בר נותן טעם

ספר הנקרא בר נותן טעם
לחכם ר' יעקב קפנתון ז"ל

Prologue

בעיני נכבדת	מאשר יקרת
אהבת נפש חשקתיך	ואני אהבתיך‫
יפה פה תאר [ונחמד] מראה	החבר הנאה
ר' יואל ן' דאוד
כל בניינה בנוי לתלפיות‫	אשר נפשך חשקה בחכמת הלימודיות
מרחקת שוא ודבר כזב תפל והתול	אין בה עקש ופתלתול‫
מעוות לא תוכל לתקן וחסרון‫ לא תמלא	צדק תצדיק ויושר תעלה
אומרת על הן הן ועל לאו לאו	תחת לשונה דבש וחלב ‫
חכמת המספר בתה ואחותה	ולהיות יסודה וכלי אומנותה
קצור קצר לגלות מצפוניה	וזה כמה כתבתי עליה
ולהטעים דרכיה דרכי נועם ‫
בלשון עם נועז‫
ללעוזות בלעז‫
בלי דופי ולעז
החזיקתני ותאצילני להשיבו בלשון עברי	ויען לא ישרה נפשך ללמוד בלשון נכרי
ומשלים מבוארים	בהרחבת דברים
ולתת את שאלתך	ראיתי למלאת את תאותך
להתעסק בידיעות וחוכמות	ואם טרדות הזמן בלתי מסכימות
ולכל בהם חיי רוח נפש חיה יחיו	כי באשר עליהם יחיו
והיו כלא היו	ולכל שאר ידיעות המושכלות יהיו
ונפשם משכלת יחיו	אמרתי אשר מן האנשים חיו
יעזרם אלהים צור בו חציו חסיו‫
ואליהם אהלים ישליו‫
ושנות מספר יאתיו‫
רזה ודלה	ואם ידעתי חכמת המספר בזויה ונקלה
מיודעים ואלופים	בעיני קצת מתפלספים
בחכמות הבנויות על האיפשר
חשקה נפשם ועמהם לבם נקשר
‫וכל לומדם בעיניהם יכשר
ישבחוהו לאומים ותומכם מאושר
ולהיות על שתי הסעיפים פוצח [פוסח]‫	בהם יוכל להשתרר ולנצח
ללכת כרצונו אנה ואנה‫
וכמקשה המלונה	כאשר בתוך המים ינוד הקנה‫
פעם לאסור ופעם להתיר	יניע בראש ובשפה יפטיר
ולא יעמוד איש בפניהן	בחכמת הטבע ודומיהן
ובלומדי אזן [לא יפתחו] לשמוע כלימודים	לכן קצה נפשם בכל חכמת הלימודיות
להן יקראו זמן הנערות
ולהם יתנו זמן הבחרות
ילדות ושחרות
אשר הם בלתי מקבלים מרות	ועריהן יגזור לבם בשרירות
שוים בכל נושאיהם	להיותם בעיניהם
כאלו דומים לעצמים
שוים בכל ומפורסמים
לא במקרים בפחות וביתר ובלתי מסכימים
ועל זולתו לועגו ויתלוצצו	לכן בחרו באשר חפצו
לאיפשר החזיקו יד אם קרוב ואם רחוק	כי יהיה להם לשחוק
[כי יהיה להם לשחוק]	ולמחוייב ולנמנע לא ישימו חוק
ובתבונתם אין מספר	בכל חכמתם לא יסופר
אשר ימין ושמאל אין לנטות	כי אין עסקם בפשוטות
ומה יתרון לבעל הלשון‫	מושגות בבבת עין ואישון
במדע ובהשכל מסויימים	ואם כה יאמרו חכמים
והאלהים עשה אותם ישר‫	מה יעשו הסכלים אשר לא ידעו אי זה יכשר
והמה בקשו חשבונות רבים
הבל מרבים מחסרים ומחברים
אם מעטים ואם רבים
כמה מעלות טובות	אחדים ועשרות
למאות לאלפים ולרבבות	מאליפות מרובבות‫
מדרגה תחת מדרגה חונים	מי[נים] ממינים שונים
אלו יורדים ואלו עולים	דגלים דגלים שבילים שבילים
‫אשר בחפצם מתנודדים	ואליהם רזום ירמזון על ידי דברים נעים ונדים
וברצונם יעקרו שוד וישנו את תפקידם	יען באפם יגזלו מאנשי ה[ה]ודם ומאודם
ומהם בפולי ועדשים וכל מיני זרעונים	מהם עושים בזוזים ודרכמונים
ולעשוק מסחרים	להונות חברים
אלו ואלו מונים	כמוכרים כקונים
זה עולה וזה יוריד	זה ישכיב וזה יחריד
זה ישפיל וזה ירים‫
זה יגנוב הדינרים
וזה יאכל ב' ג' גרגרים‫
ירא וחרד על דברו	ואשר על יי שברו
[מהדק] מהמדקדקים	להחזיק ולהקים
להיתם פשע ולכלות אשם	להרים מכשול לכל יחטא ואשם
מונה ביתדות וקשרי אצבעות	נזהר מהיות מקצץ בנטיעות
ובראות עצמו איש אמונה
ואת פושעים לא מנה
מודה ומשבח לאלוהי מעונה
אשר לו אצל תבונה
וחלק לו בבינה
הבדילו מן התועים ומעשה ידיהו כוננה‫
והיו ידיו אמונה
הם ילכו איש אל אשר לבו פונה
וכל אחד את רעהו יונה
והוא שומר דרכי אל ומי כמוהו מונה‫
מחזיק במצותיו
ואל משפטיו וחקותיו
קורץ בעיניו
מולל ברגליו
מורה באצבעותיו‫
ורוע מזלו	על זה בחר מעוני שכלו
ולהתמיד צדקו	הלא טוב לו למלאת ספקו
לבל יחליף וימיר
ולא יאכל גרגרים מראש אמיר‫
לחלוק לחקוק אותו בלוח ברזל בצפורן שמיר
לנצח יוכל להבחן במופתיו	אהל בל יצען בל יסע יתדותיו‫
בכל מיני אזון וחקור	יתברר ויתלבן בבחינה [ובכור] וברור
הן כל אלה הדברי' מחלישים דעתי
ומכבים אש גחלתי
מרפים ידי לשמור משמרתי
אהבה מקלקלת את השורה	וחבתן על כולם גברה
‫לכן אני הקטן יעקב בן החכם ר' יצחק קנפנטון
הלא היא גדר הענוה	ז"ל פרצתי חומה נשגבה
עד שקמתי בפניהם קימה שאין בה הדור	פרץ על פני פרץ בלי סדור
כי לאמת לבדה אחלוק הכבוד ארבה המשרה
להעשר סידורה
כמשפט הבכורה‫
וחברתי קיצור זה בדרכי המספר וטעמיהם
ובר נותן טעם קראתיו
כי מספר החכמים הברותיו
וטוב טעמיהם מלאתיו
כי לא באתי להראות גבורות	ואם ידע יודע הנסתרות
כי לא מלבי אראה נפלאות ונוראות	ולהורות הוראות
כאיש אשר לא שומע [יודע] ומימיו לא ראה מאורות	אבל כמקטלט שבלים‫ ואורות
ואם מדעתי אמציא המצאות
אפי' תיבה או אות
הלא הנה טעיות
ידועים ומפורסמים	הלא גם הם חכמים הרשומים
‫[...]קו	יענו כי יתנו עידיהם ואותי יצדיקו
וטענות התנצלותי ישמיעו	לרבים אותם יודיעו
וגם חוכמות שרותיה תענינה	ויאמרו אמת ואמונה
כי לא מחכמה שאל על זאת הקלה
ולא בכוונה ממכוונה לבקשת מעלה
עזב את הגבירות מרבות השררה והגדולה
ורבות בנות עשו חיל‫ ופירות	אשר להם סנסנים ופארות
ופשט ידו במלאכה כמבזה סורה וגזלה
גלמודה ושכולה
מונח בקרן זוית עצורה ועזובה דורש אין לה
ומתוך היחס אשר בינו לבינה	כי מקוצר רוח דעת ותבונה
והניח את הספק צפון ונעלם	אחז את [...] המפורסם ובריא אולם‫
כי אין לאל ידו לברר את המסופק ולעשר אומדות	והוא גם הוא יעיד על עצמו ולא ראה להודות
מבררים ומלבנים ב[.]ת שכלנו	כמונו היום אומדים ‫מדעתנו
וטענות התנצלותי זה חזקות ומוחזקות בידיהם	אחשוב זאת היתה כוונתי בעיניהם
עזרם ומגינם	ואת יסוד בע בניינם
ומעט הבנתי	אשר הוא קוצר השגתי
לא נקטף עודנו באבו‫	יתד שהכל תלוי בו
תקוע במקום נאמן	חזק ומוחזק נטע נעמן
אכן יודע האמת ידע כי כוונתי לשום שמים
לפתוח פתח בריח ודלתים‫
ולהציע הצעות ולהבין הבנות למלאכת השמים
כי להקדים את המוקדם ולאחר את המאוחר	ולא ביניהם בין קל וחומר אבחן ואבאר
לבנות יסודות ולהעמיד עמודים חזקים ונכונים
במיעוט שכלי המפורסם להעמיד הבית והחדרים אשר עליהם נשענים
וזה אחל לעשות בעזרת שוכן מרומים מעונים

Introduction: The Positional Decimal System
The numerals: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 and the corresponding Hebrew letters	הרשמים ה[...] במספר בספרי חכמי הגוים הם אלו
	א 1 ב 2 ג 3 ד 4 ה 5 ו 6 ז 7 ח 8 ט 9 סיפרא 0
Zero - not a number	וזה הרושם האחרון הנקרא סיפרא אינננו מספר
The meaning of the decimal places	אכן הונח בזאת החכמה בכל מעלה ומעלה חלקה ממספר כמו שיתבאר כדי להראות מעלות המספרים הבאים אחריה
The ranks are written from right to left	ואלו המעלות מתחילות מהימין
Every rank is ten times the preceding rank	וכל מעלה העולה היא לצד שמאל עולה עשר ידות מאשר לפניה
The written ranks [= decimal places]
Units	ר"ל שרושם המספר אשר במעלה הא' יהיו אחדים
Tens	ובשנית עשרות
Hundreds	ובג' מאות
Thousands	ובד' אלפים
Illustration: naming the number 30678002	וכן לעולם בענין שרשמים אלו 30678002 עולים שלשים אלפי אלפים הנקראים חשבונות ‫ושש מאות ושבעים ושמונת אלפים ושנים
The significance of the zeros as a place holders - without them the number 30678002 would be written similarly as the number 36782	ולפי שאין בכאן עשרות ומאות גם אחדי חשבונות הושמו הספרות במקומם להורות מעלות שאר המספרים כי זולתם לא היו עולים רשמים אלו כי אם שלשים ושש אלף ושבע מאות ושמונים ושנים והקש על זה

Table of Contents
	וחלקתי הספר לב' חלקים
	החלק הא' בשלמים
	החלק הב' [בשברים] בשברים ובו ששה פרקים ובו הקדמה ובה ג' שערי' ועוד בו כלל אחד כולל עניינים מועילים לכל פרקי השברים
	השער הראשון בפריטה הפרק הא' בחבור השער הב' בהכאה הפרק הב' בחסרון השער הג' בהשואה הפרק הג' בכפל ועוד בו ששה פרקים בשברי‫' הפרק הד' בחילוק הפרק הראשון בחבור וכן הפרק הה' בערכים הפרקים הה' הנשארים הם כנזכרים [בשלמים‫] הפרק הו' בשרשים
	‫[מאמ' ההמרה גם מאמר האחדות‫]

Section One: Integers	החלק הראשון בשלמים
Chapter One: Addition	הפרק הא' בחיבור
Written Addition
Description of the Procedure
When you wish to sum two or three numbers or more, set the rows of the digits one beneath the other, each rank beneath its corresponding, i.e. the units under the units, the tens under the tens, the hundreds under the hundreds, and so on.	כאשר תרצה לחבר ב' או ג' מספרים או יותר תשים שורות רשמי המספרים זו תחת זו כל מעלה תחת בת גילה ר"ל האחדים תחת האחדים העשרות תחת העשרות והמאות תחת המאות וכן כולם
Draw a line [beneath] all the rows.	ותשרט קו דיו על כל השורות
Then, sum all the numbers that are in the first ranks in all the rows.	ותחבר כל המספרים הנמצאים בכל השורות במעלה ראשונה
If you do not find there any number, but zeros, put a zero in the rank of the units.	ואם לא תמצא שם מספר כי אם סיפרות תשים אתחת הקו במקום מעלת האחדים סיפרא
If you find a number or numbers with zeros, do not [pay attention to] the zeros and sum the numbers that are in that rank.	ואם תמצא מספר או מספרים עם סיפרות לא תחוש לסיפרותאות ותחבר [המספרים] הנמצאים במעלה ההיא
If the [interim] result is ten or tens, without units, put a zero beneath the line, in the place of that rank, and keep the ten, or tens, as units to sum them with what you find in the succeeding rank.	ואם יעלה לעשר או עשרות מצומצמות בלא אחדים שים סיפרא תחת הקו במקום אותה המעלה ושמור העשר או העשרות והיו לאחדים בידך לחברם עם אשר תמצא במעלה הבאה אחריה
In order that you will not forget them, put a dot or dots on top of the number in the succeeding rank, as the number of the reserved tens that are kept as units.	וכדי שלא תשכחם שים על ראש מספר המעלה הבאה אחריה נקודה או נקודות כמספר העשרות השמורים אשר הם לאחדים בידך
If the [interim] result is ten or tens and units, put the number of the units beneath the line, in the place of that rank, and keep the ten, or tens, as units to sum them with what you find in the succeeding rank.	ואם יעלה לעשר או עשרות ואחדים שים מספר האחדים ההם תחת הקו במקום אותה המעלה ושמור העשר או העשרות לאחדים לחברם עד אשר תמצא במעלה הבאה אחריה
If you do not find in the succeeding rank but zeros, do not pay attention to them, since you have a [reserved] ten, or tens, to put as units in that rank. Put these tens as units beneath the line corresponding to that rank.	ואם למעלה הבאה אחריה לא תמצא כי אם סיפרות לא תחוש להם אחרי היות בידך עשר או עשרות לשום במעלה ההיא לאחדים ותשים העשרות ההם לאחדים תחת הקו כנגד המעלה ההיא
If you do not have a ten, or tens, and you find in that rank only zeros, put beneath the line a zero corresponding to that rank, as mentioned for the first rank, when there is no number there but zeros, for there is one rule to this.	אכן אם לא היו בידך עשר או עשרות ומצאת במעלה ההיא כולה סיפרות תשים תחת הקו כנגד אותה המעלה סיפרא אחת כאשר הזכרתי במעלה הראשונה כשאין שם מספר כי אם סיפרות כי משפט אחד להנה
Always proceed so that the tens that are resulted in a certain rank are units to be summed in the succeeding rank, or to be placed in [that rank] if you do not find there any number, whether all are zeros, or it is the end of the number. Do so always until [the digits] are complete.	וכן תעשה לעולם שהעשרות שעלו בידך משום מעלה יהיו לאחדים בידך לחברם עם אשר תמצא במעלה שאחריה או לשומם במקומה אם לא מצאת שם מספר בין שהיה כלה סיפרות או שכלה כבר המספר ועשה כן לעולם עד כלותם
What is obtained under the line is the result of the addition.	והיוצא תחת הקו הוא העולה מהחיבור ההוא
Example	המשל
You wish to sum up two hundred and five thousand and five with three hundred ninety thousand and five and with six hundred twenty five thousand and two. $\scriptstyle205003+390005+625002$	רצית לחבר מאתים וחמשת אלפים ושלשה עם שלש מאות ותשעים אלף וחמשה ועם שש מאות ועשרים וחמשת אלפים ושנים
Set the digits as follows:	שים הצורות ככה
	205003  390005  625002 1220010

[Illustration of the procedure:]

205003	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3+5+2=8+2}}={\color{blue}{10}}}$	205003	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{0+0+1}}={\color{blue}{1}}}$	205003	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{0+0+0}}={\color{blue}{0}}}$	205003
390005		390005		390005		390005
625002		625002		625002		625002
		0		10		010

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5+0+5}}={\color{blue}{10}}}$	205003	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1+9+2}}={\color{blue}{12}}}$	ֹ205003	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1+2+3+6}}={\color{blue}{12}}}$	205003
	390005		390005		390005
	625002		625002		625002
	0010		20010		1220010

First rank: Say: 3 and 5 are 8, plus 2 they are 10. $\scriptstyle{\color{blue}{3+5+2=8+2=10}}$	ותאמ' 3 ו 5 הם 8 ו 2 הם 10
Since you do not have units, but a whole ten, put 0 beneath the line corresponding to the first rank.	ואחר שאין לך אחדי' כי עם עשר שלם תשיבם 0 תחת הקו כנגד המעלה הראשונה
Keep the ten, as one, for the succeeding rank, and put one dot above it so it will not be forgotten.	ותשמר העשר לאחד למעלה הבאה אחריה ותשים נקדה אחת עליה שלא ישכח
Second rank: Since you do not find there any number, and you have that ten, do not pay attention to these zeros, put one under the line corresponding to the second rank, for the ten that you reserved as one.	ואחר שלא מצאת שם מספר כי אם סיפרות ויש בידך עשר זה לא תחוש לסיפרות ההן ותשים [כנגד המעלה ההיא השנית] נקודה אחת תחת הקו בעד העשר אשר היה בידך לאחד
Third rank: Go to the third rank and since all of it are zeros and you do not have any reserved number, put one zero beneath the line corresponding to the third rank.	ולך אל המעלה השלישית ואחרי היות כלה סיפרות ויש בידך בלי מספר ואין בידך מאומה שים סיפרא אחת תחת הקו כנגד אותה המעלה השלישית
Fourth rank: Go to the fourth rank and you will find there numbers and a zero. Since there is a number or numbers there, do not pay attention to the zero or the zeros that are there.	ולך אל הרביעית ותמצא שם מספרים וסיפרא ואחר היות שם מספר או מספרים אל תחוש לסיפרא או סיפרות שיהיו שם
Say: 5 and 5 are 10. $\scriptstyle{\color{blue}{5+5=10}}$	ותאמר 5 ו5 הם 10
Put 0 beneath the line, corresponding to that rank, as you did in the first rank.	ותשים 0 תחת הקו כנגד אותה המעלה כאשר עשית במעלה הראשונה
Keep the 10 as one to sum it with what you find in the fifth succeeding rank and put one dot above it so it will not be forgotten.	ותשמור ה ה10 לאחד לחבירו עם אשר תמצא במעלה הה' הבאה אחריה ותשים עליה נקודה אחת בעדו שלא ישרך ישכח
Fifth rank: Say: one for the reserved and 9 are 10, plus 2 are 12. $\scriptstyle{\color{blue}{1+9+2=10+2=12}}$	ותאמ' אחד על השמור ו9 הם 10 ו2 הם 12
Put the two units beneath the line, keep one for the ten, and put one dot above the following rank.	שים השנים האחדים תחת הקו ושמור אחד על העשר ושים נקדה אחת על המעלה הבאה אחריה
Sixth rank: Say: one for the reserved and 2 are 3, plus 3 are 6, plus 6 are 12. $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+6=3+3+6=6+6=12}}$	ותאמר אחד בעבור השמור ו2 הם 3 ו3 הם 6 ו6 הם 12
Put the two units beneath the line, corresponding to that rank, and keep the ten as one in the succeeding rank.	שים השנים האחדים תחת הקו כנגד המדרגה ההיא והעשר יהיו בידך לאחד למדרגה הבאה אחריה
Since the numbers are complete [and there is no more rank there] put that ten as 1 in the seventh rank, which is the succeeding rank.	ואחר שכבר כלה המספר ואין ש[.....] מעלה שים העשר ההוא לא' במעלה הז' שהיא המעלה הבאה אחריה
Hence, you have already summed them and their sum is [1220010].	וכבר חברת אותם ועלה חיבורם

Check
If you wish to examine whether you did it rightly and correctly with no error	ואם תרצה להבחין אם עשית כדין וכשורה בלי טעות
Subtraction: subtract the first row from the result, subtract the second [row] from the remainder and so on, until only one [row] is left to subtract and the remainder then is equal to [the row] that you did not subtract.	חסר מזה העולה השורה האחת ומהנשאר תחסר השנית וכן כולם עד אשר לא תשאר מלחסר כי אם אחת והנשאר בעת ההיא יהיה שוה לאשר לא חסרת
As appears in the following diagram:	כאשר בא בזאת הצורה
Example: $\scriptstyle{\color{red}{1220010-625002-390005=205003}}$	1220010  595008  205003
For, when we subtract the row 625002 from their sum beneath the line, which is 1220010, 595008 remains, we subtract from this the other row, which is 390005, and 205003 remains, which is equal to the remaining row that was not subtracted yet. $\scriptstyle{\color{blue}{1220010-625002-390005=595008-390005=205003}}$	כי כאשר חסרנו מאשר עולה חיבורם תחת הקו שהוא 1220010 וחסרנו ממנו שורת 625002 ונשאר 595008 ומזה הנשאר חסרנו השורה האחרת והוא שורת 390005 ונשאר 205003 השוה לצורה הנשארת אשר לא נחסרה עד הנה
Q.E.D.	וזה מה שרצינו לבאר
Reason: Procedure
The reason of the procedure is clear.	הטעם במעשה ברור
For, every rank is ten times of the preceding rank.	כי כל מעלה עולה לעשר מאשר לפניה
Therefore, the ten of the preceding rank is one in the succeeding rank.	א"כ העשר מהקודמת אינו כי אם אחד מהבאה אחריה
Reason: Check
The reason of the examination is also clear.	גם טעם הבחינה מבואר
For, since the number that is under the line is generated from the sum of all the rows together, when we subtract them one by one it will be gone.	כי אחר שהמספר אשר תחת הקו נתחדש מקיבוץ כל השורות יחד כאשר נסירם ממנה אחת יצא כלו בהם בשוה
Hence, when only one is left to subtract, the remainder is the same as it, so when we subtract it from [the remainder] nothing is left.	ולזה כאשר [לא] נשאר מלחסר כי אם אחד יהיה הנשאר כמוה בענין שכאשר נסירה ממנו לא יחס' ולא ישאר

Chapter Two: Subtraction	הפרק השני בחסרון
Written Subtraction
Description of the Procedure
When you wish to subtract a small number from a greater number, set the smaller beneath the greater, each rank beneath its corresponding.	כאשר תרצה לחסו' מספר קטן ממספר גדול ממנו תשים הקטן תחת הגדול כל מעלה תחת מינה
Draw a line beneath them.	ורשום קו דיו תחתיהן
Then, subtract each bottom digit from the corresponding upper [digit] above it and put the remainder under the line in the corresponding rank.	וחסר כל מספ' תחתון מהעליון אשר על ראשו שהוא ממינו והנשאר שים אותו תחת הקו כנגד זאת המעלה
If you cannot subtract it from what is above it, as it is smaller than it or 0, take one from the upper digit that is in the succeeding rank, so it is ten in the [present] rank, and put one dot beneath the upper digit, from which you have borrowed the one.	ואם לא תוכל לחסרו מאשר על ראשו שהוא קטן ממנו או 0 קח אחד מהמספר העליון אשר במעלה הבאה אחריה ויהיה לעשר במעלה ותשים נקדה אחת תחת הרושם העליון אשר ממנו לוית האחד
Even if there is 0 [in the succeeding upper rank], borrow from it and put a dot under it, so the one that you have borrowed is 10 in the [present] rank.	ואף אם היה שם 0 לא תחדל מהיות לווה ממנה ותשים תחתיה נקדה וזה האחד אשר לוית אשר הוא ל10 במעלה זו
Even if there is only 0 in this rank, subtract the bottom [digit] from it and put the remainder from these 10 under the line.	ו[ואם]אין במעלה זו מספר כי אם 0 גרע ממנו התחתון אשר מ ממינו והנשאר מאלו ה10 תשים תחת הקו
If there is a number in the [present] rank, add the 10 to what you find there and subtract the corresponding bottom digit from the total sum, then put the remainder under the line, corresponding to the [present] rank.	ואם היה שם מספר במעלה הזאת יחבר ה10 עם אשר מצאת שם ומהכל תסיר המספר התחתון אשר ממינו והנשאר תשים תחת הקו כנגד המעלה ההיא
When you go to the rank, from which you have borrowed the one, where you have put the dot, add one for it to what you find in that rank in the bottom row, if there is a number there, and subtract the total from this rank in the upper row.	‫[ובלכתך למעלה אשר ממנה לוית האחד ושמת שם נקודה תוסיף אחד בעדו על אשר תמצא במעלה ההיא] בשורה התחתונה אם היה שם מספר ותחסר הכל מהמעלה ההיא מהשורה העליונה
If you do not find there enough to subtract, borrow one from the succeeding rank and put a dot under it, so it is ten in the [present] rank, as explained and so on.	ואם לא תמצא שם מחסורך אשר יחסר לך תלוה אחד מהמעלה הבאה אחריה ותשים תחתיה נקודה ויהיה לעש' במעלה זו כאשר ביארנו וכן לעולם
If there is no number on the bottom row in the place of the dot, for instance when there is a zero there, or nothing, as the bottom row is already complete, subtract the one from the rank, under which the dot is, if there is a number there, and put the remainder under the line, corresponding to the [present] rank.	ואם במקום הנקודה אין בשורה התחתונה מספר כגון שיש שם סיפרא או לא דבר שכלתה כבר השורה התחתונה תחסר אותו האחד מהמעלה אשר הנקדה תחתיה אם יש שם מספר והנשאר תשים תחת הקו כנגד המעלה ההיא
If there is no number but 0 in the [upper] row corresponding to the dot, borrow one from the succeeding rank and put under it a dot, so that this one is ten [in the present rank]. Subtract from it the one and put the remainder under the line, corresponding to the [present] rank.	ואם אין בשורה ההיא כנגד הנקדה ההיא מספר כי אם 0 תלוה אחד מהמעלה הבאה אחריה ותשים תחתיה נקודה והאחד ההוא יהיה לעשר בידך ותחסר מהם האחד והנשארים תשימם תחת הקו כנגד המעלה ההיא
When the whole procedure is complete, if there are still digits on the upper row, under which there is no number, nor 0, or a dot, since all is complete, put them as a remainder under the line, as they are.	וכאשר כלית כל מלאכתך אם נשארו עוד רשמים בשורה העליונה אשר אין תחתיהן לא מספר ולא 0 ולא נקודה שכבר נשלם הכל תשימם לשארית תחת הקו כמות שהן
Example	המשל
We wish to subtract 40438 the smaller from the greater number that is 76540304. $\scriptstyle76540304-40438$	רצינו לחסר 40438 הקטן ממספר הגדול והוא 76540304
We put the smaller under the greater, like this:	נשימם הקטן תחת הגדול כזה
This second diagram is as follows:	‫[זאת הצורה הב' היא ככה]
	76540304    40438 76499866 76540304

[Illustration of the procedure:]

76540304	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{14-8}}={\color{blue}{6}}}$	76540304	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-\left(3+1\right)}}={\color{blue}{6}}}$	76540304	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{13-\left(4+1\right)}}={\color{blue}{8}}}$	76540304
40438		40438		40438		40438
		6		66		866

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{14-\left(4+1\right)}}={\color{blue}{9}}}$	76540304	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-1}}={\color{blue}{9}}}$	76540304	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-1}}={\color{blue}{4}}}$	76540304
	.40438		40438		40438
	99866		9866		499866

First rank: We start to subtract from the first rank and say: 8 cannot be subtracted from 4. We borrow one from the succeeding upper rank, where there is 0. Put a dot beneath it. The one becomes a ten in the first rank and with the 4 that are in it they are 14. We subtract 8 from them. 6 remain. We put them under the line corresponding to the first rank. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+4\right)-8=14-8=6}}$	ונתחיל לחסר מהמעלה הראשונה ונאמ' 8 מ 4 לא יוכלו לצאת ונלוה אחד מהמעלה העליונה הבאה אחריה אשר שם ה0 תשים תחתיה נקדה וזה האחד יהיה במעלה הראשונה לעשר ועם ה 4 אשר בה יהיו 14 לא נוכל לחסרם וזה אשר בשורה העליונה במעלה נסיר מהם 8 ישארו 6 נשימם תחת הקו כנגד המעלה הראשונה ההיא
Second rank: We go to the second rank and we find there a dot. We add it to 3 that is found in this rank on the bottom row, they are 4. We cannot subtract them from 0 that is on the upper row in this rank, so we borrow one from the third rank and put a dot beneath it. So we have a ten, we subtract from them 4, 6 remain. We put them under the line, corresponding to the second rank. $\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(1+3\right)=10-4=6}}$	נלך למעלה השנית נמצאנו שם נקדה הוספנוהו על ה 3 הנמצאים במעלה ההיא בשורה התחתונה יהיו 4 לא נוכל לחסרם מה0 אשר בשורה העליונה במעלה ההיא לכן נלוה אחד מהמעלה הג' ונשים נקדה תחתיה ויהיה לנו לעשר נסיר מהם ה 4 ישארו 6 נשימם תחת הקו כנגד המעלה השנית ההיא
Third rank: We go to the third rank and add the dot to 4 that is on the bottom row, they are 5. We cannot subtract them from 3 that are above them, so we borrow one from the fourth rank, where there is 0, and we put a dot beneath it. This one becomes a ten, we add to it 3 that is on the upper row in the third rank and the total is 13. We subtract from them 5, 8 remain. We put them under the line, corresponding to the [third] rank. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+3\right)-\left(1+4\right)=13-5=8}}$	נלך למעלה השלישית ונוסיף הנקדה על ה 4 אשר בשורה התחתונה יהיו 5 ולא נוכל להוציאם מהג' אשר על ראשם לכן נוליד נלוה אחד מהמעלה הרביעית אשר שם ה0 ונשים תחתיה נקדה וזה הראשון האחד יהיה לנו ל10 ונחבר אליהם הג' אשר בשורה התחתונה יהיו 5 ולא נוכל להוציאם מהג' אשר על ראשם לכן נלוה אחד מהמעלה העליונה במעלה השלישית ההיא יהיו כלם 13 ונסיר מהם ה 5 ישארו 8 נשימם תחת הקו כנגד המעלה
Fourth rank: We go to the fourth rank and we find there a dot, but there is no number in the fourth rank on the bottom row to add to it, only 0, so we subtract this one alone from what is found in the fourth rank on the upper row. Yet, we cannot since there is no number there but 0, so we borrow one from the fifth rank and put a dot beneath it. The 1 becomes a ten, we subtract from it 1, 9 remain. We put them under the line, corresponding to the [fourth] rank. $\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(1+0\right)=10-1=9}}$	ונלך למעלה הרביעית ונמצא שם נקדה ואין מספר במעלה הרביעית ההיא בשורה התחתונה ההיא לחברו עמו כי אם 0 לכן נחסר זה האחד לבדו מהנמצא במעלה הרביעית ההיא בשורה העליונה ולא נוכל כי אין שם מספר כי אם 0 לכן נקרא ראשון אחד מהמעלה החמישית ונשים תחתיה נקדה וזה הא' יהיה לנו לעשר נסירם ממנו ה 1 ישארו 9 נשימם תחת הקו כנגד המעלה ההיא
Fifth rank: We go to the fifth rank and add the dot that is found there to 4 that is found in the fifth rank on the bottom row, they are 5. We cannot subtract them from 4 that above them, so we borrow 1 from the succeeding sixth rank and we put a dot beneath it. Thus, we have 10 and with 4 they are 14. We subtract from them 5, 9 remain. We put them under the line. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+4\right)-\left(1+4\right)=14-5=9}}$	ונלך למעלה החמישית ונוסיף הנקדה הנמצאת שם עם ה 4 הנמצא במעלה הה' ההיא בשורה התחתונה ויהיו 5 ולא נוכל לחסרם מה 4 אשר על ראשם לכן [נלוה] א' מהמעלה השישית הבאה אחריה ונשים תחתיה נקדה ויהיו לנו ל 10 ועם ה 4 יהיו 14 נסיר מהם ה 5 ישארו 9 ונשימם תחת הקו
Sixth rank: We go to the sixth rank and we find there a dot, but there is no number corresponding to it on the bottom row, since it is already complete, so we subtract the one alone from 5 that is in the sixth rank on the upper row and 4 remain. We put them under the line. $\scriptstyle{\color{blue}{5-1=4}}$	ונלך למעלה השישית ומצאנו שם נקדה ואין כנגדה מספר בשורה התחתונה כי כבר נשלם לכן נסיר זה האחד לבדו מהה' אשר במעלה הו' ההיא בשורה העליונה וישארו 4 נשימם תחת הקו
The digits that are on the bottom row are already complete, as well as the dots, and there are two digits left on the upper row. We put them under the line as they are successively, as a remainder.	וכבר כלו אלו הרשמים אשר בשורה התחתונה גם הנקדות ונשארו שני רשמים בשורה העליונה נשימם תחת הקו לשארית כמו שהן על הסדר זה אחר זה
Thus, what resulted under the line is what remains from the greater number after we subtract the smaller from it.	וזה אשר יצא תחת הקו הוא אשר נשאר מהמספר הגדול אחר אשר חסרנו ממנו הקטן
Reason: Check
We find that the greater number [= the subtracted] is as [the sum of] the smaller number [= the subtrahend] that we subtracted from it and the remainder together, no more and no less.	נמצא שמספר הגדול הוא כמו המספר הקטן אשר חסרנו ממנו וכמו זה הנשאר יחד בלי תוספת ומגרעת
Check
Addition
Therefore, when you wish to examine your procedure, add these two numbers that are beneath the upper [number], i.e. the smaller number that you subtracted and the remainder that is under the line, and if the sum is as the greater number, from which you have subtracted, no more and no less, then it is true and correct, and if not, know that you were wrong.	לכן כאשר תרצה להבחין מעשיך חבר אלו שני המספרים אשר תחת העליון ר"ל המספר הקטן אשר חסרת והנשאר אשר תחת הקו ואם יעלה כמספר הגדול אשר חסרת ממנו בלי תוספת ומגרעת הנה אמת הנה נכון ואם לאו דע שטעית
Apply this.	והקש על זה

Chapter Three: Multiplication	הפרק השלישי בכפל
Written Multiplication
Description of the Procedure
When you want to multiply a number by a number, i.e. to see how much are the multiples of one number when multiplied by the multiples of the other number, write the two forms of these numbers one above the other by the order and draw an ink line beneath them.	כאשר תרצה לכפול מספר במספר ר"ל לראות כמה יעלו כפלי המספר האחד כשיוכפל כפלים בחשבון המספר האחר שיש [שים] שתי צורות מספרים אלו זו על זו על הסדר ותרשום קו דיו תחתיהן
Multiply the first upper digit by each of the bottom digits and always write the units of the result of its product by each of the bottom digit beneath the line, under that bottom digit and keep the tens to add them as units to its product by the following digit to the left.	וכפול המספר הראשון העליון בכל אחד מהמספרים התחתונים [וכאשר תעלה מכפלו עם כל אחד מהמספרים התחתונים תשים לעולם] תשים לעולם האחדים תחת הקו כנגד המספר התחתון ההוא והעשרות תשמור והיו לאחדים בידך לחברם עם העולה מכפלו עם המספר הנמשך אליו לצד שמאלי
If there is no number in the following rank of the bottom line since it is already completed or since there is a zero there, write the [reserved] number that you have in the following rank under the line.	ואם לא ‫יהיה במעלה שאחר או זו שום מספר בשורה התחתונה שנשלמה כבר או שיש שם [סיפרא] תשים במעלה שאחר זו תחת הקו מספר האחדים אשר בידך
If when you multiply the upper digit by zero, you do not have [reserved] units, write a zero corresponding to that rank.	אכן אם כשתכפול המספ' העליון עם הסיפרא [...] לא יהיו בידך אחדים תשים סיפרא כנגד המעלה ההיא
If you have tens [reserved] as units, write them in that rank, under the line, as said, and do not write a zero at all.	אבל אם יהיו בידך עשרות לאחדים שת[שימם] במעלה ההיא תחת הקו כנזכר ולא תשים סיפרא כלל
Once you complete multiplying the first top digit by each of the bottom digits, you start multiplying again the second top digit by each of the bottom digits and produce a second row from it.	ואחר שתשלים לכפול המספר הראשון העליון עם כל אחד מהמספרים התחתוני' תשוב כבתחלה ותכפול המספר השני העליון עם כל אחד מהמספרים התחתונים ותעשה ממנו שורה שנית
Always write down the units and keep the tens as units to add them to the the next [product] as said.	ותשי' לעולם האחדים ותשמור העשרות לאחדים לחברם עם הבא אחריו כנזכר
You should know that the row of the product of each of the upper digits starts from the corresponding rank i.e. that when you start multiplying the second upper digit with the first bottom [digit], write the units resulting from that multiplication in the second rank that corresponds to that upper digit. The [row of the products] of the third upper digit starts from the third rank and so on.	אכן יש לך לדעת ששורת כפל כל אחד מהמספרים העליונים תתחיל מהמעלה הדומה לה ר"ל שכשתתחיל לכפול המספר השני העליון עם הראשון התחתון האחדים העולים מהכפל ההוא תשימם במעלה השנית הדומה למספר העליון ההוא וצורת המספר הג' העליון תתחיל מהמעלה הג' וכן כלם
Accordingly, the decimal place of the units of the product of any upper digit by any bottom digit is always as the sum of the decimal places of both digits minus one.	עד שיצא לנו מזה שלעולם מספר מעלות מקום אחדי כפל שום מספר עליון עם שום מספר תחתון יהיה כמנין מעלות שני המספרים מחוברות יחד חסר אחת
After you complete multiplying all the upper digits by the bottom [digits], draw an ink line beneath all these rows and sum them up, each with all its corresponding [digits], as we explained in the chapter on addition, and the result is the sought, which is the product of the two numbers one by the other.	ואחר שתשלים לכפול כל המספרי' העליונים עם התחתונים תרשום קו דיו תחת כל שורות אלו ותחברם יחד כל מעלה עם כל בת גילה כמו שביארנו בפרק החיבור והעולה הוא המבוקש והוא כפל שני המספרי' זה בזה
If there is a zero in the top row of the multiplicands, it would be expected to produce a row of zeros from it, but there is no need for that, since when you keep that every row starts from the rank that corresponds the rank of the upper digit by which you multiply all the bottom [digits] in that row and as you proceed, you always move one rank to the left - when you keep all that, you do not need to take care of the zeros [or to produce] rows of zeros from at all.	ואם היה סיפרא בשורה העליונה מהנכפלים ‫היה נראה שיעשה ממנה שורה אחת כל הסיפרות ואין צורך כי בהיותך שומער שכל התחלת שורה תתחיל מהמעלה הדומה למעלת המספר העליון ההוא אשר אתה כופל בכל התחתונים בשורה ההיא [וכל מה] שתתרחק תלך לצד שמאל מעלה אחת לעולם בהיותך נזהר מכל זה אינך צריך לחוש מהסיפרות ה[...]ת כלל ל[...]ת מהם שורות סיפרות כלל
If at the beginning of the top line you find zero or zeros before any digit, you have to write one zero for each zero of them below the line and complete [this row] by multiplying the next digit that follows them in the top line by all the bottom digits.	אכן אם בתחלת השורה העליונה תמצא סיפרא או סיפרו' קודם שום מספר תצטרך לעשות בעד כל סיפרא מהן סיפרא אחת תחת הקו ותשלים [השורה] ההיא בכפל המספר הבא אחריהם בשורה העליונה על כל המספרים התחתונים
If you want also, in order that you would not be mistaken [...] always this procedure itself, i.e. that you put one zero for every zero in the top row, even if they are in the middle, in the rank that corresponds to that zero and complete this row by multiplying [the upper next digit that follows them] by all the bottom digits.	ואם תרצה ג"כ כדי שלא תטעה [...] זה המעשה בעצמו לעולם ר"ל שתשים בעד כל סיפרא שבשורה העליונה אף אם הם באמצע סיפרא אחת במעלה הדומה למעלתה בשורה הראויה לסיפרא ההיא אם היה מספר ותשלים לשורה ההיא בכפל [המספר העליון הבא אחריהם] עם כל המספרי' התחתונים
Example	המשל
We wish to multiply the number 9007500 by another number 5400920. $\scriptstyle9007500\times5400920$	רצינו לכפול מספר 9007500 במספר אחר שהוא 5400920
Set the numbers one above the other successively, like this:	ותשים המספרים זה על זה על הסדר כזה
	90070500         5400920      2700460000    378064400 4860828000      486463564860000

[Illustration of the procedure:]

90070500	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{00}}}$	90070500	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{5\times0}}={\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{5\times2}}=1{\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{5\times9}}\right)+1=4{\color{blue}{6}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{5\times0}}\right)+4={\color{blue}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{5\times0}}={\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{5\times4}}=2{\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{5\times5}}\right)+2={\color{blue}{27}}\\\end{align}}$	90070500	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{0}}}$	90070500
5400920		5400920		5400920		5400920
		00		2700460000		2700460000
						0

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{7\times0}}={\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7\times2}}=1{\color{blue}{4}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{7\times9}}\right)+1=6{\color{blue}{4}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{7\times0}}\right)+6={\color{blue}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7\times0}}={\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7\times4}}=2{\color{blue}{8}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{7\times5}}\right)+2={\color{blue}{37}}\\\end{align}}$	90070500	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{00}}}$	90070500	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9\times0}}={\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9\times2}}=1{\color{blue}{8}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{9\times9}}\right)+1=8{\color{blue}{2}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{9\times0}}\right)+8={\color{blue}{8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9\times0}}={\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9\times4}}=3{\color{blue}{6}}\\&\scriptstyle\left({\color{red}{9\times5}}\right)+3={\color{blue}{48}}\\\end{align}}$	90070500
	5400920		5400920		5400920
	2700460000		2700460000		2700460000
	378064400		378064400		378064400
			00		4860828000

Since there are two zeros at the beginning of the top row, write under the line two zeros corresponding to them as their number.	ולפי שבתחלת השורה העליונה שתי סיפרות תשים בתחלת השורה העליונ' בעדן תחת הקו שתי סיפרו' כמספרן
Complete this row by multiplying the next upper digit that follows them, which is 5.	ותשלים השורה ההיא מכפל המספר העליון הבא אחריהן והוא ה5
	ותכפול ה5 בסיפרא שהיא אשר במעלה הראשונה מהמספר התחתון ויהיה סיפרא ותשימנה אחר השתי סיפרות הנזכרות שהיא המעלה השלישית הדומה למעלה הרביעית והנה בא על מתכונתו ששורתו מתחלת במעלה הג' שהיא מעלתו
	ותאמ' אח"כ כפול 5 ב-2 הוא 10, תשים סיפרא אחר הסיפרות הנזכרות
	ותשמור ה-10 לאחד לחברו עם כפל 5 ב-9 שהוא 45 ויהיה הכל 46 ותשים ה6 אחר כל הסיפרות ותשמור ה-4
	וכאש' תכפול ה5 בסיפרא הבאה אחר ה9, (לא) תשים סיפרא אחר היות בידך 4 ותשימם במקומה אחר ה6
	אכן כאש' תכפול ה5 בסיפרא הנמשכת לא תשים סיפרא אחר ה4 אחר שאין בידך מאומה
	ותכפול 5 ב-4 ויעלו 20 תשים סיפרא ותשמר 2
	ותכפול 5 ב5 ויהיו 25 ועם ה2 אשר בידך יהיה עם הכל 27 שים 7 ותשים אחריהם 2 כי כבר נשלם כפל המספר העליון בכל המספרים התחתונים
	ואתה היותך מוצא אחר ה5 העליון הנכפל כבר היה הדין נותן לכפלה עם כל המספרים התחתונים ולעשות ממנו שורה אחת ואין צורך אלא שתתחיל מה7 אשר אחריה ותעשה שורתו בלבד שתתחיל שורת ה7 מהמעלה הה' אשר היא מעלתו כנזכר אכן כדי שלא תטעה תשים בראש שורת ה7 במעלה סיפרא בעד הסיפרא העליונה אשר בין הה' וה7 אשר מעלתה המעלה ה5
	ותשלים השורה בכפל ה7 הבאה אחריה בכל הרשמים התחתונים ותאמ' כפל 7 בסיפרא הוא סיפרא ותשים סיפרא אחרת ותאמר עוד כפל 7 [ב2 ויעלו 14 תשים 4 שהם האחדים אחר הסיפרות הנזכרות ותשמור הא' ותאמר עוד כפל 7 ב9] ב9 ויעלה 63 ועוד האחד אשר בידינו יעלה 64 נשים ה4 ונשמר ה6 לאחדים בידינו ונאמר עוד כפל 7 בסיפרא היה עולה סיפרא אכן להיות בידינו ה6 לא נשים סיפרא אבל נשים ה6 אשר בידינו למקומה ונאמר כפל 7 בסיפרא עולה סיפרא ונשים סיפרא אחר שאין בידינו אחדים כלל ונאמר כפל 7 ב4 עולה 28 נשים 8 ותשמור 2 ונאמר כפל 7 ב5 עולה 35 ועם השנים אשר בידינו יעלו 37 נשים 7 ואחריהם 3 כי כבר נשלם כפל זה ה7 על כל הרשמי' התחתונים
	ואחר היות שתי סיפרות בשורה העליונה אחר ה7 כדי שלא נטעה נשים שתי סיפרות כנגד מעלתן בהתחלת שורת ה9 הבא אחריהן
	ושוב נאמ' כפל 9 בסיפרא הוא סיפרא ותשים סיפרא אחר השתי סיפרות כאשר שמנו בג[ת]חלת שורה זו ונאמר כפל 9 ב2 עולה 18 נשים 8 אחר השלשה סיפרות הנזכרות ונשמור אחד ונאמר כפל 9 ב7 ב9 עולה 18 81 ואחר שהיה בידינו 1 יעלו 82 נשים 2 ונשמור 8 ונאמר כפל 9 בסיפרא הוא סיפרא ונשים ה8 אשר בידינו במקומה ונאמר כפל 9 בסיפרא הוא סיפרא ונשימה אחר שאין בידינו דבר שוב ונאמר כפל 9 ב4 עולה 36 נשים 6 ונשמור 3 ונאמר כפל 9 ב5 עולה 45 ו3 אשר בידינו יעלו 48 ונשים 8 ואחריהן 7 כי כבר נשלם כפל 9 זה בכל הרשמים התחתונים
	ואחרי אשר כבר נכפלו ר"ל הרשמים העליונים עם כל התחתונים נרשום תחת כל השורות קו דיו ונחבר כל השורות שנתחדשו מכפליהן ר"ל ה3 שורות אשר בין הקוים להנה יעלה בידינו שכפל הב' מספרים הנשאלים זה בזה עלה 486463564860000
Check
Division	ואם תרצה לבחון אם עשית כדין אם לאו יתחלק זה המספר הגדול העולה מהכפל לאחד מהב' מספרים הנכפלים ויצא בחילוק האחר ולא ישאר דבר ואם יחסר או יעדיף דע לך שטעית באחד המעשים בכפל או בחילוק
Reason: Procedure	הטעם
The reason for the decimal place of the product of each digit of the multiplier:	בהתחלת שורת כפל כל מספר עליון בתחתונים מהמעלה הדומה לו
The product [of units] by hundreds - are hundreds	כי על ד"מ אם המספר העליון הוא מאות שהוא במעלה הג' כשנכפלם באחדי המספר התחתון יהיה העולה מאות
The product [of units] by thousands - are thousands	ואם יהיה אלפים שהוא בד' יהיה העולה אלפים
The units of a product [of units] by hundreds are hundreds; the tens of this product are units of the subsequent rank	לכן כאשר יהיו [מקום האחדים] אחדים העולי' מהכפל הראשון ההוא במעלה הג' שהיא המעלה הדומה למעלתו והעשרות העולות מזה הכפל הם אחדים במעלה הבאה אחריהן כמו שנתבאר בתחלת הספר בפי' המעלות לכן תשמרם לאחדים לחברם עם הבא אחריהן
The product of tens by hundreds - are tens of hundreds, i.e. thousands	וכשנכפול מספר עליון זה באשר במעלה השנית מהתחתונים יהיו העולה עשירי מאות שהם אלפים אם העליון הוא מאות
The product of tens by thousands - are tens of thousands - which is the rank that follows the rank of thousands	ואם הוא אלפים יהיו העשרות האלה עשרות אלפים לכן נשימהו במעלה הנמשכת לאשר שמנו בתחלת שורה זו ונחבר להם השמור בידינו מהכפל הקודם
Therefore, the rank of the units in the product of a digit of the multiplier by a digit of the multiplicand is equal to the sum of the ranks of both digits minus 1	וכן לעולם כאשר יתרחק יעלה מעלה אחר מעלה עד שיצא לנו מזה ברור מה שאמרנו כי אחדי כפל כל מספר עליון בתחתון יהיה מקום האחדים העולים מהכפל ההוא במעלה אשר מנין מדרגותיה כמנין מעלות שני רשמים האלו הנכפלים זה בזה העליון והתחתון יחד חסר אחת
The product of units by a certain rank - the units are placed in that certain rank	וזה שאם האחד מהם במעלה הראשונה הרי ביארנו שמקומו הוא במעלה הדומה למעלתו
The product of tens by a certain rank - the units are placed one rank higher than that certain rank	ואם יהיה בשנית יעלה מעלה אחת על מעלות המספר האחר כמנין מעלותיו כמו שביארנו
The product of hundreds by a certain rank - the units are placed in the second rank higher than that certain rank	ואם הוא בג' יעלה שתים וכן יוסיף לעולם על מעלות המספר האחר כמנין מעלותיו כמו שביארנו ואם הוא בג' יעלה שתים
So, the digit of the multiplier adds its rank minus 1 to the decimal place of the product in addition to the rank of the digit of the multiplicand	וכן יוסיף לעולם על מעלות המספר האחר כמנין מעלותיו חסר אחת
Hence, the rank of the units in the product of a digit of the multiplier by a digit of the multiplicand is equal to the sum of the ranks of both digits minus 1	והנה יהיה מעלות אחדי העולים מהכפל כמעלות שני הרשמים הנכפלים זה בזה חסר אחת וכל זה ברור בטעם
Reason: Check	וטעם הבחינה
Multiplication is the inverse operation of division	הוא כי הכפל הוא הפך החילוק
Practical illustration: dividing a given property equally between a certain number of people	כי כאשר למין מה ממספר תשים ידועים ויעלה לכל אחד מהם מנין ממון ידוע
property÷(number of people) = share of each	הרי יש בכל הממון כפלי ממספר האנשים כמספר הממון העולה לכל אחד מהן
property÷(share of each) = number of people	או אם תרצה לומר כפלי הממון שיצא לכל אחד מהם כמספר האנשים ההם והכל אחד
Example: dividing 12 golden coins equally between 3 people - the share of each will be 4 $\scriptstyle{\color{blue}{12=3\times4=4\times3\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle\frac{12}{4}=3\\\scriptstyle\frac{12}{3}=4\end{cases}}}$	כי המשל אם חלקנו 12 זהובים ל3 אנשים, עלה לכל אחד מהם 2 4 הרי השנים עשר הם כפל 3 ב4 או ה4 ב3 ואם נחלק 2 12 אלו ל3 ל4 אנשים יעלה לכל אחד מהם ג' ואם לג' יעלה לכל אחד מהם 4
The result of dividing a product of multiplication by one of the multiplicands is precisely the other multiplicand - thus, the check of the multiplication operation is division, and the check of the division operation is multiplication	הרי שכאשר נחלק העולה מהכפל לאחד מהמספרים הנכפלים יצא השני בחילוק בלי תוספת ומגרעת
	הרי שבחינת הכפל בחילוק וכן בחינת החילוק בכפל וזה דבר ברור

Chapter Four: Division	הפרק הרביעי בחילוק
written division
Division of a large number by a smaller number	כאשר תרצה לחלק מספר גדול למספר קטן
description of the procedure
	ונשימם זה על זה על הסדר, הגדול למעלה נקראנוהו המתחלק והקטן למטה וקראנוהו אשר נחלק עליו ותשים כל מעלה תחת בת גילה ויהיו שתי שורות אלו מרווחות, [..] ר"ל שתשים ריוח בין זו לזו לשים ביניהם היוצא בחילוק כאשר יתבאר בחילוק
The procedure starts with the highest rank - the last digit on the left of the divisor	וראה המספר האחרון התחתון אשר לצד שמאל, כמה פעמים יצא מהמספר האחרון אשר בעליון
The leftmost digit of the dividend is smaller than the corresponding digit of the divisor or its multiple - considering the next rank of the dividend as tens	ואם איננו בו אפי' פעם אחת שהוא קטן ממנו, ראה כמה פעמים יצא מזה האחרון ומאשר לפניו בקחתך האחרון לעשרות ואשר לפניו לאחדים ומנין פעמים אלו הוא הנקרא היוצא בחילוק
The interim result should be multiplied by all digits of the divisor and the products are extracted from the corresponding digits of the dividend	ודע שיש לך להוציא כ"כ פעמים המספרים אשר לפני האחרון התחתון מאשר לפני האחרון או האחרונים העליונים אשר הוצאת מהם כפלי האחרון התחתון כפעמים אשר הוצאת האחרון התחתון מהאחרון העליו' או האחרונים
	[ואם אין בו וכאשר נשאר מהאחרון או מהאחרונים בקחתך אותם לעשרות ולמאות כפי ערכם אל המעלה הזאת כפולים אשר הוצאת האחרון התחתון מן האחרון העליון או האחרונים], לא תוציא לאחרון כפל הכפלים ההם, כי לעולם יש לך להוציא כל אחד כל פעמים מהעליון הראוי לו כפעמים אשר תוציא האחרון מן האחרון או מן האחרונים
An interim digit of the dividend is smaller than the corresponding digit of the divisor or its multiple - considering the next rank of the dividend - keeping in mind the value of each rank in relation to the present rank	א[כן] יש לך לדעת כי בכל עת שתרצה להוציא התחתון מהעליון ואין דיו לכופליו כאשר תמצא במעלה הראויה לו, שאם יש בנמשך אחר הנמשך תוכל להוציא ממנו ובלבד שתשמור לעולם ערך המעלות, שכל מספר הוא במעלה שלפניו לעשרות ואשר לפני פניו למאות וכן לעולם על הערך הזה
	ואחר שתדע הכפלים אשר תוכל להוציא כל אחד מהמספרים התחתונים מהמעלה או מעלות הראויות להם מהעליונים, ר"ל כי עד"מ אם האחרון התחתון לקח מהמעלה הו' התחתון ואשר לפני האחרון יקח מו' ואשר לפני פניו מהה' עד כלותם
The decimal place of the interim result of division	ובמעלה אשר יכלו, ר"ל שהראשון התחתון יש לו לקחת בפעם ההיא מהמעלה ההיא על סדר שביארנו, כנגד המעלה ההיא תשים מנין הכפלים אשר לקחו ותשימם תחת המספר העליון
The remainder of the division	וכאשר ישאר שום דבר משום מספר עליון, תשים עליו השארית ושארית זה יהיה לעולם בין עיניך להועיל ממנו לעשרות או למאות לאשר לפניו ולפני פניו כמו שביארנו
Proceeding to the next interim division	וכאשר תמו כל התחתונות לקחת מן הראויות להם, אם נשאר עוד במספר העליון כמספר התחתון או יותר ממנו, נשוב לחלקו עליו כבתחלה ונראה כמה פעמים יצא האחרון התחתון מהאחרון או אחרוני' שארית זו כמו שעשינו בתחלה בכל המספר ואשר לפניו מאשר לפניו, לכולם כפלים שווים כל אחד מהראוי לו
The last interim division	וכן נשוב לעולם פעם אחר פעם, עד הגיע עת יקח כל אחד מהתחתונים ממעלתו ממש, ר"ל האחדי' מהאחדים והעשרות מהעשרות ומספר הכפלים יושם בעת ההיא במעלה הראשונה ולא נשוב עוד לחלק כי לא ישאר אז כי אם הפחות מהמספר התחתון והפחות על הרב לא יוכל לחלק לשלמים כי אם לשברים ועוד נזכיר בפרק זה איך יתחלק לשברים
	וזכור לעולם שתשים בכל פעם היוצא בחילוק בפעם ההיא, ר"ל לפעמים הכפלים אשר תוציא בפעם ההיא כנגד המעלה אשר משם [יקח] המספר הראשון התחתון, ר"ל אשר יהיה במעלה הראשונה, אם יהיה שם מספר [ואף אם לא יהיה שם מספר] כי אם סיפרא, תראה מהיכן היה לו ראוי ליקח אם היה שם מספר כי אם סיפרא ושם תשים היוצא בחילוק בפעם ההיא
Tracing the rank of the dividend to be divided by a certain digit of the divisor	ויצא לנו מכך כי כאשר נרצה לידע אי זה מקום ראוי לקחת ממנו שום מספר מהתחתונים בשום פנים, שנראה מאי זו מעלה לקחת לאחרון שבתחתונים בפעם ההיא ותמנה משם לצד ימין מנין מעלות כמספר מעלות מרחק המספר ההוא התחתון [לצד ימין מהמספר האחרון התחתון] ובמקום שיכלו מהעליונות משם יקח
The decimal place of the interim result of division	גם כאשר תרצה לידע באיזה מקום תשים היוצא בחילוק בכל פעם, ראה מאיזה מקום לקח האחרון התחתון בפעם ההיא ומנה משם לצד ימין כמנין רשמי התחתון וכאשר תכלה המנין ההוא, שם תשים היוצא בחלוק בפעם ההיא ומהמעלה ההיא בעצמה יקח המספר אשר במעלה הראשונה בטור התחתון בעת ההיא
example	המשל
$\scriptstyle4380408998\div46079$	רצינו לחלק 4380408998 על מספר קטן ממנו והוא 46079
	נשימם בשני טורים מרווחים זה על זה על הסדר כזה
	0         01         13        054       00290102  23324924 0744193751 4380408998      95063      46079
	[אמ' משה זה טעות אבל האמת הוא כי היוצא בחלוק לכל א' [...] הוא זה 95000 שלמים נוסף על השברים]
	ונאמ' מה שהוא המספר האחרון העליון יוכל לצאת 4 שהוא המספר האחרון התחתון פעם אחת אכן מד' אשר לפני האחרון העליון שהוא אשר לפני האחרון התחתון לא נוכל לצאת 6 שהוא אשר לפני האחרון התחתון לכן לא נוציא משום [משם] דבר אבל נוציא מהשנים האחרונים שהם 43 ונאמר 43 כמה פעמים יש 4 ולא נאמר עשרה שמהמעלה הזאת היה יכול לקחת 10 היה לוקח מהאחרון אחרון שהוא 10 בערך המעלה הזאת לכן לא נאמ' כי אם 9 והנה השורה התחתונה היא 5 רשמים לכן לא נמנה מהג [3] העליון אשר לוקח משם 5 מעלות לצד ימין ויכלו בסיפרא ונשים תחתיה אלו ה9 היוצאים בחילוק שהוא מספר הכפלים אשר לנו להוציא התחתונים מהעליונים בפעם הזאת כל אחד מהמעלה הראויה לו כנזכר

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{9\times4}}=36\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-1=3\\&\scriptstyle1{\color{red}{3}}-6={\color{green}{7}}\\&\scriptstyle3-3={\color{green}{0}}\\\end{align}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{9\times6}}=54\\&\scriptstyle{\color{red}{8}}-4={\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7}}-5={\color{green}{2}}\\\end{align}}$	2	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{9\times7}}=63\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-3={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-1={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle1{\color{red}{0}}-6={\color{green}{4}}\\\end{align}}$	23
		07		074		07441
4380408998		4380408998		4380408998		4380408998
		9		9		9
46079		46079		46079		46079

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{9\times9}}=81\\&\scriptstyle{1\color{red}{0}}-1={\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-1={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{1}}0-8={\color{green}{2}}\\\end{align}}$	2332
	074419
	4380408998
	9
	46079

	ונאמר 9 פעמים 4 הם 36 ואלו 6 האחדים היה לנו להוציאם מה3 וה3 עשרות מה4 ואין ב3 כדאי להוציאם מהם ה6 האחדים, לכן נקח עשר אחד מה4 מוסיף על ה3 עשרות אשר יש לנו לקחת משם לכן נקח כל ה4 ונשים עליו סיפרא, או נעביר עליו הקולמו‫' וזה העשר הנוסף אשר לקחנו נחברהו אל ה3 העליון ויהיו 13 נקח משם ה6 אחדים אשר לנו לקחת משם, ישארו 7 ונשימם על ה3 והנה כבר לקחנו האחדים גם העשרות כל אחד מהמעלה הראויה לו
	ועוד נאמר 9 [פעמים] 6 הם 54 ונקח ה4 אחדים מהמעלה אשר לפני האחרונים העליונים הנזכרים שהוא ה8 וישארו 4, נשימם עליהם עוד נקח ה5 עשרות מהמעלה שאחריו לצד שמאל, שהם עשרות בעדה ותשים ותמצא שם 7, תסיר מהם 5, ישארו ב' ונשימם עליהם
	עוד 9 פעמים 7, כי לא נחוש לסיפרא התחתונה, כי אם לשמירת המדרגות, ר"ל שהיא מורה לנו שאין להוציא כפל 7 זה אשר לפניה ממקום הסיפרא העליונה, אשר לפני ה8 אשר לקחנו משם ל6, אבל ממקום ה4 שהוא לפני ה8, 2 מעלות, כדרך שה7 לפני ה6, 2 מעלות
	ונאמר 9 פעמים 7 הם 63 נסיר ה3 אחדים מה4 העליון הנזכר וישאר 1 ונשימנו עליו והיה ראוי לנו לקחת ה6 עשרות ממקום הסיפרא ואחר שאין שם כדאי להוציאם, נקח אחד מהמעלה הבאה האחריה, תמצא שם 4, נקח אחד, ישארו 3, נשימם עליו וזה האחד הוא עשר בערך מעלת הסיפרא העליונה, אשר משם נקח העשרות, כי כל אחד מאלו העשרה הוא עשר בערך ה4, אשר משם לקח ה7 ונסור ה6 עשרות, אשר עליו, להוציא מאלו ה10 וישארו 4 ונשימם על הסיפרא
	עוד נאמ' 9 פעמים 9 והיו 81 וזה האחד היה לנו לקחתו ממקום הסיפרא העליונה אשר לפני 4, אשר לקחנו משם ל7 ואין שם דבר, לכן נקח האחד אשר על ה4 ויהיה כאן עשרה. נקח האחד ישארו 9 ונשימם עליה וה8 עשרות היה לנו לקחת אותם ממעלת ה4 ואין שם דבר, כי אפי' האחד שיהיה שם כבר לקחנוהו ל[...] האחד, לכן נקח אחד מהד' אשר על הסיפרא הבאה אחריה וישארו 3 ונשימם עליו וזה האחד יהיה לעשר על ה4 אשר משם נקח ה8 עשרות וכל אחד מאלו העשרה הוא עשר, כערך מקום הסיפרא אשר משם לקח ה9 ונסיר ה8 [עשרות מעשר] עשרות אלו, ישארו 2 ונשימם על ה4, ר"ל על האחד שהיה על ה4 וכבר לקחו כל התחתונים כ"כ כפלים כל אחד מהראוי לו כאשר לקח האחרון התחתון מהאחרוני' התחתונים ונשאר לנו 233298998 במספר העליון, שהוא יותר מהתחתון כמה כפלי כפלים לכן נשוב לחלק להם זאת השארית כאשר בתחלה ונרשום קו על כל הנשאר, כדי שלא נתבלבל

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{5\times4}}=20\\&\scriptstyle{\color{red}{2}}-2={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	0	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{5\times6}}=30\\&\scriptstyle{\color{red}{3}}-3={\color{green}{0}}\\\end{align}}$	00	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{5\times7}}=35\\&\scriptstyle{\color{red}{9}}-5={\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3}}-1={\color{green}{2}}\\&\scriptstyle1{\color{red}{2}}-3={\color{green}{9}}\\\end{align}}$	0029
	2332		2332		23324
	074419		074419		074419
	4380408998		4380408998		4380408998
	95		95		95
	46079		46079		46079

	ונאמ' מהשנים השארית האחרון לא יוכל לצאת הד' האחרון התחתון אפי' פעם א' פעמים, לכן נחלק ונקח לו מהכ"ג האחרוני' ויהיה שם חמשה פעמים ונשים זה הה' תחת הראשון שהוא לה' מעלות מזה הג', אשר אנו לוקחים משם לצד ימין, שהם כמספר מעלות השורה התחתונה ונאמ' ה' פעמי' 4 הם כ‫' ואחר שאין שם אחדים, לא נקח מהג' דבר, אבל הב' עשרות אלו נקח מהב' הבא אחריו ולא ישאר דבר ונעביר עליו ב‫'
	[missing]
	ועוד נאמ' ה' פעמים ז' הם 35 ואלו ה5 אחדים נקחם מה9 אשר על ה0' כי שם מקום לקיחתם במעלת 4 לצד ימין מה3, אשר על ה8 העליון, אש' לקח רושם האחרון התחתון כמרחק זה הז' לצד ימין מה4 האחרון התחתון כמרחק ואחר קחתנו אלו ה5 אחדים מה9 הנזכרים, ישארו 4 ונשימם עליהם והג' עשרות נקחם מהב' אשר עליהם כי שם מקום לקיחתם הבא אחריו ולא נוכל, לכן נקח אחד מהג' הבא אחריו וישארו 2, נשימם עליו וזה הא' הוא עשרה בערך השנים ונחברם אליהם, יהיה 12, נקח מהם ה3 עשרות, ישארו 9 ונשימם עליהם
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{5\times9}}=45\\&\scriptstyle{\color{red}{8}}-5={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-4={\color{green}{0}}\\\end{align}}$  00290      23324     0744193    4380408998      95         46079	עוד נאמר 5 פעמים 9 הם 45 נסיר ה5 מה8, ישארו 3 נסיר ה4 עשרות מה4 ולא ישאר דבר ונשים עליו 0 והנה לקחו כל התחתונות ונשאר לנו במספר העליון 2943998 והוא הרבה מאד יותר מהתחתון ונשוב לחלקם להם ונרשום על זאת השארית קו דיו, כדי שלא נתבלבל
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{6\times4}}=24\\&\scriptstyle{\color{red}{9}}-4={\color{green}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2}}-2={\color{green}{0}}\\\end{align}}$    05       00290      23324     0744193    4380408998      9506       46079	ונאמר מ2 לא יצאו 4, אבל יצאו 4 מ29 ויצאו משם ז' פעמים ולא ישאר כי אם 1 1 ולא יהיה בו די לעשרות כפל הז' ב6, אשר לפני ה,4 שהם 4 עשרות לכן לא נקח כי אם 6 ונשימם תחת ה9 שהוא ה5 לצד ימין מה9 כנגד [....] העליון, אשר משם נקח לאחרון התחתון, ר"ל שהוא כמנין מעלות השורה התחתונה ואחר שיש מעלה חלקה ממספר בין ה5, אשר יצא לנו בחילוק מתחלה וזהו אשר יצא לנו עתה, נשים 0 במעלה החלקה ממספר, כי זה מעשה ה0, כאשר ביארנו בתחלת הספר ונאמר 6 פעמים 4 הם 24 נקח 4 אחדים מה9, ישארו 5 ונשימם עליהם ונקח ה2 עשרות מה2 הבא אחריו ולא ישאר דבר ונעביר עליו הקולמוס
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{6\times6}}=36\\&\scriptstyle{\color{red}{5}}-1=4\\&\scriptstyle1{\color{red}{0}}-6={\color{green}{4}}\\&\scriptstyle4-3={\color{green}{1}}\\\end{align}}$     1         054       00290      23324     0744193    4380408998      9506       46079	ונאמ' 6 פעמים 6 הם 36 היה לנו לקחת ה6 אחדים מהם אשר בזו השארית ולא נוכל, לכן נקח אחד מה5 אשר משם נקח הג' עשרות ויהיה כאן עשרה, נקח 6 אחדים, ישארו 4 ונשימם עליהם עוד נקח ה3 עשרות מה5 וכבר לקחנו 1, הנה לא ישאר שם כי אם 1 ונשימהו עליו
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{6\times7}}=42\\&\scriptstyle{\color{red}{9}}-2={\color{green}{7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-1={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle1{\color{red}{3}}-4={\color{green}{9}}\\\end{align}}$     13        054       00290      233249    07441937   4380408998      9506       46079	עוד נאמר 6 פעמים 7 הם 42 נקח השנים אחדים מה9, ר"ל אשר במעלת המאות שהוא ל4 מעלות לצד ימין מהמקום שלקח האחרון התחתון, ישארו 7 ונשימם עליהם ו[...] לנו לקחת ה4 עשרות מה3 ואין בו די, נקח אחד מה4 הבא אחריו וישארו 3 ונשימם עליו וזה ה1 הוא 10 במדרגת ה3 ונחברם ויהיו 13, נקח מהם ה4 עשרות, ישארו 9 ונשימם עליהם
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{6\times9}}=54\\&\scriptstyle{\color{red}{9}}-4={\color{green}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7}}-5={\color{green}{2}}\\\end{align}}$     13        054       00290      2332492   074419375  4380408998      9506       46079	ונאמר 6 פעמים 9 הם 54 ונקח ה4 מה9, ישארו 5 ונשימם עליהם [missing] והנה לקחו כולם ונשאר עוד בעליון 139258 והוא יותר מהתחתון, לכן נשוב לחלקם עליהם, נרשום קו דיו עליהם על השארית הנזכר
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{3\times4}}=12\\&\scriptstyle{\color{red}{3}}-2={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{1}}-1={\color{green}{0}}\\\end{align}}$     01         13        054       00290      2332492   074419375  4380408998      95063      46079	ונאמ' מא' אין די ל4 אבל נקח מי"ג האחרונים בשארית ויקח 3 פעמים ונשים ה3 הנמצא בחלוק תחת ה8 העליון, שהוא במעלה הראשונה, שהיא 5 ל3 זה אשר משם נקח לצד ימין, שהוא כמנין מעלות השורה התחתונה ונאמ' ג' פעמים 4 הם 12 ונקח ה2 מה3 וישאר 1 ונשימהו עליו ונקח ה1 מה1 ולא ישאר דבר ונעביר עליו הקולמוס
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{3\times6}}=18\\&\scriptstyle{\color{red}{9}}-8={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{1}}-1={\color{green}{0}}\\\end{align}}$      0         01         13        054       002901     2332492   074419375  4380408998      95063      46079	ונאמ' 3 פעמים 6 הם 18 ונקח ה8 מה9 וישאר 1 ונשימהו עליו ונקח ה1 מה1 ולא ישאר דבר ונעביר עליו הקולמוס
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{3\times7}}=21\\&\scriptstyle{\color{red}{5}}-1={\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2}}-2={\color{green}{0}}\\\end{align}}$      0         01         13        054       0029010    23324924  074419375  4380408998      95063      46079	ונאמ' 6 פעמים 6 2 הם 12 21 ונקח ה1 מה5 וישארו 4 ונשימם עליו ונקח ה2 מה2 ולא ישאר דבר ונעביר עליו הקולמוס
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{blue}{3\times9}}=27\\&\scriptstyle{\color{red}{8}}-7={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4}}-2={\color{green}{2}}\\\end{align}}$      0         01         13        054       00290102   23324924  0744193751 4380408998      95063      46079	ונאמ' 3 פעמים 9 הם 28 27 ונקח ה7 מה8, ישאר 1 ונשימהו עליו ונקח ה2 עשרות מה4, ישארו 2 ונשימם עליו
$\scriptstyle1021<46079\longrightarrow{\color{red}{\begin{align}&\scriptstyle95063\ the\ result\\&\scriptstyle1021\ the\ remainder\\\end{align}}}$	הנה כבר לקחו כלם ונשארו 1021 והוא פחות מהתחתון ולא יוכל להתחלק עליו לשלמים, לכן תאמר שכלית כל מלאכתך על השלמות ושיצא בחילוק לכל אחד 95063 ונשאר במספר העליון שלא יוכל להתחלק לשלמים 1021 ועוד נדבר בזה הפרק בעצמו
check
Multiplication	ואם תרצה לבחון מעשיך, לדעת אם לא טעית
$\scriptstyle\left(95063\times46079\right)+1021=4380408998$	כפול היוצא בחילוק, ר"ל 95063, במספר אשר חלקנו עליו, ר"ל 46079, ותוסיף השארית, ר"ל ה1021, על העולה מכפל[ם] ויצא לך החשבון המתחלק, ר"ל 4380408998, שזה המספר אשר חלקת עליהם
	ואם לא יצא ראשון כמותו, דע לך שטעית באחד המעשים, ר"ל בחילוק או בכפל. כל זה תמצא רמוז בצורה הנזכרת
$\scriptstyle486463564860000\div5400920$	וכדי שתתלמד, ארשום כאן בחינת המשל, אשר הבאתי בפרק הג' בכפל והוא שנחלק העולה מהכפל ההוא והוא 486463564860000 [על אחד מהב' מספרים הנכפלים ויהיה תחלה ל5400920] ונשימם זו על זו הגדולה למעלה כזה‫:
	0     020  0 0302 000 03038270141 486463564860000        90070500         5400920
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{5\times{\color{blue}{9}}=}}{\color{YellowOrange}{45}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-}}{\color{YellowOrange}{5}}={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-}}{\color{YellowOrange}{4}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$ 03              486463564860000 486463564860000          9                5400920         5400920	ונאמר מ4 לא יצאו 5 ויקחו מ48 ויהיו שם 9 פעמים ונעשום זה ה9 תחת ה6, שהוא לשבע מעלות לצד ימין מה8, כמספר מעלות השורה התחתונה ונאמר 9 ב5 הם 45 נסיר ה5 מה8, ישאר 3 נסיר ה4 מה4, לא ישאר דבר
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4\times{\color{blue}{9}}=}}{\color{YellowOrange}{36}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-}}{\color{YellowOrange}{6}}={\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3-}}{\color{YellowOrange}{3}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$  0              030             486463564860000        9                5400920	[עוד נאמר 9 ב4 הם 36 נסיר ה6 מה6, לא ישאר דבר ונסיר] ונסיר ה3 מה3, לא ישאר ג"כ דבר
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9\times{\color{blue}{9}}=}}{\color{YellowOrange}{81}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3-}}{\color{YellowOrange}{1}}={\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-}}{\color{YellowOrange}{1}}={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{16-}}{\color{YellowOrange}{8}}={\color{green}{8}}\\\end{align}}$  0              030382          486463564860000        9                5400920	עוד נאמר 9 ב9 הם 81 ולדעת מאיזו מדרגה וקח [נקח] תעשה אחד מ2 דברים: או תמנה מהמעלה [אשר שמת שם היוצא בחלוק, שהוא ה6, לצד שמאל 3 מעלות במרחק זה ה9 מהמעלה הא'] הא' ויכלו ב[3] העליון ומשם נקח זה האחד שעלה בכפל ואם תרצה תמנה מהמקום אשר משם לקח המספר האחרון התחתון והוא ה8 [העליון, 5] מעלות לצד ימין כמרחק זה ה9 מה5 המספר האחרון לצד ימין ויכלו ג"כ ג' ומשם נקח ה1 וישארו 2 ונקח ה8 עשרות מה6 ואין די ויקחו מה4 וישארו 3 וזה הראשון הוא לעשרה ועם ה6 יהיו 16, נסיר מהם ה8, ישארו 8
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{2\times{\color{blue}{9}}=}}{\color{YellowOrange}{18}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2-}}{\color{YellowOrange}{1=1}}\\&\scriptstyle{\color{YellowOrange}{1}}{\color{red}{5-}}{\color{YellowOrange}{8}}={\color{green}{7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{1-}}{\color{YellowOrange}{1}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$  0   0          0303827         486463564860000        9                5400920	ונאמר עוד 9 ב2 הם 18 ומה5 לא יוכל לצאת ה8, לכן נקח 1 מה2 ועוד נקח משם 1 לעשר ולא ישאר דבר וזה ה1 הראשון אשר לקחנו יהיה עשרה ועם ה5 יהיו 9, נסיר מהם 8, ישארו 7 [ישאר 7]
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{5\times{\color{blue}{7}}=}}{\color{YellowOrange}{35}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-}}{\color{YellowOrange}{5}}={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3-}}{\color{YellowOrange}{3}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$  0 030          0303827         486463564860000        9007             5400920	וכבר לקחו כל המספרים, כי ה0 ולא תקח דבר והנה נשאר בעליון 3807648606000 והוא רב מאד מהמספר התחתון, לכן נשוב נחלקנו עליו ונרשום קו דיו עליהם ונאמ' מ3 אין די ל5 ונקח מ38 ויהיה בהם 7 פעמים 5, תשים זה ה7 היוצא בחילוק תחת ה6, כי שם יכלו הד' מעלות מזה ה8 לצד ימין, אשר הם כמנין מעלות השורה התחתונה ונאמ' 7 ב5 הם 35 ונקח ה5 מה8, ישארו 3 וה3 מה3, לא ישאר דבר
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4\times{\color{blue}{7}}=}}{\color{YellowOrange}{28}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3-}}{\color{YellowOrange}{1=2}}\\&\scriptstyle{\color{YellowOrange}{10-8}}={\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{YellowOrange}{2-2}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$     02           0 030          0303827         486463564860000        9007             5400920	ונאמר 7 ב4 הם 28 וה8 לא יוכלו לצאת מהם ונקח 1 מה3 ויהיה 34, נקח ה8 וישארו ב' ונשימם עליו ונקח עוד מה3 ויהיה 4 הב' עשרות ולא ישאר דבר
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9\times{\color{blue}{7}}=}}{\color{YellowOrange}{63}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-}}{\color{YellowOrange}{3}}={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-}}{\color{YellowOrange}{6}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$     02           0 030          030382701       486463564860000        9007             5400920	עוד נאמר ז' בט' הם 63 ונקח ה3 מה4, שהיא מדרגה הראויה לו כמו שהזכרנו באחד מהב' דרכים, אם להיותה שלישית לשמאל ואם להיותה חמישית לימין, כמו שהוא ה9 וישאר א' מה4 ונשימהו עליו והו' עשרות נסירם מה6 ולא ישאר דבר והנה לקחו כלם
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{2\times{\color{blue}{7}}=}}{\color{YellowOrange}{14}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-}}{\color{YellowOrange}{4}}={\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{1-}}{\color{YellowOrange}{1}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$     02           0 030  0       0303827014      486463564860000        9007             5400920	עוד נאמר 7 ב2 הם 14 נסיר ה4 מה8, ישארו 4 ונסיר ה1 מ1 ולא ישאר דבר
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{5\times{\color{blue}{5}}=}}{\color{YellowOrange}{25}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7-}}{\color{YellowOrange}{5}}={\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2-}}{\color{YellowOrange}{2}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$      0              02           0 0302 0       0303827014      486463564860000        900705           5400920	והנה לקחו כלם ונשאר בעליון 2700460000 וה7, לפי שהוא תחת הקו הרשום תחלה ואולי תשכחהו, שימהו על הקו הרשום ועוד תרשום קו על הכל ותשוב לחלקים אחרי היותם יותר מהתחתון ונאמר ב2 אין די ל5, ניקח מ27 ויהיו בו ה' פעמים ונשימהו תחת השלישית, כי שם יכלו ה7 מעלות לצד ימין, שהם כמנין מעלות השורה התחתונה ונאמר 5 ב5 הם 25 נסיר הה' מהז', ישארו שנים ונסיר הב' מהב' ולא ישאר דבר
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4\times{\color{blue}{5}}=}}{\color{YellowOrange}{20}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2-}}{\color{YellowOrange}{2}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$      0              020          0 0302 0       0303827014      486463564860000        900705           5400920	ונאמ' ה' בד' הם כ‫' ולא נקח אחדים אכן הב' עשרות נקחם מהב' אשר שמנו עתה על הז' ולא ישאר דבר
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9\times{\color{blue}{5}}=}}{\color{YellowOrange}{45}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-}}{\color{YellowOrange}{5}}={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-}}{\color{YellowOrange}{4}}={\color{green}{0}}\\\end{align}}$      0              020          0 0302 00      03038270141     486463564860000        900705           5400920	עוד נאמר ה' בט' הם מ"ה נסיר הה' מהו', כי היא מעלה הראויה לו כנזכר וישאר א‫' ונסיר הד' מהד' ולא ישאר דבר הנה לנו שכלה כל החשבון
[the last step is missing $\scriptstyle{\color{red}{2\times5=10\longrightarrow1-1=0}}$]	ולהיות לנו בזה היוצא בחלוק מעלות חלקות מהמספר, הן בתחלה, הן באמצע, נשים ספרות במקומם, כי זה מעשה הסיפרות ותועלתם כאשר הזכרנו
	והנה יצא לנו שכאשר חלקנו העולה מהכפל באחת הנכפלים, יצא השני בלי תוספת ומגרעת ובלי שארית כלל
$\scriptstyle486463564860000\div90070500$	וכן אם תחלקנה לחבירתה, תצא חבירתה בחילוק, כאשר בא בזאת הצורה
	0      1     020    0838 000 03011100141 486463564860000         5400920        90070500
	ולא ראיתי להאריך בזה עוד והכל מבואר למבין
reason: procedure
The reason for the decimal place of the interim result of division: this decimal place is set according to the rank of the dividend from which the multiple of the rightmost digit of the divisor was subtracted	וטעם מקום הנחת היוצא בחילוק הוא כי כפי המדרגה אשר ממנה לקח המספר הראשון, הם הפעמים אשר לקחו
$\scriptstyle600\div3$	ר"ל שאם חלקנו שש מאות לג' אחדים
$\scriptstyle{\color{blue}{600\div3=200}}$	הנה יגיע לכל אחד ב' והמדרגה אשר ממנה לקח היא מדרגת המאות, הנה השנים אשר יצאו בחלוק היא הם מאותה המדרגה והם מאתים
$\scriptstyle a00\div b=c00\longrightarrow a000\div b0=c00$	ואם היו שם עוד אלפים בעליון ועשרות בתחתון, הנה הפעמים אשר יגיעו לאחדים מהמאות, יגיעו לעשרות מהאלפים
As the tens are tens in relation to the units, so the thousands are tens in relation to the hundreds; and as the hundreds are in relation to the units, so the thousands are in relation to the tens, and the tens of thousands are in relation to the hundreds	כי כמו שהעשרות הם עשרות לאחדים, [ככה האלפים הם עשרות למאות, הנה כאשר הגיע לאחדים מהמאות] מהמאות, יגיעו לעשרות מהאלפים וכן למאות מהעשרות אלפים וכן לעולם, כי כמו שזה עולה לאשר כמותו כן עולה זה
The rank of the division by units is the rank of the dividend - thus, if the units were extracted from the hundreds, the tens will be extracted from the thousands, and the hundreds will be extracted from the tens of thousands	כבר ביארנו כי מדרגת הפעמים אשר הגיעו לאחדים היא מרוחק המדרגה אשר ממנו לקח והיא בעצמה המדרגה אשר לקחו העשרות מהאלפים והמאות מהעשרות אלפים וכן כולם
The multiple of a certain digit of the divisor should be extracted from the rank of the dividend that is placed in relation to the rank from which the multiple of the divisor's units was extracted, as the decimal position of that certain digit of the divisor in relation to its units	ר"ל שכל אחד מהתחתונות, מדרגתה הראויה לקחת ממנה היא מרוחקת לצד שמאל [מהמדרגה אשר לקחו ממנה האחדים, כמספר המדרגות אשר היא מהאחדים] מהאחדים
If the units of the divisor were extracted from the hundreds of the dividend, then the hundreds of the divisor, that are on the third rank in relation to the units of the divisor, should be taken from the tens of thousands of the dividend, that are on the third rank in relation to the hundreds of the dividend	ר"ל כמספר אשר זה התחתון לצד שמאל מהאחדים ר"ל כמספר אשר זה התחתון לצד שמאל מהאחדים, שהרי המאות מדרגתם היא שלישית לצד שמאל מהאחדים וכן העשרות אלפים, אשר ראוי לו לקחת מהם בקחת האחדים מהמאות כאשר זכרנו, גם הם שלישיים לצד שמאל מהמאות, אשר היא המדרגה אשר ממנה לקחו האחדים והקש על זה, ובזה נכלל טעם כל המעשה
reason: check	וטעם הבחינה
The reason for the checking procedure: multiplication is the inverse operation of division	כי הכפל הוא הפך החילוק
The meaning of division: finding out how many times the small number is in the larger number	ר"ל שהחילוק הוא לידע כמה פעמים המספר הקטון במספר הגדול
The meaning of multiplication: [finding out] how much is the sum of the multiples of a given number for a given number of times	והכפל הוא כמה סך כפלי מספר ידוע פעמים ידועים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle20\div5=4\\\scriptstyle20\div4=5\end{cases}\longrightarrow20=4\times5}}$	וכן אם בחלקנו כ' לה', יעלה לכל אחד ד‫' או לד' לכל אחד ה‫' הנה כ' הוא כפל ד' בה', שהם המספר אשר חלקנו עליו והיוצא בחילוק
$\scriptstyle{\color{blue}{21\div4=5+\frac{1}{4}\longrightarrow21=\left(4\times5\right)+1}}$	ואם חלקנו כ"א לד', כמה יעלה לכל אחד, ה' וישאר א‫' ולזה כאשר כפלנו ד' בה' ויעלה כ', הוספנו עליהם הא' הנשאר, יעלה הכל כ"א, שהוא כמספר המתחלק וכל זה ברור
Finding the proper fraction of the remainder from division - reference to the section on fractions	וכאשר תרצה לחבר המעט הנשאר על המספר התחתון, שהוא גדול ממנו, או שום אחד מספר קטן על מספר אחד גדול ממנו, תמצא בחלק הב' בפרק הא' במאמ' האחדות, אשר בו דרך כולל לכל המספרים, בין יהיו להם מורים, בין אם יהיו פשוטים
divisibility of a number
To give you an inclusive method for dividing a large number by a smaller number and vice versa, I use the technique of the ancients: to extract the denominators of the number by which you want to divide, whether it is the smaller number or the greater number; that is to consider the numbers of which it is composed, if it is not a prime number.	אכן לתת לך דרך כולל בין לחלק רב למעט או בהפך דרכתי דרך הראשונים והוא שתוציא המורים מהחשבון אשר תרצה לחלק עליו אם מועט אם הרבה והוא ל[ראו'] המספרים אשר הוא מורכב מהם אם איננו פשוט
3; 6; 9
First, if you want to know if it has a third, a sixth, or a ninth [= if 3, 6, or 9 are divisors of the number]:	ראשונה אם תרצה לדעת אם יש לו שלישית או שישית או תשיעית מבלי שברים
six: See, if the first digit that is in the first rank is an odd number, then you know that the number does not have a sixth [= not divisible by 6].	עיין אם האות הראשונה אשר במעלה הא' מהחשבון הוא נפרד תדע שאין לו שישית
If it is an even number, know that if it has a third [= divisible by 3], it has also a sixth [= divisible by 6], otherwise it has not.	ואם הוא סזוג [אז] דע שאם יהיה לו שלישית יהיה לו ג"כ שישית ואם לאו לאו
nine and three: Every [number] that it has a ninth [= divisible by 9], has also a third [= divisible by 3], but not vice versa.	וכל שיש לו תשיעית יש לו ג"כ שלישית ולא יתהפך
To know if a number has a ninth or a third, consider all the digits of the number as if they are of the first rank, i.e. sum them as units and cast out the nines from this sum	ולדעת אם יש למספר תשיעית או שלישית הבט כל רשמי מספרי החשבון כאלו היו כולם מהמעלה הראשונה ר"ל שתחברם כלם כאלו היו אחדים וחסר כל ט' ט' שבחבור ההוא
No remainder - If it is consumed by the nines, know that it has a ninth [= divisible by 9] and it certainly has a third [= divisible by 3].	ואם יצא כולו תשיעיות תדע שיש לו תשיעית וכ"ש שלישית
The reminder is 6 or 3 - if 6 or 3 remains, it has a third [= divisible by 3], but it does not have a ninth [not divisible by 9].	ואם ישארו ו' או ג' יהיה לו שלישית לא תשיעית
The reminder is a number other than 3 - if another number remains, such as 4 or 5 and the like, it does not even have third [= not divisible by 3].	ואם ישאר מספר אחר כמו ד' או ה' או הדומה להם אין לו אפי' שלישי‫'
Reasons
The reason that we consider all the digits of the number as units, without considering their ranks, is that every [unit of] a certain rank is ten [units of] the preceding rank, therefore when subtracting nine from the ten [of a certain rank] the remainder belongs to the preceding rank, and so on repeatedly. We find that after casting out the nines [their ranks] are the same.	הטעם מה שא[נו] לוקחים כל רשמי המספרים לאחדים בלי עיון אל מעלותיהן הוא לפי שכל מעלה היא עשר בערך אל אשר לפניה בהסר מהעשרה תשע ישאר כמותה וכן כולם נמצא שלאחר הסרת התשיעיות כלם שוים
We say that if the first digit is an odd number, it does not have a sixth [= 6 is not a divisor of the number], since the whole number is odd, and an odd number is indivisible by an even number, i.e. it is not a product of an even number multiplied by an odd number and all the more so by an even number.	ואמרנו שאם הרושם הראשון הוא מספר נפרד שאין לו שישית הוא לפי שכל החשבון בכללו הוא נפרד שאין לו שישית הוא לפי שכל החשבון בכללו הוא נפרד והחשבון הנפרד לא נחלק לשלמים אל חשבון זוג ר"ל שאינו מורכב מחשבון זוג אפי' עם הנפרד כ"ש עם הזוג
We say that if it is an even number that has a third [= divisible by three], it has also a sixth [= divisible by six], since the whole number that consists of an even number multiplied by 3 is an even number. For if it were an odd number, it were a product of an odd number by an odd number, but as the number that consists of the 3 is even, it is divisible by double the 3, i.e. by six, so it has a sixth.	ואמרנו שאם הוא זוג שאם יש לו שלישית יש לו ג"כ שישית הוא לפי שמאחר שהחשבון בכללו זוג מספר כפלי הג' ג' אשר בו הוא זוג שאם היה נפרד הנה היה מורכב מנפרד בנפרד והיה כולו בנפרד ואחר שהחשבון אשר בו הג' ג' הוא זוג א"כ הוא נחלק לזוגי ג' ר"ל לששה ששה והנה יש לו שישית על השלימות וזה מבואר
2; 4; 8
To find out if a given number has a half, a quarter, or an eighth [= if 2, 4, or 8 are divisors of a the number]	ואם תרצה לדעת אם יש לו מחצית, או רביעית, או שמינית
Considering its units:	ראה הרושם הראשון
If it is an odd number, it does not have a half, a quarter or an eighth [not divisible by 2, 4, or 8] - from the same reason mentioned above concerning the sixth [= 6 as a divisor]	אם הוא חשבון נפרד, הנה אין לו אח' מהם, מהטעם שאמרנו בשישית
two: if it is an even number or 0 - then the whole number is even, for the tens and up are even - therefore it has a half [= divisible by 2]	ואם הוא זוג, או 0', הרי כל החשבון בכללו זוג, כי העשרות ומהם ולמ[ע]לה כלם זוג אחדים וא"כ בידוע שיש לו מחצית
four and eight: if it is an even number or 0	ולדעת אם יש לו ג"כ רביעית ושמינית
The digits of the whole number are summed according to the following procedure: for a number of the type $\scriptstyle2a+10b+\left[100\sdot\left(2c-1\right)\right]$ → the sum is $\scriptstyle2a+2b+4$ for a number of the type $\scriptstyle2a+10b+\left(100\sdot2c\right)$ → the sum is $\scriptstyle2a+2b$	קח המספר אשר במעלה הראשונה כמו שהוא ואשר בשנייה כפול, אם יש שם מספר ואשר בשלישי', אם הוא נפרד, קח בעבורו ד' אחדים ואם הוא זוג, או 0, לא תקח בעבורו מאומה וכן מהמעלה השלישית ולמעלה לא תקח דבר
Considering the remainder after casting out eights from this sum	וחבר כל אשר לקחת והשלך אותו ח' ח‫'
No remainder - the number has an eighth and a quarter [= divisible by 8 and 4]	ואם יצא הכל, הנה יש לו שמינית ורביעית
The remainder is 4 - the number has a quarter [= divisible by 4]	ואם ישאר [ארבעה] יש לו רביעית לבד
The remainder is a number other than 4 - the number does not have an eighth or a quarter [=not divisible by 4 or 8]	ואם ישאר חשבון אחר, אין לו לא שמינית ולא רביעית
The reason for doubling the digit of the tens in the sum: when extracting eight from each ten the remainder is two	וטעם אומרנו שנקח אשר במעלה השנית כפול, הוא לפי שהם עשרות ומכל עשר, כאשר תסיר ח', ישארו ב', הרי שישאר לנו מכל עשר שנים, לכן אנו כופלים כל העשרות ולכך אנו לוקחים אותם כפולות
The reason for not taking any digit for an even number of hundreds in the sum: every even number of hundreds is divisible by 8 (for example: 200÷8=25)	ואשר במעלה השלישית הם מאות וכל זוגי מאות יש להם שמינית, כי שמינית מאתים הוא כ"ה, לכן לא נקח בעבור זוגי המאות דבר
The reason for taking 4 for an odd number of hundreds in the sum: when extracting eights from one hundred the remainder is four - 100-(12·8)=100-96=4	אך אם יש שם מאה נפרד, אחר הסרת זוגי המאות, נקח בעבורו ד', כי בהסיר שמיניות המאה, שהם י"ב שמיניות, שהם עולים לצ"ו, ישארו ד‫'
No need to take any thing for the ranks that are higher than the hundreds - because all of them are an even number of hundreds and therefore are divisible by 8	ומהמעלה השלישית ולמעלה לא תקח דבר, כי כלם הם זוגי מאות ויש להם שמינית כמו שביארנו
7
To find out if a given number has a seventh [= if 7 is a divisor of a given number]	ואם תרצה לדעת אם יש לו שביעית
Considering the final remainder from the following procedure: multiplying the leftmost digit of the number by 3, adding the product to the digit in the preceding rank on the right and casting out sevens from the sum. Multiplying the remainder by 3, adding the product to the preceding rank on the right and casting out sevens from the sum, and so on repeatedly	ראה הרושם האחרון אשר לצד שמאל וכפלהו בג' וחברהו לאשר תמצא במעלה לאשר לפניה והסר לעולם השביעיות והנשאר כפלהו בג' וחברהו עם אשר תמצא אשר לפניה ואם לא תמצא שם מספר כי אם 0', כפלהו פעם שנית בג' וכן על כל 0' וחברהו עם אשר תמצא לפניו והשלך לעולם הז' ז‫'
If there is no remainder - the number has a seventh [= divisible by 7]	ואם יצא הכל לשביעיות, הרי ידענו שיש לו שביעית
Otherwise - it does not	ואם לאו לאו
The reason for multiplying each rank by 3 and adding the product to the preceding rank: [the unit of] every rank is ten [units of] the preceding rank and when subtracting 7 from 10 the remainder is 3. Therefore, each unit is valued 3 in the preceding rank after subtracting 7 from it	הטעם מה שאנו כופלים כל מעלה בג' לחברו לאש' לפניה, הוא לפי שכל מעלה היא עשר בערך אשר לפניה ובהסר מהם הז' [ישארו ג', הנה כל אחד הוא כשלש בערך אשר לפניו, אחרי הסרת הז‫']
5; 10
To find out if a given number has a tenth, or a fifth [= if 10, or 5 are divisors of a given number]	ואם תרצה לדעת אם יש לו עשירית, או חמישית
If the digit of the units is zero - the whole number is tens and therefore it has a tenth and a fifth [= divisible by 10 and 5]	אם הרושם הראשון הוא 0, הנה הכל עשרות, [כי אם המאות ומשם ולמעלה הכל הוא עשרות] והנה יש לו עשירית גם חמישית
If the digit of the units is 5 - the number has a fifth [= divisible by 5]	ואם הוא ה', הנה יש לו חמישית לבד
If the digit of the units is other than 0 or 5 - it does not have a fifth [= not divisible by 5]	ואם הוא מספר אחר גם חמישית אין לו
11
To find out if a given number has 11th [= if 11 is a divisor of a given number]	ואם תרצה לדעת אם יש לו י"א
Meaning: completely divisible by 11 - no remainder is left when casting out by elevens	פי' אם יתחלק לי"א על השלימות והוא שיושלך כלו י"א י"א ולא ישאר דבר וכיוצא בזה הוא מה שאמרנו בכל המורים העוברים
Subtracting the numeral in the highest rank of the given number from the numeral in the previous rank, then subtracting the remainder from the preceding numeral and so on repeatedly	ראה הרושם האחרון והוצא ה1' מאשר תמצא במעלה אשר לפניו והנשאר הוציאנו מה שתמצא מאשר לפני פניו וכן עד הגיעו לראש
If there is no remainder - the number has an 11th [= divisible by 11]	ואם יצא הכל, יש לו י"א י"א
Otherwise - it does not	ואם לאו לאו
If one of the numerals is a zero or if it is smaller than the subtrahend, 11 is added to this numeral and the procedure continues as described	ואם בשום מקום תמצא סיפרא, או שום מספר קטן במנין, שלא תוכל להוציא ממנו אשר צוויתיך, הוסיף י"א על הנמצא שם סיפרא 0, וכן או שמונה חשבון קטן ומהכל תוציא אשר ציויתיך והנשאר מאשר לפניו, כן לעולם
The reason for the procedure: every rank is ten times the preceding rank, therefore when taken with the preceding rank these are tens and units	הטעם כי כל מספר הוא עשרה בערך במעלה אשר לפניו, לכן כאשר תקחנו לעשרות ואשר לפניו לאחדים זה בזה, הרי כל מה שלקחת הם י"א י"א
The reason for adding 11 to a small number is that 11 will be extracted anyway in this procedure	ואשר הוא לפי אמרנו ולהוסיף אות י"א באשר לפניו, כאשר לא תמצא שם די מחסורו, הוא לפי שאם נוסיף כמה י"א י"א בחשבוננו, לא יעלה ולא יוריד, כי הוא בעצמו יושלך לי"א י"א, ר ג"כ יצא אחר התוספת ואם לאו לאו וזה מבואר
13
To find out if a given number has 13th [= if 13 is a divisor of a given number]	ואם תרצה לדעת אם יש לו י"ג
Multiplying the leftmost digit of the number by 3, casting out thirteens from the product, subtracting the remainder from the preceding rank then multiplying the result of subtraction by 3 again and so on	ראה הרושם האחרון וכפלהו בג' והוצא הי"ג י"ג אשר בו והנשאר הוציאהו מאשר תמצא במעלה אשר לפניו והנשאר כפלהו שנית בג' והוצא הי"ג אשר בו והנשאר כפלהו שנית בג' והוצא הג' אשר בו והנשאר הוציאהו מאשר לפניו וכן לעולם עד תכליתם
If there is no remainder - the number has a 13th [= divisible by 13]	ואם יצא הכל יש לו י"ג
Otherwise - it does not	ואם לאו לאו
If there is a small number in one of the ranks so that 13 cannot be extracted in the above procedure: 13 should be add to the preceding rank then the small number should be subtracted from the sum and the procedure can continue	וכאשר יחסר בשום פנים מעלה, שלא תמצא די להוציא אשר ציויתיך, הוסף י"ג והוצא [מהמתחבר אשר עליך להוציא והנשאר כפלהו בג' והוצא] הי"ג י"ג והנ' הוציאהו מאשר לפניו וכן לעולם
The reason for the procedure: every number is ten times its value in the preceding rank, so for each 13 subtracted - the 3 units are subtracted from the preceding rank	הטעם כי כל מספ' הוא עשרה כערך אשר במעלה הקודמת וכאשר תסירנו ותסיר ג' שכמותו מהמעלה הקודמת שהי' לה לאחדים, הרי כל אשר הוצאת הוא עשרות וג' ואחדים על כל עשר, מספר הנה כל מספר הוא י"ג י"ג
Adding 13 to a small number will not harm the procedure for the same reason noted above regarding 11	גם התוספת אש' ציויתיך להוסיף מהי"ג לא יזיק בהוצאת הי"ג, כאשר הזכרנו בהוספת הי"א בהמצאת מורה הי"א וזה מבואר
general rules
If the numbers 2-11, 13 are not [divisors] of a given number - any [divisor] of the given number is not divisible by these numbers	והמספר אשר לא תמצא לו אחד מהמורים הנזכרים ותרצה לידע אם יש לו מורה אחר המורה הזה, אשר תבקש הוא שלא יהיה לו שום מורה מהמורים
The reason: if one of these numbers was a [divisor] of the [divisor], then this [divisor] could not have been a [divisor] of the given number, for if it were a [divisor] of the given number then its own [divisor] should have been the [divisor] of the given number also	הטעם שאם היה לו שום מורה מהם, בידוע שאינו מורה לזה החשבון, שאם הוא מורה לזה החשבון, הנה לחשבון ג"כ יש לו המורה אשר לזה המורה ואתה לא מצאתו
21 is a [divisor] → 7 and 3 are also [divisors]	המשל אם יקח כ"א, הנה אם כ"א הוא מורה לחשבון, הנה יש לחשבון מורי זה המורה, ר"ל שביעית ושלישית וכבר ידעת שאין לחשבונך אחד מהם, לכן לא יהיה לו כ"א
If 1; 2; 3; …; n-1 are not [divisors] of a given number a, and a<n2 - then n is not a [divisor] of a	גם אם מספר אשר בקשת לו כל המורים העוברים זה אחר זה ולא מצאתם, אם הוא פחות ממרובע המורה הסמוך אשר תרצה לבקש, אינך צריך לבקשו, כי איננו לו מורה אם לא מורה אחר בעולם, כי בידוע שהוא מספר פשוט
The reason: if n is a [divisor] of a and a<n2, then there is b<n, so that a=b·n, but b cannot be a [divisor] of a according to the condition that 1; 2; 3; …; n-1 are not [divisors] of a → contradiction	הטעם שאם היה לו זה המורה הפשוט הסמוך אשר אתה מבקש ואין צריך לומר אחר גדול ממנו, הנה להיות חשבונך פחות ממרובעו, הנה הפעמים אשר יהיה בו המורה ההוא יהיה מספרם פחות ממספר המורה בעצמו וגם מספר הפעמים יהיה לו למורה, כי כל דבר הנחלק למספר מה ויצא בחילוק מספר מה ולא נשאר דבר, הנה שניהם לו מורים, כי כאשר יתחלק לאשר יוצא עתה בחילוק, יצא בחלוק אשר נחלקו עליו עתה ולא ישאר דבר ואולם להיות מספר פעמים אלו פחות ממספר מורה המבוקש, הלא הם כאחד המורים הקודמים וא"כ היה לו אחד מהמורים הקודמים ואתה לא מצאתם הרי זה שקר
1; 2; 3; …; 16 are not [divisors] of a → if a is divided by 17, 17 times or more, then a≥172 = 289; and if it is divided by 17, 16 times or less, then one of the numbers smaller than 17 is a [divisor] of a → contradiction	המשל אם בקשת עד י"ז ולא מצאת ותרצה לבקש אם יש לו י"ז ומספרך שהוא פחות מרפ"ט, שהוא ממרובע י"ז, הנה בידוע שאם היה יוצא לי"ז י"ז, שהפעמים אשר בו י"ז י"ז הם פחות מי"ז, שאם היו י"ז לא או יותר, הרי חשבונך היה כמרובע י"ז, או גדול ממנו והוא קטן ואם הפעמים האלה אשר י"ז בו הם פחות מי"ז, המשל י"ו ומשם ולמטה, הנה היה לו רביעית, או אחד מהמורים הקודמים, שהרי יתחלק למספר פעמים אלו ג"כ ויצא בחילוף הי"ז וזה שקר, שהרי לא מצאת לו אחד מהעוברים
If 1; 2; 3; …; n-1 are not [divisors] of a given number a, and a≥n2	ואולם כאשר יהיה חשבונך כמרובע המורה הנמשך אשר תבקש, או גדול ממנו ותרצה לדעת אם תמצא לו זה המורה הסמוך
If there is an integer m, so that a÷n=m → then n and m are [divisors] of a	ואם יתחלק אליו לשלימים מבלי שארית הוא לו למורה צדק גם היוצא בחילוק
Otherwise - n is not a [divisor] of a	ואם לאו לאו
Repetitive division of a number by its [divisors]
Dividing a number by a known [divisor] and receiving an integer as a result	וכאשר ידעת שיש לו שום מורה, חלק המספר כולו לזה המורה ותחלק אליו לשלימים והיוצא בחילוק
The [divisor] and the result of the division are both [divisors] of the number	ואם לא תרצה לבקש יותר, הנה אלו השני מספרים, ר"ל המורה אשר חלקת עליו והיוצא בחילוק הם הם מוריו
Dividing the result of division by its [divisor] - this [divisor] must be also a [divisor] of the given number itself	אכן אם היוצא בחילוק הוא חשבון גדול ותרצה לבקש לו מורה ג"כ, עשה כדרכים הנזכרים
	ואולם דע שהמורים אשר לא מצאת לחשבון הגדול, לא תמצאם ג"כ לזה היוצא בחילוק וזה ברור ואין לך לבקש אחד מהם כי אם הדומה לאשר מצאת, או למעלה ממנו, אם מצאת לו מורה, חלקנו עליו והיוצא בחילוק יהיה מורה שלישי
Dividing the second result of division by its divisor, and so on	ואם זה ג"כ גדול ותרצה לבקש לו ג"כ מורה אחר, עשה כנזכר וחלקנו על המורה אשר ידעת אשר הוא למורה לו והיוצא בחילוק יהיה לו למורה רביעי
	ואם תרצה תוכל ל[...] לבקש עוד חמישי, או שישי, או זולתם
$\scriptstyle2447235\div50335084800$	המשל רצינו לחלק 2447235 על 50335084800
Are 3, 6, 9 [divisors] of 50335084800?	נוציא [....] המורים לזה החשבון הגדול אשר רצינו לחלק עליו ונראה ראשונה אם יש לו ג', או ששה, או ט‫'
the first digit is 0 → if 3 or 9 are [divisors] of 50335084800 then 6 is also its [divisor]	ואחר שהרושם הראשון הוא 0, ידענו שאם יש לו ג', או ט', יש לו ג"כ ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle5+0+3+3+5+0+8+4+8+0+0\\&\scriptstyle=5+3+3+5+8+\left(4+8\right)=5+3+3+5+8+12\equiv_95+3+3+5+\left(8+3\right)\\&\scriptstyle=5+3+3+5+11\equiv_95+3+3+\left(5+2\right)\\&\scriptstyle=5+3+\left(3+7\right)=5+3+10\equiv_95+\left(3+1\right)\\&\scriptstyle=5+4=9\equiv_90\\\end{align}}}$	ולדעת אם יש לו ג', או ט', נחברם כלם כאלו הם אחדים ונאמ' ח' עם ד' הם י"ב, נוציא מהם הט' ישארו [.] ג‫' ועם 8 הם י"א, נסיר הט', ישארו ב‫' ועם ה' יהיו ז' ועם הג' יהיו עשרה, נסיר ט', ישארו א‫' ועם הג' יהיו ד' ועם הה' יהיו כולם ט' ט', הרי יצא החשבון לט' ט‫'
→3, 6, 9 are [divisors] of 50335084800	וידענו שיש לו ט' וג', גם ו' לסבה שזכרנו ונקח מהם אשר תרצה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50335084800}{6}=8389180800}}$	ועל דרך משל, נקח למורה ו' ונחלקנו על ו' ויצא בחלוקם 8389180800
$\scriptstyle{\color{blue}{8+3+8+9+1+8+0+8+0+0\equiv_90}}$ the first digit is 0 →3, 6, 9 are [divisors] of 8389180800	ואחר שהיוצא בחילוק הוא חשבון גדול, נבקש לו מורה ונעשה לזה כאשר לחשבון הראשון ויצא הכל לט' ט‫' ואחר שהרושם הראשון סיפרא ויש לו ט', יש לו ג"כ ו' וכ"ש ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8389180800}{9}=932131200}}$	ונקח ט' למורה ונחלק זה החשבון לט' ויצא בחילו' 932131200
$\scriptstyle{\color{blue}{9+3+2+1+3+1+2+0+0\equiv_93}}$ the first digit is 0 →3, 6 are [divisors] of 8389180800	ונעשה לזה כאשר עשינו לקודמים וישארו ג‫' הנה יש לו ג‫' ג"כ ו' להיות הראשונה סיפרא
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{932131200}{3}=310710400}}$	ונקח למורה ג' ונחלקנו עליו ויצא בחילוקם 310710400
Since 9 is not a [divisor] of 8389180800 → 3 is not a [divisor] of 310710400	ואחר שהקודם לא היה לו ט', בידוע שלזה אין לו אפי' ג‫' הטעם לפי שזה שלישית הקודם ואם לזה היה לו שלישית הקודם ואם לזה היה לו שלישית, הנה שלישיתו, ר"ל שלישית זה שהיה שלישית הראשון, הוא לראשון שלישית שלישית, שהוא תשיעית ולא מצאנוהו
$\scriptstyle{\color{blue}{3+1+0+7+1+0+4+0+0\equiv_97}}$	וכן הוא האמת, כאשר תחברם ותוציא הט' ט' ישארו ז‫'
Are 2, 4, 8 [divisors] of 310710400?	ונעיין אם יש לו ב' וד', או ח‫'
the first digit is 0 → 2 is a [divisor] of 310710400	ואחר שהראשון סיפרא, בידוע שיש לרוב לו ב‫'
the first digit is 0; the second digit is 0; the third digit is an even number $\scriptstyle{\color{blue}{0+0+0\equiv_80}}$ → 4 and 8 are [divisors] of 310710400	ולדעת אם יש לו ד', או ח', היה לנו לקחת אשר [במעלה] הראשונה ולא מצאנו שם כי אם 0 ולא נקח דבר כי אם בשנית, היה לנו לכופלו ולא מצאנו שם כי אם 0, לא נקח דבר והשלישית אחר שהוא זוג, אין לנו לקחת בעבורה דבר ולא ממנה ולמעלה הנה יש לו ח' וד' וב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{310710400}{8}=38838800}}$	ונקח למורה אשר נחפוץ מהם, המשל ח' ונחלקנו לח' ויצא בחילוק 38838800
the first digit is 0; the second digit is 0; the third digit is an even number $\scriptstyle{\color{blue}{0+0+0\equiv_80}}$ → 4 and 8 are [divisors] of 38838800	ולזאת ג"כ יש לה שמינית ורביעית וחצי לסבה הנזכרת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{38838800}{4}=9709700}}$	ונקח א' מהם, המשל ד' וחלקנו עליו ויצא בחילוק 9709700
the first digit is 0; the second digit is 0; but the third digit is an odd number $\scriptstyle{\color{blue}{0+0+4\equiv_84}}$ → only 2 and 4 are [divisors] of 9709700	ולזאת אין לה שמינית, כי הראשונה והשנית הם 0 ולא נקח בעבורם דבר והשלישית היא ז' שהוא נפרד ונקח בעבורו ד‫' הנה שאין לו כי אם ד' וב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9709700}{2}=4854850}}$	ונקח אחד מהם, המשל ב' ונחלקנו עליו ויצא בחילוק 4854850
Since 8 is not a [divisor] of 9709700 → 4 is not a [divisor] of 4854850	מאחר שזו היא מחצית הראשונה, אין לנו רביעית, לפי שלא היה לראשונה שמינית, כי רביעית זו היא רביעית חצי הראשונה שהוא שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{0+\left(2\sdot5\right)+0=10\equiv_82}}$	וכן תמצאנו בבחינה שאין לו רביעית, כי בראשונה אין מספר וכל השניה היא עשרה והשלישית היא זוג ולא נקח דבר בעבורה, הרי שאין בידינו כי אם עשר, נסיר ח', ישארו ב', הרי שאין לו כי אם חצי
Are 5, 10 [divisors] of 4854850?	ואם לא תרצה לקחתו שנית למורה, [עיין] אם יש לו עשר, או ה‫'
the first digit is 0 → 5, 10 are [divisors] of 4854850	ואחר שהראשונה 0, בידוע שיש לו [עשר וגם] ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4854850}{5}=970970}}$	ונקח אחד מהם, המשל ה' ונחלקנו עליו ויצא בחילוק 970970
the first digit is 0 → 5, 10 are [divisors] of 970970	וגם זה, אחר שהראשונה 0, יש לה י', גם ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{970970}{10}=97097}}$	ונקח עד"מ העשרה ונחלקנו לי' ויצא בחילוק 97097
the first digit is not 0 → 5, 10 are not [divisors] of 97097	ואחר שהראשונה אינה לא ה' ולא 0, אין לו לא ה' ולא עשרה
Is 7 [divisor] of 97097?	ונראה אם יש לו שביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle9\equiv_72&\scriptstyle\longrightarrow\left(2\sdot3\right)+7=6+7=13\equiv_76\\&\scriptstyle\longrightarrow6\sdot3=18\equiv_74\\&\scriptstyle\longrightarrow4\sdot3=12\equiv_75\\&\scriptstyle\longrightarrow5+9=14\equiv_70\\&\scriptstyle\longrightarrow0+7=7\equiv_70\\\end{align}}}$ → 7 is a [divisor] of 97097	ומהט' האחרון נסיר שבעה, ישארו שנים ונכפלהו בג', יהיו ו' ונחברם לז' אשר לפניו, יהיו י"ג, נסיר הז', ישארו ו‫' נכפלהו בג', יהיו י"ח, נסיר מהם י"ד, שני שביעיות, ישארו ד‫' ואחר שבמעלה שלפני זאת אין שם חשבון כי אם 0, נכפול אלו הד' בג', יהיו י"ב, נסיר ז', ישארו חמשה נחברם לט' שלפני זאת, יהיו י"ד והם שביעיות, גם הראשונה ז', הנה יצא הכל ז' ז‫' הנה יש לו שביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{97097}{7}=13871}}$	ונקחנו למורה ונחלקנו עליו ויצא בחילוק 13871
Is 7 a [divisor] of 13871?	ונשוב לראות ונעיין אם יש לזה ג"כ ז‫'
the remainder 4 → 7 is not a [divisor] of 13871	ונמצא שישארו ד‫' הנה אין לו ז‫'
Is 11 a [divisor] of 13871?	ונראה אם יש לו י"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle3-1=2&\scriptstyle\longrightarrow8-2=6\\&\scriptstyle\longrightarrow7-6=1\\&\scriptstyle\longrightarrow1-1=0\\\end{align}}}$ → 11 is a [divisor] of 13871	ונחסר הא' האחרון מהג' שלפניו וישארו ב‫' נסירם מהח' שלפניהם, ישארו ו‫' נסירם מהז' שלפניהם, ישאר א‫' נסירם מהא' שלפניו ולא ישאר דבר, הרי יש לו י"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13871}{11}=1261}}$	ונקחנו למורה ונחלקנו עליו ויצא בחילוק 1261
Is 11 a [divisor] of 1261?	ונשוב לראות אם יש לו הי"א
the remainder 7 → 11 is not a [divisor] of 1261	ונמצא שישארו ז‫' הנה אין לו י"א
Is 13 a [divisor] of 1261?	ונעיין אם יש לו י"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(2+13\right)-\left(3\sdot1\right)=15-3=12&\scriptstyle\longrightarrow\left(3\sdot12\right)=36\equiv_{13}10\\&\scriptstyle\longrightarrow\left(6+13\right)-10=19-10=9\\&\scriptstyle\longrightarrow3\sdot9=27\equiv_{13}1\\&\scriptstyle\longrightarrow1-1=0\\\end{align}}}$ → 13 is a [divisor] of 1261	ונכפול הא' אחרון בג' ולא נוכל להסירם מהב' שלפניהם, לכן נוסיף עליהם י"ג ויהיו ט"ו, נסיר הג', ישארו י"ב ונכפלם בג' ויהיו ל"ו, נסיר כ"ו שהם י"ג י"ג, ישארו י‫' [ולא נוכל להסירם מהו' שלפניהם ונוסיף עליהם י"ג ויהיה י"ט, נסיר מהם י', ישארו] ישארו ט‫' נכפלם בג', יהיו כ"ז, נסיר כ"ו, ישאר א‫' נסירנו מהא' הראשון ולא ישאר דבר הרי יש לו י"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1261}{13}=97}}$	נקחנו למורה ונחלקנו עליו ויצא בחילוק 97
$\scriptstyle{\color{blue}{97<13^2}}$ the numbers 1-12 are not [divisors] of 97 → 13 is not a [divisor] of 97	ואחר שזה החשבון הוא פחות ממרובע י"ג, אינך צריך לעיין עוד אם יש לו [הי"ג] י"ג וכ"ש מורה גדול ממנו ולא אחד מהקודמים, אשחר שלא נמצא לראשונים, לכן נקחנו בעצמו למורה
	הנה יצאו לנו מורים לזה החשבון והחשבון הקטן אשר רצינו לחלק לזה החשבון הגדול היה 2447235 ונחלקנו לאלו המורים ונשימם זה אחר זה כרצוננו, כי זה לא יזיק, כי אין מוקדם ומאוחר במורים ותחלק כל החשבון למורה האחרון אשר לצד שמאל והנשאר שים תחתיו והיוצא בחילוק חלק לאשר לפניו וכן לעולם, עד אשר יכלה המספר ויגיע למקום שהיוצא בחילוק יהיה פחות מהמורה אשר לפניו, כי אז תשים זה היוצא תחת המורה הזה אשר לפניו וכבר כלית כל מלאכתך
	ואם יכלו המורים והמספר לא יכלה וזה יקרה כאשר היה המספר המתחלק גדול מהמספר אשר רצינו לחלק עליו, אשר הורכב מהמורים ההם, פי' שיצאו ממנו המורים ההם, אז היוצא בחילוק בחלקך למורה הראשון תשימנו מבחוץ והם שלמים וכאשר עשינו זה המעש', ר"ל כשחלקנו מספרינו למורים אלו להיות המתחלק קטן מהמספר אשר רצינו לחלק עליו, אשר הוא [מע]ל המורים, יכלה המספר והמה לא יכלו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2447235\div50335084800&\scriptstyle=\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{5}{10}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{4}{11}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{9}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{22}{97}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align}}}$	ויצא לנו כי כאשר נחלק 2447235 על 50335084800, שהיוצא בחילוק הוא ש[נ]י חמישיות חצי רביעית שמינית שלישית תשיעית שישית, פי' כי כאשר עשינו האח' השלם ו' חלקים וא' מאלו הו' ט' וא' מאלו ה[.] הט' ג' וא' מאלו הג' ח' וא' מהח' א' ד' וא מהד' ב' וא' מב' אלו חמשה, שיוצא לכל אחד מאחדי המספר הגדול אשר חלקנו עליו, שתי חלקים חלק זה מהחלקים האחרונים האלו ה[.....] ועוד יצא בחלוקנו זה ה' עשיריות חלק זה פי'[ה'][עשיריות] ה[חמיש]ית חצי רביעית שמינית שלישית תשיעית שישית ועוד שביעית עשירית חמישית חצי רביעית וכו‫' ועוד ד' חלקים מי"א מז' מי' מה' וכו‫' ועוד [ט' חלקים מי"ג מי"א מז' מי' מה' וכו‫' ועוד כ"ב] כ"ב חלקים מצ"ז מי"ג מי"א מז' מי' מה' וכו‫'
	97 13 11 7 10 5 2 4 8 3 9 6 22 9 4 1 5 2
Receiving reduced fractions from the division operation - both the dividend and the divisor are divided by a common divisor	ואם תרצה שיצאו לך חלקים נאותים יותר, תעיין לעולם כאשר תחלק המספר למורים, אם למספר הזה יש שום אחד מהמורים ההם
	המשל במספרינו וזה המתחלק שיש לו תשיעית ותשים המורה ההוא האחרון לצד שמאל ותחלק עליו ראשונה ולא ישאר דבר לשום תחתיו וגם ליוצא בחילוק נעיין אם יש לו א' מהמורים הנותרים ונשימנו לפני זה אשר חלקנו עליו ונחלק [עליו ולא ישאר [.] דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2447235\div50335084800&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align}}}$	וכן נעשה לעולם בענין שיצא לנו בחלקינו זה] זה המספר הקטן הנזכר לגדול, שהיוצא לכל א' הוא חצי חלק מי"ג מי"א מד' מג' מו' ועוד ט' חלקים מצ"ז מי' מח' מחצי וכו' הכל כמו שהוא בצורה הזאת‫:
	9 5 7 97 10 8 2 13 11 4 3 6   9     1
Both division procedures are correct - the division that is based on the divisors of the given number and ends with reduced fractions is more proper and therefore is called perfect beauty	ואלו שני המעשים הכל אחד, אלא שבמעשה השני חלקים יותר נאותים ולחלוקה על המורים עליו השגחה זו נקרא לו כלילת יופי, לפי שהוא לעשות מהפרטים כללים יפים ונאותים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2447235}{9}=271915}}$	וכ[די להרחיב הענין ו]לבארו בפי' אמשול משל לחלוקנו זה והוא כי המספר המתחלק יש לו תשיעית, לכן שמנו הט' האחרון וחלקנוהו עליו ולא נשאר דבר, על כן לא שמנו תחתיו דבר ויצא לנו בחלוק 271915
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{271915}{5}=54383}}$	ויש לזה היוצא בחילוק חמישית, לכן שמנו הה' לפני הט' וחלקנו עליו ולא נשאר דבר ויצא [לזה] היוצא בחלוק 54383
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54383}{7}=7769}}$	ויש לו שביעית, לכן שמנו מיד ל[פני] המורים הנזכרים הז' וחלקנוהו עליו ולא נשאר דבר ויצא בחילוק [7769]
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7769}{97}=80+\frac{9}{97}}}$	ואין לו שום אחד מהמורים הנותרים, לכן נשים אשר נרצה ושמנו היותר גדול והוא הצ"ז וחלקנו עליו ונשאר ט' ושמנוהו תחתיו ויצא בחילוק 80
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{80+\frac{9}{97}}{10}=8+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	ויש לו עשירית לכן שמנו מיד ה10 וחלקנום עליו ולא נשאר דבר ויצא בחלוק ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\right)}{8}=1+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	ויש לו שמינית, לכן שמנו מיד הח' וחלקנום עליו ולא נשאר דבר ויצא בחלוק
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{8}\right)}{2\sdot13\sdot11\sdot4\sdot3\sdot6}&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align}}}$	ואחר שהוא פחות משום אחד מהמורים הנותרים, אין לנו עוד לחלק, אבל נשימהו תחת המורה אשר נשים מיד לפני המושמים הנזכרים ושמנו הב' ושמנו תחתיו זה הא' אשר יצא באחרונה בחלוק ואחר שמנו המורים הנותרים כאשר הזדמן
The general rule: dividing the dividend by the divisors of the given divisor [= the number by which the dividend should be divided]	הכלל העולה מהדברים הוא שכאשר נרצה לחלק שום מספר גדול, או קטן, על מספר אחר גדול ממנו, או קטן ממנו, שנוציא מורה המספר אשר רצינו לחלק עליו ונשים אותם כפי המזדמן זה אחר זה, או אם ירצה ישגיח בהנחתם, יען יצאו החלקים יותר נאותים כאשר ביארנו ונחלק המספר המתחלק על המורה האחרון אשר לצד שמאל והנשאר נשים תחתיו והיוצא נחלק לאשר לפניו וכן לעולם
The dividend is smaller than the divisor	ואם היה המתחלק קטן מאשר חלקנו עליו, יכלה המספר והמה לא יכלו
	וכאשר יכלה, יהיה היוצא בחילוק פחות מהמורה אשר לפני המורים אשר חלקנו כבר עליהם, לכן אין לנו לחלק זה היוצא המעט על זה המורה הרב ממנו, אבל שימהו תחתיו
The dividend is larger than the divisor	ואם היה המספר המתחלק גדול מאשר רצינו לחלק עליו, יכלו המורים והמספר לא יכלה והיוצא מן החלוק האחרון [....] נשימהו חוץ לצורה והם השלמים אשר יצאו בחלוק ואשר בתוך הצורה תחת המורים הם השברים ושברי שברים, אשר יצאו בחלוק מוסף על השלימים הנזכרים
$\scriptstyle3123740520\div216$	וכדי להרחיב הענין אעשה משל אחר, המשל רצינו לחלק 3123740520 על 216
$\scriptstyle{\color{blue}{216=3\sdot8\sdot9}}$	והנה מורה זה המספר הקטן, אשר רצינו לחלק עליו, הם אלו | 3 | 8 | 9
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3123740520}{9}=347082280}}$	וחלקנו מספרינו זה הגדול על הט' ולא נשאר דבר ויצא בחילוק 347082280
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{347082280}{8}=43385285}}$	וחלקנום [על הח'] ולא נשאר דבר ויצא בחילוק 43385285
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{43385285}{3}=14461761+\frac{2}{3}}}$	[וחלקנום על הג' ויצא לנו בחלוק הזה האחרון 14461761 והם] והם השלמים ונשארו ב' ושמנום תחת הג' והם השברים היוצאים בחילוק, הנוספים על השלמים
	ואם גם עתה בזה החילוק האחרון לא היה נשאר דבר, לא היינו שמים תחתיו דבר וכיון שלא נמצא דבר תחת המורים, לא היו יוצאים בחילוק שברים כלל, כי אם השלמים לבד וזה יקרה כאשר החשבון אשר חלקנו עליו יהיה ראוי להיות מורה לחשבון המתחלה
$\scriptstyle{\color{blue}{3123740520\div216=14461761+\frac{2}{3}}}$	ואולם במשלנו זה אח' אשר נשארו בחלוק האחרון ב', יש לו ג"כ שברים ושמנום תחת הג' ויצא לנו כי כאשר חלקנו 3123740520 על 216 שיות עד שיגיע לכל אחד מהם 14461761 שלמים וב' שלישיות, כאשר בא בזאת הצורה
	9 8 3     2 14461761
Checking the extraction the divisors: multiplying them one by one	ואם רצית לבחון הוצאת המורים ההיתה כתקנה, כפול הראשון בשני והעולה בשלישי והעולה ברביעי וכן לכלם עד כלותם ואם יצא לך מזה החשבון המספר הראשון בלי תוספת ומגרעת, תדע שיצאו כתקנם ואם לאו לאו
$\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot8\sdot3=72\sdot3=216}}$	המשל בצורה הנזכרת: אם רצינו לידע אם המורי' יצאו על היושר, נכפול ט' בח', יהיו ע"ב, נכפלים בג', יעלו 216 והנה כלו המורים ויצא החשבון בעל המורים בעינו
Checking the division by the divisors: multiplying the result by the divisors	ואם תרצה לידע אם חלקת המספר על המורים על היוש‫'
There are integers in the final result	אם יש שם שלמים כפול השלמים במורה הא' ההוא וכל המקובץ כפלהו במורה השני והוסף על העולה אשר תמצא תחתיו וכפול הכל על המורה [..] השלישי והוסף עליו אשר תמצא תחתיו וכן תעשה לעולם עד כלותם ואם ככלות המורים יצא לנו המספר המתחלק, הלא מעשיך אמת ויציב ואם לאו לאו
There are no integers in the final result	ואם אין שם שלמים, קח אשר תמצא ראשונה תחת המורה הקודם אשר תמצא תחתיו דבר וכפלהו במורה הסמוך לו לצד שמאל וחבר הנמצא תחתיו עם העולה וכפול הכל על המורה הנמשך הנמשך והוסף אשר תחתיו וכן לעולם עד כלותם ואם אז יצא החשבון המתחלק בעינו, הנה [נכון] ואם לאו לאו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(14461761+\frac{2}{3}\right)\sdot3\sdot8\sdot9&\scriptstyle=\left[\left(14461761\sdot3\right)+2\right]\sdot8\sdot9\\&\scriptstyle=\left(43385283+2\right)\sdot8\sdot9\\&\scriptstyle=43385285\sdot8\sdot9\\&\scriptstyle=347082280\sdot9=3123740520\\\end{align}}}$	ונכפול השלמים בג' שהוא המורה הראשון ויעלה 43385283 נחבר לזה הב' אשר תחת המורה הזה ויעלה הכל 43385285 נכפלם על הח' שהוא המורה השני ויעלה 347082280 ואחר שלא נמצא תחת זה המורה דבר, לא נוסיף עליהם דבר ונשוב ונכפלם בט' שהוא המורה השלישי ויצא לנו החשבון המתחלק בעינו שהוא 3123740520
$\scriptstyle2447235\div50335084800$	עוד אמשול זה בדרך קצרה בצורה הקודמת לזאת, אשר אין שם שלמים ביוצא בחילוק כי אם שברים לבד‫:
	המשל בתמונה זו
	9 5 7 97 10 8 2 13 11 4 3 6   9   1
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{9}{97}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot50335084800\\&\scriptstyle=\left[\left(1\sdot8\sdot10\sdot97\right)+9\right]\sdot7\sdot5\sdot9\\&\scriptstyle=\left[\left(8\sdot10\sdot97\right)+9\right]\sdot7\sdot5\sdot9\\&\scriptstyle=\left[\left(80\sdot97\right)+9\right]\sdot7\sdot5\sdot9\\&\scriptstyle=\left(7760+9\right)\sdot7\sdot5\sdot9\\&\scriptstyle=7769\sdot7\sdot5\sdot9\\&\scriptstyle=54383\sdot5\sdot9\\&\scriptstyle=271915\sdot9=2447235\\\end{align}}}$	ונקח הראשון אשר תחת הב' שהוא המורה הראשון אשר נמצא תחתיו דבר ונכפלהו בח' שהוא המורה הסמוך ויעלה ח' ואחר שאין תחתיו דבר, לא נוסיף עליהם דבר ונכפלם בי' שהוא המורה הסמוך ויעלה פ' ואחר שלא נמצא תחתיו דבר, נשוב ונכפלם בלי תוספת על הצד שהוא המורה הסמוך ויעלה 7760, נחבר אליהם הט' אשר תמצא תחתיו ויעלה 7769 ונכפלם בז' ויעלה 54383 ונשוב ונכפלם בה' ויעלה 271915 ונכפלם בט' שהוא המורה האחרון ויצא לנו החשבון המתחלק בעינו והוא 2447235 והנה [נכון הנה אמת]
The reason for dividing the dividend by the divisors of the divisor: since the divisor by which the dividend should be divided is a product of all its divisors	[וטעם הוצאת המורים וחלקנו עליהם המספר כנזכר הוא כי אחר שהמספר] עליהם המספר כנזכר הוא כי אחר שהמספר אשר רצינו לחלק עליו הוא מורכב מאלו המורים כמוהו כמוהם
$\scriptstyle1\div100$	ר"ל כי מי שיחלק א' על מאה עד"מ, הנה יגיע ממנו לכל א' מהמאה חלק עליו ממאה שבו, פי' שנעשה הא' השלם אשר רצינו לחלק [מאה חלקים שוים ויגיע לכל א' מהמאה אשר רצינו לחלק עליהם] עליהם הא' הראשון חלק א' מהם
$\scriptstyle{\color{blue}{1\div100=\frac{1}{20}\sdot\frac{1}{5}}}$	ואחר שחשבון הק' אשר רצינו לחלק [עליהם] הא' חלק א' מהם ואחר שחשבון יש לו חמישית וחמישיתו הוא כ', נמצא שכל א' מהמאה הוא חלק א' מכ' מחמישית שבמאה וכאשר נעשה א' שלם ק' אקלימים חלקים, הנה כל אחד מהם הוא חלק אחד מק' שבשלם שבשלם וגם הוא חלק א' מעשרים מחמישית השלם, הרי שאמרנו חלק א' מק' שבשלם כאומרנו חלק אחד מכ' מחמישית שבשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{1\div20=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}}}$	ולסבה זו בעינה יהיה אומרנו רביעית חמישית כאומרנו חלק א' מכ', לפי שעשרים יש לו חמישית וחמישיתו ד', נמצא שעשרים מורכב מה' וד' ושהאחד הוא חמישית רביעית, או רביעית חמישית, כי הכל א', הרי לנו ש שאמרנו רביעית חמישית כאומרנו חלק א' מכ' שבשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{1\div100=\frac{1}{20}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	[ואולם אמרנו חלק אחד מכ' מה' שבשלם הוא כאמרנו חלק א' מק' שבשלם כאשר] כאשר ביארנו, הנה יצא לנו שאומרנו רביעית חמישית חמישית הוא כאומרנו חלק א' מק' שבשלם
	ובדמיון זה בכל חשבון מורכב ממורים כמה שיהיו
$\scriptstyle{\color{blue}{1\div100=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	ואם כאשר חלקנו א' שלם לק', הגיע לכל א' מהם חלק אחד מק' שבשלם, שהוא רביעית חמישית החמישית
$\scriptstyle2\div100$	ואם חלקנו על ק' ב' שלמים
$\scriptstyle{\color{blue}{2\div100=\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	יגיע לכל א' ב' רביעיות חמישיות חמישית
$\scriptstyle3\div100$ $\scriptstyle{\color{blue}{3\div100=\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	ואם ג' ג‫'
$\scriptstyle n\div100$ $\scriptstyle{\color{blue}{n\div100=\frac{n}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	הרי [הרי] כי מספר השלמים אשר נחלק אל ק' מספר הרביעיות חמישיות חמישית שיגיעו לכל אחד מהם וזה ברור
$\scriptstyle70\div100$	ולזה אם רצינו לחלק ע' על ק‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{70\div100=\frac{70}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	ידענו שיגיע לכל אחד מהם ע' רביעיות חמישיות חמישית והרי הוא כאלו שמנו המורים כזה הסדר, ושמנו הע' רביעיות תחת המורה האחרון‫:
	4 5 5 70
$\scriptstyle{\color{blue}{70\div100=\frac{70}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}=\left(\frac{17}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ואחר שיש בידיך 70 רביעיות חמשיות חמשית, אם בקשנו לדעת כמה חמשיות חמישית הם, הרי הוא כאלו היו בידינו ע' רביעיות ורצינו לדעת כמה שלמים הם וזה יודע בחלקנו אותם לד', לפי שכל ד' רביעיות הם א' שלם וכן כל ד' רביעיות חמישית [חמישית חמישית הם חמישית חמישית שלם, לכן נחלק אלו הע' רביעיות חמישית] חמישית והנשאר יהיה מהמין הראשון, ר"ל רביעיות חמישיות חמישית ולזה ראוי לנו לשים היוצא בחלוק, שהוא י"ז, תחת הה' אשר הוא המורה אשר לפניו והנשאר שהוא תחת הד' שהוא המורה אשר לפניו והנשאר, שהוא ב', תחת הד' שהוא המורה האחרון אשר חלקנו עליו כזה‫: 4 5 5 2 17   הנה ידענו כי כאשר חלקנו ע' על ק', שהגיע לכל אחד מהם י"ז חמישיות חמישית וב' רביעיות חמשית חמישית
$\scriptstyle{\color{blue}{70\div100=\frac{70}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}=\left(\frac{17}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ואחר שיש בידינו י"ז חמישיות חמישית, ידענו שהם שלשה חמישיות שלמות ויותר, לפי שכל חמש חמשיות חמישית הם חמישית אחד, כמו שחמש חמשיות שלם הן שלם וראוי לנו לידע כמה חמישיות שלמות הן, לכן נחלקם על הה' ויצא לנו בחלוק ג', שהוא ג' חמישיות שלימות, לכן נשימם תחת הה' הראשון והב' השני והנשארים הם ממין במינם כבתחלה, ר"ל חמישיות חמישית, לכן שמנום תחת הה' השני כזה‫: 4 5 5 2 2 3
	ואם אלו הג' אשר תחת המורה הראשון היה כמותו, או גדול ממנו, ר"ל שהיה ה' או יותר, היה העולה לשלם, או לשלימים, כי כל חמש חמשיות הן שלם אחד והיה ראוי לנו לחלק אותן על ה' והיוצא בחילוק היו שלימים והנשאר היה חמישיות כאשר בתחלה
	אכן אחר שהוא קטן מהמורה, ר"ל שהוא פחות מה' שהוא המורה שהוא המורה הראשון, אין כאן שלם כלל ואין לנו לעשות שום חלוק, אבל כבר השגנו מבוקשנו והוא כי כאשר חלקנו ע' על ק', שהגיע לכל אחד מהם ג' חמישיות וב' חמישיות חמישית וב' רביעיות חמישית חמישית
	הכלל העולה מאלו מהדברים שהמחלק ע' על ק' יגיע לכל אחד ע' חלקים מק' חלקים בשלם
Checking the extraction of the divisors $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot5\sdot4=25\sdot4=100}}$	ואחר שמאה הוא מורכב מאלו השלשה מספרים, ר"ל מה' וה' וד' וזה כי כאשר כפלנו הא' בחבירו והעולה בנשאר, עולה ק', פי' כי כפל ה' בה' הוא כ"ה וכאשר כפלנום בד', יעלו ק' וזאת היא בחינת הוצאת המורים אשר הזכרנו למעלה, כי בכפול זה בזה והעולה באחר וכן לעולם עד כלותם ויצא לנו החשבון הראשון, ידענו שהחשבון ההוא מורכב מאלו ה[ב'] מספרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{100}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}}}$	ואחר היות הק' מורכב מה' הד', כך הוא אומרנו חלק מק' שבשלם כאומרנו רביעית חמישית חמישית רביעית חמישית, או כאומרנו חמישית חמישית רביעית, כי הכל אחד
The arrangement of the fractions of the division result can be changed - in order to receive proper reduced fractions	ומטעם אחר על זה אמרנו שבידינו לסדר המורים זה אחר זה כפי המזדמן, אם בהשגחה, כדי שיצאו השברים היותר שלמים שיוכל והיותר נאותים
$\scriptstyle{\color{blue}{70\div100=\frac{70}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}=\frac{70}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{70}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}}}$	וזה כי כאשר אמרנו שהמחלק ע' על המאה יגיע לכל אחד ע' רביעיות חמישית חמישית, היינו יכולים לומר ע' חמשיות רביעית חמישית, או ע' חמישיות חמישית רביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{70\div100=\frac{70}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{14}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ואחר שבידינו לסדרם כחפצנו, ראוי לסדרם ולהשגיח בסדורו וזה כי כאשר רצינו לחלק אלו הע' לאלו המורים, אחר שהעין יש לו חמישית שהוא א' מאלו המורים, ראוי לנו לחלקם ראשונה על הה' ונשימנו אחרון, כדי שלא ישאר דבר לשים תחתנו ויצא בחילוק י"ד ואם היה להם רביעית, היה ראוי לחלקם על ד' ולשומו לפני האחרון ואם היה לו ה' לה‫' אכן שאין לו אחד מהם, נסדר אלו השני המורים הנשארים כפי המזדמן וע'ד'מ' נחלק אלו היד לד' ונשימהו לפני האחרון ויצא בחילוק ג' ואחר שהוא פחות מהה' שהוא המורה האח', נשימהו תחתיו והב' הנשארים נשימם תחת הד' שהוא המורה השני [אשר] נחלקנו עליו כזה‫:
	5 4 5   2 3
$\scriptstyle{\color{blue}{70\div100=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	והנה יצאו לנו חלקים יותר נאותים, כי יותר נאות הוא לומר ג' חמישיות [ושני רביעיות חמישית], שהן חצי חמישית, כאשר בא בצורה הזאת, מאומרנו ג' חמישיות ושני חמישיות חמישית וב' רביעיות חמישית חמישית
Check: converting the fractions	וידוע הוא כי בחינת זה הוא להשיבם כלם מהמין הראשון, ר"ל חמישיות רביעית חמישית, כפי צורה זו האחרונה, או רביעית חמישית חמישית, כפי הצורה הקודמת וזה יקרא פריטה כאשר יתבאר בחלק השני
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(3\sdot4\right)+2}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{12+2}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{14}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{14\sdot5}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{70}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=70\div100\\\end{align}}}$	ואחר שיש לו חמישיות שלמות, גם רביעיות חמישית, נשיבם כלם ראשונה רביעיות חמישית וידוע כי כל חמישית שלמה היא ד' רביעיותיה, פי' ד' רביעית חמישית, כמו שכל שלם ד' רביעיות שלם, הרי לנו כי כל אחד מאלו הג' חמישיות שלימות היא ד' רביעיות חמישית ולדעת כמה הם נכפול ג', שהוא מספר החמישיות, בד' שהוא המורה הבא אחריו ויעלה י"ב, הרי לנו שהג' חמישיות הם י"ב רביעיות חמישית ומצאנו תחתיו שנים שהם מזה המין, פי' שהם רביעיות חמישיות, נחברם אליהם ויהיו י"ד רביעיות חמישית וכאש' נרצה לדעת כמה חמישיות רביעית חמישית הם, נכפלם בה' שהוא המורה הבא אחריהם ויעלו כלם ע‫' ואם תחת זה המורה היה נמצא דבר, זה היה ג"כ חמישיות רביעית חמישית והיינו מחברים אותם אליהם אכן אחר שלא נמצא תחתיו דבר וכבר כלו המורים, כבר כלינו מעשינו ואחר שעלה לחשבוננו הראשון, פי' לעין [ע'], שהוא החשבון הקטן אשר רצינו לחלק על הק' שהוא בעל אלו המורים מבלי תוספת ומגרעת, ידענו כי כל מעשינו בצדק ובמשפט
Division of a large number by a smaller number, with a result of integers and fractions	הרי לנו מבוארים טעמי' כל הנזכר, גם המעשה, גם הבחינות וביאור הכל בכלל ובפרט
	וכדי להתלמד, אביא משל אחר, שיהיה המתחלק על אלו הק' גדול מהם, כדי שיצאו שם שברים גם שלמים‫:
$\scriptstyle140\div100$	המשל רצינו לחלק ק"מ על ק‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{140\div5=28}}$	ואחר שאלו הק"מ, שהם החשבון אש' רצינו לחלק, יש לה כל אלו המורים, נשים אשר נחפוץ אחרון ונחלקנו עליו, המשל על הה' ויצא ושבא בחילוק כ"ח ולא נשאר דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{28\div4=7}}$	ואחר שיש להם רביעית, נחלקם על הד' ונשימנו לפני האחרון ויצא בחילוק ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{7\div5=1+\frac{2}{5}}}$	ואחר שהם כמורה הנשאר וגדול ממנו, נחלקם עליו ויצא בחילוק א', שהוא א' שלם, כי כבר שלמו המורים ונשימנו מחוץ והב' הנשארים נשימם תחתיו כזה‫:
	5 4 5     2
$\scriptstyle{\color{blue}{140\div100=\frac{140}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{28}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{7}{5}=1+\frac{2}{5}}}$	הרי לנו כי כאשר חלקנו ק"מ על ק', שעולה לכל 1 ואחד מהמאה ק"מ חלקים ממאה שבשלם, שהם ק"מ חמישיות רביעית חמישית, שהם כ"ח רביעיות חמישיות, שהם ז' חמישיות שלמות, שהם א' שלם וב' חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{140\div100=\left(2\sdot70\right)\div100}}$	וכמו שזה החשבון המתחלק הזה כפל החשבון המתחלק ראשונה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}=2\sdot\left[\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=2\sdot\left[\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]}}$	כן היוצא בחילוק, שהוא א' שלם וב' חמישיות, שהם ז' חמישיות, הוא כפל היוצא בחילוק ראשונה, שהיה ג' חמישיות וב' רביעיות חמישית פי' ג' חמישיות וב' רביעיות חמישית פי' שלשה חמישיות וחצי חמישית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+\frac{2}{5}&\scriptstyle=\frac{\left(1\sdot5\right)+2}{5}=\frac{7}{5}\\&\scriptstyle=\frac{7\sdot4}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{28}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{28\sdot5}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{140}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=140\div100\\\end{align}}}$	הנה כל המעשה ברור ומבורר, גם הבחינה והיא להשיב הכל לקדמותו וזה כי האחד נשיבהו חמשיות שלמות וזה בכופלנו אותו בה', שהוא המורה על החמישיות, ויהיו ה' ונחבר אליהם הב' הנמצא תחתיו שהם ג"כ חמישיות שלימות וזה בכפלנו אותו בה' שהוא המורה על החמישיות ויהיו ה' ונחבר אליהם הב' הנמצא תחתיו, שהם ג"כ חמשיות שלמות, [יהיו כלם ז' חמישיות שלמות] וכאשר נרצה להשיבם רביעיות חמישית, נכפלם בד' ויהיו כ"ח רביעיות חמישית ואחר שלא נמצא תחתיו דבר, לא נחבר אליהם דבר עוד נשיבם חמישיות רביעית חמישית וזה בכפלנו אותו בה' ויעלה ק"מ חמישיות רביעית חמישית והנה כלו המורים ואין תחתיו דבר לחבר על העולה
	ויצא לנו כחשבוננו הראשון שוה בשוה וב[דרך זה] תעשה כפל המספרי' הנשארים, הן למעשה, הן לבחינה

Chapter Five: Proportions	הפרק הה‫'
Rule of Four
For the ratio that a known number has to [a known number], if you want to know for another known number, to which number it has this same ratio: $\scriptstyle{\color{red}{a_1:a_2=a_3:a_4}}$	אם תרצה לדעת הערך שיש למספר ידוע למספר ידוע אחר אצל איזה מספר יש לו אותו הערך בעצמו
For example, the ratio of 5, which number has the same ratio? $\scriptstyle{\color{red}{5:b=c:d}}$	המשל הערך לה' אצל איזה מספר יש לו אותו הערך בעצמו
Example: For the ratio that 5 is to 7, 10 is in the same ratio to which number? $\scriptstyle{\color{blue}{5:7=10:x}}$	המשל הערך שיש לה' אצל ז' אצל מי יש לי' זה הערך
Or, which number has the same ratio to 14? $\scriptstyle{\color{blue}{5:7=x:14}}$	או אצל י"ד למי שיש לו זה הערך
To understand it briefly I will give them an order:	וכדי להבינו בקוצר אשים להם סדר
When we say: the ratio that 5 is to 7 - the 5 is called "first" [$\scriptstyle{\color{red}{a_1}}$] and the 7 [is called] "second" [$\scriptstyle{\color{red}{a_2}}$], since the 5 is related to 7.	והוא כי כאשר נאמ' הערך שיש לה' אצל ז' נקרא הה' ראשון והז' שני לפי שהה' הוא הנערך אצל ז‫'
If you say: to which number does 10 has this ratio? What we relate to it is missing, which is the second of the others. $\scriptstyle{\color{blue}{5:7=10:x}}$	והנה אם תאמר אצל מי יש ערך זה לי' יחסר אשר אליו אנו מעריכים שהוא השני מהאחרים
If we say: which number has this ratio to 14? the related is missing, which is the first of the others. $\scriptstyle{\color{blue}{5:7=x:14}}$	ואם נאמר למי יש זה הערך אצל י"ד יחסר הנערך שהוא הראשון מהאחרים
This is the rule: the related of those that are first and of those that are last is called first, and that to which it is related, is called second.	זה הכלל כי לנערך הן מן הראשונים הן מן האחרונים נקרא ראשון ולאשר מעריך אצלו נקרא שני
When you wish to know the unknown:	וכאשר תרצה לדעת הנעלם
If you have the first of the two that are last, but the second of those that are last is unknown: we multiply the first [of those that are last] by the second of the first two that are known, then divide by that which remains of the three that are known, i.e. by the first of those that are first; the result of division is the unknown. $\scriptstyle{\color{red}{a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}}}$	אם יש בידך הראשון מן השנים האחרונים ונעלם השני שבאחרונים נכפול אותו הראשון [בשני] מן השנים הראשונים הידועים וחלקנו לנשאר מהג' הידועים ר"ל לראשון שבראשונים והיוצא בחילוק הוא הנעלם
If you have the second of those that are last, but the first is unknown: multiply the second [of those that are last], which is known, by the first of those that are first, then divide the product by the second of those that are first; and the result of division is the required unknown. $\scriptstyle{\color{red}{a_3=\frac{a_4\sdot a_1}{a_2}}}$	ואם היה בידך השני שבאחרונים ונעלם הראשון כפול אותו השני הידוע בראשון שבראשונים והעולה חלקהו לשני שבראשונים והיוצא בחילוק הוא הנעלם המבוקש
	וכאשר תחלק העולה על השני שבראשונים או על הראשון אם תרצה תוציא המורים אם זה הראשון או השני אשר תחלק עליו הוא חשבון גדול והיוצא בין שלמים ושברים הוא המבוקש הנעלם
This is the rule: always multiply the first of these by the second of the others and divide the product by what remains of those that are known; the result of division is the unknown.	זה הכלל לעולם תכפול הראשון מאלו בשני מאלו והעולה תחלק על הנשאר מהידועים והיוצא בחילוק הוא הנעלם
Example: if we say: the ratio of 3 to 7 - 5 has this ratio to whom? $\scriptstyle{\color{blue}{3:7=5:x}}$	המשל אם אמרנו הערך שיש לג' אצל הז' לה' אצל מי יש לו זה הערך בעצמו
	ונשימם לו על זה כזה
	7 3   5
We know the related of those that are last, which is called first, it is 5. We multiply it by the second of those that are first, which is 7; the result is 35. We divide it by what remains of those that are known, which is 3; the result of division is 11 integers and 2-thirds and this is the required unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5\sdot7}{3}=\frac{35}{3}=11+\frac{2}{3}}}$	הנה ידענו הנערך שבאחרונים והוא הנקרא ראשון והוא הה' ונכפלנו בשני שבראשונים והוא הז' ויעלו ל"ה ונחלקנו לנשאר מהידועים והוא הג' ויצא בחילוק י"א שלמים [וב' שלישיות וזהו הנעלם המבוקש
Meaning: the ratio that 3 is to 7 is that same ratio that 5 is to 11 and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{3:7=5:\left(11+\frac{2}{3}\right)}}$	פי' כי הערך אשר לג' אצל הז' הוא הערך בעצמו אשר לה' אצל י"א וב' שלישיות] וב' שלישיות
It is clear that as 7 is twice 3 plus its third, which is 1, so is 11 and 2-thirds twice 5 plus its third, which is 1 and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{7=3\sdot\left(2+\frac{1}{3}\right)=\left(2\sdot3\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)=\left(2\sdot3\right)+1}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{11+\frac{2}{3}=5\sdot\left(2+\frac{1}{3}\right)=\left(2\sdot5\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot5\right)=\left(2\sdot5\right)+\left(1+\frac{2}{3}\right)}}$	וזה ברור שכמו שז' הוא כפל ג' ועוד שלישיתם שהוא א‫' כן י"א וב' שלישיות הוא כפל ה' ועוד שלישיתו שהוא א' וב' שלישיות
$\scriptstyle3:7=x:\left(11+\frac{2}{3}\right)$	ואם אמרו הערך אשר לג' אצל ז' אצל י"א וב' שלישיות למי יש לו זה הערך
	נשימם בצורה הזאת
	7 3 3     2 11
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(11+\frac{2}{3}\right)\sdot3}{7}=\frac{35}{7}=5}}$	הנה הנעלם הוא הנערך שהוא הראשון שבאחרונים והידוע שבהם הי"א וב' שלישיות והוא השני שבהם לכן נכפלנו בראשון שבראשונים שהוא הג' ויעלה ל"ה ונחלקם לנשאר מהידועי' והוא הז' ויצא בחלוקה
Written calculation	זה הכלל נקרא להם שם ונסדרם מין תחת מינו ונכפלם מין בשאינו מינו שהם האלכסונים ונחלקנו למינו היוצא בחילוק הוא הנעלם המבוקש
	ואם הם בעצמם היה להם שינוי בשמות אשר בהם נודע איזה מינו או שאינו מינו לא נצטרך לקרוא להם שם חדש
Exchange Problem - Currencies: If 3 golden dinar are worth 50 silver dinar, how many silver dinar will 11 golden dinar be worth? $\scriptstyle3:50=11:x$	המשל אם ג' דינרי זהב שוים נ' דינרי כסף י"א דינרי זהב כמה דינרי כסף שוים
	נסדרם מין תחת מינו הזהב תחת הזהב כזה
	50 3   11
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{11\sdot50}{3}=\frac{550}{3}=183+\frac{1}{3}}}$	ונכפול למין בשאינו מינו שהם הזהב והכסף והם הי"א בנ' שהם האלכסונים ויעלה 550 ונחלקם על מינו פי' על ג' של זהב ויצא בחילוק 183 ושליש שהם הדינרי כסף הנעלמים
$\scriptstyle{\color{blue}{3:50=11:\left(183+\frac{1}{3}\right)}}$	הרי לנו שאם שלשה דינרי זהב שוים נ' של כסף י"א דינרי זהב שוים 183 דינרי כסף ועוד שליש דינר כזה
	550 3 3 ו 183 11 1
Exchange Problem - Currencies: If 3 golden dinar are worth 50 silver dinar, how many [golden dinar] will 183⅓ silver dinar be worth? $\scriptstyle3:50=x:\left(183+\frac{1}{3}\right)$	ואם השאלה היתה להפך שנעלם לנו הזהב כאומרנו ואם ג' דינרי זהב שוים נ' של כסף 183 דינרי כסף ושליש דינר כמה שוים
	נשימם מין על מינו כזה
	3 50 3 1 183 11
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(183+\frac{1}{3}\right)\sdot3}{50}=\frac{550}{50}=11}}$	ונכפול מין בשאינו מינו פי' הכסף בזהב שהם האלכסונים ויעלו 550 ונחלקם על מינו שהוא הכסף הנשאר והוא הנ' ויצא בחילוק י"א והם דינרי זהב הנעלמים והכל עולה לענין אחד
The reason for the solution of the first example: $\scriptstyle3:7=5:x$	הטעם כי כאשר אמרנו הערך שיש לג' אצל ז' לה' אצל מי שיש לו זה הערך
$\scriptstyle{\color{blue}{3:7=\left(\frac{1}{3}\sdot3\right):\left(\frac{1}{3}\sdot7\right)=1:\left(\frac{1}{3}\sdot7\right)=1:\frac{7}{3}=5:\left(\frac{7}{3}\sdot5\right)=5:\frac{5\sdot7}{3}}}$	הנה ידענו שהערך שיש לג' אצל ז' יש לאחד שהוא שליש הג' אצל שליש [הז' פי' שאם הג' על דרך משל שליש הז' הנה האחד הוא שליש שלישית הז' וזה ברור ואחר שידענו שערך א' אצל שליש ז' הוא] ז' הוא כערך ג' אצל ז' שהוא הערך הנשאל ושליש ז' הוא ז' שלישיות הנה ידענו שזה הערך בעצמו יש לה' אצל ה' פעמים ז' שלישיות ולדעת כמה שלישיות הם יש לנו לכפול ה' בז' והעולה הם שלישיות ולדעת כמה שלמים הם חלקנום על הג‫'
The reason for the solution of the second example: $\scriptstyle3:7=x:\left(11+\frac{2}{3}\right)$	וכן בדמיון השני כי אחר שידענו ערך ג' אצל ז' ורצינו לידע למי יש לו זה הערך בעצמו אצל י"א וב' שלישיות הרי הוא כאלו ידענו ערך ז' אצל ג' ונרצה לידע לי"א וב' שלישיות אצל מי יש לו זה הערך והנה הטעם ברור שהרי שב כדמיון הראשון בעינו אכן כדי להרחיב ביאור אבארנו בעודו בעינו
$\scriptstyle{\color{blue}{3:7=\left(\frac{1}{3}\sdot3\right):\left(\frac{1}{3}\sdot7\right)=1:\frac{7}{3}\longrightarrow\left(11+\frac{2}{3}\right):\frac{7}{3}=\frac{\left(11+\frac{2}{3}\right)\sdot3}{7}=\frac{35}{7}=5}}$	ואומר כי אחר שידענו שהערך שיש לג' אצל ז' הוא הערך בעצמו שיש לאחד, שהוא שליש הג', אצל ז' שלישיות, שהם שליש הז' כאשר ביארנו, א"כ לכל שבעה שלישיות אשר בי"א וב' שלישיות הנערך אליהם הוא א' וכמספר כמה ז' שלישיות יש בהם, כך הוא המספר אחדי הנערך אליהם הנעלם ולדעת כמה שלמים ז' שלישיות יש בי"א וב' שלישיות, נדע תחלה כמה שלישיות הוא וזה יודע בכפלהו אותם בג', לכן כפלנום בג' ועלה ל"ה, הנה ידענו שיש בהם [ל"ה] שלישיות ולדעת כמה פעמים יש בהם ז' שלישיות, חלקנום על ז' ויצא לנו ה' והוא המספר הפעמים אשר יש ז' שלישיות בי"א וב' שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{3:7=1:\frac{7}{3}=5:\left(\frac{7}{3}\sdot5\right)=5:\left(11+\frac{2}{3}\right)}}$	וכבר ידענו שהנערך אצל כל ז' שלישיות הוא א' שלם, א"כ הנערך אצל ה' פעמים ז' שלישיות הוא ה' שלמים ואולם ידענו שהי"א וב' שלישיות הוא ה' פעמים ז' שלישיות, א"כ הנערך אליהם הוא ה' שלמים
The reasons for the solutions of the exchange problems:	ועוד במשלי הדינרים
The first problem: $\scriptstyle3:50=11:x$	כי כאשר ידענו שג' דינרי זהב שוים נ' של כסף
$\scriptstyle{\color{blue}{3:50=1:\left(\frac{1}{3}\sdot50\right)=1:\frac{50}{3}=11:\left(11\sdot\frac{50}{3}\right)=11:\frac{11\sdot50}{3}=11:\frac{550}{3}=11:\left(183+\frac{1}{3}\right)}}$	נודע שדינר זהב אחד, שהוא שוה שליש נ' דינרים של כסף, שהוא חמישים שלישי דינר ונודע מזה שהי"א דינרי זהב שוים י"א פעמים נ' שלישי דינר כסף ולדעת כמה שלישים הם, כפלנו הי"א בנ' ועלה 550, הנה ידענו שהי"א דינרי זהב שוים 550 שלישי דינר כסף ולדעת כמה דינרי כסף הם, חלקנום על ג' ויצא 183 ושליש והם הדינרי כסף ששוים הי"א דינרי זהב וזה ברור
The second problem: $\scriptstyle3:50=x:\left(183+\frac{1}{3}\right)$	ועוד אבארנו במשל השני והוא כי ביודעינו שג' דינרי זהב שוים נ' דינרי כסף, כל דינרי זהב שוה נ' שלישי דינר כסף, כמו שביארנו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(183+\frac{1}{3}\right):\frac{50}{3}=\frac{\left(183+\frac{1}{3}\right)\sdot3}{50}=\frac{550}{50}=11}}$	וא"כ כל נ' שלישי דינר, אשר בק'פ'ג' ושליש, שוה דינר זהב ולדעת כמה פעמים יש בהם נ' שלישי דינר, נדע תחלה כמה שלישי דינר הם וזה יודע בכפלנו אותם בג' כאש' עשינו ועלו 550 והם שלישי דינר וכל נ' מהם שוים דינר זהב, א"כ בחלקנום אותם על נ' כאשר עשינו, נדע כמה דינרי זהב שוים, שהוא כמספר היוצא בחלוקו, הוא י"א וכל זה ברור
$\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3$	והנה יתבאר מכל הנזכר במעט עיון כי כל ד' מספרים נערכים, כפל הראשון מאלו בשני מן האחרים ככפל השני בראשון מן האחרים
$\scriptstyle{\color{blue}{3:7=5:\left(11+\frac{2}{3}\right)\longrightarrow5\sdot7=35=3\sdot\left(11+\frac{2}{3}\right)}}$	כי בדמיון הראשון כפל הה' בז', שהוא ל"ה, ככפל הג' בי"א וב' שלישיות, אשר היה הנעלם
Therefore, when one of the numbers is unknown, the product of the first number of one of the two ratios by the second number of the other ratio is equal to the product of the unknown number by the remaining known number $\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3$	ולזה, כאש' נעלם אחד מהם, איזה מהם שיהיה, כפלנו מהנודעים הראשון מאלו בשני מאלו וידענו שזה בעצמו הוא כפל הנעלם בנשאר מהנודעים ולזה בחלקנו אותו לנודע, יצא הנעלם
Rule of Three
Sometimes the proportional numbers are only three, i.e. the mean is the first of those that are last and the second of those that are first. $\scriptstyle{\color{red}{a_1:a_2=a_2:a_3}}$	ולפעמים לא יהיו המספרים הנערכים כי אם ג' פי' שהאמצעי יהיה ראשון לאחרונים ושני לראשונים
We have already explained that for every four proportional numbers the product of the first of those by the second of those is as the product of the first of those by the second of thos, i.e. the product of the first by the last is as the product of the two means by each other. $\scriptstyle{\color{red}{a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3}}$	ואולם כבר ביארנו שכל ד' מספרים נערכים כפל הראשון מאלו בשני מאלו ככפל הראשון מאלו בשני מאלו פי' כפל הראשון באחרון ככפל הב' האמצעיים זה בזה
When they are only three, the mean stands instead of the two means, which are the second of those that are first and the first of those that are last, so the product of the first by the third, which is the second of those that are last, is as the product of the mean by itself, which is both first [of those that are last] and second [of those that are first], as we explained. $\scriptstyle{\color{red}{a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=\left(a_2\right)^2}}$	ואולם כשהם ג' לבד האמצעי עומד במקום השנים האמצעיי' שהוא שני לראשונים וראשון לאחרונים א"כ כפל הראשון בשלישי שהוא השני מהאחרונים ככפל האמצעי בעצמו שהוא ראשון ושני כאשר ביארנו
When the mean and one of the others are known, the unknown is extracted, for we multiply the mean by itself , then divide [the product] by the other that is known and the result is the unknown. $\scriptstyle{\color{red}{a_1=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_3}}}$ $\scriptstyle{\color{red}{a_3=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}}}$	ולזה בהודע האמצעי ואחד מן האחרים יודע הנעלם כי נכפול האמצעי בעצמו ונחלקנו לאחר הנודע ויצא הנעלם
When the two [extremes] are known, the mean is extracted, by multiplying the two that are known [one by the other] and the product is as the product of the mean by itself, i.e. as its square. $\scriptstyle{\color{red}{\left(a_2\right)^2=a_1\sdot a_3}}$	גם בהודע השנים יודע האמצעי וזה בהכפל השנים הנודעים והעולה הוא ככפל האמצעי בעצמו פי' שהוא כמרובע
The mean is the root - we extract the root of this number by finding a number whose product by itself is as this product and the resulting root is the unknown mean. $\scriptstyle{\color{red}{a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}}}$	והאמצעי הוא השרש ונוציא שורש זה המספר שהוא לבקש מספר שכפלו על עצמו עולה כפי החשבון והשרש אשר יצא הוא האמצעי הנעלם
The method of extracting the roots is very difficult and there are numbers whose real root is never known only approximately, so I have assigned a special chapter to this and it is the next chapter.	ודרך הוצאת השרשים הוא קשה מאד ויש מספרים אשר לא יודע בהם שרש אמיתי לעולם כי בקירוב על זה הקצתי לו פרק לעצמו והוא הפרק הבא אחר זה
Example for the three proportional numbers:	דמיון הג' מספרים נערכים
As we say: the ratio of 2 to 4 is as the ratio of 4 to 8 $\scriptstyle{\color{blue}{2:4=4:8}}$	הוא כאומרנו הערך אשר לב' אצל הד' כערך ד' אצל ח'
4 is the mean, instead of the two [means], which is the second of those that are first and the first of those that are last.	שהד' האמצעי הוא במקום שנים שהוא שני מן הראשונים וראשון מן האחרונים
If one of the extremes is unknown, such as 2, whereas 4 and 8 are known: $\scriptstyle{\color{blue}{x:4=4:8}}$	ואם הנעלם מהקצוות המשל הב' ונודע הד' והח'
Meaning that one asks: Who has the ratio to 4, as the ratio of 4 to 8?	כלומר ששאל השואל למי יש ערך אצל ד' כערך אשר לד' אצל שמונה
Exchange Problem - Currencies: Or if he says: How many golden dinar are worth 4 silver dinar, if 4 golden dinar are worth [8] silver dinar?	או שאמ' כמה דינרי זהב שוים ד' דינרי כסף אם ד' דינרי זהב שוים אחד דינרי כסף
We know that the product of 4 by 4, which is the mean, that is 16 is as the product of the known 8 by the unknown $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16=8\sdot x}}$	הנה ידענו שכפל ד' בד' שהוא האמצעי שהוא שהם י"ו שהוא ככפל ח' הידוע בנעלם
Thus, we divide it by 8 and the result of division, which is 2, is the unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{16}{8}=2}}$	לכן נחלקם על הח' והיוצא והוצרך בחלוק והוא ב' הוא הנעלם
If 2 and 4 are known, and 8 is unknown: $\scriptstyle2:4=4:x$	וכן אם נודעו השנים והד' ונעלם הח'
That is, one asks: the ratio of 2 to 4 - 4 has this ratio to whom?	ששאל השואל הערך אשר לב' אצל ד' אצל מי יש לד' זה הערך
Exchange Problem - Currencies: Or, if he asks: If 2 golden dinar are worth 4 silver dinar, how many silver dinar will 4 golden dinar be worth?	או ששאל אם שני דינרי זהב שוים ד' דינרי כסף ד' דינרי זהב כמה דינרי כסף שוים
We multiply 4 by itself; the result is 16. We divide it by [2]; the result of division is [8] and this is the unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot4}{{\color{red}{2}}}=\frac{16}{{\color{red}{2}}}={\color{red}{8}}}}$	נכפול הד' בעצמו ויעלה י"ו ונחלקם על הח' ויצא בחילוק ב' והוא הנעלם
If the unknown is 4, which is the mean that stands instead of the two [means], whereas 2 and 8, the first and the last, are known: $\scriptstyle2:x=x:8$	ואם היה הנעלם הד' שהוא האמצעי העומד במקום שנים והנודעים הב' והח' ראשון ואחרון
We multiply 2 by 8; the result is 16 and it is the product of the unknown mean by itself, as we have explained; the 16 is the square of the mean. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=2\sdot8=16}}$	נכפול הב' בח' ויעלה י"ו וזה כפל האמצעי הנעלם בעצמו כמו שביארנו ואלו הי"ו הם מרובע האמצעי
The mean is its root - the root of 16 is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{16}=4}}$	והאמצעי הוא שרושם ושרש י"ו הוא ד‫'
Everything is explained in these examples.	והכל מבואר בדמיונות אלו
If 16 is a number, whose root extraction is difficult for us, or it is impossible for us to know its real root, only by approximation, we proceed in the extraction of the root as explained in chapter six that is assigned to it.	ואם זה הי"ו היה החשבון אשר יקשה עלינו בקשת שרשו או שהוא נמנע בחקנו לידע שרשו האמיתי כי אם בקרוב נדרוך בבקשת השרש ההוא כמו שיתבאר בפרק ו' זה אשר הקציתי לו

Chapter Six: Roots	הפרק השישי בהוצאת השרשים
written extraction of roots
description of the procedure
When you wish to extract the root of a certain number, count the number of the ranks, whether it is even or odd.	כאשר תרצה להוציא שורש שום מספר תמנה מספר מעלות ההוא אם זוג ואם נפרד
If it is odd, consider the last digit [= leftmost digit] as if it is units, [then seek] a number such that when we multiply it by itself that product is the last digit or as close to it as possible and we write it beneath it.	ואם הם נפרד עיין הרושם האחרון כאלו היא אם אחדים איזה מספר נכפול על עצמו ויצא כל זה הרושם האחרון או היותר שנוכל ונשימנו תחתיו
If something remains from the last upper digit after subtracting the product of the number that you wrote beneath it by itself, write this remainder above the last digit.	ואם ישאר שום דבר מזה החשבון האחרון העליון אחר הוצאת כפל המספר אשר שמת תחתיו בעצמו תשים הנשאר ההוא על המספר האחרון
If the number of the ranks of the number, whose root you wish to know, is even, consider the last digit as tens and what you find in the preceding rank as units, then seek a number whose square is the same as these tens and units or as great as possible to be subtract from them and write this number you find beneath the rank that precedes the last rank.	ואם מספר מעלות החשבון אשר רצית לדעת שרשו יהיה זוג תקח האות האחרון לעשרות ואשר תמצא במעלה אשר לפניה לאחדים ותבקש מספר שיהיה מרובעו בכל אלו העשרות והאחדים אשר לקחת או היותר שתוכל להוציאו מהם וזה המספר אשר מצאת תשימהו תחת המעלה אשר לפני המעלה האחרונה
What remains after subtracting the square of the number you find from the units and tens that are found in the last two ranks - if tens remain, write them above the last digit; if units, write them above [the digit] that precedes the last digit.	ואשר ישאר אחר הוצאת מרובע המספר אשר מצאת מאלו האחדים והעשרות אשר מצאת בשתי המעלות האחרונו' אם ישאר שום עשרת שימהו על האות האחרון ואם אחדים תשימם אשר לפני האות האחרון
Doubling the leftmost digit of the root	ואחר עשותך כל זה הן במספר אשר מעלותיו זוג הן באשר הן מעלותיו מספר נפרד תכפול זה המספר אשר שמת תחת המספר העליון
The result are units	ואם לא יעלה מזה הכפל שום עשר תשים אחדי הכפל הזה תחת המעלה אשר לפני המעלה אשר שמת אותו בתחלה
The result are units and tens	ואם עלה לעשר או יותר תשים העשר תחת המעלה אשר היה שם המספר הזה בתחלה והאחדים במעלה אשר לפניו
The result are tens	ואם לא יהיו שם אחדים תשים במעלה אשר לפניו
The second leftmost digit of the root	ותעבור הקולמוס על המספר הראשון אשר כפלת ואחר כך תבקש מספ' אשר תשים במעלה אשר לפני אלו הנזכרות אשר בכפול אותו במספר, או מספרים, אשר שמת עתה שנתחדשו מכפל הראשון וגם בעצמו והוציא כל כפל וכפל מהם מהמעלה אשר כנגדו ויצא הכל, או היותר שתוכל, ותשימנו במעלה הנזכרת, ר"ל במעלה הנזכרת ר"ל במעלה שלפני המעלות אשר שמת בהם כפל המספר הראשון ותכפלנו במספרים הראשונים, מלבד אשר שמת ראשון שעבר עליו הקולמוס, ואשר יעלה, תוציאנו מהרשמים אשר על ראשם ותכפלנו המספרים הראשונים מלבד אשר שמת ראשון שעבר עליו הקולמוס על עצמו ותוציאנו מהמעלה אשר על ראשו והנשאר בשום מקום, תשימנו על הרושם אשר ממנו נותר
The remainder of the given number in corresponding ranks is not enough for subtracting the subtrahend from it - shifting the subtrahend to a lower rank	ואם כאשר כפלת המספר ושמת כפלו במעלה אשר לפניו, אם אין ברשמים אשר עליהם כדי להוציאם אפי' פעם אחת ושישאר במעלה אשר לפניהם אחד להוציא ממנו כפל האחר בעצמו, אז תשים 0 לפניהם ותורידם מעלה אחת, גם ל0, גם לכל רושם מהם, ותבקש מספר שתשים לפניהם ותכפלנו בכל אחד מהם ובעצמו ותוציא כל דבר מאשר על ראשו
Placing the remainder and the subtrahend	והנותר תשים על הרושם אשר על ראשו ותורידם עוד מעלה אחרת ובלבד שתורידם לעולם, בכל הורדה שתורידם, שיורדו כמות שהם, בלי כפל כלל, זולתי המספר האחרון שנתחדש בפעם ההיא שתכפלנו
Doubling the interim rightmost digit of the root - the result are units alone	ואם לא נתחדש שם עשר, תשימנו במעלה שלפני המעלות אשר תשים הרשמי' האחרים בהורדתם
Doubling the interim rightmost digit of the root - the result are units and tens	ואם מהכפל ההוא יתחדש עשר, תחברנו עם הרושם אשר שמת ראשון לצד ימין ואם מהכפל ההוא יתחדש עשר תחברנו עם הרושם אשר שמת ראשון לצד ימין ואם לא היה כי אם 0, תסירנה ותשים הא', ר"ל העשר, במקומה והאחדים אשר נתחדשו מהכפל עם זה העשרה שימם במעלה שלפניהם
Doubling the interim rightmost digit of the root - the result are tens alone	ואם לא נתחדשו שם אחדים, כגון שהרושם האחרון היה חמשה וכפלו יהיה עשרה שלם בלתי אחדים, תשים הי' כאשר אמרתי במקום ה0', או תחברנו עם אשר תמצא במעלה לצד ימין, ואחר שאין אחדים שם, תשים 0' לפני המעלות ההם
Repeating the process	ותבקש עוד מספר כמו שנזכר וכן תעשה עד תומם
The final root	והשרש הוא כל המספרים אשר בקשת בכל עת בלי כפל
examples
$\scriptstyle\sqrt{344680129066}$	המשל רצינו לבקש שרש 344680129066
	117    1250642  1151248513  98261861540 344680129066  5  108   1167    11740     117409      1174184

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{34>5^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{34-{\color{blue}{5}}^2=}}{\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times5=}}{\color{blue}{10}}\\\end{align}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9-\left(1\times{\color{blue}{8}}\right)=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{{\color{blue}{8}}^2=}}{\color{YellowOrange}{64}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-{\color{YellowOrange}{4}}=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{14-{\color{YellowOrange}{6}}=}}{\color{green}{8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\sdot8=}}{\color{blue}{16}}\\\end{align}}$	1
		9		982
344680129066		344680129066		344680129066
		5		5
		10		108
				116

	והנה מעלות מספר זה הם י"ב והם זוג נקח השני רשמים האחרונים האחרון אחרון לעשרות ואשר לפניו לאחדים ויהיו 34 ונבקש מספר שנכפלנו על עצמו ויוציא כל ה34, או היותר שאפשר והוא ה' ונשימנו תחת הד' ונאמר ה' פעמים ה' הם כ"ה נוציאם מהל"ד ישארו ט' ונעביר קולמוס על הג' ונשים הט' על הד‫' ונכפול הה' ואחר שאין ונעביר עליו הקולמוס והנה כופלו הוא י' נשים א' תחת הה' ואחר שאין עם עשר זה אחדים כלל נשים לפני זה האחד 0 ונבקש מספר נשימהו במעלה שלפני ה0' ונכפלנו ב בא' ובעצמו ונוציא כל היותר שנוכל מאשר נשאר על הד' גם מהמ"ו אשר לפניו שהם השלימות המעלות אשר עליהן ויהיה ח' ונשימנו לפניהם ונכפול ח' בא' יהיו ח' נוציאם מהט' אשר עליו ישאר אחד נשימנו עליו עוד נכפול ח' על עצמו ויעלה ס"ד ונוציא הד' האחדים מהו' אשר על ראשו ישארו ב' נשימם על הו‫' והס' שהם ו' עשרות לא נוכל להוציאם מהד' שאחר הו' שהוא עשרות נגדו ונקרא הא' אשר אחריהם ונעביר עליו הקולמוס ויהיה עשר במעלת הד' הנזכר ונחבר אליהם הד' עצמו, יהיו כלם י"ד נוציא מהם הס' אשר הם ו' עשרות נשארו ח' ונשימנו על הד‫' אחר זה נורידם מעלה אחת ונכפול הח' אשר נתחדש בפעם הזאת ואחר אשר נתחדש מכפלו אחדים ועשר לא נשים ה0' אבל נשים א' בעד העשר במקומה ונשים הו' אחדים לפניו
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{8-\left(1\times{\color{blue}{7}}\right)=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{12-\left(1\times{\color{blue}{7}}\right)=}}{\color{green}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6\times{\color{blue}{7}}=}}{\color{YellowOrange}{42}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-{\color{YellowOrange}{2}}=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{5-{\color{YellowOrange}{4}}=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-{\color{YellowOrange}{5}}=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{YellowOrange}{50-49}}={\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{{\color{blue}{7}}^2=}}{\color{YellowOrange}{49}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\sdot7=}}{\color{blue}{{\color{YellowOrange}{1}}4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6+{\color{YellowOrange}{1}}=}}{\color{blue}{7}}\\\end{align}}$    1          1151         98261       344680129066  5            108           1167          1174	ונבקש מספר שנשים לפניהם שנכפלנו בהם ובעצמו ונוציא היותר שאפש' מאשר עליהם ויהיה ז' ונשימנו לפניהם ונאמ' שבעה פעמים א' הם ז' נוציאם מהח' אשר על ראשו וישאר א' ונשימנו עליו עוד נאמר ז' פעמים א' על הא' אשר לפניו הם ז' ולא נוכל להוציאם מהב' אשר על ראשם נקח הא' אשר שמנו עתה על הח' ונעביר עליו הקולמוס ויהיו לעשרה ועם הב' יהיו י"ב נוציא מהם הז' ישארו ה' נשימם על הב‫' עוד נכפול הז' בו' יעלו מ"ב נסיר הב' מהח' ואש' עליהם ישארו ו' נשימם עליהם ונסיר הד' עשרות מהה' אשר במעלה שאחריהם וישאר א' ונשימנו עליו עוד נכפול הז' על עצמו ויעלה מ"ט ומה0 אשר עליו לא נוכל להסיר אפילו האחדים, לכן נסיר מהו' שאחרי הה' וישאר א' ויהיה נ' במעלתם ה0' נסיר מהם המ"ט וישארו א' ונשימנו עליהם עוד נורידם מעלה אחת ונכפול הז' אשר נתחדש בזאת הפעם ויהיו י"ד ונחבר העשר לא' עם הו' אשר אחריו לצד שמאל ויהיו ז' אחרי כן נשים הד' שהם האחדים לפני הז‫'
the next digit of the root to the right is 0	ונבקש מספר לכפול על כולם ועל עצמו כבשאר הפעמים ולא נמצא, כי אין גם אחד, לפי שלא יוכלו לצאת מאשר על ראשם אפי' פעם אחת לכן נשים [סיפרא] לפניהם ונורידם עוד מעלה אחת ולא נכפול שום מספר כי לא נתחדש מספ' בפעם הזאת וה0' אינה מספר לכפלה
the next digit of the root to the right is 9 - the procedure is not detailed	ונבקש מספר שנשים לפניהם ויהיה ט' ונכפלנו בכל אחד ונוציאנו מאשר ימצא על ראשו וגם בעצמו ונוציאנו מאשר על ראשו כאשר תראה בצורה הרשומה עוד נורידם ונכפול הט' שנתחדש עתה בפעם הזאת ויהיו י"ח ואחר שנתחדש כאן עשר עם האחדים, לא נשים ה0' בהורדה זו אבל נשים א' לעשר במקומה ונשים הח' שהם אחדים לפניו
the next digit of the root to the right is 4 - the procedure is not detailed	ונבקש מספר, נשים לפניהם כפעם בפעם ויהיו ד' ונכפלנו בכל אחד גם בעצמו ונוציא כל דבר ממקומו הראוי לו כנזכר והנה הגענו למעלה הראשונה לכן אין לנו להורידם
$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle587094\ the\ root\\&\scriptstyle764230\ the\ remainder\\\end{align}}}$	ויהיה השרש המספר שחדשנו בכל פעם אחד והם 587094 ואם לא היה נשאר דבר היה זה השרש אמיתי אבל אחר שנשאר דבר והוא 764230 אין השרש הזה אמיתי כי אם בקרוב
	ועוד נתבאר אחר זה איך נתקרב יותר אל האמת ואם האמת נעדרת
$\scriptstyle\sqrt{10375}$	משל אחר רצינו לדעת שרש מספר זה 10375
$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{1-{\color{blue}{1}}^2=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times1=}}{\color{blue}{2}}\\\end{align}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{3-\left(2\times{\color{blue}{1}}\right)=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{5-{\color{blue}{1}}^2=}}{\color{green}{4}}\\\end{align}}$   1 4 10375 10375 10375 120   120       201 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle101\ the\ root\\&\scriptstyle174\ the\ remainder\\\end{align}}}$	ואחר שמספר המעלות נפרד שהן ה' נקח הא' אשר נמצא במעלה האחרונה ונבקש מספר שנכפלנו בעצמו ונוציאנו כלו או היותר שאיפשר ויהיה א' ונשימנו תחתיו ונכפול לא' זה על עצמו ונוציאנו מהא' אשר על אשר על ראשו ונעביר עליו קולמוס ונכפלנו ונורידנו ולא נוכל להוציאם מה0' אשר עליהם אפי' פעם אחת גם על האחד לא נותר דבר לכן נשים 0 לפניו עוד נורידם ולא נכפול דבר כי לא נתחדש מספר בזה הפעם ונבקש מספר אשר נשים לפניהם כנזכר ויהיה א' ונשימנו לפניהם ונכפול הא' על הב' ויהיו ב' נסירם מהג' אשר עליהם ישאר א' ונשימנו עליו ונכפול הא' על עצמו ויעלה א' נסירנו מהה' אשר עליו וישארו ד' נשימם עליו וכבר שלמו המעלות ולא נוריד עוד והנה האותיות והם שנתחדשו פעם בפעם, הם השרש והוא 101   1 4 10375 120   201
	ולפי שנשאר ולפי שנשאר שם מספר מה אין זה שרש אמיתי אבל הקרוב ועוד נתבאר איך נתקרב יותר אל האמת
reason: procedure
The reason for distinguishing between an odd number or an even number of ranks for the beginning of the procedure: the rank of the units of $\scriptstyle a^2$ in the multiple of a product of tens by itself $\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)^2$ is always an odd number (2n-1)	וטעם אמרנו שאם מספר מעלות החשבון נפרד שנקח האחרון לבד ונבקש מספר נשים תחתיו וכו' ואם הם זוג שנקח השני רשמים האחרונים האחרון לעשרות ושלפניו לאחדים הוא לפי שכל כפל כלל בעצמו הנה מעלת האחדים העולים בכפל ההוא היא נפרד לעולם
Since the rank of the units in the product of two digits of the multiplied numbers is equal to the sum of the ranks of both digits minus 1	לפי שמקום הנחת כפל כל שני מספרים, ר"ל שמדרגת הכפל ההוא כמדרגות שני המספרים יחד חסר אחד כמו שביארנו בפרק הג' ולזה מדרגת אחדי מספר כפל מספר על עצמו והיא כפל מדרגותיו חסר אחד והנה הם הנפרדים לעולם
If the number of ranks of the given number is odd - the square of the leftmost digit of the root will be subtracted from the highest rank of the given number	ולזה כשהמספר מעלות המספר נפרד אנו מוציאים מהמעלה האחרונה שהיא נפרדת מרובע השרש ר"ל מרובע המספרים אשר שמנו תחתיו שהוא חלק השרש
If the number of ranks of the given number is even - the square of the leftmost digit of the root will be subtracted from the highest rank of the given number together with its preceding rank as units and tens, for the units of the product will always be placed in an odd rank and the tens in an even rank	ואם הם זוג לקחנו השתים האחרונות זו לעשרות וזו לאחדי' בענין שלעולם אחדי כפל כל מספר בעצמו יצאו ממעלה נפרדת והעשרות ממעלת זוג וזה ברור
For every rank added to the ranks of the root, two ranks are added to the ranks of its square, therefore, for every two ranks of the given number one rank is added to the ranks of its root	ואחר שביארנו שמדרגות אחדי הכפל הם כפל מעלות השרש שהוא המספר שכפלנוהו על עצמו חסר אחת נמצא שאם השרשם הוא בראשונה [הכפל ג"כ בראשונה] ואם השרש בשנית המרובע בשלישית ואם בשלישית בחמישית ואם ברביעית בשביעית וכן לעולם הנה כי תוספת מעלה אחת בשרש יחייב תוספת א"כ ב' מעלות במרובע וכן נעשה במעשה כ כי לכל ב' מעלות מתוספת בחשבון אנו מוסיפים אחד בשרש וזה שאנו מורידין השרש מעלה אחת בכל פעם ומוסיפים עליו מעלה אחת והוא המספר אשר אנו שמים לפניהם בכל פעם
The number of the shifting phases in the procedure is equal to the number of the even ranks in the given number as well as to the number of ranks of the root	נמצא שכמספר פעמי ההורדה כך הוא מספר זוגי מעלות החשבון על מקום ההנחה הראשונה וכמספר זה הוא זהו מספר מעלות השרש על המעלה האחת הראשונה וכל זה תראה מפורש בצורה
The reason for shifting the subtrahend one rank to the right each phase: in each phase the preceding rank of the root is added. So if the highest rank of the given number indicates the rank of the leftmost digit of its root, then the preceding rank of the given number indicates the rank of the product of the leftmost digit of the root by its preceding digit	והטעם הורדת מעלה אחת בכל פעם הוא לפי שהמתוסף בשרש בפעם הזאת הוא מעלה אחת פחות מאשר נתוסף בתחלה וא"כ מעלת הכפל יהיה ג"כ מעלה אחת פחות, ר"ל כפול זה המתוסף עתה בשרש באשר היה כבר המונח לשרש בפעם או בפעמים העוברים כי ע'ד'מ' המושם בתחלה הוא מכפל המספר בעצמו וכאשר אנחנו מוסיפים עתה בשרש זה המתוסף הוא פחות מעלה אחת מהראשון וכאש' כפלנוהו בראשון יגרע זאת המעלה אשר גרע זה ממנו
Example: if the leftmost digit of the root is subtracted from the fifth rank of given number, then the rank of that digit in the root is the third rank (5=(3+3)-1) $\scriptstyle\left(a00\right)^2=\left(a^2\right)0000$	כי המשל אם כפל השרש הראשון בעצמו היה לוקח מהמעלה החמישית הוא היה מן המעלה השלישית ולזה לקח מהחמישית שהוא כפל מעלותיו חסר אחת
The preceding digit of the root will be in the second rank, and therefore double the product of the leftmost two digits of the root will be represented in the given number in the fourth rank - i.e. the number of both ranks minus 1 (4=(3+2)-1) → therefore the subtrahend was shifted one rank to the right, from the fifth to the fourth rank	וכאשר נוסיף זה עתה בשרש יהיה המתוסף מהמעלה השנית וכאשר כפלנו אשר מהמעלה השנית על אשר במעלה הג' ר"ל כאשר אנו כופלים זה המתחדש עתה שהוא במעלה הב' באשר היה בתחלה שהוא מהמעלה הג' יהיה מדרגת זה הכפל במדרגת הד' שהם מספר מעלות שני המספרים חסר אחת ולזה שמנו אשר בתחלה מעלה אחת למטה כי משם הוא ראוי לקחתו
The product of the digit in the second rank of the root by itself is subtracted from the third rank of the given number, for the rank of this product is twice the rank of this digit in the root minus 1 (3=(2+2)-1) → so, again the subtrahend is shifted one rank to the right from the fourth to the third rank $\scriptstyle\left(ab0\right)^2=\left(a^2\right)0000+\left[2\sdot\left[\left(a\sdot b\right)000\right]\right]+\left(b^2\right)00$	השרש המתוסף כאשר כפלנוהו בעצמו יגרע מעלה אחרת ואין לו לקח' כי אם מהמעלה השלישית, כי כפל בעל שתי מעלות בבעל שתי מעלות יש לו לקחת מהשלישית, שהוא כמדרגות שני המספרים חסר אחת, לכן שמנוהו מעלה אחת לפניהם, כי משם ראוי לו לקחת וכן בכל פעם יחסר מעלה ממקום הראוי לקחת עתה בכפל המתחדש בראשונים מאשר היה מכפל המתחדש בפעם העובר עמהם וכפלו בעצמו יחסר שתים וכל זה מבואר בטעם ובצורה
When the subtrahend cannot be subtracted from a certain rank of the given number it is shifted another rank to the right - for this means that the preceding digit in the root is two ranks to the right of the present digit, and hence the product of this digit by itself will be subtracted from the fourth rank to the right of the present rank	וכאשר אין אנו יכולים להוציאם אפי' פעם אחת, אנו שמים ומורידים אותם פעם אחרת, כי כאשר תוסף בשרש יהיה פחות ב' מעלות מאשר בתחלה, לכן הורדנום ב' מעלות שיקחו מב' מעלות פחות וכפל השרש המתוסף בעצמו יקח מד' מעלות פחות, לפי שירד שני מעלות
Example: if the leftmost digit of the root is in the fourth rank, its product by itself is subtracted from the seventh rank of given number, then if the digit in the preceding rank of the root is a zero, its preceding digit will be in the second rank and its product by itself will be subtracted from the third rank of the given number, which is four ranks to the right of its seventh rank $\scriptstyle\left(a0b0\right)^2=\left(a^2\right)000000+\left[2\sdot\left[\left(a\sdot b\right)00000\right]\right]+\left(b^2\right)00$	כי המשל אם הראשון היה ברביעית, היה לו ליקח כפלתו בעצמו מהמעלה השביעית ואשר מתוסף עתה כשהיה 0 בפעם אשר בנתים יהיה בשנית וראוי לקחת כפלו בעצמו מהשלישית, הרי כשנגרע ד' מעלות גם כל זה הוא מבואר בטעם ובצורה
The reason for doubling the digits of the root: in every phase of the procedure the digit that is added is multiplied by itself and by double the subsequent digit of the root, since every thing that is added to the root is added to both sides [= multiplicands] of the square	וטעם הכפל השרש: ר"ל שבכל הולדה אנו כופלים אשר הו נתחדש אז ונמצא שאנו כופלים המתחדש בכפל השרש הראשון ובעצמו, הוא לפי שכאשר ניתוסף דבר בשרש הוא ניתוסף בשתי צלעות המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(30\right)^2=900}}$	ר"ל שאם מתחלה היה השרש 30, הנה המרובע היה 900
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(30+5\right)^2&\scriptstyle=\left(35\right)^2=35\sdot35\\&\scriptstyle=\left(30\sdot30\right)+\left(5\sdot30\right)+\left(30\sdot5\right)+\left(5\sdot5\right)\\&\scriptstyle=\left(30\right)^2+\left[\left[2\sdot\left(5\sdot30\right)+5^2\right]\right]\\\end{align}}}$	ואם אנו מוסיפים עליו ה' יהיוה ל"ה ומרובעו הוא כפל ל"ה על ל"ה שהוא כאומרנו לכפל ל' בל' וכפל ה' [בל' וכפל ל' בה' וכפל ה'] בה' נמצא שנתוסף בסבת תוספת הה' כפל ה' על ל' פעמים ר"ל ה' בה' פעם אחת ובעצמו פעם אחת
Each digit is multiplied by double the subsequent digit only, as all the other digits are already doubled, therefore they should not be doubled again	ולזה אנו כופלים השרש וכשאנו מורידים אין אנו כופלים אלא אשר מתוסף בפעם העובר בסמוך שלא נכפל אבל כל אחדים כבר נכפלו לכן אין אנו כופלים אותו פעם אחרת כלל ומכל זה תדע כי השרש הוא המספרים המתחדשים בכל פעם פשוטים בלי כפל כלל

Approximations
When something remains there after you have completed the extraction of the root, and you wish to come closer to the truth, consider this remainder. $\scriptstyle a^2+b$	וכאשר נשאר שם דבר מה אחר אשר השלמת להוציא השרש ותרצה להתקרב עוד אל האמת עיין אשר נשאר
First approximation: If it is less than the root, double the root and set it as a denominator to divide the remainder. The result is the addition to the integer [received through the algorithm] in the [new approximate] root. $\scriptstyle b<a\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}$	ואם הוא פחות מהשרש כפול השרש והוצא את מוריו וחלק השארית ההיא עליהם והיוצא הוא העודף בשרש על השלמים ההם
If the remainder is greater or equal to the root, and you do not intend to come closer to the root except by this time alone, then double the root, add one, and divide the remainder by [the sum]. The result is the fractions added in the root to the initial integer. $\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a+1}$	ואם השארית היתה גדולה מהשרש או כמותו ואין דעתך להתקרב עוד אל השרש כי אם מה שתתקרב אליו בפעם זו לבד תכפול השרש ותוסיף עליו א' ותחלק עליהם זאת השארית והיוצא הם השברים הנוספים בשרש על השלמי' אשר יצאו ראשונה
Second approximation: If you wish to come closer to the truth, even if the truth is hidden from the eyes of all living [Job 28, 21], as Euclid proved, multiply the integer and fractions by themselves, as I will explain in the chapter on multiplication, in the section on fractions and the result will exceed or fall short of the initial number [whose root is being extracted].	ואם תרצה להתקרב עוד אל האמת ואם האמת נעלמה מעיני כל חי כאשר ביאר אוקלידס במופת כפול אלו השלמים והשברים על עצמם כאשר אבאר בחלק השברים בפרק הכפל ויעלה פחות או יותר מהחשבון הראשון
Double the root, as stated, and divide the excess or deficit by [the result].	וכפול השרש כאשר אמרנו וחלק אליו זה העודף או חסרון
Subtract the result from the preceding fractions if the number [whose root is being extracted] is less than the square of the root that you extracted in the previous stage. $\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2>a^2+b\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	והיוצא הוציאנו מהשברים הראשונים אם המספר היה פחות ממרובע השרש אשר הוצאת בפעם הקודמת
If the square is less than the [given] number, add the result to the preceding fractions. $\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2<a^2+b\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a}\right)+\frac{\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	ואם היה המרובע פחות מהמספר תוסיף זה היוצא על השברים הראשונים
The sum or the remainder will be the fraction added in the root to the initial integer.	והעולה או הנותר יהיו השברים העודפי' בשרש על השלמים הראשונים
$\scriptstyle\sqrt{10375}$ First approximation ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle174>101\longrightarrow\sqrt{10375}&\scriptstyle\approx101+\frac{174}{\left(2\sdot101\right)+1}\\&\scriptstyle=101+\frac{174}{202+1}\\&\scriptstyle=101+\frac{174}{203}\\&\scriptstyle=101+\frac{174}{7\sdot209}=101+\frac{6}{7}\\\end{align}}}$	המשל בזה הוא בצורה השנית 174 ואם היה פחות מהשרש היינו מחלקים אותו לכפל השרש שהוא 202 בלי תוספת אחד וכן עתה שהוא יותר מהשרש נכפול השרש שהנו 101 ויהא 202 ונוסיף עליו א' ויהיו 203 ונוציא מוריו ונמצא שיש לו שביעית ושביעיתו 29 ואלו הם מוריו ר"ל ז' כ"ט ונחלק אליהם השארית שהוא 174 ויצא בחילוק ו' שביעיות שלמות ואלו הם השברים העודפים בשרש על הק"א השלמים הראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle10375-\left(101+\frac{6}{7}\right)^2&\scriptstyle=10375-\left[10374+\frac{6}{7}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle\longrightarrow\left(101+\frac{6}{7}\right)^2<10375\\\end{align}}}$	ואם נרצה להתקרב עוד אל האמת נכפול זה השרש ר"ל ק"א שלמים וו' שביעיות על עצמו 10374 שלמים וו' שביעיות שלימות ושביעית שביעית כאשר יתבאר בחלק הב' בפרק הג' וזהו פחות מהחשבון הנשאל בו' שביעיות שביעית
Second approximation $\scriptstyle{\color{blue}{\left(101+\frac{6}{7}\right)^2<10375\longrightarrow\sqrt{10375}\approx\left(101+\frac{6}{7}\right)+\frac{\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{7}}{2\sdot\left(101+\frac{6}{7}\right)}}}$	לכן אם אתה רוצה להתקרב עוד אל האמת יש לך לכפול השרש ר"ל הק"א שלימים וו' שביעיות שלימות ולחלק אליהם אלו הו' שביעיות שביעית לכן אם אתה רוצה להתקרב עוד אל האמת יש לך לכפול השרש ר"ל הק"א שלימים וו' שביעיות שלמות ולחלק אליהם אלו הו' שביעיות שביעית והיוצא היה לך להוסיף אותו על השרש הקודם שהיה ק"א שלימים וו' שביעיות וכן לעולם
The rule [of approximating the root]:	זה הכלל‫:
$\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a+1}$	ראשונה תחלק הנשאר לכפל השרש עם תוספת א' אם הנשאר גדול מהשרש או כמותו
$\scriptstyle b<a\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}$	ואם פחות לא תוסיף א' והיוצא תוסיפנו על השרש
	ותכפול אותו השרש על עצמו שלמים ונשברים
$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2>a^2+b\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	ואם יעלה יותר מהחשבון הראשון תחלק העודף ההוא על כפל השרש ותחסרנו ממנו
$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2<a^2+b\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a}\right)+\frac{\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	ואם היה העולה פחות מהחשבון תראה בכמה הוא ותחלקנו לכפל השרש ג"כ ותוסיפנו על השרש הקודם וכן לעולם
You come ever closer to the truth, but you will never attain it.	ולעולם תתקרב יותר אל האמת ולא תשיגנה לעולם
Shortcuts
If you look closely, you will see that you do this with less effort.	וכאשר תעיין הטב תראה שתוכל לעשותו בלי כ"כ יגיעה
This is by looking at the fraction attained in the [first] step.	והוא שתעיין השברים שנתחדשו בעת ההיא
The first approximation If it is an addition [to the integer received through the extraction algorithm] and it was produced by adding 1 to twice the root [in the denominator], find the product of the fraction attained in this step by its complement [with respect to 1]. This product will be the deficit when you multiply the [approximate] root by itself, with respect to the initial number [whose root is extracted]. $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a+1}$ The error of the approximation $\scriptstyle\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2=\frac{b}{2a+1}\sdot\left(1-\frac{b}{2a+1}\right)$	ואם היו לתוספת ונעשה בתוספת א' על כפל השרש ראה כמה כפל השברים המתחדשים ההם בפעם ההיא במה שיש מהשברים ההם עד תשלום והעולה הוא אשר יחסר כאשר תכפול השרש בעצמו מהחשבון הראשון
The second approximation You should, therefore, divide it by double the [approximate] root itself and added to this root. $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)+\frac{\frac{b}{2a+1}\sdot\left(1-\frac{b}{2a+1}\right)}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)}$	והוא אשר יש לך לחלק עוד על כפל השרש בעצמו ולהוסיפו עליו
You can see it clearly in the previous example, which had [a fraction] added and involved adding one [in the denominator], where the fraction was six sevenths.	וזה תוכל לראות ברור בדמיון שעבר שהיה לתוספת ובתוספת א' והשברים ההם שהיו ששה שביעיות
Its complement [with respect to one] is one seventh, and when you multiply them by this complement the product is six sevenths of a seventh; this is indeed the deficit we found with respect to the original number [whose root was extracted], and so we instructed to divide it by double the [approximate] root and add [the result] to this root. $\scriptstyle{\color{blue}{10375-\left(101+\frac{6}{7}\right)^2=\frac{6}{7}\sdot\left(1-\frac{6}{7}\right)=\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{7}}}$	והנה השלמתם לשלם הוא שביעית אחת וכאשר תכפלם בהשלמה זו יעלה ו' שביעיות שביעית וזה בעצמו הוא שמצינו חסר בכפל השרש מהחשבון [הא'] וצוינו לחלקו לכפל השרש ולהוסיפו על השרש
The first approximation But if the additional [fraction] did not involve adding 1 [in the denominator] and falling short [of the initial number whose root is extracted], then we multiply the [additional] fraction by itself, and divide by double the [approximate] root, because this is the excess of the square of the [approximate] root over the original number [whose root is extracted]. $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}$ The error of the approximation $\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)=\left(\frac{b}{2a}\right)^2$	אך אם היה לתוספת בלי תוספת א' שהיו למגרעת נראה כפל השברים אשר נתחדשו על עצמם ונחלקם לכפול השרש לפי שזהו בעצמו אשר יהיה כפל השרש בעצמו יותר על החשבון
The second approximation We subtract the result from the previous [approximate] root, and so on. $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	והיוצא נחסרנו לעולם מהשרש הקודם וכן לעולם
Therefore, if you wish to repeat the procedure in order to approach the truth, [do this], because the more you repeat, the nearer you come to the truth, even if you can never attain it, as we have explained.	ולזה אם רצונך להכפל זה המעשה כדי להתקרב אל האמת כי כל מה שתוסיף להכפל זה הענין תוסיף להתקרב אל האמת ואם לא תשיגנה לעולם כמו שביארנו
[If you repeat the procedure], never add 1 to double the root, even if the remainder is very large with respect to the [approximate] root, so as to avoid confusion, for [adding 1] was instructed only for a single [approximation] step.	לא תוסיף א' לעולם על כפל השרש [ואף אם יהיה הנשאר הרבה מאד על השורש] כדי שלא יבלבל עליך כי לא ציויתיו אלא למסתפק בפעם אחת
Adding 1 [$\scriptstyle a+\frac{b}{2a+1}$] when the remainder is the same as the [approximate] root or greater, improves the approximation, as I explained, but if one repeats the procedure [$\scriptstyle a+\frac{b}{2a}$], one does not need this addition, because by repeating the procedure one approaches [the truth] very closely even without adding 1. It is better not to add it, so as to maintain a standard form of procedure and prevent confusion.	ובתוספת הא' כשהנשאר כשרש או יותר הוא מתקרב יותר כמו שכתבתי אבל המכפיל פעמי המעשה אינך צריך לתוספת זה כי בהכפל המעשה יתקרב מאד מאד אף מבלי תוספת הא‫' וטוב שלא נוסיפנו כדי שיהיה כל מעשהו בסגנון אחד ולא יתבלבל
The reason we say that if there is a remainder that is smaller than the [approximate] root, then we should divide it by double the root, is because that which is added to the root will add to the square its product by twice the previous root and its product by itself, as we explained with regard to integers. $\scriptstyle\left(a+b\right)^2-a^2=2ab+b^2$	וטעם אומרנו שאם ישאר דבר והוא פחו' מהשרש שנחלקנו לכפל השרש הוא לפי שאש' יתוסף בשורש יוסיף במרובע כפלו בשורש הראשון פעמים גם כפלו בעצמו כאשר ביארנו בשלמים
But, we proceed as if it only adds its product by twice the root. If this were true, i.e. that what is added to the root adds to the square only the product of what is added to the root by twice the root, then we would have this product, which equals the excess of the number [whose root is extracted] over the square of the integer [received through the extraction algorithm]. The excess of the first approximation: $\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2\approx a^2+\left[2\sdot\left(a\sdot\frac{b}{2a}\right)\right]=a^2+b$	ואנו עושים מעשינו כאלו אינו מוסיף כי אם כפלו בשרש פעמים ואם היה זה האמת ר"ל שהמתוסף על השרש לא היה מוסיף על המרובע כי אם כפל זה המתוסף בכפל השרש לבד הנה היה בידינו המספר העולה מהכפל הזה והוא השארית הנזכרת שהיא נוספת בחשבון על מרובע השלימים
Hence, when we would add in the root what is equal to its product by twice the root, as this excess itself, we would reach the required result. $\scriptstyle2a\sdot\frac{b}{2a}=b$	וכאשר נוסיף בשרש דבר מה שיהיה שוה כפלו בכפל השרש כזה התוספת בעצמו הגענו אל מבוקשנו
	ועם היות שנעלם ממנו תוספת זה ומ"מ אחר שידענו העולה מהכפל ההוא והיא השארית הנזכרת גם ידענו אחד מהנכפלים והוא כפל השרש [הנה בחלקנו זה העולה לכפל השורש יצא] יצא הנעלם שהוא התוספת ר"ל כי בכפול זה התוספת בכפול השרש יעלה כנשאר הנזכר וזה ברור
Since, that which is added to the root further adds to the square its product by itself, i.e. the product of this addition by itself, therefore, when we multiply the root by itself after this addition is added to it, the square will exceed the initial number [whose root is extracted] by the square of the addition. This is what we explained above. $\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)=\left(\frac{b}{2a}\right)^2$	אכן לפי שהמתוסף על השרש מוסיף עוד במרובע כפלו בעצמו ר"ל כפל התוספת הזה בעצמו לכן כאשר נכפול השרש בעצמו אחר הוסיף עליו זה התוספת יעלה המרובע מוסף על החשבון הראשון כפל התוספת הזה בעצמו וכן ביארנוהו למעלה
The second approximation $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	ואם היינו רוצים להתקרב עוד ואנו מחלקים זה התוספת לכפל השרש הזה והיוצא יחסר מזה השרש כאשר ביארנו למעלה

• The excess of the second approximation:

$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left[\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2=\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\sdot\left[\left[2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)\right]-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]$

	הנה זה שאנו מחסרים היה מוסיף על המרובע ככפלו על כפל השרש המחוסר הזה לאחר חסרונו וכפלו על עצמו בלי כפל
$\scriptstyle\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}=\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{\left[2\sdot\left[\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]\right]+\left[2\sdot\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]}$	ואולם התוספת אשר היה לנו חלקנוהו על כפל כל השרש טרם טרם החסרו והוא כמו שחלקנוהו על כפל השרש הזה המחוסר ועל כפל החסרון זה
$\scriptstyle\left[\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2-\left(a^2+b\right)=\left[\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2$	ואולם הוא לא היה מוסיף כי אם כפלו על כפל השרש הזה המחוס' וכפלו על עצמו בלי כפל נמצא שלא חסרנו בכל הצורך אבל עוד ישאר במרובע זה השרש המחוסר תוספת על החשבון הראשון ככפל זה החסרון על עצמו וזה ברור וכן יהיה לעולם
So, when we do not add 1 [to the denominator], and wish to approach the truth [using a repetitive procedure for extracting the root], [in the first step] we should only add the fraction of the first step [i.e., the remainder divided by twice the approximate root].	לכן כאשר לא נוסיף א' ונרצה להתקרב אל האמת אין לנו להוסיף על השרש כי אם השברים הראשונים אשר נתחדשו בפעם הראשון מאשר נשאר לנו
But, from there on we must divide the square of the fraction produced at that step by twice the previous [approximate] root. And the result should always be subtracted from the previous [approximate] root.	אבל מכאן ואילך לעולם יש לנו לחלק כפל השברים המתחדשים בפעם ההיא על כפל השרש הקודם לו והיוצא נחסרהו לעולם מהשרש הקודם לו
$\scriptstyle\sqrt{7}$	המשל בקשנו שרש ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\approx2+\frac{7-4}{2\sdot2}=2+\frac{3}{4}}}$	הנה השלמי' אשר בשרשו הם ב' ונשארו ג‫' ואם חלקנום לכפל השרש יצא בחילוק ג' רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{3}{4}\right)^2-2^2=3+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}$	והנה זה התוספת כאשר נחברהו אל הב' השלמים ונעשה מהכל שרש אחת הנה יתוסף במרובעו יותר על מרובע הב שיהיה ד' שלמים ככפל שלש רביעיות אלו בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{3=4\sdot\frac{3}{4}=2^2\sdot\frac{3}{4}}}$	ואולם שאריתנו לא היה כי אם ככפל הג' רביעיות בד' השלמים אשר הם כפל השרש הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{3}{4}\right)^2-7=\left[7+\left(\frac{3}{4}\right)^2\right]-7=\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{4}\sdot\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	נמצא שנתוספו בשרשנו זה שברים יותר מדאי עד שמרובע הכל יהיה יותר על הז' שלמים ככפל הג' רביעיות בעצמם שהם ט' רביעיות רביעית שהם ב' רביעיות שלמות ורביעית רביעית וזה ברור כי כפל ב' וג' רביעיות עולה ז' שלמים וב' רביעיות רביעית כאשר יתבאר בחלק הב' בפרק הג' ממנו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{7}&\scriptstyle\approx\left(2+\frac{3}{4}\right)-\frac{\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}{2\sdot\left(2+\frac{3}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{3}{4}\right)-\frac{\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}{5+\frac{2}{4}}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{3}{4}\right)-\frac{\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}{5+\frac{1}{2}}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{3}{4}\right)-\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{2}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}$	ולזה ראוי לנו לחלק תוספת זה על כפל השרש כאשר ביארנו. והנה כפל השרש הוא ה' שלמים וב' רביעיות שהם חצי שלם וכאשר נחלק עליהם ב' רביעיות ורביעית רביעית יצא בחילוק ט' חלקים מי"א מחצי רביעית וכאשר נסירם מהשרש הקודם ישאר ב' שלמים וב' רביעיות שלמות וחצי רביעית וב' חלקים מי"א מחצי רביעית וכל זה יתבאר מעשהו בחלק הב‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{3}{4}\right)^2-\left[2+\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{2}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]^2=\left[\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left[2\sdot\left(2+\frac{3}{4}\right)\right]\right]-\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)^2}}$

	והנה יחסר מרובע השרש הזה ר"ל הב' שלמים וב' רביעיות וחצי רביעית וב' חלקים מי"א מחצי רביעית אחרי החסרו מאשר לפניו ככפל החסרון הזה ר"ל הט' חלקים מי"א מחצי רביעית על כפל השרש המחוסר וככפלו לעצמו
	ואולם התוספת הראשו' אשר היה במרובע על החשבון היה ככפל החסרון זה בכפל השרש הראשון ר"ל בכפל השרש הזה המחוסר ובכפל החסרון הזה שהרי כאשר חלקנו התוספת על כפל השרש הקודם ר"ל על כפל השרש המחוסר ועל כפל זה החסרון [יצא בחלוק זה החסרון]
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left[2\sdot\left(2+\frac{3}{4}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left[\left[2\sdot\left[2+\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\left(\frac{2}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]+\left[2\sdot\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}$	נמצא שכפל זה החסרון ר"ל הט' חלקים מי"א מחצי רביעית בכפל השרש הראשון שהוא ב' שלמים וג' רביעיות שכפלו ה' שלימים וחצי שהוא כמו כפל השרש המחוסר הזה ר"ל הב' שלימים וב' רביעיות וב' חלקים מי"א מחצי רביעית וכפל זה החסרון שהוא הט' חלקים מי"א מחצי רביעית וכפל זה החסרון שהוא הט' חלקים מי"א הוא כמו התוספת אשר היה לנו שהוא הב' רביעיות ורביעית רביעית שחלקנו עליהם
$\scriptstyle a\sdot\left(b_1+b_2+\ldots+b_n\right)=\left(a\sdot b_1\right)+\left(a\sdot b_2\right)+\ldots+\left(a\sdot b_n\right)$	כי ידוע הוא במעט התבוניות כי כפל מספר על מספר הוא ככפלו בכל חלקי המספר האחד כל אחד בפני עצמו והוא הטעם שכפל מספר ידוע על כפל מספר ידוע אחר
$\scriptstyle{\color{blue}{4^2=\left(4\sdot1\right)+\left(4\sdot3\right)}}$	המשל על כפל ד' הוא ככפלו על כפל כל חלקיו כל אחד בפני עצמו המשל על כפל ג' ועל כפל א‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left[2\sdot\left(2+\frac{3}{4}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left[2\sdot\left[\left[2+\frac{2}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\left(\frac{2}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]+\left(\frac{9}{11}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\\\end{align}}}$	וזהו כאומרנו שכפל הט' חלקים מי"א מחצי רביעית בכפל השרש הראשון שהוא הב' שלמים וג' רביעיות הוא כמו כפלו בכל חלקיו כל אחד בפני עצמו ר"ל בכפל השרש המחוסר ובכפל החסרון שהם חלקי השרש הקודם וזה ברור
$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)=\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\sdot\left[2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)\right]$	ואחר שהמרובע הקודם היה מוסיף על החשבון אשר רצינו לידע שרשו ככפל החסרון על כפל כל השורש הקודם שהרי כשחלקנו אותו על כפל השורש הקודם [יצא זה החסרון הנה כאשר נכפול זה החסרון בכפל השורש הקודם] שהוא כפל היוצא בחילוק במספר אשר חלקנו עליו יעלה כמספר המתחלק שהוא התוספת שהיה לנו

• $\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left[\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2=\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\sdot\left[\left[2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)\right]-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]$

	ואולם בשביל זה החסרון אשר אנו מחסרים עתה מהשרש לא יחסר המרובע הזה מהראשון כי בכפל זה החסרון בכפל המחוסר ובעצמו בלי כפל
$\scriptstyle\left[\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2-\left(a^2+b\right)=\left[\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2$	א"כ ישאר עוד מהתוספת כפל זה החסרון בעצמו
And so on repeatedly: the excess of the subtracted over the given number $\scriptstyle a^2+b$ is the square of the subtrahend	הנה ביארנו כי בעשותינו זה כמה פעמים לעולם ישאר במרובע תוספת מרובע השברים שיצאו בחילוק בעת ההיא שהם אשר עלינו להוסיף על השרש במעשה הראשון או לחסרו מן השרש בשאר הפעמים כלם אם לא נעשנו בתוספת אחד ר"ל אם לא נוסיף אחד על כפל השרש לחלק על הכל אם יהיה התוספת גדול מהשרש אלא שנחלק התוספת על כפל השרש לבד בלי תוספת אחד כלל
	ולזה אמרנו כי כאשר לא נעשה בתוספת אחד לעולם נקח מרובע השברים אשר יצאו בפעם האחרונה הן לתוספת או למגרעת ונחלקם על כפל השרש המחוסר והיוצא נחסרנו מהשרש וכן נעשה לעולם וכל זה ברור בטעם
The reason we say that when the remainder equals to the [approximate] root or greater than it, we should divide it by double the root plus one, as long as we do not intend to repeat the procedure so as to further approach the truth except for this [step] only, is that if we had not added one, the square of the root consisting of the integer and fraction would exceed the number [whose root is extracted] by the square of the fraction received in the division. But this would be a quarter or more. $\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a+1}$ $\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)=\left(\frac{b}{2a}\right)^2\ge\frac{1}{4}$	וטעם אומרנו כי כאשר הנשאר הוא כשורש או יותר ממנו שיש לנו לחלקו על כפל השרש בתוספת אחד אם אין דעתינו להכפיל המעשה להתקרב עוד אל האמת זולתי בפעם הזאת לבד הוא לפי שאם לא היינו מוסיפים אחד היה מרובע השרש המקובץ מהשלמים והשברים עודף על החשבון ככפל השברים אשר יצאו בחילוק וזה יהיה רביעית אחת או יותר
For, if [the remainder] is equal to the root itself, and we divide it by double the root, the result of division will be a half. Its square, i.e. its product by itself, which is the excess, will then be an entire quarter. $\scriptstyle b=a\longrightarrow\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{a}{2a}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$	לפי שאם יהיה כשורש בעינו ונחלקנו על כפל השרש יצא בחלוק חצי ומרובעו ר"ל כפלו בעצמו שהוא התוספת שיהיה רביעית שלמה
And if the remainder is greater than the root, when we divide it by double the root, the result will be more than a half, and its square more than a quarter. $\scriptstyle b>a\longrightarrow\left(\frac{b}{2a}\right)^2>\left(\frac{a}{2a}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$	ואם יהיה השארית יותר גדול מהשרש כשנחלקנו על כפל השרש יהיה היוצא יותר מחצי ומרובעו יותר מרביעית
$\scriptstyle\sqrt{6}$	והמשל בקשנו לידע שרש ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}\approx2+\frac{6-4}{2\sdot2}=2+\frac{2}{4}=2+\frac{1}{2}}}$	הנה השלמים אשר יצאו בשרש הם ב' וישארו ב' שהוא כמו השרש בעצמו ואם חלקנום על כפל השרש בלי תוספת אחת יתחלק לד' שהוא כפל השרש ויצא בחילוק חצי ויהיה כל השרש ב' שלמים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)^2=6+\frac{1}{4}}}$	ומרובעם ו' שלמים ורביע
$\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2=\frac{b}{2a+1}\sdot\left(1-\frac{b}{2a+1}\right)<\frac{1}{2}\sdot\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$	ואם היינו מוסיפים א' הנה יחסר מהמרובע ככפל היוצא בחילוק שיהיה פחות מחצי בהשלמתו לאחד וזה יהיה פחות מרביע הנה א"כ הוא קרוב אל האמת כי לא יחסר רביע במרובע מהחשבון ואם לא נוסיף א' נוסיף רביע וכ"ש אם היה גדול מהשרש
$\scriptstyle b>a\longrightarrow\left(\frac{b}{2a}\right)^2>\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$	כי כאשר נחלקנו לכפול השרש יצא בחילוק יותר מחצי ומרובעו יותר מרביע כאשר תראה במשל הקודם לזה
If you divide [the remainder] by double the root plus 1, the square of the root will be less than the sought number by the product of the quotient and its complement with respect to one, which can never in any way reach a quarter. $\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2=\frac{b}{2a+1}\sdot\left(1-\frac{b}{2a+1}\right)<\frac{1}{2}\sdot\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$	ואם תחלקנו על כפל השרש בתוספת א' יחסר מרובע השרש המקובץ מהחשבון הנשאל ככפל היוצא בחלוק בהשלמתו לאחד ולא יהיה אפי' רביע בשום פנים
For, the product of a portion of a line or a number by its complement never reaches a quarter.	כי כאשר תכפול קצת הקו או המספר בקצתו האחר לא יעלה לעולם לרביע
Because, if you multiply its half by its half the result will be a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}}$	שאם תכפול חציו בחציו יהיה רביע
And clearly if you multiply its smaller portion by its larger [complementing] portion [the product] will not be a quarter but smaller than it by the square of their distances from half the line or the number. $\scriptstyle\left(1-\frac{n}{m}\right)>\frac{n}{m}\longrightarrow\frac{1}{4}-\left[\frac{n}{m}\sdot\left(1-\frac{n}{m}\right)\right]=\left(\frac{1}{2}-\frac{n}{m}\right)^2$	ואם תכפול מעוטו ברובו לא יהיה רביע וזה ברור אבל יחסר ממנו כמרובע מרחקם מחצי הקו או המספר
dividing a line to ¼ and ¾ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}=4\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	כי ע'ד'מ' אם חלקנו הקו לרביע הקו וג' רביעיות הנה אם תכפול החצי בחצי הוא כאלו תכפול רביע הקו עם ברביע הקו ד' פעמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}\sdot\frac{3}{4}=3\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	ואם תכפול רביע הקו בג' רביעיות המשלימות אותו לאחד שלם לא יהיה כי אם כפל רביע הקו ברביע הקו ג' פעמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{4}\sdot\left(1-\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$	הנה יחסר מחצי על חצי ככפל רביע על רביע שהוא מרחק כל אחד מחלקי הקו מהחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=6\sdot6=36=30+6=\left(6\sdot5\right)+\left(6\sdot1\right)}}$	ואם תכפול ע'ד'מ' חצי מספר י"ב בחציו שהוא ו' בו' יעלה ל"ו שהוא כפל ו' בה' שהם ל' וכפלו ו' בא' שהם ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(6-1\right)\sdot\left(6+1\right)=5\sdot7=35=30+5=\left(5\sdot6\right)+\left(5\sdot1\right)}}$	ואולם אם תכפול ה' בז' שהם השלמתו לאחד לא יהיה כי אם ל"ה לפי שהוא ככפל ה' בו' שהם ל' וכפל ה' בא' שהם ה‫'
	וכל מה שיתחלקו יותר החלקים יחסר יותר
$\scriptstyle\left(1-\frac{n}{m}\right)>\frac{n}{m}\longrightarrow\frac{1}{4}-\left[\frac{n}{m}\sdot\left(1-\frac{n}{m}\right)\right]=\left(\frac{1}{2}-\frac{n}{m}\right)^2$	וזה שהחסרון מרביע הוא כמרובע הרחקתם מחצי
	כבמשלנו זה שהיה כמרובע האחד אשר נתרחקו מו' שהוא החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\right]-\left[3\sdot\left(12-3\right)\right]=\left(6\sdot6\right)-\left(3\sdot9\right)=36-27=9=3^2}}$	ואם היינו כופלים ג' בהשלמתו לי"ב שהוא ט' הנה לא יעלה כי אם כ"ז ויחסר כמרובע ג' שנתרחקו מהחצי שהוא ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=6\sdot6=\left(6\sdot3\right)+\left(6\sdot3\right)=\left[2\sdot\left(3\sdot3\right)\right]+\left[2\sdot\left(3\sdot3\right)\right]}}$	וזה כי כפל ו' בו' הוא ככפל ו' בג' וככפלו ו' בג' שהוא כפל ג' בג' פעמים
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(12-3\right)=3\sdot9=\left(3\sdot6\right)+\left(3\sdot3\right)}}$	ואולם כפל ג' בט' אינו כי אם כפל ג' בו' וכפל ג' בג' פעם אחת לבד
$\scriptstyle\frac{1}{4}n^2-\left[m\sdot\left(n-m\right)\right]=\left[\left(\frac{1}{2}n\right)\sdot\left(\frac{1}{2}n\right)\right]-\left[m\sdot\left(n-m\right)\right]=\left[\left(\frac{1}{2}n\right)-m\right]^2$	לכן יחסר מרביע מרובע המספר ככפל ריחוקם מהחצי בעצמו והוא רביע רביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\right]-\left[3\sdot\left(12-3\right)\right]=3^2=\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)^2}}$	לפי שרחוקם היה ג' שהוא רביע הי"ב דוק ותשכח
The reason for: $\scriptstyle\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2=\frac{b}{2a+1}\sdot\left(1-\frac{b}{2a+1}\right)$	ואולם אומרנו שכאשר נחלקנו לכפל השרש בתוספת אחד שיהיה החסרון אשר במרובע השרש המקובץ מהחשבון ככפל היוצא בחילוק בהשלמתו
	אבארנו תחלה במשלים העוברים וא'ח'כ' אבארנו בטעם
$\scriptstyle\sqrt{7}$	המשל כאשר בקשנו שרש ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\approx2+\frac{7-4}{\left(2\sdot2\right)+1}=2+\frac{3}{5}}}$	והיה ב שלמים ונשארו ג' שהם יותר מהשרש וחלקנום לכפל השרש בתוספת א' ר"ל על ה' יצא בחילוק ג' חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7-\left(2+\frac{3}{5}\right)^2&\scriptstyle=7-\left[6+\frac{3}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{6}{5}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{3}{5}\sdot\frac{2}{5}\\&\scriptstyle=\frac{3}{5}\sdot\left(1-\frac{3}{5}\right)\\\end{align}}}$	וכאשר נכפול שני שלמים וג' חמישיות על עצמו יהיה מרובעו ו' שלמים וג' חמישיות וד' חמישיות חמישית והחשבון הנשאל היה ז' שלימים הנה יחסר זה המרובע מז' שלמים חמישית [אחת שלמה וחמישית חמישית וזה] וזה בעצמו הוא כפל הג' חמישיות אשר יצאו בחלוק על השלמתם לאחד שלם שהוא ב' חמישיות כי כפל ג' חמישיות בב' חמישיות הוא ו' חמישיות חמישית שהן חמישית אחד שלם וחמישית חמישית
$\scriptstyle\sqrt{6}$	ובמשל בשני
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}\approx2+\frac{6-4}{\left(2\sdot2\right)+1}=2+\frac{2}{5}}}$	אם בקשנו שרש והנה יצאו ב' שלמים ונשארו ב' שהוא כמו השרש אם חלקנום על כפל השרש בתוספת א' ר"ל על ה' יצא בחילוק ב' חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle6-\left(2+\frac{2}{5}\right)^2&\scriptstyle=6-\left[5+\frac{3}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{6}{5}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}\sdot\frac{3}{5}\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}\sdot\left(1-\frac{2}{5}\right)\\\end{align}}}$	וכאשר כפלנו שני שלמים וב' חמישיות על עצמם יעלה ה' מרובעו ה' שלמים וג' [חמישיות] וד' חמישיות חמישית ואולם החשבון הנשאל אשר בקשנו שרשו היה ו' שלמים הנה יחסר זה המרובע מהחשבון ההוא חמישית אחת שלימה וחמישית חמישית והוא ככפל הב' חמישיות אשר יצאו בחילוק בהשלמתם לאחד שהוא ג' חמישיות כי כפל ב' חמישיות בג' חמישיות הוא ו' חמישיות חמישית שהן חמישית אחד שלמה וחמישית חמישית כאשר ביארנו
The reason is that the remainder is as the result of division multiplied by twice the [previous approximate] root plus one. $\scriptstyle b=\frac{b}{2a+1}\sdot\left(2a+1\right)=\left(\frac{b}{2a+1}\sdot2a\right)+\left(\frac{b}{2a+1}\sdot1\right)$	והטעם הוא לפי שהשארית היה ככפל זה היוצא בחילוק בכפל השרש הראשון ובאחד
	שהרי בחלקנו השארית לכפל השרש בתוספת א' יצא זה בחלוק נמצא שהשארית היה ככפל זה היוצא בחלוק בכפל השרש הקודם [ובא‫']
The addition of the result to the previous [approximate] root, however, will add to the square only its product by twice the previous root and its product by itself. $\scriptstyle\left(a+b\right)^2-a^2=\left(2\sdot a\sdot b\right)+b^2$	ואולם תוספת זה היוצא בשרש הקודם לא יוסיף במרובע כי אם ככפלו בכפל השרש הקודם ובכפלו בעצמו
But, its product by itself subtracted from its product by 1 is its product by its complement [with respect to 1]. $\scriptstyle\left(b\sdot1\right)-b^2=b\sdot\left(1-b\right)$	וכפלו בעצמו יחס' מכפלו בא' כפלו בהשלמתו לאחד
For example, the product of a third by one is as its product by all the parts [of 1], namely by a third, which is itself, and by two thirds, which is its complement with respect to one; this is clear. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot1\right)=\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]}}$	כי המשל כפל שליש באחד הוא ככפלו בכל חלקיו ר"ל ככפלו בשליש ר"ל בעצמו וככפלו בשתי שלישים אשר הם המשלים אותו כאחד וזה ברור
$\scriptstyle b\ge a\longrightarrow\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2<\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)$ → $\scriptstyle a+\frac{b}{2a+1}$ is a closer approximation	הנה ביארנו כי כאשר השארית היה כשרש או יותר ממנו כי בחלקנו אותו לכפל השרש בתוספת א' יתקרב אל האמת לחסרון מאשר יתקרב אל האמת לתוספת בחלקנו אותו לכפל השרש בלי תוספת אחד
$\scriptstyle b<a\longrightarrow\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2>\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)$ → $\scriptstyle a+\frac{b}{2a}$ is a closer approximation	ואולם אם השארית פחות מהשרש יהיה להפך
Example: if we wish the root of 29 $\scriptstyle\sqrt{29}$	המשל אם בקשנו שרש כ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{29}\approx5+\frac{29-25}{2\sdot5}=5+\frac{4}{10}}}$	הנה השלמים אשר יצאו בשרש הם ה' ונשארו ד‫' ואם חלקנום לכפל השרש בלי תוספת שהוא י' יצאו ד' עשיריות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{4}{10}\right)^2-29=\frac{16}{10}\sdot\frac{1}{10}=\frac{16}{100}}}$	וריחוקו מן האמת לתוספת הוא ככפל זה היוצא בעצמו שהוא י"ו עשיריות עשירית ר"ל י"ו חלקים מק' שבשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{29}\approx5+\frac{29-25}{\left(2\sdot5\right)+1}=5+\frac{4}{11}}}$	ואם חלקנום בתוספת א' שהוא י"א יצאו בחלוק ד' חלקים מי"א בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{29-\left(5+\frac{4}{11}\right)^2=\frac{4}{11}\sdot\left(1-\frac{4}{11}\right)=\frac{4}{11}\sdot\frac{7}{11}=\frac{28}{11}\sdot\frac{1}{11}=\frac{28}{121}>\frac{1}{5}}}$	ויתרחק מן האמת בכפל והיוצא בהשלמתו לאחד שהוא ז' חלקים מי"א כאשר ביארנו והוא כ"ח חלקים מי"א מחלק אחד עשר בשלם ר"ל כ"ח חלקים מקכ"א בשלם והוא יותר מחמישית שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{4}{10}\right)^2-29=\frac{16}{10}\sdot\frac{1}{10}=\frac{16}{100}<\frac{1}{6}}}$	ואולם הראשונים לא היו אפי' שישית אחת והקש על זה
$\scriptstyle\left(a^2+b\right)-\left(a+\frac{b}{2a+1}\right)^2=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-\frac{b}{2a+1}\right)^2$	והטעם כי זה יחסר רחוקו מן האמת מרביעיתו ככפל מרחקו מחצי בעצמו
$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)=\frac{1}{4}-\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{b}{2a}\right)^2+\left[2\sdot\frac{b}{2a}\sdot\left(\frac{1}{2}-\frac{b}{2a}\right)\right]\right]$	וזה יחסר רחוקו מן האמת ככפל רחוקו מחצי בעצמו וככפל זה הריחוק פעמים בזה השרש המתוסף
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle29-\left(5+\frac{4}{11}\right)^2&\scriptstyle=\frac{4}{11}\sdot\frac{7}{11}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}-\frac{2+\frac{1}{4}}{11^2}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}-\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\frac{1}{11}\right]^2\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-\frac{4}{11}\right)^2\\\end{align}}}$	המשל במשלנו הקודם כי כאשר יעשה [בתוספת א' המשל שחלקנו הד' על י"א ויצאו ד'י"א הנה] י"א הנה יתרחק מן האמת ככפל אלו הד' בז' כנזכר ויחסר מרביע ככפל חלק אחד וחצי שהוא מרחקו מחצי הי"א בעצמו שהוא מרובע מרחקו שהוא ב' ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(5+\frac{4}{10}\right)^2-29&\scriptstyle=\left(\frac{4}{10}\right)^2\\&\scriptstyle=\frac{16}{100}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}-\frac{9}{100}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}-\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{4}{10}\right)^2+\left[2\sdot\frac{4}{10}\sdot\left(\frac{1}{2}-\frac{4}{10}\right)\right]\right]\\\end{align}}}$	ואולם כאשר חלקנוהו מבלי תוספת המשל על י' הנה עלה בחלוק ד' עשיריות ויתרחק מן האמת ככפלו בעצמו שהוא פחות מרביע כמרובע מרחקו מחצי שהוא האחד וכפל זה האחד בכפל זה השרש שעולה הכל ט‫'
	ועם היות שאין הריחוקים שוים ולא החלקים מ"מ אין הקומץ משביע את הארי
	ולא חששתי לדקדק יותר כי די באשר דקדקתי בזה המקום
Additional emphasis: in the repetitive procedure one should always use this approximation $\scriptstyle a+\frac{b}{2a}$ instead of the previous approximation $\scriptstyle a+\frac{b}{2a+1}$, even if b≥a, in order to avoid confusion	ועוד שכבר אמרנו שהרוצה להכפיל המעשים שאין לו צורך להוסיף אחד אף אם יהיה השארית גדול מהשרש כי בהכפל יתקרב אל האמת בכל מאויו ולא יתבלבל במעשיו בתוספת אחד אבל לעולם יעשה בלי תוספת ואין לו לעיין כי אם לקחת מרובע השברים היוצאים בחלוק בפעם ההיא ולחלקו לכפל השרש והיוצא יחסרהו משרשו וכן לעולם כי לא ציויתי להוסיף אחד כאשר השארית כשרש או יותר אלא למסתפק בפעם אחת אבל הרוצה לידע להתקרב מאד ולהכפיל המעשים לא יוסיף ולא יתבלבל
Another approximation: If you wish to approach the truth at once with little effort, add the remainder [i.e. the difference between the number and the approximate the root] to the square of double the [approximate] root that is in your hand, and divide by it the product of the remainder and double the [approximate] root. Add the result to the [approximate] root that is in your hand, and this root will be very near the truth. $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{2\sdot a\sdot b}{\left(2a\right)^2+b}$	ואם תרצה להתקרב אל האמת ברגע במעט עמל חבר הנשאר למרובע כפל השרש שבידיך וחלק עליו כפל הנשאר בכפל השרש והיוצא חברהו לשרש שבידיך ויהיה שרש קרוב מאד אל האמת
The second approximation: If you wish to approach the truth further, [divide] the cube of the above remainder by the denominator squared. $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx\left[a+\frac{2\sdot a\sdot b}{\left(2a\right)^2+b}\right]+\frac{2\sdot\left[a+\frac{2\sdot a\sdot b}{\left(2a\right)^2+b}\right]\sdot\frac{b^3}{\left[\left(2a\right)^2+b\right]^2}}{\left[2\sdot\left[a+\frac{2\sdot a\sdot b}{\left(2a\right)^2+b}\right]\right]^2+\frac{b^3}{\left[\left(2a\right)^2+b\right]^2}}$	ואם תרצה להתקרב יותר אל האמת קח מעוקב הנשאר הנזכר מהמורה כפול
$\scriptstyle\sqrt{3}$	ר"ל שאם רצינו לדעת שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3}\approx1+\frac{2\sdot1\sdot\left(3-1\right)}{\left(2\sdot1\right)^2+\left(3-1\right)}=1+\frac{2\sdot1\sdot2}{\left(2\sdot1\right)^2+2}=1+\frac{4}{6}}}$	והיה כפל השרש מחובר עם הנשאר היה הכל ששה והנשאר בתחלה היו שתים
$\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(1+\frac{4}{6}\right)^2=\frac{2^3}{\left[\left(2\sdot1\right)^2+2\right]^2}=\frac{8}{6}\sdot\frac{1}{6}}}$	תקח מעוקב השנים שהוא שמונה ותקרא לו שם משישית שישית ר"ל ח' ששמה שישית וזה יהיה הנשאר במרובע על כפל השרש האחרון
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3}\approx\left(1+\frac{4}{6}\right)+\frac{2\sdot\left(1+\frac{4}{6}\right)\sdot\left(\frac{8}{6}\sdot\frac{1}{6}\right)}{\left[2\sdot\left(1+\frac{4}{6}\right)\right]^2+\left(\frac{8}{6}\sdot\frac{1}{6}\right)}=1+\frac{112}{153}}}$	ותעשה ממנו עם זה השרש האחרון כמו שעשית לשארית הראשון עם השרש הראשון ויעלה כל השרש א' שלם וקי"ב חלקים מקנ"ג בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{112}{153}\right)^2=3-\frac{2}{153^2}}}$	שמרובעו הוא ג' שלימים חסר ב' חלקים ממרובע קנ"ג בשלם
	וראה גם ראה גם נתקרבת אל האמת שאין ממרובע השרשך למרובע הנשאל אחד מרבבה בשלם ודי

Section Two: Fractions	החלק השני בשברים
Introduction
Before the chapters, I will open with introduction that consist of three chapters:	לפני הפרקים אקדים הקדמה אחת ובה שלשה פרקים
Chapter one on fractionalization	השער הא' בפריטה
Chapter two on multiplication [= fractions of fractions, fractions of integers]	השער הב' בהכאה
Chapter three on equalization	השער השלישי בהשואה
Chapter One on Fractionalization	‫השער הראשון בפריטה
Fractionalization = converting the integers to fractions of whichever type you wish	הפריטה היא חזרת השלימים לחלקים מהמין אשר תרצה
If you have integers and fractions - converting all to the type of these fractions	ואם יש בידיך שלמים ושברים להשיב הכל ממין השברי' ההם
If you have fractions and fractions of fractions - converting all to the lower type of them.	וכן אם יש לך שברים ושברי שברים כמו שיהיו להשיב כלם מהמין הקטן מהם
Example for integers and fractions: $\scriptstyle{\color{red}{n+\frac{a}{b}=\frac{\left(n\sdot b\right)+a}{b}}}$	המשל שלימים בשברים
If you have 3 integers and 5 sevenths. $\scriptstyle3+\frac{5}{7}$	אם היו בידיך ג' שלמים וה' שביעיות
The integers are converted to sevenths, which is the type of fractions that are with them, by multiplying these three integers by the denominator of the sevenths, which is 7. The result is 21. By adding the 5 sevenths to them, the total is 26 sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{5}{7}=\frac{\left(3\sdot7\right)+5}{7}=\frac{21+5}{7}=\frac{26}{7}}}$	הנה השילימים ישובו שביעיות שהוא מין שברים שעמו בהכפל אלו השלשה שלימים במורה השביעיות שהוא הז' ויעלו כ"א ובחברך אליהם הה' שביעיות אשר עמהם יהיו הכל כ"ו שלימים שביעיות
All this is seen clear and its reason is explained in the examination of the [divisors] as clarified in chapter four - this is the rule and the reason.	וכל זה תראה ברור ומפורש בטעם בבחינת המתחלק למורים כמו שנתבאר בפרק הד' והוא הדין והוא הטעם
If you have fractions and fractions of fractions, multiply the fractions by the denominator of the fractions of fractions, then add to them the fractions of fractions. $\scriptstyle{\color{red}{\frac{g}{b}+\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)=\frac{\left(g\sdot d\right)+\left(a\sdot c\right)}{b}\sdot\frac{1}{d}}}$	כי אם אין בידיך כי אם שברים ושברי שברים שתכפול השברים במורה השברי שברים ושבר שברים שתכפול ותחבר אליהם השברי שברים וכן לעולם
I will give one example for all this:	ואביא משל א' לכל זה
Example: if you have 3 integers, 2 quarters of a fifth and 4 eighths of quarters of a fifth, like this: $\scriptstyle3+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)$	המשל אם היו לך ג' שלימים וב' רביעיות חמישית וד' שמיניות רביעית חמישית כזה
	3 9 8 4 5 2   4 2
First we convert the 3 integers to fifths by multiplying them by 5, which is their denominator. This is because each integer is 5 fifths. Hence, they are 15 fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{3=\frac{3\sdot5}{5}=\frac{15}{5}}}$	נשיב ראשונה הג' שלמים לחמישיות והוא בכפלנו אותם בה' שהוא המורה עליהם וזה כי כל שלם הוא ה' חמישיות ויהיה ט"ו חמישיות
If there was a number beneath it [as the numerator of the 5] we would have add it to them, so they are also fifths.	ואם היה תחתיו מספר היינו מחברים אותו עליהם שהיו ג"כ חמישיות
Since there is no [number beneath the 5], we further convert them to quarters of a fifth, which is the denominator of the 2, by multiplying them by 4. Because each fifth is 4 quarters of a fifth. The result is 60 quarters of a fifth. We add to them the two that is beneath [the 4], which is also of the same type, i.e. quarters of a fifth. The total is 62. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{\left(15\sdot4\right)+2}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{60+2}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{62}{4}\sdot\frac{1}{5}}}$	אכן אחר אשר לא נמצא שם נשיבם עוד רביעיות חמישית [שהוא המורה הב' וזה שנכפלם בד' כי כל חמישית שלמה היא ד' רביעיות החמישית ויעלו ס' רביעיות חמישית]‫ ונחבר אליהם השנים אשר תחתיו שהם ג"כ מזה המין ר"ל רביעיות חמישית ויעלו ס' רביעיות חמישית ונחבר אליהם הב' אשר תחתיו שהם ג"כ מזה המין ר"ל רביעיות חמישית יעלה הכל ס"ב
We convert them to eighths of quarters of a fifth by multiplying them by 8, the result is 496. We add to them the 4 that is beneath [the 8], which is of their type. The total is 500. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{62}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(62\sdot8\right)+4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{496+4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{500}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\\end{align}}}$	נשיבם שמיניות רביעיות חמישית וזה בשנכפלם בח' יעלה תצ"ו נחבר להם הד' אשר תחתיו שהם ממינם יעלה הכל ת"ק
We convert them to ninths of eighths of quarters of a fifth by multiplying them by 9, the result is 4500. Since we do not find anything beneath [the 9] we do not add anything to them. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{500}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{500\sdot9}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{4500}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}}}$	נשיבם תשיעיות שמינית רביעית חמישית וזה בשנכפלם בט' יעלו 4500 ואחרי שלא נמצא תחתיו דבר לא נחבר אליהם דבר
We convert them to thirds of ninths of eighths of quarters of a fifth by multiplying them by 3, the result is 13500. We add to them the 2 that is beneath [the 3], which is of their type. The total is 13502 and we completed the procedure. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{4500}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(4500\sdot3\right)+2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{13500+2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{13502}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\\end{align}}}$	אבל נשיבם שלישיות תשיעית שמינית רביעית חמישית והוא שנכפלם בג' יעלו 13500 נחבר אליהם הב' אשר תחתיו שהוא ממינם יעלה הכל 13502 וכלינו כל מלאכתנו
If there are no integers there at all. $\scriptstyle{\color{red}{\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ואם לא היה שם שלמים כלל
We should start from the 2 that is beneath the first denominator beneath which there is a number, even if it were the second of the denominators. We multiply them by 8, which is the next denominator. The result is 16. We add to them the 4 that is beneath [the 8]. The result is 20. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(2\sdot8\right)+4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{16+4}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{20}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\\end{align}}}$	היה לנו להתחיל מהב' אשר תחת המורה הראשון אשר תחתיו מספר מה ואם הוא שני לחשבון המורים והיה לנו לכפלם בח' שהוא המורה הסמוך ויעלו י"ו ולחבר להם הד' אשר תחתיו ויעלו כ‫'
Then we multiply them by 9. The result is 180. We multiply them also by 3. The result is 540. We add to them the 2 that is beneath [the 3]. The total is 542. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{20}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)&\scriptstyle=\left(\frac{20\sdot9}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(180\sdot3\right)+2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{540+2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{542}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\\end{align}}}$	ונכפלם עוד בט' יהיו ק"פ נכפלם עוד בג' יעלו 540 נחבר להם הב' אשר תחתיו ויעלה הכל 542
Thus, we have everything explained by the procedure and by reason - how everything is converted into the final type, whether there are integers with fractions, or there are no integers there; the result is of the final type.	הרי לנו הכל מפורש במעשה ובטעם איך ישוב הכל מהמין האחרון בין אם יש שלמים עם שברים בין אם אין שם שלמים והיוצא באחרונה הם מהמין האחרון
I.e. for the result in our mentioned example are thirds of a ninth of an eighth of a quarter of a fifth.	ר"ל כי אלו אשר יצאו לנו במשלנו הנזכר הם שלישיות תשיעית שמינית רביעית חמישית

Chapter Two on Multiplication	השער השני בהכאה
The multiplication [= compound fractions] is when the fractions are not [fractions] of one integer, or of one fraction, but they are [fractions] of a number of integers or a number of fractions.	ההכאה היא כאשר השברים אינם שברים משלם אחד או משבר אחד אבל הם ממספר שלמים או ממספר שברים
As when we say: two fifths of three quarters of 5 integers, like this: $\scriptstyle\frac{2}{5}\sdot\frac{3}{4}\sdot5$	ר"ל כאומרנו שתי חמישיות משלש רביעיות מה' שלמים כזה
	5   4 5 3 2
Our saying two fifths of 3 quarters of 5 integers is as saying that we take 5 integers and divide them into 4 equal parts. We take 3 of them, which are 3 quarters of the 5 integers, and divide these three parts further into 5 equal parts. Then we take 2 of them, which are 2 fifths of 3 quarters of 5 integers.	והנה אומרנו שני חמישיו' מג' רביעיות מה' שלמים הוא כאומרנו שלקחנו ה' שלמים ועשינו מהם ד' חלקי' שוים ולקחנו הג' מהם שזהו ג' רביעיות מה' שלמים וחלקנו עוד אלו הג' חלקים לה' חלקים שוים ולקחנו הב' מהם שזהו פי' ב' חמשיות מג' רביעיות מה' שלמים
The fractions here are of one type only, therefore, there is no need for fractionalization at all. $\scriptstyle{\color{red}{\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b}\sdot\frac{1}{d}}}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\sdot n=\frac{a\sdot c\sdot n}{b}\sdot\frac{1}{d}}}$	ואין כאן שברים כי אם ממין אחד ואינך צריך לעשות פריטה כלל
Yet, there is a need for multiplication.	אבל אתה צריך לעשות הכאה
For, our saying: 2 fifths of 3 quarters is as our saying: 2 fifths of a quarter, plus 2 fifths of a quarter, plus 2 fifths of a quarter. Therefore, we multiply 2 by 3, which is the number of the quarters. The result is 6. Hence, we know that the 2 fifths of 3 quarters are 6 fifths of a quarter and this clear by the operation and by reason. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{5}\sdot\frac{3}{4}&\scriptstyle=\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{2\sdot3}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{6}{5}\sdot\frac{1}{4}\\\end{align}}}$	והוא כי אומרנו ב' חמישיות מג' רביעיות הרי הוא כאומרנו ב' חמישיות רביעית וב' חמישיות רביעית וב' חמישיות רביעית ולזה נכה הב' בג' שהוא מספר הרביעיות יעלו ו' הנה ידענו שהב' חמישיות מג' רביעיות הם ו' חמישיות רביעיות והוא ברור במעשה ובטעם
Since we say "of 5 integers" it is as if we have 6 fifths of a quarter of one five times. Therefore, we multiply 6, which is the number of the fractions that we have, by 5, which is the number of the integers, as the number of the duplications of what we have. The result is 30. Hence, 2 fifths of 3 quarters of 5 integers are 30 fifths of a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{5}\sdot\frac{3}{4}\sdot5&\scriptstyle=\frac{6}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot5\\&\scriptstyle=\frac{6\sdot5}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{30}{5}\sdot\frac{1}{4}\\\end{align}}}$	ולפי שאמרנו מה' שלמים הוא כאלו יש לנו בידינו ו' חמישיות רביעית משלם וכן עד ה' פעמים לכן נכה הו' שהוא מספר השברים אשר בידינו בה' שהוא מספר השלמים שהוא כמספר הפעמים אשר ישנך בידינו ויעלו ל' הרי לנו שהב' חמישיו' מג' רביעיות מה' שלמים הם ל' חמישיות רביעית והקש על זה
Sometimes the fractions and fractions of fractions are of a number of fractions or integers and for this you should apply both operations i.e. the fractionalization and multiplication.	ולפעמים יהיה כמספר שברים ושברי שברים משבר אחת גם ממספר שברים או שלמים ולזה תצטרך לעשות שני דברים המעשים ר"ל הפריטה והכאה
Example: two quarters and 3 fifths of a quarter of 3 sevenths of an eighth and 4 fifths of sevenths of an eighth of 3 ninths of a tenth of 4 integers. $\scriptstyle\left[\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left(\frac{3}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\sdot4$	המשל שני רביעיות וג' חמישיות רביעית מג' שביעיות שמינית וד' חמישיות שביעית שמינית מג' תשיעיות עשירית מד' שלמים
Set the following diagram:	תעשה הצורה כזה
	4 9 10 5 7 8 3 5 4 4 3 3
First apply the fractionalization on each of them:	ועשה הפריטה לכל אחד מהם תחלה
Fractionalizing the 3 sevenths of an eighth that are related [to the four fifths of sevenths of an eighth] by multiplying them by each other, that is by multiplying the 3 that is the number of the [sevenths] by 5, which is the next denominator. The result is 15. We add to them the 4 that is beneath [the 5], which is of the same type. The total is 19. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(3\sdot5\right)+4}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\\&\scriptstyle=\frac{15+4}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\\&\scriptstyle=\frac{19}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\\\end{align}}}$	ונעשה פריטה לג' שביעיות שמינית שהן נקשרות בשנכפול זו בזו וזה בשנכפול הג' שהם מספ' השברים בה' שהוא המורה הסמוך ויעלו ט"ו ונחבר להם הד' אשר תחתיו שהם ממין זה יהיו כלם י"ט
Fractionalizing 2 quarters and 3 fifths of a quarter that are also related, by multiplying 2 by 5. The result is 10. We add to them the 3 that is beneath [the 5]. The result is 13. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(2\sdot5\right)+3}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{10+3}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{13}{5}\sdot\frac{1}{4}\\\end{align}}}$	עוד נעשה פריטה לב' רביעיות וג' נחשת חמשיות רביעית שהם ג"כ נקשרות וזה שנכפול הב' בה' ויעלו י' ונחבר להם הג' אשר תחתיו ויעלו י"ג
Thus, our first question is as if saying: we have 13 fifths of a quarter of 19 fifths of sevenths of an eighth of 3 ninths of a tenth of 4 integers. As follows:	הנה שאלתנו הראשונה הוא כאלו אמרו שיש בידינו י"ג חמישיות רביעית מי"ט חמישיות שביעית שמינית מג' תשיעיות עשירית הד' שלמים כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left(\frac{3}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\sdot4\\&\scriptstyle=\left(\frac{13}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left(\frac{19}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left(\frac{3}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\sdot4\\\end{align}}}$	4 9 10 5 7 8 3 5 4 19 13
Hence, the explanation of our question is if we were told: We took 4 integers and divided them, i.e. the four of them together, into ten equal parts.	והנה ביאור שאלתנו הוא כאלו אמרנו לנו לשלקחנו ד' שלמים ועשינו מהם ר"ל מארבעתם ביחד עשרה חלקים שווים
We took one part of them and divided it into 9 parts.	ולקחנו [חלק אחד מהם ועשינו אותו ט' חלקים
We took 3 parts of these 9 latter together and divided them into 8 equal parts.	ולקחנו] ג' חלקים מאלו הט' האחרונים ביחד ועשינו ח' חלקים שוים
We took one part of them, divided it into 7 equal parts, then divided each part of them into 5.	ולקחנו חלק אחד מהם ועשינו אותו ז' חלקים וחלקנו כל חלק מהם לה‫'
We took 19 parts of the type of the latter, divided them into 4 equal parts, then divided each part of them into 5.	ולקחנו י"ט חלקים ממין אלו האחרונים ביחד ועשינו אותם ד' חלקים שוים וחלקנו כל חלק מהם לה' חלקים
So we have 13 of the type of these latter parts and we wish to know which are they.	ויש לנו ממין אלו החלקים האחרונים י"ג ונרצה לידע מה המה אלה
We should understand, since it is said "of 19 fifths" etc. and it is said "of 3 ninths" etc. and it said "of 4 integers", that from this we know that they are not of one fraction nor of one integer, but of a number of integers and fractions.	והננו צריכים להבנה לפי שאמרו מי"ט חמישיות וכו' גם לאומרם מג' תשיעיות וכו' גם לאומרם מד' שלמים כי בזה ידענו שאינם משבר אחד אף לא משלם אחד כי מספר שלמים וממספר שברים
	לכן נכה מספר השברים אשר בידינו במספר השברים אשר הזכירו גם במספר השלמים זה אחר זה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{13}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\sdot\left(\frac{19}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{13\sdot19}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\\&\scriptstyle=\frac{247}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\\\end{align}}}$	וזה כי אומרנו י"ג חמישיות רביעיות י"ט חמישיות וכו' הוא כאומרנו י"ט פעמי' י"ג חמישיות [רביעית חמישית] וכו' לכן נכפול הי"ג בי"ט ויעלו 247 חמישיות רביעיות חמישית וכו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{247}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left(\frac{3}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)&\scriptstyle=\frac{247\sdot3}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=\frac{741}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\\end{align}}}$	גם כאשר אמרו לנו מג' תשיעיות הוא כאלו אמרו לנו ג' פעמים כל אשר בידינו [ולזה נכפול כל אשר בידינו] שהוא 247 בג' ויעלה 741 והם חמישיות רביעיות חמישיות שביעיות שמיניות תשיעיות עשירית וכו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{741}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\sdot4&\scriptstyle=\frac{741\sdot4}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=\frac{2964}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\\end{align}}}$	ולפי שאמרו לנו מד' שלמים הוא כאלו אמרו לנו ד' פעמים כל אשר בידינו לכן כל אשר בידינו שהוא 741 בארבעה ויעלה 2964 חמישיות רביעית חמישית שביעית שמינית תשיעית עשירית
Note: the number on top of a certain number is its denominator	וזכור לעולם כי המספר אשר תמצא על ראשו מספר אחר שהתחתון איננו מורה כי העליון
The order of the denominators is unimportant	ואם בקשנו לידע כלם אלו החלקים הנפרטו' כמה שלמים או כמה שברים או שברי שברים מאלו הם כבר ידעת שיש כאן שבעה מורים ותושיבם כרצונך או כסדרם עתה או בהשגחה כדי שיצאו החלקים יותר נאותים כי הסדר לא יזיק לעולם כי אם התוספת בהם או המגרעת כאשר ביארנו בפרק הד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left(\frac{3}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot4\right)\\&\scriptstyle=\frac{2964}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=\frac{2964}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=\frac{741}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\\&\scriptstyle=\left(\frac{148}{4}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{37}{7}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{5}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}$	ונחלק עליהם 2964 שהוא מספר אשר בידינו נפרטות וקראנו לזה כלילת יופי ואחר שיש לחשבון רביעית נשימהו לאחרון כדי שיתבטל ונחלקם על ד' ויצא בחילוק 741 ולא ישאר דבר וזה היוצא בחלוק אין לו אחד מהמורים הנשארים לכן נשים אשר נספק לפני האחרון אשר שמנו ויהיה ה' ונחלקם על הה' ויצא בחלוק 148 וישאר א' ונשימנו תחתיו ואחר שיש לו החשבון רביעית נתיך המורה השמינית שהוא הח' ונעשה ממנו ב'ד' ונשימם במקומו כך הוא הוראת חצי רביעית או רביעית חצי [כמו] או שמינית ועוד נבאר זה בסוף הספר ואחר התיכנו אותו ר"ל שנסירהו ונשים במקומו ב'ד' נשים הד' לפני המורי' המושמים ונחלק לו אשר בידינו ויצא בחלוק ל"ז חלקים ונחלקם לאשר נחפוץ ויהיה על הז' ויצא בחילוק ה' וישארו ב' ונשימם תחתיו ונחלק הה' שיצאו בחלוק למורה הה' הא' ויצא א' בחלוק ולא ישאר דבר ואחר שאשר יצא בחלוק הוא פחות מהקטן שבכל המורים הנזכרים אין לנו לחלק עוד אבל נשימם על הסדר לפני המושמים בכל השגחה ונשים זה האחד אשר יצא בחילוק באחרונה תחת המורה הסמוך למושמים עד הנה והנה יצא לנו מבוקשינו והוא שהנשאל לנו תחלה עולה חצי תשיעית עשירית ושתי שביעיות חמישית חצי תשיעית עשירית וחמישית רביעית שביעית וכו‫'
	5 4 7 5 2 9 1   2   1
The number of denominators in the above example has increased from 7 to 8 - due to the factorization of the eighths to halves of quarters	ואל תתמה שלא היו לך כי אם ז' מורים ועתה הם ח' כי זה היה להתכת המורה השמינית והוא הח' שהסרנו אותו מהם ושמנו במקומו שני מורים והם ב'ד' והקש על זה כי הכל ברור המעשה והטעם

Comparing Fractions	השער השלישי בהשואה
Definition: Comparing fractions is when you have fractions of various types that are not related to each other at all, i.e. the type of these fractions is not the type of fractions of the others.	ההשואה היא כאשר יהיו לך שברים ממינים שונים בלתי נקשרים זה בזה כלל ר"ל שאין אלו שברי שברים אלו
Example: if you have two integers, 3-eighths and 2-quarters of an eighth, 4-fifths, 6-sevenths and 3-eighths of a sevenths, like this, and you wish to convert all of them into one type. $\scriptstyle\left[2+\frac{3}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\quad\frac{4}{5}\quad\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]$	המשל אם היו בידיך שני שלמים ועוד וג' שמינית וב' רביעיות שמינית ועוד ד' חמישיות ועוד ו' שביעיות וג' שמיניות שביעית כזה ותרצה להשיבם כלם ממין אחד
	8 7 5 4 8 2 3 6 4 2 3
First we fractionalize the 2 integers plus the 3-eighths and the 2-quarters of an eighth, then the 4-fifths and then the 6-sevenths, since they are related to the 6-sevenths and the 3-eighths of a seventh, for the related also need fractionalizing.	ונעשה תחלה פריטה לב' שלמים וג' שמיניות וב' רביעיות שמינית ועוד ד' חמישיות ועוד ו' שביעיות אחרי היותם נקשרים גם לו' שביעיות וג' שמיניות שביעית כי גם הם נקשרים וצריכים פריטה
We start by saying: 2 units, how many eighths are they? This is known by multiplying them by 8; they are 16. We add to them the 3 that is beneath [the 8] and the total is 19. $\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{3}{8}=\frac{\left(2\sdot8\right)+3}{8}=\frac{16+3}{8}=\frac{19}{8}}}$	ונתחיל לומר ב' אחדים כמה שמיניות הם וזה יודע בהכפלם בח' יהיו י"ו ונחבר להם הג' אשר תחתיו יהיו כלם י"ט
We convert them further to quarters of an eighth by multiplying them by 4; the result is 76. Then we add to them the 2 that is beneath [the 4]; the result is 78 quarters of an eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{19}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)=\frac{\left(19\sdot4\right)+2}{4}\sdot\frac{1}{8}=\frac{76+2}{4}\sdot\frac{1}{8}=\frac{78}{4}\sdot\frac{1}{8}}}$	עוד נשיבם רביעיות שמיני' וזה יהיה בהכפלם כלם בד' יעלו ע"ו ונחבר להם הב' אשר תחתיו יעלו ע"ח רביעיות שמינית
We also fractionalize the 6-sevenths plus 3-eighths of a seventh by saying: 6-sevenths, how many eighths of a seventh are they? This is known by multiplying them by 8; they are 48. We add to them the 3 that is beneath [the 8]; the result is 51 eighths of a seventh. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{\left(6\sdot8\right)+3}{8}\sdot\frac{1}{7}=\frac{48+3}{8}\sdot\frac{1}{7}=\frac{51}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$	עוד נפרוט הו' שביעיות וג' שמיניות שביעית ונאמרו ו' שביעיות שלמות כמה שלמות שמיניות שביעית הם וזה יודע בהכפלם בח' ויעלו מ"ח ונחבר להם הג' אשר תחתיו ועלו נ"א שמיניות שביעית
It is as if we were asked to convert 78 quarters of an eighth, 4 fifths, and 51 eighths of a seventh into one type. Like this: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{78}{4}\sdot\frac{1}{8}\quad\frac{4}{5}\quad\frac{51}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$	והרי הוא כאלו שאלו לנו להשיב למין אחד עין ע"ח רביעיות שמינית וד' חמישיות ונ"א שמיניות שביעית שביעי כזה
	8 7 5 4 8 51   4 78
Since we have different denominators and different fractions, we should explain how to convert all of them into one type without changing them, i.e. that they will all be fractions of the same denominators.	ואחרי היות בידינו מורים משונים ושברים משונים ראוי לנו לבאר איך נשיבם כלם ממין אחד מבלתי שינוי ביניהם ר"ל שיהיו כלם שברים ממורים אחדים
First, I will explain that the order of the denominators neither increases nor decreases: $\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{a}\sdot\frac{1}{b}=\frac{1}{b}\sdot\frac{1}{a}}}$	וקודם זה אציע שסדור המורים אינו מעלה ומוריד
Because, the seventh of an eighth, for instance, is the the same as the eighth of a seventh, since each is a part of 56, which is the number that consists of these denominators and this is clear. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}=\frac{1}{56}=\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$	כי כך הוא שביעית שמינית עד"מ כמו שמינית שביעית כי כל אחד מהם הוא חלקנו מנ"ו בשלם שהוא המספר אשר הוא מורכב מאלו המורים וזה ברור
So, when we have, for example, 3-sevenths and 4-eighths $\scriptstyle\frac{3}{7}\quad\frac{4}{8}$	לכן כאשר היה לנו עד"מ ג' שביעיות וד' שמינית
We convert all of them into sevenths of an eighth, which are eighths of a seventh	נשיבם כלם שביעיות שמינית שהוא שמיניות שביעית
This is done by multiplying the 3 that are the number of the sevenths by 8; they are 24 eighths of a seventh. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot8}{8}\sdot\frac{1}{7}=\frac{24}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$	וזה יעשה בכפול הג' שברי השביעיות בח' ויהיו כ"ד שמיניות שביעיות
This is clear, since every seventh is 8-eighths of a seventh, as each integer is eight eighths.	וזה ברור כי כל שביעיות הוא ח' שמיניות שביעית כמו שכל שלם הוא שמונה שמיניות השלם
We do the same with the 4-eighths: we convert them into sevenths of an eighth by multiplying the 4, which is the number of the fractions, by 7, which is the denominator of the seventh; the result is 28. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot7}{7}\sdot\frac{1}{8}=\frac{28}{7}\sdot\frac{1}{8}}}$	וכן נעשה לד' שמיניות שנשיבם לשביעיות שמינית והוא בכפול הד' שהוא מספר השברים בז' שהוא מורה השביעיות ויעלו כ"ח
They are 28 sevenths of an eighth and the others are 24 eighths of a seventh, so all are of the same type, as we said that there is no difference between saying a seventh of an eighth and saying an eighth of a seventh.	והם כ"ח שביעיות שמינית והאחרות עלו כ"ד שמיניות שביעית הנה כלם ממין אחד כמו שהזכרנו שאין חלוף בין אומרנו שביעית שמינית לאומרנו שמינית שביעית
After explaining the premise, we return to our first procedure, which is multiplying each numerator of the fractions that we have by the denominators of the others successively, thus each fraction will be of all the denominators, so they are of the same type, for the order of the denominators forward or backward does not matter. $\scriptstyle{\color{red}{\frac{a}{b}=\frac{a\sdot d}{b}\sdot\frac{1}{d}=\frac{a\sdot d}{d}\sdot\frac{1}{b}}}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{a}{b}=\frac{a\sdot d}{d}\sdot\frac{1}{b}=\frac{a\sdot d}{b}\sdot\frac{1}{d}}}$	ואחר שהצענו הצעה זו נשוב למעשינו הראשון והוא לכפול כל מספר שברים אשר בידינו במורי חברותיה זה אחר זה וכן לכלם ואז תהיה כל אחד שברים מכל המורים והנה הם שוים כי סדור המורים בקדימה ואיחור לא יזיק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{78\sdot5}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}=\frac{390}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}}}$	ונתחיל במעשינו ונאמר 78 רביעיות שמינית כאשר נכפלם בה' שהוא מורה החמישיות יעלו 390 חמישיות רביעית שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{390\sdot7}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}=\frac{2730}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}}}$	עוד נכפול זה המחובר בז' שהוא מורה השביעית ויעלו 2730 שביעיות חמישיות רביעית שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2730\sdot8}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}=\frac{21840}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}}}$	עוד נכפול כל זה בח' שהוא המורה השמיניות ויעלו 21840 שמיניות שביעיות חמישיות רביעיות שמיניות וזהו העולה מה78 רביעיות שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot8}{8}\sdot\frac{1}{5}=\frac{32}{8}\sdot\frac{1}{5}}}$	עוד נכפול הד' שהוא ד' חמישיות בכל מורי חברותיה זה אחר זה ונאמר ד בח' הם [ל"ב] שמיניות חמשית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{32\sdot4}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}=\frac{128}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}}}$	עוד נכפלם בד' יהיו 128 רביעיות שמיניות חמישית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{128\sdot7}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}=\frac{896}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}}}$	ונכפלם בז' יהיה 896 שביעיות רביעית שמינית חמישית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{896\sdot8}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}=\frac{7168}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}}}$	עוד נכפלם בח' 8 יעלו 7168 שמיניות שביעית רביעית שמינית חמישית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{51\sdot5}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}=\frac{255}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$	עוד נכפול הנ"א שהם נ"א שמיניות שביעית בה' יעלו 255 חמישיות שמיניות שביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{255\sdot4}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}=\frac{1020}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$	נכפלם בד' יעלו 1020 רביעית חמישיות שמיניות שביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1020\sdot8}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}=\frac{8160}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$	עוד נכפלם בח' יעלו 8160 שמיניות רביעיות חמישית שמינית שביעית
	הרי כלם ממין אחד כי המורים שוים כי הסדר אינו מעלה ומוריד כאשר ביארנו
Beware lest you make a mistake when doing this comparison, not to add what is beneath the denominators to the product of the numerators by the denominators, for this is done only in fractionalization, when we want to sum all the mentioned related fractions and convert them to the lowest fraction.	והשמר לך מאד פן תטעה בעשותך השואה זו לחבר לעולה מכפל השברים במורים מה שנמצא תחת המורי' כי זה לא יעשה כי אם בפריטה לבד שאנו רוצים לחבר כל השברים הנזכרים הנקשרים ולפרטם למין הפרוטות
Example: converting different kinds of coins (peraḥim, zehuvim, peruṭot) to the currency of the lowest value (peruṭot)	המשל במי שיש לו פרחים וזהובים ופרוטות שרוצה להשיב הפרוטות שיש לו או להשיב הפרחים זהובים ר"ל לראות כמה זהובים יעלו ולחבר לעולה הזהובים אשר היו בידו ואחר כך להשי' כל הזהובים פרוטות ולחבר עמהם הפרוטות אשר בידו ויהיה אז הכל מחובר ונפרט
	אבל ההשואה אין בה חבור כלל כי אם לעשות כל שברים מהם ממין האחדים לכן לא יחברם כלל וזה מבואר בטעם
	ולזה שמתי להם שמות שונים מורי' על הענין ברמז
Hašavah (equalization) = converting fractions that are related together into one type of fractions by multiplying each of these fractions by the denominators of the others. The intention is not to sum the fractions together, but only to equalize their denominators	כי להחזרת השברים הבלתי נקשרות למין אחד בהכאת כל אחד מהם במורי חברותיה, קראתי השואה שאין כונתינו חבור כלל כי אם ההשואה לבד
Periṭah (fractionalization) = converting fractions that are related together into the lowest type of fractions	ולהשבת השברים הנקשרים כלם יחד למין השברים הגרועים מהם קראתי פריטה
Two reasons for the use of the term periṭah:	לשתי כוונות
1) the root is used for converting different kinds of coins to the currency of the lowest value (peruṭot) and for converting the general to particular (peraṭim)	האחת שהוא כפורט ועושה מהפרחים וזהובים ופרוטות פרוטות וכמשיב הכללים לפרטים
2) reminding of the details (peraṭ) that should be considered in the procedure - i.e. the numerators that are written beneath the denominators	והכונה השנית היא כי בשם זה יזכר שיש לו לקחת עמו הפרט והעוללות אשר ימצא תחת המורים
When multiplication and fractionalization are needed - the fractionalization should be applied first, and then the multiplication	ובכל מספר שצריך הכאה עם הפריטה, יעשה קודם הפריטה לבעלי ההכאה ואחר ההכאה
	לכן בכל מקום אשר נזכיר ונצוה לעשות פריטה רצוננו ואחריה ההכאה, אם הוצרך איליה, או אשר מהם יצטרך, שאם יהיה לך מספר מורכב מהשברים הצריכים הכאה ועם הצריכים פריטה
$\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]$	המשל: ג' רביעיות מב' חמישיות וג' רביעיות חמישיות מד' ששיות ושלישית ששית, תשימם על הסדר כזה‫:
	3 6   4 5 1 4 4 3 2 3
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)=\frac{\left(4\sdot3\right)+1}{3}\sdot\frac{1}{6}=\frac{13}{3}\sdot\frac{1}{6}}}$	ותעשה פריטה לד' שביעיות ושלישית שישית והוא שתכפול הד' בג' ותחבר להם האחד אשר תחתיו ויעלו י"ג שלישיות ששית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{11}{4}\sdot\frac{1}{5}}}$	וכן תעשה לב' חמישיות וג' רביעיות חמישית ויעלו י"א רביעיות חמישית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=\frac{3}{4}\sdot\left(\frac{11}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left(\frac{13}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	וישוב מספרך כאלו אמרו ג' רביעיות מי"ח רביעיות חמישית מי"ג שלישיות שישית כזה
	3 6   4 5 13 4 11 3
The numerators are multiplied after the fractionalization	ואחר עשותך פריטה זו כנזכר, תעשה ההכאה והוא לתת סבות להכות הג', שהם השברים האחרונים במספר השברים, לא במורים השברים וגם לזה ירשמו בשם ההכאה, כי בהכאה יבא השבר והשבר הוא תחת המורה, כמו שהנשבר הוא שפל ובזוי עם
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{3}{4}\sdot\left(\frac{11}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left(\frac{13}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle=\frac{3\sdot11\sdot13}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\\&\scriptstyle=\frac{33\sdot13}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\\&\scriptstyle=\frac{429}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\\\end{align}}}$	ותתחיל להכות ולומר שלשה בי"א הם ל"ג ול"ג בי"ג הם 429, הרי עלו כל השברים הנשאלים 429 רביעית חמישית שלישית שישית, כזה‫:
	4 4 5 3 6 429
Then the product is divided by the denominators	ותחלק אלו ה429 למורים אלו, ר"ל לד' והיוצא לד' האחר והיוצא לה' וכן לכלם עד כלותם
The remainder of division by a certain denominator is written beneath that denominator	וכאשר ישאר דבר בשום חלוקה מהן, תשימהו תחת המורה ההוא
The most beautiful arrangement: dividing firstly by the denominator the division by which generates the smallest remainder, preferably dividing first by the divisors of the product if there are any among the denominators and placing these denominators at the end [to the right] starting from the largest to the smallest	וככלות החשבון קודם כלות המורים ויצא לך בחלוק על אחד מהן פחות מהמורה אשר לפניו, תשים אותו היוצא תחת המורה הזה אשר לפני. ואז תדע כמה שישיות, או כמה שלישיות שישיות הן. וזה נקרא כלילת יופי כמו שנזכר למעלה, לפי שהוא לעשות מהפרטים כללים, יען יהיו השברים יותר גדולים ויותר יפים
	והיופי האמיתי כשתעיין בתחלה המספר המתחלק, אם יש לו שום אחד מהמורים ההם ואותו תשים אחרון וכן בשנית ביוצא וכן בשלישית וכן לעולם
For equalization purpose only, there is no need to divide by the denominators	ולא תעשה זה כי אם כאשר ישאלו לך כמה עולים חלקים אלו הנשארות, אכן אם עשית זה לצורך ההשואה, או לצורך אחד מהשערים הבאים, לא תחלקהו על המורים כלל, כי לא כתבתיו כאן, כי אם ללמדך על המעשה ואם אין זה מקומו ונזכר כבר במקומות אחרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{429}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}=\left(\frac{107}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	ובעשותך זה בדמיוננו זה ר"ל שתחלק ה429 על הד' שהוא המורה האחרון, יצא בחילוק 107 וישאר א' ותשימהו תחתיו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{107}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}=\left(\frac{26}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	‫[ותחלק זה היוצא לד' הקודם לו יצא בחלוק כ"ו וישארו ג' תשימם תחתיו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{26}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}=\left(\frac{5}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	ותחלק זה היוצא לה' ויצא בחלוק ה' וישאר א' ותשימהו תחתיו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}\sdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	ותחלק]‫ ותחלק ה' אלו על הג' ויצא א' וישארו ב' ותשימם תחתיו
	וזה הא' אם היה גדול מהו' מדות שהוא המורה אשר לפני אלו הסמוך להם היה לנו לחלקם עליו והיוצא בחלוק היה שלימים
	אחר שהוא ראשון וכבר כלו המורים והנשאר הינו שמים אותו תחתיו והיה שישיות שלמות

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=\frac{1}{6}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$

	אכן לפי שהוא פחות ממנו נשימם תחתיו מיד ויצא לנו מזה שהשברים הנשארים עלו ששית א' שלמה וב' שלישיות ששית וחמישית שלישית שישית וג' רביעיות חמישית שלישית שישית ורביעית רביעית חמישית שלישית שישית
	ועל דרך היופי ר"ל לשים המורים בסדר בהשגחה יצאו החלקים כפי הצורה השנית והכל עולה לסך אחד
If one of the denominators appears the same number of times in all numbers to be equalized, there is no need to multiply any of the numbers by this denominator $\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{1}{n}\quad\frac{c}{d}\sdot\frac{1}{n}$	וכדי להקל מעליך כאשר תעשה ההשואה אם תמצא לכל אחד מהמספרים שום מורה שוה לכלם פעמים שוות ר"ל ע'ד'מ' שהח' בכל אחת מהם פעם אחת או פעמי' שלש לא תכפול שום המספרים ההם במור[ר]ה ההוא כלל ובהשימך כל המורים לא תשימה כי אם כפעמים שישנו באחד מהמספרי‫'
If one of the denominators appears different number of times in all numbers to be equalized, each number should be multiplied by this denominator as the number of times its maximal appearance in one of these numbers exceeds its appearance in the present number $\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{1}{n}=\frac{a}{b}\sdot\frac{1}{n}\sdot\frac{n}{n}\sdot\frac{n}{n}\quad\frac{c}{d}\sdot\frac{1}{n}\sdot\frac{1}{n}\sdot\frac{1}{n}$	ואם הוא בכלם, אבל אינו בהם פעמים שוות, אבל בזה פעם אחת ובזה שנים, או שלשה ע'ד'מ', אשר ישנו שם פעמים, לא תכפלנו במורה זה [כלל וכל אחד משאר המספרים תכפלנו במורה זה] כ"כ פעמים, כפעמים שהוא יותר כמספר הרב הפעמים שבמספר הזה הנכפל בו עתה
	ובהשימך המורה לא תשימנו כי אם כפעמים אשר הוא באשר הוא יותר פעמים
If one of the denominators appears in a few of the numbers to be equalized but not in all of them, each number should be multiplied by this denominator as the number of times its maximal appearance in one of these numbers exceeds its appearance in the present number $\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\sdot\frac{n}{n}\sdot\frac{n}{n}\quad\frac{c}{d}\sdot\frac{1}{n}\sdot\frac{1}{n}$	ואם אינו בכלן כי אם בשנים, או בג' מהם, המספרי' אשר אינו בהם כלל תכפול כל אחד מהם במורה זה, כמספר הפעמים אשר הוא באשר הוא יותר פעמים והמספר אשר הוא בו יותר פעמים לא תכפלנו כלל והמספרים אשר ישנו בהם תכפול כל אחד בו כמספר הפעמים העודפים באשר הוא היותר פעמים מבזה הנכפל
	ואם הוא בהם פעמים שוות, לא תכפול בו שום אחד מהמספרים אשר הוא בו ובהשימך המורים לא תשימנו כי אם כפעמים אשר הוא באשר הוא יותר רב פעמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{78}{4}\sdot\frac{1}{8}\quad\frac{51}{7}\sdot\frac{1}{8}}}$	ויצא מזה כי במשל ההשואה שעשינו בתחלת שער זה לא היה לנו לכפול הע"ח רביעיות שמינית בח' כלל, גם לא השמיניות שביעית, להיותו בשניהם בשוה גם לא היה לנו לשום הח' כי אם פעם אחת, כאשר הוא באחד מהאחרים ובמורים לא היה לנו לשום הח' כי אם פעם אחת, כפעמים אשר ישנו באחד מהם וכל זה אינו מזיק אם לא יעשה, אבל כי תכבד העבודה

Chapter One: Addition	הפרק האחד עשר בחבור
Summing fractions with integers or fractions with fractions	בחיבור ובו מאמ' האמרה והאחדות
	כאשר תרצה לחבר שברים עם שלמים ושברים, [או] עם שברים ממין אחר
The procedure: the numbers are converted to the lowest type of fraction, then their numerators are multiplied, and they are equalized; at the end the numerators are summed and the result is divided by the denominators	בתחלה תפרוט כל אחד מהמספרים לבדו אשר יצטרך פריטה, גם תכה הצריך להכאה, ואחר שתפרוט וכל אחד מהם הצריך להם, או לאחד מהם, ר"ל לפריטה או להכאה, תשוה המספרים אחד אל אחד, עד שיהיו כלם ממין אחד והעולה בכל אחד מהם חבר הכל יחד, ר"ל מספר השברים וחלקנו על כל המורים אשר לכל אחד השברים
$\scriptstyle\left[2+\frac{3}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{4}{5}+\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]$	כי ע'ד'מ' אם במשלנו אשר עשינו בהשואה בתחלת השער הג' שאלו לך שתחברם ותאמ' כמה הם
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[2+\frac{3}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{4}{5}+\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{21840}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{7168}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{8160}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=\frac{37168}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\\end{align}}}$	היה לך לעשות כל אשר עשינו הפריטה לכל אחד וההשואה לכלם, עד שיגיעו לאשר הגיעו והוא שהשנים השלמים וג' שמיניות וב' רביעיות שמינית עלו ל21840 [שמיניות שביעית חמשית רביעית שמינית והד' חמשיות עלו ל8160] מכל המורים ואחר עשותך כל זה, היה לך לחבר יחד כל מספרי השברים, ר"ל ה21840 עם ה7168 ועם ה8160 ויעלו 37168 והם מהה' מורים הנזכרים, ר"ל ה8 וה4 והה' והז' והח', שהם כל מורי המספרים הראשונים
The order of the denominators in the sum is unimportant	ותשימם על הסדר כאשר תרצה, או בהשגחה כאשר הזכרנו בפרק הרביעי, כדי שיצאו החלקים יותר נאותים ושם תמצאנו מבואר באר הטב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[2+\frac{3}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{4}{5}+\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{37168}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle=\frac{4646}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\\&\scriptstyle=\left(\frac{663}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle={\color{red}{\left(\frac{165}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)}}\\&\scriptstyle=\frac{33}{8}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=4+\frac{1}{8}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}$	ולהיות לזה החשבון 37168 המתחלק שמינית, שהוא אחד מהמורים, נשימנו אחרון, ר"ל הראשון ונחלק חשבונננו זה עליו, ר"ל 7 ויצא בחילוק 663 [נ' 3] וישארו ה' ונשימם תחתיו ונחלקם על הד' ויצא בחילוק ל"ג ולא ישאר דבר ונחלקם אלו הל"ג היוצאים בחילוק על הח' שהוא המורה הנשאר ויצא בחלוק ד' ד' והם שלמים לפי שכבר כלו כל המורים ונשימם מחוץ וישאר א' והוא שמינית שלימה ונשימה תחת כזה‫:
	4 7 4 5 8   5 3   1
	הנה עלה בידינו שכאשר חברנו השנים שלמים וג' שמיניות וב' רביעיות שמינית עם ד' חמישיות ועם ו שביעיות וג' שמיניות שביעית, שעלה הכל ד' שלמים ושמינית אחת וג' רביעיות חמישית שמינית וה' שביעיות רביעית חמישית שמינית והקש על זה
	והה' והוא הטעם אם אמרו לך מספרים רבים והיו בהם שצריכין ג"כ הכאה קודם השיווי, שתעשה להם ג"כ ההכאה קודם השיווי ואחר כך ההשוואה וא'ח'כ' החבור כנזכר
If its is asked how many of a certain type of fractions is the sum If the certain type of fractions is one of the given denominators of the sum - then this denominator is placed first among the denominators of the sum	ואולם אם לא שאלו לך בסתם כמה הם
Example: how many fifths is the above sum?	אבל אמרו לך ע'ד'מ' כמה חמישיות הם, אחר שזה הה' הוא במורים, אינך צריך לעשות פועל חדש, כי אם שתשים הה' הראשון מהמורים כזה‫:
	4 7 4 8 5   5 3 25
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[2+\frac{3}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{4}{5}+\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=4+\frac{1}{8}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=4+\left(\frac{25}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}$	ויעלה בידך ד' שלמים כ"ה שמיניות חמישית חמישית וג' רביעיות שמינית חמישית וה' שביעיות רביעית שמינית חמישית והכל אחד ודי למבין
If the certain type of fractions is not one of the given denominators of the sum	אכן אם אמרו לך להחזירם ממין אחר שאינו במורי‫'
Example: how many ninths is the above sum?	המשל שאמרו לך כמה תשיעיות הן
Conversion: after fractionalizing, multiplying, and equalizing - multiplying the result by the denominator of the specific fraction required (9 in the above example) - then dividing by the denominators of the given fractions $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[2+\frac{3}{8}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{4}{5}+\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{37168}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle=\frac{37168\sdot9}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{334512}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{41814}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\left(\frac{10453}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle={\color{red}{\left(\frac{2090}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)}}\\&\scriptstyle=\left(\frac{298}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\frac{37}{9}+\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=4+\frac{1}{9}+\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}$	זה יקרא מאמר ההמרה והוא שאחרי עשותך הפריטה וההכאה וההשואה, קודם שתחלקם למורים הנזכרים, תכפול כל חשבון השברים, ר"ל ה37168, בזה המורה אשר רצו להחליפם אליו, ר"ל הט', שהוא המורה התשיעית ויעלו 334512 ונשים הט' למורה ראשון וכל המורים האחרי' אחריו, אם כאשר יזדמן, אם בהשגחה ובחלקנו ראשונה לח' ויצא בחילוק 41814 ולא ישאר דבר ונחלק זה היוצא לד' ויצא בחילוק 10453 וישארו ב' ונשימם תחתיו ונחלקנו לז' ויצא בחילוק 298 וישארו ד' ונשימם תחתיו ונחלק זה היוצא על הח' ויצא בחילוק ל"ז וישארו ב' ונשימם תחתיו ונחלק זה היוצא על הט' ויצא בחילוק ד' והם שלמים וישאר א' ונשימהו תחתיו והנה המרנו החלקים, ר"ל השברים, לתשיעית וחלקי תשיעית
The rule of conversion	כלל זה מאמר זה הוא שכאשר ישאלו לך על חלקי' ידועים שונים ובלתי שונים, שתמירם למין אחר, בין אם יאמרו לך לשבר, או לשבר שבר
Example: converting to $\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}$	כמו שיאמרו לך השיבם לחמישיות שביעית שמינית, או הדומה לזה
Fractionalizing, multiplying, and equalizing the given fractions, then summing the resulted fractions and multiplying the sum by the denominator of the fraction into which the sum should be converted	יש לך לעשות תחלה פריטה והכאה והשואה לשברים, אם היו שונים, ושוב תחברם יחד ושוב תכפלם כלם ביחד על המורה, או המורים אשר רוצים שתמירם אליהם
Example: converting to $\scriptstyle\frac{1}{5}$ → multiplying by 5	ר"ל שאם אמרו לך שתמירם לחמישיות, תכפלם בה' לבד
Example: converting to $\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}$ → multiplying by 8, 7, and 5	ואם אמרו לך לחמישיות שביעית שמינית, תכפלם בח' והעולה בז' והעולה בה‫'
The denominators of the fractions into which the sum should be converted are written first in the final result, then the denominators of the given summed fractions	ואחר עשותך כל זה, תשים מורה, או מורה ההמרה, ראשונה לצד ימין על הסדר שנשאל הח' תחלה ואחריו הז' ואחריו הה' ושוב תסדר אחריהם מורה שבידך, כפי המזדמן, או בהשגחה, ותחלק על כלם המספר אשר עלה לידיך מכפל מספר שבריך במורה ,או מורי ההמרה וכל זה ברור בטעם
	כי לעולם אם תכפול אשר בידך במורים מונחים, הנה יהיה למקובץ מורים אלו מוספים על מוריו הראשונים ולכן כאשר תרצה לעשות להם כלילת יופי, ר"ל להשיב שברים אלו הנפרטות לכללים וחלקים יפים, יש לך לסדר עם מוריו הראשונים אלו המורים אשר הוכפלו בהם והסדר לא יזיק ולפי ששאלו כמה חלקים הם מהמורים האלו, לכן נשימם ראשונה במלאכה
ha-Aḥdut (unification) - converting the sum of fractions into one fraction (one denominator)	אכן אם יאמרו לך להשיבם לחלק אחר הגדול שאיפשר, לכן נקראה האחדות והוא ענין נכבד, כי ממנו יצא לנו לחלק מעט על רב ולחדש מורים ב בעצמינו, מבלי הוצאת מורי המספר שרצינו לחלק עליו, או גם להוסיף על מוריו
	לזה הקצתי לו מאמר לבדו ואכתבנו בזה הפרק, לפי שהוא כעין חבור
	וקראתי לו שם שם האחדות, לפי שאנו רוצים לעשותם חלק אחד אם איפשר ואם הוא בלתי איפשר
	ואם הוא בלתי איפשר, יש לנו להוסיף אחד במלאכה כאש' יתבאר
The term aḥdut has two meaning, as will be explained below	לב' כוונות אלו קראתי לו שם האחדות
Summing fractions to one fraction	מאמר האחדות
	אם רצית להשיב שברים שוים שוים או שונים לחלק אחד אם איפשר או לגדול שאיפשר
$\scriptstyle\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2\right)+\left[\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]$	המשל שני חמישיות מב' תשיעיות מב' שלמים ועוד שמינית אחת ושני תשיעיות שביעית שמינית מרביעית ושתי ששיות רביעית
	תשימם על הסדר כזה
	2   9 5 2 2   6 4 9 7 8 2 1 2   1
The order of the operations: fractionalization, multiplication, equalization, and summing	תעשה להם פריטה והכאה והשוואה וחיבור
	וכדי להרגילך עוד במעשה אעשה אחת אחת
We fractionalize the quarter and the two sixths of a quarter: we multiply 1 by 6; the are 6; we add to them the units that are beneath them, i.e. the 2; the result is 8 sixths of a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)=\frac{\left(1\sdot6\right)+2}{6}\sdot\frac{1}{4}=\frac{6+2}{6}\sdot\frac{1}{4}=\frac{8}{6}\sdot\frac{1}{4}}}$	נעשה פריטה לרביעית ושתי שישיות רביעית נכפול א' בו' יהיו ו' ונחבר להם הפרט אשר נמצא תחתיו ר"ל הב' יעלו ח' שישיות רביעית
We fractionalize the seventh and the 2-ninths of a seventh of an eighth: we multiply 1 by 7 then we multiply them further by 9; they are 63; we add to them the two; the result is 65 ninths of a seventh of an eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(1\sdot7\sdot9\right)+2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\\&\scriptstyle=\frac{63+2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}=\frac{65}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\\\end{align}}}$	עוד נעשה פריטה לשביעית וב' תשיעיות שביעית שמינית נכפול א' בז' נכפלם עוד בט' יהיו ס"ג ונחבר להם השנים ויעלו ס"ה תשיעיות שביעיות שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]=\left(\frac{65}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left(\frac{8}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	והרי הוא כאלו אמרו ס"ה תשיעיות שביעית שמינית מח' שישיות רביעית כזה
	6 4 9 7 8 8 65
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2&\scriptstyle=\frac{2\sdot2\sdot2}{5}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{4\sdot2}{5}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{8}{5}\sdot\frac{1}{9}\\\end{align}}}$	עוד נעשה הכאה לשני מספרי' שבידינו ונתחיל במספ' הראשון: ונאמ ב' בב' הם ד', נכפלם עוד בשני השלמים, יהיו ח' חמישיות תשיעית שלימה כזה
	5 9 8
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{65}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left(\frac{8}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{65\sdot8}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{520}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\\\end{align}}}$	עוד נכה במספר השני השמונה ששיות רביעית בס"ה ויעלו 520 תשיעיות שביעית שמינית שישית רביעית כזה‫:
	9 7 8 6 4 520
	ונעשה ההשואה לאלו השני מספרים‫:
	ואחר היות בכל אחת מהם מורה הט' פעם אחת, לא נכפול בו שום אחד מהמספרים ולא נסדרהו כי אם פעם אחת, כאשר הזכרתי בסוף השער הג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2&\scriptstyle=\frac{8}{5}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{8\sdot4\sdot6\sdot8\sdot7}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle=\frac{32\sdot6\sdot8\sdot7}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle=\frac{192\sdot8\sdot7}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle=\frac{1536\sdot7}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\&\scriptstyle=\frac{10752}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\\\end{align}}}$	ונכפול הח' חמישיות תשיעיות בכל מורה המספר האחר, זולתי הט' כאשר התבאר ונאמר שמונה בד' יעלה ל"ב נכפלם בו', יעלו 192 נכפלם בח', יעלו 1536 נכפלם בז', יעלו 10752
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{520}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{520\sdot5}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{2600}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\\\end{align}}}$	עוד נשוב לכפול ה520, שהם מספ' השברים האחרים, בה' שהוא מורה חבריהם ולא בט' כנזכר ויעלו 2600 נסדרם זה על זה כזה‫:
	10752  2600 13352
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2\right)+\left[\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{10752}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{2600}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{13352}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}$	ונחברם יחד יעלו 13352 נסדר כל המורים, ר"ל כל מורי שני המספרי' בלתי הט', שלא נשימנו כי אם פעם אחת, ונשים מספרינו תחת המורה האחרון, לפי שהוא שברים נפרטות מכל אלו המורים והרי זה כאלו שאלו לנו 13352 שביעיות שמינית שישית רביעית חמישית תשיעית, איזה חלק הם, אם הם חלק אחד ממש, או החלק הגדול שאפשר
Definition of the common denominator: first we examine which number has all these denominators alone, i.e. that is compound of them and this number is called the common denominator [lit. the mother of the denominators], for it gave tham birth and they came out from it.	נעיין תחלה איזהו המספר שהוא בעל אלו המורים כלם לבדם ר"ל שהוא מורכב מהם ונקרא למספר הזה אם המורים כי היא ילדתם וממנה יצאו
This is known by multiplying all the denominators one by the other and the product by another and so on until they end.	וזה יודע בכפול כל המורים אחד באחד והעולה באחר וכן כלם עד כלותם‫:
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle9\sdot5\sdot4\sdot6\sdot8\sdot7&\scriptstyle=45\sdot4\sdot6\sdot8\sdot7\\&\scriptstyle=180\sdot6\sdot8\sdot7=1080\sdot8\sdot7=8640\sdot7=60480\\\end{align}}}$	ונאמ' ט' בה' יעלו מ"ה, נכפלם בד', יעלו [180, נכפלם בו', יעלו 1080, נכפלם בח', יעלו] 8640, נכפלם בז', יעלו 60480
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{68480}{13352}}}$	ולזאת קרינו אם המורים למספר השברים, ר"ל שנחלק ה68480 ל13352 ואם יתחלק כלו לשלימים, בלי תוספת ומגרעת, הנה היוצא בחילוק בצמצום הוא מורה החלק, אשר הם כל השברים הנשאלים יחד מהשלם, ר"ל רביעית אחד, או הדומ' לו
Dividing the common denominator by the summed numerator
No remainder: $\scriptstyle\frac{a\sdot n}{a}=n\longrightarrow\frac{a}{a\sdot n}=\frac{1}{n}$	ואם לא יתחלק כלו לשלמים בלי תוספת ומגרעת, הנה היוצא בחלוק בצמצום הוא מורה החלק, אשר הם כל השברים הנשאלים יחד מהשלם, ר"ל רביעית אחת, או הדומה לו
There is a remainder: $\scriptstyle\frac{\left(a\sdot n\right)+r}{a}=n+\frac{r}{a}\longrightarrow\frac{a}{\left(a\sdot n\right)+r}=\frac{1}{n+1}+\frac{a-r}{\left(n+1\right)\sdot\left[\left(a\sdot n\right)+r\right]}$	ואם לא יתחלק כלו לשלמים וישאר שום מספר
$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{68480}{13352}=4+\frac{7072}{13352}\longrightarrow}}$	כמשלינו זה, שיצא בחילוק ד' ונשאר 7072
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2\right)+\left[\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{13352}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\frac{13352}{68480}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4+1}+\frac{13352-7072}{5\sdot68480}\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{6280}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}$	נוסיף א' על היוצא בחילוק ויהיה ה' והוא מורה החלק הגדול שאפשר, ר"ל חמשית אחת עוד נחסר ה7072 הנשארים מה13352 אשר חלקנו עליו וישאר 6280, שהוא חלקים מכל המורים מזה החלק, ר"ל מחמישית אחת ר"ל שיצא לנו שכל השברים הנשאלים הם חמישית אחת ו6280 שביעיות שמינית שישית רביעית חמישית תשיעית חמישית כזה‫:
	5 9 5 4 6 8 7 1           0826
The order of the denominators of compound fractions of fractions is unimportant, but the denominator of the simple fraction should be placed separately, on the right	[ואם תרצה לעשות לשברים אלו כלילת יופי, ר"ל לחלקם על המורים, תסדרם] תסדרם כפי שהם עתה, או כפי המזדמן, או בהשגחה כנזכר למעלה ובלבד שתניח הה' ראשון לצד ימין עם הא' אשר תחתיו, כי זה אין בידיך לשנותו וכל האחרים נקשרים בו, ר"ל שהם כלם שברים ושברי שברים ממנו, ר"ל מחמשית מהשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2\right)+\left[\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{6280}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{6280}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{785}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{157}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{39}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{6}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}$	ונחלקם תחלה לח' ויצא בחלוק 785 ולא ישאר דבר ונחלק זה היוצא לה' ויצא בחילוק 157 ולא ישאר דבר ונחלקם לד' ויצא בחילוק ל"ט וישאר א' ונשימנו תחתיו ונחלקם לו' ויצא בחילוק ו' וישארו ג‫' [ונ]תיך הט', ר"ל שנעשה ממנו ב' מורים, שהם ג' ג', כי כך הוא שלישית שלישית, כמו תשיעית ועוד אדבר בזה בכלל האחרון ב"ה י"ת ונחלק הו', אשר יצאו בחלוק באחרונה, על האחד מהם, ר"ל על הג' ויצא בחילוק ב' ולא ישאר דבר ואלו הב', אחר שהוא מספר קטן משאר המורים, אין לנו עוד לחלקם, רק להשימם תחת המורה הסמוך אשר נשים לפניהם ויהיו הג' השני כדי שלא ישכח ונשימם תחתיו ונסדר עוד הט [הו'] המורה הנשאר לפניהם ולפניו הה' ראשונה ונשים תחתיו הא', אשר היה תחתיו, שהוא המורה היותר חלק גדול הגדול שאיפשר אשר בקשנו הנה יצא לנו שהשברים הנשאלים יעלו חמשית א' שלמה וב' שלישיות שביעית חמישית וג' ששיות שלישית שלישית שביעית חמישית ורביעית שישית שלישית שלישית שביעית חמישית כזה
	4 6 3 3 7 5 1 3 0 2 0 1
	והקש על זה
The reason that if there is no remainder the result is $\scriptstyle\frac{a\sdot n}{a}=n\longrightarrow\frac{a}{a\sdot n}=\frac{1}{n}$	וטעם אומרנו שאם לא ישאר דבר, שהיוצא בחילוק בעצמו הוא מורה החלק אשר השברים מהשלם
The portions of the denominators are the portions of their common denominator in one unit $\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}$	הוא לפי שאמרנו אלו החלקים מאלו המורים הוא כאלו אמרנו כ"כ מחלקי אם המורים בשלם
$\scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}$	ר"ל כי ע'ד'מ' אם היו לנו ב' שלישיות רביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}=\frac{2}{3\sdot4}=\frac{2}{12}}}$	הוא כאומרנו שני חלקים מי"ב בשלם, שהיא אם אלו המורים, ר"ל שהוא מורכב מהם, שכפל ג' בד' עולה י"ב
$\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}$	וכן אומרנו ג' רביעיות חצי שלישית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}=\frac{3}{24}}}$	היא כאומרנו ג' חלקים מכ"ד בשלם, שהוא אם שלש מורים אלו וזה ברור
The fractions are fractions of fractions of their common denominator in one unit	ועוד נחבר בפ' הרביעי מהחלק הא' הנה ידענו שאלו השברים הם חלקים מחלקי האם בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{3}\sdot a}{a}=\frac{1}{3}\sdot1}}$	ואם הם היה שלישיתם, הם שלישית השלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{4}\sdot a}{a}=\frac{1}{4}\sdot1}}$	ואם רביעיתם, רביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot a}{a}=1\sdot1}}$	ואם כמותם הם א' שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{5}\sdot a}{a}=\frac{1}{5}\sdot1\longrightarrow\frac{a}{\frac{1}{5}\sdot a}=5}}$	וע'ד'מ' אם מספר השברים היה חמישית האם, ר"ל חמישית השלם, בחלקנו האם עליהם היה היוצא בחלוק ה' ולא היה נשאר דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{4}\sdot a}{a}=\frac{1}{4}\sdot1\longrightarrow\frac{a}{\frac{1}{4}\sdot a}=4}}$	ואם היה רביעית, יצאו ד‫'
	הרי לנו שהיוצא בחילוק הוא המורה החלק אשר השברים מהשלם וזה ברור בטעם, כאשר נתחלק הכל ולא נשאר דבר
The reason that if there is a remainder the result is $\scriptstyle\frac{\left(a\sdot n\right)+r}{a}=n+\frac{r}{a}\longrightarrow\frac{a}{\left(a\sdot n\right)+r}=\frac{1}{n+1}+\frac{a-r}{\left(n+1\right)\sdot\left[\left(a\sdot n\right)+r\right]}$	ולברר טעם אומרנו שכאשר נשאר שם דבר, שנוסיף א' על היוצאות וכו', אביא משל אח‫':
$\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}$	המשל היו בידינו ג' רביעיות שביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}=\frac{3}{28}}}$	ר"ל שלשה חלקים מכ"ח, שהוא אם המורים בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28}{3}=9+\frac{1}{3}\longrightarrow\frac{3}{28}=\frac{1}{9+1}+{\color{red}{\frac{3-1}{\left(9+1\right)\sdot28}}}=\frac{1}{10}+{\color{red}{\frac{3-1}{10\sdot28}}}}}$	ואם נחלק אלו הכ"ח אל הג', יצאו ט' בחילוק וישאר א‫' נוסיף א' על הט' היוצא בחילוק, יעלה עשרה, המורה על העשירית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{3}=10\longrightarrow\frac{3}{30}=\frac{1}{10}}}$	ואם החלקים הראשונים היו ג' חלקים מל' באחד, היו עשירית אחד בצמצום, כי בחלקנו הל' בשלשה היו יוצאים ולא היה נשאר דבר ואז היו עשירית שלמה כמו שביארנו
$\scriptstyle{\color{blue}{28\sdot30=840\longrightarrow\frac{1}{840}=\frac{1}{30}\sdot\frac{1}{28}=\frac{1}{28}\sdot\frac{1}{30}}}$	אכן להיותם ג' חלקים מכ"ח בשלם יותר מעשירית אחת ולדעת כמה הם יותר, נכפול הכ"ח בל' ויעלו 840 והנה אומרנו חלק אחד מ840 בשלם הוא כאומרנו חלק אחד מל' מכ"ח בשלם, או חלק אחד מכ"ח מל' בשלם, כי הם המורים אשר מהם הורכב וכל זה נתבאר הטב בפרק הד' מהחלק הא‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{840}=\frac{1}{28}}}$	וא"כ הל' חלקים מה840 בשלם הם חלק אחד מכ"ח בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28}{840}=\frac{1}{30}}}$	וכן הכ"ח חלקים מ840 בשלם הם חלק אחד מל' בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{30}=\frac{28}{840}}}$	הרי לנו שהחלק אחד מל' בשלם הוא כ"ח חלקים מ840 בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{28}=\frac{30}{840}}}$	וכן החלק מכ"ח בשלם הוא ל' חלקים מ840
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{28}=\frac{3\sdot30}{840}=\frac{90}{840}}}$	נמצא שהג' חלקי' מכ"ח בשלם הוא ג' פעמים ל', שהם 90 חלקים מ840 בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{30}=\frac{3\sdot28}{840}=\frac{84}{840}}}$	והג' חלקים מל' בשלם הם ג' פעמים הם כ"ח שהם פ"ד חלקים מ840
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{28}-\frac{3}{30}=\frac{90}{840}-\frac{84}{840}=\frac{6}{840}=\frac{6}{30\sdot28}}}$	הנה יעדפו עליהם ו' חלקים מ840 בשלם, ר"ל ו' חלקים מל' מכ"ח בשלם, כי הם מוריו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{840}=\frac{1}{10}\sdot\frac{30}{840}=\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{28}=\frac{1}{28}\sdot\frac{1}{10}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}}}$	וכל ג' חלקים מאלו הם עשירית הל', שהם, ר"ל שהם הל', הם חלקי א' מכ"ח בשלם כמו שנתבאר, א"כ כל שלשה מהם הם עשירית [חלק מכ"ח בשלם, ר"ל חלק מכ"ח מעשירית בשלם, שהוא] הל' שהם ר"ל הל' הם חלקי א' מכ"ח בשלם כמו שנתבאר א"כ כל שלשה מהם הם עשירית הל' חלק מכ"ח בשלם ר"ל חלק מכ"ח מעשירית בשלם שהוא רביעית שביעית עשירית מהשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{28}-\frac{3}{30}=\frac{6}{840}=\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}}}$	והששה הנוספות, אשר מצאנו לג' חלקים מכ"ח אשר היו בידינו, על הג' חלקים מל', אשר מצאנו לג' חלקים, היו עשירית שלמה, יעלו א"כ ב' רביעיות שביעית עשירית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{28}{3}=9+\frac{1}{3}\longrightarrow\frac{3}{28}&\scriptstyle=\frac{1}{9+1}+\frac{3-1}{\left(9+1\right)\sdot28}\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\frac{2}{10\sdot28}\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\left(\frac{3}{28}-\frac{3}{30}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}$	הרי לנו שכאשר חלקנו הכ"ח, שהוא האם, על הג', שהיו מספר החלקים, ויצא ט' ונשאר א', שכאשר הוספנו אחד על הט' ועלה י' והורה עשירית, שנשאר לנו לתוספת ב' רביעיות שביעית עשירית, שהם התוספת אשר למספר אשר חלקנו עליו, שהיה ג' על השארית שהיה א', ר"ל שאלו הב' הם חלקים מהמורים, שהיו רביעית שמינית מהמורה שנתחדש, שהוא עשירית וכל זה ברור בטעם למבין והקש על זה
Dividing a small number by a greater number - without [divisors] or with [divisors]	ויצא לנו מזה שהרוצה לחלק מעט על רב, שיוכל לחלקו בלי הוצאת המורים, או בהוצאת המורים ויצאו לנו ג"כ החלק היותר גדול שאיפשר בשם אחד
The method is very effective for division of a prime number (that has no [divisors]), such as 101	וזה יועיל מאד כאשר אנו רוצים לחלק למספר פשוט, כמו ק"א, או כדומה לו, שאין לו מורים
Two examples - with divisors and without divisors	וכדי לבאר הענין יפה יפה, אביא שני משלים: אחד עם הוצאת המורים ואחד מבלי הוצאת המורים
Example with divisors: $\scriptstyle73\div240$	המשל רצינו לחלק 73 על 240
$\scriptstyle{\color{blue}{240=6\sdot8\sdot5}}$	והנה מוריו הם אלו ו' ח' ה', כי מהם מורים הוא מורכב והוא האם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{240}{73}=3+\frac{21}{73}}}$	ונחלק האם, שהוא המספר הגדול אשר רצינו לחלק עליו, על המספר הקטן, ר"ל ה73, אשר הוא המספר אשר רצינו לחלק עליו על המספר הקטן, ר"ל ה73, אשר הוא המספר אשר רצינו לחלק ויצא בחילוק ג' וישארו כ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle73\div240&\scriptstyle=\frac{1}{3+1}+\frac{73-21}{\left(3+1\right)\sdot240}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\frac{52}{240}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\left(\frac{52}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}$	נוסיף א' על היוצא, יהיה ד' והוא המורה החלק גדול והוא רביעית אחת ונשימנו ראשונה ונשים תחתיו א', עוד נשים הכ"א הנותרים מהע"ג, שהוא החשבון אשר חלקנו עליו עתה, ישארו נ"ב והם מוסיפים על הרביעית, ר"ל שהעולה שיצא לנו בחלוק ה73 המספר הקטן על ה240, שהוא המספר הגדול, רביעית אחת ונ"ב חלקים מ240 מרביעית או אם תרצה, תקח מורה במקומו ותאמר רביעית אחת ונ"ב חמישיות שמינית שישית רביעית ואם תרצה תעשה להם כלילת יופי ויעלו רביעית אחת וחמישית רביעית וד' שמיניות שישית חמישית רביעית והקש על זה
Example without divisors - illustrating that the procedure can be used repeatedly until reaching to a simple fraction (whose numerator is 1) -	ועוד אעשה משל אחר מאשר אין לו מורים כלל
	ושם אאריך, שאנו יכולים לעשות מעשינו זה פעם אחר פעם עד כלות המספר והגיעו לחלק אחד, כי גם לזה קראתיו אחדות, כי יגיעם כלם לאחד ואפי' בין כל המורים למורה האחרון, נוכל להכניס מורה חדש ככל חפצנו
Example without divisors: $\scriptstyle38\div101$	המשל לחלק ל"ח לק"א, כי זה המספר, ר"ל ק"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{101}{38}=2+\frac{25}{38}}}$	ונחלק הק"א לל"ח [ויצאו בחלוק ב' וישארו כ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle38\div101&\scriptstyle=\frac{1}{2+1}+\frac{38-25}{\left(2+1\right)\sdot101}\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\left(\frac{13}{101}\sdot\frac{1}{3}\right)\\\end{align}}}$	נוסיף א' על הב', יהיו ג' ונשימהו למורה ראשון ונשים תחתיו א' ונגרע השארית מהל"ח אשר] אשר חלקנו עליו עתה וישארו י"ג ואם לא היו כ"כ, הינו שמים למורה שני הק"א והינו שמים זה השארית, ר"ל אלו הי"ג, תחתיו והינו אומרים שהמחלק ל"ח על ק"א, שיגיע לכל אחד מהם שלישית אחת וי"ג חלקים מק"א משלישית שלמה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{101}{13}=7+\frac{10}{13}}}$	אכן להיותם הרבה וכדי שנמצא חלקים יותר נאותות, נשוב לחלק הק"א לאלו הי"ג ויצא בחילוק ז' וישאר י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle38\div101&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\frac{13}{101}\sdot\frac{1}{3}\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sdot\left[\frac{1}{7+1}+\frac{13-10}{\left(7+1\right)\sdot101}\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sdot\left[\frac{1}{8}+\frac{3}{8\sdot101}\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{3}{101}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}$	ונשים זה הז' בתוספת אחד והוא ח' למורה שני ונשים תחתיו א' ונשים הי', שהם השארית מהי"ג אשר חלקנו עליהם עתה וישארו ג‫' ואם תרצה, כבר כלית כל מלאכתך ותשים הק"א למורה שלישי ותשים למורה שלישי ותשים אלו הג' תחתיו שהם השארית הנשארה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{101}{3}=33+\frac{2}{3}}}$	אכן אם תרצה עוד להכפל המעשיך, יען תגיע לאחדות גמורה, ר"ל שלא יהיו שם מנין שברים כי אם אחד אחד, תשוב תחלק הק"א על אלו הג' ויצא בחילוק ל"ג וישארו ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle38\div101&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{3}{101}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\left[\frac{1}{33+1}+\frac{3-2}{\left(33+1\right)\sdot101}\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\left[\frac{1}{34}+\frac{1}{34\sdot101}\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{34}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{34}\sdot\frac{1}{101}\right)\\\end{align}}}$	ונוסיף א' על הל"ג ויהיו ל"ד ונשימם למורה שלמי ונשים א' תחתיו ונחסר אלו שני הנשארים מהג' אשר חלקנו עליהם עתה וישאר א' וכבר הגענו לאחדות הגמור וכלינו מלאכתנו מכל וכל ונשים ק"א למורה [...] ונשים א' תחתיו
	הרי לך שלש צורות שכלם אמיתיות ותוכל להשיב כאשר תרצה מהם וכן היה הרשות בידך לעשות זה פעם אחר פעם, [כאשר [..] מחלק אם המורים, כבמשל הא', ונשים כל המורים המתחדשים פעם אחר פעם זה] זה אחר זה כ"א תחת כל אחד
Aḥdut (unification)- reminder for placing 1 [as a numerator of the simple fractions] beneath each denominator	כי לכל זה יועיל שם האחדות, שלא תשכח מלשים א' תחת כל מורה מתחדש ואחר תשים האם עצמה, או מוריה במקומה
If the unification is complete - [the final fraction is simple i.e. its numerator is 1] - placing 1 beneath the last denominator	ותחת האחרון א', אם הגעת לאחדות הגמורה
If the unification is incomplete - placing the remainder beneath the last denominator	ואם אין, תשים תחתיו הנשאר באחרונה, אחרי הסירך הנשאר מהמספר אשר אתה מחלק עליו בעת ההיא באחרונה [.]השארית האחרונה ההיא תשים תחת המורה האחרון אשר לאם
The option to continue the procedure when the remainder is greater than 1, by dividing the denominator by the remainder	ואם יהיה רב ממנו, תעשה מהם כלילת יופי, רצוני לומר לחלק השארית הא' ההיא על המורה האחרון והיוצא שלפניו והנשאר תשים תחתיו וכן לעולם עד כלותו וכל זה מבואר ונכפל פעמים רבות
	וגם בכל מספר אחר, אשר חלקת הכל למורים, אם תראה שאשר שמת תחת המורה האחרון הוא מספר רב ותרצה להמציא בין כל המורים הראשונים זה האחרון אשר לצד שמאל משום מורה מחודש, או מורים, חלק המורה האחרון על אשר תחתיו
	כאשר עשית במה שבין הצורה השנית והשלישית, שהרי הק"א היה המורה האחרון בצורה הראשונה ולפי שמצאת הי"ג, שהם מספר רב, תחתיו, המצאת המורה הח' ששמת שני והוא שלישי בידך, שבא בצורה השנית
	וכן עשית פעם אחת מהצורה השנית לשלישית והמצאת מורה אחר והוא הל"א ושמת הק"א רביעי
The procedure continues considering the common denominator - the last denominator to the left	ובלבד שלא תעשה זה כי אם למורה האחרון אשר לצד שמאל וכל זה מבורר בטעם הראשון למבין
Considering other divisors - fractionalizing the common denominator	ואם תרצה להוציא המורים בין המורים האמצעיים, תצטרך להוציא המורים לכל המורה האחרון אשר לצד שמאל והאם ההיא תחלק למנין השברים, אשר היו תחת המספר המורים ההם, אחרי עשות להם פריטה, אם כבר נתחלק להם המספר וכל זה ברור בטעם
	כי אחר שהוצאת האם למורים האם, הרי שבו כלם כמורה אחד ואתה מבקש בין הראשונים ובינו מורה, או מורים אחדים ואחר שהמצאת המורים אשר רצית, תשים האם הזאת אחריהם לצד שמאל, או המורים אשר הורכבה מהם, זה אחר זה במקומה, כי הכל אחד ודי למבין
Checking the unification: fractionalization	ואם תרצה לבחון מעשיך, עשה פריטה לכל אלו השברים אשר באו לך
Division of a small number by a greater number: if one of the denominators is the given large number by which the smaller number should be divided - dividing the numerator which is the result of the fractionalization by all the denominators except for the large number - the result of division should be the small number divided originally	ואם יש במוריך אלו המספר הגדול אשר רצית לחלק עליו, ר"ל הק"א במשל האחרון, חלק זה העולה מהשברים הנפרטים על כל שאר המורים מבלעדיו זה אחר זה, או על אמם ויצא לך באחרונה כמנין המספר הקטן אשר רצית לחלק ולא נשאר דבר בשום חלוקה מאלו, הנה מעשיך אמת ונכון, ואם לאו, דע שטעית
A sum of fractions: dividing the numerators by the unified denominators	גם במשל הראשון, אם יש במוריך אלו הם המורים הראשונים, או המורים עצמם, חלק כל מספר השברים הנפרטות על שאר המורים שנתחדשו במלאכת האחדות, או על אמם ואם לא ישאר לעולם דבר ויצא באחרונה כמספר הקטן אש' רצית לחלק, או כשברים הנפרטים במשל ראש המאמר, הנה אמת הנה נכון ואם לאו דע שטעית
If the large number or the common denominator does not appear as a denominator in the final result - multiplying the numerators of the result by this large number or the common denominator and dividing the product by the other denominators - the result of division should be the small number to be divided, or the original numerators	ואם אין במלאכתך זאת, ר"ל במוריך, לא אם המורים ולא המורים עצמם, כפול כל המספר השברים הנפרטים בחשבון הגדול אשר רצית לחלק עליו, אם באם המורים מהחלקים הנשאלים, כבמשל הראשון אשר בראש זה המאמר, אם במספר הגדול אשר רצית לחלק עליו, כבמשל השני והעולה חלקנו לכל מוריך אלו, או לאמם ואם יצא כמספר השברים הנפרטים הנשאלים במשל הראשון, או כמספר הקטן אשר רצית לחלק במשל השני, מבלי שארית כלל, הנה אמת ואם לאו שקר
Checking the above three examples:	וקודם התחילי בטעם בחינה זאת, כדי להרגילך במעשה, אעשה בחינה בכל אחד משלשת המשלים הנזכרים‫:
$\scriptstyle\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{2}{9}\sdot2\right)+\left[\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]$	הנה פריטת המשל הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{\left(3\sdot7\right)+2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{21+2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{\left(23\sdot3\sdot6\right)+3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{\left(69\sdot6\right)+3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{414+3}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(417\sdot4\right)+1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{1668+1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{1669\sdot5}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{8345\sdot8}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{66760}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\\\end{align}}}$	היה 7 ב3 21, 23 ב3 69, 69 ב6 414 וה3 הם 417 וב4 1668, 1668 ו1 1669, 5 1669 8345, 8345 ב8 66760 והנה עלה בידינו שהפריטה היא 66760
	ואם לא היו בידינו כל המורים הראשונים, היו כופלים זה בכל המורים הראשונים והעולה היינו מחלקים אל כל שמונת מורים אלו אחד אחד אחד, או לאמם והיא יוצא מספר פריטת השברים הנשאלים והיא 13352
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle=\frac{66760}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}&\scriptstyle=\frac{66760}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=\frac{13352}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\\\end{align}}}$	אכן אחרי היות בידינו כל המורים הראשונים, ר"ל כל מורה השברים הנשאלים ואל יטעך שאין כאן הט', שהרי במקומו ג' ג', שהם מוריו ונחלוק זה אשר עלה לנו מפריטתינו זאת, ר"ל ה66760, למורים שנתחדשו במלאכתינו, ר"ל לה' הראשון לבדו, כי לא נתחדשו עוד ויצא בחילוק 13352, שהוא מספר פריטת השברים הנשאלים ולא נשאר דבר והנה אמת
$\scriptstyle73\div240$	ובמשל השני
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)&\scriptstyle=\left(\frac{\left(1\sdot5\right)+1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{5+1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(6\sdot6\sdot8\right)+4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{\left(36\sdot8\right)+4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{288+4}{8}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle\frac{292}{4}\sdot\frac{1}{240}\\&\scriptstyle=\frac{73}{240}\\\end{align}}}$	הוא הפריטה א' בה' ה', וא' ו‫' ו'בו' ל"ו, בח' 288 ו4 292 נחלקם לד', שהוא המורה המתחדש, יצא בחילוק מבלי שארית 73, שהוא המספר הקטן שרצינו לחלק והנה אמת
$\scriptstyle38\div101$	ובמשל השלישי
$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\frac{1}{3}+\left(\frac{13}{101}\sdot\frac{1}{3}\right)=\frac{114}{3}\sdot\frac{1}{101}=\frac{38}{101}}}$	בצורה הראשונה, הנה הפריטה עולה 114, נחלקם לג', שהוא המורה המתחדש, יצאו הל"ח, שהוא המספר הקטן אשר רצינו לחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{3}{101}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{912}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{101}\\&\scriptstyle=\frac{304}{8}\sdot\frac{1}{101}\\&\scriptstyle=\frac{38}{101}\\\end{align}}}$	ובצורה השנית הפריטה 912, נחלקם לג' ולח', שהם המורים החדשי', תחלה לג', יצא 304, נחלקם לח' ויצאו הל"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{34}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{34}\sdot\frac{1}{101}\right)&\scriptstyle=\frac{31008}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{34}\sdot\frac{1}{101}\\&\scriptstyle=\frac{10336}{8}\sdot\frac{1}{34}\sdot\frac{1}{101}\\&\scriptstyle=\frac{1292}{34}\sdot\frac{1}{101}\\&\scriptstyle=\frac{38}{101}\\\end{align}}}$	ובצורה השלישית הפריטה 31008, נחלקם לג', יצא 10336, נחלקם לח', יצא 1292, נחלקם לל"ד, שהוא המורה הנשאר מהמורים החדשים, יצא הל"ח והנה אמת
The reason for checking the unification by fractionalization: fractionalizing means finding the numerator of the fraction that consists of all the denominators - the original denominators and the renewed denominators - therefore by dividing this numerator by the renewed denominators the original numerator will be received	וטעם בחינה זה הוא ברור, כי כשיש במורינו המורי' הראשונים, או האם או האם, או המספר הגדול אשר רצינו לחלק עליו, הנה הפריטה היא מספר שברים מכל המורים חדשים גם שנים וזה ברור כמו שנתבאר פעמים רבות
	כי הפריטה הוא להשיבם פרוטות כי הפריטה הוא מספר שברים מכל המורים, שהוא המין האחרון והוא נקשר בכל המורים וכאשר נחלקם על המורים המתחדשים, הוא כעושה כלילת יופי, כי הסדר לא יזיק ואחר שנתחלק על כל החדשים ולא נשאר דבר, הנה יצאו מן הכלל והיוצא באחרונה הם שברים מהמורים הראשונים, או מאמם כבראשונה, או מהמספר הגדול
	ר"ל שהל"ח שיצאו לנו, אחר שחלקנו הפריטה במורים החדשי' ויצאו הם מן הכלל, הם חלקים מק"א חלקים בשלם, כי לכל אחד מהל"ח יעלה לכל אחד חלק אחד מק"א בשלם ומהל"ח ל"ח
The reason for multiplying the fractionalized numerator by the original denominators, if the original denominators do not appear in the final result after it was fractionalized: multiplying by the original denominators means further fractionalizing the numerator to be a numerator of the original denominators as well	וטעם אומרנו שאם אין המורים הראשונים, או אמם, או המספר הגדול במורינו, שנכפול הפריטה במורים הראשונים, או באמם, או במספר הגדול ונחלקנו בכל המורים, שיצא מבלי שארית כמספר פריטת השברים הנשאלים במשל הראשון, או כמספר הקטן במשל השני, הוא לפי שהפריטה היא שברים מכל אלו המורים וכאשר אנו כופלים אותה במורים הראשונים, או באמם, או במספר הגדול, הוא שאנו פורטים אותה עוד לשברי שברים מהראשונים
$\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}$	ר"ל כי אם יש בידינו ג' רביעיות שמינית ע'ד'מ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}=\frac{7\sdot3}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}}}$	אם נכפלם בז', היוצא שביעית רביעית שמינית וזה נתברר פעמים רבות
Therefore, the product by the original denominators is a numerator of a fraction that consists of the renewed denominators as well as the original denominators and when divided by the renewed denominators, the result of division should be a numerator of a fraction that consists of the original denominators - the original numerator	והנה במעשינו היוצא אחר הכפל יהיו שברים מכל אלו המורים אשר לנו ומהראשונים, או מאמם, או מהמספר הגדול שהוספנו עליהם עתה וכאשר נחלקנו למורינו, ר"ל מבלתי הראשונים אשר הוספנו עתה, או מבלתי אמם, או מבלתי המספר הגדול אשר הוספנו עתה, כי להן לא נחלקם, ישאר היוצא שברים מהמורים הראשונים, או מאמם, או מהמספר הגדול
	והנה אם היוצא היה כמספר פריטת השברים הנשאלים במשל הראשון, או כמספר הקטן בשני, הנה שב כבתחלה והנה כל מעשינו אמת ויציב
Note: if the denominator or the large number [by which the small number is divided] is a prime number (such as 101) - it cannot be converted or be absent after the unification procedure, since it has no divisors and therefore cannot be divided by another number without a remainder	ודע כי המספר הפשוט, ר"ל אם היה המספר הגדול מספר פשוט, שאין לו מורים, כבמשל השלישי שהוא קי"א, כי לעולם לא יעדר ולא יומר וזה ברור, כי הוא לא יתחלק לשום מספר בשלימות מבלי שארית, אחר שהוא פשוט

Chapter Two: Subtraction	הפרק השני בחסרון
Example: if you are told: three-quarters and two-fifths of a quarter of two-ninths, subtract them from eight-ninths and three-sevenths of a fifth of a ninth of five-sixths of 3 integers $\scriptstyle\left[\left[\frac{8}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\left(\frac{5}{6}\sdot3\right)\right]-\left[\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\frac{2}{9}\right]$	המשל אם אמרו לך שלש רביעיות ושתי חמישיות רביעית משתי תשיעיות חסרם משמונה תשיעיות ושלש שביעיות חמשית תשיעית מחמש ששיות מג' שלמים
Set the first, which is the smaller number [i.e. the subtracted], like this:	תשים הצורה הראשונה והוא המעט כזה
	9 5 4 2 2 3
Set the second, which is the greater number [i.e. the minuend], like this:	והצורה השנית והוא הרב תשים כזה
	3   6 7 5 9 5 3   8
The smaller number, after it is multiplied and fractionalized, becomes 34 fifths of a quarter of a ninth, like this: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\frac{2}{9}=\frac{34}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}}}$	והנה המעט אחרי אשר הוכה ונפרט יעלה 34 חמישיות רביעית תשיעית כזה
	5 4 9 34
The greater number, after it is multiplied and fractionalized, becomes 4245 sevenths of a fifth of a ninth of a sixth. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{8}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\left(\frac{5}{6}\sdot3\right)=\frac{4245}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}}}$	והרב יעלה אחרי שנפרט והוכה שביעיות 4245 שביעיות חמישית תשיעית ששית
After multiplying and fractionalizing, we should equalize them by multiplying the numerator of one by the denominators of the other, then both are of the same fractions $\scriptstyle{\color{red}{\frac{a}{b}=\frac{a\sdot d}{b}\sdot\frac{1}{d}\quad\frac{c}{d}=\frac{c\sdot b}{d}\sdot\frac{1}{b}}}$	ואחרי שהוכו ונפרטו יש לנו להשוותם וזה בכפול מספר שברי כל אחת במורי חברתה ואז היו כל אחת מהם שברים
To make the procedure easier for us, since 9 and 5 are in the denominators of both the same number of times, which is once, we do not multiply any of [the numerators] by them, as explained at the end of the third chapter, and we set them only once.	אכן להקל עלינו המעשה אחרי היות בש[בריהם] הט' והה' פעמים שוות והוא פעם אחת לא נכפול בהם שום אחת מהם כמו שנתבאר בסוף השער הג' וגם לא נסדרם שום אחת מהם כי אם פעם אחת
The smaller – after it is multiplied by 6 and 7 one after another, which are the denominators of the other number, except for 9 and 5, by which we do not multiply as mentioned – becomes 1828; and since it is multiplied by 6 and 7, these denominators are added to its denominators, so they are 1428 sevenths of a sixth of a fifth of a quarter of a ninth. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\frac{2}{9}&\scriptstyle=\frac{34\sdot6\sdot7}{7}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{1428}{7}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\\\end{align}}}$	והנה המעט אחרי הכפלו בו' ובז' זה אחר זה שהם מורי חברתה מזולת הט' והה' שלא נכפול בהם כנזכר יעלה 1828 ואחר שהוכה בו' ובז' נתוספו לו מורים אלו על מוריו לכן יהיו אלו ה1428 שביעיות שישית חמישית רביעית תשיעית
Hence, the reason is clear why we set all the denominators and why we do not set the 9 and the 5 once more, even though they are in the other number, this is because it was not multiplied by them and it is obvious.	ובכאן נתבאר הטעם למה אנו מסדרים כל המורים ולמה אין אנו מסדרי' הט' והה' פעם אחרת ואם הם בחברתה והוא לפי שלא נכפלו בהם וזה ברור
The greater – after it is multiplied by 4, which is the remaining denominator of the other number that is not in [the greater] – becomes 16980; and since it is multiplied by 4, it is added also to its denominators, so they are quarters of a seventh of a fifth of a ninth of a sixth. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{8}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\left(\frac{5}{6}\sdot3\right)&\scriptstyle=\frac{4245\sdot4}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\\&\scriptstyle=\frac{16980}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\\\end{align}}}$	והרב אחרי הכפלו בד' שהוא המורה הנשאר בחברתה שאינו בה יעלה 16980 ואחר שהוכה על הד' ונוסף גם הוא על מוריו יהיו רביעיות שביעית חמישית תשיעית ששית
So, [the denominators of] both are equal, because the order does not matter.	והנה שניהן שוות כי הסדר לא יזיק
We set the numbers one above the other, then we subtract as the procedure of integers; the remainder is 15552 quarters of a seventh of a fifth of a ninth of a sixth. If you wish, you can reduce them, so the remainder becomes 2 integers and 2-sevenths of a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\frac{8}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\left(\frac{5}{6}\sdot3\right)\right]-\left[\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\sdot\frac{2}{9}\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{16980}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\right)-\left(\frac{1428}{7}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\frac{15552}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{6}\\&\scriptstyle=2+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}$	ונשים המספרים זה על זה ונחסרנו כמעשינו בשלמים ונשארו 15552 רביעיות שביעית חמשית תשיעית שישית ואם תרצה תעשה להם כלילת יופי ויעלה זה השארית ב' שלמים וב' שביעיות חמישית והקש על זה
The rule: we fractionalize and multiply both the greater [= the minuend] and the smaller [= the subtracted], or any of them that requires it, then we equalize their [denominators], subtract [the numerator of] one from the other as the way of the integers and reduce the remainder that includes all the denominators that are included originally in each of them.	זה הכלל שנעשה לכל אחד מהמספרים הרב והמעט פריטה והכאה או אשר יצטרך מהם ואחר כך נעשה להם השוואה ואחר כך נחסרם זה מזה כדרכנו בשלמים והנשאר נעשה לו כלילת יופי והוא כל השברים ר"ל היו לאחת מהם עם אשר הוכתה בהם מאשר בחברתה

Chapter Three: Multiplication	הפרק השלישי בכפל
This operation is the same operation described above as the second principle of compound fractions	הנה מעשה זה הפרק הוא מעש' השער השני הנקרא שער ההכאה
$\scriptstyle\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}$	כי אמרנו כפול ג' רביעיות על ד' חמישיות ע'ד'מ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{3}{4}\, of\, \frac{4}{5}}}$	הוא כאומרנו ג' רביעיות מד' חמישיות
$\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{d}\sdot\frac{1}{b}$	ונכפול מספר השברים במספר השברים, לא במורים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{3\sdot4}{5}\sdot\frac{1}{4}=\frac{12}{5}\sdot\frac{1}{4}}}$	‫[ר"ל הג' על הד', יעלו י"ב והם שברים ממורי שני המספרים, ר"ל]‫ ר"ל שהן חמישיות רביעית
No need for equalizing as the fractions are related to each other [i.e. fractions of each other]	ולזה אין מבוא בזה השער להשואה כלל, כי אינם שני מינים שברים, אבל הם שברים נקשרים זו בזו כמו שביארנו
In order to train you in the procedure I give an example:	וכדי להרגילך במעשה אביא משל אחד
Example: we wish to multiply 4-sevenths of 5-ninths of an eighth by 3-fifths of a ninth of 2-thirds of 5 integers. $\scriptstyle\left[\left[\frac{4}{7}\sdot\left(\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot\left(\frac{2}{3}\sdot5\right)\right]$	המשל רצינו לכפול ד' שביעיות מה' תשיעיות שמינית על ג' חמשיות תשיעית מב' שלישיות מה' שלמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\frac{4}{7}\sdot\left(\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot\left(\frac{2}{3}\sdot5\right)\right]&\scriptstyle=\frac{4}{7}\sdot\left(\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot\left(\frac{2}{3}\sdot5\right)\\&\scriptstyle=\frac{600}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}\\\end{align}}}$	אין לך לעשות דבר כי אם לקשרם יחד ולשים במקום על מ' ר"ל שתאמר הם ד' שביעיות מה' תשיעיות שמינית [מג'] חמישיות תשיעית מב' שלישיות מה' שלמים והרי לנו חזרו לשער ההכאה ואם תרצה לידע מה המה אלה עשה להם הכאה כי בזה המשל אין מבוא לפריטה והעולה נעשה לו כלילת יופי על כל המורים כי כלם נקשרים זה בזה ויעלה אחר ההכאה 600 שביעיות תשיעית שמינית חמישית תשיעית שלישית
The denominators are always written on top	ודע שלעולם המורים עליונים ולא תמצא עליהם דבר ובזה תבחין בין המורים למספר השברים
Metaphor - the denominators are on top and the numerators are beneath, as the student and his teacher	ואם א[י]ן ראיה לדבר זכר לדבר את לרבות תלמידי חכמים שהמורים ראויין להיות גבוהים על הכל והשברים למטה מהם, כתלמיד לפני רבו, או בית פתוח לרוחה תחת המורה ויבא מי שירצה
There is nothing above or beneath integers	אבל השלמים לעולם אין עליהם ולא תחתיהם דבר ולא בית פתוח כי אינם מורי הוראה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\frac{4}{7}\sdot\left(\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot\left(\frac{2}{3}\sdot5\right)\right]=\frac{600}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}=\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}}}$	ואחרי עשותנו להם כלילת יופי שהן חמש תשיעיות שביעית תשיעית
The procedure: no need for equalization, all that needs to be done is to relate the fractions to each other: multiplying, then fractionalizing if necessary, and dividing by the denominators	זה הכלל שאין לנו לעשות בזה ההשואה כלל כי אין לנו לעשות כי אם לקשרם יחד והוא לשים מ' במקום על כמו שבארנו ואחר כן נעשה לה הכאה גם פריטה אם הוצרך אליה ואחר כל זה לעשות לה כלילת יופי והוא לחלקם על המורים שהרי העליונים לעולם כמו שביארנו והיוצא הוא המבוקש

Chapter Four: Division	הפרק הרביעי בחלוק
$\scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\frac{2}{3}\right]$	רצינו לחלק שלש רביעיות וב' שלשיות רביעית על ד' תשיעיות וה' ששיות תשיעית מב' שלישיות
The diagram of the greater number [the dividend] is like this:	הנה צורת הרב היא כזה
	3 4 2 3
The diagram of the smaller number [the divisor] is like this:	וצורת המעט כזה
	3 6 9 2 5 4
The dividend, the large number - requires fractionalization alone $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)=\frac{11}{3}\sdot\frac{1}{4}}}$	והרב אינו צריך כי אם פריטה ויעלה אחר הפריטה י"א שלישיות רביעיות
The divisor, the small number - requires fractionalization and multiplication $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\frac{2}{3}=\frac{58}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}}}$	אכן המעט צריך פריטה והכאה ויעלה אחר הפריטה וההכאה נ"ח ששיות תשיעית שלישית
After fractionalizing and multiplying the dividend and the divisor if needed, they should be equalized	ואחר שעשינו לכל אחד מהם אשר הוצרך מפריטה והכאה נשוום יחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)=\frac{11}{3}\sdot\frac{1}{4}=\frac{594}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\frac{2}{3}=\frac{58}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}=\frac{232}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}}}$	ואחרי היות הג' בשתיהן פעם אחת לא נכפלם בו ויעלה הרב אחר ההשואה 594 והמעט יעלה 232 והם, ר"ל שני המספרים האלו שברים מהד' מורים שהם שישיות תשיעית שלישית רביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot\frac{2}{3}\right]&\scriptstyle=\left(\frac{594}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\div\left(\frac{232}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{594}{232}\\\end{align}}}$	ואחרי היותם שוות הרי הוא כאלו שאלו לנו שנחלק 594 שישיות תשיעיות שלישית רביעית והרי הוא כאלו אמרו לנו נחלק 594 שלמים על 232
After converting them to fractions of the same type, their numerators can be divided as integers	כי אחר שהם ממין אחד מה לי אם הם שלמים או שברים או זוזים או פרחים והרי מעשהו שוה לחלוקת השלמים שוה בשוה
The denominators of the result are extracted from the numerator of the divisor, not from its denominator	וכדי שיצאו לנו שברים ושלמים יחד לא נביאנו על דרך האחדות כי אם ע"ד הוצאת המורים והוא שנוציא מורי המספר אשר רצינו לחלק עליו והוא המספר המעט אשר במשלינו
	ואל תטעה לחשוב כי מוריו אשר עליו הם המורים לחלקי הפריטה אחר ההשואה ושאלו הם המורים אשר לך לבקש ולחלק עליהם כי זה אינו כלל ואין לך לחלק עליהם כי אם בעשותך כלילת יופי
	אבל המורים אשר לך לבקש הוא לדעת ה232 שהוא מספר השברים אשר רצינו לחלק עליהם מספר השברים האחרים אם הוא פשוט או מורכב או מאי זה מספרים הוא מורכב
Example: if the numerator of the divisor is multiplied by 4 [in the equalization procedure] - then 4 will be one of the denominators of the result	ודע לך שאחר שכפלת והעולה בפריטתה בד' בעת ההשואה בידוע שיש לה רביעית וכן כל המורים אשר היו בחברתה ולא בה
The denominators of the result are the divisors of the numerator of the divisor and all the numbers by which the numerator of the divisor should be multiplied in the equalization procedure	לכן אם תרצה להקל מעליך המעשה לא תכפלנו בהם ולא תצטרך לחלקה עתה להם בעת הוצאת המורים אבל תקחם למורים שתחלק עליהם ועל היוצא מפריטתה ותבקש מורי המספר היוצא מפריטתה ותבקש ותשימם עמהם
	וכל זה אמרנו במספר אשר תרצה לחלק עליו אבל המספר אשר תרצה לחלק עליו אבל המספר אשר תרצה לחלק צריך אתה לעולם לכפלו במורים אשר בחברתה ולא בה
$\scriptstyle{\color{blue}{232=4\sdot58=4\sdot2\sdot29}}$	המשל לזה במשלינו כי אם רצינו לבקש מורים ל232 ואחר שבעת ההשואה הוכפל היוצא מהפריטה וההכאה בד' שהיא מורה חברתה ידענו שלזה העולה יש לו רביעית ונחלקנו על ד' ויצא בחילוק נ"ח ונבקש עוד מורים לנ"ח ונמצא לו חצי ונחלקנו עליו ר"ל על ב' ויצא בחילוק כ"ט והוא מספר פשוט הנה מורי מספר השברים אשר רצינו לחלק עליהם הם הב' והד' והכ"ט
	ובזה תראה ברור מה שאמרתי שאם הינו רוצים להקל המעשה מעלינו היינו לוקחים מתחלה מתחלה הד' למורה ראשון
No need to multiply the numerator of the divisor in the equalization procedure - the numbers by which it should have been multiplied should be considered as denominators of the result	וכן אם היה שם הרבה ולא היינו צריכים לכפול בהם המספר אשר רצינו לחלק עליו
	ר"ל הנ"ח אבל נבקש מורים לנ"ח או לשים אותה עצמה למורה ולשים עמהם הד' והכל אחד
The reason for this: multiplication and division are inverse operations	והטעם ברור כי הכפל והחלוקה הפכים הם
Multiplying a given number by another number then dividing the product by the same number will produce the original given number $\scriptstyle\frac{a\sdot b}{b}=a$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{58\sdot4}{4}=58}}$	ואם נכפול מספר ר"ל הנ"ח על מספר מה ר"ל הד' ונחלק העולה לזה המספר בעצמו, ר"ל לד' יצא לנו אשר היה לנו בתחלה ר"ל הנ"ח והמעשה עולה אחד והמלאכת יותר קלה
	ובלבד שלא תטעה מלכפול המספר אשר רצית לחלק ר"ל הי"א במורי חברתה כי זה מחוייב לעולם
[it is not clear why the divisors 4, 2, 29 were replaced here by 3, 2, 29] $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{594}{3\sdot2\sdot29}=3+\left(\frac{24}{29}\sdot\frac{1}{2}\right)}}$	ונשלים המשל ונחלק ה594 על הג' מורים שיצאו לנו זה אחר זה ונחלקם תחלה לג' ויצא בחילוק ג' והם שלמי' ולא ישאר דבר ונשימם מחוץ הנה היוצא הוא כי בחלקנו המספר הרב למעט הנזכרים במשל שיצא בחילוק ג' שלמים וכ"ד חלקים מכ"ט חלקים מחצי שלם
	ור"ל שהמספר המעט הוא ברב ג' פעמי‫'
	וזה ר"ל השלשה שלמים ואם יהיו שנים שלמים ירצה לומר שהוא בו שתי פעמים ואם יותר יותר
	והשברים ר"ל שהם עוד בו חלקי פעם כנזכר ולא היה פעם שלמה כלל
Dividing small fractions by greater fractions - using unification after fractionalization, multiplication, and equalization	וכאשר השאלה כן ר"ל שהם עוד בו חלקי פעם כנזכר ולא היה פעם שלמה כלל וכאשר השאלה כן ר"ל שנחלק שברים קטנים לשברים רבים וגדולים מהם נוכל לעשות בדרך האחדות אחרי עשותנו הפריטה וההכאה וההשוואה
The procedure: fractionalization and multiplication of dividend and the divisor if needed, then equalizing them and dividing the numerator of the dividend by the numerator of the divisor, as integers. The integer in the result of division indicates the number of times the divisor appears in the dividend; the fraction in the result indicates the additional parts of one time the divisor appears in the dividend.	זה הכלל שאחר עשותנו הפריטה וההכאה וההשואה לכל אחד מהם, או אשר תצטרך ואחר כך ההשוואה כנזכר נחלק היוצא בזו ליוצא באחרת ככל דרכם השלמים מכל וכל והשלמים היוצאים יהיו מספר הפעמים והשברים חלקי פעם והכל ברור
Note: the checks in the chapters dealing with fractions are the same as in the chapters dealing with integers – the inverse operations: addition ↔ subtraction; division ↔ multiplication, and so on	ומופתי כל פרקי השברים העוברים והבאים הם כמופתי השלמים ר"ל כל דבר להפכו: החבור והחסרון זה לזה והחלוק והכפל זה לזה גם בערכים ובשרשים מופתיהם כמופתי השלמים

Chapter Five: Proportions	הפרק הה' בערכים
Finding the number whose ratio to some given fractions is the same ratio of these given fractions to other known fractions	הערכים הוא כאומרנו הערך שיש לשברים אלו אצל שברים ידועים, אצל מי יש לשברים אלו האחרים זה הערך, או למי יש זה הערך אצל אלו השברים האחרים
If a given number of portions of gold are equal to a certain number of portions of silver, how many portions of silver worth another number of portions of gold	או אם אלו השברים מזהב ע'ד'מ' שוים אלו של כסף אחרות, אלו של זהב כמה שוים [אלו] של כסף
If a given number of portions of gold are equal to a certain number of portions of silver, how many portions of gold worth another number of portions of silver	או אלו של כסף כמה שוים של זהב
The same way as with integers	כל זהו כמו בשלימים
The procedure: fractionalizing and multiplying each of the three given numbers separately; multiplying the first number of the first [pair] by the second number of the second [pair] without equalizing; then equalizing the product with the third given number; finally dividing the numerator of the product after equalization by the numerator of the third number after the equalization $\scriptstyle\frac{a_1}{b_1}:\frac{a_2}{b_2}=X:\frac{a_3}{b_3}\longrightarrow X=\frac{\frac{a_1}{b_1}\sdot\frac{a_3}{b_3}}{\frac{a_2}{b_2}}=\frac{\left(a_1\sdot a_3\right)\sdot b_2}{a_2\sdot\left(b_1\sdot b_3\right)}$	ומעשהו היה הדין נותן שנעשה פריטה והכאה לכל אחד מהג' מספרים לעצמו ולכפול, ר"ל להכות הראשון מאלו [בב' מאלו], מבלי השואה כלל ויהיה היוצא חלקים ממורי שני מספרים אלו ולהשוות זה העולה עתה, שאין חלקים ממוריו גם ממורה חברתה אשר הוכפלה בה, עם הנשאר, ר"ל לכפול זה העולה מהכפל הנזכר במוריה הנשאר, שהוא ראשון, או שני וכן כלם, זה פירושם גם לכפול השלישית במורי השנים, שהם מורי זה העולה מהכפל כנזכר ואחר שכל זה, לחלק זה העולה, אחר שהושווה, לשלישי, אחר שהושווה והיו השלמים היוצאים בחילוק שלמים ממש מהנעלם והשברים שבר שלם
$\scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3-\frac{1}{4}\right)\right]:\left[\frac{4}{5}\sdot\left(5-\frac{1}{5}\right)\right]=\left[\frac{5}{6}\sdot\left(6-\frac{1}{6}\right)\right]:X$	המשל אם ג' רביעיות מג' שלמים פחות רביע שלם שוים ד' חמישיות מה' שלימים פחות חומש שלם, חמש שישיות מו' שלימים פחות שישית שלם כמה שוים
	נעשה לכל אחד צורה בפנים עצמה כזה‫:
	4 4 3 2 3   5 5 4 4 4   6 6 5 5 5
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\left(3-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}\sdot\left(2+\frac{3}{4}\right)}}$	וזה כי אומרו ג' רביעיות מג' שלימים פחות רביע שלם הוא כאומרו משני שלימי' וג' רביעיות שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot\left(5-\frac{1}{5}\right)=\frac{4}{5}\sdot\left(4+\frac{4}{5}\right)}}$	וכן מהה' פחות חומש הוא כמו מד' שלמים וד' חמישיות משלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot\left(6-\frac{1}{6}\right)=\frac{5}{6}\sdot\left(5+\frac{5}{6}\right)}}$	וכן מששה שלמים פחות שישית כאומרו מה' שלימים וה' שישיות שלם
	ואחרי ששם הצורות כתקנם, נעשה לכל אחד פריטה והכאה‫:
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\left(3-\frac{1}{4}\right)&\scriptstyle=\frac{3}{4}\sdot\left(2+\frac{3}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{3}{4}\sdot\frac{\left(2\sdot4\right)+3}{4}\\&\scriptstyle=\frac{3}{4}\sdot\frac{8+3}{4}\\&\scriptstyle=\frac{3}{4}\sdot\frac{11}{4}\\&\scriptstyle=\frac{3\sdot11}{4}\sdot\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}\\\end{align}}}$	ובצורה הראשונה נפרוט הב' שלימים ונכפלם במורה הרביעיות והוא ד' ויהיו ח' רביעיות ונחבר להם הג' אשר תחתיו, שהם ג' רביעיות שלם, יעלו י"א רביעיות שלם והרי הוא כאלו אמרו ג' רביעיות מי"א רביעיות, לכן נכה הי"א בג', יעלו ל"ג, הלא הם ל"ג רביעיות רביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot\left(5-\frac{1}{5}\right)=\frac{4}{5}\sdot\left(4+\frac{4}{5}\right)=\frac{96}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	וכן נעש' לשנית ויעלו 96 חמישיות חמישית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot\left(6-\frac{1}{6}\right)=\frac{5}{6}\sdot\left(5+\frac{5}{6}\right)=\frac{175}{6}\sdot\frac{1}{6}}}$	וכן לראשונה מהאחרות ויעלו 175 שישיות שישית
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3-\frac{1}{4}\right)\right]:\left[\frac{4}{5}\sdot\left(5-\frac{1}{5}\right)\right]=\left[\frac{5}{6}\sdot\left(6-\frac{1}{6}\right)\right]:X\longleftrightarrow\left(\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}\right):\left(\frac{96}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)=\left(\frac{175}{6}\sdot\frac{1}{6}\right):X}}$	והנה שבא הכל כאלו שאלו לנו אם 33 רביעיות רביעית שוות 96 חמישיות, 175 שישיות שישית כמה שוות או הערך אשר ל33 רביעיות רביעיות אצל 96 חמישיות חמישית, ל175 שישיות שישית אצל מי יש לו זה הערך
	והרי לנו כל השברים נפרטים ומורים כל אחד לבדו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X&\scriptstyle=\frac{\left(\frac{96}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left(\frac{175}{6}\sdot\frac{1}{6}\right)}{\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{16800}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{6}}{\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\frac{16800\sdot4\sdot4}{33\sdot5\sdot5\sdot6\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{67200\sdot4}{33\sdot5\sdot5\sdot6\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{268800}{33\sdot5\sdot5\sdot6\sdot6}\\\end{align}}}$	ויש לנו לכפול הב' בראשון, ר"ל הו'ט' חמישיות חמישית 571 שישית שישיות מבלי השואה כלל, לפי שהוא כאומרנו 96 חמישיות חמשית מ175 שישיות שישית ונכם זה בזה, ר"ל מספר השברים בשברים, לא במורים, יעלו 16800 חמישיות חמישית ששית ששית ויש לנו לחלקם לראשון מהאחדים, שהוא ה33 רביעיות רביעית וכבר אמרנו בפ"ד מזה החלק, שאם נרצה, נשוה תחלה המתחלק ואשר נחלק עליו, ר"ל שנכפול ה16800, אשר אנו רוצים לחלק, במורה ה33 רביעיות רביעית, ר"ל בד' ויעלה 67200 ונכפלם בד' המורה האחר ויעלה 268800 רביעיות רביעית חמישית שישית שישית ונכפול ג"כ ה33 רביעיות רביעית והוא המספר אשר רצינו לחלק עליו, במורי המספר המתחלק והם הו' והה‫' ואחר שנכפלם בזה זה, אחר זה נבקש מורה כל העולה ונחלק עליהם המספר המתחלק, ר"ל ה268800 ואם בקשנו לז' [לו] אלו המורים אשר נכפול בהם, ר"ל הו' והה' ונחלק אליהם אחד אחד
No need to multiply the denominators of the product of the two first numbers by the numerator of the third number, but to consider each of them as denominator of the final result [i.e. in the above notation - no need to calculate the product $\scriptstyle a_2\sdot b_1\sdot b_3$]	יצא בחילוק האחרון ל"ג, שהוא המספר אשר כפלנו בהם אחד אחד ומאחר שכן, למה ניגע לבהלה לכפול בהם ולחלק העולה עליהם לבטלה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X&\scriptstyle=\frac{268800}{33\sdot5\sdot5\sdot6\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{268800}{3\sdot11\sdot5\sdot5\sdot6\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{268800}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{11}\\&\scriptstyle=9+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}$	לכן לא נכפול המספר אשר רצינו לחלק עליו, ר"ל ה33, במורי המספר המתחלק, אבל נקח המורים ההם למורים ראשונים ונשים עמהם ה33 עצמו או נרצה נבקש לו מורים ויהיו י"א ג' ונשימם במקומו עם המורים הנזכרים, ר"ל מורי המספר אשר רצינו לחלק ויהיו כלם 6 6 5 5 11 3 ונחלק עליהם המספר המתחלק והוא 268800 וזה לעשות להם כלילת יופי, כי אם רצינו יכולנו לו' שהנעלם מהארבעה הנערכים הוא 268800 שלישיות חמישית ששית מאחד עשר בשלם אכן לדעת מה המה אלה, נעשה להם כלילת יופי והוא שנחלקם למורים אלו ויעלה ט' שלימים ושלשית חלק אחד מי"א בשלם וד' שישיות שלישית חלק אחד מי"א בשלם
	6 5 5 6 3 11 9       4 1
Check: multiplying the result, which is the second [of the second pair], by the first of the first [pair], then dividing the product by one of the two remaining numbers - the result should be the last remaining number $\scriptstyle a_1:a_2=a_3:X\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle a_2=\frac{X\sdot a_1}{a_3}\\\scriptstyle a_3=\frac{X\sdot a_1}{a_2}\end{cases}$	ואם תרצה לבחון מעשיך, כפול זה השני, שהיה נעלם, בל"ג רביעיות רביעית, שהוא הראשון מהאחדים וחלק העולה על אחד מהנשארים ויצא האחר בעינו ואם לא, דע שטעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[9+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\sdot\left(\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	והנה כאשר נכפול זה בל"ג רביעיות רביעית, הוא כאומרנו ל"ג רביעיות רביעית מט' שלמים ושלישית חלק מי"א בשלם כזה‫:
	6 3 11 4 4 4 1   33 1
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[9+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\sdot\left(\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)&\scriptstyle=\left(\frac{1792}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\sdot\left(\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{59136}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\\\end{align}}}$	ונפרוט הט' שלמים והשברים אשר עמו ויעלו 7921 ושישיות שלישית מי"א בשלם כזה‫:
	4 4 6 3 11 59136
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\left[9+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\sdot\left(\frac{33}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}{\frac{96}{5}\sdot\frac{1}{5}}&\scriptstyle=\frac{\frac{59136}{4}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}}{\frac{96}{5}\sdot\frac{1}{5}}\\&\scriptstyle=\frac{59136\sdot5\sdot5}{4\sdot4\sdot6\sdot3\sdot11\sdot96}\\&\scriptstyle=\frac{1478400}{4\sdot4\sdot6\sdot3\sdot11\sdot2\sdot8\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{1478400}{11\sdot3\sdot4\sdot8\sdot4\sdot2\sdot6\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{1478400}{8448\sdot6\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{1478400}{8448}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{6}\\&\scriptstyle=\frac{175\sdot8448}{8448}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{6}\\&\scriptstyle=\frac{175}{6}\sdot\frac{1}{6}\\\end{align}}}$	ונחלק לשני מהאחרות והיא 96 חמישיות חמישית ותצא הנשארת, שהיא ה175 שישיות שישית ונכפול המספר המתחלק, ר"ל ה59136, במורי ה96, שהם 5 5, ויעלה 1478400 וכדי שלא להכפל הענין כמו שביארנו, לא נכפול ה96 במורי האחרת, אבל נקחם למורים שנחלק עליה ועל ה96 ואם נרצה נקח מוריהם והם 6 8 2 ונשימם עם הראשונים ולפי שאנו מבקשים לידע אם רצה בחילוק 175 שישיות שישית, הרי הוא כאלו שאלו לנו כמה שישיות שישית יצא מהחלוקה ואם לא היו במורינו, היינו צריכים לכפול כל המספר המתחלק בהם ולהוסיפם על האחרים ולשומם ראשונה, כמו שנתבאר למעלה אם אכן אחרי היותם במורינו, לא נצטרך לכפול בהם, אבל כי נשימם ראשונה במל[..]ת כזה 6 6 2 4 8 4 3 11 ונחלק על כל האחרונים זולתם ונראה כאשר יגיע אליהם יצא בו בחלוק, ר"ל בחלוקנו לב' שהו' המורה הסמוך להם בצורה זו, אם יצא בחלוק 175, אז נדע שלא טעינו, כי הם שישיות שישית ובלבד שלא ישאר בלרשום חלוק מהעוברים וכדי להקל מעלינו, כבר ידעת כי כך הוא החלק על המורים כעל אמם ונוציא אם כל המורים זולתי ה6 6 הנזכרים וזה בכפול אותם זה בזה והעולה באחר וכן כלם ותהיה האם 8448 ואם כאשר נחלק מספרינו על ה8448, שהיא אם המורים כלם זולתי ה66, יצא בחילוק 175 ולא ישאר דבר, נדע שלא טעינו נמצא שאם היה עולה מספרינו בכפול זאת האם בה'17, נדע שלא טעינו וכדי להקל מעלינו הכפל במעשה החילוק, נכפול הה'17 באם, ר"ל ב8448 ונדע אם יצא מספרינו והאמת כן הוא שכפל הה'17 ב8448 יעלה 1478400 והוא מספרינו ובחנהו והנה כל מעשינו אמת והקש על זה
Summary of the procedure: fractionalizing and multiplying each of the two numbers separately if needed, then multiplying them one by the other and dividing the product by the third number	זה הכלל שערכי השברים הוא לעשות לכל א' מהג' מספרים לבדו פריטה והכאה, או אשר מהן יצטרך, לכפול הראשון בשני ולחלקו בשלישי
The check: if the unknown was second [in one of the two pairs] - multiplying it by the first of the other [pair]; if the unknown was first [in one of the two pairs] - multiplying it by the second of the other [pair]; then dividing the product by one of the two remaining numbers and the result should be the other remaining number $\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}\\\scriptstyle a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}\\\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}\\\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}\end{cases}$	והמופת לכפול היוצא לנו במקום הנעלם, אם הוא שני, נכפלנו בראשון שאינו ראשון ואם היה הנעלם אם הוא שני, נכפלנו בראשון שאינו ראשון לו ואם היה הנעלם אשר חדשנו ראשון, נכפלנו בשני שאינו שני לו ונחלקנו לאחד מהנשארים ויצא האחר
The reason: the same as for integers - since the operation is the same	וטעם כל זה כטעמו בשלמים, כי אם אחר שהמעשה אחד בעצמו גם הטעם אחד בעצמו

Chapter Six: Roots	הפרק הששי בשרשים
The procedure: fractionalization and multiplication if needed, multiplication by the denominators, extracting the root as in the case of the integers, then reducing and arranging the denominators $\scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{a\sdot b}{b}\sdot\frac{1}{b}}$	גם בזה תצטרך לעשות לשבריך פריטה, גם הכאה, או מה שיצטרכו מהם והיוצא תשוב תכפול אותו בכל המורים אחד אחד זה אחר זה, או באמם
	ושמור נפשך מאד שמר, שלא תחבר לו הנמצא תחת המורי', כי זה לא יעשה כי אם בפריטה
	ומכל העולה הוצא השרש ככל כמעשיך בשלימים והשלימים היוצאים בשרש הם חלקים משלם מאלו המורים
	ואם תרצה, [עשה להם] כלילת יופי והשברים היוצאים בשרש הם שברים מחלק אחד מכל אלו המורים בשלם
$\scriptstyle\sqrt{\frac{4}{6}\sdot\left(4+\frac{5}{9}\right)}$	המשל רצינו לדעת שרש ד' שישיות מד' שלמים וה' תשיעיות כזה‫:
	9 4 6 5 4
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\frac{4}{6}\sdot\left(4+\frac{5}{9}\right)}&\scriptstyle=\sqrt{\frac{4}{6}\sdot\frac{36+5}{9}}=\sqrt{\frac{4}{6}\sdot\frac{41}{9}}=\sqrt{\frac{164}{6}\sdot\frac{1}{9}}\\&\scriptstyle\approx\left(\frac{94}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{20}{94\sdot2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}$	ויצאו 94 שלימים שהם 94 שישיות תשיעיות נפרוט הד' שלימים ונכפול אותם בט', יעלו 36 ועם ה5, יהיו 41, נכם בד', יעלו 164 שישיות תשיעית כזה ויצאו 94 שלימים, שהם 94 שישיות תשיעיות ונשארו 20
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{94\sdot2}{20}=\frac{188}{20}=9+\frac{8}{20}}}$	ואם רצית להתקרב אל האמת, כפול השרש שהוא 94 וחלקם עליהם ויעלה בדרך האחדות והוא שנחלק כפל ה94, שהוא 188, ל20 ועלו ט' ונשארו ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{20}{94\sdot2}&\scriptstyle=\frac{20}{188}\\&\scriptstyle=\frac{1}{9+1}+\frac{20-8}{\left(9+1\right)\sdot188}\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\frac{12}{10\sdot188}\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\left(\frac{12}{188}\sdot\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\left(\frac{12}{4\sdot47}\sdot\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\left(\frac{12}{4}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{10}+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}$	הוספנו א' מעל הט', היה 10, שהוא מורה עשירית אחת ונחסר הח' הנותרים מן ה20, נשארו י"ב, שהם חלקים מ188 ומעשירית ומורה ה188 והם 47 [874] והנה הי"ב הם י"ב רביעיות חלק ממ"ז בעשירית כזה נעשה להם כלילת יופי והוא שנחלקם לד', יצאו ג' ולא ישאר דבר ואחר שהם פחות מהמ"ז, נשימם תחתיו כזה‫:
	4 47 10   3 1
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\frac{4}{6}\sdot\left(4+\frac{5}{9}\right)}&\scriptstyle\approx\left(\frac{94}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{20}{94\sdot2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{94}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left[\left[\frac{1}{10}+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{94}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{6}{9}+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{2}{3}+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}$	הנה עלה לנו כל השרש 94 ועשירית וג' חלקים מ47 מעשירית וכל אלו הם חלקים משישית תשיעית כנזכר א"כ השרש היוצא הוא 94 שישיות תשיעית ועשירית שישית תשיעית וג' חלקים ממ"ז מעשירית שישית תשיעית כזה‫: 47 10 6 9 3 1 94   ונעשה כלילת יופי ל94 ויעלה א' לשלם וזהו שלם באמת ועוד ו' תשיעיות, שהם שני שלישיות ועוד ד' תשיעיות שישיות ויש לנו עוד עמהם עשירית שישית תשיעית וג' חלקים ממ"ז מעשירית ששית תשיעית כזה‫:
	47 10 6 9 3 1 4 6
	וזהו השרש הקרוב
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]^2&\scriptstyle=\frac{2500}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle\left(\frac{4}{9}\sdot\frac{1}{47}\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}$	ואם תרצה לבחון אותו, כפול אותו על עצמו וראה אם יתקרב לנשאל, שהוא 146 שישיות תשיעית בתוספת אחד, בכמו מרובע השברים אשר הוספנו על שרש השברים הראשון אשר הוצאנו והעשירית שישית תשיעית וג' חלקי' ממ"ז מעשירית שישית תשיעית, שמרובעם, ר"ל כפלם בעצמם אחר הפריטה, יעלה 2500 חלקים ממ"ז מעשירית שישית תשיעיות ממ"ז מעשירית תשיעית וכאשר תעשה להם כלילת יופי, יעלה ד' תשיעיות ממ"ז ממ"ז משישית תשיעית ושישית מתשיעית ממ"ז ממ"ז מששית תשיעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\frac{4}{6}\sdot\left(4+\frac{5}{9}\right)}&\scriptstyle\approx1+\frac{2}{3}+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=\frac{44230}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\\\end{align}}}$	והנה פריטת זה השרש יעלה 44230 חלקים מחלק ממ"ז מעשירית משישית תשיעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[1+\frac{2}{3}+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]^2&\scriptstyle=\left(\frac{44230}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)^2\\&\scriptstyle=\frac{44230}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{44230}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{1956292900}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\\\end{align}}}$	וכאשר נכפול זה על עצמו הוא כאומרנו 44230 חלקים מחלק מ"ז מעשירית שישית תשיעית [מ442300 חלקים מחלק מ"ז מעשירית ששית תשיעית כזה]‫ כזה‫:   47 10 6 9 47 10 6 9 44230 44230 ונכה ה44230 ויעלה 1956292900 חלקים מחלק מ"ז מעשירית שישית תשיעית מחלק מ"ז מעשירית תשיעית בשלם כזה
	47 10 6 9 47 10 6 9 1956292900
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[1+\frac{2}{3}+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]^2\\&\scriptstyle=\frac{1956292900}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\left(\frac{164}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left[\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{47}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]^2\\&\scriptstyle\left(\frac{164}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{9}\sdot\frac{1}{47}\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{47}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}$	ונעשה להם כלילת יופי, ר"ל שנחלקנו לכל המורים האלו, עד הגיענו אל הט' והו', המורים הראשונים ובהיגיענו שם נדע כמה שישית תשיעיות יעלה, אם יגיע למספר הנשאל שהוא 164 שישיות תשיעית ועוד מרובע השברים הנוספים הנזכרים כנזכר ואשר עלינו זה עלה 164 שישיות תשיעית ועוד ד' תשיעיות ממ"ז ממ"ז [נ' ד'] משישית תשיעית וזה התוספת שוה ממש למרובע השברים הנוספים בשרש על שרש השברים אשר יצא ראשונה והיה כל מלאכתך אמת
$\scriptstyle\left(a+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(a^2+b\right)=\left(\frac{b}{2a}\right)^2$	ויצא לנו עוד מזה, שנתאמת מה שאמרנו בפ"ז מהחלק הא', שכאשר נחלק הנשאר על כפל השרש מבלי תוספת אחר, שיעדף המרובע האחרון על החשבון הנשאל כמרובע השברי' הנוספים וכן יהיה בכל פעם ופעם דוק ותשכח
The reason for multiplying the numerator by the denominators: so that the denominator will be a square - the product of the denominators by themselves $\scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{a\sdot b}{b^2}}$	וטעם אמרנו שאחר הפריטה נכה המספר הפריטה בכל המורים הוא כדי שיהיה זה המרובע חלקים מאלו המורים פעמים, ר"ל נשנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$	שאם היו רביעיות, יהיו עתה רביעיות רביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}}}$	ואם היו חמישיות רביעית, יהיו עתה חמישיות רביעית חמישית רביעית וכן לעולם
	והוצרכנו לזה לפי שמורי השרש לעולם הם נשנים במורי המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}\right)^2=\frac{4}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$	וזה שאם השרש ע'ד'מ' ב' רביעיות, יהיה המרובע ד' רביעיות [רביעית]
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)^2=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}}}$	ואם יהיה השרש ב' חמישיות רביעית, יהיה המרובע ד' חמישיות רביעית חמישית רביעית
Multiplication of fractions by fractions means fractions of fractions: 2 quarters by 2 quarters is 2 quarters of 2 quarters	והטעם בזה לפי שהכפל בשברים שהוא אומרנו ע'ד'מ' כפל ב' רביעיות בב' רביעיות, הוא כאומרנו ב' רביעיות מב' רביעיות, כמו שביארנו למעלה
How much quarters of quarters there are in 2 quarters of 2 quarters? - 2×2 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{2}{4}=\frac{2\sdot2}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$	ולדעת כמה רביעיות רביעית הם, יש לנו להכות הב' בב‫'
When calculating the square of a given fraction, the numerator is multiplied by itself, as in the calculation of the square of an integer the integer is multiplied by itself $\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a\sdot a}{b^2}$ $\scriptstyle n^2=\frac{n\sdot n}{1}$	ר"ל המספר שברי השרש בעצמם, כדרכנו במרובע השלמים, [כי מרובע השלמים במרובע השלמים] כמספר החלקים והשינוי בהם
$\scriptstyle n\, is\, integer\longrightarrow n^2\, is\, integer$	כי בשלמים מספר השרש ומספר המרובע הם ממין אחד, ר"ל שהם שלימים
$\scriptstyle n>1\longrightarrow n^2>n$	ולזה יהיה לעולם גדול המרובע מהשרש
$\scriptstyle n,m>1\longrightarrow n\times m>n$	וכן כל כפל מספר שלם במספר
$\scriptstyle n>1\longrightarrow n\times\frac{a}{b}>\frac{a}{b}$	ואף אם יהיה כפל שלימים בשברים
The numerator is growing by multiplication, but the type of number does not change $\scriptstyle n\times m=\frac{n\sdot m}{1}$ $\scriptstyle n\times\frac{a}{b}=\frac{n\sdot a}{b}$	וזה לפי שהמספר מתרבה בכפל והמין אינו משתנה
$\scriptstyle{\color{blue}{3\times4=3\, times\, 4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{3\times\frac{4}{5}=3\, times\, \frac{4}{5}}}$	כי כאשר תאמר ע'ד'מ' כפול ג' שלמים בד' שלימים, או בד' חמישיות, הוא כאומרך כפול ג' פעמים ד' שלימים, או ד' חמישיות, הנה שהמספר מתרבה והדין לא ישתנה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{3}{5}=\frac{2}{4}\, times\, \frac{3}{5}}}$	אבל בשברים אומרנו כפול ב' רביעיות בג' חמישיות הוא כאומרנו שני רביעיות פעם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\frac{3}{5}=\frac{1}{4}\, times\, \frac{3}{5}=\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}}}$	ואם אומרנו כפול רביעית אחת בג' חמישיות הוא כאומרנו ג' חמישיות רביעית פעם והוא ג' חמישיות רביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{3}{5}=2\, times\, \frac{1}{4}\, times\, \frac{3}{5}=2\, times\, \left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)=\frac{6}{5}\sdot\frac{1}{4}}}$	ואולם אומרנו שני רביעיות, יהיה בב' פעמים רביעית פעם וכל פעם הוא ג' חמישיות רביעית, הנה הב' רביעיות יהיו ו' חמישיות רביעית
The number is increasing through the multiplication of the numerator by the numerator	וכן לעולם יתרבה המספר בכפל [מספר השברים במספר] משבר השברים
The product of the numerators is a fraction whose denominator is a product of the denominator of one of the numbers by the denominator of the other number $\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot b}{b\sdot d}$	ויהיה העולה מכל שני מורי שני המספרים הנכפלים יחד, כבמשלנו זה שהם חמישיות רביעיות
Hence the numerator of the square is a square of the numerator of the root $\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}$	ולזה יהיה מספר שברי המרובע כמרובע מספר שברי השרש כדרכו בשלם שוה בשוה
The denominator of the square is a square of the denominators of the root	אבל כי המורים נשנים, לפי שאנו כופלים השרש בכמותו ומורי שניהם יהיה כפל מורי האחר, כי שוים הם במורים וכל זה ברור בטעם
This is illustrated in the calculation of area	גם זה יתבאר בשאנו כופלים בשטח‫:
The area of 4 length and 3 width = 4×3	כי כאשר אנו או[מרי]ם בשטח ג' פעמים ד', הוא כאומרנו שיש בארך ד‫'
The area of 4 length and 1 width = 4×1=4	ואלו לא היה ברחבו כי אם א', לא היו כי אם ד‫'
Area consists of one [dimension] of length and one [dimension] of breadth	לפי שכל אחד שאנו אומרים בשטח, הוא שיהיה לו א' באורך וא' ברוחב
Body consists of one [dimension] of length, one [dimension] of breadth, and one [dimension] of height	וכן בגשם: א' באורך וא' ברוחב ואחד בגובה
$\scriptstyle1=1^2=1^3$	לזה לא יתרבה מרובע האחד ולא גם המעוקב, כי אומרנו אחד בשטח הוא כאומרנו אחד מרובע וכן בגשם מעוקב
4 length and 3 width = 3 stripes of 4 length = 3×4	וכאשר היו ד' באורך וג' ברוחב, הרי הם ג' רצועות של ד' ד' והוא כאומרנו ג' פעמים ד' ול וכן לעולם
The meaning of multiplying fraction by fraction	אבל כשא[א]נו כופלים שבר בשבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{4}{5}\, length\, of\, the\, whole\, by\, \frac{3}{4}\, width\, of\, the\, whole}}$	המשל ג' רביעיות בד' חמישיות הוא כאומרנו שארכו ד' חמישיות השלם ורחבו ג' רביעיות השלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times1=1\, length\, by\, \frac{3}{4}\, width=whole\, minus\, \frac{1}{4}=\frac{3}{4}}}$	ואם ארכו אחד שלם היה ג' רביעיות שלם כי מן השלם המרובע חסר הרביע שנפצל מרחבו וזה מובן במעט עיון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{3}{4}-\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{3}{4}\right)=\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{3}{4}\right)\sdot4=4\sdot\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{12}{4}\sdot\frac{1}{5}}}$	אבל לפי שמארכו נפצל ג"כ חמישיתו, הנה הוא כמי שהסיר מהג' רביעיות חמישיתם ונשארו ד' חמישיותיהם, הנה השטח הוא ד' חמישיות מג' רביעיות [וכל חמישית מהם היא חמישית ג' רביעיות, שהוא כשלש רביעיות חמישית, כי כך הוא חמישית רביעית כרביעית חמישית, א"כ הד' החמישיות מג' רביעיות הם ד' פעמים] הם ד' פעמים ג' רביעיות רביעיות חמישית, שהם י"ב
If the denominator is a square, there is no need to multiply the numerator by the denominator, when extracting the root of the fraction $\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\right)^2\longrightarrow\sqrt{\frac{a}{b}\sdot\frac{1}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{b}$	ולזה אנו כופלים בהכאה מספר השברים במספר השברים וכן בשרש והכל עולה לענין אחד
	ואחר שביארנו שמורי המרובע הם נשנים ממורי השרש ומספר שברי המרובע הוא כמרובע מספר שברי השרש, נתבא' שאם היו לזה המרובע מורים נכפלים, ר"ל ד'ד', או ה'ה' וכדומה לזה, שלא היינו צריכים לכפול במוריום, כי אם להוציא השרש לבד מהמספר שב[..]ו כ[ער]ך בשלמים ומורי השרש היוצא היו חצי מוריו המרובע ונחלקנו אליהם, ר"ל לחצי מוריו
$\scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b^2}}=\frac{\sqrt{a}}{b}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{a}{9}}=\frac{\sqrt{a}}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{a}{4}}=\frac{\sqrt{a}}{2}}}$	וכן אפי' אם לא היו כלם כפולים, אבל שכל אחד מאשר אינם בו פעמים הוא כפול, ר"ל כי אם הם כפולים בעצמם, ר"ל שהם מרובעים, כד', או כט', תקח שרש המורה ההוא אשר למרובע במקומו למורה השרש, ר"ל הב' במקום ד' והג' במקו' הט'. וזה שהרי בידיך לשום כמורי המרובע במקום הד' השנים, או במקום הט' ג'ג' ותקח אחד מהם בשרש וכל זה ברור
This issue is explained in a special chapter on factorization at the end of the book	ויתבאר עוד במאמ' ההתכה, אשר בכלל אשר ייעדתי לשום בסוף הספר
If some of the denominators are squares and some are not squares, those that are not squares should be multiplied by the numerator $\scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b^2\sdot c}}=\sqrt{\frac{a\sdot c}{b^2\sdot c^2}}=\frac{\sqrt{a\sdot c}}{b\sdot c}$	ואם יהיו שם מאלו ומאלו, תכפול מספר שברי המרובע באשר אינם נכפלים ולא מרובעים ותוסיפם על חצי הנכפלים ושרשי המורים המרובעים אשר לקחת במקומם ועליהם תחלק השלימים היוצאים בשרש והשברים היוצאים בשרש הם חלקים מחלק אחד מאלו המורים, אשר להם תחלק שלימי השרש והכל נתבאר במעשה ובטעם
In order to avoid confusion, the author instructs to multiply the numerators by the denominators in any case, even if the denominators are squares $\scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b^2}}=\sqrt{\frac{a\sdot b^2}{b^2\sdot b^2}}=\frac{\sqrt{a\sdot b^2}}{b\sdot b}$	אכן כדי שלא לבלבלך בזה לראות אם הם נכפלים ולקחת חציים, או לקחת מהמרובעים שתים במקומם, ציויתיך צויתיך לכפלו בכלם ויהיו לו, ר"ל למרובע הנשאל, כפל המורים אשר לו עתה ונחלק מספר ‫שברי השרש לאשר לו בתחלה, שהם חצי מאשר לו עתה
If one is not well versed in the procedure, it is better for him to make an effort, even if it is needlessly, in order to avoid confusion	וטוב שתטרח ואם לו לצורך, כדי שלא תתבלבל, אם אינך בקי במלאכה
But, if one is skilled, he can skip this, in order to make the procedure easier for himself	ואם ראית בעצמך, שאתה ראוי להיות שצו ש'צ' כהן הנושא כפיו, תוכל להקל מעליך העבודה ואתה רשאי ולא אני

General Rules for Operations with Fractions
	ואחר אש' השלמנו הו' פרקים אשר בשערים, נתחיל בכל אשר ייעדנו שהוא מועיל לכלם
Finding the Common Denominator
The rule that is useful for all fractions.	הכלל המועיל לכל השברים
If you wish to solve all the issues of the chapters on fractions perfectly, seek for one great denominator that includes all the numbers, i.e. a common denominator for all their denominators in question, by which you will clearly find everything you want, i.e. you will be able to find through this common denominator how much is the quarter, the fifth, or any of the fractions you need.	אם תרצה להוציא כל ענייני פרקי השברים על השלימות תבקש לכל המספרים מורה א' גדול כולל אותם ר"ל אם כל מוריהם ושם תמצא כל מבוקשך בברור ר"ל שתוכל למצוא במורה ההוא כמה הוא הרביעית והחמישית או כל מה שתצטרך בכל השברים ההם
For example, if we say: sum 3-quarters of a ninth with 4-fifths of a ninth and 7-fifths of a seventh. $\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{7}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)$	כי המשל אם אמרנו חבר ג' רביעיות תשיעית עם ד' חמישיות תשיעית עם 7 חמישיות שביעית
The great denominator of these numbers is, as said, the common denominator of these 4 denominators, which is by multiplying one by the other and the product by the other until they end; it is 1260. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5\sdot7\sdot9=1260}}$	הנה מורה החשבונים הגדול אשר אמרתי הוא אם ד' מורים אלו והוא בהכפל זה בזה והעולה באחר עד תומם ויהיה 1260
We consider one integer as 1260 parts.	והוא שעשינו האחד השלם 1260 חלקים
The ninth is 140, which is the product of 3 of the mentioned denominators, i.e. their common denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot1260={\color{red}{4\sdot5\sdot7}}=140}}$	והנה תשיעית הוא ק"מ והוא ככפל הג' מורים הנזכרים ר"ל באמם
A quarter of the ninth is a quarter of it; it is 35 and it is the common denominator of the mentioned denominators, i.e. the product of 5 by 7. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot1260=\frac{1}{4}\sdot140=5\sdot7=35}}$	ורביעית התשיעית יהיה ברביעית זה והוא ל"ה והוא אם המורים הנזכרים ר"ל ככפל ה' בז‫'
3 quarters of the ninth are three times 35, which is 105. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot1260=3\sdot35=105}}$	והג' רביעיות התשיעית יהיו שלשה פעמים ל"ה שהם 105
The seventh is the common denominator of the three that remain; it is 180. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot1260={\color{red}{4\sdot5\sdot9}}=180}}$	ושביעית המורה הוא אם השלשה הנשארים והם 180
A fifth of one-seventh is a fifth of it; it is 36 and it is the common denominator of the remaining. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)\sdot1260=\frac{1}{5}\sdot180=4\sdot9=36}}$	וחמישית שביעית הוא חמישית זה והוא ל"ו והוא אם הנשארים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)\sdot1260=4\sdot36=4\sdot\left(4\sdot9\right)=144}}$	והד' חמישיות שביעית הם ד' פעמים ל"ו או אם תרצה לומר ד' פעמים כפל הב' מורים זה בזה ר"ל ט' בד' שהוא ל"ו והעולה יהיה 144
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)&\scriptstyle=\frac{105+144}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\\&\scriptstyle=\frac{249}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\\\end{align}}}$	‫ותחברם עם הה'10 שעלו הג' רביעיות תשיעית יעלו 249 ב0ובא חלקים בשלם כי זה מורה הוא מספר המורה הגדול אשר לקחת וכל חלק מאלו הוא חלק מכל אלו המורים
	וזה כי 140 הם תשיעיות אחד
	ול"ה שהם רביעיתם הם רביעית תשיעית
	והה' שהם שביעית הל"ה הם שביעית רביעית תשיעית
	והא' שהוא חמישית הה' הוא חמישית תשיעית רביעית שביעית
	א"כ אלו ה249 הם חמישיות תשיעית רביעית שביעית
	ואם תרצה לידע מה המה אלה הנה אחר שכל ה' מהם הם תשיעיות רביעית תשיעית תחלקם לה' והיוצא יהיו שביעיות רביעית תשיעית
	ואם נשאר דבר הוא כבתחלה חמישיות תשיעית רביעית שביעית
	ומהשביעית רביעיות תשיעית וכאשר תחלק לז' יהיה היוצא רביעיות תשיעיות
	וכשתחלק זה היוצא לד' יהיה היוצא תשיעית
	וכשתחלקנו לט' ה יהיה היוצא שלימים
The order of the denominators is unimportant	וכל זה אי המעשה הנזכר למעלה עין בעין כמו שנרמז בצורות הרמוזות מחוץ לספר כי הסדר לא יזיק דוק ותשכח
	והנה העולה מחבור השברים הנשאלות על כל א' מהדרכים כי הכל אחד הוא שביעית אחת ורביעית שביעית וד' תשיעיות רביעית שביעית וד' חמישיות תשיעית רביעית שביעית והקש על זה בכל שאר הפרקים
Completion of Fractions	מאמר ההשלמה
Completion is used when subtracting fractions or fractions of fractions from fractions or fractions of fractions, in the procedure of extraction of roots for instance	ההשלמה הוא כאשר יש בידינו שבורים ידועים, או שברי שברים ואנו צריכים לגרעם משברים, או שברי שברים אחרים, שיש בידינו ממיניהם וזה יקרה בהוצאת השרשים, כמו כפי שנכתב בפ' ו' מזה החלק
The need to find the completion of fractions from integer or from a larger fraction - adding the completion to the subtracted in the subtraction procedure, relying on the following principle: $\scriptstyle a-b=\left(a-c\right)+\left(c-b\right)$	ולפעמים השברי שברים הנגרעי' הם רבים מאשר יגרע מהם, אכן יש שם שברי רבים, או שלימים, למלאת די מחסורנו, לכן אנו צריכים לידע, כאשר נקח השלם, או השבר הגדול, להוציא ממנו שברי שברים אלו, שנדע בקלות הנשאר מהשלם, או מהשבר הגדול [ההוא, אחר שהוצאנו ממנו, שזה הוא מה שחסרים אלו השברי שברים מאחד שלם או שבר גדול] להוציא ממנו שברי שברים אלו שנדע בקלות הנשאר מהשלם או מהשבר הגדול להוציא ממנו שברי שברים אלו שנדע בקלות הנשאר מהשלם או מהשבר הגדול ההוא אחר שהוצאנו ממנו שזה הוא מה שחסרים אלו השברי ה' שברים מאחד שלם או שבר גדול וזוהי השלמתן לאחד
	ואחר שנדע השלמתן לאחד, אם היו לנו שברי שברים ממינם, כאשר נגרע מהם, אלא שהיו מעט אשר בידינו, נחבר זאת ההשלמה עמהן והמחובר יהיה הנשאר
$\scriptstyle\left[3+\frac{5}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]-\left[\frac{7}{9}+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]$	המשל רצינו לגרוע ז' תשיעיות וה' שביעיות תשיעית וג' רביעיות שביעית תשיעית מג' שלמים וה' תשיעיות ושלש שביעיות תשיעית
	הנה להיות הג' רביעיות רב מהב', גם הה' שביעיות מהג', גם הז' תשיעיות מהה', נצטרך לקחת אחד שלם למלאת די מחסורינו וישארו ב' שלמים
The completion is the remainder from subtracting the given number from the whole	ולדעת כמה ישאר ממנו אחר קחתנו ממנו די ספקנו, נצטרך להשלימם לאחד שלם וההשלמה הוא השארית וזה ברור בטעם
	וזאת ההשלמה נחברנה עם השברים, אשר היו לנו ולא היה בהם די ספקנו, כי להם משפט הגאולה והמחובר הוא הנשאר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle \left[3+\frac{5}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]-\left[\frac{7}{9}+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[\left(3-1\right)+\frac{5}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]+\left[1-\left[\frac{7}{9}+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left[2+\frac{5}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=2+\frac{6}{9}+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}$	ונאמר ג' רביעיות שביעית תשיעית בכמה יהיו שביעית תשיעית, ברביע אחד, נשים א' תחתיהם עוד נאמר הרי השלמנו [לשביעית תשיעית אחד וחמש שביעיות תשיעית שהיו לנו, הרי ו' ובכמה ישלומו לתשיעית אחד] לתשיעית אחד שלמה, באחד נשימנו תחתיו ונאמר הרי השלמנו לתשיעית שלמה וז' שיש בידינו, הרי כאן ח', בכמה ישלמו לשלם, באחד, נשים תחתיהם א‫' הרי לנו שנשאר מהאחד השלם תשיעית אחת ושביעית תשיעית ורביעית שביעית תשיעית ונחברם עם אשר בעליונה ויעלה שנשאר בידינו ב' שלימים וו' תשיעיות וד' רביעיות שביעית תשיעית [וג' רביעיות שביעית תשיעית] וכל זה ברור בטעם
The written procedure of completion: writing the numerator of the complement under the fraction to be complete; e.g. 1 under ¾ to indicate that ¼ is its complement $\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{3}{4}=\frac{4-3}{4}=\frac{1}{4}}}$	וכדי להקל מעליך המעשה, אתן לך כלל כי לאחרון אשר לצד שמאל, אשר שם יתחיל הצורך, נשים תחתיו כדי השלמת מספר שבריו למורה אשר עליו שוה בשוה
	ר"ל הג' רביעיות בכמה ישלימו הג' לד', שהוא המורה אשר עליו, בא', נשימנו תחתיו ובכל האחרים, עד אשר נמצא מקום רב, אשר משם נקח האחד אשר הוצרכנו
	לעולם נשים תחת מספר השברים כדי השלמתן למורה אשר עליהם חסר אחד והוא האחד אשר הושלם כבר באשר אחריו לצד שמאל
Another solving method - similar to the subtraction of integers - borrowing one unit from a fraction of a higher type, and marking the loan with a dot as a reminder	ואם היינו רוצים, היינו עושים כדרך שאנו עושי' בשלימי' ולא נצטרך להשלמה כלל
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle \left[3+\frac{5}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]-\left[\frac{7}{9}+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\frac{5}{9}+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left[\left(\frac{4}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\right]-\left[\frac{7}{9}+\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\frac{5}{9}+\left[\left(\frac{7}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]-\left[\frac{8}{9}+\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\left(\frac{9}{9}+\frac{5}{9}\right)+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]-\left(1+\frac{8}{9}\right)\\&\scriptstyle=3+\frac{6}{9}+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)-1\\&\scriptstyle=2+\frac{6}{9}+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}$	והוא שנאמ' ברביעיות, שהוא אחרון, ג' מב' לא יוכלו לצאת כלו, הא' ממקום השביעיות אשר לפניו ונשים נקודה על מספר השביעיות אשר לנו לגרוע, כדי שנזכור להסירו עמהם בהגיענו שם, כדרך שאנו עושים בשלימים להוסיף על הנגרעים א' בשביל הנקודה ונסירה כלו ממינו ואחר שלוינו האחד ושמנו זה הנקודה, נקח בעד זה האחד כמורה שהוא ד' ונאמ' ד' וב' הם ו', נסיר מהם הג', ישארו ג‫' ונאמר ה' שביעיות ונקודה הם ו', לא נוכל להסירם מהג', נשים נקודה על הז' תשיעיות אשר לנו לגרוע ונאמר זה האחד הוא ז' כמורה וג', הרי י', נסיר מהם ו', ישארו ד‫' עוד נאמר ז' ונקודה הם שמונה, לא יצאו מה', נשים נקודה מחוץ במקום הראוי לשלימים, אם היו לנו שלימים ונאמר זה האחד הוא ט' כמורה וה', הרי י"ד, נסיר מהם ח', ישארו [ו‫', עוד נסיר הנקודה, שהוא א' שלם, מהג' שלימים, ישארו ב'] ב' שלימים והנה כל המעשה אחד והכל ברור בטעם ודי למבין
Discussion on the Decomposing and Composing of Fractions	מאמר התכת השברים והרכבתן או שתיהן יחד
Sometimes there is a need to convert denominators to other denominators when equalizing and reducing, therefore I thought to explain how one denominator is decomposed into two denominators.	לפי שלפעמים יצטרך להשיב מורים למורים אחרים בהשואה ובכלילת יופי להוציאם מן הכלל ראיתי לבאר איך יותך מורה אחד לשני מורים
This is when the denominator is composed.	וזהו כאשר המורה מורכב
Such as 6, which is composed of 2 and 3, so we remove it and replace it with 2, 3. $\scriptstyle{\color{blue}{6=2\sdot3}}$	כו' שהוא מורכב מב' וג' שנסירהו ונשים תחתיו ב'ג‫'
Also 3, 3 instead of 9. $\scriptstyle{\color{blue}{9=3\sdot3}}$	וכן בעד ט' ג' ג‫'
And 2, 4 instead of 8. $\scriptstyle{\color{blue}{8=2\sdot4}}$	ובעד ח' ב' ד‫'
The rule: the product of the replacing denominators is the same as the removed [original denominator] $\scriptstyle\frac{1}{a\sdot b}=\frac{1}{a}\sdot\frac{1}{b}$	זה הכלל שכפל המורים המושמים תחתיו יהיה כמו המוסר
Sometimes we do the opposite that we replace the 2 with one, i.e. we [remove] the 2 and the 4 and replace them with 8. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}$	ולפעמים נעשה להפך שנשים הב' אחד ר"ל שנשים הב' והד' ונשים תחתיו הח' וכן בכללן
This as placing the common denominator instead of the denominators, or the denominators instead of the common denominator.	וזהו כמו לשים האם תחת המורים או המורים תחת האם
Other times both is needed	ולפעמים נצטרך הכל
Such as when we have 6, 4 and we need 3,8. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot4=3\sdot8}}$	כגון שיש בידינו ו' ד' ואנו צריכים ג' ח‫'
Or, when we have 3, 4 and we need 6, 2. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=6\sdot2}}$	או שיש בידינו ג' ד' ואנו צריכים ו' ב‫'
The rule:	זה הכלל
If what we place is one instead of numerous, this number should be the same as te product of the denominators multiplied by each other. $\scriptstyle\frac{1}{a}\sdot\frac{1}{b}=\frac{1}{a\sdot b}$	אם אשר שמנו הוא א' במקום רבים צריך שיהיה מספרו ככפל המורים זה בזה
If numerous instead of one, their product by each other should be the same as the removed number. $\scriptstyle\frac{1}{a\sdot b}=\frac{1}{a}\sdot\frac{1}{b}$	ואם רבים תחת אחד שיהיה כפלם זה בזה כמספר המוסר
If numerous instead of numerous, their product by each other [should be the same as the product of the others by each other] $\scriptstyle a\sdot b=c\sdot d\longrightarrow \frac{1}{a}\sdot\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\sdot\frac{1}{d}$	ואם רבים במקום רבים שיעלה כפל אלו זה בזה ודי למבין

Additional Rules for Operations with Fractions	כלל קצר לכל פרקי השברים
Addition	החבור
$\scriptstyle b>d\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c+\frac{c\sdot\left(b-d\right)}{d}}{b}$	תכפול אשר מורהו או מוריו קטנים בתוספת מורי האחרת על מוריו ותחלקנו למורים הקטנים והיוצא בחילוק תחברנו לשברי שניהם חלקי המורה או המורים הגדולים
If there is a remainder from the division of c·(b-d) by d: the denominators of this remainder are both b and d	ואם ‫בחלוקה הראשונה ישאר דבר הוא חלק מכל המורים גדולים וקטנים
Example: if it is said: add 3-sevenths to 2-thirds. $\scriptstyle\frac{3}{7}+\frac{2}{3}$	המשל אם אמרו חבר ג' שביעיות עם ב' שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{7}+\frac{2}{3}&\scriptstyle=\frac{3+2+\frac{2\sdot\left(7-3\right)}{3}}{7}\\&\scriptstyle=\frac{3+2+\frac{2\sdot4}{3}}{7}\\&\scriptstyle=\frac{3+2+\frac{8}{3}}{7}=\frac{3+2+2+\frac{2}{3}}{7}=\frac{7+\frac{2}{3}}{7}=1+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	כפול הב' בד' יהיו ח' חלקם לג' ויצא בחלוק ב' וישארו ב' וב' אלו שיצאו בחלוק חברם עם הג' והב' שהם שברי שני המספרי' ויעלה הכל ז' חלקם לז' יעלה א' ולא נשאר דבר וזה האחד היוצא בחלוק הוא א' שלם ואם היה נשאר דבר היה שביעיות והב' שנשארו בחלוקה ראשון הם שלישיות שביעית נמצא שעלה מחבורם אחד שלם ושתי שלשיות שביעית
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+\frac{c\sdot b}{d}}{b}$	[ו]אם תרצה כפול שברי האחד במורי האחרת וחלקנו למורי עצמה והיוצא ב בחלוק חברם לשברי האחרת ויהיו חלקים ממורי האחרת
If there is a remainder from the division of c·b by d: the denominators of this remainder are both b and d	ואם נשאר שום דבר בחלוקה הם חלקים ממורי שתיהן
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}+\frac{2}{3}=\frac{3+\frac{2\sdot7}{3}}{7}=\frac{3+\frac{14}{3}}{7}=\frac{3+4+\frac{2}{3}}{7}=\frac{7+\frac{2}{3}}{7}=1+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	המשל כפול ב' בז' יעלו י"ד חלקם לג' יצאו ד' וישארו ב' חבר הד' לג' שהם שברי האחרת יעלו ז' והם ז' שביעי[ו]ת שהם א' שלם והב' שנשארו בחלוקה הם ב' שלשיות שביעית
	והכל עולה לדרך אחד
Subtraction	החסרון
$\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\frac{a\sdot d}{b}-c}{d}$	כפול שברי הגדולה במורי הקטנה והעולה תחלקנו למורי הגדולה ומהיוצא בחילוק תחסר שברי הקטנה והעולה תחלקנו למורי הגדולה והנשאר הוא חלקים ממורי הקטנה והגדולה
If there is a remainder from the division of a·d by b: the denominators of this remainder are both b and d	‫[ואם נשאר דבר בחלוקה ראשונה הם חלקים ממורי הקטנה והגדולה]
Example: we wish to subtract 2-eighths from 2-quarters. $\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{2}{8}$	המשל רצינו לחסר ב' שמיניות מג' רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}-\frac{2}{8}=\frac{\frac{3\sdot8}{4}-2}{8}=\frac{\frac{24}{4}-2}{8}=\frac{6-2}{8}=\frac{4}{8}}}$	נכפול הג' בח' ויעלו כ"ד נחלקם לד' יצא בחילוק ו' נסיר מהם הב' ישארו ד' והם ד' שמיניות והוא הנשאר
	ואם בחלוקה הראשונה היה נשאר שום דבר היה רביעיות שמיניות
Multiplication	ההכאה
$\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b}\sdot\frac{1}{d}$	כבר נרמז שאין צריך כי אם לכפול השברים בשברים והעולה הוא חלקים מכל המורים
Example: we wish to multiply 4-sevenths from 5-sixths. $\scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{5}{6}$	המשל רצינו לכפול ד' שביעיות בה' שישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}\times\frac{5}{6}=\frac{4\sdot5}{6}\sdot\frac{1}{7}=\frac{20}{6}\sdot\frac{1}{7}=\frac{3}{7}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	הכה ד' בה' ויעלה כ' והם כ' שישיות שביעית וחלקם ‫עליהם ויעלה ג' שביעיות וב' שישיות שביעית
Division	החלוק
$\scriptstyle\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\sdot d}{b}\sdot\frac{1}{c}$	כפול שברי הגדולה במורי הקטנה והעולה חלקנו למורי הגדולה ושברי הקטנה, בקחתך אותם למורים
$\scriptstyle\frac{6}{7}\div\frac{2}{5}$	המשל רצינו לחלק ו' שביעיות על ב' חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\div\frac{2}{5}=\frac{6\sdot5}{2}\sdot\frac{1}{7}=\frac{30}{2}\sdot\frac{1}{7}=2+\frac{1}{7}}}$	כפול ו' בה' ויעלה ל' והם חצאי שביעיות חלקם עליהם יעלה ב' שלימים ושביעית אחת
Proportions	הערכים
$\scriptstyle\frac{a_1}{b_2}:\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}:X\longrightarrow X=\frac{a_2\sdot a_3\sdot b_1}{a_1}\sdot\frac{1}{b_2}\sdot\frac{1}{b_3}$	כפול שברי השנית בשברי השלישית והעולה כפול אותו במורה הראשונה והעולה הם חלקים משברי הראשונה ומורי השנית והשלישית
$\scriptstyle\frac{3}{7}:\frac{8}{9}=\frac{4}{5}:X$	המשל רצינו לידע אם ג' שביעיות שוים ח' תשיעיות ד' חמישיות כמה הם שוות
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{8\sdot4\sdot7}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{5}=\frac{32\sdot7}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{5}=\frac{224}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{5}=1+\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	נכפול הח' בד' ויעלה ל"ב נכפול בז' יעלו 224 והם שלישיות תשיעית חמישית ונחלקם עליהם ויצא א' שלם וג' חמישיות וב' תשיעיות חמישית וב' שלישיות תשיעית חמישית
Roots	השרשים
$\scriptstyle\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a\sdot b}}{b}$	כפול שברי המספר במוריו ומהעולה נוציא שרשו כמו שכתו' למעלה ויהיה חלקים ממוריו
$\scriptstyle\sqrt{\frac{2}{8}}$	המשל רצינו לדעת שרש ב' שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{8}}=\frac{\sqrt{2\sdot8}}{8}=\frac{\sqrt{16}}{8}=\frac{4}{8}}}$	נכפול ב' בח' יעלו י"ו נקח שרשו והוא ד' והם ד' שמיניות והוא השרש
Additional rule for division of fractions	ולקצר עוד מעשה החלוק ולהשיב מיד תשובה נכונה לכל שואל נאיתרו לתחבל ולהחזירו להכאה בהפוך הקטנה השברים למורים והמורים לשברים
$\scriptstyle\frac{6}{7}\div\frac{2}{5}$	המשל אם אמרו לך במשלינו הראשון רצינו לחלק ב' [ו'] שביעיות על ב' חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\div\frac{2}{5}=\frac{6}{7}\sdot\frac{5}{2}}}$	תשיב מיד שהם ו' שביעיות מה' חצאין והכה אותן והרי הוא כמעשה הראשון בעינו
Additional rule for proportions of fractions	וכן בערכים הפוך הראשונה ותחזור להכאה
$\scriptstyle\frac{3}{7}:\frac{8}{9}=\frac{4}{5}:X$	פי' במשלנו כאשר אמרנו אם ג' ת שביעיות שוים ח' תשיעיות ד' חמישיות כמה הם שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{3}{7}\sdot\frac{8}{9}\sdot\frac{4}{5}}}$	תשיב מיד שהם ז' שלישיות מח' תשיעיות מד' חמישיות והכה אותן והרי הוא כמעשה הראשון
	תם ונשלם ת"ל בורא עולם

Appendix I: Glossary of Terms

rank	מדרגה, מעלה
dividend	המתחלק
divisor	אשר נחלק עליו
quotient	היוצא בחילוק
common denominator	אם המורים

treatise קצור, קיצור book ספר (ה), ספרי section חלק (ה... ב) chapter כלל chapter פרק (ה / ה.. ב), פרקי ה, פרקים (ב / ה) chapter שער (ה / ה... ב), שערים discussion מאמר (ה) בחלק ה... בפרק ה... ממנו introduction מבוא ב, מבוא ל introduction הקדמה preface to אקדים word תיבה, הברותיו letter אות language בלשון alien tongue לשון נכרי Hebrew language לשון עברי

number מספר (ה), מספרים, מספרינו, מספרך, מספרם, מספרן חשבון (ה), חשבונך, חשבוננו, החשבונים number מנין digit אות (ה), אותיות, רושם, רשמים, רושם ה, רשמי ה digit מספר, מספרים, מספרי ה zero סיפרא, סיפרות, ספרות prime number מספר פשוט, פשוט, פשוטים odd נפרד, חשבון נפרד, החשבון הנפרד, מספר נפרד, הנפרדים, נפרדת even זוג, חשבון זוג, זוגי (ה), מספר זוגי pair זוגי unit אחד, אחדים, אחדי (ה), ידות units אחדים, אחדי (ה) units הפרט product of tens, none-units כלל tens עשרות, עשרי hundreds מאות thousands אלפים ten thousand רבבה, רבבות millions חשבונות rank דרגה מדרגה, מדרגת ה, מדרגתה ה, מדרגות, מדרגתם, מדרגותיה, מדרגותיו מעלה (ה), מעלות (ה), מעלת ה, מעלתה, מעלתו, מעלתן, מעלותיו, מעלותיהן empty rank מעלה חלקה ממספר, מעלה החלקה ממספר, מעלות חלקות מהמספר positional value (relation) ערך המעלות positional value בערך (ב / ה), כערך, ערך מקום ה, בערך המעלה, בערך מעלת ה decimal place מקום (ה), מקום הנחת, מקום ההנחה, מקומו ה, מקומו הוא ב place מקום (ה / ש), מקומו, מקומות place holding שמירת המדרגות line קו, קוים point, dot נקודה, נקדה, נקודות, נקדות row, line שורה, שורות, שורת (ה / ה... מה), שורתו טור (ה), טורים surface שטח body גשם cube מעוקב, המעוקב stripe רצועות של length ארך, אורך, באורך, ארכו width רוחב, רחבו, ברוחב height גובה

addition addition חבור, חיבור בחברך אליהם ה לחבר (ל / על ה / עמהם ה / ... עם / ה... על ה / כל ה / יחד כל), לחברו (ל / עם, עמו), לחברם (עם / עם ה), לחבירו עם חבר ( ... עם / ה... ל / ה... עם / הכל יחד) חברהו (ל / עם), חברם ל, חברם עם ה, חברנו ה... עם, חברת אותם יחבר ה... עם יחברם מחברים (אותו עליהם / אותם אליהם) נחבר (אליהם / אליהם ה / ל / להם ה / ה... ל / ... עמהן) נחברנה עם ה, נחברהו אל ה נחברם (אליהם / אליהם ה / יחד / ל / להם ה / עם / כלם) תחבר (אליהם ה / להם ה / לו ה) תחברם (יחד / יחד ... עם / כלם / עם ה) תחברנו (עם / עם ה / ל) to be summed מחובר, מחוברות יחד sum המתחבר, המחובר sum המקובץ sum סך summed המקובץ (מ / מה) summed מחובר עם ה עלה חיבורם, עלה מחבורם, עולה חיבורם, העולה מהחיבור, העולה מחבור ה addition תוספת (אשר ל / בהם / ה / על ה) to add להוסיף (אותו על ה / אחד / מה / על ה / ... ב), להוסיפו (על ה / עליו), להוסיפם על ה הוסיף ...על ה, הוסיף עליו זה התוספת הוסף (על ה / עליו) הוספנו (על / עליהם / ... מעל ה / ... על ה / עליהם ה) הוספנוהו על ה יוסיף לעולם על מוסיפים (... ב / עליו) נוסיף (ב / עליהם / עליו / ... ב / ... על / ... על ה / ה...על ה / ה... עם ה) נוסיפנו תוסיף (עליו / ... על / ה... על), תוסיפם על, תוסיפנו על ה המתוסף ב, המתוסף עתה ב, המתוסף על ה יתוסף ב, נתוסף, ניתוסף ב, ניתוסף דבר ב, נתוספו (ב / לו... על), מתוסף בהוספת ה added מוסף על ה, מוספים על נוסף, נוספות, נוספים (ב... על / ב... על ה / על ה), נוספת ב... על תוסף ב יוסיף ב מוסיף (על / על ה) קיבוץ כל השורות יחד plus בתוספת (ה) by addition לתוספת addition מתוספת ב additive, additional היה לתוספת, היו לתוספת

subtraction subtraction המגרעת to subtract ונסור ה subtraction בהסר מה לגרוע (... מ), לגרעם מ גרע (... ממנו / ממנו ה) נגרע (ה... מה / מהם) הנגרעים יגרע (מהם) החסרו מ חסרון (מ), החסרון אשר ב... מה, חסרונו לחסר (מה / ... מ / ה... מ), לחסרו (מ / מן ה), לחסרם מה לחסו' ... מ חסר מ, חסר ... מ חסרם מ חסרנו (ה / מ / ממנו / ממנו ה) חסרת יחסר (כ / מ / מה / ממנו כ / ... מ / ... מה / ... כ / ה... מה) יחסר יותר יחסרהו מ נחסר (ה / אלו ... מה / ה...מה / ה... מן ה / ... מה) נחסרה נחסרנו (מה), נחסרנו לעולם מה, נחסרהו לעולם מה נחסרם זה מזה תחסר (ה / מה / מהם ה / הכל מה), תחסרנו ממנו מחוסר מחסרים, מחסרים עתה מה מן ... חסר ה חסרים אלו ה... מ minus חסר, חסר אחת אשר חסרנו ממנו אשר חסרת, אשר חסרת ממנו יחסר מעלה ממקום ה בהסיר, בהסר מהם ה, להסירו, להסירם מה, הסירך ה to subtract הסיר מה, הסר, הסרת (ה) נסיר (ה / ... מה / ה ... מה / ה... מ / מה / מהם / מהם ה / ממנו ה) נסירה (ממנו / כלו ממינו), נסירהו נסירם (מה / ממנה) נסירנו מה תסיר (ה / מהם / ... מה), תסירנה, תסירנו subtraction הוצאת... מ להוציא (מה / ממנו / ... מ / ה... מה) להוציאו מהם להוציאם (מה / מהם ה) הוצא (ה / מ / ה... מ) הוצאנו ממנו הוצאת (מהם / ה... מה / ה... מן) הוציא... מה הוציאהו מ הוציאנו (מה) יוציא כל ה מוציאים מה נוציא (כל / מ / מה / מהם ה / ה... מה / ... מ) נוציאם מה נוציאנו (מ / מה / מאשר על) תוציא (ה... מן / ... מ) להוציא כ"כ פעמים המספרים to be subtracted, to be consumed ויצא כל זה ה, יצא הכל לא תוציא ל to subtract תוציאנו מה ומהכל תוציא אשר אשר עליו להוציא to be subtracted לצאת (ה / כלו / מהם / מאשר על), יצא, יצאו (מ / ... מ) בלי תוספת ומגרעת, מבלי תוספת ומגרעת מבלי תוספת, מבלי תוספת ה לבד בלי תוספת אחד כלל ואם יחסר או יעדיף Multiplication multiplication of fractions הכאה, הכאת ... ב להכות (ה... ב) הכה (אותן / ... ב) נכה (ב / ה / ה... ב), נכם ב תכה הצריך להכאה לעשות הכאה, נעשה הכאה ל, עשה להם הכאה, תעשה להם ג"כ ההכאה ונכם זה בזה הוכה (ב), הוכה... על, הוכו, הוכתה בהם לבעלי ההכאה product כפל (ב / ה / עם / ... ב / ... על / ... עם / ה... ב / ה... על / זה ה... ב / ... זה בזה / ה... זה בזה / כל ה) כפליהן, כפלו על product המחובר product מקובץ product אשר עלה לידיך מכפל ... ב multiplying בהכפל (ה / ... ב), בכופלנו אותו ב, בכפול (אותו ב / ה... ב / ... אחד באחד / אותם זה בזה / ... ב), הכפלו ב, הכפלם (ב / כלם ב) בכפול זה בזה, בהכפל זה בזה to multiply כפלת ה... ב בכפלנו אותו ב לכפול (ב / בהם / בהם ה / ה / ה ... ב / ה... עם / ... ב / ... על / כל ה... בהם / כל ה.... עם ה) לכפלה עם, לכפלו (ב / בכלם), לכפלם ב כופל ב, כופלים (אותה ב / אותו / ב / ה / כל ה / ... ב / ה... ב) כפול (אותו ב / אותו... ב / ... ב / ... על / ה... ב / ה... על / ... פעמים) כפלהו (ב / שנית ב), כפלהו אותם ב כפלו (ב / על / עם / ... ב) כפלם זה בזה כפלנו (אותם ב / בהם / ה... ב / ... ב / ... על) כפלנוהו ב כפלנום ב כפלת נכפול (אותם ב / ב / בהם / בו / זה ב / אותו... ב / ... ב / ... על / ה... ב) נכפלהו ב, נכפלו... עם נכפלם (ב / על ה / עוד ב / ... ב) נכפלנו (ב / בהם) תכפול (אותו ב / בו / ה... ב / ה... עם / ... ב / ... בו / ... על / ... ב... פעמים) תכפלם (ב / ... על ה) תכפלנו (ב / בהם) to multiply כופלים בהכאה ... ב כפל אלו זה בזה כפלו ב... פעמים product by itself כפלתו בעצמו כפלו (בעצמו / על עצמו) כפל... בעצמו, כפל ... על עצמו, כפל ה... בעצמו כפל... בעצמם, כפל ה... על עצמם ככפלו לעצמו לכפול על כולם ועל עצמו כופלים ה... בכמותו כפול אותו על עצמו, כפול ... על עצמם כפלם בעצמם כפלנו ... על עצמם, כפלנוהו בעצמו, כפלנוהו על עצמו נכפול (על עצמו / ... על עצמו / ה... על עצמו / ה... בעצמו / זה על עצמו) נכפלנו (בעצמו / על עצמו) תכפול (ה... בעצמו / אותו ה... על עצמו) תכפלנו על עצמו כפולים בעצמם multiple כפלי (ה / מ), כפלים multiplied כפול, כפולים פעמים כפל ה... זה בזה כפל הכפלים ההם לכופליו כופלו אנו לוקחים אותם כפולות to be multiplied הוכפל ה, הוכפלה בה, הוכפלו בהם, יוכפל כפלים ב product עולה מהכפל, העולה מהכפל (ה / הזה), העולים מהכפל (... ב / ה... ב), העולים בכפל, העולות מזה הכפל, העולה מכפלו עם ה, העולה מכפלם שעלה בכפל תעלה מ... היוצא אחר הכפל נכפלו, נכפלו בהם הכפלים, מנין הכפלים כפול, כפולים נכפל, נכפלים ב הנכפל, הנכפלים, מספרים הנכפלים, המספרים הנכפלים, הנכפלים זה בזה נכפל פעמים רבות אשר אינם נכפלים to be duplicate ישנו (ב / בהם), נשנים (ב / מ) duplicated כפול, נכפלים to duplicate לכפלו, ישנך duplication כפל ה duplication השינוי double כפול, כפל (ה), כפלו doubling כפל to double כפול (ה), כפלת ה, נכפול ה, תכפול, תכפלנו Division חלוקה, לחלוקה על ה... עליו, חלוקת ה, חלוק (ה), חילוק (ב / ה / ... ב), בחילוק, בחילוק על ה, חלוקנו, בחלוקנו ל, בחלקך ל, בחלקנו (אותו ל / ה / ה... ל / ה... עליהם / אותו ל / אותם ל / ... ל), בחלקינו... ל בחלקנום אותם על לחלק (ל / ... ל / ... על / ה... ל / ה... עליהם / אותן על / אליהם אלו ה / עליהם / על הכל) לחלקה עתה להם, לחלקו (ב / ל / על / עליו) לחלקם (ל / להם / על / על ה / עליהם / עליו / ראשונה על ה) חלק (ל / עליו / ה... ל / ה... על / ה... עליהם / זה ה... על / אליו זה ה / ... על) חלקהו ל חלקם (ל / עליהם) חלקנו (אותו על / ה / ה... ב / ה... על / ל / על / על ה / עליהם ה / עליו / ... ל / ... על / ... על ה) חלקנוהו (על / על ה / עליו), חלקנום (ב / ל / על / על ה / עליו) חלקת (ה... על ה / הכל ל) יחלק ... על מחלקים (אותו ל / אל / ... ל) נחלוק ... ל נחלק (אלו ה / אליהם / אליהם ה / ה / ל / לו / על / עליה / עליהם / עליהם ה / עליו / ... ל / ...על / ה... ל / ה... על / ה... על ה / אלו ה... ל / אלו ה... אל ה) נחלק זה החשבון ל, נחלק חשבוננו זה עליו, נחלק מספרינו על נחלק זה היוצא ל, נחלק זה היוצא על ה נחלקם (ל / על / על ה / עליהם / עליו / תחלה ל) נחלקם על מינו, נחלקנו למינו נחלקנו (אליהם / ב / ל / על / עליו) תחלק (... ל / ... על ה / על ה / עליו / ה... ל / ה... על / ה... על ה); תחלק (ל / עליהם); תחלק על כלם ה, תחלק כל החשבון ל, תחלק אליו לשלימים תחלקה תחלקם ל תחלקנה ל תחלקנו (ל / על) יתחלק ל, יתחלק ... ל, יתחלקו המחלק ... על נחלק ל נתחלק הכל נתחלק על כל ה, נתחלק להם המספר בחלוקה הראשונה חלקתי הספר לב' חלקים אשר אתה מחלק עליו אשר רצינו לחלק (על ה / עליהם / עליהם ה / עליו / ל), שרצינו לחלק (עליו) אשר רצית לחלק (עליו) אשר תרצה לחלק (עליו) אשר חלקנו (עליהם / עליו), שחלקנו עליהם אשר חלקת עליו אשר חלקת עליהם אשר חלקנו כבר עליהם אשר נחלק (אל / עליו), אשר נחלקו עליו אשר תחלק עליו עליהם תחלק ה אשר להם תחלק המתחלק (ל), החשבון המתחלק, המספר המתחלק, מספר המתחלק quotient היוצא מן החלוק ה, היוצא בחלוק, היוצא בחילוק, היוצא בחלוקו, היוצאים בחלוק, היוצאים בחילוק יוצאים בחילוק, יצא בחלוק, יצא בחילוק, יצא בחילוק (ה / ל), יצא לנו בחלוק, יצא זה בחלוק ה, יצא בחילוק ה... ל, יצאו בחלוק, יצא ה... בחילוק, יצאו... בחילוק, יצא בו בחלוק יצא בחלוקה, יצא מהחלוקה יצא בחלוקנו, יצא בחלוקם, יצא בחילוקם העולה שיצא לנו בחלוק ה ... על ה תצא ... בחילוק יצא בחילוק מבלי שארית, היוצא בחילוק בצמצום, היוצא בחלוק בצמצום יצא בחילוק לכל אחד יצא בחילוק מספר מה אשר יוצא עתה בחילוק אשר יצא לנו בחילוק, אשר יצא בחילוק באחרונה, אשר יצא באחרונה בחלוק אשר יצאו בחילוק, אשר יצאו בחלוק, אשר יצאו בחלוק באחרונה, שיצאו בחילוק יצא לך בחלוק על יצאו בחלוק ויצא ... בחלוק, ויצא בחילו' עלה בחלוק

factor, divisor מורה (ל / לו), מורים (ל), מורי, מוריו part, divisor חלקיו true divisor מורה צדק indivisible לא נחלק לשלמים אל חשבון, לא יוכל להתחלק עליו, שלא יוכל להתחלק לשלמים, לא יתחלק כלו לשלמים לא יתחלק לשום מספר בשלימות מבלי שארית divisible יתחלק כלו לשלימים, הנחלק למספר מה, יתחלק אליו לשלימים מבלי שארית divisible by two יש לו מחצית, יש לו ב' divisible by three יש לו שלישית, יהיה לו שלישית, יש לו ג', היה לו שלישית divisible by four יש לו רביעית, יש לו ד', יש לה רביעית, יש להם רביעית, יש לחשבון רביעית, היה להם רביעית, היה לו רביעית indivisible by four אין לו רביעית, אין לנו רביעית divisible by five יש לו חמישית, יש לו חמישיות שלמות, יש לזה ה... חמישית, היה לו ה' divisible by six יש לו שישית indivisible by six אין לו שישית divisible by seven יש לו שביעית indivisible by seven אין לו ז' divisible by eight יש לה שמינית, יש לו שמינית, יש לו ח', יש להם שמינית indivisible by eight אין לה שמינית divisible by nine יש לו תשיעית, יש לו ט', יש למספר תשיעית divisible by ten יש לו עשירית, יש לו עשר, יש לה י' divisible by eleven יש לו י"א, יש לו הי"א, יתחלק לי"א על השלימות indivisible by eleven אין לו י"א divisible by thirteen יש לו י"ג, יש לו הי"ג divisible by seventeen יש לו י"ז יצא הכל לשביעיות יצא הכל ז' ז' השלך לעולם הז' ז' השלך אותו ח' ח' casting out by nines הסרת התשיעיות, חסר כל ט' ט', תוציא הט' ט' to be cast out by nines יצא הכל לט' ט', יצא החשבון לט' ט', יצא כולו תשיעיות to be cast out by 11 יושלך כלו י"א י"א, יושלך לי"א י"א to cast out by 13 הוצא הי"ג י"ג, הוצאת הי"ג to be cast out by 13 יוצא לי"ז י"ז to extract the factors תוציא המורים מ to extract the factor המצאת מורה ה fractions integer שלמים, שלימים, מספר שלם fraction שבר, שברים (מ / מה), שבורים, שברי (ה), שבריהם fraction חלק מ, חלקים (מ / מה), חלקי (ה) fraction of fraction שברי שברים (מ), שבר שבר fractional הנשבר portion שברים מ part חלק (ה / מ), חלקים מ, חלק אחד מ, חלקי ה, חלקיו חלקים מחלק, חלקים מחלק מ ב... חלקים בשלם מ... חלקים בשלם חלקי... בשלם; חלקי... מ... בשלם חלקים משלם מ, חלקים מ... בשלם; חלקים מ... שבשלם; חלקים מה ... בשלם חלקים מ... באחד חלקים מחלקי ה... בשלם; חלקים מ... חלקים בשלם; חלקים מ... חלקים מ... שלם חלק מ... ב; חלק מ... בשלם; חלק מ... שבשלם; חלק ... מ... בשלם; חלק ... מ... שבשלם אחד מ... בשלם; חלק א' מ; חלק אחד מ... בשלם; חלק אחד מ... שבשלם; חלק א' מ... שבשלם חלק א' מ... מ... שב; חלק א' מ... מ... השלם; חלק אחד מ... מ... בשלם; חלק אחד מ... מ... שבשלם השברים מהשלם numerator מספר השברים, מספר שברים, מספר שברי (ה), מספר שבריו, מספר שבריך, מספר המורה, מספר החלקים, מנין שברים, מנין השברים, שברים מה החלק על המורים denominator מורה (ה), מורהו, מורים (ל), מורי (ה), מוריה, מוריו (ה), מוריך, מורינו, המורה החלק, מורה החלק הוצאת המורים, הוצאת מורי ה to extract the denominator להוציא המורים (ל), הוצא את מוריו, נוציא מורה ה, נוציא מורי ה, נוציא מוריו, נוציא המורים ל, תוציא המורים to be extracted יצאו ממנו המורים לקחתו ... למורה, בקחתך אותם למורים נקח למורה, נקח ... למורה, נקח מוריהם, נקחם למורים, נקחנו למורה תקח מורה, תקחם למורים לוקחים מתחלה ה... למורה נשים ה... למורה, נשים... למורה, נשימם למורה common denominator אם, אם המורים, אם כל מוריהם, אם אלו המורים, אם המורים כלם, אם ... מורים, האם (ה), אמם to extract a common denominator הוצאת האם למורים, נוציא אם כל המורים in reduction בצמצום reduced שלמים כלילת יופי, ובכלילת יופי בעשותך כלילת יופי לעשות לשברים אלו כלילת יופי לעשות לה כלילת יופי, לעשות להם כלילת יופי נעשה כלילת יופי ל, נעשה להם כלילת יופי, נעשה לו כלילת יופי (על) עשה להם כלילת יופי תעשה להם כלילת יופי, תעשה מהם כלילת יופי הוא כעושה כלילת יופי עשותנו להם כלילת יופי שהן unification אחדות, לעשות בדרך האחדות completion ההשלמה, השלמתם, השלמתן (ל / לאחד) to complete השלמנו (ה / ל), להשלימם לאחד שלם, המשלימות אותו לאחד שלם to be completed הושלם כבר ב, ישלומו ל, ישלמו ל, ישלימו ה... ל, שלמו ה כדי השלמת מספר complement המשלים אותו כ, השלמתו (ל / לאחד), השלמתם (ל / לאחד) complement מה שיש מה... עד תשלום complement קצתו האחר to finish השלמת ל, נשלים ה, תשלים (ל / לשורה / השורה) decomposing התכה, התכת השברים to decompose התיכנו אותו, נתיך ה יותך ...ל composing הרכבתן composed מורכב, מורכב מ, מורכב מהם factorization פריטה, פריטת (ה), פריטתינו, פריטתה, פריטת השברים, מספר פריטת השברים חלקי הפריטה fractionalizing כפורט to fractionalize לפרטם ל לעשות פריטה, עשות להם פריטה, נעשה פריטה ל, עשה הפריטה ל, נעשה תחלה פריטה ל, תעשה פריטה ל עשה פריטה לכל אלו השברים פורטים אותה עוד ל נפרטות (מ), נפרטים, החלקים הנפרטו' השברים הנפרטות, השברים הנפרטים נפרוט (ה) נפרטו, נפרט (ה) תפרוט converting החזרת השברים, חזרת השלימים לחלקים השבת השברים, להשיבם פרוטות משיב הכללים לפרטים להשיב ה, להשיבם, להשיבם לחלק אחר להשיב למין אחד להשיב כלם מהמין, להשיב הכל ממין השברי', להשיבם כלם מהמין הראשון להשיבם כלם ממין אחד להשיב ... לכללים להשיב שברים... לחלק אחד להשיב מורים למורים אחרים נשיבם, נשיבם ל, נשיבם כלם, נשיבם כלם ממין אחד, נשיבם עוד נשיב ראשונה ה... ל השיבם ל, נשיבהו, תשיבם, תושיבם נשיבם כלם ראשונה להשיב הכל לקדמותו comparing fractions השואה, השוואה, ההשואה שעשינו בעשותך השואה זו, לעשות בזה ההשואה נעשה ההשואה ל, נעשה להם השוואה, תעשה ההשואה, אשר עשינו בהשואה להשוות ... עם, להשוותם, נשוה, תשוה ה... אחד אל אחד לעשות תחלה פריטה והכאה, לעשות לשבריך פריטה גם הכאה, לעשות לכל א' מ... פריטה והכאה, לעשות שני המעשים ר"ל הפריטה והכאה, עשותנו הפריטה וההכאה לכל אחד מהם נעשה פריטה והכאה ל, נעשה לה הכאה גם פריטה, נעשה ל... פריטה והכאה, נעשה לכל אחד פריטה והכאה עשותך הפריטה וההכאה וההשואה, עשותנו הפריטה וההכאה וההשוואה conversion המרה המרנו ה... ל, תמירם אליהם, תמירם ל, תמירם למין אחר מורה המרה, מורי ההמרה to convert להחזירם מ to convert להחליפם אליו to be converted ישובו, ישוב הכל מ, שב

extraction of roots root שרש (ה), שרשו, שרשים, שרשנו, שרשי ה square מרובע (ה), מרובעו, מרובעם, מרובעים none square ולא מרובעים cube מעוקב ה to extract the root ולקחת חציים extracted root השרש אשר הוצאת, שרש ה... אשר הוצאנו הוצאת השרשים to extract a root להוציא השרש, להוציא שורש, הוצא השרש, נוציא שורש, נוציא שרשו לבקש שרש בקשנו שרש, בקשת השרש, בקשת שרשו לדעת שרש, לדעת שרשו לידע שרש, לידע שרשו, לידע שרשו האמיתי לקחתו השרש נקח שרשו מרובע השרש בעל השרש השרש היוצא השרש המתוסף השרש המחוסר, השרש הזה המחוסר נעשה מהכל שרש אחת השרש הקרוב אשר לא יודע בהם שרש אמיתי לעולם כי בקירוב היה זה השרש אמיתי יהיה שרש קרוב מאד אל האמת בקרוב אין זה שרש אמיתי הקרוב אשר בשרשו, אשר יצאו בשרש שלימי השרש, השלימים היוצאים בשרש, השלמים אשר יצאו בשרש השברים היוצאים בשרש השרש בעצמו אשר בקשנו שרשו כשורש בעינו, שהוא כמו השרש Proportions proportion, ratio ערך, ערכים, ערכי ה הערך ל ערך ... אצל, הערך שיש ל... אצל, הערך שיש ל... אצל ה הערך אשר ל... אצל, הערך אשר ל... אצל ה הערך שיש ל... אצל כערך ... אצל, כערך אשר ל... אצל הערך בעצמו יש ל... אצל, הערך בעצמו שיש ל... אצל הוא הערך בעצמו אשר ל... אצל למי יש ערך אצל, למי יש זה הערך אצל אצל מי יש ערך זה ל, אצל מי יש לו זה הערך אצל מי יש ל... זה הערך אצל ... למי יש לו זה הערך ל... אצל מי יש לו זה הערך, ל... אצל מי יש לו זה הערך בעצמו למי יש לו זה הערך בעצמו אצל אצל איזה מספר יש לו אותו הערך בעצמו rule of three הג' מספרים נערכים related, proportional הנערך, הנערך אליהם, הנערך אצל (כל), נערכים to relate לקשרם יחד mean האמצעי, האמצעיים first term ראשון, הראשון שב, ראשון ל second term שני, שני שבהם, שני ל, השני מה related נערך, הנערך, הנערך אצל related נקשר ב, נקשרות, נקשרים (בו / ...ל / זה בזה / זו בזו) unrelated הבלתי נקשרות what we relate to it אשר אליו אנו מעריכים אשר מעריך אצלו relation to ערכם אל ה in relation to בערך (ה) according to this relation על הערך הזה

to remain ישאר (ב / ה / דבר / לנו מ / ממנו), ישארו, נשאר (ב / מ / מה / דבר / על ה / עוד ב), נשארו (ב / עוד... ב) remainder הנשאר (ב / מ / מה), הנשארים (מה), הנשארות, הנשארת remainder שארית (ה / מה), השארית הנשארה, שאריתנו to remain נותר (דבר) remainder הנותר, הנותרים (מה) נשאר לנו (ב) / בידינו אין שם דבר תשאר מל שנשארו בחלוקה to be left ישארו לנו ל to result יבא ה to result יצא (ה / כ / ל / לך / תחת ה), יצאו (ה / לנו), יוצאות, יוצאים, תצא ה יצא באחרונה, יצא לך באחרונה to result נספק to result יעלה (כ / ל / הכל / מ / ש), יעלו, עולים (ל), עולה (ה / הכל / ל / מה), עלה (הכל / ל), עלו (ה / ל) result היוצא (ב / מ / מה / באחרונה / לנו), היוצאים result העולה (מ / מה), אשר יעלה העולה לכל אחד מהן to result הגיע ל... מה, יגיע ל, יגיעו ל... מה, אשר הגיעו ל to receive, to obtain יצא לך מ, יצא לנו (כי / ה / מזה / מזה ש / מכך כי), שיוצא ל, יצאו לך, יצאו לנו, ויצא לנו עוד מזה ש, היוצא ל עלה לנו (כל ה / מ) to receive, to obtain הגיע לכל א', הגיע לכל אחד מהם, יגיע לכל א', יגיע לכל אחד, יגיע לכל א' מה, יגיע לכל אחד מהם, יגיעו לכל אחד מהם, יגיע ממנו לכל א' מה יצא לכל אחד מהם עלה לכל אחד מהם, יעלה לכל אחד, יעלה לכל אחד מהם יעלה בידך, עלה בידינו ש, יעלה בידינו ש keep נשמור, שומר ש, שמור (ה / ... על ה), תשמור (ה / ה... ל) השמור, השמור בידינו מה, השמורים תשמר (ה... ל) נשמר ה... לאחדים בידינו תשמרם לאחדים ל לשמור משמרתי to beware, to be careful שמר, השמר לך, שמור נפשך to write אכתבנו ב, כתבתי (עליה), כתבתיו to be written נכתב ב כמו שכתו' למעלה written הרשום, הרשומה noted הרשומים to want ירצה (ל), נרצה (ל) , רוצה ל, רוצים (ל / ש), רצה ב, רצו ל, רצינו (ל), רצית ל, תרצה (ל) מי שירצה רצונך ל, רצוננו הרוצה ל as one wish כרצונך, כרצונו, כרצוננו נחפוץ (מהם) כחפצנו, ככל חפצנו, בחפצם to find למצוא ב מוצא, מצאנו (שם / תחתיו), מצאנוהו, מצאת (ב / ה / לו / מ / שם), מצאתו, מצאתם, מצינו נמצא (לו / ש / שם / תחת / תחתיו), נמצאנו שם תמצא (ב / לפניו / עליהם / על ראשו / תחתיו / לו / שם / ... תחת ה), תמצאם, תמצאנו הנמצא (ב / תחת ה / תחתיו), הנמצאת שם, הנמצאים (ב) לא נמצא ל אשר נמצא תחתיו דבר היה נמצא דבר זה אשר מצאנו ל אשר לא מצאת ל אשר תמצא אשר לפניה to be found ימצא (על ראשו / תחת ה), נמצא (ב / תחת ה / תחתיו) to be found הנמצא ב תמצא לכל אחד מהמספרים שום מורה מה שתמצא מ אשר לא תמצא לו אין צריך כי אם ל תחוש (ל / להם), אל תחוש ל, לא נחוש ל אינך צריך לחוש מה לרשום, ארשום ורשום קו דיו תחתיהן, ותרשום קו דיו תחתיהן נרשום קו דיו עליהם תרשום קו דיו תחת נרשום תחת כל השורות קו דיו ונרשום קו על כל הנשאר תרשום קו על הכל ונרשום על... קו דיו ותשרט קו דיו על to place, to put לשום (ב / ה / תחתיו), לשומו לפני ה, לשומם (במקומה / ... ב), לשים (ביניהם ה / עמהם ה / תחתנו / ... תחת), לשים במקום, לשים ... במקום על to place, to putt תניח ה... עם ה to be placed הונח to define לשום כ ... ה, לשים אותה עצמה ל, שם ה, שמת (ה) to be placed הושמו ה... במקומם, יושם ... ב defined, positioned המושם, המושמים (ב) positioning בהנחתם placing הנחת ה ובהשימך (ה), להשימם תחת ה, לשום ב... ל נשים (... אחר ה / ... ב / אותם / ה / עליו / ה... על ה / לפני / לפניהם / ... לפניו / ה... לפניו / ... לפניהם / ה... לפני ה / עמהם ה / תחת / תחתיה אלו ה / תחתיו / תחתיו ה / תחתיהם / ... תחת ה / ... תחתיהם / ... תחתיו / ה... תחת ה) נשים המספרים זה על זה נשימה (תחת) נשימהו (ב / ל / עליו / חוץ ל / לפני ה / תחת ה / תחתיו) נשימם (ב / עליה / עליהם / עליו / על ה / עם / זו על זו / זה אחר זה / תחת ה / תחתיו / ה... תחת ה / מחוץ / במקומו / במקוצו עם ה / לו על זה / ... על) נשימנו (לפני / לפני ה / לפניהם / מחוץ / עליהם / עליו / על ה / תחת ה / תחתיו) נשימם ראשונה ב שים (ה / ה... ל / על / אותו תחת ה / תחת ה / תחתיו) שימהו (על ה / תחתיו) שימם ב שמים (ל / לפניהם / תחתיו / אותו תחתיו / ... תחתיו), שמנו (ב / ה / ה... לפני ה / ה... תחת ה / תחתיו / במקומו / מיד ה / זה ה) שמנוהו תחתיו שמנום תחת ה שמנוהו מעלה אחת לפניהם שמת (אותו / בהם / תחת ה / תחתיו / ... ב / שם ה) תשים (... אחר / ... אחר ה / אחריהם / ב / ב... תחת / בראש / ה... ל / ה ... על / ה... תחת ה / לפניהם / ... לפניהם / ... לפני ה / ... כנגד / על ה / עליו ה / תחת ה / ... תחת / ... תחת ה / תחתיו /תחתיו ה) תשי' לעולם ה תשים ריוח בין זו לזו תשימה תשימהו (תחת ה / תחתיו) תשימם (ב / עמהם / תחת ה / תחתיו / במקומה אחר ה) תשימנה אחר ה תשימנו (ב / על ה / מבחוץ) נשים ... בעד ה... במקומה נשים ה... למקומה, נשים במקומו, נשים ... במקומם נשים ...ל... במקומה נשים נקודה (על / על ה) נשים נקדה תחתיה, ונשים תחתיה נקדה נשים נקודה מחוץ במקום ה שים נקדה אחת על ה ותשים עליה נקודה אחת בעדו ותשים ... אחת תחת הקו בעד ה ותשים נקדה אחת (עליה / תחת ה) תשים תחתיה נקדה, תשים תחתיה נקודה תשימם לשארית תחת הקו תשים בעד כל סיפרא שב order, arrangement סדור ה by the order, successively על הסדר ש to arrange לסדר (ה... זה אחר זה / עם), לסדרם, מסדרים, נסדר (... לפניהם), נסדרהו, נסדרם (זה על זה), תסדר ה הסדר, בסדר, כסדרם לשים ה... בסדר אשים להם סדר ישים ... זו על זו על הסדר נשימם על הסדר, נשימם ... על הסדר זה אחר זה, נשימם זה על זה על הסדר, נשימם ב... זה על זה על הסדר שמנו ה... כזה הסדר תשים ה... זה על זה על הסדר תשימם על הסדר על סדר שביארנו ישגיח ב להשגיח בסדורו בהשגחה כפי המזדמן כאשר הזדמן, כאשר יזדמן שעלו בידך משום מעלה to have ולהיות לנו ב, היה ל, היה להם, היה לו, היה לנו, היו ל, היו לך, היו לנו, יהיה לו, יהיה לך, יהיו להם, יהיו לו, יהיו לך, יש ל, יש לה, יש לו (ה), יש לך, יש לנו owner of, having בעל (ה / אלו ה) to have אשר להם, אשר לו, אשר לך, אשר לנו בידינו, בידך אשר היו בידו, אשר בידו יש בידיך, יש בידך ה, יש בידינו, יש בידינו מ שיש בידינו שבידך, שבידיך, שבידינו אשר בידך, אשר בידינו, אשר היו בידינו כל אשר בידינו להיות בידינו ה היות בידך, היות בידינו היה בידך ה, היו בידיך, היו בידך, יהיו בידך היה בידינו, היה בידינו ה, היו בידינו בידיך ל, בידינו ל כאלו היו בידינו כאלו יש לנו בידינו והנה עלה בידינו ש not having אין ל, איננו לו אין לו אין בידך מאומה to discuss אדבר בזה ב saying אומרו, אמרנו, אומרנו (כי / ש) אומרנו... כאומרנו כאומרנו (ש), הוא כאומרנו ש, היא כאומרנו, שהוא כאומרנו והנה אומרנו, והוא כי אומרנו, וזה כי אומרנו, שהוא אומרנו הוא כאומרך כך הוא אומרנו to say לומר (ש), לו' ש, אומר כי, אומרים ש, אמרנו (ב / כי / ש / ב... ש), אמרו (לך ב / לך ש / לנו), אמרתי, יאמרו לך (ל), נאמר (ב), תאמר (ש) to say כאשר אמרנו, כאשר אמרתי לאומרם רצוני לומר כאלו אמרו, כאלו אמרו לנו, כאלו אמרנו הוא כאלו אמרו ש, והרי הוא כאלו אמרו, הוא כאלו אמרו לנו, והרי הוא כאלו אמרו לנו אומרים ב נאמרו to note, to mention הזכירו, הזכרנו (ב / למעלה כי), הזכרתי (ב), זכרנו, נזכיר (ב) above mentioned הנזכר למעלה זכר לדבר mentioned הנזכר, הנזכרת, הנזכרים, הנזכרות, הנזכרים as mentioned כנזכר, כנזכרים ב, כנזכר למעלה כמו שנזכר, כמו שהזכרנו (ב / ש), כמו שנזכר למעלה, ונזכר כבר ב יזכר ש to remember זכור לעולם (כי / ש) נזכור ל to forget תשכח (מ), תשכחהו, תשכחם to be forgotten (שלא) ישכח name שם (ה), שמות, ששמה to name, to call יקראו, נקרא (ל / לו), נקראנוהו, קראנו לזה, קראנוהו, קראתי (לו), קראתיו, קרינו ... ל to be called יקרא, נקרא (ה / ... מה), נקראה (ה), הנקראים, הנקרא to denominate ותקרא לו שם מ to denote שמתי להם designation ברמז to seek לבקש (לו), לבקשו, לבקש אחד מהם בקשת, בקשנו (ל), מבקשים ל, מבקש, תבקש (ל) נבקש מספר (ל / ש / אשר), תבקש מספר לבקש מורים ל, נבקש מורים ל, נבקש עוד מורים ל לבקש לו מורה, נבקש לו מורה, נבקש לו מורים נבקש מורה, תבקש מורי ה אשר בקשת לו כל המורים sought-after המבוקש, הוא המבוקש sought-after מבוקשך, מבוקשנו, מבוקשינו to ask for לבקש to loan לוינו האחד, נלוה אחד מ, נלוה אחד מה, נלוה א' מ, תלוה אחד מה אשר ממנו לוית האחד, אשר ממנה לוית האחד זה האחד אשר לוית היות לווה ממנה to examine לעיין, נעיין (אם), עיין (אם / ה), תעיין clarification ברור check, examination בחינה (ב / ש), בחינת (ה), בחינות to check, to examine לבחון (אותו), אבחן, בחנהו to be examined להבחן ב להבחין אם עשית כדין וכשורה לבחון אם עשית כדין אם לאו להבחין מעשיך, לבחון מעשיך examine it carefully דוק, דוק ותשכח to explain להטעים reason טעם (ב / ה / בזה / כי / ש / כל ה), טעמי', טעמו ב, טעמיהם by reason בטעם reason לסבה (ה / ש), בסבת proof מופת, מופתי (ה / כל), מופתיהם, מופתיו example דמיון, דמיוננו, דמיונות example משל (ב / ש / בזה / לזה ב / על / על ה), משלים, משלי (ה), משלינו (ה), במשלנו, כבמשל, כבמשלנו, כמשלינו זה ש for example ועל דרך משל, על ד"מ to give example, to demonstrate אביא משל (... ל), אביא ... משלים, אמשול, אמשול משל ל form, diagram צורה (ה), צורות, צורת ה, צורות מספרים figure צורות בא בזאת הצורה, בא בצורה הזאת זאת הצורה ה כפי צורה זו, כפי הצורה, כמו שהוא בצורה הזאת בצורה (ה / הזאת / הנזכרת) diagram בתמונה to ask ישאלו לך (על... ש), שאל, שאלו לך (ש), שאלו לנו (כמה / ל), שאלו (כמה), שואל, שאל השואל question שאלה, שאלתנו in question, to be asked נשאל, הנשאל, הנשאל לנו, הנשאלים, הנשאלות, שנשאל to answer יענו כי to answer ולהשיב... ל, תשיב ... ש answer תשובה משפט אחד להנה method, way בדרך (ה / ש), ובדרך זה, דרכים, דרכי ה, דרכם, כדרכו ב, כדרכנו, על דרך ה, ע"ד על הצד ש to proceed, to walk דרכתי, נדרוך ב to go, to proceed בלכתך ל, ללכת, לך אל ה, נלך ל, תלך ל skill, procedure מלאכה, מלאכתך, מלאכת ה, מלאכתינו procedure, technique מעשה (ה), מעשהו, מעשיך (ב), מעשינו, מעשים (ב) operation במעשיו to do, to proceed עשותך, עשותך כל זה בעשותינו זה, בעשותך זה לעשות (זה), לעשותו אעשה, יעשו, נעשה (ל / לכל אחד / ממנו), נעשנו, עושים (ב), עשה, עשינו (לכל אחד מהם), עשית (ב / זה ל), תעשה (ה / ל / להם) to be done יעשה (... ב) וכן תעשה, וכן תעשה לעולם ש, ועשה כן לעולם וכן תעשה עד תומם וכן נעשה לעולם בטעם נעשה במעשה לעשות כל אשר עשינו ה לעשות מעשינו זה, עושים מעשינו, עשינו זה המעש' מעשינו ה במעשינו כמעשינו ב נעשה לזה כאשר ל, נעשה לזה כאשר עשינו ל נעשה בתוספת, נעשה בתוספת א' על נעשה להפך ש לעשות ממנו שורה אחת, יעשה ממנה שורה אחת, תעשה ממנו שורה שנית, תעשה שורתו תעשה אחד מ2 דברים עשה כדרכים כמו שעשית ל... עם ה כמו שעשינו בתחלה ב תעשה זה ( ... ל) to make נעשה ממנו, עושה מה, תעשה ממנו לעשותם חלק אחד נעשה א' שלם... חלקים, עשינו האחד השלם ... חלקים נעשה הא' השלם עשינו ... חלקים שוים, עשינו מהם... חלקים שוים עשינו אותו ...חלקים, עשינו אותם ... חלקים שוים לעשות כל שברים מהם ממין האחדים לעשות מהפרטים כללים לעשות בעד כל סיפרא מהן סיפרא אחת אעשה משל אחר (מ) action, operation פועל to repeat the procedure להכפל (ה / זה ה), להכפיל (המעשה / המעשים) המכפיל פעמי המעשה repetitive procedure בהכפל (ה) end, complete תמו כל ה end, complete כלה... ה, כלה ה, יכלה ה, יכלו (ה), יכלו ב, יכלו מה, כלו ה, כלו אלו ה תכלה המנין כלות ה, ככלות ה עד כלות ה, עד כלותם, עד כלותו כלינו מעשינו כלית כל מלאכתך, כלית כל מלאכתך על השלמות כלינו כל מלאכתנו, כלינו מלאכתנו מכל וכל to be gone כלה כל ה equalizing השיווי to equalize נשוום יחד to be equalized הושווה (ל) to be equal שוה (ל / ממש ל), יהיה שוה ל, שוים (ה / בכל), שוים הם ב השוה ל equal שוים, שווים, שוות, שוה לכלם explanation פי' ה explanation ביאור (הכל) explained מפורש ב to explain לבאר (איך / ה), לבארו ב, אבאר, אבארנו (ב / בטעם), ביארנו כי / ש, נבאר זה ב וזה מה שרצינו לבאר כמו שבארנו, כמו שביארנו, כמו שביארנו ב, כמו שביארנו למעלה כאשר ביארנו, כאשר ביארנו ב, כאשר ביארנו למעלה וכן ביארנוהו למעלה הרי ביארנו ש, הנה ביארנו כי כבר ביארנו כי, כבר ביארנו ש שביארנו כאשר אבאר ב כאשר ביאר ב יתבאר בש, יתבאר עוד ב, נתבאר כאשר התבאר, כאשר יתבאר (ב) כמו שיתבאר (ב), כמו שנתבאר (ב) כמו שנתבאר פעמים רבות כי כמו שנתבאר למעלה וכל זה יתבאר מעשהו ב ועוד נתבאר איך, ועוד נתבאר אחר זה איך וכל זה נתבאר הטב ב מבואר באר הטב להרחיב ביאור אבארנו בעודו בעינו והנה יתבאר מ... כי מבואר כי מבוארים וזה מבואר והכל מבואר למבין וכל זה מבואר, והכל מבואר ב וזה מבואר בטעם וכל זה מבואר בטעם ובצורה, הוא מבואר בטעם ובצורה על דרך ברור to clarify ולברר to be made clear נתברר it is clear נתבא' ש clear, certain, evident ברור (כי), וזה ברור (ב / כי / ש), הוא ברור כי ברור ומבורר וזה דבר ברור, וכל זה ברור, והכל ברור וזה ברור בטעם והוא ברור במעשה ובטעם כי הכל ברור המעשה והטעם וכל זה תראה ברור ומפורש בטעם וכל זה מבורר בטעם הראשון למבין וכל זה ברור בטעם, וכל זה ברור בטעם למבין, והכל ברור בטעם ודי למבין ודי למבין ובזה תראה ברור מה שאמרתי ש והכל נתבאר במעשה ובטעם to become עולה לעשר מאשר לפניה, עולה עשר ידות מאשר לפניה בערך אל אשר לפניה בערך אשר לפניה, בערך אשר לפניו to be able to יוכל ל, יוכלו ל, יכולים ל, יכולנו ל, נוכל ל, תוכל ל as much / great as possible היותר שנוכל, היותר שתוכל (ל), היותר ... שיוכל to be able to היה הרשות בידך ל to take בקחת ה... מה, בקחתך (אותם ל / ה... ל) ליקח (... מה), לקחת (אותם מ / מן ה / מה... במקומם / מה / מהם / ממנה / משם / ה... מ / ה... מה / ה... מהם / ... מה / ל / בעבורה), לקחתו (מ) יקח (ה / מ / כל אחד מה), יקחו (מ / מה) לוקח (מה / משם), לוקחים משם לקח (ה / מה / ה... מה), לקחו (ה / כל ה / כלם / ממנה ה / ה... מה) לקחנו (... ל / ... מהם / ה... ל / ה... מ / ה... מהם / משם ל) , לקחנוהו ל נקח (ה / כל ה / ל / לו מה / מ / מה / מהם / מהם ה / עוד / ...ה / ה... מה / ... מה / ... מהם / משם ה / משם... ל), ניקח מ נקח (בעבור / בעבורו / בעבורם / בעד זה), נקחם מה, נקחנו בעצמו ל קח (ה / ... מה / בעבורו), קחתנו (אלו ה / ממנו), תקח (בעבורו / ה... ל / ... ל), תקחנו ל to be taken ויקחו מ אשר יש לנו לקחת משם מקום לקיחתם should אשר לך ל, אשר לנו ל, היה לו ל, היה לך ל, היה לנו ל, יהיה לו ל, יש לו ל, יש לך ל, יש לנו ל, עליך ל, עלינו ל should not אין לנו ל, אין לנו עוד ל, אין לנו ל... כלל, אין לנו ל... כי אם should צריך ש should ראוי ל, ראוי לו ל, ראוי לנו ל, ולזה ראוי לנו ל should be ראויין להיות לא תחדל מ ומהכל ושמת שם נקודה לא תמצא שם ויהיה לעש' במעלה זו ואם במקום הנקודה ואם לא יהיה במעלה שאחר שום מספר דבר שכלתה כבר ה מהמעלה אשר הנקדה תחתיה אם יש שם מספר ולא נקודה שכבר נשלם יצא כלו בהם בשוה לצאת במעלה שאחר זו תשוב כבתחלה הם באמצע ? והנה בא על מתכונתו ש to be היות (ב / ה), היותם to be להיות (ה / ל), להיותה, להיותו ב, להיותם, היותך, בהיותך, היותם, היה, היו, היינו, הינו, שהיו, יהיו (ה), יהיה (ב / ה / כ), תהיה, היתה, יהא אינך to become וישוב to become יהיה (ל / ב... ל / ל... על ה / לנו ל), יהיו (ל / לנו ל), הוא ל to become היה בידך ל, יהיה ל... בידך, היו ל... בידך, יהיו ל... בידך אשר הם ל... בידך נעביר עליו to cross out with a pen נעביר עליו הקולמוס, נעביר עליו קולמוס, נעביר קולמוס על ה, תעבור הקולמוס על ה שעבר עליו הקולמוס to begin, to start להתחיל מה, אחל ל, נתחיל (ב / ל), תתחיל (ל / מה) מתחילות מה וקודם התחילי ב יתחיל ה beginning התחלת, תחלת ה, בתחלת ה, מתחלת ב beginning ראש ה, בראש זה ה end סוף ה, בסוף ה end תכליתם הדומה ל, הדומה לה, הדומה לו, הדומה להם, הדומה לזה כדומה לו, כדומה לזה ודומיהן כאלו דומים ל need to צריך (ל), צריכים (ל), הצריכים, צריכין, צריך אתה לעולם ל, הצריך להם to be needed הוצרך אליה, הוצרך מ צורך לצורך (ה) no need לו לצורך, אין צורך, ואין צורך אלא ש, שאין לו צורך ל הוצרכנו, הוצרכנו לזה יצטרך ל, נצטרך ל, נצטרך הכל, תצטרך ל אשר מהם יצטרך, אשר יצטרך מהם, אשר מהן יצטרך ל אשר יצטרך, אשר תצטרך מה שיצטרכו מהם כל מה שתצטרך by how much בכמה הוא כמה ... יעלו, כמה יעלו כמה פעמים יצא (מה / ה... מה) כמה פעמים יש כמה כפלי כפלים כי כבר נשלם נשלם נשלמה כמה יעלה לכל אחד כמה שיהיו מהם כמה... הם / כמה ... הן / כמה הם כמה ... יש ב, כמה ... יש בהם כמה הוא ה בכמה יהיו בכמה כמה הם יותר כמה פעמים ה... ב כמה פעמים יש בהם נדע תחלה כמה ... הוא, נדע תחלה כמה ... הם נדע כמה ....יעלה to know לידע (אם / כלם / ל / מה / באיזה / כמה), לדעת (אם / ה / כי / ש / כמה / מה / מאיזו) דע (כי / ש / לך ש), דע לך ש, ידע כי, ידעו, ידענו (ה / כי / ש), ידעת (כי / ש), ידעתי, נדע (אם / כמה / ש), תדע (ה / כי ה / ש / כמה) נדע בקלות ה... מה ביודעינו ש וזה יודע, יודע ב, יודע ה נודע (ה / ש / מזה שה), נודעים, נודעו ה, הנודעים הידוע אשר בהם נודע בהודע ה ואין דעתך אין דעתינו ל מיודעים knowledge ידיעות דעת, דעתי, מדעתי, מדעתנו ידע יודע ה אשר לא יודע it is known בידוע ש, וידוע הוא כי, וידוע כי, ידוע הוא ... כי to be unknown נעלם לנו ה, נעלם ה known הידוע, הידועים, ידועים, מספר ידוע unknown הנעלם, נעלם (ה / ממנו), הוא הנעלם, הנעלמים to dictate נותן ל to mistake, to err טעינו, טעית (ב), נטעה, תטעה (ב / ל / מל) mistake, error טעות, טעיות to mislead יטעך ש to think לחשוב כי, אחשוב זאת to explain, to introduce להציע, אציע ש, הצענו premise הצעה, הצעות to rise יעלה מעלה אחר מעלה to reach יעלה... ל to exceed by יעלה ... על, יעלה to exceed יעדף ה... על ה... כ, יעדפו עליהם exceeding עודף על ה, העודף (ב... על ה), העודפים, העודפים (ב... על ה), מוסיפים על ה excess יותר על to exceed יותר על ה to exceed by יהיה יותר על ה ... ב excess עודף with excess לתוספת plus עם תוספת to increase יעלה, מעלה to increase יתרבה, יתרבה המספר ב, מתרבה (בכפל) to decrease יוריד, מוריד אינו מעלה ומוריד to be missing יחסר... מה, חסר ב... מה to be lessened יחסר to fall short of היו למגרעת, יחסר deficit חסרון with deficit למגרעת to continue, to keep תוסיף ל inverse operation הפך ה, הפכים, להפכו to be inverted יתהפך amount מנין people אנשים, אנשי, איש spacious מרווחות, מרווחים when ever בכל עת ש enough די to be enough די ב, די ל not enough ואין די, ואין בו די, אין די ל, אין דיו ל, אין שם כדאי ל, ואין ב... כדאי ל, אין ... כדי, ולא יהיה בו די ל and that is it ודי sufficiency ספקנו, די ספקנו benefit תועלתם to be useful יועיל beneficial, useful מועיל ל, מועילים ל to apportion להועיל ממנו ל to harm יזיק, מזיק ? בשום פנים to count מונה, נמנה מה, תמנה (מ / מה / משם) to indicate להראות, להורות, הורה, המורה על ה, מורה לנו ש, מורי' על ה to confuse לבלבלך בזה יבלבל עליך יתבלבל (ב), נתבלבל, תתבלבל to be able יוכל ל, יוכלו ל ויקח ... פעמים להתחלק עליו לשלמים to discuss נדבר consideration עיון אל study עיון learning בלומדי, לומדם to learn ללמוד ב, להתלמד, תתלמד to teach ללמדך על to bring הבאתי ב, יגיעם כלם ל הנה לנו ש to elaborate להאריך בזה עוד, אאריך to elaborate להרחיב ה to give לתת לך, אתן לך, יתנו general, inclusive כולל ancients הראשונים to consider as הבט... כאלו to consider as לוקחים ... לאחדים all are the same כלם שוים מה שאמרנו ב to reach בהגיענו שם, בהיגיענו שם, הגיענו אל ה, הגיעו ל, הגענו (אל / ל), הגעת ל, יגיע (אליהם / ל), יגיעו ל, תגיע ל to be contained in בו, יהיה בו ה, אשר ב, אשר בו contradiction בחילוף so is וכן הוא ה, כן הוא they themselves הם הם total היה הכל, יהיה הכל, יהיו הכל, יהיו כולם in order that יען were it ההיתה as they are כמות שהם the same as כך הוא... כמו as כדרך שה at present אשר בנתים at once ברגע with little במעט בכל עת large הרבה with respect to על ה לכופלו to achieve השגנו to attain תשיגנה to be attained שבא ב, אשר באו לך to indicate המורה על ה to denominate לקרוא להם שם, נקרא להם שם diagonal האלכסונים difference שינוי ב to stand עומד to be difficult יקשה עלינו difficult קשה effort עמל effort יגיעה to exert oneself, to endeavor ניגע to ease, to make it easy להקל ה... מעלינו, להקל מעליך (ה), להקל מעלינו (ה), להקל עלינו ה to assign הקצתי לו, הקציתי לו extreme הקצוות money ממון golden זהב, אלו של זהב, של זהב, מזהב silver כסף, של כסף, אלו של כסף dinar דינר, דינרי, דינרים peraḥim פרחים zehuvim, golden coin זהובים peruṭot פרוטות zuzim זוזים to lower להורידם, הורדנום (ב' מעלות), מורידים (אותם), מורידין ה, נוריד, נורידנו, נורידם (מעלה אחת), תורידם (מעלה אחת) lowering הורדה, הורדת מעלה, הורדתם to be lowered יורדו, ירד disappeared נעדרת to come close to, to approach להתקרב (אל האמת / מאד), יתקרב אל (האמת), יתקרב ל... ב, נתקרבת אל (האמת), תתקרב אליו to come closer to להתקרב יותר אל (האמת), להתקרב עוד אל (האמת / השרש), יתקרב מאד מאד, מתקרב יותר, נתקרב יותר אל (האמת), תתקרב יותר אל ה to be close to קרוב אל (האמת) יתקרב אל האמת לחסרון יתקרב אל האמת לתוספת יתרחק מן האמת, יתרחק מן האמת ב רחוקו מן האמת מ, ריחוקו מן האמת difference מרחק (... מ / ה... מה), מרחקו מ, מרחקם מ, רחוקו מ, רחוקם, ריחוק, ריחוקים, ריחוקם מה difference הרחקתם מ to become distanced from אשר נתרחקו מ, שנתרחקו מה, יתרחק, תתרחק, מרוחקת ... מה distance מרוחק ה בכל מאויו באחד המעשים ב to require יחייב given מונח ל side, factor צלעות generation הולדה to generate לחדש, חדשנו to be generated נתחדש, נתחדש מ, נתחדשו (ב / מ), יתחדש created attained, המתחדש, מתחדש, המתחדשים created מחודש to invent, to create להמציא, אמציא, המצאת, המצאת ה invention המצאות to instruct נצוה ל, צוינו ל, ציויתי ל, ציויתיו, צוויתיך, ציויתיך ל, צויתיך ל meaning, instruction הוראה, הוראת indicator מורי ומ"מ as necessary בכל הצורך too much יותר מדאי portion of קצת ה smaller portion מעוטו greater portion רובו portion חלקי ה, חלקים to hurry חששתי ל to investigate לדקדק, דקדקתי to be satisfied למסתפק ב thing דבר, דברים any thing שום דבר matter דברים issue, matter ענין, ענייני ה, עניינים concerning, in the matter of בענין ש type מין (ה / מה מ), מינים, מינה, מינו, מינם, מיניהם, מיני שהוא ממינו, אשר ממינו שאינו מינו מין בשאינו מינו מין על מינו to be eliminated יתבטל observation השגחה to wonder תתמה ש to remove הסרנו אותו מהם change שינוי ביניהם no difference between אין חלוף בין ... ל forward בקדימה backward ואיחור intention כונה, כוונות, כונתינו, כוונתי, בכוונה מכוונה lowest הגרועים מהם לקחת עמו ה detail פרט gleanings? עוללות to be marked by ירשמו ב beauty היופי true האמיתי, אמיתיות ואותו ועל דרך היופי to be difficult תכבד ה work עבודה האמרה plus עם ה, ועוד (ה) to be gone יצא it follows that ויצא מזה כי to become possible יצא לנו ל to derive ממנה יצאו to find out יצא לנו ש להוציאם מן הכלל, יצאו מן הכלל, ויצאו הם מן הכלל to assign הקצתי לו like כעין descendant ילדתם to change לשנותו נחבר ב to consist of הורכב מה to be composed הורכב, הורכבה מהם to insert להכניס to be converted שבו כלם to be absent יעדר to be converted יומר to distinguish, to separate תבחין בין ה... ל high גבוהים to be verified נתאמת truth אמת הנה אמת, הנה אמת הנה נכון, הנה נכון הנה אמת והנה כל מעשינו אמת, הנה כל מעשינו אמת ויציב, הלא מעשיך אמת ויציב, הנה מעשיך אמת ונכון כל מעשינו בצדק ובמשפט false שקר absurd שקר rule דין, הוא הדין, היה הדין נותן, כלל (ה / ... ל / כי / ש) to change משתנה, ישתנה time פעם, פעמים, פעמי ה כפעם בפעם, פעם בפעם every time בכל פעם, בכל פעם ופעם time after time פעם אחר פעם greatest number of times מספר הרב הפעמים, היותר פעמים מב, יותר רב פעמים to split שנפצל מ, מ... נפצל to understand להבנה, להבין, להבינו understanding הבנות, הבנתי understandable מובן to designate ייעדתי ל, ייעדנו to see לראות (אם / ... ב), אראה, נראה (אם / כמה), ראה (אם / ה), ראית ... ש, תראה (ב / ש) היה נראה ש to consider ראה ל, ראיתי ל to bother תטרח to actualize להוציא to be determined נרמז ב, נרמז ש determined רמוז ב, הרמוזות deduce from this והקש על זה, והקש על זה ב to happen, to occur יקרה (ב / כאשר) נביאנו אינו כלל ?זה פירושם שבא הכל כאלו for panic לבהלה for naught לבטלה to fill, to fulfill למלאת, מלאתיו, תמלא to satisfy למלאת את to train להרגילך ב, להרגילך עוד ב style, form בסגנון removed המוסר מספרו one and the same והנה כל ה... אחד, אחד בעצמו והכל עולה לדרך אחד והכל עולה לסך אחד והכל עולה לענין אחד to shorten ולקצר to contrive לתחבל half חצי ה, חצי מ, חצאין, חצאי, חציו, מחצית ה to reverse בהפוך ה... ל, הפוך ה to return חזרו ל, תחזור ל to return להחזירו ל to return נשוב (ו / ל / עוד), תשוב (ל) meaning כלומר ש meaning פי' (כי / ש) wise חכם, חכמים Sages of the Gentiles חכמי הגוים science חכמה, חוכמות, חכמתם mathematics חכמת הלימודיות natural science חכמת הטבע arithmetic חכמת המספר, במספר philosophers מתפלספים rational soul נפשם משכלת rationalism התבוניות, תבונה rational concept המושכלות intellect שכלו, שכלי, שכלנו subject נושאיהם essence עצמים accident מקרים straightness יושר to raise תעלה a while כמה to reveal לגלות treasures מצפוניה to grasp, to take hold החזיקתני to influence תאצילני to translate להשיבו ב to elaborate בהרחבת to long חשקתיך desire תאותך to grant ולתת את request שאלתך trouble טרדות ה to allow מסכימות ל, מסכימים to engage in להתעסק ב to live יחיו in the eyes בעיני, בעיניהם master אלופים possible איפשר heart לבם attached נקשר succeed יכשר to rule over להשתרר to overcome ולנצח time זמן years שנות youth זמן הנערות maturity זמן הבחרות less and more בפחות וביתר senseless תפל defect דופי mockery התול slander לעז to ridicule לעגו to joke יתלוצצו to encourage החזיקו יד to be told יסופר engagement עסקם ב simple things פשוטות perceptible מושגות ב outstanding, prominent מסויימים to encamp חונים division by division דגלים דגלים path by path שבילים שבילים wanderer נעים ונדים to sway מתנודדים to rob יגזלו מ to steal יגנוב ה to deceive להונות, יונה to exploit ולעשוק poverty עוני glory הודם might מאודם business מסחרים to eat יאכל word דברו to strengthen להחזיק to raise up להקים pedantic מדקדקים to eliminate לכלות guilt אשם to be careful נזהר מ pegs יתדות to emanate אצל friend רעהו to choose בחר מ bad luck רוע מזלו to be well with טוב לו to continue ולהתמיד righteousness צדקו to carve לחקוק אותו forever לנצח affection וחבתן to overpower גברה to tearing down, to break פרצתי definition גדר ה humility ענוה order סדור to stand קמתי בפניהם to give honor to אחלוק הכבוד to be enriched להעשר emanation סידורה to compose חברתי goodness טוב to weaken מחלישים to come באתי ל wonderful and fearful things נפלאות ונוראות lights אורות to inform יודיעו argument וטענות apology התנצלותי virtue מעלה to leave עזב את ה queens גבירות to expand מרבות boughs and branch סנסנים ופארות fruit פירות extended his hand פשט ידו ב humiliating כמבזה to grasp אחז את hidden צפון concealed נעלם to admit יעיד על עצמו to admit להודות כי today היום to estimate אומדים foundation יסוד, יסודה building בניינה, בניינם consists of הבנויות על ה room חדרים to open לפתוח entrance פתח lenient and stringent קל וחומר strong חזק, חזקות, חזקים to be held מוחזקות בידיהם, ומוחזק right נכונים known, recognized מפורסם, מפורסמים to rely נשענים

pronoun אני, אנו, הננו, אתה, הוא (ה), היא, הם (מ), המה, הן, הנה והוא גם הוא אותו ה, אותה ה, מאותה ה ההיא (בעצמה), ההוא, ההם, ההן which are / is שהוא, שהיא, שהם, שהן, שהוא ה, והוא ש, שהנו שיהיו שם שזהו זה (ה / הוא / ש), זו (ה), זאת (ה / היא), וזהו, וזוהי זה... וזה אלו (ה / הם / הם ה / אשר / ש), אלה, האלה, האלו of these מאלו, מאלו ומאלו of them שבהם, מהם, מהן, מאלו, ממנו הוא ב כזה מזה ה לזה, לזאת אשר אשר הם itself / themselves עצמה, עצמו, עצמם, בעצמה (ה), בעצמו, בעצמם by itself בפני עצמו, לעצמו by our selves בעצמינו your self בעצמך any, certain שום, שום ה, משום certain איזה certain מה every one כל אחד (ש) every כל every… of them כל... מהם every thing כל דבר, הכל some thing דבר מה all הכל, כל (ה), כל אשר, כלם, כל זה, כולה, כלה, היה כלה, בכל, יהיו כלם, כולם all of כולם מה each כל, כל ... מהם, כל ... ו... מהם, בכל ... ו... כ"א, כל אחד, כל אחת, כל א' (מ), כל אחד מ, כל אחד מאלו ה, כל אחד מה, כל אחד מהם, כל אחת מהם one of אחד (ה / מ / מה / מהם), א' מה for each על כל, לכולם by each other זו בזו to each other זה לזה one after the other זה אחר זה for each לכל וכל ש the rest שאר (ה), כל שאר ה, כבשאר ה both שניהם, שתיהן או גם, וכן, וכן כולם, וכן כלם, וכן לכלם, וכן בכללן, וכן ב גם ה... גם ה, הן ... הן, הן ל... הן ל, הן מן .... הן מן ... בין ש... או ש בין... בין אם בין ... או או ... או הן ... או בה, בו, בהם, בכלן זה אשר אשר ב, יהיה ב, אשר בו (ה), אשר היו ב אשר מה בזה... ובזה which איזה ... הם, איזהו ה by which ממנו from which אשר ממנה, אשר ממנו that מה ש that הוא ש, הוא אשר what מה ש who מי ש whichever איזה מהם שיהיה זה בזה which איזה, אי זה which is שזהו which is והוא כי which is of שהוא מ the same as הוא כ כמי ש כי כך הוא והנה, הנה, הנה ה הנה ש by this בזה one by one אחד אחד

negative clause without בלי, מבלי, מבלי... כלל, בלי... כלל without מבלתי (ה), בלתי בלא not בלתי בלתי ... כלל אין ... דבר אין לך ל... דבר אין בה... כלל כי אם אין ... כלל, אין... כלל כי אם ה... לבד אינו כי אם אין... כי אם, אינו... כי אם, אינך... כי אם אין ב... כי אם; אין שם ... כי אם אין אנו ... אלא אין אנו... כלל, אינך ... כלל אין לו, אין לו... כלל אין לו כי אם אין לך... כי אם אין בידיך כי אם אין בידיך ל אין בידינו ... כלל ואין לו ל... כי אם; אין לך ל... כי אם, אין לנו ל... כי אם אין לך ... כי עם לא... כלל כי אם לא... כי אם לא... כלל לא ... לעולם לא... כל לא ... דבר לא ... מאומה לא ... שום ואלו לא היה ב... כי אם אין בכאן לא... שום דבר לא... אלא אין מ... ל even not אף לא not even אין גם לא ... אפי', לא... אפילו אין ה... ולא ה אין ... לא ... ולא לא ... ולא, לא... ולא גם do not ואל, אין, אינו, אינך is / are not אינה, איננו, אינו, אינם not לאו at all בשום פנים at all כלל no, there is no אין, אין ב, אין ה, אין זה, אין כאן ה is / are not אינם (מ), אינו, איננו אין בה, אין בו, אינו ב, אינו בה, איננו בו, אינם בו, אין ... ב אם לא, ואם לאו ואם לאו לאו neither… nor לא... ולא לא היה לו אין ל, ואין לנו ל אין לו אחד מהם, אין לו שום אחד מה

עוד, ועוד הרי, הרי ש, הרי לך, הרי לנו (כי / ש), והרי, שהרי הרי הוא כאלו, הרי זה כאלו כי אם ככה כמה indeed אכן ככה בעבור ה שאינו ראשון, שאינו ראשון לו בעת ההיא, בפעם ההיא הם מ את, אותם

Prepositions after אחר (ה), אחר ש, אחר אשר, אחרי, אחרי אשר, אחרי ש, שאחרי ה, אחר זה, אחריה (ה), אחריו (ה), אחריהם, אחריהן before לפני ה, לפניהם, לפניו (ה), שלפני ה, שלפניהם, קודם (ה / זה / ש) before טרם by והוא ב, בש, וזה ב, וזה בש, וזה יהיה ב, בזה between בין ה, בין כל ה, מה שבין ה, בין ה...ובינו, בין... ל, בין ה... וה, בין ה... להנה, ביניהם among בהם with, plus עם, עם ה, עמו, עמהם שעמו, אשר עמהם bellow למטה (מהם) לשמאל, לצד שמאל (מה), לצד שמאלי הימין לימין, לצד ימין (מה) לצד ימין מהמקום above למעלה above, on מעל ה, על (ה / הכל), עליהם, עליהן, עליו, על ראש, על ראשו, על ראשם beneath תחת ה, תחתיהם, תחתיהן, תחתיו זו תחת זו out of ומתוך until עד, עד ש, עד אשר כנגד ה, כנגד אותה ה, כנגדה in אשר היה ב, בזה in בתוך ה for בעד ה, בעדה, בעדו, בעדן for שהי' לה ל, יהיה לו ל, לו, הוא ל, הוא לו ל for בשביל (ה) from ממנה, ממנו except מלבד except בלתי ה, זולתי (ה), מזולת ה, זולתם except מבלעדיו or או לבדו, כל אחד לבדו יהיה עם הכל it is all the same הכל אחד, הכל א' כולל, כולל אותם so much, so an so כ"כ ואליהם על ידי להם בכלל ובפרט אלא ש בפעם הזאת מאשר באשר corresponding כנגד (ה), נגדו for בעד ה לפעמים ג"כ א"כ i.e. ר"ל, ר"ל ש, ר"ל כי, ר"ל אשר ר"ל ע'ד'מ' ש עד"מ, ע'ד'מ' etc. וכו' all the more so כ"ש also ג"כ

adjectives many רבות, רבים many הרבה numerous רבים more than רבים מ few כמה few קצת few מצומצמות האחד, האחת אחרון, אחרונה, אחרונים, אחרון ל other חבירו, חבירתה, חבר, חברותיה, חבריהם, חברתה other אחר, אחרת, אחרות, אחרים other זולתו, זולתם better that וטוב ש more יותר greater, more than יותר (מ / מה / ממנו) much greater הרבה מאד יותר מה great רב, הרבה greater רב, רב מאד מה, רב (מה / ממנו), מספר רב, המספר הרב great/greater הגדול (ב), הגדולה, גדולה (מה), גדולים (מהם), הגדולים גדול (מ / מה / מהם / ממנו), גדול ה... מה, greatest גדול שאיפשר, הגדול שאפשר, הגדול שאיפשר, היותר גדול שאיפשר היותר שאפשר, היותר שאיפשר, היותר שאפש' מ יותר גדולים, יותר גדול מה small מעט, מועט little הקטן smaller קטן, קטון, קטנה, קטן (מ / מה / מהם / ממנו), קטנים, קטן במנין smaller מעט, המספר המעט smaller, less than פחות (מ / מה / ממנו), הפחות מה inferior שפל upper עליון, עליונה, עליונים bottom תחתון, תחתונה, תחתונים, תחתונות last אחרון (שב), אחרונה, אחרונים, אחרונו' first קודם first ראש first, former ראשון (מאלו / מה / מן / מן ה / שב), ראשונה (מה), המספר הראשון, החשבון הראשון, ראשונים, הראשונים second שני (ב / ל / לו / מאלו / מה / מן / שב), ב' מאלו, שנית (מה) third שלישי, שלישית (ל), שלישיים ל fourth רביעי, רביעית חמישית שישית prior מוקדם latter מאוחר preceding העובר, העוברים, אשר לפניו, הקודמת, הקודמים preceding אשר לפני (ה), אשר לפניו, אשר לפניה, אשר לפניהם, שלפני זאת, שלפניו, שלפניהם אשר לפני פניו לאשר לפניו ולפני פניו preceding, previous הקודם (לו / לזה), קודם, הקודמת, קודמת (ל), קודמים previous שעבר next to סמוך, הסמוך ל, הסמוך להם, הסמוך לו following, succeeding הנמשך, הנמשך אליו, הנמשכת ל, נמשך אחר הנמשך following הבא אחריו, הבא אחריהם, הבא אחריהן, הבא אחר זה, הבאה, הבאה אחריה, הבאה אחריהן, הבאה אחר ה, הבאים, הבאים אחריה שאחר ה העולה itself בעינו, בעינה very, itself ממש other, another אחר, אחרת, אחרים others אחרים, האחרות short קצר, קצרה correct נכון, נכונה correct אמת various שונים indifferent בלתי שונים different משונים, שונים corresponding אשר כנגדו corresponding בת גילה worthy of ראוי ל appropriate הראוי ל, הראויה ל, הראוי לו, הראויה לו, הראויות להם appropriate נאות, נאותים, נאותות new, renewed חדש, חדשים absolute גמור, גמורה well versed in בקי ב entitled רשאי easy קלה necessary מחוייב given מונחים important נכבד beautiful, proper יפים nice יפים nice הנאה thin רזה poor דלה despicable בזויה despicable נקלה included נכלל whole כולו whole השלם, שלם, שלימה, שלמה, שלמות, שלמים the whole כל ה... בכללו, בכללו possible איפשר impossible בלתי איפשר, נמנע

adverb there is/are יש, יש ב, יש... ב , יש ב... ה, יש בכל ה, יש שם from there משם vice versa בהפך, להפך ש again שוב little במעט, המעט ה, מעט, במיעוט there שם (ה) here כאן, בכאן now עתה (ש) so far, until now עד הנה at the beginning מתחלה in the middle באמצע at first ראשונה approximately בקרוב already כבר also גם downward ולמטה upwards ולמעלה, למעלה ממנו et cetera וכיוצא בזה successively זה אחר זה precisely עין בעין perfectly על השלימות properly יפה יפה vaguely בסתם truly, really באמת truly, really ממש clearly ברור, בברור closely carefully, הטב inversely יהיה להפך immediately מיד correctly כתקנה, כתקנם, על היושר equally בשוה, שוה בשוה briefly בקוצר surely הלא, הלא הם, הן so on endlessly כן לעולם, וכן לעולם, וכן יהיה לעולם only רק only לבד only כי אם alone לבד, לבדה, לבדם together יחד, ביחד, כלם ביחד, כל ה... יחד very מאד even אפי' even if ואם, אף אם instead תחת, תחתיו instead במקום (ה), במקומה, במקומו, במקומם such as כגון ש as כמו (ה / ש / שה / שהוא ה / שהן); כמוה, כמוהו, כמוהם, כמונו, כמותם כמות (שהם / שהן); כמותה, כמותו אשר כמותו, שכמותו as כפי (ה / ש / שהם) as כאשר as much as כל מה ש (... יותר) so כן, וכן so כך הוא (ה) always לעולם ever בעולם, לעולם henceforth מכאן ואילך then ואז, אז then, afterwards ואחר כך, וא'ח'כ', אח"כ afterwards אחר כן, אחרי כן, ואחר further עוד furthermore ועוד (ש) therefore ולכך, לכן, על כן therefore לזה, על זה provided that, so long as ובלבד ש until the end עד תומם once פעם אחת twice פעמי', פעמים, ב' פעמים outside מחוץ ל altogether מכל וכל lastly באחרונה first, at first, firstly ראשונה ב, תחלה, בתחלה כבראשונה, כבתחלה

how איך how many, how much כמה (הם / ... הם / ... הן) where מאיזה מקום, מהיכן when בעת (ה) when כאשר, כש why למה which מאי זה, מאי זו, מאיזו

conjunction in order to כדי ש, כדי ל but אבל, אין זה... אבל but אך but ואולם since וכיון ש since אכן ש since אחר היות (ב / ה / ... ב / שם), אחרי היות, אחרי היותם since להיות (ה) since, because אחרי, אחר ש, ואחרי ש, אחר אשר, מאחר ש, ומאחר שכן, כי אחר ש because זה היה ל because יען because כי, זה כי, וזה ש, והוא כי since עם היות ש since לפי ש since אחרי, אחר ש as if כאלו, הוא כאלו if אם, ואם, שאם whether… or בין אם... בין אם, בין אם... או אם... אז או ... או אם... או אם ... אם, אם... ואם even though ואם lest פן

living soul [Genesis 2, 7] נפש חיה going up and down [Genesis 28, 12] זה עולה וזה יוריד soul has longed for [Genesis 34, 8] נפשך חשקה ב, חשקה נפשם of beautiful form, and fair to look upon [Genesis 39, 6] יפה תאר ונחמד מראה when angry [Genesis 49, 6] באפם with their will they hamstrung a bull [Genesis 49, 6] וברצונם יעקרו שור gave them a rule [Exodus 15, 25] ישימו חוק his hands were in faith [Exodus 17, 12] והיו ידיו אמונה he has sinned and is guilty [Leviticus 5, 23] יחטא ואשם lie down, and none shall make you afraid [Leviticus 26, 6] זה ישכיב וזה יחריד He shall not alter it, nor change it [Leviticus 27, 10] לבל יחליף וימיר Are there few or many [Numbers 13, 18] אם מעטים ואם רבים remained alive of those men [Numbers 14, 38] מן האנשים חיו not of my own devising [Numbers 16, 28] כי לא מלבי our soul loathe [Numbers 21 5] קצה נפשם ב no way to turn either to the right or to the left [Numbers 22, 26]. ימין ושמאל אין לנטות between your eyes [Deuteronomy 6, 8] בין עיניך sufficient for his needs, which he is lacking [Deuteronomy 15, 8] מחסורך אשר יחסר לך sufficient for his need [Deuteronomy 15, 8] די מחסורו, די מחסורנו, די מחסורינו birthright entitlement [Deuteronomy 21, 17] כמשפט הבכורה shall be helpless [Deuteronomy 28, 32] אין לאל ידו whose heart turns away [Deuteronomy 29, 17] אשר לבו פונה to keep His commandments and His statutes and His ordinances [Deuteronomy 30, 16] מחזיק במצותיו ואל משפטיו וחקותיו crooked and twisted [Deuteronomy 32, 5] עקש ופתלתול controlled or strengthened [Deuteronomy 32, 36] עצורה ועזובה the rock in which they trusted [Deuteronomy 32, 37] צור בו חסיו The dwelling-place of God [Deuteronomy 33, 27] לאלוהי מעונה there stood not a man against them [Joshua 21, 42] ולא יעמוד איש בפניהן The wisest of her princesses answer her [Judges 5, 29] חוכמות שרותיה תענינה whosoever is fearful and trembling [Judges 7, 3] ירא וחרד the love of his soul [Samuel I 20, 17] אהבת נפש they quench my coal [Samuel II 14, 7] ומכבים אש גחלתי beans and lentils [Samuel II 17, 28] פולי' ועדשים I have kept the ways of the Lord [Samuel II 22, 22] שומר דרכי אל go here or there [Kings I, 2, 42] אנה ואנה as a reed is shaken in the water [Kings I 14, 15] כאשר בתוך המים ינוד הקנה

hopping between two ideas [Kings I 18, 21]	על שתי הסעיפים פוצח [פוסח]
as a lodge in a garden of cucumbers [Isaiah 1, 8]	וכמקשה המלונה
to increase to government [Isaiah 9, 6]	ארבה המשרה
as one who gathers ears of grain [Isaiah 17,5]	כמקלט שבלים
berries at the top of the uppermost bough [Isaiah 17, 6]	גרגרים מראש אמיר
two or three berries [Isaiah 17, 6]	ב' ג' גרגרים
thrust in a sure place [Isaiah 22, 25]	תקוע במקום נאמן
as with the buyer, so with the seller [Isaiah 24, 2]	כמוכרים כקונים
fierce people [Isaiah 33, 19]	עם נועז
tent that shall not fall, whose pegs shall never be moved [Isaiah 33, 20]	אהל בל יצען בל יסע יתדותיו
by them, they shall live, and altogether therein is the life of my spirit [Isaiah 38, 16]	עליהם יחיו ולכל בהם חיי רוח
Since thou art precious in My eyes and honorable and I loved thee [Isaiah 43, 4]	מאשר יקרת בעיני נכבדת ואני אהבתיך
Let them present their witnesses, and they shall be deemed just [Isaiah 43, 9]	יתנו עידיהם ואותי יצדיקו
let them hear, and say "it is true" [Isaiah 43, 9]	ישמיעו ויאמרו אמת
I am bereaved and solitary, exiled and rejected [Isaiah 49, 21]	סורה וגזלה גלמודה ושכולה
ear to hear according to the teachings [Isaiah 50, 4]	אזן לשמוע כלימודים
justify the righteous [Isaiah 53, 11]	צדק תצדיק
with transgressors he was counted [Isaiah 53, 12]	ואת פושעים לא מנה
choose what I desire [Isaiah 56, 4]	בחרו באשר חפצו
remove the obstacles [Isaiah 57, 14]	להרים מכשול
foolish, they know Me not [Jeremiah 4, 22]	הסכלים אשר לא ידעו
How do you say, "We are wise" [Jeremiah 8, 8]	ואם כה יאמרו חכמים
with a pen of iron, and with the point of a diamond [Jeremiah 17, 1]	בלוח ברזל בצפורן שמיר
the near and the far [Jeremiah 25, 26]	אם קרוב ואם רחוק
there is none that care for her [Jeremiah 30, 17]	דורש אין לה
the right of redemption [Jeremiah 32, 7]	משפט הגאולה
become a derision [Jeremiah 48, 39]	יהיה להם לשחוק
each one would go [Ezekiel 1, 9/12]	ילכו איש אל
and shall be as though they had not been [Obadiah 1, 16]	והיו כלא היו
his soul is not upright [Habakkuk 2, 4]	לא ישרה נפשך
as the apple of the eye [Psalms 17, 8]	בבבת עין ואישון
they open their lips, they shake their head [Psalms 22, 8]	יניע בראש ובשפה יפטיר
despised by the people [Psalms 22, 7]	בזוי עם
The Lord helped them [Psalms 37, 40]	יעזרם אלהים
their health is sound [Psalms 73, 4]	ובריא אולם
He humbles this one and elevates that one [Psalms 75, 8]	זה ישפיל וזה ירים
after the stubbornness of their heart, they might walk in their own counsels [Psalms 81, 13]	ועריהן יגזור לבם בשרירות
the work of our hands establish it [Psalms 90, 17]	ומעשה ידיהו כוננה
their help and their shield [Psalms 115, 9]	עזרם ומגינם
laud Him, all peoples [Psalms 117, 1]	ישבחוהו לאומים
thousands and ten thousands [Psalms 144, 13]	מאליפות מרובבות
his hope is in the Lord [Psalms 146 5]	ואשר על יי שברו
His wisdom is beyond reckoning [Psalms 147, 5]	ובתבונתם אין מספר
When it is still in its greenness, it will not be plucked [Job 8, 12]	לא נקטף עודנו באבו
the tents prosper [Job 12, 6]	אהלים ישליו
hint [Job 15, 12]	רזום ירמזון
breach upon breach [Job 16, 14]	פרץ על פני פרץ
For the years that are few will come [Job 16, 22]	שנות מספר יאתיו
When his desire has been filled sufficiently [Job 20, 22]	למלאת ספקו
is hidden from the eyes of all living [Job 28, 21]	נעלמה מעיני כל חי
who is a teacher like Him [Job, 36, 22]	ומי כמוהו מונה
bars and doors [Job 38, 10]	בריח ודלתים
He imparted to her understanding [Job 39, 17]	וחלק לו בבינה
Its ways are ways of pleasantness [Proverbs 3, 17]	דרכיה דרכי נועם
those who hold it fast are happy [Proverbs 3, 18]	ותומכם מאושר
He winks with his eyes, scraps with his feet and points with his fingers [Proverbs 6, 13]	קורץ בעיניו מולל ברגליו מורה באצבעותיו
of great understanding, but he who is quick-tempered [Proverbs 14, 29]	מקוצר רוח ותבונה
a high wall [Proverbs 18, 11]	חומה נשגבה
trustworthy man [Proverbs 28, 20]	איש אמונה
removes falsehood and the lying word [Proverbs 30, 8]	מרחקת שוא ודבר כזב
Many women have done valiantly [Proverbs 31, 29]	רבות בנות עשו חיל
built as a model [Song of Songs 4, 4]	בנוי לתלפיות
honey and milk are under thy tongue [Song of Songs 4, 11]	תחת לשונה דבש וחלב
That which is crooked cannot be straightened and that which is missing [Ecclesiastes 1, 15]	מעוות לא תוכל לתקן וחסרון
increase vanity [Ecclesiastes 6, 11]	הבל מרבים
For it is not out of wisdom that you have asked concerning this [Ecclesiastes 7, 10]	כי לא מחכמה שאל על זאת
for God made man straight, but they sought many intrigues [Ecclesiastes 7, 29]	והאלהים עשה אותם ישר והמה בקשו חשבונות רבים
advantage to one who has a tongue [Ecclesiastes 10, 11]	יתרון לבעל הלשון
which will succeed [Ecclesiastes 11, 6]	אי זה יכשר
childhood and youth [Ecclesiastes 11, 10]	ילדות ושחרות
listened and sought out [Ecclesiastes 12, 9]	אזון וחקור
knowledge and understanding [Daniel 1, 17]	במדע ובהשכל
when the transgressors have been destroyed [Daniel 8, 23]	להיתם פשע
to purify, and whiten [Daniel 11, 35]	יתברר ויתלבן, מבררים ומלבנים
weakened the hands [Ezra 4, 4]	מרפים ידי
Kohen who raises his hands [Mishnah, Berakhot 5:4]	כהן הנושא כפיו
regard himself [Mishnah, Pesachim 10]	ובראות עצמו
understand foreign languages, in that foreign language [Mishnah, Megillah 2]	ללעוזות בלעז
has not seen the luminaries in his life [Mishnah, Megillah 4]	ומימיו לא ראה מאורות
build him a house [Mishnah, Bava Metzia 8:9]	להעמיד הבית
the time has come [Mishnah, Tamid 1]	הגיע עת
a single handful does not satisfy a lion [Talmud Bavli, Berakhot, 3, 2]	אין הקומץ משביע את הארי
True and Trustworthy [Talmud, Berakhot 12a, 23]	אמת ואמונה
these and those agree [Talmud, Berakhot 36a]	אלו ואלו מודים
do not accept authority [Talmud, Berakhot 48a]	בלתי מקבלים מרות
that which is earlier is earlier, and that which is later is later [Talmud, Pesachim 6b]	להקדים את המוקדם ולאחר את המאוחר
the work of Heaven [Talmud, taanit 23a:3]	למלאכת השמים
for the sake of Heaven [Talmud, Taanit 24a]	לשום שמים
chops down the saplings [Talmud, Chagigah 15a]	מקצץ בנטיעות
standing that includes no reverence [Talmud, Kiddushin 32b]	קימה שאין בה הדור
to include Torah scholars [Talmud, Kiddushin 57a]	את לרבות תלמידי חכמים
imparted flavor derived from imparted flavor [Talmud, Chulin 111b]	בר נותן טעם
thanking and praising [Talmud, Niddah 31a]	מודה ומשבח
to prohibit or to permit [Jerusalem Talmud, Ketubot 11a]	פעם לאסור ופעם להתיר
even though there is no explicit proof for this matter [Tosefta, Berakhot 1]	ואם אין ראיה לדבר זכר לדבר
her daughter and her sister [Tosefta, Yevamot 4, 5]	בתה ואחותה
house be wide open [Pirkei Avot 1]	בית פתוח לרוחה
Some ascended and some descended [Pirke de Rabbi Eliezer 35]	אלו יורדים ואלו עולים
Love upsets the natural order [Bereishit Rabbah 55]	אהבה מקלקלת את השורה
finger joints [Bamidbar Rabbah 11]	וקשרי אצבעות
as a pupil before his master [Bamidbar Rabbah 20]	כתלמיד לפני רבו
vessels of belief [Devarim Rabbah 8]	כלי אומנותה
tithing by guesswork [Pirkei Avot 1:16]	לעשר אומדות
to clarify the uncertain [Sefer ha-Mitzvot l'Rasag, Positive Commandments 97, 15]	לברר את המסופק
Whosoever wants it may come [Mishneh Torah, Torah Study 3]	ויבא מי שירצה
says: no, when it is no, and yea, when it is yea [Mishnah Torah, Human Dispositions 5]	אומרת על הן הן ועל לאו לאו
the pillars having been erected [Mishnah Torah, Tefillin Mezuzah and Torah Scroll 6]	ולהעמיד עמודים
change their appointed charge [Mishneh Torah, Blessing 10]	וישנו את תפקידם
to build foundations [Mishneh Torah, Sabbath 1, 18]	לבנות יסודות
the law requires that [Mishneh Torah, Divorce 2]	היה הדין נותן ש
all kinds of seeds [Mishneh Torah, Diverse Species 1, 8]	וכל מיני זרעונים
known and heralded [Mishneh Torah, Repentance 4]	ידועים ומפורסמים
drachmas or zuzim [Maimonides on Mishnah Peah 8:5]	זוזים ודרכמונים
defective comprehension [Maimonides, Guide for the Perplexed, 1, 36, 5]	קוצר השגתי
necessary or impossible [Maimonides, Guide for the Perplexed, 2, 14, 5]	ולמחוייב ולנמנע
pin upon which everything hangs [Maimonides, Guide for the Perplexed, 3, intro. 4]	יתד שהכל תלוי בו
that relation between you and Him [Maimonides, Guide for the Perplexed, 3, 51, 6]	היחס אשר בינו לבינה
set us apart from those who go astray [Siddur Sefarad, Ashrei]	הבדילו מן התועים
delightful sapling [Siddur, Purim, Shabbat Zachor 56]	נטע נעמן
How many degrees of good [Pesach Haggadah, Magid, Dayenu]	כמה מעלות טובות
to render halachic decisions [Sefer ha-Midot, Codifiers of the Law]	ולהורות הוראות
to show strength [Ibn Ezra on Genesis 10:8]	להראות גבורות
lying in an out of the way corner [Rabbeinu Bahya, Devarim 33:4]	מונח בקרן זוית
ruling, self-glorification [Duties of the Heart, Sixth Treatise on Submission 10]	השררה והגדולה
left no manner of doubt [Sefer Kuzari 2]	והניח את הספק
with the help of the One who dwells in the [heavenly] abodes [Ralbag on Chronicles II 36:22]	בעזרת שוכן מעונים
It is whole and complete	תם ונשלם
Glory to God, the Creator of the world	ת"ל בורא עולם
Knower of the truth	יודע האמת
Knower of the hidden	יודע הנסתרות
prayer leader	ש'צ'
	ב"ה י"ת
	יעקב בן החכם ר' יצחק קנפנטון, ר' יעקב קפנתון ז"ל
	ר' יואל ן' דאוד
	אוקלידס

Appendix: Bibliography

Jacob Canpanṭon
Castile, Spain, ca. 1430
Bar Noten Ta‛am
Manuscripts:

• London, British Library Or. 1053 (IMHM: f 5932), ff. 1r-65r (cat. Margo. 1012, 1) (15th century)
  

Bar noten ṭa῾am (בר נותן טעם)

Bibliography:

• Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, p. 186 (g99); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.