Part Two: Multiplication
|
החלק השני מהספר הראשון
|
|
הפרק הראשון לכפול מספר על מספר
|
|
הרוצה לכפול מספר על מספר ראוי שיהיה הלוח הזה שגור בפיו כי בזה יהיה זריז לכפול מספר פלוני על מספר פלוני מא' עד ט'
|
|
ואם יהיה המספר אשר ירצה לכפול על מספר אחר כל אחד ממדרגה אחת או מאיזו מדרגה שיורה יקח דמיון לכל אחד ממדרגת האחדים ויכפול זה על זה כאלו הם אחדים ויראה העולה ואח"כ יקח לכל האחד מספר במדרגתו שאם היה האחד עשרות והאחר מאות נקח בעד העשרות שנים ובעד המאות שלשה ונחברם ויהיו חמשה אח"כ נשליך לעולם אחד והשאר יורה לנו העולה מאיזה מדרגה הוא
|
- Example: we wish to multiply eighty by five hundred.
|
דמיון זה רצינו לכפול שמנים על חמש מאות
|
|
לקחנו דמיונם מהאחדים בעד השמני' שמנה ובעד החמש מאות חמשה וכפלנו חמשה על שמנה ויצא לנו הסכום ארבעים
|
|
עוד לקחנו בעד המאות שלשה ובעד השמנים שנים כי הם מהמדרגה השנית חברנום ונהיו חמשה השלכנו אחד ונשארו ארבעה ואלה הארבעה הם מדרגת האלפים
|
|
וידענו מזה שהארבעים אשר יצאו כשכפלנו השמנים על החמש מאות הם ארבעים אלף
|
|
אולם כשתרצה לכפול שני מספרים על שני מספרים צריך שנכתוב אותן כל אחד במדרגתו ושנכפול אותן ארבעה פעמים כל אחד מהטור שלמטה עם כל אחד מהטור שלמעלה ונכתוב המספר המונח בטור הראשון והמספר אשר נרצה לכפול עליו בטור התחתון ונתחיל לכפול אחדי התחתון על אחדי העליון וההוה נכתוב אותו למטה במדרגת האחדים וזה אם לא הגיע לעשרות
|
|
אבל אם הגיע לעשרות נוציא העשרות מהם ונשמרם והנשארים אשר לא הגיעו לכלל העשרה נכתוב במדרגת האחדים
|
|
עוד נכפול האחדים שלמטה עם מדרגת העשרות שלמעלה ואשר יהיה נחבר גם מספר העשרות ששמרנו עם אחדי זה הכפל כי אע"פ שהם עשרות אבל מה שיצא מהם יהיה כאלו הם עשרות ואחדים כי על דמיון האחדים אנו כופלים הכל והאחדים אשר יתקבצו מזה הכפל נכתבם במדרגת העשרות והעשרות אם יהיו נכתבם במדרגה השלישית
|
|
אחר נראה העולה והוא חשבון כפל המספר ההוא
|
- Example: we wish to multiply twenty-five by forty-three.
|
דמיון רצינו לכפול עשרים וחמשה על ארבעים ושלשה
|
|
כזה
|
|
|
2 |
5
|
|
|
4 |
3
|
|
2 |
1 |
5
|
|
8 |
6 |
|
1 |
0 |
7 |
5
|
|
|
|
|
כפלנו הה' על הג' ונהיו ט"ו גרענו העשירית ושמרנוה נשארו ה' וכתבנום במדרגת האחדים
|
|
עוד כפלנו הה' על הד' ונהיו עשרים ומפני שלא יצאו מזה אחדים כתבנו העשירית האחת לבד ששמרנו במקום העשרות והעשרים כתבנום במדרגה השלישית
|
|
עוד כפלנו הב' על הג' ונהיו ששה ומפני שלא יצאו גם בכאן אחדים כתבנו במקום האחדים סיפרא והששה כתבנום במקום העשרות
|
|
עוד כפלנו העשרים על הארבעי' ונהיו שמנה מאות וכתבנום במדרגה השלישית כי כל אחד מהכפולים היו ממדרגה שנית ובהשלכת האחד נשארו שלשה
|
|
אחר כן קבצנום ונהיו אלף ושבעים וחמשה
|
|
ואם נרצה לכפול שלשה מספרים על שלשה מספרים אז ראוי שנכפלם תשעה פעמים בזה הסדר
|
- Example: we wish to multiply three hundred forty-eight by two hundred thirty-five.
|
דמיון רצינו לכפול שלש מאות וארבעים ושמנה על מאתים ושלשים וחמשה
|
|
כתבנו אותם בצורה הזאת
|
|
|
3 |
4 |
8
|
|
|
2 |
3 |
5
|
|
1 |
8 |
8 |
0
|
|
9 |
4 |
0 |
|
7 |
0 |
5 |
|
|
8 |
1 |
7 |
8 |
0
|
|
|
|
|
כפלנו הח' על הה' ונהיו ארבעים ומפני שאין כאן אחדים כתבנו סיפרא במדרגת האחדים ושמרנו העשרות הארבעה
|
|
עוד כפלנו הג' על הח' ונהיו כ"ד שמרנו שתי עשרות ועם הארבעה שהם אחדיו חברנו הארבעה אשר שמרנו ונהיו שמנה וכתבנום במדרגת העשרות
|
|
עוד כפלנו הב' על הח' ונהיו י"ו שמרנו העשירית האחת וחברנו עם אחדיו שהם הששה את השתי עשרות שהיו שמורות לנו ונהיו ח' וכתבנום במדרגת המאות והעשירית האחת אשר שמרנו עתה כתבנוה במדרגת האלפים
|
|
הנה כבר כפלנו הח' על כל אחד ואחד מהמספרים שבטור הראשון השלשה
|
|
עוד שבנו לכפול הד' עם כל אחד ואחד מהם וכפלנוה תחלה עם הה' ונהיו עשרים ומפני שלא יצאו אחדים כתבנו ספרא במדרגת העשרות שהיא מדרגת אחדיו כי המספרים שכפלנו הם ממדרגה הראשונה והשנית והעשרים שהם שני עשרות שמרנום
|
|
עוד כפלנו הד' עם הג' ונהיו י"ב שמרנו העשירית האחת וחברנו עם השנים שהם אחדיו השני עשרות שהיו שמורות לנו ונהיו ד' כתבנום במדרגת המאות לפי שהמספרים שכפלנו הם במדרגה השניה
|
|
עוד כפלנו הארבעה עם הב' ונהיו ח' חברנו גם העשירית השמורה לנו עמם ונהיו ט' כתבנום במדרגת האלפים לפי שהמספרים אשר כפלנו היו ממדרגה השנית והשלישית
|
|
הנה כבר כפלנו גם הד' שבטור השפל עם כל אחד ואחד מהשלש מספרים שבטור העליון
|
|
עוד נשוב לכפול הג' עם כל אחד ואחד מן שלשת המספרים העליונים כפלנו אותו עם ה' והיה ט"ו הוצאנו העשירית ושמרנוה והה' כתבנום למטה במדרגת המאות כי שני המספרים האלה מדרגותם הם הראשונה והשלישית
|
|
עוד כפלנו אותם עם ג' ונהיו ט' חברנו גם העשירית השמורה ונהיו י' ולא היו לשם אחדים ולכן כתבנו במדרגת האלפים ספרא והעשירית אנו שומרים אותה
|
|
עוד הכינו אותם עם שנים ונהיו ו' חברנו גם העשירית השמורה עמם ונהיו ז' וכתבנום במדרגת הרבבות כי שני המספרים האלה הם במדרגה השלישית
|
|
אחרי כן קבצנו שלשה הסכום כמשפט ונהיו פ"א אלף ושבע מאות ושמנים
|
|
דמיון אחר במספר שיש לו ספרא
|
- We wish to multiply a hundred and five by two hundred and twenty-four.
|
רצינו לכפול מאה וחמשה על מאתים ועשרים וארבעה
|
|
כתבנו אותם ככה בזאת הצורה
|
|
|
2 |
2 |
4
|
|
|
1 |
0 |
5
|
|
1 |
1 |
2 |
0
|
|
0 |
0 |
0 |
|
2 |
2 |
4 |
|
|
2 |
3 |
5 |
2 |
0
|
|
|
|
|
ב |
ב |
ד
|
|
|
א |
0 |
ה
|
|
א |
א |
ב |
0
|
|
0 |
0 |
0 |
|
ב |
ב |
ד |
|
|
ב |
ג |
ה |
ב |
0
|
|
|
|
כפלנו הה' על הד' ונהיו כ' ומפני שאין שם אחדים כתבנו סיפרא במדרגת האחדים והשתי עשרות שמרנום
|
|
עוד כפלנו הה' עם הב' ונהיו י' ומפני שאין שם אחדים כתבנו הב' עשרות השמורות במדרגת העשרות וזאת העשירית שמרנוה
|
|
עוד כפלנו הה' עם ב הב' ונהיו י' ומפני שאין שם אחדים כתבנו למטה העשירית אשר שמרנו במדרגת המאות וזאת העשירית במדרגת האלפים
|
|
עוד שבנו להכות כל אחד משלשה המספרים העליונים עם הסיפרא וכתבנו סיפרא במדרגת העשרות וכן במדרגת המאות וכן במדרגת האלפים
|
|
עוד שבנו לכפול הא' עם הד' ונהיה ד' וכתבנוהו במדרגת המאות כי שני המספרים הנכפלים היו מהמדרגה הראשונה והשלישית
|
|
עוד כפלנו הא' עם הב' ונהיו ב' וכתבנום במדרגת האלפים כי שני המספרים הכפולים היה האחד מהמדרגה השנית והאחר מהמדרגה השלישית
|
|
עוד כפלנו הא' עם השנים ונהיו ב' וכתבנום במדרגת הרבבות כי שני המספרים הכפולים היה כל אחד מהמדרגה השלישית
|
|
אחר כן קבצנו העולה מהם והם כ"ג אלף וחמש מאות ועשרים
|
|
אמר מרדכי ראיתי להודיעך הכפל הזה בדרך אחרת נקלה מצאתיה אצל חכמי הישמעלים והוא שתעשה כל סך הנכפלים בשטה אחת מבלתי שתצטרך אל יותר מזה
|
|
וככה תעשה תשים המספר אשר תרצה לכפול עליו בשטה העליונה כמנהג
|
|
עוד שים המספר אשר תרצה לכפול אותו עליו בשטה השפלה כל מדרגה כנגד הדומה לה
|
|
ואחר כן החל לכפול האחדים על האחדים ותכתוב העולה למטה
|
|
ואם יעלו עשרות תפוש אותם בלבך ותכתוב האחדים לבדם למטה
|
|
עוד תכפול האחדים שבשטה השפלה עם העשרות שבשטה העליונה כאלו הם אחדים על אחדים והעשרות אשר תפשת בלבך מהחשבון הראשון חשוב אותם אחדים וחברם עם אלה
|
|
גם תכפול האחדים שהם בשטה העליונה עם העשרות שהם בשטה השניה וחבר הכל ותכתוב העולה למטה
|
|
ואם עלו עשרות והטעם מדרגה עליונה מזאת תפוס בלבך
|
|
גם תכפול האחדים שבשטה השפלה עם המאות שבשטה העליונה
|
|
וכן האחדים שבשטה העליונה עם המאות שבשטה השפלה
|
|
גם העשרות שבשטה השפלה עם העשרות שבשטה העליונה
|
|
והכלל המדרגות אשר בקבוצן תהיינה שוות הסך
|
|
כי הראשונה עם השלשה יעשו ד' וככה השלישית עם הראשונה והשנית עם השנית
|
|
גם הראשונה עם הרביעית יעשו חמשה וככה השנית עם השלישית
|
|
וככה תעשה עד אין קץ ואשר יהיה תחבר המספר שהיה במדרגה שחשבנוה עשרות שתפשת בלבך עמם וכתבם למטה והוא הסך המבוקש
|
- Example: we wish to multiply three hundred and forty-eight by two hundred and thirty-five.
|
דמיון רצינו לכפול שלש מאות וארבעים ושמנה על מאתים ושלשים וחמשה
|
|
כזה
|
|
|
|
כפלנו הח' על הה' ונהיו מ' ובעבור שלא נשארו אחדים כתבנו גלגל במדרגה הראשונה והמ' תפשנום בלבנו ארבע
|
|
עוד כפלנו ח' עם ג' והיו כ"ד גם ד' עם ה' כי הם שוה המדרגות והיו כ' חברנום עם הכ"ד והיו מ"ד גם חברנו עמהם הד' שתפשנו בלבנו היו מ"ח וכתבנו למטה במדרגת העשרות ח' והמ' תפשנו בלבנו ד'
|
|
עוד כפלנו ח' עם ב' והיו י"ו גם ג' עם ה' והיו ט"ו גם ד' עם ג' והיו י"ב כי כל אלה שוה המדרגות והם מ"ג חברנו עמהם הד' שתפשנו בלבנו והם מ"ז כתבנו הז' במדרגת המאות והד' שהם המ' תפשנו בלבנו
|
|
עוד כפלנו ד' עם ב' והיו ח' גם כפלנו ג' עם ג' והיו ט' גם חברנו הד' שתפשנו בלבנו עמם והיו כ"א כתבנו הא' במדרגת האלפים והכ' תפשנו אותם בלבנו שנים
|
|
עוד כפלנו ג' עם ב' והיו ו' חברנו עמהם הב' שתפשנו בלבנו והיו ח' כתבנו הח' במדרגת הרבבות
|
|
וידענו מזה שהסך העולה מכפל השטה השפלה על השטה העליונה הם שמנים ואחת אלפים ושבע מאות ושמנים
|
|
וכבר נהגו בעלי החשבון לכפול בדרך שלישית
|
|
והוא שתקח שלישית המספר ותכפלהו על עצמו וההוה הוא מרובעו ותקח כדומה לו ממדרגה הבאה אשר היא יותר עליונה ממנה ותוציא מזאת המדרגה מרובע השלישית והנשאר הוא המבוקש
|
- Example: we wish to know the square of 9.
|
דמיון רצינו לדעת מרובע ט'
|
|
ולקחנו שלישיתו וכפלנו אותו על עצמו ונהיה ט' לקחנו דמיונו ממדרגה הבאה העליונה ממנה והיה צ' הוצאנו ממנו הט' שהוא מרובע השלישית ונשארו פ"א והוא המבוקש
|
|
ואם רצית לכפול מספר שאין לו שלישית אתה לוקח שלישית המספר היותר קרוב אליו ותרבע אותו ותעשה כמשפט אחר תעיין ואם המספר אשר לקחת שלישיתו הוא יותר פחות מהמספר המבוקש קבץ שני המספרים והוסיפם על הסך וההוה הוא המבוקש
|
- Example: we wish to know the square of ten.
|
דמיון רצינו לדעת מרובע עשרה
|
|
וזה אין לו שלישית והמספר הקרוב אליו אשר יש לו השלישית הוא התשעה והוא פחות ממנו לקחנו מרובע שלישיתם והוא ט' ולקחנו דמיונם מהמדרגה הבאה והוא צ' גרענו ממנו הט' ונשארו פ"א ומפני שהמספר אשר לקחנו השלישית ממנו הוא פחות מהמספר המבוקש קבצנו שני המספרים הט' עם הי' ונהיו י"ט הוספנום על הפ"א ונהיו ק' והוא מרובע העשרה
|
|
אבל אם היה המספר אשר לקחנו השלישית ממנו יותר מהמספר המבוקש אנו מקבצים שני המספרים וגורעים אותם מהסך והנשאר הוא המבוקש
|
- Example: we wish to know the square of 11.
|
דמיון רצינו לדעת מרובע י"א
|
|
ומפני שאין לו שלישית והמספר הקרוב אליו שיש לו שלישית הוא הי"ב והוא יותר ממנו לקחנו שלישיתו וכפלנוהו במספר המרובע ולקחנו דמיונו במדרגה הבאה והוא ק"ס גרענו ממנו הי"ו שהוא מרובע השלישית ונשארו קמ"ד ומפני שהמספר אשר לקחנו השלישית ממנו שהוא י"ב הוא יותר מהמספר המבוקש מרובעו שהוא י"א קבצנו שתיהן ונהיו כ"ג וגרענו אותם מן קמ"ד ונשארו קכ"א וזהו המבוקש שהוא מרובע י"א
|
|
אמר מרדכי מצאתי דרך נכבד בענין הכפל בדרך החמישיות והוא כי כאשר תרצה לכפול מספר על עצמו תקח חמישיתו ותכפלהו על עצמו ותעלהו במעלה הבאה הסמוכה לה אחר תכפול אותה על שנים וחצי והוא המבוקש
|
- Example: we wish to multiply sixty by sixty.
|
דמיון רצינו לכפול ששים על ששים
|
|
וחמישיתו י"ב כפלנום על עצמם נהיו קמ"ד העלנו אותם במדרגה הבאה הסמוכה להם ונהיו אלף וארבע מאות וארבעים כפלנום על ב' וחצי ונהיו ג' אלפים ת"ר וזהו המבוקש
|
- Another example: we wish to multiply fifty by fifty.
|
דמיון אחר רצינו לכפול חמשים על חמשים
|
|
וחמישיתו עשרה כפלנוהו על עצמו ונהיה מאה העלינוהו אל המדרגה הסמוכה לה ונהיו אלף כפלנום על ב' וחצי ונהיו ב' אלפים וחצי וזהו המבוקש
|
|
ואם רצית לכפול מספר על עצמו ואין לו חמישית תעיין המספר הקרוב אליו שיש לו חמישית אם מלפניו אם מלאחריו ולא יעבור ההפרש לעולם על שנים
|
|
ואם היה המספר אשר יש לו חמישית הקרוב אל מספרך קודם ממספרך באחד תחשבהו בדרך שהזכרתי ראשונה על המספר שיש לו חמישית אחר תחבר מספרך עם המספר שיש לו החמשית ותוסיפהו על הסך והוא המבוקש
|
|
ואם היה ההפרש שנים תכפול מספרך אחר שתחברהו עם המספר שיש לו חמישית עם שנים ואחר תוסיפנו על הסך והוא המבוקש
|
|
אמנם אם המספר שיש לו החמשית הוא אחר מספרך תחשוב חשבונך על המספר שיש לו החמישית אחר תחבר מספרך עם המספר פעם אחת אם ההפרש אחד או תכפול אותו עם ב' אחר שחברתו אם ההפרש שנים ותגרעהו מהסך והנשאר הוא המבוקש
|
- Example: we wish to multiply 11 by 11.
|
דמיון רצינו לכפול י"א על י"א
|
|
והנה זה המספר אין לו חמשית והמספר הקרוב אליו אשר יש לו חמישית הוא העשרה וכפלנו אותו בדרך החמישיות ועלו ק' אחר חברנו הי' שיש לו החמישית עם הי"א שהוא מספרינו פעם אחת מפני שההפרש בין שמספרנו ובין י' הוא אחד ונהיו כ"א חברנו עם הק' ונהיו קכ"א וזהו המבוקש
|
|
דמיון אחר במספר שההפרש שנים
|
- We wish to multiply 12 by 12.
|
רצינו לכפול י"ב על י"ב
|
|
והנה זה המספר אין לו חמישית והמספר הקרוב לו בעל החמשית הוא העשירי' כפלנוהו בדרך החמישיות ונהיו ק' אחר חברנו הי' שיש לו החמישית עם הי"ב שהוא מספרנו ונהיו כ"ב ומפני שההפרש שנים כפלנום ב' פעמים ונהיו מ"ד וחברנום עם הק' והיו קמ"ד וזהו המבוקש
|
|
דמיון אחר במספרים אשר המספר שיש לו חמשית הקרוב אליו הוא אחריהם כי הדמיונים אשר עשינו היה בהיותו לפניהם
|
- We wish to multiply 14 by 14.
|
רצינו לכפול י"ד על י"ד
|
|
והנה זה המספר אין לו חמישית ראינו המספר אשר יש לו חמישית הקרוב אליו והוא ט"ו כפלנום בדרך החמישיות ועלה רכ"ה אחר חברנו את המספר הזה שיש לו חמישית עם מספרינו שהוא י"ד פעם אחת מפני שההפרש אחד והיה כ"ט גרענום מן הסך מפני כי המספר אשר יש לו החמישית היה אחרי מספרנו ונשארו קצ"ו וזהו המבוקש
|
|
דמיון במספר כזה שההפרש אשר בינו ובין אשר יש לו החמישית שנים
|
- We wish to multiply 13 by 13.
|
רצינו לכפול י"ג על י"ג
|
|
וזה המספר אין לו חמישית והמספר הקרוב אליו שיש לו החמישית הוא החמשה עשר כפלנוהו בדרך החמישיות והיה רכ"ה אחר חברנו זה המספר שיש לו החמישית עם י"ג שהוא מספרנו ונהיו כ"ח כפלנום על ב' מפני שההפרש אשר בין שני המספרים ב' ונהיו נ"ו גרענום מן רכ"ה מפני שהמספר שיש לו החמישית הוא אחרי מספרנו ונשארו קס"ט וזהו המבוקש
|
|
ואם תרצה לכפול מספר על מספר שהם רחוקים מהכלל בשווי האחד חסר ממנו והאחר מוסיף עליו אתה יכול לכפול הכלל על עצמו אחר תרבע המספר היתר והחסר ותגרעהו מחשבון הכלל וההוה הוא המבוקש
|
- Example: we wish to multiply twenty-five by thirty-five.
|
דמיון רצינו לכפול כ"ה על ל"ה
|
|
והכלל ל' והה' בתוספת וחסרון כפלנו הכלל ונהיו תת"ק אחר כפלנו הה' ונהיה כ"ה גרענום מהתת"ק ונשארו תתע"ה והוא המבוקש
|
|
אמר מרדכי עם היות שאמרנו שאם היו המספרים שתים על שתים אתה צריך לכפלם ארבעה על ארבעה ר"ל ארבעה פעמים צריך אתה לדעת שאם היה כללם אחד יספיק לכפלם שלש פעמים
|
|
כגון הרוצה לכפול י"ג על י"ד והנה כלל שניהם עשרה תחבר שני הפרטים ויהיו ז' ותכפול ז' פעמים י' נהיו ע' וי' פעמים י' הרי ק' וג' פעמים ד' הרי י"ב והעולה קפ"ב וזהו המבוקש
|
|
מאזנים על הכפל בדרך הט'
|
|
תחשוב הטור העליון כולו כאלו הם אחדים והשליכם ט' ט' והשאר שמרהו וזה יקרא השמור הראשון
|
|
עוד תעשה כן בטור השפל והשאר יקרא השמור השני
|
|
תכפול השמור הראשון על השמור השני ואשר יהיה השליכהו ט' ט' והשאר שמרהו וזה יקרא השמור השלישי
|
|
אחר תעיין הטור השלישי השפל אשר יקרא הסך ותחשבהו כאלו הם אחדים והשליכם ט' ט' והשאר עיין ואם הוא שוה לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע בודאי שטעית
|
|
מאזנים בדרך השבעה
|
|
עיין מספרי הטור הראשון ותתחיל מהיותר כולל ותחשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם ז' ז' ואשר ישאר חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם עוד ז' ז' ואשר ישאר עוד חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם עוד ז' ז' ואשר ישאר עוד חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם ז' ז' וכן תעשה עד שתגיע למעלת האחדים ואשר ישאר שמרהו וזה יקרא השמור הראשון
|
|
עוד תקח מספרי הטור השני ועשה כמשפט הזה ואשר ישאר יקרא השמור השני
|
|
אחר תכפול השמור השני על השמור הראשון ואשר יהיה השליכהו ז' ז' והשאר יקרא השמור השלישי
|
|
אחר כן תעיין מספרי הטור השפל השלישי אשר יקרא הסך ועשהו כמשפטי הטורים העליונים ועיין הנשאר ואם הוא שוה לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע בודאי שטעית
|
The Place of the Problems
|
מקום השאלות
|
Multiplication of Fractions
|
|
- 1) How much are 9 parts of 13 multiplied by 17 parts of 19?
|
א כמה ט' חלקים מי"ג הכפולים על י"ז חלקים מי"ט
|
- These do not have an expressible ratio, therefore you should know how to multiply and what to do.
|
כי אלה אין להם ערך מדובר לכן ראוי שתדע איך תכפול ומה תעשה
|
- common denominator: We should know the denominator first. We multiply 13 by 19; it is 247 and this is the denominator.
|
ראוי שנדע בתחלה המורה והנה נכפל י"ג על י"ט יהיו רמ"ז והוא המורה
|
- Then, we take 19 for each of the 9 parts; it is 171 and this is the first number.
|
אח"כ נקח לכל אחד מט' חלקים י"ט נהיו קע"א והוא המספר האחד
|
- We take also 13 for each of the 17 parts; it is 221.
|
עוד נקח לכל אחד מי"ז חלקי' י"ג נהיו רכ"א
|
- We multiply one by the other; it is 37791.
|
נכפול זה על זה נהיו ל"ז אלפים תשצ"א
|
- We divide it by 247; the result is 153.
|
חלקנו אותם על רמ"ז ועלו קנ"ג
|
- The product of 9 by 17 is also 153.
|
והנה העולה מכפל ט' בי"ז גם כן קנ"ג
|
- The ratio of it to 247 is as the ratio of the first number, i.e. 37791, to the square of 247 and this is the required.
|
וערך זה אל רמ"ז כערך המספר הראשון [ר"ל מספר ל"ז אלפים תשצ"א] אל מרובע רמ"ז והוא המבוקש
|
- If you want to be precise, divide 153 by 19; the result is 8 parts of 13 and one fraction remains, which is one part of 19.
|
ואם תרצה לדקדקו חלק קנ"ג על י"ט יהיה העולה ח' חלקים מי"ג וישאר שבר א' שהוא שבר חלק מי"ט
|
- Or, if you want, we divide 153 by 13; the result is 11 parts of 19 and 10 parts of 13 of one part of 19.
|
או אם תרצה חלקנו זה קנ"ג על י"ג ויהיו י"א חלקים שלימים מי"ט וי' נשברים שי"ג מהם עושה חלק אחד מי"ט
|
How Much Problems
|
|
Road
|
|
- 2) Question: a road, we add to it its quarter and its fifth and the sum is 10 miles.
- How long is the road?
|
ב שאלה דרך חברנו אליה רביעיתה וחמשיתה והיתה י' מילין
כמה היתה הדרך
|
- False Position - common denominator: We define the denominator 20, because 4 times 5 is 20.
|
נשים המורה כ' כי ד' פעמי' ה' הם כ'
|
- Its quarter and its fifth are 9. We add it to the denominator; it is 29.
|
ורביעיתו וחמשיתו הם ט' נחברם עם המורה נהיו כ"ט
|
- Rule of Four: We multiply 20 by 10; it is 200.
|
נכפול הכ' עם הי' ונהיו ר'
|
- We divide it by 29; it is 6+½+⅓+¹/₁₅ miles approximately and this is [the length of] the road.
|
נחלקם על כ"ט ונהיו ו' מילין וחצי מיל ושליש מיל וחלק אחד מט"ו בקרוב וככה היא הדרך
|
Money
|
|
- 3) Question: we take a ninth of an amount of money, its tenth, and its one part of 11. How much is the ratio of all of this to the amount of money?
|
ג שאלה לקחנו תשיעית ממון ועשיריתו וחלק אחד מי"א ממנו
כמה הוא כל זה מערך הממון
|
- This is easy for the one who knows to add fractions, as we wrote concerning their addition.
|
והנה זה נקל הוא מי שידע לחבר השברים כאשר כתבנו בחבורם
|
- We do as follows: we look for a denominator by multiplying 9 by 10; it is 90. Then 90 by 11; it is 990 and this is the denominator.
|
וכן נעשה נבקש מורה והוא שנכפול ט' על י' ונהיו צ' עוד צ' על י"א ונהיו תתק"ץ וזהו המורה
|
- Its ninth is 110; its tenth is 99; its one part of 11 is 90; and the total sum is 299.
|
ותשיעיתו ק"י ועשיריתו צ"ט וחלק אחד י' ממנו צ' והכל מחוברי' רצ"ט
|
- The ratio of 299 to 990 is the ratio of these to the amount of money.
|
וערך רצ"ט אל תתק"צ ככה אלה מערך הממון
|
- We divide it by 90, which is one part of 11; it is 3 parts of 11 and 29 parts of 90, which are one-third of one part of 11 minus something.
|
חלקנו אותם אל צ' שהוא חלק אחד מי"א ונהיו ג' חלקי' מי"א וכ"ט חלקי' מצ' שהם שלישית חלק מי"א פחות משהו
|
- 4) Question: an amount of money, we add to it its half, its third, its fifth, and its sixth and the sum is 60.
- How much is the amount of money?
|
ד שאלה ממון הוספנו עליו מחציתו שלישיתו חמשיתו וששיתו ובין הכל היו ס'
כמה היה הממון
|
- We know that the half, the third, and the six are one integer.
|
ידענו שהחצי והשלישית והששית הוא אחד שלם
|
- We think as if it were one, so it is now two and a fifth.
- False Position:
|
ונחשב שהיה לו אחד והיה לו עתה שנים וחמשית
|
- Rule of Four: We divide 60 by 2⅕ and so is the amount of money.
|
נחלק הס' על הב' וחמשית וכך היה הממון
|
- Convert the 2 integers into fifths, since we have a fifth, then we add the fifth that we have to them; they are 11 fifths.
|
והנה תשיב הב' שלימי' אל חמשיות מפני שיש לנו חמשית ונחבר גם החמשית שיש לנו עמם ונהיו י"א חמשיות
|
- We multiply 5 by 60; it is 300 and this is the denominator.
|
נכפול ה' על ס' ונהיו ש' והוא המורה
|
- We divide it by 11; the quotient is 27 and 3 parts of 11 and this is the amount of money.
|
נחלקם על י"א והיה החלק כ"ז וג' חלקי' מי"א וככה היה הממון
|
How Many Problem - horses
|
|
- 5) Question: a riding man saw a man pulling horses and said to him: where are you leading these 100 horses?
- He answered him: these and other like them and a half of them and a quarter of them with the horse you ride are 100.
- How much were the horses?
|
ה שאלה אדם רוכב ראה איש מושך סוסים וא"ל אנה אתה מוליך אלה הק' סוסים
והשיב לו אלה ואחרים כמותם ומחציתם ורביעיתם ועם הסוס שאתה רוכב הם ק'
כמה היו הסוסים
|
- We subtract the rider's horse; 99 remains.
|
הנה נוציא הסוס שרוכב זה ונשארו צ"ט
|
- False Position: We have two, a half, and a quarter. Since we have a quarter, we convert all into quarters: the 2 integers are 8 quarters; the half is 2; so they are 10. We add the quarters that we have to them also; they are 11 quarters.
|
יש לנו שנים ומחצית ורביעית ומפני שיש לנו רביעית נשיב הכל לרביעיות והנה הב' שלימי' הם ח' רביעיות והמחצית ב' הרי י' נחבר גם הרביעיות שיש לנו עמם נהיו י"א רביעיות
|
- Rule of Four: We return to the ratios and write: if the 11-quarters yield 99, how much will the 4-quarter that are one integer yield?
|
אחר נשיב אותם אל הערכים ונכתוב אם הי"א רביעיות נתנו צ"ט הד' רביעיות שהוא האחד השלם כמה יתנו
|
- We multiply the means, which are 4 by 99, then divide them by 11, which is the extreme; it is 36 and this is the number of the horses.
|
נכפל האמצעיים שהם הד' על הצ"ט ונחלקם על י"א שהוא הקצה נהיו ל"ו וככה מספר הסוסים
|
Buy and Sell Problems
|
|
- 6) Question: a man bought 24 liṭra for 24 dinar. He sold 12 [of them] at 1¼ liṭra for one dinar, and the [other] 12 liṭra at (1‒¼) liṭra for one dinar.
- We want to know: did he earn or lose?
|
ו שאלה אדם קנה כ"ד ליט' בכ"ד דינ' ומכר הי"ב ליט' ורביע ליט' בדינר והי"ב ליט' מכר ליט' פחות רביע ליט' בדינר
נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד
|
- We convert the first 12 liṭra into quarters; they are 48
|
נשיב הי"ב ליט' הראשוני' לרביעיות ונהיו מ"ח
|
- We divide them by 5, since he sold 5 quarters for one dinar; it is 9+½+⅒, and these are the dinar he earned from the first 12 liṭra.
|
נחלקם על ה' כי ה' רביעיות מכר בדינר ונהיו ט' וחצי ועשירית ואלה הם הדינ' שלקח מהי"ב ליט' הראשונים
|
- We multiply the other 12 liṭra by 4, since he sold (1‒¼) liṭra for one dinar; they are 48.
|
עוד נכה הי"ב ליט' האחרוני' בד' כי ליט' פחות רביע מכר בדינ' ונהיו מ"ח
|
- We divide them by 3, since (1‒¼) liṭra are ¾; it is 16, and these are the dinar he earned from the other 12 liṭra.
|
נחלקם על ג' מפני שהליט' פחות רביע הם ג' רביעיות ונהיו י"ו ואלה הם הדינ' שלקח מהי"ב ליט' האחרונים
|
- We sum up the two amounts of money; they are 25+½+⅒.
|
נחבר שני הממונות נהיו כ"ה וחצי ועשירית
|
- We subtract the 24 dinar of the original amount; 1+½+⅒ dinar remains and this is the profit.
|
נוציא כ"ד דינ' של הקרן נשאר דינר וחצי ועשירית וזהו הריוח
|
|
|
- 7) Question: a man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
- How much money did he have originally?
|
ז שאלה אדם קנה ג' חמשיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט
כמה היה ממונו
|
- common denominator: We look for a denominator; it is 35.
|
נבקש המורה והוא ל"ה
|
- Its 3-fifths are 21.
|
וג' חמשיותיו כ"א
|
- Its 4-sevenths are 20.
|
וד' שביעיותיו כ'
|
- Check: The amount of money was 20 pešuṭim, because for each pašuṭ he earns one part of 20 of a pašuṭ and when he sells for 20 pešuṭim he earns one pašuṭ.
|
והממון היה כ' פשוטי' כי בכל פשוט ירויח חלק אחד מכ' בפשוט וכשימכור של כ' פשוטי' ירויח פשוט אחד
|
- Question: a man bought 9/17 parts of a liṭra for one pašuṭ, then he sold 10/19 parts [of a liṭra] for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
- How much was the money?
|
שאלה אדם קנה ט' חלקים מי"ז חלקי' ליטר' בפשוט ומכר י' חלקי' מי"ט בפשוט והרויח פשוט
כמה היה הממון
|
- common denominator: We look for a denominator by multiplying 17 by 19; it is 323.
|
נבקש המורה והוא שנכפול י"ז על י"ט ונהיו שכ"ג
|
- It is known that 9 parts of 17 are 171 and this was the amount of money.
|
וידוע כי ט' חלקי' מי"ז הם קע"א וככה היה הממון
|
- 10 parts of 19 are 170.
|
וי' חלקי' מי"ט הם ק"ע
|
- Check: So, he earned one pašuṭ.
|
והנה הרויח הפשוט
|
How Much Problem - Money
|
|
- 8) Question: an amount of money, we sum its third, its quarter, and its fifth and the sum is 30.
- How much is the amount of money?
|
ח שאלה ממון חברנו שלישיתו רביעיתו חמשיתו והיו ל'
כמה הוא כל הממון
|
- False Position - common denominator: We look for the denominator; it is 60.
|
נבקש המורה והוא ס'
|
- Its third is 20; its quarter is 15; its fifth is 12; together they are 47.
|
ושלישיתו כ' ורביעיתו ט"ו וחמשיתו י"ב וכלם מ"ז
|
- Rule of Four: As the ratio of 47 to 60 so is the ratio of 30 to the whole amount of money.
|
הנה כערך מ"ז אל ס' כן ערך ל' אל כל הממון
|
- We write like this: if 47 yields 60, how much will 30 yield?
|
ונכתו' ככה אם המ"ז יתנו ס' הל' כמה יתנו
|
|
|
- We miltiply the means; it is 1800.
|
נכפול האמצעיים כך ונהיו אלף ת"ת
|
- We divide it by the extreme, which is 47; the quotient is 38¼, and 2¼ parts of 47.
|
נחלקם על הקצה שהוא המ"ז נהיה החלק ל"ח ורביעית וב' חלקי' ורביע חלק ממ"ז
|
Partnership Problem - For the Same Time
|
|
- 9) Question: five people - the first gave 6 dinar, the second 7 dinar, the third 8 [dinar], the fourth 9 dinar, and the fifth 10 dinar.
- They earned a total of 11 dinar.
- How much should each of them take [from the profit]?
|
ט שאלה אם אנשים ה' נתן האחד ו' דינ' והשני ז' דינ' והשלישי ח' והרביעי ט' דינ' והחמשי י' דינ'
והרויחו בין הכל י"א דינ'
כמה יקח כל אחד מהם
|
- The 11 dinar is what is earned by the sum of all these dinar.
|
הנה אלה הי"א דינ' הרויחו אותם כל הדינ' מקובצי'
|
- We look how much they are, then we convert them to the ratio of each and as the ratio of the money of each so each takes.
|
ונראה אותם כמה הם אח"כ נשיב אותם אל הערך של כל אחד ואחד וכפי ערך ממונו ככה יקח
|
- The sum of the given dinar is 40 dinar.
|
והנה הדינרי' מקובצי' הם מ' דינ'
|
- We write the ratio of the first as follows:
|
ונכתו' הערך של הראשון ככה
|
|
|
- Rule of Four: If 40 dinar earn 11, how much will 6 earn?
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א הו' כמה ירויחו
|
- We multiply the means; it is 66.
|
נכפול האמצעיים ונהיו ס"ו
|
- We divide it by 40, which is the extreme; the quotient is 1+½+⅛+¹/₄₀ and so the owner of the 6 dinar takes.
|
ונחלקם על מ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד אחד וחצי ושמינית וחלק אחד ממ' וככה יקח בעל הו' דינר
|
- We write also the ratio of the second as follows:
|
עוד נכתו' הערך של השני ככה
|
|
|
- Rule of Four: If 40 dinar earn 11, how much will 7 earn?
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א הז' דינ' כמה ירויחו
|
- We multiply the means; it is 77.
|
נכפל האמצעיים ונהיו ע"ז
|
- We divide it by the extreme, which is 40; the quotient is 1+¾+⅛+¹/₂₀ and so the owner of the 7 dinar takes.
|
נחלקם על הקצה שהוא המ' ונהיה החלק האחד אחד וג' רביעיות ושמינית וחלק א' מכ' וככה יקח בעל הז' דינ'
|
- We write also the ratio of the third as follows:
|
עוד נכתו' הערך של השלישי ככה
|
|
|
- Rule of Four: If 40 dinar earn 11, how much will 8 earn?
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א דינ' הח' דינ' כמה ירויחו
|
- We multiply the means; it is 88.
|
נכפל האמצעיים ונהיו פ"ח
|
- We divide it by 40, which is the extreme; the quotient is 2+⅕ and so the owner of the 8 dinar takes.
|
נחלקם על המ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד ב' וחמשית וככה יקח בעל הח' דינ'
|
- We write also the ratio of the fourth as follows:
|
עוד נכתו' הערך של הרביעי ככה
|
|
|
- Rule of Four: If 40 dinar earn 11, how much will 9 earn?
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א הט' דינ' כמה ירויחו
|
- We multiply the means; it is 99.
|
נכפול האמצעיים ונהיו צ"ט
|
- We divide it by 40; the quotient is 2+¼+⅕+¹/₄₀ and so the owner of the 9 dinar takes.
|
נחלקם על המ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד ב' ורביעית וחמשית וחלק אחד ממ' וככה יקח בעל הט' דינ'
|
- We write also the ratio of the fifth as follows:
|
עוד נכתו' הערך של החמשי ככה
|
|
|
- Rule of Four: If 40 dinar earn 11, how much will 10 earn?
|
אם המ' דינ' הרויחו י"א הי' כמה ירויחו
|
- We multiply the means; it is 110.
|
נכפול האמצעיים ונהיו ק"י
|
- We divide it by 40, which is the extreme; the quotient is 2+¾ and so the owner of the 10 dinar takes.
|
נחלקם על מ' שהוא הקצה ונהיה החלק הא' ב' וג' רביעיות וככה יקח בעל הי' דינ'
|
- Check: When you sum all the shares that they take, you find them 11, no more and no less.
|
וכשתקבץ כל החלקי' שיקחו הכל תמצאם י"א לא פחות ולא יתר
|
- Another method to find this:
|
דרך אחרת למצוא זה
|
- Convert the 11 dinar that are the total profit into pešuṭim, then divide them by 40 and you will see how much is the profit of each dinar of the 40.
|
תעשה הי"א דינ' שהם הריוח כלם פשוטי' ותחלקם על מ' ותראה כמה ריוח יגיע לכל דינר מהמ'
|
- Multiply this profit by 6 and the result is the share of the owner of the 6 dinar.
|
והריוח ההוא תכפול אותו עם הו' ואשר יהיה ככה יגיע לבעל הו'
|
- Multiply it by 7 and the result is the share of the owner of the 7 dinar.
|
עוד תכפול אותו עם הז' ואשר יהיה ככה יגיע לבעל הז'
|
- Do likewise with 8, 9, and 10.
|
וכן תעשה עם הח' והט' והי'
|
Purchase Problem - Equal Amount
|
|
- 10) Question: the buyer had three [kinds of] coins.
- He went to the seller to buy one liṭra of silk.
- The first coin was worth 3 dinar.
- The second coin was worth 4 dinar.
- The third coin was worth 6 dinar.
- The buyer said: give me one liṭra of silk and take from my three coins equally so that you will take the value of the liṭra
- How much should he take from each coin?
|
י שאלה יש אצל הקונה שלשה מטבעים
והלך אצל המוכר לקנות ליט' אחת משי
והמטבע האחת היתה שווה ג' דינ'
והמטבע השנית היתה שוה ד' דינ'
והמטבע השלישי' היתה שוה ו' דינ'
ואמ' הקונה תן לי ליט' משי וקח מג' מטבעותי בשווי עד שתקח מה ששוה הליט'
כמה יקח מכל מטבע ומטבע
|
- common denominator: We look for the denominator; it is 72, because the product of 3 by 4 is 12 and the product of 12 by 6 is 72.
|
נבקש המורה והוא ע"ב כי כפל ג' על ד' י"ב וכפל י"ב על ו' ע"ב
|
- Its third is 24; its quarter is 18; its sixth is 12; the total sum is 54 dinar.
|
ושלישיתו כ"ד ורביעיתו י"ח וששיתו י"ב והכל נ"ד וזהו הדינ'
|
- We divide the denominator, which is 72, by 54; the quotient is 1⅓ and so he will take from each coin.
|
נחלק המורה שהוא ע"ב על נ"ד ונהיה החלק האחד אחד ושליש וככה יקח מכל מטבע
|
- We convert the dinar into 12 perutot and he takes 16 perutot from each [type of] coin:
|
והנה נעשה הדינ' י"ב פרוטו' ויקח י"ו פרוטות מכל מטבע
|
- If you want to know how:
|
ואם תרצה לדעת איך הוא
|
- Think as if he wants to take 36 perutot from the coin of 3 dinar and he takes 16 perutot from it.
|
כך תחשוב שרוצה לקחת ל"ו פרוטות ממטבע ששוה ג' דינ' ולקח ממנו י"ו פרוטות
|
- When he takes 16 perutot from the coin of 4 dinar, it is as if he takes 12 perutot from the coin of 3 dinar, as the ratio of 4 to 3.
|
וכשלקח עוד י"ו פרוטות ממטבע ששוה ד' דינ' כאלו לקח י"ב פרוטו' ממטבע ששוה ג' דינ' כערך הד' אל הג'
|
- We sum up 12 with 16; it is 28.
|
נחבר הי"ב עם הי"ו ונהיו כ"ח
|
- When he takes 16 perutot from the coin of 6 dinar, it is as if he took 8 perutot from the coin of 3 dinar, as the ratio of 3 to 6.
|
עוד כשלקח י"ו פרוטות ממטבע ששוה ו' דינ' הוא כאלו לקח ח' פרוטו' ממטבע ששוה ג' דינ' כערך הג' אל הו'
|
- We sum up 8 with 28; it is 36 and it is the required.
-
|
נחבר הח' עם הכ"ח ונהיו ל"ו וזהו המבוקש
|
Payment Problems
|
|
constructing a shelf
|
|
- 11) Question: a man agreed with a craftsman to construct for him a shelf of 6 in length and 6 in width and he will pay him 8 dinar.
- He constructed for him [a shelf of] 3 in length and 3 in width.
- How much should he pay him?
|
יא שאלה אדם התנה עם אומן לבנות לו אצטבא ו' באורך ו' וו' ברוחב ויתן לו ח' דינ'
והוא בנה לו ג' בארך וג' ברחב
כמה יתן לו
|
- He will be paid a quarter
|
אין ספק כי יתן לו הרביעית שהוא ב' דינ' כי כפל חצי על חצי הוא רביעית אחד
|
- If he had constructed a half of the length by the whole width or half of the width by the whole length, he would have been paid a half of the payment
|
שאלו היה בונה כל האורך עם חצי הרוחב או ההפך היה נותן לו המחצית
|
- If he agreed with him to construct for him [a shelf of] 5 in length, 6 in width, and 7 in height and he will pay him 8 dinar.
- He constructed for him [a shelf of] 4 in length, 5 in width, and 6 in height.
- How much should he pay him?
|
אבל אם התנה עמו שיבנה לו ה' בארך ו' ברוחב ז' בגובה ויתן לו ח' דינ'
והוא בנה ד' בארך וה' ברחב וו' בגובה
כמה יתן לו
|
- We should sum up all the numbers of the condition, then take their ratio, and likewise the measures of the construction:
|
אז ראוי שנחבר כל מספרי התנאי ונשיבם אל הערכים וכן מספרי הבניין
|
- We sum up first the numbers of the condition; the sum is 18.
|
חברנו תחלה מספרי התנאי ונהיו י"ח
|
- We sum up also the measures of the construction; the sum is 15.
|
עוד חברנו מספרי הבניין ונהיו ט"ו
|
- Rule of Four: We take the ratio as follows: If 18 yield 8 dinar, how much will 15 yield?
|
ועשינו הערך ככה אם אם הי"ח יתנו ח' דינ' הט"ו כמה יתנו
|
|
|
- We multiply the means; it is 120.
|
כפלנו האמצעיים ונהיו ק"כ
|
- We divide it by 18, which is the extreme; the quotient is 6⅔ and so he is paid.
|
חלקנום על הי"ח שהוא הקצה ונהיה החלק ו' וב' שלישיות וככה יקח
|
three workers, three different daily wages, the same actual payment
|
|
- 12) Question: a man hired three brothers - Reuven, Shimon and Levi - for two days so that one of them will work with him.
- If Reuven will work with him the whole two days he will pay him 6 dinar.
- If Shimon will work alone he will pay him 4 dinar.
- If Levi will work alone he will pay him 3 dinar.
- They worked a total of two days together.
- Finally, he paid each of them an equal share.
- How much is the share of each of them and how many hours did each of them work?
|
יב שאלה אדם אחד שכר ג' אחים ראובן שמעון לוי לעבוד אחד מהם עמו ב' ימי'
ואם יעבוד ראובן עמו כל הב' ימי' יתן לו ו' דינ'
ואם יעבוד שמעון לבדו יתן לו ד' דינ'
ואם יעבוד לוי לבדו יתן לו ג' דינ'
עתה בין הכל עבדו ב' ימי'
ובאחרונה פרע לכל חלק שוה
כמה פרע כל אחד ואחד וכמה שעות עבד כל אחד ואחד
|
- common denominator: We look for the denominator; it is 72, because the product of 6 by 4 is 24, and this by 3 is 72.
|
נבקש המורה והוא ע"ב כי כפל ו' על ד' הם כ"ד ואלה על ג' הם ע"ב
|
- Its sixth, its third, and its quarter are 54.
|
וששיתו ושלישיתו ורביעיתו הם נ"ד
|
- As the ratio of 72 to 54, so one is paid from the dinar. The ratio of 72 to 54 is 1⅓ and so each of them is paid.
|
הנה כערך ע"ב אל נ"ד ככה יקח מהדינרי' וערך ע"ב אל נ"ד הוא אחד ושליש וככה יקח כל אחד ואחד
|
- We wish to know how many hours each of them worked:
|
נבקש לדעת כמה שעות עבד כל אחד ואחד
|
- We take the ratio and convert the dinar into thirds, because of the third that is added to the dinar.
|
ונשיבהו אל הערכים ונשיב הדינ' שלישיות מפני השליש שעודף על הדינר
|
- The day is 12 hours.
|
והיום י"ב שעות
|
- Rule of Four: We take Reuven's ratio as follows: If 18-thirds are 24 hours, how much will 4-thirds yield?
|
ונעשה ערך ראובן כך אם הי"ח שלישיות כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
|
- We multiply the means; it is 96.
|
נכפול האמצעיים ונהיו צ"ו
|
- We divide it by 18; the quotient is 5⅓ and so Reuven worked.
|
נחלקם על י"ח ונהיה החלק ה' שעות ושליש וככה עבד ראובן
|
|
|
- Rule of Four: We take Shimon's ratio as follows: If 12-thirds are 24 hours, how much will 4-thirds yield?
|
ונעשה ערך שמעון כך אם הי"ב שלישיות כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
|
|
|
- We multiply the means; it is 96.
|
כפלנו האמצעיים והם צ"ו
|
- We divide it by 12; the quotient is 8 hours and so Shimon worked.
-
|
חלקנום על י"ב ונהיה החלק ח' שעות וככה עבד שמעון
|
- Rule of Four: We take Levi's ratio as follows: If 9-thirds yield 24 hours, how much will 4-thirds yield?
|
ונעשה ערך לוי כך אם הט' שלישיות יתנו כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
|
|
|
- We multiply the means; it is 96.
|
כפלנו האמצעים ונהיו צ"ו
|
- We divide it by 9; the quotient is 10⅔ hours and so Levi worked.
|
חלקנום על ט' ונהיה החלק י' שעות וב' שלישיים וככה עבד לוי
|
- Check: Sum up all the hours that the three of them worked and you will find that they are 24 hours, which are two days.
|
חבר כל השעות שעבדו שלשתם ותמצאם כ"ד שעות שהם ב' ימים
|
|
הזה בסוף השאלה הט' עיין הטב
|
Boiling Problem
|
|
- 13) Question: a man was boiling 6 measures of a beverage and he wanted that one third will remain. One measure was evaporated while cooking, then one measure overflow and four measures remained.
- He wants to [reduce] them [as planned for the original amount]
|
יג שאלה אדם אחד היה מבשל משקה ו' מדות ורצה שישאר השליש ונחסרה המדה האחת בבשול אחר נשפכה מדה אחת ונשארו הד' מדות
ורוצה להשיבם להשאירם כמשפט הראשון
|
- Rule of Four:
|
נשיבם אל הערכים ככה אם הה' מדות יתנו ב' הד' כמה יתנו
|
|
נכפל האמצעיים ונהיו ח' נחלקם על הקצה שהוא הה' ונהיה החלק אחד וחצי ועשירית וככה ראוי שישאר
|
- 14) Question: a sheet of 100 cubits long.
- Reuven began to measure it from one end and Shimon from the other end.
- Reuven measures 10 cubit in one hour and Shimon [measures] 12 [cubit in one hour]
- When will they meet?
|
יד שאלה יריעה ק' אמות
והתחיל למנותה ראובן מן הקצה האחד ושמעון מן הקצה האחר
וראובן מונה י' אמות בשעה ושמעון י"ב
מתי יפגשו
|
- hours
|
נחבר שני המניינים אשר הם כ"ב אמות בשעה ונחלק הק' אמות עליהם ונהיה החלק ד' וחצי וחלק אחד מכ"ב
וידענו שבד' שעות וחצי וחלק מכ"ב בשעה יפגשו שניהם על המניין
|
- the number of cubits measured by Reuven
|
ואם תרצה לדעת כמה אמות מנה ראובן תכפול י' בד' וחצי וחלק א' מכ"ב ואשר יעלה כן מספר האמות אשר מנה ראובן
|
- the number of cubits measured by Shimon
|
וכן אם תרצה לדעת כמה מנה שמעון תכפול תכפול הד' שעות וחצי וחלק מכ"ב על י"ב ואשר יעלה כך מספר האמות אשר מנה שמעון
|
Shared Work Problem - Draining a Vessel - Barrel
|
|
- 15) Question: a full barrel has three taps
- If the first is opened the barrel is drained in half a day.
- If the second is opened it is drained in a third of a day.
- If the third is opened it is drained in a quarter of a day.
- If you opened all three taps together, in how many hours will the barrel to be drained?
|
טו שאלה חבית מליאה יש בה ג' נקבים
אם תפתח הא' יכלה החבית בחצי היום
ואם תפתח השנית יכלה בשלישית יום
ואם תפתח השלישית יכלה ברביעית יום
ואם פתחת השלשה נקבים ביחד בכמה שעות יכלה החבית
|
- day = 12 hours
|
אתה צריך לדעת כי היום י"ב שעות
|
- barrel = 48 measures
|
וכן החבית כמה מדות מכילה ונניח שמכילה מ"ח מדות
|
- through the first tap it is drained in hours
- measures in one hour
|
והנה בפתיחת הנקב האחד יכלה בו' שעות שהם ח' מדות בשעה
|
- through the second tap it is drained in hours
- measures in one hour
|
ובפתיחת הנקב השני יכלה בד' שעות שהם י"ב מדות בשעה
|
- through the third tap it is drained in hours
- measures in one hour
|
ובפתיחת הנקב הג' יכלה בג' שעות שהם י"ו מדות בשעה
|
- through all three taps in one hour: measures
|
תחבר כל המדות אשר יכלו בשעה אחת והם ל"ו
|
- the barrel is drained through all three taps in hours
|
תחלק המ"ח על הל"ו יהיה אחד ושליש והנה בשעה אחת ושליש תכלה הכל
|
- Rule of Four:
|
ונעשה הערכים ככה אם הל"ו שעה אחת המ"ח על כמה יהיה
|
|
|
|
נכפול האמצעיים והם מ"ח נחלקם על הקצה שהם ל"ו ונהיה החלק אחד ושלישית
|
The Second Book of this Treatise Discusses Geometry
|
[1]הספר השני מזה החבור המדבר בחכמת המדות
|
[The First Section]
|
|
Chapter One of the First Section of the Second Book
|
הפרק הראשון מהחלק הראשון מהספר השני
|
Mordechai said: before discussing geometry it is appropriate to explain the names used by the masters of this craft and science, for in each science, the masters of this science use specific names that indicate issues of this science, not issues that are indicated in other than this science, as they are conventional.
|
אמר מרדכי קודם שנדבר על חכמת המדות ראוי לבאר שמות שנשתמשו בהם בעלי זאת המלאכה והחכמה כי לכל חכמה שמות מיוחדות נשתמשו בהם בעלי החכמה ההיא מורות בענינים באותה החכמה בלתי הענינים אשר יורו בזולת החכמה ההיא להיות שהם הסכמיים
|
|
וכאשר הניחו בזולת החכמה ההיא על מה שהניחו כן יוכלו להעתיקם ממה שהניחום למה שהניחום בחכמה מיוחדת אם על דרך השאלה או על דרך הספוק או על דרך ההעתקה ולפעמים גם ע"ד השתוף הגמור ולכן ראוי למחבר ספר אם ירצה להיות דבריו מובנים לבאר תחילה השמות אשר נשתמשו בם בעלי החכמה ההיא וכן עשה גם החכם אקלידס בספר היסודות אשר ביאר בהצעת כל מאמר דברים הצריכים באותו מאמר
|
|
ונאמר שכשתשמע הנה נקדה תבין שתורה על דבר שאין לו שעור כלל לא ארך ולא רחב ולא עומק והיא נמצאת בראש הקו כי היא תכליתו וכן היא אשר תמצא באמצע הקו כשתשער רמיזה היא תכלית חצי הקו והיא בעצמה ראש חצי הקו האחר
|
The line is a length with no breadth drawn between two points that are its limits.
|
והקו הוא אורך בלא רחב נמשך בין שתי נקדות אשר הן תכליותיו
|
The surface is a breadth stretched between lines, which has only length and breadth and its limits are the lines.
|
והשטח הוא הרחב המתוח בין הקוים ויש לו אורך ורחב לבד ותכליותיו הם הקוים
|
The plane angle is that which is encompassed by two straight lines.
|
והזוית השטוחה היא אשר יקיפו בה שני קוי' ישרי'
|
Among the angles there are right angles, acute angles and obtuse angles.
|
והזוית ממנה נצבת וממה חדה וממנה נרוחת
|
The right angle is [generated] when a straight line falls on a straight line and makes the two angles on its either sides equal.
|
והזוית הנצבת היא כשיפול הקו הישר על קו ישר וישים השתי זויות אשר משתי צדדיו שוות כזה ┴
|
The acute angle is the one that is smaller than it.
|
והחדה היא אשר היא יותר קטנה מזאת
|
The obtuse angle is the one that is greater than it.
|
והנרוחת היא אשר היא יותר גדולה מזאת
|
When a line falls on a line and makes the two angles on its either sides equal, it is called perpendicular.
|
והקו אשר יפול על הקו ויעשה שתי הזויות אשר משתי צדדיו שוות יקרא עמוד
|
The line on which it stands is called base.
|
והקו שהוא עומד עליו יקרא תושבת
|
|
והקוים הנכחיים הם אשר כשיוצאו לכל א' משני צדדים ואפילו ללא תכלית לא יפגשו
|
|
והתמונה השטחית תחלק אל ישרת הקוים ואל בלתי ישרת הקוים
|
|
והתמונה הישרת קוים היא אשר יקיפו בה ג' קוים או יותר
|
|
ואשר יקיפו בה ג' קוים לא יותר תקרא משולש
|
|
ואשר יקיפו בה ד' קוים תקרא מרובע
|
|
ואשר יקיפו בה ה' קוים תקרא מחומש
|
|
וכן כל כיוצא בזה
|
|
והקוים אשר יקיפו בתמונה יקראו צלעות
|
The triangle is divided into three species:
|
והמשולש יחלק אל שלשה מינים
|
One is called equilateral, which is the one whose three sides are equal.
|
הא' יקרא שוה הצלעות והוא אשר שלש צלעותיו שוים
|
The second is called isosceles, which is the one whose two sides are equal and the third is unequal, whether it is longer than both, or shorter than both.
|
והשני יקרא שוה השוקים והוא אשר תהיינה שתי צלעותיו שוות והשלישית בלתי שוה אם יותר ארוכה מכל אחת מהן או יותר קצרה מכל אחת מהן
|
The third is called scalene, which none [of its sides] is equal to the other.
|
והשלישי יקרא מתחלף הצלעות והוא אשר אין אחת שוה לחברתה
|
|
עוד [2]המשולש יחלק אל נצב הזויות והוא אשר זויתו האחת נצבת כזה
|
|
ואל נרוחת הזוית והוא שזויתו האחת מרווחת כזה
|
|
ואל חד הזויות והוא אשר שלש זויותיו חדות
|
|
ובעל הד' צלעות יחלק אל מרובע שוה הצלעות ואל בלתי שוה הצלעות
|
|
עוד השוה הצלעות יחלק אל מה שהוא נצב הזויות ויקרא שוה הצלעות נצב הזויות כזה
|
|
ואל מה שהוא בלתי נצב הזויות כזה ויקרא מעויין
|
|
עוד הבלתי שוה הצלעות יחלק אל מה שהוא שתי צלעותיו הנכוחיים שוים וזויותיו נצבות ויקרא מרובע ארוך כזה
|
|
ואל כל ששתי צלעותיו שוות אבל אין זויותיו נצבות ויקרא דומה למעויין כזה
|
|
ואל זולת אלה ויקרא הנוטה
|
|
והוא ארבע תמונות יתבארו בזה החבור
|
|
והתמונה הבלתי ישרת הקוים השטוחה תחלק אל עגולה וחצי עגולה
|
|
והעגולה היא תמונה יקיף בה קו אחד בתוכה נקדה כל הקוים היוצאים ממנה אל המקיף שוים
|
|
והנקדה ההיא תקרא מרכז העגולה
|
|
והקו אשר יצא ממקיף העגולה ויעבור על המרכז יקרא מיתר
|
|
והחתיכה אשר תושבתה במיתר יקרא קשת
|
|
וחצי העגולה היא אשר יקיף בה חצי הקו המקיף והאלכסון
|
|
וחתיכת העגולה היא תמונה תקיף בה היתר והקשת ותחלק לשני מינים אם שהיא קטנה מחצי עגולה או גדולה הימנה
|
The area of the shape is the right-angled quadrilateral parts, whose length is as their width, or those that are equal to them, that are filling the shape.
|
ותשבורת התמונה הוא החלקים המרובעים נצבי הזויות אשר ארכם כרחבם או השוים להם הממלאים את התמונה הדרושים על התמונה
|
The multiplication is the product of a side by a side, or of a straight line by a curve, or of a number by a number.
|
וההכאה היא כפל צלע בצלע או קו ישר בקו קשתי או מספר במספר
|
Euclid has already explained in a book that he wrote about the measurement of land that the plane geometry is based on four things: directions, points, lines, and angles; and it also has species and types.
|
וכבר ביאר אקלידס בספר אחד שחבר במדידת הארץ כי חכמת המדות השטוחה היא מיוסדת מארבעה דברים מהפאות ומהנקודות ומהקוים ומהזויות וגם כן היא מקבלת סוגים ומינים
|
The directions are east, west, north, and south.
|
והפאות הם מזרח ומערב וצפון ודרום
|
The points are those that you regard as a beginning or a sign of a thing.
|
והנקדות הם אשר תקח אותם התחלה או סימן לדבר
|
The lines are ten: straight line, base, top, perpendicular, parallel line, diagonal, legs, perimeter, diameter, and hypotenuse.
|
והקוים הם י' קו ישר ותושבת וראש ועמוד וקו נכחי וקטר ושוקים ומקיף ואלכסון ומיתר
|
The straight line is that which is drawn straightly from both its ends that are two points.
|
והקו הישר הוא הנמשך על יושר משתי תכליותיו שהם שתי נקדות
|
The base is a straight line on which another straight line stands and makes the two angles on both its sides right angles
|
והתושבת היא קו ישר אחד עומד עליו קו ישר אחר ועושה השתי זויות אשר משני צדדיו נצבות
|
The top is the line that stands above the base.
|
והראש הוא הקו העומד על התושבת
|
The perpendicular is a line that goes down from the top to the base and makes the two angles on both its sides right angles.
|
והעמוד הוא הקו היורד מהראש אל התושבת ועושה השתי זויות אשר משתי צדדיו נצבות
|
The parallel line is a line that stands in parallel to another line and the distances of their extremes that are at right angles are equal.
|
והקו הנכחי הוא קו עומד נכח קו אחר ומרחקי קצותיהם אשר על זויות נצבות שוים
|
The diagonal is a line that is drawn from the one of the vertices of the quadrilaterals and their like to another vertex.
|
והקטר הוא הקו הנמשך מזויות המרובעים וכיוצא בהם עם הזוית האחרת
|
The legs
|
והשוקים הם קוים ישרים יורדים מקצות הארץ עד שתי קצות התושבת
|
The perimeter
|
והמקיף הוא הקו הסובב במרחק שהוא המרכז עד הקו ההוא והקוים היוצאים אליו מהמרכז שוים
|
The diameter
|
והאלכסון הוא [3]קו יוצא מהמקיף ועובר על מרכזו ויוצא אל המקיף מהצד האחר וחולק את המקיף בשני חלקים שוים
|
The hypotenuse
|
והמיתר הוא הקו הישר אשר תחת הזוית הנצבת
|
|
והזויות הם ג' נצבת חדה ונרוחת
|
|
הנצבת היא כאשר יעמוד קו ישר על קו ישר ויעשה הזויות אשר משני צדדיו שוות כל אחת תקרא נצבת
|
|
והזוית אשר היא קטנה מזאת תקרא חדה
|
|
ואשר היא גדולה מזאת תקרא נרוחת
|
|
סוגי המדידה הם שלש מהארבעה קוים הישרי' ומדידת התמונה ר"ל תשבורת התמונות ומדידת הגופנים
|
|
מדידת הקוים הישרים היא אשר ימדדו על יושר באורך לבד וזה יקרא מדידה מספרית
|
|
מדידת תשבורת התמונות הוא אשר יש לו אורך ורחב ועובי כי ממנו יודע מדידת הגופנים ויקרא גם כן מעוקב
|
|
ומיני המדידה הם חמשה המרובע והמשולש והמעוין והנוטה והעגולות
|
|
והתמונות י"ח
|
|
אם תמונות המרובעים ב' מרובע נכחי הצלעות ונצב הזויות
|
|
ואם תמונות המשולשים משולש שוה הצלעות ומשולש שוה השוקים ומשולש מתחלף הצלעות ומשולש נצב הזויות ומשולש נרוח הזויות ומשולש חד הזויות
|
|
ואם תמונות המעויינים ב' המעויין והדומה למעויין
|
|
ואם תמונות הנוטים הם ד' נוטה נצב הזויות נוטה שוה השוקים נוטה חד הזויות נוטה נרוח הזויות
|
|
ואם תמונות העגולות ד' העגולה וחצי העגולה וחתיכת העגולה מחציה ומעלה וחתיכת העגולה הקטנה שהיא קטנה ממנה
|
Chapter Two
|
הפרק השני
|
|
דע כי המשולש הוא שרש ופנה לכל התמונות השטחיות ישרות הקוים כי ממנו חוברו ואליו יותכו כאשר הודיע זה ניקומאכוש הגיהרשיני במאמר השני מספר הארתימישיקא שחבר
|
|
ולכן מי שידע למדוד המשולשים ידע למדוד כל התמונות בכפל תשבורת המשולש במספר אשר יולידו התמורה אם הם שוים ואם היו בלתי שוים יהיה זה בקבוץ תשבורת כל המשולשי' אשר יולידוהו ומפני זה היה מספיק להודיע מדידת המשולש למנין לבד אבל מפני שהמדה והשעור אשר נשער בה מרובעת ארכה כרחבה
|
|
כי תשבורת התמונות הם משוערות על האמות המרובעות כאשר הודענו מן גדרה
|
|
והמשולש בעצמו לא יתאמת מנינו רק בהצטרפו אל המרובע כי המופת שיובא עליו בהקשה אל המרובע לכן ראוי שנודיע מדידת המשולשים [נ' המרובעים] תחלה אח"כ נודיע דרכי המשולשים והשאר
|
|
וקודם זה נודיע שכל מוסכל לא יגיע אלא בידוע ולכן עלו כל הדרושים אל המושכלות הראשונות או אל אחד מהמינים אשר הם ידועים בעצמם
|
|
וידוע כי כשנדרוש למצוא תשבורת תמונה איזו שתהיה קודם שנמצאנה היא מוסכלת אצלנו
|
|
ולכן ראוי להגיעה לנו בידוע והידוע אשר יגיע לנו היא ידיעת חלק ממנה אם צלעות מצלעותיה או עמוד ותושבת וזולת זה
|
|
ואם גם אלה הם מוסכלים אז תגיע לנו האמה אשר ימדדו בה ולכן ראוי להודיע [4]שהאמה הזאת ידועה אשר תגיע לנו ידיעת המוסכלים מהנמדדים היא אורך לבד בלי מרחב ואינה אמה מרובעת כאשר הם אמות התשבורת כי גם המרובעת תכליותיה הם הקוים אשר הם אורך לבד והם המגבילים אותה
|
|
ומהנה אתחיל לבאר איך ימדדו המרובעים ונתחיל ממרובע שוה הצלעות נצב הזויות כי הוא כשרש לשאר המרובעים אחרי שהמעויין ידמה לו בשווי הצלעות והארוך בהתיצבות הזויות
|
|
ועוד כי אמת התשבורת היא מרובעת הצלעות שוים והזויות
|
|
והיתה זאת אמת התשבורת כי זאת תודיע לנו השעור של התמונה והדבר אשר יודיע שעור הדבר ראוי שיהיה שוה נודע וידוע שהזויות הנצבות הם שוות לעולם מה שאין כן החדה והנרוחת כי יקבלו הפחות והיתר והדבר אשר יקבל הפחות והיתר הוא בלתי מוגבל והבלתי מוגבל הוא בלתי ידוע והבלתי ידוע בעצמו איך יהיה סבה לזולתו
|
|
הדבור על מדידת המרובע שוה הצלעות נצב הזויות
|
|
ראוי שתדע בכלל כי כל בעל ארבעה צלעות נצב הזויות הארבעה הנה הכאת צלעו האחד בצלעו האחר ככה תשברתו
|
|
והיה זה סבה להיות שמרובע צלעו האחד שוה להכאת צלעו הא' בצלעו השני
|
|
דמיון מרובע אבג"ד הוא שוה הצלעות כי נשים כל א' מצלעותיו עשר אמות והנה מרובע צלעו האחד מאה אמה וככה הוא תשברתו כי הם מאה אמות מרובעות נצבות הזויות כל אמה מהן מרובעת דומה אל המרובע הגדול
|
|
המופת על זה נחלק כל צלע ממנו על עשר אמות בעשרה נקדות ונגיע מכל נקדה מהצלע האחד קו על הצלע הנכחי לו הנה יהיו הקוים נכוחיים האחד לחברו ולצלעו המרובע הגדול כי מרחקי קצותיהם אשר הם על זויות נצבות שוים אם כן קו ה"ו נכחי אל קו א"ד וקו ב"ל נכחי אל קו א"ב
|
|
ונאמר תחלה כי קו א"ד נפל על שני קוי א"ב וב"ל הנכוחיים
|
|
הנה ישרת שתי הזויות הפנימיות אשר בצד אחד שוות לשתי נצבות וזוית א' היא נצבת אם כן גם זוית ב' היא נצבת על כל פנים [5]והתמונות הנכחיות הצלעות יהיו זויותיהם המומרות שוות א"כ גם זוית ה' נצבת וגם הזוית הנשארת מזה המרובע הקטן שהוא האמה נצבת
|
|
עוד קו ו"ה נפל על קו א"ב והקו הישר אשר יפול על קו ישר הנה ב' הזויות אשר בצדו אם נצבות או שוות לשתי נצבות וזוית ה' נצבת אם כן גם הזוית אשר בצדו נצבת ומזה יתבאר כי גם על ד' זויות האמות נצבות וכן יתבארו כל הי' אמות אשר בטור הא'
|
|
עוד קו ב"ל נחתך בקו ה"ו וב' הקוים אשר יחתכו זויותיהם המקבילות שוות א"כ גם זוית האמה הראשונה אשר בטור הב' השמאלית נצבת וכנגדה נצבת וכן יתבארו כל האמות אשר בתשבורת הזאת ולהיותם שוי הצלעות יתבאר מחלוקת כל צלע השוה לחלקים וכשתחסר מן השוים יהיה הנשאר שוים והב' דברים השוים לדברים שוים גם הם שוים
|
|
וזאת המדידה נכונה בבעלות ד' הנצבות הזויות הד' ר"ל שתכפול צלעו הא' על צלעו השני המקיפו' בזוית א' ולמצוא התשבורת
|
- Example of a rectangle whose one side is 10 and the other side is 5
|
דמיון בבעלת ד' צלעות נצב הזויות הד' נכוחי הצלעות אשר צלעה הא' י' וצלעה האחרת ה'
|
- Like this:
|
כזה
|
- The product of 5 by 10 is 50 and this is the area of this shape.
|
הנה כפילת הה' על הי' הם נ' וזהו התשבורת של זאת התמונה
|
- Its proof is like the previous proof.
|
ומופתה כמופת הקודם
|
|
אבל אם היתה התמונה שוה הצלעות ולא היתה נצבת הזויות ולא יתכן שימדד במדידת צלעותיה כי זה יביא לטעות גדולה
|
|
דמיון יש לנו מרובע שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות עליו אבג"ד ויהיה כל א' מצלעיו י' אמות הנה אם תכפול צלעו הא' בצלעו השני אז אם תקח מרובע צלעו הא' יעלה ק' ואין זה תשבורת המרובע הזה
|
|
המופת נוציא ב' קוטרים מזויותיו הא' קוטר א"ג והב' קטר ב"ד ויהיה קטר א"ג י"ו אמה וקטר ב"ד י"ב אמה ויחתכו על נקדת ה' הנה נעשה שטח נכוחי הצלעות נצב הזויות אשר צלעו אחת כקטר הארוך וצלעו האחרת כקטר הקצר ויהיה כל צלע נכוחי לקטר הדומה לו כי שתי הקטרים יחתכו על זויות נצבות כאשר נראה המופת במדידתו ונכתוב עליו ה' ו' ז' ח' הנה נחלק השטח הנצב הזויות לד' חלקים שוים עם קטרי המרובע הקטן אשר אין זויותיו נצבות
|
|
עוד כל חלק מהד' חלקים נחלק לשני חלקים שוים עם צלעות המרובע הקטן לא פחות ולא יתר
|
|
ותשבורת השטח הנצב הזויות הוא בכפל צלעו האחד על השני וצלעו הא' הוא י"ו אמה כי [6]הוא שוה לקטר הארוך מהמרובע וצלעו השנית הוא י"ב אמה כי הוא שוה לקטר הקצר מהמרובע וכפל י"ו על י"ב הם קצ"ב וזהו תשבורת השטח הנצב הזויות אשר הוא כפל תשבורת המרובע אשר בתוכו
|
|
ואם כן תשבורת המרובע הם צ"ו אמות אשר בתוכו ואלו היינו נשענים על כפל צלעותיו היה יוצא ק' אמה וזאת שגיאה גדולה
|
|
ולכן אמרו בעלי השעור שזה המרובע יהיה נמדד בכפילת מחצית קטרו הא' על קטרו השני והוא תשברתו
|
|
המופת על המדידה הזאת ידוע שכאשר יהיה שוה הצלעות הנה שני קטריו יחתכו על זויות נצבות כי כל קטר הוא מחלק אותו לשני משולשים שוה השוקים והקטר תושבת שני המשולשים וכאשר יצא הקטר האחד מזוית משולש שוה השוקים אשר התושבת היא מיתרה עד הזוית האחרת ממשולש שוה השוקים שזאת התושבת היא מיתר גם אותה תחלק התושבת לשני חלקי' שוים [7] ועל זויות נצבות וכפילת כל הקוטר בכל הקטר יהיה תשבורת המרובע החיצון אשר הוא כפלו לכן מרובע חציו בכולו הוא מחצית זה שהוא תשבורת המרובע הזה ולכן אמרו כשתמצא מרובע שוה הצלעות בין שיהיה נצב הזויות בין שלא יהיה לא תמנה אותו כי עם מדידת האלכסונים ולא תטעה לעולם כי להכיר האדם הזוית הנצבת מהבלתי נצבת אינו בקלות ולכן ראוי להשמר מן הטעות
|
|
ואם היה המרובע שוה הצלעות נצב הזויות ולא ידעת צלעו או רצית למדדו מקטרו האחד תקח מרובעו ותחלקהו על שני חלקים והחלק האחד הוא תשבורת המרובע ההוא ושרש החלק הוא אורך צלעו
|
|
דמיון מרובע אשר עליו אבג"ד שוה הצלעות נצב הזויות והיה מרובע קטרו ר' תחלק הר' לשני חלקים יהיה החלק הא' ק' והוא תשבורת המרובע ושרש הק' שהם י' הם אורך צלעו וכן אם אינו שוה הצלעות אבל הוא נצב הזויות יהיה הקטר ידוע אליך והצלע האחד ורצית למדדו משתי אלה תקח מרובע הקטר ותגרע ממנו מרובע הצלע הידוע והנשאר הוא מרובע הצלע הנשאר תקח שרשו והוא אורך הצלע תכה אותו עם הצלע הידוע והוא תשבורת המרובע
|
|
דמיון מרובע ארוך אשר עליו אבג"ד והיה צלע א"ב י' אמות וקטר א"ג י"ב אמות
|
|
לקחנו מרובע הקטר והוא קמ"ד אמות גרענו ממנו ק' אמה שהוא מרובע הצלע הידוע שהוא י' אמות ונשארו מ"ד אמות ושרשם ו' אמות ושני שלישי אמה פחות משהו שהוא אורך הצלע השני הכינו הו' ושני שלישי' פחות משהו עם הי' ונהיו ס"ו אמות ושני שלישים פחות משהו והוא תשבורת המרובע
|
|
המופת על שתי [8]על שתי אלו המדידות ידוע שהקטר הוא חילק את שני המרובעים האלה על שני משלשים שוים נצבי הזויות להיות שהם נכוחיי הצלעות והקטר משותף בשניהם וזוית אחת בכל משלש נצבת והקטר הוא מיתר הזוית הנצבת לכל משולש מהם וכבר התבאר בחכמת המדות שהמשולש הנצב הזוית שני המרובעים אשר יהיו מהצלעות המקיפות בזוית הנצבת שוות למרובע ההוה מהצלע שהוא מיתר לזוית הנצבת א"כ כשתגרע מהשוה לשנים האחד ישאר השני ושרשו הוא המבוקש הנולד מנפילתו בחברו אשר יקיף עמו בזוית הנצבת הוא תשבורת המרובע ההוא
|
|
ואם היתה תשבורת המרובע ידועה לך וידעת גם צלעו האחד ולא ידעת גם צלעו השני תחלק תשבורת המרובע על הצלע הידוע ויצא לך הצלע האחר הבלתי ידוע
|
|
דמיון היה מרובע תשברתו ק' אמה וצלעו האחר י' אמה תחלק תשברתו שהוא הק' אמה על י' ויצא לך החלק י' ומזה ידעת שגם צלעו האחר י' אמות והמרובע הזה שוה הצלעות
|
|
וכן אם היה תשברתו ק' אמה וצלעו הא' כ' אמה תחלק הק' על הכ' ויצא לך החלק ה' והוא צלעו האחר ומזה ידעת שהוא שטח נכחי הצלעות אשר יקרא מרובע ארוך
|
|
המופת על זה כי התשבורת הוא מספר נולד מכפילת חלקי הצלע האחד בחלקי הצלע האחר והמספר הנכפל במספר אחר ימצא באותה תולדה המספר האחר בכמות המספר האחר וכן האחר בזה וכשידעת כמות מספר האחד והתולדת אם תחלק התולדת על כמות המספר הנודע ידענו המספר אשר ימצא בכמות המספר הנודע ובהתקבצו כפעמי המספר הנודע נהיה התולדת
|
|
ולכן חלקנו תשבורת המרובע על צלעו הנודע והוא יודיע לנו צלעו הבלתי נודע
|
|
ואם היה המרובע שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות והוא אשר יקרא מעויין והיה קטרו הא' י"ו אמה וקטרו הב' י"ב אמה כמה יהיה צלעו תחלק כל קטר לשני חלקים וקח מכל אחד מרובע החלק האחר ותחבר שני המרובעי' כאלו הם מספר אחד וקח השרש והוא צלע המרובע ההוא
|
|
דמיון חלקנו קטר י"ו על ח' ח' ולקחנו מרובע ח' שהם ס"ד וכן קטר הי"ב על ו' ו' ולקחנו מרובע הו' שהם ל"ו חברנו הס"ד עם הל"ו ונהיו ק' ושרשו י' והוא צלע המרובע
|
|
המופת על זה כי כל צלע מצלעי זה המרובע יהיה קטר לשטח נכחי הצלעות נצב הזויות אשר צלעו הא' ח' וצלעו השני ו' כאשר הודענו במדידת המרובע הזה ומרובע הקטר ראוי להיותו שוה לשני מרובעי כי הוא מיתר למשלש בזויתו הנצבת ולכן ישוה זה צלע המרובע לשני ש שני מרובעי חציי קטריו
|
|
ואם שאל השואל מעויין שקטרו האחד [9]שקטרו האחד י"ו אמה וצלעו י' אמה כמה קטרו האחד תקח מרובע מחצית הקטר הידוע שהוא ח' ומרובעו ס"ד
ותגרעהו ממרובע הצלע שהוא ק' ונשאר שהוא ל"ו הוא מרובע חצי הקטר האחר תקח שרשו והוא ו' והוא מחצית
הקטר כפלהו והוא י"ב והוא הקטר האחר
|
|
המופת על זה ידוע שמחצית כל קטר משניהם עומד על הקטר האחר על זויות נצבות ומחצית הקטר הידוע עם מחצית הקטר הבלתי ידוע וצלע המרובע יעשו משלש נצב הזויות והצלע יהיה מיתר הזוית הנצבת ומרובע הצלע שהוא מיתר לזוית הנצבת ישוה לשני מרובעי שתי הצלעות הנשארות שהם וחציי הקטרים וכאשר תגרע מרובע הצלע הא' המקיף בזוית נצבת אשר הוא בזה מחצית הקטר ממרובע צלע המרובע שהוא המיתר לזוית הנצבת ישאר מרובע חצי הקטר האחר שהוא המקיף האחר לזוית הנצבת ושרשו הוא חצי הקטר ואם תכפלהו תמצא כל הקטר
|
|
ובכאלה השאלות תוכל להוציא גם אתה שאלות אחרות ולהשיב עליהן
|
|
ומהנה נכנס בבאור מדידת המשולשי' למיניהם אחר נבאר מדידת הנוטים כי לא נוכל לבאר מדידת הנוטים ראשונה למדידת המשולשים אחר שהמשולשים הם יסוד לנוטים כי כל נוטה יחלק לשני משולשים מתחלפים או ליותר מזה וכאשר תדע מדידת המשולשים למיניהם יגיע לך בקלות ידיעת מדידת הנוטים
|
Chapter Three on the Measuring of the Various Triangles
|
הפרק השלישי במדידת המשולשים למיניהם
|
|
כבר ידעת שהמשולשים נחלקו לשוי הצלעות ולשוי השוקים ולמתחלפי הצלעות
|
|
ונקדים לבאר תחלה דרכי המשלש השוה הצלעות כי בו יפול העמוד במחצית התושבת בכל צלע שתרצה להוציאו אחר נדבר על המשלשים האחרים
|
|
ונאמר בתחלה כי הדבר הכולל לכל המשלשים במדידתם הוא שתכפול העמוד במחצית התושבת או כל התושבת במחצית העמוד וההוה הוא תשבורת המשלש המבוקש
|
|
ומפני זה ראוי להודיע בתחלה איך יצא העמוד בכל משלש ומשלש עד שיהיה ידוע כי בו יגיע לנו תשבורת המשלש המוסכלת
|
|
ונאמר כי במשלש השוה הצלעות לעולם יפול העמוד במחצית התושבת אחר שג' זויותיה הם חדות לעולם וג' צלעותיה שוות וארצה בעמוד הקו הנופל מזוית ראש המשלש אשר יקרא גובה התמונה על תושבתה על זויות נצבות
|
|
המשל בזה משלש אב"ג שוה הצלעות ועמוד אשר יצא מראש המשלש אשר הוא נקדת א' על תושבתה יפול בנקדת ד' ואומר שנקדת ד' היא מחצית התושבת
|
|
המופת בזה העמוד חולק את המשלש לשני משלשים אשר שתי צלעות כל משולש ממנו שוות לשתי הצלעות מהאחר כל אחד [10]לגילו צלע א"ג שוה לצלע א"ב ועמוד א"ד צלע משותף לשתיהן וזוית אד"ב שוה לזוית אד"ג כי שתיהן נצבות אם כן צלע ג"ד שוה לצלע ד"ב וצלע ג"ד וד"ב הם מחוברים הם כל התושבת אם כן כל אחת מהן היא מחצית התושבת
|
|
והמופת אשר תשבורת כל משלש הוא כפילת העמוד בחצי תושבת או כל התושבת בחצי העמוד אם במשולש שוה הצלעות או במשלש שוה השוקים אשר הוצאת עמודו על צלעו המתחלפת הוא זה כי המופת אשר הורה במשלש שוה הצלעות הוא בעצמו יורה זה על שוה השוקים כאשר הוצאת עמודו על צלעו המתחלפת כי כאשר הוצאת העמוד על מחצית התושבת אח"כ הוצאת קו על קצה התושבת נכחי אל העמוד עוד הוצאת קו מראש העמוד הנכחי אל מחצית התושבת כבר נהיה שטח נכחי הצלעות אשר צלעו האחת העמוד וצלעו האחר מחצית התושבת
|
|
והשטח הזה שוה למשלש הנזכר כי צלע המשלש הנז' הוא קטר לנכחי הצלעות הנז' ומחלק אותו לשני המשלשים שוים והמשולש האחד הוא מחצית כל המשלש הנזכר אם כן כל שטח הנכחי הצלעות אשר הוא נחלק לשני משולשים הוא שוה לכל המשלש הנז' ותשבורת השטח הנכחי הצלעות הוא כפילת צלעו האחת בצלעו האחרת וצלעו האחת היא עמוד המשלש וצלעו האחרת היא מחצית תושבת המשלש אם כן תשבורת המשלש הוא כפילת העמוד בחצי תושבתו אחר שהוא שוה לשטח הנכחי הצלעות
|
|
המשל בזה משלש אב"ג הוא שוה הצלעות או השוקים ועמודו הוא קו א"ד והוצאנו על קצה מחצית תושבת המשלש הזה קו ב"ה על נקדת ב' נכחי לקו א"ד ועל נקדת ה' הוצאנו קו א"ה נכחי לקו ד"ב
|
|
הנה אומר כי שטח א"ד ה"ב הנכחיי הצלעו' שוה למשלש אב"ג
|
|
המופת בזה כי זוית אה"ב שוה לזוית אד"ב כי שתיהן נצבות והקטר שהוא צלע המשלש שהוא א"ב חלק את השטח לשני משלשים שוים אחר שהוא קו ישר ונפל על שני קוים נכוחיים שם את שתי הזויות המומרות שוות אם כן זוית ב"ד היא שוה לזוית בא"ה וקטר א"ב משותף אם כן משלש הא"ב שוה למשלש אב"ד ומשלש אב"ד הוא חצי שטח הנכחי הצלעות שהוא שטח ה"אד"ב והוא חצי משלש אב"ג אם כן שטח ה"אב"ד שוה למשולש אב"ג ושטח נכחי הצלעות הנצב הזויות כפילת צלעו האחת בצלעו האחרת היא תשברתו אם כן גם תשבורת משלש אב"ג הוא כפילת צלע נכחי הצלעות האחת שהוא עמוד המשלש בצלעו האחרת שהוא מחצית תושבת המשולש וזמש"ל
|
|
ואם המופת שבכפילת מחצית העמוד על [11]על כל התושבת נמצא התשבורת הוא זה אם תרצה מהכלל הידוע שכל חשבון כפולת חציו בחשבון אחר כלו הוא בכפולת כלו כמחצית אותו החשבון
|
|
ואם תרצה נביא מופת מחכמת המדות והוא זה משלש אב"ג שוה הצלעות ונוציא מנקדת ח' ממנו עמוד אל תושבת ב"ג והוא קו א"ד ונסמן במחציתו נקדת ה' ונוציא מנקדת ה' שני קוים דבקים על יושר נכוחיים ושוים לתושבת ב"ג והם ה"ז ה"ח ונגיע קוי ח"ב ז"ג הנה אומר כי שטח ב"ג ז"ח הנכחיי הצלעות שוה למשלש אב"ג
|
|
המופת כי נוטה ט"ב ב"ג משותף לשטח ב"ג ז"ח ולמשלש אב"ג ונשאר משלש חט"ב כמשלש אט"ה כי זוית חט"ב שוה לזוית הט"א וזוית אה"ט שוה לזוית בח"ט וצלע א"ה שוה לצלע ב"ח כי שתיהם מחצית העמוד אם כן משלש חט"ב שוה למשלש אט"ה וכן משלש בז"ג שוה למשלש אב"ה וההנהגה אחת א"כ נוטה ט"ב ב"ג עם שני משולשי חט"ב בז"ג שהם כל השטח נכחי הצלעות שוה לנוטה ט"ב ב"ג עם שני משולשי אט"ה אב"ה שהם כל משלש אב"ג אם כן משלש אב"ג שוה לשטח נכחי הצלעות ב"ג ז"ח ותשבורת השטח הנכחי הצלעות הוא הכאת צלעו האחד שהוא שוה למחצית העמוד של המשולש בצלעו האחר שהוא שוה לכל תושבת המשולש אם כן גם תשבורת המשולש שהוא שווה לו הוא הכאת מחצית העמוד בכל התושבת וזה מש"ל
|
|
וכן זה המופת בעצמו יורה על משלש שוה השוקים כאשר הוצאת העמוד על צלעו המתחלפת
|
|
הנה כבר ידעת שכשיבא בידך הן משלש שוה הצלעות הן שוה השוקים תכפול העמוד במחצי' התושבת או ההפך ותמצא התשבורת
|
|
ולדעת העמוד מהצלע הן במשלש שוה הצלעות או במשולש שוה השוקים תעשה כן תקח מרובע חצי התושבת ותגרעהו ממרובע הצלע ואשר ישאר יקח שרשו והוא העמוד
|
|
המופת על זה כי צלע המשולש הוא מיתר הזוית הנצבת אשר יקיפו בה העמוד ומחצית התושבת והתבאר בחכמת השעור כי מרובע הצלע אשר היא מיתר הזוית הנצבת[12] ותקח שרש הנשאר תמצא את צלע האחרת
|
|
אולם בעלי השעור נתנו כללים אחרים במדידת המשולש השוה הצלעות כדי להקל על המחשב ואמרו לעולם תקח מט"ו בצלעו י"ג והוא העמוד או תהיה מרבע את הצלע והוצא ממנו הרביעית וקח שתי הרביעיות הג' והוא עמוד המשולש הזה
|
|
ואלה הכללים וכדומה להם יצאו מהמופת הנז'
|
|
ומה שאמרנו בענין משלש שוה השוקים הוא כשהוצאת עמודו על צלעו המתחלפת אבל אם הוצאת אותו על צלע אחד מצלעותיו דע שיש לו שני משפטים אחרים נבארם כשנבאר [13]משפטי המשלש שמתחלף הצלעות
|
Scalene triangle: its height and the distance from the position of the height on the base to the side
|
|
If we wish to measure a scalene triangle, we should extract its height on its side first and to know its distance from one of the sides, for the height that we extract in the equilateral triangle and in the isosceles triangle always falls on the middle of the base, yet this height that is drawn in the scalene triangle does not fall on the middle [of the base] at all, but it is far from one side and close to the other side.
|
אם נרצה לשער המשלש המתחלף הצלעות תחלה ראוי להוציא עמודו על צלעו המתחלפת ולדעת מרחקו מאחת הצלעות כי העמוד אשר הוצאנו במשלש השוה הצלעות ובמשולש שוה השוקים הוא נופל במחצית התושבת לעולם אבל אין העמוד הזה היוצא במשולש המתחלף הצלעות יוצא על המחצית כלל אבל הוא רחוק מהצלע האחת והוא קרוב אל הצלע השנית
|
We call its distance from the first side "the close distance" and we call its distance from the far side "the far distance".
|
ומרחקו מהצלע האחת אנו קוראים אותו המרחק הקרוב ומרחקו מהצלע הרחוק אנו קוראים אותו המרחק הרחוק
|
After we know the position of the height on one of the sides, we can then announce the length of its height.
|
ואחר שנדע גבול מעמדו באחת מהצלעות אז נביא להודיע אורך עמודו
|
- Let us say the triangle ABG is a scalene triangle, whose side AB is 20 cubits, side AG is 18 cubits, and side GB is, on which we draw the height, which is the base, is 16 cubits.
|
ונאמר משלש אב"ג מתחלף הצלעות אשר צלע א"ב ממנו עשרים אמה וצלע א"ג ממנו י"ח אמה וצלע ג"ב ממנו אשר עליו נוציא את העמוד והוא התושבת י"ו אמה
|
- We wish to know the distance of the height from its position to side AG, which is the short side:
|
ונרצה לדעת גבול מעומד העמוד מצלע א"ג אשר הוא הקצר
|
- We already know that the length of this side is 18 cubits.
|
וכבר ידענו שאורך הצלע הזה י"ו אמה
|
- We take its square, it is 324.
|
נקח מרובעו הוא שכ"ד
|
- We add to it the square of the base, which is 256; the result is 580.
|
ונחבר אליו מרובע התושבת שהוא רנ"ו ויהיו תק"ף
|
- Then, we subtract the square of AB, which is the longer side, from 580; we already know that it is 20, and its square is 400; we subtract it from 580; the remainder is 180.
|
אחר נגרע מן תק"ף מרובע א"ב אשר הוא הצלע הארוך וכבר ידענו שהוא כ' ומרובעו הוא ת' נגרעם מן תק"ף נשארו ק"פ
|
- We take its half; it is 90.
|
נקח מחציתם והם צ'
|
- We divide it by the base, whose length is 16; the first part is 5, one-half, and an eighth; and this is the distance on the base from the position of the height to the short side.
|
ונחלק אותם על התושבת שארכה י"ו ונהיה החלק הא' ה' וחצי ושמינית וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הקצר על התושבת
|
|
|
- We wish to know the distance from its position to the long side:
|
ואם רצינו לדעת גבול מעמדו מן הצלע הארוך
|
- We take its square, which is 400, and add it to the square of the base, which is 256; together it is 656.
|
נקח מרובעו שהוא ת' ונחבר אותו עם מרובע התושבת שהוא רנ"ו ושניהם תרנ"ו
|
- We subtract from it the square of the short side, which is 324; the remainder is 332.
|
נגרע מאלה מרובע הצלע הקצר שהוא שכ"ד נשארו של"ב
|
- We take its half; it is 166.
|
נקח מחציתם והם קס"ו
|
- We divide it by the base, which is 16; the result is 10, one-third, and one part of 24; and this is the distance from the position of the height on the base to the long side.
|
ונחלקם על התושבת שהם י"ו ונהיה י' ושליש וחלק אחד מכ"ד וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הארוך על התושבת
|
|
|
- We give another example of a scalene triangle with integers, i.e. that the distance of the height from its position on the base is an integer without a fraction.
|
עוד נמשיל במשלש מתחלף הצלעות משל אחד על חשבון שלם ר"ל שיצא גבול מעמד עמודו על התושבת באחדים שלמים מבלתי חלק
|
- We say: triangle ABG, whose side AG is 13, side AB is 15, and side AB that is the base is 14.
|
ונאמר משלש אב"ג אשר צלע א"ג ממנו י"ג וצלע א"ב ממנו ט"ו וצלע ב"ג ממנו אשר הוא התושבת י"ד
|
- We wish to know the distance of the height from its position on the base to the short side, which is AG:
|
ורצינו לדעת גבול מעמד העמוד על התושבת מהצלע הקצר שהוא א"ג ממנו
|
- We add the square of the base to the square of this side; the result is 365.
|
חברנו אל מרובע הצלע הזה מרובע התושבת ונהיו שס"ה
|
- We subtract from it the square of the long side, which is 225; the remainder is 140.
|
גרענו מזה המרובע מהצלע הארוך אשר הוא רכ"ה ונשארו ק"מ
|
- We take its half; it is 70.
|
לקחנו חצים והם ע'
|
- We divide it by 14, which is the base; the first part is 5; and this is the distance from the position of the height to the short side.
|
חלקנום על י"ד שהוא חותך התושבת והיה החלק האחד ה' וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הקצר
|
|
|
- If you wish to know its distance from its position to the long side:
|
ואם תרצה לדעת גבול מעמדו מן הצלע הארוך
|
- We add its square to the square of the base; the result is 421.
|
נחבר מרובעו עם מרובע התושבת ונהיו תכ"א
|
- We subtract from it the square of the short side, which is 169; the remainder is 252.
|
הוצאנו מהם מרובע הצלע הקצר שהוא קס"ט נשארו רנ"ב
|
- We take its half; it is 126.
|
לקחנו חצים והם קכ"ו
|
- We divide it by 14, which is the base; the [second] part is 9; and this is the distance from the position of the height to the long side.
|
וחלקנום על י"ד שהוא התושבת היה החלק הא' ט' וזהו גבול [14]מעמד העמוד מן הצלע הארוך
|
|
|
The proof of this has already been clarified in geometry, that the square of the side, which is opposite an acute angle, is less than the sum of the squares of the two other sides by double the rectangle that is encompassed by the whole base and the distance from the position of the height to that side.
|
המופת על זה כבר התבאר בחכמת השעור שמרובע הצלע אשר הוא מיתר זוית חדה הוא פוחת מן מרובעי שתי צלעות הנשארות בכפל שטח הנצב הזויות אשר יקיף בו התושבת כלו עם מקום מעמד העמוד מאותו הצד
|
Therefore, when you add the square of the side to the square of the base and subtract the square of the other side from this, the remainder is double the rectangle that is encompassed by the whole base and the distance from the position of the height to that side.
|
ולכן כאשר תחבר מרובע הצלע עם מרובע התושבת ותוציא מהם מרובע הצלע הנשאר ישאר ככפל הנצב הזויות אשר יקיף בו כל התושבת והחלק אשר יצא עליו העמוד מאותו הצד
|
Thus, we divide it by two and then divide by the base, as the sum is a double, and the result is the distance from the position of the height to that side.
|
ולכן נחלק אותו לשנים והחלק האחד נחלקהו על התושבת אחרי שהסך הוא כפל ואשר יצא הוא מקום מעמד העמוד על אותו הצד
|
- The example for this is the triangle we have drawn:
|
המשל בזה המשלש אשר ציירנו
|
- We know that side AG is 13 cubits and its square is 169.
|
ידענו שצלע א"ג ממנו הוא י"ג אמה ומרובעו קס"ט
|
- The base is 14 cubits and its square is 196.
|
והתושבת י"ד אמה ומרובעה קצ"ו
|
- The [sum of the] two squares is 365.
|
ושתי המרובעים שס"ה
|
- Side AB is 15 cubits and its square is 225.
|
וצלע א"ב אשר הוא ט"ו אמה ומרובעו רכ"ה
|
- It is less than [the sum of] the squares mentioned by double the rectangle that is encompassed by GD by GB.
|
יהיה פוחת משני המרובעים הנזכרי' בכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו ג"ד בג"ב
|
- So, when we subtract 225 from 365, 140 remains, which is double the rectangle that is encompassed by GD by GB.
|
א"כ כאשר גרענו רכ"ה משס"ה ישאר ק"מ והוא ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו ג"ד בג"ב
|
- Since it is a double, we take its half, which is 70, and it is the same as the rectangle that is encompassed by GD by GB.
|
ומפני שהוא כפל לקחנו חציו והוא ע' והוא כשטח הנצב הזויו' אשר יקיף ג"ד בג"ב
|
- We divide it by the base, which is 14, and we know that the quotient is the distance from the position of the height to that side; this quotient is 5.
|
חלקנוהו על התושבת שהוא י"ד וידענו שהחלק האחד ממנו הוא מקום מעמד העמוד מאותו הצד והחלק הוא ה'
|
- Therefore, we know that the distance from the position of the height to that side is 5.
|
ומזה ידענו שמרחק העמוד מאותו הצלע הוא ה'
|
After we have determined the position of the height, we can calculate its length. We do as follows:
|
ואחר שידענו גבול מעמדו נבא לדעת ארכו וכן נעשה
|
We subtract the square of the distance of the height on the base from the square of the adjacent side, so the remainder is the square of the height.
|
נגרע מרובע החלק מן התושבת אשר עומד עליו העמוד ממרובע הצלע הדבק בו ואשר ישאר הוא מרובע העמוד
|
|
המשל בזה המשלש גרענו מרובע ה' שהוא כ"ה ממרובע הצלע הדבק בו ואשר ישאר הוא מרובע העמוד גרענו כ"ה ממרובע הצלע הדבק בו שהוא קס"ט ושרשו י"ב והוא אורך העמוד
|
|
וכן אם רצינו לדעת אותו מהחלק האחר מהתושבת אשר הוא ט' ומרובעו פ"א גרענו אותו ממרובע הצלע הדבק בו אשר הוא רכ"ה נשארו קמ"ד ושרשו י"ב והוא אורך העמוד
|
|
והמופת על זה כי מרובע כל צלע מהם שוה עם מרובע העמוד והחלק מן התושבת הדבק בו מפני שהוא מיתר לזוית הנצבת כל א' במשלשו כי כאשר הוצאת העמוד כבר נחלק המשלש לשני משלשים וכאשר גרעת מרובע החלק מן התושבת וממרובע הצלע הדבק בו נשאר במרובע הצלע מרובע העמוד וכשלקחת שרשו מצאת אורך העמוד
|
|
הנה בארנו מדידת כל המשלשים למיניהם והבדלם מצד הצלעות
|
|
ואעפ"י שבמדות האלה יכללו גם מתחלפי הזויות כי המשלש שוה השוקים לא ימלט מהיותו חד הזויות ואם נצב הזויות או נרוח גם ככה המתחלף הצלעות אמנם בעבור שיש להם מדות מיוחדות [15]גם מפני הזויות נבארם ואין זה צורך
|
|
ונאמר כי המשלש הנצב הזויות אין צורך להוציא עמודו על צלעו שהוא מיתר הזוית הנצבת כי כל אחת משתי צלעותיו המקיפות בזוית הנצבת הן עמודיו ולכן אם תכה אחד מהצלעות הנזכרות בצלעו האחרת המקפת עמו הזוית הנצבת תמצא תשברתו
|
|
והמופת על זה ידוע ממה שבארנו במשלשים הקודמים
|
|
עוד המשלש הנרוח הזוית אין הכרח להוציא עמודו על צלעו שהוא מיתר הזוית הנרוחת לבד
|
|
אבל אם רצית להוציאו בדרך זו אשר אורה לך
|
|
כבר התבאר בחכמת השעור שמרובע מיתר הזוית הנרוחת עודף על מרבעי שתי הצלעות המקיפות בה בכפל התושבת אשר עליה הצלע בקו היוצא חוצה מקצה התושבת הנזכרת עד מקום נפילת העמוד פעמים
|
|
המשל בזה משלש אב"ג נרוחת הזויות וזוית אג"ב ממנו היא הנרוחת אומר שמרובע א"ב שהוא מיתר הזוית הנרוחת עודף על מרובע צלע א"ג וג"ב בכפל בג"ד פעמים
|
|
ודרך הוצאת העמוד הזה במשלש הזה כך נשים הזוית הנרוחת אשר עליה ג' וצלע ג"א ד' אמות וצלע ב"ג י"ג אמה וצלע א"ב שהוא מיתר הזוית ט"ו אמה ומרובע ט"ו מוסיף על מרובע י"ג ומרובע ד' אשר הם קפ"ה אמה מ' אמה ואם תחלק מחצית התוספת על אחת מהצלעות יצא לך מרחק העמוד חוצה מן הצלע ההוא עד"מ חלקנו מחצית המ' אשר הוא התוספת והם כ' על קו ג"א אשר הוא ד' אמות ויצא החלק ה' וידענו מזה שהעמוד נפל חוצה מן צלע ג"א ה' אמות והוא קו ג"ד והעמוד עליה עמוד א"ד ואם תחלק אותו על קו ב"ג אשר ארכו י"ג אמה יצא החלק האחד שבעים ואחד חלקים מי"ג והוא מרחק העמוד היוצא חוצה מן ג"ב והעמוד עליו
|
Chapter Four on the Measuring of the Various Non-Parallelogram Quadrilateral
|
הפרק הרביעי במדידת הנוטים למיניהם
|
|
הנוטה הוא תמונה בעלת ד' צלעות שאינה לא מרובע ולא נכחי הצלעות ארוך ולא מעויין ולא דומה למעויין והם מינים רבים אעפ"י שכלם נכללים בד'
|
|
יש מהם ג' ששתי צלעותיו המקבילות שוות והראש והתושבת בלתי שוות אבל הם נכחיות כזה
|
|
ויש מהם ששתי הצלעות שוות והראש והתושבת בלתי שוות ולא נכחיות כזה
|
|
ויש מהם ששתי הצלעות הדבקות מהם שוות האחת לחברתה כזה וכן השתי צלעות האחרות
|
|
ויש מהם חד הזוית כזה ויש מהם שאין צלע הא' שוה עם האחר כזה
|
|
ויש מהם נצב הזויות כזה
|
|
ויש מהם נצב הזוית האחת כזה
|
|
ויש מהם נרוח הזוית כזה
|
|
ויש מהם תמונות עקלקלות זולת אלו לכן ראוי לך שאתן דרך הצריכה לנו במדידתם
|
Height and area of an isosceles trapezium
|
|
I start with the non-parallelogram quadrilateral whose two sides are equal but not parallel, whose the top base and bottom base are not equal but are parallel.
|
ואחל מהנוטה אשר שתי צלעותיו שוות ואינם נכוחיות והראש והתושבת בלתי שוות אבל [16]הם נכוחיות
|
- We say that if ABGD is a non-parallelogram quadrilateral, AB is 8 cubits, DG is 18 cubits, both AD and BG are 13 cubits each, and you wish to find its area.
|
ונאמר אם היה נוטה אבג"ד וצלע א"ב ח' אמות וצלע ד"ג י"ח אמות ושני צלעי א"ד ב"ג כל אחד מי"ג אמה ותרצה למצוא תשברתו
|
Do as follows:
|
תעשה כך
|
Subtract the top base from the bottom base, take half the remainder, then count that much from one vertex of the bottom base and mark a dot there.
|
תגרע הראש מהתושבת ומהמותר תקח מחציתו ומנה כמה הוא מזוית התושבת האחת וסמן שם נקדה
|
Count also that much from the other vertex of the bottom base and mark a dot there.
|
עוד מנה כמה הוא מזוית התושבת האחרת וסמן שם נקדה
|
- Example: we subtract 8 from 18; 10 remains.
|
דמיון גרענו הח' מן הי"ח ונשארו י'
|
- We take its half; it is 5.
|
לקחנו מחציתם והם ה'
|
- We count that much from vertex G and mark point Z there.
|
מנינו כן מזוית ג' וסמננו שם נקדת ז'
|
- We count also that much from vertex D and mark point H there.
|
עוד מנינו כן מזוית ד' וסמננו שם נקדת ה'
|
- We draw AH and BZ and so we know the heights of this shape.
|
הגענו א"ה וב"ז וידענו עמודי זאת התמונה
|
- We wish to know the length of the heights:
|
רצינו לדעת ארך העמודים
|
- We multiply the side, which is 13, by itself; it is 169.
|
וכפלנו הצלע שהם י"ג על עצמם והיו קס"ט
|
- We subtract from it 25, which is the square of 5; 144 remains.
|
הוצאנו מהם כ"ה שהוא מרובע ה' נשארו קמ"ד
|
- We extract its root; it is 12.
|
לקחנו גדרם והם י"ב
|
- Hence, we know that the length of the height is 12.
|
וידענו שארך העמוד הם י"ב
|
- We add the top base to the bottom base; it is 26.
|
חברנו הראש עם התושבת והם כ"ו
|
- We take its half; it is 13.
|
ולקחנו מחציתם והם י"ג
|
- We multiply it by the height, which is 12; it is 156 and this is the area of non-parallelogram quadrilateral.
|
וכפלנום עם העמוד שהם י"ב והיו קנ"ו וזהו תשבורת הנוטה הזה
|
|
המופת על זה
|
- It is known that half the excess is on one side and its half is on the other side up to the heights that are [drawn] on them.
|
ידוע שמחצית העודף יהיה מהצד האחד ומחציתו מהצד האחר עד שיוציאו העמודים עליהם
|
- Side AD is the hypotenuse of the right angle.
|
וצלע א"ד הוא מיתר הזוית הנצבת
|
- Therefore its square is equal to the square of the height with [the square of] the base of
|
ולכן מרבעו שוה למרובע העמוד עם תושבת משלש אד"ה
|
- The base of is 5.
|
ותושבת משלש אד"ה ה'
|
- Its square is 25.
|
ומרבעו כ"ה
|
- Subtract is from the square of the side, which is 169; 144 remains.
|
תגרעהו ממרובע הצלע אשר הוא קס"ט נשאר קמ"ד
|
- Its root is 12 and this is the length of the height.
|
וגדרו י"ב והוא ארך העמוד
|
- It is known that the area of is the product of the height by half DH.
|
וידוע שתשבורת משלש אד"ה הוא כפילת העמוד בחצי ד"ה
|
- Also the area of is the product of the height by half ZG.
|
וכן תשבורת משלש בז"ג הוא כפילת העמוד בחצי ז"ג
|
- So, the area of both these triangles is the product of the height by the whole DH.
|
אם כן תשבורת שני משולשים האלה הוא כפילת העמוד בכל תושבת ד"ה
|
- But, the area of the rectangle ABHZ is the product of the height by the base HZ.
|
ותשבורת השטח הנצב הזויות והוא שטח אבה"ז הנה הוא כפילת העמוד בתושבת ה"ז
|
- So, the product of DZ by the height is the area of trapezium ABGD.
|
אם כן כפילת ד"ז עם העמוד הוא תשבורת נוטה אבג"ד
|
- This is also clarified by the proof of a different shape:
|
ויתבאר גם כן זה בצורה אחרת מהמופת
|
- We have an isosceles trapezium; AB=GD, each is 13 cubits; AG is 6 cubits; BD is 16 cubits. We wish to know the area and the height.
|
והוא יש לנו נוטה אבג"ד שוה השוקים וצלע א"ב שוה לצלע ג"ד וכל אחת מהן בעלת י"ג אמות וצלע א"ג ו' אמות וצלע ב"ד י"ו אמות ונרצה למצוא התשבורת והעמוד
|
- I draw line AH parallel to line GD.
|
אוציא קו נכחי א"ה לקו ג"ד
|
|
ואוציא עמוד א"ז על קו ב"ד
|
- So surface AHGD is a rectangle.
|
אם כן שטח אהג"ד הוא נכחי הצלעות
|
- Therefore
|
וא"כ א"ב שוה לה"ד
|
|
וג"ד לא"ה
|
- Since BD is 16 cubits and HD is 6 cubits, the remaining BH is 10 cubits.
|
ולפי שב"ד י"ו אמו' וה"ד ו' אמו' א"כ ב"ה הנשארת תהיה י' אמות
|
- Since is isosceles and each of its sides is known, height AZ is also known and it is 12 cubits, as previously known.
|
ולפי שמשלש אב"ה שוה השוקים וכל אחת מצלעותיו ידועה יהיה א"כ גם עמוד א"ז ידוע והוא י"ב אמות כאשר קדם ידיעתו
|
- We halve AB and GD at points C and T.
|
ונחלק צלעי א"ב ג"ד באמצע על נקדת ח"ט
|
- We draw heights KCL, MTN to line BD.
|
ונוציא עמוד כח"ל מט"נ על קו ב"ד
|
- Therefore:
|
אם כן משלש אכ"ח שוה למשלש בח"ל
|
|
ומשלש דמ"ט שוה למשלש גנ"ט
|
- So, if we add the shared hexagon ACLNTD, the area of rectangle KLMN is equal to the area of trapezium ABGD.
|
לכן אם נוסיף בשתוף בעל שש צלעות א"ח ל"נ ט"ד ישוה שטח כ"ל מ"נ הנכחי הצלעות לנוטה אבג"ד
|
- And since:
|
ולפי שא"כ שוה לב"ל
|
|
וד"מ שוה לג"נ
|
- AK, DM are equal to BL, NG
|
אם כן א"כ ד"מ שוים לב"ל נ"ג
|
- When the shared AD, LN are added:
|
וכשיתוסף עליהם בשתוף א"ד ל"נ יהיו שני' כ"מ ל"נ שהם שני פעמים כ"מ שוה לשני [17]א"ד ב"ג
|
- AD, BG are known, for they are 22 cubits.
|
ושני א"ד ב"ג ידועים כי הם כ"ב אמות
|
- Therefore:
|
א"כ גם כ"מ פעמים כ"ב
|
- Hence, KM is 11 cubits.
|
ויהיה כ"מ י"א אמות
|
- But, KL is 12 cubits.
|
אבל גם כ"ל י"ב אמות
|
- And trapezium ABGD is equal to rectangle KLMN
|
ונוטה אבג"ד שוה לשטח כ"ל מ"נ הנכחי בצלעות
|
- Therefore, its area is 132 cubits as the area of the rectangle.
|
א"כ יהיה תשברתו קל"ב אמות כתשבורת הנכחי הצלעות
|
Height and area of an acute trapezium
|
|
- If you wish to measure an acute trapezium, such as trapezium ABGD, whose angle B is acute, AB is 13 cubits, GD is 20 cubits, AD is 6 cubits, and BG is 27 cubits. You wish to find the area and the height.
|
ואם רצית למדוד נוטה חד הזוית כגון נוטה אבג"ד והזוית אשר אצל ב' חדה וצלע א"ב י"ג אמות וצלע ג"ד כ' אמות וצלע א"ד ו' אמות וצלע ב"ג כ"ז אמות ותרצה למצוא התשבורת והעמוד
|
- Do as follows:
|
כך תעשה
|
- Subtract 6 cubits from 27 cubits; 21 cubits remain.
|
תגרע הו' אמות מן הכ"ז אמות וישארו כ"א אמות
|
- Since the sides of the acute triangle are known - 13, 21, 20 - the length of the height AZ is also known, which is 12 cubits, as we knew it previously.
|
ובהיות צלעות משלש החד הזויות ידועות והם י"ג וכ"א וכ' יודע גם ארך א"ז העמוד שהוא י"ב אמות כמו שידענו זה מקודם
|
- Add 6 cubits to 27 cubits; its half is 16½.
|
ותחבר עם הו' אמות כ"ז אמות ויהיה מחציתו י"ו אמות וחצי
|
- Multiply it by the height; it is 198 and this is the area of the trapezium.
|
כפלם עם העמוד ויהיו קצ"ח והם תשבורת הנוטה
|
|
והמופת על זה
|
- I draw line AH parallel to line GD.
|
אוציא קו א"ה נכחי לקו ג"ד
|
- I draw height AZ.
|
ואוציא א"ז עמוד
|
- Since AH is 20 cubits and GH is 6 cubits, the remaining BH is 21 cubits.
|
ולפי שא"ה כ' אמות וג"ה ו' אמות אם כן ב"ה הנשאר כ"א אמות
|
- Since line AZ, which is the height of the acute triangle ABH, is 12 cubits; lines AB and GD are halved at points C and T; BDL is the height from TN also, as we have shown concerning the shape that precedes this one; it is clear that trapezium ABGD is equal to the rectangle KLMN.
|
ולפי שקו א"ז העמוד במשלש אב"ה החד הזויות הוא י"ב אמות וצלעי א"ב ג"ד נחלקים באמצע על נקדת ח' וט' ובח"ל הוא העמוד גם מט"נ כמו שהראנו בצורה הזאת הקודמת לזה יראה שנוטה אבג"ד שוה לשטח כ"ל מ"נ נכחי הצלעות
|
|
וקוי ב"ג א"ד ביחד הם כפל כ"מ
|
- cubits.
|
וכ"מ הוא י"ו אמות וחצי
|
- cubits, because so is line AZ.
|
וכ"ל הוא י"ב אמות כי כן הוא קו א"ז
|
- Therefore the area of this trapezium is 198 cubits.
|
א"כ תשבורת הנוטה הזה הוא קצ"ח אמות
|
Height and area of an obtuse trapezium
|
|
- If you wish to measure an obtuse trapezium, such as trapezium ABGD, whose angle B is obtuse, AB is 13 cubits, GD is 20 cubits, AG is 6 cubits, and BD is 17 cubits.
|
אם רצית למדוד נוטה נרוח הזויות כמו נוטה אבג"ד והזוית אשר אצל ב' נרוחת והיה צלע א"ב י"ג אמות וצלע ג"ד כ' אמות וצלע א"ג ו' אמות וצלע ב"ד י"ז אמות
|
- Like this:
|
כזה
|
- Subtract 6 cubits from 17 cubits; 11 cubits remain.
|
תגרע הו' אמות מהי"ז אמות וישארו י"א אמות
|
- Since the sides of the obtuse triangle are known - 13, 17, 20 - the height is also found, which is 12.
|
ובהיות צלעי המשלש נרוח הזוית ידועות י"ג וי"ז וכ' ימצא גם העמוד שהוא י"ב
|
- Add 17 to 6; it is 23.
|
תחבר הי"ז עם הו' הם כ"ג
|
- Its half is 11½.
|
ומחצית זה הם י"א וחצי
|
- Multiply it by 12; it is 138 and this is the area of this trapezium.
|
תכפלם על י"ב יהיו קל"ח והוא תשבורת הנוטה הזה
|
- The proof of this measuring:
|
והמופת על זאת המדידה
|
|
אוציא עמוד א"ה
|
- I draw line AZ parallel to line GD.
|
ואוציא קו א"ז נכחי לקו ג"ד
|
- Therefore:
|
יהיה א"כ קו א"ז כ' אמות
|
|
וקו ז"ד ו' אמות
|
- So, the remaining BZ is 11 cubits.
|
ואם כן קו ב"ז הנשאר יהיה י"א אמות
|
- Since is obtuse, line AH is 12 cubits.
|
ולכן לפי שמשלש אב"ז הוא נרוח הזוית יהיה קו א"ה י"ב אמות
|
- As explained above, is double the trapezium ABGD.
|
וכן לפי מה שהתבאר למעלה השטח אשר יהיה מב"ד א"ג ביחד ומא"ה הוא כפל נוטה אבג"ד
|
- Hence, the area of this trapezium is 138 cubits.
|
אם כן תשבורת הנוטה הזה הוא קל"ח אמות
|
Height and area of a scalene non-parallelogram quadrilateral
|
|
- If you wish to measure a non-parallelogram quadrilateral, such that none of its sides are parallel, angle G is right, and each of its sides is known: AB is 13 cubits, BG is 10 cubits, GD is 20 cubits, and DA is 17 cubits.
|
ואם רצית למדוד נוטה אבג"ד ולא יהיה צלע מצלעותיה נכוחי והזוית אשר אצל ג' נצבת ויהיה כל צלע מצלעותיה ידוע אם צלע א"ב י"ג אמות ואם ב"ג י' אמות ואם ג"ד כ' אמות [18]ואם ד"א י"ז אמות כזה
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the 10 cubits by the 20 cubits; it is 200.
|
תכפול הי' אמות על הכ' אמות ויהיו ר'
|
- Take its half; it is 100.
|
וקח מחציתם והוא ק'
|
- Multiply the 10 by itself; it is 100.
|
ועוד תכפול הי' על עצמם ויהיו ק'
|
- And the 20 by itself; it is 400.
|
והכ' על עצמם ויהיו ת'
|
- Sum them; it is 500.
|
וחברם ויהיו ת"ק
|
- The 13 by itself; it is 169.
|
והי"ג על עצמם ויהיו קס"ט
|
- Add it to 500; it is 669.
|
חברם עם הת"ק ויהיו תרס"ט
|
- Subtract from it the square of 17; 380 remains.
|
גרע מהם מרובע י"ז וישארו ש"פ
|
- Take its half; it is 190.
|
קח חציים והוא ק"צ
|
- Multiply it by itself; it is 36100.
|
כפלם על עצמם ויהיו ל"ו אלפי' וק'
|
- Divide it by 500; the quotient is 72⅕.
|
חלקם על ת'[ק'] ויהיה החלק ע"ב וחמישית
|
- Subtract it from 169; 96+½+⅕+⅒ remains.
|
תגרעם מן קס"ט ישארו צ"ו וחצי וחמישית ועשירית
|
- Multiply it by 500; it is 48400.
|
כפלם על ת"ק ויהיו מ"ח אלף ות'
|
- Extract its root; it is 22[0].
|
קח גדרם ויהיו רכ"א
|
- Take its half; it is 110 and this is the area of .
|
וקח מחציתם ויהיה ק"י והוא תשבורת משלש אב"ד
|
|
|
|
אבל גם תשבורת משולש בג"ד ק' אמות אם כן תשבורת נוטה אבג"ד ר"י אמות
|
- The proof of this measuring:
|
המופת על המדידה הזאת
|
|
נגיע קו ב"ד
|
|
ואעמיד עליה עמוד קו א"ה
|
|
ולפי שכל אחד מצלעי ב"ג ג"ד הם ידועות וזוית שאצל ג' נצבת אם כן משלש בג"ד יהיה ידוע
|
|
ויהיה גם מרובע ב"ד ידוע והוא ת"ק אמות
|
|
אבל גם מרובע א"ב ידוע
|
|
א"כ מרובעי א"ב ב"ד ידועים והם יותר ממרובע א"ד
|
|
אם כן זוית אב"ד תהיה חדה
|
|
ואם כן מרובעי א"ב ב"ד גדולים ממרובע א"ד בכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א' ב"ה פעם אחת ידוע והוא גדר מרובע ב"ד על מרובע ב"ה
|
|
אם כן גם מרובע ד"ב על מרובע ב"ה ידוע
|
|
ומרובע ב"ד ידוע
|
|
א"כ גם מרובע ב"ה ידוע
|
|
אבל גם מרובע ה"א על מרובע ב"ד וגדרו הוא השטח אשר יקיפו ב"ד א"ה
|
|
א"כ גם השטח אשר יקיפו בו ב"ד ד"ה ידוע והוא כפל משלש אב"ד
|
|
אם כן גם משלש אב"ד ידוע
|
|
אבל גם משלש בג"ד ידוע
|
|
ולכן כל בעלת ד' צלעות אבג"ד ידועה
|
|
והיות גם העמוד היוצא מנקדת א' על קו ב"ד ידוע הנה אני מביא עליו המופת יהיה נוטה עליו אבג"ד וכל אחת מצלעותיו תהיה ידועה וזוית בג"ד נצבת
|
|
והיות העמוד היוצא מנקדת א' על קו ג"ד ידוע אוציא אם על קו ג"ד עמוד א"ז ועל קו א"ז עמוד ב"ח ועל קו ב"ד עמוד א"ה והוא מבואר כי קו ב"ד ידוע וא"ה העמוד אשר עליה לפי שגם ב"א א"ד הם ידועים ולפי שזוית גב"ד שוה לזוית בט"א אבל גם זוית בג"ד הנצבת שוה לזוית אה"ט הנצבת אם כן יחס א"ה אל ה"ט ויחס ג"ד אל ג"ב ידוע א"כ גם יחס א"ה אל ה"ט ידוע וא"ה ידוע אם כן גם ה"ט ידוע והם מקיפים בזוית נצבת אם כן גם א"ט ידוע ולפי שכל אחת מב"ה ה"ט ידוע אם כן גם השטח נצב הזויות ידוע אשר יקיפו בו בט"ה ויהיה שוה לשטח אשר יקיפו בו אט"ח והזוית אשר אצל כל אחת מה"ח נצבת אם כן גם ח"ט ידוע ולכן יהיה גם א"ח ידוע אבל גם ח"ז שוה לב"ג אם כן גם א"ז כולו יהיה ידוע ויהיה אופן המעשה כן
|
|
אם צלע א"ב יהיה י"ג אמו' ואם צלע ב"ג י' אמות ואם צלע ג"ד כ' אמות ואם צלע ד"א י"ז אמו' [19]ונרצה למצוא התשבורת הנז' ויהיה אם עמוד א"ה בכח צ"ו וחצי וחמש יתחלק א' מט"ו ואם ב"ה יהיה בכח ע"ב וחמש ואם ב"ד יהיה בכח ת"ק ולפי שאם צלע ג"ד היא כ' אמות ואם ג"ב היא עשר אמות א"כ מרובעם יהיה ת' אמות וק' אמות ועשה כך
|
|
ראה כיחס ת' אל הק' מה היחס אל צ"ו ורביעית וחמישית ותמצא שהוא אל כ"ד וחמישית
|
|
וכן מרבע ה"ט וכפל הע"ב על כ"ד וחמישית וקח גדר ההוה וכפלהו בשנים וההוה הוא ככפל השטח הנצב הזוית אשר יקיפו בו ב"ה ונוסיף מרובע ב"ה ב"ט כלומר מרובע ע"ב וחמישית וכ"ד וחמישית מחוברים ונדע כ"ט בכח שהוא ק"פ וחבר קצ"ו וחצי וחמישית ועשירית והכ"ד וחמישיתו ויעלה קכ"ד וכפל הק"ף על הכ"ד וחמישית יהיה בכח ד' אלפים שכ"ו וחלקם על הקכ"א יהיה ל"ו ונגרע מקכ"א בכח ל"ו בכח וישארו כ"ה בכח שהם ה' באורך ותוסיף כל שעור ב"ג והוא י' אמות וההוה ט"ו וזהו שעור העמוד ואם ה"ט בכח כ"ד וחמישית ואם ח"ט באורך ו' ואם באורך י"א
|
|
ואם תרצה למדוד נוטה אבג"ד אשר הזוית שאצל ג' נצבת ויהיה צלע א"ב י"ג אמות וצלע ב"ג י' אמות וצלע ג"ד ח' אמות וצלע א"ד כ"ה אמות כזה ותרצה למצוא תשברתו
|
|
תעשה כן
|
- Multiply the 10 by itself; it is 100.
|
תכפול הי' על עצמם יעלו ק'
|
- Multiply also the 8 by itself; it is 64.
|
גם הח' על עצמם יעלו ס"ד
|
- Sum them; it is 164.
|
תחברם יעלו קס"ד
|
- Multiply also the 13 by itself; it is 169.
|
גם תכפול הי"ג על עצמם יעלו קס"ט
|
- Sum them; it is 333.
|
חברם עמם יעלו של"ג
|
- Multiply also the 25 by itself; it is 625.
|
גם כפול הכ"ה על עצמם יעלו תרכ"ה
|
- Subtract 333; 292 remains.
|
גרע של"ג ישארו רצ"ב
|
- Take its half; it is 146.
|
קח חציים והם קמ"ו
|
- Multiply it by itself; it is 21316.
|
כפלם על עצמם יעלו כ"א אלף שי"ו
|
- Divide it by 164; the quotient is 129 and 160 parts of 164.
|
חלקם על קס"ד יהיה החלק קכ"ט וק"ס חלקים מקס"ד באחד
|
- Subtract it from 169; 39 and 4 parts of 164 remain.
|
גרעם מן קס"ט ישארו ל"ט וד' חלקים מן קס"ד באחד
|
- Multiply them by 164; it is 6400.
|
כפלם על קס"ד יעלו ו' אלפים ות'
|
- Its root is 80.
|
וגדרו פ'
|
|
וחציים מ' ויהיה תשבורת משולש אב"ד מ' אמות
|
|
|
|
אבל גם תשבורת משולש בג"ד כן מ' אמות אם כן תשבורת כל נוטה אבג"ד פ' אמות
|
- The proof of this measuring:
|
והמופת על המדידה הזאת
|
|
נגיע ב"ד
|
|
ויהיה תשבורת משולש בג"ד ידוע
|
|
ומרובע ב"ד יהיה קס"ד אמות
|
|
אבל גם מרובע א"ב קס"ט אמות
|
|
א"כ מרובע א"ב ב"ד ככפל השטח הנצב הזויות שהם של"ג אמות והם פחותים ממרובע א"ד
|
|
אם כן זוית אב"ד נרוחת
|
|
ואוציא עמוד א"ה על ד"ב בהוציאי אותו עד ה'
|
|
א"כ מרובע א"ד יותר גדול ממרובעי א"ב ב"ד ככפל השטח הנצב הזויו' אשר יקיפו בו קוי ב"ה ידוע
|
|
לכן גם השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו ב"ד ב"ה יהיה ידוע
|
|
ויהיה גדר מרובע ב"ד על ב"ה א"כ מרובע ב"ד על מרובע ב"ה ידוע
|
|
אבל גם מרובע ב"ד גם מרובע ה"ב הנשאר ידוע
|
|
והזוית אשר אצל ה' נצבת
|
|
א"כ גם מרובע א"ה ידוע
|
|
לכן גם מרובע א"ה על מרובע ב"ד ידוע
|
|
ויהיה גדרו השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ה ב"ד
|
|
אם כן גם שטח הנצב הזוית אשר יקיפו בו א"ה ב"ד ידוע
|
|
וחציו הוא משלש אב"ד שהוא מ' אמות כמו שזכרנו
|
|
[20]אם כן גם משלש אב"ד ידוע לכך גם כל בעל ד' צלעות אבג"ד יהיה ידוע
|
Chapter Five on Knowing the Round Shapes
|
הפרק החמישי בידיעת התמונות העגולות
|
|
דע שהעגולה היא קו אחד בתוכה נקדה שכל הקוי' היוצאים ממנה אל המקיף שוים
|
|
והנה בזה השער יכנסו מדידת העגולה השלימה אשר גדרנוה ומדידת חתיכות העגולה וחתיכות העגולה ג' מינים
|
- The first is a semicircle.
|
הא' הוא חצי העגולה
|
- The second is greater than a semicircle.
|
השני יותר מחציה
|
- The third is less than a semicircle.
|
השלישי פחות מחציה
|
|
ונחל במדידת העגולה השלימה אחר נדבר במדידת חתיכותיה
|
We say that the area of the circle is [obtained] by that you multiply half of its diameter by half of its perimeter.
|
ונאמר כי תשבורת העגולה היא בשתכה את מחצית קטרה במחצית הקו המקיף אותה
|
The ratio of its perimeter, i.e. the line surrounding the circle, to its diameter is as the ratio of 22 to 7.
|
והנה ערך הקו המקיף אותה ר"ל את העגולה מקטרה כערך כ"ב אל הז'
|
We find that the ratio of the perimeter is 3⅐ according to the opinion of the geometricians that are experts in this science.
|
נמצא שהקו המקיף הוא בערך ג' ושביעית וזה לפי דעת חכמי המדות המדקדקים בחכמה הזאת
|
|
אמנם בטלמיוס עשה כל חשבונותיו בספר המג'יסטי על חשבון שיהיה הקטר שלישית הקו המקיף כי חלק את העגולה על ש"ס מעלות והקטר על ק"כ מעלות ואעפ"י שאין יחס בין הקטר שהוא קו ישר לקו המקיף שהוא קו עגול אבל היחס יפול במספר לא בשעור
|
- If you wish to find the area of the circle from the perimeter alone:
|
ואם רצית למצוא תשבורת העגולה מהמקיף לבד
|
- Take the square of the perimeter by multiplying it by itself, multiply the product by 7, then take one part of 88 from the result and it is the area of the circle.
|
תקח מרובע הקו המקיף וזה בשתכה אותו על עצמו וההוה תכה אותם על ז' וההוה קח מהם חלק א' מפ"ח והוא תשבורת העגולה
|
- Example: we multiply 22 by itself; it is 484.
|
המשל בזה הכינו כ"ב על עצמם והם תפ"ד
|
- We multiply it 7 times; it it is 3388.
|
כפלנום ז' פעמים והם ג' אלפים ושפ"ח
|
- We take from it one part of 88; it is 38½ and this is the area of the circle.
|
לקחנו מהם חלק מפ"ח והם ל"ח וחצי והוא תשבורת העגולה
|
- Another example: if you wish to find the area of the circle from the perimeter alone:
|
דמיון אחר אם רצית למצוא תשבורת העגולה מהמקיף לבד
|
- Add to the perimeter its half and its quarter and the result is the area of the circle.
|
תוסיף על המקיף חציו ורביעיתו וההוה הוא תשבורת העגולה
|
- Example: we add to the perimeter, which is 22 cubits, its half and its quarter that are 16½; the result is 38½ and this is the area of the circle.
|
המשל בזה הוספנו על הקו המקיף שהוא כ"ב אמות חציו ורביעיתו שהם י"ו אמות וחצי ההוה ל"ח וחצי והם תשבורת העגולה
|
|
ואם רצית תשבורת העגולה מהקטר לבד מבלתי שתביט אל הקו המקיף כפול מרובע הקטר על י"א וחלק העולה על י"ד והעולה הוא תשבורת העגולה וזה על חשבון חכמי המדות
|
|
ובטלמיוס אמר במקום אחר כי ערך הקו המקיף אל כל האלכסון והוא ג' וח' חלקי' מששים באחד
|
|
ואין הפרש בין זה החשבון ובין חשבון חכמי המדות רק דבר מועט שאינו מזיק בחשבון לכן סמכנו את חשבוננו על דעת חכמי המדות
|
|
עוד אם רצית למצוא תשבורת העגולה מהקטר לבד תקח הקטר וכפלהו על הקו המקיף וקח מההוה רביעיתו והוא תשבורת העגולה
|
|
המשל בזה הקטר ז' והקו המקיף כ"ב כפלנו זה על זה וההוה קנ"ד ורביעיתו ל"ח וחצי והוא תשבורת העגולה
|
|
הנה כבר בארנו דרך תשבורת מדידת העגולה
|
|
[21]ומעתה נחל לבאר דרך מדידת חתיכותיה ונאמר כי מקצת העגולה היא מקפת מן קצת הקו המקיף את העגולה ומקו ישר יקרא המיתר והוא המשוך מקצה הקו המקיף אותה עד קצהו האחר
|
|
וכאשר יצא ממחצית המיתר קו על זוית נצבת אל המקיף יקרא החץ
|
|
ועיין אל כל חתיכה ואם החצי יהיה כמחצית המיתר דע שהחתיכה היא חצי עגולה
|
|
ואם יהיה קצר ממחצית היתר דע שהחתיכה היא פחותה מחצי העגולה
|
|
ואם הוא יותר ארוך ממחצית היתר החתיכה היא גדולה ממחצית העגולה
|
|
וכאשר היתה החתיכה חצי עגולה ורצית לדעת תשברתה תכפול חצי היתר שהוא אלכסון החצי עם חצי הקו המקיף אותה וההוה הוא תשבורת מחצית העגולה כי מחצית הקו המקיף העגולה שהיא החתיכה הוא רביע הקו המקיף כל העגולה השלימה
|
|
וכאשר הכית מחצית הקטר ברביע העגולה תמצא תשבורת כל העגולה
|
|
וכאשר תכה מחצית הקטר ברביע העגולה תמצא תשבורת חצי העגולה
|
|
כי כל חשבון שתכה חציו בכולו יהיה ההוה מחצית הכאת כלו
|
|
ואם תכה חציו בחציו ההוה רביע הכאת כלו בכולו
|
|
המשל בזה עגולה שלימה אשר הקו המקיף אותה כ"ב אמות ידענו שקטרה ז' אמות רצינו למצוא תשברתה
|
|
הכינו מחצית הקטר שהוא ג' וחצי על מחצית הקו המקיף שהוא י"א אמות וההוה ל"ח וחצי ידענו מזה שתשבורת העגולה ל"ח וחצי אמות
|
|
רצינו לדעת תשבורת מחצית העגולה הזאת לקחנו מחצית הקו המקיף אותה שהוא ה' וחצי והכינו אותם עם מחצית הקטר שהוא ג' וחצי וההוה י"ט ורביע והוא תשבורת חצי העגולה
|
- Example: a semicircle whose diameter is 14 cubits and the versine is 7 cubits.
|
המשל בזה חצי עגולה שיהיה קטרה י"ד אמות והחץ ז' אמות
|
- Take the square of the diameter, which is 196, multiply it by 11; the result is 2156.
|
תקח מרובע הקטר והוא קצ"ו אמות ותכפלהו בי"א ההוה ב' אלפים קנ"ו
|
- Take one part of 28, which is 77 cubits, and this is the area of the semicircle.
|
קח החלק האחד מכ"ח שהם ע"ז אמות והם תשבורת חצי העגולה
|
- If you wish to find its area using the versine, do as follows:
|
ואם רצית למצוא את תשבורתה מהחץ תעשה כך
|
- Take the square of the versine, multiply it by 11, then take its seventh and this is the area of the semicircle.
|
תקח מרובע החץ ותכפלהו על י"א ותקח שביעיתו והוא תשבורת חצי העגולה
|
- Example: take the square of the versine, which is 7 and its square is 49, multiply it by 11; the result is 539 and its seventh is 77 and this is the area of the semicircle.
|
המשל בזה קח מרובע החץ שהוא ז' ומרובעו מ"ט כפלהו על י"א ההוה תקל"ט ושביעיתו ע"ז והוא תשבורת חצי העגולה
|
- Another semicircle, whose diameter is 7 cubits, its versine is half the diameter, which is 3½, and the perimeter is 11 cubits. You wish to know its area.
|
עוד חצי עגולה אשר קטרה ז' אמות וחצה חצי הקטר שהוא ג' וחצי והקו המקיף י"א אמות ותרצה לדעת תשברתה
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the 7 cubits of the diameter by the 11 cubits of the perimeter; the result is 77 cubits; take its quarter, which is 19¼ cubits and this is the area of the semicircle.
|
תכפול הז' אמות של הקטר עם הי"א אמות של הקו המקיף וההוה ע"ז אמות קח רביעיתם והם י"ט אמות ורביע והם תשבורת חצי העגולה
|
- In another way, do as follows:
|
ובאופן אחר תעשה כך
|
- Take the square of the diameter, which is 7 cubits and its square is 49, multiply it by 11; the result is 539.
|
תקח מרובע הקטר שהוא ז' אמות ומרובעו מ"ט כפלם על י"א וההוה תקל"ט
|
- Take one part of 28; its is 19¼ cubits and this is the area.
|
קח חלק א' מכ"ח והוא י"ט אמות ורביע וזהו התשבורת
|
|
[22]רצינו למצוא תשבורת חתיכת עגולה פחות מחציה ובזה הוא הכרח למצוא קטר כל העגולה אשר זאת החתיכה ממנה וככה נעשה
|
|
כבר התבאר בספר היסודות לאקלידס כי כל עגולה יפלו בה שני מיתרים ויחתכו זה את זה יהיה חלק המיתר בחברו האחר ככפל חלק המיתר השני בחברו
|
|
וכאשר רצינו למצוא אלכסון העגולה אשר זו החתיכה נחצבת ממנו נעבירהו חותך המיתר על זויות נצבות ויחתכהו באמצע כפי מה שהתבאר בספר היסודות לאקלידס
|
|
ונכפול חצי המיתר על מחציתו וההוה ממנו ראוי שיהיה כמו ההוה מחץ החתיכה הזאת על שארית האלכסון
|
|
וכאשר ידענו כמות אורך החץ נכפלהו על מספר שיהיה ההוה מכפלו כמו ההוה ממחצי' המיתר על מחציתו והמספר אשר כפלנו אותו עליו יחד עם החץ יהיה שעור אלכסון
|
|
המשל בזה יהיה חתיכת עגולה פחות מחציה חתיכת א"ב ויהיה מיתרה ח' אמות וחצה ב' אמות והוא ג"ד חותך על זויות נצבות את המיתר
|
|
ובהכרח שיחתוך אותו אל חצאים וכשנוציאנו עד מקיף העגולה כאשר נשלים אותה יעבור על מרכז העגולה
|
|
והנה חתך המיתר על ד' ד' אם כן כשנעריך חצי המיתר על חציו ההוה י"ו וכבר הנחנו החץ ב' נעריך אותו על מספר שיהיה ההוה י"ו ואין מספר כזה זולתי הח' וידענו שהחסר מן החץ עד תשלום האלכסון הם ח' חברנום עם החץ ביחד והיו י' והוא אורך כל האלכסון ונעשה חצו בה ונשלים העגולה ונאמר שנוציא שני קוים מנקדת ח' שהוא חצי האלכסון ומרכז העגולה אל נקדת א' ונקדת ב' ונכה מחצית הקטר שהוא ח"ג במחצית הקשת המקיף את החתיכה והוא קשת א"ג וההוה הוא תשבורת המשולש אשר שתי צלעותיו ח"א ח"ב ותושבתו קשת אב"ג
|
|
אחר כך נכה מחצית המיתר בעמוד המשולש הוא קו א"ד וההוה הוא תשבורת המשולש ישר הקוים
|
|
נגרע התשבורת מתשבורת המשולש אשר תושבותיו קשת אב"ג ואשר ישאר הוא תשבורת החתיכה הדרושה
|
|
וכאשר רצינו לדעת זאת המדידה באופן אחר מבלתי שנצטרך להוציא כל אלכסון העגולה נחבר המיתר והחץ ונקח חציים ונכה אותם עם החץ גם נכה חצי המיתר על עצמו ונקח מהכאת חצי המיתר על עצמו חלק א' מן ארבעה עשר ונוסיף אותם על הכאת חצי המיתר והחצי עם החץ והוא התשבורת
|
|
כגון מיתר י"ב עם חץ ד' שהם י"ו וחציים ח' נכה בד' הם ל"ב וחצי המיתר על עצמו הם ל"ו חלקו מי"ד ב' אמות וחצי וחלק מי"ד נוסיפם [23]על הל"ב אמות יהיה תשבורת החתיכה ל"ד אמות וחצי וחלק א' מי"ד
|
|
נרצה למצוא תשבורת חתיכת העגולה אשר היא גדולה מחציה
|
|
והחתיכה הזאת היא קשת אב"ג עם מיתר א"ג
|
|
ותוכל לדעת התשבורת כשתמצא קטר העגולה אשר זאת החתיכה היא חתיכה ממנה ותהיה כופל חצי הקטר בחצי הקשת ותהיה מוסיף עליו תשבורת המשולש אשר תושבתו המיתר וראשו מרכז העגולה וההוה הוא תשבורת החתיכה
|
|
ונעמוד על ידיעת האלכסון כן נקח מרובע חצי המיתר ונחלקהו על החץ ונוסיף העולה על החץ וההוה הוא אלכסון העגולה אשר זאת החתיכה נחתכה ממנה
|
|
המשל בזה יהיה חתיכת העגולה קשת אב"ג והמיתר א"ג וארכו י"ב אמות והחץ ב"ד וארכו ח' אמות
|
|
לקחנו מרובע חצי היתר שהוא ל"ו וחלקנוהו על החץ שהוא ח' ועלה החלק ד' אמות וחצי הוספנום על החץ והם י"ב אמות וחצי וידענו שהאלכסון הוא י"ב אמות וחצי
|
|
רצינו למצוא את התשבורת ולקחנו חצי הקטר שהוא ו' אמות ורביע וכפלנו אותו על חצי הקשת וההוה שמרנוהו
|
|
אחר כך מצאנו תשבורת המשולש שתשברתו א"ג ועמודו ה"ד ושתי צלעותיו הם א"ה ג"ה ומצאנוהו כן ידענו שאורך כל א' מצלעותיו השתים הוא כארך חצי הקטר ולכן יהיה מרובע הצלע כמרובע העמוד ומרובע מחצי' המיתר כי הוא תושבת לזוית הנצבת ואחרי שמרובע מחצית המיתר ל"ו נגרעהו ממרובע הצלע שהוא ל"ט אמות וחלק א' מי"ו נשארו ג' אמות וחלק א' מי"ו והם מרובע ארך העמוד
|
|
כפלנו העמוד עם מחצי' התושבת שהם ו' אמות וההוה הם י"ח אמות ושלישית וחלק מל' גם אחד מק"כ והוא תשבורת משלש אה"ג
|
|
הוספנו על השמור וההוה הוא תשבורת החתיכה הנזכרת
|
|
ואם רצינו למצוא התשבורת הזאת מבלי שנצטרך להוציא האלכסון נעשה כך
|
|
נכה המיתר עם החץ וההוה נכה אותו עם י"א ומן ההוה נקח חלק א' מי"ד והוא תשבורת החתיכה הזאת
|
|
המשל בזה חתיכת עגולה גדולה מחציה היא קשת אב"ג ומיתרה א"ג וארכו כ"ד אמות והחץ י"ו אמות
|
|
הכינו החץ עם המיתר ההוה שפ"ד אמות הכינו שפ"ד עם י"א ההוה ד' אלפים ורכ"ד לקחנו מהם חלק א' מהי"ד וההוה ש"א אמות וחצי ושביעית וחלק מי"ד והוא תשבורת החתיכה הנזכרת
|
|
אמר מרדכי בעבור שאלה המדידות אנו צריכים למצוא כמות הקשת המקפת בחתיכו' העגולה וזה מתבאר בלוחות המיתרים והקשתות כי בידיעת המיתר נדע הקשת גם בידיעת הקשת נדע המיתר כמו שביאר זה בטלמיוס במאמר א' מספר האלמג'יסטי [24]מאג'יסטי ואין מדרך חבורנו זה לכתוב בו לוחות ראיתי להמציא לך דרך לדעת הקשתות מבלי שתצטרך אל הלוחות ההם
|
|
ואומר אם חתכת העגולה תהיה פחות מחציה ותרצה לדעת כמות הקשת המקיף אותה תעשה כך לעולם
|
|
תחבר המיתר על החץ ותגרע מהם רביעיתם וקח מהנשארים רביעיתם והוסף עליהם וההוה הוא כמות הקשת המקיף את החתיכה
|
|
המשל בזה תהיה חתיכת עגולה פחות מחציה חתיכת א"ב ומיתרה מ' אמות וחצה י' אמות חברנו המיתר עם החץ ההוה נ' אמות גרענו אלו י"ב אמות וחצי שהם רביעיתם נשארו ל"ז אמות וחצי לקחנו ט' אמות ורביע ושמינית שהם רביע הל"ז אמות וחצי אשר נשארו והוספנו אותם עליהם ההוה מ"ו אמות וג' רביעיות ושמינית והוא כמות הקו המקיף את החתיכה אמנם גרענו רביע והוספנו רביע בעבור שהחץ הוא רביעית חלק מהמיתר
|
|
ואחר שבארנו מעתה אתה יכול למדוד כל הצורות שיש להם צלע עקום
|
|
כגון משלש אב"ג אשר שתי צלעותיו ישרים ותושבתה קשת עגול והוא קשת ב"ג
|
|
שתמדוד המשלש בפני עצמו וזה בשתמשוך קו ישר מב' עד ג' ותוציא העמוד על קו ב"ג ותכהו במחצית התושבת כמו במדידת המשלשים
|
|
עוד נמצא את הקשת הזה במצאינו עגולה מאיזו נחצבה כמו שבארנו במדידת החתיכות שהם פחותות מחצי עגולה או עודפות על חצי עגולה ונמצא תשבורתה ונחבר אותה עם תשבורת המשולש והמחובר הוא תשבורת התמונה הזאת
|
|
גם ככה נעשה בהיות שתי הצלעות עקומו' כזה והאחרת קו ישר
|
|
כגון תמונת אב"ג שנמשך שני קוים ישרים מנקודת א' וב' אל נקדת ג'
|
|
ונעשה משלש ישר הקוים ונמדוד אותו כמשפט
|
|
עוד נמדוד שני העקומות כל אחת בהיותה חתיכת עגולה כי שתי צלעות המשולש הם מיתרים לשתי החתיכות הנזכרות ונחבר שלשת המדידות כלומר מדידת המשולש ומדידת כל אחת משתי החתיכות וההוה הוא תשבורת תמונה הזאת
|
|
גם ככה אם היו שתי צלעותיה עקומות ובם תשלם התמונה
|
|
כמו תמונת אב"ג שנוציא קו ישר מנקדת ב' אל נקדת ד' ויהיה מיתר לשתי חתיכות של העגולה לחתיכת בא"ד ולחתיכת בג"ד
|
|
ונמדוד כל חתיכה בפני עצמה ונחבר שתי המדידות והם יהיו תשבורת התמונה
|
Chapter Six on the Measuring of Regular Polygons
|
הפרק הששי במדידת התמונות רבות הזויות
|
|
דע שכל תמונה ישרת הקוים תחלק אל משלשים ואפי' המשולש עצמו כמו שהתבאר בספרי הקדמונים שהמשולש הוא שרש ויסוד לכל התמונות ישרות הקוים [25]כי מהם התהוו ואליהם יותכו וכבר ידעת מדידת המשולשים למיניהם
|
|
וכאשר תרצה למדוד תמונה רבת הזויות תוציא קו ישר מכל זוית מזויותיו אל מרכז התמונה ואז תחלק למשלשי' בכמות הזויות
|
|
וכאשר תמדוד כל המשלשים ותקבץ מנינם המקובץ הוא תשבורת התמונה ההיא
|
|
ואם צלעות המשולש שוים כלומר תושבותיהם גם השוקים שלהם וזה כשתעגל ממרכז התמונה ובמרחק זוית מזויותיה עגולה ותמשש כל הזויות אז תמדוד המשלש הא' לבד ותמצא תשברתו
|
|
אח"כ תכה את התשבורת הנזכרת במנין הזויות וההוה הוא תשבורת התמונה וזהו הכלל הנתון במדידת התמונות רבות הזויות
|
|
אמנם כדי להקל על המחשב נתנו החכמים דרכים במדידתם ולכן נכתבם פה
|
|
ונחל ממדידת תמונה בעלת ה' צלעות ובעלת ה' זויות כי המשלשים גם המרובעים כבר זכרנום
|
|
ואלה התמונות אשר נזכיר הם שתמשש העגולה זויותיהם ותהיינה שוה הצלעות והזויות ונאמר
|
- If you wish to measure a pentagon
|
אם רצית למדוד תמונה בעלת חמש זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה ככה
|
- Multiply the side by itself, then multiply the product 5 times and take its third and this is the area of the mentioned shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו ה' פעמים וקח שלישיתו והוא תשבורת התמונה הנזכרת
|
- Example: we have a pentagon ABGDH, each of its sides is 10 cubits.
|
המשל יש לנו תמונת אבגד"ה בעלת ה' זויות וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply 10 by itself; the result is 100.
|
כפלנו הי' על עצמו וההוה ק'
|
- We multiply it by 5; the result is 500.
|
כפלנו זה על ה' וההוה ת"ק
|
- We take its third; it is 166⅔ cubits and this is the area of the shape.
|
לקחנו שלישיתם והם קס"ו אמות וב' שלישי אמה והם תשבורת התמונה
|
|
ואם תרצה למצוא גם קטר העגולה הממששת התמונה תכפול הצלע שהם עשרה אמות על י"ז ההוה ק"ע חלקם על י' וההוה י"ז והם קטר העגולה
|
- If you wish to measure a hexagon
|
ואם רצית למדוד תמונת בעלת שש צלעות ושש זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the side by itself, then multiply the product by 6 and take a third and a tenth of it and this is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על ו' ותקח מהם השלישית והעשירית והם תשבורת התמונה
|
- Example: we have a [hexagon] ABGDHW, each of its sides is 30 cubits and the diameter is 60 cubits.
|
המשל יש לנו תמונת אבגדה"ו וכל צלעותיה ל' אמות והקטר ס' אמות
|
- We multiply 30 by itself; the result is 900.
|
כפלנו הל' על עצמו וההוה תת"ק
|
- We multiply it by 6; the result is 5400.
|
כפלנום על ו' ההוה ה' אלפים וארבע מאות
|
- We take its third and its tenth; it is 2340 and this is the area of the shape.
|
לקחנו מהם השלישית והעשירית ההוה ב' אלפים ש"מ והוא תשבורת התמונה
|
- If you wish to measure a heptagon
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת שבע זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the side by itself, then multiply the result by 43 and take one part of 12 of the product and the result is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפול אותו על מ"ג ומההוה קח חלק א' מי"ב וההוה הוא תשבורת התמונה
|
- Example: we have a [heptagon] ABGDHWZ, each of its sides is 10 cubits.
|
המשל יש לנו תמונת אבגדהו"ז וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply 10 by itself, then multiply the result by 43; it is 4300.
|
כפול הי' על עצמם ההוה כפלם על מ"ג ההוה ד' אלפים ש'
|
- Take one part of 12; the result is 358⅓ and this is the area of the shape.
|
קח חלק [26]אחד מי"ב וההוה שנ"ח ושליש והם תשבורת התמונה
|
- If you wish to measure an octagon
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת שמנה זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the side by itself, then multiply the product by 29 and take its sixth and this is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על כ"ט וקח ששיתו והוא תשבורת התמונה
|
- Example: we have an [octagon] ABGDHWZC, each of its sides is 10 cubits.
|
המשל יש לנו תמונת אבגדהוז"ח וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply 10 by itself; the result is 100.
|
כפלנו הי' על עצמם העולה ק'
|
- We multiply the 100 by 29; the result is 2900.
|
כפלנו הק' על כ"ט ההוה ב' אלפים תת"ק
|
- We take its sixth; the result is 483⅓ and this is the area of the shape.
|
לקחנו את ששיתו ההוה תפ"ג ושליש והוא תשבורת התמונה
|
- If you wish to measure a nonagon
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת ט' צלעות וט' זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the side by itself, then multiply the product by 51 and take its eighth and this is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על נ"א וקח שמיניתם והוא תשבורת התמונה
|
|
המשל יש לנו תמונת אבגדהוזח"ט וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply 10 by itself; the result is 100.
|
כפלנו העשרה על עצמם ההוה ק'
|
- We multiply it by 51; the result is 5100.
|
כפלנום על נ"א וההוה ה' אלפים ק'
|
- We take its eighth; the result is 637½ and this is the area of the shape.
|
לקחנו שמיניתם והם תרל"ז אמות וחצי וככה תשבורת התמונה
|
- If you wish to measure a decagon
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י' צלעות וי' זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the side by itself, then take the product and multiply it by 15 and take its half and this is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה קח אותו וכפלהו על ט"ו וקח חצי ההוה והוא תשבורת התמונה
|
|
והמשל בזה יש לנו תמונת אבגדהוזחט"י וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply 10 by itself; it is 100.
|
כפלנו הי' על עצמם והיו ק'
|
- We multiply it by 15; the result is 1500.
|
כפלנום על ט"ו ההוה אלף ת"ק
|
- Its half is 750 and this is the area of the shape.
|
וחציים שבע מאות וחמשי' וככה תשבורת התמונה
|
|
ובפנים האחרים גם כן כפלנו הי' על עצמם וההוה ק' כפלנום על ל"ח וההוה ג' אלפים ות"ת לקחנו חמישיתו והם תש"ס והוא תשבורת התמונה וזה החשבון יותר מדוקדק
|
- If you wish to measure a hendecagon
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י"א זויות
|
- Do as follows:
|
עשה כך
|
- Multiply the side by itself, then multiply the product by 66 and take from the result its seventh and this is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על ס"ו ומן ההוה קח שביעיתו והוא תשבורת התמונה
|
|
המשל יש לנו תמונת אבגדהוזחטי י"א וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply the side by itself; the result is 100.
|
כפלנו הצלע על עצמו ההוה ק'
|
- We multiply it by 66; the result is 6600.
|
כפלנום על ס"ו והיו ו' אלפים ת"ר
|
- We take its seventh; it is 943 and this is the area of the shape.
|
לקחנו שביעיתם והם תתקמ"ג וככה תשבורת התמונה
|
- If you wish to measure a dodecagon
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י"ב זויות
|
- Do as follows:
|
תעשה כך
|
- Multiply the side by itself, then multiply the product by 45 and take from the result its quarter and this is the area of the shape.
|
תכפול הצלע על [27]עצמו וההוה כפלהו על מ"ה ומההוה קח רביעיתם וככה תשבורת התמונה
|
|
המשל יש לנו תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' י"א י"ב וכל צלע מצלעותיה י' אמות
|
- We multiply the side by itself; it is 100.
|
כפלנו הצלע על עצמו היו ק'
|
- We multiply it by 45; the result is 4500.
|
כפלנום על מ"ה וההוה ד' אלפים ת"ק
|
- We take its quarter; it is 1125 and this is its area.
|
לקחנו רביעיתם והם אלף קכ"ה וככה תשברתם
|
|
ושאר התמונות רבות הזויות אשר אינן שוות הצלעות והזויות נמדדות במדידת המשולשים אשר עליהן תחלקנה
|
|
אמר מרדכי הנה הודעתיך מדידת התמונות רבות הזויות מן המחומש עד בעל י"ב זויות בקלות ובלי יגיעה
|
|
אמנם לא הבאתי המופת על כל תמונה ותמונה כדי שלא אבלבל התלמיד אבל הבאתי אופן המעשה וטרם שאביא המופת על כל תמונה ותמונה
|
|
ועתה אחל המופת מן המחומש כמו שהחלותי באופן המעשה
|
|
ואקים תחלה שני משולשים להיותם לעזר במה שנרצה לבאר ונאמר משולש אב"ג שוה הצלעות אשר כל אחת מצלעותיו י' אמות אוציא עמוד א"ד על קו ג"ב לפי שקו ב"ג כלו קו ב"א הוא כפל ב"ד אם כן מרובע א"ב הוא ד' כפלי מרובע ב"ד ולכן מרובע א"ד הוא שלשה כפלי מרובע ד"ב ומרובע ג"ב ד' כפלי מרובע ד"ב א"כ מרובע ב"ג הוא חלק א' ושליש ממרובע א"ד אם כן יחס מרובע ב"ג אל מרובע א"ד כיחס ד' אל ג' ולעולם על מרובע ב"ג כלו' שיכפל ב"ג על עצמו ומרובע א"ד על מרבע ב"ג אם כן כח התשבורת של מרובע ב"ג אצל מרובע ב"ג על מרובע א"ד יחסו כיחס ד' אל ג' שהוא כיחס י"ו אל י"ב ומרובע ב"ג על מרובע א"ד הוא בכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ד ב"ג על עצמו כלומר שני משולשים על עצמם כלומר שני משולשים על עצמם אם כן כחו של מרובע ב"ג על כפל שני משלשים על עצמם יחסם כיחס י"ו אל י"ב וכפל שני משלשים על עצמם הוא ד' כפלי משלש א' על עצמם אם כן כחו של מרובע ב"ג גם תשבורת המשולש על עצמו ידוע ולכן גם המשולש עצמו ידוע
|
|
ואופן המעשה כן כפול הי' על עצמם יעלו ק' עוד הק' על עצמם יעלו רבבה אחת קח מאלה שלישית מחציתם וחלק א' מכ"ד יהיה אלף תתע"ה קח גדרם ולפי שאין להם גדר אני לוקח גדרו הקרוב ויהיה התשבורת מ"ג ושליש וחלק מל"ח וחלק ממ' וחלק ממ"א
|
|
אם תרצה לדעת משלש נצב הזויות והוא משלש אב"ג והזוית אשר אצל ג' נצבת ואשר אצל א' שני חומשי נצבת ונאמר כי המרובע ההוה משני קוי ב"א א"ג ביחד הוא כפלי ה' פעמים מרובע א"ג אוציא א"ג עד ד' ואשים גם א"ג שוה לג"ד ואגיע ב"ד א"ב אם א"ב שוה לב"ד ואם זוית אב"ד שוה לזוית גב"ד אבל זוית גב"ד היא ג' חומשי נצבת בעבור שזוית בא"ג היא שני חומשי נצבת אם כן זוית אב"ד היא ו' חומשי נצבת א"כ זוית אב"ד [28]היא זוית של בעלת ה' זויות וא"כ שוה לב"ד א"ב קו א"ד ונחלקהו על יחס אמצעי ושני קצוות והחלק הגדול הוא קו א"ב וקו א"ג הוא חצי א"ד אם כן המרובע ההוה משני קוי ב"א א"ג הוא כפלים ממרובע א"ג
|
|
ואומר אחוק מחומש אבגדה"ו אשר כל אחד מצלעותיו י' אמות וארצה למצוא תשברתו
|
|
אקח מרכז העגולה המקפת את התמונה והיא ז'
|
|
ואגיע ו"ג ו"ד
|
- I set perpendicular HC on line GD.
|
|
ואעמיד עמוד ה"ח על קו ג"ד
|
|
אם כן זוית גז"ד היא ד' חומשי הנצבת
|
|
אם כן זוית בז"ח היא ב' חומשי הנצבת
|
|
והזוית אשר יקיפוה קוי ג"ח ח"ז היא הנצבת
|
|
אם כן המרובע ההוה משני קוי ג"ז ז"ח מדובקים הם ה' כפלי מרובע ז"ח
|
|
אבל לפי שבמספרים לא יתכן למצוא ה' כפלי מרובע שיהיה מרובע ראוי ראוי שנקח הקרוב לו ויהיה הכ"א אל י"ו
|
|
אם כן יחס קו ג"ז ז"ח מדובקים אל קו ז"ח כיחס ט' אל ד'
|
|
וכשנבדיל יהיה יחס קו ג"ז אל ז"ח כיחס ה' אל ד'
|
|
אם כן יחס מרובע ג"ז אל מרובע ז"ח כיחס כ"ה אל י"ו
|
|
גם הנשאר מרובע ג"ח אל מרובע ז"ח כיחס ט' אליו
|
|
אם כן יחס ג"ח אל ח"ז כיחס ג"ד אל ד'
|
|
לכן יחס ג"ד אל ז"ח כיחס ו' אל ד' שהוא כיחס ג' אל ב'
|
|
א"כ יחס מרובע ג"ד אל השטח אשר יקיפו בו קוי ג"ד ז"ח כיחס ג' אל ב'
|
|
ויהיה מרובע ג"ד ידוע א"כ יודע גם השטח המוקף מקוי ג"ד ז"ח והוא כפל משלש גז"ד והוא חלק חמישי מתמונת אבגד"ה בעלת חמשת זויות
|
|
יהיה אם כן גם תמונת אבגד"ה ידוע ויהיה תשברתו קס"ו אמות וב' שלישי אמה בקרוב
|
|
ואם ימצא מרובע אחר ויהיה יותר קרוב לה' כפלי מרובע אחר אז נמצא תשבורת התמונה מדוקדקת יותר
|
|
עוד אודיע מופת המשושה ואומר
|
|
אחוק משושה עליו אבגדה"ו אשר כל אחת מצלעותיו י' אמות וארצה למצוא תשברתו
|
|
אקח מרכז העגולה המקפת אותו והוא ח'
|
|
ונגיע ג"ח ח"ד א"כ ג"ד שוה לכל אחד מן ג"ח ח"ד
|
|
אם כן משולש גח"ד שוה הצלעות וצלעו ידועה
|
|
אם כן גם משולש גח"ד ידוע והוא ששית חלק המשושה
|
|
אם כן גם משושה אבגדה"ו ידוע
|
|
ובעבור שאופן המעשה בזה על פנים אחרים ממה שכתבנו תחלה אכתבנו פה
|
|
נכפול הי' על עצמם ההוה ק'
|
|
עוד הק' על עצמם הוא רבבה
|
|
ונקח רביעיתם והם אלפים ב' ות"ק
|
|
כפלם עם כ"ז ההוה ס"ז אלפי' ות"ק
|
|
קח שרשם והם רנ"ט וככה תשבורת משושה
|
|
הקדמה אם תחקה בעגולה תמונה בעלת ו' צלעות שוות וז' זויות בקו אשר יצא ממרכז העגולה יחסו אל צלע התמונה בעגולת ז' הזויות יחס הח' אל הז' ויהיה עגולת ב"ג על מרכז א'
|
|
ואחוק עליו צלע התמונה בעלת שש הזויות והוא צלע ב"ג כלו' שתהיה שוה לקו היוצא ממרכז העגולה
|
|
ואעמיד עליה העמוד א"ד
|
|
אם כן יהיה א"ד בקרוב שוה [29]לצלע בעלת ז' זויות
|
|
ונגיע קוי ב"א א"ג אם כן משלש אב"ג שוה הצלעות
|
|
אם כן מרובע א"ד הוא ג' כפלי מרבע ד"ב
|
|
א"כ יחס ד"א אל ד"ב בכח כיחס מט' אל ח' בקירוב
|
|
ובאורך יחס ד"א אל א"ב כיחס ז' אל ד'
|
|
ויהיה ב"ג כפל ב"ד
|
|
אם כן יחס אל ד"א כיחס ח' אל ז'
|
- If you wish to measure a heptagon
|
ואם תרצה למדוד תמונה בעלת ז' זויות
|
- I draw heptagon ABGDHWZ, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
|
אחוק תמונת אבגדהו"ז אשר כל צלעותיו בעלי י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
|
- I determine the center of the circumscribed circle, which is point T.
|
אקח מרכז העגולה המקפת אותה והיא נקדת ט'
|
|
ואגיע קו ד"ט ט"ה
|
- I set perpendicular TD on line DH.
|
ואעמיד עמוד ט"ד על קו ד"ה
|
|
אם כן יחס ט"ד אל ד"ה כיחס ח' אל ג'
|
|
וחצי ד"ב כיחס ג' וחצי אל ח' והוא כיחס י"ו אל ז'
|
|
לכן יחס ט"ב אל ב"ד כיחס י"ד ושליש אל ז' בקרוב והוא יחס מ"ג אל כ"א
|
|
לכן גם יחס ד"ה אל ב"ט כיחס מ"ב אל מ"ג והוא יחס פ"ד אל פ"ו
|
|
אם כן מרובע ד"ה אצל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו ד"ה ב"ט הוא כזה היחס בעצמו אם כן יחסו אל משלש דה"ט כיחס פ"ד אל מ"ג ויחס המשלש אל בעלת ז' זויות כיחס א' אל ז' א"כ יחסו של מרובע ד"ה אל בעלת ז' זויות כיחס י"ב אל מ"ג ומרובע ד"ה ידוע אם כן גם בעלת ז' זויות ידועה
|
- If you wish to measure an octagon
|
ואם תרצה למדוד תמונה בעלת ח' זויות
|
- I draw octagon ABGDHWZC, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
|
אחוק תמונת אבגדהוז"ח אשר כל צלע מצלעותיה בעלת י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
|
- I determine the center of the circumscribed circle, which is point K.
|
אקח מרכז העגולה המקפת אותה והיא נקדת כ'
|
|
ואגיע קוי ד"ב ה"כ
|
- I set perpendicular KL on line DH.
|
ואעמיד עמוד כ"ל על קו ד"ה
|
|
אם כן זויות דב"ה היא חצי נצבת
|
|
לכן היא זוית דב"ל רביע נצבת
|
|
ואעשה זוית בד"מ שוה לה
|
|
אם כן גם זוית בד"מ רביע נצבת
|
|
אם כן זוית דמ"ל חצי נצבת
|
|
והזוית אשר אצל ל' נצבת
|
|
אם כן קו ד"ל שוה לקו מ"ל
|
|
אם כן מרובע ד"מ כפל מרובע מ"ל
|
|
אם כן יחס ד"מ אל מ"ל כיחס י"ז אל י"ב בקרוב
|
|
וד"מ שוה למ"ב
|
|
אם כן יחס כ"מ אל מ"ל כיחס י"ז אל י"ב
|
|
אם כן יחס ב"ל אל מ"ל שהוא ד"ל כיחס ב"ט אל י"ב
|
|
אם כן יחסו אל ד"ה כיחס כ"ט אל ב"ד
|
|
אם כן יחס מרובע ד"ה אל שטח נצבת הזויות אשר יקיפו בו קוי ד"ה כ"ל כיחס ב"ד אל כ"ס אם כן יחסו אל משלש בה"ד כיחס ב"ד אל י"ד וחצי ויחסו א"כ אל תמונת אבגדהוז"ח בעלת ח' זויות כיחס כ"ד אל קי"ו שהם כיחס ו' אל כ"ט ומרובע ד"ה ידוע אם כן גם התמונה בעלת ח' זויות ידועה
|
- If you wish to measure a nonagon
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת ט' צלעות וט' זויות
|
- I draw nonagon ABGDHWZCT, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
|
אחוק תמונת אבגדהוזח"ט ויהיה כל צלע מצלעותיה בעל י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
|
- I draw a circumscribed circle around the shape.
|
אחוק עגולה סביב התמונה
|
- Its center is point L.
|
ויהיה מרכזה נקדת ל'
|
|
ואגיע ה"ל ואוציאנה עד מ'
|
|
ואגיע מ"ז
|
|
אם כן משלש הז"מ מתמונת בעלת [30]ט' זויות ידוע
|
|
וכבר התבאר בקוי העגולה כי קו ז"ה הוא שלישית ה"מ בקרוב
|
|
אם כן מרובע ה"מ הוא ט' כפלי מרובע ה"ז
|
|
לכן מרובע מ"ז הוא ח' כפלי מרובע ה"ז
|
|
ובחצי העגולה יתחייב להיות הזויות אשר אצל ז' נצבת
|
|
אם כן יחס מרובע מ"ז אל מרובע ז"ה כיחס רפ"ט אל ל"ו בקרוב
|
|
אם כן יחס מ"ז אל ז"ה כיחס י"ז אל ו' בקרוב
|
|
לכן יחס מרובע ה"ז אל משולש המ"ז כיחס ל"ו אל נ"א כלומר כיחס י"ב אל י"ז
|
|
ואם כן יחסו אל התמונה בעלת ט' זויות כיחס י"ב אל ע"ו וחצי כלו' כיחס כ"ד אל קנ"ג שהם כיחס ח' אל נ"א
|
|
ומרובע ה"ז ידוע אם כן גם תמונת בעלת ט' זויות ידועה
|
- If you wish to measure a decagon:
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י' זויות
|
- I draw decagon ABGDHWZCTI, each of its sides is 10 cubits, and you wish [to find] its area.
|
אחוק תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' ויהיה כל צלע מצלעותיה בעל י' אמות ותרצה תשברתה
|
- I determine point M as the center of the circumscribed circle.
|
אקח מרכז העגולה המקפת אותה נקדת מ'
|
- I draw MH and MZ.
|
ואגיע מ"ה מ"ז
|
- I set perpendicular MN on line HZ.
|
ואעמיד עמוד מ"נ על קו ה"ז
|
- Then,
|
אם כן זוית המ"ז היא שני חומשי נצבת
|
- So,
|
לכן זוית המ"נ היא חומש נצבת
|
- I define equal to it.
|
ואעמיד זוית מה"ס שוה לה
|
- So,
|
אם כן זוית נס"ה היא שני חומשי נצבת
|
|
וזוית הנ"ס נצבת
|
- Therefore,
|
[אם כן] יחס ה"ס אל נ"ס כיחס ה' אל ד'
|
- And its ratio to HN is as the ratio of 5 to 3.
|
ויחסה אל ה"נ כיחס ה' אל ג'
|
- HS=SM and HN=BZ
|
ושוים אם ה"ס אל ס"מ ואם ה"נ אל נ"ז
|
- So,
|
ואם כן יחס ה"ז אל מ"נ כיחס ו' אל ט' שהם כיחס ב' אל ג'
|
- So, the ratio of the square on H[Z] to the rectangle on [HZ and MN] is .
|
וא"כ יחס מרובע ה' אל השטח נצב הזויות אשר יקיפו בו הז"מ כיחס ב' אל ג'
|
- Its ratio to is .
|
לכן יחסו אל משולש הז"מ כיחס ב' אל ג'
|
- So, its ratio to is .
|
לכן יחסו אל משולש הז"מ כיחס [א'] אל א' וחצי
|
- Therefore, its ratio to the decagon is
|
לכן יחסו אל התמונה בעלת י' זויות כיחס ב' אל ט"ו
|
- Hence, the square on HZ is known, therefore the decagon is known.
|
ומרובע ה"ז ידוע א"כ גם התמונה בעלת י' זויות ידועה
|
- If you wish to measure a hendecagon:
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י"א זויות
|
- I draw hendecagon ABGDHWZCTIU, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
|
אחוק תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' י"א וכל צלע מצלעותיה י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
|
- I draw a circumscribed circle around the hendecagon, whose center is point N.
|
אחוק עגולה סביב התמונה אשר מרכזה יהיה נקדת נ'
|
- I draw ZN until S.
|
ואגיע ז"נ ואוציאנו עד ס'
|
- I draw SC.
|
ואגיע ס"ח
|
- So, is ²/₁₁ of the hendecagon.
|
אם כן משולש זח"ס הם שני חלקים מי"א מתמונת בעלת י"א זויות
|
- It has already been clarified concerning the lines of the circle that
|
וכבר התבאר בקוי העגולה כי יחס ז"ס ז"ח כיחס כ"ה אל ז' בקרוב
|
- Therefore:
|
ואם כן יחס ס"ח אל ח"ז כיחס כ"ד אל ז'
|
- So:
|
א"כ יחס מרובע ז"ח אל משולש זח"ס יחס מ"ט אל פ"ד שהוא כיחס ז' אל י"ב
|
- But, if the ratio of the triangle to the hendecagon is , the ratio of the square on ZC to the hendecagon is
|
ואם יחס המשולש אל התמונה בעלת י"א זויות כיחס ב' אל י"א [לכן יחס מרבע ז"ח אל התמונה בעלת אחת עשרה זויות כיחס ז'] אל ס"ו
|
- Hence, the square on ZC is known, therefore the hendecagon is known.
|
ומרובע ז"ח ידוע אם כן גם התמונה בעלת י"א זויות ידועה
|
- If you wish to measure a dodecagon:
|
ואם רצית למדוד תמונה בעלת י"ב זויות
|
- I draw dodecagon ABGDHWZCTIUX, each of its sides is 10 cubits, and you wish to find its area.
|
אחוק תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' י"א י"ב ותהיה כל צלע מצלעותיה בעלת י' אמות ותרצה למצוא תשברתה
|
- I determine the center of the circumscribed circle, which is S.
|
אקח מרכז העגולה המקפת אותה והיא נקדת ס'
|
- I draw SC and SZ.
|
ואגיע ס"ח ס"ז
|
- I set perpendicular SE on line HZ.
|
ואעמיד עמוד ס"ע על קו ה"ז
|
- Then,
|
אם כן זוית זס"ע הוא ששית הנצבת
|
- I define equal to it.
|
ואעשה זוית סז"פ שוה לה
|
- So,
|
אם כן זוית זפ"ע שלישית נצבת
|
- Then,
|
אם כן מרובע פ"ע הוא שלישית כפלי מרובע ע"ז
|
|
אם כן יחס פ"ע אל ע"ז כיחס ז' אל ד' בקרוב
|
|
[31]לכן גם יחס ז"ח והוא ס"פ אל פ"ע כיחס ח' אל ז' בקרוב
|
|
לכן גם יחס ז"ח אל ס"ע כיחס [ח'] אל ט"ו
|
- So the ratio of the square on ZC to the rectangle on ZC and SE is as the ratio of 8 to 15
|
אם כן גם יחס מרובע ז"ח אל יחס השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו ז"ח ס"ע הוא כיחס [ח'] אל ט"ו
|
- And its ratio to is
|
ויחסו אל משולש זח"ס יהיה א"כ כיחס ח' אל ז' וחצי
|
- Therefore, its ratio to the dodecagon is
|
ואם כן יהיה יחסו אל התמונה בעלת י"ב זויות כיחס ח' אל צ' שהוא כיחס ד' אל מ"ה
|
- The square on ZC is known, therefore the dodecagon is known.
|
ומרובע ז"ח ידוע אם כן גם תמונת בעלת י"ב זויות ידועה
|
[The Second Section on the Division of Plane Shapes]
|
|
The First Chapter of the Second Section of the Second Book on the Division of Plane Shapes
|
הפרק הראשון מהחלק השני מהספר השני בחלוקת התמונו' השטחיות
|
We start with the triangles
|
ונחל מהמשלשים
|
If you wish to divide an isosceles triangle into two equal parts, draw a perpendicular from one of its vertices to the base, by dividing the angle into two equal parts, so the triangle is divided into two equal triangles
|
אם רצית לחלוק משולש שוה הצלעות לשני חלקים שוים אוציא עמוד מזוית אחד מזויותיו אל התושבת וזה בשתחלוק הזוית אל שני חלקים שוים ואז יהיה המשולש נחלק לשני משלשים שוים
|
Do so if the triangle is equilateral triangle, draw a perpendicular from the vertex opposite to its base to the base.
|
וככה תעשה אם המשולש שוה ותוציא מזויתו שהיא מיתר התושבת עמוד אל התושבת
|
|
גם אם רצית לחלקו ביותר משני חלקים תחלק התושבת בשיווי לחלקים שתרצה ותוציא מכל חלק מהם קו ישר אל הזוית כלומר אל ראש המשולש ואז יחלק המשולש בשעור חלקי התושבת
|
- The proof of this division has already been clarified in Euclid's VI.1
|
ומופת זה התבאר בתמונה הא' ממאמר ו' לאקלידס
|
|
דמיון רצינו לחלק משולש אב"ג לשני חלקים שוים חלקנו התושבת שהוא ב"ג על נקדת ד' לשני חלקים שוים והוצאנו עמוד מנקדת ד' אל ראש המשולש שהוא א' ובזה נחלק לשני משולשים שוים
|
|
ואם רצינו לחלקו על ג' חלקנו התושבת על ג' חלקים שוים והם א"ד ד"ה ה"ג אחר הוצאנו ד"א ה"א ובזה נחלק על שלשה חלקים שוים
|
|
גם ככה תעשה אם רצית לחלקו יותר מזה
|
|
אמנם אם רצית לחלק המשולש הנזכר לב' חלקים שוים מהצד האחד עד שיהיה החלק משולש והאחד נוטה
|
|
כגון משולש אב"ג ונחלקהו על משולש אד"ה ועל נוטה ד"הב"ג נעשה כך נחלק הצלע האחד על נקדה שיהיה מרובע החלק האחד כפל מרובע החלק השני ונוציא מהנקודה ההיא קו נכוחי לתושבת המשולש ונגיעהו על הצלע האחד ואז נחלק המשלש לשני חלקים שוים משלש אד"ה ונוטה ד"הב"ג
|
|
והמופת על זה כבר ביאר אקלידס בתמונת י"ח ממאמר ו' שכל שני משלשים דומים יחס המשולש אל המשולש כיחס צלעו אל צלעו הנכחי לו שנוי
|
|
וידוע שהמשלש הגדול והוא המשולש אב"ג דומה אל המשולש הקטן והוא משולש אד"ה
|
|
כי הזוית אשר אצל ח' משותפת לשני המשולשי'
|
|
וזוית אד"ה שוה לזוית אב"ג כי הם שתי זויות המומרות אשר על קוים נכוחיים כשנפל עליהם קו ישר והחיצונה [32]שוה לשכנגדה
|
|
גם ככה זוית אה"ד שוה לזוית אג"ב לזה הענין עצמו
|
|
אם כן מיתרי הזויות השוות מתיחסות יחס א"ב אל א"ד כיחס א"ה אל ה"ג וכיחס ד"ה אל ב"ג אם כן שני המשולשים דומים ולכן יהיה יחס משלש אב"ג אל משלש אד"ה כיחס צלע א"ב אל צלע א"ד שנוי וזה היחס מי"ו מח' בעצמו הוא יחס צלע מרובע א"ב אל מרובע צלע א"ד כי כאשר תכפול יחס הצלע אל הצלע בעצמו והוא אשר יקרא היחס שנוי יהיה הנולד יחס המרבע אל מרבע
|
|
דמיון אם צלע א"ב ו' אמות וצלע א"ד ב' אמות יהיה יחס ב' אל ו' כיחס השלישית אל האחד וכאשר תקח יחס השלישית אל האחד שנוי וזה כשתכפול השלישית על השלישית יהיה הנולד תשיעית וזהו יחס המשלש הקטן אל המשלש הגדול
|
|
גם ככה כשתקח מרובע ו' שהוא הצלע האחד הוא ל"ו ומרובע ב' שהוא צלע המשולש האחד ד' יהיה יחס ד' אל ל"ו יחס התשיעית אל האחד והוא המשלש הקטן אל הגדול
|
|
על כן כשתרצה לחלק המשולש לשני חלקים שוים נחלק צלע א"ב על נקודה והיא ד' עד שיהיה מרובע צלע א"ב כפל מרובע א"ד וכאשר עשינו כן הוצאנו מנקדת ד' קו נכחי לקו ב"ג והוא ד"ה ובזה נחלק המשלש לשני חלקים שוים החלק האחד משלש אד"ה והשני נוטה ד"ה ב"ג
|
|
דמיון שתקח מנקדת א' אשר היא ראש המשולש ה' חלקים מז' בו פחות עשירית השביעית
|
|
המשל שקו א"ב ז' אמות ומרובעו מ"ט ונמדוד מנקדת א' ה' אמות פחות עשירית השביעית ונסמן שם נקדה ויהיה מרובע הקו אשר הוא מנקדת א' עד הנקדה אשר סמננו כ"ד אמות וחצי והוא מחצית התשבורת של המשלש הגדול
|
|
ידענו מזה שהמשולש הקטן הוא חצי המשולש הגדול ונשאר הנוטה חציו אחר
|
|
ואם רצית לחלקו לג' חלקים עד שיהיו שני נוטים ומשולש א' חלק צלע הגדול על ו' ומנה מנקדת א' שהוא ראש המשולש ה' וחמישית בקרוב וסמן שם נקדה והיא ב' והוצא מזאת הנקודה קו נכחי לתושבת המשולש הגדול והוא ב"ג והנה יחלק אל משלש קטן ואל נוטה ויהיה הקטן שלישית המשולש הגדול
|
|
עוד תחלק הנוטה בשני חצאים וזה כשנחלק תושבת המשולש הגדול לשני חלקים שוים ונסמן שם נקדה והיא ז' עוד נחלק תושבת המשולש הקטן כן ונגיע קו ישר מנקדה אל נקדה או נחלק הנוטה לשני חלקים שוים
|
|
ואם רצית לחלקו לשני משלשים שוים ולנוטה מנה מראש המשולש אשר הוא חלקים פחות מעט מט' בצלע וסמן שם נקדת ד' והוצא נקדת קו נכחי מנקדת ד' אל תושבת המשולש הגדול והוא קו ד"ה ויהיה המשלש הקטן שני חלקים מהמשולש הגדול ונשאר נוטה ד"ה ב"ג החלק השלישי ומשלש אד"ה שני חלקים תחלק תושבת ד"ה לחצאים על נקדת ז' והוצא ממנו קו אל ראש המשולש הנה נחלק המשלש הקטן לשנים ונמצא כל המשולש הגדול נחלק לג' [33]חלקים שוים לשני משלשי אד"ז אז"ה ולנוטה ד"ה ב"ה וזה במשלש שוה הצלעות או שוה השוקים שתהיה צלע המתחלפ' תושבת המשולש
|
|
ואם היה המשולש שוה הצלעות או שוה השוקים ולא תהיה הצלע המתחלפת תושבת המשולש ותרצה לחלקו בשני חלקים שוים
|
|
דמיון משלש אב"ג מתחלף הצלעות או משולש דא"ז שוה השוקים ואין התושבת צלע המתחלפת ונרצה לחלקם בשני חלקים או בג' תמצא תשבורת כל המשולש כמו שהודעתיך במדידת המשולשים אח"כ תסמן בצלעו האחת נקדה ונחלקהו אל משולש נצב הזויות ואל נוטה עד שיהיה תשבורת המשולש נצב הזויות חציו או שלישיתו כפי מה שתבקש והשאר ישארו הנוטה וכבר הודעתיך מדידת כל אלה
|
The Second Chapter on the Division of the quadrilateral and the Circle
|
הפרק השני בחלוקת התמונות המרובעות והעגולה
|
You already know the types of the quadrilateral shapes and how they are divided into square, rhombus, parallelogram and scalene quadrilateral; and the scalene quadrilaterals are divided into various types.
|
כבר ידעת מיני התמונות המרובעות ואיך יחלק אל שוה הצלעות נצב הזויות ואל שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות ואל מרובע ארוך בלתי נצב הזויות שוה הצלעות הנכחיות ואל נוטה והנוטה מינים רבים
|
Division of a square into parts
|
|
I shall start with the square, as it precedes them by nature and by degree
|
ואחל מהמרובע שוה הצלעות נצב הזויות כי הוא הקודם בטבע ומעלה מהם
|
I say that if you wish to divide the square ABGD into two [equal] parts, divide DG into two halves at point Z, and draw a line from point Z parallel to each of the sides AD and BG, hence the square is divided into two equal part
|
ואומר אם תרצה לחלק מרבע אבג"ד שוה הצלעות נצב הזויות לשני חלקי' תחלק צלע ד"ג לשני חצאים על נקדת ז' ותוציא מנקדת ז' צלע נכחי לכל אחת מצלעות א"ד ב"ג ובזה יחלק המרובע לשני חלקים שוים
|
- The proof of this division has already been clarified in Euclid's VI.1 that the ratio of the sides of the parallelograms, whose heights are the same magnitude, to one another is as the ratio of their bases to one another.
|
והמופת על זה החלוק כבר התבאר בתמונת א' ממאמר ו' מאקלידס שהצלעות נכחיי הצלעות כאשר היה גבהותם בשעור אחד הנה יחס קצתם אל קצתם כיחס תושבותיהם קצתם אל קצת
|
|
ויחס ד"ג אל ז"ג כפל א"ב
|
|
ד"ז מחצית ד"ג
|
|
גם ככה ז"ג מחצית ד"ג
|
|
ובזה המופת בעצמו יחלק גם מצלע א"ד אל ב"ג וכן תעשה אם רצית לחלקו לג' חלקים ויותר
|
|
ואם רצית לחלקו מהזויות תגיע זוית א' אל זוית ג' ויחלק המרבע לשנים חלקים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי שני משלשי אב"ג אג"ד שוים
|
|
כי צלע א"ב שוה לצלע ד"ג
|
|
וצלע ב"ג לצלע א"ד
|
|
וזוית אב"ג שוה לזוית אד"ג
|
|
והתושבת משותפת
|
|
אם כן שני המשולשים שוים
|
|
ואם רצית לחלקו לשלשה חלקים שוים בדרך הראשונה כבר ידעת דרכו אמנם בזאת הדרך השנית תעשה כך תקח מהצלע ב' שלישיו ותגיע הזוית עד הנקודה וככה תעשה מהצלע האחר ויחלק המרובע לג' חלקי' שוים
|
|
דמיון רצינו לחלק מרבע אבג"ד לשלשה חלקים מדרך הזויות ויהיה כל צלע מצלעותיו י' אמות
|
|
לקחנו מצלע ד"ג ו' חלקים ושני שלישי חלק עד נקדת ה' והגענו א"ה והנה משולש [34]אד"ה נצב הזויות לשלישית המרובע גם ככה עשינו מנקדת ב' חלקנוהו ו' חלקים ושני שלישי חלק עד נקדת ז' והגענו ג"ז והנה משולש גז"ב נצב הזויות השלישית האחד ונשאר א"ה ז"ג הנכחי הצלעות השלישית האחר
|
- The proof of this division:
|
והמופת על זה החלוק כבר התבאר בתמונת ל"ו ממאמר א' מאיקלידס שהשטחים הנכחיי הצלעות מהמשולשים שהם על תושבות שוות ובמה שבין שני קוים נכוחיים יהיה השטח הנכחי הצלעות כפל המשולש
|
|
והנה תושבת א"ז ה"ג מחצית תושבת משולש גב"ז וראוי שיהיו שוים ועוד כי שטח א"ז ה"ג שוה לשטח ב"ט ה"ג הנכחי הצלעות ונצב הזויות כי הם תושבת אחת ובמה שבין קוים הנכוחיים ושטח א"ז ה"ג שלישית מרובע אבג"ד כי כן יחס תושבתו אל תושבתו א"כ שטח א"ז ה"ג שלישית כל המרובע ושני המשולשים שוים
|
|
כי צלע א"ד כמו צלע ב"ג
|
|
וצלע ד"ה כמו צלע ב"ז
|
|
וזוית אד"ה שוה לזוית גב"ז
|
|
הנה אם כן מרובע אבג"ד נחלק לג' חלקים שוים
|
|
ואם רצית לחלקו לד' חלקים אם מן הדרך הראשונה תוכל לחלקו בשני אופנים האחד שתחלק צלע המרובע על ד' חלקים שוים על א"ה ועל ה"ז ועל ז"ח ועל ח"ב ותגיע ח"ט ז"כ ח"ל ויחלק המרובע לד' חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת בארתיו בחלוקתו לשני חלקים
|
|
והאופן השני שתחלקהו מהאורך לשני חלקים עוד מהרחב תחלקהו ויחלק לד' חלקים שוים
|
|
דמיון רצינו לחלק מרבע אבג"ד לד' חלקים חלקנו צלע א"ב לשני חלקים על נקדת ה' והגענו ה"ז ויפול נכחי לא"ד ולב"ג ויחלק המרובע לב' חלקים
|
|
עוד חלקנו צלע א"ד לשנים על נקדת ח' והגענו ויפול נכחי לא"ב ולד"ג ויחלק המרובע על ד' חלקים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי מרובע אהה"ב שוה למרובע חבד"ז כי צלע א"ה שוה לצלע א"ח כי כשתחסר מן השוה שוה יהיה הנשאר שוה ולצלע ח"ב וב"ה כי הם נכחיי הצלעות וכן לג' המרובעים הנשארים אם כן כל מרובע אבג"ד נחלק לד' מרובעים דומים למרובע אבג"ד
|
|
ואם רצית לחלקו לג' חלקים מדרך השנית כלומר מדרך הזויות תגיע ב' אלכסוניו ויחלק לד' חלקים שוים וכל חלק יהיה משולש שוה השוקים
|
|
דמיון רצינו לחלק מרבע אבג"ד לד' חלקים שוים מדרך הזויות
|
|
הוצאנו אלכסון א"ג ואלכסון ב"ד ויחלק המרובע לד' משולשים משולש אה"ב ומשולש בה"ג ומשולש גה"ד ומשולש דה"א
|
|
והנה משולש אה"ב שוה למשולש דה"ג
|
|
כי זוית אה"ב לזוית דה"ג
|
|
וזוית אב"ה שוה לזוית הד"ג
|
|
וצלע א"ב שוה לצלע ד"ג בעצמו
|
|
ולזה ישוה משולש אה"ד אל משולש בה"ג
|
|
ומשולש אה"ד ישוה למשולש אה"ב
|
|
כי צלע א"ד ישוה לצלע א"ב
|
|
וצלע א"ב משותף
|
- as both are right angles.
|
וזוית אה"ב שוה לזוית אה"ד כי שתיהן נצבות
|
|
ואמרי שהם שוה השוקים כי צלע המרובע הגדול מחצית הקצר וחציי הקטרים הכל שוים
|
|
[35]הנה כבר בארנו משפטי חלוקת המרובע השוה הצלעות נצב הזויות וזה המשפט בעצמו אל הנכחי הצלעות הנצב הזויות הנקרא ארוך כזה כי הוא שוה עמו בכל הדרכים ומופתיו כמופתיו
|
- If you wish to divide an equilateral quadrilateral that is not right-angled, like this, into two [equal] parts:
|
ואם רצית לחלק המרובע שהוא שוה הצלעות אך הוא בלתי נצב הזויות כזה לשני חלקים
|
|
מדרך הראשונה תחלק צלע א"ב לשני חלקים על נקדת ה' ותוציא מנקדת ה' קו נכחי לקו א"ד ולקו ב"ג והוא קו ה"ז ובזה נחלק המרובע לשני חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזו כי א"ה כמו ה"ב
|
|
וא"ד כמו ב"ג
|
|
וה"ז משותף
|
|
וזוית דא"ה שוה לזוית זה"ב
|
|
וזוית אד"ז שוה לזוית הז"ג
|
|
וזוית אה"ז שוה לזוית הב"ג
|
|
וזוית אז"ד שוה לזוית בג"ז
|
- The area of one equal to [the area of] the other.
|
והשטח האחד שוה לחברו
|
|
וככה תעשה אם רצית לחלקו בג' וד' חלקים
|
|
גם אם רצית לחלקו מצלע א"ד חלקהו בכזה הדרך בעצמו ומאלה המופתים בעצמם
|
|
ואם רצית לחלקו מן דרך הזויות אם רצית לחלקו בשני חלקים שוים תגיע אלכסון א"ג ויחלק על שני חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי משולש אב"ג שוה למשולש אד"ג
|
|
צלע א"ב כמו צלע ד"ג
|
|
וצלע א"ד כמו צלע ב"ג
|
- since they are sides of the same base.
|
וזוית אב"ג שוה לזוית אד"ג כי הם מיתרי תושבת אחת
|
- Therefore the two triangles are equal and they are the two parts of the quadrilateral.
|
אם כן שני המשולשים שוים והם שני חלקי המרובע
|
- Do likewise if you wish to divide it by using diagonal BD, relying on this same proof.
|
גם ככה תעשה אם רצית לחלקו מאלכסון ב"ד בכזה המופת בעצמו
|
|
ואם רצית לחלקו לשלשה חלקים שוים אם מהדרך הראשונה חלק צלע א"ב לג' חלקים שוים על א"ה ה"ז וז"ב והוצא קו ה"ח נכוחי לא"ד וקו ז"ט נכוחי לב"ג ויחלק המרובע לג' חלקים שוים וכן אם רצית לחלקו לד' חלקים ויותר
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי צלע א"ד שוה לצלע ה"ח
|
|
וצלע ה"ח שוה לצלע ז"ט
|
|
וצלע ז"ט שוה לצלע ב"ג
|
|
וצלע א"ה שוה לצלע ה"ז ז"ב
|
|
וזוית הא"ד שוה לזויות זה"ח בז"ט
|
|
וזוית אד"ח שוה לזוית הח"ט זט"ג
|
|
וזוית הח"ד שוה לזויות זט"ח בג"ט
|
|
אם כן גם השטחים נכחיי הצלעות שוים והם ג' חלקי המרובע
|
|
ואם רצית לחלקו מדרך השנית עשה כך חלק צלע ד"ג ויהיה מנקדת ד' עד נקדת ה' שני שלישי הצלע ותגיע א"ה עוד חלק צלע א"ב ויהיה מנקדת ב' עד נקדת ז' שני שלישי הצלע ותגיע ג"ז ובזה נחלק המרובע לג' חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי יחס משולש אד"ה אל שטח א"ז ה"ג נכחי הצלעות כחצי יחס תושבתו אל תושבתו כי הם בין שני קוים נכוחיים
|
|
וכן יחס משולש גב"ז אל שטח א"ז ה"ג לזאת הסבה בעצמה וחצי יחס תושבתו על תושבתו כמוהו אם כן שני המשולשים והשטח שלשה חלקים שוים והם חלקי המרובע
|
|
ואם רצית לחלקו לד' חלקי' שוים תחלק צלע א"ב לשני חלקים שוים על נקדת ה' גם ככה תחלק צלע ד"ג על נקדת ו' ותגיע א"ז וג"ה עוד תחלק א"ה לשני חלקים שוים על נקודת ח' גם תחלק ז"ג על נקדת ט' ותגיע ח"ט ובזה נחלק המרובע אל ארבעה [36]חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת לפי שתושבת משולש אד"ז בתושבת שטח א"ה ז"ג נכחי הצלעות והם בין שני קוים נכחיים יהיה השטח הזה כפל כל אחד ממשולשי אד"ז גב"ה וכאשר חלקנו זה לשני
חלקים שוים לשטח א"ח ז"ט ולשטח ח"ה ט"ג יהיה כל אחד מהשטחים שהם חלקי השטח האחד שוה לכל אחד מהמשולשים ושני השטחים עם שני המשולשים הם כל חלקי המרובע הנה נחלק כל המרובע לד' חלקים שוים
|
|
עוד אם רצית לחלקו לארבעה חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי משולש אה"ב שוה למשולש אה"ד
|
|
צלע א"ב שוה לצלע א"ד
|
|
וצלע א"ה משותף
|
|
וזוית דא"ה שוה לזוית הא"ב
|
- Because
|
לפי שצלע א"ב שוה לצלע א"ד
|
|
וצלע א"ג משותף
|
|
ותושבת ב"ג שוה לתושבת ד"ג
|
|
תהיה זוית דא"ג שוה לזוית גא"ב
|
|
וזוית גא"ד וגא"ב הן זויות דא"ה והא"ב
|
|
אם כן משולש אה"ב שוה למשולש אה"ד
|
|
ומשולש אה"ד שוה למשולש גה"ד
|
|
לפי שצלע א"ד שוה לצלע ג"ד
|
|
וצלע ד"ה משותף
|
|
וזוית אד"ה שוה לזוית הד"ג
|
|
לפי שצלע א"ד ממשולש אד"ב שוה לצלע ד"ג ממשולש דב"ג
|
|
וצלע ד"ב משותף
|
|
ותושבת א"ב שוה לתושבת ב"ג
|
- Therefore
|
אם כן זוית אד"ב שוה לזוית בד"ג
|
|
וזויות אד"ב ובד"ג הן זויות אד"ה והד"ג
|
|
אם כן משולש אה"ד שוה למשולש גה"ד
|
|
ובזה הדרך בעצמו יתבאר שמשולש גד"ה שוה למשולש גה"ב אם כן המשולשים הד' שהם כל חלקי המרובע שוים
|
|
ואם רצית לחלק מדרך אחרת עשה כך
|
|
דמיון רצינו לחלק מרובע אבג"ד לד' חלקים חלקנו צלע א"ד על נקדת ה' והיא חצי הצלע גם חלקנו צלע ב"ג לשני חצאים על נקדת ז' גם חלקנו צלע א"ב לשני חציים על נקדת ה' גם חלקנו צלע ד"ג לשני חצאים על נקדת ט' אחר כך הגענו ה"ז ח"ט ויפגשו על נקדת כ' ויחלק המרובע לד' חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת לפי שצלע ה"ז נכחי לצלע ד"ג כי מרחק תושבתו של כל א' מהם שוה
|
|
ותושבת ג"ט שוה לתושבת ט"ד
|
|
יהיה מרובע ג"ז כ"ט שוה למרובע ט"ב ה"ד
|
|
ולפי שצלע ח"ט נכחי לצלע א"ד
|
|
ותושבת ד"ה שוה לתושבת ה"א
|
|
יהיה מרובע ט"כ ה"ד שוה למרובע ה"כ ח"א
|
|
ובזה הדרך בעצמו ישוה להם מרובע ח"ב ז"כ ואלה ד' מרובעי' הם כל חלקי המרובע הגדול והם שוים
|
|
ודרך חלוקת זה המרובע הבלתי נצב הזויות הוא דרך חלוקת המרובע הארוך הבלתי נצב הזויות הנכחי הצלעות ומופתיו כמופתיו
|
|
ומעתה נבאר חלוקת הנוטים כי הם מינים הרבה
|
|
ונחל מן הנוטה אשר צלעיו שוים וראשו ותושבתו בלתי שוים וראשו נכח תושבתו והוא אשר יקרא משולש חתוך הראש כזה
|
|
ויש ממנו נצב הזויות אך אין ראשו נכח תושבתו
|
|
וכאשר רצינו לחלק נוטה אבג"ד שראשו נכח תושבתו ושתי צלעותיו שוים לשני חלקים שוים
|
|
נחלק צלע א"ב לשני חלקים שוים על נקדת ה' וכן [37]נחלק צלע ג"ד על נקדת ז' ונגיע ה"ז ויחלק נוטה אבג"ד לשני חלקים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת לפי שצלע א"ד שוה לצלע ב"ג
|
|
ותושבת ד"ז לתושבת ז"ג
|
|
וראש א"ה לראש ה"ב
|
|
וצלע ה"ז הוא משותף
|
|
אם כן נוטה א"ה ד"ז שוה לנוטה ה"ב ז"ג והם כל נוטה אבג"ד והנה נחלק לשני חלקים שוים
|
|
ואם רצית לחלקו לג' חלקים שוים והיה הראש כמו מחצית התושבת תחלק התושבת לשני חלקים שוים על נקדת ז' ותגיע א"ז ב"ז ויחלק הנוטה לג' משולשים שוים
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת ששטח א"ב ד"ז נכחי הצלעות והוא כפל משולש אד"ז כי הם על תושבת אחת ובין שני קוים נכוחיים וכפל משלש אד"ז שוה לשני משולשי אד"ז אז"ב עוד שח"ט א"ב ג"ז שוה לכפל משולש בז"ג לסבה הזאת בעצמה וכפל משולש בז"ג שוה לשני משולשי אז"ב בז"ג א"כ גם ג' המשלשים שוים כי כשתפיל אב"ז המשותף ישאר משלש אד"ז שוה למשלש בז"ג והם כל חלקי הנוטה
|
|
אמנם אם ראש הנוטה איננו במחצית התושבת אבל עודף עליו ותרצה לחלק אותו בשלשה חלקים שוים או יהיה פוחת ממנו תעשה כך
|
|
תמצא תשברתו אחר כך חלק מספר התשבורת לג' חלקים וככה יהיה חלוקתו כלומר מספר שלישית השברים הוא שלישית הנוטה וככה כל חלק וחלק וככה תחלק את הנוטה שהוא נצב הזויות ואין ראשו נכח תושבתו
|
|
גם אם רצית לחלק העגולה לשני חלקים שוים תוציא אלכסון העגולה ובעברה על המרכז תחלק לשני חלקים שוים
|
|
והמופת על החלוקה הזאת כי קשת חצי העגולה שוה לקשת חציה האחר והאלכסון משותף אם כן התמונה האחת שוה לאחרת
|
|
ואם רצית לחלקה לג' חלקים שוים או ליותר כמה חלקים שתרצה תחלק העגולה כמספר החלקי' שתרצה ותסמן נקדות כמספר החלקים על העגולה אח"כ הוצא מכל נקודה קו ישר אל המרכז והנה נחלקה העגולה על מספר החלקים שרצית
|
- The proof of this division:
|
והמופת על החלוקה הזאת כי הקשתות שוות והקוים שוים כי הם יוצאים מהמקיף אל המרכז ואם כן נחלקה העגולה אל משלשים שוים אשר תושבותם קשתות שוות מהעגולה
|
The Third Section on the Measuring of Solids
|
החלק השלישי במדידת הגופנים
|
The First Chapter
|
הפרק הראשון
|
|
דע שהגופנים הם אשר יש להם אורך ורחב וגובה
|
|
ויש מהם אשר יקרא מחודד וכל תושבותיו משולשים כזה והיא תמונה אשר תעלה בגובהה ותכלה אל נקדה אחת
|
|
ויש מהם אשר תושבתו מרובע וצדדיו משולשים כזה ויפלו בגבהם אל נקדה ויש מהם שתושבתם עולה בשטח עגול ויכלה בגבהו אל נקדה כזה
|
|
[38]ויש מהם שתושבתם רבת הזויות ותכלה אל נקדה ויש מהם שתושבתם משולש וראשם משלש וצדדיהם המרובעים עולים על צד זוית נצבת כזה
|
|
ויש שאינם עולים על נקדה אבל נפסקים קודם שיגיעו אל הנקדה כזה
|
|
ויש מהם תמונת הכדור כזה
|
the volume of a cube
|
|
|
ונחל לפרש מדידת התמונה שתושבתה מרובע וראש המרובע וצדדיה מרבעים עולים על זויות נצבות ואומר שזאת התמונה אם היא שוה ארכה ורחבה וגבהה מדידתה כן נכפול ארכה על רחבה וההוה נכפלהו על גבהה וככה מדידת זאת התמונה והיא הנקראת מעוקב
|
|
דמיון ארכה עשרה גבהה עשרה ורחבה עשרה כפלנו י' על י' ההוה ק' עוד כפלנו י' על ק' ההוה אלף והוא מדידת זאת התמונה
|
|
ואם הצד הא' מן הג' יותר מהאחרים או כל אחד לא ישוה לחברו גם כן ככה נמדדהו
|
|
דמיון האורך י' והרחב ט"ו והגובה כ' נכפול י' על ט"ו ההוה ק"נ נכפלם על כ' ההוה ג' אלפים וזאת היא מדידתה
|
|
ודע שהאמה אשר בה אנו מודדי' התמונות הגופניות היא אמה אורך ואמה רחב ואמה גובה וזאת תקרא אמה מוגשמת ואלכסון אלה התמונות יוצא מזויות אחת אשר בראשה אל נכח הזוית אשר בתושבתה
|
|
דמיון אם יצא בראשה מזויות מזרחי' צפונית יגיע בתושבתה אל זוית מערבית דרומית ומדידת אורך האלכסון כך
|
the diagonal of a cube
|
|
|
דמיון בצורת המעוקב אשר כל צלע מצלעותיו י' נקח מרובע אלכסון התושבת ונחברהו עם מרובע הגובה ונקח שרשו והוא אורך האלכסון המבוקש
|
|
וידוע שמרובע אלכסון התושבת הוא ר' ונחברהו עם מרובע הגובה שהוא ק' עלו ש' ונקח שרשם והם י"ו ורביע וחלק א' מט"ו בקרוב
|
|
גם ככה נמדוד אלכסון התמונות אשר ארכם יותר מרחבם כשנמצא אלכסון התושבת ונחבר מרובעו עם מרובע הגובה ונקח השרש והוא אורך אלכסון התמונה
|
|
וכאשר נרצה למצוא אלכסון התושבת נחבר מרובע צלע התושבת הארוך עם מרובע צלעו הקצר ונקח השרש והוא ארך אלכסון התושבת
|
|
ואם היתה התמונה צדדיה בלתי עולים על זויות נצבות אבל דומים למעויין או תהיינה מעויינות תמדוד תושבתה כמו שידעת במדידת הצורות האלה אחר כך מה שיצא כפלהו על הגובה והוא מדידת זאת התמונה כאלה
|
|
ואם היתה תושבתה משולש וראשה משולש וצדדיה מרובעים תמצא תשבורת המשולש אשר הוא תושבתה ותכפול אותו על הגובה והעולה היא מדידת זאת התמונה בלבד שיהיה משלש ראשה עם משולש תושבתה שוים
|
|
גם אם היתה תושבת התמונה וראשה מחומשים שוים או משושים שוים ויתר מאלה תמצא תשבורת [39]התושבת וכפלהו על הגובה והעולה היא התמונה המבוקשת
|
|
ואם היתה תושבת התמונה עגולה וראש עגולה שוה לה תמצא תשבורת העגולה ותכפלהו על הגובה והעולה הוא מדידת התמונה ההיא
|
|
אך אם התמונה עולה בהדרגה וכלה אל נקדה אם תושבתה משולש תמצא תשבורת התושבת וכפלהו על שלישית הגובה והעולה הוא מדידת זאת התמונה
|
|
וככה אם תושבתה מרובעת או מחומשת וכדומה להם שתכפול לעולם תשבורת התושבת עם שליש הגובה או כל הגובה עם שליש תשבורת התושבת והעולה הוא המבוקש וכן אם תושבתה עגולה תמצא תשבורת העגולה וכפלה על שלישית הגובה או על כפל אורך הגובה על שלישית התשבורת של התושבת והעולה הוא המבוקש
|
|
ולדעת איך נמצא גובה התמונה אודיעך ענינו פה
|
|
דע שהגובה הוא עמוד יוצא מתושבת התמונה אל ראשה על זויות נצבות
|
|
ואם היתה תושבת התמונה עגולה נקח חצי קטרה ונכפלה על עצמה עוד נקח גובה הצד ונכפלהו על עצמו ונוציא מרובע חצי קטרה ממרובע הצד והנשאר נקח גדרו והוא אורך הגובה
|
|
דמיון עגולה חצי קטרה ו' ומרובעו ל"ו וגובה הצד י' ומרובעו ק' גרענו ל"ו מן ק' ונשארו ס"ד לקחנו שרשם והם ח' וככה אורך הגובה
|
|
ואם היתה התושבת של התמונה משלש שוה הצלעות תוציא עמוד מראש משלש התושבת אל תושבתו ותחלקהו לשני חלקי' ובמקום שיתחלק שם הוא מחצית העמוד וסמן שם נקדה
|
|
עוד תחלק צלע משלש התושבת לשני חלקים שוים ובמקום שיתחלק הוא מחצית הצלע וסמן שם נקדה אח"כ ראה מה בין נקדת מחצית העמוד לנקדת מחצית הצלע וקח מרובעו וגרעהו ממרובע גובה צד התמונה וקח שרש הנשאר והוא גובה התמונה אך אם תושבת התמונה הוא מחומש שוה הצלעות והזויות או משושה והכלל רב הזויות
|
|
וכן מרובע שוה הצלעות והוא שתקח מחצית כל הצלעות ותקבצם יחד ותחלק על המחצית ההוא מרבע התושבת והיוצא מן החלוקה תרבעהו ותוציא את מרובעו ממרובע גובה הצד והנשאר בידך קח גדרו והוא גובה התמונה ההיא
|
|
ואם לא היו הצלעות שוות כלומר צלעות התושבת גם לא הזויות אתה צריך למצוא גובה על יד בלי מעשה ואז תמצא תשבורת כל המשלשים הבלתי שוים אשר התושבת נחלקת עליהם בהוציאך קוים מזויותיה אל מרכזה ותחברם ותכפול על שלישית הגובה וההוה הוא המבוקש אך אם התמונה אינה כלה אל נקדה אבל כלה אל שטח משלש או מרובע או זולת אלה בתמונה אשר תושבתה לבד שהראש קטן מן התושבת יש לה דרכים אחרי' יתבארו פה
|
|
וזאת התמונה תקרא חתוכת הראש לפי שאם תוציא צדדיה למעלה תכלה אל מחודד וכבר בארנו לך משפטי המחודד
|
|
והנה זאת התמונה תחלק אל שני מחודדים אל המחדד הגדול אשר כלה אל נקדה ואל [40]המחדד הקטן שראש התמונה חתוכת הראש תושבת לו ועולה אל הנקודה
|
|
ואם היתה תושבת בעלת ד' צלעות וככה הראש תוציא אורך הצדדים עד הנקודה למעלה ואתה יכול למדוד המחודד הגדול כמו שידעת
|
|
עוד תמדוד המחודד הקטן וגרעהו מהגדול והנשאר הוא מדידת התמונה חתוכת הראש
|
|
ולכן צריך להודיעך איך תמצא ארך הצדדים אשר הם מראש התמונה מחוץ עד הנקודה
|
|
דמיון תמונת אבג"ד חתוכת הראש ותושבתה קו א"ב והוא ו' אמות וראשה ג"ד והוא ד' אמות וגובה העמוד אשר באמצע והוא קו ה"ז י' אמות כפול הראש לכל הגובה יעלה מ' אמות חלק אותם על ב' אשר הם יתרון התושבת על הראש יהיו כ' והוא אורך קו ה"ט הנשאר מהגובה
|
|
רצית למצוא ארך הצדדים אשר הם למעלה מהראש עד הנקודה תקח מרובע כ' שהם ארך ה"ט והם ת' ומרובע ב' שהם אורך ג"ה והם ד' וחברם עם ת' והם ת"ד גם גדרם שהם כ' אמות ועשירית אמה בקרוב והם אורך צלע ג"ט שהוא מחוץ
|
|
ואם רצית למצוא אורך כל צלע המחודד שהוא צלע א"ט תקח מרובע קו ז"ט שארכו ל' ומרובעו תת"ק גם מרובע חצי התושבת שהוא קו א"ז והוא ג' אמות ומרובעו ט' חברם עם תת"ק יעלו תתק"ט קח גדרם והוא ל' ועשירית א' וחלק אחד מל' והוא אורך כל התשבורת של הצלע
|
|
תמצא תשבורת תושבת המחודד הגדול שהוא ו' על ו' אמות וההוה ל"ו כפלם עם שלישית הגובה שהם י' כי כל הגובה הם ל' וההוה ש"ס והוא מדידת המחודד הגדול
|
|
עוד תשוב למדוד המחודד הקטן שתושבתו ד' על ד' ותשברתה הם י"ו כפלם עם ו' וב' שלישיות שהם שליש גבהו וההוה ק"ו וב' שלישיות תגרעם מן ש"ס שהם מדידת המחודד הגדול ישארו רנ"ג ושלישית אחד והוא מדידת התמונה חתוכת הראש המבוקשת
|
|
אך מפני שהחשבון קשה מעט נתנו בעלי החשבון דרך אחרת קצרה מזאת והוא שתקח מרובע התושבת והוא ל"ו ומרובע הראש והוא י"ו ותכפול גדר הראש בגדר התושבת וההוה כ"ד תחבר הל"ו והי"ו והכ"ד והעולה ע"ו כפלם עם שלישית הגובה שהם ג' ושליש ההוה רכ"ג ושליש והוא מדידת התמונה חתוכת הראש
|
|
ואם היתה תושבת התמונה עגולה וכן ראשה
|
|
כגון תמונה אשר תושבתה עגולה וקטר העגולה ד' אמות וראש העגולה וקטרה ב' אמות המרובע ד' אשר הוא קטר התושבת והוא י"ו ומרובע ב' שהוא קטר הראש והוא ד' וכפול ב' בד' הרי ח' והכל כ"ח גרע רביעיתם וחלק אחד מי"ד נשארו כ"ב כפלם עם ד' שהוא שלישית הגובה יעלו ס"ח והוא מדידת התמונה הזאת
|
|
ולפעמים ימצא כלי אחד מחובר משתי תמונות כזאת התמונה הנזכרת שיהיו שני ראשיו עגולות קטנות ואמצעיתו רחב כזאת התמונה הנזכרת
|
|
ותמדוד כל אחת מן חלקי הכלי השנים בפני עצמו כמו שידעת וחבר שניהם וככה מדידת הכלי
|
|
ואם היה תושבת התמונה וראשה [41]משלשים שוי הצלעות אך צלעות התושבת גדולות מצלעות הראש
|
|
כגון תמונה שתושבתה משלש שוה הצלעו' כל אחת מצלעותיו ד' אמות וגבהו ו' אמות אתה יודע כי תשבורת משלש התושבת כ"ח פחות ב' שביעיו' האחד בקירוב וגדר המספר הזה ה' אמות וב' שביעיות
|
|
ואתה יכול לדעת הרביע מחלק רבוע המשלשים ותמצא רבוע משלש הראש ז' אמות פחות חצי שביעית וגדר המספר הזה שנים וד' שביעיות אמה וחצי שביעית חבר תשבורת שני המשלשים ויהיו ל"ד אמות וט' חלקים מי"ד באמה הוסף עליהם גדר משלש התושבת בגדר משלש הראש ויהיו י"ד אמה פחות שביעית על דרך קירוב יהיה הכל מ"ח וחצי מונה אותו בשליש הגובה והוא ב' יהיה הכל צ"ז והוא מדידת חתוכת הראש
|
|
ועל הדרך הזה תדע מדידת כל תמונה חתוכת הראש אשר תושבתה מחומש או תמונה אחרת והוא שתהיה יודע השני ראשים בתשברתם ותוסיף עליהם רבוע גדר תשבורת הראש בגדר תשבורת התושבת ותכלול הכל ותכפול אותו בשליש הגובה ותמצא מדידת התמונה ההיא
|
|
והנה אתן לך דמיון בתמונות הרבה כדי שתרגיל את עצמך במדידתם
|
the volume of a pyramid with a square base
|
|
|
תמונה מחודדת תושבתה מרובע נמדדה כך
|
|
יהיה כל אחד מצלעות התושבת מכ"ד אמות וצלעות המחודד מי"ח אמות תקח מרובע הכ"ד וההוה תקע"ו קח מחציתם והם רפ"ח גם קח מרובע הי"ח וההוה שכ"ד תגרע מאלה הרפ"ח נשארו ל"ו קח גדרם והם ו' וזהו שעור עמוד המחודד ולפי שהעמוד הוא ו' נקח שלישיתו הם ב' ותכהו עם התקע"ו וההוה אלף קנ"ב וזהו תשבורת המחודד
|
A pyramid, whose base is a square, each of the sides of its base is 12 cubits, and its inclinations are 36 cubits; we wish to find its perpendicular. We do as follows:
|
מחודד שתושבתו מרובע אשר כל אחת מצלעות תושבתו בעל י"ב אמות וצלעות גבהותו מל"ו אמות ונרצה למצוא העמוד נעשה כך
|
|
נכפול צלע התושבת כלומ' הי"ב על עצמם וההוה קמ"ד
|
|
עוד נכפול הצלע האחד על עצמו וההוה קמ"ד
|
|
נחברם ביחד ההוה רפ"ח
|
|
נקח גדרם והם י"ו גם תוספת מעט וכך הוא קטר התושבת
|
|
נקח מחצית הי"ו והם ח' וחצי
|
|
ונכפלם על עצמם ההוה ע"ב ורביע
|
|
עוד נכפול הל"ו שהם צלע גבהותו על עצמם ההוה אלף רצ"ו
|
|
נגרע מאלה הע"ב ורביע וישארו אלף רכ"ד עם תוספת מעט שבם
|
|
ונקח גדרם וההוה ל"ה עם תוספת מעט שבו וכן הוא אורך העמוד
|
|
תכה אלה עם הקמ"ד שהם תשבורת התושבת ההוה ה' אלפים ומ'
|
|
נקח שלישית אלה ההוה אלף תר"פ וכן הוא תשבורת המוגשם
|
|
ולמה אנו לוקחים השלישית כי כל מוגשם נחלק לג' מחודדים כשהם שוה הגובה ותושבותיהם [42]משולשים ואנו עשינו חשבוננו על מוגשם נכחי השטחים והמוגשם הנכחי נחלק לב' מגודרים וכל מגודר של עמוד של המחודד הוא ג' כפלי מחצית המחודד המונח והוא בעל תושבת מרובעת כן הראה זה במופת אקלידס במאמר השני
|
the volume of a truncated pyramid with a square base
|
|
A truncated square pyramid, i.e. whose top is truncated, the sides of its bottom base are ten cubits, the sides of its upper base are 2 cubits, and its inclinations are 9 cubits; we measure it as follows:
|
מחודד מזונב כלומר חתוך הראש מרבע אשר צלעות תושבתו מעשר אמות וצלעות הראש מב' אמות וצלעות גבהותו מט' אמות נמדוד אותו כן
|
- Subtract the two cubits of the sides of the upper base from the sides of the bottom base; the remainder is 8.
|
תגרע השני אמות של צלעות הראש מצלעות של התושבת וישארו ח'
|
- Multiply it by itself; it is 64.
|
תכפלם על עצמם ויהיו ס"ד
|
- We take its half; it is 32.
|
נקח מחציתם והם ל"ב
|
- We multiply also the 9 by itself; it is 81.
|
גם נכפול הט' על עצמם ויהיו פ"א
|
- We subtract 32 from it; the remainder is 49.
|
נגרעם מאלה הל"ב ישארו מ"ט
|
- We extract its root; it is 7 and this is the perpendicular.
|
נקח גדרם והם ז' וכן הוא העמוד
|
- Since the perpendicular is 7 cubits, we find the volume of the solid as follows:
|
ולפי שהעמוד ז' אמות נמצא תשבורת המוגשם כן
|
- We add the 2 of the upper base to the 10 of the bottom base; it is 12.
|
נחבר הב' של הראש עם הי' של התושבת ויהיו י"ב
|
- We take its half; it is 6.
|
ונקח חציים והם ו'
|
- We multiply it by itself; the result is 36.
|
נכפלם על עצמם ויהיו ל"ו
|
- Then, subtract 2 of the upper base from 10; the remainder is 8.
|
אחר כך תגרע מהי' הב' של הראש וישארו ח'
|
- We take its half; it is 4.
|
ונקח חציים והם ד'
|
- We multiply it by itself; the result is 16.
|
ונכפלם על עצמם ויהיו י"ו
|
- We take its third; it is 5 and one third.
|
ונקח שלישיתם יהיו ה' ושליש
|
- Add it to the 36; it is 41 and a third.
|
הוסף אלה על הל"ו ויהיו מ"א ושליש
|
- Multiply it by 7; the result is 289 and one third; and this is the volume.
|
כפלם על הז' ויהיו רפ"ט ושליש וכן הוא התשבורת
|
|
|
the volume of a pyramid with a right-angled triangular base
|
|
If you wish to measure a pyramid whose base is a right-angled triangle, it is not necessary to investigate the inclinations in order to find the perpendicular, because it has a right angle.
|
אם תרצה למדוד מחודד אשר תושבתו משולש נצב אינו הכרח לחקור על צלעות הגבהות למצוא העמוד בהיותו בעל זוית נצבת
|
- Let the perpendicular be 25 cubits, if one side of the right angle of the triangle's base is 4 cubits and the other is 5 cubits, do this:
|
ויהיה אם העמוד כ"ה אמות ואם הראשונה שאצל הזוית שאצל תושבת המשולש ד' אמות ואם האחרת ה' אמות תעשה כך
|
- Multiply 4 by 5; the result is 20.
|
כפול הד' על הה' ההוה כ'
|
- Take its half; it is 10.
|
קח חציים והם י'
|
- Multiply this by the 25, which is the perpendicular; the result is 250.
|
כפלם על כ"ה שהוא העמוד ההוה ר"נ
|
- Take its third; it is 41 and two thirds.
|
קח שישיתם והם מ"א וב' שלישים
|
Due to the reason that I mention, which is that every prism whose base is a triangle, which is half a square, is divided into three pyramids that have triangular bases, so is this prism.
|
בעבור הסבה שאזכור והיא כל מגודר אשר תושבתו משלש בחצי מרבע הוא נחלק לג' מחודדים בעלי תושבות משולשים וכן המגודר הזה
|
- As Euclid has shown in Book XII.
|
כן הראה במופת אקלידס במאמר השני
|
The [triangular] prism is a half of a square [prism] and is divided into three pyramids, the result is six, [which is] a half and a third.
|
והמגודר הוא חצי מרובע ונחלק לג' מחודדים ההוה הוא ו' וחצי ושליש
|
The pyramid with a triangular base is necessarily a sixth of the square [prism], so we take one sixth.
|
ובהכרח שהמחודד בעל תושבת משלשי שלה ששית תושבת מהמרובע ונקח הששית
|
the volume of a pyramid with an isosceles triangular base
|
|
- If the triangle is isosceles, the legs are 12 cubits, the base is 8 cubits, the inclinations are 25 cubits, and you wish to measure the pyramid, do as follows:
|
ואם המשולש שוה השוקים ויהיו השוקים מי"ב אמות והתושבת ח' אמות וצלעות הגבהות מכ"ה אמות ותרצה למדוד המחודד תעשה כך
|
- Divide the base, which is 8 cubits, into halves; the result is 4.
|
תחלק התושבת שהוא ח' אמות לחצאין ההוה ד'
|
- Multiply it by itself; the result is 16.
|
כפלם על עצמם ההוה י"ו
|
- Multiply one of the sides by itself, that is 12 by itself; the result is 144.
|
וכפול אחת הצלעות על עצמו כלומר הי"ב על עצמם ההוה קמ"ד
|
- Subtract the square of 4 from it, which is 16; the remainder is 128.
|
גרע מאלה מרובע ד' שהם י"ו ישארו קכ"ח
|
- Extract the root, which is 11, a quarter, one part of 22, and one part of 44. This is the measure of the perpendicular on the base of the isosceles triangle.
|
קח גדרם שהם י"א ורביע וחלק מכ"ב וחלק ממ"ד וזהו השעור של העמוד אשר על תושבת המשלש שוה השוקים
|
- If you wish to find the area, do as follows: multiply the perpendicular by the base, i.e. 11, a quarter, one part of 22, and one part of 44 by 8; the result is 90 and one part of 22.
|
ואם תרצה למצא התשברת תעשה כך תכפול העמוד על התושבת כלו' י"א ורביע וחלק מכ"ב וחלק ממ"ד על הח' ההוה צ' וחלק מכ"ב
|
- Multiply it by perpendicular of the pyramid.
|
כפלם על עמוד המחודד
|
- You find it as follows: since for every triangle we take a half of the perpendicular to the base, we take a half of the 11, one quarter, one part of 22, and one part of 44; the result is 5, a half, an eighth, one part of 44, and one part of 88.
|
ותמצאנו כך לפי שבכל [43]משולש אנו לוקחים חצי עמוד התושבת נקח חצי הי"א ורביע וחלק מכ"ב וחלק ממ"ד והם ה' וחצי ושמינית וחלק ממ"ד וחלק מפ"ח
|
- We Multiply this by itself; the result is 32 and one part of 44.
|
נכפלם על עצמם וההוה ל"ב וחלק ממ"ד
|
- We multiply also the inclination, which is 25, by itself; the result is 625.
|
גם נכפול צלעות הגבהות על עצמם שהם כ"ה ההווה תרכ"ה
|
- Subtract the 33 and [one part of 44]; the remainder is 593.
|
תגרע הל"ב ורביע ההוה תקצ"ג
|
- We extract its root; the result is 24, a quarter and an eighth with a remainder and this is the measure of the perpendicular.
|
נקח גדרם והם כ"ד ורביע ושמיני' עם התוספת מעט וזהו שעור העמוד
|
- Multiply it by the area of the triangle, i.e. the 90 and one part of 22; the result is 2199.
|
כפול אלה על תשבורת המשולש כלו' הצ' וחלק מכ"ב ההוה אלפים וקצ"ט
|
- We take from this a sixth of the square; the result is 367 and a half; and this is the volume of the pyramid.
|
נקח מאלה ששית המרובע וההוה שס"ו וחצי וזהו תשבורת המחודד
|
the volume of a pyramid with an obtuse-angled triangular base
|
|
|
ואם המחודד יהיה נרוח הזויות ויהיה תושבת משולש נרוח הזויות תכפול תשבורת המשלש נרוח הזויות עם העמוד ונקח השליש וישאר לך תשבורת המחודד
|
|
וכן אם יהיה חד הזויות
|
the volume of a pyramid with a right-angled triangular base
|
|
|
מחודד שתושבתו משלש נצב הזויות ויהיה עמוד ו' אמות ותושבתו ח' אמות והמיתר לזוית הנצבת י' אמות והמחודד כל אחת מצלעותיו י"ג אמות ונרצה למצוא עמודו
|
|
נעשה כך נמצא בתחלה אלכסון העגולה המקפת המשולש שיהיה י' אמות שהוא המיתר לזוית הנצבת ואקח חצייה והם ה' ואכפלם על עצמם וההוה כ"ה גם אכפול הי"ג של צלע הגבהו' על עצמם וההוה קס"ט ואגרע מאלה הכ"ה וישארו קמ"ד ואקח גדרם והם י"ב והתשבורת נמצאה וכן בתחלה אמצא תשבורת המשולש והוא כ"ד אמות ואקח שלישית העמוד שהוא עמוד המחודד והם ד' כפלם על תשבורת התושבת ויהיו צ"ו אמות וכן הוא תשבורת המחודד
|
the volume of a pyramid with an equilateral triangular base
|
|
|
מחודד העומד על משולש שוה הצלעות נמדדהו כך
|
|
יהיה כל צלע מצלעות התושבת מל' אמות וצלעות הגבהות ב' אמות
|
|
כפול הל' על עצמם וההוה תק"ת נקח שלישיתם והם ש' גם נכפול הת' על עצמם ההוה ת' ומאלה אגרע הש' נשארו ק' וקח גדרם והם י' וזהו אורך העמוד
|
|
ולפי שהעמוד י' אמות ימצא התשבורת כן נכפול הל' על עצמם ההוה תת"ק נקח מאלה השלישית והעשירית והוא ש"צ נקח שלישית אלה והוא ק"ל נכפול אלה על י' שהוא שעור העמוד ההוה אלף וש' וזהו תשבורת המחודד
|
the volume of a pyramid with a pentagonal base
|
|
|
מחודד על תושבת בעלת ה' זויות אשר כל אחת מצלעות התושבת מי"ב אמות וצלעות הגבהות מל"ה אמות ונרצה למצוא העמוד וגם תשבורת המחודד
|
|
אחוק על הבעל ה' זויות אשר הקו המקיף ס"ג אמות ואם כן האלכסון יהיה כ' אמות קח מאלה חציים והם י' וכפלם על עצמם עלו ק' עוד [44]כפול הל"ה אמות של גבהות הצלעות על עצמם יעלו אלף רכ"ה גרע מאלה הק' ישארו אלף קכ"ה קח גדרם והם ל"ג וחצי וחלק מכ"ב עם תוספת וזהו אורך העמוד
|
|
כפול תשבורת התושבת הבעלת ה' זויות וכן תעשה מן הי"ב אמות של התוספת קח חציים והם ו' וכפלם על עצמם וההוה ל"ו עוד נכפול חצי האלכסון שהם י' על עצמם וההוה ק' גרע מאלו הל"ו ונשארו ס"ד קח גדרם והם ח' והוא שעור העמוד של המשולש כפלם עם התושבת שהם י"ב יעלה צ"ו קח חציים והם מ"ח והם תשבורת המשלש כפול אלה ה' פעמים אחרי שהם ה' משולשים ויהיו ר"מ אמות כפול אלה על העמוד שהוא ל"ג וחצי וחלק מכ"ב יעלו ח' אלפים ונ' ומאלה קח ששיתם אחרי שהם ששה מגודרים ההוה אלף שמ"א וב' שלישים וזהו תשבורת המחודד
|
|
ונוכל למצוא גם בלתי חקיקת העגולה את האלכסון לפי שצלע המחומש יש לו כח על צלע המשושה ועל צלע המעושר נקח חצי הצלע כלומר חצי הי"ב ויהיו ו' נכפלם על עצמם יעלו ל"ו גם נכפול הי"ב על עצמם יעלו קמ"ד גרע מאלה הל"ו נשארו ק"ח קח גדרם והוא י' אמות ושליש וחלק מט"ו וזהו שעור צלע בעל שש הזויות גם זהו שעור הארך מן המרכז
|
the volume of a pyramid with a hexagonal base
|
|
The measuring of a hexagonal [pyramid] is the same, without requiring the diagonal
|
ויהיה גם מדידת בעל השש זויות כך בלתי שאדרוש את האלכסון
|
- For example, let a hexagonal pyramid, each side of which is 12 cubits, the inclinations are 35 cubits, and we wish to find the perpendicular and the volume of the pyramid, we do as follows:
|
כגון שיהיה מחודד בעל שש זויות ויהיה כל א' מהצלעות מי"ב אמות וצלעות הגבהות מל"ה אמות ונרצה למצוא העמוד ותשבורת המחודד נעשה כך
|
- We multiply 12 by itself; the result is 144.
|
נכפול הי"ב על עצמם יעלו קמ"ד
|
- 35 by its self; the result is 1225
|
והל"ה על עצמם יעלו אלף רכ"ה
|
- Subtract 144 from it; the remainder is 1081
|
גרע מאלה הקמ"ד יעלו אלף פ"א
|
- We extract its root; it is 32 cubits, a half, a quarter, an eighth, and one part of 64; we know that this is the measure of the perpendicular
|
נקח גדרם והוא ל"ב אמות וחצי ורביע ושמינית וחלק מס"ד וידענו שזהו שעור העמוד
|
|
כפול אותו על תשבורת בעל השש וקח אותו כך לפי שבעל השש זויות יש לו ו' משולשים שוי הזויות קח תשבורת המשלש האחד וכפלהו ו' פעמים ותמצא תשבורת בעל הו' זויות
|
|
ועשה כן במשלש השוה הצלעות תכה צלעו הראשון על עצמו יעלה קמ"ד נקח השליש והם מ"ח גם העשירית יהיו י"ד ושליש וחלק מט"ו חברם יהיו ס"ב ושליש וחלק מט"ו כפול אלה ו' פעמים אחרי שהם ו' משולשים יעלו שע"ד ורביע וחלק מט"ו כפול אלה על העמוד שהם ל"ב וחצי ורביע ושמינית וחלק מס"ד יעלו י"ב אלף תי"ד ושליש קח ששיתם שהוא ששית המגודר יעלו ב' אלפים ונ"ב ושליש והם שעור המחודד
|
the volume of a pyramid with an octagonal base
|
|
- A pyramid whose base is octagonal and we wish to measure it
|
מחודד אשר תושבתו בעל ח' זויות ונרצה למדוד אותה
|
|
יהיה מחודד אשר כל צלע מצלעות תושבתו מי' אמות וצלעות גבהותו מט"ו אמות
|
|
ואם תרצה למצוא העמוד ותשבורת המחודד תעשה כך קח חצי צלע התושבת של בעל ח' זויות כלו' מהי' חציים [45]וההוה ה' וכפלם על עצמם וההוה כ"ה כפלם בשנים וההוה נ' קח גדרם והוא ז' אמות וחלק מי"ד הוסף על אלה חצי צלע בעל שמנה תושבות שהם ה' ויהיה הסך י"ב וחלק מי"ד כפלם על עצמם ההוה קמ"ו עם תוספת מעט וכפול חצי הצלע על עצמו ההוה כ"ה חברם עם הקמ"ו וההוה קע"א גרע קי"ז וישארו נ"ד קח גדרם והם שבע ושליש וכן הוא שעור העמוד
|
|
והתשבורת של המחודד תמצאהו ככה
|
|
קח תשבורת תושבת בעל הח' זויות וכפלה עם העמוד ושלישית ההוה הוא אלף וקפ"א וזהו שעור אמות תשבורת מחודד בעל ח' זויות
|
|
מחודד משולש בעל מגבעות על תושבת קשתות קטנות מחצי העגולה מן הקצה אל הקצה ומיתר הקשת שבתושבת כל אחת י' אמות והעמודים הנופלים רחב ב' אמות וצלעות הגבהות מב' אמות
|
|
ונעשה כך נקח חצי מיתר אחת שבתושבת ויהיו ה' נכפלם על עצמם יעלו כ"ה והמיתר האחר שהוא י' נכפלהו על עצמו וההוה ק' גרע מאלה הכ"ה וישארו ע"ה קח גדרם והם ה' וחצי ושמינית וחלק א' מי"ו וכך הוא השעור שמראש המשולש עד התושבת והוא העמוד נקח חציים והם ד' ורביע וחלק מי"ו וחלק מל"ב כפלם על עצמם ההוה י"ו וחצי ורביעית ותשיעית עם תוספת מעט וזהו שעור חצי התושבת כפול הה' על עצמם ההוה כ"ה והסך ביחד יהיו מ"ג וחצי ורביעית ותשיעית קח גדרם והוא ו' וחצי ותשיעית וכן הוא ממרכז העגולה המקפת המשלש
|
|
וכשתרצה למצוא העמוד תעשה כן כפול הו' וחצי ותשיעית על עצמם ההוה מ"ג אמות וחצי ורביעית ותשיעי' גם כפול צלעות הגבהות שהם כ' על עצמם ההוה ת' גרע מאלה המ"ג וחצי ורביעית ותשיעית ישארו שנ"ו וחלק מי"ח קח גדרם והוא י"ח וחצי ורביעית ותשיעית וכן הוא שעור העמוד כפלהו עם תושבת המשולש וכך תקחהו הה' שהם מחצית התושבת על עמוד תושבת המשולש שהם ה' וחצי ושמינית וחלק א' מי"ו ההוה מ"ג וחצי וכן הוא שעור אמות התשבורת המשולש כפלם על י"א וחצי ורביע ותשיעית ההוה תת"כ עם תוספת מעט וזהו תשבורת המשולש
|
|
ומזה ראוי להוציא המגרעות וכן תעשה תחבר התושבת והעמוד הי' והב' וההוא י"ב אמות כפלם עם עמוד המחודד שהם י"א וחצי ורביע ותשיעית ההוה רכ"ו אמות כפלם על ג' לפי ששם ג' מגרעות ההוה תרע"ט וכל התשלום הוא תת"כ אמות נגרע מאלה התרע"ט ונשארו קמ"א נקח מאלה הששית ההוה כ"ג ושלישים ב' אחרי שהם מהמגודר הם כ"ג וב' שלישים וזהו תשבורת התמונה
|
|
וכבר התבאר במאמר הי"ב מספר היסודות שכל מגודר שתושבתו משולשת יחלק לג' מחודדים שוים
|
|
[46]וידוע שכל מחודד הוא שלישית המגודר כשיהיו בעלי צלעות שוות וגובה שוה
|
|
ומבואר מזה שכל מחודד שיהיה על איזו תמונה שיהיה הוא שלישית המוגשם הנכחי שתושבתו שוה לתושבתו וגבהו הוא שוה לגבהו
|
|
התמונה הנקראת בלשון יון מישקו והיא תמונה שהיא מתחלפת הצלעות צלעות התושבת גם הראש נמדדה כך
|
|
הגובה יהיה נ' אמות
|
|
ואם תושבת התמונה צלעה האחת הגדולה בעלת כ"ד אמות והקטן בעל י"ו אמות
|
|
ואם הראש הצלע הגדולה בעלת י"ב אמות ואם הקטנה בעלת ח' אמות נחבר הצלעו' הגדולו' של הראש ושל התושבת כלומר הי"ב הכ"ד ההוה ל"ו וכן חברתי הצלעות הקטנות של הראש ושל התושבת כלומר הי"ו והח' וההוה כ"ד קח חצי הל"ו וההוה י"ח וכן חצי הכ"ד וההוה י"ב כפול אלה על י"ח וההוה רי"ו ועוד נגרע מן הצלע הגדולה הי"ב מן הכ"ד וישארו י"ב נקח חציים והם ו' נגרע צלע הראש מן התושבת כלומ' הצלע הקטן והם הח' מן הי"ו וישארו ח' נקח חציים ויהיו ד' כפלם על ו' ההוה כ"ד קח השלישית והם ה' ונוסיפם על הרי"ו ויהיו יחד רכ"ד כפלם על הגובה שהם נ' ההוה י"א אלף ר' והם שעור תשבורת זאת התמונה
|
|
וכן נמדדהו גם אם היה בעל משפטים אחרים
|