Arithmetic Textbook by R. Aharon ben Isaac

Table of Contents

‫[...] שער ‫[...] ‫[הכלל] הראשון [...] השני בדרכי [...] בדרכי הערכים [...] מכפל וחילוק וחיבור [...] בשברים וכן במורכבים ‫[הכלל השני] בשאלות שלמים ושברים ומורכבים הכלל השלשי בערכים משלמים ושברים ומורכבי' וכל כלל מחולק לשערים ולפרקים

בצורות המספר והגדת המעלות   ב ג ד פרק ראשון בחיבור וב' משלים מחיבור הפרק ה ו ז ראובן חייב תפ"ד ושפ"ט     ומשל אחד 0ח0ב עוד ג' אלפים ס' עו' ד' אלפים ס‫'     משל אחר רמ"ח כורי חיטה עם תשע"ב     והישרה להרגיל לצורך הכפל והחילוק וגדר המספר ושהאחד הוא בין השלם והשבר     ולוח הרגיל המספר     כפל מרובע וכל תמונותיו הפרק השני בכפל שלמים ח ט המשל מרובע אורכו כרוחבו י"ב ואחר ואחר ואחרים   י בניין כותלים ומגדלים בינין כותלים יא יב ובניין ידיעת צירוף האותות     [..] הקבלה והלוחות     כפל צורה מרובעת דרך יג יד שלישי במגרעת השלמים ומשלים ופרק   בחילוק השלמים ומשלים פרק יד טו יו יז יח ושאלה ראובן קנה כ"ד אמות בגד כחק צ"ו פרטים שאלתי סך כל אמה     והבחינה ואחר מזמן מעיבור     ‫[...]   ‫[דף] יח ‫[...] פרק ‫[דף] יט משל ‫[...]   דף כ מאזני הכפל וה‫[...]   דף כא פרק ראשון בהקדמה והדבור [...] ופיאות האחד וצורה לשלמים ולשברים השער השני דף כא כב כג לוח לקצר השברים ולערכים ולידיעת המורה הכולל ומתחלפי המורים על ד' דרכים ועוד ד' דרכים אחרים סדר לכל אחד   דף כד כה כו בקיצור המורה ולוח ומשלים   דף כז סדר שלשי בקיצור המורה ומשל וצורה וקיצור השברי ואב המורים   דף כח כט מהנעשה מהנשאר בחלוקה והשואת השברים   דף ל דרך שני בהשואת השברים ומשלים   דף לא לב בכפל השברים פרק דף לד דרך ראשון כולל בכפל השברים ומשלים ודרך שני   דף לה עייון ומשל ופרק במגרעת השברים והדרך הראשון פרק מגרעת דף לו דף לז לח לט מגרעת צורות ומשלים ודרך שני     חילוק שברים ומשלים פרק חילוק דף מ מא פרק א חיבור שלמים ושברים ומשלים השער ג דף מב לחבר שלמים ושברי שלמים ומשלים   דף מג חיבור שלמים ושברים מדברים מתחלפים   דף מד דף מה ליטרין כיכרים כורין שנים מזלות וחלקים עיבוריין     ‫[...] ג' רביעיות [...] ג' שלמים וג' רביעיות [...] י"ב די' וד' פשי' ב' דרכים [...] לסך ה' ליטרין [...] פשיטי' [...] ענבים לסך ח' די' וט' פשי' [...] עלו ק"כ וג' פשי' על י"ד     כפל שלמים ושברי שברים על שלמים ושברים   ‫[דף] מ"ט נ"ח שלמים וד' ששיות מד' חמשיות על מ"ד שלמים וג' חמשיות     אחר ז' שלמים על ג' רביעיות מד' שלמים     אחר שלמים ושברי שלמים על שלמים ושברי שלמים     כמו י"ג שלמים וב' חמשיות מי"ב שלמים על כ"ב שלמים וב' שלישיות מט' שלמים     לכפול שלמים ושברי שברי שלמים ע שלמים ושברי שברי שלמים   דף נ כמו ב' שלמים וחצי שלשית י"א על עצמו     עוד שלמים על שלמים ושברים     כמו ד' שלמים על ה שלמים וג רביעיות       הפרק הג' במגרעת המורכבי‫'   רט"ו שנים וקנ"ג ימים כ"א שעו' וכו' והצורה לגרוע דף נא עוד לגרע שלמים ושברים משלמים ושברים     כמו י"ד שלמים וח' שברים מא מי"א בשלם מכ"ד שלמים וט' שברים מי"ג בשלם והצורה ודרך אחרת     לגרוע קס"ה ליטרי' ממון ועשרה ד' וט' פשיט ומחצה ורביע מרפ"ז ליטרי‫' לגרוע דברים מתחלפים דף נב והצורה לגרוע ח' מזלות י"ז מעלו' מ"ב די' וכו' מב' מזלות ואחר והצורות     ‫[...] תתקע"ו [...]   ‫[דף] נג אחר לגרוע שלמים [...] כמו קי"א שלמים שלמים [...] תשעיות שרצינו לגרוע מקמ"ד תשיעיות עשרית מד' שלמים     והצורה מהעבר   דף נד בחילוק שלמים ושברים על שלמים ושברים הפרק בחילוק מורכב דף נה רצינו לחלק כ"ב ליטרי' ועשרה די' ושצ"ו פשי' על ששה     משל אחר לחלק שלמים על שברים     כמו כ"ה שלמים על ג' חמשיות והצורה     אחר ג' שלמים וג' רביעיות על ב' שלישים     משל אחר רצינו לחלק מ"ט שלמים וה' ששיות על ג' רביעי ששית מ"ב חמשיות והצורה     לחלק שלמים ושברי שלמים על שברי שלמים   דף נו כמו ק"ח שלמים וד' תשיעיות מי"ח שלמים על ג' שביעיות ח' שלמים והצורה     משלים ובחינה ודרך אחרת   דף נז פרק במאזני השברים משל במאזני החיבור   דף נח משל במאזני הכפל משברים   דף נט משל במאזני המגרעת     משל במאזני החילוק     הפרק הראשון חלוקתו לד' מינים והקדמה בראשונה השער המורכב   ‫[...] והמשל [...] וקכ"ד והצורה [...] והצורה ‫[...]     ‫[בהו]צאת השרשים‫ [המין השני]‫ ‫[...] שורש מעוקב והצורה   דף סד בידיעת שורש מן המספר שאין להם שורש אמתי המין השלישי דף סה מחולק זה המין בשני סדרים     והסדר הראשון בשני דרכים   דף סו משל שורש ה' ומשל מי"א     והדרך השני ומשל שורש ח' ומשל שורש ל"ב     והסדר השני לדקדק השורש     בידיעת שורש השברים ומשלים המין הרביעי דף סז בידיעת חשבונות נמשכים ובו ג' חלקים פרק שני דף סח הראשון מדבר בסגולת האחד     החלק השני מדבר בשטחים     במספרים נמשכים ובו דרכים ומשלים   דף סט לוחות ערכים והדרך הרביעי ומשלים   דף ע החלק השלישי מי שלקח ממעוקב חצי צלעו מעוקב הוא לקח שמינית המעוקב   דף עא משל אחר מי שלקח שלישית הצלע מעוקב לקח חלק מכ"ז עוד לחלק אבן לשקול בו וכו‫'     בדרכי השאלות הכלל השני דף עב שער בשאלות חיבור וחלקתו ל פרקים     שער בש[א]לות כפל חילקתיו ל פרק     שער ג' בשאלות גירעון חילקתיו ל פרק     שער ד' בשאלות חילוק חלקתיו ל פר[ק]ים     שער ה' בשאלות מעורבות חלקתיו ל פרקין     הערה לדרך השלשה וחלוקתה לג' מנהגים ומשלים     ‫[...] מנהג שלישי [דף] עג קנה ‫[...] ראובן   קנה כור חיטה [...] בשני פשי' שאלתי [...] כמה אוקיות יתן ב ‫[...] ראובן   עו' אם ד' פשיטי סרגוסה שוים ה' פשיטי ברצילונה וכו‫'     ולוח השלושה מנהגים מדרך השלישת ודרך שלישי     ופרק בהקדמות הראיות     משלי ארבעה מספרים מתיחסים   דף עד המשל מהו המספר אשר חציו ושלישיתו יהיה ששה הדרך השני מונח כוזיב דף עה המשל מהו המספר אשר חציו ושלישיתו יהיה ששית הדרך השלישי ב' מונחי כוזבים דף עה צורת ב' מונחים כוזבים   דף עו הדרך הרביעי' שהוא דרך יחידי הדרך הרביעי   משל ג' תלמידים קנו ספר בסך כ"ד די' ולא ידענו מה שפרע כל אחד אבל ידענו כי השני פרע כפל הראשון ועוד ג' והשלישי פרע ג' כפלי השני פחות ז' שאלתי כמה פרע כל אחד התשובה והצורה     צורת השאלה שעברה   דף עז משל ג' גביעים אשר סך כולם פ"ה פרחים ומשקלם פ"ה אוקיות ולא ידענו סך הראשונה אבל ידענו כי סך השנית ג' כפלי הראשונה ועוד ה' וסך השלישית ד' כפלי השנית פחות ז' התשובה והצורה ואחר מסדרה

‫[...] וכו' שאלתי [...] הבית אנשים ונשים [...] לכל איש כ' פשי ולכל אשה [...] כמה אנשים הם וכמה נשים ‫[...] ‫[...] ‫[...] אחד חלק לי [..] על אנשים ונשים ונערים לכל איש [..] פשיט ולכל אשה פשוט ולכל נער מחצה שאלתי כמה אנשים וכמה נערים משל     המספר אשר תחבר עליו חציו וחמשיתו ושביעיתו זה על זה לא יהיה אלא שנים מהו פרק שאלות חיבור שלמים דף עט המספר אשר תחבר עליו שלשיתו ועל העולה ב' חמשיות מן העולה ועל העולה ג' חמשיות רביעיות מכל העולה ושיהיו י"ג מהו     המספר שנחבר עליו חצי שלישית רביעיתו ושלישית רביעית חמשיתו ורבעית חמשית ששיתו ושלא יהיה אלא אחד מהו     המספר אשר חיברנו עליו חצי חציו ושלשית ושלישית שלישיתו ורביעית רביעיתו ולא יהיה אלא ז‫' מהו     עשו חברה ראובן נתן ז' די' ושמעון י"א והרויחו ג' שאלתי כיצד יחלקו והצורה ראובן ושמעון חברה דף פ עשו חברה ראובן נתן כ"ט ליטרי ושמעון כ"ה ולוי י"א והרויחו י"ג ליטרי כיצד יחלוק והצורה ראובן שמעו לוי חברה   עשו חברה ראובן נתן ג' די' ביום ראש השנה ושמעון נתן ה' די' ביום ראשון לחודש אדר ושהו בחברה עד ראש השנה הבאה והרויח ד' די שאלתי הראוי לכל אחד והצורה ר"ש חברה דף פא עשו חברה ראובן נתן ג' די' ושהה ד' חדשים ושמעון ד' די' ושהה ה' חדשים ולוי ה' די ושהה ו' חדשים והרויח ששה די' שאלתי כיצד יחלוקו רש"ל חברה דף פב והצורה       ‫[...]   ראובן שמעון לוי דף פג נתן [...] כלוי ועוד [...] העולה ועוד ג' [...] ורביעית העולה ועוד ד‫' ‫[...] ושמון     נתן כראובן ושמעון ושלישית העולה [...] ימים ולוי     ועם זה הממון ושהיתם בחברה הרויחו ז' ליטרין שאלתי כיצד יחלוקו והצורה       יהיה יכול הערה ואם הערה   לקצר ומשל ודרך לקצר השאלות דף פד שלא נקצר כלל או שלא נוכל לקצר הא‫' פרק ששה מני הקיצור דף פד שנוכל לקצרו פעם או יותר הב‫'     קיצור הממון ולא הזמן הג‫'     קיצור הזמן ולא הממון הד‫'     קיצור הממון והזמן הה‫'     קיצור הכפלת הממון והזמן הו‫'     כל זה בחברות ובדרך השלושה       במין ראשון ראובן נתן ח די' ושמעון כ"ד והרויחו עשרה והצורה משל   דף פה במין השני שנוכל לקצר פעם או יותר הנה לראובן ח' ולשמעון כ"ד שנוכל לקצרם ג' פעמים וישובו לראובן א' ולשמון ג‫' משל     ‫[...] הזמן כמו [...] [ש]מון נתן י"ב [...] ישארו ד' [...] נקצר בחצי יהיו ב' [...] וכו‫' ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] בקיצור הזמן ולא הממון ‫[משל] ‫[המין הרביעי]   ראובן ח' ושהה ו' ושמעון י"ב ושהה י"ב יהיה לראובן ח"ג ולשמעון י"ב ב‫'       במין החמשי בקיצור הממון והזמן כמו שנתן ראובן ח' ושהה ו' ושמעון יב ושהה י"ב נקצר ממונם וזמנם יהיו לראובן ד' וג' ולשמעון ו' וו‫' משל המין החמשי   במין הששי בקיצור הנכפל מהממון והזמן כמו שנתן ראובן ח' ושהה ו' וכפלם מח ושמעו נתן יב ושהה יב וכפלם קמ"ד משל המין השישי   נקצרם בחיצי יהיה לראובן כ"ד ולשמעון ע"ב       עוד נקצרם יהיו י"ב לראובן ל"ו לשמעו‫'       עוד נקצרם יהיו ו' לראובן י"ח לשמעון       עו' נקצרם יהיו ג' לראובן ט' לשמעון       עו' נקצרם בשליש יהיו א' לראובן ג' לשמעון       נוכל לפסוק פסק ועיון לדרך ונאמר אם ג' שוה ט' ח' מה יהיה שוה נכפול ח' על ט' יעלו ע"ב נחלקם על ג' יעלו כ"ד [.] וכן יעלו אם נקצר בשלש ג' וט' שאז יהיו א' וג' ונאמר אם א' נתן ג' ח' מה יתן נכפול ח' על ג' יהיו כ"ד נחלקם על א' הם כ"ד כו‫' בזה הדרך הערה ועיון דף פו אחר אם ג' נתן ו' ט' מה יתן משל   דף פז אחר אם ג' נתן ג' ג' מה יתן משל     אחר אם ב' נתן ו' עשרה מה יתן משל     אחר אם ה' נתן ט"ו כ' מה יתן משל     והלוח       ‫[...] ‫[...] פרק בהשואת הממונות דף פז ‫[...] הדרך     בזה [....] ליטר ‫[...] המשל     אחרת נהפוך [...] לעליונה אם י"ו מסרגוסה שוה [...] מברצלונה ת"ת ליטרי סרגוסה כמה ליטרי ברצלונה יהיו שאלה     חייב לאחר ל"ו אשקודוש ורצה לפורעו בדוקאדוש וסך האשקודו י"ט די' וסך הדוקדו כ"ב שאלתי כמה דוקדוש יתן לו סוחר   דף פח חייב לאחד כ"ח דוקאדוש וי"א די' ורצה לפורעו באשקודוש והסך כ"ב וי"ט שאלתי כמה אשקודוש יש לו סוחר     אחר רצונו לעשות מפרחים די' או מדינר פרחים כמו כמה המשל שרצינו לעשות מרנ"ב די' פרחים והפרח שוה ט' די' וב' פשי‫' משל     אחר רצינו לעשות אלף הנה די' הכל פרחים והפרח שוה ט"ו די' וה' פשיט וגם נעשה מהדי' פרחים משל     אחר רצינו לכפול לעשות מנ' דינר' פרחים והפרח שוה י"ב די' ד' פשיט‫' משל     וכל אלה תוכל לעשות בדרך השלושה       למטבע זהב שהיה ביד סוחר ביד ד' אלפים תתק"ך די' הנה עתה אם רצה לעשות מהם פרחים וחלקם על י"ו יעלו ש"ו פרחים וי"ד וחצי ואם רצה דוקאדוש יחלקים על כ"ב ויעלו רכ"ג ואם רצה קשטיללי על כ"ח ואם רצה ליטר על כ' וכו‫' המשל להשיב מטבע אחת מטבע אחר דף צ ‫ [...] לעשותם [...] על י"ז ואם [...] ואם מקאשטיללה [...] על כ"ו וכן כל הדומה לזה [...] דנארוש [..] מלכים מבאלינסי' [...] מפרחים דיקאדש ‫[...] ‫[...] ‫[...] אם כ"ד פרחים שוים י"ו פאלומיטש רנ"א פרחים כמה פלומיטש יהיו שוים משל   דף צא אחר ת"ק ליטרי' כמה מלכים מואלינסה הם ובו ב' דרכים והמשל משל     להשיב רמ"ה קאשטיללנוש פרחים ואחר דוקאדוש ואחר אשקודוש משל     אחר להשיב רנ"ב קאשטיללנוש מזהב גואניש מכ"ו פשיטי גם מלכים מואלינסה לסך י"ח גם מברצלונה מי"ז גם קארליניש מי"ד וכו' והמשל משל         0 דף צב הסנשאל הוא בשני דרכים סגי סינשאל דף צב לדרך הראשון שהלוה ראובן אלף לסך ק' די' ומשל אחר מדרך השלושה והמשל הפרק דף צג אחר מדרך השלושה ומשל     לתת תת"ק די' לסך י"א אלפים ושיהיו בידו ע"ג ימים ומשל הדרך השני   לתת תשל"ב לזמן רצ"א לסך י"ט אלף וכו' ומשל אחר משל   דף צד אלף די' ושהו ע"ג ימים משל   דף צה די' ושהו ז' חדשים ואחר משל     אלף ושהו ח' חדשים וי"א ימים וט"ו שעות שאלה   דף צו הראשונה נכפול הקצוות ואמצעיות והם חמשה או ששה בחינות ובספר עוד לבדיקות הערה לבחינות   ‫[...] ‫[...] סינליש דף צז ‫[...] שאלה סינשאליש דף צח אחרת ‫[...] שאלה     הממון אשר ‫[...] מהו הפרק בשאלות חיבור שברים   הממון אשר חיברנו [...] רביעיתו ורביעית ‫[...] מהו     עשו חברה ראובן נתן חצי ליטרה ושמעון שלשית ליטרה והרויחו רביעית ליטרה כיצד יחלוקו ראובן ושמון חברה דף צט עשו חברה ראובן נתן ב' שלישית מד' חומשי ליטרה ושמעון נתן ושהה חמשית רביעית שנה ושמעון נתן חמשית מה' שלישיות ליטרה ושהה רביעית מב' שלשיות שנה והרויחו ג' חמשיות מב' שלישיות פרח שאלת חלק כל אחד ר"ש חברה   כל אילו השאלות בלי טורח להוציא   דף ק המספר אשר תחבר עליו שנים וב' שלישיות ויהיו י"א שאלה מהו הפרק הרביעי שאלות חיבור מורכבים   המספר אשר חציו ורביעיתו ושלישיתו פחות חמשה יהיו כ"ד מהו שאלה דף קא הממון אשר חיברנו עליו חצי רביעיתו ושלישית רביעיתו ורביעית רביעיתו ולא יהיה אלה שנים מהו שאלה   ד' שוה ג' ה' מה יהיה שוה אם השער הב' שאלות כפל   ה' פרחים שוה מ' מלכים ל"ט פרחים כמה יהיה שוה אם אחרת   נשכר עם בעל הבית לעשות מלכתו ונתן לו בד' חדשים ג' פרחים שאלתי אם ישב עמו ט' חדשים מה יתן לו אומן שאלה מזמן דף קב לטרה לבונה שוה ד' די' י"ט לטרי כמה יהיו שוים אם שאלה ממשקל   ד' אמות בגד שוה י"ו די' י"ג אמות מה יהיה שוה אם שאלה ממידה   המספר אשר כפלנו אותו על ל"ט והיוציא יהיה מ"ט מהו אחרת   ‫‫[...] יהיה ט"ו [...] והיוציא יהיה אחד [...] והיוציא [...] מגדלים וכו' והלוחות ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] מכל אילן ע"ב בדין ובכל בד [...] שוים פ' פשי' שאלתי סך התפוחים [...] כמה די' הם וכו‫' ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] יש לו גן [...] אשר בו ע"ז חורבות בכל חורבה י"א מערות בכל מערה ח' קני תרנגולין ובכל קן י"ז בצים אשר מכל ביצה תציא תרנגון אחד וכל תרנגול שוה ג' פש' שאלתי מספר כל דבר נפרט ‫[...] ‫[...] [...] האומר תרנגולת קניתי בס' פשי' ומכרסו הביצים מ' בפשוט ילדה ביצה אחד אחד מ' ימים שאלתי בכמה ימים ירויח סך התרנגול וכן     היה מס למלך ממעיין אחד יורד מהר אחד והוא המעיין משקו שלושים מדינות וכל מדינה יש לה מ' כפרים ובכל כפר נ' אנשים ולכל איש ד' כרמים וכל כרם יש לה ח' משאות ענבים וכל משא נותן מס למלך ב' פשיטין בכל שנה שאלתי מספר הכל בפרט הנה שאלה המעיין דף קה ב' שלישיות שוה ג' חמשיות שאלתי רביעית מה יהיה שוה אם הפרק השני בשאלות כפל שברים   קנה ב' שלשיות וג' רביעיות בגד ידענו אורכו בסך י"ג פרחים שאלתי סך כל הבגד ומדת אורכו סוחר שאלה דף קו ב' חמשיות מג' רביעיות שוה ג' שביעיות מה' ששיות שאלתי ד' חמשיות מז' שמיניות מה יהיה שוה אם     ג' חמשיות ליטרה מממון שוה חצי ושלשית וחמשית ושישית פרח ד' שביעיות מה' ששיות ליטרה כמה יהיה שוה אם     נשכר לעשות מלאכת שמעון ונתן לו בג' רביעיות שנה חצי מתשעית מג' שביעיות פרח שאלתי ברביעית מתשעית שנה מה [.] יתן לו ראובן   דף קז חצי שתי חמשיות מג' רביעיות אמה שוה ג' שביעיות מחצי ב' שלשיות פרח שאלתי חצי ושלישית וב' וב' שביעיות מזה הבגד כמה יהיה שוה אם שאלה ממדה   המספר אשר יהיו ב' שביעיות האחד בג' שמיניות השני מהו   דף קח המספר אשר ו' חלקים מי"א יהיה כ"ה שמיניות השני מהו שאלה אחרת   ‫‫[...] ‫[...] משלמי שברים דף קט רצינו ‫[...] שאלה שאלה   ד' חמשיות ‫[...] רצינו שאלה   כ"ד חלקים מי"ב ‫[...] רצינו שאלה   נ"ז חלקים מצ"א חלק ב‫[...] רצינו שאלה דף קי עשו חברה ראובן נתן חצי שלשית רביעית פרח ושמעון נתן רביעית ששית דוקדו ולוי נתן רביעית חצי שלישית קאטמלנו והרויחו ששית ורביעית שלישית פאלומיטה שאלתי חלק כל אחד רש"ל שאלה דף קיא לכפול ד' מעלות ו' דקים ח' שניי' וכו' על ה' מעלות ט"ו דקים וכו רצינו לכפול מעלות התכונה דף קיב‫' ג' ושלישית שוה ד' וחמשית ב' ושישית מה יהיה שוה אם הפרק הג' שאלות כפל מורכבים דף קיג ב' פרחים וב' שלישיות הרויחו ד' די' וג' רביעיות ה' פרחים וד' חמשיות כמה ירויחו אם   דף קיד המספר שאם כפלנו אותו על ט' וה' שביעיות שתציא ד' וג' חלקים חלקים מעשרה מהו שאלה דף קטו שארית חדש אחד הוא יום אחד וי"ב שעות תשצ"ג חלקים שאלתי שארית י"ב חדשים שהם שנה פשוטה אם שאלת זמן דף קיו שלשית ורביעית דבר אחד נתן ג' די' כל הדבר שהוא י"ב מה יהיה שוה אם שאלה   שלשית וחמשית דבר אחד שוה ד' די' שאירית הדבר מה יהיה שוה אם שאלה   ק' די' בשלש וחמשית חודש וט"ו שעות הרויחו ז' די' שאלתי כמה ירויחו בכל החדש אם שאלה דף קיז ק' די' בזמן חמשית וששית וי"ג שעות מחודש אחד הרויחו ט"ו די' שאלתי כמה ירויחו בנשאר אם שאלה   לכפול ד' חומשים על ששת שלמים רצינו שאלה   מספר שאם כפלנו אותו על ג' שלמים וב' חמשיות וגם היוציא כפלנו על ד' שלמים וג' רביעיות ובן הכל יהיה היוצא ד' שלמים רצינו שאלה   ‫‫[...] פרחים וב' שלישיות ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] וכפל ממונו והפסיד בכל [...] נשאר לו כלום ‫[...] ‫[...] ‫[...] המספר אשר גרענו ממנו שלישיתו ורביעית הנשאר וששית הנשאר וחמשית הנשאר וחצי הנשאר ושישאר נ‫' ‫[מהו] ‫[...] ‫[...] המספר המחובר עם המספר המונח וכו' והמשל רצינו לחבר מספר שאם נגרע חציו שישאר המונח מהו   דף קכא רצו לקות ספר ואמר ראובן לאחרים תנו לי חצי ממנכם ואני אקנה הספר ושמעון אמר תנו לי שלשית וכו‫' רשל"י שאלה דף קכב שאלתי מה ביד כל אחד וסך הספר   עוד אחרת מבגד   המספר אשר גרענו ממנו חמשיתו וישאר ג' רביעיות מהו פרק גרעון שברים דף קכג המספר אשר שלשיתו וב' חמשיות ושמניתו וישארו ששה מהו     מהפסד והוא דרך הרוח חברה פרק ג' גרעון מורכבי‫' דף קכד המספר אשר גרענו ממנו ג' שלמים וב' שלשיות וישארו ד' שלמים וד' חמשיות מהו   דף קכה המספר אשר גרענו ממנו שמונה וששה שביעיות ונשארו עשרה וחמשה ששיות מהו     המספר אשר גרענו ממנו חצי שלישית רביעית חמשיתו ושישאר שבעה מהו     המספר אשר גרענו ממנו רביעית חמשת ששית שביעיתו ושישאר י"א מהו     לי י"ז בשני חלקים אשר החלק הגדול יהיה ד' פעמים כקטן חלק שער ד' חילוק שאלות חילוק שלמים דף קכו לי י"א כשנחלקים שיהיה האחד גדול מהשני י"ח פעמי‫' חלק     לי קי"ט בשני חלקים שיהיה החלק האחד בד' חלקים לראשון ב' ולשני כראשון וחצי ולשלישי ב' פעמים כשני ושלשיתו ולרביעי כשלישי וד' שביעיותיו חלק     המספר הנחלק על י"א והיוציא יהיה ל"ט מהו   דף קכז המספר הנחלק על ד' והיוציא בחילוק תחלק על ג' והיוציא בחילוק תחלק על ב' והיוציא יהיה ז‫' מהו     ‫‫[...] ‫[...] ‫[...] דף קכז ‫[...] ‫[...] ‫[...] דף קכח לי [...] הגדול ‫[...] חלק     כ"ג פרחים ל[...] הרביעית חלק שלושה דרכים   החברות במשל הנזכ' והצורה בדרך הדרך השני דף קכט השלשה במשל הנז‫' בדרך הדרך השלישי   לי כ"ב ליטר ושלישית על שביעיות לטרה בשני חלקים שיהיה האחד גדול מן השני י"ג פעמים חלק פרק ג' חילוק מורכבי‫'   המספר הנחלק על י"ב וד' שביעיות שמנית ושיהיה היוציא בחילוק כ"ז וב' חמשיות מהו   דף קל שלמים על שברים כמו ד' שלמים על ב' חמשיות חלק שאלה דף קלא שלמים ושברים על שלמים ושברים כמו ה' שלמים וג' רביעיות על ג' שלמים וד' חמשיות חלק     שלמים ושברי שברים על דומהם כמו שרצינו לחלק ששה שלמים וב' שלשיות מג' רביעיות על ד' שלמים וד' חמשיות מב' שלשיות חלק שאלה   לשני מונחים הקדמה שער ה' שאלות מעורבות דף קלב קנה בגדים נעלמו מספרם אבל נדע כי בכל ד' בגדים פרע ט' פרחים והבגדים והפרחים היו כולם צ"ב שאלתי כמה בגדים קנה סוחר שאלה הפרק הראשון   קנה ג' חוטים בסך ק"ק פרחים נעלם סך כל אחד בפני עצמו אבל הוא יודע כי סך הסוס השני הוא כפל הראשון ועוד ד' וסך השלישי הוא ג' פעמים בשני פחות ז' שאלתי סך כל אחד בפני עצמו סוחר שאלה שנית דף קכג קנה שלשים כורי חיטה ושעורה בסך ת' די' החיטה לסך כ"א והשעורה לסך י"ג שאלתי כמה כורי חיטה וכמה כורי שעורה קנה סוחר שאלה   קנה כל כך בגדים נעלמו מספרם אבל הוא קנה אותם ג' בגדים בז' פרחים והוא ידע גם כן כי סך הבגדים והפרחים היו כולם קל"ו סוחר הערה שאלה דף קלד ‫‫[...] ב ראובן לכו [...] ד' שנים [...] אלא ט"ו ולא שהה [...] כ"ד ליטרי ולא נתן אלא [...] והרויחו שלושים ליטרה שאלתי ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] ראובן נתן ל' ליטרי ממון ושמעון כ' כורי חיטה [...] סך החיטה והרויחו י"א ליטרה ומזה הריוח ראוי [...] למי שנתן החיטה ד' ליטרי שאלתי סך כורי החיטה ‫[...] ‫[...] ‫[...] עשו חברה ראובן נתן כ"ה ליטרי ממון ושמעון בגד נעלם הסך ולוי כ' פרחים נעלמו הסכום ויהודה גביע כסף נעלם הסך והרויחו י"ד ליטרין ונפל לראובן שנתן כ"ה ליטרי ה' ליטרין ולשמעון ד' ליטרין וללוי ג' ליטרי מב' פרחים וליהודה ב' ליטרי' מן הגביע שאלתי סך הבגד וסך הג' פרחים וסך הגביע רשל"י ‫[...] ‫[...] לפסוק פסק לאנשים מה כפי מה שיש להם מן הממון הנה הדרך הוא בדרך החברות וכו‫' רצינו שאלה   עשו חברה ראובן נתן והסכמו שיתן ראובן ז' פרחים ושמעון י"ז ולוי י"ג ושימשך החברה שתי שנים והנה ראובן לא נתן אלה ה' פרחים גם שמעון לא נתן אלא ז' ולוי לא נתן אלא נ"א וגם בזמן לא שהו המותנה ביניהם אלא ראובן ששהה ב' שנים ושמעון שנה ושליש ולוי שנה אחת והרויחו עשרה פרחים שאלתי כיצד יחלוק רש"ל שאלה   עשה צואה והניח ק"ך פרחים לשלושה בנים ואמר תנו לגדול חצי הממון ולשני שלישית ולשלשי רביעית שאלתי סך כל אחד ראובן שאלה דף קלח רע עשה צוואה מרע"ג פרחיה ואמר הנה אשתי מעוברת אם תלד נקבה תנו לאשתי כפל הנקבה ואם זכר תנו לו כפל אשתי והנה ילדה זכר ונקבה שאלתי כיצד יחלוקו שכיב שאלה   לדעת הנשאר בחלוקה והיה זה על משל אחד שהוא אם ב' דוקאדש כ"ג חדשים הרויחו ד' די' ה' דוקדוש בב' חדשים כמה די' ירויחו נרצה     ‫‫[...] ‫[...] ‫[...] דף קלט ‫[...] בכל יום [...] לכל אחד מן [...] בי"ג יום ‫[הנה] שאלה   אמר ליוסף בנו אני אתן לך ת"ק די' [...] ז' שנים ושתתן לי הריוח יעקוב שאלה   מברוסה חייב לאחר ברסילונה כו‫' אחד שאלה   חייב לשמעון כ"ה [...] ורוצה לפורעו בפרחים ראובן שאלה דף קמ קנה בגד לעשות לבוש אשר רוחבו ז' זרתות ורצה לכפלו עם בגד אשר רוחבו ג' זרתות כמה יקח מהם ראובן שאלה   ב' פרחים בג' חדשים הרויח ד' די' ג' פרחים בח' חדשי‫' אם שאלה   ו' שקודוש בד' חדשי' הרויחו ג' די' ז' אשקוד' באי זמן וכו‫' אם מנהג שלישי דף קמא בגד אחד שוה ט' דוקאדי וב' אמות שוים י"ב די' וכו‫' אם     ד' אמות שוה נ"ב די' וס' הם ג' ליטרי שאלתי ה' אמות אם     סוחר קנה בגד בסך ט"ו די' והג' אמות שוה ג' די' וכו‫' אם אחרת מידה משקל   כור חיטה בסך י"ח די' ונתן י"ד אוקיות לחם עלה הכור כ"ה די‫' אם     י"ז פרחים הב' חדשים הרויחו ב' פרחים כ"ד פרחים בכמה וכו‫' אם   דף קמב כור חיטה וכו‫'       כור חיטה וכו‫'       משא ענבים       כור חיטה       משא ענבים       ד' פשיטי סרגוסה שוים ה' פשיטי ברצלונה וג' פשיטי‫' אם פרק שני שאלות תחבוליות דף קמב אחד היה מלחמה ויסגרו המבצר בעיר וכולם נ"ה אנשים ח' יהודים י"ג [.] גוים כ"א ישמעאל י"ג כושיים וכו‫' בעיר   דף קמד   הצורה   דף קמה היו בידנו עגולות במספר מה ונרשום במקום רמוז לכולם היו שם כוכבים כוכב בכל עגולה והלך כל כוכב בימים מתחלפים שאלתי בכמה מן הזמן ישובו כולם להדבק כבראשונה הנה   דף קמו ‫‫[...] שיקח [...] היה אותו [...] כולו מעוקב [...] מעוקב ה' אורך וה' [...] כמה בתים מאלו אשר [...] ראשון ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] אמות ואחר אלכסונו ד' הנה יהיה הגדול [...] הקטן ח' פעמים ‫[...] ‫[...] ‫[...] הלך לבית הרחים מהלך ג' פרסאות עם י"ב שקים מלאים חיטה בעגלה וכל כך היו מלאים שלא יוכל לקשור אותם ומצא בו כלי הטחינה רקים מוכנים ונתן כל החיטה בכלים והניח שם כל השקים רקים וגנבו מהם חמשה או ששה שאלתי כיצד יביא כל הקמח בשקים הנשארים ראובן [...] [...]     והערה   היה בידינו אבן משקלת מ' ליטרי' ונפל ונעשה ג' חלקים כמה משכל כל חלק שנוכל לשקול מליטרה אחת עד מ' ליטרין הנה שאלה   עשה צוואה ורצה שלא יודע ממונו ואמר ממון יש לי בבית ובנים ורציתי ברצון עמי שתתנו לבני הגדול פרח אחד ועשרית הנשאר ולשני ב' פרחים ועשרית הנשאר ולשלישי ג' פרחים ועשרית הנשאר וכן בסדר זה רצינו לדעת הממון והבנים אדם שאלה דף קמז קמח עשה צוואה ואמר ממון ובנים יש לי במדינת פלונית רציתי שתתנו לבני הקטן ג' כפולות וחמשית הנשאר ולשני ו' וחמשית הנשאר ולשלשי ט' וחמשית הנשאר וכן בזה ההמשכה ראובן אחרת   אמר לעבדו שיוצא תפוח מן הגן והשוערים אמרו לו השוער הראשון תוציא כל כך שתתן לי חציים וחצי אחד וכן אמר השני שאלתי כמה תפוחים לקח שיתן לשוערים ושישאר אחד למלך ואחריה ולוח בדף קמט מלך שאלה   ‫‫[...] ‫[...] ‫[...] דף קן קנה [...] ה' אמות שאלתי ‫[...] אדם שאלה   חמשיתו בקרקע ‫[...] אילן     לדעת לחבר י"ו מרקוש וה' אונסאש [...] גראנוש וה' פוליטאש עם [..] מרקוש וטעית ולך לספר והלוחות רצינו פרק בתערובת המטבעות דף קנא לגרוע כ"ד מרקוש וכו‫' רצינו   דף קנב מרקוש מכסף ג' אווסאש ט"ו דינש כל זה ממש קל לסך ח' דינש מדת [.] בכל מרקו שאלתי כמה נקי יש בכולו ט‫' שאלה דף קנג מרקוש ו' אונס ז' דיניש ח' גראנוש כל זה ממשקל לסך ה' דינש ט' גראנוש מדת כמה נקי יש כנשאל ה‫' שאלה דף קנד המתכת יתחלף בעשרה מיני או ענפים כמו שתראה בצורה אשר הענף ראשון הוא כסף נקי ורצה לערבו עם נחושת הנה הסדר השני   שני כסף נקי להורידו עם תערובת ז' דינש מדת ענף   דף קנה קנז שלשי נחושת נקי להטיכו עם כסף ענף     רביעי נחושת להטיכו עם תערובת לסך י"א מדת ענף   דף קנח חמשי תערובת מדת ז' ולהטיכו עד עשרה ענף     ששי תערובת מד' מדת להטיכו מלעלותו עד ז' מדת ענף   דף קנט שביעי תערובת מז' ולהטיכו עם חסרון חסרון הנחושת ענף     שמיני תערובת מעשרה ולהורידו עד דת ז‫' ענף     תשיעי תערובת מי"א ורצה להורידו עם תערובת אחר ענף   דף קס ענף עשירי תערובת להורידו בחסרון מכספו ענף     השלשי חלוקת תערובת הזהב כ"ד קירטיש היה בידינו י"ב מרקוש זהב לסך י"ד קיראטיש וכו‫' הסדר סדר שלישי תערובה הזהב דף קסא שני ביד צורף גביע זהב וכו‫' משל   דף קסב אחר ועוד משלים רבים אין צורך לכוכבם בכן ומשל   דף קסג ‫‫[...] במוגשם [...] וכתיבה כקול האדם [...] וכתיבה כרעם והכאת [...] כקול כינור [...] שאין בו הבנה ויש בו כתיבה כקול [...] חיים ‫[...] ‫[...] ‫[...] ‫[...] כולל ערכים רבים עם כתר לדעת עמו ערכים מת[ח]לפים ‫[...] ‫[...] ‫[...] ערך מן הקטן לגדול ודומה לשברים והם ה‫' חלוקת הערכים ‫[...] ‫[...] וערך מן הגדול לקטן ודומה לשלמים והם חמשה       שלישי הוא ערך שוה וממנו יצאו ערכים מתחלפים צורת הלוח ערך     אחר כמו ב' משולשים ובאמצע ד' שורות לוח     הה' סוגים אשר הם מן הקטן לגדול ושמותהם בלשון יון ביאור   דף קסו הערה והלוחות עד דף קע"ב       תחתיו מוכפלת הראשונה ערך א‫' חמשה סוגים דף קסז תחתיו פעם וחלק השנית     תחתיו פעם וחלקים השלישית     תחתיו מוכפלת וחלק הרביעית   דף קסח תחתיו מוכפלת וחלקים החמשית     הראשון מוכפלת הערך ערך שני חמשה סוגים דף קסט השני פעם וחלק הערך     השלישי פעם וחלקים הערך     הרביעי מוכפלת וחלק הערך   דף קע החמשי מוכפלת וחלקים הערך   דף קעא לוחות ערכים עוד   קעב ראשון קצת תוארי המספר השוה ולוח אחר פרק שער ג' ערך שוה קעג ערך שוה וה' לוחות ערכים   קעד הערכים לשוה והוצאת הערכים מן השוה ומשלים להשיב   קעה ב' מספרים שיהיו פעם וחלק רצינו   קע"ו הסוג הרביעי ולוחות להוציא     הסוג החמשי להוציא     ערך סוג מה ולוח משולשי ואחר להוציא   קעז שני בידעת שלשה מיני הזוג אשר המין הראשון הוא זוג הזוג והמין השני זוג הנפרד והמין השלישי זוג הזוג והנפרד ופרק     ‫‫[...] נאהב [...] עשרה [...] והנפרד [...] ה[...] נאהב ה[...] ‫[...] ‫[...] דף קעח השליש ותולדתו והצורות ‫[...] המין הפרק הג‫' דף קעט הרכבת ערכים עם צורה והמין החמשי ידיעת   דף קף לוח בידיעת הבודדים והלוח ולדעת הוצאתם והצורות       המורכבים והבודדים והלוח ידיעת   דף קפא בג' מינים עודף ושוה וחסר וצורה מדבר פרק ד‫' דף קפב ומדבר על המספר המכוון     דף קפג מכוונים דף קפה קפז קפח הכל מכוונים והצורות מספר   דף קפד המספר הנאהבים גם דף קפ"ט להוציא   דף קפז דף קפח ז' כוכבי' לכת ומדבר על זה עד דף קצ"ה והצורות מרובעי דרוש שני שלושה סדרים דף קפט מרע וכו' וחברה שכיב   דף א' בקונדרס

‫

Introduction I

	‫[...] [...] יסוד המספר [...] הלמודיות והוא [...] שתראה בספרו [...]קור בזאת החכמה‫ [...] להשיג בה חכמות רבות אם [...] והיא מבוא והתחלה לחדד השכל ולהשיג בחכמת התכונה וזולתה ממנים אחרים רבים כמו במלאכת העיבור שהיא ענף מן התכונה [כאשר תראה בחיבור לעיבור שקראתיו מקנת כסף] ועוד בענינים רבים בתלמוד ובסחורות ובמטבעות ראתי לחבר חיבור אכלול בו כללי המספר ורוב פרטיו כי הם רבים וזה כדי שלא אשכח מה שלמדתי מהם מרוב קורות הזמן העוברים והעתדים וההוים עלי וללמוד לבני אם יובו בע"ה
I say that the kinds of number are two.	ואומר כי מיני המספר הם שנים
The first is the number deprived of substance, speech or thought, which is unlimited, because it is a number in potentia rather than in actu, and has no end.	הראשון הוא המספר המשולל מחומר ומדיבור וממחשבה והוא מספר בלא גבול כי הוא מספר בכח לא בפועל והוא בלתי בעל תכלית
The second kind, which this treatise concerns, is the number initially delimited and bounded by thought. Then, through the rational capacity, man can pronounce it or write it, as one wishes. This number is thus counted and limited. It is divided into two: even and odd, whose foundation is one, because the counted number is a sum of units.	המין השני אשר בו המאמר הוא המספר אשר ראשונה המחשבה תגבלהו ויעשה אותו בעל תכלית ואחר יוכל אדם עם הכח הדיבוריי לדברו או לכותבו כפי רצונו ואחר יהיה זה המספר מספר מנוי ומוגבל ויחלק לשנים זוג ונפרד ויסודם האחד כי המספר המנוי הוא קיבוץ ‫אחדים [...] היה מספר [...] ואמנם זה המספר [...] אל קיבוץ מספרים [...] שני מינים
	אשר המין האחד [...] או יותר מונחים ואם תחברם יהיה ה[...] גדול בעל תכליס ובעלי המספרים קראו לזה המין חיבור
	המין השני מן הקיבוץ הוא שיהיו שני מספרי' והאחד מהם כופל את השני בחשבונו והמונה אינו עולה במניין וקראו לזה המין כפל
	והרי לך שני מיני הקיבוץ
	כי החיבור הוא שעשינו מספר גדול ערכים קטנים וכן הכפל שחברנו מספר גדול בסך כפלי הנכפל
	כמו אם תחבר כ"ב עם כ"ב יהיה היוציא מ"ד וכן אם תכפול כ"ב על ב' יהיה היוציא מ"ד
	ואם כן שני אילו המינים הם עשית חשבון גדול כולל קטנים
	והפרוד יחלק גם כן לשני מינים והם הפכים הפך גמור לשנים המינים הנזכרים
	אשר המין הראשון הוא שיהיה חשבון גדול ונרצה לעשות ממנו שני מספרים או יותר וקראו אותו גרעון כי הוא גורע כל הנרצא וזה [ה]פך החיבור ומזה המין הוצאת השרשים
	המין השני מן הפרוד הוא שיהיו שני מספרים אשר האחד מחלק את השני כמספרו והמחלק אינו עולה למניין אלא שהוא מחלק הגדול כמנניו וקראו לזה המין חילוק והוא הפכי לכפל
	והרי לך שני מיני הפרוד כי גרעון הוא שנעשה ממספר גדול מספרים שנים או יותר וכן החילוק שחלקנו מספר גדול לחלקים כפי המחלק כמו אם

Introduction II

	‫ [...] מסיבת [...] ספר והמספר [...] החכמה הלימודית [כי חלוקת הלמודיות ד' חלקים הא' מספר הב' הנדסה הג' תכונה הד' מוזיקה ואני‫] שהיא [...] מיום שנתתי לבי [...] להשיג חוכמות ראבור רבות [...] שהיא מבוא והתחלה לחדד השכל ולהשיג [בחכמת] התכונה וזולתה ממינים אחרים רבים כמו במלאכת העיבור שהוא ענף מן התכונה כאשר תראה בחיבורי לעיבור שקראתיו מקנת כסף ועוד בענינים רבים בתלמודת ובסחורות ובמטבעות ובזמן ובמשקל ובמידה
I, the aforementioned Aharon, from the day I began to engage in the craft of weaving gold and silk images, although proficient in it with accuracy and precision, I realized that I lack some of the arithmetical methods required for the subtlety of the craft.	ואני אהרן הנז' מיום שנתתי ואני לבי במלאכת אריגת ציורי הזהב והמשי ואם הוא בידי בחוזק האימות והדקדוק ראיתי שאני חסר כפי דקות המלאכה מקצת דרכי המספר
Though I had some knowledge of it, I put my mind and energy to investigate the general practices of number and some of its particular properties, as human knowledge cannot comprehend them all.	ואם קצתו הוא בידי שמתי לבי וכוחי לחקור במספר בדרכים הכוללים וקצת מן הפרטים כי בכולם לא תקיף בהם ידיעה אנושית
So I saw fit to write what came within my reach, and put it together into a composition containing the rules of number and most of its many properties, so as not to forget with the passing of events and time what I had learned and to teach them to my sons, God willing.	ובעבור כל זה ראיתי לכתוב מה שבא לידי ולחברו בחיבור אכלול בו כלו כללי המספר ורוב פרטיו כי הם רבים וזה כדי שלא אשכח מה שלמדתי מהם מרוב קורות הזמן העוברים עלי וללמדם לבני אם יזכו בע"ה
If a scholar gets hold of this treatise or of Miqnat Kesef (“valuable property”) or ‛Ibbur (“Intercalation”) or […] Tzurat ha-‛Olam (“the shape of the world”), which is Alfarghani in another form, and finds that my language is not that of a learned man, he should not judge me harshly, but give me the benefit of the doubt, because I am a craftsman, as I said, and composed these treatises for my son Joseph. Now I add that, by my sins, he is dead, and this compositions are left as they stood, without order and unedited. Indeed, he was to put them in order and edit them, but now he lies deep, and I am at the end of my days, and I never got to teach him. And so, they are as naught.	ואם יבא זה החיבור או מקנת כסף או עיבור או [..] צורת העולם שהוא אלפרגני בצורה אחרת ביד חכם וראה כי הלשון אינו לשון משכיל אל ידיניני לחובה אבל ראוי שידיניני לזכות כי אני בעל מלאכה כמו שאמרתי ועשתי זה לבני ליוסף ועתה הוספתי זה כי בעונותי הוא מת ונשארו כמו שהם בלתי מסודרים ובלתי מתוקנים כי עליו לסדר ולתקן הלשון וזה היותר מסודר אבל הוא עמוק ואני בסוף ימי ולא יכולתי ללמדו ואם כן והיו כלא היו
	‫ואומר כי מ[...] מחומר ומ[...] בכח לא בפועל והוא [...] בו המאמר הוא המספר אשר [...] המחשבה ויעשה אותו בעל תכלית [...] לדברו או לכותבו כפי רצונו ואחר יהיה זה [...] ומוגבל ויחלק לשנים זוג ונפרד ויסודם האחד
	כי המספר המנוי הוא קיבוץ אחדים כסדר אל בעל תכלית
	והאחד אינו מספר
	כי גדר המספר הוא קיבוץ אחדים
	ואומנם המספר יחלק ואמנם חלוקה אחרת אל קיבוץ מספרים ואל פרוד מספרים
	והקיבוץ הוא שני מינים
	האחד הוא שיהיו שני מספרים או יותר מונחים ואם תחברם יהיה היוציא מהם חשבון גדול בעל תכלית וקראו לזה חיבור
	המין השני מן הקיבוץ הוא שיהיו שני מספרים והאחד מהם כופל את השני כחשבונו וקראו לזה המין כפל
	והפרוד הוא גם כן שני ממינים
	האחד הוא שיהיה חשבון גדול ונרצה לעשות ממנו שני מספרים או יותר וקראו אותו מגרעת והוא הפך החיבור ומזה המין הוצאת השרשים
	והמין השני הוא שיהיו שני מספרים אשר האחד מחלק את השני כמספרו והמחלק אינו עולה למנין אלא שהוא מחלק הגדול כמניינו וקראו לזה המין חילוק והוא הפכי לכפל
	והרי לך שני מיני הפרוד
	כי גרעון הוא שנעשה ממספר גדול שני מספרים או יותר
	וכן החילוק שחלקנו מספר גדול לחלקים כפי המחלק
	כמו אם תגרע ‫[...] תחלק מ"ד [...] בכל מין ומין [...] ואחר על [...] על הגרעון שהוא קל
	[...] ואחלק כל מין ומין [...] לחלקים אחרים כמו משלים או [...] אבל כפי הראוי כי דרכי המספר הם רבים ומתחלפים וקשים ובעבור זה אשנה או אשלש המשל אם כמו שהוא אם בחומר מתחלף ופעם אומר משל בזולת מקומו הכל כפי סיבה או דבר מה כפי הראוי
	אומנם חלוקת הספר בכללו הוא בשלשה כללים
	אשר הכלל הראשון יקיף בדרכי המספר
	והכלל השני יקיף בדרכי השאלות
	והכלל השלשי יקיף בדרכי הערכים
	אומנם חלוקת כל כלל הוא בשלשה שערים
	הכלל הראשון אשר יקיף בדרכי המספר חלקתיו בשלושה שערים ושער ד' פרקים מורכב ‫[..]
	השער הראשון במספר השלמים
	השער השני במספר השברים
	השער השלישי במספר המורכב משלמים ושברים
	הכללהשני אשר יקיף בדרכי השאלות חלקתיו גם כן בשלושה שערים
	השער הראשון בשאלות שלמים
	השער השני בשאלות שברים
	השער השלישי בשאלות מורכבים משלמים ושברים
	‫הכלל [השלישי אשר יקיף בדרכי הערכים]
	[גם כן בשלושה שערים]
	השער הראשון ‫[...]
	השער השני בערכי ‫[...]
	השער השלשי בערכי ה‫[...]
	ואחר שבארתי חלוקת כל כלל [...] שער לפרקיו
	השער הראשון מן הכלל [...] ולהורות מה שיעדתי בזה הספר הכולל [קראתי שמו מורה]
	אומנם כל שער מג' שערי זה הכלל יחלק לד' פרקים
	אשר הפרק האחד יהיה חיבור
	והשני כפל
	והשלישי גרעון
	והרביעי חילוק
	אמנם בשערי הכלל השני אכתוב כל פרקי חיבור שאלות שלמים זה אחר זה וכן כפל שאלות ראשון
	ופרק חיבור שאלות שברים אחריו
	ופרק חיבור שאלות מורכבים אחריו
	ואחר כפל שאלות שלמים
	ופרק כפל שאלות שברים
	ופרק כפל שאלות מורכבים
	ואחר גרעון שאלות שלמים
	ופרק שאלות גרעון שברים
	ופרק גרעון שאלות מורכבים
	ואחר פרק חילוק שאלות שלמים
	ופרק חילוק שאלות שברים
	ופרק חילוק שאלות מורכבים
	וגם תדע כי הצורך יביאני לכתוב פרקים אחרים אם לצורך ההשואה אם לדברים אחרים כמו שיעדתי [ידעתי] וגם [...] בסוף כלל ראשון שער מורכב

The Positional Decimal System
A necessary comment on the knowledge of the letters that are used in arithmetic:	הערה הכרחית בידיעת האותיות המשמשות במספר
I say that since the number that is deprived of substance is unlimited, the arithmeticians had to use endless figures or letters.	ואומר כי באשר המספר המשולל מחומר הוא בלתי בעל תכלית כן הוצרכו חכמי החשבון לקחת צורות או אותיות בלתי בעלות תכלית
For, the limited cannot count the unlimited.	כי הבעל תכלית לא ימנה את הבלתי בעל תכלית
	ועל כן הסכימו להניח ‫[...] הם בלתי [...] והסיבה שהם [] כי לגודל המספר [...] כי ידוע שבכל אומה [...] עם אותיותם ו[...] [...]
I say that the [letter] ת [the last letter of the Hebrew alphabet, designating 400] is the greatest [...] you cannot find a letter to express a greater number.	ואומר כי הת' היא היותר גדולה ואם [...] שתכלול יותר מת' לא תוכל למצוא אות אשר תכלול מספר גדול
Even if you write the letters which indicate large numbers, they will not be sufficient due to the greatness of that number, and if you repeat them several times [...], much confusion will ensue in their writing.	ואם שתכתוב אותיות גדולי המספר יתמו מרוב המספר ואם תכפלם פעמים רבים יהיה [..] גדול ובלבול בכתבתם
Hence, the uncounted number is without end.	והרי לך כי המספר שאינו מנוי הוא בלתי בעל תכלית
And the letters have an end.	והאותיות הם בעלות תכלית
Yet, that which has an end cannot count the endless, or the smaller [cannot count] the larger.	ולא יספור הבעל תכלית את הבלתי בעל תכלית או נאמר הקטן את הגדול
Therefore, the arithmeticians agreed to set 9 figures with endless ranks.	ובעבור זה הסכמו בעלי המספר להניח ט' צורות אשר הם בלתי בעלות תכלית במעלותיהם
The nine figures are like substance, but in the ranks they are of different form.	כי הט' צורות הם כמו חומר וכאשר הם במעלות הם צורות שונות זו מזו
The first, for example, is one, and can be ten or a hundred or a thousand or larger numbers without end.	אשר הצורה הראשונה בדרך משל היא אחד ויוכל להיות עשרה או מאה או אלף או מספרים גדולים מאלה לאין תכלית
Likewise for the other 9 figures set by some scholar.	וכן שאר הט' צורות אשר הניחם חכם אחד
These are the figures and above each of them its corresponding letter of our letters [= the Hebrew letters], with which you establish the number, as I do in this treatise.	ואלה הם צורתם ועל כל אחד מהם האות הדומה לה מאותיותנו אשר עמהם תנהיג המספר אם תרצה כאשר אני עושה בזה הספר
	0 ט ח ז ו ה ד ג ב א 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1
As the custom of the Gentiles and this is appropriate.	‫כמנהג הגוים וכן ראוי 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
So the cause of the ranks is the largeness of the number, and the cause of the sparsity of the letters is the ranks.	והרי לך כי סיבת המעלות היא גודל המספר וסיבת מעוט האותיות היא המעלות
	והנה דרך הנחתם היא כי המעלה הראשונה נקראת מעלת האחדים ‫והשנית [מעלת העשרות והשלישית מעלת] המאות [...] והמעלה הרביעית [...] לאלפים והחמשית ל[עשרות אלפים] [...] והששית כשלשית למאות [אלפים] ‫[...]
	ואם כן חילוק ראשון יחלקו המעלות [...] ר"ל שילוש הוא אחדים עשרות מאות [...] הראשון הוא כמו שהוא והשילוש השני הוא אלפים והשילוש השלשי הוא מספרים כמו שתראה והשילוש הרביעי מספרים אלפים
	וכל זה תראה בע"ה
	והרי לך הנחת המעלות
	וכפי האות שתתן בכל מעלה כך תהיה הוראת המספר
	כי במעט עיון תראה כי כאשר היו ט' במעלת האחדים שהיא האות היותר גדולה שיכול להיות שאם נוסיף עליה אחד שיהיו עשרה והם אחד במעלה שנית
	ואם היו ט' במעלה שנית שהם תשעים והוספנו אחד ממינו יהיו עשרה עשרות ויהיו אחד במעלה שלישית שהוא מאה
	וכן לאין תכלית
	ומזה תראה גם כן כי כאשר נשיב אחד אחורנית שיהיו עשרה ממין המעלה ההיא
	ואם תשיב שנים יהיו עשרים
	ואם שלשה יהיה שלושים
	וכל זה תראה במעשה בקרוב
	סדר קריאת שמות למעלות נתנו בזה ב' דרכים
	הדרך האחד הוא ברור ממה שאמרתי כי כאשר היו לך מעלות כסדר ותכפול שם המעלה עשרה פעמים הנה היוציא יהיה שם השנית לה
	והמשל מעלת האחדים כפול מה שבמעלה ראשונה עשרה פעמים יהיה היוציא עשרות וזה ‫[...] עשרות [...] שלשית כפול [...] המעלה הרביעית [...] שהם בזה אחדים [עשרות מאות אלפים] עשרות אלפים מאות אלפים אלף [אלפים עשרות] אלף אלפים מאות אלף אלפים אלף [אלפי אלפים] וכן לעולם והם עשרה מעלות כמו שתראה בזאת הצורה
	א א א א א א א א א א
	הדרך השני הוא המנהג היותר טוב והיותר נאות ואם שיהיו מאה מעלות או יותר והוא שתחלק כל המעלות ג' ג' ואחר חלוקתם [יש להם... אחרת] מג' שמות או תוארים זולת השילוש הראשון שאין לו שם אלא כמו שהוא ושמות השילושים הנמשכים אחר השילוש הראשון הם אלפים או מספרים או מורכבים משניהם
	ודע כי שם מספר הוא אלף פעמים אלף
	וכל זה תרצה בכ"כ מעלות שהנחתי ובכל מעלה א' שהוא המספר הקטן מן הט' אותיות ואחר נחלק המעלות ג' ג' עם רושם בין כל שילוש כזה
	ז א     ו א א א     ה א א א     ד א א א     ג א א א     ב א א א     א א א א       א א א
	וההתחלה מן האחדים ואחר נרשום כל חלק שהוא שלושה מעלות וההתחלה ממעלת האלפים שהוא החלק השני וראשון לשם וזה שנתן א' על א' שהוא ראש השילוש וב' על ראש המעלת השלשית וג' על הרביעית וד' על השלוש החמישית וה' על ראש השילוש השישית וו' על ראש השילוש השביעי וז' על מה שנמצא בשילוש השמיני וטעם שנתן אותיות הרושם על ‫המעלה [...] תחסר לעולם [...] תשב ותחלק [...] א' תורה שכל השילוש [...] ובעשרות ובמאות ורושם [...] הוא מספרים אשר בלעז [...] תורה שכל השילוש הוא הוא מורכב [...] שעברו שהאחד אלפים והשני מספרים וכן נאמר לזה אלפים מספרים כי בג' נמצא א' וב' ושילוש א' אמרנו אלפים ושילוש ב' מספרים ואם כן שילוש ג' מורכב משניהם ונאמר אלפים מספרים
	ורושם ד' יורה מספרי המספרים כי הוא כפל רושם ב'
	ורושם ה' הוא כמו א' [וד'] מורכב הא' אלפים והד' מספרי המספרים
	וכן כולם שכל מורה נפרד [תאמר] אלפים בעבור הא' וככה מספרים כפי הזוגות אשר בו
	המשל בזה כפי הצורה המונחת הנה הא' היא מילה נפרדת ואין בה זוג [.] על כן [.] נאמר אלפים ונאמר בזה השילוש קי"א אלפים
	ובחלק השלישי יש בו ב' ויורה על מספרים ולא על אלפים ונאמר שהוא קי"א מספרים
	ובחלק הרביעי יש בו ג' ויש בג' וג' מורכב מא' וב' והנה כאשר אמרנו ברושם א' אלפים וברושם ב' מספרים נאמר בזה השילוש שיש בו א' וב' נאמר בעבור הא' אלפים ובעבור הב' מספרים כי הא' נפרד והב' זוג והוא שם מורכב ויהיו קי"א אלפים ‫[...] ד' והוא [...] מה שאמרנו [...] ובזה נאמר מספרי [...] המספרים
	ובחלק השישי [...] הא' אלפים ובעבור הד' [...] שני פעמים כי שני זוגים בו ונחבר [...] ונאמר קי"א אלף אל מספרי המספרים
	ובחלק השביעי יש בו ו' ובו ג' פעמים ב' ונאמר ג' פעמים מספרי מספרי המספרים ונאמר קי"א מספרי מספרי המספרים
	ובחלק השמיני יש בו ז' ונאמר בעבור הא' אלפים ובעבור ג' פעמים ב' שיש בו מספרים [אלף] מספרי המספרים ונחבר הכל בדיבור ונאמר קי"א אלף מספרי מספרי המספרים
	וכסדר הזה תנהיג עד אין קץ
	שאם תהיה אות הרושם ל' בדרך משל הם ט"ו זוגות וט"ו פעמים תאמר מספרי מספרי וכו' עד ט"ו
	וא' תהיה אות הרושם לא' תאמר בראשונה אלף אחר מספרים כסך הזוגות
	משל שני בזאת הצורה שהיא מתחלפת המספרים ובה ה' חלקים וד' שמות וזה צורתם
	ד ד ב     ג א ב ג     ב ז ו ט     א ח ז ו       ה ד ג
The first part is 543; the second is 876 thousand; the third is 769 million [lit. numbers]; the fourth is 123 billion [lit. thousands of numbers]; the fifth is 42 trillion [lit. numbers of numbers].	הנה החלק הראשון תקמ"ג והשני תתע"ו אלפים והשלישי תשס"ט מספרים והרביעי קכ"ג אלף מספרים והחמשי מ"ב מספרי' המספרים
If you want to sum up it all in a speech, start from the last [part] and say: 42 trillion [lit. numbers of numbers], 123 billion [lit. thousands of numbers], 769 million [lit. numbers], 876 thousand and 543.	ואם תרצה לחבר הכל בדיבור תאמר תתחיל מן האחרון ותאמר מ"ב מספרי המספרים וקכ"ג אלף מספרים ותשס"ט מספרים ותתע"ו אלפים ותקמ"ג
The foreign language is accustomed to the word million [lit. numbers]	ולשון הלעז מורגל בזה לשם המספרים

The First Part: Numerical Operations
The First Section: Integers
The First Chapter on Addition	‫הפרק [הראשון בחבור] [... ]קצתם בקצתם
	‫[...] כפל וגרעון וחילוק וגדר [...] פרט ופרט והשני פרט וכלל [...] פרט ופרט מכל מין אחדי [המעלה] [...] בקצת ופרט וכלל הם הנה אחדים על המעלות [...] לאין קץ קצתם בקצת וכלל וכלל [...] כל המעלות חוץ הראשונה קצתם בקצת אלא שבמעשה לא יאמר לא כללים ולא פרטים אלא כמו שיהיו כולם אחדים
For, the sum of 400 with 700 is the same as the sum of 7 with 4, which is 11, only that in its rank it is one thousand and 100.	כי חבור ת' עם ת"ש הוא כמו חבור ז' עם ד' שהם י"א אלא שבמעלותם הם אלף וק'
The same for all, as you will see with the help of God.	וכן כולם כמו שתראה בע"ה
I say that whoever wants to sum up many numbers and make a large number from them including for all, whether they are similar or dissimilar, should write them correspondingly, each type above its own type, units above units and decades above decades, as long as the corresponding decades are [of] similar [type].	ואומר כי הרוציה לחבר מספרים רבים ולעשות מהם מספר גדול כולל לכולם אם שיהיו דומים או בלתי דומים צריך לכתוב אותם מכוונים כל מין על מינו אחדים על אחדים וכוללים על כוללים ובלבד שיהיו דומים הכוללים הנגדיים כל אחד עם בן גילו
Sum the numbers of the rank of the units and every ten that you sum from them is one in the rank of the tens.	וחבר מספרי מעלת האחדים וכל עשרה שתקבץ מהם יהיו אחד במעלת העשרות
Then, sum the numbers of the ranks of the tens and every ten that you sum from them is one in the rank of the hundreds.	ואחר חבר מספרי מעלות העשרות וכל עשרה שתקבץ מהם יהיו אחד במעלת המאות
Apply this conduct in all the ranks.	והמנהג הזה תנהיג בכל המעלות
This is the rule: every ten in whichever rank is one in the successive rank, for you consider each rank as units in relation to the successive [rank].	זה הכלל כל עשרה מאיזו מעלה שיהיה יהיו אחד במעלה הנמשכת לה כי כל מעלה תחשבנה כמו אחדים בערך לנמשכת לה
Example: Reuven owes Yehuda 484 dinar and 389 more. $\scriptstyle484+389$	המשל ראובן חייב ליהודה תפ"ד די' ועוד שפ"ט
We arrange them in this diagram:	נסדרם בזאת הצורה
Debt   Result 4 8 4 3 8 9 8 7 3	ד ח ד ג ח ט ח ז ג החיוב   העולה
Sum what is in the rank of the units; they result is 13.	וחבר מה שבמעלת האחדים יעלו י"ג
	עשה מהעשרה אחד במעלת העשרות ישארו ג' ‫ [...] במעלת [...] מעשרה אחדים [...] מעלת המאות ועם [...] במעלת העשרות ז' והנה ‫[...]
	וכן אם היו תפ"ד ושפ"ט כורי [...] או ברזל או משי או דבר מה [...] חבור דרך אחד לכולם ואין צריך משל לכל אחד
	וכן א[ם] יהיה ג' או ד' טורי החיוב או יותר שתחבר מה שבמעלה ראשונה מכל הטורים ותכתוב חיבור כולם למטה או הנשאר על עשרה או עשרות
Because, for every ten you write one in the successive rank as stated above.	כי מכל עשרה תכתוב אחד במעלה הנמשכת לה כמו שקדם
	ואם לא תצטרך לתת מספר באיזו מעלה רשום במעלה ההיא ספרא כזה 0
	ודע כי פעמים יהיה באיזה מעלה ספרא ותכתוב תחתיה ספרא ופעמים תהיה ספרא ותכתוב תחתיה מספר ופעמים יהיה מספר ותכתוב תחתיו מספר ופעמים יהיה מספר וכתוב תחתיו ספרא וזאת החלוקה תתאמת בכל המינים כמו שתכף תראה זה בחבור
Example: Reuven, Shimon and Levy borrowed money from Yehuda: Reuven borrowed two thousand and eighty dinar; Shimon [borrowed] three thousand and sixty; and Levy [borrowed] four thousand and sixy. We wish to know the total amount [they borrowed].	המשל בזה ראובן שמעון לוי השאילו ממון מיהודה הנה ראובן שאל ב' אלפים ושמונים די' ושמעון ג' אלפים ושישים ולוי ד' אלפים ושישים ורצינו לדעת סך כולם
We arrange them in this diagram:	נסדרם בזאת הצורה
Reuven 2 0 8 0 Shimon 3 0 6 0 Levy 4 0 6 0 Result 9 2 0 0	ב 0 ח 0 ראובן ג 0 ו 0 שמעון ד 0 ו 0 לוי ט 2 0 0 העולה
	ונחבר מספרי כל מעלה והנה בעבור כי במעלות האחדים לא נמצא דבר נכתוב ספרא תחת ה0' ובשני כ' ויהיו ב' בשלישית וספרא תחתיו ובשלישית כולם ספראש אבל נכתוב הב' שעלינו ‫מן העשרות [...] ועלה בידינו [...] והרי לך כי המעלה [...] ומעלת העשרות מספר[...] המאות ספראש וכתבנו [...] מספרים וכתבנו מספר תחתיו [...] תמצאינו
Another example: we sum 248 kors of wheat with 773; the result is one thousand and 21 kors of wheat. $\scriptstyle248+773=1021$	משל אחר חיברנו רמ"ח כורי חיטה עם תשע"ג יעלו אלף וכ"א כורי חיטה
	ודי בזה כי במקומות אחרים כמו במורכבים או בנמשכים בסדר אעשה חיבור מדברים מתחלפים כמו לטרי ממון ומשקל ודברים אחרים במקומות הראוים לכל דבר
	והנה אחר זה ראוי לדבר בחלק השני מן הקיבוץ שהוא הכפל
	וגם אקצר בו כי יש מקומות להאריך
	אבל אמנם הראוי ללמוד בראשונה כפל מעלת היסוד שהיא המעלה הראשונה ולוח הרגיל המספר המחוייבת להשיב קנין ועל פה כי זה הלוח שהיא כפל הט' אחדים קצתם בקצת לא תנתן לכתוב ככל הכפל אלא על פה
	הישרה להרגיל לכפול המעלה ראשונה שלא נתנה להכתב והיא מעלת האחדים וקראתי אותה מעלת היסוד כי כן ראוי שתקרא בעבור דברים רבים ומהם שהיא דומה לאחד כי כאשר תכפול האחד על עצמו אין הכפול יוציא מעצמו כן כשתכפול מעלות על מעלות תגרע מעלה אחת כמו שקדם ועוד כי כמו שהמספר שהאחד אינו נכנס בגדר המספר כן זאת המעלה לא תכנס במספר המעלות ‫[...] מעלות נגרע [...] במספר [...] מעלה זולתה יש לה שם [...] או מאות או אלפים או מספרים [...] שהיא בתוכה אבל יש לה [...] מעלת היסוד כי בה תמצא [...] המספרים בעצם ובראשונה והמעלות האחדים[..] הושאלו ממנה כי עשרה [הוא] אחד ומאה הוא אחד וכן אלף ומספר וב' עשרות ומאתים ואלפים הושאלו מב' וכן עד ט' ונוכל לאמר לט' אחדים יסודות
	ועוד נמצא בה אב"ג שחבורם הוא מספר שוה וכל אחד בפרט
	הא' הוא יסוד היסודות שאם לא תמצא א' לא תמצא מספר ואם כי המספר תלוי בא' והא' אנינו תלוי במספר לפי שאינו מספר
	שנקרא המספר הוא קיבוץ אחדים והאחד אינו מקובץ מאחדים אם כן אינו מספר
	ועוד ראה כי המספר הוא שלם או שבר והאחד אינו לא שלם ולא שבר אבל בין שלם ושבר והוא נבדל מהם
	אבל הפך ב' שלמים הוא חצי והפך ג' שלמים הוא שליש והפך ד' שלמים רביעית וכן לאין תכלית
	והאחד הוא כמו נקודה או מרכז בין השלם והשבר כזאת הצורה
	כי אין חצי אם אין אחד כמו שאין ב' אין אחד [והוא סיבת כולם]
	ועוד אדבר מסגולות האחד בפרק החילוק ועלה מזה כי כמו שהאחד נבדל ממה שלפניו וממה שלאחריו כן המעלת האחדים נבדלת מכל המעלות יש לה תואר אחר כי כל המעלות ‫תוכל לכפול אותה [...] תוכל לכפול [...] לדעת כפל כולה אתה [...] בלוח הזה שהוא [...] לוח הרגיל המספר כי שתר[א]ה כל האחדים אינו [...] ד' וכפל [...] וב' [...] הוא [] [] המעלה נמצא ב' שהוא תחילת המספר [...] כאשר [...] והג' [...] ורוחב [...] סגולות [...]
	כזה
16 4 4   1 1 1 20 5 4   2 2 1 24 6 4   3 3 1 28 7 4   4 4 1 32 8 4   5 5 1 36 9 4   6 6 1         ז ז א כה ה ה   ח ח א ל ו ה   ט ט א לה ז ה         40 8 5   4 2 2 45 9 5   6 3 2         8 4 2 36 6 6   10 5 2 42 7 6   12 6 2 48 8 6   14 7 2 54 9 6   16 8 2         18 9 2 49 7 7         56 8 7   9 3 3 63 9 7   12 4 3         15 5 3 64 8 8   18 6 3 72 9 8   21 7 3         24 8 3 81 9 9   27 9 3	יו ד ד   א א א כ ה ד   ב ב א כד ו ד   ג ג א כח ז ד   ד ד א לב ח ד   ה ה א לו ט ד   ו ו א         ז ז א כה ה ה   ח ח א ל ו ה   ט ט א לה ז ה         מ ח ה   ד ב ב מה ט ה   ו ג ב         ח ד ב לו ו ו   י ה ב מב ז ו   יב ו ב מח ח ו   יד ז ב נד ט ו   יו ח ב         יח ט ב מט ז ז         נו ח ז   ט ג ג סג ט ז   יב ד ג         טו ה ג סד ח ח   יח ו ג עב ט ח   כא ז ג         כד ח ג פא ט ט   כז ט ג

The Second Chapter on Multiplication	‫[הפרק השני בכפל]
	‫[...] יחלק לשני [...] שהוא כפל פשוט [...] מרובע שוה [כלל] צלעותיו [...] רושם צלעות [...] ג' מנים אם שוה [...] אם שוה [...] כל זה מבוא [...] כתבתי [...]
	ואומר כי המין הראשון מן [...] הפשוט הוא בכפל תמונה [...] בכפל [..] הצלעות הוא [...] שתרצה ידעת זאת התמונה הנה ראשונה ראוי [שתראה] האורך שתרצה בה אם מאמות או מאיזה מספר שתרצה ותכפול אותם על עצמם והיוצא הוא המרובע המבוקש
	המשל בזה רצינו לדעת מרובע אורכו ג' אמות וכן רוחבו
	הנה כפלנו ג' על ג' כלומר שנכפול הג' בסך הג' האחרת ג' פעמים יעלה [ט'] והוא שטח התמונה הנרצת כי ג' תמצא [...] הצורה
1 1 1 1 1 1 1 1 1	א א א א א א א א א
	ואם תרצא שטח תמונה מרובעת אשר כל צלע [...] האחד על האחר והוא ד' על [...] י"ו והוא שטח התמונה הנרצת כי ד' אמות תמצא בכל צלע בצורה הזאת
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	א א א א א א א א א א א א א א א א
	ואם רצינו מרובע כזה אשר צלע האחד יהיה משני מעלות תניח ‫זה על זה [...] הטור התחתון [...] הטור התחתון שהכל [...] כאשר קדם שאם תכפול [...] נגד מעלת האחדים ואם אחדים [...] נגד העשרות ואם אחדים [...] ואם מכפל איזו מעלה [...] הפרטיים תחת המעלה [...] הכללים תחת הנמשכת לה כי כל מעלה היא [...] בערך הנמשכת לה כאשר קדם
	המשל בזה רצינו מרובע אחד שוה הצלעות אשר כל צלע יהיה כ"ו אמה
	והוא כאומר כ"ו אמות בגד לסך כ"ו די' האמה כמה יעלה
	או כמו האומר כ"ו משקלי דבר מה לסך כ"ו די' או פרחים או לטרין כמה יעלה
	הנה נסדרים בשני טורים זה על זה על קו אחד להבדיל הכופל והנכפל מן הכפול בזאת הצורה
2 6   2 6 1 5 6 5 2   6 7 6	ב ו   ב ו א ה ו ה ב   ו ז ו
	הנה כפלנו ו' על ו' וו' על ב' ואחר ב' על ו' וב' על ב' כי כפלנו כל מעלה מן הטור העליון על כל מעלה מן הטור התחתון כצד כפלנו ו' על ו' יעלו ל"ו כתבנו הפרטים שהם ו' תחת האחדים והכללים שהם ל' יהיו ג' בשנית אבל לא נכתבם עד שנעשה כפל אחר לחברם עמו וזה להקל הטורח ונאמר ו' פעמים ב' הם י"ב וג' שהיה לנו הם ט"ו נכתוב הפרטים במעלה שנית והכלל בשלשית והרי לך שכפל הו' כל הטור התחתון
	ועתה נכפול ב' על כל הטור גם כן ונאמר ב' פעמים ו' הם י"ב נכתוב הפרטים נגד מעלה
	‫ [...]רות על אחדים [...] נכתוב הפרטים [...] שלישית אבל לא נכתבהו [...] ב' פעמים ב' שהוא ד' [...] במעלה שלישית והיא [...] עשרות על עשרות העולה והיה [...] והרי שיצאו מכפל [...] זה על זה [...] קנ"ו ומהשני תק"ד נחברם עם [...] והוא שטח התמונה הנרצת המרובעת השוה הצלעות אשר כ"ו אמה בכל צלע והוא הסך מדנרי הכ"ו אמות של [בגד]
	ואין צריך משל אחר כי הוא כאומר כ"ו אמות בגד לסך כ"ו די' [..] עולה תרע"ו די' או כאומר כ"ו משקל נחושת או דבר מה לסך כ"ו די' או פרחים או לטרין וכן תוכל לאמר מכל הדברים שתרצה כי הכפל בכולם אחד הוא וכך לכל המשלים שאביא במרובעות תוכל לשנות חומר השאלה כפי מה שתרצה
	הערה דע שאם יהיה במספר הנרצה לכפול ספרא שהוא רושם שאין במעלה ההיא דבר [..] זה המקום שיהיה השמר מאוד שלא תשכח מעלתה אע"פ שאין בה מספר
	והמשל בזה בתמונה מרובעת אשר כל צלע מאתים אמות
	נסדר מאתים על מאתים על קו אחד כ[זא]ת הצורה
2 0 0     2 0 0     0 0 0   0 0 0   4 0 0     4 0 0 0 0	ב 0 0     ב 0 0     0 0 0   0 0 0   ד 0 0     ד 0 0 0 0
	והוא גם כן כאומר מאתים ככרי נחושת לסך מאתים די' כל כיכר הנה נכפול הספרא הראשונה מן הטור התחתון ‫ויהיה ספרא [...] השנית ג"פ על ב' וכן [...] ותעשה ג' ספרות [...] אחד למעלה כי תחת הספרא [...] הספרא הראשונה והנמשכות [...] התחתון ויהיה הספרא הראשונה [...] וספרא אחרת אחריה במעלת האלפים וד' אחריה במעלת עשרות אלפים ואם כן אחר שתחברם תמצא מ' אלפים והנה יהיה שטח מאתים על מאתים מ' אלפים והוא מרובע שוה הצלעות אשר בכל צלע מאתים אמות באורך וכן ברוחב
	והוא גם כן סך המאתים כיכרי נחושת או סך החומר שתרצה
	המין השני מן הכפל הפשוט הוא בכפל בלתי מרובע שוה הצלעות אבל הוא מרובע ארוך
	ואומר כי כל זמן שתרצה לכפול איזה מספר על אחר בן שיהיה גדול ממנו בן שיהיה קטן הנה השטח היוציא ממנו יהיה מרובע ארוך
	המשל בזה כפלנו ב' על ג' יעלו ו' והוא שטח ארוך כזה
	כי הצלע האחד הוא ב' והשני ג'
	וכן אם תכפול ג' על ד' יעלה י"ב והוא שטח בלתי מרובע כזה
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	א א א א א א א א א א א א
	כי הצלע האחד הוא ד' והאחר הוא ג'
	משל אחר רצינו לדעת שטח בלתי שוה בצלעותיו אשר הצלע האחד יהיה ע"ה והשני רמ"ה כזה
7 5     2 4 5   1 2 2 5 1 7 1 5   1 8 3 7 5	ז ה     ב ד ה   א ב ב ה א ז א ה   א ח ג ז ה
	נכפול זה על זה כמנהג ה' על רמ"ה יעלו תשל"ה [אלף רכ"ה] וז' על רמ"ה יעלו י"ז אלפים תק"ן [י"ז אלף ק"ן] נחברם יעלו ק"ה אלפים תקל"ה [י"ח אלף שע"ה]
	והוא הדין כאומר רמ"ה לטרין פלפל לסך ע"ה שיעלה הסך הנז' מערוך
	משל אחר אם שאל רמ"ה כורי חיטה לסך י"ט די'
	כפל י"ט על רמ"ה יעלו ד' אלפים תרנ"ה ויהיה כזאת הצורה
	‫[...] ל"א די' [...] וכן נ"ב פרחים לסך [...] תשכ"ח וכן כל הדומה [...] הכפל בכל דבר אחר הוא [...] שתראה בע"ה
	המין הראשון [...] מן החלק השני בכפל המוגשמים [נקרא] מעוקב שהוא הגשם אשר ימצאו בו השלושה רחקים שהם אורך ורוחב ועומד והוא ארבעה תמונות סוגיות
	התמונה הראשונה הוא שתכפול מספר שוה על שוה והיוציא תכפול על שוה
	התמונה השנית היא שוה על שוה והיוציא על יותר גדול
	התמונה השלישית היא שוה על שוה והיוציא ביותר קטן
	התמונה הרביעית כולם מתחלפים
	ובמשלים תבינם
	ואומר כי תמונת המעוקב השוה הוא כאשר יהיו שלושה מספרים שוים ותכפול האחד בשני והיוציא בשלישי וזה יהיה שוה בכל צלעותיו
	והמשל רצינו תמונה מרובעת ומוגשמת אשר כל צלע תהיה שני אמות
	כפלנו ב' על ב' שהוא האורך על הרוחב יעלו ד' וזה שטח המרובע שרצינו לעשותו מוגשם
	ואחר כפלנו ד' על ב' יעלו ח' והוא המבוקש אשר היא ב' אמות אורך וב' רוחב וב' עומק
	משל שני רצינו מעוקב אשר כל צלע יהיה תל"ד
	כפלנו תל"ד על תל"ד כזאת הצורה
	צורה ראשונה
multiplier multiplicand       4 3 4       4 3 4     1 7 3 6   1 3 0 2   1 7 3 6     1 8 8 3 5 6	הכופל הנכפל       ד ג ד       ד ג ד     א ז ג ו   א ג 0 ב   א ז ג ו     א ח ח ג ה ו
	יעלה קפ"ח אלפים שנ"ו וזה שטח המרובע
	ועתה נכפול עוד זה החשבון על תל"ד כזאת הצורה השנית
	צורה שנית
4 3 4     1 8 8 3 5 6     7 5 3 4 2 4   5 6 5 0 6 8   7 5 3 4 2 4     8 1 7 4 6 5 0 4 product	ד ג ד     א ח ח ג ה ו     ז ה ג ד ב ד   ה ו ה 0 ו ח   ז ה ג ד ב ד     ח א ז ד ו ה 0 ד הכפול
	יהיה העולה פ"א תרמ"ו אלפים תק"ד והוא המבוקש אשר כל צלע הוא תל"ד
	ועיין בזה כי בשאלות אדבר בזה במידות ובבנינים בע"ה
	התמונה השנית היא שוה על שוה והיוציא על יותר גדול וזה יהיה כמו עמוד
	המשל בזה רצינו תמונה אשר אורכה ד' אמות ורוחבה ד' והגובה עשרה הנה יהיו כולם ק"ס אמות ואם תרצה להחליף המרחבים הכל אחד ‫אלא שיהיה עמה [...] על קטן וזאת תהיה [...] וגובהו נמוך כמו [...] נכפול מספר שוה על שוה ‫[...]
	המשל בזה רצינו תמונת [...] אמות והרוחב גם כן [...] כ"ה וזה שטח התושבת ואחר כפלנו התושבת שהוא כ"ה על ג' [...] יהיו ע"ה והוא המבוקש
	התמונה הרביעית כולה מתחלפת הצלעות וזה יהיה כאשר יהיה הג' מספרים מתחלפים וזה יהיה כמו כותל
	המשל רצינו תמונה מוגשמת אשר אורכה י"א אמות ורוחבה ב' וגובהה כ"ז נכפול י"א על ב' יהיו כ"ב וזה תושבת הכותל ואחר כפלנו התושבת על הגובה שהוא כ"ז יהיו תקצ"ד והוא המבוקש
	והרי לך הד' תמונות המוגשמות אשר תוכל לעשות תמונות מוגשמות לאין תכלית אבל כולם יצאו מאלו
	דרך אחרת לדעת כל מעוקב כפול השורש על המספר הנמשך והעולה על הקודם לו או בהפך כי הכל שוה ועל העולה תוסיף השורש
	המשל בזה רצינו מעוקב ג'
	נכפול ג' על ד' שהוא הנמשך אחריו יהיו י"ב גם נכפול י"ב על ב' שהוא המספר שקודם השורש יהיו כ"ד תוסיף עליהם השורש יהיו כ"ז והוא המבוקש כי הוא כמו ג' על ג' שהוא ט' וג' על ט' הוא כ"ז
	משל אחר רצינו מעוקב ד'
	נכפול ד' על ה' יהיו כ' שהוא הנמשך לד' יהיו כ' גם נכפול כ' על ג' שהוא הקודם לד' יהיו ס' נוסיף עליהם השורש שהוא ד' יהיו ס"ד והוא מעוקב ד'
	דרך הבנינים
	אם תרצה לדעת כמה לבנים הוצרך עומד או כותל או מגדל תן לבנים שורה אחת כפי אורך ורוחב העמוד או הכותל או המגדל שתרצה וכפול זאת השורה על השורות שתרצה כפי הגובה שתרצה
	המשל בזה רצינו עמוד שיהיו ג' לבנים על ג' ויהיו ט' לבנים בשטח שהוא השורה הראשונה ורצינו שיהיה גובהו צ"ה ‫[...] המבוקש [...] אורך ורוחב הכותל [...] הגובה שתרצה והוא המבוקש [...] כמה שורות יש בו ותכפלם [...] בזה הכותל אשר שטחו הוא ח' לפני [...] על ט' יעלו ע"ב והוא המבוקש
	צורת הכותל
	ואם תהיה הכותל דק שהוא עובי על עובי שהוא הבנין היותר דק מכל הבנינים תכפלם גם כן על סך השורות ותדע הלבנים אשר בכותל או הלבנים שתצטרך לבנות הכותל והמשל בזה הצורה
	צורת הכותל
	אשר בה ח' לבנים באורך הכותל וז' בגובה כפול ז' על ח' יהיו ‫נ"ו וכן תמצה כזה [...] מזה הבניין כמה שורות [...] השיעור כפי הגובה שתרצה [...] ולמדוד הגובה תשטח בקרקע [...] הגובה שתרצה או תשטח בקרקע [...] תשטח מלבנה אחת על אחת הגובה שתרצה [...] וכפול מספר שורת האורך על מספר ה[..] והם הלבנים שאתה צריך בזה הכותל
	ואם תרצה מגדל מרובע עם ד' עמודים לד' זויותיו אשר שטח כל עמוד ט' לבנים ואורך הכותלים בין עמוד לעמוד ה' לבנים נעיין מספר הלבנים מד' כותלים ומד' עמודים יהיו נ"ו לבנים כזאת הצורה
	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0           0 0 0 0 0 0           0 0 0 0                   0 0                   0 0                   0 0                   0 0                   0 0 0 0           0 0 0 0 0 0           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
	והם שורה אחת ורצינו שיעלה זה המגדל שמ"ה שורות
	נכפול נ"ו על שמ"ה שורות יעלו י"ט אלף ש"כ לבניים
	ואם תאמר רצוני שתהיה זה המגדל כך אמות עיין בכותל אחר כמה שורות יש באמה אחת וכפול השורות שבאמה על נ"ו שהיא השורה הראשונה ומה שיעלה בכפל כפול על מספר האמות שתרצה והוא המבוקש
	‫דרך אחרת לכפל בצורה מרובעת ויש לה סגולות ראבו רבות וזה שנוכל לכפול קצת בשעה אחת וקצת בשעה אחרת ונוכל לכפול בסדר ושלא כסדר ויהיה הצורה המרובעת כזה
Permutations
The method for knowing the combination of the letters	סדר ידעת צירוף האותיות כחכמי
[...] [3] generate 6 permutations [lit. houses]; [4 generate 24 permutations; 5] generate 120 permutations; [6 generate 720 permutations; 7] generate 5040 permutations [...]	‫[...] [...] בונות ו' בתים [...] בונות ק"ך בתים [ז' בו]נות ה' אלפים ומ‫' [...]
I shall write a general way to know [...] in two lines [...], for 1 has no combination at all.	אכתוב דרך כללי לדעת [...] שורות בשני טורים הטור [...] אותיות בסדר [...] כי א' אין בו צרוף כלל
These two lines are according to this diagram:	ויהיו השתי שורות כזה הצורה
2 3 4 5 6 7 8 2 6 24 120 720 5040 40320	ח ז ו ה ד ג ב ‫0בג0ד ‫0ד0ה‫ ‫0בז ‫0בא דב ו ב
I say that 2 generate two permutations [lit. houses], which is [the 2] in the second row beneath the 2.	ואומר כי ב' בונות שתי בתים והוא תחת ב' בטור השנית
To know the permutations of 3, we multiply 3 by the permutations of 2, which is the preceding 2: there are six permutations or six combinations. So, you find that there are six combinations from 3 letters, as you see beneath the 3. $\scriptstyle{\color{blue}{3!=3\sdot2=6}}$	ועתה לדעת בניין ג' נכפול ג' על בניין ב' שהוא ב' שעבר ויהיו ששה בתים או ששה מחברות והנה ששה מחברות תמצא מג' אותיות כמו שתראה תחת ג'
To know the permutations of 4, we multiply [4] by 6, which is the [number of] permutations of the preceding; they are 24 beneath the 4. $\scriptstyle{\color{blue}{4!=4\sdot6=24}}$	ולדעת בניין ד' נכפול על ו' שהוא הבניין שעבר ויהיו כ"ד תחת ד'
To know the permutations of 5, we multiply 5 by the preceding 24; they are 120 combinations. $\scriptstyle{\color{blue}{5!=5\sdot24=120}}$	ולדעת בניין ה' נכפול ה' על כ"ד שעבר יהיו ק"ך מחברות
To know the combinations of 6, we multiply 6 by 120, which is the [number of] permutations of the preceding; they are 720 permutations. $\scriptstyle{\color{blue}{6!=6\sdot120=720}}$	ולדעת צרוף ו' נכפול ו' על ק"ך שהוא הבניין שעבר יהיו תש"ך מחברות
To know the combinations of 7, we multiply 7 by 720, which is the [number of] permutations of the preceding; they are 5040 permutations. $\scriptstyle{\color{blue}{7!=7\sdot720=5040}}$	ולדעת צרוף ז' נכפול ז' על תש"ך שהוא הבניין שעבר יהיו ה' אלפים ומ' מחברות
To know the combinations of 8, we multiply 8 by 5040, which is the [number of] permutations of the preceding; they are 40320 permutations. $\scriptstyle{\color{blue}{8!=8\sdot5040=40320}}$	ולדעת צרוף ח' נכפול ח' על ה' אלף ומ' שהוא הבניין שעבר יהיו מ' אלפים ש"ך מחברות
And so on endlessly.	וכן לאין תכלית
	כי בצירוף ח' תבות משונות זו מזו תמצא מ' אלף וש"ך תבות משונות זו מזו
	ובעבור שתראה קצת מהם לעין אחבר מהם שלושה בג"ד
	ואומר כי ב' בונות ב' מחברות א"ב ב"א
	וג' ששה מחברות
	וד' כ"ד כמו שאמרתי
	ואתן משל ומהם תעשה באחדים
	והמשל ב' בונות ב' כמו א"ב או ב"א או קח האותיות שתרצה אם בסדר כמו א"ב או ב"ג או ד"ג או שלא כסדר כמו א"ד או ב"ת ‫ או ג"ש [...] מג' אותיות [...] ועוד ג' ל[...] הצורה
RMḤ MḤR ḤRM RḤM ḤMR MRḤ	רמח מחר חרם רחם חמר מרח
	כי [...] שיתופן ואם הם [...] מאבג"ד [...] למפרע [יהיו י"ו] עוד [...] אחרים בדילוג אחד וד' אחרים בדילוג אחר למפרע יהיו י"ו גם ד' אחרים בדילוג ב' וד' אחרים למפרע בדילוג ב' יהיו שמונה וי"ו שלנו יהיו כ"ד ואין בם יותר חלוקה וצירוף והמשל
	והמשל בד' אבנים הנה העיגול יורה לך הדרך כי צרוף ראשון הוא א'ב'ג'ד' והשני ב'ג'ד'א' והשליש ג'ד'א'ב' והרביעי ד'א'ב'ג' והם ד' מחברות
	עוד ד' למפרע א'ד'ג'ב' שני ד'ג'ב'א' שלשי' ג'ב'א'ד' רביעי ב'א'ד'ג'
	עוד ד' בדילוג א' ולמפרע ד' אחריה בדילוג א' וכן ד' בדלוג ב' ולמפרע בדילוג ב' ויהיו כולם כ"ד מחברות כזה הצורה

disorderly	orderly	disorderly	orderly	disorderly	orderly
ABDG	ADBG	AGBD	AGDB	ADGB	ABGD
DAGB	BAGD	DBAG	BDAG	DGBA	BGDA
GDBA	GBDA	GADB	GABD	GBAD	GDAB
BGAD	DGAB	BDGA	DBGA	BADG	DABG

מפרע	כסדר	מפרע	כסדר	מפרע	כסדר
אבדג	אדבג	אגבד	אגדב	אדגב	אבגד
דאגב	באגד	דבאג	בדאג	דגבא	בגדא
גדבא	גבדא	גאדב	גאבד	גבאד	גדאב
בגאד	דגאב	בדגא	דבגא	באדג	דאבג

Gelosia	דרך לכפול בצורה מרובעת ויש לה סגולות רבות וזה שנוכל לכפול קצת בשעה אחת וקצת בשעה אחרת ונוכל לכפול כסדר ושלא כסדר ויהיה הצורה המרובעת כזה
	‫[...] ו' אלפים תתמ"ה על שכ"ז
	והנה כל מרובע קטן הוא מקום לכל שני המספרים הנוכחיים והקו החולק מזוית לזוית בכל מרובע הוא לתת בחציו העליון הנשאר על עשרות מכל כפל משני נוכחיים ובחצי האחר העשרות ובעבור זה תוכל לקחת כל מספר שתרצה אחרון או ראשון או זה בשעה אחת וזה בשעה אחרת
	והמשל תכפול ג' על ה' יהיו ט"ו והם במרובע הנוכחי לשניהם והפרטים שהם ה' תכתוב בחצי העליון וא' שהוא עשרה בתחתון
	וכן כולם
	כי כפל ז' על ה' ל"ה נתן ה' בחצי העליון וג' בחצי האחר שהם עשרות
	וכן כמו שתראה בצורה ז' על ה' אל ועל ד' ועם ח' ועל ו' וכן ב' על כולם וכן ג' על כולם
	ואחר תחברם ותוציא המספר כפי המשכת קוי האלכסונות
	כי ה' הוא האחדים
	וח' וג' שהם י"א הם עשרות קח אחד לק' מן העשרה ונשאר א' שהוא עשרה
	ובשלשית תמצה ובחא"ה שהם כ"ב ועם א' שעלינו הם כ"ג מאות תניח ג' במקומו
	ונעלה כ' לב' בטור הרביעי עם בהוב"א שהם י"ו וב' שעלינו יהיו י"ח תניח ח' במקומו
	ונעלה א' בטור חמשי ועם דבאד"א שהם י"ב יהיו י"ג תניח ג' במקומו
	ונעלה אחד בטור ששי אשר בו אח"ב יהיו י"ב נניח ב'
	ונעלה א' בטור שביעי ועם א' שבו יהיו ב'
	והם ב' מספרים רל"ח אלפים שט"ו ותוכל להפוך הצורה לצד שתרצה
	‫וכאן נשלם ה[...] שאשמש מכולם ‫[...]
The Third Chapter on Subtraction	הפרק השלישי במגר[עת]
	קל ולזה אקצר ואומר [...] יכוון המעלות מספר נגד מספר [...] והמספרים וראשונה גרע האחדים מן האחדים והנח זה [...] בכיוון תחת המעלה שגרעתה וכן תעשה לכל המעלות
	ואם התחתון יהיה יותר גדול מהעליון ולא תוכל לגרוע ממנה קח מהמעלה אשר לפניה אחד ויהיו עשרה במעלה שתרצה ובזה הדרך תנהיג לעולם בכל המעלות
	ואם תהיה ספרא במעלה אשר לפניה קח אחד מן המעלה השלשית לה ויהיה עשרה בשנית וקח מהם אחד ויהיו עשרה במעלה שתרצה
	ואם היו ספרות רבות בין מעלתך ובין המעלה אשר בה מספר תשיב אחד אחורנית ויהיו עשרה וקח אחד מהעשרה לאחור ויהיו עשרה וכן עד עולם
	ובעבור שלא תצטרך לעיין כאשר תשוב אחורנית בכל מעלה ומעלה אומר לך כלל אחד והוא שתקח המספר שתמצה מאיזו מעלה שיהיה ותחזור אותו במעלתך [..] ואם יהיו בין שניהם ספרות רבות אלא שתצטרך לחשוב הספרות שבאמצע השתי מעלות ט' כל ספרא והכל יהיה שוה
	ולהראותך כל זה אמשיל משלים
	ואומר כי ראובן חייב לשמעון תקע"ג די' ופרע לו שנ"ב והנה רצינו לגרע מה שפרע מן החיוב
	נתן השני חשבונות בסדר מעלותם כזה הצורה
Debt Repayment Remainder 5 7 3 3 5 2 2 2 1	ה ז ג ג ה ב ב ב א החיוב הפרעון השיור
	נגרע ב' אחדים מג' ישאר אחד תחת הקו נגרע ה' מז' שהם עשרות נשארו ב' עשרות נגרע ג' מה' שהם מאות נשארו ב' מאות והנה נשאר מן החיוב רכ"א די'
	וכן תעשה אם יהיו לטרי' או פרחים או איזה מטבע שיהיה שהכל שוה
	משל אחר ראובן חיב לשמעון ה' אלפים ומ"ז לטרי ופרע לו תתקנ"ח לטרין
Debt Repayment Remainder 5 0 4 7   9 5 8 4 0 8 9	החיוב הפרעון השיור ה 0 ד ז   ט ה ח ד 0 8 ט
	נגרע מה שפרע מן החיוב נעשה כסדר שעבר ונשארו ד' אלפים ופ"ט לטרין
	‫[...] החיוב [...]עון והשיור [...]עון תת"ק כורי חיטה [...] רצינו לדעת הנשאר נגרע [...] החשבון בסדר מעלותיו כסדר
Debt Repayment Remainder 9 0 0 8 5 4   4 6	ט 0 0 ח ה ד   ד ו החיוב הפרעון הנשאר
	נגרע ד' מספרא לא נוכל נקח אחד מן הט' ונאמר שהוא עשרה במעלת האחדים נגרע מהם ד' ישארו ו' נגרע ה' מט' שחשבנו הספרא לט' בעבור שעברו עליה העשרה למעלת האחדים ישארו ד' נגרע ח' מח' שנשארו מן הט' לא נשאר כלום והנה נשארו מ"ו כורי חיטה
	ואם תחבר הפרעון והשיור ראוי שתציא החיוב כמו שתראה בבדיקות
	משל אחר כולו ספרות הנה מספר החיוב הוא מאתים אלפים משקלי צמר ופרע קכ"ג אלפים שמ"ה
	ויהיה כסדר מעלותיו כצורה הזאת
Debt Repayment Remainder 2 0 0 0 0 0 1 2 3 3 4 5   7 6 6 5 5	ב 0 0 0 0 0 א ב ג ג ד ה   ז ו ו ה ה החיוב הפרעון השיור
	והנה לא נוכל לגרוע ה' מספרא נקח א' מהב' ונעברנו על כל הספראש עד הראשונה במעלת האחדים ושם יהיה עשרה ונשארו על כל הספראש שבאמצע ט' ט' או תחשב כל ספרא לט' ועל ב' נשאר אחד ועתה נגרע ה' מעשרה שעברנו ישארו ה' וד' מט' ישארו ה' וג' מט' ‫ישארו ו' [...] וא' מא' לא נשאר [...] משקלי הצמר ‫[...]
	משל אחר אם תרצה [...] לטרין דנרין ‫[...]

The Fourth Chapter on Division of Integers	הפרק הרביעי בחילוק השלמים
	ואומר כי באשר החיבור הוא הפך הגרעון כן הכפל הוא הפך החילוק על כן יהיה כל אחד מאזני חברו כאשר אבאר במקומו
	והנה החילוק הוא מבוקש מה הראוי לכל אחד מן המחלקים הדבר או הממון המונח והנשאר לחלק הם חלקים נשברים הראוים לכל אחד כסך המחלקים באחד ובמקמות אחרים אדבר מזה השיור
	והנה הדרך שם לחלק הוא שתניח המספר שתרצה לחלק במעלותיו והמספר המחלק למטה מכוון מעלה כנגד מעלה מהמספר המונח כל אחד בטור אחד ובלבד שתניח ריוח בין שני הטורים לכתוב היוציא בחלוקה
	והנה מספר המחלק יהיה או ממעלה ראשונה או ממעלות רבות
	ואם ממעלה ראשונה תעיין במשל ראשון
	ואם יהיה המחלק ממעלות רבות אבל אין לו כל כך מעלות כמו שיש למספר שתרצה לחלק תן המעלה היותר גדולה מהמספר הקטן שהוא המחלק נגד המעלה הגדולה מן המספר הגדול וימשך אל מה שימשך ואחר תכוין מעלותך ותן לכל אחד הראוי לו מכל מעלה למעלה הנוכחית לה והמספר הראוי תן אותו ‫[...] הראוי לתת [...] זה המספר ככל [...] הראשונה אשר [...] זה החשבון המונח [...] מהמחלק ובכל פעם שתחלק [...] כמו שאומר תתן מספר אחד בין שני [...] הריוח נגד המעלה הראשונה אשר החילות לחלק
	ואחר שנתת כל מה שתוכל לתת לכל מעלות המחלק תחזיר אותו אחורנית מעלה אחד ותן לו גם כן כל מה שתוכל לתת לכל מעלה מהמעלות הטור מהמספר העליון
	ותן המספר הראוי בין הריוח והוא המספר הראוי לתת לכל אחד מהמחלק
	אבל כאשר תכתוב זה המספר תחת המעלה אשר החילות לחלק עיין שיספיק לתת כטור לכל מעלות המחלק
	ואם תחזור המחלק אחורנית ואין מספר לקחת ולתת למעלה ראשונה מן המחלק אם לא תתן לו לא באחדים אז תן ספרא במקומו ותחזור המחלק לאחורה
	והנה תחזור המחלק אחורנית כל כך פעמים עד שיהיו בחלוק אחדי המחלק נגד אחדי המחולק ובכאן תהיה החלוקה האחרונה ואם ישאר לחלק פחות מהמחלק או לא ישאר כלום
	וכל פעם שתחזור המחלק לאחור תעבור הקולמוס על הראשון בעבור שלא תתבלבל
	ואם לא תרצה להעביר עליו הקולמוס תכתוב המחלק על נייר קטן ותעבור הנייר לאחור
	ועתה הנה אם יהיה המחלק ממעלה ראשונה ממספר אחד כמו מא' עד ט' תוכל לתת אותו למטה נגד מעלת ‫האחדים [...] אותו אחורנית ‫[...]
	משל ראשון [...] רצינו לחלק [...] הצורה
4 8 7 9 1 2 5     7	ד ח ז ט א ב ה     ז
	נניח [...] האחדים וניתן מח' לז' אחד ונתן אותו תחת א' בריוח כי ממנו חלקנו וישאר א' על ח' נשיב הא' לאחור במעלת העשרות ועם ז' אשר היו שם יהיו י"ז נחלקם לז' יבוא לכל אחד ב' נכתוב ב' [..] בריוח תחת העשרות כי ממנו חילקנו ישארו ג' על ז' נשיבים לאחור למעלת האחדים על ט' יהיו ל"ט נחלקם לז' יבוא לכל אחד ט' ה' וישארו ד' על ט' לחלק ואם כן המחלק תתע"ט על ג' יבוא לכל אחד קכ"ה די' וד' שביעיות דינר ומזה השיור אדבר במשל רביעי [ובאחרים] וגם בפרק מיוחד ‫[..]
	משל שני רצינו לחלק רמ"ו פשיטין לי"ב נסדרם כזה הצורה
0 0   2 4 6 2 0   1 2     1 2	0 0   ב ד ו ב 0   א ב     א ב
	והנה נתן י"ב המחלק נגד מעלת המאות והעשרות למעלה כל מה שנוכל ונמצה בשני המעלות האלה כ"ד נחלוק כ"ד לי"ב יעלו שנים לכל אחד כי ב' האחרון נתן לא' וד' נתן לב' שאם ב' לקח א' הנה ב' יקח ד' ונשארו ספרא על ב' ועל ד' להורות שלא נשאר מהם דבר נחזור י"ב לאחור מעלה אחד יבואו אחדים עם אחדים ולא ‫[...] כנגד מעלת [...] לא לקח א' [...] חלק ב' גם כן והנה [...] חלקים מי"ב בשלם ועיין [...] אם נשארו לחלק אבל אם נחלקם [....] ששה ששה חלקים מי"ב בשלם ואם תקצרהו לחציים ישוב לחצי כמו ששה פשיט' לי"ב יהיה מחצה ועיין בו כי בו תראה טעם מה מהנשאר בחלוקה וכן בכל שיור שאם תחלקהו הוא חלק מהמחלק שהוא אחד שלם כי לעולם המחלק הוא אחד
	משל שלשי רצינו לחלק תצ"ז לטרי ממון על ל"ד בזה הצורה
2   0 3   1 5 1 4 9 7   1 4   3 4	ב   0 ג   א ה א ד ט ז   א ד   ג ד
	נתן מד' לג' אחד לכל אחד ישאר א' על ד' גם נתן לד' א' לכל אחד כפי מה שנקח ג' ישארו ה' על ט' נעבור המחלק לאחור ונעבור הקולמוס עליו
	ואם לא תרצה להעביר הקולמוס עליו תנהו בנייר קטן ותעבור הנייר לאחור כמו שאמרתי והנה עתה ג' נגד המעלה השנית אשר עליה ה' ועבור הא' אשר במעלה שלישית עם הה' יהיו ט"ו ומט"ו נוכל לתת לג' ה' לכל אחד אבל לא ישאר מז' לתת ה' לכל אחד מהד' ואם כן נתן מהט"ו לג' ד' לכל אחד שהם י"ב וישארו ג' על ה' וספרא על א' ונתן גם כן ד' לכל אחד מהד' יהיו י"ו נקח אחד מג' וו' מז' ונשארו על ג' ב' ועל ז' א' ואם כן עלה בחילק לכל אחד י"ד לטרין וכ"א חלקים מל"ד בלטרה ויהיה כל החשבון מחולק והראוי לכל אחד כי כאשר תחלק אי זה דבר מאי זה מין שיהיה וישארו לחלק מספרים מן המין ההוא הנה אעפי שהם ‫שלמים והמ[...] מאחד שאם [...] ועתה שלא הגיעו ל[...] והנה היוציא בחילוק מהשלמים [...] אמתי אלא שאינו מדוקדק הראוי [...] כצד נקצר זה השבר אם יש בו חלקים נקצר [...] תרצה אבל תכף תראה כיצד נחלק זה הנשאר לחלקים ש[...] המספר המחולק ואם הם לטרין נעשה מהנשאר דינרי' ופשיטי' ומחצית ורביעי פשוט שהם החלקים היותר קטנים או דרהם במשקל או דקים שניים שלשיי וכ[ן] בזמן וכן כפי חמר כל מין והמשל הבא אחלקיהו עד כלה
	המשל רביעי רצינו לחלק ב' אלפים תתקפ"ז [ליט'] על ל"ט בזאת הצורה
2     0 7     2 5   0 8   3 2 9 8 7     7 6   3 9 9     3	ב     0 ז     ב ה   0 ח   ג ב ט ח ז     ז ו   ג ט ט     ג
	נתן ג' תחת מעלת המאות כי לא נוכל לחלק מן האלפים ב' לג' אבל נעביר הב' ועם הט' יהיו כ"ט נתן לג' ז' לכל אחד יהיו כ"א ונשארו ח' על ט' ועל ב' ספרא ולא נוכל לתת לג' יותר מז' לכל אחד בעבור שיספיק לט' גם תן לט' ממעלת העשרות ז' לכל אחד כמו שנתת לג' יהיו 0"ג ישארו ב' על המאות נשיב המחלק לאחור מעלה אחת לצד ימין ויהיו אחדים עם אחדים ונתן לג' מכ"ה אשר שם עם הב' שנחזור לאחור ו' לכל אחד שהם י"ח ישארו במעלת העשרות ז' וספרא על ב' גם נתן לט' ולב' אחד שהם נ"ד מע"ז ישארו כ"ג לחלק כי ה' לקחנו מז' אשר בעשרות ונשארו ב' וד' מז' אשר באחדים ונשארו ג' ואם כן נשארו כ"ג לחלק ואם נרצה שיהיו מחולקים נאמר שעלה מן החילוק ע"ו ‫[...] לכל אחד [...] הראוי לכל אחד [...] מכל אחד וישארו [...] שהוא סך הלטרה יעלו ת"ק די' [...] י"א די' ונשארו ל"א די' לחלק כופל [...] שהם סך הדינר יעלו שע"ב פשיטי נחלקם על [...] יעלה לכל אחד י"ו פשיט' ונשארו כ"א פשוט כפלם על ד' שהם סך רביעי הפשוט יעלו פ"ד רביעיות נחלקם על ל"ט יעלו ב' רביעי פשוט שהם מחצה ונשארו ששה לחלק על ל"ט ויהיו ו' חלקים מל"ט ברביע ותוכל לקצרו בשלישית ויהיו ב' חלקים מי"ג ברביע ואם כן הראוי לכל אחד יהיה ע"ו לטרין י"א די' ט' פשיט' ומחצה וב' חלקים מי"ג ברביעית
	משל חמשי רצינו לחלק ה' אלפים תתנ"ב פרחים לנ"ו כזה הצורה
0     0 2 2 8 5 8 5 2   1 0 4 5 6 6 6   5 5	0     0 ב ב ח ה ח ה ב   א 0 ד ה ו ו ו   ה ה
	נחלק מ"ה לה' נתן אחד לכל אחד ונשאר ספרא על ה' גם מ"ח לו' אחד לכל אחד כמו שעשינו לראשון ישארו ב' על ח' נשיב המחלק מעלה אחת לאחור ואין דבר לתת להם אלא ספרא נשיב עוד המחלק לאחור ונתן מנ"ה לה' ד' לכל אחד ויהיה כ' ישארו נ"ב וספרא על ב' נתן גם לו' ד' לכל אחד שהם כ"ד ישארו כ"ח לחלק שהם כ"ח חלקים מנ"ו בפרח
	ואם תרצה לעשות מזה השיור די' כפול כ"ח על סך הפרח שהוא עתה י"ד די' יעלה שצ"ב די' חלקם על נ"ו יעלה בחילוק ז' די' ולא נשאר דבר לחלק והנה עלה לכל אחד ק"ד פרחי' וז' די'
	משל ששי רצינו לחלק קנ"ו לטרי פלפל לי"ד כזה ‫הצורה
0   0 1 2 1 5 6   1 1 1 4 4   1	0   0 א ב א ה ו   א א א ד ד   א
	‫[...] י"ו [...] ונשארו ב' [...] לכל אחד והב' נשארו [...] אוקיות הלטרה יעלו פ"ד אוקיות [...] יעלה בחילוק עוד [.] אוקיא אחת ונשארו עשרה אוקיות כופלם על י"ו חלקי האוקיא הנקראים אריאינסוש יעלו ק"ס חלקם על י"ד יעלה בחילוק י"א אריאינס וישארו ח' אריאינסו שהם ב' שלישי ד' שביעיות אריאינס אם תקצר כן
	משל שביעי רצינו לחלק מאתים ופ"ה אלפים ותתקע"ו כיכרי צמר על שע"ב כזאת הצורה
0 0 0 2 8 0 2 8 5 9 7 6   7 6 8       3 7 2         3 7 2         3 7 2	0 0 0 2 8 0 ב ח ה ט ז ו   ז ו ח       ג ז ב         ג ז ב         ג ז ב
	הנה בחלוקה הראשונה תוכל לתת לכל אחד ז' ונשיב המחלק לאחור ונתן לכל אחד ששה בחלוקה השנית ונשיב המחלק עוד לאחור ונתן לכל אחד ח' והנה יעלה בחילוק תשס"ח ככרי צמר ונשארו לחלק מאתים ושמונים ככרים כופלם במשקלי הככר שהם ד' יעלו אלף ק"ך משקלים נחלקם לשע"ב יעלו בחלוק ג' משקלים ונשארו ד' משקלים לחלק נכפלם בלטרי המשקל שהם שלושים יעלו ק"ך לטרים ולא נוכל לחלקם על שע"ב נכפלם על י"ב שהם אוקיות הליטרה יעלו אלף ות"מ אוקיות נחלקם על שע"ב יעלה בחילוק ג' אוקיות ונשארו שכ"ד אוקיות לחלק נכפלם על י"ו שהם חלקי האוקיא הנקראים אריאינסוש יעלו ה' אלפים קפ"ד אריאינסו' נחלקם על שע"ב יעלה בחילוק י"ג אריאינס' ‫[...] נקצרם ישובו [] ק' אלפים ותתקע"ו [...] ממשקל יבוא לכל [...] וג' אוקיות וי"ג אריאינסו [...] תעיין בבחינה
	הנה רצינו לחלק ד' אלפים [...] שנ"ז דוקאדוש על ל"ב הנה נפל לכל אחד קל"ו דוקאדוש וג' די' וה' פשיטי' ורביע פשוט כמו שתראה בזאת הצורה
	רביעי' פשי' דינ' דוקדוש היוצא לכל אחד א ה ג וגא כפול על המורה בג בג בג בג מורה כל אחד לחלק ד 12 בב
	והבחינה שתשיב הכל מכלל לכלל עד שישוב הכל אל הכלל הראשון וזה שתכפול ראשונה כל חלקי החלוקה על המחלק שהוא ל"ב והוא המורה והוא באמצע הצורה והיוציא בכפל מכל אחד תחלק כל אחד על מורה חלקו כמו הרביעיות שתחלק על ד' ויהיו פשיטי' והפשיט' על י"ב ויהיו די' והדינ' על כ"ב ויהיו דוקאדוש בשאלתנו זאת
	ובאחרים כמורה כל מטבע שתרצה אם פרחים על י"ו ואם לטרי' על כ' וכן הכל
	ואחר תחזור הפשי' די' והדי' דוקדוש בשאלתנו כנז'
	והמשל בזה נכפול הרביע פשוט שהיא אחת במורה שהוא ל"ב יעלו ל"ב רביעיות תנחלקם על ד' שהוא מורה הפשיטין יעלו ח' פשיטי' ונשמור אותם
	עוד נכפול הה' פשיט' על ל"ב יעלו ק"ס פשיט
	נחבר עליהם ח' ששמרנו יעלו קס"ח פשיטי'
	נחלקם על י"ב יהיו י"ד דינ' ונשמרם
	עוד נכפול הג' די' במורה יעלו צ"ו די' ועם י"ד ששמרנו יהיו ק"י
	נחלקם על המורה כ"ב יהיו ה' דוקאדוש ונשמרם
	גם נכפול הדוקאדי' שיצאו בחלוקה שהם קל"ו על המורה יעלו ד' אלפים תנ"ב דוקדוש ‫תנ"ב דוקאדוש [...] הכל אל הכלל הראשון ‫[...]
	סוחר קנה כ"ד [...] כל אמה
	התשובה נחלק [...] וזהו סך כל אמה
	והבחינה נכפול [...] המחלק ותציא סך כל הפרחים
	סוחר קנה ל' אמות בגד בסך כ"ד פרחים וחלק שאלתי סך האמה
	התשובה נחלק כ"ד על ל' הנה הוא מחולק שהוא כ"ד חלקים מל' בפרח אחד כז' $\scriptstyle\frac{24}{30}$ נקצרהו אם נרצה יהיו ד' חמשיות פרח או דרך אחרת נעשה מהפרחים די' יהיו שפ"ד אלף תקל"ו נחלקם על ל' יעלה בחילוק נחלקם על ל' אמות יעלה בחילוק י"ב ונשארו כ"ד די' נכפלם בי"ב יהיה תפ"ח פשיט' נחלקם על ל' יעלו יעלו ט' פשי' ונשארו י"ח פשיט נכפלם על ב' יהיו ל"ו מחצות נחלקם על ל' יבוא מחצה ונשארו ו' מחצות והם ששה חלקי מחצה ומקוצרים יהיו חמשית מחצה וכן כל הדומה לזה מאי זה מין שיהיה ממדה ועוד נדבר מזה במקום אחר ועלה מזה כי סך האמה הוא י"ב די' וט' פשיט ומחצה וחמשית מחצה
	והבחינה נכפול המחצית על ל' יהיו ל' וו' שנשארו יהיו ל"ו מחצית נעשה מהם פשיטין יהיו י"ח פשיט ונשמור אותם גם נכפול ט' פשטי על ל' שהוא המורה יהיו ר"ע ועם י"ח ששמרנו יהיו רפ"ח פשיט חלקם על י"ב יעלו כ"ד די' ונשמרם עו' נכפול הי"ב די' על המורה יהיו ש"ס די' ועם הכ"ד ששמרנו יהיו שפ"ד די' ואם נחלקם על י"ו יעלו כ"ד פרחים [..] טובה
	משל אחר רצי מזמן רצינו לחלק ה' אלפים רל"ז על י"ט שהוא סך המחזור ס' ויהיה כזאת הצורה
5 2 3 7 2 7 5   1 9	ה ב ג ז ב ז ה   א ט
	ויהיה היוציא בחילוק רע"ה ונשארו י"ב שנים לחלק כופלם בשס"ה ורביע כמו שתראה ‫[...]פ"ג ימים תחלקם [...] עשיתי מהם חדשים בעבור [...] לכל ולפי זה לא אחלק [...] החלוקה נשארו לחלק הג' ימים [...] שהם שעות היום יעלו שי"ב נחלקם על [...] י"ו שעות ונשארו י"ו לחלק תכפלם על ס' יעלו שהם דקי השעה יעלו ת"נ דקים תחלקם על י"ט יעלו כ"ה דקים ונשארו ה' דקים וכפלם על ס' ונחלק על י"ט יעלו ט"ו שניים ונשארו ט"ו שניים וכן תכפול השיוור על ס' ותחלק על י"ט עד שלא תרצה עוד לדקדק או באיזה שיקרא שלא ישאר כלום
	ובמקום אחר אעשה אלו החלקים חלקי העיבור בע"ה
	ודע כי מה שקצרתי באלו המשלים הוא ביאור והאריכות בלבול כי אלו הענינים צריך אדם ללמוד התחלתם ממלמיד כאשר אמר הר"ם במד"ל בעיבור הקטן שעשה ועוד כי במקומות אחרים אשנה ואשליש
	ועתה אדבר במאזנים שיעדתי לדבור אחר אילו הד' מנים הערה לחילוק וכיצד נקצר החילוק משל כמו שרצינו לחלק מספר מה על מספר מה והיוציא תהיה מספר מה וזאת החלוקה תציא גם כן אם תחלק חצי המספר על חצי המחלק וכן אם תחלק שלישית המספר על שלשית המחלק שאם תקצר שניהם כשוה על חצי או שלשית או רביעית או כמה שתוכל לקצר שניהם בשוה יציא המספר בחלקה שוה
	המשל בזה רצינו לחלק ב' אלפים שי"ו על כ"ד יעלה בחילוק צ"ו וחצי גם אם נקח החצי שהוא אלף קנ"ח ונחלק אותו על חצי המחלק שהוא י"ב יעלה בחילוק צ"ו וחצי גם אם ניקח ונחלק הרביעית על שניהם הרביעית תקע"ט על ו' יעלה בחילוק צ"ו וחצי ואם שלשית הרביעית ר"ל שלשית תתקע"ט שהוא קצ"ו ונחלק אותו על שלישית ו' שהוא ב' יעלה בחילוק צ"ו וחצי
	וכן כל [.] הדומה לזה ועיין בו
	ואם לא תוכל לקצר שניהם תעיין אם תראה ספרא באחדם תוכל לקצרם בחצי ובחמשית ובעשרית ואם תראה ה' באחדים גם תוכל ‫לקצרם [...] אם תוכל לקצרם [...] והנשאר שלא תמצא הקיצור [...] החלוקה עד אחד וזה הקיצור [...] בחלוקה
	והמשל בזה הנה נשאר לנו מחלוקה שס"ח ולא נדע המספר אשר בו נוכל לקצרו נחלק שס"ח המחלק על הנשאר לחלק שהוא קע"ו ישארו י"ו לחלק תחלק קע"ו על י"ו לא [.] נשאר דבר וזה יורה כי בי"ו נוכל לקצר שניהם ואז ישובו י"א חלקים מכ"ג כי נחלק קע"ו על י"ו יעלו י"א גם נחלק שס"ח על י"ו יעלו כ"ג ונשארו י"ו וערכם לראשונים שוה ובשברים אדבר מזה בע"ה
	משל אחר נ"ד חלקים שנשארו לחלק על תתקנ"ו כזה
	וה והט
	נחלק המורה על נ"ד ונשארו ל"ח נחלק נ"ד על ל"ח [.] נשארו י"ו גם ל"ח על י"ו נשארו ו' גם י"ו על ו' נשארו ד' גם ו' על ד' נשארו ב' גם ד' על ב' לא נשאר כלום ויורה כי על ב' נתקצרו שניהם
	ובשברים אדבר עו' מזה בע"ה וגם אעשה פרק בקיצורי החברות ודרך השלושה בע"ה ית'
	פרק בסדר מאזני החיבור והכפל והגרעון והחילוק
	ואומר כי טעם שלא עשיתי מאזנים לכל מין ומין בפני עצמו או לכל משל ומשל הם שתי סיבות
	האחד שאם כתבתי מאזני בכל דבר תכבד המלאכה ואם עשיתי זה בקצת הספר היה לצורך חילוף השאלות
	והסיבה השנית בעבור כי החיבור והגרעון כל אחד מאזני חברו וכן הכפל והחילוק
	ובעבור אלה השתי סיבות עשיתי פרק מיוחד למאזני הארבעה מינים
	ואומר כי מאזני החיבור הוא שתגרע מן המספר המחובר הטור האחד מן השתי טורים ותשאר השני
	המשל חיבור תפ"ד עם שפ"ט יעלו תתע"ל כזה הצורה
4 8 4 3 8 9 8 7 3	ד ח ד ג ח ט ח ז ג
	גרע תפ"ד מתתע"ג ישאר שפ"ט אף גרע שפ"ט מתתע"ג ישאר תפ"ד
	וכן כל הדומה לז'
	משל אחר משלושה טורים האחד ‫[...] והשלישית [...] אלפים ומאתים כזה [...] בשני טורים הראשונים [...] מכל המחובר ישאר הממון [...] השלישי שהוא ד' אלפים וס' עוד נגרע חיבור השני והשלישי שהוא ז' אלפים וק"ך מהגדול ישאר הממון הראשון שהוא ב' אלפים ופ' או גרע חיבור הראשון והשלישי שהוא ו' אלפים וק"ס מהגדול ישאר הממון השני שהוא ג' אלפים וס' וכן כל הדומה לזה
	דרך אחרת תחבר חשבון כל הטורים כאחדים בין באורך בין ברוחב והעולה אחר שתשליכם ט'ט' בכף המאזנים האחד וגם המקובץ מכל הטורים תשלכים ט'ט' והנשאר פחות מט' תתן בכף שנייה ואם יהיו שוות מיטב
	המשל חיברנו רל"ד עם שי"ב ועם רכ"ב ושלשתם יהיו תשס"ח
	2 3 4 3 1 2 2 2 2 7 6 8
	נחבר הג' שורות כאחדים יהיו כ"א תשלכים ט'ט' נשארו ג' ונתן ג' בקו המאנים גם שיור המקובץ שהם כ"א הוא ג' וניתן אותו בקו המאנים השנייה השנייה ויורה שהחיבור הוא טוב
	מאזני הגרעון נחבר המספר הגורע עם הנשאר ותציא הגדול
	והמשל אחר שגרענו שפ"ט מתפ"ד ישארו צ"ה שהוא הנשאר נחברם עם המספר הגרע שהוא שפ"ט יעלו תפ"ד הגדול או תאמר תפ"ד החיוב ושפ"ט הפרעון וצ"ה הנשאר לפרוע נחבר הפרעון עם מה שנשאר לפרוע ותציא כל החיוב
	ד ח ד החיוב ג ח ט הפרעון   ט ה הנשאר
	מאזני הכפל נחלק היוציא מן הכפל על אחד משניהם ותצא השני
	והמשל כפל תפ"ד על שפ"ט הוא קמ"ז אלפים רע"ו
	והבחינה היא שתחלק זה המספר על הכופל ותציא הנכפל או בהפך
	מאזני המעוקב נחלק המעוקב על הכופל והיוציא בחילוק תחלק על פעם שנית ותציא הנכפל
	המשל בזה נכפול כ"ג על כ"ג ותציא ‫תקכ"ט [...] והוא המעוקב [...] ותציא תקכ"ט עוד תחלק תק[כ"ט] [...] בחלוק ראשון על כ"ג ותציא בחילוק ‫[...]
	מאזני החילוק כפול המחלק על היוציא [...] בכפל תחבר הנשאר ותציא הגדול המחולק
	המשל במספר הנזכר כפלנו המחלק שהוא שפ"ט על היוציא שהוא א' יעלה שפ"ט חיברנו עמו הנשאר לחלק שהוא צ"ה יעלה תפ"ד הגדול המחולק והרי לך המאזנים האמתיים
	אבל המנהג לתלמיד המתחיל [.] כל עוד שלא הגיע לידיעת הד' מינים הנז' ישמשו עם מאזני ט' או מאזני ז' או שניהם להוציא האמת אם טעה באחד מהם כאשר אפרש עוד ואבאר מאזני ט' ומאזני ז' בקיצור ומהם תדע שאר האחרים
	ואומר כי מאזני ט' תעשה ראשנה שני קוים האחד נטוי והשני עומד וחותכים זה את זה כמו שתראה בצורה
	ז   0 + 0   ב
	והקו הנטוי הוא המשקל שיהיו הימין והשמאל [..] והשמאל שוים והדרך הוא שחיברנו והשמאל שוים והדרך הוא שחיברנו תפ"ד עם שפ"ט והיוציא יהיה תתע"ג ועתה נספור השטה העליונה כמו אחדים שהיא דח"ד יהיו י"ו תשלך מהם ט' נשארו ז' תתנם על העמוד גם נשאר מהשיטה [השטה] השנית ב' תן ב' למטה בעמוד תחבר ז' עם ב' ישאר ספרא והיא כמו שחיברת תפ"ד שפ"ט וניתן הספרה בקו המשקל גם תראה אם אם נשאר מכל המקובץ ספרא וניתן אותה בקו המשקל גם כן והנה נשאר ספרא והוא טוב
	מאזני החיבור מטורים רבים ואמר אם יהיו ג' טורים כזאת הצורה
5 4 8   1 2 4   3 6 5 1 0 3 7	ה ד ח   א ב ד   ג ו ה א 0 ג ז
	תחבר תקמ"ח עם קכ"ד ועם שס"ה יעלו אלף ול"ז תשליכם ט'ט' נשארו ב' והם הבחינה גם מאלף ול"ז ישארו ב' והוא טוב
	מאזני הכפל ‫[...] ושיור הנכפל [...] ושיור כל המספר בכף [...] המשקל מוטב [...]כפל ל"ב על תשס"ה נשליך [...] ישארו ה' למעלה בעמוד ומן [...] ספרא למטה
	ה   0 + 0   0
	וכפל ספרא על ה' ספרא בכף המשקל וגם נמצא ספרא בכף הבחינה שהוא שיור היוציא היוציא מכל המספר ויורה שהוא טוב
3 2     7 6 5 2 4 4 8 0	ג ב     ז ו ה ב ד ד ח 0
	מאזני החילוק תן שיור מה שעלה בחילוק על העמוד ושיור המחלק למטה וכפול שניהם ועל היוציא תחבר הנשאר לחלק אם נשאר והנשאר יהיה השמור בקו המשקל ושיור כל המספר המחולק יהיה בקו הבחינה
	והמשל חילקנו ה' אלפים תי"ב על כ"ב הנה יעלה בחילוק רמ"ו והנשאר יהיה ג' [.] ונתן אותו למעלה בעמוד ושיור המחלק שהוא כ"ב הוא ד' למטה בעמוד
	ג   ג + ג   ד
	וכפלנו שניהם יהיו י"ב תשלך מהם ט' נשארו ג' בקו המשקל וכן נשארו מכל
	‫וכן נשארו [...] כל הדומה לזה [...] והנה בדיקת ז' היא [...] מהנשאר כמו שעשינו [...] הבחינה וזולתה ממספר האחדים [...] שלמה בחייוב כמו ט' גם כן שאם [...] מקיבוץ ט' לא תמצה הטעות
	אבל עם שתבדוק עם בדיקת ז' תמצא הטעות בחיוב
	אבל אם תטעה מחיבור ז' וט' לא תמצא הטעות
	אבל אם תבדוק בה' או בזולתו מן האחדים ובלבד שלא יהיה עם ג' כי ג' בט' אז תמצא הטעות
	ואם מחיבור שלושתם או ממספר מורכב משלושתם לא תרגיש הטעות
	כמו משט"ו שהוא מורכב מט' וז' וה'
	זה הכלל שמה שלא ירגיש זה יגלה זה אבל אם תטעה מקיבוצם לא תרגיש הטעות
	כי דרך משל שאם תטעה ממספר שהוא מורכב מכל מספרי האחדים שהוא מדת האפשר לא תרגיש הטעות
	ודי בזה הערה כי הבדקה השלמה היא חיבור וגרעון כל אחד מאזני חבריו וכן כפל וחילוק

The Second Section: Fractions	‫[השער השני בשברים]
	‫[חל]קתיו לארבעה
	‫[הפרק הראשון בחיבור השברים]
	‫[הפרק השני בכפל] השברים
	הפרק השלישי במגרעת השברים
	הפרק הרביעי בחילוק השברים
Introductions to the First Chapter on the Addition of Fractions	הקדמות לפרק הראשון שהוא בחיבור השברים
Because of the great diversity of the fractions, many premises and methods should precede the addition.	הנה לרוב חילופי השברי ראוי הקדמות ודרכים רבים קודם החיבור
First I shall state the explanations and the premises that are necessary in this chapter in general, some of them about the knowledge how to write the fractions and the denominators, how to reduce them, how to reduce the fractions and the common denominator and what should be done with the remainder of the division.	ואומר ראשונה ההצעות וההקדמות הראויות על זה השער בכלל ומהם בידיעת כיצד נכתוב השברים והמורים וכיצד נקצרם וכיצד נקצר השברים ואב המורים ומה נעשה מהנשאר בחלוקה
I shall introduce a premise and say that the definition of the number is a multitude summed from units.	ואקדים הקדמה ואומר כי גדר המספר הוא ריבוי מקובץ מאחדים
Hence, the one is the foundation of the number, as I have stated concerning the fundamental rank and I repeat it here, since this is its place.	ואם כן האחד הוא יסוד המספר כאשר אמרתי במעלת היסוד ואשנה בכאן כי זה מקומו
I say that it is well known that there are 3 Elements: the Exalted Creator in His creation and the point in geometry and the one in arithmetic	ואומר כי ידוע הוא כי ג' יסודות הם הבורא ית' בברואיו והנקודה בהנדסה והאחד במספר
For as the Exalted Creator is first and last in His creation, so the point is first and last, because the end of the line is two points, and so is the one first and last for all numbers, because every given number is greater than one that precedes it by nature	כי כאשר הבורא ית' הוא ראשון ואחרון בברואיו כן הנקודה ראשונה ואחרונה כי תכלית הקו שתי נקודות וכן האחד בכל מספר שהוא ראשון ואחרון כי כל מספר מונח הוא הוא גדול מאחד מן הקודם לו בטבע
Thus, you find that each Element is first and last and a limit.	והרי לך כי כל יסוד תמצאנו בראש ובסוף וגבולו
Furthermore, you know that there are three worlds: the world of angels, the world of the spheres, and the sublunar world.	ועוד תדע כי שלושה עולמות הם עולם המלאכים ועולם הגלגלים ועולם השפל
The world of angels is not a body and not a potentiality in the body, so is the Exalted God, who is their Element [...]	והנה העולם המלאכים אינו גוף ולא כוח בגוף כן האל ית' שמו שהוא ‫יסודם ויסוד [...] הענף ואין בו לא ‫[...]
	והנה הושאלה הנקודה [...] העליונים ומן התחתונים ואילו [...] גשם שאם תחלק הגשם יתחדשו [...] קוים ותכלית הקו נקודות ‫[...]
The name of the one was borrowed as a foundation of the number, because of its many virtues, as it is a root of itself, a square, a cube [...] and the number that follows it is its double, unlike all other numbers, for you will not find any number, such that the number that follows it is its double.	‫[...] והנה בעולם [...] הושאל שם האחד יסוד למספר בעבור רוב סגולותיו שהוא יסוד לעצמו והוא מרובע והוא מעוקב [הוא יסוד ונקודה] והמספר הבא אחריו הוא כפלו אשר לא כן בכל המספרים שלא תמצא מספר שיהיה כפל המספר הבא אחריו
Since the one is as a cause that has only one side that is caused from the one and every number has two sides.	בעבור כי האחד הוא כמו עילה שאין לו אלא פאה אחת אשר היא עלולה מן האחד וכל מספר יש לו שתי פאות
What one does in one side [$\scriptstyle{\color{red}{1=\frac{1}{2}\sdot2}}$], every number does in its two closest sides or its equal intervals [$\scriptstyle{\color{red}{n=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(n-1\right)+\left(n+1\right)\right]=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(n-m\right)+\left(n+m\right)\right]}}$]	ומה שיעשה האחד בפאה אחת יעשה כל מספר בשתי פיאות קרובות או רחוקות מיחס שוה
One has relation only to its closest side, since it has its beginning there, which is the beginning of the number that is two that follows it, which is double the one.	ולאחד אין לו יחס אלא בפיאה אחת הקרובה אליו [.] בעבור שיש [לה] שם התחלה שהיא תחלת המספר שהיא השנים שהיא כפל האחד [הנמשכים אחריו
If it is conceived that one does no exist, it is conceived that no number exists; and if it is conceived that no number exists, it is not conceived that there is no one, because [one] does not depend on the [number].	שאם תדומה שלא תמצא ימצא אחד לא תדומה מספר כלל ואם תדומה מאין מספר כלל לא תדומה שאין אחד כי אין תלוי זה בזה‫]
Example: take ten, it is a half of its two sides, which are 9 and 11; 8 and 12; 7 and 13 $\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{1}{2}\sdot\left(9+11\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(8+12\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(7+19\right)}}$; and every number up to the end of the first side.	והמשל שתקח עשרה ו[הוא] חצי שתי פאותיו שהם ט' וי"א וגם ח' וי"ב וגם ז' וי"ג וכן כל מספר עד סוף הפאה הראשונה [וכן כל שתי'‫] הראשונה שהיא אחד
In addition, since one body has endless number of parts, we divide the one by diminution, as we multiply it by augmentation.	ועוד בעבור כי גשם אחד מספר חלקיו לאין תכלית אנו מחלקים את האחד למטה כאשר אנו כופלים אותו למעלה
As the numbers are endless upwards, so the fractions are endless downwards.	וכאשר שם מספר למעלה בלתי בעל תכלית כן השברים למטה בכל בלתי בעלי תכלית
For, as the number is deprived of substance and succeeding from the one onwards, we multiply endlessly, as well as divide endlessly.	כי כאשר המספר המשולל מחומר ונמשך מן האחד ולמעלה כן אנו כופלים לאין תכלית כן אנחנו מחלקים לאין תכלית
We conceive the one as a body that we divide endlessly.	ואנו מדמין את האחד כמו גוף אשר אנו מחלקים אותו לאין תכלית
We say: one-half, one-third, one-quarter and so on successive fractions endlessly.	ואנו אומרים חצי ושלישית ורביעית וכן חלקים נמשכים לאין תכלית
Moreover, we conceive each fraction as endless fractions.	ועוד כי מכל שבר אנו עושין בדמיון שברים לאין תכלית
	‫[...] חלק [...] לשלושה [...] שבר נקרא בשם [...] עוד שכל שבר שהוא [...] האחד כי האחד בין השלמים [...] הוא יסוד וסיבה להם כמו [...] במעלת היסוד
The instruction of each fraction is its corresponding integer, so if the fraction is of the first rank, its instruction is also of the rank of the units; if [the fraction is] of [the second rank], [its instruction] is of the tens.	והוראת כל שבר הוא המספר השלם שכנגדו שאם השבר תהיה ממעלה ראשונה גם הוראתו תהיה ממעלת האחדים ואם מעשרות יהיה מעשרות
I call [the fractions] from half to ninth a first rank that corresponds to the rank of the units.	כי אני קורא מחצי עד תשיעית מעלה ראשונה והיא כנגד מעלת האחדים
[The rank of] the tenth, the eleventh and so on until the ninetieth corresponds to the rank of the tens.	ועשרית וחלק מי"א וכן עד חלק מתשעים הוא נגד מעלת העשרות
And so on endlessly.	וכן לאין תכלית
One is in the middle between them and is not an instruction for any fraction.	והאחד במרכז בינהם ואינו הוראה לשום שבר
Example: half is in the first rank below the one and its instruction is in the first rank above the one; and since the half is the greatest fraction, its instruction, which is two, is the smallest number.	המשל בזה הנה חצי הוא במעלה ראשונה למטה מן האחד והוראתו במעלה ראשונה למעלה מן האחד ובעבור כי חצי הוא השבר היותר גדול הוראתו הם שנים היותר קטן מהמספר
Hence, the fraction and its instruction are sides of the one.	והנה השבר והוראתו הם פאות האחד
The next fraction after half is third, which is from the first rank below the one, and its instruction, or its denominator, is three; they are secondary sides of one [...] and so on.	והשבר הבא אחר חצי הוא שליש ממעלה ראשונה למטה מן האחד והוראתו או המורה השלם הוא שלושה [הם] פאות שנייות לאחד [..] וכן כולם
	ואם תהיה השבר ממעלה אחת או ממעלות רבות למטה מן האחד נקי תהיה המורה במעלות הדומות להם למעלה מן האחד וביחס וערך שוה לאחד
	שאם תהיה השבר חלק ממאה ועשר ואחד יהיה הוראתו קי"א ונאמר כי קי"א הוא השלם
	ועוד כי כאשר נאמר בשלמים זוג ונפרד או זוג הזוג או זוג הזוג והנפרד [או זוג הנפרד] כן ‫נוכל [...] כמו שתראה [...] שמינית [...] הראשונה למטה [...] חצי עם ב' כי [...] ג' כי ג' שלישים עושים אחד [...] הנה השברים [...] הקטנים מן האחד והשניים מן הב' והשלישים מן הג' כי א' על ב' יורה חצי וא' על ג' יורה שלישית וא' על ד' יורה רביעי' וכן כולם עד כי א' על עשרה יורה עשרית וא' על מאה יורה חלק ממאה והנה השניים הם ב' על כל הנמשכים תחתיו והשלישיים ג' על כל הנמשכים תחתיו וכן כולם בהמשכה לאין תכלית

1                               half   2                           third       3                       quarter           4                   fifth               5               sixth                   6           seventh                       7       eighth                           8   ninth                                 9

א                               חצי   ב                           שלי       ג                       רביעי           ד                   חמישי               ה               ששי                   ו           שביעית                       ז       שמינית                           ח   תשיעית                                 ט

ואציר בכאן לוח לוח אחד מא' עד י"א [.] ושם תראה בראשו כל השברים אשר תוכל להרכיב מא' עד י"א

אבל תעיין ותמצא בו סגולות המורכבים כי כל השברים אשר הם מוכפלים ממיני הנמשכות בסדר כמו שתראה בפרק שני מן השער [המורכב] אין התפארת לכותבם בלתי מקוצרים כמו שתראה דרך הקיצור במקומו והם כזה המקרן ב' רביעיים שישובו לחצי ומב' שלישים שישובו לשלישית וב' ששיים שישובו לשלישית ‫[...] ב [...] ששבו [...] שישיו לב' [...] לחצי וד' עשריות [...] לב' חמשיות [...] לג' רביעיות [ד' תש]עיות ב' שלישות וו' עשיריות לג' חמשיות וכן ח' תשיעיות ד' חמשיות וכן ערך א' אל ד' כערך י"ב אל מ"ח

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{11}}}$                                   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}}}$                               $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}}}$                           $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}}}$                       $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{8}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}}}$                   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$               $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{8}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{6}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$           $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{8}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{6}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$       $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{11}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{9}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$

י יא   ט עשרין   ח תשיעי   ז שמני   ו שביעי   ה ששי   ד חמשי   ג רביע   ב שליש   חצי

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 66 60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 77 70 63 56 49 42 35 28 21 14 7 88 80 72 64 56 48 40 32 24 16 8 99 90 81 72 63 54 45 36 27 18 9 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 121 110 99 88 77 66 55 44 33 22 11 132 120 108 96 84 72 60 48 36 24 12 143 130 117 104 91 78 65 52 39 26 13 154 140 126 112 98 84 70 56 42 28 14

יא י ט ח ז ו ה ד ג ב א כב כ יח יו יד יב 0א  ח ו ד ב לג ל כז כד כא יח טו יב ט ו ג מד מ לו לב כח כד כ יו יב ח ד נה נ מה מ לה ל כה כ טו י ה סו ס נד מח מב לו ל כד יח יב ו עז ע סג נו מט מב לה כח כא יד ז פח פ עב סד נו מח מ לב כד יו ח צט צ פא עב סג נד מה לו כז יח ט קי ק צ פ ע ס נ מ ל כ י קכא קי צט פח עז סו נה מד לג כב יא קלב קכ קח צו פד עב ס מח לו כד יב קמג קל קיז קד צא עח סה נב לט כו יג קנד קמ קכו קיב צח פד ע נו מב כח יד

	וגם נוכל לעשות חלוקות רבות בדילוג או לקצר הנשאר בחלוקה
	כמו ל"ג שנשארו לחלק על צ"ט ששבו ליסודם שהוא ג' וט' והם ישובו לשליש וגם ישובו לאמצעיים
	וכל בעל שכל יעיין בו ‫ומ[...] הלוח לטור [...] ב' וד' הנה [...] בטור שני ששבו [...] שלישים לא"ב ערכם [...] ושלשית ו' ב' ושבו לא"ב וכן [...] ועיין ותראה ובערכים תשכיל עוד ו‫[...]
The upper number is the name of the fractions [= numerator]	המספר העליון הוא שם השברים
The bottom number is the denominator, i.e. that indicates how many fractions of the upper number make one whole.	והמספר התחתון הוא המורה ר"ל שמורה כמה שברים מן המספר העליון עשו אחד שלם
The same is true if there are many fractions because the upper ones are the number of the fractions and the bottom numbers are the denominators for each whole fraction, for each fraction has one denominator.	והוא הדין אם יהיו שברים רבים כי העליונים יהיו מספר השברים והמספרים התחתונים יהיו המורים לכל שבר השלם כי לכל שבר מורה אחד
Yet, you can make one common denominator of all of them, or of some of them, through four ways, as you may see below with the help of God.	אלא שתוכל לעשות מכולם מורה אחד כללי [.] או מקצתם כמו שתראה אחר זה בע"ה בד' דרכים
	ותדע כיצד נקצר המורה ושנמצא בו כל השברים הראוים וענין קיצור המורה הוא רשות לדבר אחד אלא שהוא קל המשל המעשה [.] וקיצור המורה לדבר אחד הכרחית כאשר תראה במקומו בע"ה
The Method for Knowing the Common Denominator of Numerous Different Fractions	דרך בידעת המורה הכולל לשברים רבים מתחלפים
	ואומר כי מאחר שאמרנו מה הם השברים ומה הוא המורה שהוא הוראת השלם ועתה היה ראוי לנו לכתוב כיצד נוציא המורה הכללי
	וראשונה אומר דרך הנחת השברים או שברי שברים
	ואומר שרצינו להניח ג' חמישיות כזה ‫ וד' תשיעיות כזה ‫ וי"ב חלקים מי"ז כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{17}}}$	12 זא
	וקל"ז חלקים מרמ"א כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{137}{241}}}$	זגא אדב
	ואם היו רבים הכתיבה היא עם ו' כמו חצי ושלישית [ורביעית וחמשית ואם שבר השבר הכתבה הוא עם מ' או בלי דבר כמו חצי מב' שלשות מג' רביעיות מד' חמשיות או חצי שלישית רביעית ואשוב לסדר השברים שאמרתי שהם ג' חמשיות] להניח ג' חמשיות וד' תשיעיות וי"ב חלקים מי"ז וקל"ז חלקים ‫[...] והנה [...] שברי הראשון [...] וד' שלם ואם [...] יהיו ט' יהיה [...] יהיה אחד שלם וגם אם על
	‫[...] והנה שברי שברים הם כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$
	והם חצי מב' שלישיות מג' רביעיות שכולם הם רביע שלם ויגרעו ג' רביעיות לתשלום אחד
	וכן כל הדומה מזה ובשאלות תראה ותתבונין זה בע"ה
	ועתה רצינו לדעת מורה כללי לשני טורים [.] או לרבים ושברים מתחלפים שיכללם מורה אחד ואז כאשר יהיו השברים שוים תוכל לעשות מהם כל מה שתרצה אם לחבר או לגרוע או לחלק הכל כפי מה שתרצה
	וראשונה אומר כי הנחת שברים ממינים רבים יהיו באחד מארבעה דרכים
The first way is when the numerators are equal and the denominators are different.	הדרך האחד הוא שיהיו השברים שוים ומורים מתחלפים
The second [way] is the opposite, when the numerators differ and the denominators are equal.	השני הפך זה שיהיו השברים מתחלפים והמורים שוים
The third [way] is when the numerators differ and the denominators differ.	השלישי שיהיה השברים מתחלפים והמורים מתחלפים
The fourth [way] is the opposite, when the numerators are equal and the denominators are equal.	הרביעי הפך זה שיהיה השברים שוים והמורים שוים
	ופעמים תמצאם מורכבים
	הדרך הראשון שהוא שוה השברים ומתחלף המורה יחלק לשני חלוקות אם שלא תוכל לקצר המורה הכללי אם שתוכל לקצרו ואפילו הכי תמצא בו כל חלקי השברים
	ואתן משל לכל אחד ואתחיל בשברים שלא תוכל לקצר המורה הכללי ויהיה כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ [fractions] [denominators] 210 total	‫[שברי‫'‫] [מורים] ‫0אב ‫[כללם‫]
	חצי ושלישית וחמשית ושביעית ומורהם ב' לחצי ומורה השליש ג' ומרה החמשית ה' ומורה השביעית ז' ועתה ‫ נוציא [...] על השליש[...] ואם קטון [...] כסדר
	המשל [...] יעלה ק"ה עוד [...] אשר בו תמצה כל השברים כי [...] וחמשיתו מ"ב ושביעיתו ל' [...] הדין אם [...] שלא כסדר כמו ב' על ז' שהם י"ד וי"ד על ג' שהם מ"ב ומ"ב על ה' שהם ר"י כנזכר
	משל שני לדרך הראשון בהוצאת המורה הכללי אשר תוכל לקצרו ויהיה כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 144	דדא
	ואומר שאם נכפול ונרכיב כל המורים כאשר עשינו בעבר יהיו קמ"ד כי ב' על ג' הם ו' וו' על ד' הם כ"ד וכ"ד על ו' הם קמ"ד והנה חצי קמ"ד ע"ב ושלישיתו מ"ח ורבעיתו ל"ו ושישיתו כ"ד ועתה נקצר המורה ונראה אם נמצא בו אלו החלקים והנה נקח חשבון שיהיו בו חצי ושלישית ורביעית ושישית ונמצאו בי"ב כי חציו ו' ושלישתו ד' ורביעיתו ג' ושישיתו ב' ואם כן המורה המקוצר הכללי הוא י"ב
	אבל אחר זה אדבר בדרכים הראויים לקצר המורה ובכאן אתערך מעט
	הדרך השני שהוא הפך הראשון שהוא כאשר יהיו השברים מתחלפים והמורים שוים ויהיו כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 5	ה
	ואומר כי המורה הכללי הוא בלא קיצור ק"ה ואם תקצרהו יהיה ה' בעבור שלא נצטרך אלא חמשית וגם בה' תמצא ב' חמשיות וג' חמשיות וד' חמשיות וכן כל הדומה לזה
	הדרך השלישי שהוא שיהיה השברים והמורים מתחלפים ‫[...] ראשונה [...] הראשונה [...] ושלשה [...] הכולל ל' ולא תוכל [...] עבור החמשית [...] הוא זה חצי וב' שלשיות וג' רביעיות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 12	בא
	והנה המורה הכללי הוא בלי קיצור הוא כ"ד ומקוצר הוא י"ב ובו תמצא גם כן כל החלקים אשר רצית
	הדרך הרביעי שהוא הפך השלישי הוא שהשברים והמורים [.] שוים כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 5	ה
	והנה המורה המורה הכולל בלא קיצור הוא ק"ה והמקוצר ה' ואז תמצא בו כל החלקים שרצית
	ובעבור שתדע קיצור המורים הכוללים אכתוב בכאן הסדר שתתנהג בידעתם
	ואם קיצור המורים הוא רשות בשברים שאינו אלא להציל מטורח רב אבל הוא חובה והכרחית בתנועות הגלגלים באיזה זמן ישובו ב' או יותר כוכבים אל המקום אשר נסעו משם כאשר תראה במקומו בע"ה
	ודע כי בג' דרכים נוכל לקצר המורה וכל אחד יהיה יותר מקוצר מחברו
	ואומר כי המורה הכללי יוכל להיות אחד מארבעה דרכים או סדרים
	האחד שיהיה מורכב מכל המורים בשלמות כמו שאמרתי
	והשני מקוצר כאשר יהיה מורה מן המורים במורה אחר
	והשליש מקוצר כפי המספרים הנמשכים מאיזה כפל בסדר
	והרביעי מקוצר מקיצור המקוצר
	והנה מאלה הארבעה השלושה מהם הם ‫אבא[ר] [...] המורה [...] גדולים וקטנים [...] הגדולים ותרכיב זה בזה [...] שהיא חצי [...] וד' תשיעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 216 integer 36 reduced	ואב שלם וג מקוצר
	[...] הוא רי"ו ועם קיצור הוא [...] הוא בד' כי חצי נמצאנו בד' וגם ג' נמצא בט' ואם כן נקח ט' וד' ונרכיבם ויהיו ל"ו וזה מורה כללי מקוצר
	דמיון אחר בזאת הצורה שהוא שלישית וששית וחצי וחלק מי"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ 432 integer 12 reduced	שלם בגד מקוצר בא
	והנה המורה השלם תל"ב והמקוצר י"ב
	והנה מצאנו כי המורה השלם גדול מהמקוצר ל"ו פעמים
	דימיון אחר בזה הצורה מעשרה שברים שהם חצי ושלשית ורביעית וחמשית ושישית ועשירית וחלק מט"ו וחלק מכ' וחלק מל' וחלק מס'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{60}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{30}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{20}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{15}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 3168\000\000 60	‫000\000\חואג ‫0ו
	כל אלה העשרה שברים נמצאים בס' והמורה השלם הוא ג' אלף מספרים וקס"ח מספרים
	הסדר השני מקוצר כפי המספרים הנמשכים ומוכפלם על הראשון בסדר מה כמו שתראה כופלם כזה [..] כי אם תמצא שני מספרים או יותר מאי זה הכפלים שיהיה הגדול ואז תמצא בו כל חלקי הקטנים
	והמשל שיהיה המורה חצי שלישיתו [...] ‫[...] והם [...]לא אחד [...] כסדר כפול ואעפ"י [...]ספרים שלא תמצה [...] וזה דבר ארוך ולא נמצא [...] שאומר באלה הבודדים [...]בודדים הבאים אחריהם כמו כי הבא אחר י"ט שהוא אחרון בלוח הוא כ"ג ואחריו כ"ט ואחריו ל"א וכן המשכת הבודדים כמו שאבאר סדר מציאותם מקומו בע"ה

19 17 13 11 7 5 3 2 1 38 34 26 22 14 10 6 4 2 76 68 52 44 28 20 12 8 4 152 136 104 88 56 40 24 16 8 304 272 208 176 112 80 48 32 16 608 544 416 352 224 160 96 64 32 1216 1088 832 704 448 320 192 128 64

יט יז יג יא ז ה ג ב א לח לד כו כב יד י ו ד ב עו סח נב מד כח כ יב ח ד קנב קלו קד פח נו מ כד יו ח שד רעב רח קעו קיב פ מח לב יו תרח תקמד תיוו שנב רכד קס צו סד לב א ריו א פח תתלב תשד תמח שך קצב קכח סד

	ודע כי מסגולותם הוא שישובו כל פרטי הלוח לראשונים אם תקצרם בחצים
	ועוד מסגולותם הוא שאם יהיה האחד שבר מאחר שתוכל לקצר שניהם לחציים עד שישובו לראשונים אע"פ שיהיו נמשכי הטור רבים אם שיהיו שניהם במרחק שוה לראשונהם ואם לא יהיו במרחק שוה יתקצרו עד שתשובו השבר לראשון כמו ס"ד שברים מאלף רי"ו שהוא המורה והם אחרונים ‫מטור [...] ישובו [...] בעבור שהם [...] לא ישובו [...] י"ו ותכ"ח מהטורים [...] ויהיה חלק מל"ח [ואפילו שניהם מטור אחד ע"ו ותר"ח מן האחרון ישובו לרי"ו חלקים מקנ"ב]
	וכן אם תקח [...] יתקצרו כמו שאמרתי ואשוב לעניין הסדר [...] המונה כפי המספרים הנמשכים בסדר ומוכפלים כמו שאמר[] ואומר שאם תמצה שני מספרים או יותר מאיזה המשכה כסדר שיהיה שתקח הגדול ואז תמצא בו כל חלקי הקטנים
	והמשל שיהיה המורה חצי ושלישית ורביעית וחמשית ושמנית ותשיעית וחלק מכ"ה כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{25}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 1800	‫00חא
	נרכיבם בשלמות זה על זה יהיה המורה השלם רי"ו אלפים והקצר אלף ות"ת
	כיצד ב' וד' הם בח' שהוא הגדול מן הטור הראשון ונניח ב'ד' ונקח ח' וג' הוא בט' על כן נניח ג' ונקח ט' והנה ה' הוא בכ"ה נניח ה' ונקח כ"ה והנה המורים שהנחנו הם ב' וג' וד' וה' ועשנו מורה מהנשארים שהם ח' ט' כ"ה והוא שכפלנו ח' על ט' יעלו ע"ב וע"ב על כ"ה יעלו אלף ות"ת והוא המו[ר]ה הכולל
	משל אחר בזאת הצורה שהוא שמנית וחמשית וחלק מי"ו ושישית ושלישית וחלק מל"ו ותשעית וחלק מכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{25}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{36}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{16}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}}}$ 129600	‫00וטבא
	הנה ‫[...] והשישית [...] ול"ו וכ"ה [...] ‫[אל]פים ות"ר והם [...] בקיצור המורה הכללי [...] זה בזה ועם חלקיהם והוא [...]‫ כי לא יכולתי לכתוב כל פרטיו [...] הם רבים ויחיב בלבול למעיין ולא ארמוז הראוי לחכם
	ואומר שאם יהיה במורים מורה גדול אשר הוא יבוא מכפל ב' קטנים שנניח הגדול ונקח הקטנים ואם יבוא זה הגדול מכפל ב' מספרים אשר האחד הוא מורה אחר ואין השני מורה בשברים נניח השני בכלל המורים ואם המספר שנניח בכלל המורים הוא חצי ממורה אחר תשליך המורה האחר ובלבד שזה המונח תכפלהו בשנים או במספר זוג וכן אם המונח יהיה שליש או רביעית או חמשית או תשלום שתשלכהו ובלבד שתכפול המונח בשלושה או בארבעה או בחמשה וכן לנמשכים או במספרים הבאים מהם כמו אם היה שליש וראוי לכופלו בשלושה ויש לך מורה ו' או ט' או י"ב וכן הנמשכים או ח' או י"ב או י"ו והנמשכים לארבעה וכן לכולם ועם [...] תבין כל זה בע"ה
	המשל בזה רצינו לדעת המורה הכללי המקוצר מאילו השברים שהם חמשית ותשעית וחלק מי"ד וחלק מי"ח וחלק מכ"ד וחלק מל"ב וחלק מנ' וחלק מס"ג ויהיה כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{36}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{50}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{32}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{24}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{18}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{14}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ 0 10 16 0 0 7 3   5400 reduced denominator	א א א א א א א א גו ‫0ד בג דב חא דא ט ה 0 ‫0א וא 0 0 ז ג   ‫00ד0ה מורה מקוצר
	נתחיל להשליך מן הגדולים ונאמר כי האחרון שהוא ס"ג בא מכפל ט' על ז' והנה ט' נמצא אבל ז' אינו נמצא ‫כמורים [...] לא נכפול [...] שהכרח הוא לכפול [...] י"ד ונתן ז' תחתיו וספרא [...] נמצאים מז' על ט‫'
	ועתה נראה [...] והוא בא מכפל ה' על עשרה ונניח עשרה תחתהם [...] שהנה לנו על עשרה אז נמצא חלק או חלקים מנ' [...] ה' ונ' ושתתן כ"ה תחת נ' כי בהכפל כ"ה על מספר זוג אז תמצה חלקי ה' ונ'
	ועתה נראה אם נוכל להשליך ל"ב אם כולו אם קצתו ונניח חלקיו ממנו הנמשכים ממנו אם נוכל להשליך עמהם מורים אחרים והנה חלקיו הם י"ו וח' וד' וב' והנה נוכל להשליך ל"ב כי בהכפל י"ו על מספר זוג ימצא חלק מל"ב ואם חלקי הגדול נמצאים כל שכן הקטנים שהם י"ו ח' ד' ב'
	ועתה נראה אם נשליך כ"ד ונאמר כי כ"ד ימצא בהכפל ג' על ח' וג' הוא הוא בט' וח' הוא בי"ו
	ועתה נראה אם נשליך י"ח ואומר כי י"ח ימצא בהכפל ב' על ט' והנה ט' הוא נמצא במורים וב' הוא בי"ו
	והנה ראינו כי המורים הנשארים להרכיבם הם ה' וט' וז' וי"ו ועשרה והיה המורה השלם ד' אלפים תשנ"ג מספרים תשכ"ח אלפים והמורה המקוצר חמשים אלפים וארבע מאות
	ואם תרצה לבדקם חלקם לכל אלה השברים ואם תמצאם מוטב ואם לא שוב לעיין ותמצאם

The method of Knowing the Reduction of the Fractions and the Common Denominator	סדר בידעת קיצור השברים ואב המורים
	ואומר כי כאשר יהיה בידך מאיזו חלוקה שיהיה שברים מה מכללים מה ותוכל להשיבם לשבר אחד או לשברים יותר גדולים יהיה יותר טוב מותר ראוי אבל הוא רשות ולא חובה כי גם בלא קיצור תמצא כל השברים או שברי שברים אבל בטורח גדול ולהציל מן הטורח ראוי שתקצרם אם עד תכליתם ‫[...]לא [...] תכליתם ‫[...]
	המשל כי האומר [...] כל כך נאות [...] הכל שוה כי ערך שפ"ד אל [...] והוא הדין האמצעיים שהם ז' כי כל [...] ואם יהיו השברים תקצר השברים עד קצת או שיהיו מן הנמשכים הבודדים דומים לזוג הזוג והנפרד או לזוג הנפרד שתוכל לחלקם פעמים רבים או פעם אחד ולא ישובו לאחד
	והמשל קכ"ד חלקים מרפ"ד בשלם כי תוכל לקצרם עד שישובו ללא חלקים מע"א בשלים
	ועוד יש מין שלא שלישי שלא תוכל לקצר השברים כלל וזה דומה למספר הבודד כמו ע"ג חלקים מצ"ג שלא תוכל לקצרם כלל
	ועתה אכתוב כללים לדעת באיזה מספר תקצרם כי פעמים יהיו השברים זוג הזוג שתוכל לקצרו עד אחד ואב המורים בודד או בהפך ובעבור זה אורך בדרך זו תלך
	‫[שהוא‫] המספר אשר עמו תקצר יחד השברים ואב המורים ואומר [עיון וזה יהיה בשני עיונים העיון הראשון הוא כי] כי כאשר יהיה בדרך מספר מה משברים ותרצה לקצרם בשלישית או בשישית או בתשעית תעיין ראשונה אם יהיה המספר אשר במעלה ראשונה זוג או נפרד דע שאם יש למספר שלישית יש בו שש לקצרם עיין במעלת האחדים אם יש בה ספרה תוכלם לקצרם בעשרים ובחמשית ובחצי
	ואם תוכל להשליכו ט'ט' כמו שתראה במשלים תוכל לקצרו בתשיעית ובששית ובשלישית
	ואם נשארו באחדים ו' יש לו ששית ושלישית ואין לו תשיעית ‫ואם [...] המספר [...] ואם נשארו ד' [...] ב' אין לו אלא [...] אלא שביעית כי הוא [...] גדול ואולי יהיה בודד [...] או עם שתדע הבודדים כמו שתראה בע"ה [...] די כי זה הוא ממה שאין הקפה בו אבל שכל המשכיל יקיף בו
	המשל בזה הרי שהיו לנו קצ"ח שברים מט' אלפים שע"ח בשלם ויהיו בזאת הצורה שם השברים למעלה והמורה למטה וקו מפסיק ביניהם
1 9 8 9 3 7 8	א ט ח ט ג ז ח
	והנה עתה נחבר מעלות השבר[.] כאחדים מכל מעלה לנמשכת לה כי א' הוא עשרה על ט' ועם ט' היו י"ט נשליך י"ח בט' ישאר א' שהוא עשרה על ח' וח' היו י"ח ונשליכם ולא נשאר כלום ואז נדע כי השברים יתקצרו על תשעית ועל ששית ועל שלישית כי כולם בט' אבל נעיין ונראה אם נוכל לקצר המורה באחד מכל אילו החלוקות נחבר זה על זה כנזכ' והנה ט' כפל וג' על ז' הם ל"ז ונשאר א' ועל ח' הוא י"ח ולא נשאר כלום ואז נוכל מצד שניהם לקצרם בשלישית ובשישית ותשעית והרגל המעשה הוא בזה הצורה
1 1     2 2     6 6   1 9 8 9 3 7 8 3 1 2 6 1 0 4 2   5 2 1	א א     ב ב     ו ו   א ט ח ט ג ז ח ג א ב ו א 0 ד ב   ה ב א
	הנה נתחיל בשברים ונאמר כי שלישית קצ"ח הם ס"ו והם עליו ושלישת המורה הוא ג' אלפים קכ"ו ונתנם תחת המורה ואז יהיה ערך ‫[...] אלפים [...] נקצרם עוד אם [...] ולשמור מן [...] הוא כ"ב ושלישית [...] נקצרם עוד בחצי יהיו [...] הרביעים תקכ"א והנה שניהם [...] ולא נוכל לקצרם עוד והנה היה לנו ארבעה מיני שברים וארבעה מני מורים וערך כל אחד עם בן גילו כערך הראשונים וכן כל הדומה לזה
	והנה זה המשל עצמו הוא בידיעת מה נעשה מהנשאר בחלוקה [...] כי זה יועיל בנשאר מן השלמים ובנשאר מן השברים ובשאלות ואומר כי כאשר תחלק איזה מספר מאיזה מן שיהיה ונשארו לחלק מספרים מן המין ההוא די כי ראשונה תוכל לומר כי הנשאר מאיזה מין שיהיה הוא השבר שיהיה ראוי להוסיף על השלמים על אחד כי השלמים היוצאים לכל אחד בחלוקה הוא הראוי לכל אחד מן המספרים המחלקים שהם המורה וזה השבר גם כן שהוא שבר מן המורה באחד שנחשוב המורה לאחד וכבר דברנו מזה בפרק החילוק ואמנם זה החלק הוא מן השלם אבל אינו מן החלקים שיכלל זה האחד
	כמו בדרך משל אם חלקנו שס"ה יום לשלושים יעלה בחילוק י"ב ונשארו ה' ימים ונוכל לענות כי יבא לכל אחד י"ב ימים וה' חלקים מל' בשלים וזה החשבון מדוקדק בתכלית אבל לא דקדקנו אותו בחשבון החלקים שיכללו הימים שהם שעות ודקים ושניים ושלישים
	וכן בהמשכה כפי מה שנרצה לדקדוק אם לא בא לשבר מכוון
	‫ומשל [...] המורכבים [...] ושברי שברים [...] אב המורים וזה ל‫[...]
Equalizing Fractions
	ואומר כי מאחר כי מיני השברים [...] ושלישית ורביעית וכן כל הנמשכים כמו [...] או לגורעם או לחלקם בעבור חלופם כי חלוק רביעית [...] קשה ומספרים אחרים הם יותר קשים ואם נשוה החמשית והרביעית למין אחד אז נוכל לחלקו בשלמים כמו שתראה
	ואומר כי דרך ההשואה נופל אם בשני מני שברים מתחלפים אם בשברים רבים [.] כי דרך ההשואה היא בכלל ובפרט כי הפרט הוא בשני מיני שברים כמו ג' רביעיות וד' חמשיות והנה השואתו היא שתכפול שברי כל אחד על מורה חברו ואז יהיו שוים ואז תראה השבר הגדול והקטן ותוכל לחבר אותם או לעשות מהם מה שתרצה וגם המורים שהיו לכל שבר בראשנה לא יהיו נאותים לאילו השברים המחודשים אבל אם תכפול מורה על מורה יהיה היוציא מורה אחד ואב כללי לכל השברים השוים המחודשים כאשר קדם באורו
	‫[‫[..] השני הוא [ש]תחלק המורה על הנשאר ואם נשאר עוד לחלק עשה ממנו מורה וחלק עליו המורה שעליו חילקת ואם נשאר עוד עשה ממנו מורה וכן עוד תחזור לחלק זה על זה עד שיחלק בשלמות שלא ישאר דבר לחלק ובזה המורה האחרון תוכל לקצר השני מספרים ואם תתחלק עד אחד לא תוכל לקצרו כי אם באחד
	והמשל בזה רצינו לקצור אלף רצ"ג חלקים מאלף שע"ז כזה נחלק
1 2 9 3 1 3 7 7	א ב ט ג א ג ז ז
	השואת שברים
	נחלק המורה על השברים נשארו פ"ד נעשה מפ"ד מורה ונחלק עליו אלף רצ"ג שהיה המורה ונשארו ל"ג ונעשה מהם מורה ונחלק עליו פ"ד שהיה המורה שעבר נשארו י"ח נעשה מהם מורה ונחלק עליהם ל"ג שהיה המורה שעבר נשארו ט"ו נחלק על ט"ו י"ח נשארו ג' נחלק על ג' ט"ו לא נשאר כלום ואם כן בשלישית נוכל לקצור שניהם בצד המורה נחלקהו בשלישית יעלה החילוק תנ"ט גם נחלק השברים בשלישית יעלה בחילוק תל"א ואם כן הנשאר מקוצר בשלישית יהיו תל"א חלקים מתנ"ט שלם משל שני קנ"ג חלקים מרל"ד תחלק רל"ד על קנ"ג הנשאר פ"א תחלק קנ"ג על‫] ‫[על פ"א נשארו ע"ב תחלק פ"א על ע"ב נשארו ט' תחלק ע"ב על ט' לא נשאר כלום ויורה כי בט' יתקצרו קנ"ג ורל"ד וכל חילוק שיבוא עד אחד תשוהו כי לא יתקצר כי אם באחד והוא משוטף לכל מספר בודד כי דרך משל י"ג חלקים מי"ט תחלק י"ט לי"ג נשארו ו' תחלק י"ג לג' ישאר א' וזה יורה שאין לו חלק זולת א' וכן כל כיוצא בזה ואילו הדרכים תמצה בשלמים ואם כתבתי שם בקיצור‫]
	והמשל בזאת הצורה
16   15 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ 20	וא   הא X 20
	נכפול ג' שהוא שברי הרביעיות על ה' שהוא מורה החמשיות יעלו ט"ו ונתנם על ג' להורות כי ט"ו שוה לג' וכן נכפול ד' שהוא שברי החמשיות על ד' שהוא מורה הרביעיות יעלו י"ו ונתנם על ד' להורות כי י"ו שוה לד' ואז ידענו כי ג' חמשיות ג' רביעיות קטן מד' חמשיות מאחד כי האחד ט"ו והשני י"ו אבל לא ידענו זה האחד חלק מכמה בשלם הוא עד שנדע מורה כולל לשני המורים ולדעת זה נכפול השני ‫[...] והוא [...] כי ערך ג' אל ד' [...] כערך י"ו אל כ' כי [...] מכ' וד' חמשיות הם כמו [...] ג' רביעיות קטן מד' חמשיות מחלק [...] זה לזה משני מינים
	והדרך השני שהוא דרך כוללי לשני מני שברים או לרבים ומזה אדבר והוא שתוציא אב השברים המורים ותחלקהו על השבר המורה הפרטי ותכפלהו על מספר השבר והוא המבוקש ומשל בג' חמשיות וד' שביעיות כזה
20   21 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ 35	‫0ב   אב X הג
	תכפול המורים זה על זה ותציא האב הכולל שהוא ל"ה חלק ל"ה על ה' בעבור החמשית והיוציא שהוא ז' תכפול על ג' בעבור שאמר ג' חמשיות ויעלו כ"א תניחם על ג' חמשיות כי ערכם שוה עוד חלק ל"ה על ז' בעבור השביעיות ותציא ה' כפלם בד' בעבור שאמר ד' שביעיות ויעלו כ' תניחם על ד' שביעיות כי ערכם שוה וכן לכל כיוציא בזה הדומה לזה
	וכן אם היו השברים ממנים רבים שתכפול על המורים זה בזה והיוציא על האחר אם כסדר אם שלא כסדר וכן עד הסוף והיוציא הוא המורה הכולל לכל המורים חלקהו על המורה השבר וכופלהו על מספר השבר ואם אין לו אלא שבר אחר [כמו שלשי או רביעית] חלקהו על השבר והיוציא הוא הראוי כי אין צריך לכפול כי אין לו מספר שברים
	‫שיווי שברים מתחלפים
	משל שני לשברים רבים ממינים מתחלפים כמו שרצינו לשוות חצי ושלישית ורביעית וחמשית וששית ושביעית ושמנית שאילו המינים הם שוים השברים ומתחלפי המורים כזאת הצורה והמעשה הוא שתכפול המורים ‫זה על [...] קח מזה המורה [...] שהוא חצי וקח [...] וכרגיל המעשה הוא שנכפול [...] תהיה הרכבת בגדהז [...] המורה המקוצר ה[..] והנה חציו ת"ך ונתנהו על חצי ושלישיתו ר"ף ורביעיתו ר"י על הרביעית וחמשית קס"ח על החמשית ושישיתו ק"מ על השישית ושביעיתו ק"ך על השביעית ושמניתו ק"ה על השמנית והרי לך כל השברים שוים בני אב אחד ותוכל לעשות מהם כמו משלמים ואז ערך א' אל ב' שיורה חציו כערך ת"ך אל תת"ם שיורה [חצי] השלם כי כל תת"ם מאלה השברים עושים אחד שלם וכן ערך א' אל ג' כערך ר"ף אל תת"ם וכן ערך א' אל ד' אל ד כערך ר"י אל תת"ם שיורה הרביעית וכן כערך א' אל ה' ואל ו' ואל ז' ואל ח' כן ערך קס"ח וק"מ וק"ך וק"ה אל תת"ם והרי לך הראוי לכולם ויהיו החצי והשליש והרביע וכן כולם חלקים שוים לזה המורה הכולל וכן תנהיג לכל השברים שיהיו חלקהם יותר מאחד אבל אם יהיו חלקהם יותר מאחד כמו ב' שלישיות וג' רביעית ועוד רבים שתקח ב' שלישיות המורה הכולל וג' רביעיותיו וכן כולם כאשר תראה עוד אחר זה בע"ה
105 120 140 168 210 280 420 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ reduced 840 denominator	ה0א ‫0בא ‫0דא חוא ‫0אב ‫0חב ‫0בד המקוצר ‫0דח המורה
	‫השואת שברים
	משל שלישי שיהיו השברים והמורים מתחלפים כמו ג' חמשיות ד' שביעיות וז' עשיריות וה' ששיות כזאת הצורה
175 147 120 126 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ 210	הזא זדא ‫0בא ובא ‫0אב
	נרכיב ה' על ז' והעולה על ו' יעלו ר"י וזה אב המורים ומה שלא לקחנו עשרה הוא בעבור כי עשרית ‫[...] ועתה נקח [...] החמשית יהיו [...] ג' חמשיות כי כן [...] על ז' יהיו [.] נכפלם על [בשלם] [...] מונח על ד' שביעיות כי כן הוא [...] על עשרה יהיו כ"א נכפלם על ז' יעלו [...] על ז' עשיריות כי כן הוא מר"י וכן נחלק ר"י על ו' היוציא יהיה ל"ה נכפלם על ה' יעלו קע"ה והוא מונח על ה' ששיות כי כן הוא מר"י שהוא המורה הכולל ואז יהיה קכ"ו ג' חמשיות וק"ך ד' שביעיות וקמ"ז ז' עשריות וקמ"ה ה' ששיות ויהיו כל השברים שוים זה אל זה כי ערך השברים המחודשים למורה הכולל כערך השברים הראשונים אל מוריהם וכן כל כדומה לזה
	‫השוא[ת] שברי שברים
	משל רביעי בשברי שברים ואומר כי השואת שברי שברים אם הוא שבר משבר השבר הוא מן הכלל או הדבר השני ואם הוא שבר השבר נוכל אם נרצה לשוותו עם הכלל הראשון כמו השואל השוואת שבר השבר כפול שברי המספר אשר ממנו נשאל על מורה הראשון השואל והיוציא תניח על האחרון וממנו תקח מה שתרצה
	כמו שרצינו לשוות ב' שלישיות מג' רביעיות ר"ל לקחת מג' רביע ב' שלשיות מג' רבי' כמו שראה בגרעון כפול ג' שברי האחרון על מורה הראשון שהוא ג' יהיו ט' על ג' רביעית נקח מהם מהם ב' שלשיות שהם ו' [.] תניחנו על ב' שלשיות ועתה נוציא המורה והוא י"ב תקצר יהיה הנשאל חצי כאשר תקצרהו והנה נעשה זה המשל בדרך השני הכולל והנה הדרך הוא שראשונה תוציא המורה הכולל וממנו תקח החלקים שתרצה
	ומשל חמשי רצינו ‫ג' רביע [...] הוא [...] יעלו י"ו נניחם [...] ג' רביעיותיו שהם י"ב [...] ג' שלישיות אחד והוא מה שרצינו ‫[...]
	‫השואת שברי שברים
	משל ששי רצינו חצי שלישית רביעית חמשית כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 120	‫0בא
	נוציא המורה הכללי בלא קיצור והוא ק"ך והנה חמשית ק"ך הוא כ"ד מונח על החמשית ורביעית כ"ד הוא ששה והוא על הרביעית ושלישית ששה הוא ב' על השלישי וחצי ב' אחד שזה האחד הוא המבוקש
Integers with a fraction	‫שלמים ושברים
Seventh example: we wish to equalize integers with a fraction	משל שביעי רצינו לשוות שלמים ושבר
Multiply the integers by the denominator of the fraction.	כפול השלמים במורה השברים
7 integers with 4-fifths.	וזה כמו ז' שלמים ד' חמשיות
Multiply 7 by 5, which is the denominator; they are 35-fifths $\scriptstyle{\color{blue}{7=\frac{7\sdot5}{5}=\frac{35}{5}}}$.	כפול ז' בה' שהוא המורה יהיו ל"ה חמשיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ 7 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35}{5}}}$	ז הג ה
Integers with fractions	‫אחר משלמים ושברים
Eighth example: we wish to equalize integers with fractions	משל שמני רצינו לשוות שלמים ושברים
Equalize the fractions, then multiply the integers by the common denominator.	תשוה השברים ואחר כפול השלמים על המורה הכללי
We wish to equalize eight integers with 5-sixths and 6-sevenths.	וזה כמו שרצינו לשוות שמונה שלמים וה' ששיות וו' שביעיות
Like this:	כזה
36 35 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ 42 8 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{336}{42}}}$	וג הג בד ח וגג בד
The denominator is 42.	יהיה המורה מ"ב
Its fractions are 35 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot42=35}}$ and 36 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\sdot42=36}}$.	וחלקי השברים ל"ה ול"ו
Multiply 8 by 42, which is the denominator; they are 336 parts of 42 and it is the required $\scriptstyle{\color{blue}{8=\frac{8\sdot42}{42}=\frac{336}{42}}}$.	כפול ח' על מ"ב שהוא המורה יהיו של"ו חלקי מ"ב והוא הדרוש
You can reduce it to 24 parts of 3, so that if you divide by it, the result are 8 integers $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{336}{42}=\frac{24}{3}=8}}$.	ותוכל לקצרו עד כ"ד חלקי ג' שאם תחלקהו עליו יעלו ח' שלמים
Integers and fractions with fractions of fractions	‫אחר משלמים ושברי שברים
Ninth example: we wish to equalize integers and fractions with fractions of fractions	משל תשעי שרצינו לשוות שלמים ושברים על שלמים שברים
Equalize all the fractions to a common denominator, then multiply the integers by the [common] denominator.	תשוה כל השברים למורה אחד ואחר כפול השלמים במורה
We wish to equalize 4 integers, one half, 2-thirds and 3-quarters and the second part is 4-fifths, 5-sixths and 6-sevenths.	כמו שרצינו לשוות ד' שלמים וחצי וב' שלישיות וג' רביעיות והחלק השני לבד בזאת הצורה ד' חמשיות ה' ששיות ו' שביעיות
According to this diagram:	בזאת הצורה
	‫[...] נוציא [...] והוא ת"ך יונח [...] על ת"ך יעלו אלף [...] השוים למורה ואחר נחלקם [...] כמו שתראה במשלים בע"ה
Integers and fractions with integers and fractions	‫שלמים ושברים על שלמים ושברים
Tenth example: if there are integers and fractions with integers and fractions	משל עשירי שאם יהיו שלמים ושברים על שלמים ושברים
Equalize all the fractions to a common denominator, multiply the integers by the [common] denominator and add the product to the fractions [of the common] denominator.	תשוה כל השברים למורה כללי כפול השלמים במורה והעולה תחברהו עם חלקי שבריו
We wish to equalize 3 integers, 4-fifths and 5-sixths, to 4 integers, 2-thirds and 3-quarters.	כמו שרצינו לשוות ג' שלמים וד' חמשיות וה' ששיות על ד' שלמים עם וב' שלישיות וג' רביעיות
45 40 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 325 240 60 4 integers 50 48 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ 278 180 60 3 integers 60	הד ‫0ד הבג ‫0דב ‫0ו ד שלמים ‫0ה חד חזב ‫0חא ‫0ו ג שלמים ‫0ו
The common denominator is 60.	הנה המורה לכולם הוא ס'
Multiply 3 integers by 60; they are 180. Add 180 to the fractions, which are 50 and 48; they are 278, which is the first part $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot60\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot60\right)=180+48+50=278}}$.	כפול ג' שלמים על ס' יהיו ק"ף תחבר ק"ף עם חלקי שברו שהם נ' ומ"ח יהיו רע"ח החלק האחד
Multiply also 4 integers by 60; they are 240. Add the fractions to it, which are 45 and 40; they are 325, which is the second part $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot60\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot60\right)=240+40+45=325}}$.	עוד כפול ד' שלמים על ס' יהיו ר"מ תחבר עמו חלקי שבריו שהם מ"ה ומ' יהיו שכ"ה החלק השני
All of them are subject to one denominator; now add, subtract, or divide one by the other and so on.	וכולם תחת מורה אחד עתה חבר או גרע או חלק זה מזה וכן כל הדומה לזה
	ובהרגיל המעשה נראה כל זה בע"ה כי בכאן די בזה
	ודע כי השואת ימים שעות ודקים ושניים ושלישיים ורביעיים והנמשכים הוא שתתן הכל בשבר היותר קטן וזה שתכפול דמים בכ"ד ועל העולה תחבר השעות אשר בידך אם יש שעות ויהיה הכל שעות תכפלם בס' והיוציא יהיו דקים ותחבר עליהם הדקים וכפל הדקים על ‫כן [...] לנמשכים ‫[...]

The First Chapter: [Addition of Fractions]	הפרק [הראשון] מן [השברים] ‫[...]
	ואומר שאם [...] אם שיהיו שני מינים או יותר [...] שברים עם שברי שברים או שברי שברים [...] או מין אחד על ב' מינים או יותר וכן כל מה [...] תשוים ראשונה ואחר תחברם והעולה תחלקם על המורים והעולה בחילוק הם השלמים היוציאם מחיבור כל השברים
Addition of a fraction to a fraction	חיבור שבר עם שבר
Example: we wish to sum 3-fifths with 4-sevenths $\scriptstyle\frac{3}{5}+\frac{4}{7}$	המשל בזה רצינו לחבר ג' חמשיות עם ד' שביעיות
As this diagram: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}\times\frac{3}{5}}}$	בזאת הצורה ‫X
20   21 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ 35	‫0ב   אב X הג
We equalize them by the first way, each fraction to the denominator of the other.	נשוים עם הדרך הראשון כל שבר במורה חברו
We multiply 3 by 7; the result is 21 $\scriptstyle{\color{blue}{3\times7=21}}$ above the 3-fifths.	וזה שנכפול ג' על ז' יעלו כ"א מונח על ג' חמשיות
Also 4 by 5; the result is 20 $\scriptstyle{\color{blue}{4\times5=20}}$ above the 4-sevenths.	גם ד' על ה' יעלו כ' מונח על ד' שביעיות
Also 5 by 7; the result is 35, which is the common denominator beneath $\scriptstyle{\color{blue}{5\times7=35}}$.	גם ה' על ז' יעלו ל"ה שהוא אב המורים למטה
Now, we sum 21 with 20; the result is 41, which are fractions of 35 and if you divide them by 35, the result is one integer and six parts of 35. $\scriptstyle\frac{3}{5}+\frac{4}{7}=\frac{21+20}{35}=\frac{41}{35}=1+\frac{6}{35}$	ועתה נחבר כ"א עם כ' יעלו מ"א והם שברים מל"ה בשלם שאם תחלקם על ל"ה יציא אחד שלם וששה חלקים מל"ה בשלם כזה
Addition of fractions to fractions of fractions	חיבור שברים עם שברי שברים
The second example: we wish to sum fractions with fractions of fractions	משל שני רצינו לחבר שברים עם שברי שברים
We equalize twice: first equalizing the fractions of fractions and the then equalizing both. For when I take the required from the fractions of fractions it is the same as fractions with fractions, like the previous example; and then you sum them.	הנה נעשה בזה שתי השואות הראשונה השואת השברי שברים והשנית השואת שניהם כי השברי שברים כאשר אקח ממנו הנשאל יהיו כמו שברים עם שברים כמשל שעבר ואחר תחברם
Example: we wish to sum 5-ninths with 4-fifths of a seventh $\scriptstyle\frac{5}{9}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)$	וזה כמו שרצינו לחבר ה' תשיעיות עם ד' חמשיות שביעית
As this diagram:	כזאת הצורה
5   4 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$   35   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}}}$ 315	ה   ד X   הג   האג
	וראשונה נשוה השברי שברים וזה שנוציא
	‫[...] ונתן אותו [...] ואנחנו [...] והוא [...] והוא השואת השברי שברים [...] בשלם נשוים עם ה' תשיעיות [...] שברים עם שברים כמשל הראשון [...] זאת הצורה
36   175 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{35}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}}}$ 315	וג   הזא ד X ה הג ט האג
The denominator is 315.	והמורה הוא שט"ו
Its 5-ninths are 175 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}\sdot315=175}}$.	וה' תשיעיותיו הם קע"ה
Its 4 parts of 35 are 36. Because we divide 315 by 35; the result is 9. 9 times 4 are 36 as mentioned. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{35}\sdot315=\frac{315}{35}\sdot4=9\sdot4=36}}$	וד' חלקים מל"ה הם ל"ו כי נחלק שט"ו על ל"ה יעלה ט' [.] וט' פעמים ד' הם ל"ו כנזכר
Then they are equal. For the ratio of 5 to 9 is the same as the ratio of 175 to 315 $\scriptstyle{\color{blue}{5:9=175:315}}$; and the ratio of 4 to 35 is the same as the ratio of 36 to 315 $\scriptstyle{\color{blue}{4:35=36:315}}$. Furthermore, 9 to 5 is one time and 4 fifths and 315 to 175 is one and 4-fifths $\scriptstyle{\color{blue}{9:5=1+\frac{4}{5}=315:175}}$.	ואז יהיו שוים כי ערך ה' אל ט' כערך קע"ה קע"ה אל שט"ו וכן ערך ד' אל ל"ה כערך ל"ו אל שט"ו ועוד כי ט' אל ה' פעם אחד וד' חמשיות וכן קע"ה אל שט"ו אל קע"ה פעם וד' חמשיות
	והנה אחר שהם חלקים שברים שוים ממורה אחד נחברם קע"ה עם ל"ו יהיו רי"א ולא הגיע לשלם כי השלם הוא שט"ו והנה עלה בידינו כי כאשר נחבר ה' תשיעיות עם ד' חומשי שביעית שיהיה העולה רי"א חלקים עשינו כזה
Addition of fractions of fractions to fractions of fractions	חבור שברי שברים עם שברי שברים
	משל שלשי רצינו לחבר שברי שברים עם שברי שברים תשוים שני פעמים כנזכר ואחר נחברם
	כמו שרצינו לחבר ג' רביעי ד' חומשים עם ב' שלישי ב' חומשים
	ויהיה כזאת הצורה
6   4 16   12 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ 15 20	ו   ד וא   בא X X הא ‫0ב
	נבקש המורה הכולל לכל שבר השבר ויהיה לג' רביעי ד' חמשים כ' ולב' שלישי ב' חומשים ט"ו ולקחנו מן הראשון ד' חמשיות והמורה [...] אחדי השבר הגדול ולקחנו מזה השבר ג' רביעיותיו שהם י"ב וזה המבוקש משברי
	‫השבר [...] וזה השבר [...] משברי השבר ה[] הוא י"ב חלקים מכ' והשני [...]
20   45 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{15}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ 75	‫0ב   הד ד X ג הא ה הז
	תוכל לקצרו לג' חמשיות להקל [...] נשוים יהיו הג' חמשיות מ"ה [...] והד' חלקים מט"ו יהיו כ' חלקים מע"ה [...] שהם שברים שוים אל מורה אחד וחברם יהיו ס"ד ולא יעלו לאחד שלם ויהיו כזה
	ס"ה חלקים מע"ה בשלם ואם נקצרם בחמשית יהיו י"ג חלקים מט"ו ולא נוכל לקצרם עוד כי השברים בודדים
	ותוכל לעשות אלה ההשואות בדרך אחרת [ובהשואה אחת] שתקח המורה הכולל ואם תרצה לקצרו ויהיו ס' והנה ד' חמשיות החלק הראשון הם מ"ח וג' רביעיות מ"ח הם [.] ל"ו וזה הנשאל משבר השבר הראשון ולשבר השבר השני הנה ב' חמשיות מס' הם כ"ד וב' שלשיות כ"ד הם י"ו והם שבר השבר הנשאל מן השבר השני נחבר ל"ו וי"ו יהיו נ"ב חלקים מס' שאם [תקצרם] בחצי יהיו י"ג חלקים מט"ו בשלם כמו שנזכר ודי בזה כי בחיבור משקל ומידה תלמוד ממה שאמרנו ועוד תראה כל זה בחיבור הדברים המתחלפים המורכבים בע"ה

The second Chapter on the Multiplication of Fractions and Fractions of Fractions of all Kinds	הפרק השני בכפל שברים ושברי שברים למינהם
	וזה יהיה בשני דרכים אשר הדרך הראשון דרך כולל והשני חלקי ואומר כי הדרך הראשון
	‫[וראשונה אומר כי כפל השברים הוא] שתכפול שבר על שבר ומורה על מורה והיוצא הוא המבוקש
	המשל בזה רצינו לכפול ולעולם הכפל לא יעלה לאחד אלא לעולם יהיה שבר כי שבר על שבר על ‫[...] כי כאשר [...] האחד כן [...] מן האחד כי [...] [שליש על שליש] [...] ט' כן האומר ג' שברים [...] תשעה למטה כאשר [...] זה השער
	הדרך הראשון הכולל בכפל השברים
	ואומר כי כפל השברים והשברי שברים הוא שתכפול שבר על שבר ומורה על מורה והיוציא הוא המבוקש
	כפל שברים על שברים
$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}$	המשל בזה רצינו לכפול שברים על שברים כמו ב' שלישיות על הדומה להם
	כזה
4 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 9	ד ט
	נכפול ב' על ב' יהיו ד'
	וג' על ג' יהיו ט'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{9}}}$	והנה הם ד' תשיעיות
	כפל שבר על שבר
$\scriptstyle\frac{4}{5}\times\frac{5}{9}$	משל שני רצינו לכפול ד' חמשיים על ה' תשיעים
	כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$
	נכפול ד' על ה' יהיו כ' ו[.] ה' על ט' יהיו מ"ה והם כ' חלקים ממ"ה בשלם ‫[$\scriptstyle\frac{20}{45}$]
	שאם תקצרם בחמש יהיו ד' תשיעיות ‫[ ]
	כפל שברים על שברים
$\scriptstyle\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\times\frac{2}{7}\times\frac{7}{8}$	משל שלישי רצינו לכפול שברים על שברים ממנים רבים כמו ב' חמשיות ג' רביעיות ד' חמשיות ב' שביעיות ז' שמניות
	כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{50}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{336}{5600}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$	ג ‫0ה וגג ‫00וה
	כפלנו שברים זה על זה יהיו של"ו גם המורים יעלו ה' אלפים ת"ר ויהיו כמו שתראה בסוף הצורה ואם תקצרם יהיו ג' חלקים מחמשים
	כפל שברי שברים
	משל רביעית בכפל שברי שברים ואומר כי כפל שברי שברים הוא כמנהג שעשינו לשברים כמו שרצינו שרצינו לכפול שברים ושברי שברים כמו ג' שביעיות וד' חמשיו שמנית בצורה ‫[...] הזאת [...] גם במורים [...] נקצרם יהיו ג' חלקים [...] ממנים רבים כי ‫[...]
	משל אחר שרצינו לכפ[ו]ל [...] שברים [ושברי שברים] כמו חצי ושני שלישי רביעית על חצי ושלישית ושלושה רביעי חמשית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$-$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$-$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$	- -
	נכפול שבר על שבר יעלו ששה גם מורה על מורה יעלו ב' אלפים תק"פ ויהיו ששה חלקים מב' אלפים תק"פ כז'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{2580}}}$	ו ‫0חהב
	ואם תקצרם יהיו חלק מת"פ
reduced $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{480}}}$	מקוצר א ‫0חד
	הדרך השני הוא שתעשה כמנהג כפל כל שבר שתכפול שבר על שבר ומורה על מורה אלא שתקצרם [עם הפוך השברים] אז תוכל והכל שוה
	המשל בזה רצינו לכפול ‫ה' תשיעיות על ג' עשיריות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}}}$	ג י
	‫נכפול שברים על שברים מורה על מורה ויהיו ט"ו חלקים מצ' כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15}{90}}}$	הא ‫0ט
	‫נקצרם יהיו חלק מששה כזה ‫
	‫והדרך האחר הוא שנהפוך הה' שברים על העשרה והג' על הט' כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{9}}}$	ה י
	‫תקצרם יהיו הראשון שלישית כזה ‫
	‫והשנית חצי כזה ‫
	‫נכפלם א' על א' יהיו א' וב' על ג' יהיו ו' והוא המורה [...] ששית כנזכ' וכן אם יהיו רבים כמו חצי‫ חצי וב' שלישיות וג' רביעיות וד' חמשיות וה' ששיות כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$
	הנה נרצה איזה שבר יהיה דומה לאי זה מורה נפילם ונכפול הנשאר שאין להם דומים כי ב' הראשון יהיה מורה הב' השני ונפילם ונשאר שבר א' גם ג' שני יהיה מורה הג' השלישי ונפילם גם ד' שלשים יהיה מורה ד' רביעי חמשיים ונפילם גם ה' יהיה מורה ה' חמשי שישיים ונפילם ונשאר ו' שאין לו שבר [..] תחת א' הראשון ויהיה שישית כזה ‫
	ואם תרצה לראות אם זה אמת כפול השברים והמורים כמנהג היו השברים ק"ך והמורים תש"ך תקצרם ישובו לשישית כנזכר ואם לא יהיו דומים מכל צד אלא כב' עם ד' או עם ו' או עם ח' וכן ג' עם ו' או עם ט' או עם י"ב קח השבר והמורה אשר להם דמיון מה [..] למורה באי זה מקום שתמצאהו תדלגהו ותתנהו תחתיו ותחשבהו כפי ‫[...] פעמים [...]
	משל ששי [...] מט"ו וה' חלקים [...] תשעיים וג' חלקים ‫[...]
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{12}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{18}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{28}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{15}}}$	ג ח ז ג ה ב בא ט חא ד חב הא
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$
	[...] יחס מה [...] השבר הראשון שהוא ב' יחסו אל ד' שהוא השבר המורה השלישי ונקצרהו יהיה חצי זה ראש צורה אחרת והשבר השני הוא ה' יחסו אל המורה הראשון יחס שליש ונקצרהו יהיה שליש והוא שבר שני והשבר השלש והוא ג' יחסו אל ט' יחס שלישית גם כן ונקצרהו והוא שליש והוא שבר שלישי בצורה השנית והשבר הרביעי שהוא ז' יחסו אל כ"ח שהוא המורה השנית יחס רביעית נקצרהו ברביעית והוא שבר רביעי בצורה השנית והשבר החמשי הוא ח' יחסו אל י"ב יחס שתי שלשיות נקצרהו יהיה שתי שלשיות והוא שבר חמשי בצורה השנית והשבר השישי שהוא ג' יחסו אל י"ח יחס ששית נקצרהו יהיה ששית והוא שבר ששי בצורה השנית ועתה כפול שבר על שבר יעלו שנים גם כפול המורים יעלו אלף רצ"ו ואם כפלנו כל השברים בשלמות יעלו לאפים ולרבבות ועתה יצא לנו מזה הכפל ב' חלקים מאלף רצ"ו תקצרם בחצי יהיו חלק אחד מתרמ"ח כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{648}}}$	א חדו
	עיון אחר בזה הדרך הוא שכאשר תעשה הצורה השנית [עד ב' חמשי ותן הא' על הג' במקום ואז יהיה חלק [מאלף רצ"ו] בלא קיצור] ותוכל עוד לקצר תקצר עד שלא תמצא יחס בשבר עם
	‫מורה [...] תשיעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$
	שהוא ג' יחסו אל ט' יחס ראשון לזה הצורה השנית השני שהוא ד' יחסו אל ח' ואחר הקיצור הוא חצי והוא שבר שני לצורה השנית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$
	והשבר השלשי שהוא ה' יחסו אל המורה הראשון שהוא ה' יחס שלם ולא נשים לב עליו כי כפל בשלם
	והשבר הרביעי שהוא ו' יחסו אל עשרה יחס ג' [ס'] חמשיות והוא שבר שלישי
	והשבר החמשי שהוא ז' הוא יחס שלם וחלק לו עם מורה רביעית שהוא ז' וחלק לו והנה עלה מכל זה שליש וחצי מחצי וג' חמשיות וגם עתה ראנו כי שבר ג' השלשי כפל לשלם עם מורה ראשון ונשים א' שעל[יו] על ה' שלקחנו הג' שעליו ואז נשארו לנו חצי וחמשי כזה
	כפלנו זה על זה ישאר עשירית כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 10	‫0א
	מכל הכפל ובאנו עד קיצו ואין צריך לקצר עוד ודי בזה בכאן ועיין פלא זה הקיצור

The Third Chapter of the Second Section: Subtraction of Fractions	הפרק השלישי מן השער השני במגרעת השברי
	ואומר כי דרך מגרעת השברים הוא הפך החיבור ותצטרך לעיין שיהיה החלק שתרצה לגרוע ממנו או לחלק גדול מן האחר וזה תראה בשני דרכים
	הדרך הראשון הוא שתעיין בחלוקת השברים ומורהם כמו שאמרתי בזה השער שהם ארבעה מינים
	אשר הראשון הוא שיהיו השברים שוים והמורים מתחלפים ‫[...] כאשר [...] יהיה [השבר] יותר [...]ק יקטן השבר [...]פים והמורים שוים [...] כזה הנה כאשר יתרחק מן [...] יגדל השבר מטעם תוספ[ת] [...] וזה אינו לאין תכלת כראשון
	והמין השלישי שיהיו השברים והמורים מתחלפים כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$
	הנה כל מה שיתרחק מן הראשון יגדל בשני לאין תכלית
	והמין הרביעי שיהיה השברים והמורים שוים כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$
	יהיו כולם שוים והגרעון והחילוק בם שוה
	והכלל כי הראשון כל מה שיתרחק יקטן לאין תכלית
	והשני והשלישי יגדילו אבל השלישי עם חילוף המורה כי שבריו הם עד סך המורה ותראה ותבין
	והרביעי שוה
	ועיין בם
	אבל ההשואה יהיה על הכל שזה צריך עייון
	הדרך השני הוא ידוע שהוא דרך ההשואה כמו שקדם
	ותראה עתה במשלים ואומר כי מאחר שבארתי מני השברים אשוב לכונת הפרק ואומר כי דרך ידיעת גרעון שבר משבר הוא שתשוים ואחר תגרע הקטון מן הגדול
Example: we wish to subtract one-third from one-half $\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$	המשל בזה רצינו לגרוע שלישית מחצי
	בזאת הצורה
3   2 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ 6	ג   ב X ו
	נשוים כדרך השל הראשון שנכפול כל שבר על מורה חברו ויהיו על שלישית ב' ועל חצי ג' והמורה הכללי ששה גרע ב' מג' ישאר א' שהוא חלק מששה והנה עלה בידינו כי הגורע שלישית ‫מחצי ‫[...]
	‫גרעון שברים משברים ממורה אחד
	משל שני [רצינו לגרוע ב' חמשיות וד' שביעיות מג' רביעיות] ומה' ששיות
	‫[...] המורה הכללי והוא תת"ם [...] הראשון יהיו של"ו וג' שביעיותו [...] רביעיות על השלישי יהיו [..] וה' ששיות [...] יהיו ת"ש ויהיה בצורה הזאת
330     816   700   630 480   336 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 840	‫0גג     ואח   ‫00ז   ‫0גו ‫0חד   וגג     ‫0דח
	ואחר נחבר כל שני שברים בפני עצמם הב' חמשיות עם הד' שביעיות יהיו תתי"ו ותנם למעלה בין שניהם גם נחבר השני שברים האחרים אם של אחיו אשר מהם נרצה לגרוע יהיו אלף ש"ל בין [ש]ניהם למעלה ואחר נגרע תתי"ו מאלף ש"ל ישארו תקי"ד חלקים מתת"ם בשלם ואם תקצרם יהיו מ"ג חלקים מע' כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{43}{70}}}$	גד ‫0ז
	והנה עלה בידינו כי כאשר גרענו ב' חמשיות וד' שביעיות מג' רביעיות וה' שישיות שישארו מ"ג חלקים מע' בשלם
	ותוכל לעשות זה בדרך אחרת והוא שתעשה ראשונה שני מורים בזאת הצורה הנזכרת ויהיה מורה המספר הקטן [שהוא] ב' חמשיות וד' שביעיות ל"ה ומורה המספר הגדול שהוא ג' רביעיות וה' ששיות הוא כ"ד נקח מן המורה הראשון ב' חמשיות שהוא י"ד ויהיו על ב' גם נקח ד' שביעיות והוא כ' גם מן המורה השנית נקח ג' רביעיותיו שהוא י"ח וה' שישיותיו שהוא כ' והרי לך חלקי השברים מן השני מורים כזה הצורה
38   34 20 18   20 18   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{53}{64}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 24   35	חג   דג ‫0ב חא   ‫0ב חא   גה דו   דב   הג
	וגם תוכל להוציאם בדרך הראשון והוא שתכפול כל שבר במורה ‫[...] חברם [...] הכולל שהוא [...] גם ד' על ד' יהיו [...] ותנחנו על המורה הכולל [...] עתה שנים שהם [...] שרצינו לגרוע מל"ח חלקי' [...] הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{38}{24}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{34}{35}}}$ 514   remainder 1330   816 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{38}{24}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{34}{35}}}$ 840	חג דב   דג הג דאה   הנשאר ‫0גגא   ואח חג דב X דג הג ‫0דח
	גם נשוים באחד מן השני [...] הנזכרים יהיה החלק הקטן תתי"ו והגדול אלף ש"ל והאב הכולל תת"ם ועתה שהכל שוה נגרע תתי"ו מאלף ש"ל ישארו תקי"ד מתת"ם ואם נקצרם יהיו מ"ג [.] חלקים מע' בשלם כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{43}{70}}}$	גד ‫0ז
The third example: we wish to subtract froctions from fractions of fractions	משל שלשי רצינו לגרוע שברים משברי שברים [.]
As when we wish to subtract 2-fifths from 5-sixths of 4-fifths. $\scriptstyle\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{6}\right)-\frac{2}{5}$	כמו שרצינו לגרוע ב' חמשיות מה' ששיות חמשית מד' חמשיות
	והיה כצורה הזאת
24   30 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ 30	דב   ‫0ג - ‫0ג
	נמשיך קו מה' לד' להורות כי ה' שבר מד' וכן קו בין מורה למורה ואחר נשוים כנזכר ויהיה האב הכולל לשבר השבר ל' והנה ד' חמשיותיו הם כ"ד על ד' וה' ששיות כ"ד הם כ' וזה השבר המבוקש שהוא כ' חלקים מל' כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{30}}}$	‫0ב ‫0ג
	נקצרם ישובו לב' שלישיות או שנגרע השני ספראש שהם במעלת האחדים ישארו ב' וג' במעלת האחדים כזה ‫
	ואז שבו חלקי השאלה לגרוע ב' חמשיות מב' שלשיות כזאת הצורה
10   6 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 15	‫0א   ו X הא
	נשוים יהיה האב הכולל ט"ו וחלקי הב' חמשיות ששה וחלקי הב' שלישיות עשרה נגרע ו' מעשרה ישארו ד' והם ד' חלקים מט"ו בשלם כזאת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{15}}}$	ד הא
	והנה כאשר גרענו ב' חמשיות מה' ששיות מד' חמשיות ישארו ד' חלקים מט"ו בשלם
	משל רביעי שרצינו לגרוע ‫[ב' חמשיות מג'] רביעיות [מה' שביעיות מג' חמשיות] מה' ששיות [מז' שמיניות] ‫[...]
210   175   105 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ of 100   65   30 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 240   140	‫0אב   הזא   ה0א - - מ ‫00א   הו   ‫0ג - - ‫0דב   ‫0דא
	‫[...] שבר שברים [...] ויהיה האב הכולל לשברי השברים הראשונים ק"מ ולשניים ר"מ והנה ה' שביעיות [.] ק"מ הם ק' ונתנם על ה' שביעיו וג' רביעיות ק' הם ע"ה ושני חמשיות ע"ה הם ל' וזה החלק המבוקש לגרוע מן השני שהוא ל' חלקים מק"ם השלם כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{140}}}$	‫0ג ‫0דא
	ואם נקצרם יהיו ג' חלקים מי"ד כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{14}}}$	ג דא
	ונוכל לקצרם בדרך קרוב והוא שנפיל הב' ספראש ממעלת האחדים וישארו ג' חלקים מי"ד כנזכר
	והנה ב' חמשיות מג' רביעיות מה' שביעיות הם ג' שברים מי"ד בשלם ועיין ותראה וזה השבר הראשון אשר רצינו לגרוע מן השני הגדול
	וכן נעשה לשברי השברים השניים כי מורה השברים הוא ר"ם כנזכר וז' שמניותיו הם ר"י וה' ששיות ר"י הם קע"ה וג' חמשיות קע"ה הם ק"ה וזה המבוקש נקצרם יהיו ז' חלקים מי"ו כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{16}}}$	ז וא
	והם שוים לערך ג' חמשיות מה' ששיות מז' שמיניות ועתה נגרע ג' חלקים מי"ד בשלם מז' חלקים מי"ו בשלם בזאת הצורה
98   48 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{16}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{14}}}$ 224	חט   חד ז וא X ג דא דבב
	ולא נוכל עד שנשוים בעבור שהם שברי מנים מתחלפים ונוציא האב הכולל והוא רכ"ד נכפול ‫[...] צ"ח [...] שתקח ג' חלקי [...] והיו מ"ח וז' חלקים [...] הכל דרך אחד כי זה הדרך [...] הדרך השני שעשנו המורה הכולל [...] ולקבץ אותו על י"ד וכפלנו היוציא על ג' [...] מ"ח וכן עשנו לשבר האחר ונתן מ"ח על השבר הראשון וצ"ח על השני ונגרע מ"ח מצ"ח ישארו נ' והם נ' חלקים מרכ"ד ואם נקצרם לחציים יהיו כ"ה חלקים מקי"ב כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{25}{112}}}$	הב באא
	והרי לך כי ב' חמשיות מג' רביעיות מד' שביעי' כשתרצה לגורעם מג' חמשיות מה' ששיות מז' שמניות שישארו כ"ה חלקים מקי"ב כנזכר
	משל חמשי רצינו לגרוע שברים ושברי שברים משברים ושברי שברים
	כמו ב' שלישיות וחמשית ג' רביעיות חמשית שרצינו לגרוע מג' שביעיות ומה' ששיות מד' חמשיות מח' תשיעיות בזאת הצורה
240   192   160 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{9}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$     $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ of 20   15   3 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$   $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ 270   100	‫0דב   בטא   ‫0וא - -     מ ‫0ב   הא   ג - - ‫0זב   ‫00א
	וראשונה נמשיך קו משבור לשברו ואחר נשוה השואה ראשונה השברי שברים ויהיה אב השברי שברים הראשונים ק' וחמשתו כ' וג' רביעיות כ' הם ט"ו‫
	‫[...] עלה בידנו [...] חמשית מג' [...] תשעיות שנשארו [...]

[The Fourth Chapter]: Division of Fractions	‫[השער הרביעי] בחילוק השברים מאיזה מין [...]
	ויחלק לשני דרכים הפכים אשר האחד הוא בחילוק הקטן שבר גדול על קטן והדרך השני בחילוק השבר הקטן על הגדול ובכל משל תראה הדרך השני
	ואומר כי דרך חלוק השברים מאי זה מן שיהיה תשוים בראשיים השואה אחת או שנים יותר כפי מה שתצטרך ואחר תחלק כמו שיהיו שלמים והיוציא בחלוקה הם שלמים
	והטעם הוא כי המחלק רביע דבר לרביע דברם יהיה לכולו אחד והנשאר מן החלוקה הוא חלק או חלקים מן המספר שחילקת עליו ואם המספר שתרצה לחלק ואם הוא קטן מן המחלק תדמה הקטן שהם שברים והגדול המחלק שהוא מורה השלם ותאמר כי כסך אילו השברים כפל בחלק כל אחד וזה בדרך השני כי בכל צורה תראה השני דרכים ובזה הסדר תעשה בשלמים
	כמו במשל שאם תרצה לחלק ב' לג' תן ב' על ג' והוא מחולק שבא לכל אחד ב' שלשיות הדבר
	המשל בזה רצונו לחלק ב' חמשיות על ג' שמניות
	בצורה הזאת
15   16 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ 40	הא   וא X ‫0ד
	נשוים ב' על מורה השני יהיו י"ו וג' על מורה הראשון שהוא ה' יהיו ט"ו ועשיית המורה הכללי בזה הוא רשות בדרך ההשואה הראשון אבל בדרך השני לקחת חלקי כל שבר הוא חובה ועתה הנה נחלק י"ו על ‫טו יעלו [...] השאלה יהיה [...] כי ק"ס מחולקים [...] ואין להאריך בזה כי [...] תדע הכל הטיב בע"ה ‫[...]
	משל שני רצינו לחלק ה' שביעיות וז' [שמיניות על] ב' תשעיות ועשירית וג' שמניות בזאת הצורה
3514 1890 504 1120 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}}}$ על 4860 1260 3600 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}}}$ 5040	דאהג ‫0טחא ד0ה ‫0באא על ‫0וחד ‫0ובא ‫00וג ‫0ד0ה
	וראשונה נשוים ומן האב הכללי שהוא ה' אלפים ומ' נקח ה' שביעיות שהוא ג' אלפים ות"ר נניחם על ה' שביעיות כמנהג גם ז' שמניותיו עליו שהוא [אלף ר"ס גם ב' תשיעיותיו עליו שהוא] אלף ק"ך גם העשירית שהוא תק"ד עליו גם ג' שמניות שהוא אלף תת"ץ ואחר שכולם שוים למורה אחד נחבר הה' שביעיות שהוא ג' אלפים ות"ר עם חברו שהוא אלף ור"ס יהיו ד' אלפים ותת"ס והם למעלה על שבריהם וכן נחבר השלושה שברים הנשארים אשר הם המחלק ויהיו ג' אלפים תקי"ד [אשר עליהם נחלק ד' אלפים ותת"ס] ועתה תחציו השברים כולם לשנים שהם ד' אלפים ותת"ס על לחלק על ג' אלפים ותקי"ד ותקי"ד ויעלה בחילוק אחד שלם ונשארו אלף ושש"ו ואם נקצרם יהיו אחד כנזכר ותרע"ג חלקים מאלף ותשנ"ז כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{673}{1757}}}$ 1	גזו זהזא א
	ואם נהפוך השאלה כדרך השני יהיה כאומר חלק לי ג' אלפים תקי"ד על ד' אלפים תת"ס שיהיה כזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3514}{4860}}}$	דאהג ‫0וחד
	נאמר כי המספר הזה הנה הוא מחולק כי לכל אחד ‫[...] על [...] וד' חמשיות [...] שלישית ב' שלישיות ‫[...]

6480   2160   1440   480 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$	על	8100   6480   [7920] $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$ - $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$
9720

‫0חדו   ‫0ואב   ‫0דדא   ‫0חד - - -	על	‫00אח   ‫0חדו   ‫[‫0בטז‫] - -
‫0בזט

	‫[...] בעבור שיהיה כבר שבר השבר ואחר נוציא האב הכולל והוא ט' אלפים תש"ך וב' שלישיותיו הוא ו' אלפים ת"ף והם עליו ושלישית זה השבר שהוא ו' אלפים ות"ף הוא ב' אלפים וק"ס והוא עליו וב' שלישיות ב' אלפים וק"ס הוא אלף ות"ם ושלשית אלף ות"ם הוא ת"ף והוא על השלישית וזה הת"ף הוא שבר השבר הנרצה לחלק עליו ונשמרהו
	ואחר נדע הג' רביעיות והד' חמשיות מה' ששיות אשר רצינו לחלק על השבור השמור והנה ה' ששיות האב הכולל הוא ח' אלפים וק' וד' חמשיות ח' אלפים וק' הוא ו' אלפים ות"ף וזה שבר השבר הנרצה נחברהו עם ג' רביעיות האב הכולל ז' אלפים ר"ץ [יעלו ג' אלפים תש"ע] והם אשר רצינו לחלק על השבר השמור שהוא ת"ף ויעלה בחילוק כ"ח שלמים וש"ל חלקים מת"ף כזה
3 3 0 4 8 0	ג ג 0 ח ד 0
	נקצרם והוא שנטיל הספראש ישארו ל"ג חלקים ממ"ח בשלם וזה מה שרצינו [ואם תרצה לקצר עוד יהיו י"א מי"ח‫]
	ובדרך השני אם רצינו לחלק ת"ף על י"ג אלפים ותש"ע נאמר שיבוא לכל אחד ת"ף חלקים מי"ג אלף תש"ע בשלם וזה מה שנרצה בד' מיני השברים והבחינות או מאזנים בסוף ד' מני המורכבים

The Third Section: Integers and Fractions	‫הש[ער הג‫']
The first chapter on addition [of integers and fraction]	הפרק הראשון בחיבור [שלמים ושברים‫]
The second chapter on multiplication of integers and fraction	הפרק השני בכפל שלמים ושברים
The third chapter on subtraction of integers and fractions	הפרק השלשי במגרעת שלמים ושברים
The fourth chapter on division of integers and fractions	הפרק הרביעי בחילוק שלמים ושברים
The First Chapter on Addition of Integers and Fractions	הפרק הראשון בחיבור שלמים ושברים
	ואומר כי רצינו לחבר השלם והשבר למיניהם הנה נוכל לעשות זה בשני דרכים
	אשר הראשון האחד הוא שתעשה כל השלמים שברים וחלקם על המורה אחר שתשוים אל מורה אחד
	והדרך השני הוא שתחבר השלמים ואחר תשויה השברים והעולה מחיבור השברים תחלק על המורה והיוצא בחילוק הם שלמים והנשאר הם חלקי המורה
	והמשל מן הדרך הראשון רצינו לחבר ד' שלמים ושני שלשיים עם ה' שלמים וג' רביעיים
	בזה הצורה
	שלמים ד' שלמים ה'
	בשויה השלמים עם מורה שברים יהיו י"ב וב' שברים יהיו י"ד והם שלישיות גם השני עם מורה שברים יהיו כ"ג רביעיות כשוים כזה הצורה [השנית] יהיו שניהם ס"ט נ"ו ‫[...] נחברם [...] יהיו [...] חלקים מי"ב בשלם [...] זה המשל בדרך [...] וה' יהיו ט' נשויה השברים [...] נחלקים על המורה הכללי [שהוא י"ב] [...] שהיו לנו יהיו עשרה ונשארו חמשה י"ב ‫[...]
Example two:	משל שני רצינו לחבר שלמים ושברים על עם שלמים ושברים כמו י"ג שלמים וחמשה תשיעיות עם כ"ו שלמים ושלשת חמשיות ועם רל"ו שלמים וחצי כזאת הצורה
	גא וב וגב   הזב
	נחבר השלמים יהיו רע"ה גם נחבר השלמים השברים כמו שעשינו בפרק חיבור שברים יהיו אחד שלם ונ"ט חלקים מצ' כיצד נשויה השברים יהיה האב הכולל צ' והנה ה' תשיעיותיו הם נ' וג' חמשיותיו הם נ"ד וחציו מ"ה ויהיה כזאת הצורה
	הד דה ‫0ה ‫0ט
	נחברם כולם יהיו קמ"ט נגרע מהם צ' לשלם אחד ישארו נ"ט והם חלקים מצ' כנזכר והנה עלה לנו מחיבור י"ג שלמים וה' תשיעיות עם כ"ו וג' חמשיות ועם רל"ו וחצי רע"ו שלמים ונ"ט חלקים מצ' בשלם והוא הדרוש
Example three:	משל שלשי בחיבור שלמים ושברים משני מנים עם דומיהם כמו כ"ב שלמים ושלשת רביעיות וד' חמשיות עם ל' שלמים ורביעית וב' שלשיות
	‫     כב ל ז הא נ"ד
	‫[...] השברי' [...] ס' וג' רביעיות [...] ורביעיתו ט"ו וב' שלישיותיו [...] נחלקם על המורה יעלו ב' שלמים ונשארו [...] מס' [בש]לם שאם תקצרם ישובו לז' חלקים מט"ו [בשלם] והנה המחובר מכ"ב שלמים וג' רביעיות וד' חמשיות עם ל' שלמים ורביעית וב' שלישיות יהיה נ"ד שלמים וז' חלקים מט"ו בשלם
Example four:	משל רביעי רצינו לחבר שלמים ושברי שברים על שלמים ושברי שברים כמו רל"ה שלמים ורביעית חמשית עם שכ"ו שלמים וב' שלשיות מג' רביעיות בזאת הצורה
	- ובג עם - הגב
	נחבר השלמים יהיו תקס"א נשוה השברים יהיה אחד הקיצור י"א חלקים מכ' שהם חצי שלם וחלק מכ' בשלם
	והמעשה אעשה בשני דרכים להרגילך בדרכי המספר
	הדרך האחד הוא שתקח כל שבר השבר בפני עצמו וקח חלק כל אחד ואחד תשוה את שניהם והעולה משניהם תחבר וחלקם על המורה והם שלמים וכן נעשה נקח הרביעית חמשית מן החלק הראשון שהוא חלק מכ' ושני שלישיות מג' רביעיות מן השבר השני והוא ו' חלקים מי"ב שהוא חצי ואז היה לנו מן השני שברים חלק מכ' ומן השני ‫[...] מורה [...] ד' ורביע[י]ת [...] כנזכר והוא [...] וכן נעשה בשבר השבר [...] רביעיותיו הם ט' ושני שלישיות [...] השבר השני נקצרהו יהיה [...] בצורה המונחת והמורה הכולל מ' ואם נרצה הוא כ' אבל נניח זה והנה חציו הוא כ' מונח על חצי וחלק אחד מכ' הוא ב' והוא עליו נחברם יהיו כ"ב חלקם ממ' בשלם ואן בשבר הזה שלם אבל נקצרם בחצי יהיו י"א חלקים מכ' כנזכר
	הדרך השני הוא שנשוה המורים אל אב אחד ויהיה ס' ונסדר השברים בזאת הצורה
	הד   ‫0ג בא   ג - - ‫0ו
	ונקח ג' רביעיות ס' והם מ"ה וב' שלישיותיו ל' וזה שבר השבר האחד גם נקח חמשית ס' והוא י"ב ורביעית י"ב הוא ג' וזה שבר השבר האחר נחבר ג' עם ל' יהיו ל"ג וזה המבוקש שהם ל"ג חלקים מ' ס' כזה
	גג ‫0ו
	נקצרם בשלישית ישובו י"א חלקים מכ' כנזכר והנה יצא לנו מחיבור רל"ה שלמים ורביעית חמשית עם שכ"ו שלמים ושני שלישי ג' רביעיות תקס"א שלמים וחצי וחלק מכ' בשלם
Example five:	משל חמשי רצינו לחבר שלמים ושברי שלמים עם שלמים ושברי שלמים כגון ב' שלמים וג' רביעי ד' שלמים עם ה' שלמים ושני ‫שלישי [...] הנה יש בו [...] דרך משל אחד [...] המשל הוא שתכפול ה[...] שבריו וחלק העולה על [...] השלמים ואם יש בידך שלמים [...] חברם אלהם וכן תעשה בחלק השבר ואם [...] והמעשה במשלנו שכפלנו ד' בג' יעלו י"ב רביעיות וחלקם על ד' שהוא המורה יעלו ג' שלמים ונשמור אותם או נחברם עם הב' שלמים יהיו ה' בחלק הראשון גם נכפול ו' על ב' שלישיים יעלו י"ב שלישיים מונח על ב' נחלקם על ג' יעלו ד' שלמים וה' שלמים שהיו בחלקו יהיו ט' וה' שהיו לנו היו י"ד והוא המבוקש
Example [six]:	משל חמשי שרצינו לחבר שלמים ושברי שלמים על דומהם בדרך השני והוא שתכפול כל שלם אשר שברו אתה מבקש על שבריו והעולה מהכפל תתן למעלה על שבריו כמו שעשינו בהשואה ואחר תשוים עם מוריהם וחיבורם תחלק על המורה הכולל והעולה הוא המבוקש
	כמו בזה המשל שרצינו לחבר י"ח שלמים וה' שמניות מי"א שלמים עם כ"ה שלמים וז' תשעיות מח' שלימים בזאת הצורה
	מי"א י"ח מח' כ"ה
	נכפול י"א על ה' יהיו נ"ה שמיניות גם ח' על ז' יהיו נ"ו תשיעיות ויהיו שניהם בזאת הצורה השנית תשוים יהיו האחד תצ"ה והשני ‫[...] וחלקם [...] שלמים וז' [...] נ"ה יהיו נ"ו [...] והוא המבוקש והנה [...] תכפול י"א על ה' יעלו נ"ה [...] מורה חברו יעלו שהוא ט' יעלו [...] בח' על ז' יעלו נ"ו גם נ"ו על מורה חברו שהוא ח' יעלו תמ"ח תחבר שניהם יהיו תתקמ"ג חלקים על המורה הכולל יעלה בחילוק י"ג וז' ע"בין כנזכר
Example seven:	משל שביעי בחיבור שלמים ושברים מדברים מתחלפים מממון ומזמן וממשקל וממדה ואקצר כפי מה שאוכל
	ואומר שרצינו לחבר רל"ג לטרי ממון וי"ט דנרין וג' פשיט' ומחצה עם תס"ג לטרי ממון י"ב דנרי' עשרה פשי' ומחצה ועם תש"ט לטרי' י"ד די' י"א פשי' ומחצה נקבץ כל מין עם מינו והיוציא יהיה אלף תכ"ז לטרי ממון ז' די' ופשי' ומחצה ויהיה בצורה הזאת
	לטרי' דנרי' פשי' מחצה גהב טא ג א גוד דא ‫0א א ט0ז דא אא א זבדא ז א א המקובץ
	וראוי שתדע כי ב' מחצות הרי פשוט וי"ב פשיטי הם דנר וכ' דינרין לטרה גרע מהמחצות פשוט ישאר מחצה ויהיה הפשיטי כ"ה קח מהם ב' די‫' ‫קח מ[...] דיני' ופשוט ‫[...]
Example eight:	משל שמני [...] [רנ"ב כיכרין] וג' שקל[...] [כ"ח ליט' ט' אוקיות] וי"ב דראהם עם שע"ח כיכרים [ב' שקלי' כ"ד ליט' י"א] אוקיות ז' דראהם ועם תתקפ"ו כיכרי' [ושקל אחד] וי"ג לטרין ועשרה אוקיות וי"ד דראהם נקבץ כל מין עם מינו והיוציא יהיה אלף תרי"ח כיכרים וז' לטרין וח' אוקיות וא' דראהם ויהיה כזאת הצורה
	כיכרים שקלים ליטר אוקיות דרהם בהב ג חב ט בא חזג ב דב אא ז וחט א גא ‫0א דא חאוא 0 ז ח א
	‫והבחינה עם משל אחר מג' טורים גרע מהעולה מכולם חיבור הב' טורים וישאר הטור השלישי או יותר טורים אם יהיו
	‫והמשל בג' טורים חיברנו ב' ליטרי ממון וג' די' ו' פשוטי' עם ג' לטרי' ד' די' ה' פשי' ועם ד' לטר ה' די' ג' פשי' ויהיה כזאת הצורה
	לט' די' פש' ב ג ז ג ד ה ד ה ג
	חיברנו שלושתן יעלו ט' לטרי' י"ג די' ב' פשי' וזה כל הממון ושמור אותו
	‫והבחינה חיברנו הב' טורים העליונים יהיו ה' ליטרי' ז' די' י"א פשי' גרענום מכל הממון השמור נשאר הטור השלישי שהוא ד' ליטרי' ה' די' ג' פשי' עוד חיברנו הטור השני והשלישי שהם ז' לטרי' ט' די' א' פשי' גרענום מכל הממון ישאר הטור הראשון שהוא ב' ליטרי ג' די' ו' פשי' עוד נחבר שני טורים הראשונה והשלישית שהם ו' ליטרי ח' די' ט' פשי' גרענום מכל הממון וישאר האמצעי שהוא ג' לטרי ד' די' ב' פשי' ובזה הדרך תעשה [...] טורים או יותר שתקבץ כולם חוץ מאחד [...] תחזור ה‫[...]
	וראוי שתדע כי י"ו דרהם הם אוקיא וי"ב אוקיות הם לטרה ושלושים לטרין הם שקל אחד וד' שקלים הם כיכר
Example nine:	משל תשיעי ממדה רצינו לחבר רנ"ח כורי חיטה וג' ארובש ד' קוארטאליש ג' אלמודיש עם תכ"ג כורים ב' ארוכה ה' קוארטאליש ב' אלמודיש ועם קס"ז כורי' ב' ארוביש ב' קוארטאל א' אלמוד נחבר הכל יהיה תת"ק כורים וח' קוארטרלי ז' ארובלה ב' אלמודיש ב' אלמודש הכול בזאת הצורה
	וראוי שתדע כי ד' אלמודש הם קוארטאל וכ"ד קוארטאלי כאפיז ו' קוארטאליש הם ארובה וד' ארובש הם כאפיז ‫[...]
[Example ten:]	‫[משל עשירי] מזמן חיברנו תקע"א שנים כ"ו ימים י"ח שעות נ"ה דקים נ' שניים ל"ו שלישיים כ"ט רביעיים עם רנ"ז שנים כ"ט ימים י"ג שעות כ"ט דקים י"א שניים נ' שלישי' מ' רביעיים ועם תקפ"ח שנים י"ו ימים י"ט שעות ל"ח דקים נ"ב שניים מ"א שלשי י"ד רביעיים נחבר הכל ויהיה היוציא אלף תי"ו שנים ע"ג ימים ד' שעות ג' דקים נ"ה שניים ח' שלישים כ"ג רביעיים ויהיה בצורה הזאת
	שנים ימים שעות דקי' שניי' שלישי' רביעיי' אזה זהב חחה וב טב וא חא גא טא הה טב חג ‫0ה אא בה וג ‫0ה אד טב ‫0ד דא ואדא גז ד ג הה ח גב
	והנה [יד]עת כי ס' רביעיי' הם שלישי וס' שלישיים הם שני רביעי וס' שניים הם דק וס' דקים שעה וכ"ד שעות יום ושס"ה ימים ושש שעות שנה בהסכמה והרשות בידך לעשות השנה עיבורית או כפי מה שתרצה וכן החדשים ובעבור זה הנחתי הימים ולא עשיתי מהם חדשים
[Example eleven:]	‫[משל אחד עשר] [...] [מזלות כ"ו מעלות נ"א דקים ל"ב שניים כ"א שלישים כ"ז] רביעיים [נ' חמשיים עם ז' מזלות כ"א מעלות ל"ו דקים] מ"ד שניים נ' שלש[ים נ"ח רביעים י"ו חמשים עם י"א] מזלות כ"ח מעלות נ"ז [דקים מ"ב שניים ל"א שלישים כ'] רביעיים י"ז חמשים וה[יוציא] [...] [מזלות י"ז] מעעלות כ"ה דקים נ"ט שניים מ"ג [שלשים מ"ו רביעים] כ"ג חמשים ויהיה בזה הצורה
	מזלות מעלות דקים שניי' שלישי' רביעיים חמשיים ‫0א ז אא וב אב חב אה וג זה בג דד בד אב ‫0ה אג זב חה ‫0ב כה וא זא ה[.] זא הב טה גד וד גב
	וכבר ידעת כי המזלות י"ב וכל מזל ל' מעלות וכל מעלה ס' דקים וכל דק ס' שניים וכן לעולם
	והבחינה תחבר הב' טורים וגרע [מן הגדול מן הג' טורים שחיברת והנשאר תהיה הטור השלישי שהנחת עוד תחבר ב' טורים ותגרעם מן הגדול ושאר הטור שנחת וכן לעולם כמו שאמרתי בפרק המאזנים ובלטרי ממון ודי' ופשיט‫']
Example twelve:	משל שנים עשר רצינו לחבר ד' ימים י"ט שעות תתקכ"ה חלקים עיבוריים שהוא מותר שבעה מחזורים עם יום אחד י"א שעות תק"ץ חלקים שהוא מותר נ' חדשים יהיה היוציא ו' ימים ז' שעות תל"ה חלקים בצורה הזאת
	ימים שעות חלקים ד א טא אא הבט ‫0טה ו ז הגד
	וזה מותר נ"ז מחזורים כי נעשה מאלף מאלף ופ' חלקים שעה אחת ומכ"ד שעות יום אחד ואם יעלה מקיבוץ הימים ‫[....] כאן די בזה [...] למיניהם
The Second Chapter on Multiplication of Integers and Fractions
	‫[...] הרוצה לכפול שלמים [...] השלמים על השברים [...] והיוציא בחילוק הוא המבוקש
	‫[המשל] בזה רצינו לכפול י"ג על ג' רביעיות [או ג' רביעיות על י"ג שלמים כי הכל אחד] בזאת הצורה
	יג
	כפול י"ג על ג' שברים יעלו ל"ט רביעיות כזה
	טג ד
	וחלקם על המורה שהוא ד' יעלו בחילק ט' שלמים וג' רביעיות והוא המבוקש
	משל שני משלמים על שברי שברים כמו שרצינו לכפול ל"ח שלמים על ב' שלישיות מג' רביעיות בזאת הצורה
	- על חג
	נשום והנה האב הכולל הוא י"ב וג' רביעיותיו הם ט' וב' שלישיות ט' הם ו' חלקים מי"ב שהם שבר השבר הנרצה לכפול על ל"ח ולחלק היוציא על י"ב אבל אם נרצה נוכל לקצרו ויהיה יותר נקל ויהיה חצי והנה שבה השאלה כאומר כפול [.] ל"ח שלמים על חצי כזאת הצורה
	חג
	כפול ל"ח על אחד שהוא השבר יהיו ל"ח חלקים על המורה שהוא ב' יעלה בחילוק י"ט שלמים והוא המבוקש
	משל שלישי משלמים ושברים על שלמים ושברים כמו ב' שלמים וב' שלשיות על ג' שלמים וג' רביעיות בזאת הצורה
	ג על ב
	הנה לעשותה בשני פנים הראשונה הוא שתכפול השלמים על השלמים ואחר תכפול כל שלם ‫בשבר [...] שברים [...] עליו ויהיו [...] ב' שלמים על ג' [...] הב' שלמים על ג' רביעיות [...] השלם האחר על שהוא ג' על ג' שליש[...] גם תכפול השברים ג' רביעיות על ב' שלישיות [...] השיווי ששה חלקים מי"ב שאם תקצרם יהיו חצי ואחר תקבץ תקבץ הכל ששה שלמים וששה שלישיות שהם ב' שלמים יהיו שמונה ואחד וחצי מששה רביעיות יהיו ט' וחצי וחצי שהיה לנו מהשברים יהיו עשרה והוא המבוקש
	והפנים השניים אשר בה אעשה כל המשלים הוא שתתן השלמים בשבריהם ואחר כפול שבר על שבר ומורה על מורה והיוצה בחילוק על המורה שהם השלמים כציד במשל המונח שהוא ב' שלמים ושני שלישיות על ג' שלמים וג' רביעיות כפול ב' שלמים במורה שברו שהוא ג' ויהיו ו' תחברם עם שברו שהוא ב' יהיו ח' שלישיות גם כפול ג' על מורה שברו שהם ד' יהיו י"ב ועם ג' יהיו ט"ו והם רביעיות ויהיו שניהם כזאת הצורה
	‫0בא הא ד ח ג בא
	ואחר כפול שבר על שבר ומורה על מורה ויהיו ק"ך חלקים מי"ב חלקם לי"ב יעלו בחילוק עשרה והוא המבוקש שאלת סוחר
	משל ששי רביעי בכפל שלמים ושברי שברים על שלמים ושברים כמו נ"ח ‫[...] וד' פשיט [...] בשני דרכים ‫[...]
	הדרך הראשון הוא [...] ד' הוא שלש וג' רביעיות [...] שהוא שלישית דינר נתן הי"ב דינ' [...] שלשיות וזה סך כור אחד נכפלם על עשרה יהיו שי"ג נחלקם על ג' שהוא המורה יעלו קכ"ג די' ושליש דנר שהוא ד' פשי'
	ובדרך השנית נתן הי"ב דנ' בפשיטי' ונוסיף עליהם הפשיט' ונכפול אלה הפשי' על הנשאל והעולה אם נרצה דנר' נחלקם על י"ב ויהיו די'
	והמשל הנה הסוחר קנה עשרה כורי [.] חיטה לסך י"ב די' וד' פשיט' נתן הי"ב די' בפשטי' יהיו קמ"ד ועם ד' שהיה לנו יהיו קמ"ח וזה סך כור חיטה אחד נכפול קמ"ח על עשרה יהיו אלף ת"ף פשיט' שהם סך כל החטה
	ולעשותם דינ' נחלקם על י"ב יהיו קכ"ג די' וד' פשיט'
	ואם תרצה לעשות מקכ"ג די' פרחים תחלקם על סך הפרח ואם לטרי' על כ' ואם דוקאדש על סך הדוקאדו וכן לכל מטבע שתרצה
	דרך אחרת כפול שלמים על שלמים והנשברים גם על מה שקנית והכל יהיה שוה
	והמשל בזה כפול י"ב על עשרה הם ק"ך גם כפול ד' פשי' על עשרה הם מ' פשי' והם ג' די' וד' פשי' ועם ק"כ יהיו קכ"ג די' וד' פשי' כנז'
	שאלה אחרת ראובן קנה ע"ה משאור ע"ה משאות ע"ב פאשטולי לס' ה' לטרין וז' די' וה' פשיט כל משא שאלתי סך הע"ה משאות
	תשובה נעשה סך ‫המשא [...] ע"ה והוא [...] תרצה שיהיו די' [...] תרצה לטרי' חלק [...] יהיו ליטרי'
	והמשל נעשה [....] ק"ז די' נכפלם על [...] הה' פשוט והם פשטי משא אחת נכפלם על ע"ה יהיו צ"ז אלפים תרע"ה והם פשיטי המכר כולו ונרצה לעשות מהם די' נחלקם על י"ב יהיו ח' אלפים קל"ט די' וי"א פשי' ועתה שהם די' הרשות בידך לעשותם המטבע שתרצה מזהב ועתה נעשה מהם ליטרי' נחלקם על כ' יהיו ת"ו ליטר' י"ט די' ואם כן ע"ה משאות שוים [.] ת"ו לטרי' י"ט די' י"א פשיטי'
	ואם כשהם פשיט' תרצה לעשות מהם לטרי' תחלק הפשי' על ר"ע יעלו [.] ת"ו ליטרי' ונשארו רל"ט פשי' לחלק נחלקם על י"ב [.] יעלו י"ט די' ונשארו י"א פשיט'
	וכן אם תרצה לעשות מן הפשי' מטבע אחר אם מכסף או מזהב תחלק הפשיט על פשיטי המטבע שתרצה וכן
	וכן תעשה בכל השאלות אשר בהם די' ופשי' כי יש בהם שנים דרכים
	אשר הדרך הראשון הוא שנעשה הכל פשי' ונכפלם על המכר והיוציא הם פשי' נחלקם על י"ב יהיו די'
	והמשל ראובן קנה ל"ב משאות ענבים לס' ח' די וט' פשי' נעשה הדי' פשיטי' בשנכפלם על י"ב יעלו צ"ו ועם הט' פשי' שהיו לנו יהיו ק"ה פשי' והם [.] סך משא אחד נכפלם על ל"ב יעלו ג' אלפים ש"ס פשי' ולעשות מהם די' נחלקם על י"ב ועלו ר"ף די' והם סך הל"ב משאות
	הדרך השני ראובן קנה ל"ב משאות ענבים לס' ח' די' ‫[...] גם [...] נחלקם על י"ב יעלו [...] שהוא סך הל"ב משאות [...] שלא להאריך אומר [...] והיוציא תחלק על י"ב [...] השברים תלמוד זה בע"ה
	אחרת מן הדרך הראשון שתעשה כל מה שתרצה לכפול פשי' ותחבר עמהם הפשי' ואחר תכפול הפשי' על הנרצה והיוציא הם פשי'
	ואם תרצה לעשות מהם מטבע כסף תחלקם על סך פשי' המטבע שתרצה
	ואם תרצה מטבע זהב עשה הפשי' די' שתחלקם על י"ב וחלק היוציא על די' המטבע שתרצה
	והמשל רצינו לכפול ק"ב די' וג' פשי' על י"ד נעשה הדני' פשיט' בשנכפלם על י"ב יעלו אלף רכ"ב פשי' נחבר עליהם הג' יהיו אלף רכ"ז פשי' נכפלם על י"ד יהיו י"ז אלפים קע"ח וכולם פשי' נחלקם על י"ב לעשותם די' יעלו אלף תל"א והם די' [וששה פשי‫']
	ואם תרצה לעשות מהם פרחים תחלקם על סך הפרח ואם לטרי' על כ' וכן לכל מטבע שתרצה
	והדרך השני הוא שנכפול הדי' על הנרצה ושמרם כי הם די' וגם נכפול הפשי' על הנרצה ויהיו פשיטי' נחלקם על י"ב ויהיו די' אשר תחברם על הדי' השמורים
	והמשל כפלנו ק"ב די' על י"ד יעלו אלף תכ"ח די' ונשמור אותם גם כפלנו ג' פשי' על י"ד יעלו מ"ב פשי' נחלקם על י"ב יעלו ג' די' וששה [פשיטי'] נחברם על אלף תכ"ח יעלו אלף תל"א והם די' ועוד ששה פשי‫'
	‫משל [...] שלוש[...] חציים יהיו הט' [...] נחלק גם נעשה [...] חציים כמו המחלק יהיו [...] ג' אוקיות וט"ו חלקים מי"ט וזה הראוי לכל [...] חלקים על י"ו שהם חלקי האוקיה נקראים אריאינסיש יעל[...] נחלקם על י"ט ותציא בחילוק י"ב אריאינסוש ונשארו י"ב והם חלקי י"ט באריאינסו והנה עלה לכל פשוט ג' אוקיות י"ב אריאינסוש י"ב יטין מאריאינסו כזה
	בא טא
	והבחינה כפול מה שיציא למחצה שהוא אוקייה אחת וי"ד אריאינסוא וששה יטין י"ט פעמים יעלו ל"ו אוקיות שהם ג' ליטרי' כנז'
	משל אחר סוחר קנה ב' ליטרי סוקרי וחצי בסך ב' די' שאלתי סך כל ליטרה התשובה נחלק ב' די' על ב' וחצי לא תוכל נתן השלמים בשברהם יהיו הסוקרי ה' חציי ליטרה והב' די' כ"ד פשיט חלק כ"ד על ה' יעלה בחילוק ד' פשי' וד' חומשים לחצי הלטרה
	והבחינה נכפול ד' וד' חמשיות על ה' יעלו כ"ד פשי'
	אחרת סוחר קנה ד' ליטרין וחצי סוקרי בשני די' וט' פשיט' שאלתי סך הליטרה התשובה תן הכל בשברהם יהיו ט' חציי ליטרה והפשיט ל"ג נחלק ל"ג על ט' יבואו ג' פשיטי' ושני שלישי פשוט וזה ראוי לחצי הליטרה
	והבחינה כפול ג' ושני שלשים על ט' יעלו כ"ד פשיטי' וכן כל הדומה לזה
	משל בכפל שלמים ושברי שברים על שלמים ושברים כמו נ"ח ‫[...]
	מ"ד על ‫[...]
	‫[...] שברים והוא ל' וקח [...] על ד' חמשיות נקח [...] שהם כ' וזה השבר המבוקש שהוא כ' חל[קים] מל' בשלם ו[אי]ן לנו עסק בד' חמשיות [...] עתה יש לנו לכפול נ"ח שלמים וכ' חלקים מל' על מ"ד שלמים וג' חמשיות נסדרם בזה הצורה השנית
	דד על ‫0ב ‫0ג חה
	ואז ננהיג בו כמשל שלישי שתכפול נ"ח על מורה שבריו שהוא ל' יעלו אלף ותש"ם תוסיף עליהם שבריו שהם כ' יהיו אלף תש"ס ותנם על ל' שהוא מורה שבריו שמור [שנית] וכן נעשה למ"ד על ג' חמשיות שנכפול מ"ד על מורה שבריו שהוא ה' יעלו ר"ך נחבר עליו ג' שבריו יהיו רכ"ג חמשיות ויהיו כזאת הצורה השלשי'
	גבב ‫0וזא ה ‫0ג
	ועתה נכפלם בדרך השברים שברים על שברים ויהיו שצ"ב אלפים ות"ף וגם מורה על מורה ויהיו ק"ן חלק השברים שהם שצ"ב על אלפים ות"ף על המורה שהוא ק"ן יעלה בחילוק ב' אלפים ותרי"ו ונשארו פ' חלקים מק"ן ואם תקצרם יהיו ח' חלקים מט"ו והוא המבוקש
	ואם תרצה להקל מעט בזה הכפל מצד הכ' חלקם מל' תוכל לקצרם ויהיו ב' שלישיות ואחר כפול נ"ח בג' ‫שהיה [...] מ"א [...] השני מורים ‫[...]
	משל חמשי רצינו לכפול [...] שלמים כמו ז' שלמים [...] ד' שלמים כזה הצורה
	מד' על ז'
	הנה ראשונה תשויה הד' שלמים בעבור כי מהם נסרו ג' רביעיות והוא שנכפלם במורה השברים שהוא ד' ויעלו י"ו נקח מהם ג' רביעיותם שהם י"ב והם י"ב רביעיות אשר אם תחלקם על ד' יעלו ג' שלמים והנה שבה השאלה לכפול שלמים על שלמים שהם ז' על ג' שיעלו כ"א והוא המבוקש
	והנה תוכל למצוא הג' רביעי ד' בדרך אחרת והוא שתכפול השלם על שברו כי ד' על ג' הם י"ב רביעיות חלקם על ד' שהוא המורה יעלו ג' שלמים ועתה כפול שלמים על שלימים עלו ג' על ז' כ"א כנזכר
	משל ששי רצינו לכפול שלמים ושברי שלמים על שלמים ושברי שלמים כמו י"ג שלמים וג' חמשיות מי"ב שלמים על כ"ב שלמים ושני שלישיות מט' שלמים כזאת הצורה
	וג   מט' כב על מי"ב גא
	והמעשה הוא שתעשה ראשונה מן השלמים ‫[...] אחד תכפול [...] כפל המורים [...] שבריו שהוא ה' יעלו [...] יהיו ס' נקח מהם ג' חמשיותיו [] השברים שהם ג' על י"ב יעלו ל"ו חמשיות [...] חברם עם ס"ה חמשיות יהיו ק"א חמשיתיות כזה
	א0א ה
	והוא החלק הראשון הכופל וכן נעשה לכ"ב שלמים וב' שלישיות מט' שלמים כי כפלנו כ"ב בג' שהוא מורה שבריו יהיו ס"ו שלישיות גם כפלנו ט' בג' יהיו כ"ז נקח ב' שלישיות כ"ז שהם י"ח שלישיות נחברם על ס"ו יהיו פ"ד והם שלשיות כזה
	דח ג
	והוא הנכפל נכפול ק"א שהיה לנו על פ"ד יהיו ח' אלפים תפ"ד נחלקם על ט"ו שהם כפל ה' בג' שהם המורים יעלה בחילוק תקס"ז שלמים וט' חלקים מט"ו שאם תקצרם יהיו ג' חמשיות כזה
	משל שביעי רצינו לכפול שלמים ושברי שברי שלמים על שלמים ושברי שברי שלמים כמו ב' שלמים וחצי שלישית י"א על עצמו כזאת הצורה
	אא - על ב אא - על ב ו ו
	הנה ראשונה נוציא האב הכולל לשברים והוא ששה [...] ונכפול הי"א שלמים על המורה שהוא ששה יהיו ס"ו נקח שלשית ס"ו יהיו כ"ב והם שלישית י"א שלמים וחציו הוא י"א ‫חלק [...] הב' שלמים [...] מחצי שלישית [...] נכפלהו על [...] על ל"ו שהם כפל [...] י"ד שלמים וכ"ה חלקים מל"ו ‫[...]
	גב וג
	משל שמני רצינו לכפול שלמים על שלמים כמו ד' שלמים על ה' שלמים וג' רביע‫[יות]
	כזאת הצורה
	גב       ה על ד
	נתן השלם בשברו ה' [על] ד' יהיו כ' וג' שברים יהיו כ"ג נכפול הד' שלמים על כ"ג יהיו צ"ב רביעיות חלקם על ד' ש[הם] המורה יציא בחילוק כ"ג שלמים והוא המבוקש
The Third Chapter: Subtraction of Integers and Fractions	הפרק השלשי במגרעת המורכבים משלמ[ים] ושברים
	דע כי יסוד המגרעת וזולתו מן כפל וחיבור וחילוק בשברים או במורכבים הוא ההשואה ואז יהיו שוים ויהיה נקל לעשות מהם כל מה שתרצה כמו שעשינו במה שעבר בשברים ובמורכבים ועתה במגרעת שלמים ושברים ראשונה תשובת השברים ואחר גרעון אילו מאילו ואז השברים ממורים שוים אין צריך השואה כמו שתראה וכמו שעשינו בחיבור וכמו שתראה עתה בזה המשל
	משל ראשון רצינו לגרוע אלף ורמ"ז וח‫' ‫[...] ימים כ"א [...] שלישי לו רביעיים [...] ימים ר"ט שעות [...] שלישיים נ"ב רביעיים כ"ח חמשיים ‫[...]
	הגרוע הגורע הנשאר שנים ימים שעות דקים שניים שלשים רביעי חמשי' דגב בדב טא ‫0ג בד חג בה חב האב גהא אב גד בה אד וג אה טא חח בב וד וד זה הא זג
	וראשונה תדע כי כאשר תעבור אחד [לשמאל] [...] לימין הוא ששה או שישים ואם מימין לשמאל כל שישים הם אחד
	כיצד במשל המוטל נגרע נ"א חמשית מכ"ח לא נוכל נעבור רביעי אחד והם ששה עשרות חמישיות ועתה גרע חמשית אחד מח' חמשיות נשארו ז' למטה נ' שהוא ה' מו' שערכנו ומב' שיש בחמשיות נשארו ג' עם ז' ויהיו ל"ז חמשיות עוד נגרע ל"ו רביעיות מנ"ב נשארו ט"ו כי הם נ"א שעברנו אחד עו' נגרע מ"א שלישיות מל"ח ונעבור אחד נשארו נ"ז שלישיים עו' נגרע נ"ב ממ"ב ומאחד שעברנו נשארו מ"ו שניים עוד נגרע מ"ג מל' ומס' שנעבור משעה ישארו מ"ו כי מל' עברנו אחד עוד נגרע כ"א שעות מי"ח שעות נשארו כ"ב שעות עוד נגרע קנ"ג ימים כי עברנו יום אחד מרמ"א כי יום אחד עברנו נשארו פ"ח ימים עוד נגרע רי"ה שנים מרל"ד נשארו י"ט שנים
	והבחינה נחבר טור [ה]גורע עם טור הנשאר ותציא הטור אשר ממנו גרענו כי נ"א ול"ז חמשים יעלו רביעי וכ"ח ‫וכן ל"ו [...] ל"ח עם השלישי [...] שניים ודק אחד [...] אחת ועם כ"א יהיו כ"ב [...] שעות ויום אחד ועם קנ"ג [...] וי"ט יהיו רל"ד שנים והכל בדוק כי שב ה[...] ממנו גרענו
	משל אחר רצינו לגרוע שלמים ושברים משלמים ושברים כמו י"ד שלמים וח' שברים מי"א בשלם מכ"ד שלמים וט' שברים מי"ג בשלם כזאת הצורה
	צט ט גא כד קד ח אא זא קמג   המורה
	נגרע י"ז מכ"ד ישארו ז' שלמים ואחר תשויה השברים יהיו ק"ד לגרוע מצ"ט והמורה קמ"ג והנה בעבור שלא נוכל לגרוע ק"ד מצ"ט ניקח אחד מהז' שלמים ונעשה אותו שברים כסך המורה שהוא קמ"ג נחבר צ"ט עם קמ"ג יהיו רמ"ב וגרע מהם ק"ד נשארו קל"ח והם חלקים מקמ"ג בשלם והנה אחר שגרענו י"ז שלמים וח' חלקים מי"א בשלם מכ"ד שלמים וט' חלקים מי"ג בשלם נשארו ו' שלמים וקל"ח חלקים מקמ"ג בשלם והוא המבוקש
	דרך אחרת לאלה השאלות והוא שניתן השלמים בשבריהם יהיו בזה המשל הי"ז שלמים עם שבריהם קצ"ה שברים מי"א בשלם והכ"ד עם שברהם שכ"א מי"ג בשלם כזה הצורה
	אגהג אבג גא הגהב הטא אא גדא
	ואחר נשוים אל מורה אחד ויהיו הראשון ב' אלפים תקל"ה ‫[...] המורה שהוא [...] חלקים מקמ"ג ‫[...]
	‫[...] דברים מתחלפים כמו [...] ופשי' וכו' או מזלות מעלות דקים וכו' [או שנים] וחדשים וימים ושעו' וכו'
	תן המספרים במעלותם ואם לא יספיק תעבור אחד ויהיה כמספר המעלה אשר תעבור אותו כמו שתראה ואם תעבור אותו מעלות יותר מאחד תניח במעלות שבאמצע המספר היותר גדול שיוכל להיות בכל המעלות האמצעיות
	והמשל בזה רצינו לגרוע קס"ה לטרי ממון ועשרה די' וט' פשיט' ומחצה ורביע מרפ"ז לטרי' הנה ניתן הממון הקטן תחת הגדול במעלותם וניתן ספראש במקום השברים כזאת הצורה
	ו   ב ח ז לטרי' א ו ה לטרי' א ב א   טא   0 דנרי' ‫0א דנר ט   אא   0 פשיט ט פשי ב   א   0 מחצית א מחצית 0   ב   0 רביעי' א רבעי' א
	ועתה לגרוע רביעית פשיט מספרא לא נוכל [גם] אין מחצה לעבור ולא פשיט ולא די' הנה נקח לטרא אחת מז' ונשארו ו' ונעבור אותה למקום הרביעיות ונאמר שהיא כ' רביעיות ועתה נאמר כי בעבור הלטרה על כל השברים הניח על הדי' י"ט דינרים ועל הפשי' י"א ועל המחצות אחד ועל הרביעיות ב' כי מב' נגרע רביע אחד ונשאר רביע וממחצה נגרע מחצה ונשאר 0' ומי"א [.] נגרע ט' פשיט ‫[...] ליטרי' ה' [...] נשאר א' והנה [...] ורביע פשוט
	והבחינה תחבר הנשאר עם ה‫[...]
	משל אחר רצינו לגרוע ח' מזלות י"ז מעל[ות] [מ"ב] דקים ל"א שניים כ"א שלישי י"ב רביעיים מי"ב מזלות נסדרם במעלותם וניתן ספרא במקום שאין מספר ויהיו כזה הצורה
	אא   טב   טה   טה   טה   0   בא מזלו 0 מעלות 0 דקים 0 שניי 0 שלישיי 0 רביעיים ח מזל זא מעלו בד דקים זג שניים אב שליש בא רביע ג מזלו בא מעלו זא דקי' בב שניי' חג שליש מח רביע
	נגרע י"ב רביעים מספר לא נוכל ולא השברים האחרים אבל נעבור מזל אחד על הרביעיים ונאמר שהוא ס' רביעיים ונגרע ממנו י"ב ונשארו מ"ח רביעיי ועתה תכתוב על ספרא שלישיים נ"ט ועל השניים נ"ט ועל השלישיים נ"ט ועל הדקים נ"ט ועל המעלות כ"ט ועל המזלות י"א ועתה גרע כל מין ממינו ישארו בשלישי' ל"ח ובשניים כ"ב ובדקים י"ז ובמעלות י"ב ובמזלות ג' והוא מה שרצינו
	והבחינה תחבר הנשאר והמספר הקטן ותציא הגדול
	משל אחר לגרוע מזלות מעלות עד שלישיות או יותר אם תרצה ממזלות לבד תשטח מזל אחד עד השבר שתרצה ובאחרון תן ס' ובאמצעיים נ"ט בכל אחד ובמעלות כ"ט ויהיה כזה הצורה שנגרע מי"א מזלות שנשארו מזלות ‫[...] מזלות ה' ונשארו ששה וט' מעלות מכ"ט נשארו עשרים מעלות [...] נשארו י"ח ול"ד שניי מנ"ט נשארו כ"ה [...] מכ"ג נשארו כ' שלישיים
	והבחינה תחבר השני טורים התחתונים שהם הקטנים ותציא י"ב מזלות
	משל אחר רצינו לגרוע מטבע זהב מאחר ושיהיה דני' ופשיט ואם תרצה מחצות הנה אם קצת מעלות הנשאל לגרוע ממנו הוא קטן הנה הוא קשה מעט אבל קודם שתגרע תעבור סך אחד ממטבע הזהב ותחלקהו על מעלות שבריו ואז תגרע בנקל
	המשל בזה רצינו לגרוע מאלף רמ"ה דוקאדוש וי"ו די' וט' פשי' כל אלה מתקצ"ה י"ח די' י"א פשי' ויהיה כזאת הצורה
	ד   אב   בא   הדבא דוקדוש וא דינ' ט פשי הטה דוקאדוש חא דניר אא פשי טדו דוקדוש טא דנרי ‫0א פשי
	הנה בעבור שלא נוכל לגרוע י"א פשי מט' ולא י"ח די' מי"ו נעבור דוקאדו אחד בשבריו ונתן על י"ו די' כ"א ועל ט' פשי' י"ב כי זהו סך הדוקאדו ועתה נגרע י"א פשי' מט' וי"ב שהם כ"א פשי' נשארו עשרה פשי' גם נגרע י"ח די' מי"ו וכ"א שהם ל"ז נשארו י"ט די' גם נגרע תקצ"ה דוקאדי מאלף רמ"ד נשארו תרמ"ט והוא המבוקש
	ומשל תראה ממזלות ומלטרי' שהם דומים לזה
	‫משל א[חר] [...] תתקמ"ו [...] בזה השואה אל[...] ותתנהו על מורה התשיעית [...] על ט' וגרע ממנו הח' ישאר א' יהיו [...] תשיעית ואחר גרע שלמים משלמים [...] לנו אחר שגרענו הנז' תצ"ו ותשיעית כזה והוא המבוקש
	והבחינה תחבר הב' הקטנים ותציא הגדול
	משל אחר שרצינו לגרוע שלמים ושברי שברים משלמים ושברי שברים שלמים כמו קי"א שלמים וששה שביעיות מה' תשיעיות שרצינו לגרוע מקמ"ד שלמים וח' תשיעיות עשרית מד' שלמים כזאת הצורה
	הג         מד' מ ח ט דדא מ X אאא               גו
	הנה ראשונה נשויה שברי הגורע ונמצא המורה וה' תשיעיותיו הם ל"ה נקח ו' שביעיות ל"ה והם ל' וזה השבר הנרצה שהוא ל' חלקים מס"ג והנה שב הגורע קי"א ול' חלקים מס"ג כזה
	‫0ג גו קי"א
	ונשמרם עד שנשויה המספר השני וראשונה נוציא השברים והמורה שהוא צ' ואחר נשויה הד' שלמים והוא שנכפול ד' על צ' שהוא המורה הראשון יעלו ש"ס והוא מורה שני ועשיריתו הוא ל"ו וח' תשיעיותיו הם ל"ב חלקים מש"ס בשלם כי תשעית ל"ו הם ד' וח' פעמים ד' הם ל"ב כנז' והוא השבר השני המבוקש והנה שב המספר ושבריהם לגרוע קי"א שלמים ול' חלקים ‫[...] בזה הצורה [...] בשאלו [...]רים הם משני מינים [...] תשוים השואה שלישית וזה שנכפול כל שבר על מורה חברו ויעלו לעשרת אלפים [...] ולשני ב' אלפים וי"ו ואז יהיו השברים שוים אשר [נו]כל לגרוע זה מזה אלא שהשברים הגורעים הם יותר משברי המספר השני ולכן נקח אחד שלם ונעשה ממנו חלקים כפי המורה הכולל מש"ס על ס"ג שהוא כ"ב אלפים תר"ף ונחברם עם שברי המספר שרצינו לגרוע ממנו שהם ב' אלפים וי"ו ואז יהיו כ"ד אלפים תרצ"ו ואחר נסדרם לגרוע זה מזה וגם השלמים ויהיו כזאת הצורה
	שלמים א ד ג א א א   ג ב שברים ב ד ו ט ו א 0 ח 0 0 א ג ח ט ו השיור
	גרענו השברים מן השברים נשארו י"ג אלפים תתצ"ו מכ"ד אלפים ותר"ף בשלם גם נגרע קי"א שלמים מקמ"ג ישארו ל"ב כמו שתראה בצורה למטה ואם נקצר השברים ישובו לקצ"ג חלקים משט"ו בשלם כזה
	גטא האג
	וזה מה שרצינו
	ועיין שגם כן תוכל לעשות ההשואה בדרך האחד עם מורה אחד וקח חלקיהם
	וגם כן תוכל לעשות מכל השלמים שברים ותגרע אלו מאלו והנשאר תחלק על המורה והיוציא הם שלמים
	והכל שוה כי יש בכל מין דרכים רבים אבל די בזה למבין ותן לחכם ויחכם עוד
	והנה כל המשלים שנתתי [.] בפרק החיבור תוכל ללמוד מהם בגרעון וגם מה שבגרעון בחיבור ואין צריך להאריך ‫
The Fourth Chapter: Division of Integers and Fractions
	‫[...] שלמים [...] ושברים [...] שתתן השלמים [...] ותחלקם והיוציא בחלוקה [...] נרצה לחלק יהיו שלמים על שברים [...] שברים ממין השבר המחלק והעולה ‫[...]
	המשל רצינו לחלק כ"ב לטרין ועשרה דני' וששה פשיט' על ששה ניתן הכל בפשיטי' יהיו ה' אלפים ות"ו כי הכ"ב ליטרי' יהיו ת"מ די' ועוד נכפלם בי"ב יהיו ה' אלפים ר"ף והכל פשי' והעשרה די' עם [..] הששה פשי' יהיו קכ"ו נחברם עם ה' אלפים ור"ף יהיו כולם ה' אלפים ת"ו נחלקם על ששה יעלה בחילוק תתק"א והם פשי'
	ואם נרצה נעשה אותם די' ויהיו ע"ה די' ופשוט שהם ג' ליטרי' וט"ו די' ופשוט אחד
	והבחנה כפול מה שיצא בחילוק על ששה ויעלו ג' ליטרי וט"ו די' ופשוט
	והמשל נכפול הפשוט האחד בששה יעלו ששה פשיט' ונשמרם וששה פעמים ט"ו הם צ' שהם ד' ליטרי' ועשרה די' נשמרם וששה פעמים ג' לטרי' הם י"ח ליטרי' וד' שהיו בידינו יהיו כ"ב ליטרים והנה היו כולם כ"ב ליטרי' ועשרה די' וששה פשיט
	משל אחר רצינו לחלק שלמים על שברים כמו כ"ה שלמים על ג' חמשיות כזאת הצורה
	כ"ה
	הנה נעשה השלמים חמשיות שנכפלם על מורה השברים ויהיו קכ"ה חמשיות נחלקם על ג' יעלה בחילוק מ"א שלם וב' שלישיות ואל תתמה על היוציא בחלוקה שהוא יותר ממה שהיה לנו כי הוא כאומר חלק חצי לחצי ‫[...] כי [...] שיהיה יעלה הראוי ל[...] חצי דבר אחד לכולו תתן [...] בחלוקה הוא ראוי לאחד שלם [...] ותעיין ותבין שאם תחלק תחלק ו' על ב' [...] בחלוקה ט' שלמים והנוסף שהם ג' הוא הגורע לתשלום [...] שלישיות
	משל אחר רצינו לחלק ג' שלמים וג' רביעיות על ב' שלישיים תן השלמים בשברו יהיו ד' רביעות ט"ו רביעיו' השוים עם המחלק שהוא ב' שלישי' יהיו כזה הצורה
	8   45 2 ג X 15 4
	יהיו מ"ה חלק על ח' יעלו ה' שלמים וה' שמיניות
	משל אחר רצינו לחלק מ"ט שלמים וה' ששיות על ג' רביעי ששית מב' חמשיות כזאת הצורה
	48 8 ו   טצב   על מט     ‫0בא
	הנה ראשונה נתן השלמים בשברהם שהם שישיות ונחברם עם שבריו שהם ה' יהיו רצ"ט ותשמרם לחלק על ג' רביעיות משישית מב' חמשיות תשויה זה השברי שברים ויהיה המורה הכולל ק"ך והנה ב' חמשיותיו הם מ"ח והוא עליו ושישית מ"ח הוא ח' וג' רביעיות ח' [.] הם ששה וזה השבר הנרצה אשר עליו נחלק שהוא ו' חלקם מק"ך בשלם והנרצה לחלק הם שישיות ויהיה כזה הצורה
	וג   ‫0חחהג ו ‫0בא X טטב ו
	נשוים כל שבר במורה חברו או בדרך האחרת ויהיו החלקים אשר תרצה לחלק ל"ה אלפים תת"ף והחלקם ‫[...] הם אלף [...] תקצ"ו וכ"ד חלקי' [...] וכן תמצאם אם תקצרים [...] תתק"ץ ותחלקים על ג' [...] ההשואה תוכל לקצר אם תרצה [...] זה המשל ורבים ביותר נקל כי תוכל [...] עם שתעשה מורה השברים ס' כי ב' חמשיות חמשיות ס' הם כ"ד ושישית כ"ד הוא ד' וג' רביעיות ד' הם ג' וזה שבר השבר הנרצה שהוא ג' חלקים מס' בשלם ואחר תשויה רצ"ט ששיות עם ג' חלקים מס' כזה
	‫0דטזא ג ‫0ו   טטב ו
	יהיו על רצ"ט י"ז אלפים תתק"מ והם לחלק על י"ח שהוא כפל ו' על ג' ויציא בחילוק תתקצ"ו וב' שלישיות מקוצר כנזכ'
	ואם תרצה תוכל להקל עוד כאשר היו בידך ג' חלקים מס' תקצרם קודם שתשוים יהיו חלק אחד מב' תשויהו על ו' שהוא מורה החלק השני יהיה ו' גם תשויה רצ"ט עם כ' יהיו יעלו ה' אלפים תתק"ף חלקם על ו' יעלה בחילוק תתקצ"ו כנז'
	והרי לך כי כל זמן שתעיין בהשואה אולי תוכל לקצר מספרך והקל מעליך והכל דרך ישר כי מי יוכל לכתוב הכללים כל שכן הפרטים
	משל אחר נרצה לחלק שלמים ושברי שלמים על שברי שלמים כמו ק"ח שלמים וד' תשיעיות מי"ח שלמים על ג' שביעיות ח' שלמים כזאת הצורה
	שלמים דב   שלמים בז שלמים מח על יח קח
	וקח מן הח' שלמים הנשאל והוא שנכפול ח' על ז' שהוא מורה שברו יהיו נ"ו נקח מהם ג' שביעיותיו והוא כ"ד ‫ונשמר[...] שלא תצטרך [...] השברים [...] לכפול ח' על [...] כי אחר שעש[י]ת כל זה [...] פעמים י"ח וכן כדרך זה [...] מי"ח שנכפול י"ח בט' יעלו קי"ו [...] והם ע"ב כי תשיעית קי"ו הוא י"ח וד' פעמים י"ח הם [ע"ב‫]
	ואם תרצה כפול השברים על השלמים אשר תרצה לקחת מהם וה והעולה תתנם עליהם והוא המבוקש ואחר שהיה לנו שברי השלמים שהם ע"ב נחבר אליהם השלמי' שהם ק"ח והוא שנכפלם על מורה אלו השברים שהוא ט' יעלו תתקע"ב והם תשיעיים והשברים אשר נרצה לחלק עליהם שהם כ"ד שביעיים נשויה שניהם כזאת הצורה
	ואב   ד0חו דב ז X בזט ט
	ויהיה המספר הנחלק ו' אלפים תת"ד והמספר אשר עליו נחלק רי"ו והיוציא בחילוק ל"א שלמים וק"ח חלקים מרי"ו בשלם ואם נקצרם יהיו חצי שלם ואם כן המחלק ק"ח שלמים וד' שביעיות מי"ח שלמים על ג' שביעיות מח' שלימים יציא בחילוק לא שלם וחצי וכן כל הדומה לזה
	משל אחר אם רצינו לחלק מטבעות מתחלפות עם דנר' ופשטי' וכו' או מזלות ודקים ושניי' וכו' או שניי' חדשי' וכו' הנה נחלק הגדול ראשונה ומה שיציא בחילוק שמור אותו בשמו כופלהו בסך שהוא אם פריס בסך הפרח וכן לטרין או לסך המרובע שיהיה
	המשל רצינו לחלק רל"ד לטרי ממון וי"ו די' ‫[...] רל"ד [...] לכל אחד [...] ונשמרים [...] על כ' שהוא סך הלטרה [...] י"ו די' שלשו יהיו צ"ו די' נחלקם [...] ד' דינ' ונשמור אותם בשמן ונשארו [...] נכפלם בי"ב יעלו מ"ח פשיט' ועם ט' שלמו יהיו נ"ז נחלקם על כ"ג יעלו ב' פשי' ונשארו י"א פשיט נכפלם על ד' יעלו מ"ד רביעיות נחלקם על כ"ג יעלה בחילוק אחד שהוא רביעית פשוט ונשארו כ"א רביעי' והם כ"א מכ"ג ברביע פשוט כזה
	אב גב
	ועלה מזה כי המחלק רל"ד לטרי' י"ו די' ט' פשיט' על כ"ג שעלה לכל אחד עשרה לטרי' י"ד די' וב' פשי' ורביע פשוט וכ"א חלקים מכ"ג ברביע פשוט
	והבחינה כפול הרביעיות על כ"ג ועם כ"א שנשארו יהיו מ"ד והם י"א פשוט גם כפול ב' פשוט' על כ"ג יהיו מ"ו פשי' וי"א יהיו נ"ז שהם ד' די' וט' פשיט' גם כפול ד' די' על כ"ג יהיו צ"ב ועם ד' יהיו צ"ו די' שהם ד' לטרי' וי"ו די' גם כפול עשרה לטרי' על כ"ג יעלו ר"ל ועם ד' לטר' יהיו רל"ד והנה שב הכל רל"ד לטר' וי"ו די' וט' פשי'
	ותוכל לעשות זה בדרך אחרת שתעשה הכל מן השבר היותר קטן ואחר תחלוק ואחר החילוק תעלה הכל לכללים כמו במשלנו שנעשה הכל פשיט כי הם השבר הקטן והם נ"ו אלפים שס"א הכל פשי' ועתה תחלקם על כ"ג שהוא המורה יעלה בחילוק ד' אלפים תרצ"ו [די'] ונשארו ט' פשיט ונשמרם בשמן ועתה נחלק ‫ אלו הדי' [...] רל"ד לטרי' [...] לטרי' וי"ו די‫' [...]
Chapter: The Checking Methods for Fractions	פרק במ[...] מאזני השברים ‫[...]
	‫פרק במאזני השברים ואומר כי מאזני השברים הם כמאזני השלמים בעבור כי כאשר תחבר או תגרע או תחלק יהיו לעולם השברים שוים מאיזה מין שיהיה ועל כן תנהיג
	‫פרק במאזני השברים
	ואומר כי מאזני השברים הם כמאזני השלמים בעבור כי כאשר תחבר או תגרע או תחלק יהיו לעולם השברים שוים מאי זה מין שיהיו ועל כן תנהיג במאזני השברים כמנהג מאזני השלמים ועם כל הדרכים הנתונים בפרק מאזני השלמים
	ובעבור שלא תצטרך לעיין ותראה הדרך למין אכתוב כאן משל אחד מכל אחד מבדיקת כל אחד בהפכו חיבור עם גרעון וגרעון עם חיבור כפל עם חילוק וחילוק עם כפל
	והמשל בחיבור הנה אחר שנחבר שברי המספר נגרע מן המקובץ השבר הקטן וישאר הגדול או נגרע הגדול וישאר הקטן כיצד הרי שחיברנו ק"א חלקים מר"א בשלם עם ל"ג חלקים מר"א גם כן ‫‫[...]
	א0א   גג   א0ג
	‫[...] ל"ג [...] הנה אחר שנכפול שברי המספר נחלק [...] כאשר תראה כזאת הצורה
	ויצאו לך שברי המספר כיצד כפלנו ג' רביעיות וד' חמשיות וה' ששיות והנכפל יהיה ס' חלקים מק"ך כזאת הצורה השנית
	‫0ו ‫0בא
	נחלק כדרך שכפלנו כי כפלנו ג' על ד' והעולה על ה' יהיו ס' ועתה נחלק ס' על ה' יציא בחילוק י"ב נחלק י"ב על ד' ותציא בחילוק ג' והוא הראשון
	או נחלק ראשונה ס' על ג' יצא כ' וכ' על ה' יציא ד'
	או נחלק ס' על ד' ותציא ט"ו גם ט"ו על ג' ותציא ה' והוא השלישי
	ועשיתי אילו החלוקות להרגילך ובזה הדרך תוכל לבדוק שברים רבים
	משל אחר במאזני המגרעת אחר שגרענו שברי המספר נחבר השברים הגורעים עם הנשאר מן הגדול ותציא הגדול כיצד נגרע ת"ח מאלף ש"ל יש ישארו תתקכ"ב כזאת הצורה
	הגדול א ג ג 0 הגורע   ד 0 ח הנשאר   ט ב ב
	והמאזנים אם זה אמת נחבר השבר הקטן שהוא הגורע שהוא ת"ח עם הנשאר מן הגדול שהוא תתקכ"ב הנשאר ותציא הגדול שהוא אלף ש"ל
Example for the check of division:	משל במאזני החילוק
After we have divided the fractions of a number, we multiply the result of division by the divisor, then we add the remainder of division to the product and the result is the dividend [lit. the greater].	הנה אחר שחילקנו שברי המספר נכפול היוציא בחילוק על המחלק ועל היוציא בכפל נוסיף הנשאר לחלק ותציא הגדול
As when we have divided 256 parts of 168, which is derived from 2-thirds and six-sevenths after the equalization, by 63 parts of 168, which is derived from 3-eighths also after the equalization. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}+\frac{6}{7}\right)\div\frac{3}{8}=\frac{256}{168}\div\frac{63}{168}}}$	כמו שחילקנו רנ"ו חלקים מקס"ח שבא אחר ההשואה מב' שלישיות ומששה שביעיות על ס"ג חלקים מקס"ח גם כן שבא אחר ההשואה מג' שמיניות
They are as this diagram:	ויהיו כזאת הצורה
0     1 4 2 5 6   4   6 3	0     א ד ב ה ו   ד   ו ג
	ואם תרצה לבדוק זה אם הוא אמת כפול היוציא ‫בחילוק שהוא ד' [...] עליהם הנשאר שהוא ‫[...]

Section Four: Roots	השער המורכב [...] בעבור רוב ‫[...]
	‫[...] פרקים
	הפרק הראשון הראשון בשרשים
	הפרק השני ב[...] מספרים נמשכים
	הפרק השלישי
The First Chapter	הפרק הראשון
I have divided it into four types and an introduction needed for roots at the beginning	חלקתי אותו לד' מינים והקדמה בראשונה ראויה לשרשים המין
The first type: extracting the perfect and imperfect square roots	המין הראשון בהוצאת בהוצאת השרשים המרובעים השוים והבלתי שוים
The second type: extracting the perfect and imperfect cube roots	המין השני בהוצאת השרשים המעוקבים השוים והבלתי שוים
The third type: knowing the root of a number that has no real root	המין השלישי לדעת שורש איזה מספר מן המספרים שאין להם שורש אמיתי
The fourth type: knowing the root of fractions	המין הרביעי בידיעת שורש השברים
Introduction Needed for Roots	הקדמה הראויה לשרשים
I say that the square number that is equal in all its sides is the number that is multiplied by itself, which is the root, and the product is the square.	ואומר כי המספר המרובע השויה בכל צלעותיו הוא המספר הנכפל על עצמו והוא השורש והנכפל הוא המרובע
The essence of the extraction of the root is that if a number is a product of two different numbers and they generate a rectangle, then the exraction of the root considers it as a square that is equal in all its sides, or a product of two equal numbers and what is left remains.	וטבע הוצאת השורש הוא שאם יהיה מספר מה נכפל משני מספרים מתחלפים והם עושים מספר מרובע ארוך הנה הוצאת השורש חוזיר אותו מרובע שויה מכל צלעיו או לכפל שני מספרים שוים או לכפ וישאר מה שנשאר
	וזה כגון ב' על ח' ‫[...] שורש ד' וזה כי [...] אשר תוכל לשנות צלעותהם [...]חלקיו [...] מורכב מב' ולא יותר ואל ב' תחלקנו [...] צלע ב' ותהיה כזה
1 1 1 1	א א א א
If its sides are 2 and 3, like this:	ואם צלעותיו ב' וג' כזה
1 1 1 1 1 1	א א א א א א
The sides of 8 are 2 and 4.	וח' צלעותיו ב' וד'
	וכן עשרה
12 has two combinations: 2 by 6; and 3 by 4.	וי"ב יש בו ב' הרכבות ב' על ו' וג' על ד'
30 has three combinations: 2 by 15; 3 by 10; and 5 by 6.	ול' יש בו ג' רכבות ב' על ט"ו וג' על עשרה וה' על ו'
60 has five combinations: 2 by 30; 3 by 20; 4 by 15; 5 by 12; and 6 by 10.	וס' יש לו ה' הרכבות ב' על ל' וג' על כ' וד' על ט"ו וה' על י"ב וו' על עשרה
The root of 60 is 7 and 11 remains.	והנה שורש ס' הוא ז' ונשארו י"א
	ומאלה הערה לכולם והנה גם כפל מרובע על מרובע יהיה מרובע ואם יהיו כמה שיהיו גם תעין כי כל המדריעות הנפרדים יש להם שורש ואן לזוגות שורש ולכן יהיו המדריעות נחלקים במעשה שנים שנים כמו שתראה
The first type: extracting the perfect and imperfect square roots	המין הראשון בהוצאת השרשים מן המספר המרובע השוה
	והיוציא יהיה שורש אמתי וזה הדרך עצמו הוא למרובע הבלתי שוה אלא כי מן השוה לא ישאר מספר ומהבלתי שוה ישאר מספר והנה תיקון וסדר המדרגות להוציא השורש כך היא שתחלק ראשונה כל מדרגות מספרך שנים שנים וההתחלה ממעלת האחדים ומן המעלה האחרונה או מן השנים אם יהיו שנים באחרונה תתחיל להוציא השורש או מן האחד אם אין שם שנים וממנה תוציא שורש אחד או מן השנים כי מכל חלק תצטרך להוציא שורש אחד ר"ל חלק מן השורש וקראתי לכל שתי מעלות חלק אחד ותחשוב כל חלק לאחדים ועשרות זולת כאשר תקחינו עם הנשאר מן החלק הקודם לו כי אז יהיה אלפים ומאות כאשר תראה בע"ה ואחר קח החלק האחרון ר"ל בשני מעלות מספרים שבו או מה ‫שיש בו ותוציא ממנו [...] ותן אותו תחת החלק אשר [...] תחבר אותו עם מספרי החלק[...] כמו שעשית בחילוק כי הוצאת השורש [...] הנשאר יהיו אלפים ומאות [בעדף ה]חלק הקוד[ם] [...] השורש וכופלהו בשנים וכן [נתן] לפניו מספר מה ומה שיעלה [...] השורש והמספר הנתון כופלהו על המספר הנתון ואם העולה יהיה שוה למה שנשאר בחלק הראשון יהיה החלק [...] ואם הוא גדול גרע מן המספר הנתון [...] עליו אם הוא קטן ועם אחד שתוסיף ואם עם אחד שתוסיף יהיה [גדול] [קח] קח הראשון אפש"י שהוא קטן וכן סיפרא [...] שאם יקרה שתתן אחד לבד לפני השורש הכפול ויהיה העולה יותר ממה שבחלק ו[...] בחלק השני לא תתן מאומה לפני השורש או תתן ספרא בחלק ההוא ויהיה כמו שורש וכך תנהיג בכל המספר ובכל החלקים עד שיהיה תחת כל חלק חלק מן השורש אם שיהיה מספר או ספרא ויהיה אות החלק אשר יציא ראשונה הוא תחת החלק האחרון שהוא המספר היותר גדול כי האחרון הוא תחת החלק הקטן שהוא אחדים ועשרות והאחדים נמשכים אחריו וכולם הם השורש המבוקש
	ובמשלים תראה כל זה מבואר בע"ה
	המשל בזה רצינו לדעת שורש כ"ט מספרים ותק"ו אלפים וקכ"ד ואם הוא מרובע שוה ואם לא הנה נסדר המספר בזאת הצורה
2 9 5 0 6 6 2 4 5 4 3 2	ב ט ה 0 ו ו ב ד ה ד ג ב
	והנה חלקתי מעלות המספר שנים שנים ויהיו ד' חלקים ועתה ידענו כי המספר הנכפל על עצמו הוא ד' מעלות על ד' מעלות כי לכל חלק ראוי חלק אחד מהשורש והנה נתחיל מן החלק האחרון ונאמר כי המרובע היותר גדול שיש בכ"ט הוא כ"ה ונשארו ד' על ט' והנה שורש כ"ה הוא ה' נתן ה' תחת החלק הרביעי כי ממנו יציא וכבר ‫[...] והנה לדעת שורש [...] שורש ונכפול אותו בשנים [...] ונאמר שהוא ד' ויהיו אז העשרה [...] נכפול ק"ד על הד‫'
4 1 0 4	ד א 0 ד
	‫[...] נגרע תי"ו מת"ן כי הד' שנשארו על הט' [...] בערך לחלק השלישי ונשארו ל"ד בחלק השלשי והם ג' [...] כערך לחלק השני והנה מאחר שהד' הנתון הוא הראוי נכתוב ד' תחת החלק השלישי ואם תאמר כי בעבור שנשאר ל"ד בחלק השלשי שיהיה המספר הנתון ה' הנה יעלה יותר מן הראוי ע"ה ובעבור זה לקחנו ד' כנזכר כי עם מעט עיון תראה המספר הראוי לתת לפני כפל השורש הנמצא
	והנה לדעת שורש החלק השני עשה כנז' והוא שתכפול השני שרשים הנמצאים שהם ד' וה' שהם נ"ד יהיו ק"ח כזה
	א 0 ח
	נתן לפני המספר הזה מספר אחד והראוי הוא ג' ויהיו אז אלף ושמונים ושלושה כזה
	ג א 0 ח ג
	כפלנו זה המספר על המספר הנתון שהוא ג' יהיה העולה ג' אלפים ורמ"ט נגרעם מן החלק השני ומהנשאר מן השלישי שהם ג' אלפים ותס"ו ישארו ב' בחלק השלישי וי"ז בשני והם כ"א אלף ות"ש בערך לחלק הראשון והנה מאחר כי ג' הנתון הוא הראוי נכתוב ג' תחת החלק השני
	ולדעת שום החלק הראשון עשה כאשר עשית וכפול השרשים הנמצאים בשנים שהם עתה תקמ"ג כזה
	ה ד ג
	ויהיו אלף ושמונים וששה כזה
	א 0 ח ו
	ויעלה זה המספר מעלה אחד עם המספר שניתן לפניו שהראוי הוא ב' ויהיו אז עשרת אלפים ותתס"ב כזה
	ב א 0 ח ו ב
	כפלנו זה המספר על המספר הנתון שהוא ב' יעלו כ"א אלפים תשכ"ד נגרעם מן החלק הראשון ומן הנשאר מן השני ומן השלישי שהוא כ"א אלפים תשכ"ד לא נשאר כלום וזה יורה שהמספר המונח שהוא כ"ט מספרים ותק"ו אלפים וקנ"ד שהוא מרובע שוה הצלעות וניתן המספר הנתון שהוא ב' תחת החלק הראשון ויהיה אז השורש שלם כי מה שאמרנו ל[.] חלק שורש ‫הוא בדרך ההשאלה [...] תל"ב כזה
	ה ד ג ב
	‫[...] דומה על עצמו ואם יציא לך ‫[...]
	משל אחר רצינו לדעת שורש [...] ותס"ד ואם הוא שוה הצלעות [...] הצורה
	ה ז ח ד ה ו ד ו ד ב ד 0 ה ו
	והנה [...] וראוי להוציא ה' חלקים כאשר [...] לזה השורש [...] מן הראשון שהוא האחרון אשר בזה ומרובעו הגדול הוא ד' [...] ישאר א' על ה' והנה שורש ד' הוא ב' נתן אותו תחת החלק החמשי כי ‫[...]
	ולדעת השורש השני נכפול ב' שהוא השורש הראשון יהיו ד' נתן מספר מה לפניו והנה הראוי הוא ד' ויהיו מ"ד כפלנו מ"ד על ד' הנתון כזה
	ד   ד ד א ה ו
	יעלו קע"ו נגרעם מקע"ח שיש בחלק הרביעי ובנשאר בחמשי ישארו ב' ברביעי והוא ק"ק בערך לחלק השלישי והנה המספר הנתון שהוא ד' הוא תחת החלק הרביעי
	ולדעת השורש השלישי נכפול השני שרשים הנמצאים בידינו שהם כ"ד יהיו מ"ח ניתן מספר לפניהם והנה הראוי הוא ספרא לעלות מעלה שאם ניתן א' שהוא המספר היותר קטן יעלה תפ"א לגרוע מרמ"ה ולא נוכל כי רמ"ה קטן מתפ"א ולכן המספר הנתון הוא ספרא ונתן הספרא תחת החלק החמשי השלישי ולא נגרע דבר לא מן החלק השלישי ולא משיור החלק הרביעי ויהיה ב' שהוא החלק החמשי עשרים אלפים כערך החלק השני
	ולדעת השורש הרביעי נכפול השלשה שרשים הנמצאים שהם יחד רי"ו יהיו ת"ף נתן לפניהם מספר אחד והראוי הוא ה' ויהיו ד' אלפים תת"ה כפלנום על ה' הנתון יהיו כ"ד אלפים וכ"ה כזה
	ה ד ח 0 ה
	גרענום ממספרי החלק השני והנשאר מן השלישי ומן הרביעי שהם כ"ד אלפים ותקס"ד ישארו תקל"ט שהם בערך החלק הראשון נ"ג אלפים תתקס"ד והנה המספר הנתון שהוא ה' הוא השורש הרביעי וניתן אותו תחת החלק השני שהוא רביעי ‫[...] הד' שרשים שהם [...] אלפים תת"י ניתן לפניהם [...] מ"ח אלפים וק"א כפלנום [...] הכפול הוא בעצמו כי הכופל [...] אינו עולה ולא יורד [] וק"א מנ"ג אלפים ותתקס"ד ישארו ה' אלפים ותתס"ג והנה המספר הנתון שהוא אחד הוא השורש החמש וניתן אותו כזה בחלק החמישי שהוא חלק האחדים והעשרות והנה אם ניתן לפני השורש שנים בעבור שלא ישארו ה' אלפים תתס"ג יעלה הכפל יותר ויותר ממה שנצטרך לזה השיור ואם כן הא' הנתון הוא הראוי והנה השיור שנשאר יורה שהמספר המונח שאינו מרובע שוה הצלעות אבל כל חשבון אשר שרשיו [יציא] כל החשבון יורה שהוא מרובע שוה הצלעות
	א ד ח א 0 א
	הבחינה תכפול השורש [.] על עצמו ועל הכפל תוסיף הנשאר ואם יהיה שוה למספר המונח הוא טוב ועוד תעיין שלא יהיה הנשאר אחר הוצאת השורש יותר מכפל השורש שאם הוא יותר מכפל השורש הנה תוכל לתת עוד אחד במספר הנתון שהוא חלק השורש האחרון
	המשל הנה נניח כי שורש ד' הוא א' ישארו ג' והוא יותר מכפל השורש כי כפל כפל השורש הוא פעם אם כן נוכל לתת ב' בשורש ולא נשאר דבר
	עוד רצינו שורש ט"ו והוא ג' ישארו ששה שהוא כפל השורש בצמצום ואם כן הוא השורש הראוי
	וכן כ"ד והשורש ד' ונשארו ח' שהוא כפל השורש בצמצום
	עוד נניח כי שורש ל"ו הוא ה' ומרובע חמשה הוא כ"ה נגרע כ"ה מל"ו נשארו י"א והוא יותר מכפל השורש כי השורש שהנחנו הוא חמשה וכופלו עשרה והנשאר יותר מעשרה כי הוא י"א אם כן השורש הראוי הוא ששה
	עוד רצינו שורש מאה נניח ‫כי הוא ט' [...] הוא י"ח והנה י"ט הוא [...] בשורש עשרה וכן כולם
	דרך קל מאוד אחר שתציירהו [...] פעמים והדרך שתתן מספרך ב[...] שנים שנים וכל חלק תאמר שהוא אחדים [עשרות] [...] זמן שישאר לצד שמאל תאמר תאמר מאות ואלפים ומה שימשך כמו שעשינו ואחר שחילקת מספריך ב'ב' תעשה תחת אחדי כל חלק בתים לחלקי השורש ואחר קח החלק האחרון ותגרע ממנו המרובע היותר גדול שבו וקח שורשו ותתנהו בביתו ואחר קח זה השורש ותכפלהו בשנים ולפני הכפל תבקש מספר ראוי אשר עם זה המספר הנתון לפני כפל השורש תכפול הכל והיוציא תן אחדי המספר תחת אחדי החלק אשר ממנו תבקש השורש השני ואם תתן א' במספר הנתון ויעלה יותר תן ספרא בשורש ולא תגרע דבר ושוב לכפול הספרא וכל השורש כי לעולם הספרא מן השורש ונעשה כנהוג במשל שעבר המשל
	המשל רצינו שורש חמשה חלקים אשר הוא שני אלפים ותתק"ן מספרים ותשע"א אלפים ומ"א כזאת הצורה
1 0 8 6 4 6       2 2 8 1 9         3 4 7 7           4 5 0             2 9 5 0 7 7 1 0 4 1     5               2 5   4   3   2   1   4 1 6                 3 2 7 9               2 1 7 2 4             1 0 8 6 4 1	א 0 ח ו ד ו       ב ב ח א ט         ג ד ז ז           ד ה 0             ב ט ה 0 ז ז א 0 ד א     ה               ב ה   ד   ג   ב   א   ד א ו                 ג ב 7 9               ב א ז ב ד             א 0 ח ו ד א
	אשר החלק הראשון לצד שמאל אשר ממנו נתחיל הוא כ"ט והשני נ' והשלישי ע"ז והרביעי עשרה והחמשי שהוא הראשון על דרך האמת הוא מ"א
	ועתה רצינו שורש כ"ט ‫[...] ישארו ד' על ט' [...] חלק שני ויהיו אז החלק [...] שנגרע מרובעו מ[..] [...] שהוא חמשה יהיו עשרה ניתן [...] והוא ארבעה ויהיו כזה ק"ד [...] הנתון כמו שתראה בצורה
	ד א 0 ד
	יהיו תי"ו [...] במעלותם בדרך שיהיו האחדים שהם ששה תחת אחדי החלק השני שהם סיפרא והם תחת בית השורש נגרע תי"ו מת"ן נשארו ל"ד על החלק השני וד' התחתון הוא השורש השני ונתנהו בביתו תחת אחדיו חלק שני
	ועוד רצינו שורש חלק שלישי שהוא ע"ז ועם הנשאר בחלק שני והוא ג' אלפים תע"ז כמו שתראה בצורה נכפול השני שרשים הידועים לנו שהם ד"ה שהם נ"ד על שנים יהיו ק"ח נבקש מספר ראוי לתת לפני ק"ח והוא ג' ויהיו כזה הצורה
	ג א 0 ח ג ג 2 4 9
	אשר כולם יהיו אלף ופ"ג נכפול כל המספר על ג' הנתון והוא השורש יעלו ג' אלפים רמ"ט אשר נגרעם מג' אלפים תמ"ז והוא שניתן אחדי [..] הג' אלפים רמ"ט תחת אחדי החלק השלשי אשר בו ע"ז ואחר תגרעם מג' אלפים תע"ז ישארו כ"ב אלפים תת"י וג' הנתון הוא השורש ונתנהו בביתו תחת אחדי החלק השלישי שהם ז'
	עוד להוציא שורש רביעי אשר בו עשרה נכפול השרשים הידועים שהם הד"ג בשנים יהיו אלף פ"ו נתן לפניהם מספר ראוי והוא ב' ויהיו עשרת אלפים תתס"ב נכפלם על המספר הנתון שהוא ב' יהיו כ"א אלפים תשכ"ז כזה הצורה
	ב ב א 0 ח ו ב ב א ז ב ד
	נגרעים מכ"ב אלפים תת"י אחר אשר ניתן אחדי המספר שהוא ד' תחת אחדי החלק הרביעי אשר בו ספרא ונשארו ק"ח אלפים תרמ"א והנתון שהוא ב' הוא השורש וניתנהו בביתו
	עוד להוציא שורש החלק החמשי אשר בו מ"א נכפול השברים הידועים שהם הדג"ב בשנים יעלו עשרת אלפים תתס"ד נבקש מספר ראוי לתת לפני ‫זה המספר [...] ק"ח אלפים תרמ"א [...] הנתון שהוא אחד יעלה כמו [...] ניתן אחדי המספר שהוא אחד תחת [..] גם כן ואחר כל הנמשכים לצד שמאל [...]‫ שהוא גם כן ק"ח אלף תרצ"א לא נשאר דבר ותו[...] שוה הצלעות ודי בזה המשל לאיש שהוא משכיל
	והבחינה כפול האחד השורש על עצמו שהוא נ"ד אלפים שכ"א ותציא כל המספר שהוא [..] שני אלפים ותתק"ן מספרים ותשע"א אלפים ומ"א והוא טוב
The second type: extracting the perfect and imperfect cube roots	המין השני בהוצאת השרשים המעוקבים השוים והבלתי שוים
	ואומר כי הוצאת שורשי המעוקבים הוא על זה הסדר שתחלק ראשונה מעלות המספר המונח ג' ג' ותתחיל ממעלות האחדים וקראתי לכל ג' מעלות חלק ואם האחרון יהיה מב' מעלות או ממעלה אחת ולכל חלק תצטרך להוציא חלק מן השורש בן יהיה מספר או ספרא בין יהיה החלק מג' בין שיהיה האחרון מב' מעלות או ממעלה אחת כאשר תראה וכאשר עשינו בשורשי המרובעים ואחר תוציא המעוקב מן החלק האחרון מן המעלות אשר תמציא שם ומן המעוקב תיקח השורש ותן אותו תחת החלק אשר יציא משם והוא חלק ראשון מן השורש ולהוציא החלק האחד מן השורש קח השורש הנמציא ותן מספר לפניו וכפול השורש והמספר הנתון על ג' כפלי השורש הנמצא והעולה תכפול פעם אחרת על המספר הנתון לפני השורש ושמור העולה מן השני הכיפילות ואחר קח מעוקב המספר הנתון וחברהו על המספר הנכפל ובלבד שיהיה עשרות זה המעוקב נגד נוגד אחדי המספר הנכפל ואם אין שם עשרות אלא אחדים שתתנים לאחדים בזה המספר ויעלו מעלת האחדים מזה המספר לעשרות ואם העולה מחיבור שניהם הוא שוה למספר החלק אשר תרצה שורשו ולשאר מין האחרים מוטב ‫[...] ותן המספר [...] מספרך ותן המספר [...] המספר הנתון אחד ותראה אחר [...] העולה הוא גדול לא תכפול דבר [...] בחלקו ויהיה מספרי מעלות חלקו כמו שיור [האחדות] כאשר עשינו בשורשי המרובעות
	ובעבור כי זה המעשה המעשה קשה לציירו אניח צורות כפי המשכת המעשה בכל הכפלים וראשונה אכתוב לוח מעוקבי כל אחדי המעלה הראשונה בעבור כי לעולם החלק האחרון הנתון אשר ניקח שורש מעוקבו בראשונה [.] לא יוסיף שורשו מאחדים
	ובעבור זה תמצא בטור ראשון מזה הלוח כל אחדי המעלה הראשונה והטור השני מעוקבהם וזה צורת הלוח
	המשל בזה רצינו לדעת שורש המעוקב הגדול שיוכל להיות בזה המספר שהוא ע"ד אלפים ופ"ח או אם הוא מעוקב בלא שיור וראשונה אניח מעלות המספר ואחלקים ג' ג' ואתן קו תחת כל חלק ומקום לשרשים ויהיה כזה
	ז ד /0 ח ח ד ב
	ואחר נוציא מעוקב ע"ד והנה המעוקב הגדול שבו הוא ס"ד ושורשו ד' כמו שתראה בלוח
1 1 8 2 27 3 64 4 125 5 216 6 343 7 512 8 729 9	א א ח ב כז ג סד ד קכה ה ריו ו שמג ז תקיב ח תשכט ט
	כי ד' על ד' הוא י"ו וי"ו על ד' הוא ס"ד נגרע ס"ד מע"ד ישארו עשרה שהוא עשרת אלפים כערך אחדי החלק הראשון והשורש שהוא ד' נתן אותו תחת החלק השני כי ממנו יציא והרי לנו שורש אחד מן החלק השני
	ולדעת שורש החלק הראשון לקחנו השורש הנמצא והוא ד' וניתן מספר לפניו והנה הראוי הוא ב' ושניהם יעלו מ"ב כזה ב"ד ועתה נכפול מ"ב על י"ב שהוא ג' כפל השורש ויהיה העולה תק"ד ‫ כזה ד0ה [...] שהוא י"ב יהיו אלף ושמונה [...] מעוקב ב' שהוא המספר [...] השמור [...] יהיה ח' אחדים ויעלה כל [..] אלפים ושמונים ויהיה כזה נגרע זה המספר [...] מן החלק הראשון ומהנשאר בשני והנה הכל שוה כי גם כן [..] עשרת אלפים ושמונים משמונה [...] ולקחנו המספר הנתון שהוא ב' וניתן אותו תחת החלק הראשון ויהיה אז שורש מעוקב זה המספר המונח מ"ב בשוה והוא שוה בכל צלעותיו
	ואם תרצה לבדוק אם זה אמת כפול מ"ב על מ"ב שהוא השורש והיוציא על מ"ב ותציא המספר המונח
	משל שני רצינו לדעת שורש המעוקב היותר גדול שהוא כזה המספר המונח שהוא ח' אלפים ותי"ד מספרים ותתקע"ה אלפים ות"ה כזאת הצורה
	ח ד א ד ט ז ה ד 0 ה ב   0     ג     ד
	והוא ד' חלקים נוציא מעוקב החלק האחרון שהוא ח' והוא מעוקב ושורשו ב' נגרע ח' מח' לא נשאר כלום וניתן ב' תחת הח' האחרון
	ולדעת שורש החלק השלישי לקחנו השורש הנמצא שהוא ב' וניתן לפניו מספר אחד והנה אם ניתן א' לפני השורש יעלה יותר מן הראוי תתמ"ז ולכן לא נעשה דבר אלא ניתן ספרא כחלק השלישי ולא נגרע ממנו דבר אלא יהיה שיור לחלק השני וניתן ספרא תחת החלק השלשי
	ולדעת שורש החלק השני ניקח השני שרשים הנמצאים שהם יחד עשרים וניתן מספר לפניהם והנה הראוי הוא ג' ויעלה המספר הג' כזה ג0ב ונכפול זה המספר בשישים שהוא ג' כפלי השורש יעלו י"ב אלפים וק"ף ועוד כפלנו זה המספר על המספר הנתון שהוא ג' יעלו ל"ו אלפים ותק"מ ונשמרים אחר נקח מעוקב המספר הנתון שהוא ג' ויהיה מעוקבו כ"ז ניתן העשרות ניגד אחדי המספר הנתון ויהיה כזה ‫[...] כולם שס"ה [...] תכ"ז נגרע זה [...] החלק [...] בשלישי מ"ט ובשני תקמ"ח [...] ותקמ"ח אלפים ואם ניתן מספר [...] הגדול הנה יעלה יותר מן הראוי ד' [...] אלפים ותרס"ד ואם כן ג' הוא הראוי כנזכר וניתן ג' שהוא המספר הנתון תחת החלק השני
	ולדעת השורש הרביעי שהוא תשלום שהוא ת כל השורש ככלל ניתן מספר אחד לפני השרשים הנמצאים שהם ב 0 ג והראוי הוא ד' ויהיה אז מספר השורש עם הנתון ב' אלפים ול"ד כזה
	ב 0 ג ד
	נכפול זה המספר בכלל על תר"ט שהוא ג' כפלי השרשים יעלה מספר אחד ורל"ח אלפים ותש"ו כזה
	א ב ג ח ז 0 ו
	נכפול זה המספר על המספר הנתון שהוא ד' יעלה ד' מספרים ותתקנ"ד אלפים תתכ"ד ויהיה כזה
	ד ט ה ד ח ב ד
	ונשמרם ואחר נקח מעוקב המספר הנתון שהוא ס"ד נחברהו עם המספר השמור וניתן עשרות זה המעוקב עם אחדי המספר השמור ויעלו כל מדרגות המספר השמור מעלה אחד ויהיו מ"ט מספרים ותקמ"ח אלפות וש"ד כזה
	ד ט ה ד ח ג 0 ד
	ניגרעם ממספר החלק הראשון ומן הנשאר מן השני והשלישי שיהיה הכל מ"ט מספרים ותקמ"ח אלפים ות"ה ישארו ק"א והרי כי המספר המונח אינו מעוקב אבל המעוקב היותר גדול שבו הוא ח' אלפים תי"ד מספרים ותתקע"ה ות"ד ונשארו ק"א
	ואם תרצה לבדוק אם זה אמת קח השורש וכפלהו על עצמו והיוציא כפול פעם אחרת על השורש ותציא המונח
	קיצור המשל אחר שתצייר הכל תחלק מעלות המספר המונח ג'ג' וקח שורש החלק האחרון ותן מספר לפני השורש וכפול המספר הנתון והשורש על ג' כפלי השורש והעולה כפול במספר הנתון ועל הכל תחבר מעוקב הנתון שיהיו עשרות המעוקב ניגד אחדי מספרך
The third type: knowing the root of a number that has no real root	‫המין הש[לישי‫] ‫[...]
	‫[והוא ב' סדרים] מספרים [..] מזה המין רוב המספר [...] ד' וט' שיש להם שורש אמתי [...] ובמעלת העשרות לא תמצא [...] האחרים אין להם שורש ואם תרצה לדעת [...] תחבר על כל מרובע המספרים הנפרדים הנמשכים בסדר ואז תדעם והנשארים הם המספרים שאין להם שורש אמיתי
	והמשל בזה האחד הוא מרובע תחבר עליו הנפרד הנמשך לו שהוא ג' יהיו ד' והוא מרובע
	תחבר על ד' הנפרד הנמשך אחר ג' שהוא ה' יהיו ט' והוא מרובע
	תחבר על ט' ז' יעלו י"ו והוא מרובע
	ועל י"ו ט' יהיו כ"ה והוא מרובע
	וכן לעולם
	והנה כל הנשארים הם מספרים אשר אין להם שורש אמתי אלא בקירוב
	ואומנם תמצא קירוב ויותר קירוב כאשר תראה בע"ה
	ולכן חלקתי זה המין לשני סדרים
	אשר הסדר הראשון הוא לדעת השורש המוסכם
	והשני לדעת השורש המדוקדק והיותר מדוקדק אם תרצה
	הסדר הראשון הוא לדעת השורש המוסכם ויש בו דרכים רבים אבל בראותי הטורח הגדול והתועלת הקטן לא אאריך אלא הראוי להבנת הענין בלבד
	וכבר ידעת כי כל המספרים אשר אין להם שורש אמתי הם בין שני מרובעים אחד גדול ואחד קטן ואילו המספרים האמצעים הם זוגות לעולם
	כמו ב"ג בין אל א"ד והוז"ח בין ד"ט בין כל מרובע ומרובע בתוספת שנים
	ואחר שכל המספרים אשר בין המרובעים הם זוגות נחלקם בשנים חציים קרובים למרובע הקטן וחציים קרובים למרובע הגדול
	כי ב' קרוב א' וג' קרוב ד' וכן כולם
	ולזה חילקתי זה הסדר בשני דרכים
	הדרך הראשון בקרובי הקטנים ואומר כי הדרך הוא שתקח שורש המרובע הקטן ושומרהו ‫[...] על השורש על [...] בין השורש והמספר אשר [...] המספר שום על המורה ואלה [...] הוא השורש
	המשל בזה רצינו [...] ושורש ד' הוא ב' ונשמרהו [...] ב' שהוא שורש ד' יהיו ד' וזה מורה השברים וההפרש או המספר אשר בן המרובע ובין ה' הנשאל הוא אחד שום אותו על המורה יהיה כזה ‫
	ויורה שהוא רביע וב' השמור יהיו ב' ורביע והנה שורש ה' הוא ב' ורביע
	והבחינה לזה תכפול ב' ורבע על ב' ורביע יעלו ה' וחלק מי"ו כי תשוים כמו שידעת ותציא לך פ"א חלקים מי"ו בשלם חלק פ"א על י"ו תציא לך ה' שלמים וחלק מי"ו וזה כל כך קרוב אל האמת
	משל שני רצינו לדעת שורש י"ח והוא קרוב למרובע הקטן שהוא י"ו כי הגדול הוא כ"ה ושורש י"ו הוא ד' ונשמרהו וכפלו ח' והוא מורה השברים וההפרש בין י"ו לי"ח שהם [שה] המרוב[ע] הקטן והנשאל שהוא י"ח הם שנים נתנם על ח' שהוא המורה יהיו ב' שמיניות נקצרם יהיו רביע כזה ‫
	ואם כן שורש י"ח הוא ד' ורביע
	הדרך השני בקרובי המרובעים הגדולים ואומר כי הדרך הוא שתקח שורש המרובע הקטן ותשמרהו ואחר כפול שורש המרובע הגדול ויהיה המורה ואחר קח ההפרש שיש מן המספר הנשאל הנשאל למרובע הגדול ותגרעהו מן המורה והנשאר הם שברי חלקי המורה אם תצטרך להוסיף על השורש השמור
	המשל בזה רצינו לדעת שורש ח' לקחנו שורש המרובע הקטן שהוא ב' ונשמרהו ואחר נכפול שורש המרובע הגדול שהוא ג' יהיו ו' והם המורה והנה היה לנו השורש השלם שהוא ב' ומורה השברים שהוא ו' ונצטרך השברים והנה המרובע הגדול גדול מהמספר הנשאל מאחד נגרעהו מן המורה שהוא ו' יהיו ה‫' ‫והם השברים ‫[...]
	משל שני רצינו לדעת [...] הוא ה' ונשמרהו והנה ‫[...] י"ב והנה המרובע הגדול גדול מה[...] י"ב ישארו ט' והם והם השברים והמורה [...] יהיו ג' רביעיות והנה עלה בידנו כי שורש ל"ג הוא [...] כזה ה ‫
	ואם נכפול השרשים על עצמם יעלו ל"ג וחלק מי"ו בשלם
	הסדר השני הוא לדעת השורש המדוקדק והיותר מדוקדק אם תרצה ואומר כי הרוציא לדקדק השורש המוסכם קח השורש המוסכם כדרך שאמרנו בסדר ראשון ואחר אם השורש ואחר אם השורש שמצאת הוא גדול גרע מן השברים ואם הוא קטן תוסיף על השברים ואם עם שבר אחד יהיה גדול ואם עם אחר הקרוב לו הוא קטן תכפלהו במספר גדול ואחר תוסיף מאילו החלקים הדקים או תגרע כפי הראוי
	ואם תרצה לדקדק עוד אחר שעם חלק אחד מן הדקים יוסיף ועם אחר הקרוב לו יגרע כפול עוד במספר גדול ויקטינו השברים
	ותוכל לעשות זה עם ג' דרכים
	הא' שתכפול השברים והמורה
	והשני השברים שתוסיף או תגרע כפי הצורך
	והשלישי שתוסיף או תגרע מן המורה
	וכל זה יורה השכל
	המשל בזה רצינו לדקדק שורש ה' והנה שורשו המוסכם הוא ב' ורביע כזה ב ‫ כאשר אמרנו בסדר ראשון ובעבור שהוא עולה יותר מה' חלק אחד מי"ו נכפול השבר והמורה במאה כי בסדר ראשון כפלנו פ"א חלקים מי"ו נתן ספרא לפני כל אחד יהיו תת"י חלקים מק"ס ובעבור שהוא גדול לא ניקח כולו כי כולו מקוצר ושוב ישוב לרביע אבל ניקח מהמאה שברים צ"ה חלקים ויהיו כזה
	הט ‫00ד
	ואז יהיה השורש ב' שלמים וצ"ה חלקם מת' ניתן הב' שלמים בשברים יהיו תת תחביר עליהם צ"ה יהיה תתצ"ה כזה
	הטח ‫00ד
	כופלם על עצמם יהיה תת"א אלפים וכ"ה נחלקם ‫[...] יהיה מרובעו [...] וכ"ה והם חלקים [...] השיור הזה נגרע עוד ‫[...]
	דט ‫00ד
	ניתן הב' שלמים בשברם [...] יהיו תתצ"ד כזה
	דטח ‫00ד
	כופלם [...] ומורה על מורה יהיו תשצ"ט [...] חלקם על כפל המורה על עצמו שהוא ק"ס אלפים יעלה בחילוק ה' עם גרעון תשס"ד וזה יותר קרוב מן הראשון שהוא צ"ה שנשארו אלף וכ"ה ובצד וגרעו תשס"ד
	ואם תרצה לדקדק עוד כפול כפול השברים והמורה לחשבון יותר ותכפלם כאשר עשיתי ואם הוא גדול גרע עד שאם תגרע יגרעו ואם יגרעו תוסיף או אם יש לך לב כפול המורה ויקטנו השברים או גרע מהמורה ויגדלו השברים
	או תעיין באילו המשלים [..] אם תרצה לקצר הראשון בחמשיות והשני בחצים יהיה יותר נקל וכל זה כפי מה שיורה השכל כי אין להאריך עוד כי די בזה
The fourth type: knowing the root of fractions	‫המין הרביעי ב‫[..]
	‫[...] כי השבר ש[...] מונח במספר גדול כי ה[...] תקצרהו כל מה שתוכל ואחר [...] מרובע יחויב שיהיה גם המורה ‫[...]
	לדעת שורש ארבע תשיעיות כזה ‫
	הנה [...] שהוא השבר הוא ב' ושורש המורה הוא ג' ואם כן שורש ד' תשיעיות הוא ב' שלשיות כזה ‫
	ולראות אם זה אמת כופלהו על עצמו ותציא ד' תשיעיות כזה ‫
	משל אחר רצינו שורש י"ב חלקים מכ"ז כזה
	בא זב
	ראה אם תוכל לקצר שניהם והנה תוכל לקצרם בשלישית ויהיה ד' תשיעיות ושורש ב' שלישיות כזה ‫
	וחזור למשל שעבר ואם השברים מתחלפים
	משל אחר רצינו שורש ק"ף מרמ"ה חלקים כזה
	‫0חא הדב
	נראה אם נוכל לקצרם והנה יתקצרו בחמשית כי חמשית ק"ף הוא ל"ו וחמשית רמ"ה הוא מ"ט ושניהם מרובעים ורצינו לדעת שורשם ויהיו כזה
	וג טד
	והנה שורש ל"ו הוא ו' ושורש מ"ט הוא ז' ויהיו ו' שביעיו' כזה ‫
	והבחינה ברורה שתכפול ו' שביעיות על עצמו
	משל אחר רצינו לדעת שורש קמ"ד חלקים מקס"ט כזה
	דדא טוא
	ובעבור כי הוא ג' מעלות נוציא השורש מכל אחד כמנהג השלמים כאשר תראה במין הראשון בארוכה והוא שנקח בראשונה השבר שהוא קמ"ד ונחלק המעלות בב' מצד ימין כזאת הצורה
1 4 4 1   2	א ד ד א   ב
	ונוציא שורש החלק האחרון והוא א' ניגרע א' מא' לא נשאר כלום וניתן השורש שהוא א' תחת החלק שיציא ממנו כפול זה השורש בשנים ותן לפניו מספר מה והראוי הוא ב' כפלהו עם [..] השורש יהיו כ"ב כפול כ"ב על ב' שהוא הנתון יעלו מ"ד גרע[ם] מ"ד מן החלק הראשון שהוא מ"ד לא נשאר כלום וניתן ב' תחתיו
	ואם היו לנו ב' חלקי השורש א"ב שהם י"ב ונאמר כי י"ב הוא שורש קמ"ד שהוא השבר ונעשה כדרך הזה במורה שהוא קס"ט ויעלה בידינו ‫[...] שורש קמד חלקים[...] היוציא בזה ומאלה ממשלים [...] שוים ובלתי שוים ומהנשאר מהשרשים ‫[...]

[The Second Chapter: Successive Numbers]	‫[הפרק השני] [...] ביד[י]עת חשבונות נמשכים ביחס והם [...] ההנדסה
	ואקדים הקדמה אחת ואומר כי המספר לקו ולשטח ולגשם וכן יהיו שלושה חלקים
	‫[החלק הא‫']
	ואומר כי כמו שהקו בלתי בעל תכלית כן המספר בלתי בעל תכלית וכאשר המספר המנוי הוא בעל תכלית כן הקו המדומה הוא [.] בעל תכלית ויאמר כמספר וכאשר יאמר כקו קטון או גדול כן המספר יאמר קטון או גדול וההתחלה מן הב' ובתוספת הבא אחריו שהוא אחד לאין קץ
	ונתחיל בסגולות המספר הקויי ואומר כי כל מספר הוא שוה לחצי שני מספרים קרובים ממנו או רחוקים מרחק שוה כאשר אמרתי בפרק ראשון בהקדמת חיבור השברים או כפל כל מספר הוא שוה לשתי פאותיו קרובים או רחוקים עד א'
	החלק השני בשטחים
	ואומר כי כאשר המספר הוא בלתי בעל תכלית כן תמונות השטחים [.] הם בלתי בעלות תכלית כמו משולש שהוא התמונה הראשונה ומרובע ומחומש ומשושה והנמשכים אחריהם לאין תכלית רצוני צלעותהם כמו שרצינו צלעות המשולשים כסדר המספרים הנה כבר ידענו שהקו ימשך מאחד כסדר והמשולש ימשך בתוספת המספר הנמשך כי א' הוא משולש ומרובע ומחומש וכל לכל התמונות בהשאלה
	כי אם נקח א' וא' ועוד בהמשך א' יציא מספר קויי
	ואם נרצה משולש יהיה בתוספת ב' הנמשך על א' ויעלו ג' והוא משולש כזה
1   1   1	א   א   א
	נוסיף על ג' [.] הנמשך אחר ב' שהוא ג' יהיו ו' כזה ג' בכל צלע
	א       א   א   א   א   א
	נוסיף על ו' הנמשך אחר ג' שהוא ד' יהיו יהיו עשרה כזה כל צלע מד‫'
	א           א   א       א   א   א   א   א   א   א
	ואם כן יורה כי ג' משולש וו' משולש ועשרה משולש וט"ו משולש כולם שוות הצלעות והנה הראשון ג' שהוא בתוספת ב' על א' והשני בתוספת ג' ובתוספת ד' השלישי ‫[...]
	ולדעת הוצאת המרובעים [...] בהנחתי אחד בין שניהם
	והמשל [...] שהוא מרובע משאל בהנחה אחד המספר שאחר הא' שהוא ב' [...] יהיו ד' והוא המרובע השני
	והנה נניח המספר הבא אחר ג' שלקחנו שהוא ד' ונקח ה' ונחברהו עם ד' שהוא המרובע שעבר יהיו ט' והוא המרובע השלישית
	גם נניח ו' וניקח ז' ונחברהו עם ט' יהיו י"ו והוא מרובע רביעי
	גם נחבר ט' על י"ו יהיו מרובע חמשי
	וכן כולם מרובע אחרי מרובע והרי לך צורת האותיות אשר תצטרך לחביר שהם בדילוג האחד
	טו יג יא ט ז ה ג א
	אשר הנחנו כי א' וג' הם ד' ומרובע וד' וה' הם ט' והוא מרובע וט' וז' הם י"ו והוא מרובע וי"ו וט' הם כ"ה והוא מרובע וכ"ה וי"א הם ל"ו והוא מרובע וכן לעולם וכל אלו המספרים שלקחנו הם הנפר[ד]ים כסדר
	ומסגולות אלה הנפרדים כי א' הוא מרובע מושאל ואם נחבר עמו הנפרד השני שהוא ג' יהיו ד' והוא מרובע שני
	ואם נחבר שניהם עם הנפרד השלישי יהיו א'ג'ה' והם מרובע שלישי שהוא ט'
	נחבר עמהם הנפרד הרביעי יהיו א'ג'ה'ז' והם י"ו והוא מרובע רביעי
	נחבר עמהם נפרד החמשה שהוא ט' יהיו אגהז"ט והם כ"ה והוא מרובע רביעי וכן כולם
	והמחומשים תדעם בשתוסיף על חמשה הנמשך בהנחת שנים
	והמשושים בהנחת שלושה וכן כולם
	כמו שתראה בזה הלוח והנה כל המספרים הנמשכים בטבע הם מושטחים גם כן כי א ב ג ד ה שהם נמשכים בטבע הם מושטחים כזה הצורה
	שמינית משובע משושה מחומש מרובע משולש ח ז ו ה ד ג כא יח טו יב ט ו מ לד כח כב יו י סה נה מה לה כה טו צו פא סו נא לו כא קלג קיב צא ע מט כח
	‫ [...] אומר כי החלק [...] יחלק לד' דרכים במקום [...] הראשון הוא במספר אשר [...] טבעי ויחלק לשנים [...] נפרדות ונמשך בסדר טבעי [...] הדרך השלישי הוא במספר הנמשך בערך
	הדרך הרביעי הוא משוטף לראשון ולשני
	הדרך הראשון מן החלק השני הוא במספר נמשך בטבע אשר מקומותיו זוגות יתחיל מן האחד או מאי זה מספר שיהיה ואומר שאם נרצה לחביר מספרים נמשכים בטבע אם הם זוגות כפול חיבור הקצוות על חצי המקומות והיוציא הוא המבוקש או תחבר האמצעיות ותכפלם על חצי המקומות
	והמשל בזה המספר המונח שהוא מא' עד ו' שהמקומות זוגות כזה א ב ג ד ה ו נחבר הקצוות שהם א' ו' יהיו ז' נכפול [.] ז' על חצי המקומות שהם ג' יעלו כ"א והוא המבוקש או תחבר ג"ד מאצע יהיו ז' נכפלם על חצי המקומות יהיו כ"א כנז'
	משל אחר בזה המספר המונח שהוא ד ה ו ז ח ט שאינו מתחיל מא' אבל הוא נמשך בסדר טבעי והמקומות זוגות נחבר ד' עם ט' יהיו י"ג כפול י"ג על ג' שהוא חצי המקומות יעלו ל"ט והוא המבוקש
	משל אחר כולל זוג ונפרד עם שיהיו מתחילם מן האחד ובסדר טבעי והוא שתקח האחרון מן הנמשכים עם מרובעו וחציים הוא המבוקש
	כמו א ב ג ד ה קח האחרון שהוא ה' עם מרובעו שהוא כ"ה יהיו [.] ל' וחציים הם ט"ו והוא המבוקש
	ואם יהיו זוגות כמו א ב ג ד ה ו קח האחרון שהוא ו' עם מרובעו שהוא ל"ו יהיו מ"ב וחציים כ"א והוא המבוקש
	הדרך ‫[השני] הוא במספר נמשך בטבע אשר מקומותיו נפרדות יתחיל מן האחד או מאי זה מספר
	ואומר שאם תרצה לחבר מספרים נמשכים בטבע עד מקום נפרד מתחילים מן האחד
	‫הוא שתכפול [...]
	והמשל בזה המספר [...] כזה
	ז ו ה ד ג ב א
	‫[...] מספר המקומות שהם ז' יעלו כ"ח והוא [...] המספר המונח שאינו מתחיל מן האחד [...] תכפול האמצעי שהוא ז' על המקומות שהם ז' יעלו ‫[...]
	הדרך השלישי הנמשך בערך אשר מיניו בלתי בעלות תכלית אומנם אזכור מהם קצתם בג' משלים
	ואומר כי מאחר שהנחתי מספרים נמשכים בדרך טבעי אסדר מספרים נמשכים בערך
	וראשונה אומר שאם היו מספרים נפרדים מתחילים מן האחד המקובץ מהם שוה למרובע האמצעי כמו במשל
	ט ז ה ג א
	אשר חיבורם הוא שוה למרובע האמצעי שהוא ה' יהיו כ"ה
	משל אחר נניח מספרים נפרדי המקומות גם כן נוציא מהם הנפר[ד]ים וכפל האמצעי מהנפרד יהיה קיבוץ הנפרדים כמו אלה
	ה ד ג ב א
	כפול האמצעי האמצעי מן הנפרדים שהוא ג' על עצמו יעלו ט' וכן יעלו אג"ה
	ואם מה שתוציא מן הנפרדי' שבאמצע הם מקומות זוגות קח המספר שבאמצעם שהוא זוג וכפלו על עצמו הוא מספר הנפרדים כמו שנניח
	ז ו ה ד ג ב א
	הנה הזוגות שנשארו הם בד"ו ומרובע האמצעי שהוא ד' הוא י"ו והוא מספר הנפרדים שהם
	ז ה ג א
	משל אחר בזה המונח שהוא
	ט ז ה ג א
	נפרדי המקומות נוציא מהם הנפרדים שהם ומרובע האמצעי הוא מספר כולם כי האמצעי כ"ה ומספר כולם כ"ה והוא המבוקש
	משל אחר
	ואניח מקצת אלה הערכים ועיין ותשכיל
	‫[...] אשר יקראו [...] בזה בדברים רבים [...] רבות כאשר תראם בע"ה והוא [...] בכפל ב' ודרך חיבורו הוא שתכפול האחרון בחסרון אחד אם יתחיל מאחד
	והמשל בזאת הצורה המונחת שהוא עד ס"ד יעלו קכ"ה [ש]הוא חשבון כולו והוא המבוקש
	א ב ד ח וא בג דו
	ואם לא יתחיל מן האחד אלא שיהיה המספר מזוג הזו גם תכפול האחרון בחסרון הראשון והיוציה הוא המבוקש
	והמשל בזאת הצורה השנית כפול האחרון שהוא תקי"ב ותגרע י"ו הראשון יעלו אלף ושמונה והוא המבוקש
	צורה שנית וא בג דו חבא והב באה
	הדרך הרביעי המשוטף מן השני דרכים ותמונותיו כפי טבע המספרים שהם לאין תכלית ואזכיר מהם ואומר שאם יהיו שני מספרים נמשכים בסדר טבעי מתחילים מן האחד והאחד נמשך יותר מן האחד מאחד הנה המחובר הנה המחובר משניהם שויה למרובע האחרון הגדול ואם שניהם שוים יהיה המחובר ככפל האחרונים זה על זה ועם חיבור השורש
	והמשל באילו המספרים הנמשכים המונחים הנה האחרון הגדול הוא ו' ומרובעו ל"ו והנה ל"ו הוא המחובר משניהם
	צורה ראשונה א א ב ב ג ג ד ד ה ה ו ו
	ואם יהיו שוים כזה הצורה השנית כפול האחרונים זה על זה יהיו כ"ה תחבר על כ"ה השורש שהוא ה' יהיו ל' והוא המבוקש
	צורה שנית א א ב ב ג ג ד ד ה ה
	ואם יהיה מספרים רבים נמשכים בסדר מה וההתחלה א' מן האחד הנ נעיין אם יהיו המקומות זוגות או נפרדות ואם [...] הנפרדות
	והמשל בזוגות [...] ומעטין
	בזה הצורה
	צורה ראשונה ו ה ד ג ב א   ה ד ג ב א     ד ג ב א       ג ב א         ב א           א
	קח א ב ג ד ה ו [..] והם כ"א ומרובעם [...] הם נ"ו וכן יהיה חיבור כל הצורה והוא היוצא ‫[...]
	קח הנפרדים אשר ת[מצה] [...] בסוף המקומות והם א ג ה ז ומרובעם ה[וא] הם א ט כה מט וחיבור כולם הם פ"ד והוא המבוקש
	צורה שנית             א           ב א         ג ב א       ד ג ב א     ה ד ג ב א   ו ה ד ג ב א ז ו ה ד ג ב א
	ואם היו המספרים המונחים הראשון מתחיל מן הא' והשני מב' והשלישי מג' וכן עד סוף המונח הגדול יהיו כזה הצורה השלישית הנה המחובר מהם יהיה כמרובע הטור הגדול
	צורה שלישית ה ד ג ב א ה ד ג ב   ה ד ג     ה ד       ה
	והמשל הטור הגדול הוא א ב ג ד ה ומרבעם הם א' ד' ט' י"ו כ"ה וחיבור כולם הם נ"ה וכן הוא המסודר מכולם
	משל אחר מחילק מספר מה כפי הערך שתרצה גרע הנערך מהמספר אשר תרצה לחלק והנשאר תחלק על מקומות הערך שוה בשוה וחברם והוא מה שרצינו לחלק
	המשל בזה רצינו לחלק ל"ו דינרי' לד' אנשים כפי זה הערך ג ה ז ט וחשבונם כ"ד גרע כ"ד מל"ו ישארו י"ב תחלקם בשוה על כל המקומות יהיו ג' לכל אחד כזה
	חברים יחד יהיו לראשון ששה והלשני ולשני שמונה ולשלישי עשרה ולרביעי י"ב והנה ערך העולה לכל אחד כערך המספר המונח הנערך
	משל אחר רצינו לחלק ס' לד' אנשים כערך ד' ז' י' י"ג וחשבון מספר המקומות הם ל"ד נגרע ל"ד מס' נשארו כ"ו תחלק כ"ו ‫[...]ל אחד תחבר [...] עשרה וחצי ולשני י"ג וחצי [...] וכן כל הדומה לזה והנה מה [...] התועלת אלא הם חידוד השכל [...] וגרעון כי די בזה
	החלק השלישי במעוקב ואומר כי הגשם המעוקב הוא ידוע אבל בסגולתו אומר ב' משלים כוללים
	המשל הראשון הרי שהיה לנו מעוקב אורכו כרוחבו כגובהו ולקח ממנו חצי צלעו מעוקב ואומר שלקח שמיניתו כי מעוקב ד' הוא ס"ד וצלעו ד' וחצי הצלע הוא ב' וב' על ב' הוא ד' וד' על ב' הוא ח' והוא שמינית כולו ואם לא לקחנו אלא חצי צלעו ואם כן הלוקח חצי צלע המעוקב מעוקב לא לקח אלא שמיניתו
	משל אחר אם שאל שלשית הצלע הנה לקח חלק מכ"ז והנה נניח צלע שימצא לו שלישית להציל הטורח שלא כמו ו' על ו' והיוציא על ו' יהיו רי"ו המעוקב הגדול נקח שלישית הצלע שהוא ב' ונכפול ב' על ב' יהיו ד' וד' על ב' והיו ח' והנח ח' שהוא מעוקב שלישית הצלע והוא חלק מכ"ז בכלולו ואם כן הלוקח שלישית צלע המעוקב מעוקב לא לקח אלא חלק מכ"ז בכולו
	וכן אם נקח רביעית [צלע] המעוקב מעוקב יהיה חלק מס"ד
	ואם נקח חמשית יהיה חלק מקכ"ה
	והנה בשאלות תראה כל זה בע"ה ומסגולותהם
	משל אחר בחילוק גשם אחד בערך מה ואומר שיהיה בידנו גשם אשר במשקלו י"ג ליטרין ורצינו לחלקו לשלושה חלקים מתחלפים בסדר מה נערך אשר נוכל לשקול עמהם כל הליטרין שנרצה מא' עד י"ג שהוא ‫שהוא משקל [...] אלה נשקול מא' עד י"ג [...] ג' וא' לפניו ומשקל ד' הוא ג' [...] ו' ט' וג' לפניו ומשקל ז' ט"א ז"ג [...] וכן כולם עד י"ג שתתן כל הג' משקלים
	ואם [...] ליטריין תחלקהו לד' חלקים כזה א' ג' ט' כ"ז ותשקול עמהם בדרך הנזכר עד מ' ליטרין ואם היה המשקל קכ"א תחלקהו לה' חלקים כזה
	פא כז ט ג א
	ותוכל לשקול עמהם עד קכ"א וכן בזה הדרך ובערך שאתה רואה אשר הוא כל אחד כפול על ג' כי ג' על ג' ט' וט' על ג' כ"ז וכ"ז על ג' פ"א ופ"א על ג' הוא רמ"ג וכן עד מה שתרצה ודי בזה

The Second Part: Word Problems	‫הכלל ‫[השני] ‫[...]
	[השער הראשון בשאלות חיבור חילקתיו] לפרקים
	‫[הפרק הראשון] השער
	‫[הפרק השני בשאלות חיבור] שלמים
	‫[הפרק השלישי בשאלות] חיבור שברים
	‫[הפרק] הרביעי בשאלות חיבור מורכבים
	השער השני בשאלות כפל חילקתיו לפרקים
	הפרק הראשון בשאלות כפל שלמים
	הפרק השנית בשאלות כפל שברים
	הפרק השלישי בשאלות כפל מורכבים
	השער השלישי בשאלות גרעון חילקתיו לפרקים
	הפרק הראשון בשאלות גרעון שלמים
	הפרק השני בשאלות גרעון שברים
	הפרק השלישי בשאלות גרעון מורכבים
	השער הרביעי בשאלות חילוק חלקתיו לפרקים
	הפרק הראשון בשאלות חילוק שלמים
	הפרק השני בשאלות חילוק שברים
	הפרק השלישי בשאלות חילק מורכבים
	השער החמשי בשאלות מעורבות עם שתי הנחות כוזבות חלקתי ל פרקים
	הפרק הראשון ב[ש]אלות מעורבות מקצת דרכים
	הפרק השני בשאלות תחבוליות ואם הם אמיתיות
	הפרק השלישי בשאלות מתחלפות
	הפרק הרביעי בתערובת המטבעות ובו שלושה סדרים
	‫הערה לדרך [...] תמצא ג' [...] אשר בו נניח ג' מספרים [...] אבל כולם ישובו לשלושה
	המנהג השני תמצא בו ד' חלקים ‫[...]
	המנהג השלישי תמצא בו ה' חלקים ‫[...]
	והמשל לכולם אשר לדרךהראשון נאמר אם ב' נתן ג' [...] ד‫'
	וכל זה תראה בתשלום אם נעלם הראשון או השני או שלישי או הרביעי
	והנה בזה הדרך פעמים יבואו ד' מספר[ים‫]
	כמו אם ב' די' בג' ימים הרויחו ד' פשי' ה' די' כמה ירויחו
	ובזה השאלה תכפול הממון על הזמן ב' על ג' יהיו ו' ואז תשוב השאלה לג' חלקים
	ואמור אם ו' נתן ד' פשיטי' ה' מה יתן
	גם פעמים יבואו בזה הדרך ה' מספרים מונחים וישובו לג' גם כן
	כאומר אם ד' דינ' בג' חדשים הרויחו ה' די' ז' די' בח' חדשים מה ירויחו
	ועתה כפול כל הממון על זמנו כמו ד' על ב ג' יהיו י"ב וזה חלק ראשון וה' די' חלק שני כמו שהוא וז' על ח' יהיו נ"ו לחלק שלשי
	וחזר השאלה לג' חלקים ונאמר אם י"ב נתן ז' מה יתן נ"ו
	כמו שתראה בשאלות בע"ה מזמן ממידה וממשקל אחר שאתן משל או משלים מחמשה דרכים כוללים שיש להוציא כל שאלה כמו שתראה בע"ה
	המנהג השני ראוי ל[הני]ח בו ד' מספרים הכריחיים
	כמו אם ג' פרחים בח' ימים הרויחו ה' די' שאלתי ד' פרחים באי זה זמן ירויחם
	וכמו כן גם כן ראובן קנה בגד בסך ג' פרחים והח' אמות שוה ה' די' שאלתי כמה אמות מזה הבגד יתן ה' די' כאשר סך הבגד הוא ה' פרחים
	ובמשקל גם כן ראובן קנה כור חיטה בסך ב' די' ונתן ט"ו אוקיות לחם בסך ב' פשיטי' שאלתי כאשר קנה הכור בסך כ"ד כמה אוקיות יתן בשני פשי'
	המנהג ‫[...] מיניהם ואומנם [...] ומורכבים
	ואומר אם ג' [...] שאלתי ד' פרחים באי זה זמן ירויחו [...] ח' ימים ה' די' ד' פרחים ‫[...]
	או ראובן [...] וסך הג' אמות הוא י"ד די' שאלתי כאשר קנה [זה] בסך [...] פרחים כמה בגד יקנו בסך י"ו די'
	או ראובן קנה כור חיטה בסך י"ב די' ונתן לחם [...] אוקיות [...] פשי' שאלתי כאשר קנה הכור לסך י"ו די' כמה אוקיות נתן [...] פשיטי'
	או יהיה מג' דברים מתחלפין ומורכבים
	כמו שנניח ה' וג' שיהיו מתחלפין
	כמו אם ד' פשיטי סרגוסה שוים לה' פשיטי ברצילונה וג' פשיטי ברצלונה שוים לד' מלשבונה שאלתי ט"ו פשיטין לשבונה כמה מפשיטי סרגוסה יהיו
	ויהיו המשלים בזה הצורה משלושת מנהגי דרך השלושה
If 0 4 3 2       די' ריוח ימים די'     If 2 32 4 5 0     חדשים די' ירוי' חדשים די'   If 4 32 5 7 82 0 If 12 5 56 0 ימים פרחי' דינ' ימים פרחי   If 3 8 5 4 0 פרחי' דינרי' דינ' אמות פרחי   If 3 8 5 5 5 דינרי' פשיט אוקיות פשיט דיני   If 20 2 15 2 24   דינר' פרחים דינר' ימים פרחי' If 3 8 5 4 7   דינרי פרחים דינר אמות פרחי' If 12 3 14 18 16   פשיטי דינרי פשיט אוקיות דינרי If 12 13 2 16 2   פשיטי' פשיט פשיט פשוט פשוט If 4 5 3 4 15	0 ד ג ב אם     די' ריוח ימים די'     0 ה ד בג ב אם   חדשים די' ירוי' חדשים די'   0 בח ז ה בג ד אם 0 וה ה בא אם ימים פרחי' דינ' ימים פרחי   0 ד ה ח ג אם פרחי' דינרי' דינ' אמות פרחי   ה ה ה ח ג אם דינרי' פשיט אוקיות פשיט דיני   דב ב הא ב ‫0ב אם דינר' פרחים דינר' ימים פרחי'   ז ד ה ח ג אם דינרי פרחים דינר אמות פרחי'   וא חא דא ג בא אם פשיטי דינרי פשיט אוקיות דינרי   ב וא ב גא בא אם פשיטי' פשיט פשיט פשוט פשוט   הא ד ג ה ד אם
	אמנם הנהגת מעשה דרך השלושה יתחלף בג' דרכים כאשר אמרתי
	אשר הראשון הוא אם ב' שוה ג' ד' מה יהיה שוה כמו שתראה במנהג הראשון
	הדרך השני אם ב' לטר' נחושת שוה ג' דיני' ד' לטרי נחושת מה יהיה שוה
	הנה ראוי שתדע כי כ' ליטרי' נחושת הוא הגבול הראשון מן השאלה וג' השני וד' השלישי והנה תעיין כי הגבול ‫הראשון הוא הידוע [...] ונשאר ג' שהוא הגבול השני [...] הנשאל הוא דמה לו ואם כן [...] השני על הידוע שהוא הראשון [...] שהוא השלישי
	המשל בזה נאמר אם ב' אמות [...] אמות מה יהיו שוים נחלק ההפכי שהוא האמצעי שהוא ו' על הראשון שהוא ב' יעלו בחילוק ג' נכפול אותו על השלישי שהוא ד' יעלו י"ב והוא הנשאל הנעלם שהוא י"ב פרחים והוא דומה לאמצעי ויהיו כזה אם ב' ו' ד' ב"א
	והבחינה מבוארת כי תאמר אם ב' שוה ו' שהוא ג' פעמים בו' גם י"ב ג' פעמים בד' או נכפול ד' על ההפכי שהוא ו' יהיו כ"ד נחלקם על ב' שהוא דומה לשלישי יעלו י"ב והוא המבוקש
	הדרך השלישי וצריך לעיין בזה נרצה לדעת שהוא הגבול השלישי אצל הנודע שהוא הגבול הראשון שהם דומים וניקח כמינו מן ההפכי שהוא הגבול השני
	והמשל אם ב' ליטרי נחושת שוות ג' פרחים ד' ליטרי נחושת מה יהיה שוה
	הנה נעיין ערך ד' אצל ב' והוא שתי פעמים וכן ניקח כפל ג' שהוא ו' וד' ליטרי נחוש הם ו' פרחים
	והבחינה כדרך הראשון נכפול ג' על ד' יהיו י"ב נחלקם על ב' יהיו ו'
The [First] Chapter: The Introductions Needed for this Section	הפרק בהקדמות הראויות לזה השער
	ואומר כי הדרכים הפרטיים לדעת כל שאלה ולהוציא ולהוציא לאור כל תעלומה הם רבים אבל על הכלל הם חמשה ואם יש אחת כוללת אחרת אבל לא יתהפך ואומנם חכמי המספר שמו להם שמות מתחלפים כי כל אחד קרא שם כפי רצונו אבל הנרצה אחד ואני אסדרם כאן כל אחד בשמו
	ואומר כי הראשון הוא דרך השלושה ואומנם מסגולות זה הדרך שהוא מגלה סתרים ומפענח נעלמים והוא מיישר לדרכים הנשארים והוא ראש לכולם והוא משלים מה שנשאל מהם כמו שתראה בע"ה
	ואומר שמן הראוי שתדע כי כל ארבעה ‫[...] הנה הראשון [...] כמו בנים מאחר [...] הראשון וכן הרביעי מן [...] והשלישי הם אחים וכן השני [...] תראה במקומו והנה השני הוא [...] [ה]רביעי בן זוג השלישי ועם זאת זאת [...] נעלם מספר מה מאלו הד' מספרים [...] לידיעתו הנה [..] כי האחד נעלם ימצאו בידך ג' מספרים [...] השנים מהם הם שוים אם שיהיו אבות אם שיהיה בנים והשלישי הוא נפרד שאין לו בן זוג
	והנה [...] לדעת זה הנעלם הנעלם הוא שתקח איזה מן האחים הנמצאים על אשר אין לו בן זוג והיוציא תחלקהו על האח האחד אשר בן זוגו עמו והיוצא בחלוקה הוא בן זוג הנפרד
	והשמר לך פן תכפול איש על אחיו ולא על בן זוג
	ולעולם תמצא כי הכפל יהיה אם אמצעי על אמצעי או הקצוות
	ואתן ארבעה משלים לזה
	והמשל בזה ה[צ]ד אלו הארבע ב ג ו ט מספרים נערכים
	ונאמר כי ב' הראשון נעלם ונשאר ג' לבדו וו'ט' לבד
	ויהיו כזאת הצורה
0 3 6 9	ט ו ג 0
	הנה ג'ט' הם אחים ולא נוכל לכפול ט' על ג' כי הם אחים ולא ט' על ו' כי הוא בן זוגו אבל נכפול ו' על ג' שאין להם קירבה כלל וחלק על האח כי ג' על ו' הם י"ח תחלקם על ט' יעלו ב' והוא הנעלם
	ובדרך השלושה נאמר מה יתן לנו ג' אם ו' נתן ט'
	והנה זה הדיבר יורה כי הראשון נעלם כי מלת מה יורה על הנעלם כי הוא ראשון
	ונכפול האמצעיים והנה כפלנו ג' על ו' יעלו י"ח נחלקם על ט' שהוא אח יעלו ב' וזה הנעלם הראשון
	משל שני נאמר שהשני נעלם ישאר ב' לבד
	כזאת הצורה
2 0 6 9	ט ו 0 ב
	בזאת השאלה ב' מה יתן אם ו' נתן ט'
	והנה זה הדיבור יורה ‫יורה כי השני נעלם כי [...] החיצוניות שהם ב' על ט' [...] הנעלם השני [ב ד ו ט‫]
	משל שלישי [...] כזאת הצורה ב ג 0 ט [...] והנה זה הדיבור יורה כי מלת מה היא [השלישית] [הנה נכפול] החיצוניות שהם ב' על ט' יעלו י"ח וחלקהו על ג' יעלו ו' והוא [...] השלישי
	משל רביעי נאמר כי הרביעי נעלם ישאר ו' לבד [כזאת] הצורה ב ג ו 0 הנה נאמר בזה הנעלם רביעי ונאמר אם ב' נתן ג' ו' מה יתן והנה זה ה[דיבור] יורה כי מילת מה היא רביעית ועתה נכפול האמצעים ו' על הבלתי דומה לו שהוא ג' יעלו י"ח נחלקם על אחיו שהוא ב' יעלו ט' והוא המבוקש
	והנה [בזה] המשל הרביעי נהגתי בכל הספר ואתה תוכל להחליף השאלות בכל אלה המשלים ובלבד שתשמור שלא תכפול דומים כאשר אמרתי כי הדיבור מורה הנעלם כאשר אמרתי ותראהו גם כן בזה הצורה מה אשר בה תלמוד כיצד תניח הג' מספרים מדרך השלושה לדעת הרביעי הנעלם
what             0 yields 3 If 6 yields 9     what         2   0 If 6 yields 9 If comes     what     2   3   0 yields 9 If         what   2 yields 3   6   0	מה ט נתן ו אם ג יתן 0         מה     ט נתן ו אם 0   ב     מה     בא אם ט יתן 0   ג   ב         נתן   אם 0 מה ו   ג   ב
	והנה זה שאמרתי שיהיו בידך שלושה מספרים כאשר אמרת הנה זוגו ולהיות בידך שלושה מספרים שהם בטור ארבעה כמו ב ד ח כי הם כמו ב ד ד ח ‫[...] והרי לך [...] ובדדח האמצעיות [...] וכן אם נכפול [...] ח' ואם נחלק על ח' יציא [...] שתכפול ח' על ב' ותחלק [...]‫ כי במה שיבא בע"ה תבין כל זה
	[בכאן התוספת הכתוב בו הערה לדרך השלושה בסוף ס"ח]
	[...] נקרא מונח כוזב והוא לדעת מספר נעלם [...] שתניח מספר מה איך שיזדמן אלא ובחרו להניח מספר שנמצאו בו כל החלקים הנשאלים להסיר הטורח ואם לא נעשה כן אין בכך כלום אלא שיהיו בחשבון שברים והנה עם זה הדרך תמצא מה שלא תמצא עם דרך השלושה אבל עם [..] עזר דרך השלושה כאשר תראה
	ואתן בכאן משל אחד ואומר שתניח מספר מה שיהיו בו כל החלקים הנשאלים כמו ששה או י"ב או איזה מספר שנרצה
Example: what is the number whose half and third [summed together] are six? $\scriptstyle\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}a=6$	המשל בזה מהו המספר אשר חציו ושלשיתו יהיה ששה
Suppose is is six, because it has a whole half and third. We take the half and the third of six; they are five. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=5}}$	נניח ששה כי בו ימציא חצי ושלישי' בשלמות וניקח חצי ושלישית מששה יהיו חמשה
	ואנחנו שאלנו ששה
	נלך אל דרך השלושה והוא ישלים לנו שאלתנו ונאמר אם ו' נתן לנו ה' מי יתן לנו ו' ויהיה בצורה הזאת
6 5 0 6	ו 0 ה ו
	נכפול הקצוות שאין להם אהבה ואחוה יהיו ל"ו חלקים על ה' יעלה בחילוק ז' וחמשית והוא הנעלם
	ובשאלות תראה שאין צורך לכתיבת הספרא במקום הנעלם
	והנה הבדיקה היא שתתן ז בחמשיות יהיו עם החמשית ל"ו חמשיות וחצי ושלישית ל"ו הם ל' חמשיות חלקם על ה' יעלו ששה שלמים ואם כן ז' וחמשית הוא המספר אשר חציו ושלישיתו הוא ששה
	‫הדרך [...] הכוז[ב] [...] המונח הכוזב וה[...] פעמים שני מספרים אין [...] היותר נאותים וראוים הם שתקח [...] כל החלקים הנשאלים בשלמות [...] כאשר כתבתי במונח הכוזב
	ומעשה תוקפו וגבורתו בזה הדרך והוא שתקח למונח הראשון מספר מה ואחר תוס[יף] או תגרע החלקים הנשאלים ואם אחר שעשית מלכתך יגר[עו] או יעדיפו תשמור אותו העודף או הגורע משאלתך ואחר תניח מונח שני ותעשה כמו שעשת לראשון ותשמור המספר העודף או הגורע משאלתך ועתה תערוך שאלתך ותערוך שאלתך ותאמר אם מונח כך פחות או יותר כך וכן במונח השני ואחר תדע כי כאשר תציא מן המונחים יותר בשניהם או פחות בשניהם גרע הקטן מן הגדול והנשאר תשמרהו לחלק עליו כי הוא המורה ואם יהיה היוציא האחד עודף והשני גורע תחבר שניהם יחד ושניהם יהיו המחלק וסמנם גרע בשוים ובמתחלף חבר כי פחות ופחות ועודף ועודף בשניהם שוים [תגרע הגדול מן הקטן] ופחות באחד ועודיף באחר תחבר שניה' ואחר תכפול המונח הראשון על היוציא בשני וכן תכפול המונח השני על היוציא בראשון ותגרע הקטן משניהם מן האחר אם היוציא משניהם יותר מן המבוקש או פחות והנשאר תחלק על השמור הנשאר אשר גרעת זה מזה או תחברם יחד אם היוציא משניהם יהיה אחד עודף ואחד גורע והמחובר חלק על השמור אשר חיברת זה עם זה והיוציא בחילוק הוא המבוקש
	המשל בזה מה הוא המספר אשר חציו ושלישיתו יהיה ששה
	נניח מונח אחד ויהיה המונח ששה בעבור שימצאו ‫[...] חסר [...]
[..] minus $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{1}}}$ 5 36 X 12 plus $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{24}}}$	וג ה בא פחות [..] א X ד עודף יב דב
	[...] ד' ונאמר עם י"ב עוד ד' ונניחם [...] והנה בעבור שהיו פחות ועודף נחברם יהיו חמשה והוא המורה לחלק עליו ואחר נכפול המונח הראשון שהוא ששה על העודף בשני שהוא ד' ויהיו כ"ד תתנם תחת ד' גם כפול המונח השני שהוא י"ב על הפחות בראשון שהוא אחד יעלו י"ב תתנם על א' ומאחר כי המונח האחר הוא פחות והשני עודף חברנו שניהם י"ב וכ"ד יהיו ל"ו חלקים על השמור שהוא חמשה יעלה בחילוק ז' וחמשית והוא המבוקש
	כי חצי ושלישית ז' וחמשית הם ששה
	עיין במשל דרך השלושה ועוד תראה זה בע"ה ועיין וראה במה שעשינו עם המונח הכוזב ועם דרך השלושה עשינו עם ב' הנחות כוזבות
	הדרך הרביעי קראתי אותו דרך [יחידי] יהיה בעבור שעם זה הדרך לבד תוכל להוציא רוב השאלות היוצאות עם הדרך השני מונחים הכוזבים וגם שאינו צריך לדרך השלושה ולעולם בזה הדרך תניח לשאלתך אחד [..] והוא שתקח אחד לראשון הנעלם ואם אמר כפל או כפלי הראשון בתוספת כך או בפחות כך וכן לאחרים גרע הקטן מן הגדול אם שיהיה העודף מן הפחות או הפחות מן העודף והנשאר אם הוא מן העודף גרעהו מסך מה שקנית והנשאר תחלק על קיבוץ המונחים והיוציא בחילוק הוא ‫הראוי [....] על הסך שקניתי [...] בחילוק הוא הראוי [...] שנפל בחלקו והנשאר הוא [...] כי אין מזה הדרך משל עוד [...] תראה ולעולם קיבוץ המונחים הוא [...] הוא לראשון הנעלם ואחר שתדע הראשון ‫[...]
The first example: three students bought one book for [24 dinar], we do not know how much each one paid for the book, but we know that the second paid twice the first plus 3 dinar and the third paid three times the second minus 7. I ask: how much did each one pay for the book and how much time he had it according to what he paid? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=24\\\scriptstyle a_2=2a_1+3\\\scriptstyle a_3=3a_2-7\end{cases}$	והמשל הראשון שלשה תלמידים קנו ספר אחד בסך [כ"ד די'] [ולא] ידענו מה שפרע כל אחד בספר אבל ידענו כי השני פרע כפל הראשון ועוד ג' די' והשלישי פרע ג' כפלי השני פחות ז' שאלתי כמה פרע כל אחד בספר וערך הזמן שיהיה בידו כפי מה שפרע
	תשובה תניח אחד לראשון והנה בעבור שאמר כי השני נתן כפל הראשון ועוד ג' תכפול המונח יהיו ב' ותכתוב ג' במקום אחר שיורה ועוד ג' ובעבור שאמר השלישי ג' כפלי השני תכפול כל חלקי השני בג' ויהיו ו' תחת המונח וט' תחת מה שאמר ועוד ג' כי כפלו ט' ותכתוב ז' במקום אחד ותרשום בו פחות ויהיה בזה הצורה
	המונחים עוד א פחות ג ב   ט ו ז   ט המורה
	תחבר המונח יהיו ט' והוא המורה לחלק עליו תגרע ז' שהוא הפחות מן העודף שהוא י"ב ישארו ה' והם מן העודף תגרעם מן הסך שהוא כ"ד ישארו י"ט תחלקם על ט' שהוא המורה יעלה בחילוק ב' ותשעית וזה ממון הראשון תכפלם יהיו ד' וב' תשיעיות ועוד ג' וזה ממון השני תכפול ממון השני בג' יהיו י"ב וששה תשיעיות ועוד ט' ופחות ז' ותהיה בזאת הצורה השנית ואחר גרע הפחות מן השלשי ישאר
	‫[...] ב ז יד
	‫[...] הזמן שיהיה ביד כל אחד כפי הממון שנתן
	‫[...] וו' תשיעיות וזה הוא המבוקש ויציא מזה כי ממון הראשון ב' די' ותשיעית דנר והנה ב' שעות ותשעית שעה [..] יהיה הספר אצלו בכל יום וממון השני הוא ז' די' וב' תשיעי דנר וז' שעות וב' תשעי שעה יהיה הספר בידו בכל יום
	והנה ממון השלישי הוא י"ד די' וששה תשיעיות דנר שהם ב' שלישיות דנר שהם ח' פשי' והנה י"ד שעות וב' שלישי שעה שהם מ' דקים יהיה הספר בידו בכל יום כמו שתראה בצורה השלישית המתוקנת
	והבחינה שתחבר התשיעיות יהיו אחד תחברהו עם כ"ג שלמים יהיו כ"ד והוא המבוקש
The second example: three goblets, their total value is 85 peraḥim and their weight is 85 ՚oqya. We do not know the value of the first, but we know that the value of the second is 3 times the first plus 5 and the value of the third is 4 times the second minus 7. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=85\\\scriptstyle a_2=3a_1+5\\\scriptstyle a_3=4a_2-7\end{cases}$	משל שני ג' גביעים אשר סך כולם פ"ה פרחים וכן משקלם פ"ה אוקיות ולא ידענו סך הראשונה אבל ידענו כי סך השנית הוא ג' כפלי הראשונה ועוד ה' וסך השלישית הוא ד' כפלי השנית פחות ז'
	תשובה נניח א' לראשונה ואם כן תהיה השנית שהיא ג' כפלי הראשונה ג' ועוד ה' והשלישית שהיא ד' כפלי השנית ופחות ז' יהיה י"ב ועוד ב' ובמקום אחד פחות ז' ויהיה כזאת הצורה
	המונחים עוד א פחות ה ג   כ יב ז   יו המורה
	נחבר המונחים כולם יהיו י"ו והוא המורה לחלק עליו נגרע הפחות שהוא ז' מן מן העודף שהוא כ"ה ישארו י"ח והנשאר יהיו מן העודף נגרעם מסך ‫הכל שהוא [...] ד' וג' חלקים [...] ד' פרחים וג' חלקים [...] מי"ו חלקים באוקיא וסך ה[...] חלקים מי"ו ועוד ה' וי"ב יהיו י"ז [...] השני הוא י"ז פרחים וט' חלקים מי"ו בפרח [...] האוקיא י"ו חלקים
	וסך השלישי שהוא ד' כפלי השני [...] מ"ח ול"ו חלקים מי"ו ועוד כ' ופחות ז' נגרע הפחות מן העודף ישארו י"ג ומ"ח שהיו לנו יהיה ס"א ושנים שיצאו מל"ו יהיו ס"ג וד' חלקים [.] מי"ו שהוא רביעית והנה סך הגביע השלישי הוא ס"ג פרחים וד' חלקים אשר הפרח הוא י"ו חלקים והוא רביע פרח ומשקלם הוא י"ז אוקיות וד' חלקים אשר האוקיא הוא י"ו ומקוצר יהיה רביע אוקיא ויהיה כזה הצורה
	משל שלישי ג ד לראשונה יו     ט יז שנית יו     ד סג שלישית יו
	והבחינה חבר שברי הפרח יהיו פרח אחד או אוקיא אחת תחבר הפרחים יהיו פ"ד ועם האחד יהיו פ"ה פרחים או אוקיות והוא המבוקש
	משל שלישי שלא יעדיף אלא יפחות
Three bought a mule to go to Jerusalem, for a price of 30 peraḥim, we do not know how much each one paid, but we know that the second paid 3 times the first minus 4 and the third paid 4 times the second minus 5. I ask: how much did each one pay and how many parsa will each ride the mule? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=30\\\scriptstyle a_2=3a_1-4\\\scriptstyle a_3=4a_2-5\end{cases}$	והוא שג' קנו חמור פרדה ללכת לרושלים בסך ל' פרחים ולא ידענו מה שפרע כל אחד אבל ידענו שהשני נתן ג' כפלי הראשון פחות ד' והשלשי נתן ד' כפלי השני פחות ה' שאלתי סך כל אחד וכמה פרסאות ירכב כל אחד בפרדה
Suppose the first gave 1: so, the second gave 3, which is 3 times the first, minus 4; and the third 4 times the second minus 5 - 4 times the second are 12 and four times the minus of the second are minus 16 with his own minus 5 they are minus 21.	נניח כי הראשון נתן א' ואם כן השני נתן ג' שהוא ג' כפלי הראשון ופחות ד' והשלישי ד' כפלי השני ופחות ה' והנה ד' כפלי השני הם י"ב גם ד' פעמים פחות השני הם י"ו פחות ולעצמו פחות ה' יהיו [כ"א] הפחות כ"ה וקיבוץ המונחים י"ו לחלק עליו ויהיה ‫[...] יהיו כ"ה [...] הראוי לראשון וג' [...] פחות ד' והשלישי שאמר [...] ופחות י"ו שבא מד' כפלי [...] שתראה בזה הצורה השנית
	פחות [..] [...] [הראשון נתן] ד כא ט השני נתן   יו     יו פד לו השלישי נתן   יו
	והנה סך [...] הוא ג' פרחים וז' חלקים מי"ו בפרח וג' פרסאות וז' חלקים מי"ו בפרסה ירכב הראשון בפרדה והנה סך השני הוא ט' פרחים וכ"א חלקי י"ו פחות ד' גרע ד' מט' ישארו ה' וא' מן השברים יהיו ו' וה' חלקים מי"ו בפרח וסך השלישי הוא ל"ו ופ"ד חלקים מי"ו אשר הם ה' שלמים וד' חלקים מי"ו יהיו מ"א וד' חלקים מח' גרע הפחות אשר בחלקו שהוא י"ו וה' שהם כ"א ממ"א ישארו כ' פרחים וד' חלקים מי"ו בפרח שמקוצר הוא רביע ועלה מזה כי סך הראשון הוא ג' פרחים וז' חלקים מי"ו בפרח וג' פרסאות וז' חלקי פרסה מי"ו בפרסה יהיה הפרדה ביד הראשון
	וסך השני ו' פרחים וה' חלקי פרח וו' פרסאות וה' חלקי פרסה יהיה הפרדה ביד השני
	וסך השלשי הוא כ' פרחים וד' חלקים מי"ו בפרח שהוא רביעית וכ' פרסאות ורביעית יהיה הפרדה ביד השלישי
	וכן כל הדומה לזה
	והרי לך צורת שלושתם
	ז ג לראשון יו     ה ו לשני יו     ד כ לשלשי יו
	והבחינה חבר חלקי שלושתם ואם יהיו ל' מוטב המשל בזה חלק הראשון ג
	שאלה ראובן שלי"ס וכו' בשיור
	‫שאלה ראובן שמעון לוי יהודה יוסף קנו שור אחד ראובן לקח השלישית ושמעון הרביעית ולוי החמישית ויהודה הששית ויוסף ה' ליטרין שאלתי משקל כל השור
	נניח מונח כוזב כי ליטרי השור הם ס' הנה שליש ס' הוא כ' ורביעיתו ט"ו וחמשיתו י"ב וששיתו עשרה והנה כולם נ"ז ונשארו ג' ליוסף ואנחנו שאלנו ה' ליוסף
	עתה נאמר אם ג' בא מס' מאי זה מספר יבא ה'
	נכפול ה' בס' יעלו ש' נחלקם על ג' יעלו ק' והנה מאה ליטרין משקל השור
	והבחינה הנה השלישית ל"ג ליטרי' ושליש שהם י"ב אוקיות כי ל"ו אוקיות הליטר' [..] בסרקוסה והרביעית כ"ה והחמשית כ' והשישית י"ו ושני שלישיות שהם כ"ד אוקיות נחברם כולם יהיו צ"ה לטרין ועם ה' מיוסף יהיו ק' [..] המבוקש שהם לטרי השור
	‫הדרך ‫[החמישי]
	‫[...] הממון תוסיף על ה [...] הדרך לא אזכרנו אלא בכאן ‫[...]
	והמשל בזה שהיו בפתח הבית [...] בעל הבית לעבדו שיחלק לכל איש ב' פשיט' ולכל אשה פשוט שאלתי סך האנשים
	והתשובה תניח האנשים והנשים שתרצה וחלק להם כמו שאמר ואחר אם נשארו פשיטי' תוסיף על האנשים ותגרע מן הנשים
	כיצד נאמר כי האנשים ד' והנשים י"ח והנה ב' פשיט' לכל אחד איש יהיו ח' ופשוט לכל אשה יהיו י"ח וח' יהיו כ"ו וגרעו ב' כי אנחנו כ"ד שאלנו גרע מן האנשים ב' יהיו ב' אנשים וכ' נשים והוא יהיה שוה ד' פשי' לב' אנשים וכ' לכ' נשים
	משל שני חלק ל' לל' אנשים ונשים ונערים אשר תתן לכל איש ב' פשיט' ולכל אשה פשיט' ולכל נער מחצה הנה האנשים הם ז' והנשים ט' והנערים י"ד
	וכן כל הדומה לזה בחומרים שתרצה ועיין בם
The Second Chapter	הפרק הש[ני]
	‫[...] [שאלה ראשונה] [...] מספר אשר אם תחבר [..] חציו חמשיתו ושביעיתו ‫[...]
	תשובה עם מונח כוזב [...] נבקש מספר שימצאו בו [...] והוא ס' כי חצי יורה על ב' וחמשית על ה' ושבעית על ז' נכפול זה על זה כמנהג ב' על ה' עשרה ועשרה על ז' ע' ונניח כי זהו המספר ונחבר עליו החלקים הנז' שהם חציו שהוא ל"ה וחמשיתו שהוא י"ד ושביעיתו שהוא עשרה נחברם כולם על ע' יהיו קכ"ט והנה המספר שהנחנו הוא ע' והוא כוזב כי אנחנו שאלנו ב' והוא נתן לנו קכ"ט
	נלך אל דרך השלושה והוא יתן לנו שאלתנו ונאמר אם ע' נתן לנו קכ"ט מי יתן לנו ב'
	‫נניח השאלה כזאת ה[צורה]
	ב 0 קכט ע אם
	נכפול הקצוות שהם ב' על ע' יעלו ק"מ חלקם על המספר השני שהוא קכ"ט יעלו בחילוק א' ואחד עשר חלקים מקכ"ט בשלם כזה
	אא טבא
	וזה הוא המספר אשר אם תחבר עליו חציו חמשתו ושבעיתו יהיה עם הכל שנים וזה הוא המבוקש
	ואם תרצה לבדוק אם זה אמת כי א' וי"א חלקים מקכ"ט הוא המספר אשר אם תחבר עליו החלקים הנזכרי' שלא יעלו אלא שנים
	הנה מעשה הבחינה כך הוא שתתן השלם בשברו יהיו קכ"ט ועם י"א יהיו ק"מ תחבר על ק"מ חציו שהוא ע' יהיו ר"י חבר על ר"י חמשית ק"מ שהוא כ"ח יהיו רל"ח עוד חבר עליו שביעית ק"מ שהוא כ' יהיו רנ"ח חלקם על קכ"ט שהוא השלם יעלה בחילוק ב' והוא המבוקש
	שאלה שנית מהו המספר אשר אם תחבר עליו שלישיתו ועל העולה ב' חמשיות מן העולה ועל העולה ג' רביעיות מן ‫העולה [י"ג] [...] כוזב ועם דרך [...] האלו השברים בשלישית [...] ס' ונניח כי זה הוא המספר [...] נחבר על פ' ב' חמשיותיו שהוא [...] רביעיותיו שהם פ"ד יהיו קצ"ו והנה [...] כי קצ"ו נתן לנו ואנחנו לא שאלנו כי אם י"ג
	נלך [...] והוא ישלים שאלתנו ונאמר אם ס' נתן לנו קצ"ו מי יתן לנו [י"ג] נניח השאלה בזאת הצורה
	גא 0 וטא ‫0ו
	ותכפול הקצוות שהם י"ג על ס' יעלה תש"ף נחלקם על המספר השני שהוא קצ"ו יעלה בחילוק ג' שלמים וקצ"ב חלקים מקצ"ו בשלם אשר אם תקצרם יהיו מ"ח חלקים ממ"ט בשלם וזהו המספר אשר אם תחבר עליו שלישיתו ועל העולה ב' חמשיות מן העולה ועל העולה ג' רביעיות מן העולה ועם כל זה יעלה י"ג וזה מה שרצינו
	מעשה הבחינה כך הוא שתתן השלמים בשברם ועל העולה תחבר השברים העודפים על ג' שלמים שהם קצ"ב יהיו תש"ף חלקים מקצ"ו בשלם שהוא המספר המבוקש אשר אם תחבר עליו החלקים הנזכרים יהיו ב' אלפים תקמ"ח שהם י"ג שלמים כיצד המספר הנעלם אשר בקשנו הוא תש"ף חברנו עליו שלישיתו שהוא ר"ס יהיו אלף ומ' חברנו עליו ב' חמשיות אלף ומ' שהם תי"ו יהיו אלף תנ"ו עוד חברנו עליו ג' רביעי אלף תנ"ו שהם אלף וצ"ב עליו יהיו ב' אלפים ותקמ"ח חלקם על המורה שהוא קצ"ו יעלה בחילוק י"ג שלמים ואם כן עלה בידנו כי ג' שלמים וקצ"ב חלקים מקצ"ו הוא המספר הנעלם אשר עם חיבור חלקיו יהיה י"ג כנזכר
	‫שאלה מהו המספר הנעלם אשר חיברנו עליו חצי חציו ושלישית שלישיתו ורביעית רביעיתו ולא יהיה אלא ז'
	בזה השאלה תצטרך לכפול כל המורים זה על זה ד' על ד' יהיו י"ו וי"ו על ג' יהיו מ"ח ומ"ח על ג' פעם שנית יהיו קמ"ד וקמ"ד על ב' והיוצא על [ב' תק]ע"ו וזהו המונח נחבר עליו חצי חציו והוא קמ"ד יעלו תש"ך ‫תש"ך נחבר עליו שלישית שלישיתו שהוא ס"ד יהיו תשפ"ד ונחבר על זה רביעית רביעיתו שהוא ל"ו יהיו תת"ך ואנחנו שאלנו ז' נאמר בדרך השלושה אם תקע"ו נתן לנו תת"ך ז' מי יתן לנו ויהיה כזה הצורה
	תקעו תתך 0 ז
	נכפול קצוות יעלו ד' אלפים ול"ב נחלקם על תת"ך יעלה ד' תשנ"ב חלקים מתת"ך וזה המספר אשר אם חיברנו עליו חצי חציו וכו' וכל העולה נחלק על תת"ך יעלו ז' כנשאל
	‫שאלה שלישית מהו המספר הנעלם אשר אם תחבר עליו ‫[...] אותו ורביעית ‫[...]
	תשובה עם [...] לאלה [...]ת וששית יעלו ק"ך ומה שלא [...] כי חצי נמצא ברבעית ושלשית [...] בפרק קיצור המורים ואם כן נאמר [...] המספר הנשאל אשר עם חבור חלקיו יהיה אחד והנה נקח חצי שלשית רביעית ק"ך יהיה ה' כי רביעית ק"ך הוא ל' ושלשית ל' הוא עשרה וחציו ה' נחבר ה' עם [ק"ך] יהיו קכ"ה עוד נחביר אליו שלישית רביעית חמשית ק"ך שהוא ב' יהיו קכ"ז כי חמשית ק"ך הוא כ"ד ורביעית כ"ד הוא ו' * הוא ב' כנז' עוד נחבר על קכ"ז רביעית חמשית ששית ק"ך שהוא א' יהיו קכ"ח כי השישית הוא כ' וחמשית כ' ד' ורביעית ד' א' ואם כן כאשר תחבר ה' שיצא מן הראשון וב' מן השני וא' מן השלישי עם ק"ך יהיו קכ"ח ואנחנו לא שאלנו כי אם אחד ויצאו קכ"ז יותר ממה ששאלנו
	נלך אל דרך השלושה והוא ישלים שאלתנו שהוא כמשל ראשון מדרך השלושה הנה הדרך הוא בזאת הצורה
	קכח קך א 0
	שתכפול האמצעיות שהם א' על ק"ך יהיו ק"ך חלקם על קכ"ח והנה הוא מחולק והוא ק"ך חלקים מקכ"ח בשלם שאם תקצרם יהיו ה' ששיות כי ערך ק"ך אל קכ"ח כערך ה' אל ו' והנה המספר הנעלם הוא ה' ששיות
	מעשה הבחינה כך הוא שתחזור הה' ששיות אל ק"ך חלקים מקכ"ח בעבור כי בו תמצה החלקים הנזכרים ותקח חצי שלישית רביעית ק"ך והוא ה' ושלישית רביעית חמשיתו והוא ב' ורביעית חמשית שישיתו והוא א' תחבר עם ק"ך שהוא המספר הנעלם ה' וב' וא' יהיה קכ"ח תחלקם על המורה שהוא קכ"ח גם כן יעלה בחילוק אחד שלם ‫ואם כן [...] הנעלם ‫[...]
The fourth question: Reuven and Shimon formed a partnership, Reuven contributed 3 dinar and Shimon [contributed] 11 [dinar]; and they earned 3 dinar.	שאלה רביעית [ראובן ושמעון עשו חברה ראובן נתן ז' די' ושמעון י"א והרויחו] ג' דינר'
	ויהיו כזאת הצורה
	ג ז ראובן יא שמעון   יח
	ש[אלתי] [...] כל אחד כפי [...] שניהם והוא המורה ועתה אם תרצה הראוי מן הריוח לראובן כפול הריוח על ממונו יעלו כ"א חלקם על י"ח שהוא ממון שניהם יעלה בחילוק אחד ושישית שהוא דניר אחד וששית דניר שהוא ב' פשי' ולדעת חלקי שמעון הוא הנשאר אלא שנעשה אותו בדרך המספר ונאמר שנכפול י"א על ג' יעלו ל"ג נחלקם על י"ח יעלה בחילוק אחד והוא דנר ונשארו ט"ו חלקים מי"ח נקצרם יהיו ה' ששיות והוא הראוי לשמון הנותן בחברה י"א דינר שהוא דנר אחד ועשרה פשי' והנה עם עם דנר וששית שנפל לראובן יהיו ג' די' והוא מה שרצינו
	בדיקה אחרת ושמור אותה קח ממונם והריוח וראה אם יחסם שוה ואמור אם י"א הרויחו א' ועשרה פשיט' ז' מה ירויח או תהפוך השאלה כמו שהראתך בדרך השלושה או עשה הדנר פשי' ואמור אם י"א הרויחו כ"ב פשי' ז' מה ירויחו
The fifth question: Reuven, Shimon and Levi formed a partnership, Reuven contributed 29 liṭra to the partnership, Shimon [contributed] 25 [liṭra], and Levi [contributed] 11 [liṭra]; and they earned 13 liṭra.	שאלה חמשיתראובן שמעון לוי עשו חברה ראובן נתן בחברה כ"ט לטרין ושמעון כ"ה ולוי י"א והרויחו י"ג לטרין
	ויהיו בצורה הזאת
	0 ה יג כט ראובן   ה כה שמעון ד ב יא לוי       סה
	שאלתי הראוי לכל אחד
	תשובה חבר כל ממונם יהיה ס"ה והוא המורה ואחר כפול ממון ראובן על הריוח שהוא ‫[...] שהוא ס"ה [...] נכפלם בסך [...] תחלת השברים ויעלו [...] בחילוק י"ו דנרי' ולא נשאר [...] הוא ה' לטרי' וי"ו דינרי' [...] נכפול ממונו על הריוח יעלו שכ"ה [...] על המורה יעלה בחילוק ה' לטרי' שוים וזה הראוי לשמעון
	ולדעת הראוי ללוי הנה הנשאר משניהם הוא חלקו אבל בדרך המספר נכפול י"א שהוא ממונו על י"ג יעלו קמ"ג אשר חלקנום על המורה יעלה בחילוק ב' לטרי' ונשארו י"ג אשר אם כפלנום על סך הלטרה יעלו ר"ס חלקנום על המורה יעלה בחילוק ד' דינ' ולא נשאר כלום והנה הראוי ללוי ב' לטרי' וד' דנרי' ולשמעון ה' לטרי' ולראובן ה' לטרי' וי"ו דנרי' וזה המבוקש
	והבחינה נחבר כל הראוי לכולם ואם הוא כסך הריוח מוטב ואם לא שוב לעיין
The sixth question: Reuven and Shimon formed a partnership, Reuven contributed 3 dinar to the partnership on the first day of the year and Shimon contributed 5 [dinar] to the partnership on the first day of Adar [= the sixth month in the Jewish calendar]; they stayed in the partnership until the beginning of the following year and earned 7 dinar.	שאלה שישית ראובן ושמעון עשו חברה וראובן נתן בחברה ג' די' ביום ראש השנה ושמעון נתן בחברה ה' דינרים ביום ראשון לחודש אדר ושהו בחברה עד ראש השנה הבאה והרויחו ז' דינרי'
	ויהיה כזאת הצורה
	די' ז' לו לה ג דינרי' ה דינרי' י"ב חדשים ז חדשים ראובן שמעון
	שאלתי הראוי לכל אחד
	התשובה שתעשה זמן שניהם דומה בזה השאלה או בכל שאלה אם תוכל שיהיו שניהם כולם שנים או חדשים או ימים או שעות או דקים או לאי זה מין שתוכל כפי צורך כל השאלה כאשר תראה במשלים הבאים ואחר כפול זמן כל אחד על ממונו והיוציא יהיה כמו שהוא הממון שנתן ותעשה כמנהג כיצד ‫בעבור [...] חדשים ויהיו י"ב [...] ל"ו ונאמר בהשאלה כי הממון [...] שמעון בז' חדשיו יהיו ל"ה [...] כמו שתראה בצורה ועשה כמנהג [...] ע"א שהוא קיבוץ שניהם ויעלו לראובן ג' די' [...] ואם תכפלם בי"ב והיוצא תחלק על ע"א יהיו [...] ז' וחלק על ע"א ויהיה העולה ג' די' ול"ב חלקי דינר
	והבחינה תקבץ חלקהם ויהיו דנר וששה יהיו ז' בריוח
	ודי בזה כי במוקומות אחרים בזה השער תראה שאלות מזה המין יותר קשים
	‫ואם תרצה להקל שאלתך תקצר אותה בחצי ואז תהיה לראובן ו' ולשמו' עשרה ולוי ט"ו והמורה ל"א וכן תעשה תעשה בכל שאלה שתקצרנה בחצי או בשליש או בחלקים שתוכל לקצרה ואחר זאת אחרות בצור'
The seventh question: Reuven, Shimon and Levi formed a partnership together; Reuven contributed 3 dinar and stayed [in the partnership] for 4 months; Shimon [contributed] 4 dinar and stayed [in the partnership] for 5 months; Levi [contributed] 5 dinar and stayed [in the partnership] for 6 months; they earned six dinar. I ask: how should they divide them?	שאלה שביעית ראובן שמעון לוי עשו חברה יחד ראובן נתן ג' די' ושהה ד' חדשים ושמעון ד' דינר' ושהה ה' חדשים ולוי ה' די' ושהה ו' חדשים והרויחו ששה די' שאלתי כיצד יחלוקו
	תשובה כפול כפול חדשי כל אחד בממונו והיוציא יהיה כמו ממון כל אחד ויהיה לראובן י"ב ולשמעון כ' וללוי ל' חברנו כל השלושה סכום יהיו ס"ב והוא המורה
	חלקי רביע רביעי פשיט דניר ריוח ממון חדשי דנר   י סב ג א א ו יב ד ג ראובן נח סב 0 יא א כ ה ד שמעון טו סב ג י ב ל ו ה לוי           סב המורה
	המורה לחלק עליו ויהיה כל השאלה כזאת הצורה ועתה נראה הראוי לכל אחד כפי ממונו ושהיתו שכפלנו זה על זה ונעשה‫ ‫[...] כל אחד על [...] יהיה חלק [...] תחלקם על המורה [...] הנשאר שהוא י"ו על כ' די' [...] חלקם על המורה יציא ד' די' [...] והנה ג' לטרין ד' די' וע"ד חלקי [...] חלק ראובן
	ובזה הדרך כפול ל"ב על ז' וחלק היוציא על המורה ותציא בחילוק ג' לטרי' ומ' חלקים מע"ד בשלם וזה חלק שמעון
	עוד כפול ח' על ז' וחלק היוציא על המורה והוא מחולק שהוא נ"ו חלקים מהמורה שהוא ע"ד בליטרה ותכפול נ"ו על כ' שהוא סך הליטרה יעלו אלף ק"ך תחלקם על המורה יעלו בחילוק ט"ו דינ' ועשרה חלקים מע"ד בדינ' וזה חלק לוי
	והל"ה עלה בידנו שנפל לראובן מן הריוח שהוא ז' ג' ליטרי' וד' דינר' וכ"ד חלקי דינר שתוכל לקצרו שהם י"ב חלקים מל"ז וחלק שמעון לג' ליטרי ומ' חלקים מע"ד שהם מקוצרים כ' חלקים מל"ז וחלק לוי ט"ו די' ועשרה חלקים מע"ד ומקוצרים ה' חלקים מל"ז וכן כל כיוציא בזה
	והבחינה הוא שתחבר כל שברי שלשתם והיוציא תחבר עם עם הדי' ומהדי' תעשה ליטרה או ליטרין והיוציא יהיה הריוח
	והמשל תחבר שברהם יהיו לראובן כ"ד ולשמע' מ' וללוי עשרה תחלקם על המורה יציא אחד ועם הדי' שהם י"ט יהיו עשרים שהוא לטרה וג' לראובן וג' לשמעו[ן] יהיו ז' שהוא הריוח והוא המבוקש וכן היו חלקי' השאלה השמינית שהם שפ"ד לראובן תר"מ לשמעון ‫וק"ס ללוי יהיו [...] המורה שהוא [...] דינר חברהו עם ה[...] הליטרה תחבר אותה [...] והוא הריוח
	דרך אחרת לקציר עוד ועיין בה ותשכיל עוד עם דרכים אחרים שאתן תכף זה
	ואומר שתקצר הנכפל כל מה שתוכל שוה לכולם
	המשל בזה בשאלה התשעית [..] הנה ממון ראובן המשולח הבא מד' קל"ו הוא תקמ"ד וממון שמעון תקי"ב וממון לוי קכ"ח תקצרים בחציים חמשה פעמים ישובו לראובן י"ז ולשמעון י"ו וללוי ד' ולא נוכל עוד לקצר בעבור ממון ראובן שהוא י"ז והנה ש חזרה השאלה כזאת הצורה
	ז   יז יו ד לז המורה
	ואתן לזה פרק מיוחד ולדרך השלושה

Chapter on the Partnerships and the Rule of Three	פרק במנהג החברות וגם בדרך השלושה
I have written here six types I have encountered:	הנה כתבתי בכאן ששה מנים שבאו לידי
the first is that which we do not reduce at all, or we cannot reduce.	הא' הוא שלא נקצר כלל או שלא נוכל לקצרו
The second type is that which we can reduce once or more.	המין השני הוא שנוכל לקצרו פעם או יותר
The third type is the reduction of the money but not the time.	המין השלישי קיצור הממון ולא הזמן
The fourth type is the reduction of the time but not the money.	המין הרביעי קיצור הזמן ולא הממון
The fifth type is the reduction of the money and the time.	המין החמשי קיצור הממון והזמן
The sixth type is reducing the multiplication of the money and the time.	המין השישי קיצור הכפלת הממון והזמן
	‫[...] ראובן נתן ‫[...]
10 8 Reuven 24 Shimon denominator 32	‫0א ח ראובן כד שמעון המורה בג
	[...] יעלו לראובן [...] לשמעון ויבואו לו [...] די' וחצי
	והנה בכל אלו המינים אשמיט עם אלו השכרם מהממון ומהריוח
	והבחינה כי ז' וחצי וב' וחצי הם עשרה שהוא הריוח
	עו' בדיקה אחרת תשוי ממונם בזה הצורה
1200   1200 5 X 8 15 24	‫00בא   ‫00בא ה X ח טו כד
	יהיה ה' פעמים כ"ד ק"ך גם ח' פעמים ט"ו הם ק"ך ועשיתי ה' וט"ו כי ה' וט"ו הם חציים בעבור החצים שבריוח
	משל במין השני שנוכל לקצר פעם או יותר הנה לראובן ח' ולשמון כ"ד שנוכל לקצרם ג' פעמים אשר חציים ד' י"ב ועוד ב' ו' ועוד א' ג' והמורה ד'
10 1 2 4 8 Reuven 3 6 12 24 Shimon denominator 4	‫0א א ב ד ח ראובן ג ו יב כד שמעון המורה ד
	ועיין הקלות כי המורה הראשון הוא לב' וזה ד'
	וכן תעשה אם יהיו בחברה ג' או יותר
	המין השלישי קיצור הממון ולא הזמן כמו שנתן ראובן ח' ושהה ו' ושמעון י"ב ושהה י"ב נקצר ממונם בחצי ישארו ד' לראובן ו' לשמעון עוד נקצרם בחיצי יהיו ב' לראובן ג' לשמעו' נכפול הממון הנשאר בכל זמנם יהיו ר"ב לראובן ול"ו ‫ול"ו לשמעון [...]
	המין הרביעי קיצור הזמן [...] ח' די' ושהה ו' ושמעון [...] נקצר הזמן בחצי והיה לראובן [...] עוד נקצר בשליש והיה לראובן [...] והנה עתה נראה ההפרש נכפול ח' על ו' לראובן יהיו מ"ח וי"ב על י"ב לשמעון יהיו קמ"ד והמורה קצ"ב והריוח עשרה הכל כזה הצורה
10 48 144 denominator 192	‫0א מח קמד המורה קצב
	נכפול ונחלק כמנהג יבוא לראובן ב' וחצי ולשמון ז' וחצי
	ואם נקח המקוצר הראשון בזמן שהוא לראובן ח' ג' שכפלם הם כ"ד ולשמעון י"ב על ו' שכפלם ע"ב כזה
10 24 72 denominator 96	‫0א כד עב המורה צו
	והמורה צ"ו הנה נפל לראובן ב' וחצי ולשמעון ז' וחצי כנז' והקיצור השלישי שב לראובן ח' ולשמעון כ"ד כזה
10 8 22 denominator 32	‫0א ח כב המורה לב
	ונפל לראובן ב' וחצי ולשמון ז' וחצי
	המין החמשי הוא בקיצור הממון והזמן כל אחד בפני עצמו כמו שנתן ראובן ח' ושהה ו' ושמעון י"ב ושהה י"ב נקציר ממונם וזמנם יהיו לראובן ד' ג' וכופלם י"ב ולשמעון ו' ו' וכופלם ל"ו והמורה מ"ח והריוח כנז'
	והמין הששי בקיצור המוכפל מהממון ומהזמן כמו שנתן ראובן ח' ושהה ו' וכפל זה על ‫[...] זה על זה [...] לשמון עוד [...] עוד נקצרם בחצי [...] עוד נקצרם בחצי יהיו ג' [...] נקצרם בשליש יהיו א' לראובן [...] בזה הצורה
10 1 Reuven 3 Shimon denominator 4	‫0א א ראובן ג שמעון המורה ד
	נכפול א' שהוא ממון [...] על הריוח שהוא עשרה [.] ונחלקם על ד' תציא ב' וחצי לראובן וז' וחצי לשמעון
	וראה ועיין ותשכיל כי בלי קצור חלוקת שמעון הוא אלף ת"מ על קצ"ב שהוא המורה ועתה שב החילוק לשמעון לזה על ד'
	ואם עשתי כל השאלות בשלמות בלא קיצור בעבור שלא לבלבל המתחיל והנה בזה הדרך נוכל לפסוק פסקי הקהל או דבר אחר כמו שעשו להשקות הנחלות ושיתין כל אחד כפי נחלתו
	ואם תעיין תוכל לעשות זה בדרך השלושה כמו שאר דברי תכף מדרך קצור דרך השלושה שהוא עיון יפה והערה גדולה והוא שתקצר לעולם הראשון המשל בזה והשני או הראשון והשלישי שהכל יהיה שוה בין שתקצרם בחצי או בשלשית או ברביעית או באי זה מספר שתוכל לקצרם שאם לא תוכל לקצר הראשון והשני שתקצר הראשון והשלישי ובלבד שתקצר שניהם במספר אחד ואם יש קיצור לשניהם הרשות בידך לקצור מה שתרצה והיותר טוב לקחת הזוג שיותר יתקצר כי זוג אחת דרך משל הראשון והשני יהיה יותר טוב לקציר מראשון ושלישי והוא הדין כאשר תכפול הממון והזמן שחזר השאלה לג' חלקי השלושה שגם תוכל לקצר הראשון והשני או הראשון והשלישי ואתן משלים שתבין מהם המבוקש
	‫והמשל [...] יעלו כ"ד וכן [...] שאז יהיו א' וג' ונאמר [...] נכפול ח' על ג' יהיו [...] כ"ד כראשון וכן אם נאמר אם [...] מה יתן לי הנה נתן ח' וא' וי"א חלקים מפ"ח וזה המספר נוכל לקצרם עד יסודם שהם ח' וי"ב וכן אם נקח החלקים אשר בין זה המספר שהוא פ"ח וקמ"ג עד יסודם שהם ח' וי"ג שהם י"א כי י"א פעמים ח' הם פ"ח וגם בהכפל י"ג י"א פעמים נמצא קמ"ג וכל עוד שתקח אמצעי אחד מכלם כמו מ' וס"ה או כל אחד מהאחרים יתן ח' וה' חלקים ממ' שהם שמינית אחר הקיצור וא או תשוים
Another example: If 3 yields 6, how much will 9 yield?	משל אחר אם ג' נתן ו' ט' מה יתן
	הנה נתן י"ח וכן יתן אם נקצר הראשון והשני או הראשון והשלישי
	משל אחר אם ג' נתן ג' ג' מה יתן
	הנה נתן ג' וכן יתן אם נקצר ההראשון מכל אחד יתן ג'
Another example: If 2 yields 6, how much will ten yield?	משל אחר אם ב' נתן ו' עשרה מה יתן
	הנה נתן ל' וכן יתן ל' אם נקצר הראשון והשני או הראשון והשלישי
Another example: If 5 yields 15, how much will 20 yield?	משל אחר אם ה' נתן ט"ו כ' מה יתן
	ס' וכן יתן אם נקצר הראשון והשני או הראשון והשלישית בחמשית כמו שתראה בלוח הקיצורים
	והוא הדין אם יש בשאלות ממון וזמן שנכפול המומון על הזמן וחזר השאלה לג' חלקי השלושה כמו במשל ‫[...] דרך השלושה [...] אמר אם ח' הרויח ג' ל"ב כמה ירויח נכפול ל"ב על ג' שהוא הרויח יהיו צ"ו נחלקם על ח' יציא בחילוק י"ב וכן יציא י"ב אם נקצרם בחצי הראשון והשלישי ונאמר כי חצי ח' ד' וחצי ל"ב הם י"ו ונאמר אם ד' נתן ג' מה יתן י"ו נכפול י"ו על ג' יהיו מ"ח נחלקם על ד' יעלה בחילוק י"ב כראשון גם נקצר ד' וי"ו בחצי יהיו ב' וח' וח' על ג' יהיו כ"ד נחלקם על ב' יעלו י"ב בקיצור ראשון ושני עוד נקצר ב' וח' יהיו א' וד' נכפול ד' על ג' יעלו י"ב נחלקם על א' יהיו י"ב כקיצור שלושתם וכן כל הדומה לזה
if 3 9 8 24 if 1 3 8 24	כד ח ט ג אם כד ח ג א אם
	ח פא/יא ה קמג פח אם ח ה יג ח אם ח מח/הא ה ס מ אם
if 3 6 6 18 if 1 2 9 18 if 1 6 3 18	י"ח ו ו ג אם י"ח ט ב א אם י"ח ג ו א אם
if 3 3 3 3 if 1 1 3 3 if 1 3 1 3	ג ג ג ג אם ג ג א א אם ג א ג א אם
if 2 6 10 30 if 1 6 5 30 if 1 3 10 30 if 5 15 20 60 if 1 3 20 60   1 15 4 60	ל י ו ב אם ל ה ו א אם ל י ג א אם ס כ טו ה אם ס כ ג א אם ס ד טו א
peraḥim months profit [..] months if 4 2 3 8 4 if   8 3 32 12 if   4 3 16 12 if   2 3 8 12 if   1 3 4 12	חדש [..] ריוח חדשי' פרחי'   ד ח ג ב ד אם יב לב ג ח   אם יב יו ג ד   אם יב ח ג ב   אם יב ד ג א   אם

	הפרק ה בידיעת השואת הממונות זה
	‫ואומר [...] שוה למטבע מדינת [...] אשר הדרך הראשון הוא [...] השני עם חילוק וכפל
	הדרך הראשון הוא שתקח מטבע מוסכם [...] המדינות מ[...] סכום יהיה פרח או [...] או אי זה מטבע שיהיה ועמו תסדר שאלתיך ואמור אם זה הסך מזאת המדינה נתן לי זה הסך מהמדינה אשר אני מבקש להשיב זה המטבע למטבע זאת המדינה זה הסך מזאת המדינה כמה יתן לי מהמדינה אשר אני מבקש
	המשל רצינו להשיב תת"ן לטרי ברצלונה ליטרי סרגוסה נקח פרח אחד שהוא שוה בברצי[ל]ונה י"ז די' ובסרגוסה י"ו ונאמר אם י"ז בברצלונה הוא שוה י"ו בסרגוסה תת"ן לטרי מברצלונה כמה ליטרי יהיו שוים בסרגוסה
	ויהיה השאלה בזאת הצורה
Barcelona Zaragoza Barcelona if 17 16 850	ברצלונ סרגוס ברצלונ   ‫0הח וא זא אם
	נכפול האמצעיות יעלו י"ג אלפים ת"ר נחלקם על י"ז יעלה ת"ת ליטרי' בשוה ואם כן תת"ן לטרי מברצלונה הם ת"ת ליטרי' מסרגוסה
	והבחינה תערוך י"ו על י"ז ות"ת על תת"ן כזא[ת] הצורה
13600   13600 800 X 16 850 17	‫00וגא   ‫00וגא ‫00ח X וא ‫0הח זא
	ועשינו השואה והנם שוים
	שאלה אחרת נהפוך השאלה ותהיה בחינה לעליונה
	ונאמר אם י"ו מס[ר]גוסה שוה י"ז בברצילונה ‫[...] יהיו [...] בזאת הצורה כפלנו [...] על י"ז יעלו י"ג [...] אלפים ות"ר נחלקם [...] ואם כן ת"ת לטרי סרגוסה [...] ברצלונה
	והבחינה מבוארת כי אלו [...] כל אחד בחינה לחברתה
Another example: a trader owes another 33 escudos; he wants to pay off in ducats. The value of the escudo is 19 dinar and the value of the ducat is 22 dinar.	משל אחר סוחר חייב לאחר ל"ג אשקודוש ורצה לפורעו בדוקדוש וסך האשקודו [עתה] י"ט די' וסך הדוקאדו כ"ב די'
	נכפול הל"ג אשקודוש על סך האשקודו שהוא י"ט יעלו תרכ"ז נחלקם על סך הדוקאדו שהוא כ"ב יעלה בחילוק כ"ח דוקאדוש וי"א די'
	משל אחר סוחר חייב לאחר כ"ח דוקאדוש וי"א די' ורצה לפורעו באשקודוש וסך הדוקאדו כ"ב די' וסך האשקודו י"ט די' שאלתי כמה אישקודוש יתן לו
	התשובה נכפול הכ"ח [..] דוקאדוש על כ"ב יעלו תרי"ז נחבר עליהם י"א די' יהיו תרכ"ז נחלקם על י"ט שהוא סך האשקודו יעלה בחילוק ל"ג אשקודוש והוא המבוקש
	והנה כ"ח דוקאדוש וי"א די' הם שוים ל"ג אשקודוש וכן כל הדומה לזה
	משל אחר שרצינו לעשות מפרחים די' או מדי' פרחים כמו קקנ"ב פרחים די' שרצינו לעשותם פרחים תחלקם על סך הפרח אם הפרח שוה די שוים תחלקם על סך הפרח ואם יש בו פשי' כמו בזה המשל שרצינו לעשות מקקנ"ב די' פרחי' והפרח שוה [י"ד] די' וב' פשי' ‫הנה ב' פשיט' [...] אלף תקי"ב נחלקם על [...] שהם שישית יעלה בחילוק [...] ששיות די' נחלקם על ששה יהיו ‫[...]
	משל אחר רצינו לעשות אלף וקכ"ה די' [...] שוה ט"ו די' וד' פשי' נעשה הט"ו די' פשי' [...] שנכפלם על י"ב יעלו קפ"ה עם הה' פשיט' והם המחלק וגם נעשה מהפרחים פשיטי' וזה שנכפול אלף קכ"ה על י"ב יעלו י"ג אלפים ות"ק [פשי'] נחלקם על קפ"ה יעלה בחילוק ע"ב והם פרחים ונשארו ק"ף פשי' נחלקם על י"ב יעלו ט"ו די' והנה אלף קכ"ה די' יעלו ע"ב פרחים וט"ו די'
	והבחנה כפול ע"ב על פשיטי' הפרח יעלו י"ג אלף ות"ק תחלקם על י"ב יעלו אלף קכ"ה
	משל אחר רצינו לעשות מנ' די' פרחים והפרח שוה י"ב די' וד' פשי' נעשה הפרח שלישיות יהיו דינר בעבור הד' פשי' שהם שליש דינר יהיו ל"ז שלישיות עם נחלקם על השליש גם נעשה הנ' די' שלישיות יהיו ק"ך שלישים נחלקם על ל"ז יעלה בחילוק ד' פרחים ונשארו ב' לחלק והם ב' שלישיות שהם ח' פשי' והנה נ' די' הם ד' פרחים וח' פשי' והנה כל אלה תוכל לעשות בדרך השלושה ונאמר אם ל"ז שלישיות דינר שוה פרח אחד ק"ן שלישיות דינ' שהם נ' די' מה יהיה שוה כפול ק"ן על א' יעלו יעלו ק"ן תחלקם על ל"ז יעלו ד' והם פרחים ונשארו ב' שלישיות דינר שהם ח' פשי' והנה ד' פרחי' וח' פשי' יעלו נ' די' וזה בעבור שיש בזה די' ופשי' אבל אם אין פשי' הוא קל לעשות ממטבע אחד מטבע אחר מזהב עשה הכל די' ‫[...]רצה והמשל שרצינו [...] הדוקאדוש די' והיוציא [...] הוא המורה והיוציא הם פרחי' [...] אחד דינ' ופשי' עשה שע המטבעו' [...] פשי' מטבע אחת מהנרצה כמו במשל [...] קקכ"ג דוקאדוש פרחים והפרח שוה י"ו די' וג' פשי' עושה מהי"ו די' פשי' יהיו עם הג' קצ"ה והוא המורה לחלק עליו כל פשיטי הדוקאדוש שהם ד' אלפים תתק"ו י"ו אלפים תתי"ב נ"ח אלפים תתע"ב והנה יעלה בחילוק ש"א והם פרחים ונשארו ע"ז פשי' שהם י"ד די' וט' פשי' והנה קקכ"ג דוקדוש הם ש"א פרח' וי"ד די' וט' פשי'
	ואם יהיה לך אי זה מטבע זהב ותרצה לעשותם מטבע אחר ואם שיהיה מכסף עשה הכל פשי' וחלקם על פשיט' המטבע שתרצה ו' ותרצה מטבע של זהב עשה הכל די' וחולק על י' דינרי המטבע שתרצה
	והמשל למטבע זהב הרי שהיה ביד סוחר אלף תר"מ אחד ד' אלפים תתק"ך די'
	הנה עתה אם ירצה לעשותם פרחי' יחלקם על י"ו יעלו ש"ז פרחים וחצי
	ואם רצה דוקאדוש יחלקם על כ"ב ויעלו רכ"ג דוקאדוש וי"ד די'
	ואם רצה ליטרין יחלקם על כ' ויעלו רמ"ו לטרין
	ואם רצה קאשטילאנו יחלקם על כ"ח ויעלו קע"ה קאשטילאנוש ועשרים די'
	וכן כל הדומה לזה
	ואם במטבע יהיו פשי' עשה הכל פשי'
	ואם מה שהיה בידך הם פשיט אי מטבע של כסף ותרצה לעשות מהם מטבע של [.] זהב הנה הראוי שתעשה מה שבידך פשי' ותחלק על פשיטי המטבע שתרצה כמו שעשינו למטבע הזהב
	ואם נרצה להשיב מטבע של כסף מטבע אחר של כסף הנה הוא חלוקת פשיטי הממון הידוע על פשיט מטבע אחד מהנרצה
	‫והמשל שהיה [...] מהם מלכים [...] ואם מברצילונה נחלקם על י"ז [...] ואם גואניש נחלקם על כ"ו וכן כל ‫[...]
	משל אחר להשיב כ"ט דוקאדוש מלכים [...] וסך הדוקאדו כ"ב נכפול כ"ט על כ"ב שהוא סך הדוקאדו יהיו תקל"ח די' עוד נכפלם על י"ב יעלו ז' אלפים תרנ"ו פשיט'
	ועתה נוכל לעשות מהם כל מטבע מטבע כסף שתרצה
	ועתה בשאלתנו נחלקם על י"ח פשיט' מלך מואלינסיאה יעלו [...] תכ"ה מלכים וששה פשי'
	והבחינה היא שתעשה מהמלכים דוקאדוש נהפוך השאלה ונאמר רצינו לעשות תכ"ה מלכים מולנסיאה וששה פשי' דוקאדוש הנה סך הדוקאדו כ"ב די' וסך המלך י"ח פשי' נעשה מן הנשאל פשי' וזה שנכפול תכ"ה מלכים על י"ח יעלו עם הששה פשי' ז' אלף תרנ"ו נחלקם על פשיט' הדוקאדו שהם רס"ד יעלה בחילק כ"ט דוקאדוש והנה הבחינה טובה ושבנו מלכים ופשיט דוקאדוש
	הערה לחילוף המטבעות ידועי הסכום הנה כסך המטבע האחד יהיה המטבע השני
	והמשל הנה היה בידינו כ"ב פרחים ורצינו לעשותם דוקאדוש הנה הכ"ב פרחים שהם כסך הדוקדו הם י"ו דוקאדוש וכן כל י"ו דוקאדש הם כ"ב פרחים
	וכן כל כ"ד פרחים שהם כסך הפלומיטה יהיו י"ו פלומיטאש וכל י"ו פלומיט' יהיו כ"ד פרחים
	וכן כל כ"ח פרחים יהיו י"ו קאשטיללאנוש וכל י"ו קאשטילאנוש יהיו כ"ח פרחים
	וכן כל כ"ח פאלומיטה יהיו כ"ד קאשטיללנונוש וכל כ"ד קאשטיללאנוש יהיו כ"ח פלומי'
	‫והמשל נעשה מהפרחים די' יהיו שנ"ב נעשה מהם דוקאדוש נחלקם על כ"ב יעלו י"ו דוקדוש או נעשה בהפך וכן אם המטבעות יעלו או יורידו
	‫[...]ת שתרצה ואם [...] י"ו פלומיטאש רנ"א פרחים [...] אבל יותר טוב הוא שתקצרם [...] הי"ו פאלומיטאש ואמור אם ג' פרחים [...] ב' פלומיטש קנ"א פרחים כמה פאלומיטאש יהיו וכן לכל המטבעות הנזכר' תוכל לקצרם
	משל אחר ת"ק לטרין כמה מלכים מואלינסיא הם
	הנה בזה שני דרכים
	הדרך הראשון נעשה מן הלטרין פשיטי' ונחלקם על י"ח שהוא סך המלך בבלינסיאה או נחלקם על סך מטבע אחר שנרצה
	הדרך השני קח כל כך לטרין שיהיו שוים למלכים שתרצה אם ואלינסאנו או אחר ואמור בדרך השלושה אם כך ליטרין שוים כך מלכים ת"ק לטרי' כמה מלכים יהיו
	והמשל בזה הנה ג' ליטרה הם שוים מ' מלכים ואמור אם ג' לטר' שוים מ' מלכים ת"ק ליטרה כמה מלכים הם שוים ויהיו' כזאת הצורה
liters kings liters if 3 40 500	לטרי' מלכי' לטרי'   תק מ ג אם
	נכפול ת"ק על מ' יעלו כ' אלפים נחלקם על ג' יעלו ששת אלפים תרס"ו והם מלכים וב' שלישיות מלך שהם דנר אחד והראוי שנסדר כל כך ליטרין שיהיו מלכים שוים כמו במשל כי י"ד מלכים הם כ"א די' וי"ג מלכים הם י"ט די' וחצי ועוד י"ג מלכים הם י"ט די' וחצי ושלושתם הם ג' ליטרי' שוים ולכך נאמר אם ג' לטרי' שוים מ' מלכים ת"ק ליטר כמה מלכים יהיו שוים וכן תעשה לכל מטבע שתשוים זה עם זה עם שתגרע או תוסיף עד שיהיו שוים ‫כי כאשר סך [...] נחלקם על י"ו יעלה [...] ליטר אחת שוה ט"ו מלכים [...] והקש על זה
	משל אחר רצינו להשיב רמ"ה ק[...] ואחר דוקאדוש ואחר אשקודוש הנה סך [...] כ"ח די' נכפול רמ"ה על כ"ח יעלו ששה אלף תת"ס נחלקם על י"ו יעלו תכ"ח פרחים וי"ב די'
	ואם נחלקם על כ"ב יעלו שי"א דוקאדוש
	ואם נחלקם על כ"א שהוא סך האשקוד יעלו שכ"ו אשקודוש וי"ד די'
	ואם נחלקם על כ' יעלו שמ"ג לטרין
	וכן כל הדומה לזה
	אחרת רצינו להשיב רנ"ב קאשטיללאנוש מזהב גואניש מכ"ו פשיט' גם מלכים מואלינסאה מי"ח פשי' גם מברצלונה מי"ז פשי' גם קפליניש מי"ד פשי'
	הדרך לכל זה ולדומה לזה שנכפול ראשונה הקאשטיללאנוש על כ"ח ויהיו די' גם נכפול הדינ' על י"ב ויהיו פשיטי' ותשמרם ואחר נחלקם אל מה שנרצה
	והמשל בזה רצינו לעשות מרנ"ב קאשטיללנוש גואנוש
	הנה בעבור שנרצה מטבע כסף נעשה מהם פשיטי וראשונה נעשה מהם די' וזה שנכפלם על כ"ח יעלו ז' אלפים ונ"ו די' עוד נכפול אלו הדי' בי"ב יעלו פ"ד אלפים תרע"ב והם פשיטי' ונשמרם ודרך אחרת לעשותם פשיט' ולא די' נכפול רנ"ב על של"ו שהם פשיטי' קאשטיללנו אחד יעלו פ"ד אלפים תרע"ב כנז' נחלקם על כ"ו יעלו ‫[...] י"ו פשיטי' [...] ואלינסי' יעלו ד' [...]לינסו'
	עוד אם נחלקם [...] יעלו ד' אלפים תתק"ף [...]לונה
	עוד אם נחלקם [...] שהוא סך הקרלין יעלו ששת אלפים ומ"ח קרליניש
	וכן תעשה לכל הדומה לזה
	והבחינה כפול המטבע אשר בידך על סך המטבע עצמו ויעלו כל הפשיטי' אחר תחלק הפשי' על י"ב יעלו הדי' אחר תחלק הדי' על כ"ח יעלו כל הקאשטיללנוש
	והמשל בקארליניש נכפול ששת אלפים ומ"ח קרליניש על י"ד שהוא סך הקרלין יעלו פ"ד אלף תרע"ב פשיט' נחלקם על י"ב יעלו ז' אלפים ונ"ו די' עוד נחלק הדי' על כ"ח יעלו רנ"ב קאשטיללנוש וכן לכל מין שיהיה‫
	‫[...]אל הנה זה בשני [...]שון הוא שרצינו להוריד [...] במשל אם היה הרבית ק' די' [...] שנרצה והקרן קיים [...]ניח הוא שלא נרצה להוריד הרבית אלא שיתנו [...] בזה הסך הממון הנרצה
	המשל לדרך הראשון הנה ראובן הלוה אלף די' לסך ק' די' בכל שנה ולאחר זמן רצו להוריד הרבית לסך כאילו היו האלף די' אלף ות"ק לסך ק' שהוא גם כן ט"ו אלפים בעד אלף
	ואם נאמר בדרך השלושה כנהוג ברוב השאלות לא תציא אמיתי כמו שנאמר אם אלף נתן לנו ק' אלף ות"ק מה יתן לנו הנה נתן לנו ק"ן ואנחנו שאלנו להוריד הרבית לא שיעלה
	ובעבור זה נקח דרך אחר מדרך השלושה כי הם ג' דרכים כמו שתראה במקומו ונאמר כי באילו השאלות והדומים להם בחומר אחר נכפול הידועים שהם אלף על ק' והיוציא נחלק על הנשאל
	והמשל בזה הנה זאת השאלה הוא אם אלף נתן ק' די' מרבית אם יהיה אלף ות"ק מה יתן ויהיה כזאת הצורה
if 1000 100 1500	‫00הא ‫00א ‫000א אם
	נכפול אלף על ק' יעלו מאה אלף נחלקם על אלף ות"ק יעלה בחילוק ס"ו די' וב' שלישיות דנר שהם ח' פשיטי' וזה יפרע מן האלף די' אשר בידו במקום [.] הק' באלף
	והבחינה הנה [.] נוכל לקצר השאלה להקל תגרע ב' ספראש מכל אחד ונשאר השאלה אם עשרה נתן א' ט"ו מה יתן כזה הצורה
if 10 1 15	הא א ‫0א אם
	נכפול עשרה על א' יהיו ‫עשרה נחלקם על [...] וח' פשי'
	משל אחר אם אלף נתן מאה [...] ונאמר אם אלף נתן ק' מה [...] ונאמר אם אלף נתן מאה ב' אלפים מה יתן [...] הצורה
if 1000 100 2000	‫000ב ‫00א ‫000א אם
	נכפול [...] הידועים שהם אלף על ק' יהיו מאה אלפים נחלקם על ב' אלפים ותציא בחלוקה חמשים די' והנה חמשים די' יתן בעד האלף אשר בידו וכן תעשה לכל הדומים לאלה כי האלף די' קיימים והרבית יורד
	והבחינה גרע ב' ספראש להקל מכל אחד ישאר השאלה אם עשרה נתן א' עשרים מה יתן נכפול עשרה על א' יהיו עשרה נחלקם על עשרים והוא מחולק כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{20}}}$	‫0א ‫0ב
	שהם עשרה חלקים מעשרים גרע הספראש יהיו חצי או תקצרם ישאר חצי והוא חצי ק' שהוא חמשים ממאה שהוא הרבית הראשון הנה זה הסדר תעשה כשתרצה לרדת הרבית אבל כשתרצה שינשאל נערך אל אחר תעשה הדרך השלושה הנהוג
	והמשל נאמר אם אלף שוה ק' ג' אלפים וק' מה יהיה שוה או אלף שוה פ"ה שכ"א מה יהיה שוה וכן תעשה כאשר תקצר את כולם וזה תראה בדרך השנית
	והדרך השנית הוא שלא נרצה להוריד הרבית אלא שיתנו מעות לזה הסך אם מעט ואם הרבה ובעבור זה נעשה חשבוננו עם דרך השלשה הנהוג
	והמשל רצינו לתת תת"ק די' לסך י"ח אלפים באלף ושיהיו בידו ע"ג ימים נאמר ראשונה אם י"ח אלפים נתן אלף תת"ק מה יתן נכפול אלף על תת"ק ותציא ט' מאות ‫[...] או תקצרם ואמור [...] [כפול] תת"ק על א' ותחלקם על [...] ואחר נאמר אם שס"ה ימי השנה [...] מה יתן ויהיה כזה הצורה
if 365 50 73	גז ‫0ה הוג אם
	נכפול נ' על ע"ג יעלו ג' אלפים תר"ן נחלקם על שס"ה יעלו עשרה די' וזה הראוי לע"ג ימים
	והבחינה היא שנכפול האמצעיות ויהיו שוות לכפל החיצוניות וגם בערכים תראה זה כי ערך שס"ה אל ע"ג כערך נ' אל עשרה כי ע"ג הוא חמשית שס"ה וכן עשרה הם חמשית נ' וגם אם תשוים יהיו שוים כזה הצורה
3650   3650 73 X 365 10 50	‫0הוג   ‫0הוג גז X הוג ‫0א ‫0ה
	משל אחר רצינו לתת תשל"ב לזמן רצ"א ימים לסך י"ט אלף באלף
	נאמר ראשונה אם י"ט אלף נתן אלף בשנה תשל"ב מה יתן
	נסיר הספראש להקל ונאמר אם י"ט נתן א' תשל"ב ויהיה כזא' הצורה
if 19 1 732	בגז א טא אם
	כפול תשל"ב על א' ויהיו תשל"ב נחלקם על י"ט ותציא בחילוק ל"ח ועשרה חלקי י"ט נכפול אלו העשרה שברים על י"ב יעלו ק"ך נחלקם על י"ט יצא בחילוק ששה פשיטי' וששה חלקים מי"ט בפשוט אבל צריך להשיבם בשברו וישובו תשל"ב חלקים מי"ט
	ונאמר אם שס"ה נתן לנו תשל"ב רצ"א מי יתן לנו ויהיה כזה הצורה
if 365 732 291	אטב בגז הוג אם
	נכפול רצ"א על תשל"ב יעלו רי"ג אלפים וי"ב כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{213012}{19}}}$	בא0גאב טא
	‫כזה נחלקם על שס"ה [...] י"ט יהיו ששת אלפים תת"ק [...] וי"ב ותציא בחילוק ל' די' [...] נכפלם על י"ב יהיו נ"ט אלפים תקמ"ד [...] ותציא ח' פשיט' ונשארו ד' אלפים ס"ד נכפלם על [...] אלפים קכ"ח נחלקם על המורה יעלה מחצה ונשארו אלף קצ"ג נכפלם על ב' לעשות פוגישאש יהיו ב' אלפים שפ"ו ולא הגיעו לפוגישה א' והם חלקי פוגישה שהוא זה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2386}{6935}}}$	וחגב הגטו
	והנה עלה מכל זה כי הנותן תשל"ב די' בזמן רצ"א ימים לסך י"ט אלפים באלף חייב לפרוע מהם ל"ח די' וששה פשי' וששה חלקים מי"ט בפשוט ובעבור שלא היו בידו כל השנה אלא רצ"א ימים חייב לפרוע מהם ל' די' וח' פשי' ומחצה והחלק הנז' מפוגישה
	והבחינה אמור אם שס"ה נתן ל"ח והחלקים הנז' רצ"א מה יתן והנה נתן ל' די' וחלקים כנז'
	שאלה אחרת הדרך השני הוא שנעריך מה שלקח כפי הימים אשר בידו ודע כי קוראים סינשל לעשרת אלפים הרבית אלף או לשנים עשר אלף באלף וזה יותר בזול וכן כל מה שיעלה ההלואה יהיה יותר בזול כמו שתראה בזה הלוח כי עשרה אלפים נתן ק' וד' אלפים וי"ב אלפים נתן פ"ג די' וד' פשי' וכו' כמו שתראה במשלים
	והמשל רצינו לדעת אם עשרת אלפים נתן בסינשאל אלף לזה הסך מה יתן אלף והנה נתן ק' כמו שתראה בטור ראשון מן הלוח ואם הסינשאל יהיה מי"ב אלפים לאלף שהוא יותר בזול גם כפול אלף על ‫[...] על י"ב אלפים [...] הוא לכל שנה ‫[...] אבל אם שאל ימים או ימים וחדשים אמור בימים אם שס"ה ימים נתן ק' הנשאל מה יתן
	דנרי דנרי דנרי' [..] [..] 10000 1000 1000 100 [.] 12000 1000 1000 83 4 14000 1000 1000 66 8 18000 1000 1000 55 $\scriptstyle\frac{5}{9}$ 20000 1000 1000 50 24000 1000 1000 41 8 30000 1000 1000 33 4 36000 1000 1000 27 $\scriptstyle\frac{2}{9}$         10000 1000 900 90 10000 1000 800 80 10000 1000 700 70 12000 1000 900 75 14000 1000 900 64 $\scriptstyle\frac{2}{7}$ 15000 1000 900 60 18000 1000 900 50 20000 1000 900 45 24000 1000 900 37 $\scriptstyle\frac{1}{2}$ 30000 1000 900 30 36000 1000 900 25
	הנה אתן משלים להבין זה על סך אחד מהסנשאל ולא אכווין לרביע היום על שס"ה שלא לבלבל למעיין
	שאלה הנה היה ביד ראובן אלף די' לסך עשרת אלפים אשר בכל שנה חייב לתת ק' די' ושהו בידו ע"ג ימים שאלתי כמה די' יפרע ראובן מן הע"ג ימים שהיו בידו אלף די'
	התשובה אמור אם שס"ה ימים נתן ק' די' ע"ג ימים כמה ראוי שיתן
	ויהיה כזאת הצורה
	גז ‫00א הוג אם
	‫הצורה נכפול [...] יעלה בחילוק עשרים [...] שבידו
	והבחינה נכפול הקצוות וכן האמ‫[...]
	ועוד בחינה אחרת שנזדמן [...] זה כי ערך שס"ה אל ע"ג הוא חמשית וכן ב' אל ק'
	שאלה אחרת הנה ביד ראובן אלף די' לסך עשרת אלפים באלף והסך ק' די' ושהו בידו ז' חדשים וי"ז ימים ממרסו
	אמור אם שס"ה נתן ק' בשנה ז' חדשים וי"ז ימים מה יתן
	תן השלם בשברו שתכפול הז' חדשים על ל' יהיו ר"י תחבר על ר"י ד' בעבור ד' מלאים יהיו רי"ד עוד תחבר עליהם י"ז ימים שלנו יהיו רל"א
	ועתה אמור אם שס"ה נתן ק' רל"א מה יתן כזאת הצורה
	אגב ‫00א הוג אם
	תכפול רל"א על ק' יעלו כ"ג אלפים וק' תחלקם על שס"ה יעל ס"ג וק"ה חלקי שס"ה
	ואם תרצה לעשות מהם שעות תכפול ק"ה על כ"ד והעולה תחלק על שס"ה
	והבחנה כנהוג ובעבור שלא [.] אעשה בחינה לכל שאלה אכתוב אחר קצת במינו
	שאלה אחרת הנה ביד ראובן אלף די' לס' עשרת אלפים באלף אשר הסך הוא ק' די' כנז' ושהו בידו ט' חדשים שאילתי הראוי לפרוע לפרוע
	אמור אם י"ב חדשים נתן ק' די' בט' חדשים מה ראוי לפרוע ויהיה כזאת הצורה
	חדשי' די' חדש   עה ט ‫00א בא אם
	תכפול ט' על ק' יעלו תת"ק ‫[...] די' וזה הראוי [...] חיצוניות ויהיה כל אחד תת"ק [...] ערך ע"ה אל ק' ג' רביעיות וכן ערך [...] ג' רביעיות
	שאלה אחרת על הסך הנז' ושהו האלף די' ביד ראובן ח' חדשים ממרסו להלן וי"א ימים וט"ו שעות שאלתי הראוי לפרוע
	הנה נעשה הכל שעות וראשנה נעשה הח' חדשים ימים ויהיו רמ"ה עם ימי המלאים ועוד י"א ימים שהיו לנו יהיו רנ"ו ימים נכפלם על כ"ד שעות כל יום יהיו ו' אלפים קמ"ד הכל שעות וט"ו שעות שהיו לנו יהיו ו' אלפים קנ"ט והם כל השעות הראויות לחלק
	ועתה נאמר אם שס"ה נתן ק' די' ו' אלפים קנ"ט מה יתן כזאת הצורה
	טהאו ‫00א הוג אם
	נכפול ו' ו' אלפים קנ"ט על ק' יעלו קט"ו אלפים ותת"ק נחלקם על שס"ה אחר שנכפול שס"ה על כ"ה שיהיו ח' אלפים תש"ס והם שעות שס"ה ואיני [..] חושב על הרביע יום שלא לבלבל הנה יעלה בחילוק ע' די' וכ"ז חלקים מפ"ז בדינ' אחר הקיצור וזה הע' די' וכ"ז חלק פ"ז הוא הראוי לפרוע באילו החדשים והימים והשעות
	הערה לבחינות הנה יעדתי לכתוב בחינות לדרך השלושה על דרכים רבים אפע"פ שהם מפוזרים בספר אבל אני אתן בכאן קצת מהם מקובצות על שאלה אחת והיא אם ה' יתן ג' ו' מה יתן הנה נתן ג' וג' חמשיות והבחינה נכפול החיצוניות והאמצעיות והיו שוות וראשונה ‫תשוים הכל בחמשיות [...] ויהיו כזאת הצורה הרא[שונה] ‫[...]
	כה טו ל יח אם
	‫[...] ט"ו וה[...] חמשיות ועם זה אעשה קצת בדיקות הראשונה היא שתכפול האמצעיות והחיצוניות יהיו כל אחד ת"ן
	והבחינה השנית תהפוך השאלה [..] כמו שהיא בחמשיות ואמור אם י"ח נתן ל' ט"ו מה יתן והוא הדין אם תקח הצורה הראשונה אבל לקחתי השנית שלא לטרוח לעשותה חמשיות
	והבחינה השלשית תן הבנים על האבות בעבור שהם קטנים יהיו ט"ו על כ"ה וי"ח על ל' כזה הצורה
	יח טו ל כה
	תקצרם יהיו כל אחד משניהם ג' חמשיות אחר הקיצור
	והבחינה הרביעית תן האבות על הבנים כ"ה על ט"ו ול' על י"ח כזה הצורה
	ל כה יח טו
	ויהיו שוים אחר הקיצור ש ה' שלשיות כל אחד שהם אחד שלם ושתי שלישיות
	בחינה חמשית תן כל אב על בנו ותשוים ויהיו כל אחד ת"ן
	תן   תן ל X כה יח טו
	בחינת שברים או שברי שברים הוא שתשוים כמ[ו] שתראה בשאלות ועוד תראה בדיקות אחרות הנה כל אלו הבחינו' ועוד אחרות מפוזרות ואחרות מערכים וזה להרגילך ואשוב ואחרות
	‫[...]עות לסך סינשאל [...] ב' אלפים כנזכ' בלוח [...] תאמר אם י"ב אלף נתן [...] וגם תוכל לקצר האלפים ותאמר [...] הנשאל מה יתן
	המשל בזה ראובן הלוה לגוי ת"ר די' לסך י"ב אלף לאלף שאלתי הראוי לפרוע לו בכל שנה
	התשובה הנה תדע זה בדרך השלושה ואמור אם י"ב אלף נתן אלף ת"ק מה יתן כפול ת"ק על אלף והעולה תחלק על י"ב אלפים והיוציא שהוא מ"א די' [.] ושתי שלישיות די' שהם ח' פשי' הוא הראוי לפרוע לסך הנשאל
	וכן אם תקצרם ותאמר אם י"ב נתן א' ת"ק מה יתן כפול ת"ק על א' יעלה ת"ק תחלקם על י"ב ותציא מ"א ושתי שלישיות כנזכר שהם מ"א די' וח' פשי' בכל שנה
	שאלה אחרת ראובן הלוה לגוי י"ג אלפים לסך י"ב אלף באלף והלך הרבית ר"ג ימים שאלתי הראוי לפרוע לו מאילו הר"ג ימים
	התשובה תחלק אלף שהוא הראוי לשום לשס"ה ימים ולא נדקדק לרביע יום והיוציא הוא הראוי לכל אחד ואחר אמור אם יום אחד נתן לי כך ר"ג ימים מה יתן לי
	והמשל נחלק אלף לשס"ה ימים יבוא לכל יום ב' די' ור"ע חלקים משס"ה בשלם
	דרך אחרת תעשה הכל פשיטי' ואמור אם יום אחד נתן ב' די' ור"ע חלקי שס"ה ר"ג ימים מה יתן לי או תסדר שאלתך בדרך אחרת ואמור אם י"ב אלפים בשס"ה יום נתן לנו אלף די' י"ג אלפים בר"ג ימים מה יתן ויהיה כזה הצורה
	‫ דינרי ימים ‫000גא ג0ב ‫000טגוב
	מספרים תרל"ט אלפים ואחר נסדר [] [ד'] מספרים וש"ף אלפים נתנו אלף די' ב' מספרים [תרל"ט מה] יתן נכפול אלף על האחרון הנשאל שהוא שני מספרים תרל"ט יעלו רס"ג מספרים תת"ק אלפים כזה הצורה
	ב ו ג ט 0 0 0 0 0 0
	אשר נחלקם על הראשון שהוא ד' מספרים ש"ף אלפים ויעלה בחילוק תר"ב די' וקי"ב חלקים מרי"ט בשלם כזה מקוצר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{121}{219}}}$	אבא טאב
	או דרך יותר נקל אמור אם י"ב אלפים נתן אלף די' י"ג אלפים מה יתן נכפול י"ג אלפים על אלף יעלו י"ג מספרים נחלקם על י"ב אלפים יציא בחילוק אלף פ"ג די' ושליש שהוא ד' פשי' וזה יהיה בשנה אחת [...] שהיא שס"ה ימים ואנחנו שאלנו ר"ג ימים
	הנה נאמר אם שס"ה נתן לנו אלף ופ"ג די' ושליש מה יתן לנו ר"ג ימים
	נעשה שלישיות ר"ג ימים וגם אלף ופ"ג יהיו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{609}{3}}}$	ט0ו ג
	והשני
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3250}{3}}}$	‫0הבג ג
	נכפול זה על זה שבר על שבר ומורה על מורה ויהיו מספר אחד ותתקע"ט אלפים ור"ן והם תשיעיות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{197925}{9}}}$	‫0הבטזטא ט
	נחלקם על שס"ה וראשונה אחר שנכפול שס"ה על ט' שיעלו ג' אלפים רפ"ה ויעלה בחילוק תר"ב די' ונשארו קי"ב חלקים מרי"ט בשלם אחד הקיצור בשלישית שתי פעמים ואם כן מי שלקח י"ג אלף די' לסך י"ב אלפים באלף יפרע בר"ג ימים תר"ב די'
	‫שאלה [...] תקמ"א דינרי' [...] והלך הרבית רכ"ט [...] נעשה מן דינרי' פשיטי‫' [...]
	דנרי ימים דינרי' ‫000בא הוג ‫000א ‫00הדאא פשיטי בא
	יהיו קי"ד אלפים ות"ק הכל פשיטי' עם ח' פשיטי' שהיו לנו גם ניתן הימים נשברים שנכפול רכ"ט על קי"ד אלפים ות"ק פשיטי' יעלו כ"ו מספרים ור"ך אלפים ות"ק והמורה י"ב ויהיו כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{26220500}{12}}}$	‫00ה0בבוב בא
	ועתה כפול אלף על זה המספר יהיו כ"ו אלפים ור"ך מספרים ות"ק אלפים והמורה י"ב ויהיה כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{262205}{12}}}$	‫00000ה0בבוב בא
	שמור לחלק על ראשון אחר שנשויהו שנכפול שס"ה ימים על על י"ב אלף שיעלו ד' מספרים ש"ף אלפים אשר תכפלם אשר תכפלם על י"ב ויעלה נ"ב מספרים תק"ס אלפים כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{52560000}{12}}}$	‫0000והבה בא
	אשר עליו תחלק כי אז [.] שוה למספר השמור לחלק ויעלה בחילוק תצ"ד וג' אלפים ותתקפ"ו מה' אלפים רנ"ו כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3986}{5256}}}$	וחטג והבה
	וזה מה שראוי לפרוע למי שנתן [.] ט' אלפים תקמ"א דניר' וח' פשיט לסך סנשאל שהוא י"ב אלף לאלף
	שאלה אחרת הלוה לגוי ה' אלף וששה די' וח' פשיטי' לסך סינשאל שהוא י"ב אלפים לאלף כנזכר והלך הרבית ס"ב ימים שאלתי הראוי לפרוע
	נאמר אם י"ב אלף בשס"ה ימים נתנו אלף ה' אלף ו' די' ח' פשי' בס"ב ימים מה יתנו כזה הצורה
dinar days dinar dinar days 12000 365 1000 5006$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{12}}}$ 62	דנרי' ימים דנרי' דנרי' ימים 12000 365 1000 5006$\scriptstyle\frac{8}{12}$ 62
	נתן השלם בשברו יהיו יהיו ס' אלף ופ' והמורה י"ב כי הם פשיטין נכפול ס"ב ימים על הפשיטי' יהיו ג' מספרים תשכ"ד אלפים תתק"ס והמורה י"ב ועתה נכפול זה המספר על אלף יהיו ג' אלפים תשכ"ד מספרים תתק"ס אלפים והמורה י"ב וזה ראוי לחלק על כפל שס"ה ‫על י"ב אלף שהוא הראשון והעולה תכפול עוד על י"ב ואז יהיה שוה למספר הראוי לחלק ואז יעלה המספר י"ב מספרים תק"ס אלפים כזה
52560000	‫0000והבה
	וזה יהיה המחלק ויעלה בחילוק ע' די' ותקע"ב חלקים מתרכ"ז מקוצרים והוא הנשאל והנה אם יהיה בשאלתך מספר שתוכל לקצרו כמו באלה השמות שאמר ח' פשיט הנה תוכל [.] לאמר ב' שלישיות וכמו שעשית המורה י"ב יהיה ג' ותעשה הכל יותר בקלות וגם במספר המונח ומה שלא עשיתי כן כדי שלא לבלבל למעיין כי הכל דק ועיין

Chapter	‫הפרק [...]
	הממון אשר [...]
	התשובה הנה זאת השאלה [...] דרך השלושה ונניח [...] ששה ואנחנו שאלנו שלושה רביעיות [...] ונאמר אם ד' נתן לנו ו' מי יתן לנו שלושה רביעיות [...] כזאת הצורה
	0 ו ד אם
	נכפול הקצוות שהם על ד' יעלו י"ב רביעיות נחלקם על ו' שהם כ"ד רביעיות יעלה בחילוק חצי וזה המספר המבוקש שאם נוסיף עליו חציו יהיו ג' רביעיות
	שאלה אחרת מהו המספר אשר חיב[ר]נו עליו חצי שלישיתו ושלישית רביעיתו ורביעית חמשיתו ועם הכל יהיה ב' חמשיות
	תשובה עם מונח כוזב ודרך השלושה נניח ס' בעבור שימצאו בו כל החלקים בשלמות הנה חצי שלישיתו הוא עשרה כי שליש ס' הוא כ' וחציו עשרה נחברם עם ס' יהיו ע' ועוד נקח שלישית רביעיתו והוא חמשה כי רביעיתו הוא ט"ו ושלשית ט"ו הוא ה' נחבר ה' עם ע' יהיו ע"ה ועוד נקח רביעית חמשיתו והוא ג' כי חמשיתו הוא י"ב ורביעית י"ב הוא ג' נחברם עם ע"ה יהיו ע"ח והנה עלה יותר ממה ששאלנו כי ב' חמישיות שאלנו ונתן לנו המונח ע"ח שלמים
	נלך אל דרך השלושה והיא יגיד לנו שאלתנו ונסדר דרך השלושה ונאמר אם ס' נתן לנו ע"ח מי יתן לנו ב' חמשיות ויהיה כזאת הצורה
	מי יתן לנו ע"ח נתן ס אם
	נכפול הקצוות ב' על ס' ‫[...] שהוא [...] בחילוק דנר [...] ראובן
	עוד נכפול כ' [...] יעלה בחילוק דנר אחד [...] שמעון
	עוד נכפול ל' על ו' יעלו [...] המורה יעלו בחלוק ב' דנרי' ונ"ו חלקים מס"ב וזה ‫[...]
	והבחינה כך היא נחבר דנרי כולם יהיו ד' וב' שיצאו מהשברים יהיו ו' והוא הריוח כי השברים הם עשרה ונ"ח ונ"ו וכולם קכ"ד והם ב' כפלי המורה והם שנים וד' שהיו השלמים הם ו' והוא המבוקש
	ולדעת כמה פשיט' יהיה סך שברי כל אחד כפול שברי כל אחד על י"ב שהם פשיטי הדינר וחלק על המורה והיוציא הם פשיטי כל אחד והנשאר יהיה שברים מס"ב בפשוט כי לעולם ס"ב יהיה מורה לכולם כאשר תראה בזה המשל
	משל בעשרה שנשארו מראובן תכפלם על י"ב יעלו ק"ך חלקם על ס"ב יעלה בחילוק פשוט אחד ונשארו נ"ח תכפלם על ד' שהם חלוקת הפשוט יעלו רל"ב חלקם על ס"ב יעלו בחילוק ג' רביעיות ונשארו מ"ו חלקים מס"ב ברביע והנה חלק ראובן הוא דנר אחד ופשוט אחד וג' רביעיות ומ"ו חלקים מס"ב ברביע
	משל בשיור שמעון שהוא נ"ח תכפלם בי"ב יעלו תרצ"ו תחלקם על ס"ב יעלה בחילוק י"א פשיטי' ונשארו י"ד תכפלם בד' יעלו נ"ו והוא מחולק על ס"ב שהוא נ"ו חלקי רביע פשוט מס"ב ברביע והנה חלק שמעון הוא דנר אחד [.] וי"א פשי' ונ"ו חלקי רביע אשר ס"ב הוא רביע פשוט
	משל בשיור לוי שהוא נ"ו חלקים תכפלם על י"ב יעלו תרע"ב תחלקם על ס"ב יעלו עשרה פשיטי' ונשארו נ"ב תכפלם בד' יעלו ר"ח תחלקם על ס"ב יעלה בחלוק ג' רביעיות ונשארו כ"ב חלקים מס"ב ברביע פשוט והנה חלק ‫לוי הוא [...] כולם בצורה הנ[...] יהיו קכ"ד חלקם על [...] תחברם עם ו' שהיו לנו יהיו [...] פשיט' שהיו לנו יהיו כ"ד שהם [...] ויהיה ששה ושב הריוח
	‫הערה ואם תהיה ממונם ממטבעות מתחלפות כמו שהאחד נתן לטרין והשני די' והשלישי דוקאדוש עשה אותם ממין אחד וכזה תעשה אותם די' ואם תהיה בממון פשיט' בין מכולם בין מקצתם תעשה הכל פשיט' ועשה שאלתך ואחר תחלק חלק כל אחד על י"ב לעשותם די' או על המטבע שתרצה
The eighth question: Reuven, Shimon and Levi formed a partnership; Reuven contributed 4 liters of money and stayed [in the partnership] the same as Shimon and half [of his time] and a third of the whole and a quarter of a third of the whole; Shimon [contributed] to the partnership as Reuven and half [of his contribution] and a third of the whole and stayed [in the partnership] as Levi plus 12 and a half of the whole plus 3 and a third of the whole plus 4 and a quarter of the whole plus 4; Levi [contributed] to the partnership as Reuven and Shimon and a third of the whole and stayed [in the partnership] 17 days. With this amount of money and the time they stayed in the partnership, they earned 17 liters. I ask: how should they divide [the profit]?	שאלה שמנית ראובן שמעון לוי עשו חבר ראובן נתן בחברה ד' לטרי ממון בי"ט באדם [.] משנה פשוטה שסמנה ב[.] ושהה כשמעון וחציו ושלשית העולה ורביעית השלשית העולה ושמעון נתן בחברה כראובן וחציו ושלישית העולה ושהה כלוי ועוד י"ב וחצי העולה ועוד ג' ושלישית העולה ועוד ד' ורביעית העולה ועוד ד' ולוי נתן בחברה כראובן ושמעון ושלשית העולה ושהה י"ז ימים ועם זה הממון ושהיתם בחברה הרויחו ז' לטרין שאלתי כיצד יחלוקו
	תשובה הנה לטרי ממון הנעלמם תדעם עם לטרי ראובן הידועים וזמן שהות הנעלם תדעהו עם זמן שהות לוי הנודע
	כיצד הנה לטרי ראובן הידועים הם ד' ושהיתו קל"ו יום כיצד הנה שהות לוי הידועים הם ח' ושמע' ושמעון שהה כלוי ח' ועוד י"ב יהיו כ' וחצי העולה שהוא עשרה יהיו ל' ועוד ג' יהיו ל"ג ושלשית העולה שהוא י"א יהיו מ"ד ועוד ד' יהיו מ"ח ורביעית העולה שהוא י"ב יהיו ס' ועוד ד' יהיו ס"ד וזה ימי שהות שמעון ומזה נדע ימי שהות ראובן
	והנה ימי שהות ראובן הוא כשמעון שהם ס"ד וחציו שהוא ל"ב יהיו צ"ו ושלישית צ"ו הוא ל"ב יהיו קכ"ח ורביעית ל"ב הוא ח' כי ל"ב הוא [שלישית העולה] ויהיו קל"ו כנזכר והנה לטרי שמעון הם ח' בעבור ‫[...] הם ד' וחציו [...] ס"ד ימים כנז' [...] ראובן ושמעון ושלישית [...] וכשמעון הם ח' וד' הם י"ב ושלישית [...] כנז' וזמן שהיתו ידוע שהוא ח' ימים [...] כי ממון ראובן הוא ד' לטרי' ושהיתו קל"ו ימים [...] ח' וימי שהיתו ס"ד ולטרי לוי י"ו ושהיתו ח' ימים
	ויהיה כצורה הזאת
	דנר לטרי הריוח הנכפל ימי' לטרי'   ד ג ז תקמד קלו ד ראובן   ג תקיב ס"ד ח שמעון ט"ו   קכח ח יו לוי       דחאא המורה
	ועתה תכפול ממון ראובן בימיו יעלו תקמ"ד כפולי המין תכפלהו על הריוח יעלו ג' אלפים תת"ח תחלקם על המורה שהוא אלף קפ"ד יעלה בחילוק ג' לטרי לחלק ראובן כפול הנשאר שהוא רנ"ו על כ' שהוא סך הלטרא יעלו ה' אלפים ק"ך תחלקם על המורה יעלו בחילוק ד' דנרי' וזה החלק מדינר מלטרה
	דחג דחאא
	שאם תרצה כפלהו על י"ב שהם פשיט הדנר וחלק על המורה והיוצא הם פשיטי' כאשר עשתי
	עוד תכפול ממון שמעון שהוא תקי"ב על ז' יעלה ג' אלפים תקפ"ד חלקם על המורה יעלה בחילוק ג' לטרי' כפול הנשאר על כ' יעלה זה החלק מדנר
	‫0דו דחאא
	עוד כפול ממון לוי שהוא קכ"ח על ז' יעלו תתצ"ו והם חלקי לטרא מאלף קפ"ד אשר אם תכפלהו על י"ב ותחלק[ה]ו על המורה יצא בחילוק ט"ו די' וק"ס חלקים מאלף וקפ"ד בלטרא בדנר
	והנה יצא לנו כי חלק ראובן ג' לטרי' וד' דנרי' וחלקי דנר וחלק ‫שמעון ג' [...] והוא מה שרצינו [...] הוא על דרך העברה [...] ואם אאריך בזה הפרק אקצר ‫[...]
	שאלה תשיעית זה השאלה היא מונח [...] אכתוב לך שתדע לקצר רוב [...] אם מספר הממון והזמן תוכל כל אחד לקצרו בחצים [...] ברביעית או באי זה חלק שתוכל וזה שתקצר הזמן והממון בדרך אחר שאם תקצר רביעית ממון ראובן שקצר שתקצר ברביעית זמנו גם כן ותקצר ברביעית זמן וממון כל אחד כאשר תראה בזאת השאלה [ובאחרים בע"ה] והנשאר אחר הקיצור מממון וזמן כל אחד כפול זה על זה והיוציא יהיה כמו ממון כל אחד ומקיבוץ כולם יצא המורה
	ואם לא תהיה כ תוכל לקצר הזמן תקצר הממון וזה מכל אחד בשוה כאשר תראה במשלים מאחר זה ואם תרצה לכפול הממון על הזמן ואחר תקצר הרשות בידך ואחר הקיצור תוציא המורה כמנהג ואומר כי ממון ראובן הוא ד' וזמנו קל"ו [וכפל זמנו וממונו הוא תקמ"ד] וממון שמעון ח' וזמנו ס"ד וממון לוי י"ו וזמנו ח' נקצרם בחצי יהיו לראובן ב' ס"ח ולשמעון ד' ל"ב וללוי ח' ד' נקצרם עוד בחצי יהיה זמן וממון ראובן א' ל"ד וזמן וממון שמעון ב' י"ו וזמן וממון לוי ד' ב'
	הרוח הנכפל ממו זמן   לטרי דינ חלקי ז לד א לד ראובן ג ד כד עד לב ב יו שמעון ג   מ עד ח ד ב לוי 0 טו י עד עד המורה
	ולא נוכל עוד לקצר כי ממון ראובן שב לאחד וזה יהיה הנשאר אחר הקיצור מממונם ומזמנם אחר נכפול זמן כל אחד על ממונו כמנהג א' על ל"ד יהיו ל"ד וזה ממון ראובן וב' על י"ו יהיו ל"ב וזה ממון שמעון וד' על ב' יהיו ח' וזה ‫[...] אחד על הריוח [...] חלק כל אחד כפול ל"ד [...] יצא בחילוק ג' לטרין [...] כסך דינרי הלטרה יעלו ש"ב [...] ד' דינר וכ"ד חלקי ע"ד בדינר והנה [...] דינר והחלק הנזכר מדינר יהיה חלק רבאובן [...] כפול ל"ב על ז' וחלק היוציא על המורה ותצא בחילוק ג' לטרין ומ' חלקים מע"ד שהוא השלם וזה חלק שמעון
	עוד כפול ח' על ז' וחלק היוציא על המורה והוא מחולק שהוא נ"ו חלקים מע"ד בלטרה ותכפול נ"ו על כ' שהוא סך הלטרה יעלו אלף ק"ך תחלקם על המורה יעלו בחילוק ט"ו די' ועשרה חלקים מע"ד בדנר וזה חלק לוי
	והנה עלה בידנו שנפל לראובן מן הריוח ג' לטרין וד' דינר וחלקי די' שתוכל לקצרו שהם י"ב חלקים מל"ד
	וחלק שמעון ג' לטרי' וחלקי דנר שתוכל לקצרו ויהיה כ' חלקים מל"ד
	וחלק לוי ט"ו דינרי וחלקי דינר אשר מקוצר יהיה ה' חלקים מל"ד בדינ'
	וכן כל כיוציא בזה
	והבחינה כך הוא שתחבר כל שברי שלושתם והיוצה תחבר עם הדנרי' והדינרים עם הלטרי והיוציא יהיה הריוח כיצד תחבר שברהם יהיו לראובן כ"ד ולשמען מ' ולוי עשרה חלקם על המורה יצא אחד ועם הדנרים שהם י"ט יהיו כ' שהוא לטרה וששה לראובן ושמעון יהיו ז' שהוא הריוח והוא המבוקש
	וכן היו שברי השאלה השמנית שהם שפ"ד לראובן תר"מ לשמעון וק"ס ללוי יהיו כולם אלף קפ"ד חלקם על המורה שהוא אלף קפ"ד יעלה אחד והוא דנר חברהו על הדינר שהם י"ט יהיו כ' והוא הלטרה תחבר אותה עם הלטראות יהיו ז' שהוא הריוח
	‫עוד אתן דרכים
	דרך אחרת לקצר עוד ועיין בזה הדרך ותשכיל ואומר שתקצר הנכפל כל מה שתוכל שוה לכולם והנשאר תחלק בריוח הבא מד' קל"ו
	המשל בשאלה החמשית [תשיעית] הנה ממון ראובן המשולח הוא תקמ"ד וממון שמעון תקי"ב וממון לוי קכ"ח תקצרם בחציים חמשה פעמים יהיו ישארו לראובן י"ז ולשמעון י"ו ולוי ד' ולא נוכל עוד לקצר בעבור ממון ראובן שהוא י"ז והנה שוה השאלה בצורה הזאת
	ז יז יו ד
	ואתן לזה פרק [...] ולדרך השלושה כל זה כתוב

Chapter [Three]	‫ הפרק []
	שאלה ראשונה מ[...] חציו ויהיה שלשה [...] זאת השאלה תוכל לעשותה עם מונח [...] דרך השלושה ונניח ד' וחיברנו עליו חציו [...] שאלנו שלושה רביעיות
	נלך אל דרך השלושה ונאמר אם [ד' נתנו] לנו ו' מי יתן לנו ג' רביעיות נסדרם בזאת הצורה
	0 ו ד אם
	נכפול הקצוות שהם ג' רביעיות על ד' יעלו י"ב רביעיות נחלקם על ו' שהם כ"ד רביעיות יעלה בחילוק חצי וזה המספר המבוקש שאם תוסף עליו חציו יהיה ג' רביעיות
The second question: what is the number, to which we add one-half of its third, one-third of its quarter and one-quarter of its fifth, and the total is 2 fifths? $\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)+\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)+\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)=\frac{2}{5}$	שאלה שנית מה הוא המספר אשר חברנו עליו חצי שלישיתו ושלישית רביעיתו ורביעית חמשיתו ועם הכל יהיה ב' חמשיות
	תשובה עם מונח כוזיב ודרך השלשה נניח ס' בעבור שימצאו בו כל החלקים בשלמות חצי שלישיתו הוא עשרה כי שלישיתו כ' וחציו עשרה נחברם עם ס' יהיו ע' ועוד נקח שלישית רביעיתו והוא חמשה כי רביעיתו הוא ט"ו ושלישית ט"ו הוא ה' נחבר ה' עם ע' יהיו ע"ה ועוד נקח רביעית חמשיתו והוא ג' כי חמשתו הוא י"ב ורביעית י"ב הוא ג' נחברם עם ע"ה יהיו ע"ח והנה עלה יותר ממה ששאלנו כי ב' חמשיות שאלנו ונתן המונח ע"ח שלמים
	נלך אל דרך השלושה והוא יגיד לנו שאלתנו ונסדר דרך השלושה ונאמר אם ס' נתן לנו ע"ח מי יתן לנו ב' חמשיות ויהיה כזאת הצורה
	נכפל הקצוות ב' על ‫[...] ק"ך והם [...] נחלקם על ע"ח [...] שנכפול ע"ח בחמשה [...] על ש"ץ והוא מחולק שהוא ק"ך [...] המספר המבוקש שאם חיברנו עליו [...] שלישית רביעיתו שהוא שהוא עשרה [...] שהוא ששה יעלו קנ"ו והם חלקים מש"ץ [...] שתי חמשיות ממנו אם תקצרם תשוים יהיו כזה הצורה שוים וזה מה שרצינו
	780   780 $\scriptstyle\frac{2}{5}$ X $\scriptstyle\frac{156}{390}$
	‫ואם תקצרם בחצים ועוד בשלשו ונשאר כ"ו חלקים מס"ה כזה תשוים עם ב' חמשיות יהיו כל אחד [...]
	130   130 [$\scriptstyle\frac{2}{5}$] X $\scriptstyle\frac{26}{65}$
The third question: Reuven and Shimon formed a partnership together, Reuven contributed a half of a liṭra and Shimon contributed a third of a liṭra; they earned a quarter of a liṭra. I ask how should they divide [the profit]?	שאלה שלישית ראובן ושמעון עשו חברה יחד ראובן נתן בחברה חצי לטרה ושמעון נתן שלישית לטרה והרויחו רביעית לטרה שאלתי כיצד יחלוקו
	תשובה תשוה ממונם וקח חלקהם ואחר כפול סך הלטר על הרביעית והיוצא הם דנרי הריוח אשר תחלוק
	המשל בזה תשוה ממונם יהיה החצי ג' לראובן והשליש ב' לשמעון כי המורה הוא ששה אחר כן כפול סך הלטרה שהוא כ' על א' שהוא הריוח חלקם על מורה הרביע שהוא ד' יעלה בחילוק ה' די' והם הריוח שהם רביעית הלטרה תחבר ממונם יהיו ה' והוא המורה לחלק עליו ויהיה הכל כזאת הצורה
	הראוי ריוח ממון   ג ה ג ראובן ב ב שמעון     ה המורה
	תכפול ג' על ה' שהוא הריוח יעלה ט"ו תחלקם על ה' יעלו ג' והם דנרי' וזה חלק ראובן
	גם כפלנו ממון שמעון על ה' יעלו עשרה תחלקם על המורה יעלו ב' דנרי' והוא ריוח שמעון
	והבחינה ברורה והנה חלק ראובן ג' וחלק שמעון ב' והוא המבוקש
	או דרך אחרת ועיין בה תוציא מורה כללי לחצי ושלישית ורביעית והוא כ"ד או י"ב אם תרצה והנה ‫קח חציו [...]
	[.] [.] ריוח ממונם   [ ] ג ו יב ראובן ב ח שמעון       כד המורה
	‫[...] החמשיות אחד וה' שהיו לנו הם ו' חלקים מ[...] כ"ד וששה רביעית כ"ד כנזכר
The fourth question: Reuven and Shimon formed a partnership; Reuven contributed 2-thirds of 4-fifths of a liṭra and stayed [in the partnership] for a quarter of a year; Shimon contributed one-fifth of 2-thirds of a liṭra and stayed [in the partnership] for a quarter of 2-fifths of a year; they earned 3-fifths of 2-thirds of a peraḥ. I ask [how much are] the dinar of the profit of each and how should they divide the profit?	שאלה רביעית ראובן ושמעון משו עשו חברה וראובן נתן ב' שלישיות מד' חומשי ליטרה [כזה] ושהה חמשית רביעית שנה ושמעון נתן חמשית מב' שלשיות לטרה כזה ושהה רביעית מב' חמשיות שנה והרויחו ג' חמשיות מב' שלשיות פרח שאלתי דנרי ריוח כל אחד וימי שהות כל אחד וכיצד יחולקו הריוח
	שנה - לטרה - ראובן שנה - לטרה - שמעון     פרח - שהיה
	תשובה תשוה ממונם וזמנם והיו חלקהם ואחר תכפול הממון על הזמן בשלמים והיוציא יהיה ממון לכל אחד כאשר עשינו בשלמים ואחר תשוה הריוח וקח חלקו כי הכל שוה ואחר כפול סך הפרח על הריוח וחלק על מורה הריוח והיוציא הם דנרי'
	המשל בזה הנה שלישית וחמשית ורביעית ימצא בס' והם הראוים והוא יהיה מורה לממון ולזמן ועתה קח ד' חמשי ס' יהיו מ"ד קח ממ"ד ב' שלישיותיו יהיו ל"ב והוא ממון ראובן
	עוד קח רביעית ס' יהיו ט"ו קח חמשית ט"ו והוא ג' וזה זמן ראובן כפול ג' על ל"ב שהם ממון וזמן ראובן יהיו צ"ו וזהו הנקרא ממון ראובן
	אחר קח ב' שלישיות מס' יהיו מ' קח חמשית מ' שהוא ח' וזה ממון שמעון עוד קח ב' חמשיות ‫[...] זמן שמעון [...] שמעון ואם כן יהיה [...] ישובו לראובן ב' [...] כפול סך הפרח שהוא עשרה די על [...] ב' חמשים מב' שלשיות הפרח שמורה [...] ט"ו יעלה ס' חלקהו על ט"ו שהוא מורה הריוח [...] דנרי חביר ממונם ויהיו ג' שהם המורה לחלק עליו ויהיה [...] כזאת הצורה
	ריוח מקצר ממון   ד ב צ"ו ראובן א מח שמעון   ג   המורה
	כפול ב' על ד' יהיו ח' חלקם על ג' יציא ב' די' וב' שלישיות דנר שהם ח' פשי' וזה חלק ראובן
	עוד כפול א' בד' יהיו ד' חלק על ג' יציא דנר אחד ושלשית שהוא ד' פשיטי' וזה חלק שמעון
	והבחינה הוא שתחבר הפשיטי' שהם ד' וח' יהיו דנר אחד וג' דנרים שיצאו בחלוקה יהיו ד' די' והם כל הריוח והוא המבוקש
	ואם תרצה לעשות כל השאלות שיש בהם שברי שברים כזאת השאלה בלי טורח כלל כפול שברי הממון והזמן יחד והיוציא יהיה הממון המשותף ואחר תקצר אם תוכל גם שברי הריוח
	כיצד בשאלה הנזכרת כפול שברי ממון ראובן על שברי זמנו יעלה ח' כי ב' על ד' יעלה ח' וח' על א' הם ח' וח' על הא' השנית הם ח' וזה ממון ראובן
	וכן כפול א' מממון שמעון על ב' יהיו ב' וב' על א' מזמנו יהיו ב' וב' על ב' יהיו ד' וזה ממון שמעון
	תקצרם יהיו לראובן ב' ולשמעון א' כנזכר
	ואחר שידענו שאלתנו נכונה ושאלו לנו כמה דינרים הוא ב' שלשיות מד' ‫חמשיות [...] חמשיות מב' שלישיות [...] ולכל זמן
	התשובה [...] או סך הפרח על השברים וחלק על המורה ואם [...] כופלם זה בזה וגם מורהם ועל העולה [...] על העולה מהמורים כאשר תראה בזאת השאלה []
	המשל בממון ראובן יכפול שבריו זה בזה יעלו ח' וכן יהיה אם תקח ב' שלישיות מד' חמשיות וגם כפול מורהם יהיה ט"ו ויהיה ממון ראובן ח' חלקים מט"ו בלטרה
	ולדעת כמה דנרים הם תכפול סך הלטרה שהוא כ' על ח' יעלו ק"ס תחלקם על ט"ו שהוא מורה אלו השברים יציא עשרה דנרי' וב' שלישיות דנר שהם ח' פשיט' וזה ממון ראובן
	ולדעת כמה ימים שהה ראובן כפול שבריו א' על א' יהיו א' והמורה כ' ויהיה זמנו חלק מכ' בשנה תכפול סך השנה שהוא שס"ה על א' יעלו שס"ה ולא נקפיד לרביעית יום בעבור שלא להטריח כאן לעשותם רביעיים או שעות תחלק שס"ה על כ' נוציא בחילוק י"ח ימים וה' חלקים מכ' ביום אשר אם תקצרם יהיו רביעית יום שהוא שש שעות וי"ח ימים ושש שעות זמן ראובן
	וכן תעשה בממון שמעון וזמנו ותמצאם ב' דינר' וח' פשיטין וזמנו תמצא ל"ו ימים וחצי
	ואם תרצה לכפול זמן ראובן על ממונו תן הדינרים בפשיטי' ויהיה קכ"ח והימים בשעות ויהיו תל"ח תכפול זה בזה יהיו נ"ו אלפים וס"ד וגם שעות שמעון הם תת"ע וממונו ל"ב פש' תכפול זה בזה יהיו כ"ז אלפים תת"מ
	ואם תרצה לקצרם הרשות בידך
	ואם תעיין בזאת השאלה תמצא בה תועלת גדול
Chapter Four: Problems of Compound Addition	הפרק הרביעי בשאלות חיבור מורכבים
	שאלה ראשונה מהו המספר ‫[אשר תחבר עליו שנים וב' שלישיות ויהיו] אחד עשר
	תשובה [...] ונוסיף על ששה י"ב שהם [...] הם ד' ויהיו כ"ב ואנחנו [...] שלשה ונאמר אם ו' נתן לנו כ"ב מי יתן לנו י"א ויהיה כזאת הצורה
	יא 0 [כב] [ו]
	נכפול הקצוות יהיו ס"ו נחלקם על כ"ד יעלו [...] והוא המבוקש
	והבחינה הוא כי הג' וב' פעמים כמוהו וב' שלישיות ממנו יהיו י"א כנשא[ל]
	שאלה שנית מהו המומן הנעלם אשר חציו ושלישיתו ורביעיתו פחות חמשה יהיו כ"ד
	והוא כאילו אמר עם אילו החלקים הם כ"ד אבל הוא פחות חמשה ממה שרצינו ואם כן יהיה כ"ט
	התשובה נניח י"ב והנה חציו ושלישיתו ורביעיתו יהיו י"ג ונאמר אם י"ב נתן י"ג מי יתן כ"ט ויהיה כזאת הצורה
	כט 0 יג יב אם
	נכפול הקצוות יעלו שמ"ח וזהו הממון אשר חציו שהוא קע"ד ושלישיתו שהוא קי"ו ורביעיתו שהוא פ"ז הוא [..] [יהיו כולם שע"ז חלקם על י"ג יעלו כ"ט אשר אם נגרע מהם ה' ישארו כ"ד כנשאל]
	והבחינה חלק שמ"ח על י"ג יעלו כ"ט והוא המבוקש [‫[...] יעלו כ"ו ועשרה חלקי י"ג נשיבם לחלקי י"ג]
The third question: what is the unknown number that if you add to it one-half of its quarter, its three quarter and one-quarter of its quarter, the total is but two? $\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot a\right)+\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)=2$	שאלה שלישית מהו המספר הנעלם אשר אם תחבר עליו חצי רביעיתו ושלושת רביעיתו ורביעית רביעיתו ולא יהיה אלא שנים
	התשובה נניח מ"ח והנה חצי רביעיתו הוא ששה ושלשית רביעיתו הוא שבעה ורביעית רביעיתו הוא שלשה נחבר אלו החלקים עם המונח יהיו כולם ס"א ואנחנו לא שאלנו אלא שנים הנה נאמר אם מ"ח נתן ס"א מי יתן לנו ב' ויהיה כזה הצורה
	ב 0 סא מח אם
	נכפול הנשאל שהוא ב' על המונח שהוא מ"ח והעולה שהוא צ"ו נחלק על ס"א יעלו א' ל"ה חלק מס"א וזהו המספר הנשאל
	והבחינה תן השלם [.] במורה שלו שהוא ס"א ועם ל"ה יהיו צ"ו תחבר לו חצי רביעיתו שהוא י"ב ושלישית רביעיתו שהוא י"ו ורביעית רביעיתו שהוא [.] ששה יעלו קכ"ב חלקים מס"א תחלקם לס"א יעלו שנים כנשאל

The Second Section: Multiplication Problems	‫השער [השני] [בשאלות כפל]
	הפרק הראשון בשאלות כפל [שלימים]
	הפרק השני בשאלות כפל [שברים]
	הפרק השלשי בשאלות כפל מורכבים
The First Chapter: Problems with Multiplication of Integers	הפרק הראשון בשאלות כפל שלימים
	וראשונה אכתוב [..] אחת ואחרת בלי חומר להרגילך
The first Question: If 3 equals 4, how much does 5 equal?	שאלה ראשונה אם ד' שוה ג' ה' מה יהיה שוה
As this diagram:	כזאת הצורה
If 4 3 5 0	0 ה ג ד אם
Answer: multiply the means, which are 3 and 5; the result is 15. Divide it by 4; the result of the division is 3 and 3-quarters and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot5}{4}=\frac{15}{4}=3+\frac{3}{4}}}$	תשובה כפול האמצעיות שהם ג' וה' יעלו ט"ו חלקם על ד' יציא בחילוק ג' וג' רביעיות והוא המבוקש
Check: convert the integers into quarters; they are 12, and with 3 they are 15 $\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{3}{4}=\frac{12+3}{4}=\frac{15}{4}}}$. Convert also its companion into quarters; they are 20 $\scriptstyle{\color{blue}{5=\frac{20}{4}}}$.	והבחינה תשיב השלמים רביעיות יהיו י"ב ועם ג' יהיו ט"ו גם בן זוגו תנהו ברביעיות יהיו כ'
15 is to 20 as 4 is to 3; for, 3 is to 4 a sesquitertian ratio and also 15 is to 20 a sesquitertian ratio. $\scriptstyle{\color{blue}{3:4=1:\left(1+\frac{1}{3}\right)=15:20}}$	והנה ט"ו אל כ' כד' אל ג' כי ג' אצל ד' כמוהו ושלישית וכן ט"ו אצל כ' כמוהו ושלשית
	או דרך אחרת ועיין תן ג' על ד' יהיו ג' רביעיות וכן תן ט"ו על כ' ותקצרם ויהיו גם כן ג' רביעיות
	או בדרך אחרת תשוים ג' על ד' וט"ו על כ' יהיו כל אחד ס' כזה
60   60 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15}{20}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$	60   60 $\scriptstyle\frac{15}{20}$ X
The second question: if 5 peraḥim are worth 40 kings, how many are 39 peraḥim worth?	שאלה שנית ממון מממון אם ה' פרחים שוה מ' מלכים ל"ט פרחים כמה יהיה שוה
As this diagram:	כזאת הצורה
peraḥim kings peraḥim   If 5 40 39 0	פרחי' מלכים פרחים   0 לט מ ה אם
Answer: multiply the means, 40 by 39; the result is 1560. Divide it by 4; the result of the division is 312 [...] $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{40\sdot39}{4}=\frac{1560}{4}=390}}$	תשובה כפול האמצעיים מ' על ל"ט יעלו אלף תק"ס תחלקם על ה' יעלה בחילוק ש"צ והוא ‫[...]
	‫[...] אל [...] כמ' ח' פעמים [...] פעמים אחרת להרגלך [...] ותקצרים בחמשית ויהיה ‫[...]
The third question of time: a craftsman was hired by the landlord to do his craft and he paid him 3 peraḥim for 4 months. I ask: if he stays with him 9 months, how much will he pay him?	‫[שאלה שלישית] מזמן הנה אומן אחד נשכר עם בעל הבית לעשות מלכתו ונתן לו בד' חדשים ג' פרחים שאלתיאם ישב עמו ט' חדשים כמה יתן לו
It is as this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
months peraḥim months how many peraḥim If 4 3 9 0	כמה פרחי' חדשי' פרחי' חדשי'   0 ט ג ד אם
	תשובה אמור אם ד' חדשים נתן לנו ג' פרחים ט' חדשים כמה פרחים יתן לנו
Multiply the means; the result is 27. Divide it by 4; the result of the division is 6 peraḥim and 3-quarters of a peraḥ. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot9}{4}=\frac{27}{4}=6+\frac{3}{4}}}$	כפול האמצעיות יהיו כ"ז חלקם על ד' יעלה בחילוק ו' פרחים וג' רביעיות פרח
	וכבר ידעת לעשות מהם דנרים וששה פרחי וג' רביעיות פרח הוא הנעלם המבוקש
	והבחינה תן הבנים על האבות בעבור שהם קטנים יהיו הראשון ג' רביעיות וכן השניים אחר הקיצור כי כ"ז חלקים מל"ו הם ג' רביעיות אחר הקיצור
Fourth question of weight: if one litre of frankincense is worth 7 dinars, how many dinars are 19 litre worth?	שאלה רביעית ממשקל אם לטרה מלבונה שוה ז' די' י"ט לטרין כמה די' יהיו שוים
It is as this [diagram]:	ויהיה כזאת הזאת
litre dinar litre how many dinar If 1 7 19 0	כמה דינר לטרין דינרי' לטרה   0 יט ז א אם
Answer: multiply the means; the result is 133. Divide it by 1 and this is the result. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot19}{1}=\frac{133}{1}}}$	התשובה [...] כפול האמצעיות יעלו קל"ג חלקם על א' והוא העולה
	ואם כן אם א' נתן ז' י"ט יתן קל"ג
	והבחינה תן האב על הבן ויהיה שביעית אחר שתקצר השניים
	או תהפוך השאלה ואמור אם קל"ג נתן י"ט ז' מה יתן
	כפול האמצעיות יעלו קל"ג תחלק על קל"ג ותצא א‫'
The fifth question of measure: if the price of 4 cubits of cloth is 17 dinar, how much are 13 cubits worth?	שאלה חמשית ממדה אם ערך ד' אמות מבגד הוא י"ז ‫י"ז דינ [י"ג אמות מה יהיה שוה‫]
	‫[...]
If 4 17 13 0	0 יג יז ד אם
	ורבעית דנר שהוא ג' פשי' והוא [...] ד' חלקים מי"ז בשליש אחר שתקצר [...] יהיו דינ' נ"ב והנה [כזה הצורה ויהיו שוים אחר ההשואה‫]
884   884 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{25}{322}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{14}}}$	884   884 כה X ד שבב דא
	רבעית יהיו רכ"ז ‫[...]
The [sixth] question: what is the number, such that when we multiply it by 37, the product is 49. $\scriptstyle37\sdot a=49$	שאלה חמשית מהו המספר אשר כפלנו אותו על ל"ז והיוציא מן הכפל יהיה מ"ט
	הנה כל השאלות האלו הדומות לזה תמצא דרכים רבים ואתן בכאן ג' בג' משלים ובשברים ובמורכבים משל לכל אחד מזה המין אשר הדרך הראשון הוא כאחד מן הדרכים הידועים והשני שתתן מה ששאלת על הכופל והשלישי הוא שתחלק הנשאל על הכופל
	והתשובה לשאלתנו בדרך הראשון ונעשה אותה בדרך השלשה נניח מספר מה והוא ב' כפלנו אותו על ל"ט יעלו ע"ח ואנחנו שאלנו מ"ט ונאמר אם ב' נתן לנו ע"ח מה יתן לנו מ"ט ויהיה כזאת הצורה במשל ה
If 2 78 0 49	מט 0 עח ב אם
	מדרך השלשה נכפול החיצוניות ב' על מ"ט יהיו צ"ח תחלקם על ע"ח ויעלה בחילוק אחד וכ' חלקים מע"ח הנה המספר אשר אם תכפול אותו על ל"ט היוציא יהיה מ"ט
	והבחינה היא שתכפול ל"ט על א' וכ' חלקים מע"ח וראשונה תן האחד במורה שברו שהוא ע"ח ותחבר על העולה כ' חלקים מע"ח יהיו צ"ח חלקים מע"ח ועתה כפול ל"ט על צ"ח יעלו ג' אלפים תתכ"ב חלקים מע"ח תחלקם על ע"ח שהוא המורה ותציא בחילוק מ"ט כנשאל
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{78}}}$	‫0ב 78
	וגם תוכל לקצר הכ' חלקים ויהיו י' חלקים מל"ט ותן השלם במורה יהיו ל"ט וי' יהיו מ"ט כפול ל"ט על מ"ט שברים מל"ט בשלם יהיו אלף תתקי"א תחלקם על ל"ט ותציא מ"ט כנשאל ‫[...] יהיה [...] זאת השאלה אעשה [...] שתתן מה ששאלת על הכופל [...] אותו על הכופל [...] יהיו ט"ו שביעיות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15}{7}}}$	הא ז
	חלקם [...] ותציא ב' ושביעית וזהו המספר הנעלם
	‫[הבחינה] היא שתכפול ב' ושביעית על ז' וראשונה תתן השלמים במורה השבר יהיו י"ד וא' שהיה לנו הוא ט"ו שביעיות כפול ט"ו שביעיות על ז' יעלה ק"ה שביעיות חלקם על ז' יעלה בחילוק ט"ו שלמים כנשאל
The seventh question: what is the number, such that when we multiply it by 9, the product is one. $\scriptstyle9\sdot a=1$	שאלה שביעית מהו המספר שאם כפלנו אותו על ט' והיוציא יהיה אחד
	תשובה זאת השאלה אעשה עם הדרך השלישי והוא שתחלק הנשאל על הכופל והיוצא הוא הראוי לכפול על הכופל
	המשל בזה חלקנו א' על ט' ותצא תשיעית וזהו המספר הנעלם
	והבחינה הוא שתכפול תשיעית על ט' ויעלה ט' תשיעיות תחלקם על ט' ותציא אחד
The eighth question: what is the number, such that when we multiply it by 3, then the product by 7, then the product by 13, the result is only 3. $\scriptstyle13\sdot7\sdot3\sdot a=3$	שאלה שמינית מהוא המספר אשר כפלנו אותו על ג' והיוציא על ז' והיוציא על י"ג ושלא יעלה אלא ג‫'
	התשובה נניח אחד ונכפליהו על ג' והיוציא על ז' והיוציא על י"ג ויעלה רע"ג ואנחנו שאלנו ג‫'
	נאמר בדרך השלושה אם א' נתן רע"ג מי יתן לנו ג‫'
	ויהיה כצורה ההוא הזאת
If 1 273 0 3	ג 0 רעג א אם
	ועשה כמו שקדם
The ninth question: [...] [In the first fortress there are 2] towers, in the second 5, in the third 8 [in the fourth 11, in the fifth 14 and in the sixth] 17, as you see in the first and the second diagrams. The guards of each tower in particular are as you see in the third diagram and the salary of each guard in each month are the peraḥim you see in the fourth diagram.	‫שאלה [תשיעית] [...] כמספר המשכת הצורה [...] מגדלים ובשני ה' ובשלישי ח' [...] י"ז כמו שתראה בצורה ראשונה וב‫[...] כפי המשכת הצורה השנית והנה שומרי כל מגדל בפרט כמו שתראה בצורה שלישית ושכר כל שומר בכל חדש הם הפרחים שתראה בצורה הרביעית שאלתי מספר כל המגדלים מן הששה מבצרים בכלל וכל השמרים בכלל ובפרט והפרחים בכלל ובפרט הראויים לחדש אחד וגם הראוים לכל שנה בסך י"ד דנרי כל פרח וכולם כמה פרחי דנרים הם

diagram 1						diagram 2			diagram 3				[diagram 4]	[diagram 5]
no. of towers of each fortress						guards			guards of each fortress				flowers		flowers
2 towers		2	first fortress				3				6		7			4	2
5 towers		5	second fortress				6			3	0		6		1	8	0
8 towers		8	third fortress				9			7	2		5		3	6	0
11 towers	1	1	fourth fortress			1	2		1	3	2		4		5	2	8
14 towers	1	4	fifth fortress			1	5		2	1	0		3		6	3	0
17 towers	1	7	sixth fortress			1	8		3	0	6		2		6	1	2

[צורת ה']

[צורת ד']

צורת ג'

צורת ב'

צורת א'

פרחים

פרחים

שומרי כל מבצר

שומרים

מספר מגדלי כל מבצר

ד

ב

ז

ו

ג

מבצר ראשון

ב

ב מגדלי‫'

א

ח

0

ו

ג

0

ו

מבצר שני

ה

ה מגדלי‫'

ג

ו

0

ה

ז

ב

ט

מבצר שלשי

ח

ח מגדלי‫'

ה

ב

ח

ד

א

ג

ב

א

ב

מבצר רביעי

א

א

י"א מגדלי‫'

ו

ג

0

ג

ב

א

0

א

ה

מבצר חמשי

א

ד

י"ד מגדלי‫'

ו

א

ב

ב

ג

0

ו

א

ח

מבצר ששי

א

ז

י"ז מגדלי‫'

	התשובה ידוע הוא כי המבצרים הם ששה וגם מגדלי כל מבצר הם לעיין אבל ידעת כולם בכלל כפי הדרך הראשון שנתתי למספרים הנמשכים בסדר שהוא שתחבר הראשון והאחרון יהיו י"ט תכפלם על חצי המקומות שהם ג' יעלו נ"ז והם כל המגדלים
	ועתה לדעת שומרי כל מבצר הנה שומרי מגדלי המבצר הראשון הם ג' לכל מגדל כמו שתראה בצורה שנית כפול ג' ‫[...] מגדלי המבצר [...] יעלו ל' כמו שתראה [...] המבצר השלישי שהם ט' על ח' [...] ככפל י"ב על י"א והחמשי ר"י [...] והששי הם ש"ו שומרים ככפל י"ח על [...] בצורת ג' ובכלל הם תשנ"ו
	ועתה לדעת [...] כל אחד וכל הפרחים בכלל אומר כי שומרי מגדלי מבצר [רא]שון הם ששה כמו שיורה הצורה השלשית ולכל אחד ז' פרחים כמו שיורה צורה רביעית
Multiply the peraḥim by the guards, 7 by 6; the result is 42 and it is the first in diagram 5. $\scriptstyle{\color{blue}{7\times6=42}}$	תכפול הפרחים בשומרים ז' על ו' יעלו מ"ב והם ראשונים בצורת ה'
Multiply the 30 guards of the second fortress by the peraḥim of each, which are 6; the result is 180 peraḥim for the guards of the second fortress. $\scriptstyle{\color{blue}{30\times6=180}}$	גם תכפול ל' שומרים מהמבצר השני על פרחי כל אחד שהם ו' יעלו קף פרחים לשומרי המבצר השני
Multiply the 72 guards of the third fortress by the peraḥim of each, which are 5; the result is 360 peraḥim for the guards of the third fortress. $\scriptstyle{\color{blue}{72\times5=360}}$	עוד תכפול ע"ג שומרי המבצר השלשי על פרחי כל אחד שהם ה' יעלו ש"ס פרחים לשומרי המבצר השלשי
Multiply the 132 guards of the fourth fortress by the 4 peraḥim of each; the result is 528 peraḥim for the guards of the fourth fortress. $\scriptstyle{\color{blue}{132\times4=528}}$	גם תכפול קל"ב שומרי המבצר הרביעי על ד' פרחים לכל אחד יעלו תקכ"ח פרחים לשומרי המבצר הרביעי
Multiply the 210 guards of the fifth fortress by 3, which are the peraḥim of each; the result is 630 peraḥim for the guards of the fifth fortress. $\scriptstyle{\color{blue}{210\times3=630}}$	עוד תכפול ר"י שומרי המבצר החמשי על ג' שהם פרחי כל אחד יעלו תר"ל פרחים לשומרי החמשי
Multiply the 306 guards of the sixth fortress by 2, which are the peraḥim of each; the result is 612 peraḥim for the guards of the sixth fortress. $\scriptstyle{\color{blue}{306\times2=612}}$	עוד תכפול ש"ו שומרי המבצר הששי על ב' שהם פרחי כל אחד יעלו תרי"ב פרחים לשומרי המבצר הששי
You see all of this detailed in diagram 5.	וכולם תראה בצורת ה' בפרט
Sum all; they are 2352 peraḥim for each month. $\scriptstyle{\color{blue}{42+180+360+528+630+612=2352}}$	תחברם כולם יהיו ב' אלפים שנ"ב פרחים והם לכל חדש
Multiply them by 12; they are 28224 peraḥim for a year. $\scriptstyle{\color{blue}{2352\times12=28224}}$	תכפלם על י"ב יהיו כ"ח אלפים רכ"ד פרחים לשנה
If you want to convert them into dinar, multiply them by 14; the result is 395136, which are all the dinars for the guards for a year and this is what I wanted. $\scriptstyle{\color{blue}{28224\times14=395136}}$	ואם תרצה לעשותם דנרי' תכפלם על י"ד יעלו שצ"ה אלפים קל"ו כל זה הדינרים לשומרים לכל שנה וזה מה שרציתי
	והנה עלה מזה כי השומרים דרך פרט תראם בצורת ג' ובכלל הם תשנ"ו והפרחים דרך פרט תראם בצורת ה' ובכלל הם ב' אלפים שנ"ב לכל חדש תכפלם על י"ב יעלו כ"ח אלפים רכ"ד הראוי לכל שנה כופלם על י"ד היוציא דינרי' והם שצ"ה אלפים קל"ו כל זה כנזכר
The tenth question: [...]	‫[שאלה עשירית] [...] ובכל בד נ"א תפוחים [...] דנרים יעשו כל הפשיט' ‫[...]
	תשובה כפלנו ל"ד [...] ב' אלפים תמ"ח ואם [...] יהיה העולה קכ"ד אלפים תתמ"ח והם התפוחים [...] פשיטי' יעלו רמ"ח אלפים תרצ"ו והם הפשוטים תחלקם על [...] כ' אלף תת"ח והם דנרי ואם תחלקם עוד על כ' יהיו ליטירין ואם על י"ד יהיו פרחים וכן כל הדמה לזה כפי סך הפרח שהוא או שיהיה
Question 11: one says: I have one garden which has 77 ruins, in each ruin there are 11 caves, in each cave 8 chicken nests, in each nest 17 eggs, from each of which one chicken emerges and each chicken is worth 3 dinars. I ask: how much is everything in particular and in general?	שאלה יא האומר יש לי גן אחד אשר בו ע"ז חורבות בכל חורבה י"א מערות בכל מערה ח' קני תרנ[גול] ובכל קן י"ז בצים אשר מכל ביצה תצא תרנגולת אחד וכל תרנגול היה שוה ג' די' שאלתי כמה יהיה כל דבר בפרט והרי בכלל
Answer: multiply one by the other, then the product by the second, then the result by the third and so on for all that are given in these questions.	תשובה תכפל זה על זה והיוציא על השני והיוציא על השלישי וכן כל מה שיעלו באלה השאלות
The example: multiply 77 by 11 caves; the result are 843 caves. $\scriptstyle{\color{blue}{77\times11=847}}$	והמשל נכפל ע"ז על י"א מערות היוציא יהיה תתמ"ז מערות
We multiply also the caves by 8 nests; the result are 6776 nests. $\scriptstyle{\color{blue}{847\times8=6776}}$	גם כפלנו המערות על ח' קינין יעלו ששה אלף תשע"ו קינין
We multiply also the nests by 17, which are the eggs or the chickens; the result are 115192, which are chickens. $\scriptstyle{\color{blue}{6776\times17=115192}}$	גם כפלנו הקינין על י"ז שהם הבצים או התרנגולים יעלו קט"ו אלפים וקצ"ב והם תרנגולים
We multiply also the chickens by 3 dinar, which are the price of each chicken; the result are 345576 dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{115192\times3=345576}}$	גם כפלנו התרנגולים על ג' דני' שהם שיווי כל תרנגולת יעלו שמ"ה אלפים תקע"ו דנרי'
Likewise for all that is similar.	וכן כל הדומה לזה
	וכן האומר קניתי תרנגולת בסך מ' פשיטי' ומכרנו הבצים מ' בפשוט ולא ילדה אלא בצה אחד במ' ימים שאלתי בכמה ימים ירויח מ' פשיטי' שהוא סך התרנגולת
	התשובה תכפול מ' על מ' יעלו אלף ות"ר והנה באלף ות"ר ימים ירויח סך התרנגולת ומכאן ואילך מה שיוליד ירויח וכן רבים לאין מספר
Question 12: [There was a tax for a king from a spring] that runs [from a mountain; the spring provides water to thirty] provinces; [each province has 40 villages]; in each village [there are 50 people; each person has 4 vineyards]; each vineyard yields 8 [cargos of grapes; each cargo] provides a tax of 20 pešiṭim for the king [each year]. I ask the number of the villages, the number of the people, the number of the vineyards, the number of the cargos [...]	‫[...] [שאלה יב] [היה מס למלך ממעיין] אחד יורד [מהר אחד והוא המעיין משקו שלו]שים מדינות [וכל מדינה יש לה מ' מג]רשים ובכל מגרש [נ' אנשים ולכל איש ד' כרמים] וכל כרם נותן ח' [משאות ענבים וכל משא] נותן מס למלך כ' פשיט' [בכל שנה‫] שאלתי מספר המגרשים ומספר האנשים [מספר] הכרמים ומספר המשאות ומספר ה[...] ומספר ה[...] והפשי' ומספר [...] אם תרצה לעשותם מטבע אחד [...] אחר שעשית אותם די'
Answer: First, we multiply the [fountain] by the provinces; they are thirty.	התשובה הנה ראשונה נכפול ה[מעין] על המדינות והם שלושים
Then, we multiply thirty provinces by 40 villages; they are one thousand and two hundred, like this:	עוד נכפול שלושים מדינות על מ' כפרים יהיו אלף ומאתים כזה
1 2 0 0	א ב 0 0
This is the number of the villages.	והוא מספר הכפרים
We multiply the number of the villages by 50 people of each village; the result is 60 thousand, like this:	עוד נכפול מספר הכפרים על נ' אנשי כל כפר יעלו ס' אלפים כזה
6 0 0 0	ו 0 0 0
This is the number of the people.	והם מספר האנשים
We multiply the number of the people by 4 vineyards that each has; the result is two hundred and forty thousand vineyards, like this:	עוד נכפול מספר האנשים על ד' כרמים אשר לכל אחד יעלו הכרמים מאתים וארבעים אלף כזה
2 4 0 0 0 0	ב ד 0 0 0 0
We multiply the [number of the] vineyards by 8 cargos? that are in each vineyard; the result is 1920 thousand cargos?, like this:	עוד נכפול הכרמים על ח' משאות אשר בכל כרם יעלו המשאות מספר אחד ותתק"ך אלפים כזה
1 9 2 0 0 0 0	א ט ב 0 0 0 0
We multiply the cargos by 2 pešiṭim of the tax; the result is 3840 thousand, like this:	עוד נכפול המשאות על ב' פשיטי המס ויעלו ג' מספרים תת"מ כזה
3 8 4 0 0 0 0	ג ח ד 0 0 0 0
These are the pešiṭim of the tax.	והם פשיטי המס
	ועתה רצינו לעשות מפשיטי המס די' נחלקם על י"ב יעלו ש"ך אלפים כזה
3 2 0 0 0 0	ג ב 0 0 0 0
	והם די' המס
	ועתה אם נרצה לעשות מהם קאשטיללנו' נחלקים על כ"ח ואם פרחים על י"ו כי עתה הם מזומנים למטבע שנרצה מזהב וכאשר היו פשי' נוכל לעשות מהם המטבע שנרצה מכסף ועתה נעשה מהם ‫לטרין וזה [...] 000וח כזה וזה [...] ומתחלפים ‫[...]
The Second Chapter: Problems of Multiplication of Fractions	הפרק השני בשאלות כפל שברים
	שאלה אם ב' שלישיות שוה ג' חמשיו[ת] שאלתי רביעית מה יהיה שוה
	כזאת הצורה
If $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$	אם
	תשובה כפול האמציות שבר על שבר ומורה על מורה יהיו ג' חלקים מעשרים כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{20}}}$	ג כ
	תחלקם על ב' שלשיות וראשונה תשוים יהיו כזה
9   40 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{3}}}$ 60	ט   מ ג X כ ד ג ‫0ו
	הג' חלקים מכ' יהיו ט' עליו והם חלקים מס' וב' שלישיות יהיו מ' חלקים מס' נחלק ט' על [...] מחולק כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{40}}}$	ט ‫0ד
	והוא הנשאל הנעלם והנה אם ב' שלישיות שוים ג' חמשיות רביעית יהיה שוה ט' חלקים ממ'
	והבחינה תשוה כל אב על הט' ב' שלישי' עם ג' חמשיות [...] כמו שתראה בזאת הצורה
	וג   ‫0ד ט   ‫0א ט X א ג X ב ‫0ד ד ה ג
	והנה הראשונים עשרה ותשעה והשניים הם מ' ול"ו תקצר השניים יהיו כראשונים או קח מורה כולל לכולם ותציא שוה גם כן
	שאילה אחרת סוחר קנה ב' שלישיות [...] רביעיות בגד לא ידענו אורכו בס' וג' פרחים שאלתי סך כל הבגד ומדת אורכו
	תשובה תשוה השברים ויהיו כזאת הצורה
	‫ ט   [.] X בא
	‫[...] סך הבגד השלם שהוא י"ב [...] אם י"ז [...] י"ג י"ב שהוא הבגד השלם כמה [...] פרחים יהיה שוה כפול האמצעיים יעלו [...] חלקם על י"ז יעלה בחילוק ט' שלמים וג' חלקים [..] בשלם והנה עלה בידינו כי הבגד השלם י"ב אמות [...] השברים הוא י"ב וסך כל הבגד הוא ט' פרחים [...] מי"ז חלקים בפרח אחד
	והבחינה [...] או אמור אם ט' פרחים [.] וג' חלקים מי"ז יתן לנו י"ב פרחים אמות י"ב פרחים מה יתן לנו וכו'
	שאלה אחרת אם ב' חמשיות מג' רביעיות שוה ג' שביעיות מה' שישיות שאלתי ד' חמשיות מה' שמיניות מה יהיה שוה ויהיה כזאת הצורה
	ז ח -   -   - אם
	התשובה כפול [...] ותקצרם ותהיה יותר נקל ההמשל
	כי ב' חמשיות מג' רביעיות יהיו ו' חלקים מעשרים [תקצרם יהיו ג'] חלקים מעשרה כפי שתראה בצורה שנית וזה החלק הראשון
	גם כפול החלק השני שהוא ג' שביעיות מה' ששיות יהיו ט"ו חלקים ממ"ב תקצרם יהיו ה' חלקים מי"ד וזה החלק השני
	גם כפול החלק השלישי שהוא ד' חמשיות מז' שמיניות יהיו כ"ח חלקים ממ' נקצרם יהיו ז' חלקים מעשרה
	ושבה השאלה כמו אם ג' עשיריות שוה ה' חלקים מי"ד שאלתי ז' חלקים מעשרה מה יהיו שוה כזאת הצורה
	0 ז ‫0א ה דא ג ‫0א אם
	כפול האמצעיים ה' על ז' יהיו ל"ה גם י"ד על עשרה ‫יהיו [...] על ג' חלקים [...] י"ב ומקוצר יהיה ‫[...]
	שאלה אחרת אם ג' [...] שלישית [...] ליטרה כמ' יהיה שוה [ויהיה] כזאת הצורה ‫[...]
	הנעלם   מלטרה   מפרח   מלטרה   ה חזב   מ   מ מ מ   אם
	‫[...] מורה יהיו ב' אלפים תק"ך וזה המורה הכללי [...] האמצעיים והנה עלה מן הכפל כ' חלקים מב' אלפים ותק"ך כזה
	‫0ב ‫0בהב
	תקצרם יהיו חלק אחד מקכ"ו כזה
	א 126
	תחלקהו על הג' חמשיו[ת] וראשנה תשים כצורה הזאת
	ה   חזג א X ג ובא ה
	יהיו הג' חמשיות שמ"ח חלקים מתר"ל והמספר הנכפל שתרצה לחלק הוא ה' חלקים מתר"ל חלק ה' על שע"ח והוא מחולק שהוא ה' חלקים משע"ח ‫[...]
	ה חזג
	ואם תכפול ה' על פשיטי הפרח [...] על סך הלטרה והעולה תחלק על שע"ח היוציא יהיה פשיטי' ואם על רביעי היוציא יהיה רביעי פשי'
	והבחינה [...] [הפרק השני‫]
	‫[...] בפני עצמו [...] מפרחים או מימים או [...] משל מקצתם ואתן שני משלים [...] המשל רצינו לדעת כ"ה חלקים [...] נאמר בדרך השלושה אם נ"ב שוה כ"ב [...] יהיה שוה ויהיה כזאת הצורה
	הב בב בה אם
	נכפל כ"ב על‫
	שאלה רביעית ראובן נשכר אצל שמעון לעשות מלכתו ונתן לו בג' רביעיות שנה חצי מתשיעית מג' שביעיות פרח שאלתי ברביעית מתשיעית שנה מה יתן לו ויהיה כזאת הצורה
	הנעלם   שנה   פרח   שנה 0       - -   אם
	תשובה כפול האמצעיים יהיו ג' חלקים מד' אלפים תקל"ו תקצרם יהיו אחד מאלף תקי"ב כזה
	א באהא
	תחלקם ג' רביעיות וראשונה תשוים יהיו הג' רביעיות ד' אלפים תקל"ו חלקם והחלק השני יהיה ד' חלקים והמורה הכללי משניהם הוא ו' אלפים מ"ח ויהיה כזאת הצורה
	ד   וגהד א X ג באהא ד חד0ו
	תח תחלק ד' על ד' אלפים תקל"ו והוא מחולק תקצרם יהיו חלק אחד מאלף קל"ד והוא הנעלם ואז עלה בידינו כי חצי תשיעית מג' שביעיות ‫שביעיות הוא [...] חלק אחד מל"ו [...] כי כולם שוים כי ערך ג' על ג' כערך א' על [א‫'] ‫[...]
	א דגאא א וג ג ובא ג ד
	‫[בחינה] אחרת מן המורים תחלק תן כל אב על בניו יהיה [...] האחד ד' חלקים מקכ"ו והשני ל"ו חלקים מאלף קל"ד והנה ערך ד' אל אל קכ"ו כערך ל"ו אל אלף קל"ד
	בחינה אחרת תחלק המורים כל בן על אביו ותציא ל"א וחצי מכל אחד
	בחינה אחרת חלק בן על בן ואב על אב ותיצא בחילוק ט' מכל אחד
	ועיין באלו הבחינות כי בשאלות אקח מתי שבא לידי
	שאלה חמשית ממידה אם חצי שתי חמשיות מג' רביעיות אמה מבגד שוה ג' שביעיות מחצי ב' שלישיות פרח שאלתי חצי ושלישית וב' שביעיות מזה הבגד כמה יהיה שוה ויהיה כזאת הצורה
	הנעלם אמה פרח אמה 0 ממ ממ
	התשובה כפול האמצעיות ג' על א' והעולה על ב' והעולה על א' והעולה על א' והעולה על ב' והנה כל השברים יעלו י"ב גם כפול המורים זה על זה יעלו אלף ת תשס"ד תקצרם יהיו ו' חלקים מתתפ"ב תקצרם עוד יהיו ג' חלקים מתמ"א תקצרם עוד בשלישית יהיו חלק מקמ"ז חלקם על הראשון שהוא חלקי אמה וראשונה תן השברים בשבר אחד וזה שתוציא המורה הכללי יהיה מ' וג' רביעיות מ' הוא ל' וב' חמשיות ל' הם י"ב וחצי ‫[...] ג' חלקים מכ' [...] מחולק [...] והוא [...] והנה אם חצי ב' [...] מאמה מבגד שוה ג' שביעיות מחצי שני [...] פרח חצי שלישית מב' שביעיות אמה מבגד שוה כ' חלקים מקמ"ח בפרח
	‫0ב   אדד א X ג זדא ‫0ב
	ואם תרצה לדעת כמה זרתות יהיה הבגד כפול סך זרתות האמה שהם ד' על חלקי השבר והעולה תחלק על המורה וכן תעשה בכל שברי אי מין שיהיה כאשר אמרתי
	והבחינה כך היא שתתן כל שברי השבר בשבר אחד בפני עצמו ותקצרם אם תוכל ואחר תשוה כל אב עם בנו ואחר השיוי תן כל בן על אביו ואם יהיו שברים רבים ולא תוכל להכיר הערך חלק האב על הבן והיוציא בחלוקה יהיה שוה לשניהם
	המשל בזה תשוה שברי כל אחד בפני עצמו יהיה הראשון אחר הקצור ג' חלקים מכ' כזה
	ג ‫0ב
	והשנית שביעית כזה ‫
	והשלישית חלק מכ"א כזה
	א אב
	והרביעי שהוא הנעלם כ' חלקים [..] מתמ"א כזה
	‫0ב אדד
	ויהיו כולם כזאת הצורה
	‫0בד   אדד ‫0ב   אב ‫0ב X א א X ג אדד אב ז ‫0ב
	תשוים שנים שנים יהיו ל"ג חלקים מכ' שהוא הראשון כ"א ולחלק השני כ' חלקים ולחלק השלישי תמ"א חלקים ולחלק השלישי ת"ך חלקים ולחלק הרביעי הנעלם ת"ך והנה ערך כ"א אל כ' כערך תמ"א אל ת"ך שאם תחלק כ"א אל כ' יצא ‫א' וחלק [...] אחר הקיצור [...] ואב על אב יעלה מכל [...] כי אני
	מספר מהו המספר אשר יהיו ב' שבי[..] שמיניות השני כזאת הצורה
	אב   וא X
	יהיו י"ו שביעיות כ"א שמיניות והנה שני שביעיות כ"א הם ששה וג' שמיניות י"ו הם ששה גם כן והוא המבוקש
	אחרת מהו המספר אשר ו' חלקים מי"א יהיו נ"ה שמניות השני
	כזה הצורה
	הה   חד X
	ששה חלקים מי"א הם שלושים כי כשנחלק נ"ה אל י"א יעלה בחילוק ה' וששה פעמים ה' הם ל' וגם ה' שמיניות י"א הם ל' כי חלקנו מ"ח על ח' יעלה בחילוק ו' וה' פעמים ו' הם ל' כשני וכן לכל שני מספרים איך שיהיו כי לכולם דרך אחד
	אחרת רצינו ג' מספרים אשר ב' חמשיות הראשון יהיו כג' שביעיות השני וג' שביעיות השני כד' תשיעיות השלישי
	דה   וה   ‫0ו
	התשובה כפול ה' שהוא מורה הראשון על שברי השנים שהם ג' וד' ועלו ס' על ב' חמשיות גם כפול ז' שהוא המורה השני על שברי האחרים שהם ב' וד' יעלו נ"ו על ג' שביעיות גם כפול ט' שהוא מורה השלישי על שברי האחרים שהם ב' וג' יעלו נ"ד על ד' תשיעיות ועתה ב' חמשיות ס' הוא כ"ד והוא כ"ג שביעיות נ"ו שהוא כ"ד וכן ד' תשיעיות נ"ד הוא כ"ד ואם כן ב' חמשיות הראשון הוא ג' שביעיות השני וג' שביעיות השני הוא ד' תשיעיות השלישי ומש"ל
	‫[...]
	חטא   בז   [...]   [...]       [...] חד   חד   חד   חד
	[...] וג' שביעיות השני יהיה כ"ב [...] וב' שלישיות השלישי יהיה כ"ד תשיעיות רביעי או נוכל לאמר כי ב' חמשיות הראשון כג' שביעיות בג' שביעיות השני וכב' שלישיות השלישי וכד' תשיעיות הרביעי וכן לכל אחד שתקח השבר שתרצה
	והמשל בזה הצורה הנה נכפול כל מורה על שברי כולם חוץ משבריו ואחר קח מה שיורה כל אחד כמו [...] שנקח ה' שהוא מורה הראשון ונכפלהו על שברי האחרים שהם ג'ב'ד' יהיו כ"ד נכפול כ"ד על המורה שהוא ה' יהיו ק"ך ותתנם על ב' חמשיות ואחר נקח ז' שהוא [...] מורה ג' שביעיות ונכפלם על בב"ד שהם שברי האחרים יעלו קי"ב תתנם על ג' שביעיות ואחר נכפול ג' על בג"ד יעלו ע"ב נתנם על ב' שלשיות ואחר נכפול ט' על בג"ב יעלו ק"ח נתנם על ד' תשיעיות ועתה נראה כי ב' חמשיות ק"ך הם מ"ח וג' שבעיות קי"ב הם מ"ח וב' שלשיות ע"ב הם מ"ח וד' תשיעיות ק"ח הם מ"ח וכל תנהיג לכל השברים שתרצה
	שאלות ממינים אחרים אם נרצה חלק או חלקים מאיזה מטבע שנרצה נכפול סך המטבע על השבר ונחלק על המורה והוא המבוקש
	והמשל רצינו ב' שלשיות לטרה כזה ‫
	נכפול סך הלטרה שהוא כ' על השבר שהוא ב' יעלו מ' נחלק מ' על המורה שהוא ג' יעלה בחילוק ‫י"ג די‫' ‫[...]
	והבחינה נחבר [...] ליטרה תחבר [...] המבוקש
	משל אחר רצינו לדעת ג' רביעי[ות‫] [...]
	22
	נכפול סך הדוקאדו ש[...] השברים שהם ג' יעלו ס"ו נחלקם [על] המורה שהוא ד' יציא בחילוק י"ו די' וב' רביעיות שהם חצי
	והבחינה רביעית כ"ב הוא ה' וחצי וג' פעמים ה' וחצי הם י"ו וחצי
	משל אחר רצינו לדעת כמה ד' חמשיות פרח כזה
	16
	הנה סך הפרח הוא י"ו די' נכפול י"ו על המורה שהוא ד' יעלו ס"ד נחלקם על ה' יעלה בחילוק י"ב די' וד' חמשיות דינ' נכפול הד' חמשיות על י"ב שהם פשיטי הדינ' יעלו מ"ח נחלקם על המורה שהוא ה' יעלו ט' פשי' ונשארו ג' פשי' נכפול ג' על ב' שהם מחצית הפשוט ויעלו ששה מחצות נחלקם על ה' יעלה מחצה ונשאר א' שהוא חמשית מחצה
	משל אחר רצינו כ"ה חלקים מנ"ב מנ"ב בדוקאדו כזה
	הב בה 22
	הנה נאמר בדרך השלושה אם נ"ב שוה כ"ב די' שהם סך הדוקאדו כ"ה מה יהיה שוה ויהיה
	הב בב בה אם
	נכפול כ"ב דנרי הדוקדו על כ"ה שהוא השבר הנשאל יעלו תק"ן נחלקם על המורה שהוא נ"ב יעלה בחילוק עשרה די' ונשארו ל' חלקים נכפלם על י"ב יעלו ש"ס נחלק על נ"ב שהוא מורה השברים יעלו ו' פשי' ונשארו מ"ח נכפלם על ד' רביעי הפשוט ‫[...] יעלה בחילוק ג' רביעיות [...] ברביעית פשוט כזה
	וג בה
	[...] כל מה שעשינו לתשלום [...] יהיו שניהם שוים למורה הדוקדו [...] הנה שאלנו כ"ה חלקים מנ"ב בדוקאדו [...] לתשלום נ"ב כ"ז חלקים מנ"ב שהוא המורה ועתה אמור אם נ"ב שוה כ"ד כ"ז מה יהיה שוה והנה כפלנו כ"ז על כ"ב יעלו תקצ"ד נחלקם על נ"ב ויציא בחילוק י"א י"א די' ונשארו כ"ב כפלנום על י"ב יעלו רצ"ד נחלקם על נ"ב יעלו ה' פשיטי' ונשארו ד' נכפלם על ד' ויהיו י"ו רביעיות ולא נוכל לחלקם על נ"ב ונשארו עליו כזה
	וא בה
	והוא מחולק לשברי רביעיות והנה יהיו סבי השאלה עם סבי הבחינה כזאת הצורה
	וא   וג בה   בה רביעיות ג פשיטי ו די' ‫0א   0 פשי ה די' אא
	והנה ל"ו חלקים מנ"ב וי"ו חלקים מנ"ב הם רביעית פשוט וג' רביעיות שלנו יהיו פשוט אחד ועם י"א פשיט שבצורה יהיו י"ב שהם די' אחד ועם כ"א די' שבצורה יהיו כ"ב והוא המבוקש ועם זאת הבדיקה תוכל לבדוק כל השאלות מזה המין
	משל אחר רצינו לדעת נ"ז חלקים מצ"א חלק ביום כמה שעות ודקים ושניי' וכו' הם
	התשובה הנה נאמר בדרך השלושה אם צ"א שוה כ"ד נ"ז מה יהיה שוה ויהיה כזאת הצורה
	זה דב אט אם
	הנה נכפול כ"ד על נ"ז יעלו אלף שס"ח נחלקם על צ"א יעלה בחילוק ט"ו שעות ונשארו ג' נכפול ג' על ס' ‫ס' יעלו ק"ף [...] נכפלם על ס' יעלו ה' [...] המורה יעלה בחילוק נ"ח [...] יעלו ג' אלפים תש"ך נחלקם על ה[...] ונשארו פ' נכפול פ' על ס' יעלו ד' אלפים [...] יעלו נ"ב רביעיים ונשארו ס"ח נכפלם על ס' יעלו [...] ופ' נחלקם על המורה יעלה בחילוק מ"ד חמשיים ונשארו ע"ו כפלנו ע"ו על ס' יעלו ד' אלפים תק"ס נחלקם על המורה יעלו נ' ששיים ועשרה חלקים מצ"א בשישית כי לא רציתי לעשות שביעיים לדקדק יותר ומי שירצה עוד לדקדק ידקדק לכפול על ס' ולחלק הציוציא על המורה
	והבחינה היא שניקח הנשאר מנ"ז חלקים עד צ"א והם ל"ד ונאמר אם צ"א נתן כ"ד שעות ל"ד כמה שעות יתן ודקים וכו' יתן נכפול כ"ד על ל"ד יעלו תתי"ו נחלקם על צ"א שהוא המורה ויעלה ח' שעות ונשארו פ"ח נכפלם בס' יעלו ה' אלפים ר"ף נחלקם על המורה יעלה בחילוק נ"ח דקים ונשארו ב' נכפלם בס' יעלו ק"ך נחלקם על המורה יעלה בחילוק שני אחד ונכפול כ"ט שנשארו על ס' יעלו אלף תש"מ נחלקם על המורה יעלו י"ט שלישיים ונכפול י"א שנשארו על ס' יעלו תר"ס נחלקם על המורה יעלו ז' רביעיות ונשארו כ"ג נכפלם על ס' יעלו אלף ש"ף נחלקם על המורה יעלה בחילוק ט"ו חמישיות ונשארו ט"ו נכפלם בס' יעלו תת"ק נחלקם על המורה יעלו ט' ששיות ונשארו פ"א
	ואין צריך לדקדק עוד ומי שירצה לדקדק עוד ידקדק כמו שאמרתי
	אבל זה שיור נבחון עם מה שיציא לנו משאלתנו מחוברים אם יהיו כ"ד שעות בכיון שהם יום אחד הוא טוב ויהיו הנשאל
	‫
	חלקי ששיות ‫0א אט ששי חמשי [רביעי] [שלישי] [שני] [דקים] [שעות] אח צא נ מד [נב] [מ] [נח] [א] [טו] ט טו ז [יט] [א] [נח] [ט]   משברים א 0 0 0 0 0 0
	חברנו השברים שהם פ"א ועשרה יהיו צ"א ששי ועם נ' וט' ששיות יהיו חמשי אחד ועם מ"ד וט"ו חמשיות יהיו רביעי אחד ועם נ"ב וז' רביעיות יהיו שלישי אחד ועם מ' וי"ט יהיו שני אחד ועם נ"ח וא' יהיו דק אחד ועם א' ונ"ח דקים יהיו שעה אחת ועם ט"ו וט' שעות יהיו כ"ד שעות שהם יום אחד וזה מה שרצינו
	גם נוכל לעשות אלו השאלות מכ"ה חלקי הדוקאדו שכפלנו סך המטבע על השבר הנשאל וחלקנו על המורה בצורה הזאת בשאלה שעשינו בדרך השלושה ששאלנו נ"ז חלקים מצ"א ביום
	כ"ד שעות היום נ"ז החלקי' הנשאלים צ"א המורה
	הנה נכפול סך שעות היום שהם עליונים בזאת הצורה שהם כ"ד על החלקים הנשאלים שהם נ"ז אמצעיים בצורה יעלו אלף שס"ח נחלקם על צ"א שהוא המורה ותציא בחילוק ט"ו שעות וז' חלקים מצ"א ומהם עשתי דקים ושניים וכו'
	שאלה רש"ל עשו חברה ראובן נתן בחברה חצי שלישית רביעית פרח והפרח שוה י"ו די' ושמעון נתן רביעית ששית דוקאדו והדוקאדו שוה כ"ב די ולוי נתן רביעית חצי שלישית קאשטיללנו והוא שוה כ"ח די' והרויחו ששית רביעית שלישית פאלומיטה והוא שוה כ"ד די' שאלתי ‫שאלתי כיצד [...] פשוטי[...] הם קצ"ב ופשטי הדוקאדו [...] הקאשטיללנו הם של"ו ופשטי הפל[...] חלקו מן הפרח שהם קצ"ב פשי' הרביעית [..] מ"ח הוא י"ו וחצי י"ו הוא ח' פשיטי' וזה חלק ראובן
	וחלק שמעון י"א פשי' כי פשיטי הדוקאדו רס"ד ושישית רס"ד הם מ"ד ורביעית מ"ד הם י"א וזה חלק שמעון
	והנה חלק לוי הוא י"ד פשיטי' כי פשיטי הקאשטיללש הם של"ו ושלישית של"ו הם קי"ב וחצי קי"ב נ"ו ורביעית נ"ו הוא י"ד פשי' והוא מה שנתן לוי
	והנה הריוח הוא ב' פשי' שהם ששית רביעית שלישית חצי פאלומטה כי הפשוט הם רפ"ח וחצי רפ"ח הם קמ"ד ושלישית קמ"ד הם מ"ח ורביעית מ"ח הם י"ב ושישית י"ב הם שנים והוא הריוח ויהיו כזאת הצורה
	ב ח ראובן יא שמעו יד לוי   לג המורה
	נכפול ח' על ב' יעלו י"ו נחלקם על ל"ג והוא מחולק י"ו חלקים מל"ג בשלם וזה חלק ראובן וגם לשמעון כ"ב חלקים מל"ג בשלם וגם לחלק לוי כ"ח חלקים מל"ג בשלם
	והבחינה תקביץ חלקי שלושתן יהיו ב' פשי' כי י"ו וכ"ב וכ"ח תחלקם על ל"ג יצאו שנים שהוא הריוח ‫[...]
	דע כי [...] מעלות ומעלות על [...]לות על איזה שבר שיהיה [...] הנכפל ואם נרצה לכפול [...] היוציא רביעיים והדמיון כי שנים [...] ארבעה ואם שניים על שלישיים היוציא חמשיים [...] ושלושה הם חמשה ואם שניים על רביעיים היוציא ששיים וכן כל כפל כי דקים על דקים היוציא דקים ואם דקים על שניים היוציא שניים ואם שני' על שניי' רביעיים ואם שלישי על שלישי ששי ואם רביעיי על רביעי היוציא שמיניי וכן שני בשלישי חמשיי ושני ברביעי ששיי וכן כולם בחיבור שני הנכפלים כי חמשי על חמשי עשיריי
	והמשל בזה רצינו לכפול ד' מעלות ו' דקים ח' שניים י"ב שלישיים על ה' מעלות ט"ו דקים עשרה שניים י"ג שלישים
	ומעשה הוא שכפלנו ד' על כל הטור התחתון וכן נכפול ו' וכן כולם כל הטור העליון על כל הטור התחתון כמנהג כפל השלמים כמו שתראה בזאת הצורה
	מעלות דקים שני' שלישיי רביעי' חמשיי' ששי' ד ה ו הא ח ‫0א בא גא       ‫0ב ‫0ו ‫0ד בה         ‫0ג ‫0ט ‫0ו חז         ‫0ד ‫0בא ‫0ח ד0א         ‫0ו ‫0חא ‫0בא והא
	ונאמר כי ד' פעמים ה' הם מעלות הם כ' מעלות גם ד' מעלות על ט"ו דקים הם ס' דקים גם ד' מעלות ‫על עשרה הם [...] נ"ב שלישים והנה ד' [...] כל הטור עם ו' דקים והנה [...] גם ו' על ט"ו יעלו צ' שניים גם ו' [...] גם ו' על י"ג יעלו ע"ח רביעיים והנה [...] עתה נכפול כל הטור על ח' והנה ח' על ה' הם [...] ח' על ט"ו יעלו ק"ך שלישיים גם ח' על עשרה יעלו פ' רביעי[יים] גם ח' שניים על י"ג שלישיים יעלו ק"ד חמשיים והנח ח' כפל כל הטור עתה נכפול י"ב על כל הטור ונאמר י"ב פעמים ה' הם ס' שלישיות גם י"ב שלישיות על ט"ו ראשונים הם ק"ף רביעיים גם י"ב על עשרה יהיו קי"ב חמשיות גם י"ב על י"ג יהיו קנ"ו ששיים והנה עתה חברנו את כולם מין עם מיניו יהיו הששיים קנ"ו והחמשיים רי"ו והרביעיים של"ח והשלישים רצ"ב והשניים ק"ע והדקים צ' והמעלות כ' נחלק השישיות על ס' יעלו ב' חמשיות ונשארו ל"א ששי נחבר הב' חמשיות עם רי"ו חמשיות יהיו רי"ח חמשיות נחלקם על ס' יעלו ג' רביעיות ונשארו נ"ח חמשיות נחבר הג' רביעיות עם של"ח יהיו שמ"א רביעיות נחלקם על ס' יעלו ה' שלישיות ונשארו מ' רביעיות נחבר הה' שלישיות עם רצ"ב יהיו רצ"ז שלישיות נחלקם על ס' יעלו ד' שניים ונשארו נ"ז שלישיות נחבר ד' עם ק"ע שניים יהיו קע"ד נחלקם על ס' יעלו ב' דקים ונשארו נ"ד שניים נחבר הב' דקים עם הדקים שהם צ' יהיו צ"ב נחלקם על ס' יעלו מעלה אחת ונשארו ל"ב דקים נחבר זאת המעלה עם כ' מעלות יהיו כ"א מעלה ואז עלה ‫[...] כ"א מעלות ל"ב [...] [ר]ביעיים נ"ח חמשיים ל"א [...] לזה ‫
[Chapter Three: Problems of Compound Multiplication]	‫[...]בים
	‫[...] ושלשית שוה ד' וחמשית [...] ב' ושישית מה יהיה שוה ויהיה כזאת [הצורה
If $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$3 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$4 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$2 0	0 ב ד ג אם
	‫[...] [תשו]בה [...] בשברו ואחר כפול האמצעיות וחלק על הראשון
	והמשל תן ג' בשבורו יהיו ט' וא' יהיו עשרה שלישיות [וגם הד' בשבורו] והד' היו כ"א [..] והב' בשברו יהיו י"ג ששיות ועתה תסדר שאלתך כשלמים כזאת הצורה השנית
	0 גא ו אב ה ‫0א ג אם
	ואמור אם עשרה נתן כ"א מה יתן י"ג כפול האמצעיות כ"א על י"ג יעלו רע"ג חלקים מל' חלק רע"ג על הראשון שהוא עשרה יציא בחילוק וראשונה תשוים רע"ג חלקים מל' על עשרה חלקים מג' ויהיו כזה הצורה
	טאח   ‫00ג גזב ‫0ג X ‫0א ג
	לעשרה שלישיות ש' ולאחר תתי"ט עתה תחלק תתי"ט על ש' יעלה בחילוק שנים ורי"ט חלקים מש' אשר אם תקצרם יהיו ב' וע"ג חלקים מק' וזהו הנעלם
	והבחינה הוא שתתן האב על הבן עשרה חלקים מכ"א כזה
	‫0א אב
	גם השני על בנו שהוא הנעלם ויהיה אחר שתתן השלם בשברו והאב שהוא י"ג בשברי בנו ויהיה כזה
	‫0גא גזב
	אשר אם תקצרם על י"ג ישובו לעשרה חלקים מכ"א כנזכר ויהיו שוים
	‫שאלה שנית [...] הרויחו ד' [...] כמה ירויחו והיה כזאת [הצורה]
	פרח דנר פרח     טב טא ח   0 ה ד ב אם
	[...] האמצעיות והעולה תשוה עם הראשון ואחר ההשואה תחלק היוצא על הראשון
	והמשל תן הב' פרחים בשברו יהיו ח' שלישיות לראשון ולשני כפול ד' על מורה שברו יהיו י"ט רביעיות ולשלישי כפול ה' על ה' שהוא מורה שברו יהיו כ"ט עם שבריו והם חמשיות ויהיו כולם כזאת הצורה השנית
	טב ה טא ד ח ג
	כפול האמצעיות שהם י"ט על כ"ט יעלו תקנ"א חלקים מכ' בשלם תחלקים על ח' שלשיות אחר ההשואה ויהיה בזאת הצורה
	גהוא ו ‫0וא ו אהג ‫0ב ח ג
	יהיו למחלק שהוא הראשון ק"ס ולמחולק שהוא הנכפל אלף תרנ"ג תחלקהו על ק"ס יעלה בחילוק עשרה שלמים שהם עשרה דינרים ונ"ג חלקים מק"ח בדינר כזה
	גה ‫0וא
	והוא הנעלם והנה עלה בידנו כי כאשר ב' פרחי' וב' שלישיות הרויחו ד' דינרין וג' רביעיות כן ה' פרחים וד' חמשיות ירויחו עשרה דינרין ונ"ג חלקים מק"ס בדניר וזה מה שרצינו
	והבחינה היא שתשוים שניים שנים ואחר ההשואה תחלק כל כך על אביו
	המשל ‫ [...] יהיו לראשון ל"ב [...] רס"ה חלקים [...] שהוא הנעלם תחלק כל בן על אביו יעלה בחילוק א' וכ"ה חלקים מל"ב מכל אחד כיצד חלקנו נ"ז על ל"ב יעלה אחד וכ"ה חלקים מל"ב גם חילקנו ח' אלפים רס"ה על ד' אלפים תר"מ ותצא בחילוק אחד ונשארו ג' אלפים תרכ"ה לחלק על ד' אלפים תר"מ ולדעת אם זה השבר הגדול הוא כ"ה חלקים מל"ב תקצרם על כ"ט ותציא לך כ"ה חלקים מל"ב ואם לא תדע לקצרו על כ"ט חלק כל אחד על כ"ט ותציא מן המתחלק כ"ה ומן המחלק ל"ב וזה המבוקש שיורה שהנעלם [..] הוא אמת
	הובח   ‫0דוד   זה   [בג] גהוא ‫0וא X טב ה   טא ד X ח ג ‫00ח   בא
	דרך אחרת לבחון זאת השאלה ואחרות וזה הוא שתחלק אחר ההשואה כל שני חלקים כל שבר על מורה שניהם והיוציא יהיו המונחים הידועים ואם הנעלם יהיה כמו שהוא נמצא בידנו מוטב
	והמשל תחלק ל"ב ונ"ז על י"ב והוא מורה שניהם יציא לראשון ב' וב' שלשיות אחר הקיצור ולשני ד' וג' רביעיות וכן תחלק ד' אלפים תר"מ השלישי וח' אלפים רס"ה הרביעי על מורה שניהם שהוא ת"ת ותציא לשלישי ה' וד' חמשית ולרביעי עשרה ונ"ג חלקים מק"ס וכל אלו השברים הם אחר הקיצור
	דרך אחרת אחר שיהיו לך החלקים הראשונים קודם שתשום ‫כלל תוציא מורה [...] ואחר תחלקם על ה[...]
	המשל בזה הנה המספרים [...] שלשיות והשני י"ט [...] והרביעי אלף תרנ"ג חלקים מק"ס כזה [...] עשה מורה כללי ויהיה ת"ף שהוא כפל ג' [...] צריך לכפול ה' וד' כי בק"ס תמציאך חמשית ורביע[ית] ואם כן המורה הכללי הוא ת"ף נקח ממנו נקח ממנו ב' שלישיותיו שהם אלף ר"ף ונחלקם על המורה ותציא בחילוק ב' וב' שלשיות אחר שתקצר הנשאר וזה לראשון
	וכן קח ג' רביעיות המורה כי רביעיתו ק"ך כפלהו על י"ט יעלו ב' אלפים ר"ף תחלקם על המורה יציא ד' וג' רביעיות אחר הקיצור וזה לשני
	וכן קח כ"ט חמשיות המורה כי חמשיתו צ"ו כפול צ"ו על כ"ט יעלה ב' אלפים תשפ"ד והם כ"ט חמשיות תחלקם על המורה ותציא ה' וד' חמשיות אחר קיצור הנשאר וזה המספר השלישי
	וכן קח חלק מק"ס במורה והוא ג' וזה שתחלק המורה על ק"ס ותציא ג' וזה חלק מק"ס כפול ג' על אלף תרנ"ג יעלו ד' אלפים תתקנ"ט אשר תחלקים על ת"ף ותציא לך עשרה ונ"ה חלקים מק"ס אחר קיצור הנשאר וזה הרביעי הנעלם וכן כל כיוציא בזה
	והנה כאשר עלה בידי [.] בחינה חדשה או דבר חידוש בדברי אותו ואתה המעיין קח מה שתרצה
	שאלה שלישית מהו המספר שאם כפלנו אותו על ט' וה' שביעיות שתציא ד' וג' חלקים מעשרה כזאת הצורה
	ג ‫0א ד ט 0
	תשובה הנה אעשה זאת השאלה עם ‫[...]ים והוא שתחלק הנשאל [...] הראוי לכפול לכפול על הכופל [...] כל שלם במורה שברו וחבר עליו שבריו [...] שביעיות ולשני מ"ג עשריות תשוים בזאת [הצורה‫]
	גד ‫0א X חו ז
	יהיו לראשון אשר עליו תחלק תר"ף והשני הראוי לחלק ש"א תחלקם על תר"ף והוא מחולק כזה
	א0ג ‫0חו
	שהוא ש"א חלקים מתר"ף והוא המספר שאם תכפלהו על ט' וה' שביעיות יעלה ד' וג' עשריות
	והבחינה כך היא שתכפול ש"א חלקים מתר"ף על ט' וה' שביעיות וראשונה תתנם בשברו יהיו ס"ח שביעיות כופלם על ש"א חלקים מתר"ף יעלו ב' [עשרים] אלפים תס"ח תחלקם על כפל המורים שהוא ד' אלפים תש"ס ותציא בחילוק ד' שלמים ואלף תכ"ח חלקים מד' אלפים תש"ס תקצרם לחציים שתי פעמים ופעם בשביעית ופעם בי"ז ונשארו ג' עשריות
	שאלה אחרת אם שארית חודש אחד הוא יום אחד וי"ב שעות תשצ"ג חלקים שאלתי שארית י"ב חדשים שהם שנה פשוטה כמה ימים ושעות וחלקים יהיה וכן אם שאל מחזור או מחזורים
	התשובה תן הכל בחלקים מאלף ופ' בשעה שהוא המורה ואחר אמור אם כך חלקים נתן לנו חדש אחד י"ב חדשים מה יתן לנו או רל"ה חדשים שהם מחזור אחד מה יתן לנו
	והמשל בשאלתנו תן היום בשעות יהיו כ"ד וי"ב שהיו לנו יהיו ל"ו כפול ל"ו על אלף ופ' שהם חלקי שעה אחת שהוא המורה יעלו ל"ח אלפים תת"ף תוסיף עליהם תשצ"ג שהיו לנו יהיו ל"ט אלפים תרע"ג וזהו שארית חדש אחד ועתה אמור אם חדש אחד נתן לנו ל"ט אלפים תרע"ג חלקים י"ב חדשים מה יתן לנו ויהיה כזאת
	בא גזוטג א אם
	כפול ל"ט אלף תרע"ג על י"ב יעלו תע"ז אלפים וע"ו תחלקם על א' והם מחולקים וזה הראוי לי"ב חדשים והם חלקים אבל נעשה מהם ימים ‫ושעות וחלקים וזה שתחלק [...] ת"מ שעות ונשארו תתע"ו חלקים [...] מהת"מ שעות וזה שנחלקם על כ"ד יעלו [...] ונשמרם ומן הי"ח ימים ניפול י"ד ונשארו ד' [...] שהם ד' ימים ח' שעות תתע"ו חלקים והם מן [...] פשוטה והיודע דרכי העיבור יבין זה
	שאלה אם שלישית ורביעית דבר אחד שוה ג' די' כמה יהיה שוה כל הדבר
	תשובה תשוים כזה הצורה
	ז X בא
	ותמצא ז' חלקים מי"ב כזה
	ז בא
	וראה כי הם חלקי השאלה וי"ב הוא השלם ועתה תסדר שאלתך ואמור אם ז' שהם שלישית ורביעית דבר אחד נתן ג' די' כל הדבר שהוא י"ב מה יתן ויהיה כצורה הזאת
	יתן מה בא די' ג נתן ז אם
	כפול האמצעיים שהם ג' על י"ב יעלו ל"ו תחלקם על ז' יעלו ה' שלמים וחלק מ"ז והנה אם שלישית ורביעית דבר אחד שוה ג' די' כל הדבר יהיה שוה ה' די' ושביעית די'
	והבחינה עשה כל חלקי השאלה שביעיים יהיה הראשון מ"א והשני כ"א והשלישי פ"ד והרביעי ל"ו כפול האמצעים יהיו אלף תשס"ד וכן יהיו החיצוניים ודי בזה
	שאלה אחרת אם שלישית וחמשית דבר אחד שוה ד' די' מה יהיה שוה הנשאר
	ג ח ה X הא
	תשובה תשוים תמצא משני השברים שמונה חלקים מט"ו בשלם כי השברים הם ח' והשלם ט"ו והנה מח' עד ט"ו תמצא ז' הנשאר ועתה תסדר שאלתך ואמור אם ח' שהוא שלישית וחמשית דבר אחד שוה ד' די' הנשאר מח' עד ט"ו שהוא השלם שהוא ז' מה יהיה שוה ויהיה כצורה הזאת
	ג ז ד ח אם
	כפול האמצעיים ויהיו כ"ח תחלקם על ח' יעלו ג' שלמים וחצי והוא המבוקש והבחנה ‫[...]ה חציים בעבור החצי [...] י"ו ח' י"ד ז' וראה כי [...] כפל ז' או בחינה אחרת כפול [...] וכן החיצוניות
	‫[שאלה] אחרת אם ק' די בשליש וחמשית חודש וט"ו שעות הרויחו ז' די' שאלתי כמה ירויחו כל החודש
	התשובה הנה שליש החדש הוא כ' ימים וחמשתו הוא ששה וכולם כ"ו ימים וט"ו שעות ועתה אמור אם כ"ו ימים וט"ו שעות נתן לנו ז' די מה יתן ל' ימים שהוא כל החדש ויהיה כזאת הצורה
	יתן מה ימים ל די' ז' נתן שעות וט"ו ימים כ"ו אם
	נכפול ז' על ל' יעלו ר"י נחלקם על כ"ו ימים וט"ו שעות וראשונה נשוים שנתן הכל בשעות יהיו הכ"ו ימים והט"ו שעות הכל תרל"ט שעות וגם ר"י על כ"ד יעלו ה' אלפים ומ' שעות נחלקם על תרל"ט יעלה בחילוק ז' די' תקס"ז חלקים מתרל"ט ולעשות מהם פשיטי' נכפול תקס"ז על י"ב יעלו ו' אלפים תת"ד נחלקם על המורה יעלו עשרה פשיטי' ותי"ד מהמורה ואם תרצה מחצות או רביעיות מפשוט תכפלם על ב' למחצות או על ד' לרביעיות ודי בזה
	שאלה אחרת אם ק' די' בזמן חמשית וששית וי"ג שעות מחודש אחד מל' ימים הרויחו ט"ו די' שאלתי כמה ירויחו בנשאר מן החדש ויהיה כזאת הצורה
	יא   ה   ו X ל
	תשוים יהיו י"א חלקים מל' שהם י"א ימים וי"ג שעות ועתה נאמר אם בי"א ימים וי"ג שעות נתן ט"ו די' הנשאר מהחדש שהוא י"ח ימים וי"א שעות מה יתן ועתה נסדר אם י"א ימים וי"ג שעות נתן ט"ו די' י"ח ימים וי"א שעות מה יתן שהם הנשאר מהחדש נכפול ט"ו על י"ח ימים וי"א שעות וראשונה נשוים שנתנם בשעות והנה נכפול י"א ימים על כ"ד יעלו עם הי"ג שעות רע"ז שעות גם נכפול י"ח על כ"ד יעלו עם הי"א שעות תמ"ג ועתה ‫נאמר אם רע"ז נתן ‫[...]
	גדד הא זזב אם
	‫[...] ו' אלפים [...] יעלה בחילוק כ"ג די' ורע"ד חלקי המ[...] המבוקש והבחינה כאחרות
	שאלה אחרת רש"ל עשו חברה ראובן נתן בחברה חצי שליש רביעית פרח והפרח שוה י"ו די' ושמעון נתן רביעית שישית דוקאדו והדוקאדו שוה כ"ב די' ולוי נתן רביעית חצי שלישית קאשטיללאנה והוא שוה כ"ח די' והרויחו
	שאלה רצינו לכפול שברים על שלמים כפול השלמים על השברים והעולה תחלק על מורה השברים
	המשל רצינו לכפול ד' חומשים על ששה שלמים כזה הצורה
	שברים ד מורה ה שלמים ו
	נכפול ד' העליום שהם שברים על ו' התחתון שהם השלמים יהיו כ"ד נחלקם על האמצעי שהוא מורה השברים יעלה בחילוק ד' שלמים וד' חמשיות
	שאלה אחרת נרצה לכפול י"א חלקים מי"ב בשלם על י"ד שלמים נתנם כזאת הצורה
	שברים יא מורה יב שלמי יד
	נכפול העליון על התחתון שהם שברים על שלמים י"א שברים על י"ד שלמים יעלו קנ"ד נחלקם על י"ב [האמצעי] שהוא מורה השברים יעלה בחילוק י"ב שלמים ועשרה חלקים מי"ב שהם מקוצרות ה' ששיות כזה
	וכן כל הדומה לזה
	וכן נוכל לעשות זה בדרך השלושה עם שיהיה ראשון השאלה האמצעי ואמור אם י"ב נתן י"ד י"א מה יתן נכפול י"ד על י"א יעלו קנ"ד נחלקם על י"ב יעלה י"ב שלמים וה' ששיות כנז'
	שאלה אחרת רצינו מספר שאם כפלנו אותו על ג' שלמים וב' חמשיות וגם היוציא כפלנו על ד' שלמים וג' רביעיות ‫[...] שלמים [...] יהיו י"ז [...] נשוים עו אל [...] יהיו ס"ח וצ"ה שניהם מחלקי [...] המורה כמו שתראה בצורה שנית
	יט יז ד ג ‫0ב
	הט חו ‫0ב
	‫[עתה] נניח כי ב' הוא המספר אשר כפלנו אותו על ג' וב' חמשיות והיוציא בכפל נכפול עוד על ד' וג' רביעיות ושיציא מן הכפל ד' שלמים ועתה כפלנו ב' המונח על ס"ח יעלו קל"ו גם כפלנו קל"ו על צ"ה יעלו י"ב אלפים תתק"ך ואנחנו לא שאלנו כי אם ד' הנה נאמר בדרך השלושה אם י"ב אלף ותתק"ך נתן לנו ב' מי יתן לנו ד' כפלנו ד' על ב' יעלו ח' נחלקים על י"ב אלף ותתק"ך והוא מחולק שהוא ח' חלקים מי"ב אלף תתק"ך כזה הצורה והוא הנשאל
	ח ‫0בטבא
	והבחינה כפלנו ח' על ס"ח והיציא בצ"ה והעולה נחלק על המורה שהוא י"ב אלף תתק"ך ויעלו ד' שלמים כי כפל ס"ח על ח' תקמ"ד וכפל תקמ"ד על צ"ה יעלו נ"א אלפים תר"ף נחלקם על המורה יציא בחילוק ד' שלמים
	או אם תרצה תקצר המספר בשמינית וקח שמינית ח' שהוא אחד ושמינית המורה שהוא אלף תרמ"ו ואחר כפול א' המקוצר משמונה על ס"ח שבא מג' שלמים וב' חמשיות ואחר כפול העולה שהוא ס"ח על צ"ה שבא מד' וג' רביעיות יעלו ו' אלף ות"ס תחלקם על אלף תרמ"ו שהוא המורה מקוצר יעלה בחילוק ד' והוא הנשאל ואם כן המספר שבקשנו הוא חלק אחד מאלף תרמ"ו שאם תכלנו אותו על ג' וב' חמשיות והעולה על ד' וג' רביעיות יהיה העולה ד' שלמים והוא המבוקש
	שאלה סוחר קנה י"ז אמות וחצי בגד לסך י"א פרחי וב' שלישיות שאלתי סך ט' אמות
	התשובה כפול ט' על י"א וב' שלישיות וחלק על י"ז וחצי ויהיו כזאת הצורה
	ט יא יז אם
	‫וראשונה תן הי"א שלמים [...] כפול ט' על ל"ה שלישיות ויהיו [...] י"ז וחצי ויהיו כזאת הצורה
	האג ג
	‫[...] יהיו ל"ה חציים כזה
	הג ב
	‫[...] ל"ה חציים עם שט"ו שלישיות ויהיו תר"ל וכולם [..] תר"ל על השני שהוא ק"ה ששיות כמו שתראה בצורה
	‫[‫0גו‫] ה0א האג הג ג ב ו
	ויעלה בחילוק ששה והם פרחים והנה כאשר י"ז אמות וחצי שוה י"א פרחים וב' שלשיות הנה סך ט' אמות שוה ששה פרחים
	והבחינה תן הכל בשברים ממין אחד וכפול האמצעיות והחיצוניות ויהיו שוים
	והמשל י"ז וחצי הם ל"ה חציים וי"א ושתי שלשיות הם ל"ה שלישיות ויהיו שניהם כזאת הצורה
	הג הג ג ב ו
	תשוים אל מורה אחד יהיה האחד ק"ה ששיות והשני ע' ששיות ועתה תן ט' בשישיות יהיו נ"ד ששיות ובם ו' יהיו ל"ו ששיות ויהיו כולם כזאת הצורה
	ה0א ‫0ז דה וג ו ו ו ו
	כפול הקצוות יהיו ס"ג אלפים תש"ף וכן תמצא האמצעיות והכל מבואר
	או אם תרצה לבדוק בדרך השלושה ואמור אם ק"ה נתן ע' שאלתי נ"ד מה יתן תכפול האמצעיות וחלק על ק"ה ותיצא ל"ו תחלק ל"ו על המורה שהוא ששה יעלו ששה והוא המבוקש
	שאלה סוחר הלך לסחורתו למדינה אחת או לשתים או ליותר ובכל מדינה כפל ממונו והפסיד בכל מדינה מספר מה וכאשר שב לביתו לא נשאר לו כלום מממונו שאלתי הממון שהוציא מביתו
	הנה הדרך לכולם הוא שאם הלך למדינה אחד גרע ממנה שהפסיד חציו והנשאר הוא הממון שהוציא מביתו ואם הלך בשתי מדינות וכפל ממונו כנז' גרע ממה שהפסיד רביעיתו והנשאר ‫[...] שלושה השמינית וכן בכל [...] שהלך תצטרך לגרוע חצי [...] ולשלושה שמינית ולארבעה חלק [...] המשכת הערך הכפול שהוא כזה הצורה
	א א א א א א דו בג וא ח ד ב
	המשל בזה ראובן הלך למדינה אחד וכפל ממונו והפסיד ד' ולא נשאר לו כלום שאלתי כמה ממון היה לו
	התשובה גרע ממה שהפסיד חציו כמו שיורה השבר הראשון ונשארו ב' וזה ממונו
	ואם בשתי מדינות גרע רביעית ד' שהוא מה שהפסיד ישארו ג' וזה ממונו שכפלו הוא ו' במדינה ראשונה והפסיד ד' ונשארו ב' לשנית וכופלם יהיו ד' והפסיד ד' ולא נשאר לו כלום
	ואם הלך בג' גרע מד' השמינית ישאר ג' וחצי וזה ממונו כי כפלם הוא ז' בראשונה והפסיד ד' נשארו ג' לשנית וכפלם ו' והפסיד ד' נשארו ב' לשלישית וכפלם יהיו ד' והפסיד ד' ולא נשאר לו כלום
	ואם בד' מדינות גרע מד' חלק מי"ו ונשארו ג' וי"ב חלקים מי"ו כפול וגרע כמו שעשינו ולא נשאר לו כלום
	ולכולם כפי המדינות גרע השבר מלוח הערך הכפול וההפסד שתרצה הוא ההנחה‫

The Third Section: Subtraction Problems	‫[השער השלישי בשאלות גרעון]
	חלקתיו לשלשה פרקים
	‫[הפרק הראשון בשאלות] גרעון שלמים
	‫[הפרק השני] בשאלות גרעון שברים
	הפרק השלישי בשאלות גרעון מורכבים
The First Chapter: Problems of Subtraction of Integers	הפרק הראשון בשאלות גרעון שלמים
Question: what is the number, from which we subtract its third, a quarter of the remainder, a sixth of the remainder, a fifth of the remainder and a half of the remainder and 3 remains.	שאלה מהו המספר אשר גרענו ממנו שלישיתו ורביעית הנשאר ושישית הנשאר וחמשית הנשאר וחצי הנשאר ושנשאר ג‫'

$\scriptstyle\begin{align}&\scriptstyle a-\frac{1}{3}a\\&\scriptstyle-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)\\&\scriptstyle-\frac{1}{6}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)\right]\\&\scriptstyle-\frac{1}{5}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)-\frac{1}{6}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)\right]\right]\\&\scriptstyle-\frac{1}{2}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)-\frac{1}{6}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)\right]-\frac{1}{5}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)-\frac{1}{6}\sdot\left[a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}\sdot\left(a-\frac{1}{3}a\right)\right]\right]\right]\\&\scriptstyle=3\end{align}$

Answer with false position and the rule of three:	תשובה עם מונח כוזב ודרך השלושה
Suppose it is 60, since we find all these parts in it without a fraction.	נניח ס' בעבור שנמצא בו כל אלו החלקים בלי שבר
We subtract from 60 its third; 40 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=40}}$	והנה גרענו מס' שלישיתו ישארו מ‫'
We subtract a quarter of 40; 30 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{40-\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)=30}}$	גרענו רביעית מ' ישארו ל‫'
We subtract further a sixth of 30, which is 5; 25 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(\frac{1}{6}\sdot30\right)=30-5=25}}$	עוד גרענו ששית ל' שהוא ה' נשארו כ"ה
We subtract a fifth of 25; 20 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{25-\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)=20}}$	עוד גרענו חמשית כ"ה נשארו כ‫'
We subtract a half of 20; 10 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)=10}}$	עוד גרענו חצי כ' נשארו עשרה
	ואנחנו לא שאלנו אלא ג' נלך אל דרך השלושה ונאמר אם ס' נתן לנו עשרה מי יתן לנו ג' ויהיה כזאת הצורה
If 60 10 0 3	ג 0 ‫0א ‫0ו אם
	נכפל הקצוות ג' על ס' יעלו ק"ף נחלקם על עשרה ותציא בחילוק י"ח והוא המספר הנעלם אשר אם תגרע ממנו שלישיתו ורביעית הנשאר וששית הנשאר וחמשית הנשאר וחצי הנשא' וישאר אחר כל אלו הגרעונות ג' וכן כל הדומה לזה
	והבחינה היא שתגרע מי"ח שהוא המספר הנשאל הנעלם שלישיתו וישארו י"ב נגרע רביעית י"ב נשארו ט' נגרע ששית ‫ט' שהוא אחד וחצי [...] שהוא אחד וחצי נשארו ו' [...] המבוקש ואם תרצה שלא יהיו [...] שהוא הנעלם בשברים אשר כפלת [...] מעשרה בשלם ועתה גרע שלישית ק"ך [...] עוד גרע מק"ך רביעיתו שהוא ל' נשארו צ' עוד גרע מצ' שישיתו שהוא ט"ו נשארו ע"ה עוד גרע מע"ה חמשיתו שהוא ט"ו ונשארו ס' עוד גרע מס' חציו נשארו שלושים תחלק שלושים על עשרה שהוא מורה אלה השברים ותציא ג' והוא המבוקש
	שאלה אחרת מהו המספר המחובר כו' ‫[...] ותציא ג' והוא המבוקש [...] המחובר עם מספר מונח [...]גרע ממנו חלקים מתחלפים [...] שהוא
	והמשל רצינו לחבר שלושה [...] אלפים על ס' ושנגרע כל אחד [...] וישאר המונח ונאמר מהו המספר המחובר עם ס' וגרענו ממנו חציו ושישאר ס' ועוד שגרענו ממנו ג' שביעיותיו ושישאר המונח שהוא ס' ושנגרע עוד ממנו ד' תשעיותיו ושישאר ס'
	תשובה תסדר חלקי שאלתיך הראוים לגרוע ותניחם כמו שברים כזאת הצורה שהם חצי וג' שביעיות וד' תשיעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$
	ואחר כפול ואחר כפו המונח על מורה המספר שתרצה לגרוע והעולה תחלק על יתרון המורה מן השבר וכן כולם
	והמשל בזה הנה רצינו מספר שאם נגרע חציו שישאר המונח הנה נכפול ס' על מורה החצי שהוא ב' יעלו ק"ך נחלקם על א' שהוא יתרון המורה משברו יעלו ק"ך והוא המבוקש
	ובחינתו היא שתגרע מק"ך חציו ישארו ס' שהוא המונח עוד נכפול ס' על מורה המספר השני שהוא ז' יעלו ת"ך נחלקם על ד' שהוא יתרון המורה על השברים שהוא ז' והשבר ג' יעלה בחילוק ק"ך והוא המבוקש
	ובחינתו הוא שתגרע ג' שביעיותיו שהם מ"ה כי השביעית הוא ט"ו וישארו ס' שהוא המונח עוד נכפול ס' על מורה שהוא ט' יעלו תק"מ נחלקם על [יתרון] המורה מן השברים שהוא ה' כי מס' עד נ"ה תמנה ה' ותציא ק"ח וזהו המספר הנעלם
	ובחינתו שאם תגרע ‫ממנו ד' תשיעיותיו [...] ס' שהוא המונח וכן [...] תראה בשאלה הבאה
	שאלה שלישית ראובן ושמעון [...] ספר ואמר ראובן [...] חצי הממון שלכם ועם כל ממוניו אקנה הספר [..] שמעון ואמר אני אקנה הספר עם שלישית ממונכם ויאמר לוי אני אקנה הספר עם רביעית ממונכם ויאמר יהודה אני אקנה הספר עם חמשית ממונכם שאלתי מה יציד כל אחד וכמה סך הספר
	תשובה הנה ראוי לך לקחת מונח אחד שימצאו בו כל החלקים הנשאלים שהם חצי ושלישית ורביעית וחמשית כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$
	ואחר תבקש מספר אחד לכל אחד שאם תגרע ממנו המספר שישאר המונח ותמצא אילו המספרים כמו שאמרתי אם תכפול המונח על מורה כל אחד ותחלק היוציא מכל אחד על יתרון המורה משברו והיוציא יהיה המספר הנעלם שאם תגרע הנשאל ממנו ישאר המונח וכאשר תחבר הנעלם היוציא מכלם ותחלקהו על מספר האנשים בחסרון אחד שאם היו שלושה שתחלקם על שנים ואם היו ארבעה שתחלק על שלושה כמו בשאלתינו שהם ארבעה ותחלק על שלושה והעולה בחילוק הוא ממון כולם גרע ממנו המונח ישאר סך הספר ואחר גרע מן הממון המספר הנעלם מכל אחד והיוציא הוא ממונו
	והמשל בזה לקחנו למונח ס' וכפלנו אותו על מורה הראשון שהוא ב' ויעלו ק"ך תחלקם על א' שהוא יתרון המורה על שברו ותציא ק"ך וזה הנעלם לראובן שאם תגרע חציו ישאר מונח עוד ‫[...] ג' יהיו ק"ף תחלקם [...] על שברו ויעלו צ' וזה [...] ישאר המונח עוד תכפול [...] הוא ד' יעלו ר"מ תחלקם על ג' שהוא [...] על שברו ותציא פ' וזה הנעלם ללוי שאם תגרע [...] ישאר המונח עוד תכפול המונח על מורה הרביעי שהוא ה' יעלו ש' תחלקם על ד' שהוא יתרון המורה על שברו ותציא ע"ה והנה היו לנו ק"ך לראובן וצ' לשמעון ופ' ללוי וע"ה ליהודה כזאת הצורה
For Reuven 120   1 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ For Shimon 90   31 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ For Levi 80   41 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ For Yehuda 75   46 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ their sum 365   the money of all of them 121 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$ the price of the book 61 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$	א   קך לראובן לא   צ לשמעון מא   פ ללוי מו   עה ליהודה   שסה חיבורם קכא ממון כולם סא סך הספר
	נחברם יהיו שס"ה נחלקם על ג' שהם מספר האנשים בחסרון אחד ותציא בחילוק קכ"א וב' שלישיות והוא ממון כולם נגרע ממנו המונח ישאר ס"א וזה סך הספר
	ואחר שידענו ממון כולם וסך הספר נבקש ממון כל אחד וראשונה מראובן הנה הנעלם שלו הוא ק"ך נגרעם מקכ"א ישאר א' וב' שלישיות וזה ממון ראובן
	עוד נגרע צ' שהוא הנעלם משמעון מקכ"א שהוא ממון כולם ישארו ל"א וב' שלישיות וזה ממון שמעון
	עוד נגרע פ' שהוא הנעלם מלוי מקכ"א ישארו מ"א וב' שלישיות וזה ממון לוי
	עוד נגרע ע"ה שהוא הנעלם מיהודה מקכ"א ישארו מ"ו וב' שלישיות וזה ממון יהודה
	נחברם כולם יהיו קכ"א שהוא כל הממון
	והבחינה הנה אחר שידעת ממון כל אחד קח כל מה ששאל כל אחד ותראה אם תציא סך הספר שהוא ס"א וב' שלישיות
	המשל בזה קח ממון ראובן שהוא א' וב' שלישיות וחצי ממון שנזכר שמעון ‫שהוא ט"ו וחצי [...] וחצי ממון יהודה שהוא [...] הספר עוד קח ממון [...] כולם יהיו ס"א ב' שלישיות כסך הספר [...] שלשית לוי י"ג וח' תשיעיות ושלישית יהודה [...] כל השברים יהיו י"ח תשיעיות שהם שנים וב' שלשיות [...] יהיו ס"א וב' שלישיות כנז' והוא סך הספר
	גם נקח כל ממון לוי שהוא מ"א וב' שלשיות ורביעית ראובן שמעון ויהודה ויהיה גם כן סך הספר כי רביעית ראובן הוא ב' שלישיות וחלק מי"ב ורביעית שמעון ז' וב' שלישיות י"ג חלקים ורביעית יהודה [...] ב' שלישיות תחבר השלמים והשברים יהיו ס"א וב' שלישיות כסך הספר
	עוד קח כל ממון יהודה שהוא מ"ו וב' שלשיות וחמשית ראובן שהוא שלשית וחמשית שמעון שהוא ו' ושלישית וחמשית לוי שהוא ח' וחמשית תחברם יהיו ס"א וב' שלישיות כסך הספר וכן כל כיוציא בזה
	ואם פרש סך הספר יש בו טורח גדול כאשר תראה בשאלה שיבוא בחומר בגד
	שאלה רביעית ראובן שמעון לוי קנו בגד אחד בסך ל"ה פרחים ואמר ראובן לאחרים [תנו לי] ג' שביעיות ממונכם ועם ממוני אקנה הבגד ואמר שמעון תנו לי חמשית ממונכם ועם ממוני אקנה הבגד ואמר לוי תנו [לי שמינ]ית ממונכם ועם ממוני אקנה הבגד שאלתי ממון כל אחד וזה צור[ת] שאלתם
Reuven $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}}}$ Shimon $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ Levi $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}}}$	ראובן שמעון לוי
	תשובה הנה זאת השאלה יחויב לעשותה כל מה שעשיתי בשאלה שעברה ואחר עם דרך השלושה
	והמשל קח מורה אלו השברים שהוא ר"ף ויהיה המונח ועתה כופלהו על מורה שברי ראובן יהיה אלף תתק"ס תחלקם על ד' שיש מן השברים למורה ותציא ת"ץ וזה הנעלם לראובן שאם ‫[...] המונח עוד תכפול [...] חלקם על ד' שיש מן השברים [...] שאם תגרע חמשיתו שהם ע' [...] לוי יהיה ב' אלפים [...] למורה ותציא ש"ך וזה הנעלם [...]גרע שמיניתו שהוא [.] ישאר המונח תחברם כולם ת"ץ [...] והוא אלף ק"ס תחלקם על שנים שהם אחד פחות מן האנשים יעלה תק"ף וזה יהיה ממון כולם [...] כפי הנראה
	גרענו ממנו המונח ישארו ט' [פרחים] וזה סך הבגד כפי הנראה
	ואחר גרע ממון נעלם כל אחד מממון כולם והנשאר הוא ממונו
	כיצד גרענו נעלם ראובן שהוא ת"ץ ממון כולם שהוא תק"ף [ישאר צ'] והוא ממון ראובן
	עוד גרענו נעלם שמעון שהוא ש"ן מתק"ף ישאר ר"ל והוא ממון שמעון
	עוד גרענו נעלם לוי שהוא ש"ך מתק"ף ישאר ר"ס והוא ממון לוי
	והנה ידענו ממה שעשינו בזאת השאלה כי ממון ה[..] הוא ש' פרחים ואנחנו לא קבלנו אלא ל"ה פרחים
	ונאמר בדרך השלושה אם ש' נתן לנו צ' לראובן ל"ה מי יתן לנו בזאת הצורה
300 90 35 0 for Reuven 300 230 35 0 for Shimon 300 620 35 0 for Levi	ראובן 0 הג ‫0ט ‫00ג אם לשמעון 0 הג ‫0גב ‫00ג אם ללוי 0 הג ‫0וב ‫00ג אם
	והיוציא שהוא עשרה פרחים וק"ן חלקים מש' בפרח יהיה ממון ראובן
	עוד אמור אם ש' נתן לנו ר"ל לשמעון ל"ה מה יתן לו כזאת הצורה
	והיוצא שהוא כ"ו פרחים ור"ן חלקים מש' בפרח יהיה ממון שמעון
	עוד אמור אם ש' נתן ר"ס ללוי ל"ה כמה יתן לו כצורה השלישית
	והיוציא והוא ל' פרחים וק' חלקים מש' בפרח יהיה ממון לוי
	והרי לך ממון כל אחד
	והנה תוכל לקצר אם בדרכי השלושה אם בשברים ‫אבל כדי שלא ‫[...]
	והבחינה כך הוא [...] הנשארים [...] תקח ממון השני וחמשית הנשארים [...] השלישי ושמנית הנשארים ותציא סך הבגד [...] יותר נקל תן השלמים בשברים ואחר תקח ג' [...] החלקים שתרצה כנזכר
	המשל בזה נתן ממון ראובן בשברו יהיו ג' אלפים וק"ן מש' בשלם וממון שמעון ח' אלפים ונ' חלקים מש' בשלם וממון לוי ט' אלפים וק' חלקים מש' ויהיו שלושתם כזאת הצורה
Reuven's money $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3150}{300}}}$ Shimon's money $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8050}{300}}}$ Levi's money $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1900}{300}}}$	‫0האג ‫00ג ממון ראובן ‫0ה0ח ‫00ג ממון שמעון ‫00אט ‫00ג ממון לוי
	נקח ממון ראובן כולו וג' שביעיות ממון הנשארי כי ג' שביעיות ממון שמעון הוא ג' אלפים ת"ן כי השביעית הוא אלף ק"ן וג' שביעיות ממון לוי הוא ג' אלפים תת"ק נחברם כולם יהיו עשרת אלפים ת"ק נחלקם על ש' כי כולם שברים מש' בפרח יעלו ל"ה שהוא סך הבגד ועוד לקחנו כל ממון שמעון שהוא ח' אלפים וחמשים ועם חמשית ממון ראובן שהוא תר"ל ועם חמשית ממון לוי שהוא אלף תת"ך יהיו כולם עשרת אלפים ת"ק אשר נחלקם על ש' ותיצא ל"ה פרחים שהוא סך הבגד ועוד נקח כל ממון לוי שהוא ט' אלפים ומאה ועם שמנית ראובן שהוא שצ"ג וצלת וג' רביעיות וגם שמינית ממון שמעון שהוא אלף וששה ורביעית נחברם כולם יהיו עשרת אלפים ות"ק נחלקם על ש' ותציא ל"ה שהוא סך הבגד וזה מה שרצינו ואם לא תוכל לכוון חלקהם תחלק ממון שמעון ולוי על ז' והיוצא תכפול על ג' ותציא לשמעון ג' אלף ת"ן [..] וללוי ג' אלף ת"ק תחברם עם ממון ראובן יהיה הכל עשרת אלף ות"ק נחלקם על ש' יעלו [...] ‫ג' אלפים וק"ן ואחר תחבר [...] אלפים וק"ן קח ג' שביעיותיו [...] ראובן והיוציא תחלק על ש' [...] הבגד עוד תחבר ממון ראובן ולוי כולו [...] ותחברם על ממון שמעון והעולה תחלק על ש' [...] סך הבגד עוד קח ממון לוי וקח שמנית ממון ראובן ושמעון ותחברם עם ממון לוי והעולה תחלק על ש' ותציא ל"ה שהוא סך הבגד וכן כל כיוציא בזה שאם יהיו האנשים רבים שתצטרך לקחת מכל אחד חלק או חלקים שוים כמו חצי או ב' שלישיות או ג' רביעיות או איזה מספר שיהיה שתחברם יחד ומן הנקבץ קח מה שתרצה
The fifth question: Reuven, Shimon and Levi formed a partnership, Reuven contributed 3 dinar to the partnership, Shimon [contributed] 4 [dinar] and Levi [contributed] 8 [dinar]; they Lost 6 dinar. I ask how much will they subtract from their money, each according to his own share?	שאלה חמשית ראובן שמעון לוי עשו חברה ראובן נתן בחברה ג' דינר ושמעון ד' ולוי ח' והפסדו ו' דינרי' שאלתי כמה יגרעו מממונם כל אחד כפי ממונו
6 3 4 8   15	ו ג ד ח   טו
	תשובה הנה דרך השאלה הזאת והדומה לה היא ממש כדרך החברות אלא שכאשר תחלק הריוח תחלק ההפסד ומה שהשיג לכל אחד תגרע מהממון שנתן וזאת השאלה כתבתי ואין להאריך בה ולא בשברים ולא במורכבים
	המשל בזה הוא שתקבץ ממון כולם שהוא ט"ו והוא המורה לחלק עליו ואחר כפול ההפסד על כל אחד וחלק על המורה והיוציא יהיה חלק כל אחד ותגרעהו מממונו כי הפסד ראובן הוא א' וחמשית גרעהו מג' שנתן כחברה ישארו א' וד' חמשיות שלקח מג' דינרי' שנתן ושמעו[ן] הפסיד א' וג' חמשיות גרעהו מד' שנתן ישארו ב' וב' חמשיות ולוי שנתן ח' דינר הפסיד ג' וחמשית גרעהו מח' ישארו ד' וד' חמשיות וכן כל הדומה לזה

The Second Chapter: [Problems of Subtraction of Fractions]	‫הפרק השני [...]
The first question: what is the number, [from which we subtract it its fifth] and three quarters remain. $\scriptstyle a-\frac{1}{5}a=\frac{3}{4}$	שאלה ראשונה מהו המספר [...] וישאר ג' רביעיות [...]
[Suppose it is 20, we subtract] from it its fifth; 16 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)=16}}$	‫[...] ממנו חמשיתו נשארו י"ו
But, we asked [for 3 quarters, so we say:] if 20 gives us 16, which number [gives us] 3 quarters?	ואנחנו שאלנו [...] אם כ' נתן לנו י"ו [...] ג' רביעיות
As this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
If 20 16 0 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$	0 וא ‫0ב א
Multiply the extremes the result is 60 quarters, like this: $\scriptstyle{\color{blue}{20\sdot\frac{3}{4}=\frac{60}{4}}}$	כפול הקצוות יעלו ס' רביעיות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{4}}}$	‫0ו ד
Divide it by 16, which is 64 quarters after equalizing and this is the dividend; it is 60 parts of 64, as this: $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{60}{4}\div16=\frac{60}{4}\div\frac{64}{4}=\frac{60}{64}}}$	תחלקם על י"ו אחר ההשואה שהוא ס"ד רביעיות והוא מח'ולק ויהיה ס' חלקים מס"ד כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{64}}}$	‫0ו דו
It is the sought: we subtract from it its fifth, which is 12; 48 remain and it is [its] 3 quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{64}-\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{60}{64}\right)=\frac{60}{64}-\frac{12}{64}=\frac{48}{64}=\frac{3}{4}}}$	והוא המבוקש נגרע ממנו חמשיתו שהוא י"ב נשארו מ"ח והוא ג' רביעיות
Because, a quarter of 64 is 16 and three times 16 is 48 as the remainder. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot64\right)=3\sdot16=48}}$	כי רביעית ס"ד הוא י"ו וג' פעמים י"ו הוא מ"ח כנשאר
What is [the number], such that if we subtract from it its half and its third 3 remain. $\scriptstyle a-\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}a\right)=3$	מהו שאם גרענו ממנו חציו ושלישיתו שישארו ג‫'
Suppose it is 6: its half is 3 and its third is 2; they are five and one remains. $\scriptstyle{\color{blue}{6-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)\right]=6-\left(3+2\right)=6-5=1}}$	נניח ו' הנה חציו ג' ושלישתו ב' יהיו חמשה ונשאר אחד
But, we asked for 3, so we say: if 1 comes from 6, from which number 3 comes?	ואנחנו שאלנו ג' הנה נאמר אם א' בא מו' ג' מאזה מספר יבוא
As this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
If 1 6 3 0	0 ג ו א אם
We multiply 6 by 3; the product is 18. We Divide it by 1; the result from the assumed is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{6\sdot3}{1}=\frac{18}{1}=18}}$	נכפול ו' על ג' יעלו י"ח נחלקם על א' היוציא מן המונח יהיו י"ח
Its half is 9 and its third is 6; together they are 15. We subtract them from 18; 3 remains and it is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{18-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)\right]=18-\left(9+6\right)=18-15=3}}$	והנה חציו ט' ושלישיתו ו' ושניהם יהיו ט"ו נגרעם מי"ח ישארו ג' והוא המבוקש
Another question: what is the number, from which we subtract its third, its 2 fifths and its eighth and six remain. $\scriptstyle a-\left(\frac{1}{3}a+\frac{2}{5}a+\frac{1}{8}a\right)=6$	שאלה אחרת מהו המספר אשר גרענו ממנו שלישיתו וב' חמשיותיו ושמיניתו וישארו ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$
Suppose it is 120: its eighth is 15, its two fifths are 48 and its third is 40; together they are 103. We subtract them from the assumed, 17 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle120-\left[\left(\frac{1}{8}\sdot120\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot120\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot120\right)\right]&\scriptstyle=120-\left(15+48+40\right)\\&\scriptstyle=120-103=17\\\end{align}}}$	נניח ק"ך והנה שמניתו הוא ט"ו ושתי [ח]משיותיו הם מ"ח ושלשיתו הוא מ' וכולם ק"ג נגרעם מן המונח נשארו י"ז
But, we asked for six, so we say by the rule of three: if [17] comes from 120, from which number six comes?	ואנחנו שאלנו שישארו ששה נאמר בדרך השלושה אם בא מק"ך מאיזה מספר יבוא ששה
As this diagram:	ויהיה כזאת הצורה
If 17 120 6 0	0 ו קך יז אם
We multiply six by the assumed, which is 120; the product is 720. We Divide it by 17; the result of division is [42]. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{6\sdot120}{17}=\frac{720}{17}=42+\frac{6}{17}}}$	נכפול ששה על המונח שהוא ק"ך יעלו תש"ך נחלקם על י"ז יעלה בחילוק [מ"ב‫]
We subtract from it its eighth, when it is restored to 720 parts, because of the remainder of six parts of 17; the eighth is 90; the 2 fifths are 288; and its third is 240. We sum them; they are 618, which are the third, the 2 fifths and the eighth. 102 remain. We divide them by 17; the result is six and it is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{720}{17}-\left[\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{720}{17}\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{720}{17}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{720}{17}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{720}{17}-\left(\frac{90}{17}+\frac{288}{17}+\frac{240}{17}\right)\\&\scriptstyle=\frac{720}{17}-\frac{618}{17}=\frac{102}{17}=6\\\end{align}}}$	נגרע מהם שמיניתו עם שנשיבם לתש"ך בעבור הנשאר בחילוק שהוא ששה חלקי י"ז והיה השמינית צ' והב' חמשיות רפ"ח ושלישיתו ר"ם נחברים יהיו תרי"ח והם השלישית והב' חמשיי' והשמנית ישארו ק"ב נחלקם על י"ז יעלו ששה והוא המבוקש
	מהו המספר אשר נגרע ממנו חצי שלישית רבעית חמשיתו

Chapter [Three: Problems of Compound Subtraction]	הפרק ‫[...] מורכבים
	‫[...] מספר אשר גרענו ממנו [...] וישארו ד' שלמים וד' חמשיות [...] הנה זה המין קל מאוד ובעבור זה לא עשיתי ממנו אלא שתי שאלות וזה שתחבר הכל והיא השאלה
	המשל בזה ג' וד' שלמים הם ז' שלמים עוד תשויה השברים יהיו כ"ב תחלקם על ט"ו שהוא המורה יהיו א' וז' חלקים מט"ו בשלם תקבץ הכל יהיו ח' שלמים נ"ז חלקי ט"ו וזהו המספר אשר גרענו ממנו ג' וב' שלישיות ונשארו ד' וד' חמשיות וה
	והבחינה קח מח' ג' שלמים וב' שלשתו שלישיות ישארו ד' שלמים ושלישית ועוד ז' חלקים מט"ו בשלם נשוים עם השלישית יהיו ל"ו חלקים ממ"ה בשלם שהם ד' חומשים וכן ישובו לד' חמישיות כאשר תקצרם
Another question: what is the number, from which we subtract eight and six-sevenths; and ten and five-sixths remain? $\scriptstyle a-\left(8+\frac{6}{7}\right)=10+\frac{5}{6}$	שאלה אחרת מהו המספר אשר גרענו ממנו שמונה וששה שביעיות ונשארו עשרה וחמשה שישיות
	נחבר הכל והמחובר הוא השאלה הנשאלת
	המשל נחבר השלמים יהיו י"ח נשויה השברים יהיו אחד שלם ועוד כ"ט חלקים ממ"ב בשלם ואם כן יהיה המספר הנשאל י"ט שלמים וכ"ט חלקים ממ"ב בשלם
	והבחינה קח ח' ‫ח' וששה שביעיות [...] ושביעית וכ"ט חלקי מ[...] הם חמשה ששיות ואם ת[...] לראות זה בעין תשוים כזה
	יהיו רמ"ה חלקים מרצ"ד בשלם והם הששיות ולראות אותו יותר תשוים עם חמשה שישיות כצורה השנית כפול רצ"ד על ד' יעלו אלף ות"ע וכן יעלו כפל רמ"ה על ששה וזה יורה כי הם חמשה ששיות
Another question: what is the number, from which we subtract one-half of one-third of one-quarter of its fifth; and seven remains? $\scriptstyle a-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot a\right)=7$	שאלה אחרת מהו המספר אשר גרענו ממנו חצי שלישית רביעית חמשיתו ושישאר שבעה
Suppose it is 120: its fifth is 24, the quarter of 48 is six, the third of six is 2 and a half of 2 is 1. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot120=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot24=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\sdot6=\frac{1}{2}\sdot2=1}}$	נניח ק"ך והנה חמשיתו כ"ד ורביעית כ"ד ששה ושלישית ששה ב' וחצי ב' א‫'
	ואנחנו שמנו ז' נאמר אם א' בא מק"ך ז' מאיזה מספר יבוא ויהיה כזאת הצורה
If 1 120 7	ז ‫0בא א אם
	נכפול ז' על ק"ך יעלו תת"מ נחלקם על א' יהיו תת"מ והוא המבוקש
	והבחינה ניקח מהם החמשית יהיו קס"ה ורביעית קס"ה הוא מ"ב ושלישית מ"ב הוא י"ד וחצי י"ד הוא ז' והוא מה שרצינו
	שאלה אחרת מהו המספר שאם גרענו ממנו [..] רביעית חמשית שישית שביעיתו כזאת הצורה ושישאר י"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$
Suppose the number is 840: its seventh is 120, the sixth of 120 is 20, the fifth of 20 is 4 and a quarter of 4 is 1. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot840=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot120=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot20=\frac{1}{4}\sdot4=1}}$	נניח שהמספר הוא תת"מ והנה שביעתו הוא ק"ך ושישית ק"ך הוא כ' וחמשית כ' הוא ד' ורביעית ד' הוא א‫'
	ואנחנו שאלנו י"א ונאמר אם א' בא מתת"ם מאיזה מספר יבא י"א כזה הצורה
If 1 840 11	אא ‫0דח א אם
	נכפול י"א על תת"מ יעלו ט' אלפים ר"מ נחלקם על א' והוא מחולק והוא המספר הנעלם הנשאל
	והבחינה נקח חלקיהם והנה שביעית ט' אלף ר"ס הם אלף ש"ך וששית אלף ש"ך הם ר"ך וחמשית ר"ך הוא מ"ד ורביעית מ"ד הוא י"א והוא מה שרצינו

The Fourth Section: Division Problems	‫‫[השער הרביעי בשאלו]ת חילוק
	חלקתיו [לשלשה פרקים]
	‫[הפרק הראשון] בשאלות חילוק שלמים
	הפרק השני בשאלות חילוק שברים
	הפרק השלישי בשאלות חילוק מורכבים
The First Chapter: Problems of Division of Integers	הפרק הראשון בשאלות חילוק שלמים
The first question: divide 17 into two different parts, such that the greater part is 4 times as the smaller.	שאלה ראשונה חלק לי י"ז בשני בשני חלקים מתחלפים אשר החלק הגדול יהיה ד' פעמים כקטן
	דע כי אלה השאלות תוכל לעשותם באחד משני שלשה דרכים
	והדרך הראשון יחלק לשני סדרים
	אשר הסדר האחד הוא לדעת החלק הגדול והנשאר יהיה החלק הקטן שהוא תשלום הסך
	והסדר השני הוא לדעת החלק הקטן והנשאר הוא תשלום הסך החלק הגדול לתשלום הסך
	ובאלו השני סדרים לא תוכל לחלק המספר אלא לשני חלקים מתחלפים
	והדרך השני [...] בדרך החברות
	ואני אתן שאלה לכל אחד מן השלמים וכן [...] בשברים ובמורכבים
	והתשובה לזה השאלה בסדר הראשון מן הדרך הראשון שהוא לדעת החלק הגדול והנשאר לתשלום הסך הוא החלק הקטן וזה יהיה בשתכפול המספר המונח על כפלי המספר הגדול הנשאל והעולה תחלק על אחד יותר מכפלי המספר הגדול
	המשל בשאלתנו נכפול י"ז על כפלי המספר הנשאל שהוא ד' פעמים יעלה ס"ח ‫תחלקם על אחד [...] יהיו ה' תחלק ס"ח על ה' [...] החלק הגדול והנשאר לתשלום י"ז [....] הקטן והנה י"ג וג' חמשיות הוא גדול ‫[...]
	ומעשה הבחינה כך הוא בדרכים רבים ואכתוב [...] הראשון הוא בכפל והשני בחלוק והשלישי אחר ההשואה ובעבור שלא אאריך אתן לכל משל בחינתו
	והנה הדרך הראשון בזה המשל הוא בכפל והוא שתתן כל השלמים בשבר[..] ויהיו הגדול ס"ח חלקים מד חמשיות והקטן י"ז חמשיות כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{17}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{68}{5}}}$	יז ה סח ה
	כפול הקטן על ד' פעמים ויעלה ס"ח והוא ויורה כי הוא גדול ד' פעמים כקטן והוא המבוקש
The second question: divide 11 into two different parts, such that the one is greater that the other by 18 times.	שאלה שנית חלק לי י"א בשני חלקים מתחלפים שיהיה האחד גדול מן השני י"ח פעמים
	תשובה בדרך השני והוא הטוב והנקל והוא ידעת החלק הקטן ראשונה ותשלום הסך הוא הגדול וזה הוא שתחלק הסך המונח על אחד יותר מן הכפלים ששאל והיוצא יהיה החלק הקטן
	המשל בזה תחלק י"א על י"ט שהוא אחד יותר מי"ח ששאל ותציא בחילוק י"א חלקים מי"ט כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{19}}}$	יא יט
	וזה החלק הקטן והחלק הגדול יהיה עשרה וח' חלקים מי"ט כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{19}}}$	ח יט
	שהם תשלום [..] לי"א
	והבחינה יהיה בחילוק שהוא הדרך השני שיעדי[.] והוא שתתן השלמים בשברם כזה הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{198}{19}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{19}}}$	חטא טא אא טא
	יהיה הגדול קצ"ח חלקים מי"ט והקטן ידוע תחלק קצ"ח על י"א ותציא י"ח והנה יש בקצ"ח י"ח פעמים י"א והוא הנשאל
The third question: divide 119 dinar into 4 different parts, such that the first has 2, the second has the same as the first plus a half, the third twice as the second plus its third, and the fourth as the third plus its 4 sevenths.	שאלה שלישית חלק לי קי"ט די' לד' חלקים מתחלפים לראשון ב' ולשני כראשון וחצי והשלישי ב' פעמים כשני ושלישיתו והרביעי כשלישי וד' שביעיותיו
	ויהיו המספרים ‫[...] קי"ט ויהיו כזאת הצורה
	תחבר הד' מספרים יהיו כ"ג וזה המורה לחלק עליו ואחר כפול כל אחד על הסך המונח וחלק על המורה והיוציא הוא הראוי לכל אחד וזה הדרך הוא דרך החברות כי לראשון יעלה עשרה די' וח' חלקים מכ"ג ולשני ט"ו די' וי"ב כ"גין ולשלישי ל"ו די' וה' כ"גין ולרביעי נ"ו וכ"א כ"גין
[to the first] [to the second] [to the third] [to the fourth] the denominator 23 10 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{23}}}$ 15 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{23}}}$ 36 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{23}}}$ 56 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{21}{23}}}$	כגין ח ‫0א כגין בא הא כגין ה וג כגין אב וה       [לראשון] [לשני] [לשלישי] [לרביעי] המורה כג
	הבחינה בבחנת החברות שתחבר השברים ותמצה ב' שלמים ותחברם עם השלמים יהיו קי"ט כנשאל
	גם בחינה אחרת שתראה אם השני הוא כפל הראשון וחציו והשלישי ב' פעמים כשני ושלשיתו והרביעי כשלישי וד' שביעיותיו ואם יהיה כזה בשאלות הדומות מוטב
The fourth question: what is the number that is divided by 11 and the result is 39?	שאלה רביעית מהו המספר הנחלק על י"א והיוציא יהיה ל"ט
	‫היא מבוארת כי תכפול י"א על ל"ט יהיו תכ"ט תחלקם על י"א אבל עשתי אותה בסדר
	תשובה תניח שהמספר הנעלם הוא ב' תחלק ב' על י"א יהיו והוא מחולק ב' חלקים מי"א ועתה אמור אם ב' נתן לנו ב' חלקים מי"א מי יתן לנו ל"ט ויהיה כזאת הזאת
If 2 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{11}}}$ 0 39	לט 0 ב יא ב אם
	כפול החיצוניות שהם ב' על ל"ט יעלו ע"ח תחלקם על ב' חלקים מא"א וראשונה בשוים ותן ע"ח בי"א יהיו תתנ"ח חלקים מי"א תחלקם על ב' חלקים מי"א כי שניהם שוים ותציא בחילוק תכ"ח וזה הוא המספר הנעלם אשר ‫אם תחלקו על י"א [...] תחלק תכ"ח הנעלם על [...] גם אם תכפול י"א על ל"ט יעלו ‫[...]
	שאלה חמשית מהו המספר הנחלק [...] תחלק על ג' והיוציא בחילוק תחלק [...] יהיה ז'
	תשובה תניח המספר שתרצה וחלקהו [...] ששאלת ושמור היוציא באחרית ואחר אמור אם זה המונח נתן לי זה המספר אשר בידי מי יתן לי ז' ששאלת
	המשל בזה נניח כ"ד המספר הנעלם תחלק אותו על ד' ויעלה ו' עוד תחלק ו' על ג' ויעלה ב' תחלק ב' על ב' ויעלה א' ואנחנו שאלנו ז' עתה אמור בדרך השלושה אם א' בא [מכ"ד] ז' מאי זה מספר יבוא ויהיה כזאת הצורה
If 1 24 7 0	0 ז כד א אם
	כפול האמצעיות יעלו קס"ח תחלקם על א' ויהיה העולה קס"ח והוא הנעלם אשר אם תחלקהו על ד' יהיה העולה מ"ב ואם תחלק מ"ב על ג' יעלה בחילוק י"ד ואם תחלק י"ד על ב' יעלה בחילוק ז' והוא המבוקש
	והבחינה היא אמתת המבוקש או חלוקת כל בן על אביו או בהפך
	שאלה ששית חלק לי מ"ח פרחים לה' אנשים כזה הערך לראשון א' ולשני ג' ולשלישי ה' לרביעי ז' לחמשי ט' כזאת הצורה
1 3 5 7 9	ט ז ה ג א
	זה הדרך יהיה לכל המספרים הנמשכים בערך מה והדרך לכולם הוא שתגרע מספר המקומות ממספרך והנשאר חלקהו לכל המקומות והיוציא יהיה כערך הנשאל
	והמשל תגרע מספר הה' מקומות שהוא כ"ה ממ"ח ישארו כ"ג תחלק כ"ג לה' מקומות בשוה יציא לכל אחד ד' וג' חמשיות תחבר ד' וג' חמשיות עם מספר כל מקום ‫[...]שיות ולשני ז' וג' חמשיות [...] י"א וג' חמשיות ולחמשי י"ג וג' [...]
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$13 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$11 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$9 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$7 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}$5	גא אא ט ז ה

The Second Chapter: Problems of Division of Fractions	‫[הפרק] השני בשאלות חילוק שברים
	שאלה [..] ראשונה חלק לי ב' חמשיות לשני חלקים מתחלפים ושיהיה החלק הגדול כ"ח פעמים כקטן
	תשובה זה תעשה עם הסדר השני שאמ[ר]תי בשאלות חילוק שלמים והוא שתחלק המספר המונח על אחד יותר מהנשאל והיוציא יהיה החלק הקטן ותשלומו ל"ב חמשיות יהיה החלק הגדול
	המשל בזה חלק ב' חמשיות לכ"ט שהוא אחד יותר מהנשאל וראשונה כן כ"ט בחמשיות כי השבר הוא חמישית ויהיו קמ"ה חמשיות תחלק ב' על קמ"ה והוא מחולק כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{145}}}$	ב הדא
	וזה השבר הקטן ותשלומו ל"ב חמשיות יהיו נ"ו חלקים מקמ"ה כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{56}{145}}}$	וה הדא
	והוא כ"ח פעמים גדול מן הראשון
	ואם לא תדע לכוין תשלום המספר המונח הנה אתן לך לידיעתו שני דרכים
	אשר האחד הוא שתחלק המורה שהוא קמ"ה על ה' ותציא לך כ"ט שהוא חמשיתו וכפלו שהוא נ"ח יהיו ב' חמשיות הנה הראשון ב' והנה תשלומו לנ"ח יהיה נ"ו והוא הגדול
	והדרך השני הוא כי ידוע שכאשר נכפול כ"ט על ה' שהוא מורה השברים יהיה קמ"ה וחמשיתו הוא כ"ט וב' פעמים כ"ט הוא נ"ח והנה נ"ח הוא ב' חמשיותיו והנה החלק הקטן יהיה ב' ותשלומו לנ"ח הוא נ"ו כנז'
	והבחינה הוא מבוארת כי נ"ו הוא כ"ח פעמים ב' ‫או אם תחלק [...] כי נ"ו שהוא הגדול הוא ‫[...]
	דרך לחלק איזה מספר ש[...] כמו חצי ושלישית ורביעית [...] לעשות זה בג' דרכים
	הדרך הראשון ‫[...]
	והדרך השני בדרך החברות
	והדרך השלישי בדרך השלשה
	המשל בזה שרצינו לחלק כ"ג פרחים לג' אנשים לראשון החצי ולשני השלישית ולשלישית הרביעית
	והנה אם ניקח חצי כ"ג שהוא י"א וחצי ושלישיתו שהוא ז' וב' שלישיות ורביעיות שהוא ה' וג' רביעיות הנה חיבור כולם יהיה כ"ד וי"א חלקים מי"ב ויהיה קרוב מכ"ה
	ואם כן הדרך הסלולה לכל השאלות הדומות לזה שניקח מורה שיהיו בו חצי ושלישית ורביעית ועתה ניקח י"ב ויהיה כזה הצורה
13 3 4 6 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$ 12	גא ג ד ו בא
	נחבר כל החלקים האלה ויהיו י"ג והוא המורה לחלק עליו ואחר נכפול ו' שהם חלקי הראשון אשר לו החצי מן הכ"ג פרחים יעלו קל"ח נחלקם על סך כולם שהוא י"ג יעלה בחילוק עשרה פרחים י"ח חלקים מי"ג בפרח ובמקום אחר תראה מה נעשה מזה הנשאר די' ופשי'
	ולשני נכפול גם כן ד' על כ"ג יעלו צ"ב נחלקים על י"ג שהוא סך כולם כנז' יעלו ז' פרחים וחלק מי"ג בפרח וזה חלק השני
	ולשלישי נכפול ג' על כ"ג יעלו ס"ט נחלקם על י"ג יעלו ה' פרחים וד' חלקים מי"ג בפרח וזה חלק השלישי
	ויהיו כצורה הזאת
	ד גא פרחים ה לוי א גא פרחים ז שמעו' ח גא פרחים י ראובן
	והבחינה ‫[...]
	ח גא י פרחים ראובן א גא ז פרחים שמעו ד גא ה פרחים לוי
	[הדרך] השני בדרך החברות במשל הנז' שהוא חצי [...]שלישית ורביעית וימציא בי"ב אשר חציו ו' [ושל]ישיתו ד' ורביעיתו ג' ונאמר כי ראובן נתן בחברה ו' ושמעון ד' ולוי ג' כזאת הצורה
	גב ו ראובן ד שמעו ג לוי   גא
	והרויחו כ"ג פרחים נכפול כ"ג על ו' יעלו קל"ח נחחלקם על י"ג יעלה בחילוק עשרה פרחים וח' חלקים מי"ג בפרק
	גם נכפול ד' שהוא חלק השני בכ"ג והעולה נחלק על י"ג יעלה [.] פרחים וחלק מי"ג
	גם נכפול ג' שהוא חלק השלישי על כ"ג והעולה נחלק על י"ג ותציא ה' פרחים וד' חלקים מי"ג בפרח
	והבחינה קח חלקיהם והשלמים ותמצא כ"ג
	הדרך השלישי במשל הנז' בדרך השלשה ונאמר אם י"ג שהוא סך כולם נתן ו' לראובן כי המורה לחלקיהם הוא י"ב וחצי לראובן הוא ו' כ"ג מה [י]תן לו נכפול ו' על כ"ג ונחלקם על י"ג
	וכן לשני אם [..] י"ג נתן ד' לשמעו כ"ג מה יתן לו נכפל ד' על כ"ג ונחלק על י"ג
	וכן ללוי אם י"ג נתן ג' כ"ג מה יתן ונתן
	וכן כל הדומה לזה

Chapter Three	‫הפרק השלישי [...]
	שאלה תחלק לי כ"ב ליטרי ממון [...] ליטרה בשני חלקים מתחלפים [...] גדול מן השני י"ג פעמים
	תשובה תשויה השלמים עם שברי השברים [...] תס"ג חלקים מכ"א בשלם כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{463}{21}}}$	גוד אב
	תחלקם על אחד יותר מהנשאל שיהיו י"ד תשוים עם הנרצה לחלק וזה שתכפול י"ד על כ"א שהוא מורה תס"ג המונחים ויהיו רצ"ד תחלקם על תס"ג ויעלה בחילוק אחד וקס"ט חלקים מרצ"ד כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{169}{294}}}$	טוא דטב
	וזה החלק הקטן
	ולדעת החלק הגדול תשויה המספר המונח עם זה החלק הקטן ויהיה כזה הצורה
	הקטן המונח גבזט דבאוגא גוד גוד דטב אב דזאו
	ויהיה המונח קל"ו אלפים וקכ"ב והם חלקים מו' אלפים וקע"ד שהוא המורה הכללי והשני הוא החלק הקטן הוא ט' אלפים תשכ"ג והם חלקים מהמורה הנזכ' שהוא ו' אלפים קע"ד ומספר תשלומו הוא קכ"ו אלפים שצ"ט וזה החלק השני הגדול אשר הוא גדול מן הקטן י"ג פעמים
	ודרך לדעת תשלומו הוא שתגרע החלק הקטן שהוא ט' אלפים תשכ"ג מן המספר המונח שהוא קל"ו אלפים קכ"ב והנשאר הוא החלק השני הגדול
	והבחינה הוא שתחלק הגדול שהוא קכ"ו אלפים שצ"ט על הקטן כי שניהם ממורה אחד ותציא לך י"ג ותורה שהוא גדול מן הקטן י"ג פעמים
	או תכפול הקטן על י"ג ותציא הגדול ותורה כי הקטן הוא קטן מן הגדול י"ג פעמים
	והנה זאת השאלה תוכל לקצרה כי שלישית הג' שביעיות הוא שביעית מקוצר וכן כ"כ לטרי' בשבעית וכו' כי אין להאריך
	שאלה
	‫[...] הנחלק על י"ב וד' שביעיות [...] היוציא בחילק כ"ז וב' חמשיות [...] כוזיב ועם דרך השלושה הנה [...] ראשונה שבר השבר והנה ד' שביעיות [...] ד' חלקים מנ"ו תקצרם יהיו חלק מי"ד [...] המורה ועתה תן השלמים בזה המורה יהיו קס"ח ועם החלק יהיו קס"ט חלקים מי"ד ויהיו כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{169}{14}}}$	טוא דא
	ושמור אותו לחלק [עליו] ועתה תניח המונח ואמור שהוא ב' תחלקהו על השמור והוא מחולק אחר השיווי שתתן ב' בי"ד יהיו כ"ח כי י"ד הוא המורה והם כ"ח חלקים מקס"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28}{169}}}$	חב טוא
	והנה אנחנו שאלנו כ"ז וב' חמשיות ונאמר בדרך השלושה אם ב' נתן לנו בחלוקה כ"ח חלקים מקס"ט מי א יתן לנו שתציא בחילוק כ"ז וב' שלישיות [חמשיות] ויהיה כזה הצורה
	כז חב טוא ב אם
	כפול האמצעיות וראשונה תן כ"ז בשברו יהיו קל"ז חמשיות ואחר כפול ב' על קל"ז יעלו רע"ד חמשיות תחלקם על כ"ח חלקים מקס"ט מי יתן לנו שתציא בחילוק כ"ז וב' חמשיות כפול האמצעיות וראשונה תשוים בזאת הצורה
	‫0דא   ו0גוד חב טוא X דזב ה
	יהיה המספר הראוי לחלק מ"ו אלפים וש"ו והמחלק ק"מ והנה תחלק מ"ו אלפים ש"ו על ק"מ ותציא ש"ל שלמים וק"ו חלקים מק"מ שאם תקצרים בחצי יהיו נ"ג חלקים מע' והוא המספר הנעלם אשר אם חלקנוהו על י"ב וד' שביעיות שמינית תציא כ"ז וב' חמשיות
	והבחינה היא שתחלק ש"ל שלמים ונ"ג חלקים מע' לי"ב וד' שביעיות שמינית וראשונה ניתן כל ‫כל אחד בשברו יהיה [...] חלקים מע' כזה והשנית [...] מי"ד כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{169}{14}}}$	טוא דא
	כאשר קדם יהיו [...] כ"ג אלפים וקנ"ג על קס"ט [...] כזאת הצורה
	‫0גחאא   בדאדבג טוא דא X גהאגב ‫0ז
	ויהיה אחר ההשואה הראוי לחלק שכ"ד אלפים וקמ"ב והשניי אשר עליו תחלק י"א אלפים ותת"ל ותציא בחילוק כ"ז שלמים וד' אלפים ותשל"ב חלקים מי"א אלפים ותת"ל בשלם שהם ב' שלישיות אם תקצרם
	בחינה אחרת לדעת אם הם ב' חמשיות וזה ששוי השיור הנזכר עם ב' חמשיות כזאת הצורה
	‫0ווגב   ‫0ווגב ב ה X בגזד ‫0גחאא
	ואז תראה ששניהם שוים בהשואה שאז יציא כל אחד כ"ג אלפים תר"ס ויורה שהוא טוב
	שאלה חלק שלמים על שברים כמו ד' שלמים על ב' חמשיות כזה ‫
	תן השלמים [...] השברים יהיו ב' חמשיות נחלקם על ב' יהיו עשרה חמשיות שהם ב' שלמים אחר הקיצור ואם תרצה לתת השלמים תחת השברים כזה הצורה
	ד
	כפול ד' על ה' יהיו עשרים חמשיות תחלקם על ב' יעלו עשרה חמשיות אשר הם ב' שלמים אחר הקיצור
	וגם האחרות תוכל לתתם בזה הצורה אלה שאלכתי אחר מנהג
	‫[...]רצינו לחלק שלמים [...]שלמים ושברים כמו [...] על ג' שלמים וד' חמשיות כזה [...] השלמים כל אחד בשברו יהיה הראשון [...] כ"ג רביעיות והשני י"ט חמשיות כי ה' על [...] עשרים וג' שבריו יהיו כ"ג רביעיות והוא המחולק והמחלק יהיו י"ט חמשיות כמו שתראה בצורה הזאת
	וז   ה0א טא ה X גב ד
	נשום יהיו המחולק ק"ה והמחלק ע"ו נחלק ק"ה על ע"ו יציא בחילוק אחד ול"ט חלקים מע"ו בשלם
	שאלה אחרת לחלק שלמים ושברי שברים על דומהם כמו שרצינו לחלק ששה שלמים וב' שלישיות מג' רביעיות על ד' שלמים וד' חמשיות מב' שלישיות ויהיו בזאת הצורה
	‫0א       ט     מ ד על מ ו   הא       בא
	הנה ראשונה נשויה השברי שברים ג' על ג' יהיו ט' תניחם על ג' רביעיות וב' שלשיות ט' הם ו' כי המורה הוא י"ב וששה מי"ב הם חצי וזה השברי שברים הראשון ותניחם על י"ב כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{12}}}$	ו בא
	גם נכפול ה' על ב' יהיו עשרה על ב' שלישיות וניקח מהם ד' חמשיות והנה הם ח' ועתה שבו השברים הראשונים ו' שהם חצי י"ב שהם חצי השלם ולשניים ח' חלקי ט"ו ויהיו כזה הצורה
	ח הא ד ו
	ותן עתה השלמים בשבריהם יהיו על ב' שהוא מורה שבריו י"ג והמורה ב' עוד ד' שלמים על ט"ו הם ס' וח' משבריו יהיו ס"ח והמורה ט"ו והיו כזאת הצורה
	וגא   הטא חו הא X גא ב
	ואם צורך למורה הכלל נשום ‫יהיה המחולק קצ"ה והמחלק [...] בחילוק אחד שלם ונ"ט חלקים מ‫[...]

The Fifth Section: Mixed Problems	‫‫[השער החמשי] [בשא]לות מעורבות
	חילקתיו [לארבעה פרקים]
	‫[הפרק הראש]ון בשאלות מעורבות מקצת הדרכים
	‫[הפרק] השני בשאלות תחבוליות
	‫[ה]פרק השלישי בשאלות מתחלפות
	‫[הפרק הרביעי בתערובת המטבעות]
	‫[ובו ג' סדרים הסדר הראשון בחיבור ובגרעון המשקלים ובידיעת הנקי ממרקוש ושבריו הסדר השני בידיעת התערובת מסכים מתחלפים מכסף הסדר השלישי בידיעת דרכי תערובת הזהב]
	הקדמה לשני מונחים הנה ראוי שתדע כי בכל שאלה יש חלוקה הכרחית והיא שכל מונח יהיה אם שיגרע האחד מן הסך הנשאל ויעדיף השני או שיגרעו שניהם או שיעדיפו שניהם [...] או יגרעו שניהם או יעדיפו שניהם גרע הקטן מן הגדול והנשאר הוא המורה לחלק עליו ואם יהיה האחד עודף והשני גורע תחברם והוא ויהיה המורה לחלק עליו ושמור אותו ואחר תכפול כל מונח בעודף או בגרעון השני וגרע הקטן מן הגדול אם השמור גרעת או תחברם אם השמור חיברתה והנשאר או המחובר תחלק על המורה השמור כי לעולם תחבר או תגרע שני פעמים הראשון לחלק עליו והשני הדבר המחולק אשר ממנו יצא הסך הנשאל
The First Chapter: Mixed Problems	[הפרק הראשון בשאלות מעורבות]
Question: one merchant bought clothes, their number is unknown, but we know that for every 4 clothes he paid [9] peraḥim and that the total clothes and peraḥim were all 92. I ask: how many clothes did he buy and how many peraḥim did he pay? $\scriptstyle9\sdot\frac{a}{4}+a=92$	שאלה סוחר אחד קנה בגדים נעלמו מספרם אבל ידענו כי בכל ד' בגדים פרע מן פרחים והבגדים והפרחים היו כולם צ"ב שאלתי כמה בגדים קנה [והפרחים שהוציא]
	תשובה הנה זאת השאלה תוכל לעשותה עם דרך השלשה וזה ועוד אחרות אעשה עם השני מונחים כדי שתרגילם והנה נניח מונח אחד ונאמר כי ד' בגדים הם בט' פרחים נחביר ד' וט' יהיו י"ג והנה מי"ג עד צ"ב יחסרון ע"ט בזה המונח עוד נניח המונח השני ד' בגדים והם שוים י"ח פרחים נחבר ‫י"ח עם ח' בגדים יהיו כ"ו והנה [...] צ"ב ונאמר עם ח' בגדים יחסרון ס"ו [...] שהם פחות [...] ישארו י"ג ושמור [...] כי הוא המורה וא[...] מונח על הפחות מן [...] והעולה משניהם גרע הקטן מן הגדול והנשאר תחלק על השמור והיוציא הוא המבוקש
We multiply 4 by 66; the result is 264. [Write it] beneath 66. $\scriptstyle{\color{blue}{4\times66=264}}$	כיצד כפלנו ד' על ס"ו יעלה רס"ד ות[...] תחת ס"ו
Multiply also 8 by 79; the result is 632. $\scriptstyle{\color{blue}{8\times79=632}}$	עוד כפול ח' על ע"ט היוציא תרל"ב
Subtract 264 from 632; 268 remain. Divide them by the reserved 13; the result is 28 and 4 parts of 13. So, he bought 28 clothes and 4 parts of 13 of a cloth and the remainder from the 92, which are 63 and 9 parts of 13 are the peraḥim that he paid.	גרע רס"ד מתר[ל"ב] ישארו רס"ח תחלקים על י"ג השמור יעלה בחילוק כ"ח וד' חלקים מי"ג והנה כ"ח בגדים וד' חלקים מי"ג בבגד קנה ונהשאר מהצ"ב שהם ס"ג וט' חלקים מי"ג הם הפרחים שהוציא
632   plus 4 minus 79 13 plus 8 minus 66       264	בגו       יג עט פחות ד עם סו פחות ח עם   דוב
	והבחינה היא שתאמר עם דרך השלשה אם ד' בגדים נתן ט' פרחים כ"ח בגדים וד' חלקים מי"ג בבגד כמה והראוי שיתן ס"ג פרחים וט' חלקים מי"ג ויהיה בזאת הצורה
	0 ד יג כח ט ד אם
	נכפול האמצעיות אחר שתתן כ"ח בי"ג שהם עם הד' שברי' שס"ח חלקים מי"ג עתה נכ[פול] על ט' יהיה העולה ג' אלפים שי"ב נחלקם על ד' אחר שתשוים על י"ג שהם נ"ב יעלו בחילוק ס"ג וישארו ל"ו חלקים מנ"ב שאם תקצרם ברביעית יהיו נ"ו חלקים מי"ג והוא המבוקש כנזכר
	והנה כאשר כאשר לקחתי למונח סך הבגדים כך תוכל לקחת למונח הפרחים כי עם מה שתרצה תוכל לעשות המונח
The second question: one merchant bought 3 horses for 200 peraḥim, the price of each by itself is unknown, but it is known [that the price of the second horse is] the double [the price of] the first plus another 4 and the price of the third [is 3 times the price of the second minus 7]. I ask the price of each by himself.	שאלה שנית סוחר אחד קנה ג' סוסים בסך ק"ק פרחים נעלם סך כל אחד בפני עצמו אבל הוא יודע ‫[כי סך הסוס השני הוא] כפל הראשון ועוד ד' וסך השלשי [הוא ג' פעמים השני פחות ז‫'] שאלתי סך כל אחד בפני עצמו
	‫[התשובה] סך הסוס הראשון הוא ה' וכפלו ועוד ד' [...] יהיו י"ד והנה לשלשי ג' כפלי השני פחות [...] תחברם כולם יהיו נ"ד ואנחנו שאלנו ק"ק והנה [...] גרעון קמ"ו במונח הראשון עוד נניח למונח השני [...] והנה כפלו לשני ועוד ד' יהיו י"ו וג' כפלי השני פחות ז' [...] מ"א לשלשי תחבר שלשתם יהיו ס"ג ואנחנו שאלנו ק"ק [...] יגרעו מזה המונח קל"ז ויהיו שניהם בזאת הצורה
	תתעו       קצא ט קמו פחות ה עוד קלז פחות ו עוד     תרפה
	ועתה גרע הפחות הקטן מן הפחות הגדול קל"ז מקמ"ו ישארו ט' והוא המחלק המורה ושמור אותו עוד עשה גרעון אחר והוא שתכפול כל מונח בפחות המונח השני ו' על קמ"ו ויעלו תתע"ו ותניחם על קמ"ו גם ה' על קל"ז ויעלו תרפ"ה ותניחם על תחת קל"ז ואחר תגרע הקטן שהוא תרפ"ה מן הגדול שהוא תתע"ו ישארו קצ"א והם הראוים לחלק על ט' המורה השמור ותציא בחלוקה כ"א וב' תשיעיות והוא סך הסוס הראשון וממנו תדע האחרים
	והבחינה היא שאחר שידענו סך הראשון שהוא כ"א פרחים ושני תשיעיות פרח יהיה השני כפל הראשון ועוד ד' יהיו מ"ו פרחים וד' תשיעיות והשלישי שהוא ג' כפלי השני פחות ז' הנה ג' פעמים מ"ו וד' תשיעיות הם קל"ח י"ב תשיעיות גרע ז' ישארו קל"א וי"ב תשיעיות וזה סך השלישי ויהיו שלשה בזאת הצורה תחבר התשיעיות ‫התשיעיות יהיו ב' שלמים ועם [...] כנשאל [...] ואם תרצה [...] השלושה
	ב ט כא הסוס הראשון ד ט מו הסוס השני יב ט קלא הסוס השלשי   קק סך כולם
The third question: one merchant bought thirty kors of wheat and barley at a price of 400 dinar - the wheat at a rate of 21 dinar and the barley at a rate of 13 dinar. I ask: how many kors of wheat and how many kors of barley did he buy? $\scriptstyle21a+13b=400$	שאלה שלישית שאלה סוחר אחד קנה שלושים כורים מחטה ושעורה בס' ת' די' החטה לסך כ"א דינ' והשעורה לסך י"ג דיני' שאלתי כמה כורי חיטה וכמה כורי שעורה קנה
	תשובה תניח כי כורי החטה הם כ' ואם כן יהיו כורי השעורה עשרה והנה סך כ' כורי חיטה ת"ך ועשרה משעורה קל תחברם יהיו תק"ן ואנחנו שאלנו ת' ונשארו ק"ן ונאמר עם מונח כ' יותר ק"ן עוד נניח מונח שני ונאמר שיהיו כורי החטה י"ח ואם כן יהיו כורי השעורה י"ב והנה י"ב כורי שעורה יעלו קנ"ו וי"ח כורי חטה יעלו שע"ח תחברם יהיו תקל"ד ואנחנו שאלנו ת' והנה זה המונח השני נתן קל"ד יותר מהנשאל ונאמר עם מונח י"ח יותר קל"ד ויהיו שני המונחים בזאת הצורה
	‫00זב       ‫0ב וא ‫0הא יותר ‫0ב עם דגא יותר חא עם     ‫0חוב
	ועתה גרע היותר הקטן מן היותר הגדול שהם קל"ד מק"ן ישארו י"ו והם המורה לחלק עליו ושמור אותו עוד תעשה הגרעון השני אחר שתכפול כל מונח ביתרון המונח השני שהם י"ח על ק"ן וכ' על קל"ד והנה י"ח על ק"ן יעלו ב' אלף ות"ש והשני ב' אלף ותר"ף גרע ב' ‫[...] ות"ש ונשארו כ' והם הראוים [...] שהוא י"ו ותציא בחלוק א' ורביע [...] כור אחד ורביע כור קנה מחיטה כי [...] מונח ונשארו לתשלום שלשים כורים כ"ח כורים [...] כור קנה משעורה
	‫[והבחי]נה תכפול כור ורביע מחטה לסך כ"א יעלו כ"ו דנרי' וג' פשי' גם תכפול כ"ח וג' רביעיות בי"ג יעלו הכ"ח כורים שס"ד והג' רביעיות ט' דינ' וט' פשי' תחברם יהיו שע"ג די' וט' פשי' וזה סך השעורה תחברם עם סך החטה שהוא כ"ו די' וג' פשי' יעלו כולם ת' כנשאל
	הערה שאם אמר בגדים או ספרים או סוסים קצתם לס' מה לקצתם לסך אחר או דברים אחרים ומספרים אחרים וסכים מתחלפים הנה הכל דרך אחד אלא חילוף החומרים ומה שאומר מהם אקצר
The fourth question: one merchant bought so and so clothes, their number is unknown, but he bought them at 3 clothes for 7 peraḥim and he also knew that the total clothes and peraḥim were all 136. $\scriptstyle7\sdot\frac{a}{3}+a=136$	שאלה רביעית סוחר אחד קנה כל כך בגדים נעלמו מספרם אבל הוא קנה אותם ג' בגדים בז' פרחים והוא ידע גם כן כי סך הבגדים והפרחים היו כולם קל"ו
	‫[תשובה] נניח שהבגדים יהיו ג' והסך ז' פרחים תחבר הבגדים והסך יהיו עשרה והנה שאלנו קל"ו ויגרעו בזה המונח קכ"ו נניח שיהיו הבגדים ו' והסך יהיה י"ד פרחים נחבר הבגדים והסך יהיו כ' והנה בזה המונח יגרעון קי"ו לתשלום קל"ו נגרע קי"ו מקכ"ו ישארו עשרה לחלק עליו כפול כל מונח על פחות חברו שיעלה לאחד תשנ"ו ולשני שמ"ח
	תשנו       ח0ד ‫0א קכו פחות ג עם קיו פחות ו עם     שמח
	‫נגרע שמ"ח מתשנ"ו ישארו [...] בחילוק מ' וד' חמשיות והנה מ' [...] היה מה שקנה ותשלומו לקל"ו שהם צ"ה ‫[...]
	והבחינה הנה כל ג' בגדים שוים ז' פרח[ים] [...] אם ג' נתן ז' מה יתן לנו מ' וד' [...] יתן צ"ה וחמשית או ת[ה]פוך השאלה ואמור אם ז' נתן [...] וחמשית מה יתן והוא יתן מ' וד' חמשיות או תקצר ג' וז' יהיה כל בגד ב' ושליש ואמור אם א' נתן ב' ושליש מ' וד' חמש[..] מה יתן
	בחינה אחרת [.] בשברו יהיו ר"ד גם צ"ה בשבר[.] יהיו תע"ו תשוים עם ג' וז' כזה ויצאו שוים ויורה כי כאשר ג' בגדים שוים ז' פרחים מ' וד' חמשיות שוים צ"ה וחמשית
	א ד ב ח ג X   ב 0 ד ז   ד ז ו     א ד ב ח
	שאלה חמשית ראובן ושמעון עשו חברה ונתחייב ראובן לתן בחרבה ק"ן פרחים ולא נתן אלא ק' ושמעון שנתחייב לתת ק"ק פרחים לא נתן אלה ק"ן והרויח ס' פרחים שאלתי כצד יחלוקו כפי מה שנתנו או שנתחיבו לתת
	‫הנה רוב השאל[ות] שיהיו מזה המין הם על שני דרכים הראשון הוא שנעיין ערך מה שהתנה לתת עם מה שנתן שאם הוא כמו ב' אצל ג' הוא ב' שלישיות וכן כל אחד כמו שתראה מאלו השאלות הדרך השני שאם יהיה מה שהתנו לתת ומה שנתנו מספרים בודדים או אחד מהם שתתן זה על זה ויהיו כמו שברים כמו שתראה בשאלות
	התשובה נעיין ערך מה שנתחייב כל אחד או מה שנתן והנה ראובן שנתחייב ק"ן ונתן ק' הנה ערך ק' אל ק"ן הוא ב' שלישיות חמשיות שתקצר ק' על קן וישובו לב' חמשיות כנזכר וערך ק"ק אל ק"ן משמעון הוא ערך ג' רביעיות והנה נאמר כי ממון הראשון הוא ב' שלשי' וממון לוי ג' רביעיות נשוים בזאת הצורה
	ט   8 X
	יהיו לראובן ח' ולשמעון ט' נחבר ממון שניהם יהיו י"ז והוא המורה לחלק עליו ‫[...] החברות תכפול ס' על ח' יעלו [ת"ף] תחלקם על י"ז יעלה בחילוק כ"ח פרחים וד' חלקים מי"ז בפרח אם תרצה לכפול ד' על סך הפרח וחלק על י"ז והיוציא יהיו דנרי כמו שידעת לעשות מהנשאר דנרים [...] ולשמעון ל"א פרחים וי"ג יזין
	והבחינה תקבץ היזין יהיו אחד שלם ול"א לשמעון וכ"ח לראובן יהיו ס' והוא הרויח
	שאלה ששית הנה ב' או ג' סוחרים או יותר נתפשרו לעשות חברה ונתחיבו כל אחד לתת בחברה סך ידוע ולשהות זמן מוגבל והנה לא נתנו מה שנתחייבו מן הממון ולא שהו כפי מה שנתפשרו מן הזמן והרויחו ממון ידוע שאלתי כצד יחלוקו הנה הדרך הוא שתעיין ותדע כמו שאמרתי ערך כל אחד וזמנו כפי מה שראוי לתת ולשהות או כפי מה שנתנו ושהו ואחר תכפול זמן וממון כל אחד ואחד ואחר תשוה שלשתם וכאשר יהיו שוים תחת מורה כללי תכפול הרוח על הממון כל אחד והעולה תחלק על המורה כמנהג
	ומשל לשאלתנו ראובן שמעון ולוי נתפשרו לעשות חברה עד ששה שנים ונתחייב ראובן לתת י"ו לטרין ולא נתן אלא י"ב לטרין ולא שהה אלא ה' שנים ושמעון היה לו לתת כ' לטרין ולא נתן אלא ט"ו לטרין ולא שהה אלא ד' שנים ולוי היה לו לתת כ"ד לטרין ולא נתן אלא כ' ולא שהה אלא ג' שנים והרויחו שלשים לטרין שאלתי כיצד יחלוקו כפי מה שנתחייבו לתת או מה שנתנו
	תשובה תערוך ממון ראובן י"ו שחייב וי"ב שנתן תקצרם זה על זה יהיו ג' רביעיות כזה ‫
	‫וערך זמנו הוא ה' ששיות כזה תכפול ממונו על זמנו יהיו ט"ו טו חלקם מכ"ד ומקוצר יהיו החלקים מח' כזה וזה ממון ראובן וערך ממון שמעון הוא ג' רביעיות כי ט"ו נתן וכ' חייב לתת נתן ט"ו על כ' כזה
	טו כ
	תקצרם יהיו ג' רביעיות כזה וערך זמנו
	וערך זמנו יהיו ד' ששיות כי ד' שנים שהה מו' שראוי לו לשהות ומקוצר יהיו ב' שלשיות כזה תכפול ממונו על זמנו יהיו ו' חלקים מי"ב שהוא חצי מקוצר ‫וזה ממון שמעון גם תערוך ממון [...] ששיות כזה וערך זמנו חצי כי [...] אל ו' חצי נכפול ה' ששיות על חצי יהיו ה' חלקים [...] תשוים כולם כזאת הצורה
	ו זג יב ‫0ג טו ראובן זב זג ט יב שמעון ד זג ח ‫0א זג שמעון
	ויהיו לראובן ט"ו ולשמעון י"ב וללוי עשרה ותסדרם בדרך החברות בזה הצורה
	[.] יב טו ה בא כד
	ותחבר ממונם יהיו ל"ז והוא המורה עתה כפול שלשים על ט"ו ועלו ת"ן תחלקם על ל"ז יעלה לראובן י"ב וששה חלקי ל"ז גם תכפול ל' על י"ב יעלו ש"ס תחלקם על ל"ז יעלה לשמעון ט' וכ"ז חלקי ל"ז גם תכפול ל' על עשרה יעלו ש' תחלקם על ל"ז יעלה ללוי ח' וד' חלקי ל"ז
	והבחינה תחבר השברים יהיו לטרה אחת והשלמים כ"ט לטרה שיהיו כולם ל' לטרין והוא המבוקש
	שאלה שבעית ראובן ושמעון עשו חברה ראובן נתן ל' לטרי ממון ושמעון כ' כורי חטה ונעלם סך החטה והרויחו י"א לטרה ומזה הרויח יתכן למי שנתן החטה ד' לטרי שאלתי סך כורי החטה
	תשובה גרע הד' לטרי' מי"א ישארו ז' למי שנתן ל' לטרה ועתה אמור אמור אם ז' לטרה באו לריוח שלשים לטרה ד' לכמה לטרה יבא נכפול ל' על ד' ונחלק על ז' והביא י"ז ושביעית והנה י"ז ושביעית ליטרה יהיה סך החטה
	והבחינה נאמר כי ראובן נתן ל' לטרי' ושמעון י"ז לטרין ושביעית ועתה נתן הכל בשביעיות ‫[...] [שמ]עון ק"ך והרויחו י"א ליטרין תסדר [...] השאלה כסדר החברות בזה הצורה ותציא לראשון ז' לטרין ולשני ד' ליטרין וזה יורה כי כ' כורי חיטה יהיו שוים י"ז ליטרין ושביעית ליטרה
	שאלה אחרת ראובן שמעון לוי ויהודה עשו חברה ראובן נתן בחברה כ"ה לטרי ממון ושמעון בגד נעלם הסך ולוי כ' פרחים נעלמו הסכים ויהודה גביע כסף נעלמה הסך והרויחו י"ד לטרין ונפל לראובן שנתן כ"ה ליטרין ה' ליטרין ולשמעון ד' ליטרין מן הבגד וללוי ג' מכ' פרחים וליהודה ב' מן הגביע
	שאלתי סך הבגד וסך הכ' פרחים וסך הגביע
	תשובה אחר שהיה לך ידוע ה' ליטרין רוח לראובן שנתן כ"ה לטרי' יהיו לך סך כל אחד ידוע עם דרך השלושה ואמור אם ה' ליטרין באו מכ"ה ד' ליטרין מכמה ליטרן יבוא ואם תרצה לעשות זה יותר כמות תקצר ה' וכ"ה בחמשית ויהיה א' וה' לראובן ואמור אם א' נתן ה' לראובן ד' מה יתן לשמעון והנה נתן כ' ליטרין לשמעון וכ' לטרין היה הבגד שוה עו' אם א' נתן ה' ג' מה יתן והנה נתן ט"ו והנה טו ליטרין היו שוים הכ' פרחים מלוי עוד אמור אם א' נתן ה' ב' מה יתן והנה נתן עשרה ועשרה ליטרין שוה הגביע
	והבחינה נניח אלו הסכים לכל אחד והריוח והמורה ויהיה בזאת הצורה
	דא הב ראובן ‫0ב שמעו הא לוי ‫0א יהודה   ‫0ז המורה
	נכפול ממון כל אחד על הריוח ונחלק על המורה ותציא לראובן ה' ליטרין ולשמעון ד' ליטרין וללוי ג' ליטרין וליהודה ב' ליטרין והם סך מה שנתן כל אחד
	שאלה אחרת הנה רצינו לפסוק פסק לאנשים מה לכל אחד ‫כפי מה שיש לו מן הממון הנה [...] החברות שתתן כסדר ממון כל [...] לפסוק להם יהיה כמו ריוח ותחבר כל מה [...] ואחר כפול הממון על כל אחד והעולה תחלק [...] והוא הראוי לו לפרוע וכן תעשה לכל אחד ואין ל[...] כי כבר ידעת סדר החברות וקיצורם
	שאלה אחרת ראובן שמעון ולוי עשו חברה ראובן נתן [..] קנ"ב פרחים וי"ג די' ושמעון נתן קכ"ג דוקאדיש וי"ח די' ולוי נתן קל"ב ליטרי ממון וט"ו די'
	הנה בזאת השאלה נעשה כל ממונם די' יהיו לראובן ב' אלפים תמ"ה ולשמעון ב' אלפים תשכ"ה ולוי ב' אלפים תרנ"ה והרויחו כ"ד קאשטיללאטוש שהם לסך כ"ח תרע"ה וגמור כסדר הידוע
	ואם תרצה שלא לעשות מן הקשטילל[טוש] די' הרשות בידך והעולה מן הקאשטיללטוש והנח לכל אחד עשה אות[ו] די' ויעלו תרנ"ה כנזכר והוא הבחינה
Question: Reuven, Shimon and Levi formed a partnership and agreed that Reuben will contribute 7 peraḥim [florins], Shimon 11 and Levi 13 and that the partnership will last two years. However, Reuven contributed only 5 peraḥim, Shimon contributed only 7 and Levi 11 only. Furthermore, they did not stay [in the partnership]] for the agreed time: Reuven stayed for the whole two years, Shimon stayed for one year and a third and Levi stayed for one year. They earned ten peraḥim. I ask: how would they divide [the shares]?	שאלה ראובן שמעון לוי עשו חברה והסכמו שיתן ראובן ז' פרחים ושמעון י"א ולוי י"ג ושיתמשך החברה שתי שנים והנה ראובן לא נתן אלא ה' פרחים גם שמעון לא נתן אלא ז' ולוי לא נתן אל י"א וגם בזמן לא שהו אלא המותנה ביניהם אלא ראובן ששהה כל הזמן ב' שנים ושמעון שהה שנה ושליש ולוי שהה שנה אחת והרויחו עשרה פרחים שאלתי כיצד יחלוקו
	הנה כל השאלות מזה המין ניתן מה שנתן על מה שראוי לתת ונתנו שברים מה שנתן ובכמו מורה מה שראוי לתת והוא יהיה ממון כל אחד
	והמשל בזה נתן ה' פרחים שנתן על ז' שראוי לתת כזה ויהיו ה' שביעיות
	לראובן וז' על י"א כזה
	ז אא
	לשמעון וי"א על י"ג כזה
	אא גא
	ויהיו בצורה הזאת
	ההכפלה זמנם ממונם   ‫0בא דח דב בא ה ז ראובן באא בגא וא בא ז אא שמעון בגא והא בא בא אא גא לוי
	והנה זמן ראובן הוא כ"ד חדשים כזה
	דב בא
	וזמן שהיות ‫[...]
	וא 12
	וזמן שהיית לוי י"ב חדשים כזה
	בא בא
	[...] אחד בזמנו יהיה לראובן ק"ך [...] קי"ב חלקי קל"ב וללוי קל"ב חלקי קנ"ו ואלה החלקים [...] כל אחד תקבצם כולם והוא המורה לחלק עליו [...] ואחר תקבצם והדרך שתבקש מורה שיכללם ואם לא [...] כפול מורה הראשון על מורה השני והיוציא על מורה השלישי והיוציא הוא המורה כללי כאשר ידעת תחלקיהו על מורה כל אחד והיוציא בחילוק תכפול בשבריו
	והמשל נכפול מורה ראובן שהוא פ"ד על מורה שמעון שהוא קל"ב והעולה נכפול על קנו שהוא מורה לוי יהיה על העולה מספר אחד תשכ"ט אלפים תשכ"ח ויהיו כזה
	א ז ב ט ז ב ח
	והוא המורה הכללי נחלק אותו על מורה ראובן שהוא פ"ד יעלה בחילוק ב' אלפים תקצ"ב כזה
	ב 0 ה ט ב
	נכפול זה על שבריו שהם ק"ך יעלו ב' מספרים תע"א אלפים ומ' ויה כזה
	ב ד ז א 0 ד 0
	וזה חלק ראובן
	גם נחלק המורה הכללי על מורה שמעון והעולה נכפלהו בשבריו ויהיו מספר אחד תס"ז אלפים תרמ"ח כזה
	א ד ו ז ו ד ח
	וזה חלק שמעון
	גם נחלק המורה הכללי על מורה לוי שהוא קנ"ו העולה נכפול בשבריו יעלו מספר אחד תס"ג אלפים תרי"ו כזה
	א ד ו ג ו א ו
	ויהיו שלושתם כזה הצורה
	‫0א ב ד ז ו 0 ד 0 ראובן א ד ו ז ו ד ח שמעון א ד ו ג ו א ו לוי   ה ד 0 ב ג א ד המורה
	ועתה נכפול חלק ראובן על הריוח ונחלק על המורה הכללי יצא בחילוק ד' שלמים ואלה החלקים שהם ג' מספרים ק"א אלפים קפ"ד ויהיו כזה
	ג א 0 א א ח ד
	כמו שתראה בצורה השנית
	ג א 0 א א ח ד שלמים ד ראובן ג ח ז א ח ז ב שלמים ב שמעו   ג ח ג א ה ה שלמים ב לוי
	ולחלק שמעון ב' שלמים ואלו החלקים
	ג ח ז א ח ז ב
	כמו שתראה בצורה שנית
	ולחלק לוי ב' שלמים ואלו השברי
	ג ח ג א ה ה
	כמו שתראה בצורה שנית
	‫והבחינה תקבץ השברים [...] השלמים שהם שמונה יהיו [...] אומנם אם נזדמן שתוכל לקצר שאלתך כזאת [...] לקצר הזמן והמשל בשאלה זאת שתוכל לקצר זמני [...] והנשאר לחציים ויהיו לראובן ששה שלישים כז
	ו ג
	ול[שמעון ד'] שלשים כזה
	ד ג
	וללוי ג' שלשי' כזה
	ג ג
	ועתה נסדר ממונם כזה הצורה
	‫0ג אב ו יג ה ז ראובן חב גג ד ג ז אא שמעון גג טג ג ג אא גא לוי
	נכפול כל ממון בזמנו יהיו לראובן ל' חלקים מכ"א ולשמעון כ"ח חלקים מל"ג וללוי ל"ג חלקים מל"ט כמו שתראה בזה הצורה ועתה תשוים וראשונה נכפול לט על ל"ג והעולה על כ"א ותציא זה
	ב ז 0 ב ז
	שהוא מורה כללי נחלקהו על מורה כל אחד והיוציא תכפול על שבריו
	והמשל חילקנו המורה הכללי על כ"א ותציא אלף רפ"ז נכפלם על ל' ותציא ל"ח אלפים תר"י לראובן
	גם חלקנו המורה הכללי על ל"ג יציא תתי"ט נכפלם על כ"ח ויהיו כ"ב אלפים תתקל"ב לשמעון
	עוד נחלק המורה הכללי על ל"ט יעלו תרצ"ג ונכפלם על שבריו שהם ל"ג ותציא כ"ב אלפים תתס"ט ויהיו כולם כזאת הצורה
	שברי שלם שלמים ד ח ד ח ד ד   ‫0א   ג ח ו א 0 ראובן ו 0 ה א ב ב   ב ב ט ג ב שמעון ה ט ח א ב ב   ב ב ח ו ב לוי   הריוח       ח ד ד 0 ד המורה
	נחברם יהיו פ"ד אלפים ת"ד והוא המורה לחלק עליו ועתה נכפול חלק ראובן על הריוח שהוא עשרה והוא שתתן ספרא לפני כל מספר יהיו לראובן שפ"ו אלפים וק' נחלקם על המורה ותציא החילוק ד' שלמים ומ"ח אלפים תפ"ד וזה הראוי לראובן גם נכפול גם נכפול חלק שמעון בעשרה עם ספרא לפניו יהיו רכ"ט אלפים ש"ך נחלקם על המורה ותציא בחילוק ‫[...] תקי"ב וזה חלק שמעון גם נכפול [...] רכ"ח אלפים תר"ך נחלקם על המורה ותציא [...] תתי"ב וזה חלק לוי [...] הוא שתמצא ב' שלמים בשברים וח' בשלמים יהיו עשרה
	שאלה אחרת ראובן עשה צוואה והנח ק"ך פרחים ושלשה בנים ואמר תנו לגדול חצי הממון ולשני שלשיתו ולשלשי [.] רביעיתו שאלתי סך כל אחד
	התשובה נניח י"ב למורה והנה חצי י"ב הם ו' לגדול ושלישית י"ב הוא ד' לשני ורביעית י"ב הוא ג' לשלישי תחבר חלקיהם יהיו יותר מי"ב נלך אל דרך השלושה והוא יתן לנו האמת ואמור אם י"ב נתן [.] ו' לגדול ק"ך מה יתן לו וכן תעשה לכל אחד אומנם בדרך החברות הוא יותר נקל ויהיה כזאת הצורה
	‫0בא ו גדול ד שני ג שלישי
	והמורה יהיה י"ג והממון יהיה כמו הרויח ועתה נכפול ק"ך על ו' יעלו תש"ך נחלקם על י"ג ועלה לגדול נ"ה פרחים וה' חלקים מי"ג בשלם
	גם נכפול ק"ך על ד' יעלו ת"ף נחלקם על י"ג יעלו לשני ל"ו פרחים וי"ב חלקי י"ג
	גם נכפול ק"ך על ג' יעלו ש"ס נחלקים על י"ג יעלו לשלישי כ"ז פרחים ונ"ו חלקים מי"ג וזה הראוי לכל אחד
	והבחינה היא שתחבר השברים יהיו ב' שלמים תחברם עם השלמים יהיו ק"ך כנשאל והנה בזה הסדר תעשה כאשר תרצה לחלק איזה מספר לחצי ולשלש ולרביעית ולחמשי' וכול כל השברים שתרצה שהוא קשה לחלקם
	שאלה אחרת שכיב מרע עשה צוואה מרע"ג פרחים ואמר הנה אשתי מעוברת ואני רוציא שתחלקו אלה הרע"ג פרחים בזה הדרך שאם תלד אשתי נקבה שתתנו לאשתי כפל הנקבה ואם תלד זכר שתתנו לזכר כפל אשתי והנה ילדה ‫זכר ונקבה שאלתי כיצד יחלוקו [...] ולהקל נניח א' לבת וב' לשני שהם שהם כפל האם וכללם הם ז' ועתה נאמר [...] רע"ג ויהיה כצורה הזאת
	גזב 0 ז א אם
	נכפול החיצ[..] רע"ג יעלו רע"ג [...] ז' יעלו בחילוק ל"ט [] והם חלק הבת נכפול ל"ט יעל ע"ח והם חלק האם שהם כפל הבת ונכפול ע"ח יעלו קנ"ו והם חלק הבן שהם כפל האם
	והבחינה נקבצם כולם ל"ט וע"ח וקנ"ו ויהיו כולם רע"ג והוא מה שרצינו
	הנה נרצה לדעת הנשאר בחלוקת דרך השלושה מאי זה מין הוא כאשר יש בה זמן וממון ואומר שהוא מהמין האמצעי שאין לו דומה כי הנעלם שבקשנו אין לו דומה כמו בדרך משל אם ב' דוקאדיש בג' חדשים הרויחו ד' די' שהוא האמצעי ה' דוקאדיש בב' חדשים כמה די' ירויחו ויהיה כצורה הזאת
	ב ה ד ג ב אם
	נכפול הזמן הזהב ב' דוקאדוש בג' חדשים יהיו ו' וגם ה' דוקאדיש על ב' חדשים יהיו עשרה ואז חזרה השאלה אם ו' נתן ד' עשרה כמה די' יתן והנה ד' די' הוא האמצעי וממנו וממ תהיה התשובה מן המספר הנעלם שנתן ו' די' ונשארו ד' והם די' נעשה מהם פשיט' יהיו מ"ח נחלקם על ו' יעלו ח' פשיט' ועתה נאמר שאם ו' נתן ד' די' עשרה מה יתן והנה נתן ו' די' וח' פשיט' והנה ערך ו' אל ד' די' כערך עשרה אל ו' די' וח' פשי' ולראות זה לעין נעשה כל הדי' פשיט בעבור הח' פשיט יהיו הד' די' מ"ח פשיט והו' די' ע"ב פשיט נחבר עליהם ח' יהיו פ' פשיט והנה תראה כי ערך ו' אל מ"ח כערך עשרה אל פ' כי עשרה בפ' ח' פעמים וכן ו' אל מ"ח ח' פעמים
	בחינה אחרת תשוה זה עם זה בצורה הזאת
480   480 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{48}{6}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{80}{10}}}$	‫0חד   ‫0חד חד ו X ‫0ח ‫0א
	יהיה כל אחד ת"ף
	שאלה ה[...] ‫[...] עשרה מזהב [...] ח' מכסף וז' מנחושת ולקח מזה [...] משקלה שאלתי כמה יש בה מכל ‫[...]
	‫[תשובה] הנה כל אלו השאלות והדומות הם כמו [...] כי י' מזהב וח' מכסף וז' מנחושת [...] שלושה אנשים וקיבוצם שהוא כ"ה אוקיות הם כמו [...] ומה שלקח הוא כמו הריוח ונשוב לשאלתנו ונאמר כי [...] אוקיות הוא המורה ועתה לדעת הזהב שבחתיכה נכפול החתיכה שהיא ט' אוקיות על עשרה שהוא הזהב שבכולו יעלו צ' תחלקם על כ"ה יעלו ג' אוקיות זהב וט"ו חלקי כ"ה באוקיא וזה הזהב שבחתיכה
	עוד לדעת הכסף נכפול ח' על ט' יעלו ע"ב וחלקן על כ"ה יעלו ב' אוקיות כסף וכ"ב חלקים מכ"ה וזה הכסף שבחתיכה
	עוד לדעת הנחושת נכפול ז' על ט' יעלו ס"ג נחלקם על כ"ה יעלו ב' אוקיות וי"ג חלקי כ"ה מנחושת שבחתיכה וזה מה שרצינו
	והבחינה תחבר השברים יהיו חמשים תחלקם על כ"ה יעלו שנים תחברם לשלמים יהיו כולם ט' כנשאל
Question 12: There are 4 millstones in the miller's house, one of which mills 7 kors of wheat each day, the second 11, the third 13 and the fourth 15. One wants to mill 300 kors of wheat and [use] each of the millstone as needed. I ask how much will he grind each day?	שאלה י"ב הנה יש בבית הטוחנים ד' רחים אשר האחד טוחין בכל יום ז' כורי חטה והשנית י"א והשלישית י"ג והרביעית ט"ו ורצה לטחון ש' כורי חטה ולתת לכל אחת מן הרחים די מחסורו שאלתי כמה יטחון בכל יום
	תשובה כמו החברות שתקבץ ז' י"א י"ג ט"ו יהיו מ"ו והוא המורה והש' כמו הריוח ועתה תכפול ז' על ש' וחלק על מ"ו והיוציא הוא הראוי למי שטוחן ז' כורים גם כפול י"א על ש' וחלק על מ"ו והיוציא הוא הראוי למי שטוחן י"א כורים גם כפול י"ג על ש' והעולה תחלק על מ"ו והיוציא הוא ‫הראוי למי שטוחן י"ג כורים גם [...] תחלק על מ"ו והיוציא הוא הראוי למי ש‫[...]
	הבחינה כמו החברות
Question 13: Jacob told Joseph his son: I would give [you 500] peraḥim to trade with them for [7 years and at the end of the 7] years you will take the 500 peraḥim and give me the profit that you earned with [the 500] peraḥim. Joseph traded for 3 years, and it turned out that he had earned 300 peraḥim. I asked how much should Joseph get and how much should his father get?	שאלה י"ג יעקב אמר ליוסף בנו אני אתן [...] פרחים שתעשה סחורה ז' שנים [...] הז' שנים שתקח הת"ק פרחים ושתתן לי הריוח שתעשה עם [הת"ק] פרחים והנה יוסף סידר סחורתו עד ג' שנים ומצאו שהרויח ש' פרחים שאלתי הראוי ליוסף והראוי לאביו
	התשובה נאמר בדרך השלושה אם ז' נתן שנים יתנו ת"ק פרחים ליוסף ג' שנים מה יתנו לו והנה יתנו רי"ד פרחים וב' שביעיות
	והבחינה היא שתכפל רי"ד וב' שביע[.] על ב' ושליש כי שליש היא שנה ושנים ששה ויהיה העולה ת"ק כנשאל
	שאלה י"ד סחר ברסילונה חייב לסוחר סרקוסטה כ"א לטרין מממון סרקוסטה ורצה לפורעו בממון ברסילונה שאלתי כמה לטרי ברסילונה יתן לו
	תשובה הנה באלו השאלות והדומות לאלו קח מטבע משותף לאלה השני מקומות וכן למידה ותאמר אם כך אמות מסרקוסטה שוה כך מידות ברסילונה כך מידות מסרגוסטה וכו' וכן נאמר בשאלתנו ונקח מלך ברסלוניש שהיה שוה י"ו פשיטי' בסרקוס' וי"ח בברסילונה ונאמר אם י"ו שוה י"ח כ"א ליטרין מה יהיה שוה או תקצרהו בחצי והוא הראוי ותאמר אם ח' פשיטי' סרקוסטה שוה ט' פשיטי ברסילונו כ"א לטרי סרקוסטה כמה לטרי ברסילונה יהיה והנה תמצא כי הוא כ"ג לטרין ברסלונה וה' שמיניות לטרה בזאת הצורה
	‫ כג כא ט ח אם
	‫[...] דרך השלושה ותמצא שאלתך וגם תכון כי כאשר י"ו פשיטין מסרקוסטה שוה י"ח מברסילינה כן י"ו לטרין סרגוסאה שוים י"ח לטרין [...] ואם תקצרם יענו האמת גם כן כי ח' לטרי סרקוסטה הם [...] לטרי ברסילונה והקש על זה
	‫ולעולם תחילת השאלה תהיה מהע מהעיר אשר הממון או הלטרין הידועים ממנו כי בכאן אמר כי ליטרי סרגוסה כן נסדר שאלה ונאמר אם ח' פש' סרגוסה שוה ט' פש' בשלושה כ"א לטרי סרגוסה כמה לטרי ברצלונה יהיו
	והבחינה היא שתעשה כל הלטרין שמיניות ויהיו הכ"א לטרי קס"ח שמיניות והכ"ג עם שבריו קפ"ט שמיניות ואחר תשוים עם חלקי השאלה ויהיו כזה הצורה
	X א ה א ב ט   א ח ט ח   א ו ח   א ה א ב
	ואחר השיווי יהיו שניהם שוים אלף תקי"ב
	שאלה ט"ו ראובן חייב לשמעון כ"ה כפולות אשר סך הכפולה הוא י"ח דינ' ורצה לפורעו בפרחים אשר סך הפרח הוא י"ד דנרי' שאלתי כמה פרחים יתן ראובן לשמעון שיהיו שוים לכ"ה כפול
	תשובה תכפול הכפולות בי"ח יעלו ת"ן דנרי' תחלקים לסך הפרחים שהוא י"ד יעלו ל"ב פרחים ושביעית והנה ל"ב פרחים ושביעית פרח יפרע ראובן לשמעון והראוי וכן אם הפך השאלה
	והבחינה הנה יתרון הכפילה על הפרח הוא ד' תחלקם על סך הפרח שהוא י"ד והוא מחולק ד' חלקים מי"ד אשר הם ב' שביעיות תכפלם בכ"ה שהוא מספר הכפולות יעלו חמשים שביעיות תחלקם על ז' יהיו ז' ושביעית תחבר י"ז ושביעית על כ"ה יעלו ל"ב ושביעית כנשאל
	שאלה י"ו ראובן קנה ששה אמות מבגד לעשות מלבוש אשר רוחבו שבעה זרתות ורצה לכופלו עם ‫בגד אשר רוחבו ג' זרתות
	נצטרך מן הבגד הזה לכפול אורך כל אמה שלנו ד' זרתות והנה [...] הראשון רוחבו ז' זרתות נכפול ז' על האורך [...] זרתות מששה אמות יעלו קס"ח זרתות מרובעות [...] הראשון אחר כן קח אמה אחת מאשר לו ג' [...] מרוחב ותכפול ד' זרתות מאורך על ג' מרוחב יעלו י"ב זרתות מרובעות בזה האמה ואמור אם י"ב זרתות יתן אמה אחת קסח זרתות מה יתן ויהיה כזה הצורה
If 12 1 168 0	0 קסח א יב אם
	והנה נתן י"ד אמות והנה י"ד אמות מזה הבגד תצטרך לכפול הששה אמות
	והבחינה מבוארת והיא שתכפול י"ד אמות בי"ב זרתות מרובעות שיש בכל אמה ותציא קס"ח
	שאלה י"ז אם ב' פרחים בג' חדשים הרויחו ארבעה דינרי' ג' פרחים בה' חדשים כמה ירויחו
	‫בדרך ראשון
	תשובה כפול כל ממון בזמנו וישובו החמשה חלקים לשלושה ואחר עשה שאלתך
	והמשל כפלנו ב' פרחים בג' חדשיו יעלו ו' והוא הראשון בשאלה גם כפלנו ג' פרחים בה' חדשיו יעלו ט"ו והוא השלישי בשאלה והריוח נשאר קיים ועתה נאמר אם ו' נתן ג' ט"ו מה יתן בזה הצורה
If 6 3 15 0	0 טו ג ו אם
	ונכפול ט"ו על ג' יעלו מ"ה תחלקם על ו' יעלה בחילוק ז' וחצי והוא מה שהרויח ג' פרחים בה' חדשים
	והבחינה מבוארת מכמה צדדים כי ו' כפל ג' וכן ט"ו כפל הנעלם שהוא ז' וחצי אותן כל אב על בנו או בהפך או תשוים ‫[...]מנהג שלישי מדרך השלושה [...]דוש בד' חדשים הרויחו ג' די' ז' אשקודוש [...] [ויהיו] ה' די'
	התשובה כפול ה' שתרצה לדעת [...] אשקודוש על ד' חדשים שהם כ"ד ואמור [...] כ"ד הם ק"ח תחלקם על כפל ג' על ז' שהם כ"א יהיה [.]יציא ה' שלמים וט"ו חלקים מכ"א שמקוצרות הם ה' שביעיות והנה בה' חדשים וה' שביעיות חדש הרויחו הז' אשקודוש חמשה די' [ועיין בצורה‫]
	והבחינה תהפוך שאלתך ותאמר אם ז' אשקודוש בחמשה חדשים וט"ו חלקים מכ"א נתן לנו ה' די' מי יתן לנו ג' נכפול ד' חדשים על ו' אשקודוש יעלו כ"ד תשוים עם מותרי שברי החודש יעלו תק"ד לחלק על קס"ח הבא מנתנת החדשים בשברו כי ה' על כ"א ובתוספת ט"ו שברים יהיו קס"ח אשר עליו תחלק תק"ד ותציא ג' די' והוא המבוקש
	שאלה אחרת ממדה ממנהג שלשי מדרך השלושה אם בגד אחד שויה ט' דוקאדוש וב' אמות שוים י"ב די שאלתי כאשר עלה הבגד לסך י"ב דוקאדוש כמה בגד יותן בעד ט"ו די' כזא הצורה
	התשובה כפול ט"ו על י"ח שבא מכפל ט' דוקאדוש על ב' אמות יעלו ר"ע שתחלקם על כפל י"ב די' על י"ב דוקאדוש שהוא קמ"ד יעלה בחילוק א וקכ"ו חלקים מע"ד שהוא ז' שמניות כזה ‫
	והנה אמה וז' שמניות אמה יותן לנו מזה הבגד בט"ו די'
	‫שאלה ממדה ממנהג שלישי [...] אמות מבגד שוה נ"ב די' וס' [...] סרגוסה שאלתי ה' אמות מבגד זה כמה ליטרין ממטבע סרגוסה יהיו
	התשובה כפול ה' אמות שתרצה על כפל ג' ליטרין על נ"ב שהם קנ"ו ותכפול ה' על ותכפול ה על קנ"ו שיעלה תש"ף תחלקם על ר"מ שהם כפל השני דברים הנשארים שהם ס' על ד' יעלה בחילוק ג' ליטרין ורביעית ליטרה ממטבע סרגוסה
	שאלה אחרת ממדה סוחר קנה בגד בסך ט"ו די' והג' אמות שוה ז' די' שאלתי אם זה הבגד יוקר וקנה אותו בסך י"ח מה יהיה שוה ה' אמות
	התשובה הנה תכפול כל ממון על האמות שלו ותשוב ותשוב השאלה לג' חלקים כי ט"ו על ג' יעלו מ"ה וגם י"ח על ה' יעלו צ' עתה אמור אם אם מ"ה נתן ז' צ' מה יתן והנה נתן י"ד כזה הצורה
If 45 yields 7 90 0	0 ‫0ט ז נתן הד אם
	והבחינה ברורה כי הראשון כפל השלישי וכן השני כפל הרביעי הנעלם שהוא י"ד
	שאלה אחרת ממשקל ראובן קנה כור חיטה בסך י"ח די' ונתן י"ד אוקיות לחםבשני פש' קרא מקרה וקנה הכור בסך כ"ב די' שאלתי י"ז אוקיות לחם כמה פשיטי' יתן ויהיה כזא הצורה
	פשיט אוקיות די' פשיט אקיות די'   0 זא בב ב דא חא אם
	התשובה כפול כל ממון על משקלו יהיה הראשון שכפלנו י"ח על י"ד יעלו רנ"ב והשני כ"ב על י"ז ‫[...] פשיטי נשארו קיימים עתה שחזרו חלקי [...] אמור אם רנ"ב נתן ב' שע"ד מה יתן ויהיה [...] תכפול שע"ד על ב' יעלו תשמ"ח תחלקהו על רנ"ב יעלה בחילוק ב' פשטין ורמ"ד חלקים מרנ"ב בפשוט נקצרם יהיו ס"א מס"ג בשלם והנה כאשר קנה ראובן כור חיטה בכ"ב די' הנה י"ז אוקיות שוים ב' פשי' וס"א חלק מס"ג בפשוט
If 252 2 374 0	0 דזג ב בהב אם
	והבחינה תחזור הנעלם בשבריו יהיו תשמ"ח והב' ברנ"ב יהיו תק"ד ואחר תשוים עם רנ"ב ושע"ד כזה הצורה
188496   188496 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{504}{748}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{252}{374}}}$	וטדחחא   וטדחחא ד0ה חדז X בהב דזג
	יהיו שוים כמו שתראה עליהם ויורה על אמיתת השאלה
	שאלה אחרת אם י"ח פרחים בה' חדשים הרויחו שני פרחים שאלתי כ"ד פרחים בכמה זמן ירויחם כזאת הצורה
	חדשים פרחים פרחים חדשי' פרחי'   0 כד ב ה יח אם
	כפול י"ח פרחים עלו ה' חדשים יעלו צ' תחלקם על כ"ד יעלה בחילוק ג' וג' רביעיות הנה בג' חדשים וג' רביעיות חודש ירויחו כ"ד פרחים ב' פרחים
	והבחינה הפוך השאלה ואמור אם כ"ד פרחים נתן ט"ו רביעיות חודש י"ח פרחים מה יתן כפול כ"ד פרחים בט"ו רביעיות חודש יעלו ש"ס תחלקם על י"ח אחר שתשוים עם רביעיות החדשים שיפלו ע"ב ותצא בחילוק ה' חדשים והוא המבוקש
	שאלה אחרת ראובן קנה כור חיטה בסך י"ח די' ונתן ט"ו אוקיות מלחם בשני פשיטי שאלתי כאשר קנה כור חיטה בסך כ"ו די' כמה אוקיות יתן בשני פשיט'
	ויהיה בצורה הזאת
	פש' די' פשי' אוקיות די'   ב כו ב טו יח אם
	נכפול י"ח שהוא הממון על ט"ו שהוא המשקל יעלו ר"ע תחלקם ‫על כ"ו יעלה בחילוק עשרה אוקיות וה' חלקי [...] עשרה אוקיות וה' חלקי י"ג באוקיה יתן מלחם בשני [...] עלה כור החיטה [.] לסך כ"ו די'
	והבחינה הנה ערך י"ח אצל כ"ו שוה לחלקים הנשארים [...] תחלק כ"ו על י"ח יעלו א' וד' תשיעיות מקוצר גם ט"ו על עשרה אוקיות ועשרה חלקי כ"ו אשר אחר הקיצור הם ה' חלקים מי"ג כיצד נחלק ט"ו על האוקיות וראשונה תשוים ט"ו עם מורה האוקיות יהיו ש"ץ גם האוקיות בשברו יהיו ר"ע נחלק ש"ץ על ר"ע יעלה בחילוק א' וד' תשיעיות כראשון
	שאלה אחרת ראובן קנה כור חיטה בסך י"ו די' ונתן י"ז אוקיות לחם בשני פשיט' שאלתי כאשר קנה הכור בסך כ' די' כמה אוקיות יתן בג' פשי' ובזה השאלה תמצא חמשה דברים מונחים והוא מן הסדר השלישי ויהיה כזאת הצורה
	התשובה הנה תכפול י"ו די' על י"ז אוקיות ויעלה רע"ב וזה חלק ראשון עוד תכפול הב' פשיטי שנתנו הי"ז אוקיות על כ' די' שהוא סך הכור השני יעלו מ' והוא החלק השני ועתה תכפול הג' פשיטי ששאלת על החלק הראשון שהוא רע"ב יעלו תתי"ו תחלקם על החלק השני שהוא מ' יעלה בחילוק כ' אוקות וב' חמשיות מאוקה מקוצר והנה כ' אוקיות וב' חמשיות אוקיה מלחם יתן בג' פשיט
	והבחינה בשאלה שיבא
	שאלה ראובן קנה משא ענבים בסך י"ו די' ונתן י"ב אוקיות יין בסך ב' פשי' שאלתי כאשר קנה המשא בסך כ' די' [כמה] אוקיות יין יתן בג' פשי' ויהיה בצורה הזאת
	‫בכאן שאלה כפולה
	‫[...] י"ז אל כ"ו שוה לחלקים הנשארים [...] המשל תחלק כ"ו על י"ח יעלו א' וד' תשיעיות [...] על עשרה חלקים אוקיות ועשרה חלקי כ"ו אשר אחר [...] ר"ע גם תן כ"ו בשברי כ"ו יהיו שץ אשר תחלקם [...] יעלה בחילוק א' וד' תשיעיות באחד
	‫הקיצור הם ה' חלקים מי"ג כצד נחלק ט"ו על האוקיות וראשנה נשוה טו עם מורה האוקיות יהיו שץ גם האוקיות בש[..] יהיו ר"ע נחלק שץ על ר"ע יעל[ה] בחילוק א וד תשיעיות כראשון
	שאלה כ"ב ראובן קנה כור חטה בסך י"ו די ונתן י"ז אוקיות לחם בשני פשיט' שאלתי כאשר קנה הכור בסך כ' די' כמה אוקיות יתן בג' פשיטי'
	ובזה השאלה תמצא חמשה דברים מונחים והוא מן הסדר השלישי ויהיה בזאת הצורה
	תשובה הנה תכפול י"ו די' על י"ז אוקיות ויעלה רע"ב וזה חלק ראשון עוד תכפול הב' פשיטי' שנתנו הי"ז אוקיות על כ' דנר' שהוא סך הכור השני יעלו מ' והוא החלק השני ועתה תכפול ג' פשיטי' ששאלת על החלק הראשון שהוא רע"ב יעלו תתי"ו תחלקם על החלק השני שהוא מ' ועלה בחילוק ב' אוקיות וב' חמשיות מקוצר והנה כ' אוקיות וב' חמשי אוקיה מלחם יתן בג' פשיטי'
	והבחינה בשאלה שיבוא
	שאלה כ"ג ראובן קנה משא ענבים בסך י"ו דינרי' ונתן י"ב אוקיות יין בסך ב' פשיט' שאלתי כאשר קנה המשא בסך כ' די' כמה אוקיות יין בג' פשיטי' ויהיה כזאת הצורה
	תשובה הנה ‫[תכפול] [...] יעלו קצ"ב [...] על ג' [...] תחלקם על כפל [...] דינר שהם מ' יעלה [...] י"ד אוקיות וב' חמשיות [...] מקוצר וזה מה שרצינו
	‫זה כמו שאלה ‫[...]
	והבחינה הנה נקח ב' שילשיות י"ד וב' חמשיות אוקיה של יין שהם הראוי לג' פשיטי בעבור שיהיה יותר נקל והיוציא שהוא ט' אוקיות וג' חמשיות הוא הראוי לב' פשיטי' לב' פשיטי' מיין ואחר נשוה ט' אוקיות בחלקיו יעלו קל"ז חמשיות וכפלם על דינרי הכור השני יעלו קצ"ב בחלק הראשון כי ט' על כ' יעלו ק"ף וג' חמשיות על קצ"ב יעלו ס' חמשיות נחלקם על ה' ותציא י"ב ועם ק"ף יהיו קצ"ב ואם תקח הג' פשי' אשר בשאלתנו יהיה הראשון קצ"ב והשני רפ"ח והוא קצ"ב וחצי כמו שג' הוא אחד וחצי מב' וכן [לכולם‫]
	‫דרך שני
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{600}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{48}{5}}}$	‫00ו ה מח ה
	שאלה כ"ד אם ד' פשיטי סרקוסטה שוים ה' פשיט' ברסילונה וג' פשיטי ברסילונה הם שוים ד' פשיטי לדידה לשבונה שאלתי ט"ו פשיטי לישבונה כמה פשיטי סרקוס[טה] הם שוים
	ויהיו כאזת הצורה
	התשובה כפול ט"ו שתרצה לדעת על כפל ד' פשיטי סרקוסטה וג' מברסילונה שהם י"ב יעלו ק"ף תחלקם ‫[...][סרגוסא] ד' לשבונה שהם כ' [...] והנה ט"ו פשיטי לשבונה הם ט' מסרקוסא' [...] שאלתי הדומה לזה
	‫[...] שאלתך כזאת הצורה [...]כפל ה' על ל"ו שבא מכפל ט' סרגוס' על ד' לשבונה יעלו ק"ף אשר תחלקם על מה שבא מכפול ט"ו לשבו' על ג' ברצלונה ותציא ד' פשיטי סרגוס או תחלק ק"ף על כ' שבא מד' לשבונה על ה' ברצלונה ותציא ץ' אשר הוא שאלתינו וכן כל הדומה לזה

The Second Chapter: Artificial Problems	הפרק השני בשאלות תחבוליות
	שאלה ראשונה הרי שרצינו מספרים מה ושנשלך מהם בתחבולה מה שנרצה בחשבון שנרצה וישאר מה שנרצה כמו במשל מה שהיה בשם ה"ר אברהם בן עזרא מט"ו יהודים וט"ו גוים והשליך הגוים בים במספר ט' והסדר היה דם ההגרים וכול' ואעשה משל בסדר עשייתו
	ואומר שתכתוב המספר שתרצה מספרות או מדבר שתרצה בעיגול כזה או ארוך אם תרצה ואחר תן רושם במקום מה רמוז שתתחיל ממנו לספור ט'ט' כזאת השאלה ובאחרות כמו שתרצה ורשום על אשר בו נפל סוף המספר וכן סביב העגול עד שתקח החצי בזה השאלה או מה שתרצה באחרות ואחר קח מה שאין עליהם רושם מתחילת ‫המקום הרמוז ותכתבם ראשונה [...] וכן עד שיהיו כולם בידך מסודרים
	והמשל [...] שיעשה הספינה הגויים אמרו בעבור היהודים [...] נמצא שם יהודי חכם אמר כפול גורל בשלמי[...] להם לאיזה מספר תרצו שנשליך לים אמרו לו למספר [...] והתשיעית לים לקח החכם בהחבא שלושים אבנים [...] כאלה ונתן ריוח או רושם להכיר ההתחלה ואחר ספר ט'ט' [...] והתשיעי נתן בו רושם או א'ב' על כל אחד כמו שעשיתי על [...] רשומים חציים כמו שתראה בצורה והנשארים בראשונה ד' יהדים ואחר ה' גוים ליפול בים רשומים ועשו דם ההגרים כנל
The second question: In one city there was a war and the lord and his warriors with him went up to the fortress and shut the fortress in front of them. They were a total of 55 people: 8 Jews, 13 Gentiles, 21 Arabs, and 13 Negros. They had no water to drink so they cried the prayers but were not answered. They rose against the Jews to give them water, especially 11 wicked Jewish haters with a Jewish informer and they were 2 Gentiles, 5 Arabs, 3 Negros and the mentioned Jew. Then, one Jew who was well versed in arithmetical methods said: Yes, it is true that we give water but for the wicked among us. The lord said: we will cast lots and we will throw them off the wall, if we will know how many they are. The Jew said: I will know how many they are by a hidden way, then we will know by the way of destiny if they are Jews or Gentiles or Arabs or Negros or of the four [groups] or some of them. The lord: do so and succeed. The Jew said: it is known that the wicked are opposite of the judges and here in the fortress there are 3 known things and the fourth is known. The three knowns are the judges that are five and all of us with the judges are 55 [one judge for each nation and the lord]. We say, according to the hidden way: if one fortress [yields five judges, how many] wicked will 55 people yield? We multiply [55 by 1]; the product is 55. We divide it by 5; the result of division is 11 and they are [the wicked]. The lord said: we will cast lots and throw them off the wall.	שאלה שנית בעיר אחת היה מלחמה ויעל האדון וגיבורי[ו] עמו למבצר ויסגרו המבצר בעדם וכולם היו נ"ה אנשים ח' יהודים י"ג גוים כ"א ישמעלים י"ג כושיים ולא היה מים להם לשתות צעקו האמונות ולא נענו קמו על היהודים שיתנו להם מים ובפרט י"א רשעים שונאי היהודים עם מלשין יהודי והם ב' גוים וה' ישמעלים וג' כושיים והיהודי הנזרכר אמר יהודי יודע דרכי המספר כן האמת שאנחנו נותני המים אלא בעבור הרשעים שבנו אמר האדון נפיל גורל ונשלכם בחומה אם נדע כמה הם אמר היהודי אני אדע בדרך הנעלם כמה הם ואחר בדרך הגורל נדע אם הם יהודים או גוים או או ישמעלים או כושיים או מארבעתם או מקצתם אמר האדון עשה והצלח אמר היהודי ידוע כי הרשעים הפך הדינים והנה בזה המבצר יש ג' דברים ידועים והרביעי נעלם השלושה הידועים הם הדיינים שהם חמשה וכולנו עם הדיינים הנא היניו נ"ה [דיין לכל אומה אחד והאדון] ‫[...] נאמר בדרך הנעלם אם מבצר [...] יתן הרשעים אשר בנ"ה אנשים נכפול [...] יעלו נ"ה נחלקם על ה' יעלו בחילוק י"א והם [...] אמר האדון ניפיל גורל ונשליך י"א בחומה [...] ואמר אמרו לאי זה מספר נשליכם אמרו הגוים למספר [מ' בעבור] איסור הבשר שהם ימים סגוליים אמרו הישמעלים לחשבון [ל'] בעבור תעניתם שהם ימים סגוליים אמר הכושיים לחשבון ז' [שהם] כמספר ז' כוכבי לכת והיהודים אמרו לחשבון עשרה בעבור [דברים] רבים ענה החכם ואמר מ' ול' וז' ועשרה כולם פ"ז ואין לזה ומספר חצי ולא רביעית ולא חמשית ‫אבל יש לו שלישית שהם כ"ט [...] תרצה ויהיה בלי מחלוקת ויענו כן [...] ויאמר החכם ישב האדון תחילה ואחר היהודי [ג'] גוים וד' ישמעלים ג' כושיים ב' יהודים ב' גוים [ה' ישמעלים ד'] כושיים ג' יהודים כושי אחד ג' גויים ד' ישמעלים ב' [כושיים ה' ישמעלים] ב' יהודים גוי אחד ג' ישמעלים ג' גוי ג' כושיים ויהיו [נ"ה] בעיגול ומהאדון נתחיל למנות [כ"ט] ונתן א' על הכ"ט וכן תמנה י"א סביב חלילה ואחר שיהיו רשומים כתוב עליו יהודי [...] אומה שתרצה ואני סדרתי השני צורות ותוכל להחליפם ל‫[...]
	שאלה שלישית הנה היה בידינו עגולות במספר מה ונרשום בחלק מה במקום רמוז [..] והנה במקום החלק הרמוז היו כוכבים כוכב אחד בכל עגול והולך כל כוכב סיבובו בימים מתחלפים זה מזה שאלתי בכמה מן הזמן ישובו כולם להדבק כבראשונה
	תשובה ראה המורה היותר מקוצר כמו שהראתך בקיצור המורים ובמספר המורה המקוצר ישובו כולם לחלק הרמוז ואם לא תקח המקוצר האמתי ישובו להדבק כל כך פעמים כפי מה שתוכל לקצרו ואם תרצה לדעת מהלך סיבובי כל עגולה בפני עצמה תחלק המורה שהוא ימי מהלך כולם על כל אחד והיוצא לכל אחד הוא מהלכו
	המשל בזה הרי שיהיו בידינו ד' עגולות ולכל עגולה כוכב אחד והנה מהלך החיצון בכ"ד ימים ומהלך השני בי"ט ומהלך השלישי בעשרה ומהלך הרביעי בששה ויהיה בזאת הצורה והנה נוציא המורה הכללי מקוצר כמו שאמרתי ויהיה המורה המקוצר ב' אלפים ור"ף כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{19}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{24}}}$ 2280	א טא א דב 2280
	ובו תמצא כל החלקים כיצד הנה ו' תמצאם בכ"ד ותשלך ‫וקח חצי עשרה ה' ותשלך עשרה גם כן כי כאשר תכפול ה' על מספר זוג תמצה בו עשרית ואם כן בזה הדמיו כפלנו ה' על י"ט יעלו צ"ה גם כפלנו צ"ה על כ"ד יעלו ב' אלפים ר"ף והוא המורה היותר קצר שיוכל להיות בו ישובו להדבק כי בתחלת ב' אלפים רפ"א ישובו להדבק וכן פעם אחר פעם ישובו במקום הרמוז [או קח שלישית כ"ד ח' וחצי עשרה והוא ה' וחצי ו' והוא ג' ועם י"ט והכל אחד] ואם תרצה לדעת לדעת כמה סיבובים עשה כל אחד גלגל חלק המורה על כל אחד והיוצא הם הסיבובים שעשה כל אחד
	המשל בזה חלקנו ב' אלפים ר"ף בא ל על כל אחד יציא לעיגול כ"ד צ"ה סיבובים ולעיגול י"ט ק"ך סיבובים ולעגול עשרה רכ"ח סיבובים ולעגול ששה ש"ף סיבובים והנה עתה ידענו הזמן שיסביב כל כוכב על גלגלו ואם תרצה דיבוק שני כוכבים רמוזים קח מורה שניהם היותר קצר ובחשבונו ידבקו ואם תרצה שלשה קח מורה שלושה וכן כפי מה שתרצה
	והבחינה
	אם יפגשו בזה הזמן במקום ‫הרמוז הוא שתכפול סיבוב כל [...] כל אחד והיוציא יהיה המורה הכללי [...] הגדולה הולך בכ"ד ימים ועושה עד כפול כ"ד על צ"ה יעלה המורה גם כפול ימיו [...] י"ט על סיבוביו שהם ק"ך יעלה המורה גם עשרה [...] יעלה המורה גם ששה על ש"ף יעלה המורה וכן כולם
	שאלה רביעית ממדה ראובן מכר לשמעון בית כולו מלא [...] שניהם כי שמעון ימלא הבית מהחדש ואחר זמן קודם ש[...] החדש אמר ראובן לשמעון הנה רציתי לעשות זה הבית חדש בא ונמכור חלל הבית מדדו אותו ומצאו חללו מרובע מעוקב י"ב אמות על י"ב אמות שעלה באורך וברוחב ובעומק ואחר כאשר בנה הבית בנה אותו מעוקב מו' אמות באורך ורוחב ובעומק שאלתי כמה בתים מאלה מזה הקטן יחוייב שמעון ל[] לראובן אשר הוא חצי מידות הגדול
	תשובה הוה [] שמעון לתת לראובן שמונה בתים קטנים לתשלום הבית הגדול שנתן לו
	והבחנה הנה הגדולה היא י"ב על י"ב קמ"ד והוא השטח גם קמ"ד על י"ב יעלו אלף תשכ"ח [והיא] מדת האמות המרובעות אשר בכל הבית הגדולה תחלקם על רי"ו אמות מרובעות אשר בבית הקטנה כי ו' על ו' והיוציא על ו' יעלו רי"ו וזה שמניות הגדולה כי כן יעלה בחלוקה וזה מה שרצינו
	שאלה חמשיתיש כאן שני כדורים אחד ב' אמות אלכסונו [...] והאחר ד' אמות אלכסונו הנה יהיו הגדול גדול מן הקטן ח' פעמים ואם הערך שלשה יהיה גדול משלשה על שלשה והיוצא על שלושה כמו בדרך משל שהיו בידנו ב' כדורים אשר ערך אלכסון האחד אל השני כפלו נכפול ב' על ב' והיוצה על ב' ‫[...] הוא גדול מן הקטן שמונה [...] שני כדורים ג' כפלים נכפול ג' על [...] כל הנה יהיה הגדול כ"ז פעמים כקטן [...] האחד גדול מן השני ד' פעמים [...] והוא יהיה ס"ד וס"ד פעמים יהיה האחד גדול [...] וכן כל הדומה לזה ובזה הדרך הוציאו גודל השמש אצל הירח והכוכבים
	שאלה ששית ראובן הלך ג' פרסאות לבית הרחים עם י"ב שקים מלאים חטה בעגלה וכל כך היו מלאים [ש]לא יוכל לקשור אותם ומצא כל כלי הטחינה רקים מוכנים [לי]תן כל החטה בכלים והניח שם השקים רקים וגנבו מהם החמשה או הששה ובעל הרחים דוחק ואומר לו הרי בית הקמח [מ]לאה ואם לא תסרנה אשפוך אותה בארץ שאלתי מה יעשה בעל החטה כי העיר רחוקה
	התשובה יקח השקים הנשארים או קצתם ויעשה מהם שק אחד ותניח אותו בעגלה ושם יביא כל הקמח ויותר
	והבחנה בשטח מזה תעיין בגשם בעבור שלא אאריך ואומר נעשה ד' מידות כזה אשר כל צלע [ארב]עה ואם כן בכולם י"ו אמות ותוכל לעשות מי"ו אמות מרובע גדול אשר בו תמצא י"ו מרובעים בזה הצורה ואם כן עם בגד הד' שקים תוכל לעשות שק אחד אשר שטחו שוה לי"ו שקים והעומק כפי אשר תשים עליו
	הערה דע כי אלו השאלות והדומות להם השטחיות כל שכן הגשמיות תדמה כי שאם יש להם חילוף שהוא מלוח והנה הוא גדול שאם תעשה דרך משל שטח אשר הוא י"ב על י"ב ‫יהיו בו קמ"ד אמות מרובעות [...] יהיו קצ"ו ונוסיפו נ"ב אמות והנה י"ב על [...] בסיבוב יוסיפו נ"ב אמות וכן בכבשן שאם [...] יוסיף השטח יותר מחציו גם יש הפרש גדול כמו שאמרתי בכדור
	שאלה שביעית הנה היה אבן בידנו משקלה מ' לט[רין] שאלתי כצד נחלק אותה לד' אשר נשקול עמהם מלטראה אחת עד מ' לטרין
	התשובה הנה השאלה הזאת ואחרות תעשה עם סדר המשכת כפל הג' על היוציא כמו שתראה בזה הלוח ובשאלתנו שהיו ד' [...] יהיו א' ג' ט' כ"ז וכולם מ' והנה לטרה אחת ושל[שה] ותשעה וכ"ז ידועים אבל שנים תשקלם עם ג' וא' לפנים וד' עם ג"א וד' עם ט' וג'א' לפנים וו' עם ט' לפנים וכן כולם
	ואם היה האבן משקלה קכ"א כמו שיורה א' ג' ט' כ"ז פ"א ונחלקה לאלה החלקים תוכל לשקול בה מא' עד קכ"א וכן כפי המשכת הלוח עד מה שתרצה כי משקלי זה הלוח הם ששה ותוכל לשקול בהם עד שס"ד וכן כל הדומה לזה

Chapter Three on Various Problems	הפרק השלישי בשאלות מתחלפות
The first question: Reuben had sons and money and he made a will, but he told some witnesses: write and give one of my sons one and a fifth of the remainder or he said a quarter of the remainder or a third or whichever part he wants and it will be the denominator.	שאלה ראשונה ראובן היו לו בנים וממון ועשה צוואה נעלמת אבל אמר לעדים כתבו ותנו לאחד מבני אחד וחמשית הנשאר או אמר רביעית הנשאר או שלישית או איזה חלק שהוא רוצה והוא יהיה המורה
	והנה יש לך לדעת שלשה דברים האחד סך בניו והשני סך הממון והשלישי הממון הנעלם והנה ‫[...] כשתגרע אחד מן המורה [...] לכל אחד תדעהו כשתכפול המספר [...]ערכת לחלוק הבנים הנודעים והשלישי שהוא [...]דעהו כשתכפול מספר הבנים על מספר הממון
Example: Reuven made a will and wanted an unknown [..] and he said I have money in a certain house at a certain country [..] also and I want that you will give my older son one peraḥ and one-tenth [of the remainder] and to the second 2 peraḥim and one-tenth the remainder and to the third 3 peraḥim and one-tenth of the remainder and so on by this order successively.	והמשל בזה ראובן עשה צוואה ורצה שלא נודע [..] ואמר ממון יש לי בבית פלוני במדנה פלונית [..] גם כן ורציתי ברצון נפשי שתתנו לבני הגדול פרח אחד ועשרית [הנשאר] ולשני ב' פרחים ועשרית הנשאר ולשלישי ג' פרחים [ועש]רית הנשאר וכן כסדר זאת ההמשכה הנערכת
Subtract one from ten, as he said "tenth"; nine remain and these are the sons.	גרע אחד [מ]עשרה בעבור שאמר עשירות נשארו תשעה והם הבנים
Now, we wish to know how many peraḥim he gave each: multiply the number of the sons by the number of the successive addition, which is one, because the sequence is 1, 2, 3, 4, 5, etc. We multiply 1 by 9, it is 9 and it is the amount of money given to each.	ועתה [נרצה] לדעת כמה פרחים נתן לכל אחד כפל מספר הבנים [ב]מספר העושה ההמשכה שהוא אחד כי ההמשכה הוא זה [א'ב']ג'ד'ה' כו' כפלנו א' על ט' יהיו ט' והוא הממון שיתנו לכל [אחד]
Now, we wish to know his unknown [original] amount: we multiply [the number of] his sons by the money of each, 9 by 9 is 81. Thus, we know that the unknown amount of money is 81, the sons are 9 and the share of each of them is 9 peraḥim.	ועתה נרצה לדעת ממונו הנעלם נכפל בניו על הממון [..] לכל אחד ויהיה ט' על ט' יהיו פ"א והנה פ"א פרחים הוא הממון [הנעלם] והנה ידענו כי הממון הנעלם הוא פ"א והבנים [ט'] וחלק כל אחד ט' פרחים
	בחינה נתן לגדול פרח אחד ועשרית הנשאר נקח מפ"א אחד נשארו פ' ועשירית פ' הוא ח' נשארו ע"ב והנה נפל לגדול ט' פרחים
	ולשני ב' מע"ב נשארו ע' ועשיריתם ז' וב' יהיה ט' לשני
	ונשארו ס"ג נתן לשלישי ג' ועשירית ס' שהוא ו' ישארו נ"ד וט' לשלישי
	וכן לכולם
	אחרת ראובן עשה צואה ואמר בנים וממון יש לי במדינה פלונית ורציתי שתתנו לבני הקטן ג' כפילות וחמשית הנשאר ולשני ו' וחמשית הנשאר ולשלישי ט' וחמשית הנשאר וכן כזה ההמשכה הנערכת
	נגרע אחד מהמורה ‫שהוא ה' כי חמשית אמר [...] שיתנו לכל אחד נכפול הבנים שהם ד' [...] ההמשכה הנערכת כי הוא ג'ו'ט' כו' יעלו [...] לכל אחד ולדעת הכפולות הנעלמות נכפול [...] והם הכפולות כי כפלנו י"ב הנופל לכל אחד על ד' והנה הבנים ד' והממון מ"ח וחלק כל אחד י"ב
	והבחינה נתן לראשון ג' ממ"ח נשארו מ"ה נקח גם [חמשית] מ"ה שהוא ט' ועם ג' יהיו י"ב לראשון ונשארו ל"ו
	נתן לשני ו' מל"ו נשארו ל' וחמשית ל' שהוא ו' ועם ו' יהיו [י"ב] לשני ונשארו כ"ד
	נתן לשלשי ט' מכ"ד וחמשית הנשאר יהיו [י"ב] לשלשי נתן י"ב הנשארים לרביעי וכולם שוים
	וכזה הסדר [..] המשכה נערכת כמו מה שעשינו או ד' ח' י"ו כ' וכו' או ה' י' ט"ו [כ'] או ו' י"ב י"ח כ"ד כולי
	דרך להוציא דבר נערך מעיר לעיר ומה שצריך להוציא לפרוע מכס שבכל עיר ואמשל כל זה עם משל [...] ואם כוונתי לקצר יחוייב שאעשה שני שאלות נעלמים ומ[...]
	שאלה בת מלך אמר לעבדו תוציא לי תפוח אחד מהגן הלך לגן והיו בו שני שוערים אמר לו ה[שוער] קח כל כך תפוחים שתתן לי חציים והחצי אחד [ושיהיו שלמים] וכן אמר השני שאלתי כמה תפוחים יקח מן הגן שיתן לשוערים מה ששאלו ושישאר תפוח בידו
	תשובה יקח ז' ויתן ד' לשוער השני שהם חצי כולם וחצי אחד ונשארו בידו ג' ומהם יתן ב' לשוער הראשון שהם חצי ג' וחצי אחד וישאר בידו תפוח לבת המלך
	והנה הדרך הכללי הוא שאם שאל א' והיו ד' שוערים יוציא ט"ו כי ג' לשוער ראשון כופלם עם תוספת אחד יהיו ז' לשני כופלם עם תוספת אחד יהיו ט"ו לשלשי וכן כולם ‫[...] עם תוספת אחד ואם שאל ב' תפוחים [...] [תוספת] אחד עד כל השוערים שתרצה [...] כל מה ששאל כמו שתיראה בזה הלוח
	[...] אם אמר השועיר או השוערים שיתן [...] עוד ג' הנה הדרך הוא שתקח התפוחים [...] ותכפלם גם תכפול מה שאמר ועוד ג' או מה [ש]אמר ועוד כמו ששאל ב' כופלם יהיו ד' והשומר [..] ועוד ג' כופלם יהיו ו' ועם ד' יהיו עשרה ואם [היו ב'] שוערים כפל עשרה והעוד ג' שהם ו' יהיו כ"ו ואם [היו] ג' שוערים כפול כ"ו והג' יהיו נ"ח ואם ד' שוערים [כפול] נ"ח וג' יהיו קנ"ב וכן כל מה שתרצה מן השוערים
	שאלה שמעון הלך לגן ושאל לו שני תפוחים ומצא ג' שוערים ושאל מן הראשון ב' [תפו]חים אמר לו קח כל כך שיהיו שתתן לי החצי וחצי [אח]ד ושישאר בידך שנים הלך אצל השוער השני אמר [לו] קח כל כך תפוחים שתתן לי ב' שלשיות כולם וב' שלישיות [תפוח] הלך אצל השוער השלישי אמר לו קח כל כך תפוחים שתתן לי ג' רביעיות כולם וג' רביעיות תפוח ועם כל זה יהיו כל התפוחים שלמים ושישארו לו ב' תפוחים שאלתי כמה תפוחים יקח מן הגן
	הדרך לעשות זה הוא שתקח הב' שלמים ששאל ותכפלם על מורה האחרון ועל היוציא תוסיף שבריו והיוציא על מורה האמצעי ותוסיף שבריו והיוציא על הראשון והעולה מכולם הוא הראוי לקחת מן הגן
	המשל בזה כפלנו ב' הנשאל על מורה אחרון יעלו ח' בעבור שאמר ג' רביעיות וג' מג' רביעיות שהם שבריו יהיו י"א גם כפלנו י"א על ג' שהוא מורה ב' ‫שלשיות יעלו ל"ג נוסיף ב' [..] ל"ה על ב' וחצי [ואחד מחצי שבריו] יעלו ע"א [...] בעבור שישארו לו שנים והנה [...] כי נקח לשוער השלשי ג' רביעיות ע"א ו[...] הג' רביעיות הם נ"ג ורביע ועוד ג' רביעיות [...] השוער השני שאל ב' שלישיות י"ז [וב' שלישי תפוח] והנשאר יהיו [...] שלשיות י"ז הוא [...] ושלישית ועוד ב' שלישיות יהיו [..] ה' והראשון שאל חציים וחצי אחד שהם ג' ונשארו לו [...] וזה הדרך תעשה אם יהיו בגן שוערים רבים כמו שת[ר]אה כזה
	לוח התפוחים

Apples	Gates	Gates	Gates	Gates	Gates	Gates
1	3	7	15	31	63	127
2	5	11	23	47	95	191
3	7	15	31	63	127	255
4	9	19	39	79	159	319
5	11	23	47	95	191	383
6	13	27	55	111	223	447

שערי'	שערי'	שערי'	שערי'	שערי'	שערים	תפוחים
קכז	סג	לא	טו	ז	ג	א
קצא	צה	מז	כג	יא	ה	ב
רנה	קכז	סג	לא	טו	ז	ג
שיט	קנט	עט	לט	יט	ט	ד
שפג	קצא	צה	מז	כג	יא	ה
תמז	רכג	קיא	נה	כז	יג	ו

	שאלה ה' אנשים עם ו' בהמות בח' ימים ירויחו [יב] [...] שאלתי ו' אנשים עם ח' בהמות בעשרה [ימים] [כמה] ירויחו
	‫[תשובה] כפול האנשים על הבהמות והעולה על הימים
	וכן תעשה כפול ה' אנשים על ו' בהמות יעלו ל' גם ל' בח' ימים יעלו ר"מ [...] החלק הראשון הנודע
	ותניח הדינרי' במקומם וכסדר הנז[..] כפול ו' אנשים על ח' יעלו מ"ח כפול מ"ח על עשרה יעלו ת"ף החשבון השלישי ועתה נאמר אם ר"מ נתן לנו י"ב ת"ף מה יתן ונתן כ"ד
	והבחינה מבואירת כי ר"ם כפל ת"ף וגם כ"ד [...] [ותחלק ר"ם על ...]
If 240 12 480 0	0 ת"ף יב ר"מ אם
	‫[...] כדין של [.] יין מבשל שבו [...] כדין [...] מספר ישוב [...] כפול ח' על ג' יעלו כ"ד חלקם על ה' יעלו ד' כדין וד' חומשי כד כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$4	ד
	[וכן] כל הדומה לזה עם דרך השלושה
	הבחינה כפלי האמצעים יהיו ת"ר וגם החיצוניים
Find a Quantity Problem - Whole from Parts – Fish Question: a man bought a fish, its head is one fifth, its body is 3-quarters, and its tail is 5 cubits. I ask: how much is its entire length? $\scriptstyle x=\frac{1}{5}x+\frac{3}{4}x+5$	שאלה אדם קנה דג או כה שתרצה שראשו חמשית וגופו ג' רביעיות [וזנבו] ה' אמות שאלתי אורך כולו
	תשובה תשוה השברי אל מורה אחד שהוא כ' ויהיה כזאת הצורה
4   15 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$ X $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$   20	ד   הא X   20
	ונאמר כי כ' אמות [הוא] סך כולו נקח החמשית שהוא ד' גם נקח ג' אמות שהם ט"ו ועם ד' יהיו י"ט שהם סך גופו [ו]ראשו ולא נשאר רק אמה לזנבו ואנחנו שאלנו אמות לזנבו ונאמר אם כ' נתן לנו א' מה יתן לנו ה'
	נכפול ה' בכ' יעלו ק' חלקם על א' יהיו ק' והוא מדת הדג
	כי חמשתו כ' וג' רביעיותיו הם ע"ה וכ' יהיו צ"ה נשארו ה' לזנבו לתשלום ק' וכן כל הדומה לזה
	וכזה אילן חמשיתו בקרקע תחת המים וג' רביעיות במים וה' אמות על המים
	וכן רומח וכן כל הדומה לזה‫

[Chapter Four]: Mixture of Coins	‫[...] תערובת המטבעות
	הסדר הראשון [בחיבור ובגרעון המשקלים ובידעת הנקי ממרקוש ושברין]
	[...] ואומר כי זה הפרק הוא טוב מאוד [...] הוא טוב גם כן לאומני ממון [...] אומר לך כללים ראויים להקדים
	[...] ראשונה דברים אשר קצתם מפורסמים אצל הממון וקצתם נעלמים והנה כזה תמצא שני [...] בהסכמה הראשונה חלוקת המשקלים והשנית חלוקת [...] או הנקי וזה הנקרא הדת
	אמנם חלוקת המשקלים ראשונה קראו למשקל מה מרקו וחלקו המרקו לשמונה אונסיש והאינסה לכ"ד דינירוש וכל דינירו לכ"ד גראנוש וכל גראנו לכ"ד פוליטאש וזה חלוקת המשקל
	החלוקה השנית שהיא חלוקת הדת הוא כי כל מרקו מכסף הוא י"ב דינירוש מדת וכל דינירו נחלק לכ"ד גראנוש וכל גראנו לכ"ד פוליטאש והפוליטה חילקתי לכ"ד שברי פוליטה
	[...] ציירתי שני לוחות הלוח הראשון פרטתי בו הראוי מן הדת לכל חלקי המשקל והלוח השני הוא הפך הראשון שהוא הראוי מן המשקל לכל חלקי הדת
	הלוח הראשון הוא כי החלקים יותר קטנים שהנחתי כאן מן המשקל הם פוליטאש וכתבתי כ"ד פוליטאש ממשקל אשר הראוי לאחד מן הדת שהוא י"ב דיניש [..] כל א' אונסש יש ל"ה שבר וחצי מדת ול"ה פוליטאש ממשקל [..] יש לה ג' שברים עד אשר י"ו פולידאש ממשקל יש להם פוליטה אחת מדת וכ"ד פוליטש שהם גראנו אחד יש להם פוליטה וחצי מדת והוא סוף הטור הראשון מן הלוח הראשון
	וראשון הטור השני הוא גראנו אחד ממשקל שהוא פוליטה וחצי מדת וב' גראנוש ג' פוליטאש וי"ו גראנוש גראנו אחד מדת וכ"ד גראנוש שהוא סוף הטור שהוא דינירו אחד יש בו גראנו וחצי מדת והוא ‫הם הטור השלישי וראש הרביעי [...] מדת והנה ראש הלוח הרביעי [...] מדת וה' אונסאש שהוא סוף הטור הרביעי [...] מהם י"ב דיניש מדת וכן בכל מרקו שאם [...] מדת תחלקים על י"ב והיוציא הם מרקיש
	והלוח [...] שאם יהיו בידך דיניש או גראנוש או פוליסאש מדת לדעת המשקל הנה כל פוליטה מדת יש לה י"ו פוליט[..] ומכל כ"ד מכל מין תעשה אחד למה של מעלה [...] ב' פוליטי' הם גראנו וח' פוליטי' ממשקל עם כי י"ב פול[..] הם ח' גראנוש ממשקל וכ"ד פליטי' שהם גראנו אחד הם י"ו ג[...] ממשקל והוא ראש הטור השני שהוא גראנו אחד מדת והוא י"ו ג[...] ממשקל והשני דינירו אחד וח' גראנוש וי"ב ח' דיניש [...] סוף הטור השני וראש השלישי הם דינירו אחד מדת וי"ו דיניש ממשקל והנה ראש הטור השלישי הוא דינירו אחד מדת שהוא שוה י"ו דיניש ממשקל וג' דיניש מדת הוא אונסה וח' פשיטי' ממשקל וי"ב דיניש מדת שהם מרקו הם ח' אונסש ממשקל [..] מרקו אחד גם כן והרי לך צורת השני לוחות
	ואחר שידענו הסכים נחבר המינים כמו שתראה
We wish to know how much are 16 marcos, 5 granos dineros	המשל רצינו לדעת כמה יעלה י"ו מרקוש וה' אונסאש וי"ו דיניש וכ"ג גראנוש וי"ג פוליטאש עם כ"ט מרקוש ז' אונסאש כ"א דינירו י"ז גראנוש ה' פוליטאש ועם ל"ז מרקוש וי"א דיניש וי"ב פוליטאש ויהיה [כזאת] הצורה
	פוליטא יג ה יב גראנוש כג יז 0 דינירוש יט כא יא אונסאש ה ז 0 מרקוש יו כט לז ו יז ד ו פג
	נחבר[.] הפוליטאש יהיו ל' גרע [...] גראנו אחד ונשארו ו' נחבר הגרנו עם
	‫עם [...] מ"א תן [...] לפשוט אחד יהיו נ"ב [...] גרע מ[..] מ"ח ל"ב אונסאש ד' דיניש [...] הב' אונסאש [..] האונסאש יהיו י"ד גרע מרקו[..] ישארו ו' אונס[..] נחבר גם כן ה[...] יהיו עם האחד שהוספנו פ"ג מרקוש וזה המבוקש מן השלושה חשבונות המונחים והוא הדין אם נרצה לגרוע דומה מדומה
	המשל בזה רצינו לגרוע כ"ד מרקוש ד' אונסאש י"ג דיניש כ"ג גראניוש
	[.]   דיניש וגראנוש ממשקל גראנוש דת   גראנוש ופוליטאש ממשקל פוליטאש דת [.] דניש     דיניש גראנוש     גראנוש פוליטאש     יו א     יו א     יו א א ח ב   א ח ב   א ח ב ב 0 ג   ב 0 ג   ב 0 ג ב יו ד   ב יו ד   ב יו ד ג ח ה   ג ח ה   ג ח ה ד 0 ו   ד 0 ו   ד 0 ו ד יו ז   ד יו ז   ד יו ז ה ח ח   ה ח ח   ה ח ח ו 0 ט   ו 0 ט   ו 0 ט ו יו י   ו יו י   ו יו י ז ח יא   ז ח יא   ז ח יא ח 0 יב   ח 0 יב   ח 0 יב     יג   ח יו יג   ח יו יג   יד   ט ח יד   ט ח יד   י 0 טו   י 0 טו   י יו יו   י יו יו   יא ח יז   יא ח יז   יב 0 יח   יב 0 יח   יב יו יט   יב יו יט   יג ח כ   יג ח כ   יד 0 כא   יד 0 כא   יד יו כב   יד יו כב   טו ח כג   טו ח כג   יו 0 כד   יו 0 כד
	‫[...] מרקוש ב' אונסאש ג' דיניש ט' [...] כזאת הצורה
	פלוטי גראנוש [דיניש] [אונסאש] [מרקוש] ד ט ג ב ל"ה ז כג יג ד כד כא ט יג ה י
	גרענו ז' פוליטאש [...] [ולא] נוכל נעשה מגראנו אחד כ"ד פוליטאש ועם הד' יהיו כ"ח נגרע מהם ז' ישארו כ"א עוד גרענו כ"ג מח' שנשארו נעשה מדינירו אחד כ"ד [ג]ראנוש יהיו ל"ב גרענו מהם כ"ג ישארו ט' גראנוש עוד [גר]ענו מב' דיניש שנשארו י"ג נעשה מאונסה אחד כ"ד פשיטי' [יהיו] כ"ז נגרע מהם י"ג ישארו י"ג עוד נגרע ד' אונסאש מא' [...] נעשה ממרקו אחד ח' אונסאש ועם א' יהיו ט' נגרע [מ]הם ד' ישארו ה' עוד נגרע מל"ד מרקיש שנשארו כ"ד ישארו [עש]רה והנה יצא לנו שנשאר אחר הגרעון עשרה מרקוש ה' [אונס]אש י"ג דיניש ט' גראנוש כ"א פוליטה והוא המבוקש
	ואם ואם תרצה לכפול או לחלק משקלים מתחלפים על אחרים תשוים ואחר תכפול או תחלק כאשר עשינו בכפל או בחילוק מורכבים כי לא רציתי להאריך
	והנה כאשר יהיה כסף מעורב [...] דע כי לעולם י"ב פשיטי מעורבות אונקיות הם מרקו אחד וכן כל שברי המרקו שלא נקפיד אם הוא נקי או מעורב
	ואומנם לדעת הנקי שיש במשקל או במשקלים מתחלפים תדעם עם דרך השלושה בזה הדרך שתקח מרקו אחד ועמו תעשה הערך לאחדים הנשאלים ואם הנקי מהנשאל יהיה פשיטי' עשה [.] מרקו אחד פשיטי' ואם שאל שברים אחרים עשה המרקו אחד ממין הנשאל כמו שתראה ובעבור שלא תצטרך בכל זאת לעשות מהמרקו שברים ממין הנשאל אכתוב כאן [..] אנסאש המרקו והדיניש והגראנוש והפוליטאש ושברי הפוליטאש כי לא קראתי להם שם ‫אלא שברים או שברי פוליטה
	אונסאש ח       דיניש   בטא     גראנוש     ח0וד   פוליטאש       בטה0אא שברים         ח0ב654ב מרקו אחד הוא
	שאלה ט' מרקוש מכסף ג' אונ[...] זה ממשקל [...] מדת בכל [...] שאלתי [...] נקי [...] בכול ‫[..]
	תשובה תן מרקו אחד בדיניש בעבור כי בנשאל תמצא דיניש ויהיו קצ"ב דיניש ובשאלתינו אמר כי יש בכל מרקו ח' דיניש מדת וקצ"ב הם דיניש גם כן ועתה אמור אם קצ"ב נתן לנו ח' ט' מרקוש ג' אונסאש [..] פשיטי כמה נקי יתן לנו תן הנשאל בדיניש כי שבר[...] הוא דיניש ויהיו אלף תתט"ו דיניש כי ט' על מורה האונ[סאש] שהוא ח' יהיו ע"ב וג' אונסאש אשר בשאלה יהיו ע"ה אונסאש כפול ע"ה אונסאש על מורה הדיניש שהוא כ"ד יעלו אלף ות"ת וט"ו שהיו בשאלה יהיו אלף ותתט"ו כנזכר ועתה תסדר השאלה ואמור אם קצ"ב דיניש ממשקל נתן לנו ח' פשיטי דת אלף ותתט"ו דיניש ממשקל מה יתן לנו כזאת הצורה
	משקל דת משקל   0 האחא ח קצב אם
	כפול האמצעיות יעלו י"ד אלפים תק"ך תחלקם על קצ"ב יעלה בחילוק ע"ה דיניש וק"ך חלקים מקצ"ב תחלק ע"ה דיניש על י"ב שהוא דיניר הדת יעלה בחילוק ו' דינרים ונשארו ג' דיניש והנה ו' דינרים שהם ו' מרקוש מדת וג' דיניש ‫[...] אשר אם תקצרם יהיו ה' שמניות [...] תמצא מנקי כ"ט מרקוש ג' אונסאש ט"ו [...] ח' פשיטי מנקי
	‫[והבחי]נה כפול כל אב על הבן הנכרי כמו קצ"ב על הנעלם שהוא ע"ה וחלקיו יהיו י"ד אלפים תק"ך גם [...] תתט"ו על ח' יעלו י"ד אלפים תק"ך כנזכר וזה שתתן ע"ה [..]קצ"ב בעבור שיהיו השני בנים שוים ואחר כפול כל אב על הבן הנכרי כאשר אמרתי
	וכבר ראיתה כל הבחינות שעשיתי לדרך השלושה ועתה באלו השאלות שאכתוב אם אביא בחינה אם לא תעיין באחרות כי אכוון לקצר
	שאלה ה' מרקוש ו' אנסאש ז' דיניש ח' גראנוש כל זה ממשקל לסך ה' דניש ט' גראנוש מדת בכל מרקו שאלתי כמה נקי יש בכל הנשאל
	‫[תש]ובה תן מארקו אחד בגרנוש יהיו ד' אלפים תר"ח בעבור כי הנקי הוא גראנוש גם תעשה הנשאל גראנוש יהיה הכל כ"ו אלפים תרע"ב גראנוש כל זה ממשקל ושמרם וגם תן ה' דניש מהנקי גראנוש יהיו ק"ך ועם ט' גראנוש שהיה בשאלה יהיו קכ"ט גראנוש מנקי במרקו אחד ואחר ערוך שאלתך ואמור אם בד' אלפים תר"ח גראנוש שהוא מרקו אחד יש בו קכ"ט גראנוש מנקי בכ"ו אלף תרע"ב מה יש בו ויהיה כזה הצורה
	נקי משקל נקי משקל   0 26672 129 4608 אם
	כפלנו האמצעיות יעלו ג' מספרים ת"מ אלפים תתפ"ח כזה
	חחו0דדג
	חלקם על האמצעי הראשון שהוא ד' אלפים תר"ח יציא בחילוק תשמ"ו גראנוש וג' אלף וקי"ב חלקים מד' אלפים תר"ח בשלם שאם תקצרם יהיו ס"ה חלקים ‫מצ"ו כזה
	הו וט
	חלק הגראנוש השלמים [...] ונשארו ב' גראנוש חלק ל"א דיניש על [...] ותצא ב' דנרים שהם ב' מרקוש מדת [...] עלה בידנו כי הדת או הנקי אשר בה' מרקוש [...] דיניש ח' גראנוש כל זה ממשקל לסך ה' פשיטי דיניש ט' מדת בכל מרקו שהוא ב' מרקוש וז' דיניש וב' גראנוש [..] חלקים מצ"ו בגראנו
	הסדר השני בידעת התערובת מסכים מתחלפים
	ואומר כי חלוקת דינר הדת הוא שתדע תחילה [כי] מתכת שהוא סוג וחלק ממנו נקי וממנו מעורב
	והנקי יחלק לשנים וכל אחד לשנים שהם ארבע
	והמורכב לשנים וכל אחד לשלוש[ה] שהם ששה
	אומנם חלוקת הנקי לשנים האחד כסף נקי והשני נחושת נקי
	והנה הכסף הנקי נוכל להורידו עם נחושת נקי או עם תערובת
	וחלוקת הנחושת הנקי הוא שנוכל להטבו ע[ם] כסף נקי או עם תערובת והרי לך ארבע חלקי הנקי שהם שנים להורי[דו] ושנים להטיבו
	ואמנם התערובת אשר חלקיו ששה הנה השלושה להטיבו והשלושה להורידו
	אומנם השלושה להטיבו הוא עם כסף נקי או עם תערובת יותר טוב או עם שנגרע מן הנחושת
	והשלושה להורידו הוא עם נחושת נקי או עם תערובת יותר רע או עם שנגרע מן הכסף
	והנה לפי זה הוא צורת אילן אשר ענפיו הם עשרה והנה אכתוב לכל ענף שאלה אחת או שתים הכל כפי הראוי ומהם תלמוד לאחרים וזה צורת האילן
	ואני מתחיל בסדר התערובת ואומר כי כאשר יהיה בידך כסף נקי שהוא מסך י"ב דיניש ותרצה לערבו עם נחושת נקי או עם דבר ‫דבר אחר ותרצה שיהיה בסך ידוע מהנקי ושתדע גם כן הנחושת הנה תדענו עם דרך השלושה בזה הדרך שתדע הנחושת אשר במרקו אחד כפי הסך שתרצה גם הנקי ואחר אמור בדרך השלושה אם כך מנקי נתן כך מנחושת במרקו אחד כך מרקוש שאני רוצה לתתנם בנחושת מה יתן מנחושת וסדר שאלתך ואם הפך השאלה יהיה בהפך
	ענף ראשון הנה יש ביד מחליף או צורף ז' מרקוש מכסף נקי ורצה לערבו עם נחושת ושיהיה לדת ח' פשיטי בכל מרקו שאלתי כמה יערב עם הכסף ושיהיה לזה הדת וידעת כמה מרקוש יהיה זה התערובת
	תשובה הנה אחר ששאל שיהיה הדת ח' פשיטי' נשאר לתשלום י"ב דינש ד' דיניש שנצטרך בכל מרקו מנחושת והנה היה לך שלשה דברים ידועים שהם ח' דיניש ‫הדת וד' דיניש הנחושת וז' מרקוש ש[...] ח' דניש נקי צריך ד' דיניש מנחושת פ"ד דיניש נקי כמה נחושת נצטרך ויהיה
	נקי נחושת נקי   0 דח ד ח אם
	כפול האמצעיות יעלו [..] על ח' יעלו מ"ב דניש [...] נעשה מהם מרקוש נחלקם על ז' תצאו ג' מרקוש וחצי שהם ששה אונסאש כל זה מנחושת ז' מרקיש מכסף נקי שרצינו להורידו לח' דיניש שנצטריך ג' מארקוש וחצי מנחושת ויהיו אז עשרה מרקוש וחצי
	והבחינה שתכפול הקצוות זה על זה וכן האמצעיות ויהיו שוים כי ח' על מ"ב הנעלם של"ו וכן האמצעיות ואם תרצה עם בחינות אחרות שעשתי הרשות בידך [..] להרגילך פעם אני עושה אחד פעם אחרת פעם אסמוך על [...]
	שאלה שנית מענף ראשון והיא מורכבת הנה יש ביד מחליף ב' מ[...] ג' אונסאש ט' דיניש מכסף נקי ורצה להורידו עם נחושת נקי לדת ז' דיניש שאלתי כמה נחושת הוצרך לערב עם הכסף ושיציא לדת ז' דיניש
	התשובה הנה אחר שידענו ששאל לסך ז' דיניש מדת הנה לתשלום י"ב תמצא ה' מנחושת ואמור אם ז' דיניש מנקי צריך ה' מנחושת ב' מרקוש ג' אונסאש ט' דיניש כל זה מנקי כמה נחושת הוצרך ויהיה כצורה הזאת
	דיניש אונס מרקוש נחוש דיניש   0 ט ג ב ה ז אם
	נתן השלם בשבר היותר קטן שהוא דיניש תן הב' מרקוש על ח' שהוא אונסאש יהיו י"ו וג' שהיו לנו יהיו י"ט אונסאש נכפול י"ט על כ"ד שהוא מורה הדיניש ויהיו ‫[...] שהיו לנו יהיה תס"ה דיניש מכסף [...] שלושה אם י"ז דיניש מנקי הוצרך ה' מנחושת [...] נחושת הוצרך ויהיה כזה הצורה
	נקי נחוש [נקי] 0 הוד ה זא אם
	נכפול האמצעיו' וחלק על ז' ויעלה של"ב דיניש ושבעית וזה הנשאל מנחושת ואם תרצה תחלקם על מורה הדיניש שהוא [..] ותציא י"ג אונס' ונשארו כ' דיניש עוד תחלק הי"ג על ח' ותציא מרקו אחד וישארו ה' אונסאש ונאמר כי מארקו אחד וה' אונס' [..] כ' דיניש ושביעית הוצרך לב' מרקוש וג' אונס' וט' דיניש תחברם כולם יהיו ד' מרקוש א' אונס ה' דיניש ושביעית כל זה לסך ז' דיניש
	הבחינה היא שתכפול כל אב על הבן הנכרי ובלבד שתתן כל הבנים [..] בשביעיות בעבור השביעית או תכפול הקצוות והאמצעיות או תחלקם
	שאלה שלישית משברים מענף ראשון היה היה ביד מחליף או צורף ה' אונסאש וז' דיניש וג' גראש' מכסף נקי ורצינו להורידו לסך ט' דיניש מדת שאלתי כמה נחושת הוצרך להורידו לדת ט' דיניש
	תשובה תן ו'ה'ז' דיניש בגראנו [הה' אונס' בדיניש‫]‫
	‫[ענף שני] [הנה יש ביד] צורף י"ב מרקוש מכסף נקי ורצה [...] מדת י"ז דיניש ואין לו נחושת אלא תערובת [...]רקיש שאלתי כמה מזה התערובת הוצרך עד [...]סף לסך ט' דיניש וסך משקל כל הכסף
	‫[תשוב]ה קח שלושה סכי הנקי שבכולם אם שיהיה הנשאל נקי או תערובת נקח יתרון האמצעי על הקטן והוא יהיה ראשון בדרך השלושה וחסרון האמצעי על הגדול יהיה שני בדרך השלושה ובהפך כאשר רצינו להטיב והסך הנשאל הוא יהיה שלישי מדרך השלושה
	והמשל בזה הנה הסך הראשון הוא י"ב דיניש כל מרקו הוא י"ב דיניש מדת והסך השני הוא ט' [ד]יניש כי לט' דיניש רצינו להוריד הי"ב מרקוש והסך השלישי הוא [ז'] דיניש אשר בתערובת ושלושתם היו י"ב וט' וז' והנה האמצעי [הוא] ט' ויתרון האמצעי על ז' הוא שנים והוא ראשון מדרך השלושה [..] חסרון ט' על י"ב הוא ג' והוא שני מדרך השלושה והנשאל שהוא [י"ב] מארקיש הוא שלישי מדרך השלושה ויהיו כזאת הצורה
	0 בא ג ב אם
	ואמור אם ב' נתן לנו ג' י"ב מה יתן לנו כפול האמצעיים יהיו ל"ו נחלקם ב' ותציא י"ח והנה י"ח מרקיש מזה התערובת שהוא מדת ז' דיניש הוצרך לערב עם הי"ב מרקיש מהנקי אשר בידינו ויהיה עם הי"ב מרקיש ל' מרקוש ל"ט ט' דיניש
	והבחינה הנה בי"ח מרקוש מהתערובת תמצה צ' דיניש מנחושת וקכ"ו דיניש מכסף תחבר אליהם קמ"ד דיניש מהכסף אשר בי"ב מרקוש שלנו יהיו ר"ע דניש מכסף נקי ועתה אמור אם ט' מכסף נקי נתן לנו ג' מנחושת ר"ע דיניש מנקי מה יתן לנו כזה הצורה
	נחוש די' נחוש די   ‫0ט ‫0זב ג ט אם
	ונתן צ' דינש מנחושת
	‫בחינה אחרת כפול היוציא מן ה[...] יעלו ר"ע והוא חוקי ש[...] כפול הי"ח מרקוש הנוספים על ז' שהוא היה לסך [...] חברם עם דיניש י"ב מרקוש שהם קמ"ד דיניש יהיו ‫[...]
	בחינה אחרת כפול ל' מרקוש שהיצאו לנו על ג' מ[...] אשר בכל מרקו יהיו צ' ושמרהו ואחר כפול י"ח מרקוש הנו[...] על ה' מנחושת הנודעים אשר בכל אחד יהיו צ' מנחושת בשמור וכן כל כיוציא בזה
	ענף שלישי הנה יש ביד צורף ח' מרקוש מנחושת ורצה להטיבו עם כסף ושיהיה לדת ה' דיניש בכל מרקו שאלתי כמה כסף הוצרך ושתציא זה הסך
	תשובה הנה מה' דיניש ששאל עד י"ב יחסרון ז' ות"ס הראוים להיות מנחושת בכל מרקו ועתה אמור אם ז' מנחושת הוצרך ה' מנקי ח' מרקוש מנחושת כמה כסף הוצרך עשה המרקוש דיניש כי י"ב דיניש כל מרקו כן נחושת כן כסף ויהיו ח' פעמים י"ב צ"ו דיניש מנחושת ואמור אם ז' מנחושת הוצרך ה' מכסף צ"ו דיניש מנחושת כמה כסף הוצרך ו[..] כזאת הצורה
	נחושת כסף נחושת   0 וט ה ז אם
	נכפול האמצעיות יהיו ת"ף תחלקם על ז' ותציא ס"ח דיניש וד' שביעיות דינירו תחלקם על י"ב ותציא ה' מרקוש ונשארו ח' דיניש והנה ח' מר[קו] מנחושת שרצה לערבם עם כסף ושיהיה לדת ה' דניש הוצרכו ה' מרקוש מכסף וח' דיניש וד' שביעיות דינירו ויהיה כל הכסף המעורב י"ג ח' פשיטי דיניש וד' שביע[י]ות דינירו כולו לסך ה' דיניש
	והבחינה אחר שכולם דיניש כפול כל אב על הבן הנכרי אחר שתתן הבנים בשביעית ויהיה ז' על ת"ף וצ"ו על ל"ה ויעלו שניהם ג' אלפים ש"ף
	‫[ענף רביעי] הנה יש ביד צורף אחד ט"ו מרקוש [...] נחושת ורצה להטבו עד שיהיה לסך עשרה [...] אין לו כסף אלא תערובת שהוא לסך י"א דיניש [...]ה מזה התערובת הוצרך לערב עם זה הנחושת עד [...] עשרה דיניש
	תשובה קח שלושה סכי הדת וקח חסרון האמצעי על הגדול והוא יהיה ראשון מדרך השלושה ואחר קח יתרון האמצעי על הקטן והוא יהיה שני מדרך השלושה והסך הנשאל שהוא ט"ו יהיה השלישי מדרך השלושה
	המשל בזה הנה לקחנו מרקו אחד מהנשאל והנה אין בו כסף ונתן במקומו ספרה ותורה על הסך הקטן כי אין קטן יותר ממי שאין בו דבר והסך השני עשרה דיניש והסך השלישי י"א דיניש אשר בתערובת ושלושתם היו כזה 0 י' י"א והנה האמצעי הוא עשרה והנה חסרון האמצעי שהוא עשרה על הגדול שהוא י"א הוא אחד והוא ראשון מדרך השלושה גם נקח יתרון האמצעי על הקטן שהוא 0 ויהיה עשרה והוא יהיה שני מדרך השלושה והסך הנשאל שהוא ט"ו יהיה שלישי מדרך השלושה יהיו כזאת הצורה
	0 הא ‫0א א אם
	כפול האמצעיים שהם ט"ו על עשרה יעלו ק"ן תחלקם על א' יעלו ק"ן וק"ן מרקוש נצטרך מזה התערובת לערב עם ט"ו טו מרקוש מנחושת להטיבו עד שיהיה לסך עשרה דיניש ויהיו כולם קס"ה מרקוש
	והבחינה הוא כי הכסף הנמצא בקס"ה מרקוש הוא הנמצא בק"ן מרקוש מן התערובת שבשנ[י]הם תמצא אלף [..] דיניש
	ענף חמשי הנה ביד צורף אחד כ"ג מרקוש מתערובת לסך ז' דיניש מדת ורצה להטיבו ולהעלותו לעשרה דיניש שאלתי כמה כסף נקי הוצרך לעלותו עד עשרה דיניש
	‫תשובה דע הנקי והנחושת [...] תכפול נקי מרקו אחד על כולם על כולם כי ז' על כ"ג הם קס"א וזה הכסף [...] עוד תכפול ה' מנחושת שיש מז' עד י"ב על כ"ג [...] הנחושת אשר בכ"ג מרקוש ואחר סדר שאלתי [...] מרקו אחד מהסך שתרצה שהוא מעשרה דיניש ושני[...] ומאחר כי שאלת כסף תתחיל עם ב' [.] דיניש הנחוש[ת] אשר במרקו אחד ואמור אם ב' דיניש מנחושת נתן לנו עש[רה] מכסף קט"ו מנחושת אשר בכ"ג מרקוש משאלתנו כמה כסף יתן לנו ויהיה כזאת הצורה
	נחושת כסף נחושת   0 האא ‫0א ב אם
	כפול האמצעיות יעלו אלף ק"ן תחלקם על ב' ותציא בחילוק תקע"ה וזה הכסף לקט"ו דיניש הנחושת לסך עשרה דיניש מדת
	ואמנם בעבור כי יש בתערובת קס"א דניש מנקי נגרעם מתקע"ה ישארו תי"ד וזה הראוי להוסיף על כ"ג מרקוש שאם תעשה אותם מארקוש יהיו ל"ד מרקוש מנקי וחצי תחברם עם התערובת יהיו נ"ז מרקוש וחצי שהם לסך דיניש וחצי
	והבחינה היא שתדע הנקי והנחושת מנ"ז מרקוש וחצי ותדעם כאשר תכפול עשרה מנקי על נ"ז וחצי יהיו תקע"ה גם ב' מנחושת על נ"ז וחצי יעלו קט"ו ואחר בדוק בדרך השלושה ואמור אם ב' מנחושת נתן עשרה מכסף קט"ו מנחושת מה יתן מכסף ותציא לך תקע"ה מכסף
	או תהפוך השאלה ואמור אם עשרה מכסף נתן ב' מנחושת תקע"ה מכסף מה יתן לנו מנחושת ותציא קט"ו ותורה כי מה שעשינו הוא אמת וכן כל הדומה לזה
	‫[ענף ששי] הנה יש ביד צורף י"ח מרקוש מתערוב[ת] [...] שהוא ד' דיניש ורצה להטיבו ולהעלותו [...] שאין לו כסף נקי אבל יש בידו תערובת [...] דיניש שאלתי כמה מזה התערובת הוצרך להוסיף [...] הראשון שהוא לסך ד' עד שיהיה לסך ז' דיניש
	‫[תש]ובה ידוע כי ג' סכי דיניש תמצא באלו השאלות והדומים להם ולעולם יהיו הסכים זה גדול מזה כמו בזה שהם ד'ו'ט' יקח יתרון הגדול על האמצעי ויהיה [הר]אשון כדרך השלושה שהוא המחלק ועוד קח יתרון האמצעי על הראשון והא המספר השני מדרך השלושה שהוא ראוי לכפול על המרקיש הנשאלות
	המשל בזה הנה היותר קטן הוא דיניש התערובת שרצינו להטיב שהוא ד' האמצעי הוא דיניש הסך שרצינו לעלות עד ז' והגדול הוא דיניש התערובת המיטיב שעמו נעלה עד ז' שהוא ט' והנה ט' הוא גדול מז' שנים והוא יהיה ראשון כדרך השלושה אשר עליו נחלק וז' הוא גדול מד' משלושה והוא יהיה שני מדרך השלושה הראוי לכפול על מרקוש ואם כן יתרון האחרון מן השני הוא ראשון ויתרון השני מן הראשון הוא [ה]שני והמרקוש שהם ראשונים הם השלישי ואז נאמר שאם ב' נתן ג' י"ח מרקוש מה יתן לנו כזאת הצורה
	0 יח ג ב אם
	נכפול י"ח על ג' יהיו נ"ד תחלקם על ב' ותציא כ"ז והנה כ"ז מרקוש נצטרך מן התערובת אשר הוא לסך ט' דיניש המיטיב והעולה הי"ח מרקוש לסך ז' דניש ויהיו כולם מה' מרקוש לדת ז' דיניש כנזכר
	והבחינה הוא שתקח הכסף ממ"ה מרקוש הנמצאות ‫ותדעם כאשר תכפול ז' דיניש הנקי על [...] מכסף גם לדעת הנחושת תכפול ה' שנשאר [...] ותציא רכ"ה דיניש נחושת ותשמרם ואחר [...] מי"ח מרקוש ומכ"ז יהיה כנקי מהנמצא שהוא שט"ו [...] הנחושת מי"ח מרקוש ומכ"ז אם יהיה כנחשת הנמצא [...] רכ"ה מוטב כצד הנה [די]ניש הכסף מי"ח מרקוש הם ע"ב [..] כאשר תכפול ד' על י"ח וכן דיניש הכסף שבכ"ז מרקוש הם רמ"[ג] ותמצאם כאשר תכפול כ"ז על ט' ועתה תחבר ע"ב דיניש הנקי מי"ח מרקוש שהוא התערובת הראשון עם רמ"ג דיניש הנקי מכ"ז מרקוש שהוא התערובת השני יהיו שט"ו והם שוים לדיניש התערובת השלישי הנמצא וכן קח נחושת הי"ח מרקוש שהוא קמ"ד דיניש גם נחושת הכ"ז מרקוש שהוא פ"א דיניש ותחברים ויהיו רכ"ה דיניש כנחושת התערובת הנמצא וכל כל כיוצא בזה
	ענף שביעי הנה ביד צורף י"ג מארקוש מתערובת לדת ז' דיניש ורצה להטיבו ולהעלות לדת ח' דיניש ואין בידו כסף ולא תערובת יותר טוב אלא שראוי שנחסר מן הנחושת שאלתי כצד יחסר מן הנחושת
	תשובה קח הנקי אשר בי"ג מרקוש יהיו צ"א שהם ז' פעמים י"ג ושומרהו גם תדע הנחושת אשר בי"ג מרקוש והוא ס"ה כי מז' שהוא הנקי עד י"ב הם ה' והוא הנחושת אשר במרקו אחד כפול ה' על י"ג יעלו ס"ה כנז' ושמרם והנה אחר שאתה שואל שיהיה הדת מח' דיניש הנה מח' אל י"ב ד' מנחושת ואמור כדרך השלושה אם ח' מנקי הוצרך ד' מנחושת [.] צ"א מנקי אשר בי"ג מרקיש כמה נחושת הוצרך ויהיה כזאת הצורה
	כסף נחש כסף   0 אט ד ח אם
	נכפול האמצעיות יעלו שס"ד תחלקים על ח' ותציא מה' וחצי והם הדיניש שהוצרך ‫[...] מן הנחושת הנמצא במרקוש שאלתך [...] וחצי הראוי לגרוע מן הנחושת אשר [...] הם מז' דיניש וחבר הנשאר יהיו קל"ו [...] על י"ב ותציא י"א מרקיש ד' דיניש והנה כל זה [...] תערובת מח' דיניש המרקו
	הבחינה מבוארת כי צא פשיטי מנקי שהם ז' מרקוש וז' דיניש אם תתנם לח' דניש מדת יהיו י"א מארקיש ד' דיניש וחצי תורידהו לז' דיניש יהיו ג' מרקיש והוא הדין אם תחבר לי"א מרקוש ד' דיניש וחצי מה' שגרענו מהם שהם י"ט דיניש וחצי שישובו לי"ג כבראשונה
	‫[ענ]ף שמיני הנה יש ביד צור[ף] ל"ט מרקיש מתערובת שהוא לסך עשרה דינריש ורצה להורידו עד שיהיה מדת ז' דיניש שאלתי כמה נחושת הוצרך להורידו עד שיהיה בסך ז' דיניש
	תשובה דע הדיניש מהכסף ומהנחשת אשר בל"ט מרקיש וזה שתכפול דיניש הכסף שהם עשרה על ל"ט יהיו ש"צ דיניש מכסף בל"ט מרקיש גם כפול ב' דיניש הנחושת בל"ט יהיו ע"ח דיניש מנחושת בל"ט מרקיש ואחר קח הנקי והנחושת ממרקו אחד מהמרקו שתרצה להורידו שהוא ז' דיניש מכסף וה' דיניש מנחושת ואמור אם ז' דיניש מנקי נתן ה' דיניש מנחושת ש"צ דיניש מכסף אשר בל"ט מרקיש כמה נחושת יתן לי ויהיה כזאת הצורה
	נחושת כסף נחושת כסף   0 ‫0טג ה ז אם
	כפול האמצעיות יעלו אלף תתק"ך תחלקם על ז' ותציא בחילוק רע"ח דיניש מנחושת וד' שביעיות שאם תחלקם על י"ב יהיה היוציא כ"ג מרקיש וב' דיניש וד' שביעיות דינרו וזה הראוי לש"ץ דיניש ‫מכסף אשר בל"ט מרקוש שהם ל"ב [...] מרקוש וב' דיניש וד' שביעיות יהיו כולם [...] שביעיות דינירו וזה שנגרע מרע"ח דיניש וד' שביעיות [..] הנחושת אשר בשאלתנו שהוא ע"ח ישארו ק"ק דיניש וד' [...] מנחושת הראוי להוסיף על התערובת אשר בידנו שהוא נתן ק"ק דיניש וד' שביעיות דינירו במרקוש יהיו י"ו מרקיש וד' שביעיות דינירו תחברם עם ל"ט יהיו נ"ה מרקיש וח' דיניש וד' שביעיות כל זה לסך ז' דיניש [..]
	והבחינה קח הנקי והנחושת ממרקו אחד והנקי והנחושת מכולו ואמור אם ז' מכס[ף] נתן ה' מנחושת כך מכסף שבנ"ה מרקוש ח' דיניש ד' שביעי' מה יתן מנחושת או [..] השאלה נאמר אם ה' מנחושת נתן ז' מכסף כך מנחושת שבנ"ה מ[רקוש] וח' דיניש וד' שביעיות מה יתן מכסף וכו'
	ענף תשיעי הנה יש ביד צורף אחד כ"ז מרקוש מתערו[בת] מדת י"א דיניש ורצה להורידו לסך ו' דיניש ואין לו נחושת להורידו אבל יש בידי תערובת אחר מסך ג' דיני[ש] שאלתי כמה מזה התערובת השני הוצרך עד שיהיה לסך ו' [...]
	תשובה ידוע הוא כי ג' סכי דיניש תמצא בזאת השאלה שהם י"א מתערובת ראשון וו' מן התערובת הנשאל וג' מן התערובת השני היותר פחות ויהיו שלושתם כזה י"א ו' [ג'] ועתה קח יתרון האמצעי על הקטן והוא יהיה המספר הראשון מדרך השלושה אשר עליו תחלק גם קח יתרון הגדול על האמצעי והוא יהיה המספר השני מדרך השלושה אשר אותו תכפול על הנשאל שהוא כ"ד מרקוש
	המשל בזה האמצעי שהוא ו' גדול מן הקטן מג' והנה ג' יהיה הראשון מדרך השלושה ואחר נראה יתרון הגדול [..] שהוא י"א על האמצעי שהוא ו' ‫[...] והנה ה' יהיה המספר השני מדרך [...] ג' מרקוש מן התערובת הראשון ראוי ה' מן התערובת השני כ"ז מרקוש מן התערובת הראשון כמה מן השני יהיה ראוי ויהיה [כזאת] הצורה
	מרקיש מרקיש [.] 0 זב ה [.]
	נכפול ה' על כ"ז יעלו קל"ה תחלקם על ג' [...] מ"ה מרקוש והנה מ"ה מרקוש נצטרך מן התערובת השני [...]ערב עם הכ"ז מרקוש להורדו לששה דיניש נחברם עם [..] הראשונים יהיו ע"ב מרקיש אשר הם מדת ו' דיניש
	הבחינה כך היא שתחבר הנקי מכ"ז מרקוש משאלתנו עם הנקי ממ"ה מרקוש הצריכות להוסיף ואם [...] שניהם מחוברים כנקי ע"ב מרקיש שמצאנו מוטב וכן [...]נחשת
	המשל הנה הנקי מכ"ז מרקיש שהוא לי"א דיניש הוא מרצ"ז דיניש והנחושת כ"ז והנקי ממ"ה מרקיש הראוים להוסיף הוא קל"ה והנחשת ת"ה והנקי מן התערובת שעשינו הוא תל"ב וכן הנחושת ור ועתה חיברנו רצ"ז עם קל"ה שהם הנקי ממה שבידנו וממה שראוי להוסיף יהיה שניהם תל"ב כנקי התערובת שעשינו וכן נקח נחושת שניהם שהוא כ"ז ות"ה יהיו תל"ב בנחשת התערובת שעשינו וזה תורה שעשינו כהוגן
	ענף עשירי הנה יש ביד צורף אחד י"ז מרקיש מתערובת לסך ט' דיניש ורצה להורידו לסך ח' דיניש ואין לו נחושת להורידו אבל יחוייב לגרוע מן הכסף שאלתי כמה מן הכסף יגרע מהי"ז מרקוש שבידו עד שירידהו לסך הנשאל
	תשובה דע הכסף והנחושת אשר בי"ז מרקוש כאשר קדם והנה הכסף הוא קנ"ג דיניש והנחושת נ"א ואחר תסדר שאלתך עם כסף ונחושת ממרקו אחד מהנשאל ואמור אם ‫ד' דיניש נחושת ראוי ח' מנקי נ"א מ[...] כסף הוצרך ויהיה כזאת הצורה
	כסף נחוש כסף נחוש   0 אה ח ד אם
	כפול ח' על [...] תחלקם על ד' ו[...] מקנ"ג דיניש מכסף [...] מרקוש ישארו נ"א והנה [...] דינירו מכסף קוצרך לגרוע מן הי"ז מרקוש בעבור ש[...] הנשאר לסך ח' דיניש תחבר נ"א מנחושת וק"ב מנקי יהיו קנ"ג דיניש תחלקם על י"ב ותציא י"ב מרקוש וט' דיניש שהם לסך ח'
	והבחינה דע הנקי והנחושת מכולו והנה הכסף הוא ק"ב דינ[יש] והנחושת נ"א תסדר השאלה מן האחד ותציא הא[...] מאי זה שתרצה כיצד נאמר אם ח' מכסף נתן ד' מנחושת ק"ב מכסף כמה מנחושת יתן ותציא לך נ"א מנחושת או אמור אם ד' מנחושת ראוי ח' מכסף נ"א מנחושת כמה כסף ראוי ות[ציא] לך ק"ב וכן כל הדומה לזה
	בחינה אחרת קח הכסף מ[כולו] ותן תחתיו הכסף ממרקו אחד גם הנחושת כולו ותן תחתיו הנחושת ממרקו אחד ואחר תשוים כאשר ידעת ואם יהיו שוים מוטב כיצד הנקי מכולו ק"ב וממרקו אחד ח' גם הנחושת כולו נ"א וממרקו אחד ד' תתנם זה תחת זה יהיו כזה הצורה
	ח0ד   ח0ד אה X ב0א ד ח
	ויהיו כל אחד ת"ח כאשר תשוים
	הסדר השלישי בידעת דרכי תערובת הזהב הנקרא דינר הדת וחלוקתו לכ"ד קיראטיש
	ואומר כי כמו שכתבתי אילן הכסף במרקוש שלמים כן ראוי לעשות ממורכבים ומשלמים ויהיו שלושה אילנות וכן היה ראוי בזהב אבל בראותי המלאכה מרובה והתועלת מעט קצרתי ‫[...] כי לא עשיתי אלא שני דרכים [...] היא שיהיה בידך חתיכה מעורבת ותרצה [...] והדרך השנית היא שיהיה לך [...] ותרצה לתתנו בתערובת
	ואומר כי הדרך [...] שאם היה בידך משקל מה מזהב [...] ותרצה לדעת הזהב שבו הנה תדעהו בזה הדרך [ה]יא שתכפול המשקל אשר בידך על הקיראטש שבו והעולה [תח]לק על כ"ד שהוא סך קירטיש הזהב הטהור והיוציא [ב]חילוק הוא הזהב הטהור אשר בזה המשקל שאם המשקלים [מר]קיש היוציא יהיה מרקוש ואם אונסש היוציא יהיה אונסש [ואם] דינירוש דינירוש
	המשל הנה היה בידינו י"ב מרקוש [ז]הב מעורב לסך י"ד קירטש תכפול י"ב על י"ד [י]עלו קס"ח תחלקם על כ"ד יצאו ז' וז' מרקיש מזהב תמצא [בח]תיכת י"ב מרקוש שלנו לסך י"ד קירטיש
	שאלה שני הנה היה ביד צורף גביע זהב משקלה ב' מרקוש ב' אונסיש מכ' קיראטיש ורצה לדעת [הז]הב הנה שבה [יעשה הכל אנסאש יהיו י"ח] יכפול י"ח על כ' יעלו ש"ס תחלקם על כ"ד [י]צאו ט"ו וט"ו אונסאש מזהב טהור יש בי"ח אונסאש אשר בגביע [א]שר היא לסך כ' קירטיש והם און מארקו וז' אונסאש
	שאלה שלישית יש בידנו גביע זהב לסך י"ו קיראטש ומשקלה ב' מרקוש ג' אונסאש ד' דיניש [ת]וריד הכל לדיניש ב' מרקוש על ח' יהיו י"ו וג' יהיו י"ט נעשה מהם דיניש נכפלם על כ"ד יעלו תנ"ו ועם ד' יהיו ת"ס דיניש נכפלם על סך הקירטיש שהם י"ו יעלו ז' אלפים ש"ס נחלקם על כ"ד תצאו בחילוק ש"ו דיניש וב' שלשיות מזהב נחלק ש"ו ו על כ"ד יעלו י"ב אונסאש ג' רביעיות ז' תשעיות כי נתין ש"ו ‫בשלשית יעלו תרק"ך נחלקם על ע"[...] בחילוק י"ב אונסאש ז' תשיעיות שהם מרקו וחצי [...]
	הדרך השני שיהיה לך זהב טהור [...] בתערובת הנה הדרך בידיעת [...] כי כאשר יהיה בידך זהב טהור שתכפלהו על כ"ד [...] קירטיש הטהור ותחלק העולה על סך הקרטיש שת[..] ותדע משקל הכל כאשר תהיה בתערובת שתרצה
	והמשל בזה הנה היה בידינו מרקו אחד וז' אונסיש זהב טהור שהוא ט"ו אונסאש ורצינו לערבו עד שיהיה לסך כ' קואירטיש נכפול ט"ו אונסאש על כ"ד יעלו [...] נחלקם על הסך שנרצה שהוא כ' קירטיש יעלו י"ח אונס[אש] שהם ב' מרקוש וב' אונסאש מעורבות אשר הם לסך כ' קי[רטיש‫]
	משל שני הנה היה ביד צורף ד' מרקיש א' אונ[סאש] ח' דיניש זהב טהור ורצה לתתנו בסך [..] קיראטיש הנה ראשונה נתן כולם בדיניש יהיו ד' מרקוש [על] ח' יהיו ל"ב אונסאש ועם א' שלנו יהיה ל"ג גם נתן האונס[יש] בדיניש יעלו תשצ"ב וח' שהיה לנו יהיו ת"ת דיניש ועתה נכפול ת"ת על כ"ד קירטיש הטהור יעלו י"ט אלפים וק"ק נחלקם על י"ח שהם הקירטיש הנשאלים יצאו אלף וס"ו וב' שלישיות וזה כולו דיניש והנה ת"ת דיניש מזהב טהור יהיה מעורב לסך י"ח קירטיש אלף וס"ו דינשו וב' שלישיות דינירו אבל נרצא לעשותם אונס' ומרקוש ונחלקם על כ"ד וראשונה נתנם בשלישת בעבור הב' שלישיות יהיו ג' אלפים ק"ק נחלקם על ע"ב שהוא ג' פעמים כ"ד יעלה בחילוק מ"ד אונסאש וד' תשיעיות אונסה גם נתן מ"ד במרקיש יצאו ה' מרקוש וחצי והנה עלה מזה ה' מרקיש וחצי וד' תשיעיות שהם עשרה דיניש ושני שלישיות דינירו על זה לסך י"ח קיר[טיש‫]
	‫[...] לדעת הנחושת שתחבר לזהב גרע [...] התערובת והנשאר הוא הנחושת [...] זהב כמו במשלנו גרע דיניש הזהב [...] מכל התערובת שהוא אלף וס"ו ישארו וב' [של]שיות ישארו קס"ו דיניש וב' שלישיות וזהו הנחושת [שא]תה צריך לערב עם הזהב הטהור ותצא לסך הנשאל
	משל שלישי הנה יש ביד צורף י"ד אונסאש מתערובת זהב לדת י"ז קיראטיש ורצה לזקוקו מכל סיג עד שישאר זך לדת כ"ד שאלתי הזהב הנשאר
	תשובה יכפול המשקל על הקירטיש שבו ויחלוק על כ"ד הנקי כמו בזה השאלה שיכפול י"ד על י"ז יעלה רל"ח ויחלקם על כ"ד ותצא ט' אונסאש וי"א חלקים מי"ב באונסה והנה ט' אונסאש מזהב טהור וט' חלקים מי"א תמצא בי"ד אונסאש מהתערובת שהוא לסך הז' קירטישי
	משל רבעי הנה היה ביד צורף כל כך זהב נעלם ל' משקלו לסך י"ג קירטיש וזקוקו עד שהיה זך מכ"ד קירטיש והיה משקלו ט"ו אונסאש זהב טהור שאלתי כמה היה משקל כולו הנעלם והנחושת שבו
	תשובה כפול כ"ד על ט"ו אונסאש מזהב טהור הנמצה יעלו ש"ס תחלקם על י"ג קינטיש שהיה התערובת ותצאו כ"ז אונסאש וט' חלקים מי"ג וזה היה התערובת הנעלם הראשון גרע ממנו הזהב שהוא ‫ט"ו אונסיש ישארו י"ב וט' חלקים מי"ג
	ואם תרצה לעשות מן האונסאש מרקיש [..]

The Third Part: Ratios	‫[הכלל השלישי‫] בערכים
	חילקתי אותו לשלושה שערים
	‫[השער הראשו‫]ן אשר בערכים אשר ממספר גדול אצל הקטן
	‫[הש‫]ער השני בערכים אשר ממספר קטן אצל הגדול
	השער השלישי בערכים היוצאים מן השוה
	השער הראשון בערכים אשר ממספר גדול אצל הקטן
	חילקתי אותו
	הפרק הראשון בהקדמות הראויות לזה הכלל
	הפרק השני
The First Chapter: Introductions	‫הפרק הראשון בהקדמות [...]
	ראוי שתדע כי [...] לחוכמות כמו לחכמת המספר שאנו בה [...] ובשטחים ובגשמים ולחכמת המשיקה בקולות אם [...] אדם אם בקולות הכלים ולחוכמת הרפואה בדפק [ובסמים] [...] חכמת המספר היא כלי לכולם
	כי כאשר יאמר זה הקו [או זה] הגשם או זה השטח ערכו חצי או שלישית וזולתו כמו [...] כי ערך קו ישר אורכו ד' אמות אל קו אחר אשר אורכו כ' א[מות] הנה הוא חמשיתו ונוכל לומר שהערך שיש בין זה לזה הוא [...] א' אל ה' בלוחות כפלי הערכים במקום שתמצא א' וה' כי ממ[...] ד' וכ'
	וגם כל שטח אשר הוא מרובע מד' אמות על ד' אמות אצל שטח אשר הוא ח' אמות על ח' שהוא רביעיתו ונאמר כי ערכם כערך א' אל ד'
	ומשל במוגשם כי ערך מרובע אל כל צלע ד' אמות אצל מרובע אשר כל צלע ח' אמות הוא שמיניתו כי מספר גשם ד' הוא ס"ד וגשם ח' הוא תקי"ב אשר אם תחלקם על ס"ד יעלו בחילוק ח' ואם כן ס"ד הוא שמינית תקי"ב וערכם שהוא כערך א' אל ח' שאם תקצרם ישובו תקי"ב אל ח' וס"ד אל א'
	וכן נצטרך המספר בחכמת המוסיקה אם בקולות אם בכלים כי נצטרך שיהיה ערך קול אל קול כערך אל ב' או אל ג' או ערכים אחרים כמו שתראה בלוחות עשרה סוגי הערכים שאכתוב בע"ה
	ופעמים יכווננו בכלי הנגון לעשות הקולות נערכים כקולות האדם כדי שיעשו רצונם ולזה יעשו כלים וכלים מכלים שונים אם שנתנו הערך למתרים זה עב וזה דק כערך מספר אל מספר או שיהיו המתרים שוים והמכה למתרים נערך כי לעולם ההכאה עושה הקול שאין קול בלי הכאה ואין הכאה בלי תנועה והתנועה משותפת לאויר עושה
	‫[...] ערכי הקולות הם ארבעה
	האחד קול [...] הכתיבה כקול האדם
	והפך זה קול שאין בה [...] כתיבה כרעם וכרעש וכרוח והכאת גשם ‫[...]
	והשלישי קול שיש לו הבנה ולא כתיבה כקול הכינורות
	‫[והרבי]עי הפך השלישי קול שאין בו הבנה ויש בו כתיבה כקול בעלי חיים כמו השה והעורב ודיבור הנער
	הנה גם נצטרך המספר וערכו בחכמת הרפואה כערכי משקלי הסמים ובדפק כמו שהרופה מכיר בתנועות דפק החולה אם הוא במהירות או בהמתנה וכפי ערך התנועה מכיר הרופה [החוש] לחולה
	וזה הדק מן הערכים כמו שאמר גילינוס מי שירגיל כהרגלי ישיג כהשגתי
	והנה הערכים בחשבון הם כמאזנים
	ומי שלא ידע עשרה סוגי הערכים אשר אבארים בע"ה לא יוכל לדעת אמתת השאלות ולא אמתת הדרכים אשר עמהם בחינות השאלות
	וגם בכאן אכתוב לוח עם כתר משולש והוא מא' עד ט"ו ובו תמצה כל הערכים שתוכל להרכיב מא' עד ט"ו כמו שתורה לך המשולש
	כי כל זוית עושה ערך
	כי זוית המשולש הקטן הראשון מורה על א' וב' וערכם ערך כפל
	והשני ערך פעם וחצי
	ויש על השנים הנזכרים משולש על א' וג' ותורה על ג' כפלים והנה משולש [..] שהוא י"ג וי"ד וערכם פעם וחלק מי"ג והנה כל טורי י"ד וי"ג למטה עד אין תכלית יורו כמוהם וישובו אליהם
	והמשל קצ"ו קפ"ב שהם סוף טורי י"ד וי"ג יצאו מכפל י"ד וי"ג וערכם שוה
	וגם אם תקח י"ד וכ"ח הנה הם וכל הטורים ישובו לא' ולב'
	והוא הדין אם תרצה ערכים אחרים שהם בתוך הלוח הנה ערכם כערך העליונים
	והמשל נקח פ"ד ומ"ח הנה המשולם המורה לי"ד וח' שהוא ערך פעם וששה חלקים מח' שהם ג' רביעיות וכן לכל מספר שתעריך עם אחר כנזכר
	וזה צורת הלוח‫

טו

יד

יג

יב

יא

י

ט

ח

ז

ו

ה

ד

ג

ב

א

ל

כח

כו

כד

כב

כ

יח

יו

יד

יב

י

ח

ו

ד

ב

מה

מב

לט

לו

לג

ל

כז

כד

כא

יח

טו

יב

ט

ו

ג

פ

נו

נב

מח

מד

מ

לו

לב

כח

כד

כ

יו

יב

ח

ד

עה

ע

סה

ס

נה

נ

מה

מ

לה

ל

כה

כ

טו

י

ה

צ

פד

עח

עב

סו

ס

נד

מח

מב

לו

ל

כד

יח

יב

ו

קה

צח

צא

פד

עז

ע

סג

נו

מט

מב

לה

כח

כא

יד

ז

קכ

קיב

קד

צו

פח

פ

עב

סד

נו

מח

מ

לב

כד

יו

ח

קלה

קכו

קיז

קח

צט

צ

פא

עב

סג

נד

מה

לו

כז

יח

ט

קן

מק

קל

קך

קי

ק

צ

פ

ע

ס

נ

מ

ל

כ

י

קסה

קנד

קמג

קלב

קכא

קי

צט

פח

עז

סו

נה

מד

לג

כב

יא

קף

קסח

קנו

קמד

קלב

כק

קח

צו

פד

עב

ס

מח

לו

כד

יב

[קצה]

קפב

קסט

קנו

קמג

קל

קיז

קד

צא

עח

סה

נב

לט

כו

יג

ר[י]

קצו

קפב

קסח

קנד

קמ

קכו

קיב

צח

פד

ע

נו

מב

כח

יד

	‫[...] שם כולל שהוא ערך והנה [] הראשון ערך מן הגדול לקטן ודומה [...] לחלק העליון על התחתון ובו חמשה [...] כל סוג אכתוב לוח אחד ואם לא יקיפו כל ערכי [...] אני אכתוב לוח [תכף אחר אילן השלשה ערכים] אשר עליו כתר כחצי כרבע מרובע [...] זה כי העליון עם הלוח מב' שורות והרשות בידך [...] הלוח מכמה שורות כי כולם ישובו לראשונה כי העליון לשברים והתחתון לשלמים ומהם תוכל לעשות לוחות [לאין] תכלית אבל לא יולידו סוגים אחרים זולת העשרה
	ערך השני הוא ערך מן הקטן לגדול ודומה לשברים ובו גם כן חמשה סוגים ואכתוב להם גם כן ה' לוחות
	ערך השלישי הוא ערך שוה וממנו יצאו ערכים מתחלפים כמו שתראה במקומו והוא דומה לאחד אשר הוא בין השלמים [וה]שברים וממנו יצאו כל הערכים ואליו ישובו
	והרי לך צורת [ה]עשרה סוגים בשמן

	‫אשר הראשונה מן הערך הראשון נקרא מוכפלת כי המספר התחתון הוכפל בעליון פעמים מה כמו שתראה בפרוש כל לוח ושמות היוני גם כן
	אבל הלוח המוכתר הזה שהוא לוח א' א'ב' א'ב'ג' א'ב'ג'ד' וכול' פרושו כן
	נקח דרך משל האחרון שהוא א'ב'ג'ד'ה'ו'ז'ח'ט'י' י"א וממנו תדע כל הלוח והוה הלוח למטה בתשלומו כפי המשכת [..] הכתר ראוי להיות י"ב כ"ד ל"ו מ"ח ס' ע"ב פ"ד צ"ו ק"ח קי"ב קכ"ד ועתה תראה ערך כל אחד כי ערך א'ב' הראשון יורה ערך כפל והוא הראשון מסוג שני והגדו[ל] למטה הוא ערך רא ראשון מסוג ראשון ולא אפרש התחתון כי מן העליון תבין התחתון והנה יורה י"ב עם כ"ד כערך א' עם ב' והנה ערך א' אל ג' כערך י"ב אל ל"ו וערך א' עם ד' כערך י"ב אל מ"ח וכן כל המינים לאין סוף
	וגם נוכל לעשות חלוקות ר רבות כי ערך ב' אל ג' כערך כ"ד עם ל"ו וערך ד' עם ה' כערך מ"ח אל ס' וערך ז' אל ח' כערך פ"ד אל צ"ו צ"ו או ערכים אחרים בדילוג כמו ערך ג' אל ח' כערך ל"ו אל צ"ו או ערך ג' אל ט' כערך ל"ו אל ק"ח
	וכולם ישובו לראשונות שהם השתי שימות ועיין ותראה ערכים רבים ומתחלפים יוצאים מזה הלוח לכל בעל שכל כי זה הלוח יוליד העשרה סוגים כמו שתראה

א
ב	א
ג	ב	א
ד	ג	ב	א
ה	ד	ג	ב	א
ו	ה	ד	ג	ב	א
ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
יב	יא	י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
כד	כב	כ	יח	יו	יד	יב	י	ח	ו	ד	ב
כד	כב	כ	יח	יו	יד	יב	י	ח	ו	ד	ב
יב	יא	י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
יא	י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
ו	ה	ד	ג	ב	א
ה	ד	ג	ב	א
ד	ג	ב	א
ג	ב	א
ב	א
א

	‫[...] הראשון מן החמשה סוגים אשר [...] הגדול לקטון שדומה לשלמים לשברים
	ואומר כי אלה [...] יש להם מנים לאין תכלית
	ואומר כי [הראשון] נקרא תחתיו מוכפלת והוא פשוט [ובלשון י]ון שם זה הסוג הוא שוף מולטיפליקש ומיניו לאין [סוף] המין הראשון תחת מוכפל והשני תחת ג' כפלים [והשל]שי ארבעה כפלים וכן לאין תכלית כמו שתראה בימין [ה]לוח ובשאל ובשמאל הלוח שמות היונים שקוראים לראשון [שו]ף מולטפליקש דובלה ולשני שוף מולטיפלקש טריפלה ולשליש [ק]טרופלה והרביעי קינקופלה וכן כטבע המספר שטופלה [.]שופלה אוטופלה נוטופלה שהיא סוף הלוח שתחת
	והנה [.]פל כל הלוח כתבתי משולש מורה על ערך על שני [מספרים] כמו במשל [..] וי"ד שבזה הלוח שיורה המשולש שיקיף בהם שערך שניהם הוא ערך כפל פעם וג' רביעיות מקוצר וכן כולם כי אין אין להאריך יותר
	הערה הנה בעבור שלא אעשה פרוש לכל הלוחות אכתוב [...] התחלות החמשה סוגים ומהם תראה החמשה הנשארים כי אין הפרש מן החמשה לאחרים אלא כי מה שתכתוב למעלה בראשונים [ת]הפוך ותכתוב למטה בחמשה האחרים ומה שתאמר תחתיו לראשונים [..] תאמר לאחרונים כמו שתראה
	והנה תחילת הסוג הראשון הוא בא גא דא
	ותחילת הסוג השני גב דג הד
	ותחילת הסוג השלישי דג הד וה
	ותחילת הסוג הרביעי הב זב טב
	ותחילת הסוג החמשי חג י"אד י"דה
	ואלה הם התחלת החמשה סוגים האחרים אלא שהעליון יהיה תחתון כמו שתראה בלוח העשרה סוגים
	וכאשר תרצה הרוחב מכולם תכפול כל טור על הראשונים
	וכל זה תלמוד מן הלוחות והרי לך הלוחות מן העשרה סוגים
The First Section: Ratios of Great Numbers to Smaller Numbers
	‫[...] והוא פשוט

Submultiple Ratios

[שמיניים]	[שביעיים]	ששיים	חמישיי	רביעי	שלישי	שניים	ראשוני	בלשוננו
יו ח	יד ז	יב ו	י ה	ח ד	ו ג	ד ב	ב א	תחת מוכפלת שני כפלים
כד ח	כא ז	יח ו	טו ה	יב ד	ט ג	ו ב	ג א	תחת מוכפלת שלושה הכפלות
לב ח	כח ז	כד ו	כ ה	יו ד	יב ג	ח ב	ד א	תחת ארבעה כפלים
מ ח	לה ז	ל ו	כה ה	כ ד	טו ג	י ב	ה א	תחת חמשה כפלים
מח ח	מב ז	לו ו	ל ה	כד ד	יח ג	יב ב	ו א	תחת ששה כפלים
נו ח	מט ז	מב ו	לה ה	כח ד	כא ג	יד ב	ז א	תחת שבעה כפלים
סד ח	נו ז	מח ו	מ ה	לב ד	כד ג	יו ב	ח א	תחת שמונה כפלים
עב ח	סג ז	נד ו	מה ה	לו ד	כז ג	יח ב	ט א	תחת תשעה כפלים
א   א   א   א   א   פעם וחצי   ערך ב   א   א   א   א   ב כפלים   ג כפלים       א   א   ב כפלים   ב כפלים וחצי   ד כפלים           ב כפלים   ב כפלים   ג כפלים   ה כפלים               ב כפלים   ג כפלים וחצי   ו כפלים                   ד כפלים   ז כפלים                       ח כפלים

 

‫Subsuperpaticular Ratios

ובלשונם	שביעיים	שישיים	חמשיים	רביעיי‫'	שלישיי‫'	שניים	‫[ראשוני‫']	[בלשונינו]
שוף שופיר פארטיקולאר שי קואלטירה	כא יד	יח יב	טו י	יב ח	ט ו	ו ד	ג ב	‫[פעם וח‫]ציו
שוף שופר פרטיקולר שי קי טירסיאה	כח כא	כד יח	כ טו	יו יב	יב ט	ח ו	ד ג	[פעם] ושלישיתו
שוף שופיר פארטיקולר שי קי קארטה	לה כח	ל כד	כה כ	כ יו	טו יב	י ח	ה ד	פעם ורביעיתו
שוף שופיר פארטקולר שי קי קינטה	מב לה	לו ל	ל כה	כד כ	יח טו	יב י	ו ה	פעם וחמשתו
שוף שופר פארטיקולאר שי קי שישטה	מט מב	מב לו	לה ל	כח כד	כא יח	יד יב	ז ו	פעם ושישתו
שוף שופיר פארטיקולר שי קי שיטימה	נו מט	מח מב	מ לה	לב כח	כד כא	יו יד	ח ז	פעם ושביעיתו
שוף שופיר פארטיקולר שי קי אוטהבה	סג נו	נד מח	מה מ	לו לב	כז כד	יח יו	ט ח	פעם ושמיניתו
	כפל   כפל   כפל   כפל   כפל   כפל   כפל   כפל   כפל   ב כפלים   ג כפלים       כפל   ב כפלים   ב כפלים   ד כפלים           ב כפלים   ג כפלים   ה כפלים               ג כפל   ו כפלים                   ז כפלים

‫

‫[ובלשונם]	שמיניים	שביעיי	שישיים	חמשיי	רביעיי‫'	שלישיי‫'	שניים	ראשוני	בלשוננו
שוף [...]	לב כד	כח כא	כד יח	כ טו	יו יב	יב ט	ח ו	ד ג	תחתיו פעם ושלישית
שוף שופיר [...] שיקיש [...]	מ לב	לה כח	ל כד	כה כ	כ יו	טו יב	י ח	ה ד	תחתיו פעם ורביעית
שוף שופיר פא[...] שיקיש קי [...]	מח מ	מב לה	לו ל	ל כה	כד כ	יח טו	יב י	ו ה	תחתיו פעם וחמשית
שוף שופיר פא[...] שיקש קי [...]	נו מח	מט מב	מב לו	לה ל	כח כד	כא יח	יד יב	ז ו	תחתיו פעם וששית
שוף שופיר פאר[...] שיקש קי ש[...]	סד נו	נו מט	מח מב	מ לה	לב כח	כד כא	יו יד	ח ז	תחתיו פעם ושביעית
שוף שופיר פאר[...] שיקש קי [...]	עב סד	סג נו	נד מח	מה מ	לו לב	כז כד	יח יו	ט ח	תחתיו פעם ושמינית
שוף שופיר פאר[...] שיקש קי [...]	פ עב	ע סג	ס נד	נ מה	מ לו	ל כז	כ יח	י ט	תחתיו פעם ותשיעית

‫Subsuperpartient Ratios

בלשון [יון]	שמיניים	שביעיים	שישיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשוני	בלשוננו
שוף שופר בי פ[...] טירסיא[..]	מ כד	לה כא	ל יח	כה טו	כ יב	טו ט	י ו	ה ג	תחתיו פעם ושתי שלישיות
שוף שופיר טרי פ[...] קארטאש	נו לב	מט כח	מב כד	לה כ	כח יו	כא יב	יד ח	ז ד	תחתיו פעם ושלשה רביעי‫'
שוף שופר קאטרי פרסיאן קונטש	עב מ	סג לה	נד ל	מה כה	לו כ	כז טו	יח י	ט ה	תחתיו פעם וארבע חמשיות
שוף שופר קונקי פארטיש	פח מח	עז מב	סו לו	נה ל	מד כד	לג יח	כב יב	יא ו	תחתיו פעם וחמשה שישיות וארבע חמשיות
שוף שופיר פאר[..] שיקש קי שישטה	קד נו	צא מט	עח מב	סה לה	נב כח	לט כא	כו יד	יג ז	תחתיו פעם ושישה שביעיות וחמשה
שוף שופיר פרסיאין שיקש קי שישיטימה	קך סד	קה נו	צ מח	עה מ	ס לב	מה כד	ל יו	טו ח	תחתיו פעם ושבעה שמיניו‫'
שוף שופיר פרסיאין שיקש קי אוטופלה	קלו עב	קיט סג	קב נד	פה מה	סח לו	נא כז	לד יח	יז ט	תחתיו פעם ושמונה תשיעיות

‫Submultiple Sesquialter Ratios

בלשון יון	שביעיים	ששיים	חמשיי	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשוני‫'	[בלשונינו]
שוף מולטיפלקש דובלה שופיר פארטיאין שי קי אלטירה	לה יד	ל יב	כה י	כ ח	טו ו	י ד	ה ב	‫[מוכפלת‫] שני כפלים
שוף מולטיפלקש טריפלה שופיר פארטיקולר שי קי אלטרה	מט יד	מב יב	לה י	כח ח	כא ו	יד ד	ז ב	מוכפלת שלושה כפלים ושלישית וחצי
שוף מולטיפיקש קאטופלה שופיר פארטיקולר שי קי אלטרה	סג יד	נד יב	מה י	לו ח	כז ו	יח ד	ט ב	מוכפלת ארבעה כפלים וחצי
שוף מולטיפלקש קינקופלה שופיר פאטיקולר שי קי אלטרה	עז יד	סו יב	נה י	מד ח	לג ו	כב ד	יא ב	מוכפלת חמשה כפלים וחצי
שוף מולטיפליקש ששיטופלה שופיר פארטיקולאר שי קי אלטרה	צא יד	עח יב	סה י	נב ח	לט ו	כו ד	יג ב	מוכפלת ששה כפלים וחצי
שוף מולטיפלקש שיטטופלה שופיר פארטיקולאר שי קי אלטרה	קה יד	צ יב	עה י	ס ח	מה ו	ל ד	טו ב	מוכפלת שבעה כפלים וחצי
שוף מולטיפלקש גואייטובלה שופיר פארטיקולאר שי קי אטירה	קיט יד	קב יב	פה י	סח ח	נא ו	לד ד	יז ב	מוכפלת שמונה כפלים וחצי

‫Subdouble-Superpartient Ratios

‫[בלשונם‫]	שמיניים	שביעיי‫'	ששיי‫'	חמשיי'	רביעיי‫'	שלישיים	שניי‫'	ראשוני	בלשונינו
שוף [...]	סד כד	נו כא	מח יח	מ טו	לב יב	כד ט	יו ו	ח ג	תחתיו שני כפלים ושני שלישיות
שוף מולטיפ[...] טרי [...]	פח לב	עז כח	סו כד	נה כ	מד יו	לג יב	כב ח	יא ד	תחתיו שני כפלים ושלשה רביעיות
שוף מולטיפ[...] קאטרי פאר[...]	קיב מ	צח לה	פד ל	ע כה	נו כ	מב טו	כח י	יד ה	תחתיו שני כפלים וארבע חמשיות
שוף מולטיפליקש [...] קי[..] פארטיאין [...]	קלו מח	קיט מב	קב לו	פה ל	סח כד	נא יח	לד יב	יז ו	תחתיו שני כפלים וחמשה ששיות
שוף מולטיפליקש [...] שופר [...]	קס נו	קמ מט	קך מב	ק לה	פ כח	ס כא	מ יד	כ ז	תחתיו שני כפלים וששה שביעיות
שוף מולטיפליקש [...] שופיר [...]	ק[פ]ד סד	קסא נו	קלח מח	קטו מ	צב לב	סט כד	מו יו	כג ח	תחתיו שני כפלים ושבעה שמי‫'
שוף מולטיפלק [...] גואיטו פא[...]	רח עב	קפב סג	קנו נד	קל מה	קד לו	עח כז	נב יח	כו ט	תחתיו שני כפלים ושמונה תשיעיות
	פעם   פעם   פעם   פעם   פעם   פעם   כפול   פעם   פעם   פעם   פעם   ב פעמי'   ג כפלים       ב פעמי'   פעם   ב פעמי'   ב פעמי'   ד כפלים           ב פעמי'   ב פעמי'   ג פעמי'   ה כפלים               ב פעמי   ג פעמי   ו כפלי                   ד פעמי'   ז כפלי                       ח כפלי

The Second Section: Ratios of Small Numbers to Greater Numbers	השער השני בערכים אשר ממספר הקטן אצל הגדול
	בכאן חסר השער השני מערך הקטן לגדול

‫Multiple Ratios

	שמיניים	שביעיי	ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיי'	שניים	ראשונים
בלשון יון מולטיפלקש דובלה	ח יו	ז יד	ו יב	ה י	ד ח	ג ו	ב ד	א ב	[שני כפלים]
מולטיפלקש טריפלה	ח כד	ז כא	ו יח	ה טו	ד יב	ג ט	ב ו	א ג	‫[שלושה‫] כפלים
מולטיפלקש קאטרופלה	ח לב	ז כח	ו כד	ה כ	ד יו	ג יב	ב ח	א ‫ד	‫[ארב‫]עה כפלים
מולטיפלק קינקופלה	ח מ	ז לה	ו ל	ה כה	ד כ	ג טו	ב י	א ה	‫[חמ‫]שה כפלים
מולטיפלקש שישטופלה	ח מח	ז מב	ו לו	ה ל	ד כד	ג יח	ב יב	א ו	‫[ש‫]שה כפלים
מולטיפלקש שיטטופלה	ח נו	ז מט	ו מב	ה לה	ד כח	ג כא	ב יד	א ז	‫[ש‫]בעה כפלים
מולטיפלקש גוייטופלה	ח סד	ז נו	ו מח	ה מ	ד לב	ג כד	ב יו	א ח	‫[ש‫]מונה כפלים

‫Superparticular Ratios

הסוג השני

‫[ובלשונם‫]	שמיניי‫'	שביעיים	שישיים	חמשיי'‫	רביעיי‫'	שלישיי‫'	שניי‫'	ראשוני‫'	בלשונינו
שופיר [...] קי [...]	יו כד	יד כא	יב יח	י טו	ח יב	ו ט	ד ו	ב ג	פעם וחצי
שופיר [...] טירסיאה	כד לב	כא כח	יח כד	טו כ	יב יו	ט יב	ו ח	ג ד	פעם ושלישיתו
שופיר פארט[...] קי קארטה	לב מ	כח לה	כד ל	כ כה	יו כ	יב טו	ח י	ד ה	פעם ורביעיתו
שופיר פארטי[...] קי קינטה	מ מח	לה מב	ל לו	כה ל	כ כד	טו יח	י יב	ה ו	פעם וחמישתו
שופיר פארטי[...] קי שישטה	מח נו	מב מט	לו מב	ל לה	כד כח	יח כא	יב יד	ו ז	פעם ושישיתו
שופיר פאר[...] קי [...]	נו סד	מט נו	מב מח	לה מ	כח לב	כא כד	יד יו	ז ח	פעם ושביעיתו
שופיר פארטי[...] קי גוייטאבה	סד עב	נו סג	מח נד	מ מה	לב לו	כד כז	יו יח	ח ט	פעם ושמניתו

‫Superpaticular Ratios

בלשון יון	שמיניים	שביעיי	ששיים	חמשיים	רביעיי	שלישיים	[שניים]	[ראשוניים]	‫[בלשוננו‫]
שופיר פארסיאן שיקש קי טירסיאה	כד לב	כא כח	יח כד	טו כ	יב יו	ט יב	ו ח	ג ד	‫[פעם ושלישית]
שופיר פארסיאין שיקש קי קארטה	לב מ	כח לה	כד ל	כ כה	יו כ	יב טו	ח י	ד ה	‫[פעם ורביעית]
שופיר פרסיאין שיקיש קי קינטה	מ מח	לה מב	ל לו	כה ל	כ כד	טו יח	י יב	ה ו	[פעם] וחמשית
שופיר פארסיאין שיקיש קי שישטה	מח נו	מב מט	לו מב	ל לה	כד כח	יח כא	יב יד	ו ז	[פעם] ושישית
שופיר פארסיאין שיקיש קי שיטימה	נו סד	מט נו	מב מח	לה מ	כח לב	כא כד	יד יו	ז ח	‫[פ]עם ושביעית
שופיר פארסיאין שיקיש קי גוייטמה	סד עב	נו סג	מח נד	מ מה	לב לו	כד כז	יו יח	ח ט	‫[פ]עם ושמינית
שופיר פארסיאין שיקיש קי נונה	עב פ	סג ע	נד ס	מה נ	לו מ	כז ל	יח כ	ט י	‫[פ]עם ותשיעית

Superpartient Ratios ‫הסוג השלישי הנקרא פעם וחלקים והוא פשוט

בלשון יון	שמיניים	שביעיים	שישיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשוניים	‫[בלשוננו‫]
שופיר בי פרסיאין טירטאש	כד מ	כא לה	יח ל	טו כה	יב כ	ט טו	ו י	ג ה	‫[פעם ושתי שליש‫]יות
שופיר טרי פרסיאיני קארטאש	לב נו	כח מט	כד מב	כ לה	יו כח	יב כא	ח יד	ד ז	‫[פעם‫] ושלושה רביעיות
שופר קאטרי פארסי' קינטאש	מ עב	לה סג	ל נד	כה מה	כ לו	טו כז	י יח	ה ט	‫[פעם‫] וארבעה חמשיות
שופר קוטרי פרסי' שיטיאש	מח פח	מב עז	לו סו	ל נה	כד מד	יח לג	יב כב	ו יא	‫[פעם‫] וחמשה שישיותיו
שופר שיש פרסיאש אוטימאש	נו קד	מט צא	מב עח	לה סה	כח נב	כא לט	יד כו	ז יג	‫[פעם‫] וששה שביעיות
שופר שיטי פרסי' אוטימאש	סד קך	נו קה	מח צ	מ עה	לב ס	כד מה	יו ל	ח טו	‫[פעם‫] ושבעה שמיניותיו
שופיר אוטו פרסי' נובימאש	עב קלו	סג קיט	נד קב	מה פה	לו סח	כז נא	יח לד	ט יז	‫[פע‫]ם ושמונה תשיעיותיו

‫Multiple Sesquialter Ratios

‫[בלשונם]	[שמיני]	שביעיי	ששיים	חמשיי	רביעיי	שלישי	שניי	ראשוני	בלשוננו
[...]	יו מ	יד לה	יב ל	י כה	ח כ	ו טו	ד י	ב ה	מוכפלת שני כפלים וחצי
מולטיפא[...] פארטיקו[...]	יו נו	יד מט	יב מב	י לה	ח כח	ו כא	ד יד	ב ז	שלשה כפלים וחצי
מולטיפליקש [...] פארטיקולר שי[...]	יו עב	יד סג	יב נד	י מה	ח לו	ו כז	ד יח	ב ט	ארבעה כפלים וחצי
מולטיפליקש [...] פארטיקולר שי ק[...]	יו פח	יד עז	יב סו	י נה	ח מד	ו לג	ד כב	ב יא	חמשה כפלים וחצי
מולטיפל שישט[...] פארטיקולר שי קי [...]	יו קד	יד צא	יב עח	י סה	ח נב	ו לט	ד כו	ב יג	ששה כפלים וחצי
מולטיפלק שיט[...] שופיר פרטיקולר [...]	יו קך	יד קה	יב צ	י עה	ח ס	ו מה	ד ל	ב טו	שבעה כפלים וחצי
מולטיפיקש גוא[...] שופר פארטיקול[...] אלטירה	יו קלו	יד קיט	יב קב	י פה	ח סח	ו נא	ד לד	ב יז	שמונה כפלים וחצי

‫Double-Superpartient Ratios

בלשון יון	שמיניים	שביעיי‫'	שישיים	חמשיים	רביעיים	שלישיי‫'	‫[שניים]	‫[ראשונים‫]	‫[בלשונינו‫]
מולטיפלק דיובלה שופיר בי פארסיאין טירסיאש	כד סד	כא נו	יח מח	טו מ	יב לב	ט כד	ו יו	ג ח	‫[כפלים ושני שלישים‫]
מולטיפלקש דובלה שופיר טרי פארסיאין קארטאש	לב פח	כח עז	כד סו	כ נה	יו מד	יב לג	ח כב	ד יא	‫[כפל‫]ים [ושלוש] רביעיות
מולטיפלקש דובלה שופר קאטרי פארסיאין קינטאש	מ קיב	לה צח	ל פד	כה ע	כ נו	טו מב	י כח	ה יד	‫[כפ‫]לים [וארב]עה חמשיות
מולטיפרולקש דובלה שופיר קינטי פארסיאין שישטאש	מח קלו	מב קיט	לו קב	ל פה	כד סח	יח נא	יב לד	ו יז	כפלים [וחמש] שישיות
מולטיפליקש דובלה שופר שיקש פארסיאין שיטימאש	נו קס	מט קמ	מב קך	לה ק	כח פ	כא ס	יד מ	ז כ	כפלים [ושש] שביעיות
מולטיפלק דובלה שופר שיקטי פארסיאין גואאבש	סד קפד	נו קסא	מח קלח	מ קטו	לב צב	כד סט	יו מו	ח כג	כפלים [ושב]עה שמיניות
מולטיפלק דובלה שופרי אוקטו פרסיאין גונאש	עב רח	סג קפב	נד קנו	מה קל	לו קד	כז עח	יח נב	ט כו	כפלים [ושמ]ונה תשיעיות

	‫והנה בכאן סיימתי לוחות [...] ראשונה כתבתי שני לוחות [...] י"ב ועל השתי טורים חצי מרובע להוציא [...] אשר בטבע המספר מן החמשה סוגים שערכם [מן הקטן] לגדול והתחתונים להוציא החמשה שערכם מן הגדול לקטן
	אבל אמנם אכתוב כאן ד' ערכים שהם גם כן [...] גדולים שנים מהם מערך מוכפלת וחלק והאחד מהם יהיה מרובע וחלק כמו ב' וה' כי בה' מרובע ב' ועוד חצי או ג' ועשרה ובו מרובע ג' וחלק שהוא שלישית וכן [..] ושנים אחרים מערך מוכפלת וחלקים ויהיה האחד מרובע וחלקים כמו ג' וי"א ובו מרובע ג' וב' שלישיות או כמו ד' וי"ט ובו מרובע ד' וג' רביעיות וכן בנמשך והרי לך צורת הלוח

מוכפלת וחלקים

מוכפלת וחלקים

מוכפלת וחלק

מוכפלת וחלק

מוכפלת מג' כפל וחלק

מוכפלת מג' כפל וחלקים

מרובע

מרובע

שניים

ראשוני

שניים

ראשוני

שניים

ראשונים

שניים

ראשוני

שניים

ראשוני'

ראשוני' ושניים

ו כב

ג יא

ו יו

ג ח

ד י

ב ה

ד י

ב ה

ד יד

ב ז

ד יד

ב ז

ח לח

ד יט

ו כב

ג יא

ו כ

ג י

ו יד

ג ז

ו כ

ג י

ו כב

ג יא

י נח

ח כט

ו כח

ג יד

ח לד

ד יז

ח יח

ד ט

ח כו

ד יג

ח ל

ד טו

יב פב

ו מא

ו לד

ג יז

י נב

ה כו

י כב

ה יא

י לב

ה יו

י לח

ה יט

יד קיב

ז נו

ו לח

ג יט

יב עד

ו לז

יב כו

ו יג

יב לח

ו יט

יב מו

ו כג

יו נ

ח כה

יו סב

ח לא

	‫[...] והנה הלוח [...] זה הוא ב' כפלים וחצי והשני ג' וז' [...] והשלישי ב' כפלים ורביעית והלוח השני [...] מוכפלת וחלק הנה הראשון שהוא ב' וה' [...] הנה הוא מרובע ב' וחציו והאחר מרובע ג' ושלישיתו [והשלישי] מרובע ד' ורביעיתו וכן השני סוגים הנשארים [...] כי ג' וי"א יהיו מרובע ג' וב' שלישיות וד' וי"ט הם מרובע י"ד וג' רביעיות ומרובע וד' חומשים וכן כולם
	כי אין להאריך [...] שתראה שנוכל לעשות ערכים אחרים אלא שתמצאם מפוזרים בחמשה סוגים הכללים כי באלו הששה לוחות תמצא ערכים מ[...] אחד בשני לוחות כמו ג' י"א תמצא בג' לוחות וכן רבים אבל כתבתי אותם בעבור שתראה כי הכל שב אל החמש סוגים הנז‫'
The Third Section of the Third Part: the Equality Ratio	השער השלישי מן הכלל השלישי שהוא ערך המספר השוה

Chapter One: Some Descriptions of the Equality Ratio	‫הפרק הראשון ב‫[...]
	ואומר כי [...] האחד במספר יש לו יחס והידמות עם [...] השבר כן הערך השוה יש לו יחס והידמות עם [...] הערך כי השוה הוא באמצע כמו שאמרתי כי האחד [...] השלם והשבר
	כי בהכפל השלמים יתרבה המספר ובה[כפל] השברים ימעיט המספר והאחד ביניהם שלא עולה בה[כפל] ואינו יורד
	והמשל כי ג' פעמים ג' הם ט' ושליש על [שליש] הוא תשיעית ואחד על אחד הוא אחד
	והוא סיבה ועילת [..] מספר בין זוג בין נפרד ואין לו מקביל
	והנה גם כן תמצא לערך השוה תוארים דומים לתוארי האחד שהוא בין שני ערכי הסוגים
	כי כבר אמרתי שהם כמו שלמים ונשברים ועוד תראה זה בעזרת האל
	ומן הערך השוה יוצאים האחרים כאשר אפרש
	וזה לא עולה ולא יורד כי כאשר א' הוא שוה לא' כן ב' הוא שוה לב‫'
	והוא סיבת כל ערך מתחלף להעלותו לערך שנרצה כאשר תראה במשלים שאתן אשר מהם תבין תולדות הערכים
	וראשונה נוציא תולדות ה[מוכפלת] כי הוא ראשון בטבע ונניח ג' מספרים שוים אשר ערכם שוה כאשר תראה בראש צורת א‫'
	שוה צורת א‫' שוה א א א ערך כפול ד ב א ערך משולש ט ג א ערך מרובע יו ד א ערך מחומש כה ה א שב למרובע יו ד א שב למשולש ט ג א שב לכפול ד ב ד שב לשוה א א א
	ותן א' תחת הא' הראשונה וחבר הא' עם הא' השנית יהיו ב' והם תחת הטור השני עוד תחבר השנים שיצאו עם הא' אשר עליהם יהיו ג' חברם עם הא' אשר בטור השלישי יהיו ד' תחת הא' השלישית ואז יהיו לך א'ב'ד' שהוא ערך כפול כמו שב
	‫[...] המספר כן ערך כפול הוא ראשון [...] ערך כפול או משולש ומרובע כמו [...] ב'ו' י"ח נתן השוה מב' כמו שתראה בצורת ב‫'
	ואם רצינו ערך כפול או משולש ודומהם יתחילו מג' כמו ג'ו' י"ב או ג'ט' כ"ז נתן השוה מג' כמו שתראה בלוח ג‫'
	וכן כולם כמו שתראה באלה הצורות שהנחתי
	ערך יסודו ה‫'   ערך יסודו ג‫'   ערך יסודו ב‫' שוה ה ה ה   שוה ג ג ג   שוה ב ב ב כפול כ י ה   כפול יב ו ג   ערך כפול ח ד ב משולש מה טו ה   משולש כז ט ג   ערך משולש יח ו ב מרובע פ כ ה   מרובע מח יב ג   ערך מרובע לב ח ב משולש מה טו ה   משולש כז ט ג   שב למשולש יח ו ב כפול כ י ה   כפול יב ו ג   שב לכפול ח ד ב שוה ה ה ה   שוה ג ג ג   שב לשוה ב ב ב
	‫ ערך יסודו ט‫'   ערך יסודו ז‫' שוה ט ט ט   שוה ז ז ז כפול לו יח ט   כפול כח יד ז משולש פא כז ט   משולש סג כא ז מרובע קמד לו ט   מרובע קיב כח ז משולש פא כז ט   משולש סג כא ז כפול לו יח ט   כפול כח יד ז שוה ט ט ט   שוה ז ז ז
	‫[...] הוא ראשון עוד נרצא ערך [...] עם א'ב'ד' מה שעשינו עם א'א'א' שהוא [...] ישובו וזה שנתן א' תחת א' מא'ב'ד' כי בזה הערך [...] עם ב' יהיו ג' ונתנהו תחת ב' ועוד [...] עם ב' יהיו ה' נחברם עם ד' יהיו ט' ואז היו לנו ג' [...] נערכים בערך משולש
	וכן תוכל לעשות ערכים [מרוב]עים כמו א'ד' י"ו
	או מחומשים כמו א'ה' כ"ה וכן לאין תכלית
	‫[ואם] תרצה להשיבם לשוה עשה הפך מה שעשית שתגרע במקום [ה]חיבור
	ואני אתן משל לזה וממנו תלמוד לאחרים
	המשל לזה חביר ה' מן הערך המחומש שתראה באמצע צורת ה' עם ד' מהערך המרובע יהיו ט' גרעם מכ"ה ישארו י"ו ואחר [גר]ע א' מה' ישארו ד' ותניח א' בראשונה שהוא הערך השוה ויהיו א'ד' י"ו שהוא שב לאחור
	וכן עד שישוב לא'א'א' שהוא השוה
	והוא הדין אם תרצה ערכים שיצאו מב' או מג' וזולתם עשה הדרך שעשית לראשונים שאם תרצה מספר או ערך מונח תניח המספר השוה ותצא מבוקשך
	המשל בזה רצינו ערך ג'ו' י"ב או ג'ט' כ"ז או ג' י"ב מ"ח וזולתם
	תניח ג'ג'ג' ותיצא מה שתרצה
	וזה המעשה תוכל להוציאו בכמה פנים אלא כדי שלא אאריך אניחם למשכיל
	אומנם אניח בכאן עוד ה' צורות אשר הערך השוה שהוא היסוד עשיתי נפרדות זולת ב' בעבור כי ערך ד' ימצא בב' וערך ו' ימצא בג'
	והנה אחר שידענו תולדת המוכפלת נכוון לאחרית ונאמר כי דרך להוציא הסוג השני הנקרא ערך פעם וחלק הנה נוציא ראשונה הערך הכפל שהוא זוג הזוג ונקח [ממנו] ג' מספרים כמו א'ב'ד' ותספוק אותו כמו שתראה בזאת הצורה ותעשה אותו כמנהג
	א ב ד ט ו ד
	והמשל בזה רצינו מספרים נערכים בערך ‫ בערך פעם וחלק [...] ד' עם ב' שבטור שני יהיו ו' [...] ו' עם ב' יהיו ח' וא' שבטור שלישי יהיו ט' [...] מספרים נערכים אשר ערך הראשון אל השני [...] אל השלישי כי ד' בו' כמוהו וחציו וכן ו' בט' וכן [..] משולש מהופך כזה
	א ג ט יו יב ט
	ועשה כמנהג תן ט' [...] ותחברהו עם ג' יהיו י"ב אשר תניחם [...] ואחר קח י"ב וג' וא' יהיו י"ו אשר תניחם תחת א' ואז [...] ג' מספרים אשר ערך הראשון אל השני כערך השני אל השלישי כי ט' בי"ב פעם ושלשית וכן י"ב בי"ו פעם ושלישית מקוצר
	דרך להוציא הערך השלשי אשר הוא ערך פעם וחלקים מן השוה
	הנה תצטרך להוציא ראשונה הערך הכפול שהוא זוג הזוג וממנו פעם וחלק וממנו נמציא פעם וחלקים שרצינו כמנהג
	והנה לקצר ולהקל על המעיין אכתוב דרך אחרת ישר וקרוב והוא שתחבר החלקים שתשאל מן המספר עליו והוא יהיה הגדול והמספר אשר ממנו תשאל החלקים הוא השני הקטן
	ואני אתן בזה ארבעה משלים
	המשל הראשון הנה רצינו שני מספרים נערכים אשר יהיה הקטן בגדול פעם ושני חלקים מג'
	נאמר כי ג' הוא הקטן ונחבר ב' עם ג' יהיו ה' והוא השני הגדול ומה[...] שחיברנו ב' עם ג' בעבור כי ב' חלקים שאלנו ואז היה לנו ג' וה' אשר ערכם פעם וב' שלישיות
	המשל השני רצינו ב' מספרים נערכים אשר הקטן בגדול פעם וג' חלקים מד'
	נאמר כי ד' הוא הקטן נחבר ג' וד' יהיו ז' שהוא השני ואז היה לנו ד' וז' אשר ערכם כנשאל
	משל שלישי רצינו שני מספרים נערכים אשר הקטן יהיה בגדול פעם וט' חלקים‫[...] הוא הגדול [...] רצינו שני מספרים בערך [...] חלקים מקל"ט הנה חיבור ל"ד [...] הוא הגדול וקל"ט הוא הקטן בעבור שאמר [...] המספר שנקח ממנו החלקים הוא הקטן והוא [..] חיבור החלקים ששאל הוא הגדול לעולם
	דרך להוציא הסוג הרביעי המורכב מן הראשון והשני הנקרא מוכפלת וחלק
	הנה תולדת הסוג יציא מן השוה באמצעות ערך פעם וחלק שהוא חציו
	תעשה כמנהג כמו שתראה בזה הצורה
	ט ו ד כה י ד מט יד ד פא יח ד
	תן ד' תחת ד' ואם תחברהו עם ו' יהיו עשרה אשר תתנם בערך השני ואחר תחבר עשרה וששה ותשעה יהיו כ"ה בשלישי ואז יהיה בידך ד' וי' וכ"ה שהם בערך ב' פעמים וחצי והערך השני שהוא ד' י"ד מ"ט הוא ערך ג' פעמים וחצי וד' י"ח פ"א הוא ערך ד' פעמים וחצי
	וכן תנהיג עד שתרצה ולעולם תמצה כל ערך מאלה עולה מאחד לערך שעבר ולסוף בטור שלשי תמצה מרובעי הנפרדים כסדר ובערכים אחרים תמצה מרובעי הזוגות ומרובעי הנפרדות ועיין ותראה סגולות רבות
	דרך להוציא תולדות הסוג החמשי שהוא מורכב מן הראשון והשלישי הנקרא ערך מוכפלת וחלקים
	הנה תניח ערך פעם וחלקים כזאת הצורה
	כה טו ט סד כד ט קכא לג ט קצו מב ט
	עשה כמנהג שתניח ט' תחת ט' ותחבר ט' עם ט"ו יהיו כ"ד השני גם תחבר כ"ה עם כ"ד ועם ט"ו יעלו ס"ד והוא השלישי גם נניח ‫ט' תחת ט' יהיה [...] גם נחבר ס"ד ול"ג וכ"ד יהיו קכ"א [...] והוא ראשון גם נחבר ט' ול"ג יהיו מ"ב והוא השני [גם נחבר קכ"א] ומ"ב ול"ג יהיו קצ"ו והוא השלישי ותמצאם כולם בערך [..] שלשיות
	ועם מה שאמרתי די לכל משכיל להוציא [...] מזה הערך מלבו כי לא יספרו מרוב הדרכים אשר בידי להרגילך אכתוב קצת תולדות מערכים בדרך אחר [..] תעיין בם אז תוכל להוציא כל מיני הערכים מאיזה מין שתשאל
	ואומר שתקח מספרים נערכים כסך מה ש[תרצה] להוציא מן הערכים וקח האחרון ויהיה ראשון למספרים ה[..] שתרצה והנה אניח ז' מספרים נערכים שיהיו זוג הזוג ו[...] בזאת הצורה
	סד לב יו ח ד ב א צו מח כד יב ו ג קמד עב לו יח ט ריו קח נד כז שכד קסב פא תפו רמג תשכט
	ונקח ראשונה השני מספרים ראשונים שהם א'ב' נחברם יהיו ג' וב' יהיה ראשון כי האחרון שהוא ב' ממה שלקחנו הוא ראשון בערך והנה ב' ג' הם בערך פעם וחצי
	ואם נקח מהמונח ג' מספרים א'ב'ד' הנה א' וב' הם ג' וד' וב' הם ו' וו' וג' הם ט' אשר תתנם תחת השלישית שהיא ד' והוא הראשונה והם ד'ו'ט' והנה הערך שיש בין ב' וג' תמצא בין ד'ו'ט' שהוא פעם וחצי
	ועתה נקח ד' מספרי זוג הזוג מהצורה המונחת שהם א'ב'ד'ח' חיברנו כנזכר א'ב' יהיו ג' גם ב'ד' יהיו ו' גם ג'ו' יהיו ט' גם ד'ח' יהיו י"ב גם ו' י"ב יהיו י"ח גם ט' י"ח יהיו כ"ז והנה הערך שיש בין ב'ג' יהיה ‫[...] ח' י"ב י"ח כ"ז שהם ד' מספרים [...]שני לשלישי ושלישי לרביעי ועוד [...]פרים מהצורה א'ב'ד'ח' י"ו והנה עד ח' ידענו [...] נחבר ח' עם י"ו יהיו כ"ד שני לי"ו גם נחבר [י"ב עם] כ"ד יהיו ל"ו שלשי לי"ו גם ל"ו עם י"ח יהיו נ"ד [...] תחת י"ו גם נחבר נ"ד עם כ"ז יהיו פ"א והנה י"ו כ"ד נ"ד פ"א כולם נערכים כנז[כ]רים וכן תנהיג עד שבעה שהם [...] או יותר אם תניח יותר
	כן תוכל להוציא ערך סוג מה עם שתניח הערך שתרצה כמו משולש או מרובע או מחומש וזולתם מהנשארים [ל]אין תכלית
	ואומר שנניח ערך משולש הבא אחר הערך שעשינו והוא יהיה אג העליון מזה הצורה
	פא כז ט ג א קפט סג כא ז תמא קמז מט אלף כט שמג ב' תא
	והוא היה בצורה הנזכר האחרון באלכסון בעבור שרצינו שיהיה הערך ערך שני פעמים ושלישית ועתה נכפל ג' על ב' יהיו ו' וא' הראשון יהיו ז' מסוג שלישי רביעי תחת ג' ואחר נכפול ט' על ב' יהיו י"ח נחבר עמו ג' יהיו כ"א גם נכפל כ"א על ב' יהיו מ"ב ונחבר עמו ז' יהיו מ"ט והוא סוף זה הטור הנערך מהסוג הרביעי שהוא ב' כפלים ושליש
	ולדעת ערך כ"ז ס"ג קמ"ז שמ"ג כפל כ"ז על ב' יהיו נ"ד חברם עם ט' יהיו ס"ג והוא שני גם כפול ס"ג על ב' יהיו קכ"ו תחבר עמהם כ"א יהיו קמ"ז והוא שלישי גם כפול קמ"ז על ב' וחבר על היוציא מ"ט יהיו שמ"ג והוא ‫סוף הטור הנערך ‫[...]
	ואם נניח ערך מרובע [...] ח' וא' יהיו ט' והנה ד' וט' הם מסוג ב' פעמים וחלק שהוא רביעית ואחר נכפול י"ו על ב' יהיו ל"ב וד' יהיו ל"ו אחר כפול ל"ו על ב' ותחבר עמו ט' יהיו פ"א וכן תנהיג בנשאר כמו שתראה בצורה
	סד י"ו ד א קמד לו ט תשכט פ"א
	ואם אתה המעיין בעל ל"ב תוכל להוליד ערכים מתחלפים עם הדרכים האלה כי אין לי עוד להאריך בזה
	אומנם אומר לך שתעיין על הסגולות היוצאים מאלה המשולשים והן כי המשולש הראשון שהוא בנוי על זוג הזוג שאם תראם שטה בשטה תמצא בם הראשונה ערך כפול א'ב'ד'ח' וכן עד הסוף והשטה השנית שהיא ג'ו' י"ב מוכפלים גם כן על ב' וכן ט' י"ח ל"ו וכן כ"ז נ"ד וכן כולם
	ואם [...] תעיין באלכסון תראה כפל משולש שאם א'ג'ט' כ"ז ואם תניח זה הערך להוליד ממנו יולידו ואלה מאלה לאין תכלית
	ותמצא באלכסונים ובטורים וצלעות סדרים מתחלפים כפי ההנחות או הכפלים שתעשה
	ובכאן אניח זה הדרוש שאני כתבתי זה ועל המעיין ליתן את [לבו]

The Second Chapter: Knowing the Three Types of Even Numbers	הפרק השני בידעת שלושה מיני הזוג‫
	ואומר כי המספר המוגבל הוא אם זוג ואם נפרד והזוג יחלק לשלושה מינים אשר המין הראשון הוא זוג הזוג והמין השני זוג הנפרד והמין השלישי זוג
	‫[...] הסוג אשר בזה הפרק [...] שני מינים אשר הראשון מורכב [...] הפרק השלישי ואחר זאת החלוקה [...] והיא כי המספר המוגבל יחלק אל עודף ושוה וגורע ואילו השלושה מינים יהיו [.] פרק [...] כולם שמונה מינים וזה צורתם
	המין הראשון שהוא זוג הזוג הנה הוא כל מספר הנחלק בחצי וכל חלק יהיה זוג עד שיבואו לשנים או לאחד
	המשל בזה לקחנו ק"ח נחלק אותו לחציים יהיה כל חלק ס"ד גם נחלק ס"ד יהיה כל חלק ל"ב וכן חצי ל"ב יהיו י"ו וחצי י"ו יהיו ח' וחצי ח' יהיו ד' וחצי ד' יהיו ב‫'
	והנה טעם קראו לזה המין זוג הזוג בעבור כי [לעולם] הנשאר בחלוקה יהיה זוג
	והנה תולדת זה המין הוא שתכפול ב' על ב' יהיו ד' וד' על ב' יהיו ח' וח' על ב' יהיו י"ו וי"ו על ב' יהיו ל"ב וכן כולם כמו שתראה בזה הצורה [שקראו אותה סולם והוא שמו הראוי כי עמו נעלה לידעת דרושים עמוקים ומהם מספר שוה ונאהב ומרובעים שוים כמו שתראה בע"ה‫]
	‫     א     ב     ד     ח   א ו   ג ב   ו ד א ב ח ב ה ו
	והנה ערך ‫כל אחד אל הנמשך [...] כל אחד אל הנמשכים [...] כמו ב' עם ח' או עם הנמשכים [...] האחרון כערך הסוג השני [...] וחלק
	והמשל שנקח א'ב'ד' הנה האחרון [ד'] ומספר הראשונים ג' וערך ג' עם ד' הוא פעם ושליש
	משל שני א'ב'ד'ח' [והנה] ח' האחרון וא'ב'ד' הם ז' והנה ז' אל ח' ערך פעם ושביעית
	וכן כולם
	וידע[ת] זה המין מן הערך השוה עבר אמרתי הדרכים כפרק ראשון מזה השער
	המין השני שהוא זוג הנפרד
	ואומר כי זה המין [...] לכל מספר שלא תוכל לחלקו אלא פעם אחד ולא יותר כי אז תציא נפרד
	והמספרים הם אלה והדומים כאשר תראה בזאת הצורה
	כו כב יח יד י ו נ מו מב לח לד ל עד ע סו סב נח נד צח צד צ פו פב עח
	שאם תחלקם לחציים היוציא יהיה נפרד
	והנה התולדת הוא שתכפול כל נפרד בשנים והיוציא הוא מספר זוג הנפרד
	והוספתי זה הלוח שהוא מד' אל מ"א כי הא' משותף לכל וראשון הכל וממנו יצא הכל כמו שאמרנו מסגולותיו בפרק ראשון משער שני מכלל ראשון ובזה הלוח תעיין כי הוא יסוד לטור האורך ולטור הרוחב ומשניהם מיוסד כל הלוח כי הטור הראשון באורך הם נפרדים והטור העליון הם זוגי הזוגים והטור השני באורך הם זוג הנפרד וכל הנשאר מן הלוח הם זוג הזוג והנפרד ועיין בזה הלוח ותמצא בו סגולות רבות
	זוג הנפרד נפרדי קכח סד לב יו ח ד ב א זוג הזוג שפד קצב צו מח כד יב ו ג תרמ שכ קס פ מ כ י ה תתצו תמח רכד קיב נו כח יד ז אלף קנב תקעו רפח קמד עב לו יח ט א תח תשד שנב קעו פח מד כב יא א תרסד ת[ת]לב תיו רח קד נב כו יג אלף תתקך תתקס תף רמ קך ס ל טו ב קעו אלף פח תקמד רעב קלו סח לד יז ב תלב א ריו תרח שד קנב עו לח יט             מב כא
	ואם תרצה שיהיה יותר גדול הרשות בידך
	ועיין באלה הצורות מהמינים הבאים ותמצא סגולות הערכים מהרכבת אלו עם אלו
	‫[המין השלישי שהוא זוג הזוג והנפרד] ואומר כי [...] זה המין הוא מורכב משני המנים [...] דומה לראשון הוא שתוכל לחלקו בשנים [...] ומה שדומה לשני הוא שלא יתחלק אל אחד [...] אל נפרד בחלוקה ראשונה והם כמו מספרי הצורה הזאת
	צו מח כד [יב] ק ס מ [כ] ק[מ] [פד] נו [כח] קף קח עב [לו] רך קלב פח ‫[מ]ד רס קנו קד ‫[נ]ב
	כי חצי י"ב הוא ו' וחצי ו' הוא ג' ולא נוכל עוד לחלקו
	וכן כולם שתוכל לחלקם אבל לא אל אחד
	והנה תולדת מספרי זה הסוג הוא בזה הדרך שתיקח אי זה מספר נפרד שתרצה ותכפלהו על מספרי זוג הזוג מד' ולמעלה והיוציא [הוא] מספר זוג הזוג והנפרד
	כמו שתראה בזאת הצורה שכפלתי נפרדים על זוגי הזוגם כדרך כפילת המספר ותמצא קיבוץ כל הטורים באורך וברוחב זוג הזוג והנפרד
	יא ט ז ה ג סד לב יו ח ב         קצב צו מח כד יב       שך קס פ מ כ     תמד רכד קיב נו כח   תקעו רפח קמד עב לו תשד שנב קעו פח מד
	ובעבור שתראה דרך הכפל הנחתי הצורה כמו מרובע נפתל בצורת הכפל אשר הראשון מכל טור נתחלק ב' פעמים ונשאר נפרד והשני מכל טור נתחלק ג' פעמים ונשאר נפרד והשלישי ד' פעמים וכן יתמיד

The Third Chapter: [Knowing the Three Types of Odd Numbers]	‫הפרק השלישי [...]
	המין הרביעי ‫[הראשון] הוא בידיעת חלקי [...] כי אחר שאמרתי ערכי [הזוג] המשיגים לו ראוי לי לסדר הדברים הראויים ל[...] אשר קצת דרכי המספר תלויים בו ובהם תראה [...] גדולות לכל מעשה המספר אשר קדם [...] שעברו ממעשה השלם והשבר והשאלות
	ואומר [..] שראוי שתדע כי כל מספר יתחלק לחלקים כפי מספר שתי צלעותיו אשר יורכב מהם
	כמו בדרך משל נקח [...] ד' הנה מספר כפל צלעותיו הוא ב' על ב' ותציא ד' והנה בעבור שאין הרכבה בד' אלא מב' לא תוכל לחלק ד' אלא על ב' והוא מרובע אחד
	והנה י"ב תוכל לכפלו על ב' צלעות מתחלפות כמו ב' על ו' ויעשה מרובע אחד [או ג'] על ד' ותעשה מרובע אחר ואז תמצא בו כל אלה החלק[ים] ב' שיורה על חצי וו' שיורה על שישית וג' על שלישית ו[ד'] על רביעית
	וכן ס' תוכל לכופלו ב' על ל' והוא מרובע ארוך וג' על כ' והוא מרובע שני וד' על ט"ו והוא מרובע שלישי וה' על י"ב והוא מרובע רביעי וו' על עשרה והוא מרובע חמשי ואז תמצא בו כל אלה החלקים שהם חצי ושלישית ורביעית וחמשית ושישית ועשירית וחלק מי"ב וחלק מט"ו וחלק מכ' וחלק מל' וחלק מכולו כמו בכל מספר אם זוג אם נפרד
	והנה ראוי שתדע כי כל שני מספרי הצלעות יהיה כל אחד מורה לאחר
	כציד ב' ול' כי ב' הוא חלק מל' בס' כי ל' פעמים ב' הם ס' וכן בהפוך כי ל' עם ב' הוא חצי ס' כמו שמורה ב'
	וכן ג' עם כ' כי ‫[...] ג' וכן [...] חלק מד' בס' שהוא רביעית [...] תועלת גדולה לקיצור השברים [...] בחילוק כי המחלק ו' אלפים לד' [...] וישובו לחלק ו' אל ד' ויהיה [...] אחד וחצי
	שאם תעיין בהרכבות תוכל [...] והשברים ושיור החלוקה ואב המורים וכבר [...] משלים רבים [ומינים לקיצור] ובעבור שיהיה יותר מבואר [...] לך קצת חלקי המורכבים וקצת סגולותיו
	והנה חלקי [המור]כבים אשר כתבתי כאן הם ג'
	הא' מורכב ממספר נפרד מורכב על בודד
	וטעם בודד שאין לו חלקים [אלא] אחד
	והמורכב יש לו חלקים כפי הצלעות אשר [מור]כב מהם
	כי הבודדים הם כמו ג'ה'ז' י"א
	והמורכבים כמו ט' ט"ו כ"א כ"ה
	והמורכב משניהם הם ג' פעמים ט' הם כ"ז וג' פעמים ט"ו הם מ"ה
	כמו שתראה בזה הצורה
	בודדים יא ז ה ג מורכבים כה כא טו ט       עה סג מה כז     קכה קה עה מה   קעה קמז קה סג רעה רלא קסה צט
	הרכבה שנית היא מורכב על מורכב כמו ט' ט"ו כ"א עליהם או על אחרים
	הרכבה שלשית הוא הרכבת בודד על בודד כמו ג'ה'ז' י"א עליהם או על אחרים
	‫המין [‫החמשי] [‫השני] [...] כי הבודדים אין להם חלקים אלא אחד
	והנה הדרך [...] הבודדים היא עם ידעת המורכבים [...] וזה הדרך אשר תעשה
	תניח מספרים נפרדים [...] בדרך טבעי מג' והלאה ואחר קח הראשון וכ[פלהו] על עצמו והיוציא תרשום אותו שהוא מורכב [..] מרובע והנה בין הראשון לזה המורכב תמצא [..] מספרים ותניחם כמו שהם ואחר הנרשם תניח [..] מספרים ותרשום השלישי לו ואחריו תניח ב' מ[ספרים] ותרשום השלישי אחריו וכן תנהיג עד סוף המספ[רים] שהנחת כמו שתראה בזה הלוח שהנחתי עד ר"א
	קפג קסג קמג קכג קג פג סג מג כג ג קפה קסה קמה קנה קה פה סה מה כה ה קפז קסז קמז קכז קז פז סז מז כז ז קפט קסט קמט קכט קט פט סט מט כט ט קצא קעא קנא קלא קיא צא עא נא לא יא קצג קעג קנג קלג קיג צג עג נג לג יג קצה קעה קנה קלה קטו צה עה נה לה טו קצז קעז קנז קלז קיז צז עז נז לז יז קצט קעט קנט קלט קיט צט עט נט לט יט רא ק[פ]א קסא קמא קכא קא פא סא מא כא
	‫[...] עד מרובע [...] בודדים ואחר קח [...] אחר הראשון ורשום אותו ואחריו [...] שהנחת במורכב ג' והנה כפלם [...] החמשי לו ואחריו תניח ד' מספרים [...] החמשי לו וכן תנהיג עד סוף המספרים [...] וכל המספר שתמצא שאינו רשום עד סוף [מרו]בע המספר השני כולם בודדים
	ואחר קח מרובע [המ]ספר השלישי ותרשום אותו ותניח אחריו ג' כפלים [..]מספרים שהנחת במורכב ג' והנה כפלם יהיו ששה ורשום השביעי וכן תנהיג עד סוף המספרים שהנחת [וכל] מספר שתמצא שאינו רשום עד מרובע המספר השלישי [הם] בודדים
	ואחר מרובע המספר הרביעי ותרשום אותו ותניח ח' מספרים שהם ד' כפלי הראשון ותרשום התשיעי
	ולפי זאת ההנהגה תנהיג בהוצאת המספרים [ה]מורכבים שתוסיף על כל מורכב ב' בכל מרובע ומרובע [ה]נזכר
	ולפי שיהיה יותר מבואר אתן לך משל אחד [ב]הוצאת כל מורכבי הלוח הנזכר וכל הבודדים
	המשל בזה רצינו להוציא כל המורכבים וכל הבודדים אשר עד ר"א כמספר הנחת הלוח הנזכר
	הנה הראשון ג' ומרובעו ט' והנה ט' הוא מורכב נפרד ומרובע ותרשום אותו רושם [ניכר] והנה בין ג' וט' שני מספרים בודדים שהם ה' וז' ואחר נניח ב' מספרים אחר ט' ויהיו י"א וי"ג ונרשום ט"ו והוא מורכב מג' וה' ונניח ב' מספרים ונרשום כ"א שבא מג' וז' וכן עד הסוף ותמצא כל המורכבים מג' על מספרים אחרים עד ר"א ‫ [...] המספרים המונחים [..] מרובע ה' [..] כ"ה כולם בודדים שהם שמונה ג'ה'ז' [י"א] י"ג י"ז י"ט כ"ז
	בודדים לט לג כז כא טו ט ג עה סט סג נז נא מה ה קיא קה צט צג פז פא ז קמז קמא קלה קכט קכג קיז יא קפג קעז קעא קסה קנט קנג יג       רא קצה קפט יז   יט   כג
	ואחר שלקחנו מרוב[ע] [ג'] וכל הנמשכים מכפלו נקח מרובע ה' וכל הנמשכים מכפלו והנה מרובע ה' הוא כ"ה ונרשום אותו רושם ניכר ונניח ד' מספרים שהם כ"ז כ"ט ל"א ל"ג ונרשום [..] שהוא ל"ה ונניח ד' מספרים שהם ל"ז ל"ט מ"א מ"ג ו[נניח] מ"ה שבא מה' וט' וכן כולם עד שתמצא מספרים מונחים מה על הנמשכים אחריו שמונה עשר כמו שתראה בזאת הצורה
	מורכבים מה‫' בודדים         מה לה כה כט עה סה נה לא קה צה פה לז קלה קכה קטו מא קסה קנה קמה מג קצה קפה קעה מז
	והבודדים שבעה עד מרובע ז' [שהוא] מ"ט ונקחנו שהוא מורכב ראשון מז' ונניח ששה [..] שהוא שלישי מרובע ותצא המורכב השני לו ס"ג ו[...] הנחת ששה מספרים יציא השלישי לו ע"ז וכן כולם עד שיהיו המורכבים י"א והבודדים ששה כמו שתראה בזה
	מו[ר]כבים מז‫' בודדים         עז סג מט נג קיט קה צא נט קסא קמז קלג סא עא   קפט קעה עג       עט
	‫[...] והנה מרובע ט' [...] ויהיה המורכב צ"ט [...] תניח ח' מספרים יציא מורכב [...] וכן כולם עד שיהיו המורכבים [...] שמונה כמו שתראה בזה הלוח
	מורכב מט‫' [בודדים] צט פא פט קלה קיז קא קעא קנג קז   קפט קיג
	והנה מרובע י"א הוא קכ"א והוא מורכב ונניח אחריו עשרה מספרים ותציא קמ"ג ובהנחת עוד עשרה מספרים תציא קס"ה וכן עד הסוף שתמצא מורכבים מי"א על הנמשכים ממרובעו שהוא קכ"א ארבעה [...] לא יותר והביודידים עד מרובע י"ג תשעה [.]זאת הצורה
	מורכבים מי"א בודדים קכא קלא קכז קמג קלט קלז קסה קנא קמט קפז קסג קנז     קסג
	והנה מרובע י"ג [הוא] קס"ט והוא מורכב ונניח [...]ריו שנים עשר מספרים [.] תציא קצ"ה ואין עוד חשבון [.] לוח הנפרדים שהנחתי ואז [..]מצא קס"ט מורכב מי"ג וקצ"ה מורכב מי"ג ומט"ו והבודדים שבעה כאשר תראה בזאת הצורה
	מורכבים מי"ג בודדים קסט קעט קעג קסה קצא קפא   קצז קצג     קצט
	והנה מצאנו כל המורכבים שיש עד סוף ר"א שהם נ"ה והבודדים מ"ה וכולם מאה מורכבים ובודדים
	ואם תמצא ע"ה מורכבים אז תדע כי [.] מורכבים
	‫תמצא בלוח הנפרדים [...] אחדות כמו שבא מג' [...] ועל אחדים וכן פעם כי ט"ו [...] מג' [..] ג' ומה' על ט' וכן קל"ה מכ"ה על ג' [...] ט' וכן קס"ה שבא מנ"ה על ג' ומל"ג על ה' ומ[...] דבר שתמצא אחר שתרשום המורכבים מה' בודדים מורכבים כמו שתראה בזה הצורה

	קסג	יא יג קמג	ג מא קכג	קג	פג	ג ז ט כא סג	מג	כג	ג
	ג ה יא טו לג נה קסה	ה כט קמה	ה כה קכה	ג ה ז טו כא לה קה	ה יז פה	ה יג סה	ג ה ט טו מה	ה כה	ה
	קס[ז]	ג ז כא מט קמז	קכז	קז	ג כט פז	סז	מז	ג ט כז	ז
קפט	יג קסט	קמט	ג מג קכט	קט	פט	ג כג סט	ז מט	כט	ג ט
קצא	ג ט יט נז קעא	קנא	קלא	ג לז קיא	ז יג צא	עא	ג יז נא	לא	יא
קצג	קעג	ג ט נא יז קנג	ז יט קלג	קיג	ג לא צג	עג	נג	ג יא לג	יג
ג ה [יג טו] לט [סה] קצה	ה ז כה לז קעה	ה לא קנה	ג ה ט טו כז מה קלה	ה כג קטו	ה יט צה	ג ה טו כה עה	ה יא נה	ה ז לה	ג ה טו
קצז	ג נט קעז	קנז	קלז	ג ט יג לט קיז	צז	ז יא עז	ג יט נז	לז	יז
קצט	קעט	ג נג קנט	קלט	ז יז קיט	ג ט יא לג צט	עט	נט	ג יג לט	יט
ג סז רא	קפא	ז כג קסא	ג מז קמא	יא קכא	קא	ג ט כז פא	סא	מא	ג ז כא

The Fourth Chapter: [Superabundant, Deficient and Perfect Numbers	הפרק הד‫'
	‫[...] שהם [...] וגורע והשוה אמצעי בין עודף וגורע [...] החלקים השלמים מאיזה מספר מורכב [...] על כל המספר כמו מספרי זאת הצורה [...] שאם תחבר חלקי כל אחד תמצא שהוא יותר מכולו
	והמשל י"ב חציו ו' ושלישיתו ד' ורביעיתו ג' ושישיתו ב' וא' שהוא חלק מכולו תחברם כולם יהיו י"ו והנה חלקיו עודפים מד‫'
	משל שני ס' תמצא בו חצי ושלישית ורביעית וחלקים אחרים רבים עד שתראה שהוא עודף חמשה [..] שרשיו כי חלקיו הם צ"ה וכן כל הדומה לזה
	‫[...] הוא כל זוגי הזוג והנפרד אשר ימצא בו הרכבה אחרת כמו אם תכפול ב' על נפרד והיוציא על [ב' גם] כן ואחר כן אם תמצא במספר הרכבה אחרת המספר עודף ואם לא לא
	המשל בזה כפלנו ב' על ג' יהיה [היוציא] ו' גם ו' על ב' יהיה היוציא י"ב והנה בעבור [כי] בזה המספר תמצא הרכבה אחרת שהיא ג' על ד' [.] שהוא עודף
	ואם לא תמצא הרכבה אחרת בידוע [שאינו] עודף
	כמשל כ"ח כי בא מב' על ז' והיוציא [על] ב' ואין בזה הרכבה אחרת ובעבור זה אינו עודיף [וכן] כל הדומה לזה
	ואם לא תוכל לכוון החלקים [הש]למים אשר בו תחלק המספר מתחילתו עד אמצעו [...] כל החלקים אשר עלה בחילוק תמצא בו בשלמות
	‫[ה]משל בזה חלקנו י"ב על אחד יעלו י"ב והנה א' הוא חלק מי"ב נחזור עוד ונחלק י"ב על ב' יעלה בחילוק ו' שהוא חציו כמו שתורה ב' גם נחלקהו על ג' ‫יעלה ד' [...] בחילוק ואין בו חמשית [...] שתורה ו' ואין לחלקו על יותר מחצי [...] הם א' ב' ג' ד' ו' שכללם הוא י"ו ו[...] לא תרצא לטרוח תחלק על המסופקים ודי לך [...] יסופק אם יש בו שביעית תחלק על ז' ואם יסופק [...] על ט' וכן כולם
	ואם יהיה המספר גדול שלא תוכל לחלק[ו] אלא בטורח גדול אומר לך דרך כולל שהוא טוב לקצר ואב המורים ועיין בו
	הנה כבר ידעת כי חלוקת כל מוגבל הוא אם זוג ואם נפרד ואומר שתעיין במעלת אח[די] המספר ואם תמצא בה מספר זוג או ספרא אז תדע ש[זה] המספר יהיה זוג ויש לו חצי
	ואם לא תמצא בו אחדים הנה [יש בו] חצי וחמשית ועשירית ויוכל להיות גם כן חלקים אחרים
	במשל נניח ט"ו אלפים ק"ך כזה 0 ב א ה א
	נראה [אם] יש בו תשיעית או חלקים אחרים
	קח האחרון ותורידהו מעלה אחד וחלקם למה שתרצה והנשאר תורידים עוד ותחלקם וכן תעשה עד הסוף ושמור [..] ואם לא יצא בחילוק תחזור ובקש חלק אחר
	כמו שרצינו אם יש במספר המונח תשיעית תוריד המעלה האחרונה ה' ויהיו ט"ו קח תשיעית ט"ו והוא אחד ישארו ו' תוריד[ם] אל א' יהיו ס"א קח תשיעיתו שהם ו' נשארו ז' תורידם אל ב' יהיו ע"ב קח תשיעית ע"ב והיא ח' ולא נשאר כלום ו[...] ספרא והנה יציא זה המספר בתשיעית אלף תר"ף
	ות[...] עוד ותראה אם יש בו שמינית תוריד הא' על הה' יהיו ט"ו שמינית ט"ו והוא א' נשארו ז' תורידם על א' יהיו ע"א קח שמיניתם יהיו ח' ונשארו ז' תורידם על ב' יהיו ע"ב קח שמינית ‫[...] המספר [..] תציא לך ב' אלפים קס"ב [...] אלפים תק"ך ובחמשית ג' אלפים [...] ובשלישית ה' אלפים ומ‫' [...]
	וכן תנהיג בכל המספרים לכל דבר [...] חלקים ודי בזה במין העודף
	‫[המין] השביעי השני במספר העודף הגורע אשר חלקיו יגרעו ממנו והם מספרי זוג הזוג בפרט [ב'] ד' ח' י"ו וכל מספרי זוג הנפרד כמו אלה י' י"ד כ"ב כ"ו [שחלקי]הם חסרים ממנו
	כי ב' יחסר חציו כי אין לו חלקים [אלא] חצי
	וד' יחסר רביעיתו כי חלקיו חצי ורביעית [חברם] יהיו ג‫'
	וח' חלקיו חצי ורביעית ושמנית תחברם ויחסר שמיניתו
	והנה י"ו חלקיו חצי ורביעית [ושמי]נית וחלק מי"ו תחברים יהיו ט"ו ויחסר חלק מי"ו
	‫[...] זוגי הזוגות שיחסר מכל אחד אחד שהוא חלק מכולו [..] בשם הוראתו שאם הוא ב' יורה על חצי כי מב' יחסר [חציו] ומד' רביעיתו ומח' שמיניתו וכן כולם
	והנה זוג [הנפר]ד אין בו חלקים אלא חצי וחלק מכולו
	והנה תולדת המספרים ידועים כי זוג הזוג בא מכפל ב' והיוצא ב' וכן לעולם וזוג הנפרד בא מכפל כל נפרד על ב'
	‫[ואם] תכפול זה המין ביותר מפעם אחד אז יולידו העודפים
	מג' יצא י"ב שהוא עודיף
	המין השמיני השלישי במספר אשר חלקיו השלמים יהיו שוה לכולו ומזה המספר יש מעלות ימציוה ויש מעלות שלא ימצה אומנם במעלה שימצה ‫לא ימצה אלא [...] וכ"ח במעלת העשרות [...] לאלה יהיו חלקהם [...] חלקי ו' הם חצי ושלישית ושישית [...] ששה כאשר אפרש בע"ה [...] ולא מכולם ואם תוסיף על הבודד ה[...] הזוג
	והנה תולדת זה המספר תראהו ב[...] בזה הצורה
	א       ב       ד       ח     א ו     ג ב     ו ד   א ב ח   ב ה ו   ה א ב א 0 ב ד ב 0 ד ח
	והנה ידעת זה הבודד [...] תצא המכוון יהיה בשלשה דרכים
	‫[אחד] הוא שנקח כל מספר מזה הצורה אשר [...] ח' ומספר ח' בכלל וגם כל מספר [...] בסופו ב' ולא מספר ב' בכלל אלא ד' במקום ב' ובדרך כלל כל מספר בסופו ב"ח תקחנו חוץ [...] ראשונה שלא תקח ממנה אלא [...] ואחר שיהיה בידך המספר [...] אחד והנשאר יהיה [...] בודד בלא ספק ותכפול חציו וחצי אחד שהוא [...] הגדול משלמים נכפלהו [...] כולו והיוציא הוא המבוקש
	עיון דע שאם עשיתי [דרך] [אחר להוציא הבודדים הנה תדע בכאן כי ד' הוא תחילת הבודדים ואם יש לו שינוי בעבור שהוא במעלת האחדים אבל זה העיון תחילתו מח' ותניח מספר אחד שהוא י"ו כמו שתראה בצורה וקח ל"ב והשלישי בדילוג אחד והוא קכ"ח וכן כולם אלא שתגרע אחד מכל אחד ויהיו מח' ז' ומל"ב ל"א ומקכ"ח קכ"ז ותקי"א וכו' [...] בדרך בדיקת המכוונים‫]
	המשל בזה רצינו לדעת המספר המכוון הראשון במעלת האחדים והנה ב' כפול מא' [אבל] כבר יעדנו כי מב' לא תציא מספר מכוון אלא מכל [..] אשר בסופו ב' ואם כן נניחנו ונקח ד' כי כבר יעדנו שהוא טוב במעלה ראשונה ולא בזולתה והנה נגרע מד' א' ‫[...] בשנים שהוא חציו הגדול [...] המבוקש שהוא המכוון במעלת [האחדים‫]
	‫[משל שני] הנה זוג הזוג של אחר ד' הוא ח' [נגרע אחד] ישאר ז' והוא בודד כפלנו ז' על ד' שהוא [...] יעלה כ"ח והוא המבוקש שהוא המספר המכוון [במעלת] העשרות
	משל שלשי אם נקח זוג הזוג הבא אחר ח' [שהוא] י"ו נגרע אחד ישארו ט"ו והוא מורכב נקח הבא [אחריו] שהוא ל"ב נגרע אחד יהיו ל"א כפול ל"א על י"ו שהוא [חציו] הגדול יעלו תצ"ו והוא המכוון במעלה שלישית שהוא [מעל]ת המאות
	משל רביעי אם נקח זוג הזוג הבא אחר ל"ב [שהו]א ס"ד נגרע אחד יהיו ס"ג והוא מורכב מט' על ז' [וד'] בסופו ונקח הבא אחריו שהוא קכ"ח נגרע אחד ישארו [קכ"ז] והוא בודד נכפלהו על ס"ד שהוא חציו הגדול יעלה [ח'] אלפים קכ"ח והוא המכוון במעלה רביעית שהיא מעלת [ה]אלפים
	משל חמשי אם נקח זוג הזוג הבא אחר קכ"ח והוא [רנ"ו] והנה יש בסופו ו' והנחנו ונקח תקי"ב שיש בסופו [ב'] כי כן יעדנו נגרע אחד ישארו תקי"א והוא בודד [נ]כפלהו על חציו הגדול שהוא רנ"ו יעלה ק"ל אלף תתי"ו והוא מכוון שהוא במעלה השישית שהיא במעלת המאות אלפים
	והנה אין במעלת העשרות אלפים מספר מכוון
	ויראה מדברי החכם ר' אברהם בן עזרא שסבר שיש בכל מעלה מספר מכוון והמעיין בדבריו יוכל לתרץ שאין כפי כוונתו אלא שאין יותר מאחד בכל מעלה כי כן האמת שאין מספר מכוון בכל מעלה אלא אחד ויש מעלות שלא תמצה מספר מכוון כלל כי במעלה ששית גם במעלת י"א לא תמצה מכוון כלל כמו שתראה בזה הצורה וזה יספיק לדרך הראשון
	‫הדרך השני לדעת [...] מיותר המכוון [...] ותכפלהו על ד' ועל היוציא תוסיף ג'
	המשל בזה כפלנו ז' שהוא בודד על [...] תוסיף ג' יהיו ל"א [והוא הבודד המבוקש] תכפלהו על [חציו הגדול] תצ"ו והוא המכוון [השלישי גם קח ל"א שהוא בודד ותכפלהו על ד' יהיו קכ"ד ועם ג' יהיו קכ"ז והוא הבודד תכפלהו על חציו הגדול שהוא ס"ד יעלו ח' אלפים קכ"ח‫]
	‫[עוד לקחנו קכ"ז ונכפלהו על ד' יהיו תק"ח ועם ג' יהיו תקי"א נכפלה על חציו הגדול שהוא רנ"ו יעלו ק"ל אלפים תתי"ו והוא המכוון החמשי‫]
	‫[לקחנו תקי"א ונכפלהו על ד' יהיו ב' אלפים ומ"ד ועם ג' יהיו ב' אלפים ומ"ז נכפלהו על חציו הגדול שהוא אלף וכ"ד יעלו ב' מספרים וצ"ו אלפים וקכ"ח והוא המכוון השישי‫]
	וזה הסדר כולל כל הבודדים [חוץ] [...] כי ג' יוציא מן הכלל כאשר מעלת האחדים יוציא מ[...] כל המעלות הכי הכופל מעלות על מעלות יגרע אחד מקיבוץ המעלות כמו שאמרתי במקומו וכמו שהאחד [...] מן האחרים
	הדרך השלישי לדעת המספרים המכוונים [..] מוכפלים הנקראים זוג הזוג כפי [..] המספרים המכוונים שתרצה וא' שאינו מוכפל הנחנו [..] ההכפלה מב' כי מב' תצא המכוון הראשון ומד' המכ[וון] השני ומח' השלישי ומי"ו הרביעי וכן כולם כסדר המספרים הכפולים
	והדרך להוציאם הוא שתקח המספר [..] וכפלהו על חציו וקח חצי העולה בכפל וכ[פלהו] פעם שנית על כולו בחסרון אחד וזה הדרך לכולם [..] המכוון הראשון שהוא ששה שדרכו דרך אחרת
	והמשל רצינו להוציא המכוון הראשון נקח ב' ומרובעו יהיו ששה שהוא המכוון הראשון כי חצי ו' הוא ג' ושליש[יתו] ב' וחלק מכולו א' תחברם יהיו ששה כמוהו ואם יש חילוף בהוצאתו הנה בא מחילוף המעלה הראשונה על שאר המעלות כי כמו שהאחד אינו ממין האחרים כן המעלה הראשונה כי כפל אחד על אחד אחד כן מעלת ‫הכופל מעלות [...] ותציא המבוקש כי שלושים [...] על ב' שהם ששה ושמרם והנה [...] ומאתים ממעלה שלישית תחברם [...] מעלות תגרע אחת ישארו ארבעה ואם כן [...] הם ממעלה רביעית שהיא מאלפים [...] אלף וכן מאי זו מעלה שתכפול על אחרת [ועליך] לגרוע מעלה אחת לעולם ושמור ועיין זה [הדרך]
	ועתה להוציא המספר המכוון השני קח המספר השני מן הנערכים בכפל שהוא ד' וכופלהו על חציו [...] ח' גם קח חצי ח' שהוא ד' וכפול אותו על כל המספר [בחסרון] אחד שיהיו ז' יעלו כ"ח והוא המכוון השני
	עוד [קח] הכפול השלישי שהוא ח' וכופלהו על חציו יהיו ל"ב כפול [...] חצי ל"ב על ל"א שהוא הכל פחות אחד יעלו תצ"ו והוא המכוון השלישי
	עוד נקח הכפול הרביעי שהוא י"ו ונכפול [אותו] על חציו יעלו קכ"ח כפלנו חצי קכ"ח על כולו [ב]חסרון אחד יעלו ח' אלפים אלפים קכ"ח כזה ח ב א ח [ש]הוא המספר המכוון הרביעי
	עוד נקח הכפול החמישי שהוא ל"ב ונכפול אותו על חציו יעלו תקי"ב כפלנו חצי תקי"ב על תקי"ב בחסרון אחד יעלו ק"ל אלפים תתי"ו כזה ו א ח 0 ג א שהוא המספר המכוון החמשי
	עוד נקח הכפול הששי שהוא ס"ד ונכפלהו על חציו שהוא ל"ב יעלו ב' אלפים ומ"ח כפלנו חצי העולה על כל המספר בחסרון אחד יעלו ב' מספרים וצ"ו אלפים קכ"ח כזה ח ב א ו ט 0 ב והוא המספר המכוון הששי
	ויהיו כולם על זה הצורה עד עשרה מספרים מכוונים
	‫                       ו                     ב ח                   ד ט ו                 ח א ב ח             א ג 0 ח א ו           ב 0 ט ו א ב ח         ג ג ה ה 0 ג ג ו       ה ג ו ח ה ד ה ב ח     ח ה ח ט ח ו ט 0 ה ו א ג ז ד [ג] ח ו ט א ג ב ח
	שהוא זוג הנפרד ובאחרים אם תוסיף על הנפרד אחד [...] זוג הזוג שתוכל לחלקו עד אחד
	והמשל רצינו לכוון חלקי כ"ח כי מששה כבר דברתי חלק כ"ח לחציים [..] י"ד וחצי י"ד ז' וחצי ז' בתוספת אחד ד' וחציו ב' וחציו א' והנה י"ד חציו וז' רביעיתו וד' שביעיתו וב' חלק מי"ד וא' חלק מכולו ויהיה כזאת הצורה
	המורה המספר ב ח כולו א ד חציו   ז רביעי'   ד שביעי'   ב יד   א כח
	משל אחר מתצ"ו שהוא מכוון המאות הנה חציו רמ"ח וחצי רמ"ח קכ"ד וחצי ס"ב וחציו ל"א וחצי ל"א בתוספת אחד י"ו וחציו ח' וחציו ד' וחציו ב' וחציו א' ודע כי רמ"ח הוא חציו בהוראת ב' וקכ"ד הוא רביעיתו בהוראת ד' וס"ב הוא שמיניתו בהוראת ח' ול"א הוא חלק מי"ו בהוראת י"ו וי"ו חלק מל"א בהוראת ל"א כי אז המספר מתגלגיל כי כאשר היה ל"א חלק מי"ו היה י"ו חלק מל"א וכאשר היה ס"ב חלק מח' היה ח' ‫מל"ב ומכאן מתגלגל [...] חלק מרנ"ד ורנ"ה חלק מ[...] וק' חלק מאלף וי"ו וד' חלק מ[...] וס"ד וא' חלק מכולו וכן תנהיג בידיעת [...] כי מספר החלקים יהיו הוראות ומתגלגלים כמו ‫[...]
	‫[עוד דרך אחרת נדבקת המכוונים מן ולמעלה והוא גם כן דרך להוציאם הנה הבודד הראשון הוא א' בדרך הזה ועמו נוציא כל הבודדים בזה אחר זה להוליד המכוונם ואחר אשר בידך הבודד כופלהו בשנים ועוד פעם אחר פעם עד שיצא המכוון המשל בזה רצינו המכוון השלישי כי הראשון שהוא ו' והשני שהוא כ"ח ידועים ולהם דרך אחרת והנה תחילת הבודדים בכאן הוא ז' נכפלהו בד' ועל היוציא נוסיף ג' יהיו ל"א והוא בודד ממכוון תצ"ו כי בד' הכפלות שנכפול ל"א תציא תצ"ו וכן יצאו כל המכוונים עם תוספת שתי כפילות על הנמשך אחריו אחריו כי ו' הראשון יציא מכפל ג' ומשתי כפילות ז' יציא כ"ח ומד' כפילות ל"א יצא תצ"ו כי כפל ל"א הוא ס"ב וכפל ס"ב הוא קכ"ד וכפל קכ"ד הוא רמ"ח וכפל רמ"ח הוא תצ"ו והמכוון עוד לבדוק המכוון האחר שהוא ח' אלף קכ"ח נכפול הבודד שעבר שהוא ל"א על ד' יהיו קכ"ד ועם תוספת ג' יהיו קכ"ז נכפלהו ששה פעמים ותציא ח' אלף רכ"ח לבדוק האחר שהוא ק"ל אלף תתי"ו כפול הבודד שעבר שהוא קכ"ז על ד' יעלה תק"ח ועם ג' שהוספנו יהיו תקי"א והוא הבודד נכפלהו ‫שמונה פעמים ותציא ק"ל אלף תתי"ו ולבדוק האחר שהוא ב' מספרים וצ"ו אלפים קכ"ח כפול הבודד שעבר שהוא תקי"א על ד' יעלה ב' אלף ומ"ד תוסיף עליהם ג' יהיו ב' אלפים ומ"ז והוא הבודד נכפלהו עד עשרה פעמים ותציא המכוון שהוא ב' מספרים וצ"ו אלפים וקכ"ח וכן כל הנמשכים]
	ואם יש עוד בידי דרכים לכוין חלקי המכוון [...] בכאן זאת החקירה ואכוין לחקירה יותר עמוקה [...] עוד היו שני משיגים לשוה והם שני דרושים עמוקים ‫[...]
	הדרוש הראשון הוא שיהיו שני מספרים מסוגלים לאהבה אשר [חלקי] האחד יהיה כמספר השני וחלקי השני כמספר הראשון [...] אלה השני מספרים נאהבים
	והדרוש השני הוא שיהיו [...] מרובע מה שוה מכל הטורים בין באורך בין ברוחב בין באלכסון ואמנם יסוגלו שבעה מהם לשבעה כוכבי לכת
	ואבאר כל דרוש בפני עצמו אומר כי
Amicable Numbers
	הדרוש הראשון הוא להוציא המספרים הנאהבים המסוגלים לאהבה ואומר כי כל שני מספרים אשר החלקים השלמים מכל אחד יהיו כמספר חברו והנה תמצא הראשונים בדרך אחד והאחרונים בדרך אחרת ויסוד שניהם המספרים הכפולים הנקראים זוג הזוג ומהם נוציא הבודידים ומן הבודדים הנאהבים
	וראשונה אומר שנסדר מספרם כפולים שהם זוגי הזוגים מתחילין מן האחד כמה שתרצה ואחר קח א"ב יהיו ג' נגד ב' עוד קח שלושה כפולים מא' ועד ד' יהיו ז' נגד הכפול האחרון שלקח[ת] שהוא ד' עוד קח ד' כפולים מא' עד ח' יעלו ט"ו ותתנהו נגד האחרון שהוא ח' עוד קח ה' כפולים מא' עד י"ו ויעלו ל"א נגד י"ו וכן ס"ג נגד ל"ב וכן קכ"ז נגד ס"ד וכן ‫[...] הצורה [...] מספר שהוא נגד כל כפול הכפול למעלה ממנו כי א' שהוא למעלה מב' גרענו מג' וישארו ב' בשטה שלישית גם גרענו ב' מז' נשארו ה' גם ד' מט"ו נשארו י"א גם ח' מל"א נשארו כ"ג וי"ו מס"ג ישארו [מ"ז] ול"ב מקכ"ז ישארו צ"ה והוא מורכב מה' על י"ט ומזה שאינו [בודד] לא תציא נאהב אלא תעבור לאחר גם ס"ד מרנ"ה ישארו [קצ"א] וכן עד מה שתרצה ומאלה הבודדים אשר בשיטה שלישית [...] הבודדים נוציא הנאהבים הראשונים מכל זוג כי בודידי [..] [הר]אשון הם ה' וי"א ובודידי הראשון מן הזוג השני הם י"א [..] ובודדי הראשון מן הזוג השלישי כ"ג מ"ז וכן כולם שתניח אחד ותקח אחר וזה לראשונים
	ב ג ה ז יא טו כג לא מז סג צה קכז קצא רנה
	אבל לשניים שיש להם דרך אחרת קח הכפול הבא אחר הכפול שממנו לקחת הנאהב הראשון [ו]תוסיף עליו אחד שהוא ראש זוג הזוג בשלוח ולכפול השני מן השניים תוסיף ב' ולשלישי מן השניים תוסיף ד' וכן כולם ואחר התוספת כפול זה על זה ומן העולה גרע אחד וישאר בודד וכפול אותו על הכפול הקודם לו בטבע והיוציא הוא בן זוגו
	והנה אני אתן בזה ששה משלים השלושה לשלושה מספרים הראשונים הנאהבים ושלושה משלים לבן זוגי הראשונים ואם השלושה משלים האחרונים אינם הכריחיים כי בידעת חלקי ‫השלשה המשלים [...] חלקי השלושה השניים תדע [...] תדע המספר הבן זוגו אבל [...] כתבתי משלים למספרם
	משל ראשון רצינו לדעת הנאהב הראשון מן [הזוג הראשון]
	נקח הנשאר מז' וט"ו כמו שתראה בשיטה [...] מהצורה המונחת שהם ה' י"א והם מספרים בודדים נכפל[ם] זה על זה יעלו נ"ה גם נ"ה נכפול על כפול ד' שממנו [...] יעלו ר"ך וזה נאהב ראשון מן הזוג הראשון והוא הקטן מן [...]
	ומזה תדע האחר וזה כי בזה הנאהב תמצא י"א חלקים שהם חצי [מר"ך] ק"י ורביעית נ"ה וחמשית מ"ד ועשירית כ"ב וחלק מי"א כ' וחלק [מכ'] שמתגלגלים חלקיהם י"א וחלק מכ"ב עשרה וחלק ממ"ד ה' וחלק [מנ"ה] ד' וחלק מק"י ב' וחלק מקק"ך א' ויהיו בזה הצורה
	ק"י נה מד כב כ יא י ה ד ב א חצי רביעית חמשית עשירית חלק מי"א חלק מכ' חלק מכ"ב חלק ממ"ד חלק מנ"ה חלק מק"י חלק מר' קק"ך נאהב היוציא
	משל שני לדעת הנאהב הר[אשון] מן הזוג השני קח י"א ו[כ"ג] שהם בודדים וכפול זה על זה ותציא רנ"ג ועוד כפול רנ"ג על הכפול שממנו יציא י"א שהוא ח' הכפול הבא אחר ד' שלקחנו ותציא ב' אלפים כ"ד והוא הנאהב הראשון מן הזוג השני כזה הצורה ד ב 0 ב
	משל שלישי לדעת הנאהב הראשון מן הזוג השלשי
	קח שני בודדים הנשארים מל"א וס"ג שהם כ"ג ומ"ז תמצאם בשיטה שלישית מהצורה המונחת וכפול זה על זה יעלו אלף ופ"א אשר ‫[...] ויעלה י"ז [...] בן הזוג השלישי כזה
	א ז ב ט ו
	‫[...] הראשונים בדרך הנזכר נוציא השניים [...] זוג הראשונים אמנם יש להם דרך אחרת כנזכר [...] ואומר שתקח הכפולים הבאים אחר הכפולים יצאו הראשונים אשר אם הוא בן זוג הראשון שכבר נודע הראשון שיתכן להיות רפ"ד הנה תכפלהו על עצמו בתוספת [...] בן זוג שני בתוספת שנים ואם הוא בן זוג שלשי בתוספת [...] וכן בתוספת הכפולים וגרע מן העולה בכפל אחד והנשאר [יהיה] בודד כפלהו על הכפול הקודם שלקחת והיוציא יהיה בן זוג שני
	‫[המשל] בזה נרצה להוציא בן זוג הנאהב הראשון אשר בידנו הנה זה הוא הדרך
	נקח כפול ח' ונכפלהו על עצמו בתוספת א' שהוא ט' יעלו ע"ב גרע מע"ב אחד ישארו ע"א והוא [בודד] כפול אותו על הכפול הקודם לו בטבע למה שלקחת שהוא ד' עלו קקפ"ד והוא בן זוג הנאהב הראשון והיו שניהם כזה
	ב ב 0 ב ח ד
	אמנם החלקים השלמים הם חמשה לא יותר והם חצי ורביעית וחלק מקע"א וחלק מקמ"ב וחלק מרפ"ד ויהיה בזה הצורה
	קמב עא ד ב א חצי רביעית חלק קעא חלק קמב חלק רפד רפד היוציא
	משל שני לתשלום משל שני שעבר ואומר כי להוציא בן זוג השני מן הנאהב אשר במשל שני קח כפול י"ו ותכפלהו על עצמו בתוספת שנים שהוא י"ו על י"ח יעלו רפ"ח נגרע מהם אחד ישארו רפ"ז והוא בודד נכפול אותו על הכפול הקודם לו בטבע שהוא י"ח יעלו ב' אלפים ‫רצ"ו והוא בן [הזוג] [...]
	משל שלישי לתשלום [משל שלישי‫] [...]
	ואומר כי להוציא בן זוג [השלישי] [...] קח כפול ל"ב ותכפלהו על עצמו בתוספת על ל"ו יהיה העולה אלף קנ"ב נגרע [מהם] אחד [...] קנ"א והוא בודד כפול אותו על הכפול הקודם לו [...] שהוא י"ו יעלו י"ח אלפים תי"ו והוא בן זוג [...] במשל שלישי ויהיו שניהם כזה
	א ז ב ט ו א ח ד א ו
	ועם זה די לדרוש הראשון והמשכיל יבין
Magic Squares
The second postulate is that the numbers of a certain square are equal in all the lines, whether lengthwise, or breadthwise, or in the diagonals.	הדרוש השני הוא שיהיו מספרי מרובע מה שוה מכל הטורים בין [באורך] בין ברוחב בין באלכסונים
Seven of them are attributed to the seven planets.	ואמנם יסוגלו שבעה מהם לשבעה כוכבי לכת
I say that the shapes of these numbers are endless and one of their properties is that the first seven are attributed to the seven planets.	ואומר כי תמונות אלה המספרים הם בלתי בעלי תכלית ומסגולותהם כי השבעה הראשונים הם מסוגלים לשבעה כוכבי לכת
	וראשונה אומר כי המספר יחלק [אל] זוג ואל נפרד והזוג יחלק אל זוג הזוג ואל זוג הנפ[רד] ואל זוג הזוג והנפר[ד‫]
	ובמקום אחר תמצא טעם השמות האלה
	ואם יש להם חלוקות אחרות אין זה מקומן
	כן זה הפרק יחלק לשלושה סדרים
	אשר הסדר הראשון ידבר [על] מרובעי הנפרדים
	והסדר השני ידבר במרובעי זוג הזוג
	והסדר השלישי במרובעי זוג הנפרד וזוג הזוג והנפרד
	אם ירצה האל
	ואתחיל מספר דרך תולדותם כי לא נמצא אתנו אלא שבעה מרובעים נקראים שבעה מרובעים
	‫[...] כוכבי לכת [...] ולדעת [...] דרכים שתראה ואם [...] מהם בארוכה ומהם בקצרה אבל [...] המעיין עד [..] שהאיר השם [...] ומצאתי דרכים אשר בלא עיון יוכל [אדם] להוציא מרובעי [...] השני דרכים שהם [..] הנפרדים וסדר זוג[..] הזוגים אבל סדר [..] הנפרד וזוג הזוג והנפרד אין לו דרך ראוי [...] ועל השנים אני אומר תן לחכם ויחכם
	הסדר הראשון המדבר על כל מרובעי הנפרדים
	אומר כי הרוציא לדעת המרובעים הנפרדים השוים בכל הטורים באורך ורוחב ובאלכסונות וזה סגולת כל אלה המרובעים יעשה ראשונה לוח בתים מרובעים לתת בכל בית מספר ולפחות יהיו מספרי הבתים שנוכל לכתוב באלכסונו ד' כפלי המרובע הנרצה בנפרדים
Now, to understand and to know the formation of the first square: its foundation are five tables, in which you see by the eye each part as I create it	ועתה להבין ולדעת תולדת המרובע הראשון הנחתו חמשה לוחות אשר בם תראה בעין כל חלק כמו שאעשה אותו ומה שלא עשיתי הכל בלוח אחת הוא להצילך מבילבול ואחר שתהיה מורגל תוכל לעשותו על פה ולכל האחרים זולת הראשון אעשה אותו עם ה' לוחות ונשוב למרובע הראשון שאחר שיהיו הה' לוחות מובנות תן בבית העליון מן הלוח הראשון א' וכן כול מרובע שתרצה ואחר אם תרצה מרובע ג' ‫תניח למ[...] ובמרובה ד' [...] תניח ו' בתים ובמרובע [...] כולם כי לעולם יהיו הבתים [...] העליונה לא' התחתונה כסך ה[...] אחד ועיין ותראה
	ואחר הנחת השתי[..] תמשוך מן הא' העליונה ד' פעמים המרובע שתרצה [...] הלוח כסדר שיהיו ד' מרובעים שוים בלוח ונשארו [עוד] אלכסונים אחרים רקים בלוח בלוח ועם הא' השנית תמ[..] מהאלכסונים הנשארים מרובע אחד ויהיה נקשר עם ארבעה זויות הארבע מרובעים הנזכ'
	ובאמצע מרובע חמישי שהוא מרובע ג' על ג' אשר בכל צלע תמצא ג' ובכל טור תמצא ט"ו וזה המבוקש ועיין שתקח הג' שטין מאמצע הלוח
	וזה יורה לך שני דברים
	האחד שיהיה חצי המרובע הגדול באמצע הלוח כמו ה' בלוח ג' על ג' וי"ג בלוח ה' על ה'
	הדבר השני שיורה לך הוא שיהיו זויות הלוח הכולל במרחק שוה ללוח הקטן
Example: we wish to constract the table of the first square in nature, which is 3 by 3 and it is attributed to Saturn; its diagonal is 15 as the product of the greater mean, which is 5, by the side, which is 3, $\scriptstyle{\color{blue}{15=5\times3}}$ for this is the way of all.	המשל בזה רצינו לבנות הלוח המרובע הראשון בטבע שהוא ג' על ג' והוא מסוגל משבתי ובלאכסונו הוא ט"ו ככפל האמצעי הגדול שהוא ה' על הצלע שהוא ג' כי זה דרך לכולם
	הנה נניח ב' אלכסונין זה למעלה מזה ובאמצע שני בתים רקים כמו שתראה בלוח ראשון ואחר משוך מן הא' העליונה ד' מרובעים מט' בכל מרובע באלכסוני הלוח כמו שתראה בלוח שני גם משוך מרובע אחד מן הא' התחתונה עד ט' באצ' באמצע הלוח כמו שתראה בלוח שלישי ואחר שיהיו השני והשלישי ערוכים לפניך לפניך ‫[...] אשר בלוח שלישי באמצע [...] בלוח רביעי ואז תמצא [...] ג' על ג' מסודר בסדר אשר [...] ראשון הוא ט"ו כמו שתראהו [...] לוח חמשי וזה מה שרציתי לבאר והנה כזה [...] תעשה בכל מרובע נפרד עם שתניח הדקים שאמרת כמספר הצלע פחות אחד
	שני           א                   ב   ד               ג   ה   ז           א   ו   ח   א       ב   ד   ט   ב   ד   ג   ה   ז   ג   ה   ז   ו   ח   א   ו   ח       ט   ב   ד   ט           ג   ה   ז               ו   ח                   ט
	שלישי     א       ב   ד   ג   ה   ז   ו   ח       ט
	רביעי           א                   ב   ד               ג   ה   ז           א   ו א ח   א       ב   ד ב ט ד ב   ד   ג   ה ג ז ה ג ז ה   ז   ו   ח ו א ח ו   ח       ט   ב ט ד   ט           ג   ה   ז               ו   ח                   ט
	חמשי ב ט ד ז ה ג ו א ח
	‫והמשל במרובע [...] עשרה [...] מרובעים מה' על ה' [...] העליון ותניח תחתיו [...] צלעו בחסרון אחד ותכתוב א' אחרת ‫[...]
	א                                   ב   ו                               ג   ז   יא                           ד   ח   יב   יו                       ה   ט   יג   יז   כא                   א   י   יד א יח   כב   א               ב   ו   טו ב יט ו כג   ב   ו           ג   ז   יא ג כ ז כד יא ג   ז   יא       ד   ח   יב ד יו ח כה יב ד יו ח   יב   יו   ה   ט   יג ה יז ט כא יג ה יז ט כא יג   יז   כא   י   יד   יח י כב יד א יח י כב יד   יח   כב       טו   יט   כג טו ב יט ו כג טו   יט   כג           כ   כד   ג כ ז כד יא   כ   כד               כה   ד   ח כה יב   יו   כה                   ה   ט   יג   יז   כא                       י   יד   יח   כב                           טו   יט   כג                               כ   כד                                   כה
	ג כ ז כד יא יו ח כה יב ד ט כא יג ה יז כב יד א יח י טו ב יט ו כג

רמה

רמו

רמז

רמח

רמט

רן

רנא

רנב

רכה

רל

רלא

רלב

רלג

רלד

רלה

רמ

רט

רי

רטו

ריו

ריז

ריח

רכג

רכד

קצג

קצד

קצה

ר

רא

רו

רז

רח

קעז

קעח

קעט

קף

קפט

קץ

קצא

קצב

קסב

קסג

קסד

קסה

קעב

קעג

קעד

קעה

קמז

קמח

קמט

קן

קנה

קנו

קנז

קנח

קלב

קלג

קלד

קלה

קלח

קלט

קמ

קמא

קיו

קיז

קיח

קיט

קכב

קכג

קכד

קכה

צט

ק

קא

קב

קז

קח

קט

קי

פב

פג

פד

פה

צב

צג

צד

צה

סה

סו

סז

סח

עז

עח

עט

פ

מט

נ

נא

נו

נז

סב

סג

סד

לג

לד

לט

מ

מא

מב

מז

מח

יז

כב

כג

כד

כה

כו

כז

לב

ה

ו

ז

ח

ט

י

יא

יב

	‫ צורה שלישית יו טו יד יג רמה רמו רמז רמח רמט רן רנא רנב ד ג ב א רכה לא ל כט כח רל רלא רלב רלג רלד רלה כא כ יט יח רמ רט רי מו מה מד מג רטו ריו ריז ריח לח לז לו לה רכג רכד קצג קצד קצה סא ס נט נח ר רא נה נד נג נב רו רז רח קעז קעח קעט קף עו עה עד עג עב עא ע סט קפט קץ קצא קצב צו קסב קסג קסד קסה צא צ פט פח פז פו קעב קעג קעד קעה ... קיב קיא קמז קמח קמט קן קו קה קד קג קנה קנו קנז קנח צח צז קכח קכז קכו קלב קלג קלד קלה קכא קך קלח קלט קמ קמא קטו קיד קיג קמד קמג קמב קיו קיז קיח קיט קלז קלו קכב קכג קכד קכה קלא קל קכט קס קנט צט ק קא קב קנד קנג קנב קנא קז קח קט קי קמו קמה קעו פב פג פד פה קעא קע קסט קסח קסז קסו צב צג צד צה ... סה סו סז סח קפח קפז קפו קפה קפד קפג קפב קפא עז עח עט ף מט נ נא רה רד רג רב נו נז קצט קצח קצז קצו סב סג סד לג לד רכב רכא רכ ריט לט מ מא מב ריד ריג ריב ריא מז מח יז רלט רלח רלז רלו כב כג כד כה כו כז רכט רכח רכז רכו לב רנו רנה רנד רנג ה ו ז ח ט י יא יב רמד רמג רמב רמא
	‫‫הסדר השלישי ב[מרובעי זוג הנפרד וזוג הזוג והנפרד] והנה הזוג [...] אין לאל ידי עד עתה לדעת [...] לאחרים אבל אכתוב מרובע ט' על ט' [...] הנפרד בעבור שהוא מסוגל מהשמש אשר לכל צד [...] קי"א כזאת הצורה ואם ירצה האל ית' אעיין ב[...]זוג הזוג והנפרד ומזוג הנפרד אם אפשר להיות אם לא אחר תיקון מה שרציתי לתקין בזה החיבור ומה שאמצא אכתבנו בעזר האל ית' שמו
	חותם השמש א לב לד ג לה ו ל ח כז כח יא ז כ כד טו יו יג כג יט יז כא כב יח יד י כו יב ט כט כה לא ד ב לג ה לו
	שאלה ראובן הלוה‫‫[...]סך י"ב פשטי'
	התשובה שה[...] הוא ב' ליטרין י"ח אותיות שהם ל[...] נחלק ליטרי הכ"ד שהם ל"ב על י"ב ששאל[...] ב' ליטרין ונשארו ח' נכפלם על י"ב שהם אוקי[ות] שהם אוקיות הליטרה יעלו צ"ו נחלקם על י"ב יעלו [...] אוקיות
	משל שני רצינו סך פשי' אחד לסך כ"א אם נרצה נעשה כמו שעשינו ב[..] ראשון או או אם נרצה נעשה הכ"ב ליטרי הכ"ד אוקיות וזה שנכפלם על י"ב יעלו שפ"ד אוקיות ויהיו שבורים לכל סך ועתה בשאלתנו שנרצה לסך כ"א נחלק שפ"ד על כ"א יעלה בחלוק י"ח אונס' ונשארו ו' נכפלם על י"ו ש[הו]א סך אריאינס יעלו צ"ו נחלקם על כ"א יעלו ד' אריאינס ונשארו י"ב שהם [.] שביעיות מקוצרות בשלישית ובמשל השלישי אעשה בדיקה
	משל שלישי רצינו סך מ"א והוא ט' אוקיות וה' אריאינסוש ול"ה חלקים ממ"א באריאינסו כזה
	לח מא
	[..] חילקנו שפ"ד אוקיות על מ"א פשוט יעלו ט' אוקיות ונשארו ט"ו אוקיות נעשה מהם אריאנס' בשנכפלם על י"ו יעלו ר"מ אריאינסוש ‫‫[...] אוקיות ונשמרם בשמן גם נכפול ה[...] יעלו ס"ח אראינסוש ונשמרם בשמן [..] חלקי אריאינסו על מ"א יעלו אלף [...] מ"א יעלו ל"ה אריאינס נחברם עם ר"ה אריאינס יהיו ר"מ אירשינסו נחלקם על י"ו יעלה ט"ו אוקיות נחברם עם שס"ט אוקיות ששמרנו ופ"ד אוקיות והם אוקיות הכד והנה הוא אמת סך פשוט [..] לסך מ"א פשי' הוא ט' אוקיות ה' אריאיוס כ"ה חלקים ממ"א בשלם וזה צורת הלוח

Notes

Bibliography

Aharon ben Yizḥaq
15th century?

Manuscript:

• Torino, Biblioteca Nazionale Universitaria A V 15 (IMHM: f 41584); (15th century)
  

Bibliography:

• Steinschneider, Moritz. 1906. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 50, p. 197. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, p. 120.