשות אלף הנה די' הכל פרחים והפרח שוה ט"ו די' וה' פשיט וגם נעשה מהדי' פרחים משל     אחר רצינו לכפול לעשות מנ' דינר' פרחים והפרח שוה י"ב די' ד' פשיט‫' משל     וכל אלה תוכל לעשות בדרך השלושה       למטבע זהב שהיה ביד סוחר ביד ד' אלפים תתק"ך די' הנה עתה אם רצה לעשות מהם פרחים וחלקם על י"ו יעלו ש"ו פרחים וי"ד וחצי ואם רצה דוקאדוש יחלקים על כ"ב ויעלו רכ"ג ואם רצה קשטיללי על כ"ח ואם רצה ליטר על כ' וכו‫' המשל להשיב מטבע אחת מטבע אחר דף צ ‫ [...] לעשותם [...] על י"ז ואם [...] ואם מקאשטיללה [...] על כ"ו וכן כל הדומה לזה [...] דנארוש [..] מלכים מבאלינסי' [...] מפרחים דיקאדש ‫[...] ‫[...] ‫[...] אם כ"ד פרחים שוים י"ו פאלומיטש רנ"א פרחים כמה פלומיטש יהיו שוים משל   דף צא אחר ת"ק ליטרי' כמה מלכים מואלינסה הם ובו ב' דרכים והמשל משל     להשיב רמ"ה קאשטיללנוש פרחים ואחר דוקאדוש ואחר אשקודוש משל     אחר להשיב רנ"ב קאשטיללנוש מזהב גואניש מכ"ו פשיטי גם מלכים מואלינסה לסך י"ח גם מברצלונה מי"ז גם קארליניש מי"ד וכו' והמשל משל         0 דף צב הסנשאל הוא בשני דרכים סגי סינשאל דף צב לדרך הראשון שהלוה ראובן אלף לסך ק' די' ומשל אחר מדרך השלושה והמשל הפרק דף צג אחר מדרך השלושה ומשל     לתת תת"ק די' לסך י"א אלפים ושיהיו בידו ע"ג ימים ומשל הדרך השני   לתת תשל"ב לזמן רצ"א לסך י"ט אלף וכו' ומשל אחר משל   דף צד אלף די' ושהו ע"ג ימים משל   דף צה די' ושהו ז' חדשים ואחר משל     אלף ושהו ח' חדשים וי"א ימים וט"ו שעות שאלה   דף צו הראשונה נכפול הקצוות ואמצעיות והם חמשה או ששה בחינות ובספר עוד לבדיקות הערה לבחינות   ‫[...] ‫[...] סינליש דף צז ‫[...] שאלה סינשאליש דף צח אחרת ‫[...] שאלה     הממון אשר ‫[...] מהו הפרק בשאלות חיבור שברים   הממון אשר חיברנו [...] רביעיתו ורביעית ‫[...] מהו     עשו חברה ראובן נתן חצי ליטרה ושמעון שלשית ליטרה והרויחו רביעית ליטרה כיצד יחלוקו ראובן ושמון חברה דף צט עשו חברה ראובן נתן ב' שלישית מד' חומשי ליטרה ושמעון נתן ושהה חמשית רביעית שנה ושמעון נתן חמשית מה' שלישיות ליטרה ושהה רביעית מב' שלשיות שנה והרויחו ג' חמשיות מב' שלישיות פרח שאלת חלק כל אחד ר"ש חברה   כל אילו השאלות בלי טורח להוציא   דף ק המספר אשר תחבר עליו שנים וב' שלישיות ויהיו י"א שאלה מהו הפרק הרביעי שאלות חיבור מורכבים   המספר אשר חציו ורביעיתו ושלישיתו פחות חמשה יהיו כ"ד מהו שאלה דף קא הממון אשר חיברנו עליו חצי רביעיתו ושלישית רביעיתו ורביעית רביעיתו ולא יהיה אלה שנים מהו שאלה   ד' שוה ג' ה' מה יהיה שוה אם השער הב' שאלות כפל   ה' פרחים שוה מ' מלכים ל"ט פרחים כמה יהיה שוה אם אחרת   נשכר עם בעל הבית לעשות מלכתו ונתן לו בד' חדשים ג' פרחים שאלתי אם ישב עמו ט' חדשים מה יתן לו אומן שאלה מזמן דף קב לטרה לבונה שוה ד' די' י"ט לטרי כמה יהיו שוים אם שאלה ממשקל   ד' אמות בגד שוה י"ו די' י"ג אמות מה יהיה שוה אם שאלה ממידה   המספר אשר כפלנו אותו על ל"ט והיוציא יהיה מ"ט מהו אחרת   ‫‫[...] יהיה ט"ו [...] והיוציא יהיה אחד [...] והיוציא [...] מגדלים וכו' והלוחות ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] מכל אילן ע"ב בדין ובכל בד [...] שוים פ' פשי' שאלתי סך התפוחים [...] כמה די' הם וכו‫' ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] יש לו גן [...] אשר בו ע"ז חורבות בכל חורבה י"א מערות בכל מערה ח' קני תרנגולין ובכל קן י"ז בצים אשר מכל ביצה תציא תרנגון אחד וכל תרנגול שוה ג' פש' שאלתי מספר כל דבר נפרט ‫[...] ‫[...] [...] האומר תרנגולת קניתי בס' פשי' ומכרסו הביצים מ' בפשוט ילדה ביצה אחד אחד מ' ימים שאלתי בכמה ימים ירויח סך התרנגול וכן     היה מס למלך ממעיין אחד יורד מהר אחד והוא המעיין משקו שלושים מדינות וכל מדינה יש לה מ' כפרים ובכל כפר נ' אנשים ולכל איש ד' כרמים וכל כרם יש לה ח' משאות ענבים וכל משא נותן מס למלך ב' פשיטין בכל שנה שאלתי מספר הכל בפרט הנה שאלה המעיין דף קה ב' שלישיות שוה ג' חמשיות שאלתי רביעית מה יהיה שוה אם הפרק השני בשאלות כפל שברים   קנה ב' שלשיות וג' רביעיות בגד ידענו אורכו בסך י"ג פרחים שאלתי סך כל הבגד ומדת אורכו סוחר שאלה דף קו ב' חמשיות מג' רביעיות שוה ג' שביעיות מה' ששיות שאלתי ד' חמשיות מז' שמיניות מה יהיה שוה אם     ג' חמשיות ליטרה מממון שוה חצי ושלשית וחמשית ושישית פרח ד' שביעיות מה' ששיות ליטרה כמה יהיה שוה אם     נשכר לעשות מלאכת שמעון ונתן לו בג' רביעיות שנה חצי מתשעית מג' שביעיות פרח שאלתי ברביעית מתשעית שנה מה [.] יתן לו ראובן   דף קז חצי שתי חמשיות מג' רביעיות אמה שוה ג' שביעיות מחצי ב' שלשיות פרח שאלתי חצי ושלישית וב' וב' שביעיות מזה הבגד כמה יהיה שוה אם שאלה ממדה   המספר אשר יהיו ב' שביעיות האחד בג' שמיניות השני מהו   דף קח המספר אשר ו' חלקים מי"א יהיה כ"ה שמיניות השני מהו שאלה אחרת   ‫‫[...] ‫[...] משלמי שברים דף קט רצינו ‫[...] שאלה שאלה   ד' חמשיות ‫[...] רצינו שאלה   כ"ד חלקים מי"ב ‫[...] רצינו שאלה   נ"ז חלקים מצ"א חלק ב‫[...] רצינו שאלה דף קי עשו חברה ראובן נתן חצי שלשית רביעית פרח ושמעון נתן רביעית ששית דוקדו ולוי נתן רביעית חצי שלישית קאטמלנו והרויחו ששית ורביעית שלישית פאלומיטה שאלתי חלק כל אחד רש"ל שאלה דף קיא לכפול ד' מעלות ו' דקים ח' שניי' וכו' על ה' מעלות ט"ו דקים וכו רצינו לכפול מעלות התכונה דף קיב‫' ג' ושלישית שוה ד' וחמשית ב' ושישית מה יהיה שוה אם הפרק הג' שאלות כפל מורכבים דף קיג ב' פרחים וב' שלישיות הרויחו ד' די' וג' רביעיות ה' פרחים וד' חמשיות כמה ירויחו אם   דף קיד המספר שאם כפלנו אותו על ט' וה' שביעיות שתציא ד' וג' חלקים חלקים מעשרה מהו שאלה דף קטו שארית חדש אחד הוא יום אחד וי"ב שעות תשצ"ג חלקים שאלתי שארית י"ב חדשים שהם שנה פשוטה אם שאלת זמן דף קיו שלשית ורביעית דבר אחד נתן ג' די' כל הדבר שהוא י"ב מה יהיה שוה אם שאלה   שלשית וחמשית דבר אחד שוה ד' די' שאירית הדבר מה יהיה שוה אם שאלה   ק' די' בשלש וחמשית חודש וט"ו שעות הרויחו ז' די' שאלתי כמה ירויחו בכל החדש אם שאלה דף קיז ק' די' בזמן חמשית וששית וי"ג שעות מחודש אחד הרויחו ט"ו די' שאלתי כמה ירויחו בנשאר אם שאלה   לכפול ד' חומשים על ששת שלמים רצינו שאלה   מספר שאם כפלנו אותו על ג' שלמים וב' חמשיות וגם היוציא כפלנו על ד' שלמים וג' רביעיות ובן הכל יהיה היוצא ד' שלמים רצינו שאלה   ‫‫[...] פרחים וב' שלישיות ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] וכפל ממונו והפסיד בכל [...] נשאר לו כלום ‫[...] ‫[...] ‫[...] המספר אשר גרענו ממנו שלישיתו ורביעית הנשאר וששית הנשאר וחמשית הנשאר וחצי הנשאר ושישאר נ‫' ‫[מהו] ‫[...] ‫[...] המספר המחובר עם המספר המונח וכו' והמשל רצינו לחבר מספר שאם נגרע חציו שישאר המונח מהו   דף קכא רצו לקות ספר ואמר ראובן לאחרים תנו לי חצי ממנכם ואני אקנה הספר ושמעון אמר תנו לי שלשית וכו‫' רשל"י שאלה דף קכב שאלתי מה ביד כל אחד וסך הספר   עוד אחרת מבגד   המספר אשר גרענו ממנו חמשיתו וישאר ג' רביעיות מהו פרק גרעון שברים דף קכג המספר אשר שלשיתו וב' חמשיות ושמניתו וישארו ששה מהו     מהפסד והוא דרך הרוח חברה פרק ג' גרעון מורכבי‫' דף קכד המספר אשר גרענו ממנו ג' שלמים וב' שלשיות וישארו ד' שלמים וד' חמשיות מהו   דף קכה המספר אשר גרענו ממנו שמונה וששה שביעיות ונשארו עשרה וחמשה ששיות מהו     המספר אשר גרענו ממנו חצי שלישית רביעית חמשיתו ושישאר שבעה מהו     המספר אשר גרענו ממנו רביעית חמשת ששית שביעיתו ושישאר י"א מהו     לי י"ז בשני חלקים אשר החלק הגדול יהיה ד' פעמים כקטן חלק שער ד' חילוק שאלות חילוק שלמים דף קכו לי י"א כשנחלקים שיהיה האחד גדול מהשני י"ח פעמי‫' חלק     לי קי"ט בשני חלקים שיהיה החלק האחד בד' חלקים לראשון ב' ולשני כראשון וחצי ולשלישי ב' פעמים כשני ושלשיתו ולרביעי כשלישי וד' שביעיותיו חלק     המספר הנחלק על י"א והיוציא יהיה ל"ט מהו   דף קכז המספר הנחלק על ד' והיוציא בחילוק תחלק על ג' והיוציא בחילוק תחלק על ב' והיוציא יהיה ז‫' מהו     ‫‫[...] ‫[...] ‫[...] דף קכז ‫[...] ‫[...] ‫[...] דף קכח לי [...] הגדול ‫[...] חלק     כ"ג פרחים ל[...] הרביעית חלק שלושה דרכים   החברות במשל הנזכ' והצורה בדרך הדרך השני דף קכט השלשה במשל הנז‫' בדרך הדרך השלישי   לי כ"ב ליטר ושלישית על שביעיות לטרה בשני חלקים שיהיה האחד גדול מן השני י"ג פעמים חלק פרק ג' חילוק מורכבי‫'   המספר הנחלק על י"ב וד' שביעיות שמנית ושיהיה היוציא בחילוק כ"ז וב' חמשיות מהו   דף קל שלמים על שברים כמו ד' שלמים על ב' חמשיות חלק שאלה דף קלא שלמים ושברים על שלמים ושברים כמו ה' שלמים וג' רביעיות על ג' שלמים וד' חמשיות חלק     שלמים ושברי שברים על דומהם כמו שרצינו לחלק ששה שלמים וב' שלשיות מג' רביעיות על ד' שלמים וד' חמשיות מב' שלשיות חלק שאלה   לשני מונחים הקדמה שער ה' שאלות מעורבות דף קלב קנה בגדים נעלמו מספרם אבל נדע כי בכל ד' בגדים פרע ט' פרחים והבגדים והפרחים היו כולם צ"ב שאלתי כמה בגדים קנה סוחר שאלה הפרק הראשון   קנה ג' חוטים בסך ק"ק פרחים נעלם סך כל אחד בפני עצמו אבל הוא יודע כי סך הסוס השני הוא כפל הראשון ועוד ד' וסך השלישי הוא ג' פעמים בשני פחות ז' שאלתי סך כל אחד בפני עצמו סוחר שאלה שנית דף קכג קנה שלשים כורי חיטה ושעורה בסך ת' די' החיטה לסך כ"א והשעורה לסך י"ג שאלתי כמה כורי חיטה וכמה כורי שעורה קנה סוחר שאלה   קנה כל כך בגדים נעלמו מספרם אבל הוא קנה אותם ג' בגדים בז' פרחים והוא ידע גם כן כי סך הבגדים והפרחים היו כולם קל"ו סוחר הערה שאלה דף קלד ‫‫[...] ב ראובן לכו [...] ד' שנים [...] אלא ט"ו ולא שהה [...] כ"ד ליטרי ולא נתן אלא [...] והרויחו שלושים ליטרה שאלתי ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] ראובן נתן ל' ליטרי ממון ושמעון כ' כורי חיטה [...] סך החיטה והרויחו י"א ליטרה ומזה הריוח ראוי [...] למי שנתן החיטה ד' ליטרי שאלתי סך כורי החיטה ‫[...] ‫[...] ‫[...] עשו חברה ראובן נתן כ"ה ליטרי ממון ושמעון בגד נעלם הסך ולוי כ' פרחים נעלמו הסכום ויהודה גביע כסף נעלם הסך והרויחו י"ד ליטרין ונפל לראובן שנתן כ"ה ליטרי ה' ליטרין ולשמעון ד' ליטרין וללוי ג' ליטרי מב' פרחים וליהודה ב' ליטרי' מן הגביע שאלתי סך הבגד וסך הג' פרחים וסך הגביע רשל"י ‫[...] ‫[...] לפסוק פסק לאנשים מה כפי מה שיש להם מן הממון הנה הדרך הוא בדרך החברות וכו‫' רצינו שאלה   עשו חברה ראובן נתן והסכמו שיתן ראובן ז' פרחים ושמעון י"ז ולוי י"ג ושימשך החברה שתי שנים והנה ראובן לא נתן אלה ה' פרחים גם שמעון לא נתן אלא ז' ולוי לא נתן אלא נ"א וגם בזמן לא שהו המותנה ביניהם אלא ראובן ששהה ב' שנים ושמעון שנה ושליש ולוי שנה אחת והרויחו עשרה פרחים שאלתי כיצד יחלוק רש"ל שאלה   עשה צואה והניח ק"ך פרחים לשלושה בנים ואמר תנו לגדול חצי הממון ולשני שלישית ולשלשי רביעית שאלתי סך כל אחד ראובן שאלה דף קלח רע עשה צוואה מרע"ג פרחיה ואמר הנה אשתי מעוברת אם תלד נקבה תנו לאשתי כפל הנקבה ואם זכר תנו לו כפל אשתי והנה ילדה זכר ונקבה שאלתי כיצד יחלוקו שכיב שאלה   לדעת הנשאר בחלוקה והיה זה על משל אחד שהוא אם ב' דוקאדש כ"ג חדשים הרויחו ד' די' ה' דוקדוש בב' חדשים כמה די' ירויחו נרצה     ‫‫[...] ‫[...] ‫[...] דף קלט ‫[...] בכל יום [...] לכל אחד מן [...] בי"ג יום ‫[הנה] שאלה   אמר ליוסף בנו אני אתן לך ת"ק די' [...] ז' שנים ושתתן לי הריוח יעקוב שאלה   מברוסה חייב לאחר ברסילונה כו‫' אחד שאלה   חייב לשמעון כ"ה [...] ורוצה לפורעו בפרחים ראובן שאלה דף קמ קנה בגד לעשות לבוש אשר רוחבו ז' זרתות ורצה לכפלו עם בגד אשר רוחבו ג' זרתות כמה יקח מהם ראובן שאלה   ב' פרחים בג' חדשים הרויח ד' די' ג' פרחים בח' חדשי‫' אם שאלה   ו' שקודוש בד' חדשי' הרויחו ג' די' ז' אשקוד' באי זמן וכו‫' אם מנהג שלישי דף קמא בגד אחד שוה ט' דוקאדי וב' אמות שוים י"ב די' וכו‫' אם     ד' אמות שוה נ"ב די' וס' הם ג' ליטרי שאלתי ה' אמות אם     סוחר קנה בגד בסך ט"ו די' והג' אמות שוה ג' די' וכו‫' אם אחרת מידה משקל   כור חיטה בסך י"ח די' ונתן י"ד אוקיות לחם עלה הכור כ"ה די‫' אם     י"ז פרחים הב' חדשים הרויחו ב' פרחים כ"ד פרחים בכמה וכו‫' אם   דף קמב כור חיטה וכו‫'       כור חיטה וכו‫'       משא ענבים       כור חיטה       משא ענבים       ד' פשיטי סרגוסה שוים ה' פשיטי ברצלונה וג' פשיטי‫' אם פרק שני שאלות תחבוליות דף קמב אחד היה מלחמה ויסגרו המבצר בעיר וכולם נ"ה אנשים ח' יהודים י"ג [.] גוים כ"א ישמעאל י"ג כושיים וכו‫' בעיר   דף קמד   הצורה   דף קמה היו בידנו עגולות במספר מה ונרשום במקום רמוז לכולם היו שם כוכבים כוכב בכל עגולה והלך כל כוכב בימים מתחלפים שאלתי בכמה מן הזמן ישובו כולם להדבק כבראשונה הנה   דף קמו ‫‫[...] שיקח [...] היה אותו [...] כולו מעוקב [...] מעוקב ה' אורך וה' [...] כמה בתים מאלו אשר [...] ראשון ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] אמות ואחר אלכסונו ד' הנה יהיה הגדול [...] הקטן ח' פעמים ‫[...] ‫[...] ‫[...] הלך לבית הרחים מהלך ג' פרסאות עם י"ב שקים מלאים חיטה בעגלה וכל כך היו מלאים שלא יוכל לקשור אותם ומצא בו כלי הטחינה רקים מוכנים ונתן כל החיטה בכלים והניח שם כל השקים רקים וגנבו מהם חמשה או ששה שאלתי כיצד יביא כל הקמח בשקים הנשארים ראובן [...] [...]     והערה   היה בידינו אבן משקלת מ' ליטרי' ונפל ונעשה ג' חלקים כמה משכל כל חלק שנוכל לשקול מליטרה אחת עד מ' ליטרין הנה שאלה   עשה צוואה ורצה שלא יודע ממונו ואמר ממון יש לי בבית ובנים ורציתי ברצון עמי שתתנו לבני הגדול פרח אחד ועשרית הנשאר ולשני ב' פרחים ועשרית הנשאר ולשלישי ג' פרחים ועשרית הנשאר וכן בסדר זה רצינו לדעת הממון והבנים אדם שאלה דף קמז קמח עשה צוואה ואמר ממון ובנים יש לי במדינת פלונית רציתי שתתנו לבני הקטן ג' כפולות וחמשית הנשאר ולשני ו' וחמשית הנשאר ולשלשי ט' וחמשית הנשאר וכן בזה ההמשכה ראובן אחרת   אמר לעבדו שיוצא תפוח מן הגן והשוערים אמרו לו השוער הראשון תוציא כל כך שתתן לי חציים וחצי אחד וכן אמר השני שאלתי כמה תפוחים לקח שיתן לשוערים ושישאר אחד למלך ואחריה ולוח בדף קמט מלך שאלה   ‫‫[...] ‫[...] ‫[...] דף קן קנה [...] ה' אמות שאלתי ‫[...] אדם שאלה   חמשיתו בקרקע ‫[...] אילן     לדעת לחבר י"ו מרקוש וה' אונסאש [...] גראנוש וה' פוליטאש עם [..] מרקוש וטעית ולך לספר והלוחות רצינו פרק בתערובת המטבעות דף קנא לגרוע כ"ד מרקוש וכו‫' רצינו   דף קנב מרקוש מכסף ג' אווסאש ט"ו דינש כל זה ממש קל לסך ח' דינש מדת [.] בכל מרקו שאלתי כמה נקי יש בכולו ט‫' שאלה דף קנג מרקוש ו' אונס ז' דיניש ח' גראנוש כל זה ממשקל לסך ה' דינש ט' גראנוש מדת כמה נקי יש כנשאל ה‫' שאלה דף קנד המתכת יתחלף בעשרה מיני או ענפים כמו שתראה בצורה אשר הענף ראשון הוא כסף נקי ורצה לערבו עם נחושת הנה הסדר השני   שני כסף נקי להורידו עם תערובת ז' דינש מדת ענף   דף קנה קנז שלשי נחושת נקי להטיכו עם כסף ענף     רביעי נחושת להטיכו עם תערובת לסך י"א מדת ענף   דף קנח חמשי תערובת מדת ז' ולהטיכו עד עשרה ענף     ששי תערובת מד' מדת להטיכו מלעלותו עד ז' מדת ענף   דף קנט שביעי תערובת מז' ולהטיכו עם חסרון חסרון הנחושת ענף     שמיני תערובת מעשרה ולהורידו עד דת ז‫' ענף     תשיעי תערובת מי"א ורצה להורידו עם תערובת אחר ענף   דף קס ענף עשירי תערובת להורידו בחסרון מכספו ענף     השלשי חלוקת תערובת הזהב כ"ד קירטיש היה בידינו י"ב מרקוש זהב לסך י"ד קיראטיש וכו‫' הסדר סדר שלישי תערובה הזהב דף קסא שני ביד צורף גביע זהב וכו‫' משל   דף קסב אחר ועוד משלים רבים אין צורך לכוכבם בכן ומשל   דף קסג ‫‫[...] במוגשם [...] וכתיבה כקול האדם [...] וכתיבה כרעם והכאת [...] כקול כינור [...] שאין בו הבנה ויש בו כתיבה כקול [...] חיים ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] כולל ערכים רבים עם כתר לדעת עמו ערכים מת[ח]לפים ‫[...] ‫[...] ‫[...] ערך מן הקטן לגדול ודומה לשברים והם ה‫' חלוקת הערכים ‫[...] ‫[...] וערך מן הגדול לקטן ודומה לשלמים והם חמשה       שלישי הוא ערך שוה וממנו יצאו ערכים מתחלפים צורת הלוח ערך     אחר כמו ב' משולשים ובאמצע ד' שורות לוח     הה' סוגים אשר הם מן הקטן לגדול ושמותהם בלשון יון ביאור   דף קסו הערה והלוחות עד דף קע"ב       תחתיו מוכפלת הראשונה ערך א‫' חמשה סוגים דף קסז תחתיו פעם וחלק השנית     תחתיו פעם וחלקים השלישית     תחתיו מוכפלת וחלק הרביעית   דף קסח תחתיו מוכפלת וחלקים החמשית     הראשון מוכפלת הערך ערך שני חמשה סוגים דף קסט השני פעם וחלק הערך     השלישי פעם וחלקים הערך     הרביעי מוכפלת וחלק הערך   דף קע החמשי מוכפלת וחלקים הערך   דף קעא לוחות ערכים עוד   קעב ראשון קצת תוארי המספר השוה ולוח אחר פרק שער ג' ערך שוה קעג ערך שוה וה' לוחות ערכים   קעד הערכים לשוה והוצאת הערכים מן השוה ומשלים להשיב   קעה ב' מספרים שיהיו פעם וחלק רצינו   קע"ו הסוג הרביעי ולוחות להוציא     הסוג החמשי להוציא     ערך סוג מה ולוח משולשי ואחר להוציא   קעז שני בידעת שלשה מיני הזוג אשר המין הראשון הוא זוג הזוג והמין השני זוג הנפרד והמין השלישי זוג הזוג והנפרד ופרק     ‫‫[...] נאהב [...] עשרה [...] והנפרד [...] ה[...] נאהב ה[...] ‫[...] ‫[...] דף קעח השליש ותולדתו והצורות ‫[...] המין הפרק הג‫' דף קעט הרכבת ערכים עם צורה והמין החמשי ידיעת   דף קף לוח בידיעת הבודדים והלוח ולדעת הוצאתם והצורות       המורכבים והבודדים והלוח ידיעת   דף קפא בג' מינים עודף ושוה וחסר וצורה מדבר פרק ד‫' דף קפב ומדבר על המספר המכוון     דף קפג מכוונים דף קפה קפז קפח הכל מכוונים והצורות מספר   דף קפד המספר הנאהבים גם דף קפ"ט להוציא   דף קפז דף קפח ז' כוכבי' לכת ומדבר על זה עד דף קצ"ה והצורות מרובעי דרוש שני שלושה סדרים דף קפט מרע וכו' וחברה שכיב   דף א' בקונדרס

‫

Introduction I

	‫[...] [...] יסוד המספר [...] הלמודיות והוא [...] שתראה בספרו [...]קור בזאת החכמה‫ [...] להשיג בה חכמות רבות אם [...] והיא מבוא והתחלה לחדד השכל ולהשיג בחכמת התכונה וזולתה ממנים אחרים רבים כמו במלאכת העיבור שהיא ענף מן התכונה [כאשר תראה בחיבור לעיבור שקראתיו מקנת כסף] ועוד בענינים רבים בתלמוד ובסחורות ובמטבעות ראתי לחבר חיבור אכלול בו כללי המספר ורוב פרטיו כי הם רבים וזה כדי שלא אשכח מה שלמדתי מהם מרוב קורות הזמן העוברים והעתדים וההוים עלי וללמוד לבני אם יובו בע"ה
I say that the kinds of number are two.	ואומר כי מיני המספר הם שנים
The first is the number deprived of substance, speech or thought, which is unlimited, because it is a number in potentia rather than in actu, and has no end.	הראשון הוא המספר המשולל מחומר ומדיבור וממחשבה והוא מספר בלא גבול כי הוא מספר בכח לא בפועל והוא בלתי בעל תכלית
The second kind, which this treatise concerns, is the number initially delimited and bounded by thought. Then, through the rational capacity, man can pronounce it or write it, as one wishes. This number is thus counted and limited. It is divided into two: even and odd, whose foundation is one, because the counted number is a sum of units.	המין השני אשר בו המאמר הוא המספר אשר ראשונה המחשבה תגבלהו ויעשה אותו בעל תכלית ואחר יוכל אדם עם הכח הדיבוריי לדברו או לכותבו כפי רצונו ואחר יהיה זה המספר מספר מנוי ומוגבל ויחלק לשנים זוג ונפרד ויסודם האחד כי המספר המנוי הוא קיבוץ ‫אחדים [...] היה מספר [...] ואמנם זה המספר [...] אל קיבוץ מספרים [...] שני מינים
	אשר המין האחד [...] או יותר מונחים ואם תחברם יהיה ה[...] גדול בעל תכליס ובעלי המספרים קראו לזה המין חיבור
	המין השני מן הקיבוץ הוא שיהיו שני מספרי' והאחד מהם כופל את השני בחשבונו והמונה אינו עולה במניין וקראו לזה המין כפל
	והרי לך שני מיני הקיבוץ
	כי החיבור הוא שעשינו מספר גדול ערכים קטנים וכן הכפל שחברנו מספר גדול בסך כפלי הנכפל
	כמו אם תחבר כ"ב עם כ"ב יהיה היוציא מ"ד וכן אם תכפול כ"ב על ב' יהיה היוציא מ"ד
	ואם כן שני אילו המינים הם עשית חשבון גדול כולל קטנים
	והפרוד יחלק גם כן לשני מינים והם הפכים הפך גמור לשנים המינים הנזכרים
	אשר המין הראשון הוא שיהיה חשבון גדול ונרצה לעשות ממנו שני מספרים או יותר וקראו אותו גרעון כי הוא גורע כל הנרצא וזה [ה]פך החיבור ומזה המין הוצאת השרשים
	המין השני מן הפרוד הוא שיהיו שני מספרים אשר האחד מחלק את השני כמספרו והמחלק אינו עולה למניין אלא שהוא מחלק הגדול כמנניו וקראו לזה המין חילוק והוא הפכי לכפל
	והרי לך שני מיני הפרוד כי גרעון הוא שנעשה ממספר גדול מספרים שנים או יותר וכן החילוק שחלקנו מספר גדול לחלקים כפי המחלק כמו אם

Introduction II

	‫ [...] מסיבת [...] ספר והמספר [...] החכמה הלימודית [כי חלוקת הלמודיות ד' חלקים הא' מספר הב' הנדסה הג' תכונה הד' מוזיקה ואני‫] שהיא [...] מיום שנתתי לבי [...] להשיג חוכמות ראבור רבות [...] שהיא מבוא והתחלה לחדד השכל ולהשיג [בחכמת] התכונה וזולתה ממינים אחרים רבים כמו במלאכת העיבור שהוא ענף מן התכונה כאשר תראה בחיבורי לעיבור שקראתיו מקנת כסף ועוד בענינים רבים בתלמודת ובסחורות ובמטבעות ובזמן ובמשקל ובמידה
I, the aforementioned Aharon, from the day I began to engage in the craft of weaving gold and silk images, although proficient in it with accuracy and precision, I realized that I lack some of the arithmetical methods required for the subtlety of the craft.	ואני אהרן הנז' מיום שנתתי ואני לבי במלאכת אריגת ציורי הזהב והמשי ואם הוא בידי בחוזק האימות והדקדוק ראיתי שאני חסר כפי דקות המלאכה מקצת דרכי המספר
Though I had some knowledge of it, I put my mind and energy to investigate the general practices of number and some of its particular properties, as human knowledge cannot comprehend them all.	ואם קצתו הוא בידי שמתי לבי וכוחי לחקור במספר בדרכים הכוללים וקצת מן הפרטים כי בכולם לא תקיף בהם ידיעה אנושית
So I saw fit to write what came within my reach, and put it together into a composition containing the rules of number and most of its many properties, so as not to forget with the passing of events and time what I had learned and to teach them to my sons, God willing.	ובעבור כל זה ראיתי לכתוב מה שבא לידי ולחברו בחיבור אכלול בו כלו כללי המספר ורוב פרטיו כי הם רבים וזה כדי שלא אשכח מה שלמדתי מהם מרוב קורות הזמן העוברים עלי וללמדם לבני אם יזכו בע"ה
If a scholar gets hold of this treatise or of Miqnat Kesef (“valuable property”) or ‛Ibbur (“Intercalation”) or […] Tzurat ha-‛Olam (“the shape of the world”), which is Alfarghani in another form, and finds that my language is not that of a learned man, he should not judge me harshly, but give me the benefit of the doubt, because I am a craftsman, as I said, and composed these treatises for my son Joseph. Now I add that, by my sins, he is dead, and this compositions are left as they stood, without order and unedited. Indeed, he was to put them in order and edit them, but now he lies deep, and I am at the end of my days, and I never got to teach him. And so, they are as naught.	ואם יבא זה החיבור או מקנת כסף או עיבור או [..] צורת העולם שהוא אלפרגני בצורה אחרת ביד חכם וראה כי הלשון אינו לשון משכיל אל ידיניני לחובה אבל ראוי שידיניני לזכות כי אני בעל מלאכה כמו שאמרתי ועשתי זה לבני ליוסף ועתה הוספתי זה כי בעונותי הוא מת ונשארו כמו שהם בלתי מסודרים ובלתי מתוקנים כי עליו לסדר ולתקן הלשון וזה היותר מסודר אבל הוא עמוק ואני בסוף ימי ולא יכולתי ללמדו ואם כן והיו כלא היו
	‫ואומר כי מ[...] מחומר ומ[...] בכח לא בפועל והוא [...] בו המאמר הוא המספר אשר [...] המחשבה ויעשה אותו בעל תכלית [...] לדברו או לכותבו כפי רצונו ואחר יהיה זה [...] ומוגבל ויחלק לשנים זוג ונפרד ויסודם האחד
	כי המספר המנוי הוא קיבוץ אחדים כסדר אל בעל תכלית
	והאחד אינו מספר
	כי גדר המספר הוא קיבוץ אחדים
	ואומנם המספר יחלק ואמנם חלוקה אחרת אל קיבוץ מספרים ואל פרוד מספרים
	והקיבוץ הוא שני מינים
	האחד הוא שיהיו שני מספרים או יותר מונחים ואם תחברם יהיה היוציא מהם חשבון גדול בעל תכלית וקראו לזה חיבור
	המין השני מן הקיבוץ הוא שיהיו שני מספרים והאחד מהם כופל את השני כחשבונו וקראו לזה המין כפל
	והפרוד הוא גם כן שני ממינים
	האחד הוא שיהיה חשבון גדול ונרצה לעשות ממנו שני מספרים או יותר וקראו אותו מגרעת והוא הפך החיבור ומזה המין הוצאת השרשים
	והמין השני הוא שיהיו שני מספרים אשר האחד מחלק את השני כמספרו והמחלק אינו עולה למנין אלא שהוא מחלק הגדול כמניינו וקראו לזה המין חילוק והוא הפכי לכפל
	והרי לך שני מיני הפרוד
	כי גרעון הוא שנעשה ממספר גדול שני מספרים או יותר
	וכן החילוק שחלקנו מספר גדול לחלקים כפי המחלק
	כמו אם תגרע ‫[...] תחלק מ"ד [...] בכל מין ומין [...] ואחר על [...] על הגרעון שהוא קל
	[...] ואחלק כל מין ומין [...] לחלקים אחרים כמו משלים או [...] אבל כפי הראוי כי דרכי המספר הם רבים ומתחלפים וקשים ובעבור זה אשנה או אשלש המשל אם כמו שהוא אם בחומר מתחלף ופעם אומר משל בזולת מקומו הכל כפי סיבה או דבר מה כפי הראוי
	אומנם חלוקת הספר בכללו הוא בשלשה כללים
	אשר הכלל הראשון יקיף בדרכי המספר
	והכלל השני יקיף בדרכי השאלות
	והכלל השלשי יקיף בדרכי הערכים
	אומנם חלוקת כל כלל הוא בשלשה שערים
	הכלל הראשון אשר יקיף בדרכי המספר חלקתיו בשלושה שערים ושער ד' פרקים מורכב ‫[..]
	השער הראשון במספר השלמים
	השער השני במספר השברים
	השער השלישי במספר המורכב משלמים ושברים
	הכללהשני אשר יקיף בדרכי השאלות חלקתיו גם כן בשלושה שערים
	השער הראשון בשאלות שלמים
	השער השני בשאלות שברים
	השער השלישי בשאלות מורכבים משלמים ושברים
	‫הכלל [השלישי אשר יקיף בדרכי הערכים]
	[גם כן בשלושה שערים]
	השער הראשון ‫[...]
	השער השני בערכי ‫[...]
	השער השלשי בערכי ה‫[...]
	ואחר שבארתי חלוקת כל כלל [...] שער לפרקיו
	השער הראשון מן הכלל [...] ולהורות מה שיעדתי בזה הספר הכולל [קראתי שמו מורה]
	אומנם כל שער מג' שערי זה הכלל יחלק לד' פרקים
	אשר הפרק האחד יהיה חיבור
	והשני כפל
	והשלישי גרעון
	והרביעי חילוק
	אמנם בשערי הכלל השני אכתוב כל פרקי חיבור שאלות שלמים זה אחר זה וכן כפל שאלות ראשון
	ופרק חיבור שאלות שברים אחריו
	ופרק חיבור שאלות מורכבים אחריו
	ואחר כפל שאלות שלמים
	ופרק כפל שאלות שברים
	ופרק כפל שאלות מורכבים
	ואחר גרעון שאלות שלמים
	ופרק שאלות גרעון שברים
	ופרק גרעון שאלות מורכבים
	ואחר פרק חילוק שאלות שלמים
	ופרק חילוק שאלות שברים
	ופרק חילוק שאלות מורכבים
	וגם תדע כי הצורך יביאני לכתוב פרקים אחרים אם לצורך ההשואה אם לדברים אחרים כמו שיעדתי [ידעתי] וגם [...] בסוף כלל ראשון שער מורכב

The Positional Decimal System
A necessary comment on the knowledge of the letters that are used in arithmetic:	הערה הכרחית בידיעת האותיות המשמשות במספר
I say that since the number that is deprived of substance is unlimited, the arithmeticians had to use endless figures or letters.	ואומר כי באשר המספר המשולל מחומר הוא בלתי בעל תכלית כן הוצרכו חכמי החשבון לקחת צורות או אותיות בלתי בעלות תכלית
For, the limited cannot count the unlimited.	כי הבעל תכלית לא ימנה את הבלתי בעל תכלית
	ועל כן הסכימו להניח ‫[...] הם בלתי [...] והסיבה שהם [] כי לגודל המספר [...] כי ידוע שבכל אומה [...] עם אותיותם ו[...] [...]
I say that the [letter] ת [the last letter of the Hebrew alphabet, designating 400] is the greatest [...] you cannot find a letter to express a greater number.	ואומר כי הת' היא היותר גדולה ואם [...] שתכלול יותר מת' לא תוכל למצוא אות אשר תכלול מספר גדול
Even if you write the letters which indicate large numbers, they will not be sufficient due to the greatness of that number, and if you repeat them several times [...], much confusion will ensue in their writing.	ואם שתכתוב אותיות גדולי המספר יתמו מרוב המספר ואם תכפלם פעמים רבים יהיה [..] גדול ובלבול בכתבתם
Hence, the uncounted number is without end.	והרי לך כי המספר שאינו מנוי הוא בלתי בעל תכלית
And the letters have an end.	והאותיות הם בעלות תכלית
Yet, that which has an end cannot count the endless, or the smaller [cannot count] the larger.	ולא יספור הבעל תכלית את הבלתי בעל תכלית או נאמר הקטן את הגדול
Therefore, the arithmeticians agreed to set 9 figures with endless ranks.	ובעבור זה הסכמו בעלי המספר להניח ט' צורות אשר הם בלתי בעלות תכלית במעלותיהם
The nine figures are like substance, but in the ranks they are of different form.	כי הט' צורות הם כמו חומר וכאשר הם במעלות הם צורות שונות זו מזו
The first, for example, is one, and can be ten or a hundred or a thousand or larger numbers without end.	אשר הצורה הראשונה בדרך משל היא אחד ויוכל להיות עשרה או מאה או אלף או מספרים גדולים מאלה לאין תכלית
Likewise for the other 9 figures set by some scholar.	וכן שאר הט' צורות אשר הניחם חכם אחד
These are the figures and above each of them its corresponding letter of our letters [= the Hebrew letters], with which you establish the number, as I do in this treatise.	ואלה הם צורתם ועל כל אחד מהם האות הדומה לה מאותיותנו אשר עמהם תנהיג המספר אם תרצה כאשר אני עושה בזה הספר
	0 ט ח ז ו ה ד ג ב א 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1
As the custom of the Gentiles and this is appropriate.	‫כמנהג הגוים וכן ראוי 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
So the cause of the ranks is the largeness of the number, and the cause of the sparsity of the letters is the ranks.	והרי לך כי סיבת המעלות היא גודל המספר וסיבת מעוט האותיות היא המעלות
Their position: the first rank is called the rank of units; the second [is the rank of tens; the third is the rank of] hundreds; the fourth rank is for the thousands; the fifth for [the tens of thousands]; and the sixth for the hundreds [of thousands] [...].	והנה דרך הנחתם היא כי המעלה הראשונה נקראת מעלת האחדים ‫והשנית [מעלת העשרות והשלישית מעלת] המאות [...] והמעלה הרביעית [...] לאלפים והחמשית ל[עשרות אלפים] [...] והששית כשלשית למאות [אלפים] ‫[...]
So, the first ctegory, i.e. triple, of ranks is units, tens, hundreds [...]. The first [triple] is as it is. The second triple is the thousands. The third triple is the millions [lit. numbers]. The fourth triple is millions of thousnds [lit. numbers of thousands].	ואם כן חילוק ראשון יחלקו המעלות [...] ר"ל שילוש הוא אחדים עשרות מאות [...] הראשון הוא כמו שהוא והשילוש השני הוא אלפים והשילוש השלשי הוא מספרים כמו שתראה והשילוש הרביעי מספרים אלפים
You will see all this with God's help.	וכל זה תראה בע"ה
So you have the position of the ranks.	והרי לך הנחת המעלות
According to the digit you write in each rank, so is the meaning of the number.	וכפי האות שתתן בכל מעלה כך תהיה הוראת המספר
For with a little investigation, you see that when there is 9 in the rank of units, which is the largest digit that can be, if we add one to it, they become ten, which is one in the second rank.	כי במעט עיון תראה כי כאשר היו ט' במעלת האחדים שהיא האות היותר גדולה שיכול להיות שאם נוסיף עליה אחד שיהיו עשרה והם אחד במעלה שנית
If there is 9 in the second rank, which is ninety, and we add a unit of its type, they become ten tens, which is one in the third rank, which is one hundred.	ואם היו ט' במעלה שנית שהם תשעים והוספנו אחד ממינו יהיו עשרה עשרות ויהיו אחד במעלה שלישית שהוא מאה
And so on endlessly.	וכן לאין תכלית
From this you see that when we shift one backwards, it becomes ten of the type of this rank.	ומזה תראה גם כן כי כאשר נשיב אחד אחורנית שיהיו עשרה ממין המעלה ההיא
If you shift two backwards, it becomes twenty.	ואם תשיב שנים יהיו עשרים
If three, it becomes thirty.	ואם שלשה יהיה שלושים
You will see all this in practice soon.	וכל זה תראה במעשה בקרוב
The method of calling the names of the ranks	סדר קריאת שמות למעלות
We give two ways for that:	נתנו בזה ב' דרכים
The first way is clear from what I said. For, when you have ranks in order and you multiply the name that is in the rank ten times, the result is the name that is in the second [rank] to it.	הדרך האחד הוא ברור ממה שאמרתי כי כאשר היו לך מעלות כסדר ותכפול שם המעלה עשרה פעמים הנה היוציא יהיה שם השנית לה
Example of the rank of units: multiply what is in the first rank ten times; the result is tens.	והמשל מעלת האחדים כפול מה שבמעלה ראשונה עשרה פעמים יהיה היוציא עשרות
	וזה ‫[...] עשרות [...] שלשית כפול [...] המעלה הרביעית [...] שהם בזה אחדים [עשרות מאות אלפים] עשרות אלפים מאות אלפים אלף [אלפים עשרות] אלף אלפים מאות אלף אלפים אלף [אלפי אלפים]
And so on.	וכן לעולם
They are ten ranks, as you see in this diagram:	והם עשרה מעלות כמו שתראה בזאת הצורה
	א א א א א א א א א א
The second way is the better and more appropriate custom, even if there are a hundred ranks or more: it is that you divide all the ranks into triples. After their division [they are given] three names or titles, except the first triple, which has no title, but is as it is. The names of the triples that follow the first triple are: thousands, millions [lit. numbers], or a combination of both.	הדרך השני הוא המנהג היותר טוב והיותר נאות ואם שיהיו מאה מעלות או יותר והוא שתחלק כל המעלות ג' ג' ואחר חלוקתם [יש להם... אחרת] מג' שמות או תוארים זולת השילוש הראשון שאין לו שם אלא כמו שהוא ושמות השילושים הנמשכים אחר השילוש הראשון הם אלפים או מספרים או מורכבים משניהם
Know that the name "million" [lit. number] is a thousand times thousand	ודע כי שם מספר הוא אלף פעמים אלף
You can see all this in the ranks I wrote, in each rank there is א, which is the smallest among the nine digits. Then, we divide the ranks into threes with a sign between each triple, like this:	וכל זה תראה בכ"כ מעלות שהנחתי ובכל מעלה א' שהוא המספר הקטן מן הט' אותיות ואחר נחלק המעלות ג' ג' עם רושם בין כל שילוש כזה
ז א     ו א א א     ה א א א     ד א א א     ג א א א     ב א א א     א א א א       א א א
We start from the units and mark each part that is three ranks, beginning from the thousands, which is the second part and the first to be named. We write 1 above the 1, which is first of [the first] triple; 2 above the third [triple]; 3 above the fourth; 4 above the fifth; 5 above the sixth, 6 above the seventh; and 7 above what is in the eighth triple.	וההתחלה מן האחדים ואחר נרשום כל חלק שהוא שלושה מעלות וההתחלה ממעלת האלפים שהוא החלק השני וראשון לשם וזה שנתן א' על א' שהוא ראש השילוש וב' על ראש המעלת השלשית וג' על הרביעית וד' על השלוש החמישית וה' על ראש השילוש השישית וו' על ראש השילוש השביעי וז' על מה שנמצא בשילוש השמיני
	וטעם שנתן אותיות הרושם על ‫המעלה [...] תחסר לעולם [...] תשב ותחלק [...] א' תורה שכל השילוש [...] ובעשרות ובמאות ורושם [...] הוא מספרים אשר בלעז [...] תורה שכל השילוש הוא הוא מורכב [...] שעברו שהאחד אלפים והשני מספרים וכן נאמר לזה אלפים מספרים כי בג' נמצא א' וב' ושילוש א' אמרנו אלפים ושילוש ב' מספרים
So, the triple ג consists of both and we say "thousands of millions [lit. thousands of numbers].	ואם כן שילוש ג' מורכב משניהם ונאמר אלפים מספרים
The letter ד indicates the millions of millions [lit. numbers of numbers], because it is double the letter ב.	ורושם ד' יורה מספרי המספרים כי הוא כפל רושם ב‫'
The letter ה is similar to א [and ד], because it consists of thousands, which is א, and of millions of millions [lit. numbers of numbers], which is ד.	ורושם ה' הוא כמו א' [וד'] מורכב הא' אלפים והד' מספרי המספרים
	וכן כולם שכל מורה נפרד [תאמר] אלפים בעבור הא' וככה מספרים כפי הזוגות אשר בו
	המשל בזה כפי הצורה המונחת הנה הא' היא מילה נפרדת ואין בה זוג [.] על כן [.] נאמר אלפים ונאמר בזה השילוש קי"א אלפים
	ובחלק השלישי יש בו ב' ויורה על מספרים ולא על אלפים ונאמר שהוא קי"א מספרים
	ובחלק הרביעי יש בו ג' ויש בג' וג' מורכב מא' וב' והנה כאשר אמרנו ברושם א' אלפים וברושם ב' מספרים נאמר בזה השילוש שיש בו א' וב' נאמר בעבור הא' אלפים ובעבור הב' מספרים כי הא' נפרד והב' זוג והוא שם מורכב ויהיו קי"א אלפים ‫[...] ד' והוא [...] מה שאמרנו [...] ובזה נאמר מספרי [...] המספרים
	ובחלק השישי [...] הא' אלפים ובעבור הד' [...] שני פעמים כי שני זוגים בו ונחבר [...] ונאמר קי"א אלף אל מספרי המספרים
	ובחלק השביעי יש בו ו' ובו ג' פעמים ב' ונאמר ג' פעמים מספרי מספרי המספרים ונאמר קי"א מספרי מספרי המספרים
	ובחלק השמיני יש בו ז' ונאמר בעבור הא' אלפים ובעבור ג' פעמים ב' שיש בו מספרים [אלף] מספרי המספרים ונחבר הכל בדיבור ונאמר קי"א אלף מספרי מספרי המספרים
	וכסדר הזה תנהיג עד אין קץ
	שאם תהיה אות הרושם ל' בדרך משל הם ט"ו זוגות וט"ו פעמים תאמר מספרי מספרי וכו' עד ט"ו
	וא' תהיה אות הרושם לא' תאמר בראשונה אלף אחר מספרים כסך הזוגות
	משל שני בזאת הצורה שהיא מתחלפת המספרים ובה ה' חלקים וד' שמות וזה צורתם
	ד ד ב     ג א ב ג     ב ז ו ט     א ח ז ו       ה ד ג
The first part is 543; the second is 876 thousand; the third is 769 million [lit. numbers]; the fourth is 123 billion [lit. thousands of numbers]; the fifth is 42 trillion [lit. numbers of numbers].	הנה החלק הראשון תקמ"ג והשני תתע"ו אלפים והשלישי תשס"ט מספרים והרביעי קכ"ג אלף מספרים והחמשי מ"ב מספרי' המספרים
If you want to sum up it all in a speech, start from the last [part] and say: 42 trillion [lit. numbers of numbers], 123 billion [lit. thousands of numbers], 769 million [lit. numbers], 876 thousand and 543.	ואם תרצה לחבר הכל בדיבור תאמר תתחיל מן האחרון ותאמר מ"ב מספרי המספרים וקכ"ג אלף מספרים ותשס"ט מספרים ותתע"ו אלפים ותקמ"ג
The foreign language is accustomed to the word million [lit. numbers]	ולשון הלעז מורגל בזה לשם המספרים

The First Part: Numerical Operations
The First Section: Integers
The First Chapter on Addition	‫הפרק [הראשון בחבור] [... ]קצתם בקצתם
	‫[...] כפל וגרעון וחילוק וגדר [...] פרט ופרט והשני פרט וכלל [...] פרט ופרט מכל מין אחדי [המעלה] [...] בקצת ופרט וכלל הם הנה אחדים על המעלות [...] לאין קץ קצתם בקצת וכלל וכלל [...] כל המעלות חוץ הראשונה קצתם בקצת אלא שבמעשה לא יאמר לא כללים ולא פרטים אלא כמו שיהיו כולם אחדים
For, the sum of 400 with 700 is the same as the sum of 7 with 4, which is 11, only that in its rank it is one thousand and 100.	כי חבור ת' עם ת"ש הוא כמו חבור ז' עם ד' שהם י"א אלא שבמעלותם הם אלף וק'
The same for all, as you will see with the help of God.	וכן כולם כמו שתראה בע"ה
I say that whoever wants to sum up many numbers and make a large number from them including them all, whether they are similar or dissimilar, should write them correspondingly, each species above its own species, units above units and multiples [i.e. decimal ranks] above multiples, as long as the corresponding multiples are [of] similar [species].	ואומר כי הרוציה לחבר מספרים רבים ולעשות מהם מספר גדול כולל לכולם אם שיהיו דומים או בלתי דומים צריך לכתוב אותם מכוונים כל מין על מינו אחדים על אחדים וכוללים על כוללים ובלבד שיהיו דומים הכוללים הנגדיים כל אחד עם בן גילו
Sum the numbers of the rank of the units and every ten that you sum from them is one in the rank of the tens.	וחבר מספרי מעלת האחדים וכל עשרה שתקבץ מהם יהיו אחד במעלת העשרות
Then, sum the numbers of the ranks of the tens and every ten that you sum from them is one in the rank of the hundreds.	ואחר חבר מספרי מעלות העשרות וכל עשרה שתקבץ מהם יהיו אחד במעלת המאות
Apply this procedure in all the ranks.	והמנהג הזה תנהיג בכל המעלות
This is the rule: every ten in whichever rank is one in the successive rank, for you consider each rank as units in relation to the successive [rank].	זה הכלל כל עשרה מאיזו מעלה שיהיה יהיו אחד במעלה הנמשכת לה כי כל מעלה תחשבנה כמו אחדים בערך לנמשכת לה
Example: Reuven owes Yehuda 484 dinar and 389 more. $\scriptstyle484+389$	המשל ראובן חייב ליהודה תפ"ד די' ועוד שפ"ט
We arrange them in this diagram:	נסדרם בזאת הצורה
Debt   Result 4 8 4 3 8 9 8 7 3	ד ח ד ג ח ט ח ז ג החיוב   העולה
Sum what is in the rank of the units; they result is 13.	וחבר מה שבמעלת האחדים יעלו י"ג
	עשה מהעשרה אחד במעלת העשרות ישארו ג' ‫ [...] במעלת [...] מעשרה אחדים [...] מעלת המאות ועם [...] במעלת העשרות ז' והנה ‫[...]
	וכן אם היו תפ"ד ושפ"ט כורי [...] או ברזל או משי או דבר מה [...] חבור דרך אחד לכולם ואין צריך משל לכל אחד
	וכן א[ם] יהיה ג' או ד' טורי החיוב או יותר שתחבר מה שבמעלה ראשונה מכל הטורים ותכתוב חיבור כולם למטה או הנשאר על עשרה או עשרות
Because, for every ten you write one in the successive rank as stated above.	כי מכל עשרה תכתוב אחד במעלה הנמשכת לה כמו שקדם
	ואם לא תצטרך לתת מספר באיזו מעלה רשום במעלה ההיא ספרא כזה 0
	ודע כי פעמים יהיה באיזה מעלה ספרא ותכתוב תחתיה ספרא ופעמים תהיה ספרא ותכתוב תחתיה מספר ופעמים יהיה מספר ותכתוב תחתיו מספר ופעמים יהיה מספר וכתוב תחתיו ספרא וזאת החלוקה תתאמת בכל המינים כמו שתכף תראה זה בחבור
Example: Reuven, Shimon and Levy borrowed money from Yehuda: Reuven borrowed two thousand and eighty dinar; Shimon [borrowed] three thousand and sixty; and Levy [borrowed] four thousand and sixy. We wish to know the total amount [they borrowed].	המשל בזה ראובן שמעון לוי השאילו ממון מיהודה הנה ראובן שאל ב' אלפים ושמונים די' ושמעון ג' אלפים ושישים ולוי ד' אלפים ושישים ורצינו לדעת סך כולם
We arrange them in this diagram:	נסדרם בזאת הצורה
Reuven 2 0 8 0 Shimon 3 0 6 0 Levy 4 0 6 0 Result 9 2 0 0	ב 0 ח 0 ראובן ג 0 ו 0 שמעון ד 0 ו 0 לוי ט 2 0 0 העולה
	ונחבר מספרי כל מעלה והנה בעבור כי במעלות האחדים לא נמצא דבר נכתוב ספרא תחת ה0' ובשני כ' ויהיו ב' בשלישית וספרא תחתיו ובשלישית כולם ספראש אבל נכתוב הב' שעלינו ‫מן העשרות [...] ועלה בידינו [...] והרי לך כי המעלה [...] ומעלת העשרות מספר[...] המאות ספראש וכתבנו [...] מספרים וכתבנו מספר תחתיו [...] תמצאינו
Another example: we sum 248 kors of wheat with 773; the result is one thousand and 21 kors of wheat. $\scriptstyle248+773=1021$	משל אחר חיברנו רמ"ח כורי חיטה עם תשע"ג יעלו אלף וכ"א כורי חיטה
	ודי בזה כי במקומות אחרים כמו במורכבים או בנמשכים בסדר אעשה חיבור מדברים מתחלפים כמו לטרי ממון ומשקל ודברים אחרים במקומות הראוים לכל דבר
	והנה אחר זה ראוי לדבר בחלק השני מן הקיבוץ שהוא הכפל
	וגם אקצר בו כי יש מקומות להאריך
	אבל אמנם הראוי ללמוד בראשונה כפל מעלת היסוד שהיא המעלה הראשונה ולוח הרגיל המספר המחוייבת להשיב קנין ועל פה כי זה הלוח שהיא כפל הט' אחדים קצתם בקצת לא תנתן לכתוב ככל הכפל אלא על פה
	הישרה להרגיל לכפול המעלה ראשונה שלא נתנה להכתב והיא מעלת האחדים וקראתי אותה מעלת היסוד כי כן ראוי שתקרא בעבור דברים רבים ומהם שהיא דומה לאחד כי כאשר תכפול האחד על עצמו אין הכפול יוציא מעצמו כן כשתכפול מעלות על מעלות תגרע מעלה אחת כמו שקדם ועוד כי כמו שהמספר שהאחד אינו נכנס בגדר המספר כן זאת המעלה לא תכנס במספר המעלות ‫[...] מעלות נגרע [...] במספר [...] מעלה זולתה יש לה שם [...] או מאות או אלפים או מספרים [...] שהיא בתוכה אבל יש לה [...] מעלת היסוד כי בה תמצא [...] המספרים בעצם ובראשונה והמעלות האחדים[..] הושאלו ממנה כי עשרה [הוא] אחד ומאה הוא אחד וכן אלף ומספר וב' עשרות ומאתים ואלפים הושאלו מב' וכן עד ט' ונוכל לאמר לט' אחדים יסודות
	ועוד נמצא בה אב"ג שחבורם הוא מספר שוה וכל אחד בפרט
	הא' הוא יסוד היסודות שאם לא תמצא א' לא תמצא מספר ואם כי המספר תלוי בא' והא' אנינו תלוי במספר לפי שאינו מספר
	שנקרא המספר הוא קיבוץ אחדים והאחד אינו מקובץ מאחדים אם כן אינו מספר
	ועוד ראה כי המספר הוא שלם או שבר והאחד אינו לא שלם ולא שבר אבל בין שלם ושבר והוא נבדל מהם
	אבל הפך ב' שלמים הוא חצי והפך ג' שלמים הוא שליש והפך ד' שלמים רביעית וכן לאין תכלית
	והאחד הוא כמו נקודה או מרכז בין השלם והשבר כזאת הצורה
	כי אין חצי אם אין אחד כמו שאין ב' אין אחד [והוא סיבת כולם]
	ועוד אדבר מסגולות האחד בפרק החילוק ועלה מזה כי כמו שהאחד נבדל ממה שלפניו וממה שלאחריו כן המעלת האחדים נבדלת מכל המעלות יש לה תואר אחר כי כל המעלות ‫תוכל לכפול אותה [...] תוכל לכפול [...] לדעת כפל כולה אתה [...] בלוח הזה שהוא [...] לוח הרגיל המספר כי שתר[א]ה כל האחדים אינו [...] ד' וכפל [...] וב' [...] הוא [] [] המעלה נמצא ב' שהוא תחילת המספר [...] כאשר [...] והג' [...] ורוחב [...] סגולות [...]
	כזה
16 4 4   1 1 1 20 5 4   2 2 1 24 6 4   3 3 1 28 7 4   4 4 1 32 8 4   5 5 1 36 9 4   6 6 1         ז ז א כה ה ה   ח ח א ל ו ה   ט ט א לה ז ה         40 8 5   4 2 2 45 9 5   6 3 2         8 4 2 36 6 6   10 5 2 42 7 6   12 6 2 48 8 6   14 7 2 54 9 6   16 8 2         18 9 2 49 7 7         56 8 7   9 3 3 63 9 7   12 4 3         15 5 3 64 8 8   18 6 3 72 9 8   21 7 3         24 8 3 81 9 9   27 9 3	יו ד ד   א א א כ ה ד   ב ב א כד ו ד   ג ג א כח ז ד   ד ד א לב ח ד   ה ה א לו ט ד   ו ו א         ז ז א כה ה ה   ח ח א ל ו ה   ט ט א לה ז ה         מ ח ה   ד ב ב מה ט ה   ו ג ב         ח ד ב לו ו ו   י ה ב מב ז ו   יב ו ב מח ח ו   יד ז ב נד ט ו   יו ח ב         יח ט ב מט ז ז         נו ח ז   ט ג ג סג ט ז   יב ד ג         טו ה ג סד ח ח   יח ו ג עב ט ח   כא ז ג         כד ח ג פא ט ט   כז ט ג
The Second Chapter on Multiplication	‫[הפרק השני בכפל]
	‫[...] יחלק לשני [...] שהוא כפל פשוט [...] מרובע שוה [כלל] צלעותיו [...] רושם צלעות [...] ג' מנים אם שוה [...] אם שוה [...] כל זה מבוא [...] כתבתי [...]
	ואומר כי המין הראשון מן [...] הפשוט הוא בכפל תמונה [...] בכפל [..] הצלעות הוא [...] שתרצה ידעת זאת התמונה הנה ראשונה ראוי [שתראה] האורך שתרצה בה אם מאמות או מאיזה מספר שתרצה ותכפול אותם על עצמם והיוצא הוא המרובע המבוקש
Example: we wish to know [the area of] a square that is 3 cubits long and so is its width. $\scriptstyle3\times3$	המשל בזה רצינו לדעת מרובע אורכו ג' אמות וכן רוחבו
We multiply 3 by 3, that is, we multiply the 3 by the other 3, 3 times; the result is 9 and this is the area of the required shape. $\scriptstyle{\color{blue}{3\times3=9}}$	הנה כפלנו ג' על ג' כלומר שנכפול הג' בסך הג' האחרת ג' פעמים יעלה [ט'] והוא שטח התמונה הנרצת
	כי ג' תמצא [...] הצורה
1 1 1 1 1 1 1 1 1	א א א א א א א א א
	ואם תרצא שטח תמונה מרובעת אשר כל צלע [...] האחד על האחר והוא ד' על [...] י"ו והוא שטח התמונה הנרצת כי ד' אמות תמצא בכל צלע בצורה הזאת
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	א א א א א א א א א א א א א א א א
	ואם רצינו מרובע כזה אשר צלע האחד יהיה משני מעלות תניח ‫זה על זה [...] הטור התחתון [...] הטור התחתון שהכל [...] כאשר קדם שאם תכפול [...] נגד מעלת האחדים ואם אחדים [...] נגד העשרות ואם אחדים [...] ואם מכפל איזו מעלה [...] הפרטיים תחת המעלה [...] הכללים תחת הנמשכת לה כי כל מעלה היא [...] בערך הנמשכת לה כאשר קדם
Example: we wish to know [the area] of an equilateral square, each of whose sides is 26 cubits long. $\scriptstyle26\times26$	המשל בזה רצינו מרובע אחד שוה הצלעות אשר כל צלע יהיה כ"ו אמה
As saying: 26 cubits of cloth at 26 dinar for one cubit; how much will it cost?	והוא כאומר כ"ו אמות בגד לסך כ"ו די' האמה כמה יעלה
Or, as saying: 26 weights of a thing for 26 dinar, or peraḥim, or liter; how much will it cost?	או כמו האומר כ"ו משקלי דבר מה לסך כ"ו די' או פרחים או לטרין כמה יעלה
We arrange them in two lines above one line in order to separate the multiplier and the multiplied from the product, as this diagram:	הנה נסדרים בשני טורים זה על זה על קו אחד להבדיל הכופל והנכפל מן הכפול בזאת הצורה
2 6   2 6 1 5 6 5 2   6 7 6	ב ו   ב ו א ה ו ה ב   ו ז ו
We multiply 6 by 6 and 6 by 2; then 2 by 6 and 2 by 2.	הנה כפלנו ו' על ו' וו' על ב' ואחר ב' על ו' וב' על ב‫'
Because we multiply each rank in the upper row by each rank in the bottom row:	כי כפלנו כל מעלה מן הטור העליון על כל מעלה מן הטור התחתון
We multiply 6 by 6; the result is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{6\times6=36}}$	כצד כפלנו ו' על ו' יעלו ל"ו
We write the units, which are 6, beneath the units.	כתבנו הפרטים שהם ו' תחת האחדים
The tens that are 30 are 3 in the second [rank], but we do not write them, until we make another multiplication to add with it, in order to ease the trouble.	והכללים שהם ל' יהיו ג' בשנית אבל לא נכתבם עד שנעשה כפל אחר לחברם עמו וזה להקל הטורח
We say: 6 times 2 is 12. With the 3 we have, it is 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\times2\right)+3=12+3=15}}$	ונאמר ו' פעמים ב' הם י"ב וג' שהיה לנו הם ט"ו
We write the units in the second rank and the ten in the third [rank].	נכתוב הפרטים במעלה שנית והכלל בשלשית
You get the product of 6 by the whole bottom row.	והרי לך שכפל הו' כל הטור התחתון
Now, we multiply 2 by the whole row as well.	ועתה נכפול ב' על כל הטור גם כן
We say: 2 times 6 is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times6=12}}$	ונאמר ב' פעמים ו' הם י"ב
We write the units corresponding to its rank.	נכתוב הפרטים נגד מעלה
	‫ [...]רות על אחדים [...] נכתוב הפרטים [...] שלישית אבל לא נכתבהו [...] ב' פעמים ב' שהוא ד' [...] במעלה שלישית והיא [...] עשרות על עשרות העולה והיה [...] והרי שיצאו מכפל [...] זה על זה [...] קנ"ו ומהשני תק"ד נחברם עם ‫[...]
This is the required area of the equilateral square, each side of which is 26 cubits; it is also the number of dinar for the 26 cubits of cloth.	והוא שטח התמונה הנרצת המרובעת השוה הצלעות אשר כ"ו אמה בכל צלע והוא הסך מדנרי הכ"ו אמות של [בגד]
There is no need for another example, because it is as saying 26 cubits of cloth for a total of 26 dinar; the result is 676 dinar; or as saying 26 weights of copper, or something for a total of 26 dinar, or peraḥim, or liters. You can also say that about all things you want, because the multiplication of all of them is the same and so for all the examples I will give for quadrilaterals, you can change the matter of the question as you wish.	ואין צריך משל אחר כי הוא כאומר כ"ו אמות בגד לסך כ"ו די' [..] עולה תרע"ו די' או כאומר כ"ו משקל נחושת או דבר מה לסך כ"ו די' או פרחים או לטרין וכן תוכל לאמר מכל הדברים שתרצה כי הכפל בכולם אחד הוא וכך לכל המשלים שאביא במרובעות תוכל לשנות חומר השאלה כפי מה שתרצה
Note: know that if in the number to be multiplied there is a zero, which is an indication that there is nothing in that rank [..], be very careful not to forget its rank, even though there is no digit in it.	הערה דע שאם יהיה במספר הנרצה לכפול ספרא שהוא רושם שאין במעלה ההיא דבר [..] זה המקום שיהיה השמר מאוד שלא תשכח מעלתה אע"פ שאין בה מספר
Example: a square shape, each of whose sides is two hundred cubits long. $\scriptstyle200\times200$	והמשל בזה בתמונה מרובעת אשר כל צלע מאתים אמות
We arrange two hundred by two hundred above one line, as this diagram:	נסדר מאתים על מאתים על קו אחד כ[זא]ת הצורה
2 0 0     2 0 0     0 0 0   0 0 0   4 0 0     4 0 0 0 0	ב 0 0     ב 0 0     0 0 0   0 0 0   ד 0 0     ד 0 0 0 0
It is also as saying two hundred kikkar of copper at two hundred dinar for one kikkar.	והוא גם כן כאומר מאתים ככרי נחושת לסך מאתים די' כל כיכר
We multiply the first zero in the bottom row; it is zero.	הנה נכפול הספרא הראשונה מן הטור התחתון ‫ויהיה ספרא
	‫[...] השנית ג"פ על ב' וכן [...] ותעשה ג' ספרות [...] אחד למעלה כי תחת הספרא [...] הספרא הראשונה והנמשכות [...] התחתון ויהיה הספרא הראשונה [...] וספרא אחרת אחריה במעלת האלפים וד' אחריה במעלת עשרות אלפים
So, once you add them together, you find 40 thousand. Thus, the product of two hundred by two hundred is 40 thousand and it is a square [lit. equilateral quadrilateral], each side of which is two hundred cubits long and wide.	ואם כן אחר שתחברם תמצא מ' אלפים והנה יהיה שטח מאתים על מאתים מ' אלפים והוא מרובע שוה הצלעות אשר בכל צלע מאתים אמות באורך וכן ברוחב
This is also the value of the two hundred kikkar of copper or the value of the material you want	והוא גם כן סך המאתים כיכרי נחושת או סך החומר שתרצה
The second type of simple multiplication is [the area of] a rectangle, which is a non-equilateral quadrilateral.	המין השני מן הכפל הפשוט הוא בכפל בלתי מרובע שוה הצלעות אבל הוא מרובע ארוך
I say that whenever you want to multiply any number by another, greater or smaller than it, the resulting area is a rectangle.	ואומר כי כל זמן שתרצה לכפול איזה מספר על אחר בן שיהיה גדול ממנו בן שיהיה קטן הנה השטח היוציא ממנו יהיה מרובע ארוך
Example: we multiply 2 by 3: $\scriptstyle2\times3$	המשל בזה כפלנו ב' על ג‫'
The result is 6 and this is the area of a rectangle, like this: $\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}$	יעלו ו' והוא שטח ארוך כזה
Because one side is 2 and the other is 3.	כי הצלע האחד הוא ב' והשני ג‫'
Similarly, if you multiply 3 by 4: $\scriptstyle3\times4$	וכן אם תכפול ג' על ד‫'
The result is 12 and this is the area of a rectangle like this: $\scriptstyle{\color{blue}{3\times4=12}}$	יעלה י"ב והוא שטח בלתי מרובע כזה
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	א א א א א א א א א א א א
Because one side is 4 and the other is 3.	כי הצלע האחד הוא ד' והאחר הוא ג‫'
Another example: we wish to know the area [of a quadrangle], one side of which is 75 and the other is 245, like this: $\scriptstyle75\times245$	משל אחר רצינו לדעת שטח בלתי שוה בצלעותיו אשר הצלע האחד יהיה ע"ה והשני רמ"ה כזה
7 5     2 4 5   1 2 2 5 1 7 1 5   1 8 3 7 5	ז ה     ב ד ה   א ב ב ה א ז א ה   א ח ג ז ה
We multiply one by the other according to the rule: 5 by 245; the result is 1225; and 7[0] by 245; the result is 17150. We sum them up; the result is 18375.	נכפול זה על זה כמנהג ה' על רמ"ה יעלו תשל"ה [אלף רכ"ה] וז' על רמ"ה יעלו י"ז אלפים תק"ן [י"ז אלף ק"ן] נחברם יעלו ק"ה אלפים תקל"ה [י"ח אלף שע"ה‫]
$\scriptstyle{\color{blue}{75\times245=\left(5\times245\right)+\left(70\times245\right)=1225+17150=18375}}$
It is the same as saying 245 liṭra of pepper at 75; the total price is the mentioned amount.	והוא הדין כאומר רמ"ה לטרין פלפל לסך ע"ה שיעלה הסך הנז' מערוך
Another example: If one asks for 245 kor of wheat at 19 dinar. $\scriptstyle245\times19$	משל אחר אם שאל רמ"ה כורי חיטה לסך י"ט די‫'
Multiply 19 by 245; the result is 4 thousand and 655, according to this diagram: $\scriptstyle{\color{blue}{19\times245=4655}}$	כפל י"ט על רמ"ה יעלו ד' אלפים תרנ"ה ויהיה כזאת הצורה
	‫[...] ל"א די' [...] וכן נ"ב פרחים לסך [...] תשכ"ח וכן כל הדומה [...] הכפל בכל דבר אחר הוא [...] שתראה בע"ה
The first type of the second category of the multiplication of solids is called cube, which is the solid that has three dimensions - length, width and height; and it has four types of shapes:	המין הראשון [...] מן החלק השני בכפל המוגשמים [נקרא] מעוקב שהוא הגשם אשר ימצאו בו השלושה רחקים שהם אורך ורוחב ועומד והוא ארבעה תמונות סוגיות
The [area of] first shape is [obtained] when you multiply a number by the same, then you multiply the product by the same.	התמונה הראשונה הוא שתכפול מספר שוה על שוה והיוציא תכפול על שוה
The second shape - [a number] by the same, then the product by a greater.	התמונה השנית היא שוה על שוה והיוציא על יותר גדול
The third shape - [a number] by the same, then the product by a smaller.	התמונה השלישית היא שוה על שוה והיוציא ביותר קטן
The fourth shape - all [the numbers] are different.	התמונה הרביעית כולם מתחלפים
You will understand them through examples.	ובמשלים תבינם
I say that the [area of] the equilateral cube is [obtained] when there are three equal numbers and you multiply one by the other, then the product by the third, so it is equal in all its sides.	ואומר כי תמונת המעוקב השוה הוא כאשר יהיו שלושה מספרים שוים ותכפול האחד בשני והיוציא בשלישי וזה יהיה שוה בכל צלעותיו
Example: We want a square solid shape, each side of which is two cubits.	והמשל רצינו תמונה מרובעת ומוגשמת אשר כל צלע תהיה שני אמות
We multiply 2 by 2, which is the length by the width; the result is 4 and this is the area of the square we want to turn into a solid.	כפלנו ב' על ב' שהוא האורך על הרוחב יעלו ד' וזה שטח המרובע שרצינו לעשותו מוגשם
Then, we multiply 4 by 2; the result is 8 and this is the required that is 2 cubits long, 2 cubits wide and 2 cubits deep. $\scriptstyle{\color{blue}{2^3=2\times2\times2=4\times2=8}}$	ואחר כפלנו ד' על ב' יעלו ח' והוא המבוקש אשר היא ב' אמות אורך וב' רוחב וב' עומק
The second example: We want a cube, each side of which is 434.	משל שני רצינו מעוקב אשר כל צלע יהיה תל"ד
We multiply 434 by 434, according to this diagram:	כפלנו תל"ד על תל"ד כזאת הצורה
The first diagram:	צורה ראשונה
multiplier multiplicand       4 3 4       4 3 4     1 7 3 6   1 3 0 2   1 7 3 6     1 8 8 3 5 6	הכופל הנכפל       ד ג ד       ד ג ד     א ז ג ו   א ג 0 ב   א ז ג ו     א ח ח ג ה ו
The result is 188 thousand and 356 and this is the area of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{434\times434=188356}}$	יעלה קפ"ח אלפים שנ"ו וזה שטח המרובע
Now, we multiply this number again by 434, according to the second diagram:	ועתה נכפול עוד זה החשבון על תל"ד כזאת הצורה השנית
The second diagram:	צורה שנית
4 3 4     1 8 8 3 5 6     7 5 3 4 2 4   5 6 5 0 6 8   7 5 3 4 2 4     8 1 7 4 6 5 0 4 product	ד ג ד     א ח ח ג ה ו     ז ה ג ד ב ד   ה ו ה 0 ו ח   ז ה ג ד ב ד     ח א ז ד ו ה 0 ד הכפול
The result is 81 [million], [7]46 thousand and 504; and this is the required, each side of which is 434. $\scriptstyle{\color{blue}{434^3=188356\times434=81746504}}$	יהיה העולה פ"א תרמ"ו אלפים תק"ד והוא המבוקש אשר כל צלע הוא תל"ד
	ועיין בזה כי בשאלות אדבר בזה במידות ובבנינים בע"ה
	התמונה השנית היא שוה על שוה והיוציא על יותר גדול וזה יהיה כמו עמוד
	המשל בזה רצינו תמונה אשר אורכה ד' אמות ורוחבה ד' והגובה עשרה הנה יהיו כולם ק"ס אמות ואם תרצה להחליף המרחבים הכל אחד ‫אלא שיהיה עמה [...] על קטן וזאת תהיה [...] וגובהו נמוך כמו [...] נכפול מספר שוה על שוה ‫[...]
	המשל בזה רצינו תמונת [...] אמות והרוחב גם כן [...] כ"ה וזה שטח התושבת ואחר כפלנו התושבת שהוא כ"ה על ג' [...] יהיו ע"ה והוא המבוקש
The entire fourth shape has different sides: It is when the three numbers are different; like a wall.	התמונה הרביעית כולה מתחלפת הצלעות וזה יהיה כאשר יהיה הג' מספרים מתחלפים וזה יהיה כמו כותל
	המשל רצינו תמונה מוגשמת אשר אורכה י"א אמות ורוחבה ב' וגובהה כ"ז נכפול י"א על ב' יהיו כ"ב וזה תושבת הכותל ואחר כפלנו התושבת על הגובה שהוא כ"ז יהיו תקצ"ד והוא המבוקש
	והרי לך הד' תמונות המוגשמות אשר תוכל לעשות תמונות מוגשמות לאין תכלית אבל כולם יצאו מאלו
	דרך אחרת לדעת כל מעוקב כפול השורש על המספר הנמשך והעולה על הקודם לו או בהפך כי הכל שוה ועל העולה תוסיף השורש
Example: we wish [to know] the cube of 3. $\scriptstyle3^3$	המשל בזה רצינו מעוקב ג‫'
We multiply 3 by 4 that follows it; it is 12. We multiply also 12 by 2, which is the preceding number; it is 24. Add the [cube] root to it; it is 27 and this is the required. Because it is the same as 3 by 3, which is 9; and 3 by 9 is 27.	נכפול ג' על ד' שהוא הנמשך אחריו יהיו י"ב גם נכפול י"ב על ב' שהוא המספר שקודם השורש יהיו כ"ד תוסיף עליהם השורש יהיו כ"ז והוא המבוקש כי הוא כמו ג' על ג' שהוא ט' וג' על ט' הוא כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{3^3=3\sdot\left(3+1\right)\sdot\left(3-1\right)+3=3\sdot4\sdot2+3=12\sdot2+3=24+3=27=9\sdot3=3\sdot3\sdot3}}$
Another example: we wish [to know] the cube of 4. $\scriptstyle4^3$	משל אחר רצינו מעוקב ד‫'
We multiply 4 by 5 that follows 4; it is 20. We multiply also 20 by 3 that precedes 4; it is 60. We add to it the [cube] root, which is 4; it is 64 and this is the cube of 4.	נכפול ד' על ה' יהיו כ' שהוא הנמשך לד' יהיו כ' גם נכפול כ' על ג' שהוא הקודם לד' יהיו ס' נוסיף עליהם השורש שהוא ד' יהיו ס"ד והוא מעוקב ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4^3=4\sdot\left(4+1\right)\sdot\left(4-1\right)+4=4\sdot5\sdot3+4=20\sdot3+4=60+4=64}}$
	דרך הבנינים
	אם תרצה לדעת כמה לבנים הוצרך עומד או כותל או מגדל תן לבנים שורה אחת כפי אורך ורוחב העמוד או הכותל או המגדל שתרצה וכפול זאת השורה על השורות שתרצה כפי הגובה שתרצה
	המשל בזה רצינו עמוד שיהיו ג' לבנים על ג' ויהיו ט' לבנים בשטח שהוא השורה הראשונה ורצינו שיהיה גובהו צ"ה ‫[...] המבוקש [...] אורך ורוחב הכותל [...] הגובה שתרצה והוא המבוקש [...] כמה שורות יש בו ותכפלם [...] בזה הכותל אשר שטחו הוא ח' לפני [...] על ט' יעלו ע"ב והוא המבוקש
	צורת הכותל
	ואם תהיה הכותל דק שהוא עובי על עובי שהוא הבנין היותר דק מכל הבנינים תכפלם גם כן על סך השורות ותדע הלבנים אשר בכותל או הלבנים שתצטרך לבנות הכותל והמשל בזה הצורה
	צורת הכותל
	אשר בה ח' לבנים באורך הכותל וז' בגובה כפול ז' על ח' יהיו ‫נ"ו וכן תמצה כזה [...] מזה הבניין כמה שורות [...] השיעור כפי הגובה שתרצה [...] ולמדוד הגובה תשטח בקרקע [...] הגובה שתרצה או תשטח בקרקע [...] תשטח מלבנה אחת על אחת הגובה שתרצה [...] וכפול מספר שורת האורך על מספר ה[..] והם הלבנים שאתה צריך בזה הכותל
	ואם תרצה מגדל מרובע עם ד' עמודים לד' זויותיו אשר שטח כל עמוד ט' לבנים ואורך הכותלים בין עמוד לעמוד ה' לבנים נעיין מספר הלבנים מד' כותלים ומד' עמודים יהיו נ"ו לבנים כזאת הצורה
	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0           0 0 0 0 0 0           0 0 0 0                   0 0                   0 0                   0 0                   0 0                   0 0 0 0           0 0 0 0 0 0           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
	והם שורה אחת ורצינו שיעלה זה המגדל שמ"ה שורות
	נכפול נ"ו על שמ"ה שורות יעלו י"ט אלף ש"כ לבניים
	ואם תאמר רצוני שתהיה זה המגדל כך אמות עיין בכותל אחר כמה שורות יש באמה אחת וכפול השורות שבאמה על נ"ו שהיא השורה הראשונה ומה שיעלה בכפל כפול על מספר האמות שתרצה והוא המבוקש
	‫דרך אחרת לכפל בצורה מרובעת ויש לה סגולות ראבו רבות וזה שנוכל לכפול קצת בשעה אחת וקצת בשעה אחרת ונוכל לכפול בסדר ושלא כסדר ויהיה הצורה המרובעת כזה
Permutations
The method for knowing the combination of the letters	סדר ידעת צירוף האותיות כחכמי
[...] [3] generate 6 permutations [lit. houses]; [4 generate 24 permutations; 5] generate 120 permutations; [6 generate 720 permutations; 7] generate 5040 permutations [...]	‫[...] [...] בונות ו' בתים [...] בונות ק"ך בתים [ז' בו]נות ה' אלפים ומ‫' [...]
I shall write a general way to know [...] in two lines [...], for 1 has no combination at all.	אכתוב דרך כללי לדעת [...] שורות בשני טורים הטור [...] אותיות בסדר [...] כי א' אין בו צרוף כלל
These two lines are according to this diagram:	ויהיו השתי שורות כזה הצורה
2 3 4 5 6 7 8 2 6 24 120 720 5040 40320	ח ז ו ה ד ג ב ‫0בג0ד ‫0ד0ה‫ ‫0בז ‫0בא דב ו ב
I say that 2 generate two permutations [lit. houses], which is [the 2] in the second row beneath the 2.	ואומר כי ב' בונות שתי בתים והוא תחת ב' בטור השנית
To know the permutations of 3, we multiply 3 by the permutations of 2, which is the preceding 2: there are six permutations or six combinations. So, you find that there are six combinations from 3 letters, as you see beneath the 3. $\scriptstyle{\color{blue}{3!=3\sdot2=6}}$	ועתה לדעת בניין ג' נכפול ג' על בניין ב' שהוא ב' שעבר ויהיו ששה בתים או ששה מחברות והנה ששה מחברות תמצא מג' אותיות כמו שתראה תחת ג‫'
To know the permutations of 4, we multiply [4] by 6, which is the [number of] permutations of the preceding; they are 24 beneath the 4. $\scriptstyle{\color{blue}{4!=4\sdot6=24}}$	ולדעת בניין ד' נכפול על ו' שהוא הבניין שעבר ויהיו כ"ד תחת ד‫'
To know the permutations of 5, we multiply 5 by the preceding 24; they are 120 permutations. $\scriptstyle{\color{blue}{5!=5\sdot24=120}}$	ולדעת בניין ה' נכפול ה' על כ"ד שעבר יהיו ק"ך מחברות
To know the combinations of 6, we multiply 6 by 120, which is the [number of] permutations of the preceding; they are 720 permutations. $\scriptstyle{\color{blue}{6!=6\sdot120=720}}$	ולדעת צרוף ו' נכפול ו' על ק"ך שהוא הבניין שעבר יהיו תש"ך מחברות
To know the combinations of 7, we multiply 7 by 720, which is the [number of] permutations of the preceding; they are 5040 permutations. $\scriptstyle{\color{blue}{7!=7\sdot720=5040}}$	ולדעת צרוף ז' נכפול ז' על תש"ך שהוא הבניין שעבר יהיו ה' אלפים ומ' מחברות
To know the combinations of 8, we multiply 8 by 5040, which is the [number of] permutations of the preceding; they are 40320 permutations. $\scriptstyle{\color{blue}{8!=8\sdot5040=40320}}$	ולדעת צרוף ח' נכפול ח' על ה' אלף ומ' שהוא הבניין שעבר יהיו מ' אלפים ש"ך מחברות
And so on endlessly.	וכן לאין תכלית
	כי בצירוף ח' תבות משונות זו מזו תמצא מ' אלף וש"ך תבות משונות זו מזו
	ובעבור שתראה קצת מהם לעין אחבר מהם שלושה בג"ד
	ואומר כי ב' בונות ב' מחברות א"ב ב"א
	וג' ששה מחברות
	וד' כ"ד כמו שאמרתי
	ואתן משל ומהם תעשה באחדים
	והמשל ב' בונות ב' כמו א"ב או ב"א או קח האותיות שתרצה אם בסדר כמו א"ב או ב"ג או ד"ג או שלא כסדר כמו א"ד או ב"ת ‫ או ג"ש [...] מג' אותיות [...] ועוד ג' ל[...] הצורה
RMḤ MḤR ḤRM RḤM ḤMR MRḤ	רמח מחר חרם רחם חמר מרח
	כי [...] שיתופן ואם הם [...] מאבג"ד [...] למפרע [יהיו י"ו] עוד [...] אחרים בדילוג אחד וד' אחרים בדילוג אחר למפרע יהיו י"ו גם ד' אחרים בדילוג ב' וד' אחרים למפרע בדילוג ב' יהיו שמונה וי"ו שלנו יהיו כ"ד ואין בם יותר חלוקה וצירוף והמשל
	והמשל בד' אבנים הנה העיגול יורה לך הדרך כי צרוף ראשון הוא א'ב'ג'ד' והשני ב'ג'ד'א' והשליש ג'ד'א'ב' והרביעי ד'א'ב'ג' והם ד' מחברות
	עוד ד' למפרע א'ד'ג'ב' שני ד'ג'ב'א' שלשי' ג'ב'א'ד' רביעי ב'א'ד'ג‫'
	עוד ד' בדילוג א' ולמפרע ד' אחריה בדילוג א' וכן ד' בדלוג ב' ולמפרע בדילוג ב' ויהיו כולם כ"ד מחברות כזה הצורה
reversed ordered reversed ordered reversed ordered ABDG ADBG AGBD AGDB ADGB ABGD DAGB BAGD DBAG BDAG DGBA BGDA GDBA GBDA GADB GABD GBAD GDAB BGAD DGAB BDGA DBGA BADG DABG
	מפרע כסדר מפרע כסדר מפרע כסדר אבדג אדבג אגבד אגדב אדגב אבגד דאגב באגד דבאג בדאג דגבא בגדא גדבא גבדא גאדב גאבד גבאד גדאב בגאד דגאב בדגא דבגא באדג דאבג
Gelosia	דרך לכפול בצורה מרובעת ויש לה סגולות רבות וזה שנוכל לכפול קצת בשעה אחת וקצת בשעה אחרת ונוכל לכפול כסדר ושלא כסדר ויהיה הצורה המרובעת כזה
	‫[...] ו' אלפים תתמ"ה על שכ"ז
	והנה כל מרובע קטן הוא מקום לכל שני המספרים הנוכחיים והקו החולק מזוית לזוית בכל מרובע הוא לתת בחציו העליון הנשאר על עשרות מכל כפל משני נוכחיים ובחצי האחר העשרות ובעבור זה תוכל לקחת כל מספר שתרצה אחרון או ראשון או זה בשעה אחת וזה בשעה אחרת
For example: multiply 3 by 5; it is 15 and it is in the rubric corresponding to both: write the units, which are 5, in the upper half; and 1, which is ten, at the bottom.	והמשל תכפול ג' על ה' יהיו ט"ו והם במרובע הנוכחי לשניהם והפרטים שהם ה' תכתוב בחצי העליון וא' שהוא עשרה בתחתון
The same for all.	וכן כולם
Because, the product of 7 by 5 is 35. Write 5 in the upper half and 3, which are the tens, in the other half. $\scriptstyle{\color{blue}{7\times5=35}}$	כי כפל ז' על ה' ל"ה נתן ה' בחצי העליון וג' בחצי האחר שהם עשרות
As you see in the diagram: 7 by 5, by 4, by 8, and by 6; also 2 by all and 3 by all.	וכן כמו שתראה בצורה ז' על ה' אל ועל ד' ועם ח' ועל ו' וכן ב' על כולם וכן ג' על כולם
Then, sum them up and extract the number along the diagonal lines:	ואחר תחברם ותוציא המספר כפי המשכת קוי האלכסונות
5 are the units.	כי ה' הוא האחדים
8 and 3, which is 11, are the tens. Take 1 as 100 for the ten; 1 remains, which is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{8+3=11}}$	וח' וג' שהם י"א הם עשרות קח אחד לק' מן העשרה ונשאר א' שהוא עשרה
In the third [rank] you find 6, 2, 8, 1, 5, which are 22. With the 1 we raised, they are 23 hundred. Leave 3 in its place. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+2+8+1+5\right)+1=22+1=23}}$	ובשלשית תמצה ובחא"ה שהם כ"ב ועם א' שעלינו הם כ"ג מאות תניח ג' במקומו
We raise 20 as 2 in the fourth rank, with 2, 5, 6, 2, 1, which are 16. With the 2 we raised they are 18. Leave 8 in its place. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+5+6+2+1\right)+2=16+2=18}}$	ונעלה כ' לב' בטור הרביעי עם בהוב"א שהם י"ו וב' שעלינו יהיו י"ח תניח ח' במקומו
We raise 1 to the fifth rank, with 4, 2, 1, 4, 1, which are 12; they are 13. Leave 3 in its place. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+2+1+4+1\right)+1=12+1=13}}$	ונעלה א' בטור חמשי ועם דבאד"א שהם י"ב יהיו י"ג תניח ג' במקומו
We raise one to the sixth rank, in which there are 1, 8, 2; they are 12. We leave 2. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+8+2\right)+1=12}}$	ונעלה אחד בטור ששי אשר בו אח"ב יהיו י"ב נניח ב‫'
We raise one to the seventh rank, with 1 which is there; they are 2. $\scriptstyle{\color{blue}{1+1=2}}$	ונעלה א' בטור שביעי ועם א' שבו יהיו ב‫'
	והם ב' מספרים רל"ח אלפים שט"ו ותוכל להפוך הצורה לצד שתרצה
	‫וכאן נשלם ה[...] שאשמש מכולם ‫[...]
The Third Chapter on Subtraction	הפרק השלישי במגר[עת]
	קל ולזה אקצר ואומר [...] יכוון המעלות מספר נגד מספר [...] והמספרים
	וראשונה גרע האחדים מן האחדים והנח זה [...] בכיוון תחת המעלה שגרעתה וכן תעשה לכל המעלות
If the lower is greater than the upper, and you cannot subtract from it, take one from the next rank; it becomes ten in the rank you want. Always do this way for all the ranks.	ואם התחתון יהיה יותר גדול מהעליון ולא תוכל לגרוע ממנה קח מהמעלה אשר לפניה אחד ויהיו עשרה במעלה שתרצה ובזה הדרך תנהיג לעולם בכל המעלות
If there is a zero in the rank next to it, take one from the third rank to it; it becomes ten in the second [rank to it], then take one from them and it becomes ten in the rank you want.	ואם תהיה ספרא במעלה אשר לפניה קח אחד מן המעלה השלשית לה ויהיה עשרה בשנית וקח מהם אחד ויהיו עשרה במעלה שתרצה
If there are many zeros between your rank and the rank in which there is a number, shift one backwards and it becomes ten; then shift one from the ten backwards and it becomes ten, and so on.	ואם היו ספרות רבות בין מעלתך ובין המעלה אשר בה מספר תשיב אחד אחורנית ויהיו עשרה וקח אחד מהעשרה לאחור ויהיו עשרה וכן עד עולם
So that you donot have to pay attention when you shift back from each rank, I give you one rule: it is to take the number you find from whichever rank and shift it back to your rank [..] even if there are many zeros between them, but you have to consider each of the zeros between the two ranks as 9 and it is all the same.	ובעבור שלא תצטרך לעיין כאשר תשוב אחורנית בכל מעלה ומעלה אומר לך כלל אחד והוא שתקח המספר שתמצה מאיזו מעלה שיהיה ותחזור אותו במעלתך [..] ואם יהיו בין שניהם ספרות רבות אלא שתצטרך לחשוב הספרות שבאמצע השתי מעלות ט' כל ספרא והכל יהיה שוה
To demonstrate all this to you I will give examples:	ולהראותך כל זה אמשיל משלים
I say that Reuven owed Shimon 573 dinars and he paid him 352. We want to subtract what he paid from the debt. $\scriptstyle573-352$	ואומר כי ראובן חייב לשמעון תקע"ג די' ופרע לו שנ"ב והנה רצינו לגרע מה שפרע מן החיוב
We write the two numbers by the order of their ranks, as this diagram:	נתן השני חשבונות בסדר מעלותם כזה הצורה
Debt Repayment Remainder 5 7 3 3 5 2 2 2 1	ה ז ג ג ה ב ב ב א החיוב הפרעון השיור
We subtract 2 units from 3; one remains beneath the line. $\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}$	נגרע ב' אחדים מג' ישאר אחד תחת הקו
We subtract 5 from 7, which are tens; 2 tens remain. $\scriptstyle{\color{blue}{7-5=2}}$	נגרע ה' מז' שהם עשרות נשארו ב' עשרות
We subtract 3 from 5, which are hundreds; 2 hundreds remain. $\scriptstyle{\color{blue}{5-3=2}}$	נגרע ג' מה' שהם מאות נשארו ב' מאות
So, 221 dinar remain from the debt. $\scriptstyle{\color{blue}{573-352=221}}$	והנה נשאר מן החיוב רכ"א די‫'
You do the same if there are liter or peraḥim or some currency; all is the same.	וכן תעשה אם יהיו לטרי' או פרחים או איזה מטבע שיהיה שהכל שוה
Another example: Reuven owed Shimon 5047 liter and he paid him 958 liter. $\scriptstyle5047-958$	משל אחר ראובן חיב לשמעון ה' אלפים ומ"ז לטרי ופרע לו תתקנ"ח לטרין
Debt Repayment Remainder 5 0 4 7   9 5 8 4 0 8 9	החיוב הפרעון השיור ה 0 ד ז   ט ה ח ד 0 8 ט
We subtract what he paid from the debt according to the previous procedure; 4089 liter remain. $\scriptstyle{\color{blue}{5047-958=4089}}$	נגרע מה שפרע מן החיוב נעשה כסדר שעבר ונשארו ד' אלפים ופ"ט לטרין
[Illegible].	‫[...] החיוב [...]עון והשיור [...]עון תת"ק כורי חיטה [...] רצינו לדעת הנשאר נגרע [...] החשבון בסדר מעלותיו כסדר
Debt Repayment Remainder 9 0 0 8 5 4   4 6	ט 0 0 ח ה ד   ד ו החיוב הפרעון הנשאר
We subtract 4 from zero, we cannot. We take one from the 9 and say that it is ten in the rank of units. We subtract 4 from it; 6 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{10-4=6}}$	נגרע ד' מספרא לא נוכל נקח אחד מן הט' ונאמר שהוא עשרה במעלת האחדים נגרע מהם ד' ישארו ו‫'
We subtract 5 from 9, since we considered the zero as 9, as the ten was shifted to the rank of units; 4 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{10-1=9}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{9-5=4}}$	נגרע ה' מט' שחשבנו הספרא לט' בעבור שעברו עליה העשרה למעלת האחדים ישארו ד‫'
We subtract 8 from the 8 that remained from the 9; nothing remains. $\scriptstyle{\color{blue}{9-1=8}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{8=8}}$	נגרע ח' מח' שנשארו מן הט' לא נשאר כלום
Hence, 46 kors of wheat are left. $\scriptstyle{\color{blue}{900-854=46}}$	והנה נשארו מ"ו כורי חיטה
If you add up the payment and the remainder, you should receive the debt, as you will see in the tests.	ואם תחבר הפרעון והשיור ראוי שתציא החיוב כמו שתראה בבדיקות
Another example with zeros: the amount of the debt is two hundred thousand weights of wool and he paid 123 thousand and 345. $\scriptstyle200000-123345$	משל אחר כולו ספרות הנה מספר החיוב הוא מאתים אלפים משקלי צמר ופרע קכ"ג אלפים שמ"ה
The order of their ranks is as this diagram:	ויהיה כסדר מעלותיו כצורה הזאת
Debt Repayment Remainder 2 0 0 0 0 0 1 2 3 3 4 5   7 6 6 5 5	ב 0 0 0 0 0 א ב ג ג ד ה   ז ו ו ה ה החיוב הפרעון השיור
We cannot subtract 5 from zero, so we take 1 from the 2, shift it over all the zeros up to the first one in the rank of units and there it becomes ten. Above all the zeros in the middle, nines remain. Alternatively, consider each zero as a 9 and above the 2 remains one. $\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}$	והנה לא נוכל לגרוע ה' מספרא נקח א' מהב' ונעברנו על כל הספראש עד הראשונה במעלת האחדים ושם יהיה עשרה ונשארו על כל הספראש שבאמצע ט' ט' או תחשב כל ספרא לט' ועל ב' נשאר אחד
Now, we subtract 5 from the ten that we shifted, so that 5 remains; 4 from 9, so that 5 remains; and 3 from 9, so that 6 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{10-5=5}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{9-4=5}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{9-3=6}}$	ועתה נגרע ה' מעשרה שעברנו ישארו ה' וד' מט' ישארו ה' וג' מט' ‫ישארו ו‫'
[Illegible].	‫[...] וא' מא' לא נשאר [...] משקלי הצמר ‫[...]
[Illegible].	משל אחר אם תרצה [...] לטרין דנרין ‫[...]
The Fourth Chapter on Division of Integers	הפרק הרביעי בחילוק השלמים
I say that as addition is the opposite of subtraction, so multiplication is the opposite of division, therefore each is a test of the other, as I will explain in its place.	ואומר כי באשר החיבור הוא הפך הגרעון כן הכפל הוא הפך החילוק על כן יהיה כל אחד מאזני חברו כאשר אבאר במקומו
The division is a search for what is due to each of the divisors of the given thing, or the money; the remainder of division are parts due to each as the total of the divisors in one; and in other places I will speak of this remainder.	והנה החילוק הוא מבוקש מה הראוי לכל אחד מן המחלקים הדבר או הממון המונח והנשאר לחלק הם חלקים נשברים הראוים לכל אחד כסך המחלקים באחד ובמקמות אחרים אדבר מזה השיור
The way to divide is that you write the number you want to divide according to its ranks and the divisor number beneath it, each rank corresponding to the rank the given number, each in one row, provided that you leave a space between the two rows to write the result of division [in it].	והנה הדרך שם לחלק הוא שתניח המספר שתרצה לחלק במעלותיו והמספר המחלק למטה מכוון מעלה כנגד מעלה מהמספר המונח כל אחד בטור אחד ובלבד שתניח ריוח בין שני הטורים לכתוב היוציא בחלוקה
The divisor number is either of the first rank or of many ranks.	והנה מספר המחלק יהיה או ממעלה ראשונה או ממעלות רבות
If it is of the first rank, look at the first example.	ואם ממעלה ראשונה תעיין במשל ראשון
If the divisor has many ranks, but it does not have as many ranks as the number you want to divide, write the greatest rank of the smaller number, which is the divisor, corresponding to the greatest rank of the greater number and onwards; then arrange the ranks and give each rank what it deserves from each corresponding rank.	ואם יהיה המחלק ממעלות רבות אבל אין לו כל כך מעלות כמו שיש למספר שתרצה לחלק תן המעלה היותר גדולה מהמספר הקטן שהוא המחלק נגד המעלה הגדולה מן המספר הגדול וימשך אל מה שימשך ואחר תכוין מעלותך ותן לכל אחד הראוי לו מכל מעלה למעלה הנוכחית לה והמספר הראוי תן אותו ‫[...]
[Illegible].	‫[...] הראוי לתת [...] זה המספר ככל [...] הראשונה אשר [...] זה החשבון המונח [...] מהמחלק ובכל פעם שתחלק [...] כמו שאומר תתן מספר אחד בין שני [...] הריוח נגד המעלה הראשונה אשר החילות לחלק
After you have given all you can give to each rank of the divisor, shift it one rank backwards and give also to each of its ranks all that you can give from each of the ranks of the upper number.	ואחר שנתת כל מה שתוכל לתת לכל מעלות המחלק תחזיר אותו אחורנית מעלה אחד ותן לו גם כן כל מה שתוכל לתת לכל מעלה מהמעלות הטור מהמספר העליון
Write the appropriate number in the space and this is the number [of times] the divisor should be given to each.	ותן המספר הראוי בין הריוח והוא המספר הראוי לתת לכל אחד מהמחלק
But, when you write this number beneath the rank from which you begin to divide, be careful that there is enough in that line to give all the ranks of the divisor.	אבל כאשר תכתוב זה המספר תחת המעלה אשר החילות לחלק עיין שיספיק לתת כטור לכל מעלות המחלק
If you shift the divisor backwards and there is no number to take and give to the first rank of the divisor, if you do not give it units, write a zero in its place and shift the divisor further backwards.	ואם תחזור המחלק אחורנית ואין מספר לקחת ולתת למעלה ראשונה מן המחלק אם לא תתן לו לא באחדים אז תן ספרא במקומו ותחזור המחלק לאחורה
You shift the divisor backwards several times until the units of the divisor correspond the units of the dividend and this will be the last division, whether the remainder is less than the divisor, or there is nothing left.	והנה תחזור המחלק אחורנית כל כך פעמים עד שיהיו בחלוק אחדי המחלק נגד אחדי המחולק ובכאן תהיה החלוקה האחרונה ואם ישאר לחלק פחות מהמחלק או לא ישאר כלום
Every time you shift the divisor backwards, cross the former out with a pen, so that you do not get confused.	וכל פעם שתחזור המחלק לאחור תעבור הקולמוס על הראשון בעבור שלא תתבלבל
If you do not want to cross it out with a pen, write the divisor on a small piece of paper and shift the paper backwards.	ואם לא תרצה להעביר עליו הקולמוס תכתוב המחלק על נייר קטן ותעבור הנייר לאחור
If the divisor is of the first rank, of the units, from 1 to 9, you can write it beneath the rank of units.	ועתה הנה אם יהיה המחלק ממעלה ראשונה ממספר אחד כמו מא' עד ט' תוכל לתת אותו למטה נגד מעלת ‫האחדים
	‫[...] אותו אחורנית ‫[...]
	משל ראשון [...] רצינו לחלק [...] הצורה
4 8 7 9 1 2 5     7	ד ח ז ט א ב ה     ז
	נניח [...] האחדים וניתן מח' לז' אחד ונתן אותו תחת א' בריוח כי ממנו חלקנו וישאר א' על ח' נשיב הא' לאחור במעלת העשרות ועם ז' אשר היו שם יהיו י"ז נחלקם לז' יבוא לכל אחד ב' נכתוב ב' [..] בריוח תחת העשרות כי ממנו חילקנו ישארו ג' על ז' נשיבים לאחור למעלת האחדים על ט' יהיו ל"ט נחלקם לז' יבוא לכל אחד ט' ה' וישארו ד' על ט' לחלק ואם כן המחלק תתע"ט על ג' יבוא לכל אחד קכ"ה די' וד' שביעיות דינר ומזה השיור אדבר במשל רביעי [ובאחרים] וגם בפרק מיוחד ‫[..]
	משל שני רצינו לחלק רמ"ו פשיטין לי"ב נסדרם כזה הצורה
0 0   2 4 6 2 0   1 2     1 2	0 0   ב ד ו ב 0   א ב     א ב
	והנה נתן י"ב המחלק נגד מעלת המאות והעשרות למעלה כל מה שנוכל ונמצה בשני המעלות האלה כ"ד נחלוק כ"ד לי"ב יעלו שנים לכל אחד כי ב' האחרון נתן לא' וד' נתן לב' שאם ב' לקח א' הנה ב' יקח ד' ונשארו ספרא על ב' ועל ד' להורות שלא נשאר מהם דבר נחזור י"ב לאחור מעלה אחד יבואו אחדים עם אחדים ולא ‫[...] כנגד מעלת [...] לא לקח א' [...] חלק ב' גם כן והנה [...] חלקים מי"ב בשלם ועיין [...] אם נשארו לחלק אבל אם נחלקם [....] ששה ששה חלקים מי"ב בשלם ואם תקצרהו לחציים ישוב לחצי כמו ששה פשיט' לי"ב יהיה מחצה ועיין בו כי בו תראה טעם מה מהנשאר בחלוקה וכן בכל שיור שאם תחלקהו הוא חלק מהמחלק שהוא אחד שלם כי לעולם המחלק הוא אחד
	משל שלשי רצינו לחלק תצ"ז לטרי ממון על ל"ד בזה הצורה
2   0 3   1 5 1 4 9 7   1 4   3 4	ב   0 ג   א ה א ד ט ז   א ד   ג ד
	נתן מד' לג' אחד לכל אחד ישאר א' על ד' גם נתן לד' א' לכל אחד כפי מה שנקח ג' ישארו ה' על ט' נעבור המחלק לאחור ונעבור הקולמוס עליו
	ואם לא תרצה להעביר הקולמוס עליו תנהו בנייר קטן ותעבור הנייר לאחור כמו שאמרתי והנה עתה ג' נגד המעלה השנית אשר עליה ה' ועבור הא' אשר במעלה שלישית עם הה' יהיו ט"ו ומט"ו נוכל לתת לג' ה' לכל אחד אבל לא ישאר מז' לתת ה' לכל אחד מהד' ואם כן נתן מהט"ו לג' ד' לכל אחד שהם י"ב וישארו ג' על ה' וספרא על א' ונתן גם כן ד' לכל אחד מהד' יהיו י"ו נקח אחד מג' וו' מז' ונשארו על ג' ב' ועל ז' א' ואם כן עלה בחילק לכל אחד י"ד לטרין וכ"א חלקים מל"ד בלטרה ויהיה כל החשבון מחולק והראוי לכל אחד כי כאשר תחלק אי זה דבר מאי זה מין שיהיה וישארו לחלק מספרים מן המין ההוא הנה אעפי שהם ‫שלמים והמ[...] מאחד שאם [...] ועתה שלא הגיעו ל[...] והנה היוציא בחילוק מהשלמים [...] אמתי אלא שאינו מדוקדק הראוי [...] כצד נקצר זה השבר אם יש בו חלקים נקצר [...] תרצה אבל תכף תראה כיצד נחלק זה הנשאר לחלקים ש[...] המספר המחולק ואם הם לטרין נעשה מהנשאר דינרי' ופשיטי' ומחצית ורביעי פשוט שהם החלקים היותר קטנים או דרהם במשקל או דקים שניים שלשיי וכ[ן] בזמן וכן כפי חמר כל מין והמשל הבא אחלקיהו עד כלה
	המשל רביעי רצינו לחלק ב' אלפים תתקפ"ז [ליט'] על ל"ט בזאת הצורה
2     0 7     2 5   0 8   3 2 9 8 7     7 6   3 9 9     3	ב     0 ז     ב ה   0 ח   ג ב ט ח ז     ז ו   ג ט ט     ג
	נתן ג' תחת מעלת המאות כי לא נוכל לחלק מן האלפים ב' לג' אבל נעביר הב' ועם הט' יהיו כ"ט נתן לג' ז' לכל אחד יהיו כ"א ונשארו ח' על ט' ועל ב' ספרא ולא נוכל לתת לג' יותר מז' לכל אחד בעבור שיספיק לט' גם תן לט' ממעלת העשרות ז' לכל אחד כמו שנתת לג' יהיו 0"ג ישארו ב' על המאות נשיב המחלק לאחור מעלה אחת לצד ימין ויהיו אחדים עם אחדים ונתן לג' מכ"ה אשר שם עם הב' שנחזור לאחור ו' לכל אחד שהם י"ח ישארו במעלת העשרות ז' וספרא על ב' גם נתן לט' ולב' אחד שהם נ"ד מע"ז ישארו כ"ג לחלק כי ה' לקחנו מז' אשר בעשרות ונשארו ב' וד' מז' אשר באחדים ונשארו ג' ואם כן נשארו כ"ג לחלק ואם נרצה שיהיו מחולקים נאמר שעלה מן החילוק ע"ו ‫[...] לכל אחד [...] הראוי לכל אחד [...] מכל אחד וישארו [...] שהוא סך הלטרה יעלו ת"ק די' [...] י"א די' ונשארו ל"א די' לחלק כופל [...] שהם סך הדינר יעלו שע"ב פשיטי נחלקם על [...] יעלה לכל אחד י"ו פשיט' ונשארו כ"א פשוט כפלם על ד' שהם סך רביעי הפשוט יעלו פ"ד רביעיות נחלקם על ל"ט יעלו ב' רביעי פשוט שהם מחצה ונשארו ששה לחלק על ל"ט ויהיו ו' חלקים מל"ט ברביע ותוכל לקצרו בשלישית ויהיו ב' חלקים מי"ג ברביע ואם כן הראוי לכל אחד יהיה ע"ו לטרין י"א די' ט' פשיט' ומחצה וב' חלקים מי"ג ברביעית
	משל חמשי רצינו לחלק ה' אלפים תתנ"ב פרחים לנ"ו כזה הצורה
0     0 2 2 8 5 8 5 2   1 0 4 5 6 6 6   5 5	0     0 ב ב ח ה ח ה ב   א 0 ד ה ו ו ו   ה ה
	נחלק מ"ה לה' נתן אחד לכל אחד ונשאר ספרא על ה' גם מ"ח לו' אחד לכל אחד כמו שעשינו לראשון ישארו ב' על ח' נשיב המחלק מעלה אחת לאחור ואין דבר לתת להם אלא ספרא נשיב עוד המחלק לאחור ונתן מנ"ה לה' ד' לכל אחד ויהיה כ' ישארו נ"ב וספרא על ב' נתן גם לו' ד' לכל אחד שהם כ"ד ישארו כ"ח לחלק שהם כ"ח חלקים מנ"ו בפרח
	ואם תרצה לעשות מזה השיור די' כפול כ"ח על סך הפרח שהוא עתה י"ד די' יעלה שצ"ב די' חלקם על נ"ו יעלה בחילוק ז' די' ולא נשאר דבר לחלק והנה עלה לכל אחד ק"ד פרחי' וז' די'
	משל ששי רצינו לחלק קנ"ו לטרי פלפל לי"ד כזה ‫הצורה
0   0 1 2 1 5 6   1 1 1 4 4   1	0   0 א ב א ה ו   א א א ד ד   א
	‫[...] י"ו [...] ונשארו ב' [...] לכל אחד והב' נשארו [...] אוקיות הלטרה יעלו פ"ד אוקיות [...] יעלה בחילוק עוד [.] אוקיא אחת ונשארו עשרה אוקיות כופלם על י"ו חלקי האוקיא הנקראים אריאינסוש יעלו ק"ס חלקם על י"ד יעלה בחילוק י"א אריאינס וישארו ח' אריאינסו שהם ב' שלישי ד' שביעיות אריאינס אם תקצר כן
	משל שביעי רצינו לחלק מאתים ופ"ה אלפים ותתקע"ו כיכרי צמר על שע"ב כזאת הצורה
0 0 0 2 8 0 2 8 5 9 7 6   7 6 8       3 7 2         3 7 2         3 7 2	0 0 0 2 8 0 ב ח ה ט ז ו   ז ו ח       ג ז ב         ג ז ב         ג ז ב
	הנה בחלוקה הראשונה תוכל לתת לכל אחד ז' ונשיב המחלק לאחור ונתן לכל אחד ששה בחלוקה השנית ונשיב המחלק עוד לאחור ונתן לכל אחד ח' והנה יעלה בחילוק תשס"ח ככרי צמר ונשארו לחלק מאתים ושמונים ככרים כופלם במשקלי הככר שהם ד' יעלו אלף ק"ך משקלים נחלקם לשע"ב יעלו בחלוק ג' משקלים ונשארו ד' משקלים לחלק נכפלם בלטרי המשקל שהם שלושים יעלו ק"ך לטרים ולא נוכל לחלקם על שע"ב נכפלם על י"ב שהם אוקיות הליטרה יעלו אלף ות"מ אוקיות נחלקם על שע"ב יעלה בחילוק ג' אוקיות ונשארו שכ"ד אוקיות לחלק נכפלם על י"ו שהם חלקי האוקיא הנקראים אריאינסוש יעלו ה' אלפים קפ"ד אריאינסו' נחלקם על שע"ב יעלה בחילוק י"ג אריאינס' ‫[...] נקצרם ישובו [] ק' אלפים ותתקע"ו [...] ממשקל יבוא לכל [...] וג' אוקיות וי"ג אריאינסו [...] תעיין בבחינה
	הנה רצינו לחלק ד' אלפים [...] שנ"ז דוקאדוש על ל"ב הנה נפל לכל אחד קל"ו דוקאדוש וג' די' וה' פשיטי' ורביע פשוט כמו שתראה בזאת הצורה
	רביעי' פשי' דינ' דוקדוש היוצא לכל אחד א ה ג וגא כפול על המורה בג בג בג בג מורה כל אחד לחלק ד 12 בב
	והבחינה שתשיב הכל מכלל לכלל עד שישוב הכל אל הכלל הראשון וזה שתכפול ראשונה כל חלקי החלוקה על המחלק שהוא ל"ב והוא המורה והוא באמצע הצורה והיוציא בכפל מכל אחד תחלק כל אחד על מורה חלקו כמו הרביעיות שתחלק על ד' ויהיו פשיטי' והפשיט' על י"ב ויהיו די' והדינ' על כ"ב ויהיו דוקאדוש בשאלתנו זאת
	ובאחרים כמורה כל מטבע שתרצה אם פרחים על י"ו ואם לטרי' על כ' וכן הכל
	ואחר תחזור הפשי' די' והדי' דוקדוש בשאלתנו כנז'
	והמשל בזה נכפול הרביע פשוט שהיא אחת במורה שהוא ל"ב יעלו ל"ב רביעיות תנחלקם על ד' שהוא מורה הפשיטין יעלו ח' פשיטי' ונשמור אותם
	עוד נכפול הה' פשיט' על ל"ב יעלו ק"ס פשיט
	נחבר עליהם ח' ששמרנו יעלו קס"ח פשיטי'
	נחלקם על י"ב יהיו י"ד דינ' ונשמרם
	עוד נכפול הג' די' במורה יעלו צ"ו די' ועם י"ד ששמרנו יהיו ק"י
	נחלקם על המורה כ"ב יהיו ה' דוקאדוש ונשמרם
	גם נכפול הדוקאדי' שיצאו בחלוקה שהם קל"ו על המורה יעלו ד' אלפים תנ"ב דוקדוש ‫תנ"ב דוקאדוש [...] הכל אל הכלל הראשון ‫[...]
	סוחר קנה כ"ד [...] כל אמה
	התשובה נחלק [...] וזהו סך כל אמה
	והבחינה נכפול [...] המחלק ותציא סך כל הפרחים
	סוחר קנה ל' אמות בגד בסך כ"ד פרחים וחלק שאלתי סך האמה
	התשובה נחלק כ"ד על ל' הנה הוא מחולק שהוא כ"ד חלקים מל' בפרח אחד כז' $\scriptstyle\frac{24}{30}$ נקצרהו אם נרצה יהיו ד' חמשיות פרח או דרך אחרת נעשה מהפרחים די' יהיו שפ"ד אלף תקל"ו נחלקם על ל' יעלה בחילוק נחלקם על ל' אמות יעלה בחילוק י"ב ונשארו כ"ד די' נכפלם בי"ב יהיה תפ"ח פשיט' נחלקם על ל' יעלו יעלו ט' פשי' ונשארו י"ח פשיט נכפלם על ב' יהיו ל"ו מחצות נחלקם על ל' יבוא מחצה ונשארו ו' מחצות והם ששה חלקי מחצה ומקוצרים יהיו חמשית מחצה וכן כל הדומה לזה מאי זה מין שיהיה ממדה ועוד נדבר מזה במקום אחר ועלה מזה כי סך האמה הוא י"ב די' וט' פשיט ומחצה וחמשית מחצה
	והבחינה נכפול המחצית על ל' יהיו ל' וו' שנשארו יהיו ל"ו מחצית נעשה מהם פשיטין יהיו י"ח פשיט ונשמור אותם גם נכפול ט' פשטי על ל' שהוא המורה יהיו ר"ע ועם י"ח ששמרנו יהיו רפ"ח פשיט חלקם על י"ב יעלו כ"ד די' ונשמרם עו' נכפול הי"ב די' על המורה יהיו ש"ס די' ועם הכ"ד ששמרנו יהיו שפ"ד די' ואם נחלקם על י"ו יעלו כ"ד פרחים [..] טובה
	משל אחר רצי מזמן רצינו לחלק ה' אלפים רל"ז על י"ט שהוא סך המחזור ס' ויהיה כזאת הצורה
5 2 3 7 2 7 5   1 9	ה ב ג ז ב ז ה   א ט
	ויהיה היוציא בחילוק רע"ה ונשארו י"ב שנים לחלק כופלם בשס"ה ורביע כמו שתראה ‫[...]פ"ג ימים תחלקם [...] עשיתי מהם חדשים בעבור [...] לכל ולפי זה לא אחלק [...] החלוקה נשארו לחלק הג' ימים [...] שהם שעות היום יעלו שי"ב נחלקם על [...] י"ו שעות ונשארו י"ו לחלק תכפלם על ס' יעלו שהם דקי השעה יעלו ת"נ דקים תחלקם על י"ט יעלו כ"ה דקים ונשארו ה' דקים וכפלם על ס' ונחלק על י"ט יעלו ט"ו שניים ונשארו ט"ו שניים וכן תכפול השיוור על ס' ותחלק על י"ט עד שלא תרצה עוד לדקדק או באיזה שיקרא שלא ישאר כלום
	ובמקום אחר אעשה אלו החלקים חלקי העיבור בע"ה
	ודע כי מה שקצרתי באלו המשלים הוא ביאור והאריכות בלבול כי אלו הענינים צריך אדם ללמוד התחלתם ממלמיד כאשר אמר הר"ם במד"ל בעיבור הקטן שעשה ועוד כי במקומות אחרים אשנה ואשליש
	ועתה אדבר במאזנים שיעדתי לדבור אחר אילו הד' מנים הערה לחילוק וכיצד נקצר החילוק משל כמו שרצינו לחלק מספר מה על מספר מה והיוציא תהיה מספר מה וזאת החלוקה תציא גם כן אם תחלק חצי המספר על חצי המחלק וכן אם תחלק שלישית המספר על שלשית המחלק שאם תקצר שניהם כשוה על חצי או שלשית או רביעית או כמה שתוכל לקצר שניהם בשוה יציא המספר בחלקה שוה
	המשל בזה רצינו לחלק ב' אלפים שי"ו על כ"ד יעלה בחילוק צ"ו וחצי גם אם נקח החצי שהוא אלף קנ"ח ונחלק אותו על חצי המחלק שהוא י"ב יעלה בחילוק צ"ו וחצי גם אם ניקח ונחלק הרביעית על שניהם הרביעית תקע"ט על ו' יעלה בחילוק צ"ו וחצי ואם שלשית הרביעית ר"ל שלשית תתקע"ט שהוא קצ"ו ונחלק אותו על שלישית ו' שהוא ב' יעלה בחילוק צ"ו וחצי
	וכן כל [.] הדומה לזה ועיין בו
	ואם לא תוכל לקצר שניהם תעיין אם תראה ספרא באחדם תוכל לקצרם בחצי ובחמשית ובעשרית ואם תראה ה' באחדים גם תוכל ‫לקצרם [...] אם תוכל לקצרם [...] והנשאר שלא תמצא הקיצור [...] החלוקה עד אחד וזה הקיצור [...] בחלוקה
	והמשל בזה הנה נשאר לנו מחלוקה שס"ח ולא נדע המספר אשר בו נוכל לקצרו נחלק שס"ח המחלק על הנשאר לחלק שהוא קע"ו ישארו י"ו לחלק תחלק קע"ו על י"ו לא [.] נשאר דבר וזה יורה כי בי"ו נוכל לקצר שניהם ואז ישובו י"א חלקים מכ"ג כי נחלק קע"ו על י"ו יעלו י"א גם נחלק שס"ח על י"ו יעלו כ"ג ונשארו י"ו וערכם לראשונים שוה ובשברים אדבר מזה בע"ה
	משל אחר נ"ד חלקים שנשארו לחלק על תתקנ"ו כזה
	וה והט
	נחלק המורה על נ"ד ונשארו ל"ח נחלק נ"ד על ל"ח [.] נשארו י"ו גם ל"ח על י"ו נשארו ו' גם י"ו על ו' נשארו ד' גם ו' על ד' נשארו ב' גם ד' על ב' לא נשאר כלום ויורה כי על ב' נתקצרו שניהם
	ובשברים אדבר עו' מזה בע"ה וגם אעשה פרק בקיצורי החברות ודרך השלושה בע"ה ית'
	פרק בסדר מאזני החיבור והכפל והגרעון והחילוק
	ואומר כי טעם שלא עשיתי מאזנים לכל מין ומין בפני עצמו או לכל משל ומשל הם שתי סיבות
	האחד שאם כתבתי מאזני בכל דבר תכבד המלאכה ואם עשיתי זה בקצת הספר היה לצורך חילוף השאלות
	והסיבה השנית בעבור כי החיבור והגרעון כל אחד מאזני חברו וכן הכפל והחילוק
	ובעבור אלה השתי סיבות עשיתי פרק מיוחד למאזני הארבעה מינים
	ואומר כי מאזני החיבור הוא שתגרע מן המספר המחובר הטור האחד מן השתי טורים ותשאר השני
	המשל חיבור תפ"ד עם שפ"ט יעלו תתע"ל כזה הצורה
4 8 4 3 8 9 8 7 3	ד ח ד ג ח ט ח ז ג
	גרע תפ"ד מתתע"ג ישאר שפ"ט אף גרע שפ"ט מתתע"ג ישאר תפ"ד
	וכן כל הדומה לז'
	משל אחר משלושה טורים האחד ‫[...] והשלישית [...] אלפים ומאתים כזה [...] בשני טורים הראשונים [...] מכל המחובר ישאר הממון [...] השלישי שהוא ד' אלפים וס' עוד נגרע חיבור השני והשלישי שהוא ז' אלפים וק"ך מהגדול ישאר הממון הראשון שהוא ב' אלפים ופ' או גרע חיבור הראשון והשלישי שהוא ו' אלפים וק"ס מהגדול ישאר הממון השני שהוא ג' אלפים וס' וכן כל הדומה לזה
	דרך אחרת תחבר חשבון כל הטורים כאחדים בין באורך בין ברוחב והעולה אחר שתשליכם ט'ט' בכף המאזנים האחד וגם המקובץ מכל הטורים תשלכים ט'ט' והנשאר פחות מט' תתן בכף שנייה ואם יהיו שוות מיטב
	המשל חיברנו רל"ד עם שי"ב ועם רכ"ב ושלשתם יהיו תשס"ח
	2 3 4 3 1 2 2 2 2 7 6 8
	נחבר הג' שורות כאחדים יהיו כ"א תשלכים ט'ט' נשארו ג' ונתן ג' בקו המאנים גם שיור המקובץ שהם כ"א הוא ג' וניתן אותו בקו המאנים השנייה השנייה ויורה שהחיבור הוא טוב
	מאזני הגרעון נחבר המספר הגורע עם הנשאר ותציא הגדול
	והמשל אחר שגרענו שפ"ט מתפ"ד ישארו צ"ה שהוא הנשאר נחברם עם המספר הגרע שהוא שפ"ט יעלו תפ"ד הגדול או תאמר תפ"ד החיוב ושפ"ט הפרעון וצ"ה הנשאר לפרוע נחבר הפרעון עם מה שנשאר לפרוע ותציא כל החיוב
	ד ח ד החיוב ג ח ט הפרעון   ט ה הנשאר
	מאזני הכפל נחלק היוציא מן הכפל על אחד משניהם ותצא השני
	והמשל כפל תפ"ד על שפ"ט הוא קמ"ז אלפים רע"ו
	והבחינה היא שתחלק זה המספר על הכופל ותציא הנכפל או בהפך
	מאזני המעוקב נחלק המעוקב על הכופל והיוציא בחילוק תחלק על פעם שנית ותציא הנכפל
	המשל בזה נכפול כ"ג על כ"ג ותציא ‫תקכ"ט [...] והוא המעוקב [...] ותציא תקכ"ט עוד תחלק תק[כ"ט] [...] בחלוק ראשון על כ"ג ותציא בחילוק ‫[...]
	מאזני החילוק כפול המחלק על היוציא [...] בכפל תחבר הנשאר ותציא הגדול המחולק
	המשל במספר הנזכר כפלנו המחלק שהוא שפ"ט על היוציא שהוא א' יעלה שפ"ט חיברנו עמו הנשאר לחלק שהוא צ"ה יעלה תפ"ד הגדול המחולק והרי לך המאזנים האמתיים
	אבל המנהג לתלמיד המתחיל [.] כל עוד שלא הגיע לידיעת הד' מינים הנז' ישמשו עם מאזני ט' או מאזני ז' או שניהם להוציא האמת אם טעה באחד מהם כאשר אפרש עוד ואבאר מאזני ט' ומאזני ז' בקיצור ומהם תדע שאר האחרים
	ואומר כי מאזני ט' תעשה ראשנה שני קוים האחד נטוי והשני עומד וחותכים זה את זה כמו שתראה בצורה
	ז   0 + 0   ב
	והקו הנטוי הוא המשקל שיהיו הימין והשמאל [..] והשמאל שוים והדרך הוא שחיברנו והשמאל שוים והדרך הוא שחיברנו תפ"ד עם שפ"ט והיוציא יהיה תתע"ג ועתה נספור השטה העליונה כמו אחדים שהיא דח"ד יהיו י"ו תשלך מהם ט' נשארו ז' תתנם על העמוד גם נשאר מהשיטה [השטה] השנית ב' תן ב' למטה בעמוד תחבר ז' עם ב' ישאר ספרא והיא כמו שחיברת תפ"ד שפ"ט וניתן הספרה בקו המשקל גם תראה אם אם נשאר מכל המקובץ ספרא וניתן אותה בקו המשקל גם כן והנה נשאר ספרא והוא טוב
	מאזני החיבור מטורים רבים ואמר אם יהיו ג' טורים כזאת הצורה
5 4 8   1 2 4   3 6 5 1 0 3 7	ה ד ח   א ב ד   ג ו ה א 0 ג ז
	תחבר תקמ"ח עם קכ"ד ועם שס"ה יעלו אלף ול"ז תשליכם ט'ט' נשארו ב' והם הבחינה גם מאלף ול"ז ישארו ב' והוא טוב
	מאזני הכפל ‫[...] ושיור הנכפל [...] ושיור כל המספר בכף [...] המשקל מוטב [...]כפל ל"ב על תשס"ה נשליך [...] ישארו ה' למעלה בעמוד ומן [...] ספרא למטה
	ה   0 + 0   0
	וכפל ספרא על ה' ספרא בכף המשקל וגם נמצא ספרא בכף הבחינה שהוא שיור היוציא היוציא מכל המספר ויורה שהוא טוב
3 2     7 6 5 2 4 4 8 0	ג ב     ז ו ה ב ד ד ח 0
	מאזני החילוק תן שיור מה שעלה בחילוק על העמוד ושיור המחלק למטה וכפול שניהם ועל היוציא תחבר הנשאר לחלק אם נשאר והנשאר יהיה השמור בקו המשקל ושיור כל המספר המחולק יהיה בקו הבחינה
	והמשל חילקנו ה' אלפים תי"ב על כ"ב הנה יעלה בחילוק רמ"ו והנשאר יהיה ג' [.] ונתן אותו למעלה בעמוד ושיור המחלק שהוא כ"ב הוא ד' למטה בעמוד
	ג   ג + ג   ד
	וכפלנו שניהם יהיו י"ב תשלך מהם ט' נשארו ג' בקו המשקל וכן נשארו מכל
	‫וכן נשארו [...] כל הדומה לזה [...] והנה בדיקת ז' היא [...] מהנשאר כמו שעשינו [...] הבחינה וזולתה ממספר האחדים [...] שלמה בחייוב כמו ט' גם כן שאם [...] מקיבוץ ט' לא תמצה הטעות
	אבל עם שתבדוק עם בדיקת ז' תמצא הטעות בחיוב
	אבל אם תטעה מחיבור ז' וט' לא תמצא הטעות
	אבל אם תבדוק בה' או בזולתו מן האחדים ובלבד שלא יהיה עם ג' כי ג' בט' אז תמצא הטעות
	ואם מחיבור שלושתם או ממספר מורכב משלושתם לא תרגיש הטעות
	כמו משט"ו שהוא מורכב מט' וז' וה'
	זה הכלל שמה שלא ירגיש זה יגלה זה אבל אם תטעה מקיבוצם לא תרגיש הטעות
	כי דרך משל שאם תטעה ממספר שהוא מורכב מכל מספרי האחדים שהוא מדת האפשר לא תרגיש הטעות
	ודי בזה הערה כי הבדקה השלמה היא חיבור וגרעון כל אחד מאזני חבריו וכן כפל וחילוק
The Second Section: Fractions	‫[השער השני בשברים]
	‫[חל]קתיו לארבעה
	‫[הפרק הראשון בחיבור השברים]
	‫[הפרק השני בכפל] השברים
	הפרק השלישי במגרעת השברים
	הפרק הרביעי בחילוק השברים
Introductions to the First Chapter on the Addition of Fractions	הקדמות לפרק הראשון שהוא בחיבור השברים
Because of the great diversity of the fractions, many premises and methods should precede the addition.	הנה לרוב חילופי השברי ראוי הקדמות ודרכים רבים קודם החיבור
First I shall state the explanations and the premises that are necessary in this chapter in general, some of them about the knowledge how to write the fractions and the denominators, how to reduce them, how to reduce the fractions and the common denominator and what should be done with the remainder of the division.	ואומר ראשונה ההצעות וההקדמות הראויות על זה השער בכלל ומהם בידיעת כיצד נכתוב השברים והמורים וכיצד נקצרם וכיצד נקצר השברים ואב המורים ומה נעשה מהנשאר בחלוקה
I shall introduce a premise and say that the definition of the number is a multitude summed from units.	ואקדים הקדמה ואומר כי גדר המספר הוא ריבוי מקובץ מאחדים
Hence, the one is the foundation of the number, as I have stated concerning the fundamental decimal rank and I repeat it here, since this is its place.	ואם כן האחד הוא יסוד המספר כאשר אמרתי במעלת היסוד ואשנה בכאן כי זה מקומו
I say that it is well known that there are 3 Elements: the Exalted Creator in His creation and the point in geometry and the one in arithmetic	ואומר כי ידוע הוא כי ג' יסודות הם הבורא ית' בברואיו והנקודה בהנדסה והאחד במספר
For as the Exalted Creator is first and last in His creation, so the point is first and last, because the end of the line is two points, and so is the one first and last for all numbers, because every given number is greater than one that precedes it by nature	כי כאשר הבורא ית' הוא ראשון ואחרון בברואיו כן הנקודה ראשונה ואחרונה כי תכלית הקו שתי נקודות וכן האחד בכל מספר שהוא ראשון ואחרון כי כל מספר מונח הוא הוא גדול מאחד מן הקודם לו בטבע
Thus, you find that each Element is first and last and a limit.	והרי לך כי כל יסוד תמצאנו בראש ובסוף וגבולו
Furthermore, you know that there are three worlds: the world of angels, the world of the spheres, and the sublunar world.	ועוד תדע כי שלושה עולמות הם עולם המלאכים ועולם הגלגלים ועולם השפל
The world of angels is not a body and not a potentiality in the body, so is the Exalted God, who is their Element [...]	והנה העולם המלאכים אינו גוף ולא כוח בגוף כן האל ית' שמו שהוא ‫יסודם ויסוד [...] הענף ואין בו לא ‫[...]
	והנה הושאלה הנקודה [...] העליונים ומן התחתונים ואילו [...] גשם שאם תחלק הגשם יתחדשו [...] קוים ותכלית הקו נקודות ‫[...]
The name of the one was borrowed as a foundation of the number, because of its many virtues, as it is a root of itself, a square, a cube [...] and the number that follows it is its double, unlike all other numbers, for you will not find any number, such that the number that follows it is its double.	‫[...] והנה בעולם [...] הושאל שם האחד יסוד למספר בעבור רוב סגולותיו שהוא יסוד לעצמו והוא מרובע והוא מעוקב [הוא יסוד ונקודה] והמספר הבא אחריו הוא כפלו אשר לא כן בכל המספרים שלא תמצא מספר שיהיה כפל המספר הבא אחריו
Since the one is as a cause that has only one side that is caused from the one and every number has two sides.	בעבור כי האחד הוא כמו עילה שאין לו אלא פאה אחת אשר היא עלולה מן האחד וכל מספר יש לו שתי פאות
What one does in one side [$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1=\frac{1}{2}\sdot2}}$], every number does in its two closest sides or equally distant sides. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(n-1\right)+\left(n+1\right)\right]=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(n-m\right)+\left(n+m\right)\right]}}$	ומה שיעשה האחד בפאה אחת יעשה כל מספר בשתי פיאות קרובות או רחוקות מיחס שוה
One has relation only to its closest side, since it has its beginning there, which is the beginning of the number that is two that follows it, which is double the one.	ולאחד אין לו יחס אלא בפיאה אחת הקרובה אליו [.] בעבור שיש [לה] שם התחלה שהיא תחלת המספר שהיא השנים שהיא כפל האחד [הנמשכים אחריו
If it is conceived that one does no exist, it is conceived that no number exists; and if it is conceived that no number exists, it is not conceived that there is no one, because [one] does not depend on the [number].	שאם תדומה שלא תמצא ימצא אחד לא תדומה מספר כלל ואם תדומה מאין מספר כלל לא תדומה שאין אחד כי אין תלוי זה בזה‫]
Example: take ten, it is a half of its two sides, which are 9 and 11; 8 and 12; 7 and 13 $\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{1}{2}\sdot\left(9+11\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(8+12\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(7+19\right)}}$; and every number up to the end of the first side.	והמשל שתקח עשרה ו[הוא] חצי שתי פאותיו שהם ט' וי"א וגם ח' וי"ב וגם ז' וי"ג וכן כל מספר עד סוף הפאה הראשונה [וכן כל שתי'‫] הראשונה שהיא אחד
In addition, since one body has endless number of parts, we divide the one by diminution, as we multiply it by augmentation.	ועוד בעבור כי גשם אחד מספר חלקיו לאין תכלית אנו מחלקים את האחד למטה כאשר אנו כופלים אותו למעלה
As the numbers are endless upwards, so the fractions are endless downwards.	וכאשר שם מספר למעלה בלתי בעל תכלית כן השברים למטה בכל בלתי בעלי תכלית
For, as we multiply endlessly the number that is deprived of substance and succeeding from the one onwards, so do we divide endlessly.	כי כאשר המספר המשולל מחומר ונמשך מן האחד ולמעלה כן אנו כופלים לאין תכלית כן אנחנו מחלקים לאין תכלית
We conceive the one as a body that we divide endlessly.	ואנו מדמין את האחד כמו גוף אשר אנו מחלקים אותו לאין תכלית
We say: one-half, one-third, one-quarter and so on successive fractions endlessly.	ואנו אומרים חצי ושלישית ורביעית וכן חלקים נמשכים לאין תכלית
Moreover, we conceive each fraction as endlessly divided into fractions.	ועוד כי מכל שבר אנו עושין בדמיון שברים לאין תכלית
	‫[...] חלק [...] לשלושה [...] שבר נקרא בשם [...] עוד שכל שבר שהוא [...] האחד כי האחד בין השלמים [...] הוא יסוד וסיבה להם כמו [...] במעלת היסוד
The denominator of each fraction is its corresponding integer, so if the fraction is of the first decimal rank, its denominator is also of the rank of the units; if [the fraction is] of [the second decimal rank], [its denominator] is of the tens.	והוראת כל שבר הוא המספר השלם שכנגדו שאם השבר תהיה ממעלה ראשונה גם הוראתו תהיה ממעלת האחדים ואם מעשרות יהיה מעשרות
I call [the fractions] from half to ninth a first rank that corresponds to the rank of the units.	כי אני קורא מחצי עד תשיעית מעלה ראשונה והיא כנגד מעלת האחדים
[The rank of] the tenth, the eleventh and so on until the ninetieth corresponds to the rank of the tens.	ועשרית וחלק מי"א וכן עד חלק מתשעים הוא נגד מעלת העשרות
And so on endlessly.	וכן לאין תכלית
One is in the middle between them and is not the denominator of any fraction.	והאחד במרכז בינהם ואינו הוראה לשום שבר
Example: half is in the first rank below the one and its denominator is in the first rank above the one; and since the half is the greatest fraction, its denominator, which is two, is the smallest number.	המשל בזה הנה חצי הוא במעלה ראשונה למטה מן האחד והוראתו במעלה ראשונה למעלה מן האחד ובעבור כי חצי הוא השבר היותר גדול הוראתו הם שנים היותר קטן מהמספר
Hence, this fraction and its denominator are sides of the one.	והנה השבר והוראתו הם פאות האחד
The next fraction after half is third, which is from the first rank below the one, and its integer denominator is three; they are secondary sides of one [...] and so on.	והשבר הבא אחר חצי הוא שליש ממעלה ראשונה למטה מן האחד והוראתו או המורה השלם הוא שלושה [הם] פאות שנייות לאחד [..] וכן כולם
	ואם תהיה השבר ממעלה אחת או ממעלות רבות למטה מן האחד נקי תהיה המורה במעלות הדומות להם למעלה מן האחד וביחס וערך שוה לאחד
	שאם תהיה השבר חלק ממאה ועשר ואחד יהיה הוראתו קי"א ונאמר כי קי"א הוא השלם
	ועוד כי כאשר נאמר בשלמים זוג ונפרד או זוג הזוג או זוג הזוג והנפרד [או זוג הנפרד] כן ‫נוכל [...] כמו שתראה [...] שמינית [...] הראשונה למטה [...] חצי עם ב' כי [...] ג' כי ג' שלישים עושים אחד [...] הנה השברים [...] הקטנים מן האחד והשניים מן הב' והשלישים מן הג' כי א' על ב' יורה חצי וא' על ג' יורה שלישית וא' על ד' יורה רביעי' וכן כולם עד כי א' על עשרה יורה עשרית וא' על מאה יורה חלק ממאה והנה השניים הם ב' על כל הנמשכים תחתיו והשלישיים ג' על כל הנמשכים תחתיו וכן כולם בהמשכה לאין תכלית
1                               half   2                           third       3                       quarter           4                   fifth               5               sixth                   6           seventh                       7       eighth                           8   ninth                                 9
א                               חצי   ב                           שלי       ג                       רביעי           ד                   חמישי               ה               ששי                   ו           שביעית                       ז       שמינית                           ח   תשיעית                                 ט
	ואציר בכאן לוח לוח אחד מא' עד י"א [.] ושם תראה בראשו כל השברים אשר תוכל להרכיב מא' עד י"א
	אבל תעיין ותמצא בו סגולות המורכבים כי כל השברים אשר הם מוכפלים ממיני הנמשכות בסדר כמו שתראה בפרק שני מן השער [המורכב] אין התפארת לכותבם בלתי מקוצרים כמו שתראה דרך הקיצור במקומו והם כזה המקרן ב' רביעיים שישובו לחצי ומב' שלישים שישובו לשלישית וב' ששיים שישובו לשלישית ‫[...] ב [...] ששבו [...] שישיו לב' [...] לחצי וד' עשריות [...] לב' חמשיות [...] לג' רביעיות [ד' תש]עיות ב' שלישות וו' עשיריות לג' חמשיות וכן ח' תשיעיות ד' חמשיות וכן ערך א' אל ד' כערך י"ב אל מ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{11}}}$                                   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}}}$                               $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}}}$                           $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}}}$                       $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{8}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}}}$                   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$               $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{8}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{6}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$           $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{8}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{6}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$       $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$
י יא   ט עשרין   ח תשיעי   ז שמני   ו שביעי   ה ששי   ד חמשי   ג רביע   ב שליש   חצי
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 66 60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 77 70 63 56 49 42 35 28 21 14 7 88 80 72 64 56 48 40 32 24 16 8 99 90 81 72 63 54 45 36 27 18 9 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 121 110 99 88 77 66 55 44 33 22 11 132 120 108 96 84 72 60 48 36 24 12 143 130 117 104 91 78 65 52 39 26 13 154 140 126 112 98 84 70 56 42 28 14
יא י ט ח ז ו ה ד ג ב א כב כ יח יו יד יב 0א  ח ו ד ב לג ל כז כד כא יח טו יב ט ו ג מד מ לו לב כח כד כ יו יב ח ד נה נ מה מ לה ל כה כ טו י ה סו ס נד מח מב לו ל כד יח יב ו עז ע סג נו מט מב לה כח כא יד ז פח פ עב סד נו מח מ לב כד יו ח צט צ פא עב סג נד מה לו כז יח ט קי ק צ פ ע ס נ מ ל כ י קכא קי צט פח עז סו נה מד לג כב יא קלב קכ קח צו פד עב ס מח לו כד יב קמג קל קיז קד צא עח סה נב לט כו יג קנד קמ קכו קיב צח פד ע נו מב כח יד
	וגם נוכל לעשות חלוקות רבות בדילוג או לקצר הנשאר בחלוקה
	כמו ל"ג שנשארו לחלק על צ"ט ששבו ליסודם שהוא ג' וט' והם ישובו לשליש וגם ישובו לאמצעיים
	וכל בעל שכל יעיין בו ‫ומ[...] הלוח לטור [...] ב' וד' הנה [...] בטור שני ששבו [...] שלישים לא"ב ערכם [...] ושלשית ו' ב' ושבו לא"ב וכן [...] ועיין ותראה ובערכים תשכיל עוד ו‫[...]
The upper number is the name of the fractions [= numerator]	המספר העליון הוא שם השברים
The bottom number is the denominator, i.e. that indicates how many fractions of the upper number make one whole.	והמספר התחתון הוא המורה ר"ל שמורה כמה שברים מן המספר העליון עשו אחד שלם
The same is true if there are many fractions because the upper ones are the number of the fractions and the bottom numbers are the denominators for each whole fraction, since each fraction has one denominator.	והוא הדין אם יהיו שברים רבים כי העליונים יהיו מספר השברים והמספרים התחתונים יהיו המורים לכל שבר השלם כי לכל שבר מורה אחד
Yet, you can make one common denominator of all of them, or of some of them, through four ways, as you may see below with the help of God.	אלא שתוכל לעשות מכולם מורה אחד כללי [.] או מקצתם כמו שתראה אחר זה בע"ה בד' דרכים
	ותדע כיצד נקצר המורה ושנמצא בו כל השברים הראוים וענין קיצור המורה הוא רשות לדבר אחד אלא שהוא קל המשל המעשה [.] וקיצור המורה לדבר אחד הכרחית כאשר תראה במקומו בע"ה
The Method for Knowing the Common Denominator of Numerous Different Fractions	דרך בידעת המורה הכולל לשברים רבים מתחלפים
I say that since we have presented what are the fractions and what is the denominator, which indicates the whole, we must write how we extract the common denominator.	ואומר כי מאחר שאמרנו מה הם השברים ומה הוא המורה שהוא הוראת השלם ועתה היה ראוי לנו לכתוב כיצד נוציא המורה הכללי
First I will note the way of writing the fractions or the fractions of fractions.	וראשונה אומר דרך הנחת השברים או שברי שברים
I say that when we wish to write 3-fifths, like this $\scriptstyle\frac{3}{5}$;	ואומר שרצינו להניח ג' חמישיות כזה ‫
4-ninths, like this $\scriptstyle\frac{4}{9}$;	וד' תשיעיות כזה ‫
12 parts of 17, like this $\scriptstyle\frac{12}{17}$;	וי"ב חלקים מי"ז כזה 12 זא
And 137 parts of 241, like this $\scriptstyle\frac{137}{241}$	וקל"ז חלקים מרמ"א כזה זגא אדב
Even if they are numerous, the writing is with the conjunctive "and", as a half and a quarter, and a fifth.	ואם היו רבים הכתיבה היא עם ו' כמו חצי ושלישית [ורביעית וחמשית
If it is a fraction of fraction, the writing is with "of" or nothing, as a half of 2-thirds of 3-quarters of 4-fifths, or half a third of a quarter.	ואם שבר השבר הכתבה הוא עם מ' או בלי דבר כמו חצי מב' שלשות מג' רביעיות מד' חמשיות או חצי שלישית רביעית
I return to arrange the fractions I mentioned, which are 3-fifths, 4-ninths, 12 parts of 17 and 137 parts [of 241].	ואשוב לסדר השברים שאמרתי שהם ג' חמשיות] להניח ג' חמשיות וד' תשיעיות וי"ב חלקים מי"ז וקל"ז חלקים
[Illegible]	‫[...] והנה [...] שברי הראשון [...] וד' שלם ואם [...] יהיו ט' יהיה [...] יהיה אחד שלם וגם אם על
The fractions of fractions are like this:	‫[...] והנה שברי שברים הם כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$
They are a half of 2-thirds of 3-quarters that are together one-quarter, which is the additive complement of 3-quarters to one. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}=\frac{1}{4}=1-\frac{3}{4}}}$	והם חצי מב' שלישיות מג' רביעיות שכולם הם רביע שלם ויגרעו ג' רביעיות לתשלום אחד
	וכן כל הדומה מזה ובשאלות תראה ותתבונין זה בע"ה
	ועתה רצינו לדעת מורה כללי לשני טורים [.] או לרבים ושברים מתחלפים שיכללם מורה אחד ואז כאשר יהיו השברים שוים תוכל לעשות מהם כל מה שתרצה אם לחבר או לגרוע או לחלק הכל כפי מה שתרצה
	וראשונה אומר כי הנחת שברים ממינים רבים יהיו באחד מארבעה דרכים
The first way is when the numerators are the same and the denominators are different.	הדרך האחד הוא שיהיו השברים שוים ומורים מתחלפים
The second [way] is the opposite, when the numerators are different and the denominators are the same.	השני הפך זה שיהיו השברים מתחלפים והמורים שוים
The third [way] is when the numerators are different and the denominators are different.	השלישי שיהיה השברים מתחלפים והמורים מתחלפים
The fourth [way] is the opposite, when the numerators are the same and the denominators are the same.	הרביעי הפך זה שיהיה השברים שוים והמורים שוים
Sometimes you find them combined.	ופעמים תמצאם מורכבים
The first way, which is when the numerators are the same and the denominators are different, is divided into two categories: either you cannot reduce the common denominator, or you can reduce it, even if you find all fractions included in it.	הדרך הראשון שהוא שוה השברים ומתחלף המורה יחלק לשני חלוקות אם שלא תוכל לקצר המורה הכללי אם שתוכל לקצרו ואפילו הכי תמצא בו כל חלקי השברים
I will give an example for each [category] and start with fractions whose common denominator cannot be reduced, as this diagram:	ואתן משל לכל אחד ואתחיל בשברים שלא תוכל לקצר המורה הכללי ויהיה כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ [numerators] [denominators] 210 total	‫[שברי‫'‫] [מורים] ‫0אב ‫[כללם‫]
A half, a third, a fifth and a seventh.	חצי ושלישית וחמשית ושביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\quad\frac{1}{3}\quad\frac{1}{5}\quad\frac{1}{7}}}$
Their denominators are: 2 for the half; 3 is the denominator of the third; 5 is the denominator of the fifth; and 7 is the denominator of the seventh.	ומורהם ב' לחצי ומורה השליש ג' ומרה החמשית ה' ומורה השביעית ז‫'
	ועתה ‫ נוציא [...] על השליש[...] ואם קטון [...] כסדר
	המשל [...] יעלה ק"ה עוד [...] אשר בו תמצה כל השברים כי [...] וחמשיתו מ"ב ושביעיתו ל' [...] הדין אם [...] שלא כסדר כמו ב' על ז' שהם י"ד וי"ד על ג' שהם מ"ב ומ"ב על ה' שהם ר"י כנזכר
The second example of the first way for extracting the common denominator that can be reduced, as this diagram:	משל שני לדרך הראשון בהוצאת המורה הכללי אשר תוכל לקצרו ויהיה כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 144	דדא
I say that if we multiply and combine all the denominators as we did before, they will be 144, because 2 by 3 is 6; 6 by 4 is 24; and 24 by 6 is 144. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot6=6\sdot4\sdot6=24\sdot6=144}}$	ואומר שאם נכפול ונרכיב כל המורים כאשר עשינו בעבר יהיו קמ"ד כי ב' על ג' הם ו' וו' על ד' הם כ"ד וכ"ד על ו' הם קמ"ד
A half of 144 is 72; its third is 48; its quarter is 36; and its sixth is 24.	והנה חצי קמ"ד ע"ב ושלישיתו מ"ח ורבעיתו ל"ו ושישיתו כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot144=72\quad\frac{1}{3}\sdot144=48\quad\frac{1}{4}\sdot144=36\quad\frac{1}{6}\sdot144=24}}$
Now, we reduce this denominator and see if we find these fractions in it: we take a number that has a half, a third, a quarter, and a sixth. We find that it is 12, because its half is 6; its third is 4; its quarter is 3; and its sixth is 2. Therefore, the reduced common denominator is 12.	ועתה נקצר המורה ונראה אם נמצא בו אלו החלקים והנה נקח חשבון שיהיו בו חצי ושלישית ורביעית ושישית ונמצאו בי"ב כי חציו ו' ושלישתו ד' ורביעיתו ג' ושישיתו ב' ואם כן המורה המקוצר הכללי הוא י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot12=6\quad\frac{1}{3}\sdot12=4\quad\frac{1}{4}\sdot12=3\quad\frac{1}{6}\sdot12=2}}$
Later I will discuss the appropriate ways to reduce the denominator and here I will elaborate only a little.	אבל אחר זה אדבר בדרכים הראויים לקצר המורה ובכאן אתערך מעט
The second way is the opposite of the first, when the numerators are different and the denominators are the same. They are according to this diagram:	הדרך השני שהוא הפך הראשון שהוא כאשר יהיו השברים מתחלפים והמורים שוים ויהיו כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 5	ה
I say the common denominator is 1[2]5 without reduction; and if you reduce it, it is 5, since we need only a fifth, as you can find in it 2-fifths, 3-fifths, 4-fifths, and so on.	ואומר כי המורה הכללי הוא בלא קיצור ק"ה ואם תקצרהו יהיה ה' בעבור שלא נצטרך אלא חמשית וגם בה תמצא ב' חמשיות וג' חמשיות וד' חמשיות וכן כל הדומה לזה
The third way is when both the numerators and the denominators are different.	הדרך השלישי שהוא שיהיה השברים והמורים מתחלפים
[Illegible]	‫[...] ראשונה [...] הראשונה [...] ושלשה [...] הכולל ל' ולא תוכל [...] עבור החמשית [...] הוא זה חצי וב' שלשיות וג' רביעיות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 12	בא
The common denominator is 24 without reduction; it is 12 when it is reduced and you find all the required fractions contained in it.	והנה המורה הכללי הוא בלי קיצור הוא כ"ד ומקוצר הוא י"ב ובו תמצא גם כן כל החלקים אשר רצית
The fourth way is the opposite of the third, when both the numerators and the denominators are the same, as this diagram:	הדרך הרביעי שהוא הפך השלישי הוא שהשברים והמורים [.] שוים כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 5	ה
The common denominator is 1[2]5 without reduction; the reduced [common denominator] is 5 and you find all the required fractions contained in it.	והנה המורה המורה הכולל בלא קיצור הוא ק"ה והמקוצר ה' ואז תמצא בו כל החלקים שרצית
In order that you will know the reduction of the common denominators, I will write here the procedure you apply to find them.	ובעבור שתדע קיצור המורים הכוללים אכתוב בכאן הסדר שתתנהג בידעתם
Reducing the denominators is a permission regarding the fractions, because it is only to save a lot of trouble, but it is an obligation and necessity regarding the movements of the wheels, [to calculate] the time it takes for two planets or more to return to the place from which they traveled, as you will see in its place with God's help.	ואם קיצור המורים הוא רשות בשברים שאינו אלא להציל מטורח רב אבל הוא חובה והכרחית בתנועות הגלגלים באיזה זמן ישובו ב' או יותר כוכבים אל המקום אשר נסעו משם כאשר תראה במקומו בע"ה
Know that there are three ways we can reduce the denominator, each of which is shorter than the other.	ודע כי בג' דרכים נוכל לקצר המורה וכל אחד יהיה יותר מקוצר מחברו
I say that the common denominator can be one of four types, or categories:	ואומר כי המורה הכללי יוכל להיות אחד מארבעה דרכים או סדרים
The first consists of all the denominators in their entirety as I said.	האחד שיהיה מורכב מכל המורים בשלמות כמו שאמרתי
The second is reduced, when one of the denominators is found in another denominator.	והשני מקוצר כאשר יהיה מורה מן המורים במורה אחר
	והשליש מקוצר כפי המספרים הנמשכים מאיזה כפל בסדר
	והרביעי מקוצר מקיצור המקוצר
	והנה מאלה הארבעה השלושה מהם הם ‫אבא[ר] [...] המורה [...] גדולים וקטנים [...] הגדולים ותרכיב זה בזה [...] שהיא חצי [...] וד' תשיעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 216 whole denominator 36 reduced	ואב שלם וג מקוצר
	[...] הוא רי"ו ועם קיצור הוא [...] הוא בד' כי חצי נמצאנו בד' וגם ג' נמצא בט' ואם כן נקח ט' וד' ונרכיבם ויהיו ל"ו וזה מורה כללי מקוצר
Another example of this kind: a third, a sixth, a half and one part of 1[2].	דמיון אחר בזאת הצורה שהוא שלישית וששית וחצי וחלק מי"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\quad\frac{1}{6}\quad\frac{1}{2}\quad\frac{1}{12}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ 432 whole denominator 12 reduced	שלם בגד מקוצר בא
The whole common denominator is 432 and the reduced one is 12.	והנה המורה השלם תל"ב והמקוצר י"ב
We find that the whole common denominator is 36 times greater than the reduced one.	והנה מצאנו כי המורה השלם גדול מהמקוצר ל"ו פעמים
Another example of this kind: ten fractions that are a half, a third, a quarter, a fifth, a sixth, a tenth, one part of 15, one part of 20, one part of 30 and one part of 60.	דימיון אחר בזה הצורה מעשרה שברים שהם חצי ושלשית ורביעית וחמשית ושישית ועשירית וחלק מט"ו וחלק מכ' וחלק מל' וחלק מס‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{60}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{30}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{20}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{15}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 3168\000\000 60	‫000\000\חואג ‫0ו
	כל אלה העשרה שברים נמצאים בס' והמורה השלם הוא ג' אלף מספרים וקס"ח מספרים
	הסדר השני מקוצר כפי המספרים הנמשכים ומוכפלם על הראשון בסדר מה כמו שתראה כופלם כזה [..] כי אם תמצא שני מספרים או יותר מאי זה הכפלים שיהיה הגדול ואז תמצא בו כל חלקי הקטנים
	והמשל שיהיה המורה חצי שלישיתו [...] ‫[...] והם [...]לא אחד [...] כסדר כפול ואעפ"י [...]ספרים שלא תמצה [...] וזה דבר ארוך ולא נמצא [...] שאומר באלה הבודדים [...]בודדים הבאים אחריהם כמו כי הבא אחר י"ט שהוא אחרון בלוח הוא כ"ג ואחריו כ"ט ואחריו ל"א וכן המשכת הבודדים כמו שאבאר סדר מציאותם מקומו בע"ה
19 17 13 11 7 5 3 2 1 38 34 26 22 14 10 6 4 2 76 68 52 44 28 20 12 8 4 152 136 104 88 56 40 24 16 8 304 272 208 176 112 80 48 32 16 608 544 416 352 224 160 96 64 32 1216 1088 832 704 448 320 192 128 64
יט יז יג יא ז ה ג ב א לח לד כו כב יד י ו ד ב עו סח נב מד כח כ יב ח ד קנב קלו קד פח נו מ כד יו ח שד רעב רח קעו קיב פ מח לב יו תרח תקמד תיוו שנב רכד קס צו סד לב א ריו א פח תתלב תשד תמח שך קצב קכח סד
	ודע כי מסגולותם הוא שישובו כל פרטי הלוח לראשונים אם תקצרם בחצים
	ועוד מסגולותם הוא שאם יהיה האחד שבר מאחר שתוכל לקצר שניהם לחציים עד שישובו לראשונים אע"פ שיהיו נמשכי הטור רבים אם שיהיו שניהם במרחק שוה לראשונהם ואם לא יהיו במרחק שוה יתקצרו עד שתשובו השבר לראשון כמו ס"ד שברים מאלף רי"ו שהוא המורה והם אחרונים ‫מטור [...] ישובו [...] בעבור שהם [...] לא ישובו [...] י"ו ותכ"ח מהטורים [...] ויהיה חלק מל"ח [ואפילו שניהם מטור אחד ע"ו ותר"ח מן האחרון ישובו לרי"ו חלקים מקנ"ב]
	וכן אם תקח [...] יתקצרו כמו שאמרתי ואשוב לעניין הסדר [...] המונה כפי המספרים הנמשכים בסדר ומוכפלים כמו שאמר[] ואומר שאם תמצה שני מספרים או יותר מאיזה המשכה כסדר שיהיה שתקח הגדול ואז תמצא בו כל חלקי הקטנים
Example: the denominators of a half, a third, a quarter, a fifth, an eighth, a ninth, and one part of 25.	והמשל שיהיה המורה חצי ושלישית ורביעית וחמשית ושמנית ותשיעית וחלק מכ"ה
According to this diagram:	כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{25}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 1800	‫00חא
We multiply all of them by each other; the whole common denominator is 216 thousand and the reduced one is one thousand and 800.	נרכיבם בשלמות זה על זה יהיה המורה השלם רי"ו אלפים והקצר אלף ות"ת
2 and 4 are found in 8, which is the greatest in the first line. We leave 2 and 4 and take 8.	כיצד ב' וד' הם בח' שהוא הגדול מן הטור הראשון ונניח ב'ד' ונקח ח‫'
3 is found in 9. So, we leave 3 and take 9.	וג' הוא בט' על כן נניח ג' ונקח ט‫'
5 is found in 25. We leave 5 and take 25.	והנה ה' הוא בכ"ה נניח ה' ונקח כ"ה
The denominators we left aside are 2, 3, 4, and 5.	והנה המורים שהנחנו הם ב' וג' וד' וה‫'
We form a common denominator from the remaining [denominators], which are 8, 9 and 25, by multiplying 8 by 9; the result is 72; 72 by 25; the result is one thousand and 800 and this is the common denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot9\sdot25=72\sdot25=1800}}$	ועשנו מורה מהנשארים שהם ח' ט' כ"ה והוא שכפלנו ח' על ט' יעלו ע"ב וע"ב על כ"ה יעלו אלף ות"ת והוא המו[ר]ה הכולל
Another example of this kind: an eighth, a fifth, and one part of 16; a sixth, a third, and one part of 36; a ninth, and one part of 25.	משל אחר בזאת הצורה שהוא שמנית וחמשית וחלק מי"ו ושישית ושלישית וחלק מל"ו ותשעית וחלק מכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{25}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{36}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{16}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}}}$ 129600	‫00וטבא
	הנה ‫[...] והשישית [...] ול"ו וכ"ה [...] ‫[אל]פים ות"ר והם [...] בקיצור המורה הכללי [...] זה בזה ועם חלקיהם והוא [...]‫ כי לא יכולתי לכתוב כל פרטיו [...] הם רבים ויחיב בלבול למעיין ולא ארמוז הראוי לחכם
I say that if there is a greater denominator that results from the product of two smaller ones, we leave the greater one and take the smaller [denominators].	ואומר שאם יהיה במורים מורה גדול אשר הוא יבוא מכפל ב' קטנים שנניח הגדול ונקח הקטנים
If this greater one results from the product of two numbers, one of which is a denominator and the other is not a denominator of one of the fractions, we write the number among the denominators.	ואם יבוא זה הגדול מכפל ב' מספרים אשר האחד הוא מורה אחר ואין השני מורה בשברים נניח השני בכלל המורים
	ואם המספר שנניח בכלל המורים הוא חצי ממורה אחר תשליך המורה האחר ובלבד שזה המונח תכפלהו בשנים או במספר זוג
	וכן אם המונח יהיה שליש או רביעית או חמשית או תשלום שתשלכהו ובלבד שתכפול המונח בשלושה או בארבעה או בחמשה וכן לנמשכים או במספרים הבאים מהם
	כמו אם היה שליש וראוי לכופלו בשלושה ויש לך מורה ו' או ט' או י"ב וכן הנמשכים או ח' או י"ב או י"ו והנמשכים לארבעה וכן לכולם ועם [...] תבין כל זה בע"ה
Example: we wish to know the reduced common denominator of these fractions, which are: a fifth, a ninth, one part of 14, one part of 18, one part of 24, one part of 32, one part of 50, and one part of 63.	המשל בזה רצינו לדעת המורה הכללי המקוצר מאילו השברים שהם חמשית ותשעית וחלק מי"ד וחלק מי"ח וחלק מכ"ד וחלק מל"ב וחלק מנ' וחלק מס"ג
It is according to this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{63}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{50}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{32}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{24}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{18}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{14}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ 0 10 16 0 0 7 3   5400 reduced denominator	א א א א א א א א גו ‫0ד בג דב חא דא ט ה 0 ‫0א וא 0 0 ז ג   ‫00ד0ה מורה מקוצר
We start casting out from the greatest and say that the last, which is 63, is a product of 9 by 7; 9 is there but 7 is not there.	נתחיל להשליך מן הגדולים ונאמר כי האחרון שהוא ס"ג בא מכפל ט' על ז' והנה ט' נמצא אבל ז' אינו נמצא
[Illegible]	‫כמורים [...] לא נכפול [...] שהכרח הוא לכפול [...] י"ד ונתן ז' תחתיו וספרא [...] נמצאים מז' על ט‫'
Now, we check [if we can cast out 50] [...] it results from the product of 5 by ten. We write ten beneath it [...]. Write 25 beneath 50, because you find 5 and 50 in the product of 25 by an even number.	ועתה נראה [...] והוא בא מכפל ה' על עשרה ונניח עשרה תחתהם [...] שהנה לנו על עשרה אז נמצא חלק או חלקים מנ' [...] ה' ונ' ושתתן כ"ה תחת נ' כי בהכפל כ"ה על מספר זוג אז תמצה חלקי ה' ונ‫'
Now, we check if we can cast out 32, all or part of it. We look at its divisors and see if we can cast out other denominators with them. Its divisors are 16, 8, 4, and 2. We can cast out 32, because 32 is found in the product of 16 by an even number and if the greater is found, so are the smaller, which are 16, 8, 4, and 2.	ועתה נראה אם נוכל להשליך ל"ב אם כולו אם קצתו ונניח חלקיו ממנו הנמשכים ממנו אם נוכל להשליך עמהם מורים אחרים והנה חלקיו הם י"ו וח' וד' וב' והנה נוכל להשליך ל"ב כי בהכפל י"ו על מספר זוג ימצא חלק מל"ב ואם חלקי הגדול נמצאים כל שכן הקטנים שהם י"ו ח' ד' ב‫'
Now, we check if we can cast out 24 and say: 24 is found in the product of 3 by 8; 3 is found in 9 and 8 is found in 16.	ועתה נראה אם נשליך כ"ד ונאמר כי כ"ד ימצא בהכפל ג' על ח' וג' הוא הוא בט' וח' הוא בי"ו
Now, we check if we can cast out 18 and say: 18 is found in the product of 2 by 9; 9 is among the denominators and 2 is found in 16.	ועתה נראה אם נשליך י"ח ואומר כי י"ח ימצא בהכפל ב' על ט' והנה ט' הוא נמצא במורים וב' הוא בי"ו
Thus, we see that the denominators that are left to be multiplied are 5, 9, 7, 16 and ten. So, the whole denominator is [2]7[4]3[3]728000 and the reduced denominator is fifty thousand four hundred.	והנה ראינו כי המורים הנשארים להרכיבם הם ה' וט' וז' וי"ו ועשרה והיה המורה השלם ד' אלפים תשנ"ג מספרים תשכ"ח אלפים והמורה המקוצר חמשים אלפים וארבע מאות
If you want to check it, divide it into all these fractions. If you find them, it is true; if not check it again and you will find them.	ואם תרצה לבדקם חלקם לכל אלה השברים ואם תמצאם מוטב ואם לא שוב לעיין ותמצאם
The method of Knowing the Reduction of the Fractions and the Common Denominator	סדר בידעת קיצור השברים ואב המורים
	ואומר כי כאשר יהיה בידך מאיזו חלוקה שיהיה שברים מה מכללים מה ותוכל להשיבם לשבר אחד או לשברים יותר גדולים יהיה יותר טוב מותר ראוי אבל הוא רשות ולא חובה כי גם בלא קיצור תמצא כל השברים או שברי שברים אבל בטורח גדול ולהציל מן הטורח ראוי שתקצרם אם עד תכליתם ‫[...]לא [...] תכליתם ‫[...]
	המשל כי האומר [...] כל כך נאות [...] הכל שוה כי ערך שפ"ד אל [...] והוא הדין האמצעיים שהם ז' כי כל [...] ואם יהיו השברים תקצר השברים עד קצת או שיהיו מן הנמשכים הבודדים דומים לזוג הזוג והנפרד או לזוג הנפרד שתוכל לחלקם פעמים רבים או פעם אחד ולא ישובו לאחד
Example: 124 parts of 284.	והמשל קכ"ד חלקים מרפ"ד בשלם
You can reduce it to 31 parts of 71. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{124}{284}=\frac{31}{71}}}$	כי תוכל לקצרם עד שישובו לל"א חלקים מע"א בשלים
	ועוד יש מין שלא שלישי שלא תוכל לקצר השברים כלל וזה דומה למספר הבודד כמו ע"ג חלקים מצ"ג שלא תוכל לקצרם כלל
	ועתה אכתוב כללים לדעת באיזה מספר תקצרם כי פעמים יהיו השברים זוג הזוג שתוכל לקצרו עד אחד ואב המורים בודד או בהפך ובעבור זה אורך בדרך זו תלך
	‫[שהוא‫] המספר אשר עמו תקצר יחד השברים ואב המורים ואומר [עיון וזה יהיה בשני עיונים העיון הראשון הוא כי] כי כאשר יהיה בדרך מספר מה משברים ותרצה לקצרם בשלישית או בשישית או בתשעית תעיין ראשונה אם יהיה המספר אשר במעלה ראשונה זוג או נפרד דע שאם יש למספר שלישית יש בו שש לקצרם עיין במעלת האחדים אם יש בה ספרה תוכלם לקצרם בעשרים ובחמשית ובחצי
	ואם תוכל להשליכו ט'ט' כמו שתראה במשלים תוכל לקצרו בתשיעית ובששית ובשלישית
	ואם נשארו באחדים ו' יש לו ששית ושלישית ואין לו תשיעית ‫ואם [...] המספר [...] ואם נשארו ד' [...] ב' אין לו אלא [...] אלא שביעית כי הוא [...] גדול ואולי יהיה בודד [...] או עם שתדע הבודדים כמו שתראה בע"ה [...] די כי זה הוא ממה שאין הקפה בו אבל שכל המשכיל יקיף בו
Example: we have 198 parts of 9 thousand and 378.	המשל בזה הרי שהיו לנו קצ"ח שברים מט' אלפים שע"ח בשלם
It is according to this diagram. The name of the numerator is above, the denominator below and a separating line between them:	ויהיו בזאת הצורה שם השברים למעלה והמורה למטה וקו מפסיק ביניהם
1 9 8 9 3 7 8	א ט ח ט ג ז ח
	והנה עתה נחבר מעלות השבר[.] כאחדים מכל מעלה לנמשכת לה כי א' הוא עשרה על ט' ועם ט' היו י"ט נשליך י"ח בט' ישאר א' שהוא עשרה על ח' וח' היו י"ח ונשליכם ולא נשאר כלום ואז נדע כי השברים יתקצרו על תשעית ועל ששית ועל שלישית כי כולם בט' אבל נעיין ונראה אם נוכל לקצר המורה באחד מכל אילו החלוקות נחבר זה על זה כנזכ' והנה ט' כפל וג' על ז' הם ל"ז ונשאר א' ועל ח' הוא י"ח ולא נשאר כלום ואז נוכל מצד שניהם לקצרם בשלישית ובשישית ותשעית והרגל המעשה הוא בזה הצורה
1 1     2 2     6 6   1 9 8 9 3 7 8 3 1 2 6 1 0 4 2   5 2 1	א א     ב ב     ו ו   א ט ח ט ג ז ח ג א ב ו א 0 ד ב   ה ב א
	הנה נתחיל בשברים ונאמר כי שלישית קצ"ח הם ס"ו והם עליו ושלישת המורה הוא ג' אלפים קכ"ו ונתנם תחת המורה ואז יהיה ערך ‫[...] אלפים [...] נקצרם עוד אם [...] ולשמור מן [...] הוא כ"ב ושלישית [...] נקצרם עוד בחצי יהיו [...] הרביעים תקכ"א והנה שניהם [...] ולא נוכל לקצרם עוד והנה היה לנו ארבעה מיני שברים וארבעה מני מורים וערך כל אחד עם בן גילו כערך הראשונים וכן כל הדומה לזה
	והנה זה המשל עצמו הוא בידיעת מה נעשה מהנשאר בחלוקה [...] כי זה יועיל בנשאר מן השלמים ובנשאר מן השברים ובשאלות ואומר כי כאשר תחלק איזה מספר מאיזה מן שיהיה ונשארו לחלק מספרים מן המין ההוא די כי ראשונה תוכל לומר כי הנשאר מאיזה מין שיהיה הוא השבר שיהיה ראוי להוסיף על השלמים על אחד כי השלמים היוצאים לכל אחד בחלוקה הוא הראוי לכל אחד מן המספרים המחלקים שהם המורה וזה השבר גם כן שהוא שבר מן המורה באחד שנחשוב המורה לאחד וכבר דברנו מזה בפרק החילוק ואמנם זה החלק הוא מן השלם אבל אינו מן החלקים שיכלל זה האחד
Example: if we divide 365 days into thirty.	כמו בדרך משל אם חלקנו שס"ה יום לשלושים
	יעלה בחילוק י"ב ונשארו ה' ימים ונוכל לענות כי יבא לכל אחד י"ב ימים וה' חלקים מל' בשלים וזה החשבון מדוקדק בתכלית אבל לא דקדקנו אותו בחשבון החלקים שיכללו הימים שהם שעות ודקים ושניים ושלישים
	וכן בהמשכה כפי מה שנרצה לדקדוק אם לא בא לשבר מכוון
	‫ומשל [...] המורכבים [...] ושברי שברים [...] אב המורים וזה ל‫[...]
Comparing Fractions
	ואומר כי מאחר כי מיני השברים [...] ושלישית ורביעית וכן כל הנמשכים כמו [...] או לגורעם או לחלקם בעבור חלופם כי חלוק רביעית [...] קשה ומספרים אחרים הם יותר קשים ואם נשוה החמשית והרביעית למין אחד אז נוכל לחלקו בשלמים כמו שתראה
I say that the comparison method is for two different fractions, or for many fractions. Because the comparison method is in general and in particular:	ואומר כי דרך ההשואה נופל אם בשני מני שברים מתחלפים אם בשברים רבים [.] כי דרך ההשואה היא בכלל ובפרט
The particular is for two types of fractions, such as 3-quarters and 4-fifths. Comparing them is by that you multiply the numerator of each by the denominator of the other. Then they are [of the] same [type], so you see the greater and the smaller fraction and you can sum them up, or do whatever you wish with them.	כי הפרט הוא בשני מיני שברים כמו ג' רביעיות וד' חמשיות והנה השואתו היא שתכפול שברי כל אחד על מורה חברו ואז יהיו שוים ואז תראה השבר הגדול והקטן ותוכל לחבר אותם או לעשות מהם מה שתרצה
The original denominators of each fraction do not match the new fractions, but if you multiply the denominator by the denominator, the result is one denominator that is a common denominator for all the new fractions of the same type as explained above.	וגם המורים שהיו לכל שבר בראשנה לא יהיו נאותים לאילו השברים המחודשים אבל אם תכפול מורה על מורה יהיה היוציא מורה אחד ואב כללי לכל השברים השוים המחודשים כאשר קדם באורו
	‫‫[..] השני הוא [ש]תחלק המורה על הנשאר ואם נשאר עוד לחלק עשה ממנו מורה וחלק עליו המורה שעליו חילקת ואם נשאר עוד עשה ממנו מורה וכן עוד תחזור לחלק זה על זה עד שיחלק בשלמות שלא ישאר דבר לחלק ובזה המורה האחרון תוכל לקצר השני מספרים ואם תתחלק עד אחד לא תוכל לקצרו כי אם באחד
Example: we wish to reduce one thousand and 293 of one thousand and 377, like this:	והמשל בזה רצינו לקצור אלף רצ"ג חלקים מאלף שע"ז כזה
1 2 9 3 1 3 7 7	א ב ט ג א ג ז ז
Comparing Fractions	השואת שברים
We divide the denominator by the numerator; 84 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{1377\mod1293=84}}$	נחלק המורה על השברים נשארו פ"ד
We make 84 a denominator and divide one thousand and 293, which was the denominator, by it; 33 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{1293\mod84=33}}$	נעשה מפ"ד מורה ונחלק עליו אלף רצ"ג שהיה המורה ונשארו ל"ג
We make it a denominator and divide 84, which was the previous denominator, by it; 18 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{84\mod33=18}}$	ונעשה מהם מורה ונחלק עליו פ"ד שהיה המורה שעבר נשארו י"ח
We make it a denominator and divide 33, which was the previous denominator, by it; 15 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{33\mod18=15}}$	נעשה מהם מורה ונחלק עליהם ל"ג שהיה המורה שעבר נשארו ט"ו
We divide 18 by 15; 3 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{18\mod15=3}}$	נחלק על ט"ו י"ח נשארו ג‫'
We divide 15 by 3; nothing remains. $\scriptstyle{\color{blue}{15\mod3=0}}$	נחלק על ג' ט"ו לא נשאר כלום
So, we can reduce both by three:	ואם כן בשלישית נוכל לקצור שניהם
We divide the denominator by three; the result of division is 459.	בצד המורה נחלקהו בשלישית יעלה החילוק תנ"ט
We divide the numerator also by three; the result of division is 431.	גם נחלק השברים בשלישית יעלה בחילוק תל"א
Hence, reduced by three it is 431 parts of 459. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1293}{1377}=\frac{431}{459}}}$	ואם כן הנשאר מקוצר בשלישית יהיו תל"א חלקים מתנ"ט שלם
The second example: 153 parts of 234.	משל שני קנ"ג חלקים מרל"ד
Divide 234 by 153; 81 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{234\mod153=81}}$	תחלק רל"ד על קנ"ג הנשאר פ"א
Divide 153 by 81; 72 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{153\mod81=72}}$	תחלק קנ"ג על‫] ‫[על פ"א נשארו ע"ב
Divide 81 by 72; 9 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{81\mod72=9}}$	תחלק פ"א על ע"ב נשארו ט‫'
Divide 72 by 9; nothing remains. $\scriptstyle{\color{blue}{72\mod9=0}}$	תחלק ע"ב על ט' לא נשאר כלום
This indicates that 153 and 234 can be reduced by 9.	ויורה כי בט' יתקצרו קנ"ג ורל"ד
If the division reaches one, compare [the fraction as it is], because it can be reduced by one only, and this is common to every prime number.	וכל חילוק שיבוא עד אחד תשוהו כי לא יתקצר כי אם באחד והוא משוטף לכל מספר בודד
For example: 13 parts of 19.	כי דרך משל י"ג חלקים מי"ט
Divide 19 by 13; 6 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{19\mod13=6}}$	תחלק י"ט לי"ג נשארו ו‫'
Divide 13 by 3; 1 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{13\mod3=1}}$	תחלק י"ג לג' ישאר א‫'
This indicates that it has no divisor except 1.	וזה יורה שאין לו חלק זולת א‫'
	וכן כל כיוצא בזה ואילו הדרכים תמצה בשלמים ואם כתבתי שם בקיצור‫]
	והמשל בזאת הצורה
16   15 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ 20	וא   הא X 20
We multiply 3, which is the numerator of the quarters, by 5, which is the denominator of the fifths; the result is 15. We write it above 3 to indicate that 15 equals 3. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}$	נכפול ג' שהוא שברי הרביעיות על ה' שהוא מורה החמשיות יעלו ט"ו ונתנם על ג' להורות כי ט"ו שוה לג‫'
We also multiply 4, which is the numerator of the fifth, by 4, which is the denominator of the quarters; the result is 16. We write it above 4 to indicate that 16 equals 4. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}$	וכן נכפול ד' שהוא שברי החמשיות על ד' שהוא מורה הרביעיות יעלו י"ו ונתנם על ד' להורות כי י"ו שוה לד‫'
So, we know that 3-quarters is smaller than 4-fifths by one, because one is 15 and the other is 16.	ואז ידענו כי ג' חמשיות ג' רביעיות קטן מד' חמשיות מאחד כי האחד ט"ו והשני י"ו
But, we still do not know a part of which whole this one is, until we know the common denominator of the two denominators.	אבל לא ידענו זה האחד חלק מכמה בשלם הוא עד שנדע מורה כולל לשני המורים
	ולדעת זה נכפול השני ‫[...] והוא [...] כי ערך ג' אל ד' [...] כערך י"ו אל כ' כי [...] מכ' וד' חמשיות הם כמו [...] ג' רביעיות קטן מד' חמשיות מחלק [...] זה לזה משני מינים
	והדרך השני שהוא דרך כוללי לשני מני שברים או לרבים ומזה אדבר והוא שתוציא אב השברים המורים ותחלקהו על השבר המורה הפרטי ותכפלהו על מספר השבר והוא המבוקש ומשל בג' חמשיות וד' שביעיות כזה
20   21 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ 35	‫0ב   אב X הג
	תכפול המורים זה על זה ותציא האב הכולל שהוא ל"ה
	חלק ל"ה על ה' בעבור החמשית והיוציא שהוא ז' תכפול על ג' בעבור שאמר ג' חמשיות ויעלו כ"א תניחם על ג' חמשיות כי ערכם שוה
	עוד חלק ל"ה על ז' בעבור השביעיות ותציא ה' כפלם בד' בעבור שאמר ד' שביעיות ויעלו כ' תניחם על ד' שביעיות כי ערכם שוה וכן לכל כיוציא בזה הדומה לזה
	וכן אם היו השברים ממנים רבים שתכפול על המורים זה בזה והיוציא על האחר אם כסדר אם שלא כסדר וכן עד הסוף והיוציא הוא המורה הכולל לכל המורים חלקהו על המורה השבר וכופלהו על מספר השבר ואם אין לו אלא שבר אחר [כמו שלשי או רביעית] חלקהו על השבר והיוציא הוא הראוי כי אין צריך לכפול כי אין לו מספר שברים
	‫שיווי שברים מתחלפים
Example of numerous fractions of various types: we wish to compare a half, a third, a quarter, a fifth, a sixth, a seventh, and an eighth - the numerators of these types are the same, but the denominators are different, like this:	משל שני לשברים רבים ממינים מתחלפים כמו שרצינו לשוות חצי ושלישית ורביעית וחמשית וששית ושביעית ושמנית שאילו המינים הם שוים השברים ומתחלפי המורים כזאת הצורה
	והמעשה הוא שתכפול המורים ‫זה על [...] קח מזה המורה [...] שהוא חצי וקח [...] וכרגיל המעשה הוא שנכפול [...] תהיה הרכבת בגדהז [...] המורה המקוצר ה[..]
Its half is 420. Write it above the half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot840=420}}$	והנה חציו ת"ך ונתנהו על חצי
Its third is 280. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot840=280}}$	ושלישיתו ר"ף
Its quarter is 210; above the quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot840=210}}$	ורביעיתו ר"י על הרביעית
The fifth is 168; above the fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot840=168}}$	וחמשית קס"ח על החמשית
Its sixth is 140; above the sixth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot840=140}}$	ושישיתו ק"מ על השישית
Its seventh is 120; above the seventh. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot840=120}}$	ושביעיתו ק"ך על השביעית
Its eighth is 105; above the eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot840=105}}$	ושמניתו ק"ה על השמנית
All the fractions are of the same [type] with the same denominator and you can [compare] them as integers:	והרי לך כל השברים שוים בני אב אחד ותוכל לעשות מהם כמו משלמים
The ratio of 1 to 2, which indicates a half, is the same as the ratio of 420 to 840, which indicates a half, because every 840 of these fractions are a whole unit. $\scriptstyle{\color{blue}{1:2=\frac{1}{2}=420:840}}$	ואז ערך א' אל ב' שיורה חציו כערך ת"ך אל תת"ם שיורה [חצי] השלם כי כל תת"ם מאלה השברים עושים אחד שלם
Similarly, the ratio of 1 to 3 is the same as the ratio of 280 to 840. $\scriptstyle{\color{blue}{1:3=280:840}}$	וכן ערך א' אל ג' כערך ר"ף אל תת"ם
Also, the ratio of 1 to 4 is the same as the ratio of 210 to 840. $\scriptstyle{\color{blue}{1:4=210:840}}$	וכן ערך א' אל ד' אל ד כערך ר"י אל תת"ם שיורה הרביעית
Also, as the ratio of 1 to 5, to 6, to 7, and to 8, so is the ratio of 168, 140, 120, and 105 to 840.	וכן כערך א' אל ה' ואל ו' ואל ז' ואל ח' כן ערך קס"ח וק"מ וק"ך וק"ה אל תת"ם
$\scriptstyle{\color{blue}{1:5=168:840\quad1:6=140:840\quad1:7=120:840\quad1:8=105:840}}$
	והרי לך הראוי לכולם ויהיו החצי והשליש והרביע וכן כולם חלקים שוים לזה המורה הכולל וכן תנהיג לכל השברים שיהיו חלקהם יותר מאחד
	אבל אם יהיו חלקהם יותר מאחד כמו ב' שלישיות וג' רביעית ועוד רבים שתקח ב' שלישיות המורה הכולל וג' רביעיותיו וכן כולם כאשר תראה עוד אחר זה בע"ה
105 120 140 168 210 280 420 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ reduced 840 denominator	ה0א ‫0בא ‫0דא חוא ‫0אב ‫0חב ‫0בד המקוצר ‫0דח המורה
	‫השואת שברים
	משל שלישי שיהיו השברים והמורים מתחלפים כמו ג' חמשיות ד' שביעיות וז' עשיריות וה' ששיות כזאת הצורה
175 147 120 126 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ 210	הזא זדא ‫0בא ובא ‫0אב
We multiply 5 by 7, then the product by 6; the result is 210 and this is the common denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot6=210}}$	נרכיב ה' על ז' והעולה על ו' יעלו ר"י וזה אב המורים
	ומה שלא לקחנו עשרה הוא בעבור כי עשרית ‫[...] ועתה נקח [...] החמשית יהיו [...] ג' חמשיות כי כן [...] על ז' יהיו [.] נכפלם על [בשלם] [...] מונח על ד' שביעיות כי כן הוא [...] על עשרה יהיו כ"א נכפלם על ז' יעלו [...] על ז' עשיריות כי כן הוא מר"י וכן נחלק ר"י על ו' היוציא יהיה ל"ה נכפלם על ה' יעלו קע"ה והוא מונח על ה' ששיות כי כן הוא מר"י שהוא המורה הכולל ואז יהיה קכ"ו ג' חמשיות וק"ך ד' שביעיות וקמ"ז ז' עשריות וקמ"ה ה' ששיות ויהיו כל השברים שוים זה אל זה כי ערך השברים המחודשים למורה הכולל כערך השברים הראשונים אל מוריהם וכן כל כדומה לזה
	‫השוא[ת] שברי שברים
	משל רביעי בשברי שברים ואומר כי השואת שברי שברים אם הוא שבר משבר השבר הוא מן הכלל או הדבר השני ואם הוא שבר השבר נוכל אם נרצה לשוותו עם הכלל הראשון כמו השואל השוואת שבר השבר כפול שברי המספר אשר ממנו נשאל על מורה הראשון השואל והיוציא תניח על האחרון וממנו תקח מה שתרצה
	כמו שרצינו לשוות ב' שלישיות מג' רביעיות ר"ל לקחת מג' רביע ב' שלשיות מג' רבי' כמו שראה בגרעון כפול ג' שברי האחרון על מורה הראשון שהוא ג' יהיו ט' על ג' רביעית נקח מהם מהם ב' שלשיות שהם ו' [.] תניחנו על ב' שלשיות ועתה נוציא המורה והוא י"ב תקצר יהיה הנשאל חצי כאשר תקצרהו והנה נעשה זה המשל בדרך השני הכולל והנה הדרך הוא שראשונה תוציא המורה הכולל וממנו תקח החלקים שתרצה
	ומשל חמשי רצינו ‫ג' רביע [...] הוא [...] יעלו י"ו נניחם [...] ג' רביעיותיו שהם י"ב [...] ג' שלישיות אחד והוא מה שרצינו ‫[...]
	‫השואת שברי שברים
	משל ששי רצינו חצי שלישית רביעית חמשית כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 120	‫0בא
	נוציא המורה הכללי בלא קיצור והוא ק"ך והנה חמשית ק"ך הוא כ"ד מונח על החמשית ורביעית כ"ד הוא ששה והוא על הרביעית ושלישית ששה הוא ב' על השלישי וחצי ב' אחד שזה האחד הוא המבוקש
Integers with a fraction	‫שלמים ושברים
Seventh example: we wish to equalize integers with a fraction	משל שביעי רצינו לשוות שלמים ושבר
Multiply the integers by the denominator of the fraction.	כפול השלמים במורה השברים
7 integers with 4-fifths.	וזה כמו ז' שלמים ד' חמשיות
Multiply 7 by 5, which is the denominator; they are 35-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{7=\frac{7\sdot5}{5}=\frac{35}{5}}}$	כפול ז' בה' שהוא המורה יהיו ל"ה חמשיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ 7 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35}{5}}}$	ז הג ה
Integers with fractions	‫אחר משלמים ושברים
Eighth example: we wish to equalize integers with fractions	משל שמני רצינו לשוות שלמים ושברים
Equalize the fractions, then multiply the integers by the common denominator.	תשוה השברים ואחר כפול השלמים על המורה הכללי
We wish to equalize eight integers with 5-sixths and 6-sevenths.	וזה כמו שרצינו לשוות שמונה שלמים וה' ששיות וו' שביעיות
Like this:	כזה
36 35 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ 42 8 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{336}{42}}}$	וג הג בד ח וגג בד
The denominator is 42.	יהיה המורה מ"ב
Its fractions are 35 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot42=35}}$ and 36 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\sdot42=36}}$.	וחלקי השברים ל"ה ול"ו
Multiply 8 by 42, which is the denominator; they are 336 parts of 42 and it is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{8=\frac{8\sdot42}{42}=\frac{336}{42}}}$	כפול ח' על מ"ב שהוא המורה יהיו של"ו חלקי מ"ב והוא הדרוש
You can reduce it to 24 parts of 3, so that if you divide by it, the result are 8 integers $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{336}{42}=\frac{24}{3}=8}}$	ותוכל לקצרו עד כ"ד חלקי ג' שאם תחלקהו עליו יעלו ח' שלמים
Integers and fractions with fractions of fractions	‫אחר משלמים ושברי שברים
Ninth example: we wish to equalize integers and fractions with fractions of fractions	משל תשעי שרצינו לשוות שלמים ושברים על שלמים שברים
Equalize all the fractions to a common denominator, then multiply the integers by the [common] denominator.	תשוה כל השברים למורה אחד ואחר כפול השלמים במורה
We wish to equalize 4 integers, one half, 2-thirds and 3-quarters and the second part is 4-fifths, 5-sixths and 6-sevenths.	כמו שרצינו לשוות ד' שלמים וחצי וב' שלישיות וג' רביעיות והחלק השני לבד בזאת הצורה ד' חמשיות ה' ששיות ו' שביעיות
According to this diagram:	בזאת הצורה
	‫[...] נוציא [...] והוא ת"ך יונח [...] על ת"ך יעלו אלף [...] השוים למורה ואחר נחלקם [...] כמו שתראה במשלים בע"ה
Integers and fractions with integers and fractions	‫שלמים ושברים על שלמים ושברים
Tenth example: if there are integers and fractions with integers and fractions	משל עשירי שאם יהיו שלמים ושברים על שלמים ושברים
Equalize all the fractions to a common denominator, multiply the integers by the [common] denominator and add the product to the fractions [of the common] denominator.	תשוה כל השברים למורה כללי כפול השלמים במורה והעולה תחברהו עם חלקי שבריו
We wish to equalize 3 integers, 4-fifths and 5-sixths, to 4 integers, 2-thirds and 3-quarters.	כמו שרצינו לשוות ג' שלמים וד' חמשיות וה' ששיות על ד' שלמים עם וב' שלישיות וג' רביעיות
45 40 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 325 240 60 4 integers 50 48 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ 278 180 60 3 integers 60
הד ‫0ד הבג ‫0דב ‫0ו ד שלמים ‫0ה חד חזב ‫0חא ‫0ו ג שלמים ‫0ו
The common denominator is 60.	הנה המורה לכולם הוא ס‫'
Multiply 3 integers by 60; they are 180. Add 180 to the fractions, which are 50 and 48; they are 278, which is the first part. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot60\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot60\right)=180+48+50=278}}$	כפול ג' שלמים על ס' יהיו ק"ף תחבר ק"ף עם חלקי שברו שהם נ' ומ"ח יהיו רע"ח החלק האחד
Multiply also 4 integers by 60; they are 240. Add the fractions to it, which are 45 and 40; they are 325, which is the second part. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot60\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot60\right)=240+40+45=325}}$	עוד כפול ד' שלמים על ס' יהיו ר"מ תחבר עמו חלקי שבריו שהם מ"ה ומ' יהיו שכ"ה החלק השני
All of them are subject to one denominator; now add, subtract, or divide one by the other and so on.	וכולם תחת מורה אחד עתה חבר או גרע או חלק זה מזה וכן כל הדומה לזה
	ובהרגיל המעשה נראה כל זה בע"ה כי בכאן די בזה
	ודע כי השואת ימים שעות ודקים ושניים ושלישיים ורביעיים והנמשכים הוא שתתן הכל בשבר היותר קטן וזה שתכפול דמים בכ"ד ועל העולה תחבר השעות אשר בידך אם יש שעות ויהיה הכל שעות תכפלם בס' והיוציא יהיו דקים ותחבר עליהם הדקים וכפל הדקים על ‫כן [...] לנמשכים ‫[...]
The First Chapter: [Addition of Fractions]	הפרק [הראשון] מן [השברים] ‫[...]
	ואומר שאם [...] אם שיהיו שני מינים או יותר [...] שברים עם שברי שברים או שברי שברים [...] או מין אחד על ב' מינים או יותר וכן כל מה [...] תשוים ראשונה ואחר תחברם והעולה תחלקם על המורים והעולה בחילוק הם השלמים היוציאם מחיבור כל השברים
Addition of a fraction to a fraction	חיבור שבר עם שבר
Example: we wish to sum 3-fifths with 4-sevenths $\scriptstyle\frac{3}{5}+\frac{4}{7}$	המשל בזה רצינו לחבר ג' חמשיות עם ד' שביעיות
As this diagram: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}\times\frac{3}{5}}}$	בזאת הצורה ‫X
20   21 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ 35	‫0ב   אב X הג
We equalize them by the first method, each fraction to the denominator of the other.	נשוים עם הדרך הראשון כל שבר במורה חברו
We multiply 3 by 7; the result is 21 $\scriptstyle{\color{blue}{3\times7=21}}$ above the 3-fifths.	וזה שנכפול ג' על ז' יעלו כ"א מונח על ג' חמשיות
Also 4 by 5; the result is 20 $\scriptstyle{\color{blue}{4\times5=20}}$ above the 4-sevenths.	גם ד' על ה' יעלו כ' מונח על ד' שביעיות
Also 5 by 7; the result is 35, which is the common denominator beneath $\scriptstyle{\color{blue}{5\times7=35}}$.	גם ה' על ז' יעלו ל"ה שהוא אב המורים למטה
Now, we sum 21 with 20; the result is 41, which are fractions of 35 and if you divide them by 35, the result is one integer and six parts of 35. $\scriptstyle\frac{3}{5}+\frac{4}{7}=\frac{21+20}{35}=\frac{41}{35}=1+\frac{6}{35}$	ועתה נחבר כ"א עם כ' יעלו מ"א והם שברים מל"ה בשלם שאם תחלקם על ל"ה יציא אחד שלם וששה חלקים מל"ה בשלם כזה
Addition of fractions to fractions of fractions	חיבור שברים עם שברי שברים
The second example: we wish to sum fractions with fractions of fractions	משל שני רצינו לחבר שברים עם שברי שברים
We equalize twice: first equalizing the fractions of fractions and the then equalizing both [summands]. For when I take the required [result] from the fractions of fractions, what comes out is the same as [the addition of] fractions with fractions, like the previous example; and then you sum them.	הנה נעשה בזה שתי השואות הראשונה השואת השברי שברים והשנית השואת שניהם כי השברי שברים כאשר אקח ממנו הנשאל יהיו כמו שברים עם שברים כמשל שעבר ואחר תחברם
Example: we wish to sum 5-ninths with 4-fifths of a seventh $\scriptstyle\frac{5}{9}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)$	וזה כמו שרצינו לחבר ה' תשיעיות עם ד' חמשיות שביעית
As this diagram:	כזאת הצורה
5   4 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$   35   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}}}$ 315	ה   ד X   הג   האג
	וראשונה נשוה השברי שברים וזה שנוציא
	‫[...] ונתן אותו [...] ואנחנו [...] והוא [...] והוא השואת השברי שברים [...] בשלם נשוים עם ה' תשיעיות [...] שברים עם שברים כמשל הראשון [...] זאת הצורה
36   175 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{35}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}}}$ 315	וג   הזא ד X ה הג ט האג
The denominator is 315.	והמורה הוא שט"ו
Its 5-ninths are 175 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}\sdot315=175}}$.	וה' תשיעיותיו הם קע"ה
Its 4 parts of 35 are 36. Because we divide 315 by 35; the result is 9. 9 times 4 are 36 as mentioned. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{35}\sdot315=\frac{315}{35}\sdot4=9\sdot4=36}}$	וד' חלקים מל"ה הם ל"ו כי נחלק שט"ו על ל"ה יעלה ט' [.] וט' פעמים ד' הם ל"ו כנזכר
Then they are equal. For the ratio of 5 to 9 is the same as the ratio of 175 to 315 $\scriptstyle{\color{blue}{5:9=175:315}}$; and the ratio of 4 to 35 is the same as the ratio of 36 to 315 $\scriptstyle{\color{blue}{4:35=36:315}}$. Furthermore, 9 to 5 is one time and 4 fifths and 315 to 175 is one and 4-fifths $\scriptstyle{\color{blue}{9:5=1+\frac{4}{5}=315:175}}$.	ואז יהיו שוים כי ערך ה' אל ט' כערך קע"ה קע"ה אל שט"ו וכן ערך ד' אל ל"ה כערך ל"ו אל שט"ו ועוד כי ט' אל ה' פעם אחד וד' חמשיות וכן קע"ה אל שט"ו אל קע"ה פעם וד' חמשיות
	והנה אחר שהם חלקים שברים שוים ממורה אחד נחברם קע"ה עם ל"ו יהיו רי"א ולא הגיע לשלם כי השלם הוא שט"ו והנה עלה בידינו כי כאשר נחבר ה' תשיעיות עם ד' חומשי שביעית שיהיה העולה רי"א חלקים עשינו כזה
Addition of fractions of fractions to fractions of fractions	חבור שברי שברים עם שברי שברים
The third example: we wish to add up fractions of fractions with fractions of fractions.	משל שלשי רצינו לחבר שברי שברים עם שברי שברים
Compare them twice as said, then sum them up.	תשוים שני פעמים כנזכר ואחר נחברם
As when we wish to add up 3-quarters of 4-fifths with 2-thirds of 2-fifths. $\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{2}{5}\right)$	כמו שרצינו לחבר ג' רביעי ד' חומשים עם ב' שלישי ב' חומשים
According to this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
6   4 16   12 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ 15 20	ו   ד וא   בא X X הא ‫0ב
	נבקש המורה הכולל לכל שבר השבר ויהיה לג' רביעי ד' חמשים כ' ולב' שלישי ב' חומשים ט"ו ולקחנו מן הראשון ד' חמשיות והמורה [...] אחדי השבר הגדול ולקחנו מזה השבר ג' רביעיותיו שהם י"ב וזה המבוקש משברי
	‫השבר [...] וזה השבר [...] משברי השבר ה[] הוא י"ב חלקים מכ' והשני [...]
20   45 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{15}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ 75	‫0ב   הד ד X ג הא ה הז
	תוכל לקצרו לג' חמשיות להקל [...] נשוים יהיו הג' חמשיות מ"ה [...] והד' חלקים מט"ו יהיו כ' חלקים מע"ה [...] שהם שברים שוים אל מורה אחד וחברם יהיו ס"ד ולא יעלו לאחד שלם ויהיו כזה
	ס"ה חלקים מע"ה בשלם ואם נקצרם בחמשית יהיו י"ג חלקים מט"ו ולא נוכל לקצרם עוד כי השברים בודדים
	ותוכל לעשות אלה ההשואות בדרך אחרת [ובהשואה אחת] שתקח המורה הכולל ואם תרצה לקצרו ויהיו ס' והנה ד' חמשיות החלק הראשון הם מ"ח וג' רביעיות מ"ח הם [.] ל"ו וזה הנשאל משבר השבר הראשון ולשבר השבר השני הנה ב' חמשיות מס' הם כ"ד וב' שלשיות כ"ד הם י"ו והם שבר השבר הנשאל מן השבר השני נחבר ל"ו וי"ו יהיו נ"ב חלקים מס' שאם [תקצרם] בחצי יהיו י"ג חלקים מט"ו בשלם כמו שנזכר ודי בזה כי בחיבור משקל ומידה תלמוד ממה שאמרנו ועוד תראה כל זה בחיבור הדברים המתחלפים המורכבים בע"ה
The second Chapter on the Multiplication of Fractions and Fractions of Fractions of all Kinds	הפרק השני בכפל שברים ושברי שברים למינהם
	וזה יהיה בשני דרכים אשר הדרך הראשון דרך כולל והשני חלקי ואומר כי הדרך הראשון
	‫[וראשונה אומר כי כפל השברים הוא] שתכפול שבר על שבר ומורה על מורה והיוצא הוא המבוקש
	המשל בזה רצינו לכפול ולעולם הכפל לא יעלה לאחד אלא לעולם יהיה שבר כי שבר על שבר על ‫[...] כי כאשר [...] האחד כן [...] מן האחד כי [...] [שליש על שליש] [...] ט' כן האומר ג' שברים [...] תשעה למטה כאשר [...] זה השער
	הדרך הראשון הכולל בכפל השברים
	ואומר כי כפל השברים והשברי שברים הוא שתכפול שבר על שבר ומורה על מורה והיוציא הוא המבוקש
Multiplication of fractions by fractions	כפל שברים על שברים
Example: we wish to multiply fractions by fractions, as 2-thirds by the the same. $\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}$	המשל בזה רצינו לכפול שברים על שברים כמו ב' שלישיות על הדומה להם
Like this:	כזה
4 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 9	ד ט
We multiply 2 by 2; it is 4; and 3 by 3; it is 9.	נכפול ב' על ב' יהיו ד' וג' על ג' יהיו ט‫'
They are 4-ninths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{9}}}$	והנה הם ד' תשיעיות
Multiplication of a fraction by a fraction	כפל שבר על שבר
The second example: we wish to multiply 4-fifths by 5-ninths. $\scriptstyle\frac{4}{5}\times\frac{5}{9}$	משל שני רצינו לכפול ד' חמשיים על ה' תשיעים
Like this:	כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$
We multiply 4 by 5; it is 20; and 5 by 9; it is 45.	נכפול ד' על ה' יהיו כ' ו[.] ה' על ט' יהיו מ"ה
They are 20 parts of 45 and if you reduce them by five, they are 4-ninths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{5}{9}=\frac{4\sdot5}{5\sdot9}=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}}}$	והם כ' חלקים ממ"ה בשלם ‫[$\scriptstyle\frac{20}{45}$] שאם תקצרם בחמש יהיו ד' תשיעיות ‫[ ]
Multiplication of fractions by fractions	כפל שברים על שברים
The third example: we wish to multiply fractions by fractions of many types, as 2-fifths [by] 3-quarters, 4-fifths, 2-sevenths, 7-eighths. $\scriptstyle\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\times\frac{2}{7}\times\frac{7}{8}$	משל שלישי רצינו לכפול שברים על שברים ממנים רבים כמו ב' חמשיות ג' רביעיות ד' חמשיות ב' שביעיות ז' שמניות
Like this diagram:	כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{50}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{336}{5600}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$	ג ‫0ה וגג ‫00וה
We multiply the numerators by each other; they are 336. Also the denominators; the result is 5 thousand and 60. They are as you see at the end of the diagram.	כפלנו שברים זה על זה יהיו של"ו גם המורים יעלו ה' אלפים ת"ר ויהיו כמו שתראה בסוף הצורה
If you reduce them, they are 3 parts of fifty.	ואם תקצרם יהיו ג' חלקים מחמשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\times\frac{2}{7}\times\frac{7}{8}=\frac{2\sdot3\sdot4\sdot2\sdot7}{5\sdot4\sdot5\sdot7\sdot8}=\frac{336}{5600}=\frac{3}{50}}}$
Multiplication of fractions of fractions	כפל שברי שברים
The fourth example of multiplying fractions of fractions: I say that the multiplication of fractions of fractions is the same as the procedure we apply for fractions: when we wish to multiply fractions and fractions of fractions, as 3-sevenths and 4-fifths of an eighth	משל רביעית בכפל שברי שברים ואומר כי כפל שברי שברים הוא כמנהג שעשינו לשברים כמו שרצינו שרצינו לכפול שברים ושברי שברים כמו ג' שביעיות וד' חמשיו שמנית
Like this:	בצורה ‫[...] הזאת
	[...] גם במורים [...] נקצרם יהיו ג' חלקים [...] ממנים רבים כי ‫[...]
Another example: we wish to multiply fractions and fractions of fractions as a half and two-thirds of a quarter by a half, a third and three-quarter of a fifth. $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\times\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]$	משל אחר שרצינו לכפ[ו]ל [...] שברים [ושברי שברים] כמו חצי ושני שלישי רביעית על חצי ושלישית ושלושה רביעי חמשית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$-$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$-$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$	- -
We multiply a numerator by a numerator; the result is 6. Also a denominator by a denominator; the result is 2 thousand and 580. They are six parts of 2 thousand and [8]80. Like this:	נכפול שבר על שבר יעלו ששה גם מורה על מורה יעלו ב' אלפים תק"פ ויהיו ששה חלקים מב' אלפים תק"פ כז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{2580}}}$	ו ‫0חהב
If you reduce them, they are one part of 480.	ואם תקצרם יהיו חלק מת"פ
reduced $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{480}}}$	מקוצר א ‫0חד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\times\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{2\sdot3}{2\sdot3\sdot4\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5}=\frac{6}{2880}=\frac{1}{480}}}$
	הדרך השני הוא שתעשה כמנהג כפל כל שבר שתכפול שבר על שבר ומורה על מורה אלא שתקצרם [עם הפוך השברים] אז תוכל והכל שוה
Example: we wish to multiply 5-ninths by 3-tenths. $\scriptstyle\frac{5}{9}\times\frac{3}{10}$	המשל בזה רצינו לכפול ‫ה' תשיעיות על ג' עשיריות
Like this:	כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}}}$	ג י
We multiply a numerator by a numerator and a denominator by a denominator; they are 15 parts of 90. Like this:	‫נכפול שברים על שברים מורה על מורה ויהיו ט"ו חלקים מצ' כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15}{90}}}$	הא ‫0ט
We reduce them; it is one part of six, like this $\scriptstyle\frac{1}{6}$.	‫נקצרם יהיו חלק מששה כזה ‫
The other way is that we shift the numerator of 5 above the ten and the 3 above the 9, like this:	‫והדרך האחר הוא שנהפוך הה' שברים על העשרה והג' על הט' כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{9}}}$	ה י
Reduce them: the first becomes a third, like this $\scriptstyle\frac{1}{3}$.	‫תקצרם יהיו הראשון שלישית כזה ‫
The second [becomes] a half, like this $\scriptstyle\frac{1}{2}$.	‫והשנית חצי כזה ‫
	‫נכפלם א' על א' יהיו א' וב' על ג' יהיו ו' והוא המורה [...] ששית כנזכ' וכן אם יהיו רבים כמו חצי‫ חצי וב' שלישיות וג' רביעיות וד' חמשיות וה' ששיות כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$
	הנה נרצה איזה שבר יהיה דומה לאי זה מורה נפילם ונכפול הנשאר שאין להם דומים כי ב' הראשון יהיה מורה הב' השני ונפילם ונשאר שבר א' גם ג' שני יהיה מורה הג' השלישי ונפילם גם ד' שלשים יהיה מורה ד' רביעי חמשיים ונפילם גם ה' יהיה מורה ה' חמשי שישיים ונפילם ונשאר ו' שאין לו שבר [..] תחת א' הראשון ויהיה שישית כזה ‫
	ואם תרצה לראות אם זה אמת כפול השברים והמורים כמנהג היו השברים ק"ך והמורים תש"ך תקצרם ישובו לשישית כנזכר ואם לא יהיו דומים מכל צד אלא כב' עם ד' או עם ו' או עם ח' וכן ג' עם ו' או עם ט' או עם י"ב קח השבר והמורה אשר להם דמיון מה [..] למורה באי זה מקום שתמצאהו תדלגהו ותתנהו תחתיו ותחשבהו כפי ‫[...] פעמים [...]
	משל ששי [...] מט"ו וה' חלקים [...] תשעיים וג' חלקים ‫[...]
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{12}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{18}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{28}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{15}}}$	ג ח ז ג ה ב בא ט חא ד חב הא
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$
	[...] יחס מה [...] השבר הראשון שהוא ב' יחסו אל ד' שהוא השבר המורה השלישי ונקצרהו יהיה חצי זה ראש צורה אחרת והשבר השני הוא ה' יחסו אל המורה הראשון יחס שליש ונקצרהו יהיה שליש והוא שבר שני והשבר השלש והוא ג' יחסו אל ט' יחס שלישית גם כן ונקצרהו והוא שליש והוא שבר שלישי בצורה השנית והשבר הרביעי שהוא ז' יחסו אל כ"ח שהוא המורה השנית יחס רביעית נקצרהו ברביעית והוא שבר רביעי בצורה השנית והשבר החמשי הוא ח' יחסו אל י"ב יחס שתי שלשיות נקצרהו יהיה שתי שלשיות והוא שבר חמשי בצורה השנית והשבר השישי שהוא ג' יחסו אל י"ח יחס ששית נקצרהו יהיה ששית והוא שבר ששי בצורה השנית ועתה כפול שבר על שבר יעלו שנים גם כפול המורים יעלו אלף רצ"ו ואם כפלנו כל השברים בשלמות יעלו לאפים ולרבבות ועתה יצא לנו מזה הכפל ב' חלקים מאלף רצ"ו תקצרם בחצי יהיו חלק אחד מתרמ"ח כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{648}}}$	א חדו
	עיון אחר בזה הדרך הוא שכאשר תעשה הצורה השנית [עד ב' חמשי ותן הא' על הג' במקום ואז יהיה חלק [מאלף רצ"ו] בלא קיצור] ותוכל עוד לקצר תקצר עד שלא תמצא יחס בשבר עם
	‫מורה [...] תשיעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$
	שהוא ג' יחסו אל ט' יחס ראשון לזה הצורה השנית השני שהוא ד' יחסו אל ח' ואחר הקיצור הוא חצי והוא שבר שני לצורה השנית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$
	והשבר השלשי שהוא ה' יחסו אל המורה הראשון שהוא ה' יחס שלם ולא נשים לב עליו כי כפל בשלם
	והשבר הרביעי שהוא ו' יחסו אל עשרה יחס ג' [ס'] חמשיות והוא שבר שלישי
	והשבר החמשי שהוא ז' הוא יחס שלם וחלק לו עם מורה רביעית שהוא ז' וחלק לו והנה עלה מכל זה שליש וחצי מחצי וג' חמשיות וגם עתה ראנו כי שבר ג' השלשי כפל לשלם עם מורה ראשון ונשים א' שעל[יו] על ה' שלקחנו הג' שעליו ואז נשארו לנו חצי וחמשי כזה
	כפלנו זה על זה ישאר עשירית כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 10	‫0א
	מכל הכפל ובאנו עד קיצו ואין צריך לקצר עוד ודי בזה בכאן ועיין פלא זה הקיצור
The Third Chapter of the Second Section: Subtraction of Fractions	הפרק השלישי מן השער השני במגרעת השברי
	ואומר כי דרך מגרעת השברים הוא הפך החיבור ותצטרך לעיין שיהיה החלק שתרצה לגרוע ממנו או לחלק גדול מן האחר וזה תראה בשני דרכים
	הדרך הראשון הוא שתעיין בחלוקת השברים ומורהם כמו שאמרתי בזה השער שהם ארבעה מינים
	אשר הראשון הוא שיהיו השברים שוים והמורים מתחלפים ‫[...] כאשר [...] יהיה [השבר] יותר [...]ק יקטן השבר [...]פים והמורים שוים [...] כזה הנה כאשר יתרחק מן [...] יגדל השבר מטעם תוספ[ת] [...] וזה אינו לאין תכלת כראשון
	והמין השלישי שיהיו השברים והמורים מתחלפים כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$
	הנה כל מה שיתרחק מן הראשון יגדל בשני לאין תכלית
	והמין הרביעי שיהיה השברים והמורים שוים כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$
	יהיו כולם שוים והגרעון והחילוק בם שוה
	והכלל כי הראשון כל מה שיתרחק יקטן לאין תכלית
	והשני והשלישי יגדילו אבל השלישי עם חילוף המורה כי שבריו הם עד סך המורה ותראה ותבין
	והרביעי שוה
	ועיין בם
	אבל ההשואה יהיה על הכל שזה צריך עייון
	הדרך השני הוא ידוע שהוא דרך ההשואה כמו שקדם
	ותראה עתה במשלים ואומר כי מאחר שבארתי מני השברים אשוב לכונת הפרק ואומר כי דרך ידיעת גרעון שבר משבר הוא שתשוים ואחר תגרע הקטון מן הגדול
Example: we wish to subtract one-third from one-half $\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$	המשל בזה רצינו לגרוע שלישית מחצי
According to this diagram:	בזאת הצורה
3   2 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ 6	ג   ב X ו
	נשוים כדרך השל הראשון שנכפול כל שבר על מורה חברו ויהיו על שלישית ב' ועל חצי ג' והמורה הכללי ששה גרע ב' מג' ישאר א' שהוא חלק מששה והנה עלה בידינו כי הגורע שלישית ‫מחצי ‫[...]
	‫גרעון שברים משברים ממורה אחד
The second example: we wish to subtract 2-fifths and 4-sevenths from 3-quarters and 5-sixths. $\scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\right)-\left(\frac{2}{5}+\frac{4}{7}\right)$	משל שני [רצינו לגרוע ב' חמשיות וד' שביעיות מג' רביעיות] ומה' ששיות
	‫[...] המורה הכללי והוא תת"ם [...] הראשון יהיו של"ו וג' שביעיותו [...] רביעיות על השלישי יהיו [..] וה' ששיות [...] יהיו ת"ש ויהיה בצורה הזאת
330     816   700   630 480   336 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 840	‫0גג     ואח   ‫00ז   ‫0גו ‫0חד   וגג     ‫0דח
	ואחר נחבר כל שני שברים בפני עצמם הב' חמשיות עם הד' שביעיות יהיו תתי"ו ותנם למעלה בין שניהם גם נחבר השני שברים האחרים אם של אחיו אשר מהם נרצה לגרוע יהיו אלף ש"ל בין [ש]ניהם למעלה ואחר נגרע תתי"ו מאלף ש"ל ישארו תקי"ד חלקים מתת"ם בשלם ואם תקצרם יהיו מ"ג חלקים מע' כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{43}{70}}}$	גד ‫0ז
	והנה עלה בידינו כי כאשר גרענו ב' חמשיות וד' שביעיות מג' רביעיות וה' שישיות שישארו מ"ג חלקים מע' בשלם
	ותוכל לעשות זה בדרך אחרת והוא שתעשה ראשונה שני מורים בזאת הצורה הנזכרת ויהיה מורה המספר הקטן [שהוא] ב' חמשיות וד' שביעיות ל"ה ומורה המספר הגדול שהוא ג' רביעיות וה' ששיות הוא כ"ד נקח מן המורה הראשון ב' חמשיות שהוא י"ד ויהיו על ב' גם נקח ד' שביעיות והוא כ' גם מן המורה השנית נקח ג' רביעיותיו שהוא י"ח וה' שישיותיו שהוא כ' והרי לך חלקי השברים מן השני מורים כזה הצורה
38   34 20 18   20 18   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{53}{64}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 24   35	חג   דג ‫0ב חא   ‫0ב חא   גה דו   דב   הג
	וגם תוכל להוציאם בדרך הראשון והוא שתכפול כל שבר במורה ‫[...] חברם [...] הכולל שהוא [...] גם ד' על ד' יהיו [...] ותנחנו על המורה הכולל [...] עתה שנים שהם [...] שרצינו לגרוע מל"ח חלקי' [...] הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{38}{24}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{34}{35}}}$ 514   remainder 1330   816 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{38}{24}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{34}{35}}}$ 840	חג דב   דג הג דאה   הנשאר ‫0גגא   ואח חג דב X דג הג ‫0דח
	גם נשוים באחד מן השני [...] הנזכרים יהיה החלק הקטן תתי"ו והגדול אלף ש"ל והאב הכולל תת"ם ועתה שהכל שוה נגרע תתי"ו מאלף ש"ל ישארו תקי"ד מתת"ם ואם נקצרם יהיו מ"ג [.] חלקים מע' בשלם כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{43}{70}}}$	גד ‫0ז
The third example: we wish to subtract froctions from fractions of fractions, as if we wish to subtract 2-fifths from 5-sixths of 4-fifths. $\scriptstyle\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{6}\right)-\frac{2}{5}$	משל שלשי רצינו לגרוע שברים משברי שברים [.] כמו שרצינו לגרוע ב' חמשיות מה' ששיות חמשית מד' חמשיות
According to this diagram:	והיה כצורה הזאת
24   30 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ 30	דב   ‫0ג - ‫0ג
	נמשיך קו מה' לד' להורות כי ה' שבר מד' וכן קו בין מורה למורה ואחר נשוים כנזכר ויהיה האב הכולל לשבר השבר ל' והנה ד' חמשיותיו הם כ"ד על ד' וה' ששיות כ"ד הם כ' וזה השבר המבוקש שהוא כ' חלקים מל' כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{30}}}$	‫0ב ‫0ג
	נקצרם ישובו לב' שלישיות או שנגרע השני ספראש שהם במעלת האחדים ישארו ב' וג' במעלת האחדים כזה ‫
	ואז שבו חלקי השאלה לגרוע ב' חמשיות מב' שלשיות כזאת הצורה
10   6 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 15	‫0א   ו X הא
	נשוים יהיה האב הכולל ט"ו וחלקי הב' חמשיות ששה וחלקי הב' שלישיות עשרה נגרע ו' מעשרה ישארו ד' והם ד' חלקים מט"ו בשלם כזאת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{15}}}$	ד הא
	והנה כאשר גרענו ב' חמשיות מה' ששיות מד' חמשיות ישארו ד' חלקים מט"ו בשלם
The fourth example: we wish to subtract 2-fifths of 3-quarters of 5-sevenths from 3-fifths of 5-sixths of 7-eighths. $\scriptstyle\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{5}{6}\sdot\frac{7}{8}\right)-\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{5}{7}\right)$	משל רביעי שרצינו לגרוע ‫[ב' חמשיות מג'] רביעיות [מה' שביעיות מג' חמשיות] מה' ששיות [מז' שמיניות] ‫[...]
210   175   105 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ from 100   65   30 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 240   140	‫0אב   הזא   ה0א - - מ ‫00א   הו   ‫0ג - - ‫0דב   ‫0דא
	‫[...] שבר שברים [...] ויהיה האב הכולל לשברי השברים הראשונים ק"מ ולשניים ר"מ והנה ה' שביעיות [.] ק"מ הם ק' ונתנם על ה' שביעיו וג' רביעיות ק' הם ע"ה ושני חמשיות ע"ה הם ל' וזה החלק המבוקש לגרוע מן השני שהוא ל' חלקים מק"ם השלם כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{140}}}$	‫0ג ‫0דא
	ואם נקצרם יהיו ג' חלקים מי"ד כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{14}}}$	ג דא
	ונוכל לקצרם בדרך קרוב והוא שנפיל הב' ספראש ממעלת האחדים וישארו ג' חלקים מי"ד כנזכר
	והנה ב' חמשיות מג' רביעיות מה' שביעיות הם ג' שברים מי"ד בשלם ועיין ותראה וזה השבר הראשון אשר רצינו לגרוע מן השני הגדול
	וכן נעשה לשברי השברים השניים כי מורה השברים הוא ר"ם כנזכר וז' שמניותיו הם ר"י וה' ששיות ר"י הם קע"ה וג' חמשיות קע"ה הם ק"ה וזה המבוקש נקצרם יהיו ז' חלקים מי"ו כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{16}}}$	ז וא
	והם שוים לערך ג' חמשיות מה' ששיות מז' שמיניות ועתה נגרע ג' חלקים מי"ד בשלם מז' חלקים מי"ו בשלם בזאת הצורה
98   48 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{16}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{14}}}$ 224	חט   חד ז וא X ג דא דבב
	ולא נוכל עד שנשוים בעבור שהם שברי מנים מתחלפים ונוציא האב הכולל והוא רכ"ד נכפול ‫[...] צ"ח [...] שתקח ג' חלקי [...] והיו מ"ח וז' חלקים [...] הכל דרך אחד כי זה הדרך [...] הדרך השני שעשנו המורה הכולל [...] ולקבץ אותו על י"ד וכפלנו היוציא על ג' [...] מ"ח וכן עשנו לשבר האחר ונתן מ"ח על השבר הראשון וצ"ח על השני ונגרע מ"ח מצ"ח ישארו נ' והם נ' חלקים מרכ"ד ואם נקצרם לחציים יהיו כ"ה חלקים מקי"ב כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{25}{112}}}$	הב באא
	והרי לך כי ב' חמשיות מג' רביעיות מד' שביעי' כשתרצה לגורעם מג' חמשיות מה' ששיות מז' שמניות שישארו כ"ה חלקים מקי"ב כנזכר
The fifth example: we wish to subtract fractions and fractions of fractions from fractions and fractions of fractions, as if we wish to subtract 2-thirds and a fifth of 3-quarters of a fifth from 3-sevenths and 5-sixths of 4-fifths of 8-ninths.	משל חמשי רצינו לגרוע שברים ושברי שברים משברים ושברי שברים כמו ב' שלישיות וחמשית ג' רביעיות חמשית שרצינו לגרוע מג' שביעיות ומה' ששיות מד' חמשיות מח' תשיעיות
According to this diagram:	בזאת הצורה
240   192   160 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{9}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$     $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ from 20   15   3 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 270   100
‫0דב   בטא   ‫0וא - -     מ ‫0ב   הא   ג - - ‫0זב   ‫00א
	וראשונה נמשיך קו משבור לשברו ואחר נשוה השואה ראשונה השברי שברים
The common denominator of the first is 100; its fifth is 20; 3-quarters of 20 is 15 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot100=\frac{1}{5}\sdot\frac{3}{4}\sdot20=\frac{1}{5}\sdot15}}$	ויהיה אב השברי שברים הראשונים ק' וחמשתו כ' וג' רביעיות כ' הם ט"ו‫
	‫[...] עלה בידנו [...] חמשית מג' [...] תשעיות שנשארו [...]
[The Fourth Chapter]: Division of Fractions	‫[השער הרביעי] בחילוק השברים מאיזה מין [...]
	ויחלק לשני דרכים הפכים אשר האחד הוא בחילוק הקטן שבר גדול על קטן והדרך השני בחילוק השבר הקטן על הגדול ובכל משל תראה הדרך השני
	ואומר כי דרך חלוק השברים מאי זה מן שיהיה תשוים בראשיים השואה אחת או שנים יותר כפי מה שתצטרך ואחר תחלק כמו שיהיו שלמים והיוציא בחלוקה הם שלמים
	והטעם הוא כי המחלק רביע דבר לרביע דברם יהיה לכולו אחד והנשאר מן החלוקה הוא חלק או חלקים מן המספר שחילקת עליו ואם המספר שתרצה לחלק ואם הוא קטן מן המחלק תדמה הקטן שהם שברים והגדול המחלק שהוא מורה השלם ותאמר כי כסך אילו השברים כפל בחלק כל אחד וזה בדרך השני כי בכל צורה תראה השני דרכים ובזה הסדר תעשה בשלמים
	כמו במשל שאם תרצה לחלק ב' לג' תן ב' על ג' והוא מחולק שבא לכל אחד ב' שלשיות הדבר
Example: we wish to divide 2-fifths by 3-eighths. $\scriptstyle\frac{2}{5}\div\frac{3}{8}$	המשל בזה רצונו לחלק ב' חמשיות על ג' שמניות
According to this diagram:	בצורה הזאת
15   16 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 40	הא   וא X ‫0ד
	נשוים ב' על מורה השני יהיו י"ו וג' על מורה הראשון שהוא ה' יהיו ט"ו ועשיית המורה הכללי בזה הוא רשות בדרך ההשואה הראשון אבל בדרך השני לקחת חלקי כל שבר הוא חובה ועתה הנה נחלק י"ו על ‫טו יעלו [...] השאלה יהיה [...] כי ק"ס מחולקים [...] ואין להאריך בזה כי [...] תדע הכל הטיב בע"ה ‫[...]
The second example: we wish to divide 5-sevenths and 7-eighths by 2-ninths, a tenth and 3-eighths. $\scriptstyle\left(\frac{5}{7}+\frac{7}{8}\right)\div\left(\frac{2}{9}+\frac{1}{10}+\frac{3}{8}\right)$	משל שני רצינו לחלק ה' שביעיות וז' [שמיניות על] ב' תשעיות ועשירית וג' שמניות
According to this diagram:	בזאת הצורה
3514 1890 504 1120 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}}}$ על 4860 1260 3600 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}}}$ 5040	דאהג ‫0טחא ד0ה ‫0באא על ‫0וחד ‫0ובא ‫00וג ‫0ד0ה
First we compare them. Then, from the common denominator, which is 5 thousand and 40, we take 5-sevenths, which is 3 thousand and 600; we write it above the 5-sevenths according to the practice. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\sdot5040=3600}}$	וראשונה נשוים ומן האב הכללי שהוא ה' אלפים ומ' נקח ה' שביעיות שהוא ג' אלפים ות"ר נניחם על ה' שביעיות כמנהג
	גם ז' שמניותיו עליו שהוא [אלף ר"ס
Its 2-ninths, which is one thousand and 120, above it. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}\sdot5040=1120}}$	גם ב' תשיעיותיו עליו שהוא] אלף ק"ך
Its tenth, which is 504, above it. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot5040=504}}$	גם העשירית שהוא תק"ד עליו
Its 3-eighths, which is one thousand and 890. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}\sdot5040=1890}}$	גם ג' שמניות שהוא אלף תת"ץ
	ואחר שכולם שוים למורה אחד נחבר הה' שביעיות שהוא ג' אלפים ות"ר עם חברו שהוא אלף ור"ס יהיו ד' אלפים ותת"ס והם למעלה על שבריהם וכן נחבר השלושה שברים הנשארים אשר הם המחלק ויהיו ג' אלפים תקי"ד [אשר עליהם נחלק ד' אלפים ותת"ס] ועתה תחציו השברים כולם לשנים שהם ד' אלפים ותת"ס על לחלק על ג' אלפים ותקי"ד ותקי"ד ויעלה בחילוק אחד שלם ונשארו אלף ושש"ו ואם נקצרם יהיו אחד כנזכר ותרע"ג חלקים מאלף ותשנ"ז כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{673}{1757}}}$ 1	גזו זהזא א
	ואם נהפוך השאלה כדרך השני יהיה כאומר חלק לי ג' אלפים תקי"ד על ד' אלפים תת"ס שיהיה כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3514}{4860}}}$	דאהג ‫0וחד
	נאמר כי המספר הזה הנה הוא מחולק כי לכל אחד ‫[...] על [...] וד' חמשיות [...] שלישית ב' שלישיות ‫[...]
6480   2160   1440   480 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ על 8100   6480   [7920] $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ 9720
‫0חדו   ‫0ואב   ‫0דדא   ‫0חד - - - על ‫00אח   ‫0חדו   ‫[‫0בטז‫] - - ‫0בזט
	‫[...] בעבור שיהיה כבר שבר השבר ואחר נוציא האב הכולל והוא ט' אלפים תש"ך וב' שלישיותיו הוא ו' אלפים ת"ף והם עליו ושלישית זה השבר שהוא ו' אלפים ות"ף הוא ב' אלפים וק"ס והוא עליו וב' שלישיות ב' אלפים וק"ס הוא אלף ות"ם ושלשית אלף ות"ם הוא ת"ף והוא על השלישית וזה הת"ף הוא שבר השבר הנרצה לחלק עליו ונשמרהו
	ואחר נדע הג' רביעיות והד' חמשיות מה' ששיות אשר רצינו לחלק על השבור השמור והנה ה' ששיות האב הכולל הוא ח' אלפים וק' וד' חמשיות ח' אלפים וק' הוא ו' אלפים ות"ף וזה שבר השבר הנרצה נחברהו עם ג' רביעיות האב הכולל ז' אלפים ר"ץ [יעלו ג' אלפים תש"ע] והם אשר רצינו לחלק על השבר השמור שהוא ת"ף ויעלה בחילוק כ"ח שלמים וש"ל חלקים מת"ף כזה
3 3 0 4 8 0	ג ג 0 ח ד 0
	נקצרם והוא שנטיל הספראש ישארו ל"ג חלקים ממ"ח בשלם וזה מה שרצינו [ואם תרצה לקצר עוד יהיו י"א מי"ח‫]
	ובדרך השני אם רצינו לחלק ת"ף על י"ג אלפים ותש"ע נאמר שיבוא לכל אחד ת"ף חלקים מי"ג אלף תש"ע בשלם וזה מה שנרצה בד' מיני השברים והבחינות או מאזנים בסוף ד' מני המורכבים
The Third Section: Integers and Fractions	‫הש[ער הג‫']
The first chapter on addition [of integers and fraction]	הפרק הראשון בחיבור [שלמים ושברים‫]
The second chapter on multiplication of integers and fraction	הפרק השני בכפל שלמים ושברים
The third chapter on subtraction of integers and fractions	הפרק השלשי במגרעת שלמים ושברים
The fourth chapter on division of integers and fractions	הפרק הרביעי בחילוק שלמים ושברים
The First Chapter on Addition of Integers and Fractions	הפרק הראשון בחיבור שלמים ושברים
	ואומר כי רצינו לחבר השלם והשבר למיניהם הנה נוכל לעשות זה בשני דרכים
	אשר הראשון האחד הוא שתעשה כל השלמים שברים וחלקם על המורה אחר שתשוים אל מורה אחד
	והדרך השני הוא שתחבר השלמים ואחר תשויה השברים והעולה מחיבור השברים תחלק על המורה והיוצא בחילוק הם שלמים והנשאר הם חלקי המורה
Example of the first method: we wish to sum 4 integers and two-thirds with 5 integers and 3-quarters. $\scriptstyle\left(4+\frac{2}{3}\right)+\left(5+\frac{3}{4}\right)$	והמשל מן הדרך הראשון רצינו לחבר ד' שלמים ושני שלשיים עם ה' שלמים וג' רביעיים
According to this diagram:	בזה הצורה
	שלמים ד‫' שלמים ה‫'
	בשויה השלמים עם מורה שברים יהיו י"ב וב' שברים יהיו י"ד והם שלישיות גם השני עם מורה שברים יהיו כ"ג רביעיות כשוים כזה הצורה [השנית] יהיו שניהם ס"ט נ"ו ‫[...] נחברם [...] יהיו [...] חלקים מי"ב בשלם [...] זה המשל בדרך [...] וה' יהיו ט' נשויה השברים [...] נחלקים על המורה הכללי [שהוא י"ב] [...] שהיו לנו יהיו עשרה ונשארו חמשה י"ב ‫[...]
The second example: we wish to sum integers and fractions with integers and fractions, such as 13 integers and five-ninths with 26 integers and three-fifths and with 236 integers and a half. $\scriptstyle\left(13+\frac{5}{9}\right)+\left(26+\frac{3}{5}\right)+\left(236+\frac{1}{2}\right)$	משל שני רצינו לחבר שלמים ושברים על עם שלמים ושברים כמו י"ג שלמים וחמשה תשיעיות עם כ"ו שלמים ושלשת חמשיות ועם רל"ו שלמים וחצי
According to this diagram:	כזאת הצורה
	גא וב וגב   הזב
	נחבר השלמים יהיו רע"ה גם נחבר השלמים השברים כמו שעשינו בפרק חיבור שברים יהיו אחד שלם ונ"ט חלקים מצ' כיצד נשויה השברים יהיה האב הכולל צ' והנה ה' תשיעיותיו הם נ' וג' חמשיותיו הם נ"ד וחציו מ"ה ויהיה כזאת הצורה
	הד דה ‫0ה ‫0ט
	נחברם כולם יהיו קמ"ט נגרע מהם צ' לשלם אחד ישארו נ"ט והם חלקים מצ' כנזכר והנה עלה לנו מחיבור י"ג שלמים וה' תשיעיות עם כ"ו וג' חמשיות ועם רל"ו וחצי רע"ו שלמים ונ"ט חלקים מצ' בשלם והוא הדרוש
The third example on addition of integers and fractions of two types: such as 22 integers and three-quarters plus 4-fifths with 30 integers and a quarter plus 2-thirds. $\scriptstyle\left(22+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)+\left(30+\frac{1}{4}+\frac{2}{3}\right)$	משל שלשי בחיבור שלמים ושברים משני מנים עם דומיהם כמו כ"ב שלמים ושלשת רביעיות וד' חמשיות עם ל' שלמים ורביעית וב' שלשיות
	‫     כב ל ז הא נ"ד
	‫[...] השברי' [...] ס' וג' רביעיות [...] ורביעיתו ט"ו וב' שלישיותיו [...] נחלקם על המורה יעלו ב' שלמים ונשארו [...] מס' [בש]לם שאם תקצרם ישובו לז' חלקים מט"ו [בשלם] והנה המחובר מכ"ב שלמים וג' רביעיות וד' חמשיות עם ל' שלמים ורביעית וב' שלישיות יהיה נ"ד שלמים וז' חלקים מט"ו בשלם
The fourth example: we wish to sum integers and fractions of fractions with integers and fractions of fractions, such as 235 integers and a quarter of a fifth with 326 integers and two-thirds of 3-quarters. $\scriptstyle\left(235+\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(326+\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\right)$	משל רביעי רצינו לחבר שלמים ושברי שברים על שלמים ושברי שברים כמו רל"ה שלמים ורביעית חמשית עם שכ"ו שלמים וב' שלשיות מג' רביעיות
According to this diagram:	בזאת הצורה
	- ובג עם - הגב
	נחבר השלמים יהיו תקס"א נשוה השברים יהיה אחד הקיצור י"א חלקים מכ' שהם חצי שלם וחלק מכ' בשלם
	והמעשה אעשה בשני דרכים להרגילך בדרכי המספר
	הדרך האחד הוא שתקח כל שבר השבר בפני עצמו וקח חלק כל אחד ואחד תשוה את שניהם והעולה משניהם תחבר וחלקם על המורה והם שלמים וכן נעשה נקח הרביעית חמשית מן החלק הראשון שהוא חלק מכ' ושני שלישיות מג' רביעיות מן השבר השני והוא ו' חלקים מי"ב שהוא חצי ואז היה לנו מן השני שברים חלק מכ' ומן השני ‫[...] מורה [...] ד' ורביע[י]ת [...] כנזכר והוא [...] וכן נעשה בשבר השבר [...] רביעיותיו הם ט' ושני שלישיות [...] השבר השני נקצרהו יהיה [...] בצורה המונחת והמורה הכולל מ' ואם נרצה הוא כ' אבל נניח זה והנה חציו הוא כ' מונח על חצי וחלק אחד מכ' הוא ב' והוא עליו נחברם יהיו כ"ב חלקם ממ' בשלם ואן בשבר הזה שלם אבל נקצרם בחצי יהיו י"א חלקים מכ' כנזכר
	הדרך השני הוא שנשוה המורים אל אב אחד ויהיה ס' ונסדר השברים בזאת הצורה
	הד   ‫0ג בא   ג - - ‫0ו
	ונקח ג' רביעיות ס' והם מ"ה וב' שלישיותיו ל' וזה שבר השבר האחד גם נקח חמשית ס' והוא י"ב ורביעית י"ב הוא ג' וזה שבר השבר האחר נחבר ג' עם ל' יהיו ל"ג וזה המבוקש שהם ל"ג חלקים מ' ס' כזה
	גג ‫0ו
	נקצרם בשלישית ישובו י"א חלקים מכ' כנזכר והנה יצא לנו מחיבור רל"ה שלמים ורביעית חמשית עם שכ"ו שלמים ושני שלישי ג' רביעיות תקס"א שלמים וחצי וחלק מכ' בשלם
Example five:	משל חמשי רצינו לחבר שלמים ושברי שלמים עם שלמים ושברי שלמים כגון ב' שלמים וג' רביעי ד' שלמים עם ה' שלמים ושני ‫שלישי [...] הנה יש בו [...] דרך משל אחד [...] המשל הוא שתכפול ה[...] שבריו וחלק העולה על [...] השלמים ואם יש בידך שלמים [...] חברם אלהם וכן תעשה בחלק השבר ואם [...] והמעשה במשלנו שכפלנו ד' בג' יעלו י"ב רביעיות וחלקם על ד' שהוא המורה יעלו ג' שלמים ונשמור אותם או נחברם עם הב' שלמים יהיו ה' בחלק הראשון גם נכפול ו' על ב' שלישיים יעלו י"ב שלישיים מונח על ב' נחלקם על ג' יעלו ד' שלמים וה' שלמים שהיו בחלקו יהיו ט' וה' שהיו לנו היו י"ד והוא המבוקש
Example [six]:	משל חמשי שרצינו לחבר שלמים ושברי שלמים על דומהם בדרך השני והוא שתכפול כל שלם אשר שברו אתה מבקש על שבריו והעולה מהכפל תתן למעלה על שבריו כמו שעשינו בהשואה ואחר תשוים עם מוריהם וחיבורם תחלק על המורה הכולל והעולה הוא המבוקש
	כמו בזה המשל שרצינו לחבר י"ח שלמים וה' שמניות מי"א שלמים עם כ"ה שלמים וז' תשעיות מח' שלימים בזאת הצורה
	מי"א י"ח מח' כ"ה
	נכפול י"א על ה' יהיו נ"ה שמיניות גם ח' על ז' יהיו נ"ו תשיעיות ויהיו שניהם בזאת הצורה השנית תשוים יהיו האחד תצ"ה והשני ‫[...] וחלקם [...] שלמים וז' [...] נ"ה יהיו נ"ו [...] והוא המבוקש והנה [...] תכפול י"א על ה' יעלו נ"ה [...] מורה חברו יעלו שהוא ט' יעלו [...] בח' על ז' יעלו נ"ו גם נ"ו על מורה חברו שהוא ח' יעלו תמ"ח תחבר שניהם יהיו תתקמ"ג חלקים על המורה הכולל יעלה בחילוק י"ג וז' ע"בין כנזכר
Example seven of adding integers and fractions of things of different kinds such as money, time, weight and measure and I reduce as much as I can:	משל שביעי בחיבור שלמים ושברים מדברים מתחלפים מממון ומזמן וממשקל וממדה ואקצר כפי מה שאוכל
I say that we wish to sum 233 liṭra of money, 19 dinar, and 3 and a half pešiṭim with 463 liṭra of money, 12 dinar, and ten and a half pešiṭim and with 709 liṭra, 14 dinar, and 11 and a half pešiṭim.	ואומר שרצינו לחבר רל"ג לטרי ממון וי"ט דנרין וג' פשיט' ומחצה עם תס"ג לטרי ממון י"ב דנרי' עשרה פשי' ומחצה ועם תש"ט לטרי' י"ד די' י"א פשי' ומחצה
We sum up each type; the result is one thousand and 427 liṭra of money, 7 dinar, and one and a half pašuṭ.	נקבץ כל מין עם מינו והיוציא יהיה אלף תכ"ז לטרי ממון ז' די' ופשי' ומחצה
According to this diagram:	ויהיה בצורה הזאת
	לטרי‫' דנרי‫' פשי‫' מחצה גהב טא ג א גוד דא ‫0א א ט0ז דא אא א זבדא ז א א המקובץ
	וראוי שתדע כי ב' מחצות הרי פשוט וי"ב פשיטי הם דנר וכ' דינרין לטרה גרע מהמחצות פשוט ישאר מחצה ויהיה הפשיטי כ"ה קח מהם ב' די‫' ‫קח מ[...] דיני' ופשוט ‫[...]
Example eight:	משל שמני [...] [רנ"ב כיכרין] וג' שקל[...] [כ"ח ליט' ט' אוקיות] וי"ב דראהם עם שע"ח כיכרים [ב' שקלי' כ"ד ליט' י"א] אוקיות ז' דראהם ועם תתקפ"ו כיכרי' [ושקל אחד] וי"ג לטרין ועשרה אוקיות וי"ד דראהם
We sum up each type; the result is one thousand and 618 kikkar, 7 liṭra, 8 ՚oqyut and 1 dirham.	נקבץ כל מין עם מינו והיוציא יהיה אלף תרי"ח כיכרים וז' לטרין וח' אוקיות וא' דראהם
According to this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
	כיכרים שקלים ליטר אוקיות דרהם בהב ג חב ט בא חזג ב דב אא ז וחט א גא ‫0א דא חאוא 0 ז ח א
	‫והבחינה עם משל אחר מג' טורים גרע מהעולה מכולם חיבור הב' טורים וישאר הטור השלישי או יותר טורים אם יהיו
	‫והמשל בג' טורים חיברנו ב' ליטרי ממון וג' די' ו' פשוטי' עם ג' לטרי' ד' די' ה' פשי' ועם ד' לטר ה' די' ג' פשי' ויהיה כזאת הצורה
	לט‫' די‫' פש‫' ב ג ז ג ד ה ד ה ג
	חיברנו שלושתן יעלו ט' לטרי' י"ג די' ב' פשי' וזה כל הממון ושמור אותו
	‫והבחינה חיברנו הב' טורים העליונים יהיו ה' ליטרי' ז' די' י"א פשי' גרענום מכל הממון השמור נשאר הטור השלישי שהוא ד' ליטרי' ה' די' ג' פשי' עוד חיברנו הטור השני והשלישי שהם ז' לטרי' ט' די' א' פשי' גרענום מכל הממון ישאר הטור הראשון שהוא ב' ליטרי ג' די' ו' פשי' עוד נחבר שני טורים הראשונה והשלישית שהם ו' ליטרי ח' די' ט' פשי' גרענום מכל הממון וישאר האמצעי שהוא ג' לטרי ד' די' ב' פשי' ובזה הדרך תעשה [...] טורים או יותר שתקבץ כולם חוץ מאחד [...] תחזור ה‫[...]
	וראוי שתדע כי י"ו דרהם הם אוקיא וי"ב אוקיות הם לטרה ושלושים לטרין הם שקל אחד וד' שקלים הם כיכר
Example nine of measurement: we wish to sum 256 kors of wheat, 3 arrobas, 4 quartalis, and 3 almudes with 423 kors, 2 arrobas, 5 quartalis, and 2 almudes and with 167 kors, 2 arrobas, 2 quartalis, and 1 almud.	משל תשיעי ממדה רצינו לחבר רנ"ח כורי חיטה וג' ארובש ד' קוארטאליש ג' אלמודיש עם תכ"ג כורים ב' ארובה ה' קוארטאליש ב' אלמודיש ועם קס"ז כורי' ב' ארוביש ב' קוארטאל א' אלמוד
We sum all; the total is 900 kors, 7 arrobas, and 2 almudes.	נחבר הכל יהיה תת"ק כורים וח' קוארטרלי ז' ארובלה ב' אלמודיש ב' אלמודש הכול
According to this diagram:	בזאת הצורה
You should know that 6 quartalis are one arroba, and 4 arrobas are one qafiz.	וראוי שתדע כי ד' אלמודש הם קוארטאל וכ"ד קוארטאלי כאפיז ו' קוארטאליש הם ארובה וד' ארובש הם כאפיז ‫[...]
[Example ten] of time: we sum 571 years, 26 days, 18 hours, 55 minutes, 50 seconds, 36 thirds, and 29 fourths, with 257 years, 29 days, 13 hours, 29 minutes, 11 seconds, 50 thirds, 40 fourths, and with 588 years, 16 days, 19 hours, 38 minutes, 52 seconds, 41 thirds, 14 fourths.	‫[משל עשירי] מזמן חיברנו תקע"א שנים כ"ו ימים י"ח שעות נ"ה דקים נ' שניים ל"ו שלישיים כ"ט רביעיים עם רנ"ז שנים כ"ט ימים י"ג שעות כ"ט דקים י"א שניים נ' שלישי' מ' רביעיים ועם תקפ"ח שנים י"ו ימים י"ט שעות ל"ח דקים נ"ב שניים מ"א שלשי י"ד רביעיים
We sum up all; the result is one thousand and 416 years, 73 days, 4 hours, 3 minutes, 55 seconds, 8 thirds, 23 fourths. Like this diagram:	נחבר הכל ויהיה היוציא אלף תי"ו שנים ע"ג ימים ד' שעות ג' דקים נ"ה שניים ח' שלישים כ"ג רביעיים
According to this diagram:	ויהיה בצורה הזאת
שנים ימים שעות דקי‫' שניי‫' שלישי‫' רביעיי‫' אזה זהב חחה וב טב וא חא גא טא הה טב חג ‫0ה אא בה וג ‫0ה אד טב ‫0ד דא ואדא גז ד ג הה ח גב
You already know that 60 fourths are one third; 60 thirds are one second; 60 seconds are one minute; 60 minutes are one hour; 24 hours are one day; and 365 days are one year by general agreement.	והנה [יד]עת כי ס' רביעיי' הם שלישי וס' שלישיים הם שני רביעי וס' שניים הם דק וס' דקים שעה וכ"ד שעות יום ושס"ה ימים ושש שעות שנה בהסכמה
You have the permission to use a leap year, if you wish, as well as the months, and for this I set the days and did not make them months.	והרשות בידך לעשות השנה עיבורית או כפי מה שתרצה וכן החדשים ובעבור זה הנחתי הימים ולא עשיתי מהם חדשים
[Example eleven: we sum] [10] signs, 26 degrees, 51 minutes, 32 seconds, 21 thirds, 27 fourths, and 50 fifths with 7 signs, 21 degrees, 36 minutes, 44 seconds, 50 thirds, 58 fourths, 16 fifths, and with 11 signs, 28 degrees, 57 minutes, 42 seconds, 31 thirds, 20 fourths, and 17 fives.	‫[משל אחד עשר] [...] [מזלות כ"ו מעלות נ"א דקים ל"ב שניים כ"א שלישים כ"ז] רביעיים [נ' חמשיים עם ז' מזלות כ"א מעלות ל"ו דקים] מ"ד שניים נ' שלש[ים נ"ח רביעים י"ו חמשים עם י"א] מזלות כ"ח מעלות נ"ז [דקים מ"ב שניים ל"א שלישים כ'] רביעיים י"ז חמשים
The result is [6] signs, 17 degrees, 25 minutes, 59 seconds, 43 thirds, 46 fourths, and 23 fifths.	וה[יוציא] [...] [מזלות י"ז] מעעלות כ"ה דקים נ"ט שניים מ"ג [שלשים מ"ו רביעים] כ"ג חמשים
According to this diagram:	ויהיה בזה הצורה
מזלות מעלות דקים שניי‫' שלישי‫' רביעיים חמשיים ‫0א ז אא וב אב חב אה וג זה בג דד בד אב ‫0ה אג זב חה ‫0ב ‫0ה וא זא ‫[.] זא הב טה גד וד גב
You already know that the signs are 12; each sign is 30 degrees; each degree is 60 minutes; each minute is 60 seconds; and so on.	וכבר ידעת כי המזלות י"ב וכל מזל ל' מעלות וכל מעלה ס' דקים וכל דק ס' שניים וכן לעולם
	והבחינה תחבר הב' טורים וגרע [מן הגדול מן הג' טורים שחיברת והנשאר תהיה הטור השלישי שהנחת עוד תחבר ב' טורים ותגרעם מן הגדול ושאר הטור שנחת וכן לעולם כמו שאמרתי בפרק המאזנים ובלטרי ממון ודי' ופשיט‫']
Example twelve: we wish to sum 4 days, 19 hours, and 925 intercalary parts, which is the excess of seven cycles, with one day, 11 hours, and 590 parts, which is the excess of 50 months.	משל שנים עשר רצינו לחבר ד' ימים י"ט שעות תתקכ"ה חלקים עיבוריים שהוא מותר שבעה מחזורים עם יום אחד י"א שעות תק"ץ חלקים שהוא מותר נ' חדשים
The result is 6 days, 7 hours, and 435 parts. As this diagram:	יהיה היוציא ו' ימים ז' שעות תל"ה חלקים בצורה הזאת
	ימים שעות חלקים ד א טא אא הבט ‫0טה ו ז הגד
	וזה מותר נ"ז מחזורים כי נעשה מאלף מאלף ופ' חלקים שעה אחת ומכ"ד שעות יום אחד ואם יעלה מקיבוץ הימים ‫[....] כאן די בזה [...] למיניהם
The Second Chapter on Multiplication of Integers and Fractions
	‫[...] הרוצה לכפול שלמים [...] השלמים על השברים [...] והיוציא בחילוק הוא המבוקש
For example: we wish to multiply 13 by 3-quarters, or 3-quarters by 13 integers, because it is the same. $\scriptstyle13\times\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\times13$	‫[המשל] בזה רצינו לכפול י"ג על ג' רביעיות [או ג' רביעיות על י"ג שלמים כי הכל אחד]
According to this diagram:	בזאת הצורה
	יג
Multiply 13 by the numerator 3; the result is 39-quarters, like this:	כפול י"ג על ג' שברים יעלו ל"ט רביעיות כזה
	טג ד
Divide them by the denominator, which is 4; the resulting quotient is 9 integers and 3-quarters and this is the required.	וחלקם על המורה שהוא ד' יעלו בחילק ט' שלמים וג' רביעיות והוא המבוקש
The second example of integers by fractions of fractions: we wish to multiply 38 integers by 2-thirds and 3-quarters. $\scriptstyle38\times\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\right)$	משל שני משלמים על שברי שברים כמו שרצינו לכפול ל"ח שלמים על ב' שלישיות מג' רביעיות
According to this diagram:	בזאת הצורה
	- על חג
We write the common denominator; it is 12. Its 3-quarters are 9 and 2-thirds of 9 are 6 parts of 12, which is the fraction of fraction that is required to be multiplied by 38, then the result is divided by 12.	נשום והנה האב הכולל הוא י"ב וג' רביעיותיו הם ט' וב' שלישיות ט' הם ו' חלקים מי"ב שהם שבר השבר הנרצה לכפול על ל"ח ולחלק היוציא על י"ב
But, if we want, we can reduce it, so it will be easier; it is a half. Thus, the question becomes as saying: multiply 38 integers by one-half.	אבל אם נרצה נוכל לקצרו ויהיה יותר נקל ויהיה חצי והנה שבה השאלה כאומר כפול [.] ל"ח שלמים על חצי
According to this diagram:	כזאת הצורה
	חג
Multiply 38 by one, which is the numerator; it is 38. Divide it by the denominator, which is 2; the result of division is 19 integers and this is the required.	כפול ל"ח על אחד שהוא השבר יהיו ל"ח חלקים על המורה שהוא ב' יעלה בחילוק י"ט שלמים והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{38\times\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\right)=38\times\frac{\frac{2}{3}\sdot9}{12}=38\times\frac{6}{12}=38\times\frac{1}{2}=\frac{38\sdot1}{2}=\frac{38}{2}=19}}$
The third example of integers and fractions by integers and fractions: as 2 integers and 2-thirds by 3 integers and 3-quarters. $\scriptstyle\left(2+\frac{2}{3}\right)\times\left(3+\frac{3}{4}\right)$	משל שלישי משלמים ושברים על שלמים ושברים כמו ב' שלמים וב' שלשיות על ג' שלמים וג' רביעיות
According to this diagram:	בזאת הצורה
	ג על ב
	הנה לעשותה בשני פנים הראשונה הוא שתכפול השלמים על השלמים ואחר תכפול כל שלם ‫בשבר [...] שברים [...] עליו ויהיו [...] ב' שלמים על ג' [...] הב' שלמים על ג' רביעיות [...] השלם האחר על שהוא ג' על ג' שליש[...] גם תכפול השברים ג' רביעיות על ב' שלישיות [...] השיווי ששה חלקים מי"ב שאם תקצרם יהיו חצי ואחר תקבץ תקבץ הכל ששה שלמים וששה שלישיות שהם ב' שלמים יהיו שמונה ואחד וחצי מששה רביעיות יהיו ט' וחצי וחצי שהיה לנו מהשברים יהיו עשרה והוא המבוקש
The second method I use for all the examples is that you decompose the integers to their fractions, then multiply the numerator by the numerator and the denominator by the denominator. The result of dividing by the denominator is the integer.	והפנים השניים אשר בה אעשה כל המשלים הוא שתתן השלמים בשבריהם ואחר כפול שבר על שבר ומורה על מורה והיוצה בחילוק על המורה שהם השלמים
In the given example, which is 2 integers and two-thirds by 3 integers and 3-quarters:	כציד במשל המונח שהוא ב' שלמים ושני שלישיות על ג' שלמים וג' רביעיות
Multiply 2 integers by the denominator of its fraction, which is 3; it is 6. Add it to its numerator, which is 2; they are 8-thirds.	כפול ב' שלמים במורה שברו שהוא ג' ויהיו ו' תחברם עם שברו שהוא ב' יהיו ח' שלישיות
Also multiply 3 by the denominator of its fraction, which is 4; it is 12. With 3, they are 15-quarters.	גם כפול ג' על מורה שברו שהם ד' יהיו י"ב ועם ג' יהיו ט"ו והם רביעיות
Both according to this diagram:	ויהיו שניהם כזאת הצורה
	‫0בא הא ד ח ג בא
Then, multiply the numerator by the numerator and the denominator by the denominator; they are 120 parts of 12. Divide them by 12; the result of division is ten and this is the required.	ואחר כפול שבר על שבר ומורה על מורה ויהיו ק"ך חלקים מי"ב חלקם לי"ב יעלו בחילוק עשרה והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{2}{3}\right)\times\left(3+\frac{3}{4}\right)=\frac{\left(2\sdot3\right)+2}{3}\times\frac{\left(3\sdot4\right)+3}{4}=\frac{6+2}{3}\times\frac{12+3}{4}=\frac{8}{3}\times\frac{15}{4}=\frac{8\sdot15}{3\sdot4}=\frac{120}{12}=10}}$
	שאלת סוחר
	משל ששי רביעי בכפל שלמים ושברי שברים על שלמים ושברים כמו נ"ח ‫[...] וד' פשיט [...] בשני דרכים ‫[...]
	הדרך הראשון הוא [...] ד' הוא שלש וג' רביעיות [...] שהוא שלישית דינר נתן הי"ב דינ' [...] שלשיות וזה סך כור אחד נכפלם על עשרה יהיו שי"ג נחלקם על ג' שהוא המורה יעלו קכ"ג די' ושליש דנר שהוא ד' פשי‫'
	ובדרך השנית נתן הי"ב דנ' בפשיטי' ונוסיף עליהם הפשיט' ונכפול אלה הפשי' על הנשאל והעולה אם נרצה דנר' נחלקם על י"ב ויהיו די‫'
	והמשל הנה הסוחר קנה עשרה כורי [.] חיטה לסך י"ב די' וד' פשיט' נתן הי"ב די' בפשטי' יהיו קמ"ד ועם ד' שהיה לנו יהיו קמ"ח וזה סך כור חיטה אחד נכפול קמ"ח על עשרה יהיו אלף ת"ף פשיט' שהם סך כל החטה
	ולעשותם דינ' נחלקם על י"ב יהיו קכ"ג די' וד' פשיט‫'
	ואם תרצה לעשות מקכ"ג די' פרחים תחלקם על סך הפרח ואם לטרי' על כ' ואם דוקאדש על סך הדוקאדו וכן לכל מטבע שתרצה
	דרך אחרת כפול שלמים על שלמים והנשברים גם על מה שקנית והכל יהיה שוה
	והמשל בזה כפול י"ב על עשרה הם ק"ך גם כפול ד' פשי' על עשרה הם מ' פשי' והם ג' די' וד' פשי' ועם ק"כ יהיו קכ"ג די' וד' פשי' כנז‫'
	שאלה אחרת ראובן קנה ע"ה משאור ע"ה משאות ע"ב פאשטולי לס' ה' לטרין וז' די' וה' פשיט כל משא שאלתי סך הע"ה משאות
	תשובה נעשה סך ‫המשא [...] ע"ה והוא [...] תרצה שיהיו די' [...] תרצה לטרי' חלק [...] יהיו ליטרי‫'
	והמשל נעשה [....] ק"ז די' נכפלם על [...] הה' פשוט והם פשטי משא אחת נכפלם על ע"ה יהיו צ"ז אלפים תרע"ה והם פשיטי המכר כולו ונרצה לעשות מהם די' נחלקם על י"ב יהיו ח' אלפים קל"ט די' וי"א פשי' ועתה שהם די' הרשות בידך לעשותם המטבע שתרצה מזהב ועתה נעשה מהם ליטרי' נחלקם על כ' יהיו ת"ו ליטר' י"ט די' ואם כן ע"ה משאות שוים [.] ת"ו לטרי' י"ט די' י"א פשיטי‫'
	ואם כשהם פשיט' תרצה לעשות מהם לטרי' תחלק הפשי' על ר"ע יעלו [.] ת"ו ליטרי' ונשארו רל"ט פשי' לחלק נחלקם על י"ב [.] יעלו י"ט די' ונשארו י"א פשיט‫'
	וכן אם תרצה לעשות מן הפשי' מטבע אחר אם מכסף או מזהב תחלק הפשיט על פשיטי המטבע שתרצה וכן
	וכן תעשה בכל השאלות אשר בהם די' ופשי' כי יש בהם שנים דרכים
	אשר הדרך הראשון הוא שנעשה הכל פשי' ונכפלם על המכר והיוציא הם פשי' נחלקם על י"ב יהיו די‫'
Example: Reuven bought 32 loads of grapes	והמשל ראובן קנה ל"ב משאות ענבים לס' ח' די וט' פשי' נעשה הדי' פשיטי' בשנכפלם על י"ב יעלו צ"ו ועם הט' פשי' שהיו לנו יהיו ק"ה פשי' והם [.] סך משא אחד נכפלם על ל"ב יעלו ג' אלפים ש"ס פשי' ולעשות מהם די' נחלקם על י"ב ועלו ר"ף די' והם סך הל"ב משאות
	הדרך השני ראובן קנה ל"ב משאות ענבים לס' ח' די' ‫[...] גם [...] נחלקם על י"ב יעלו [...] שהוא סך הל"ב משאות [...] שלא להאריך אומר [...] והיוציא תחלק על י"ב [...] השברים תלמוד זה בע"ה
	אחרת מן הדרך הראשון שתעשה כל מה שתרצה לכפול פשי' ותחבר עמהם הפשי' ואחר תכפול הפשי' על הנרצה והיוציא הם פשי‫'
	ואם תרצה לעשות מהם מטבע כסף תחלקם על סך פשי' המטבע שתרצה
	ואם תרצה מטבע זהב עשה הפשי' די' שתחלקם על י"ב וחלק היוציא על די' המטבע שתרצה
	והמשל רצינו לכפול ק"ב די' וג' פשי' על י"ד נעשה הדני' פשיט' בשנכפלם על י"ב יעלו אלף רכ"ב פשי' נחבר עליהם הג' יהיו אלף רכ"ז פשי' נכפלם על י"ד יהיו י"ז אלפים קע"ח וכולם פשי' נחלקם על י"ב לעשותם די' יעלו אלף תל"א והם די' [וששה פשי‫']
	ואם תרצה לעשות מהם פרחים תחלקם על סך הפרח ואם לטרי' על כ' וכן לכל מטבע שתרצה
	והדרך השני הוא שנכפול הדי' על הנרצה ושמרם כי הם די' וגם נכפול הפשי' על הנרצה ויהיו פשיטי' נחלקם על י"ב ויהיו די' אשר תחברם על הדי' השמורים
	והמשל כפלנו ק"ב די' על י"ד יעלו אלף תכ"ח די' ונשמור אותם גם כפלנו ג' פשי' על י"ד יעלו מ"ב פשי' נחלקם על י"ב יעלו ג' די' וששה [פשיטי'] נחברם על אלף תכ"ח יעלו אלף תל"א והם די' ועוד ששה פשי‫'
	‫משל [...] שלוש[...] חציים יהיו הט' [...] נחלק גם נעשה [...] חציים כמו המחלק יהיו [...] ג' אוקיות וט"ו חלקים מי"ט וזה הראוי לכל [...] חלקים על י"ו שהם חלקי האוקיה נקראים אריאינסיש יעל[...] נחלקם על י"ט ותציא בחילוק י"ב אריאינסוש ונשארו י"ב והם חלקי י"ט באריאינסו והנה עלה לכל פשוט ג' אוקיות י"ב אריאינסוש י"ב יטין מאריאינסו כזה
	בא טא
	והבחינה כפול מה שיציא למחצה שהוא אוקייה אחת וי"ד אריאינסוא וששה יטין י"ט פעמים יעלו ל"ו אוקיות שהם ג' ליטרי' כנז‫'
	משל אחר סוחר קנה ב' ליטרי סוקרי וחצי בסך ב' די' שאלתי סך כל ליטרה התשובה נחלק ב' די' על ב' וחצי לא תוכל נתן השלמים בשברהם יהיו הסוקרי ה' חציי ליטרה והב' די' כ"ד פשיט חלק כ"ד על ה' יעלה בחילוק ד' פשי' וד' חומשים לחצי הלטרה
	והבחינה נכפול ד' וד' חמשיות על ה' יעלו כ"ד פשי‫'
	אחרת סוחר קנה ד' ליטרין וחצי סוקרי בשני די' וט' פשיט' שאלתי סך הליטרה התשובה תן הכל בשברהם יהיו ט' חציי ליטרה והפשיט ל"ג נחלק ל"ג על ט' יבואו ג' פשיטי' ושני שלישי פשוט וזה ראוי לחצי הליטרה
	והבחינה כפול ג' ושני שלשים על ט' יעלו כ"ד פשיטי' וכן כל הדומה לזה
	משל בכפל שלמים ושברי שברים על שלמים ושברים כמו נ"ח ‫[...]
	מ"ד על ‫[...]
	‫[...] שברים והוא ל' וקח [...] על ד' חמשיות נקח [...] שהם כ' וזה השבר המבוקש שהוא כ' חל[קים] מל' בשלם ו[אי]ן לנו עסק בד' חמשיות [...] עתה יש לנו לכפול נ"ח שלמים וכ' חלקים מל' על מ"ד שלמים וג' חמשיות נסדרם בזה הצורה השנית
	דד על ‫0ב ‫0ג חה
	ואז ננהיג בו כמשל שלישי שתכפול נ"ח על מורה שבריו שהוא ל' יעלו אלף ותש"ם תוסיף עליהם שבריו שהם כ' יהיו אלף תש"ס ותנם על ל' שהוא מורה שבריו שמור [שנית] וכן נעשה למ"ד על ג' חמשיות שנכפול מ"ד על מורה שבריו שהוא ה' יעלו ר"ך נחבר עליו ג' שבריו יהיו רכ"ג חמשיות ויהיו כזאת הצורה השלשי‫'
	גבב ‫0וזא ה ‫0ג
	ועתה נכפלם בדרך השברים שברים על שברים ויהיו שצ"ב אלפים ות"ף וגם מורה על מורה ויהיו ק"ן חלק השברים שהם שצ"ב על אלפים ות"ף על המורה שהוא ק"ן יעלה בחילוק ב' אלפים ותרי"ו ונשארו פ' חלקים מק"ן ואם תקצרם יהיו ח' חלקים מט"ו והוא המבוקש
	ואם תרצה להקל מעט בזה הכפל מצד הכ' חלקם מל' תוכל לקצרם ויהיו ב' שלישיות ואחר כפול נ"ח בג' ‫שהיה [...] מ"א [...] השני מורים ‫[...]
	משל חמשי רצינו לכפול [...] שלמים כמו ז' שלמים [...] ד' שלמים כזה הצורה
	מד' על ז‫'
	הנה ראשונה תשויה הד' שלמים בעבור כי מהם נסרו ג' רביעיות והוא שנכפלם במורה השברים שהוא ד' ויעלו י"ו נקח מהם ג' רביעיותם שהם י"ב והם י"ב רביעיות אשר אם תחלקם על ד' יעלו ג' שלמים והנה שבה השאלה לכפול שלמים על שלמים שהם ז' על ג' שיעלו כ"א והוא המבוקש
	והנה תוכל למצוא הג' רביעי ד' בדרך אחרת והוא שתכפול השלם על שברו כי ד' על ג' הם י"ב רביעיות חלקם על ד' שהוא המורה יעלו ג' שלמים ועתה כפול שלמים על שלימים עלו ג' על ז' כ"א כנזכר
	משל ששי רצינו לכפול שלמים ושברי שלמים על שלמים ושברי שלמים כמו י"ג שלמים וג' חמשיות מי"ב שלמים על כ"ב שלמים ושני שלישיות מט' שלמים כזאת הצורה
	וג   מט' כב על מי"ב גא
	והמעשה הוא שתעשה ראשונה מן השלמים ‫[...] אחד תכפול [...] כפל המורים [...] שבריו שהוא ה' יעלו [...] יהיו ס' נקח מהם ג' חמשיותיו [] השברים שהם ג' על י"ב יעלו ל"ו חמשיות [...] חברם עם ס"ה חמשיות יהיו ק"א חמשיתיות כזה
	א0א ה
	והוא החלק הראשון הכופל וכן נעשה לכ"ב שלמים וב' שלישיות מט' שלמים כי כפלנו כ"ב בג' שהוא מורה שבריו יהיו ס"ו שלישיות גם כפלנו ט' בג' יהיו כ"ז נקח ב' שלישיות כ"ז שהם י"ח שלישיות נחברם על ס"ו יהיו פ"ד והם שלשיות כזה
	דח ג
	והוא הנכפל נכפול ק"א שהיה לנו על פ"ד יהיו ח' אלפים תפ"ד נחלקם על ט"ו שהם כפל ה' בג' שהם המורים יעלה בחילוק תקס"ז שלמים וט' חלקים מט"ו שאם תקצרם יהיו ג' חמשיות כזה
	משל שביעי רצינו לכפול שלמים ושברי שברי שלמים על שלמים ושברי שברי שלמים כמו ב' שלמים וחצי שלישית י"א על עצמו כזאת הצורה
	אא - על ב אא - על ב ו ו
	הנה ראשונה נוציא האב הכולל לשברים והוא ששה [...] ונכפול הי"א שלמים על המורה שהוא ששה יהיו ס"ו נקח שלשית ס"ו יהיו כ"ב והם שלישית י"א שלמים וחציו הוא י"א ‫חלק [...] הב' שלמים [...] מחצי שלישית [...] נכפלהו על [...] על ל"ו שהם כפל [...] י"ד שלמים וכ"ה חלקים מל"ו ‫[...]
	גב וג
	משל שמני רצינו לכפול שלמים על שלמים כמו ד' שלמים על ה' שלמים וג' רביע‫[יות]
	כזאת הצורה
	גב       ה על ד
	נתן השלם בשברו ה' [על] ד' יהיו כ' וג' שברים יהיו כ"ג נכפול הד' שלמים על כ"ג יהיו צ"ב רביעיות חלקם על ד' ש[הם] המורה יציא בחילוק כ"ג שלמים והוא המבוקש
The Third Chapter: Subtraction of [Numbers] that Consist of Integers and Fractions	הפרק השלשי במגרעת המורכבים משלמ[ים] ושברים
Know that the basis of subtraction as well as of multiplication, addition and division of fractions or mixed numbers is the comparison, so they are of the same type and it is easy to do whatever you want with them as we did previously with fractions and mixed numbers.	דע כי יסוד המגרעת וזולתו מן כפל וחיבור וחילוק בשברים או במורכבים הוא ההשואה ואז יהיו שוים ויהיה נקל לעשות מהם כל מה שתרצה כמו שעשינו במה שעבר בשברים ובמורכבים
Now, when subtracting integers and fractions the comparison of the fractions is first, then the subtraction of one from the other. When the fractions have the same denominators there is no need to compare, as you can see here in this example:	ועתה במגרעת שלמים ושברים ראשונה תשובת השברים ואחר גרעון אילו מאילו ואז השברים ממורים שוים אין צריך השואה כמו שתראה וכמו שעשינו בחיבור וכמו שתראה עתה בזה המשל
	משל ראשון רצינו לגרוע אלף ורמ"ז וח‫' ‫[...] ימים כ"א [...] שלישי לו רביעיים [...] ימים ר"ט שעות [...] שלישיים נ"ב רביעיים כ"ח חמשיים ‫[...]
הגרוע הגורע הנשאר שנים ימים שעות דקים שניים שלשים רביעי חמשי' דגב בדב טא ‫0ג בד חג בה חב האב גהא אב גד בה אד וג אה טא חח בב וד וד זה הא זג
	וראשונה תדע כי כאשר תעבור אחד [לשמאל] [...] לימין הוא ששה או שישים ואם מימין לשמאל כל שישים הם אחד
	כיצד במשל המוטל נגרע נ"א חמשית מכ"ח לא נוכל נעבור רביעי אחד והם ששה עשרות חמישיות ועתה גרע חמשית אחד מח' חמשיות נשארו ז' למטה נ' שהוא ה' מו' שערכנו ומב' שיש בחמשיות נשארו ג' עם ז' ויהיו ל"ז חמשיות עוד נגרע ל"ו רביעיות מנ"ב נשארו ט"ו כי הם נ"א שעברנו אחד עו' נגרע מ"א שלישיות מל"ח ונעבור אחד נשארו נ"ז שלישיים עו' נגרע נ"ב ממ"ב ומאחד שעברנו נשארו מ"ו שניים עוד נגרע מ"ג מל' ומס' שנעבור משעה ישארו מ"ו כי מל' עברנו אחד עוד נגרע כ"א שעות מי"ח שעות נשארו כ"ב שעות עוד נגרע קנ"ג ימים כי עברנו יום אחד מרמ"א כי יום אחד עברנו נשארו פ"ח ימים עוד נגרע רי"ה שנים מרל"ד נשארו י"ט שנים
	והבחינה נחבר טור [ה]גורע עם טור הנשאר ותציא הטור אשר ממנו גרענו כי נ"א ול"ז חמשים יעלו רביעי וכ"ח ‫וכן ל"ו [...] ל"ח עם השלישי [...] שניים ודק אחד [...] אחת ועם כ"א יהיו כ"ב [...] שעות ויום אחד ועם קנ"ג [...] וי"ט יהיו רל"ד שנים והכל בדוק כי שב ה[...] ממנו גרענו
	משל אחר רצינו לגרוע שלמים ושברים משלמים ושברים כמו י"ד שלמים וח' שברים מי"א בשלם מכ"ד שלמים וט' שברים מי"ג בשלם כזאת הצורה
	צט ט גא כד קד ח אא זא קמג   המורה
	נגרע י"ז מכ"ד ישארו ז' שלמים ואחר תשויה השברים יהיו ק"ד לגרוע מצ"ט והמורה קמ"ג והנה בעבור שלא נוכל לגרוע ק"ד מצ"ט ניקח אחד מהז' שלמים ונעשה אותו שברים כסך המורה שהוא קמ"ג נחבר צ"ט עם קמ"ג יהיו רמ"ב וגרע מהם ק"ד נשארו קל"ח והם חלקים מקמ"ג בשלם והנה אחר שגרענו י"ז שלמים וח' חלקים מי"א בשלם מכ"ד שלמים וט' חלקים מי"ג בשלם נשארו ו' שלמים וקל"ח חלקים מקמ"ג בשלם והוא המבוקש
	דרך אחרת לאלה השאלות והוא שניתן השלמים בשבריהם יהיו בזה המשל הי"ז שלמים עם שבריהם קצ"ה שברים מי"א בשלם והכ"ד עם שברהם שכ"א מי"ג בשלם כזה הצורה
	אגהג אבג גא הגהב הטא אא גדא
	ואחר נשוים אל מורה אחד ויהיו הראשון ב' אלפים תקל"ה ‫[...] המורה שהוא [...] חלקים מקמ"ג ‫[...]
	‫[...] דברים מתחלפים כמו [...] ופשי' וכו' או מזלות מעלות דקים וכו' [או שנים] וחדשים וימים ושעו' וכו'
	תן המספרים במעלותם ואם לא יספיק תעבור אחד ויהיה כמספר המעלה אשר תעבור אותו כמו שתראה ואם תעבור אותו מעלות יותר מאחד תניח במעלות שבאמצע המספר היותר גדול שיוכל להיות בכל המעלות האמצעיות
	והמשל בזה רצינו לגרוע קס"ה לטרי ממון ועשרה די' וט' פשיט' ומחצה ורביע מרפ"ז לטרי' הנה ניתן הממון הקטן תחת הגדול במעלותם וניתן ספראש במקום השברים כזאת הצורה
ו   ב ח ז לטרי' א ו ה לטרי' א ב א   טא   0 דנרי' ‫0א דנר ט   אא   0 פשיט ט פשי ב   א   0 מחצית א מחצית 0   ב   0 רביעי' א רבעי' א
	ועתה לגרוע רביעית פשיט מספרא לא נוכל [גם] אין מחצה לעבור ולא פשיט ולא די' הנה נקח לטרא אחת מז' ונשארו ו' ונעבור אותה למקום הרביעיות ונאמר שהיא כ' רביעיות ועתה נאמר כי בעבור הלטרה על כל השברים הניח על הדי' י"ט דינרים ועל הפשי' י"א ועל המחצות אחד ועל הרביעיות ב' כי מב' נגרע רביע אחד ונשאר רביע וממחצה נגרע מחצה ונשאר 0' ומי"א [.] נגרע ט' פשיט ‫[...] ליטרי' ה' [...] נשאר א' והנה [...] ורביע פשוט
	והבחינה תחבר הנשאר עם ה‫[...]
	משל אחר רצינו לגרוע ח' מזלות י"ז מעל[ות] [מ"ב] דקים ל"א שניים כ"א שלישי י"ב רביעיים מי"ב מזלות נסדרם במעלותם וניתן ספרא במקום שאין מספר ויהיו כזה הצורה
אא   טב   טה   טה   טה   0   בא מזלו 0 מעלות 0 דקים 0 שניי 0 שלישיי 0 רביעיים ח מזל זא מעלו בד דקים זג שניים אב שליש בא רביע ג מזלו בא מעלו זא דקי' בב שניי' חג שליש מח רביע
	נגרע י"ב רביעים מספר לא נוכל ולא השברים האחרים אבל נעבור מזל אחד על הרביעיים ונאמר שהוא ס' רביעיים ונגרע ממנו י"ב ונשארו מ"ח רביעיי ועתה תכתוב על ספרא שלישיים נ"ט ועל השניים נ"ט ועל השלישיים נ"ט ועל הדקים נ"ט ועל המעלות כ"ט ועל המזלות י"א ועתה גרע כל מין ממינו ישארו בשלישי' ל"ח ובשניים כ"ב ובדקים י"ז ובמעלות י"ב ובמזלות ג' והוא מה שרצינו
	והבחינה תחבר הנשאר והמספר הקטן ותציא הגדול
	משל אחר לגרוע מזלות מעלות עד שלישיות או יותר אם תרצה ממזלות לבד תשטח מזל אחד עד השבר שתרצה ובאחרון תן ס' ובאמצעיים נ"ט בכל אחד ובמעלות כ"ט ויהיה כזה הצורה שנגרע מי"א מזלות שנשארו מזלות ‫[...] מזלות ה' ונשארו ששה וט' מעלות מכ"ט נשארו עשרים מעלות [...] נשארו י"ח ול"ד שניי מנ"ט נשארו כ"ה [...] מכ"ג נשארו כ' שלישיים
	והבחינה תחבר השני טורים התחתונים שהם הקטנים ותציא י"ב מזלות
	משל אחר רצינו לגרוע מטבע זהב מאחר ושיהיה דני' ופשיט ואם תרצה מחצות הנה אם קצת מעלות הנשאל לגרוע ממנו הוא קטן הנה הוא קשה מעט אבל קודם שתגרע תעבור סך אחד ממטבע הזהב ותחלקהו על מעלות שבריו ואז תגרע בנקל
	המשל בזה רצינו לגרוע מאלף רמ"ה דוקאדוש וי"ו די' וט' פשי' כל אלה מתקצ"ה י"ח די' י"א פשי' ויהיה כזאת הצורה
	ד   אב   בא   הדבא דוקדוש וא דינ' ט פשי הטה דוקאדוש חא דניר אא פשי טדו דוקדוש טא דנרי ‫0א פשי
	הנה בעבור שלא נוכל לגרוע י"א פשי מט' ולא י"ח די' מי"ו נעבור דוקאדו אחד בשבריו ונתן על י"ו די' כ"א ועל ט' פשי' י"ב כי זהו סך הדוקאדו ועתה נגרע י"א פשי' מט' וי"ב שהם כ"א פשי' נשארו עשרה פשי' גם נגרע י"ח די' מי"ו וכ"א שהם ל"ז נשארו י"ט די' גם נגרע תקצ"ה דוקאדי מאלף רמ"ד נשארו תרמ"ט והוא המבוקש
	ומשל תראה ממזלות ומלטרי' שהם דומים לזה
	‫משל א[חר] [...] תתקמ"ו [...] בזה השואה אל[...] ותתנהו על מורה התשיעית [...] על ט' וגרע ממנו הח' ישאר א' יהיו [...] תשיעית ואחר גרע שלמים משלמים [...] לנו אחר שגרענו הנז' תצ"ו ותשיעית כזה והוא המבוקש
	והבחינה תחבר הב' הקטנים ותציא הגדול
	משל אחר שרצינו לגרוע שלמים ושברי שברים משלמים ושברי שברים שלמים כמו קי"א שלמים וששה שביעיות מה' תשיעיות שרצינו לגרוע מקמ"ד שלמים וח' תשיעיות עשרית מד' שלמים כזאת הצורה
	הג         מד' מ ח ט דדא מ X אאא               גו
	הנה ראשונה נשויה שברי הגורע ונמצא המורה וה' תשיעיותיו הם ל"ה נקח ו' שביעיות ל"ה והם ל' וזה השבר הנרצה שהוא ל' חלקים מס"ג והנה שב הגורע קי"א ול' חלקים מס"ג כזה
	‫0ג גו קי"א
	ונשמרם עד שנשויה המספר השני וראשונה נוציא השברים והמורה שהוא צ' ואחר נשויה הד' שלמים והוא שנכפול ד' על צ' שהוא המורה הראשון יעלו ש"ס והוא מורה שני ועשיריתו הוא ל"ו וח' תשיעיותיו הם ל"ב חלקים מש"ס בשלם כי תשעית ל"ו הם ד' וח' פעמים ד' הם ל"ב כנז' והוא השבר השני המבוקש והנה שב המספר ושבריהם לגרוע קי"א שלמים ול' חלקים ‫[...] בזה הצורה [...] בשאלו [...]רים הם משני מינים [...] תשוים השואה שלישית וזה שנכפול כל שבר על מורה חברו ויעלו לעשרת אלפים [...] ולשני ב' אלפים וי"ו ואז יהיו השברים שוים אשר [נו]כל לגרוע זה מזה אלא שהשברים הגורעים הם יותר משברי המספר השני ולכן נקח אחד שלם ונעשה ממנו חלקים כפי המורה הכולל מש"ס על ס"ג שהוא כ"ב אלפים תר"ף ונחברם עם שברי המספר שרצינו לגרוע ממנו שהם ב' אלפים וי"ו ואז יהיו כ"ד אלפים תרצ"ו ואחר נסדרם לגרוע זה מזה וגם השלמים ויהיו כזאת הצורה
	שלמים א ד ג א א א   ג ב שברים ב ד ו ט ו א 0 ח 0 0 א ג ח ט ו השיור
	גרענו השברים מן השברים נשארו י"ג אלפים תתצ"ו מכ"ד אלפים ותר"ף בשלם גם נגרע קי"א שלמים מקמ"ג ישארו ל"ב כמו שתראה בצורה למטה ואם נקצר השברים ישובו לקצ"ג חלקים משט"ו בשלם כזה
	גטא האג
	וזה מה שרצינו
	ועיין שגם כן תוכל לעשות ההשואה בדרך האחד עם מורה אחד וקח חלקיהם
	וגם כן תוכל לעשות מכל השלמים שברים ותגרע אלו מאלו והנשאר תחלק על המורה והיוציא הם שלמים
	והכל שוה כי יש בכל מין דרכים רבים אבל די בזה למבין ותן לחכם ויחכם עוד
	והנה כל המשלים שנתתי [.] בפרק החיבור תוכל ללמוד מהם בגרעון וגם מה שבגרעון בחיבור ואין צריך להאריך ‫
The Fourth Chapter: Division of Integers and Fractions
	‫[...] שלמים [...] ושברים [...] שתתן השלמים [...] ותחלקם והיוציא בחלוקה [...] נרצה לחלק יהיו שלמים על שברים [...] שברים ממין השבר המחלק והעולה ‫[...]
Example: We wish to divide 22 liṭra, ten dinar and six pešiṭim by six. $\scriptstyle\left(22+\frac{10}{20}+\frac{6}{20\sdot12}\right)\div6$	המשל רצינו לחלק כ"ב לטרין ועשרה דני' וששה פשיט' על ששה
We convert everything into pešiṭim; they are 5 thousand and 406. Because the 22 liṭra are 440 dinar. We multiply them by 12; they are 5 thousand and 280, and they are pešiṭim. The ten dinar with [..] the six pešiṭim are 126. We sum them with the 5 thousand and 280; they are all 5 thousand and 406. We divide them by six; the result of division is 901 and they are pešiṭim.	ניתן הכל בפשיטי' יהיו ה' אלפים ות"ו כי הכ"ב ליטרי' יהיו ת"מ די' ועוד נכפלם בי"ב יהיו ה' אלפים ר"ף והכל פשי' והעשרה די' עם [..] הששה פשי' יהיו קכ"ו נחברם עם ה' אלפים ור"ף יהיו כולם ה' אלפים ת"ו נחלקם על ששה יעלה בחילוק תתק"א והם פשי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{\left(22\sdot20\sdot12\right)+\left(10\sdot12\right)+6}{20\sdot12}}{6}=\frac{\frac{\left(440\sdot12\right)+120+6}{20\sdot12}}{6}=\frac{\frac{5280+126}{20\sdot12}}{6}=\frac{\frac{5406}{6}}{20\sdot12}=\frac{901}{20\sdot12}}}$
If we wish, we can convert them into dinar; they are 75 and one pašuṭ, which are 3 liṭra, 15 dinar and one pašuṭ.	ואם נרצה נעשה אותם די' ויהיו ע"ה די' ופשוט שהם ג' ליטרי' וט"ו די' ופשוט אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{901}{20\sdot12}=\frac{75}{20}+\frac{1}{20\sdot12}=3+\frac{15}{20}+\frac{1}{20\sdot12}}}$
Check: multiply the result of division, which is 3 liṭra, 15 dinar and one pašuṭ, by six.	והבחנה כפול מה שיצא בחילוק על ששה ויעלו ג' ליטרי וט"ו די' ופשוט
We multiply one pašuṭ by six; the result is six pešuṭim; we keep them.	והמשל נכפול הפשוט האחד בששה יעלו ששה פשיט' ונשמרם
Six times 15 is 90, which are 4 liṭra and ten dinar; we keep them.	וששה פעמים ט"ו הם צ' שהם ד' ליטרי' ועשרה די' נשמרם
Six times 3 liṭra are 18 liṭra. With the 4 we have, they are 22 liṭra.	וששה פעמים ג' לטרי' הם י"ח ליטרי' וד' שהיו בידינו יהיו כ"ב ליטרים
The total is 22 liṭra, ten dinar and six pešiṭim.	והנה היו כולם כ"ב ליטרי' ועשרה די' וששה פשיט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{15}{20}+\frac{1}{20\sdot12}\right)\sdot6=\left(3\sdot6\right)+\frac{15\sdot6}{20}+\frac{1\sdot6}{20\sdot12}=18+\frac{90}{20}+\frac{6}{20\sdot12}=18+4+\frac{10}{20}+\frac{6}{20\sdot12}=22+\frac{10}{20}+\frac{6}{20\sdot12}}}$
Example: We wish to divide integers by fractions, such as 25 integers by 3-fifths. $\scriptstyle25\div\frac{3}{5}$	משל אחר רצינו לחלק שלמים על שברים כמו כ"ה שלמים על ג' חמשיות
According to this diagram:	כזאת הצורה
	כ"ה
We convert the integers into fifths by multiplying them by the denominator of the fractions; they are 125 fifths.	הנה נעשה השלמים חמשיות שנכפלם על מורה השברים ויהיו קכ"ה חמשיות
We divide them by 3; the result of division is 41 integers and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{25\div\frac{3}{5}=\frac{25\sdot5}{3}=\frac{125}{3}=41+\frac{2}{3}}}$	נחלקם על ג' יעלה בחילוק מ"א שלם וב' שלישיות
Don't be surprised that the result of the division is more than what we had because it is as saying divide half by half	ואל תתמה על היוציא בחלוקה שהוא יותר ממה שהיה לנו כי הוא כאומר חלק חצי לחצי
Illegible	‫‫[...] כי [...] שיהיה יעלה הראוי ל[...] חצי דבר אחד לכולו תתן [...] בחלוקה הוא ראוי לאחד שלם [...] ותעיין ותבין שאם תחלק תחלק ו' על ב' [...] בחלוקה ט' שלמים והנוסף שהם ג' הוא הגורע לתשלום [...] שלישיות
Another example: We wish to divide 3 integers and 3-quarters by 2-thirds. $\scriptstyle\left(3+\frac{3}{4}\right)\div\frac{2}{3}$	משל אחר רצינו לחלק ג' שלמים וג' רביעיות על ב' שלישיים
Convert the integers into their fractions; they are 15-quarters.	תן השלמים בשברו יהיו ד' רביעות ט"ו רביעיו‫'
Relate them to the divisor, which is 2-thirds; they are according to this diagram:	השוים עם המחלק שהוא ב' שלישי' יהיו כזה הצורה
	8   45 2 ג X 15 4
They are 45. Divide them by 8; the result is 5 integers and 5-eighths. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{4}\right)\div\frac{2}{3}=\frac{15}{4}\div\frac{2}{3}=\frac{45}{8}=5+\frac{5}{8}}}$	יהיו מ"ה חלק על ח' יעלו ה' שלמים וה' שמיניות
Another example: We wish to divide 49 integers and 5-sixths by 3-quarters of a sixth of 2-fifths. $\scriptstyle\left(49+\frac{5}{6}\right)\div\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{5}\right)$	משל אחר רצינו לחלק מ"ט שלמים וה' ששיות על ג' רביעי ששית מב' חמשיות כזאת הצורה
	48 8 ו   טצב   על מט     ‫0בא
	הנה ראשונה נתן השלמים בשברהם שהם שישיות ונחברם עם שבריו שהם ה' יהיו רצ"ט ותשמרם לחלק על ג' רביעיות משישית מב' חמשיות תשויה זה השברי שברים ויהיה המורה הכולל ק"ך והנה ב' חמשיותיו הם מ"ח והוא עליו ושישית מ"ח הוא ח' וג' רביעיות ח' [.] הם ששה וזה השבר הנרצה אשר עליו נחלק שהוא ו' חלקם מק"ך בשלם והנרצה לחלק הם שישיות ויהיה כזה הצורה
	וג   ‫0חחהג ו ‫0בא X טטב ו
	נשוים כל שבר במורה חברו או בדרך האחרת ויהיו החלקים אשר תרצה לחלק ל"ה אלפים תת"ף והחלקם ‫[...] הם אלף [...] תקצ"ו וכ"ד חלקי' [...] וכן תמצאם אם תקצרים [...] תתק"ץ ותחלקים על ג' [...] ההשואה תוכל לקצר אם תרצה [...] זה המשל ורבים ביותר נקל כי תוכל [...] עם שתעשה מורה השברים ס' כי ב' חמשיות חמשיות ס' הם כ"ד ושישית כ"ד הוא ד' וג' רביעיות ד' הם ג' וזה שבר השבר הנרצה שהוא ג' חלקים מס' בשלם ואחר תשויה רצ"ט ששיות עם ג' חלקים מס' כזה
	‫0דטזא ג ‫0ו   טטב ו
	יהיו על רצ"ט י"ז אלפים תתק"מ והם לחלק על י"ח שהוא כפל ו' על ג' ויציא בחילוק תתקצ"ו וב' שלישיות מקוצר כנזכ‫'
	ואם תרצה תוכל להקל עוד כאשר היו בידך ג' חלקים מס' תקצרם קודם שתשוים יהיו חלק אחד מב' תשויהו על ו' שהוא מורה החלק השני יהיה ו' גם תשויה רצ"ט עם כ' יהיו יעלו ה' אלפים תתק"ף חלקם על ו' יעלה בחילוק תתקצ"ו כנז‫'
	והרי לך כי כל זמן שתעיין בהשואה אולי תוכל לקצר מספרך והקל מעליך והכל דרך ישר כי מי יוכל לכתוב הכללים כל שכן הפרטים
	משל אחר נרצה לחלק שלמים ושברי שלמים על שברי שלמים כמו ק"ח שלמים וד' תשיעיות מי"ח שלמים על ג' שביעיות ח' שלמים כזאת הצורה
	שלמים דב   שלמים בז שלמים מח על יח קח
	וקח מן הח' שלמים הנשאל והוא שנכפול ח' על ז' שהוא מורה שברו יהיו נ"ו נקח מהם ג' שביעיותיו והוא כ"ד ‫ונשמר[...] שלא תצטרך [...] השברים [...] לכפול ח' על [...] כי אחר שעש[י]ת כל זה [...] פעמים י"ח וכן כדרך זה [...] מי"ח שנכפול י"ח בט' יעלו קי"ו [...] והם ע"ב כי תשיעית קי"ו הוא י"ח וד' פעמים י"ח הם [ע"ב‫]
	ואם תרצה כפול השברים על השלמים אשר תרצה לקחת מהם וה והעולה תתנם עליהם והוא המבוקש ואחר שהיה לנו שברי השלמים שהם ע"ב נחבר אליהם השלמי' שהם ק"ח והוא שנכפלם על מורה אלו השברים שהוא ט' יעלו תתקע"ב והם תשיעיים והשברים אשר נרצה לחלק עליהם שהם כ"ד שביעיים נשויה שניהם כזאת הצורה
	ואב   ד0חו דב ז X בזט ט
	ויהיה המספר הנחלק ו' אלפים תת"ד והמספר אשר עליו נחלק רי"ו והיוציא בחילוק ל"א שלמים וק"ח חלקים מרי"ו בשלם ואם נקצרם יהיו חצי שלם ואם כן המחלק ק"ח שלמים וד' שביעיות מי"ח שלמים על ג' שביעיות מח' שלימים יציא בחילוק לא שלם וחצי וכן כל הדומה לזה
	משל אחר אם רצינו לחלק מטבעות מתחלפות עם דנר' ופשטי' וכו' או מזלות ודקים ושניי' וכו' או שניי' חדשי' וכו' הנה נחלק הגדול ראשונה ומה שיציא בחילוק שמור אותו בשמו כופלהו בסך שהוא אם פריס בסך הפרח וכן לטרין או לסך המרובע שיהיה
	המשל רצינו לחלק רל"ד לטרי ממון וי"ו די' ‫[...] רל"ד [...] לכל אחד [...] ונשמרים [...] על כ' שהוא סך הלטרה [...] י"ו די' שלשו יהיו צ"ו די' נחלקם [...] ד' דינ' ונשמור אותם בשמן ונשארו [...] נכפלם בי"ב יעלו מ"ח פשיט' ועם ט' שלמו יהיו נ"ז נחלקם על כ"ג יעלו ב' פשי' ונשארו י"א פשיט נכפלם על ד' יעלו מ"ד רביעיות נחלקם על כ"ג יעלה בחילוק אחד שהוא רביעית פשוט ונשארו כ"א רביעי' והם כ"א מכ"ג ברביע פשוט כזה
	אב גב
	ועלה מזה כי המחלק רל"ד לטרי' י"ו די' ט' פשיט' על כ"ג שעלה לכל אחד עשרה לטרי' י"ד די' וב' פשי' ורביע פשוט וכ"א חלקים מכ"ג ברביע פשוט
	והבחינה כפול הרביעיות על כ"ג ועם כ"א שנשארו יהיו מ"ד והם י"א פשוט גם כפול ב' פשוט' על כ"ג יהיו מ"ו פשי' וי"א יהיו נ"ז שהם ד' די' וט' פשיט' גם כפול ד' די' על כ"ג יהיו צ"ב ועם ד' יהיו צ"ו די' שהם ד' לטרי' וי"ו די' גם כפול עשרה לטרי' על כ"ג יעלו ר"ל ועם ד' לטר' יהיו רל"ד והנה שב הכל רל"ד לטר' וי"ו די' וט' פשי‫'
	ותוכל לעשות זה בדרך אחרת שתעשה הכל מן השבר היותר קטן ואחר תחלוק ואחר החילוק תעלה הכל לכללים כמו במשלנו שנעשה הכל פשיט כי הם השבר הקטן והם נ"ו אלפים שס"א הכל פשי' ועתה תחלקם על כ"ג שהוא המורה יעלה בחילוק ד' אלפים תרצ"ו [די'] ונשארו ט' פשיט ונשמרם בשמן ועתה נחלק ‫ אלו הדי' [...] רל"ד לטרי' [...] לטרי' וי"ו די‫' [...]
Chapter: The Checking Methods for Fractions	פרק במ[...] מאזני השברים ‫[...]
	‫פרק במאזני השברים ואומר כי מאזני השברים הם כמאזני השלמים בעבור כי כאשר תחבר או תגרע או תחלק יהיו לעולם השברים שוים מאיזה מין שיהיה ועל כן תנהיג
	‫פרק במאזני השברים
	ואומר כי מאזני השברים הם כמאזני השלמים בעבור כי כאשר תחבר או תגרע או תחלק יהיו לעולם השברים שוים מאי זה מין שיהיו ועל כן תנהיג במאזני השברים כמנהג מאזני השלמים ועם כל הדרכים הנתונים בפרק מאזני השלמים
	ובעבור שלא תצטרך לעיין ותראה הדרך למין אכתוב כאן משל אחד מכל אחד מבדיקת כל אחד בהפכו חיבור עם גרעון וגרעון עם חיבור כפל עם חילוק וחילוק עם כפל
	והמשל בחיבור הנה אחר שנחבר שברי המספר נגרע מן המקובץ השבר הקטן וישאר הגדול או נגרע הגדול וישאר הקטן כיצד הרי שחיברנו ק"א חלקים מר"א בשלם עם ל"ג חלקים מר"א גם כן ‫‫[...]
	א0א   גג   א0ג
	‫[...] ל"ג [...] הנה אחר שנכפול שברי המספר נחלק [...] כאשר תראה כזאת הצורה
	ויצאו לך שברי המספר כיצד כפלנו ג' רביעיות וד' חמשיות וה' ששיות והנכפל יהיה ס' חלקים מק"ך כזאת הצורה השנית
	‫0ו ‫0בא
	נחלק כדרך שכפלנו כי כפלנו ג' על ד' והעולה על ה' יהיו ס' ועתה נחלק ס' על ה' יציא בחילוק י"ב נחלק י"ב על ד' ותציא בחילוק ג' והוא הראשון
	או נחלק ראשונה ס' על ג' יצא כ' וכ' על ה' יציא ד'
	או נחלק ס' על ד' ותציא ט"ו גם ט"ו על ג' ותציא ה' והוא השלישי
	ועשיתי אילו החלוקות להרגילך ובזה הדרך תוכל לבדוק שברים רבים
	משל אחר במאזני המגרעת אחר שגרענו שברי המספר נחבר השברים הגורעים עם הנשאר מן הגדול ותציא הגדול כיצד נגרע ת"ח מאלף ש"ל יש ישארו תתקכ"ב כזאת הצורה
	הגדול א ג ג 0 הגורע   ד 0 ח הנשאר   ט ב ב
	והמאזנים אם זה אמת נחבר השבר הקטן שהוא הגורע שהוא ת"ח עם הנשאר מן הגדול שהוא תתקכ"ב הנשאר ותציא הגדול שהוא אלף ש"ל
Example for the check of division:	משל במאזני החילוק
After we have divided the fractions of a number, we multiply the result of division by the divisor, then we add the remainder of division to the product and the result is the dividend [lit. the greater].	הנה אחר שחילקנו שברי המספר נכפול היוציא בחילוק על המחלק ועל היוציא בכפל נוסיף הנשאר לחלק ותציא הגדול
As when we have divided 256 parts of 168, which is derived from 2-thirds and six-sevenths after the equalization, by 63 parts of 168, which is derived from 3-eighths also after the equalization. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}+\frac{6}{7}\right)\div\frac{3}{8}=\frac{256}{168}\div\frac{63}{168}}}$	כמו שחילקנו רנ"ו חלקים מקס"ח שבא אחר ההשואה מב' שלישיות ומששה שביעיות על ס"ג חלקים מקס"ח גם כן שבא אחר ההשואה מג' שמיניות
They are as this diagram:	ויהיו כזאת הצורה
0     1 4 2 5 6   4   6 3	0     א ד ב ה ו   ד   ו ג
	ואם תרצה לבדוק זה אם הוא אמת כפול היוציא ‫בחילוק שהוא ד' [...] עליהם הנשאר שהוא ‫[...]
Section Four: Roots	השער המורכב [...] בעבור רוב ‫[...]
	‫[...] פרקים
	הפרק הראשון הראשון בשרשים
	הפרק השני ב[...] מספרים נמשכים
	הפרק השלישי
The First Chapter	הפרק הראשון
I have divided it into four types and an introduction needed for roots at the beginning	חלקתי אותו לד' מינים והקדמה בראשונה ראויה לשרשים המין
The first type: extracting the perfect and imperfect square roots	המין הראשון בהוצאת בהוצאת השרשים המרובעים השוים והבלתי שוים
The second type: extracting the perfect and imperfect cube roots	המין השני בהוצאת השרשים המעוקבים השוים והבלתי שוים
The third type: knowing the root of a number that has no real root	המין השלישי לדעת שורש איזה מספר מן המספרים שאין להם שורש אמיתי
The fourth type: knowing the root of fractions	המין הרביעי בידיעת שורש השברים
Introduction Needed for Roots	הקדמה הראויה לשרשים
I say that the square number that is equal in all its sides is the number that is multiplied by itself, which is the root, and the product is the square.	ואומר כי המספר המרובע השויה בכל צלעותיו הוא המספר הנכפל על עצמו והוא השורש והנכפל הוא המרובע
The essence of the extraction of the root is that if a number is a product of two different numbers and they generate a rectangle, then the exraction of the root considers it as a square that is equal in all its sides, or a product of two equal numbers and what is left remains.	וטבע הוצאת השורש הוא שאם יהיה מספר מה נכפל משני מספרים מתחלפים והם עושים מספר מרובע ארוך הנה הוצאת השורש חוזיר אותו מרובע שויה מכל צלעיו או לכפל שני מספרים שוים או לכפ וישאר מה שנשאר
	וזה כגון ב' על ח' ‫[...] שורש ד' וזה כי [...] אשר תוכל לשנות צלעותהם [...]חלקיו [...] מורכב מב' ולא יותר ואל ב' תחלקנו [...] צלע ב' ותהיה כזה
1 1 1 1	א א א א
If its sides are 2 and 3, like this:	ואם צלעותיו ב' וג' כזה
1 1 1 1 1 1	א א א א א א
The sides of 8 are 2 and 4.	וח' צלעותיו ב' וד‫'
	וכן עשרה
12 has two combinations: 2 by 6; and 3 by 4.	וי"ב יש בו ב' הרכבות ב' על ו' וג' על ד‫'
30 has three combinations: 2 by 15; 3 by 10; and 5 by 6.	ול' יש בו ג' רכבות ב' על ט"ו וג' על עשרה וה' על ו‫'
60 has five combinations: 2 by 30; 3 by 20; 4 by 15; 5 by 12; and 6 by 10.	וס' יש לו ה' הרכבות ב' על ל' וג' על כ' וד' על ט"ו וה' על י"ב וו' על עשרה
The root of 60 is 7 and 11 remains.	והנה שורש ס' הוא ז' ונשארו י"א
	ומאלה הערה לכולם והנה גם כפל מרובע על מרובע יהיה מרובע ואם יהיו כמה שיהיו גם תעין כי כל המדריעות הנפרדים יש להם שורש ואן לזוגות שורש ולכן יהיו המדריעות נחלקים במעשה שנים שנים כמו שתראה
The first type: extracting the roots of the perfect square numbers	המין הראשון בהוצאת השרשים מן המספר המרובע השוה
The result is a true root.	והיוציא יהיה שורש אמתי
This method itself is [also suitable] for an imperfect square, only the perfect square has no remainder and the imperfect square has a remainder.	וזה הדרך עצמו הוא למרובע הבלתי שוה אלא כי מן השוה לא ישאר מספר ומהבלתי שוה ישאר מספר
The procedure and arrangement of the ranks to extract the root is as follows: first you divide your number into pairs.	והנה תיקון וסדר המדרגות להוציא השורש כך היא שתחלק ראשונה כל מדרגות מספרך שנים שנים וההתחלה ממעלת האחדים ומן המעלה האחרונה או מן השנים אם יהיו שנים באחרונה תתחיל להוציא השורש או מן האחד אם אין שם שנים וממנה תוציא שורש אחד או מן השנים
Because, from each part you have to extract one root, i.e. one part of the root and I called every two ranks one part.	כי מכל חלק תצטרך להוציא שורש אחד ר"ל חלק מן השורש וקראתי לכל שתי מעלות חלק אחד
Consider each part as units and tens, except when you extract it with the remainder of the previous part, because then they are thousands and hundreds, as you will see with God's help.	ותחשוב כל חלק לאחדים ועשרות זולת כאשר תקחינו עם הנשאר מן החלק הקודם לו כי אז יהיה אלפים ומאות כאשר תראה בע"ה
	ואחר קח החלק האחרון ר"ל בשני מעלות מספרים שבו או מה ‫שיש בו ותוציא ממנו [...] ותן אותו תחת החלק אשר [...] תחבר אותו עם מספרי החלק[...] כמו שעשית בחילוק כי הוצאת השורש [...] הנשאר יהיו אלפים ומאות [בעדף ה]חלק הקוד[ם] [...] השורש וכופלהו בשנים וכן [נתן] לפניו מספר מה ומה שיעלה [...] השורש והמספר הנתון כופלהו על המספר הנתון ואם העולה יהיה שוה למה שנשאר בחלק הראשון יהיה החלק [...] ואם הוא גדול גרע מן המספר הנתון [...] עליו אם הוא קטן ועם אחד שתוסיף ואם עם אחד שתוסיף יהיה [גדול] [קח] קח הראשון אפש"י שהוא קטן וכן סיפרא [...] שאם יקרה שתתן אחד לבד לפני השורש הכפול ויהיה העולה יותר ממה שבחלק ו[...] בחלק השני לא תתן מאומה לפני השורש או תתן ספרא בחלק ההוא ויהיה כמו שורש וכך תנהיג בכל המספר ובכל החלקים עד שיהיה תחת כל חלק חלק מן השורש אם שיהיה מספר או ספרא ויהיה אות החלק אשר יציא ראשונה הוא תחת החלק האחרון שהוא המספר היותר גדול כי האחרון הוא תחת החלק הקטן שהוא אחדים ועשרות והאחדים נמשכים אחריו וכולם הם השורש המבוקש
	ובמשלים תראה כל זה מבואר בע"ה
Example: we wish to know the root of 29 million, 505 thousand and 124, and if it is a perfect square or not. $\scriptstyle\sqrt{29506124}$	המשל בזה רצינו לדעת שורש כ"ט מספרים ותק"ו אלפים וקכ"ד ואם הוא מרובע שוה ואם לא
We arrange the number on this diagram:	הנה נסדר המספר בזאת הצורה
2 9 5 0 6 6 2 4 5 4 3 2	ב ט ה 0 ו ו ב ד ה ד ג ב
I divide the ranks into pairs; they are 4 parts. Now, we know that the number multiplied by itself is 4 ranks by 4 ranks, because each part is one [rank] of the root.	והנה חלקתי מעלות המספר שנים שנים ויהיו ד' חלקים ועתה ידענו כי המספר הנכפל על עצמו הוא ד' מעלות על ד' מעלות כי לכל חלק ראוי חלק אחד מהשורש
We start from the last part and say: the greatest square found in 29 is 25 and 4 remains above 9. The root of 25 is 5; we write 5 beneath the fourth part because it is extracted from it.	והנה נתחיל מן החלק האחרון ונאמר כי המרובע היותר גדול שיש בכ"ט הוא כ"ה ונשארו ד' על ט' והנה שורש כ"ה הוא ה' נתן ה' תחת החלק הרביעי כי ממנו יציא
	וכבר ‫[...] והנה לדעת שורש [...] שורש ונכפול אותו בשנים [...] ונאמר שהוא ד' ויהיו אז העשרה [...] נכפול ק"ד על הד‫'
4 1 0 4	ד א 0 ד
	‫[...] נגרע תי"ו מת"ן כי הד' שנשארו על הט' [...] בערך לחלק השלישי ונשארו ל"ד בחלק השלשי והם ג' [...] כערך לחלק השני והנה מאחר שהד' הנתון הוא הראוי נכתוב ד' תחת החלק השלישי
If you say that since 34 remains in the third part, the given number is 5, the result exceeds by 75, so we take 4, as mentioned. For with a little investigation you see the number that should be given before doubling the root found.	ואם תאמר כי בעבור שנשאר ל"ד בחלק השלשי שיהיה המספר הנתון ה' הנה יעלה יותר מן הראוי ע"ה ובעבור זה לקחנו ד' כנזכר כי עם מעט עיון תראה המספר הראוי לתת לפני כפל השורש הנמצא
To know the root of the second part, do as mentioned, that is, double the two roots found that are 4 and 5, which is 54; it is 108, like this:	והנה לדעת שורש החלק השני עשה כנז' והוא שתכפול השני שרשים הנמצאים שהם ד' וה' שהם נ"ד יהיו ק"ח כזה
	א 0 ח
	נתן לפני המספר הזה מספר אחד והראוי הוא ג' ויהיו אז אלף ושמונים ושלושה כזה
	ג א 0 ח ג
	כפלנו זה המספר על המספר הנתון שהוא ג' יהיה העולה ג' אלפים ורמ"ט נגרעם מן החלק השני ומהנשאר מן השלישי שהם ג' אלפים ותס"ו ישארו ב' בחלק השלישי וי"ז בשני והם כ"א אלף ות"ש בערך לחלק הראשון והנה מאחר כי ג' הנתון הוא הראוי נכתוב ג' תחת החלק השני
	ולדעת שום החלק הראשון עשה כאשר עשית וכפול השרשים הנמצאים בשנים שהם עתה תקמ"ג כזה
	ה ד ג
	ויהיו אלף ושמונים וששה כזה
	א 0 ח ו
	ויעלה זה המספר מעלה אחד עם המספר שניתן לפניו שהראוי הוא ב' ויהיו אז עשרת אלפים ותתס"ב כזה
	ב א 0 ח ו ב
	כפלנו זה המספר על המספר הנתון שהוא ב' יעלו כ"א אלפים תשכ"ד נגרעם מן החלק הראשון ומן הנשאר מן השני ומן השלישי שהוא כ"א אלפים תשכ"ד לא נשאר כלום וזה יורה שהמספר המונח שהוא כ"ט מספרים ותק"ו אלפים וקנ"ד שהוא מרובע שוה הצלעות וניתן המספר הנתון שהוא ב' תחת החלק הראשון ויהיה אז השורש שלם כי מה שאמרנו ל[.] חלק שורש ‫הוא בדרך ההשאלה [...] תל"ב כזה
	ה ד ג ב
	‫[...] דומה על עצמו ואם יציא לך ‫[...]
	משל אחר רצינו לדעת שורש [...] ותס"ד ואם הוא שוה הצלעות [...] הצורה
	ה ז ח ד ה ו ד ו ד ב ד 0 ה ו
	והנה [...] וראוי להוציא ה' חלקים כאשר [...] לזה השורש [...] מן הראשון שהוא האחרון אשר בזה ומרובעו הגדול הוא ד' [...] ישאר א' על ה' והנה שורש ד' הוא ב' נתן אותו תחת החלק החמשי כי ‫[...]
	ולדעת השורש השני נכפול ב' שהוא השורש הראשון יהיו ד' נתן מספר מה לפניו והנה הראוי הוא ד' ויהיו מ"ד כפלנו מ"ד על ד' הנתון כזה
	ד   ד ד א ה ו
	יעלו קע"ו נגרעם מקע"ח שיש בחלק הרביעי ובנשאר בחמשי ישארו ב' ברביעי והוא ק"ק בערך לחלק השלישי והנה המספר הנתון שהוא ד' הוא תחת החלק הרביעי
	ולדעת השורש השלישי נכפול השני שרשים הנמצאים בידינו שהם כ"ד יהיו מ"ח ניתן מספר לפניהם והנה הראוי הוא ספרא לעלות מעלה שאם ניתן א' שהוא המספר היותר קטן יעלה תפ"א לגרוע מרמ"ה ולא נוכל כי רמ"ה קטן מתפ"א ולכן המספר הנתון הוא ספרא ונתן הספרא תחת החלק החמשי השלישי ולא נגרע דבר לא מן החלק השלישי ולא משיור החלק הרביעי ויהיה ב' שהוא החלק החמשי עשרים אלפים כערך החלק השני
	ולדעת השורש הרביעי נכפול השלשה שרשים הנמצאים שהם יחד רי"ו יהיו ת"ף נתן לפניהם מספר אחד והראוי הוא ה' ויהיו ד' אלפים תת"ה כפלנום על ה' הנתון יהיו כ"ד אלפים וכ"ה כזה
	ה ד ח 0 ה
	גרענום ממספרי החלק השני והנשאר מן השלישי ומן הרביעי שהם כ"ד אלפים ותקס"ד ישארו תקל"ט שהם בערך החלק הראשון נ"ג אלפים תתקס"ד והנה המספר הנתון שהוא ה' הוא השורש הרביעי וניתן אותו תחת החלק השני שהוא רביעי ‫[...] הד' שרשים שהם [...] אלפים תת"י ניתן לפניהם [...] מ"ח אלפים וק"א כפלנום [...] הכפול הוא בעצמו כי הכופל [...] אינו עולה ולא יורד [] וק"א מנ"ג אלפים ותתקס"ד ישארו ה' אלפים ותתס"ג והנה המספר הנתון שהוא אחד הוא השורש החמש וניתן אותו כזה בחלק החמישי שהוא חלק האחדים והעשרות והנה אם ניתן לפני השורש שנים בעבור שלא ישארו ה' אלפים תתס"ג יעלה הכפל יותר ויותר ממה שנצטרך לזה השיור ואם כן הא' הנתון הוא הראוי והנה השיור שנשאר יורה שהמספר המונח שאינו מרובע שוה הצלעות אבל כל חשבון אשר שרשיו [יציא] כל החשבון יורה שהוא מרובע שוה הצלעות
	א ד ח א 0 א
	הבחינה תכפול השורש [.] על עצמו ועל הכפל תוסיף הנשאר ואם יהיה שוה למספר המונח הוא טוב ועוד תעיין שלא יהיה הנשאר אחר הוצאת השורש יותר מכפל השורש שאם הוא יותר מכפל השורש הנה תוכל לתת עוד אחד במספר הנתון שהוא חלק השורש האחרון
	המשל הנה נניח כי שורש ד' הוא א' ישארו ג' והוא יותר מכפל השורש כי כפל כפל השורש הוא פעם אם כן נוכל לתת ב' בשורש ולא נשאר דבר
	עוד רצינו שורש ט"ו והוא ג' ישארו ששה שהוא כפל השורש בצמצום ואם כן הוא השורש הראוי
	וכן כ"ד והשורש ד' ונשארו ח' שהוא כפל השורש בצמצום
	עוד נניח כי שורש ל"ו הוא ה' ומרובע חמשה הוא כ"ה נגרע כ"ה מל"ו נשארו י"א והוא יותר מכפל השורש כי השורש שהנחנו הוא חמשה וכופלו עשרה והנשאר יותר מעשרה כי הוא י"א אם כן השורש הראוי הוא ששה
	עוד רצינו שורש מאה נניח ‫כי הוא ט' [...] הוא י"ח והנה י"ט הוא [...] בשורש עשרה וכן כולם
	דרך קל מאוד אחר שתציירהו [...] פעמים והדרך שתתן מספרך ב[...] שנים שנים וכל חלק תאמר שהוא אחדים [עשרות] [...] זמן שישאר לצד שמאל תאמר תאמר מאות ואלפים ומה שימשך כמו שעשינו ואחר שחילקת מספריך ב'ב' תעשה תחת אחדי כל חלק בתים לחלקי השורש ואחר קח החלק האחרון ותגרע ממנו המרובע היותר גדול שבו וקח שורשו ותתנהו בביתו ואחר קח זה השורש ותכפלהו בשנים ולפני הכפל תבקש מספר ראוי אשר עם זה המספר הנתון לפני כפל השורש תכפול הכל והיוציא תן אחדי המספר תחת אחדי החלק אשר ממנו תבקש השורש השני ואם תתן א' במספר הנתון ויעלה יותר תן ספרא בשורש ולא תגרע דבר ושוב לכפול הספרא וכל השורש כי לעולם הספרא מן השורש ונעשה כנהוג במשל שעבר המשל
Example: we wish [to know] a root of five parts, which is two thousand and 950 million, 771 thousand and 41. $\scriptstyle\sqrt{2950771041}$	המשל רצינו שורש חמשה חלקים אשר הוא שני אלפים ותתק"ן מספרים ותשע"א אלפים ומ"א
As this diagram:	כזאת הצורה
1 0 8 6 4 6       2 2 8 1 9         3 4 7 7           4 5 0             2 9 5 0 7 7 1 0 4 1     5               2 5   4   3   2   1   4 1 6                 3 2 7 9               2 1 7 2 4             1 0 8 6 4 1	א 0 ח ו ד ו       ב ב ח א ט         ג ד ז ז           ד ה 0             ב ט ה 0 ז ז א 0 ד א     ה               ב ה   ד   ג   ב   א   ד א ו                 ג ב 7 9               ב א ז ב ד             א 0 ח ו ד א
	אשר החלק הראשון לצד שמאל אשר ממנו נתחיל הוא כ"ט והשני נ' והשלישי ע"ז והרביעי עשרה והחמשי שהוא הראשון על דרך האמת הוא מ"א
	ועתה רצינו שורש כ"ט ‫[...] ישארו ד' על ט' [...] חלק שני ויהיו אז החלק [...] שנגרע מרובעו מ[..] [...] שהוא חמשה יהיו עשרה ניתן [...] והוא ארבעה ויהיו כזה ק"ד [...] הנתון כמו שתראה בצורה
	ד א 0 ד
	יהיו תי"ו [...] במעלותם בדרך שיהיו האחדים שהם ששה תחת אחדי החלק השני שהם סיפרא והם תחת בית השורש נגרע תי"ו מת"ן נשארו ל"ד על החלק השני וד' התחתון הוא השורש השני ונתנהו בביתו תחת אחדיו חלק שני
	ועוד רצינו שורש חלק שלישי שהוא ע"ז ועם הנשאר בחלק שני והוא ג' אלפים תע"ז כמו שתראה בצורה נכפול השני שרשים הידועים לנו שהם ד"ה שהם נ"ד על שנים יהיו ק"ח נבקש מספר ראוי לתת לפני ק"ח והוא ג' ויהיו כזה הצורה
	ג א 0 ח ג ג 2 4 9
	אשר כולם יהיו אלף ופ"ג נכפול כל המספר על ג' הנתון והוא השורש יעלו ג' אלפים רמ"ט אשר נגרעם מג' אלפים תמ"ז והוא שניתן אחדי [..] הג' אלפים רמ"ט תחת אחדי החלק השלשי אשר בו ע"ז ואחר תגרעם מג' אלפים תע"ז ישארו כ"ב אלפים תת"י וג' הנתון הוא השורש ונתנהו בביתו תחת אחדי החלק השלישי שהם ז'
	עוד להוציא שורש רביעי אשר בו עשרה נכפול השרשים הידועים שהם הד"ג בשנים יהיו אלף פ"ו נתן לפניהם מספר ראוי והוא ב' ויהיו עשרת אלפים תתס"ב נכפלם על המספר הנתון שהוא ב' יהיו כ"א אלפים תשכ"ז כזה הצורה
	ב ב א 0 ח ו ב ב א ז ב ד
	נגרעים מכ"ב אלפים תת"י אחר אשר ניתן אחדי המספר שהוא ד' תחת אחדי החלק הרביעי אשר בו ספרא ונשארו ק"ח אלפים תרמ"א והנתון שהוא ב' הוא השורש וניתנהו בביתו
	עוד להוציא שורש החלק החמשי אשר בו מ"א נכפול השברים הידועים שהם הדג"ב בשנים יעלו עשרת אלפים תתס"ד נבקש מספר ראוי לתת לפני ‫זה המספר [...] ק"ח אלפים תרמ"א [...] הנתון שהוא אחד יעלה כמו [...] ניתן אחדי המספר שהוא אחד תחת [..] גם כן ואחר כל הנמשכים לצד שמאל [...]‫ שהוא גם כן ק"ח אלף תרצ"א לא נשאר דבר ותו[...] שוה הצלעות ודי בזה המשל לאיש שהוא משכיל
	והבחינה כפול האחד השורש על עצמו שהוא נ"ד אלפים שכ"א ותציא כל המספר שהוא [..] שני אלפים ותתק"ן מספרים ותשע"א אלפים ומ"א והוא טוב
The second type: extracting the perfect and imperfect cube roots	המין השני בהוצאת השרשים המעוקבים השוים והבלתי שוים
I say that extracting the cube roots is according to this procedure: first, divide the ranks of the given number into triplets and start from the rank of units.	ואומר כי הוצאת שורשי המעוקבים הוא על זה הסדר שתחלק ראשונה מעלות המספר המונח ג' ג' ותתחיל ממעלות האחדים
I called every three ranks a "part", even if the last one is of two ranks, or of one rank.	וקראתי לכל ג' מעלות חלק ואם האחרון יהיה מב' מעלות או ממעלה אחת
For each part, you must extract a part of the root, either a number, or a zero, whether the part is of three [ranks], or the last is of two ranks, or of one rank, as you will see and as we did with the square roots.	ולכל חלק תצטרך להוציא חלק מן השורש בן יהיה מספר או ספרא בין יהיה החלק מג' בין שיהיה האחרון מב' מעלות או ממעלה אחת כאשר תראה וכאשר עשינו בשורשי המרובעים
Then, subtract the cube from the last part of the ranks you find there; extract the root from the cube; write it beneath the part from which it was subtracted and this is the first part of the root.	ואחר תוציא המעוקב מן החלק האחרון מן המעלות אשר תמציא שם ומן המעוקב תיקח השורש ותן אותו תחת החלק אשר יציא משם והוא חלק ראשון מן השורש
To extract the next part of the root, take the found root and write it next to the preceding number.	ולהוציא החלק האחר מן השורש קח השורש הנמציא ותן מספר לפניו
Multiply the root and the given number by three times the found root; multiply the result by the given number before the root one more time and keep the result of both multiplications.	וכפול השורש והמספר הנתון על ג' כפלי השורש הנמצא והעולה תכפול פעם אחרת על המספר הנתון לפני השורש ושמור העולה מן השני הכיפילות
Then take the cube of the given number and add it to the multiplied number, provided that the tens of this cube correspond to the units of the multiplied number; if there are no tens there but units, write them as units in this number; the rank of units of this number is raised to tens.	ואחר קח מעוקב המספר הנתון וחברהו על המספר הנכפל ובלבד שיהיה עשרות זה המעוקב נגד נוגד אחדי המספר הנכפל ואם אין שם עשרות אלא אחדים שתתנים לאחדים בזה המספר ויעלו מעלת האחדים מזה המספר לעשרות
If the result of addition of both is equal to the number of the part whose root you want [...]	ואם העולה מחיבור שניהם הוא שוה למספר החלק אשר תרצה שורשו ולשאר מין האחרים מוטב ‫[...] ותן המספר [...] מספרך ותן המספר [...] המספר הנתון אחד ותראה אחר [...] העולה הוא גדול לא תכפול דבר [...] בחלקו ויהיה מספרי מעלות חלקו כמו שיור [האחדות] כאשר עשינו בשורשי המרובעות
	ובעבור כי זה המעשה המעשה קשה לציירו אניח צורות כפי המשכת המעשה בכל הכפלים וראשונה אכתוב לוח מעוקבי כל אחדי המעלה הראשונה בעבור כי לעולם החלק האחרון הנתון אשר ניקח שורש מעוקבו בראשונה [.] לא יוסיף שורשו מאחדים
	ובעבור זה תמצא בטור ראשון מזה הלוח כל אחדי המעלה הראשונה והטור השני מעוקבהם וזה צורת הלוח
Example: we wish to know the approximate cube root of this number, which is 74 thousand and 88, or if it is a perfect cube. $\scriptstyle\sqrt[3]{74088}$	המשל בזה רצינו לדעת שורש המעוקב הגדול שיוכל להיות בזה המספר שהוא ע"ד אלפים ופ"ח או אם הוא מעוקב בלא שיור
	וראשונה אניח מעלות המספר ואחלקים ג' ג' ואתן קו תחת כל חלק ומקום לשרשים ויהיה כזה
	ז ד /0 ח ח ד ב
	ואחר נוציא מעוקב ע"ד והנה המעוקב הגדול שבו הוא ס"ד ושורשו ד' כמו שתראה בלוח
1 1 8 2 27 3 64 4 125 5 216 6 343 7 512 8 729 9	א א ח ב כז ג סד ד קכה ה ריו ו שמג ז תקיב ח תשכט ט
	כי ד' על ד' הוא י"ו וי"ו על ד' הוא ס"ד נגרע ס"ד מע"ד ישארו עשרה שהוא עשרת אלפים כערך אחדי החלק הראשון והשורש שהוא ד' נתן אותו תחת החלק השני כי ממנו יציא והרי לנו שורש אחד מן החלק השני
	ולדעת שורש החלק הראשון לקחנו השורש הנמצא והוא ד' וניתן מספר לפניו והנה הראוי הוא ב' ושניהם יעלו מ"ב כזה ב"ד ועתה נכפול מ"ב על י"ב שהוא ג' כפל השורש ויהיה העולה תק"ד ‫ כזה ד0ה [...] שהוא י"ב יהיו אלף ושמונה [...] מעוקב ב' שהוא המספר [...] השמור [...] יהיה ח' אחדים ויעלה כל [..] אלפים ושמונים ויהיה כזה נגרע זה המספר [...] מן החלק הראשון ומהנשאר בשני והנה הכל שוה כי גם כן [..] עשרת אלפים ושמונים משמונה [...] ולקחנו המספר הנתון שהוא ב' וניתן אותו תחת החלק הראשון ויהיה אז שורש מעוקב זה המספר המונח מ"ב בשוה והוא שוה בכל צלעותיו
	ואם תרצה לבדוק אם זה אמת כפול מ"ב על מ"ב שהוא השורש והיוציא על מ"ב ותציא המספר המונח
	משל שני רצינו לדעת שורש המעוקב היותר גדול שהוא כזה המספר המונח שהוא ח' אלפים ותי"ד מספרים ותתקע"ה אלפים ות"ה כזאת הצורה
	ח ד א ד ט ז ה ד 0 ה ב   0     ג     ד
	והוא ד' חלקים נוציא מעוקב החלק האחרון שהוא ח' והוא מעוקב ושורשו ב' נגרע ח' מח' לא נשאר כלום וניתן ב' תחת הח' האחרון
	ולדעת שורש החלק השלישי לקחנו השורש הנמצא שהוא ב' וניתן לפניו מספר אחד והנה אם ניתן א' לפני השורש יעלה יותר מן הראוי תתמ"ז ולכן לא נעשה דבר אלא ניתן ספרא כחלק השלישי ולא נגרע ממנו דבר אלא יהיה שיור לחלק השני וניתן ספרא תחת החלק השלשי
	ולדעת שורש החלק השני ניקח השני שרשים הנמצאים שהם יחד עשרים וניתן מספר לפניהם והנה הראוי הוא ג' ויעלה המספר הג' כזה ג0ב ונכפול זה המספר בשישים שהוא ג' כפלי השורש יעלו י"ב אלפים וק"ף ועוד כפלנו זה המספר על המספר הנתון שהוא ג' יעלו ל"ו אלפים ותק"מ ונשמרים אחר נקח מעוקב המספר הנתון שהוא ג' ויהיה מעוקבו כ"ז ניתן העשרות ניגד אחדי המספר הנתון ויהיה כזה ‫[...] כולם שס"ה [...] תכ"ז נגרע זה [...] החלק [...] בשלישי מ"ט ובשני תקמ"ח [...] ותקמ"ח אלפים ואם ניתן מספר [...] הגדול הנה יעלה יותר מן הראוי ד' [...] אלפים ותרס"ד ואם כן ג' הוא הראוי כנזכר וניתן ג' שהוא המספר הנתון תחת החלק השני
	ולדעת השורש הרביעי שהוא תשלום שהוא ת כל השורש ככלל ניתן מספר אחד לפני השרשים הנמצאים שהם ב 0 ג והראוי הוא ד' ויהיה אז מספר השורש עם הנתון ב' אלפים ול"ד כזה
	ב 0 ג ד
	נכפול זה המספר בכלל על תר"ט שהוא ג' כפלי השרשים יעלה מספר אחד ורל"ח אלפים ותש"ו כזה
	א ב ג ח ז 0 ו
	נכפול זה המספר על המספר הנתון שהוא ד' יעלה ד' מספרים ותתקנ"ד אלפים תתכ"ד ויהיה כזה
	ד ט ה ד ח ב ד
	ונשמרם ואחר נקח מעוקב המספר הנתון שהוא ס"ד נחברהו עם המספר השמור וניתן עשרות זה המעוקב עם אחדי המספר השמור ויעלו כל מדרגות המספר השמור מעלה אחד ויהיו מ"ט מספרים ותקמ"ח אלפות וש"ד כזה
	ד ט ה ד ח ג 0 ד
	ניגרעם ממספר החלק הראשון ומן הנשאר מן השני והשלישי שיהיה הכל מ"ט מספרים ותקמ"ח אלפים ות"ה ישארו ק"א והרי כי המספר המונח אינו מעוקב אבל המעוקב היותר גדול שבו הוא ח' אלפים תי"ד מספרים ותתקע"ה ות"ד ונשארו ק"א
	ואם תרצה לבדוק אם זה אמת קח השורש וכפלהו על עצמו והיוציא כפול פעם אחרת על השורש ותציא המונח
	קיצור המשל אחר שתצייר הכל תחלק מעלות המספר המונח ג'ג' וקח שורש החלק האחרון ותן מספר לפני השורש וכפול המספר הנתון והשורש על ג' כפלי השורש והעולה כפול במספר הנתון ועל הכל תחבר מעוקב הנתון שיהיו עשרות המעוקב ניגד אחדי מספרך
The third type: knowing the root of a number that has no real root	‫המין הש[לישי‫] ‫[...]
	‫[והוא ב' סדרים] מספרים [..] מזה המין רוב המספר [...] ד' וט' שיש להם שורש אמתי [...] ובמעלת העשרות לא תמצא [...] האחרים אין להם שורש ואם תרצה לדעת [...] תחבר על כל מרובע המספרים הנפרדים הנמשכים בסדר ואז תדעם והנשארים הם המספרים שאין להם שורש אמיתי
	והמשל בזה האחד הוא מרובע תחבר עליו הנפרד הנמשך לו שהוא ג' יהיו ד' והוא מרובע
	תחבר על ד' הנפרד הנמשך אחר ג' שהוא ה' יהיו ט' והוא מרובע
	תחבר על ט' ז' יעלו י"ו והוא מרובע
	ועל י"ו ט' יהיו כ"ה והוא מרובע
	וכן לעולם
	והנה כל הנשארים הם מספרים אשר אין להם שורש אמתי אלא בקירוב
	ואומנם תמצא קירוב ויותר קירוב כאשר תראה בע"ה
	ולכן חלקתי זה המין לשני סדרים
	אשר הסדר הראשון הוא לדעת השורש המוסכם
	והשני לדעת השורש המדוקדק והיותר מדוקדק אם תרצה
	הסדר הראשון הוא לדעת השורש המוסכם ויש בו דרכים רבים אבל בראותי הטורח הגדול והתועלת הקטן לא אאריך אלא הראוי להבנת הענין בלבד
	וכבר ידעת כי כל המספרים אשר אין להם שורש אמתי הם בין שני מרובעים אחד גדול ואחד קטן ואילו המספרים האמצעים הם זוגות לעולם
	כמו ב"ג בין אל א"ד והוז"ח בין ד"ט בין כל מרובע ומרובע בתוספת שנים
	ואחר שכל המספרים אשר בין המרובעים הם זוגות נחלקם בשנים חציים קרובים למרובע הקטן וחציים קרובים למרובע הגדול
	כי ב' קרוב א' וג' קרוב ד' וכן כולם
	ולזה חילקתי זה הסדר בשני דרכים
	הדרך הראשון בקרובי הקטנים ואומר כי הדרך הוא שתקח שורש המרובע הקטן ושומרהו ‫[...] על השורש על [...] בין השורש והמספר אשר [...] המספר שום על המורה ואלה [...] הוא השורש
	המשל בזה רצינו [...] ושורש ד' הוא ב' ונשמרהו [...] ב' שהוא שורש ד' יהיו ד' וזה מורה השברים וההפרש או המספר אשר בן המרובע ובין ה' הנשאל הוא אחד שום אותו על המורה יהיה כזה ‫
	ויורה שהוא רביע וב' השמור יהיו ב' ורביע והנה שורש ה' הוא ב' ורביע
	והבחינה לזה תכפול ב' ורבע על ב' ורביע יעלו ה' וחלק מי"ו כי תשוים כמו שידעת ותציא לך פ"א חלקים מי"ו בשלם חלק פ"א על י"ו תציא לך ה' שלמים וחלק מי"ו וזה כל כך קרוב אל האמת
	משל שני רצינו לדעת שורש י"ח והוא קרוב למרובע הקטן שהוא י"ו כי הגדול הוא כ"ה ושורש י"ו הוא ד' ונשמרהו וכפלו ח' והוא מורה השברים וההפרש בין י"ו לי"ח שהם [שה] המרוב[ע] הקטן והנשאל שהוא י"ח הם שנים נתנם על ח' שהוא המורה יהיו ב' שמיניות נקצרם יהיו רביע כזה ‫
	ואם כן שורש י"ח הוא ד' ורביע
	הדרך השני בקרובי המרובעים הגדולים ואומר כי הדרך הוא שתקח שורש המרובע הקטן ותשמרהו ואחר כפול שורש המרובע הגדול ויהיה המורה ואחר קח ההפרש שיש מן המספר הנשאל הנשאל למרובע הגדול ותגרעהו מן המורה והנשאר הם שברי חלקי המורה אם תצטרך להוסיף על השורש השמור
	המשל בזה רצינו לדעת שורש ח' לקחנו שורש המרובע הקטן שהוא ב' ונשמרהו ואחר נכפול שורש המרובע הגדול שהוא ג' יהיו ו' והם המורה והנה היה לנו השורש השלם שהוא ב' ומורה השברים שהוא ו' ונצטרך השברים והנה המרובע הגדול גדול מהמספר הנשאל מאחד נגרעהו מן המורה שהוא ו' יהיו ה‫' ‫והם השברים ‫[...]
	משל שני רצינו לדעת [...] הוא ה' ונשמרהו והנה ‫[...] י"ב והנה המרובע הגדול גדול מה[...] י"ב ישארו ט' והם והם השברים והמורה [...] יהיו ג' רביעיות והנה עלה בידנו כי שורש ל"ג הוא [...] כזה ה ‫
	ואם נכפול השרשים על עצמם יעלו ל"ג וחלק מי"ו בשלם
	הסדר השני הוא לדעת השורש המדוקדק והיותר מדוקדק אם תרצה ואומר כי הרוציא לדקדק השורש המוסכם קח השורש המוסכם כדרך שאמרנו בסדר ראשון ואחר אם השורש ואחר אם השורש שמצאת הוא גדול גרע מן השברים ואם הוא קטן תוסיף על השברים ואם עם שבר אחד יהיה גדול ואם עם אחר הקרוב לו הוא קטן תכפלהו במספר גדול ואחר תוסיף מאילו החלקים הדקים או תגרע כפי הראוי
	ואם תרצה לדקדק עוד אחר שעם חלק אחד מן הדקים יוסיף ועם אחר הקרוב לו יגרע כפול עוד במספר גדול ויקטינו השברים
	ותוכל לעשות זה עם ג' דרכים
	הא' שתכפול השברים והמורה
	והשני השברים שתוסיף או תגרע כפי הצורך
	והשלישי שתוסיף או תגרע מן המורה
	וכל זה יורה השכל
	המשל בזה רצינו לדקדק שורש ה' והנה שורשו המוסכם הוא ב' ורביע כזה ב ‫ כאשר אמרנו בסדר ראשון ובעבור שהוא עולה יותר מה' חלק אחד מי"ו נכפול השבר והמורה במאה כי בסדר ראשון כפלנו פ"א חלקים מי"ו נתן ספרא לפני כל אחד יהיו תת"י חלקים מק"ס ובעבור שהוא גדול לא ניקח כולו כי כולו מקוצר ושוב ישוב לרביע אבל ניקח מהמאה שברים צ"ה חלקים ויהיו כזה
	הט ‫00ד
	ואז יהיה השורש ב' שלמים וצ"ה חלקם מת' ניתן הב' שלמים בשברים יהיו תת תחביר עליהם צ"ה יהיה תתצ"ה כזה
	הטח ‫00ד
	כופלם על עצמם יהיה תת"א אלפים וכ"ה נחלקם ‫[...] יהיה מרובעו [...] וכ"ה והם חלקים [...] השיור הזה נגרע עוד ‫[...]
	דט ‫00ד
	ניתן הב' שלמים בשברם [...] יהיו תתצ"ד כזה
	דטח ‫00ד
	כופלם [...] ומורה על מורה יהיו תשצ"ט [...] חלקם על כפל המורה על עצמו שהוא ק"ס אלפים יעלה בחילוק ה' עם גרעון תשס"ד וזה יותר קרוב מן הראשון שהוא צ"ה שנשארו אלף וכ"ה ובצד וגרעו תשס"ד
	ואם תרצה לדקדק עוד כפול כפול השברים והמורה לחשבון יותר ותכפלם כאשר עשיתי ואם הוא גדול גרע עד שאם תגרע יגרעו ואם יגרעו תוסיף או אם יש לך לב כפול המורה ויקטנו השברים או גרע מהמורה ויגדלו השברים
	או תעיין באילו המשלים [..] אם תרצה לקצר הראשון בחמשיות והשני בחצים יהיה יותר נקל וכל זה כפי מה שיורה השכל כי אין להאריך עוד כי די בזה
The fourth type: knowing the root of fractions	‫המין הרביעי ב‫[..]
	‫[...] כי השבר ש[...] מונח במספר גדול כי ה[...] תקצרהו כל מה שתוכל ואחר [...] מרובע יחויב שיהיה גם המורה ‫[...]
To know the root of four-ninths, like this: $\scriptstyle\frac{4}{9}$. $\scriptstyle\sqrt{\frac{4}{9}}$	לדעת שורש ארבע תשיעיות כזה ‫
[The root of 4], which is the numerator, is 2; the root of the denominator is 3. So, the root of 4-ninths is 2-thirds, like this: $\scriptstyle\frac{2}{3}$. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}}}$	הנה [...] שהוא השבר הוא ב' ושורש המורה הוא ג' ואם כן שורש ד' תשיעיות הוא ב' שלשיות כזה ‫
To see if this is true, multiply it by itself; the result is 4-ninths, like this: $\scriptstyle\frac{4}{9}$. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{9}}}$	ולראות אם זה אמת כופלהו על עצמו ותציא ד' תשיעיות כזה ‫
Another example: we wish [to know] the root of 12 parts of 27, like this: $\scriptstyle\frac{12}{27}$.	משל אחר רצינו שורש י"ב חלקים מכ"ז כזה
	בא זב
	ראה אם תוכל לקצר שניהם והנה תוכל לקצרם בשלישית ויהיה ד' תשיעיות ושורש ב' שלישיות כזה ‫
	וחזור למשל שעבר ואם השברים מתחלפים
	משל אחר רצינו שורש ק"ף מרמ"ה חלקים כזה
	‫0חא הדב
	נראה אם נוכל לקצרם והנה יתקצרו בחמשית כי חמשית ק"ף הוא ל"ו וחמשית רמ"ה הוא מ"ט ושניהם מרובעים ורצינו לדעת שורשם ויהיו כזה
	וג טד
	והנה שורש ל"ו הוא ו' ושורש מ"ט הוא ז' ויהיו ו' שביעיו' כזה ‫
	והבחינה ברורה שתכפול ו' שביעיות על עצמו
	משל אחר רצינו לדעת שורש קמ"ד חלקים מקס"ט כזה
	דדא טוא
	ובעבור כי הוא ג' מעלות נוציא השורש מכל אחד כמנהג השלמים כאשר תראה במין הראשון בארוכה והוא שנקח בראשונה השבר שהוא קמ"ד ונחלק המעלות בב' מצד ימין כזאת הצורה
1 4 4 1   2	א ד ד א   ב
	ונוציא שורש החלק האחרון והוא א' ניגרע א' מא' לא נשאר כלום וניתן השורש שהוא א' תחת החלק שיציא ממנו כפול זה השורש בשנים ותן לפניו מספר מה והראוי הוא ב' כפלהו עם [..] השורש יהיו כ"ב כפול כ"ב על ב' שהוא הנתון יעלו מ"ד גרע[ם] מ"ד מן החלק הראשון שהוא מ"ד לא נשאר כלום וניתן ב' תחתיו
	ואם היו לנו ב' חלקי השורש א"ב שהם י"ב ונאמר כי י"ב הוא שורש קמ"ד שהוא השבר ונעשה כדרך הזה במורה שהוא קס"ט ויעלה בידינו ‫[...] שורש קמד חלקים[...] היוציא בזה ומאלה ממשלים [...] שוים ובלתי שוים ומהנשאר מהשרשים ‫[...]

[The Second Chapter: Successive Numbers]	‫[הפרק השני] [...] ביד[י]עת חשבונות נמשכים ביחס והם [...] ההנדסה
	ואקדים הקדמה אחת ואומר כי המספר לקו ולשטח ולגשם וכן יהיו שלושה חלקים
	‫[החלק הא‫']
	ואומר כי כמו שהקו בלתי בעל תכלית כן המספר בלתי בעל תכלית וכאשר המספר המנוי הוא בעל תכלית כן הקו המדומה הוא [.] בעל תכלית ויאמר כמספר וכאשר יאמר כקו קטון או גדול כן המספר יאמר קטון או גדול וההתחלה מן הב' ובתוספת הבא אחריו שהוא אחד לאין קץ
	ונתחיל בסגולות המספר הקויי ואומר כי כל מספר הוא שוה לחצי שני מספרים קרובים ממנו או רחוקים מרחק שוה כאשר אמרתי בפרק ראשון בהקדמת חיבור השברים או כפל כל מספר הוא שוה לשתי פאותיו קרובים או רחוקים עד א'
	החלק השני בשטחים
	ואומר כי כאשר המספר הוא בלתי בעל תכלית כן תמונות השטחים [.] הם בלתי בעלות תכלית כמו משולש שהוא התמונה הראשונה ומרובע ומחומש ומשושה והנמשכים אחריהם לאין תכלית רצוני צלעותהם כמו שרצינו צלעות המשולשים כסדר המספרים הנה כבר ידענו שהקו ימשך מאחד כסדר והמשולש ימשך בתוספת המספר הנמשך כי א' הוא משולש ומרובע ומחומש וכל לכל התמונות בהשאלה
	כי אם נקח א' וא' ועוד בהמשך א' יציא מספר קויי
	ואם נרצה משולש יהיה בתוספת ב' הנמשך על א' ויעלו ג' והוא משולש כזה
1   1   1	א   א   א
	נוסיף על ג' [.] הנמשך אחר ב' שהוא ג' יהיו ו' כזה ג' בכל צלע
	א       א   א   א   א   א
	נוסיף על ו' הנמשך אחר ג' שהוא ד' יהיו יהיו עשרה כזה כל צלע מד‫'
	א           א   א       א   א   א   א   א   א   א
	ואם כן יורה כי ג' משולש וו' משולש ועשרה משולש וט"ו משולש כולם שוות הצלעות והנה הראשון ג' שהוא בתוספת ב' על א' והשני בתוספת ג' ובתוספת ד' השלישי ‫[...]
	ולדעת הוצאת המרובעים [...] בהנחתי אחד בין שניהם
	והמשל [...] שהוא מרובע משאל בהנחה אחד המספר שאחר הא' שהוא ב' [...] יהיו ד' והוא המרובע השני
	והנה נניח המספר הבא אחר ג' שלקחנו שהוא ד' ונקח ה' ונחברהו עם ד' שהוא המרובע שעבר יהיו ט' והוא המרובע השלישית
	גם נניח ו' וניקח ז' ונחברהו עם ט' יהיו י"ו והוא מרובע רביעי
	גם נחבר ט' על י"ו יהיו מרובע חמשי
	וכן כולם מרובע אחרי מרובע והרי לך צורת האותיות אשר תצטרך לחביר שהם בדילוג האחד
	טו יג יא ט ז ה ג א
	אשר הנחנו כי א' וג' הם ד' ומרובע וד' וה' הם ט' והוא מרובע וט' וז' הם י"ו והוא מרובע וי"ו וט' הם כ"ה והוא מרובע וכ"ה וי"א הם ל"ו והוא מרובע וכן לעולם וכל אלו המספרים שלקחנו הם הנפר[ד]ים כסדר
	ומסגולות אלה הנפרדים כי א' הוא מרובע מושאל ואם נחבר עמו הנפרד השני שהוא ג' יהיו ד' והוא מרובע שני
	ואם נחבר שניהם עם הנפרד השלישי יהיו א'ג'ה' והם מרובע שלישי שהוא ט'
	נחבר עמהם הנפרד הרביעי יהיו א'ג'ה'ז' והם י"ו והוא מרובע רביעי
	נחבר עמהם נפרד החמשה שהוא ט' יהיו אגהז"ט והם כ"ה והוא מרובע רביעי וכן כולם
	והמחומשים תדעם בשתוסיף על חמשה הנמשך בהנחת שנים
	והמשושים בהנחת שלושה וכן כולם
	כמו שתראה בזה הלוח והנה כל המספרים הנמשכים בטבע הם מושטחים גם כן כי א ב ג ד ה שהם נמשכים בטבע הם מושטחים כזה הצורה
	שמינית משובע משושה מחומש מרובע משולש ח ז ו ה ד ג כא יח טו יב ט ו מ לד כח כב יו י סה נה מה לה כה טו צו פא סו נא לו כא קלג קיב צא ע מט כח
	‫ [...] אומר כי החלק [...] יחלק לד' דרכים במקום [...] הראשון הוא במספר אשר [...] טבעי ויחלק לשנים [...] נפרדות ונמשך בסדר טבעי [...] הדרך השלישי הוא במספר הנמשך בערך
	הדרך הרביעי הוא משוטף לראשון ולשני
	הדרך הראשון מן החלק השני הוא במספר נמשך בטבע אשר מקומותיו זוגות יתחיל מן האחד או מאי זה מספר שיהיה ואומר שאם נרצה לחביר מספרים נמשכים בטבע אם הם זוגות כפול חיבור הקצוות על חצי המקומות והיוציא הוא המבוקש או תחבר האמצעיות ותכפלם על חצי המקומות
	והמשל בזה המספר המונח שהוא מא' עד ו' שהמקומות זוגות כזה א ב ג ד ה ו נחבר הקצוות שהם א' ו' יהיו ז' נכפול [.] ז' על חצי המקומות שהם ג' יעלו כ"א והוא המבוקש או תחבר ג"ד מאצע יהיו ז' נכפלם על חצי המקומות יהיו כ"א כנז'
	משל אחר בזה המספר המונח שהוא ד ה ו ז ח ט שאינו מתחיל מא' אבל הוא נמשך בסדר טבעי והמקומות זוגות נחבר ד' עם ט' יהיו י"ג כפול י"ג על ג' שהוא חצי המקומות יעלו ל"ט והוא המבוקש
	משל אחר כולל זוג ונפרד עם שיהיו מתחילם מן האחד ובסדר טבעי והוא שתקח האחרון מן הנמשכים עם מרובעו וחציים הוא המבוקש
	כמו א ב ג ד ה קח האחרון שהוא ה' עם מרובעו שהוא כ"ה יהיו [.] ל' וחציים הם ט"ו והוא המבוקש
	ואם יהיו זוגות כמו א ב ג ד ה ו קח האחרון שהוא ו' עם מרובעו שהוא ל"ו יהיו מ"ב וחציים כ"א והוא המבוקש
	הדרך ‫[השני] הוא במספר נמשך בטבע אשר מקומותיו נפרדות יתחיל מן האחד או מאי זה מספר
	ואומר שאם תרצה לחבר מספרים נמשכים בטבע עד מקום נפרד מתחילים מן האחד
	‫הוא שתכפול [...]
	והמשל בזה המספר [...] כזה
	ז ו ה ד ג ב א
	‫[...] מספר המקומות שהם ז' יעלו כ"ח והוא [...] המספר המונח שאינו מתחיל מן האחד [...] תכפול האמצעי שהוא ז' על המקומות שהם ז' יעלו ‫[...]
	הדרך השלישי הנמשך בערך אשר מיניו בלתי בעלות תכלית אומנם אזכור מהם קצתם בג' משלים
	ואומר כי מאחר שהנחתי מספרים נמשכים בדרך טבעי אסדר מספרים נמשכים בערך
	וראשונה אומר שאם היו מספרים נפרדים מתחילים מן האחד המקובץ מהם שוה למרובע האמצעי כמו במשל
	ט ז ה ג א
	אשר חיבורם הוא שוה למרובע האמצעי שהוא ה' יהיו כ"ה
	משל אחר נניח מספרים נפרדי המקומות גם כן נוציא מהם הנפר[ד]ים וכפל האמצעי מהנפרד יהיה קיבוץ הנפרדים כמו אלה
	ה ד ג ב א
	כפול האמצעי האמצעי מן הנפרדים שהוא ג' על עצמו יעלו ט' וכן יעלו אג"ה
	ואם מה שתוציא מן הנפרדי' שבאמצע הם מקומות זוגות קח המספר שבאמצעם שהוא זוג וכפלו על עצמו הוא מספר הנפרדים כמו שנניח
	ז ו ה ד ג ב א
	הנה הזוגות שנשארו הם בד"ו ומרובע האמצעי שהוא ד' הוא י"ו והוא מספר הנפרדים שהם
	ז ה ג א
	משל אחר בזה המונח שהוא
	ט ז ה ג א
	נפרדי המקומות נוציא מהם הנפרדים שהם ומרובע האמצעי הוא מספר כולם כי האמצעי כ"ה ומספר כולם כ"ה והוא המבוקש
	משל אחר
	ואניח מקצת אלה הערכים ועיין ותשכיל
	‫[...] אשר יקראו [...] בזה בדברים רבים [...] רבות כאשר תראם בע"ה והוא [...] בכפל ב' ודרך חיבורו הוא שתכפול האחרון בחסרון אחד אם יתחיל מאחד
	והמשל בזאת הצורה המונחת שהוא עד ס"ד יעלו קכ"ה [ש]הוא חשבון כולו והוא המבוקש
	א ב ד ח וא בג דו
	ואם לא יתחיל מן האחד אלא שיהיה המספר מזוג הזו גם תכפול האחרון בחסרון הראשון והיוציה הוא המבוקש
	והמשל בזאת הצורה השנית כפול האחרון שהוא תקי"ב ותגרע י"ו הראשון יעלו אלף ושמונה והוא המבוקש
	צורה שנית וא בג דו חבא והב באה
	הדרך הרביעי המשוטף מן השני דרכים ותמונותיו כפי טבע המספרים שהם לאין תכלית ואזכיר מהם ואומר שאם יהיו שני מספרים נמשכים בסדר טבעי מתחילים מן האחד והאחד נמשך יותר מן האחד מאחד הנה המחובר הנה המחובר משניהם שויה למרובע האחרון הגדול ואם שניהם שוים יהיה המחובר ככפל האחרונים זה על זה ועם חיבור השורש
	והמשל באילו המספרים הנמשכים המונחים הנה האחרון הגדול הוא ו' ומרובעו ל"ו והנה ל"ו הוא המחובר משניהם
	צורה ראשונה א א ב ב ג ג ד ד ה ה ו ו
$\scriptstyle\left(5\times5\right)+5=25+5=30=5\times6$	ואם יהיו שוים כזה הצורה השנית כפול האחרונים זה על זה יהיו כ"ה תחבר על כ"ה השורש שהוא ה' יהיו ל' והוא המבוקש
	צורה שנית א א ב ב ג ג ד ד ה ה
	ואם יהיה מספרים רבים נמשכים בסדר מה וההתחלה א' מן האחד הנ נעיין אם יהיו המקומות זוגות או נפרדות ואם [...] הנפרדות
	והמשל בזוגות [...] ומעטין
	בזה הצורה
	צורה ראשונה ו ה ד ג ב א   ה ד ג ב א     ד ג ב א       ג ב א         ב א           א
	קח א ב ג ד ה ו [..] והם כ"א ומרובעם [...] הם נ"ו וכן יהיה חיבור כל הצורה והוא היוצא ‫[...]
	קח הנפרדים אשר ת[מצה] [...] בסוף המקומות והם א ג ה ז ומרובעם ה[וא] הם א ט כה מט וחיבור כולם הם פ"ד והוא המבוקש
	צורה שנית             א           ב א         ג ב א       ד ג ב א     ה ד ג ב א   ו ה ד ג ב א ז ו ה ד ג ב א
	ואם היו המספרים המונחים הראשון מתחיל מן הא' והשני מב' והשלישי מג' וכן עד סוף המונח הגדול יהיו כזה הצורה השלישית הנה המחובר מהם יהיה כמרובע הטור הגדול
	צורה שלישית ה ד ג ב א ה ד ג ב   ה ד ג     ה ד       ה
	והמשל הטור הגדול הוא א ב ג ד ה ומרבעם הם א' ד' ט' י"ו כ"ה וחיבור כולם הם נ"ה וכן הוא המסודר מכולם
	משל אחר מחילק מספר מה כפי הערך שתרצה גרע הנערך מהמספר אשר תרצה לחלק והנשאר תחלק על מקומות הערך שוה בשוה וחברם והוא מה שרצינו לחלק
	המשל בזה רצינו לחלק ל"ו דינרי' לד' אנשים כפי זה הערך ג ה ז ט וחשבונם כ"ד גרע כ"ד מל"ו ישארו י"ב תחלקם בשוה על כל המקומות יהיו ג' לכל אחד כזה
	חברים יחד יהיו לראשון ששה והלשני ולשני שמונה ולשלישי עשרה ולרביעי י"ב והנה ערך העולה לכל אחד כערך המספר המונח הנערך
	משל אחר רצינו לחלק ס' לד' אנשים כערך ד' ז' י' י"ג וחשבון מספר המקומות הם ל"ד נגרע ל"ד מס' נשארו כ"ו תחלק כ"ו ‫[...]ל אחד תחבר [...] עשרה וחצי ולשני י"ג וחצי [...] וכן כל הדומה לזה והנה מה [...] התועלת אלא הם חידוד השכל [...] וגרעון כי די בזה
	החלק השלישי במעוקב ואומר כי הגשם המעוקב הוא ידוע אבל בסגולתו אומר ב' משלים כוללים
	המשל הראשון הרי שהיה לנו מעוקב אורכו כרוחבו כגובהו ולקח ממנו חצי צלעו מעוקב ואומר שלקח שמיניתו כי מעוקב ד' הוא ס"ד וצלעו ד' וחצי הצלע הוא ב' וב' על ב' הוא ד' וד' על ב' הוא ח' והוא שמינית כולו ואם לא לקחנו אלא חצי צלעו ואם כן הלוקח חצי צלע המעוקב מעוקב לא לקח אלא שמיניתו
	משל אחר אם שאל שלשית הצלע הנה לקח חלק מכ"ז והנה נניח צלע שימצא לו שלישית להציל הטורח שלא כמו ו' על ו' והיוציא על ו' יהיו רי"ו המעוקב הגדול נקח שלישית הצלע שהוא ב' ונכפול ב' על ב' יהיו ד' וד' על ב' והיו ח' והנח ח' שהוא מעוקב שלישית הצלע והוא חלק מכ"ז בכלולו ואם כן הלוקח שלישית צלע המעוקב מעוקב לא לקח אלא חלק מכ"ז בכולו
	וכן אם נקח רביעית [צלע] המעוקב מעוקב יהיה חלק מס"ד
	ואם נקח חמשית יהיה חלק מקכ"ה
	והנה בשאלות תראה כל זה בע"ה ומסגולותהם
	משל אחר בחילוק גשם אחד בערך מה ואומר שיהיה בידנו גשם אשר במשקלו י"ג ליטרין ורצינו לחלקו לשלושה חלקים מתחלפים בסדר מה נערך אשר נוכל לשקול עמהם כל הליטרין שנרצה מא' עד י"ג שהוא ‫שהוא משקל [...] אלה נשקול מא' עד י"ג [...] ג' וא' לפניו ומשקל ד' הוא ג' [...] ו' ט' וג' לפניו ומשקל ז' ט"א ז"ג [...] וכן כולם עד י"ג שתתן כל הג' משקלים
	ואם [...] ליטריין תחלקהו לד' חלקים כזה א' ג' ט' כ"ז ותשקול עמהם בדרך הנזכר עד מ' ליטרין ואם היה המשקל קכ"א תחלקהו לה' חלקים כזה
	פא כז ט ג א
	ותוכל לשקול עמהם עד קכ"א וכן בזה הדרך ובערך שאתה רואה אשר הוא כל אחד כפול על ג' כי ג' על ג' ט' וט' על ג' כ"ז וכ"ז על ג' פ"א ופ"א על ג' הוא רמ"ג וכן עד מה שתרצה ודי בזה

The Second Part: Word Problems	‫הכלל ‫[השני] ‫[...]
	[השער הראשון בשאלות חיבור חילקתיו] לפרקים
	‫[הפרק הראשון] השער
	‫[הפרק השני בשאלות חיבור] שלמים
	‫[הפרק השלישי בשאלות] חיבור שברים
	‫[הפרק] הרביעי בשאלות חיבור מורכבים
	השער השני בשאלות כפל חילקתיו לפרקים
	הפרק הראשון בשאלות כפל שלמים
	הפרק השנית בשאלות כפל שברים
	הפרק השלישי בשאלות כפל מורכבים
	השער השלישי בשאלות גרעון חילקתיו לפרקים
	הפרק הראשון בשאלות גרעון שלמים
	הפרק השני בשאלות גרעון שברים
	הפרק השלישי בשאלות גרעון מורכבים
	השער הרביעי בשאלות חילוק חלקתיו לפרקים
	הפרק הראשון בשאלות חילוק שלמים
	הפרק השני בשאלות חילוק שברים
	הפרק השלישי בשאלות חילק מורכבים
	השער החמשי בשאלות מעורבות עם שתי הנחות כוזבות חלקתי ל פרקים
	הפרק הראשון ב[ש]אלות מעורבות מקצת דרכים
	הפרק השני בשאלות תחבוליות ואם הם אמיתיות
	הפרק השלישי בשאלות מתחלפות
	הפרק הרביעי בתערובת המטבעות ובו שלושה סדרים
Remark on the "Rule of Three"	‫הערה לדרך ‫[השלשה]
[...] you find 3 categories [...]	‫[...] תמצא ג' [מנהגים] [...]
The [first category]: we assume 3 numbers in it [...]	‫[המנהג הראשון] אשר בו נניח ג' מספרים [...] אבל כולם ישובו לשלושה
The second category: you find in it 4 parts.	המנהג השני תמצא בו ד' חלקים ‫[...]
The third category: you find in it 5 parts.	המנהג השלישי תמצא בו ה' חלקים ‫[...]
The first example for all cases of the first category: we say: if 2 gives 3, [how much will] 4 [give]?	והמשל לכולם אשר לדרך הראשון נאמר אם ב' נתן ג' [כמה יתן] ד‫'
You will see all this in the examples, whether the first is unknown, or the second, or the third, of the fourth.	וכל זה תראה במשלים אם נעלם הראשון או השני או שלישי או הרביעי
Sometimes, four numbers are given in this way.	והנה בזה הדרך פעמים יבואו ד' מספר[ים‫]
As: if 2 dinar yield 4 pešiṭim in 3 days, how much will 5 dinar yield?	כמו אם ב' די' בג' ימים הרויחו ד' פשי' ה' די' כמה ירויחו
In this question you multiply the money by the time, 2 by 3; it is 6. Then, the question becomes of three parts. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	ובזה השאלה תכפול הממון על הזמן ב' על ג' יהיו ו' ואז תשוב השאלה לג' חלקים
Say: if 6 yields 4 pešiṭim, how much will 5 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{6:4=5:X}}$	ואמור אם ו' נתן ד' פשיטי' ה' מה יתן
Sometimes, five numbers are given in this way, and they are also transformed into three.	גם פעמים יבואו בזה הדרך ה' מספרים מונחים וישובו לג' גם כן
As the one who says: if 4 dinar yield 5 dinar in 3 months, how much will 7 dinar yield in 8 months?	כאומר אם ד' דינ' בג' חדשים הרויחו ה' די' ז' די' בח' חדשים מה ירויחו
Now, multiply each amount of money by its [corresponding] time:	ועתה כפול כל הממון על זמנו
As 4 by 3; it is 12 and this is the first term. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=12}}$	כמו ד' על ב ג' יהיו י"ב וזה חלק ראשון
The 5 dinar are the second term as it is.	וה' די' חלק שני כמו שהוא
7 by 8; it is 56 for the third term. $\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot8=56}}$	וז' על ח' יהיו נ"ו לחלק שלשי
The question is transformed into three terms and we say: if 12 yields 7, what will 56 yield. $\scriptstyle{\color{blue}{7:12=56:X}}$	וחזר השאלה לג' חלקים ונאמר אם י"ב נתן ז' מה יתן נ"ו
As you will see in the questions of time, measurement and weight, with God's help.	כמו שתראה בשאלות בע"ה מזמן ממידה וממשקל
After I give an example or examples for five general ways by which each question should be solved, as you will see with God's help.	אחר שאתן משל או משלים מחמשה דרכים כוללים שיש להוציא כל שאלה כמו שתראה בע"ה
In the second category, four necessary numbers should be given.	המנהג השני ראוי ל[הני]ח בו ד' מספרים הכריחיים
As: if 3 peraḥim yield 5 dinar in 8 days, I ask: in how much time will 4 peraḥim yield the same?	כמו אם ג' פרחים בח' ימים הרויחו ה' די‫' שאלתי ד' פרחים באי זה זמן ירויחם
Also: Reuven buys a cloth for 3 peraḥim; 8 cubits are worth 5 dinar. I ask: how many cubits of this cloth will 5 dinar give, when the total price of the cloth is 5 peraḥim?	וכמו כן גם כן ראובן קנה בגד בסך ג' פרחים והח' אמות שוה ה' די‫' שאלתי כמה אמות מזה הבגד יתן ה' די' כאשר סך הבגד הוא ה' פרחים
The same for weights: Reuven buys kor of wheat for 2 dinar and sells 15 ՚oqya of bread for 2 pešiṭim. I ask: when he buys the kor for 24, how many ՚oqya will he sell for two pešiṭim?	ובמשקל גם כן ראובן קנה כור חיטה בסך ב' די' ונתן ט"ו אוקיות לחם בסך ב' פשיטי‫' שאלתי כאשר קנה הכור בסך כ"ד כמה אוקיות יתן בשני פשי‫'
In the third category [...]	המנהג ‫[השלישי][...] מיניהם ואומנם [...] ומורכבים
I say: if 3 [peraḥim yield 5 dinar in 8 days], I ask: in how much time will 4 peraḥim yield [7 dinar]?	ואומר אם ג' [פרחים בח' ימים ירויחו ה' די'] שאלתי ד' פרחים באי זה זמן ירויחו [ז' די'‫]
3 peraḥim 8 days 5 dinar 4 peraḥim 7 dinar
ז' די‫' ד' פרחים ה' די‫' ח' ימים ‫[ג פרחים‫]
Or, Reuven [buys 12 cubits of cloth]; the price of 3 cubits is 14 dinar. I ask: when he buys it at a price of 18 peraḥim, how much cloth will he sell for 16 dinar?	או ראובן [קנה י"ב אמות בגד] וסך הג' אמות הוא י"ד די‫' שאלתי כאשר קנה [זה] בסך [י"ח] פרחים כמה בגד יקנו בסך י"ו די‫'
Or, Reuven buys kor of wheat for 12 dinar and sells [13] ՚oqya of bread for [2] pešiṭim. I ask: when he buys the kor for 16 dinar, how many ՚oqya will he sell for [2] pešiṭim?	או ראובן קנה כור חיטה בסך י"ב די' ונתן לחם [י"ג] אוקיות [ב'] פשי' שאלתי כאשר קנה הכור לסך י"ו די' כמה אוקיות נתן [בב'] פשיטי‫'
Or when there are three things that are different and compound, as if we assume 5 and 3 are different:	או יהיה מג' דברים מתחלפין ומורכבים כמו שנניח ה' וג' שיהיו מתחלפין
As: if 4 pešiṭim of Zaragoza are equal to 5 pešiṭim of Barcelona and 3 pešiṭim of Barcelona are equal to 4 of Lisbon, I ask: how many pešiṭim of Zaragoza are 15 pešiṭim of Lisbon equal to?	כמו אם ד' פשיטי סרגוסה שוים לה' פשיטי ברצילונה וג' פשיטי ברצלונה שוים לד' מלשבונה שאלתי ט"ו פשיטין לשבונה כמה מפשיטי סרגוסה יהיו
The examples of the three rules by the "Rule of Three":	ויהיו המשלים בזה הצורה משלושת מנהגי דרך השלושה
If 0 4 3 2       dinar days profit dinar     If 2 32 4 5 0     dinar months profit dinar months   If 4 32 5 7 82 0 If 12 5 56 0   peraḥim days dinar peraḥim days   If 3 8 5 4 0   peraḥim cubits dinar dinar peraḥim   If 3 8 5 5 5   dinar pešiṭim ՚oqyot pešiṭim dinar   If 20 2 15 2 24   peraḥim days dinar peraḥim dinar If 3 8 5 4 7   cubits cubits dinar peraḥim dinar If 12 3 14 18 16   dinar ՚oqyot pešiṭim dinar pešiṭim If 12 13 2 16 2   pešiṭim pešiṭim pešiṭim pešiṭim pešiṭim If 4 5 3 4 15	0 ד ג ב אם     די‫' ריוח ימים די‫'     0 ה ד בג ב אם   חדשים די‫' ירוי‫' חדשים די‫'   0 בח ז ה בג ד אם 0 וה ה בא אם ימים פרחי‫' דינ‫' ימים פרחי   0 ד ה ח ג אם פרחי‫' דינרי‫' דינ‫' אמות פרחי   ה ה ה ח ג אם דינרי‫' פשיט אוקיות פשיט דיני   דב ב הא ב ‫0ב אם דינר‫' פרחים דינר‫' ימים פרחי‫'   ז ד ה ח ג אם דינרי פרחים דינר אמות פרחי‫'   וא חא דא ג בא אם פשיטי דינרי פשיט אוקיות דינרי   ב וא ב גא בא אם פשיטי‫' פשיט פשיט פשוט פשוט   הא ד ג ה ד אם
The conduct of the "Rule of Three" procedure differs in three ways, as I said:	אמנם הנהגת מעשה דרך השלושה יתחלף בג' דרכים כאשר אמרתי
The first is: if 2 is equal to 3, how much will 4 be equal to?	אשר הראשון הוא אם ב' שוה ג' ד' מה יהיה שוה
As you see in the first category.	כמו שתראה במנהג הראשון
The second way: if 2 liṭra of copper are worth 3 dinar, how much are 4 liṭra of copper worth?	הדרך השני אם ב' לטר' נחושת שוה ג' דיני' ד' לטרי נחושת מה יהיה שוה
You should know that the 2 liṭra of copper is the first term of the question; the 3 is the second [term]; and the 4 is the third [term].	הנה ראוי שתדע כי ב' ליטרי' נחושת הוא הגבול הראשון מן השאלה וג' השני וד' השלישי
See that the first term is the known [...] and 3 remains, which is the second term [...]	והנה תעיין כי הגבול ‫הראשון הוא הידוע [...] ונשאר ג' שהוא הגבול השני [...] הנשאל הוא דמה לו
So, [...] the second by the known, which is the first, [...], which is the third.	ואם כן [...] השני על הידוע שהוא הראשון [...] שהוא השלישי
Example: we say: if 2 cubits are worth [6] [peraḥim], how much are [4 cubits] worth? $\scriptstyle{\color{blue}{2:6=4:X}}$	המשל בזה נאמר אם ב' אמות [...] אמות מה יהיו שוים
We divide the opposite, which is the mean, which is 6, by the first, which is 2; the result of division is 3.	נחלק ההפכי שהוא האמצעי שהוא ו' על הראשון שהוא ב' יעלו בחילוק ג‫'
We multiply it by the third, which is 4; the result is 12 and this is the required unknown, which is 12 peraḥim and it is proportional to the mean. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{a_2}{a_1}\sdot a_3=\frac{6}{2}\sdot4=3\sdot4=12}}$	נכפול אותו על השלישי שהוא ד' יעלו י"ב והוא הנשאל הנעלם שהוא י"ב פרחים והוא דומה לאמצעי
They are like this: if 2 6 4 12.	ויהיו כזה אם ב' ו' ד' ב"א
The check is clear, because, you say: if 2 equals 6, which is 3 times in 6, [4] is also 3 times in [12]. $\scriptstyle{\color{blue}{2:6=2:\left(3\sdot2\right)=4:\left(3\sdot4\right)=4:12}}$	והבחינה מבוארת כי תאמר אם ב' שוה ו' שהוא ג' פעמים בו' גם י"ב ג' פעמים בד‫'
Or, we multiply 4 by the opposite, which is 6; it is 24.	או נכפול ד' על ההפכי שהוא ו' יהיו כ"ד
We divide it by 2, which is proportional to the third; the result is 12 and it is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}=\frac{4\sdot6}{2}=\frac{24}{2}=12}}$	נחלקם על ב' שהוא דומה לשלישי יעלו י"ב והוא המבוקש
The third way should be examined: we want to know the [ratio] of the third term to the known, which is the first term and they are proportional. We take the [same ratio] from the opposite, which is the second term. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3:a_1=a_4:a_2}}$	הדרך השלישי וצריך לעיין בזה נרצה לדעת שהוא הגבול השלישי אצל הנודע שהוא הגבול הראשון שהם דומים וניקח כמינו מן ההפכי שהוא הגבול השני
Example: if 2 liṭra of copper are worth 3 peraḥim, how much are 4 liṭra of copper worth? $\scriptstyle{\color{blue}{2:3=4:X}}$	והמשל אם ב' ליטרי נחושת שוות ג' פרחים ד' ליטרי נחושת מה יהיה שוה
We examine the ratio of 4 to 2; it is twice. We take double 3, which is 6. So, 4 liṭra of copper are worth 6 peraḥim. $\scriptstyle{\color{blue}{4:2=2\longrightarrow 3\sdot2=6}}$	הנה נעיין ערך ד' אצל ב' והוא שתי פעמים וכן ניקח כפל ג' שהוא ו' וד' ליטרי נחוש הם ו' פרחים
Check: according to the first way, we multiply 3 by 4; it is 12. We divide it by 2; it is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot4}{2}=\frac{12}{2}=6}}$	והבחינה כדרך הראשון נכפול ג' על ד' יהיו י"ב נחלקם על ב' יהיו ו‫'
The [First] Chapter: The Introductions Needed for this Section	הפרק בהקדמות הראויות לזה השער
I say that the particular ways to know every question and solve every mystery are many, but generally they are five, even if there is one that includes another, but not vice versa.	ואומר כי הדרכים הפרטיים לדעת כל שאלה ולהוציא ולהוציא לאור כל תעלומה הם רבים אבל על הכלל הם חמשה ואם יש אחת כוללת אחרת אבל לא יתהפך
The arithmeticians called them by different names, because each one used a name as he wished, but the desired is the same.	ואומנם חכמי המספר שמו להם שמות מתחלפים כי כל אחד קרא שם כפי רצונו אבל הנרצה אחד
I will arrange each one here by its name.	ואני אסדרם כאן כל אחד בשמו
I say that the first is the "Rule of Three".	ואומר כי הראשון הוא דרך השלושה
The virtues of this way are that it reveals secrets and deciphers the hidden; it directs to the remaining ways, it is the principal of all and it completes what is asked of them, as you will see with God's help.	ואומנם מסגולות זה הדרך שהוא מגלה סתרים ומפענח נעלמים והוא מיישר לדרכים הנשארים והוא ראש לכולם והוא משלים מה שנשאל מהם כמו שתראה בע"ה
I say: you should know that every four [...] the first [...] [the first] and the third are brothers and so are the second [and the fourth] [...] the second is [companion of the first and] the fourth is companion of the third [...] if one of these four numbers is unknown [...] you have three numbers [...] two of them are either fathers or sons and the third is single that has no companion.	ואומר שמן הראוי שתדע כי כל ארבעה ‫[...] הנה הראשון [...] כמו בנים מאחר [...] הראשון וכן הרביעי מן [...] והשלישי הם אחים וכן השני [...] תראה במקומו והנה השני הוא [...] [ה]רביעי בן זוג השלישי ועם זאת זאת [...] נעלם מספר מה מאלו הד' מספרים [...] לידיעתו הנה [..] כי האחד נעלם ימצאו בידך ג' מספרים [...] השנים מהם הם שוים אם שיהיו אבות אם שיהיה בנים והשלישי הוא נפרד שאין לו בן זוג
To know the unknown, [multiply] whichever of the brothers by the one that does not have a companion, and divide the result by the brother whose companion is with it; the result of division is the companion of the single.	והנה [...] לדעת זה הנעלם הנעלם הוא שתקח איזה מן האחים הנמצאים על אשר אין לו בן זוג והיוציא תחלקהו על האח האחד אשר בן זוגו עמו והיוצא בחלוקה הוא בן זוג הנפרד
Be careful not to multiply one by its brother nor by its companion.	והשמר לך פן תכפול איש על אחיו ולא על בן זוג
You always find that the product is either a mean by a mean, or the extremes [by each other].	ולעולם תמצא כי הכפל יהיה אם אמצעי על אמצעי או הקצוות
I will give you four examples for this:	ואתן ארבעה משלים לזה
Example: the four proportional numbers:.	והמשל בזה ה[צ]ד אלו הארבע מספרים נערכים
2 3 6 9	ט ו ג ב
We suppose that the first 2 is unknown. Then, 3 remains alone and 6 and 9 are apart.	ונאמר כי ב' הראשון נעלם ונשאר ג' לבדו וו'ט' לבד
They are as this diagram:	ויהיו כזאת הצורה
0 3 6 9	ט ו ג 0
3 and 9 are brothers.	הנה ג'ט' הם אחים
Hence, we cannot multiply 9 by 3, because they are brothers, nor 9 by 6, because it is its companion.	ולא נוכל לכפול ט' על ג' כי הם אחים ולא ט' על ו' כי הוא בן זוגו
So, we multiply 6 by 3 that have no relation at all and divide by the brother.	אבל נכפול ו' על ג' שאין להם קירבה כלל וחלק על האח
3 by 6 is 18. Divide it by 9; the result is 2 and it is the unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot6}{9}=\frac{18}{9}=2}}$	כי ג' על ו' הם י"ח תחלקם על ט' יעלו ב' והוא הנעלם
In the "Rule of Three" we say: what will 3 give us, if 6 gives 9? $\scriptstyle{\color{blue}{X:3=6:9}}$	ובדרך השלושה נאמר מה יתן לנו ג' אם ו' נתן ט‫'
This sentence indicates that the first is unknown, because the word "what" indicates the unknown that is first.	והנה זה הדיבר יורה כי הראשון נעלם כי מלת מה יורה על הנעלם כי הוא ראשון
We multiply the means: we multiply 3 by 6; the result is 18. We divide it by 9, which is a brother; the result is 2 and this is the first unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot6}{9}=\frac{18}{9}=2}}$	ונכפול האמצעיים והנה כפלנו ג' על ו' יעלו י"ח נחלקם על ט' שהוא אח יעלו ב' וזה הנעלם הראשון
Second example: the second is unknown, so 2 is left alone.	משל שני נאמר שהשני נעלם ישאר ב' לבד
According to this diagram:	כזאת הצורה
2 0 6 9	ט ו 0 ב
In this question: what will 2 give, if 6 gives 9? $\scriptstyle{\color{blue}{2:X=6:9}}$	בזאת השאלה ב' מה יתן אם ו' נתן ט‫'
This expression indicates that the second is unknown [...] the extremes, which are 2 by 9 [...] the second unknown 2, 4, 6, 9.	והנה זה הדיבור יורה ‫יורה כי השני נעלם כי [...] החיצוניות שהם ב' על ט' [...] הנעלם השני [ב ד ו ט‫]
Third example: [...] as this: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2:3=X:9}}$	משל שלישי [...] כזאת הצורה
2 3 0 9	ט 0 ג ב
This expression indicates that the word "what" is third.	‫[...] והנה זה הדיבור יורה כי מלת מה היא [השלישית]
We multiply the extremes, which are 2 by 9; the result is 14. Divide it by 3; the result is 6 and [it is] the third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot9}{3}=\frac{18}{3}=6}}$	[הנה נכפול] החיצוניות שהם ב' על ט' יעלו י"ח וחלקהו על ג' יעלו ו' והוא [...] השלישי
Fourth example: we suppose that the fourth is unknown, so 6 is left alone as this:	משל רביעי נאמר כי הרביעי נעלם ישאר ו' לבד [כזאת] הצורה
2 3 6 0	0 ו ג ב
We suppose that the fourth is unknown and say: if 2 yields 3, what will 6 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{2:3=6:X}}$	הנה נאמר בזה הנעלם רביעי ונאמר אם ב' נתן ג' ו' מה יתן
This expression indicates that the word "what" is fourth.	והנה זה ה[דיבור] יורה כי מילת מה היא רביעית
We multiply the means: 6 by the one that does not correspond to it, which is 3; the result is 18. Divide it by its brother, which is 2; the result is 9 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot3}{2}=\frac{18}{2}=9}}$	ועתה נכפול האמצעים ו' על הבלתי דומה לו שהוא ג' יעלו י"ח נחלקם על אחיו שהוא ב' יעלו ט' והוא המבוקש
I did throughout book as these [four examples], and you can change the questions of all these examples, as long as you are careful not to multiply the corresponding ones, as I said, since the expression indicates the unknown.	והנה [בזה] המשל הרביעי נהגתי בכל הספר ואתה תוכל להחליף השאלות בכל אלה המשלים ובלבד שתשמור שלא תכפול דומים כאשר אמרתי כי הדיבור מורה הנעלם כאשר אמרתי
You can see it also in this diagram, from which you learn how to write the three numbers according the "Rule of Three" in order to find the fourth that is unknown:	ותראהו גם כן בזה הצורה מה אשר בה תלמוד כיצד תניח הג' מספרים מדרך השלושה לדעת הרביעי הנעלם
what 0 yields 3 If 6 yields 9 2 [yields] what 0 If 6 yields 9 If 2 yields 3 what 0 yields 9 If 2 yields 3 6 [yields] what 0
ט נתן ו אם ג יתן מה 0 ט נתן ו אם מה 0   ב ט יתן מה 0 ג בא ב אם מה 0   ו ג נתן ב אם
When you have three numbers, they are four in a line, like:	והנה זה שאמרתי שיהיו בידך שלושה מספרים כאשר אמרת הנה [..] ולהיות בידך שלושה מספרים שהם בטור ארבעה כמו
2 4 8	ח ד ב
Because they are like:	כי הם כמו
2 4 4 8	ח ד ד ב
[Illegible].	‫[...] והרי לך [...] ובדדח האמצעיות [...] וכן אם נכפול [...] ח' ואם נחלק על ח' יציא [...] שתכפול ח' על ב' ותחלק [...]‫
You will understand all this in what follows, with God's help.	כי במה שיבא בע"ה תבין כל זה‫
[The second way] is called "False Position", which is to know an unknown number [...] suppose any number, but they choose to assume a number that has all the required fractions to avoid the trouble, and if we do not do so, it does not matter, except that the calculation will involve fractions. By this method you find what you cannot find by the "Rule of Three", using the "Rule of Three" as you will see.	[...] נקרא מונח כוזב והוא לדעת מספר נעלם [...] שתניח מספר מה איך שיזדמן אלא שבחרו להניח מספר שנמצאו בו כל החלקים הנשאלים להסיר הטורח ואם לא נעשה כן אין בכך כלום אלא שיהיו בחשבון שברים והנה עם זה הדרך תמצא מה שלא תמצא עם דרך השלושה אבל עם [..] עזר דרך השלושה כאשר תראה
I will give here one example and say that you assume any number that has all the required fractions, like six, or 12, or whatever number you want:	ואתן בכאן משל אחד ואומר שתניח מספר מה שיהיו בו כל החלקים הנשאלים כמו ששה או י"ב או איזה מספר שנרצה
Example: what is the number whose half and third [summed together] are six? $\scriptstyle\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}a=6$	המשל בזה מהו המספר אשר חציו ושלשיתו יהיה ששה
Suppose is is six, because it has a whole half and third. We take the half and the third of six; they are five, but we ask for six. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=5}}$	נניח ששה כי בו ימציא חצי ושלישי' בשלמות וניקח חצי ושלישית מששה יהיו חמשה ואנחנו שאלנו ששה
We turn to the "Rule of Three", so this will complete our question, and say: if 6 gives us 5, what will give us 6? $\scriptstyle{\color{blue}{6:5=X:6}}$	נלך אל דרך השלושה והוא ישלים לנו שאלתנו ונאמר אם ו' נתן לנו ה' מי יתן לנו ו‫'
As this diagram:	ויהיה בצורה הזאת
6 5 0 6	ו 0 ה ו
We multiply the extremes that do not share love and brotherhood; it is 36. Divide it by 5; the result of division is 7 and a fifth and this is the unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot6}{5}=\frac{36}{5}=7+\frac{1}{5}}}$	נכפול הקצוות שאין להם אהבה ואחוה יהיו ל"ו חלקים על ה' יעלה בחילוק ז' וחמשית והוא הנעלם
You see that in these questions there is no need to write a zero instead of the unknown.	ובשאלות תראה שאין צורך לכתיבת הספרא במקום הנעלם
The check: convert 7 into fifths; with the fifth they are 36 fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{7+\frac{1}{5}=\frac{36}{5}}}$	והנה הבדיקה היא שתתן ז' בחמשיות יהיו עם החמשית ל"ו חמשיות
A half and a third of 36 are 30 fifths.	וחצי ושלישית ל"ו הם ל' חמשיות
Divide them by 5; the result is six integers. So, 7 and a fifth is the number, whose half and third are six.	חלקם על ה' יעלו ששה שלמים ואם כן ז' וחמשית הוא המספר אשר חציו ושלישיתו הוא ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(7+\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{3}\sdot\left(7+\frac{1}{5}\right)=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot36\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot36\right)}{5}=\frac{30}{5}=6}}$
[The third] way [Illegible].	‫הדרך [...] הכוז[ב] [...] המונח הכוזב וה[...] פעמים שני מספרים אין [...] היותר נאותים וראוים הם שתקח [...] כל החלקים הנשאלים בשלמות [...] כאשר כתבתי במונח הכוזב
The mighty and powerful act [Esther 10, 2] of this way is that you assume a certain number as the first term, then add or subtract the required parts.	ומעשה תוקפו וגבורתו‫ בזה הדרך והוא שתקח למונח הראשון מספר מה ואחר תוס[יף] או תגרע החלקים הנשאלים
If, after you perform your operation, [the outcome] is less or exceeds your question, keep the excess or the deficiency.	ואם אחר שעשית מלכתך יגר[עו] או יעדיפו תשמור אותו העודף או הגורע משאלתך
Then, assume a second term and do as you have done with the first and keep the excess or the deficiency.	ואחר תניח מונח שני ותעשה כמו שעשת לראשון ותשמור המספר העודף או הגורע משאלתך
Now, you relate your question and say: if a term exceeds or deficient by something and so for the second term; then you know that if the two terms exceed or both are deficient, subtract the smaller from the greater and keep the remainder to divide by it, because this is the denominator. If one exceeds and the other is deficient, add them both together and they are the divisor. This is their sign: subtract when they are similar and sum when they are different. As deficient and deficient, or exceeding and exceeding, are similar, so subtract the [smaller from the greater], whereas if one is deficient and the other exceeds, add up both.	ועתה תערוך שאלתך ותערוך שאלתך ותאמר אם מונח כך פחות או יותר כך וכן במונח השני ואחר תדע כי כאשר תציא מן המונחים יותר בשניהם או פחות בשניהם גרע הקטן מן הגדול והנשאר תשמרהו לחלק עליו כי הוא המורה ואם יהיה היוציא האחד עודף והשני גורע תחבר שניהם יחד ושניהם יהיו המחלק וסמנם גרע בשוים ובמתחלף חבר כי פחות ופחות ועודף ועודף בשניהם שוים [תגרע הגדול מן הקטן] ופחות באחד ועודיף באחר תחבר שניה‫'
Then, multiply the first assumption by the result of the second and multiply the second assumption by the result of the first.	ואחר תכפול המונח הראשון על היוציא בשני וכן תכפול המונח השני על היוציא בראשון
Subtract the smaller of them by the other, if the results of both exceed the required or less than it, and divide the remainder by the reserved.	ותגרע הקטן משניהם מן האחר אם היוציא משניהם יותר מן המבוקש או פחות והנשאר תחלק על השמור הנשאר אשר גרעת זה מזה
Or, add them together, if one of them exceeds and the other deficient, then divide the sum by the reserved that you added one to the other; the result of division is the required.	או תחברם יחד אם היוציא משניהם יהיה אחד עודף ואחד גורע והמחובר חלק על השמור אשר חיברת זה עם זה והיוציא בחילוק הוא המבוקש
Example: what is the number whose half and third [summed together] are six? $\scriptstyle\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}a=6$	המשל בזה מה הוא המספר אשר חציו ושלישיתו יהיה ששה
	נניח מונח אחד ויהיה המונח ששה בעבור שימצאו ‫[...] חסר ‫[...]
[..] minus $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{1}}}$ 5 36 X 12 plus $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{24}}}$	וג ה בא פחות [..] א X ד עודף יב דב
[...] We say 12 plus 4 [...]. Since they are deficiency and excess, we add them up; they are five and this is the denominator.	‫[...] ד' ונאמר עם י"ב עוד ד' ונניחם [...] והנה בעבור שהיו פחות ועודף נחברם יהיו חמשה והוא המורה לחלק עליו
Then, we multiply the first term, which is six, by the excess of the second, which is 4; they are 24. Write it beneath 4.	ואחר נכפול המונח הראשון שהוא ששה על העודף בשני שהוא ד' ויהיו כ"ד תתנם תחת ד‫'
Multiply also the second term, which is 12, by the deficiency of the first, which is one; the result is 12. Write it above 1.	גם כפול המונח השני שהוא י"ב על הפחות בראשון שהוא אחד יעלו י"ב תתנם על א‫'
Since one term deficient and the other exceeds, we add them up, 12 and 24; they are 36.	ומאחר כי המונח האחד הוא פחות והשני עודף חברנו שניהם י"ב וכ"ד יהיו ל"ו
Divide it by the reserved, which is five; the result of division is 7 and a fifth and this is the required.	חלקים על השמור שהוא חמשה יעלה בחילוק ז' וחמשית והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[6\sdot\left(10-6\right)\right]+\left[12\sdot\left(6-5\right)\right]}{\left(10-6\right)+\left(6-5\right)}=\frac{\left(6\sdot4\right)+\left(12\sdot1\right)}{4+1}=\frac{24+12}{5}=\frac{36}{5}=7+\frac{1}{5}}}$
Because, a half and a third of 7 and a fifth is six. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(7+\frac{1}{5}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(7+\frac{1}{5}\right)\right]=6}}$	כי חצי ושלישית ז' וחמשית הם ששה
	עיין במשל דרך השלושה ועוד תראה זה בע"ה ועיין וראה במה שעשינו עם המונח הכוזב ועם דרך השלושה עשינו עם ב' הנחות כוזבות
The fourth way, which I call the single, since by this way alone you can solve most questions that are solved by the way of "Double False Position", and it does not requires the "Rule of Three":	הדרך הרביעי קראתי אותו דרך [יחידי] יהיה בעבור שעם זה הדרך לבד תוכל להוציא רוב השאלות היוצאות עם הדרך השני מונחים הכוזבים וגם שאינו צריך לדרך השלושה
In this way you always assume one for the first unknown and if it is said double the first or a multiple of the first plus so and so, or minus so and so, and the same for the others, subtract the smaller from the greater, whether the additive from the subtractive or the subtractive from the additive. If the remainder remains from the additive, subtract it from the amount you bought, then divide what remains by the sum of the terms, and the result of division is the required [...]. [If the remainder remains from the subtractive, add it] to the amount you bought, [then divide the sum by the sum of the terms, and the result] of division is the required. [...] The sum of the terms is always [...].	ולעולם בזה הדרך תניח לשאלתך אחד והוא שתקח אחד לראשון הנעלם ואם אמר כפל או כפלי הראשון בתוספת כך או בפחות כך וכן לאחרים גרע הקטן מן הגדול אם שיהיה העודף מן הפחות או הפחות מן העודף והנשאר אם הוא מן העודף גרעהו מסך מה שקנית והנשאר תחלק על קיבוץ המונחים והיוציא בחילוק הוא ‫הראוי [....] על הסך שקניתי [...] בחילוק הוא הראוי [...] שנפל בחלקו והנשאר הוא [...] כי אין מזה הדרך משל עוד [...] תראה ולעולם קיבוץ המונחים הוא [...] הוא לראשון הנעלם ואחר שתדע הראשון ‫[...]
Multiple quantities problems
The first example: three students bought one book for [24 dinar], we do not know how much each one paid for the book, but we know that the second paid twice the first plus 3 dinar and the third paid three times the second minus 7. I ask: how much did each one pay for the book and how much time he had it according to what he paid?	והמשל הראשון שלשה תלמידים קנו ספר אחד בסך [כ"ד די'] [ולא] ידענו מה שפרע כל אחד בספר אבל ידענו כי השני פרע כפל הראשון ועוד ג' די' והשלישי פרע ג' כפלי השני פחות ז‫' שאלתי כמה פרע כל אחד בספר וערך הזמן שיהיה בידו כפי מה שפרע
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=24\\\scriptstyle a_2=2a_1+3\\\scriptstyle a_3=3a_2-7\end{cases}$
Answer: assume one to the first.	תשובה תניח אחד לראשון
Since it is said that the second paid double the first plus 3, double the assumption; it is 2. Write 3 elsewhere to indicate "plus 3". $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot1\right)+3=2+3}}$	והנה בעבור שאמר כי השני נתן כפל הראשון ועוד ג' תכפול המונח יהיו ב' ותכתוב ג' במקום אחר שיורה ועוד ג‫'
Since it is said that the third [paid] 3 times the second, multiply all parts of the second by 3; it is 6 beneath the assumption and 9 beneath what he said "plus 3", because its product is 9. Write 7 elsewhere and write there "minus".	ובעבור שאמר השלישי ג' כפלי השני תכפול כל חלקי השני בג' ויהיו ו' תחת המונח וט' תחת מה שאמר ועוד ג' כי כפלו ט' ותכתוב ז' במקום אחר ותרשום בו פחות
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(2+3\right)-7=\left(3\sdot2\right)+\left(3\sdot3\right)-7=6+9-7}}$
It is according to this diagram:	ויהיה בזה הצורה
given terms minus 1 plus   2 3 7 6 9 denominator 9	המונחים עוד א פחות ג ב   ט ו ז   ט המורה
Sum the assumption; it is 9 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+6=9}}$	תחבר המונח יהיו ט' והוא המורה לחלק עליו
Subtract 7, which is the subtractive, from the additive, which is 12; 5 remains and this is the excess. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+9\right)-7=12-7=5}}$	תגרע ז' שהוא הפחות מן העודף שהוא י"ב ישארו ה' והם מן העודף
Subtract it from the price, which is 24; 19 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{24-5=19}}$	תגרעם מן הסך שהוא כ"ד ישארו י"ט
Divide it by 9, which is the denominator; the result of division is 2 and a ninth and this is the money of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{19}{9}=2+\frac{1}{9}}}$	תחלקם על ט' שהוא המורה יעלה בחילוק ב' ותשעית וזה ממון הראשון
Double it; it is 4 and 2-ninths plus 3 and this is the money of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(2+\frac{1}{9}\right)+3=4+\frac{2}{9}+3}}$	תכפלם יהיו ד' וב' תשיעיות ועוד ג' וזה ממון השני
Multiply the money of the second by 3; it is 12 and six-ninths plus 9 minus 7. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(4+\frac{2}{9}+3\right)-7=12+\frac{6}{9}+9-7}}$	תכפול ממון השני בג' יהיו י"ב וששה תשיעיות ועוד ט' ופחות ז‫'
According to this diagram:	ותהיה בזאת הצורה
2 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}}}$ 7 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}}}$ 14 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{9}}}$	ב ז יד
	השנית ואחר גרע הפחות מן השלשי ישאר [...]‫[...]
	‫[...] הזמן שיהיה ביד כל אחד כפי הממון שנתן
	‫[...] וו' תשיעיות וזה הוא המבוקש
The result is that the money of the first is 2 dinar and one-ninth of a dinar, and he has the book 2 hours and one-ninth of an hour every day.	ויציא מזה כי ממון הראשון ב' די' ותשיעית דנר והנה ב' שעות ותשעית שעה [..] יהיה הספר אצלו בכל יום
The money of the second is 7 dinar and 2-ninths of a dinar, and the book is in his hand 7 hours and 2-ninths of an hour every day.	וממון השני הוא ז' די' וב' תשיעי דנר וז' שעות וב' תשעי שעה יהיה הספר בידו בכל יום
The money of the third is 14 dinar and six-ninths of a dinar, which is 2-thirds of a dinar, which are 8 pešiṭim, and the book is in his hand 14 hours and 2-thirds of an hour, which are 40 minutes, every day.	והנה ממון השלישי הוא י"ד די' וששה תשיעיות דנר שהם ב' שלישיות דנר שהם ח' פשי' והנה י"ד שעות וב' שלישי שעה שהם מ' דקים יהיה הספר בידו בכל יום
As you can see in the third correct diagram.	כמו שתראה בצורה השלישית המתוקנת
The check: sum the ninths; they are one. Add it to 23 integers; they are 24 integers and this is the required.	והבחינה שתחבר התשיעיות יהיו אחד תחברהו עם כ"ג שלמים יהיו כ"ד והוא המבוקש
The second example: three goblets, their total value is 85 peraḥim and their weight is 85 ՚oqya. We do not know the value of the first, but we know that the value of the second is 3 times the first plus 5 and the value of the third is 4 times the second minus 7.	משל שני ג' גביעים אשר סך כולם פ"ה פרחים וכן משקלם פ"ה אוקיות ולא ידענו סך הראשונה אבל ידענו כי סך השנית הוא ג' כפלי הראשונה ועוד ה' וסך השלישית הוא ד' כפלי השנית פחות ז‫'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=85\\\scriptstyle a_2=3a_1+5\\\scriptstyle a_3=4a_2-7\end{cases}$
The answer: we assume 1 for the first.	תשובה נניח א' לראשונה
So, the second, which is 3 times the first, is 3 plus 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot1\right)+5=3+5}}$	ואם כן תהיה השנית שהיא ג' כפלי הראשונה ג' ועוד ה‫'
The third, which is 4 times the second minus 7, is 12 plus 20 and elsewhere minus 7.	והשלישית שהיא ד' כפלי השנית ופחות ז' יהיה י"ב ועוד כ' ובמקום אחר פחות ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(3+5\right)-7=\left(4\sdot3\right)+\left(4\sdot5\right)-7=12+20-7}}$
It is according to this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
given terms minus 1 plus   3 5 7 12 20 denominator 16	המונחים עוד א פחות ה ג   כ יב ז   יו המורה
We sum the terms together; they are 16 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{1+3+12=16}}$	נחבר המונחים כולם יהיו י"ו והוא המורה לחלק עליו
We subtract the subtractive, which is 7, from the additive, which is 25; 18 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+20\right)-7=25-7=18}}$	נגרע הפחות שהוא ז' מן מן העודף שהוא כ"ה ישארו י"ח
	והנשאר יהיו מן העודף נגרעם מסך ‫הכל שהוא [...] ד' וג' חלקים [...] ד' פרחים וג' חלקים [...] מי"ו חלקים באוקיא וסך ה[...] חלקים מי"ו ועוד ה' וי"ב יהיו י"ז [...] השני הוא י"ז פרחים וט' חלקים מי"ו בפרח [...] האוקיא י"ו חלקים
	וסך השלישי שהוא ד' כפלי השני [...] מ"ח ול"ו חלקים מי"ו ועוד כ' ופחות ז' נגרע הפחות מן העודף ישארו י"ג ומ"ח שהיו לנו יהיה ס"א ושנים שיצאו מל"ו יהיו ס"ג וד' חלקים [.] מי"ו שהוא רביעית והנה סך הגביע השלישי הוא ס"ג פרחים וד' חלקים אשר הפרח הוא י"ו חלקים והוא רביע פרח ומשקלם הוא י"ז אוקיות וד' חלקים אשר האוקיא הוא י"ו ומקוצר יהיה רביע אוקיא ויהיה כזה הצורה
third example 3 4 first 16     9 17 second 16     4 63 third 16	משל שלישי ג ד לראשונה יו     ט יז שנית יו     ד סג שלישית יו
The check: sum up the fractions of the peraḥ; they are one peraḥ, or one ՚oqya. Sum up the peraḥim; they are 84. With the one; they are 85 peraḥim or ՚oqyot and this is the required.	והבחינה חבר שברי הפרח יהיו פרח אחד או אוקיא אחת תחבר הפרחים יהיו פ"ד ועם האחד יהיו פ"ה פרחים או אוקיות והוא המבוקש
	משל שלישי שלא יעדיף אלא יפחות
Three bought a mule to go to Jerusalem, for a price of 30 peraḥim, we do not know how much each one paid, but we know that the second paid 3 times the first minus 4 and the third paid 4 times the second minus 5. I ask: how much did each one pay and how many parsa will each ride the mule?	והוא שג' קנו חמור פרדה ללכת לרושלים בסך ל' פרחים ולא ידענו מה שפרע כל אחד אבל ידענו שהשני נתן ג' כפלי הראשון פחות ד' והשלשי נתן ד' כפלי השני פחות ה‫' שאלתי סך כל אחד וכמה פרסאות ירכב כל אחד בפרדה
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=30\\\scriptstyle a_2=3a_1-4\\\scriptstyle a_3=4a_2-5\end{cases}$
Suppose the first gave 1.	נניח כי הראשון נתן א‫'
So, the second gave 3, which is 3 times the first, minus 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot1\right)-4=3-4}}$	ואם כן השני נתן ג' שהוא ג' כפלי הראשון ופחות ד‫'
The third [gave] 4 times the second minus 5: 4 times the second are 12 and four times the minus of the second are minus 16 with his own minus 5 they are minus 21.	והשלישי ד' כפלי השני ופחות ה' והנה ד' כפלי השני הם י"ב גם ד' פעמים פחות השני הם י"ו פחות ולעצמו פחות ה' יהיו [כ"א‫]
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(3-4\right)-5=\left(4\sdot3\right)-\left(4\sdot4\right)-5=12-16-5=12-21}}$
The subtractive is 25 and the sum of the [additive] is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{1+\left(3-4\right)+\left(12-21\right)=16-25}}$	הפחות כ"ה וקיבוץ המונחים י"ו לחלק עליו
	ויהיה ‫[...] יהיו כ"ה [...] הראוי לראשון וג' [...] פחות ד' והשלישי שאמר [...] ופחות י"ו שבא מד' כפלי [...] שתראה בזה הצורה השנית
the first gave plus $\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{7}{16}}}$ minus the second gave 9 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{21}{16}}}$ 4 the third gave 36 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{84}{16}}}$ 16	פחות [..] [עוד] [הראשון נתן] ד כא ט השני נתן   יו     יו פד לו השלישי נתן   יו
The money [of the first] is 3 peraḥim and 7 parts of 16 of a peraḥ; he rides the mule 3 parsa and 7 parts of 16 of a parsa.	והנה הסך הוא ג' פרחים וז' חלקים מי"ו בפרח וג' פרסאות וז' חלקים מי"ו בפרסה ירכב הראשון בפרדה
The money of the second is 9 peraḥim and 21 parts of 16 minus 4.	והנה סך השני הוא ט' פרחים וכ"א חלקי י"ו פחות ד‫'
Subtract 4 from 9; 5 remains; plus the 1 of the fractions they are 6 and 5 parts of 16 of a peraḥ.	גרע ד' מט' ישארו ה' וא' מן השברים יהיו ו' וה' חלקים מי"ו בפרח
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{21}{16}\right)-4=\left(9-4\right)+\left(1+\frac{5}{16}\right)=5+1+\frac{5}{16}=6+\frac{5}{16}}}$
The money of the third is 36 and 84 parts of 16, which are 5 integers and 4 parts of 16; they are 41 and 4 parts of 16. $\scriptstyle{\color{blue}{36+\frac{84}{16}=36+5+\frac{4}{16}=41+\frac{4}{16}}}$	וסך השלישי הוא ל"ו ופ"ד חלקים מי"ו אשר הם ה' שלמים וד' חלקים מי"ו יהיו מ"א וד' חלקים מי"ו
Subtract from 41 the subtractive in his share, which is 16 plus 5, which are 21; 20 peraḥim remains and 4 parts of 16 of a peraḥ, which when reduced is a quarter.	גרע הפחות אשר בחלקו שהוא י"ו וה' שהם כ"א ממ"א ישארו כ' פרחים וד' חלקים מי"ו בפרח שמקוצר הוא רביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(41+\frac{4}{16}\right)-\left(16+5\right)=\left(41+\frac{4}{16}\right)-21=20+\frac{4}{16}=20+\frac{1}{4}}}$
The result is that the money of the first is 3 peraḥim and 7 parts of 16 of a peraḥ; and the first has the mule for 3 parsa and 7 parts of 16 of a parsa.	ועלה מזה כי סך הראשון הוא ג' פרחים וז' חלקים מי"ו בפרח וג' פרסאות וז' חלקי פרסה מי"ו בפרסה יהיה הפרדה ביד הראשון
The money of the second is 6 peraḥim and 5 parts of a peraḥ; and the second has the mule for 6 parsa and 5 parts of a parsa.	וסך השני ו' פרחים וה' חלקי פרח וו' פרסאות וה' חלקי פרסה יהיה הפרדה ביד השני
The money of the third is 20 peraḥim and 4 parts of 16 of a peraḥ, which is a quarter; and the third has the mule for 20 parsa and a quarter.	וסך השלשי הוא כ' פרחים וד' חלקים מי"ו בפרח שהוא רביעית וכ' פרסאות ורביעית יהיה הפרדה ביד השלישי
The same for everything similar to it.	וכן כל הדומה לזה
Here you have the diagram of the three:	והרי לך צורת שלושתם
the first 3 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{16}}}$ the second 6 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{16}}}$ the third 20 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{16}}}$	ז ג לראשון יו     ה ו לשני יו     ד כ לשלשי יו
	והבחינה חבר חלקי שלושתם ואם יהיו ל' מוטב המשל בזה חלק הראשון ג
	שאלה ראובן שלי"ס וכו' בשיור
Reuven, Shimon, Levi, Yehuda, and Joseph bought one bull. Reuben took a third, Shimon a quarter, Levi a fifth, Yehuda a sixth, and Joseph 5 liṭra. I ask [how much] is the weight of the whole bull? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+5=X$	‫שאלה ראובן שמעון לוי יהודה יוסף קנו שור אחד ראובן לקח השלישית ושמעון הרביעית ולוי החמישית ויהודה הששית ויוסף ה' ליטרין שאלתי משקל כל השור
We assume a false position: the liṭra of the bull are 60. A third of 60 is 20; its quarter is 15; its fifth is 12; its sixth is ten. All together they are 57.	נניח מונח כוזב כי ליטרי השור הם ס' הנה שליש ס' הוא כ' ורביעיתו ט"ו וחמשיתו י"ב וששיתו עשרה והנה כולם נ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=20+15+12+10=57}}$
Joseph is left with 3, but we asked 5 for Joseph. $\scriptstyle{\color{blue}{60-57=3}}$	ונשארו ג' ליוסף ואנחנו שאלנו ה' ליוסף
Now, we say: if 3 comes from 60, from which number will 5 come? $\scriptstyle{\color{blue}{3:60=5:X}}$	עתה נאמר אם ג' בא מס' מאי זה מספר יבא ה‫'
We multiply 5 by 60; the result is 300.	נכפול ה' בס' יעלו ש‫'
We divide it by 3; the result is 100; so the weight of the bull is a hundred liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot60}{3}=\frac{300}{3}=100}}$	נחלקם על ג' יעלו ק' והנה מאה ליטרין משקל השור
The check: the third is 33 liṭra and a third, which is 12 ՚oqya, because 36 ՚oqya are one liṭra in Zaragoza; the quarter is 25; the fifth is 20; and the sixth is 16 and two-thirds, which are 24 ՚oqya. We sum up all; they are 95 liṭra and with the 5 of Joseph they are 100 [and this is] the required, which is the liṭra of the bull.	והבחינה הנה השלישית ל"ג ליטרי' ושליש שהם י"ב אוקיות כי ל"ו אוקיות הליטר' [..] בסרקוסה והרביעית כ"ה והחמשית כ' והשישית י"ו ושני שלישיות שהם כ"ד אוקיות נחברם כולם יהיו צ"ה לטרין ועם ה' מיוסף יהיו ק' [..] המבוקש שהם לטרי השור
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{3}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot100\right)+5&\scriptstyle=\left(33+\frac{1}{3}\right)+25+20+\left(16+\frac{2}{3}\right)+5\\&\scriptstyle=95+5=100\\\end{align}}}$
	‫הדרך ‫[החמישי]
	‫[...] הממון תוסיף על ה [...] הדרך לא אזכרנו אלא בכאן ‫[...]
	והמשל בזה שהיו בפתח הבית [...] בעל הבית לעבדו שיחלק לכל איש ב' פשיט' ולכל אשה פשוט שאלתי סך האנשים
The answer: assume the [number of] men and the women as you wish and give them as he said, then, if there are any pešiṭim left, add to the men and subtract from the women.	והתשובה תניח האנשים והנשים שתרצה וחלק להם כמו שאמר ואחר אם נשארו פשיטי' תוסיף על האנשים ותגרע מן הנשים
We suppose the men are 4 and the women are 18.	כיצד נאמר כי האנשים ד' והנשים י"ח
2 pešiṭim for each man are 8 and one pašuṭ for each woman are 18; plus 8 they are 26.	והנה ב' פשיט' לכל אחד איש יהיו ח' ופשוט לכל אשה יהיו י"ח וח' יהיו כ"ו
	וגרעו ב' כי אנחנו כ"ד שאלנו גרע מן האנשים ב' יהיו ב' אנשים וכ' נשים והוא יהיה שוה ד' פשי' לב' אנשים וכ' לכ' נשים
Second example: divide 30 [pešiṭim] among 30 men, women, and children, so that you give each man 2 pešiṭim, each woman one pašuṭ, and each child half [a pašuṭ].	משל שני חלק ל' לל' אנשים ונשים ונערים אשר תתן לכל איש ב' פשיט' ולכל אשה פשיט' ולכל נער מחצה
The men are 7, the women are 9, and the children are 14.	הנה האנשים הם ז' והנשים ט' והנערים י"ד
	וכן כל הדומה לזה בחומרים שתרצה ועיין בם
The Second Chapter - Problems Concerning the Addition of Integers	הפרק הש[ני בשאלות חיבור שלמים]
Question one: [What is] the number, such that if you add [to it] its half, its fifth, and its seventh, [the total is 2]. $\scriptstyle a+\frac{1}{2}a+\frac{1}{5}a+\frac{1}{7}a=2$	‫[...] [שאלה ראשונה] [מהו ה]מספר אשר אם תחבר [עליו] חציו חמשיתו ושביעיתו ‫[יהיה עם הכל שנים]
Answer with a false position: we look for a number that has [a half, a fifth, and a seventh; it is 70]. Because the half indicates 2, the fifth 5, the seventh 7; we multiply them by each other as the rule: 2 by 5 is ten, ten by 7 is 70. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot5\sdot7=10\sdot7=70}}$	תשובה עם מונח כוזב [...] נבקש מספר שימצאו בו [...] [והוא ע'] כי חצי יורה על ב' וחמשית על ה' ושבעית על ז' נכפול זה על זה כמנהג ב' על ה' עשרה ועשרה על ז' ע‫'
We suppose this is the number. We add to it the mentioned parts: its half, which is 35; its fifth, which is 14; its seventh, which is ten. We add all of them to 70; it is 129.	ונניח כי זהו המספר ונחבר עליו החלקים הנז' שהם חציו שהוא ל"ה וחמשיתו שהוא י"ד ושביעיתו שהוא עשרה נחברם כולם על ע' יהיו קכ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{70+\left(70\sdot\frac{1}{2}\right)+\left(70\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(70\sdot\frac{1}{7}\right)=70+35+14+10=129}}$
The number we assumed is 70 and it is false, because we ask for 2 and it gives us 129.	והנה המספר שהנחנו הוא ע' והוא כוזב כי אנחנו שאלנו ב' והוא נתן לנו קכ"ט
We apply the "Rule of Three" and it gives us the solution. We say: if 70 gives us 129, what will give us 2? $\scriptstyle{\color{blue}{70:129=X:2}}$	נלך אל דרך השלושה והוא יתן לנו שאלתנו ונאמר אם ע' נתן לנו קכ"ט מי יתן לנו ב‫'
We write this question as this diagram:	‫נניח השאלה כזאת ה[צורה]
2 0 129 70 if	ב 0 קכט ע אם
We multiply the extremes, which are 2 by 70; the result is 140.	נכפול הקצוות שהם ב' על ע' יעלו ק"מ
We divide it by the second number, which is 129; the result of division is 1 and eleven parts of 129 of a units, like this: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2\sdot70}{129}=\frac{140}{129}=1+\frac{11}{129}}}$	חלקם על המספר השני שהוא קכ"ט יעלו בחילוק א' ואחד עשר חלקים מקכ"ט בשלם כזה
	אא טבא
This is the number that if you add to it its half, its fifth, and its seventh, the total is two and this is the required.	וזה הוא המספר אשר אם תחבר עליו חציו חמשתו ושבעיתו יהיה עם הכל שנים וזה הוא המבוקש
If you want to check if it is true that 1 and 11 parts of 129 is the number to which if you add the mentioned parts the result is two:	ואם תרצה לבדוק אם זה אמת כי א' וי"א חלקים מקכ"ט הוא המספר אשר אם תחבר עליו החלקים הנזכרי' שלא יעלו אלא שנים
The procedure is as follows: decompose the integer into fractions; they are 129. With 11, it is 140. $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{11}{129}=\frac{129+11}{129}=\frac{140}{129}}}$	הנה מעשה הבחינה כך הוא שתתן השלם בשברו יהיו קכ"ט ועם י"א יהיו ק"מ
Add to 140 its half, which is 70; it is 210. $\scriptstyle{\color{blue}{140+\left(\frac{1}{2}\sdot140\right)=140+70=210}}$	תחבר על ק"מ חציו שהוא ע' יהיו ר"י
Add a fifth of 140, which is 28, to 210; it is 238. $\scriptstyle{\color{blue}{210+\left(\frac{1}{5}\sdot140\right)=210+28=238}}$	חבר על ר"י חמשית ק"מ שהוא כ"ח יהיו רל"ח
Add to it also a seventh of 140, which is 20; it is 258. $\scriptstyle{\color{blue}{238+\left(\frac{1}{7}\sdot140\right)=238+20=258}}$	עוד חבר עליו שביעית ק"מ שהוא כ' יהיו רנ"ח
Divide it by 129, which is the whole; the result of division is 2 and this is the required.	חלקם על קכ"ט שהוא השלם יעלה בחילוק ב' והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{140}{129}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{140}{129}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{140}{129}\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{140}{129}\right)=\frac{258}{129}=2}}$
Question two: What is the number, such that if you add to it its third, then to the sum 2-fifths of the sum, then to this sum 3-quarters of the sum, [and after all this the result is 13].	שאלה שנית מהו המספר אשר אם תחבר עליו שלישיתו ועל העולה ב' חמשיות מן העולה ועל העולה ג' רביעיות מן ‫העולה [ ועם כל זה יעלה י"ג]
$\scriptstyle\left(a+\frac{1}{3}a\right)+\left[\frac{2}{5}\sdot\left(a+\frac{1}{3}a\right)\right]+\left[\frac{3}{4}\sdot\left(a+\frac{1}{3}a\right)+\left[\frac{2}{5}\sdot\left(a+\frac{1}{3}a\right)\right]\right]=13$
	[...] כוזב ועם דרך [...] האלו השברים בשלישית [...] ס' ונניח כי זה הוא המספר [...] נחבר על פ' ב' חמשיותיו שהוא [...] רביעיותיו שהם פ"ד יהיו קצ"ו והנה [...] כי קצ"ו נתן לנו ואנחנו לא שאלנו כי אם י"ג
	נלך [...] והוא ישלים שאלתנו ונאמר אם ס' נתן לנו קצ"ו מי יתן לנו [י"ג] נניח השאלה בזאת הצורה
	גא 0 וטא ‫0ו
Multiply the extremes, which are 13 by 60; the result is 780.	ותכפול הקצוות שהם י"ג על ס' יעלה תש"ף
We divide it by the second number, which is 196; the result of division is 3 integers and 192 parts of 196 of a units and if you reduce them, they are 48 parts of 49 of a unit. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{13\sdot60}{196}=\frac{780}{196}=3+\frac{192}{196}=3+\frac{48}{49}}}$	נחלקם על המספר השני שהוא קצ"ו יעלה בחילוק ג' שלמים וקצ"ב חלקים מקצ"ו בשלם אשר אם תקצרם יהיו מ"ח חלקים ממ"ט בשלם
This is the number, such that if you add its third to it, then to the sum 2-fifths of the sum, then to this sum 3-quarters of the sum, and after all this the result is 13 and this is what we wanted.	וזהו המספר אשר אם תחבר עליו שלישיתו ועל העולה ב' חמשיות מן העולה ועל העולה ג' רביעיות מן העולה ועם כל זה יעלה י"ג וזה מה שרצינו
The checking procedure: decompose the integers to fractions and add to the result the fractions added to the 3 integers, which are 192; they are 780 parts of 196, which is the required number, so if you add to it the mentioned fractions, they are 2548 that are 13 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{X=3+\frac{192}{196}=\frac{780}{196}}}$	מעשה הבחינה כך הוא שתתן השלמים בשברם ועל העולה תחבר השברים העודפים על ג' שלמים שהם קצ"ב יהיו תש"ף חלקים מקצ"ו בשלם שהוא המספר המבוקש אשר אם תחבר עליו החלקים הנזכרים יהיו ב' אלפים תקמ"ח שהם י"ג שלמים
The unknown number we were looking for is 780.	כיצד המספר הנעלם אשר בקשנו הוא תש"ף
We add its third to it, which is 260; it is 1040. $\scriptstyle{\color{blue}{780+\left(\frac{1}{3}\sdot780\right)=780+260=1040}}$	חברנו עליו שלישיתו שהוא ר"ס יהיו אלף ומ‫'
We add 2-fifths of 1040 to it, which is 416; it is 1456. $\scriptstyle{\color{blue}{1040+\left(\frac{2}{5}\sdot1040\right)=1040+416=1456}}$	חברנו עליו ב' חמשיות אלף ומ' שהם תי"ו יהיו אלף תנ"ו
We add 3-quarters of 1456 to it also, which is 1092; it is 2548. $\scriptstyle{\color{blue}{1456+\left(\frac{3}{4}\sdot1456\right)=1456+1092=2548}}$	עוד חברנו עליו ג' רביעי אלף תנ"ו שהם אלף וצ"ב עליו יהיו ב' אלפים ותקמ"ח
Divide it by the denominator, which is 196; the result of division is 13 integers $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2548}{196}=13}}$	חלקם על המורה שהוא קצ"ו יעלה בחילוק י"ג שלמים
Hence, we receive that 3 integers and 192 parts of 196 is the unknown number, such that with the sum of its parts it is 13 as said.	ואם כן עלה בידנו כי ג' שלמים וקצ"ב חלקים מקצ"ו הוא המספר הנעלם אשר עם חיבור חלקיו יהיה י"ג כנזכר
Question: What is the unknown number, such that when we add to it half of its half, a third of its third, and a quarter of its quarter, it is exactly 7. $\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}a+\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}a=7$	‫שאלה מהו המספר הנעלם אשר חיברנו עליו חצי חציו ושלישית שלישיתו ורביעית רביעיתו ולא יהיה אלא ז‫'
	בזה השאלה תצטרך לכפול כל המורים זה על זה ד' על ד' יהיו י"ו וי"ו על ג' יהיו מ"ח ומ"ח על ג' פעם שנית יהיו קמ"ד וקמ"ד על ב' והיוצא על [ב' תק]ע"ו וזהו המונח נחבר עליו חצי חציו והוא קמ"ד יעלו תש"ך ‫תש"ך נחבר עליו שלישית שלישיתו שהוא ס"ד יהיו תשפ"ד ונחבר על זה רביעית רביעיתו שהוא ל"ו יהיו תת"ך ואנחנו שאלנו ז' נאמר בדרך השלושה אם תקע"ו נתן לנו תת"ך ז' מי יתן לנו ויהיה כזה הצורה
	תקעו תתך 0 ז
We multiply the extremes; the result is 4032.	נכפול קצוות יעלו ד' אלפים ול"ב
We divide it by 820; the result is 3 and 752 parts of 820. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{576\sdot7}{820}=\frac{4032}{820}=4+\frac{752}{820}}}$	נחלקם על תת"ך יעלה ד' תשנ"ב חלקים מתת"ך
	וזה המספר אשר אם חיברנו עליו חצי חציו וכו' וכל העולה נחלק על תת"ך יעלו ז' כנשאל
	‫שאלה שלישית מהו המספר הנעלם אשר אם תחבר עליו ‫[...] אותו ורביעית ‫[...]
	תשובה עם [...] לאלה [...]ת וששית יעלו ק"ך ומה שלא [...] כי חצי נמצא ברבעית ושלשית [...] בפרק קיצור המורים ואם כן נאמר [...] המספר הנשאל אשר עם חבור חלקיו יהיה אחד והנה נקח חצי שלשית רביעית ק"ך יהיה ה' כי רביעית ק"ך הוא ל' ושלשית ל' הוא עשרה וחציו ה' נחבר ה' עם [ק"ך] יהיו קכ"ה עוד נחביר אליו שלישית רביעית חמשית ק"ך שהוא ב' יהיו קכ"ז כי חמשית ק"ך הוא כ"ד ורביעית כ"ד הוא ו' * הוא ב' כנז' עוד נחבר על קכ"ז רביעית חמשית ששית ק"ך שהוא א' יהיו קכ"ח כי השישית הוא כ' וחמשית כ' ד' ורביעית ד' א' ואם כן כאשר תחבר ה' שיצא מן הראשון וב' מן השני וא' מן השלישי עם ק"ך יהיו קכ"ח ואנחנו לא שאלנו כי אם אחד ויצאו קכ"ז יותר ממה ששאלנו
	נלך אל דרך השלושה והוא ישלים שאלתנו שהוא כמשל ראשון מדרך השלושה הנה הדרך הוא בזאת הצורה
	קכח קך א 0
	שתכפול האמצעיות שהם א' על ק"ך יהיו ק"ך חלקם על קכ"ח והנה הוא מחולק והוא ק"ך חלקים מקכ"ח בשלם שאם תקצרם יהיו ה' ששיות כי ערך ק"ך אל קכ"ח כערך ה' אל ו' והנה המספר הנעלם הוא ה' ששיות
	מעשה הבחינה כך הוא שתחזור הה' ששיות אל ק"ך חלקים מקכ"ח בעבור כי בו תמצה החלקים הנזכרים ותקח חצי שלישית רביעית ק"ך והוא ה' ושלישית רביעית חמשיתו והוא ב' ורביעית חמשית שישיתו והוא א' תחבר עם ק"ך שהוא המספר הנעלם ה' וב' וא' יהיה קכ"ח תחלקם על המורה שהוא קכ"ח גם כן יעלה בחילוק אחד שלם ‫ואם כן [...] הנעלם ‫[...]
Partnership problems
The fourth question: Reuven and Shimon formed a partnership, Reuven contributed 3 dinar and Shimon [contributed] 11 [dinar]; and they earned 3 dinar.	שאלה רביעית [ראובן ושמעון עשו חברה ראובן נתן ז' די' ושמעון י"א והרויחו] ג' דינר‫'
	ויהיו כזאת הצורה
	ג ז ראובן יא שמעון   יח
	ש[אלתי] [...] כל אחד כפי [...] שניהם והוא המורה ועתה אם תרצה הראוי מן הריוח לראובן כפול הריוח על ממונו יעלו כ"א חלקם על י"ח שהוא ממון שניהם יעלה בחילוק אחד ושישית שהוא דניר אחד וששית דניר שהוא ב' פשי' ולדעת חלקי שמעון הוא הנשאר אלא שנעשה אותו בדרך המספר ונאמר שנכפול י"א על ג' יעלו ל"ג נחלקם על י"ח יעלה בחילוק אחד והוא דנר ונשארו ט"ו חלקים מי"ח נקצרם יהיו ה' ששיות והוא הראוי לשמון הנותן בחברה י"א דינר שהוא דנר אחד ועשרה פשי' והנה עם עם דנר וששית שנפל לראובן יהיו ג' די' והוא מה שרצינו
	בדיקה אחרת ושמור אותה קח ממונם והריוח וראה אם יחסם שוה ואמור אם י"א הרויחו א' ועשרה פשיט' ז' מה ירויח או תהפוך השאלה כמו שהראתך בדרך השלושה או עשה הדנר פשי' ואמור אם י"א הרויחו כ"ב פשי' ז' מה ירויחו
The fifth question: Reuven, Shimon and Levi formed a partnership, Reuven contributed 29 liṭra to the partnership, Shimon [contributed] 25 [liṭra], and Levi [contributed] 11 [liṭra]; and they earned 13 liṭra.	שאלה חמשית ראובן שמעון לוי עשו חברה ראובן נתן בחברה כ"ט לטרין ושמעון כ"ה ולוי י"א והרויחו י"ג לטרין
	ויהיו בצורה הזאת
	0 ה יג כט ראובן   ה כה שמעון ד ב יא לוי       סה
	שאלתי הראוי לכל אחד
	תשובה חבר כל ממונם יהיה ס"ה והוא המורה ואחר כפול ממון ראובן על הריוח שהוא ‫[...] שהוא ס"ה [...] נכפלם בסך [...] תחלת השברים ויעלו [...] בחילוק י"ו דנרי' ולא נשאר [...] הוא ה' לטרי' וי"ו דינרי' [...] נכפול ממונו על הריוח יעלו שכ"ה [...] על המורה יעלה בחילוק ה' לטרי' שוים וזה הראוי לשמעון
	ולדעת הראוי ללוי הנה הנשאר משניהם הוא חלקו אבל בדרך המספר נכפול י"א שהוא ממונו על י"ג יעלו קמ"ג אשר חלקנום על המורה יעלה בחילוק ב' לטרי' ונשארו י"ג אשר אם כפלנום על סך הלטרה יעלו ר"ס חלקנום על המורה יעלה בחילוק ד' דינ' ולא נשאר כלום והנה הראוי ללוי ב' לטרי' וד' דנרי' ולשמעון ה' לטרי' ולראובן ה' לטרי' וי"ו דנרי' וזה המבוקש
	והבחינה נחבר כל הראוי לכולם ואם הוא כסך הריוח מוטב ואם לא שוב לעיין
The sixth question: Reuven and Shimon formed a partnership, Reuven contributed 3 dinar to the partnership on the first day of the year and Shimon contributed 5 [dinar] to the partnership on the first day of Adar [= the sixth month in the Jewish calendar]; they stayed in the partnership until the beginning of the following year and earned 7 dinar.	שאלה שישית ראובן ושמעון עשו חברה וראובן נתן בחברה ג' די' ביום ראש השנה ושמעון נתן בחברה ה' דינרים ביום ראשון לחודש אדר ושהו בחברה עד ראש השנה הבאה והרויחו ז' דינרי‫'
	ויהיה כזאת הצורה
	די' ז' לו לה ג דינרי' ה דינרי' י"ב חדשים ז חדשים ראובן שמעון
	שאלתי הראוי לכל אחד
	התשובה שתעשה זמן שניהם דומה בזה השאלה או בכל שאלה אם תוכל שיהיו שניהם כולם שנים או חדשים או ימים או שעות או דקים או לאי זה מין שתוכל כפי צורך כל השאלה כאשר תראה במשלים הבאים ואחר כפול זמן כל אחד על ממונו והיוציא יהיה כמו שהוא הממון שנתן ותעשה כמנהג כיצד ‫בעבור [...] חדשים ויהיו י"ב [...] ל"ו ונאמר בהשאלה כי הממון [...] שמעון בז' חדשיו יהיו ל"ה [...] כמו שתראה בצורה ועשה כמנהג [...] ע"א שהוא קיבוץ שניהם ויעלו לראובן ג' די' [...] ואם תכפלם בי"ב והיוצא תחלק על ע"א יהיו [...] ז' וחלק על ע"א ויהיה העולה ג' די' ול"ב חלקי דינר
	והבחינה תקבץ חלקהם ויהיו דנר וששה יהיו ז' בריוח
	ודי בזה כי במוקומות אחרים בזה השער תראה שאלות מזה המין יותר קשים
	‫ואם תרצה להקל שאלתך תקצר אותה בחצי ואז תהיה לראובן ו' ולשמו' עשרה ולוי ט"ו והמורה ל"א וכן תעשה תעשה בכל שאלה שתקצרנה בחצי או בשליש או בחלקים שתוכל לקצרה ואחר זאת אחרות בצור'
The seventh question: Reuven, Shimon and Levi formed a partnership together; Reuven contributed 3 dinar and stayed [in the partnership] for 4 months; Shimon [contributed] 4 dinar and stayed [in the partnership] for 5 months; Levi [contributed] 5 dinar and stayed [in the partnership] for 6 months; they earned six dinar. I ask: how should they divide them?	שאלה שביעית ראובן שמעון לוי עשו חברה יחד ראובן נתן ג' די' ושהה ד' חדשים ושמעון ד' דינר' ושהה ה' חדשים ולוי ה' די' ושהה ו' חדשים והרויחו ששה די' שאלתי כיצד יחלוקו
The answer: multiply the months of each by his money and the result is the [earned] money of each.	תשובה כפול כפול חדשי כל אחד בממונו והיוציא יהיה כמו ממון כל אחד
Hence, Reuven has 12, Shimon has 20, and Levi has 30.	ויהיה לראובן י"ב ולשמעון כ' וללוי ל‫'
We add up the three amounts; it is 62 and this is the denominator to divide by it. $\scriptstyle{\color{blue}{12+20+30=62}}$	חברנו כל השלושה סכום יהיו ס"ב והוא המורה לחלק עליו
The whole question is like this:	ויהיה כל השאלה כזאת הצורה
parts of a quartyer quarters pešuṭim dinar profit money months dinar   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{62}}}$ 3 1 1 6 12 4 3 Reuven $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{58}{62}}}$ 0 11 1 20 5 4 Shimon $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15}{62}}}$ 3 10 2 30 6 5 Levi           62 denominator
חלקי רביע רביעי פשיט דניר ריוח ממון חדשי דנר   י סב ג א א ו יב ד ג ראובן נח סב 0 יא א כ ה ד שמעון טו סב ג י ב ל ו ה לוי           סב המורה
Now we shall see how much each one deserves according to the money [he contributed] and his staying [in the partnership] by multiplying one by the other:	ועתה נראה הראוי לכל אחד כפי ממונו ושהיתו שכפלנו זה על זה
[Illegible].	ונעשה‫ ‫[...] כל אחד על [...] יהיה חלק [...] תחלקם על המורה [...] הנשאר שהוא י"ו על כ' די' [...] חלקם על המורה יציא ד' די' [...] והנה ג' לטרין ד' די' וע"ד חלקי [...] חלק ראובן
Similarly, multiply 32 by 7 and divide the product by the denominator; the result of division is 3 liṭra and 40 parts of 74 and this is Shimon's share. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{32\sdot7}{74}=3+\frac{2\sdot20}{74}=3+\frac{40}{74}}}$	ובזה הדרך כפול ל"ב על ז' וחלק היוציא על המורה ותציא בחילוק ג' לטרי' ומ' חלקים מע"ד בשלם וזה חלק שמעון
Multiply also 8 by 7 and divide the product, which is the dividend that is 56 parts, by the denominator, which is 74 of one liṭra: multiply 56 by 20, which is the whole liṭra; the result is 1120. Divide it by the denominator; the result of division is 15 dinar and ten parts of 74 of one dinar and this is Levi's share. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(8\sdot7\right)\sdot20}{74}=\frac{56\sdot20}{74}=\frac{1120}{74}=15+\frac{10}{74}}}$	עוד כפול ח' על ז' וחלק היוציא על המורה והוא מחולק שהוא נ"ו חלקים מהמורה שהוא ע"ד בליטרה ותכפול נ"ו על כ' שהוא סך הליטרה יעלו אלף ק"ך תחלקם על המורה יעלו בחילוק ט"ו דינ' ועשרה חלקים מע"ד בדינ' וזה חלק לוי
We receive that Reuven's share in the profit is 3 liṭra, 4 dinar and 24 parts of 74, which you can reduce to 12 parts of 37. $\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{24}{74}=4+\frac{12}{37}}}$	והל"ה עלה בידנו שנפל לראובן מן הריוח שהוא ז' ג' ליטרי' וד' דינר' וכ"ד חלקי דינר שתוכל לקצרו שהם י"ב חלקים מל"ז
Shimon's share is 3 liṭra and 40 parts of 74, which are reduced to 20 parts of 37. $\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{40}{74}=3+\frac{20}{37}}}$	וחלק שמעון לג' ליטרי ומ' חלקים מע"ד שהם מקוצרים כ' חלקים מל"ז
Levi's share is 15 dinar and ten parts of 74, which are reduced to 5 parts of 37. $\scriptstyle{\color{blue}{15+\frac{10}{74}=15+\frac{5}{37}}}$	וחלק לוי ט"ו די' ועשרה חלקים מע"ד ומקוצרים ה' חלקים מל"ז
And so on for anything like that.	וכן כל כיוציא בזה
The check is that you add up the fractions of all three, add the result to the dinar, then convert the dinar to a liṭra or liṭrin, and the result is the profit.	והבחינה הוא שתחבר כל שברי שלשתם והיוציא תחבר עם עם הדי' ומהדי' תעשה ליטרה או ליטרין והיוציא יהיה הריוח
In the example: add up their fractions: Reuven has 24, Shimon 40, and Levi ten. Divide them by the denominator; the result is one. With the dinar, which are 19, it is twenty, which is the whole liṭra. With the 3 of Reuven and the 3 of Shimon, they are 7, which is the profit and this is the required.	והמשל תחבר שברהם יהיו לראובן כ"ד ולשמע' מ' וללוי עשרה תחלקם על המורה יציא אחד ועם הדי' שהם י"ט יהיו עשרים שהוא לטרה וג' לראובן וג' לשמעו[ן] יהיו ז' שהוא הריוח והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{24}{74}+\frac{40}{74}+\frac{10}{74}\right)+4+15}{20}+3+3=\frac{1+19}{20}+3+3=\frac{20}{20}+3+3=1+3+3=7}}$
Likewise for the shares of the eighth question: Reuven has 384, Shimon 640, and Levi 160.	וכן היו חלקי' השאלה השמינית שהם שפ"ד לראובן תר"מ לשמעון ‫וק"ס ללוי
[Illegible].	יהיו [...] המורה שהוא [...] דינר חברהו עם ה[...] הליטרה תחבר אותה [...] והוא הריוח
	דרך אחרת לקציר עוד ועיין בה ותשכיל עוד עם דרכים אחרים שאתן תכף זה
	ואומר שתקצר הנכפל כל מה שתוכל שוה לכולם
	המשל בזה בשאלה התשעית [..] הנה ממון ראובן המשולח הבא מד' קל"ו הוא תקמ"ד וממון שמעון תקי"ב וממון לוי קכ"ח תקצרים בחציים חמשה פעמים ישובו לראובן י"ז ולשמעון י"ו וללוי ד' ולא נוכל עוד לקצר בעבור ממון ראובן שהוא י"ז והנה ש חזרה השאלה כזאת הצורה
	ז   יז יו ד לז המורה
	ואתן לזה פרק מיוחד ולדרך השלושה

Chapter on the Partnerships and the Rule of Three	פרק במנהג החברות וגם בדרך השלושה
I have written here six types I have encountered:	הנה כתבתי בכאן ששה מנים שבאו לידי
the first is that which we do not reduce at all, or we cannot reduce.	הא' הוא שלא נקצר כלל או שלא נוכל לקצרו
The second type is that which we can reduce once or more.	המין השני הוא שנוכל לקצרו פעם או יותר
The third type is the reduction of the money but not the time.	המין השלישי קיצור הממון ולא הזמן
The fourth type is the reduction of the time but not the money.	המין הרביעי קיצור הזמן ולא הממון
The fifth type is the reduction of the money and the time.	המין החמשי קיצור הממון והזמן
The sixth type is reducing the multiplication of the money and the time.	המין השישי קיצור הכפלת הממון והזמן
	‫[...] ראובן נתן ‫[...]
10 8 Reuven 24 Shimon denominator 32	‫0א ח ראובן כד שמעון המורה בג
	[...] יעלו לראובן [...] לשמעון ויבואו לו [...] די' וחצי
	והנה בכל אלו המינים אשמיט עם אלו השכרם מהממון ומהריוח
	והבחינה כי ז' וחצי וב' וחצי הם עשרה שהוא הריוח
	עו' בדיקה אחרת תשוי ממונם בזה הצורה
1200   1200 5 X 8 15 24	‫00בא   ‫00בא ה X ח טו כד
	יהיה ה' פעמים כ"ד ק"ך גם ח' פעמים ט"ו הם ק"ך ועשיתי ה' וט"ו כי ה' וט"ו הם חציים בעבור החצים שבריוח
	משל במין השני שנוכל לקצר פעם או יותר הנה לראובן ח' ולשמון כ"ד שנוכל לקצרם ג' פעמים אשר חציים ד' י"ב ועוד ב' ו' ועוד א' ג' והמורה ד'
10 1 2 4 8 Reuven 3 6 12 24 Shimon denominator 4	‫0א א ב ד ח ראובן ג ו יב כד שמעון המורה ד
	ועיין הקלות כי המורה הראשון הוא לב' וזה ד'
	וכן תעשה אם יהיו בחברה ג' או יותר
	המין השלישי קיצור הממון ולא הזמן כמו שנתן ראובן ח' ושהה ו' ושמעון י"ב ושהה י"ב נקצר ממונם בחצי ישארו ד' לראובן ו' לשמעון עוד נקצרם בחיצי יהיו ב' לראובן ג' לשמעו' נכפול הממון הנשאר בכל זמנם יהיו ר"ב לראובן ול"ו ‫ול"ו לשמעון [...]
	המין הרביעי קיצור הזמן [...] ח' די' ושהה ו' ושמעון [...] נקצר הזמן בחצי והיה לראובן [...] עוד נקצר בשליש והיה לראובן [...] והנה עתה נראה ההפרש נכפול ח' על ו' לראובן יהיו מ"ח וי"ב על י"ב לשמעון יהיו קמ"ד והמורה קצ"ב והריוח עשרה הכל כזה הצורה
10 48 144 denominator 192	‫0א מח קמד המורה קצב
	נכפול ונחלק כמנהג יבוא לראובן ב' וחצי ולשמון ז' וחצי
	ואם נקח המקוצר הראשון בזמן שהוא לראובן ח' ג' שכפלם הם כ"ד ולשמעון י"ב על ו' שכפלם ע"ב כזה
10 24 72 denominator 96	‫0א כד עב המורה צו
	והמורה צ"ו הנה נפל לראובן ב' וחצי ולשמעון ז' וחצי כנז' והקיצור השלישי שב לראובן ח' ולשמעון כ"ד כזה
10 8 22 denominator 32	‫0א ח כב המורה לב
	ונפל לראובן ב' וחצי ולשמון ז' וחצי
	המין החמשי הוא בקיצור הממון והזמן כל אחד בפני עצמו כמו שנתן ראובן ח' ושהה ו' ושמעון י"ב ושהה י"ב נקציר ממונם וזמנם יהיו לראובן ד' ג' וכופלם י"ב ולשמעון ו' ו' וכופלם ל"ו והמורה מ"ח והריוח כנז'
	והמין הששי בקיצור המוכפל מהממון ומהזמן כמו שנתן ראובן ח' ושהה ו' וכפל זה על ‫[...] זה על זה [...] לשמון עוד [...] עוד נקצרם בחצי [...] עוד נקצרם בחצי יהיו ג' [...] נקצרם בשליש יהיו א' לראובן [...] בזה הצורה
10 1 Reuven 3 Shimon denominator 4	‫0א א ראובן ג שמעון המורה ד
	נכפול א' שהוא ממון [...] על הריוח שהוא עשרה [.] ונחלקם על ד' תציא ב' וחצי לראובן וז' וחצי לשמעון
	וראה ועיין ותשכיל כי בלי קצור חלוקת שמעון הוא אלף ת"מ על קצ"ב שהוא המורה ועתה שב החילוק לשמעון לזה על ד'
	ואם עשתי כל השאלות בשלמות בלא קיצור בעבור שלא לבלבל המתחיל והנה בזה הדרך נוכל לפסוק פסקי הקהל או דבר אחר כמו שעשו להשקות הנחלות ושיתין כל אחד כפי נחלתו
	ואם תעיין תוכל לעשות זה בדרך השלושה כמו שאר דברי תכף מדרך קצור דרך השלושה שהוא עיון יפה והערה גדולה והוא שתקצר לעולם הראשון המשל בזה והשני או הראשון והשלישי שהכל יהיה שוה בין שתקצרם בחצי או בשלשית או ברביעית או באי זה מספר שתוכל לקצרם שאם לא תוכל לקצר הראשון והשני שתקצר הראשון והשלישי ובלבד שתקצר שניהם במספר אחד ואם יש קיצור לשניהם הרשות בידך לקצור מה שתרצה והיותר טוב לקחת הזוג שיותר יתקצר כי זוג אחת דרך משל הראשון והשני יהיה יותר טוב לקציר מראשון ושלישי והוא הדין כאשר תכפול הממון והזמן שחזר השאלה לג' חלקי השלושה שגם תוכל לקצר הראשון והשני או הראשון והשלישי ואתן משלים שתבין מהם המבוקש
	‫והמשל [...] יעלו כ"ד וכן [...] שאז יהיו א' וג' ונאמר [...] נכפול ח' על ג' יהיו [...] כ"ד כראשון וכן אם נאמר אם [...] מה יתן לי הנה נתן ח' וא' וי"א חלקים מפ"ח וזה המספר נוכל לקצרם עד יסודם שהם ח' וי"ב וכן אם נקח החלקים אשר בין זה המספר שהוא פ"ח וקמ"ג עד יסודם שהם ח' וי"ג שהם י"א כי י"א פעמים ח' הם פ"ח וגם בהכפל י"ג י"א פעמים נמצא קמ"ג וכל עוד שתקח אמצעי אחד מכלם כמו מ' וס"ה או כל אחד מהאחרים יתן ח' וה' חלקים ממ' שהם שמינית אחר הקיצור וא או תשוים
Another example: If 3 yields 6, how much will 9 yield?	משל אחר אם ג' נתן ו' ט' מה יתן
	הנה נתן י"ח וכן יתן אם נקצר הראשון והשני או הראשון והשלישי
	משל אחר אם ג' נתן ג' ג' מה יתן
	הנה נתן ג' וכן יתן אם נקצר ההראשון מכל אחד יתן ג'
Another example: If 2 yields 6, how much will ten yield?	משל אחר אם ב' נתן ו' עשרה מה יתן
	הנה נתן ל' וכן יתן ל' אם נקצר הראשון והשני או הראשון והשלישי
Another example: If 5 yields 15, how much will 20 yield?	משל אחר אם ה' נתן ט"ו כ' מה יתן
	ס' וכן יתן אם נקצר הראשון והשני או הראשון והשלישית בחמשית כמו שתראה בלוח הקיצורים
	והוא הדין אם יש בשאלות ממון וזמן שנכפול המומון על הזמן וחזר השאלה לג' חלקי השלושה כמו במשל ‫[...] דרך השלושה [...] אמר אם ח' הרויח ג' ל"ב כמה ירויח נכפול ל"ב על ג' שהוא הרויח יהיו צ"ו נחלקם על ח' יציא בחילוק י"ב וכן יציא י"ב אם נקצרם בחצי הראשון והשלישי ונאמר כי חצי ח' ד' וחצי ל"ב הם י"ו ונאמר אם ד' נתן ג' מה יתן י"ו נכפול י"ו על ג' יהיו מ"ח נחלקם על ד' יעלה בחילוק י"ב כראשון גם נקצר ד' וי"ו בחצי יהיו ב' וח' וח' על ג' יהיו כ"ד נחלקם על ב' יעלו י"ב בקיצור ראשון ושני עוד נקצר ב' וח' יהיו א' וד' נכפול ד' על ג' יעלו י"ב נחלקם על א' יהיו י"ב כקיצור שלושתם וכן כל הדומה לזה
if 3 9 8 24 if 1 3 8 24	כד ח ט ג אם כד ח ג א אם
	ח פא/יא ה קמג פח אם ח ה יג ח אם ח מח/הא ה ס מ אם
if 3 6 6 18 if 1 2 9 18 if 1 6 3 18	י"ח ו ו ג אם י"ח ט ב א אם י"ח ג ו א אם
if 3 3 3 3 if 1 1 3 3 if 1 3 1 3	ג ג ג ג אם ג ג א א אם ג א ג א אם
if 2 6 10 30 if 1 6 5 30 if 1 3 10 30 if 5 15 20 60 if 1 3 20 60   1 15 4 60	ל י ו ב אם ל ה ו א אם ל י ג א אם ס כ טו ה אם ס כ ג א אם ס ד טו א
peraḥim months profit [..] months if 4 2 3 8 4 if   8 3 32 12 if   4 3 16 12 if   2 3 8 12 if   1 3 4 12	חדש [..] ריוח חדשי' פרחי'   ד ח ג ב ד אם יב לב ג ח   אם יב יו ג ד   אם יב ח ג ב   אם יב ד ג א   אם

	הפרק ה בידיעת השואת הממונות זה
Currency Exchange
	‫הפרק [...] ואומר [...] שוה למטבע מדינת [...] אשר הדרך הראשון הוא [...] השני עם חילוק וכפל
	הדרך הראשון הוא שתקח מטבע מוסכם [...] המדינות מ[...] סכום יהיה פרח או [...] או אי זה מטבע שיהיה ועמו תסדר שאלתיך ואמור אם זה הסך מזאת המדינה נתן לי זה הסך מהמדינה אשר אני מבקש להשיב זה המטבע למטבע זאת המדינה זה הסך מזאת המדינה כמה יתן לי מהמדינה אשר אני מבקש
Example: we wish to convert 850 liṭra of Barcelona into liṭra of Zaragoza.	המשל רצינו להשיב תת"ן לטרי ברצלונה ליטרי סרגוסה
We take one peraḥ that is worth 17 dinar of Barcelona and 17 [dinar] of Zaragoza and we say: if 17 of Barcelona are worth 16 of Zaragoza, how many liṭra of Zaragoza are 850 liṭra of Barcelona? $\scriptstyle{\color{blue}{17:16=850:X}}$	נקח פרח אחד שהוא שוה בברצי[ל]ונה י"ז די' ובסרגוסה י"ו ונאמר אם י"ז בברצלונה הוא שוה י"ו בסרגוסה תת"ן לטרי מברצלונה כמה ליטרי יהיו שוים בסרגוסה
The question is according to this diagram:	ויהיה השאלה בזאת הצורה
Barcelona Zaragoza Barcelona if 17 16 850	ברצלונ סרגוס ברצלונ   ‫0הח וא זא אם
We multiply the means; the result is 13600.	נכפול האמצעיות יעלו י"ג אלפים ת"ר
We divide it by 17; the result is exactly 800 liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{16\sdot850}{17}=\frac{13600}{17}=800}}$	נחלקם על י"ז יעלה ת"ת ליטרי' בשוה
Hence, 850 liṭra of Barcelona are 800 liṭra of Zaragoza.	ואם כן תת"ן לטרי מברצלונה הם ת"ת ליטרי' מסרגוסה
Check: multiply 16 by [850] and [17] by 850, according to this diagram:	והבחינה תערוך י"ו על י"ז ות"ת על תת"ן כזא[ת] הצורה
13600   13600 800 X 16 850 17	‫00וגא   ‫00וגא ‫00ח X וא ‫0הח זא
We compare and they are equal.	ועשינו השואה והנם שוים
Another question: we reverse the question and this is a check of the above one.	שאלה אחרת נהפוך השאלה ותהיה בחינה לעליונה
[Illegible].	ונאמר אם י"ו מס[ר]גוסה שוה י"ז בברצילונה ‫[...] יהיו [...] בזאת הצורה כפלנו [...] על י"ז יעלו י"ג [...] אלפים ות"ר נחלקם [...] ואם כן ת"ת לטרי סרגוסה [...] ברצלונה
	והבחינה מבוארת כי אלו [...] כל אחד בחינה לחברתה
Another example: a trader owes another 33 escudos; he wants to pay off in ducats. The value of the escudo is 19 dinar and the value of the ducat is 22 dinar.	משל אחר סוחר חייב לאחר ל"ג אשקודוש ורצה לפורעו בדוקדוש וסך האשקודו [עתה] י"ט די' וסך הדוקאדו כ"ב די‫'
We multiply the 33 escudos by the value of escudos, which is 19; the result is 627.	נכפול הל"ג אשקודוש על סך האשקודו שהוא י"ט יעלו תרכ"ז
We divide it by the value of ducat, which is 22; the result of division is 28 ducat and 11 dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{33\sdot19}{22}=\frac{627}{22}=28+\frac{11}{22}}}$	נחלקם על סך הדוקאדו שהוא כ"ב יעלה בחילוק כ"ח דוקאדוש וי"א די‫'
Another example: a trader owes another 28 ducat and 11 dinar; he wants to pay off in escudos. The value of the ducat is 22 dinar and the value of the escudo is 19 dinar. I ask: how much should he pay him?	משל אחר סוחר חייב לאחר כ"ח דוקאדוש וי"א די' ורצה לפורעו באשקודוש וסך הדוקאדו כ"ב די' וסך האשקודו י"ט די‫' שאלתי כמה אישקודוש יתן לו
The answer: we multiply the 28 ducat by 22; the result is 616.	התשובה נכפול הכ"ח [..] דוקאדוש על כ"ב יעלו תרי"ו
We add 11 dinar to them; they are 627.	נחבר עליהם י"א די' יהיו תרכ"ז
We divide them by 19, which is the value of the escudo; the result of division is 33 escudo and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{\left(28\sdot22\right)+11}{19}=\frac{616+11}{19}=\frac{627}{19}=33}}$	נחלקם על י"ט שהוא סך האשקודו יעלה בחילוק ל"ג אשקודוש והוא המבוקש
	והנה כ"ח דוקאדוש וי"א די' הם שוים ל"ג אשקודוש וכן כל הדומה לזה
	משל אחר שרצינו לעשות מפרחים די' או מדי' פרחים כמו קקנ"ב פרחים די' שרצינו לעשותם פרחים
	תחלקם על סך הפרח אם הפרח שוה די שוים תחלקם על סך הפרח ואם יש בו פשי' כמו בזה המשל שרצינו לעשות מקקנ"ב די' פרחי' והפרח שוה [י"ד] די' וב' פשי' ‫הנה ב' פשיט' [...] אלף תקי"ב נחלקם על [...] שהם שישית יעלה בחילוק [...] ששיות די' נחלקם על ששה יהיו ‫[...]
	משל אחר רצינו לעשות אלף וקכ"ה די' [...] שוה ט"ו די' וד' פשי' נעשה הט"ו די' פשי' [...] שנכפלם על י"ב יעלו קפ"ה עם הה' פשיט' והם המחלק וגם נעשה מהפרחים פשיטי' וזה שנכפול אלף קכ"ה על י"ב יעלו י"ג אלפים ות"ק [פשי'] נחלקם על קפ"ה יעלה בחילוק ע"ב והם פרחים ונשארו ק"ף פשי' נחלקם על י"ב יעלו ט"ו די' והנה אלף קכ"ה די' יעלו ע"ב פרחים וט"ו די‫'
	והבחנה כפול ע"ב על פשיטי' הפרח יעלו י"ג אלף ות"ק תחלקם על י"ב יעלו אלף קכ"ה
	משל אחר רצינו לעשות מנ' די' פרחים והפרח שוה י"ב די' וד' פשי‫'
	נעשה הפרח שלישיות יהיו דינר בעבור הד' פשי' שהם שליש דינר יהיו ל"ז שלישיות עם נחלקם על השליש גם נעשה הנ' די' שלישיות יהיו ק"ך שלישים נחלקם על ל"ז יעלה בחילוק ד' פרחים ונשארו ב' לחלק והם ב' שלישיות שהם ח' פשי' והנה נ' די' הם ד' פרחים וח' פשי‫'
	והנה כל אלה תוכל לעשות בדרך השלושה ונאמר אם ל"ז שלישיות דינר שוה פרח אחד ק"ן שלישיות דינ' שהם נ' די' מה יהיה שוה
	כפול ק"ן על א' יעלו יעלו ק"ן
	תחלקם על ל"ז יעלו ד' והם פרחים ונשארו ב' שלישיות דינר שהם ח' פשי' והנה ד' פרחי' וח' פשי' יעלו נ' די' וזה בעבור שיש בזה די' ופשי‫'
	אבל אם אין פשי' הוא קל לעשות ממטבע אחד מטבע אחר מזהב עשה הכל די' ‫[...]רצה והמשל שרצינו [...] הדוקאדוש די' והיוציא [...] הוא המורה והיוציא הם פרחי' [...] אחד דינ' ופשי' עשה שע המטבעו' [...] פשי' מטבע אחת מהנרצה כמו במשל [...] קקכ"ג דוקאדוש פרחים והפרח שוה י"ו די' וג' פשי' עושה מהי"ו די' פשי' יהיו עם הג' קצ"ה והוא המורה לחלק עליו כל פשיטי הדוקאדוש שהם ד' אלפים תתק"ו י"ו אלפים תתי"ב נ"ח אלפים תתע"ב והנה יעלה בחילוק ש"א והם פרחים ונשארו ע"ז פשי' שהם י"ד די' וט' פשי' והנה קקכ"ג דוקדוש הם ש"א פרח' וי"ד די' וט' פשי‫'
	ואם יהיה לך אי זה מטבע זהב ותרצה לעשותם מטבע אחר ואם שיהיה מכסף עשה הכל פשי' וחלקם על פשיט' המטבע שתרצה ו' ותרצה מטבע של זהב עשה הכל די' וחולק על י' דינרי המטבע שתרצה
	והמשל למטבע זהב הרי שהיה ביד סוחר אלף תר"מ אחד ד' אלפים תתק"ך די‫'
	הנה עתה אם ירצה לעשותם פרחי' יחלקם על י"ו יעלו ש"ז פרחים וחצי
	ואם רצה דוקאדוש יחלקם על כ"ב ויעלו רכ"ג דוקאדוש וי"ד די‫'
	ואם רצה ליטרין יחלקם על כ' ויעלו רמ"ו לטרין
	ואם רצה קאשטילאנו יחלקם על כ"ח ויעלו קע"ה קאשטילאנוש ועשרים די‫'
	וכן כל הדומה לזה
	ואם במטבע יהיו פשי' עשה הכל פשי‫'
	ואם מה שהיה בידך הם פשיט אי מטבע של כסף ותרצה לעשות מהם מטבע של [.] זהב הנה הראוי שתעשה מה שבידך פשי' ותחלק על פשיטי המטבע שתרצה כמו שעשינו למטבע הזהב
	ואם נרצה להשיב מטבע של כסף מטבע אחר של כסף הנה הוא חלוקת פשיטי הממון הידוע על פשיט מטבע אחד מהנרצה
	‫והמשל שהיה [...] מהם מלכים [...] ואם מברצילונה נחלקם על י"ז [...] ואם גואניש נחלקם על כ"ו וכן כל ‫[...]
	משל אחר להשיב כ"ט דוקאדוש מלכים [...] וסך הדוקאדו כ"ב נכפול כ"ט על כ"ב שהוא סך הדוקאדו יהיו תקל"ח די' עוד נכפלם על י"ב יעלו ז' אלפים תרנ"ו פשיט‫'
	ועתה נוכל לעשות מהם כל מטבע מטבע כסף שתרצה
	ועתה בשאלתנו נחלקם על י"ח פשיט' מלך מואלינסיאה יעלו [...] תכ"ה מלכים וששה פשי‫'
	והבחינה היא שתעשה מהמלכים דוקאדוש נהפוך השאלה ונאמר רצינו לעשות תכ"ה מלכים מולנסיאה וששה פשי' דוקאדוש הנה סך הדוקאדו כ"ב די' וסך המלך י"ח פשי' נעשה מן הנשאל פשי' וזה שנכפול תכ"ה מלכים על י"ח יעלו עם הששה פשי' ז' אלף תרנ"ו נחלקם על פשיט' הדוקאדו שהם רס"ד יעלה בחילק כ"ט דוקאדוש והנה הבחינה טובה ושבנו מלכים ופשיט דוקאדוש
	הערה לחילוף המטבעות ידועי הסכום הנה כסך המטבע האחד יהיה המטבע השני
	והמשל הנה היה בידינו כ"ב פרחים ורצינו לעשותם דוקאדוש הנה הכ"ב פרחים שהם כסך הדוקדו הם י"ו דוקאדוש וכן כל י"ו דוקאדש הם כ"ב פרחים
	וכן כל כ"ד פרחים שהם כסך הפלומיטה יהיו י"ו פלומיטאש וכל י"ו פלומיט' יהיו כ"ד פרחים
	וכן כל כ"ח פרחים יהיו י"ו קאשטיללאנוש וכל י"ו קאשטילאנוש יהיו כ"ח פרחים
	וכן כל כ"ח פאלומיטה יהיו כ"ד קאשטיללנונוש וכל כ"ד קאשטיללאנוש יהיו כ"ח פלומי‫'
	‫והמשל נעשה מהפרחים די' יהיו שנ"ב נעשה מהם דוקאדוש נחלקם על כ"ב יעלו י"ו דוקדוש או נעשה בהפך וכן אם המטבעות יעלו או יורידו
	‫[...]ת שתרצה ואם [...] י"ו פלומיטאש רנ"א פרחים [...] אבל יותר טוב הוא שתקצרם [...] הי"ו פאלומיטאש ואמור אם ג' פרחים [...] ב' פלומיטש קנ"א פרחים כמה פאלומיטאש יהיו וכן לכל המטבעות הנזכר' תוכל לקצרם
	משל אחר ת"ק לטרין כמה מלכים מואלינסיא הם
	הנה בזה שני דרכים
	הדרך הראשון נעשה מן הלטרין פשיטי' ונחלקם על י"ח שהוא סך המלך בבלינסיאה או נחלקם על סך מטבע אחר שנרצה
	הדרך השני קח כל כך לטרין שיהיו שוים למלכים שתרצה אם ואלינסאנו או אחר ואמור בדרך השלושה אם כך ליטרין שוים כך מלכים ת"ק לטרי' כמה מלכים יהיו
	והמשל בזה הנה ג' ליטרה הם שוים מ' מלכים ואמור אם ג' לטר' שוים מ' מלכים ת"ק ליטרה כמה מלכים הם שוים ויהיו' כזאת הצורה
liters kings liters if 3 40 500	לטרי' מלכי' לטרי‫'   תק מ ג אם
	נכפול ת"ק על מ' יעלו כ' אלפים נחלקם על ג' יעלו ששת אלפים תרס"ו והם מלכים וב' שלישיות מלך שהם דנר אחד והראוי שנסדר כל כך ליטרין שיהיו מלכים שוים כמו במשל כי י"ד מלכים הם כ"א די' וי"ג מלכים הם י"ט די' וחצי ועוד י"ג מלכים הם י"ט די' וחצי ושלושתם הם ג' ליטרי' שוים ולכך נאמר אם ג' לטרי' שוים מ' מלכים ת"ק ליטר כמה מלכים יהיו שוים וכן תעשה לכל מטבע שתשוים זה עם זה עם שתגרע או תוסיף עד שיהיו שוים ‫כי כאשר סך [...] נחלקם על י"ו יעלה [...] ליטר אחת שוה ט"ו מלכים [...] והקש על זה
	משל אחר רצינו להשיב רמ"ה ק[...] ואחר דוקאדוש ואחר אשקודוש הנה סך [...] כ"ח די' נכפול רמ"ה על כ"ח יעלו ששה אלף תת"ס נחלקם על י"ו יעלו תכ"ח פרחים וי"ב די‫'
	ואם נחלקם על כ"ב יעלו שי"א דוקאדוש
	ואם נחלקם על כ"א שהוא סך האשקוד יעלו שכ"ו אשקודוש וי"ד די‫'
	ואם נחלקם על כ' יעלו שמ"ג לטרין
	וכן כל הדומה לזה
	אחרת רצינו להשיב רנ"ב קאשטיללאנוש מזהב גואניש מכ"ו פשיט' גם מלכים מואלינסאה מי"ח פשי' גם מברצלונה מי"ז פשי' גם קפליניש מי"ד פשי‫'
	הדרך לכל זה ולדומה לזה שנכפול ראשונה הקאשטיללאנוש על כ"ח ויהיו די' גם נכפול הדינ' על י"ב ויהיו פשיטי' ותשמרם ואחר נחלקם אל מה שנרצה
	והמשל בזה רצינו לעשות מרנ"ב קאשטיללנוש גואנוש
	הנה בעבור שנרצה מטבע כסף נעשה מהם פשיטי וראשונה נעשה מהם די' וזה שנכפלם על כ"ח יעלו ז' אלפים ונ"ו די' עוד נכפול אלו הדי' בי"ב יעלו פ"ד אלפים תרע"ב והם פשיטי' ונשמרם ודרך אחרת לעשותם פשיט' ולא די' נכפול רנ"ב על של"ו שהם פשיטי' קאשטיללנו אחד יעלו פ"ד אלפים תרע"ב כנז' נחלקם על כ"ו יעלו ‫[...] י"ו פשיטי' [...] ואלינסי' יעלו ד' [...]לינסו‫'
	עוד אם נחלקם [...] יעלו ד' אלפים תתק"ף [...]לונה
	עוד אם נחלקם [...] שהוא סך הקרלין יעלו ששת אלפים ומ"ח קרליניש
	וכן תעשה לכל הדומה לזה
	והבחינה כפול המטבע אשר בידך על סך המטבע עצמו ויעלו כל הפשיטי' אחר תחלק הפשי' על י"ב יעלו הדי' אחר תחלק הדי' על כ"ח יעלו כל הקאשטיללנוש
	והמשל בקארליניש נכפול ששת אלפים ומ"ח קרליניש על י"ד שהוא סך הקרלין יעלו פ"ד אלף תרע"ב פשיט' נחלקם על י"ב יעלו ז' אלפים ונ"ו די' עוד נחלק הדי' על כ"ח יעלו רנ"ב קאשטיללנוש וכן לכל מין שיהיה‫
censal
	‫[...][הסנשאל] הנה זה בשני [...]שון הוא שרצינו להוריד [...] במשל אם היה הרבית ק' די' [...] שנרצה והקרן קיים [...]ניח הוא שלא נרצה להוריד הרבית אלא שיתנו [...] בזה הסך הממון הנרצה
The example of the first way: Reuven borrowed a thousand dinar for a total of 100 dinar per year and after a while they wanted to lower the interest of the total as if the thousand dinar were one thousand and 500 for a total of 100, which is also 15 thousand for a thousand.	המשל לדרך הראשון הנה ראובן הלוה אלף די' לסך ק' די' בכל שנה ולאחר זמן רצו להוריד הרבית לסך כאילו היו האלף די' אלף ות"ק לסך ק' שהוא גם כן ט"ו אלפים בעד אלף
If it is solved by the Rule of Three, as is customary in most questions, the result will not be correct, as if we say: if a thousand gives us 100, how much will a thousand and 500 give us? It would give us 150, but we were asked to lower the interest so it should not go up.	ואם נאמר בדרך השלושה כנהוג ברוב השאלות לא תציא אמיתי כמו שנאמר אם אלף נתן לנו ק' אלף ות"ק מה יתן לנו הנה נתן לנו ק"ן ואנחנו שאלנו להוריד הרבית לא שיעלה
Therefore we take a different way than the Rule of the Three, because there are three ways, as you will see in its place and we say that in these questions and those similar to them in other issues, we multiply the known terms, which are a thousand by 100, then divide the result by what is asked for.	ובעבור זה נקח דרך אחר מדרך השלושה כי הם ג' דרכים כמו שתראה במקומו ונאמר כי באילו השאלות והדומים להם בחומר אחר נכפול הידועים שהם אלף על ק' והיוציא נחלק על הנשאל
The example is this question: if a thousand yields 100 dinar, how much will a thousand and 500 yield?	והמשל בזה הנה זאת השאלה הוא אם אלף נתן ק' די' מרבית אם יהיה אלף ות"ק מה יתן
As this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
if 1000 100 1500	‫00הא ‫00א ‫000א אם
We multiply a thousand by 100; the result is one hundred thousand.	נכפול אלף על ק' יעלו מאה אלף
We divide it by one thousand and 500; the result of division is 66 dinar and 2-thirds of a dinar, which are 8 pešiṭim and this is paid for the thousand dinar that he has, instead of the 100 for a thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1000\sdot100}{1500}=\frac{100000}{1500}=66+\frac{2}{3}=66+\frac{8}{12}}}$	נחלקם על אלף ות"ק יעלה בחילוק ס"ו די' וב' שלישיות דנר שהם ח' פשיטי' וזה יפרע מן האלף די' אשר בידו במקום [.] הק' באלף
	והבחינה הנה [.] נוכל לקצר השאלה להקל תגרע ב' ספראש מכל אחד ונשאר השאלה אם עשרה נתן א' ט"ו מה יתן כזה הצורה
if 10 1 15	הא א ‫0א אם
	נכפול עשרה על א' יהיו ‫עשרה נחלקם על [...] וח' פשי'
	משל אחר אם אלף נתן מאה [...] ונאמר אם אלף נתן ק' מה [...] ונאמר אם אלף נתן מאה ב' אלפים מה יתן [...] הצורה
if 1000 100 2000	‫000ב ‫00א ‫000א אם
	נכפול [...] הידועים שהם אלף על ק' יהיו מאה אלפים נחלקם על ב' אלפים ותציא בחלוקה חמשים די' והנה חמשים די' יתן בעד האלף אשר בידו וכן תעשה לכל הדומים לאלה כי האלף די' קיימים והרבית יורד
	והבחינה גרע ב' ספראש להקל מכל אחד ישאר השאלה אם עשרה נתן א' עשרים מה יתן נכפול עשרה על א' יהיו עשרה נחלקם על עשרים והוא מחולק כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{20}}}$	‫0א ‫0ב
	שהם עשרה חלקים מעשרים גרע הספראש יהיו חצי או תקצרם ישאר חצי והוא חצי ק' שהוא חמשים ממאה שהוא הרבית הראשון הנה זה הסדר תעשה כשתרצה לרדת הרבית אבל כשתרצה שינשאל נערך אל אחר תעשה הדרך השלושה הנהוג
	והמשל נאמר אם אלף שוה ק' ג' אלפים וק' מה יהיה שוה או אלף שוה פ"ה שכ"א מה יהיה שוה וכן תעשה כאשר תקצר את כולם וזה תראה בדרך השנית
	והדרך השנית הוא שלא נרצה להוריד הרבית אלא שיתנו מעות לזה הסך אם מעט ואם הרבה ובעבור זה נעשה חשבוננו עם דרך השלשה הנהוג
	והמשל רצינו לתת תת"ק די' לסך י"ח אלפים באלף ושיהיו בידו ע"ג ימים נאמר ראשונה אם י"ח אלפים נתן אלף תת"ק מה יתן נכפול אלף על תת"ק ותציא ט' מאות ‫[...] או תקצרם ואמור [...] [כפול] תת"ק על א' ותחלקם על [...] ואחר נאמר אם שס"ה ימי השנה [...] מה יתן ויהיה כזה הצורה
if 365 50 73	גז ‫0ה הוג אם
	נכפול נ' על ע"ג יעלו ג' אלפים תר"ן נחלקם על שס"ה יעלו עשרה די' וזה הראוי לע"ג ימים
	והבחינה היא שנכפול האמצעיות ויהיו שוות לכפל החיצוניות וגם בערכים תראה זה כי ערך שס"ה אל ע"ג כערך נ' אל עשרה כי ע"ג הוא חמשית שס"ה וכן עשרה הם חמשית נ' וגם אם תשוים יהיו שוים כזה הצורה
3650   3650 73 X 365 10 50	‫0הוג   ‫0הוג גז X הוג ‫0א ‫0ה
	משל אחר רצינו לתת תשל"ב לזמן רצ"א ימים לסך י"ט אלף באלף
	נאמר ראשונה אם י"ט אלף נתן אלף בשנה תשל"ב מה יתן
	נסיר הספראש להקל ונאמר אם י"ט נתן א' תשל"ב ויהיה כזא' הצורה
if 19 1 732	בגז א טא אם
	כפול תשל"ב על א' ויהיו תשל"ב נחלקם על י"ט ותציא בחילוק ל"ח ועשרה חלקי י"ט נכפול אלו העשרה שברים על י"ב יעלו ק"ך נחלקם על י"ט יצא בחילוק ששה פשיטי' וששה חלקים מי"ט בפשוט אבל צריך להשיבם בשברו וישובו תשל"ב חלקים מי"ט
	ונאמר אם שס"ה נתן לנו תשל"ב רצ"א מי יתן לנו ויהיה כזה הצורה
if 365 732 291	אטב בגז הוג אם
	נכפול רצ"א על תשל"ב יעלו רי"ג אלפים וי"ב כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{213012}{19}}}$	בא0גאב טא
	‫כזה נחלקם על שס"ה [...] י"ט יהיו ששת אלפים תת"ק [...] וי"ב ותציא בחילוק ל' די' [...] נכפלם על י"ב יהיו נ"ט אלפים תקמ"ד [...] ותציא ח' פשיט' ונשארו ד' אלפים ס"ד נכפלם על [...] אלפים קכ"ח נחלקם על המורה יעלה מחצה ונשארו אלף קצ"ג נכפלם על ב' לעשות פוגישאש יהיו ב' אלפים שפ"ו ולא הגיעו לפוגישה א' והם חלקי פוגישה שהוא זה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2386}{6935}}}$	וחגב הגטו
	והנה עלה מכל זה כי הנותן תשל"ב די' בזמן רצ"א ימים לסך י"ט אלפים באלף חייב לפרוע מהם ל"ח די' וששה פשי' וששה חלקים מי"ט בפשוט ובעבור שלא היו בידו כל השנה אלא רצ"א ימים חייב לפרוע מהם ל' די' וח' פשי' ומחצה והחלק הנז' מפוגישה
	והבחינה אמור אם שס"ה נתן ל"ח והחלקים הנז' רצ"א מה יתן והנה נתן ל' די' וחלקים כנז'
	שאלה אחרת הדרך השני הוא שנעריך מה שלקח כפי הימים אשר בידו ודע כי קוראים סינשל לעשרת אלפים הרבית אלף או לשנים עשר אלף באלף וזה יותר בזול וכן כל מה שיעלה ההלואה יהיה יותר בזול כמו שתראה בזה הלוח כי עשרה אלפים נתן ק' וד' אלפים וי"ב אלפים נתן פ"ג די' וד' פשי' וכו' כמו שתראה במשלים
Example: we wish to know, if ten thousand yield one-thousand in bond [lit. censal], how much will one-thousand yield at this rate?	והמשל רצינו לדעת אם עשרת אלפים נתן בסינשאל אלף לזה הסך מה יתן אלף
	והנה נתן ק' כמו שתראה בטור ראשון מן הלוח ואם הסינשאל יהיה מי"ב אלפים לאלף שהוא יותר בזול גם כפול אלף על ‫[...] על י"ב אלפים [...] הוא לכל שנה ‫[...] אבל אם שאל ימים או ימים וחדשים אמור בימים אם שס"ה ימים נתן ק' הנשאל מה יתן
dinar dinar dinar [..] [..] 10000 1000 1000 100 [.] 12000 1000 1000 83 4 14000 1000 1000 66 8 18000 1000 1000 55 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}}}$ 20000 1000 1000 50 24000 1000 1000 41 8 30000 1000 1000 33 4 36000 1000 1000 27 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}}}$         10000 1000 900 90 10000 1000 800 80 10000 1000 700 70 12000 1000 900 75 14000 1000 900 64 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}}}$ 15000 1000 900 60 18000 1000 900 50 20000 1000 900 45 24000 1000 900 37 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 30000 1000 900 30 36000 1000 900 25	דנרי דנרי דנרי' [..] [..] 10000 1000 1000 100 [.] 12000 1000 1000 83 4 14000 1000 1000 66 8 18000 1000 1000 55 $\scriptstyle\frac{5}{9}$ 20000 1000 1000 50 24000 1000 1000 41 8 30000 1000 1000 33 4 36000 1000 1000 27 $\scriptstyle\frac{2}{9}$         10000 1000 900 90 10000 1000 800 80 10000 1000 700 70 12000 1000 900 75 14000 1000 900 64 $\scriptstyle\frac{2}{7}$ 15000 1000 900 60 18000 1000 900 50 20000 1000 900 45 24000 1000 900 37 $\scriptstyle\frac{1}{2}$ 30000 1000 900 30 36000 1000 900 25
	הנה אתן משלים להבין זה על סך אחד מהסנשאל ולא אכווין לרביע היום על שס"ה שלא לבלבל למעיין
	שאלה הנה היה ביד ראובן אלף די' לסך עשרת אלפים אשר בכל שנה חייב לתת ק' די' ושהו בידו ע"ג ימים שאלתי כמה די' יפרע ראובן מן הע"ג ימים שהיו בידו אלף די'
	התשובה אמור אם שס"ה ימים נתן ק' די' ע"ג ימים כמה ראוי שיתן
	ויהיה כזאת הצורה
if 365 100 73	גז ‫00א הוג אם
	‫הצורה נכפול [...] יעלה בחילוק עשרים [...] שבידו
	והבחינה נכפול הקצוות וכן האמ‫[...]
	ועוד בחינה אחרת שנזדמן [...] זה כי ערך שס"ה אל ע"ג הוא חמשית וכן ב' אל ק'
	שאלה אחרת הנה ביד ראובן אלף די' לסך עשרת אלפים באלף והסך ק' די' ושהו בידו ז' חדשים וי"ז ימים ממרסו
	אמור אם שס"ה נתן ק' בשנה ז' חדשים וי"ז ימים מה יתן
	תן השלם בשברו שתכפול הז' חדשים על ל' יהיו ר"י תחבר על ר"י ד' בעבור ד' מלאים יהיו רי"ד עוד תחבר עליהם י"ז ימים שלנו יהיו רל"א
	ועתה אמור אם שס"ה נתן ק' רל"א מה יתן כזאת הצורה
if 365 100 231	אגב ‫00א הוג אם
	תכפול רל"א על ק' יעלו כ"ג אלפים וק' תחלקם על שס"ה יעל ס"ג וק"ה חלקי שס"ה
	ואם תרצה לעשות מהם שעות תכפול ק"ה על כ"ד והעולה תחלק על שס"ה
	והבחנה כנהוג ובעבור שלא [.] אעשה בחינה לכל שאלה אכתוב אחר קצת במינו
	שאלה אחרת הנה ביד ראובן אלף די' לס' עשרת אלפים באלף אשר הסך הוא ק' די' כנז' ושהו בידו ט' חדשים שאילתי הראוי לפרוע לפרוע
	אמור אם י"ב חדשים נתן ק' די' בט' חדשים מה ראוי לפרוע ויהיה כזאת הצורה
	חדשי' די' חדש   עה ט ‫00א בא אם
	תכפול ט' על ק' יעלו תת"ק ‫[...] די' וזה הראוי [...] חיצוניות ויהיה כל אחד תת"ק [...] ערך ע"ה אל ק' ג' רביעיות וכן ערך [...] ג' רביעיות
	שאלה אחרת על הסך הנז' ושהו האלף די' ביד ראובן ח' חדשים ממרסו להלן וי"א ימים וט"ו שעות שאלתי הראוי לפרוע
	הנה נעשה הכל שעות וראשנה נעשה הח' חדשים ימים ויהיו רמ"ה עם ימי המלאים ועוד י"א ימים שהיו לנו יהיו רנ"ו ימים נכפלם על כ"ד שעות כל יום יהיו ו' אלפים קמ"ד הכל שעות וט"ו שעות שהיו לנו יהיו ו' אלפים קנ"ט והם כל השעות הראויות לחלק
	ועתה נאמר אם שס"ה נתן ק' די' ו' אלפים קנ"ט מה יתן כזאת הצורה
if 365 100 6159	טהאו ‫00א הוג אם
	נכפול ו' ו' אלפים קנ"ט על ק' יעלו קט"ו אלפים ותת"ק נחלקם על שס"ה אחר שנכפול שס"ה על כ"ה שיהיו ח' אלפים תש"ס והם שעות שס"ה ואיני [..] חושב על הרביע יום שלא לבלבל הנה יעלה בחילוק ע' די' וכ"ז חלקים מפ"ז בדינ' אחר הקיצור וזה הע' די' וכ"ז חלק פ"ז הוא הראוי לפרוע באילו החדשים והימים והשעות
	הערה לבחינות הנה יעדתי לכתוב בחינות לדרך השלושה על דרכים רבים אפע"פ שהם מפוזרים בספר אבל אני אתן בכאן קצת מהם מקובצות על שאלה אחת והיא אם ה' יתן ג' ו' מה יתן הנה נתן ג' וג' חמשיות והבחינה נכפול החיצוניות והאמצעיות והיו שוות וראשונה ‫תשוים הכל בחמשיות [...] ויהיו כזאת הצורה הרא[שונה] ‫[...]
if 18 30 15 25	כה טו ל יח אם
	‫[...] ט"ו וה[...] חמשיות ועם זה אעשה קצת בדיקות הראשונה היא שתכפול האמצעיות והחיצוניות יהיו כל אחד ת"ן
	והבחינה השנית תהפוך השאלה [..] כמו שהיא בחמשיות ואמור אם י"ח נתן ל' ט"ו מה יתן והוא הדין אם תקח הצורה הראשונה אבל לקחתי השנית שלא לטרוח לעשותה חמשיות
	והבחינה השלשית תן הבנים על האבות בעבור שהם קטנים יהיו ט"ו על כ"ה וי"ח על ל' כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{30}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15}{25}}}$	יח טו ל כה
	תקצרם יהיו כל אחד משניהם ג' חמשיות אחר הקיצור
	והבחינה הרביעית תן האבות על הבנים כ"ה על ט"ו ול' על י"ח כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{18}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{25}{15}}}$	ל כה יח טו
	ויהיו שוים אחר הקיצור ש ה' שלשיות כל אחד שהם אחד שלם ושתי שלישיות
	בחינה חמשית תן כל אב על בנו ותשוים ויהיו כל אחד ת"ן
	תן   תן ל X כה יח טו
	בחינת שברים או שברי שברים הוא שתשוים כמ[ו] שתראה בשאלות ועוד תראה בדיקות אחרות הנה כל אלו הבחינו' ועוד אחרות מפוזרות ואחרות מערכים וזה להרגילך ואשוב ואחרות
	‫[...]עות לסך סינשאל [...] ב' אלפים כנזכ' בלוח [...] תאמר אם י"ב אלף נתן [...] וגם תוכל לקצר האלפים ותאמר [...] הנשאל מה יתן
Example: Reuven lent a gentile 600 dinar at 12 thousand for a thousand. I ask: how should he pay him each year?	המשל בזה ראובן הלוה לגוי ת"ר די' לסך י"ב אלף לאלף שאלתי הראוי לפרוע לו בכל שנה
	התשובה הנה תדע זה בדרך השלושה ואמור אם י"ב אלף נתן אלף ת"ק מה יתן כפול ת"ק על אלף והעולה תחלק על י"ב אלפים והיוציא שהוא מ"א די' [.] ושתי שלישיות די' שהם ח' פשי' הוא הראוי לפרוע לסך הנשאל
	וכן אם תקצרם ותאמר אם י"ב נתן א' ת"ק מה יתן כפול ת"ק על א' יעלה ת"ק תחלקם על י"ב ותציא מ"א ושתי שלישיות כנזכר שהם מ"א די' וח' פשי' בכל שנה
Another question: Reuven lent a gentile 13 thousand at 12 thousand for a thousand and the interest was completed within 203 days. I ask: how should he pay him through these 203 days?	שאלה אחרת ראובן הלוה לגוי י"ג אלפים לסך י"ב אלף באלף והלך הרבית ר"ג ימים שאלתי הראוי לפרוע לו מאילו הר"ג ימים
	התשובה תחלק אלף שהוא הראוי לשום לשס"ה ימים ולא נדקדק לרביע יום והיוציא הוא הראוי לכל אחד ואחר אמור אם יום אחד נתן לי כך ר"ג ימים מה יתן לי
	והמשל נחלק אלף לשס"ה ימים יבוא לכל יום ב' די' ור"ע חלקים משס"ה בשלם
	דרך אחרת תעשה הכל פשיטי' ואמור אם יום אחד נתן ב' די' ור"ע חלקי שס"ה ר"ג ימים מה יתן לי או תסדר שאלתך בדרך אחרת ואמור אם י"ב אלפים בשס"ה יום נתן לנו אלף די' י"ג אלפים בר"ג ימים מה יתן ויהיה כזה הצורה
	‫ דינרי ימים ‫000גא ג0ב ‫000טגוב
	מספרים תרל"ט אלפים ואחר נסדר [] [ד'] מספרים וש"ף אלפים נתנו אלף די' ב' מספרים [תרל"ט מה] יתן נכפול אלף על האחרון הנשאל שהוא שני מספרים תרל"ט יעלו רס"ג מספרים תת"ק אלפים כזה הצורה
	ב ו ג ט 0 0 0 0 0 0
	אשר נחלקם על הראשון שהוא ד' מספרים ש"ף אלפים ויעלה בחילוק תר"ב די' וקי"ב חלקים מרי"ט בשלם כזה מקוצר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{121}{219}}}$	אבא טאב
	או דרך יותר נקל אמור אם י"ב אלפים נתן אלף די' י"ג אלפים מה יתן נכפול י"ג אלפים על אלף יעלו י"ג מספרים נחלקם על י"ב אלפים יציא בחילוק אלף פ"ג די' ושליש שהוא ד' פשי' וזה יהיה בשנה אחת [...] שהיא שס"ה ימים ואנחנו שאלנו ר"ג ימים
	הנה נאמר אם שס"ה נתן לנו אלף ופ"ג די' ושליש מה יתן לנו ר"ג ימים
	נעשה שלישיות ר"ג ימים וגם אלף ופ"ג יהיו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{609}{3}}}$	ט0ו ג
	והשני
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3250}{3}}}$	‫0הבג ג
	נכפול זה על זה שבר על שבר ומורה על מורה ויהיו מספר אחד ותתקע"ט אלפים ור"ן והם תשיעיות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{197925}{9}}}$	‫0הבטזטא ט
	נחלקם על שס"ה וראשונה אחר שנכפול שס"ה על ט' שיעלו ג' אלפים רפ"ה ויעלה בחילוק תר"ב די' ונשארו קי"ב חלקים מרי"ט בשלם אחד הקיצור בשלישית שתי פעמים ואם כן מי שלקח י"ג אלף די' לסך י"ב אלפים באלף יפרע בר"ג ימים תר"ב די'
	‫שאלה [...] תקמ"א דינרי' [...] והלך הרבית רכ"ט [...] נעשה מן דינרי' פשיטי‫' [...]
	דנרי ימים דינרי' ‫000בא הוג ‫000א ‫00הדאא פשיטי בא
	יהיו קי"ד אלפים ות"ק הכל פשיטי' עם ח' פשיטי' שהיו לנו גם ניתן הימים נשברים שנכפול רכ"ט על קי"ד אלפים ות"ק פשיטי' יעלו כ"ו מספרים ור"ך אלפים ות"ק והמורה י"ב ויהיו כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{26220500}{12}}}$	‫00ה0בבוב בא
	ועתה כפול אלף על זה המספר יהיו כ"ו אלפים ור"ך מספרים ות"ק אלפים והמורה י"ב ויהיה כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{262205}{12}}}$	‫00000ה0בבוב בא
	שמור לחלק על ראשון אחר שנשויהו שנכפול שס"ה ימים על על י"ב אלף שיעלו ד' מספרים ש"ף אלפים אשר תכפלם אשר תכפלם על י"ב ויעלה נ"ב מספרים תק"ס אלפים כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{52560000}{12}}}$	‫0000והבה בא
	אשר עליו תחלק כי אז [.] שוה למספר השמור לחלק ויעלה בחילוק תצ"ד וג' אלפים ותתקפ"ו מה' אלפים רנ"ו כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3986}{5256}}}$	וחטג והבה
	וזה מה שראוי לפרוע למי שנתן [.] ט' אלפים תקמ"א דניר' וח' פשיט לסך סנשאל שהוא י"ב אלף לאלף
Another question: Reuven lent a gentile 5 thousand and 6 dinar and 8 pašuṭim at the asked rate, which is 12 thousand for a thousand as mentioned, and the interest was completed within 62 days. I ask: how should it be paid?	שאלה אחרת הלוה לגוי ה' אלף וששה די' וח' פשיטי' לסך סינשאל שהוא י"ב אלפים לאלף כנזכר והלך הרבית ס"ב ימים שאלתי הראוי לפרוע
	נאמר אם י"ב אלף בשס"ה ימים נתנו אלף ה' אלף ו' די' ח' פשי' בס"ב ימים מה יתנו כזה הצורה
dinar days dinar dinar days 12000 365 1000 5006$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{12}}}$ 62	דנרי' ימים דנרי' דנרי' ימים 12000 365 1000 5006$\scriptstyle\frac{8}{12}$ 62
	נתן השלם בשברו יהיו יהיו ס' אלף ופ' והמורה י"ב כי הם פשיטין נכפול ס"ב ימים על הפשיטי' יהיו ג' מספרים תשכ"ד אלפים תתק"ס והמורה י"ב ועתה נכפול זה המספר על אלף יהיו ג' אלפים תשכ"ד מספרים תתק"ס אלפים והמורה י"ב וזה ראוי לחלק על כפל שס"ה ‫על י"ב אלף שהוא הראשון והעולה תכפול עוד על י"ב ואז יהיה שוה למספר הראוי לחלק ואז יעלה המספר י"ב מספרים תק"ס אלפים כזה
52560000	‫0000והבה
	וזה יהיה המחלק ויעלה בחילוק ע' די' ותקע"ב חלקים מתרכ"ז מקוצרים והוא הנשאל והנה אם יהיה בשאלתך מספר שתוכל לקצרו כמו באלה השמות שאמר ח' פשיט הנה תוכל [.] לאמר ב' שלישיות וכמו שעשית המורה י"ב יהיה ג' ותעשה הכל יותר בקלות וגם במספר המונח ומה שלא עשיתי כן כדי שלא לבלבל למעיין כי הכל דק ועיין

Chapter	‫הפרק [...]
	הממון אשר [...]
	התשובה הנה זאת השאלה [...] דרך השלושה ונניח [...] ששה ואנחנו שאלנו שלושה רביעיות [...] ונאמר אם ד' נתן לנו ו' מי יתן לנו שלושה רביעיות [...] כזאת הצורה
	0 ו ד אם
	נכפול הקצוות שהם על ד' יעלו י"ב רביעיות נחלקם על ו' שהם כ"ד רביעיות יעלה בחילוק חצי וזה המספר המבוקש שאם נוסיף עליו חציו יהיו ג' רביעיות
Another question: what is the number that, when we add to it a half of its third, a third of its quarter, and a quarter of its fifth, the total is 2-fifths? $\scriptstyle a+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\right)a+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)a+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)a=\frac{2}{5}$	שאלה אחרת מהו המספר אשר חיב[ר]נו עליו חצי שלישיתו ושלישית רביעיתו ורביעית חמשיתו ועם הכל יהיה ב' חמשיות
Answer with false position and the "Rule of Three": we suppose it is 60, since it has all these fractions.	תשובה עם מונח כוזב ודרך השלושה נניח ס' בעבור שימצאו בו כל החלקים בשלמות
A half of its third is ten, because a third of 60 is 20 and its half is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\right)\sdot60=\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=\frac{1}{2}\sdot20=10}}$	הנה חצי שלישיתו הוא עשרה כי שליש ס' הוא כ' וחציו עשרה
We add it to 60; it is 70. $\scriptstyle{\color{blue}{60+10=70}}$	נחברם עם ס' יהיו ע‫'
We take a third of its quarter; it is five, because its quarter is 15 and a third of 15 is 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot60=\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)=\frac{1}{3}\sdot15=5}}$	ועוד נקח שלישית רביעיתו והוא חמשה כי רביעיתו הוא ט"ו ושלשית ט"ו הוא ה‫'
We add 5 to 70; it is 75. $\scriptstyle{\color{blue}{70+5=75}}$	נחבר ה' עם ע' יהיו ע"ה
We take also a quarter of its fifth; it is 3, because its fifth is 12 and a quarter of 12 is 3. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot60=\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=\frac{1}{4}\sdot12=3}}$	ועוד נקח רביעית חמשיתו והוא ג' כי חמשיתו הוא י"ב ורביעית י"ב הוא ג‫'
We add it to 75; it is 78. $\scriptstyle{\color{blue}{75+3=78}}$	נחברם עם ע"ה יהיו ע"ח
The result is greater than what we ask for, because we ask for 2-fifths, and the assumption gives us 78 integers.	והנה עלה יותר ממה ששאלנו כי ב' חמישיות שאלנו ונתן לנו המונח ע"ח שלמים
We apply the "Rule of Three" and it will solve our question. We arrange by the "Rule of Three" and say: if 60 gives us 78, what will give us 2-fifths? $\scriptstyle{\color{blue}{60:78=X:\frac{2}{5}}}$	נלך אל דרך השלושה והיא יגיד לנו שאלתנו ונסדר דרך השלושה ונאמר אם ס' נתן לנו ע"ח מי יתן לנו ב' חמשיות
It is according to this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
	מי יתן לנו ע"ח נתן ס אם
	נכפול הקצוות ב' על ס' ‫[...] שהוא [...] בחילוק דנר [...] ראובן
	עוד נכפול כ' [...] יעלה בחילוק דנר אחד [...] שמעון
	עוד נכפול ל' על ו' יעלו [...] המורה יעלו בחלוק ב' דנרי' ונ"ו חלקים מס"ב וזה ‫[...]
	והבחינה כך היא נחבר דנרי כולם יהיו ד' וב' שיצאו מהשברים יהיו ו' והוא הריוח כי השברים הם עשרה ונ"ח ונ"ו וכולם קכ"ד והם ב' כפלי המורה והם שנים וד' שהיו השלמים הם ו' והוא המבוקש
	ולדעת כמה פשיט' יהיה סך שברי כל אחד כפול שברי כל אחד על י"ב שהם פשיטי הדינר וחלק על המורה והיוציא הם פשיטי כל אחד והנשאר יהיה שברים מס"ב בפשוט כי לעולם ס"ב יהיה מורה לכולם כאשר תראה בזה המשל
	משל בעשרה שנשארו מראובן תכפלם על י"ב יעלו ק"ך חלקם על ס"ב יעלה בחילוק פשוט אחד ונשארו נ"ח תכפלם על ד' שהם חלוקת הפשוט יעלו רל"ב חלקם על ס"ב יעלו בחילוק ג' רביעיות ונשארו מ"ו חלקים מס"ב ברביע והנה חלק ראובן הוא דנר אחד ופשוט אחד וג' רביעיות ומ"ו חלקים מס"ב ברביע
	משל בשיור שמעון שהוא נ"ח תכפלם בי"ב יעלו תרצ"ו תחלקם על ס"ב יעלה בחילוק י"א פשיטי' ונשארו י"ד תכפלם בד' יעלו נ"ו והוא מחולק על ס"ב שהוא נ"ו חלקי רביע פשוט מס"ב ברביע והנה חלק שמעון הוא דנר אחד [.] וי"א פשי' ונ"ו חלקי רביע אשר ס"ב הוא רביע פשוט
	משל בשיור לוי שהוא נ"ו חלקים תכפלם על י"ב יעלו תרע"ב תחלקם על ס"ב יעלו עשרה פשיטי' ונשארו נ"ב תכפלם בד' יעלו ר"ח תחלקם על ס"ב יעלה בחלוק ג' רביעיות ונשארו כ"ב חלקים מס"ב ברביע פשוט והנה חלק ‫לוי הוא [...] כולם בצורה הנ[...] יהיו קכ"ד חלקם על [...] תחברם עם ו' שהיו לנו יהיו [...] פשיט' שהיו לנו יהיו כ"ד שהם [...] ויהיה ששה ושב הריוח
	‫הערה ואם תהיה ממונם ממטבעות מתחלפות כמו שהאחד נתן לטרין והשני די' והשלישי דוקאדוש עשה אותם ממין אחד וכזה תעשה אותם די' ואם תהיה בממון פשיט' בין מכולם בין מקצתם תעשה הכל פשיט' ועשה שאלתך ואחר תחלק חלק כל אחד על י"ב לעשותם די' או על המטבע שתרצה
The eighth question: Reuven, Shimon and Levi formed a partnership; Reuven contributed 4 liters of money and stayed [in the partnership] the same as Shimon and half [of his time] and a third of the whole and a quarter of a third of the whole; Shimon [contributed] to the partnership as Reuven and half [of his contribution] and a third of the whole and stayed [in the partnership] as Levi plus 12 and a half of the whole plus 3 and a third of the whole plus 4 and a quarter of the whole plus 4; Levi [contributed] to the partnership as Reuven and Shimon and a third of the whole and stayed [in the partnership] 17 days. With this amount of money and the time they stayed in the partnership, they earned 17 liters. I ask: how should they divide [the profit]?	שאלה שמנית ראובן שמעון לוי עשו חבר ראובן נתן בחברה ד' לטרי ממון בי"ט באדם [.] משנה פשוטה שסמנה ב[.] ושהה כשמעון וחציו ושלשית העולה ורביעית השלשית העולה ושמעון נתן בחברה כראובן וחציו ושלישית העולה ושהה כלוי ועוד י"ב וחצי העולה ועוד ג' ושלישית העולה ועוד ד' ורביעית העולה ועוד ד' ולוי נתן בחברה כראובן ושמעון ושלשית העולה ושהה י"ז ימים ועם זה הממון ושהיתם בחברה הרויחו ז' לטרין שאלתי כיצד יחלוקו
	תשובה הנה לטרי ממון הנעלמם תדעם עם לטרי ראובן הידועים וזמן שהות הנעלם תדעהו עם זמן שהות לוי הנודע
	כיצד הנה לטרי ראובן הידועים הם ד' ושהיתו קל"ו יום כיצד הנה שהות לוי הידועים הם ח' ושמע' ושמעון שהה כלוי ח' ועוד י"ב יהיו כ' וחצי העולה שהוא עשרה יהיו ל' ועוד ג' יהיו ל"ג ושלשית העולה שהוא י"א יהיו מ"ד ועוד ד' יהיו מ"ח ורביעית העולה שהוא י"ב יהיו ס' ועוד ד' יהיו ס"ד וזה ימי שהות שמעון ומזה נדע ימי שהות ראובן
	והנה ימי שהות ראובן הוא כשמעון שהם ס"ד וחציו שהוא ל"ב יהיו צ"ו ושלישית צ"ו הוא ל"ב יהיו קכ"ח ורביעית ל"ב הוא ח' כי ל"ב הוא [שלישית העולה] ויהיו קל"ו כנזכר והנה לטרי שמעון הם ח' בעבור ‫[...] הם ד' וחציו [...] ס"ד ימים כנז' [...] ראובן ושמעון ושלישית [...] וכשמעון הם ח' וד' הם י"ב ושלישית [...] כנז' וזמן שהיתו ידוע שהוא ח' ימים [...] כי ממון ראובן הוא ד' לטרי' ושהיתו קל"ו ימים [...] ח' וימי שהיתו ס"ד ולטרי לוי י"ו ושהיתו ח' ימים
	ויהיה כצורה הזאת
	דנר לטרי הריוח הנכפל ימי' לטרי'   ד ג ז תקמד קלו ד ראובן   ג תקיב ס"ד ח שמעון ט"ו   קכח ח יו לוי       דחאא המורה
	ועתה תכפול ממון ראובן בימיו יעלו תקמ"ד כפולי המין תכפלהו על הריוח יעלו ג' אלפים תת"ח תחלקם על המורה שהוא אלף קפ"ד יעלה בחילוק ג' לטרי לחלק ראובן כפול הנשאר שהוא רנ"ו על כ' שהוא סך הלטרא יעלו ה' אלפים ק"ך תחלקם על המורה יעלו בחילוק ד' דנרי' וזה החלק מדינר מלטרה
	דחג דחאא
	שאם תרצה כפלהו על י"ב שהם פשיט הדנר וחלק על המורה והיוצא הם פשיטי' כאשר עשתי
	עוד תכפול ממון שמעון שהוא תקי"ב על ז' יעלה ג' אלפים תקפ"ד חלקם על המורה יעלה בחילוק ג' לטרי' כפול הנשאר על כ' יעלה זה החלק מדנר
	‫0דו דחאא
	עוד כפול ממון לוי שהוא קכ"ח על ז' יעלו תתצ"ו והם חלקי לטרא מאלף קפ"ד אשר אם תכפלהו על י"ב ותחלק[ה]ו על המורה יצא בחילוק ט"ו די' וק"ס חלקים מאלף וקפ"ד בלטרא בדנר
	והנה יצא לנו כי חלק ראובן ג' לטרי' וד' דנרי' וחלקי דנר וחלק ‫שמעון ג' [...] והוא מה שרצינו [...] הוא על דרך העברה [...] ואם אאריך בזה הפרק אקצר ‫[...]
	שאלה תשיעית זה השאלה היא מונח [...] אכתוב לך שתדע לקצר רוב [...] אם מספר הממון והזמן תוכל כל אחד לקצרו בחצים [...] ברביעית או באי זה חלק שתוכל וזה שתקצר הזמן והממון בדרך אחר שאם תקצר רביעית ממון ראובן שקצר שתקצר ברביעית זמנו גם כן ותקצר ברביעית זמן וממון כל אחד כאשר תראה בזאת השאלה [ובאחרים בע"ה] והנשאר אחר הקיצור מממון וזמן כל אחד כפול זה על זה והיוציא יהיה כמו ממון כל אחד ומקיבוץ כולם יצא המורה
	ואם לא תהיה כ תוכל לקצר הזמן תקצר הממון וזה מכל אחד בשוה כאשר תראה במשלים מאחר זה ואם תרצה לכפול הממון על הזמן ואחר תקצר הרשות בידך ואחר הקיצור תוציא המורה כמנהג ואומר כי ממון ראובן הוא ד' וזמנו קל"ו [וכפל זמנו וממונו הוא תקמ"ד] וממון שמעון ח' וזמנו ס"ד וממון לוי י"ו וזמנו ח' נקצרם בחצי יהיו לראובן ב' ס"ח ולשמעון ד' ל"ב וללוי ח' ד' נקצרם עוד בחצי יהיה זמן וממון ראובן א' ל"ד וזמן וממון שמעון ב' י"ו וזמן וממון לוי ד' ב'
	הרוח הנכפל ממו זמן   לטרי דינ חלקי ז לד א לד ראובן ג ד כד עד לב ב יו שמעון ג   מ עד ח ד ב לוי 0 טו י עד עד המורה
	ולא נוכל עוד לקצר כי ממון ראובן שב לאחד וזה יהיה הנשאר אחר הקיצור מממונם ומזמנם אחר נכפול זמן כל אחד על ממונו כמנהג א' על ל"ד יהיו ל"ד וזה ממון ראובן וב' על י"ו יהיו ל"ב וזה ממון שמעון וד' על ב' יהיו ח' וזה ‫[...] אחד על הריוח [...] חלק כל אחד כפול ל"ד [...] יצא בחילוק ג' לטרין [...] כסך דינרי הלטרה יעלו ש"ב [...] ד' דינר וכ"ד חלקי ע"ד בדינר והנה [...] דינר והחלק הנזכר מדינר יהיה חלק רבאובן [...] כפול ל"ב על ז' וחלק היוציא על המורה ותצא בחילוק ג' לטרין ומ' חלקים מע"ד שהוא השלם וזה חלק שמעון
	עוד כפול ח' על ז' וחלק היוציא על המורה והוא מחולק שהוא נ"ו חלקים מע"ד בלטרה ותכפול נ"ו על כ' שהוא סך הלטרה יעלו אלף ק"ך תחלקם על המורה יעלו בחילוק ט"ו די' ועשרה חלקים מע"ד בדנר וזה חלק לוי
	והנה עלה בידנו שנפל לראובן מן הריוח ג' לטרין וד' דינר וחלקי די' שתוכל לקצרו שהם י"ב חלקים מל"ד
	וחלק שמעון ג' לטרי' וחלקי דנר שתוכל לקצרו ויהיה כ' חלקים מל"ד
	וחלק לוי ט"ו דינרי וחלקי דינר אשר מקוצר יהיה ה' חלקים מל"ד בדינ'
	וכן כל כיוציא בזה
	והבחינה כך הוא שתחבר כל שברי שלושתם והיוצה תחבר עם הדנרי' והדינרים עם הלטרי והיוציא יהיה הריוח כיצד תחבר שברהם יהיו לראובן כ"ד ולשמען מ' ולוי עשרה חלקם על המורה יצא אחד ועם הדנרים שהם י"ט יהיו כ' שהוא לטרה וששה לראובן ושמעון יהיו ז' שהוא הריוח והוא המבוקש
	וכן היו שברי השאלה השמנית שהם שפ"ד לראובן תר"מ לשמעון וק"ס ללוי יהיו כולם אלף קפ"ד חלקם על המורה שהוא אלף קפ"ד יעלה אחד והוא דנר חברהו על הדינר שהם י"ט יהיו כ' והוא הלטרה תחבר אותה עם הלטראות יהיו ז' שהוא הריוח
	‫עוד אתן דרכים
	דרך אחרת לקצר עוד ועיין בזה הדרך ותשכיל ואומר שתקצר הנכפל כל מה שתוכל שוה לכולם והנשאר תחלק בריוח הבא מד' קל"ו
	המשל בשאלה החמשית [תשיעית] הנה ממון ראובן המשולח הוא תקמ"ד וממון שמעון תקי"ב וממון לוי קכ"ח תקצרם בחציים חמשה פעמים יהיו ישארו לראובן י"ז ולשמעון י"ו ולוי ד' ולא נוכל עוד לקצר בעבור ממון ראובן שהוא י"ז והנה שוה השאלה בצורה הזאת
	ז יז יו ד
	ואתן לזה פרק [...] ולדרך השלושה כל זה כתוב

Chapter [Three]	‫ הפרק []
	שאלה ראשונה מ[מון הממון אשר חיברנו עליו] חציו ויהיה שלשה [רביעיות]
	[...] זאת השאלה תוכל לעשותה עם מונח [...] דרך השלושה ונניח ד' וחיברנו עליו חציו [...] שאלנו שלושה רביעיות
	נלך אל דרך השלושה ונאמר אם [ד' נתנו] לנו ו' מי יתן לנו ג' רביעיות נסדרם בזאת הצורה
	0 ו ד אם
We multiply the extremes, which are 3-quarters by 4; the result is 12-quarters.	נכפול הקצוות שהם ג' רביעיות על ד' יעלו י"ב רביעיות
We divide them by 6, which are 24-quarters; the result of division is a half and this is the required number that if you add its half to it, it will become 3-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{3}{4}\sdot4}{6}=\frac{\frac{12}{4}}{\frac{24}{4}}=\frac{1}{2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}}}$	נחלקם על ו' שהם כ"ד רביעיות יעלה בחילוק חצי וזה המספר המבוקש שאם תוסף עליו חציו יהיה ג' רביעיות
The second question: what is the number, to which we add one-half of its third, one-third of its quarter and one-quarter of its fifth, and the total is 2 fifths? $\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)+\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)+\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)=\frac{2}{5}$	שאלה שנית מה הוא המספר אשר חברנו עליו חצי שלישיתו ושלישית רביעיתו ורביעית חמשיתו ועם הכל יהיה ב' חמשיות
	תשובה עם מונח כוזיב ודרך השלשה נניח ס' בעבור שימצאו בו כל החלקים בשלמות חצי שלישיתו הוא עשרה כי שלישיתו כ' וחציו עשרה נחברם עם ס' יהיו ע' ועוד נקח שלישית רביעיתו והוא חמשה כי רביעיתו הוא ט"ו ושלישית ט"ו הוא ה' נחבר ה' עם ע' יהיו ע"ה ועוד נקח רביעית חמשיתו והוא ג' כי חמשתו הוא י"ב ורביעית י"ב הוא ג' נחברם עם ע"ה יהיו ע"ח והנה עלה יותר ממה ששאלנו כי ב' חמשיות שאלנו ונתן המונח ע"ח שלמים
	נלך אל דרך השלושה והוא יגיד לנו שאלתנו ונסדר דרך השלושה ונאמר אם ס' נתן לנו ע"ח מי יתן לנו ב' חמשיות ויהיה כזאת הצורה
	נכפל הקצוות ב' על ‫[...] ק"ך והם [...] נחלקם על ע"ח [...] שנכפול ע"ח בחמשה [...] על ש"ץ והוא מחולק שהוא ק"ך [...] המספר המבוקש שאם חיברנו עליו [...] שלישית רביעיתו שהוא שהוא עשרה [...] שהוא ששה יעלו קנ"ו והם חלקים מש"ץ [...] שתי חמשיות ממנו אם תקצרם תשוים יהיו כזה הצורה שוים וזה מה שרצינו
	780   780 $\scriptstyle\frac{2}{5}$ X $\scriptstyle\frac{156}{390}$
	‫ואם תקצרם בחצים ועוד בשלשו ונשאר כ"ו חלקים מס"ה כזה תשוים עם ב' חמשיות יהיו כל אחד [...]
	130   130 [$\scriptstyle\frac{2}{5}$] X $\scriptstyle\frac{26}{65}$
The third question: Reuven and Shimon formed a partnership together, Reuven contributed a half of a liṭra and Shimon contributed a third of a liṭra; they earned a quarter of a liṭra. I ask how should they divide [the profit]?	שאלה שלישית ראובן ושמעון עשו חברה יחד ראובן נתן בחברה חצי לטרה ושמעון נתן שלישית לטרה והרויחו רביעית לטרה שאלתי כיצד יחלוקו
	תשובה תשוה ממונם וקח חלקהם ואחר כפול סך הלטר על הרביעית והיוצא הם דנרי הריוח אשר תחלוק
	המשל בזה תשוה ממונם יהיה החצי ג' לראובן והשליש ב' לשמעון כי המורה הוא ששה אחר כן כפול סך הלטרה שהוא כ' על א' שהוא הריוח חלקם על מורה הרביע שהוא ד' יעלה בחילוק ה' די' והם הריוח שהם רביעית הלטרה תחבר ממונם יהיו ה' והוא המורה לחלק עליו ויהיה הכל כזאת הצורה
	הראוי ריוח ממון   ג ה ג ראובן ב ב שמעון     ה המורה
	תכפול ג' על ה' שהוא הריוח יעלה ט"ו תחלקם על ה' יעלו ג' והם דנרי' וזה חלק ראובן
	גם כפלנו ממון שמעון על ה' יעלו עשרה תחלקם על המורה יעלו ב' דנרי' והוא ריוח שמעון
	והבחינה ברורה והנה חלק ראובן ג' וחלק שמעון ב' והוא המבוקש
	או דרך אחרת ועיין בה תוציא מורה כללי לחצי ושלישית ורביעית והוא כ"ד או י"ב אם תרצה והנה ‫קח חציו [...]
	[.] [.] ריוח ממונם   [ ] ג ו יב ראובן ב ח שמעון       כד המורה
	‫[...] החמשיות אחד וה' שהיו לנו הם ו' חלקים מ[...] כ"ד וששה רביעית כ"ד כנזכר
The fourth question: Reuven and Shimon formed a partnership; Reuven contributed 2-thirds of 4-fifths of a liṭra and stayed [in the partnership] for a quarter of a year; Shimon contributed one-fifth of 2-thirds of a liṭra and stayed [in the partnership] for a quarter of 2-fifths of a year; they earned 3-fifths of 2-thirds of a peraḥ. I ask [how much are] the dinar of the profit of each and how should they divide the profit?	שאלה רביעית ראובן ושמעון משו עשו חברה וראובן נתן ב' שלישיות מד' חומשי ליטרה [כזה] ושהה חמשית רביעית שנה ושמעון נתן חמשית מב' שלשיות לטרה כזה ושהה רביעית מב' חמשיות שנה והרויחו ג' חמשיות מב' שלשיות פרח שאלתי דנרי ריוח כל אחד וימי שהות כל אחד וכיצד יחולקו הריוח
	שנה - לטרה - ראובן שנה - לטרה - שמעון     פרח - שהיה
	תשובה תשוה ממונם וזמנם והיו חלקהם ואחר תכפול הממון על הזמן בשלמים והיוציא יהיה ממון לכל אחד כאשר עשינו בשלמים ואחר תשוה הריוח וקח חלקו כי הכל שוה ואחר כפול סך הפרח על הריוח וחלק על מורה הריוח והיוציא הם דנרי'
	המשל בזה הנה שלישית וחמשית ורביעית ימצא בס' והם הראוים והוא יהיה מורה לממון ולזמן ועתה קח ד' חמשי ס' יהיו מ"ד קח ממ"ד ב' שלישיותיו יהיו ל"ב והוא ממון ראובן
	עוד קח רביעית ס' יהיו ט"ו קח חמשית ט"ו והוא ג' וזה זמן ראובן כפול ג' על ל"ב שהם ממון וזמן ראובן יהיו צ"ו וזהו הנקרא ממון ראובן
	אחר קח ב' שלישיות מס' יהיו מ' קח חמשית מ' שהוא ח' וזה ממון שמעון עוד קח ב' חמשיות ‫[...] זמן שמעון [...] שמעון ואם כן יהיה [...] ישובו לראובן ב' [...] כפול סך הפרח שהוא עשרה די על [...] ב' חמשים מב' שלשיות הפרח שמורה [...] ט"ו יעלה ס' חלקהו על ט"ו שהוא מורה הריוח [...] דנרי חביר ממונם ויהיו ג' שהם המורה לחלק עליו ויהיה [...] כזאת הצורה
	ריוח מקצר ממון   ד ב צ"ו ראובן א מח שמעון   ג   המורה
	כפול ב' על ד' יהיו ח' חלקם על ג' יציא ב' די' וב' שלישיות דנר שהם ח' פשי' וזה חלק ראובן
	עוד כפול א' בד' יהיו ד' חלק על ג' יציא דנר אחד ושלשית שהוא ד' פשיטי' וזה חלק שמעון
	והבחינה הוא שתחבר הפשיטי' שהם ד' וח' יהיו דנר אחד וג' דנרים שיצאו בחלוקה יהיו ד' די' והם כל הריוח והוא המבוקש
	ואם תרצה לעשות כל השאלות שיש בהם שברי שברים כזאת השאלה בלי טורח כלל כפול שברי הממון והזמן יחד והיוציא יהיה הממון המשותף ואחר תקצר אם תוכל גם שברי הריוח
	כיצד בשאלה הנזכרת כפול שברי ממון ראובן על שברי זמנו יעלה ח' כי ב' על ד' יעלה ח' וח' על א' הם ח' וח' על הא' השנית הם ח' וזה ממון ראובן
	וכן כפול א' מממון שמעון על ב' יהיו ב' וב' על א' מזמנו יהיו ב' וב' על ב' יהיו ד' וזה ממון שמעון
	תקצרם יהיו לראובן ב' ולשמעון א' כנזכר
	ואחר שידענו שאלתנו נכונה ושאלו לנו כמה דינרים הוא ב' שלשיות מד' ‫חמשיות [...] חמשיות מב' שלישיות [...] ולכל זמן
	התשובה [...] או סך הפרח על השברים וחלק על המורה ואם [...] כופלם זה בזה וגם מורהם ועל העולה [...] על העולה מהמורים כאשר תראה בזאת השאלה []
	המשל בממון ראובן יכפול שבריו זה בזה יעלו ח' וכן יהיה אם תקח ב' שלישיות מד' חמשיות וגם כפול מורהם יהיה ט"ו ויהיה ממון ראובן ח' חלקים מט"ו בלטרה
	ולדעת כמה דנרים הם תכפול סך הלטרה שהוא כ' על ח' יעלו ק"ס תחלקם על ט"ו שהוא מורה אלו השברים יציא עשרה דנרי' וב' שלישיות דנר שהם ח' פשיט' וזה ממון ראובן
	ולדעת כמה ימים שהה ראובן כפול שבריו א' על א' יהיו א' והמורה כ' ויהיה זמנו חלק מכ' בשנה תכפול סך השנה שהוא שס"ה על א' יעלו שס"ה ולא נקפיד לרביעית יום בעבור שלא להטריח כאן לעשותם רביעיים או שעות תחלק שס"ה על כ' נוציא בחילוק י"ח ימים וה' חלקים מכ' ביום אשר אם תקצרם יהיו רביעית יום שהוא שש שעות וי"ח ימים ושש שעות זמן ראובן
	וכן תעשה בממון שמעון וזמנו ותמצאם ב' דינר' וח' פשיטין וזמנו תמצא ל"ו ימים וחצי
	ואם תרצה לכפול זמן ראובן על ממונו תן הדינרים בפשיטי' ויהיה קכ"ח והימים בשעות ויהיו תל"ח תכפול זה בזה יהיו נ"ו אלפים וס"ד וגם שעות שמעון הם תת"ע וממונו ל"ב פש' תכפול זה בזה יהיו כ"ז אלפים תת"מ
	ואם תרצה לקצרם הרשות בידך
	ואם תעיין בזאת השאלה תמצא בה תועלת גדול
Chapter Four: Problems of Compound Addition	הפרק הרביעי בשאלות חיבור מורכבים
Find A Number Problems
First question: What is the number to which you add its two and 2-thirds and it is eleven? $\scriptstyle X+\left(2+\frac{2}{3}\right)X=11$	שאלה ראשונה מהו המספר ‫[אשר תחבר עליו שנים וב' שלישיות ויהיו] אחד עשר
	תשובה [...] ונוסיף על ששה י"ב שהם [...] הם ד' ויהיו כ"ב ואנחנו [...] שלשה
We say: if 6 gives us 22, what will give us 11? $\scriptstyle{\color{blue}{6:22=X:11}}$	ונאמר אם ו' נתן לנו כ"ב מי יתן לנו י"א
It is according to this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
	יא 0 [כב] [ו]
	נכפול הקצוות יהיו ס"ו נחלקם על כ"ד יעלו [...] והוא המבוקש
	והבחינה הוא כי הג' וב' פעמים כמוהו וב' שלישיות ממנו יהיו י"א כנשא[ל]
Second question: What is the number whose half, third and quarter, minus five are 24? $\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X-5=24$	שאלה שנית מהו המומן הנעלם אשר חציו ושלישיתו ורביעיתו פחות חמשה יהיו כ"ד
It is 5 less than what we want, so it is 29. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=24+5=29}}$	והוא כאילו אמר עם אילו החלקים הם כ"ד אבל הוא פחות חמשה ממה שרצינו ואם כן יהיה כ"ט
The answer: we suppose it is 12.	התשובה נניח י"ב
Its half, third and quarter are 13. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=13}}$	והנה חציו ושלישיתו ורביעיתו יהיו י"ג
We say: if 12 gives 13, what will give 29? $\scriptstyle{\color{blue}{12:13=X:29}}$	ונאמר אם י"ב נתן י"ג מי יתן כ"ט
It is according to this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
	כט 0 יג יב אם
	נכפול הקצוות יעלו שמ"ח וזהו הממון אשר חציו שהוא קע"ד ושלישיתו שהוא קי"ו ורביעיתו שהוא פ"ז הוא [..] [יהיו כולם שע"ז חלקם על י"ג יעלו כ"ט אשר אם נגרע מהם ה' ישארו כ"ד כנשאל]
	והבחינה חלק שמ"ח על י"ג יעלו כ"ט והוא המבוקש [‫[...] יעלו כ"ו ועשרה חלקי י"ג נשיבם לחלקי י"ג]
The third question: what is the unknown number that if you add to it one-half of its quarter, its three quarter and one-quarter of its quarter, the total is but two? $\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot a\right)+\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)=2$	שאלה שלישית מהו המספר הנעלם אשר אם תחבר עליו חצי רביעיתו ושלושת רביעיתו ורביעית רביעיתו ולא יהיה אלא שנים
	התשובה נניח מ"ח והנה חצי רביעיתו הוא ששה ושלשית רביעיתו הוא שבעה ורביעית רביעיתו הוא שלשה נחבר אלו החלקים עם המונח יהיו כולם ס"א ואנחנו לא שאלנו אלא שנים הנה נאמר אם מ"ח נתן ס"א מי יתן לנו ב' ויהיה כזה הצורה
	ב 0 סא מח אם
	נכפול הנשאל שהוא ב' על המונח שהוא מ"ח והעולה שהוא צ"ו נחלק על ס"א יעלו א' ל"ה חלק מס"א וזהו המספר הנשאל
	והבחינה תן השלם [.] במורה שלו שהוא ס"א ועם ל"ה יהיו צ"ו תחבר לו חצי רביעיתו שהוא י"ב ושלישית רביעיתו שהוא י"ו ורביעית רביעיתו שהוא [.] ששה יעלו קכ"ב חלקים מס"א תחלקם לס"א יעלו שנים כנשאל
The Second Section: Multiplication Problems	‫השער [השני] [בשאלות כפל]
	הפרק הראשון בשאלות כפל [שלימים]
	הפרק השני בשאלות כפל [שברים]
	הפרק השלשי בשאלות כפל מורכבים
The First Chapter: Problems with Multiplication of Integers	הפרק הראשון בשאלות כפל שלימים
	וראשונה אכתוב [..] אחת ואחרת בלי חומר להרגילך
The first Question: If 3 equals 4, how much does 5 equal?	שאלה ראשונה אם ד' שוה ג' ה' מה יהיה שוה
As this diagram:	כזאת הצורה
If 4 3 5 0	0 ה ג ד אם
Answer: multiply the means, which are 3 and 5; the result is 15. Divide it by 4; the result of the division is 3 and 3-quarters and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot5}{4}=\frac{15}{4}=3+\frac{3}{4}}}$	תשובה כפול האמצעיות שהם ג' וה' יעלו ט"ו חלקם על ד' יציא בחילוק ג' וג' רביעיות והוא המבוקש
Check: convert the integers into quarters; they are 12, and with 3 they are 15 $\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{3}{4}=\frac{12+3}{4}=\frac{15}{4}}}$. Convert also its companion into quarters; they are 20 $\scriptstyle{\color{blue}{5=\frac{20}{4}}}$.	והבחינה תשיב השלמים רביעיות יהיו י"ב ועם ג' יהיו ט"ו גם בן זוגו תנהו ברביעיות יהיו כ'
15 is to 20 as 4 is to 3; for, 3 is to 4 a sesquitertian ratio and also 15 is to 20 a sesquitertian ratio. $\scriptstyle{\color{blue}{3:4=1:\left(1+\frac{1}{3}\right)=15:20}}$	והנה ט"ו אל כ' כד' אל ג' כי ג' אצל ד' כמוהו ושלישית וכן ט"ו אצל כ' כמוהו ושלשית
	או דרך אחרת ועיין תן ג' על ד' יהיו ג' רביעיות וכן תן ט"ו על כ' ותקצרם ויהיו גם כן ג' רביעיות
	או בדרך אחרת תשוים ג' על ד' וט"ו על כ' יהיו כל אחד ס' כזה
60   60 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15}{20}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$	60   60 $\scriptstyle\frac{15}{20}$ X
The second question: if 5 peraḥim are worth 40 kings, how many are 39 peraḥim worth?	שאלה שנית ממון מממון אם ה' פרחים שוה מ' מלכים ל"ט פרחים כמה יהיה שוה
As this diagram:	כזאת הצורה
peraḥim kings peraḥim   If 5 40 39 0	פרחי' מלכים פרחים   0 לט מ ה אם
Answer: multiply the means, 40 by 39; the result is 1560. Divide it by 4; the result of the division is 312 [...] $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{40\sdot39}{4}=\frac{1560}{4}=390}}$	תשובה כפול האמצעיים מ' על ל"ט יעלו אלף תק"ס תחלקם על ה' יעלה בחילוק ש"צ והוא ‫[...]
	‫[...] אל [...] כמ' ח' פעמים [...] פעמים אחרת להרגלך [...] ותקצרים בחמשית ויהיה ‫[...]
The third question of time: a craftsman was hired by the landlord to do his craft and he paid him 3 peraḥim for 4 months. I ask: if he stays with him 9 months, how much will he pay him?	‫[שאלה שלישית] מזמן הנה אומן אחד נשכר עם בעל הבית לעשות מלכתו ונתן לו בד' חדשים ג' פרחים שאלתיאם ישב עמו ט' חדשים כמה יתן לו
It is as this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
months peraḥim months how many peraḥim If 4 3 9 0	כמה פרחי' חדשי' פרחי' חדשי'   0 ט ג ד אם
	תשובה אמור אם ד' חדשים נתן לנו ג' פרחים ט' חדשים כמה פרחים יתן לנו
Multiply the means; the result is 27. Divide it by 4; the result of the division is 6 peraḥim and 3-quarters of a peraḥ. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot9}{4}=\frac{27}{4}=6+\frac{3}{4}}}$	כפול האמצעיות יהיו כ"ז חלקם על ד' יעלה בחילוק ו' פרחים וג' רביעיות פרח
	וכבר ידעת לעשות מהם דנרים וששה פרחי וג' רביעיות פרח הוא הנעלם המבוקש
	והבחינה תן הבנים על האבות בעבור שהם קטנים יהיו הראשון ג' רביעיות וכן השניים אחר הקיצור כי כ"ז חלקים מל"ו הם ג' רביעיות אחר הקיצור
Fourth question of weight: if one litre of frankincense is worth 7 dinars, how many dinars are 19 litre worth?	שאלה רביעית ממשקל אם לטרה מלבונה שוה ז' די' י"ט לטרין כמה די' יהיו שוים
It is as this [diagram]:	ויהיה כזאת הזאת
litre dinar litre how many dinar If 1 7 19 0	כמה דינר לטרין דינרי' לטרה   0 יט ז א אם
Answer: multiply the means; the result is 133. Divide it by 1 and this is the result. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot19}{1}=\frac{133}{1}}}$	התשובה [...] כפול האמצעיות יעלו קל"ג חלקם על א' והוא העולה
	ואם כן אם א' נתן ז' י"ט יתן קל"ג
	והבחינה תן האב על הבן ויהיה שביעית אחר שתקצר השניים
	או תהפוך השאלה ואמור אם קל"ג נתן י"ט ז' מה יתן
	כפול האמצעיות יעלו קל"ג תחלק על קל"ג ותצא א‫'
The fifth question of measure: if the price of 4 cubits of cloth is 17 dinar, how much are 13 cubits worth?	שאלה חמשית ממדה אם ערך ד' אמות מבגד הוא י"ז ‫י"ז דינ [י"ג אמות מה יהיה שוה‫]
	‫[...]
If 4 17 13 0	0 יג יז ד אם
	ורבעית דנר שהוא ג' פשי' והוא [...] ד' חלקים מי"ז בשליש אחר שתקצר [...] יהיו דינ' נ"ב והנה [כזה הצורה ויהיו שוים אחר ההשואה‫]
884   884 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{25}{322}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{14}}}$	884   884 כה X ד שבב דא
	רבעית יהיו רכ"ז ‫[...]
The [sixth] question: what is the number, such that when we multiply it by 37, the product is 49. $\scriptstyle37\sdot a=49$	שאלה חמשית מהו המספר אשר כפלנו אותו על ל"ז והיוציא מן הכפל יהיה מ"ט
	הנה כל השאלות האלו הדומות לזה תמצא דרכים רבים ואתן בכאן ג' בג' משלים ובשברים ובמורכבים משל לכל אחד מזה המין אשר הדרך הראשון הוא כאחד מן הדרכים הידועים והשני שתתן מה ששאלת על הכופל והשלישי הוא שתחלק הנשאל על הכופל
	והתשובה לשאלתנו בדרך הראשון ונעשה אותה בדרך השלשה נניח מספר מה והוא ב' כפלנו אותו על ל"ט יעלו ע"ח ואנחנו שאלנו מ"ט ונאמר אם ב' נתן לנו ע"ח מה יתן לנו מ"ט ויהיה כזאת הצורה במשל ה
If 2 78 0 49	מט 0 עח ב אם
	מדרך השלשה נכפול החיצוניות ב' על מ"ט יהיו צ"ח תחלקם על ע"ח ויעלה בחילוק אחד וכ' חלקים מע"ח הנה המספר אשר אם תכפול אותו על ל"ט היוציא יהיה מ"ט
	והבחינה היא שתכפול ל"ט על א' וכ' חלקים מע"ח וראשונה תן האחד במורה שברו שהוא ע"ח ותחבר על העולה כ' חלקים מע"ח יהיו צ"ח חלקים מע"ח ועתה כפול ל"ט על צ"ח יעלו ג' אלפים תתכ"ב חלקים מע"ח תחלקם על ע"ח שהוא המורה ותציא בחילוק מ"ט כנשאל
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{78}}}$	‫0ב 78
	וגם תוכל לקצר הכ' חלקים ויהיו י' חלקים מל"ט ותן השלם במורה יהיו ל"ט וי' יהיו מ"ט כפול ל"ט על מ"ט שברים מל"ט בשלם יהיו אלף תתקי"א תחלקם על ל"ט ותציא מ"ט כנשאל ‫[...] יהיה [...] זאת השאלה אעשה [...] שתתן מה ששאלת על הכופל [...] אותו על הכופל [...] יהיו ט"ו שביעיות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15}{7}}}$	הא ז
	חלקם [...] ותציא ב' ושביעית וזהו המספר הנעלם
	‫[הבחינה] היא שתכפול ב' ושביעית על ז' וראשונה תתן השלמים במורה השבר יהיו י"ד וא' שהיה לנו הוא ט"ו שביעיות כפול ט"ו שביעיות על ז' יעלה ק"ה שביעיות חלקם על ז' יעלה בחילוק ט"ו שלמים כנשאל
The seventh question: what is the number, such that when we multiply it by 9, the product is one. $\scriptstyle9\sdot a=1$	שאלה שביעית מהו המספר שאם כפלנו אותו על ט' והיוציא יהיה אחד
	תשובה זאת השאלה אעשה עם הדרך השלישי והוא שתחלק הנשאל על הכופל והיוצא הוא הראוי לכפול על הכופל
	המשל בזה חלקנו א' על ט' ותצא תשיעית וזהו המספר הנעלם
	והבחינה הוא שתכפול תשיעית על ט' ויעלה ט' תשיעיות תחלקם על ט' ותציא אחד
The eighth question: what is the number, such that when we multiply it by 3, then the product by 7, then the product by 13, the result is only 3. $\scriptstyle13\sdot7\sdot3\sdot a=3$	שאלה שמינית מהוא המספר אשר כפלנו אותו על ג' והיוציא על ז' והיוציא על י"ג ושלא יעלה אלא ג‫'
	התשובה נניח אחד ונכפליהו על ג' והיוציא על ז' והיוציא על י"ג ויעלה רע"ג ואנחנו שאלנו ג‫'
	נאמר בדרך השלושה אם א' נתן רע"ג מי יתן לנו ג‫'
	ויהיה כצורה ההוא הזאת
If 1 273 0 3	ג 0 רעג א אם
	ועשה כמו שקדם
The ninth question: [...] [In the first fortress there are 2] towers, in the second 5, in the third 8 [in the fourth 11, in the fifth 14 and in the sixth] 17, as you see in the first and the second diagrams. The guards of each tower in particular are as you see in the third diagram and the salary of each guard in each month are the peraḥim you see in the fourth diagram.	‫שאלה [תשיעית] [...] כמספר המשכת הצורה [...] מגדלים ובשני ה' ובשלישי ח' [...] י"ז כמו שתראה בצורה ראשונה וב‫[...] כפי המשכת הצורה השנית והנה שומרי כל מגדל בפרט כמו שתראה בצורה שלישית ושכר כל שומר בכל חדש הם הפרחים שתראה בצורה הרביעית שאלתי מספר כל המגדלים מן הששה מבצרים בכלל וכל השמרים בכלל ובפרט והפרחים בכלל ובפרט הראויים לחדש אחד וגם הראוים לכל שנה בסך י"ד דנרי כל פרח וכולם כמה פרחי דנרים הם
diagram 1   diagram 2   diagram 3   [diagram 4] [diagram 5] no. of towers of each fortress   guards   guards of each fortress   flowers   flowers 2 towers   2 first fortress       3       6   7     4 2 5 towers   5 second fortress       6     3 0   6   1 8 0 8 towers   8 third fortress       9     7 2   5   3 6 0 11 towers 1 1 fourth fortress     1 2   1 3 2   4   5 2 8 14 towers 1 4 fifth fortress     1 5   2 1 0   3   6 3 0 17 towers 1 7 sixth fortress     1 8   3 0 6   2   6 1 2
[צורת ה']   [צורת ד']   צורת ג'   צורת ב'   צורת א' פרחים   פרחים   שומרי כל מבצר   שומרים   מספר מגדלי כל מבצר   ד ב   ז       ו     ג     מבצר ראשון   ב ב מגדלי‫' א ח 0   ו     ג 0     ו     מבצר שני   ה ה מגדלי‫' ג ו 0   ה     ז ב     ט     מבצר שלשי   ח ח מגדלי‫' ה ב ח   ד   א ג ב   א ב     מבצר רביעי א א י"א מגדלי‫' ו ג 0   ג   ב א 0   א ה     מבצר חמשי א ד י"ד מגדלי‫' ו א ב   ב   ג 0 ו   א ח     מבצר ששי א ז י"ז מגדלי‫'

	התשובה ידוע הוא כי המבצרים הם ששה וגם מגדלי כל מבצר הם לעיין אבל ידעת כולם בכלל כפי הדרך הראשון שנתתי למספרים הנמשכים בסדר שהוא שתחבר הראשון והאחרון יהיו י"ט תכפלם על חצי המקומות שהם ג' יעלו נ"ז והם כל המגדלים
	ועתה לדעת שומרי כל מבצר הנה שומרי מגדלי המבצר הראשון הם ג' לכל מגדל כמו שתראה בצורה שנית כפול ג' ‫[...] מגדלי המבצר [...] יעלו ל' כמו שתראה [...] המבצר השלישי שהם ט' על ח' [...] ככפל י"ב על י"א והחמשי ר"י [...] והששי הם ש"ו שומרים ככפל י"ח על [...] בצורת ג' ובכלל הם תשנ"ו
	ועתה לדעת [...] כל אחד וכל הפרחים בכלל אומר כי שומרי מגדלי מבצר [רא]שון הם ששה כמו שיורה הצורה השלשית ולכל אחד ז' פרחים כמו שיורה צורה רביעית
Multiply the peraḥim by the guards, 7 by 6; the result is 42 and it is the first in diagram 5. $\scriptstyle{\color{blue}{7\times6=42}}$	תכפול הפרחים בשומרים ז' על ו' יעלו מ"ב והם ראשונים בצורת ה'
Multiply the 30 guards of the second fortress by the peraḥim of each, which are 6; the result is 180 peraḥim for the guards of the second fortress. $\scriptstyle{\color{blue}{30\times6=180}}$	גם תכפול ל' שומרים מהמבצר השני על פרחי כל אחד שהם ו' יעלו קף פרחים לשומרי המבצר השני
Multiply the 72 guards of the third fortress by the peraḥim of each, which are 5; the result is 360 peraḥim for the guards of the third fortress. $\scriptstyle{\color{blue}{72\times5=360}}$	עוד תכפול ע"ג שומרי המבצר השלשי על פרחי כל אחד שהם ה' יעלו ש"ס פרחים לשומרי המבצר השלשי
Multiply the 132 guards of the fourth fortress by the 4 peraḥim of each; the result is 528 peraḥim for the guards of the fourth fortress. $\scriptstyle{\color{blue}{132\times4=528}}$	גם תכפול קל"ב שומרי המבצר הרביעי על ד' פרחים לכל אחד יעלו תקכ"ח פרחים לשומרי המבצר הרביעי
Multiply the 210 guards of the fifth fortress by 3, which are the peraḥim of each; the result is 630 peraḥim for the guards of the fifth fortress. $\scriptstyle{\color{blue}{210\times3=630}}$	עוד תכפול ר"י שומרי המבצר החמשי על ג' שהם פרחי כל אחד יעלו תר"ל פרחים לשומרי החמשי
Multiply the 306 guards of the sixth fortress by 2, which are the peraḥim of each; the result is 612 peraḥim for the guards of the sixth fortress. $\scriptstyle{\color{blue}{306\times2=612}}$	עוד תכפול ש"ו שומרי המבצר הששי על ב' שהם פרחי כל אחד יעלו תרי"ב פרחים לשומרי המבצר הששי
You see all of this detailed in diagram 5.	וכולם תראה בצורת ה' בפרט
Sum all; they are 2352 peraḥim for each month. $\scriptstyle{\color{blue}{42+180+360+528+630+612=2352}}$	תחברם כולם יהיו ב' אלפים שנ"ב פרחים והם לכל חדש
Multiply them by 12; they are 28224 peraḥim for a year. $\scriptstyle{\color{blue}{2352\times12=28224}}$	תכפלם על י"ב יהיו כ"ח אלפים רכ"ד פרחים לשנה
If you want to convert them into dinar, multiply them by 14; the result is 395136, which are all the dinars for the guards for a year and this is what I wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{28224\times14=395136}}$	ואם תרצה לעשותם דנרי' תכפלם על י"ד יעלו שצ"ה אלפים קל"ו כל זה הדינרים לשומרים לכל שנה וזה מה שרציתי
	והנה עלה מזה כי השומרים דרך פרט תראם בצורת ג' ובכלל הם תשנ"ו והפרחים דרך פרט תראם בצורת ה' ובכלל הם ב' אלפים שנ"ב לכל חדש תכפלם על י"ב יעלו כ"ח אלפים רכ"ד הראוי לכל שנה כופלם על י"ד היוציא דינרי' והם שצ"ה אלפים קל"ו כל זה כנזכר
The tenth question: [...]	‫[שאלה עשירית] [...] ובכל בד נ"א תפוחים [...] דנרים יעשו כל הפשיט' ‫[...]
	תשובה כפלנו ל"ד [...] ב' אלפים תמ"ח ואם [...] יהיה העולה קכ"ד אלפים תתמ"ח והם התפוחים [...] פשיטי' יעלו רמ"ח אלפים תרצ"ו והם הפשוטים תחלקם על [...] כ' אלף תת"ח והם דנרי ואם תחלקם עוד על כ' יהיו ליטירין ואם על י"ד יהיו פרחים וכן כל הדמה לזה כפי סך הפרח שהוא או שיהיה
Question 11: one says: I have one garden which has 77 ruins, in each ruin there are 11 caves, in each cave 8 chicken nests, in each nest 17 eggs, from each of which one chicken emerges and each chicken is worth 3 dinars. I ask: how much is everything in particular and in general?	שאלה יא האומר יש לי גן אחד אשר בו ע"ז חורבות בכל חורבה י"א מערות בכל מערה ח' קני תרנ[גול] ובכל קן י"ז בצים אשר מכל ביצה תצא תרנגולת אחד וכל תרנגול היה שוה ג' די' שאלתי כמה יהיה כל דבר בפרט והרי בכלל
Answer: multiply one by the other, then the product by the second, then the result by the third and so on for all that are given in these questions.	תשובה תכפל זה על זה והיוציא על השני והיוציא על השלישי וכן כל מה שיעלו באלה השאלות
The example: multiply 77 by 11 caves; the result are 843 caves. $\scriptstyle{\color{blue}{77\times11=847}}$	והמשל נכפל ע"ז על י"א מערות היוציא יהיה תתמ"ז מערות
We multiply also the caves by 8 nests; the result are 6776 nests. $\scriptstyle{\color{blue}{847\times8=6776}}$	גם כפלנו המערות על ח' קינין יעלו ששה אלף תשע"ו קינין
We multiply also the nests by 17, which are the eggs or the chickens; the result are 115192, which are chickens. $\scriptstyle{\color{blue}{6776\times17=115192}}$	גם כפלנו הקינין על י"ז שהם הבצים או התרנגולים יעלו קט"ו אלפים וקצ"ב והם תרנגולים
We multiply also the chickens by 3 dinar, which are the price of each chicken; the result are 345576 dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{115192\times3=345576}}$	גם כפלנו התרנגולים על ג' דני' שהם שיווי כל תרנגולת יעלו שמ"ה אלפים תקע"ו דנרי'
Likewise for all that is similar.	וכן כל הדומה לזה
	וכן האומר קניתי תרנגולת בסך מ' פשיטי' ומכרנו הבצים מ' בפשוט ולא ילדה אלא בצה אחד במ' ימים שאלתי בכמה ימים ירויח מ' פשיטי' שהוא סך התרנגולת
	התשובה תכפול מ' על מ' יעלו אלף ות"ר והנה באלף ות"ר ימים ירויח סך התרנגולת ומכאן ואילך מה שיוליד ירויח וכן רבים לאין מספר
Question 12: [There was a tax for a king from a spring] that runs [from a mountain; the spring provides water to thirty] provinces; [each province has 40 villages]; in each village [there are 50 people; each person has 4 vineyards]; each vineyard yields 8 [cargos of grapes; each cargo] provides a tax of 20 pešiṭim for the king [each year]. I ask the number of the villages, the number of the people, the number of the vineyards, the number of the cargos [...]	‫[...] [שאלה יב] [היה מס למלך ממעיין] אחד יורד [מהר אחד והוא המעיין משקו שלו]שים מדינות [וכל מדינה יש לה מ' מג]רשים ובכל מגרש [נ' אנשים ולכל איש ד' כרמים] וכל כרם נותן ח' [משאות ענבים וכל משא] נותן מס למלך כ' פשיט' [בכל שנה‫] שאלתי מספר המגרשים ומספר האנשים [מספר] הכרמים ומספר המשאות ומספר ה[...] ומספר ה[...] והפשי' ומספר [...] אם תרצה לעשותם מטבע אחד [...] אחר שעשית אותם די'
Answer: First, we multiply the [fountain] by the provinces; they are thirty.	התשובה הנה ראשונה נכפול ה[מעין] על המדינות והם שלושים
Then, we multiply thirty provinces by 40 villages; they are one thousand and two hundred, like this:	עוד נכפול שלושים מדינות על מ' כפרים יהיו אלף ומאתים כזה
1 2 0 0	א ב 0 0
This is the number of the villages.	והוא מספר הכפרים
We multiply the number of the villages by 50 people of each village; the result is 60 thousand, like this:	עוד נכפול מספר הכפרים על נ' אנשי כל כפר יעלו ס' אלפים כזה
6 0 0 0	ו 0 0 0
This is the number of the people.	והם מספר האנשים
We multiply the number of the people by 4 vineyards that each has; the result is two hundred and forty thousand vineyards, like this:	עוד נכפול מספר האנשים על ד' כרמים אשר לכל אחד יעלו הכרמים מאתים וארבעים אלף כזה
2 4 0 0 0 0	ב ד 0 0 0 0
We multiply the [number of the] vineyards by 8 cargos? that are in each vineyard; the result is 1920 thousand cargos?, like this:	עוד נכפול הכרמים על ח' משאות אשר בכל כרם יעלו המשאות מספר אחד ותתק"ך אלפים כזה
1 9 2 0 0 0 0	א ט ב 0 0 0 0
We multiply the cargos by 2 pešiṭim of the tax; the result is 3840 thousand, like this:	עוד נכפול המשאות על ב' פשיטי המס ויעלו ג' מספרים תת"מ כזה
3 8 4 0 0 0 0	ג ח ד 0 0 0 0
These are the pešiṭim of the tax.	והם פשיטי המס
	ועתה רצינו לעשות מפשיטי המס די' נחלקם על י"ב יעלו ש"ך אלפים כזה
3 2 0 0 0 0	ג ב 0 0 0 0
	והם די' המס
	ועתה אם נרצה לעשות מהם קאשטיללנו' נחלקים על כ"ח ואם פרחים על י"ו כי עתה הם מזומנים למטבע שנרצה מזהב וכאשר היו פשי' נוכל לעשות מהם המטבע שנרצה מכסף ועתה נעשה מהם ‫לטרין וזה [...] 000וח כזה וזה [...] ומתחלפים ‫[...]
The Second Chapter: Problems of Multiplication of Fractions	הפרק השני בשאלות כפל שברים
Question: if 2-thirds equals 3-fifths, I ask: how much is a quarter equal to?	שאלה אם ב' שלישיות שוה ג' חמשיו[ת] שאלתי רביעית מה יהיה שוה
According to this diagram:	כזאת הצורה
If $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$	אם
The answer: multiply the means - numerator by numerator and denominator by denominator; it is 3 parts of twenty, like this:	תשובה כפול האמציות שבר על שבר ומורה על מורה יהיו ג' חלקים מעשרים כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{20}}}$	ג כ
Divide it by 2-thirds and compare them first; it is like this:	תחלקם על ב' שלשיות וראשונה תשוים יהיו כזה
9   40 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{3}}}$ 60	ט   מ ג X כ ד ג ‫0ו
The 3 parts of 20 are 9, which are parts of 60; 2-thirds are 40 parts of 60. We divide 9 by [40] [...] like this:	הג' חלקים מכ' יהיו ט' עליו והם חלקים מס' וב' שלישיות יהיו מ' חלקים מס' נחלק ט' על [...] מחולק כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{40}}}$	ט ‫0ד
	והוא הנשאל הנעלם והנה אם ב' שלישיות שוים ג' חמשיות רביעית יהיה שוה ט' חלקים ממ‫'
	והבחינה תשוה כל אב על הט' ב' שלישי' עם ג' חמשיות [...] כמו שתראה בזאת הצורה
	וג   ‫0ד ט   ‫0א ט X א ג X ב ‫0ד ד ה ג
	והנה הראשונים עשרה ותשעה והשניים הם מ' ול"ו תקצר השניים יהיו כראשונים או קח מורה כולל לכולם ותציא שוה גם כן
	שאילה אחרת סוחר קנה ב' שלישיות [...] רביעיות בגד לא ידענו אורכו בס' וג' פרחים שאלתי סך כל הבגד ומדת אורכו
	תשובה תשוה השברים ויהיו כזאת הצורה
	‫ ט   [.] X בא
	‫[...] סך הבגד השלם שהוא י"ב [...] אם י"ז [...] י"ג י"ב שהוא הבגד השלם כמה [...] פרחים יהיה שוה כפול האמצעיים יעלו [...] חלקם על י"ז יעלה בחילוק ט' שלמים וג' חלקים [..] בשלם והנה עלה בידינו כי הבגד השלם י"ב אמות [...] השברים הוא י"ב וסך כל הבגד הוא ט' פרחים [...] מי"ז חלקים בפרח אחד
	והבחינה [...] או אמור אם ט' פרחים [.] וג' חלקים מי"ז יתן לנו י"ב פרחים אמות י"ב פרחים מה יתן לנו וכו‫'
	שאלה אחרת אם ב' חמשיות מג' רביעיות שוה ג' שביעיות מה' שישיות שאלתי ד' חמשיות מה' שמיניות מה יהיה שוה ויהיה כזאת הצורה
	ז ח -   -   - אם
	התשובה כפול [...] ותקצרם ותהיה יותר נקל ההמשל
	כי ב' חמשיות מג' רביעיות יהיו ו' חלקים מעשרים [תקצרם יהיו ג'] חלקים מעשרה כפי שתראה בצורה שנית וזה החלק הראשון
	גם כפול החלק השני שהוא ג' שביעיות מה' ששיות יהיו ט"ו חלקים ממ"ב תקצרם יהיו ה' חלקים מי"ד וזה החלק השני
	גם כפול החלק השלישי שהוא ד' חמשיות מז' שמיניות יהיו כ"ח חלקים ממ' נקצרם יהיו ז' חלקים מעשרה
	ושבה השאלה כמו אם ג' עשיריות שוה ה' חלקים מי"ד שאלתי ז' חלקים מעשרה מה יהיו שוה כזאת הצורה
	0 ז ‫0א ה דא ג ‫0א אם
	כפול האמצעיים ה' על ז' יהיו ל"ה גם י"ד על עשרה ‫יהיו [...] על ג' חלקים [...] י"ב ומקוצר יהיה ‫[...]
	שאלה אחרת אם ג' [...] שלישית [...] ליטרה כמ' יהיה שוה [ויהיה] כזאת הצורה ‫[...]
הנעלם   מלטרה   מפרח   מלטרה   ה חזב   מ   מ מ מ   אם
	‫[...] מורה יהיו ב' אלפים תק"ך וזה המורה הכללי [...] האמצעיים והנה עלה מן הכפל כ' חלקים מב' אלפים ותק"ך כזה
	‫0ב ‫0בהב
	תקצרם יהיו חלק אחד מקכ"ו כזה
	א 126
	תחלקהו על הג' חמשיו[ת] וראשנה תשים כצורה הזאת
	ה   חזג א X ג ובא ה
	יהיו הג' חמשיות שמ"ח חלקים מתר"ל והמספר הנכפל שתרצה לחלק הוא ה' חלקים מתר"ל חלק ה' על שע"ח והוא מחולק שהוא ה' חלקים משע"ח ‫[...]
	ה חזג
	ואם תכפול ה' על פשיטי הפרח [...] על סך הלטרה והעולה תחלק על שע"ח היוציא יהיה פשיטי' ואם על רביעי היוציא יהיה רביעי פשי‫'
	והבחינה [...] [הפרק השני‫]
	‫[...] בפני עצמו [...] מפרחים או מימים או [...] משל מקצתם ואתן שני משלים [...] המשל רצינו לדעת כ"ה חלקים [...] נאמר בדרך השלושה אם נ"ב שוה כ"ב [...] יהיה שוה ויהיה כזאת הצורה
	הב בב בה אם
	נכפל כ"ב על‫
	שאלה רביעית ראובן נשכר אצל שמעון לעשות מלכתו ונתן לו בג' רביעיות שנה חצי מתשיעית מג' שביעיות פרח שאלתי ברביעית מתשיעית שנה מה יתן לו ויהיה כזאת הצורה
	הנעלם   שנה   פרח   שנה 0       - -   אם
	תשובה כפול האמצעיים יהיו ג' חלקים מד' אלפים תקל"ו תקצרם יהיו אחד מאלף תקי"ב כזה
	א באהא
	תחלקם ג' רביעיות וראשונה תשוים יהיו הג' רביעיות ד' אלפים תקל"ו חלקם והחלק השני יהיה ד' חלקים והמורה הכללי משניהם הוא ו' אלפים מ"ח ויהיה כזאת הצורה
	ד   וגהד א X ג באהא ד חד0ו
	תח תחלק ד' על ד' אלפים תקל"ו והוא מחולק תקצרם יהיו חלק אחד מאלף קל"ד והוא הנעלם ואז עלה בידינו כי חצי תשיעית מג' שביעיות ‫שביעיות הוא [...] חלק אחד מל"ו [...] כי כולם שוים כי ערך ג' על ג' כערך א' על [א‫'] ‫[...]
	א דגאא א וג ג ובא ג ד
	‫[בחינה] אחרת מן המורים תחלק תן כל אב על בניו יהיה [...] האחד ד' חלקים מקכ"ו והשני ל"ו חלקים מאלף קל"ד והנה ערך ד' אל אל קכ"ו כערך ל"ו אל אלף קל"ד
	בחינה אחרת תחלק המורים כל בן על אביו ותציא ל"א וחצי מכל אחד
	בחינה אחרת חלק בן על בן ואב על אב ותיצא בחילוק ט' מכל אחד
	ועיין באלו הבחינות כי בשאלות אקח מתי שבא לידי
	שאלה חמשית ממידה אם חצי שתי חמשיות מג' רביעיות אמה מבגד שוה ג' שביעיות מחצי ב' שלישיות פרח שאלתי חצי ושלישית וב' שביעיות מזה הבגד כמה יהיה שוה ויהיה כזאת הצורה
	הנעלם אמה פרח אמה 0 ממ ממ
	התשובה כפול האמצעיות ג' על א' והעולה על ב' והעולה על א' והעולה על א' והעולה על ב' והנה כל השברים יעלו י"ב גם כפול המורים זה על זה יעלו אלף ת תשס"ד תקצרם יהיו ו' חלקים מתתפ"ב תקצרם עוד יהיו ג' חלקים מתמ"א תקצרם עוד בשלישית יהיו חלק מקמ"ז חלקם על הראשון שהוא חלקי אמה וראשונה תן השברים בשבר אחד וזה שתוציא המורה הכללי יהיה מ' וג' רביעיות מ' הוא ל' וב' חמשיות ל' הם י"ב וחצי ‫[...] ג' חלקים מכ' [...] מחולק [...] והוא [...] והנה אם חצי ב' [...] מאמה מבגד שוה ג' שביעיות מחצי שני [...] פרח חצי שלישית מב' שביעיות אמה מבגד שוה כ' חלקים מקמ"ח בפרח
	‫0ב   אדד א X ג זדא ‫0ב
	ואם תרצה לדעת כמה זרתות יהיה הבגד כפול סך זרתות האמה שהם ד' על חלקי השבר והעולה תחלק על המורה וכן תעשה בכל שברי אי מין שיהיה כאשר אמרתי
	והבחינה כך היא שתתן כל שברי השבר בשבר אחד בפני עצמו ותקצרם אם תוכל ואחר תשוה כל אב עם בנו ואחר השיוי תן כל בן על אביו ואם יהיו שברים רבים ולא תוכל להכיר הערך חלק האב על הבן והיוציא בחלוקה יהיה שוה לשניהם
	המשל בזה תשוה שברי כל אחד בפני עצמו יהיה הראשון אחר הקצור ג' חלקים מכ' כזה
	ג ‫0ב
	והשנית שביעית כזה ‫
	והשלישית חלק מכ"א כזה
	א אב
	והרביעי שהוא הנעלם כ' חלקים [..] מתמ"א כזה
	‫0ב אדד
	ויהיו כולם כזאת הצורה
	‫0בד   אדד ‫0ב   אב ‫0ב X א א X ג אדד אב ז ‫0ב
	תשוים שנים שנים יהיו ל"ג חלקים מכ' שהוא הראשון כ"א ולחלק השני כ' חלקים ולחלק השלישי תמ"א חלקים ולחלק השלישי ת"ך חלקים ולחלק הרביעי הנעלם ת"ך והנה ערך כ"א אל כ' כערך תמ"א אל ת"ך שאם תחלק כ"א אל כ' יצא ‫א' וחלק [...] אחר הקיצור [...] ואב על אב יעלה מכל [...] כי אני
	מספר מהו המספר אשר יהיו ב' שבי[..] שמיניות השני כזאת הצורה
	אב   וא X
	יהיו י"ו שביעיות כ"א שמיניות והנה שני שביעיות כ"א הם ששה וג' שמיניות י"ו הם ששה גם כן והוא המבוקש
	אחרת מהו המספר אשר ו' חלקים מי"א יהיו נ"ה שמניות השני
	כזה הצורה
	הה   חד X
	ששה חלקים מי"א הם שלושים כי כשנחלק נ"ה אל י"א יעלה בחילוק ה' וששה פעמים ה' הם ל' וגם ה' שמיניות י"א הם ל' כי חלקנו מ"ח על ח' יעלה בחילוק ו' וה' פעמים ו' הם ל' כשני וכן לכל שני מספרים איך שיהיו כי לכולם דרך אחד
	אחרת רצינו ג' מספרים אשר ב' חמשיות הראשון יהיו כג' שביעיות השני וג' שביעיות השני כד' תשיעיות השלישי
	דה   וה   ‫0ו
	התשובה כפול ה' שהוא מורה הראשון על שברי השנים שהם ג' וד' ועלו ס' על ב' חמשיות גם כפול ז' שהוא המורה השני על שברי האחרים שהם ב' וד' יעלו נ"ו על ג' שביעיות גם כפול ט' שהוא מורה השלישי על שברי האחרים שהם ב' וג' יעלו נ"ד על ד' תשיעיות ועתה ב' חמשיות ס' הוא כ"ד והוא כ"ג שביעיות נ"ו שהוא כ"ד וכן ד' תשיעיות נ"ד הוא כ"ד ואם כן ב' חמשיות הראשון הוא ג' שביעיות השני וג' שביעיות השני הוא ד' תשיעיות השלישי ומש"ל
	‫[...]
	חטא   בז   [...]   [...]       [...] חד   חד   חד   חד
	[...] וג' שביעיות השני יהיה כ"ב [...] וב' שלישיות השלישי יהיה כ"ד תשיעיות רביעי או נוכל לאמר כי ב' חמשיות הראשון כג' שביעיות בג' שביעיות השני וכב' שלישיות השלישי וכד' תשיעיות הרביעי וכן לכל אחד שתקח השבר שתרצה
	והמשל בזה הצורה הנה נכפול כל מורה על שברי כולם חוץ משבריו ואחר קח מה שיורה כל אחד כמו [...] שנקח ה' שהוא מורה הראשון ונכפלהו על שברי האחרים שהם ג'ב'ד' יהיו כ"ד נכפול כ"ד על המורה שהוא ה' יהיו ק"ך ותתנם על ב' חמשיות ואחר נקח ז' שהוא [...] מורה ג' שביעיות ונכפלם על בב"ד שהם שברי האחרים יעלו קי"ב תתנם על ג' שביעיות ואחר נכפול ג' על בג"ד יעלו ע"ב נתנם על ב' שלשיות ואחר נכפול ט' על בג"ב יעלו ק"ח נתנם על ד' תשיעיות ועתה נראה כי ב' חמשיות ק"ך הם מ"ח וג' שבעיות קי"ב הם מ"ח וב' שלשיות ע"ב הם מ"ח וד' תשיעיות ק"ח הם מ"ח וכל תנהיג לכל השברים שתרצה
	שאלות ממינים אחרים אם נרצה חלק או חלקים מאיזה מטבע שנרצה נכפול סך המטבע על השבר ונחלק על המורה והוא המבוקש
	והמשל רצינו ב' שלשיות לטרה כזה ‫
	נכפול סך הלטרה שהוא כ' על השבר שהוא ב' יעלו מ' נחלק מ' על המורה שהוא ג' יעלה בחילוק ‫י"ג די‫' ‫[...]
	והבחינה נחבר [...] ליטרה תחבר [...] המבוקש
	משל אחר רצינו לדעת ג' רביעי[ות‫] [...]
	22
	נכפול סך הדוקאדו ש[...] השברים שהם ג' יעלו ס"ו נחלקם [על] המורה שהוא ד' יציא בחילוק י"ו די' וב' רביעיות שהם חצי
	והבחינה רביעית כ"ב הוא ה' וחצי וג' פעמים ה' וחצי הם י"ו וחצי
	משל אחר רצינו לדעת כמה ד' חמשיות פרח כזה
	16
	הנה סך הפרח הוא י"ו די' נכפול י"ו על המורה שהוא ד' יעלו ס"ד נחלקם על ה' יעלה בחילוק י"ב די' וד' חמשיות דינ' נכפול הד' חמשיות על י"ב שהם פשיטי הדינ' יעלו מ"ח נחלקם על המורה שהוא ה' יעלו ט' פשי' ונשארו ג' פשי' נכפול ג' על ב' שהם מחצית הפשוט ויעלו ששה מחצות נחלקם על ה' יעלה מחצה ונשאר א' שהוא חמשית מחצה
	משל אחר רצינו כ"ה חלקים מנ"ב מנ"ב בדוקאדו כזה
	הב בה 22
	הנה נאמר בדרך השלושה אם נ"ב שוה כ"ב די' שהם סך הדוקאדו כ"ה מה יהיה שוה ויהיה
	הב בב בה אם
	נכפול כ"ב דנרי הדוקדו על כ"ה שהוא השבר הנשאל יעלו תק"ן נחלקם על המורה שהוא נ"ב יעלה בחילוק עשרה די' ונשארו ל' חלקים נכפלם על י"ב יעלו ש"ס נחלק על נ"ב שהוא מורה השברים יעלו ו' פשי' ונשארו מ"ח נכפלם על ד' רביעי הפשוט ‫[...] יעלה בחילוק ג' רביעיות [...] ברביעית פשוט כזה
	וג בה
	[...] כל מה שעשינו לתשלום [...] יהיו שניהם שוים למורה הדוקדו [...] הנה שאלנו כ"ה חלקים מנ"ב בדוקאדו [...] לתשלום נ"ב כ"ז חלקים מנ"ב שהוא המורה ועתה אמור אם נ"ב שוה כ"ד כ"ז מה יהיה שוה והנה כפלנו כ"ז על כ"ב יעלו תקצ"ד נחלקם על נ"ב ויציא בחילוק י"א י"א די' ונשארו כ"ב כפלנום על י"ב יעלו רצ"ד נחלקם על נ"ב יעלו ה' פשיטי' ונשארו ד' נכפלם על ד' ויהיו י"ו רביעיות ולא נוכל לחלקם על נ"ב ונשארו עליו כזה
	וא בה
	והוא מחולק לשברי רביעיות והנה יהיו סבי השאלה עם סבי הבחינה כזאת הצורה
	וא   וג בה   בה רביעיות ג פשיטי ו די‫' ‫0א   0 פשי ה די' אא
	והנה ל"ו חלקים מנ"ב וי"ו חלקים מנ"ב הם רביעית פשוט וג' רביעיות שלנו יהיו פשוט אחד ועם י"א פשיט שבצורה יהיו י"ב שהם די' אחד ועם כ"א די' שבצורה יהיו כ"ב והוא המבוקש ועם זאת הבדיקה תוכל לבדוק כל השאלות מזה המין
	משל אחר רצינו לדעת נ"ז חלקים מצ"א חלק ביום כמה שעות ודקים ושניי' וכו' הם
	התשובה הנה נאמר בדרך השלושה אם צ"א שוה כ"ד נ"ז מה יהיה שוה ויהיה כזאת הצורה
	זה דב אט אם
	הנה נכפול כ"ד על נ"ז יעלו אלף שס"ח נחלקם על צ"א יעלה בחילוק ט"ו שעות ונשארו ג' נכפול ג' על ס' ‫ס' יעלו ק"ף [...] נכפלם על ס' יעלו ה' [...] המורה יעלה בחילוק נ"ח [...] יעלו ג' אלפים תש"ך נחלקם על ה[...] ונשארו פ' נכפול פ' על ס' יעלו ד' אלפים [...] יעלו נ"ב רביעיים ונשארו ס"ח נכפלם על ס' יעלו [...] ופ' נחלקם על המורה יעלה בחילוק מ"ד חמשיים ונשארו ע"ו כפלנו ע"ו על ס' יעלו ד' אלפים תק"ס נחלקם על המורה יעלו נ' ששיים ועשרה חלקים מצ"א בשישית כי לא רציתי לעשות שביעיים לדקדק יותר ומי שירצה עוד לדקדק ידקדק לכפול על ס' ולחלק הציוציא על המורה
	והבחינה היא שניקח הנשאר מנ"ז חלקים עד צ"א והם ל"ד ונאמר אם צ"א נתן כ"ד שעות ל"ד כמה שעות יתן ודקים וכו' יתן נכפול כ"ד על ל"ד יעלו תתי"ו נחלקם על צ"א שהוא המורה ויעלה ח' שעות ונשארו פ"ח נכפלם בס' יעלו ה' אלפים ר"ף נחלקם על המורה יעלה בחילוק נ"ח דקים ונשארו ב' נכפלם בס' יעלו ק"ך נחלקם על המורה יעלה בחילוק שני אחד ונכפול כ"ט שנשארו על ס' יעלו אלף תש"מ נחלקם על המורה יעלו י"ט שלישיים ונכפול י"א שנשארו על ס' יעלו תר"ס נחלקם על המורה יעלו ז' רביעיות ונשארו כ"ג נכפלם על ס' יעלו אלף ש"ף נחלקם על המורה יעלה בחילוק ט"ו חמישיות ונשארו ט"ו נכפלם בס' יעלו תת"ק נחלקם על המורה יעלו ט' ששיות ונשארו פ"א
	ואין צריך לדקדק עוד ומי שירצה לדקדק עוד ידקדק כמו שאמרתי
	אבל זה שיור נבחון עם מה שיציא לנו משאלתנו מחוברים אם יהיו כ"ד שעות בכיון שהם יום אחד הוא טוב ויהיו הנשאל
	‫
חלקי ששיות ‫0א אט ששי חמשי [רביעי] [שלישי] [שני] [דקים] [שעות] אח צא נ מד [נב] [מ] [נח] [א] [טו] ט טו ז [יט] [א] [נח] [ט]   משברים א 0 0 0 0 0 0
	חברנו השברים שהם פ"א ועשרה יהיו צ"א ששי ועם נ' וט' ששיות יהיו חמשי אחד ועם מ"ד וט"ו חמשיות יהיו רביעי אחד ועם נ"ב וז' רביעיות יהיו שלישי אחד ועם מ' וי"ט יהיו שני אחד ועם נ"ח וא' יהיו דק אחד ועם א' ונ"ח דקים יהיו שעה אחת ועם ט"ו וט' שעות יהיו כ"ד שעות שהם יום אחד וזה מה שרצינו
	גם נוכל לעשות אלו השאלות מכ"ה חלקי הדוקאדו שכפלנו סך המטבע על השבר הנשאל וחלקנו על המורה בצורה הזאת בשאלה שעשינו בדרך השלושה ששאלנו נ"ז חלקים מצ"א ביום
	כ"ד שעות היום נ"ז החלקי' הנשאלים צ"א המורה
	הנה נכפול סך שעות היום שהם עליונים בזאת הצורה שהם כ"ד על החלקים הנשאלים שהם נ"ז אמצעיים בצורה יעלו אלף שס"ח נחלקם על צ"א שהוא המורה ותציא בחילוק ט"ו שעות וז' חלקים מצ"א ומהם עשתי דקים ושניים וכו‫'
	שאלה רש"ל עשו חברה ראובן נתן בחברה חצי שלישית רביעית פרח והפרח שוה י"ו די' ושמעון נתן רביעית ששית דוקאדו והדוקאדו שוה כ"ב די ולוי נתן רביעית חצי שלישית קאשטיללנו והוא שוה כ"ח די' והרויחו ששית רביעית שלישית פאלומיטה והוא שוה כ"ד די' שאלתי ‫שאלתי כיצד [...] פשוטי[...] הם קצ"ב ופשטי הדוקאדו [...] הקאשטיללנו הם של"ו ופשטי הפל[...] חלקו מן הפרח שהם קצ"ב פשי' הרביעית [..] מ"ח הוא י"ו וחצי י"ו הוא ח' פשיטי' וזה חלק ראובן
	וחלק שמעון י"א פשי' כי פשיטי הדוקאדו רס"ד ושישית רס"ד הם מ"ד ורביעית מ"ד הם י"א וזה חלק שמעון
	והנה חלק לוי הוא י"ד פשיטי' כי פשיטי הקאשטיללש הם של"ו ושלישית של"ו הם קי"ב וחצי קי"ב נ"ו ורביעית נ"ו הוא י"ד פשי' והוא מה שנתן לוי
	והנה הריוח הוא ב' פשי' שהם ששית רביעית שלישית חצי פאלומטה כי הפשוט הם רפ"ח וחצי רפ"ח הם קמ"ד ושלישית קמ"ד הם מ"ח ורביעית מ"ח הם י"ב ושישית י"ב הם שנים והוא הריוח ויהיו כזאת הצורה
	ב ח ראובן יא שמעו יד לוי   לג המורה
	נכפול ח' על ב' יעלו י"ו נחלקם על ל"ג והוא מחולק י"ו חלקים מל"ג בשלם וזה חלק ראובן וגם לשמעון כ"ב חלקים מל"ג בשלם וגם לחלק לוי כ"ח חלקים מל"ג בשלם
	והבחינה תקביץ חלקי שלושתן יהיו ב' פשי' כי י"ו וכ"ב וכ"ח תחלקם על ל"ג יצאו שנים שהוא הריוח ‫[...]
	דע כי [...] מעלות ומעלות על [...]לות על איזה שבר שיהיה [...] הנכפל ואם נרצה לכפול [...] היוציא רביעיים והדמיון כי שנים [...] ארבעה ואם שניים על שלישיים היוציא חמשיים [...] ושלושה הם חמשה ואם שניים על רביעיים היוציא ששיים וכן כל כפל כי דקים על דקים היוציא דקים ואם דקים על שניים היוציא שניים ואם שני' על שניי' רביעיים ואם שלישי על שלישי ששי ואם רביעיי על רביעי היוציא שמיניי וכן שני בשלישי חמשיי ושני ברביעי ששיי וכן כולם בחיבור שני הנכפלים כי חמשי על חמשי עשיריי
	והמשל בזה רצינו לכפול ד' מעלות ו' דקים ח' שניים י"ב שלישיים על ה' מעלות ט"ו דקים עשרה שניים י"ג שלישים
	ומעשה הוא שכפלנו ד' על כל הטור התחתון וכן נכפול ו' וכן כולם כל הטור העליון על כל הטור התחתון כמנהג כפל השלמים כמו שתראה בזאת הצורה
מעלות דקים שני' שלישיי רביעי' חמשיי' ששי‫' ד ה ו הא ח ‫0א בא גא       ‫0ב ‫0ו ‫0ד בה         ‫0ג ‫0ט ‫0ו חז         ‫0ד ‫0בא ‫0ח ד0א         ‫0ו ‫0חא ‫0בא והא
	ונאמר כי ד' פעמים ה' הם מעלות הם כ' מעלות גם ד' מעלות על ט"ו דקים הם ס' דקים גם ד' מעלות ‫על עשרה הם [...] נ"ב שלישים והנה ד' [...] כל הטור עם ו' דקים והנה [...] גם ו' על ט"ו יעלו צ' שניים גם ו' [...] גם ו' על י"ג יעלו ע"ח רביעיים והנה [...] עתה נכפול כל הטור על ח' והנה ח' על ה' הם [...] ח' על ט"ו יעלו ק"ך שלישיים גם ח' על עשרה יעלו פ' רביעי[יים] גם ח' שניים על י"ג שלישיים יעלו ק"ד חמשיים והנח ח' כפל כל הטור עתה נכפול י"ב על כל הטור ונאמר י"ב פעמים ה' הם ס' שלישיות גם י"ב שלישיות על ט"ו ראשונים הם ק"ף רביעיים גם י"ב על עשרה יהיו קי"ב חמשיות גם י"ב על י"ג יהיו קנ"ו ששיים והנה עתה חברנו את כולם מין עם מיניו יהיו הששיים קנ"ו והחמשיים רי"ו והרביעיים של"ח והשלישים רצ"ב והשניים ק"ע והדקים צ' והמעלות כ' נחלק השישיות על ס' יעלו ב' חמשיות ונשארו ל"א ששי נחבר הב' חמשיות עם רי"ו חמשיות יהיו רי"ח חמשיות נחלקם על ס' יעלו ג' רביעיות ונשארו נ"ח חמשיות נחבר הג' רביעיות עם של"ח יהיו שמ"א רביעיות נחלקם על ס' יעלו ה' שלישיות ונשארו מ' רביעיות נחבר הה' שלישיות עם רצ"ב יהיו רצ"ז שלישיות נחלקם על ס' יעלו ד' שניים ונשארו נ"ז שלישיות נחבר ד' עם ק"ע שניים יהיו קע"ד נחלקם על ס' יעלו ב' דקים ונשארו נ"ד שניים נחבר הב' דקים עם הדקים שהם צ' יהיו צ"ב נחלקם על ס' יעלו מעלה אחת ונשארו ל"ב דקים נחבר זאת המעלה עם כ' מעלות יהיו כ"א מעלה ואז עלה ‫[...] כ"א מעלות ל"ב [...] [ר]ביעיים נ"ח חמשיים ל"א [...] לזה ‫
[Chapter Three: Problems of Compound Multiplication]	‫[...]בים
	‫[...] ושלשית שוה ד' וחמשית [...] ב' ושישית מה יהיה שוה ויהיה כזאת [הצורה
If $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$3 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$4 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$2 0	0 ב ד ג אם
	‫[...] [תשו]בה [...] בשברו ואחר כפול האמצעיות וחלק על הראשון
	והמשל תן ג' בשבורו יהיו ט' וא' יהיו עשרה שלישיות [וגם הד' בשבורו] והד' היו כ"א [..] והב' בשברו יהיו י"ג ששיות ועתה תסדר שאלתך כשלמים כזאת הצורה השנית
	0 גא ו אב ה ‫0א ג אם
	ואמור אם עשרה נתן כ"א מה יתן י"ג כפול האמצעיות כ"א על י"ג יעלו רע"ג חלקים מל' חלק רע"ג על הראשון שהוא עשרה יציא בחילוק וראשונה תשוים רע"ג חלקים מל' על עשרה חלקים מג' ויהיו כזה הצורה
	טאח   ‫00ג גזב ‫0ג X ‫0א ג
	לעשרה שלישיות ש' ולאחר תתי"ט עתה תחלק תתי"ט על ש' יעלה בחילוק שנים ורי"ט חלקים מש' אשר אם תקצרם יהיו ב' וע"ג חלקים מק' וזהו הנעלם
	והבחינה הוא שתתן האב על הבן עשרה חלקים מכ"א כזה
	‫0א אב
	גם השני על בנו שהוא הנעלם ויהיה אחר שתתן השלם בשברו והאב שהוא י"ג בשברי בנו ויהיה כזה
	‫0גא גזב
	אשר אם תקצרם על י"ג ישובו לעשרה חלקים מכ"א כנזכר ויהיו שוים
	‫שאלה שנית [...] הרויחו ד' [...] כמה ירויחו והיה כזאת [הצורה]
	פרח דנר פרח     טב טא ח   0 ה ד ב אם
	[...] האמצעיות והעולה תשוה עם הראשון ואחר ההשואה תחלק היוצא על הראשון
	והמשל תן הב' פרחים בשברו יהיו ח' שלישיות לראשון ולשני כפול ד' על מורה שברו יהיו י"ט רביעיות ולשלישי כפול ה' על ה' שהוא מורה שברו יהיו כ"ט עם שבריו והם חמשיות ויהיו כולם כזאת הצורה השנית
	טב ה טא ד ח ג
	כפול האמצעיות שהם י"ט על כ"ט יעלו תקנ"א חלקים מכ' בשלם תחלקים על ח' שלשיות אחר ההשואה ויהיה בזאת הצורה
	גהוא ו ‫0וא ו אהג ‫0ב ח ג
	יהיו למחלק שהוא הראשון ק"ס ולמחולק שהוא הנכפל אלף תרנ"ג תחלקהו על ק"ס יעלה בחילוק עשרה שלמים שהם עשרה דינרים ונ"ג חלקים מק"ח בדינר כזה
	גה ‫0וא
	והוא הנעלם והנה עלה בידנו כי כאשר ב' פרחי' וב' שלישיות הרויחו ד' דינרין וג' רביעיות כן ה' פרחים וד' חמשיות ירויחו עשרה דינרין ונ"ג חלקים מק"ס בדניר וזה מה שרצינו
	והבחינה היא שתשוים שניים שנים ואחר ההשואה תחלק כל כך על אביו
	המשל ‫ [...] יהיו לראשון ל"ב [...] רס"ה חלקים [...] שהוא הנעלם תחלק כל בן על אביו יעלה בחילוק א' וכ"ה חלקים מל"ב מכל אחד כיצד חלקנו נ"ז על ל"ב יעלה אחד וכ"ה חלקים מל"ב גם חילקנו ח' אלפים רס"ה על ד' אלפים תר"מ ותצא בחילוק אחד ונשארו ג' אלפים תרכ"ה לחלק על ד' אלפים תר"מ ולדעת אם זה השבר הגדול הוא כ"ה חלקים מל"ב תקצרם על כ"ט ותציא לך כ"ה חלקים מל"ב ואם לא תדע לקצרו על כ"ט חלק כל אחד על כ"ט ותציא מן המתחלק כ"ה ומן המחלק ל"ב וזה המבוקש שיורה שהנעלם [..] הוא אמת
	הובח   ‫0דוד   זה   [בג] גהוא ‫0וא X טב ה   טא ד X ח ג ‫00ח   בא
	דרך אחרת לבחון זאת השאלה ואחרות וזה הוא שתחלק אחר ההשואה כל שני חלקים כל שבר על מורה שניהם והיוציא יהיו המונחים הידועים ואם הנעלם יהיה כמו שהוא נמצא בידנו מוטב
	והמשל תחלק ל"ב ונ"ז על י"ב והוא מורה שניהם יציא לראשון ב' וב' שלשיות אחר הקיצור ולשני ד' וג' רביעיות וכן תחלק ד' אלפים תר"מ השלישי וח' אלפים רס"ה הרביעי על מורה שניהם שהוא ת"ת ותציא לשלישי ה' וד' חמשית ולרביעי עשרה ונ"ג חלקים מק"ס וכל אלו השברים הם אחר הקיצור
	דרך אחרת אחר שיהיו לך החלקים הראשונים קודם שתשום ‫כלל תוציא מורה [...] ואחר תחלקם על ה[...]
	המשל בזה הנה המספרים [...] שלשיות והשני י"ט [...] והרביעי אלף תרנ"ג חלקים מק"ס כזה [...] עשה מורה כללי ויהיה ת"ף שהוא כפל ג' [...] צריך לכפול ה' וד' כי בק"ס תמציאך חמשית ורביע[ית] ואם כן המורה הכללי הוא ת"ף נקח ממנו נקח ממנו ב' שלישיותיו שהם אלף ר"ף ונחלקם על המורה ותציא בחילוק ב' וב' שלשיות אחר שתקצר הנשאר וזה לראשון
	וכן קח ג' רביעיות המורה כי רביעיתו ק"ך כפלהו על י"ט יעלו ב' אלפים ר"ף תחלקם על המורה יציא ד' וג' רביעיות אחר הקיצור וזה לשני
	וכן קח כ"ט חמשיות המורה כי חמשיתו צ"ו כפול צ"ו על כ"ט יעלה ב' אלפים תשפ"ד והם כ"ט חמשיות תחלקם על המורה ותציא ה' וד' חמשיות אחר קיצור הנשאר וזה המספר השלישי
	וכן קח חלק מק"ס במורה והוא ג' וזה שתחלק המורה על ק"ס ותציא ג' וזה חלק מק"ס כפול ג' על אלף תרנ"ג יעלו ד' אלפים תתקנ"ט אשר תחלקים על ת"ף ותציא לך עשרה ונ"ה חלקים מק"ס אחר קיצור הנשאר וזה הרביעי הנעלם וכן כל כיוציא בזה
	והנה כאשר עלה בידי [.] בחינה חדשה או דבר חידוש בדברי אותו ואתה המעיין קח מה שתרצה
	שאלה שלישית מהו המספר שאם כפלנו אותו על ט' וה' שביעיות שתציא ד' וג' חלקים מעשרה כזאת הצורה
	ג ‫0א ד ט 0
	תשובה הנה אעשה זאת השאלה עם ‫[...]ים והוא שתחלק הנשאל [...] הראוי לכפול לכפול על הכופל [...] כל שלם במורה שברו וחבר עליו שבריו [...] שביעיות ולשני מ"ג עשריות תשוים בזאת [הצורה‫]
	גד ‫0א X חו ז
	יהיו לראשון אשר עליו תחלק תר"ף והשני הראוי לחלק ש"א תחלקם על תר"ף והוא מחולק כזה
	א0ג ‫0חו
	שהוא ש"א חלקים מתר"ף והוא המספר שאם תכפלהו על ט' וה' שביעיות יעלה ד' וג' עשריות
	והבחינה כך היא שתכפול ש"א חלקים מתר"ף על ט' וה' שביעיות וראשונה תתנם בשברו יהיו ס"ח שביעיות כופלם על ש"א חלקים מתר"ף יעלו ב' [עשרים] אלפים תס"ח תחלקם על כפל המורים שהוא ד' אלפים תש"ס ותציא בחילוק ד' שלמים ואלף תכ"ח חלקים מד' אלפים תש"ס תקצרם לחציים שתי פעמים ופעם בשביעית ופעם בי"ז ונשארו ג' עשריות
	שאלה אחרת אם שארית חודש אחד הוא יום אחד וי"ב שעות תשצ"ג חלקים שאלתי שארית י"ב חדשים שהם שנה פשוטה כמה ימים ושעות וחלקים יהיה וכן אם שאל מחזור או מחזורים
	התשובה תן הכל בחלקים מאלף ופ' בשעה שהוא המורה ואחר אמור אם כך חלקים נתן לנו חדש אחד י"ב חדשים מה יתן לנו או רל"ה חדשים שהם מחזור אחד מה יתן לנו
	והמשל בשאלתנו תן היום בשעות יהיו כ"ד וי"ב שהיו לנו יהיו ל"ו כפול ל"ו על אלף ופ' שהם חלקי שעה אחת שהוא המורה יעלו ל"ח אלפים תת"ף תוסיף עליהם תשצ"ג שהיו לנו יהיו ל"ט אלפים תרע"ג וזהו שארית חדש אחד ועתה אמור אם חדש אחד נתן לנו ל"ט אלפים תרע"ג חלקים י"ב חדשים מה יתן לנו ויהיה כזאת
	בא גזוטג א אם
	כפול ל"ט אלף תרע"ג על י"ב יעלו תע"ז אלפים וע"ו תחלקם על א' והם מחולקים וזה הראוי לי"ב חדשים והם חלקים אבל נעשה מהם ימים ‫ושעות וחלקים וזה שתחלק [...] ת"מ שעות ונשארו תתע"ו חלקים [...] מהת"מ שעות וזה שנחלקם על כ"ד יעלו [...] ונשמרם ומן הי"ח ימים ניפול י"ד ונשארו ד' [...] שהם ד' ימים ח' שעות תתע"ו חלקים והם מן [...] פשוטה והיודע דרכי העיבור יבין זה
	שאלה אם שלישית ורביעית דבר אחד שוה ג' די' כמה יהיה שוה כל הדבר
	תשובה תשוים כזה הצורה
	ז X בא
	ותמצא ז' חלקים מי"ב כזה
	ז בא
	וראה כי הם חלקי השאלה וי"ב הוא השלם ועתה תסדר שאלתך ואמור אם ז' שהם שלישית ורביעית דבר אחד נתן ג' די' כל הדבר שהוא י"ב מה יתן ויהיה כצורה הזאת
	יתן מה בא די' ג נתן ז אם
	כפול האמצעיים שהם ג' על י"ב יעלו ל"ו תחלקם על ז' יעלו ה' שלמים וחלק מ"ז והנה אם שלישית ורביעית דבר אחד שוה ג' די' כל הדבר יהיה שוה ה' די' ושביעית די'
	והבחינה עשה כל חלקי השאלה שביעיים יהיה הראשון מ"א והשני כ"א והשלישי פ"ד והרביעי ל"ו כפול האמצעים יהיו אלף תשס"ד וכן יהיו החיצוניים ודי בזה
	שאלה אחרת אם שלישית וחמשית דבר אחד שוה ד' די' מה יהיה שוה הנשאר
	ג ח ה X הא
	תשובה תשוים תמצא משני השברים שמונה חלקים מט"ו בשלם כי השברים הם ח' והשלם ט"ו והנה מח' עד ט"ו תמצא ז' הנשאר ועתה תסדר שאלתך ואמור אם ח' שהוא שלישית וחמשית דבר אחד שוה ד' די' הנשאר מח' עד ט"ו שהוא השלם שהוא ז' מה יהיה שוה ויהיה כצורה הזאת
	ג ז ד ח אם
	כפול האמצעיים ויהיו כ"ח תחלקם על ח' יעלו ג' שלמים וחצי והוא המבוקש והבחנה ‫[...]ה חציים בעבור החצי [...] י"ו ח' י"ד ז' וראה כי [...] כפל ז' או בחינה אחרת כפול [...] וכן החיצוניות
	‫[שאלה] אחרת אם ק' די בשליש וחמשית חודש וט"ו שעות הרויחו ז' די' שאלתי כמה ירויחו כל החודש
	התשובה הנה שליש החדש הוא כ' ימים וחמשתו הוא ששה וכולם כ"ו ימים וט"ו שעות ועתה אמור אם כ"ו ימים וט"ו שעות נתן לנו ז' די מה יתן ל' ימים שהוא כל החדש ויהיה כזאת הצורה
יתן מה ימים ל די' ז' נתן שעות וט"ו ימים כ"ו אם
	נכפול ז' על ל' יעלו ר"י נחלקם על כ"ו ימים וט"ו שעות וראשונה נשוים שנתן הכל בשעות יהיו הכ"ו ימים והט"ו שעות הכל תרל"ט שעות וגם ר"י על כ"ד יעלו ה' אלפים ומ' שעות נחלקם על תרל"ט יעלה בחילוק ז' די' תקס"ז חלקים מתרל"ט ולעשות מהם פשיטי' נכפול תקס"ז על י"ב יעלו ו' אלפים תת"ד נחלקם על המורה יעלו עשרה פשיטי' ותי"ד מהמורה ואם תרצה מחצות או רביעיות מפשוט תכפלם על ב' למחצות או על ד' לרביעיות ודי בזה
	שאלה אחרת אם ק' די' בזמן חמשית וששית וי"ג שעות מחודש אחד מל' ימים הרויחו ט"ו די' שאלתי כמה ירויחו בנשאר מן החדש ויהיה כזאת הצורה
	יא   ה   ו X ל
	תשוים יהיו י"א חלקים מל' שהם י"א ימים וי"ג שעות ועתה נאמר אם בי"א ימים וי"ג שעות נתן ט"ו די' הנשאר מהחדש שהוא י"ח ימים וי"א שעות מה יתן ועתה נסדר אם י"א ימים וי"ג שעות נתן ט"ו די' י"ח ימים וי"א שעות מה יתן שהם הנשאר מהחדש נכפול ט"ו על י"ח ימים וי"א שעות וראשונה נשוים שנתנם בשעות והנה נכפול י"א ימים על כ"ד יעלו עם הי"ג שעות רע"ז שעות גם נכפול י"ח על כ"ד יעלו עם הי"א שעות תמ"ג ועתה ‫נאמר אם רע"ז נתן ‫[...]
	גדד הא זזב אם
	‫[...] ו' אלפים [...] יעלה בחילוק כ"ג די' ורע"ד חלקי המ[...] המבוקש והבחינה כאחרות
	שאלה אחרת רש"ל עשו חברה ראובן נתן בחברה חצי שליש רביעית פרח והפרח שוה י"ו די' ושמעון נתן רביעית שישית דוקאדו והדוקאדו שוה כ"ב די' ולוי נתן רביעית חצי שלישית קאשטיללאנה והוא שוה כ"ח די' והרויחו
	שאלה רצינו לכפול שברים על שלמים כפול השלמים על השברים והעולה תחלק על מורה השברים
	המשל רצינו לכפול ד' חומשים על ששה שלמים כזה הצורה
	שברים ד מורה ה שלמים ו
	נכפול ד' העליום שהם שברים על ו' התחתון שהם השלמים יהיו כ"ד נחלקם על האמצעי שהוא מורה השברים יעלה בחילוק ד' שלמים וד' חמשיות
	שאלה אחרת נרצה לכפול י"א חלקים מי"ב בשלם על י"ד שלמים נתנם כזאת הצורה
	שברים יא מורה יב שלמי יד
	נכפול העליון על התחתון שהם שברים על שלמים י"א שברים על י"ד שלמים יעלו קנ"ד נחלקם על י"ב [האמצעי] שהוא מורה השברים יעלה בחילוק י"ב שלמים ועשרה חלקים מי"ב שהם מקוצרות ה' ששיות כזה
	וכן כל הדומה לזה
	וכן נוכל לעשות זה בדרך השלושה עם שיהיה ראשון השאלה האמצעי ואמור אם י"ב נתן י"ד י"א מה יתן נכפול י"ד על י"א יעלו קנ"ד נחלקם על י"ב יעלה י"ב שלמים וה' ששיות כנז'
	שאלה אחרת רצינו מספר שאם כפלנו אותו על ג' שלמים וב' חמשיות וגם היוציא כפלנו על ד' שלמים וג' רביעיות ‫[...] שלמים [...] יהיו י"ז [...] נשוים עו אל [...] יהיו ס"ח וצ"ה שניהם מחלקי [...] המורה כמו שתראה בצורה שנית
	יט יז ד ג ‫0ב
	הט חו ‫0ב
	‫[עתה] נניח כי ב' הוא המספר אשר כפלנו אותו על ג' וב' חמשיות והיוציא בכפל נכפול עוד על ד' וג' רביעיות ושיציא מן הכפל ד' שלמים ועתה כפלנו ב' המונח על ס"ח יעלו קל"ו גם כפלנו קל"ו על צ"ה יעלו י"ב אלפים תתק"ך ואנחנו לא שאלנו כי אם ד' הנה נאמר בדרך השלושה אם י"ב אלף ותתק"ך נתן לנו ב' מי יתן לנו ד' כפלנו ד' על ב' יעלו ח' נחלקים על י"ב אלף ותתק"ך והוא מחולק שהוא ח' חלקים מי"ב אלף תתק"ך כזה הצורה והוא הנשאל
	ח ‫0בטבא
	והבחינה כפלנו ח' על ס"ח והיציא בצ"ה והעולה נחלק על המורה שהוא י"ב אלף תתק"ך ויעלו ד' שלמים כי כפל ס"ח על ח' תקמ"ד וכפל תקמ"ד על צ"ה יעלו נ"א אלפים תר"ף נחלקם על המורה יציא בחילוק ד' שלמים
	או אם תרצה תקצר המספר בשמינית וקח שמינית ח' שהוא אחד ושמינית המורה שהוא אלף תרמ"ו ואחר כפול א' המקוצר משמונה על ס"ח שבא מג' שלמים וב' חמשיות ואחר כפול העולה שהוא ס"ח על צ"ה שבא מד' וג' רביעיות יעלו ו' אלף ות"ס תחלקם על אלף תרמ"ו שהוא המורה מקוצר יעלה בחילוק ד' והוא הנשאל ואם כן המספר שבקשנו הוא חלק אחד מאלף תרמ"ו שאם תכלנו אותו על ג' וב' חמשיות והעולה על ד' וג' רביעיות יהיה העולה ד' שלמים והוא המבוקש
	שאלה סוחר קנה י"ז אמות וחצי בגד לסך י"א פרחי וב' שלישיות שאלתי סך ט' אמות
	התשובה כפול ט' על י"א וב' שלישיות וחלק על י"ז וחצי ויהיו כזאת הצורה
	ט יא יז אם
	‫וראשונה תן הי"א שלמים [...] כפול ט' על ל"ה שלישיות ויהיו [...] י"ז וחצי ויהיו כזאת הצורה
	האג ג
	‫[...] יהיו ל"ה חציים כזה
	הג ב
	‫[...] ל"ה חציים עם שט"ו שלישיות ויהיו תר"ל וכולם [..] תר"ל על השני שהוא ק"ה ששיות כמו שתראה בצורה
	‫[‫0גו‫] ה0א האג הג ג ב ו
	ויעלה בחילוק ששה והם פרחים והנה כאשר י"ז אמות וחצי שוה י"א פרחים וב' שלשיות הנה סך ט' אמות שוה ששה פרחים
	והבחינה תן הכל בשברים ממין אחד וכפול האמצעיות והחיצוניות ויהיו שוים
	והמשל י"ז וחצי הם ל"ה חציים וי"א ושתי שלשיות הם ל"ה שלישיות ויהיו שניהם כזאת הצורה
	הג הג ג ב ו
	תשוים אל מורה אחד יהיה האחד ק"ה ששיות והשני ע' ששיות ועתה תן ט' בשישיות יהיו נ"ד ששיות ובם ו' יהיו ל"ו ששיות ויהיו כולם כזאת הצורה
	ה0א ‫0ז דה וג ו ו ו ו
	כפול הקצוות יהיו ס"ג אלפים תש"ף וכן תמצא האמצעיות והכל מבואר
	או אם תרצה לבדוק בדרך השלושה ואמור אם ק"ה נתן ע' שאלתי נ"ד מה יתן תכפול האמצעיות וחלק על ק"ה ותיצא ל"ו תחלק ל"ו על המורה שהוא ששה יעלו ששה והוא המבוקש
	שאלה סוחר הלך לסחורתו למדינה אחת או לשתים או ליותר ובכל מדינה כפל ממונו והפסיד בכל מדינה מספר מה וכאשר שב לביתו לא נשאר לו כלום מממונו שאלתי הממון שהוציא מביתו
	הנה הדרך לכולם הוא שאם הלך למדינה אחד גרע ממנה שהפסיד חציו והנשאר הוא הממון שהוציא מביתו ואם הלך בשתי מדינות וכפל ממונו כנז' גרע ממה שהפסיד רביעיתו והנשאר ‫[...] שלושה השמינית וכן בכל [...] שהלך תצטרך לגרוע חצי [...] ולשלושה שמינית ולארבעה חלק [...] המשכת הערך הכפול שהוא כזה הצורה
	א א א א א א דו בג וא ח ד ב
	המשל בזה ראובן הלך למדינה אחד וכפל ממונו והפסיד ד' ולא נשאר לו כלום שאלתי כמה ממון היה לו
	התשובה גרע ממה שהפסיד חציו כמו שיורה השבר הראשון ונשארו ב' וזה ממונו
	ואם בשתי מדינות גרע רביעית ד' שהוא מה שהפסיד ישארו ג' וזה ממונו שכפלו הוא ו' במדינה ראשונה והפסיד ד' ונשארו ב' לשנית וכופלם יהיו ד' והפסיד ד' ולא נשאר לו כלום
	ואם הלך בג' גרע מד' השמינית ישאר ג' וחצי וזה ממונו כי כפלם הוא ז' בראשונה והפסיד ד' נשארו ג' לשנית וכפלם ו' והפסיד ד' נשארו ב' לשלישית וכפלם יהיו ד' והפסיד ד' ולא נשאר לו כלום
	ואם בד' מדינות גרע מד' חלק מי"ו ונשארו ג' וי"ב חלקים מי"ו כפול וגרע כמו שעשינו ולא נשאר לו כלום
	ולכולם כפי המדינות גרע השבר מלוח הערך הכפול וההפסד שתרצה הוא ההנחה‫

The Third Section: Subtraction Problems	‫[השער השלישי בשאלות גרעון]
	חלקתיו לשלשה פרקים
	‫[הפרק הראשון בשאלות] גרעון שלמים
	‫[הפרק השני] בשאלות גרעון שברים
	הפרק השלישי בשאלות גרעון מורכבים
The First Chapter: Problems of Subtraction of Integers	הפרק הראשון בשאלות גרעון שלמים
Question: what is the number, from which we subtract its third, a quarter of the remainder, a sixth of the remainder, a fifth of the remainder and a half of the remainder and 3 remains.	שאלה מהו המספר אשר גרענו ממנו שלישיתו ורביעית הנשאר ושישית הנשאר וחמשית הנשאר וחצי הנשאר ושנשאר ג‫'

$\scriptstyle\begin{align}&\scriptstyle a-\frac{1}{3}a\\&\scriptstyle-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)\\&\scriptstyle-\frac{1}{6}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)\right]\\&\scriptstyle-\frac{1}{5}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)-\frac{1}{6}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)\right]\right]\\&\scriptstyle-\frac{1}{2}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)-\frac{1}{6}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)\right]-\frac{1}{5}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)-\frac{1}{6}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)\right]\right]\right]\\&\scriptstyle=3\end{align}$

Answer with false position and the rule of three:	תשובה עם מונח כוזב ודרך השלושה
Suppose it is 60, since we find all these parts in it without a fraction.	נניח ס' בעבור שנמצא בו כל אלו החלקים בלי שבר
We subtract from 60 its third; 40 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=40}}$	והנה גרענו מס' שלישיתו ישארו מ‫'
We subtract a quarter of 40; 30 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{40-\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)=30}}$	גרענו רביעית מ' ישארו ל‫'
We subtract further a sixth of 30, which is 5; 25 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(\frac{1}{6}\sdot30\right)=30-5=25}}$	עוד גרענו ששית ל' שהוא ה' נשארו כ"ה
We subtract a fifth of 25; 20 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{25-\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)=20}}$	עוד גרענו חמשית כ"ה נשארו כ‫'
We subtract a half of 20; 10 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)=10}}$	עוד גרענו חצי כ' נשארו עשרה
	ואנחנו לא שאלנו אלא ג' נלך אל דרך השלושה ונאמר אם ס' נתן לנו עשרה מי יתן לנו ג' ויהיה כזאת הצורה
If 60 10 0 3	ג 0 ‫0א ‫0ו אם
	נכפל הקצוות ג' על ס' יעלו ק"ף נחלקם על עשרה ותציא בחילוק י"ח והוא המספר הנעלם אשר אם תגרע ממנו שלישיתו ורביעית הנשאר וששית הנשאר וחמשית הנשאר וחצי הנשא' וישאר אחר כל אלו הגרעונות ג' וכן כל הדומה לזה
	והבחינה היא שתגרע מי"ח שהוא המספר הנשאל הנעלם שלישיתו וישארו י"ב נגרע רביעית י"ב נשארו ט' נגרע ששית ‫ט' שהוא אחד וחצי [...] שהוא אחד וחצי נשארו ו' [...] המבוקש ואם תרצה שלא יהיו [...] שהוא הנעלם בשברים אשר כפלת [...] מעשרה בשלם ועתה גרע שלישית ק"ך [...] עוד גרע מק"ך רביעיתו שהוא ל' נשארו צ' עוד גרע מצ' שישיתו שהוא ט"ו נשארו ע"ה עוד גרע מע"ה חמשיתו שהוא ט"ו ונשארו ס' עוד גרע מס' חציו נשארו שלושים תחלק שלושים על עשרה שהוא מורה אלה השברים ותציא ג' והוא המבוקש
	שאלה אחרת מהו המספר המחובר כו' ‫[...] ותציא ג' והוא המבוקש [...] המחובר עם מספר מונח [...]גרע ממנו חלקים מתחלפים [...] שהוא
	והמשל רצינו לחבר שלושה [...] אלפים על ס' ושנגרע כל אחד [...] וישאר המונח ונאמר מהו המספר המחובר עם ס' וגרענו ממנו חציו ושישאר ס' ועוד שגרענו ממנו ג' שביעיותיו ושישאר המונח שהוא ס' ושנגרע עוד ממנו ד' תשעיותיו ושישאר ס'
	תשובה תסדר חלקי שאלתיך הראוים לגרוע ותניחם כמו שברים כזאת הצורה שהם חצי וג' שביעיות וד' תשיעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$
	ואחר כפול ואחר כפו המונח על מורה המספר שתרצה לגרוע והעולה תחלק על יתרון המורה מן השבר וכן כולם
	והמשל בזה הנה רצינו מספר שאם נגרע חציו שישאר המונח
	הנה נכפול ס' על מורה החצי שהוא ב' יעלו ק"ך נחלקם על א' שהוא יתרון המורה משברו יעלו ק"ך והוא המבוקש
	ובחינתו היא שתגרע מק"ך חציו ישארו ס' שהוא המונח
	עוד נכפול ס' על מורה המספר השני שהוא ז' יעלו ת"ך
	נחלקם על ד' שהוא יתרון המורה על השברים שהוא ז' והשבר ג' יעלה בחילוק ק"ך והוא המבוקש
	ובחינתו הוא שתגרע ג' שביעיותיו שהם מ"ה כי השביעית הוא ט"ו וישארו ס' שהוא המונח
	עוד נכפול ס' על מורה שהוא ט' יעלו תק"מ
	נחלקם על [יתרון] המורה מן השברים שהוא ה' כי מס' עד נ"ה תמנה ה' ותציא ק"ח וזהו המספר הנעלם
	ובחינתו שאם תגרע ‫ממנו ד' תשיעיותיו [...] ס' שהוא המונח וכן [...] תראה בשאלה הבאה
The third question: Reuven, Shimon, Levi, and Yehudah [wanted to buy] a book. Reuven said: [give me] half the money and I will buy the book. Shimon said: I will buy the book with a third of your money. Levi said: I will buy the book with a quarter of your money. Yehudah said: I will buy the book with a fifth of your money. I ask: how much does each have and how much is the price of the book?	שאלה שלישית ראובן ושמעון [...] ספר ואמר ראובן [...] חצי הממון שלכם ועם כל ממוניו אקנה הספר ‫[..] שמעון ואמר אני אקנה הספר עם שלישית ממונכם ויאמר לוי אני אקנה הספר עם רביעית ממונכם ויאמר יהודה אני אקנה הספר עם חמשית ממונכם שאלתי מה יציד כל אחד וכמה סך הספר
	תשובה הנה ראוי לך לקחת מונח אחד שימצאו בו כל החלקים הנשאלים שהם חצי ושלישית ורביעית וחמשית כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$
	ואחר תבקש מספר אחד לכל אחד שאם תגרע ממנו המספר שישאר המונח ותמצא אילו המספרים כמו שאמרתי אם תכפול המונח על מורה כל אחד ותחלק היוציא מכל אחד על יתרון המורה משברו והיוציא יהיה המספר הנעלם שאם תגרע הנשאל ממנו ישאר המונח וכאשר תחבר הנעלם היוציא מכלם ותחלקהו על מספר האנשים בחסרון אחד שאם היו שלושה שתחלקם על שנים ואם היו ארבעה שתחלק על שלושה כמו בשאלתינו שהם ארבעה ותחלק על שלושה והעולה בחילוק הוא ממון כולם גרע ממנו המונח ישאר סך הספר ואחר גרע מן הממון המספר הנעלם מכל אחד והיוציא הוא ממונו
	והמשל בזה לקחנו למונח ס' וכפלנו אותו על מורה הראשון שהוא ב' ויעלו ק"ך
	תחלקם על א' שהוא יתרון המורה על שברו ותציא ק"ך וזה הנעלם לראובן שאם תגרע חציו ישאר מונח
	עוד ‫[...] ג' יהיו ק"ף תחלקם [...] על שברו ויעלו צ' וזה [...] ישאר המונח
	עוד תכפול [...] הוא ד' יעלו ר"מ
	תחלקם על ג' שהוא [...] על שברו ותציא פ' וזה הנעלם ללוי שאם תגרע [...] ישאר המונח
	עוד תכפול המונח על מורה הרביעי שהוא ה' יעלו ש‫'
	תחלקם על ד' שהוא יתרון המורה על שברו ותציא ע"ה
	והנה היו לנו ק"ך לראובן וצ' לשמעון ופ' ללוי וע"ה ליהודה כזאת הצורה
For Reuven 120   1 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ For Shimon 90   31 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ For Levi 80   41 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ For Yehuda 75   46 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ their sum 365   the money of all of them 121 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ the price of the book 61 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	א   קך לראובן לא   צ לשמעון מא   פ ללוי מו   עה ליהודה   שסה חיבורם קכא ממון כולם סא סך הספר
	נחברם יהיו שס"ה
	נחלקם על ג' שהם מספר האנשים בחסרון אחד ותציא בחילוק קכ"א וב' שלישיות והוא ממון כולם
	נגרע ממנו המונח ישאר ס"א וזה סך הספר
	ואחר שידענו ממון כולם וסך הספר נבקש ממון כל אחד
	וראשונה מראובן הנה הנעלם שלו הוא ק"ך נגרעם מקכ"א ישאר א' וב' שלישיות וזה ממון ראובן
	עוד נגרע צ' שהוא הנעלם משמעון מקכ"א שהוא ממון כולם ישארו ל"א וב' שלישיות וזה ממון שמעון
	עוד נגרע פ' שהוא הנעלם מלוי מקכ"א ישארו מ"א וב' שלישיות וזה ממון לוי
	עוד נגרע ע"ה שהוא הנעלם מיהודה מקכ"א ישארו מ"ו וב' שלישיות וזה ממון יהודה
	נחברם כולם יהיו קכ"א שהוא כל הממון
	והבחינה הנה אחר שידעת ממון כל אחד קח כל מה ששאל כל אחד ותראה אם תציא סך הספר שהוא ס"א וב' שלישיות
	המשל בזה קח ממון ראובן שהוא א' וב' שלישיות וחצי ממון שנזכר שמעון ‫שהוא ט"ו וחצי [...] וחצי ממון יהודה שהוא [...] הספר עוד קח ממון [...] כולם יהיו ס"א ב' שלישיות כסך הספר [...] שלשית לוי י"ג וח' תשיעיות ושלישית יהודה [...] כל השברים יהיו י"ח תשיעיות שהם שנים וב' שלשיות [...] יהיו ס"א וב' שלישיות כנז' והוא סך הספר
	גם נקח כל ממון לוי שהוא מ"א וב' שלשיות ורביעית ראובן שמעון ויהודה ויהיה גם כן סך הספר כי רביעית ראובן הוא ב' שלישיות וחלק מי"ב ורביעית שמעון ז' וב' שלישיות י"ג חלקים ורביעית יהודה [...] ב' שלישיות תחבר השלמים והשברים יהיו ס"א וב' שלישיות כסך הספר
	עוד קח כל ממון יהודה שהוא מ"ו וב' שלשיות וחמשית ראובן שהוא שלשית וחמשית שמעון שהוא ו' ושלישית וחמשית לוי שהוא ח' וחמשית תחברם יהיו ס"א וב' שלישיות כסך הספר וכן כל כיוציא בזה
	ואם פרש סך הספר יש בו טורח גדול כאשר תראה בשאלה שיבוא בחומר בגד
	שאלה רביעית ראובן שמעון לוי קנו בגד אחד בסך ל"ה פרחים ואמר ראובן לאחרים [תנו לי] ג' שביעיות ממונכם ועם ממוני אקנה הבגד ואמר שמעון תנו לי חמשית ממונכם ועם ממוני אקנה הבגד ואמר לוי תנו [לי שמינ]ית ממונכם ועם ממוני אקנה הבגד שאלתי ממון כל אחד וזה צור[ת] שאלתם
Reuven $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ Shimon $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ Levi $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}}}$	ראובן שמעון לוי
	תשובה הנה זאת השאלה יחויב לעשותה כל מה שעשיתי בשאלה שעברה ואחר עם דרך השלושה
	והמשל קח מורה אלו השברים שהוא ר"ף ויהיה המונח ועתה כופלהו על מורה שברי ראובן יהיה אלף תתק"ס תחלקם על ד' שיש מן השברים למורה ותציא ת"ץ וזה הנעלם לראובן שאם ‫[...] המונח עוד תכפול [...] חלקם על ד' שיש מן השברים [...] שאם תגרע חמשיתו שהם ע' [...] לוי יהיה ב' אלפים [...] למורה ותציא ש"ך וזה הנעלם [...]גרע שמיניתו שהוא [.] ישאר המונח תחברם כולם ת"ץ [...] והוא אלף ק"ס תחלקם על שנים שהם אחד פחות מן האנשים יעלה תק"ף וזה יהיה ממון כולם [...] כפי הנראה
	גרענו ממנו המונח ישארו ט' [פרחים] וזה סך הבגד כפי הנראה
	ואחר גרע ממון נעלם כל אחד מממון כולם והנשאר הוא ממונו
	כיצד גרענו נעלם ראובן שהוא ת"ץ ממון כולם שהוא תק"ף [ישאר צ'] והוא ממון ראובן
	עוד גרענו נעלם שמעון שהוא ש"ן מתק"ף ישאר ר"ל והוא ממון שמעון
	עוד גרענו נעלם לוי שהוא ש"ך מתק"ף ישאר ר"ס והוא ממון לוי
	והנה ידענו ממה שעשינו בזאת השאלה כי ממון ה[..] הוא ש' פרחים ואנחנו לא קבלנו אלא ל"ה פרחים
	ונאמר בדרך השלושה אם ש' נתן לנו צ' לראובן ל"ה מי יתן לנו בזאת הצורה
300 90 35 0 for Reuven 300 230 35 0 for Shimon 300 620 35 0 for Levi	ראובן 0 הג ‫0ט ‫00ג אם לשמעון 0 הג ‫0גב ‫00ג אם ללוי 0 הג ‫0וב ‫00ג אם
	והיוציא שהוא עשרה פרחים וק"ן חלקים מש' בפרח יהיה ממון ראובן
	עוד אמור אם ש' נתן לנו ר"ל לשמעון ל"ה מה יתן לו כזאת הצורה
	והיוצא שהוא כ"ו פרחים ור"ן חלקים מש' בפרח יהיה ממון שמעון
	עוד אמור אם ש' נתן ר"ס ללוי ל"ה כמה יתן לו כצורה השלישית
	והיוציא והוא ל' פרחים וק' חלקים מש' בפרח יהיה ממון לוי
	והרי לך ממון כל אחד
	והנה תוכל לקצר אם בדרכי השלושה אם בשברים ‫אבל כדי שלא ‫[...]
	והבחינה כך הוא [...] הנשארים [...] תקח ממון השני וחמשית הנשארים [...] השלישי ושמנית הנשארים ותציא סך הבגד [...] יותר נקל תן השלמים בשברים ואחר תקח ג' [...] החלקים שתרצה כנזכר
	המשל בזה נתן ממון ראובן בשברו יהיו ג' אלפים וק"ן מש' בשלם וממון שמעון ח' אלפים ונ' חלקים מש' בשלם וממון לוי ט' אלפים וק' חלקים מש' ויהיו שלושתם כזאת הצורה
Reuven's money $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3150}{300}}}$ Shimon's money $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8050}{300}}}$ Levi's money $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1900}{300}}}$	‫0האג ‫00ג ממון ראובן ‫0ה0ח ‫00ג ממון שמעון ‫00אט ‫00ג ממון לוי
	נקח ממון ראובן כולו וג' שביעיות ממון הנשארי כי ג' שביעיות ממון שמעון הוא ג' אלפים ת"ן כי השביעית הוא אלף ק"ן וג' שביעיות ממון לוי הוא ג' אלפים תת"ק נחברם כולם יהיו עשרת אלפים ת"ק
	נחלקם על ש' כי כולם שברים מש' בפרח יעלו ל"ה שהוא סך הבגד
	ועוד לקחנו כל ממון שמעון שהוא ח' אלפים וחמשים ועם חמשית ממון ראובן שהוא תר"ל ועם חמשית ממון לוי שהוא אלף תת"ך יהיו כולם עשרת אלפים ת"ק אשר נחלקם על ש' ותיצא ל"ה פרחים שהוא סך הבגד
	ועוד נקח כל ממון לוי שהוא ט' אלפים ומאה ועם שמנית ראובן שהוא שצ"ג וצלת וג' רביעיות וגם שמינית ממון שמעון שהוא אלף וששה ורביעית נחברם כולם יהיו עשרת אלפים ות"ק נחלקם על ש' ותציא ל"ה שהוא סך הבגד וזה מה שרצינו
	ואם לא תוכל לכוון חלקהם תחלק ממון שמעון ולוי על ז' והיוצא תכפול על ג' ותציא לשמעון ג' אלף ת"ן [..] וללוי ג' אלף ת"ק תחברם עם ממון ראובן יהיה הכל עשרת אלף ות"ק נחלקם על ש' יעלו [...] ‫ג' אלפים וק"ן ואחר תחבר [...] אלפים וק"ן קח ג' שביעיותיו [...] ראובן והיוציא תחלק על ש' [...] הבגד
	עוד תחבר ממון ראובן ולוי כולו [...] ותחברם על ממון שמעון והעולה תחלק על ש' [...] סך הבגד
	עוד קח ממון לוי וקח שמנית ממון ראובן ושמעון ותחברם עם ממון לוי והעולה תחלק על ש' ותציא ל"ה שהוא סך הבגד
	וכן כל כיוציא בזה שאם יהיו האנשים רבים שתצטרך לקחת מכל אחד חלק או חלקים שוים כמו חצי או ב' שלישיות או ג' רביעיות או איזה מספר שיהיה שתחברם יחד ומן הנקבץ קח מה שתרצה
The fifth question: Reuven, Shimon and Levi formed a partnership, Reuven contributed 3 dinar to the partnership, Shimon [contributed] 4 [dinar] and Levi [contributed] 8 [dinar]; they Lost 6 dinar. I ask how much will they subtract from their money, each according to his own share?	שאלה חמשית ראובן שמעון לוי עשו חברה ראובן נתן בחברה ג' דינר ושמעון ד' ולוי ח' והפסדו ו' דינרי‫' שאלתי כמה יגרעו מממונם כל אחד כפי ממונו
6 3 4 8   15	ו ג ד ח   טו
	תשובה הנה דרך השאלה הזאת והדומה לה היא ממש כדרך החברות אלא שכאשר תחלק הריוח תחלק ההפסד ומה שהשיג לכל אחד תגרע מהממון שנתן וזאת השאלה כתבתי ואין להאריך בה ולא בשברים ולא במורכבים
	המשל בזה הוא שתקבץ ממון כולם שהוא ט"ו והוא המורה לחלק עליו ואחר כפול ההפסד על כל אחד וחלק על המורה והיוציא יהיה חלק כל אחד ותגרעהו מממונו כי הפסד ראובן הוא א' וחמשית גרעהו מג' שנתן כחברה ישארו א' וד' חמשיות שלקח מג' דינרי' שנתן ושמעו[ן] הפסיד א' וג' חמשיות גרעהו מד' שנתן ישארו ב' וב' חמשיות ולוי שנתן ח' דינר הפסיד ג' וחמשית גרעהו מח' ישארו ד' וד' חמשיות וכן כל הדומה לזה
The Second Chapter: [Problems of Subtraction of Fractions]	‫הפרק השני [...]
The first question: what is the number, [from which we subtract it its fifth] and three quarters remain. $\scriptstyle a-\frac{1}{5}a=\frac{3}{4}$	שאלה ראשונה מהו המספר [...] וישאר ג' רביעיות [...]
[Suppose it is 20, we subtract] from it its fifth; 16 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)=16}}$	‫[...] ממנו חמשיתו נשארו י"ו
But, we asked [for 3 quarters, so we say:] if 20 gives us 16, which number [gives us] 3 quarters?	ואנחנו שאלנו [...] אם כ' נתן לנו י"ו [...] ג' רביעיות
As this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
If 20 16 0 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$	0 וא ‫0ב א
Multiply the extremes the result is 60 quarters, like this: $\scriptstyle{\color{blue}{20\sdot\frac{3}{4}=\frac{60}{4}}}$	כפול הקצוות יעלו ס' רביעיות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{4}}}$	‫0ו ד
Divide it by 16, which is 64 quarters after equalizing and this is the dividend; it is 60 parts of 64, as this: $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{60}{4}\div16=\frac{60}{4}\div\frac{64}{4}=\frac{60}{64}}}$	תחלקם על י"ו אחר ההשואה שהוא ס"ד רביעיות והוא מח'ולק ויהיה ס' חלקים מס"ד כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{64}}}$	‫0ו דו
It is the sought: we subtract from it its fifth, which is 12; 48 remain and it is [its] 3 quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{64}-\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{60}{64}\right)=\frac{60}{64}-\frac{12}{64}=\frac{48}{64}=\frac{3}{4}}}$	והוא המבוקש נגרע ממנו חמשיתו שהוא י"ב נשארו מ"ח והוא ג' רביעיות
Because, a quarter of 64 is 16 and three times 16 is 48 as the remainder. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot64\right)=3\sdot16=48}}$	כי רביעית ס"ד הוא י"ו וג' פעמים י"ו הוא מ"ח כנשאר
What is [the number], such that if we subtract from it its half and its third 3 remain. $\scriptstyle a-\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}a\right)=3$	מהו שאם גרענו ממנו חציו ושלישיתו שישארו ג‫'
Suppose it is 6: its half is 3 and its third is 2; they are five and one remains. $\scriptstyle{\color{blue}{6-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)\right]=6-\left(3+2\right)=6-5=1}}$	נניח ו' הנה חציו ג' ושלישתו ב' יהיו חמשה ונשאר אחד
But, we asked for 3, so we say: if 1 comes from 6, from which number 3 comes?	ואנחנו שאלנו ג' הנה נאמר אם א' בא מו' ג' מאזה מספר יבוא
As this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
If 1 6 3 0	0 ג ו א אם
We multiply 6 by 3; the product is 18. We Divide it by 1; the result from the assumed is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{6\sdot3}{1}=\frac{18}{1}=18}}$	נכפול ו' על ג' יעלו י"ח נחלקם על א' היוציא מן המונח יהיו י"ח
Its half is 9 and its third is 6; together they are 15. We subtract them from 18; 3 remains and it is the sought.	והנה חציו ט' ושלישיתו ו' ושניהם יהיו ט"ו נגרעם מי"ח ישארו ג' והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{18-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)\right]=18-\left(9+6\right)=18-15=3}}$
Another question: what is the number, from which we subtract its third, its 2 fifths and its eighth and six remain. $\scriptstyle a-\left(\frac{1}{3}a+\frac{2}{5}a+\frac{1}{8}a\right)=6$	שאלה אחרת מהו המספר אשר גרענו ממנו שלישיתו וב' חמשיותיו ושמיניתו וישארו ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$
Suppose it is 120: its eighth is 15, its two fifths are 48 and its third is 40; together they are 103. We subtract them from the assumed, 17 remain.	נניח ק"ך והנה שמניתו הוא ט"ו ושתי [ח]משיותיו הם מ"ח ושלשיתו הוא מ' וכולם ק"ג נגרעם מן המונח נשארו י"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle120-\left[\left(\frac{1}{8}\sdot120\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot120\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot120\right)\right]&\scriptstyle=120-\left(15+48+40\right)\\&\scriptstyle=120-103=17\\\end{align}}}$
But, we asked for six, so we say by the rule of three: if [17] comes from 120, from which number six comes?	ואנחנו שאלנו שישארו ששה נאמר בדרך השלושה אם בא מק"ך מאיזה מספר יבוא ששה
As this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
If 17 120 6 0	0 ו קך יז אם
We multiply six by the assumed, which is 120; the product is 720. We Divide it by 17; the result of division is [42]. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{6\sdot120}{17}=\frac{720}{17}=42+\frac{6}{17}}}$	נכפול ששה על המונח שהוא ק"ך יעלו תש"ך נחלקם על י"ז יעלה בחילוק [מ"ב‫]
We subtract from it its eighth, when it is restored to 720 parts, because of the remainder of six parts of 17; the eighth is 90; the 2 fifths are 288; and its third is 240. We sum them; they are 618, which are the third, the 2 fifths and the eighth. 102 remain. We divide them by 17; the result is six and it is the required.	נגרע מהם שמיניתו עם שנשיבם לתש"ך בעבור הנשאר בחילוק שהוא ששה חלקי י"ז והיה השמינית צ' והב' חמשיות רפ"ח ושלישיתו ר"ם נחברים יהיו תרי"ח והם השלישית והב' חמשיי' והשמנית ישארו ק"ב נחלקם על י"ז יעלו ששה והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{720}{17}-\left[\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{720}{17}\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{720}{17}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{720}{17}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{720}{17}-\left(\frac{90}{17}+\frac{288}{17}+\frac{240}{17}\right)\\&\scriptstyle=\frac{720}{17}-\frac{618}{17}=\frac{102}{17}=6\\\end{align}}}$
	מהו המספר אשר נגרע ממנו חצי שלישית רבעית חמשיתו

Chapter [Three: Problems of Compound Subtraction]	הפרק ‫[...] מורכבים
	‫[...] מספר אשר גרענו ממנו [...] וישארו ד' שלמים וד' חמשיות [...] הנה זה המין קל מאוד ובעבור זה לא עשיתי ממנו אלא שתי שאלות וזה שתחבר הכל והיא השאלה
	המשל בזה ג' וד' שלמים הם ז' שלמים עוד תשויה השברים יהיו כ"ב תחלקם על ט"ו שהוא המורה יהיו א' וז' חלקים מט"ו בשלם תקבץ הכל יהיו ח' שלמים נ"ז חלקי ט"ו וזהו המספר אשר גרענו ממנו ג' וב' שלישיות ונשארו ד' וד' חמשיות וה
Check: subtract 3 integers and 2-thirds from 8; 4 integers and a third remain. $\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(3+\frac{2}{3}\right)=4+\frac{1}{3}}}$	והבחינה קח מח' ג' שלמים וב' שלשתו שלישיות ישארו ד' שלמים ושלישית
We compare the 7 parts of 15 with the third; they are 36 parts of 45, which are 4-fifths. So, they become 4-fifths when reduced. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{7}{15}=\frac{36}{45}=\frac{4}{5}}}$	ועוד ז' חלקים מט"ו בשלם נשוים עם השלישית יהיו ל"ו חלקים ממ"ה בשלם שהם ד' חומשים וכן ישובו לד' חמישיות כאשר תקצרם
Another question: what is the number, from which we subtract eight and six-sevenths; and ten and five-sixths remain? $\scriptstyle a-\left(8+\frac{6}{7}\right)=10+\frac{5}{6}$	שאלה אחרת מהו המספר אשר גרענו ממנו שמונה וששה שביעיות ונשארו עשרה וחמשה שישיות
	נחבר הכל והמחובר הוא השאלה הנשאלת
	המשל נחבר השלמים יהיו י"ח נשויה השברים יהיו אחד שלם ועוד כ"ט חלקים ממ"ב בשלם ואם כן יהיה המספר הנשאל י"ט שלמים וכ"ט חלקים ממ"ב בשלם
	והבחינה קח ח' ‫ח' וששה שביעיות [...] ושביעית וכ"ט חלקי מ[...] הם חמשה ששיות ואם ת[...] לראות זה בעין תשוים כזה
	יהיו רמ"ה חלקים מרצ"ד בשלם והם הששיות ולראות אותו יותר תשוים עם חמשה שישיות כצורה השנית כפול רצ"ד על ד' יעלו אלף ות"ע וכן יעלו כפל רמ"ה על ששה וזה יורה כי הם חמשה ששיות
Another question: what is the number, from which we subtract one-half of one-third of one-quarter of its fifth; and seven remains? $\scriptstyle a-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot a\right)=7$	שאלה אחרת מהו המספר אשר גרענו ממנו חצי שלישית רביעית חמשיתו ושישאר שבעה
Suppose it is 120: its fifth is 24, the quarter of 48 is six, the third of six is 2 and a half of 2 is 1. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot120=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot24=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot6=\frac{1}{2}\sdot2=1}}$	נניח ק"ך והנה חמשיתו כ"ד ורביעית כ"ד ששה ושלישית ששה ב' וחצי ב' א‫'
	ואנחנו שמנו ז' נאמר אם א' בא מק"ך ז' מאיזה מספר יבוא ויהיה כזאת הצורה
If 1 120 7	ז ‫0בא א אם
	נכפול ז' על ק"ך יעלו תת"מ נחלקם על א' יהיו תת"מ והוא המבוקש
	והבחינה ניקח מהם החמשית יהיו קס"ה ורביעית קס"ה הוא מ"ב ושלישית מ"ב הוא י"ד וחצי י"ד הוא ז' והוא מה שרצינו
	שאלה אחרת מהו המספר שאם גרענו ממנו [..] רביעית חמשית שישית שביעיתו כזאת הצורה ושישאר י"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$
Suppose the number is 840: its seventh is 120, the sixth of 120 is 20, the fifth of 20 is 4 and a quarter of 4 is 1. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot840=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot120=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot20=\frac{1}{4}\sdot4=1}}$	נניח שהמספר הוא תת"מ והנה שביעתו הוא ק"ך ושישית ק"ך הוא כ' וחמשית כ' הוא ד' ורביעית ד' הוא א‫'
	ואנחנו שאלנו י"א ונאמר אם א' בא מתת"ם מאיזה מספר יבא י"א כזה הצורה
If 1 840 11	אא ‫0דח א אם
	נכפול י"א על תת"מ יעלו ט' אלפים ר"מ נחלקם על א' והוא מחולק והוא המספר הנעלם הנשאל
	והבחינה נקח חלקיהם והנה שביעית ט' אלף ר"ס הם אלף ש"ך וששית אלף ש"ך הם ר"ך וחמשית ר"ך הוא מ"ד ורביעית מ"ד הוא י"א והוא מה שרצינו

The Fourth Section: Division Problems	‫‫[השער הרביעי בשאלו]ת חילוק
	חלקתיו [לשלשה פרקים]
	‫[הפרק הראשון] בשאלות חילוק שלמים
	הפרק השני בשאלות חילוק שברים
	הפרק השלישי בשאלות חילוק מורכבים
The First Chapter: Problems of Division of Integers	הפרק הראשון בשאלות חילוק שלמים
The first question: divide 17 into two different parts, such that the greater part is 4 times as the smaller.	שאלה ראשונה חלק לי י"ז בשני בשני חלקים מתחלפים אשר החלק הגדול יהיה ד' פעמים כקטן
	דע כי אלה השאלות תוכל לעשותם באחד משני שלשה דרכים
	והדרך הראשון יחלק לשני סדרים
	אשר הסדר האחד הוא לדעת החלק הגדול והנשאר יהיה החלק הקטן שהוא תשלום הסך
	והסדר השני הוא לדעת החלק הקטן והנשאר הוא תשלום הסך החלק הגדול לתשלום הסך
	ובאלו השני סדרים לא תוכל לחלק המספר אלא לשני חלקים מתחלפים
	והדרך השני [...] בדרך החברות
	ואני אתן שאלה לכל אחד מן השלמים וכן [...] בשברים ובמורכבים
	והתשובה לזה השאלה בסדר הראשון מן הדרך הראשון שהוא לדעת החלק הגדול והנשאר לתשלום הסך הוא החלק הקטן וזה יהיה בשתכפול המספר המונח על כפלי המספר הגדול הנשאל והעולה תחלק על אחד יותר מכפלי המספר הגדול
	המשל בשאלתנו נכפול י"ז על כפלי המספר הנשאל שהוא ד' פעמים יעלה ס"ח ‫תחלקם על אחד [...] יהיו ה' תחלק ס"ח על ה' [...] החלק הגדול והנשאר לתשלום י"ז [....] הקטן והנה י"ג וג' חמשיות הוא גדול ‫[...]
	ומעשה הבחינה כך הוא בדרכים רבים ואכתוב [...] הראשון הוא בכפל והשני בחלוק והשלישי אחר ההשואה ובעבור שלא אאריך אתן לכל משל בחינתו
	והנה הדרך הראשון בזה המשל הוא בכפל והוא שתתן כל השלמים בשבר[..] ויהיו הגדול ס"ח חלקים מד חמשיות והקטן י"ז חמשיות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{17}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{68}{5}}}$	יז ה סח ה
	כפול הקטן על ד' פעמים ויעלה ס"ח והוא ויורה כי הוא גדול ד' פעמים כקטן והוא המבוקש
The second question: divide 11 into two different parts, such that the one is greater that the other by 18 times.	שאלה שנית חלק לי י"א בשני חלקים מתחלפים שיהיה האחד גדול מן השני י"ח פעמים
	תשובה בדרך השני והוא הטוב והנקל והוא ידעת החלק הקטן ראשונה ותשלום הסך הוא הגדול וזה הוא שתחלק הסך המונח על אחד יותר מן הכפלים ששאל והיוצא יהיה החלק הקטן
	המשל בזה תחלק י"א על י"ט שהוא אחד יותר מי"ח ששאל ותציא בחילוק י"א חלקים מי"ט כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{19}}}$	יא יט
	וזה החלק הקטן והחלק הגדול יהיה עשרה וח' חלקים מי"ט כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{19}}}$	ח יט
	שהם תשלום [..] לי"א
	והבחינה יהיה בחילוק שהוא הדרך השני שיעדי[.] והוא שתתן השלמים בשברם כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{198}{19}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{19}}}$	חטא טא אא טא
	יהיה הגדול קצ"ח חלקים מי"ט והקטן ידוע תחלק קצ"ח על י"א ותציא י"ח והנה יש בקצ"ח י"ח פעמים י"א והוא הנשאל
The third question: divide 119 dinar into 4 different parts, such that the first has 2, the second has the same as the first plus a half, the third twice as the second plus its third, and the fourth as the third plus its 4 sevenths.	שאלה שלישית חלק לי קי"ט די' לד' חלקים מתחלפים לראשון ב' ולשני כראשון וחצי והשלישי ב' פעמים כשני ושלישיתו והרביעי כשלישי וד' שביעיותיו
	ויהיו המספרים ‫[...] קי"ט ויהיו כזאת הצורה
	תחבר הד' מספרים יהיו כ"ג וזה המורה לחלק עליו ואחר כפול כל אחד על הסך המונח וחלק על המורה והיוציא הוא הראוי לכל אחד וזה הדרך הוא דרך החברות כי לראשון יעלה עשרה די' וח' חלקים מכ"ג ולשני ט"ו די' וי"ב כ"גין ולשלישי ל"ו די' וה' כ"גין ולרביעי נ"ו וכ"א כ"גין
[to the first] [to the second] [to the third] [to the fourth] the denominator 23 10 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{23}}}$ 15 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{23}}}$ 36 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{23}}}$ 56 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{21}{23}}}$	כגין ח ‫0א כגין בא הא כגין ה וג כגין אב וה       [לראשון] [לשני] [לשלישי] [לרביעי] המורה כג
	הבחינה בבחנת החברות שתחבר השברים ותמצה ב' שלמים ותחברם עם השלמים יהיו קי"ט כנשאל
	גם בחינה אחרת שתראה אם השני הוא כפל הראשון וחציו והשלישי ב' פעמים כשני ושלשיתו והרביעי כשלישי וד' שביעיותיו ואם יהיה כזה בשאלות הדומות מוטב
The fourth question: what is the number that is divided by 11 and the result is 39?	שאלה רביעית מהו המספר הנחלק על י"א והיוציא יהיה ל"ט
	‫היא מבוארת כי תכפול י"א על ל"ט יהיו תכ"ט תחלקם על י"א אבל עשתי אותה בסדר
	תשובה תניח שהמספר הנעלם הוא ב' תחלק ב' על י"א יהיו והוא מחולק ב' חלקים מי"א ועתה אמור אם ב' נתן לנו ב' חלקים מי"א מי יתן לנו ל"ט ויהיה כזאת הזאת
If 2 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{11}}}$ 0 39	לט 0 ב יא ב אם
	כפול החיצוניות שהם ב' על ל"ט יעלו ע"ח תחלקם על ב' חלקים מא"א וראשונה בשוים ותן ע"ח בי"א יהיו תתנ"ח חלקים מי"א תחלקם על ב' חלקים מי"א כי שניהם שוים ותציא בחילוק תכ"ח וזה הוא המספר הנעלם אשר ‫אם תחלקו על י"א [...] תחלק תכ"ח הנעלם על [...] גם אם תכפול י"א על ל"ט יעלו ‫[...]
	שאלה חמשית מהו המספר הנחלק [...] תחלק על ג' והיוציא בחילוק תחלק [...] יהיה ז'
	תשובה תניח המספר שתרצה וחלקהו [...] ששאלת ושמור היוציא באחרית ואחר אמור אם זה המונח נתן לי זה המספר אשר בידי מי יתן לי ז' ששאלת
	המשל בזה נניח כ"ד המספר הנעלם תחלק אותו על ד' ויעלה ו' עוד תחלק ו' על ג' ויעלה ב' תחלק ב' על ב' ויעלה א' ואנחנו שאלנו ז' עתה אמור בדרך השלושה אם א' בא [מכ"ד] ז' מאי זה מספר יבוא ויהיה כזאת הצורה
If 1 24 7 0	0 ז כד א אם
	כפול האמצעיות יעלו קס"ח תחלקם על א' ויהיה העולה קס"ח והוא הנעלם אשר אם תחלקהו על ד' יהיה העולה מ"ב ואם תחלק מ"ב על ג' יעלה בחילוק י"ד ואם תחלק י"ד על ב' יעלה בחילוק ז' והוא המבוקש
	והבחינה היא אמתת המבוקש או חלוקת כל בן על אביו או בהפך
	שאלה ששית חלק לי מ"ח פרחים לה' אנשים כזה הערך לראשון א' ולשני ג' ולשלישי ה' לרביעי ז' לחמשי ט' כזאת הצורה
1 3 5 7 9	ט ז ה ג א
	זה הדרך יהיה לכל המספרים הנמשכים בערך מה והדרך לכולם הוא שתגרע מספר המקומות ממספרך והנשאר חלקהו לכל המקומות והיוציא יהיה כערך הנשאל
	והמשל תגרע מספר הה' מקומות שהוא כ"ה ממ"ח ישארו כ"ג תחלק כ"ג לה' מקומות בשוה יציא לכל אחד ד' וג' חמשיות תחבר ד' וג' חמשיות עם מספר כל מקום ‫[...]שיות ולשני ז' וג' חמשיות [...] י"א וג' חמשיות ולחמשי י"ג וג' [...]
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$13 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$11 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$9 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$7 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$5	גא אא ט ז ה

The Second Chapter: Problems of Division of Fractions	‫[הפרק] השני בשאלות חילוק שברים
	שאלה [..] ראשונה חלק לי ב' חמשיות לשני חלקים מתחלפים ושיהיה החלק הגדול כ"ח פעמים כקטן
	תשובה זה תעשה עם הסדר השני שאמ[ר]תי בשאלות חילוק שלמים והוא שתחלק המספר המונח על אחד יותר מהנשאל והיוציא יהיה החלק הקטן ותשלומו ל"ב חמשיות יהיה החלק הגדול
	המשל בזה חלק ב' חמשיות לכ"ט שהוא אחד יותר מהנשאל וראשונה כן כ"ט בחמשיות כי השבר הוא חמישית ויהיו קמ"ה חמשיות תחלק ב' על קמ"ה והוא מחולק כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{145}}}$	ב הדא
	וזה השבר הקטן ותשלומו ל"ב חמשיות יהיו נ"ו חלקים מקמ"ה כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{56}{145}}}$	וה הדא
	והוא כ"ח פעמים גדול מן הראשון
	ואם לא תדע לכוין תשלום המספר המונח הנה אתן לך לידיעתו שני דרכים
	אשר האחד הוא שתחלק המורה שהוא קמ"ה על ה' ותציא לך כ"ט שהוא חמשיתו וכפלו שהוא נ"ח יהיו ב' חמשיות הנה הראשון ב' והנה תשלומו לנ"ח יהיה נ"ו והוא הגדול
	והדרך השני הוא כי ידוע שכאשר נכפול כ"ט על ה' שהוא מורה השברים יהיה קמ"ה וחמשיתו הוא כ"ט וב' פעמים כ"ט הוא נ"ח והנה נ"ח הוא ב' חמשיותיו והנה החלק הקטן יהיה ב' ותשלומו לנ"ח הוא נ"ו כנז'
	והבחינה הוא מבוארת כי נ"ו הוא כ"ח פעמים ב' ‫או אם תחלק [...] כי נ"ו שהוא הגדול הוא ‫[...]
	דרך לחלק איזה מספר ש[...] כמו חצי ושלישית ורביעית [...] לעשות זה בג' דרכים
	הדרך הראשון ‫[...]
	והדרך השני בדרך החברות
	והדרך השלישי בדרך השלשה
	המשל בזה שרצינו לחלק כ"ג פרחים לג' אנשים לראשון החצי ולשני השלישית ולשלישית הרביעית
	והנה אם ניקח חצי כ"ג שהוא י"א וחצי ושלישיתו שהוא ז' וב' שלישיות ורביעיות שהוא ה' וג' רביעיות הנה חיבור כולם יהיה כ"ד וי"א חלקים מי"ב ויהיה קרוב מכ"ה
	ואם כן הדרך הסלולה לכל השאלות הדומות לזה שניקח מורה שיהיו בו חצי ושלישית ורביעית ועתה ניקח י"ב ויהיה כזה הצורה
13 3 4 6 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 12	גא ג ד ו בא
	נחבר כל החלקים האלה ויהיו י"ג והוא המורה לחלק עליו ואחר נכפול ו' שהם חלקי הראשון אשר לו החצי מן הכ"ג פרחים יעלו קל"ח נחלקם על סך כולם שהוא י"ג יעלה בחילוק עשרה פרחים י"ח חלקים מי"ג בפרח ובמקום אחר תראה מה נעשה מזה הנשאר די' ופשי'
	ולשני נכפול גם כן ד' על כ"ג יעלו צ"ב נחלקים על י"ג שהוא סך כולם כנז' יעלו ז' פרחים וחלק מי"ג בפרח וזה חלק השני
	ולשלישי נכפול ג' על כ"ג יעלו ס"ט נחלקם על י"ג יעלו ה' פרחים וד' חלקים מי"ג בפרח וזה חלק השלישי
	ויהיו כצורה הזאת
	ד גא פרחים ה לוי א גא פרחים ז שמעו' ח גא פרחים י ראובן
	והבחינה ‫[...]
	ח גא י פרחים ראובן א גא ז פרחים שמעו ד גא ה פרחים לוי
	[הדרך] השני בדרך החברות במשל הנז' שהוא חצי [...]שלישית ורביעית וימציא בי"ב אשר חציו ו' [ושל]ישיתו ד' ורביעיתו ג' ונאמר כי ראובן נתן בחברה ו' ושמעון ד' ולוי ג' כזאת הצורה
	גב ו ראובן ד שמעו ג לוי   גא
	והרויחו כ"ג פרחים נכפול כ"ג על ו' יעלו קל"ח נחחלקם על י"ג יעלה בחילוק עשרה פרחים וח' חלקים מי"ג בפרק
	גם נכפול ד' שהוא חלק השני בכ"ג והעולה נחלק על י"ג יעלה [.] פרחים וחלק מי"ג
	גם נכפול ג' שהוא חלק השלישי על כ"ג והעולה נחלק על י"ג ותציא ה' פרחים וד' חלקים מי"ג בפרח
	והבחינה קח חלקיהם והשלמים ותמצא כ"ג
	הדרך השלישי במשל הנז' בדרך השלשה ונאמר אם י"ג שהוא סך כולם נתן ו' לראובן כי המורה לחלקיהם הוא י"ב וחצי לראובן הוא ו' כ"ג מה [י]תן לו נכפול ו' על כ"ג ונחלקם על י"ג
	וכן לשני אם [..] י"ג נתן ד' לשמעו כ"ג מה יתן לו נכפל ד' על כ"ג ונחלק על י"ג
	וכן ללוי אם י"ג נתן ג' כ"ג מה יתן ונתן
	וכן כל הדומה לזה

Chapter Three	‫הפרק השלישי [...]
	שאלה תחלק לי כ"ב ליטרי ממון [...] ליטרה בשני חלקים מתחלפים [...] גדול מן השני י"ג פעמים
	תשובה תשויה השלמים עם שברי השברים [...] תס"ג חלקים מכ"א בשלם כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{463}{21}}}$	גוד אב
	תחלקם על אחד יותר מהנשאל שיהיו י"ד תשוים עם הנרצה לחלק וזה שתכפול י"ד על כ"א שהוא מורה תס"ג המונחים ויהיו רצ"ד תחלקם על תס"ג ויעלה בחילוק אחד וקס"ט חלקים מרצ"ד כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{169}{294}}}$	טוא דטב
	וזה החלק הקטן
	ולדעת החלק הגדול תשויה המספר המונח עם זה החלק הקטן ויהיה כזה הצורה
	הקטן המונח גבזט דבאוגא גוד גוד דטב אב דזאו
	ויהיה המונח קל"ו אלפים וקכ"ב והם חלקים מו' אלפים וקע"ד שהוא המורה הכללי והשני הוא החלק הקטן הוא ט' אלפים תשכ"ג והם חלקים מהמורה הנזכ' שהוא ו' אלפים קע"ד ומספר תשלומו הוא קכ"ו אלפים שצ"ט וזה החלק השני הגדול אשר הוא גדול מן הקטן י"ג פעמים
	ודרך לדעת תשלומו הוא שתגרע החלק הקטן שהוא ט' אלפים תשכ"ג מן המספר המונח שהוא קל"ו אלפים קכ"ב והנשאר הוא החלק השני הגדול
	והבחינה הוא שתחלק הגדול שהוא קכ"ו אלפים שצ"ט על הקטן כי שניהם ממורה אחד ותציא לך י"ג ותורה שהוא גדול מן הקטן י"ג פעמים
	או תכפול הקטן על י"ג ותציא הגדול ותורה כי הקטן הוא קטן מן הגדול י"ג פעמים
	והנה זאת השאלה תוכל לקצרה כי שלישית הג' שביעיות הוא שביעית מקוצר וכן כ"כ לטרי' בשבעית וכו' כי אין להאריך
	שאלה
	‫[...] הנחלק על י"ב וד' שביעיות [...] היוציא בחילק כ"ז וב' חמשיות [...] כוזיב ועם דרך השלושה הנה [...] ראשונה שבר השבר והנה ד' שביעיות [...] ד' חלקים מנ"ו תקצרם יהיו חלק מי"ד [...] המורה ועתה תן השלמים בזה המורה יהיו קס"ח ועם החלק יהיו קס"ט חלקים מי"ד ויהיו כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{169}{14}}}$	טוא דא
	ושמור אותו לחלק [עליו] ועתה תניח המונח ואמור שהוא ב' תחלקהו על השמור והוא מחולק אחר השיווי שתתן ב' בי"ד יהיו כ"ח כי י"ד הוא המורה והם כ"ח חלקים מקס"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28}{169}}}$	חב טוא
	והנה אנחנו שאלנו כ"ז וב' חמשיות ונאמר בדרך השלושה אם ב' נתן לנו בחלוקה כ"ח חלקים מקס"ט מי א יתן לנו שתציא בחילוק כ"ז וב' שלישיות [חמשיות] ויהיה כזה הצורה
	כז חב טוא ב אם
	כפול האמצעיות וראשונה תן כ"ז בשברו יהיו קל"ז חמשיות ואחר כפול ב' על קל"ז יעלו רע"ד חמשיות תחלקם על כ"ח חלקים מקס"ט מי יתן לנו שתציא בחילוק כ"ז וב' חמשיות כפול האמצעיות וראשונה תשוים בזאת הצורה
	‫0דא   ו0גוד חב טוא X דזב ה
	יהיה המספר הראוי לחלק מ"ו אלפים וש"ו והמחלק ק"מ והנה תחלק מ"ו אלפים ש"ו על ק"מ ותציא ש"ל שלמים וק"ו חלקים מק"מ שאם תקצרים בחצי יהיו נ"ג חלקים מע' והוא המספר הנעלם אשר אם חלקנוהו על י"ב וד' שביעיות שמינית תציא כ"ז וב' חמשיות
	והבחינה היא שתחלק ש"ל שלמים ונ"ג חלקים מע' לי"ב וד' שביעיות שמינית וראשונה ניתן כל ‫כל אחד בשברו יהיה [...] חלקים מע' כזה והשנית [...] מי"ד כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{169}{14}}}$	טוא דא
	כאשר קדם יהיו [...] כ"ג אלפים וקנ"ג על קס"ט [...] כזאת הצורה
	‫0גחאא   בדאדבג טוא דא X גהאגב ‫0ז
	ויהיה אחר ההשואה הראוי לחלק שכ"ד אלפים וקמ"ב והשניי אשר עליו תחלק י"א אלפים ותת"ל ותציא בחילוק כ"ז שלמים וד' אלפים ותשל"ב חלקים מי"א אלפים ותת"ל בשלם שהם ב' שלישיות אם תקצרם
	בחינה אחרת לדעת אם הם ב' חמשיות וזה ששוי השיור הנזכר עם ב' חמשיות כזאת הצורה
	‫0ווגב   ‫0ווגב ב ה X בגזד ‫0גחאא
	ואז תראה ששניהם שוים בהשואה שאז יציא כל אחד כ"ג אלפים תר"ס ויורה שהוא טוב
	שאלה חלק שלמים על שברים כמו ד' שלמים על ב' חמשיות כזה ‫
	תן השלמים [...] השברים יהיו ב' חמשיות נחלקם על ב' יהיו עשרה חמשיות שהם ב' שלמים אחר הקיצור ואם תרצה לתת השלמים תחת השברים כזה הצורה
	ד
	כפול ד' על ה' יהיו עשרים חמשיות תחלקם על ב' יעלו עשרה חמשיות אשר הם ב' שלמים אחר הקיצור
	וגם האחרות תוכל לתתם בזה הצורה אלה שאלכתי אחר מנהג
	‫[...]רצינו לחלק שלמים [...]שלמים ושברים כמו [...] על ג' שלמים וד' חמשיות כזה [...] השלמים כל אחד בשברו יהיה הראשון [...] כ"ג רביעיות והשני י"ט חמשיות כי ה' על [...] עשרים וג' שבריו יהיו כ"ג רביעיות והוא המחולק והמחלק יהיו י"ט חמשיות כמו שתראה בצורה הזאת
	וז   ה0א טא ה X גב ד
	נשום יהיו המחולק ק"ה והמחלק ע"ו נחלק ק"ה על ע"ו יציא בחילוק אחד ול"ט חלקים מע"ו בשלם
	שאלה אחרת לחלק שלמים ושברי שברים על דומהם כמו שרצינו לחלק ששה שלמים וב' שלישיות מג' רביעיות על ד' שלמים וד' חמשיות מב' שלישיות ויהיו בזאת הצורה
	‫0א       ט     מ ד על מ ו   הא       בא
	הנה ראשונה נשויה השברי שברים ג' על ג' יהיו ט' תניחם על ג' רביעיות וב' שלשיות ט' הם ו' כי המורה הוא י"ב וששה מי"ב הם חצי וזה השברי שברים הראשון ותניחם על י"ב כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{12}}}$	ו בא
	גם נכפול ה' על ב' יהיו עשרה על ב' שלישיות וניקח מהם ד' חמשיות והנה הם ח' ועתה שבו השברים הראשונים ו' שהם חצי י"ב שהם חצי השלם ולשניים ח' חלקי ט"ו ויהיו כזה הצורה
	ח הא ד ו
	ותן עתה השלמים בשבריהם יהיו על ב' שהוא מורה שבריו י"ג והמורה ב' עוד ד' שלמים על ט"ו הם ס' וח' משבריו יהיו ס"ח והמורה ט"ו והיו כזאת הצורה
	וגא   הטא חו הא X גא ב
	ואם צורך למורה הכלל נשום ‫יהיה המחולק קצ"ה והמחלק [...] בחילוק אחד שלם ונ"ט חלקים מ‫[...]

The Fifth Section: Mixed Problems	‫‫[השער החמשי] [בשא]לות מעורבות
I divided it into four chapters:	חילקתיו [לארבעה פרקים‫]
The first chapter on mixed problems with a few [solving] methods.	‫[הפרק הראש]ון בשאלות מעורבות מקצת הדרכים
The second chapter on artificial problems.	‫[הפרק] השני בשאלות תחבוליות
The third chapter on various problems.	‫[ה]פרק השלישי בשאלות מתחלפות
The fourth chapter on mixture of coins, including three methods:	‫[הפרק הרביעי בתערובת המטבעות] ‫[ובו ג' סדרים
The first method [deals with] adding and subtracting weights and the knowing the pure marci and their fractions.	הסדר הראשון בחיבור ובגרעון המשקלים ובידיעת הנקי ממרקוש ושבריו
The second method [deals with] knowing the mixture of different amounts of silver.	הסדר השני בידיעת התערובת מסכים מתחלפים מכסף
The third method [deals with] knowing the mixture of gold.	הסדר השלישי בידיעת דרכי תערובת הזהב‫]
Introduction on the Method of "Double False Position"	הקדמה לשני מונחים
You should know that in every question there is a necessary division, which is that for every [double] false position, either one is less than the required amount and the other exceeds over it, or both are less, or both exceed over it.	הנה ראוי שתדע כי בכל שאלה יש חלוקה הכרחית והיא שכל מונח יהיה אם שיגרע האחד מן הסך הנשאל ויעדיף השני או שיגרעו שניהם או שיעדיפו שניהם
If both are less, or exceed, subtract the smaller from the greater and the remainder will be the denominator, by which you divide.	‫[...] או יגרעו שניהם או יעדיפו שניהם גרע הקטן מן הגדול והנשאר הוא המורה לחלק עליו
If one exceeds and the other is less, sum them and it will be the denominator, by which you divide. Keep it.	ואם יהיה האחד עודף והשני גורע תחברם והוא ויהיה המורה לחלק עליו ושמור אותו
Then, multiply each false position by the excess of the deficiency of the other.	ואחר תכפול כל מונח בעודף או בגרעון השני
Subtract the smaller [product] from the greater [product], if you subtracted the reserved; or sum them, if you added the reserved.	וגרע הקטן מן הגדול אם השמור גרעת או תחברם אם השמור חיברתה
Divide the remainder or the sum by the reserved denominator.	והנשאר או המחובר תחלק על המורה השמור
You always add twice or subtract twice - the first time in the denominator and the second time in the dividend from which the required amount results.	כי לעולם תחבר או תגרע שני פעמים הראשון לחלק עליו והשני הדבר המחולק אשר ממנו יצא הסך הנשאל
The First Chapter: Mixed Problems	[הפרק הראשון בשאלות מעורבות]
How Many Problems
Question: one merchant bought clothes, their number is unknown, but we know that for every 4 clothes he paid [9] peraḥim and that the total clothes and peraḥim were all 92. I ask: how many clothes did he buy and how many peraḥim did he pay? $\scriptstyle9\sdot\frac{a}{4}+a=92$	שאלה סוחר אחד קנה בגדים נעלמו מספרם אבל ידענו כי בכל ד' בגדים פרע מן פרחים והבגדים והפרחים היו כולם צ"ב שאלתי כמה בגדים קנה [והפרחים שהוציא]
Answer: you can solve this question with the "Rule of Three", but I will solve this and others by "Double False Position", to train you in it.	תשובה הנה זאת השאלה תוכל לעשותה עם דרך השלשה וזה ועוד אחרות אעשה עם השני מונחים כדי שתרגילם
False Position (1): We assume one position and say that 4 clothes are for 9 peraḥim:	והנה נניח מונח אחד ונאמר כי ד' בגדים הם בט' פרחים
We add 4 to 9; it is 13. $\scriptstyle{\color{blue}{4+9=13}}$	נחביר ד' וט' יהיו י"ג
79 are missing from 13 to 92 for this position. $\scriptstyle{\color{blue}{92-13=79}}$	והנה מי"ג עד צ"ב יחסרון ע"ט בזה המונח
We assume the second position is 4 clothes are for 18 peraḥim:	עוד נניח המונח השני ד' בגדים והם שוים י"ח פרחים
We add 18 to 8 clothes; it is 26. $\scriptstyle{\color{blue}{18+8=26}}$	נחבר ‫י"ח עם ח' בגדים יהיו כ"ו
[66 are missing from 26 to 92 for this position]. $\scriptstyle{\color{blue}{92-26=66}}$	והנה [...] צ"ב
	ונאמר עם ח' בגדים יחסרון ס"ו [...] שהם פחות [...] ישארו י"ג ושמור [...] כי הוא המורה וא[...] מונח על הפחות מן [...] והעולה משניהם גרע הקטן מן הגדול והנשאר תחלק על השמור והיוציא הוא המבוקש
We multiply 4 by 66; the result is 264. [Write it] beneath 66.	כיצד כפלנו ד' על ס"ו יעלה רס"ד ות[...] תחת ס"ו
Multiply also 8 by 79; the result is 632.	עוד כפול ח' על ע"ט היוציא תרל"ב
Subtract 264 from 632; 268 remains.	גרע רס"ד מתר[ל"ב] ישארו רס"ח
Divide it by the reserved 13; the result is 28 and 4 parts of 13. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(8\sdot79\right)-\left(4\sdot66\right)}{26-13}=\frac{632-264}{13}=\frac{368}{13}=28+\frac{4}{13}}}$	תחלקים על י"ג השמור יעלה בחילוק כ"ח וד' חלקים מי"ג
So, he bought 28 clothes and 4 parts of 13 of a cloth and the remainder from the 92, which are 63 and 9 parts of 13 are the peraḥim that he paid.	והנה כ"ח בגדים וד' חלקים מי"ג בבגד קנה ונהשאר מהצ"ב שהם ס"ג וט' חלקים מי"ג הם הפרחים שהוציא
632   plus 4 minus 79 13 plus 8 minus 66       264	בגו       יג עט פחות ד עם סו פחות ח עם   דוב
The check is that you say by the "Rule of Three": if 4 clothes yield 9 peraḥim, how much will 28 clothes and 4 parts of 13 of a cloth yield? $\scriptstyle{\color{blue}{4:9=\left(28+\frac{4}{13}\right):X}}$	והבחינה היא שתאמר עם דרך השלשה אם ד' בגדים נתן ט' פרחים כ"ח בגדים וד' חלקים מי"ג בבגד כמה
They should yield 63 peraḥim and 9 parts of 13, as this diagram: $\scriptstyle{\color{blue}{X=63+\frac{9}{13}}}$	והראוי שיתן ס"ג פרחים וט' חלקים מי"ג ויהיה בזאת הצורה
	0 ד יג כח ט ד אם
	נכפול האמצעיות אחר שתתן כ"ח בי"ג שהם עם הד' שברי' שס"ח חלקים מי"ג עתה נכ[פול] על ט' יהיה העולה ג' אלפים שי"ב נחלקם על ד' אחר שתשוים על י"ג שהם נ"ב יעלו בחילוק ס"ג וישארו ל"ו חלקים מנ"ב שאם תקצרם ברביעית יהיו נ"ו חלקים מי"ג והוא המבוקש כנזכר
	והנה כאשר כאשר לקחתי למונח סך הבגדים כך תוכל לקחת למונח הפרחים כי עם מה שתרצה תוכל לעשות המונח
Purchase Equal Amount Problems
The second question: one merchant bought 3 horses for 200 peraḥim, the price of each by itself is unknown, but it is known [that the price of the second horse is] the double [the price of] the first plus another 4 and the price of the third [is 3 times the price of the second minus 7]. I ask the price of each by himself. $\scriptstyle X+2X+4+3\sdot\left(2X+4\right)-7=200$	שאלה שנית סוחר אחד קנה ג' סוסים בסך ק"ק פרחים נעלם סך כל אחד בפני עצמו אבל הוא יודע ‫[כי סך הסוס השני הוא] כפל הראשון ועוד ד' וסך השלשי [הוא ג' פעמים השני פחות ז‫'] שאלתי סך כל אחד בפני עצמו
False Position (1): The answer: [we assume] the price of the first horse is 5. Its double plus 4 [for the second] are 14. For the third 3 times the second minus [7], [which is 35].	‫[התשובה] ‫[נניח] סך הסוס הראשון הוא ה' וכפלו ועוד ד' [...] יהיו י"ד והנה לשלשי ג' כפלי השני פחות [...]
Sum all; they are 54.	תחברם כולם יהיו נ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{5+\left[\left(2\sdot5\right)+4\right]+\left[\left[3\sdot\left[\left(2\sdot5\right)+4\right]\right]-7\right]=5+14+35=54}}$
But, we ask for 200. So, the deficiency of the first position is 146. $\scriptstyle{\color{blue}{200-54=146}}$	ואנחנו שאלנו ק"ק והנה [...] גרעון קמ"ו במונח הראשון
False Position (2): We assume a second position: [the price of the first horse is 6]. Its double plus 4 for the second are 16. 3 times the second minus 7 [is] 41 for the third.	עוד נניח למונח השני [...] והנה כפלו לשני ועוד ד' יהיו י"ו וג' כפלי השני פחות ז' [...] מ"א לשלשי
Sum the three; they are 63.	תחבר שלשתם יהיו ס"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{6+\left[\left(2\sdot6\right)+4\right]+\left[\left[3\sdot\left[\left(2\sdot6\right)+4\right]\right]-7\right]=6+16+41=63}}$
But, we ask for 200. [So, the deficiency] of this position is 137. $\scriptstyle{\color{blue}{200-63=137}}$	ואנחנו שאלנו ק"ק [...] יגרעו מזה המונח קל"ז
The two are according to this diagram:	ויהיו שניהם בזאת הצורה
	תתעו       קצא ט קמו פחות ה עוד קלז פחות ו עוד     תרפה
Now, subtract the smaller deficiency from the greater deficiency; 137 from 146; 9 remains and this is the divisor. Keep it.	ועתה גרע הפחות הקטן מן הפחות הגדול קל"ז מקמ"ו ישארו ט' והוא המחלק המורה ושמור אותו
Do another subtraction by multiplying each position by the deficiency of the other position:	עוד עשה גרעון אחר והוא שתכפול כל מונח בפחות המונח השני
6 by 146; the result is 876. Write it above 146.	ו' על קמ"ו ויעלו תתע"ו ותניחם על קמ"ו
Also 5 by 137; the result is 685. Write it above 137.	גם ה' על קל"ז ויעלו תרפ"ה ותניחם על תחת קל"ז
Then, subtract the smaller, which is 685, from the greater, which is 876; 191 remains and this should be divided by 9, which is the reserved divisor. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(6\sdot146\right)-\left(5\sdot137\right)}{146-137}=\frac{876-685}{9}=\frac{191}{9}=21+\frac{2}{9}}}$	ואחר תגרע הקטן שהוא תרפ"ה מן הגדול שהוא תתע"ו ישארו קצ"א והם הראוים לחלק על ט' המורה השמור
The result of division is 21 and 2-ninths, which is the price of the first horse, and from is you know the others.	ותציא בחלוקה כ"א וב' תשיעיות והוא סך הסוס הראשון וממנו תדע האחרים
	והבחינה היא שאחר שידענו סך הראשון שהוא כ"א פרחים ושני תשיעיות פרח יהיה השני כפל הראשון ועוד ד' יהיו מ"ו פרחים וד' תשיעיות והשלישי שהוא ג' כפלי השני פחות ז' הנה ג' פעמים מ"ו וד' תשיעיות הם קל"ח י"ב תשיעיות גרע ז' ישארו קל"א וי"ב תשיעיות וזה סך השלישי ויהיו שלשה בזאת הצורה תחבר התשיעיות ‫התשיעיות יהיו ב' שלמים ועם [...] כנשאל [...] ואם תרצה [...] השלושה
	ב ט כא הסוס הראשון ד ט מו הסוס השני יב ט קלא הסוס השלשי   קק סך כולם
Purchase Unequal Amount Problems
The third question: one merchant bought thirty kors of wheat and barley at a price of 400 dinar - the wheat at a rate of 21 dinar and the barley at a rate of 13 dinar. I ask: how many kors of wheat and how many kors of barley did he buy? $\scriptstyle21a+13b=400$	שאלה שלישית שאלה סוחר אחד קנה שלושים כורים מחטה ושעורה בס' ת' די' החטה לסך כ"א דינ' והשעורה לסך י"ג דיני‫' שאלתי כמה כורי חיטה וכמה כורי שעורה קנה
False Position (1): The answer: assume the kors of wheat are 20.	תשובה תניח כי כורי החטה הם כ‫'
	ואם כן יהיו כורי השעורה עשרה
	והנה סך כ' כורי חיטה ת"ך
	ועשרה משעורה קל
	תחברם יהיו תק"ן
	ואנחנו שאלנו ת' ונשארו ק"ן ונאמר עם מונח כ' יותר ק"ן
False Position (2):	עוד נניח מונח שני ונאמר שיהיו כורי החטה י"ח ואם כן יהיו כורי השעורה י"ב והנה י"ב כורי שעורה יעלו קנ"ו וי"ח כורי חטה יעלו שע"ח תחברם יהיו תקל"ד ואנחנו שאלנו ת' והנה זה המונח השני נתן קל"ד יותר מהנשאל ונאמר עם מונח י"ח יותר קל"ד ויהיו שני המונחים בזאת הצורה
	‫00זב       ‫0ב וא ‫0הא יותר ‫0ב עם דגא יותר חא עם     ‫0חוב
	ועתה גרע היותר הקטן מן היותר הגדול שהם קל"ד מק"ן ישארו י"ו והם המורה לחלק עליו ושמור אותו עוד תעשה הגרעון השני אחר שתכפול כל מונח ביתרון המונח השני שהם י"ח על ק"ן וכ' על קל"ד והנה י"ח על ק"ן יעלו ב' אלף ות"ש והשני ב' אלף ותר"ף גרע ב' ‫[...] ות"ש ונשארו כ' והם הראוים [...] שהוא י"ו ותציא בחלוק א' ורביע [...] כור אחד ורביע כור קנה מחיטה כי [...] מונח ונשארו לתשלום שלשים כורים כ"ח כורים [...] כור קנה משעורה
	‫[והבחי]נה תכפול כור ורביע מחטה לסך כ"א יעלו כ"ו דנרי' וג' פשי' גם תכפול כ"ח וג' רביעיות בי"ג יעלו הכ"ח כורים שס"ד והג' רביעיות ט' דינ' וט' פשי' תחברם יהיו שע"ג די' וט' פשי' וזה סך השעורה תחברם עם סך החטה שהוא כ"ו די' וג' פשי' יעלו כולם ת' כנשאל
	הערה שאם אמר בגדים או ספרים או סוסים קצתם לס' מה לקצתם לסך אחר או דברים אחרים ומספרים אחרים וסכים מתחלפים הנה הכל דרך אחד אלא חילוף החומרים ומה שאומר מהם אקצר
How Many Problems
The fourth question: one merchant bought so and so clothes, their number is unknown, but he bought them at 3 clothes for 7 peraḥim and he also knew that the total clothes and peraḥim were all 136. $\scriptstyle7\sdot\frac{a}{3}+a=136$	שאלה רביעית סוחר אחד קנה כל כך בגדים נעלמו מספרם אבל הוא קנה אותם ג' בגדים בז' פרחים והוא ידע גם כן כי סך הבגדים והפרחים היו כולם קל"ו
	‫[תשובה] נניח שהבגדים יהיו ג' והסך ז' פרחים תחבר הבגדים והסך יהיו עשרה והנה שאלנו קל"ו ויגרעו בזה המונח קכ"ו נניח שיהיו הבגדים ו' והסך יהיה י"ד פרחים נחבר הבגדים והסך יהיו כ' והנה בזה המונח יגרעון קי"ו לתשלום קל"ו נגרע קי"ו מקכ"ו ישארו עשרה לחלק עליו כפול כל מונח על פחות חברו שיעלה לאחד תשנ"ו ולשני שמ"ח
	תשנו       ח0ד ‫0א קכו פחות ג עם קיו פחות ו עם     שמח
	‫נגרע שמ"ח מתשנ"ו ישארו [...] בחילוק מ' וד' חמשיות והנה מ' [...] היה מה שקנה ותשלומו לקל"ו שהם צ"ה ‫[...]
	והבחינה הנה כל ג' בגדים שוים ז' פרח[ים] [...] אם ג' נתן ז' מה יתן לנו מ' וד' [...] יתן צ"ה וחמשית או ת[ה]פוך השאלה ואמור אם ז' נתן [...] וחמשית מה יתן והוא יתן מ' וד' חמשיות או תקצר ג' וז' יהיה כל בגד ב' ושליש ואמור אם א' נתן ב' ושליש מ' וד' חמש[..] מה יתן
	בחינה אחרת [.] בשברו יהיו ר"ד גם צ"ה בשבר[.] יהיו תע"ו תשוים עם ג' וז' כזה ויצאו שוים ויורה כי כאשר ג' בגדים שוים ז' פרחים מ' וד' חמשיות שוים צ"ה וחמשית
	א ד ב ח ג X   ב 0 ד ז   ד ז ו     א ד ב ח
Partnership Problems
The fifth question: Reuven and Shimon formed a partnership. Reuven promised to contribute 150 peraḥim to the partnership, but gave only 100. Shimon, who promised to contribute 200 peraḥim, gave only 150. The profit is 60 peraḥim. I ask: how will they divide according to what they gave or promised to give?	שאלה חמשית ראובן ושמעון עשו חברה ונתחייב ראובן לתן בחרבה ק"ן פרחים ולא נתן אלא ק‫' ושמעון שנתחייב לתת ק"ק פרחים לא נתן אלה ק"ן והרויח ס' פרחים שאלתי כצד יחלוקו כפי מה שנתנו או שנתחיבו לתת
	‫הנה רוב השאל[ות] שיהיו מזה המין הם על שני דרכים הראשון הוא שנעיין ערך מה שהתנה לתת עם מה שנתן שאם הוא כמו ב' אצל ג' הוא ב' שלישיות וכן כל אחד כמו שתראה מאלו השאלות הדרך השני שאם יהיה מה שהתנו לתת ומה שנתנו מספרים בודדים או אחד מהם שתתן זה על זה ויהיו כמו שברים כמו שתראה בשאלות
	התשובה נעיין ערך מה שנתחייב כל אחד או מה שנתן והנה ראובן שנתחייב ק"ן ונתן ק' הנה ערך ק' אל ק"ן הוא ב' שלישיות חמשיות שתקצר ק' על קן וישובו לב' חמשיות כנזכר וערך ק"ק אל ק"ן משמעון הוא ערך ג' רביעיות והנה נאמר כי ממון הראשון הוא ב' שלשי' וממון לוי ג' רביעיות נשוים בזאת הצורה
	ט   8 X
	יהיו לראובן ח' ולשמעון ט' נחבר ממון שניהם יהיו י"ז והוא המורה לחלק עליו ‫[...] החברות תכפול ס' על ח' יעלו [ת"ף] תחלקם על י"ז יעלה בחילוק כ"ח פרחים וד' חלקים מי"ז בפרח אם תרצה לכפול ד' על סך הפרח וחלק על י"ז והיוציא יהיו דנרי כמו שידעת לעשות מהנשאר דנרים [...] ולשמעון ל"א פרחים וי"ג יזין
	והבחינה תקבץ היזין יהיו אחד שלם ול"א לשמעון וכ"ח לראובן יהיו ס' והוא הרויח
The sixth question: 2 or 3 or more merchants agreed to form a partnership. Each promised to contribute a known amount to the partnership and stay for a limited time, but they did not contribute the amount they promised and did not stay for the time they agreed on. They earned a known amount of money. I asked: how will they share?	שאלה ששית הנה ב' או ג' סוחרים או יותר נתפשרו לעשות חברה ונתחיבו כל אחד לתת בחברה סך ידוע ולשהות זמן מוגבל והנה לא נתנו מה שנתחייבו מן הממון ולא שהו כפי מה שנתפשרו מן הזמן והרויחו ממון ידוע שאלתי כצד יחלוקו
	הנה הדרך הוא שתעיין ותדע כמו שאמרתי ערך כל אחד וזמנו כפי מה שראוי לתת ולשהות או כפי מה שנתנו ושהו ואחר תכפול זמן וממון כל אחד ואחד ואחר תשוה שלשתם וכאשר יהיו שוים תחת מורה כללי תכפול הרוח על הממון כל אחד והעולה תחלק על המורה כמנהג
Example of our question: Reuven, Shimon and Levi agreed to form a partnership for six years. Reuven promised to contribute 16 liters, but he contributed only 12 liters and stayed [in the partnership] only for 5 years. Shimon had to contribute 20 liters, but he contributed only 15 liters and stayed [in the partnership] only for 4 years. Levi had to contribute 24 liters, but he contributed only 20 and stayed [in the partnership] only for 3 years. They earned thirty liters. I ask: how should they divide [the profit] according to what they promised to contribute, or what they contributed?	ומשל לשאלתנו ראובן שמעון ולוי נתפשרו לעשות חברה עד ששה שנים ונתחייב ראובן לתת י"ו לטרין ולא נתן אלא י"ב לטרין ולא שהה אלא ה' שנים ושמעון היה לו לתת כ' לטרין ולא נתן אלא ט"ו לטרין ולא שהה אלא ד' שנים ולוי היה לו לתת כ"ד לטרין ולא נתן אלא כ' ולא שהה אלא ג' שנים והרויחו שלשים לטרין שאלתי כיצד יחלוקו כפי מה שנתחייבו לתת או מה שנתנו
	תשובה תערוך ממון ראובן י"ו שחייב וי"ב שנתן תקצרם זה על זה יהיו ג' רביעיות כזה ‫
	‫וערך זמנו הוא ה' ששיות כזה תכפול ממונו על זמנו יהיו ט"ו טו חלקם מכ"ד ומקוצר יהיו החלקים מח' כזה וזה ממון ראובן וערך ממון שמעון הוא ג' רביעיות כי ט"ו נתן וכ' חייב לתת נתן ט"ו על כ' כזה
	טו כ
	תקצרם יהיו ג' רביעיות כזה וערך זמנו
	וערך זמנו יהיו ד' ששיות כי ד' שנים שהה מו' שראוי לו לשהות ומקוצר יהיו ב' שלשיות כזה תכפול ממונו על זמנו יהיו ו' חלקים מי"ב שהוא חצי מקוצר ‫וזה ממון שמעון גם תערוך ממון [...] ששיות כזה וערך זמנו חצי כי [...] אל ו' חצי נכפול ה' ששיות על חצי יהיו ה' חלקים [...] תשוים כולם כזאת הצורה
	ו זג יב ‫0ג טו ראובן זב זג ט יב שמעון ד זג ח ‫0א זג שמעון
	ויהיו לראובן ט"ו ולשמעון י"ב וללוי עשרה ותסדרם בדרך החברות בזה הצורה
	[.] יב טו ה בא כד
	ותחבר ממונם יהיו ל"ז והוא המורה עתה כפול שלשים על ט"ו ועלו ת"ן תחלקם על ל"ז יעלה לראובן י"ב וששה חלקי ל"ז גם תכפול ל' על י"ב יעלו ש"ס תחלקם על ל"ז יעלה לשמעון ט' וכ"ז חלקי ל"ז גם תכפול ל' על עשרה יעלו ש' תחלקם על ל"ז יעלה ללוי ח' וד' חלקי ל"ז
	והבחינה תחבר השברים יהיו לטרה אחת והשלמים כ"ט לטרה שיהיו כולם ל' לטרין והוא המבוקש
The seventh question: Reuven and Shimon formed a partnership. Reuven contributed 30 liters of money. Shimon [contributed] 20 kors of wheat; the price of the wheat is unknown. They earned 11 liṭra, 4 liṭra of which are for the one who contributed the wheat. I ask the number of the kors of wheat.	שאלה שבעית ראובן ושמעון עשו חברה ראובן נתן ל' לטרי ממון ושמעון כ' כורי חטה ונעלם סך החטה והרויחו י"א לטרה ומזה הרויח יתכן למי שנתן החטה ד' לטרי שאלתי סך כורי החטה
	תשובה גרע הד' לטרי' מי"א ישארו ז' למי שנתן ל' לטרה ועתה אמור אמור אם ז' לטרה באו לריוח שלשים לטרה ד' לכמה לטרה יבא נכפול ל' על ד' ונחלק על ז' והביא י"ז ושביעית והנה י"ז ושביעית ליטרה יהיה סך החטה
	והבחינה נאמר כי ראובן נתן ל' לטרי' ושמעון י"ז לטרין ושביעית ועתה נתן הכל בשביעיות ‫[...] [שמ]עון ק"ך והרויחו י"א ליטרין תסדר [...] השאלה כסדר החברות בזה הצורה ותציא לראשון ז' לטרין ולשני ד' ליטרין וזה יורה כי כ' כורי חיטה יהיו שוים י"ז ליטרין ושביעית ליטרה
Another question: Reuven, Shimon, Levi and Yehuda formed a partnership. Reuven contributed 25 liters of money to the partnership. Shimon [contributed] cloth; the price of which is unknown. Levi [contributed] 20 peraḥim; the value of which is unknown. Yehuda [contributed] a silver goblet; the price of which is unknown. They earned 14 liṭra. Reuven, who contributed 25 liters, earned 5 liters. Shimon [earned] 4 liters from the cloth. Levi [earned] 3 [liters] from the 20 peraḥim. Yehuda [earned] 2 [liters] from the goblet. I ask the price of the cloth, the value of the 20 peraḥim and the price of the goblet.	שאלה אחרת ראובן שמעון לוי ויהודה עשו חברה ראובן נתן בחברה כ"ה לטרי ממון ושמעון בגד נעלם הסך ולוי כ' פרחים נעלמו הסכים ויהודה גביע כסף נעלמה הסך והרויחו י"ד לטרין ונפל לראובן שנתן כ"ה ליטרין ה' ליטרין ולשמעון ד' ליטרין מן הבגד וללוי ג' מכ' פרחים וליהודה ב' מן הגביע שאלתי סך הבגד וסך הכ' פרחים וסך הגביע
	תשובה אחר שהיה לך ידוע ה' ליטרין רוח לראובן שנתן כ"ה לטרי' יהיו לך סך כל אחד ידוע עם דרך השלושה ואמור אם ה' ליטרין באו מכ"ה ד' ליטרין מכמה ליטרן יבוא ואם תרצה לעשות זה יותר כמות תקצר ה' וכ"ה בחמשית ויהיה א' וה' לראובן ואמור אם א' נתן ה' לראובן ד' מה יתן לשמעון והנה נתן כ' ליטרין לשמעון וכ' לטרין היה הבגד שוה עו' אם א' נתן ה' ג' מה יתן והנה נתן ט"ו והנה טו ליטרין היו שוים הכ' פרחים מלוי עוד אמור אם א' נתן ה' ב' מה יתן והנה נתן עשרה ועשרה ליטרין שוה הגביע
	והבחינה נניח אלו הסכים לכל אחד והריוח והמורה ויהיה בזאת הצורה
	דא הב ראובן ‫0ב שמעו הא לוי ‫0א יהודה   ‫0ז המורה
	נכפול ממון כל אחד על הריוח ונחלק על המורה ותציא לראובן ה' ליטרין ולשמעון ד' ליטרין וללוי ג' ליטרין וליהודה ב' ליטרין והם סך מה שנתן כל אחד
	שאלה אחרת הנה רצינו לפסוק פסק לאנשים מה לכל אחד ‫כפי מה שיש לו מן הממון הנה [...] החברות שתתן כסדר ממון כל [...] לפסוק להם יהיה כמו ריוח ותחבר כל מה [...] ואחר כפול הממון על כל אחד והעולה תחלק [...] והוא הראוי לו לפרוע וכן תעשה לכל אחד ואין ל[...] כי כבר ידעת סדר החברות וקיצורם
Another question: Reuven, Shimon and Levi formed a partnership. Reuven contributed 152 peraḥim and 13 dinar. Shimon contributed 123 ducat and 18 dinar. Levi contributed 132 liters of money and 15 dinar.	שאלה אחרת ראובן שמעון ולוי עשו חברה ראובן נתן [..] קנ"ב פרחים וי"ג די‫' ושמעון נתן קכ"ג דוקאדיש וי"ח די‫' ולוי נתן קל"ב ליטרי ממון וט"ו די‫'
	הנה בזאת השאלה נעשה כל ממונם די' יהיו לראובן ב' אלפים תמ"ה ולשמעון ב' אלפים תשכ"ה ולוי ב' אלפים תרנ"ה והרויחו כ"ד קאשטיללאטוש שהם לסך כ"ח תרע"ה וגמור כסדר הידוע
	ואם תרצה שלא לעשות מן הקשטילל[טוש] די' הרשות בידך והעולה מן הקאשטיללטוש והנח לכל אחד עשה אות[ו] די' ויעלו תרנ"ה כנזכר והוא הבחינה
Question: Reuven, Shimon and Levi formed a partnership and agreed that Reuben will contribute 7 peraḥim [florins], Shimon 11 and Levi 13 and that the partnership will last two years. However, Reuven contributed only 5 peraḥim, Shimon contributed only 7 and Levi 11 only. Furthermore, they did not stay [in the partnership]] for the agreed time: Reuven stayed for the whole two years, Shimon stayed for one year and a third and Levi stayed for one year. They earned ten peraḥim. I ask: how would they divide [the shares]?	שאלה ראובן שמעון לוי עשו חברה והסכמו שיתן ראובן ז' פרחים ושמעון י"א ולוי י"ג ושיתמשך החברה שתי שנים והנה ראובן לא נתן אלא ה' פרחים גם שמעון לא נתן אלא ז' ולוי לא נתן אל י"א וגם בזמן לא שהו אלא המותנה ביניהם אלא ראובן ששהה כל הזמן ב' שנים ושמעון שהה שנה ושליש ולוי שהה שנה אחת והרויחו עשרה פרחים שאלתי כיצד יחלוקו
	הנה כל השאלות מזה המין ניתן מה שנתן על מה שראוי לתת ונתנו שברים מה שנתן ובכמו מורה מה שראוי לתת והוא יהיה ממון כל אחד
	והמשל בזה נתן ה' פרחים שנתן על ז' שראוי לתת כזה ויהיו ה' שביעיות
	לראובן וז' על י"א כזה
	ז אא
	לשמעון וי"א על י"ג כזה
	אא גא
	ויהיו בצורה הזאת
	ההכפלה זמנם ממונם   ‫0בא דח דב בא ה ז ראובן באא בגא וא בא ז אא שמעון בגא והא בא בא אא גא לוי
	והנה זמן ראובן הוא כ"ד חדשים כזה
	דב בא
	וזמן שהיות ‫[...]
	וא 12
	וזמן שהיית לוי י"ב חדשים כזה
	בא בא
	[...] אחד בזמנו יהיה לראובן ק"ך [...] קי"ב חלקי קל"ב וללוי קל"ב חלקי קנ"ו ואלה החלקים [...] כל אחד תקבצם כולם והוא המורה לחלק עליו [...] ואחר תקבצם והדרך שתבקש מורה שיכללם ואם לא [...] כפול מורה הראשון על מורה השני והיוציא על מורה השלישי והיוציא הוא המורה כללי כאשר ידעת תחלקיהו על מורה כל אחד והיוציא בחילוק תכפול בשבריו
	והמשל נכפול מורה ראובן שהוא פ"ד על מורה שמעון שהוא קל"ב והעולה נכפול על קנו שהוא מורה לוי יהיה על העולה מספר אחד תשכ"ט אלפים תשכ"ח ויהיו כזה
	א ז ב ט ז ב ח
	והוא המורה הכללי נחלק אותו על מורה ראובן שהוא פ"ד יעלה בחילוק ב' אלפים תקצ"ב כזה
	ב 0 ה ט ב
	נכפול זה על שבריו שהם ק"ך יעלו ב' מספרים תע"א אלפים ומ' ויה כזה
	ב ד ז א 0 ד 0
	וזה חלק ראובן
	גם נחלק המורה הכללי על מורה שמעון והעולה נכפלהו בשבריו ויהיו מספר אחד תס"ז אלפים תרמ"ח כזה
	א ד ו ז ו ד ח
	וזה חלק שמעון
	גם נחלק המורה הכללי על מורה לוי שהוא קנ"ו העולה נכפול בשבריו יעלו מספר אחד תס"ג אלפים תרי"ו כזה
	א ד ו ג ו א ו
	ויהיו שלושתם כזה הצורה
	‫0א ב ד ז ו 0 ד 0 ראובן א ד ו ז ו ד ח שמעון א ד ו ג ו א ו לוי   ה ד 0 ב ג א ד המורה
	ועתה נכפול חלק ראובן על הריוח ונחלק על המורה הכללי יצא בחילוק ד' שלמים ואלה החלקים שהם ג' מספרים ק"א אלפים קפ"ד ויהיו כזה
	ג א 0 א א ח ד
	כמו שתראה בצורה השנית
	ג א 0 א א ח ד שלמים ד ראובן ג ח ז א ח ז ב שלמים ב שמעו   ג ח ג א ה ה שלמים ב לוי
	ולחלק שמעון ב' שלמים ואלו החלקים
	ג ח ז א ח ז ב
	כמו שתראה בצורה שנית
	ולחלק לוי ב' שלמים ואלו השברי
	ג ח ג א ה ה
	כמו שתראה בצורה שנית
	‫והבחינה תקבץ השברים [...] השלמים שהם שמונה יהיו [...] אומנם אם נזדמן שתוכל לקצר שאלתך כזאת [...] לקצר הזמן והמשל בשאלה זאת שתוכל לקצר זמני [...] והנשאר לחציים ויהיו לראובן ששה שלישים כז
	ו ג
	ול[שמעון ד'] שלשים כזה
	ד ג
	וללוי ג' שלשי' כזה
	ג ג
	ועתה נסדר ממונם כזה הצורה
	‫0ג אב ו יג ה ז ראובן חב גג ד ג ז אא שמעון גג טג ג ג אא גא לוי
	נכפול כל ממון בזמנו יהיו לראובן ל' חלקים מכ"א ולשמעון כ"ח חלקים מל"ג וללוי ל"ג חלקים מל"ט כמו שתראה בזה הצורה ועתה תשוים וראשונה נכפול לט על ל"ג והעולה על כ"א ותציא זה
	ב ז 0 ב ז
	שהוא מורה כללי נחלקהו על מורה כל אחד והיוציא תכפול על שבריו
	והמשל חילקנו המורה הכללי על כ"א ותציא אלף רפ"ז נכפלם על ל' ותציא ל"ח אלפים תר"י לראובן
	גם חלקנו המורה הכללי על ל"ג יציא תתי"ט נכפלם על כ"ח ויהיו כ"ב אלפים תתקל"ב לשמעון
	עוד נחלק המורה הכללי על ל"ט יעלו תרצ"ג ונכפלם על שבריו שהם ל"ג ותציא כ"ב אלפים תתס"ט ויהיו כולם כזאת הצורה
	שברי שלם שלמים ד ח ד ח ד ד   ‫0א   ג ח ו א 0 ראובן ו 0 ה א ב ב   ב ב ט ג ב שמעון ה ט ח א ב ב   ב ב ח ו ב לוי   הריוח       ח ד ד 0 ד המורה
	נחברם יהיו פ"ד אלפים ת"ד והוא המורה לחלק עליו ועתה נכפול חלק ראובן על הריוח שהוא עשרה והוא שתתן ספרא לפני כל מספר יהיו לראובן שפ"ו אלפים וק' נחלקם על המורה ותציא החילוק ד' שלמים ומ"ח אלפים תפ"ד וזה הראוי לראובן גם נכפול גם נכפול חלק שמעון בעשרה עם ספרא לפניו יהיו רכ"ט אלפים ש"ך נחלקם על המורה ותציא בחילוק ‫[...] תקי"ב וזה חלק שמעון גם נכפול [...] רכ"ח אלפים תר"ך נחלקם על המורה ותציא [...] תתי"ב וזה חלק לוי [...] הוא שתמצא ב' שלמים בשברים וח' בשלמים יהיו עשרה
Division Problems - Inheritance
Another question: Reuven made a will and left 120 peraḥim to three sons. He said: give the eldest half the amount, the second its third, and the third its quarter. I ask the amount of money for each. $\scriptstyle\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x=120$	שאלה אחרת ראובן עשה צוואה והנח ק"ך פרחים ושלשה בנים ואמר תנו לגדול חצי הממון ולשני שלשיתו ולשלשי [.] רביעיתו שאלתי סך כל אחד
	התשובה נניח י"ב למורה והנה חצי י"ב הם ו' לגדול ושלישית י"ב הוא ד' לשני ורביעית י"ב הוא ג' לשלישי תחבר חלקיהם יהיו יותר מי"ב נלך אל דרך השלושה והוא יתן לנו האמת ואמור אם י"ב נתן [.] ו' לגדול ק"ך מה יתן לו וכן תעשה לכל אחד אומנם בדרך החברות הוא יותר נקל ויהיה כזאת הצורה
	‫0בא ו גדול ד שני ג שלישי
	והמורה יהיה י"ג והממון יהיה כמו הרויח ועתה נכפול ק"ך על ו' יעלו תש"ך נחלקם על י"ג ועלה לגדול נ"ה פרחים וה' חלקים מי"ג בשלם
	גם נכפול ק"ך על ד' יעלו ת"ף נחלקם על י"ג יעלו לשני ל"ו פרחים וי"ב חלקי י"ג
	גם נכפול ק"ך על ג' יעלו ש"ס נחלקים על י"ג יעלו לשלישי כ"ז פרחים ונ"ו חלקים מי"ג וזה הראוי לכל אחד
	והבחינה היא שתחבר השברים יהיו ב' שלמים תחברם עם השלמים יהיו ק"ך כנשאל והנה בזה הסדר תעשה כאשר תרצה לחלק איזה מספר לחצי ולשלש ולרביעית ולחמשי' וכול כל השברים שתרצה שהוא קשה לחלקם
Another question: a dying man made a will of 273 peraḥim and said: My wife is pregnant and I want you to divide these 273 peraḥim this way: If my wife gives birth to a female, give my wife double [the share of] the female. If she gives birth to a male, give the male double [the share of] my wife. She gave birth to a male and female. I ask: how will they divide?	שאלה אחרת שכיב מרע עשה צוואה מרע"ג פרחים ואמר הנה אשתי מעוברת ואני רוציא שתחלקו אלה הרע"ג פרחים בזה הדרך שאם תלד אשתי נקבה שתתנו לאשתי כפל הנקבה ואם תלד זכר שתתנו לזכר כפל אשתי והנה ילדה ‫זכר ונקבה שאלתי כיצד יחלוקו ‫[...]
	ולהקל נניח א' לבת וב' לשני שהם שהם כפל האם וכללם הם ז' ועתה נאמר [...] רע"ג ויהיה כצורה הזאת
	גזב 0 ז א אם
	נכפול החיצ[..] רע"ג יעלו רע"ג [...] ז' יעלו בחילוק ל"ט [] והם חלק הבת נכפול ל"ט יעל ע"ח והם חלק האם שהם כפל הבת ונכפול ע"ח יעלו קנ"ו והם חלק הבן שהם כפל האם
	והבחינה נקבצם כולם ל"ט וע"ח וקנ"ו ויהיו כולם רע"ג והוא מה שרצינו
	הנה נרצה לדעת הנשאר בחלוקת דרך השלושה מאי זה מין הוא כאשר יש בה זמן וממון ואומר שהוא מהמין האמצעי שאין לו דומה כי הנעלם שבקשנו אין לו דומה
	כמו בדרך משל אם ב' דוקאדיש בג' חדשים הרויחו ד' די' שהוא האמצעי ה' דוקאדיש בב' חדשים כמה די' ירויחו
	ויהיה כצורה הזאת
	ב ה ד ג ב אם
	נכפול הזמן הזהב ב' דוקאדוש בג' חדשים יהיו ו' וגם ה' דוקאדיש על ב' חדשים יהיו עשרה ואז חזרה השאלה אם ו' נתן ד' עשרה כמה די' יתן והנה ד' די' הוא האמצעי וממנו וממ תהיה התשובה מן המספר הנעלם שנתן ו' די' ונשארו ד' והם די' נעשה מהם פשיט' יהיו מ"ח נחלקם על ו' יעלו ח' פשיט' ועתה נאמר שאם ו' נתן ד' די' עשרה מה יתן והנה נתן ו' די' וח' פשיט' והנה ערך ו' אל ד' די' כערך עשרה אל ו' די' וח' פשי' ולראות זה לעין נעשה כל הדי' פשיט בעבור הח' פשיט יהיו הד' די' מ"ח פשיט והו' די' ע"ב פשיט נחבר עליהם ח' יהיו פ' פשיט והנה תראה כי ערך ו' אל מ"ח כערך עשרה אל פ' כי עשרה בפ' ח' פעמים וכן ו' אל מ"ח ח' פעמים
	בחינה אחרת תשוה זה עם זה בצורה הזאת
480   480 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{48}{6}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{80}{10}}}$	‫0חד   ‫0חד חד ו X ‫0ח ‫0א
	יהיה כל אחד ת"ף
	שאלה ה[...] ‫[...] עשרה מזהב [...] ח' מכסף וז' מנחושת ולקח מזה [...] משקלה שאלתי כמה יש בה מכל ‫[...]
	‫[תשובה] הנה כל אלו השאלות והדומות הם כמו [...] כי י' מזהב וח' מכסף וז' מנחושת [...] שלושה אנשים וקיבוצם שהוא כ"ה אוקיות הם כמו [...] ומה שלקח הוא כמו הריוח ונשוב לשאלתנו ונאמר כי [...] אוקיות הוא המורה ועתה לדעת הזהב שבחתיכה נכפול החתיכה שהיא ט' אוקיות על עשרה שהוא הזהב שבכולו יעלו צ' תחלקם על כ"ה יעלו ג' אוקיות זהב וט"ו חלקי כ"ה באוקיא וזה הזהב שבחתיכה
	עוד לדעת הכסף נכפול ח' על ט' יעלו ע"ב וחלקן על כ"ה יעלו ב' אוקיות כסף וכ"ב חלקים מכ"ה וזה הכסף שבחתיכה
	עוד לדעת הנחושת נכפול ז' על ט' יעלו ס"ג נחלקם על כ"ה יעלו ב' אוקיות וי"ג חלקי כ"ה מנחושת שבחתיכה וזה מה שרצינו
	והבחינה תחבר השברים יהיו חמשים תחלקם על כ"ה יעלו שנים תחברם לשלמים יהיו כולם ט' כנשאל
Division Problems - Millstones
Question 12: There are 4 millstones in the miller's house, one of which mills 7 kors of wheat each day, the second 11, the third 13 and the fourth 15. One wants to mill 300 kors of wheat and [use] each of the millstone as needed. I ask how much will he grind each day?	שאלה י"ב הנה יש בבית הטוחנים ד' רחים אשר האחד טוחין בכל יום ז' כורי חטה והשנית י"א והשלישית י"ג והרביעית ט"ו ורצה לטחון ש' כורי חטה ולתת לכל אחת מן הרחים די מחסורו שאלתי כמה יטחון בכל יום
	תשובה כמו החברות שתקבץ ז' י"א י"ג ט"ו יהיו מ"ו והוא המורה והש' כמו הריוח ועתה תכפול ז' על ש' וחלק על מ"ו והיוציא הוא הראוי למי שטוחן ז' כורים
	גם כפול י"א על ש' וחלק על מ"ו והיוציא הוא הראוי למי שטוחן י"א כורים
	גם כפול י"ג על ש' והעולה תחלק על מ"ו והיוציא הוא ‫הראוי למי שטוחן י"ג כורים
	גם [...] תחלק על מ"ו והיוציא הוא הראוי למי ש‫[...]
	הבחינה כמו החברות
Question 13: Jacob told his son Joseph: I would give [you 500] peraḥim to trade with them for [7 years and at the end of the 7] years you will take the 500 peraḥim and give me the profit that you earned with [the 500] peraḥim. Joseph traded for 3 years, and it turned out that he had earned 300 peraḥim. I asked how much should Joseph get and how much should his father get?	שאלה י"ג יעקב אמר ליוסף בנו אני אתן [...] פרחים שתעשה סחורה ז' שנים [...] הז' שנים שתקח הת"ק פרחים ושתתן לי הריוח שתעשה עם [הת"ק] פרחים והנה יוסף סידר סחורתו עד ג' שנים ומצאו שהרויח ש' פרחים שאלתי הראוי ליוסף והראוי לאביו
	התשובה נאמר בדרך השלושה אם ז' נתן שנים יתנו ת"ק פרחים ליוסף ג' שנים מה יתנו לו והנה יתנו רי"ד פרחים וב' שביעיות
	והבחינה היא שתכפל רי"ד וב' שביע[.] על ב' ושליש כי שליש היא שנה ושנים ששה ויהיה העולה ת"ק כנשאל
	שאלה י"ד סחר ברסילונה חייב לסוחר סרקוסטה כ"א לטרין מממון סרקוסטה ורצה לפורעו בממון ברסילונה שאלתי כמה לטרי ברסילונה יתן לו
	תשובה הנה באלו השאלות והדומות לאלו קח מטבע משותף לאלה השני מקומות וכן למידה ותאמר אם כך אמות מסרקוסטה שוה כך מידות ברסילונה כך מידות מסרגוסטה וכו' וכן נאמר בשאלתנו ונקח מלך ברסלוניש שהיה שוה י"ו פשיטי' בסרקוס' וי"ח בברסילונה ונאמר אם י"ו שוה י"ח כ"א ליטרין מה יהיה שוה או תקצרהו בחצי והוא הראוי ותאמר אם ח' פשיטי' סרקוסטה שוה ט' פשיטי ברסילונו כ"א לטרי סרקוסטה כמה לטרי ברסילונה יהיה והנה תמצא כי הוא כ"ג לטרין ברסלונה וה' שמיניות לטרה בזאת הצורה
	‫ כג כא ט ח אם
	‫[...] דרך השלושה ותמצא שאלתך וגם תכון כי כאשר י"ו פשיטין מסרקוסטה שוה י"ח מברסילינה כן י"ו לטרין סרגוסאה שוים י"ח לטרין [...] ואם תקצרם יענו האמת גם כן כי ח' לטרי סרקוסטה הם [...] לטרי ברסילונה והקש על זה
	‫ולעולם תחילת השאלה תהיה מהע מהעיר אשר הממון או הלטרין הידועים ממנו כי בכאן אמר כי ליטרי סרגוסה כן נסדר שאלה ונאמר אם ח' פש' סרגוסה שוה ט' פש' בשלושה כ"א לטרי סרגוסה כמה לטרי ברצלונה יהיו
	והבחינה היא שתעשה כל הלטרין שמיניות ויהיו הכ"א לטרי קס"ח שמיניות והכ"ג עם שבריו קפ"ט שמיניות ואחר תשוים עם חלקי השאלה ויהיו כזה הצורה
	X א ה א ב ט   א ח ט ח   א ו ח   א ה א ב
	ואחר השיווי יהיו שניהם שוים אלף תקי"ב
	שאלה ט"ו ראובן חייב לשמעון כ"ה כפולות אשר סך הכפולה הוא י"ח דינ' ורצה לפורעו בפרחים אשר סך הפרח הוא י"ד דנרי‫' שאלתי כמה פרחים יתן ראובן לשמעון שיהיו שוים לכ"ה כפול
	תשובה תכפול הכפולות בי"ח יעלו ת"ן דנרי' תחלקים לסך הפרחים שהוא י"ד יעלו ל"ב פרחים ושביעית והנה ל"ב פרחים ושביעית פרח יפרע ראובן לשמעון והראוי וכן אם הפך השאלה
	והבחינה הנה יתרון הכפילה על הפרח הוא ד' תחלקם על סך הפרח שהוא י"ד והוא מחולק ד' חלקים מי"ד אשר הם ב' שביעיות תכפלם בכ"ה שהוא מספר הכפולות יעלו חמשים שביעיות תחלקם על ז' יהיו ז' ושביעית תחבר י"ז ושביעית על כ"ה יעלו ל"ב ושביעית כנשאל
	שאלה י"ו ראובן קנה ששה אמות מבגד לעשות מלבוש אשר רוחבו שבעה זרתות ורצה לכופלו עם ‫בגד אשר רוחבו ג' זרתות
	נצטרך מן הבגד הזה לכפול אורך כל אמה שלנו ד' זרתות והנה [...] הראשון רוחבו ז' זרתות נכפול ז' על האורך [...] זרתות מששה אמות יעלו קס"ח זרתות מרובעות [...] הראשון אחר כן קח אמה אחת מאשר לו ג' [...] מרוחב ותכפול ד' זרתות מאורך על ג' מרוחב יעלו י"ב זרתות מרובעות בזה האמה ואמור אם י"ב זרתות יתן אמה אחת קסח זרתות מה יתן ויהיה כזה הצורה
If 12 1 168 0	0 קסח א יב אם
	והנה נתן י"ד אמות והנה י"ד אמות מזה הבגד תצטרך לכפול הששה אמות
	והבחינה מבוארת והיא שתכפול י"ד אמות בי"ב זרתות מרובעות שיש בכל אמה ותציא קס"ח
Question 17: if 2 peraḥim yield four dinar in 3 months, how much will 3 peraḥim yield in 5 months?	שאלה י"ז אם ב' פרחים בג' חדשים הרויחו ארבעה דינרי' ג' פרחים בה' חדשים כמה ירויחו
	‫בדרך ראשון
	תשובה כפול כל ממון בזמנו וישובו החמשה חלקים לשלושה ואחר עשה שאלתך
	והמשל כפלנו ב' פרחים בג' חדשיו יעלו ו' והוא הראשון בשאלה גם כפלנו ג' פרחים בה' חדשיו יעלו ט"ו והוא השלישי בשאלה והריוח נשאר קיים ועתה נאמר אם ו' נתן ג' ט"ו מה יתן בזה הצורה
If 6 3 15 0	0 טו ג ו אם
	ונכפול ט"ו על ג' יעלו מ"ה תחלקם על ו' יעלה בחילוק ז' וחצי והוא מה שהרויח ג' פרחים בה' חדשים
	והבחינה מבוארת מכמה צדדים כי ו' כפל ג' וכן ט"ו כפל הנעלם שהוא ז' וחצי אותן כל אב על בנו או בהפך או תשוים ‫[...]מנהג שלישי מדרך השלושה [...]דוש בד' חדשים הרויחו ג' די' ז' אשקודוש [...] [ויהיו] ה' די‫'
	התשובה כפול ה' שתרצה לדעת [...] אשקודוש על ד' חדשים שהם כ"ד ואמור [...] כ"ד הם ק"ח תחלקם על כפל ג' על ז' שהם כ"א יהיה [.]יציא ה' שלמים וט"ו חלקים מכ"א שמקוצרות הם ה' שביעיות והנה בה' חדשים וה' שביעיות חדש הרויחו הז' אשקודוש חמשה די' [ועיין בצורה‫]
	והבחינה תהפוך שאלתך ותאמר אם ז' אשקודוש בחמשה חדשים וט"ו חלקים מכ"א נתן לנו ה' די' מי יתן לנו ג' נכפול ד' חדשים על ו' אשקודוש יעלו כ"ד תשוים עם מותרי שברי החודש יעלו תק"ד לחלק על קס"ח הבא מנתנת החדשים בשברו כי ה' על כ"א ובתוספת ט"ו שברים יהיו קס"ח אשר עליו תחלק תק"ד ותציא ג' די' והוא המבוקש
	שאלה אחרת ממדה ממנהג שלשי מדרך השלושה אם בגד אחד שויה ט' דוקאדוש וב' אמות שוים י"ב די שאלתי כאשר עלה הבגד לסך י"ב דוקאדוש כמה בגד יותן בעד ט"ו די' כזא הצורה
	התשובה כפול ט"ו על י"ח שבא מכפל ט' דוקאדוש על ב' אמות יעלו ר"ע שתחלקם על כפל י"ב די' על י"ב דוקאדוש שהוא קמ"ד יעלה בחילוק א וקכ"ו חלקים מע"ד שהוא ז' שמניות כזה ‫
	והנה אמה וז' שמניות אמה יותן לנו מזה הבגד בט"ו די‫'
	‫שאלה ממדה ממנהג שלישי [...] אמות מבגד שוה נ"ב די' וס' [...] סרגוסה שאלתי ה' אמות מבגד זה כמה ליטרין ממטבע סרגוסה יהיו
	התשובה כפול ה' אמות שתרצה על כפל ג' ליטרין על נ"ב שהם קנ"ו ותכפול ה' על ותכפול ה על קנ"ו שיעלה תש"ף תחלקם על ר"מ שהם כפל השני דברים הנשארים שהם ס' על ד' יעלה בחילוק ג' ליטרין ורביעית ליטרה ממטבע סרגוסה
	שאלה אחרת ממדה סוחר קנה בגד בסך ט"ו די' והג' אמות שוה ז' די‫' שאלתי אם זה הבגד יוקר וקנה אותו בסך י"ח מה יהיה שוה ה' אמות
	התשובה הנה תכפול כל ממון על האמות שלו ותשוב ותשוב השאלה לג' חלקים כי ט"ו על ג' יעלו מ"ה וגם י"ח על ה' יעלו צ' עתה אמור אם אם מ"ה נתן ז' צ' מה יתן והנה נתן י"ד כזה הצורה
If 45 yields 7 90 0	0 ‫0ט ז נתן הד אם
	והבחינה ברורה כי הראשון כפל השלישי וכן השני כפל הרביעי הנעלם שהוא י"ד
Another question of weight: Reuven buys a kor of wheat at a price of 18 pešuṭim and sells 14 ՚oqya of bread for two pešuṭim. He happened to buy a kor at a price of 22 dinar. I ask: for how many pešiṭim will he sell 17 ՚oqya of bread?	שאלה אחרת ממשקל ראובן קנה כור חיטה בסך י"ח די' ונתן י"ד אוקיות לחםבשני פש‫' קרא מקרה וקנה הכור בסך כ"ב די‫' שאלתי י"ז אוקיות לחם כמה פשיטי' יתן
	ויהיה כזא הצורה
	פשיט אוקיות די' פשיט אקיות די'   0 זא בב ב דא חא אם
	התשובה כפול כל ממון על משקלו יהיה הראשון שכפלנו י"ח על י"ד יעלו רנ"ב והשני כ"ב על י"ז ‫[...] פשיטי נשארו קיימים עתה שחזרו חלקי [...] אמור אם רנ"ב נתן ב' שע"ד מה יתן ויהיה [...] תכפול שע"ד על ב' יעלו תשמ"ח תחלקהו על רנ"ב יעלה בחילוק ב' פשטין ורמ"ד חלקים מרנ"ב בפשוט נקצרם יהיו ס"א מס"ג בשלם והנה כאשר קנה ראובן כור חיטה בכ"ב די' הנה י"ז אוקיות שוים ב' פשי' וס"א חלק מס"ג בפשוט
If 252 2 374 0	0 דזג ב בהב אם
	והבחינה תחזור הנעלם בשבריו יהיו תשמ"ח והב' ברנ"ב יהיו תק"ד ואחר תשוים עם רנ"ב ושע"ד כזה הצורה
188496   188496 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{504}{748}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{252}{374}}}$	וטדחחא   וטדחחא ד0ה חדז X בהב דזג
	יהיו שוים כמו שתראה עליהם ויורה על אמיתת השאלה
Another question: if 18 peraḥim yield two peraḥim in 5 months, I ask: in how long will 24 peraḥim yield the same?	שאלה אחרת אם י"ח פרחים בה' חדשים הרויחו שני פרחים שאלתי כ"ד פרחים בכמה זמן ירויחם
	כזאת הצורה
	חדשים פרחים פרחים חדשי' פרחי'   0 כד ב ה יח אם
	כפול י"ח פרחים עלו ה' חדשים יעלו צ' תחלקם על כ"ד יעלה בחילוק ג' וג' רביעיות הנה בג' חדשים וג' רביעיות חודש ירויחו כ"ד פרחים ב' פרחים
	והבחינה הפוך השאלה ואמור אם כ"ד פרחים נתן ט"ו רביעיות חודש י"ח פרחים מה יתן כפול כ"ד פרחים בט"ו רביעיות חודש יעלו ש"ס תחלקם על י"ח אחר שתשוים עם רביעיות החדשים שיפלו ע"ב ותצא בחילוק ה' חדשים והוא המבוקש
Buy and Sell Problems
Another question: Reuven buys a kor of wheat at a price of 18 dinar and sells 15 ՚oqya of bread for two pešiṭim. I ask: when he buys a kor of wheat at a price of 26 dinar, how many ՚oqya does he sell for two pešiṭim?	שאלה אחרת ראובן קנה כור חיטה בסך י"ח די' ונתן ט"ו אוקיות מלחם בשני פשיטי שאלתי כאשר קנה כור חיטה בסך כ"ו די' כמה אוקיות יתן בשני פשיט‫'
	ויהיה בצורה הזאת
	פש' די' פשי' אוקיות די'   ב כו ב טו יח אם
	נכפול י"ח שהוא הממון על ט"ו שהוא המשקל יעלו ר"ע תחלקם ‫על כ"ו יעלה בחילוק עשרה אוקיות וה' חלקי [...] עשרה אוקיות וה' חלקי י"ג באוקיה יתן מלחם בשני [...] עלה כור החיטה [.] לסך כ"ו די'
	והבחינה הנה ערך י"ח אצל כ"ו שוה לחלקים הנשארים [...] תחלק כ"ו על י"ח יעלו א' וד' תשיעיות מקוצר גם ט"ו על עשרה אוקיות ועשרה חלקי כ"ו אשר אחר הקיצור הם ה' חלקים מי"ג כיצד נחלק ט"ו על האוקיות וראשונה תשוים ט"ו עם מורה האוקיות יהיו ש"ץ גם האוקיות בשברו יהיו ר"ע נחלק ש"ץ על ר"ע יעלה בחילוק א' וד' תשיעיות כראשון
Question: Reuven buys a kor of wheat at a price of 16 dinar and sells 17 ՚oqya of bread for two pešiṭim. I ask: when he buys a kor of wheat at a price of 20 dinar, how many ՚oqya does he sell for 3 pešiṭim?	שאלה אחרת ראובן קנה כור חיטה בסך י"ו די' ונתן י"ז אוקיות לחם בשני פשיט‫' שאלתי כאשר קנה הכור בסך כ' די' כמה אוקיות יתן בג' פשי‫'
	ובזה השאלה תמצא חמשה דברים מונחים והוא מן הסדר השלישי ויהיה כזאת הצורה
	התשובה הנה תכפול י"ו די' על י"ז אוקיות ויעלה רע"ב וזה חלק ראשון עוד תכפול הב' פשיטי שנתנו הי"ז אוקיות על כ' די' שהוא סך הכור השני יעלו מ' והוא החלק השני ועתה תכפול הג' פשיטי ששאלת על החלק הראשון שהוא רע"ב יעלו תתי"ו תחלקם על החלק השני שהוא מ' יעלה בחילוק כ' אוקות וב' חמשיות מאוקה מקוצר והנה כ' אוקיות וב' חמשיות אוקיה מלחם יתן בג' פשיט
	והבחינה בשאלה שיבא
Question: Reuven buys a cargo of grapes at a price of 16 dinar and sells 12 ՚oqya of wine at a price of 2 pešiṭim. I ask: when he buys the cargo at a price of 20 dinar, how many ՚oqya of wine [does he sell] for 3 pešiṭim?	שאלה ראובן קנה משא ענבים בסך י"ו די' ונתן י"ב אוקיות יין בסך ב' פשי‫' שאלתי כאשר קנה המשא בסך כ' די' [כמה] אוקיות יין יתן בג' פשי‫'
	ויהיה בצורה הזאת
	‫בכאן שאלה כפולה
	‫[...] י"ז אל כ"ו שוה לחלקים הנשארים [...] המשל תחלק כ"ו על י"ח יעלו א' וד' תשיעיות [...] על עשרה חלקים אוקיות ועשרה חלקי כ"ו אשר אחר [...] ר"ע גם תן כ"ו בשברי כ"ו יהיו שץ אשר תחלקם [...] יעלה בחילוק א' וד' תשיעיות באחד
	‫הקיצור הם ה' חלקים מי"ג כצד נחלק ט"ו על האוקיות וראשנה נשוה טו עם מורה האוקיות יהיו שץ גם האוקיות בש[..] יהיו ר"ע נחלק שץ על ר"ע יעל[ה] בחילוק א וד תשיעיות כראשון
Question 22: Reuven buys a kor of wheat at a price of 16 dinar and sells 17 ՚oqya of bread for two pešiṭim. I ask: when he buys a kor of wheat at a price of 20 dinar, how many ՚oqya does he sell for 3 pešiṭim?	שאלה כ"ב ראובן קנה כור חטה בסך י"ו די ונתן י"ז אוקיות לחם בשני פשיט‫' שאלתי כאשר קנה הכור בסך כ' די' כמה אוקיות יתן בג' פשיטי‫'
	ובזה השאלה תמצא חמשה דברים מונחים והוא מן הסדר השלישי ויהיה בזאת הצורה
	תשובה הנה תכפול י"ו די' על י"ז אוקיות ויעלה רע"ב וזה חלק ראשון עוד תכפול הב' פשיטי' שנתנו הי"ז אוקיות על כ' דנר' שהוא סך הכור השני יעלו מ' והוא החלק השני ועתה תכפול ג' פשיטי' ששאלת על החלק הראשון שהוא רע"ב יעלו תתי"ו תחלקם על החלק השני שהוא מ' ועלה בחילוק ב' אוקיות וב' חמשיות מקוצר והנה כ' אוקיות וב' חמשי אוקיה מלחם יתן בג' פשיטי‫'
	והבחינה בשאלה שיבוא
Question 23: Reuven buys a cargo of grapes at a price of 16 dinar and sells 12 ՚oqya of wine at a price of 2 pešiṭim. I ask: when he buys the cargo at a price of 20 dinar, how many ՚oqya of wine [does he sell] for 3 pešiṭim?	שאלה כ"ג ראובן קנה משא ענבים בסך י"ו דינרי' ונתן י"ב אוקיות יין בסך ב' פשיט‫' שאלתי כאשר קנה המשא בסך כ' די' כמה אוקיות יין בג' פשיטי‫'
	ויהיה כזאת הצורה
	תשובה הנה ‫[תכפול] [...] יעלו קצ"ב [...] על ג' [...] תחלקם על כפל [...] דינר שהם מ' יעלה [...] י"ד אוקיות וב' חמשיות [...] מקוצר וזה מה שרצינו
	‫זה כמו שאלה ‫[...]
	והבחינה הנה נקח ב' שילשיות י"ד וב' חמשיות אוקיה של יין שהם הראוי לג' פשיטי בעבור שיהיה יותר נקל והיוציא שהוא ט' אוקיות וג' חמשיות הוא הראוי לב' פשיטי' לב' פשיטי' מיין ואחר נשוה ט' אוקיות בחלקיו יעלו קל"ז חמשיות וכפלם על דינרי הכור השני יעלו קצ"ב בחלק הראשון כי ט' על כ' יעלו ק"ף וג' חמשיות על קצ"ב יעלו ס' חמשיות נחלקם על ה' ותציא י"ב ועם ק"ף יהיו קצ"ב ואם תקח הג' פשי' אשר בשאלתנו יהיה הראשון קצ"ב והשני רפ"ח והוא קצ"ב וחצי כמו שג' הוא אחד וחצי מב' וכן [לכולם‫]
	‫דרך שני
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{600}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{48}{5}}}$	‫00ו ה מח ה
Currencies Problems
Question 24: if 4 pešiṭim of Zaragoza are equal to 5 pešiṭim of Barcelona and 3 pešiṭim of Barcelona are equal to 4 of Lisbon, I ask: how many pešiṭim of Zaragoza are 15 pešiṭim of Lisbon equal to?	שאלה כ"ד אם ד' פשיטי סרקוסטה שוים ה' פשיט' ברסילונה וג' פשיטי ברסילונה הם שוים ד' פשיטי לדידה לשבונה שאלתי ט"ו פשיטי לישבונה כמה פשיטי סרקוס[טה] הם שוים
	ויהיו כאזת הצורה
Multiply 15, [whose value] you wish to know, by the product of 4 pešiṭim of Zaragoza by 3 of Barcelona, which is 12; the result is 180.	התשובה כפול ט"ו שתרצה לדעת על כפל ד' פשיטי סרקוסטה וג' מברסילונה שהם י"ב יעלו ק"ף
Divide it by [the product of 5 of Barcelona] by 4 of of Lisbon, which is 20 [...]. Hence 15 pešiṭim of Lisbon are equal to 9 of Zaragoza [...]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15\sdot\left(4\sdot3\right)}{5\sdot4}=\frac{15\sdot12}{20}=\frac{180}{20}=9}}$	תחלקם ‫[...][סרגוסא] ד' לשבונה שהם כ' [...] והנה ט"ו פשיטי לשבונה הם ט' מסרקוסא' [...] שאלתי הדומה לזה
	‫[...] שאלתך כזאת הצורה [...]כפל ה' על ל"ו שבא מכפל ט' סרגוס' על ד' לשבונה יעלו ק"ף אשר תחלקם על מה שבא מכפול ט"ו לשבו' על ג' ברצלונה ותציא ד' פשיטי סרגוס או תחלק ק"ף על כ' שבא מד' לשבונה על ה' ברצלונה ותציא ץ' אשר הוא שאלתינו וכן כל הדומה לזה
The Second Chapter: Artificial Problems	הפרק השני בשאלות תחבוליות
	שאלה ראשונה הרי שרצינו מספרים מה ושנשלך מהם בתחבולה מה שנרצה בחשבון שנרצה וישאר מה שנרצה כמו במשל מה שהיה בשם ה"ר אברהם בן עזרא מט"ו יהודים וט"ו גוים והשליך הגוים בים במספר ט' והסדר היה דם ההגרים וכול' ואעשה משל בסדר עשייתו
	ואומר שתכתוב המספר שתרצה מספרות או מדבר שתרצה בעיגול כזה או ארוך אם תרצה ואחר תן רושם במקום מה רמוז שתתחיל ממנו לספור ט'ט' כזאת השאלה ובאחרות כמו שתרצה ורשום על אשר בו נפל סוף המספר וכן סביב העגול עד שתקח החצי בזה השאלה או מה שתרצה באחרות ואחר קח מה שאין עליהם רושם מתחילת ‫המקום הרמוז ותכתבם ראשונה [...] וכן עד שיהיו כולם בידך מסודרים
	והמשל [...] שיעשה הספינה הגויים אמרו בעבור היהודים [...] נמצא שם יהודי חכם אמר כפול גורל בשלמי[...] להם לאיזה מספר תרצו שנשליך לים אמרו לו למספר [...] והתשיעית לים לקח החכם בהחבא שלושים אבנים [...] כאלה ונתן ריוח או רושם להכיר ההתחלה ואחר ספר ט'ט' [...] והתשיעי נתן בו רושם או א'ב' על כל אחד כמו שעשיתי על [...] רשומים חציים כמו שתראה בצורה והנשארים בראשונה ד' יהדים ואחר ה' גוים ליפול בים רשומים ועשו דם ההגרים כנל
The second question: In one city there was a war and the lord and his warriors with him went up to the fortress and shut the fortress in front of them. They were a total of 55 people: 8 Jews, 13 Gentiles, 21 Arabs, and 13 Negros. They had no water to drink so they cried the prayers but were not answered. They rose against the Jews to give them water, especially 11 wicked Jewish haters with a Jewish informer and they were 2 Gentiles, 5 Arabs, 3 Negros and the mentioned Jew. Then, one Jew who was well versed in arithmetical methods said: Yes, it is true that we give water but for the wicked among us. The lord said: we will cast lots and we will throw them off the wall, if we will know how many they are. The Jew said: I will know how many they are by a hidden way, then we will know by the way of destiny if they are Jews or Gentiles or Arabs or Negros or of the four [groups] or some of them. The lord: do so and succeed. The Jew said: it is known that the wicked are opposite of the judges and here in the fortress there are 3 known things and the fourth is known. The three knowns are the judges that are five and all of us with the judges are 55 [one judge for each nation and the lord]. We say, according to the hidden way: if one fortress [yields five judges, how many] wicked will 55 people yield? We multiply [55 by 1]; the product is 55. We divide it by 5; the result of division is 11 and they are [the wicked]. The lord said: we will cast lots and throw them off the wall. He said: say by which number we will throw them off. The Gentiles said: the number 40, because of the prohibition of meat. The Arabs said: the number 30, because of their fasting [days], which are special days. The Negros said: the number 7, as the number of the 7 planets. The Jews said: to count ten, because of many things. The wise man answered and said: 40, 30, 7, and ten; the total is 87. This number does not have a half, nor a quarter, nor a fifth, but it has a third, which is 29. [...] and there will be no dispute. They answered: yes. So, the wise man said: Let the Lord sit down first, then one Jew, 3 Gentiles, 4 Arabs, 3 Negros, 2 Jews, 2 Gentiles, 5 Arabs, 4 Negros, 3 Jews, 1 Negro, 3 Gentiles, 4 Arabs, 2 Negros, 5 Arabs, 2 Jews, one Gentile, 3 Arabs, 3 Gentiles, 3 Negroes - a total of 55 in a circle. From the Lord we will start counting 29 and consider the 29 as 1 and so on until 11	שאלה שנית בעיר אחת היה מלחמה ויעל האדון וגיבורי[ו] עמו למבצר ויסגרו המבצר בעדם וכולם היו נ"ה אנשים ח' יהודים י"ג גוים כ"א ישמעלים י"ג כושיים ולא היה מים להם לשתות צעקו האמונות ולא נענו קמו על היהודים שיתנו להם מים ובפרט י"א רשעים שונאי היהודים עם מלשין יהודי והם ב' גוים וה' ישמעלים וג' כושיים והיהודי הנזרכר אמר יהודי יודע דרכי המספר כן האמת שאנחנו נותני המים אלא בעבור הרשעים שבנו אמר האדון נפיל גורל ונשלכם בחומה אם נדע כמה הם אמר היהודי אני אדע בדרך הנעלם כמה הם ואחר בדרך הגורל נדע אם הם יהודים או גוים או או ישמעלים או כושיים או מארבעתם או מקצתם אמר האדון עשה והצלח אמר היהודי ידוע כי הרשעים הפך הדינים והנה בזה המבצר יש ג' דברים ידועים והרביעי נעלם השלושה הידועים הם הדיינים שהם חמשה וכולנו עם הדיינים הנא היניו נ"ה [דיין לכל אומה אחד והאדון] ‫[...] נאמר בדרך הנעלם אם מבצר [...] יתן הרשעים אשר בנ"ה אנשים נכפול [...] יעלו נ"ה נחלקם על ה' יעלו בחילוק י"א והם [...] אמר האדון ניפיל גורל ונשליך י"א בחומה [...] ואמר אמרו לאי זה מספר נשליכם אמרו הגוים למספר [מ' בעבור] איסור הבשר שהם ימים סגוליים אמרו הישמעלים לחשבון [ל'] בעבור תעניתם שהם ימים סגוליים אמר הכושיים לחשבון ז' [שהם] כמספר ז' כוכבי לכת והיהודים אמרו לחשבון עשרה בעבור [דברים] רבים ענה החכם ואמר מ' ול' וז' ועשרה כולם פ"ז ואין לזה ומספר חצי ולא רביעית ולא חמשית ‫אבל יש לו שלישית שהם כ"ט [...] תרצה ויהיה בלי מחלוקת ויענו כן ‫[...] ויאמר החכם ישב האדון תחילה ואחר היהודי [ג'] גוים וד' ישמעלים ג' כושיים ב' יהודים ב' גוים [ה' ישמעלים ד'] כושיים ג' יהודים כושי אחד ג' גויים ד' ישמעלים ב' [כושיים ה' ישמעלים] ב' יהודים גוי אחד ג' ישמעלים ג' גוי ג' כושיים ויהיו [נ"ה] בעיגול ומהאדון נתחיל למנות [כ"ט] ונתן א' על הכ"ט וכן תמנה י"א סביב חלילה ואחר שיהיו רשומים כתוב עליו יהודי [...] אומה שתרצה ואני סדרתי השני צורות ותוכל להחליפם ל‫[...]
The third question: we have a certain number of circles. We mark some of them in a fixed place [..] there are stars placed in the fixed part, one star in each circle, and each star rotates on different days from each other. I ask: how long will it take for all of them to conjunct again like the first time?	שאלה שלישית הנה היה בידינו עגולות במספר מה ונרשום בחלק מה במקום רמוז [..] והנה במקום החלק הרמוז היו כוכבים כוכב אחד בכל עגול והולך כל כוכב סיבובו בימים מתחלפים זה מזה שאלתי בכמה מן הזמן ישובו כולם להדבק כבראשונה
	תשובה ראה המורה היותר מקוצר כמו שהראתך בקיצור המורים ובמספר המורה המקוצר ישובו כולם לחלק הרמוז ואם לא תקח המקוצר האמתי ישובו להדבק כל כך פעמים כפי מה שתוכל לקצרו ואם תרצה לדעת מהלך סיבובי כל עגולה בפני עצמה תחלק המורה שהוא ימי מהלך כולם על כל אחד והיוצא לכל אחד הוא מהלכו
The example: we have four circles, each circle has one star; the course of the outer is twenty-four days, and the course of the second is twenty [days], the course of the third is ten [days], and the course of the fourth is six [days]; according to this diagram:	המשל בזה הרי שיהיו בידינו ד' עגולות ולכל עגולה כוכב אחד והנה מהלך החיצון בכ"ד ימים ומהלך השני בי"ט ומהלך השלישי בעשרה ומהלך הרביעי בששה ויהיה בזאת הצורה
	והנה נוציא המורה הכללי מקוצר כמו שאמרתי ויהיה המורה המקוצר ב' אלפים ור"ף כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{19}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{24}}}$ 2280	א טא א דב 2280
	ובו תמצא כל החלקים כיצד הנה ו' תמצאם בכ"ד ותשלך ‫וקח חצי עשרה ה' ותשלך עשרה גם כן כי כאשר תכפול ה' על מספר זוג תמצה בו עשרית ואם כן בזה הדמיו כפלנו ה' על י"ט יעלו צ"ה גם כפלנו צ"ה על כ"ד יעלו ב' אלפים ר"ף והוא המורה היותר קצר שיוכל להיות בו ישובו להדבק כי בתחלת ב' אלפים רפ"א ישובו להדבק וכן פעם אחר פעם ישובו במקום הרמוז [או קח שלישית כ"ד ח' וחצי עשרה והוא ה' וחצי ו' והוא ג' ועם י"ט והכל אחד] ואם תרצה לדעת לדעת כמה סיבובים עשה כל אחד גלגל חלק המורה על כל אחד והיוצא הם הסיבובים שעשה כל אחד
	המשל בזה חלקנו ב' אלפים ר"ף בא ל על כל אחד יציא לעיגול כ"ד צ"ה סיבובים ולעיגול י"ט ק"ך סיבובים ולעגול עשרה רכ"ח סיבובים ולעגול ששה ש"ף סיבובים והנה עתה ידענו הזמן שיסביב כל כוכב על גלגלו ואם תרצה דיבוק שני כוכבים רמוזים קח מורה שניהם היותר קצר ובחשבונו ידבקו ואם תרצה שלשה קח מורה שלושה וכן כפי מה שתרצה
	והבחינה
	אם יפגשו בזה הזמן במקום ‫הרמוז הוא שתכפול סיבוב כל [...] כל אחד והיוציא יהיה המורה הכללי [...] הגדולה הולך בכ"ד ימים ועושה עד כפול כ"ד על צ"ה יעלה המורה גם כפול ימיו [...] י"ט על סיבוביו שהם ק"ך יעלה המורה גם עשרה [...] יעלה המורה גם ששה על ש"ף יעלה המורה וכן כולם
Fourth question of measurement: Reuben Shimon sold a house completely full and both agreed that Shimon would fill the house a month later. Some time before the month passed Reuben said to Shimon: I wanted to build a new house. Let's measure the space of the house. They measured it and found its square space is 12 cubits by 12 cubits in length, width and depth. Then, when he built the house, he built it a cube of 6 cubits by 6 cubits in length, width and depth. I ask: How many houses of this smaller one will Shimon be obliged to give to Reuven, which is half the size of the larger one.	שאלה רביעית ממדה ראובן מכר לשמעון בית כולו מלא [...] שניהם כי שמעון ימלא הבית מהחדש ואחר זמן קודם ש[...] החדש אמר ראובן לשמעון הנה רציתי לעשות זה הבית חדש בא ונמכור חלל הבית מדדו אותו ומצאו חללו מרובע מעוקב י"ב אמות על י"ב אמות שעלה באורך וברוחב ובעומק ואחר כאשר בנה הבית בנה אותו מעוקב מו' אמות באורך ורוחב ובעומק שאלתי כמה בתים מאלה מזה הקטן יחוייב שמעון ל[] לראובן אשר הוא חצי מידות הגדול
	תשובה הוה [] שמעון לתת לראובן שמונה בתים קטנים לתשלום הבית הגדול שנתן לו
	והבחנה הנה הגדולה היא י"ב על י"ב קמ"ד והוא השטח גם קמ"ד על י"ב יעלו אלף תשכ"ח [והיא] מדת האמות המרובעות אשר בכל הבית הגדולה תחלקם על רי"ו אמות מרובעות אשר בבית הקטנה כי ו' על ו' והיוציא על ו' יעלו רי"ו וזה שמניות הגדולה כי כן יעלה בחלוקה וזה מה שרצינו
	שאלה חמשיתיש כאן שני כדורים אחד ב' אמות אלכסונו [...] והאחר ד' אמות אלכסונו הנה יהיו הגדול גדול מן הקטן ח' פעמים ואם הערך שלשה יהיה גדול משלשה על שלשה והיוצא על שלושה כמו בדרך משל שהיו בידנו ב' כדורים אשר ערך אלכסון האחד אל השני כפלו נכפול ב' על ב' והיוצה על ב' ‫[...] הוא גדול מן הקטן שמונה [...] שני כדורים ג' כפלים נכפול ג' על [...] כל הנה יהיה הגדול כ"ז פעמים כקטן [...] האחד גדול מן השני ד' פעמים [...] והוא יהיה ס"ד וס"ד פעמים יהיה האחד גדול [...] וכן כל הדומה לזה ובזה הדרך הוציאו גודל השמש אצל הירח והכוכבים
Sixth question: Reuven went 3 parsot to the miller's house with 12 sacks full of wheat in the wagon and they were so full that he could not tie them He found all the grinding tools empty ready to receive all the wheat in the tools and he put the empty sacks there. Then, five or six of them were stolen. The owner of the miller urges him and tells him: the flour mill is full and if you don't remove it I will spill it on the ground. I ask: What will the wheat owner do, as the city is far away?	שאלה ששית ראובן הלך ג' פרסאות לבית הרחים עם י"ב שקים מלאים חטה בעגלה וכל כך היו מלאים [ש]לא יוכל לקשור אותם ומצא כל כלי הטחינה רקים מוכנים [לי]תן כל החטה בכלים והניח שם השקים רקים וגנבו מהם החמשה או הששה ובעל הרחים דוחק ואומר לו הרי בית הקמח [מ]לאה ואם לא תסרנה אשפוך אותה בארץ שאלתי מה יעשה בעל החטה כי העיר רחוקה
The answer: he will take the remaining sacks or some of them and make one sack out of them. Then, he will put it on the wagon and bring all the flour.	התשובה יקח השקים הנשארים או קצתם ויעשה מהם שק אחד ותניח אותו בעגלה ושם יביא כל הקמח ויותר
	והבחנה בשטח מזה תעיין בגשם בעבור שלא אאריך ואומר נעשה ד' מידות כזה אשר כל צלע [ארב]עה ואם כן בכולם י"ו אמות ותוכל לעשות מי"ו אמות מרובע גדול אשר בו תמצא י"ו מרובעים בזה הצורה ואם כן עם בגד הד' שקים תוכל לעשות שק אחד אשר שטחו שוה לי"ו שקים והעומק כפי אשר תשים עליו
	הערה דע כי אלו השאלות והדומות להם השטחיות כל שכן הגשמיות תדמה כי שאם יש להם חילוף שהוא מלוח והנה הוא גדול שאם תעשה דרך משל שטח אשר הוא י"ב על י"ב ‫יהיו בו קמ"ד אמות מרובעות [...] יהיו קצ"ו ונוסיפו נ"ב אמות והנה י"ב על [...] בסיבוב יוסיפו נ"ב אמות וכן בכבשן שאם [...] יוסיף השטח יותר מחציו גם יש הפרש גדול כמו שאמרתי בכדור
	שאלה שביעית הנה היה אבן בידנו משקלה מ' לט[רין] שאלתי כצד נחלק אותה לד' אשר נשקול עמהם מלטראה אחת עד מ' לטרין
	התשובה הנה השאלה הזאת ואחרות תעשה עם סדר המשכת כפל הג' על היוציא כמו שתראה בזה הלוח ובשאלתנו שהיו ד' [...] יהיו א' ג' ט' כ"ז וכולם מ' והנה לטרה אחת ושל[שה] ותשעה וכ"ז ידועים אבל שנים תשקלם עם ג' וא' לפנים וד' עם ג"א וד' עם ט' וג'א' לפנים וו' עם ט' לפנים וכן כולם
	ואם היה האבן משקלה קכ"א כמו שיורה א' ג' ט' כ"ז פ"א ונחלקה לאלה החלקים תוכל לשקול בה מא' עד קכ"א וכן כפי המשכת הלוח עד מה שתרצה כי משקלי זה הלוח הם ששה ותוכל לשקול בהם עד שס"ד וכן כל הדומה לזה
Chapter Three on Various Problems	הפרק השלישי בשאלות מתחלפות
The first question: Reuben had sons and money and he made a will, but he told some witnesses: write and give one of my sons one and a fifth of the remainder or he said a quarter of the remainder or a third or whichever part he wants and it will be the denominator.	שאלה ראשונה ראובן היו לו בנים וממון ועשה צוואה נעלמת אבל אמר לעדים כתבו ותנו לאחד מבני אחד וחמשית הנשאר או אמר רביעית הנשאר או שלישית או איזה חלק שהוא רוצה והוא יהיה המורה
You have to know three things: one is the number of his sons, the second is the amount of money, and the third is the unknown amount of money.	והנה יש לך לדעת שלשה דברים האחד סך בניו והשני סך הממון והשלישי הממון הנעלם
	והנה ‫[...] כשתגרע אחד מן המורה [...] לכל אחד תדעהו כשתכפול המספר [...]ערכת לחלוק הבנים הנודעים והשלישי שהוא [...]דעהו כשתכפול מספר הבנים על מספר הממון
Example: Reuven made a will and wanted an unknown [..] and he said: I have money in a certain house at a certain country [..] also and I want that you will give my oldest son one peraḥ and one-tenth [of the remainder]; to the second 2 peraḥim and one-tenth the remainder; to the third 3 peraḥim and one-tenth of the remainder; and so on by this order successively.	והמשל בזה ראובן עשה צוואה ורצה שלא נודע [..] ואמר ממון יש לי בבית פלוני במדנה פלונית [..] גם כן ורציתי ברצון נפשי שתתנו לבני הגדול פרח אחד ועשרית [הנשאר] ולשני ב' פרחים ועשרית הנשאר ולשלישי ג' פרחים [ועש]רית הנשאר וכן כסדר זאת ההמשכה הנערכת
Subtract one from ten, as he said "tenth"; nine remain and these are the sons.	גרע אחד [מ]עשרה בעבור שאמר עשירות נשארו תשעה והם הבנים
Now, we wish to know how many peraḥim he gave each: multiply the number of the sons by the number of the successive addition, which is one, because the sequence is 1, 2, 3, 4, 5, etc. We multiply 1 by 9, it is 9 and it is the amount of money given to each.	ועתה [נרצה] לדעת כמה פרחים נתן לכל אחד כפל מספר הבנים [ב]מספר העושה ההמשכה שהוא אחד כי ההמשכה הוא זה [א'ב']ג'ד'ה' כו‫' כפלנו א' על ט' יהיו ט' והוא הממון שיתנו לכל [אחד]
Now, we wish to know his unknown [original] amount: we multiply [the number of] his sons by the money of each, 9 by 9 is 81. Thus, we know that the unknown amount of money is 81, the sons are 9 and the share of each of them is 9 peraḥim.	ועתה נרצה לדעת ממונו הנעלם נכפל בניו על הממון [..] לכל אחד ויהיה ט' על ט' יהיו פ"א והנה פ"א פרחים הוא הממון [הנעלם] והנה ידענו כי הממון הנעלם הוא פ"א והבנים [ט'] וחלק כל אחד ט' פרחים
Check: We give the oldest one peraḥ and one-tenth of the remainder: we take one from 81; 80 remain. A tenth of 80 is 8. 72 remain and the oldest has 9 peraḥim. $\scriptstyle{\color{blue}{1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(81-1\right)\right]=1+\left(\frac{1}{10}\sdot80\right)=1+8=9}}$	בחינה נתן לגדול פרח אחד ועשרית הנשאר נקח מפ"א אחד נשארו פ' ועשירית פ' הוא ח' נשארו ע"ב והנה נפל לגדול ט' פרחים
For the second: 2 from 72; 70 remains; its tenth is 7; with 2 it is 9 for the second and 63 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{2+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(72-2\right)\right]=2+\left(\frac{1}{10}\sdot70\right)=2+7=9}}$	ולשני ב' מע"ב נשארו ע' ועשיריתם ז' וב' יהיה ט' לשני ונשארו ס"ג
We give the third 3 and a tenth of 60, which is 60; 54 remain and the third has 9. $\scriptstyle{\color{blue}{3+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(63-3\right)\right]=3+\left(\frac{1}{10}\sdot60\right)=3+6=9}}$	נתן לשלישי ג' ועשירית ס' שהוא ו' ישארו נ"ד וט' לשלישי
Likewise for the rest.	וכן לכולם
Another [question]: Reuven made a will and said: I have sons and money in a certain country and I want that you will give my smallest son 3 times and a fifth of the remainder; to the second 6 [times] and a fifth of the remainder; to the third 9 [times] and a fifth of the remainder; and so on by this order successively.	אחרת ראובן עשה צואה ואמר בנים וממון יש לי במדינה פלונית ורציתי שתתנו לבני הקטן ג' כפילות וחמשית הנשאר ולשני ו' וחמשית הנשאר ולשלישי ט' וחמשית הנשאר וכן כזה ההמשכה הנערכת
	נגרע אחד מהמורה ‫שהוא ה' כי חמשית אמר [...] שיתנו לכל אחד נכפול הבנים שהם ד' [...] ההמשכה הנערכת כי הוא ג'ו'ט' כו' יעלו [...] לכל אחד ולדעת הכפולות הנעלמות נכפול [...] והם הכפולות כי כפלנו י"ב הנופל לכל אחד על ד' והנה הבנים ד' והממון מ"ח וחלק כל אחד י"ב
Check: We give the first 3 from 48; 45 remains. We take also a fifth of 45, which is 9. With 3 it is 12 for the first and 36 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{3+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(48-3\right)\right]=3+\left(\frac{1}{5}\sdot45\right)=3+9=12}}$	והבחינה נתן לראשון ג' ממ"ח נשארו מ"ה נקח גם [חמשית] מ"ה שהוא ט' ועם ג' יהיו י"ב לראשון ונשארו ל"ו
We give the second 6 from 36; 30 remains. A fifth of 30, which is 6, with 6 it is 12 for the second and 24 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{6+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(36-6\right)\right]=6+\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)=6+6=12}}$	נתן לשני ו' מל"ו נשארו ל' וחמשית ל' שהוא ו' ועם ו' יהיו [י"ב] לשני ונשארו כ"ד
We give the third 9 from 24 and a fifth of the remainder; it is 12 for the third and 24 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{9+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(24-9\right)\right]=12}}$	נתן לשלשי ט' מכ"ד וחמשית הנשאר יהיו [י"ב] לשלשי
We give the fourth the remaining 12 and all have the same.	נתן י"ב הנשארים לרביעי וכולם שוים
	וכזה הסדר [..] המשכה נערכת כמו מה שעשינו או ד' ח' י"ו כ' וכו' או ה' י' ט"ו [כ'] או ו' י"ב י"ח כ"ד כולי
	דרך להוציא דבר נערך מעיר לעיר ומה שצריך להוציא לפרוע מכס שבכל עיר ואמשל כל זה עם משל [...] ואם כוונתי לקצר יחוייב שאעשה שני שאלות נעלמים ומ[...]
Question: the king's daughter asked his servant: Bring me one apple from the garden. He went to the garden and there were two gatekeepers. The gatekeeper said to him: Take as many apples, so that you will give me half plus one half [so that they will be whole], and so said the other. I asked: How many apples will he take from the garden to give the gatekeepers what they asked for and have an apple left in his hand.	שאלה בת מלך אמר לעבדו תוציא לי תפוח אחד מהגן הלך לגן והיו בו שני שוערים אמר לו ה[שוער] קח כל כך תפוחים שתתן לי חציים והחצי אחד [ושיהיו שלמים] וכן אמר השני שאלתי כמה תפוחים יקח מן הגן שיתן לשוערים מה ששאלו ושישאר תפוח בידו
The answer: he takes 7 and gives the second gatekeeper 4, which is half the total plus one half; he is left with 3. $\scriptstyle{\color{blue}{7-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot7\right)+\frac{1}{2}\right]=7-4=3}}$	תשובה יקח ז' ויתן ד' לשוער השני שהם חצי כולם וחצי אחד ונשארו בידו ג‫'
Then, he gives the first gatekeeper 2 of them, which is a half of 3 plus one half, and he is left with one apple for the king's daughter. $\scriptstyle{\color{blue}{3-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]=3-2=1}}$	ומהם יתן ב' לשוער הראשון שהם חצי ג' וחצי אחד וישאר בידו תפוח לבת המלך
	והנה הדרך הכללי הוא שאם שאל א' והיו ד' שוערים יוציא ט"ו כי ג' לשוער ראשון כופלם עם תוספת אחד יהיו ז' לשני כופלם עם תוספת אחד יהיו ט"ו לשלשי וכן כולם ‫[...] עם תוספת אחד ואם שאל ב' תפוחים [...] [תוספת] אחד עד כל השוערים שתרצה [...] כל מה ששאל כמו שתיראה בזה הלוח
	[...] אם אמר השועיר או השוערים שיתן [...] עוד ג' הנה הדרך הוא שתקח התפוחים [...] ותכפלם גם תכפול מה שאמר ועוד ג' או מה [ש]אמר ועוד כמו ששאל ב' כופלם יהיו ד' והשומר [..] ועוד ג' כופלם יהיו ו' ועם ד' יהיו עשרה
If there are 2 gatekeepers, double ten plus 3, which is 6; they are 26. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot10\right)+\left(2\sdot3\right)=20+6=26}}$	ואם [היו ב'] שוערים כפל עשרה והעוד ג' שהם ו' יהיו כ"ו
If there are 3 gatekeepers, double 26 plus the 3; they are 58. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot26\right)+\left(2\sdot3\right)=58}}$	ואם [היו] ג' שוערים כפול כ"ו והג' יהיו נ"ח
If there are 4 gatekeepers, double 58 plus the 3; they are 122. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot58\right)+\left(2\sdot3\right)=122}}$	ואם ד' שוערים [כפול] נ"ח וג' יהיו קכ"ב
Likewise for as many gatekeepers as you wish.	וכן כל מה שתרצה מן השוערים
Question: Shimon went to the garden and asked for two apples for himself. He found three gatekeepers and asked the first one for two apples. He said to him: Take so many that you will give me half plus a half and two will remain in your hand. He went to the second gatekeeper, and he said to him: Take so many apples that you will give me 2-thirds of all of them plus 2-thirds of an apple. He went to the third gatekeeper, and he said to him: Take so many apples that you will give me 3-quarters of all of them plus 3-quarters of an apple. Despite all this, all the apples will be whole and he will have 2 apples left. I asked: How many apples will he take from the garden?	שאלה שמעון הלך לגן ושאל לו שני תפוחים ומצא ג' שוערים ושאל מן הראשון ב' [תפו]חים אמר לו קח כל כך שיהיו שתתן לי החצי וחצי [אח]ד ושישאר בידך שנים הלך אצל השוער השני אמר [לו] קח כל כך תפוחים שתתן לי ב' שלשיות כולם וב' שלישיות [תפוח] הלך אצל השוער השלישי אמר לו קח כל כך תפוחים שתתן לי ג' רביעיות כולם וג' רביעיות תפוח ועם כל זה יהיו כל התפוחים שלמים ושישארו לו ב' תפוחים שאלתי כמה תפוחים יקח מן הגן
The way to solve this is that you take the 2 whole [apples] he asks for; multiply them by the last denominator and add its numerator to the product; [multiply] the result by the middle denominatorand add its numerator; then [multiply] the result by the first. The total result is what he should take from the garden.	הדרך לעשות זה הוא שתקח הב' שלמים ששאל ותכפלם על מורה האחרון ועל היוציא תוסיף שבריו והיוציא על מורה האמצעי ותוסיף שבריו והיוציא על הראשון והעולה מכולם הוא הראוי לקחת מן הגן
The example: we multiply the 2 requested by the last denominator; the result is 8. Since he said "3-quarters", with the 3 of the 3-quarters, which is its denominator, they are 11. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)+3=8+3=11}}$	המשל בזה כפלנו ב' הנשאל על מורה אחרון יעלו ח' בעבור שאמר ג' רביעיות וג' מג' רביעיות שהם שבריו יהיו י"א
We also multiply 11 by 3, which is the denominator of 2-thirds; the result is 33. We add 2; [the result is 35]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(11\sdot3\right)+2=33+2=35}}$	גם כפלנו י"א על ג' שהוא מורה ב' ‫שלשיות יעלו ל"ג נוסיף ב' ‫[..]
[We also multiply] 35 by 2, [plus one, which the numerator of a half]; the result is 71. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(35\sdot2\right)+1=70+1=71}}$	‫[...] ל"ה על ב' וחצי [ואחד מחצי שבריו] יעלו ע"א
[...], since he is left with two.	‫[...] בעבור שישארו לו שנים והנה ‫[...]
We take 3-quarters of 71 for the third gatekeeper [...] the 3-quarters are 53 and a quarter, plus 3-quarters [...] $\scriptstyle{\color{blue}{71-\left[\left(\frac{3}{4}\sdot71\right)+\frac{3}{4}\right]=71-\left[\left(53+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\right]=17}}$	‫[...] כי נקח לשוער השלשי ג' רביעיות ע"א ו[...] הג' רביעיות הם נ"ג ורביע ועוד ג' רביעיות ‫[...]
The second gatekeeper asked for 2-thirds of 17 [plus 2-thirds of an apple] [...] [2]-thirds of 17 and [is 11] and a third, plus 2-thirds [..] it is 5. $\scriptstyle{\color{blue}{17-\left[\left(\frac{2}{3}\sdot17\right)+\frac{2}{3}\right]=17-\left[\left(11+\frac{1}{3}\right)+\frac{2}{3}\right]=5}}$	השוער השני שאל ב' שלישיות י"ז [וב' שלישי תפוח] והנשאר יהיו [...] שלשיות י"ז הוא [...] ושלישית ועוד ב' שלישיות יהיו [..] ה‫'
The first asked for its half plus one half, which is 3; he is left with [two]. $\scriptstyle{\color{blue}{5-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]=5-3=2}}$	והראשון שאל חציים וחצי אחד שהם ג' ונשארו לו ‫[...]
Apply this way when there are many gatekeepers in the garden. As you see:	וזה הדרך תעשה אם יהיו בגן שוערים רבים כמו שת[ר]אה כזה
The table of the apples	לוח התפוחים
Apples Gates Gates Gates Gates Gates Gates 1 3 7 15 31 63 127 2 5 11 23 47 95 191 3 7 15 31 63 127 255 4 9 19 39 79 159 319 5 11 23 47 95 191 383 6 13 27 55 111 223 447
שערי‫' שערי‫' שערי‫' שערי‫' שערי‫' שערים תפוחים קכז סג לא טו ז ג א קצא צה מז כג יא ה ב רנה קכז סג לא טו ז ג שיט קנט עט לט יט ט ד שפג קצא צה מז כג יא ה תמז רכג קיא נה כז יג ו
Question: 5 people earn 12 with 6 beasts in 8 days. I ask: how much will 6 people earn with 8 beasts in ten days?	שאלה ה' אנשים עם ו' בהמות בח' ימים ירויחו [יב] [...] שאלתי ו' אנשים עם ח' בהמות בעשרה [ימים] [כמה] ירויחו
The answer: multiply the people by the beasts, then the product by the days.	‫[תשובה] כפול האנשים על הבהמות והעולה על הימים
Do as follows: multiply 5 people by 6 beasts; the result is 30. Then, 30 by 8 days; the result is 240, which is the first known [number]. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6\sdot8=30\sdot8=240}}$	וכן תעשה כפול ה' אנשים על ו' בהמות יעלו ל' גם ל' בח' ימים יעלו ר"מ [...] החלק הראשון הנודע
Multiply 6 people by 8; the result is 48. Multiply 48 by ten; the result is 480, which is the third number. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot8\sdot10=48\sdot10=480}}$	ותניח הדינרי' במקומם וכסדר הנז[..] כפול ו' אנשים על ח' יעלו מ"ח כפול מ"ח על עשרה יעלו ת"ף החשבון השלישי
Rule of Three: Now we say: if 240 gives us 12, how much will 480 give? $\scriptstyle{\color{blue}{240:12=480:X}}$	ועתה נאמר אם ר"מ נתן לנו י"ב ת"ף מה יתן
It gives 24.	ונתן כ"ד
The check is clear: [the product of 240 by 24 is the same as the product of 24 by 480].	והבחינה מבואירת כי ר"ם כפל ת"ף וגם כ"ד [...] [ותחלק ר"ם על ...]
If 240 12 480 0	0 ת"ף יב ר"מ אם
	‫[...] כדין של [.] יין מבשל שבו [...] כדין [...] מספר ישוב [...]
Multiply 8 by 3; the result is 24. Divide it by 5; the result is 4 and 4-fifths, like this: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8\sdot3}{5}=\frac{24}{5}=4+\frac{4}{5}}}$	כפול ח' על ג' יעלו כ"ד חלקם על ה' יעלו ד' כדין וד' חומשי כד כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$4	ד
Likewise for all that is similar to it with the Rule of Three.	‫[וכן] כל הדומה לזה עם דרך השלושה
Check: the product of the means is 600 and so is [the product of] the extremes.	הבחינה כפלי האמצעים יהיו ת"ר וגם החיצוניים
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Fish
Question: a man bought a fish, its head is one fifth, its body is 3-quarters, and its tail is 5 cubits. I ask: how much is its entire length? $\scriptstyle x=\frac{1}{5}x+\frac{3}{4}x+5$	שאלה אדם קנה דג או כה שתרצה שראשו חמשית וגופו ג' רביעיות [וזנבו] ה' אמות שאלתי אורך כולו
Match the fractions to one denominator, which is 20; it is according to this diagram:	תשובה תשוה השברי אל מורה אחד שהוא כ' ויהיה כזאת הצורה
4   15 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$   20	ד   הא X   20
False Position: We say that 20 cubits is its whole.	ונאמר כי כ' אמות [הוא] סך כולו
We take its fifth, which is 4; we take also [¾], which are 15; with the 4 they are 19, which are its body and its head; and only one cubit remains for its tail, but we required [5] cubits for its tail.	נקח החמשית שהוא ד' גם נקח ג' אמות שהם ט"ו ועם ד' יהיו י"ט שהם סך גופו [ו]ראשו ולא נשאר רק אמה לזנבו ואנחנו שאלנו אמות לזנבו
$\scriptstyle{\color{blue}{20-\left[\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot20\right)\right]=20-\left(4+15\right)=20-19=1}}$
Rule of Three: We say: if 20 gives us 1, how much will 5 give us? $\scriptstyle{\color{blue}{20:1=X:5}}$	ונאמר אם כ' נתן לנו א' מה יתן לנו ה‫'
We multiply 5 by 20; the result is 100.	נכפול ה' בכ' יעלו ק‫'
Divide it by 1; the result is 100 and it is the measure of the fish. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot20}{1}=\frac{100}{1}=100}}$	חלקם על א' יהיו ק' והוא מדת הדג
For its fifth is 20; its three-quarters are 75; with 20 they are 95 and 5 remain for its tail to complete the 100.	כי חמשתו כ' וג' רביעיותיו הם ע"ה וכ' יהיו צ"ה נשארו ה' לזנבו לתשלום ק‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{100-\left[\left(\frac{1}{5}\sdot100\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot100\right)\right]=100-\left(20+75\right)=100-95=5}}$
Likewise for all that is similar to it.	וכן כל הדומה לזה
The same for a tree whose fifth is in the ground beneath the water, its 3-quarters are in the water, and 5 cubits are above the water.	וכזה אילן חמשיתו בקרקע תחת המים וג' רביעיות במים וה' אמות על המים
Also for a lance and all that is similar to it.	וכן רומח וכן כל הדומה לזה‫
[Chapter Four]: Mixture of Coins	‫[...] תערובת המטבעות
The first chapter on addition and subtraction of weights and knowing the pure marci and their fractions	הסדר הראשון [בחיבור ובגרעון המשקלים ובידעת הנקי ממרקוש ושברין]
I say that this chapter is proper for money craftsmen.	[...] ואומר כי זה הפרק הוא טוב מאוד [...] הוא טוב גם כן לאומני ממון ‫[...]
I will tell you some rules that should be preceded:	אומר לך כללים ראויים להקדים
	[...] ראשונה דברים אשר קצתם מפורסמים אצל הממון וקצתם נעלמים והנה כזה תמצא שני [...] בהסכמה הראשונה חלוקת המשקלים והשנית חלוקת [...] או הנקי וזה הנקרא הדת
The division of weights: first, they called a certain weight "marco". They divided the marco into eight ounces; the ounce into 24 dinar; each dinar into 24 grani; each grano into 24 polita. This is the division of the weights.	אמנם חלוקת המשקלים ראשונה קראו למשקל מה מרקו וחלקו המרקו לשמונה אונסיש והאינסה לכ"ד דינירוש וכל דינירו לכ"ד גראנוש וכל גראנו לכ"ד פוליטאש וזה חלוקת המשקל
The second division is the division of the values: each marco of silver has a value of 12 dinar; each dinar is divided into 24 grani; each grano into 24 polita; and I divide the polita into 24 fractions of a polita.	החלוקה השנית שהיא חלוקת הדת הוא כי כל מרקו מכסף הוא י"ב דינירוש מדת וכל דינירו נחלק לכ"ד גראנוש וכל גראנו לכ"ד פוליטאש והפוליטה חילקתי לכ"ד שברי פוליטה
I drew two tables:	‫[...] ציירתי שני לוחות
In the first table I specified the proper value for each of the parts of the weight.	הלוח הראשון פרטתי בו הראוי מן הדת לכל חלקי המשקל
The second table is the opposite of the first, which is the appropriate weight for each of the values.	והלוח השני הוא הפך הראשון שהוא הראוי מן המשקל לכל חלקי הדת
	הלוח הראשון הוא כי החלקים יותר קטנים שהנחתי כאן מן המשקל הם פוליטאש וכתבתי כ"ד פוליטאש ממשקל אשר הראוי לאחד מן הדת שהוא י"ב דיניש [..] כל א' אונסש יש ל"ה שבר וחצי מדת ול"ה פוליטאש ממשקל [..] יש לה ג' שברים עד אשר י"ו פולידאש ממשקל יש להם פוליטה אחת מדת וכ"ד פוליטש שהם גראנו אחד יש להם פוליטה וחצי מדת והוא סוף הטור הראשון מן הלוח הראשון
	וראשון הטור השני הוא גראנו אחד ממשקל שהוא פוליטה וחצי מדת וב' גראנוש ג' פוליטאש וי"ו גראנוש גראנו אחד מדת וכ"ד גראנוש שהוא סוף הטור שהוא דינירו אחד יש בו גראנו וחצי מדת והוא ‫הם הטור השלישי וראש הרביעי [...] מדת והנה ראש הלוח הרביעי [...] מדת וה' אונסאש שהוא סוף הטור הרביעי [...] מהם י"ב דיניש מדת וכן בכל מרקו שאם [...] מדת תחלקים על י"ב והיוציא הם מרקיש
	והלוח [...] שאם יהיו בידך דיניש או גראנוש או פוליסאש מדת לדעת המשקל הנה כל פוליטה מדת יש לה י"ו פוליט[..] ומכל כ"ד מכל מין תעשה אחד למה של מעלה [...] ב' פוליטי' הם גראנו וח' פוליטי' ממשקל עם כי י"ב פול[..] הם ח' גראנוש ממשקל וכ"ד פליטי' שהם גראנו אחד הם י"ו ג[...] ממשקל והוא ראש הטור השני שהוא גראנו אחד מדת והוא י"ו ג[...] ממשקל והשני דינירו אחד וח' גראנוש וי"ב ח' דיניש [...] סוף הטור השני וראש השלישי הם דינירו אחד מדת וי"ו דיניש ממשקל והנה ראש הטור השלישי הוא דינירו אחד מדת שהוא שוה י"ו דיניש ממשקל וג' דיניש מדת הוא אונסה וח' פשיטי' ממשקל וי"ב דיניש מדת שהם מרקו הם ח' אונסש ממשקל [..] מרקו אחד גם כן והרי לך צורת השני לוחות
	ואחר שידענו הסכים נחבר המינים כמו שתראה
We wish to know how much are 16 marco, 5 ounces, 16 dinar, 23 grano and 13 polita, plus 29 marco, 7 ounces, 21 dinar, 17 grano and 5 polita, plus 37 marco, 11 dinar, and 12 polita, according to this diagram:	המשל רצינו לדעת כמה יעלה י"ו מרקוש וה' אונסאש וי"ו דיניש וכ"ג גראנוש וי"ג פוליטאש עם כ"ט מרקוש ז' אונסאש כ"א דינירו י"ז גראנוש ה' פוליטאש ועם ל"ז מרקוש וי"א דיניש וי"ב פוליטאש ויהיה [כזאת] הצורה
פוליטא יג ה יב גראנוש כג יז 0 דינירוש יט כא יא אונסאש ה ז 0 מרקוש יו כט לז ו יז ד ו פג
	נחבר[.] הפוליטאש יהיו ל' גרע [...] גראנו אחד ונשארו ו' נחבר הגרנו עם
	‫עם [...] מ"א תן [...] לפשוט אחד יהיו נ"ב [...] גרע מ[..] מ"ח ל"ב אונסאש ד' דיניש [...] הב' אונסאש [..] האונסאש יהיו י"ד גרע מרקו[..] ישארו ו' אונס[..] נחבר גם כן ה[...] יהיו עם האחד שהוספנו פ"ג מרקוש וזה המבוקש מן השלושה חשבונות המונחים והוא הדין אם נרצה לגרוע דומה מדומה
	המשל בזה רצינו לגרוע כ"ד מרקוש ד' אונסאש י"ג דיניש כ"ג גראניוש
[.]   dinar and grani of weight pure grani   grani and polita of weight pur polita [.] dinar     dinar grani     grani polita     16 1     16 1     16 1 1 8 2   1 8 2   1 8 2 2 0 3   2 0 3   2 0 3 2 16 4   2 16 4   2 16 4 3 8 5   3 8 5   3 8 5 4 0 6   4 0 6   4 0 6 4 16 7   4 16 7   4 16 7 5 8 8   5 8 8   5 8 8 6 0 9   6 0 9   6 0 9 6 16 10   6 16 10   6 16 10 7 8 11   7 8 11   7 8 11 8 0 12   8 0 12   8 0 12     13   8 16 13   8 16 13   14   9 8 14   9 8 14   10 0 15   10 0 15   10 16 16   10 16 16   11 8 17   11 8 17   12 0 18   12 0 18   12 16 19   12 16 19   13 8 20   13 8 20   14 0 21   14 0 21   14 16 22   14 16 22   15 8 23   15 8 23   16 0 24   16 0 24
[.]   דיניש וגראנוש ממשקל גראנוש דת   גראנוש ופוליטאש ממשקל פוליטאש דת [.] דניש     דיניש גראנוש     גראנוש פוליטאש     יו א     יו א     יו א א ח ב   א ח ב   א ח ב ב 0 ג   ב 0 ג   ב 0 ג ב יו ד   ב יו ד   ב יו ד ג ח ה   ג ח ה   ג ח ה ד 0 ו   ד 0 ו   ד 0 ו ד יו ז   ד יו ז   ד יו ז ה ח ח   ה ח ח   ה ח ח ו 0 ט   ו 0 ט   ו 0 ט ו יו י   ו יו י   ו יו י ז ח יא   ז ח יא   ז ח יא ח 0 יב   ח 0 יב   ח 0 יב     יג   ח יו יג   ח יו יג   יד   ט ח יד   ט ח יד   י 0 טו   י 0 טו   י יו יו   י יו יו   יא ח יז   יא ח יז   יב 0 יח   יב 0 יח   יב יו יט   יב יו יט   יג ח כ   יג ח כ   יד 0 כא   יד 0 כא   יד יו כב   יד יו כב   טו ח כג   טו ח כג   יו 0 כד   יו 0 כד
	‫[...] מרקוש ב' אונסאש ג' דיניש ט' [...] כזאת הצורה
	פלוטי גראנוש [דיניש] [אונסאש] [מרקוש] ד ט ג ב ל"ה ז כג יג ד כד כא ט יג ה י
	גרענו ז' פוליטאש [...] [ולא] נוכל נעשה מגראנו אחד כ"ד פוליטאש ועם הד' יהיו כ"ח נגרע מהם ז' ישארו כ"א עוד גרענו כ"ג מח' שנשארו נעשה מדינירו אחד כ"ד [ג]ראנוש יהיו ל"ב גרענו מהם כ"ג ישארו ט' גראנוש עוד [גר]ענו מב' דיניש שנשארו י"ג נעשה מאונסה אחד כ"ד פשיטי' [יהיו] כ"ז נגרע מהם י"ג ישארו י"ג עוד נגרע ד' אונסאש מא' [...] נעשה ממרקו אחד ח' אונסאש ועם א' יהיו ט' נגרע [מ]הם ד' ישארו ה' עוד נגרע מל"ד מרקיש שנשארו כ"ד ישארו [עש]רה והנה יצא לנו שנשאר אחר הגרעון עשרה מרקוש ה' [אונס]אש י"ג דיניש ט' גראנוש כ"א פוליטה והוא המבוקש
	ואם ואם תרצה לכפול או לחלק משקלים מתחלפים על אחרים תשוים ואחר תכפול או תחלק כאשר עשינו בכפל או בחילוק מורכבים כי לא רציתי להאריך
	והנה כאשר יהיה כסף מעורב [...] דע כי לעולם י"ב פשיטי מעורבות אונקיות הם מרקו אחד וכן כל שברי המרקו שלא נקפיד אם הוא נקי או מעורב
	ואומנם לדעת הנקי שיש במשקל או במשקלים מתחלפים תדעם עם דרך השלושה בזה הדרך שתקח מרקו אחד ועמו תעשה הערך לאחדים הנשאלים ואם הנקי מהנשאל יהיה פשיטי' עשה [.] מרקו אחד פשיטי' ואם שאל שברים אחרים עשה המרקו אחד ממין הנשאל כמו שתראה ובעבור שלא תצטרך בכל זאת לעשות מהמרקו שברים ממין הנשאל אכתוב כאן [..] אנסאש המרקו והדיניש והגראנוש והפוליטאש ושברי הפוליטאש כי לא קראתי להם שם ‫אלא שברים או שברי פוליטה
אונסאש ח       דיניש   בטא     גראנוש     ח0וד   פוליטאש       בטה0אא שברים         ח0ב654ב מרקו אחד הוא
	שאלה ט' מרקוש מכסף ג' אונ[...] זה ממשקל [...] מדת בכל [...] שאלתי [...] נקי [...] בכול ‫[..]
	תשובה תן מרקו אחד בדיניש בעבור כי בנשאל תמצא דיניש ויהיו קצ"ב דיניש ובשאלתינו אמר כי יש בכל מרקו ח' דיניש מדת וקצ"ב הם דיניש גם כן ועתה אמור אם קצ"ב נתן לנו ח' ט' מרקוש ג' אונסאש [..] פשיטי כמה נקי יתן לנו תן הנשאל בדיניש כי שבר[...] הוא דיניש ויהיו אלף תתט"ו דיניש כי ט' על מורה האונ[סאש] שהוא ח' יהיו ע"ב וג' אונסאש אשר בשאלה יהיו ע"ה אונסאש כפול ע"ה אונסאש על מורה הדיניש שהוא כ"ד יעלו אלף ות"ת וט"ו שהיו בשאלה יהיו אלף ותתט"ו כנזכר ועתה תסדר השאלה ואמור אם קצ"ב דיניש ממשקל נתן לנו ח' פשיטי דת אלף ותתט"ו דיניש ממשקל מה יתן לנו כזאת הצורה
	משקל דת משקל   0 האחא ח קצב אם
	כפול האמצעיות יעלו י"ד אלפים תק"ך תחלקם על קצ"ב יעלה בחילוק ע"ה דיניש וק"ך חלקים מקצ"ב תחלק ע"ה דיניש על י"ב שהוא דיניר הדת יעלה בחילוק ו' דינרים ונשארו ג' דיניש והנה ו' דינרים שהם ו' מרקוש מדת וג' דיניש ‫[...] אשר אם תקצרם יהיו ה' שמניות [...] תמצא מנקי כ"ט מרקוש ג' אונסאש ט"ו [...] ח' פשיטי מנקי
	‫[והבחי]נה כפול כל אב על הבן הנכרי כמו קצ"ב על הנעלם שהוא ע"ה וחלקיו יהיו י"ד אלפים תק"ך גם [...] תתט"ו על ח' יעלו י"ד אלפים תק"ך כנזכר וזה שתתן ע"ה [..]קצ"ב בעבור שיהיו השני בנים שוים ואחר כפול כל אב על הבן הנכרי כאשר אמרתי
	וכבר ראיתה כל הבחינות שעשיתי לדרך השלושה ועתה באלו השאלות שאכתוב אם אביא בחינה אם לא תעיין באחרות כי אכוון לקצר
	שאלה ה' מרקוש ו' אנסאש ז' דיניש ח' גראנוש כל זה ממשקל לסך ה' דניש ט' גראנוש מדת בכל מרקו שאלתי כמה נקי יש בכל הנשאל
	‫[תש]ובה תן מארקו אחד בגרנוש יהיו ד' אלפים תר"ח בעבור כי הנקי הוא גראנוש גם תעשה הנשאל גראנוש יהיה הכל כ"ו אלפים תרע"ב גראנוש כל זה ממשקל ושמרם וגם תן ה' דניש מהנקי גראנוש יהיו ק"ך ועם ט' גראנוש שהיה בשאלה יהיו קכ"ט גראנוש מנקי במרקו אחד ואחר ערוך שאלתך ואמור אם בד' אלפים תר"ח גראנוש שהוא מרקו אחד יש בו קכ"ט גראנוש מנקי בכ"ו אלף תרע"ב מה יש בו ויהיה כזה הצורה
	נקי משקל נקי משקל   0 26672 129 4608 אם
	כפלנו האמצעיות יעלו ג' מספרים ת"מ אלפים תתפ"ח כזה
	חחו0דדג
	חלקם על האמצעי הראשון שהוא ד' אלפים תר"ח יציא בחילוק תשמ"ו גראנוש וג' אלף וקי"ב חלקים מד' אלפים תר"ח בשלם שאם תקצרם יהיו ס"ה חלקים ‫מצ"ו כזה
	הו וט
	חלק הגראנוש השלמים [...] ונשארו ב' גראנוש חלק ל"א דיניש על [...] ותצא ב' דנרים שהם ב' מרקוש מדת [...] עלה בידנו כי הדת או הנקי אשר בה' מרקוש [...] דיניש ח' גראנוש כל זה ממשקל לסך ה' פשיטי דיניש ט' מדת בכל מרקו שהוא ב' מרקוש וז' דיניש וב' גראנוש [..] חלקים מצ"ו בגראנו
The second chapter on the mixture of different amounts	הסדר השני בידעת התערובת מסכים מתחלפים
I say that the division of the dinar of the value is that you first know the metal is of a pure type and of a mixed type.	ואומר כי חלוקת דינר הדת הוא שתדע תחילה [כי] מתכת שהוא סוג וחלק ממנו נקי וממנו מעורב
The pure is divided into two and each one into two, so they are four [types].	והנקי יחלק לשנים וכל אחד לשנים שהם ארבע
The mixed [is divided] into two and each one into three, so they are six [types].	והמורכב לשנים וכל אחד לשלוש[ה] שהם ששה
The division of the pure into two: one is pure silver and the other is pure copper.	אומנם חלוקת הנקי לשנים האחד כסף נקי והשני נחושת נקי
We can reduce the pure silver with pure copper, or with a mixture.	והנה הכסף הנקי נוכל להורידו עם נחושת נקי או עם תערובת
We can improve the pure copper with pure silver, or with a mixture.	וחלוקת הנחושת הנקי הוא שנוכל להטבו ע[ם] כסף נקי או עם תערובת
Hence, you have four kinds of pure: two to reduce it and to to improve it.	והרי לך ארבע חלקי הנקי שהם שנים להורי[דו] ושנים להטיבו
The mixture has six types: three to improve it and three to reduce it.	ואמנם התערובת אשר חלקיו ששה הנה השלושה להטיבו והשלושה להורידו
The three to improve it are: with pure silver, with a better mixture, or by reducing the copper.	אומנם השלושה להטיבו הוא עם כסף נקי או עם תערובת יותר טוב או עם שנגרע מן הנחושת
The three to reduce it are: with pure copper, with a poorer mixture, or by reducing the silver.	והשלושה להורידו הוא עם נחושת נקי או עם תערובת יותר רע או עם שנגרע מן הכסף
According to this, it is the shape of a tree whose branches are ten.	והנה לפי זה הוא צורת אילן אשר ענפיו הם עשרה
I will write one or two questions for each branch, all as appropriate, and from them you will learn others. This is the shape of the tree:	והנה אכתוב לכל ענף שאלה אחת או שתים הכל כפי הראוי ומהם תלמוד לאחרים וזה צורת האילן
Reducing pure silver with pure copper
I start the chapter on mixture and say that when you have pure silver in your hand, the value of which is 12 dinar, and you want to mix it with pure copper, or other thing, so that it will be of a known pure amount and you will also know [the amount of] the copper [in it]:	ואני מתחיל בסדר התערובת ואומר כי כאשר יהיה בידך כסף נקי שהוא מסך י"ב דיניש ותרצה לערבו עם נחושת נקי או עם דבר ‫דבר אחר ותרצה שיהיה בסך ידוע מהנקי ושתדע גם כן הנחושת
You know it by the "Rule of Three" this way: know [the amount of] copper in one marco, according to the value you want, and the [amount of] pure [silver], then say by the "Rule of Three": if this [amount of] pure [silver] yields this [amount of] copper in one marco, how much copper will those marci that I want mix with copper yield?	הנה תדענו עם דרך השלושה בזה הדרך שתדע הנחושת אשר במרקו אחד כפי הסך שתרצה גם הנקי ואחר אמור בדרך השלושה אם כך מנקי נתן כך מנחושת במרקו אחד כך מרקוש שאני רוצה לתתנם בנחושת מה יתן מנחושת
	וסדר שאלתך ואם הפך השאלה יהיה בהפך
First branch: a moneychanger or a goldsmith has in his hand 7 marci of pure silver and he wants to mix it with copper so that it will be at a value of 8 [dinar] in each marco. I ask: how much would he mix with the silver, so that it would be of this value and how much marci would be in this mixture?	ענף ראשון הנה יש ביד מחליף או צורף ז' מרקוש מכסף נקי ורצה לערבו עם נחושת ושיהיה לדת ח' פשיטי בכל מרקו שאלתי כמה יערב עם הכסף ושיהיה לזה הדת וידעת כמה מרקוש יהיה זה התערובת
Since it is asked that the value will be of 8 [dinar], 4 dinar are the complement to 12 dinar, which are the copper we need in each marco. $\scriptstyle{\color{blue}{12-8=4}}$	תשובה הנה אחר ששאל שיהיה הדת ח' פשיטי' נשאר לתשלום י"ב דינש ד' דיניש שנצטרך בכל מרקו מנחושת
So, you have three known things: the value of 8 dinar; the 4 dinar of copper; and the 7 marci [...]	והנה היה לך שלשה דברים ידועים שהם ח' דיניש ‫הדת וד' דיניש הנחושת וז' מרקוש ש‫[...]
[Say: if] 8 pure dinar require 4 dinar of copper, how much copper will 84 pure dinar require? It is: $\scriptstyle{\color{blue}{8:4=84:X}}$	ח' דניש נקי צריך ד' דיניש מנחושת פ"ד דיניש נקי כמה נחושת נצטרך ויהיה
pure copper pure   if 8 4 84 0	נקי נחושת נקי   0 דח ד ח אם
Multiply the means; the result [is 336]. [Divide it] by 8; the result is 42 dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot84}{8}=42}}$	כפול האמצעיות יעלו [..] על ח' יעלו מ"ב דניש ‫[...]
We convert them into marci: we divide them by [12]; the result is 3 marci and a half, which is six ounces, all these are of copper. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{42}{12}=3+\frac{1}{2}=3+\frac{6}{12}}}$	נעשה מהם מרקוש נחלקם על ז' תצאו ג' מרקוש וחצי שהם ששה אונסאש כל זה מנחושת
So, we need 3 marci and a half of copper for the 7 marci of pure silver we want to reduce to 8 dinar, and then they are ten marci and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{7+\left(3+\frac{1}{2}\right)=10+\frac{1}{2}}}$	ז' מרקיש מכסף נקי שרצינו להורידו לח' דיניש שנצטריך ג' מארקוש וחצי מנחושת ויהיו אז עשרה מרקוש וחצי
The check is that you multiply the extremes by each other and likewise the means; [the products] are equal. Because 8 by 42, which is the unknown, is 336 and so are the means.	והבחינה שתכפול הקצוות זה על זה וכן האמצעיות ויהיו שוים כי ח' על מ"ב הנעלם של"ו וכן האמצעיות
If you want to [apply] other checks that I have presented, the permission is granted to you.	ואם תרצה עם בחינות אחרות שעשתי הרשות בידך ‫[..]
To train you once more, I do it again, and now I rely on [...]	להרגילך פעם אני עושה אחד פעם אחרת פעם אסמוך על ‫[...]
Second question of the first branch, which is compound: a moneychanger has in his hand [...] [2 marci], 3 ounces and 9 dinar of pure silver and he wants to reduce it with pure copper to a value of 7 dinar. I ask: how much copper is needed to mix with the silver, so that it will become of a value of 7 dinar?	שאלה שנית מענף ראשון והיא מורכבת הנה יש ביד מחליף ב' מ[...] ג' אונסאש ט' דיניש מכסף נקי ורצה להורידו עם נחושת נקי לדת ז' דיניש שאלתי כמה נחושת הוצרך לערב עם הכסף ושיציא לדת ז' דיניש
The answer: since we know that the value of 7 dinar is asked, you find the complement to 12 is 5 of copper.	התשובה הנה אחר שידענו ששאל לסך ז' דיניש מדת הנה לתשלום י"ב תמצא ה' מנחושת
Say: if 7 pure dinar require 5 of copper, how much copper will 2 marci, 3 ounces and 9 dinar of pure [silver] require? It is according to this diagram: $\scriptstyle{\color{blue}{7:5=\left(2+\frac{3}{8}+\frac{9}{8\sdot24}\right):X}}$	ואמור אם ז' דיניש מנקי צריך ה' מנחושת ב' מרקוש ג' אונסאש ט' דיניש כל זה מנקי כמה נחושת הוצרך ויהיה כצורה הזאת
dinar copper marci ounces dinar   if 7 5 2 3 9 0	דיניש אונס מרקוש נחוש דיניש   0 ט ג ב ה ז אם
We convert the integer into the smallest fraction, which is the dinar, multiply the 2 marci by 8, which is an ounce; they are 16 plus the 3 we have, they are 19 ounces. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot8\right)+3=16+3=19}}$	נתן השלם בשבר היותר קטן שהוא דיניש תן הב' מרקוש על ח' שהוא אונסאש יהיו י"ו וג' שהיו לנו יהיו י"ט אונסאש
We multiply 19 by 24, which is the denominator of the dinar; they are [456], [plus the 9] we have, they are 465 silver dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(19\sdot24\right)+9=456+9=465}}$	נכפול י"ט על כ"ד שהוא מורה הדיניש ויהיו ‫[...] שהיו לנו יהיה תס"ה דיניש מכסף
[Say by the "Rule of] Three": if 17 pure dinar require 5 of copper, how much copper is needed for [465 dinar]? According to this diagram:	‫[...] שלושה אם י"ז דיניש מנקי הוצרך ה' מנחושת [...] נחושת הוצרך ויהיה כזה הצורה
pure copper [pure] if 17 5 465 0	נקי נחוש [נקי] 0 הוד ה זא אם
We multiply the means and divide by 7; the result is 332 dinar and a seventh and this is the required copper. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{465\sdot5}{7}=332+\frac{1}{7}}}$	נכפול האמצעיו' וחלק על ז' ויעלה של"ב דיניש ושבעית וזה הנשאל מנחושת
If you want, divide them by the denominator of the dinar, which is 24; the result is 13 ounces and 20 dinar remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{332}{24}=13+\frac{20}{24}}}$	ואם תרצה תחלקם על מורה הדיניש שהוא [..] ותציא י"ג אונס' ונשארו כ' דיניש
Divide the 13 by 8; the result is one marco and 5 ounces remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13}{8}=1+\frac{5}{8}}}$	עוד תחלק הי"ג על ח' ותציא מרקו אחד וישארו ה' אונסאש
We say that one marco, 5 ounces, 20 dinar and a seventh are needed for the 2 marci, 3 ounces, and 9 dinar.	ונאמר כי מארקו אחד וה' אונס' [..] כ' דיניש ושביעית הוצרך לב' מרקוש וג' אונס' וט' דיניש
Sum all; they are 4 marci, 1 ounce, 5 dinar and a seventh of a total value of 7 dinar.	תחברם כולם יהיו ד' מרקוש א' אונס ה' דיניש ושביעית כל זה לסך ז' דיניש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{5}{8}+\frac{20+\frac{1}{7}}{8\sdot24}\right)+\left(2+\frac{3}{8}+\frac{9}{8\sdot24}\right)=4+\frac{1}{8}+\frac{5+\frac{1}{7}}{8\sdot24}}}$
The check is that you multiply each father [= extreme] by the other's son [= mean], provided that you convert all the sons into sevenths for the seventh; or multiply the extremes and the means, or divide them.	הבחינה היא שתכפול כל אב על הבן הנכרי ובלבד שתתן כל הבנים [..] בשביעיות בעבור השביעית או תכפול הקצוות והאמצעיות או תחלקם
Third question of the first branch with fractions: a moneychanger or a goldsmith has in his hand 5 ounces, 7 dinar, and 3 grano of pure silver and we want to reduce it to a total value of 9 dinar. I ask: how much copper is needed to reduce it to a value of 9 dinar?	שאלה שלישית משברים מענף ראשון היה היה ביד מחליף או צורף ה' אונסאש וז' דיניש וג' גראש' מכסף נקי ורצינו להורידו לסך ט' דיניש מדת שאלתי כמה נחושת הוצרך להורידו לדת ט' דיניש
Answer: convert the 7 dinar into grani and the 5 ounces into dinar [...].	תשובה תן ו'ה'ז' דיניש בגראנו [הה' אונס' בדיניש‫]‫
Reducing pure silver with a mixture
[Second branch]: a goldsmith [has in his hand] 12 marci of pure silver and he wants [to reduce it] to a value of 17 dinar. Yet, he does not have copper, but a mixture of [...]. I ask: how much of this mixture is needed so that it would become of a value of 9 dinar and how much is the weight of all the silver?	‫[ענף שני] [הנה יש ביד] צורף י"ב מרקוש מכסף נקי ורצה [...] מדת י"ז דיניש ואין לו נחושת אלא תערובת [...]רקיש שאלתי כמה מזה התערובת הוצרך עד [...]סף לסך ט' דיניש וסך משקל כל הכסף
Answer: take the three amounts of pure [metal] in all, whether the required is pure or a mixture.	‫[תשוב]ה קח שלושה סכי הנקי שבכולם אם שיהיה הנשאל נקי או תערובת
We take the excess of the mean over the small and this is the first [term] in the "Rule of Three".	נקח יתרון האמצעי על הקטן והוא יהיה ראשון בדרך השלושה
The excess of the greater over the mean will be the second [term] in the "Rule of Three" and vice versa when we want the improve.	וחסרון האמצעי על הגדול יהיה שני בדרך השלושה ובהפך כאשר רצינו להטיב
The required amount is the third [term] in the "Rule of Three".	והסך הנשאל הוא יהיה שלישי מדרך השלושה
The example of this:	והמשל בזה
The first amount is 12 dinar, because each marco has value of 12 dinar.	הנה הסך הראשון הוא י"ב דיניש כל מרקו הוא י"ב דיניש מדת
The second amount is 9 dinar, because we want to reduce the 12 marci to 9 dinar.	והסך השני הוא ט' [ד]יניש כי לט' דיניש רצינו להוריד הי"ב מרקוש
The third [amount] is [7] dinar in the mixture.	והסך השלישי הוא [ז'] דיניש אשר בתערובת
The three are: 12, 9, and 7.	ושלושתם היו י"ב וט' וז‫'
The mean is 9; the excess of the mean over 7 is two and this is the first [tern] in the "Rule of Three". $\scriptstyle{\color{blue}{9-7=2}}$	והנה האמצעי [הוא] ט' ויתרון האמצעי על ז' הוא שנים והוא ראשון מדרך השלושה
The excess of 12 over 9 is 3 and this is the second [term] in the "Rule of Three". $\scriptstyle{\color{blue}{12-9=3}}$	‫[..] חסרון ט' על י"ב הוא ג' והוא שני מדרך השלושה
The required is [12] marci and this is the third [term] in the "Rule of Three".	והנשאל שהוא [י"ב] מארקיש הוא שלישי מדרך השלושה
They are according to this diagram:	ויהיו כזאת הצורה
if 2 3 12 0	0 בא ג ב אם
Say: if 2 gives us 3, what will 12 give us? $\scriptstyle{\color{blue}{2:3=12:X}}$	ואמור אם ב' נתן לנו ג' י"ב מה יתן לנו
We multiply the means; it is 36.	כפול האמצעיים יהיו ל"ו
We divide it by 2; the result is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot12}{2}=\frac{36}{2}=18}}$	נחלקם ב' ותציא י"ח
Thus, 18 marci of this mixture whose value is 7 dinar, are needed to be mixed with the 12 pure marci we have in our hand.	והנה י"ח מרקיש מזה התערובת שהוא מדת ז' דיניש הוצרך לערב עם הי"ב מרקיש מהנקי אשר בידינו
	ויהיה עם הי"ב מרקיש ל' מרקוש ל"ט ט' דיניש
In 18 marci of the mixture you find 90 dinar of copper and 126 dinar of silver.	והבחינה הנה בי"ח מרקוש מהתערובת תמצה צ' דיניש מנחושת וקכ"ו דיניש מכסף
Add to them 144 dinar of silver in our 12 marci; they are 270 dinar of pure silver. $\scriptstyle{\color{blue}{126+144=270}}$	תחבר אליהם קמ"ד דיניש מהכסף אשר בי"ב מרקוש שלנו יהיו ר"ע דניש מכסף נקי
Now, say: if 9 of pure silver give us 3 of copper, how much will 270 dinar of pure [silver] give us? $\scriptstyle{\color{blue}{9:3=270:X}}$	ועתה אמור אם ט' מכסף נקי נתן לנו ג' מנחושת ר"ע דיניש מנקי מה יתן לנו
According to this diagram:	כזה הצורה
dinar copper dinar copper if 9 3 270 90	נחוש די' נחוש די   ‫0ט ‫0זב ג ט אם
It yields 90 dinar of copper.	ונתן צ' דינש מנחושת
Another check: multiply [...] the result is 270. [...]	‫בחינה אחרת כפול היוציא מן ה[...] יעלו ר"ע והוא חוקי ש‫[...]
Multiply the 18 marci added by 7 which is [...] add it to the dinar in 12 marci, which are 144; they are [270] [...]. $\scriptstyle{\color{blue}{270=\left(18\sdot7\right)+144}}$	כפול הי"ח מרקוש הנוספים על ז' שהוא היה לסך [...] חברם עם דיניש י"ב מרקוש שהם קמ"ד דיניש יהיו ‫[...]
Another check: multiply the 30 marci we received by 3 [..] in each marco; it is 90. Keep it.	בחינה אחרת כפול ל' מרקוש שהיצאו לנו על ג' מ[...] אשר בכל מרקו יהיו צ' ושמרהו
Multiply the 18 marci [..] by the 5 of copper in each; they are 90 of copper, as the reserved. $\scriptstyle{\color{blue}{30\sdot3=90=18\sdot5}}$	ואחר כפול י"ח מרקוש הנו[...] על ה' מנחושת הנודעים אשר בכל אחד יהיו צ' מנחושת בשמור
And so on.	וכן כל כיוציא בזה
Improving pure copper with pure silver
Third branch: a goldsmith has in his hand 8 marci of copper and he wants to improve it with silver so that it would be of a value of 5 dinar per marco. I ask: how much silver is needed so that it would become of this value?	ענף שלישי הנה יש ביד צורף ח' מרקוש מנחושת ורצה להטיבו עם כסף ושיהיה לדת ה' דיניש בכל מרקו שאלתי כמה כסף הוצרך ושתציא זה הסך
Answer: from the 5 dinar asked to 12 there are 7 missing.	תשובה הנה מה' דיניש ששאל עד י"ב יחסרון ז‫'
In each marco there should be 460 of copper.	ות"ס הראוים להיות מנחושת בכל מרקו
Now, say: if 7 of copper require 5 of pure [silver], how much silver will 8 marci of copper require? $\scriptstyle{\color{blue}{7:5=8:X}}$	ועתה אמור אם ז' מנחושת הוצרך ה' מנקי ח' מרקוש מנחושת כמה כסף הוצרך
Convert the marci into dinar, for there are 12 dinar in each marco, either copper or silver: 8 times 12 are 96 dinar of copper. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot12=96}}$	עשה המרקוש דיניש כי י"ב דיניש כל מרקו כן נחושת כן כסף ויהיו ח' פעמים י"ב צ"ו דיניש מנחושת
Say: if 7 of copper require 5 of silver, how much silver will 96 dinar of copper require? $\scriptstyle{\color{blue}{7:5=96:X}}$	ואמור אם ז' מנחושת הוצרך ה' מכסף צ"ו דיניש מנחושת כמה כסף הוצרך ו‫[..]
According to this diagram:	כזאת הצורה
copper silver copper   if 7 5 96 0	נחושת כסף נחושת   0 וט ה ז אם
We multiply the means; it is 480.	נכפול האמצעיות יהיו ת"ף
Divide it by 7; the result is 68 dinar and 4-sevenths of a dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot96}{7}=\frac{480}{7}=68+\frac{4}{7}}}$	תחלקם על ז' ותציא ס"ח דיניש וד' שביעיות דינירו
Divide them by 12; the result is 5 marci and 6 dinar remain.	תחלקם על י"ב ותציא ה' מרקוש ונשארו ח' דיניש
	והנה ח' מר[קו] מנחושת שרצה לערבם עם כסף ושיהיה לדת ה' דניש הוצרכו ה' מרקוש מכסף וח' דיניש וד' שביעיות דינירו ויהיה כל הכסף המעורב י"ג ח' פשיטי דיניש וד' שביע[י]ות דינירו כולו לסך ה' דיניש
	והבחינה אחר שכולם דיניש כפול כל אב על הבן הנכרי אחר שתתן הבנים בשביעית ויהיה ז' על ת"ף וצ"ו על ל"ה ויעלו שניהם ג' אלפים ש"ף
Improving the pure copper with a better mixture
[Fourth branch]: a goldsmith has in his hand 15 marci [of] copper and he wants to improve it with silver so that it would be of a value of 5 dinar per marco. I ask how much silver is needed so that it would become of this value.	‫[ענף רביעי] הנה יש ביד צורף אחד ט"ו מרקוש [...] נחושת ורצה להטבו עד שיהיה לסך עשרה [...] אין לו כסף אלא תערובת שהוא לסך י"א דיניש [...]ה מזה התערובת הוצרך לערב עם זה הנחושת עד [...] עשרה דיניש
Answer: take the three amounts of values.	תשובה קח שלושה סכי הדת
Take the excess of the greater over the mean and it will be the first [term] in the "Rule of Three".	וקח חסרון האמצעי על הגדול והוא יהיה ראשון מדרך השלושה
Take the excess of the mean over the smaller and it will be the second [term] in the "Rule of Three".	ואחר קח יתרון האמצעי על הקטן והוא יהיה שני מדרך השלושה
The required amount, which is 15, will be the third [term] in the "Rule of Three".	והסך הנשאל שהוא ט"ו יהיה השלישי מדרך השלושה
	המשל בזה הנה לקחנו מרקו אחד מהנשאל והנה אין בו כסף ונתן במקומו ספרה ותורה על הסך הקטן כי אין קטן יותר ממי שאין בו דבר והסך השני עשרה דיניש והסך השלישי י"א דיניש אשר בתערובת ושלושתם היו כזה 0 י' י"א והנה האמצעי הוא עשרה והנה חסרון האמצעי שהוא עשרה על הגדול שהוא י"א הוא אחד והוא ראשון מדרך השלושה גם נקח יתרון האמצעי על הקטן שהוא 0 ויהיה עשרה והוא יהיה שני מדרך השלושה והסך הנשאל שהוא ט"ו יהיה שלישי מדרך השלושה יהיו כזאת הצורה
if 1 10 15 0	0 הא ‫0א א אם
Multiply the means, which are 15 by ten; the result is 150.	כפול האמצעיים שהם ט"ו על עשרה יעלו ק"ן
Divide it by 1; the result is 150. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15\sdot10}{1}=\frac{150}{1}=150}}$	תחלקם על א' יעלו ק"ן
	וק"ן מרקוש נצטרך מזה התערובת לערב עם ט"ו טו מרקוש מנחושת להטיבו עד שיהיה לסך עשרה דיניש ויהיו כולם קס"ה מרקוש
	והבחינה הוא כי הכסף הנמצא בקס"ה מרקוש הוא הנמצא בק"ן מרקוש מן התערובת שבשנ[י]הם תמצא אלף [..] דיניש
Improving a mixture with pure silver
Fifth branch: a goldsmith has in his hand 23 marci of mixture whose value is 7 dinar and he wants to improve it and raise it to ten dinar. I ask: how much pure silver is needed so that it would rise to ten dinar?	ענף חמשי הנה ביד צורף אחד כ"ג מרקוש מתערובת לסך ז' דיניש מדת ורצה להטיבו ולהעלותו לעשרה דיניש שאלתי כמה כסף נקי הוצרך לעלותו עד עשרה דיניש
	‫תשובה דע הנקי והנחושת [...] תכפול נקי מרקו אחד על כולם על כולם כי ז' על כ"ג הם קס"א וזה הכסף [...] עוד תכפול ה' מנחושת שיש מז' עד י"ב על כ"ג [...] הנחושת אשר בכ"ג מרקוש ואחר סדר שאלתי [...] מרקו אחד מהסך שתרצה שהוא מעשרה דיניש ושני[...] ומאחר כי שאלת כסף תתחיל עם ב' [.] דיניש הנחוש[ת] אשר במרקו אחד ואמור אם ב' דיניש מנחושת נתן לנו עש[רה] מכסף קט"ו מנחושת אשר בכ"ג מרקוש משאלתנו כמה כסף יתן לנו ויהיה כזאת הצורה
copper silver copper   if 2 10 115 0	נחושת כסף נחושת   0 האא ‫0א ב אם
Multiply the means; the result is 1150.	כפול האמצעיות יעלו אלף ק"ן
Divide it by 2; the result of division is 575 and this is the silver, while there are 115 dinar of copper for a value of ten dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10\sdot115}{2}=\frac{1150}{2}=575}}$	תחלקם על ב' ותציא בחילוק תקע"ה וזה הכסף לקט"ו דיניש הנחושת לסך עשרה דיניש מדת
	ואמנם בעבור כי יש בתערובת קס"א דניש מנקי נגרעם מתקע"ה ישארו תי"ד וזה הראוי להוסיף על כ"ג מרקוש שאם תעשה אותם מארקוש יהיו ל"ד מרקוש מנקי וחצי תחברם עם התערובת יהיו נ"ז מרקוש וחצי שהם לסך דיניש וחצי
	והבחינה היא שתדע הנקי והנחושת מנ"ז מרקוש וחצי ותדעם כאשר תכפול עשרה מנקי על נ"ז וחצי יהיו תקע"ה גם ב' מנחושת על נ"ז וחצי יעלו קט"ו ואחר בדוק בדרך השלושה ואמור אם ב' מנחושת נתן עשרה מכסף קט"ו מנחושת מה יתן מכסף ותציא לך תקע"ה מכסף
	או תהפוך השאלה ואמור אם עשרה מכסף נתן ב' מנחושת תקע"ה מכסף מה יתן לנו מנחושת ותציא קט"ו ותורה כי מה שעשינו הוא אמת וכן כל הדומה לזה
Improving a mixture with a better mixture
[Sixth branch]: a goldsmith has in his hand 16 marci of a mixture [..] which is 4 dinar, and he wants to improve it. Yet, he does not have pure silver, but he has a [better] mixture [...] dinar. I ask: how much of this mixture is needed [...] so that it would become of a value of 7 dinar?	‫[ענף ששי] הנה יש ביד צורף י"ח מרקוש מתערוב[ת] [...] שהוא ד' דיניש ורצה להטיבו ולהעלותו [...] שאין לו כסף נקי אבל יש בידו תערובת [...] דיניש שאלתי כמה מזה התערובת הוצרך להוסיף [...] הראשון שהוא לסך ד' עד שיהיה לסך ז' דיניש
	‫[תש]ובה ידוע כי ג' סכי דיניש תמצא באלו השאלות והדומים להם ולעולם יהיו הסכים זה גדול מזה כמו בזה שהם ד'ו'ט' יקח יתרון הגדול על האמצעי ויהיה [הר]אשון כדרך השלושה שהוא המחלק ועוד קח יתרון האמצעי על הראשון והא המספר השני מדרך השלושה שהוא ראוי לכפול על המרקיש הנשאלות
	המשל בזה הנה היותר קטן הוא דיניש התערובת שרצינו להטיב שהוא ד' האמצעי הוא דיניש הסך שרצינו לעלות עד ז' והגדול הוא דיניש התערובת המיטיב שעמו נעלה עד ז' שהוא ט' והנה ט' הוא גדול מז' שנים והוא יהיה ראשון כדרך השלושה אשר עליו נחלק וז' הוא גדול מד' משלושה והוא יהיה שני מדרך השלושה הראוי לכפול על מרקוש ואם כן יתרון האחרון מן השני הוא ראשון ויתרון השני מן הראשון הוא [ה]שני והמרקוש שהם ראשונים הם השלישי ואז נאמר שאם ב' נתן ג' י"ח מרקוש מה יתן לנו כזאת הצורה
if 2 3 18 0	0 יח ג ב אם
	נכפול י"ח על ג' יהיו נ"ד
	תחלקם על ב' ותציא כ"ז
	והנה כ"ז מרקוש נצטרך מן התערובת אשר הוא לסך ט' דיניש המיטיב והעולה הי"ח מרקוש לסך ז' דניש ויהיו כולם מה' מרקוש לדת ז' דיניש כנזכר
	והבחינה הוא שתקח הכסף ממ"ה מרקוש הנמצאות ‫ותדעם כאשר תכפול ז' דיניש הנקי על [...] מכסף גם לדעת הנחושת תכפול ה' שנשאר [...] ותציא רכ"ה דיניש נחושת ותשמרם ואחר [...] מי"ח מרקוש ומכ"ז יהיה כנקי מהנמצא שהוא שט"ו [...] הנחושת מי"ח מרקוש ומכ"ז אם יהיה כנחשת הנמצא [...] רכ"ה מוטב כצד הנה [די]ניש הכסף מי"ח מרקוש הם ע"ב [..] כאשר תכפול ד' על י"ח וכן דיניש הכסף שבכ"ז מרקוש הם רמ"[ג] ותמצאם כאשר תכפול כ"ז על ט' ועתה תחבר ע"ב דיניש הנקי מי"ח מרקוש שהוא התערובת הראשון עם רמ"ג דיניש הנקי מכ"ז מרקוש שהוא התערובת השני יהיו שט"ו והם שוים לדיניש התערובת השלישי הנמצא וכן קח נחושת הי"ח מרקוש שהוא קמ"ד דיניש גם נחושת הכ"ז מרקוש שהוא פ"א דיניש ותחברים ויהיו רכ"ה דיניש כנחושת התערובת הנמצא וכל כל כיוצא בזה
Improving a mixture by reducing the copper
Seventh branch: a goldsmith has in his hand 13 marci of a mixture whose value is 7 dinar, and he wants to improve it to a value of 8 dinar. Yet, he does not have [pure] silver nor better mixture, but he has to reduce the copper. I ask: how should he reduce the copper?	ענף שביעי הנה ביד צורף י"ג מארקוש מתערובת לדת ז' דיניש ורצה להטיבו ולהעלות לדת ח' דיניש ואין בידו כסף ולא תערובת יותר טוב אלא שראוי שנחסר מן הנחושת שאלתי כצד יחסר מן הנחושת
	תשובה קח הנקי אשר בי"ג מרקוש יהיו צ"א שהם ז' פעמים י"ג ושומרהו גם תדע הנחושת אשר בי"ג מרקוש והוא ס"ה כי מז' שהוא הנקי עד י"ב הם ה' והוא הנחושת אשר במרקו אחד כפול ה' על י"ג יעלו ס"ה כנז' ושמרם והנה אחר שאתה שואל שיהיה הדת מח' דיניש הנה מח' אל י"ב ד' מנחושת ואמור כדרך השלושה אם ח' מנקי הוצרך ד' מנחושת [.] צ"א מנקי אשר בי"ג מרקיש כמה נחושת הוצרך ויהיה כזאת הצורה
silver copper silver   if 8 4 91 0	כסף נחש כסף   0 אט ד ח אם
We multiply the means; the result is 364.	נכפול האמצעיות יעלו שס"ד
	תחלקים על ח' ותציא מה' וחצי והם הדיניש שהוצרך ‫[...] מן הנחושת הנמצא במרקוש שאלתך [...] וחצי הראוי לגרוע מן הנחושת אשר [...] הם מז' דיניש וחבר הנשאר יהיו קל"ו [...] על י"ב ותציא י"א מרקיש ד' דיניש והנה כל זה [...] תערובת מח' דיניש המרקו
	הבחינה מבוארת כי צא פשיטי מנקי שהם ז' מרקוש וז' דיניש אם תתנם לח' דניש מדת יהיו י"א מארקיש ד' דיניש וחצי תורידהו לז' דיניש יהיו ג' מרקיש והוא הדין אם תחבר לי"א מרקוש ד' דיניש וחצי מה' שגרענו מהם שהם י"ט דיניש וחצי שישובו לי"ג כבראשונה
Reducing a mixture by pure copper
Eighth branch: a goldsmith has in his hand 39 marci of a mixture whose value is ten dinar, and he wants to reduce it to a value of 7 dinar. I ask: how much copper is needed to reduce it to a value of 7 dinar?	‫[ענ]ף שמיני הנה יש ביד צור[ף] ל"ט מרקיש מתערובת שהוא לסך עשרה דינריש ורצה להורידו עד שיהיה מדת ז' דיניש שאלתי כמה נחושת הוצרך להורידו עד שיהיה בסך ז' דיניש
	תשובה דע הדיניש מהכסף ומהנחשת אשר בל"ט מרקיש וזה שתכפול דיניש הכסף שהם עשרה על ל"ט יהיו ש"צ דיניש מכסף בל"ט מרקיש גם כפול ב' דיניש הנחושת בל"ט יהיו ע"ח דיניש מנחושת בל"ט מרקיש ואחר קח הנקי והנחושת ממרקו אחד מהמרקו שתרצה להורידו שהוא ז' דיניש מכסף וה' דיניש מנחושת ואמור אם ז' דיניש מנקי נתן ה' דיניש מנחושת ש"צ דיניש מכסף אשר בל"ט מרקיש כמה נחושת יתן לי ויהיה כזאת הצורה
	נחושת כסף נחושת כסף   0 ‫0טג ה ז אם
Multiply the means; the result is 1950.	כפול האמצעיות יעלו אלף תתק"ן
Divide it by 7; the result of division is 278 dinar of copper and 4-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot390}{7}=\frac{1950}{7}=278+\frac{4}{7}}}$	תחלקם על ז' ותציא בחילוק רע"ח דיניש מנחושת וד' שביעיות
If you divide them by 12, the result is 23 marci, 2 dianr and 4-sevenths of a dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{278+\frac{4}{7}}{12}=23+\frac{2+\frac{4}{7}}{12}}}$	שאם תחלקם על י"ב יהיה היוציא כ"ג מרקיש וב' דיניש וד' שביעיות דינרו
	וזה הראוי לש"ץ דיניש ‫מכסף אשר בל"ט מרקוש שהם ל"ב [...] מרקוש וב' דיניש וד' שביעיות יהיו כולם [...] שביעיות דינירו וזה שנגרע מרע"ח דיניש וד' שביעיות [..] הנחושת אשר בשאלתנו שהוא ע"ח ישארו ק"ק דיניש וד' [...] מנחושת הראוי להוסיף על התערובת אשר בידנו שהוא נתן ק"ק דיניש וד' שביעיות דינירו במרקוש יהיו י"ו מרקיש וד' שביעיות דינירו תחברם עם ל"ט יהיו נ"ה מרקיש וח' דיניש וד' שביעיות כל זה לסך ז' דיניש [..]
	והבחינה קח הנקי והנחושת ממרקו אחד והנקי והנחושת מכולו ואמור אם ז' מכס[ף] נתן ה' מנחושת כך מכסף שבנ"ה מרקוש ח' דיניש ד' שביעי' מה יתן מנחושת או [..] השאלה נאמר אם ה' מנחושת נתן ז' מכסף כך מנחושת שבנ"ה מ[רקוש] וח' דיניש וד' שביעיות מה יתן מכסף וכו‫'
Reducing a mixture with a poorer mixture
Ninth branch: a goldsmith has in his hand 27 marci of a mixture whose value is 11 dinar, and he wants to reduce it to a value of 6 dinar. However, he does not have copper to reduce it, but he has another mixture whose value is 3 dinar. I ask: how much of this other mixture is needed [to reduce] it to a value of 6 [dinar]?	ענף תשיעי הנה יש ביד צורף אחד כ"ז מרקוש מתערו[בת] מדת י"א דיניש ורצה להורידו לסך ו' דיניש ואין לו נחושת להורידו אבל יש בידי תערובת אחר מסך ג' דיני[ש] שאלתי כמה מזה התערובת השני הוצרך עד שיהיה לסך ו‫' ‫[...]
	תשובה ידוע הוא כי ג' סכי דיניש תמצא בזאת השאלה שהם י"א מתערובת ראשון וו' מן התערובת הנשאל וג' מן התערובת השני היותר פחות ויהיו שלושתם כזה י"א ו' [ג'] ועתה קח יתרון האמצעי על הקטן והוא יהיה המספר הראשון מדרך השלושה אשר עליו תחלק גם קח יתרון הגדול על האמצעי והוא יהיה המספר השני מדרך השלושה אשר אותו תכפול על הנשאל שהוא כ"ד מרקוש
	המשל בזה האמצעי שהוא ו' גדול מן הקטן מג' והנה ג' יהיה הראשון מדרך השלושה ואחר נראה יתרון הגדול [..] שהוא י"א על האמצעי שהוא ו' ‫[...] והנה ה' יהיה המספר השני מדרך [...] ג' מרקוש מן התערובת הראשון ראוי ה' מן התערובת השני כ"ז מרקוש מן התערובת הראשון כמה מן השני יהיה ראוי ויהיה [כזאת] הצורה
	מרקיש מרקיש [.] 0 זב ה [.]
	נכפול ה' על כ"ז יעלו קל"ה תחלקם על ג' [...] מ"ה מרקוש והנה מ"ה מרקוש נצטרך מן התערובת השני [...]ערב עם הכ"ז מרקוש להורדו לששה דיניש נחברם עם [..] הראשונים יהיו ע"ב מרקיש אשר הם מדת ו' דיניש
	הבחינה כך היא שתחבר הנקי מכ"ז מרקוש משאלתנו עם הנקי ממ"ה מרקוש הצריכות להוסיף ואם [...] שניהם מחוברים כנקי ע"ב מרקיש שמצאנו מוטב וכן [...]נחשת
	המשל הנה הנקי מכ"ז מרקיש שהוא לי"א דיניש הוא מרצ"ז דיניש והנחושת כ"ז והנקי ממ"ה מרקיש הראוים להוסיף הוא קל"ה והנחשת ת"ה והנקי מן התערובת שעשינו הוא תל"ב וכן הנחושת ור ועתה חיברנו רצ"ז עם קל"ה שהם הנקי ממה שבידנו וממה שראוי להוסיף יהיה שניהם תל"ב כנקי התערובת שעשינו וכן נקח נחושת שניהם שהוא כ"ז ות"ה יהיו תל"ב בנחשת התערובת שעשינו וזה תורה שעשינו כהוגן
Reducing a mixture by reducing the silver
Tenth branch: a goldsmith has in his hand 17 marci of a mixture whose value is 9 dinar, and he wants to reduce it to a value of 8 dinar. However, he does not have [pure] copper to reduce it, but he has to reduce the silver. I ask: how much silver should he reduce from the 17 marci in his hand, so it is reduced to the required value?	ענף עשירי הנה יש ביד צורף אחד י"ז מרקיש מתערובת לסך ט' דיניש ורצה להורידו לסך ח' דיניש ואין לו נחושת להורידו אבל יחוייב לגרוע מן הכסף שאלתי כמה מן הכסף יגרע מהי"ז מרקוש שבידו עד שירידהו לסך הנשאל
	תשובה דע הכסף והנחושת אשר בי"ז מרקוש כאשר קדם והנה הכסף הוא קנ"ג דיניש והנחושת נ"א ואחר תסדר שאלתך עם כסף ונחושת ממרקו אחד מהנשאל ואמור אם ‫ד' דיניש נחושת ראוי ח' מנקי נ"א מ[...] כסף הוצרך ויהיה כזאת הצורה
	כסף נחוש כסף נחוש   0 אה ח ד אם
	כפול ח' על [...] תחלקם על ד' ו[...] מקנ"ג דיניש מכסף [...] מרקוש ישארו נ"א והנה [...] דינירו מכסף קוצרך לגרוע מן הי"ז מרקוש בעבור ש[...] הנשאר לסך ח' דיניש תחבר נ"א מנחושת וק"ב מנקי יהיו קנ"ג דיניש תחלקם על י"ב ותציא י"ב מרקוש וט' דיניש שהם לסך ח'
	והבחינה דע הנקי והנחושת מכולו והנה הכסף הוא ק"ב דינ[יש] והנחושת נ"א תסדר השאלה מן האחד ותציא הא[...] מאי זה שתרצה כיצד נאמר אם ח' מכסף נתן ד' מנחושת ק"ב מכסף כמה מנחושת יתן ותציא לך נ"א מנחושת או אמור אם ד' מנחושת ראוי ח' מכסף נ"א מנחושת כמה כסף ראוי ות[ציא] לך ק"ב וכן כל הדומה לזה
	בחינה אחרת קח הכסף מ[כולו] ותן תחתיו הכסף ממרקו אחד גם הנחושת כולו ותן תחתיו הנחושת ממרקו אחד ואחר תשוים כאשר ידעת ואם יהיו שוים מוטב כיצד הנקי מכולו ק"ב וממרקו אחד ח' גם הנחושת כולו נ"א וממרקו אחד ד' תתנם זה תחת זה יהיו כזה הצורה
	ח0ד   ח0ד אה X ב0א ד ח
	ויהיו כל אחד ת"ח כאשר תשוים
	הסדר השלישי בידעת דרכי תערובת הזהב הנקרא דינר הדת וחלוקתו לכ"ד קיראטיש
	ואומר כי כמו שכתבתי אילן הכסף במרקוש שלמים כן ראוי לעשות ממורכבים ומשלמים ויהיו שלושה אילנות וכן היה ראוי בזהב אבל בראותי המלאכה מרובה והתועלת מעט קצרתי ‫[...] כי לא עשיתי אלא שני דרכים [...] היא שיהיה בידך חתיכה מעורבת ותרצה [...] והדרך השנית היא שיהיה לך [...] ותרצה לתתנו בתערובת
	ואומר כי הדרך [...] שאם היה בידך משקל מה מזהב [...] ותרצה לדעת הזהב שבו הנה תדעהו בזה הדרך [ה]יא שתכפול המשקל אשר בידך על הקיראטש שבו והעולה [תח]לק על כ"ד שהוא סך קירטיש הזהב הטהור והיוציא [ב]חילוק הוא הזהב הטהור אשר בזה המשקל שאם המשקלים [מר]קיש היוציא יהיה מרקוש ואם אונסש היוציא יהיה אונסש [ואם] דינירוש דינירוש
	המשל הנה היה בידינו י"ב מרקוש [ז]הב מעורב לסך י"ד קירטש
	תכפול י"ב על י"ד [י]עלו קס"ח תחלקם על כ"ד יצאו ז' וז' מרקיש מזהב תמצא [בח]תיכת י"ב מרקוש שלנו לסך י"ד קירטיש
Second question: a goldsmith has in his hand a gold goblet weighing 2 marci and 2 ounces of 20 carats and he wants to know the gold in it.	שאלה שני הנה היה ביד צורף גביע זהב משקלה ב' מרקוש ב' אונסיש מכ' קיראטיש ורצה לדעת [הז]הב הנה שבה
He should convert all into ounces; they are 18. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot8\right)+2=18}}$	‫[יעשה הכל אנסאש יהיו י"ח]
He multiplies 18 by 20; the product is 360.	יכפול י"ח על כ' יעלו ש"ס
Divide it by 24; the result is 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18\sdot20}{24}=\frac{360}{24}=15}}$	תחלקם על כ"ד [י]צאו ט"ו
There are 15 ounces of pure gold in 18 ounces in a goblet whose value is 20 carat, which are one marco and 7 ounces. $\scriptstyle{\color{blue}{15=\left(1\sdot8\right)+7}}$	וט"ו אונסאש מזהב טהור יש בי"ח אונסאש אשר בגביע [א]שר היא לסך כ' קירטיש והם און מארקו וז' אונסאש
Third question: we have a goblet in our hand, whose value is 16 carat and its weight is 2 marci, 3 ounces, and 4 dinar.	שאלה שלישית יש בידנו גביע זהב לסך י"ו קיראטש ומשקלה ב' מרקוש ג' אונסאש ד' דיניש
Convert all into dinar: 2 marci by 8 are 16; plus 3, they are 19 [ounces]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot8\right)+3=16+3=19}}$	‫[ת]וריד הכל לדיניש ב' מרקוש על ח' יהיו י"ו וג' יהיו י"ט
We convert them into dinar: we multiply them by 24; the result is 456 and with 4 they are 460 dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(19\sdot24\right)+4=456+4=460}}$	נעשה מהם דיניש נכפלם על כ"ד יעלו תנ"ו ועם ד' יהיו ת"ס דיניש
We multiply them by the carat, which is 16; the result is 7360.	נכפלם על סך הקירטיש שהם י"ו יעלו ז' אלפים ש"ס
We divide it by 24; the result of division is 306 dinar and 2-thirds of gold. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{460\sdot16}{24}=\frac{7360}{24}=306+\frac{2}{3}}}$	נחלקם על כ"ד תצאו בחילוק ש"ו דיניש וב' שלשיות מזהב
	נחלק ש"ו ו‫ על כ"ד יעלו י"ב אונסאש ג' רביעיות ז' תשעיות כי נתין ש"ו ‫בשלשית יעלו תרק"ך נחלקם על ע"[...] בחילוק י"ב אונסאש ז' תשיעיות שהם מרקו וחצי [...]
	הדרך השני שיהיה לך זהב טהור [...] בתערובת הנה הדרך בידיעת [...] כי כאשר יהיה בידך זהב טהור שתכפלהו על כ"ד [...] קירטיש הטהור ותחלק העולה על סך הקרטיש שת[..] ותדע משקל הכל כאשר תהיה בתערובת שתרצה
	והמשל בזה הנה היה בידינו מרקו אחד וז' אונסיש זהב טהור שהוא ט"ו אונסאש ורצינו לערבו עד שיהיה לסך כ' קואירטיש
	נכפול ט"ו אונסאש על כ"ד יעלו [...] נחלקם על הסך שנרצה שהוא כ' קירטיש יעלו י"ח אונס[אש] שהם ב' מרקוש וב' אונסאש מעורבות אשר הם לסך כ' קי[רטיש‫]
	משל שני הנה היה ביד צורף ד' מרקיש א' אונ[סאש] ח' דיניש זהב טהור ורצה לתתנו בסך [..] קיראטיש הנה ראשונה נתן כולם בדיניש יהיו ד' מרקוש [על] ח' יהיו ל"ב אונסאש ועם א' שלנו יהיה ל"ג גם נתן האונס[יש] בדיניש יעלו תשצ"ב וח' שהיה לנו יהיו ת"ת דיניש ועתה נכפול ת"ת על כ"ד קירטיש הטהור יעלו י"ט אלפים וק"ק נחלקם על י"ח שהם הקירטיש הנשאלים יצאו אלף וס"ו וב' שלישיות וזה כולו דיניש והנה ת"ת דיניש מזהב טהור יהיה מעורב לסך י"ח קירטיש אלף וס"ו דינשו וב' שלישיות דינירו אבל נרצא לעשותם אונס' ומרקוש ונחלקם על כ"ד וראשונה נתנם בשלישת בעבור הב' שלישיות יהיו ג' אלפים ק"ק נחלקם על ע"ב שהוא ג' פעמים כ"ד יעלה בחילוק מ"ד אונסאש וד' תשיעיות אונסה גם נתן מ"ד במרקיש יצאו ה' מרקוש וחצי והנה עלה מזה ה' מרקיש וחצי וד' תשיעיות שהם עשרה דיניש ושני שלישיות דינירו על זה לסך י"ח קיר[טיש‫]
	‫[...] לדעת הנחושת שתחבר לזהב גרע [...] התערובת והנשאר הוא הנחושת [...] זהב כמו במשלנו גרע דיניש הזהב [...] מכל התערובת שהוא אלף וס"ו ישארו וב' [של]שיות ישארו קס"ו דיניש וב' שלישיות וזהו הנחושת [שא]תה צריך לערב עם הזהב הטהור ותצא לסך הנשאל
Third example: the goldsmith has 14 ounces of 17-carat gold mixture in his hand and wants to distill it from every dross, until it remains 24 [carat ] pure. I ask: [how much is] the remaining gold?	משל שלישי הנה יש ביד צורף י"ד אונסאש מתערובת זהב לדת י"ז קיראטיש ורצה לזקוקו מכל סיג עד שישאר זך לדת כ"ד שאלתי הזהב הנשאר
Answer: he multiplies the weight by the carat in it, then divides by the pure 24.	תשובה יכפול המשקל על הקירטיש שבו ויחלוק על כ"ד הנקי
As in this question, he multiplies 14 by 17; the result is 238.	כמו בזה השאלה שיכפול י"ד על י"ז יעלה רל"ח
He divides it by 24; the result is 9 ounces and 11 parts of 12 of and ounce. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14\sdot17}{24}=\frac{238}{24}=9+\frac{11}{12}}}$	ויחלקם על כ"ד ותצא ט' אונסאש וי"א חלקים מי"ב באונסה
So, you find 9 ounces of pure gold and [11] parts of [12] in a mixture of 14 ounces of 7 carat.	והנה ט' אונסאש מזהב טהור וט' חלקים מי"א תמצא בי"ד אונסאש מהתערובת שהוא לסך הז' קירטישי
Fourth example: the goldsmith had in his hand an unknown amount of gold weighing 30 for 13 carats and he refined it until it was 24 carats refined and it weighed 15 ounces of pure gold. I ask: How much was the weight of the whole unknown amount and the copper in it?	משל רבעי הנה היה ביד צורף כל כך זהב נעלם ל' משקלו לסך י"ג קירטיש וזקוקו עד שהיה זך מכ"ד קירטיש והיה משקלו ט"ו אונסאש זהב טהור שאלתי כמה היה משקל כולו הנעלם והנחושת שבו
Multiply 24 by the 15 ounces of pure gold; the result is 360.	תשובה כפול כ"ד על ט"ו אונסאש מזהב טהור הנמצה יעלו ש"ס
Divide it by the 13 carats of the mixture; the result is 27 ounces and 9 parts of 13 and this is the first unknown mixture. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{24\sdot15}{13}=\frac{360}{13}=27+\frac{9}{13}}}$	תחלקם על י"ג קינטיש שהיה התערובת ותצאו כ"ז אונסאש וט' חלקים מי"ג וזה היה התערובת הנעלם הראשון
Subtract the gold from it, which is 15 ounces; 12 and 9 parts of 13 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(27+\frac{9}{13}\right)-15=12+\frac{9}{13}}}$	גרע ממנו הזהב שהוא ‫ט"ו אונסיש ישארו י"ב וט' חלקים מי"ג
If you want to convert the ounces into marci [...]	ואם תרצה לעשות מן האונסאש מרקיש ‫[..]

The Third Part: Ratios	‫[הכלל השלישי‫] בערכים
	חילקתי אותו לשלושה שערים
	‫[השער הראשו‫]ן אשר בערכים אשר ממספר גדול אצל הקטן
	‫[הש‫]ער השני בערכים אשר ממספר קטן אצל הגדול
	השער השלישי בערכים היוצאים מן השוה
	השער הראשון בערכים אשר ממספר גדול אצל הקטן
	חילקתי אותו
	הפרק הראשון בהקדמות הראויות לזה הכלל
	הפרק השני
The First Chapter: Introductions	‫הפרק הראשון בהקדמות [...]
	ראוי שתדע כי [...] לחוכמות כמו לחכמת המספר שאנו בה [...] ובשטחים ובגשמים ולחכמת המשיקה בקולות אם [...] אדם אם בקולות הכלים ולחוכמת הרפואה בדפק [ובסמים] [...] חכמת המספר היא כלי לכולם
	כי כאשר יאמר זה הקו [או זה] הגשם או זה השטח ערכו חצי או שלישית וזולתו כמו [...] כי ערך קו ישר אורכו ד' אמות אל קו אחר אשר אורכו כ' א[מות] הנה הוא חמשיתו ונוכל לומר שהערך שיש בין זה לזה הוא [...] א' אל ה' בלוחות כפלי הערכים במקום שתמצא א' וה' כי ממ[...] ד' וכ'
	וגם כל שטח אשר הוא מרובע מד' אמות על ד' אמות אצל שטח אשר הוא ח' אמות על ח' שהוא רביעיתו ונאמר כי ערכם כערך א' אל ד'
	ומשל במוגשם כי ערך מרובע אל כל צלע ד' אמות אצל מרובע אשר כל צלע ח' אמות הוא שמיניתו כי מספר גשם ד' הוא ס"ד וגשם ח' הוא תקי"ב אשר אם תחלקם על ס"ד יעלו בחילוק ח' ואם כן ס"ד הוא שמינית תקי"ב וערכם שהוא כערך א' אל ח' שאם תקצרם ישובו תקי"ב אל ח' וס"ד אל א'
	וכן נצטרך המספר בחכמת המוסיקה אם בקולות אם בכלים כי נצטרך שיהיה ערך קול אל קול כערך אל ב' או אל ג' או ערכים אחרים כמו שתראה בלוחות עשרה סוגי הערכים שאכתוב בע"ה
	ופעמים יכווננו בכלי הנגון לעשות הקולות נערכים כקולות האדם כדי שיעשו רצונם ולזה יעשו כלים וכלים מכלים שונים אם שנתנו הערך למתרים זה עב וזה דק כערך מספר אל מספר או שיהיו המתרים שוים והמכה למתרים נערך כי לעולם ההכאה עושה הקול שאין קול בלי הכאה ואין הכאה בלי תנועה והתנועה משותפת לאויר עושה
	‫[...] ערכי הקולות הם ארבעה
	האחד קול [...] הכתיבה כקול האדם
	והפך זה קול שאין בה [...] כתיבה כרעם וכרעש וכרוח והכאת גשם ‫[...]
	והשלישי קול שיש לו הבנה ולא כתיבה כקול הכינורות
	‫[והרבי]עי הפך השלישי קול שאין בו הבנה ויש בו כתיבה כקול בעלי חיים כמו השה והעורב ודיבור הנער
	הנה גם נצטרך המספר וערכו בחכמת הרפואה כערכי משקלי הסמים ובדפק כמו שהרופה מכיר בתנועות דפק החולה אם הוא במהירות או בהמתנה וכפי ערך התנועה מכיר הרופה [החוש] לחולה
	וזה הדק מן הערכים כמו שאמר גילינוס מי שירגיל כהרגלי ישיג כהשגתי
	והנה הערכים בחשבון הם כמאזנים
	ומי שלא ידע עשרה סוגי הערכים אשר אבארים בע"ה לא יוכל לדעת אמתת השאלות ולא אמתת הדרכים אשר עמהם בחינות השאלות
	וגם בכאן אכתוב לוח עם כתר משולש והוא מא' עד ט"ו ובו תמצה כל הערכים שתוכל להרכיב מא' עד ט"ו כמו שתורה לך המשולש
	כי כל זוית עושה ערך
	כי זוית המשולש הקטן הראשון מורה על א' וב' וערכם ערך כפל
	והשני ערך פעם וחצי
	ויש על השנים הנזכרים משולש על א' וג' ותורה על ג' כפלים והנה משולש [..] שהוא י"ג וי"ד וערכם פעם וחלק מי"ג והנה כל טורי י"ד וי"ג למטה עד אין תכלית יורו כמוהם וישובו אליהם
	והמשל קצ"ו קפ"ב שהם סוף טורי י"ד וי"ג יצאו מכפל י"ד וי"ג וערכם שוה
	וגם אם תקח י"ד וכ"ח הנה הם וכל הטורים ישובו לא' ולב'
	והוא הדין אם תרצה ערכים אחרים שהם בתוך הלוח הנה ערכם כערך העליונים
	והמשל נקח פ"ד ומ"ח הנה המשולם המורה לי"ד וח' שהוא ערך פעם וששה חלקים מח' שהם ג' רביעיות וכן לכל מספר שתעריך עם אחר כנזכר
	וזה צורת הלוח‫

טו

יד

יג

יב

יא

י

ט

ח

ז

ו

ה

ד

ג

ב

א

ל

כח

כו

כד

כב

כ

יח

יו

יד

יב

י

ח

ו

ד

ב

מה

מב

לט

לו

לג

ל

כז

כד

כא

יח

טו

יב

ט

ו

ג

פ

נו

נב

מח

מד

מ

לו

לב

כח

כד

כ

יו

יב

ח

ד

עה

ע

סה

ס

נה

נ

מה

מ

לה

ל

כה

כ

טו

י

ה

צ

פד

עח

עב

סו

ס

נד

מח

מב

לו

ל

כד

יח

יב

ו

קה

צח

צא

פד

עז

ע

סג

נו

מט

מב

לה

כח

כא

יד

ז

קכ

קיב

קד

צו

פח

פ

עב

סד

נו

מח

מ

לב

כד

יו

ח

קלה

קכו

קיז

קח

צט

צ

פא

עב

סג

נד

מה

לו

כז

יח

ט

קן

מק

קל

קך

קי

ק

צ

פ

ע

ס

נ

מ

ל

כ

י

קסה

קנד

קמג

קלב

קכא

קי

צט

פח

עז

סו

נה

מד

לג

כב

יא

קף

קסח

קנו

קמד

קלב

כק

קח

צו

פד

עב

ס

מח

לו

כד

יב

[קצה]

קפב

קסט

קנו

קמג

קל

קיז

קד

צא

עח

סה

נב

לט

כו

יג

ר[י]

קצו

קפב

קסח

קנד

קמ

קכו

קיב

צח

פד

ע

נו

מב

כח

יד

	‫[...] שם כולל שהוא ערך והנה [] הראשון ערך מן הגדול לקטן ודומה [...] לחלק העליון על התחתון ובו חמשה [...] כל סוג אכתוב לוח אחד ואם לא יקיפו כל ערכי [...] אני אכתוב לוח [תכף אחר אילן השלשה ערכים] אשר עליו כתר כחצי כרבע מרובע [...] זה כי העליון עם הלוח מב' שורות והרשות בידך [...] הלוח מכמה שורות כי כולם ישובו לראשונה כי העליון לשברים והתחתון לשלמים ומהם תוכל לעשות לוחות [לאין] תכלית אבל לא יולידו סוגים אחרים זולת העשרה
	ערך השני הוא ערך מן הקטן לגדול ודומה לשברים ובו גם כן חמשה סוגים ואכתוב להם גם כן ה' לוחות
	ערך השלישי הוא ערך שוה וממנו יצאו ערכים מתחלפים כמו שתראה במקומו והוא דומה לאחד אשר הוא בין השלמים [וה]שברים וממנו יצאו כל הערכים ואליו ישובו
	והרי לך צורת [ה]עשרה סוגים בשמן

	‫אשר הראשונה מן הערך הראשון נקרא מוכפלת כי המספר התחתון הוכפל בעליון פעמים מה כמו שתראה בפרוש כל לוח ושמות היוני גם כן
	אבל הלוח המוכתר הזה שהוא לוח א' א'ב' א'ב'ג' א'ב'ג'ד' וכול' פרושו כן
	נקח דרך משל האחרון שהוא א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' י"א וממנו תדע כל הלוח והוה הלוח למטה בתשלומו כפי המשכת [..] הכתר ראוי להיות י"ב כ"ד ל"ו מ"ח ס' ע"ב פ"ד צ"ו ק"ח קי"ב קכ"ד ועתה תראה ערך כל אחד כי ערך א'ב' הראשון יורה ערך כפל והוא הראשון מסוג שני והגדו[ל] למטה הוא ערך רא ראשון מסוג ראשון ולא אפרש התחתון כי מן העליון תבין התחתון והנה יורה י"ב עם כ"ד כערך א' עם ב' והנה ערך א' אל ג' כערך י"ב אל ל"ו וערך א' עם ד' כערך י"ב אל מ"ח וכן כל המינים לאין סוף
	וגם נוכל לעשות חלוקות ר רבות כי ערך ב' אל ג' כערך כ"ד עם ל"ו וערך ד' עם ה' כערך מ"ח אל ס' וערך ז' אל ח' כערך פ"ד אל צ"ו צ"ו או ערכים אחרים בדילוג כמו ערך ג' אל ח' כערך ל"ו אל צ"ו או ערך ג' אל ט' כערך ל"ו אל ק"ח
	וכולם ישובו לראשונות שהם השתי שימות ועיין ותראה ערכים רבים ומתחלפים יוצאים מזה הלוח לכל בעל שכל כי זה הלוח יוליד העשרה סוגים כמו שתראה

א
ב	א
ג	ב	א
ד	ג	ב	א
ה	ד	ג	ב	א
ו	ה	ד	ג	ב	א
ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
יב	יא	י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
כד	כב	כ	יח	יו	יד	יב	י	ח	ו	ד	ב
כד	כב	כ	יח	יו	יד	יב	י	ח	ו	ד	ב
יב	יא	י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
יא	י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
ו	ה	ד	ג	ב	א
ה	ד	ג	ב	א
ד	ג	ב	א
ג	ב	א
ב	א
א

	‫[...] הראשון מן החמשה סוגים אשר [...] הגדול לקטון שדומה לשלמים לשברים
	ואומר כי אלה [...] יש להם מנים לאין תכלית
	ואומר כי [הראשון] נקרא תחתיו מוכפלת והוא פשוט [ובלשון י]ון שם זה הסוג הוא שוף מולטיפליקש ומיניו לאין [סוף] המין הראשון תחת מוכפל והשני תחת ג' כפלים [והשל]שי ארבעה כפלים וכן לאין תכלית כמו שתראה בימין [ה]לוח ובשאל ובשמאל הלוח שמות היונים שקוראים לראשון [שו]ף מולטפליקש דובלה ולשני שוף מולטיפלקש טריפלה ולשליש [ק]טרופלה והרביעי קינקופלה וכן כטבע המספר שטופלה [.]שופלה אוטופלה נוטופלה שהיא סוף הלוח שתחת
	והנה [.]פל כל הלוח כתבתי משולש מורה על ערך על שני [מספרים] כמו במשל [..] וי"ד שבזה הלוח שיורה המשולש שיקיף בהם שערך שניהם הוא ערך כפל פעם וג' רביעיות מקוצר וכן כולם כי אין אין להאריך יותר
	הערה הנה בעבור שלא אעשה פרוש לכל הלוחות אכתוב [...] התחלות החמשה סוגים ומהם תראה החמשה הנשארים כי אין הפרש מן החמשה לאחרים אלא כי מה שתכתוב למעלה בראשונים [ת]הפוך ותכתוב למטה בחמשה האחרים ומה שתאמר תחתיו לראשונים [..] תאמר לאחרונים כמו שתראה
	והנה תחילת הסוג הראשון הוא בא גא דא
	ותחילת הסוג השני גב דג הד
	ותחילת הסוג השלישי דג הד וה
	ותחילת הסוג הרביעי הב זב טב
	ותחילת הסוג החמשי חג י"אד י"דה
	ואלה הם התחלת החמשה סוגים האחרים אלא שהעליון יהיה תחתון כמו שתראה בלוח העשרה סוגים
	וכאשר תרצה הרוחב מכולם תכפול כל טור על הראשונים
	וכל זה תלמוד מן הלוחות והרי לך הלוחות מן העשרה סוגים
The First Section: Ratios of Great Numbers to Smaller Numbers
	‫[...] והוא פשוט

Submultiple Ratios

[שמיניים]	[שביעיים]	ששיים	חמישיי	רביעי	שלישי	שניים	ראשוני	בלשוננו
יו ח	יד ז	יב ו	י ה	ח ד	ו ג	ד ב	ב א	תחת מוכפלת שני כפלים
כד ח	כא ז	יח ו	טו ה	יב ד	ט ג	ו ב	ג א	תחת מוכפלת שלושה הכפלות
לב ח	כח ז	כד ו	כ ה	יו ד	יב ג	ח ב	ד א	תחת ארבעה כפלים
מ ח	לה ז	ל ו	כה ה	כ ד	טו ג	י ב	ה א	תחת חמשה כפלים
מח ח	מב ז	לו ו	ל ה	כד ד	יח ג	יב ב	ו א	תחת ששה כפלים
נו ח	מט ז	מב ו	לה ה	כח ד	כא ג	יד ב	ז א	תחת שבעה כפלים
סד ח	נו ז	מח ו	מ ה	לב ד	כד ג	יו ב	ח א	תחת שמונה כפלים
עב ח	סג ז	נד ו	מה ה	לו ד	כז ג	יח ב	ט א	תחת תשעה כפלים
א   א   א   א   א   פעם וחצי   ערך ב   א   א   א   א   ב כפלים   ג כפלים       א   א   ב כפלים   ב כפלים וחצי   ד כפלים           ב כפלים   ב כפלים   ג כפלים   ה כפלים               ב כפלים   ג כפלים וחצי   ו כפלים                   ד כפלים   ז כפלים                       ח כפלים

 

‫Subsuperpaticular Ratios

ובלשונם	שביעיים	שישיים	חמשיים	רביעיי‫'	שלישיי‫'	שניים	‫[ראשוני‫']	[בלשונינו]
שוף שופיר פארטיקולאר שי קואלטירה	כא יד	יח יב	טו י	יב ח	ט ו	ו ד	ג ב	‫[פעם וח‫]ציו
שוף שופר פרטיקולר שי קי טירסיאה	כח כא	כד יח	כ טו	יו יב	יב ט	ח ו	ד ג	[פעם] ושלישיתו
שוף שופיר פארטיקולר שי קי קארטה	לה כח	ל כד	כה כ	כ יו	טו יב	י ח	ה ד	פעם ורביעיתו
שוף שופיר פארטקולר שי קי קינטה	מב לה	לו ל	ל כה	כד כ	יח טו	יב י	ו ה	פעם וחמשתו
שוף שופר פארטיקולאר שי קי שישטה	מט מב	מב לו	לה ל	כח כד	כא יח	יד יב	ז ו	פעם ושישתו
שוף שופיר פארטיקולר שי קי שיטימה	נו מט	מח מב	מ לה	לב כח	כד כא	יו יד	ח ז	פעם ושביעיתו
שוף שופיר פארטיקולר שי קי אוטהבה	סג נו	נד מח	מה מ	לו לב	כז כד	יח יו	ט ח	פעם ושמיניתו
	כפל   כפל   כפל   כפל   כפל   כפל   כפל   כפל   כפל   ב כפלים   ג כפלים       כפל   ב כפלים   ב כפלים   ד כפלים           ב כפלים   ג כפלים   ה כפלים               ג כפל   ו כפלים                   ז כפלים

‫

‫[ובלשונם]	שמיניים	שביעיי	שישיים	חמשיי	רביעיי‫'	שלישיי‫'	שניים	ראשוני	בלשוננו
שוף [...]	לב כד	כח כא	כד יח	כ טו	יו יב	יב ט	ח ו	ד ג	תחתיו פעם ושלישית
שוף שופיר [...] שיקיש [...]	מ לב	לה כח	ל כד	כה כ	כ יו	טו יב	י ח	ה ד	תחתיו פעם ורביעית
שוף שופיר פא[...] שיקיש קי [...]	מח מ	מב לה	לו ל	ל כה	כד כ	יח טו	יב י	ו ה	תחתיו פעם וחמשית
שוף שופיר פא[...] שיקש קי [...]	נו מח	מט מב	מב לו	לה ל	כח כד	כא יח	יד יב	ז ו	תחתיו פעם וששית
שוף שופיר פאר[...] שיקש קי ש[...]	סד נו	נו מט	מח מב	מ לה	לב כח	כד כא	יו יד	ח ז	תחתיו פעם ושביעית
שוף שופיר פאר[...] שיקש קי [...]	עב סד	סג נו	נד מח	מה מ	לו לב	כז כד	יח יו	ט ח	תחתיו פעם ושמינית
שוף שופיר פאר[...] שיקש קי [...]	פ עב	ע סג	ס נד	נ מה	מ לו	ל כז	כ יח	י ט	תחתיו פעם ותשיעית

‫Subsuperpartient Ratios

בלשון [יון]	שמיניים	שביעיים	שישיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשוני	בלשוננו
שוף שופר בי פ[...] טירסיא[..]	מ כד	לה כא	ל יח	כה טו	כ יב	טו ט	י ו	ה ג	תחתיו פעם ושתי שלישיות
שוף שופיר טרי פ[...] קארטאש	נו לב	מט כח	מב כד	לה כ	כח יו	כא יב	יד ח	ז ד	תחתיו פעם ושלשה רביעי‫'
שוף שופר קאטרי פרסיאן קונטש	עב מ	סג לה	נד ל	מה כה	לו כ	כז טו	יח י	ט ה	תחתיו פעם וארבע חמשיות
שוף שופר קונקי פארטיש	פח מח	עז מב	סו לו	נה ל	מד כד	לג יח	כב יב	יא ו	תחתיו פעם וחמשה שישיות וארבע חמשיות
שוף שופיר פאר[..] שיקש קי שישטה	קד נו	צא מט	עח מב	סה לה	נב כח	לט כא	כו יד	יג ז	תחתיו פעם ושישה שביעיות וחמשה
שוף שופיר פרסיאין שיקש קי שישיטימה	קך סד	קה נו	צ מח	עה מ	ס לב	מה כד	ל יו	טו ח	תחתיו פעם ושבעה שמיניו‫'
שוף שופיר פרסיאין שיקש קי אוטופלה	קלו עב	קיט סג	קב נד	פה מה	סח לו	נא כז	לד יח	יז ט	תחתיו פעם ושמונה תשיעיות

‫Submultiple Sesquialter Ratios

בלשון יון	שביעיים	ששיים	חמשיי	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשוני‫'	[בלשונינו]
שוף מולטיפלקש דובלה שופיר פארטיאין שי קי אלטירה	לה יד	ל יב	כה י	כ ח	טו ו	י ד	ה ב	‫[מוכפלת‫] שני כפלים
שוף מולטיפלקש טריפלה שופיר פארטיקולר שי קי אלטרה	מט יד	מב יב	לה י	כח ח	כא ו	יד ד	ז ב	מוכפלת שלושה כפלים ושלישית וחצי
שוף מולטיפיקש קאטופלה שופיר פארטיקולר שי קי אלטרה	סג יד	נד יב	מה י	לו ח	כז ו	יח ד	ט ב	מוכפלת ארבעה כפלים וחצי
שוף מולטיפלקש קינקופלה שופיר פאטיקולר שי קי אלטרה	עז יד	סו יב	נה י	מד ח	לג ו	כב ד	יא ב	מוכפלת חמשה כפלים וחצי
שוף מולטיפליקש ששיטופלה שופיר פארטיקולאר שי קי אלטרה	צא יד	עח יב	סה י	נב ח	לט ו	כו ד	יג ב	מוכפלת ששה כפלים וחצי
שוף מולטיפלקש שיטטופלה שופיר פארטיקולאר שי קי אלטרה	קה יד	צ יב	עה י	ס ח	מה ו	ל ד	טו ב	מוכפלת שבעה כפלים וחצי
שוף מולטיפלקש גואייטובלה שופיר פארטיקולאר שי קי אטירה	קיט יד	קב יב	פה י	סח ח	נא ו	לד ד	יז ב	מוכפלת שמונה כפלים וחצי

‫Subdouble-Superpartient Ratios

‫[בלשונם‫]	שמיניים	שביעיי‫'	ששיי‫'	חמשיי'	רביעיי‫'	שלישיים	שניי‫'	ראשוני	בלשונינו
שוף [...]	סד כד	נו כא	מח יח	מ טו	לב יב	כד ט	יו ו	ח ג	תחתיו שני כפלים ושני שלישיות
שוף מולטיפ[...] טרי [...]	פח לב	עז כח	סו כד	נה כ	מד יו	לג יב	כב ח	יא ד	תחתיו שני כפלים ושלשה רביעיות
שוף מולטיפ[...] קאטרי פאר[...]	קיב מ	צח לה	פד ל	ע כה	נו כ	מב טו	כח י	יד ה	תחתיו שני כפלים וארבע חמשיות
שוף מולטיפליקש [...] קי[..] פארטיאין [...]	קלו מח	קיט מב	קב לו	פה ל	סח כד	נא יח	לד יב	יז ו	תחתיו שני כפלים וחמשה ששיות
שוף מולטיפליקש [...] שופר [...]	קס נו	קמ מט	קך מב	ק לה	פ כח	ס כא	מ יד	כ ז	תחתיו שני כפלים וששה שביעיות
שוף מולטיפליקש [...] שופיר [...]	ק[פ]ד סד	קסא נו	קלח מח	קטו מ	צב לב	סט כד	מו יו	כג ח	תחתיו שני כפלים ושבעה שמי‫'
שוף מולטיפלק [...] גואיטו פא[...]	רח עב	קפב סג	קנו נד	קל מה	קד לו	עח כז	נב יח	כו ט	תחתיו שני כפלים ושמונה תשיעיות
	פעם   פעם   פעם   פעם   פעם   פעם   כפול   פעם   פעם   פעם   פעם   ב פעמי'   ג כפלים       ב פעמי'   פעם   ב פעמי'   ב פעמי'   ד כפלים           ב פעמי'   ב פעמי'   ג פעמי'   ה כפלים               ב פעמי   ג פעמי   ו כפלי                   ד פעמי'   ז כפלי                       ח כפלי

The Second Section: Ratios of Small Numbers to Greater Numbers	השער השני בערכים אשר ממספר הקטן אצל הגדול
	בכאן חסר השער השני מערך הקטן לגדול

‫Multiple Ratios

	שמיניים	שביעיי	ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיי'	שניים	ראשונים
בלשון יון מולטיפלקש דובלה	ח יו	ז יד	ו יב	ה י	ד ח	ג ו	ב ד	א ב	[שני כפלים]
מולטיפלקש טריפלה	ח כד	ז כא	ו יח	ה טו	ד יב	ג ט	ב ו	א ג	‫[שלושה‫] כפלים
מולטיפלקש קאטרופלה	ח לב	ז כח	ו כד	ה כ	ד יו	ג יב	ב ח	א ‫ד	‫[ארב‫]עה כפלים
מולטיפלק קינקופלה	ח מ	ז לה	ו ל	ה כה	ד כ	ג טו	ב י	א ה	‫[חמ‫]שה כפלים
מולטיפלקש שישטופלה	ח מח	ז מב	ו לו	ה ל	ד כד	ג יח	ב יב	א ו	‫[ש‫]שה כפלים
מולטיפלקש שיטטופלה	ח נו	ז מט	ו מב	ה לה	ד כח	ג כא	ב יד	א ז	‫[ש‫]בעה כפלים
מולטיפלקש גוייטופלה	ח סד	ז נו	ו מח	ה מ	ד לב	ג כד	ב יו	א ח	‫[ש‫]מונה כפלים

‫Superparticular Ratios

הסוג השני

‫[ובלשונם‫]	שמיניי‫'	שביעיים	שישיים	חמשיי'‫	רביעיי‫'	שלישיי‫'	שניי‫'	ראשוני‫'	בלשונינו
שופיר [...] קי [...]	יו כד	יד כא	יב יח	י טו	ח יב	ו ט	ד ו	ב ג	פעם וחצי
שופיר [...] טירסיאה	כד לב	כא כח	יח כד	טו כ	יב יו	ט יב	ו ח	ג ד	פעם ושלישיתו
שופיר פארט[...] קי קארטה	לב מ	כח לה	כד ל	כ כה	יו כ	יב טו	ח י	ד ה	פעם ורביעיתו
שופיר פארטי[...] קי קינטה	מ מח	לה מב	ל לו	כה ל	כ כד	טו יח	י יב	ה ו	פעם וחמישתו
שופיר פארטי[...] קי שישטה	מח נו	מב מט	לו מב	ל לה	כד כח	יח כא	יב יד	ו ז	פעם ושישיתו
שופיר פאר[...] קי [...]	נו סד	מט נו	מב מח	לה מ	כח לב	כא כד	יד יו	ז ח	פעם ושביעיתו
שופיר פארטי[...] קי גוייטאבה	סד עב	נו סג	מח נד	מ מה	לב לו	כד כז	יו יח	ח ט	פעם ושמניתו

‫Superpaticular Ratios

בלשון יון	שמיניים	שביעיי	ששיים	חמשיים	רביעיי	שלישיים	[שניים]	[ראשוניים]	‫[בלשוננו‫]
שופיר פארסיאן שיקש קי טירסיאה	כד לב	כא כח	יח כד	טו כ	יב יו	ט יב	ו ח	ג ד	‫[פעם ושלישית]
שופיר פארסיאין שיקש קי קארטה	לב מ	כח לה	כד ל	כ כה	יו כ	יב טו	ח י	ד ה	‫[פעם ורביעית]
שופיר פרסיאין שיקיש קי קינטה	מ מח	לה מב	ל לו	כה ל	כ כד	טו יח	י יב	ה ו	[פעם] וחמשית
שופיר פארסיאין שיקיש קי שישטה	מח נו	מב מט	לו מב	ל לה	כד כח	יח כא	יב יד	ו ז	[פעם] ושישית
שופיר פארסיאין שיקיש קי שיטימה	נו סד	מט נו	מב מח	לה מ	כח לב	כא כד	יד יו	ז ח	‫[פ]עם ושביעית
שופיר פארסיאין שיקיש קי גוייטמה	סד עב	נו סג	מח נד	מ מה	לב לו	כד כז	יו יח	ח ט	‫[פ]עם ושמינית
שופיר פארסיאין שיקיש קי נונה	עב פ	סג ע	נד ס	מה נ	לו מ	כז ל	יח כ	ט י	‫[פ]עם ותשיעית

Superpartient Ratios ‫הסוג השלישי הנקרא פעם וחלקים והוא פשוט

בלשון יון	שמיניים	שביעיים	שישיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשוניים	‫[בלשוננו‫]
שופיר בי פרסיאין טירטאש	כד מ	כא לה	יח ל	טו כה	יב כ	ט טו	ו י	ג ה	‫[פעם ושתי שליש‫]יות
שופיר טרי פרסיאיני קארטאש	לב נו	כח מט	כד מב	כ לה	יו כח	יב כא	ח יד	ד ז	‫[פעם‫] ושלושה רביעיות
שופר קאטרי פארסי' קינטאש	מ עב	לה סג	ל נד	כה מה	כ לו	טו כז	י יח	ה ט	‫[פעם‫] וארבעה חמשיות
שופר קוטרי פרסי' שיטיאש	מח פח	מב עז	לו סו	ל נה	כד מד	יח לג	יב כב	ו יא	‫[פעם‫] וחמשה שישיותיו
שופר שיש פרסיאש אוטימאש	נו קד	מט צא	מב עח	לה סה	כח נב	כא לט	יד כו	ז יג	‫[פעם‫] וששה שביעיות
שופר שיטי פרסי' אוטימאש	סד קך	נו קה	מח צ	מ עה	לב ס	כד מה	יו ל	ח טו	‫[פעם‫] ושבעה שמיניותיו
שופיר אוטו פרסי' נובימאש	עב קלו	סג קיט	נד קב	מה פה	לו סח	כז נא	יח לד	ט יז	‫[פע‫]ם ושמונה תשיעיותיו

‫Multiple Sesquialter Ratios

‫[בלשונם]	[שמיני]	שביעיי	ששיים	חמשיי	רביעיי	שלישי	שניי	ראשוני	בלשוננו
[...]	יו מ	יד לה	יב ל	י כה	ח כ	ו טו	ד י	ב ה	מוכפלת שני כפלים וחצי
מולטיפא[...] פארטיקו[...]	יו נו	יד מט	יב מב	י לה	ח כח	ו כא	ד יד	ב ז	שלשה כפלים וחצי
מולטיפליקש [...] פארטיקולר שי[...]	יו עב	יד סג	יב נד	י מה	ח לו	ו כז	ד יח	ב ט	ארבעה כפלים וחצי
מולטיפליקש [...] פארטיקולר שי ק[...]	יו פח	יד עז	יב סו	י נה	ח מד	ו לג	ד כב	ב יא	חמשה כפלים וחצי
מולטיפל שישט[...] פארטיקולר שי קי [...]	יו קד	יד צא	יב עח	י סה	ח נב	ו לט	ד כו	ב יג	ששה כפלים וחצי
מולטיפלק שיט[...] שופיר פרטיקולר [...]	יו קך	יד קה	יב צ	י עה	ח ס	ו מה	ד ל	ב טו	שבעה כפלים וחצי
מולטיפיקש גוא[...] שופר פארטיקול[...] אלטירה	יו קלו	יד קיט	יב קב	י פה	ח סח	ו נא	ד לד	ב יז	שמונה כפלים וחצי

‫Double-Superpartient Ratios

בלשון יון	שמיניים	שביעיי‫'	שישיים	חמשיים	רביעיים	שלישיי‫'	‫[שניים]	‫[ראשונים‫]	‫[בלשונינו‫]
מולטיפלק דיובלה שופיר בי פארסיאין טירסיאש	כד סד	כא נו	יח מח	טו מ	יב לב	ט כד	ו יו	ג ח	‫[כפלים ושני שלישים‫]
מולטיפלקש דובלה שופיר טרי פארסיאין קארטאש	לב פח	כח עז	כד סו	כ נה	יו מד	יב לג	ח כב	ד יא	‫[כפל‫]ים [ושלוש] רביעיות
מולטיפלקש דובלה שופר קאטרי פארסיאין קינטאש	מ קיב	לה צח	ל פד	כה ע	כ נו	טו מב	י כח	ה יד	‫[כפ‫]לים [וארב]עה חמשיות
מולטיפרולקש דובלה שופיר קינטי פארסיאין שישטאש	מח קלו	מב קיט	לו קב	ל פה	כד סח	יח נא	יב לד	ו יז	כפלים [וחמש] שישיות
מולטיפליקש דובלה שופר שיקש פארסיאין שיטימאש	נו קס	מט קמ	מב קך	לה ק	כח פ	כא ס	יד מ	ז כ	כפלים [ושש] שביעיות
מולטיפלק דובלה שופר שיקטי פארסיאין גואאבש	סד קפד	נו קסא	מח קלח	מ קטו	לב צב	כד סט	יו מו	ח כג	כפלים [ושב]עה שמיניות
מולטיפלק דובלה שופרי אוקטו פרסיאין גונאש	עב רח	סג קפב	נד קנו	מה קל	לו קד	כז עח	יח נב	ט כו	כפלים [ושמ]ונה תשיעיות

	‫והנה בכאן סיימתי לוחות [...] ראשונה כתבתי שני לוחות [...] י"ב ועל השתי טורים חצי מרובע להוציא [...] אשר בטבע המספר מן החמשה סוגים שערכם [מן הקטן] לגדול והתחתונים להוציא החמשה שערכם מן הגדול לקטן
	אבל אמנם אכתוב כאן ד' ערכים שהם גם כן [...] גדולים שנים מהם מערך מוכפלת וחלק והאחד מהם יהיה מרובע וחלק כמו ב' וה' כי בה' מרובע ב' ועוד חצי או ג' ועשרה ובו מרובע ג' וחלק שהוא שלישית וכן [..] ושנים אחרים מערך מוכפלת וחלקים ויהיה האחד מרובע וחלקים כמו ג' וי"א ובו מרובע ג' וב' שלישיות או כמו ד' וי"ט ובו מרובע ד' וג' רביעיות וכן בנמשך והרי לך צורת הלוח

מוכפלת וחלקים

מוכפלת וחלקים

מוכפלת וחלק

מוכפלת וחלק

מוכפלת מג' כפל וחלק

מוכפלת מג' כפל וחלקים

מרובע

מרובע

שניים

ראשוני

שניים

ראשוני

שניים

ראשונים

שניים

ראשוני

שניים

ראשוני'

ראשוני' ושניים

ו כב

ג יא

ו יו

ג ח

ד י

ב ה

ד י

ב ה

ד יד

ב ז

ד יד

ב ז

ח לח

ד יט

ו כב

ג יא

ו כ

ג י

ו יד

ג ז

ו כ

ג י

ו כב

ג יא

י נח

ח כט

ו כח

ג יד

ח לד

ד יז

ח יח

ד ט

ח כו

ד יג

ח ל

ד טו

יב פב

ו מא

ו לד

ג יז

י נב

ה כו

י כב

ה יא

י לב

ה יו

י לח

ה יט

יד קיב

ז נו

ו לח

ג יט

יב עד

ו לז

יב כו

ו יג

יב לח

ו יט

יב מו

ו כג

יו נ

ח כה

יו סב

ח לא

	‫[...] והנה הלוח [...] זה הוא ב' כפלים וחצי והשני ג' וז' [...] והשלישי ב' כפלים ורביעית והלוח השני [...] מוכפלת וחלק הנה הראשון שהוא ב' וה' [...] הנה הוא מרובע ב' וחציו והאחר מרובע ג' ושלישיתו [והשלישי] מרובע ד' ורביעיתו וכן השני סוגים הנשארים [...] כי ג' וי"א יהיו מרובע ג' וב' שלישיות וד' וי"ט הם מרובע י"ד וג' רביעיות ומרובע וד' חומשים וכן כולם
	כי אין להאריך [...] שתראה שנוכל לעשות ערכים אחרים אלא שתמצאם מפוזרים בחמשה סוגים הכללים כי באלו הששה לוחות תמצא ערכים מ[...] אחד בשני לוחות כמו ג' י"א תמצא בג' לוחות וכן רבים אבל כתבתי אותם בעבור שתראה כי הכל שב אל החמש סוגים הנז‫'
The Third Section of the Third Part: the Equality Ratio	השער השלישי מן הכלל השלישי שהוא ערך המספר השוה

Chapter One: Some Descriptions of the Equality Ratio	‫הפרק הראשון ב‫[...]
	ואומר כי [...] האחד במספר יש לו יחס והידמות עם [...] השבר כן הערך השוה יש לו יחס והידמות עם [...] הערך כי השוה הוא באמצע כמו שאמרתי כי האחד [...] השלם והשבר
	כי בהכפל השלמים יתרבה המספר ובה[כפל] השברים ימעיט המספר והאחד ביניהם שלא עולה בה[כפל] ואינו יורד
	והמשל כי ג' פעמים ג' הם ט' ושליש על [שליש] הוא תשיעית ואחד על אחד הוא אחד
	והוא סיבה ועילת [..] מספר בין זוג בין נפרד ואין לו מקביל
	והנה גם כן תמצא לערך השוה תוארים דומים לתוארי האחד שהוא בין שני ערכי הסוגים
	כי כבר אמרתי שהם כמו שלמים ונשברים ועוד תראה זה בעזרת האל
	ומן הערך השוה יוצאים האחרים כאשר אפרש
	וזה לא עולה ולא יורד כי כאשר א' הוא שוה לא' כן ב' הוא שוה לב‫'
	והוא סיבת כל ערך מתחלף להעלותו לערך שנרצה כאשר תראה במשלים שאתן אשר מהם תבין תולדות הערכים
	וראשונה נוציא תולדות ה[מוכפלת] כי הוא ראשון בטבע ונניח ג' מספרים שוים אשר ערכם שוה כאשר תראה בראש צורת א‫'
	שוה צורת א‫' שוה א א א ערך כפול ד ב א ערך משולש ט ג א ערך מרובע יו ד א ערך מחומש כה ה א שב למרובע יו ד א שב למשולש ט ג א שב לכפול ד ב ד שב לשוה א א א
	ותן א' תחת הא' הראשונה וחבר הא' עם הא' השנית יהיו ב' והם תחת הטור השני עוד תחבר השנים שיצאו עם הא' אשר עליהם יהיו ג' חברם עם הא' אשר בטור השלישי יהיו ד' תחת הא' השלישית ואז יהיו לך א'ב'ד' שהוא ערך כפול כמו שב
	‫[...] המספר כן ערך כפול הוא ראשון [...] ערך כפול או משולש ומרובע כמו [...] ב'ו' י"ח נתן השוה מב' כמו שתראה בצורת ב‫'
	ואם רצינו ערך כפול או משולש ודומהם יתחילו מג' כמו ג'ו' י"ב או ג'ט' כ"ז נתן השוה מג' כמו שתראה בלוח ג‫'
	וכן כולם כמו שתראה באלה הצורות שהנחתי
	ערך יסודו ה‫'   ערך יסודו ג‫'   ערך יסודו ב‫' שוה ה ה ה   שוה ג ג ג   שוה ב ב ב כפול כ י ה   כפול יב ו ג   ערך כפול ח ד ב משולש מה טו ה   משולש כז ט ג   ערך משולש יח ו ב מרובע פ כ ה   מרובע מח יב ג   ערך מרובע לב ח ב משולש מה טו ה   משולש כז ט ג   שב למשולש יח ו ב כפול כ י ה   כפול יב ו ג   שב לכפול ח ד ב שוה ה ה ה   שוה ג ג ג   שב לשוה ב ב ב
	‫ ערך יסודו ט‫'   ערך יסודו ז‫' שוה ט ט ט   שוה ז ז ז כפול לו יח ט   כפול כח יד ז משולש פא כז ט   משולש סג כא ז מרובע קמד לו ט   מרובע קיב כח ז משולש פא כז ט   משולש סג כא ז כפול לו יח ט   כפול כח יד ז שוה ט ט ט   שוה ז ז ז
	‫[...] הוא ראשון עוד נרצא ערך [...] עם א'ב'ד' מה שעשינו עם א'א'א' שהוא [...] ישובו וזה שנתן א' תחת א' מא'ב'ד' כי בזה הערך [...] עם ב' יהיו ג' ונתנהו תחת ב' ועוד [...] עם ב' יהיו ה' נחברם עם ד' יהיו ט' ואז היו לנו ג' [...] נערכים בערך משולש
	וכן תוכל לעשות ערכים [מרוב]עים כמו א'ד' י"ו
	או מחומשים כמו א'ה' כ"ה וכן לאין תכלית
	‫[ואם] תרצה להשיבם לשוה עשה הפך מה שעשית שתגרע במקום [ה]חיבור
	ואני אתן משל לזה וממנו תלמוד לאחרים
	המשל לזה חביר ה' מן הערך המחומש שתראה באמצע צורת ה' עם ד' מהערך המרובע יהיו ט' גרעם מכ"ה ישארו י"ו ואחר [גר]ע א' מה' ישארו ד' ותניח א' בראשונה שהוא הערך השוה ויהיו א'ד' י"ו שהוא שב לאחור
	וכן עד שישוב לא'א'א' שהוא השוה
	והוא הדין אם תרצה ערכים שיצאו מב' או מג' וזולתם עשה הדרך שעשית לראשונים שאם תרצה מספר או ערך מונח תניח המספר השוה ותצא מבוקשך
	המשל בזה רצינו ערך ג'ו' י"ב או ג'ט' כ"ז או ג' י"ב מ"ח וזולתם
	תניח ג'ג'ג' ותיצא מה שתרצה
	וזה המעשה תוכל להוציאו בכמה פנים אלא כדי שלא אאריך אניחם למשכיל
	אומנם אניח בכאן עוד ה' צורות אשר הערך השוה שהוא היסוד עשיתי נפרדות זולת ב' בעבור כי ערך ד' ימצא בב' וערך ו' ימצא בג'
	והנה אחר שידענו תולדת המוכפלת נכוון לאחרית ונאמר כי דרך להוציא הסוג השני הנקרא ערך פעם וחלק הנה נוציא ראשונה הערך הכפל שהוא זוג הזוג ונקח [ממנו] ג' מספרים כמו א'ב'ד' ותספוק אותו כמו שתראה בזאת הצורה ותעשה אותו כמנהג
	א ב ד ט ו ד
	והמשל בזה רצינו מספרים נערכים בערך ‫ בערך פעם וחלק [...] ד' עם ב' שבטור שני יהיו ו' [...] ו' עם ב' יהיו ח' וא' שבטור שלישי יהיו ט' [...] מספרים נערכים אשר ערך הראשון אל השני [...] אל השלישי כי ד' בו' כמוהו וחציו וכן ו' בט' וכן [..] משולש מהופך כזה
	א ג ט יו יב ט
	ועשה כמנהג תן ט' [...] ותחברהו עם ג' יהיו י"ב אשר תניחם [...] ואחר קח י"ב וג' וא' יהיו י"ו אשר תניחם תחת א' ואז [...] ג' מספרים אשר ערך הראשון אל השני כערך השני אל השלישי כי ט' בי"ב פעם ושלשית וכן י"ב בי"ו פעם ושלישית מקוצר
	דרך להוציא הערך השלשי אשר הוא ערך פעם וחלקים מן השוה
	הנה תצטרך להוציא ראשונה הערך הכפול שהוא זוג הזוג וממנו פעם וחלק וממנו נמציא פעם וחלקים שרצינו כמנהג
	והנה לקצר ולהקל על המעיין אכתוב דרך אחרת ישר וקרוב והוא שתחבר החלקים שתשאל מן המספר עליו והוא יהיה הגדול והמספר אשר ממנו תשאל החלקים הוא השני הקטן
	ואני אתן בזה ארבעה משלים
	המשל הראשון הנה רצינו שני מספרים נערכים אשר יהיה הקטן בגדול פעם ושני חלקים מג'
	נאמר כי ג' הוא הקטן ונחבר ב' עם ג' יהיו ה' והוא השני הגדול ומה[...] שחיברנו ב' עם ג' בעבור כי ב' חלקים שאלנו ואז היה לנו ג' וה' אשר ערכם פעם וב' שלישיות
	המשל השני רצינו ב' מספרים נערכים אשר הקטן בגדול פעם וג' חלקים מד'
	נאמר כי ד' הוא הקטן נחבר ג' וד' יהיו ז' שהוא השני ואז היה לנו ד' וז' אשר ערכם כנשאל
	משל שלישי רצינו שני מספרים נערכים אשר הקטן יהיה בגדול פעם וט' חלקים‫[...] הוא הגדול [...] רצינו שני מספרים בערך [...] חלקים מקל"ט הנה חיבור ל"ד [...] הוא הגדול וקל"ט הוא הקטן בעבור שאמר [...] המספר שנקח ממנו החלקים הוא הקטן והוא [..] חיבור החלקים ששאל הוא הגדול לעולם
	דרך להוציא הסוג הרביעי המורכב מן הראשון והשני הנקרא מוכפלת וחלק
	הנה תולדת הסוג יציא מן השוה באמצעות ערך פעם וחלק שהוא חציו
	תעשה כמנהג כמו שתראה בזה הצורה
	ט ו ד כה י ד מט יד ד פא יח ד
	תן ד' תחת ד' ואם תחברהו עם ו' יהיו עשרה אשר תתנם בערך השני ואחר תחבר עשרה וששה ותשעה יהיו כ"ה בשלישי ואז יהיה בידך ד' וי' וכ"ה שהם בערך ב' פעמים וחצי והערך השני שהוא ד' י"ד מ"ט הוא ערך ג' פעמים וחצי וד' י"ח פ"א הוא ערך ד' פעמים וחצי
	וכן תנהיג עד שתרצה ולעולם תמצה כל ערך מאלה עולה מאחד לערך שעבר ולסוף בטור שלשי תמצה מרובעי הנפרדים כסדר ובערכים אחרים תמצה מרובעי הזוגות ומרובעי הנפרדות ועיין ותראה סגולות רבות
	דרך להוציא תולדות הסוג החמשי שהוא מורכב מן הראשון והשלישי הנקרא ערך מוכפלת וחלקים
	הנה תניח ערך פעם וחלקים כזאת הצורה
	כה טו ט סד כד ט קכא לג ט קצו מב ט
	עשה כמנהג שתניח ט' תחת ט' ותחבר ט' עם ט"ו יהיו כ"ד השני גם תחבר כ"ה עם כ"ד ועם ט"ו יעלו ס"ד והוא השלישי גם נניח ‫ט' תחת ט' יהיה [...] גם נחבר ס"ד ול"ג וכ"ד יהיו קכ"א [...] והוא ראשון גם נחבר ט' ול"ג יהיו מ"ב והוא השני [גם נחבר קכ"א] ומ"ב ול"ג יהיו קצ"ו והוא השלישי ותמצאם כולם בערך [..] שלשיות
	ועם מה שאמרתי די לכל משכיל להוציא [...] מזה הערך מלבו כי לא יספרו מרוב הדרכים אשר בידי להרגילך אכתוב קצת תולדות מערכים בדרך אחר [..] תעיין בם אז תוכל להוציא כל מיני הערכים מאיזה מין שתשאל
	ואומר שתקח מספרים נערכים כסך מה ש[תרצה] להוציא מן הערכים וקח האחרון ויהיה ראשון למספרים ה[..] שתרצה והנה אניח ז' מספרים נערכים שיהיו זוג הזוג ו[...] בזאת הצורה
	סד לב יו ח ד ב א צו מח כד יב ו ג קמד עב לו יח ט ריו קח נד כז שכד קסב פא תפו רמג תשכט
	ונקח ראשונה השני מספרים ראשונים שהם א'ב' נחברם יהיו ג' וב' יהיה ראשון כי האחרון שהוא ב' ממה שלקחנו הוא ראשון בערך והנה ב' ג' הם בערך פעם וחצי
	ואם נקח מהמונח ג' מספרים א'ב'ד' הנה א' וב' הם ג' וד' וב' הם ו' וו' וג' הם ט' אשר תתנם תחת השלישית שהיא ד' והוא הראשונה והם ד'ו'ט' והנה הערך שיש בין ב' וג' תמצא בין ד'ו'ט' שהוא פעם וחצי
	ועתה נקח ד' מספרי זוג הזוג מהצורה המונחת שהם א'ב'ד'ח' חיברנו כנזכר א'ב' יהיו ג' גם ב'ד' יהיו ו' גם ג'ו' יהיו ט' גם ד'ח' יהיו י"ב גם ו' י"ב יהיו י"ח גם ט' י"ח יהיו כ"ז והנה הערך שיש בין ב'ג' יהיה ‫[...] ח' י"ב י"ח כ"ז שהם ד' מספרים [...]שני לשלישי ושלישי לרביעי ועוד [...]פרים מהצורה א'ב'ד'ח' י"ו והנה עד ח' ידענו [...] נחבר ח' עם י"ו יהיו כ"ד שני לי"ו גם נחבר [י"ב עם] כ"ד יהיו ל"ו שלשי לי"ו גם ל"ו עם י"ח יהיו נ"ד [...] תחת י"ו גם נחבר נ"ד עם כ"ז יהיו פ"א והנה י"ו כ"ד נ"ד פ"א כולם נערכים כנז[כ]רים וכן תנהיג עד שבעה שהם [...] או יותר אם תניח יותר
	כן תוכל להוציא ערך סוג מה עם שתניח הערך שתרצה כמו משולש או מרובע או מחומש וזולתם מהנשארים [ל]אין תכלית
	ואומר שנניח ערך משולש הבא אחר הערך שעשינו והוא יהיה אג העליון מזה הצורה
	פא כז ט ג א קפט סג כא ז תמא קמז מט אלף כט שמג ב' תא
	והוא היה בצורה הנזכר האחרון באלכסון בעבור שרצינו שיהיה הערך ערך שני פעמים ושלישית ועתה נכפל ג' על ב' יהיו ו' וא' הראשון יהיו ז' מסוג שלישי רביעי תחת ג' ואחר נכפול ט' על ב' יהיו י"ח נחבר עמו ג' יהיו כ"א גם נכפל כ"א על ב' יהיו מ"ב ונחבר עמו ז' יהיו מ"ט והוא סוף זה הטור הנערך מהסוג הרביעי שהוא ב' כפלים ושליש
	ולדעת ערך כ"ז ס"ג קמ"ז שמ"ג כפל כ"ז על ב' יהיו נ"ד חברם עם ט' יהיו ס"ג והוא שני גם כפול ס"ג על ב' יהיו קכ"ו תחבר עמהם כ"א יהיו קמ"ז והוא שלישי גם כפול קמ"ז על ב' וחבר על היוציא מ"ט יהיו שמ"ג והוא ‫סוף הטור הנערך ‫[...]
	ואם נניח ערך מרובע [...] ח' וא' יהיו ט' והנה ד' וט' הם מסוג ב' פעמים וחלק שהוא רביעית ואחר נכפול י"ו על ב' יהיו ל"ב וד' יהיו ל"ו אחר כפול ל"ו על ב' ותחבר עמו ט' יהיו פ"א וכן תנהיג בנשאר כמו שתראה בצורה
	סד י"ו ד א קמד לו ט תשכט פ"א
	ואם אתה המעיין בעל ל"ב תוכל להוליד ערכים מתחלפים עם הדרכים האלה כי אין לי עוד להאריך בזה
	אומנם אומר לך שתעיין על הסגולות היוצאים מאלה המשולשים והן כי המשולש הראשון שהוא בנוי על זוג הזוג שאם תראם שטה בשטה תמצא בם הראשונה ערך כפול א'ב'ד'ח' וכן עד הסוף והשטה השנית שהיא ג'ו' י"ב מוכפלים גם כן על ב' וכן ט' י"ח ל"ו וכן כ"ז נ"ד וכן כולם
	ואם [...] תעיין באלכסון תראה כפל משולש שאם א'ג'ט' כ"ז ואם תניח זה הערך להוליד ממנו יולידו ואלה מאלה לאין תכלית
	ותמצא באלכסונים ובטורים וצלעות סדרים מתחלפים כפי ההנחות או הכפלים שתעשה
	ובכאן אניח זה הדרוש שאני כתבתי זה ועל המעיין ליתן את [לבו]

The Second Chapter: Knowing the Three Types of Even Numbers	הפרק השני בידעת שלושה מיני הזוג‫
	ואומר כי המספר המוגבל הוא אם זוג ואם נפרד והזוג יחלק לשלושה מינים אשר המין הראשון הוא זוג הזוג והמין השני זוג הנפרד והמין השלישי זוג
	‫[...] הסוג אשר בזה הפרק [...] שני מינים אשר הראשון מורכב [...] הפרק השלישי ואחר זאת החלוקה [...] והיא כי המספר המוגבל יחלק אל עודף ושוה וגורע ואילו השלושה מינים יהיו [.] פרק [...] כולם שמונה מינים וזה צורתם
	המין הראשון שהוא זוג הזוג הנה הוא כל מספר הנחלק בחצי וכל חלק יהיה זוג עד שיבואו לשנים או לאחד
	המשל בזה לקחנו ק"ח נחלק אותו לחציים יהיה כל חלק ס"ד גם נחלק ס"ד יהיה כל חלק ל"ב וכן חצי ל"ב יהיו י"ו וחצי י"ו יהיו ח' וחצי ח' יהיו ד' וחצי ד' יהיו ב‫'
	והנה טעם קראו לזה המין זוג הזוג בעבור כי [לעולם] הנשאר בחלוקה יהיה זוג
	והנה תולדת זה המין הוא שתכפול ב' על ב' יהיו ד' וד' על ב' יהיו ח' וח' על ב' יהיו י"ו וי"ו על ב' יהיו ל"ב וכן כולם כמו שתראה בזה הצורה [שקראו אותה סולם והוא שמו הראוי כי עמו נעלה לידעת דרושים עמוקים ומהם מספר שוה ונאהב ומרובעים שוים כמו שתראה בע"ה‫]
	‫     א     ב     ד     ח   א ו   ג ב   ו ד א ב ח ב ה ו
	והנה ערך ‫כל אחד אל הנמשך [...] כל אחד אל הנמשכים [...] כמו ב' עם ח' או עם הנמשכים [...] האחרון כערך הסוג השני [...] וחלק
	והמשל שנקח א'ב'ד' הנה האחרון [ד'] ומספר הראשונים ג' וערך ג' עם ד' הוא פעם ושליש
	משל שני א'ב'ד'ח' [והנה] ח' האחרון וא'ב'ד' הם ז' והנה ז' אל ח' ערך פעם ושביעית
	וכן כולם
	וידע[ת] זה המין מן הערך השוה עבר אמרתי הדרכים כפרק ראשון מזה השער
	המין השני שהוא זוג הנפרד
	ואומר כי זה המין [...] לכל מספר שלא תוכל לחלקו אלא פעם אחד ולא יותר כי אז תציא נפרד
	והמספרים הם אלה והדומים כאשר תראה בזאת הצורה
	כו כב יח יד י ו נ מו מב לח לד ל עד ע סו סב נח נד צח צד צ פו פב עח
	שאם תחלקם לחציים היוציא יהיה נפרד
	והנה התולדת הוא שתכפול כל נפרד בשנים והיוציא הוא מספר זוג הנפרד
	והוספתי זה הלוח שהוא מד' אל מ"א כי הא' משותף לכל וראשון הכל וממנו יצא הכל כמו שאמרנו מסגולותיו בפרק ראשון משער שני מכלל ראשון ובזה הלוח תעיין כי הוא יסוד לטור האורך ולטור הרוחב ומשניהם מיוסד כל הלוח כי הטור הראשון באורך הם נפרדים והטור העליון הם זוגי הזוגים והטור השני באורך הם זוג הנפרד וכל הנשאר מן הלוח הם זוג הזוג והנפרד ועיין בזה הלוח ותמצא בו סגולות רבות
	זוג הנפרד נפרדי קכח סד לב יו ח ד ב א זוג הזוג שפד קצב צו מח כד יב ו ג תרמ שכ קס פ מ כ י ה תתצו תמח רכד קיב נו כח יד ז אלף קנב תקעו רפח קמד עב לו יח ט א תח תשד שנב קעו פח מד כב יא א תרסד ת[ת]לב תיו רח קד נב כו יג אלף תתקך תתקס תף רמ קך ס ל טו ב קעו אלף פח תקמד רעב קלו סח לד יז ב תלב א ריו תרח שד קנב עו לח יט             מב כא
	ואם תרצה שיהיה יותר גדול הרשות בידך
	ועיין באלה הצורות מהמינים הבאים ותמצא סגולות הערכים מהרכבת אלו עם אלו
	‫[המין השלישי שהוא זוג הזוג והנפרד] ואומר כי [...] זה המין הוא מורכב משני המנים [...] דומה לראשון הוא שתוכל לחלקו בשנים [...] ומה שדומה לשני הוא שלא יתחלק אל אחד [...] אל נפרד בחלוקה ראשונה והם כמו מספרי הצורה הזאת
	צו מח כד [יב] ק ס מ [כ] ק[מ] [פד] נו [כח] קף קח עב [לו] רך קלב פח ‫[מ]ד רס קנו קד ‫[נ]ב
	כי חצי י"ב הוא ו' וחצי ו' הוא ג' ולא נוכל עוד לחלקו
	וכן כולם שתוכל לחלקם אבל לא אל אחד
	והנה תולדת מספרי זה הסוג הוא בזה הדרך שתיקח אי זה מספר נפרד שתרצה ותכפלהו על מספרי זוג הזוג מד' ולמעלה והיוציא [הוא] מספר זוג הזוג והנפרד
	כמו שתראה בזאת הצורה שכפלתי נפרדים על זוגי הזוגם כדרך כפילת המספר ותמצא קיבוץ כל הטורים באורך וברוחב זוג הזוג והנפרד
	יא ט ז ה ג סד לב יו ח ב         קצב צו מח כד יב       שך קס פ מ כ     תמד רכד קיב נו כח   תקעו רפח קמד עב לו תשד שנב קעו פח מד
	ובעבור שתראה דרך הכפל הנחתי הצורה כמו מרובע נפתל בצורת הכפל אשר הראשון מכל טור נתחלק ב' פעמים ונשאר נפרד והשני מכל טור נתחלק ג' פעמים ונשאר נפרד והשלישי ד' פעמים וכן יתמיד

The Third Chapter: [Knowing the Three Types of Odd Numbers]	‫הפרק השלישי [...]
	המין הרביעי ‫[הראשון] הוא בידיעת חלקי [...] כי אחר שאמרתי ערכי [הזוג] המשיגים לו ראוי לי לסדר הדברים הראויים ל[...] אשר קצת דרכי המספר תלויים בו ובהם תראה [...] גדולות לכל מעשה המספר אשר קדם [...] שעברו ממעשה השלם והשבר והשאלות
	ואומר [..] שראוי שתדע כי כל מספר יתחלק לחלקים כפי מספר שתי צלעותיו אשר יורכב מהם
	כמו בדרך משל נקח [...] ד' הנה מספר כפל צלעותיו הוא ב' על ב' ותציא ד' והנה בעבור שאין הרכבה בד' אלא מב' לא תוכל לחלק ד' אלא על ב' והוא מרובע אחד
	והנה י"ב תוכל לכפלו על ב' צלעות מתחלפות כמו ב' על ו' ויעשה מרובע אחד [או ג'] על ד' ותעשה מרובע אחר ואז תמצא בו כל אלה החלק[ים] ב' שיורה על חצי וו' שיורה על שישית וג' על שלישית ו[ד'] על רביעית
	וכן ס' תוכל לכופלו ב' על ל' והוא מרובע ארוך וג' על כ' והוא מרובע שני וד' על ט"ו והוא מרובע שלישי וה' על י"ב והוא מרובע רביעי וו' על עשרה והוא מרובע חמשי ואז תמצא בו כל אלה החלקים שהם חצי ושלישית ורביעית וחמשית ושישית ועשירית וחלק מי"ב וחלק מט"ו וחלק מכ' וחלק מל' וחלק מכולו כמו בכל מספר אם זוג אם נפרד
	והנה ראוי שתדע כי כל שני מספרי הצלעות יהיה כל אחד מורה לאחר
	כציד ב' ול' כי ב' הוא חלק מל' בס' כי ל' פעמים ב' הם ס' וכן בהפוך כי ל' עם ב' הוא חצי ס' כמו שמורה ב'
	וכן ג' עם כ' כי ‫[...] ג' וכן [...] חלק מד' בס' שהוא רביעית [...] תועלת גדולה לקיצור השברים [...] בחילוק כי המחלק ו' אלפים לד' [...] וישובו לחלק ו' אל ד' ויהיה [...] אחד וחצי
	שאם תעיין בהרכבות תוכל [...] והשברים ושיור החלוקה ואב המורים וכבר [...] משלים רבים [ומינים לקיצור] ובעבור שיהיה יותר מבואר [...] לך קצת חלקי המורכבים וקצת סגולותיו
	והנה חלקי [המור]כבים אשר כתבתי כאן הם ג'
	הא' מורכב ממספר נפרד מורכב על בודד
The meaning of a prime number is that it has no divisors other than one.	וטעם בודד שאין לו חלקים [אלא] אחד
	והמורכב יש לו חלקים כפי הצלעות אשר [מור]כב מהם
	כי הבודדים הם כמו ג'ה'ז' י"א
	והמורכבים כמו ט' ט"ו כ"א כ"ה
	והמורכב משניהם הם ג' פעמים ט' הם כ"ז וג' פעמים ט"ו הם מ"ה
	כמו שתראה בזה הצורה
	בודדים יא ז ה ג מורכבים כה כא טו ט       עה סג מה כז     קכה קה עה מה   קעה קמז קה סג רעה רלא קסה צט
	הרכבה שנית היא מורכב על מורכב כמו ט' ט"ו כ"א עליהם או על אחרים
	הרכבה שלשית הוא הרכבת בודד על בודד כמו ג'ה'ז' י"א עליהם או על אחרים
	‫המין [‫החמשי] [‫השני] [...] כי הבודדים אין להם חלקים אלא אחד
	והנה הדרך [...] הבודדים היא עם ידעת המורכבים [...] וזה הדרך אשר תעשה
	תניח מספרים נפרדים [...] בדרך טבעי מג' והלאה ואחר קח הראשון וכ[פלהו] על עצמו והיוציא תרשום אותו שהוא מורכב [..] מרובע והנה בין הראשון לזה המורכב תמצא [..] מספרים ותניחם כמו שהם ואחר הנרשם תניח [..] מספרים ותרשום השלישי לו ואחריו תניח ב' מ[ספרים] ותרשום השלישי אחריו וכן תנהיג עד סוף המספ[רים] שהנחת כמו שתראה בזה הלוח שהנחתי עד ר"א
	קפג קסג קמג קכג קג פג סג מג כג ג קפה קסה קמה קנה קה פה סה מה כה ה קפז קסז קמז קכז קז פז סז מז כז ז קפט קסט קמט קכט קט פט סט מט כט ט קצא קעא קנא קלא קיא צא עא נא לא יא קצג קעג קנג קלג קיג צג עג נג לג יג קצה קעה קנה קלה קטו צה עה נה לה טו קצז קעז קנז קלז קיז צז עז נז לז יז קצט קעט קנט קלט קיט צט עט נט לט יט רא ק[פ]א קסא קמא קכא קא פא סא מא כא
	‫[...] עד מרובע [...] בודדים ואחר קח [...] אחר הראשון ורשום אותו ואחריו [...] שהנחת במורכב ג' והנה כפלם [...] החמשי לו ואחריו תניח ד' מספרים [...] החמשי לו וכן תנהיג עד סוף המספרים [...] וכל המספר שתמצא שאינו רשום עד סוף [מרו]בע המספר השני כולם בודדים
	ואחר קח מרובע [המ]ספר השלישי ותרשום אותו ותניח אחריו ג' כפלים [..]מספרים שהנחת במורכב ג' והנה כפלם יהיו ששה ורשום השביעי וכן תנהיג עד סוף המספרים שהנחת [וכל] מספר שתמצא שאינו רשום עד מרובע המספר השלישי [הם] בודדים
	ואחר מרובע המספר הרביעי ותרשום אותו ותניח ח' מספרים שהם ד' כפלי הראשון ותרשום התשיעי
	ולפי זאת ההנהגה תנהיג בהוצאת המספרים [ה]מורכבים שתוסיף על כל מורכב ב' בכל מרובע ומרובע [ה]נזכר
	ולפי שיהיה יותר מבואר אתן לך משל אחד [ב]הוצאת כל מורכבי הלוח הנזכר וכל הבודדים
	המשל בזה רצינו להוציא כל המורכבים וכל הבודדים אשר עד ר"א כמספר הנחת הלוח הנזכר
	הנה הראשון ג' ומרובעו ט' והנה ט' הוא מורכב נפרד ומרובע ותרשום אותו רושם [ניכר] והנה בין ג' וט' שני מספרים בודדים שהם ה' וז' ואחר נניח ב' מספרים אחר ט' ויהיו י"א וי"ג ונרשום ט"ו והוא מורכב מג' וה' ונניח ב' מספרים ונרשום כ"א שבא מג' וז' וכן עד הסוף ותמצא כל המורכבים מג' על מספרים אחרים עד ר"א ‫ [...] המספרים המונחים [..] מרובע ה' [..] כ"ה כולם בודדים שהם שמונה ג'ה'ז' [י"א] י"ג י"ז י"ט כ"ז
	בודדים לט לג כז כא טו ט ג עה סט סג נז נא מה ה קיא קה צט צג פז פא ז קמז קמא קלה קכט קכג קיז יא קפג קעז קעא קסה קנט קנג יג       רא קצה קפט יז   יט   כג
	ואחר שלקחנו מרוב[ע] [ג'] וכל הנמשכים מכפלו נקח מרובע ה' וכל הנמשכים מכפלו והנה מרובע ה' הוא כ"ה ונרשום אותו רושם ניכר ונניח ד' מספרים שהם כ"ז כ"ט ל"א ל"ג ונרשום [..] שהוא ל"ה ונניח ד' מספרים שהם ל"ז ל"ט מ"א מ"ג ו[נניח] מ"ה שבא מה' וט' וכן כולם עד שתמצא מספרים מונחים מה על הנמשכים אחריו שמונה עשר כמו שתראה בזאת הצורה
	מורכבים מה‫' בודדים         מה לה כה כט עה סה נה לא קה צה פה לז קלה קכה קטו מא קסה קנה קמה מג קצה קפה קעה מז
	והבודדים שבעה עד מרובע ז' [שהוא] מ"ט ונקחנו שהוא מורכב ראשון מז' ונניח ששה [..] שהוא שלישי מרובע ותצא המורכב השני לו ס"ג ו[...] הנחת ששה מספרים יציא השלישי לו ע"ז וכן כולם עד שיהיו המורכבים י"א והבודדים ששה כמו שתראה בזה
	מו[ר]כבים מז‫' בודדים         עז סג מט נג קיט קה צא נט קסא קמז קלג סא עא   קפט קעה עג       עט
	‫[...] והנה מרובע ט' [...] ויהיה המורכב צ"ט [...] תניח ח' מספרים יציא מורכב [...] וכן כולם עד שיהיו המורכבים [...] שמונה כמו שתראה בזה הלוח
	מורכב מט‫' [בודדים] צט פא פט קלה קיז קא קעא קנג קז   קפט קיג
	והנה מרובע י"א הוא קכ"א והוא מורכב ונניח אחריו עשרה מספרים ותציא קמ"ג ובהנחת עוד עשרה מספרים תציא קס"ה וכן עד הסוף שתמצא מורכבים מי"א על הנמשכים ממרובעו שהוא קכ"א ארבעה [...] לא יותר והביודידים עד מרובע י"ג תשעה [.]זאת הצורה
	מורכבים מי"א בודדים קכא קלא קכז קמג קלט קלז קסה קנא קמט קפז קסג קנז     קסג
	והנה מרובע י"ג [הוא] קס"ט והוא מורכב ונניח [...]ריו שנים עשר מספרים [.] תציא קצ"ה ואין עוד חשבון [.] לוח הנפרדים שהנחתי ואז [..]מצא קס"ט מורכב מי"ג וקצ"ה מורכב מי"ג ומט"ו והבודדים שבעה כאשר תראה בזאת הצורה
	מורכבים מי"ג בודדים קסט קעט קעג קסה קצא קפא   קצז קצג     קצט
	והנה מצאנו כל המורכבים שיש עד סוף ר"א שהם נ"ה והבודדים מ"ה וכולם מאה מורכבים ובודדים
	ואם תמצא ע"ה מורכבים אז תדע כי [.] מורכבים
	‫תמצא בלוח הנפרדים [...] אחדות כמו שבא מג' [...] ועל אחדים וכן פעם כי ט"ו [...] מג' [..] ג' ומה' על ט' וכן קל"ה מכ"ה על ג' [...] ט' וכן קס"ה שבא מנ"ה על ג' ומל"ג על ה' ומ[...] דבר שתמצא אחר שתרשום המורכבים מה' בודדים מורכבים כמו שתראה בזה הצורה

	קסג	יא יג קמג	ג מא קכג	קג	פג	ג ז ט כא סג	מג	כג	ג
	ג ה יא טו לג נה קסה	ה כט קמה	ה כה קכה	ג ה ז טו כא לה קה	ה יז פה	ה יג סה	ג ה ט טו מה	ה כה	ה
	קס[ז]	ג ז כא מט קמז	קכז	קז	ג כט פז	סז	מז	ג ט כז	ז
קפט	יג קסט	קמט	ג מג קכט	קט	פט	ג כג סט	ז מט	כט	ג ט
קצא	ג ט יט נז קעא	קנא	קלא	ג לז קיא	ז יג צא	עא	ג יז נא	לא	יא
קצג	קעג	ג ט נא יז קנג	ז יט קלג	קיג	ג לא צג	עג	נג	ג יא לג	יג
ג ה [יג טו] לט [סה] קצה	ה ז כה לז קעה	ה לא קנה	ג ה ט טו כז מה קלה	ה כג קטו	ה יט צה	ג ה טו כה עה	ה יא נה	ה ז לה	ג ה טו
קצז	ג נט קעז	קנז	קלז	ג ט יג לט קיז	צז	ז יא עז	ג יט נז	לז	יז
קצט	קעט	ג נג קנט	קלט	ז יז קיט	ג ט יא לג צט	עט	נט	ג יג לט	יט
ג סז רא	קפא	ז כג קסא	ג מז קמא	יא קכא	קא	ג ט כז פא	סא	מא	ג ז כא

The Fourth Chapter: [Superabundant, Deficient and Perfect Numbers	הפרק הד‫'
	‫[...] שהם [...] וגורע והשוה אמצעי בין עודף וגורע [...] החלקים השלמים מאיזה מספר מורכב [...] על כל המספר כמו מספרי זאת הצורה [...] שאם תחבר חלקי כל אחד תמצא שהוא יותר מכולו
	והמשל י"ב חציו ו' ושלישיתו ד' ורביעיתו ג' ושישיתו ב' וא' שהוא חלק מכולו תחברם כולם יהיו י"ו והנה חלקיו עודפים מד‫'
	משל שני ס' תמצא בו חצי ושלישית ורביעית וחלקים אחרים רבים עד שתראה שהוא עודף חמשה [..] שרשיו כי חלקיו הם צ"ה וכן כל הדומה לזה
	‫[...] הוא כל זוגי הזוג והנפרד אשר ימצא בו הרכבה אחרת כמו אם תכפול ב' על נפרד והיוציא על [ב' גם] כן ואחר כן אם תמצא במספר הרכבה אחרת המספר עודף ואם לא לא
	המשל בזה כפלנו ב' על ג' יהיה [היוציא] ו' גם ו' על ב' יהיה היוציא י"ב והנה בעבור [כי] בזה המספר תמצא הרכבה אחרת שהיא ג' על ד' [.] שהוא עודף
	ואם לא תמצא הרכבה אחרת בידוע [שאינו] עודף
	כמשל כ"ח כי בא מב' על ז' והיוציא [על] ב' ואין בזה הרכבה אחרת ובעבור זה אינו עודיף [וכן] כל הדומה לזה
	ואם לא תוכל לכוון החלקים [הש]למים אשר בו תחלק המספר מתחילתו עד אמצעו [...] כל החלקים אשר עלה בחילוק תמצא בו בשלמות
	‫[ה]משל בזה חלקנו י"ב על אחד יעלו י"ב והנה א' הוא חלק מי"ב נחזור עוד ונחלק י"ב על ב' יעלה בחילוק ו' שהוא חציו כמו שתורה ב' גם נחלקהו על ג' ‫יעלה ד' [...] בחילוק ואין בו חמשית [...] שתורה ו' ואין לחלקו על יותר מחצי [...] הם א' ב' ג' ד' ו' שכללם הוא י"ו ו[...] לא תרצא לטרוח תחלק על המסופקים ודי לך [...] יסופק אם יש בו שביעית תחלק על ז' ואם יסופק [...] על ט' וכן כולם
	ואם יהיה המספר גדול שלא תוכל לחלק[ו] אלא בטורח גדול אומר לך דרך כולל שהוא טוב לקצר ואב המורים ועיין בו
	הנה כבר ידעת כי חלוקת כל מוגבל הוא אם זוג ואם נפרד ואומר שתעיין במעלת אח[די] המספר ואם תמצא בה מספר זוג או ספרא אז תדע ש[זה] המספר יהיה זוג ויש לו חצי
	ואם לא תמצא בו אחדים הנה [יש בו] חצי וחמשית ועשירית ויוכל להיות גם כן חלקים אחרים
	במשל נניח ט"ו אלפים ק"ך כזה 0 ב א ה א
	נראה [אם] יש בו תשיעית או חלקים אחרים
	קח האחרון ותורידהו מעלה אחד וחלקם למה שתרצה והנשאר תורידים עוד ותחלקם וכן תעשה עד הסוף ושמור [..] ואם לא יצא בחילוק תחזור ובקש חלק אחר
	כמו שרצינו אם יש במספר המונח תשיעית תוריד המעלה האחרונה ה' ויהיו ט"ו קח תשיעית ט"ו והוא אחד ישארו ו' תוריד[ם] אל א' יהיו ס"א קח תשיעיתו שהם ו' נשארו ז' תורידם אל ב' יהיו ע"ב קח תשיעית ע"ב והיא ח' ולא נשאר כלום ו[...] ספרא והנה יציא זה המספר בתשיעית אלף תר"ף
	ות[...] עוד ותראה אם יש בו שמינית תוריד הא' על הה' יהיו ט"ו שמינית ט"ו והוא א' נשארו ז' תורידם על א' יהיו ע"א קח שמיניתם יהיו ח' ונשארו ז' תורידם על ב' יהיו ע"ב קח שמינית ‫[...] המספר [..] תציא לך ב' אלפים קס"ב [...] אלפים תק"ך ובחמשית ג' אלפים [...] ובשלישית ה' אלפים ומ‫' [...]
	וכן תנהיג בכל המספרים לכל דבר [...] חלקים ודי בזה במין העודף
	‫[המין] השביעי השני במספר העודף הגורע אשר חלקיו יגרעו ממנו והם מספרי זוג הזוג בפרט [ב'] ד' ח' י"ו וכל מספרי זוג הנפרד כמו אלה י' י"ד כ"ב כ"ו [שחלקי]הם חסרים ממנו
	כי ב' יחסר חציו כי אין לו חלקים [אלא] חצי
	וד' יחסר רביעיתו כי חלקיו חצי ורביעית [חברם] יהיו ג‫'
	וח' חלקיו חצי ורביעית ושמנית תחברם ויחסר שמיניתו
	והנה י"ו חלקיו חצי ורביעית [ושמי]נית וחלק מי"ו תחברים יהיו ט"ו ויחסר חלק מי"ו
	‫[...] זוגי הזוגות שיחסר מכל אחד אחד שהוא חלק מכולו [..] בשם הוראתו שאם הוא ב' יורה על חצי כי מב' יחסר [חציו] ומד' רביעיתו ומח' שמיניתו וכן כולם
	והנה זוג [הנפר]ד אין בו חלקים אלא חצי וחלק מכולו
	והנה תולדת המספרים ידועים כי זוג הזוג בא מכפל ב' והיוצא ב' וכן לעולם וזוג הנפרד בא מכפל כל נפרד על ב'
	‫[ואם] תכפול זה המין ביותר מפעם אחד אז יולידו העודפים
	מג' יצא י"ב שהוא עודיף
	המין השמיני השלישי במספר אשר חלקיו השלמים יהיו שוה לכולו ומזה המספר יש מעלות ימציוה ויש מעלות שלא ימצה אומנם במעלה שימצה ‫לא ימצה אלא [...] וכ"ח במעלת העשרות [...] לאלה יהיו חלקהם [...] חלקי ו' הם חצי ושלישית ושישית [...] ששה כאשר אפרש בע"ה [...] ולא מכולם ואם תוסיף על הבודד ה[...] הזוג
	והנה תולדת זה המספר תראהו ב[...] בזה הצורה
	א       ב       ד       ח     א ו     ג ב     ו ד   א ב ח   ב ה ו   ה א ב א 0 ב ד ב 0 ד ח
	והנה ידעת זה הבודד [...] תצא המכוון יהיה בשלשה דרכים
	‫[אחד] הוא שנקח כל מספר מזה הצורה אשר [...] ח' ומספר ח' בכלל וגם כל מספר [...] בסופו ב' ולא מספר ב' בכלל אלא ד' במקום ב' ובדרך כלל כל מספר בסופו ב"ח תקחנו חוץ [...] ראשונה שלא תקח ממנה אלא [...] ואחר שיהיה בידך המספר [...] אחד והנשאר יהיה [...] בודד בלא ספק ותכפול חציו וחצי אחד שהוא [...] הגדול משלמים נכפלהו [...] כולו והיוציא הוא המבוקש
	עיון דע שאם עשיתי [דרך] [אחר להוציא הבודדים הנה תדע בכאן כי ד' הוא תחילת הבודדים ואם יש לו שינוי בעבור שהוא במעלת האחדים אבל זה העיון תחילתו מח' ותניח מספר אחד שהוא י"ו כמו שתראה בצורה וקח ל"ב והשלישי בדילוג אחד והוא קכ"ח וכן כולם אלא שתגרע אחד מכל אחד ויהיו מח' ז' ומל"ב ל"א ומקכ"ח קכ"ז ותקי"א וכו' [...] בדרך בדיקת המכוונים‫]
	המשל בזה רצינו לדעת המספר המכוון הראשון במעלת האחדים והנה ב' כפול מא' [אבל] כבר יעדנו כי מב' לא תציא מספר מכוון אלא מכל [..] אשר בסופו ב' ואם כן נניחנו ונקח ד' כי כבר יעדנו שהוא טוב במעלה ראשונה ולא בזולתה והנה נגרע מד' א' ‫[...] בשנים שהוא חציו הגדול [...] המבוקש שהוא המכוון במעלת [האחדים‫]
	‫[משל שני] הנה זוג הזוג של אחר ד' הוא ח' [נגרע אחד] ישאר ז' והוא בודד כפלנו ז' על ד' שהוא [...] יעלה כ"ח והוא המבוקש שהוא המספר המכוון [במעלת] העשרות
	משל שלשי אם נקח זוג הזוג הבא אחר ח' [שהוא] י"ו נגרע אחד ישארו ט"ו והוא מורכב נקח הבא [אחריו] שהוא ל"ב נגרע אחד יהיו ל"א כפול ל"א על י"ו שהוא [חציו] הגדול יעלו תצ"ו והוא המכוון במעלה שלישית שהוא [מעל]ת המאות
	משל רביעי אם נקח זוג הזוג הבא אחר ל"ב [שהו]א ס"ד נגרע אחד יהיו ס"ג והוא מורכב מט' על ז' [וד'] בסופו ונקח הבא אחריו שהוא קכ"ח נגרע אחד ישארו [קכ"ז] והוא בודד נכפלהו על ס"ד שהוא חציו הגדול יעלה [ח'] אלפים קכ"ח והוא המכוון במעלה רביעית שהיא מעלת [ה]אלפים
	משל חמשי אם נקח זוג הזוג הבא אחר קכ"ח והוא [רנ"ו] והנה יש בסופו ו' והנחנו ונקח תקי"ב שיש בסופו [ב'] כי כן יעדנו נגרע אחד ישארו תקי"א והוא בודד [נ]כפלהו על חציו הגדול שהוא רנ"ו יעלה ק"ל אלף תתי"ו והוא מכוון שהוא במעלה השישית שהיא במעלת המאות אלפים
	והנה אין במעלת העשרות אלפים מספר מכוון
	ויראה מדברי החכם ר' אברהם בן עזרא שסבר שיש בכל מעלה מספר מכוון והמעיין בדבריו יוכל לתרץ שאין כפי כוונתו אלא שאין יותר מאחד בכל מעלה כי כן האמת שאין מספר מכוון בכל מעלה אלא אחד ויש מעלות שלא תמצה מספר מכוון כלל כי במעלה ששית גם במעלת י"א לא תמצה מכוון כלל כמו שתראה בזה הצורה וזה יספיק לדרך הראשון
	‫הדרך השני לדעת [...] מיותר המכוון [...] ותכפלהו על ד' ועל היוציא תוסיף ג'
	המשל בזה כפלנו ז' שהוא בודד על [...] תוסיף ג' יהיו ל"א [והוא הבודד המבוקש] תכפלהו על [חציו הגדול] תצ"ו והוא המכוון [השלישי גם קח ל"א שהוא בודד ותכפלהו על ד' יהיו קכ"ד ועם ג' יהיו קכ"ז והוא הבודד תכפלהו על חציו הגדול שהוא ס"ד יעלו ח' אלפים קכ"ח‫]
	‫[עוד לקחנו קכ"ז ונכפלהו על ד' יהיו תק"ח ועם ג' יהיו תקי"א נכפלה על חציו הגדול שהוא רנ"ו יעלו ק"ל אלפים תתי"ו והוא המכוון החמשי‫]
	‫[לקחנו תקי"א ונכפלהו על ד' יהיו ב' אלפים ומ"ד ועם ג' יהיו ב' אלפים ומ"ז נכפלהו על חציו הגדול שהוא אלף וכ"ד יעלו ב' מספרים וצ"ו אלפים וקכ"ח והוא המכוון השישי‫]
	וזה הסדר כולל כל הבודדים [חוץ] [...] כי ג' יוציא מן הכלל כאשר מעלת האחדים יוציא מ[...] כל המעלות הכי הכופל מעלות על מעלות יגרע אחד מקיבוץ המעלות כמו שאמרתי במקומו וכמו שהאחד [...] מן האחרים
	הדרך השלישי לדעת המספרים המכוונים [..] מוכפלים הנקראים זוג הזוג כפי [..] המספרים המכוונים שתרצה וא' שאינו מוכפל הנחנו [..] ההכפלה מב' כי מב' תצא המכוון הראשון ומד' המכ[וון] השני ומח' השלישי ומי"ו הרביעי וכן כולם כסדר המספרים הכפולים
	והדרך להוציאם הוא שתקח המספר [..] וכפלהו על חציו וקח חצי העולה בכפל וכ[פלהו] פעם שנית על כולו בחסרון אחד וזה הדרך לכולם [..] המכוון הראשון שהוא ששה שדרכו דרך אחרת
	והמשל רצינו להוציא המכוון הראשון נקח ב' ומרובעו יהיו ששה שהוא המכוון הראשון כי חצי ו' הוא ג' ושליש[יתו] ב' וחלק מכולו א' תחברם יהיו ששה כמוהו ואם יש חילוף בהוצאתו הנה בא מחילוף המעלה הראשונה על שאר המעלות כי כמו שהאחד אינו ממין האחרים כן המעלה הראשונה כי כפל אחד על אחד אחד כן מעלת ‫הכופל מעלות [...] ותציא המבוקש כי שלושים [...] על ב' שהם ששה ושמרם והנה [...] ומאתים ממעלה שלישית תחברם [...] מעלות תגרע אחת ישארו ארבעה ואם כן [...] הם ממעלה רביעית שהיא מאלפים [...] אלף וכן מאי זו מעלה שתכפול על אחרת [ועליך] לגרוע מעלה אחת לעולם ושמור ועיין זה [הדרך]
	ועתה להוציא המספר המכוון השני קח המספר השני מן הנערכים בכפל שהוא ד' וכופלהו על חציו [...] ח' גם קח חצי ח' שהוא ד' וכפול אותו על כל המספר [בחסרון] אחד שיהיו ז' יעלו כ"ח והוא המכוון השני
	עוד [קח] הכפול השלישי שהוא ח' וכופלהו על חציו יהיו ל"ב כפול [...] חצי ל"ב על ל"א שהוא הכל פחות אחד יעלו תצ"ו והוא המכוון השלישי
	עוד נקח הכפול הרביעי שהוא י"ו ונכפול [אותו] על חציו יעלו קכ"ח כפלנו חצי קכ"ח על כולו [ב]חסרון אחד יעלו ח' אלפים אלפים קכ"ח כזה ח ב א ח [ש]הוא המספר המכוון הרביעי
	עוד נקח הכפול החמישי שהוא ל"ב ונכפול אותו על חציו יעלו תקי"ב כפלנו חצי תקי"ב על תקי"ב בחסרון אחד יעלו ק"ל אלפים תתי"ו כזה ו א ח 0 ג א שהוא המספר המכוון החמשי
	עוד נקח הכפול הששי שהוא ס"ד ונכפלהו על חציו שהוא ל"ב יעלו ב' אלפים ומ"ח כפלנו חצי העולה על כל המספר בחסרון אחד יעלו ב' מספרים וצ"ו אלפים קכ"ח כזה ח ב א ו ט 0 ב והוא המספר המכוון הששי
	ויהיו כולם על זה הצורה עד עשרה מספרים מכוונים
	‫                       ו                     ב ח                   ד ט ו                 ח א ב ח             א ג 0 ח א ו           ב 0 ט ו א ב ח         ג ג ה ה 0 ג ג ו       ה ג ו ח ה ד ה ב ח     ח ה ח ט ח ו ט 0 ה ו א ג ז ד [ג] ח ו ט א ג ב ח
	שהוא זוג הנפרד ובאחרים אם תוסיף על הנפרד אחד [...] זוג הזוג שתוכל לחלקו עד אחד
	והמשל רצינו לכוון חלקי כ"ח כי מששה כבר דברתי חלק כ"ח לחציים [..] י"ד וחצי י"ד ז' וחצי ז' בתוספת אחד ד' וחציו ב' וחציו א' והנה י"ד חציו וז' רביעיתו וד' שביעיתו וב' חלק מי"ד וא' חלק מכולו ויהיה כזאת הצורה
	המורה המספר ב ח כולו א ד חציו   ז רביעי'   ד שביעי'   ב יד   א כח
	משל אחר מתצ"ו שהוא מכוון המאות הנה חציו רמ"ח וחצי רמ"ח קכ"ד וחצי ס"ב וחציו ל"א וחצי ל"א בתוספת אחד י"ו וחציו ח' וחציו ד' וחציו ב' וחציו א' ודע כי רמ"ח הוא חציו בהוראת ב' וקכ"ד הוא רביעיתו בהוראת ד' וס"ב הוא שמיניתו בהוראת ח' ול"א הוא חלק מי"ו בהוראת י"ו וי"ו חלק מל"א בהוראת ל"א כי אז המספר מתגלגיל כי כאשר היה ל"א חלק מי"ו היה י"ו חלק מל"א וכאשר היה ס"ב חלק מח' היה ח' ‫מל"ב ומכאן מתגלגל [...] חלק מרנ"ד ורנ"ה חלק מ[...] וק' חלק מאלף וי"ו וד' חלק מ[...] וס"ד וא' חלק מכולו וכן תנהיג בידיעת [...] כי מספר החלקים יהיו הוראות ומתגלגלים כמו ‫[...]
	‫[עוד דרך אחרת נדבקת המכוונים מן ולמעלה והוא גם כן דרך להוציאם הנה הבודד הראשון הוא א' בדרך הזה ועמו נוציא כל הבודדים בזה אחר זה להוליד המכוונם ואחר אשר בידך הבודד כופלהו בשנים ועוד פעם אחר פעם עד שיצא המכוון המשל בזה רצינו המכוון השלישי כי הראשון שהוא ו' והשני שהוא כ"ח ידועים ולהם דרך אחרת והנה תחילת הבודדים בכאן הוא ז' נכפלהו בד' ועל היוציא נוסיף ג' יהיו ל"א והוא בודד ממכוון תצ"ו כי בד' הכפלות שנכפול ל"א תציא תצ"ו וכן יצאו כל המכוונים עם תוספת שתי כפילות על הנמשך אחריו אחריו כי ו' הראשון יציא מכפל ג' ומשתי כפילות ז' יציא כ"ח ומד' כפילות ל"א יצא תצ"ו כי כפל ל"א הוא ס"ב וכפל ס"ב הוא קכ"ד וכפל קכ"ד הוא רמ"ח וכפל רמ"ח הוא תצ"ו והמכוון עוד לבדוק המכוון האחר שהוא ח' אלף קכ"ח נכפול הבודד שעבר שהוא ל"א על ד' יהיו קכ"ד ועם תוספת ג' יהיו קכ"ז נכפלהו ששה פעמים ותציא ח' אלף רכ"ח לבדוק האחר שהוא ק"ל אלף תתי"ו כפול הבודד שעבר שהוא קכ"ז על ד' יעלה תק"ח ועם ג' שהוספנו יהיו תקי"א והוא הבודד נכפלהו ‫שמונה פעמים ותציא ק"ל אלף תתי"ו ולבדוק האחר שהוא ב' מספרים וצ"ו אלפים קכ"ח כפול הבודד שעבר שהוא תקי"א על ד' יעלה ב' אלף ומ"ד תוסיף עליהם ג' יהיו ב' אלפים ומ"ז והוא הבודד נכפלהו עד עשרה פעמים ותציא המכוון שהוא ב' מספרים וצ"ו אלפים וקכ"ח וכן כל הנמשכים]
	ואם יש עוד בידי דרכים לכוין חלקי המכוון [...] בכאן זאת החקירה ואכוין לחקירה יותר עמוקה [...] עוד היו שני משיגים לשוה והם שני דרושים עמוקים ‫[...]
	הדרוש הראשון הוא שיהיו שני מספרים מסוגלים לאהבה אשר [חלקי] האחד יהיה כמספר השני וחלקי השני כמספר הראשון [...] אלה השני מספרים נאהבים
	והדרוש השני הוא שיהיו [...] מרובע מה שוה מכל הטורים בין באורך בין ברוחב בין באלכסון ואמנם יסוגלו שבעה מהם לשבעה כוכבי לכת
	ואבאר כל דרוש בפני עצמו אומר כי
Amicable Numbers
The first postulate is to extract the amicable numbers and I say that [they are] every two numbers, such that [the sum of] the proper divisors of each is as the other number.	הדרוש הראשון הוא להוציא המספרים הנאהבים המסוגלים לאהבה ואומר כי כל שני מספרים אשר החלקים השלמים מכל אחד יהיו כמספר חברו
	והנה תמצא הראשונים בדרך אחד והאחרונים בדרך אחרת ויסוד שניהם המספרים הכפולים הנקראים זוג הזוג ומהם נוציא הבודידים ומן הבודדים הנאהבים
	וראשונה אומר שנסדר מספרם כפולים שהם זוגי הזוגים מתחילין מן האחד כמה שתרצה ואחר קח א"ב יהיו ג' נגד ב' עוד קח שלושה כפולים מא' ועד ד' יהיו ז' נגד הכפול האחרון שלקח[ת] שהוא ד' עוד קח ד' כפולים מא' עד ח' יעלו ט"ו ותתנהו נגד האחרון שהוא ח' עוד קח ה' כפולים מא' עד י"ו ויעלו ל"א נגד י"ו וכן ס"ג נגד ל"ב וכן קכ"ז נגד ס"ד וכן ‫[...] הצורה [...] מספר שהוא נגד כל כפול הכפול למעלה ממנו כי א' שהוא למעלה מב' גרענו מג' וישארו ב' בשטה שלישית גם גרענו ב' מז' נשארו ה' גם ד' מט"ו נשארו י"א גם ח' מל"א נשארו כ"ג וי"ו מס"ג ישארו [מ"ז] ול"ב מקכ"ז ישארו צ"ה והוא מורכב מה' על י"ט ומזה שאינו [בודד] לא תציא נאהב אלא תעבור לאחר גם ס"ד מרנ"ה ישארו [קצ"א] וכן עד מה שתרצה ומאלה הבודדים אשר בשיטה שלישית [...] הבודדים נוציא הנאהבים הראשונים מכל זוג כי בודידי [..] [הר]אשון הם ה' וי"א ובודידי הראשון מן הזוג השני הם י"א [..] ובודדי הראשון מן הזוג השלישי כ"ג מ"ז וכן כולם שתניח אחד ותקח אחר וזה לראשונים
	ב ג ה ז יא טו כג לא מז סג צה קכז קצא רנה
	אבל לשניים שיש להם דרך אחרת קח הכפול הבא אחר הכפול שממנו לקחת הנאהב הראשון [ו]תוסיף עליו אחד שהוא ראש זוג הזוג בשלוח ולכפול השני מן השניים תוסיף ב' ולשלישי מן השניים תוסיף ד' וכן כולם ואחר התוספת כפול זה על זה ומן העולה גרע אחד וישאר בודד וכפול אותו על הכפול הקודם לו בטבע והיוציא הוא בן זוגו
	והנה אני אתן בזה ששה משלים השלושה לשלושה מספרים הראשונים הנאהבים ושלושה משלים לבן זוגי הראשונים ואם השלושה משלים האחרונים אינם הכריחיים כי בידעת חלקי ‫השלשה המשלים [...] חלקי השלושה השניים תדע [...] תדע המספר הבן זוגו אבל [...] כתבתי משלים למספרם
	משל ראשון רצינו לדעת הנאהב הראשון מן [הזוג הראשון]
	נקח הנשאר מז' וט"ו כמו שתראה בשיטה [...] מהצורה המונחת שהם ה' י"א והם מספרים בודדים נכפל[ם] זה על זה יעלו נ"ה גם נ"ה נכפול על כפול ד' שממנו [...] יעלו ר"ך וזה נאהב ראשון מן הזוג הראשון והוא הקטן מן [...]
	ומזה תדע האחר וזה כי בזה הנאהב תמצא י"א חלקים שהם חצי [מר"ך] ק"י ורביעית נ"ה וחמשית מ"ד ועשירית כ"ב וחלק מי"א כ' וחלק [מכ'] שמתגלגלים חלקיהם י"א וחלק מכ"ב עשרה וחלק ממ"ד ה' וחלק [מנ"ה] ד' וחלק מק"י ב' וחלק מקק"ך א' ויהיו בזה הצורה
	ק"י נה מד כב כ יא י ה ד ב א חצי רביעית חמשית עשירית חלק מי"א חלק מכ' חלק מכ"ב חלק ממ"ד חלק מנ"ה חלק מק"י חלק מר' קק"ך נאהב היוציא
	משל שני לדעת הנאהב הר[אשון] מן הזוג השני קח י"א ו[כ"ג] שהם בודדים וכפול זה על זה ותציא רנ"ג ועוד כפול רנ"ג על הכפול שממנו יציא י"א שהוא ח' הכפול הבא אחר ד' שלקחנו ותציא ב' אלפים כ"ד והוא הנאהב הראשון מן הזוג השני כזה הצורה ד ב 0 ב
	משל שלישי לדעת הנאהב הראשון מן הזוג השלשי
	קח שני בודדים הנשארים מל"א וס"ג שהם כ"ג ומ"ז תמצאם בשיטה שלישית מהצורה המונחת וכפול זה על זה יעלו אלף ופ"א אשר ‫[...] ויעלה י"ז [...] בן הזוג השלישי כזה
	א ז ב ט ו
	‫[...] הראשונים בדרך הנזכר נוציא השניים [...] זוג הראשונים אמנם יש להם דרך אחרת כנזכר [...] ואומר שתקח הכפולים הבאים אחר הכפולים יצאו הראשונים אשר אם הוא בן זוג הראשון שכבר נודע הראשון שיתכן להיות רפ"ד הנה תכפלהו על עצמו בתוספת [...] בן זוג שני בתוספת שנים ואם הוא בן זוג שלשי בתוספת [...] וכן בתוספת הכפולים וגרע מן העולה בכפל אחד והנשאר [יהיה] בודד כפלהו על הכפול הקודם שלקחת והיוציא יהיה בן זוג שני
	‫[המשל] בזה נרצה להוציא בן זוג הנאהב הראשון אשר בידנו הנה זה הוא הדרך
	נקח כפול ח' ונכפלהו על עצמו בתוספת א' שהוא ט' יעלו ע"ב גרע מע"ב אחד ישארו ע"א והוא [בודד] כפול אותו על הכפול הקודם לו בטבע למה שלקחת שהוא ד' עלו קקפ"ד והוא בן זוג הנאהב הראשון והיו שניהם כזה
	ב ב 0 ב ח ד
	אמנם החלקים השלמים הם חמשה לא יותר והם חצי ורביעית וחלק מקע"א וחלק מקמ"ב וחלק מרפ"ד ויהיה בזה הצורה
	קמב עא ד ב א חצי רביעית חלק קעא חלק קמב חלק רפד רפד היוציא
	משל שני לתשלום משל שני שעבר ואומר כי להוציא בן זוג השני מן הנאהב אשר במשל שני קח כפול י"ו ותכפלהו על עצמו בתוספת שנים שהוא י"ו על י"ח יעלו רפ"ח נגרע מהם אחד ישארו רפ"ז והוא בודד נכפול אותו על הכפול הקודם לו בטבע שהוא י"ח יעלו ב' אלפים ‫רצ"ו והוא בן [הזוג] [...]
	משל שלישי לתשלום [משל שלישי‫] [...]
	ואומר כי להוציא בן זוג [השלישי] [...] קח כפול ל"ב ותכפלהו על עצמו בתוספת על ל"ו יהיה העולה אלף קנ"ב נגרע [מהם] אחד [...] קנ"א והוא בודד כפול אותו על הכפול הקודם לו [...] שהוא י"ו יעלו י"ח אלפים תי"ו והוא בן זוג [...] במשל שלישי ויהיו שניהם כזה
	א ז ב ט ו א ח ד א ו
	ועם זה די לדרוש הראשון והמשכיל יבין
Magic Squares
The second postulate is that the numbers of a certain square are equal in all the lines, whether lengthwise, or breadthwise, or in the diagonals.	הדרוש השני הוא שיהיו מספרי מרובע מה שוה מכל הטורים בין [באורך] בין ברוחב בין באלכסונים
Seven of them are attributed to the seven planets.	ואמנם יסוגלו שבעה מהם לשבעה כוכבי לכת
I say that the shapes of these numbers are endless and one of their properties is that the first seven are attributed to the seven planets.	ואומר כי תמונות אלה המספרים הם בלתי בעלי תכלית ומסגולותהם כי השבעה הראשונים הם מסוגלים לשבעה כוכבי לכת
	וראשונה אומר כי המספר יחלק [אל] זוג ואל נפרד והזוג יחלק אל זוג הזוג ואל זוג הנפ[רד] ואל זוג הזוג והנפר[ד‫]
	ובמקום אחר תמצא טעם השמות האלה
	ואם יש להם חלוקות אחרות אין זה מקומן
	כן זה הפרק יחלק לשלושה סדרים
	אשר הסדר הראשון ידבר [על] מרובעי הנפרדים
	והסדר השני ידבר במרובעי זוג הזוג
	והסדר השלישי במרובעי זוג הנפרד וזוג הזוג והנפרד
	אם ירצה האל
	ואתחיל מספר דרך תולדותם כי לא נמצא אתנו אלא שבעה מרובעים נקראים שבעה מרובעים
	‫[...] כוכבי לכת [...] ולדעת [...] דרכים שתראה ואם [...] מהם בארוכה ומהם בקצרה אבל [...] המעיין עד [..] שהאיר השם [...] ומצאתי דרכים אשר בלא עיון יוכל [אדם] להוציא מרובעי [...] השני דרכים שהם [..] הנפרדים וסדר זוג[..] הזוגים אבל סדר [..] הנפרד וזוג הזוג והנפרד אין לו דרך ראוי [...] ועל השנים אני אומר תן לחכם ויחכם
	הסדר הראשון המדבר על כל מרובעי הנפרדים
	אומר כי הרוציא לדעת המרובעים הנפרדים השוים בכל הטורים באורך ורוחב ובאלכסונות וזה סגולת כל אלה המרובעים יעשה ראשונה לוח בתים מרובעים לתת בכל בית מספר ולפחות יהיו מספרי הבתים שנוכל לכתוב באלכסונו ד' כפלי המרובע הנרצה בנפרדים
Now, to understand and to know the formation of the first square: its foundation are five tables, in which you see by the eye each part as I create it	ועתה להבין ולדעת תולדת המרובע הראשון הנחתו חמשה לוחות אשר בם תראה בעין כל חלק כמו שאעשה אותו ומה שלא עשיתי הכל בלוח אחת הוא להצילך מבילבול ואחר שתהיה מורגל תוכל לעשותו על פה ולכל האחרים זולת הראשון אעשה אותו עם ה' לוחות ונשוב למרובע הראשון שאחר שיהיו הה' לוחות מובנות תן בבית העליון מן הלוח הראשון א' וכן כול מרובע שתרצה ואחר אם תרצה מרובע ג' ‫תניח למ[...] ובמרובה ד' [...] תניח ו' בתים ובמרובע [...] כולם כי לעולם יהיו הבתים [...] העליונה לא' התחתונה כסך ה[...] אחד ועיין ותראה
	ואחר הנחת השתי[..] תמשוך מן הא' העליונה ד' פעמים המרובע שתרצה [...] הלוח כסדר שיהיו ד' מרובעים שוים בלוח ונשארו [עוד] אלכסונים אחרים רקים בלוח בלוח ועם הא' השנית תמ[..] מהאלכסונים הנשארים מרובע אחד ויהיה נקשר עם ארבעה זויות הארבע מרובעים הנזכ'
	ובאמצע מרובע חמישי שהוא מרובע ג' על ג' אשר בכל צלע תמצא ג' ובכל טור תמצא ט"ו וזה המבוקש ועיין שתקח הג' שטין מאמצע הלוח
	וזה יורה לך שני דברים
	האחד שיהיה חצי המרובע הגדול באמצע הלוח כמו ה' בלוח ג' על ג' וי"ג בלוח ה' על ה'
	הדבר השני שיורה לך הוא שיהיו זויות הלוח הכולל במרחק שוה ללוח הקטן
Example: we wish to constract the table of the first square in nature, which is 3 by 3 and it is attributed to Saturn; its diagonal is 15 as the product of the greater mean, which is 5, by the side, which is 3, $\scriptstyle{\color{blue}{15=5\times3}}$ for this is the way of all.	המשל בזה רצינו לבנות הלוח המרובע הראשון בטבע שהוא ג' על ג' והוא מסוגל משבתי ובלאכסונו הוא ט"ו ככפל האמצעי הגדול שהוא ה' על הצלע שהוא ג' כי זה דרך לכולם
	הנה נניח ב' אלכסונין זה למעלה מזה ובאמצע שני בתים רקים כמו שתראה בלוח ראשון ואחר משוך מן הא' העליונה ד' מרובעים מט' בכל מרובע באלכסוני הלוח כמו שתראה בלוח שני גם משוך מרובע אחד מן הא' התחתונה עד ט' באצ' באמצע הלוח כמו שתראה בלוח שלישי ואחר שיהיו השני והשלישי ערוכים לפניך לפניך ‫[...] אשר בלוח שלישי באמצע [...] בלוח רביעי ואז תמצא [...] ג' על ג' מסודר בסדר אשר [...] ראשון הוא ט"ו כמו שתראהו [...] לוח חמשי וזה מה שרציתי לבאר והנה כזה [...] תעשה בכל מרובע נפרד עם שתניח הדקים שאמרת כמספר הצלע פחות אחד
	שני           א                   ב   ד               ג   ה   ז           א   ו   ח   א       ב   ד   ט   ב   ד   ג   ה   ז   ג   ה   ז   ו   ח   א   ו   ח       ט   ב   ד   ט           ג   ה   ז               ו   ח                   ט
	שלישי     א       ב   ד   ג   ה   ז   ו   ח       ט
	רביעי           א                   ב   ד               ג   ה   ז           א   ו א ח   א       ב   ד ב ט ד ב   ד   ג   ה ג ז ה ג ז ה   ז   ו   ח ו א ח ו   ח       ט   ב ט ד   ט           ג   ה   ז               ו   ח                   ט
	חמשי ב ט ד ז ה ג ו א ח
	‫והמשל במרובע [...] עשרה [...] מרובעים מה' על ה' [...] העליון ותניח תחתיו [...] צלעו בחסרון אחד ותכתוב א' אחרת ‫[...]
	א                                   ב   ו                               ג   ז   יא                           ד   ח   יב   יו                       ה   ט   יג   יז   כא                   א   י   יד א יח   כב   א               ב   ו   טו ב יט ו כג   ב   ו           ג   ז   יא ג כ ז כד יא ג   ז   יא       ד   ח   יב ד יו ח כה יב ד יו ח   יב   יו   ה   ט   יג ה יז ט כא יג ה יז ט כא יג   יז   כא   י   יד   יח י כב יד א יח י כב יד   יח   כב       טו   יט   כג טו ב יט ו כג טו   יט   כג           כ   כד   ג כ ז כד יא   כ   כד               כה   ד   ח כה יב   יו   כה                   ה   ט   יג   יז   כא                       י   יד   יח   כב                           טו   יט   כג                               כ   כד                                   כה
	ג כ ז כד יא יו ח כה יב ד ט כא יג ה יז כב יד א יח י טו ב יט ו כג

רמה

רמו

רמז

רמח

רמט

רן

רנא

רנב

רכה

רל

רלא

רלב

רלג

רלד

רלה

רמ

רט

רי

רטו

ריו

ריז

ריח

רכג

רכד

קצג

קצד

קצה

ר

רא

רו

רז

רח

קעז

קעח

קעט

קף

קפט

קץ

קצא

קצב

קסב

קסג

קסד

קסה

קעב

קעג

קעד

קעה

קמז

קמח

קמט

קן

קנה

קנו

קנז

קנח

קלב

קלג

קלד

קלה

קלח

קלט

קמ

קמא

קיו

קיז

קיח

קיט

קכב

קכג

קכד

קכה

צט

ק

קא

קב

קז

קח

קט

קי

פב

פג

פד

פה

צב

צג

צד

צה

סה

סו

סז

סח

עז

עח

עט

פ

מט

נ

נא

נו

נז

סב

סג

סד

לג

לד

לט

מ

מא

מב

מז

מח

יז

כב

כג

כד

כה

כו

כז

לב

ה

ו

ז

ח

ט

י

יא

יב

	‫ צורה שלישית יו טו יד יג רמה רמו רמז רמח רמט רן רנא רנב ד ג ב א רכה לא ל כט כח רל רלא רלב רלג רלד רלה כא כ יט יח רמ רט רי מו מה מד מג רטו ריו ריז ריח לח לז לו לה רכג רכד קצג קצד קצה סא ס נט נח ר רא נה נד נג נב רו רז רח קעז קעח קעט קף עו עה עד עג עב עא ע סט קפט קץ קצא קצב צו קסב קסג קסד קסה צא צ פט פח פז פו קעב קעג קעד קעה ... קיב קיא קמז קמח קמט קן קו קה קד קג קנה קנו קנז קנח צח צז קכח קכז קכו קלב קלג קלד קלה קכא קך קלח קלט קמ קמא קטו קיד קיג קמד קמג קמב קיו קיז קיח קיט קלז קלו קכב קכג קכד קכה קלא קל קכט קס קנט צט ק קא קב קנד קנג קנב קנא קז קח קט קי קמו קמה קעו פב פג פד פה קעא קע קסט קסח קסז קסו צב צג צד צה ... סה סו סז סח קפח קפז קפו קפה קפד קפג קפב קפא עז עח עט ף מט נ נא רה רד רג רב נו נז קצט קצח קצז קצו סב סג סד לג לד רכב רכא רכ ריט לט מ מא מב ריד ריג ריב ריא מז מח יז רלט רלח רלז רלו כב כג כד כה כו כז רכט רכח רכז רכו לב רנו רנה רנד רנג ה ו ז ח ט י יא יב רמד רמג רמב רמא
	‫‫הסדר השלישי ב[מרובעי זוג הנפרד וזוג הזוג והנפרד] והנה הזוג [...] אין לאל ידי עד עתה לדעת [...] לאחרים אבל אכתוב מרובע ט' על ט' [...] הנפרד בעבור שהוא מסוגל מהשמש אשר לכל צד [...] קי"א כזאת הצורה ואם ירצה האל ית' אעיין ב[...]זוג הזוג והנפרד ומזוג הנפרד אם אפשר להיות אם לא אחר תיקון מה שרציתי לתקין בזה החיבור ומה שאמצא אכתבנו בעזר האל ית' שמו
	חותם השמש א לב לד ג לה ו ל ח כז כח יא ז כ כד טו יו יג כג יט יז כא כב יח יד י כו יב ט כט כה לא ד ב לג ה לו
	שאלה ראובן הלוה‫‫[...]סך י"ב פשטי'
	התשובה שה[...] הוא ב' ליטרין י"ח אותיות שהם ל[...] נחלק ליטרי הכ"ד שהם ל"ב על י"ב ששאל[...] ב' ליטרין ונשארו ח' נכפלם על י"ב שהם אוקי[ות] שהם אוקיות הליטרה יעלו צ"ו נחלקם על י"ב יעלו [...] אוקיות
	משל שני רצינו סך פשי' אחד לסך כ"א אם נרצה נעשה כמו שעשינו ב[..] ראשון או או אם נרצה נעשה הכ"ב ליטרי הכ"ד אוקיות וזה שנכפלם על י"ב יעלו שפ"ד אוקיות ויהיו שבורים לכל סך ועתה בשאלתנו שנרצה לסך כ"א נחלק שפ"ד על כ"א יעלה בחלוק י"ח אונס' ונשארו ו' נכפלם על י"ו ש[הו]א סך אריאינס יעלו צ"ו נחלקם על כ"א יעלו ד' אריאינס ונשארו י"ב שהם [.] שביעיות מקוצרות בשלישית ובמשל השלישי אעשה בדיקה
	משל שלישי רצינו סך מ"א והוא ט' אוקיות וה' אריאינסוש ול"ה חלקים ממ"א באריאינסו כזה
	לח מא
	[..] חילקנו שפ"ד אוקיות על מ"א פשוט יעלו ט' אוקיות ונשארו ט"ו אוקיות נעשה מהם אריאנס' בשנכפלם על י"ו יעלו ר"מ אריאינסוש ‫‫[...] אוקיות ונשמרם בשמן גם נכפול ה[...] יעלו ס"ח אראינסוש ונשמרם בשמן [..] חלקי אריאינסו על מ"א יעלו אלף [...] מ"א יעלו ל"ה אריאינס נחברם עם ר"ה אריאינס יהיו ר"מ אירשינסו נחלקם על י"ו יעלה ט"ו אוקיות נחברם עם שס"ט אוקיות ששמרנו ופ"ד אוקיות והם אוקיות הכד והנה הוא אמת סך פשוט [..] לסך מ"א פשי' הוא ט' אוקיות ה' אריאיוס כ"ה חלקים ממ"א בשלם וזה צורת הלוח

Appendix I: Glossary of Terms

rank

מעלה

Bibliography

Aharon ben Yizḥaq
15th century?

Manuscript:

• Torino, Biblioteca Nazionale Universitaria A V 15 (IMHM: f 41584); (15th century)
  

Bibliography:

• Steinschneider, Moritz. 1906. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 50, p. 197. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, p. 120.