ספר האלזיברא

From mispar
Revision as of 15:25, 28 August 2022 by Aradin (talk | contribs) (First Section: Preliminary Study of the Foundation of Algebra)
Jump to: navigation, search


ספר האלזיברא
לרבי שמעון מטוט

Introduction

After the praise to God, the name of his praise is Glory [1]אחרי התהלה לאל אשר שם תהלתו תפארת
Illuminating beginning of any discussion and action ופתח מאיר כל מאמר ומעשה
Blessed and exalted be his name a great exaltation יתב' ויתע' שמו עלוי רב אמן

Definitions of algebraic terms

I Start by saying that you should know that the Christians regarded one of the expressions in the equation of the algebraic calculation as having an unknown number, and made it one whole thing in their calculations, which they called cosa. אתחיל ואומר ראוי שתדע כי הנוצרים בחשבון האלזיברא יקחו חלק אחד מן השאלה בלתי ידוע מספרו ויעשוהו בחשבונם דבר אחד שלם ויקראוהו קוֹסָא
They wanted to signify two meanings by this word: one whole thing and an unknown thing, which we do not know. רצונם להורות בזאת התיבה שני ענינים דבר אחד שלם ודבר נעלם לא ידענוהו
Hence, I am doing the same in my translation, and call it davar [= a "thing"]. וכן ולפי כן אעשה גם אני בהעתקתי זאת ובשם אקראנו דבר
They called the product of the thing by itself çenso. וכפל הדבר בעצמו יקראוהו צֵינְסו
I asked the grammarians of their language about the meaning of this word and they told me that it indicates a fixed number. They meant by this an unknown fixed number. ושאלתי לחכמי דקדוק לשונם על הוראת זאת התיבה ואמרו לי כי היא מורה מספר קצוב רצונם בזה מספר קצוב לא ידענוהו
Since I did not find in our language one word that has this meaning, and I did not want to extend my speech by using two words to indicate this meaning, or to invent a new word in the language, I called it by the Hebrew word merubaʼ [= a square] as it is. ובעבור כי לא מצאתי בלשוננו תיבה אחת תורה זאת ההוראה ולא רציתי להאריך בדבורי להורות זאת ההוראה בשתי תיבות או לחדש תיבה בלשון קראתיהו בשם מרובע כאשר הוא
They called the square that is multiplied by it self çenso di çenso, and I named it merubaʼ ha-merubaʼ [= a square of the square]. ולכפל המרובע בעצמו יקראוהו צֵינְסו דֵצֵינְסו ואני אקראנו מרובע המרובע
They called the cube number cubo. ולמספר המעקב יקראוהו קוּבוּ
They called the cube cube cubo di cubo. ולמעקב המעקב קוּבוּ דֵקוּבוּ
The units of the number are called numeri, as their usage in all other places. ולאחדי המספר נוּמְרִי כמנהגם בכל שאר המקומות

First Section: Preliminary Study of the Foundation of Algebra

After my introduction, I shall discuss the teaching of some principles that should be known and precede the study of algebra. ואחרי הקדמתי זאת אדבר בלמוד שרשים צריכים לדעתם ולהקדימם ללמודי חשבון האלזיברא
I will explain them as much as I can, starting by that: ואבארם כפי אשר תשיג ידי וזה החלי
1) If you wish to multiply a root of a known number by a root of a number
\scriptstyle\sqrt{a}\sdot\sqrt{b}
א כאשר רצית לכפול שורש מספר ידוע בשורש מספר ידוע
Multiply one number by the other and the root of the result is what you want.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a}\sdot\sqrt{b}=\sqrt{a\sdot b}}}
כפול המספר האחד בחבירו ושורש העולה הוא מה שרצית
to bring it closer to your perception I will give an example:
ולקרבו אל ציורך אמשול לך משל
  • When you wish to multiply the root of 5 by the root of 12.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\times\sqrt{12}}}
כאשר רצית לכפול שורש מספר ה' בשורש מספר [י"ב]‫[2]
Multiply 5 by 12; the result is 60.
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot12=60}}
כפול ה' בי"ב יעלה ס‫'
The root of 60 is what you want to know.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\sdot\sqrt{12}=\sqrt{60}}}
[3]ושורש ס' הוא מה שרצית לדעת
2) If you wish to multiply a root of a known number by a known number.
\scriptstyle a\sdot\sqrt{b}
ב ואם רצית לכפול שורש מספר ידוע במספר ידוע
Square the number by multiplying it by itself, then multiply one square by the other and the root of the product is what you want.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\sdot\sqrt{b}=\sqrt{a^2\sdot b}}}
עשה מן המספר מרובע בכפול אותו בעצמו אחר תכפול המרבע הא' בחבירו ושורש העולה הוא מה שרצית לדעת
  • Example: you wish to multiply the root of 7 by 3.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3}}
המשל רצית לכפול שורש מספר ז' במספר ג‫'
Square 3; it is 9.
\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9}}
עשה מג' מרובע והוא ט‫'
Now, multiply 7 by 9; the result is 63.
\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot9=63}}
ועתה תכפול ז' בט' יעלה ס"ג
The root of 63 is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3=\sqrt{63}}}
ושורש ס"ג הוא המבוקש
This is because the ratio of a square to a square is the same as the ratio of its side to its side duplicate.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2:b^2=\left(a:b\right)^2}}
וזה מפני כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו שנוי ר"ל כפול
Therefore, the square of 7 should be multiplied by the product of 3 by itself.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3=\sqrt{7\sdot3^2}}}
על כן ראוי לכפול מרובע ז' בכפל ג' בעצמו
According to Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11
מתמונת י"א מן המאמר השמיני לאקלידס
3) If you wish to multiply a known cube root by a known cube root.
\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt[3]{b}
ג ואם [רצית]‫[4] לכפול שורש מעקב ידוע בשורש מעקב ידוע
Multiply one cube by the other and the cube root of the product is what you want.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a\sdot b}}}
כפול המעקב האחד בחבירו ושורש המעקב העולה הוא מה שרצית
  • Example: you wish to multiply the cube root of 5 by the cube root of 6.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{5}\sdot\sqrt[3]{6}}}
המשל רצית לכפול שורש מעקב ה' בשורש מעקב ו‫'
Multiply 5 by 6; the result is 30.
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}
כפול ה' בו' יעלה ל‫'
The cube root of 30 is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{5}\sdot\sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{30}}}
ושורש מעקב ל' הוא המבוקש
4) You wish to multiply a known cube root by a known number.
\scriptstyle a\sdot\sqrt[3]{b}
ד ואם רצית לכפול שורש מעקב ידוע במספר ידוע
Cube the number, then multiply one cube by the other and the cube root of the product is what you want.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\sdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a^3\sdot b}}}
עשה מן המספר מעקב וכפול המעקב הא' בחבירו ושורש מעקב העולה הוא מה שרצית
  • Example: you wish to multiply the cube root of 5 by 3.
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt[3]{5}}}
המשל רצית לכפול שורש מעקב ה' במספר ג‫'
Cube 3; it is 27.
\scriptstyle{\color{blue}{3^3=27}}
עשה מן ג' מעקב והוא כ"ז
Multiply 5 by 27; the result is 135.
\scriptstyle{\color{blue}{27\sdot5=135}}
וכפול ה' בכ"ז יעלה קה"ל
The cube root of 135 is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{135}}}
ושורש מעקב קה"ל הוא המבוקש
This is because the ratio of a cube to a cube is the same as the ratio of its side to its side triplicate
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^3:b^3=\left(a:b\right)^3}}
וזה מפני כי יחס מעקב אל מעקב כיחס צלעו אל צלעו משלש
According to Euclid, Elements, Book VIII, proposition 12
מתמונת י"ב מן המאמר השמיני לאקלידס
5) If you wish to multiply a known cube root by a known square root.
\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{b}
ה ואם רצית לכפול שורש מעקב ידוע בשורש מרובע ידוע
Cube the square and square the cube.
[5]עשה מן המרבע מעקב ומן המעקב מרבע
By this procedure you equalize [the degrees of] the roots and you make each of them a square root of a cube root.
ובזה המעשה השוית השרשים ועשית כל אחד מהם שורש מרבע מן שרש מעקב
Then, you multiply one of them by the other and the square root of the cube root of the product is what you want.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{b}=\sqrt{\sqrt[3]{a^2\sdot b^3}}}}
אחר כן תכפול אחד מהם בחבירו ושורש מרובע מן שרש מעקב העולה הוא מה שרצית
  • In order to teach you, I will give you an example of numbers that have roots and say: you wish to multiply the square root of 9, which is 3, by the cube root of 8, which is 2.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=2\sdot3}}
ולמען תשכיל אמשול לך משל במספרים בעלי שורש ואומר רצית לכפול שורש מרובע ט' שהוא ג' בשורש מעקב ח' שהוא ב‫'
It is known that the product of 3 by 2 is 6 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}
וידוע כי מכפל ג' בב' יעלה ו' והוא המבקש
According to the way that we mentioned:
ולפי הדרך אשר זכרנו
9 should be cubed; it is 729.
\scriptstyle{\color{blue}{9^3=729}}
ראוי לעשות מן ט' מעקב והוא תשכ"ט
8 should be squared; it is 64.
\scriptstyle{\color{blue}{8^2=64}}
ומן ח' מרבע והוא ס"ד
Multiply 64 by 729; the result is 46656.
\scriptstyle{\color{blue}{64\sdot729=46656}}
כפול ס"ד בתשכ"ט יעלה מ"ו אלפים ותרנ"ו
The square root of the cube root of 46656 is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\sqrt[3]{46656}}}}
והנה שרש מרובע מן שרש מעקב מ"ו אלפים ותרנ"ו הוא המבוקש
To add a further explanation, we reduce the required to a number; we can do this, since the numbers we took in our example have roots:
ולהוסיף באור נשיב המבקש אל מספר ונוכל עשוהו מפני כי המספרים אשר לקחנו במשלנו הם בעלי שרש
We say that the cube root of 46656 is 36 and the square root of 36 is 6. So, 6 is the required as we said at the beginning.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\sqrt[3]{46656}}=\sqrt{36}=6}}
ונאמר שרש מעקב מ"ו אלפים ותרנ"ו הוא ל"ו ושרש מרבע ל"ו הוא ו' והנה מספר ו' הוא המבקש כאשר אמרנו בתחלה
The proof for this is clear to the one who understands from the proofs of the previous teachings.
מופת זה מובן למבין ממופתי הלמודים הקודמי‫'
6) You wish to multiply a known square root of a square root by a known square root of a square root.
\scriptstyle\sqrt{\sqrt{a}}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}
ו ואם רצית לכפול שורש שורש מרובע ידוע בשרש שרש מרובע ידוע
Multiply one square by the other and the root of the root of the product is what you want.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\sqrt{a}}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{a\sdot b}}}}
כפול המרבע האחד בחבירו ושרש שרש מרבע העולה הוא מה שרצית
  • Example: you wish to multiply the square root of the root of 4 by the square root of the root of 7.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{4}}\sdot\sqrt{\sqrt{7}}}}
המשל רצית לכפול שרש שרש מרובע ד' בשרש שרש מרובע ז‫'
Multiply 4 by 7; the result is 28.
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot7=28}}
כפול ד' בז' יעלה כ"ח
The square root of the square root of 28 is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{4}}\sdot\sqrt{\sqrt{7}}=\sqrt{\sqrt{28}}}}
ושרש שרש מרבע כ"ח הוא המבוקש
7) If you wish to multiply a known square root of a square root by a known number.
\scriptstyle a\sdot\sqrt{\sqrt{b}}
ז ואם רצית לכפול שרש שרש מרבע ידוע במספר ידוע
Square the number, then square its square. Multiply one by the other and the root of the root of the product is what you want.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{\left(a^2\right)^2\sdot b}}}}
עשה מן המספר מרבע וממרבעו מרבע וכפול האחד בחבירו ושרש שרש מרבע העולה הוא מה שרצית
  • Example: you wish to multiply the square root of the root of 5 by 2.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{\sqrt{5}}}}
המשל רצית לכפול שרש שרש מרבע ה' במספר ב‫'
Square 2; it is 4. Square 4; it is 16.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2^2\right)^2=4^2=16}}
עשה מן ב' מרבע והוא ד' ומן ‫[6]ד' מרובע והוא י"ו
Multiply 5 by 16; the result is 80.
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot16=80}}
כפול ה' בי"ו יעלה פ‫'
The square root of the root of 80 is what you want to know.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{\sqrt{5}}=\sqrt{\sqrt{80}}}}
ושרש שרש מרובע פ' הוא מה שרצית לדעת
8) If you wish to multiply a known cube root by a known square root of a root.
\scriptstyle \sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}
ח ואם רצית לכפול שרש מעקב ידוע בשרש שרש מרובע ידוע
Square the cube, then square its square.
עשה מן המעקב מרובע וממרבעו מרבע
Cube the square.
ומן המרובע עשה מעקב
By this procedure you equalize [the degrees of] the roots and made each of them a square root of a square root of a cube root.
ובזה המעשה השוית השרשים ועשית כל אחד מהם שרש שרש מרבע מן שרש מעקב
Multiply one of them by the other and the square root of the square root of the cube root of the product is what you want to know.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left(a^2\right)^2\sdot b^3}}}}}
אחר תכפול האחד מהם בחבירו ושרש שרש מרבע מן שרש מעקב העולה הוא מה שרצית לדעת
  • Example: you wish to multiply the cube root of 3 by the square root of the square root of 4.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{3}\sdot\sqrt{\sqrt{4}}}}
המשל רצית לכפל שרש מעקב ג' בשרש שרש מרבע ד‫'
Square the cube, which is 3; it is 9. Square 9; it is 81.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3^2\right)^2=9^2=81}}
עשה מן המעקב שהוא ג' מרבע והוא ט' ומן ט' מרבע והוא פ"א
Cube 4; it is 64.
\scriptstyle{\color{blue}{4^3=64}}
אחר כן תעשה מן ד' מעקב יהיה ס"ד
Multiply 81 by 64; the result is 5184.
\scriptstyle{\color{blue}{81\sdot64=5184}}
כפול פ"א בס"ד יעלה ה' אלפים וקפ"ד
The square root of the square root of the cube root of 5184 is what you want.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{3}\sdot\sqrt{\sqrt{4}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{5184}}}}}
ושרש שרש מרבע מן שרש מעקב ה' אלפים ופק"ד הוא מה שרצית
  • 9) If you wish to multiply 5 plus the root of 6 by itself.
\scriptstyle\left(5+\sqrt{6}\right)^2
ט ואם רצית לכפול מספר ה' ושרש מספר ו' בעצמו
Follow this way:
עשה על הדרך הזאת
Multiply 5 by itself; the result is 25.
\scriptstyle{\color{blue}{5^2=25}}
כפול ה' בעצמו יעלה כ"ה
Multiply also a root of 6 by itself; the result is 6.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}^2=6}}
עוד תכפול שרש ו' בעצמו יעלה ו‫'
[The sum] is 31. Keep it.
\scriptstyle{\color{blue}{25+6=31}}
הרי ל"א שמרם
Multiply also 5 twice by a root of 6 according to this way:
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(5\sdot\sqrt{6}\right)}}
עוד תכפול מספר ה' בשרש ו' פעמים על הדרך הזאת
First, multiply 5 by a root of 6: square 5; it is 25; multiply it by 6; the result is 150. A root of 150 is the result of multiplication of 5 by a root of 6.
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\sqrt{6}=\sqrt{5^2\sdot6}=\sqrt{25\sdot6}=\sqrt{150}}}
ראשונה תכפול מספר ה' בשרש ו' ועשה מן ה' מרובע והוא כ"ה

כפלהו בו' יעלה ק"נ והנה שרש ק"נ הוא העולה מכפל מספר ה' בשרש מספר ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(5\sdot\sqrt{6}\right)=2\sdot\sqrt{150}=\sqrt{2^2\sdot150}=\sqrt{4\sdot150}=\sqrt{600}}}
עוד תכפול שרש ק"נ במספר ב' מפני כי אתה רוצה אותו פעמים ותעשה מן ב' מרבע והוא ד' כפול ד' בק"נ יעלה ת"ר
\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\sqrt{6}\right)^2=31+\sqrt{600}}}
הנה תאמר כי מספר ל"א אשר שמרת ושרש מספר ת"ר מחברים הוא מה שרצית לדעת
In order to learn it, a multiplication diagram is described ולמען תשכיל אתאר לך תמונת הכפל
from each of the numbers in the figure, lines are drawn to the numbers by which they should be multiplied
ואוציא מכל אחד מהמספרים אשר בתמונה קוים נמשכים בה אל המספרים אשר ראוי ‫[7]לכפלו בהם
Alzibra 9.png
אלזיברא 9.png
10) \scriptstyle\left(\sqrt{32}-3\right)^2
י ואם רצית לכפול שרש ל"ב פחות מספר ג' בעצמו
\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9}}
עשה ראשונה מן ג' מרובע והוא ט‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{32}^2=32}}
ועתה תכפול שרש ל"ב פחות שרש ט' בעצמו על הדרך הזאת כפול תחלה שרש ל"ב בעצמו יעלה ל"ב
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(-\sqrt{9}\right)^2=9}}
עוד תכפול שרש ט' פחות בעצמו יעלה ט' יותר
subtractive × subtractive = additive [\scriptstyle\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right)] כי ראוי שתדע כי מכפל חסרון בחסרון יעלה יתרון כאשר אבאר
\scriptstyle{\color{blue}{9+32=41}}
על כן תחבר ט' בל"ב יעלה מ"א שמרם
  • \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\sqrt{32}\sdot\left(-\sqrt{9}\right)\right]=-\sqrt{1152}}}
עוד תכפול שרש ל"ב בשרש ט' פחות פעמים על הדרך האמור למעלה יעלה בידך שרש אלף וקנ"ב פחות
a number or a measure multiplied by a subtractive = subtractive [\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right)}}] כי לעולם מכפל איזה מספר או איזה שיעור שיהיה בחסרון יעלה חסרון
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{32}-3\right)^2=41-\sqrt{1152}}}
הנה תאמר כי מספר מ"א אשר שמרת פחות שרש אלף וקנ"ב הוא המבוקש
11) \scriptstyle\left(\sqrt{48}+\sqrt{10}\right)\times\left(\sqrt{48}-\sqrt{10}\right)
יא ואם רצית לכפול שרש מ"ח ושרש י' בשרש מ"ח פחות שרש י‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}^2=48}}
כפול ראשונה שרש מ"ח בעצמו יעלה מ"ח
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(+\sqrt{10}\right)\sdot\left(-\sqrt{10}\right)=-10}}
עוד תכפול שרש י' יותר בשרש י' פחות יעלה י' פחות
\scriptstyle{\color{blue}{48-10=38}}
חסרם ממ"ח יעלה ישאר ל"ח
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}\sdot\left(+\sqrt{10}\right)=+\sqrt{480}}}
עוד תכפול שרש מ"ח בשרש י' יותר יעלה שרש ת"פ יותר
\scriptstyle{\color{blue}{38+\sqrt{480}}}
הרי בידך ל"ח ושרש ת"פ יותר
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}\sdot\left(-\sqrt{10}\right)=-\sqrt{480}}}
עוד תכפול שרש מ"ח בשרש י' פחות יעלה שרש ת"פ פחות
על כן תחסרנו מל"ח ושרש ת"פ יותר ישאר בידך מספר ל"ח והנה הוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{48}+\sqrt{10}\right)\sdot\left(\sqrt{48}-\sqrt{10}\right)=38+\sqrt{480}-\sqrt{480}=38}}
Rules of multiplication for expressions of the type (a+b) and (a-b) ועתה אתן לך כלל
  • number × additive = additive: \scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times\left(+\right)=\left(+\right)}}
מכפל איזה מספר ביתרון יעלה יתרון
  • number × subtractive = subtractive: \scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times\left(-\right)=\left(-\right)}}
ומכפל איזה ‫[8]מספר בחסרון יעלה חסרון
  • additive × additive = additive: \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(+\right)\times\left(+\right)=\left(+\right)}}
ומכפל יתרון ביתרון יעלה יתרון
  • additive × subtractive = subtractive: \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right)}}
ומכפל יתרון בחסרון יעלה חסרון
  • subtractive × subtractive = additive: \scriptstyle\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right)
ומכפל חסרון בחסרון יעלה יתרון כאשר אמרנו למעלה
Geometric illustration
To show you a proof of it we describe a geometric illustration and present a numerical example: ולהראותך מופת זה נתאר תמונה ונביא דמיון במספר
  • We wish to multiply the number 12 minus the number 4 by the number 8 minus the number 2.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(12-4\right)\times\left(8-2\right)}}
רצינו לכפול מספר י"ב פחות מספר ד' במספר ח' פחות מספר ב‫'
We describe a geometrical shape according to the example mentioned:
ונתאר תמונה כפי המשל הנזכר
Alzibra 11.png
אלזיברא 11.png
Let there be a surface ABGD.
ויהיה שטח אבג"ד
Its side AB is 12 measures.
\scriptstyle{\color{blue}{AB=12}}
צלע א"ב ממנו י"ב מדות
Its side AG is 8 measures.
\scriptstyle{\color{blue}{AG=8}}
וצלע א"ג ממנו ח' מדות
We cut segment AH, which is 4 measure, from side AB.
\scriptstyle{\color{blue}{AH=4}}
ונחסר מצלע א"ב חלק א"ה ממנו ד' מדות
We cut segment AW, which is 2 measure, from side AG.
\scriptstyle{\color{blue}{AW=2}}
ומצלע א"ג נחסר צלע א"ו ממנו ב' מדות
We draw line HZ from point H, parallel to lines AG, BD and line WC from point W, parallel to lines AB, GD.
\scriptstyle{\color{blue}{HZ\parallel AG,BD\quad WC\parallel AB,GD}}
ונעביר מנקדת ה' קו ה"ז נכוחי לקוי א"ג וב"ד

ומנקדת ו' קו ו"ח נכוחי לקוי א"ב וג"ד

These two lines intersect in surface [ABGD] at point T.
ויחתכו שני אלה הקוים בתוך השטח על נקדת ט‫'
They divide [ABGD] into four areas:
ויחלקוהו לארבעה שטחים
Surface TG, surface TA, and surface TB - we call these three together the gnomon of the shape; and the fourth surface, TD, which we call the sought-after, because its area is equal to the required number that is the product of the mentioned numbers, as you can see.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[ABGD\right]=TG+TA+TB}}
לשטח ט"ג ושטח ט"א ושטח ט"ב שלשתם יחד נקראם רושם התמונה

ושטח ט"ד הרביעי ונקראהו המבוקש כי מספרי שבריו שוה למספר המבקש העולה מכפל המספרים הנזכרים כאשר אתה רואה

There is no need to further elaborate this proof for you.
אין צורך להאריך במופת על זה אליך
Now we multiply the above mentioned numbers by each other, according to the aforementioned method:
ועתה נכפול המספרים הנז' אחד מהם בחברו כפי הדרך הנזכ‫'
We start by multiplying 12 by 8; the result is 96, as the area of the whole surface AD.
\scriptstyle{\color{blue}{AD=12\times8=96}}
ונתחיל לכפול י"ב בח' יעלה צ"ו כמספר שברי שטח א"ד כולו
We multiply 12 also by a subtractive 2; the result is a subtractive 24, as the area of TA plus the area of TB.
\scriptstyle{\color{blue}{-\left(TA+TB\right)=12\times\left(-2\right)=-24}}
עוד נכפול י"ב במספר ב' פחות יעלה כ"ד פחות כמספר שברי שטח ט"א ושטח ט"ב
We also multiply 8 also by a subtractive 4; the result is a subtractive 32, as the area of TA plus the area of TG.
\scriptstyle{\color{blue}{-\left(TA+TG\right)=8\times\left(-4\right)=-32}}
עוד נכפול מספר ח' במספר ד' פחות יעלה ל"ב פחות כמספר ‫[9]שברי א' שטח ט"א ושטח ט"ג
If we sum up 24 and 32, the result is 56, as the area of the gnomon summed with the area of TA.
ואם נחבר כ"ד ול"ב יעלה נ"ו כמספר שברי הרושם ושברי שטח ט"א מחברים
\scriptstyle{\color{blue}{\left[TG+TA+TB\right]+TA=\left(TA+TB\right)+\left(TA+TG\right)=24+32=56}}
If we subtract it from the area of the whole surface AD, which is 96, the remainder is the required surface TD minus surface TA. Keep it.
ואם נחסרם משברי שטח א"ד כלו שהם צ"ו ישאר שטח ט"ד המבקש פחות שטח ט"א שמרהו
\scriptstyle{\color{blue}{TD-TA=AD-\left[\left(TA+TB\right)+\left(TA+TG\right)\right]=96-56}}
Finish multiplying the mentioned numbers: multiply a subtractive 2 by a subtractive 4; the result is 8, as the area of surface AT.
\scriptstyle{\color{blue}{AT=\left(-2\right)\times\left(-4\right)=8}}
ותשלים לכפול המספרים הנזכר' ותכפול ב' פחות בד' פחות יעלה ח' כמספר שברי שטח א"ט
You should add it to the reserved in order to complete the required surface TD.
\scriptstyle{\color{blue}{TD=AD-\left[\left(TA+TB\right)+\left(TA+TG\right)\right]+TA}}
וצריך אתה להוסיפו על השמור להשלים שטח ט"ד המבקש
[\scriptstyle{\color{blue}{TD=\left(12-4\right)\times\left(8-2\right)=\left(12\times8\right)-\left[\left(12\times2\right)+\left(8\times4\right)\right]+\left(2\times4\right)}}]
The conclusion: subtractive × subtractive = additive: \scriptstyle\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right) על כן יאמר כי מכפל חסרון בחסרון יעלה תוספת
In order to bring it closer to perception a multiplication diagram will be described as drawn in the previous multiplication figure: ולקרבו אל ציורך אתאר גם לך תמונת הכפל באופן אשר צירתי תמונת הכפל הקודמת
Alzibra 11-2.png
אלזיברא 11-2.png
12) \scriptstyle\sqrt{12}+\sqrt{48}
יב ואם רצית לחבר שרש י"ב בשרש מ"ח דרך משל
  • \scriptstyle{\color{blue}{12\sdot48=576}}
כפול י"ב במ"ח יעלה תקע"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{576}=24}}
והנה שרש תקע"ו כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot24=48}}
קח שני דמיוניו יעלה מ"ח
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12}+\sqrt{48}=\sqrt{12+48+48}=\sqrt{108}}}
חבר אליו שני המרבעים שהם י"ב ומ"ח יעלה ק"ח והנה שרש ק"ח הוא המבקש
Geometric proof (no figure is given): summing the sides of the squares \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12}+\sqrt{48}}} as two segments of one line מופת זה נחבר צלע מרבע י"ב וצלע מרבע מ"ח על יושר ויהיו שני חלקי קו אחד ישר
It was already clarified in Euclid, Elements, Book II, proposition 4: וכבר נתבאר בתמונה הרביעית מן המאמר השני לאיקלידס
When a straight line is cut randomly into two segments, the square on the whole line equals the sum of the two squares that are generated from the two segments plus twice the rectangle encompassed by the two segments. \scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab כי כאשר נחלק קו ישר לב' חלקים איך שקרה הנה מרבע הקו כלו שוה לשני המרבעים ההוים משני החלקים ולכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים
  • the quadrilateral surface that is generated from both segments = \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12\sdot48}=\sqrt{576}}}
ועתה הנה כאשר כפלנו שני המרובעים זה בזה הנה שרש העולה שהוא תקע"ו הוא שוה לשטח הנצב הזויות ההוה משני החלקים
  • double the quadrilateral surface that is generated from both segments + the two squares = the square of the whole line, whose root is the sought.
וכאשר לקחנו שני דמיוניו עלה בידנו כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים וכאשר חברנו אל זה שני המרובעים עלה בידנו מרבע הקו כלו ושרשו הוא המבקש
13) \scriptstyle\sqrt{8}+\sqrt{19}
יג ואם רצית לחבר שרש ח' בשרש י"ט
  • \scriptstyle{\color{blue}{8\sdot19=152}} which has no root
כפול ח' בי"ט יעלה קנ"ב והנה אין לו שרש
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{152}=\sqrt{4\sdot152}=\sqrt{608}}}
קח שני דמיוני שרש קנ"ב על הדרך הזאת כפול שרש קנ"ב במספר ד' יעלה שרש תר"ח שמרהו
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}\right)^2+\left(\sqrt{19}\right)^2=8+19=27}}
חבר שני המרבעים שהם ח' וי"ט יעלה כ"ז
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}+\sqrt{19}=\sqrt{27+\sqrt{608}}}}
הנה תאמר כי שרש העולה מחבור כ"ז עם שרש תר"ח הוא המבקש
The proof of this teaching is clear from the preceding one מופת זה הלמוד מובן מאשר לפניו
14) \scriptstyle\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}
יד ואם רצית לחבר שרש מעקב צ"ו עם שרש מעקב שכ"ד
greatest common divisor \scriptstyle{\color{blue}{12}}
קח המספר היותר גדול שימנה שני אלה המספרי' והוא י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{96}{12}=8}}
חלק אליו צ"ו יגיע בחלוק ח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{324}{12}=27}}
עוד תחלק אליו שכ"ד יגיע כ"ז
\scriptstyle{\color{blue}{96=324\sdot\frac{8}{27}}}
הנה צ"ו הוא ח' חלקים מכ"ז ממספר שכ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}}}
קח שרש מעקב ח' חלקים מכ"ז יהיה ב' שלישים
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}=\frac{2}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}
הנה כי שרש מעקב צ"ו הוא ב' חלקי' מג' משרש שכ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{2+3=5}}
חבר ב' וג' יעלה ה‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\frac{2}{3}\sdot\sqrt[3]{324}+\sqrt[3]{324}=\frac{5}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}
הנה חברנו שני שרשי שני המעקבים ועלה ה‫'
\scriptstyle{\color{blue}{5=\sqrt[3]{125}}}
אח"כ תעשה מן ה' מעוקב משרש מעקב והוא קכ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\frac{5}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\frac{\sqrt[3]{125}}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}
והנה עלה בידינו מעקב חלקי שני שרשי שני המעקבים כאשר חוברו שמרהו
finding the measure of each of the \scriptstyle{\color{blue}{125}}:
ועתה לדעת שעור כל אחד מאלו הקכ"ה במדה שבה המעקב האחד צ"ו והמעקב השני שכ"ד נעשה על הדרך הזאת
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt[3]{96}}}
קח החלק האחד מהחמשה חלקי' הנז' והנה הוא חצי שרש מעקב צ"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}}}
עשה מן חצי מעקב ויעלה בידך שמינית אחד
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}\sdot96}=\sqrt[3]{12}}}
הנה מעקב החלק האחד הוא שמינית מספר צ"ו שהוא י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{125\sdot12=1500}}
כפול י"ב בקכ"ה אשר שמרת יעלה אלף ות"ק
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\sqrt[3]{125\sdot12}=\sqrt[3]{1500}}}
והנה שרש מעקב אלף ות"ק הוא המבקש
According to the method of leading in paths of uprightness to calculate this calculation in a wise way, the proof was demonstrated. הנה לפי דרכי בהדריכי אותך במעגלי יושר[note 1] לחשוב זה החשבון בדרך חכמה הורתיך המופת
15) \scriptstyle\sqrt{30}\div\sqrt{6}
טו ואם רצית לחלק שרש ל על שרש ו‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{30}{6}}=\sqrt{5}}}
חלק ל' לו' יעלה ה' ושרשו הוא המבוקש
Relying on Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11: \scriptstyle a^2:b^2=\left(a:b\right)^2 וזה מפני כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו שנוי
16) \scriptstyle20\div\sqrt{10}
יו ואם רצית לחלק מספר כ' על שרש י‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{20^2}{10}}=\sqrt{\frac{400}{10}}=\sqrt{40}}}
עשה מן כ' מרבע והוא ת' חלק ת' לי' יגיע מ' הוא המבקש
The argument of the following case is an explanation also for the two subsequent cases: הנה אקדים למוד אחד אם תתבונן תבין ממנו מופתי שני הלמודי' הנמשכי' אחריו
17) \scriptstyle\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)
יז אם רצית לכפול שרש ח' פחות שרש ד' בשרש ח' ושרש ד' יותר דרך משל
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=8-4=4}}
חסר ד' מח' ישאר ד' ומספר ד' הנשאר הוא המבוקש
In order to know that it is so, a multiplication diagram is described, in which the numbers are multiplied according to the known method: ולמען תדע כי כן הוא נתאר תמונת הכפל ונכפול המספרי' על הדרך הנודע
Alzibra 17.png
אלזיברא 17.png
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\sqrt{8}=8}}
ונתחיל לכפול שרש ח' בשרש ח' יעלה מספר ח‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\left(+\sqrt{4}\right)=+\sqrt{32}}}
עוד נכפול שרש ח' בשרש ד' יותר יעלה שרש ל"ב יותר
\scriptstyle{\color{blue}{8+\sqrt{32}}}
הנה בידינו מספר ח' ושרש ל"ב שמרהו
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(+\sqrt{4}\right)\sdot\left(-\sqrt{4}\right)=-4}}
ונשלים חשבוננו ונכפול שרש ד' יותר בשרש ד' פחות יעלה מספר ד' פחות
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\left(-\sqrt{4}\right)=-\sqrt{32}}}
עוד נכפול שרש ח' בשרש ד' פחות יעלה שרש ל"ב פחות
ועתה נפחות ממספר ח' ושרש ל"ב השמור מספר ד' ושרש ל"ב שראוי לפחות נשאר מספר ד' כאשר אמרנו והוא המבקש או נאמר כי שרש י"ו הוא המבקש
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=8+\sqrt{32}-4-\sqrt{32}=4=\sqrt{16}}}
18) \scriptstyle\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=\sqrt{64}
יח ואם רצית לכפול שרש ח' פחות שרש ד' בשני שרשים אחרים יהיה העולה שרש ס"ד לא שרש י"ו
  • \scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}
חלק ס"ד לי"ו יגיע בחלוק ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}
ועתה כפול בח' יעלה ל"ב
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}
עוד תכפלהו בד' יעלה י"ו והנה יעלה י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{32}+\sqrt{16}}}
והנה בשרש ל"ב ושרש י"ו ראוי לכפלם ויהיה העולה שרש ס"ד וזה מובן בעצמו
19) \scriptstyle\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)
יט ואם רצית לחלק שרש ס"ד על שרש ח' פחות שרש ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\left(8-4\right)^2=4^2=16}}
חסר ד' מח' ישאר ד' כפול ד' הנשאר בעצמו יעלה י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}
חלק ס"ד לי"ו יגיע ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}
ועתה כפול ד' המגיע בחלוק בח' יעלה ל"ב
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}
עוד תכפלהו בד' אשר אמרת לפחות שרשו משרש ח' יעלה י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)=\sqrt{32}+\sqrt{16}}}
והנה שרש ל"ב ושרש י"ו מחוברים הוא המבוקש
Relying on the rule according to which the dividend is equal to the product of the result of division by the divisor \scriptstyle\frac{a}{b}\sdot b=a זה הלמוד הולך בדרך הקודם כי לעולם המספר המתחלק הוא שוה למספר העולה מכפל המספר העולה בחלוק במספר אשר אליו יתחלק המתחלק
20) If you wish to divide the root of 64 by the root of 8 plus the root of 4.
\scriptstyle\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)
כ וכן אם רצית לחלק שרש ס"ד על שרש ח' ושרש ד' יותר
Subtract 4 from 8; 4 remains. Multiply the remainder 4 by itself; the result is 16.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(8-4\right)^2=4^2=16}}
חסר ד' מח' ישאר ד' כפול ד' הנשאר בעצמו יעלה י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}
חלק ס"ד לי"ו יעלה ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}
ועתה כפול ד' המגיע בחלוק בח' יעלה ל"ב
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}
עוד תכפלהו בד' יעלה י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=\sqrt{32}-\sqrt{16}}}
והנה שרש ל"ב פחות שרש י"ו הוא המגיע בחלוק
This teaching follows the technique of the previous teaching exactly. הנך רואה כי זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הקודם לא פחות ולא יותר
Except that in the previous teaching the sought was \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{32}+\sqrt{16}}}, while in the present teaching it was \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{32}-\sqrt{16}}} רק תחת אמרך בלמוד הקודם שהמבקש הוא שרש ל"ב ושרש י"ו מחברים בזה הלמוד אמרת שהוא שרש ל"ב פחות שרש י"ו
21) If you wish to divide 8 by the root of 8 plus 2, or by the root minus 2.
\scriptstyle8\div\left(\sqrt{8}+2\right)\quad8\div\left(\sqrt{8}-2\right)
כא ואם רצית לחלק מספר ח' על שרש ח' ומספר ב' יותר או על שרש פחות מספר ב‫'
Square 8; it is 64.
\scriptstyle{\color{blue}{8^2=64}}
עשה ממספר ח' מרבע יהיה ס"ד
Square 2; it is 4.
\scriptstyle{\color{blue}{2^2=4}}
וממספר ב' מרובע יהיה ד‫'
Now, you return to the two teachings that precede this one. Deduce from this. והנה אתה עתה שבת אל שני הלמודים הקודמים לזה והקש על זה
22) If you wish to divide the square root of 6 by the cube root of 10.
\scriptstyle\sqrt{6}\div\sqrt[3]{10}
כב ואם רצית לחלק שרש מרבע ו' בשרש מעקב י‫'
Cube 6; it is 216.
\scriptstyle{\color{blue}{6^3=216}}
עשה מן ו' מעקב יעלה רי"ו
Square 10; it is 100.
\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100}}
ומן י' מרבע יהיה ק‫'
By this procedure you equalized [the degrees of] the roots and you made each of them a square root of a cube root.
ובזה המעשה השוית השרשים ועשית כל אחד מהם שרש מרבע מן שרש מעקב
Now, divide 216 by 100; the result is 2 and 4 parts of 25.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{216}{100}=2+\frac{4}{25}}}
ועתה חלק רי"ו על ק' ויגיע ב' וד' חלקי' מכ"ה
The square root of the cube root of 2 and 4 parts of 25 is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}\div\sqrt[3]{10}=\sqrt{\sqrt[3]{2+\frac{4}{25}}}}}
ושרש מרבע מן שרש מעקב ב' וד' חלקי' מכ"ה הוא המבקש
23) If you wish to divide the cube root of 5 by the square root of 8.
\scriptstyle\sqrt[3]{5}\div\sqrt{\sqrt{8}}
כג ואם רצית לחלק שרש מעקב ה' בשרש שרש מרבע ח‫'
Square 5 twice; it is 625.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(5^2\right)^2=625}}
עשה מן ה' מרבע מרבע ויהיה תרכ"ה
Cube 8; it is 51[2].
\scriptstyle{\color{blue}{8^3=51{\color{red}{2}}}}
גם תעשה מן ח' מעקב יהיה תקי"ג
By this you equalized [the degrees of] the roots.
והנה השוית השרשים
Divide 625 by 51[2]; the result is one and 113 parts of 51[2].
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{625}{51{\color{red}{2}}}=1+\frac{113}{51{\color{red}{2}}}}}
חלק תרכ"ה בתקי"ג ויגיע אחד וקי"ג חלקים מתקי"ג
The square root of the square root of the cube root of 1 and 113 parts of 51[2] is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{5}\div\sqrt{\sqrt{8}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{1+\frac{113}{51{\color{red}{2}}}}}}}}
והנה שרש שרש מרבע מן שרש מעקב א' וקי"ג חלקים מתקי"ג הוא המבקש
24) If you wish to subtract the root of 8 from the root of 18, for instance.
\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}
כד ואם רצית לגרוע שרש ח' משרש י"ח דרך משל
Multiply 8 by 18; the result is 144.
\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot18=144}}
כפול ח' בי"ח יעלה קמ"ד
Exatract its root; it is 12.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{144}=12}}
הוצא שרשו והוא י"ב
Take its double; it is 24.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot12=24}}
קח שני דמיוניו ויהיו כ"ד
Sum up 8 and 18; it is 26.
\scriptstyle{\color{blue}{8+18=26}}
חבר ח' וי"ח יהיו כ"ו
Subtract 24 from 26; 2 remains and the root of 2 is what you want.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}}}
חסר כ"ד מכ"ו ישאר ב' ושרש ב' הוא מה שרצית
To show you the proof for this it I should teach you that: ולהראותך מופת על זה צריך אני להשכילך
When a straight line is cut randomly into two segments, the sum of the squares on both segments equals twice the rectangle encompassed by both segments plus the square that is generated from the excess of the larger segment over the smaller segment.\scriptstyle a^2+b^2=2ab+\left(a-b\right)^2 Euclid, Elements, Book II, proposition 7 כי כאשר נחלק קו ישר לשני חלקי' איך שקרה הנה מרבעי שני החלקי' שוים לכפל השטח הנצב הזוית אשר יקיפו בו שני החלקי' ולמרבע ההוה ממותר החלק הגדול על הקטן
Geometric illustration
Alzibra 24.png
אלזיברא 24.png
Let line AB be cut randomly at point G.
ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחולק איך שקרה על נקודה ג‫'
We also cut segment AZ from line AG, so that it equals the smaller segment GB.
\scriptstyle{\color{blue}{AZ=GB}}
עוד נחלק מן קו א"ג חלק א"ז ממנו שוה לקו ג"ב שהוא החלק הקטן
Line ZG remains, which is the excess of the larger segment over the smaller segment.
\scriptstyle{\color{blue}{ZG=AG-AZ}}
וישאר קו ז"ג הוא מותר החלק הגדול על הקטן
Supposition: I say that double the right-angled surface encompassed by lines AG and GB, summed with the square that is formed by ZG, equals the two squares that are formed by AG and GB, when they are summed together.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(AG\times GB\right)\right]+ZG^2=AG^2+GB^2}}
הנה אומר כי כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א"ג ג"ב עם המרבע ההוה מן ז"ג מחברים יהיו שוים לשני המרבעים ההוים מן א"ג וג"ב כאשר יחברו
Proof:
We construct square AGDH from line AG, and square GBKW from line GB.
\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=AG^2\quad GBKW=GB^2}}
ונעשה מן קו א"ג מרבע אגד"ה ומן קו ג"ב מרבע גבח"ו
We draw line ZI from point Z, parallel to AD and GH.
\scriptstyle{\color{blue}{ZI\parallel AD,\;GH}}
ומנקודת ז' נמשיך קו ז"י נכחי לשני קוי א"ד ג"ה
We extend line WK straight until it meets line ZI at point C.
ונמשיך קו ו"ח על יושר עד אשר יפגיש קו ז"י על נקודת כ‫'
Now, since GB is equal to line AZ, line ZB is equal to line AG, which is the larger segment, and line BW to line GB, which is the smaller segment.
\scriptstyle{\color{blue}{GB=AZ\longrightarrow ZB=AG,\;BW=GB}}
ועתה מפני כי ג"ב שוה לקו א"ז יהיה קו ז"ב שוה לקו א"ג שהוא החלק הגדול וקו ב"ו לקו ג"ב שהוא החלק הקטן
Therefore, surface BC is equal to the right-angled surface encompassed by the two lines AG and GB that are the two parts of the whole line.
\scriptstyle{\color{blue}{BC=\left[ZB\times BW\right]=\left(AG\times GB\right)}}
א"כ שטח ב"כ שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אשר הם שני חלקי הקו כלו
Since line AD is equal to line AG and line AZ is equal to line GB, surface ZD is also equal to the right-angled surface encompassed by the two lines AG and GB.
\scriptstyle{\color{blue}{AD=AG,\;AZ=GB\longrightarrow ZD=\left[AD\times AZ\right]=\left(AG\times GB\right)}}
וגם כן מפני כי קו א"ד שוה לקו א"ג וקו א"ז שוה לקו ג"ב יהיה שטח ז"ד גם כן שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
So, the two surfaces CB and ZD are equal to double the right-angled surface encompassed by the two lines AG and GB.
\scriptstyle{\color{blue}{CB+ZD=2\sdot\left(AG\times GB\right)}}
אם כן שני שטחי כ"ב וז"ד שוים לשטח לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
Surface CH remaining from [the subtraction of] the squares of the two segments is a square that equals the square formed by ZG, which is the excess of the larger segment over the smaller.
\scriptstyle{\color{blue}{CH=2\sdot\left(AG\times GB\right)-\left(AG^2+GB^2\right)=ZG^2}}
ושטח כ"ה הנשאר מן שני מרבעי שני החלקים הוא מרבע שוה למרבע ההוה מן ז"ג שהוא מותר החלק הגדול על הקטן
Because, line CK is equal to line ZG; and line HK, which is its other side is equal to line ZG.
\scriptstyle{\color{blue}{CK=ZG,\;HK=ZG}}
מפני כי קו כ"ח שוה לקו ז"ג

וקו ה"ח שהוא צלעו השני שוה לקו ז"ג

Also, because it is the excess of line GH, which is equal to the larger segment, over line GK, which is equal to the smaller segment.
\scriptstyle{\color{blue}{CH=GH-GK}}
גם כן מפני כי הוא מותר קו ג"ה שהוא שוה לחלק הגדול על קו ג"ח שהוא שוה לחלק הקטן
Therefore, the two squares formed by AG and GB summed together are equal to the two surfaces BC and ZD, each of which equals the surface encompassed by lines AG and GB that are the two segments of the line, summed with CH that is equal to the square formed by ZG, which is the excess of the larger segment over the smaller segment.
הנה שני המרובעים ההוים מן א"ג וג"ב מחברים שוים לשני שטחי ב"כ וז"ד אשר כל אחד מהם שוה לשטח אשר יקיפו בו קוי א"ג ג"ב שהם שני חלקי הקו ולמרבע כ"ה שהוא שוה למרבע ההוה מן ז"ג שהוא מותר החלק הגדול על הקטן כאשר יחברו
\scriptstyle{\color{blue}{AG^2+GB^2=BK+ZD+KH=\left(AG\times GB\right)+\left(AG\times GB\right)+ZG^2}}
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר
We give a numerical example: ונעשה דמיון במספר
  • Let line A[B] the side of a square whose area is 18.
\scriptstyle{\color{blue}{AB^2=18}}.
ויהיה קו א"ג צלע מרבע שבריו י"ח
  • Its segment AG is the side of a square whose area is 8.
וחלק א"ג ממנו צלע מרבע שבריו ח‫'
  • Which is the square AH.
\scriptstyle{\color{blue}{AH_{\square}=AG^2=8}}
והוא מרובע א"ה
When we multiply 8 by 18, the root of the product is equal to the area of the rectangle encompassed by the two segments.
\scriptstyle{\color{blue}{AB\times AG=\sqrt{8\times18}}}
והנה כאשר כפלנו ח' בי"ח הנה שרש העולה שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקי‫'
When we take its double, we receive double the area of the rectangle encompassed by the two segments.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(AB\times AG\right)=2\sqrt{8\times18}}}
וכאשר לקחנו שני דמיוניו עלה בידינו כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים
When we subtract it from 26, which is [the sum of] the areas of the two square, we are left with the square of the excess of the greater [segment] over the smaller [segment].
וכאשר חסרנו מכ"ו שהוא שברי שני המרובעי' נשאר בידנו מרבע מותר החלק הגדול על הקטן
\scriptstyle{\color{blue}{AB^2+AG^2-2\sdot\left(AB\times AG\right)=26-2\sqrt{8\times18}=\left(AB-AG\right)^2}}
Its root is the sought.
ושרשו הוא המבקש

Second Section: Algebra

Now, by his awful name among the nations ועתה בשם שמו בגוים נורא
I begin to discuss the study of the algebraic calculation אחל לדבר בלמודי חשבון האלזיברא
I will explain it to the best of my narrow intellectual ability ואבארם ביד שכלי הקצרה
Before I begin, I offer a clarified introduction: וטרם החילי אציע הצעה מבוארה

Introduction

  • I say that you must learn and know that the ratio of a square of a square to the cube is the same as the ratio of the cube to the square; and as the ratio of the square to the thing; and as the ratio of the thing to the unit
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(x^2\right)^2:x^3=x^3:x^2=x^2:x=x:1}}
ואומר ראוי שתשכיל ותדע כי יחס מרבע המרבע אל המעקבי' כיחס המעקב אל המרבע וכיחס המרבע אל הדבר וכיחס הדבר אל האחד
This is because the number of units in the thing is the same as the number of things in the square; and as the number of squares in the cube; and as the number of cubes in the square of the square
וזה מפני כי מספר האחדים אשר בשרש בדבר כמספר הדברי' אשר במרבע וכמספר המרבעי' אשר במעקב וכמספר המעקבי' אשר במרבע המרבע
You should keep this introduction in mind, because you will need it for the proofs of the teachings below. וזאת ההצעה שמרה כי תצטרך אליה במופתי הלמודי' הבאי' אחריה
Here I start: וזה החלי

The six canonical equations

1) When things are equal to numbers [lit. units].
\scriptstyle bx=c
א כאשר הדברים שוים לאחדים
Divide the numbers by [the number of] the things; the quotient is the thing and this is obvious.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\frac{c}{b}}}
חלק האחדים לדברי' והמגיע בחלוק הוא הדבר זה מובן בעצמו
  • Question: I want to divide the number ten into two parts, so that when the one part is divided by the other part the quotient is five.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=5\end{cases}
שאלה רציתי לחלק מספר עשרה לשני חלקים כאשר חולק החלק האחד בחברו הגיע בחלוק ה‫'
Do it according to the following procedure:
עשה על הדרך הזאת
Say: the divisor by which it is divided is one thing [\scriptstyle{\color{blue}{x}}].
אמור החלק אשר אליו יתחלק הוא דבר שרש אחד
The dividend is necessarily five things, as a number resulting from the division [\scriptstyle{\color{blue}{5x}}].
והחלק המתחלק הוא בהכרח חמשה דברים שרשים כמספר אשר הגיע בחלוק
The sum of the two parts is six things and they are equal to ten.
\scriptstyle{\color{blue}{6x=10}}
הנה שני החלקי' מחברים הם ששה דברים והם שוים למספר עשרה
According to the method mentioned in this teaching:
וכפי הדרך הנזכר בזה הלמוד
One should divide the number ten by 6; the quotient is 1 and 2-thirds and so is the thing.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{6}=1+\frac{2}{3}}}
ראוי לחלק מספר עשרה לו' ויגיע בחלוק א' וב' שלישי' וככה הדבר
2) When squares are equal to numbers.
\scriptstyle ax^2=c
ב כאשר המרבעים צינסי שוים לאחדים מספרי‫'
Divide the numbers by [the number of] the squares; the root of the quotient is the thing.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt{\frac{c}{a}}}}
חלק האחדים למרבעים ושרש המגיע בחלוק הוא הדבר שרש
  • Question: I want to find a number such that when its third is subtracted from it, the square of the remainder is 20.
\scriptstyle\left(a-\frac{1}{3}a\right)^2=20
שאלה רציתי למצא מספר כאשר חסר ממנו שלישיתו מרבע הנשאר הוא מספר כ‫'
Do it according to the following procedure:
עשה על הדרך הזאת
Say: this number whose two-thirds are the root of twenty is one thing [\scriptstyle{\color{blue}{x}}].
אמור זה המספר אשר שני שלישיו הם שרש כ' הוא דבר אחד
Multiply its 2-thirds by themselves; it is 4-ninths of the square of the whole number you wish to find.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-\frac{1}{3}x\right)^2=\left(\frac{2}{3}x\right)^2=\frac{4}{9}x^2=20}}
כפול ב' שלישיו בעצמם יהיו ד' תשיעיות מרבע המספר כלו אשר רציתי למצא
According to the method mentioned in this teaching:
ולפי הדרך הנז' בזה הלמוד
One should divide the number 20 by 4-ninths; the quotient is 45 and so is the square of the whole number.
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{20}{\frac{4}{9}}=45}}
ראוי לחלק מספר כ' לד' תשיעיות והמגיע בחלוק הוא מ"ה וככה מרבע כל המספר
Its root is what you want.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{45}}}
ושרשו הוא מה שרצית
3) Squares that are equal to things
\scriptstyle ax^2=bx
ג כאשר המרבעים שוים לדברים
Divide [the number of] the things by [the number of] the squares; the result of division is the thing.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\frac{b}{a}}}
חלק הדברים למרבעים והמגיע בחלוק הוא הדבר
This teaching follows the way of the first teaching, because the ratio of the square to the thing is as the ratio of the thing to one, as we said in the preliminary rule.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2:x=x:1}}
זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הראשון מפני כי יחס המרבע אל הדבר כיחס הדבר אל האחד כאשר אמרנו בהצעה
So, if one square equals 3 things, for instance, one square necessarily equals 3 units.
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x\longrightarrow x=3}}
וע"כ אם מרבע אחד ישוה לג' דברים דרך משל

דבר אחד ישוה לג' אחדים בהכרח

  • Question: I want to find a number such that when its third is subtracted from it the remainder is the root of the original number
\scriptstyle a-\frac{1}{3}a=\sqrt{a}
שאלה רציתי למצא מספר כאשר חסר ממנו שלישית הנשאר הוא שרש המספר כלו
Follow this procedure:
עשה על הדרך הזאת
Say: 2-thirds of this number is one thing [\scriptstyle{\color{blue}{x}}].
אמור ב' שלישי זה המספר הוא דבר אחד
The whole number then is one thing and a half, so one thing and a half equals one square.
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}
אם כן המספר אחד כלו הוא דבר אחד וחצי הנה דבר אחד וחצי הוא שוה למרבע אחד
According to the mentioned way, 1 and a half should be divided by one; the result is 1 and a half and this is the thing that is two-thirds of the number you wish to find.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1+\frac{1}{2}}{1}=1+\frac{1}{2}}}
וכפי הדרך הנזכ' ראוי לחלק א' וחצי לאחד יגיע א' וחצי וככה הדבר שהוא שני שלישי המספר אשר רצית למצא
Therefore, the whole number is 2 and a quarter.
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2+\frac{1}{4}}}
אם כן המספר כלו הוא ב' ורביע
4) Things and numbers that are equal to squares
\scriptstyle bx+c=ax^2
ד כאשר הדברים והאחדים שוים למרבעים
Normalization: Divide the things and the numbers by [the number of] the squares.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2}}
חלק הדברי' והאחדי' למרבעי‫'
Halve the result of division of the things.
והדברי' המגיעי' בחלוק תחצה
Multiply the half by itself.
וכפול המחצית בעצמו
Add the result to the result of division of the numbers.
והעולה הוסיפהו על האחדי' המגיעי' בחלוק
Extract the root of the result.
והעולה קח שרשו
Add it to half [the number of] the things resulting from the division; the sum is the thing.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}}}
והוסיפהו על מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק והעולה הוא הדבר
Geometric illustration
To prove it to you, we describe a geometric illustration and present a numerical example:
ולהראותך זה לעין השכל נתאר תמונה ונביא דמיון במספר
Alzibra 4-II.png
אלזיברא 4-II.png
Let line AB be ten measures.
\scriptstyle{\color{blue}{x=AB=10}}
ויהיה קו א"ב עשר מדות
Cut it randomly at point Z, so segment AZ is 8 measures.
\scriptstyle{\color{blue}{AZ=8}}
וחלק איך שקרה על נקודת ז' ויהיה חלק א"ז ממנו ח' מדות
We construct square ABGD on AB.
\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=AB^2}}
ונעשה מן א"ב מרבע אבג"ד
We draw line ZC from point Z, parallel to AG and BD.
\scriptstyle{\color{blue}{ZC\parallel AG,\;BD}}
ונעביר בו מנקודת ז' קו ז"ח נכחי לקו א"ג וב"ד
We receive surface AC that is eight things by the measures of line AZ.
\scriptstyle{\color{blue}{AC=8x}}
הנה בידינו שטח א"ח שהוא שמנה דברים במספר מדות קו א"ז
Because, each measure of AZ occupies one thing [\scriptstyle{\color{blue}{x}}] in surface AC.
כי כל מדה ממדות א"ז מחזקת בשטח א"ח דבר אחד
With surface ZD, whose area is 20 measures, both together are equal to square AD.
\scriptstyle{\color{blue}{ZD=20}}
\scriptstyle{\color{blue}{AD=AC+ZD=AB^2=x^2=8x+20}}
ושטח ז"ד אשר שבריו כ' מדות שניהם יחד שוים למרבע א"ד
We have line AZ, whose length is 8 measures, as the number of the things.
\scriptstyle{\color{blue}{AZ=8}}
ועתה הנה לפנינו קו א"ז ארכו ח' מדות כמספר הדברים
We cut it in half at point T.
ונחלקהו לחצאין על נקודת ט‫'
Add line ZB to it.
והוסף עליו קו ז"ב
It is already explained in Euclid, Elements, Book II, proposition 6 that the right-angled surface encompassed by the whole line with the addition and the addition, which is equal to surface ZD, whose area is 2 in our example, both together are 36, equals the square of the line formed by half the line with the addition, which is line TB in our illustration.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2}}
וכבר נתבאר בתמונה הששית מן המאמר השני לאיקלידש כי השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת אשר הוא שוה לשטח ז"ד אשר תשבורתו מספר ב' במשלנו שניהם יחד שהם ל"ו שוים למרובע הקו המורכב מחצי הקו והתוספת אשר הוא קו ט"ב בתמונתנו
\scriptstyle{\color{blue}{ZD+TZ^2=\left[\left(x-8\right)\sdot x\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2=20+16=36=\left[x-\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]^2=TB^2}}
So, extract the root of 36, which is 6; you get the size of the line that consists of half the line and the addition, which is TB.
\scriptstyle{\color{blue}{TB=\sqrt{36}=6}}
על כן אם תקח שרש ל"ו שהוא ו' יעלה בידך מדת הקו המורכב מחצי הקו והתוספת שהוא קו ט"ב
Add half [the number of] the things to it, which is 4, as the number of measures of line AT; the result is 10, as the size of the whole line AB that is the side of the square, which is the thing.
\scriptstyle{\color{blue}{x=AB=TB+AT=6+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=6+4=10}}
הוסף עליו מחצית הדברי' שהוא מספר ד' כמספר מדות קו א"ט יעלה י' כמדת כל קו א"ב צלע המרבע והוא הדבר
  • Question: we want to find a number such that when we add to it 28 the sum is twice its square
\scriptstyle a+28=2a^2
שאלה רצינו למצא מספר כאשר הוספנו עליו כ"ח יהיה שוה לשני דמיוני מרבעו
Follow this procedure:
עשה על הדרך הזאת
Say: the number is one thing [\scriptstyle{\color{blue}{x}}].
אמור זה המספר הוא דבר אחד
When we add 28 to it, it is one thing plus 28 units equals two squares.
\scriptstyle{\color{blue}{x+28=2x^2}}
וכאשר הוספנו עליו כ"ח יהיה דבר אחד וכ"ח אחדים והם שוים לשני מרבעים
According to the method mentioned in this teaching:
והנה כפי הדרך הנזכר בזה הלמוד
Normalization: One thing plus 28 units should be divided by two, which is the number of the squares; the result of division is half a thing plus 14 units.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{28}{2}=\frac{1}{2}x+14=x^2}}
ראוי לחלק דבר אחד וכ"ח אחדים לשנים מספר המרבעי' ויגיע בחלוק חצי דבר וי"ד אחדים
Take half [the number of] the things resulting from division; it is a quarter of a thing.
קח מחצית חצי דבר שהגיע בחלוק יהיה רביע דבר
Multiply it by itself; it is one part of 16.
כפלהו בעצמו יהיה חלק אחד מי"ו
Add it to the number of units resulting from division, which is 14; the result is 14 and one part of 16.
הוסיפהו על י"ד מספר האחדי' המגיעי' בחלוק יעלה י"ד וחלק אחד מי"ו
Extract its root; it is 3 and 3-quarters.
קח שרשו והוא ג' וג' רביעים
Add it to half [the number of] the things resulting from division, which is a quarter of a thing; the result is 4 and this is the thing.
הוסיפהו על מחצית הדברים המגיעים בחלוק שהוא רביע דבר יעלה ד' וככה הדבר
\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)^2+14}=\frac{1}{4}+\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+14}=\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{16}+14}=\frac{1}{4}+\left(3+\frac{3}{4}\right)=4}}
5) Squares and numbers that are equal to things
\scriptstyle ax^2+c=bx
ה כאשר המרבעים והאחדים שוים לדברים
Normalization: Divide the things and the numbers by [the number of] the squares.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}x}}
חלק הדברי' והאחדי' למרבעי‫'
Halve the result of division of the things.
והיוצא בחלוק הדברי' תחצה
Multiply the half by itself.
ותכפול המחצית בעצמו
Subtract the result of division of the numbers from the product.
והעולה תגרע ממנו המספר היוצא בחלוק האחדי‫'
Extract the root of the remainder.
והנשאר זה שרשו
Add it to half [the number] resulting from the division of the things; the sum is the thing.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2-\frac{c}{a}}}}
והוסיפהו על מחצית היוצא בחלוק הדברי' והעולה הוא הדבר
Geometric illustration
To show you a proof of it we describe a geometric illustration and present a numerical example:
ולהראותך מופת זה נתאר תמונה ונביא דמיון במספר
Alzibra 5-II.png
אלזיברא 5-II.png
Let the straight line AG be 8 measures.
\scriptstyle{\color{blue}{AG=8}}
ויהיה קו א"ג הישר ח' מדות
We cut into two equal segments at point Z, so line GZ is 4 measures.
\scriptstyle{\color{blue}{GZ=\frac{1}{2}\sdot AG=4}}
ונחלקהו לב' חלקי' שוים על נקודת ז' ויהיה א"כ קו ג"ז ד' מדות
We cut into two unequal segments at point B, so line GB is 2 measures.
\scriptstyle{\color{blue}{GB=2}}
עוד נחלקה לשני חלקי' בלתי שוים על נקודת ב' ויהיה ג"ב ב' מדות
We construct square ABHW on line AB.
\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=AB^2}}
ונעשה מן קו א"ב מרבע אבה"ו‫'
We extend line HW to C, so that line CH is equal to line CG.
\scriptstyle{\color{blue}{CH=CG}}
ונמשיך קו ה"ו עד ח' ויהיה קו ח"ה שוה לקו ח"ג
We also draw line GH.
גם נעביר קו ג"ה
According to this, the area of surface GW is 12 measures.
\scriptstyle{\color{blue}{GW=12}}
ולפי זה יהיה שברי שטח ג"ו י"ב מדות
We have square ABHW with surface GW, whose area is 12 measures, both together are equal to surface AH, whose area is eight things, because each measure of the measures of line AG occupies one thing in surface AH.
\scriptstyle{\color{blue}{AH=ABHW+GW=x^2+12=8x}}
ועתה הנה לפנינו מרבע אבה"ו ושטח ג"ו שבריו י"ב מדות שניהם יחד שוים לשטח א"ה שבריו שמנה דברים כי כל מדה ממדות קו א"ג מחזקת בשטח א"ה דבר אחד
As already explained in Euclid, Elements, Book II, proposition 5: the square formed by AZ, which is four measures, and is as the square of half [the number of] the things that is known to be 16, is equal to surface BH, which is equal to the right-angled surface encompassed by the two unequal segments, whose area is known to be 12, plus the square formed by ZB that is the difference between the two parts.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-b\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2}}
\scriptstyle{\color{blue}{AZ^2=BH+ZB^2=\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2=4^2=16}}
והנה כפי מה שנתבאר בתמונה החמישית מן המאמר השני לאיקלידש יהיה המרבע ההוה מן א"ז שהוא ארבע מדות כמספר מחצית הדברים ומרובעו אם כן ידוע שהוא י"ו שוה לשטח ב"ה שהוא שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים הבלתי שוים ושבריו ידועים שהם י"ב ולמרבע ההוה מן ז"ב אשר הוא מה שבין שני החלקי‫'
We subtract surface BH, which is 12, from the square formed by AZ, which is 16; the remaining square formed by ZB is known.
\scriptstyle{\color{blue}{ZB^2=AZ^2-BH=16-12=4}}
והנה נחסר שטח ב"ה שהוא י"ב מהמרבע ההוה מן א"ז שהוא י"ו ישאר המרבע ההוה מן ז"ב ידוע
Extract its root and add it to line AZ, which is half [the number of] the things; line AB, which is the side of the square, is known.
\scriptstyle{\color{blue}{x=AB=ZB+AZ=\sqrt{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)}}
קח שרשו והוסיפהו על קו א"ז שהוא מחצית הדברי' יהיה קו א"ב ידוע שהוא צלע המרבע
Q.E.D.
וזה מה שרצינו
  • Question: a trader went trading with a certain amount in his hand and he earned six. Then he returned with the amount and earned again in the same ratio as he earned the first time, and it turned out that he had 27. You want to know: how much the original amount was?
שאלה סוחר אחד הלך לסחור ובידו קצבת מה והרויח ו' עוד חזר עם הקצבה והרויח כפי הערך שהרויח בפעם הראשונה ונמצא בידו כ"ז

רציתי לדעת מספר הקצבה הראשונה

Follow this procedure:
עשה על הדרך הזאת
Say: the first amount is one thing [\scriptstyle{\color{blue}{x}}].
אמור הקצבה הו' הראשונה היא דבר אחד
From this thing he earned one thing plus 6 and from this value of one thing plus 6 he earned 27.
\scriptstyle\frac{x+6}{x}\sdot\left(x+6\right)=27
ומזה הדבר הצליח ועשה דבר אחד וו' וכפי זה הערך מדבר אחד וו' עשה כ"ז
The ratio of one thing to one thing plus 6 is as the ratio of one thing plus 6 to 27 units.
\scriptstyle{\color{blue}{x:\left(x+6\right)=\left(x+6\right):27}}
הנה יחס דבר אחד עם דבר אחד וו' כיחס דבר אחד וו' עם כ"ז אחדים
We have three proportional measures.
הנה לפנינו ג' שעורים מתיחסים
It is already explained in Euclid, Elements, Book VI, proposition 17 that the product of the first by the last is as the product of the mean by its similar.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=\left(a_2\right)^2}}
וכבר נתבאר מתמונת י"ז מן המאמר הששי לאיקלידש כי הכאת הראשון באחרון כמו הכאת האמצעי בדומה לו
Now, multiply one thing, which is the first, by 27 units, which is the last; the result is 27 things.
ועתה כפול דבר אחד שהוא הראשון בכ"ז אחדים שהוא האחרון יעלה כ"ז דברים
Multiply also one thing plus 6, which is the mean, by itself; the result is one square, 12 things, and 36 units.
\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot27=\left(x+6\right)^2=x^2+12x+36}}
עוד תכפול דבר אחד וו' שהוא האמצעי בעצמו יעלה מרבע אחד וי"ב דברים ול"ו אחדים
Restoration: Now, subtract 12 things from these two equal measures.
\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot27=\left(x+6\right)^2=x^2+12x+36 /-12x}}
ועתה חסר הי"ב דברים משני אלה השעורים השוים
15 remains equal to one square and 36 units.
\scriptstyle{\color{blue}{15x=x^2+36}}
ישארו ט"ו שוים למרבע אחד ול"ו אחדים
Normalization: According to the way we stated in this teaching, 15, which is the number of the things, and 36, which is the number of the units, should be divided by one, which is the number of the squares; the result is 15 things and 36 units.
\scriptstyle{\color{blue}{15x=\frac{15}{1}x=x^2+\frac{36}{1}=x^2+36}}
וכפי הדרך אשר אמרנו בזה הלמוד ראוי לחלק ט"ו מספר הדברי' ול"ו מספר האחדי' לאחד שהוא מספר המרבע ויגיע ט"ו דברי' ול"ו אחדי‫'
Then, halve [the number of] the things; it is 7 and a half.
אחר תחצה הדברי' יהיו ז' וחצי
Multiply it by itself; the result is 56 and a quarter.
כפלם בעצמם עלה נ"ו ורביע
Subtract 36 units from it; 20 and a quarter remains.
תגרע מהם ל"ו אחדי' ישאר כ' ורביע
Extract its root; it is 4 and a half.
קח שרשו והוא ד' וחצי
Add it to half [the number of] the things, which is 7 and a half; the result is 12 and this is the thing, which is the original amount.
הוסיפהו על מחצית הדברים שהוא ז' וחצי יעלה י"ב וככה הדבר שהוא הקצבה הראשונה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)^2-36}=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(7+\frac{1}{2}\right)^2-36}=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(56+\frac{1}{4}\right)-36}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{20+\frac{1}{4}}=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{2}\right)=12\\\end{align}}}
6) Squares and things that are equal to numbers
\scriptstyle ax^2+bx=c
ו כאשר המרבעים והדברי' שוים לאחדים
Normalization: Divide the things and the numbers by [the number of] the squares.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2+\frac{b}{a}x=\frac{c}{a}}}
תחלק הדברי' והאחדי' למרבעי‫'
Halve the result of division of the things.
והיוצא בחלוק הדברי' תחצה
Multiply the half by itself.
וכפלת את המחצית בעצמו
Add the result to the result of division of the numbers.
והעולה הוסיפהו על היוצא בחלוק האחדי‫'
The root of the sum minus half [the number of] the things resulting from the division is the thing.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)}}
ושרש העולה פחות מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק הוא הדבר
Geometric illustration
To show you a proof of it:
ולהראותך מופת זה
Alzibra 6-II.png
אלזיברא 6-II.png
We describe square AGHD.
נתאר מרבע אגה"ד‫'
We add surface BGHW to it, whose area is known as equal to two things, for example.
\scriptstyle{\color{blue}{BGHW=2x}}
ונחבר אליו שטח בגה"ו שבריו ידועים שוים למספר שני דברים דרך משל
Both together, i.e. the square plus the area, are equal to 48.
\scriptstyle{\color{blue}{AGHD+BGHW=48}}
שניהם יחד ר"ל המרבע והשטח שוים למספר מ"ח
The size of side GB of surface GBHW is known and it is 2 measures, as the number of the things.
\scriptstyle{\color{blue}{GB=2}}
וצלע ג"ב משטח גבה"ו שעורו ידוע והוא ב' מדות כמספר הדברי‫'
Now, to know [the size of] line AG, which is the side of the square [\scriptstyle{\color{blue}{x}}]:
ועתה לדעת קו א"ג צלע המרבע
We cut line BG in half at point Z [= Z midpoint of GB].
נחלק קו ב"ג לחצאין על נקודת ז‫'
So we have line GB is cut in half at point Z and line GA is added to it.
והנה לפנינו קו ג"ב נחלק לחצאין על נקדת ז' ונוסף עליו קו ג"א
It is already explained in Euclid, Elements, Book II, proposition 6 that the right-angled surface encompassed by the whole line with the addition and the addition, which is equal to surface AW, whose area is known as 48, plus the square of half the line, whose area is known, which is 1, both together are 49, equals the square of the line formed by half the line with the addition, which is line AZ.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2}}
וכבר נתבאר בתמונה הששית מן המאמר השני לאיקלידש כי השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת אשר הוא שוה לשטח א"וֹ אשר שבריו ידועים שהם מ"ח ומרבע חצי הקו אשר תשבורתו ידוע שהוא א' שניהם יחד שהם מ"ט שוים למרבע הקו המרכב מחצי הקו והתוספת אשר הוא קו א"ז
\scriptstyle{\color{blue}{AZ^2=AW+GZ^2=\left[x+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]^2=48+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2=48+1=49}}
So, extract the root of 49, which is 7, and this is line AZ.
\scriptstyle{\color{blue}{AZ=\sqrt{49}=7}}
על כן אם תקח שרש מ"ט שהוא ז' ככה יהיה קו א"ז
Subtract half the line from it, which is GZ that is one measure; the remaining line AG is known and it is 6 measures.
\scriptstyle{\color{blue}{x=AG=AZ-\frac{1}{2}\sdot GB=AZ-GZ=7-1=6}}
חסר ממנו חצי הקו שהוא ג"ז אשר הוא מדה אחת נשאר קו א"ג ידוע והוא ו' מדות
Q.E.D.
וזה מה שרצינו לבאר

Equations of the higher degrees that can be reduced to the canonical equations of the second degree

7) When cubes are equal to numbers:
\scriptstyle ax^3=c
ז כאשר המעקבים שוים לאחדי‫'
Divide the numbers by [the number of] the cubes and this is the number of the cube.
\scriptstyle x^3=\frac{c}{a}
תחלק האחדים למעקבים וככה מספר אחדי המעקב
Its cube root is the thing.
\scriptstyle x=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}
ושרשו המעקבי' הוא הדבר
This is self-evident
זה מובן בעצמו
8) When cubes are equal to things:
\scriptstyle ax^3=bx
ח כאשר המעקבי' שוים לדברים
Divide [the number of] the things by [the number of] the cubes.
\scriptstyle x^3=\frac{b}{a}x
תחלק הדברים למעקבי‫'
Extract the square root of the result and this is the thing.
\scriptstyle x=\sqrt{\frac{b}{a}}
והיוצא קח שרשו המרבעי' וככה הדבר
Based on proposition 2 above:
זה הלמוד הולך בדרך הלמוד השני
Since the ratio of the cube to the thing is the same as the ratio of the square to the unit.
\scriptstyle x^3:x=x^2:1
מפני כי יחס המעקב אל הדבר הוא כיחס המרבע אל האחד
This is clear from the explanation.
וזה יובן מן ההצעה
Example: \scriptstyle{\color{blue}{x^3=9x}}
ועל כן אם היה מעקב אחד שוה לט' דברים דרך משל
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}
יהיה בהכרח מרבע אחד שוה לט' אחדים גם כן
9) When squares of squares are equal to numbers:
\scriptstyle ax^4=c
ט כאשר מרבעי המרבעים שוים לאחדים
Divide the numbers by [the number of] the squares of squares.
\scriptstyle x^4=\frac{c}{a}
תחלק האחדים למרבעי המרבעים
Extract the root of the root of the result and this is the thing.
\scriptstyle x=\sqrt{\sqrt{\frac{c}{a}}}
והיוצא קח שרש שרשו וככה הדבר
This is also self-evident.
גם זה מובן מעצמו
10) When squares of squares are equal to things:
\scriptstyle ax^4=bx
י כאשר מרבעי המרבעים שוים לדברים
Divide [the number of] the things by [the number of] the squares of squares.
\scriptstyle x^4=\frac{b}{a}x
תחלק הדברים למרבעי המרבעים
Extract the cube root of the result and this is the thing.
\scriptstyle x=\sqrt[3]{\frac{b}{a}}
והיוצא קח שרשו המעקבים וככה הדבר
  • Based on proposition 7 above:
זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הז‫'
Since the ratio of the square of the square to the thing is the same as the ratio of the cube to the unit.
\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x=x^3:1
מפני כי יחס מרבע המרבע אל הדבר כיחס המעקב אל האחד
This is clear from the explanation
וזה יובן מן ההצעה
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2=27x}}
ועל כן אם מרובע מרובע אחד ישוה לכ"ז דברי‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x^3=27}}
מעוקב אחד ישוה לכ"ז אחדי' בהכרח
11) When squares of squares are equal to squares:
\scriptstyle ax^4=bx^2
יא כאשר מרבעי המרבעים שוים למרבעים
Divide [the number of] the square by [the number of] the squares of squares.
\scriptstyle x^4=\frac{b}{a}x^2
תחלק המרבעי' למרבעי המרבעים
The root of the result is the thing.
\scriptstyle x=\sqrt{\frac{b}{a}}
ושרש היוצא הוא הדבר
  • Based on proposition 2 above:
זה הלמוד הולך בדרך השני
Since the ratio of the square of the square to the square is the same as the ratio of the square to the unit.
\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^2=x^2:1
מפני כי יחס מרבע המרבע אל המרבע הוא כיחס המרבע אל האחד
This is clear from the explanation
וזה יובן מן ההצעה
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2=9x^2}}
ועל כן אם מרובע מרובע ישוה לט' מרובעי‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}
מרובע א' ישוה לט' אחדי‫'
12) When squares of squares are equal to cubes:
\scriptstyle ax^4=bx^3
יב כאשר מרבעי המרבעים שוים למעקבים
Divide [the number of] the cubes by [the number of] the squares of squares.
\scriptstyle x^4=\frac{b}{a}x^3
תחלק המעקבים למרבעי המרבעי‫'
The result is the thing.
\scriptstyle x=\frac{b}{a}
והיוצא הוא הדבר
  • Based on proposition 1 above:
זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הראשון
the ratio of the square of the square to the cube is the same as the ratio of the thing to the unit
\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^3=x:1
מפני כי יחס מרבע המרבע אל המעקב הוא כיחס הדבר אל האחד
As introduced in the explanation.
כאשר הקדמנו בהצעה
13) When cubes and squares are equal to things:
\scriptstyle ax^3+bx^2=cx
יג כאשר המעקבים והמרבעי' שוים לדברי‫'
Divide [the number of] the squares and the things by [the number of] the cubes.
\scriptstyle x^3+\frac{b}{a}x^2=\frac{c}{a}x
תחלק המרבעי' והדברי' למעקבי‫'
\scriptstyle x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)
והמעקבי' המגיעי' בחלוק תחצה וכפלת המחצית בעצמו והוסיפהו על הדברי' המגיעי' בחלוק ושרש העולה פחות מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק הוא הדבר
  • Based on proposition 6 above:
זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הששי
the ratio of the cube and the square each of them to the thing is the same as the ratio of the square and the thing each of them to the unit
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^3:x=x^2:1\\\scriptstyle x^2:x=x:1\end{cases}
מפני כי יחס המעקב והמרבע כל אחד מהם אל הדבר כיחס המרבע והדבר כל אחד מהם אל האחד
As clarified in the explanation.
כמבואר בהצעה
14) Cubes and things that are equal to squares
\scriptstyle ax^3+cx=bx^2
יד כאשר המעקבי' והדברי' שוים למרבעי‫'
Normalization: \scriptstyle x^3+\frac{c}{a}x=\frac{b}{a}x^2
תחלק הדברי' והמרבעי' למעקבים
\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2-\frac{c}{a}}
והיוצא בחלוק המרבעי' תחצה וכפלת את המחצית בעצמו והעולה תחסר ממנו הדברי' המגיעי' בחלוק והנשאר קח שרשו והוסיפהו על מחצית המרבעי' המגיעי' בחלוק וככה הדבר
  • Based on proposition 5 above:
זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הה‫'
the ratio of the cube and the thing each of them to the square is the same as the ratio of the square and the unit each of them to the thing
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^3:x^2=x^2:x\\\scriptstyle x:x^2=1:x\end{cases}
מפני כי יחס המעקב והדבר כל אחד מהם אל המרבע כיחס המרבע והאחד כל אחד מהם אל הדבר
This is clear from the explanation
זה יובן מההצעה
15) Squares and things that are equal to cubes
\scriptstyle bx^2+cx=ax^3
טו כאשר המרבעי' והדברי' שוים למעקבי‫'
Normalization: \scriptstyle\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x=x^3
תחלק המרבעי' והדברי' למעקבים
\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}
והיוצא בחלוק המרבעי' תחצה וכפלת את המחצית בעצמו והעולה הוסיפהו על הדברי' המגיעי' בחלוק והעולה קח שרשו והוסיפהו על מחצית המרבעי' המגיעי' בחלוק וככה הדבר
  • Based on proposition 4 above:
זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הרביעי
the ratio of the square and the thing each of them to the cube is the same as the ratio of the thing and the unit each of them to the square
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2:x^3=x:x^2\\\scriptstyle x:x^3=1:x^2\end{cases}
מפני כי יחס המרבע והדבר כל אחד מהם אל המעקב כיחס הדבר והאחד כל אחד מהם אל המרבע

Epilogue

The end. תם
This is the lesson of the algebraic calculations that was sought and found in the Christian books a little here, a little there. זה הוא שעור מה שבקשתי ומצאתי מחשבונות ספר האלזיברא בספרי הנוצרי' זעיר שם זעיר שם[note 2]
Much of these teachings were made up by Moṭoṭ himself ורבים מן הלמודים האלה בדיתים מלבי
Accusing Mordecai Finzi of writing a book without presenting any proofs וראוי שתדע אחי הדבק היקר כמ"ר מרדכי יזייא וחפץ ה' ביי"א[note 3] בכמ"ר אברהם פינצי זלה"ה כי מחבר הספר כל הלמודים האלה בלי ראיות בספרו הביאם ואין אחד מני אלף[note 4] מן המעינים בו יודע דרך החכם ומאין הוציאם
Dedicating the book to Moṭoṭ's brother and his close friend R. Yehudah b. R. Yoseph b. Avigdor ואני אחיך בראותי אותך ואת היקר מיודעי ורעי ר' יהודה בכמ"ר יוסף יצו"א בכמ"ר אביגדור זלה"ה נכספים לדעתו והיודע בקראנו אליו יודע צריך שיהיה יודע הדבר בדרכי ההיקש המופתי למלאת רצוניכם הוצרכתי להתבונן במופתים ולכתבם אליכם
The reasons for the briefness of the work: אמנם קצרתי בהם לשתי סבות
  • Relying on the wisdom of his readers
האחת להשעני ברוחכם הטובה רוח אלקים מרחפת על פני[note 5] כל חכמה
  • The author is busy in other matters
הסבה השנית לרב טרדת לבי ובשרי בהרפתקי דעדו עלי ובחשבונות רבים בעסקי העולם
מכל מקום אם דבר מה יעלם לאחד מכם לקצורי וליאות רוחי בהאריך במופתים אמרתי הנני מוכן להוסיף בו באור
ואין להאריך רק בהעתיר אל ה' ימלא כל משאלותיך[note 6] יפוצו מעיינותיך[note 7] מעייני הישועה[note 8] אמן
כרצונך וכרצון אחיך הדבק הסר אל משמעתך[note 9]
שמעון בכמה"ר משה יצ"ו בכמה"ר שמעון מטוט זלה"ה
תם ונשלם

Additional excerpt

Additional word problem (appears in a few of the manuscripts containing the work):
  • Question: a man exchanged 23 peraḥim – some for liṭra of Rome and some for liṭra of Marciana. One peraḥ is worth of liṭra of Marciana twice as much as of liṭra of Rome minus a quarter of a liṭra. It turned out that he had 30 liṭra of Rome and 30 liṭra of Marciana. How many peraḥim did he exchange for liṭra of Rome; how many peraḥim did he exchange for liṭra of Marciana; how many liṭra of Rome and how many liṭra of Marciana is one peraḥ worth?
שאלה אדם אחד החליף כ"ג פרחי' קצתם בליטרי' רומנייולי וקצתם בליט' מרקיאני והפרח שוה מהליט' מרקיאני הכפל ממה ששוה מהליט' רומניולי פחות רביע ליט' ונמצא בידו ל' ליט' רומניולי ול' ליט' מרקיאני

רציתי לדעת כמה פרחי' החליף בליט' רומניולי וכמה פרחי' החליף בליט' מרקיאני וכמה שוה הפרח מהליט' רומניולי וכמה מהליט' מרקיאני

The procedure:
עשה על הדרך הזאת
defining:
  • the amount of peraḥim exchanged for liṭra of Rome = one thing = \scriptstyle{\color{blue}{x}}
אמור סכום הפרחי' אשר נחלפו בליט' רומניולי הוא דבר אחד
  • each is exchanged for an unknown number of liṭra
כל אחד מהם נחלף במספר ליט' נעלם
\scriptstyle x\sdot y=30
והיו ל' ליט‫'
  • the remaining amount that was exchanged for liṭra of Marciana: \scriptstyle{\color{blue}{23-x}}
נשאר הסכום אשר נחלף בליט' מרקיאני הוא כ"ג פחות דבר אחד
  • each is exchanged for twice the unknown number of liṭra minus one quarter of a liṭra
נחלפו בשני דמיוני מספר הליט' הנעלם הנזכ' פחות רביע ליט' אחד
\scriptstyle\left(23-x\right)\sdot\left(2y-\frac{1}{4}\right)=30
והיו גם כן ל' ליט‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(23-x\right)\sdot\left(2y-\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left(23\sdot2y\right)+\left(x\sdot\frac{1}{4}\right)-\left(x\sdot2y\right)-\left(23\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=46y+\frac{1}{4}x-\left(2\sdot30\right)-\left(23\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=46y+\frac{1}{4}x-\left(65+\frac{3}{4}\right)=30\\\end{align}}}
וכן תעשה תכפול כ"ג פחות דבר אחד בב' דמיוני המספר הנעלם פחות רביע אחד

וכבר ידעת כי מכפל דבר אחד במספר נעלם אחד יעלה ל' אחדים
ואם כפלת מספר כ"ג יעלה מ"ו דמיוני המספר הנעלם ורביע דבר פחות ס"ה אחדים וג' רביעי אחד
וכפי השאלה זה העולה הוא שוה לל' אחדים

Restoration and Reduction: \scriptstyle{\color{blue}{46y+\frac{1}{4}x=95+\frac{3}{4}}}
ועתה תשלים כל אחד מאלה החלקים ותשוה אותם ותאמ' מ"ו מספרי' נעלמי' ורביע דבר שלימי' בלי חסרון שוים לצ"ה אחדי' וג' רביעי אחד
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(46\sdot\frac{30}{x}\right)+\frac{1}{4}x\right]\sdot x=1380+\frac{1}{4}x^2}}
ועתה תכפול מ"ו מספרי' נעלמי' ורביע דבר בדבר יעלה אלף וש"פ אחדים ורביע מרבע
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(95+\frac{3}{4}\right)x=95x+\frac{3}{4}x}}
וגם כן תכפל צ"ה אחדי' וג' רביעי אחד בדבר יעלה צ"ה דברי' וג' רביעי דבר
  • \scriptstyle c+ax^2=bx
וכבר ידעת כאשר היו האחדים והמרובעים שוים לדברי' איך תדע מספר הדבר ומידיעת הדבר תדע הכל

Notes


  1. משלי ד, יא
  2. ישעיהו כח, י
  3. ישעיהו נג, י
  4. איוב לג, כג
  5. בראשית א, ב
  6. תהילים כ, ו
  7. משלי ה, טז
  8. ישעיה יב, ג
  9. שמואל א כב, יד

Apparatus

  1. 122v
  2. Mantova: ב'
  3. 123r
  4. Mantova om.
  5. 123v
  6. 124r
  7. 124v
  8. 125r
  9. 125v

Appendix I: Glossary of Terms

Arithmetic Operations

addition, additional segment תוספת
to add
לחבר (ב), תחבר, נחבר, נחבר אליו, חבר אליו, חבר, חברנו אל, חברנו
to add
להוסיפו על, הוסיפהו על (ה), הוסף עליו, הוספנו עליו
to be added to
נוסף עליו
sum, result of addition
העולה מחבור
to be summed
חוברו, יחברו
summed
מחוברים, מחברים
additive
יתרון, יותר
additive
תוספת
division
to divide
לחלק, חלק (ה), חלק אליו, תחלק (אליו / ה‫)
to be divided
חולק
dividend
המתחלק, המספר המתחלק
divisor
מספר אשר אליו יתחלק, החלק אשר אליו יתחלק
quotient, result of division
המספר העולה בחלוק, מספר אשר הגיע בחלוק
quotient, result of division
יגיע, יגיע בחלוק, המגיע בחלוק, הגיע בחלוק, המגיעים בחלוק, שהגיע בחלוק, היוצא בחלוק (ה), המספר היוצא בחלוק, היוצא
greatest common divisor
המספר היותר גדול שימנה
doubling
to double
כפלת
to double, to take twice
קח שני דמיוני, קח שני דמיוניו, לקחנו שני דמיוניו
twice
שני דמיוני, ב' דמיוני ה
twice
פעמי‫'
twice as much as
הכפל מ
to extract a root קח שרשו, תקח שרש, הוצא שרשו
to extract a square root
קח שרשו המרבעי‫'

to extract a cube root

קח שרש מעקב, קח שרשו המעקבים

to extract a root of a root, to extract a root of fourth degree

קח שרש שרשו
root
שרש (ה), שרש מספר, שרש המספר
square root
שרש מרבע, שרש מרובע
cube root
שרש מעוקב, שרש המעוקב, שרש מעקב, שרשו המעקבי‫'
שרש שרש מרבע
שרש שרש מעקב
√√³√x
שרש שרש מרבע מן שרש מעקב
√³√x
שרש מרבע מן שרש מעוקב, שרש מרבע מן שרש מעקב
having a root
מספרי' בעלי שרש, בעלי שרש
not having a root
אין לו שרש
halving
to halve
תחצה (ה), קח מחצית
half of
מחצית ה, חצי ה
multiplication הכאת (ה), כפל, כפל... בעצמו
to multiply
לכפלו ב, לכפלם, לכפול, לכפול המספרים, כפלנו, כפול, תכפול, תכפל, כפול ב, נכפול, כפלהו, תכפלהו
duplicate
שנוי
multiplied
כפול
product, result of multiplication
מספר העולה מכפל, העולה מכפל
product, result of multiplication
העולה, יעלה
בכפול אותו בעצמו, כפול... בעצמם/בעצמו, כפלהו בעצמו, כפלם בעצמם, כפלת את ה... בעצמו, כפלת ה... בעצמו
times
דמיוני (ה‫)
subtraction
to subtract
לגרוע, תגרע (ממנו ה / מהם‫)
to subtract
חסר ממנו, חסרה מ, חסרם מ, תחסרנו מ, נחסר, נחסר מ, נחסרם מ, חסרנו מ, תחסר מ
to subtract
נפחות מ, לפחות
to be subtracted
חסר ממנו
subtractive
חסרון
subtractive
פחות
minus פחות
plus יותר
to square עשה מן המספר מרבע
מרבע המספר, מרבע
a⁴ מרבע מרבע
to cube עשה מן המספר מעוקב, עשה מעקב
triplicate
משלש

Arithmetic Terms

part חלק, חלקים
parts of, fractions חלקים מ, חלקי, חלק אחד מ
number מספר
number of
מספר, מספר ה
value מספר ה, מספרו
one האחד
units אחדים
units of the number
אחדי המספר
number of units in
מספר האחדים אשר ב, מספר אחדי ה
ratio יחס, יחס ה... אל
proportional measures שעורים מתיחסים


Calculation Terms

calculation חשבונם, חשבוננו, החשבון, חשבונות
to calculate
לחשוב
measure, quantity, value שעור, שעורים, שעורו
the sought הוא מה שרצית, אשר רציתי למצא, המספר אשר רצית למצא
the sought הוא המבוקש, המבוקש, מספר המבוקש, המבקש, הוא המבקש
excess מותר
to result יהיה, יהיו, ויהיו
to result יעלה, עלה בידנו, יעלה בידך, עלה, יהיה העולה
result העולה
procedure המעשה
to use, to make יעשוהו
to do, to operate, to proceed עשוהו, תעשה, אעשה
to transform לעשות מן, תעשה מן, עשית, עשה (מ / מן‫)
to remain ישאר, ישארו, נשאר
remainder הנשאר, הנשאר מן
to be left with ישאר בידך, נשאר בידנו
to have in one's hand בידך, הנה בידינו
to equalize השוית ה, תשוה אותם
equal to שוה ל, שוים ל, השוים, ישוה ל, יהיה שוה ל
to keep שמרם, שמרת, שמרהו, שמרה
reserved השמור
to give a numerical example נביא דמיון במספר, נעשה דמיון במספר


Algebraic Terms

algebra חשבון האלזיברא
algebraic calculations חשבונות ספר האלזיברא
number, constant נוּמְרִי, מספר
thing, root דבר, דברים, קוֹסָא
square צֵינְסו, מרובע, מרבע
square square x⁴ צֵינְסו דיצֵינְסו, מרובע המרובע, מרבע המרבע, מרובע מרובע, מרבעי המרבעים
cube x³ מספר המעוקב, מעוקב, המעקבים, קוּבוּ
cube cube, x⁶ מעוקב המעוקב, קוּבוּ דֵיקוּבוּ
unknown number המספר הנעלם, מספר נעלם, מספר ... נעלם, מספרי' נעלמי‫'
unknown דבר נעלם
fixed number מספר קצוב
terms of the equation החלקים
part of an equation, algebraic expression חלק אחד מן השאלה
to restore תשלים


Geometric Terms

figure, geometric illustration תמונת, תמונה, תמונתנו
multiplication diagram תמונת הכפל
segment חלק, החלקים, חלקי', החלק
segment of a line חלקי קו אחד, חלקי הקו
segment… of it חלק... ממנו
point נקודה, נקודת
at point על נקודת
line קו, קוים
the whole line הקו כלו
straight line קו ישר
straight (line) ישר
side צלעו, צלע, צלע מרבע, צלע המרבע
length ארכו
measure מדה, מדת ה, מדות
surface שטח, שטחים
gnomon רושם התמונה
area שברי, שבריו, מספרי שבריו, מספר שברי, שברי שטח, מספר שברי שטח, שברי הרושם, מספר שברי הרושם, תשבורתו
square מרובע, מרבע, מרבעים, מרובע הקו
square on the whole line מרבע הקו כלו
quadrilateral surface, rectangle שטח הנצב הזויות, השטח הנצב הזויות, השטח הנצב הזוית, שטח נצב הזויות
encompassed by the two segments אשר יקיפו בו שני החלקים
אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת
encompassed by the (two) lines אשר יקיפו בו שני קוי, אשר יקיפו בו קוי
the difference between the two segments מה שבין שני החלקי‫'‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬
straight על יושר
parallel to נכוחי ל, נכחי ל, נכחי לקו
to draw נעביר מ
to draw a line נעביר קו
to draw a line from point נעביר בו מנקודת ... קו
to intersect יחתכו
to divide (surface) יחלקוהו ל
to cut from line נחלק מן קו
to construct a square from a line נעשה מן קו... מרבע, נעשה מן ... מרבע
to extend a line נמשיך קו
to meet a line עד אשר יפגיש קו
line is cut into נחלק קו ישר ל
to cut randomly at point חלק איך שקרה על נקודת
to be cut randomly at point יחולק איך שקרה על נקודה
to halve it at point נחלקהו לחצאין על נקודת, נחלקהו לב' חלקי' שוים על נקודת, נחלק קו ... לחצאין על נקודת
to be halved at point נחלק לחצאין על נקדת
to cut into two unequal segments at point נחלקה לשני חלקי' בלתי שוים על נקודת
unequal segments החלקים הבלתי שוים
to draw צירתי


Logical Terms

to say, to state אומר (כי), אומ', אמור, נאמר, אמרנו (ב), נאמר כי, תאמר כי, אמרת ש, ותאמ', יאמ' כי, אמרתי
to say, to tell ואמ' לי
saying אמרך
אשר אמרת ל
to explain, to demonstrate אבארם, אבאר
to be explained, to be clarified נתבאר (ב / מ ... כי‫)
as clarified כמבואר ב
clear, clarified מבוארה
Q.E.D; this is what we wanted to explain וזה מה שרצינו לבאר, וזה מה שרצינו
להוסיף באור, להוסיף בו באור
to know (that) לדעתם, לדעת, לדעתו, תדע (כי / ש‫)
knowing מידיעת ה
לא ידענוהו
וכבר ידעת כי, וכבר ידעת
יודע, יהיה יודע ה
the Knower היודע
it is known that ידוע (כי / ש‫)
to understand תבין ממנו
to be clear from יובן (מ / מן‫)
clear, understandable מובן ל
מובן מאשר לפניו
clear by itself, understandable by itself זה מובן בעצמו, זה מובן מעצמו
one who understands מבין
to give an example אמשול
example משל, המשל, דרך משל, משלנו
to learn, to become wise תשכיל
to teach להשכילך כי
to deduce, to conclude הקש על זה
by analogy בדרכי ההיקש
way, method, technique דרך (ה), דרכי
to operate according to this way עשה על הדרך הזאת, נעשה על הדרך הזאת
according to the known way על הדרך הנודע‬‬‬‬
על דרך האמור למעלה, כאשר אמרנו למעלה, כאשר אמרנו, על דרך
according to the abovementioned method כפי הדרך הנזכר, ולפי הדרך הנז', וכפי הדרך אשר אמרנו
teaching למוד, הלמודים, זה הלמוד, למודי, בזה הלמוד
studying ללימודי
proof, argument מופת, מופת זה, מופתי (ה), במופתים
to demonstrate, to show להראותך זה, להראותך מופת זה, הורתיך המופת, ולהראותך מופת על זה
demonstrative המופתי
manner, way באופן אשר
speech, discussion דבורי
to discuss, to speak לדבר ב, אדבר ב
reason הדבר
reason סבה, סבות
meaning, sense עניני‫'
conception, perception ציורך
evidence, proof ראיות
principles שרשיה
question שאלה
to ask שאלתי ל
rule כלל

Philosophical Terms

wisdom חכמה
path of wisdom בדרך חכמה
wise החכם

Economic Terms

trader סוחר
to trade לסחור
to have, at his disposal בידו, נמצא בידו
amount הסכום, סכום ה
amount קצבה, קצבת
to earn הרויח
ratio הערך (מ‫)
a man אדם אחד
to exchange החליף (ב‫)
peraḥim פרח, פרחי‫'
liṭra ליטרי', ליט‫'
of Rome רומנייולי, רומניולי
of Marciana מרקיאני
to be worth of שוה מ, שוה ה... מה‫...
to be exchanged נחלפו ב, נחלף ב

Literary Terms

chapter מאמר, מאמ‫'
book ספרי ה, ספרו
author מחבר הספר
introduction הקדמתי
translation בהעתקתו

Linguistic terms

grammarians חכמי דקדוק
language לשונם, לשוננו, בלשון
word תיבה, תיבות

General Terminology

.א.ר.כ •
to elaborate, treat at length, lengthen להאריך (ב), בהאריך ב, להאריך
.ב.ו.א •
to bring, to present הביאם
.ב.ק.ש •
to seek בקשתי
.ה.י.ה •
let there be ויהיה, יהיה
generated from ההוה מ, ההוה מן, ההוים מ, ההוים מן
.ה.ל.כ •
to go הלך ל
following, in accordance with הולך ב
.ז.כ.ר •
to note, to mention זכרנו
לפי הדרך אשר זכרנו, על הדרך הזאת, כפי הדרך הנז‫'‬‬
.ח.ד.ש •
to invent לחדש
.ח.ז.ק •
to occupy, tohold מחזקת ב
.ח.ל.ל •
to start, to begin אחל, החילי, החלי
.י.כ.ל •
to be able נוכל
.י.צ.א •
to draw אוציא מ
to derive, to draw הוציאם‬‬‬‬‬‬‬
.י.צ.ע •
to propose, to offer אציע
explanation, introduction הצעה
.י.ר.ה •
to signify, to mean להורות
meaning הוראת, ההוראה
to indicate מורה, תורה
.ל.ק.ח •
to take קח, לקחנו, יקחו
.מ.צ.א •
to find למצא, מצאנו ב, מצאתי
.צ.ר.כ •
to need צריכי', צריך אתה ל, צריך אני ל, צריך ש
to have to הוצרכתי ל
to need it תצטרך אליה ב
no need אין צורך
.ק.ד.מ •
to precede להקדימם, אקדים, הקדמנו (ב‫)
.ק.ר.א •
to name, to denote יקראוהו, אקראנו, בשם אקראנו, קראתיהו, נקראם, נקראהו
.ר.א.ה •
to see רואה (כי), בראותי אותך
.ר.צ.ה •
meaning רצונם
to wish רציתי (ל), רצית ל, רצינו ל, רוצה
as one wishes כרצונך, כרצון
.ש.ו.ב •
to return שבת אל
to convert, to transform נשיב
.ש.ל.מ •
to finish תשלים, נשלים
to complete להשלים
complete שלימי‫'
whole שלם
.ת.ח.ל •
to start, to begin אתחיל, נתחיל
should ראוי ש, ראוי ל
Christians הנוצרי‫'
usage, custom כמנהגם
place מקומות
as much as one can כפי אשר תשיג ידי
to bring closer לקרבו אל
it is, the result is הרי
to describe נתאר, אתאר לך, אתאר
drawn נמשכים
subsequent, following הנמשכי' אחריו
to give אתן לך
intellectual vision לעין השכל
by the measure that במדה שבה
guidance בהדריכי
to observe, to look להתבונן, תתבונן
exactly, no more and no less לא פחות ולא יותר
to return חזר
to succeed, to make profit הצליח
its similar דומה לו
to be finished, to end תם
lesson שעור
a little here, a little there זעיר שם זעיר שם
to devise בדיתים
of one's own heart מלבי
to cleave הדבק
to longed for נכספים ל
precious היקר
reader מעיינים בו
companion, corresponding חברו
brother אחי, אחיך
friend מיודעי
friend רעי
to call upon בקראנו אליו
to write לכתבם אליכם
to abbreviate קצרתי בהם
brevity קצורי
relying on להשעני ב
in any case מכל מקום
unknown, hidden יעלם
prepared, ready מוכן ל
should not אין ל
Euclid איקלידיש, איקלידס
Elements II.4 תמונה הרביעית מן המאמר השני לאיקלידש
Elements II.6 תמונה הששית מן המאמר השני לאיקלידש
Elements VI.17 תמונת יז מן המאמר הששי לאיקלידש
Elements II.5 תמונה החמישית מן המאמר השני לאיקלידש
Mordecai Yaḥya the son of Abraham Finzi כמ"ר מרדכי יזייא בכמ"ר אברהם פינצי זלה"ה
R. Yehudah b. R. Yoseph b. Avigdor ר' יהודה בכמ"ר יוסף יצו"א בכמ"ר אביגדור זלה"ה
Simon b. Moses b. Simon Moṭoṭ שמעון בכמה"ר משה יצ"ו בכמה"ר שמעון מטוט זלה"ה
helplessness of the mind ביד שכלי הקצרה
paths of uprightness במעגלי יושר
one out of a thousand אחד מני אלף
to fulfill desires למלאת רצוניכם
good spirit רוחכם הטובה
worldly affairs עסקי העולם
trouble of the heart and body טרדת לבי ובשרי
the adventures that came upon me בהרפתקי דעדו עלי
spiritual exhaustion לאות רוחי
שם תהלתו תפארת
praising God התהלה לאל, תהלתו
ופתח מאיר כל מאמר ומעשה
יתב' ויתע' שמו עלוי רב
by his awful name among the nations בשם שמו בגוים נורא
spirit of God hovered over the face of רוח אלקים מרחפת על פני
God's purpose shall prosper in his hand וחפץ ה' בייא‫‬‬‬‬‬‬
entreat the Lord בהעתיר אל ה‫'
may the Lord fulfill all your requests ימלא כל משאלותיך
Let thy springs be dispersed יפוצו מעיינותיך
the fountains of salvation מעייני הישועה
giveth heed unto thy bidding הסר אל משמעתך
over and done תם ונשלם
Amen אמן

Titles - Acronyms

our honorable teacher Rabbi כמ"ר
the son of our honorable teacher Rabbi בכמ"ר, בכמה"ר
may his memory live in the world to come זלה"ה
rabbi ר‫'
may God preserve him, and keep him alive יצ"ו

Demonstratives

it אותו
these אלו (ה), אלה (ה), האלה
זה הוא
this הזאת, זה (ה), זאת (ה‫)
וזה, זה
by this, from this מזה (ה), בזה
in this, for this בזה ה
thereby, in this regard, relating to this בזה
by each other זה בזה
מאלו (ה‫)


Pronouns

a certain, whichever איזה, איזה... שיהיה
I am אני, הנני
you אתה, הנך, אותך
which is שהוא, אשר הוא
it is, which is (result) והוא (ה), הוא ה, היא
which are שהם
something דבר מה
certain מה
what מה ש
by itself בעצמו

Adjectives

one of אחד מ, אחד מכם
each of כל אחד מהם, אחד מהם, כל אחד מ
other אחר, אחרים
last אחרון
middle האמצעי
aforementioned האמור
following, consequent הבאי' אחריה
larger הגדול
known ידוע, ידועים, נודע
unknown בלתי ידוע
whole כלו, כל (ה‫)
all כל ה
every כל
everything, all הכל
mentioned הנזכר, הנז', הנזכ‫'
previous הקודמי‫', הקודמת, הקודם‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬
prior to הקודמים לזה
smaller הקטן
some קצתם
first, firstly ראשונה, ראשנה
first ראשון, ראשונה
much רב
many רבים
many of רבים מן ה
composed of המורכב מ, המרכב מ
other, rest of שאר ה
equal שוים
unequal בלתי שוים

Adverbs

then, afterwards אח"כ, אחר
after אחרי
how איך
randomly איך שקרה
there is no אין
indeed אמנם
without בלי
before טרם
together יחד, שניהם יחד
above למעלה, למעלה מ
already כבר
is so, indeed כי כן הוא
in all בכל
how many כמה, כמה מה‫...
as, the same as כמו
so is וככה ה
also וכן
and so, thus וכן
according to this, accordingly לפי זה
therefore לפי כן
from where מאין
also גם, גם כן
always לעולם
therefore על כן, ע"כ
now עתה
also, further, likewise עוד
hither והנה, הנה, הנה כי
here הנה לפנינו, לפנינו
necessarily בהכרח
on the first time בפעם הראשונה
namely, i.e. ר"ל
but רק
first, at the beginning בתחלה
instead תחת


Conjunction

or או
then, if so א"כ, אם כן
what, that, which אשר, ש
because (of), since מפני כי, כי, ל
because, since בעבור כי
if ואם, אם
when כאשר
that כי
according to, as, like כפי, כפי מה ש
as, like, the same as כ, כפי ה
in order that למען
until עד אשר

Preposition

as it is כאשר הוא
as כ, כאשר
according לפי
of it ממנו
of מן (ה‫)
by, according על
on it עליו
with עם ה
inside בתוך ה

Appendix II: Bibliography

Simon b. Moses b. Simon Moṭoṭ
Ḥeshbon ha-Alzibra (Calculation of Algebra)
Italy, 1460s
Manuscripts:

1) Amsterdam, Portugees Israelitisch Seminarium Ets Haim 47 D 20/42 (IMHM: f 3576), ff. 223r-226r (15th century)
Ets Haim 47 D 20/42
2) Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Oct. 244/14 (IMHM: f 1996), ff. 113r-120r (15th-16th century)
Or. Oct. 244/14
3) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.46/2 (IMHM: f 17970), ff. 46r-53v (16th century)
Plut.88.46/2
4) Mantova, Comunita Israelitica MS ebr. 10/6 (IMHM: f 790), ff. 122v-133r (15th century)
ebr. 10/6
5) Parma, Biblioteca Palatina Cod. Parm. 2196/3 (IMHM: f 13362), ff. [117r]-[119v] (15th-16th century)
Parm. 2196/3
The transcript of the text is based on manuscript Mantova 10.

Bibliography:

  • Lévy, Tony. 2007. L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (II). Dans l’Italie des XVe et XVIe siècles, sources arabes et sources vernaculaires, Arabic Sciences and Philosophy 17, pp. 81-107.
  • Steinschneider, Moritz. 1893–1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann; repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001. p.193 (h59).