ספר דיני ממונות
Contents
- 1 Prologue
- 2 The First Chapter Discusses the Addition of Integers to Each Other, as well as the Addition of Coins and the Scales of the Dinar, Since They Have Another Method
- 3 The Second Chapter Discusses Subtraction as well as Subtraction of Currencies
- 4 Chapter Three: Discusses the Multiplication in all Possible Ways Found in Integers
- 5 Chapter Four: Division
- 6 Chapter Five: Addition of Fractions
- 7 Chapter Six: Subtraction of Fractions
- 8 Chapter Seven: Multiplication of Fractions
- 9 Chapter Eight: Division of Fractions
- 10 Chapter Nine: Ratios
- 11 Chapter Ten: Discusses the Extraction of Roots
- 12 Chapter Eleven: Checking Methods
- 13 Chapter Twelve: Discusses Problems, some of which are of Proportions, some of Partnerships, some of Currencies, some of Barter, some of Roots, and everything like that
- 13.1 Purchase Problems – Unequal Amount
- 13.2 Partnership Problems - for different times
- 13.3 Interest and Discount Problems - Find the time
- 13.4 Find a Quantity
- 13.5 Multiple Quantities Problem - Two Amounts of Money
- 13.6 Sums
- 13.7 Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish
- 13.8 Find a Number
- 13.9 Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish
- 13.10 Pursuit Problem
- 13.11 Questions of R. Levi Ben Gershon
- 13.12 Partnership Problem - Three Partners - Same Time
- 13.13 Guessing Problem - Four Coins
- 13.14 Find a Number Problem
- 13.15 Guessing Problem - Chosen Number
- 13.16 Gaging Problems
- 13.17 "If You Give Me" Problems
- 13.18 Guessing Problems - Cards
- 13.19 "If You Give Me" Problems
- 13.20 Geometrical Problems
- 13.20.1 Triangulation Problem
- 13.20.2 Equilateral Triangle
- 13.20.3 Triangulation Problem
- 13.20.4 Find the Perimeter - Tower
- 13.20.5 Find the Side - Square
- 13.20.6 Find the Diagonal - Square
- 13.20.7 Triangulation Problem - Broken Tree
- 13.20.8 Find the Perimeter - Quadrangular
- 13.20.9 Find the Height - Equilateral Triangle
- 13.20.10 Transformation Problem - Square to Circle
- 13.20.11 Find the Side Problem - Right-Angled Triangle
- 13.21 Encounter Problem - Two Men
- 13.22 Gaging Problem - Barrel
- 13.23 Joint Purchase Problem
- 13.24 Geometrical Problems
- 13.25 Find the Price - Barrel
- 13.26 Find the Side - Rectangle Formed by Walls
- 13.27 Triangulation Problem - Broken Tree
- 13.28 Multiple Quantities - Selling Apples
- 13.29 Gaging Problem - Wine and Water
- 13.30 Find the Height - Tower
- 13.31 Find the Height - Wall
- 13.32 Find a Number Problems
- 13.33 Find the Diagonal - Rectangle
- 13.34 Find the Height - Well
- 13.35 Transformation of Figures
- 13.36 Joint Purchase Problems – If You Give Me
- 13.37 Partnership Problem – Three Partners
- 13.38 Guess Problems
- 13.39 Ordering Problem - People on a Ship
- 13.40 Guess - Stone
- 13.41 Too Much and Too Little Problem - Money
- 13.42 Multiple Quantities Problem - Three Men - Money
- 13.43 Twins
- 13.44 Find a Number Problems
- 13.45 Divide a Number Problems
- 13.46 Shared Work Problem - Cloth
- 13.47 Divide a Number Problems
- 13.48 Division of Roots
- 13.49 Addition of Roots
- 13.50 Subtraction of Roots
- 13.51 Find a Number Problems
- 13.52 Multiplication of Roots
- 13.53 Find a Number Problems
- 13.54 Divide a Number Problem
- 13.55 Find a Number Problems
- 13.56 Multiple Quantities Problem - Horseman, Merchant, Guest
- 13.57 Divide a Number Problem
- 13.58 Pursuit Problems
- 13.59 Encounter Problem - Two Couriers
- 13.60 Find the Height Problem - Two Towers
- 13.61 Whole from Parts Problem - Two Purses
- 13.62 Find a Number Problems
- 13.63 Multiple Quantities Problem - Three Purses
- 13.64 If You Give Me Problem - Two Men, Horse
- 13.65 How Much Problem - Tree
- 13.66 Too Much and Too Little Problem - Workers - House
- 13.67 Multiple Quantities Problem - Three Men - Money
- 13.68 Give and Take Problems
- 13.69 Multiple Quantities Problem - Men, Women, Children
- 13.70 Give and Take Problem - Earning and Spending
- 13.71 Buy and Sell Problem - Silk
- 13.72 Mixture and Alligation Problem
- 13.73 Find the Price Problem - Silver
- 13.74 Payment Problem - 100 minyanim
- 13.75 Rent Problem
- 13.76 Ordering Problem - Stones
- 13.77 Partial Payment Problem - Guesthouse, Goblets
- 13.78 Find the Price Problems - Three Types of Wool
- 13.79 Payment Problem - 12 Harvesters
- 13.80 Simple Barter Problem - Silver and Cloth
- 13.81 Simple Division Problem
- 13.82 Mixture and Alligation Problem
- 13.83 Proportional Division Problems
- 13.84 Multiple Quantities Problem - three men playing with a cube
- 13.85 Shared Work Problem
- 13.86 Compound Barter Problem - Cloth and Wool
- 13.87 Partnership Problems
- 13.88 Purchase - Unequal Amount Problem - Two Types of Wheat
- 13.89 Purchase - Equal Amount Problem - Five Coins
- 13.90 Payment Problem - Herdsman
- 13.91 Proportional Division Problems
- 13.92 Ordering Problem - Eggs
- 13.93 Mixture and Alligation Problems
- 13.94 How Many Problem - Group of People
- 13.95 Buy and Sell Problems
- 13.96 Purchase Problem – Moneychanger
- 13.97 Payment Problem - Digging a Hole
- 13.98 Motion Problem – Pursuit
- 13.99 Boiling Problems
- 13.100 Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree
- 13.101 Triangulation Problem
- 13.102 Payment Problem - Two Workers
- 13.103 Purchase Problem - Moneychanger
- 13.104 Multiple Quantities Problems
- 13.105 Proportional Division - Three Men Sharing Food
- 13.106 Give and Take Problem - Gatekeeper
- 13.107 Find the Fund Problem, Find the Interest Problem
- 13.108 Find the Price Problem - Oil and Wine - Double False Position
- 13.109 Pursuit Problem Problem - Dog and Rabbit
- 13.110 Divide a Number Problem - 30 into 4 parts
- 13.111 How Many Problem - Hours
- 13.112 Multiple Quantities - Boys Selling Eggs
- 13.113 Find the Volume - Suit
- 13.114 Currency Problem - Magen - Peraḥ
- 13.115 Simple Division Problem - Purse
- 13.116 Multiple Quantities Problem - Two Purses - Double False Position
- 13.117 Encounter Problem - Two Ants
- 13.118 Simple Division Problem - Four Sons
- 13.119 Partnership Problems - Three Partners
- 13.120 Multiple Quantities Problem - Four Purses
- 13.121 Partnership Problem - Four Partners
- 13.122 Find a Number Problem
- 13.123 Currency Problem - Tapuaḥ-Pašuṭ - Double False Position
- 13.124 To and From Problem - Ant Climbing
- 13.125 Triangulation Problem - Two Birds
- 13.126 Find a Number Problems
- 13.127 Extraction of Cube Roots
- 13.128 Find a Number Problems - Proportional Numbers
- 13.129 Guessing Problem - Distance
- 13.130 Proportional Division - Promissory Note
- 13.131 Partnership Problems
- 13.132 Barter Problems
- 13.133 Mixture and Alligation Problems
- 13.134 Purchase Problem - Five Types of Wheat
- 13.135 Buy and Sell Problems
- 13.136 Exchange Problems
- 13.137 Bay and Sell Problems
- 13.138 Give and Take Problems - Earning and Spending
- 13.139 Multiple Quantities - Grinders
- 13.140 Find the Time Problem - Months, Minyanim
- 13.141 Find the Amount Problems
- 13.142 Proportional Division Problem - Debt between Two Brothers
- 13.143 Purchase Problem - Unequal Amount - Two Kinds of Goods
- 13.144 Buy and Sell Problem - Eggs
- 13.145 Give and Take Problem - Building
- 13.146 Too Much and Too Little Problem - Workers
- 13.147 Give and Take Problem - Craftsman - Double False Position
- 13.148 "If You Give Me" Problem - Three Men, Merchandise - Quadruple False Position
- 13.149 Tare and Tret Problem - Silk
- 13.150 Find the Point Problem - Center of a Circle
- 13.151 Multiple Quantities Problem - Four Sons
- 13.152 Ordering Problem - Jews and Ishmaelites
- 13.153 Purchase Equal Amount Problem - Figs, Raisins, and Almonds
- 13.154 Find a Number Problems
- 13.155 If You Give Me Problem - Four Men and a Stranger
- 14 Guenzburg 30 - Additional Excerpt
- 14.1 Pricing Problem - Find the Amount - Wheat
- 14.2 Purchase Problem - Unequal Amount - Three Types of Wheat
- 14.3 Compound Barter Problem - Wheat and Cloth
- 14.4 Magic Square - 9 Squares, 16
- 14.5 Guess - Three Coins
- 14.6 Find a Number Problem
- 14.7 Geometrical Problems
- 14.8 Extraction of Roots
- 14.9 Find a Number Problem
- 14.10 Find the Perimeter Problem - a Square inside a Circle
- 14.11 Find the Perimeter Problem - a Circle inside a Square
- 14.12 Find a Number Problems
- 14.13 Guessing Problem - Distance
- 14.14 Find a Number
- 14.15 Triangulation Problem - Two Towers
- 14.16 Dividing a Figure Problem - Triangle into Squares
- 14.17 Extraction of Cube Roots
- 14.18 Rule of Three - Scales
- 14.19 "If You Give Me" Problem - Two Men, Money - Double False Position
- 15 London - Additional Excerpt
- 15.1 Find the Area Problem - Equilateral Triangle
- 15.2 Construction Problem - Tower
- 15.3 Gaging Problems
- 15.4 Triangulation Problem - Ladder
- 15.5 Construction Problems - Wall
- 15.6 Gaging Problem - Square Shape
- 15.7 Find the Area Problems
- 15.8 Triangulation Problem - Bridge
- 15.9 Find the Area Problem - Rhombus
- 15.10 Gaging Problem - Spring
- 15.11 Find the Price Problem - Stone
- 15.12 Find the Area Problems
- 15.13 Gaging Problems
- 15.14 Find the Volume Problem - Two Barrels
- 15.15 Find the Area Problem - Arc
- 15.16 Find the Side Problem - Chord
- 15.17 Find the Area Problems
- 15.18 Find the Side Problems
- 15.19 Find the Volume Problem - Box
- 15.20 Transformation Problem - Circle to Square
- 15.21 Find the Side Problem - Inscribed Triangle
- 15.22 Transformation Problems
- 15.23 Gaging Problems
- 15.24 Three Proportional Numbers
- 16 Appendix I: Glossary of Terms
- 17 Appendix: Bibliography
- 18 Notes
[1]עמי עשו | |
ספר דיני ממונות | |
בשם האל עלי כל חטא מכפר וגם ממציא כופר לכל עונות | |
אתחיל ספר הנותן אמרי שפר אשר קראתיהו דיני ממונות | |
ראו ספר מדריך כל מעיין אל היושר וגם שומרו מעלבון | |
בו יודע כל ערך גם מעוקב וכל שרש אשר יושב בחשבון | |
Prologue |
|
Since the divine intention and the will of God is to justify us with His holy Torah, given to us as a possession by Moses, the trusted of His house, to whom He spoke mouth to mouth, in a vision and not in riddles [Numbers 12, 8] and whom He singled out from all the prophets, as the sages said: All the prophets looked through a mirror that does not shine brightly, but Moses our master looked through a brightly shining mirror [Talmud, Yevamot 49b]. | מאחר שהיתה הכוונה הרבונית וחפץ השם להצדיקנו בתורתו הקדושה הנתונה לנו למורשה על יד משה נאמן ביתו מבחר המין האנושי פה אל פה דבר עמו במראה ולא בחידות[2] והבדילו משאר הנביאי כאמרם ז"ל כל הנביאים הסתכלו באספקלריאה שאינה מאירה ומרע"ה הסתכל באספקלריאה המאירה[3] והמצוחצחת |
This is from God's love for His people, because God does not do anything except for the sake of Israel, as Rashi wrote in his commentary of the Torah that as long as Israel were in the desert, condemned by God, blessed be He, Moses was like one of them, and He did not speak to him with bright countenance. | וזה מאהבת יי' עמו כי לא יעשה יי' דבר כי אם בשביל ישראל כמו שכתב רש"י בפי' התורה[4] כי כל עוד שהיו ישראל במדבר נזופים מהש"י משה היה כאחד מהם ולא דבר לו בפנים מאירים |
In giving His Torah to His people of Israel, God aimed at two reasons, in which all the affairs of this world and the next are included | והנה השם כיון בנתינת תורתו לעמו ישראל לשתי סבות אשר בם נכללו כל עניני העולם הזה והבא |
The first reason is to endow us the life of this world to live in health. | הסבה הראשנה היא להנחילנו חיי העולם הזה להחיות בבריאות |
As there are many commandments about this in the Holy Torah, such as the forbidden foods, by which the intention is that we should not eat anything that causes mold or sorrow, and the like, or strange diseases. | כמו שבאו הרבה מצוות על זה בתורה הקדושה כגון המאכלות אסורות אשר הכוונה היא שלא נאכל שום דבר מוליד עפוש או יגון וכיוצא בהם או חליים משונים |
As the cabbalist sage R. Menahem from Recanati [1310-1250] wrote and said that the one who eats abominations and creeping creatures and species of sick torn-to-pieces animals causes himself strange diseases and transgresses [the commandment] sanctify yourselves and you shall become holy [Leviticus 11, 44]. Furthermore, he causes himself beastliness, rudeness of the brain and the confusion of good thought and shall not see the beauty of the God [Psalms 27,4] in the abode of the righteous with his companions. | כמו שכתב החכם המקובל ר' מנחם מרקאנאטי כי אמר כי האוכל שקצים ורמשים ומיני בהמות חולניות וטרפות גורם לו חליים משונים ועובר על והתקדשתם והייתם קדושים[5] מצורף אל זה גורם לעצמו הבהמיות וגסות המוח ובלבול המחשבה |
Moreover, many commandments occur in the Torah, by which we direct ourselves toward the political and subtle [commandments] concerning matters of acquiring assets, such as the laws in Portion Mishpaṭim [Exodus 21:1-24:18], which constitute the principle and the foundation of the whole Torah. | ועוד באו מצוות רבות [7]בתורה אשר באמצעותם ניישיר עצמינו אל המדיניות והדקות בענין השגת הממונות כגון הדינין שבפרשת משפטים אשר הם שרש ויסוד כל התורה בכללה |
It is known to those who have eyes to see, and ears to hear, and a heart to know [Deuteronomy 29, 3], that man has no ability to make a true judgment and to pronounce truth, unless he is skilled in arithmetic. | וידוע הוא למי שיש לו עינים לראות ואזנים לשמוע ולב לדעת כי אין ביכולת שום אדם לדון דין אמת וליתן אומר באמתות אם לא יהיה בקי בחכמת החשבון |
For instance, Reuven owes Shimon 5 ma‘ot, and he comes before the judge for verdict, if the judge would not know what is a ma‘ah is and how many peshuṭim or peruṭot it is, he would not be able to rule the verdict and verify it completely. | כאלו תאמר ראובן חייב לתת לשמעון ה' מעות ויבא אצל הדיין לדין הנה אם הדיין לא ידע מהו המעה וכמה פשוטים הם או כמה פרוטות לא יוכל להחליט הדין ולאמתו לגמרי |
כמו שביאר ג"כ בפרשת משפטים בענין שור נגח אמר הכתו' ומכרו את השור החי וחצו את כספו וכו' | |
If the judge does not learn the method of division, how will he be able to divide the ma‘ot between these two rivals? | ואם לא ילמד הדיין אופן החלוק איך יוכל לחלק המעות בין שני אלו המריבים |
Also in Bechukotai portion regarding the sale of the lands it is said: He shall reckon with his buyer [Leviticus 25, 50] and return the surplus to the man to whom he sold it [Leviticus 25, 27] | וגם בפרשת בחקותי בענין מכירת הקרקעות אמר וחשב עם קונהו[8] והשיב את העודף לאיש אשר מכר לו[9] |
If the judge does not know to divide fairly and correctly as his duty imposed upon him, he will be found breaking the law Thou shalt not wrest the judgment [Exodus 23, 6]. | ואם לא ידע הדיין או השופט לעשות החלוק כהוגן וכשורה כמוטל עליו חובה נמצא שהוא עובר על לא תטה משפט |
וגורם הגלות והטרוד והטלטול לו ולכל ישראל כאמרם גלות בא לעולם על עוות הדין | |
ומצוות אחדות עצמו מספר נכללו בזאת הסבה הראשנה ר"ל עניני העולם הזה | |
ולכן ראוי לאדם שינהיג עצמו באופן ישיג תפישתו דרך כבוד ואל יחסר פת בצלו | |
ואולם הסבה מהשגת המנוחה והחיים הנצחיים בעת יפרדו איש מעל אחיו ר"ל הנפש מהגוף זה מבואר בכמה מקומות בתורה אמר על כבוד אב ואם למען ייטב לך והארכת ימים וארז"ל למען יטב לך לעולם שכלו טוב והארכת ימים לעולם שכלו ארוך | |
R. [Ya’ako] says: there is no reward [for performance] of commandments in this world [Chullin 142a], because we find the length of days for honoring one's father and mother [Mishnah Peah 1] and for sending away the mother, as a man said to his son: "Go up to the attic and bring me chicks!" and he went up to fulfill his father's commandment and sent the mother away from the children and took the children and while he was going down, the ladder broke and he fell and died. Where is the goodness of this one? Where is the length of days of this one? Rather, “that it may be well with you” means in the world where all is good; and “that your days may be long” means in the world that is entirely long [Chullin 142a]. | וגם תמצא לשון זה בגמרא אמר הכתוב בשלוח האם שלח תשלח את האם ואחר אמר למען יטב לך והארכת ימים שזה רומז אל העולם המקווה שהוא כלו ארוך כי שכר מצוות בהאי עלמא ליכא כמו שהוכיחו ז"ל בכח מרוב פלפולם וחכמתם כי לא נעלם מהם שום דבר כמו שארז"ל במסכת כתובות [10]ר' עקיבא אומר שכר מצוות בהאי עלמא ליכא כי הנה מצינו אריכות ימים על כבוד אב ואם ועל שלוח האם הרי שאמר אדם לבנו עלי לבירה והבא לי גוזלות והאם רובצת על הבנים וזה עלה לעשות מצוות אביו ושלח האם מעל הבנים ולקח הבנים ובעודו יורד נשבר הסולם ונפל ומת היכן טובתו של זה היכן אריכות ימים של זה אלא למען יטב לך לעולם שכלו טוב ולמען יאריכון ימים לעולם שכלו ארוך[11] |
However the first reason forced me to write a short treatise, in which to include all the matters of number in brief. | ואולם הסבה הראשנה בכריחתני לחבר חבור קטן אכלול בו כל עניני המספר בקצור דברים |
I did that in order to fulfill the commandments of my friends who begged me and asked me to compose for them something on arithmetic. | ועשיתי זה כדי לעשות מצוות חבירי אשר חלו בי ובקשו ממני שאחבר להם איזה דבר על חכמת המספר |
This has brought me in the path of this composition [or translation/ copying] not to brag and boast, and take a crown on my head and not to talk on things greater and wondrous than me as did the wise man R. A. [probably R. Abraham Ibn Ezra] and Maestro Leon [called R. Levi ben Gershom] in Maase Ḥoshev, for each of them ascended in the degrees of sciences, grasped the branches of ideas. | וזה הביאתני במשעול ההעתקה הזאת לא להתגדל ולהתהדר ולקחת עטרה לראשי ולא שאדבר בגדולות ובנפלאות ממני כמו שעשו רא' ומאישטרו ליאון במעשה חושב כי כל אחד מהם עלה במעלות אחז' במושכלות |
I called this treatise Diney mamonot [= laws of properties], because through it the worth of every property and the value of everything relating to trade and bargaining will be known in all possible manners. | והנה קראתי החבור הזה דיני ממונות יען כי בו יודע שווי כל ממון וערך כל דבר של מסחר ומקח וממכר בכל האופנים שאפשר |
וקודם כל דבר אשאל עזר מאלהי ישעי יהיה עם פי בעת הטיפי | |
ועם לבבי בעת מחשבי וישמרני משגיאות וינקני מזדונות ויחשכני | |
מעוונות יהיו לרצון אמרי פי והגיון לבי לפניך יי' צורי וגואל | |
והנה שקטה הסכמתי לחלק זה החבור לי"ב שערים | |
השער הא' ידבר על חבור השלמים קצתם עם קצת גם נדבר בו מחבור המספרים המטבעים המתחלפים | |
השער הב' ידבר על מגרעת השלמים קצתם מקצתם גם נדבר על מגרעת הממון גם נדבר על מאזני הדינרין כי דרך אחד להם וכן ג"כ בשער החבור | |
השער הג' ידבר על הכפל בכל האופנים אשר אפשר להמצא גם על מאזני הדינרין | |
השער הד' ידבר על [12]השלמים בכל הדרכים הנהוגים היום גם על מאזניהם | |
השער הה' ידבר על חבור השברים מין עם מינו גם שלמים עם שברים | |
השער הו' ידבר על מגרעת השברים זה מזה גם על מגרעת שלמים עם שברים | |
השער הז' ידבר על כפל השברים זה על זה גם על כפל שברים עם שלמים | |
השער הח' ידבר על חלוק השברי' זה על זה גם על חלוק שלמים עם שברים גם על חלוק שברים עם שלמים עם שברים ושלמים | |
השער הט' ידבר על ענין הערכין והסחורות | |
ונחלק זה השער לשלשה חלקים | |
החלק הא' ידבר על ערך שלמים עם שלמי' | |
והחלק הב' הוא ערכי השברים עם שברים | |
והחלק הג' ערכי שלמים עם שברים | |
השער הי' ידבר על הוצאת השרשים | |
וגם נחלק זה השער לג' חלקים | |
החלק הא' הוצאת שרש השלמים | |
והחלק הב' הוצאת שרש השברים | |
והחלק הג' הוצאת שרש שלמי' ושברים | |
השער הי"א ידבר על המאזנים הן מן הכפל הן מהחלוק וכן לשאר המלאכות בין בשברים בין בשלמים בין בשברים עם שלמים | |
השער הי"ב נחבר בו שאלות אשר קצתם תלויות בערכין ומקצתן בשרשים הן בכפל ומהם בחלוק ומהם מורכבות מכפל וחלוק או מערכין ושרשים | |
וכדי להרגיל הקורא והמעיין בחבור זה באופן ימצא איזו שאלה שתהיה מאיזה דגל הוא אם מחלוק או ממגרעת או מכפל או מערכין או משרשים | |
ויהיה קל למבין וישר [13]למוצאי דעת וצדיקים ילכו בו וזה החלי לעשות ומי שזכני להתחיל הוא יזכני להשלים אמן ואמן | |
אנא אלי שמרני משגיאות כי אתה נקרא מיישיר כל עקוב | |
תצרני מאנשי ריב ומדון וגם תקוב כל איש עקוב יעקב | |
ומאשפות דלותי תעלני | |
אני עבדך גד בר' יעקב | |
אל שדי טהר רשעי | |
ושמע קולי | |
בעת רצון ישועתך ענני | |
קדוש בך חסייה נפשי | |
תמיד מרגשת פועלי און שמרני |
The First Chapter Discusses the Addition of Integers to Each Other, as well as the Addition of Coins and the Scales of the Dinar, Since They Have Another Method |
השער הראשון ידבר על חבור השלמים קצתם עם קצתם גם על חבור המטבעי' ועל מאזני הדינרין כי דרך אחרת להם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם יאמר לך אדם קבץ לי שלשה מספרים אשר הא' הוא רכ"ג והשני שמ"ב והשלישי תכ"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ראוי לקבץ תחלה האחדים עם האחדים והם גב"ב ויעלו ז' ושים אותם למטה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נקבץ העשרות שהם בד"ב ויהיו ח' ונשימם במדרגת העשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נחבר המאיות שהם דג"ב ויהיו ט' ונשימם במקום המאות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ יעלה ט' מאות ופ"ז ותרשמם כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you are told: sum three numbers, all three have a zero in the rank of tens. | ואם יאמר לך קבץ לי ג' מספרים אשר יהיה ציפרא בכל שלשתם במדרגת העשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאלו תאמר קבץ לי ר"ג עם ת"ב ועם תת"ט | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה נחבר תחלה האחדים שהם טב"ג ויהיו י"ד ושים ד' במקום האחדים ותחזיק א' עמך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[14]אחר כך תחבר כל העשרות ולא תמצא שם כי אם ציפרא ולכן נשים הא' שעלה לנו מן האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נחבר המאות שהם י"ד ונשים ד' במקום המאיות וא' במדרגה רביעית שהם אלפים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויהיה העולה אלף וד' מאות וי"ד כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לחבר שום מספר אשר בראשון יהיה ציפרא באחדים ובעשרות וב' במאיות ובמספר השני יהיה ציפרא באחדים ובעשרות ד' ובמאיות ב' ובמספר השני יהיה ג' באחדים וציפרא בעשרות וד' במאיות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ככה תעשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תתחיל מהאחדים ותמצא בם ג' ושימם במקום האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ חבר העשרות שהם ד' ושימם במקום העשרו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ חבר המאיות שהם בב"ד ויעלו ח' ושימם במקום המאיות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויהיה א"כ העולה ח' מאות ומ"ג כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לחבר ד' מספרים אשר בראשון יש בו ד' אלפים וב' מאות וד' ובשני יש ב' מאות וי"ב ובשלישי יש י"ב וברביעי ל' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה ראוי לקבץ האחדים שהם בב"ד והם ח' ושים ח' במקום האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תחבר העשרות שהם גא"א ויהיו ה' ותשימם במדרגת העשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ חבר המאיות שהם ב"ב ויהיו ד' ושימם במקום המאיות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ קבץ האלפים שהם ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויהיה היוצא ד' אלפים וד' מאות ונ"ח כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Addition of Coins |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you wish to sum any number that includes different numbers such as minyanim, carlini, gerot, dinar: | ואם תרצה לקבץ איזה חשבון יהיה בו מספרים מתחלפים כאלו [15]מנינים וקרליני וגרות ודינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
First you should sum the dinar, then the gerot, then the carlini, or tari, and then the minyanim. | ראוי לקבץ תחלה הדינרין אח"כ הגרות ואחר כך הקרליני או הטאריני ואח"כ המנינים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לקבץ ד' מספרים כל אחד ואחד מד' מטבעי' מתחלפים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
במספר הראשון יש בו ב' מנינים וג' קרליני וד' גרות וב' דינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובמספר השני יש בו ה' מנינים וג' קרליני וב' גרות וא' דינר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובמספר השלישי ד' מנינים וב' קרליני וא' גרה וג' דינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובמספר הרביעי יש ה' מנינים וט' קרליני וז' גרות וב' דינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נתחיל לקבץ הגרות שהם ב' ג' א' ב' ויהיו ח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ודע כי הו' דינרין שוים גרה אחת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן נעשה מו' מהם גרה וישארו ב' ושים ב' במקום הדינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נחבר הגרות שהם ז' א' ב' ד' והם י"ד ועם הא' שיש לנו יהיו ט"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ודע כי העשרה גרות שוות קרליני אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וישארו עדין ה' גרות ושים ה' במקום הגרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ חבר הקרליני שהם טבג"ג ויעלו י"ז ועם האחד שיש לנו יהיו י"ח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ודע כי הי' קרליני הם דוקאטו אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן נשים ח' קרליני ונעכב עמנו העשרה שהם מגן אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כן נחבר המנינים שהם הדה"ב שהם י"ו ונחבר עמם א' ויהיו י"ז | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ היוצא הוא י"ז מנינים וח' קרליני וה' גרות וב' דינרין כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לבחון אותו השלך כל התשיעיות מכל אלו הד' מספרים וישאר אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ השלך כל הט' מהמספר היוצא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותקח בעד כל גרה שעשית מהדינרין ה' ותחבר אותם עם המספר ר"ל עם הסך העולה וישאר ג"כ אחד כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לחבר ג' מספרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
בראשון ב' מנינים [16]וג' קרליני וד' גרות וד' דינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובשני יש בו א' מגן וב' קרליני וג' גרות וד' דינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובמספר השלישי יש א' מגן וה' קרליני וג' גרות וה' דינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תחבר ראשנה הדינרין שהם הד"ד ויהיו י"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נעשה מהם ד' גרות נשאר א' דינר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ חבר הגרות שהם גג"ד ויהיו י' תחבר עמהם ב' ויהיו י"ב ושים ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ חבר הקרליני שהם הב"ג ויהיו י' ושים עמהם א' ויהיו י"א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ חבר המנינים שהם אא"ב והם ד' נשים עמהם הד' ויהיו ה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ סך העולה הוא ה' מנינים וא' קרליני וב' גרות וא' דינר כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לבחון אותו השלך כל הט' מלמעלה הנשאר א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחר כן שוב אל היוצא וגם השלך כל התשיעיות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר עמם בעד כל גרה ה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה הטעם בזה כי הו' דינרין העומדים למעלה ר"ל במספרים העליונים ולמטה הו' אינם שוים כי אם א' גרה ר"ל א' דינר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן נקח בעד כל דינר שעלה לנו מחבור הדינרין חמשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נקח בעד הב' גרות עשרה ונחבר אותם עם הסך העולה וישאר ג"כ א' והוא שוה אל האחד השמור כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
What we wanted to explain in the first chapter has been completed. | ובכאן נשלם מה שרצינו לבארו בשער הראשון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
God will protect us as the apple of the eye [Psalms 17, 8]. | והשם ישמרנו כאישון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The Second Chapter Discusses Subtraction as well as Subtraction of Currencies |
[17]השער השני ידבר על המגרעת גם על מגרעת הממון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that when you want to subtract, you should start from the units and write the greater number above and the smaller beneath. | דע כי כשתרצה לגרוע שים מספר ראוי להתחיל מן האחדים ולשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Start subtracting from the units: subtract the lower units from the units above and write the remainder on a third line. | ותתחיל לגרוע מהאחדים ותגרע האחדים השפלים מהאחדים אשר למעלה ותשים הנשאר בקו שלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Then, subtract the lower tens from the upper tens. | ואחר [18]תגרע העשרות התחתונות מהעשרות העליונות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Do the same with the thousands and so on until all the numbers are gone and what you have left is the required. | וכן תעשה מהאלפים וכן עד כלות כל המספרים ומה שישאר לך הוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לגרוע מן רל"ד קכ"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הורידם בב' שטות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תתחיל הגרעון מן האחדים ותגרע מן הד' אשר למעלה הב' אשר למטה הנשאר ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע מן הג' עשרות מלמעלה הב' עשרות מלמטה הנשאר א' ושים אותו למטה במקום העשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע המאיות וגרע מן הב' מאיות אשר מלמעלה א' מאה מלמטה הנשאר אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ נשארו עדין קי"ב כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לבחון אותו תחבר המספר הקטן עם מה שנשאר עדין וישוב כמו המספר הגדול | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תרצה השלך כל התשיעיות מהמספר הגדול הנשאר ציפרא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ השלך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר ג"כ ציפרא והוא שוה אל הציפרא השמורה כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you wish to add up minyanim, tari, gerot, and dinar: | ואם תרצה לחבר מנינים עם טרין ועם גרות ועם דינרין יש לך לקבץ הדינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לחבר ב' מנינים וא' טריני וח' גרות וה' דינרין עם ב' מנינים וב' טרי וי"ב גרות וד' דינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה יש לך לחבר ראשנה הדינרין שהם ד' ויהיו ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים ג' במקום הדינרין ויש לנו גרה אחת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נחבר הגרות שהם ח' וי"ב וא' ויהיו כ"א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נעשה מהכ' טרי אחד וישאר א' ושימהו במקום הגרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ חבר הטרי שהם ב' וא' ועם הא' יהיו ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים ד' במקום הטאריני | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ חבר המנינים שהם ב"ב ויהיו ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ יהיה סך העולה ד' מניני' וד' טרי וא' גרה וג' דינרין כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לבחון אותו השלך כל הט' מכל [19]המספרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ השלך כל התשיעיות מן היוצא ועל כל גרה שיצא לך מן הדינרין קח ה' ועל כל טרי שיצא לך מן הגרות קח א' ועל כל מגן שיצא לך מהטאריני קח ד' ויצא לך מספר שוה למספר העליון והתשובה בה ציפרא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Here ends the first chapter. | ובכאן נשלם השער הראשון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The Second Chapter Discusses the Subtraction of Integers from Each Other as well as the Subtraction of Currencies | [20]השער השני ידבר על מגרעת השלמים קצתם מקצתם גם על מגרעת הממון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that this chapter is easy to understand with a little study and we discuss this chapter briefly, even sometimes by hinting, because a little is enough. | דע כי השער הזה הוא קל להבין במעט עיון ונדבר בזה השער בקצור גם לפעמים ברמיזה כי המעט יספיק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that when you want to subtract a number from another number, you must write the greater number above and the smaller below, then start subtracting from the units. | ודע כאשר תרצה לגרוע מספר מה ממספר אחר צריך שתשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה ותתחיל לגרוע מהאחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Still, I will give proper ways to start from the last digit, i.e. from the thousands, or the tens of thousands, if it reaches the tens of thousands or more. | ועדין אתן דרכים נכונים להתחיל הגרעון מהמספר האחרון ר"ל מן האלפים או מן העשרות אלפים אם הוא מגיע אל האלף הי' או ליותר מכן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Subtract the lower units from the upper [units], then the lower tens from the upper [tens], and likewise for the hundreds and the thousands and so on until they end. | ותגרע האחדים התחתונים מן העליונים ואח"כ העשרות התחתונות מהעליונות וכן המאיות והאלפים עד תומם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לגרוע מן רמה קכ"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הורידם בב' שטות אח"כ תמשוך קו שלישי תחתיהם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותתחיל לגרוע מן האחדים שהם הג' ותקח מה' ג' הנשאר שנים ושים אותם בקו ג' במקום האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע העשרות ר"ל ב' מד' הנשאר ב' ושים אותם למטה במקום המאיות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע המאיות ותגרע א' מב' הנשאר א' ושימם למטה במקום המאיות בקו שלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ הנשאר הוא קכ"ב וזאת צורתם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון אחר נרצה להוציא ממספר שמ"ט מספר ר"ז | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תתחיל מן האחדים ותוציא ממספר ט' שלמעלה ה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע העשרות והנה למטה [21]ר"ל במספר התחתון תמצא ציפרא ולכן ראוי שתאמר מד' עשרות שהם למעלה במספר הגדול תגרע ציפרא שהיא למטה הנשאר ד' ושים אותם הד' במקום העשרות למטה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע המאיות זאת לדעת ב' מג' נשאר א' ושום אותם למטה במקום המאות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ הנשאר הוא קמ"ב על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון אחר נרצה לגרוע מג' מאות וד' רנ"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה נגרע ראשנה ג' מד' נשאר א' ושום אותו למטה בקו שלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע העשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I will give you a rule so that you can never be wrong: when you see that the bottom number is greater than the upper, i.e. that one of the lower digits is greater than the one corresponding to it above, in whichever rank it may be, you should draw a dot beneath, next the digit that follows the greater, so that this [dot] is worth ten with the smaller digit above and in its place, i.e. below where it is, it is worth one. | והנה אתן לך כלל בדבר שלא תוכל להחטיא לעולם כי כשתראה שהמספר התחתון הוא יותר גדול מהעליון ר"ל [כשא'][22] שהאותיות התחתונות היא יותר גדולה מאותה שכנגדה למעלה באיזו מדרגה שתהיה הנה יש לך לעשות נקדה למטה אצל האות הבאה אחר הגדולה ואותה האות שוה עשרה למעלה אצל האות הקטנה ובמקומה שוה אחד ר"ל למטה באשר הוא שם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נרצה לגרוע אותם הה' עשרות שהם למטה מהציפרא אשר למעלה ולא נוכל כי לא נוכל להסיר ה' מציפרא לכן עשה נקדה למטה אצל הב' מאות ואותה הנקדה ישווה למעלה במקום הציפרא עשרה ולכן תגרע ה' מי' הנשאר ה' ושימם במקום העשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחר כן גרע המאות שהם שנים למעלה וכבר אמרנו כי הנקדה שוה א' ונחבר אותו עם הב' ויהיו ג' גרע מג' ג' הנשאר מאומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ הנשאר עדין נ"א על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון אחר נרצה לגרוע ממספר ב אלפים ומ' מספר אלף ות"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הורידם בשתי שטות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ התחיל מהאחדי' ותגרע מהציפרא העומדת למעלה במקום האחדים השלשה אשר הם למטה כנגדו ולא נוכל ולכן יש לך לעשות נקדה למטה במקום העשרות אצל הציפרא וישוה א' במקומו ר"ל במקו' [23]הציפרא של מטה ובציפרא אשר למעלה במקום האחדים היא שוה עשרה וגרע עתה מאלו העשרה הג' אשר למטה הנשאר ז' ושימם בקו שלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ גרע מן הד' אשר הם למעלה במקום העשרות הא' אשר היא למטה אשר היא אצל הנקדה הנשאר ג' ושימם במקום מדרגתם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע המאיות ותגרע מהציפרא אשר למעלה במקום המאיות הד' אשר למטה במקום המאיות ולא נוכל לכן נעשה נקדה למטה אצל האלף הנמצאים שם ואותה הנקדה שוה אחת במקומה ולמעלה אצל הציפרא שוה עשרה ונקח מאלו הי' שהם למעלה הד' שהם למטה הנשאר ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נסיר האלפים מן האלפים ונסיר מן ב' אלפים שהם למעלה ב' אלפים שהם למטה עם הנקדה ששוה אחת ולא ישאר כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ מה שנשאר הוא תרל"ז על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
However, if you want to subtract a small number from another greater number without [using] a dot, and without starting the subtraction from the units, but from the greatest [rank], i.e. from the thousands or higher, as high as it rises, do as follows: | ואולם אם תרצה לגרוע חשבון קטן מחשבון אחר גדול בזולת נקדה וזולת שתתחיל הגרעון מן האחדים כי אם מהאות הגדולה ר"ל מהאלפים או יותר אם יעלה כל כך למעלה ככה תעשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If all the digits of the lower number are smaller than the upper digits, this matter is easy. | אם כל האותיות מהמספר השפל הם פחותות מהאותיות העליונו' הדבר הוא קל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If one of the lower digits is greater than the upper [digit], this matter is a little difficult: you must shift one backwards from the last rank [...] as you will see in the examples: | ואם אחת מהאותיות השפלות יותר גדולות מהעליונות הדבר הוא מעט קשה והוא כי תצטרך להשיב אחת מהמדרגה האחרונה אחורנית לפי שלפעמים המדרגה השלישית או האמצעית כפי מה שתראה בדמיונו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון נרצה לגרוע מן רמ"ו מספר קל"ה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ראוי להתחיל מן המאיות שהיא המדרגה אחרונה ותגרע מן ב' שהם המאיות העומדות למעלה הא' אשר למטה ג"כ במקום המאיות הנשאר א' ושים אותו למטה בקו שלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע העשרות ותגרע הד' אשר הם העשרות שלמעלה ג' שהם העשרות של מטה הנשאר א' ושים אותה בקו שלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע האחדים ותגרע מן הו' אשר למעלה הה' אשר למטה במקום האחדים הנשאר א' ושים אותו בקו שלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ נשאר עדין קי"א וזאת היא [24]צורתם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Yet, if one of the bottom digits is greater than the one that corresponds to it above, you should shift backwards one of the upper digits to the greater one. | ואולם אם אחת מהאותיות תחתונות היא יותר גדולה מאותה שכנגדה למעלה ראוי לך להשיב אות אחת מהאותיות העליונות הקודמו' אל הגדולה אחורנית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When subtracting numbers, 1 is enough for you, but when subtracting currencies, 2 or 3 should be shifted backwards, depending on the value of the currency. | והא' יספיק לך במגרעת המספר אבל במגרעת הממון יצטרך להשיב ב' או ג' אחורנית כפי שווי הממון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
You will see all this in visual examples, not in riddles. | והכל תראה בדמיונות במראה ולא בחידות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון נרצה לגרוע מתס"ח מספר שפ"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תתחיל מהמאות ותגרע מהד' שהם למעלה הג' שהם למטה והנה נשאר א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והיה מן הדין לשים אותו למטה בקו שלישי אבל מאחר שהאות אשר היא למעלה במקום העשרות היא יותר קטנה מאותה שכנגדה למטה במקום העשרות ג"כ לכן תשיב זה האחד אחורנית ותחברהו אל הו' אשר הם למעלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ודע כי זה האחד אשר שב אחור הוא שוה עשרה לעולם אצל המדרגה הבאה אחריה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
א"כ זה האחד אשר הוא אצל המאות ישוה עשרה אצל הו' אשר הם למעלה במקום העשרות ועם הי' יהיו י"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע מי"ו הח' אשר למטה הנשאר ח' ושום כל אלו השמנה במקום העשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע האחדי' והם למעלה ח' ולמטה ב' ותגרע ב' מן ח' הנשאר ו' ושים אותם למטה בקו שלישי במקום האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ הנשאר הוא פ"ו וזאת היא צורתם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that sometimes you have to shift one digit two ranks backwards and sometimes three or four, according to the given number and according to its largeness and smallness. | ודע כי לפעמים תצטרך להשיב אות א' בב' מדרגות מתחלפות אחורנית ולפעמים ג' או ד' כפי המספר המונח וכפי גדלו וקטנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון נרצה לגרוע מן ד' אלפים ושכ"א ג' אלפי' ותנ"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה יש לך להתחיל מהאלפים ותגרע מן הד' העליונים הג' התחתונים הנשאר א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן נשיב זה הא' אחורנית כי המאיות השפלות הם מיותרות על העליונות וזה הא' אשר ישוב אחור ישוה עשרה למעלה במקום המאות שהם ג' וא"כ יהיו י"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מי"ג ד' [25]הנשאר ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולא תשימם כלם אלא נניח ח' ונעכב א' עמנו מצד כי המספר העליון אשר הוא במקום העשרות הוא פחות מאותו שלמטה כנגדו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכבר אמרנו שכל אחד שוה עשרה ולמעלה תמצא במקום העשרות ב' ועם א' שוה י' הם י"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תסיר מי"ב הה' אשר למטה במקום העשרו' הנשאר ז' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולא נניח מאלו הז' כי אם ו' בקו שלישי מפני כי יש לנו לגרוע האחדים מלמטה שהם גדולים מן האחדים מלמעלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה למעלה במקום האחדים תמצא אחד ועם הא' ששב לאחור יהיו י"א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תסיר מי"א ו' שהם למטה במקום האחדים הנשאר ה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושימם כלם כי אין לך להשיב אחורנית שום מדרגה כי כבר שבנו לאחור כל מה שיכולנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ הנשאר אחר הגרעון הוא תתס"ה על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you wish to subtract a number that has a zero above or below, shift backwards if you need, otherwise [leave it in its place]. | ואם תרצה לגרוע מספר יהיה בו ציפרא או למעלה או למטה תשיב אחור אם תצטרך ואם לאו מקומך אל תנח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לגרוע מן ה' אלפים וס' ב' אלפים וש"ד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה תתחיל מהאלפים ותגרע מן הה' העליונים הב' תחתונים הנשאר ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה לא נשים בקו שלישי מאלו הג' כי אם ב' והא' נחזיק עמנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשיב זה הא' אצל הציפרא אשר היא למעלה במקום המאות וישוה י' כנזכר למעלה ונסיר מהם ג' שהם למטה מכוונים אצלם ר"ל במקום המאיות ג"כ הנשאר ז' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים כל אלו הז' ולא תעכב עמך מאומה מצד כי המספר העליון ר"ל מדרגת העשרות אשר הם למעלה היא יותר גדולה מאותה השפלה שכנגדה ר"ל כי הו' שהם למעלה במקום העשרות הם יותר מהציפרא שהיא למטה במקום העשרות ג"כ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותסיר ציפרא מן ו' הנשאר ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולא נשים כל אלו הו' אלא נעכב א' עמנו בעבור כי הד' שהם למטה במקום האחדים הם יותר גדולים מהציפרא שהיא למעלה במקו' האחדים ג"כ ותשים הה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותשיב זה הא' אחורנית וישוה עשרה ותסיר מי' הד' שהם למטה במקום האחדים וישאר ו' ושים אותם בקו שלישי במקום האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[26]הנה א"כ הנשאר הוא ב' אלפים ותשנ"ו וזאת היא צורתם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Subtraction of Coins |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Now, we want to discuss the subtraction of different coins from each other. | ועתה נרצה לדבר על מגרעת הממון ממטבעים מתחלפים זה מזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
We start subtracting from the smallest [kind of] currency, as we do in the [subtraction] of numbers, when we start subtracting from the units. | ונתחיל לגרוע מהמטבע היותר קטן כמו שעשינו במדרגת המספר שהיינו מתחילים הגרעון מן האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Later, we will discuss the subtraction of currencies, in which we start with the greater [kind of] currency, as we did in the examples above, when we started the subtraction of numbers, i.e. from the highest rank. | אח"כ נדבר על מגרעת הממון ונתחיל מן המטבע הגדול כמו שעשינו בדמיונות למעלה כשהתחלנו הגרעון מהמספר ר"ל מהמדרגה היותר עליונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לגרוע מן רל"ג זהובים וג' טרי וד' גרות וה' דינרין סך קכ"ד זהובים וד' טרי וו' גרות וג' דינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ראוי להתחיל מן הדינרין שהיא המטבע היותר פחותה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותגרע מן הה' דינרין שלמעלה הג' מלמטה וישארו ב' ושים אותם בקו ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע הגרות וד' מהד' שלמעלה הו' מלמטה ולא נוכל לכן נעשה נקדה למטה במקום הד' טריני | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואותה הנקדה שוה עשרים גרות למעלה במקום הגרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונחבר אליהם הד' גרות שהם למעלה ויהיו כ"ד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם ו' הנשאר י"ח ושים אותם בקו שלישי אצל הגרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע הטריני ותגרע מהג' טריני מלמעלה הד' שלמטה ולא נוכל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנקדה שבה שהיא שוה א' ועם הד' הם ה' ולא נוכל להסיר מן ג' ה' ונעשה נקדה למטה במקום אחדי הזהובים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ודע כי אותה הנקדה שוה ה' למעלה במקום הטריני מצד כי הה' טריני שוים זהוב א' ובמקומו אינו שוה כי אם א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נחבר אלו הה' אל הג' ויהיו ח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם ה' וישארו ג' ושים אלו הג' למטה במקום הטרי בקו שלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע הזהובים ותגרע מן הג' שהם במקום האחדים למעלה הה' שהם במקום האחדים למטה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום העשרות וישוה עשרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם הג' ויהיו י"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תחסר מהם ח' הנשאר ה' ותניחם למטה בקו שלישי במקום האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
א"כ תגרע העשרות וזה מן הג' העליונים הג' התחתונים עם הנקודה שבה הסר ג' מג' הנשאר ציפרא ושים ציפרא [27]בקו ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע המאיות וזה מן ב' התחתונים א' העליון הנשאר א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ הנשאר אחר הגרעון הוא ק"ח מנינים ג' טרי י"ח גרות ב' דינרין כזאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to subtract from a number that includes zehuvim, tari, gerot and dinar, a number that consists only of zehuvim: | ואם תרצה לגרוע ממספר שיהיה בו זהובים וטארי וגרות ודינרין מספר שלא יהיה בו כי אם זהובים לבד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאלו תאמר נרצה לגרוע מן רל"ד זהובים וג' טרי וב' גרות א' דינר מספר קמ"ה זהובים בלי טרי וגרות ודינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה יש לך להתחיל מהמטבע היותר פחותה ותגרע מן הדינר אשר הוא למעלה הציפרא אשר היא למטה הנשאר א' נשים א' בקו שלישי במקום הדינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע הגרות וזה מן הב' גרות אשר הם למעלה הציפרא אשר היא למטה הנשאר ב' ושים אותם למטה בקו ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע הטרי וזה מן הג' אשר למעלה הציפרא מלמטה הנשאר ג' ושים אותם למטה בקו שלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע הזהובים וזה מן הד' אשר למעלה במקום האחדים תגרע הה' אשר למטה במקום האחדים ג"כ ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום העשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונצרף אותה אל הד' העליונים ויהיו י"ד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם חמשה הנשאר ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נגרע מהג' אשר למעלה במקום העשרות החמשה השפלים ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום המאיות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונחבר אותה אל הג' העליונים ויהיו י"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נחסר מהם ה' הנשאר ח' ושים אותם במקום העשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע המאות שהם ב' מב' הנשאר מאומה ולכן שים ציפרא במקומם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ נשאר עדין הוא פ"ט זהובים ג' טרי ב' גרות א' דינר כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לגרוע תנ"ו זהובים בלי שום טרי ושום גרה ובלי שום דינר מספר שפ"ז זהובים ב' טרין ג' גרות ד' דינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה יש לך להתחיל מן הדינרין ותחסר מן הציפרא אשר למעלה הד' אשר [28]אשר הם למטה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה אצל הג' גרות הנמצאי' לשם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואותה הנקדה ישוה למעלה במקום הדינרין ששה בעבור כי הו' דינרין הם גרה אחת שלימה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונחסר מו' ד' הנשאר ב' ושים אותם למטה בקו שלישי אצל הדינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע הגרות ותגרע מן הציפרא אשר היא למעלה הד' אשר הם למטה עם הנקדה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה אצל הב' טרי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וישוה אותה הנקדה למעלה במקום הגרות עשרים מצד כי עשרים גרה השקל ר"ל הטרי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונחסר מכ' הד' מלמעלה הנשאר י"ו נשים אותם למטה אצל הגרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע הטרי וזה מציפרא נסיר שלשה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום אחדי הזהובים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואותה הנקדה שוה ה' מצד כי זהוב א' שוה ה' טרי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותסיר מה' ג' הנשאר ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע הזהובים וזה מו' נסיר ח' ולא נוכל ולכן יש לך לעשות נקדה למטה במקום עשרות וישוה עשרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחברם אל הו' ויהיו י"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותגרע מהם ח' הנשאר ח' נשים אותם במקום האחדים למטה בקו שלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע העשרות וזה שתחסר מה' ט' ולא נוכל לכן יש לך לעשות נקדה למטה במקום ג' מאות וישוה עשרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחברם אל הה' ויהיו ט"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחסר מהם ט' הנשאר ו' ושים אותם למטה במקום העשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ הנשאר מהמגרעת הוא ס"ח מנינים ב' טרי י"ו גרות ב' דינרין וזאת היא צורתם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
However, if you want to subtract in another way, i.e. if you want to start subtracting from the greatest [type of] currency, you should look if there is any digit below, in any place of any currency, that is greater than the corresponding digit above of the same currency. You should shift one backwards and apply the whole procedure with the one that is shifted backwards. If it is not greater, you do not need to shift backwards. | ואולם אם תרצה לגרוע באופן אחר ר"ל אם תרצה להתחיל הגרעון מן המטבע היותר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לגרוע מן רל"ד מנינים ד' טרין [29]ה' גרות ד' דינרין מספר אשר הוא קכ"ג מנינים ב' טרי ד' גרות ג' דינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה ראוי להתחיל מן מאיות המנינים שהוא המטבע היותר גדול וגרע מב' אשר הם למעלה במקום המאיות הא' אשר למטה במקום המאיות ג"כ הנשאר א' ושים אותו למטה במקום המאיות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע עשרות מניני' וזה מג' אשר למעלה ב' שהם למטה הנשאר אחד ושים אותו למטה במקום העשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע אחדי המנינים וזה מד' העליונים הד' תחתוני' הנשאר א' ושים אותו ג"כ למטה במקום העשרות האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה עשינו כל החשבון עם המנינים ועתה נגרע המטבעים האחרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונגרע מן הד' טרי העליונים הב' טרי התחתונים הנשאר ב' ושים אותם למטה במקום הטרי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ הגרות וזה מהה' העליונים גרע הד' התחתונים הנשאר א' ושים אותם למטה במקום הגרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע הדינרין והם למעלה ד' ולמטה ג' ותגרע ג' מד' הנשאר א' ושים אותם למטה בקו שלישי במקום הדינרין ונשלם המעשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ הנשאר הוא קי"א מנינים ב' טרי א' גרה א' דינר על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to subtract and the lower digit is greater than the upper [digit], meaning one of the coins, shift 1 backwards and it will be enough for you as mentioned above. | ואם תרצה לגרוע מספר ויהיה האות התחתונה גדולה מהעליונה רצוני לומר אחד מן המטבעים תשיב א' לאחור ויספיק לך כנזכר לעיל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לגרוע מן רמ"ו מנינים ג' טרי ב' גרות א' דינר קנ"ט מנינים ד' טרי ה' גרות ג' דינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה יש לך להתחיל מן המאיות ממטבע המנינים ותגרע מן ב' אשר למעלה הא' אשר למטה הנשאר א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אבל לא תשים בקו שלישי מאומה מצד כי נצטרך להשיבו אחורנית מפני האותיות התחתונות שהם יותר גדולות מהעליונות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשים זה הא' לאחור אצל העשרות אשר הם למעלה שהם ד' ויהיו י"ד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם ה' נשאר [30]הנשאר ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולא נשים כל אלו הט' למטה בקו שלישי אלא נעכב א' בידינו להשיבו לאחור והח' נשים למטה במדרגת העשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע האחדים מהמנינים ונגרע מהו' העליונים הט' התחתונים ולא נוכל ולכן נצרף עם הו' הא' אשר הוא בידינו ששוה עשרה ויהיו י"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם ט' הנשאר ז' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולא נשים כל הז' למטה אלא נשים מהם ו' ונעכב א' בידינו ונשיבהו אחורנית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נסיר הטרי ונסיר מן הג' העליונים הד' התחתונים ולא נוכל לכן נשיב זה המגן אשר הוא בידינו אצל הג' טרי ויהיו ח' כי המגן ישוה ה' טרי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונסיר מהם ד' הנשאר ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולא נשים מאלו הד' כי אם ג' והא' נעכב להשיבו אחור מפני הגרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נגרע הגרות וזה מב' ה' ולא נוכל לכן נשיב זה הטרי אצל הב' גרות ויהיו כ"ב יען כי הטרי הוא עשרים גרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונסיר מהכ"ב ה' הנשאר י"ז | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולא נשים כלם כי אם י"ו והא' נקים עמנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נגרע הדינרין וזה מהא' אשר למעלה נגרע הג' השפלים ולא נוכל ולכן נשיב הגרה אשר עכבנו עמנו אצל הדינר ויהיו ז' עם אותו הדינר הא' מצד כי הגרה שוה ו' דינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונסיר מהם ג' הנשאר ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה הנשאר עדין פ"ו מנינים ג' טרי י"ו גרות ד' דינרין כזו היא צורתם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to subtract [from] a number that has zeros, shift backward if you need, as you see in the example: | ואם תרצה לגרוע מספר יהיה בו ציפראות תשוב לאחור אם תצטרך כמו שתראה בדמיון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לגרוע מן שמ"ז מנינים בלי טרי ד' גרות בלי שום דינר מספר ר"נ מנינים ד' טרי בלי שום גרה ד' דינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה יש לך להתחיל מן מדרגת המניני' מן האות האחרונה ר"ל להתחיל מן המאיות ולגרוע מן הג' אשר הם למעלה במקום המאות הב' אשר הם למטה במקום המאות ג"כ ישאר א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לזה תשים אותו הא' למטה בקו שלישי אלא שים בו גלגל ר"ל ציפרא כי יצטרך לנו זה הא' מאד מצד כי עשרות מנינים אשר הן למטה ק' הן [31]יותר גדולות מהעשרות העליונות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע העשרות וזה מן הד' העליוני' הה' התחתונים ולא נוכל ולכן נקח אותו אשר עכבנו עמנו ונשיבהו אצל הד' ויהיו י"ד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר מהם ה' הנשאר ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נשים כל אלו הט' למטה במקום העשרות כי אין לנו צורך ממנו מצד כי אחדי המנינים העליוני' הם ד' ואותו שלמטה אינו מאומה כי אם גלגל הוא שחוזר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונסיר מהז' ציפרא הנשאר ז' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולא נשים כל אלו הז' במקום אחדי המנינים כי יצטרך לנו לאחד מהם ולכן נניח למטה ו' והאחד נקיים אותו עמנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נגרע הטרי וזה מהציפרא אשר היא למעלה הד' אשר הם למטה ולא נוכל ולכן נשיב אותו האחד אשר בידינו אצלו ויהיו ה' כי כבר ידעת כי המגן שוה ה' טרי ונסיר מהם ד' הנשאר א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשים אותו למטה במקום הטרי ולא נעכב אותו כי הוא מעלת הגרות משוויים כי לא תוכל לומ' כי כבר תמצא למעלה במקום הגרות ארבעה ולמטה תמצא גלגל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע הגרות ותגרע מן הד' העליונים הגלגל אשר למטה הנשאר ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן לא תשים כל אלו הארבעה למטה במקום הגרות אלא תשים ג' והא' תקים עמך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תגרע הדינרי' והנה תמצא למעלה גלגל ולמטה תמצא ד' ולכן לא תוכל לגרוע מהגלגל ר"ל כן נצר[ף] אותה הגרה אשר נשארה בידך אל הגלגל העליון ויהיו ו' כי כבר ידעת כי הגרה ו' דינרין ותסיר מאלו הו' הד' אשר למטה הנשאר שנים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושי' אותם למטה במקום הדינרין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה הנשאר א"כ הוא צ"ו מנינים א' טרי ג' גרות ב' דינרין כמו שהוא מצוייר בכאן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Here the second chapter is completed. | ובכאן נשלם השער השני | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Glory to God | והתהלה לאל |
Chapter Three: Discusses the Multiplication in all Possible Ways Found in Integers |
השער השלישי ידבר על הכפל בכל האופנים שאפשר להמצא בשלמי' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that the one who wants to multiply any number by another number must write the greater number above and the smaller below. | דע כי הרוצה לכפול שום מספר על מספר אחר יש לו לשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
He should start to multiply from the units, i.e. he has to multiply the first digit below, which are the units, by the rank of the units above, then by the rank of the tens, then by the rank of the hundreds and so on until they are complete. | ויש לו [32]להתחיל מן האחדים לכפול ר"ל האות הראשנה אשר למטה שהם האחדים יש לו לכפול על מדרגת האחדים אשר למעלה אח"כ על מדרגת העשרו' ואח"כ על מדרגת המאות וכן תמיד עד תומם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
After one have made all the products that should be done with the first digit, he should do the same with the second and with the third, if the number is that great; he then should sum each type, i.e. units with units, tens with tens, hundreds with hundreds; and the result is the required. | ואחר שעשית כל ההכאו' הראויות לעשות עם האות הראשנה יעשה כן מהשניה וכן מהג' אם המספר כל כך גדול ואח"כ יחבר הכל מין עם מינו ר"ל אחדים עם אחדי' עשרות עם עשרות מאיות עם מאיות והעולה הוא המבוקש | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that the types of multiplication are numerous and we apply multiplication in three ways, if God agrees with the livings. We will also talk a little about the fourth [type of] multiplication called in their language ishkaki or quadro. | ודע כי מיני הכפל הם רבים ואנו נעשה ההכפלה על ג' דרכים אם יסכים השם בחיים גם נדבר מעט על הכפל הרביעי הנקרא בלשונם אשקקי או קואדרו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Type one |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
First, we will discuss the multiplication used by most traders, then we will discuss the other ways. | ונדבר בתחלה על הכפל הנהוג אצל רוב הסוחרים ואח"כ נדבר בדרכים האחרים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול כ"ג על כ"ג | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה נשים הכ"ג למעלה והד' למטה ואם תהפכם לא יזיק כי הכל הולך אל מקום אחד ודרך אחד לכלם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה בתחלה נכפול הד' אשר הם למעלה עם הג' אשר הם למטה שהם במדרגת האחדים ונאמ' ד' פעמים ג' הם י"ב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נשים הב' למטה בקו שלישי ונעכב העשרה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים עם הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם העשרה שיש לך מן האחדים ויהיו ט' ושימם במקום העשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תוציא לחוץ האות הראשנה ר"ל שלא תעשה שום הכאה עוד עם הד' אשר הם למטה במקו' האחדים מאחר שהכינו אותה עם כל המדרגות העליונות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכה המדרגה השנית אשר למטה עם כל המדרגות אשר הם למעלה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותכה אותה תחלה עם ג' ר"ל הב' אשר הם למטה במקום העשרות עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אלו הו' בקו אחרת ונקראנו קו רביעי ושים אותם במקום העשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול הב' אשר הם למטה עם הב' אשר הם למעלה ותאמר ב' פעמים ב' הם ד' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים ד' [33]אל המדרגה הבאה אחר העשרות ר"ל במקום המאיות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תחבר הכל ויהיה העולה תקנ"ב וזהו צורתם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that if you want to multiply three digits by one [digit], three products are needed, no more. | ודע כי אם תרצה לכפול ג' מספרים על אחד יצטרך לעשו' ג' הכאות ולא יותר | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to multiply three digits by two digits, you must do six multiplications. | ואם תרצה לכפול ג' אותיות על ב' אותיות אתה צריך לעשות ו' הכאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you multiply three digits by three digits, you must do nine multiplications. | ואם תכפול ג' אותיות על ג' אותיות תצטרך לעשות ט' הכאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון נרצה לכפול רל"ד על כ"ד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה יש לך לכפול תחלה הד' אשר הם למטה במקום האחדי' עם הד' אשר הם ג"כ למעלה במקום האחדים ויהיו י"ו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים ו' במקום האחדים בקו שלישי והי' תקים עמך | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם במקו' האחדים למטה על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויעלו י"ב ותחבר אליהם אותה העשרה שיש לך ויהיו י"ג | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים ג' במקום העשרות בקו שלישי והעשרה תחזיק עמך | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב ותכפול הד' התחתונים נגד הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ח' ותחבר אליהם העשרה ויהיו ט' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה כבר נשלם הכפל מהאות הראשנה אשר למטה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועתה נשוב לכפול האות השניה אשר במדרגת העשרות עם כל האותיות העליונות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הד' אשר למעלה במדרגת האחדים ויהיו ח' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם הח' בשטה רביעית נגד העשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחר כן תכפול עוד הב' אשר הם למטה נגד הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם בשטה רביעית במקום המאיות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה עם הב' אשר הם למעלה במדרגת המאיות ויהיו ד' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם הד' בשטה רביעית במקום האלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תחבר כל אלו ההכאות ויהיה העולה ה' אלפים ותרי"ו על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to multiply three digits by three digits, you should do as follows: | ואם תרצה לכפול ג' אותיות על ג' אותיות ראוי לעשות ככה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול [34]רכ"ב על של"ג | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הורידם בשתי שטות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותתחיל לכפול הב' אשר הם למטה במקום האחדים נגד הג' אשר הם למעלה במקום האחדים גם כן ויעלו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם בקו שלישי במקום האחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תכפול אותם הב' ממש ר"ל אותם אשר הם למטה במדרגת האחדים נגד העשרות אשר הם למעלה ויהיו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם בקו שלישי במקום העשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תכפול אותם הב' אשר על הג' אשר למעלה במקום המאות ויהיו ו' ג"כ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותקים אותם במקום המאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה עשינו עם האות הראשנה התחתונה כל ההכאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועתה נרצה להכות האות השנית שהיא ב' במקום העשרות עם כל האותיות העליונות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותכפול הב' בתחלה על הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם בקו רביעי במקום העשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב ותכפול הב' אשר על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויהיו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם בקו רביעי במקום המאיות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד שוב וכפול אותם הב' עצמם על הג' אשר למעלה במקום המאיות ויהיו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם בקו רביעי במקום האלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה עשינו כל הכפל וההכאה מהאות השניה אשר למטה עם כל האותיות העליונות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ שוב והכה המדרגה הג' ר"ל האות הג' אשר למטה עם כל האותיות העליונות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותכה תחלה הב' אשר למטה עם הג' אשר למעלה במקום האחדים ויהיו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם בקו חמישי במקום המאיות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תשוב ותכפול הב' על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויהיו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם בקו חמישי במקום האלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תשוב ותכפול הב' אשר למטה על הג' אשר למעלה במקום המאיות ויהיו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם בקו חמישי במקום עשרת אלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נשלמו כל הט' הכאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תחבר כל אלו ההכאות מין עם מינו ויהיה העולה ע"ג אלפים ותתקכ"ו על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to multiply any [number] by another, one of which has a zero, you should consider the zero and multiply by it, as if there were a digit where you find it, whether above, or below. | ואם תרצה לכפול איזה דבר שיהיה על האחר [35]ויהיה באחד משניהם ציפרא ראוי למנות הציפרא ולעשות ההכאה עמה כאלו היתה אות באיזה מקום שתמצאנו או למעלה או למטה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול מספר ר"ל על מספר שכ"ד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה יש לך לכפול בתחלה הד' אשר הם למטה במדרגת האחדים על הציפרא אשר למעלה במדרגת האחדים ג"כ ותאמר ד' פעמים ציפרא היא ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן תשים ציפרא במקום האחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' מלמטה על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויעלה י"ב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותשים ב' במקום העשרות ותעכב העשרה עמך | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' נגד הב' אשר למעלה במקו' המאיות ויעלה ח' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם אותה העשרה שהיה לך כבר ויעלה ט' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם הט' במדרגת המאות בקו שלישי | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תחבר הב' אשר הם למטה במקום העשרות כי כבר השלמנו הכפל מהאות הראשנה התחתונה עם כל האותיות העליונות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותכפול אותם הב' על הציפרא אשר היא למעלה במקו' האחדים ויעלה בידך ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן תשים ציפרא בקו רביעי במקום העשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול אותם הב' ג"כ השפלים נגד הו' אשר הם למעלה במקום העשרות ויעלו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם נגד המאות בקו רביעי | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תשוב ותכפול אותם הב' ג"כ העליונים על הב' אשר הם במקום המאות ויעלו ד' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם בקו ד' במקום האלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נשלם הכפל מהאות הב' שלמטה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול האות הג' שלמטה עם כל האותיות העליונות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותכפול אותה עם הציפרא תחלה ויעלה ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן שים ציפרא בקו ה' במקום המאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תכפול הג' ג"כ שלמטה נגד הג' אשר הם למעלה במדרגה הב' ויהיו ט' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אלו הט' במדרגת האלפים בקו ה' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול הג' פעם ג' על הב' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם במקום עשרת אלפים בקו ה' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשלם הכפל מכל הג' אותיות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תחבר הכל זה על זה ויהיה סך העולה ע"ד אלפים תק"כ וזאת צורתם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to multiply two numbers, each of which has a zero, you should multiply the zero by all the digits you find and add up each [rank with its corresponding rank]; the result is the required. | ואם תרצה לכפול ב' סכומות [36]ויהיה בכל אחד מהם ציפרא יש לך לכפול הציפרא על כל האותיות אשר תמצא ותחבר הכל מין עם מינו והעולה הוא המבוקש | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון נרצה לכפול ר"ם על שס"ח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה תכפול תחלה הח' אשר הם למטה על הציפרא אשר היא למעלה במקום האחדים ויעלה לך ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב ותכפול הח' התחתונים שהם במדרגת האחדים על הד' אשר במדרגת העשרות ויהיו ל"ב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותשים הב' במקום העשרות ותקיים בידך הל' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול הח' על הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו י"ו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם הג' ויהיו י"ט | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם בקו ג' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה עשינו כל ההכאות עם הח' אשר הם למטה במקום האחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול העשרות העומדות למטה שהם ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותכפול אותם בתחלה על הציפרא העומדת למעלה ויעלה בידך ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים ציפרא בקו רביעי במקום העשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול העשרות ג"כ התחתונות על המ' אשר למעלה ויעלה בידך כ"ד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה תשים הד' במקום המאות והכ' תעכב עמך | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול הו' אשר למטה על הב' אשר הם למעלה ויעלה י"ב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תחבר אליהם הב' ויהיו י"ד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נכפול המאיות אשר הם למטה על כל האותיות שהם למעלה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נכפול בתחלה על הציפרא אשר היא למעלה במקום האחדים ויהיה ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נכפול אותו על הד' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו י"ב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים הב' במקום האלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול אותם על המאות אשר למעלה ויעלו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם האחד והיו ז' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ היוצא מכפל זה על זה הוא פ"ח אלפים וש"כ על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to multiply a number that has two zeros or more, you should consider each of them as if it were a number and multiply by each one. | ואם תרצה לכפול איזה מספר יהיה בו ב' ציפרי או יותר יש לך לחשוב כל א' מאלו כאלו היה מספר ועשות ההכאה עם כל א' וא' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון נרצה לכפול מספר ת"ג על מספר ר"ל | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה יש לך לכפול בתחלה הציפרא אשר למטה במדרגת האחדים על הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיה העולה ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם למטה במדרגת האחדים בקו ג' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תכפול הציפרא על הציפרא [37]אשר היא למעלה ויהיה העולה ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותה בקו ג' במדרגת העשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפול הציפרא על הד' העליונים אשר הם במקום המאיות ויעלה בידך ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים ציפרא בקו ג' במדרגת המאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה כבר עשינו כל ההכאות מהציפרא אשר היא בשטה התחתונה עם כל המדרגות העליונות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נכה הג' אשר למטה במדרגת העשרות עם כל המדרגות העליונות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכה אותה תחלה עם הג' אשר היא למעלה במדרגת האחדים ויהיה העולה תשעה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם בקו רביעי במדרגת העשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תכה אותם הג' של מטה עם הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרו' ויהיה היוצא ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותה במדרגת המאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב ותכפול אותם הג' של מטה על הד' העליונים אשר הם במקום המאיות ויעלה י"ב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים הי' במדרגת העשרות אלפים והב' במקום אחדי האלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה השלמנו ההכאה מהג' אשר הם למטה במקום העשרות עם כל המדרגות העליונות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועתה נכה הב' אשר הם למטה במקום המאיות עם כל המדרגות העליונות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכה תחלה הב' עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויעלו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשים אותם בקו הה' במקום המאיות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכה הב' נגד הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרות ויעלה בידך ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותה הציפרא במקום אחדי האלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכה הב' פעם ג' עם הד' אשר הם למעלה במקום המאיות ויעלה ח' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אלו הח' למטה בקו ה' במקום עשרת אלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה השלמנו כל הט' הכאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואח"כ נחבר הכל ויהיה העולה צ"ב אלפים ותר"צ וזאת היא צורתם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you multiply four digits by four digits, you should do 16 multiplications; if five by five, 25; and so on endlessly. No need to elaborate. | ואם תכפול ד' אותיות על ד' אותיות ראוי לעשות י"ו הכאות וה' על ה' ראוי לעשות כ"ה וכן עד אין קץ ואין צורך להאריך | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Type two |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Now, we want to discuss the multiplication called in their language "crocita" [?] | ועתה נרצה לדבר על הכפל הנקרא בלשונם קרוציטא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
We do as follows: we must write the greater number above and the smaller below, although if you do the opposite, it does not matter, but to make the multiplication easier, it is better to write the greater above and the smaller below. | והנה נעשה ככה כי נצטרך להניח המספר הגדול למעלה והקטן למטה האמנם אם תעשה ההפך לא יזיק אך להקל ההכאות מוטב להניח הגדול למעלה והקטן למטה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Start multiplying from the first lower digit by the first upper digit. | ותתחיל להכות מהאות הראשנה של מטה עם האות [38]הראשנה של מעלה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Write what exceeds the tens on a third line and keep the tens. | ומה שיעדיף על העשרות שים בקו ג' ותעכב העשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Multiply again the lower units by the upper tens and add to the result the tens you kept from the units. | עוד תשוב ותכפול האחדים של מטה עם העשרות שלמעלה ותחבר על העולה העשרות שיש לך מן האחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Do not write what exceeds the tens of the sum you got now, but [multiply] the lower tens by the upper units and add the product to what you received from the tens. | ומה שיעלה על העשרות ר"ל מהסך שיש לך עתה אל תשים מאומה אלא תשוב לחבר העשרות של מטה עם האחדים שלמעלה ותחבר העולה על מה שיש לך מן העשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Write what exceeds the tens in the place of the tens and keep the tens. | ומה שישאר על העשרות תשים במקום העשרות ותעכב העשרות בידך | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Then, multiply again the lower tens by the upper tens, add to the result the tens you kept, and you will get the required. | אח"כ תשוב לכפול העשרות של מטה עם העשרות של מעלה ותחבר על העולה סך העשרות שיש לך ויצא לך המבוקש | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול כ"ד על כ"ה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תשימם בב' שטות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותתחיל לכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים עם הה' אשר הם למעלה במקום האחדים ג"כ ויהיו עשרים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותשים ציפרא במקום האחדים כי לא נשאר לך על העשרות מאומה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים נגד הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם ב' עשרות שיש לך ויהיו י' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואל תניח מאומה אלא שוב וכפול הב' אשר הם למטה במקום העשרות נגד הה' אשר הם למעלה במקום האחדים ויעלו עשרה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם הי' אחדים ויהיו כ' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה בעבור כי לא נשאר לך מאומה על העשרות לכן נשים גלגל למטה במקום העשרות ונעכב אותם הב' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד נשוב לכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות על הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם אותם הב' שיש לך ויהיו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם במקום המאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויהיה א"כ היוצא ו' מאות כמו זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to multiply three digits by three digits, you need to do 9 multiplications this way: | ואם תרצה לכפול ג' מספרים על ג' מספרים תצטרך לעשות ט' הכאות על זה האופן | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול קכ"ג על תנ"ו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה נכפול בתחלה הו' אשר למטה במדרגת האחדים על הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיו י"ח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשים ח' למטה בקו שלישי והאחד תקים [39]עמך | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול עוד הו' אשר למטה במקום האחדים נגד הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו י"ב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם האחד ויהיו י"ג ולא תשים מאומה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תכפול הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים עם הה' אשר למטה במדרגת העשרות ויהיו ט"ו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם הי"ג ויהיו כ"ח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים הח' למטה במקום העשרות ותעכב הב' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב ותכפול הו' אשר הם למטה במקום האחדים על האחד אשר הוא למעלה במקום המאות ויהיו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם הב' שעכבנו בידינו ויהיו ח' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב לכפול הה' אשר למטה במדרגת העשרות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ג"כ ויהיו עשרה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם הח' ויהיו י"ח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום המאות עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו י"ב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אותם אל הי"ח ויהיו ל' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תשים ציפרא למטה במקום המאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום המאות עם הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם הל' ששוים ג' ויהיו י"א | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב לכפול הה' אשר הם למטה במקום העשרות עם הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ויהיו ה' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אל הי"א ויהיו י"ו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים ו' במקו' האלפי' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול הד' אשר הם למטה במקום המאיות על הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ג"כ ויהיו ד' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם האחד שיש לך ויהיו ה' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם במקום עשרת אלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויהיה העולה א"כ נ"ו אלפים ופ"ח כמו זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to multiply a number that has a zero, you have to multiply the zero by all the digits as well, even though the only result [of multiplying by a zero] is always a zero. | ואם תרצה לכפול איזה מספר יהיה בו ציפרא יצטרך ג"כ לעשות ההכאה מהציפרא עם כל האותיות אע"פ שלא יצא לעולם כי אם ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול רמ"ו על ק"מ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה תכפול תחלה הציפרא אשר היא למעלה במקום האחדים על הו' אשר הם למעלה במקום האחדים והנם ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים ציפרא במקום האחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול הציפרא ג"כ על הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם למטה במקום [40]העשרות על הו' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו כ"ד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים הד' למטה במקום העשרות והב' תעכב עמך | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב ותכפול הציפרא על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ציפרא ועם ב' שיש לך ויהיו ב' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הד' אשר הם למעלה ג"כ במדרגת העשרות ויהיו י"ו ועם הב' יהיו י"ח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב ותכפול האחד אשר הוא למטה במדרגת המאות נגד הו' אשר הם למעלה במדרגת האלפים ויהיו ו' ועם הי"ח יהיו כ"ד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים הד' במקום המאיות וקיים עמך הב' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב ותכפול האחד אשר הוא למטה במדרגת המאות נגד הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ד' תחבר אליהם ב' ויהיו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב לכפול הב' אשר הם לעיל במדרגת המאות עם הד' השפלים אשר במדרגת העשרות ויהיו ח' ועם הו' והנם י"ד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים הד' למטה במדרגת האלפים והאחד תקים עמך | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תכפול האחד אשר למטה במדרגת המאיות על הב' אשר למעלה במדרגת המאיות ג"כ ויהיו ב' תחבר אליהם הא' ויהיו ג' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם במקום עשרת אלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויהיה א"כ היוצא ל"ד אלפים ות"מ על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is enough for you to know this [type of] multiplication, if you deduce from it. | וזה יספיק לך בידיעת זה הכפל אם תקיש על זה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Type three |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The third type of multiplication is opposite two these two, because in the previous two we started multiplying from the units, then the tens, hundreds and so on, we rise upward and in this one the opposite is done, meaning going down, i.e. you start from the hundreds, or the thousands, if it is that high, then go to the tens, until you reach the units. | ואולם המין הג' מהכפל הוא בהפך אלו השנים כי בב' אשר עברו היינו מתחילים ההכאו' מן האחדים ואח"כ העשרות ואח"כ המאות וכן תמיד היינו עולים למעלה מעלה ובזה ראוי לעשות ההפך כונתי לרדת מטה מטה ר"ל שתתחיל ההכאה מהמאיות או מהאלפים אם הוא כל כך גדול ואח"כ תבא אל העשרות וכן עד שתגיע אל האחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
We give examples for this, so that you will be skilled in all [kinds of] multiplication in all ways that can be found. | ונניח לזה דמיונות למען תהיה בקי בכל ההכפלות בכל האופנים שאפשר להמצא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול כ"ג על י"ז | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה נכפול בתחלה הא' אשר למטה במקום העשרות על הב' אשר למעלה במקום העשרות ג"כ ויהיו ב' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ודע כי אלו הב' היוצאים הם מאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The rule for this is that tens by tens are hundreds; hundreds by hundreds are tens of thousands; and [thousands] by hundreds are hundreds of thousands. | והכלל על זה כי עשרות על עשרות הם מאות [41]ומאות על מאות הם עשרות אלפים ועשרות אלפים על מאות הם מאות אלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ אלו הב' שיצאו לנו הם ב' מאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונניחם בשטה אחת למטה תחת ב' שטות מהכפל במקום הראוי ר"ל במקום המאיות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נכפול האחד העומד למטה במקום העשרות על השלשה אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ג' והם עשרות כי אחדים על עשרות הם עשרות וא"כ יהיו ג' עשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול השבעה אשר הם למטה במקום האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו י"ד ויהיו עשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחבר אליהם הג' עשרות שהם י"ד ויהיו י"ז עשרות שהם מאה ושבעים ותשימם במקום | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחר כן תחבר האחדים עם האחדים והם ז' עם ג' ויהיו כ"א | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ חבר הכל מין עם מינו ויהיה העולה ג' מאות וצ"א על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to multiply three ranks by three ranks, you must do nine lines. | ואם תרצה לכפול ג' מדרגות על ג' מדרגות תצטרך לעשות ט' שורות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול רמ"ב על קמ"ד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נכפול בתחלה הא' אשר היא למטה במדרגת המאות על הב' אשר היא למעלה במדרגת המאות ויהיו ב' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכבר אמרנו כי מאיות על מאיות הם עשרות אלפים ונניחם במקום אחד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד נכפול הא' אשר היא למטה במדרגת המאות נגד הד' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושים אותם במקום האלפים כי כן אמרנו כי מאיות על מאיות הם אלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד נשוב ונכפול הא' מלמטה אשר במדרגת המאות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ויהיו שנים ושים אותם במקום המאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה כבר עשינו כל ההכאות מהמאות שלמטה עם כל המדרגות של מעלה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נכפול הד' שהם עשרות העומדות למטה על הב' אשר היא למעלה במקום המאיות ויהיו שמונה והם אלפים ותניחם במקום האלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' עוד עם הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו אלף ות"ר ותניחם במקומם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב וכפול אותם הד' פעם שלישית עם הב' אשר למעלה במקום האחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[44]עם הב' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו שמונה ושים אותם במקום המאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עו' תכפול אותם הד' פעם שנית עם הד' העומדים למעלה במקום העשרות ויהיו י"ו שהם ק"ס ותניחם במקומם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תשוב ותכפול הד' פעם ג' על הב' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ח' ושימם במקום האחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחברם כלם ויהיו ל"ד אלפים תתמ"ח על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to multiply any number that has a zero, you have to consider zero like all the other digits and multiply by zero, even though the result of the multiplication is always only a zero. | ואם תרצה לכפול איזה מספר יהיה בם ציפרא צריך שתמנה הציפרא כמו האותיות האחרות ותעשה ההכאה עם הציפרא אע"פ שלא יצא לעולם מן המחובר כי אם ציפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול ר"ם על ק"ע | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה תכפול תחלה הא' אשר הוא למטה במקום המאיות על הב' אשר הם למעלה במקו' המאות ג"כ ויהיו ב' ושים אותם במקו' עשרות האלפים כמו שביארנו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תכפול פעם שנית הא' אשר הוא למטה נגד הד' אשר הם למעלה במקו' העשרו' ויהיו ד' אלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תכפול פעם ג' הא' אשר למטה על הציפרא אשר למעלה במקו' האחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ תכפול הז' אשר למטה במדרגת העשרות על הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו י"ד אלפים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד תכפול פעם ב' אותם הז' על הד' אשר למעלה במדרגת העשרות ויהיו ב' אלפים וח' מאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עו' כפול הז' פעם ג' נגד הציפרא אשר למעלה ולא יעלה בידך מאומה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומהציפרא הבאה ר"ל הציפרא אשר היא למטה במקום האחדים אין צורך לעשות עמה שום הכאה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א"כ היוצא הוא מ' אלפים וח' מאות על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Type four |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם המין הד' מהכפל הוא הפך הכפל אשר כתבנו בתחלה והוא כי יש לנו להתחיל מן האלפים או יותר מכן אם הוא כל כך גדול עד אשר תגיע לאחדים ראוי לך לשוב אחורנית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[45]דמיון זה נרצה לכפול קכ"ב על רל"ב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הורידם בב' שטות אח"כ תתחיל לכפול מן המאיות ותכפול הא' אשר היא למטה במקום המאיות על ב' אשר היא למעלה במקום המאיות ג"כ ויהיו ב' ולא תשים מאומה אלא תחזיקם ואם תרצה לשים אותם לא תכתוב שום ציפרא כמו שיהיה ראוי לכתוב כי מאה על ב' מאות הוא עשרים אלף ולא תוכל לכתוב עשרים אלף בזולת הציפראות המצטרכות אבל בכאן אין ראוי לכתוב מפני כי עדין לא עשית כל ההכאות מהאותיות העליונות עם זה האחד אשר התחלת עמה לעשות הכאתו אבל כשתסיים כל ההכאות מהאותיות של מעלה עם זה האחד יש לך לראות המרחק אשר יש מזה האחד עד האות הראשנה של מטה ר"ל כי זה הא' הוא למטה במדרגת המאיות והנה עד המדרגה הראשנה שהיא מדרגת האחדים יצטרך עדין ב' מדרגות ולכן ראוי שתשים ב' ציפראות אחר שסיימת הכאת זאת המדרגה מה' מהמאיות אשר היא למטה עם כל המדרגות העליונות ושמור זה הסוד מאד כי זה יישירך שלא תטעה בשום צד שבעולם ונחזור לראשנות והנה נכפול הא' אשר היא למטה במדרגת המאות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו שנים ושימם לבדם בלי שום ציפרא אלא שימם כאלו הם אחדים בידך עוד כפול אותו הא' אשר הוא למטה במדרגת המאות עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ג' וכתוב אותם אצל הב' שכבר כתבת אחורנית אח"כ כפול זה הא' פעם ג' עם הב' אשר הם למעלה במקום האחדים וכתוב אותם אחורנית אצל הג' כמו שעשית ג"כ מהג' והנה עתה השלמת הכאת המאות אשר למטה עם כל האותיות העליונות ולכן תכתוב ב' ציפרי אחורנית אצל היוצא מההכאה שעשית עם המאיות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ תכפול העשרות של מטה שהם ב' על הב' אשר הם למעלה ויהיו ד' עוד תכפול פעם שנית העשרות מלמעלה (מלמטה) עם הג' של מעלה שהם במקום העשרות ויהיו ו' וכתוב אלו הו' אחורנית אצל הד' עוד תכתוב פעם ג' העשרות של מטה עם הב' של מעלה שהם במקום [46]האחדים ויהיו ד' וכתוב אותם אצל הו' אחורנית ודע כי זה הכפל שעשית עתה היה מהעשרות של מטה עם כל האותיות העליונות ולכן יש לך לראות כמה ציפרי יצטרך מא' עד י' ותמצא א' על כן תכתוב ציפרא אחורנית אצל היוצא מההכאה מהעשרות השפלות ר"ל מהשטה התחתונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה במקו' האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ד' וכתוב אותם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ שוב וכפול אלו הב' פעם ב' על הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ו' וכתוב אותם אחורנית אצל הד' שכבר כתבת עוד שוב פעם ג' אלו הב' על ב' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ תצרף הכל מין עם מינו ויעלה הכל כ"ח אלפים וג' מאות וד' וזאת היא צורתם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם תרצה לכפול מספר יהיה בו ציפרא תעשה על אופן שעשינו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול ת"ע על תק"פ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה נכפול בתחלה הג' (הה') אשר הם למטה במקום המאיות על הד' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו עשרים ושים אותם הכ' ר"ל שנים עם ציפרא אחת ויהיו כ' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ תכפול הה' שלמטה פעם שנית עם הז' אשר הם למעלה ויהיו ל"ה ושים ל' על הציפרא אשר כתבת עם העשרים ושים תחת הציפרא ג' שהם ל' והה' הבאים תכתוב לאחור והנה נצטרך לעשות על זה ג' ציפרי ב' בעד המספר התחתון וא' שעומדת למעלה במקום האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד נכפול הח' אשר הם למטה במקום העשרות אצל הד' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ל"ב ושים ל"ב בקו אחד תחת הל"ה אשר למעלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד תכפול ח' על ז' שהם למעלה במדרגת העשרות ויהיו נ"ו ותכתוב הנ' תחת הב' מהל"ב והו' תכתוב אחורנית אח"כ תחברם ויהיו רע"ב אלפים ות"ר וזאת צורתם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Type five |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם המין הה' מהכפל הוא אשר כתבנו הנקרא בלשונם קרוציטא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ונעשה אותו בזה האופן והוא שנחזיק לעולם המספר ממה שיעלה מהאות הראשנה עד שנראה מה יצא מהשניה כדי שלא נצטרך למחוק אותה האות ולרשום אחרת תעמוד תחתיה וזה תבין בבירור בלי שום ספק אחר שנעיין בעין פתוחה בדמיונות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול כ"ז על ל"ב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה נכפול תחלה הג' אשר במדרגה השנית על הב' אשר הם למעלה ב' במדרגה השנית ג"כ ר"ל במדרגת העשרות ויעשה בידך י' (ו') ולא נניח אותם כמו שקדם שמא יעלה לנו משאר ההכאות שאנו עתידין להכות עם שאר האותיות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד נכפול אותם הג' על הז' אשר הם לעיל במדרגת האחדים ויהיו כ"א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד נכפול הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים עם הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
נחברם אל הכ"א ויהיו כ"ה ונעשה מהכ' ב' עשרות ב' שלמים ר"ל שאותם הכ' שהם ב' עשרות ישוו ב' מאות ונחבר אלו הב' אצל הו' ויהיו ח' ותניח ח' במקום המאות וישארו בידך ה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד תכפול הב' אשר הם למטה על הז' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ויהיו י"ד ונעשה מהעשרה אחד ונחבר זה הא' אצל הה' שיש לנו ויהיו ו' נשים אותם אצל העשרות והד' הנשארים תשיבם אחורנית אצל הנשארים ויהיו ד' הנה א"כ היוצא הוא תתס"ד על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון אחר נרצה לכפול רל"א על שמ"ב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והנה נתחיל לכפול הג' אשר הם למטה במקום המאיות על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ו' ולא תניחם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ נשוב לכפול הג' אשר הם למטה במקום המאיות על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ה' ט' ושמור אותם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד כפול הב' אשר הם למעלה במקום המאיות על הד' אשר הם למטה במקו' העשרות ויהיו ח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ותחברם אל הט' ויהיו י"ז ותעשה מהעשרה אחד ותחבר זה הא' עם הו' שהיו לנו ושים אותם למטה בקו שלישי והז' יהיו לאחדים בידך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ תשוב לכפול הג' אשר הם למטה במדרגת המאיות אצל הא' אשר היא למעלה במדרגת האחדים ויהיו ג' ושמור אותם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד שוב וכפול הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות אצל הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים ויהיו ד' ותחברם אל הג' השמורים ויהיו ז' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד כפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו י"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ותחברם אל הז' השמורים ויהיו י"ט תעשה מהי' אחד ושים זה האחד עם הז' השמורים הראשנים ויהיו ח' ושים אלו הח' אצל הז' אשר הם בקו ג' ונשארו בידך עדין ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הא' אשר הוא למעלה במדרגת האחדים ויהיו ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עו' תכפול הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות אצל הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים ויהיו ו' ושים אותם על הד' ויהיו י' ותעשה מהם א' ותחבר זה הא' עם הט' ויהיו י' ואלו הי' ישוו ג"כ א' אצל הח' המונחים בקו ג' ויהיו עתה ח' תחת הט' ותעשה ב' ציפרי א' מצד כי עלה בידך י' מצומצמים מהמספר האחרון והשניה כי היו בידך ט' ובא זה והשלים המנין באופן שהיו עשרה כי אין מנין פחות מעשרה אח"כ תכפול הב' אשר הם למטה אצל האחדים עם הא' אשר הוא למעלה ויהיו ב' הנה א"כ העולה הוא ע"ח (ע"ט) אלפים וב' על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם יצטרך לך לע[שו]ת הכפל עם ציפרי תעשה כנז' בכמה מקומות מזה החבור ולא תחטיא אם תקיש זה לזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Type six: Gelosia |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם המין הו' מהכפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הוא הפך הכפל הג' אשר כתבנו בכאן כי הכפל הג' צריך להתחיל ההכאות מן המדרגה היותר גדולה ר"ל מן האלפים אם המספר הוא כל כך גדול וזה צריך לעשות הכפל ולהתחיל מן המספר היותר קטן להתחיל מן האחדים ואל תחשוב כי זה הכפל הוא כמו הכפל הראשון כי הפרש בין זה לזה וזה הכפל נקרא בלשונם מולטיפליקארי פיראושקאקי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ודע כי צריך לעשות מרובע אחד כפי האותיות שתרצה לכפול ר"ל שאם תרצה לכפול ב' אותיות על ב' אותיות תצטרך לעשות ג' קוים באורך וג' ברוחב וג' באלכסון הא' והג' קצרות והאמצעית ארוכה וצריך שתשים היוצא בין הקוים ואחר כן תחבר הכל מין עם מינו ודע כי בזה המרובע תמצא כמו בתים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ודע כי אם תמצא בבית הראשון ציפרא זה יורה כי אין במדרגת האחדים דבר כי אם ציפרא וכן תעשה מהבתים האחרים ותחבר הבתים המכוונים זה מזה והשמר לך ושמור נפשך שלא תטעה בחבור ר"ל שתחבר הבית הב' עם הב' והג' עם הג' והד' עם הד' וכן תמיד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול כ"ה על כ"ה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה בתחלה תצטרך לעשות מרובע מג' קוים באורך וג' ברוחב וג' באלכסון מצד כי המדרגות אינם כי אם ב' כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ותתחיל לכפול בתחלה הה' אשר למטה במדרגת האחדים על הה' אשר למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיו כ"ה ושים הה' בבית הראשון והב' עשרות תעכב עמך אח"כ תכפול הה' אשר למטה פעם שניה על הב' למעלה במדרגה הב' ויהיו י' ותחבר אליהם הב' ויהיו י"ב ושים הב' בבית השני והאחד בבית הג' עוד תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הה' אשר הם למעלה במדרגת האחדי' ויהיו י' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ודע כי כל אלו האותיות אשר שמנו עד עתה היו בבתים העליונים ר"ל באותם הבתים אשר בין הקו הא' והב' שהולכים ברוחב אבל מה שיצא עתה נשים בבתים אשר בין הקו הב' והג' והנה נשים זה הגלגל בבית הב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ נשוב ונכפול הב' אשר הם למטה במקום העשרות על הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ג"כ ויהיו ד' ונחבר אליהם זה הא' שעלה בידינו ויהיו ה' ושים אותם בבית הג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ נחבר הכל והנה תמצא למעלה בבית הראשון ה' וזה מורה שהם אחדים גם תמצא בבית הב' ב' וזה מורה כי הם עשרות גם תמצא בבית העליון ר"ל בבית השלישי א' ג"כ למטה בבית הג' וה' עם א' ויהיו ו' ומאחר שמצאנו אלו הו' בבתים השלישיים יורה על המאיות ויהיה היוצא ו' מאות וכ"ה כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ולמען תהיה בקי לעשות זה הכפל נכתוב דמיון אחר ויהיה מג' מדרגות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול רי"ב על קל"ב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה נצטרך לעשות מרובע מג' (ד') קוים ברוחב וד' באורך וד' באלכסון מאחר שהאותיות הם ג' וראה ועשה כתבניתו אשר אתה מראה בכאן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והנה תתחיל לכפול הב' אשר הם למטה במקום האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום האחדים ג"כ ויהיו ד' נשים אותם לעיל בבית הא' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ נכפול הב' אשר הם למטה במקו' האחדים על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ו' וכתו' אותם לעיל בבית הב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ תשוב לכפול פעם ג' הב' מלמטה נגד הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ויהיו ב' ושים אותם למעלה בבית הג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ תכפול הא' אשר הוא למטה במדרגת העשרות נגד הב' אשר הוא לעיל במדרגת האחדים ויהיו ב' ושים אותם באמצע הבתים ר"ל בין הבתים אשר הם בין הקו הב' והג' ושים אותם הב' בבית הב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ שוב וכפול אותו הא' פעם ב' עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ג' ושים אותם בבית הג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ שוב וכפול אותו הא' פעם ג' עם הא' אשר הוא למעלה במדרגת המאות ויעלה א' ושים אותו בבית הד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ תשוב לכפול השנים אשר הם למטה במדרגת המאות עם הב' העליונים אשר הם במדרגת האחדים ויעלו ד' ושים אותם למטה בין הבתים אשר הם בין הקו הג' והד' ושים אלו הד' בבית הג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד שוב וכפול אלו הב' פעם ב' עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ו' ושימם בבית הד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד כפול אלו הב' פעם ג' עם הא' אשר הוא לעיל במדרגת המאות ויעלה ב' ושים אותם בבית הה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ תחברם זה עם זה ולא תטעה בחבור ויצא לך כ"ז אלפים תתקפ"ד על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Type seven: multiplying by tens |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם המין הז' מהכפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
נעשה על זה האופן והוא שאם תרצה לכפול איזה מספר על כלל אחד ר"ל כי הכלל נקרא כמו י' או ק' או אלף או י' אלפים אבל אלפים אינו נקרא כלל וזה הכלל יהיה בידיך כי כשתמצא יותר מאות א' אינו נקרא כלל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכשתרצה לדעת זה הכפל אם תרצה לכפול על עשרה תשים ציפרא למעלה על המספר המונח ומה שיעלה הוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם תרצה לכפול אותו על ק' תוסיף בו ב' ציפרי על המספר העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם תרצה על אלף תוסיף ג' ציפרי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול ל"ג על י' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה יש לך לשים למעלה על הל"ג ציפרא א' הנה ישוו עתה הל"ג ש"ל והוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם תרצה לכפול אותם על מאה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ראוי להוסיף על ל"ג ב' ציפרי ויגיעו למדרגת האלפים ויהיה העולה ג' אלפי' וש' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם תרצה לכפול אותם על אלף | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
יש לך להוסיף על הל"ג ג' ציפרי ויגיעו לעשרות אלפים ויעלה ל"ג אלפים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם אם תרצה לכפול המספר המונח על עשרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה יש לך לכפול המספר המונח על ב' ואח"כ תוסיף על הסך ציפרא א' ומה שיעלה הוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול מ"ה על עשרים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה יש לך לכפול מ"ה על ב' והטעם למה אנו כופלי' אותו ב' פעמים מצד כי עשרים הם כפל עשרה והנה ב' פעמים מ"ה הם צ' ועתה יש לך להוסיף על הצ' ציפרא אחת ויעלה ט' מאות והוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם תרצה לכפול המספר המונח שהוא מ"ה על מאתים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
יש לך ג"כ לכפול מ"ה על ב' ותוסיף עליו ב' ציפראות ויהיו ט' אלפים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם תרצה לכפול אותו על אלפים יש לך לכפול המספר כאשר אמרנו ותוסיף עליו ג' ציפרי ויעלה צ' אלפים והוא המבוקש וכן כל כיוצא בזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אבל אם תרצה לכפול המספר המונח על ד' יש לך לכפול המספר המונח ד' פעמים ולהוסיף עליו כפי הציפרי ר"ל אם הם ד' אלפי' תוסיף עליו ג' ציפראות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם ד' מאות תוסיף עליו ב' ציפרי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם הם ד' עשרו' תוסיף ציפרא והעולה הוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לדעת כפל ט"ו על מ' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה יש לך לכפול ט"ו ד' פעמים ויעלו ס' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואח"כ ראוי להוסיף על הס' ציפרא א' ויהיו ו' מאות והוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכן על ד' אלפים תוסיף ג' ציפרי ויעלה ס' אלפים ותקיש על זה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Type eight: subtraction and multiplication |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם המין הח' מהכפל הוא מעורב ממגרעת ומכפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
במקום אחד עומד הכפל ובמקום אחד הגרעון מהמספר הא' וכך ראוי לעשות מהמספר הב' ר"ל שהכפל עומד בזוית זו והגרעון בזוית זו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והנה יש לך להתחיל ההכפלה מגרעון המספר הראשון עם תוספת המספר השני ושמור העולה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואח"כ יש לך לכפול גרעון המספר השני על תוספת המספר הראשון (ואח"כ יש לך לכפול גרעון המספר הראשון עם תוספת המספר השני) ושמור העולה מאלו הב' הכפלות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ תכפול תוספת המספר הראשון על תוספת המספר השני ושמור העולה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ועוד יש לך לכפול שני החסרונות ר"ל חסרון המספר הא' על חסרון המספר הב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ותחבר העולה עם התוספת ממה שעלה ב' המספרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ותגרע מזה מה שיש לך מהתוספת והחסרון והנשאר הוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לכפול ד' פחות שנים עם ח' פחות ג' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הורידם בב' שטות כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והנה יש לך להתחיל ההכפלה בזה האופן והוא שתכפול הב' אשר הם תחת הד' על הח' אשר הם על הג' 3 2 ויעלה בידך י"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ כפול עוד הג' אשר הם תחת חסרון חסרון הח' נגד הד' אשר הם על הב' ויהיו י"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ תחבר י"ב עם י"ו ויהיו כ"ח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד כפול הד' אשר הם על הב' נגד הח' אשר הם על הג' ויהיו ל"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד תכפול הב' אשר הם תחת הד' על הג' אשר הם תחת הח' ויעלו ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ותחברם אל ל"ב ויהיו ל"ח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הסר משם כ"ח נשארו עשרה והוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון אחר נרצה לכפול ז' פחות ב' על ח' פחות ד' הורידם בזאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והנה בתחלה יש לך לכפול הב' אשר הם תחת הז' על הח' אשר הם על הד' ויהיו י"ו ושמור אותם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ תכפול הד' אשר הם תחת הח' על הז' אשר הם על הב' ויהיו כ"ח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ותחברם אל הי"ו ויהיו מ"ד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אח"כ תכפול הז' אשר הם על הב' על הח' אשר הם על הד' ויהיו נ"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד תכפול הד' אשר הם תחת הח' על הב' אשר הם תחת הז' ויהיו ח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ותחברם עם נ"ו ויהיו ס"ד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
גרע מהם מ"ד הנשאר עשרים והוא המבוקש ותקיש על זה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ובכאן נשלם השער הג' |
Chapter Four: Division |
השער הד' ידבר על חלוק השלמים בכל הדרכים הנהוגים היום |
ונחלק זה השער לב' חלקים | |
החלק הראשון ידבר על חלוק המספר הקטן על הגדול | |
והחלק הב' ידבר על חלוק המספר הגדול על הקטן | |
דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון קטן על חשבון גדול ראוי לך לראות אם אותם המספרים הם מורכבים ר"ל הגדול והקטן ואם הם מורכבים חלקם לאותו מספר אשר ממנו הורכבו | |
|
דמיון זה נרצה לחלק ל"ו על מ"ח |
הנה מספר מ"ח מספר מורכב ר"ל שנוכל לחלק מ"ח על ב' ויצא לך כ"ד אח"כ תחלק ל"ו ג"כ על ב' ויצא לך י"ח א"כ היוצא הוא י"ח חלקים מכ"ד ועדין נוכל לחלקם והוא שנחלק י"ח על ב' ויצא לך ט' עוד חלק כ"ד על ב' ויצא לך י"ב א"כ היוצא הוא ט' חלקים מי"ב ועדין נוכל לחלקו והוא שתחלק ט' על ג' ויצא לך ג' עוד תחלק י"ב על ג' ויצא לך ד' א"כ היוצא הוא ג' רביעיות | |
ואם המספר הגדול מורכב והקטן בלתי מורכב תחלק הגדול להרכבתו אח"כ תחלק המספר הקטן באותם המספרים והיוצא הם חלקים ממנו | |
|
דמיון זה נרצה לחלק י"א על י"ח |
הנה מספר י"ח הוא מספר מורכב מג' וו' או מב' וט' הנה נחלק י"ח על ג' ויצא לך ו' ושים במקום אחד ו' ובמקום אחר ג' ותחלק י"א שהוא המספר הקטן על ג' ויצא לך ג' ונשארו ב' ושים אלו הג' על הו' והשנים שנשארו שים על הג' הנה א"כ היוצא הוא ג' שישיות וב' שלישיות שישית אחד כמו זאת הצורה | |
|
דמיון אחר נרצה לחלק כ"ג על ל"ו |
הנה מספר ל"ו מספר מורכב מב' וג' וו' ר"ל כי אם תכפול ו' על ג' יעלו י"ח ואם תכפול יח על ב' יעלו ל"ו ולכן נניח ב' ואח"כ ג' ואח"כ ו' ויש לנו לחלק כ"ג על המספר היותר קטן שהוא ב' ויצא לך י"א וישאר א' ותניח א' על הב' וי"א תשים על הקצה האחרון שהוא ו' ויש לך עתה לחלק י"א על ג' ויצא לך ג' וישארו ב' ותניח הב' על הג' והג' תשים על הו' הנה א"כ היוצא הוא ג' שישיות וב' שלישיות שישית וחצי שליש שישית וזאת צורתם | |
והכלל בזה שתחלק המספר הקטן על הסכום היותר קטן אשר המספר הגדול מורכב ממנו ואם נשאר כלום תניחהו על אותו הסכום הקטן והיוצא שים על הסכום הגדול אשר המספר הגדול מורכב ממנו ואח"כ תחלק מה שהנחת על הסכום הגדול על הסכום האמצעי אם אותו המספר הגדול מורכב מג' מספרים ומה שישאר תניח על הסכום האמצעי והיוצא תשים על הסכום הקטן (הגדול) | |
ולמען תהיה בקי אתן לך דמיון אחר | |
|
דמיון זה נרצה לחלק ל"ז על מ"ח |
הנה מספר מ"ח הוא מורכב מב' וד' וד' (וו') כי ו' פעמים ד' הם כ"ד וב' פעמים כ"ד הם מ"ח ולכן נשים ב' שהוא הסכום הקטן תחלה ואח"כ נשים ד' ואחר נשים ו' שהוא הסכום הגדול וכבר אמרנו כי הראשנה ראוי לנו לחלק מספרינו על הסכום הקטן ונחלק ל"ז על ב' ויצא לך י"ח וישאר א' ותניח א' על הב' כי כן אמרנו כי הנשאר נניח על הסכום הקטן והי"ח נניח על הסכום הגדול כי כן אמרנו כי היוצא נניח על הסכום הגדול ועתה יש לנו י"ח על הסכום האמצעי שהוא ד' כי כן אמרנו ויצא ד' וישארו ב' ושים ב' שהוא מה שנשאר על ד' כי כן אמרנו שהנשאר ראוי להניחו על הסכום האמצעי והיוצא נשים על הסכום הגדול כי כן אמרנו כי היוצא ראוי להניחו על הסכום הגדול הנה א"כ נשאר על הסכום הגדול ד' ועל הסכום האמצעי ב' ועל הסכום הקטן א' הנה א"כ היוצא הוא ד' שישיות שהוא ב' שלישיות וב' רביעיות שישית וחצי רביעית שישית וזאת היא צורתם | |
ואם תרצה לבחון אותו קח ב' שלישיות מ"ח שהם ל"ב אח"כ קח ב' תשיעיות (רביעיות) שישית שהם ד' חלקים ממ"ח ועם ל"ב יהיו ל"ו ואח"כ חצי רביעית שישית שהוא חלק א ממ"ח ושים אותו על ל"ו ויהיו ל"ז כמו שהיה מספרינו וזה המעט יספיק לך | |
ואם אין שום מספר מורכב ר"ל הגדול והקטן יש לך לעשות חצאין מהמספר הקטן ותראה אם המספר הגדול הוא עדין יותר גדול מסכום חצאי המספר הקטן ואם המספר הקטן הוא עתה יותר גדול הנה יצא לך חצי אחד והחלקים שנשארו הם חלקי כפל המספר הגדול | |
|
דמיון זה נרצה לחלק י"א על י"ט |
הנה נעשה מהיא חצאים ויהיו כ"ב חצאים ותחלק עתה כ"ב על י"ט ויצא לך א' שהוא חצי אחד ונשארו עדין ג' חלקים ועתה יש לך לכפול י"ט על ב' ר"ל שנעשה גם מהי"ט חצאים ויהיו ל"ח הנה א"כ יצא לך חצי אחד וג' חלקים מל"ח | |
|
דמיון אחר נרצה לחלק ה' לי"ז חלקים |
הנה אם נעשה מהה' שהוא המספר הקטן חצאים לא יהיו כי אם עשרה ומספרינו הוא י"ז ולא יספיק לכן יש לנו למצא מספר יספיק לחלקו על י"ז ונעשה מהה' רביעיות ויהיו כ' רביעיות וחלקם על י"ז ויצא לך א' שהוא רביעית אחד ונשארו עדין ג' לחלקם על י"ז ולכן נעשה מהי"ז רביעיים ג"כ ויהיו ס"ח הנה א"כ היוצא הוא רביעית אחד וג' חלקים מס"ח | |
וזה יספיק לך בחלוק המספר הקטן על הגדול | |
החלק השני ידבר על חלוקת המספר הגדול על הקטן | |
והוא נעשה ככה | |
דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון צריך לך לדעת כי המספר המחולק יהיה לעולם יותר גדול מהמחלק ויש לך לשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה ואח"כ תתחיל לגרוע מן האלפים ויש לך לחשוב אותם כמו אחדים ועליו תחלק ואם נראה לך כי לא תוכל לחלק מה שהוא בשטה היותר גדולה למעלה על היותר גדולה (קטנה) שהיא למטה יש לך להשיב אותו של מעלה אחורנית אצל האות הסמוכה לה וחשוב אותם כמו אחדים והיו לאחדים בידיך ואלו האחדים תחלק על האות הגדולה אשר היא למעלה (למטה) וכן תמיד תשוב אחורנית ואח"כ תכפול מה שיצא מהחלוקה נגד האות של מטה אצל אותה האות אשר עשית החלוקה עליה ותגרע העולה מן האות של מעלה אצל הגדולה וכן תמיד עד שתגיע אצל האחדים | |
|
דמיון זה נרצה לחלק רמ"ה על ל"ד |
הורידם בשתי שטות על זאת הצורה | |
ותמשוך ב' קוים בין המחלק והמחולק כדי לשים מה שיצא ביניהם ואח"כ תתחיל לחלק האות האחרונה של מעלה שהיא ב' במקום המאות על היותר גדולה של מעלה (מטה) שהיא ג' במקום העשרות ולא תוכל לחלק ב' על ג' לכן יש לך להשיב הב' מאות אצל העשרות אשר הם ד' הנה הב' ישוו עשרים ועם הד' יהיו כ"ד ותחלקם על ג' יעלו ח' שלמים ולא תוכל לשים כל אלו הח' כי אנו צריכין לכפול הח' נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים שיגיע סך העולה ל"ב והנה למעלה לא נשאר לנו כי אם ה' ולא נוכל לגרוע מהה' של מעלה הל"ב של מטה ולכן לא נתן לו כי אם ז' ונשאר עדין ג' למעלה במקום העשרות אח"כ נכפול אלו הז' היוצאים נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ח ונסיר כ"ח מל"ה אשר הם עדין למעלה הנשאר ז' והיוצא הוא ז' ג"כ | |
ואם תרצה לחלק מספר יהיה למעלה ד' או ה' מדרגות ובתחתונה יהיה ג' מדרגות תעשה כנז' | |
|
דמיון זה נרצה לחלק י"ב אלפים ושמ"ה על רל"ד |
הורידם בב' שטות על זאת הצורה | |
אח"כ תתחיל לחלק הא אשר הוא למעלה ששוה במקום עשרת אלפים על הב' אשר הוא למטה במקום המאיות ולא תוכל כי ב' יותר גדול מא' על כן יש לך להשיב זה הא' אשר הוא למעלה במקום עשרת אלפים אצל הב' אשר הם למעלה במקום האלפים ויהיו י"ב ותחלק י"ב על ב' ויצא לנו ו' אבל לא נשיב כל הו' כי יש לנו לכפול אותם הו' היוצאים על ג' אשר הם למטה ויעלה י"ח ויש לנו לקחת אלו הי"ח מהג' אשר הם לעיל במקום המאיות ולא נוכל על כן לא נשים כי אם ה' ונשארו עדין למעלה הב' אשר הם במקום האלפים | |
אח"כ תכפול הה' היוצאים על הג' אשר הם למטה במקום העשרות ויהיו ט"ו ותגרע ט"ו מן הג' אשר הם למעלה במקום המאיות ולא נוכל על כן יש לנו להשיב אותם הב' אשר הם למעלה במקום האלפים אצל הג' שהם במקום המאיות ויהיו כ"ג תגרע מהם ט"ו הנשאר ח' ושים אלו הח' למעלה במקום המאיות | |
אח"כ תכפול עוד אותם הה' שיצאו בין שני הקוים נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו עשרים ויש לך לגרוע אלו הכ' מהד' אשר הם למעלה במקום העשרות ולא תוכל על כן יש לך לקחת ב' מאלו הח' אשר הם במקום המאיות ולהשיבם אצל הד' ויהיו כ"ד תקח מהם עשרים ונשארו ד' אצל העשרות גם נשארו ו' על המאות | |
אח"כ תשוב אחורנית המספר התחתון וזה שתשיב הב' מאות ממטה אצל הו' מאות של מעלה והג' עשרות של מטה אצל הד' עשרות של מעלה והד' אחדים של מטה אצל הה' אחדים של מעלה ותתחיל לחלק הו' אשר הם למעלה במקום המאות על הב' אשר הם למטה ויעלו ג' ואל תשים כל אלו הג' כי אם תכפול אותם הג' על הג' אשר הם למטה במקום העשרות יעלו ט' והנה לא תוכל לקחת ט' מן הד' אשר הם למעלה במקום האחדים (העשרות) על כן נקח לו ב' ונשארו עדין ב' למעלה במקום המאות | |
אח"כ נכפול הב' היוצאים על הג' אשר הם למטה במקום העשרות ויהיו ו' נחסר ו' מד' אשר הם למעלה במקום העשרות ולא נוכל על כן יש לנו לקחת אחד מאותם הב' שנשארו עדין במקום המאות ונשיב אותו אחורנית אצל הד' אשר הם בעשרות ויהיו י"ד נחסר מהם הו' ונשארו עדין ח' במקום העשרות למעלה [וא'] במקום המאות | |
עוד נשוב ונכפול הב' היוצאים על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו ח' ותחסר אותם הח' מן הה' אשר למעלה במקום האחדים ולא נוכל ועל כן נקח אחד מהח' אשר הם למעלה במקום העשרות ונשארו עדין ז' ותשיב אלו העשרה אצל הה' ויהיו ט"ו ותחסר מט"ו ח' ונשארו ז' ושים אלו הז' למעלה במקום האחדים | |
הנה א"כ היוצא מן החלוקה הוא נ"ב ונשארו עדין קע"ז כמו שכתו' לעיל | |
ואם תרצה לחלק מספר מה יהיה בו ציפרא גם במחלק יהיה ציפרא תעשה כמו שתראה בדמיון | |
|
דמיון זה נרצה לחלק עשרים אלף תק"ג על מספר ש"ד |
הורידם בב' שטות על זאת הצורה | |
ותתחיל לחלק הב' אשר היא למעלה במקום עשרת אלפים על הג' אשר היא למטה במקום המאיות ולא תוכל על כן יש לך להשיב אותם הב' שלמעלה אצל הציפרא ויהיו כ' תחלקם על ג' אשר הם למטה ויצא לך ו' ושים אותם הו' בין שני הקוים ונשארו עדין למעלה ב' במקו' האלפים | |
אח"כ תכפול אותם הו' היוצאים נגד הציפרא ויעלה בידך ציפרא ולא תשים מאומה מהה' אשר הם למעלה במקום המאות כי אלו עלה בידך איזה דבר היה לך לחסר אותם מהה' ומאחר שעלה בידך ציפרא לא תשים מאומה | |
עוד תכפול היוצא שהם ו' על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ד ויש לך לקחת אלו הכ"ד מן הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרות ולא תוכל על כן יש לך להשיב הה' אשר הם במקום המאיות אחורנית ויהיו נ' תחסר מהם כ"ד הנשאר כ"ו ושים הב' על המאיות והו' על העשרות | |
אח"כ תעתיק המספר התחתון ושים הג' אשר הם במקום המאיות תחת הב' אשר הם במקום האלפים (המאיות) למעלה ושים הציפרא תחת הציפרא (הו') של מעלה אשר היא במקום העשרות ושים הד' של מטה תחת הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ותתחיל לחלק מן האלפים ותחלק הב' אלפים על הג' ולא תוכל כי ג' גדול מב' ועל כן יש לך להשיב אחורנית אלו הב' אצל הב' אשר הם במקום המאיות ויהיו כ"ב תחלקם על ג' ויצא לך ז' ושים אותם בין שני הקוים אצל הו' אחורנית וישאר עדין למעלה אחת במקום המאות | |
עוד תכפול הז' היוצאים על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ח תחסר אותם מהג' אשר למעלה במקום האחדים ולא תוכל על כן יש לך לעשות בזה האופן והוא שתשיב אותם הו' אשר הם על העשרות אחורנית ויהיו ס' תחסר מהם כ"ח הנשאר לב תחבר אליהם הג' שלמעלה ויהיו ל"ה | |
הנה א"כ היוצא הוא ס"ז והנשאר קל"ה | |
ואולם המין השני מן החלוק הוא על זה האופן והוא שנחלק המספר הגדול נגד הקטן בבת אחת כוונתי שלא נחלק אותו אות באות כאשר עשינו עד עתה אלא נחלק המספר העליון אצל המספר התחתון | |
ולעולם נשוב אחורנית כמו שעשינו בחלוק אשר קדם זכרו וזה החלוק נקרא בלשונם דאנדא והקודם נקרא גליאה | |
|
דמיון זה נרצה לחלק ד' אלפים שכ"א על כ"ג |
הורידם בשתי שטות כמו זאת הצורה | |
אח"כ תחלק מ"ג אשר הם למעלה רצוני הד' אלפים וג' מאות ונחשוב אותם כאלו היו יחידים ונחלקם על כ"ג ויצא לנו א' וישאר עדין ב' שהם ב' אלפים | |
אח"כ נשיב אלו הב' אלפים אצל העשרות שהם ב' עשרות ויהיו ב' מאות וב' ונחלקם על כ"ג ונתן לו ח' ונשארו עדין י"ח שהם ק"ף | |
אח"כ נשיב אלו הק"פ אצל האחדים רצוני אצל הא' אשר הם למעלה במקום האחדי' ויהיו קפ"א ותחלקם על כ"ג ויצא לך ז' ונשארו עדין כ' | |
הנה א"כ היוצא הוא קפ"ז ונשארו עדין כ' לחלקם על כ"ג | |
|
דמיון אחר נרצה לחלק שבעים אלף ורי"ג על קל"ו |
הורידם בשתי שטות על זאת הצורה | |
אח"כ תתחיל לחלק מן האלפים שהם ע' ותשיבם אל הב' מאות ויהיו תש"ב ותחלקם על קל"ו יצא לך ה' ונשארו עדין כ"ב שהם ב' אלפים וב' מאות | |
אח"כ תשיב אלו הכ"ב אצל העשרות ויהיו רכ"א ותחלקם על קל"ו ויצא לך א' ונשארו עדין פ"ה | |
אח"כ תשיב אלו הפ"ה אצל האחדים שהם ג' ויהיו תתפ"ג (תתנ"ג) ותחלקם על קל"ו ויצא לך ו' ונשארו עדין ל"ז | |
הנה א"כ היוצא הוא תקי"ו ונשארו ל"ז וכן תעשה תמיד אם תקישם אל מה שקדם זכרם | |
ואם תרצה לחלק מטבעים מתחלפים אל מטבע אחד הנה יש לך להשיב כל המטבעים אל ערך אותה המטבע אשר תרצה לעשות החלוקה כנגדה | |
דמיון זה נרצה לחלק כ"ג דוקטי וב' קרליני וז' גרות על י"ו טורנישי | |
הורידם בב' שטות אח"כ יש לך לעשות מהכ"ג דוקטי קרליני ויהיו ר"ל ותחבר אליהם ב' קרליני ויהיו רל"ב | |
אח"כ תעשה מאלו הרל"ב קרליני גרות ויהיו (שכ"ב) (ב') אלפים וש"כ גרות ותחבר אליהם הז' גרות ויהיו ב' אלפים ושכ"ז | |
אח"כ תעשה מאלו הגרות טורנישי ויהיו ד' אלפים ותרנ"ד ותחלקם על המספר שהם י"ו ויצא לך ר"ץ ונשארו עדין י"ד כמו זאת הצורה | |
ואם תרצה לחלק מטבעים מתחלפים על מטבעים מתחלפים | |
כגון שנרצה לחלק מ"ג דוקטי וה' קרליני וח' גרות וב' טורנישי על ה' קרליני וט' גרות וב' טורנישי הורידם בשתי שטות על זאת הצורה | |
אח"כ תעשה מהמ"ג דוקטי קארליני ויהיו ת"ל ותחבר אליהם הה' קרליני ויהיו תל"ה ותעשה מהם גרות ויהיו ד' אלפים ושנ"ח עשה מהם טורנישי ויהיו ח' אלפים ותשי"ח ושמור אותם | |
אח"כ תשוב אל המספר המחלק ותעשה מהה' קרליני גרות ויהיו נ' ותחבר אליהם הט' גרות ויהיו נ"ט ותעשה מהם טורניש ויהיו ק"כ אח"כ תחלק הח' אלפים ותשי"ח על ק"כ ויצא לך ע"ב וישארו עדין ע"ח עז"ה | |
ואולם המין הג' מהחלוק הוא שתחלק המספר הגדול נגד הרכבתו ר"ל אם הוא מורכב תחלקהו נגד המספר אשר הורכב ממנו אח"כ תחלק המספר הקטן על הרכבת הגדול ושים הגדול על הקטן והיוצא הוא המבוקש | |
|
דמיון זה נרצה לחלק מאתים על נ' |
קח חומש נ' והוא עשרה גם חומש מאתים והוא מ' חלק מ' על ד' (י') ויצא לך י' (ד') והוא המבוקש | |
ובכאן נשלם השער הד' והתהלה לאל אמן |
Chapter Five: Addition of Fractions |
השער הה' ידבר על חבור השברים מין עם מינו |
דע כי השער הזה הוא חמור מאד והוא הכרחי בכל מעשה חשבון עד מאד אבל אתן דרכים וקלים | |
הנה כשתרצה לחבר שני שברים מתחלפים | |
ראוי לקחת המורה ודע כי מורה נקרא הרכבת ב' שברים זה על זה והעולה מכפל שניהם או שלשתן או ארבעתם נקראהו מורה בזה המקום ואחר ראוי לקחת חלקי המספר הא' מהמורה ולשים אותו במקומו כן תעשה מן השני גם את השלישי גם מכל המספרים המונחי' ותחבר כל החלקים מכל המספרים ותחלק סך העולה על המורה ומה שיעלה הם חלקי המורה ולפעמים יעלה לך מקבוצם שלם א' או יותר או פחות | |
|
דמיון זה נרצה לחבר שליש אחד עם חצי אחד |
הנה בתחלה יש לך לכפול ג' על ב' אולם כונתי לומר ג' על ב' כי השליש יצא מג' והחצי יצא משנים ונכפול זה על זה ויעלו ו' ושמור אותם כי הוא המורה אח"כ קח שליש המורה שהם ב' וחציו ג' ותחברם ויהיו ה' ותחלק ה' על ו' שהוא המורה ויצא לך ה' שישיות עז"ה | |
|
דמיון אחר נרצה לחבר שלישית אחד ורביעית אחד |
תקח המורה והוא שתכפול ג' על ד' ויהיו י"ב ונקראהו מורה אח"כ תקח רביעיתו והם ג' וקח שלישיתו והם ד' ותחברם ויהיו ז' חלקים מי"ב עז"ה ואם תרצה לחבר ב' שלישיות עם ד' חמישיות קח המורה שהוא כפל ג' על ה' ויהיו ט"ו וקח שלישיתו והוא ה' וכפול אותו ב' פעמים מצד שאמר ב' שלישיות ויהיו עשרה אח"כ קח שלישיתם (חמישיתם) שהוא ג' וכפול אותם ד' פעמים כי אמר ד' חמישיות ויהיו י"ב ותחברם ויהיו כ"ב ותחלקם על ט"ו ויצא לך א' שלם וז' חלקים מט"ו על זאת הצורה | |
ואם תרצה לחבר ג' מספרים | |
הנה יש לך לבקש מורה א' לכלם מכפל זה על זה ולתת לכל אחד חלק הראוי לו ואחר תחלק המקובץ משלשתם על המורה והעולה הוא המבוקש | |
|
דמיון נרצה לחבר חצי עם שליש ועם רביעית |
תחלה תכפול ג' על ד' ויהיו י"ב והיה ראוי לכפול אלו הי"ב על ב' שהם החצי אכן מאחר שיש לנו רביעית אין צורך לקחת החצי והבן זה מאד כי זה כלל גדול במלאכת החשבון והנה הי"ב הם המורה אח"כ קח חצי המורה שהם ו' וקח שלישית המורה שהם ד' וקח רביעיתו שהוא ג' ותחברם ויהיו י"ג תחלקם אל י"ב שהוא מורה ויצא לך א וחלק אחד מי"ב | |
ואם תרצה לחבר ג' מספרי' מתחלפים באופן אחר עשה כך והוא שתחבר ב' מן הג' ותדע כמה העולה אח"כ תחבר אליהם המספר השלישי ומה שיעלה הוא המבוקש | |
|
דמיון זה נרצה לחבר ג' רביעיות וד' חמישיות וה' שישיות |
הנה יש לך לחבר ג' רביעיות וד' חמישיות ותקח המורה שהוא עשרים וקח ג' רביעיותם שהם ט"ו וד' חמישיותם שהם י"ד (י"ו) ותחברם ויהיו ל"א ותחלקם על המורה ויצא לך א' שלם וי"א חלקים מכ' אח"כ תחבר על זה ה' שישיות ותבקש המורה והנה המורה הוא ק"כ שהוא כפל כ' על ו' וקח ממנו י"א חלקים מכ' ויעלו ס"ו וקח ה' שישיותיו ויעלה ק' ותחברם ויהיו קצ"ו (קס"ו) ותחלקם על המורה שהוא ק"כ ויעלה א' שלם ונשארו עדין מ"ו חלקים מק"כ שהם כ"ג חלקים מס' | |
ואם תרצה לחבר שלמים עם שברים | |
הנה יש לך להשיב א שברים אצל שברם ולעשות מהם שברים ולחבר מהם מה שבאותו השבר כן תעשה מהמספר הב' אח"כ תקח המורה ותעשה כנז' | |
|
דמיון זה נרצה לחבר ב' וחצי עם ג' ורביע |
הנה יש לך לעשות מהב' שלמים חצאים ויהיו ד' חצאים ותקח החצי בעבור שאמר ב' וחצי ויהיו ה' חצאים ושמור אותם וכן תעשה מהמספר השני שהם ג' ורביע תעשה מהם (ג') רביעיות ויהיו י"ג רביעיות כי בכל שלם יש ד' רביעיות ותכפול הב' אשר הם תחת הה' על הי"ג אשר הם על הד' ויהיו כ"ו ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הי"ג על הה' אשר הם על הב' ויהיו כ' ותחברם אל כ"ו ויהיו מו ו ותקח המורה שהוא כפל ב' על ד' שהם ח' וחלק מ"ו על ח' ויצא ה' שלמים וו' חלקים מח' שהם ג' רביעיות על זאת הצורה | |
ואם תרצה לחבר שנים מספרים אשר יהיה בא מהם שלמים עם שברים ובאחד שברים בלבד תשיב השלמים אשר הוא בחלק א' מהם אצל שברו שכנגדו | |
|
דמיון זה נרצה לחבר ג' וחצי עם ב' חמישיות |
הנה ראוי לעשות מהג' אשר אצל החצי חצאין ויהיו ז' חצאין ותקח המורה שהוא כפל ב' על ה' ויהיו עשרה אח"כ כפול ז' אשר הם על הב' נגד הה' אשר הם תחת הב' ויהיו ל"ה ושמרם אח"כ כפול הב' אשר על הה' נגד הב' אשר תחת הז' ויהיו ד' ותחברם אל ל"ה ויהיו ל"ט ותחלקם על המורה שהוא כפל ב' על ה' ויהיו ג' שלמים וט' חלקים מי' |
Chapter Six: Subtraction of Fractions |
השער הו' ידבר על מגרעת השברים |
דע כי כשתרצה לגרוע שום חשבון תצטרך לקחת המורה ואחר ראוי לכפול מה שעל המספר הא' על מה שלמטה מהמספר האחר ומה שלמטה על מה שלמעלה מהמספר האחר ולחסר המספר הקטן מהגדול ומה שנשאר הם חלקים מן המורה | |
|
דמיון זה נרצה לחסר מג' רביעיות חצי א' |
הנה ראוי לקחת המורה שהוא כפל ד' על ב' שהוא ח' ואח"כ כפול הד' אשר הם תחת הג' על הא' אשר הוא על הב' ויעלה ד' אח"כ כפול הג' אשר הם על הד' על הב' אשר הם תחת הא' ויהיו ו' תחסר מד' ו' (ד' מו') הנשאר ב' ואלו הב' הם חלקים מהמורה שהוא ח' והוא רביעית א' הנה הנשאר הוא רביעית א' | |
ואם תרצה לחסר משלמים ושברים שלמים ושברים | |
יש לך לעשות מהשלמים שברים וכן מכל הב' חלוקות ואח"כ תבקש המורה ולכפול זה כנגד זה כמו שהראיתיך במה שעבר ותעשה כמשפט | |
|
דמיון זה נרצה לחסר מג' שלמים וג' רביעיות ב' שלמים וחצי |
והנה יש לך להשים הג' שלמים אצל הג' רביעיות ויהיו ט"ו רביעיות ושמרם ואח"כ יש לך להשיב הב' שלמים אצל החצי ויהיו ה' חצאין אח"כ יש לך לבקש המורה שהוא כפל ד' על ב' שהם ח' אח"כ כפול הב' אשר תחת הה' נגד הט"ו אשר על הד' ויהיו ל' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר תחת הט"ו נגד הה' אשר הם על הב' ויהיו עשרים הסר כ' מל' הנשאר י' וחלק אלו הי' נגד המורה שהוא ח' ויצא לך א' שלם ורביע והוא הנשאר | |
ואם תרצה לגרוע מספר אחד אשר אין בו כי אם שבר ממספר אחד אשר בם שברים גם שלמים ראוי להשיב השלמים אצל השברים ואח"כ לקחת המורה ותגרע הקטן מן הגדול | |
|
דמיון זה נרצה לגרוע ג' רביעיות מב' שלמי' וחצי |
הנה יש לך לעשות מהב' וחצי חצאין ויהיו ה' חצאין ותקח המורה שהוא ח' שעלה מכפל ב' על ד' ואח"כ יש לך לכפול הב' אשר הם תחת ה' על הג' אשר הם על הד' ויהיו ו' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הג' נגד הה' אשר על הב' ויעלו עשרים ותחסר מהם ו' ונשארו עדין י"ד ותחלק אלו הי"ד על ח' עלה א' שלם וג' רביעיות והוא הנשאר | |
ובכאן נשלם השער הו' |
Chapter Seven: Multiplication of Fractions |
השער הז' ידבר על הכפל |
---|---|
דע כי כשתרצה לכפול מספר על מספר הנה תחלת כל דבר יש לך לקחת המורה כאשר אתה מראה בדמיוני' שעברו ואח"כ לכפול מה שלמעלה זה כנגד זה ומה שיעלה יש לחלקו על המורה והעולה הוא המבוקש | |
|
דמיון זה נרצה לכפול ב' שלישיות על ג' רביעיות |
תקח המורה שהוא י"ב שעלה לנו מכפל ג' על ד' ואח"כ יש לך לכפול הב' אשר הם על השלשה נגד הג' אשר הם על הד' ויהיו ו' וחלקם על י"ב ויהיו ו' חלקים מי"ב שהוא חצי אחד | |
ואם תרצה לכפול ב' מספרים זה על זה עם שלמים הנה תשיב השלמים אצל השברים ה[חוני]ם לנגדם וכן המספר האחר ואח"כ יש לך לבקש המורה ומה שיעלה תחלק על המורה והעולה הוא המבוקש | |
|
דמיון זה נרצה לכפול ב' וחצי על ג' ושליש |
הנה יש לך תחלה להעמיד המורה והוא ו' ואח"כ תעשה מהב' שלמים חצאים ויהיו ה' וכן תעשה מהג' שלמים עשה ממנו שלישיות ויהיו עשרה ותכפול (ותכפול) עשרה על הה' ויהיו נ' וחלקם על המורה שהם ו' ויעלו לך ח' שלמים ושליש | |
ואם תרצה לעשות אותו באופן אחר והוא כי יש לך לכפול השלמים על השלמים רצוני ע' ג' על ב' ויהיו ו' שלמים עוד תכפול החצי על שלשה ויהיו א' וחצי ונחבר הא' עם הו' ויהיו ז' וחצי עוד תכפול הב' שלמים על שליש ויהיו ב' שלישיות ונחבר אלו הב' שלישיות עם הז' וחצי שיש לנו ויהיו ח' שלמים ושתות עוד נכפול השליש על החצי ויהיו שתות אחד ועם השתות שיש לנו יהיו ב' שתותים שהם שליש א' ועם הח' הם ח' שלמים ושליש ותקיש על זה | |
ואם תרצה לכפול ב' מספרים אשר בא' מהם שברים ובאחר שלמים עם שלמים (שברים) הנה יש לך להשיב השלמים אצל השברי' ולכפול היוצא על מה שבמספר השני ולבקש המורה ולחלק היוצא נגד המורה והעולה הוא המבוקש | |
|
דמיון זה נרצה לכפול ד' וחצי על ב' שלישיות |
הנה יש לך לעשות מהד' וחצי חצאים ויהיו ט' אח"כ ט' על ב' אשר הם על הג' ויעלו י"ח ותחלקם על המורה שהוא ו' ממה שעלה מכפל ב' על ג' ויעלה ג' שלמים בלי תוספת ומגרעת | |
ואם תרצה שלמים לבדם עם שברים לבדם יש לך לכפול השלמים על מה שהוא במספר השברים והעולה תחלק על השבר השפל והעולה הוא המבוקש | |
|
דמיון זה נרצה לכפול ד' שלמים על ב' שלישיות |
הנה תכפול ד' על ב' ויעלו ח' ותחלקם על ג' ויצא לך ב' שלמים וב' שלישיות על זאת הצורה | |
ובכאן נשלם השער השביעי |
Chapter Eight: Division of Fractions |
השער הח' מדבר על חלוק השברים |
---|---|
דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון יש לך לבקש בראשנה המורה ואח"כ יש לך לכפול מה שתחת המספר הא' על מה שעל המספר האחר ומה שעל המספר הא' על מה שתחת המספר הנלוה אליו ותחלק היוצא הגדול על הקטן ומה שנשאר הוא חלק ממנו | |
|
דמיון זה נרצה לחלק ה' שמיניות על רביעית א' |
(תקח המורה שהוא ל"ב ושמרם אח"כ) כפול הח' אשר תחת הה' על הא' אשר על הד' ויעלו ח' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הא' על הה' אשר הם על הח' ויהיו עשרים ותחלק עשרים על ח' ויהיו ב' שלמים ונשארו עדין ד' ותחלקם על המורה שהוא ל"ב (ח') ויצא לך שמינית א' שלם (ב' שמיניות) | |
או אם תרצה תאמר כי הב' שיצאו לך הם ב' פעמים א' רביע ונשאר עדין חצי שהוא ש' חצי זה הרביעית שהם שמינית א' שלם | |
ואם תרצה לחלק שלמים עם שברים על שלמים ושברים | |
יש לך לבקש המורה ואח"כ תכפול השלמים נגד השברים מכל הב' מספרים ותחלק הגדול על הקטן והעולה הוא המבוקש | |
|
דמיון זה נרצה לחלק ד' וחצי על ב' ורביע |
הנה יש לך לעשות מהד' וחצי חצאין ויהיו ט' חצאין אח"כ תעשה מהב' ורביע רביעיים ויהיו ט' רביעיים אח"כ תכפול הד' אשר הם תחת התשעה נגד הט' אשר הם על הב' ויהיו ל"ו אח"כ תכפול הב' אשר הם תחת הט' (נגד הט' אשר הם) על הד' ויהיו י"ח וחלק ל"ו על י"ח ויעלו ב' שלמים בלי תוספת | |
ואם תרצה לחלק שלמים עם שברים לבדם | |
|
כאלו תאמר ד' על ג' רביעיות |
הנה יש לך לכפול הד' שלמים על הד' אשר הם רביעיות ויהיו י"ו ותחלקם על הג' אשר הם על הד' ויהיו ה' שלמים ושליש על זאת הצורה |
Chapter Nine: Ratios |
השער הט' ידבר על ענין הערכים והסחורות |
---|---|
ונחלק זה השער לג' חלקים: | |
החלק הא' על ערך השלמים עם השלמים | |
החלק הב' ערכי שברים עם שברים | |
החלק הג' ערכי שלמים עם שברים | |
החלק הא' ערכי השלמים עם שלמים | |
כשיאמר לך אדם קניתי ב' קנים של משי לערך ט"ו מנינים ה' קנים כמה שוים הנה תכפול הב' אשר הם הקנים מהמשי על ט"ו אשר הוא שווי דמיהם ויעלה ל' ותכפול אלו הל' על ה' ויצא לך ק"נ ותחלקם על ערך הקנים אשר ערכם ידוע שהם ב' ותכפלם ויהיו ד' ותחלק ק"נ על ד' ויצא לך ל"ז וחצי | |
אמנם תוכל לעשותו יותר נקלה והוא שתכפול הה' אשר הם הקנים הבלתי נודעות על ט"ו אשר הם הדמים ויעלה ע"ה ותחלקם על ב' אשר הם הקנים הנודעות | |
עוד בדרך אחרת והוא שתחלק הדמים אשר הם ט"ו על ב' אשר הם הקנים אשר ערכם ידוע ויצא ז' וחצי ותכפול זה על ה' אשר הם הקנים אשר ערכם נעלם ויצא לך ל"ז וחצי | |
עוד בדרך אחרת והוא שתחלק הקנים אשר ערכם בלתי ידוע על הב' אשר ערכם ידוע ויצא לך ב' וחצי וכפול אותם על ט"ו ויצא ל"ז וחצי | |
ואם יאמר לך אדם קניתי ז' מדות חטה על מנת להוליכן ח' מילין לערך ט' מנינים והוא נשא י' מדות י"א מילין כמה ראוי שיקח | |
הנה יש לך לכפול י"א על י' ויהיו ק"י עוד יש לך לכפול כל זה על ערך הממון שהוא ט' שהוא תתק"צ אח"כ כפול ז' על ח' ויהיו נ"ו ויש לך לחלק תתק"צ על נ"ו ויצא לך י"ז ול"ח חלקים מנ"ו הנה ראוי שינתן לו בעד משכורתו י"ז ול"ח חלקים מנ"ו כמו זאת הצורה | |
ולפעמים יצטרך לעשות הערך ג' פעמים אבל נמצא דרך קל כי ערך א' יספיק | |
כאלו תאמר אדם שכר ג' חמרים שישאו לו ד' מדות ה' מילין ויתן להם ו' דינרין והם היו ז' חמרים ונשאו ח' מדות מרחק ט' מילין כמה שכרן | |
הנה יש לך לכפול ז' על ח' ויהיו נ"ו עוד תכפול זה על ט' ויהיו תק"ד עוד כפול זה על מספר הדינרין שהם ו' ויהיו ג' אלפים וכ"ד חלקם על ס' ויצא לך חמישים וכ"ד חלקים מס' והוא מה שיקחו | |
שאל שואל ד' זהובים בב' חדשים הרויחו ו' דינרין וכפי זה הערך ח' זהובים הרויחו י"ב דינרין כמה חדשים עמדו להרויח אלו הי"ב דינרין | |
התשובה ראוי שתכפול הד' זהובים על ב' חדשים ויהיו ח' עוד כפול זה על הו' שהם הדינרין ויהיו מ"ח ושמרם אח"כ כפול ח' שהם הזהובים על י"ב שהם ג"כ זהובים (דינרים) ויעלה צ"ו ותחלקם על מ"ח ויצא לך שנים שלמים והוא סך החדשים שעמדו הח' זהובים להרויח י"ב דינרין ונשלם השער הראשון מהערכין | |
השער השני הם ערכי שברים עם שלמים | |
אם תרצה לדעת אם אדם אחד שכר חבירו לעבוד עבודתו בערך ו' מנינים וה' קרליני וד' גרות וג' דינרין בעד ד' ימים והוא עבד כ"ד ימים כמה ראוי שיקח | |
ראוי לכפול כ"ד נגד הדינרין ויהיו ע"ב עוד כפול הד' נגד הגרות ויעלו ו' עוד כפול הד' נגד הקרליני ויהיו כ' ועם א' יהיו כ"א ושים א' עוד כפול ד' נגד הו' ויהיו כ"ד ועם ב' יהיו כ"ו ושימם עוד כפול העשרות מלמטה נגד הד' ויהיו ח' עוד כפול ב' נגד ה' ויהיו עשרה עוד כפול הב' נגד הו' ויהיו י"ב אח"כ תעשה מע"ב דינרין גרות ותחברם ויעלה הכל ל"ט מנינים וב' קרליני וז' גרות אחר שנתחלק היוצא מהכפל על ד' כמו זאת הצורה | |
ואם תרצה לבחון אותו תחלק כ"ד על ד' ויצא לך ו' אח"כ כפול ו' על כל המטבעים של מעלה ונכפול ששה ראשנה על כל הדינרין אח"כ על הגרות ואח"כ על הקרליני ואח"כ על המנינים ויצא לך ג"כ ל"ט מנינים וב' קרליני וז' גרות בלי שום דינר | |
ואם תרצה לבחון אותו באופן אחר תחלק המספר של מעלה שהוא ו' מנינים וה' קרליני וד' גרות וג' דינרין על ד' והיוצא תכפול על כ"ד ויצא לך ג"כ כנז' | |
ואם תרצה לדעת ערך המספר אשר בו שבר למעלה יש לך לכפול כל השלמים ואח"כ כל השברים והעולה תחלקהו על המספר הרשום במספר העליון והיוצא הוא המבוקש | |
דמיון זה ערך ז' קנים מדוק הוא ז' מנינים ח' קרליני ה' גרות א דינר וחצי מ"ב קנים כמה ישוו | |
כך תעשה תכפול ראשנה המ"ב נגד הדינרין השלמים של מעלה ויהיו מ"ב עוד תכפול האחדים של מטה נגד הגרות ויעלו עשרה ושים ציפרא עוד כפול האחדים נגד הקרליני שהם ח' ויהיו י"ו ועם א יהיו י"ז ושים ז' עוד כפול הב' מלמטה נגד המנינים יהיו י"ד ועם א הנם ט"ו ושימם אחר כפול העשרות של מטה נגד הגרות ויעלו כ' ושים ציפרא עוד כפול העשרו' נגד הקרליני ויהיו ל"ב ועם ב' ויהיו ל"ד ושים ד' עוד כפול העשרות נגד המניני' ויהיו כ"ח ועם ג' יהיו ל"א אח"כ כפול ראוי לקחת חצי המספר התחתון ר"ל ממ"ב והנם כ"א ויהיו דינרין ועם מ"ב ויהיו ס"ג תעשה מהם גרות ויהיו י' גרות וג' דינרין אח"כ חבר הכל ויעלה מ"ז מנינים וא' קרליני וא' גרה וג' דינרין אחר שנתחלק על ז' וזאת צורתם | |
ואם תרצה לבחון אותו חלק מ"ב על ז' ויצא לך ו' וכפול ו' על המטבעים שלמעלה ויצא לך ג"כ מ"ז מנינים וכו'
ואם השבר הוא למטה ראוי לך לכפול כל השלמים מלמטה נגד כל המטבעים וגם ראוי לקחת מכל המטבעים כפי השבר אם חצי מחציתו ואם שליש שלישיתו ואם ב' שלישיות ב' שלישיות | |
דמיון זה אם ד' ליט' של כרכום שוות ד' מנינים וב' קרליני וא' גרה וא' דינר ל"ב ושליש כמה ישוו | |
בתחלה תכפול הל"ב נגד הדינרין ויהיו ל"ב אח"כ כפול האחדים על הגרות ויעלו ב' ושימם במקום הגרות עוד כפול האחדים נגד הקרליני ויהיו ד' עוד תכפלם נגד המנינים ויהיו ח' אח"כ כפול העשרות נגד הגרות ויהיו ג' (... קרליני...) עוד כפול העשרות נגד המנינים ויהיו י"ב אח"כ קח שליש מכל המטבעים של מעלה ויצא א' מגן וד' קרליני בלי גרה וב' דינרין ושליש ותקבץ הכל ויעלו קל"ו מנינים וא' קרליני וז' גרות וד' דינרין ושליש וחלק על זה ד' ויצא ל"ד מנינים בלי קרליני וד' גרות וב' דינרין וז' (א') חלקים מי"ב של דינר וזאת היא צורתם | |
המופת תחלק המספר התחתון שהוא ל"ב ושליש על ד' ויצא לך ח' שלמים וחלק א' מי"ב וכפול כל זה נגד כל המטבעים של מעלה ויצא לך ל"ד מנינים בלי קרליני וד' גרות וב' דינרין וז' (א') חלקים מי"ב | |
ואם תרצה לחלק מספר יהיה בו שבר מעלה ומטה ראוי לכפול השבר התחתון על כל המטבעים של מעלה גם על השבר העליון ואח"כ כפול השלמי' התחתונים על כל המטבעים של מעלה ולחבר הכל והיוצא הוא המבוקש | |
דמיון זה נרצה לדעת אם ו' קנים של משי שוות ו' מנינים וג' קרליני וג' גרות וב' דינרין וחצי כ"ד וחצי כמה ישוו | |
ראוי לקחת חצי המטבעים העליונים ויהיה ג' מנינים א' קרליני (וחצי) ו(א)' (וחצי) גרות ד' (וא') דינרין ורביע אח"כ תקח חצי המספר התחתון ויהיו י"ב אח"כ תכפול כ"ד על הדינרין ויהיו מ"ח ונחברם עם י"ב ויהיו ס' אח"כ נכפול הכ"ד שלמים נגד המאיות של מעלה ותעשה כנז' אח"כ תקבץ הכל ויעלה כ"ה מנינים ה' קרליני ו' גרות ב' דינרין וי"ז חלקים מכ"ד אחר שנתחלק העולה על ששה וזאת היא צורתם | |
המופת תחלק המטבעי' מלמעלה על ו' ואח"כ כפול היוצא על כ"ד (וחצי) וישוב כמו מה שיצא לנו | |
או אם תרצה חלק כ"ד וחצי על ו' והיוצא תכפול על כל המטבעים והדבר יצא שוה | |
ואם תרצה לדעת אם ב' קנים וחצי שוות ג' מנינים וב' קרליני וב' גרות וג' דינרין ושליש י"ב וחצי כמה שוות | |
ראוי לכפול בתחלה השבר התחתון נגד כל המטבעי' העליונים ואח"כ ראוי לך לכפול הי"ב שלמים נגד השבר מלמעלה שהוא שליש ואח"כ נכפול כל השלמים התחתונים נגד כל המטבעים אשר למעלה ואח"כ קבץ הכל והעולה תחלק על ב' וחצי | |
ואופן החלוק נעשה ככה והוא שנעשה מהב' וחצי חצאין ויהיו ה' ואח"כ לכפול העולה על ב' והעולה תחלק על ה' והיוצא הוא המבוקש ויצא לך י"ו מנינים א קרליני ב' גרות וד' דינרין וב' שלישיות דינר כמו זאת הצורה | |
המופת נחלק י"ב וחצי על ב' וחצי ויצא לך ה' שלמים ותכפלם על כל המטבעים העליונים ויצא לך הדבר שוה | |
או אם תחלק כל המטבעים שלמעלה על ב' וחצי והעולה תכפול על י"ב וחצי יצא לך מספר שוה | |
אם יאמר לך אדם ב' שלישיות קנה שוות מגן וחצי ג' רביעיות קנה כמה שוות | |
הנה יש לך לכפול ג' רביעיות על א וחצי ויצא לך א' ושמינית וראוי עתה לחלק א' ושמין על ב' שלישיות ויצא לך א' שלם וי"א חלקים מי"ו והוא המבוקש | |
ואם יאמר לך קנה אחת וחצי שוה ג' זהובים ד' קנים וחצי כמה שוים | |
הנה יש לך לכפול ד' וחצי על ג' (וחצי) ותחלקם על א' (וחצי) ויצא לך ט' שלמים והוא שווי ד' קנים וחצי | |
ואם יאמר לך ב' קנים וחצי שוות ה' מנינים ושליש ז' קנים וחצי כמה שוות | |
הנה ראוי לכפול ז' וחצי על ה' ושליש ויצא לך מ' שלמים וראוי לחלק על ב' וחצי ויצא לך י"ו שלמים והוא ערך הז' קנים וחצי | |
החלק השלישי הם ערכי שברים עם שברים | |
אם יאמר לך אדם חצי מגן קנה של משי שוה שליש מנין ב' שלישיות של קנה כמה ישוו | |
הנה יש לך לכפול ב' שלישיות שהם המשי על שליש שהוא הממון ויצא ב' תשיעיות ויש לך לחלק אלו הב' תשיעיות על חצי ויצא לך ד' תשיעיות והוא ערך ב' שלישיות קנה | |
ואם חצי ליט' של כסף שוה מחצית מגן ב' שלישיות כמה ישוו | |
הנה ראוי לכפול מחצית על ב' שלישיות ויצא לך שליש א וראוי לחלק זה השליש על חצי ויצא ב' שלישיות והוא המבוקש | |
ואם יאמר בעד רביעית זהוב קניתי ב' שלישיות קנה כמה אקנה בעד שלישית (שמינית) אחד | |
הנה יש לך לכפול השמינית על ב' שלישיות ויהיו חלק אחד מי"ב וראוי לחלק זה על רביעית ויצא לך שליש והוא מה שיקנה בעד שמינית | |
ואם יאמר לך הרוחתי ב' שלישיות מגן בג' רביעיות מחדש עם חצי מגן אחד כמה ארויח בחצי חדש עם שליש מגן | |
הנה יש לך לכפול החצי על שליש ויצא לך שתות אחד גם ראוי לכפול זה על ב' שלישיות ויצא תשיעית ושמרם עוד כפול ג' רביעיות על מחצית א ויצא לך ג' שמיניות והנה עתה יש לך לחלק תשיעית אחד על ג' שמיניות ויצא לך ח' חלקים מכ"ז והוא מה שירויח שליש מגן בחצי חדש ונשלם השער התשיעי |
Chapter Ten: Discusses the Extraction of Roots |
השער העשירי ידבר על הוצאת השרשים |
This chapter is divided into three parts: | וגם נחלק זה השער לג' חלקים |
|
החלק הראשון הוא הוצאת שרש השלמים |
|
והחלק הב' הוצאת שרש השברים |
|
והחלק הג' הוצאת שרש שלמים עם שברים |
Part One: Extracting the Roots of Integers |
|
Know that when you wish to extract the root of integers, one should examine first the rank of the number whose root is required. | דע כי כשתרצה להוציא שרש השלמים ראוי להסתכל תחלה באיזה מדרגה הוא המספר אשר אתה מבקש שרשו |
Know that all the squares are analogous to the squares that are in the first and the second ranks | ודע כי כל המרובעים הם נמשלים למרובעים אשר הם במדרגה הראשנה והשניה |
The squares that are in the first rank are three, which are 1, 4, 9. | ואולם המרובעים אשר הם במדרגה הראשנה הם ג' והם אד"ט |
|
ודע כי א' הוא שרש מורכב ומרובע |
The squares that are in the second rank are 16, 25, 36, 49, 64, 81. | והמרובעים אשר הם במדרגה השניה הם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א |
The roots of the first rank are three: 1, 2, 3. | ואולם שרשי המעלה הראשנה הם ג' אב"ג |
The roots of the second rank are 6: 4, 5, 6, 7, 8, 9. | ושרשי המעלה השניה הם ו' ד'ה'ו'ז'ח'ט' |
Know that all the ranks that succeed the first and second ranks are analogous to the preceding two, i.e. every rank that is even is analogous to the second rank and every odd rank is analogous to the first rank. | ודע כי כל המדרגות הנמשכות אחר הראשנה והשניה הם הנמשלות אחר הב' הקודמות ר"ל כי כל מדרגה שהיא זוג נמשלת למדרגה שניה וכל מדרגה נפרדת נמשלת לראשנה |
|
ודע כי המדרגה השלישית המרובעים שבם נמשלים למדרגה הראשנה גם שרשיהם אבל צריך שתעלה שרשיהם מדרגה אחת ר"ל כי שרשיהם יהיו עשרות |
|
ומספרי המדרגה הרביעית נמשלים השרשים והמרובעים למדרגה השנית ואין צורך להעלות שרשיהם מדרגה אחת אלא יעמדו במקומם |
|
והמדרגה החמישית שרשיהם ומרובעיהם נמשלים למדרגה הראשנה אלא שצריך שתעלה השרש עד המדרגה השלישית ושרשיהם יהיו מאיות |
|
והמדרגה השישית שרשיהם ומרובעיהם נמשלים למדרגה שניה וצריך שתעלה השרש הנמשל אל המאיות |
|
והמדרגה השביעית מרובעהם גם שרשיהם נמשלים למדרגה הראשנה אלא צריך שיהיה השרש אלפים |
|
והמדרגה שמינית נמשלת לשניה וצריך שיהיה השרש ג"כ אלפים |
|
והמדרגה התשיעית נמשלת למדרגה הא' אלא השרש יהיה עשרות אלפים |
|
והמדרגה העשירית נמשלת לשניה והשרשים יהיו עשרות אלפים |
ודע כי כשתרצה להוציא שום שרש צריך לך תחלה להוציא השרש הנמשל כוונתי אם הוא בעשרות אלפים שתוציא תחלה אותם המאות אשר הם השרש ואם נשאר לך איזה דבר צריך שתכפול אותם המאיות על ב' ותחלק הנשאר על אותו הסך ואח"כ אם נשאר לך איזה דבר כי עכ"פ יצטרך שישאר לך באופן שתוכל לקחת מהנשאר מרובע ממה שעלה בחלוק כפל השרש ומה שנשאר עדין אחר לקיחת כפל השרש תפיל מן הסך הגדול רצוני מן המספר אשר בקשת למצא שרשו ומה שנשאר הנה הוא מרובע השרש ומה שיצא לך תחלקהו על ב' זולת מה שעלה לך מכפל השרש והעולה הוא המבוקש | |
|
דמיון רצינו לדעת שרש תתק"פ |
כבר אמרנו כי המדרגה הג' נמשלת למדרגה הא' והשרשים שהם במדרגה הא' הם אב"ג והמרובעים הם אד"ט א"כ הט' מאות הם כמו הט' אחדים וידענו כי שרש ט' הם ג' כי ג' פעמים ג' הם ט' אחדים וידענו כי שרש ט' הוא ג' וכבר אמרנו כי יש לנו להעלות אותם ממעלה א' א"כ נעלה אלו הג' שהם שרש ט' ממדרגה א' ויהיו ל' א"כ ל' הם שרש מט' מאות ונשארו פ' כי מספרינו היה ט' מאות ופ' והנה יש לנו לכפול השרש שהוא ל' ויהיו ס' ויש לנו לחלק פ' על ס' ונתן לו א' ונשארו כ' ונקח מהם מרובע זה הא' שעלה בחלוק ונשארו עדין י"ט וכפול (הסר) אותם מן המספר שהוא תתק"פ ונשארו תתקס"א הנה א"כ שרש תתקס"א הוא ל"א | |
ואם תרצה לדעת שרש המספר בדיוק יותר גדול הנה ראוי לכפול הל"א שהוא השרש ויהיו ס"ב ויש לך לחלק י"ט שנשארו עדין על ס"ב ומה שיעלה יהיה השרש יותר קרוב והוא ל"א וי"ט חלקים מס"ב | |
|
דמיון אחר נרצה לדעת שרש מ"ט אלפים וס"ב (ל"ב) |
הנה כבר ידעת כי עשרות אלפים נמשלות למאיות והנה מ' אלפים דומים כמו ד' במעלה הראשנה ושרשו ב' ויהיו ב' מאות א"כ שרש מ' אלף הם ב' מאות ונשארו עדין ט' אלפים ול"ב נכפול ב' מאות ויהיו ד' מאות נחלק ט' אלפים ול"ב על ד' מאות ויעלו עשרים נשארו עדין אלף ול"ב נסיר ממנו מרובע עשרים שהוא ד' מאות וישארו ו' מאות ול"ב ונכפול עשרים ויהיו מ' ושים אותם על ד' מאות ויהיו ת"מ ותחלק ו' מאות ול"ב עליהם ויעלה אחד שלם ונשארו עדין (מאה ו)צ"ב ותסיר מהם מרובע א' ונשאר קצ"א תסירם מל' (ממ"ט) אלפים ול"ב הנשאר מ"ח אלפים וח' מאות ומ"א והוא מרובע הקרוב ממספרינו ושרשו רכ"א | |
|
דמיון אחר נרצה לדעת שרש מאה וחמישים אלף |
כבר ידעת כי ק' אלף היא המדרגה הו' ודומה למדרגה הב' והנה המרובע שעבר הוא ג' והם ג' מאות ונכפול אותו ויהיו ו' מאות ונשארו עדין ס' אלפים נחלקם על כפל השרש שהוא ת"ר יעלו פ' ונשארו עדין י"ב אלפים ונחסר מהם מרובע פ' שהוא ו' אלפים וד' מאות נשארו ה' אלפים ות"ר ונכפול פ' ויהיו ק"ס ונחברם אל ו' מאות ויהיו תש"ס נחלק ה' אלפים ות"ר עליהם ויצא לך ז' ונשארו עדין רל"א אחר לקיחת מרובע ז' ותפילם מק"נ אלף הנשאר קמט אלפים ותשס"ט והוא מרובע שעבר ושרשו שפ"ז | |
Examine and you will find [that it is true]. | ודוק ותשכח |
ובכאן נשלם החלק הראשון מהוצאת שרשי השלמים בלי דיוק אבל אם תרצה לעשות אותו יותר מדוקדק | |
ולדעת איך הוא הדרך ולאמתו ולהגיע יותר אל הקרוב עדין נבאר זה בחלק הבא מן הוצאת שרשי השברים גם בחלק הג' מן הוצאת שרשי השברים והשלמים | |
Part Two: Extracting the Roots of Fractions |
|
ודע כי כשתרצה לדעת שרש מאיזה שבר הנה יש לך לבקש מספר שיהיה דומה לאותו השבר | |
|
ר"ל אם אמר לך כמה שרש רביעית |
יש לך לבקש מספר ד' כי רביעית יצא מד' ויש לך לקחת מרובע אותו המספר ולקחת שרש הרביעית (של המרובע) | |
וגם יש לך לקחת שרש המרובע ולחלק שרש (רביעית) המרובע על שרש הרביעית (המרובע) ומה שיעלה בחלוק הוא שרש אותו השבר וכן תעשה תמיד | |
|
דמיון זה נרצה לדעת שרש רביעית א' |
הנה יש לך לבקש מספר יהיה לו רביעית וגם אותו המספר יהיה מרובע ר"ל שיהיה לו שרש והנה נקח מספר י"ו שהוא מספר מרובע והולך לרביעיות בלי תוספת ומגרעת וקח הרביעית שהוא ד' וקח שרשו של ד' והוא ב' אח"כ קח שרש י"ו שהוא ד' ג"כ וחלק(הו) על(יו) שרש רביעית י"ו שהוא ד' ושרשו היה ב' ויצא לך חצי רביעית א' והוא שרש רביעית א' | |
|
דמיון אחר נרצה לדעת שרש שלישית א' |
הנה יש לך לבקש מספר יהיה לו שלישית ויהיה מרובע וכאלו תכה אותו במספר פ"א שהוא מספר מרובע והולך לשלישיות וקח שלישית פ"א והוא כ"ז אח"כ קח שרש כ"ז שהוא ה' וחומש אח"כ קח שרש פ"א שהוא ט' וחלק ה' וחומש על ט' ויצא לך כ"ו חלקים ממ"ה והוא שרש שליש בקרוב גדול | |
|
ואם תרצה לדעת שרש ג' חומשים |
הנה יש לך לבקש מספר שיהיה לו חומש ותקח ג' חמישיותיו והנה נקח מספר כ"ה כי הוא מספר מרובע ויש לו חומש וקח ג' חמישיותיו והם ט"ו וקח שרשם שהוא ג' וז' שמיניות אח"כ קח שרש כ"ה שהוא ה' וחלק ג' וז' שמיניות על ה' ויצא לך ל"א חלקים ממ' והוא שרש ג' חמישיות | |
|
דמיון אחר נרצה לדעת כמה שרש ה' שמיניות |
הנה יש לך לבקש מספר ששרשו יהיה שמונה והוא ס"ד וקח ה' שמיניותיו והוא מ' וקח שרשם והוא ו' ושליש אח"כ תחלק ו' ושליש על שרש ס"ד שהוא ח' ויצא לך י"ט חלקים מכ"ד וזה יהיה שרש ה' שמיניות | |
ואם תרצה לדעת שרש השלמים בדקדוק יותר גדול יש לך לקחת מעוקב אותו המספר שתרצה לדעת שרשו וקח שרש מעוקבו שהוא כ"ז כי ג פעמים ג' הם ט' וג' פעמים ט' הם כ"ז וקח שרש כ"ז שהוא ה' וחומש וחלקם על ג' שהוא המספר שתבקש למצא שרשו ויצא לך א' וי"א חלקים מט"ו והוא שרש ג' | |
|
דמיון אחר נרצה לדעת שרש חמשה |
תקח מעוקבו והוא שתכפול ה' פעמי' ה' והם כ"ה ותכפול כ"ה פעמים ה' והם קכ"ה וקח שרש קכ"ה שהוא י"א וב' חלקים מי"א ותחלקם על ה' שהוא המספר שתרצה לדעת שרשו ויצא לך ב' שלמים וי"ג חלקים מכ"ה (מנ"ה) ותקיש על זה | |
ואם תרצה לדעת השרש באופן אחר יש לך לקחת שרש המרובע שעבר ולכפול השרש ולחלק מה שנשאר (על מרובע השרש) על כפל השרש (והיוצא חברו על הנשאר) והעולה הוא הנשאל | |
|
דמיון אחר נרצה לדעת שרש ששה |
הנה יש לך לקחת שרש המרובע שעבר שהוא ד' ושרשו ב' ויש לך לכפול השרש ויהיו ד' ותחלק מה שנשאר שהוא ב' על ד' ויצא לך חצי אחד ועם הב' שיש לנו הם ב' וחצי והוא שרש חמשה בקרוב | |
ואם תרצה לבחון אותו תקח מרובע ב' וחצי ויעלה ו' ורביע הנה לא מצאת כי אם רביעית נוסף על הו' ואם תרצה לדקדק החשבון יותר הנה יש לך לכפול ב' וחצי שיצא לנו ויהיו ה' ויש לך לחלק הרביעית הנוסף על ה' ויצא לך חלק א' מעשרים ותפיל זה מן ב' וחצי ונשארו ב' וט' חלקים מעשרים והוא שרש ו' | |
|
דמיון אחר נרצה לדעת שרש ח' |
הנה בעבור כי הוא יותר קרוב אל ט' ממה שהוא קרוב אל ד' שהוא מרובע שעבר נחשוב כאלו מספרינו היה ט' ונקח שרשו והוא ט' (ג') וכפול אותו ויהיו ו' והוא מצד כי חשבונינו לא היה כי אם ח' המרחק אשר בין ח' לט' הוא א' ונחלק זה הא' על כפל השרש שהוא ו' ויצא לך שתות אחד וזה השתות יש לנו להפילו מן הג' ונשארו ב' וה' שישיות והוא שרש ח' בקרוב ואין צריך לדקדקו יותר | |
אכן אם תרצה לקרבו יותר אל האמת הנה אתה תקח מרובע(ו) ב' וה' שישיות ותמצא כי הוא עולה ח' שלמים ותמצא בו מתוספת חלק מל"ו ותחלק זה החלק מל"ו על כפל ב' וה' שישיות שהיה שרשינו הראשון שיהיו ה' שלמים וב' שלישיות ומה שיעלה שהוא ג' חלקים מו' מאות וי"ג (י"ב) תפיל מן ב' וה' שישיות והנשאר הוא השרש היותר קרוב אל האמת | |
ואם תרצה למצא השרש באופן אחר | |
|
דמיון נרצה לדעת שרש ז' |
הנה יש לך לכפול אלו הז' על איזה מספר יהיה לו שרש והנה נכפול אותו עם ד' כי ב' הם שרש ד' ויהיו כ"ח נקח שרש כ"ח שהוא ה' וג' עשרות וחלקם על שרש ד' שהם ב' ויצא לך ב' שלמים וי"ג חלקים מכ' | |
|
דמיון אחר נרצה לדעת שרש י"ב |
הנה יש לך לכפול אותם עם מספר שיש לו שרש והנה נכפול אותו עם ט' כי ט' הוא מספר מרובע כי שרשו ג' ויעלו ק"ח וקח שרשם שהם י' וב' חמישיות וחלקם על שרש ט' שהם ג' ויצא לך שלשה וז' חלקים מט"ו וזה יספיק לך בידיעת הוצאת שרשי השלמים גם שרשי השברים | |
Part Three: Extracting the Roots of Fractions and integers |
החלק הג' הוא להוציא שרשי השברים עם השלמים |
דע כי כשתרצה להוציא שרש שום מספר שלם ושבר יש לך לבקש מספר מספר שיהיה לו אותו חלק אשר הוא בשבר אשר אתה מבקש שרשו ותכפול אותו על המספר שמצאת נגד השלמים שלך גם תקח חצי המספר שמצאת אם השבר הוא חצי או שלישיתו אם השבר הוא שליש סוף דבר תקח מן המספר חלק השבר ותוסיף הכל וקח שרש העולה ושמרהו אח"כ קח שרש המספר שמצאת ותחלק השרש מהמספר הגדול על שרש המספר הקטן ומה שיעלה הוא המבוקש | |
|
דמיון זה נרצה לדעת שרש ג' וחצי |
הנה מאחר שיש במספרינו חצי יש לך למצא איזה מספר מרובע אשר תוכל לחלקו על ב' ונכפול אותו על ג' מצד כי יש לנו ג' שלמים יעלו י"ב כי במספרינו יש בו חצי נקח חצי ד' שהם ב' ונוסיפם על י"ב ויהיו י"ד ונקח שרשם ויהיו ג' וג' רביעיות ותחלקם על שרש מספרינו שהוא ד' שהשרש הוא ב' ויעלה א' שלם וז' שמיניות והוא המבוקש | |
|
דמיון אחר נרצה לדעת שרש ד' וחומש |
תבקש מספר מרובע שיהיה לו חומש ותמצא כ"ה ותכפול ( ) אותו על ד' מצד כי יש לנו ד' שלמים כי עלו ק' וקח חומש כ"ה שהוא ה' ותוסיפם על ק' ויהיו ק"ה וקח שרשם ויצא לך י' וחומש וחלקם על שרש כ"ה שהוא ה' ויצא לך ב' שלמים וחלק א' מכ"ה והוא שרש ד' וחומש | |
|
דרך אחרת נרצה לדעת שרש ו' וחומש |
הנה יש לך לקחת שרש השבר ר"ל מהחומש והנה ידענו כי הוא ב' ורביע בקרוב וא"כ יש לך לעשות מהו' שלמי' חומשים ויהיו ל"א עם החומש וקח שרשם שהוא ה' וג' חומשים בקרוב וחלקנו על שרשינו הראשון שהוא ב ורביע ויצא לך ב' שלמים וכ"ב חלקים מכ"ה (ממ"ה) | |
|
דמיון אחר נרצה לדעת שרש ט' וג' רביעיות ורביעית רביעית |
הנה ראוי לקחת רביעית הרביעית והוא יהיה חלק מי"ו וקח שרש י"ו והוא ד' ושמרם אח"כ חבר ג' רביעיות עם רביעית רביעית ויהיו י"ג חלקים מי"ו אח"כ כפול הט' שלמים על י"ו ויעלו קמ"ד ותחבר אליהם י"ג שהם חלקי הג' רביעיות גם חלק רביעית הרביעית ויעלה הכל (מ"ג) קנ"ז וקח שרשם (וקח שרשם) ויצא לך י"ב וי"ג חלקים מכ"ד וחלקם על השרש השמור שהוא ד' ויצא לך ג' שלמים וי"ג חלקים מצ"ו והוא שרש י"ו וג' רביעיות ורביעית הרביעית | |
ובכאן נשלם השער העשירי וזה יספיק לך בהוצאת השרשים |
Chapter Eleven: Checking Methods |
השער הי"א ידבר על המאזנים הן מהכפל הן מהחלוק וכן לשאר המלאכות הן בשלמים הן בשברים הן בשברים ושלמים |
ותחלה נדבר על מאזני חבור השלמים | |
דע כי כשתרצה לדעת חבור השלמים אם הוא עשו(י) כהוגן וכשורה תמנה כל המספרים המחוברים ותוציאם ט"ט אח"כ שוב אל המחובר ותוציאם ט"ט ואם הנשאר על התשיעיות הוא שוה למה שנשאר אחר הוצאת התשיעיות מן כל המספרים המחוברים דע כי חשבונך הוא אמת וכן תוכל לעשות אם תוציא כל הש(י)לישיות | |
דמיון זה חברנו קי"א על רכ"ב ועם של"ג הנה העולה הוא תרצו (תרס"ו) הוציא כל התשיעיות מהג' מספרים המחוברים ותמצא כי הולך מצומצם כוונתי כי לא ישאר מאומה ולכן שים גלגל אח"כ שוב אל המחובר והוצא התשיעיות גם הוא הולך בצימצום ולכן שים גלגל והוא שוה אל הגלגל השמור | |
וכן תוכל לעשות אם תוציא השלישיות וכן מן השביעיות | |
וכן תוכל לבחון אותו עם כל מספר שתרצה ואין צורך להאריך | |
ואם תרצה לדעת מאזני חבור המטבעים | |
הנה ראוי למנות כל התשיעיות מכל המספרים המחוברים ולשמור היוצא אח"כ שוב אל היוצא ובעד כל גרה שעשית מחבור הדינרין תקח ה' כי הו' דינרין הוא גרה א' א"כ מה שהוא למטה (א' ש"מ שהוא) גרה א' הוא למעלה ו' שהם ו' דינרין לכן קח ה' על כל גרה ועל כל טרי שעלה לך מחבור הגרות קח (א) כי הכ' גרות הם טרי א' א"כ היה ראוי לקחת י"ט ולכן נעזוב י"ח שהולך לתשיעיות וישאר א' ועל כל מגן שעשית מן הטרי קח ד' כי הה' טרי של מעלה שוה א' למטה לכן נקח ד' ג"כ תקח על כל אוק' שעלה לך מחבור המנינים ה' כי הו' מנינים הם אוק' והשליך כל התשיעיות ויהיה שוה אל השמור | |
דמיון זה חברנו ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ח גרות וב' דינרין עם ג' אוק' וד' מנינים וג' טרי וי"ט גרות וג' דינרין עם ד' אוק' וא מגן וד' טרי וי"ז גרות וד' דינרין ועלה המחובר עשרה אוק' וד' מנינים וג' טרי וט"ו גרות וג' דינרין השליך כל התשיעיות מהג' מספרים המחוברים הנשאר א' אח"כ שוב אל העולה ותקח ה' בעד גרה אחת שעשינו מחבור הדינרין ותקח בעד ב' טרי שעלה לך מחבור הגרות ב' ויהיו ז' גם תקח ח' בעד הב' מנינים שעלו לך מחבור הטרי ויהיו ט"ו השלך מהם ט' וישארו ו' עוד קח ה' בעד אוק' אחת שעלה לך מחבור המנינים ועם הו' שיש לך יהיו י"א השלך מהם ט' נשארו ב' וחברם עם העולה והשלך כל התשיעיות וישאר עדין א' והוא שוה אל הא' השמור | |
ואם תרצה לדעת מאזני המגרעת | |
הנה ראוי לחבר מה שהוצאת מן המספר הגדול עם מה שנשאר עדין וישוב כמו המספר הגדול או אם תשליך כל התשיעיות ממה שהוצאת ותחבר עם (הנשאר כל התשיעיות) מה שנשאר מן המספר אחר הגרעון ותוציא גם מזה התשיעיות והנשאר שמור אח"כ שוב אל המספר הגדול והשלך כל התשיעיות ואם מה שנשאר הוא שוה אל השמור דע כי חשבונך אמת | |
דמיון זה נרצה לגרוע מן ר"נ ק"ל והנה נשאר עדין ק"כ הנה יש לך לחבר ק"כ על ק"ל וישוב ר"נ או אם תשליך כל התשיעיות מן ק"ל ישאר עדין ד' ותחברם אל ק"כ והוציא התשיעיות ונשאר ז' ושמרם אח"כ הוצא כל התשיעיות מן ר"נ הנשאר ז' והם שוים אל הז' השמורים | |
ואם תרצה לדעת מאזני מגרעת המטבעים | |
תעשה הפך החבור והוא שתוסיף על המספר העליון על כל דינר גרה שלקחת מהמספר הקטן ה' ועל כל טרי תוסיף א' ועל כל מגן תוסיף ד' ועל כל אוק' תוסיף ה' ותשליך מכל זה התשיעיות ומהמספר הגדול ושמור היוצא אח"כ תשליך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר וישוה אל השמור | |
דמיון זה גרענו מב' טרי אוק' וג' מנינים וג' טרי וי"ב גרות וג' דינרין א אוק וד' מנינים וד' טרי וט"ו גרות וה' דינרין ונשארו עדין ד' מנינים וג' טרי וי"ו גרות וד' טרי (דינרין) | |
ואם תרצה לדעת אותו תקח ה' בעד הגרה שלקחנו מהמספר התחתון עוד תקח א' בעד הטרי ויהיו ו' עוד תקח ד' ויהיו י' השלך מהם ט' נשאר א' עו' קח ה' בעד האוק' ויהיו ו' ותשליך כל התשיעיות מהמספר הגדול ותחבר אליהם הו' וישארו ב' אח"כ השלך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר וישארו ג"כ ב' והם שוים אל הב' השמורים | |
ומאזני הכפל | |
נעשים ככה והוא שתחלק היוצא מן הכפל על א מהמספרים המוכים זה על (זה) וישוב כמו האחר | |
דמיון זה נרצה לדעת מאזני כפל י"ז על י"ג הנה היוצא הוא רכ"א תחלק רכ"א על י"ג ויצא לך י"ז או חלק רכ"א על י"ז ויצא י"ג | |
ותוכל לדעתם באופן אחר והוא שתשליך כל התשיעיו' מי"ג וגם מי"ז והנה נשאר מי"ג ד' ומי"ז נשארו ח' כפול ח' על ד' ויצא ל"ב השלך התשיעיות ונשאר ה' אח"כ שוב אל סך העולה שהוא רכ"א והשלך התשיעיות ונשאר עדין ה' והם שוים אל הה' השמורי' | |
וכן תוכל לעשות מהשלישיות ומהשביעיות ומכל המספרים אך המאזנים הנהוגים היום על הרוב הם מאזני הט' והז' | |
ואם תרצה לדעת מאזני כפל מהמטבעים | |
יש לך לקחת על כל גרה שעלה לך מכפל הדינרין ה' ועל כל טרי שיצא מן הגרות א' ועל כל מגן שיצא לך מהטרי ד' ועל כל אוק' שיצא לך מן המגן ה' ולחבר הכל עם הסך העולה ויצטרך שמה שישאר יהיה שוה אל המספרים המוכים זה על זה | |
דמיון זה אם ככר הצמר שוה ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ח גרות וג' (ב') דינרין י"ב ככרים ישוו ל"א אוק' וה' מנינים וד' טרי בלי גרה ובלי דינר המאזנים נעשים ככה השלך כל התשיעיות מהמספר העליון הנשאר ב' גם תשליך התשיעיות מי"ב הנשאר ג' כפול ג' על ב' ויהיו ו' אח"כ שוב אל היוצא והשלך כל התשיעיות וקח עשרים בעד ד' גרות שיצאו מכפל הדינרין ותקח י"א בעבור יא טרין שעלו מכפל הגרות ותקח מ"ד בעבור יא מנינים שעלו מכפל הטרי ותקח ל"ה בעבור ז' אוק' שעשית מהמנינים והשלך כל התשיעיות מכל זה וגם מהסך העולה ר"ל שווי הי"ב ככרים וישארו ג"כ ו' וזאת היא צורתם | |
ואולם מאזני חלוק של מטבעים | |
נעשה ככה והוא שתשליך כל התשיעיות מהיוצא מן החלוק ושמור הנשאר וגם תשליך כל התשיעיות מן המספר המחלק ושמור הנשאר ומה שישאר מהמחלק כפול על מה שנשאר מהיוצא ותוסיף עליהם אם נשאר מאומה שלא נתחלק ושמור היוצא על התשיעיות אח"כ שוב אל המספר המחולק והשלך כל התשיעיות ותקח בעד כל גרה (אוק') שהשיבות אחורנית ה' ועל כל מגן שהשיבות אחור ד' ועל כל טרי א' ועל כל גרה ה' ותחבר הכל ותשליך התשיעיות ומה שישאר יהיה שוה אל השמור מלמטה | |
דמיון זה נרצה לחלק לז' בני אדם ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ז גרות וב' דינרין ועלה לכל א' וא' ב' מנינים וא' טרי וח' גרות וא' דינר ונשאר עדין דינר א' הנה תשליך כל התשיעיות ומהיוצא הנשאר ג' ושמרם עוד תשליך התשיעיות מהמחלק הנשאר ז' כפול ג' על ז' ויהיו כ"א תשליכם ט"ט נשאר ג' וקח דינר א' שנשאר לחלק ויהיו ד' ושמרם אח"כ שוב אל המספר המחולק והשלך כל התשיעיות ותקח בעד כל הב' אוק' ששבו אחור י' וקח ד' בעד המגן ששב אחור וקח ב' בעד הב' טרי ששבו אחור וקח ה' בעד הגרה ששבה אחור והשלך כל התשיעיות וישארו ג"כ ד' וזאת היא צורתם | |
אולם מאזני החלוק | |
נעשה ככה והוא שאם תכפול מה שיצא מן החלוקה על המספר המחלק ואם נשאר מאומה תחלק (תחבר) על מה שיצא מהכפל והעולה צריך שיהיה כמו המספר המחולק | |
דמיון זה חלקנו ד' מאות על י"ד והנה יצא לך כ"ח ונשארו עדין ח' לחלקם על י"ד הנה ראוי לכפול כ"ח על י"ד ותחבר על העולה ח' ויצא לך ח' (ד') מאות כמו המספר המחולק או תעשה ככה והוא שתשליך כל התשיעיות מהמספר המחלק שהוא י"ד הנשאר ה' גם תסיר כל התשיעיות מהיוצא שהוא כ"ח הנשאר א' וכפול אותם על ה' השמורים והנם ה' ותחברם אל הח' הנשארים לחלק והנם י"ג תסיר מהם הט' ונשארו ד' ושמרם אח"כ שוב אל המספר המחולק שהוא ד' מאות ותוציא התשיעיות ונשארו ד' והם שוים אל הד' השמורים וכן תוכל לעשות מהז' ומכל שאר המספרים | |
ואולם מאזני חבור השברים | |
נעשה כך והוא שתסיר מהמחובר המספר השני וישוב כמו המספר הראשון או תסיר המספר הא' וישוב כמו המספר הב' או אם חברת א או ב או ג' או ד' תסיר א' משלשתן או מארבעתן [וי]שוב כמו חבור שני המספרים הנשארים זולת אותו שחסרת מהמחובר | |
דמיון זה חברנו שליש עם רביע ועלה ז' חלקים מי"ב הוצא מהז' חלקים מי"ב שלישית אחד ונשאר עדין רביעי' אחד או הוצא מז' חלקים מי"ב רביעית אחד הנשאר שליש אחד | |
דמיון מג' מספרים חברנו מחצית ושליש ורביע ועלה א' (ו)חלק (א') מי"ב הנה אם תסיר מהם החצי שהוא אחד מהג' מספרים ונשאר עדין ז' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור השליש והרביעית או אם תסיר מן העולה שהוא אחד שלם וחלק אחד מי"ב השליש שהוא א מג' מספרי' הנשאר ט' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור החצי והרביעית ואם תחסר הרביעית הנשאר י' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור החצי והשליש ותקיש על זה | |
ואולם מאזני המגרעת מהשברים | |
נעשה ככה והוא שתחבר מה שנשאר אחר הגרעון עם המספר הקטון וישוב כמו הגדול | |
דמיון זה נרצה לגרוע מן שליש אחד רביעית אחד הנה נשאר עדין חלק מי"ב הנה יש לך לחבר חלק אחד מי"ב עם רביעית אחד וישוב שליש אחד בלי תוספת ומגרעת | |
ואולם מאזני כפל השברים | |
נעשה באופן זה שתחלק מה שעלה מכפל שני המספרים על א' משניהם וישוב כמו האחר | |
דמיון זה נרצה לכפול רביעית על חומש הנה העולה חלק מכ' תחלק זה החלק מכ' על רביעית ויצא לך חמישית כמו המספר האחר או תחלקהו על חמישית ויצא לך רביעית בלי תוספת | |
וגם אמנם מאזני חלוק השברים נעשה ככה והוא שתכפול מה שיצא מן החלוקה על המספר החולק וישוב כמו המחולק | |
דמיון זה נרצה לחלק רביעית על חומש הנה יצא לך אחד ורביע ותכפלם על המספר המחלק שהוא חומש וישוב רביעית כמו המספר המחולק | |
ואולם מאזני הערכים | |
הדרך הוא כך והוא שתחלק המספר אשר ערכו נעלם על הידוע והעולה תכפול על ממון המספר הידוע וישוב כמו המספר הנעלם | |
דמיון זה ג' קנים ממשי שוות ד' מנינים ו' קנים ישוו ח' מנינים והנה יש לך לחלקים אשר הם הקנים אשר ערכם נעלם על הג' אשר ערכם ידוע ויצא לך ב' ותכפלם על ממון הג' קנים שהיה ד' מנינים ויעלה ח' והוא שוה אל הח' השמורים שהוא ערך הקנים | |
ואם יש בו שברים עם שלמים תעשה על זה האופן או אם אין בו כי אם שברים לבדם כי הכל הולך בדרך אחד | |
ואולם מאזני שרשי המרובעים | |
הוא נעשה ככה והוא שתקח מרובע השרש אשר מצאת במספר המונח ומה שיעלה יצטרך שישוב כמו המספר אשר מצאת שרשו | |
דמיון לקחנו שרש מספר קמ"ד שהוא י"ב נש' נקח מרובע י"ב ויעלה קמ"ד אב' אין בו טעות כי שב להיות על משפטו הראשון שהוא קמ"ד | |
ואולם אם אין לאותו המספר המונח שרש אמיתי כי אם בקרוב ראוי לקחת מרובע אותו השרש אשר מצאת שהיה בקרוב וצריך שיעדיף על המספר המונח א' רצוני על המספר אשר לקחת שרשו | |
דמיון נרצה לדעת שרש ה' ומצאנו שהוא ה' (ב') ורביע ונרצה לדעת עם המאזנים אם הוא כן והנה נקח מרובע ב' ורביע שהוא עולה פא תמצא בו ה' פעמים י"ו ונשאר א' וכן לעולם | |
ואולם אמרי ה' פעמים י"ו כי מספר ה' הוא מספרינו המונח וי"ו הוא מרובע הרביעית המיותרים על הב' אשר הוא השרש והבן זה | |
וכן תוכל לדעת מן השברים מעורבים עם שלמים או מן שברים זולת שברים |
Chapter Twelve: Discusses Problems, some of which are of Proportions, some of Partnerships, some of Currencies, some of Barter, some of Roots, and everything like that |
השער הי"ב ידבר על שאלות אשר קצתן הן מהערכין וקצתן מהחבורות ומהן מקשירת הכסף ומהם מחלופים ומהם משרשים וכן כל כיוצא בזה | |
Purchase Problems – Unequal Amount |
||
|
א) שאלה אדם רוצה לקנות קנה אחד מד' מיני בגד [47]א' קנה מכל מין ומין אדום וירוק ושחור ולבן וסך הכל עולה י"ז פרחים ואמר כי הקנה מהשחור שוה יותר מהלבן י"ב קרליני וב' חלקים מט"ו | |
|
||
|
תשובה תקח י"ב וב' חלקים מט"ו ותחבר אותם עם ט"ו וב' שלישיות שביעיות ועם כ"ג וב' חמישיות עוד שוב לחבר פעם שניה י"ב וב' חלקים מט"ו וט"ו וב' שביעיות וכ"ג וב' חמישיות ויעלה ט' פרחים ומ"ד קאוואלי וד' שביעיות | |
|
תסיר כל זה מי"ז פרחים וישארו ז' פרחים וט' קרליני וע"ה קאוואלי וג' שביעיות | |
|
ותחלקם לד' חלקים ויצא לך י"ז קרליני וק"ב קאוואלי וו' שביעיות וזה יהיה ערך הבגד הלבן שהיה יותר גרוע | |
| ||
|
אח"כ תוסיף על זה י"ב קרליני וב' חלקים מט"ו ויצא לך ל"א קרליני וקי"ח קאוולי ג' ו' שביעיות וזה היה ערך השחור | |
|
||
|
עוד תוסיף על סך השחור ט"ו קאוואלי וב' שביעיות ויצא לך מ"ז קרליני ול"ט קאוואלי ושביעית אחד וזה יהיה חלק הירוק | |
|
||
|
עוד תוסיף על סך הירוק כ"ג קרליני וב' חמישיות ויעלה הכל ע' קרליני ופ"ז קואלי ושביעית וזה נשים ערך האדום | |
|
||
|
וכשנחבר הכל יעלה י"ז פרחים בלי פחות ויתר | |
Partnership Problems - for different times |
||
|
ב) שאלה ב' אנשים עושים שותפות הא' שם ק' מנינים ועמדו בשותפות ו' חדשים והרויחו מ' מנינים | |
|
התשובה הנה ראוי לך לכפול הממון שעשה השני שהוא צ' ולכפול על ק' ויעלה ט' אלפים | |
|
ותחלקם על ריוח הראשון שהוא מ' ויעלה רכ"ה | |
|
הנה א"כ השני היה ממונו רכ"ה לערך ו' חדשים ועמדו בשותפות ז' חדשים | |
|
ונאמר אם ז' שוים רכ"ה ו' כמה שוים | |
|
ויצא לך קצ"ב וו' שביעיות והוא ממון השני | |
Interest and Discount Problems - Find the time |
||
|
ג) שאלה אדם הרויח [48]עם ד' מנינים בג' חדשים ה' פשוטים ו' מנינים בכמה חדשים ירויחו ז' | |
|
התשובה כפול ג' על ד' ויהיו י"ב | |
|
אח"כ תחלק י"ב על ו' ויצאו שנים | |
|
הנה א"כ ו' מנינים בב' חדשים הרויחו ה' | |
|
והריוח שלנו היה ז' ולכן נעשה כך ונאמר אם ה' מנינים שוים ב' חדשים ז' מניני' כמה חדשים שוים | |
|
כפול שנים על ז' ויצאו י"ד | |
|
ותחלק י"ד על ה' ויצא ב' חדשים וד' חומשי חדש | |
|
הנה א"כ בב' חדשים וד' חומשי חדש ירויחו ז' מנינים | |
Find a Quantity |
||
How Much - Money |
||
|
ד) שאלה מסך ממון בלתי נודע קבצנו השליש והרובע ועלה כ"ד כמה הממון | |
|
התשובה תקח המורה שהוא י"ב מכפל ג' על ד' | |
|
אח"כ קח מהם השליש והרובע והם ז' | |
|
הנה א"כ ערך אלו הז' אל י"ב כערך כ"ד אל מספרינו הנעלם | |
|
לכן נכפול י"ב על כ"ד ויעלה רפ"ח | |
|
נחלקם על ז' ויצא לך מ"א ושביעית והוא סכום כל הממון | |
|
ותוכל לבחון אותו והוא שתקח שליש מ"א ושביעית ויהיו י"ג שלמים וה' שביעיות | |
|
עוד קח הרביעית ממ"א ושביעית ויצא לך י' וב' שביעיות | |
|
ותחברם אל י"ג ויהיו כ"ד בלי תוספת ומגרעת | |
| ||
|
ה) שאלה מסך ממון לקחנו שלישיתו וחמישיתו ושליש מה שנשאר והיו י"ב כמה היה כל הממון | |
|
התשובה תקח המשל על א' ותוציא ממנו השליש והחומש ויהיו ח' חלקים מט"ו | |
|
עוד תקח | |
|
אח"כ יש לך לכפול י"ב על ס"ב ותחלק העולה על צ' ויצא לך י"ז שלמים וי"ג חלקים מל"א וככה היה כל הממון | |
|
ולבחון אותו קח שליש זה המספר ויהיו ה' שלמים וכ"ה חלקים מל"א | |
|
עוד תקח חומש המספר ויהיו ג' שלמים וט"ו חלקים מל"א | |
|
אחר כן [49]תחברם יחד ויעלו ט' שלמים וט' חלקים מל"א | |
|
ותוציא זה המספר מי"ז שלמים וי"ג חלקים מל"א הנשאר ח' שלמים וד' חלקים מל"א | |
|
ותחלקם על ג' ותחבר היוצא עם ט' שלמים וט' חלקים מל"א ויעלה בין הכל י"ב | |
First from Last - Money |
||
|
ו) שאלה אם יאמ' לך אדם מסך ממון לקחנו שלישיתו ורביעיתו ונשאר עדין י"ד כמה היה כל הממון | |
|
התשובה ראוי לכפול ג' על ד' ויהיו י"ב | |
|
אח"כ תוציא מהם השליש והרביעית ונשאר עדין ה' | |
|
הנה אלו הה' ערכם אל י"ב כערך י"ד אל כל הממון | |
|
ונעשה הערך כך אם ה' שוים י"ב י"ד כמה שוים | |
|
ויצא לך ל"ג ושלש חומשים | |
|
ולבחון אותו תקח שליש ל"ג ושלש חומשים והנם י"א וחומש אחד | |
|
אח"כ נקח רביעית ל"ג וג' חומשים ויהיו ח' וב' חומשים | |
|
חברם אל י"א וחומש ויהיו י"ט ושלשה חומשים | |
|
הפילם מהל"ג ושלש חומשים וישארו י"ד בלי תוספת ומגרעת | |
How Much - Money |
||
|
ז) שאלה על סך ממון הוספנו כמה היה הממון בתחלה | |
|
התשובה תבקש המורה שהוא כף שהוא מכפל | |
|
וקח רביעיתו שהוא ה' וחמישיתו שהוא ד' ותוסיפם על המורה ויהיו כ"ט | |
|
אח"כ קח המורה שהוא כ' וכפול אותו על י"ב והעולה חלק על כ"ט ויצא לך ח' וח' חלקי' וכך היה הממון בתחלה | |
|
ולבחון אותו קח רביעית הממון שהם ח' שלמים ויעלו ב' שלמים גם ב' חלקים מכ"ט | |
|
אח"כ קח חומש הממון ויעלה א' שלם וישארו ג' | |
|
נעשה מכל אחד מהם כ"ט חלקים וחבר אליהם הח' חלקים ויהיו צ"ה | |
|
חלקם על ה' ויהיו י"ט | |
|
אח"כ חבר כל המספרים ויהיו י"ב | |
|
ח) שאלה אם יאמר לך אדם ממון לקחת חמישיתו ושישיתו וד' פשוטים ועלה כ"ד כמה הממון | |
|
התשובה כפול ה' על ו' ויהיו ל' | |
|
ותוציא מהם החומש [50]והשישית וחברם ויהיו י"א | |
|
אח"כ תוציא מכ"ד הד' אשר הם מתוספת ונשאר עשרים | |
|
הנה ערך אלו הי"א אל הל' כערך עשרים אל כל הממון | |
|
וכפול כ' על ל' ויעלה ת"ר | |
|
תחלקם על י"א ויעלו נ"ד שלמים וו' חלקים מי"א | |
|
ולבחון אותו תקח החומש מן נ"ד והם עשרה שלמים גם עשרה חלקים מי"א | |
|
אח"כ קח שישית נ"ד והם ט' שלמים וחלק א' מי"א | |
|
ותחברם ויהיו עשרים שלמים | |
|
תוסיף עליהם ד' ויהיו כ"ד שלמים | |
| ||
First from Last - Money |
||
|
ט) שאלה חסרנו ממון שלישיתו וחמישיתו וממה שנשאר נקח ג"כ שנים ונשאר עדין ד' | |
|
התשובה תבקש המורה והוא שתכפול ג' על ה' ויהיו ט"ו | |
|
אח"כ נקח השליש והחומש הנשאר ז' | |
|
והנה מצד כי אמר אחר שנלקח מסך המעות השליש והחומש לקח עוד מסך הנשאר ב' נוסיפם על ד' ויהיו ו' | |
|
והנה נקח הז' שנשארו מהט"ו אחר לקיחת השליש והחומש ונאמר אם ז' שוים ט"ו ו' כמה שוים | |
|
יצא לך י"ב וו' שביעיות | |
|
ולבחון אותו והוא שתקח שליש י"ב שהם ד' וב' שביעיות | |
|
וקח חומש י"ב וו' שביעיות ויהיו ב' וד' שביעיות | |
|
תסיר כל זה מי"ב וו' שביעיות הנשאר ו' | |
|
תסיר מאלו הו' ב' נשאר ד' | |
| ||
How Much - Money |
||
|
י) שאלה מממון חסרנו שלישיתו וחמשה פשוטים ורביעיתו פחות ב' פשוטים ועולה ח' פשוטים | |
|
התשובה ראוי לך לדעת כי ה' הם מתוספת וב' הם של גרעון ועל כן יש לך לקחת ב' מה' נשארו ג' תפיל אלו הג' מח' פשוטים | |
|
ויהיה כאלו אמר מממון חסרנו שלישיתו ורביעיתו ועולה ה' פשוטים | |
|
והנה יש לך לכפול ה' על י"ב ולחלקנו על ז' ויעלה ח' שלמים וד' שביעיות | |
|
ותוכל לבחון אותו והוא שתקח שלישית ח' ויהיו ב' וו' שביעיות | |
|
עוד תוסיף על זה ה' מצד כי אמר שלישיתו עם תוספת ה' ויהיו ז' שלמים וו' שביעיות | |
|
עוד תקח רביעית סך הממון שהוא ז' [51]וד' שביעיות ויעלו ב' שלמים וחלק א' מז' | |
|
תסיר מהם ב' כי אמר אל רביעיתו פחות שנים וישאר שביעית אחד | |
|
תוסיף אותו אל ז' שלמים וו' שביעיות ויהיו ח' שלמים בלי תוספת ומגרעת | |
| ||
|
יא) שאלה אם אמור יאמר השואל חברנו רביעית מספר מה עם תוספת שנים לחמישיתו פחות ג' ועולה ו' | |
|
התשובה כבר ידעת כי התוספת הוא ב' והחסרון הוא ג' והוא הפך השאלה הקודמת ולכן נעשה בהפך והוא שבמקום הגרעון נוסיף והנה נקח ב' מג' הנשאר א' נוסיף זה הא' אל ו' ויהיו ז' | |
|
והוא כאלו אמר מסך ממון לקחנו רביעיתו וחמישיתו ועלה ז' כמה הממון | |
|
נעשה הערך ככה והוא שנכפול ז' על כ' ויהיו ק"מ | |
|
נחלקם על ט' ויצא לנו ט"ו שלמים וה' חלקים מט' וכן היה סך הממון | |
|
ותוכל לדעת זה והוא שתקח רביעית ט"ו ויהיו ג' שלמים וח' חלקים מט' | |
|
אח"כ העמד החומש מט"ו והם ג' וחלק א' מט' | |
|
תוסיף על זה ב' ותגרע עמהם ג' וישארו ו' | |
| ||
|
יב) שאלה לקחנו מסך ממון מחציתו ושלישיתו ומהעולה לקחנו מרובעו ושב כמו שהיה בתחלה כמה היה הממון | |
|
התשובה העמד החצי והשליש מו' | |
|
אולם אמרו מו' כי בו נמצא חצי ושליש והנם ה' | |
|
וקח מרובעם ויהיו כ"ה | |
|
אח"כ תקח מרובע המורה ג"כ שהוא ו' ויהיו ל"ו | |
|
תחלק ל"ו על כ"ה ויצא לך א' שלם וכ"א חלקים מכ"ה וכן היה הממון | |
|
ותבחון אותו קח חצי א' וי"א חלקים מכ"ה ויהיו י"ח חלקים מכ"ה | |
|
אח"כ קח שליש א' וי"א חלקים מכ"ה ויהיו י"ב | |
|
ותחברם אל י"ח ויהיה א' וחומש | |
|
וקח מרובעם ויצא א' שלם וי"א חלקים מכ"ה ושב כאשר בתחלה | |
| ||
|
יג) שאלה מממון לקחנו מחציתו ושלישיתו ולקחנו מרובע מהעולה ושב כמו הממון וכמו שלישיתו | |
|
התשובה תעשה ככה תקח המורה ר"ל המספר [52]הכולל החצי והשליש והוא ו' | |
|
אח"כ קח החצי והשליש והנם ה' | |
|
וקח מרובעם שהם כ"ה | |
|
אח"כ קח מרובע המורה שהוא ל"ו ותחבר אליהם שלישיתם ויהיו מ"ח | |
|
אח"כ תחלק מ"ח על כ"ה ויצא לך א' וכ"ג חלקים מכ"ה וכך הוא הממון | |
|
ולבחון אותו תקח מחצית זה המספר שהם כ"ד חלקים מכ"ה | |
|
ואח"כ קח שלישיתם שהם י"ו | |
|
ותחברם ויהיו א' וג' חומשים | |
|
ותקח מרובעם ויהיו ב' שלמים וי"ד חלקים מכ"ה שהם כמו סך הממון עם תוספת שלישיתו | |
| ||
|
יד) שאלה מסך ממון לקחנו שלישיתו ומחציתו ומהמחובר ר"ל ממה שיעלה השליש והחצי לקחנו רביעיתו וחומש מה שנשאר מסך כל אחר שילקח החצי והשליש ושוה י"ב כמה כל הממון | |
|
התשובה תמצא מספר יהיה לו חצי ושליש ורביעית וחומש יהיה זה ס' | |
|
והנה נקח מס' שלישיתו ומחציתו ויהיו נ' | |
|
ונשארו עדין י' אח"כ נקח חומש אלו הי' הנשארים ויהיו ב' שלמים | |
|
אח"כ נקח רביעית חמישים והנם י"ב וחצי | |
|
נחברם אל הב' שהיו לנו ויהיו י"ד וחצי | |
|
אח"כ נכפול י"ב אשר הוא המספר הנודע על המורה אשר הוא ס' ויעלה תש"כ | |
|
וחלקם על י"ד וחצי ויצא לך מ"ט וי"ט חלקים מכ"ט | |
|
ולבחון אותו תקח מחצית מ"ט שלמים ומחלקיהם ויצא לך כ"ד וכ"ד חלקים מכ"ט | |
|
אח"כ קח שליש מ"ט ומחלקיהם ויצא לך י"ו וי"ו חלקים מכ"ט | |
|
וחברם ויהיו מ"א וי"א חלקים מכ"ט | |
|
אח"כ תקח רביעית זה המספר מצד כי אמר ורביעית מהמחובר מהחצי והשלישית ויהיו י' שלמים גם י' חלקים מכ"ט | |
|
אח"כ נסיר מ"א שלמים וי"א חלקים שהם החצי והשליש מסך הממון שהוא מ"ט שלמים וי"ט חלקים מכ"ט הנשאר ח' וח' חלקים מכ"ט | |
|
קח מהם החומש מצד שאמר עם חומש הנשאר ויהיה א' שלם עם י"ט חלקים מכ"ט | |
|
וחברם אל הי' שלמים עם הי' [53]חלקים מכ"ט ויהיו י"ב | |
|
טו) שאלה מממון חברנו מחציתו ושליש מה שנשאר ורביעית מה שנשאר אחר שנלקח השלישית ושוה הכל י"ד כמה הממון | |
| ||
|
התשובה ראוי למצא מספר יכלול חצי ושליש ורביע ותמצא י"ב | |
|
הוצא ממנו החצי שהם ו' הנשאר ו' | |
|
וקח מהו' הנשארים שלישיתם שהם ב' הנשאר עדין ד' | |
|
וקח רביעית הד' שהוא א' הנשאר עדין ג' | |
|
והנה כל חלקי המספרים הם ט' | |
|
אח"כ תכפול י"ד שהוא סך הידוע על המורה שהוא י"ב ותחלק העולה על ט' ויצא לך י"ח וב' שלישיות וככה היה המספר | |
|
ולבחון אותו תקח מחצית י"ח וב' שלישיות שהם ט' ושליש | |
|
וקח שליש הנשאר והם ג' ותשיעית | |
|
וקח רביעית הנשאר שהם א' וה' תשיעיות | |
|
ותחבר הכל ויהיו י"ד שלמים | |
Multiple Quantities Problem - Two Amounts of Money |
||
|
יו) שאלה חברנו שני סכומות של ממון מתחלפים זה מזה רביעית א' מן הסכומות וחומש הסכום האחד והיו ח' כמה סך כל א' וא' | |
|
התשובה תוכל להשיבה בפנים מתחלפים | |
|
והוא כי תשים איזה מספר שיהיה רביעית הסך הראשון ואותו המספר תפיל מח' ומה שישאר מהח' תשים אותו חומש הסכום השני ועל זה האופן תמצאנו | |
|
והנה נניח דרך משל כי ג' היה רביע הסכום הראשון | |
|
א"כ הסכום הראשון היה י"ב כי ג' הוא רביעית י"ב | |
|
תפיל ג' מח' הנשאר ה' ושים אלו הה' חומש המספר השני | |
|
א"כ הסכום הב' היה כ"ה | |
|
או אם תרצה שים ב' סכום רביע הסך הראשון | |
|
א"כ הסך הראשון הוא ח' | |
|
ותפיל ב' מח' הנשאר ו' ושים אלו הו' חומש הסכום הב' | |
|
א"כ הסך השני יהיה ל' | |
|
או אם תרצה שים ד' רביע המספר הראשון | |
|
א"כ המספר הא' היה י"ו | |
|
תפיל ד' מח' הנשאר ד' ושים אותם חומש המספר הב' | |
|
א"כ המספר הב' היה כ' | |
|
וכן עד אין קץ שתשים איזה מספר שתרצה רביע הסכום הראשון ותפיל זה מהח' ומה שישאר תשים חומש המספר הב' | |
Sums |
||
|
||
|
יז) שאלה אם תרצה לקבץ מא' עד י"ד ר"ל א' עם ב' ועם ג' וכן עד י"ד | |
|
||
|
ראוי להוסיף א' על י"ד ויהיו ט"ו | |
|
אח"כ כפול ט"ו על י"ד והם ר"י | |
|
תחלקם על ב' ויצא לך ק"ה והוא המבוקש | |
| ||
|
||
|
יח) שאלה הנה תוכל לעשותה באופן אחר והוא אם המספר הוא זוג ראוי לקחת מחצית אותו המספר ולכפול אותו על כל המספר ולחבר על סך העולה מחצית המספר | |
|
דמיון [54]זה נרצה לדעת מא' עד י"ו | |
|
ראוי לקחת מחצית י"ו שהם ח' | |
|
ותכפלם על י"ו ויהיה העולה קכ"ח | |
|
עו' תוסיף על זה מחצית י"ו שהם ח' ויהיו קל"ו והוא המבוקש | |
| ||
|
||
|
יט) שאלה אולם אם הוא נפרד ראוי לקחת החלק היותר גדול ולכפול אותו על כל המספר והעולה הוא המבוקש | |
|
דמיון זה נרצה לדעת המחובר מא' עד כ"ה | |
|
הנה ראוי לקחת מכ"ה החלק היותר גדול שהוא י"ג | |
|
ותכפול י"ג על כ"ה והעולה הוא שכ"ה והוא המבוקש | |
|
או אם תרצה תחלק כ"ה על ב' ויהיו י"ב וחצי | |
|
וכפול אותם על כ"ה ויהיו ג' מאות וי"ב וחצי | |
|
אח"כ תוסיף על זה מחצית כ"ה שהם י"ב וחצי ויהיו שכ"ה | |
| ||
|
||
|
כ) שאלה קבץ מא' עד י' ולא יהיו הג' בכלל | |
|
הנה ראוי לקבץ מא' עד י' שהם נ"ה כאשר ידעת | |
|
אח"כ קבץ מא' עד ג' שהם ו' | |
|
ותפיל ו' מנ"ה הנשאר מ"ט והוא המבוקש | |
| ||
|
||
|
כא) שאלה חברנו כל המספרים עד מספר נעלם ועלה המחובר ק"כ | |
|
||
|
ראוי לחלק זה המספר על ב' ויהיו ס' ולכפול אותו על ד' ויהיו ר"מ | |
|
והנה יש לך עתה לקחת השרש שעבר ר"ל שהוא קרוב אל ר"מ ותמצא ט"ו והוא המבוקש | |
| ||
|
ר"ל כי כשתקבץ מא' עד ט"ו יעלה ק"כ | |
|
||
|
כב) שאלה קבץ מא' עד ט' כל הנפרדים | |
|
הנה ראוי לשים א' על אותו המספר שהזכיר ולחלק סך העולה על ב' אח"כ ראוי לקחת מרובע העולה מהחלוקה והוא המבוקש | |
|
והנה נשים על ט' א' ויהיו י' | |
|
אח"כ נחלק אותו על ב' ויהיו ה' | |
|
נקח מרובעו והוא כ"ה והוא חבור כל נפרדים מא' עד ט' | |
|
||
|
כג) שאלה אם תרצה לדעת חבור כל הזוגות אשר הם מב' עד י"ב | |
|
||
|
הנה ראוי לקחת מחצית י"ב שהם ו' ולקחת מרובעם שהם ל"ו ויהיו מ"ב | |
| ||
|
||
|
כד) שאלה חברנו כל הנפרדים עד מספר נעלם ועלה כ"ה | |
|
||
|
ראוי לקחת שרש כ"ה ואח"כ כפול אותו על ב' ותפיל א' מהמקובץ | |
|
והנה שרש כ"ה הוא ה' וכפול אותו והוא י' ותפיל ממנו א' ונשאר ט' והוא המבוקש | |
| ||
|
||
|
כה) שאלה חברנו כל הזוגות מא' עד מספר בלתי ידוע ועלה המחובר מ"ב | |
|
||
|
הנה ראוי לקחת השרש שעבר וידוע כי השרש שעבר היה ו' כפול אותו על ב' ויהיו י"ב והוא המבוקש | |
|
||
|
כו) שאלה אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' ועד ד' | |
|
||
|
הנה ראוי לחבר כל המספרים אשר [55]מא' עד ד' שהם עשרה | |
|
אח"כ קח ב' שלישיות ד' עם תוספת שליש שהם ג' | |
|
כפול ג' על י' ויהיו ל' | |
| ||
|
כז) שאלה אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' עד כ"ה | |
|
תחבר כל המספרי' והנם ט"ו | |
|
וקח ב' שלישיות ה' עם תוספת שלישית ויהיו ג' וב' שלישיות | |
|
וכפול אותם על ט"ו ויעלה נ"ה | |
| ||
|
||
|
כח) שאלה ואלו אמר קבץ ממרובע ג' עד מרובע ח' | |
|
ראוי לקבץ כל המרובעים אשר הם מא' עד ח' שהם ר"ד | |
|
אח"כ תקבץ המרובעים מא' עד ג' | |
|
ותפיל י"ד מן ר"ד הנשאר ק"ץ והוא המבוקש | |
| ||
|
||
|
כט) שאלה אם תרצה לקבץ כל המרובעים אשר הם מב' עד ח' על המשך הזוגות | |
|
||
|
הנה ראוי לחבר כל הזוגות אשר הם מב' עד ח' שהם עשרים | |
|
אח"כ קח שני שלישי ח' עם תוספת ב' שלישיות א' ויהיו ו' שלמים | |
|
כפול אותם על כ' ויהיו ק"כ והוא המבוקש | |
| ||
|
||
|
ל) שאלה קבץ ממרובע א' עד מרובע ז' על המשך הנפרדים | |
|
תחבר כל הנפרדים אשר הם עד ז' והנם י"ו | |
|
אח"כ תפיל שלישית י"ו עם תוספת ב' חלקים מי"ב או תפיל מט"ו שלישיתם | |
|
וישאר עד י"ו א' | |
|
אח"כ תפיל מזה הא' מחציתו וחבר אותו עם ב' שלישיות ט"ו ויהיו י' וחצי | |
|
אח"כ תוסיף א' על ז' ויהיו ח' | |
|
והכם בי' וחצי ויצא לך פ"ד | |
| ||
|
||
|
לא) שאלה קבץ לי ממעוקב א' עד מעוקב ז' | |
|
ודע כי מעוקב ר"ל א' פעם א' א' פעם ב' א' פעם ג' א' פעם ד' וכן עד ז' ואח"כ תקח הב' ותכה אותו עם כל המספרים מא' עד ז' | |
| ||
|
אם תרצה לדעת סך העולה ראוי לחבר כל הנפרדים אשר הם מא' עד ז' והם כ"ח | |
|
אח"כ קח מרובע כ"ח שהם תשפ"ד וכן הוא חבור כל המעוקבים מא' עד ז' | |
|
||
|
לב) שאלה קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב י"ב | |
|
תקבץ כל המעוקבים מא' עד י"ב שהם ו' אלפים ופ"ד | |
|
אח"כ תקבץ כל המעוקבים אשר הם מא' עד ד' שהם ק' | |
|
תפילם מו' אלפים ופ"ד הנשאר ה' אלפים וט' מאות ופ"ד והוא המבוקש | |
| ||
|
||
|
לג) שאלה אם אמר קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם ועלה המחובר רכ"ה כמה הוא המספר הנעלם | |
|
||
|
ראוי הוא לקחת שרש סך החשבון [56]ר"ל שרש רכ"ה והנה שרשו ט"ו | |
|
אח"כ תקיש זאת השאלה אל קבוץ המספרים ולומר קבצנו כל המספרים אשר הם מא' עד מספר נעלם ועלה המחובר ט"ו יצא לך ה' והוא המבוקש | |
|
ודע שאם לא תמצא שרש שלם כמספר שהזכיר דע כי טעית בחשבון | |
|
||
|
לד) שאלה אם נשאל לך קבץ לי ממעוקב א' עד מעוקב י"ג כדרך הנפרדים | |
|
ראוי לחבר כל הנפרדים מא' עד י"ג ויהיו מ"ט | |
|
וראוי לקחת מרובע מ"ט ויהיו ב' אלפים וד' מאות וא' והוא המבוקש | |
|
||
|
לה) שאלה אם ישאל לך אדם קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב ט' על המשך הנפרדים | |
|
ראוי לך לקבץ כל המספרים הנפרדים שהם מה' עד ט' והנם כ"א | |
|
וקח מרובעם ויעלה תמ"א | |
|
||
|
לו) שאלה קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם על דרך הנפרדים ועלה רנ"ו | |
|
לקחת שרש רנ"ו ויעלו י"ו | |
|
אח"כ ראוי להקיש ולומ' חברנו כל הנפרדים מא' עד מספר נעלם ועלה י"ו | |
|
הנה הדרך שתכפול י"ו ד' פעמים ויהיו ס"ד | |
|
וקח שרשם והנם ח' | |
|
תגרע ממנו אחד הנשאר ז' והוא המבוקש | |
| ||
|
||
|
לז) שאלה קבץ ממעוקב ב' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות | |
|
והנה יש לך לחבר כל המספרים מב' עד י"ב ויהיו מ"ב | |
|
אח"כ תקח מרובעם שהם אלף תשס"ד | |
|
||
|
לח) שאלה קבץ ממעוקב ד' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות | |
|
ראוי לקבץ כל המספרים מהזוגות שהם מד' עד י"ב שהם מ' | |
|
וקח מרובע מ' שהוא אלף ות"ר והוא המבוקש | |
|
||
|
לט) שאלה אם יאמר לך קבצנו כל המעוקבים מב' עד מספר נעלם על דרך הזוגות ועלה המחובר ד' מאות | |
|
הנה הדרך בזה שתקח שרש ד' מאות והוא עשרים | |
|
ואח"כ תאמר חברנו כל הזוגות שהם מב' עד מספר נעלם ועלה המחובר עשרי' כמה הוא המספר הנעלם | |
|
ראוי לכפול עשרים על ד' ולהוסיף על המחובר א' ויהיה בין הכל פ"א | |
|
וקח שרשו והוא ט' | |
|
ולעולם תפיל מן השרש א' וישאר ח' | |
| ||
|
||
|
מ) שאלה אם תרצה לדעת המחובר מא' עם ב' עם ד' עם ח' ועם י"ו וכן לעולם [57]מוסיף המספר הבא על המספר העבר ב' פעמים כמוהו והמספר האחרון עולה קכ"ח | |
|
ראוי לכפול קכ"ח על ב' ויעלה רנ"ו | |
|
ותגרע ממנו לעולם א' והנשאר רנ"ה והוא המבוקש | |
| ||
|
[58]ואם תרצה לחבר א' עם ב' ועם ד' ועם ח' ועם י"ו וכן תמיד תכפול עד י"ב פעמים | |
|
ראוי לחבר עד ד' ר"ל א' עם ב' ועם ד' ועם ח' והנם ט"ו | |
|
תוסיף על ט"ו א' ויהיו י"ו | |
|
אח"כ כפול י"ו על עצמם ויהיו רנ"ו | |
|
אח"כ כפול י"ו על רנ"ו ויצא ד' אלפים וצ"ו והוא מה שבכל הבתים עד י"ב | |
|
ותגרע א' לעולם וישארו ד' אלפים וצ"ה | |
| ||
|
וכן תוכל לדעת לעולם אם תכפול מה שיצא לך על י"ו שהוא ד' אלפים וצ"ו עלה ס"ה אלפים ותקל"ו | |
|
תגרע מהם א' וישארו ס"ה האלפים ותקל"ה והוא מה שבבית הי"ו | |
| ||
|
ואם תרצה לדעת מכל ב' בתים | |
|
תכפול מה שיצא לך על ד' ויצא לך מה שבבית השני | |
|
דמיון עתה שידעת מה שבבית הי"ו שהוא ס"ה אלפים ותקל"ו עם תוספת א' תכפול אותו המספר על ד' ויצא לך רס"ב אלפים וקמ"ד והוא מה שבבית הי"ח | |
| ||
|
וכן תמיד גם מה שבבית הג' תוכל לדעת | |
|
אם תכפול המספר על ח' | |
|
ואם תכפול המספר על ל"ב יצא לך מה שבבית הה' | |
|
ר"ל שאם תכפול רס"ב אלפים וקמ"ד שהוא מה שבבית הי"ח על ל"ב יצא ח' אלפי אלפים וג' מאות ופ"ח אלף וו' מאות וח' והוא מה שבבית הכ"ג מאחר שתוסיף על הבית הי"ח ה' ותגרע א' לעולם מן הסך העולה | |
| ||
|
ועל זה הדרך תוכל לדעת בתי האשקאקי שהם ס"ד | |
Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish |
||
|
מב) שאלה ג' אנשים רצו לקנות דג אחד במחיר י"ז פשוטים אמר הא' אני אתן כל מה שבידי ואתם תנו חצי מה שבידכם | |
|
התשובה נבקש מספר שנוכל להוסיף עליו עד שיהיה המספר ההוא אחר התוספת חציו ושני שלישיותיו וג' רביעיותיו והוא המורה | |
|
ובעבור שמחיר הדג י"ז פשוטים והוא יותר מי"ב הנה המספר המבוקש פחות מי"ב וכאשר חברנו י"ב והוא המורה עם מחיר הדג והוא י"ז יעלו כ"ט והוא ממון כלם | |
|
[59]וכאשר נקנה הדג הנה ביד שנים מהם י"ב פשוטים ר"ל אחר שתסיר י"ז פשוטים מכ"ט | |
|
וכאשר נוסיף על י"ב חצי הכפל הנשאר בידו יהיו כ"ד ויש להשלים עד כ"ט ה' וככה ממון הראשון | |
|
וכאשר הוספנו על י"ב ו' ויהיו י"ב שתי שלישיותיו ויהיו י"ח הנה יש להשלים עד כ"ט י"א והוא ממון השני | |
|
וכאשר הוספנו על על י"ב ד' בלבד בלבד יהיו י"ו עד שיהיו שלש רביעיותיו ממונו עד כ"ט י"ג והוא ממון השלישי | |
Find a Number |
||
|
מג) שאלה תמצא לי מספר אשר כשתכפול על ג' ותחלק על ד' ומה שישאר יהיה יחסו אל ד' כיחס ד אל ו' | |
|
התשובה נבקש איזה מספר שתרצה והנה נבקש מספר ו' נכפול אותו על ג' ויהיו י"ח ותחלק י"ח על ד' ויצאו ד' וחצי | |
|
וידוע כי יחס ד' אל ו' ב' שלישיות | |
|
ואנו מבקשים מספר שיהיה ב' שלישיותיו מד' והנה נאמר ככה אם בעד ו' ששמנו המספר שנתן לנו ד' וחצי איזה מספר יתן לי באופן שיבא ב' וב' שלישיות שהם ב' שלישיות ד' | |
|
כפול ב' וב' שלישיות על ו' ויעלו י"ו | |
|
והעולה תחלק על ד' וחצי הנה א"כ העולה ג' וה' חלקים מט' | |
|
הנה א"כ כשתכפול ג' פעמים ג' וה' חלקים מט' והעולה תחלק על ד' יצא לך ב' וב' שלישיות ויחסו אל ד' כיחס ד' אל ו' | |
Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish |
||
|
מד) שאלה ג' אנשים רוצים לקנות דג אחד כ' מנינים אמר הא' אני אתן כל ממוני ותנו אתם חצי כל אשר לכם | |
|
התשובה ראוי לדמות זאת השאלה לאותה של מעלה אבל אותה של מעלה הנה היה הערך י"ז וזאת הוא כ' | |
|
לכן נאמר אם י"ז יתנו לו ה' שהוא סך מאותו שיבקש שיתנו חבריו חצי ממונם כמה ישוו עשרים | |
|
ויצא לך ה' שלמים וט"ו חלקים מי"ז | |
|
אח"כ תאמר אם י"ז יתנו י"א וזה הוא חלק מאותו שרוצה שיתנו חביריו שליש ממונם כמה ישוו עשרים | |
|
ויצא לך י"ב וי"ו חלקים מי"ז | |
|
[אח"כ תאמר אם י"ז יתנו לי י"ג והוא חלק מאותו שמבקש שיתנו חבריו הרביעית כמה יתן לי עשרים | |
|
ויצא לך ט"ו וה' חלקים מי"ז] והוא [60]ממון השלישי | |
|
ותוכל לבחון אותו ותמצאהו נכון | |
Pursuit Problem |
||
|
מה) שאלה אדם שלח ג' רצים שילכו מהלך ג' מאות מילין ואח"כ ישובו לאחור וכשיגיעו לאדניהם ילכו גם כן לדרכם וכן תמיד הלוך ושוב ומקצה ועד קצה הם ש' מילין | |
|
התשובה יש לנו לחלק אלו הג' מאות על כ' שהוא מהלך הראשון ויצא ט"ו א"כ בט"ו ימים ילך ג' מאות מילין | |
|
עוד נחלק ש' על כ"ה ויצא י"ב א"כ בי"ב ימים ילך | |
|
וכפול י"ב על ט"ו ויעלו ק"פ א"כ בק"פ ימים יהיו אלו הב' זה אצל זה | |
|
והנה ראוי למצא חשבון שכשתחלקהו על ל"ב יהיו מצומצם ר"ל שיש לנו למצא מספר ולכפלו נגד ג' מאות ולחלק העולה על ל"ב ויצא מצומצם על כן נכפול ק"פ על ג' מאות ויעלה נ"ד אלפים א"כ בנ"ד אלפי' ימים יהיו מחוברים | |
|
ולבחון אותו כפול נ"ד אלפים על כ' שהוא מהלך הראשון ותחלק העולה על ש' ויצא בצימצום | |
|
עוד תכפול נ"ד אלפים נגד כ"ה ותחלק העולה על ש' ויצא בצימצום | |
|
ג"כ עוד כפול נ"ד אלפים על ל"ב וחלק העולה על ש' ויצא ג"כ שוה | |
Questions of R. Levi Ben Gershon |
שאלות מר' לוי בן גרשום[61] | |
Find a Number Problem |
||
|
מו) שאלה ג' שביעיות וד' חמישיות המספר הנעלם מוסיפים על ב' שלישיות ורביעית המספר הנעלם כ' רצינו לדעת כמה המספר הנעלם | |
|
התשובה הנה המורה הוא ת"ק וג' שביעיותיו עם ד' חמישיותיו הוא תקי"ו | |
|
וב' שלישיותיו הוא ת"ק ורביעיתו הוא שפ"ה | |
|
הנה החלקים הראשנים מוסיפים על השניים מספר קל"א | |
|
ערכנו המורה על עשרים וחלקנו העולה על קל"א ועלה ס"ד שלמים וי"ו חלקים מקל"א והוא המבוקש | |
Pursuit Problem |
||
|
מז) שאלה המתנועע מתנועע בי"ג ימים י"ז שעורים מן הדרך ול"ו ראשנים ונ"ז שניים ורצינו לדעת כמה מן הדרך ילך בג' ימים וי"ז שעות ונ"ב ראשנים וי"ו שניים | |
|
התשובה הנה נשיב [62]הימים שעות | |
|
ויהיה הזמן הראשון שי"ב | |
|
והזמן השני בפ"ט ונ"ב ראשנים וי"ו שניים | |
|
ערכנו ז' שלמים ל"ו ראשנים נ"ז שניים על פ"ט שלמים נ"ב ראשנים י"ו וחלקנו העולה על שי"ב ועלה ב' שלמים י' ראשנים נ"ו שניים והוא מספר השעורים שהלך מן הדרך בזמן המונח השני | |
|
מח) שאלה המתנועע הולך ז' שעורים מן הדרך ול"ו ראשנים נ"ז שניים בי"ג ימים ורצינו לדעת בכמה מן הזמן ילך ג' שעורים מן הדרך | |
|
ערכנו ג' שעורים על שי"ב שלמים וחלקנו העולה על ז' שלמים ול"ו ראשנים ונ"ז שניים ועלה קכ"ב שעות ונ"ד ראשנים וי"ז שניים והוא המבוקש ר"ל הזמן הנעלם | |
|
מט) שאלה [מהלך] אדם מהיר בשעה א' ב' שעורים ול"ז שניים ויהיה מהלך המתוני לשעה א' ל' ראשנים כ"ד שניים והיה מרחק המתוני מהמהיר לפניו כ"ט שעורים ומ"ה ראשנים | |
|
והיה יתרון מהלך המהיר על מהלך המתוני לשעה הוא שעור א' ול' ראשנים וי"ג חלקנו עליו המרחק המונח ועלה י"ט שעות מ"ז ראשנים מ"ט שניים והוא המבוקש | |
| ||
Purchase Problems |
||
Equal Amount |
||
|
נ) שאלה הסוחר מוכר מד' סמים ערך הסם הראשון ז' פשוטים הליט' | |
|
והנה בג' דינרין וד' פשוטים יקח ליט' מכל א' | |
|
והנה יחס ג' דינרין אל ג' דינרין וד' פשוטים הוא ט' עשיריות וככה יקח מכל סם וסם ר"ל ט' עשיריות ליט' | |
|
ויהיה ערך הכל ג' דינרין ותוכל לבחון אותו | |
|
נא) שאלה הסוחר מוכר מד' סמים ערך הא' ב' דינרין הליט' | |
|
והנה תכתו' בטור א' ערכי הליט' והוא א'ב'ג'כ' | |
|
ובטור תחתיו תמיד הענין על זה הסדור הנז' רצוני שתכתוב ב' ג' ותחת ג' ב' וגם כן הנה תכתוב [63]תחת י"ב כ' ותחת כ' י"ב | |
|
ואחר תקח קטני המספרים המתיחסים בכמה זה היחס ר"ל מיחס ב' אל ג' ומיחס י"ב אל ג' ומיחס כ' אל י"ב | |
|
וזה שיחס כ' אל ל' כיחס ג' אל ב' | |
|
ויחס כ' אל ה' כיחס י"ב אל ג' | |
|
ויחס ה' אל ג' כיחס כ' אל י"ב | |
|
ולזה תקח מן הסם אשר ערכו ב' דינרין ל' ליט' והוא המספר הנכחי לו | |
|
ומהסם אשר ערכו ג' דינרין הליט' תקח כ' ליט' | |
|
ומהסם אשר ערכו כ' דינרין תקח ג' ליט' | |
|
ויהיה ערך מה שתקח מכל א' מהם שוה | |
|
וראוי שתשמור בזה הדרך הנזכר אם היה ערך אחד הסמים מספר הפשוטים שתשיב ערך הסמים הנשארים לפשוטים | |
|
נב) שאלה הסוחר מוכר מג' סמים ערך הא' ז' פשוטים הליט' | |
|
והנה קטני המספרים שילקחו מאחד אחד מהם ויהיה הערך שוה הם מספרי כ' י"ד ז' והנה מקובצם הוא מ"א והם חלקי הליט' | |
|
וילקחו מאלו החלקים מהסם אשר ערכו ז' פשוטים הליט' כ' חלקים | |
|
ומהסם אשר ערך הליט' ממנו י' פשוטים ילקחו י"ד חלקים | |
|
ומהסם אשר ערך הליט' ממנו ב' פשוטים ילקחו ז' חלקים | |
|
והנה הכל מ"א חלקים שהוא ה' ליט' | |
|
ואולם ערך הליט' הנה תקח ערך מספרי כ' י"ד ז' כל אחד מהנכחי לו ותקבץ הכל והנה הכל ל"ה דינרין | |
|
חלק ל"ה על מ"א ועלה י' פשוטים וי' חלקים ממ"א בפשוט והוא המבוקש | |
Unequal Amount |
||
|
נג) שאלה הסוחר מוכר משני סמים ערך הסם הא' י"ז פשוטים הליט' | |
|
והנה יתרון המוסיף על המחסיר הוא ז' והם חלקי המדה | |
|
והנה חסרון המחסיר מי"ט הוא שנים והם החלקים מחלקי המדה שיקח מהסם אשר ערכו מוסיף | |
|
והנה יתרון המוסיף הוא ה' והם חלקים שיקח מהסם אשר ערכו מחסיר | |
|
ויהיה ערך המדה י"ט פשוטים | |
|
מד) שאלה הסוחר מוכר מז' סמים ערך הא' ג' פשוטים הליט' | |
|
והנה המוסיפים הם ב' הסם אשר ערכו י"ט והסם אשר ערכו כ"ד פשוטים | |
|
והמחסירים הם ד' אותה אשר ערכה ג' | |
|
הנה נשים ג' פשוטים גליי לי"ט פשוטים וה' פשוטים גליי לכ"ח פשוטים | |
|
וכבר ידענו דרך נקח ליט' מכל זוג וזוג מאלו יהיה ערכה ט"ו פשוטים | |
|
ולזה נקח מסם ג' ד' חלקים מי"ו בליט' ומסם י"ט ב' חלקים מי"ו בליט' | |
|
ונקח ג"כ מסם ה' י"ג חלקים מכ"ג בליט' ומסם כ"ח י' חלקים מכ"ג בליט' | |
|
ונקח ג"כ מסם ח' ד' חלקים מי"א בליט' ומסם י"ט ז' חלקים מי"א בליט' | |
|
ונקח ג"כ מסם י"א ד' חלקים מכ"ח בליט' ומסם ד' י"ט חלקים בליט' | |
|
והנה מספר כל אלו החלקים הוא נ"ח | |
|
ונוסיף שני חלקים בעבור ט"ו שאין לו גלוי והנם ס' והם חלקי הליט' | |
|
נקח מהם מסם ג' פשוטים ד' חלקים | |
|
ומסם ה' י"ג חלקים | |
|
ומסם ח' ד' חלקים | |
|
ומסם י"א ד' חלקים | |
|
ומסם ט"ו ב' חלקים | |
|
ומסם ט"ו כ"ג חלקים | |
|
ומסם י"ח י' חלקים | |
|
ויהיה ערך הליט' ט"ו פשוטים והוא המבוקש | |
Payment Problem - Men and Beasts |
||
|
נה) שאלה ראובן שכר שמעון י' ליט' שיעשה מלאכתו ט' ימים ובזאת המלאכה ישכור לו בכל יום י"ג מן האנשים ינהוג כל אחד מהם ז' בהמות תשא כל בהמה ט"ו מדות ותלך ו' פרסאות והוא שכר לו ח' ימים י"ז מן האנשים והנהיג כל אחד מהם ו' בהמות ונשאה כל א' מהם י"א מדות והלכה ז' פרסאות | |
|
והנה המספר המורכב מהמספרים שהתנה הם ט' י"ג ז' ט"ו ו' והוא ע"ג אלפים ותש"י והוא השמור | |
|
והמספר המורכב מהמספרים שהשלים ח' י"ז ו' י"א ז' והוא תתל"ב [וס"ב][65] אלפים | |
|
והנה [66]יחס י' ליט' אל מה שהוא חייב לו כיחס השמור אל ס"ב אלפים ותתל"ב | |
|
ואם תערוך י' ליט' שהוא הא' על הד' שהוא ס"ב אלפים ותתל"ב והעולה תחלק על השמור יצא לך ח' ליט' וחצי ואלף וז' מאות ופ"ה חלקים מס"ב אלפים ותתל"ב בליט' שהם ה' פשוטים וכ"ה אלפים תת"נ חלקים מע"ג אלפים תש"י בפשוט | |
| ||
Buy and Sell Problems |
||
|
נו) שאלה ראובן קנה ב' חמישיות המדה וג' שביעיות ב' דינרין ומכר ד' תשיעיותיה ה' דינרין והרויח ק' דינרין נרצה לדעת כמה הממון | |
|
הדרך בזה שתקח המורה לכל אלו החלקים הן מהמדה הן מהדינרין ואם קרה שיהיו בהם חלקים והנה המורה לכל אלו החלקים במשלינו הוא שט"ו והוא המדה | |
|
קח ממנו ב' חמישיותיו וג' שביעיותיו ויעלה רי"ו | |
|
הנה א"כ בדינר יקנה מאלו החלקים ק"ח | |
|
גם קח ממנו ד' תשיעיות ויעלה ק"מ | |
|
הנה א"כ בדינר יתן ע' מאלו החלקים | |
|
ולזה ירויח בדינר ל"ג חלקים | |
|
וכבר היה הריוח ק' דינרין שהוא ז' אלפים מאלו החלקים | |
|
הנה ראוי שנקח מספר יהיה יחסו אל ק"ח כיחס ז' אלפים מאלו החלקים אל ל"ח אלפים וכבר התבאר דרך לקיחתו | |
|
ואם חלקת העולה על ע' הנה תמצא מספר הממון עם מה שהרויח יחד | |
|
ואם חלקת העולה על ק"ח שהוא סך ערכי הדינר לפי מה שקנה תמצא מספר הממון וזה מבואר | |
|
ואם היתה השאלה בהפך ר"ל שהפסיד ק' דינרין כשקנה ד' תשיעיות המדה ב' דינרין ומכר ב' חמישיותיה עם ג' שביעיותיה ב' דינרין | |
|
הדרך אחד אלא שכאשר תחלק העולה על ע' יהיה לך מספר הממון | |
|
ואם תחלקהו על ק"ח יהיה לך הנשאר לו אחר ההפסד | |
|
ואם שאל כמה המקח חלק העולה על שפ"ה והם חלקי המדה והנה מדות המקח | |
Barter Problems |
||
|
נז) שאלה איש אחד מחליף מסחר מה במסחר אחר וערך חלקים מה מן המדה ממה שנתן ככה | |
|
והמשל שהמסחר שנתן ישוו ג' [67]חמישיות המדה עם ב' תשיעיותיה ב' דינרין והמסחר שקבל ישוו ג' דינרין מי"א במדה עם ב' שביעיותיה ג' דינרין | |
|
הדרך בזה שתקח המורה לכל אלו החלקים הן מהמדה הן מהדינרין אם קרה שיהיו שם חלקים | |
|
וממנו תקח החלקים שילקחו בדינר לכל א' מאלו הערכין | |
|
וכמו ערכי הדינר ממה שנתן אל חלקי הדינר ממה שקבל כן יחס מה שנתן אל מה שקבל | |
|
והנה המורה לכל אלו החלקים הם ג' אלפים ותס"ה | |
|
לקחנו ג' שביעיותיו וב' תשיעיותיו והם אלפים תס"ד | |
|
ולזה יהיו החלקים שילקחו בדינר ממה שנתן אלף רל"ב | |
|
לקחנו ב' שביעיותיו וג' חלקים מי"א במדה בו ועלה אלף תתקל"ה | |
|
ולזה יהיו החלקים שילקחו בדינר ממה שקבל תרמ"ה | |
|
והנה כיחס אלף רל"ה אל תרמ"ב כן יחס מה שקבל אל ב' מדות | |
|
וכבר ידעת דרך לקיחת זה המספר הנעלם | |
Give and Take Problem |
||
|
ומזה התבאר אם התנה ראובן עם שמעון לעשות מלאכתו ויתן לו בשכירותו בז' ימים וחומש יום כ' דינרין ושמעון יתן לראובן בכל יום שיבטל ד' חלקים מי"א בדינר ועשה שמעון ב' ימים וג' שביעיות יום ובטל ויצא שכרו בהפסדו | |
|
לקחנו המורה לכל אלו החלקים בכללם ועלה שפ"ה והוא חלקי היום | |
|
הנה נראה בכמה חלקים מאלו ירויח דינר ובכמה חלקים מאלו יפסידהו וכיחס מספר הריוח אל יחס ההפסד כן יחס ג' ימים וג' חמישיות אל הזמן שבטל | |
|
והנה בקל"ה חלקי' וי"ב חלקים מעשרים בחלק ירויח דינר | |
|
ובאלף ונ"ח חלקים ובג' מד' בחלק יפסיד דינר | |
|
וככה יחס ב' ימים וג' חמישיות אל הזמן שבטל | |
Find a Number Problem |
||
|
נח) שאלה שיהיה מספר ראשון כשחובר אל מספר שני היה יחסו אל הג' ג' שלמים וב' חמישיות ושביעיות וכשחובר הראשון אל הג' היה יחסו הראשון ז' שלמים וב' שלישיות ורביעיות | |
|
||
|
הנה תוציא תחלה ג' מספרים יונהגו זה המנהג על הדרך שהתבאר [68]במאמר הראשון מספרינו | |
|
ולזה תדע משטח מג' שלמים וב' חמישיות ושביעית ויהיו בידך ד' שלמים וב' חמישיות ושביעית והוא המספר השני | |
|
גם תוסיף א' על ז' שלמים וב' שלישיות ורביעית והעולה בידך הוא המספר השלישי והוא ח' שלמים וב' שלישיות ורביעית | |
|
וכבר ידעת שהמספר הגלוי לשניים הוא ל' | |
|
ולזה יהיה המספר הגלוי לראשון קע"ח שלמים וצ"ח שלמים ק' חלקים מקנ"ז באחד | |
|
והמספר השלישי נ"ח שלמים ורפ"א חלקים משי"א באחד | |
|
ואלו המספרים הם המבוקשים ואלו תחקור תמצא | |
|
נט) שאלה יהיה יחס הראשון עם השני מקובצים אל השלישי ג' חמישיות ושישית ויחס הראשון והג' מקובצים אל השני ב' שלמים ושלישית | |
|
||
|
הנה לפי מה שהתבאר נוציא המספרים אשר מנהגם זה המנהג ויהיה המספר הראשון לפי מה שקדם ב' חמישיות ושלישית ושליש שישית ויהיה השני אחד ול' שלם וג' חמישיות ושישית | |
|
ולפי שהיה המספר הגלוי לראשון עשרים יהיה המספר הגלוי לשני מ"ד שלמים ונ"ו חלקים מע"א בא' שלם | |
|
והמספר הגלוי לשלישי פ"ד שלמים ול"ו חלקים מע"א בא' שלם | |
|
והם המספרים המבוקשים | |
|
[ס)] שאלה שיהיה יחס הב' אל הנשאר מהג' כשחוסר ממנו הא' ג' שלמים ושליש ויחס הג' אל הנשאר מהב' כשחוסר ממנו הא' מספר ו' | |
|
||
|
והנה נוציא ג' מספרים על הדרך הקודמת [69]באלו היחסים הנזכרים הנה ר"ל שיהיה יחס מקובץ הראשון והשני אל השלישי ג' שלמים ושליש ויחס מקובץ הראשון והג' מקובצים אל הב' ו' שלמים | |
|
והנה הראשון י"ט והשני ד' ושליש והג' ז' | |
|
ולזה יהיה הראשון י"ט | |
|
ותחבר עם השני י"ט ויהיו כ"ג שלמים ושליש והוא המספר השני | |
|
ותחבר עם השלישי י"ט ויהיו כ"ו והוא המספר השלישי | |
|
ותקיש על זה | |
|
סא) שאלה שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל הנשאר מהג' כשחוסר ממנו הראשון ד' שלמים וחצי ויחס הראשון והג' מקובצים אל הנשאר מהב' כשחוסר ממנו הראשון הוא ה' שלמים | |
|
||
|
הנה נוציא המספרים הג' על הדרך הקודמת לפי אלו היחסים רצוני שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל הג' ד' וחצי ויהיה יחס הא' והג' מקובצים אל הב' מספר ה' | |
|
ולזה יהיה הראשון כ"א וחצי והשני ו' וחצי והג' ו' | |
|
והנה חצי הא' הוא י' וג' שביעיות והוא הראשון | |
|
הנה חברנו י' וג' שביעיות אל השני ועלה י"ו ורביע והוא השני | |
|
הנה חברנו י' וג' שביעיות עם השלישי ועלה י"ו וג' רביעיות והוא הג' | |
|
סב) שאלה שיהיה הראשון עם רביעית הנשארים שוה אל השני עם שישית הנשארי' והוא ג"כ שוה אל השלישי עם תשיעית הנשארים כבר התבאר לך במאמ' הראשון מזה הספר שסדור אלו המספרים הג' הוא על זה הסדר אשר סדרוה רצוני שהראשון הוא אשר יתחבר המתחלק יותר גדול מן הנשארים והל' הוא אשר יתחבר עמו יותר קטן והנשארים והזכרתי זה לך למען לא תבלבל בביאורים | |
|
||
|
וכבר ידענו שהמספרים שינהגו כמו זה המנהג הראשון מהם קי"ט והשני קנ"א והג' קס"ט מזה הגליים ונוציא שאר הגליים על היחס | |
|
ולזה יהיה הגליים לראשון ט"ו שלמים וקט"ו חלקים מק"א בא' שלם והוא הראשון הנה | |
|
ויהיה הגליי לג' כ"ב [70]שלמים ונ"ח חלקים מקנ"א בא' והוא השלישי הנה | |
|
והם המספרים המבוקשי' | |
|
ואם תרצה תוכל לבחון אותו | |
Partnership Problem - Three Partners - Same Time |
||
|
סג) שאלה ג' אנשים עושים שותפות והנה ממון שלשתן עולה כ"ה מניינים | |
|
התשובה כבר ידעת כי ריוח ממון הראשון הוא י"ו | |
|
על כן יש לך לקחת שרש י"ו והם ד' וזה יהיה ריוח ממון מהשני | |
|
עוד יש לך לקחת שרש ד' והם ב' וזה סך ריוח ממון השלישי | |
|
ונעשה ככה בכאן ג' עושים שותפות הא' שם ב' מנינים והב' ד' והג' י"ו והרויחו כ"ה כמה היה לכל אחד ואחד | |
|
תחבר ממון שלשתן והם כ"ב | |
|
וכפול חלק הראשון שהוא י"ו על כ"ה ותחלק מה שיעלה על כ"ב ויצא לך י"ח וב' חלקים מי"א והוא סך ממון מה ששם הראשון בחבורה שהגיע לחלקו מהריוח י"ו מנינים | |
|
עוד תכפול ד' על כ"ה ויצא לך ק' וחלקם על כ"ב ויצא לך ד' וו' חלקים מי"א והוא חלק השני | |
|
עוד כפול ב' על כ"ה ויצא לך נ' וחלקם על כ"ב ויצא לך ב' שלמים וג' חלקים מי"א והוא חלק הג' ר"ל מה ששם בחבורה מי שהגיע לו מריוח הממון ב' | |
|
ותקיש על זה | |
Guessing Problem - Four Coins |
||
|
סד) שאלה יש כאן אנשים ידועים לכל אחד יש סכום מטבעים מתחלפים מהסכום גם מהמטבעים ונרצה לדעת איזה מטבע יש לכל א' וא' וכמה מטבעים יש לו ומי מכלם הם ד' בעלי המטבעים ר"ל מחזיקי המטבעים | |
|
התשובה ראוי לכפול בעל המטבע הגדול ולהוסיף על זה ו' ולכפול העולה על ה' ולהוסיף על הסכום בעל המטבע הב' שהוא המטבע התיכונה ולכפול העולה על ה' ולחסר מהסך ק"נ ולכפול הנשאר על ב' | |
|
||
|
ועתה תוכל לדעת מי הוא מחזיק מטבע הזהב על דרך משל [71]שהוא היותר גדול ומי הוא מחזיק הכסף הבא אחריו ומי מחזיק הנחושת ומי מחזיק הברזל אך לא תדע סכום המטבעים המחזיקים כל א' | |
|
ודע כי האלפים הוא מספר הזהב | |
|
והמאיות מספר הכסף | |
|
והעשרות הנחושת | |
|
והאחדים הברזל | |
|
ועתה תשוב לעשות המספר הנזכר פעם אחרת ותוכל לדעת סכום המטבעים המחזיק כל א וא' כי האלפים סכום הזהב והמאיות סכום הכסף והעשרות הנחושת והאחדים הברזל | |
|
ואתן לך דמיון דמיון נתתי ג' מניני זהב לאיש רביעי | |
|
תאמר לו שיכפול האיש מחזיק הזהב ויהיו ח' ותוסיף עליו ו' ויהיו י"ד כפול אותם על ה' ויהיו ע' תוסיף על זה בעל מטבע הכסף שהוא הו' ויהיו ע"ו תכפלם על ה' ויהיו ש"פ תסיר מהם ק"נ נשארו ר"ל תכפלם על ב' ויהיו ת"ס | |
|
||
|
הנה ד' אלפים הם ד' אנשים ר"ל איש רביעי והוא מחזיק הזהב אך לא תדע סך המטבעים עדין | |
|
וו' מאות הם איש שישי מחזיק הכסף | |
|
והפ' איש שמיני בעל הנחושת | |
|
והט' איש תשיעי בעל מטבע הברזל | |
|
ועדין לא תדע כי אם האנשים ר"ל מי מחזיק הזהב וכן הכסף אך לא תדע סך מנינם | |
|
ואם תרצה לדעת סך כל מטבע ומטבע תאמר לו שיכפול הג' מנינים ויהיו ו' תוסיף עליו ו' ויהיו י"ב ותכפלם על ה' ויהיו שכ"ה תסיר מהם ק"נ נשארו קע"ה תכפלם על ב' ויהיו ש"נ | |
|
||
|
הנה א"כ הג' אלפים הם ג' מטבעי זהב | |
|
והה' מאות הם ה' מטבעי כסף | |
|
והע' הם ז' מטבעי נחושת | |
|
והט' הם ט' מטבעי ברזל | |
|
הנה א"כ האיש הד' מחזיק ג' מניני זהב | |
|
והאיש הו' מחזיק ה' מטבעי כסף | |
|
והאיש הח' מחזיק ז' מטבעי נחושת | |
|
והאיש הט' [72]מחזיק ט' מטבעי ברזל שהם פיצולי | |
Find a Number Problem |
||
|
סה) שאלה אם מספר ד' הוא שליש מספר ט"ו מהו חומש כ"ה | |
|
התשובה היא על ב' פנים | |
|
הא' ראוי להעמיד שליש ט"ו שהוא ה' | |
|
ותאמר אם ה' שבו ד' מצד כי אמר כי ד' הם שליש ט"ו מספר ה' שהוא חומש כ"ה כמה שוים | |
|
תכפול ד' על ה' וחלק על ה' ויצא לך ד' והוא המבוקש | |
|
והדרך הב' הוא כן והוא כי יש לנו לכפול מספר ד' על ג' ויעלו י"ב | |
|
א"כ מספר ד' הוא שליש י"ב | |
|
ונרצה שיהיה שליש ממספר ט"ו ויש לך לעשות הערך כך ולומ' אם ט"ו שבו י"ב כ"ה כמה ישוו | |
|
כפול כ"ה על י"ב וחלקם על ט"ו ויצא לך עשרים תקח חמישיתם ויצא ד' | |
Guessing Problem - Chosen Number |
||
|
סו) שאלה אם תרצה לדעת מה שחשב אדם בלבו תאמר לו שיחלקהו על ב' | |
|
דמיון אדם חשב מספר ל"ג | |
|
תאמר לו שיחלקהו על ב' ויצא לך י"ו וחצי | |
|
ותאמ' לו שיעשהו שלם ויהיו י"ז ותקח א' | |
|
אח"כ תוסיף אלו הי"ז על ל"ג ויהיו נ' ותחלקם על ב' ויצא לך כ"ה תוסיף אלו הכ"ה על נ' ויעלה ע"ה | |
|
תקח בעד כל ט' ד' ויעלו ל"ב כי ח' תשיעיות שלמות יש בו | |
|
ותוסיף עליו א' שהיה מן החלוקה הראשנה ויהיו ל"ג | |
|
וסימניך אבג"ד | |
|
ר"ל תקח א' בעד החלוקה הראשנה אם יש בו חצי | |
|
ותקח ב' בעד החלוקה השניה אם יש בו חצי | |
|
ותקח ג' אם יש חצי בראשנה גם בשניה | |
|
ותקח ד' בעד כל ט' | |
Gaging Problems |
||
|
סז) שאלה אם תרצה לדעת כמה מדות קטנות יכיל כלי גדול דע כמה אצבעות מבוהן היד יש בארכו מבפנים ובעמקו באמצע ג"כ בעומק ראשו מפני שהוא צנה | |
|
דמיון זה רצינו לדעת כמה יכיל כלי שהיה בארכו מבפנים נ' אצבעות באצבע הגודל שלי שהוא בזה השעור ויש בעמקו באמצע כ"ח אצבעות ובעומק הראש שהוא יותר צרה כ' | |
|
קח מחציתם שהם כ"ד ותכפלם על עצמם ויעלו ה' מאות וע"ו | |
|
תכפלם ג"כ על שעור האורך שהם נ' ויעלו כ"ח אלפים וח' מאות | |
|
חלקם על קמ"ד ויצאו מאתים ואלו הם המדות שיכיל הכלי במדה שנוהגים עכשו למדוד היין פה עיר קורוניאה | |
| ||
|
סח) שאלה אם תרצה לדעת מכלי שיש בו יין ואינו מלא ותרצה לדעת כמה יכיל החסרון דע שעור האצבעות שיש בעומק הכלי באמצעו וקח מחציתם ותכפלהו בעצמו וחלק עליו חצי המדות שיכיל הכלי בהיותו מלא והיוצא הם המדות שיחסר מהכלי | |
|
ובאצבע הראשון ובשנית כמות הראשון ובכפלו ובשלישית כמות השנית וכפל הראשון וברביעית כמות השלישי וכפל הראשון וכן כלם בין רב למעט | |
|
ולדעת כמה מדות יכיל בחסרון כלי תכפול החסרון כלי בעצמו ותכפלהו בראשון והעולה הם המדות שיש בחסרון | |
|
דמיון יש לנו כלי שיכיל ר' מדות קטנות ויש בעמקו באמצע כ"ח אצבעות | |
|
קח חצים שהם י"ד ותכפלם בעצמם ויעלו קצ"ו | |
|
חלק עליהם חצי מאתים מדות שיכיל הכלי שהם ק' ויצא לך חצי יותר מעט ואין לחוש על השאר והוא מה שיחסר בשעור האצבע הראשנה | |
|
ואם יחסר ו' אצבעות תכפלם בעצמם ויהיו ל"ו | |
|
תכפלם על החצי ויעלו לי"ח והם המדות שיכיל שעור הו' אצבעות שיחסר הכלי | |
|
סט) שאלה אם תרצה לעשות כלי שיכיל מדה ידועה לא פחות לא יתר דע תחלה אורך הלוחות שתרצה לעשותו והוצא מהם הנצרך לשייר לעשות מקום לישיבת תחתיות הכלי וקח הנשאר מאורך הלוח ושמרהו וחלק עליהם שעור המדות שרצונך שיכיל הכלי מוכפלים על קמ"ד ומהיוצא קח שרשו והוא השעור שצריך להיות בעומק הכלי ברביעיתו שהוא בין האמצע ובין הראש | |
|
דמיון רצינו לעשות כלי שיכיל מאתים מדות ויש לנו לעשותן מלוחות שיש בארכן נ"ד אצבעות | |
|
חסר מהם ד' למושב [74]תחתית הכלי וישארו נ' | |
|
תכפול מאתים על קמ"ד ויעלו י"ד וח' מאות | |
|
חלקם על נ' שבאורך ויצא לך תקע"ו | |
|
קח גדרם שהוא כ"ד וזה השעור צריך להיות בעומק שבין האמצע ובין הראש שהוא ברביעית אורך הלוח מפני שצריך להיות עומק האמצע גדול מעומק הראש | |
|
או אם תרצה עשה הלוחות כתקנן באופן שלא ישאר לגמר מלא כל הכלי אלא חבורם ותעשה בענין שיהיה רוחב כלם ברביעיתן הגדר מוכפל על ג' ושביעית | |
|
דמיון זה יצא בגדר כ"ד תכפלהו בג' ושביעית ויהיו ע"ה וג' שביעיות תעשה רוחב כל הלוחות ברביעית אורך הלוח שתהיו שוות לע"ה וג' שביעיות הנז' ותעשה כלי כרצונך | |
"If You Give Me" Problems |
||
|
ע) שאלה ד' אנשים אמר הא' לב' אם תתן לי חצי ממונך עם שלי יעלה עשרה | |
|
||
|
הנה תקח המורה על ממון האחרון רצוני הד' כי ידוע הוא כי אחר שנתן רביעית הממון נשארו לו עשרה | |
|
א"כ נאמר עשרה מאיזה מספר הוא ג' רביעיותיו תמצא י"ג ושליש א"כ ממון האחרון היה י"ג ושליש | |
|
ונתן הרובע ונשארו לו י' א"כ אלו הג' ושליש נתן לשלישי כדי שישלים לו מנין עשרה א"כ היה לו ו' וב' שלישיות אחר שנתן שליש ממונו לשני | |
|
ונאמר ו' וב' שלישיות מאיזה מספר הוא ב' שלישיות תמצא י' א"כ לג' היה לו י' | |
|
ונתן מהם ג' ושליש שהם שלישיתם וקבל ג"כ ג' ושליש ויצא שכרו בהפסדו הנה א"כ היה לו עשרה כי מה שחסר זה מלא זה | |
|
וא"כ נשוב לשני וידוע כי ממון שנשאר לו אחר שנתן החצי לחבירו הוא ו' וב' שלישיות בעבור כי יש לו לקבל ג' ושליש ויעלה י' | |
|
א"כ נאמר ו' וב' שלישיות מאיזה מספר הוא חציו נמצא י"ג ושליש א"כ ממונו היה י"ג ושליש | |
|
ונתן מהם מחציתם שהם ו' וב' שלישיות וככה נשאר לו וקבל ג' ושליש וממונו ג"כ עשרה | |
|
א"כ נשוב אל הא' וכבר ידענו כי קבל [75]מחבירו ו' וב' שלישיות א"כ יחסר לו להשלים המנין ג' ושליש | |
|
א"כ ממונו היה ג' ושליש וממון הב' ג' ושליש קודם שיתן מאומה וממון הג' י' קודם שנתן דבר וממון הד' י"ג ורביע | |
|
||
|
ואם אמר הראשון לשני תן לי חצי ממונך ועם שלי ויעלה י' והב' אמר לג' תן לי שליש ממונך עם מה שנשאר לו יעלה י"ב | |
|
||
|
הדרך הוא ממש כנז' לעיל וסבת זה מבוארת | |
|
עא) שאלה הנה ג' אנשים רוצים לקנות קנין בערך ק' מנינים אמ' הא' לב' ולג' אם תתנו לי שליש ממונכם עם כל ממוני יעלה ק' | |
|
||
|
התשובה עשה כך והוא שתקח איזה מספר יהיה לו שליש ורביע וחומש והוא ס' | |
|
אח"כ תאמר ס' מאיזה דבר הוא ב' שלישיות תמצא צ' | |
|
עוד תאמר ס' מאיזה דבר הוא ג' רביעיות תמצא פ' | |
|
עו' תאמר ס' מאיזה מספר ד' חומשים תמצא ע"ה | |
|
אח"כ תחבר אלו הג' מספרים ויעלו רמ"ה | |
|
תחלקם על ב' מצד כי לעולם הם ב' מחוברים ר"ל כי הא' אומ' לב' הנשארים שיתנו לו שליש וכן כלם ויצא לך קכ"ב וחצי | |
|
הוצא מהם צ' כי הוא חלק הראשון נשארו ל"ב וחצי והוא חלק הא' | |
|
עו' הוצא מקכ"ב וחצי פ' ישארו מ"ב וחצי והוא חלק השני | |
|
עוד הוצא מקכ"ב וחצי ע"ה נשארו מ"ז וחצי והוא חלק הג' | |
|
אח"כ קח שליש ממ"ב וחצי לבחון השאלה וממ"ז וחצי ותחברם אל ל"ב וחצי ויעלה ס"ב וחצי | |
| ||
|
עו' קח רביעית מ"ז וחצי ול"ב וחצי ותחברם אל מ"ב וחצי ויהיו ס"ב וחצי | |
| ||
|
אח"כ קח חומש ל"ב וחצי וממ"ב וחצי וחברם אל מ"ז וחצי ויהיו ג"כ ס"ב וחצי | |
| ||
|
הנה א"כ אלו היה ערך הקנין ס"ב וחצי כבר עשינו השאלה כי ממון הא' היה ל"ב וחצי וממון הב' מ"ב וחצי וממון הג' מ"ז וחצי | |
|
||
|
הנה ערך הקנין הוא ק' על כן נעשה הערך כך ונאמר אלו ס"ב וחצי שוים ל"ב וחצי ק' כמה שוים | |
|
יצא לך נ"ב והוא חלק הא' | |
|
עוד תאמר אלו ס"ב וחצי שוים [76]כמה שוים | |
|
ויצא לך ס"ח והוא החלק מהב' | |
|
עו' תאמר אלו ס"ב וחצי שוים מ"א ק' כמה שוים | |
|
ויצא לך ע"ו והוא החלק מהג' וכו' | |
|
ואלו היו ד' אנשים תעשה כנז' אך ראוי לחלק העולה על ג' מצד כי הם קשורים לעולם ביחד כמו שחלקנו אותם שלמעלה על ב' כי הם קשורים ביחד | |
|
והבן זה מאד כדי שלא תטעה בחשבונך וסבת זה מבוארת | |
|
ואתן לך דמיון מד' | |
|
עב) שאלה בכאן ד' אמר א' אני אתן כל ממוני ותנו אתם חצי ממונכם ויהיו ק' | |
|
||
|
הנה יש לך למצא חשבון יכלול חצי ושליש ורביע וחומש ותמצא ס' | |
|
ותאמר ס' מאיזה דבר הוא מחציתו תמצא ק"כ | |
|
עו' תאמ' ס' מאיזה מספר הוא ב' שלישיותיו תמצא צ' | |
|
עוד תאמר ס' מאיזה מספר הוא ג' רביעיותיו תמצא פ' | |
|
ומאיזה דבר ד' חמישיותיו תמצא ע"ה | |
|
אח"כ חברם ויהיו שס"ה | |
|
חלקם על ג' כי לעולם הם דבוקי ביחד בבקשת שליש הממון וחצי ורביעית וחומש יצא לך קכ"א וב' שלישיות והוא ממון ארבעתן | |
|
אח"כ תוציא מקכ"א וב' שלישיות ק"כ נשאר א' וב' שלישיות והוא חלק הא' | |
|
עוד תוציא ממנו צ' ונשארו ל"א וב' שלישיות והוא ממון הב' | |
|
עוד תוציא ממנו פ' וישארו מ"א וב' שלישיות והוא ממון הג' | |
|
עוד תוציא ממנו ע"ה ונשארו ממנו מ"ו וב' שלישיות והוא ממון הד' | |
|
ואמר בעל הא' לג' הנשארים שיתנו לו חצי ממונם ויעלה ק' | |
|
והנה כשתחבר כל ממונם ותחלקהו על ב' לא יצא כי אם ס"א וב' שלישיות | |
|
על כן נאמר אם ס"א וב' שלישיות יתנו לי א' וב' שלישיות מה יתן לך ומה יוסיף לך ק' | |
|
ותעשה כנז' והטעם מבואר ואין צריך לפנים | |
Guessing Problems - Cards |
||
|
עג) שאלה אם תרצה לדעת מרובע משטרות איזה מהם נגע חבירך תשים ה' באורך וה' ברוחב ואמור לה' בני אדם שכל א' יגע א' בשורה א' ר"ל שבשורה שיגע הא' לא יגע הב' | |
|
ותמצא שהראשון שנגע בראשנה היא השטר שלפניך באותה שורה שאמ' לך והשניה ר"ל אותה שנגע השני היא השניה דרך ירידה ואותה שנגע הג' היא הג' דרך ירידה וכן לעולם | |
|
וכן תוכל לעשות מו' או מז' אם תעשה מרובע מו' או מז' | |
|
עד) שאלה אם תרצה לדעת איזה שטר לקח חבירך מצחוק שלם משטרות יש לך לעשות ככה ידוע תדע כי כל הנקדות מצחוק שלם משטרות עולים שי"ב וכל כך שישוה הפרש עשרה ורוכב הסוס י"א והמלך י"ב | |
"If You Give Me" Problems |
||
|
עה) שאלה ג' בני אדם רוצים לקנות ג' סוסים ערך הא' ס' מנינים והב' פ' והג' ק' ואמר הא' לב' תן לי חצי ממונך עם כל ממוני ונקנה סוס הס' | |
|
||
|
התשובה היא ככה | |
|
נניח שלראשון היה לו מ"ח מנינים | |
|
ויחסר עד ס' י"ב מנינים | |
|
א"כ לשני היה לו כ"ד ונתן לו י"ב והם ס' | |
|
ולג' היה לו קס"ח כי שליש ממונו הוא נ"ח ועם כ"ד הם פ' | |
|
אח"כ אמר הג' לא' שיתן לו רביעית ממונו עם תוספת עשרים ויתן לו ל"ב ועם קס"ו ויהיו מאתים | |
|
ואין אנו מבקשים כי אם ק' כדי לקנות הסוס א"כ יותירו מאה ושמרם ותאמר בעד מ"ח נשארו מאה | |
|
אח"כ נעשה ערך ב' ונניח שלראשון היו לו מ' מנינים | |
|
א"כ יצטרך שיהיה לשני מ' | |
|
ג"כ גם יצטרך שיהיה לג' ק"כ | |
|
ועם שואל לראשון רביעית ממונו עם תוספת עשרים שהם ל' ויהיו ק"נ | |
|
אח"כ תאמר בעד מ' נשארו נ' | |
|
אח"כ הוצא נ' מק' נשארו נ' | |
|
אח"כ כפול [78]מ"ח על נ' ויהיו אלפים וד' מאות | |
|
אח"כ כפול ק' על מ' ויהיו ד' אלפים | |
|
הוצא מהם אלפים וד' מאות הנשאר אלף ת"ר | |
|
וחלקם על תוספת ערך האחד על תוספת ערך האחד שהוא נ' ויעלו ל"ב וכן היה לראשון | |
|
עו) שאלה ג' אנשים קונים דבר ערך י"א מנינים וחצי א' שואל לב' הנשארים מחצית ממונם פחות ב' | |
|
||
|
התשובה תמצא מספר יכלול חצי ושליש ורביע והוא י"ב | |
|
וי"ב הוא מחצית כ"ד | |
|
וב' שלישיות י"ח | |
|
וג' רביעיות י"ו | |
|
קח מכ"ד ב' ישארו כ"ב | |
|
קח מי"ח ג' ישארו ט"ו | |
|
קח מי"ו ד' ישארו י"ב | |
|
ותחברם ויעלו מ"ט | |
|
ותחלקם על ב' ויעלו כ"ד וחצי | |
|
הסר מהם כ"ב ישארו ב' וחצי והוא חלק משואל לחבירו מחצית הממון | |
|
גם הסר ט"ו ישארו ט' וחצי והוא חלק משואל שליש ממון חבירו פחות ג' | |
|
קח י"ב מכ"ד ישארו י"ב וחצי והוא חלק משואל רביעית הממון פחות ד' | |
|
והכלל בזה כי אם תוסיף לשואל חצי ממון חביריו ב' יצטרך שתוסיף לשואל השליש ג' ולשואל הרובע ד' | |
|
ואם בעל החצי אמר פחות שנים צריך שבעל השליש יאמר פחות ג' ובעל הרובע יאמר פחות ד' | |
|
ודוק ותשכח | |
|
עז) שאלה ג' אנשים רוצים לקנות קנין כ"ב מנינים וחצי אמר הא' לב' אם תתנו לי חצי ממונכם עם תוספת שנים ועם שלי יהיו כ"ב וחצי | |
|
התשובה בקש מספר יכלול חצי ושליש ורביע והוא י"ב | |
|
ותאמר י"ב מאיזה מספר חציו תמצא כ"ד | |
|
עוד תאמר י"ב מאיזה דבר ב' שלישיות תמצא י"ח | |
|
עוד תאמר י"ב מאיזה דבר ג' רביעיות תמצא י"ו | |
|
אח"כ תוסיף לכל א' מה ששואל מהתוספת ר"ל שתוסיף על כ"ד ב' ויהיו כ"ו | |
|
ועל י"ח ג' ויהיו כ"א | |
|
ועל י"ו ד' ויהיו כ' | |
|
ותחבר הכל ויעלה ס"ז | |
|
ותחלקם על ב' ויצא לך ל"ג וחצי | |
|
תסיר מהם כ"ז וישארו ז' וחצי והוא חלק משואל חצי ממון חביריו עם תוספת ב' | |
|
עוד תסיר מהם כ"א וישארו י"ב וחצי והוא ממון שואל לחביריו שליש [79]ממונם עם תוספת ג' | |
|
עוד תסיר מהם כ' וישארו י"ג וחצי והוא ממון משואל לחביריו רביעית ממונם עם תוספת ד' | |
|
ודע כי אם תוסיף על שואל חצי ממון חביריו ב' יצטרך שתוסיף לשואל שליש ממון חביריו ג' ולשואל רביעית ממון ד' | |
|
ואם תוסיף ד' לשואל חצי הממון תוסיף לשואל שליש ממון ו' ולשואל הרביעית ח' וכן תמיד | |
Geometrical Problems |
||
Triangulation Problem |
||
|
עח) שאלה הנה בכאן חומה אחת גבוהה חמישים אמות וברגל החומה יש גומה רחבה ל' נשאל אם נרצה להוריד חבל אחד מראש החומה עד סוף הגומא הרחוקה מרגל החומה ל' אמות | |
|
התשובה יש לנו לכפול החומה שהוא נ' על עצמם ויהיו אלפים וה' מאות | |
|
אח"כ נכפול רוחב הגומה על עצמם שהם ל' ויהיו ט' מאות | |
|
ונחברם עם אלפים וה' מאות ויהיו ג' אלפים וד' מאות | |
|
וקח שרשם ויהיו נ"ח וכ"ו חלקים מקי"ו והוא אורך החבל | |
Equilateral Triangle |
||
|
עט) שאלה אם משולש כזה אם אורך העמוד הוא ל' כמה אורך כל צלע מהמשולש | |
|
התשובה יש לך לכפול אורך הקו על עצמו שהוא ל' על ל' ויהיו ט' מאות | |
|
וקח שלישיתם שהם ג' מאות ותוסיפם על ט' מאות ויהיו י"ב מאות | |
|
וקח שרשם שהוא ל"ד וע' חלקים מע"ה וזה יהיה אורך כל קו מהמשולש | |
| ||
Triangulation Problem |
||
|
פ) שאלה בכאן שני מגדלים אורך האחד נ' אמות והאחרת ל' אמות ומרחק שבין שניהם עשרים אמות ונרצה לעשות גשר מראש המגדל האחד על האחר כמה יהיה ארכו | |
|
התשובה יש לנו לכפול המרחק שבין שני המגדלים שהוא כ' על עצמם ויעלו ד' מאות | |
|
אח"כ ראוי לכפול ד' מאות על ב' ויהיו ח' מאות כ אמות | |
|
ונקח שרשם ויהיו כ"ח שלמים וי"ו חלקים מנ"ו וכן יצטרך שיהיה אורך הגשר | |
|
ודוק ותשכח | |
Find the Perimeter - Tower |
||
|
פא) שאלה בכאן מגדל מרובע כזה שכל הקפו ר"ל עביו נ' [80]אמות מבחוץ והעובי מהקיר מכל ד' זויותיו ב' אמות ורביע נרצה כמה הקף המגדל | |
|
התשובה הנה יש לך לכפול ד' מצד כי הם ד' קירות על ב' ורביע ויעלו ט' | |
|
וכפול אותם על ב' ויהיו י"ח | |
|
ותחסרם מנ' וישארו ל"ב וכן יהיה הקף המגדל מבפנים | |
Find the Side - Square |
||
|
פב) שאלה הנה בכאן מרובע כזה שהקו שהוא מבפנים ארכה עשרה אמות ר"ל הקו ההולך באלכסון כמה אורך כל קו וקו מהמרובע | |
|
התשובה יש לך לכפול עשרה על עצמם ויהיו מאה | |
|
וחלקם על ב' ויצאו חמישים | |
|
וקח שרשם והוא ז' וחלק מי"ד והוא יהיה אורך כל קו וקו מהמרובע | |
Find the Diagonal - Square |
||
|
פג) שאלה אם תרצה לדעת ממרובע שכל ד' קוים ארכם עשרה נרצה לדעת כמה אורך הקו ההולכת באלכסון | |
|
יש לכפול עשרה על עצמם ויהיו מאה | |
|
וכפול אותם על ב' ויהיו ב' מאות | |
|
וקח שרשם ויהיו י"ד וד' חלקים מכ"ח וזה יהיה אורך האלכסון | |
Triangulation Problem - Broken Tree |
||
|
פד) שאלה הנה בכאן אילן גבוה עשרים אמות וברגל האילן יש נהר רחבו עשרה אמות ונשבר האילן ונגע הראש בסוף רוחב הנהר ר"ל רחוק מרגל האילן עשרה אמות נשאל באיזה מקום נשבר האילן | |
|
התשובה הנה יש לך לכפול אורך האילן על עצמם ר"ל כ' על כ' ויהיו ד' מאות | |
|
אח"כ כפול רוחב הנהר על עצמם ר"ל עשרה על עשרה ויהיו ק' | |
|
תוציאם מד' מאות וישארו ג' מאות | |
|
ותחלקם על ב' ויהיו ק"נ | |
|
אח"כ תחלק ק"נ על כ' ויהיו ז' וחצי והוא הקיים מהאילן והנשבר י"ב וחצי | |
Find the Perimeter - Quadrangular |
||
|
פה) שאלה הנה בכאן מרובע ונרצה לעשות משולש בתוכו שכל א' מג' קוים ארכה עשרים כמה יקיף כל המרובע | |
|
וזה הוא צורתו | |
|
קח חצי אורך המשולש שהוא עשרה וכפול אותם על עשרים ויהיו ב' מאות וככה יקיף כל המרובע | |
Find the Height - Equilateral Triangle |
||
|
פו) שאלה הנה בכאן משולש כל א' מהג' קוים [81]ארכה ל"ה כמה אורך הקו הנמשכת כזה | |
|
הנה יש לך לכפול אורך כל קו על עצמם שהם ל"ה ויעלו אלף ורכ"ה | |
|
ותחלק העולה על ד' ויצא לך ג' מאות ורביע | |
|
ותחסר זה מכל הסך ר"ל מאלף ורכ"ה וישאר עדין ט' מאות וח' וג' רביעיות | |
|
וקח שרשם שהוא ל' שלמים וי"ח חלקים מס' וחלק מי"ו וככה יהיה אורך הקו הנמשכת | |
| ||
Transformation Problem - Square to Circle |
||
|
פז) שאלה אם תרצה לעשות ממרובע א' עגול א' כזה | |
|
הנה יש לך לדעת אורך מקוי אחד המרובע ותכפול העולה על ג' ושביעית אחד וכן יהיה הקף כל העגול | |
Find the Side Problem - Right-Angled Triangle |
||
|
פח)[82] שאלה הנה בכאן שני קוים מחוברים אורך הא' ל' ואורך הב' מ' אם נרצה לעשות מאלו הב' קוים משולש כמה אורך הקו הג' | |
|
הנה יש לך לכפול כל קו על עצמו ר"ל ל' על ל' ויהיו ט' מאות | |
|
גם כפול מ' על מ' ויהיו אלף וו' מאות | |
|
ותחבר אלף וו' מאות עם ט' מאות ויעלו אלפים וה' מאות | |
|
וקח שרשם שהוא נ' וזה יהיה אורך הקו הג' כדי להשלים המשולש וזאת היא צורתו | |
Encounter Problem - Two Men |
||
|
פט)[83] שאלה אדם נוסע מנפולי ללכת עד רומא בה' ימים ובאותו יום ובאותה שעה נוסע איש אחר מרומא ללכת בנאפולי בז' ימים נרצה לדעת בכמה ימים יפגשו זה את זה | |
|
יש לך לחבר מהלך האחד עם האחר ויהיו י"ב | |
|
אח"כ כפול ה' על ז' ויהיו ל"ה | |
|
ותחלקם על י"ב ויעלה ב' שלמים וי"א חלקים מי"ב | |
Gaging Problem - Barrel |
||
|
צ)[84] שאלה חבית א' מעשרים קרשים מכילה עשרים מדות מים אם נחסר ב' קרשים כמה יכיל | |
|
תכפול כ' על עצמם ויהיו ד' מאות | |
|
אח"כ כפול הקרשים ר"ל י"ח על י"ח ויהיו ג' מאות וכ"ד | |
|
תכפול ג' מאות וכ"ד על כ' ויעלה ו' אלפים וד' מאות ופ' | |
|
ותחלקם על ד' מאות ויצא לך י"ו ופ' חלקים מד' מאות וכך יכיל החבית מי"ח קרשים | |
Joint Purchase Problem |
||
Found Purse Problem - Three Men |
||
|
צא) שאלה ג' אנשים מצאו כיס אחד עם סך דינרין אמר הראשון נגד הב' אם תתנו לי הכיס יהיה לי דינרין כל כך כמו שיש בין | |
|
||
|
התשובה תבקש מספר יהיה לו חצי ושליש והוא י"ב | |
|
ותקח בעד הראשון ו' שהוא חצי י"ב ובעד השני ח' שהוא ב' שלישיות י"ב ובעד השלישי ט' שהוא ג' רביעיות י"ב | |
|
ותחברם ויהיו כ"ג | |
|
ותחסר מהם י"ב ישארו י"א והוא סך דינרי הכיס | |
| ||
|
ולדעת כמה דינרין היה לראשון כפול ב' פעמים ו' ויהיו י"ב | |
|
תוציא מהם י"א וישאר א' וכן היה לו | |
|
ולדעת מה שיש לשני כפול ח' על ב' ויהיו י"ו | |
|
תחסר מהם י"א ונשארו ה' והוא מה שיש לשני | |
|
ולדעת מה שיש לג' כפול ט' על ב' ויהיו י"ח | |
|
תוציא מהם י"א וישארו ז' והוא המבוקש | |
"If You Give Me" Problem - Two Men, Horse |
||
|
צב) שאלה ב' בני אדם רוצים לקנות סוס אחד ערכו נעלם אמר הא' לב' אם תתן לי שליש ממונך ורביעיתו עם כל ממוני אקנה הסוס | |
|
התשובה תמצא מספר יהיה לו שלישית ורביעית בעד הראשון ותמצא י"ב | |
|
תחסר מהם השליש והרביעית וישארו ה' ושלישיתו ורביעיתו הוא ז' | |
|
אח"כ תבקש מספר יהיה לו רביעית וחומש בעד השני ותמצא כ' | |
|
תחסר הרביעית והחומש וישארו י"א והרביעית והחומש הם ט' | |
|
אח"כ כפול הה' שנשארו מי"ב על הכ' ויהיו מאה והוא סך הממון מהראשון ר"ל ממבקש השליש והרביעית | |
|
אח"כ תכפול הי"א שנשארו מהכ' על י"ב ויהיו קל"ב והוא חלק מהשואל הרביעית והחומש | |
|
ואם תרצה לדעת ערך הסוס הוצא הרביעית והחומש ממאה שהם מ"ה ותוסיפם על קל"ב ויעלו קע"ז | |
|
או תקח הרביעית והשלישית מקל"ב שהם ע"ז ותוסיפם על ק' ויהיו קע"ז | |
| ||
Geometrical Problems |
||
Find the Area Problem - City |
||
|
צג) שאלה הנה בכאן עיר שהחומות הסובבות כל העיר ג' מילין נרצה לדעת עיר שחומותיה עשרה כמה היא יותר גדולה מהאחרת | |
|
ראוי לכפול ג' על עצמם ויהיו ט' | |
|
אח"כ כפול עשרה על עצמם ויהיו מאה | |
|
תחלק מאה על ט' ויצא לך י"א [86]ותשיעית והוא סך הפעמים שהיא יותר גדולה אותה של עשרה מאותה של ג' | |
Find the Perimeter - Circle |
||
|
צד) שאלה הנה בכאן עגול אחד כזה שהבריח האלכסונית הוא ז' נרצה לדעת כמה [הקף העגול | |
|
כפולם על ג' ושביעית ויצא לך כ"ב וכך הוא סבוב העגול | |
Find the Side - Cyclic Square |
||
|
שאלה בכאן מרובע ועגול חוצה לו שאלכסון העגול הוא ז' כמה][87] אורך כל קו וקו מהמרובע | |
|
יש לך לכפול ז'[88] על עצמם והם מ"ט[89] | |
|
חלקם על ב' והם כ"ד וחצי[90] | |
|
וקח שרשם שהוא ה' [בקרוב][91] וכן יהיה אורך כל קו מהמרובע | |
Find the Side - Inscribed Triangle |
||
|
צה)[92] שאלה בכאן עגול שהבריח האלכסונית י"ו אם תרצה לעשות משולש בתוכו כמה יהיה הקפו וכמה יהיה אורך כל קו וקו מהמשולש | |
|
תעשה ככה תעשה תסיר רביעית י"ו שהוא ד' וישארו י"ב | |
|
כפול י"ב על עצמם שהם קמ"ד | |
|
אח"כ תוסיף בו שליש קמ"ד ויהיו קצ"ב | |
|
וקח שרשם שהם י"ג וכ"ג חלקים מכ"ו | |
| ||
Find the Diagonal - Diameter of a Circle |
||
|
צו) שאלה אם תרצה לדעת מעגול שמקיפו ל' כמה אורך הבריח המחלקת | |
|
קח שליש ל' שהם עשרה וכן יהיה אורך הבריח | |
|
ובכל דבר עגול תוכל לדעת בזה האופן | |
Find the Diagonal - Rectangle |
||
|
צז) שאלה בכאן מרובע אורך השני קוים הארוכים מ' ורוחב השני קוים הקצרים ל' נרצה לדעת כמה אורך הבריח האלכסונית וריקות כל המרובע | |
|
תכפול הבריח הרחבה שהוא ל' על הבריח הארוכה שהוא מ' ויעלה אלף וב' מאות וכן הוא שעור הריקות | |
|
ואם תרצה לדעת אורך הבריח האלכסונית כפול ל' על ל' שהם ט' מאות וכפול מ' על מ' שהם אלף וו' מאות ותחברם ויהיו אלפים וה' מאות | |
|
וקח שרשם שהם נ' וכן אורך הקו | |
Find the Height - Wall |
||
|
צח) שאלה הנה בכאן עיר שחומותיה גובה נעלם אם תרצה לדעת גבהם | |
|
קח מקל וזקוף אותו ר"ל שיהיה ארכו מהארץ ר"ל מרגליך עד שיגיע ראשו בין עיניך | |
|
ותשכב על פניך למעלה ר"ל פשוט ידים ורגלים ותאמר לחבירך שישים המקל זקוף בין כפות רגליך | |
|
וראה אם לפי ראות עיניך ראש המקל הוא כל כך גבוה כמו החומה שוה בשוה | |
|
ואם [93]אינו שוה התרחק או התקרב בעודך שוכב בארץ עד שיהיה נראה לך שהוא שוה | |
|
ואח"כ תמדוד ממקום המקום עד רגל החומה (עד רגל החומה) כמה הוא וכן יהיה גובה החומה | |
Find the Price - Barrel |
||
|
צט) שאלה יש בכאן חבית מלאה שמן שהיא רחבה מהרגל שלמטה ז' אמות והולכת ומקצרת עד שהראש העליון עומד על אמה ושוה ח' מנינים כמה ישוה חבית שרחבה למטה ז' אמות גם הראש העליון רחבו ז' אמות | |
|
הנה יש לך לחבר כל המספרים שהם מא' עד ז' מצד כי הולכת ומקצרת ויעלו כ"ח | |
|
אח"כ כפול ז' על ז' מצד כי כל שני ראשיה הם ז' ויהיו מ"ט | |
|
ותאמר אם כ"ח שוים ח' מנינים כמה ישוו מ"ט וכו' | |
Find the Side - Rectangle Formed by Walls |
||
|
ק) שאלה יש לנו שני כותלים שווים רחוקים זה מזה מספר נעלם וידענו הכאת הא' בגילו ר"ל הכאת הכותל במרחק שבין הכותלים והוא מ"ח והנה המרחק עם גובה א' הכותלים הוא י"א כמה הוא גובה הכותל וכמה מרחק זה מזה | |
|
קח חציו והוא ז' ומרובעו מ"ט | |
|
תחסר מ"ח ישאר א' ושרשו א' | |
|
נוסיפהו על ז' שהוא חצי י"ד והוא גובה המגדל | |
| ||
|
נחסרנו ממנו וישאר המרחק שביניהם | |
|
וכן כל כיוצא בזה | |
|
קא) שאלה יש לנו שני כותלים שוים שהאחד הוא עד"מ קו א"ב והשני הוא קו ג"ד וגבהם אחד וידענו שהאלכסון הוא א"ד י' אמות וידענו שגובה הכותל הוא מוסיף על המרחק שיש בין שני הכותלים ב' אמות ונרצה לדעת כמה הוא גובה כל א' מהכותלים וכמה מרחקם | |
|
דרך זה הוא כך | |
|
נרבע האלכסון שהוא י' והנה הוא ק' | |
|
נחסר ממנו מרובע ב' שהוא ד' שבו יעדיף הגובה על המרחק וישאר צ"ו | |
|
וקח חציו והוא מ"ח | |
|
נוסיף עליו מרובע חצי העודף שהוא א' ויהיו מ"ט | |
|
וקח גדרו והוא ז' וככה הוא הגובה ר"ל גובה כל א' מהכותלים | |
| ||
|
נחסר ממנו ב' והנשאר ה' והוא המרחק שביניהם מכותל לכותל | |
Triangulation Problem - Broken Tree |
||
102) Question: we have a tree fifty cubits tall.
|
קב) שאלה יש לנו אילן גבוה חמישים אמה ונשבר ונגע הראש בקרקע וידענו שמרחק שבין שני קצותיו [94]שהם על דרך משל כ"ה נשאלה בכמה נשבר | |
|
דרך זה נקח רביעית כ"ה ונחסרנו ממנו ונשאר י"ח וג' רביעיות ובזה המספר נשבר האילן | |
|
נוסיף עליו רביעו ויצא ל"א ורביע והוא החלק הנופל בארץ | |
Multiple Quantities - Selling Apples |
||
103) Question: a man gives his three sons apples.
|
קג) שאלה אדם נתן תפוחים לג' בניו לא' נתן י' ולאחר נתן ל' ולאחר נתן נ' | |
|
ראוי לך לדעת כי בעל הי' מכר ז' לפשוט | |
|
ונשארו עד ג' ומכר כל א' מהם ג' דינרין | |
|
נמצא ששוים ט' ועם א' הם י' | |
|
ובעל הל' מכר ג"כ ככה כי הכ"ח מכר ד' פשוטים | |
|
והב' הנשארים מכר ו' | |
|
ויהיו י' | |
|
ובעל הנ' מכר מ"ט ז' | |
|
וא' מכר ג' | |
|
והם י' ג"כ | |
Gaging Problem - Wine and Water |
||
|
קד) שאלה הנה בכאן חבית מכילה ק' קבין חציה מים וחציה יין ונוציא קב אחד ואח"כ נשים בו קב מים | |
|
הדרך הוא כך | |
|
ידוע הוא כי ה' קבין יין וה' של מים הם בחבית | |
|
ונוציא קב וישארו ד' וחצי מים וד' וחצי יין | |
|
ונשים קב של מים בחבית ויהיו ה' וחצי מים וד' וחצי יין | |
|
ומאלו הד' וחצי נקח ט' עשיריות וישארו ד' וא' חלק מעשרים והוא היין שנשאר בחבית בפעם הב' | |
|
עוד נקח מזה ט' עשיריות וישארו ג' וקכ"ט חלקים ממאתים והוא מה שנשאר בפעם הג' | |
|
עו' נקח מזה ט' עשיריות וישארו ג' ותקס"א חלקים מב' אלפים והוא מה שנשאר בפעם הד' | |
|
ואם תקח מג' ותקס"א חלקים מב' אלפים ט' עשיריות מה שישאר הוא הפעם הה' | |
|
וכן תמיד | |
Find the Height - Tower |
||
|
קה) שאלה בכאן מגדל גדול גבוה ולא ידענו כמה וצלו ק' אמות וצלו מגיע אצל מגדל אחר קטן גבהו עשרה אמות וגבהו כ"ה נרצה לדעת כמה גובה המגדל הנעלם | |
|
תאמר אם כ"ה נתנו לי עשרה ק' כמה יתנו | |
|
כפול עשרה על ק' ויעלו אלף | |
|
וחלקם על כ"ה ויצאו מ' והוא גובה המגדל הגדול כמו זאת הצורה | |
Find the Height - Wall |
||
|
קו) [95]שאלה הנה בכאן חומה גבוהה והגובה נעלם והורדנו חבל חבל מראש החומה עד הארץ וראש החבל רחוק מרגל החומה ב' אמות ואורך החבל הוא ק"כ אמות נרצה לדעת כמה גובה החומה | |
|
הנה נמדוד עשרה אמות מראש החבל התחתון ונבריח מ' בריח כנגדו יגיע אל החומה | |
|
ונמדוד כמה אמות נבלעו מהחומה באותם הי' אמות של חבל | |
|
ונניח כי באותם הי' מדות מהחבל נכנסו ח' מהחומה | |
|
ונחלק אורך החבל שהוא ק"כ על י' ויצאו י"ב | |
|
ונכפול י"ב על ח' ויהיו צ"ו והוא גובה החומה כמו זאת הצורה | |
Find a Number Problems |
||
|
קז) שאלה אם תרצה להוציא שרש מעוקב עשרה | |
|
תוציא תחלה המעוקב שעבר שהוא ח' כי ב' פעמי' ב' הם ד' וב' פעמים ד' הם ח' | |
|
גם נקח המעוקב הבא שהוא כ"ז כי ג' פעמים ג' הם ט' וג' פעמים ט' הם כ"ז | |
|
וראה ההפרש שיש בין המוקדם והבא ר"ל בין ח' וכ"ז והוא י"ט | |
|
ותחלק הב' המיותרים אשר הם מח' עד י' ויהיו ב' וב' חלקים מי"ט וזהו על ידי קרוב | |
| ||
|
קח) שאלה אם תרצה למצא מספר שלם נקרא בלשונם נומירו פירפיטו | |
|
דע כי מספר שלם נקרא כי כשתקבץ כל החלקים ויהיו שוים אל המספר המונח | |
|
תעשה ככה תקח בעד המספר השלם הראשון ב' ותכפלם על ב' ויהיו ד' | |
|
תחסר מהם א' נשאר ג' | |
|
כפלם על ב' ויהיו ו' והוא המספר השלם | |
|
ותבחון אותו תקח כל החלקים אשר בו שהוא חצי ושליש ושישית ויהיו ו' והוא המספר המונח | |
|
קט)[96] ואם תרצה למצא השני | |
|
תקח ד' וכפול אותו על ב' ויהיו ח' | |
|
תסיר ממנו א ויהיו ז' | |
|
וכפול אותם על ד' ויהיו כ"ח והוא ג"כ מספר שלם | |
|
ותוכל לבחון אותו | |
|
קי)[97] ואם ואם תרצה למצא השלישי | |
|
תקח ח' וכפול אותו על ב' ויהיו י"ו | |
|
תסיר א' ויהיו ט"ו | |
|
כפול ח' על ט"ו ויהיו ק"כ ואיננו מספר שלם | |
|
לכן נקח מספר י"ו תחת ח' ונכפלם ויהיו ל"ב | |
|
תסיר א' ויהיו ל"א | |
|
ותכפלם על י"ו ויהיו ד' מאות וצ"ו והוא מספר שלם | |
|
ועל הדרך הזה תעשה | |
|
ולמצא הד' תכפול י"ו ויהיו ל"ב | |
|
[98]ולמצא הה' תקח ס"ד ויעשה כנז' | |
|
ואם אינו שלם תעשה כנז' במספר השלישי | |
|
קיא)[99] שאלה אם תרצה למצא מספר יחסיי הנקרא בלשונם נומירו פרופורציאונלי דמיון זה יש לנו ו' מספרים יחסיים ר"ל שיחס הו' אל הה' כיחס הה' אל הד' וכיחס הד' אל הג' וכיחס הג' אל הב' וכיחס הב' אל הא' | |
|
||
|
כפול הראשון שהוא ב' על האחרון שהוא ו' ויעלו ד' אלפים וצ"ו | |
|
וקח שרשם המרובע בלשונם ראדיצי קואדרא ויהיו ס"ד | |
|
עוד קח שרש ס"ד שהוא ח' והוא השני | |
| ||
|
ותבחון אותו כי הראשון ב' והב' ח' והג' ל"ב והד' קכ"ח והה' תקי"ב והו' ב' אלפים ומ"ח | |
|
והנה כלם מתיחסים | |
|
ואחר שכפלת הראשון על הו' אין לסך העולה שרש או אם יש לו שרש ואין לשרשו שרש תשוב לכפול פעם ב' האחרון על הראשון ותבקש אם יש לו שרש ולשרשו שרש ושרש השרש הוא השני | |
|
ואם אחר שכפלת אותו פעם שניה אין לו שרש תעשה בהפך תחלק האחרון על הראשון וקח שרשו ושרש שרשו והוא השני | |
|
דמיון זה יש לנו ו' מספרים מתיחסים הראשון ב' והו' ס"ד נרצה לדעת מהו השני | |
|
כפול הראשון על האחרון ויהיו קכ"ח ואין לו שרש | |
|
לכן נכפול אותו פעם ב' ויהיו רנ"ו ושרשם י"ו ושרש י"ו ד' והוא השני והג' ח' והד' י"ו והה' ל"ב והו' ס"ד | |
| ||
|
קיב)[100] שאלה תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על עצמו יעלו מ' ומ"א חלקים מאיזה שבר שיזדמן | |
|
תקח המספרים המרובעים ר"ל אותם שיש להם שרש שהם ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א ק' | |
|
ותתחיל מד' וכפול אותו על מ' ותוסיף בהם מ"א ויעלו קי"א ואין לו שרש | |
|
לכן תקח ט' ותכפלם על מ' ותוסיף בם מ"א גם אין לו שרש | |
|
לכן קח י"ו וכפלם על מ' ותוסיף מ"א ואין להם שרש | |
|
לכן קח כ"ה ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א ואין לו שרש | |
|
לכן קח ל"ו וכפול אותו על מ' ותוסיף מ"א גם אין לו שרש | |
|
לכן תקח מ"ט ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א גם אין לו שרש | |
|
לכן תקח ס"ד ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א ויעלו ב' אלפים וו' מאות וא' ושרשם נ"א | |
|
וחלקם על שרש ס"ד שהוא ח' ויצא לך ו' וג' שמיניות והוא המבוקש | |
|
כי אם תכפול ו' וג' שמיניות [101]על ו' וג' שמיניות ויהיו מ' שלמים ומ"א חלקים מס"ד | |
Find the Diagonal - Rectangle |
||
|
קיג) שאלה אם תרצה לדעת ממרובע אשר אורך השני קוים ההולכים באורך ח' ואורך הב' קוים ההולכים ברוחב ו' נרצה לדעת כמה אורך כל קו וקו מהמרובע המבריחות מן הקצה אל הקצה ר"ל ההולכות באלכסון | |
|
כפול הב' ההולכות ברוחב זו על זו ויהיו ל"ו | |
|
עוד כפול הב' ההולכות באורך זו על זו ויהיו ס"ד | |
|
ותחברם ויהיו ק' | |
|
וקח שרשם ויהיו עשרה והוא הבריח האלכסונית | |
|
ואם תרצה לדעת כמה שטח כל אחד מהד' מרובעים | |
|
קח חצי האורך שהוא ד' וחצי שהוא ג' וכפול זה על זה ויהיו י"ב והוא שטח כל מרובע מד' מרובעים וזאת היא צורתו | |
Find the Height - Well |
||
|
קיד) שאלה אדם רוצה לדעת עומק בור אחד אשר יש בו י"ב מדות מים ובכל א' מד' זויות הבור ארכם ה' אמות ואם השליך בתוך הבור אבן כל א' מד' זויותיה ד' אמות וארכה עשרים ואז הגיעו המים על פי הבאר נרצה לדעת כמה עמקו של בור | |
|
כך תעשה תקח מרובע האבן ר"ל שתכפול ד' על ד' והעולה שהוא י"ו כפול על האורך ויהיו ש"כ | |
|
ותחלקם על מרובעי הבור שהוא כ"ה ויצאו לך י"ב שלמים וד' חמישיות | |
|
ותוסיפם על י"ב מדות שהיו בבור ויהיו כ"ד וד' חמישיות והוא עומק כל הבור | |
|
ותקיש על זה | |
Transformation of Figures |
||
|
קטו) שאלה מה מרובע יוכל להעשות מעגול שאלכסונו ז' | |
|
נקח מרובע ז' והוא מ"ט | |
|
קח חציים והוא כ"ד וחצי | |
|
קח שרשם והוא בקרוב ד' שלמים וי"ו חלקים מי"ז וכן יהיה המרובע הנעשה מזה העגול | |
|
קיז) שאלה כמה מרובעים ממאה כל אחד יעשה עגול שמקיפו כ"ב | |
|
קח חצי זה המקיף והוא י"א | |
|
והוא מבואר שחצי אלכסון זה העגול הוא ג' וחצי | |
|
וכפול אותם בי"א ועלה ל"ח וחצי וככה מרובעים יהיו ממנו | |
|
קיח) שאלה עץ שהוא ארכו י' והקפו ששה ונרצה לעשות ארכו י"ב כמה יהיה הקפו | |
|
נקח מרובע ההקף והוא ל"ו | |
|
ואמור אם י"ב כמה יהיו ל"ו | |
|
וכפול י' בל"ו ונחלק העולה על י"ב ויעלה ל' | |
|
וקח שרשו והוא ה וחצי וככה יהיה הקפו | |
Joint Purchase Problems – If You Give Me |
||
|
קיט)[102] [103]שאלה ג' אנשים אמר הא' אם היה לי א' היה לי כמו שניכם | |
|
||
|
התשובה בקש המורה והוא ו' | |
|
חסר א' ויהיו ה' | |
|
הוסף על ו' א' ויהיו ז' | |
|
וכפול ב' בה' ויהיו י' | |
|
תוסיף א' ויהיו י"א | |
|
א"כ לראשון היה לו ה' ולשני ז' ולג' י"א | |
|
קכ)[104] שאלה ג' בני אדם רוצים לקנות דג אחד אמר הראשון אני אתן החצי ממה שיש לי ממעות ואתם תתנו כל מה שיש לכם | |
|
||
|
התשובה תבקש מספר יהיה לו חצי ושליש ורובע ותמצא י"ב | |
|
ותאמר י"ב מאיזה דבר הוא חצי תמצא כ"ד וזה היה סך הממון מבעל החצי | |
|
אח"כ תאמר י"ב מאיזה דבר הוא ב' שלישיות וזה בעבור שעכב לעצמו ב' שלישיות תמצא י"ח הנותן שליש ממונו היה י"ח | |
|
אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ג' רביעיות בעבור שעכב לעצמו ג' רביעיות תמצא י"ו הנה הנותן הרביעית היה י"ו | |
|
ותוכל לבחון כי בעל כ"ד נתן י"ב שהוא חצי הממון נחבר אותו אל י"ו וי"ח יהיו מ"ו | |
| ||
|
אח"כ תאמ' בעל י"ח נותן ו' שהוא השליש וחבר אותם אל כ"ד וי"ו ויהיו מ"ו ג"כ | |
| ||
|
עוד תאמר כי בעל י"ו נותן ד' שהוא הרביעית וחבר אותם אל י"ח ואל כ"ד ויהיו מ"ו ג"כ | |
| ||
|
וערך הדג מ"ו דינרין | |
|
קכא)[105] שאלה יש כאן ג' בני אדם רוצים לקנות תרנגול י"א דינרין אמר הא' אני אתן חצי ממוני ותנו אתם כל אשר לכם | |
|
||
|
התשובה הנה ראוי לבקש מספר שיהיה לו חצי ושליש ורביעית ותמצא כ"ד | |
|
אח"כ תאמר י"ב מאיזה דבר הוא חצי ותמצא כ"ד | |
|
אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ב' שלישיות תמצא י"ח | |
|
אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ג' רביעיות תמצא י"ו | |
|
וכבר ידעת כי אלו היה סך הדג נעלם [כבר מצאנו מענה לשאלה כי היה ערך התרנגול][106] מ"ו כנז' לעיל | |
|
ועתה שהוא נודע נאמ' [107]אם מ"ו שוים כ"ד וזה בעבור אותו שנותן חצי ממונו שהוא סך הדג כמה שוים | |
|
ויצא לך ה' שלמים וה' חלקים מכ"ד והנה הנותן חצי ממונו כל ממונו ה' שלמים וה' חלקי' מכ"ג | |
|
אח"כ תאמר אם מ"ו שוים י"ח י"א כמה שוים | |
|
יצא לך ג' שלמים וכ"א חלקים מכ"ג וכך היה סך ממונו מבעל השליש | |
|
אח"כ תאמר אם מ"ו שוים י"ו י"א כמה שוים | |
|
ויצא לך ג' שלמים וי"א חלקים מכ"ג וזה סך כל ממון בעל הרביעית | |
Partnership Problem – Three Partners |
||
|
קכב)[108] שאלה יש כאן ג' בני אדם עושים שותפות הא' שם י"ו מנינים וראוי לו לקחת מהריוח כ"ה דינרין | |
|
תשובה כבר ידעת כי אותו ששם י"ו דינרין ראוי לקחת כ"ה | |
|
לכן תאמר אם כ"ה שוים י"ו י"ז כמה שוים | |
|
יצא לך עשרה שלמים וכ"ב חלקים מכ"ה הנה בעל הי"ז שם עשרה דינרין גם כ"ב חלקים מכ"ה | |
|
עוד תאמר אם כ"ה שוים י"ו ל"ב כמה שוים | |
|
יצא לך עשרים וי"ב חלקים מכ"ה וזה הוא שווי הקנים | |
|
אח"כ תחלק זה המספר על י' ויצא לך ב' שלמים וי"ב חלקים מכ"ה וזה יהיה שווי הקנה בלי תוספת ומגרעת | |
Guess Problems |
||
|
קכג) שאלה אם תרצה לדעת לאיזה אדם נתן חבירך הטבעת ובאיזה אצבע ובאיזה פרק | |
|
תחלה תאמר לו שיכפול אותו ואחר שישים עליו ו' | |
|
ואחר שיכפול כל זה ה' פעמים ואחר שיוסיף על זה המספר האצבעות | |
|
ואח"כ שיכפול כל זה ה' פעמים ואחר שיסיר מזה ק"נ | |
|
ואח"כ יכפול על שנים מה שנשאר ואחר זה יוסיף על זה מספר הפרקים | |
|
והנה המאיות הם האנשים | |
|
והעשרות האצבעות | |
|
והאחדים הפרקים | |
|
דמיון נתתי הטבעת לאיש רביעי באצבע הג' ובפרק ב' | |
|
תאמר לו שיכפול ד' ויהיו ח' | |
|
ואמור שיוסיף על זה ו' ויהיו י"ד | |
|
וכפול אותו על ה' ויהיו ע' | |
|
תוסיף על זה ג' שהוא מספר האצבעות ויהיו ע"ג | |
|
כפול אותם על ה' ויהיו שס"ה | |
|
תסיר מהם ק"נ הנשאר רט"ו | |
|
כפול אותם על ב' ויהיו ד' מאות ול' | |
|
תוסיף על זה ב' שהם הפרקים ויהיו תל"ב | |
| ||
|
הנה הד' מאות יהיו ד' אנשים | |
|
והג' עשרות יהיו ג' אצבעות | |
|
והב' יהיו ב' [109]פרקים | |
Guessing a chosen number | ||
---|---|---|
|
קכד) שאלה אם תרצה לדעת מה שחשב אדם בלבו תאמר לו אם הולך ג"ג ואם הולך לא תקח כלום ואם אינו הולך קח בעד כל א' שישאר ע' | |
| ||
|
דמיון הנה לקחתי מספר ד' | |
|
הנה ישאר על השלישיות א' וקח ע' | |
|
ועל ה' ישאר ד' וקח ד' פעמים כ"א ויהיו פ"ד | |
|
וקח בעד השביעיות ס' כי ישאר ד' וד' פעמים ט"ו הם ס' | |
|
אח"כ חבר הכל ויהיו רי"ד | |
|
תסיר מזה המאות וישאר י"ד | |
|
ותסיר בעד הב' מאות עשרה וישאר ד' והוא המבוקש | |
| ||
|
קכה) שאלה ואם תרצה לדעת באופן אחר מה שחשב אדם בלבו תאמר לו שיכפלהו | |
|
קכו) שאלה אם תרצה לדעתו באופן אחר תאמר לו שיכפלהו ואח"כ יוסיף עליו ה' | |
Ordering Problem - People on a Ship |
||
|
קכז) שאלה ואם תרצה לדעת המספר והוא כי פעם א' היו הולכים בספינה יהודים וישמעאלים ובא סער בספינה אמר יהודי אחד בואו כלכם בכאן והושיבם היהודים וההגרים באופן כי כשהיה מונה אותם לעולם היה כלה כל התשיעיות אל ההגרים והוכיח כי בעבורם בא הצער בים | |
Guess - Stone |
||
|
קכח) שאלה אם תרצה לדעת איזה אבן נגע חבירך קח י"ו אבנים ועשה ב' שורות מח' אבנים ותאמר לאיש שיגע אבן אחת מאלו השורות | |
|
קכט) שאלה איש מוכר קופה של ביצות וכאשר מכר אותם הביט בידו ואמר לא עשיתי בטוב כי אלו הייתי נותן א' פחות בדינר היה לי ד' פעמים יותר ממעות תאמ' לו כמה היו הביצות הנמכרות וכמה הוא הממון שיצאו מהביצות | |
|
תשובה תעשה ככה לפי שאמר שהיו לו ד' פעמים ממעות יותר לכן תכפול ד' לעצמו ויעלו י"ו | |
|
תחסר ממנו א' וישארו ט"ו | |
|
ואח"כ תחסר מהד' א' וישארו ג' | |
|
ותכפול אותם על ט"ו הנזכרים ויעלו מ"ה וככה דינרין יצאו מן הביצות | |
|
ולדעת כמה היו הביצות כפול ט"ו על ד' ויעלו ס' וס' ביצות היו הביצות הנמכרות | |
Too Much and Too Little Problem - Money |
||
|
קל) שאלה אחד היו לו מעות ואינו יודע כמה הם ונתן אותם לאנשים רבים ואינו יודע כמה אבל ידע שאם נתן י"ב לכל איש יהיו יותר מה'ב' ואם יתן י"ו לאיש יחסר מס' | |
|
התשובה ראוי לחבר המעות שהיו חסרים עם המעות שהיו יתרים ר"ל נ"ב עם ס' ויעלו קי"ב | |
|
וראוי לחלק אותם עם ההפרש מהמעות החסרים עם היתרים ר"ל עם ההפרש שיש מנ"ב לס' שהוא ח' אשר אם תעשהו יצא כ"ח והאנשים היו כ"ח | |
|
ואחר זה כדי שתדע כמה היו המעות | |
|
ואחר שתחזיק כמה שתרצה אם אל י"ב ואם אל י"ו | |
|
אם אל י"ב ראוי שתכפול י"ב פעמים כ"ח ויעלו של"ו | |
|
ובאלו ראוי שתוסיף מה שיתוסף נ"ב ובאלו יעלו שפ"ח | |
|
ואם אתה כפלת י"ח פעמים י"ו יעלו שמ"ח | |
|
ומאלו ראוי שתחסר מה שחסר ר"ל ס' וישארו שפ"ח כאשר נאמר | |
|
ובזה הדרך תוכל לעשות הדומות לזו | |
Multiple Quantities Problem - Three Men - Money |
||
|
קלא) שאלה הנה בכאן ג' אנשים שיש להם מעות אשר הב' מבלי הא' יש להם י"ט והב' מבלי הב' יש להם כ"ג והב' מבלי הג' יש להם ל' נאמר כמה ממון יש לכל א' וא' | |
|
ראוי לך לחבר ממון שלשתן ולחלק העולה על ב' ומה שיעלה הוא ממון שלשתן והדרך הוא נודע | |
Twins |
||
|
קלב) שאלה הנה במקרה ראובן הגיע אל המות ועשה צוואה [111]בזה האופן ממאה דוקטי שאניח אם אשתי אשר היא הרה תלד זכר תהיה לה השליש והשאר תהיה לבנה ואם נקבה תלד שהשליש מבתה והשאר ממנה וכאשר מת ילדה אשתו תאומים זכר ונקבה | |
|
תשובה הנה יראה שהבן ראוי לו כפל מהאם והאם הכפל מהבת | |
|
ולכן ראוי לנו לעשות ככה שהבת שהיא הפחותה שם א' והאם ב' והבן ד' | |
|
ותעשה ככה הנה בכאן ג' הא' שם א' והב' ב' והג' ד' והרויחו ק' כמה יגיע לכל א' וא' | |
|
וזה מבואר | |
Find a Number Problems |
||
|
קלג)[112] שאלה תמצא לי מספר אשר אם תכה אותו בז' ותחלק אותו על ט' שיצא לך מ"ה | |
|
תעשה ככה תסכים שאותו המספר יהיה מה שתרצה ולהקל מעליך עשה שבאותו מספר לא יהיה בו שבר ונניח שאותו המספר יהיה י"ח | |
|
א"כ כאשר תכה ז' פעמים י"ח יעלו קכ"ו | |
|
ואם תחלקהו בט' יצא י"ד | |
|
וכבר אמרנו שיצא מ"ה לכן ראוי לעשות ככה שתכה המספר אשר שמת אותו כבר שתכפול י"ח על מ"ה אשר יצא תת"י | |
|
וזה תחלק עם אותו שיצא עם י"ד ויצא נ"ז וו' שביעיות והוא הנשאל | |
|
ולבחון אותו ראוי שתכה נ"ז וו' שביעיות עם ז' ויצא ת"ה | |
|
ותחלק עם ט' ויצא מ"ה | |
|
קלד)[113] שאלה תמצא מספר אשר אם תחלק אותו עם ה' ותכה אותו עם ח' יעלה כ"ג | |
|
שים שאותו המספר יהיה עשרים | |
|
ונחלק אותו עם ה' ויצא ד' | |
|
ותכה אותו עם ח' ויצא ל"ב | |
|
ואנו מבקשים כ"ג ראוי שתכה לפי הדרך הנאמר עשרים פעמים כ"ג ויצא לך ת"ס | |
|
תחלק עם ל"ב ויצא י"ד וג' שמיניות והוא המבוקש | |
|
קלה)[114] שאלה תמצא לי מספר אשר אם תוציא ממנו שלישיתו ורביעיתו הנשאר כ"ט | |
|
תשמור הדרך ותאמר ככה נניח שאותו המספר הוא י"ב | |
|
תוציא ממנו שלישיתו ורביעיתו שהם ז' וישאר ה' | |
|
ואנו מבקשים כ"ט א"כ תכה י"ב פעמים כ"ט ויצא שמ"ח | |
|
וחלק אותו על ה' ויצא ס"ט וג' חמישיות | |
|
קלו)[115] שאלה תמצא לי מספר אשר אם תוסיף עליו שלישיתו ושני חמישיותיו יעשה י"ח | |
|
תשמור הדרך נניח שאותו המספר יהיה ט"ו | |
|
והשליש מט"ו הוא ה' ושני חמישיותיו הם ו' שים אותם על ט"ו ויעלו [116]כ"ו | |
|
ואנו נרצה י"ח א"כ נאמר אם ט"ו יתנו לי כ"ו מה יתן לנו י"ח | |
|
ולכן ראוי שתשמור הדרך שתכה הו' ששמת עם י"ח ויצא לך אלף ומאתים וט"ו | |
|
וזה תחלק על מה שייצא עם כ"ו ויצא מ"ו וי"ט חלקים מכ"ו | |
Divide a Number Problems |
||
|
קלז)[117] שאלה אם תרצה לעשות מל' ב' חלקים אשר אם תכה הא' בד' יעשה כמו החלק האחר אם תכה אותו בג' | |
|
תעשה ככה תשים שאותו החלק יהיה אחד ואם תכה אותו בד' יהיה ד' | |
|
והחלק השני תעשה שיהיה מספר שאם תחלק אותו בג' יצא ד' והוא מספר י"ב | |
|
||
|
הנה כבר היינו יכולין לומ' שנעשינו הדרך אבל אינו אמת כי אנחנו לא חלקנו ל' אבל היה החלק הראשון א' והשנית י"ב אשר יעלה הכל י"ג אשר כדי להביא החשבון אל מקומו מהאחר אשר שם בא לנו י"ג ואנו מבקשים ל' | |
|
לכן ראוי שתכה א' עם ל' ויצא ל' | |
|
וזה תחלק ויצא ב' וד' חלקים מי"ג וככה ראוי להיות החלק הא' | |
|
א"כ בהכרח החלק השני ראוי להיות עד הל' אשר יהיה כ"ז וט' חלקים מי"ג | |
|
אשר תחלק כ"ז וט' חלקים מי"ג עם ג' ויצא לך ט' וג' חלקים מי"ג א"כ עשינו השאלה | |
|
קלח)[118] שאלה אם תרצה לעשות מי"ח ג' חלקים בזה האופן אשר אחר שהוצאת החומש מהחלק הראשון וחברת אל השני שלישיתו והג' מוכה עם ב' וחצי כל א' יהיה שוה | |
|
תשים שהחלק הא' יהיה ה' | |
|
ואם תוציא ממנו החומש שהוא א' ישאר ד' | |
|
ועתה ראוי לראות אל החלק השני כמה ראוי להיות כדי שאם תוסיף עליו שלישיתו יהיה ד' ויהיה ג' | |
|
עוד ראוי לראות כמה ראוי להיות החלק הג' אשר כאשר תכה אותו בב' וחצי ראוי להיות א' ושני חומשים | |
|
א"כ עתה ראוי לך להוסיף החלק הראשון שהוא ה' והשני שהוא ג' והשלישי שהוא א' ושני חומשים ויעלו כלם ט' וב' חומשים | |
|
ואנו נרצה שיהיו י"ח והנה נאמר אם בעד ה' ששם אלו יצא ט' וג' חומשים ממה יצא לי י"ח שהיינו רוצים לחלוק | |
|
ראוי שתכה כפי הדרך ה' ששמנו כנגד י"ח שרצינו ויצא צ' | |
|
וזה ראוי לחלק עם ט' וג' חומשים ויצא ט' וג' שמיניות וככה היה החלק הראשון | |
|
ותאמר ככה בעד השנית נתן לי ט' וג' של חמישיות ובא אלי ג' מה שיצא אלי מי"ח | |
|
ראוי שתכה ג' עם י"ח ויעלה נ"ד | |
|
ותחלק אותם על ט' [119]וג' חמישיות ויצא ה' וה' שמיניות וכך היה החלק השני | |
|
ובעד הג' ראוי שתאמר אם מט' וג' חמישיות שהיה לנו א' וג' חמישיות מה יצא לנו מי"ח | |
|
ראוי שתכה א' וג' חמישיות עם י"ח ויעלו כ"ח וד' חמישיות | |
|
ותחלק על ט' וג' חמישיות ויצא לנו ג' וכך היה החלק הג' | |
|
וכדי לאמת זה תוציא החומש מהראשון שהוא ט' וג' שמיניות וישארו ז' וחצי | |
|
ובעד הב' תקח השנית מה' ה' שמיניות שהוא א' וה' שמיניות וזה תוסיף עליו ויעלה ז' וחצי | |
|
וכדי לאמת הג' תכה ג' על ב' וחצי ויעלה ז' וחצי | |
|
קלט) שאלה אם תרצה לעשות מכ' ב' חלקים שהחלק הא' יהיה ד' פעמים מהחלק האחר | |
|
כך תעשה תשים שהחלק הא' היה א' | |
|
א"כ החלק הב' ראוי שיהיה ד' | |
|
והנה א' עם ד' הם ה' ואנו נרצה כ' | |
|
לכן תאמר אם ה' נתנו א' כ' מה יתנו | |
|
ויצא י"ו | |
|
קמ) שאלה אם תרצה לעשות מי' ב' חלקים אשר אם תחלק החלק יותר גדול על הקטן יצאו מאה | |
|
תעשה ככה תשים שהחלק הראשון יהיה א' | |
|
כמה ראוי שתהיה השנית ראוי שיהיה מאה | |
|
והנה א' וק' הם ק"א ואנו רוצים י' | |
|
א"כ תאמ' אם ק"א נתן לי א' מה יתן לי עשרה | |
|
ויצא לך עשרה חלקים מק"א וזה מבואר | |
|
||
|
קמא) שאלה הנה בכאן אנשים שלקחו לעשות בגד א' הא' לקחו לעשות בג' שבועות והב' בד' שבועות ואם שניהם יעשו מלאכתם בכמה זמן יעשוהו | |
|
תעשה ככה נניח שבי"ב שביעית יעשוהו | |
|
וכבר אמרנו שהא' יעשהו בג' שבועות א"כ מעצמו היה עושה ד' מלאכות | |
|
והשני יעשהו בג' שבועות א"כ [מעצמו היה עושה ג' מלאכות | |
|
ושניהם][120] עושים ז' מלאכות ואנו מבקשים מלאכה א' | |
|
א"כ ראוי שתאמ' אם י"ב יתנו ז' מה יתן לי א' | |
|
תחלק י"ב על ז' ויצא א' וה' חלקים מי"ב מז' | |
Divide a Number Problems |
||
|
קמב) שאלה אם תרצה לעשות מל' ג' חלקים שאם תכה הא' בז' ותחלק הב' בה' והג' בי' והחלקים וההכאות יהיו מאותו הכמות עצמו | |
|
ואם תרצה לעשות זה נניח שהחלק הא' היה א' | |
|
ואם תכפול אותו בז' יעשה ז' | |
|
ולדעת הב' ראוי שתמצא מספר שאם נחלק אותו בה' יצא ז' ראוי שאותו המספר יהיה ל"ה | |
|
והג' ראוי שיהיה ע' | |
|
א"כ החלק הא' הוא א' והב' ל"ה והג' ע' אשר הם ק"ו ואנו מבקשים ל' | |
|
ראוי שתאמר אל הא' אם מן ו' יבא א' [121]מה יבא מל' וכו' | |
|
קמג) שאלה אם תרצה לעשות מי"א ב' חלקים אשר החצי והרובע מהחלק הא' יהיה כמו השליש והחומש מהחלק האחר | |
|
תעשה ככה תשים שהחלק הא' יהיה ד' | |
|
והחצי הוא ב' והרובע הוא א' ויהיו ג' | |
|
וגם ראוי למצא מהב' מספר שאם תחסר ממנו השליש והחומש שיהיה ג' | |
|
תשים שאותו המספר יהיה ט"ו | |
|
והשליש והחומש מט"ו הוא ח' ואנו רוצים ג' | |
|
א"כ נכה ג' על ט"ו ויעלו מ"ה | |
|
ותחלק אותו בח' ויצא ה' וה' שמיניות וככה היה המספר השני | |
|
א"כ נאמר ככה החלק ראשון היה ד' והב' היה ה' וה' שמיניות אשר יעלו ט' וה' שמיניות ואנו מבקשים י"א | |
|
א"כ ראוי שתאמר אם ט' וה' שמיניות נותן לנו החלק הראשון ד' מה יתן לנו י"א | |
|
וכן תעשה מהשנית | |
|
ובחלק הא' יבא ד' מ"ד חלקים מע"ז והב' יהיה ג' ול"ג חלקים מע"ז | |
Division of Roots |
||
|
קמד) שאלה אם תרצה לחלק מספר עם שרש או שרש עם מספר | |
|
ראשנה תביא המספר אל מרובעו | |
|
ר"ל אם תחלק י"ב עם שרש ד' | |
|
תביא י"ב למרובעו שהוא קמ"ד | |
|
ואח"כ תחלק שרש מקמ"ד עם שרש ד' ויבא לך שרש מל"ו | |
Addition of Roots |
||
|
קמה)[122] שאלה אם תרצה להוסיף שרש מט' עם מד' | |
|
תחבר תחלה ט' עם ד' ויצא לך י"ג | |
|
א"כ תכפול ט' פעמים ד' ויעלו ל"ו | |
|
אח"כ תכפול הל"ו הנז' עם ד' ויעלו קמ"ד | |
|
וקח שרש מזה המספר שהם י"ב ותחבר עם י"ג הראשנים ויהיו כ"ה | |
|
וקח השרש מכ"ה והם ה' | |
| ||
|
קמו)[123] שאלה דרך אחרת | |
|
תחבר ט' עם ד' ויעלו י"ג | |
|
אח"כ תכפול ט' על ד' ויעלו ל"ו | |
|
וקח השרש שהם ו' ותכפול אותם והם י"ב | |
|
ותחברם עם י"ג ויהיו כ"ה | |
|
וקח השרש והם חמשה | |
| ||
Subtraction of Roots |
||
|
קמז)[124] שאלה אם תרצה להוציא שרש ט' משרש י"ו | |
|
ראשנה תחבר ט' עם י"ו ויהיו כ"ה | |
|
אח"כ כפול ט' על י"ו ויעלו קמ"ד אשר אלו תכפול ד' יעלו תקע"ו | |
|
ומהם תוציא השרש והם כ"ד | |
|
אח"כ תחסר הכ"ד מהכ"ה הנשאר א' | |
|
א"כ אם תחסר משרש י"ו שרש ט' ישאר א' | |
| ||
|
קמח)[125] שאלה דרך אחרת | |
|
כפול ט' על י"ו ויעלו קמ"ד | |
|
ומזה תוציא השרש שהוא י"ב וכפלם ויהיו כ"ד | |
|
אח"כ תוציא כ"ד מהכ"ה הנז' וישאר השרש מא' | |
| ||
|
ותקיש על זה | |
Find a Number Problems |
||
|
קמט)[126] שאלה אם תרצה למצא מספר מרובע אשר אם תשים עליו י"ט יהיה מרובע | |
|
[127]תעשה ככה תוציא א' מי"ט וישאר י"ח | |
|
וקח חצי מזה המספר וישארו ט' | |
|
ותכפלם על עצמם ויהיו פ"א | |
|
ותוסיף עליו י"ט והוא מרובע כאשר אמרנו | |
| ||
|
קנ)[128] שאלה אם תרצה למצא מרובע שאם תוציא ממנו ט"ו ישאר מרובע | |
|
תעשה ככה תוסיף א' על ט"ו ויהיו י"ו | |
|
תקח החצי מי"ו שהם ח' ותכפול אותם על עצמם ויהיו ס"ד וזהו המספר | |
|
ואם תוציא ט"ו מס"ד ישאר מרובע והוא מ"ט | |
|
קנא)[129] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר אם תוסיף עליו ד' יהיה מרובע ואם תחסר ג"כ יהיה מרובע | |
|
תעשה ככה תחבר ד' עם ד' ויהיו ח' | |
|
אח"כ תאמר תמצא לי מספר מרובע אשר אם תוסיף עליו ח' יהיה מרובע | |
|
לכן תעשה כנז' תוציא א' מח' ישארו ז' | |
|
וקח מהם חציים והם ג' וחצי | |
|
ותכפלם על עצמם ויעלו י"ב ורביע | |
|
תוסיף עליהם ד' יהיו י"ו ורביע וזהו המספר | |
| ||
|
קנב)[130] שאלה עוד תוכל למצא אותה יותר מהרה | |
|
תקח החצי מד' שהם ב' ותכפול אותם על עצמם ויהיו ד' | |
|
תוסיף א' על ד' ויהיו ה' וזה המספר ג"כ הוא כמו המספר הט' לעיל | |
Multiplication of Roots |
||
|
קנג)[131] שאלה לכפול בשרשים אם תרצה למצא שרש ז' על שרש מח' | |
|
ראוי שתכפול ז' עם ח' ויהיו נ"ו והשרש מנ"ו הוא מה שיעלה השרש מז' עם מח' | |
|
קנד)[132] שאלה אם תרצה לכפול השרש מכפילת ז' עם ח' | |
|
בראשנה ראוי להביא ח' אל מרובעו שהם ס"ד אח"כ שרש ז' עם שרש ס"ד כאשר נאמר למעלה ויעלה שרש ד' מאות ומ"ח | |
|
ודע שאם תכפול שרש מז' עם שרש מז' ויעשה ז' | |
Find a Number Problems |
||
|
קנה)[133] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר אם תחלק ג' מאותו המספר יבא ה' וישאר ז' | |
|
תדע תחלה שאם ישאר ז' מהמחלק היה יותר גדול מז' א"כ תשים מז' ולמעלה | |
|
ואח"כ ראוי לנו למצא מספר שיהיה מז' ומעלה אשר אם תכפלהו עם ה' מה יצא וכשנוסיף עליו ז' מה יתוסף ושיתחלק בג' חלקים שלמים מבלי שברים | |
|
א"כ בתחלה תשים שאותו המספר היה ח' | |
|
ואם תכפלהו בה' יעלו מ' | |
|
יתוסף עליו ז' ויעלו מ"ז | |
|
תחלקם בג' ולא תוכל | |
|
א"כ תוסיף עליו א' יותר ויהיו ט' | |
|
תכפלהו על ה' ויעלו מ"ה | |
|
תוסיף עליו ז' יעלו נ"ב | |
|
תחלקם על ג' ולא תוכל | |
|
א"כ תוסיף עליו א' יותר ויהיו עשרה | |
|
ותכפלם בה' ויעלו [134]נ' | |
|
תוסיף עליו ז' ויעלו נ"ז | |
|
ותחלקם בג' ויעלו י"ט מבלי שום שבר א"כ בזה המספר תמצא הנאמר | |
|
ולעולם תוסיף א' יותר | |
|
אח"כ תחלק העשרה אשר מצאת עם שליש מנ"ז שהוא י"ט ויצא לך עשרה חלקים מי"ט וזהו המספר הנשאל אשר אם תחלק ג' עם המספר הנאמר יצא ה' וישאר ז' | |
|
וככה יעשו השאלות הדומות לזו | |
|
קנו)[135] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר אם תוציא ממנו השרש ותחבר אותו עם השרש מהנשאר יעשה ג' | |
|
תעשה ככה תכפול ב' פעמים ג' ויעלו ו' | |
|
תוציא ממנו לעולם א' וישארו ה' וזה יהיה לך המחלק | |
|
אח"כ תכפול אותו המספר אשר תרצה שיבא לך ר"ל ג' על עצמו ויהיו ט' | |
|
ואותו תחלק על ה' ויעלה א' וד' חומשים אשר זה המספר הוא השרש מהמספר הנשאל אשר ראוי להוציא ממנו שרש ולהוסיף עם השרש מהנשאר ויעשה ג' | |
|
א"כ לדעת המספר ראוי לכפול א' וד' חמישיות בעצמו ויעלה ג' שלמים וו' חלקים מכ"ה וזהו המספר הנאמר | |
|
ולאמתה תקח שרש מג' וו' חלקים מכ"ה אשר נאמר שהוא א' וד' חמישיות ומהנשאר עד ג' וו' חלקים מכ"ה ישאר א' וי"א חלקים מכ"ה | |
|
ושרש מהמרובע הוא א' וחמישית | |
|
ואם תוסיף אותו עם א' וד' חמישיות יהיו ג' והוא שרש ג' וו' חלקים מכ"ה שהוא המספר הנשאל ועשה ג' כאשר נאמר | |
| ||
|
ובזה האופן תוכל לעשות הדומות לאלו ומאיזה מספר שיהיה לך לעולם שתכפול המספר שתרצה שיבא עם ב' וממנו יבא להוציא אחד כאשר כבר עשינו אח"כ יש לך לעשות כאשר נאמר למעלה | |
|
ואם המספר השאל היה פחות מב' אז זאת הדרך לא יהיה נאותה ומסכמת ואז ראוי שיעשה על דרך הפוזיציאוני דלאלזיברא | |
המספר | ||
|
הוא כאלו תאמר ט' פעמים ט' הם פ"א ואח"כ תקח שרש ט' שהוא ג' ותוסיף אותו על פ"א ויעלו פ"ד ומספר פרוביקו מפ"ד הוא ט' | |
המספר הרילטו בלשונם | ||
|
הוא כאלו תאמר ט' פעמים ט' יעלו פ"א אח"כ תקח השרש מט' שהם ג' ותכפלם על פ"א ויעלו רמ"ג א"כ מספר רמ"ג הוא מספר אשר שרשו הרילטו הוא ט' | |
Divide a Number Problem |
||
|
קנז)[136] שאלה אם תרצה לעשות לי מכ"ז ג' חלקים [137]שכל חלק ממנו יהיה לו שרש מעוקב | |
|
דרך הוא שיש לך למצא ג' מספרים מעוקבים מקובצים יחד יעשו מעוקב | |
|
וכל אחד מהם שיחולק במספר אחד מעוקב קטן מכלם | |
|
וכאשר יחולק הסכום מאותם המספרים הנזכרים עם אותו המספר הקטן יעשה מהם מספר כ"ז כנזכר | |
|
ובזה המספר הא' הוא כ"ז והב' ס"ד והג' קכ"ה וכאשר יקובצו יחד הם רי"ו והוא מספר מעוקב | |
|
וכשיקובצו שלשתן בשמונה שהוא מעוקב קטן מכל א' מהג' יבא כ"ז | |
|
ולכן החלק הא' יהיה אם תחלק כ"ז בשמונה ג' וג' שמיניות | |
|
והב' אם תחלק ס"ד בח' שיבא ח' | |
|
והג' אם תחלק קכ"ה בח' שיבא ט"ו וה' שמיניות | |
|
אשר שלשתן יחד מקובצים יעלה כ"ז | |
|
ותדע כי לא בכל מספר יצדק זה | |
Find a Number Problems |
||
|
קנח)[138] שאלה אם תרצה לדעת מספר אחד מרובע אשר אם תוציא אותו מה' שרשיו וישאר מרובע ואם תוסיף עליו שבעה שורשיו יהיה מרובע | |
|
הנה המספר הזה הוא י"ח | |
|
כי חמשה שרשיו הם נ"ד תוציא ממנו י"ח ישארו ל"ו והוא מספר מרובע | |
|
ושבעה שרשיו הם ס"ג ותחברם עם י"ח יעשה פ"א והוא מספר מרובע | |
|
קנט)[139] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר ב' חמישיות שלו יהיה שרשו | |
|
תעשה ככה תהפך השאלה זאת לדעת תשים ה' למעלה וב' למטה ככה ותכפול אותו ויעשה וזהו המספר אשר תשאל | |
|
ואם תרצה לבחון אותו תקח שני חמישיות מ שהם א"כ והוא השרש וכן יעשה | |
Multiple Quantities Problem - Horseman, Merchant, Guest |
||
|
קס) שאלה ג' נמצאו באכסניא א' פרש והב' סוחר והג' אורח הפרש אמר שרוצה לפרוע ב' פעמים יותר מהסוחר ויותר דינר א' | |
|
תשובה תקח א' בעד האורח שהוא הפחות מכלם | |
|
וא' וג' רביעיות בעד הסוחר עם תוספת שנים ויהיה א"כ חלק הסוחר ג' וג' רביעיות | |
|
ונכפול זה ויעלה ז' וחצי ועם תוספת א' ויהיו ח' וחצי וזה יהיה חלק הפרש | |
|
א"כ תקח א' בעד האורח ומעות הסוחר והפרש ובין הכל הם י"ג ורביע | |
|
אח"כ תקח א' בעד העני וא' וג' רביעיות בעד הסוחר בזולת השנים וג' וחצי בעד הפרש [140]שהוא כפל ממון הסוחר ויעלה הכל ו' ורביע | |
| ||
|
ומספרינו הראשון היה י"ג ורביע נסיר הקטון מהגדול וישארו ז' | |
|
הנה נסיר עתה ז' מסך המעות ר"ל מי"א שיש לפרוע וישארו ד' | |
|
ויש לך עתה לקחת חלק העני שהוא א' וכפול אותו על ד' ויהיו ד' | |
|
חלקם על ו' ורביע ויצא לך י"ו חלקים מכ"ה וזה חלק העני | |
|
אח"כ כפול א' וג' רביעיות שהוא ממון הסוחר על ד' ויהיו ז' | |
|
חלקם על ו' ורביע ויצא לך א' וג' חלקים מכ"ה והוא ממון הסוחר | |
|
תוסיף עליו ב' ויהיו ג' וג' חלקים מכ"ה | |
|
אח"כ כפול ג' וחצי שהוא ממון הפרש על ד' ויעלה י"ד | |
|
חלקם על ו' ורביע ויצא לך ב' וו' חלקים מכ"ה | |
|
ותוסיף על זה ד' שהוא כפל ב' שנותן הסוחר על העני ותוסיף עליו א' ויהיה חלקו של פרש ז' שלמים וו' חלקים מכ"ה וכן כלם | |
Divide a Number Problem |
||
|
קסא) שאלה אם תרצה לחלק מספר לב' חלקים אשר החלק או החלקים מהאחד מקובץ עם החלק או החלקים מהאחר ישוה שוה לאחד | |
|
המשל תחלק כ"ד לב' חלקים אשר ב' שלישיות מהחלק הראשון וגם ג' רביעיות מהשני מקובצים יחד יהיו שוים אל החלק הראשון | |
|
דרך בו התשלום מהחלק הראשון אם יהיה א' שליש אשר יהיה שוה אל ג' רביעיות מהשני | |
|
אם כן תוכל לומר אם שליש מהראשון הם ג' רביעיות מהב' ג' שלישיות מן הראשון זה לדעת הכל כמה רביעיות יהיו מהשני | |
|
אשר אם תעשה יצא לך ט' רביעיות וכל השני הוא אשר יהיו | |
|
וכל שני החלקים אשר הם כ"ד במספר | |
|
א"כ לדעת החלק הראשון מהשנים ראוי שתאמר אם ראוי שיהיה כ"ד מה ראוי להיות אשר הוא הראשון | |
|
ויתן לך י"ו | |
|
והשנית יתן לך הנשאר שהם | |
|
הבחינה מהראשון אשר הם י"ו הם י"א וג' רביעי מן השנית אשר הם ז' הם ה' אשר הם בכלל י"ו אשר הם החלק הראשון | |
| ||
Pursuit Problems |
||
|
קסב) שאלה הנה בכאן ב' רוצים ללכת מרחק הא' הולך בכל יום ל' מילין והאחר הולך מיל ביום הא' ובב' ב' ובג' ג' מילים וכן בכל יום מוסיף מיל א' א"כ בכמה ימים יגיע אל הראשון כדי שיגיעו שניהם יחד במקום אחד | |
|
הדרך ראוי לך לכפול המילין מאותו שמתמיד ללכת [141]מהלך שוה ר"ל אותו מהל' מילין ויהיו ס' | |
|
ומאלו תגרע א וישארו נ"ט א"כ בנ"ט ימים ישיגנו | |
|
קסג) שאלה איש הולך ל' מילין והאחר ביום א י"ד מילין ובכל יום מוסיף מיל מתי ישיג הראשון | |
|
ראוי לדעת כי מכפילת המילים מהיום הראשון ראוי לך לגרוע לעולם המילים מהיום הראשון ר"ל מס' נקח י"ד וישארו מ"ו ובמ"ו ימים ישיגנו | |
|
קסד) שאלה ואם אמר לך היום הא' הולך ב' והב' הולך ד' והג' ו' וכן בכל יום מוסיף ב' מילין | |
|
ראוי לחסר מיל א' בכל יום מאותו ההולך תחלה ואותו הנשאר בכמה ימים יגיעו הא' לאחר | |
Encounter Problem - Two Couriers |
||
|
קסה) שאלה רץ א' הוא באוינייון ורוצה ללכת במילנו בח' ימים ורץ אחר הוא במילנו ורוצה ללכת באוינייון בה' ימים ושניהם יחד בעת א' יתחילו להתנועע בכמה ימים יפגעו זה את זה | |
|
ראוי לך שתחסר הימים הראוים לכל א' במהלכם ר"ל ה' עם ח' והנם י"ג וזהו המחלק | |
|
אח"כ תכה הימים מהא' עם הימים מהאחר ר"ל ה' עם ח' ויהיו מ' וזהו הנחלק ומה שיצא הוא בכמה ימים יתנועעו בדרך | |
|
אח"כ תחלק מ' על י"ג ויעלו ג' ושליש ובאלו הג' ימים ושליש יגיעו הא' לאחר | |
Find the Height Problem - Two Towers |
||
|
קסו) שאלה שני מגדלים גבהם שוה והמרחק שבין שניהם ג"כ הוא שוה לכל אחד מהם והנה ידענו שאדם חסר מהכאת האחת בחבירו כפל מקובץ שני הצלעים | |
|
התשובה נניח שהנשאר על דמ' הוא כ"א ר"ל הנשאר מהכאת גובה המגדל הא' בחבירו כשחוסר ממנו כפל מקובץ שני המגדלים שהם שנים | |
|
ונרצה לדעת כמה היה גבהות המגדלים | |
|
הנה ידענו שהמגדלים הם ב' ולזה ב' בעצמו יעלו ד' | |
|
ונוסיפם על כ"א ויעלו כ"ה ושרשם ה' | |
|
והנה נוסיף עליו ב' שהוא מנין המגדלים העולה שהוא ז' הוא גבהות כל א' מהמגדלים | |
|
ומופת זה נתבאר במאמר הראשון מאבו בכר | |
Whole from Parts Problem - Two Purses |
||
|
קסז) שאלה הנה בידינו ב' כיסים ולא ידענו כמה מעות היו בהם רק ידענו שבכיס הגדול היה החצי והשליש ממה שהיה בב' הכיסים מקובצים ובכיס הקטנה היה י"ג [142]אשאל כמה ממון היו בב' הכיסים | |
|
תשובה קח המורה שהוא ו' ושלישיתו ומחציתו הם ה' והנה עד ו' יחסר א' ועליו תחלק | |
|
ו' כפול על י"ג הם ע"ח | |
|
חלק על א' והוא ע"ח וכך מעות היו בכל כיס והוא המבוקש | |
Find a Number Problems |
||
|
קסח) שאלה בקש לי מספר שאם תחלקהו על ג' ועל ה ועל ז' ישאר א' | |
|
תשובה קח א' שנשאר על הג' בחלקנו אותו על הג' קח ע' ועל א' שנשאר בחלקנו על ה' קח כ"א ועל א' שנשאר בחלקנו על ז' קח ט"ו וקבצם ויהיו ק"ה תוסיף אחד ויהיו ק"ו וכן תעשה | |
|
קסט) שאלה ואם אמר לך שנשאר בהשליכך ג"ג ב' או ג' עשה בדרך הזה | |
|
קח על כל א' מהב' והנשאר ע' | |
|
וכפול ע' על ב' ויהיו ק"מ | |
|
אח"כ כפול ד' על כ"א ויהיו פ"ד | |
|
אח"כ כפול ו' על ט"ו ויהיו צ' | |
|
קבצם ויהיו שי"ד והוא המבוקש | |
Multiple Quantities Problem - Three Purses |
||
|
קע) שאלה אדם מצא ג' כיסות וידע שבכיס הראשון יש בו מספר נעלם ובכיס הב' יש בו ב' כפלים מהא' ובג' יש בו כמו שיש בשנים ובין כלם ק' מנינים נשאל כמה לכל א' וא' | |
|
תשובה נניח שבכיס הא' היה שם דינר א' ובב' ב' ובג' ג' ובין כלם ו' | |
|
וחלק ק' על ו' ויצא לך י"ו וב' שלישיות והוא מה שבכיס הקטן | |
If You Give Me Problem - Two Men, Horse |
||
|
קעא) שאלה ב' רוצים לקנות סוס אחד אמר הראשון לשני אם תתן לי החצי ושליש ממעותיך עם מה שיש לי נקנה הסוס | |
|
תשובה בקש המורה הוא י"ב | |
|
וקח החצי והשליש והוא י' | |
|
נחסרם מי"ב נשארו ב' א"כ הראשון היה לו ב' | |
|
אח"כ קח שליש ורביעית המורה שהוא ז' | |
|
חסר ז' מי"ב הנשאר ה' וכך היה לשני | |
|
ואם תרצה לדעת ערך הסוס קח חצי ושליש ה' יהיו ב' ושתות | |
|
ושים בו ב' שהוא ו' מעות והוא המבוקש ר"ל ח' ושתות | |
How Much Problem - Tree |
||
|
קעב) שאלה יש לנו אילן גבהותו נעלם רק ידענו שאם נקח ד' פעמים כמוהו ונוסיפנו על מרובעינו יצא לנו [143]מספר מונח כמה גבהות האילן | |
|
הנה תעשה כן הוסף לעולם על המספר העולה ד' שלמים ויהיה העולה במשלינו קל"ב ורביע | |
|
ונוציא שרשו הרביעי והוא י"א וחצי | |
|
נחסר ממנו לעולם ב' שלמים והנשאר הוא ט' ורביע והוא גבהות האילן וכן כל היוצא בזה | |
| ||
Too Much and Too Little Problem - Workers - House |
||
|
קעד) שאלה אדם בנה ביתו ובא לתת שכר לפועלים ואמ' להם אני יש לי מעות שאם אתן ג' דינרין לכל א' ישאר בידי ט"ו דינרין ואם אתן ג' דינרין וחצי לכל אחד יחסר לי עשרה דינרין אשאל כמה היו הפועלים וכמה הם מעותיו | |
|
תשובה חסר ג' דינרין מג' וחצי וישאר חצי דינר ועליו תחלק | |
|
חבר ט"ו דינרין עם י' דינרין ויהיו כ"ה | |
|
חלקם על חצי ויהיו נ' וככה היו הפועלים | |
|
ואם תרצה לדעת המעות כפול נ' בג' ויהיו ק"נ | |
|
הוסף עליהם ט"ו ויהיו קס"ה והוא המעות | |
|
ואם תכפול נ' בג' וחצי יהיה העולה קע"ה ויפסיד י' דינרין | |
Multiple Quantities Problem - Three Men - Money |
||
|
קעה) שאלה ג' אנשים יש להם ממון ולא ידענו כמה רק הראשון יש לו חצי השני והב' יש לו חצי הג' ובין כלם י"ב נשאל כמה לכל א' וא' | |
|
תשובה הא' היה לו פשוט א' והב' היו לו ב' פשוטים והג' ד' | |
|
קבצם והם ז' פשוטים | |
|
וחלק י"ב על ז' ויצא לך א' וה' שביעיות והוא סך הראשון | |
|
וכפל זה היה לשני וכפל השני לג' | |
Give and Take Problems |
||
|
קעו) שאלה אדם שכר חבירו לבנות לו בית כל יום והתנה עמו שיתן לו בכל יום ה' דינרין ובכל יום שלא יעשה מלאכה יתן הנשכר אל בעל הבית ט' דינרין והוא עבד ימים ידועים ולבסוף הבעל הבית נתן לו דינר א' נרצה לדעת כמה ימים עבד | |
|
הנה יש לך לחבר ה' עם ט' ויהיו י"ד | |
|
אח"כ נכפול ט' על ל' ויהיו ר"ע | |
|
נוסיף עליו א' ויהיו רע"א | |
|
נחלקם על י"ד ויצא לך י"ט וה' חלקים מי"ד | |
|
אח"כ נכפול ל' על ה' ויהיו ק"נ | |
|
נסיר מהם א' ויהיו קמ"ט | |
|
נחלקם על י"ד יצא לך עשרה וט' חלקים מי"ד | |
|
הנה א"כ הוא עבד י"ט ימים וה' חלקים מי"ד ושבת מכל מלאכתו י' ימים וט' חלקים [144]מי"ד | |
|
קעז) שאלה אדם הולך לסחורה נדר אם המקום יכפול ממונו בכל יום יתן ג' דינרין לצדקה ובתוך ג' ימים הלך ממונו | |
|
יש לך לעשות ככה והוא שכבר ידעת כי ביום ג' הלך כל ממונו אחר שנתן ג' דינרין א"כ מה שהיה לו ביום הג' היה ג' | |
|
תחלקהו על ב' יצא לך א' וחצי | |
|
תוסיף על זה ג' ויהיו ד' וחצי והוא מה שהיה לו ביום השני קודם נתינת ממונו | |
|
וחלק זה על ב' ויצא לך ב' ורביע | |
|
תוסיף על זה ג' ויהיו ה' ורביע וזה היה לו ביום הראשון קודם נתינת הממון | |
|
ואם תרצה לחלק זה על ב' יצא לך ב' וה' שמיניות והוא המעות | |
|
ותקיש על זה | |
|
קעח) שאלה אדם יש לו מעות ואמר אם השם יוסיף על ממונו ב' דינרין בכל יום יתן ג' דינרין בכל יום ובסוף ד' ימים הלך כל ממונו נשאל כמה ממון היה לו ביום הראשון | |
|
נעשה זאת השאלה על זה הדרך והוא כי כבר ידעת כי מה שנתן ביום הד' היה ג' ולא נשאר מאומה בידו והריוח שהיה עושה בכל יום היה ב' | |
|
נסיר מג' ב' שהם הריוח ישאר א' והוא מה שהיה לו ביום הרביעי קודם הריוח שעשה באותו יום | |
|
אח"כ נוסיף על א' ג' ויהיו ד' | |
|
נסיר מהם הב' מהריוח וישארו ב' וזה היה לו ביום הג' קודם הריוח | |
|
אח"כ נשים על זה ג' ויהיו ה' | |
|
נסיר מהם הריוח שהוא ב' הנשאר ג' וזה היה לו ביום השני קודם הריוח | |
|
א"כ נוסיף על זה ג' ויהיו ו' | |
|
נסיר מהם ב' בעד הריוח הנשאר ד' וזה היה לו ביום הראשון קודם שהרויח מאומה והוא סך הממון הנמצא עמו בתחלה | |
Multiple Quantities Problem - Men, Women, Children |
||
|
קעט) שאלה אנשים ונשים וטף הולכין לאושפיזה לאכול האנשים נותנים ב' פשוטי' והנשים חצי פשוט והטף רביעית ופרעו י"ב פשוטים ובין כלם י"ב ג"כ | |
|
תשובה תשים האנשים כפי מה שתרצה וכן הנשים והטף | |
|
ונניח שהאנשים היו ד' ששוים ח' פשוטים | |
|
וד' נשים מב' פשוטים | |
|
והנה מספרם ח' ומספר המעות י' | |
|
והנערים ד' והנם י"ב והמעות י"א ויחסר א' עד י"ב | |
|
לכן יש לנו למצא מספר שיעלהו אחד ונעשה ג' מהד' אנשים ויהיו ו' נשים ומהאנשים נעשה מהם ב' נערים והמספר יצא [145]שוה | |
|
והתשובה היא ה' אנשים ואשה אחת ובו' נערים ובין כלם י"ב גם כל הממון עולה י"ב | |
Give and Take Problem - Earning and Spending |
||
|
קפ) שאלה אדם נוסע מנפולי עם דינרין ידועים ורוצה ללכת עד רומא ובעד כל דינר ירויח א' רצוני א' ישוב ב' ופזר לשם ד' מנינים ואח"כ הולך מרומא עד פלורינצא וכל עוד שיש לו ב' דינרין ישובו ג' ופזר לשם ו' דינרין | |
|
ראוי לעשות ככה תהפך כל המספר וידוע כי ד' מאות וי"ד היו לו בוינישיאה עם הי"ד שפזר | |
|
ויש לך לומר ככה אם ג' שוים א' ד' מאות וי"ד כמה שוים | |
|
יצא לך קל"ח וזה המעות היה לו בפלורינציאה | |
|
ותוסיף עליו מה שפזר שהוא ו' יהיו קמ"ד | |
|
ותאמר אם ג' שוים ב' קמ"ד מה ישוו | |
|
ויצא לך צ"ו והוא סך הדינרין שהיו לו ברומא | |
|
יהיו מאה | |
|
ותאמר אם ב' שוים א' ק' כמה שוים | |
|
תמצא נ' והוא מה שהיה לו כשנסע מנפולי | |
|
ובהגיעו בוינישיאה נמצא בידו י"ד ד' מאות מנינים זולת י"ד שפזר בדרך | |
Buy and Sell Problem - Silk |
||
|
קפא) שאלה אדם קנה בפלורינציאה קנה א' ממשי ג' מנינים וחצי ממטבע של פלורינצא והקנה ג"כ הוא קנה של פלורינצא ופזר בדרך בלכתו בנאפולי ב' שלישיות ממון של פלורינצא באיזה אופן ימכור לנאפולי באופן שירויח כ"ה מנינים בעד כל מאה ומאה | |
|
ויש לנו ב' הפרשות מפלורינצא לנאפולי כי הח' קנים מפלורינצא הם ט' קנים של נאפולי והק' מנינים של פלורינציני הם קי"א מנאפוליטאני | |
|
וראוי לעשות ככה שתוסיף הב' שלישיות שפזר על ג' וחצי ויהיו ד' ושתות והם מנינים של פלורינציאה | |
|
ותאמר אם ק' שוים קי"א הד' ושתות מה ישוו | |
|
תמצא ד' וד' חומשים הנה א"כ הקנה של פלורינצא שוה בנפולי ד' מנינים וד' חומשים ממטבע של נאפולי | |
|
אם ח' קנים שוות הט' א' כמה | |
|
יצא לך א' ושמין הנה הקנה של פלורינצא שוה של נאפולי א' ושמין | |
|
וא' ושמין מקנה של נאפולי שוה ד' וד' חומשים מה ישוה הא' | |
|
תמצא ששוה ד' מנינים וד' חלקים מט"ו הנה א"כ כל עוד שהקנה של פלורינצא שוה ד' מנינים [146]ושתות משל פלורינצאהקנה מנאפולי שוה ד' מנינים וד' חלקים מט"ו ממניני נאפולי | |
|
נאמר שרוצה להרויח בעד כל ק' כ"ה | |
|
ותאמר ככה אם מאה שוים ד' וד' חלקים מט"ו קכ"ה כמה שוים | |
|
יצא לך ה' מנינים וכ"ג חלקים מק' והוא שווי הקנה | |
|
הנה ראוי למכור הקנה ה' מנינים וכ"ג חלקים מק' ובזה האופן ירויח כ"ה בעד כל מאה מנינים | |
|
ודוק ותשכח | |
Mixture and Alligation Problem |
||
|
קפב) שאלה אדם יש לו י"ז אוק' מכסף שוה כל אוק' ז' קרליני לכלול בו עופרת באופן לא ישוה כל אוק' כי אם ה' קרליני וחצי כמה עופרת יכלול באלו הי"ז אוק' | |
|
הנה ראוי לחלק ז' על ה' וחצי ויצא אחד וג' חלקים מי"א הנה יש לו לשים בכל אוק' ג' חלקים מי"א מעופרת | |
|
ובין כל הי"ז אוק' יש לו לשים ד' אוק' וז' חלקים מי"א מעופרת | |
|
ואם תרצה לבחון אותו כפול י"ז על ז' יהיה קי"ט ושמור אותם | |
|
ועתה כפול ה' וחצי על כ"א וז' חלקים מי"א כי בראשנה היו י"ז אוק' ויש לנו להוסיף הד' אוק' וז' חלקי' מי"א על אותו הסך ויהיה כ"א וז' חלקים מי"א ויעלה קי"ט בלי תוספת ומגרעת | |
Find the Price Problem - Silver |
||
|
קפג) שאלה יש לו לאדם ג' ליט' וג' אוק' וג' רביעיות מכסף שמכיל רכ"ב איצטרליני מטוב לליט' ושוה ח' מנינים א' ליט' וא' אוק' וז' שמיניות אוק' מכסף שאינו מכיל הליט' כי אם קי"א איצטרליני כמה שוה | |
|
הנה ראוי לעשות מהליט' אוק' והמספר הראשון הוא ב' ליט' וג' אוק' וג' רביעיות יהיה י"ז אוק' וג' רביעיות | |
|
כפול אותם על רכ"ב יעלה ו' אלפים וק"ס וחצי | |
|
אח"כ קח המספר השני שהוא א' אוק' וא' ליט' וז' שמיניות ותעשה מהליט' אוק' ועם האוק' יהיו י"ג וז' שמיניות | |
|
כפול אותם על מה שמכיל רצוני שתכפול י"ג וז' שמניות על קי"א שהוא מה שמכיל כל ליט' ועלה אלף וה' מאות ומ' ושמין א' וזה יהיה המספר השני | |
|
ותאמר אם ו' אלפים וק"ס וחצי שוה ח' מנינים המספר השני שהוא אלף וה' מאות ומ' ושמין כמה שוה | |
|
הנה יהיה שווי שנים שלמים בלי תוספת ומגרעת | |
Payment Problem - 100 minyanim |
||
|
קפד) שאלה יש בכאן אנשים שעומדי שעומדים עם אדון והאדון נותן לכל א' וא' בעד שנה תמימה עשרים מנינים ויש מהם שעבדו ו' חדשים ויש ו' וחצי ויש ז' חדשים וכו' | |
|
הנה ראוי לחלק ק' על ק"ט מנינים וז' פשוטים וידוע כי הפשוט עשור המגן על כן ראוי לעשות מכל הב' מספרים עשיריות הא' אלף והאחר אלף וצ"א | |
Rent Problem |
||
|
קפה) שאלה אדם שכר בית לחבירו בעד ג' שנים לערך מ' מנינים לשנה ובכניסתו לבית נותן לו חצי השכר מאותה השנה ובסוף השנה נותן לו מ' מנינים עשרים בעד תשלום פרעון אותה שנה ועשרים בעד תשלום השנה האחרת וכן עד כלות הג' שנים | |
|
התשובה תאמר אם מאה ועשרים שוים ק' כ' כמה שוים והם העשרים שהוא מחוייב לו לתת בסוף השנה | |
|
ותמצא י"ו וב' שלישיות | |
|
תוסיף עליו העשרים שהוא מחוייב לתת לו עתה בכניסתו בבית יהיו ל"ו וב' שלישיות וזה יהיה בעד שנה ראשנה | |
|
עוד תאמר ק"כ שוים ק' ל"ו וב' שלישיות כמה שוה | |
|
יצא לך ל' וה' חלקים מט' וזה בעד שכירת שנה שניה | |
|
עוד תוסיף ותאמר אם ק"כ שוים ק' ל' וה' חלקים מט' כמה שוה | |
|
יצא לך כ"ה וכ"ה חלקים מנ"ד וזה הוא בעד שכירות שנה שניה | |
|
אח"כ תחבר כל אלו הג' מספרים רצוני ל"ו וב' שלישיות ול' וה' חלקים מט' וכ"ה וכ"ה חלקים מנ"ד ויעלה בין הכל צ"ב ול"ז חלקים מנ"ד וכן ראוי לתת לו בבת אחת בלי תוספת ומגרעת | |
Ordering Problem - Stones |
||
|
קפו) שאלה באיזה אופן (באיזה אופן) נשקול עם ד' אבנים מ' ליט' או אוק' | |
|
הנה יש לך לקחת א' כפול אותם על ג' ויהיו ג' | |
|
כפול ג' על ג' ויהיו ט' כי כיחס א' א' ג' כן יחס ג' אל ט' והוא השלישית | |
|
כפול ט' על ג' ויהיו כ"ז כי יחס ט' אל כ"ז כיחס ג' אל ט' והוא הד' | |
|
הנה ראשנה ישקול ליט' אחת והשניה ג' ליט' והשלישית ט' והרביעית כ"ז ובין הכל מ' | |
|
ואם תרצה לשקול ה' הנה תשים אותה של ג' ליטראות [148]ואותה של א' בכף אחת אח"כ תשים בכף שניה אותה של ט' | |
|
ואם תרצה לשקול ח' הנה תשים בכף הראשנה האבן ששוקלת א' ועם הח' יהיו ט' אח"כ תשים בשניה השוקלת ט' ויהיה שוה בשוה | |
|
וזה המספר נקרא מספר יחסיי וכו' | |
Partial Payment Problem - Guesthouse, Goblets |
||
|
קפו) שאלה אדם הולך לאושפיזא ועמד לשם ל"א יום ונושא ה' גביעים של כסף ששוקלים בין כלם ל"א אוק' והתנו שיתן לאושפיז בכל יום אוק' של כסף באיזה אופן יפרענו בכל לילה ולילה שלא יתן הגביעים ויתן לו אוק' שלימה בכל יום | |
|
הנה ראוי לקחת א' ואח"כ לכפול אותו ויהיו ב' | |
|
ואח"כ כפול על ב' ויהיו ד' כי יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ד' | |
|
אח"כ כפול ד' על ב' ויהיו ח' כי יחס ד' אל ח' כיחס ב' אל ד' | |
|
אח"כ כפול ח' על ב' ויהיו י"ו כי יחס ד' אל ח' כיחס ח' אל י"ו | |
|
א"כ הנה הא' שוקל אוק' והב' ב' והג' ד' והד' ח' והה' י"ו וכן עולה ל"א | |
|
עם ב' כוסות תוכל לפרעו עד ס"ג והוא שתכפול י"ו על ב' ויהיו ל"ב והוא הגביע הו' ועם הל"א הם ס"ג | |
|
ועם ז' כוסות תוכל לפרעו עד קכ"ז ימים והוא שתכפול ל"ב על שנים ויהיו ס"ד ועם ס"ג והם קכ"ז | |
|
וכן עד אין קץ | |
Find the Price Problems - Three Types of Wool |
||
|
קפז) שאלה אדם מוכר מג' מיני צמר הראשנה מוכרה ככר שהם ק' ליט' עשרה מנינים | |
|
ידוע כי הראשנה הפ' ליט' שוות י' מנינים | |
|
וידוע כי השניה הצ' ליט' שוות עשרה מנינים וחצי | |
|
וידוע כי השלישית הצ"ט ליט' שוות י"ב מנינים ושליש | |
|
ונעשה הערך ככה אם הפ' שוה עשרה א' כמה שוה | |
|
הנה יצא לך שמין א' והוא שווי הליט' מהראשנה | |
|
עוד שוב אל הב' ותאמר אם צ' שוות עשרה וחצי א' כמה שוה | |
|
יצא לך שמין א' וד' שביעיות השמין הנה [149]הנה זאת יותר טובה מהראשנה | |
|
ונעשה כן מהג' ונאמר אלו צ' שוות י"ב ושליש א' כמה שוה | |
|
יצא לך פחות משמין ואין ראוי לקחת ממנה כי היא יותר גרועה מהאחרות | |
Payment Problem - 12 Harvesters |
||
|
קפח) שאלה הנה בכמה עומדים י"ב גלחים והנה אם יעבוד א' מהם שנה תמימה ראוי לקחת אוק' א' וב' טריניריש אחר שעבד שנה רצופה בצימצום ושואל אוק' וב' טריני | |
|
הנה ראוי לחבר כל הסך מאלו הי"ב גלחים ותמצא שעולה ט"ו אוק' וי"ח טרי | |
|
והנה ראוי לחלק העשרה אוק' על ט"ו אוק' וי"ח טרי | |
|
והנה ראוי לעשות מהי' אוק' טרי ולחבר עמהם הה' טרי ויעלה ש"ה | |
|
עוד תעשה מהט"ו אוק וי"ח טרי טרי ויעלה ד' מאות וס"ח | |
|
עוד שוב וכפול ש"ה על ל' ויעלה ק"נ | |
|
וחלקם על ד' מאות ויצא לך טרי והם י"ט וט"ו גרות וב' דינרין וככה יקח בעד כל אוק' ואוק' | |
|
ואם תרצה לדעת כמה יקח בעד כל טרי הנה כבר ידעת כי בעד אוק' ראוי לקחת י"ח וט"ו גרות וב' דינרין כפול י"ט על ב' רצוני שתעשה מהי"ט טרי גרות והעולה חלק על ל' בעבור כי הל' טרי שוים אוק' ויצא לך המבוקש | |
|
וכן תוכל לעשו' מכל מטבע | |
Simple Barter Problem - Silver and Cloth |
||
|
קפט) שאלה אדם נתן ד' ליט' של כסף לחבירו לחלופי' והתנה עמו שיתן לו מהג' ליט' עשרה מבגד וב' קנים מהבגד שוה ג' חביות של יין | |
|
התשובה ראוי לך לדעת כי הב' חביות הם שוות ח' דינרין ותאמר אם ב' שוות ח' ג' כמה שוות | |
|
ויצא לך י"ב הנה הג' חביות של [150]שוות י"ב דינרין | |
|
וידוע הוא כי ב' קנים היו שוות אלו הג' חביות הנה יש לך לעשות ככה והוא שתאמר אלו ב' קנים שוות י"ב דינרין הי' קנים כמה שווים | |
|
ויצא לך ס' | |
|
וידוע כי הי' קנים היה שווי ג' ליט' של כסף ותאמר אלו ג' שוות ס' ד' כמה שוות | |
|
ויצא לך פ' בלי תוספת ומגרעת | |
Simple Division Problem |
||
|
קצ) שאלה אדם אמר לחבירו אם תרצה לשאת על ספינתך כל החטה שלי אתן לך החצי בא שני ואמר לו אם תשא את שלי אתן לך השליש | |
|
תשובה בקש מספר יהיה לו חצי ושליש ורביעית וחומש ותמצא ס' | |
|
קח חציו והוא ל' ושלישיתו והוא כ' ורביעיתו והוא ט"ו והחומש והוא י"ב ובין הכל ע"ז | |
| ||
|
ותאמר אם ע"ז שוים ס' ג' מאות כמה ישוו | |
|
כפול ס' על ג' מאות וחלקם על ע"ז ויצא לך ב' מאות ול"ג ונ"ט חלק מע"ז והוא סך מה שנשא לכל א' וא' | |
|
ואם תרצה לבחון אותו קח חצי זה הסכום גם שלישיתו ורביעיתו וחמישיתו יוסף עליו ויעלה ג' מאות | |
| ||
Mixture and Alligation Problem |
||
|
קצא) שאלה בכאן אדם שיש לו ו' ליט' של כסף ובכל ליט' יש ז' אוק' מכסף מזוקק עוד יש לו ה' ליט' מכסף שיש לו בכל ליט' ו' אוק' מכסף טוב | |
|
תשובה ראוי שתדע כמה אוק' יכיל המספר הראשון שהוא ו' ליט' המכיל ז' אוק' לליט' יהיו מ"ב והוא מספר אוקי' הטובות | |
|
ועוד קח המספר השני שהוא ה' ליט' המכיל ו' אוק' לליט' ויהיו ל' והוא מספר אוק' הטובות | |
|
וחבר אלו הל' אל מ"ב ויהיו ע"ב | |
|
אח"כ חבר הליט' שהם ה'ו' ויהיו י"א | |
|
א"כ י"א ליט' יכיל ע"ב אוק' מכסף טוב | |
|
אח"כ כפול ט' שהוא הסך שתרצה לעשות על הליט' שהם י"א יהיה זה צ"ט | |
|
הוצא ע"ב מצ"ט הנשאר כ"ז | |
|
וחלק אלו הכ"ז על היתרון שיש בין ט' לי"א ותמצא ב' חלק כ"ז על ב' ותמצא י"ג וחצי שהם ליט' [152]וככה יקח מן הכסף המכיל י"א | |
|
ואם תרצה לבחון אותו חבר כל הליט' שהם י"ג וחצי וו' וה' ויהיו כ"ד וחצי | |
|
וכפול כל אחד על מה שמכיל ויעלה ר"כ וחצי והוא השמור | |
|
אח"כ כפול ט' על כ"ד וחצי ויעלו ר"כ ג"כ | |
Proportional Division Problems |
||
|
קצב) שאלה יש כאן ג' בני אדם כי הרויחו י"ב מנינים הא' שואל חצי הממון עם תוספת ב' והאחר שואל שלישית הממון עם תוספת ג' והאחר שואל רביעית הממון עם תוספת ד' | |
|
תשובה ראוי לחבר כל מה ששואלים מתוספת והם ב'ג'ד' והם ט' | |
|
תחסרם מי"ב ישארו ג' | |
|
אח"כ קח חצי י"ב יהיו ו' והשליש ד' והרביעית ג' וכלם י"ג | |
|
אח"כ כפול חצי המספר על ג' והנם י"ח | |
|
חלקם על י"ג ועלה א' וה' חלקים מי"ג וזה חלק משואל חצי הממון | |
|
ובעבור שאמר יותר ב' וקח ג' וה' חלקים מי"ג | |
| ||
|
אח"כ קח השליש וכפול אותם על ג' ויעלו י"ב | |
|
וחלקם על י"ג ויעלו י"ב חלקים מי"ג וזה חלק ממבקש שליש הממון | |
|
ובעבור שאמר ג' מתוספת וקח ג' וי"ב חלקים מי"ג | |
| ||
|
אח"כ קח רביעית המספר וכפול אותם על ג' ויעלו ט' | |
|
וחלקם על ג' ויעלו ט' חלקים מי"ג | |
|
ובעבור שאמר עם תוספת ד' וקח ד' וט' חלקים מי"ג | |
| ||
|
ותחבר הכל ויעלה י"ב שלמים | |
|
קצג) שאלה ג' אנשים רוצים לחלק י"ו מנינים הא' שואל חצי הממון פחות ג' והאחר שואל הרביעית עם תוספת ד' והאחר שואל החומש עם תוספת ה' | |
|
תשובה ראשנה תחבר התוספת ששואלים הב' מהם והוא ט' | |
|
חסר מהט' ג' כי א' מהם אמר פחות ג' וישארו ו' | |
|
הסר מסך הממון ו' הנשאר י' | |
|
אח"כ קח חצי הממון שהוא ח' | |
|
אח"כ קח חמישיתו שהוא ג' וחומש | |
|
ורביעיתו שהוא ד' | |
|
ותחבר הכל ויעלו ט"ו וחומש | |
| ||
|
אח"כ כפול מחציתו שהם ח' על הי' שנשארו אחר לקיחת התוספת של כל אחד והיו פ' | |
|
חלקם על ט"ו וחומש ויעלו ה' | |
|
הסר מהם ג' מצד שאמר פחות ג' יהיה חלקו ב' שלמים וכ' חלקים מע"ו | |
| ||
|
עוד קח רביעית הממון וכפול אותם על י' והעולה תחלק ויצא לך ב' שלמים ומ"ח חלקים מע"ו וזה יהיה חלקו משואל רביעית הממון ונתן לו ד' מצד שאמר ד' מתוספת | |
| ||
|
אח"כ קח חומש המספר וכפול אותם [153]על עשרה וחלק העולה על ט"ו וחומש ויצא לך שנים שלמים וח' חלקים מע"ו ובעבור שאמ' ה' מתוספת יקח ז' שלמים וח' חלקים מע"ו | |
| ||
|
ובין שלשתן י"ו שלמים | |
|
קצד) שאלה יש כאן ב' שרוצים לחלק עשרים מנינים הא' שואל השליש פחות ד' והאחר שואל החומש פחות ג' | |
|
הנה ראשנה ראוי לחבר ג וד' והנם ז' | |
|
תוסיפם על הממון שהוא כ' יהיו כ"ז | |
|
אח"כ קח שלישית כ' יהיו ו' וב' שלישיות | |
|
אח"כ קח החומש יהיה זה ד' | |
|
חברם יחד יהיו עשרה | |
|
אח"כ כפול ו' וב' שלישיות על כ"ז יהיה זה ק"פ | |
|
חלקם על י' וב' שלישיות ויהיה העולה י"ו וכ"ח חלקים מל"ב | |
|
ובעבור שאמר פחות ד' נחסר ד' וישאר י"ב וכ"ח חלקים מל"ב וזה חלק השואל שלישית הממון | |
| ||
|
עוד נכפול ד' על כ"ז יהיה זה מאה וח' | |
|
חלקם על עשרה וב' שלישיות יעלו עשרה וד' חלקים מל"ב | |
|
מצד שאמר פחות שלשה נקח מעשרה ג' הנשאר ז' וד' חלקים מל"ב | |
Multiple Quantities Problem - three men playing with a cube |
||
|
קצה) שאלה ג' אנשים מצחקים בקוביא הב' משימים כל ממונם נגד הג' והג' המצחק הפסיד ופרע לכל א' סך כל ממונם נגדו והוא הפסיד ופרע לכל א' ממונו | |
|
תשובה תקח סך האנשים שהם ג' תוסיף עליו א' בעבור הכפל הראשון ויהיו ד' | |
|
עוד כפול ג' ויהיו ו' תוסיף עליו א' ויהיו ז' | |
|
עוד כפול ז' ויהיו י"ד תסיר ממנו א' ויהיו י"ג | |
|
וידוע כי הממון היה ג' מאות על כן נעשה ככה ונאמ' בכאן ג' אנשים הא' נשא י"ג דינרין והאחר ז' והאחר ד' והרויחו ג' מאות כמה יקח כל א' וא' | |
|
תחבר כל ממונם שהם ד' ז' וי"ג הנם כ"ד | |
|
כפול י"ג על ג' מאות יהיה זה ג' אלפים וט' מאות | |
|
וחלקם על השמור שהוא כ"ד ויצא לך קס"ב וחצי והוא ממון הראשון | |
|
עוד כפול ז' שהוא ממון השני עם ג' מאות ויעלו ב' אלפים ומאה | |
|
וחלקם על כ"ד ויצא לך פ"ז וחצי והוא ממון השני | |
|
עוד יש לך לכפול ממון השלישי שהוא ד' על ג' ויעלו י"ב מאות | |
|
וחלקם על כ"ד ויצא לך חמישים שלמים והוא ממון הג' | |
|
ובין הכל ג' מאות | |
|
||
|
קצו) שאלה יש כאן חבית שיש לה ג' פתחים מהפתח הראשון יצא כל היין [154]בד' שעות ומהפתח השני בלתי הראשון יצא כל היין בג' שעות ומהפתח הג' זולת האחרים יצא כל היין בב' שעות ואם נפתחם שלשתם בכמה יצא כל היין | |
|
תשובה תוכל לעשותה בב' פנים | |
|
א' והוא שתקח החשבון היותר גדול מכלם שהוא ד' ותחלק אותו על עצמו גם על האחרים | |
|
ראשנה תחלקהו על עצמו יצא א' | |
|
אח"כ חלק ד' על ג' ויצא לך א' ושליש | |
|
אח"כ חלק ד' על ב' ויצא לך ב' | |
|
חברם כלם ויהיו ד' ושליש | |
|
חלק ד' עליהם ויצא לך י"ב חלקים מי"ג והוא השעור מיציאת היין | |
|
ואם תרצה לבחון אותו תעשה ככה נניח שהיו י"ב לוגים יין בחבית ונאמ' אלו הד' שעות יצאו י"ב לוגים כמה יצאו בי"ב חלקים מי"ג | |
|
תמצא שיצאו ב' לוגים ועשרה חלקים מי"ג | |
|
עוד נשוב ונאמר אלו בב' שעות יוצאים י"ב כמה יצאו בי"ב חלקים מי"ג (חלקים מי"ג) | |
|
תמצא שיצא ה' לוגים וח' חלקים מי"ג | |
|
עוד נשוב ונכפול אלו הג' שעות יצאו י"ב כמה יצא בי"ב חלקים מי"ג | |
|
תמצא ג' וט' חלקים מי"ג | |
|
חבר הכל ותמצא שהם י"ב שלמים | |
|
והדרך האחר הוא שנבקש המורה יהיו בו כל החלקים הנז' רצוני שלישית בעבור שאמר ג' שעות ורביעית בעבור ד' שעות ומחצית בעבו' ב' שעות תמצא י"ב | |
|
ומחציתו ו' ורביעיתו ג' ושלישיתו ד' חבר הכל יהיו י"ג | |
|
חלק המורה שהוא י"ב על י"ג יהיו י"ב חלקים מי"ג | |
|
והכל הולך אל מקום אחד | |
Compound Barter Problem - Cloth and Wool |
||
|
קצז) שאלה ג' בני אדם רוצים להחליף סחורה זה עם זה הא' מוכר בגד והאחר מוכר צמר מי שמוכר הבגד מוכר אותה הקנה שוה ג' מנינים במעות מנויים ומצד שהוא רוצה להחליף העלה אותו מנין א' לקנה ושם אותו ה' מנינים | |
|
ראוי לעשות ככה והוא שתקח ב' חמישיות מהממון שהוא שואל רצוני מהה' מנינים ישארו ה' | |
|
אח"כ קח ב' מהד' שהיה שווי הקנה במעות מנויים ישאר ב' | |
|
אח"כ תאמר אם ב' שוים ג' כמה שוים ז' | |
|
יצא לך י' וחצי וככה ישים הצמר | |
|
ואם תרצה לבחון נניח שקנה ב' קנה שהיו שוות פ' מנינים במעות מנויים ועתה שוות ק' [155]בחלוף שעושים | |
|
ומהק' הוא שואל ב' חמישיות במעות מנויים שהם מ' מנינים | |
|
הסר מפ' מ' הנשאר מ' | |
|
ומאלו המ' העלה אותם עד ס' כמה יקח מהצמר | |
|
ראוי לחלק מ' על ז' שהוא שווי הצמר התחלה יעלה לך ה' וה' שביעיות | |
|
ואמר אלו הה' וה' שביעיות כמה שוים לערך עשרה מנינים וחצי | |
|
תמצא שישוו ס' מנינים כי העלה אותם ממ' עד ס' | |
Partnership Problems |
||
|
קצח)[156] שאלה יש כאן ד' עושים שותפות הג' בלתי הרביעי שמו ו' מאות מנינים | |
|
ראוי לעשות כן תחבר כל ממונם יהיה זה אלף אחר שנחלקם על ג' והוא כל הממון ששמו בין כלם | |
|
ונסיר מזה ת"ר ישאר ת' והוא חלק הרביעי | |
|
עו' נסיר מזה ז' מאות וישארו ג' מאות והוא מה ששם השלישי | |
|
עוד נסיר מזה ח' מאות ישארו ב' מאות והוא מה ששם השני | |
|
עוד נסיר מזה ט' מאות ישארו מאה והוא מה ששם הראשון | |
|
ובין כלם אלף | |
|
קצו)[157] שאלה ד' עושים שותפות הג' בלתי הראשון שמו י"ח | |
|
תחבר כל ממונם ויעלה פ"ד | |
|
תחלקם על ג' ויצא לך כ"ח וכן כל ממונם | |
|
והנה חלקנו פ"ד על ג' כי לעולם הם מחוברים | |
|
ונסיר מהם י"ח ששמו הג' הראשנים וישארו עשרה והוא חלק הראשון | |
|
עוד נסיר כ' וישארו ח' והוא חלק השני | |
|
עוד נסיר כ"ב וישארו ו' והוא חלק השלישי | |
|
עוד נסיר כ"ד ונשאר ד' והוא חלק הרביעי | |
|
קצז)[158] שאלה בכאן חמשה שד' שמו כ"ב וד' מהם שמו כ"ד וד' מהם שמו כ"ו וד' מהם שמו כ"ח וד' מהם שמו ל' כמה לכל אחד ואחד | |
|
תחבר כל ממונם ויעלה ק"ל | |
|
חלקם על ד' שהם קשורים לעולם ויצא לך ל"ב וחצי והוא כל ממונם | |
|
תסיר מהם כ"ב הנשאר עשרה וחצי והוא ממון החמישי | |
|
תסיר מהם כ"ד הנשאר ח' וחצי והוא ממון הרביעי | |
|
תסיר מהם כ"ו וישארו ו' וחצי והוא ממון השלישי | |
|
תסיר מהם כ"ח וישארו ד' וחצי והוא ממון השני | |
|
תסיר מהם ל' וישארו ב' וחצי הוא ממון הראשון | |
Purchase - Unequal Amount Problem - Two Types of Wheat |
||
|
קצט) שאלה יש כאן אדם שמוכר מדת החטה י' מנינים ויש לו חטה אחרת יותר טובה שמוכר המדה י"ו מנינים ובא אדם ואמר לו מכור לי מב' מיני חטה לערך י"ד מנינים ואקנה כ' מדות כמה יתן לו מכל חטה וחטה באופן שיבא י"ד מנינים החטה | |
|
תשובה כך תעשה ראה איזה הפרש יש בין י"ד לי' תמצא ד' ותשימם על י"ו שהוא הפכו | |
|
עוד תראה איזה תוספת יש בין י"ד לי"ו שהוא הערך השני תמצא ב' ותשים אותם על י' | |
|
אח"כ חבר ב' וד' שהם הנוספים ויהיו ו' ושמרם | |
|
אח"כ קח הד' וכפול אותם על הסך שהוא רוצה לקחת שהם כ' מדות יעלה פ' | |
|
חלקם על ו' יעלה לך י"ג שלמים ושליש ושים אותם אצל המדות ששוות י"ו מנינים | |
|
אח"כ כפול הב' שהוא המספר השני על כ' שהוא סך המדות יעלה מ' | |
|
חלקם על ו' יצא לך ו' שלמים וב' שלישיות וככה יקח מהחטה ששוה י' מנינים המדה | |
|
הנה א"כ יש לו לקחת מהחטה ששוה י"ו מנינים י"ג מדות ושליש ומהחטה ששוה י' יקח ו' וב' שלישיות ובין הכל כ' מדות | |
|
ואם תרצה לבחון אותו ידוע הוא כי הוא שאל כ' מדות לערך י"ד מנינים במדה [159]כפול י"ד על כ' יצא לך ר"פ | |
|
ואתה אמרת שראוי לקחת י"ג מדות ושליש מאותו ששוה י"ו מנינים כפול י"ו על י"ג ושליש ויצא לך רי"ג ושליש ושמור אותם | |
|
אח"כ שוב אל החטה ששוה י' מנינים המדה ואתה אמרת שראוי לקחת ממנה ו' מדות וב' שלישיות כפול ו' וב' שלישיות על עשרה יצא לך צ"ו וב' שלישיות | |
|
חבר ס"ו וב' שלישיות אל רי"ג ושליש ויצא לך ר"פ שלמים והוא שוה אל הר"פ השמורים | |
Purchase - Equal Amount Problem - Five Coins |
||
|
ר) שאלה יש כאן א' שיש לו מגן א' ורוצה שינתן לו בעד זה מגן קרליני וגרני וטורנישי ודינר וקאוואלי שוה בשוה שיקח מהא' כמו מהנשארים | |
|
ראוי לעשות ככה והוא שתדע כמה קאוואלי יש במגן תמצא י"ב מאות | |
|
אח"כ תאמר כמה דינרין יש במגן תמצא ו' מאות | |
|
אח"כ תאמ' כמה טורני יש במגן תמצא ב' מאות וק' גרות וי' קרליני | |
|
קח המספר הגדול שבכלם והוא י"ב מאות וחלקהו על עצמו יצא א' | |
|
ועל הדינרין יצא ב' | |
|
ועל הטורני ו' | |
|
ועל הגרות י"ב | |
|
ועל הקרליני ק"כ | |
|
חברם כלם ויהיו קמ"א | |
|
חלק י"ב עליהם ויהיו ח' וע"ב חלקים קמ"א וכך יקח מכל מטבע | |
|
ואם תרצה לבחון השב כל המטבעים אל המטבע היותר דקה שהם קאוואלי וגם החלקים ויעלה י"ב מאות | |
Payment Problem - Herdsman |
||
|
רא) שאלה יש כאן מי שיש לו שורים ואמר לרועה אלו ירעה שוריו ה' שנים יתן לו חצי כל הריוח וגם חצי השורים אחר תשלום הה' שנים והרועה מת לסוף ל"א חדשים וחצי והשורים הם ג' מאות ונ' נרצה לדעת כמה יקח הרועה שאלו לא מת עד סוף ה' שנים לקח חצי השורים | |
|
ראוי לעשות ככה והוא שתשיב ה' שנים חדשים ויהיו ס' | |
|
ותאמר אם ס' שוים ש"נ ל"א וחצי כמה שוים | |
|
ומה שיבא הוא קפ"ג ומ"ה חלקים מס' | |
Proportional Division Problems |
||
|
רב) שאלה אדם רוצה לעשות מלחמה ועשה ב' מאות אנשים רוכבים על סוסים וד' מאות רגליים אמר להם כל מה שיבוזו יהיה שלהם והתנו ביניהם כי רוכב הסוס יקח כל א' ה' מנינים והרגליים ג' מנינים והשלל הוא אלף מנינים | |
|
ראוי [160]לעשות ככה והוא שתכפול המנינים הראוים לקחת הרגליים על ד' מאות מצד כי הם ד' מאות תכפלם על ג' ויצא לך י"ב מאות | |
|
עוד כפול ה' שהוא מה שראוי לקחת רוכבי הסוסים על ב' מאות מצד שהם ב' מאות ויצא אלף | |
|
אח"כ חבר אלף עם י"ב מאות ויהיו כ"ב מאות | |
|
אח"כ קח א' מהמספרים רצוני או אלף או י"ב מאות ותכפלם על אלף שהוא הכזה ותחלקם על ב' אלפים וב' מאות ויצא לך חלק כל א וא' | |
|
אח"כ כפול אלף על אלף וחלקם על כ"ב מאות יצא לך תנ"ד וו' חלקים מי"א | |
|
אח"כ כפול י"ב מאות על אלף וחלקם על כ"ב מאות ויצא לך תקמ"ה וה' חלקים מי"א והוא חלק הרגליים | |
|
רג) שאלה יש כאן ג' טוחנות הא' טוחנת י"ב מדות ביום והב' ט' והג' ו' ובא א' עם ק' ורוצה לטחנם מהרה ורוצה שיחלקו המדה לג' טוחנות ויהיה עשוי הכל בבת אחת כמה מדות נשים בכל א' וא' | |
|
הנה ראוי לחבר מספר כלם רצוני י"ב וט' וו' יעלה כ"ז | |
|
אח"כ כפול ק' וחלקם על כ"ז יצא לך מ"ד וכ"ב חלקים מכ"ז והוא המדות שנתן לו | |
|
עוד נכפול ט' על ק' וחלק על כ"ז ויצא ל"ג וט' חלקים מכ"ז | |
|
עוד כפול ו' על ק וחלק על כ"ז ויצא כ"ב וו' חלקים מכ"ז | |
|
ובין הכל מ' | |
|
ולדעת כמה זמן תעמוד החטה על הטוחנת תאמר אלו י"ב מדות נעשות י"ב שעות בכמה שעות אעשה מ"ד מדות וי"ב חלקים מכ"ז | |
|
וזה נודע | |
Ordering Problem - Eggs |
||
|
רד) שאלה אשה נושאת ביצות והפילם אדם ואמרה שיפרעם ואמרה כשמניתים ב"ב נשאר א' ג"ג א' ד"ד א' ה"ה א' ו"ו א' ז"ז שוה כמה היו | |
|
בקש מספר אשר לו חצי ושליש ורביעית וחומש ושתות ותמצא ס' | |
|
תוסיף א' בעבור התוספת על בב' גג' וכו' יהיו ס"א | |
|
אח"כ כפול ה' על ס"א ויעלה ש' | |
|
תוסיף בו א' ויהיו ש"א | |
|
שאלה אדם נושא ביצות ואחר הפילם ואמר שיפרעם ואמר כשמניתים א' בב' נשאר א' גג' ב' הה' ד' וו' ה' זז' שוה כמה היו | |
|
בקש מספר לו שליש ורביע וחומש ושתות והוא ס' | |
|
תסיר א' נשאר נ"ט | |
|
תוסיף ס' ויהיו קי"ט והוא המבוקש | |
Mixture and Alligation Problems |
||
|
רה) שאלה אדם יש לו ליט' מב' מיני כספים שא' מהם יש לליט' ז' אוק' מכסף טוב ובאחר אוק' ורוצה להתיך מהב' כספים [161]ולהשיבם שיכיל כל ליט' ט' אוק' מכסף טוב נשאל כמה יקח מכל א' וא' | |
|
ראה איזה הפרש מט' לז' תמצא ב' ושימם על י"א | |
|
ואח"כ ראה ההפרש מט' לי"א והוא ב' ושימם על ז' | |
|
הנה ראוי לקחת מזה כמו מזה | |
|
רז) שאלה לאדם מג' מיני כסף בא' ה' אוק' לליט' מטוב ובאחר ז' ובאחר י"א ורוצה לקחת משלשתן באופן שיכיל לליט' ח' אוק' | |
|
כך תעשה ראה איזה הפרש יש בין ז' לח' תמצא א' ושים אותו על ה' | |
|
עוד תאמר איזה הפרש מה' לח' תמצא ג' ושימם על ז' | |
|
אח"כ כפול א' על ה' ויצא ה' | |
|
עוד כפול ז' על ג' ויצא כ"א | |
|
חברם אל ה' ויהיו כ"ו | |
|
אח"כ קח הליט' שהם א' וג' יהיו ד' | |
|
וכפלם על ח' ויהיו ל"ב | |
|
הוצא מל"ב כ"ו נשארו ו' ושמרם | |
|
אח"כ חלק אלו הו' בין ההפרש שיש בין ח' לי"א תמצא ג' חלק ו' על ג' יצא ב' | |
| ||
|
הנה א"כ ראוי לקחת א' ליט' מכסף ה' וג' מכסף ז' וב' מכסף י"א | |
|
ואם תרצה לבחון אותו חבר כל הליט' וקח שוויים מהג' כספים ממה שמכיל ויעלו מ"ח | |
|
עוד כפול סך הליט' שהם ו' על ח' ויעלו מ"ח והם שוים | |
|
רח) שאלה אם יש לך ג' ליט' מכסף שמכיל ז' אוק' מטוב בכל ליט' ותרצה להשיב באופן שיכיל ט' אוק' כל ליט' | |
|
ראוי לחלק ז' על ט' יצא ז' תשיעיות | |
|
אח"כ כפול הז' תשיעיות על ג' ויצא כ"א | |
|
וחלקם על ט' יצא ב' ושליש | |
|
ותבחון אותו ותמצאנו נכון כי הג' ליט' מז' שוות כ"א והב' ושליש מט' שוות כ"א | |
|
רט) שאלה לאדם ו' ליט' מכסף שמכיל ח' מטוב ונרצה להשיבם באופן שלא יכילו כי אם ד אוק' מטוב לליט | |
|
חלק ח' על ד' יצא ב' | |
|
כפול ב' על ו' ויצאו י"ב | |
|
הנה הו' ליט' המכילות ח' יעשו י"ב מכילות ד' | |
How Many Problem - Group of People |
||
|
רי) שאלה אדם עבר על אנשים אמר שלום עליכם מאה איש אמרו אין אנחנו ק' רק אנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעתנו ועמך נהיה מאה שאל שואל כמה היו אל | |
|
הנה נקח למספרם א' וא' כמוהו והם ב' | |
|
וחצי ורביע הם ג' רבעיו' | |
|
ונעשה מב' ג' רביעיות ויהיו י"א | |
| ||
|
ויען כי אמרנו עמו היו מאה מספרם צ"ט | |
|
כפלם על ד' וחלק על י"א ויצאו ל"ו | |
Buy and Sell Problems |
||
|
ריא) שאלה אדם קנה בק' זהובים ק' ליטרי' [162]ומכר החמישים ראשנים ליט' ורביעית ליט' בזהוב והנ' אחרונים ג' רביעיות בזהוב נשאל אם הרויח או הפסיד | |
|
נשיב הנ' ראשנים ר' | |
|
נחלקם על ה' בעבור ה' רביעיות שנתן בפשוט יעלה מ' | |
|
גם נשיב הנ' אחרונים מאתים | |
|
נחלקם על ג' ויעלו ס"ו וב' שלישיות | |
|
חברם אל מ' ויהיו ק"ו וב' שלישיות | |
|
הנה הרויח ו' וב' שלישיות | |
| ||
|
ריב) שאלה אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות בפשוט והרויח פשוט כמה ממונו | |
|
בקש המורה שהוא ל"ה שהוא כפל ז' על ה' | |
|
והנה ג' חמישיות כ"א | |
|
וד' שביעיות כ' | |
|
והממון היה כ' ושב כ"א והרויח פשוט ומהכ' דינרין קנה י"ב ליט' | |
|
ריג) שאלה אדם קנה ד' שביעיות בפשוט ומכר ה' תשיעיות בפשוט והרויח פשוט | |
|
הדרך נודע | |
Purchase Problem – Moneychanger |
||
|
ריד) שאלה יש אצל המחליף מג' מטבעים שוה בזהוב מהא' ג' בזהוב ומהאחרת ד' ומהאחרת ו' ובא אדם אמר למחליף יחליף לו זהוב יתן לו מג' המטבעי' מספר שוה | |
|
בקש מספר לו שליש ורביע ושישית תמצא י"ב וכל החלקים הם ט' והוא דינר | |
|
ונבקש מה ערך י"ב אל ט' והוא א' ושליש וככה יקח מכל מטבע | |
Payment Problem - Digging a Hole |
||
|
רטו) שאלה ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקעו ז' באורך ו' באורך וה' בעומק ויתן לו י"א והוא חפר ו' באורך וה' בעומק וד' ברוחב כמה ראוי שיקח | |
|
זאת השאלה הוא מערכים כפולים נקר' ריגולא דיטרי דנפיצה | |
|
ויצא לך ו' וב' שביעיות וכך ראוי שיקח | |
Motion Problem – Pursuit |
||
|
ריו) שאלה איש שלח רץ ילך בכל יום כ"ט מילין ובסוף י' ימים שלח אחר ילך בכל יום ל"ז מתי ישיגנו | |
|
נכפול המילין שהלך הראשון בי' ימים והם ר"ץ | |
|
נחלקם על היתרון שהוא בין ב' המהלכים שהוא ח' ויצא לך ל"ו ורביעית יום | |
Boiling Problems |
||
|
ריז) שאלה אדם היו לו י' מדות מתירוש ורצה לבשלם עד לא ישאר כי אם שליש והחל לבשל עד שנשארו ח' ונשפכו ב' ורוצה לבשלם כמשפט הראשון | |
|
יש לך ג' מספרים ידועים | |
|
א' כמה שליש עשרה והוא ג' ושליש | |
|
וידוע כי ח' היו המדות שנתבשלו | |
|
וידוע כי ו' נשארו | |
|
ונעשה כך נכפול ו' על ג' וחלק על ב' ויצא ב' וחצי | |
|
ריח) אדם יש לו ט' מדות ורצה לבשלם עד ישובו לשליש ונתבשל עד נשארו ו' מדות ונשפך ד' נשארו ב' כמה ראוי לבשל | |
|
כפול ב' על ג' יעלו ו' חלקם [163]על ו' יעלה א' והוא הנדרש | |
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree |
||
|
ריט) שאלה אילן שביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה ח' כמה ארכו | |
|
המורה הוא ס"ג | |
|
נחסר ממנו י"ו שהוא השביעית והתשיעית ישארו מ"ז | |
|
ונעשה הערך כפלנו ח' על ס"ג עלו תק"ד חלקנום על מ"ז עלו י' שלמים גם ל"ד חלקים ממ"ז | |
|
ושביעית זה המספר א' שלם גם כ"ה חלקים ממ"ז ותשיעיתו א' שלם גם ט' חלקים | |
| ||
Triangulation Problem |
||
|
רכ) שאלה הצבנו סולם אל קיר עשר אמות גבהותו וככה גובה הסולם הורדנו ראש הסולם מלמעלה ב' אמות | |
|
אתן לך כלל בדבר זה לעולם יהיה מרובע הנשאר מראש הסולם אל היסוד עם מרובע מרחק הרגל מן היסוד שוים למרובע הסולם | |
|
והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ויהיה מרובעו ס"ד | |
|
נחסרם מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה מרחק הסולם למטה מן היסוד | |
| ||
|
רכא) שאלה באר ארכו עשרה ורחבו ח' גבהו ה' יכיל אלף ליט' מים ונשפכו כמה חסרו המים | |
|
ערוך המאה על הגובה והעולה חלק על אלף והוא חצי א' וחצי אמה ירד | |
Payment Problem - Two Workers |
||
|
רכב) שאלה ראובן שכר שמעון בי' כספים לל' יום ונתנ[.]לו ושמעון חלה והשכיר אחר במקומו י"ב כספים ביום ועשה השכיר ימים ידועים והאחר כמו כן ונתן לו עשרה כספים | |
|
ידוע כי לל' יום היה שכרו י"ב כספים ונאמר אלו י"ב שוים ל' י' כמה שוים | |
|
כפול ל' על י' ועלה ר"ק חלקם על י"ב יעלו כ"ה | |
|
רכג) שאלה אם הלויתי לך ק"נ מנינים בעד ו' חדשים ואח"כ אני מצטרך ואמר לי הלוה לי מעות בעד ב' חדשים שיהיה שוה לק"נ שהלויתי לך בעד ו' חדשים | |
|
ראוי לכפול ו' על ק"נ ויעלו ט' מאות | |
|
חלקם על ב' ויצא ד' מאות ונ' וכן ילוה לו בעד ב' חדשים | |
Purchase Problem - Moneychanger |
||
|
רכד) שאלה אצל המחליף מד' מטבעים הא' ו' שוות זהוב והב' ד' והאחר ג' ואחר ב' ורוצה שיתן לו מכל א' רביעית זהוב כמה יקח מכל אחת | |
|
ראוי [164]לחלק המטבע הא' שהוא ו' על ד' ויצא א' וחצי וכן יקח ממנה | |
|
עוד חלק ד' על ד' ויצא א' וכן יקח | |
|
עוד חלק על ג' ויצא ג' רביעיות | |
|
עוד חלק ב' על ד' ויצא חצי וכן יקח ממנה | |
Multiple Quantities Problems |
||
|
רכה) שאלה אדם עזב ממון לבניו בלתי נודע ואמר לראשון אתה תקח מממוני ז' דינרין ועשור הנשאר | |
|
ראוי לקחת המספר השוה והוא העשור כי לכלם אמר עשור | |
|
חסר א' ישארו ט' | |
|
כפול ט' על זה שהוא חלק הראשון זולת העשור יעלה ס"ג | |
|
א"כ הבנים היו ט' וממונו היה ס"ג | |
|
ועתה כפול ס"ג על ט' ויעלה תקס"ז והוא כל הממון | |
|
ודוק ותשכח | |
|
רכו) שאלה יש כאן ג' שרוצים לחלק ק"כ מנינים ויהי ריב וה[.]לו ממונם וכל א' וא' לקח מה שיכול לקחת ויתקוטטו ביניהם | |
|
בקש מספר לו חצי ושליש ורביע תמצא י"ב | |
|
ותאמר י"ב מאיזה מספר חציו תמצא כ"ד | |
|
אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ב' שלישיות בעבור שעכב לעצמו ב' שלישיות תמצא י"ח | |
|
עוד תאמר י"ב מאיזה מספר ג' רביעיות תמצא י"ו | |
|
קבץ הכל ויהיו נ"ח ושמרם | |
|
אח"כ כפול המספר הראשון שהוא כ"ד על ק"כ והעולה חלק על נ"ח ויצא מ"ט ול"ח חלקים מנ"ח | |
|
עוד כפול י"ח על ק"כ וחלק על נ"ח יצא ל"ז וי"ד חלקים מנ"ח | |
|
עוד כפול י"ו על ק"כ וחלק על נ"ח ויצא ל"ג וו' חלקים מנ"ח | |
|
ולבחון אותו קח חצי הראשון ושליש השני ורביעית הג' ועשה ג' חלקים שוים ותן לכל א' חלק א' ויעלה מ' לכל א' | |
Proportional Division - Three Men Sharing Food |
||
|
רכז)[165] שאלה יש כאן ב' קנו ה' לחמים א' קנה ב' ב' פשוטים ואחר ג' ג' פשוטים בא א' ואמר אם תרצו שאוכל עמכם אפרע כלם שווים | |
|
ראוי לחלק ה' לג' יעלה א' וב' שלישיות וכך אכל כל א' וא' | |
|
א"כ הראשון אכל כל לחמו פחות שליש לכן נתן לו א' [166]והאחר אכל כל לחמו פחות ד' רביעיות לכן נתן לו ד' | |
Give and Take Problem - Gatekeeper |
||
|
רכח) שאלה אדם הולך לגן ללקוט שושנים ובבואו יש לו לעבור בג' פתחים ראשון יש לו לתת חצים עם תוספת ג' | |
|
שים על ב' א' בעבור א' מתוספת ויהיו ג' וידוע כי ג' הם ג' רביעיות והשלם הוא ד' | |
|
עוד תוסיף על ד' ב' נשארו ו' וידוע הוא כי ו' ב' שלישיות והשלם ט' | |
|
ושים עליו ג' והנם י"ב והוא חצי המספר ויהיו כ"ד וכך לקט | |
Find the Fund Problem, Find the Interest Problem |
||
|
רכט)[167] שאלה אדם מלוה לחבירו אלף מנינים בעד שנה ומחוייב לתת לו על כל ק' כ"ה ובסוף ו' בעל הממון נצטרך למעות ואמר למחוייב לו תן לי ק' מנינים | |
|
כך תעשה תאמר אם ק' מרויחים כ"ה אלף כמה ירויחו תמצא רכ"ה | |
|
אח"כ תאמר הפרעון הראשון שהוא ק' בסוף ו' כפול ק' על ו' ויהיו ת"ר | |
|
ותאמר אם ק' מנינים בי"ב מרויחים כ"ה ק' בו' חדשים מה ירויחו תמצא י"ב וחצי | |
|
עוד קח הפרעון הב' שהוא ת' לסוף ד' וכפול על החדשים ויעלו אלף ות"ר | |
|
ותאמר אם ק' בי"ב מרויחים כ"ה ת' בד' יתנו לך ל"ג ושליש | |
|
עוד קח הפרעון הג' שהוא ר' בתוך ג' ותאמר אם ק' בי"ב יתנו כ"ה ב' מאות בג' מה יתנו ויצא י"ב וחצי | |
|
אח"כ חבר וחצי עם ל"ג ושליש ועם י"ב וחצי ותוציאם מר"נ וישאר קמ"א וב' שלישיות והוא הרבית שראוי שיקבל בסוף השנה | |
| ||
|
ויש לו לקבל מהקרן ג' מאות ויעלה עם הקרן והריוח תמ"א וב' שלישיות | |
Find the Price Problem - Oil and Wine - Double False Position |
||
|
רל)[168] שאלה אדם קנה ה' חביות שמן וי' חביות יין ובין הכל שוה ק' מנינים אח"כ קנה ט' חביות שמן וב' חביות יין ק' מנינים | |
|
כך תעשה קח איזה מספר שתרצה ושימהו ערך השמן או היין | |
|
ונשים ערך השמן ח' מנינים | |
|
הנה הה' שוות מ' מנינים | |
|
ונשארו ס' א"כ ערך החבית ישווה ו' מנינים | |
|
ונשוב אל [169]השני ונאמר שהט' חביות שוות ע"ב והב' שוות י"ב ויעלה פ"ד | |
|
ויחסר עד ק' י"ו ותאמר בעד הערך שהוא ח' יחסר י"ו | |
|
אח"כ בקש מספר אחר ונאמר כי חבית השמן שוה ט' | |
|
והה' שוות מ"ה | |
|
וחבית היין ה' וחצי ויהיו ק' | |
|
שוב אל הב' והט' חביות שוות פ"א והב' יין י"א ויהיו צ"ב | |
|
ויחסר ח' עד ק' | |
|
הוצא ח' מי"ו נשארו ח' | |
|
אח"כ כפול ט' שהוא הערך על י"ו שהוא השיור מהערך הא' ויהיו קמ"ד | |
|
אח"כ כפול ח' שהוא הערך הראשון על ח' יעלה ס"ד | |
|
הוצא ס"ד מקנ"ד נשארו פ' | |
|
חלקם על ח' ויצא י' וכן קנה | |
Pursuit Problem Problem - Dog and Rabbit |
||
|
רלא)[170] שאלה בכאן כלב וארנבת והארנבת רחוקה מהכלב ק' פסיעות | |
|
הדרך ראוי לחלק ק' על היתרון שהוא מא' עד ה' שהוא ד' ויעלה כ"ה והוא המבוקש | |
Divide a Number Problem - 30 into 4 parts |
||
|
רלב) שאלה תעשה לי מל' ד' חלקים שיהיה יחס הד' אל הג' כג' לב' וכב' לא' | |
|
נניח שהא' א' והב' ב' והג' ד' והד' ח' | |
|
ובין כלם ט"ו | |
|
לכן כפול א' על וחלק על ט"ו ויצא ב' והוא הראשון | |
|
עוד כפול ב' על ל' וחלק על ט"ו ויצא ד' והוא הב' | |
|
וכן מהג' ויצא ח' | |
|
וכן מהד' ויצא י"ו | |
|
וכלם מתיחסים | |
How Many Problem - Hours |
||
|
רלג)[171] שאלה אדם שואל לחבירו כמה שעות הקישו השיב הב' שלישיות מהמוקשות שוות לג' שרביעיות לאותם שראוי להקיש | |
|
כבר ידעת כי שעות היום הם כ"ד | |
|
ונניח כי הקישו ג' | |
|
וידוע כי ב' שלישיותיו הם ב' | |
|
ונבקש מספר אשר ב' יהיו ג' רביעיותיו ונמצא ב' וב' שלישיות | |
|
ובין הכל עולה ה' וב' שלישיות | |
|
לכן נכפול ג' על כ"ד וחלק על ה' וב' שלישיות ויצא י"ב וי"ב חלקים מי"ז והם השעות שהקישו | |
|
והנשאר עד כ"ד שהם י"א וה' חלקים מי"ז | |
|
ראוי להקיש ולבחון אותו קח ב' שלישיות מי"ב ומי"ב חלקים מי"ז ויעלה ח' וח' חלקים מי"ז | |
|
עוד קח ג' רביעיות י"א וה' חלקים מי"ז ויעלה ג"כ ח' וח' חלקים מי"ז | |
Multiple Quantities - Boys Selling Eggs |
||
|
רלד)[172] שאלה אדם נותן ביצות לז' בניו למכור ונותן לא' מחצית השני ר"ל שאם יתן א' לראשון יתן ב' לשני וג' לג' וד' לד' וה' לה' וו' לו' וז' לז' ובאופן שימכור הא' ימכרו כלם וכל כך ממון ישא הא' [173]כמו האחר | |
|
הדרך בזה שתכפול ז' על ב' הנם י"ד תוסיף א' ויהיו ט"ו והוא סך הביצות מהראשון | |
|
שים בו ט"ו ויהיו ל' והוא חלק הב' | |
|
שים בו ט"ו והוא מ"ה והוא חלק הג' | |
|
שים בו ט"ו ויהיו ס' והוא חלק הד' | |
|
והאחר ע"ה | |
|
והאחר צ' | |
|
והאחר ק"ה | |
|
ולדעת איך מכרו תחסר החלק היותר גדול מט"ו שהוא ח' והוא מה שנתנו בפשוט | |
|
והנה לראשון נשארו ז' ומכרם ב' פשוטים כל א' וא' | |
|
וכך מעות נשא הא' כמו האחר [ותמצא כי ממון כל אחד ט"ו | |
|
ותקיש על זה][174] | |
|
רלה)[175] שאלה ואלו אמר כי הבנים ג' ונתן לכל א' מספר מונח ולב' אותו המספר מונח וג' פעמים כמוהו ולג' המספר המונח וו' פעמים מספר מונח ובאופן שמכר הא' ימכור האחר | |
|
ראוי לכפול מה שמוסיף הב' על הא' על סך הבנים | |
|
וידוע כי הבנים ג' והשני מוסיף במספר עם הראשון ג' ועם המספר המונח הם ד' | |
|
כפול ג' על ד' ויהיו י"ב | |
|
תוסיף בו א' ויהיו י"ג | |
|
תחסר מי"ג סכום הבנים וישאר י' כי לעולם ראוי לחסר מהמקובץ סכום הבנים הנה י' נתן בפשוט | |
|
ואם תרצה לדעת באיזה ערך מכר הג' שנשארו כבר ידעת כי השני מוסיף על הראשון ד' פעמים כמוהו ועם המספר המונח הנה א"כ כל א' מהג' מכר ד' פשוטים | |
|
ואם היה מוסיף השני על הראשון ה' פעמים כמוהו היה מוכר כל א' ה' פשוטי' ואם ו' ו' | |
Find the Volume - Suit |
||
|
רלו)[176] שאלה אדם רוצה לעשות סרבל מבגד שרחבו ה' זרתות ונכנס בו י"ד זרתות ורוצה לעשות סרבל אחר מבגד שרחבו ד' זרתות כמה זרתות ישים בו | |
|
תוציא ד' מה' נשאר א' | |
|
תחלק י"ד על ד' ויהיו ג' וחצי | |
|
תוסיפם על י"ד ויהיו י"ז וחצי | |
|
הנה א"כ ראוי לקחת מבגד אחד י"ז זרתות וחצי | |
|
ולבחון אותו כפול י"ד על ה' ויהיו ע' | |
|
עוד כפול ד' על י"ז וחצי ויהיו ע' | |
Currency Problem - Magen - Peraḥ |
||
|
רלז)[177] שאלה איש מחוייב לחבירו ד' מאות מנינים וכל מגן שוה ל"ג גרושי וי"ב גרושי שוים פרח א' | |
|
הנה הדרך שתכפול ד' מאות על ל"ג ויהיו י"ג אלפים וב' מאות | |
|
וחלקם על י"ב ויצא לך אלף ומאה והוא סך הפרחים שראוי שיקבל | |
Simple Division Problem - Purse |
||
|
רלח)[178] שאלה מספר אנשים הולכים בדרך וימצאו כיס א' עם ק' מנינים הא' שואל ד' עם שתות הנשאר והאחר ח' עם שתות הנשאר והאחר י"ב עם שישית וכן עד תומם | |
|
ראוי לחלק ק' על ד' ויצא כ"ה | |
|
וקח שרשם והם ה' | |
|
כפלם על ד' ויצא כ' והוא המגיע לכל א' וא' | |
|
ולדעת סכום הבנים חלק ק' על כ' ויצא לך ה' | |
|
דרך אחרת חסר מהסך השוה לכלם שהוא השתות א' וישאר ה' והוא סכום הבנים | |
|
ולדעת ממון כל א' כפול ד' על ה' שהוא מה שיקח הראשון זולת השתות ויעלה כ' והוא הממון | |
Multiple Quantities Problem - Two Purses - Double False Position |
||
|
רלט)[179] שאלה ב' בני אדם כל א' מצא כיס אמ' הראשון אם תתן לי שליש ממון כיסך אני אתן לך רביעית ממון כיסי | |
|
נניח מנותן שליש ממון כיסו היה לו ט"ו | |
|
חסר ה' שהוא שלישיתו וישארו י' | |
|
א"כ יצטרך בכיס השני יהיה ח' באופן כשיתן מח' רביעיתם שהם ב' ישלימו י"ב עם י' שיש לחבירו | |
|
וידוע כי קבל ה' עם ו' הנם י"א ויחסר עד י"ב א' | |
|
ותאמר בעד ט"ו חסר א' | |
|
עוד בקש מספר אחר נניח כי בכיס נותן שליש היה י"ו | |
|
חסר שלישיתם שהוא ה' ושליש ישארו י' וב' שלישיות | |
|
ויחסר עד י"ב א' ושליש | |
|
א"כ ממון השני הוא ה' ושליש | |
|
חסר הרביעית שהוא א' ושליש ישארו ד' שלמים | |
|
והוא קבל ה' (ושליש) א"כ יש לו ט' ושליש | |
|
ויחסר עד י"ב ב' וב' שלישיות | |
|
ותאמר בעד י"ו ששמנו חסר ב' וב' שלישיות | |
|
א"כ הוצא א' שהוא חסרון הערך הא' מב' וב' שלישיות הנשאר א' וב' שלישיות | |
|
אח"כ כפול י"ו שהוא הערך הב' על א' שהוא חסרון הערך הא' ויהיו י"ו | |
|
עוד כפול ט"ו שהוא הערך הא' על ב' וב' שלישיות שהוא חסרון הערך הב' ויעלו מ' | |
|
הוצא י"ו ממ' נשאר כ"ד | |
|
חלק כ"ד על א' וב' שלישיות יצא י"ד וב' חמישיות והוא מה שבכיס מנותן השליש | |
|
וט' וג' חמישיות יש בכיס נותן רביעית | |
|
ותבחון אותו כי הוא צודק | |
Encounter Problem - Two Ants |
||
|
רמ)[180] שאלה בכאן מקל זקוף וברגל המקל התחתון יש בו נמלה ורוצה לעלות והולכת ד' אמות וחומש המקל בשעה אחת | |
|
חלק ק' על ה' ויצא עשרים | |
|
תוסיף עליהם ד' ויהיו כ"ד | |
|
אח"כ תחלק ק' על ד' ויצא כ"ד | |
|
תוסיף בם ו' ויהיו ל' | |
|
תחבר ל' עם כ"ד ויהיו נ"ד | |
|
חלק ק' על נ"ד ויצא א' וכ"ג חלקים מכ"ז והוא הזמן שישיגו זה את זה | |
| ||
|
ותוכל לבחון אותו ואמור אם א' שוה ל' א' וכ"ג חלקים מכ"ז כמה ישוה | |
|
ויצא לך נ"ה וט' חלקים מכ"ז והוא מהלך מהולך ו' אמות ורביעית המקל | |
|
עוד תאמר אם א' שוה כ"ד א' וכ"ג חלקים מכ"ז כמה שוים | |
|
ויצא לך מ"ד וי"ב חלקים מכ"ז והוא השעור ממי שהולך ד' אמות וחומש המקל | |
|
ובין הכל ק' | |
Simple Division Problem - Four Sons |
||
|
רמא)[181] שאלה לאדם יש לו ד' בנים ואמר שהא' יקח מממונו החומש ועשרים מנינים יותר | |
| ||
|
תקח תוספת האחרון שהוא פ' ותכפלם על ה' מצד כי כל א' שואל החומש ויהיו ד' מאות | |
|
והבנים ד' א"כ הגיע לכל א' ק' מנינים | |
|
ותוכל לבחון אותו חסר ממאה כ' נשארו פ' | |
|
וחומש הנשאר הם פ' והם מאה וכן לכל א' וא' | |
Partnership Problems - Three Partners |
||
|
רמב)[182] שאלה ג' עושים שותפות הראשון שם ב' והג' י"ח והנה יחס ממון הב' אל ממון הא' כיחס ממון הב' אל הג' נרצה לדעת כמה שם הב' | |
|
ראוי לכפול ממון הראשון נגד הג' וקח שרשם והוא ו ממון השני | |
|
ותקיש על זה | |
|
רמג)[183] שאלה ג' עושים שותפות ומה שמוסיף הב' אל הא' עם מה שמוסיף הג' אל הב' הוא שוה אל מה שמוסיף הג' על הא' | |
|
כפול ג' על ח' ויעלו כ"ד | |
|
חלקם על חבור ממון הא' והג' שהם י"א ויצאו ב' וב' חלקים מי"א | |
|
וכפלם על ב' ויהיו ד' וד' חלקים מי"א | |
|
ותוכל לבחון אותו | |
|
כי הפרש הא' אל הב' הוא א' וד' חלקים מי"א | |
|
וההפרש מהב' אל הג' הוא ג' וז' חלקים מי"א | |
|
וחברם ויהיו ה' וכן הוא ההפרש מהא' אל הג' | |
|
רמד)[184] שאלה ג' עושים שותפות כנזכר לעיל וממון השני ד' וממון השלישי ח' נרצה לדעת מהו ממון הראשון | |
|
כפול ממון הב' על הג' ויהיו ל"ב | |
|
ומה שמוסיף ג' על ב' תוסיף על ממון הג' והנה מוסיף ממון הב' על ממון הג' ד' ויהיו י"ב | |
|
ותחלק ל"ב על י"ב ויצא ב' וב' שלישיות והוא ממון הא' | |
|
רמה)[185] שאלה ג' עושים שותפות כנז' לעיל וממון הראשון ו' וממון השני ט' נרצה לדעת כמה ממון הג' | |
|
הנה נכפול ממון הראשון שהוא ו' על ממון השני שהוא ט' ויהיו נ"ד | |
|
אח"כ נסיר היתרון שיש מהמספר השני על המספר הראשון והיתרון הוא ג' ותפילם מהמספר הראשון שהוא ו' ונשארו ג' | |
|
ותחלק אלו הנ"ד על ג' ויצא לך י"ח והוא ממון הג' | |
|
ותוכל לבחון אותו | |
|
כי השני מוסיף על הראשון ג' | |
|
והג' מוסיף על הב' ט' | |
|
ועם הג' והנם י"ב וככה מוסיף השלישי שהוא י"ח על המספר הראשון שהוא ו' | |
|
ותקיש על זה | |
Multiple Quantities Problem - Four Purses |
||
|
רמו) שאלה ד' אנשים מצאו ד' כיסים וכפי יחס ממון הא' אל הב' כך יחס ממון הג' אל הד' וחבור מרובעי ממון מהד' כיסים עולה ב' מאות וממון הא' ב' וממון הד' י"ב נבקש לדעת מהו ממון הב' והג' | |
|
||
|
הנה יש לך לחבר ב' עם י"ב ויהיו י"ד | |
|
ומרובעו קצ"ו | |
|
ויחסר עד ב' מאות ד' | |
|
נקח שרשם והוא ב' והוא מה שמוסיף אחד מהב' מספרים על חבירו | |
| ||
|
ולדעת כמה הוא כל א' מהמספרים ראה ההפרש שיש בין ב' וי"ב והוא עשרה | |
|
ומרובעם ק' | |
|
ותפילם מב' מאות ונשארו ק' | |
|
וקח שרשם והוא י' והוא ממון כל הב' כיסים | |
| ||
|
וכבר אמרנו כי א' מהכיסים מוסיף על האחר ב' על כן נעשה מי' ב' חלקים אשר א' יעדיף על האחר ב' והנה החלק הא' הוא ד' והאחר ו' והנה בכיס א' ד' ובכיס אחר ו' | |
|
ועדין לא נדע אם ד' הוא בכיס ג' או ד' | |
|
אך מצד שאמרנו כי יחס ממון השני אל הג' כיחס ממון הא' אל הב' הנה א"כ בכיס הא' ב' ובכיס הב' ד' ובכיס הג' ו' ובכיס הד' י"ב | |
|
וכפי יחס הא' אל הב' כן יחס הג' אל הד' | |
Partnership Problem - Four Partners |
||
|
רמז)[186] שאלה ד' אנשים עושים שותפות ויחס ממון הראשון אל השני כיחס הג' אל הד' | |
|
הנה נחבר ד' וו' ויהיו י' | |
|
ומרובעם ק' | |
|
ויחסר לנו עד קכ"ה כ"ה | |
|
ושרשם ה' והוא מה שנשאר מממון הד' אחר שילקח ממנו סך ממון הא' | |
| ||
|
עתה תחבר ו' וד' וה' ויהיו ט"ו | |
|
ועד כ"א נחסר ו' | |
|
נחלקם על ב' ויצא ג' | |
|
ושים ג' על ה' והנם ח' והוא ממון הד' | |
|
והג' שנשארו הוא ממון הראשון | |
|
ותקיש על זה | |
Find a Number Problem |
||
|
רמח) שאלה לנו ד' מספרים שיחס הא' אל הב' כיחס הג' אל הד' והד' מרובעים עולה ס"ה וממון הא' ב' וממון הב' ג' וממון הג' ד' אשאל כמה ממון הד' | |
|
||
|
הנה נקח הב' מספרים אמצעיים שהם ג' וד' ונחברם ויהיו ז' | |
|
ומרובעם מ"ט | |
|
ויחסר לנו עד ס"ה י"ו | |
|
נקח שרשם ויהיו ד' | |
|
תוסיף עליהם ממון הראשון שהוא ב' ויהיו ו' והוא ממון הד' | |
| ||
|
ודוק ותשכח | |
Currency Problem - Tapuaḥ-Pašuṭ - Double False Position |
||
|
רמט) שאלה אם ד' תפוחים עם א' פשוט שוות ח' פשוטים פחות תפוח א' כמה ערך כל תפוח | |
|
נעשה אותו עם פלצא פוסיסיאוני | |
|
ונשים ערך כל תפוח ב' פשוטים | |
|
ועם א' ויהיו ט' | |
|
תסיר מח' פשוטים ב' ונשארו ו' | |
|
ויחסר עד ט' ג' | |
| ||
|
ותאמר בעד ב' חסר ג' | |
|
שוב לעשות ערך אחר ושים ערך כל תפוח ב' וחצי | |
|
ויהיו י' ועם א' הנם י"א | |
|
תסיר מח' ב' וחצי וישארו ה' וחצי | |
|
ותאמר בעד ב' וחצי יחסר ה' וחצי | |
| ||
|
אח"כ כפול הערך הא' שהוא ב' על מה שיחסר מהערך הב' שהוא ה' וחצי ויהיו י"א | |
|
אח"כ כפול ב' וחצי שהוא הערך הב' על ג' שהוא מה שחסר מהערך הא' ויהיו ז' וחצי | |
|
הוצא מי"א ז' וחצי ונשארו ג' וחצי | |
|
אח"כ הוצא מה שחסר הערך הא' שהוא ג' ממה שחסר הערך הב' שהוא ה' וחצי ונשארו ב' וחצי | |
|
אח"כ חלק ג' וחצי על ב' וחצי ויצא לך א' שלם וב' חמישיות והוא ערך כל תפוח | |
| ||
|
כי הד' שוות ה' וג' חמישיות עם א' ויהיו ו' וג' חמישיות | |
|
אח"כ חסר מח' פשוטים ערך א' תפוח וישאר ג"כ ו' וג' חמישיות | |
|
ותקיש על זה | |
To and From Problem - Ant Climbing |
||
|
רנ)[187] שאלה אם נמלה עולה בכל יום ב' שלישיות ובלילה יורדת ז' חלקים מי"ב בכמה ימים יעלה עשרה שלמים | |
|
דע כי רוב החשבנים טועים בזה ואומרי' כי לא תעלה כי אם לק"כ ימים | |
|
מצד כי ב' שלישיות י"ב הם ח' | |
|
תסיר מהם ז' ישאר א' | |
|
א"כ כפול א' חלק מי"ב על עשרה שלמים ויהיו ק"כ | |
|
והוא טעות גדול כי ידוע הוא כי בקי"ב ימים יעלה ט' ושליש וביום הבא יעלה ב' שלישיות וישלים למספר י' כי כיון שעלה לא ירד | |
| ||
|
והוא סוד במספר י' | |
Triangulation Problem - Two Birds |
||
|
קנא)[188] שאלה הנה בכאן ב' כותלים גובה הא' כ' אמות והאחרת י' אמות ובראש כל כותל עומד עוף ורוצים לקחת גרגיר חרדל | |
|
ראוי לכפול גובה הכותל הנמוך שהוא י' על המרחק ר"ל שתכפול י' פעמי' י' | |
|
אח"כ נכפול ח' פעמי' ח' ויהיו ס"ד | |
|
ועם ק' ויהיו קס"ד | |
|
וקח שרשם ויהיו י"ב וה' שישיות בקרוב | |
|
ולא תוכל לומ' כי הוא בקרקע כי מראש הכותל הקטן עד ראש הכותל הגדול שהוא האלכסון אין בו כי אם י"ב וה' שישיות ומרגל הגדול עד ראשו הוא כ' א"כ אין המספר שוה | |
|
לכן נמשוך קו מראש הכותל העליון עד ראש הכותל הקטן ויהיו י"ב וה' שישיות באורך | |
|
ונחלקם על ב' ויצא ו' וה' חלקים מי"ב ואותו המקום הוא מקום הגרגיר | |
|
וזה צורתו | |
Find a Number Problems |
||
|
קנב) שאלה אם יש לך ה' מספרים מתיחסים הא' ג' והה' תשס"ח מהו השני | |
|
כפול הא' על הה' ויעלו אלפים וג' מאות וד' | |
|
וקח שרשם והוא מ"ח ואלו הם המספר הג' | |
|
ולדעת הב' כפול הא' על הג' ויעלו קמ"ד | |
|
ושרשם י"ב והוא הב' | |
|
א"כ הא' ג' והב' י"ב והג' מ"ח והד' קצ"ב והה' תשס"ח | |
|
רנג) שאלה לדעת מו' מספרים שהא' הוא מספר מונח והו' הוא מספר מונח לדעת הב' | |
|
תחלק האחרון על ט"ו ומה שישאר הוא הב' | |
|
דמיון יש לנו ו' מספרים מתיחסים שהראשון ב' והו' ס"ד | |
|
חלק ס"ד על ט"ו ישארו ד' והוא הב' | |
|
גם תוכל לדעת עם שברים והוא שתעשה מהמספר האחרון השברים שיש בראשון והעולה חלק על ט"ו והנשאר הוא הב' והוא סך מהשבר שיש בראשון | |
|
דמיון הראשון ב' שלישיות והו' רנ"ו שלמים | |
|
תעשה מרנ"ו שמיניות ויהיו אלפים ומ"ד | |
|
חלקם על ט"ו וישארו ח' והוא השני הנה א"כ הב' הוא ח' שמיניות שהוא א' שלם | |
| ||
Extraction of Cube Roots |
||
|
רנד) שאלה אם תרצה לדעת שרש מעוקב מאיזה מספר שתרצה קח השרש שעבר גם קח השרש הבא וראה מה בין המוקדם והמאוחר אח"כ ראה מה שמן המוקדם אל המספר המונח ותוסיף לעולם א' | |
|
דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב ט"ו | |
|
הנה הקודם הוא ח' והמאוחר כ"ז וההפרש הוא י"ט | |
|
ובין ח' שהוא הקודם הוא ט"ו ותמצא ז' תוסיף א' ויהיו ח' | |
|
ותאמר כי הם ח' חלקים מי"ט ר"ל כי שרש ט"ו הם ב' וח' חלקים מי"ט | |
| ||
|
וכן תוכל לעשות משלמים עם שברים והוא שתעלה אותו השלם עם השבר עד מעלת האלפים ר"ל שתכפול המספר על אלף וקח השרש המוקדם והמאוחר כמו שעשינו בשלמים והיוצא תחלק על י' שהוא השרש | |
|
דמיון זה רצינו לדעת שרש א"נ א' וחצי | |
|
תכפלהו על א' וה' מאות | |
|
והשרש שעבר הוא אלף וג' מאות ול"א | |
|
ויחסר עד תשלום אלף וה' מאות קס"ט | |
|
תוסיף בו א' ויהיו ק"ע | |
|
אח"כ ראה המאוחר שהוא מעוקב י"ב שהוא אלף וז' מאות וכ"ח | |
|
והנה בין מעוקב י"א למעוקב י"ב תמצא ההפרש שצ"ז | |
|
א"כ היוצא הוא י"א וק"ע חלקים משצ"ז | |
| ||
|
חלק זה המספר על י' בזה האופן | |
|
והוא שתכפול שצ"ז על י' ויהיו ג' אלפים וט' מאות וע' | |
|
גם תכפול שצ"ז על י"א ויהיו ד' אלפים ותק"ל | |
|
תחלקם על ג' אלפים וט' מאות וע' ויצא לך א' ותק"ס חלקים מג' אלפים וט' מאות וע' שהם נ"ו חלקי' מג' מאות וצ' | |
| ||
|
ואם תרצה לדעת משברים לבדם כפול אותו השבר על אלף אח"כ קח השרש המוקדם והמאוחר כנז' | |
|
דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב חצי | |
|
תכפלהו על אלף ויהיו ה' מאות | |
|
והשרש שעבר הוא שמ"ג ושרשו ז' | |
|
והבא הוא תקי"ב ושרשם ח' | |
|
וראה מה בין שמ"ג לתקי"ב ותמצא קס"ט | |
|
עוד ראה מה בין שמ"ג לה' מאות ותמצא קנ"ז | |
|
תוסיף בו א' ויהיו קנ"ח | |
|
א"כ היוצא הוא ז' וקנ"ח חלקים מקס"ט | |
| ||
|
תחלק זה המספר על י' ועשה כך | |
|
כפול קס"ט על י' ויהיו אלף וו' מאות וצ' | |
|
גם כפול | |
|
תוסיף בם קנ"ח ויהיו אלף וג' מאות ומ"א | |
|
א"כ תאמר כי שרש חצי הוא אלף וג' מאות ומ"א חלקים מאלף וו' מאות וצ' | |
| ||
Find a Number Problems - Proportional Numbers |
||
|
רנה) שאלה אם תרצה לדעת המספר הב' מד' מספרים מתיחסים תחלק הד' על הא' ומהיוצא קח שרש מעוקבו | |
|
דמיון המספר הראשון ב' והד' י"ו | |
|
חלק י"ו על ב' ויצא ח' | |
|
קח מעוקבו והוא ב' | |
|
כפול ב' על ב' והוא ד' והוא השני | |
|
כן תוכל לדעת מן השברים והוא שתעשה מהמספר האחרון שברים כמו שהם בראשון ותעשה בדרך השברים | |
|
דמיון הראשון ג' רביעיות והאחרון ו' שלמים | |
|
תעשה מהו' רביעיות ויהיו כ"ד | |
|
תחלקם על ג' מצד שאמר כי הראשון ג' רביעיות ויצא ו' והם רביעיות | |
|
הנה א"כ השני הוא ו' רביעיות והוא א' וחצי | |
| ||
|
רנו) שאלה אם תרצה לדעת המספר האמצעי מהנפרדים כפול הא' על האחרון ויצא לך האמצעי | |
|
דמיון יש לנו ג' מספרים מתיחסים הראשון ב' והג' י"ח | |
|
כפול ב' על י"ח ויעלו ל"ו | |
|
וקח שרשם והוא ו' שהוא הב' | |
|
רנז) דמיון מה' מספרים הראשון ג' והאחרון מ"ח | |
|
כפול ג' על מ"ח ויצא קמ"ד | |
|
ושרשם י"ב והוא האמצעי | |
|
שהא' ג' והב' ו' והג' י"ב והד' כ"ד והה' מ"ח | |
|
רנח) שאלה מז' מספרים הראשון א' והאחרון תשכ"ט | |
|
כפול א' על תשכ"ט ויהיו תשכ"ט | |
|
ושרשם ו' והוא האמצעי | |
|
והנה הראשון א' והב' ג' והג' ט' והד' כ"ז והה' פ"א והו' רמ"ג והז' תשכ"ט | |
| ||
|
וכן תוכל לעשות מט' או י"א או י"ג מספרים לעולם תמצא האמצעי | |
|
וכן תוכל לעשות בשברים | |
|
רנט) שאלה משברים מז' מספרים הראשון א' שמינית והז' צ"א שלמים ושמינית | |
|
כפול צ"א ושמינית על ח' מצד כי הראשון הוא א' שמין ר"ל תעשה מהצ"א ושמין שמיניות ויצא לך תשכ"ט שמיניות | |
|
כפול א' שהוא הא' על תשכ"ט ויצא תשכ"ט | |
|
וקח שרשם והם כ"ז ויהיו שמיניות מצד כי עשינו שמיניות מכל התשכ"ט א"כ האמצעי הוא כ"ז שמיניות | |
|
ודוק ותשכח | |
Guessing Problem - Distance |
||
|
רס) שאלה אם תרצה לדעת רוחב נהר או ארץ או איזה מרחק שתרצה שים על ראשך מגבעת נקרא קאפילו ראשו ולך אצל שפת הנהר או המקום שתרצה לדעת ארכו | |
|
וקח המקל שיהיה ארכו מהארץ עד שיגיע ראשו האחר תחת צואריך באופן שלא תוכל להעמק שאולה או הגבה למעלה | |
|
אח"כ עשה באופן שהקפילו יהיה סמוך לעיניך וכשתראה לפי הנראה לך שהקפילו יגיע עד הקצה האחר מהמרחק ר"ל כשתסתכל עד סוף הנהר ולא תוכל לראות יותר מצד כי הקפילו יעיק צלו שלא לראות יותר רחוק אז תהפוך פניך לצד אחר | |
|
המשל אם הנהר לצד מזרח תהפוך פניך לצד מערב היינו לאחוריך ותעשה שהרגלים יעמדו באותו מקום ממש שעמדו רגליו כלפי הנהר | |
|
והסתכל ג"כ וראה עד המקום אשר תוכל לראות בעין ראותך | |
|
ואח"כ לך למדוד ממעמדך וממצבך עד המקום שיכולת לראותו כך הוא מרחק מהנהר | |
|
אך צריך שיעמוד הנהר בעמק שוה והמרחק ג"כ | |
|
וזה הדרך הוא על צד התחבולה לא בדרך מספר והנדסה | |
Proportional Division - Promissory Note |
||
Questions by Borgoto of Venice [= Piero Borgi?][189] | שאלות בורגוטו מויניסיאה | |
|
[רסא]) שאלה איש אחד מחוייב לד' בני אדם לא' ד' מנינים ולאחר ו' ולאחר ח' ולאחר י"ב ומת האיש ההוא ולא נמצא בכל נכסיו כי אם כ"ד מנינים | |
|
תחבר כל ממונם והוא ל' | |
|
אח"כ כפול ממון הראשון שהוא ד' על כ"ד וחלק על ל' ויצא ג' שלמים וו' חלקים מל' | |
|
וכן תעשה לב' ויגיע לו ד' וכ"ד חלקים מל' | |
|
ולג' יגיע ו' וי"ב חלקים מל' | |
|
ולד' ט' וי"ח חלקים מל' | |
|
ולבחון אותו חבר כל ממונם ויעלה כ"ד | |
| ||
Partnership Problems |
||
|
רסב) שאלה ה' בני אדם עשו ספינה והתנו ביניהם כי ממה שירויחו הא' יקח עבור כל מאה ג' והאחר ב' והאחר ד' והאחר ה' והאחר ו' ופזרו לתקן האניה ל' | |
|
תחבר כל ממונם ויהיו כ' | |
|
אח"כ תכפול הראשון על ל' ותחלק לכ' ויגיע לחלקו לפרוע ג' | |
|
וכן תעשה מהב' ויפרע ד' וחצי | |
|
והג' ו' | |
|
והד' ז' וחצי | |
|
והה' ט' | |
|
רסג) שאלה ג' בני אדם עושים שותפות הא' שם ג' מנינים ועמדו בשותפות ב' חדשים | |
|
ראוי לכפול ממון כל א' על החדשים | |
|
והנה נכפול ב' על ג' ויהיו ו' והוא הראשון | |
|
כן תעשה מהב' ויהיו כ' | |
|
וכן מהג' ויהיו י"ח | |
|
ובין הכל מ"ד | |
|
אח"כ כפול ו' על כ"ה והעולה חלק על מ"ד ויצא ג' וי"ח חלקים ממ"ד והוא חלק הראשון | |
|
כן תעשה מהב' ויגיע לו י"א וי"ו חלקים מ"ד | |
|
וכן תעשה מהג' ויצא י' וי' חלקים ממ"ד והוא חלק הג' | |
|
רסד) שאלה ג' עושים שותפות ושמו בין שלשתן כ' מנינים והרויחו ל' ולראשון מגיע מהריוח ד' מנינים ולשני ו' | |
|
הנה ראוי לחבר ד' עם ו' ויהיו י' | |
|
תחסרם מל' וישארו כ' והוא החלק מה שמגיע לחלקו ריוח הג' | |
|
ולדעת כמה שם כל א' וא' תעשה כן | |
|
תאמ' אם כל הל' מנינים שהוא ריוח שלשתן נתן לי כ' שהוא ממון שלשתן מה יתן לי ד' שהוא ריוח הראשון | |
|
כפול ד' על כ' וחלק על ל' ויצא ב' וב' שלישיות והוא מה ששם הא' | |
|
וממון הב' היה ד' | |
|
וממון הג' היה י"ג ושליש | |
|
וחברם ויהיו כ' והוא סך הממון ששמו בין שלשתן | |
|
רסה) שאלה ג' עושים שותפות הא' שם קי"ז מנינים והב' שם פ"ג והג' לא ידעתי כמה | |
|
הנה יש לך להוציא ריוח השלישי מסך כל הריוח וישארו עדין קצ"ה | |
|
א"כ בין הב' לא הרויחו כי אם קצ"ה מנינים | |
|
ועתה תחבר מה ששם הא' עם מה ששם הב' ויהיו ר' | |
|
אח"כ תאמר אם כדי להרויח קצ"ה מנינים הוצרך להיות מאתים כמה יצטרך להיות הקרן כדי להרויח קכ"ד | |
|
כפול קכ"ד על מאתים והעולה תחלק על קצ"ה ויצא לך קכ"ז שלמים ול"ה חלקים מקצ"ה והוא חלק השלישי | |
|
רסו) שאלה ג' עושים שותפות הראשון שם נ"ו מנינים ועמדו בשותפות ה' חדשים | |
|
הנה ראוי לכפול ממון הראשון על החדשים | |
|
ואחר כן תאמר אם כ' שהוא ריוח ממון הא' שבו ר"פ כמה ישובו י"ב שהוא ריוח הב' | |
|
ויצא לך קס"ח | |
|
אח"כ חלק קס"ח על החדשים שעמד ממון הראשון שהוא ח' ויצא כ"א וזהו ממון השני | |
|
ולדעת כמה סך מרגלית הג' כפול נ"ד על ר"פ וחלק על כ' ויצא לך ז' מאות נ"ו | |
|
וחלק זה על החדשים ויצא לך ע"ה וו' חלקים מי' והוא סך המרגלית | |
|
רסז) שאלה ג' עושים שותפות הא' שם קל"ה מטבעים והב' צ"ז והג' מ"ג | |
|
הוצא ריוח הג' שהוא רצ"ד מתשל"ד הנשאר ת"מ | |
|
אח"כ תחבר ממון הא' והב' ויעלה ר"מ | |
|
א"כ אלו הב' הרויחו ת"מ מטבעים | |
|
ולכן תאמר אם רצ"ד שבו מ"ג ת"מ כמה ישובו | |
|
ויצא לך ס"ד וק"ד חלקים מרצ"ד | |
|
א"כ רל"ב מטבעים שיש בין הא' והב' שוים ס"ד מטבעים | |
|
ולדעת כמה מטבעים שוה כל מגן תאמ' אם ס"ד וק"ד חלקים מרצ"ד שוים רל"ב א' כמה שוה | |
|
ויצא לך ג' וחלקים מה | |
|
רסח) שאלה ג' עושים שותפות הא' שם ב' מנינים ר"ח תשרי והוציא ר"ח מרחשון א' מגן | |
|
הנה ראשו' ראוי שתכפול ב' מנינים מהראשון ששם אותו בר"ח תשרי עד ר"ח תשרי הבא שהם י"ב חדשים ויהיו כ"ד | |
|
א"כ כפול א' שהוציא מהשותפות בר"ח מרחשון והנה מר"ח מרחשון עד ר"ח תשרי י"א | |
|
הוצא מכ"ד י"א הנשאר י"ג והוא עבור הא' | |
|
וכן כפול ממון הב' על החדשים ויהיו ל' כי החדשים הם י' והממון ג' | |
|
גם כפול א' מגן שהוציא על החדשים שהם ט' | |
|
הוצא מל' ט' וישארו כ"א | |
|
גם כפול ממון הג' על החדשים ויעלו ל"ב כי הממון ד' והחדשים ח' | |
|
גם כפול מה שהוציא על החדשים ויהיו י"ד | |
|
והוציאם מל"ב וישארו י"ח והוא ממון הג' | |
|
א"כ תאמ' ג' עושים שותפות הא' שם י"ג והאחר כ"א והאחר י"ח והרויחו כ' כמה יקח כל א וא' | |
|
וכבר ידעת הדרך | |
|
רסט)[190] שאלה ג' עושים שותפות הא' שם ד' מנינים ר"ח תשרי והוסיף ר"ח מרחשון ב' מנינים | |
|
ראוי לכפול ממון הא' על החדשים והנה שם בראשנה ד' מנינים ועמדו י"ב חדשים וכפלם ויהיו מ"ח | |
|
גם ראוי לכפול מה שהוסיף על החדשים והנה הוסיף בר"ח מרחשון ב' מנינים ולכן כפלם על החדשים שהם עד תשרי והנם י"א וכפלם על ב' ויהיו כ"ב | |
|
הוסיפם על מ"ח ויהיו ע' והוא ממון הא' | |
|
וכן תעשה מהב' ויהיו צ"ה | |
|
ומהג' כפול ממונו על החדשים ויהיו כ"ז כי ממונו ג' והחדשים ט' | |
|
גם כפול מה שהוציא שהם ב' על החדשים שהם ז' ויהיו י"ד | |
|
הוציאם מכ"ז וישארו י"ג והוא הג' | |
|
אח"כ תאמ' ג' עושים שותפות הא' שם ע' והאחר צ"ה והאחר י"ג והרויחו ל' כמה יקח כל א' וא' | |
|
והדרך נודע | |
|
רע)[191] שאלה ג' עושים שותפות הא' שם ס"ה מנינים והאחר נ"ג והאחר ל"ח והסכימו לעשות שותפות ה' שנים ואחר הה' שנים רוצים לחלק הקרן עם הריוח לג' חלקים שוים וכל א' וא' יטול חלק אחד | |
|
ראוי לעשות ככה כבר ידעת כי אלו עמדו בשותפות ולא הרויחו ולא הפסידו בה' שנים היה ראוי לחלק ממונם לג' חלקים שוים | |
|
לכן נחבר ממון שלשתן ויהיו קנ"ו | |
|
נחלקם על ג' ויצא לך נ"ב לכל אחד ואחד | |
|
ובזה האופן הראשון ששם בשותפות ס"ה יפסיד י"ג | |
|
והב' שם נ"ג יפסיד א' | |
|
והאחר ששם ל"ח ירויח י"ד | |
|
ועתה ראוי שתאמר בעבור הראשון אם ה' שנים היו [ב]כמה שהפסיד הראשון י"ג כמה יפסיד בעבור ג' שנים | |
|
ויצא ז' וב' חמישיות | |
|
ותוציאם מס"ה שהיה ממונו ונשארו נ"ז וחומש | |
|
ובעבור הב' תאמר אם ה' הפסידו א' ג' כמה יפסיד | |
|
ויצא ג' חמישיות | |
|
תוציאם מממון הב' וישאר נ"ב וב' חמישיות | |
|
ובעבור הג' תאמר אם ה' הרויחו י"ד כמה ירויחו ג' | |
|
ויצא לך ח' וב' חמישיות | |
|
תוסיפם על ממון הג' ויצא מ"ו וב' חמישיות | |
|
ועתה תחבר מה שנשאר לא' ולב' ולג' ויעלה קנ"ו ועליהם תחלק | |
|
ולדעת כמה יגיע לכל אחד ואחד תחבר הריוח שעשו שהוא קכ"ג עם מה שנשאר עדין ויהיו רע"ט | |
|
עתה תאמר אם קנ"ו שהוא הקרן שמשלשתן נתן לי רע"ט שהוא עם הקרן והריוח מה יתן לי נ"ז וחומש בעבור הראשון | |
|
ויצא לך ק"ב וחלקים והוא מה שראוי לקחת הראשון עם הקרן והריוח | |
|
וכן תעשה מהב' ויצא לך צ"ג וחלקים בין הקרן והריוח | |
|
כן תעשה מהג' ויצא לך פ"א וחלקים בין הקרן והריוח | |
|
רעא)[192] שאלה שני בני אדם עושים שותפות הא' שם פ' מנינים והאחר כ' והסכימו ביניהם שבעל הפ' יקח ב' שלישיות מן הריוח ובעל הכ' שליש הריוח | |
|
הדרך הוא כך כבר ידעת כי ממון הראשון היה פ' והיה ראוי לקחת ב' שלישיות הריוח | |
|
ולכן תאמר אם פ' נתן לי ב' שלישיות כ' שהוא ממון השני כמה ישוו | |
|
ויצא לך שישית אחד וזה תשים בעד השני | |
|
גם תאמר אם כ' נתן לי שליש שהיה ראוי לקחת מה יתן לי פ' | |
|
ויצא לך א' ושליש וזה תשים חלק הראשון | |
|
עתה תחבר א' ושליש עם שישית ויהיו א' וחצי | |
|
גם תחבר פ' עם כ' ויהיו ק' | |
|
אח"כ תאמר אם ק' נתן לי א' וחצי מה יתן לי ק"כ | |
|
ויצא לך א' וד' חומשים וזה תשים עבור השלישי | |
|
אח"כ בקש מספר יהיה לו שלישית ושישית וחומש ויצא צ' | |
|
אח"כ קח ד' שלישיות מצ' עבור הראשון ויצא לך ק"כ וזה תשים עבור הראשון | |
|
גם קח שישית צ' ויצא ט"ו וזה תשים עבור השני | |
|
גם תקח ט' חמישיות מצ' ויצא לך קס"ב וזה תשים חלק השלישי | |
|
אח"כ תחבר אלו הג' מספרים ויהיו רצ"ז ועליהם תחלק | |
|
ולדעת כמה יגיע לכל אחד ואחד תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות שהוא סך הריוח מה יתן לי ק"כ עבור הראשון | |
|
ויצא לך ק"ב וחלקים | |
|
ובעבור השני תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות מה יתן לי ט"ו | |
|
ויצא לך כ"ה וחלקים | |
|
ובעבור הג' תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות מה יתן לי קס"ב | |
|
ויצא לך רע"ב וחלקים | |
|
ודוק ותשכח | |
|
רעב)[193] שאלה ג' עושים שותפות והרויחו אלף זהובים הא' שואל ב' שלישיות והאחר שואל ד' חומשים והאחר שואל ה' שמיניות אשאל כמה יגיע לכל אחד ואחד | |
|
הדרך הוא כך ראוי לבקש מספר ימצאו בו שליש וחומש ושמינית ותמצא ק"כ | |
|
אח"כ קח ב' שלישיות עבור הראשון שהוא פ' וד' חמישיות שהוא צ"ו וה' שמיניות שהוא ע"ה וחברם ויעלו רנ"א | |
| ||
|
אח"כ תאמר אם רנ"א נתן לי אלף פ' מה יתן בעד השני | |
|
ויצא לך שי"ח וחלקים | |
|
גם תאמר אם רנ"א נתן לי אלף מה יתן לי צ"ו | |
|
ויצא לך שפ"ב והוא חלק השני | |
|
גם תאמר אם רנ"א נתן אלף מה יתן לי ע"ה | |
|
ויצא לך רצ"ח וחלקים והוא חלק הג' | |
|
רעג)[194] שאלה ג' עושים שותפות הראשון שם ק' מנינים ר"ח תשרי | |
|
הדרך הוא כך כבר ידעת כי ממון הראשון היה ק' ועמדו בשותפות שנה תמימה ולכן כפול ק' על החדשים והם י"ב ויהיו י"ב מאות | |
|
גם ידעת כי ממון השני עמד בשותפות י"א חדשים לכן חלק י"ב מאות על י"א והיוצא יהיה ממון השני | |
|
גם ידעת כי ממון השלישי עמד בשותפות י' חדשי' לכן תחלק י"ב מאות על י' ויצא לך ממון השלישי | |
|
ולבחון אותו אם הוא אמת תאמר ג' עושים שותפות הא' שם ק' מנינים ר"ח תשרי | |
|
ותמצא כי לכל א' וא' יגיע ב' מאות | |
|
רעד)[195] שאלה ג' עושים שותפות הא' שם כ"ה דוקטי והאחר י"ז והאחר לא ידענו אך מגיע לחלקו שליש ממה שהרויחו והרויחו ס' מנינים | |
|
הדרך הוא כך הוצא השליש מס' שהוא חלק השלישי הנשאר מ' | |
|
אח"כ תחבר כ"ה עם כ"ז ויהיו מ"ב א"כ מ"ב הרויחו מ' | |
|
א"כ תאמר אם כדי להרויח מ' הוכרח להיות הקרן מ"ב כמה ראוי להיות הקרן כדי להרויח כ' | |
|
ויצא לך כ"א והוא מה ששם השלישי | |
|
ולבחון אותו תאמר ג' עושים שותפות הא' שם כ"ה והב' י"ז והג' כ"א והרויחו ס' כמה יגיע לשלישי | |
|
ויצא לך כ' שלמים | |
|
רעה)[196] שאלה ג' עושים שותפות עבור שנה תמימה הראשון שם י"ד מנינים קליני ר"ח מרסו | |
|
כבר ידעת כי ממון הראשון היו י"ד ועמדו י"ב חדשים לכן כפול י"ד על י"ב ויהיו קס"ח | |
|
וכבר ידעת כי ממון הראשון עמדו בשותפות ט' חדשים | |
|
תעשה מהם שלישיות ויהיו כ"ז | |
|
אח"כ תחלק קס"ח על כ"ז ויצא ו' שלמים וב' תשיעיות והוא ממון השני | |
|
ולדעת מה ששם הג' הנה כבר ידעת כי ממונו עמד ז' חדשים | |
|
תעשה מהם רביעיות מצד כי היה רביעית ריוח הראשון ויהיו כ"ח | |
|
תחלק קס"ח על כ"ח ויצא ו' שלמים והוא מה ששם הג' | |
|
ולבחון אותו תאמר ג' עושים שותפות הא' שם י"ד ועמד בשותפות שנה | |
|
ותמצא כי מה שמגיע לשני אינו כי אם שליש ממה שמגיע לראשון ומה שמגיע לשלישי אינו כי אם רביעית ממה שמגיע לראשון | |
|
רעו) שאלה ג' עושים שותפות הא' שואל עבור כל מאה ששם בשותפות י"ב מריוח | |
|
הנה ראוי לקבץ י"ב וי"ח ול' ויהיו ס' | |
|
אח"כ תקח עבור י"ב ק' ועבור י"ח ק' ועבור ל' ק' ויהיו ג' מאות | |
|
א"כ ראוי שתאמר כי עם ג' מאות הרויחו ס' | |
|
א"כ תאמר אם כדי להרויח ס' נצטרך לג' מאות כמה נצטרך להרויח אלף וח' מאות | |
|
ויצא ט' אלפי' | |
|
חלקם על ג' ויצא לך ג' אלפים והוא מה שהיה לכל א וא' | |
|
ולדעת כמה הרויח כל א' וא' תאמר אם ק' הרויחו י"ב ג' אלפים כמה ירויחו | |
|
יצא לך ג' מאות וס' והוא מה שהרויח הראשון | |
|
ולדעת כמה הרויח השני תאמר אם ק' הרויחו י"ח כמה ירויחו ג' אלפים | |
|
ויצא לך תק"מ והוא מה שהרויח הב' | |
|
ולדעת כמה הרויח הג' תאמר אם ק' הרויחו ל' כמה ירויחו ל' ג' אלפים | |
|
ויצא לך ט' מאות | |
|
ובין הכל אלף וח' מאות | |
|
רעז) שאלה ב' עושים שותפות הראשון שם פ' מנינים ומרויח עבור כל מאה כ"ה | |
|
כך תעשה תאמר אם ק' הרויחו כ"ה פ' כמה ירויחו | |
|
ויצא לך כ' והוא עבור הראשון | |
|
ועבור השני תאמר אם ק' שבו כ' ס' כמה ישובו | |
|
ויצא לך י"ב | |
|
[ועתה תחבר כ' וי"ב ויהיו ל"ב | |
|
אח"כ תאמ' אם ל"ב נתנו ל"ו כמה יתן לו כ' | |
|
ויצא לך כ"ב][197] וחצי והוא מה שהרויח הראשון | |
|
עוד תאמר אם ל"ב הרויחו ל"ו | |
|
ויצא לך י"ג וחצי והוא מה שמגיע מהריוח לשני | |
|
ולבחון אותו תחבר כ"ב וחצי וי"ג וחצי ויהיו ל"ו | |
Barter Problems |
||
|
רעח)[198] שאלה ראובן יש לו כרכום מאתים ליטר' וערך הליט' ט' קרליני ושמעון יש לו פלפל וערך המשוא ל' דוקטי במעות מנויים ובחליפים משים אותו ל"ה | |
|
הדרך הוא כך ראה כמה שוים מאתים ליט' לערך ט' קרליני ותמצא ק"פ | |
|
ותאמר אם ל' שוים ל"ה ק"פ כמה שוים | |
|
ויצא ר"י וכן ראוי שיעלה מק"פ עד ר"י | |
|
ולדעת כמה משואות יש לי לחלק ר"י על ל"ה ויצא ו' וכך משואות יקח | |
|
ולבחון אותו כפול ו' על ל' שהיה הערך במעות מנויים ויצא ק"פ כמו שהוא שווי המאתים ליט' לערך הראשון שהוא ט' קרליני | |
|
רעט)[199] שאלה ראובן יש לו צמר שוה הליט' ח' קרליני במעות מנויים ולחליפים רוצה י"ב בכל ליט' ומבקש החצי במעות מנויים והחצי האחר רוצה להחליף עם שמעון שיש לו פלפל ומוכר הליט' ג' קרליני | |
|
תעשה כך הוצא החצי מי"ב שהוא שואל במעות מנוים ויהיו ו' | |
|
גם הוצא ו' מח' שהוא הערך במעות מנויים ישארו ב' | |
|
לכן תאמר אם ב' שבו ו' ג' שהוא ערך הפלפל כמה שוה | |
|
ויצא לך ט' וכן ראוי שימכור ליט' הפלפל | |
|
אח"כ כפול מאתים על י"ב שהוא רוצה למכור לחליפים ויעלה ב' אלפים וד' מאות | |
|
תסיר מהם החצי מצד כי הוא רוצה החצי במעות מנויים ויהיו אלף וב' מאות וכך יקבל במעות מנויים ואלף ומאתים יש לו לקבל מפלפל | |
|
ולדעת כמה ליט' הם תאמר אם ט' שהוא ערך הליט' נתן לי א' ליט' ר"ל אם עבור ט' קרליני אקנה ליט' אחת עבור אלף ומאתים כמה אקנה | |
|
ויצא לך קל"ג ליט' ושליש א"כ בעל הצמר יתן לבעל הפלפל מאתים ובעל הפלפל יתן לבעל הצמר קל"ג ליט' ושליש | |
|
ולבחון אותו כפול קל"ג ושליש על ט' ויצא לך אלף ומאתים | |
|
גם כפול מאתים על ו' ויצא אלף ומאתים | |
|
רפ)[200] שאלה ראובן ושמעון רוצים להחליף לראובן יש משי ששוה הליט' במעות מנויים כ"ח גרושי | |
|
הנה מאחר ששמעון רוצה לתת לראובן הרביע ראוי שתוסיף על ערך הקנה מהבגד מספר באופן זה | |
|
כבר ידעת כי הוא רוצה לתת לראובן הרביעית ראה כמה יש על השורה כשאתה מצייר רביע כזה | |
|
תמצא למעלה א' תסיר אותו מהמספר אשר הוא תחת הקו שהוא ד' וישארו ג' ושים ג' תחת הקו וא' על הקו ויהיה א' שליש | |
|
ואם אמר רוצה לתת א' שליש תסיר א' שהוא על הקו מהג' וישארו ב' ושים א' על הקו ויהיה חצי | |
|
וכשתנהג זה המנהג תמצא כי כשתסיר מהערך הראשון מה שהוספת שהוא מה שרוצה לתת במעות מנויים ישאל הערך הראשון | |
|
המשל לשאלתינו כי רוצה י"ח גרושי מן הקנה ורוצה לתת הרביעית במעות מנויים | |
|
וכבר מצאת כי הרביעית ישוב שליש וקח שליש י"ח שהם ו' תוסיפם על י"ח ויהיו כ"ד | |
|
הוצא מהם הרביעית שהוא רוצה במעות מנויים וישארו עדין י"ח והוא שוה אל המספר המונח | |
|
דמיון אחר הערך הוא ט' ורוצה לתת שליש במעות מנויים | |
|
וכבר מצאת כי השליש ישוב חצי | |
|
הוסיף חצי על ט' שהם ד' וחצי ויעלו י"ג וחצי | |
|
הוצא מהם השליש שרוצה לתת וישארו עדין ט' שהוא כמו המספר המונח | |
|
[דמיון אחר המספר הוא ט' ורוצה לתת ב' שלישיות | |
|
הוצא הב' שהם על הקו מהג' שהם תחת הקו ולא ישאר למטה כי אם א' ולמעלה ב' | |
|
תוסיף על המספר המונח ב' פעמים כמוהו ויהיו כ"ז | |
|
תסיר מהם ב' שלישיות וישארו ט' והוא המספר המונח][201] | |
|
והנה ערך הקנה ממספרינו הוא ט"ו ובחלופים י"ח שהם ו' ונוסיפם על ט"ו ויהיו כ"א | |
|
גם נוסיפם על י"ח ויהיו כ"ד | |
|
ועתה אתה רואה כי כ"א שבו כ"ד ועתה ראוי שתאמר אם כ"א שבו כ"ד ליט' כ"ח שהוא ערך המשי כמה שוה | |
|
ויצא לך ל"ב והוא ערך הליט' | |
|
ולדעת כמה קנים מבגד ראוי שיתן עבור רל"ד ליט' תאמר אם כ"ד שוים ל"ב רל"ד כמה שוים | |
|
ותמצא כי ישוו ג' מאות וי"ב דוקטי | |
|
ומצד כי שמעון רוצה לתת רביעית במעות ראוי לקחת רביעית ג' מאות י"ב שהם ע"ח ותוציאם מג' מאות וי"ב וישארו רכ"ד | |
|
ועתה תאמר אם י"ח גסים שוים קנה אחת רל"ד כמה קנים שוים | |
|
ויצא לך שי"ב והם קנים מבגד וכך ראוי שיקבל ראובן משמעון | |
|
וע"ח מנינים בממון | |
|
ולבחון אותו ראה כמה שוות רל"ד ליט' של משי לערך כ"ח שהיה במעות מנויים ויעלה רע"ג מנינים | |
|
עוד ראה כמה שוות ג' מאות וי"ב קנים לערך ט"ו שהוא במעות מנוים ויצא לך קצ"ה | |
|
תוסיף עליהם ע"ח שנתן ויהיו רע"ג | |
|
רפא)[202] שאלה שנים רוצים להחליף לאחד יש י' חתיכות בגד ששות כל חתיכה בממון ט"ו מנינים ובחליפים י"ז ורוצה שינתן לו חמישים דוק' בממון | |
|
ראשנה ראה כמה שוות הי' חתיכות בממון ותמצא ק"נ | |
|
וכמה שוות בחליפים והם ק"ע | |
|
אח"כ ראוי להוציא הנ' ששואל בממון מק"ע וישארו ק"כ | |
|
גם תוציאם מק"נ הנשאר ק' | |
|
א"כ ראוי שתאמ' כי ק"כ שבו ק' | |
|
ולדעת כמה ראוי שישים חבית השמן תאמר אם ק' שבו ק"כ כמה ישובו ס' | |
|
ויצא ע"ב והוא שווי חבית השמן | |
|
ולדעת כמה שמן יתן עבור י' חתיכות כבר ידעת כי שוים ק"ע לחילוף ומזה שואל נ' הוצא נ' מק"ע ישארו ק"כ וכ"כ שמן ראוי שיקבל שישוה ק"כ לחלופים | |
|
ולדעת כמה ראוי שיהיה כבר ידעת כי בחבית יש אלף מדות | |
|
ולכן תאמ' אם ע"ב שוים אלף מדות ק"כ כמה שוות | |
|
ויצא אלף תרס"ו וב' שלישיות | |
|
הנה כבר מצאת כי חבית השמן ראוי שישוה לחלופים ע"ב ובעבור הי' חתיכות ראוי שיתן אלף תרס"ו וב' שלישיות מדה והאחר יקבל השמן גם חמישי' מנינים בממון | |
|
ולבחון אותו ראה כמה שוות הי' חתיכות בממון והנה הוא ק"נ וכך נתן לחבירו | |
|
עוד ראה מה שקבל שהוא אלף תרס"ו וב' שלישיות לערך ס' שהוא הערך הראשון והנה הוא ק' ועם הנ' שקבל בממון הנם ק"נ והם שוים אל הק"נ השמורים | |
|
רפב)[203] שאלה ב' רוצים להחליף לא' יש משי שרוצה לשים הליט' י' גרושי לחלופים ורוצה שינתן לו החומש בממון | |
|
הדרך הוא זה כבר ידעת כי מי שיש לו בגד ראוי שיעלה הערך מי"ג עד י"ו גם הוא מוכרח לתת חומש לחבירו לכן ראוי להוסיף רביעית י"ו על י"ו כי החמישית מצאנו שהוא רביעית על הדרך הנז' לעיל ויהיו כ' | |
|
גם תוסיף ד' על י"ג ויהיו י"ז ולכן תאמר כי בעל המשי עשה מי"ז כ' | |
|
ולדעת כמה היתה שוה ליט' המשי בממון תאמר אם כ' עשו י"ז כמה עשו י' שהוא ערך הליט' לחליפים | |
|
ויצא ח' וחצי כך היתה שוה הליט' בממון | |
|
ולדעת כמה בגד ראוי שיקבל עבור ק' ליט' | |
|
כפול ק' על י' ויהיו אלף ומצד כי הוא רוצה החומש בממון הוצא החומש מאלף הנשאר ת"ת והוא מה שראוי שיקבל | |
| ||
|
תאמר אם י"ו גסים שוים קנה אחת ת"ת גסים כמה קנים שוות | |
|
ויצא לך נ' | |
|
הנה א"כ ליט' המשי היתה שוה ח' גרושי וחצי וראוי שיקבל נ' קנים מבגד עבור ק' ליט' של משי | |
|
והשיור ראוי שיקבל שהוא מאתים | |
|
ולבחון אותו ראה כמה שוות ק' ליט' במעות מנויים שהוא תת"נ גרושי | |
|
עוד ראה כמה שוות נ' קנים מבגד במעות מנויים שהוא י"ג ויצא ו' מאות ונ' תוסיף ב' מאות גרושי ויהיו ג"כ תת"נ | |
|
רפג)[204] שאלה שנים עושים חליפים הראשון יש לו בגד ושואל מהקנה בממון ח' ובחליפים י' | |
|
ראוי לעשות ככה כפול ח' שהוא ממון הבגד על כ"ד שהוא חלוף המשי ויהיו קצ"ב | |
|
עוד כפול י' שהוא חלוף הבגד על כ' שהוא ממון המשי ויהיו ר' | |
|
הוצא קצ"ב מר' הנשאר ח' ושמרם | |
|
עתה ראה למי יש יתר שאת על חבירו או זה שעושה מח' י' או מי שעושה מכ' כ"ד ותעשה כך | |
|
ותאמר אם ח' נתן לי י' כמה יתן לי כ' | |
|
ויצא לך כ"ה | |
|
א"כ מי שעשה מח' י' יש לו יתרון על חבירו כי לפי אותו היחס היה ראוי לחברו כ"ה | |
|
א"כ ראוי שתאמר כי מי ששואל מכ' כ"ד שואל חלק מה מממון יען כי יש לחבירו יתרון עליו | |
|
ולדעת איזה חלק הוא שואל ראה כמה מוסיף מי שיש לו יתרון על חבירו מהממון לחליפים | |
|
והנה בממון הוא ח' ובחליפים הוא י' לכן תמצא כי היתרון שיש מהממון לחליפים הוא ב' | |
|
עתה תחלק מה שנשאר מהב' הכפלות שעשינו אחר שהוצאנו הקטן מהגדול הנשאר ח' ויצא לך ד' | |
|
וחלק אלו הד' על מה שהיה ערך המשי לחליפים שהיו כ"ד ויצא לך שישית אחד וכך הוא חלק הממון ששואל בעל המשי ר"ל ששואל שישית | |
|
ולבחון אותו נניח כי לבעל המשי היו לו ס' ליט' לערך כ"ד גרושי ויהיו ס' דוקטי | |
|
ומצד כי הוא שואל שישית הממון הוצא השישית מס' הנשאר נ' א"כ ראוי לו לקבל נ' מנינים מבגד חבירו וראוי לו לקבל עבור אלו הנ' מנינים ק"נ קנים לערך י' גרושי הקנה | |
|
ועתה ראה כמה שוה המשי והבגד במעות מנוים | |
|
והנה הס' ליט' של משי במעות שהוא כ' בכל ליט' יהיו נ' מנינים | |
|
עתה ראה כמה שוות ק"כ קנים לערך מעות מנויים שהוא ח' ויצא מ' מנינים תוסיף עליהם עשרה מנינים שיש לו לקבל במעות מנויים ויהיו נ' והם שוים אל הנ' האחרים | |
|
רפד)[205] שאלה ב' רוצים להחליף סחורה לא' יש עשרה חתיכות של בגד ששוה במעות כ"ב כל חתיכה ובחליפים משים אותה ל' | |
|
ראוי לראות כמה שוות הי' חתיכות בגד בממון שהוא כ"ב ותמצא ר"כ | |
|
גם ראה כמה שוות החלוף ותמצא ג' מאות | |
|
גם ראה כמה שוות הק' ליט' מתולעת שני בממון וכמה שוות בחלוף | |
|
והנה בממון שהיה כ"ח ישוו קי"ו מנינים וב' שלישיות כי כ"ד גסים הם דוק' אחד | |
|
ובחלוף שהיה הערך ל"ד גסים ישוו קמ"א מנינים וב' שלישיות | |
|
עתה תחבר מה שעלה בממון הי' חתיכות עם מה שעלו הק' ליט' מתולעת ויהיו של"ו וב' שלישיות | |
|
עתה תחבר מה שעלו הי' חתיכות בחלוף עם מה שעלו הק' ליט' ויהיו תמ"א וב' שלישיות | |
|
והנך רואה כי מה שהיה שוה בממון של"ו וב' שלישיות שם אותו בחלוף תמ"א וב' שלישיות | |
|
ובעבור שהוא רוצה לתת ה' מאות בממון נחברם עם של"ו וב' שלישיות ויהיו תתל"ו וב' שלישיות | |
|
גם תחברם עם תמ"א ויהיו תתקמ"א וב' שלישיות | |
|
והנך רואה כי מתתל"ו וב' שלישיות הוא עושה תתקמ"א וב' שלישיות | |
|
ולדעת כמה ראוי שיהיה ערך הגרופולי בחלוף | |
|
תאמ' אם תתל"ו וב' שלישיות שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו ז' שהוא ערך ליט' הגרופולי | |
|
ויצא לך ז' ותמ"א חלקים מתק"ב | |
|
ולדעת כמה ראוי שיהיה ערך הפלפל | |
|
תאמר אם תתל"ו שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו הק' ליט' מהפלפל שהיה ערכם בממון ט"ו | |
|
ויצא לך י"ו ותמ"ג חלקים מתקי"ב | |
|
ולדעת כמה ראוי שישוה הזנגביל | |
|
תאמ' אם תתל"ו וב' שלישיות שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו מ"ו שהיה ערך המשוא במעות | |
|
ויצא לך נ"א וג' מאות ופ"ח מתקי"ב | |
|
ואם תרצה לדעת כמה גרופולי וכמה זנגביל וכמה פלפל ראוי שינתן עבור הבגד והתולעת והת"ק זהובים | |
|
כבר ידעת כי הבגד שוות ג' מאות בחלוף והתולעת קמ"א וב' שלישיות | |
|
וכבר ידעת כי הסך העולה הוא תתקמ"א וב' שלישיות עם הה' מאות | |
|
ומצד כי הוא רוצה גרופולי שישוו ג' מאות ופלפל שישוו ג' מאות תחברם ויהיו ו' מאות | |
|
תוציאם מתתקמ"א וב' שלישיות וישארו שמ"א וב' שלישיות א"כ ראוי שיקבל מהפלפל שישוה שמ"א וב' שלישיות | |
| ||
|
ולדעת כמה גרפולי ראוי שיקבל עבור ג' מאות דוק' | |
|
תאמ' אם ז' גרושי תמ"א חלקים מתקי"ב נתן לי ליט' א' כמה יתן לי ג' מאות דוקט' | |
|
ויצא לך ט' מאות וי"ג ותרצ"ז חלקים מתשצ"א וכך ליט' ראוי שיקבל | |
|
ולדעת כמה פלפל ראוי שיקבל עבור ג' מאות מנינים | |
|
תאמר אם י"ו מנינים נתן לי מאה ליט' כמה ליט' יתן לי ג' מאות דוק' | |
|
ויצא לך אלף וז' מאות וע"ו וקי"ב חלקים מקי"ג וכך ליט' יקח | |
|
ולדעת כמה פלפל ראוי שיקבל עבור שמ"א וב' שלישיות | |
|
תאמ' אם נ"א מנינים וג' מאות ופ"ח חלקים מתקי"ב נתן לי משוא אחת מה יתן לי שמ"א וב' שלישיות | |
| ||
|
ויצא לך אלפים ותרל"ט וה' אלפים וז' מאות וי"ז חלקים מז' אלפים ותשצ"ז וכך ראוי שיקבל מהפלפל | |
|
ולבחון אותו תעשה ככה | |
|
כבר ידעת כי הגרופולי ראוי שישוה הליט' ז' ותמ"א מתקי"ב | |
|
וליט' הפלפל ראוי שיהיה י"ו ותמ"ג חלקי' מתקי"ב | |
|
והק' ליט' מהפלפל ראוי שישוו נ"א וג' ופ"ח חלקים מתק"ב | |
|
ובעבור ת"ק מנינים ועשרה חתיכות בגד וק' ליט' תולעת שני יתנו ט' מאות וי"ג ליט' וו' מאות וצ"ו חלקים מתשצ"א [מהגרפולי][206] | |
|
ואלף וז' מאות וע"ו ליט' וקי"ב חלקים מקי"ג מזנגביל | |
|
וב' אלפים וו' מאות ול"ט ותקע"א חלקי' מז' אלפים וז' מאות וז' מפלפל | |
|
ולראות אם הוא אמת ראה כמה נתן מהגרופולי וראה כמה יעלו הט' מאות וי"ג והחלקים במעות מנויים ותמצא כי ישוו ב' מאות וס"ו דוק' וי"ג גרושי והחלקים | |
|
עו' ראה הליט' מהפלפל שהם אלף וז' מאות והחלקים כמו שהיה נמכר בממון ויצא לך ג"כ רס"ו דוקט' וי"ג גרושי וחלקים | |
|
עוד ראה כמה שוות הב' אלפים ותרל"ט והחלקים בממון ויצא לך ג' מאות וג' דוקט' וא' גרושו והחלקים | |
|
אח"כ חבר אלו הג' מספרים ויצא לך תתל"ו דוקט' וי"ו גרושי ושמור זה המספר | |
|
אח"כ שוב אל השני וראה אם הוא שוה אל המספר | |
|
והנה הי' חתיכות בגד היו שוות בממון כ"ב מנינים א"כ יהיו ר"כ מנינים | |
|
אח"כ ראה כמה שוות הק' ליט' מתולעת לערך הממון מחושב שהיה כ"ח גרושי הליט' ויצא לך קי"ו דוקטי וגרושי י"ו | |
|
וחבר עמהם ה' מאות ויעלה כמו המספר השמור | |
|
רפה)[207] שאלה ב' עושים חלופים לא' יש לו ב' אלפים ליט' של שעוה שהליט' הק' שוות ה' מנינים בממון | |
|
כך תעשה ראה כמה שוות האלפים ליט' לערך ו' מנינים המאה ותמצא ששוות ק"כ מנינים | |
|
מצד כי הוא נותן ת"ק מנינים תחברם עם ק"כ ויהיו תר"כ מנינים וכך הוא קרן בעל השעוה | |
|
עתה ראה כמה ליט' יש לו לקבל מהפתיל עבור אלו התר"כ מנינים כפי הערך שהוא שוה בממון ויצא לך ז' אלפים וז' מאות ונ' ואלו הליט' ראוי שיקבל עבור הב' אלפים ליט' שעוה וה' מאות מנינים | |
|
ולדעת כמה ראוי שישים אותו בחלוף כבר ידעת כי אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' ששוות בממון ו' מאות וכ' | |
|
עתה ראה כמה ראוי שישוו אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' לערך י' מנינים שהוא החלוף ויצא תשע"ה | |
|
ומצד כי בעל הפתיל שואל ה' מאות הוצא אותם מתר"כ וישאר ק"כ מנינים | |
|
גם הוציאם ממה ששוה בחלוף שהוא תשע"ה ויצא ב' מאות וע"ה | |
|
ולכן תאמר כי ק"כ שבו ב' מאות וע"ה | |
|
ולדעת כמה ראוי להיות ערך השעוה בחלוף | |
|
תאמר אם ק"כ שבו רע"ה כמה ראוי שישובו ו' שהוא הערך בממונו | |
|
ויצא לך י"ג וג' רביעיות והוא שווי השעוה בחלוף | |
|
והנך רואה כי עבור אלפים ליט' שעוה וה' מאות מנינים ראוי שיקבל ז' אלפים וז' מאות ונ' ליט' מחבירו וראוי שישוה בחלוף י"ג וג' רביעיות | |
|
ולבחון אותו ראה כמה שוות אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' ליט' בממון שהיה הערך ח' ויצא לך תר"כ | |
|
עתה ראה כמה שות האלפים ליט' של שעוה בממון שהיה הערך ו' ויצא לך ק"כ תחבר עמהם ה' מאות ויהיו תר"כ והנך רואה כי הכל אחד | |
Mixture and Alligation Problems |
||
|
רפו)[208] שאלה לאדם יש לו ק' מרקי שיש בכל מרקו ה' אוק' מכסף ונרצה לעשות אותו שיכיל כל מרקו ו' אוק' נרצה לדעת כמה אוק' ראוי להוסיף בו | |
|
כך תעשה כבר ידעת כי בכל מרקו יש ח' אוק' והג' הם של נחושת מאחר שהיא מכילה ה' מכסף בכל מרקו | |
|
א"כ בכל הק' מרקו יש ג' מאות מאוק' נחושת חלקם על ו' שתרצה שיכיל כל מרקו מכסף ויצא לך נ' | |
|
הוסיפם על ק' ויהיו ק"נ ואלו הנ' הם כלם שוות של כסף | |
|
ולבחון אותו ראה כי בכל אלו הק"נ אין בם כי אם ג' מאות אוק' נחושת ויש בם ו' מאות אוק' כסף | |
|
א"כ כל מרקו מכיל ו' אוק' מכסף | |
|
רפז)[209] שאלה לאדם יש לו צ' מרקי מכיל כל מרקו ו' אוק' של כסף ורוצה להוסיף בו נחושת שלא יכיל כל מרקו כי אם ה' בכל מרקו אשאל כמה אוק' ראוי להוסיף | |
|
כך תעשה ראה כמה אוקי' כסף יש בין אלו הצ' מרקי ויצא לך תק"מ | |
|
ותאמ' אם ה' אוק' עושה מרקו אחד תק"מ כמה מרקי יעשו | |
|
ויצא לך ק"ח וכן ראוי שיהיה בין הכל | |
|
ולבחון אותו כבר ידעת כי הצ' היו שוים תק"מ שהיה בכל מרקי ו' אוק' | |
|
גם כפול עתה ה' פעמים ק"ח ויצא ג"כ תק"מ ועתה אין בכל מרקו כי אם ה' | |
|
רפח)[210] שאלה לאדם יש לו כ' מרקי מכיל כל מרקו ה' אוקיות עוד יש לו י"ו מרקי מכיל כל מרקו ג' אוקיו' | |
|
הדרך הוא כך ראה כמה נחושת יש בין כל אלו הב' מיני כספים | |
|
והנה בראשנה בכ' מרקי תמצא ס' אוקיו' נחושת | |
|
והי"ו אחרים יש בם פ' אוקי' נחושת | |
|
וחברם והיו ק"מ א"כ באלו הב' מיני כספים יש בם ק"מ אוק' נחושת | |
|
והוא מבקש שיכיל כל מרקו ו' אוקיו' כסף א"כ לא יכיל כי אם ב' מנחושת | |
|
ולכן תאמר אם ב' אוקיו' מנחושת נתן לי א' מרקו ק"מ כמה מרקי יתנו | |
|
ויצא ע' והם מרקי | |
|
תוציא מהם הכ' והי"ו וישארו ל"ד וכך ראוי שיוסיף ואלו הל"ד הם כלם של כסף ר"ל כל מרקו מכיל ח' אוקי' מכסף | |
|
ולבחון אותו כבר ידעת כי בין הכ' והי"ו לא היו מכילים מנחושת כי אם ק"מ אוקי' | |
|
ועתה ראוי ג"כ כי בין אלו הע' מרקי לא יכילו כי אם ק"מ אוקי' ג"כ מנחושת | |
|
רפט)[211] שאלה לאדם יש לו כ' מרקי מכיל כל א' וא' ה' ועוד יש לו י"ו מרקי מכיל כל א' ו' אוקי' | |
|
הדרך הוא כך יש לך לראות כמה הוא כל הכסף מכל אלו הכספים | |
|
והנה אותם הכ' שמכיל ה' יהיו ק' אוק' | |
|
ואותם י"ו שמכיל ו' יהיו צ"ו | |
|
ובין הכל קצ"ו | |
|
ומצד שרוצה שלא יכיל כל מרקו כי אם ד' תאמר אם ד' שוים מרקו א' קצ"ו כמה שוים | |
|
ויצא לך מ"ט וכן הוא סך הכל | |
|
ולדעת כמה הוסיף הוצא ממנו כ' וי"ו וישארו י"ג וכן ראוי להוסיף מנחושת | |
|
ולבחון אותו כבר ידעת כי בין הב' כספים לא היה כי אם קצ"ו אוק' כסף | |
|
וכך ראוי שיהיה עתה בין אלו המ"ט מרקי והנך רואה כי ד' פעמים מ"ט הם קצ"ו | |
|
רצ)[212] שאלה לאדם יש לו סך כסף מכיל כל מרקו ה' אוקי' וחצי מכסף ואחר רוצה לעשות כ' מרקי יכיל כל מרקו ד' אוקיו' וחצי | |
|
כך תעשה ראה כמה כסף יש בכ' מרקי לערך ד' אוקיו' וחצי בכל מרקו ויצא צ' וכך ראוי לקחת מאותו שמכיל ה' וחצי | |
|
ולדעת כמה יקח תאמר אם ה' וחצי שוים מרקו אחד צ' כמה שוים | |
|
ויצא לך י"ו וד' חלקים מי"א וכך ראוי לקחת מאותו שמכיל ה' וחצי | |
|
ולדעת כמה נחושת ראוי להוסיף ראה ההפרש מי"ו וד' חלקים מי"א עד כ' ויצא לך ג' וז' חלקים מי"א וכך נחושת ראוי להוסיף | |
|
ולבחון אותו ראה כמה נחושת וכמה כסף יש באותם י"ו וד' חלק' מי"א מאותו הכסף שמכיל ה' וחצי בכל מרקו ותמצא בם מכסף צ' אוק' ומנחושת מ' אוק' וי' חלקים מי"א | |
|
תוסיף אלו המ' והחלקים על ג' מרקו וז' חלקים מי"א שהוספנו מנחושת ויצא לך ע' אוק' | |
|
והנה יש לך כי באלו הי"ו מרקי והחלקים יש לך צ' אוק' כסף ומ' אוק' נחושת וי' חלקים מי"א | |
|
ובין הכ' מרקי יש צ' אוק' וע' מנחושת | |
|
וראה כי אם כל מרקו מכיל ד' וחצי אלו הכ' יכילו צ' | |
|
עוד ראה כמה אוק' נחושת יש באלו הכ' מרקי ויצא לך ע' והמספר הוא שוה | |
|
רצא)[213] שאלה לאדם יש לו כסף מכיל כל מרקו ד' וג' רביעיות עוד יש לו אחר מכיל כל מרקו ה' | |
|
כך תעשה ראה כמה נחושת מכיל המרקו | |
|
והנה אותו שמכיל ד' וג' רביעיות כסף יכיל ג' ורביע נחושת | |
|
ואותו המכיל ה' מכסף יכיל ג' מנחושת | |
|
וחברם ויהיו ו' ורביע | |
|
אח"כ ראה כמה נחושת יכילו הנ' מרקי שרוצה שיכיל כל מרקו ו' מכסף ויצא לך ק' | |
|
ועתה תאמר אם ו' אוק' ורביע נתנו לי מרקי א' ק' כמה יתנו לי | |
|
ויצא לך י"ו וכך ראוי שיקח מכל מיני הכספים | |
|
ולדעת כמה כסף ראוי להוסיף ראה כי אם יקח י"ו מכל מתכת לא יהיו בין הכל כי אם ל"ב | |
|
והוא מבקש לעשות נ' א"כ ראה מה בין נ' לל"ח ותמצא י"ב וכך ראוי להוסיף מכסף טוב | |
|
ולבחון אותו ראה כמה כסף מכיל אותם הי"ו מרקי שמכיל כל מרקו ד' אוק' וג' רביעיות ויצא לך ע"ו אוק' | |
|
עוד ראה כמה כסף מכילים הי"ו מרקי שמכיל כל מרקו ה' אוק' מכסף ויצא לך פ' | |
|
ותחברם ויהיו קנ"ו | |
|
גם תחבר עמהם י"ח מרקי שהוא כלו טוב ויצא לך ג' מאות | |
|
וע' כפול נ' שהם מרקי על ו' ויעלה הכל ג' מאות | |
|
רצב)[214] שאלה לאדם יש לו מב' מיני כספים הא' יש ה' אוקיו' בכל מרקו ובאחר יש ו' אוקיו' בכל מרקו ורוצה לעשות נ' מרקו יכיל כל מרקו ז' אוקיו' ורוצה לקחת כ"כ מזה כמו מזה | |
|
הדרך הוא כך ראוי לראות כמה נחושת יש בין הנ' מרקו שהוא רוצה לקחת כפי הערך שהוא רוצה כי הוא רוצה שלא יהיה בכל מרקו כי אם א' אוקי' נחושת ויצא לך נ' אוקי' | |
|
ועתה יש לך לראות כמה נחושת יש בג' מרקי מאותו שמכיל מכסף עבור כל מרקו ה' ויצא לך ט' | |
|
גם ראה כמה נחושת יש בג' מרקי מאותו שמכיל ו' אוק' מכסף כל מרקו ויצא לך ו' | |
|
עתה ראוי לחבר מה שמכיל מרקו אחד מאותו ששוה ו' מכסף ויצא לך ב' שמכיל מנחושת ועם הט' הם י"א | |
|
ועתה תאמר אם י"א אוק' נחושת נתן לי א' מרקו כמה יתנו לי נ' | |
|
ויצא לך ד' וו' חלקים מי"א וכך ראוי שיקח מאותו שמכיל ו' אוק' מכסף עבור מרקו אחד | |
|
ובעבור כי הוא רוצה לקחת ג' פעמים יותר מאותו שמכיל ה' כפול ג' פ' ד' וו' חלקים מי"א ויצא לך י"ג וז' חלקים מי"א וזהו מה שיקח מאותו שמכיל ה' אוק' מטוב | |
|
ולדעת כמה כסף טוב ראוי שיוסיף תחבר י"ג והחלקים עם ד' והחלקים ויצא י"ח וב' חלקים מי"א | |
|
והוצא זה המספר מנ' וישאר ל"א וט' חלקים מי"א וכך ראוי להוסיף מכסף טוב | |
| ||
|
ולבחון אותו ראה כמה שווים י"ג מרקי וט' חלקים מי"א שמכיל כל מרקו ה' אוק' מכסף ויצא לך ס"ח וב' חלקים מי"א | |
|
עו' ראה כמה כסף מכילים ד' מרקי וה' חלקים מי"א מאותו שמכיל ו' מרקו מכסף ויצא לך כ"ז וג' חלקים מי"א | |
|
ותחברם ויהיו ו' גם תוסיף עמהם מה שמכיל הל"א שעולה רצ"ד ויהיה בין הכל ג' מאות וחמישים | |
| ||
|
והנך רואה כי אותם הנ' מרקי שמכיל כל אחד ז' עולה ש"נ | |
|
רצג)[215] שאלה לאחד יש לו מג' מיני כספים הא' מכיל ז' אוקי' כסף כל מרקו והא' ה' אוקיו' כסף כל מרקו והאחר מכיל ד' אוקיו' כסף כל מרקו ונרצה לקחת משלשתן באופן יכיל כל מרקו ו' אונקיו' ונרצה לקחת נ' מרקו | |
|
עשה כך תסדרם בזה האופן | |
|
אח"כ תקשרם כך והוא שתקח הערך שהוא פחות מהערך שתרצה לעשות ותקשרהו עם הערך שהוא יותר גדול מהערך שתרצה לעשות | |
|
ולכן תקשור ז' שהוא יותר מו' עם הד' שהם פחות מו' | |
|
וכך תעשה והנך רואה כי ו' מוסיף על ד' ב' ולכן שים ב' על ז' | |
|
גם אתה רואה כי ו' פחות מז' א' ולכן שים א על ד' | |
|
ועתה קשרת ד' עם ז' | |
|
נשאר לקשור ה' ותאמר ו' מוסיף א' על ה' ולכן שים א' על ה' | |
|
עוד תאמר ז' מוסיף על ו' א' ולכן תחבר הב' והא' שהם על הז' ויהיו ג' ושים ג' עליהם | |
|
ועתה תחבר ג' שהם על הז' וא' שהוא על ה' וא' שהוא על ד' ויהיו ה' | |
|
ותאמר אם ה' נתנו לי נ' מרקי כמה ראוי שאקח מאותו שנתן לי ג' | |
|
ויצא ל' וכך יקח מאותו מכיל ז' | |
|
ובעבור האחר תאמר אם ה' נתן נ' כמה יתן א' | |
|
יצא י' ושימם על ה' א"כ מאותו מכיל ה' אוקי' כסף ראוי לקחת י' | |
|
עוד תאמר אם ה' נתן נ' א' כמה יתן | |
|
ויצא י' וכך ראוי לקחת מהמכיל ד' | |
|
ולבחון אותו ראה כמה מכילין ל' מרקי מאותו ששוה ז' כל מרקו ויצא ר"י | |
|
עוד ראה כמה שוים הי' שמכילים ה' ויהיו נֻ' | |
|
עוד ראה כמה שוים הי' שמכיל ד' ויהיו מ' | |
|
ותחברם ויהיו ש' | |
|
עוד ראה כמה שוים הנ' מרקי מאותו שרצה לעשות שהוא ו' ויעלה ש' ג"כ | |
Purchase Problem - Five Types of Wheat |
||
|
רצה)[216] שאלה לאדם היו לו מה' מיני חטה ערך הא' מ"ד סולדי המשוא וערך הב' מ"ח וערך הג' נ"ב וערך הד' ס' וערך הה' ס"ו ובא אדם ורוצה לקחת מכלם בין כלם נ' משואות שלא יבא כי אם נ"ו גרושי אשאל כמה יקח מכל א וא' | |
|
ראשנה תקשור כנז' בשאלה הקודמת ותסדרם כך | |
|
ועתה תתחיל לקשור מ"ד שהם היותר פחותים עם ס"ו שהוא היותר גדול עם הערך שתרצה לעשות ותאמר מ"ד הוא פחות מנ"ו י"ב ושים י"ב על ס"ו | |
|
עוד תאמר ס"ו מוסיפים על נ"ו י' ולכן שים י' על מ"ד | |
|
אח"כ תקשור מ"ח שהוא פחות מנ"ו עם ס' שהוא יותר מנ"ו ותאמר מ"ח הוא פחות מנ"ו ח' ושים ח' על ס' | |
|
עוד תאמר ס' הם יותר מנ"ו ד' ולכן שים ד' על מ"ח | |
|
וישאר לנו לקשור נ"ב שהוא פחות מנ"ו ולכן יש לך לקשור אותו עם איזה ערך שיהיה יותר מנ"ו ונוכל לקשור אותו עם ס' או ס"ו | |
|
ונקשור אותו עם ס"ו ונאמר כי נ"ב הוא פחות מנ"ו ס' ד' ולכן שים ד' על ס"ו | |
|
עוד תאמר ס"ו הוא מוסיף י' על נ"ו ולכן שים י' על נ"ב | |
|
ועתה תחבר הי"ב והד' שהם על ס"ו ויהיו י"ו | |
|
ועתה תחבר הי' שהם על מ"ד והד' שהם על מ"ח והי' שהם על נ"ב והח' שהם על ס' והי"ו שהם על ס"ו ויהיו מ"ח | |
|
ועתה תאמר אם מ"ח נתן לי נֻ' משואות כמה יתן לי עשרה עבור החטה הראשנה | |
|
ויצא לך י' וה' חלקים מי"ב וכן יקח מאותה ששוה מ"ד גרושי המשוא | |
|
כן תעשה מכל הה' ערכים | |
|
ולבחון אותו כפול מה שיצא לך על כל ערך ר"ל מה שראוי לקחת מכל ערך על ערכו ושמור העולה | |
|
גם כפול נ' שהם המשואות שעשה על נ"ו והעולה יהיה שוה אל השמור | |
|
ותוכל לקשור באופן אחר והוא שתקשור מ"ד עם ס"ו ונ"ב עם ס' ויצא לך מה שראוי לקחת אשר לא היה כמוהו בפעם הראשנה אך כשתבחון אותו הוא ג"כ דרך מדוקדק וצודק | |
|
ועוד נוכל לקשור באופן אחר והוא שתקשור מ"ד עם ס' ומ"ח עם ס"ו ונ"ב עם ס"ו ויצא לך קשר של קיימה | |
|
ועוד באופן אחר תקשור מ"ד עם ס' ומ"ח עם ס' ונ"ב עם ס"ו וכל אלו הקשורים כשתבחון כל א' מהם הוא נכון והוא קשר אמיץ | |
Buy and Sell Problems |
||
|
רצו)[217] שאלה אדם קנה מרגלית אחת עבור ק"נ מנינים ומכרה קע"ה אשאל כמה מרויח על כל מאה | |
|
הדרך הוא כך ראה ההפרש שהוא מק"נ עד קע"ד ותמצא כ"ד | |
|
ועתה תאמר אם ק"נ הרויחו כ"ד ק' כמה ירויחו | |
|
יצא לך י"ו וכך הרויח על כל ק' | |
|
רצז)[218] שאלה אדם קנה דבר מה עבור מ"ה מנינים ומכרה ל"ה אשאל כמה הפסיד על כל ק' | |
|
הוצא ממ"ה ל"ד הנשאר י"א | |
|
ותאמר אם עבור מ"ה הפסיד י"א עבור ק' כמה יפסיד | |
|
ויצא כ"ד וד' תשיעיות וכך הפסיד על כל ק' | |
|
רצח)[219] שאלה אדם מוכר דבר מה עבור פ' מנינים והרויח ט"ו עבור ק' אשאל כמה קנה הדבר | |
|
עשה כן ותוסיף ט"ו על ק' | |
|
ותאמר אם קט"ו שבו ק' פ' כמה ישובו | |
|
ויצא לך ס"ט וי"ג חלקים מכ"ג | |
|
רצט)[220] שאלה אדם מכר דבר מה עבור קנ"ה והפסיד י"ב עבור כל מאה אשאל [221]כמה קנה המסחר | |
|
תחסר י"ב מק' וישארו פ"ח | |
|
ותאמר אם ק' שבו פ"ח קנ"ה כמה ישובו | |
|
ויצא לך קמ"ב וחלק אחד מכ"ב | |
|
ש)[222] שאלה אדם קנה דבר מה עבו' ע' מנינים אשאל כמה ראוי למכרה באופן שירויח י"ו על כל ק' | |
|
כבר ידעת כי הק' ראוי שישובו קי"ו ולכן תאמ' אם ק' שבו קי"ו כמה ישובו ע' | |
|
ויצא לך פ"א וחומש | |
|
שא)[223] שאלה באיזה אופן ראוי לקנות ליט' המשי כי כשאמכור כל ליט' ל"ב סולדי שארויח על כל מאה סולדי ט"ו | |
|
כך תעשה אם קט"ו נתן לי ק' כמה יתן לי ל"ב | |
|
ויצא לך כ"ז וי"ט חלקים מכ"ג | |
|
שב)[224] שאלה אדם מוכר מרגלית אחת ק"נ מנינים והרויח כ' עבור כל ק' אשאל אם רצה להרויח כ"ה על כל מאה כמה ראוי שימכרנה | |
|
תעשה כך ראוי שתאמר אם ק"כ נתן לי ק' ק"נ כמה יתן לי | |
|
ויצא לך קכ"ה וכך קנה המרגלית | |
|
ועתה כדי לדעת כמה ימכרנה כדי שירויח כ"ה תאמר אם ק' נתן לי קכ"ה קכ"ה כמה יתנו לי | |
|
ויצא לך קנ"ו ורביע | |
Exchange Problems |
||
|
שג)[225] שאלה אם ז' ליט' מפדואה הם ה' מוינישיאה ק"מ מפדואה כמה הם מוינישיאה | |
|
כפול ק"מ על ה' וחלק על ז' יצא לך ק' | |
|
שד)[226] שאלה אם ק' ליט' של מודו הם מוינישיאה קט"ו וק"פ של וינישיאה הם מאותם של קורפו ק"נ ור"מ מקורפו הם בניגריפונטי ש"ס אשאל ח' מאות ונ' מניגריפונטי כמה הם ממודו | |
|
כך תעשה ח' מאות ונ' מניגריפונטי כמה הם מקורפו | |
|
אם ג' מאות וס' מניגריפונטי הם ר"מ מקורפו כמה ישוו ח' מאות ונ' | |
|
ויצא לך תקס"ו וב' שלישיות | |
|
ועתה תאמר אם ק"נ מקורפו הם מוינישיאה ק"פ תקס"ו וב' שלישיות כמה שוות | |
|
ויצא לך תר"פ מוינישיאה | |
|
עתה תאמר אם קט"ו מוינישיאה הם ק' ממודו תר"פ כמה שוות | |
|
ויצא לך תקצ"א וז' חלקים מכ"ג | |
|
שה)[227] שאלה ח' מרקיטי שוים י"ג פרושיני וט"ו מפרושא שוים ט' מבולונייני י"ב בולוניני שוה י"ו פישאני וכ"ד פישאני שוה ל"ב גינוויני אשאל ק"מ זינוויני כמה מרקיטי הם | |
|
ראה כמה שוים ק"נ זינוויני מהפושאני ותאמר כן אם ל"ב [228]שוים כ"ד ק"מ כמה שוים | |
|
יצא לך ק"ה והם פישאני | |
|
וכך תעשה מכלם כאשר עשית מהזינוויני עם הפישאני ויצא לך כי הק"מ זינוויני שוה מהמרקיטי פ' וי' חלקים מי"ג | |
|
שו)[229] שאלה אם מ"ב קנים מפרוש שוות ח' ליט' וו' סולדי וח' דינרין ממטבעו' של פרושי ונושא אותו בפלורינצא נמצא כי הח' קנים מפארושי שוות ט' בלורינציאה והסולדו מפרושי שוה ד' מאותם של פלורינצא גם ח' דינרין אשאל כמה שוה הקנה מפלורינצא שהם ד' אמות | |
|
כבר ידעת כי הסולדו מפרושי הם ד' וח' דינרין מפלורינצא א"כ הי"ב דינרין מפרוש שיש בכל סולדי של פריש שוה בפלורינצא נ"ו שהם ד' סולדי וח' דינרין | |
|
ועתה ראוי לראות הי' ליט' והו' סולדי וח' דינרין מפארושי כמה הם מפלורינצא | |
|
נעשה כן אם י"ב דינרין מפרושי הם שוים נ"ו מפיאורינצא כמה ישוו י' וו' סולדי וח' דינרין | |
|
ויצא לך מ"ח ליט' וב' סולדי וה' דינרין ושליש ממטבע של פלורינצא לערך כ' סולדי בכל ליט' | |
|
ועתה ראוי לראות כמה הם הי' קנים מפרוש מאותם של פלורינצא | |
|
ותאמר אם ח' מפרוש שוות ט' מפלורינצא מ"ב מפרוש ישוו מ"ז ורביע | |
|
א"כ מה שהוא בפלורינצא מ"ז ורביע ישוה מ"ח ליט' וד' סולדי וה' דינרין | |
|
ולדעת כמה הוא ערך הקנה שהם ד' בראצי תאמר אם מ"ז ורביע שוה ליט' מ"ח וד' סולדי וה' דינרין ושליש ד' כמה שוים | |
|
ויצא לך ד' ליט' א' סולדו וז' דינרין וס"א חלקים מפ"א וכך ישוה הקנה בפלורינצא ממטבע של פלורינצא | |
Bay and Sell Problems |
||
|
שז)[230] שאלה אדם קנה הבראצו מבגד של משי בוינישיאה בז' גרושי והולך בצאראגוסא והנה הקנה מצראגוסא הוא ג' בראצי ושליש מוינישיאה | |
|
ראשנה ראוי לדעת כי הג' בראצי ושליש מוינישיאה שהם קנה א' מצרגוצא הם שוות צ' גרושי לערך כ"ז גרושי כל הבראצי | |
|
גם ראוי לך לדעת כי כ"ד גרושי הם דוק' א' [231]ויניציאנו והדוק' ויניציאנו שוה י"ח קרליני | |
|
ולכן תאמר אם כ"ד שוים א' דוק' צ' כמה שוים | |
|
ויצא לך | |
|
ולדעת כמה הוא מרויח עבור מאה כבר ידעת כי הוא מכר הקנה ע"ה ולכן תאמר אם מס"ז וחצי הוא עשה ע"ה כמה יעשה מק' | |
|
ויצא לך קי"א ותשיעית הנה א"כ הוא מרויח י"א ותשיעית עבור מאה | |
|
שח)[232] שאלה איש הולך איש הולך בפיטראש וקנה לשם עבור מטבעות ע' נקראות פפי ק' מדות יין נקראות מיטרי ונושא היין בוינישיאה ומצא כי המיטרי נ"ב הם אנפורא א' מוינישיאה שהיא מדה ידועה אצלם ועשרה פפי שוים א' מגן אשאל באיזה אופן ימכור כדי שירויח על כל ק' אנפורא כ' | |
|
הדרך הוא זה | |
|
ראה כמה שוות הנ"ב מיטרי בזה האופן | |
|
ותאמר אם מיטרי ק' שוות ע' פיפי נ"ב מיטרי כמה שוה | |
|
ויצא לך ל"ו וב' חומשים א"כ האנפורא שהם נ"ב פיפי שוות ל"ו וב' חומשי פיפי | |
|
עתה ראוי לדעת כמה שוות אלו הל"ו פיפי ממטבע של וינישיאה | |
|
ותאמר אם ה' שוות א' ל"ו וב' חומשים כמה שוים | |
|
ויצא לך ג' וי"ו חלקים מכ"ה | |
|
א"כ האנפורא מוינישיאה שוה ג' מנינים וי"ו חלקים מכ"ה | |
|
ולדעת באיזה אופן ימכור כדי שירויח כ' עבור ק' | |
|
תאמ' אם ק' עשה ק"כ כמה יעשו ג' וי"ו חלקים | |
|
ויצא לך ד' מנינים וחלקים | |
|
רט)[233] שאלה הנה הככר בשוריאה הוא ז' מאות ליט' והק' ליט' משוריאה הם קי"א של וינישיאה וחמישים מטבעים של שוריא נקראים כרומי שוות א' דוק' וינישיאנו נשאל עבור כמה כרומי ראוי לקנות הככר משוריאה באופן כי כשאמכור הק' ליט' נ' דוק' שארויח כ' על כל מאה | |
|
כך תעשה מצד כי אמר כי רוצה להרויח עבור הק' ליט' של וינישיאה כ' ראה הק' משוריאה כמה הם מוינישיאה | |
|
ותאמר אם ק"י מוינישיאה הם ק' מן שוריאה ק' מוינישיאה כמה הם | |
|
ויצא לך צ' ועשרה חלקים מי"א א"כ הצ' ליט' והי' חלקים מי"א ראוי למכור עבור עבור הו' מנינים | |
|
ולדעת כמה שווי הז' מאות ליט' של שוריא שהם ככר אחד תאמר כך אם צ' וי' חלקים מי"א שוה ו' כמה ישוה ז' מאות | |
|
ויצא לך מ"ו וחומש | |
|
ולדעת כמה כרומי ראוי לקנות אותו תאמר אם מגן אחד שוה נ' כרומי נ"ו וחומש כמה שוה | |
|
ויצא לך אלפים וג' מאות ועשר | |
|
ומצד שאמר כי רוצה להרויח עבור כל ק' כ' תאמר אם ק"כ שבו ב' אלפים וג' מאות ועשר כמה ישובו | |
|
ויצא לך אלף וט' מאות וכ"ה ובזה האופן ראוי שיקנה אותו באופן כי כשימכרהו אלפים וג' מאות ועשר ירויח ק' עבור כל מאה וראוי שימכור בוינישיאה ו' מנינים המאה | |
|
שי)[234] שאלה אדם קנה צמוקים בפיטראש לערך י' פיפי השק שוקל קמ"ד ליט' וקנה מהם ב' מאות ונשאם בוינישיאה ופזר בדרך כ"ד מנינים והנה הי"ב ליט' מפיטראש הם י' מוינישיאה וי"ב פפי הם א' מגן אשאל באיזה אופן ימכור השק בוינישיאה שיש בו ר"ס ליט' שירויח כ' עבור ק' | |
|
כך תעשה ראה כמה שוים המאתים שקים מפיטראש | |
|
ותאמ' אם שק א' שוה י' פפי מאתים כמה שוים | |
|
ויצא לך אלפים | |
|
ועתה תחלקם על י"ב כדי שיהיו מנינים ויצא לך קס"ו וב' שלישיות | |
|
תוסיף בם כ"ד שפזרו יהיו ק"צ וב' שלישיות | |
|
עתה ראה כמה ליט' של פיטראש יש בין המאתים שקים כי בכל א' יש קמ"ד ליט' ולכן כפול קמ"ד על ר' ויצא לך כ"ח אלפים וח' מאות | |
|
ולדעת כמה הם מליט' של וינישיאה כבר ידעת כי י"ב מפיטראש הם י' מוינישיאה | |
|
ולכן תאמר אם י"ב הם י' כ"ח אלפים ות"ת כמה הם | |
|
ויצא לך כ"ד אלפים | |
|
ולדעת כמה שוה השק מוינישיאה שהם ר"ס ליט' | |
|
תאמ' אם כ"ד אלפים שוים ק"צ מנינים וב' שלישיות ר"ס כמה שוים | |
|
ויצא לך ב' ונ"ט חלקים מט' מאות | |
|
ולדעת באיזה אופן ימכור כדי להרויח כ' על כל ק' | |
|
תאמ' אם ק' שבו ק"כ כמה ישובו ב' ונ"ט חלקים מט' מאות | |
|
ויצא לך ב' דוק' וי"א גרושי פיצולי ט"ו וחלקים וכך ראוי שימכור השק מוינישיאה כדי להרויח כ' בעד ק' | |
Give and Take Problems - Earning and Spending |
||
|
שיא)[235] שאלה אדם נוסע מנאפולי ללכת בוירונא עם סך ממון ומרויח הכ' עבור ק' ופזר רביעית כל הסך ונשארו לו ק' אשאל כמה ממון היה בנסעו מנאפולי | |
|
נניח שהיו לו מאתים | |
|
תוסיף בם מ' שהוא ריוח כ' על כל מאה ויהיו ר"מ | |
|
תוציא מהם הרביעית וישארו ק"פ ואנו מבקשים ק' | |
|
ולכן תאמר אם ר' נתן ק"פ כמה יתנו לי באופן שיצא ק' | |
|
ויצא לך קי"א ותשיעית | |
|
ותוכל לבחון אותו | |
|
שיב)[236] שאלה אדם נוסע מוינישיאה ללכת בנאפולי עם דינרין ומרויח עבו' ק' כ' ומפזר ל"ב ואח"כ מצא שהרויח כ"ח מנינים אשאל עם כמה ממון נסע מוינישיאה | |
|
כך תעשה הוא אמר כי פזר ל"ב ועכ"ז נמצא עמו מריוח כ"ח אבל אם לא פזר מאומה היה עמו ס' מנינים מריוח | |
|
ולכן תאמר אם ק' הרויח כ' כמה ראוי להיות כדי להרויח ס' | |
|
ויצא ג' מאות וכך היה בנסעו מוינישיא | |
|
שיג)[237] שאלה איש נוסע מוינישיאה ללכת בשוריאה ונושא עמו סך ממון וכפל לשם ממונו ופזר ל' דוק אח"כ הולך במודו ועבור כל י' עושה י"ב ופזר כ' | |
|
כבר ידעת כי היו לו ק"נ בקאנדיאה ופזר מ' הוסיפם על ק"נ ויהיו ק"צ | |
|
ויצא לך רל"ז וחצי וכך היה לו קודם לכתו בקאנדיאה | |
|
ותוסיף על זה כ' שפזר ויהיו רנ"ז | |
|
ולדעת כמה היה לו קודם כבר ידעת כי הוא עשה מי' י"ב | |
|
ולכן תאמר אם י"ב היו י' כמה היו רנ"ז וחצי | |
|
ויצא לך רי"ד וד' חלקים מי"ב וכך נשא במודו | |
|
תוסיף עליהם כ' שפזר ויהיו רמ"ד וז' חלקים מי"ב | |
|
והנה מצד שאמר כי הוא כפל ממונו ראוי לקחת חצי מקמ"ד וז' חלקים ויצא לך קכ"ב וז' חלקים מכ"ד וכך היה לו בנסעו מוינישיאה | |
|
ותוכל לבחון אותו | |
Multiple Quantities - Grinders |
||
|
שיד)[238] שאלה אם ג' טוחנות בד' ימים טוחנים ר"ל טומולי אשאל בכמה ימים ח' טוחנות יטחנו אלף וה' מאות | |
|
תאמר אם ג' טוחנות טוחני' בד' ימים כמה יטחנו ח' טוחנות | |
|
ויצא לך כי ח' טוחנות יטחנו בד' ימים ו' מאות וי"ג ושליש | |
|
אח"כ תאמר אם ו' מאות וי"ג ושליש שוים ד' אלף וה' מאות כמה שוים | |
|
ויצא לך ט' וי"ח חלקים מכ"ג | |
Find the Time Problem - Months, Minyanim |
||
|
שטו)[239] שאלה אם ר"נ מנינים הרויחו בח' חדשים ס' מנינים אשאל ד' מאות מנינים בכמה זמן ירויחו ק"פ | |
|
ותאמר אם ק"נ הרויחו בח' ס' כמה ירויחו ד' מאות | |
|
ויצא לך צ"ו הנה א"כ עם ד' מאות מנינים בח' חדשים נרויח צ"ו | |
|
א"כ תאמר אם צ"ו נתן לי ח' ק"פ כמה יתן | |
|
ויצא ט"ו א"כ בט"ו חדשים עם ד' מאות מנינים נרויח ק"פ | |
Find the Amount Problems |
||
|
שיו)[240] שאלה אם ככר הערמונים שוה ב' מנינים וחצי ואדם מוכר הליט' י"ד פיצולי אשאל אם הככר שוה ב' מנינים איזה משקל ראוי לתת עבור א' סולדו | |
|
תעשה כך תאמר שהככר שוה ב' וחצי אני מוכר י"ד כשהוא שוה ב' כמה אמכור | |
|
ויצא לך י"א וחומש | |
|
ולדעת כמה משקל ראוי לתת עבור א' סולדו תאמר אם עבור י"א וחומש אני נותן י"ב אוקיו' שיש בליט' כמה אתן עבור י"ב פיצולי שהם א' סולדו | |
|
ויצא לך י"ב וו' שביעיות וכך ראוי למכור הליט' | |
|
שיז)[241] שאלה כשהטומולי מהחטה שוה פ' סולדי הלחם הנמכר ד' פיצולי שוקל ו' אוק' כשהטומולי לא ישוה כי אם ע' סולדי כמה ראוי שישקול הלחם הנמכר ד' פיצולי | |
|
ראוי שתאמר אם ע' נתן ו' אוק' כמה יתנו פ' | |
|
ויצא לך ו' וו' חלקים מז' וכך ראוי שישקול הלחם השוה ד' פיצולי | |
|
שיח)[242] שאלה בעוד שככר החטה שוה פ' סולדי הלחם השוה ו' פיצולי שוקל ט' אוקיו' כשהככר לא ישוה כי אם ע' כמה ראוי שישקול הלחם הנמכר ד' פיצולי | |
|
עשה כך תאמר אם ע' נתן ט' אוק' פ' כמה יתן | |
|
ויצא לך י' וב' שביעיות וכך ראוי שישקול הלחם הנמכר ו' פיצולי | |
|
ולדעת כמה ישקול הנמכר ד' תאמ' אם ו' נתן י' וב' שביעיות מה יתן ד' | |
|
ויצא ו' וו' שביעיות וכן ראוי שישקול | |
|
שיט)[243] כשככר החטה שוקלת קל"ב ליט' ושוה הככר כ"ד גרושי הלחם הנמכר מו' פיצולי שוקל י"ב אוק' אשאל כשהככר שוקל ק"כ ושוה י"ו גרושי כמה ראוי שישקול הלחם מד' פיצולי | |
|
תעשה כך תאמר אם קל"ב ליט' עם כ"ד גרושי נתנו לי י"ב אוק' עבור ו' פיצולי כמה יתנו ק"כ | |
|
ויצא י' וי' חלקים מי"א א"כ הלחם הנמכר ו' פיצולי אין ראוי לשקול כי אם י' וי' חלקים מי"א | |
|
ולדעת כמה ישקול עבור ד' תאמר אם י"ו גרושי נתנו לי י' וי' חלקים מי"א כמה יתנו כ"ד | |
|
ויצא לך איזה דבר אח"כ תאמר אם ו' פיצולי נתנו לי כך כמה יתנו ד' פיצולי | |
|
ויצא לך י' וי' חלקים מי"א וכך ראוי שישקול הלחם מד' פיצולי לערך הנז' | |
Proportional Division Problem - Debt between Two Brothers |
||
|
שכ)[244] שאלה ב' אחים מחוייבים לפרוע ז' מאות מנינים הראשון מרויח ב' שלישיות ומפזר ב' חמישיות | |
|
כבר ידעת כי החלקים הם חצי ושליש ורביע וחומש בקש מספר כולל החלקי' והוא ס' | |
|
ויען כי א' מרויח ב' שלישיות הוצא ב' שלישיות ס' שהם מ' א"כ בס' ירויח מ' | |
|
ומצד כי מפזר ב' חמישיות הוצא ב' חמישיות ס' שהם כ"ד | |
|
הוציאם ממ' נשאר י"ו א"כ בס' ימים הרויח י"ו | |
|
והשני מרויח ג' רביעיות הוציאם מס' שהם מ"ה | |
|
הוצא מהם החצי שהם ל' נשארו ט' שמרויח בחדש בס' | |
|
חברם ויהיו ל"א א"כ בס' מרויחים ל"א | |
|
ותאמ' אם ל"א נתנו ס' ז' מאות מה יתנו | |
|
ויצא אלף שנ"ד וכ"ו חלקים מל"א ובכך ימים ירויחו הנז' | |
Purchase Problem - Unequal Amount - Two Kinds of Goods |
||
|
שכא)[245] שאלה אדם קונה מב' מיני סחורה שוקלים בין שניהם י"ב ליט' ושוים י"ו שולדי הא' שוקל ה' והאחר ז' ואותו השוקל ה' שוה כל ליט' ג' פיצולי יותר מאותו השוקל ז' | |
|
כבר ידעת כי אותה של ה' שוה הליט' ג' פיצולי יותר מהאחר א"כ הה' ליט' שוות ט"ו פיצולי יותר | |
|
הוציאם מי"ו סולדי הנשאר י"ד סולדי וט' פיצולי | |
|
וחלקם על י"ב שהם הליט' משניהם ויצא א' סולדו וב' פיצולי וג' רביעיות והוא ערך מאותו השוקל ז' ר"ל ערך כל ליט' | |
|
א"כ ערך מאותו ששוקל ה' הוא א' סולדו וה' פיצולי וג' רביעיו' | |
|
ותוכל לבחון אותו | |
|
ודע כי י"ב פיצולי יש בסולדו | |
Buy and Sell Problem - Eggs |
||
|
שכב)[246] שאלה אדם קונה ביצות הג' שוים ה' פיצולי ואח"כ מכרם ד' עבור ט' פיצולי והרויח עשרים סולדי וה' פיצולי אשאל כמה ביצות קנה | |
|
הנה מצד כי קנה ג' ומכר ד' בקש מספר לו שליש ורביע והוא י"ב | |
|
וכבר קנה הג' ה' פיצולי א"כ הי"ב שוים כ' פיצולי | |
|
ומצד כי מכר הד' ט' פיצולי הי"ב ישוו כ"ז פיצולי | |
|
א"כ עבור י"ב ירויח ז' | |
|
עשה פיצולי מכ' סולדי ויהיו רמ"ה עם הה' | |
|
ותאמר אם כדי להרויח ז' יצטרך י"ב כדי להרויח רמ"ה כמה יצטרך | |
|
ויצא לך ד' מאות וכ' וכן קנה | |
|
ותוכל לבחון אותו | |
Give and Take Problem - Building |
||
|
שכג)[247] שאלה אדם רוצה לעשות בנין ודבר לאומן לעשות מלאכתו במ' יום ויתן אל האומן בכל יום כ' סולדי ובכל יום שהאומן לא יעשה מלאכה יתן אל הבעל כ"ח ושבת מכל מלאכתו ימים ועבד ימים ולבסוף יצא שכרו בהפסדו כמה ימים עבד וכמה שבת | |
|
יש לך לשים מה שהוא מרויח בכל יום שהם הימים ששבת ומה שהוא פורע בימים שהוא פורע ממלאכתו תשים הימים שעשה מלאכה | |
|
א"כ ה' ימים שעשה מלאכה לפי זה הדרך הם כ"ח והימים ששבת הם כ' | |
|
וחברם ויהיו מ"ח | |
|
ואנו מבקשים מ' ולכן תאמר אם מ"ח נתן לי כ"ח והם הימים שעשה מלאכה כמה ימים יתן לי מ' | |
|
ויצא לך כ"ג ושליש והם הימים שעשה מלאכה | |
|
ועד תשלום מ' שבת | |
Too Much and Too Little Problem - Workers |
||
|
שכד)[248] שאלה לאדם יש לו ממון ובא לתת שכר לפועלים ואומר אם אתן לכל א' י"ב ליט' ישאר לי נ' ליט' ואם אתן ט"ו לכל א' יחסר ע' אשאל כמה הם הפועלים וכמה הוא הממון | |
|
תחבר נ' עם ע' ויהיו ק"כ | |
|
גם הוצא י"ב מט"ו נשארו ג' | |
|
תחלק ק"כ על ג' ויצא לך מ' וכך הם הפועלים | |
|
ולדעת כמה ממון היה לו כבר ידעת כי הוא אמר אם יתן י"ב לכל אחד ישאר נ' | |
|
לכן כפול מ' על י"ב ויצא ת"פ | |
|
תוסיף עליהם נ' ויהיו תק"ל | |
|
או אם תרצה כפול מ' על ט"ו ומהעולה תוציא ע' וישאר ג"כ תק"ל | |
|
ותוכל לבחון אותו | |
Give and Take Problem - Craftsman - Double False Position |
||
|
שכה)[249] שאלה לאדם יש לו ממון ויש לו לעשות מלאכה ודבר לאומן ונדר לו שיתן לו בכל יום שיעבוד עשרים וביום שלא יעבוד יתן האומן אל בעל המלאכה כ"ח ולבסוף לא נשאר ביד האומן כי אם ל' אשאל כמה ימים עבד וכמה ימים שבת | |
|
והנה היה ראוי לעשות המלאכה במ' יום | |
|
הדרך הוא כך עשה הנחות כוזבות | |
|
ולכן נניח איזה מספר שיהיה למטה ממ' מצד כי המלאכה נעשתה תוך מ' ונאמר כי הוא עשה מלאכה כ"ד | |
| ||
|
ועתה נעשה הנחה אחרת ונניח שעבד כ"ו ימים א"כ הוא שבת מכ"ו עד מ' שהם י"ד ואם עבד כ"ו ירויח תק"כ | |
| ||
|
ודע כי אם נשאר בכל הב' הנחות ראוי להוציא הקטן מהגדול ואם יחסר בכל הב' הנחות שעשית ראוי ג"כ להוציא החסרון הקטן מהגדול | |
|
והנך רואה כי הב' הנחות שעשינו כל א' מוסיף הראשנה מוסיף ב' והב' מוסיף צ"ח לכן הוציא ב' מצ"ח ישאר צ"ו והוא המחלק | |
|
ועתה כפול בשתי וערב ר"ל כ"ד על צ"ח ויהיו ב' אלפים וג' מאות ונ"ב גם כפול כ"ו על ב' ויצא נ"ב | |
|
ולדעת כמה ימים שבת ראה המרחק מכ"ג וכ"ג חלקים מכ"ד עד מ' ויצא לך י"ו וחלק אחד מכ"ד וכן הוא הימים ששבת | |
|
ותוכל לבחון אותו | |
"If You Give Me" Problem - Three Men, Merchandise - Quadruple False Position |
||
|
שכו)[250] שאלה ג' בני אדם רוצים לקנות סחורה אמר הראשון לב' הנשארים אם תתנו לי חצי מממונכם עם שלי ויהיו כ' | |
|
הדרך הוא כך | |
|
נניח שהיה לראשון י"ב ויחסר לו עד כ' ח' | |
|
ומצד כי אמר אם הב' הנשארים יתנו לו חצי ממונם יהיו כ' יצטרך שיהיה בין השנים הנשארים י"ו כי חציים ח' | |
| ||
|
ולכן ראוי לדעת כמה יש לכל א' מאלו הב' נשארים נעשה הנחה אחרת | |
|
ונניח כי היה לב' ז' ולג' ט' | |
|
וכבר אמרנו כי הב' אמר לב' הנשארים שיתנו לו שליש ממונם יהיו כ' | |
|
לכן נחבר ממון הראשון שהוא י"ב עם ממון הג' שהוא ט' יהיו כ"א | |
|
הוצא מהם שלישיתם ויהיו ז' | |
|
חברם עם ממון הב' שהם ז' יהיו י"ד | |
|
א"כ יחסר לנו עד כ' ו' | |
|
ולכן שים לך למזכרת מה שהנחת עבור הב' שהוא ז' עם מה שהנחת עבור הג' שהוא ט' גם מה שמחסר לנו עבור זאת ההנחה שהוא ו' וזה יהיה החלק הראשון מן ההנחה הב' | |
| ||
|
ולדעת החלק האחר מן ההנחה הב' נעשה כך ונאמר נניח כי מאלו הי"ו דוקטי שראוי שיהיו בין הב' והג' יהיה לב' י' ולג' ו' | |
|
והנה ידעת כי הב' אמר לב' הנשארים [251]אם יתנו לו שליש ממונם שיהיה לו כ' | |
|
לכן חבר י"ב שהוא הא' עם ו' שהוא הג' ויהיו י"ח | |
|
קח שלישיתם ויהיו ו' | |
|
תנם לב' שיש לו י' ויהיו | |
|
ויחסר עד כ' ד' | |
|
לכן נשים החלק הב' מההנחה הב' י' ששמנו ממון הב' עם ו' ששמנו ממון הג' ועם ד' שמחסר לנו עד תשלום כ' בזאת הצורה | |
| ||
|
והנה מצד כי כל א' מאלו ההנחות מחסרות ר"ל הא' מחסרת ו' האחרת ד' נוציא ד' מו' וישארו ב' והוא המחלק | |
|
אח"כ כפול ו' על י' ויהיו ס' | |
|
גם כפול ד' על ז' ויהיו כ"ח | |
|
הוציאם מס' וישארו ל"ב | |
|
חלקם על ב' ויצא י"ו | |
|
א"כ י"ו החלק הראשון מההנחה הראשנה ר"ל שיהיה ממון הראשון י"ו | |
|
גם כפול ממון הג' שאמרנו שהוא ו' ותאמר ו' פעמים ו' הם ל"ו | |
|
גם כפול ד' על ט' ויהיו ל"ו | |
|
הוצא ל"ו מל"ו הנשאר מאומה | |
|
חלקם על ב' גם יצא מאומה | |
|
הא"כ יש לך בחלק הא' מההנחה הא' שהא' יש לו י"ב ולב' י"ו ולג' מאומה | |
|
ולמצא החלק הב' מההנחה הא' נניח שהיה לראשון ט' | |
|
והוא אמ' לב' הנשארים שיתנו לו חצי ממונם ויהיו כ' א"כ מט' עד כ' הם י"א ואלו הי"א הוא ממון הב' והג' א"כ בין שניהם יש כ"ב | |
| ||
|
ועתה יש לעשות הנחה ג' לדעת כמה יש לב' מאלו הכ"ב גם כמה יש לג' ונניח שהיה לב' ז' א"כ לג' ט"ו | |
|
ומצד כי הב' אמר לב' הנשארים שיתנו לו שליש ממונם נחבר ממון הא' שהוא ט' עם ט"ו ויהיו כ"ד | |
|
קח שלישיתם שהם ח' | |
|
ותנם לב' שיש לו ז' ויהיו ט"ו | |
|
ויחסר עד כ' ה' | |
|
ולכן שים לך למזכרת מה ששמת עבור הב' שהוא ז' ומה ששמת עבור הג' שהוא ט' ומה שחסר לך עד תשלום כ' שהוא ה' וזה יהיה חלק הראשון מההנחה הג' | |
| ||
|
ובעבור החלק הב' מההנחה הג' ונניח כי היה לב' מאלו הכ"ב דוקטי י' א"כ ראוי להיות לג' י"ב | |
|
ומצד כי הא' אמר לב' ולג' שיתנו לו שליש ממונם נחבר ממונם הראשון שהוא ט' עם ממון הג' שהוא י"ב ויהיו כ"א | |
|
קח שלישיתם והנם ז' | |
|
תנם לשני שיש לו ויהיו י"ז | |
|
ויחסר עד כ' ג' | |
|
ולכן נשים החלק הב' מההנחה הג' י' שנתת [252]לב' וי"ב מן הג' וג' שחסר לנו עד כ' כמו שאתה רואה | |
| ||
|
ומצד כי כל אחד מחסר ר"ל החלק הא' חסר ה' והחלק הב' חסר ג' לכן הוצא ג' מה' הנשאר ב' והוא המחלק | |
|
אח"כ כפול ה' על י' ויהיו נ' | |
|
עוד כפול ג' על ז' ויהיו כ"א | |
|
הוציאם מנ' וישארו כ"ט | |
|
חלקם על ב' ויהיו י"ד וחצי וכך תשים בחלק הב' מההנחה הא' עבור הב' ר"ל שיהיה לב' י"ד וחצי | |
|
ובעבור הג' נכפול ב' על י"ב ויהיו ס' | |
|
גם נכפול ג' על ט"ו ויהיו מ"ה | |
|
הוצא מ"ה מס' נשאר ט"ו | |
|
חלקם על ב' ויהיו ז' וחצי וכך תשים עבור הג' | |
|
וכבר מצאנו בפעם הא' כי לא' היה לו י"ב ולב' י"ו ולג' מאומה ובחלק הב' מצאנו כי לא' יש לו ט' ולב' י"ד וחצי ולג' ז' וחצי ועתה יש לראות אם נתן לכל א' מה שיצא לנו אם יהיה לכל א' וא' עשרים עם החלקים ששואל | |
|
כבר ידעת כי בהנחה הראשנה מצאנו שהראשון היה לו י"ב ולב' י"ו ולג' מאומה | |
|
חלק חלק הב' שהוא י"ו על ב' ויהיו ח' ותנם לראשון ויהיו כ' מצד כי הוא שואל חצי ממון הב' והג' | |
| ||
|
גם אם תתן לב' שליש ממון הא' והג' יהיו לו כ' כי ממונו הוא י"ו ושליש ממון הא' הוא ד' תוסיפם על י"ו ויהיו כ' כי אין לג' מאומה | |
| ||
|
ולראות כמה יהיה לג' הנה הוא שואל רביעית ממון חביריו ולכן חבר י"ו עם י"ב ויהיו כ"ח קח רביעיתם ויהיו ז' ואנו מבקשים שיהיה לו כ' ולכן יחסר עד כ' י"ג | |
| ||
|
לכן שים י"ג תחת החלק הא' מההנחה | |
|
ולראות החלק הב' כבר ידעת כי מצאנו שהיה לראשון ט' ולב' י"ד וחצי ולג' ז' וחצי | |
|
והראשון שואל חצי י"ד וחצי וז' וחצי שהם י"א ותנם לו שיש לו ט' ויהיו כ' | |
| ||
|
עוד חבר ממון הא' עם הג' ויהיו י"ו וחצי וקח שלישיתם שהם ה' וחצי ותנם לב' שיש לו י"ד וחצי ויהיו כ' | |
| ||
|
ולראות כמה יש לג' חבר ממון הא' עם הב' וקח רביעיתם שהם ה' וז' שמיניות ויהיו י"ג וג' שמיניות ויחסר עד כ' ו' וה' שמיניות | |
| ||
|
ותשימם תחת החלק הב' מההנחה כמו זאת הצורה | |
|
והנה מצאת בחלק הראשון פחות י"ג ובחלק השני פחות ו' וה' שמיניות | |
|
הוצא [253]הקטון מהגדול הנשאר ו' וג' שמיניות | |
|
ועתה כפול י"ג על ט' ויהיו קי"ז | |
|
עוד כפול י"ב על ו' וה' שמיניות יהיו ע"ט וחצי | |
|
והוציאם מקצ"ז וישארו ל"ז וחצי | |
|
וחלקם על ו' וג' שמיניות ויצא לך ה' וט"ו חלקים מי"ז והוא חלק הא' | |
| ||
|
ולדעת כמה יש לב' כפול עוד י"ג על י"ד וחצי ויהיו קפ"ח וחצי | |
|
עוד כפול ו' וה' שמיניות על י"ו ויהיו ק"ו | |
|
הוציאם מקפ"ח וחצי וישארו פ"ב וחצי | |
|
וחלקם על ה' וג' שמיניות ויצא לך י"ב וי"ו חלקים מי"ז והוא חלק השני | |
| ||
|
ולדעת חלק הג' כפול י"ג על ז' וחצי ויהיו צ"ז וחצי | |
|
עוד כפול ו' וה' שמיניות על מאומה שהוא עבור הג' העולה מאומה | |
|
א"כ חלק צ"ו וחצי על ו' וג' שמניות ויצא לך ט"ו וה' חלקים מי"ז והוא חלק הג' | |
| ||
|
ותוכל לבחון אותו | |
Tare and Tret Problem - Silk |
||
|
שכז)[254] שאלה אם נשאל לך אם ק' ליט' משי שוות ו' דוקטי וז' גרושי וח' פיצולי כמה ישוה ה' אלפים וד' מאות ול"ב ליט' אבאטאנדו דיטארא ז' ליט' עבור כל מאה ר"ל שעל כל ק' ליט' יש לו לפרוע ז' ליט' ממס | |
|
ראשנה יש לך לראות כמה שווי הטארא מהה' אלפים וד' מאות ול"ב ועשה כך | |
|
כפול ה' פעמים ז' אלפים וד' מאות ול"ב ויעלה ל"ח אלפים וכ"ד | |
|
וחלקם על ק' ויצא לך ש"פ והוא הטארא | |
|
תסירם מה' אלפים וד' מאות ול"ב וישארו ה' אלפים ונ"ב | |
|
ויען כי יש לך דוקטי גרושי פיצולי תשיבם אצל הפיצולי שהוא המטבע הפחותה | |
|
ותכפול המנינים על כ"ד ויהיו גרושי כי כ"ד שוים דוק' א' | |
|
והעולה כפול על ל"ב ויהיו פיצולי | |
|
ויעלה הכל ד' אלפים וח' מאות ונ' | |
|
ועתה תאמר אם ק' ליט' שוים ד' אלפים וח' מאות ונ' פיצולי כמה שוים ה' אלפים ונ"ב ליט' | |
|
ויצא לך ב' מאות ומ"ה אלפים וכ"ב והם פיצולי והוא השווי | |
|
תעשה מהם גרושי ויהיו ז' אלפים ותרנ"ו ונשארו ל' פיצולי | |
|
עשה מכל זה מנינים ויצא לך ג' מאות וי"ט מניני' ול' פיצולי והוא שווי הה' אלפים וד' מאות ול"ב נקי מטארא | |
|
ועתה יש לראות כמה ראוי שיפרע עבור המס האחר הנקרא מישיטראריאה והוא שפורע עבור כל ק' מנינים ב' מנינים | |
|
ותאמר אם ק' שוים ב' ג' מאות וי"ט מנינים ול' פיצולי כמה [255]שיפרעו | |
|
ויצא לך ו' מאות ול"ח וא' גרושו וכ"ח פיצולי אחר שכפלת אותו על ב' | |
|
וחלק זה על ק' ויצא לך ו' מנינים ונשארו ל"ח דוקטי עשה מהם גרושי ומן העולה עשה מהם פיצולי וחלקם על ק' ויצא לך ט' גרושי וד' פיצולי | |
|
א"כ ראוי שיפרע ממישטריאה ו' דוק' וט' גרושי וד' פיצולי וחלקים | |
|
ועתה הוצא זה הפרעון מג' מאות וי"ט מנינים ול' פיצולי וישאר לך שי"ב מנינים וי"ו גרושי וכ"ה פיצולי והוא שווי ה' אלפים וד' מאות ול"ב ליט' נקי מטארא וממישטריריא | |
| ||
Find the Point Problem - Center of a Circle |
||
|
שכח) שאלה אם תרצה למצא מרכז העגול השלם או החצי או פחות או יתר מן חצי | |
|
תעשה באותו חלק מהעגול ב' מיתרים | |
|
אח"כ תעשה כמין חצי עגול מראש המיתר אצל האחד גם תעשה כן מהראש האחר | |
|
וכן תעשה במיתר הב' שני חצי עגול | |
|
ואח"כ תחתוך מקום פגישתן משניהם ובמקום אשר יפגשו שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר | |
|
וכן תוכל לעשות ג' נקודות באיזה מקום שיזדמן ולעגל עגול יפגוש הג' נקודות | |
|
תעשה חצי עגול ר"ל שתשים הנקדה הא' מרכז ותעגל חצי עגול | |
|
גם תשים הנקדה הב' מרכז ותעגל ג"כ חצי עגול ותחלקנה לב' | |
|
וכן תשים הנקדה הג' מרכז ותעשה חצי עגול | |
|
גם שים הנקדה הב' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה ג"כ לב' | |
|
ובמקום אשר יפגשו שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה | |
Multiple Quantities Problem - Four Sons |
||
|
שכט)[256] שאלה יעקב הניח ממון לד' בניו לזה פחות מזה והג' מתרעמים אמר הגדול אני אכפול לכל א' חלקו וכן עשה ונשאר מוטעה | |
|
תוסיף על סכום הבנים א' ויהיו ה' וזה חלק מה שלקח האחרון | |
|
עוד כפול ה' וחסר א' ויהיו ט' וזה חלק הג' | |
|
עוד כפול ח' וחסר אחד שהם י"ז וזה חלק הב' | |
|
עוד כפול י"ז וחסר א' ויהיו ל"ג וזה חלק הראשון | |
|
כן תוכל לעשות אם הבנים הם ככוכבי השמים לרוב[257] | |
Ordering Problem - Jews and Ishmaelites |
||
|
של) שאלה אם תרצה לתקן ט"ו יהודים וט"ו ישמעאלים או י"ד וי"ד או י"ג וי"ג או איזה מספר שתרצה ותרצה למנותם ז"ז או ח"ח או ג"ג או איזה מספר שתרצה ותרצה שיצאו לחוץ כל היהודים או כל הישמעאלים | |
|
תתקנם כפי המספר שהזכיר ותתחיל למנות מא' ותמנה עד המספר שהזכיר ותרשום על אותו שהשלים וכן תעשה עד תומם | |
|
דמיון נרצה לתקן עשרה יהודים וי' ישמעאלים ולחשבם ה"ה ויכלה לעולם אל הישמעאלים | |
|
שים על דף מא' ועד כ' יען כי הם כ' בין הכל ככה | |
|
ותתחיל למנות א'ב'ג' וכן עד ה' ותרשום עליו נקדה כמו שאתה רואה | |
|
עוד תתחיל למנות אחריו אב"ג וכן עד ה' | |
|
וכן תעשה עד שתרשום י' רשמים אח"כ תתקנם הרשומים עם הבלתי נרשמים | |
|
ושים תחלה א' ישמעאל וב' יהודים וג' ישמעאלים וג' יהודים וא' ישמעאל וא' יהודי וב' ישמעאלים וא' יהודי וא' ישמעאל וב' יהודים וא' ישמעאל וא' יהודי וא' ישמעאל | |
|
וכן תוכל לעשות מכל המספרים שתרצה | |
Purchase Equal Amount Problem - Figs, Raisins, and Almonds |
||
|
שלא)[258] שאלה אדם אמר למשרתו להביא ליט' תאנות וליט' צמוקים וליט' שקדים והנה ליט' הצמוקים שוה ב' פשוטים יותר מליט' התאנים | |
|
כך תעשה כבר ידעת כי הצמוקים שוה ב' פשוטים יותר מהתאנים | |
|
הסר ב' מל' ונשאר כ"ח | |
|
והנה ליט' השקדים שוה יותר מליט' הצמוקים ג' א"כ ליט' השקדים שוה יותר מליט' התאנים ה' | |
|
הסר ה' מכ"ח נשאר כ"ג | |
|
אח"כ חלק כ"ג על ג' יען כי הם ג' מינים ויצא לך ז' וב' שלישיות א"כ ז' פשוטי' וב' שלישיות שוה ליט' התאנים | |
|
שים בם ב' ויהיו ט' וב' שלישיות והוא ערך ליט' הצמוקים | |
|
עוד תוסיף ג' ויהיו י"ב וב' שלישיות והוא ערך השקדים | |
|
ובין הכל ל' | |
|
ותקיש על זה | |
Find a Number Problems |
||
|
שלב) שאלה תמצא לי מספר אשר כשתוסיף עליו מספר מה יהיה מרובע ואם תגרע ממנו ישאר מרובע | |
|
כך תעשה קח ב' מספרים מרובעים וראה התוספת שיש בין זה לזה | |
|
וחלק היתרון לב' חצאים ושים חלק א' על המרובע הקטן או תגרענו מהגדול והוא המבוקש | |
|
דמיון קח מספר ט' שהוא מרובע ומספר י"ו שהוא מרובע והיתרון הוא ז' | |
|
חלק על ב' והם ג' וחצי | |
|
שימם על ט' והנם י"ב וחצי | |
|
או גרעם וי"ו והנם ג"כ י"ב וחצי | |
|
כי אם תסיר מי"ב וחצי ג' וחצי ישאר ט' שהוא מרובע | |
|
ואם תוסיף בם ג' וחצי יצא י"ו והוא מרובע ג"כ | |
|
שלג) שאלה תמצא לי מספר כי כשתמנהו א"א שוה ב"ב ישאר א' ג"ג ב' ד"ד ג' ה"ה ד' ו"ו ה' ז"ז א' | |
|
כך תעשה תמצא מספר יכלול החלקים עד ו' והם ס' | |
|
תסיר ממנו א' נשאר נ"ט | |
|
א"כ נ"ט נשאר על ב' א' ועל ג' ב' ועל ד' ג' ועל ה' ד' ועל ו' ה' | |
| ||
|
אח"כ ראה אם הולך ז"ז ותמצא כי נשאר ד' ואנו מבקשים שישאר א' | |
|
אח"כ כפול ד' על איזה מספר באופן כי כשתחלקהו על ז' שישאר א' שישאר ב' ותמצא ד' כי ד' על ד' הם י"ו וישאר על השביעית ב' | |
|
אח"כ כפול ד' על ס' ויהיו ב' מאות ומ' | |
|
תסיר ממנו א' ויהיו ב' מאות ול"ט והוא המבוקש | |
|
ואולם אמרי תסיר ממנו א' כי ר"מ הולך א"א ב"ב ג"ג ד"ד ה"ה ו"ו ולז"ז ישאר ב' ואם תסיר ממנו א' ישאר הדרוש | |
If You Give Me Problem - Four Men and a Stranger |
||
|
שלד) שאלה ד' בני אדם רוצים לקנות סוס א' ואין לא' מהם יכולת בידו ויש לארבעתם ב' פעמים ערך הסוס | |
|
||
|
תעשה ככה תמצא מספר יהיה לו חצי ושליש ורביע וחומש והוא ס' | |
|
וכל החלקים הם ע"ז | |
|
הנה א"כ החצון יש לו ס' מנינים | |
|
אח"כ תחלק ע"ז על ב' יען כי הם יכולין לקנות ב' סוסים והנם ד' אנשים הוצא ב' מד' הנשאר ב' | |
|
ואם לא היו יכולין לקנות כי אם בית א' היתה מוציא א' מד' הנשאר ג' והיית מחלק ע"ז על ג' | |
|
ואם יוכלו לקנות ג' היית מוציא ג' מד' נשאר א' והיית מחלק ע"ז על א' | |
|
והנה במספרינו נשארו לנו ב' לכן נחלק ע"ז על ב' ויצא ל"ח וחצי והוא ערך הבית | |
|
ולדעת כמה יש ביד כל א' מארבעתם | |
|
הוצא החצי מס' שהם ל' מל"ח וחצי הנשאר ח' וחצי והוא הממון מאותו ששואל חצי ממון החצון | |
|
אח"כ הוצא שליש ס' שהם עשרים מל"ח וחצי הנשאר י"ח וחצי והוא ממון מאותו ששואל שליש ממון החצון | |
|
אח"כ הוצא רביעית ס' מט"ו מל"ח וחצי נשאר כ"ג וחצי והוא חלק מאותו ששואל לחצון רביעית ממונו | |
|
אח"כ הוצא חומש ס' שהם י"ב מל"ח וחצי הנשאר כ"ו וחצי והוא חלק מאותו ששואל לחצון חומש ממונו | |
|
וכבר אמרנו כי ביד ארבעתם כ"כ ממון יוכלו לקנות ב' בתים לכן תחבר ממון הראשון שהוא ח' וחצי עם ממון הב' שהוא י"ח וחצי ויהיו כ"ז | |
|
גם תוסיף בו ממון הג' שהוא כ"ג וחצי ויהיו נ' וחצי | |
|
גם תוסיף בם ממון הרביעי שהוא כ"ו וחצי ויהיו ע"ז | |
| ||
|
תחלקם על ל"ח וחצי ויצא לך ב' | |
Examine and you will find [that it is true]. | ודוק ותשכח | |
This is what we wanted to explain. | וזה מה שרצינו לבאר | |
Over and done | תם ונשלם | |
Glory be to God of the world | תהלה לאל עולם | |
The writer will not be harmed neither today nor ever | הסופר לא ינזק לא היום ולא לעולם | |
Until a donkey climbs the ladder | עד שיעלה חמור בסולם | |
Which Jacob our father dreamed of. | אשר יעקב אבינו חלם | |
The end. | תם | |
It applies the verse as it is written: This book of the Torah shall not depart out of thy mouth; but thou shalt meditate therein day and night, so that thou mayst observe to do according to all that is written in it; for only then thou shalt make thy way prosperous, and only then thou shalt be successful [Joshua 1, 8]. | ויקיים בו מקרא דכתיב לא ימוש ספר התורה הזה מפיך והגית בו יומם ולילה למען תשמור לעשות ככל הכתוב בו כי אז תצליח את דרכיך ואז תשכיל[259] | |
Amen Amen Selah forever. | אמן ואמן סלה ועד |
Guenzburg 30 - Additional Excerpt |
|||||||||||||||||||
Pricing Problem - Find the Amount - Wheat |
|||||||||||||||||||
|
[260]שאלה אדם מוכר חטה י"ג מדות בכ"ג פשוטים כמה מדות יתן בז' פשוטים | ||||||||||||||||||
|
כפול ז' על י"ג יעלה צ"א | ||||||||||||||||||
|
חלקם על כ"ג יצא ג' וכ"ב חלקים מכ"ג | ||||||||||||||||||
Purchase Problem - Unequal Amount - Three Types of Wheat |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[261] אדם מוכר מג' מיני חטים הא' מהם המדה שוה י"ב פשוטים ומהאחרת י"ח ומהאחרת כ"ב ובא אדם ורוצה לקנות מאותם הג' מיני חטים כ"ד מדות לערך ט"ו פשוטי' | ||||||||||||||||||
|
כך תעשה תראה ההפרש שיש בין ט"ו לי"ב תמצא ג' ושימם על י"ח | ||||||||||||||||||
|
ואח"כ ראה ההפרש שהוא בין ט"ו לי"ח תמצא ג' ושימם על י"ב | ||||||||||||||||||
|
ורצוני בזה שכל זמן שיקח ג' מדות מאותו של י"ח יקח ג' מדות של י"ב | ||||||||||||||||||
|
ויש לנו אחר ששוה כ"ב על כן נקח ממנו א' | ||||||||||||||||||
|
אח"כ ראה ההפרש שיש בין כ"ב לט"ו תמצא ז' | ||||||||||||||||||
|
אח"כ חלק אלו הז' על ההפרש שיש בין ט"ו לי"ב שהוא ג' יעלה ב' ושליש | ||||||||||||||||||
|
אח"כ חבר הכל רצוני אלו הב' ושליש והג' והא' והג' האחרים הנה בין הכל עולה ט' שלמים ושליש | ||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול ה' ושליש שהם י"ב נגד כ"ד וחלק היוצא על ז' ושליש יצא י"ג וה' שביעיות וככה יקח ממנו | ||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול ג' שהם על י"ח נגד כ"ד וחלק היוצא על ט' ושליש יצא לך ז' וה' שביעיות | ||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול א' על כ"ד וחלקהו על ט' ושליש יצא לך ב' וד' שביעיות וככה יקח מאותו ששוה כ"ב | ||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לבחון אותו ראה כמה שוות הב' מדות וד' שביעיות לערך כ"ב במדה וקבץ הכל | ||||||||||||||||||
|
אח"כ ראה כמה שוות הה' מדות וה' שביעיות לערך י"ח במדה וקבץ הכל | ||||||||||||||||||
|
אח"כ ראה כמה שוות י"ג מדות וה' שביעיות לערך י"ב דינרין המדה | ||||||||||||||||||
|
וקבץ הכל ותמצא שיעלה בין הכל ג' מאות וס' דינרין רצוני ערך כל הג' חטים ושמור זה | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול כ"ד שהם המדות המבוקשות על ט"ו שהוא הערך ששואל תמצא שהוא עולה ג' מאות וס' ג"כ | ||||||||||||||||||
Compound Barter Problem - Wheat and Cloth |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[262] אדם מוכר חטה סך נעלם במעות מנויים ובחליפי' משים אותו ג' והאחר העושה החלוף [263]עמו משים החטה במעות מנויים מוכר אותה יותר ובחלופים משים אותה ג' פשוטים ומהג' פשוטים שואל השליש שהוא א' במעות מנויים והב' שלישיות שואל מחטה ומדת החטה שוה ד' פשוטים במעות מנויים ובחלופים שוה עתה ח' פשוטים | ||||||||||||||||||
|
ראוי לעשות ככה והוא שתראה ההפרש שהוא מד' לח' והנה ד' חצי הח' | ||||||||||||||||||
|
אח"כ קח חצי מהב' שלישיות שהוא עושה החלופים והנה הב' שלישיות הם ב' שלמים כי ב' שלישיות מג' הוא ב' הסר ממנו החצי ישאר א' | ||||||||||||||||||
|
הנה א"כ קודם לכן הקנה מהבגד היה שוה במעות מנויים ב' פשוטים ועתה שוה ג' בחלופים | ||||||||||||||||||
|
וכך תעשה לכל השאלות שהם כזאת | ||||||||||||||||||
Magic Square - 9 Squares, 16 |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[264] אם תרצה לתקן ט' בתים אשר כל ג' בתים מהם יעלו בין באורך בין ברוחב בין באלכסון י"ו | ||||||||||||||||||
|
כך תעשה ראוי לך לדעת כי יש לנו תמונה שעולה באורך וברוחב ובאלכסון ט"ו ותמצא בבית הראשון ב' ובב' ט' ובג' ד' ובד' ז' ובה' ה' ובו' ג' ובז' ו' ובח' א' ובט' ח' וזאת היא הצורה | ||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||
|
וראוי לך לעשות הערך ככה והוא כי יש לך לקחת ב' שלישיות ט"ו והם י' | ||||||||||||||||||
|
גם תקח ב' שלישיות י"ו שהם י' וב' שלישיות | ||||||||||||||||||
|
ותאמר אם י' נתן לי ב' מה יתן לך ומה יוסיף לך ב' וב' שלישיות אמנם אמרתי ב' יען כי תמצא ב' בבית הראשון | ||||||||||||||||||
|
ויצא לך ב' וב' חלקים מט"ו והוא מה שראוי להיות בבית הא' | ||||||||||||||||||
|
עוד תאמר אם י' נתן לי ט' והוא מה שבבית השני מה יתן לי י' וב' שלישיות | ||||||||||||||||||
|
יצא לך ט' וט' חלקים מט"ו | ||||||||||||||||||
|
וכך כלם וזאת היא צורתם | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Guess - Three Coins |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[265] אם תרצה לתת [266]לג' בני אדם לא' זהב לאחר כסף לאחר כסף לאחר נחושת תעשה כן תן לא' א' ולאחר ב' ולאחר ג' מטבעים וזכור למי נתת א' ולמי נתת ב' ולמי נתת ג' אח"כ תאמ' מי שירצה לקחת הכסף יקחנו ומי שירצה לקחת הזהב יקחנו ומי שירצה לקחת הנחושת יקחנו | ||||||||||||||||||
|
והא לך הסימן כי בכל מקום שתמצא אַה מורה על הזהב ובמקום א◌ֵו מורה על הכסף ובמקום אִי על הנחושת | ||||||||||||||||||
|
ואם נשאר א' תעיין במלה הראשנה אם נשאר ב' תעיין במלה שניה אם ג' תעיין בג' | ||||||||||||||||||
|
ודע כי הנקדה שתמצא בראשה מורה על האיש שיש לו א' והנקדה השניה מורה על מי שיש לו ב' והנקדה הג' מורה על מי שיש לו ג' | ||||||||||||||||||
|
ושמור הדרך שלא תטעה כי אַה מורה על הזהב א◌ֵי מורה על הכסף אִי מורה על הנחושת | ||||||||||||||||||
Find a Number Problem |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[267] תמצא לי מספר אשר מחציתו ושלישיתו יוסיפו ד' שלמים על רביעיתו וחמישיתו | ||||||||||||||||||
|
הנה נקח י"ב ומחציתו ו' ושלישיתו הוא עשרה ורביעיתו וחמישיתו הם ה' וב' שלישיות | ||||||||||||||||||
|
א"כ החצי והשליש מוסיף על הרביעית והחומש ד' וג' חמישיות | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
ולכן תאמ' אם ד' וג' חמישיות נתן לי י"ב ד' מה יתנו | ||||||||||||||||||
|
ויצא לך עשרה וי' חלקים מכ"ג והוא [המב]וקש | ||||||||||||||||||
Geometrical Problems |
|||||||||||||||||||
Construction Problem - Four Houses |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[268] אם תרצה לתקן ד' בתים כאלו תאמר בית ראובן ושמעון ולוי ויהודה שהמרחק שיש מזה לזה יהיה שוה | ||||||||||||||||||
|
הנה יש לך לעשות ד' משולשים ותחבר הג' חדודים מהג' משולשי' [269]ויהיו זקופים והמשולש הד' יהיה שטוח וזה נקרא בלשונינו משולש מוגשם ובלשונם נקרא טריאנגולי אינקורפוראטו והנה בג' זויות השטוחים יהיו ד' בתים ובזוית הזקוף יהיה בית הרביעי ר"ל במקום שהג' ראשים מהמשולשים שהם זקופים | ||||||||||||||||||
Find the Point - Center of a Circle |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[270] אם תרצה למצא הנקודה האבודה ר"ל אם תתחיל לעשות עגול ולא תשלים אותו ואין המרכז נרגש אם תרצה למצא המרכז | ||||||||||||||||||
|
הנה יש לך לחבר שני ראשי העגול שהתחלת לעשות | ||||||||||||||||||
|
וקח חצי הקו המחברת ותעשה בו נקודה | ||||||||||||||||||
|
גם קח חצי הקשת ר"ל מהעגול שהתחלת לעשות גם תעשה בו נקודה למען יהיה נראה | ||||||||||||||||||
|
אח"כ תחלק חצי המיתר לג' חלקים או ד' או באיזה מספר שתרצה עם מחוגה | ||||||||||||||||||
|
ותכפול החלקים מחצי המיתר על החלקים מהחצי האחר | ||||||||||||||||||
|
המשל אלו חלקת חצי המיתר לג' חלקים יצטרך גם שהחצי האחר יהיה ג' בהכרח | ||||||||||||||||||
|
וכפול ג' על ג' ויהיו ט' | ||||||||||||||||||
|
אח"כ ראה כמה חלקים יש מנקודת הקשת שעשית עד נקודת המיתר מאותם המדות שעשית כבר | ||||||||||||||||||
|
וכפי אותו המספר שיצא תכפלהו באיזה מספר שיעשה ט' | ||||||||||||||||||
|
המשל אם יש מנקודת הקשת עד נקודת המיתר א' ושליש תמצא איזה מספר שכאשר תכה אותו בא' ושליש יעשו ט' | ||||||||||||||||||
|
חלק ט' על א' ושליש יצא ו' וג' רביעיות | ||||||||||||||||||
|
אח"כ תמשוך קו באשר מנקודת הקשת אל נקודת המיתר ויעבור האורך הרבה הנה יצטרך בהכרח שבאותו הקו שמשכת באשר שיהיה מרכז העגולה | ||||||||||||||||||
|
ואם תרצה למצא המרכז תמדוד מנקודת המיתר באותו הקו ו' וג' רביעיות ועם מה שיש מנקודת המיתר עד נקודת הקשת שהוא א' ושליש יהיו ז' וחלק א' מי"ב | ||||||||||||||||||
|
חלק זה המספר עם המחוגה על חצי ויצא לך מקום המרכז כמו זאת הצורה | ||||||||||||||||||
Transformation Problem - Quadrangular to Round Cloth |
|||||||||||||||||||
|
[271]שאלה[272] אם יש לך חתיכת בגד ארכה ב' ורחבה ב' אם תרצה לעגלה | ||||||||||||||||||
|
הנה יש לך לכפול ד' פעמים ב' ויהיו ח' | ||||||||||||||||||
|
אח"כ תחלק ח' על ג' ושביעית מצד כי לעולם הקף העגולה עודפת על אלכסונה ג' פעמים כמוהו ושביעית | ||||||||||||||||||
|
לכן נחלק ח' על ג' ושביעית ויצא לך ב' וו' חלקים מי"א והוא יהיה האלכסון מהעגול וכ"כ יהיה שטח העגול כשטח המרובע | ||||||||||||||||||
Find the Side - Square Containing an Octagon |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[273] אם תרצה לעשות מרובע רבוע ובתוך המרובע יהיה שמונה צלעות שוות ויהיה אורך כל צלע א' וב' שלישיות אשאל כמה יהיה אורך כל קו מהמרובע | ||||||||||||||||||
|
הדרך הוא כך יש לך לכפול א' וב' שלישיות על עצמם ויעלה ב' וז' תשיעיות | ||||||||||||||||||
|
וחלקם על ב' ויצא לך א' וז' חלקים מי"ח | ||||||||||||||||||
|
וקח שרשם ויצא לך א' ושתות וכך יהיה כל אורך מה שישאר בכל קצה | ||||||||||||||||||
|
ולבחון אותו קח שרש א' ושתות ויצא לך א' י"ג חלקים מל"ו | ||||||||||||||||||
|
כפלם על ג' ויצא לך ב' וכ"ו חלקים מל"ו ושרש א' וב' שלישיות | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Find the Side - Octagon Contained in a Square |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[274] אם יש לך מרובע אורך כל קו מהמרובע י"ב ותרצה לעשות בו שיהיה שמונה צלעות שוות | ||||||||||||||||||
|
הנה יש לך להקיש זאת השאלה עם אותה של מעלה בדרך הערכים ותאמ' אם ד' נתן לי א' וב' שלישיות מה יתן לך [275]ומה יוסיף לך י"ב | ||||||||||||||||||
|
כפול י"ב על א' וב' שלישיות ויצא כ' | ||||||||||||||||||
|
חלקם על ד' ויצא לך ה' וזה יהיה אורך כל צלע מהה' צלעות | ||||||||||||||||||
|
ולבחון אותו כפול ה' על עצמם ויצא כ"ה | ||||||||||||||||||
|
תסיר ה' מי"ב שהוא אורך כל קו מהמרובע ויצא לך ז' | ||||||||||||||||||
|
חלקם על ב' ויצא לך ג' וחצי והוא מה שראוי שישאר בכל קצה | ||||||||||||||||||
|
כפול ג' וחצי על עצמם ויצא י"ב ורביע | ||||||||||||||||||
|
כפלם על ב' ויהיו כ"ד וחצי | ||||||||||||||||||
|
וקח שרשם ויהיו ה' בקרוב והוא שוה אל הצלע הה' וזאת היא צורתם | ||||||||||||||||||
|
גם תוכל לעשות הערך באופן אחר והוא שתאמ' אם ד' שוה א' ושתות מה שוה י"ב | ||||||||||||||||||
|
ויצא לך ג' וחצי והוא אורך כל זוית וזה מבואר | ||||||||||||||||||
|
וכן תמיד תוכל לעשות ר"ל להקיש עם הדמיון מהמרובע העליון שהוא ד' על ד' | ||||||||||||||||||
Extraction of Roots |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[276] אם תרצה למצא שרש בשלמים במהירות גדול יש לך לראות אם המדרגות הם זוג או נפרד | ||||||||||||||||||
|
ואם הוא זוג תסיר א' וישאר נפרד | ||||||||||||||||||
|
וקח האות הממוצעת ויצטרך שהשרש יהיה באותה מדרגה | ||||||||||||||||||
|
וכפול האות הראשנה מהשרש ותסיר זה המספר מהמדרגה האחרונה | ||||||||||||||||||
|
אח"כ ראה הנשאר ושים בו אות באופן שתוכל להסיר כפול אותה אות על השרש המונח וכפול על ג' | ||||||||||||||||||
|
ואח"כ כפול מה שתמצא על [277]עצמו ותסיר העולה מהאות הבאה אחריה דרך ימין | ||||||||||||||||||
|
וכן לעולם עד שתגיע אל המדרגה הראשנה | ||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לדעת שרש ד' מאות וחמישים אלף וו' אלפים ותשפ"ט | ||||||||||||||||||
|
הנה מצד כי הם מדרגות זוגיות כי הם ו' נסיר א' וישארו ה' המדרגה הממוצעת הוא ג' והם מאיות | ||||||||||||||||||
|
ונשיב המדרגה השישית אצל החמישית ויהיו מ"ה והשרש שעבר הוא ל"ו ושרשו ו' לכן שים ו' וישארו עד מ"ה ט' | ||||||||||||||||||
|
אח"כ תמצא איזה מספר שכשתכפלהו על ו' והעולה תכפול על ב' שתוכל להחסירו מצ"ו | ||||||||||||||||||
|
ותמצא ז' כי ז' על ו' הם מ"ב וב' על מ"ב ויהיו פ"ד | ||||||||||||||||||
|
תסירם מצ"ו וישארו י"ב | ||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול ז' על ז' ותסירם מהז' אשר במדרגה הג' ולא תוכל לכן קח הב' שנשארו במדרגה הרביעית ולא תוכל | ||||||||||||||||||
|
לכן קח הא' שנשאר במדרגה הה' וישאר עדין ע"ה | ||||||||||||||||||
|
אח"כ תחפש איזה מספר כי כשתכפלהו על ו' והעולה על ב' שתוכל להחסירו מע"ח | ||||||||||||||||||
|
ואם תקח מספר ו' יהיה העולה ל"ו וב' על ל"ו הוא ע"ב ויהיה הנשאר ו' | ||||||||||||||||||
|
והיה לך לכפול אותם הו' על הז' אשר הם האות השניה מהשרש ויעלו מ"ב וב' על מ"ב הם פ"ד ולא תוכל להסיר מס"ח פ"ד | ||||||||||||||||||
|
לכן לא נתן לו כי אם ה' וו' על ה' הם ל' וב' על ל' הם ס' הסירם מע"ח הנשאר י"ח | ||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול הה' על ז' ויהיו ל"ה ול"ה על ב' ויהיו ע' תסירם מהה' שהם במדרגה השנית ולא תוכל לכן קח הח' שהם במדרגה השלישית ותביאם אצל המדרגה השנית ויהיו פ"ח תסיר מהם ע' וישארו י"ח | ||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול ה' על ה' ויהיו כ"ה ותסירם מהמדרגה הראשנה ולא תוכל לכן קח הח' שהם במדרגה השניה ותביאם אצל המדרגה הראשנה ויהיו פ"ט תסיר מהם כ"ה נשארו ס"ד | ||||||||||||||||||
|
הנה א"כ השרש מהמספר המונח הוא תרס"ה והנשאר אלף קס"ד | ||||||||||||||||||
|
ואם יש במספר המונח איזו ציפרא תעשה ככה ר"ל אם תרצה לדעת אם יש בשרש ציפרא תעשה בזה הדרך | ||||||||||||||||||
|
דמיון נרצה לדעת שרש קס"ד אלפים ותתק"ס | ||||||||||||||||||
|
[278]תעשה ככה כבר ידעת כי זה המספר מגיע עד המעלה הו' תסיר א' נשאר ה' ותשיב המדרגה הו' אצל הה' ויהיו י"ו ושרשו ד' ולא ישאר מאומה כי ד' על ד' הם י"ו | ||||||||||||||||||
|
אח"כ תמצא איזה מספר כי כשתכפלהו על ד' והעולה על ב' יעלה ד' ולא תוכל כי אם תקח א' ותכפלהו בד' והעולה על ב' יהיו ח' ואין המספר כי אם ד' לכן נשים כי ציפרא | ||||||||||||||||||
|
אח"כ תאמ' איזה מספר אמצא אשר כשתכפלהו על ד' והעולה על ב' שתוכל להחסירו ממ"ט | ||||||||||||||||||
|
ותמצא ו' כי ו' על ד' הם כ"ד וב' על כ"ד הם מ"ח תסירם ממ"ט וישאר א' על המדרגה השלישית | ||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול ו' על ו' ויעלו ל"ו תסירם מס' שהם במדרגה השנית וישאר עדין כ"ד | ||||||||||||||||||
|
ועם הק' ויהיו קכ"ד תפילם מהמספר המונח וישאר עדין קס"ד אלפים ותתל"ו והוא המרובע שעבר מהמספר המונח והשרש הוא ד' מאות וו' | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
ותקיש על זה | ||||||||||||||||||
Find a Number Problem |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[279] תמצא לי מספר אשר כשתחלק חמישיתו על שרש המספר המונח שיצא ז' | ||||||||||||||||||
|
הדרך הוא שתכפול ז' על ה' ויהיו ל"ה והוא יהיה שרש המספר המונח | ||||||||||||||||||
|
ואם תכה ל"ה על עצמם וקח חמישיתם ותחלקם על ל"ה יצא ז' | ||||||||||||||||||
|
ותקיש על זה | ||||||||||||||||||
Find the Perimeter Problem - a Square inside a Circle |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[280] אם תרצה לעשות מרובע בתוך עגולה אם תרצה לדעת כמה מוסיף המרובע על העגולה | ||||||||||||||||||
|
הנה המרובע ר"ל כל צלע המרובע ראוי שיהיה כמו אלכסון העגולה | ||||||||||||||||||
|
ונניח שכל צלע המרובע הוא ה' | ||||||||||||||||||
|
כפול ה' על עצמם ויהיו כ"ה גם ה' על עצמם ויהיו כ"ה ועם כ"ה והנם נ' ושרשם ז' וחלק אחד מי"ד | ||||||||||||||||||
|
וכבר ידעת כי הקף העגולה היא ג' ושביעית מהאלכסון | ||||||||||||||||||
|
כפול ג' ושביעית על ז' וחלק מי"ד ויעלה כ"ב שלמים וכ"ב חלקים מצ"ח | ||||||||||||||||||
|
וחלקם על כ' יען כי כל צלע מהמרובע הוא ה' וד' פעמים ה' הוא כ' ויצא לך א' וי"א חלקים מצ"ח א"כ י"א חלקים מצ"ח מוסיף העגול על המרובע | ||||||||||||||||||
Find the Perimeter Problem - a Circle inside a Square |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[281] אם תרצה לעשות עגולה בתוך מרובע אם תרצה לדעת [282]כמה מוסיף המרובע על העגולה | ||||||||||||||||||
|
דע כי יצטרך שאלכסון העגולה יהיה כמו אורך כל צלע המרובע | ||||||||||||||||||
|
ואם נאמר כי אורך כל צלע המרובע הוא ה' גם אלכסון העגולה הוא ה' | ||||||||||||||||||
|
והקף כל המרובע הוא כ' | ||||||||||||||||||
|
גם כפול ג' ושביעית על ה' ויצא ט"ו וה' שביעיות | ||||||||||||||||||
|
אח"כ תחלק כ' על ט"ו וה' שביעיות יצא א' וג' חלקים מי"א א"כ המרובע מוסיף על העגולה ג' חלקים מי"א | ||||||||||||||||||
Find a Number Problems |
|||||||||||||||||||
|
שאלה תמצא לי מספר שכשאכפלהו בד' ותחלקהו על ו' שישאר א' | ||||||||||||||||||
|
כפול ד' על ו' ויהיו כ"ד | ||||||||||||||||||
|
תוסיף בו א' ויהיו כ"ה | ||||||||||||||||||
|
חלקם על ד' ויצא לך ו' ורביע והוא המבוקש | ||||||||||||||||||
|
כפלהו על ד' ויהיו כ"ה | ||||||||||||||||||
|
וחלקם על ו' וישאר א' | ||||||||||||||||||
|
ותקיש על זה | ||||||||||||||||||
|
דמיון אשר ממנו תוכל להבין כל הנזכר במולדות והוא תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על ד' והעולה תחלק על ה' שישאר א' | ||||||||||||||||||
|
הנה יש לך להוסיף א' על ה' ויהיו ו' | ||||||||||||||||||
|
וחלקם על ד' וישאר א' וחצי הוא המבוקש | ||||||||||||||||||
|
אבל יש בו שבר ואנו מבקשי' שלא יהיה בו שבר | ||||||||||||||||||
|
ולכן ראוי שתאמר מצד פעם אחת שלקחתי המחלק שהוא ה' נתן לו א' וחצי ולכן תוסיף בו אחד ויהיו ב' | ||||||||||||||||||
|
כפול ב' על ה' ויהיו י' | ||||||||||||||||||
|
תוסיף בו אחד ויהיו י"א | ||||||||||||||||||
|
חלקם על ד' ויצא לך ב' וג' רביעיות ולא יצא עדין בשלמים | ||||||||||||||||||
|
לכן נכפול עוד אחד ר"ל על הב' ויהיו ג' | ||||||||||||||||||
|
כפלם על המחלק ויהיו ט"ו | ||||||||||||||||||
|
ועם א' ויהיו י"ו | ||||||||||||||||||
|
תחלקם על א' ד' ויצא ד' והוא המבוקש | ||||||||||||||||||
|
כי כשתכפול ד' על ד' יהיו י"ו | ||||||||||||||||||
|
וחלקם על ה' וישאר א' | ||||||||||||||||||
|
ואם תרצה שישאר ב' תוסיף ב' וכך לעולם | ||||||||||||||||||
|
שאלה אחרת תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על ד' ותחלקהו על ה' שיצא ו' בחלוק וישאר ג' | ||||||||||||||||||
|
כפול ה' על ו' ותוסיף בו ג' ויהיו ל"ג | ||||||||||||||||||
|
וחלקם על ד' ויצא לך ח' ורביע והוא המבוקש | ||||||||||||||||||
|
ואם תכפול ח' ורביע על ד' והעולה חלק על ח' שיצא ו' וישארו ג' | ||||||||||||||||||
|
והוא בשברים ואם תרצה שלא שיצא בשלמים תעשה ככה למעלה | ||||||||||||||||||
Guessing Problem - Distance |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[283] אם תרצה לדעת רוחב [284]נקראו ארץ או איזה מרחק שוה שתרצה שים על ראשך כובע הנקרא קפולו ראשו ולך אצל שפת הנהר או במקום שתרצה לדעת ארכו | ||||||||||||||||||
|
וקח מקל שיהיה ארכו מהארץ עד שיגיע ראשו האחד תחת צואריך באופן שלא תוכל לשחות ארצה ולא להגביה למעלה | ||||||||||||||||||
|
אח"כ עשה באופן שהקפולו יהיה סמוך לעיניך וכשתראה לעין ראותך שהקפולו מגיע עד הקצה האחר מהמרחק ר"ל כשתסתכל עד ראש הנהר ולא תוכל לראות יותר מצד כי הקפולו צלו מעכב שלא לראות יותר רחוק אז תהפוך פניך לצד אחר | ||||||||||||||||||
|
המשל אם הנהר הוא לצד מזרח תהפוך פניך לצד מערב היינו לאחוריך ותעשה שהרגלים יעמדו באותו מקום ממש שעמדו בהיותך כלפי הנהר | ||||||||||||||||||
|
ותסתכל ג"כ וראה עד המקום אשר תוכל להשיג בעין ראותך | ||||||||||||||||||
|
אח"כ לך למדוד ממעמד רגלך עד המקום שיכולת לראות וכך הוא מרחק הנהר | ||||||||||||||||||
|
אבל נראה לי כי יצטרך שיעמוד הנהר או המרחק במקום שוה | ||||||||||||||||||
Find a Number |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[285] אם תחלק איזה מספר שיזדמן ותקח ממנו רביעיתו ומהנשאר שלישיתו ומהנשאר אחר לקיחת השליש מחציתו יש לכלם חלק שוה | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
המשל תקח רביעית י"ב והוא ג' וישארו ט' | ||||||||||||||||||
|
קח שלישית והוא ג' ונשארו ו' | ||||||||||||||||||
|
קח מחציתם והוא ג' ונשארו ג"כ ג' | ||||||||||||||||||
|
וזה יצדק בכל המספרים | ||||||||||||||||||
Triangulation Problem - Two Towers |
|||||||||||||||||||
|
שאלה בכאן שני מגדלים אשר ראש האחד מגיע אצל ראש האחר והמרחק מרגל לרגל הוא עשרה ואורך כל מגדל ג"כ עשרה ונרצה להוריד חבל מבין השני ראשים שיגיע אצל אמצע הרגלים כמה יהיה ארכה | ||||||||||||||||||
|
הדרך בזה ראוי לכפול עשרה על עצמם ויעלו מאה | ||||||||||||||||||
|
תחסר מהם חצי המרחק שיש מרגל לרגל ששם מגיע ראש החבל והוא ה' ורבועם כ"ה | ||||||||||||||||||
|
תחסרם ממאה וישארו ע"ו | ||||||||||||||||||
|
קח גדרם וישארו ח' וב' שלישיות וזאת צורתם | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Dividing a Figure Problem - Triangle into Squares |
|||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לדעת כמה בתים תוכל [286]לעשות ממשולש שהוא שוה הצלעות ואורך כל צלע י' | ||||||||||||||||||
|
הנה יש לך לכפול אורך השמור על חצי התושבת שהוא ה' ויעלו מ"ג וכ"כ בתים יוכל להעשות ממנו שכל אחד מהם יהיה אמה על אמה ר"ל מ"ג משולשים אשר כל אורך כל צלע אמה אחת | ||||||||||||||||||
|
שאלה אם תרצה לדעת אורך העמוד באופן אחר | ||||||||||||||||||
|
ראוי לקחת מאורך הצלע שהוא י' ב' חלקים מט"ו לכן קח ב' חלקים מט"ו מעשרה וישארו ח' וב' שלישיות והוא אורך העמוד | ||||||||||||||||||
|
שאלה אם תדע אורך העמוד ותרצה לדעת אורך הצלע | ||||||||||||||||||
|
תקח מרובע העמוד ותוסיף עליו שלישיתו ומהעולה תקח שרשו והוא אורך הצלע | ||||||||||||||||||
|
דמיון אתה יודע כי אורך העמוד ח' וב' שלישיות | ||||||||||||||||||
|
תקח מרובעם והוא ע"ה | ||||||||||||||||||
|
ותוסיף עליהם כ"ה שהוא שלישית ע"ה ויעלו ק' | ||||||||||||||||||
|
וקח גדרם והוא י' והוא אורך הצלע | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
שאלה אם תרצה לדעת מתוך אורך העמוד כמה הוא תשבורת המשולש | ||||||||||||||||||
|
תרבע האורך ומהעולה תקח ה' תשיעיות וחומש התשיעית וכך הוא התשבורת | ||||||||||||||||||
|
כגון זה שעמודו הוא ח' וב' שלישיות | ||||||||||||||||||
|
הנה מרובעו ע"ה וה' שביעיתיו הוא מ"א וב' שלישיות וחומש התשיעית הוא א' וב' שלישיות ויעלה הכל מ"ג ושליש | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
שאלה אם תרצה לדעת ממשולש שהוא שוה השוקים אשר אורך כל שוק ט"ו ותשבורת ק"ח אם תרצה לדעת אורך התושבת ואורך העמוד | ||||||||||||||||||
|
הנה ראוי לכפול ט"ו על ט"ו ויהיו רכ"ה | ||||||||||||||||||
|
גם כפול התשבורת על ב' ויהיו רי"ו | ||||||||||||||||||
|
הוצא רי"ו מרכ"ה וישארו ט' | ||||||||||||||||||
|
וגדרם ג' והוא מה שיעדיף העמוד על חצי התושבת | ||||||||||||||||||
|
שאלה אם תרצה לדעת אורך העמוד והתושבת | ||||||||||||||||||
|
קח מחצית ג' והם א' וחצי | ||||||||||||||||||
|
ותרבעם יהיו ב' ורביע | ||||||||||||||||||
|
ותוסיפם על התשבורת ויהיו ק"י ורביע | ||||||||||||||||||
|
ושרשם י' וחצי | ||||||||||||||||||
|
תוסיף עליהם א' וחצי ויהיו י"ב והוא אורך העמוד | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
ואם [287]תחסר מי' וחצי א' וחצי ישארו ט' והוא חצי התושבת | ||||||||||||||||||
|
ודע כי זה המשולש נקרא שוה שוקים כי ארכם שוה אבל התושבת אינו שוה אל השוק כי הוא פחות או יותר | ||||||||||||||||||
|
שאלה אם תרצה לדעת ממשולש מתחלף הצלעות אורך העמוד | ||||||||||||||||||
|
ראוי לדעת תחלה אנה יפול העמוד | ||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לדעת באיזה מקום מהתושבת יפול העמוד ראוי לרבע אורך הצלע הארוך וגם לרבע אורך התושבת ולחבר זה עם זה | ||||||||||||||||||
|
ונוציא מהם מרובע אורך הצלע הקצור והנותר נחלק על ב' | ||||||||||||||||||
|
והיוצא תחלק על התושבת והיוצא הוא מרחק העמוד מן התושבת אצל הצלע הארוך | ||||||||||||||||||
|
והנשאר מהתושבת אצל הצלע הקצור הוא החלק האחר | ||||||||||||||||||
|
ושניהם מחוברים אורך התושבת | ||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לדעת ממשולש מתחלף הצלעו' אשר אורך אחת מצלעותיו ט"ו ואורך האחר י"ג ואורך התושבת י"ד | ||||||||||||||||||
|
ראוי לדעת מרובע ט"ו עם מרובע התושבת ותחבר אלו הב' מרובעים ויעלו תכ"א | ||||||||||||||||||
|
נוציא מהם מרובע הצלע הקצור שהוא י"ג וישאר רנ"ב | ||||||||||||||||||
|
ונחלקם על ב' ויצא קכ"ו | ||||||||||||||||||
|
וחלקם על התושבת שהוא י"ד ויצא ט' והוא מרחק גבול מעמד העמוד מן הצלע האורך | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לדעת המעמד הקצור | ||||||||||||||||||
|
תקח מרובע הצלע הקצור שהוא י"ג עם מרובע התושבת שהוא י"ד ויעלו שניהם שס"א | ||||||||||||||||||
|
נוציא מהם מרובע הצלע הארוך שהוא רכ"ה וישאר ק"מ | ||||||||||||||||||
|
נחלק על ב' ויצא ע' | ||||||||||||||||||
|
חלק ע' על י"ד שהוא התושבת ויצא ה' והוא מרחק גבול העמוד מן הצלע הקצור | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
ועתה שנדע גבול מעמד העמוד נדע אורך העמוד ודרך ידיעתו הוא כך | ||||||||||||||||||
|
נרבע הצלע הקצור ויהיו קס"ט | ||||||||||||||||||
|
תסיר מהם מרובע גבול מעמד העמוד | ||||||||||||||||||
|
וגדרם י"ב והוא אורך העמוד | ||||||||||||||||||
|
או תקח מרובע הצלע הארוך שהוא רכ"ה | ||||||||||||||||||
|
ותסיר מהם מעמד הארוך שהוא ט' ומרובעם פ"א וישארו ג"כ קמ"ד | ||||||||||||||||||
|
ושרשם י"ב והוא אורך [288]העמוד | ||||||||||||||||||
|
וזאת היא צורתו | ||||||||||||||||||
Extraction of Cube Roots |
|||||||||||||||||||
|
שאלה אם תרצה לדעת שרש המעוקב מאיזה מספר שתרצה | ||||||||||||||||||
|
ראוי תחלה לדעת כי מרובע א' הוא מרובע א' כי הוא שרש ומרובע והנמשל לו הוא אלף אבל השרש הוא י' | ||||||||||||||||||
|
ומרובע ב' הוא והנמשל לו הוא ח' אלפים ושרשם כ' | ||||||||||||||||||
|
ומרובע ג' כ"ז והנמשל לו כ"ז אלפים ושרשם ל' | ||||||||||||||||||
|
ומרובע ד' ס"ד והנמשל לו ס"ד אלפי' ושרשם מ' | ||||||||||||||||||
|
ומרובע ה' כ"ה והנמשל קכ"ה אלפים ומרובעם ושרשם נ' | ||||||||||||||||||
|
ומרובע ו' רי"ו והנמשל רי"ו אלפים ושרשם ס' | ||||||||||||||||||
|
ומרובע ז' הוא שמ"ג והנמשל שמ"ג אלפים ושרשם ע' | ||||||||||||||||||
|
ומרובע ח' הוא תקי"ב והנמשל הוא תקי"ב אלפים ושרשם פ' | ||||||||||||||||||
|
ומרובע ט' הוא תשכ"ט והנמשל הוא תשכ"ט אלפים ומרובעם צ' | ||||||||||||||||||
|
וכן לעולם יחזור חלילה ר"ל כי מרובע מאה הוא אלף אלפים | ||||||||||||||||||
|
ומרובע ב' מאות הוא ח' אלפי אלפים | ||||||||||||||||||
|
ומרובע ג' מאות כ"ז אלפי אלפים | ||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לדעת השרש מאיזה דבר שיזדמן תוציא תחלה השרש הנמשל והנשאר תחלק על השרש שמצאת אך ראוי שתוסיף על השרש שמצאת א' והמעלה הקודמת אליו | ||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול השרש על עצמו עם תוספת א' ומה שיעלה תכפול על ג' דמיוני א' שהוספת ותחלק הנשאר עליהם | ||||||||||||||||||
|
ואם נשאר לך עוד שוב והוסיף א' מהמעלה הקודמת אליו והעולה כפול על ג' דמיוני התוספת והנשאר תחלק עליהם | ||||||||||||||||||
|
אך הזהר שישאר לך כ"כ שתוכל לקחת מהנשאר מרובע היוצא | ||||||||||||||||||
|
וכך תמיד | ||||||||||||||||||
|
ואתן לך דמיון | ||||||||||||||||||
|
נרצה לדעת שרש עשרת אלפים | ||||||||||||||||||
|
כבר ידעת כי השרש שעבר הוא ח' אלפים ושרשם כ' | ||||||||||||||||||
|
ונשארו עדין ב' אלפים | ||||||||||||||||||
|
תוסיף א' מהמעלה הקודמת שהוא מעלת האחדים על כ' ויהיו כ"א | ||||||||||||||||||
|
כפול כ' על כ"א ויהיו ד' מאות וכ' | ||||||||||||||||||
|
כפול ד' מאות וכ' על ג' דמיוני א' שהוא התוספת [289]ר"ל שתכפלם על ג' ויעלו י"ב מאות וס' | ||||||||||||||||||
|
ותחלק ב' אלפים עליהם ויעלה א' | ||||||||||||||||||
|
תסיר מהב' אלפים י"ב מאות וס' ונשארו ז' מאות ומ' | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
תסיר מז' מאות ומ' א' שעלה בחלוק וישארו ז' מאות ול"ט | ||||||||||||||||||
|
תפילם מעשרת אלפים ויהיו ט' אלפים וב' מאות וס"א והוא מרובע כ"א | ||||||||||||||||||
|
אח"כ תוסיף חצי על כ"א ויהיו כ"א וחצי | ||||||||||||||||||
|
תכפלם על כ"א ויהיו תכ"א וחצי | ||||||||||||||||||
|
ותכפלם על ג' דמיוני התוספת שהוא חצי ר"ל שתקח חצי ד' מאות וכ"א וחצי ויהיו ב' מאות וכ"ה וג' רביעיות תכפלם על ג' ויהיו ו' מאות וע"ז ורביעי' | ||||||||||||||||||
|
ותסירם מהנשאר שהם ז' מאות ול"ט וישארו ס"א וג' רביעיות | ||||||||||||||||||
|
תסיר מהם מעוקב חצי שהוא שמינית א' וישארו ס"א וה' שמיניות | ||||||||||||||||||
|
תפילם מהמספר המונח שהוא עשרת אלפים וישאר ט' אלפים וט' מאות ול"ח וג' שמיניות והוא מרובע כ"א וחצי ושרשם המעוקב כ"א וחצי | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
ודוק ותשכח | ||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לדקדק עוד תוסיף איזה שבר שתרצה ותעשה כנז' לעיל | ||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לדעת שרש איזה מספר שתרצה כפול אותו המספר על אלף והוצא אח"כ שרש מהסך העולה אח"כ חלק השרש על עשרה והוא המבוקש | ||||||||||||||||||
|
דמיון נרצה לדעת שרש ב' וחצי | ||||||||||||||||||
|
תכפלם על אלף ויהיו ב' אלפים וה' מאות | ||||||||||||||||||
|
תוציא שרשם שהוא השרש הראשון שהוא י' וישארו אלף וה' מאות | ||||||||||||||||||
|
כפול י' על י"א שהוא א' של תוספת ויהיו ק"י | ||||||||||||||||||
|
כפלם על ג' דמיוני א' שהוא התוספת ויהיו ג' מאות ול' | ||||||||||||||||||
|
חלק אלף וה' מאות עליהם תן להם ג' | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
וכפלם על י' ר"ל י' פעמים י"ג ויהיו ק"ל ק' | ||||||||||||||||||
|
כפלם על ג' דמיוני ויהיו ש"צ | ||||||||||||||||||
|
כפלם עוד על ג' ויהיו אלף וק"ע | ||||||||||||||||||
|
תפילם מאלף וה' מאות הנשאר ש"ל | ||||||||||||||||||
|
תפיל מש"ל מעוקב ג' שהוא כ"ז הנשאר ש"ג | ||||||||||||||||||
|
תפילם מהמספר המונח וישאר ב' אלפים וקצ"ז והוא מרובע י"ג | ||||||||||||||||||
|
תחלק אלו הי"ג על עשרה ויצא א' שלם וג' עשיריות והוא שרש ב' וחצי בקרוב | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
וזה כי ישאר עד תשלום ב' וחצי ש"ג חלקים מאלף שהוא פחות משליש אחד | ||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לדקדק יותר כטוב בעיניך עשה | ||||||||||||||||||
|
[290]דרך אחר יותר מדוקדק | ||||||||||||||||||
|
תוציא תחלה השרש השלם שעבר מהמספר המונח | ||||||||||||||||||
|
ואח"כ כפול השרש על עצמו והעולה על ג' | ||||||||||||||||||
|
ומה שנשאר מהמספר המונח חלק עליהם | ||||||||||||||||||
|
דמיון זה לדעת שרש עשרה | ||||||||||||||||||
|
והנה השרש השלם שעבר הוא ב' | ||||||||||||||||||
|
כפלם על עצמם ויהיו ד' עוד כפול ד' על ג' ויהיו י"ב | ||||||||||||||||||
|
חלק ב' הנשארים מהמספר המונח עליהם ויצא לך שישית אחד | ||||||||||||||||||
|
אך ראוי שתזהר שישאר לך איזה דבר מהמספר המונח כדי שתוכל לקחת ממנו מרובע אותו השבר | ||||||||||||||||||
|
ולכן לא נתן לו כי אם ב' חלקים מי"ג | ||||||||||||||||||
|
ותקיש על זה ודע כי דבר מעט יספיק לך שישאר לקחת מרובע השרש | ||||||||||||||||||
|
ודוק ותשכח | ||||||||||||||||||
|
שאלה אם תרצה לדעת שרש מאיזה שבר שיזדמן ואף אם הוא עם שלמים ובפרט שיהיה לו שרש אמיתי תחלק שרש העליון על השרש התחתון והעולה הוא המבוקש | ||||||||||||||||||
|
דמיון נרצה לדעת שרש מח' חלקים מכ"ז | ||||||||||||||||||
|
קח שרש כ"ז והוא ג' | ||||||||||||||||||
|
וקח שרש ח' שהוא ב' | ||||||||||||||||||
|
חלק ח' על ג' והוא ב' שלישיות והוא השרש המבוקש | ||||||||||||||||||
|
דמיון אחר בשברים עם שלמים נבקש לדעת שרש ב' וי' חלקים מכ"ז | ||||||||||||||||||
|
תעשה מהב' שלמים חלקים מכ"ז ויהיו נ"ד | ||||||||||||||||||
|
תחבר אליהם הי' ויהיו ס"ד | ||||||||||||||||||
|
קח שרשם והנם ד' | ||||||||||||||||||
|
וקח שרש כ"ז והנם ג' | ||||||||||||||||||
|
חלק ג' על על ד' ויצא א' ושליש והוא המבוקש | ||||||||||||||||||
|
ובזה תוכל להכיר אם הם מספר הוא מעוקב אם לא ר"ל כי כשאמ' ב' שלמים וי' חלקים מכ"ז אם אחר שעשית מהשלמים שברים וחברת עמהם השברים אם אין לו שרש מעוקב אין לו שרש אמת | ||||||||||||||||||
|
דמיון תוציא לי שרש ג' וג' חלקים מכ"ז | ||||||||||||||||||
|
תעשה מהם חלקים מכ"ז ויעלו פ"ד עם הג' שברים הנה אין למספר שרש מעוקב [א"כ] אין למספר המונח שרש מעוקב | ||||||||||||||||||
|
ועוד תוכל לדעתו באופן אחר | ||||||||||||||||||
|
כמו האומר קח לי שרש ג' ורביע א' | ||||||||||||||||||
|
הנה כבר ידעת כי אין לד' הנמשל אל הרביע שרש מעוקב א"כ אין למספר המונח שרש [291]מעוקב | ||||||||||||||||||
|
שאלה אם תרצה למצא ב' מספרים יעמדו בין ח' ובין כ"ז שיהיה יחס השני אל הראשון כיחס הג' אל הב' וכיחס הד' אל הג' | ||||||||||||||||||
|
תעשה ככה תקח שרש ב' והוא ח' ותכפלם על כ"ז ויהיו נ"ד | ||||||||||||||||||
|
ותחלקם על שרש כ"ז שהוא | ||||||||||||||||||
|
ולמצא הב' קח שרש כ"ז שהוא ג' ותכפלם על ח' ויהיו כ"ד | ||||||||||||||||||
|
חלקם על שרש ד' שהוא ב' ויעלו י"ב והוא המספר השני | ||||||||||||||||||
|
והנך רואה כי יחס י"ב אל ח' כיחס י"ב אל י"ח וכיחס י"ח אל כ"ז | ||||||||||||||||||
|
ותקיש על זה | ||||||||||||||||||
|
ובזה האופן תוכל לדעת השאלות שהם מהרבית | ||||||||||||||||||
|
כגון האומר אדם הלוה ממון עשרה מנינים לחבית ואחר שנה הוסיף הריוח על הקרן ואחר השנה הב' ג"כ הוסיף הקרן על הריוח ואחר הג' ג"כ ואחר לסוף ג' שנים נמצא שהוא מחוייב לו ל"ג מנינים וג' רביעיות | ||||||||||||||||||
|
הנה הוא הדרך כמו הקודמת והוא כי ראוי לכפול שרש י' ולכפול אותו על ל"ג וג' רביעיות והעולה תחלק על שרש ל"ג וג' רביעיות ויצא לך כ"ב וחצי והוא המספר הג' | ||||||||||||||||||
|
ולמצא השני כפול ל"ג וג' רביעיות על י' והעולה תחלק על שרש י' ויצא לך ט"ו והוא השני | ||||||||||||||||||
|
א"כ הממון היה י' ובסוף השנה היה ט"ו נמצא שהרויח ה' מנינים עבור העשרה | ||||||||||||||||||
|
ואם י' שבו ט"ו ט"ו ישובו כ"ב וחצי ואם ט"ו שבו כ"ב וחצי כ"ב וחצי ישובו ל"ג וג' רביעיות | ||||||||||||||||||
|
שאלה תחבר לי ז' מספרים על דרך ההמשך שכל אחד יוסיף על חבירו ג' | ||||||||||||||||||
|
ראוי לחבר תחלה כל המספרים שהם מא' עד ז' ויהיו כ"ח | ||||||||||||||||||
|
כפול כ"ח על ג' ויהיו פ"ד והוא המבוקש | ||||||||||||||||||
|
כי ג' וו' וט' וי"ב וט"ו וי"ח כ"א הם פ"ד | ||||||||||||||||||
|
שאלה דע כי אם אין למספר המונח אחר שלקחת ממנו השרש הראשון והוספת אחד מהמעלה שלפניה ולא תוכל לקחת אחד שלם הנה ראוי [...] תוסיף א' מהמעלה שהיא שלישית אל השרש היוצא וכן לעולם תשוב אחורנית | ||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב מאלף אלפים וע"ב אלפים [292]אלפים | ||||||||||||||||||
|
הנה השרש הראשון הוא מאה ומרובעו אלף אלפים ונשארו עדין ע"ב אלפים | ||||||||||||||||||
|
ואם תוסיף על השרש עשרה אחת שהיא המעלה שלפניה מאה יהיו מאה ועשר | ||||||||||||||||||
|
ותכפלם על מאה י"א אלפים וג' דמיוניו הוא ל"ג אלפים | ||||||||||||||||||
|
הנשאר ממספרינו הוא ע"ב אלפים ואתה רואה כי לא תוכל לתת לו עשרה שהוא אחד ממה שהוספת כי אם תחלק ע"ב על ל"ג לא יצא לך כי אם ב' ואותם הב' הם אחדים לא עשרות | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
לכן ראוי להוסיף על השרש שיצא שהוא ק' א' מהמעלה השלישית אליו שהוא א' ממדרגת האחדים ויהיו ק"א | ||||||||||||||||||
|
כפלם על מאה ויהיו עשרת אלפים ומאה | ||||||||||||||||||
|
כפלם על ג' דמיוני התוספת ויהיו ל' אלפים וג' מאות | ||||||||||||||||||
|
חלק ע"ב על ל' אלפים וג' מאות ויצאו ב' | ||||||||||||||||||
|
ונשים ב' ועם מאה הוא ק"ב | ||||||||||||||||||
|
כפלם על מאה ויהיו עשרת אלפי' וב' מאות | ||||||||||||||||||
|
וג' דמיוניו הוא ל' אלפים וו' מאות | ||||||||||||||||||
|
כפלם על ב' ויהיו ס"א אלפים וב' מאות ומעוקב ב' שהוספת שהוא ח' ויהיו ל"א אלפים וב' מאות וח' | ||||||||||||||||||
|
ותחברם עם אלף אלפים שהוא מעוקב מאה שהיה השרש הראשון ויהיו אלף אלפים וס"א אלפים וב' מאות וח' והוא מעוקב ק"ב ושרשם ק"ב | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
שאלה אם תרצה לדעת שרש מעוקב מאיזה מספר שתרצה קח השרש שעבר גם קח השרש הבא וראה בין המוקדם והמאוחר אח"כ ראה מה יש מן המוקדם אל המספר המונח ותוסיף לעולם א' ואז תאמר כי העולה הם חלקים מהמספר אשר בין הקודם והמתאחר | ||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לדעת מעוקב ט"ו | ||||||||||||||||||
|
הנה הקודם הוא ח' והמאוחר כ"ז וההפרש הוא י"ט | ||||||||||||||||||
|
ובין ח' שהוא הקודם אל מספרינו שהוא ט"ו תמצא ז' | ||||||||||||||||||
|
תוסיף א' ויהיו ח' ותאמ' כי הם ח' חל[קים] מי"ט ר"ל כי שרש ט"ו הם ב' וחלקים מי"ט | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
וכן תוכל לעשות משלמים עם שברים והוא שתעלה אותו השלם עם השבר עד מעלת האלפים ר"ל שתכפול המספר על אלף וקח השרש המוקדם [293]והמאוחר כמו שעשינו בשלמים והיוצא תחלק על י' והוא השרש | ||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לדעת שרש א' וחצי | ||||||||||||||||||
|
תכפלהו על אלף ויהיו אלף וה' מאות | ||||||||||||||||||
|
והשרש שעבר הוא אלף וג' מאות ול"א ויחסר עד תשלום אלף וה' מאות קס"ט תוסיף בו א' ויהיו ק"ע | ||||||||||||||||||
|
אח"כ ראה המאוחר שהוא מעוקב י"ב שהוא אלף וה' מאות וכ"ח | ||||||||||||||||||
|
והנה בין מעוקב י"א למעוקב י"ב תמצא ההפרש שס"ט | ||||||||||||||||||
|
א"כ היוצא הוא י"א וק"ע פ' חלקים משצ"ט | ||||||||||||||||||
|
חלק זה המספר על י' בזה האופן | ||||||||||||||||||
|
והוא שתכפול שצ"ז על י' ויהיו ג' אלפים וט' מאות וע' | ||||||||||||||||||
|
גם תכפול שצ"ז על י"א ויהיו ד' אלפים ושס"ז | ||||||||||||||||||
|
תוסיף עליהם ק"ע ויהיו ד' אלפים ותק"ל | ||||||||||||||||||
|
תחלקם על ג' אלפים וט' מאות וע' ויצא לך א' ותק"ס חלקים מג' אלפים וט' מאות וע' שהם נ"ו חלקים מג' מאות וצ' | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לדעת שרש משברים לבדם כפול אותו השבר על אלף ואח"כ קח השרש המוקדם והמאוחר כנז' | ||||||||||||||||||
|
דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב חצי | ||||||||||||||||||
|
תכפלהו על אלף ויהיו ה' מאות | ||||||||||||||||||
|
והשרש שעבר הוא שמ"ג ושרשו ז' והבא הוא תקי"ב ושרשם ח' וראה מה בין שמ"ג לתקי"ב ותמצא קס"ט | ||||||||||||||||||
|
עוד ראה מה בין שמ"ג לה' מאות ותמצא קנ"ז תוסיף בו א' ויהיו קנ"ח | ||||||||||||||||||
|
א"כ היוצא הוא ז' וקנ"ח חלקים מקס"ט | ||||||||||||||||||
|
תחלק זה המספר על י' ותעשה כך | ||||||||||||||||||
|
כפול קס"ט על י' ויהיו אלף וו' מאות וצ' | ||||||||||||||||||
|
גם כפול ז' פעמים קס"ט ויהיו אלף וקס"ח | ||||||||||||||||||
|
תוסיף בם קנ"ג ויהיו אלף וג' מאות ומ"א | ||||||||||||||||||
|
א"כ תאמ' כי שרש חצי הוא אלף וג' מאות ומ"א חלקים מאלף וו' מאות וצ' | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
דמיון אחר נרצה לדעת מעוקב חומש | ||||||||||||||||||
|
נכפול אותו על אלף ויהיו ב' מאות | ||||||||||||||||||
|
וקח השרש שעבר שהוא קכ"ה ושרשו ה' וקח הבא שהוא רי"ו ושרשם ו' וראה מה בין קכ"ה לרי"ו ותמצא צ"א | ||||||||||||||||||
|
אח"כ [ראה] מה בין קכ"ה לב' מאות ותמצא ע"ה תוסיף בו א' ויהיו ע"ו | ||||||||||||||||||
|
חלק ע"ו על צ"א ויהיו ע"ו חלקים מצ"ה | ||||||||||||||||||
|
הנה היוצא הוא ה' וע"ו חלקים מצ"א | ||||||||||||||||||
|
חלקם על י' בזה האופן | ||||||||||||||||||
|
[294]כפול צ"א על י' ויהיו ט' מאות וי' | ||||||||||||||||||
|
גם כפול ה' פעמים צ"א ויהיו ד' מאות ונ"ה | ||||||||||||||||||
|
תוסיף בם החלקים שהם ע"ו ויהיו ה' מאות ול"א | ||||||||||||||||||
|
א"כ שרש החומש הוא תקל"א חלקים מתתק"י שהם נ"ג חלקים מצ"א וכל זה הוא בקרוב גדול | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
ודוק ותשכח | ||||||||||||||||||
|
שאלה[295] אם עשרה סוסים בח' ימים אוכלים כ' מדות שעורים אשאל ק"פ סוסים בס' ימים כמה יאכלו | ||||||||||||||||||
|
תאמר כך עשרה סוסים בח' ימים אוכלים כ' מדות ק"פ סוסים בח' ימים כמה יאכלו | ||||||||||||||||||
|
ויצא לך ש"ס | ||||||||||||||||||
|
אח"כ תאמר אם בח' ימים אוכלים ש"ס בס' ימים כמה יאכלו | ||||||||||||||||||
|
ויצא לך אלפים וז' מאות וכך יאכלו | ||||||||||||||||||
|
שאלה[296] אם גרוש אחד מרויח ד' פיצולי לחדש כמה ירויחו ק' גרושי בשנה אחת | ||||||||||||||||||
|
ראשנה תאמ' אם א' גרוש הרויחו ד' פיצולי מה ירויחו מאה | ||||||||||||||||||
|
ויצא ד' מאות | ||||||||||||||||||
|
אח"כ תאמ' אם חדש ירויח ד' מאות י"ב שהוא שנה כמה ירויח | ||||||||||||||||||
|
ויצא לך ד' אלפים וח' מאות פיצולי | ||||||||||||||||||
Rule of Three - Scales |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[297] אם תרצה לעשות המאזנים על הריגולא דיטרי תעשה כך כפול המספר הראשון על המספר היוצא שהוא הרביעי שיהיה כפול הג' כפול על ב' | ||||||||||||||||||
|
אם תוציא השביעיות או התשיעיות מן המספר הא' והד' ומה שישאר יהיה שוה אל המספר הג' והב' אחר שהוצאת מהם השביעיות והתשיעיות | ||||||||||||||||||
|
וכן תוכל לעשות בשברים | ||||||||||||||||||
|
ואתן לך דמיון אם ד' שוים ו' ח' שוים י"ב | ||||||||||||||||||
|
לכן כפול ד' על י"ב ויהיו מ"ח | ||||||||||||||||||
|
תסיר מהם השביעיות וישארו ו' | ||||||||||||||||||
|
והנה ד' הוא המספר הא' וי"ב הוא הרביעי | ||||||||||||||||||
|
אח"כ שוב אל המספר הב' שהוא ו' וכפול אותו על ח' שהוא הג' ויהיו ג"כ מ"ח | ||||||||||||||||||
|
תסיר מהם השביעיות וישארו ג"כ ו' והם שוים אל הו' השמורים | ||||||||||||||||||
|
דמיון משברים אם ד' וחצי שוים י"ז ח' ישוו ל' וב' חלקים מט' | ||||||||||||||||||
|
לבחון אותו קח הראשון שהוא ד' וחצי ועשה מהם חציים והם ט' הנשאר ב' ושים ב' חציים [298]ר"ל ב' למעלה וב' למטה כך | ||||||||||||||||||
|
אח"כ שוב אל הרביעי שהוא ל' וב' חלקים מט' והוצא השביעיות מל' הנשאר ב' | ||||||||||||||||||
|
גם הוצא הז' מט' שהם התשיעיות שאמ' ב' תשיעיות וישאר ב' | ||||||||||||||||||
|
כפול ב' על ב' ויהיו ד' וקח הב' שהם על הט' ויהיו ו' | ||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול אלו הו' שהם על הט' על הב' שהם על הב' כזה ויהיו י"ב | ||||||||||||||||||
|
חלקם על כפל אותם שהם של מטה זה על זה שהם ב' על ב' שהם ד' ויצאו ג' שלמים ושמרם | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
אח"כ שוב אל המספר הב' שהוא י"ז והוצא מהם השביעיות וישארו ג' | ||||||||||||||||||
|
גם שוב אל השני והוצא השביעיות וישאר א' | ||||||||||||||||||
|
כפול א' על ג' ויהיו ג' והם שוים אל הג' השמורים | ||||||||||||||||||
|
דמיון אחר אם ה' ושליש שוים י"א ורביע ט' וג' חמישיות ישוו כ' ורביע | ||||||||||||||||||
|
תבחון אותו | ||||||||||||||||||
|
קח הראשון שהוא ה' ושליש עשה מהם שלישיות יהיו י"ו | ||||||||||||||||||
|
קח השביעיות וישארו ב' שלישיות | ||||||||||||||||||
|
עוד ראה הרביעי שהוא כ' ורביע | ||||||||||||||||||
|
הוצא מכ' השביעיות וישארו ו' | ||||||||||||||||||
|
כפול ו' על ד' שהם רביעיות ויהיו כ"ה | ||||||||||||||||||
|
קח השביעיות ויהיו ד' ר"ל נשארו ד' רביעיות | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול ד' רביעיות על ב' שלישיות ויהיו ד' | ||||||||||||||||||
|
עוד כפול תחתונים שהם שלישיות רביעיות ויהיו י"ב | ||||||||||||||||||
|
א"כ הם ח' חלקים מי"ב שהם ב' שלישיות ושמור זה | ||||||||||||||||||
|
אח"כ שוב אל המספר השני והוצא ז' מי"א הנשאר ד' | ||||||||||||||||||
|
כפול ד' על ד' שהם השבר ויהיו י"ז | ||||||||||||||||||
|
הוצא השביעיות וישארו ג' רביעיות | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
אח"כ שוב אל הג' שהוא ט' הוצא השביעיות וישארו ב' | ||||||||||||||||||
|
כפול ב' על ה' ויהיו י' ועם הג' חמישיות ויהיו י"ג | ||||||||||||||||||
|
הוצא השביעיות וישארו ו' חמישיות | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול ו' על ג' ויהיו י"ח | ||||||||||||||||||
|
הוצא השביעיות וישארו ד' | ||||||||||||||||||
|
גם כפול ד' על ה' שהם השברים ר"ל רביעיות חמישיות ויהיו כ' | ||||||||||||||||||
|
קח השביעיות וישארו ו' | ||||||||||||||||||
|
אח"כ שים על הו' ד' והם ג"כ ב' שלישיות והם שוים אל השמורים | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
ואם יש באותו הסך מטבעים מתחלפים תשיב כל המטבעים אל היותר קטנה ותקח המאזנים | ||||||||||||||||||
|
דמיון זה אם ט' בראצי מבגד שוים י"ג ליט' וט' שולדי [299]לב' פיצולי | ||||||||||||||||||
|
תבחון אותו | ||||||||||||||||||
|
קח המספר הב' שהוא י"ג ליט' וט' גרושי ותעשה המאזנים בזה האופן | ||||||||||||||||||
|
תקח המאזנים מי"ג שהם ו' | ||||||||||||||||||
|
והמאזנים מהגרושי שהם כ' סולדי שהוא ו' | ||||||||||||||||||
|
לכן כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו | ||||||||||||||||||
|
תוסיף בם ט' סולדי ויהיו מ"ה והמאזנים הם ג' | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
וכדי לבחון הפיצולי מצד כי יש לנו פיצולי כבר ידעת כי י"ב פיצולי הם סולדו א' והמאזנים מי"ב הם ה' כפול ה' על ג' ויהיו ט"ו והמאזנים הם א' | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
עתה הוצא המאזנים מן המספר הג' שהם ל"ד קנים וב' שביעיות ועשה כך | ||||||||||||||||||
|
המאזנים מל"ד הם ו' | ||||||||||||||||||
|
ולעשות מהם רביעיות מצד כי יש לנו ב' רביעיות תכפול ו' על ד' ויהיו כ"ד תוסיף בם ב' ויהיו כ"ו והמאזנים הם ה' | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
ולכן כפול א' שנשאר מן המספר הב' על הא' שהוא שיור המספר הג' ויהיו ה' ושמרם | ||||||||||||||||||
|
אח"כ שוב אל המספר הראשון שהוא ט' בראצי והמאזנים הם ב' | ||||||||||||||||||
|
תעשה מהם רביעיות מצד כי במספר השלישי שלנו רביעיות ולכן נכפול ב' על ד' ויהיו ח' והמאזני' הם א' | ||||||||||||||||||
|
אח"כ ראה המספר הרביעי שיש בו נ"א ליט' י"א סולדי וב' פיצולי ותאמ' המאזנים מנ"א הם ב' | ||||||||||||||||||
|
תעשה מהם סולדי כבר ידעת כי המאזנים מכ' שהם הסולדי הם ו' | ||||||||||||||||||
|
ולכן תאמ' ב' פעמים ו' הם י"ב והמאזנים הם ה' | ||||||||||||||||||
|
תוסיף בם ד' שהם המאזנים ויהיו ט' והמאזנים הם ב' | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
ולעשות מהם פיצולי כבר ידעת כי המאזנים מי"ב הם ה' | ||||||||||||||||||
|
ולכן כפול ב' על ה' ויהיו י' והמאזנים הם שלשה | ||||||||||||||||||
|
תוסיף בם ב' פיצולי שיש לנו ויהיו ה' והוא המאזנים מהרביעי | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
ולכן כפול ה' על מאזנים המספר הראשון שהיה א' ויהיו ה' וכן היה המאזנים מהמספר הב' והג' | ||||||||||||||||||
|
דמיון אחר זולת מ[...]ם אם ג' ושליש שוה ד' ורביעי ה' וחומש שוה ו' וס"ג [חלקי]ם מק' | ||||||||||||||||||
|
ולבחון אותו קח המספר הראשון שהוא ג' ושליש ועשה מהם שלישיות ויהיו עשרה | ||||||||||||||||||
|
והמאזנים הם ג' ושים ג' למעלה וג' למטה | ||||||||||||||||||
|
גם עשה מאזנים מהמספר הד' בזה האופן | ||||||||||||||||||
|
המאזנים מן הו' הם ו' | ||||||||||||||||||
|
עוד תאמר מאזנים ק' הם ב' | ||||||||||||||||||
|
ולכן כפול [300]ו' על ב' ויהיו י"ב והמאזנים הם ה' | ||||||||||||||||||
|
עוד ראה למעלה שהוא ס"ג והמאזנים הם מאומה כי הולך ז"ז | ||||||||||||||||||
|
א"כ שים ה' למעלה וב' למטה כך | ||||||||||||||||||
|
ולכן כפול ה' על ג' ויהיו ט"ו והמאזנים הם א' | ||||||||||||||||||
|
עוד כפול אותם שתחת הקוים שהם ב' על ג' ויהיו ו' א"כ היוצא הוא א' שתות כך | ||||||||||||||||||
|
אח"כ ראה המספר השני שהוא ד' ורביעי ויהיו י"ז והמאזנים הם ג' רביעיות כך | ||||||||||||||||||
|
אח"כ ראה המספר הג' שהם ה' וחומש ויהיו כ"ו ומאזניהם הם ה' חומשים כך | ||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול העליונים שהם ג' על ה' ויהיו ט"ו ומאזניהם א' | ||||||||||||||||||
|
עוד כפול התחתונים שהם ד' על ה' שהם כ' ומאזניהם הם ו' | ||||||||||||||||||
|
ולכן שים ו' למטה וא' למעלה והם שוים אל השתות הנשארים | ||||||||||||||||||
|
שאלה אם תרצה למצא מרכז העגול השלם או החצי או פחות או יותר מחצי | ||||||||||||||||||
|
תעשה באותו חלק מהעגול שתי מיתרים | ||||||||||||||||||
|
אח"כ עשה כמו חצי עגול מראש המיתר אצל האחר | ||||||||||||||||||
|
גם תעשה כן מהראש האחר | ||||||||||||||||||
|
וכן תעשה במיתר השני שני חציי עגול | ||||||||||||||||||
|
ואח"כ תחתוך מקום פגישתן משניהם ובמקום אשר [יפגשו] שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה | ||||||||||||||||||
|
וכן תוכל לעשות נקודות כמו שיזדמן ולעגל עגול יפגוש הג' נקודות תעשה חצי עגול | ||||||||||||||||||
|
ר"ל שתשים הנקדה הא' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה לשנים | ||||||||||||||||||
|
וכן תשים הנקדה הג' מרכז ותעשה חצי עגול | ||||||||||||||||||
|
גם שים הנקדה הב' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה ג"כ לשנים | ||||||||||||||||||
|
ובמקום אשר יפגשו שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה | ||||||||||||||||||
|
ויחס העגולה אל העגולה כיחס המרובע אל המרובע | ||||||||||||||||||
|
ר"ל כי אם יש לך מרובע שהוא ד' על ד' ואחר שהוא ח' על ח' הנה כבר ידעת כי אותו שהוא ח' על ח' הוא ד' פעמ[…]ר גדול מאותו שהוא ד' על ד' | ||||||||||||||||||
|
כן אם יש לך עגול מקיף י"ב ואחר שמקיף כ"ד קנה נאמ' שאותו שמקיף כ"ד הוא כמו אותו של י"ב ד' פעמי' כמוהו | ||||||||||||||||||
|
[301]דוק ותשכח | ||||||||||||||||||
|
ועם זה תוכל לדעת אם יש לך שק אחד שהקפו כ"ד מכיל ד' מדות חטה הנה שק אחר שמקיפו מ"ח ראוי שיכיל י"ו מדות חטה | ||||||||||||||||||
|
ודוק ותשכח | ||||||||||||||||||
"If You Give Me" Problem - Two Men, Money - Double False Position |
|||||||||||||||||||
|
שאלה[302] שני בני אדם לאחד יש לו מטבעים ולאחר ג"כ אמר הא' לב' אם תתן לי א' ממטבעותיך יהיה לי כמוך | ||||||||||||||||||
|
והנה נעשה אותה עם הנחות שקריות | ||||||||||||||||||
|
ונניח כי היה לא' ג' ולאחר ה' | ||||||||||||||||||
|
והנה בעל הה' יתן א' לבעל הג' יהיה לו כמוהו | ||||||||||||||||||
|
ואם בעל הג' יתן א' לבעל הה' יהיה לו ו' ולאחר ב' ואנו נרצה שיהיה לו ח' למען יהיה לו ב' פעמים כמוהו | ||||||||||||||||||
|
לכן יחסר לו ב' | ||||||||||||||||||
|
ולכן נעשה הנחה אחרת נניח שלא' היה לו ה' ולאחר ז' | ||||||||||||||||||
|
הנה אם בעל הז' יתן א' לבעל הה' יהיה לו כמוהו | ||||||||||||||||||
|
ואם בעל הה' יתן א' לבעל הז' לא יהיה לו כי אם ח' ואנו מבקשים שיהיה לו י"ו למען יהיה לו ד' פעמים כמוהו | ||||||||||||||||||
|
לכן יחסר לו ח' | ||||||||||||||||||
|
אח"כ הוצא מה שחסר ההנחה הראשנה שהוא ב' ממה שחסר מההנחה שניה שהוא ח' הנשאר ו' ושמרם | ||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול שתי וערב וכפול ג' שהוא ההנחה הראשנה נגד ח' שהוא מה שחסר מהערך השני ויהיו כ"ד | ||||||||||||||||||
|
עוד [כפול] ה' שהוא ההנחה הב' על הב' שהוא חסרון ההנחה הא' וישארו עשרה | ||||||||||||||||||
|
הוציאם מכ"ד וישארו י"ד | ||||||||||||||||||
|
חלקם על ו' שהוא מה שנשאר מחסרון הערך השני אחר שנלקח ממנו חסרון הערך הראשון | ||||||||||||||||||
|
ויצא לך ב' ושליש וכן יש לראשון | ||||||||||||||||||
|
ולאחר יש ד' ושליש | ||||||||||||||||||
Examine and you will find [that it is true]. | ודוק ותשכח | ||||||||||||||||||
Over and done. | תם ונשלם | ||||||||||||||||||
Glory be to God of the world. | תל"ע | ||||||||||||||||||
Amen. | אמן |
London - Additional Excerpt |
|
Find the Area Problem - Equilateral Triangle |
|
|
תג) שאלה בכאן משולש שוה הצלעות כל אחד מהצלעו' י"ב ארצה לדעת תשברתו |
|
כך תעשה תחבר שני הצלעות שהם כ"ד |
|
וקח מחציתם והם י"ב כפלם על עצמם ויהיו קמ"ד |
|
אח"כ קח מחצית הצלע השני שהוא י"ב ומחציתו ו' וכפלם על עצמם ויהיו ל"ו |
|
ותפילם מקמ"ד הנשאר ק"ח |
|
אח"כ קח שרש ק"ח שהם י' וח' חלקים מכ' וכך הוא העמוד |
| |
|
אח"כ כפול י' וח' חלקי' מכ"א על מחצית הצלע שהוא ו' ויעלה ס"ב וב' שביעיות וכך הוא תשברתו |
Construction Problem - Tower |
|
|
תד) שאלה הנה בכאן משולש שוה הצלעות אשר כל צלע י"ב הנה נרצה לעשות מגדל על גבו גבהו עשרים אמות |
|
כבר ידעת כי תשבורת המשולש הוא ס"ב וב' שביעיות כי זאת השאלה דומה אל הקודמת |
|
א"כ כפול זה המספר על גובה המגדל שהוא עשרים ויעלה אלף ומאתים ומ"ה קנים [303]וה' שביעיות וכך הוא תשבורת המגדל |
|
ואם תרצה לדעת כמה ישקול כל המגדל באופן ישקול כל קנה ח' אלפים ליט' |
|
כפול אלפים על אלף ורמ"ה וה' חלקים מז' ויעלה 9965714 וב' שביעיות וכל ישקול כל המגדל |
Gaging Problems |
|
|
תה) שאלה בכאן בור עשוי כדמות משולש בצלע האחת י"ו והב' צלעות אחרות כל אחת י' וגובה הבור ל"ב
אשאל כמה תשבורת המשולש וכמה מים יכיל הבור מכיל כל אמה עשרה יודות מים |
|
כך תעשה תדע תחלה כמה מים יש בבור באופן זה |
|
תחלה תחבר הב' צלעות השוים שהם עשרה ועשרה הם עשרים |
|
קח מחציתם והם עשרה וכפלם על עצמם והם מאה |
|
אח"כ קח מחצית הצלע האחר שהיה י"ו וחציו ח' כפלם על עצמם ויהיו ס"ד |
|
הפילם מק' וישארו ל"ו |
|
וקח שרשם שהם ו' והוא אורך העמוד |
| |
|
אח"כ כפול העמוד על מחצית צלע י"ו שהוא ח' ויעלה מ"ח והוא תשברתו |
|
אח"כ כפול אלו המ"ח על גובה המגדל שהוא ל"ב ויעלה אלף ותקל"ו וכך יכיל כל הבור ר"ל כל כך זרתות שהם אלף ותקל"ו |
|
ולדעת כמה יודות מים יש בבור כך תעשה |
|
תחלק אלף ותקל"ו על עשרה שהוא קנ"ג וו' חלקים מי' וכך מים יכיל הבור |
|
תו) שאלה בכאן צורה משולשת מתחלפת הצלעות הצלע האחד ל' והאחר כ"ח והאחרת כ"ו ארצה לדעת כמה תשברתו והיא גבוהה ט' אמות |
|
כך תעשה קח הצלעות הארוך והקצר וכפול כל אחד על עצמו |
|
והנה הארוך כפול על עצמו הם ט' מאות |
|
והקצר הם תרנ"ו |
|
הסר הקטן מהגדול וישארו רכ"ד |
|
חלק רכ"ד על ב' ויהיו קי"ב |
|
וחלקם [304]על הצלע האחר שהם כ"ח ויהיו ד' |
|
אח"כ קח חצי כ"ח שהוא י"ד וחבר עמהם הד' ויהיו י"ח |
|
וכפלם על עצמם ויהיו שכ"ד ושימם במקום אחר |
|
אח"כ כפול הצלע הגדול שהם ל' על עצמם ויהיו תת"ק |
|
מאלו התת"ק תסיר מהם שכ"ד ונשאר תקע"ו |
|
תסיר מהם השרש שהם כ"ד וכך הוא אורך העמוד |
| |
|
וכך תוכל לעשות מכל משולש בלתי מתיחס ר"ל מתחלף הצלעות למצא העמוד |
|
ולדעת כמה תשבורת השטח כפול העמוד על חצי הצלע מכ"ח שהוא י"ד ויעלה של"ו וכך הוא תשבורת השטח |
|
ולדעת כמה תשבורת כל הצורה כך תעשה כפול של"ו על ט' שהוא הגובה ויעלה ג' אלפים וכ"ד וכך הוא תשבורת הצורה |
|
ולדעת כמה בוקלי מים יש בכל הצורה תחלק כל אלו הג' וכ"ד על ג' ויצא אלף וח' וכך בוקלי מים תכיל הצורה |
|
תז) שאלה בכאן חומה עשויה כדמות משולש ארך הצלע הארוך עשרים והאחר ט"ו והאחר עשרה והעמוד הוא ח' והנה בקצה היותר גבוה הוא י"ב אמות אשאל כמה תשבורת השטח וכמה תשבורת כל החומה וכמה תשקול זאת החומה באופן ישקלו כל אמה וחצי ק' ליט' |
|
כך תעשה כפול העמוד על חצי הצלע הגדול והנה הצלע הגדול הם כ' קח חצים והם עשרה וכפלם על ח' שהוא העמוד ויהיו פ' וכך הוא תשבורת השטח |
|
ולדעת כמה תשבורת כל החומה כפול פ' על גובה החומה שהם י"ב ויהיו תתק"ס וכך הוא תשבורת כל החומה |
|
ולדעת כמה ליט' תשקול כל החומה תעשה כך על דרך ערכים ותאמר אם זרת אחד וחצי שוקל מאה ליט' כמה ישקלו תתק"ס |
|
ויצא לך ס"ד אלפים ליט' וכך ליט' תשקול כל החומה |
|
תח) שאלה בכאן חומה עשויה כדמות משולש גבוהה ז' קנים והנה הצלע האחד י' והאחרת ח' והאחרת ו' אם תרצה לדעת כמה תשברתו |
|
כך תעשה תחבר כל הצלעות שהם י'ח'ו' ויהיו כ"ד |
|
תחסר מחציתם והם י"ב |
|
אח"כ ראה ההפרש שהוא [305]מי' לי"ב והוא ב' |
|
כפלם על אותם י"ב ויהיו כ"ד |
|
אח"כ ראה ההפרש שהוא מצלע ח' לי"ב והוא ד' |
|
וכפלם על כ"ד ויהיו צ"ו ותחזיקם למשמרת |
|
אח"כ ראה הפרש צלע ג' שהוא ו' עד י"ב ויהיו ו' |
|
כפלם על צ"ו ויעלה תקע"ו |
|
קח שרשם שהוא כ"ד וכך הם הקנים |
| |
|
כפול כ"ד שהוא השטח על ז' שהוא הגובה ויעלה ק"ס קנים כזה |
Triangulation Problem - Ladder |
|
|
תט) שאלה מגדל גבוהה שמונה ורוצה לשים סלם מגיע ראשו אל ראש המגדל וארכו עשרה
ארצה לדעת כמה יהיה רחוק רגל הסלם מיסוד המגדל |
|
כך תעשה כפול גובה המגדל על עצמו ויהיו ס"ד |
|
הסר אותם מכפל הסלם שהם ק' ונשארו ל"ו |
|
קח שרשם שהם ו' וכך הוא המרחק שהוא מרגל הסלם עד רגל המגדל |
|
תי) שאלה בכאן מגדל אחד ואיש רוצה לעשות סלם רחוק מרגל המגדל ו' אמות ואורך המגדל הוא ח' כמה יהיה ארך הסלם |
|
כך תעשה כפול ח' על עצמם ויהיו ס"ד |
|
גם כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו |
|
וחברם ויהיו ק' |
|
וקח שרשם והם י' וכך הוא אורך הסלם ככה |
|
תיא) שאלה בכאן סלם ארכו עשרה ורחוקה מרגל המגדל ו' אמות וראש הסלם מגיע אל ראש המגדל כמה גובה המגדל |
|
כפול עשרה על עצמם ויהיו ק' |
|
תסיר מהם כפל ו' שהם ל"ו ונשארו ס"ד |
|
וקח שרשם והוא ח' וכך הוא גובה המגדל |
Construction Problems - Wall |
|
|
[306]תיב) שאלה בכאן חומה גבוהה הב' צלעות הנכוחיים כל א' ח' והב' האחרים כל אחד ו' כמה תשברתו וכמה מטוני יצטרכו אל כל החומה באופן יכנסו מאה בכל אמה מרובעת |
|
כך תעשה כפול ו' על ח' והם מ"ח וכך הוא תשברתו |
|
והנה החומה גבוהה עשרים כפול מ"ח על עשרים ויעלו תתק"ס וכך קנים מרובעות יש בבנין החומה |
|
כפול אותם על ק' וכך הם המטוני שיהיו תוך החומה |
|
ולדעת אלכסונה כפול ח' על עצמם ויהיו ס"ד |
|
גם כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו |
|
וחברם והם ק' |
|
וקח שרשם והם י' והוא האלכסון |
|
תיג) שאלה בכאן חומה שהיא ארוכה כ"ה וחצי ורחבה ח' אמות ועביה ב' אמות וחצי ופרע בעד כל אמה מרובעת ב' קרלי' ושליש |
|
תעשה כך כפול כ"ה וחצי בעד ב' וחצי ויהיו ס"ג וג' רביעיות וכך הוא שטחו |
|
אח"כ כפול זה על הרוחב שהוא ח' ויעלה תק"י וכך קנים מרובעות יש בכל הכותל |
|
כפול כל זה על ב' ושליש ויצא לך אלף קצ"ב וכך פרע לבנות כל הכותל |
Gaging Problem - Square Shape |
|
|
תיד) שאלה בכאן תמונה מרובעת מלאה מים אשר כל צלע ו' וגבהו עשרה אשאל כמה מים תכיל הצורה באופן תכיל כל קנה מרובעת ח' בארילי |
|
כך תעשה כפול הב' צלעות והם ו' על ו' ויהיו ל"ו וכך הוא שטחו |
|
אח"כ כפול זה על גבהו שהוא עשרה ויהיו ש"ס וכך הם הקנים מהתמונה |
|
אח"כ כפול זה על ח' ויצא לך אלפים ותת"פ וכך הם |
Find the Area Problems |
|
|
[307]תטו) שאלה בכאן תמונה מרובעת ארך הקו האחד עשרה והאחר ד' והשנים הנכוחיים י"ב אשאל כמה תשבורת המרובע הבלתי מתיחס |
|
כך תעשה קח חצי עשרה שהם ה' וחצי ד' שהם ב' תסיר ב' מה' נשארו ג' |
|
כפול אותם על עצמם ויהיו ט' |
|
אח"כ תחבר הב' קוים שהם י"ב כל אחד ויהיו כ"ד |
|
וקח חצים שהם י"ב וכפלם על עצמם ויהיו קמ"ד |
|
תסיר מהם הט' וישארו קל"ה |
|
וקח שרשם שהם י"א וי"ד חלקים מכ"ג וכך הוא תשבורת התמונה |
| |
|
ולמצא הרחב תחבר י' עם ד' ויהיו י"ד |
|
וקח חציים והם ז' והוא מדת הרוחב |
|
אח"כ כפול הי"ד וי"א חלקים נגד הז' ויעלו פ"א וו' חלקים מכ"ג וכך הם הקנים מרובעות שהיא בתמונה |
|
תיו) שאלה בכאן תמונה מרובעת בלתי מתיחסת ארך הקו האחד י' והאחר ד' והאחר י"ב והאחר י"ו נרצה לדעת כמה תשברתו |
|
כך תעשה עשה כמו הקודמת וכל התמונות הדומות לו |
|
והוא תשבורת זאת התמונה צ"ה וב' שלישיו' |
|
תיז) שאלה הנה בכאן תמונה עשויה כדמות משולש ומרובע אשר גבהה ל' ורחבה אם תרצה לדעת כמה תשבורת התמונה כך תעשה |
|
ראה כמה אחד מהחלקים כי כשתדע החלק האחד תדע החלק האחר |
|
ואח"כ תקח חצי ל' שהם ט"ו וחצי האמצע שהם שלשה והסר מט"ו ג' הנשאר י"ב |
|
תכפלם על עצמם ויהיו קמ"ד שמור אותם |
|
אח"כ קח חצי ס' מהצלע האחד שהם ל' וחצי האחר שהם ל' וחבר הכל ויהיו ס' |
|
וקח חצים שהם ל' וכפול אותם על עצמם ויהיו ט' מאות |
|
הסר מהם קמ"ד הנשאר תשנ"ו |
|
תסיר מהם השרש שהם כ"ז וכ"ז חלקים מנ"ה וכך הוא העמוד מהל' עד אמצע [308]התמונה |
| |
|
אח"כ חבר הל' עם הו' מאמצע התמונה ויהיו ל"ו |
|
וקח חציים שהם י"ח וכך תהיה תשבורת חצי התמונה |
|
אח"כ כפול הארך עם הרחב והם כ"ז עם כ"ז חלקים מנ"ח על י"ח ויהיו ד' מאות וצ"ד ומ"ו חלקים מנ"ה וכך הם המדות מחצי התמונה |
| |
|
ולדעת כמה המדות מהחצי האחר תעשה באופן אשר עשית בחצי הקודם ותמצא כי מכיל תק"פ תקס"ח וג' שביעיות |
|
ואח"כ תחבר תשבורת זה עם זה ויעלה בין הכל אלף וס"ג וק"ב חלקים מג' מאות ופ"ה |
Triangulation Problem - Bridge |
|
|
תיח) שאלה בכאן שני מגדלים גובה האחד ל' והאחר נ' נרצה לעשות גשר מראש מגדל של זה לראש של זה |
|
כך תעשה כפול ארך המגדלים זה מזה שהם כ' ויהיו ד' מאות |
|
אח"כ תסיר גובה אחד מהכותלים מהאחר ותסיר ל' מנ' הנשאר כ' |
|
כפלם על עצמם ויהיו ד' מאות |
|
קח אלו הד' מאות עם הד' מאות האחרים ויהיו ת"ת |
|
קח מהם השרש והם כ"ח וי"ו חלקים מנ"ז והוא תשבורת הגשר אשר מראש המגדל לאחר |
| |
Find the Area Problem - Rhombus |
|
|
תיט) שאלה בכאן מרובע מעויין אשר אחד מאלכסונותיו מ' והאחר ל'
אשאל לדעת כמה תשברתו |
|
כך תעשה קח אחד מאלכסוניו וכפלהו על כל האחר |
|
כאלו תכפול חצי ל' שהם ט"ו על מ' ויהיו ו' מאות וכך הוא תשבורת התמונה |
Gaging Problem - Spring |
|
|
תכ) שאלה בכאן מעיין מרובע כל אחד מצלעותיו עשרים קנים ובכל קנה יכנסו בה עשרה ברילי ממים אשאל כמה תשברתו וכמה ברילי ממים יכנסו בה |
|
[309]כך תעשה כפול אורך המעיין עם הרוחב שהוא עשרים על עשרים ויהיו ד' מאות |
|
כפלם על עשרים שהוא הגובה ויהיו ח' אלפים וכך הם הקנים |
|
ויען כי אמר כי בכל קנה מרובעת יכילו עשרה ברילי כפלם על י' ויהיו פ' אלפים וכך הם הברילי מהמים |
|
ולדעת כמה מים יצאו מהמעיין בהשלכת האבן בתוכו |
|
כפול האבן ארך עם רוחב ויהיו כ"ה |
|
אח"כ כפול זה על הגובה ויהיו קכ"ה |
|
וכפול זה על עשרה יען כי בכל קנה יש בה עשרה ברילי ויעלה אלף ר"נ וכך ברילי תכיל תשבורת האבן וכך הם הברילי היוצאים מהמעיין בנפילת האבן |
|
ואם תרצה לדעת כמה אבנים תכיל כל המעיין |
|
תחלק פ' אלפים על אלף ונ' ויצא לך ס"ד וכך אבנים תכיל כל המעיין |
Find the Price Problem - Stone |
|
|
תכא) שאלה בכאן שני אבנים הקטנה היא ב' על ב' ברום ב' והשנית ד' על ד' ברום ד' והקטנה שוה ה' דוקט |
|
קח תשבורת הקטנה שהם ח' וקח תשבורת הגדולה שהיא ס"ד ותאמר אם ח' שוים ה' כמה שוים ס"ד |
|
ויצא לך מ' וכך הוא ערך הגדולה |
Find the Area Problems |
|
|
תכב) שאלה הנה בכאן תמונה מרובעת ומשולשת אשר אחד מאלכסוניו הוא פ' אשאל כמה תשברתה |
|
כך תעשה קח חצי אלכסון האחד שחציו מ' ומהאחר חציו כ' כפול אלו עם אלו ויעלה ח' מאות וכך הוא המשולש |
|
כן תעשה קח חצי האלכסון שהוא עשרים וחצי התושבת שהיה עשרה וחציו ה' וחברם עם חמשה ויהיו כ"ה |
|
אח"כ קח חצי פ' שהוא מ' ותכפלם על כ"ה ויעלה אלף וכך הוא תשבורת המרובע |
| |
|
אח"כ חבר קנה המרובע עם המשולש שהיה ח' מאות ויהיו אלף וח' מאות וכך הוא תשבורת התמונה |
|
תכג) שאלה בכאן תמונה בעלת ה' צלעות ארך כל צלע [310]מבחוץ י"ב אמות ומבפנים עשר אמות ארצה לדעת תשברתה |
|
כך תעשה כפול י' שהוא ארך כל צלע מבפנים ויהיו מאה |
|
אח"כ קח חצי י"ב שהוא הצלע החצוני שהם ו' והם ל"ו |
|
תסירם ממאה והם ס"ד |
|
קח שרשם שהם ח' וכך הוא העמוד מכל אחד מהמשולשים |
| |
|
אח"כ קח חצי הצלע החצוני שהוא ו' וכפול אותו על ח' ויהיו מ"ח והוא תשבורת כל |
|
ויען כי הם חמשה כפול מ"ח על חמשה ויעלה ר"מ וכך הוא תשבורת התמונה |
|
ואם היה לה גובה ראוי לכפול אותה כנגד הגובה |
|
תכד) שאלה בכאן תמונה ו' צלעות ארך כל קו מבחוץ הן מבפנים הם י' אמות נרצה לדעת תשבורת התמונה |
|
כך תעשה קח אחד מהצלעו' וכפלם על עצמם ויהיו ק' |
|
אח"כ קח חצי אחד מהצלעות מבחוץ שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה |
|
תסירם מק' וישארו ע"ה |
|
וקח שרשם מהמרובע ויהיו ח' וי"א חלקים מי"ו וכך הוא ארך העמוד |
| |
|
אח"כ קח מחצית הצלע שהם ה' וכפול אותו על העמוד ויעלה מ"ג וד' חלקים מי"ז וכך הוא תשבורת כל משולש |
|
ויען כי הם ו' משולשים כפלם ו' פעמים ויעלה רנ"ט וז' חלקים מי"ז והוא תשבורת התמונה |
|
תכה) שאלה בכאן עגול אורך אלכסונו ז' אמות כמה הקפו וכמה תשברתו |
|
כפול ז' על ג' ושביעית ויהיו כ"ב וכך הוא הקפו |
|
אח"כ קח חצי הקפו וחצי אלכסונו והנה חצי הקפו י"א |
|
וחצי אלכסונו ג' וחצי |
|
וכפלם ויעלה ל"ח וחצי וכך הוא תשבורת העגול |
|
תכו) שאלה בכאן עגול ארך הקפו מ"ד אם תרצה לדעת תשבורת העגול |
|
כך תעשה [311]חלק מ"ד על ג' ושביעית ויצא י"ד וכך הוא האלכסון |
|
אח"כ קח חצי אלכסונו שהוא ז' וחצי הקפו שהוא כ"ב וכפלם ויעלו קנ"ו וכך הוא תשבורת העגול |
Gaging Problems |
|
|
תכז) שאלה הנה בכאן פאואלייוני אשר ארך המקל אשר הפאואלייוני תקוע בו ח' אמות והדוק התקוע במקל שהוא מגיע לארץ עשרה אמות אשאל כמה מקום מחזיק מהקרקע סביבו וכמה קנים מדוק באהל וכמה הוא אלכסונו |
|
הנה לדעת אלכסונו הנה תכפול הח' קנים מהמקל על עצמם ויהיו ס"ד |
|
ג"כ תכפול העשרה קנים שהוא ארך הדוק ויהיו ק' |
|
הסר מאלו הק' ס"ד וישארו ל"ו |
|
קח שרש ל"ו שהם ו' והוא חצי האלכסון |
|
כפול אותו והוא י"ב |
|
ולדעת כמה סביבו כפול י"ב על ג' ושביעית וכך הוא סביבו |
|
ואם תרצה לדעת כמה תשבורת כל האהל קח חצי סביבו וחצי ל"ו שהם י"ח וו' שביעיות וכפלם על הגובה ויעלה קי"ג ושביעית וכך הוא תשבורת התושבת |
| |
|
ולדעת כמה קנים מרובעות כל האהל קח מחצית ל"ז וה' שביעיות וכפלם על י"ח וו' שביעיות וכפלם על ח' קנים שהוא ארך המקל ויעלה ק"נ וו' שביעיות וכך קנים יש באהל |
|
תכח) שאלה יש כאן כרי של חטה אשר סביבו מ"ד וגבהו ט' קנים ארצה לדעת כמה חטה יש בכרי באופן שיהיה בכל קנה מרובעת א' קוצא מחטה |
|
כך תעשה כך מרובע סביבו שהוא מ"ד וכפלם על עצמם ויהיו אלף ותתקל"ו |
|
וקח ז' חלקים מפ' מזה המספר ויהיו קנ"ד קנים וכך הם הקנים מן השטח |
|
אח"כ קח שליש ט' שהם ג' וכפלם על קנ"ד ויהיו ד' מאות וס"ב קנים הוא תשבורת כל הכרי וזה המספר ממש הם הקוצי מהחטה |
|
תכט) שאלה בכאן בור אשר סביבו כ"ב והוא עגול וגבהו עשר אמות מלא מים ארצה לדעת כמה ברילי ממים יש בבור באופן כי כל ג' אמות מרובעות יכילו ברילי אחד |
|
כך תעשה כפול כ"ב שהוא [312]הדיאמיטרו על עצמם ויהיו תפ"ד |
|
קח מהם י"א חלקים מי"ד ויהיו ש"פ וב' שביעיות וכך הם אמות משטח הבור |
|
אח"כ כפול ש"פ על עשרה שהוא גובה הבור ויעלה ג' אלפים וח' אמות וו' שביעיות והם אמות המים אשר בבור |
|
חלקם על ג' ויעלה אלף ורס"ז וי"ג חלקים מכ"א והם הברילי ממים אשר בבור |
|
תל) שאלה בכאן עמוד אחד אשר אלכסונו ב' אמות וגבהו עשרה כמה ישקול באופן כי כל אמה מרובעת תשקול חמישים ליט' |
|
כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ד' |
|
ומהם תסיר י"א חלקים מי"ד ויהיו ג' ושביעית וזהו תשבורת סבובו ר"ל שטחו |
|
אח"כ כפול זה על עשרה ויעלה ל"א וג' שביעיות והם אמות כל העמוד |
|
ולדעת כמה ליט' תשקול כפול זה על נ' ויעלה אלף ותתקע"א ליט' וג' שביעיות תשקול העמוד |
|
תלא) שאלה בכאן שק אשר אלכסונו הוא ג' זרתות וארכו ו' זרתות אשאל כמה טומולי מחטה תכיל באופן תכיל כל ב' זרתות ג' טומולי מחטה |
|
כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ט' |
|
וקח י"א חלקים מי"ד הנשאר ז' וא' חלק מי"ד וכך הוא שטחו |
|
אח"כ כפול זה על הגובה ויהיו מ"ב וו' חלקים מי"ד וכך הם זרתות שמכיל השק |
|
ולדעת כמה טומולי מחטה תכיל כל השק תאמ' אם ב' שוים ג' כמה ישוו מ"ב וו' חלקים מי"ד |
|
ויצא לך ס"ג וט' חלקים מי"ד וכך טומולי מחזיק כל השק |
|
תלב) שאלה בכאן שק מחזיק ל"ו טומולי מחטה ונרצה לעשות ממנו ג' שקים |
|
יען כי תרצה לעשות ג' שקים כפלם על עצמם ויהיו ט' |
|
וחלק ל"ו עליהם ויהיו ד' וכך תחזיק כל שק ושק |
|
תלג) שאלה בכאן ארבעה שקים כל אחד מכיל שלשה [313]ונרצה לעשות מארבעתם שק אחד |
|
יען כי הם ד' שקים כפלם על עצמם ויהיו י"ו |
|
ואלו הי"ו כפלם על ג' ויהיו מ"ח וכך מחזיק השק |
|
תלד) שאלה לאדם ד' שקים גבהם שוה ורחבם האחד ב' והאחר ד' והאחר ה' והאחר עשרה ונרצה לעשות מכלם שק אחד |
|
כפול רוחב השקים זה על זה והנה נכפול ב' על ד' הם ח' כפול זה על ה' והם מ' גם זה על י' והם ת' |
|
וקח שרשם והם עשרים |
|
כפלם על ד' שהם השקים ויהיו פ' |
|
תוסיף בם מה שמחזיק כל שק שהם ב'ד'ה'י' ויהיו ק"י וכך תכיל השק |
| |
|
תלה) שאלה בכאן כדור אחד אשר אלכסונו ג' זרתות ארצה לדעת כמה ליטר' תשקול כל הכדור באופן כי תשקול כל זרת מרובע ק' ליט' |
|
כן תעשה כפול האלכסון על מעוקבו ויהיו כ"ז |
|
וקח י"א חלקים מכ"א שהם י"ד ושביעית וכך הם הזרתות המרובעות |
|
אח"כ כפול זה על ק' ויצא לך אלף ותי"ד וב' שביעיות וכך תשקול הכדור |
|
תלו) שאלה בכאן שני כדורים אשר אחד מהם הקפו כ' זרתות ואלכסונו ב' זרתות והאחרת הקפו עשרה ואלכסונו ארבעה ארצה לדעת כמה פעמים שוקלת יותר הגדולה מהקטנה |
|
כך תעשה כפול הקף הקטנה על עצמם ויהיו כ"ה |
|
אח"כ כפלם על ב' שהוא האלכסון והם נ' וכך הם זרתות הכדור הקטן |
|
ולדעת זרתות הגדול כך תעשה כפול הקף הגדול על עצמו שהם ק' גם זה על האלכסון [314]ויהיו ד' מאות |
|
חלק ד' מאות על נ' ויצא ח' וכך פעמים תשקול הגדול מהקטן |
Find the Volume Problem - Two Barrels |
|
|
תלז) שאלה שני חביות האחת אלכסונה ב' והשנית אלכסונה ד' אשאל כמה גדולה הגדולה מהקטנה |
|
קח מעוקב הקטנה וקח י"א חלקים מכ"א שהם ד' וד' חלקים מכ"א וכך הוא תשבורת הקטנה |
|
גם קח מעוקב הגדולה שהם ס"ד וקח י"א חלקים מכ"א שהם ל"ג וי"א חלקים מכ"א והוא תשבורת הגדולה |
|
אח"כ חלק הגדולה על הקטנה ויצא ח' וכך חביות קטנות תכיל הגדולה |
Find the Area Problem - Arc |
|
|
תלח) שאלה כאן קשת ארך המתר י"ד ואורך החץ ז' כמה הוא הקשת |
|
כך תעשה כפול החץ שהוא ז' על ג' ושביעית ויצא כ"ב וכך הוא הקשת |
|
ולדעת תשברתו קח חצי הקשת שהוא י"א וחצי המתר שהוא ז' וכפול זה על זה ויהיו ע"ז וכך הוא תשבורת זה העגול |
Find the Side Problem - Chord |
|
|
תלט) שאלה בכאן חצי עגול הקף הקשת כ"ב ארצה לדעת כמה המתר |
|
כך תעשה חלק כ"ב על ג' ושביעית ויצא לך ז' וכך הוא החץ |
|
כפול זה על י"ד והוא המיתר |
Find the Area Problems |
|
|
תמ) שאלה בכאן תמונה מעוגלת יותר מחצי עגול ארך החץ ט' והמתר ו' והקשת כ"ה ארצה לדעת כמה תשברתה |
|
כך תעשה |
|
קח חצי המתר שהוא ג' כפלם על עצמם ויהיו ט' |
|
חלקם על ארך החץ שהם ט' ויצא א' |
|
תוסיף אותו על הט' מהחץ ויהיו י' וכך הוא ארך אלכסון התמונה |
|
אח"כ כפול חצי האלכסון שהוא ה' על חצי הקפו שהיה כ"ה והם י"ב וחצי ויעלה ס"ב וחצי |
|
אח"כ קח חצי המתר שהם ג' |
|
וקח חצי האלכסון שהם ה' |
|
ותסירם מן הט' שהוא [315]החץ וישארו ד' |
|
ותכפלם על הג' ויהיו י"ב |
|
אח"כ חבר אלו הי"ב אל הס"ב ויהיו ע"ד וחצי והוא תשבורת התמונה |
| |
|
תמא) שאלה בכאן תמונה שהיא פחותה מחצי עגול והיא מקפת ט' וחצי והחץ ב' והמתר הוא ח' לדעת תשברתה |
|
כך תעשה כך |
|
חצי ח' שהוא ארך המתר שהם ד' |
|
וכפלם על עצמם ויהיו י"ו |
|
וחלקם על החץ שהוא ב' ויצא ח' |
|
חברם עם ב' והם י' והוא האלכסון |
|
אח"כ קח חצי האלכסון שהם ה' וחצי ההקף שהם ד' וג' רביעיות וכפלם ויהיו כ"ג וג' רביעיות |
|
עוד קח חצי האלכסון שהם ה' והסר מהם ב' הנשאר ג' |
|
כפלם על חצי אלכסון שהוא ח' ויהיו ד' ויהיו י"ב |
|
תסירם מכ"ג וג' רביעיות וישארו י"א וג' רביעיות והוא תשבורת התמונה |
| |
Find the Side Problems |
|
|
תמב) שאלה בכאן תמונה פחותה מחצי עגול אורך החץ ב' ואלכסונו עשרה ארצה לדעת המתר |
|
קח חצי האלכסון שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה |
|
אח"כ קח הב' מהחץ ותסירם מהה' וישארו ג' |
|
ותכפלם על עצמם ויהיו ט' |
|
תסירם מכ"ה וישארו י"ו |
|
וקח שרשם שהם ד' וכפלם והם ח' וכך הוא תשבורת המתר |
| |
|
תמג) שאלה בכאן תמונה פחותה מחצי עגול אשר המתר ח' והאלכסון עשרה אם תרצה לדעת החץ |
|
כך תעשה קח חצי האלכסון שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה |
|
גם קח חצי המתר שהם ד' וכפלם ויהיו י"ו |
|
הסר אותם מכ"ה וישארו ט' |
|
וקח שרשם שהם ג' ותסירם מהה' שהוא חצי האלכסון וישארו ב' והוא ארך החץ |
| |
|
תמד) שאלה בכאן תמונה שהיא יותר מחצי עגולה אשר אלכסונו עשרה והחץ ט' ארצה לדעת כמה הוא המתר |
|
כך תעשה קח חצי האלכסון שהוא ה' ותסירם מהחץ [316]שהוא ט' וישארו ד' |
|
וכפלם על עצמם ויהיו י"ו |
|
גם כפול חצי האלכסון ויהיו כ"ה |
|
הסר י"ו מכ"ה הנשאר ט' |
|
וקח שרשם והם ג' |
|
וכפלם והם ו' והוא אורך המתר |
| |
Find the Volume Problem - Box |
|
|
תמה) שאלה בכאן תמונה עשויה כדמות חבילה ארכה ל' ורחבה עשרים ארצה לדעת תשברתה |
|
כך תעשה כפול ל' על עשרים ויהיו ו' מאות |
|
קח ג' חלקים מי"ד ויהיו קכ"ח וד' חלקים מט' וישארו ד' מאות וע"א וג' שביעיות והוא תשבורת החבילה |
| |
Transformation Problem - Circle to Square |
|
|
תמו) שאלה בכאן עגול אשר אלכסונו י"ו נרצה לעשות מזה העגול מרובע |
|
כפול י"ו על עצמם ויהיו רנ"ו |
|
וקח חצים והם קכ"ח |
|
וקח שרשם והם י"א וז' חלקים מכ"ג וכך הוא אורך כל צלע מהמרובע |
Find the Side Problem - Inscribed Triangle |
|
|
תמז) שאלה בכאן עגול ארך אלכסונו עשרה ונרצה לעשות משולש בתוכו כמה ארך כל קו מהמשולש |
|
כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ק' |
|
וקח ג' רביעיותיו שהם ע"ה |
|
וקח שרשם שהם ח' וי"א חלקים מי"ו והוא ארך כל קו |
|
ולדעת העמוד קח ג' רביעיו' האלכסון שהיה ויהיו ז' וחצי והוא ארך העמוד |
Transformation Problems |
|
|
תמח) שאלה בכאן מרובע ארך כל צלע עשרה נרצה לעשות ממנו עגול
כמה יהיה הקפו |
|
כך תעשה כפול הצלע ויהיו ק' והוא תשבורת המרובע |
|
אח"כ ראה מאה מאיזה מספר הם י"א חלקים מי"ד ותמצא קכ"ז וג' חלקים מי"א |
|
אח"כ קח שרשם מקכ"ז והם י"א וב' שביעיות והוא ארך אלכסון העגול |
|
אח"כ כפול אלו הי"א וב' שביעיות על ג' ושביעית ויעלה כ"ה וכ"ג חלקים ממ"ט וכך הוא הסבוב |
|
תמט) שאלה בכאן מרובע [317]אשר כל צלע עשרה ורוצה לעשות ממנו משולש
לדעת כל קו מהמשולש |
|
כפול צלע המשולש ויהיו ק' |
|
וכפלם ויהיו מאתים |
|
אח"כ קח השישית והשביעית מק' ויהיו ל"א |
|
ותוסיפם על מאתים ויהיו רל"א |
|
תסיר מהם שרש המרובע שהם ט"ו וו' חלקי' מל"א וכך הוא ארך כל צלע המשולש |
| |
Gaging Problems |
|
|
תנ) שאלה בכאן חבית אשר אחד מהקצוות ח' זרתות והקצה האחר ז' והיא גבוהה עשרה וארוכה ו' אשאל לדעת כמה ברילי יש בה ממים באופן יכילו ט' זרתות מרובעים א' בארילו |
|
כך תעשה חבר הקצוות שהם ח' עם ז' וחצי |
|
ותחברם אל הגובה מאמצע החבית שהם י' ויהיו י"ז וחצי |
|
וקח חצים שהם ח' וג' רביעיות ותכפלם על עצמם ויהיו ע"ו וט' חלקים מי"ו |
|
הסר י"א חלקים מי"ד שהם ס' וה' חלקים מל"ב |
|
ותכפלם על ארך החבית שהם ו' ויהיו ש"ס וט"ו חלקים מי"ו וכך הם הזרתות שהם בחבית |
| |
|
וחלקם על ט' שיש בכל ברילי ויצא ארבעים וה' חלקים ממ"ח והם סכום הבארילי |
|
תנא) שאלה בכאן חצי חבית אשר ארך האלכסון מן הקצה האחד ב' זרתות וחצי והאלכסון מהקצה האחר א' וחצי והיא ארוכה ב' זרתות נרצה לדעת כמה תכיל באופן כי ג' זרתות מרובעים יכילו בריל אחד |
|
כך תעשה תחבר אלכסונות הקצוות שהם בין שניהם ד' |
|
וקח חצים וכפלם על עצמם ויהיו ד' |
|
וקח י"א חלקי' מי"ד שהם ג' ושביעית |
|
ותכפלם על הארך שהם ב' ויעלה ו' וב' שביעיות |
| |
|
ולדעת כמה מים יכיל בתוך חצי חבית חלק הו' וב' שביעיות על ג' זרתות אשר יכילו בין שלשתן ברילי אחד ויצא ב' וב' חלקים מכ"א |
Three Proportional Numbers |
|
|
[318]תנב) שאלה יש לנו ג' מספרים יחסיים אשר יחס הא' אל הב' כיחס הב' אל הג' והנה נכפול הא' על הב' והעולה נכפול על ג' הוא אלף |
|
הדרך הוא כך |
|
קח שרש מעוקב מאלף הוא עשרה הנה א"כ המספר אמצעי הוא עשרה |
|
אח"כ חלק אלף על עשרה ויעלו מאה |
|
א"כ בקש לעשות ממאה ב' חלקים אשר אם תכפול חלק אחד על עשרה ומה שיעלה כפול על החלק השני שיעלה אלף |
|
הנה כשנעשה ממאה ב' חלקים יהיה החלק הא' ב' והשני חמישים |
|
א"כ תאמ' כי הג' מספרים יחסיים הא' ב' והשני עשרה והשלישי חמישים |
|
הנה יחס ב' אל י' כיחס י' אל נ' |
|
הנה א"כ השאלה היא נעשת כהוגן |
|
והנה אם נכפול המספר הראשון שהוא ב' על המספר השני שהוא י' יעלו עשרים ואם תכפול עשרים על המספר השלישי שהוא נ' יעלו אלף |
|
ואם תרצה לחלק אלף על שרש מעוקבו שהוא י' באופן אחר כך תעשה |
|
תחלק אלף על עשרה ויצאו מאה |
|
תחלק מאה לב' חלקים באופן כי כשתכפול החלק הראשון על עשרה והעולה כפול על החלק השני ויעלו אלף |
|
כך תעשה הנה החלק האחד יהיו חמשה והחלק האחר יהיו עשרים והאמצעי הוא עשרה והנה הראשון הוא ה' והב' י' והג' עשרים |
|
והנה יחס הא' אל הב' כיחס הב' אל הג' |
|
ואם תכפול ה' על י' יהיו חמשים כפול חמישים על עשרים והם אלף וכן כל כיוצא בזה |
Over and done. | תם ונשלם |
Thanks to the Creator of the world. | תל"ע |
Appendix I: Glossary of Terms
rank | מדרגה |
Appendix: Bibliography
Gad Astruk
Venice, c. 1503
Sefer Dinei Mamonot
Manuscripts:
- 1) Budapest, Magyar Tudományos Akadámia, MS Kaufmann A 507/1 (IMHM: f 15161), ff. 4–19; (15th-16th century)
- Kaufmann A 507/1
- 2) London, British Library Add. 27039/1 (IMHM: f 5717), ff. 3r-116r (cat. Margo. 1014, 1) (16th century)
- Add. 27039/1
- 3) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 30/2 (IMHM: f 6711), ff. 38r-39r (1503)
- 4) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 30/5-6 (IMHM: f 6711), ff. 191r-296v (1503)
- Guenzburg 30
The transcript is based mainly on manuscript Guenzburg 30
Bibliography:
- Steinschneider, Moritz. 1906. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 50, p. 198. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, p. 121.
Notes
- ↑ 191r
- ↑ במדבר יב, ח
- ↑ תלמוד, יבמות מ"ט ב:י
- ↑ דברים ב, טז
- ↑ ויקרא יא, מד
- ↑ תהילים כז, ד
- ↑ 191v
- ↑ ויקרא כה, נ
- ↑ ויקרא כה, כז
- ↑ 192r
- ↑ חולין קמב, א
- ↑ 192v
- ↑ 193r
- ↑ 193v
- ↑ 194r
- ↑ 194v
- ↑ marg. זהו מיותר
- ↑ 195r
- ↑ 195v
- ↑ marg. עד כאן מיותר
- ↑ 196r
- ↑ marg.
- ↑ 196v
- ↑ 197r
- ↑ 197v
- ↑ 198r
- ↑ 198v
- ↑ 199r
- ↑ 199v
- ↑ 200r
- ↑ 200v
- ↑ 201r
- ↑ 201v
- ↑ 202r
- ↑ 202v
- ↑ 203r
- ↑ 203v
- ↑ 204r
- ↑ 204v
- ↑ 205r
- ↑ 205v
- ↑ om.
- ↑ om.
- ↑ 206r
- ↑ 206v
- ↑ 207r
- ↑ 227r
- ↑ 227v
- ↑ 228r
- ↑ 228v
- ↑ 229r
- ↑ 229v
- ↑ 230r
- ↑ 230v
- ↑ 231r
- ↑ 231v
- ↑ 232r
- ↑ MS L: מ"א
- ↑ 232v
- ↑ 233r
- ↑ marg.
- ↑ 233v
- ↑ 234r
- ↑ 234v
- ↑ marg.
- ↑ 235r
- ↑ 235v
- ↑ 236r
- ↑ 236v
- ↑ 237r
- ↑ 237v
- ↑ 238r
- ↑ 238v
- ↑ 239r
- ↑ 239v
- ↑ 240r
- ↑ 240v
- ↑ 241r
- ↑ 241v
- ↑ 242r
- ↑ 242v
- ↑ MS L: mark om.
- ↑ MS L: פח
- ↑ MS L: פח
- ↑ 243r
- ↑ 243v
- ↑ G om.
- ↑ G ז' ושביעית
- ↑ G ויעלה נ'
- ↑ G ויהיו כ"ה
- ↑ G om.
- ↑ MS L: mark om.
- ↑ 244r
- ↑ 244v
- ↑ 245r
- ↑ MS L: om.
- ↑ MS L: om.
- ↑ 245v
- ↑ MS L: קט
- ↑ MS L: קי
- ↑ 246r
- ↑ MS L: קיו
- ↑ 246v
- ↑ MS L: קיז
- ↑ MS L: קיח
- ↑ G היינו מוצאין אותו והתשובה בה
- ↑ 247r
- ↑ MS L: קיט
- ↑ 247v
- ↑ 248r
- ↑ 248v
- ↑ MS L: קל
- ↑ MS L: קלא
- ↑ MS L: קלב
- ↑ MS L: קלג
- ↑ 249r
- ↑ MS L: קלד
- ↑ MS L: קלה
- ↑ 249v
- ↑ G. om.
- ↑ 250r
- ↑ MS L: קמב
- ↑ MS L: קמג
- ↑ MS L: קמד
- ↑ MS L: קמה
- ↑ MS L: קמו
- ↑ 250v
- ↑ MS L: קמז
- ↑ MS L: קמח
- ↑ MS L: קמט
- ↑ MS L: קנ
- ↑ MS L: קנא
- ↑ MS L: קנב
- ↑ 251r
- ↑ MS L: קנג
- ↑ MS L: קנד
- ↑ 251v
- ↑ MS L: קנה
- ↑ MS L: קנו
- ↑ 252r
- ↑ 252v
- ↑ 253r
- ↑ 253v
- ↑ 254r
- ↑ 254v
- ↑ 255r
- ↑ 255v
- ↑ 256r
- ↑ 256v
- ↑ 257r
- ↑ איוב א, ט"ז
- ↑ 257v
- ↑ 258r
- ↑ 258v
- ↑ 259r
- ↑ MS L: קצה
- ↑ MS G om.
- ↑ MS G om.
- ↑ 259v
- ↑ 260r
- ↑ 260v
- ↑ 261r
- ↑ 261v
- ↑ 262r
- ↑ MS L: רמב
- ↑ 262v
- ↑ MS L: רמז
- ↑ MS L: רנה
- ↑ 263r
- ↑ MS L: רנו
- ↑ MS L: רנט
- ↑ MS L: רסא
- ↑ 263v
- ↑ G om.
- ↑ MS L: רסב
- ↑ MS L: רסג
- ↑ MS L: רסד
- ↑ MS L: רסו
- ↑ MS L: רסז
- ↑ MS L: רסח
- ↑ MS L: רצא
- ↑ MS L: רצב
- ↑ MS L: רצג
- ↑ MS L: רצד
- ↑ MS L: רצה
- ↑ MS L: רצז
- ↑ MS L שג
- ↑ MS L שח
- ↑ marg.
- ↑ MS L: שכא
- ↑ MS L: שכב
- ↑ MS L: שכג
- ↑ MS L: שכד
- ↑ MS L: שכה
- ↑ MS L: שכו
- ↑ MS L: שכח
- ↑ marg.
- ↑ MS L: שלא
- ↑ MS L: שלב
- ↑ MS L: שלג
- ↑ G. om.
- ↑ MS L שלד
- ↑ MS L שלה
- ↑ MS L שלו
- ↑ MS L שלז
- ↑ G om.
- ↑ MS L שלח
- ↑ MS L שלט
- ↑ MS L שמ
- ↑ MS L שמא
- ↑ MS L שמב
- ↑ MS L שמג
- ↑ MS L שמד
- ↑ MS L שמה
- ↑ MS L שמו
- ↑ MS L: שמז
- ↑ MS L: שמח
- ↑ MS L: שמט
- ↑ MS L: שנ
- ↑ MS L: שנא
- ↑ 277v
- ↑ MS L: שנב
- ↑ MS L: שנג
- ↑ MS L: שנד
- ↑ MS L: שנו
- ↑ MS L: שנז
- ↑ MS L שנח
- ↑ 278r
- ↑ MS L שנט
- ↑ MS L: שס
- ↑ 278v
- ↑ MS L שסא
- ↑ MS L שסב
- ↑ MS L שסג
- ↑ MS L שסד
- ↑ MS L שסה
- ↑ MS L שסו
- ↑ MS L שסז
- ↑ MS L שע
- ↑ MS L: שעא
- ↑ MS L: שעב
- ↑ MS L: שעג
- ↑ MS L: שעד
- ↑ MS L: שעה
- ↑ MS L: שעו
- ↑ MS L: שעז
- ↑ MS L: שעח
- ↑ MS L: שעט
- ↑ MS L: שפ
- ↑ MS L: שפב
- ↑ 282r
- ↑ 282v
- ↑ 283r
- ↑ MS L: שפג
- ↑ 283v
- ↑ MS L: שפה
- ↑ דברים א, י
- ↑ MS L: שפו
- ↑ יהושע, א, ח
- ↑ 285v
- ↑ MS L רלט
- ↑ MS L רנא
- ↑ 286r
- ↑ MS L שא
- ↑ MS L שד
- ↑ 286v
- ↑ MS L שו
- ↑ MS L שט
- ↑ 287r
- ↑ MS L שי
- ↑ 287v
- ↑ MS L שיא
- ↑ MS L שיב
- ↑ MS L שיג
- ↑ 288r
- ↑ MS L שיד
- ↑ 288v
- ↑ 289r
- ↑ MS L שיו
- ↑ MS L שיז
- ↑ MS L שיח
- ↑ 289v
- ↑ MS L שיט
- ↑ 290r
- ↑ MS L שכ
- ↑ 290v
- ↑ 291r
- ↑ 291v
- ↑ 292r
- ↑ 292v
- ↑ 293r
- ↑ 293v
- ↑ 294r
- ↑ 294v
- ↑ MS L שסח
- ↑ MS L שסט
- ↑ MS L: שפד
- ↑ 295r
- ↑ 295v
- ↑ 296r
- ↑ 296v
- ↑ MS L: שצ
- ↑ 108v
- ↑ 109r
- ↑ 109v
- ↑ 110r
- ↑ 110v
- ↑ 111r
- ↑ 111v
- ↑ 112r
- ↑ 112v
- ↑ 113r
- ↑ 113v
- ↑ 114r
- ↑ 114v
- ↑ 115r
- ↑ 115v
- ↑ 116r