האנציקלופדיה של אבו אלצלת

	ספר ניקומאכוש בסגלות המספריות
	העתיקו בסרגוסא דארגו' השר דון בנבשת בן לביא נ"ע מלשון הגרי ללשון הקדש שנת קצ"ה ליצירה
	ובכל מקום הכתוב בגיליון א"ב ר"ל אמר בן בנשתי'
Book One
	חכמת המספר חכמה עיונית נושאה המספר המשולח אליו ומיניו והכונה בה העמידה על משיגיו ועל המתחייב אליו וסגלותיו ובכלל מקריו העצמיים
	ומהות המספר הנה תאמו המספר קבוץ אחדים וגדרו שהוא כמות מתחלק מתקיים מאחדים
	ויש לוקחין האחדותיות תמורת האחדים לפי שהוא יותר מורה על טבע המספר לפי שקבוץ האחדים אינו המספר עצמו המכוון הנה תאמו וגדרו ובכלל הודעת מהותו אבל הנספרים אשר הם נושאי המספר בקבוץ מהאנשים או מהסוסי' או זולת זה
	וקבוץ האחדותיות הוא המספר עצמו המקובץ מהכפלת האחדות אשר בה יאמ' לכל דבר מהנספרים אחד
	והמספר המשולח יתחלק ראשנה לשני מינים זוג ונפרד
	והזוג הוא כל מספר שיתחלק לשני חלקים שוים כשנים וארבע
	והנפרד הוא כל מספר שא"א שיחלק לשני חלקים שוים: כונתינו שנחבר אל מה שהקדמנו מהחכמות הלמודיות האופן הידוע בארתימטיקי ומה שפשט המנהג להביאו בו כפי האופן אשר פשט על ספר היסודות כבר נתן שרשים רבים בחכמת המספר והנחת זה האופן אצל ההגעה באותם השרשים. וכבר אפשר שתתחברנה הרבה מהתמונות התשברתיות אשר להם התלות בהכאה והחלוק ובענייני היחס אל המספר ושתישבו ממנו משפטי המספר זה הספר והנה זה אליך
	אמנם מהות המספר הנה כבר ידעת בספר קאטיגוריאש ממנו דבר מה ונרמז לך בספר היסודות אליו רמז עוד יבא אליך בחכמה העליונה ממנו אמתות וכמו כן הענין בשני חלקיו אשר הם הזוג והנפרד וכבר ידעת מספר היסודות הראשון וכמורכב מוחלטים והמורכב בצרוף וידעת הזוג והנפרד וזוג וזוג הנפרד וזוג הזוג וזוג הזוג והנפרד וידעת המספר החסר והשלם והנוסף ואיננו מחוייב אלינו הפשת זכרון אלה העניינים לך אבל שנשתדל להביא הסגלות אליך
	ונזכור סגלות המספר המשולח
	והנה ראשנה שבהם והיותר מפורסמת שכל מספר הנה הוא חצי שתי פאותיו והם שני המספרים הנלוים אליו מצד המעוט והרבוי במרחק שוה המשל בזה החמשה הנה הוא חצי ששה וארבעה וחצי שבעה ושלשה וחצי שמנה ושנים וחצי תשעה ואחד
	והנה יהיה כפלו שוה לשתי פאותיו וחציו לרביעית שתי פאותיו
	וכל מספר יהיה מרובעו שוה להכאת שתי פאותיו הקרובות אחת מהם באחרת עם תוספת אחד כמו מרובע שנים אשר הוא מהכאת שלשה באחד ותוספת אחד וכמו מרובע שלשה אשר הוא מהכאת ארבעה בשנים ותוספת אחד וכמו מרובע ארבעה אשר הוא מהכאת ג' בחמשה ותוספת אחד
	וגם נאמר שכל מספר הנה מרובעו יוסיף על מושטח שתי פאותיו הרחוקות מרחק שוה תהיינה מה שתהיינה אחת מהם באחרת כמרובע מספר המדרגות אשר ביניהם והנה אם תהיינה השתי פאות הקרובות והנה המדרגה היא הראשונה יוסיף כמרובע שלשה
	וכל מספר הנה מרחקו במדרגות מכפלו אם כשתקח אותו ראשון למדרגות הנה הוא כמו מספרו ותוספת אחד ואם כשתקח ראשית המדרגות המספר הנלוה אחריו הנה הוא כמספר מה שבו מן האחדים המשל בזה שבין ארבעה ושמנה לפעמים ד"הו"זח' והנה זה חמשה ולפעמים ה"וז"ח וזה כמו מספר מה שבו מן האחדים
	וכל מספר מרחקו משלשה כפליו הנה הוא בכמו שיעור אחדיו מוכים בשנים אם בתוספת אחד אם בזולת תוספת אחד כפי מה שידעת אותו כמו השנים אשר מרחקם מו' שהוא ג' דמיוניו הוא כמספר הכאתו בשנים בתוספת ובזולת תוספת
	וכל מספר מרחקו מד' כפליו הוא מהכאתו בג' מהמספר בתוספת ובזולת תוספת ובכלל הנה המרחק בכל מקום הוא שנגרע מקריאת הכפלים אחד ונכה המספר במה שנשאר ואח"כ נוסיף או לא נוסיף
	וכל מספר הנה מרחקו במרובעו בשעור הכאתו במספר אשר לפניו בתוספת אחד או בזולת תוספת כמו הכאת השנים באחד אשר הוא מרחקו ממרובעו כשלא נוסיף והכאת השלשה בשנים אשר הוא מרחק השלשה ממרובעו בשלא נוסיף
	וכמו כן כל מספר הנה מרובעו שוה להכאתו בתוספת אחד במספר אשר לפניו ותוספת אחד כמו מרובע השנים אשר הוא שוה להכאת השלשה באחד ותוספת אחד ומרובע השלשה אשר הוא שוה להכאת הארבעה בשנים ותוספת אחד
	וכל מספר הנה מרחקו מהכאתו במספר אשר לפניו הוא כמו מרבע המספר אשר לפניו כשלא יתוסף המשל בזה שמרחק השלשה מהכאתו בשלשה הוא כמו מספר מרבע השנים ומרחק הארבעה מהכאתו בשלשה הוא כמו מספר מרבע שלשה רצוני בזה כשלא יתוסף
	וכל מספר הנה מרחקו מהכאתו במספר אשר אחריו כמו מספר מרובעו
	וכל מספר הנה מרחקו ממעוקבו הוא כמו הנשאר ממעקבו אחר שיהיה בגרע ממנו כי בין השנים ומעקבו ששה וכמו בין מאלו והלאה עד אין תכלית
	וכל מספר הנה בינו ובין מעקבו מהמדרגות כמו הכאתו באשר ימשך אליו אחר כן הכאת זה כלו באשר לפניו כמו שנים בג' אחר כן באחד ושלשה בארבעה אחר כן בשנים
	וכל מספר הנה בינו ובין העולה מהכאתו הנקרא בערבי מאל מאלה כמו הכאת מרבעו מחובר אל המספר הנמשך לזה המספר במה שעלה מהכאתו עם המספר אשר לפניו כמו שבין מאל מאלה של שנים ושנים הוא י"ד ויתחדש מהכאת מרבע שנים מחובר עם שלשה שהוא ז' בהכאת שנים באחד וכמו כן מה שימשך והנה מה שנתקבץ בזה ונשוב אל בחינת סגלות המספרים הנמשכים
	וכל מספר מרבעו כאשר נכפל ונוסף עליו שנים הנה הוא שוה למקובץ שני מרובעי פאותיו הקרובות המשל בזה פי' הכאת עשרה בעצמו בתוספת שנים והוא מאתים ושנים הנה הוא שוה להכאת תשעה בעצמו והוא שמנים ואחד ולהכאת אחד עשר בעצמו והוא מאה ועשרים ואחד
	וכל מספר הנה מרובעו כאשר יכפל ויתוסף עליו שמנה הוא שוה למקובץ שני מרובעי שתי פאותיו השניות המשל בזה עשרה אשר מרובעו כשיעשה בו זה יהיה מאתים ושמנה והוא שוה להכאת שמנה בעצמו
	וכל מספר אשר יכפל מרובעו ויתוסף עליו שמנה עשר הנה יהיה שוה לשני מרבעי פאותיו השלישיות המשל בזה מאתים ושמנה עשר אשר הוא שוה להכאת שבעה בעצמו ושלשה עשר בעצמו ואמנם בשתי פאות הרביעיות הנה התוספת שנים ושלשי' ובשתי פאות החמישיות חמשים והסדר בזה שהתוספת הראשון הוא הכאת הזוג הראשון והוא שנים בנפרד הראשון והוא האחד והתוספת השני על זה התוספת הוא הכאת הזוג הראשון בנפרד אשר ימשך אל האחד והוא שלשה והתוספת השלישית על אלו התוספות המקובצות הוא הכאת שנים בנפרד השלישי אחר האחד
	וכמו כן כל מספר הנה מרובעו כאשר יכפל ויתוסף עליו ד' שוה לשני שטחי פאותיו היורדות ושתי פאותיו העולות כאשר יקובצו המשל בזה מאתים וארבעה אשר הוא שוה להכאת תשעה בשמנה ואחד עשר בשנים עשר ואמנם המושטחים הנמשכים לשני אלו מהכאת הפאה היורדת השנית ביורדת השלישית והעולה שנית בעולה שלישית הנה יוסיפו על כפל זה בשנים עשר ואשר ימשכו להם בעשרים וארבעה ואשר ימשכו להם בארבעים והסדר בזה שנכה התוספת הראשון בזוג הראשון ויהיה שמנה ותוסיפם אח"כ [ת]כה אותו במספר אשר ימשך אליו והוא שלשה ויהיה שנים עשר ותוסיף אותם אח"כ נכה אותו במספר אשר ימשך אליו והוא ארבעה והנה יהיה ששה עשר ותוסיף אותם
	וכל מספר הנה כפל מרבעו כאשר יתוסף עליו ששה הוא שוה למושטח פאתו היורדת הקרובה בפאתו היורדת השלישית ולמושטח פאתו העולה הקרובה בפאתו העולה השלישית המשל בזה מאתים וששה אשר הוא שוה להכאת תשעה בשבעה ואחד עשר בשלשה עשר וכאשר תכה הקרובה אשר בשני צדדיו ברביעית יהיה התוספת שמנה ולא יסורו התוספות להשתנות בשנים שנים ו}כל מספר הנה כפל מרבעו כאשר יתוסף עליו ששה עשר יהיה שוה למושטח הפיאה השנית היורדת ברביעית היורדת והשנית העולה ברביעית העולה המשל בזה מקובץ מושטחי שמנה בששה ושנים עשר בארבעה עשריו הנה זה מאתים וששה עשר וכאשר תכה השניות בחמישיות יהיה התוספת עשרים ואם תכה אותם בשלשיות יהיה התוספת עשרים וארבעה וכזה ילכו בהדרגה בהעדפת ארבעה ארבעה ואם תהיינה השתי פאות השלישיות הכאה ראשונה בחמישיות יהיה התוספת שלשים שלשים וכאשר תכה אותם בששיות יהיה התוספות שלשים ושבעה וששה ואם תכה אותם בשביעיות יהיה התוספות שנים וארבעים ולא יסורו התוספות מלכת בהדרגה ששה ששה ועל זה הסדר במה שאחר זה מהפאות

Sums	ונתחיל אליך בסגלות המספרים הנמשכים המשכם הטבעי ונאמר שמדרגותיהם הם לא ימלט אם שתהיינה נפרד ואם שתהיינה זוג ואם תהיינה נפרד ימצא להם אמצעי בלי ספק וזה האמצעי יהיה תמיד חצי שתי הפיאות מקובצות ורצוני בשתי פאות שני מספרים או מספר אחד מרחקם בסדר מהאמצעי מרחק שוה אחד מהם מצד החסרון והאחר מצד התוספת כמו התשעה והאחד אשר הם שתי פאות החמשה וחמשה חצי מקובצם והוא ג"כ חצי השמנה והשנים אשר הם ג"כ שתי פאותיו וחצי השבעה והשלשה והששה והארבעה והיותר הרחוקות התשעה והאחד
	וכל מספר הוא אמצעי הנה הוא חצאי חצים ואם תהיינה המדרגות זוג עד שיהיו תמורת האמצעי האחד שני אמצעיים יחד הנה יהיו שני האמצעיים מקובצים כמו השתי פאות מקובצות תהיינה מה שתהיינה המשל בזה הארבעה והחמשה בין האחד והשמנה הנה הם מקובצים שוים לאחד ושמנה ולשנים ושבעה ולשלשה וששה ויתחיב מכלל זה שתהיינה כל שתי פאות למספר מה [….]האחדות אשר בגילם ובו
	מהמסגלות הנתלות בקבוץ [….] המדרגות שאנחנו כאשר נוסיף על הגעת המספר האחרון המתחיל מן האחד אחד ונכה אותו בחצי מספר האחרון המדרגות יהיה העולה שוה לכלל כלם המשל בזה שיהיה ארבעה הוא האחרונה [..]מדרגות והנה אתה כשתוסיף אחד על הארבעה ויהיו חמשה ותכה בחצי מספר המדרגות שהם ארבעה וחציו שנים יהיה העולה עשרה מקובץ מה שבין האחד עד הארבעה ואם תרצה מן האחד עד [חמ]שה תוסיף על החמשה אחד ויהיו ששה בחצי מספר המדרגו' [הו]א שנים וחצי ויהיה העולה חמשה עשר וגם כן הנה מקובץ כל [..]קצוות הדרגה וסדר הן שתהיינה מן האחד או מן זולתו כאשר הוכה [בחצי] המדרגות או הוכה חציו בכל המדרגות הנה יהיה מה שיתקבץ כמו [...] מקובץ אותם המדרגות והנה תהיינה הראשונה שבמדרגות שנים [והאח]רונה ששה ונקבץ אותם ויהיו שמנה ונכה אותם בחצי מספר המדרגו' [...]שנים וחצי והנה הוא עשרים או נכה חצים במספר המדרגות על [...]מות [.]היה ארבעה בחמשה וזה עשרים והוא שוה למקובץ שנים ושלשה [....]עה חמשה ששה
	ומסגלות הנתלות בקבוץ שכל מספרים [....]בים ולא ימשך התוספת ב באחדים אבל על דרך השניות [....]שיות או זולת זה כל עוד שיהיו הולכים על הדרגה ומנהג אחד ותהיה [....]לתם איך שתהיה הנה הכאת מספר המדרגות מחוסר ממנו אחד [במס]פר אשר יפול בו ההעדף כמו השניות או השלישיות או זולת זה ממה [שיע]דיפו בו המדרגות מוסף עליו אשר ממנו ההתחלה הוא שוה למספר [.....] ואם יתוסף פעם אחרת והוכה במספר המדרגות כמות שהוא [....] יהיה כמו כפל כלל המקובץ המשל בזה אלו אמר לך אומר חמשה [מספ]רים נמשכים מתחילים מן הארבעה ובין כל שני מספרים שלשה [...] [...]ה ההעדף בארבעה ארבעה מה הוא האחרון שבהם וכמה מקובצם כשתגרע אחד מן החמשה עד שיגיע לך ארבעה ותכה אותו במספר [הה]עדף והוא ארבעה יהיה ששה עשר וכאשר תוסיף עליו הראשון שבהם [...] עשרים והנה כבר יצא לך המספר האחרון לפי שמדרגות המספרי[ם] [...]נה ארבעה אח"כ שמנה אח"כ שנים עשר אח"כ ששה עשר אח"כ עשרים [...] כאשר תוסיף על עשרים ארבעה ג"כ יהיה ארבעה ועשרים ואם [הנ]ה תכה אותו בחמשה ויהיה מאה ועשרים והנה תקח חציו יהיה מקובץ [המד]רגות ואם תרצה תכה חציו במדרגות או כלו בחצי המדרגות שיעשה הנה הוא תשובת השאלה
	ומהסגלות הנתלות [בקבו]ץ שכל מספרים נמשכים מתחילים מן האחד כאשר [....] מתחילים מן האחד עד האחרון שבהם ואחרי כן דרך חזרה מן האחרון שבהם אל האחד כמו אחד שנים שלשה ארבעה שלשה שנים אחד הנה מקובצם שוה למרובע המספר האחרון כי מקובץ מה שהמשלנו בו ששה עשר והנה יגיע זה לפי שמקובץ כפל המספרים אשר תחת הנמשכים האחרונים עם אשר במדרגה האחרונה שוה למרובע המספר האחרון
	ומהסגלות הנתלות בקבוץ שאתה כאשר תקבץ מספרים נמשכים מן האחד הנה המקובץ הראשון דמיון וחצי המספר האחרון והמקובץ השני כפל המספר האחרון והמקובץ השלישי כפל וחצי המספר האחרון והמקובץ הרביעי שלשה כפלי המספר האחרון והמקובץ החמישי שלשה כפלים וחצי המספר האחרון וכן לבלתי תכלית המשל בזה אחד ושנים הנה הוא דמיון וחצי השנים ואחד ושנים ושלשה הנה הוא כפל השלשה ואחד ושנים ושלשה וארבעה הנה הוא כפל וחצי הארבעה ואחד ושנים ושלשה וארבעה וחמשה וששה הנה הוא שלשה כפלים וחצי ששה וגם כן הנה כל המספרים הנמשכים יקובצו זה הקבוץ הנה המקובץ הראשון יהיה כמו המספר הנמשך אליו והמקובץ השני דמיון וחצי מהמספר הנמשך אליו והמקובץ השלישי כפל המספר הנמשך אליו וכמו כן אל בלתי תכלית והמשל בזה בהאחד והשנים כמו השלשה והאחד והשנים והשלשה כמו דמיון וחצי מן הארבעה וכאשר תוסיף הארבעה יהיה כפל חמשה וכאשר תוסיף חמשה יהיה כפל וחצי ששה וכן אל בלתי תכלית
	ומהסגלות הנתלות בקבוץ שאתה כאשר תקבץ נפרדים נמשכים מתחילים מן האחד ותקבץ אחריהם זוגות נמשכים מן השנים כמספרם הנה המקובץ הראשון מהזוגות יהיה דמיון וחצי המקובץ הראשון מהנפרדים והמקובץ השני דמיון ושלישיתו והמקובץ השלישי דמיון ורביעיתו ויהיה כל מקובץ יוסיף בחלק נקרא על שם מספר מדרגתו ויהיה מספרו מספר מדרגתו המשל בזה השנים והארבעה הנה יוסיף על האחד והשלשה החצי וכאשר תוסיף בזה ששה ובזה חמשה יהיה זה דמיון ושליש זה

Types of Numbers	ונשוב עתה אל הכאת סגלות החלוקה הראשונה מהמספר מצד איכות החלקו אל שוים ובלתי שוים והוא הזוג והנפרד ועוד נביא מה שדובר בו בספר היסודות וכבר יפול ביניהם שגוף נקנה מסוגם במה שימשך מהנפרדים והזוגו' [.....] טבעי המשכות מיני המספר וזה כלו שתהיינה המדרגות עודפות בהעדף אחד אם העדף ההמשכות הטבעי למיני המספר הנה באחד אחד ואם העדף הנפרדים והזוגות הנמשכים בטבע הנה בשנים שנים לפי שכל נפרד כאשר יתוסף עליו אחד יהיה זוג אחר כן כשיתוסף עליו אחד אחד יהיה נפרד אח"כ כשיתוסף עליו אחד יהיה זוג ויהיה בין הנפרד והנפרד אשר ילוה אליו שנים ובין הזוג והזוג אשר ילוה אליו שנים ויחויב שיהיה כל אמצעי במדרגות הנפרדים אשר על ההמשך הטבעי ומדרגות הזוגות אשר על זה ההמשך כמו חצי מקובץ איזה שתי פאות שתהיינה לפי שהן פאות זה האמצעי בעצמו בסדור האמצעי הטבעי למספר וכל שני אמצעיים מקובצים כמו כל שתי פאות מקובצות לפי שבאלה השני אמצעיים תהיינה שתי פאות למספר הנופל בסדר הנפרדים המספרים הטבעיים ביניהם והנה יחויב שיהיה שוה מקובצם למקובץ אלה שתי הפאות האחרות כפי מה שקדם באורו ואין זה הענין נמשך נוהג בין הנפרדים הנמשכים והזוגות הנמשכי' לבד אבל בין כל המספרים העודפים על השווי ולזה תמצא זאת הסגלה ג"כ בסדר מדרגות מני הנפרד והנה זה ההשתתפות ראוי שנאמר אותו קודם הסגלות ונתבודד עתה בזכרון הסגלות
Odd Number	ונתחיל בסגלות הנפרד ונאמר אמנם הסגלות הידועות והנזכרות מאשר הוא לא יתרכב מזוגות כלל ולא מנפרדים במספר זוג ושלא ימצא בו מסוגו מספר ישאיר מה שאחריו מסוגו ושלא ימצא בו מסוג מקבילו מספר ישאיר מה שאחריו מסוג מקבילו ומה שירוץ מרוצת אלו הסגלות הנה נסתפק במה שנאמר בספר היסודות ונדבר מסגלותיו סגלות נתלות בסדור היותם נתלים נמשכים על דרך ההמשך ומסגלותיו שמקובציו על דרך ההמשך מן האחד יהיה מרובע לעולם כמו האחד והשלשה ואח"כ האחד והשלשה והחמשה ואח"כ האחד והשלשה והחמשה והשבעה ומסגלותיו שכל מרבע מאלו הנה צלעו מספר המדרגות כמו הארבעה והוא מקובץ שתי המדרגות והנה גדרו שנים והתשעה והוא מקובץ שלשה מדרגות והנה גדרו שלשה
	ומסגלותיו שאתה כשתרצה לדעת הגעת מספר יפול במדרגה ידועה מן האחד כמו העשירית והאחת עשרה דרך משל וזולת זה הנה תכה מספר המדרגה ותהיה העשירית ומספרה שני עשרה בשנים ויהיו עשרים והנה תגרע מהם אחד ויהיו תשעה עשר והנה הוא מספר המדרגה העשירית ואמנם ענין האמצעי והשני אמצעיים עם השתי פאות הנה הוא ממה שידעת אותו
	ומסגלותיו שכל אחד מן האחדים ישוב בששי ממנו אליו המשל בזה שהאחד ישוב בששי והוא האחד עשר ועוד בששי אחר הששי והוא האחד ועשרים והשלשה ישוב לששי והוא השלשה עשר וכן על הדרך הזה
	ומסגלותיו שכל נפרד ראשון כאשר תוציא קוו על מספרו יכלה אל מורכב ימשכו אליו ראשונים הם חסרי' כמו השלשה כי הנה השלישי ממנו והוא תשעה מורכב והחמשה כי הנה החמישי ממנו והוא חמשה עשר מורכב וסגלה אחרת שהראשון שבמספרים הבלתי מורכבים והוא שלשה יביא כשתוציא ב"י קוו הראשון אל נגדר אחר כן לא יביא והשני והוא החמשה יביא אם רצה בזה שלא יביא אל בהקוות השני אל נגדר אצל עשרים וחמשה אח"כ לא יבוא ועל הדרך נגדר בהקוות השני או שלא הזה וסגלה אחרת שהרביעי אחר הנגדר הראשון והוא אחד א"ב יביא אל נגדר באי זה הקוות נגדר והוא תשעה והשמיני אחר הנגדר הראשון והשנים עשר למעלה שיהיה הוא נכון ואולם אם ועל הדרך הזה אחר הנגדר השני והששה עשר אחר הנגדר השלישי וכן קרא רצה בזה שלא יביא אל נגדר בתוספת ארבעה ארבעה וכל בית ומדרגה שתפול בו נגדר נגדר לעולם אין זה צודק כי השלשה הנה תהיה הכאת זה הנגדר שוה לכפל מספר הבידמהמדרגה מוסף ראשון אחר י"ג הקוויות יביא אל עליו אחד כי המספר המרובע הראשון הוא תשעה והוא במדרגה הרביעי' האחד נגדר אצל פ"א וגם זה יצדק מן המספרים הנפרדים וכפל הארבעה שמנה והנה תוסיף עליו אחד ובכאן בחמשה ושאר המספרים והבית השנים עשר מהשלשה יפול בו חמשה ועשרים והוא שוה לכפל שנים קרא כאשר תוציא קום עשר כשתוסיף עליו אחד וכאשר נניח מהנפרדים נגדר הנמשכים בטבע לוח מרובע יראו בו סגלות מצד התמונה וכן ראשון התשעה והוא הנכון כי האחד כאשר נניח לוח משלש ונתחיל במרובע ונשים אותו חמשה על חמשה אינו מספר ודבר למעלה דרך ונאמר שכל שתי וערב ממנו יהיה קטר התמונה או לא יהיה העברה והסדר הוא שהראשון [....] מקובץ שני קטריו הם שוים אם אשר על הקטר הנה שבנגדרים הנפרדים תשעה מקובץ כל אחד מהשני קטרים אשר בזאת התמונה קכ"ה והשני כ"ה והשלישי מ"ט ועל ואם אשר אינם על הקטר הנה כמו השתי וערב אשר בשתי הדרך הזה שורות שאחת מהן ג' ט"ו כ"ז והשנית ז' ט"ו כ"ג כי כל אחד משני אלו הקטרים ארבעים וחמשה ונמצא מקובץ שתי קצוות שורה כל שתי וערב שוה למקובץ שתי קצוות השורה האחרת ונמצא מקובץ [....] כל מרובע בנוי מאלה המספרים על המשכם שוה למרבע מרבע מספר בתי הצלע כי אתה כשתבנה מרבע צלעו שני בתים ויהיו מספריו כזה יהיה מקובץ זה ששה עשר והוא מרבע מרבע שנים וכאשר תהיינה צלעותיו משלשה בתים כזה עד שיהיו מספריו א' ג' ה' ז' ט' י"א י"ג ט"ו י"ז הנה יגיע מקובץ זה לשמנים ואחד והוא מרבע מרבע השלשה ונמצא הקטר בכל אלו שוה למעקב זה המספר המשל בזה בלוח הגדול אשר בתיו חמשה הנה קטרו קכ"ה ובשני קטרו שמנה ובשלישי קטרו כ"ז ועל הדרך הזה והנה כאשר תבנה מהם תמונה משלשת על זאת הצורה תמצא כל המספרים היורדים מן האחד אל נפילת העמוד מרבעים על הסדר ותמצא מקובץ מה שבטור אחד ברחב מעקב כמו מקובץ ג' וה' ומקובץ ז' ט' וי"א
Even Number	ואמנם מספר הזוג כבר ידעת בספר היסודות ממנו מה שידעת ונרמוז לך אל סגלות יתחיבו למדרגותיו מהן ואתה תמצא מקובץ מדרגותיו שוה למרבע מספר מצורף אליו צלעו המדרגות כמו שאתה כאשר תתחיל מהשנים ותצרף אליהם הארבעה יהיו ששה והוא כמו מרבע מספר המדרגות שהם שנים וכמו צלעו וכמו שאתה כאשר תתחיל מהשנים ותצרף אליהם הארבעה והששה יהיו שנים עשר והוא כמו מרבע השלשה וכמו צלעו
	ומסגלותיו שכל זוג יוסיף על הראשון מהנפרדים באחד הנה זה הזוג שוה למקובץ חלקי מרבע זה הראשון כמו המרבעה אשר הוא מוסיף על השלשה שהוא ראשון באחד ומרבע השלשה תשעה ולהם מהחלקים שני חלקים תשיעית ושלישית ומקובצם שוה אל הארבעה וג"כ הששה יוסיף באחד על החמשה שהוא נפרד ראשון ומרבע זה הראשון עשרים וחמשה ולו מן החלקים חומש וחומש החומש לא זולתם והגעתם ששה ואמנם אם יהיה הזוג באופן שכאשר נגרע ממנו שלשה ישאר נפרד ראשון הנה זה הזוג מורכב מחלקי כפל זה הנפרד כמו השמנה שהם כאשר נגרע מהם שלשה נשארו חמשה וכפלם עשרה ולהם חצי וחומש ועשירית ומקובץ זה שמנה רצוני מקובץ החמשה והשנים והאחד
	ונדבר עתה בסגלות מיני הזוג ומיני הנפרד
	ונתחיל בסגלות הזוג הזוג לפי שחלוקתם אל מינים יותר קרובה מחלוקת הנפרדים
	ונתחיל בסגלות זוג הזוג לפי שהוא יותר פשוט וכבר ידעת איכות התילדותו על דרך ההכפלה וסגלות אחרות מהסגלות אשר לו בספר בל"ד מט' היסודות והנה מסגלות זוג הזוג מה שהם סעיפים מסגלות נזכרו ביסודות שהוא אין חלק לו נקרא בשם מספר נפרד ולא * לפי זה יחויב זוג בלתי זוג הזוג ואין זוג הזוג שהוא פחות ממנו שלא ימנה אותו נמנים במד[.] וכל זוג זוג הנה מרבעו זוג הזוג וכאשר חוסר ממנו הזוג הראשון והוא שנים יצא זוג הנפרד כמו השמנה שנחסר מהם שנים ויצא זוג הנפרד והוא ששה וכל זוג הזוג הנה הוא חסר וחסרונו באחד
	ומסגלות זוג הזוג שמדרגותיו נמשכות על יחס מתדמה תשברתיי ירצה לפי שיש ג' מיני יחסי' לפי שהם נמשכות על דרך ההכפל והנה לא תהיינה העדפותיהם יחס מדותיי והוא שהשעורי' שוות אבל יהיה כל העדף שוה למועדף עליו ותהיינה ההעדפות מתיחסי' והמותרי' בלתי שוי' עודפות בזה שביניהם זה ההעדף בעצמו ויתחיב מהיות מדרגותיו ויחס מספרי והוא שהשעורי' על היחס האחד שתהיינה מתיחסות כשנחתוך אותם ומתיחסות כשנוסיף בלתי מתיחסי' והמותרי' שוים עליהם על השווי * ויתחיב שיהיה הכאת אי זה אמצעי שנקח בעצמו יחס מוסיף והוא שהשעורי' כהכאת אחת מהשתי פאות באחרת לפי שיחס הפאה הקטנה אל האמצעי בלתי מתיחסי' והמותרי' בלתי כיחס האמצעי אל הפאה הגדולה ויתחיב שתהיה הכאת אחד מהשני שוי' אבל יחס השעור הא' אמצעיים באחר כהכאת אחת מהשתי פאות באחרת לפי שיחס הפאה אל הג' כיחס מותר מה שבין הקטנה אל האמצעי הקטן כיחס האמצעי הגדול אל הפאה הגדולה השעור הא' אל הב' למותר והנה תהיינה המדרגות ב' ד' ח' י"ו ל"ב ס"ד ונמצא ד' בעצמו כמו ב' בח' מה שבין השעור [...] אל השעו' וח' בעצמו כמו ב' בל"ב וד' בי"ו ונמצא ד' בח' כמו ב' בי"ו וח' בי"ו כמו ד' בל"ב השלישי כמו מספרי' גדו' וב' בס"ד ולפי שהיו מספרי זוג הזוג מסודרים על יחס מתדבק א"ב ר"ל יחויב שיהיה למרבעים ולמעקבים מהם סדר באשר המרבע יהיה השלישי אליו מרבע והמעקב הרביעי אליו מעקב וילך על הדרך הזה
	ומסגלותיו שהמספרים השלמים יתילדו ממנו אמנם מל"ה מט' המספרים הנאהבים הנה הם המספרים אשר יתרכבו כל אחד מחלקי חברו כמו שיתרכב חברו מחלקיו כמו מאתים ועשרים ממאתים ושמנים וארבעה כי למאתים ושמנים וארבעה חצי והוא קמ"ב ב ד א להם רביעית והוא ע"א ולהם חלק מאחד ושבעים והוא ד' ולהם חלק א ז ממאה וארבעים ושנים והוא ב' ולהם חלק ממאתים ושמנים וארבעה והוא א' ד [.....] נקבץ אלה החלקים יהיו ר"כ ואמנם חלקי ר"כ הנה להם החצי והוא ק"י ורביעית והוא נ"ה וחמישית והוא מ"ד ועשירית והוא כ"ב וחלק מאחד עשר והוא עשרים וחלק מעשרים והוא י"א וחלק מכ"ב והוא עשרה וחלק ממ"ד והוא ה' וחלק מנ"ה והוא ד' וחלק מק"י והוא ב' וחלק מר"כ והוא א' וכאשר תקבץ אלה החלקים יהיו רפ"ד ואין לאחד מהם מן החלקים זולת מה שזכרנו
	ואופן התילדותם הוא כאשר תקבץ זוג הזוג והאחד עמהם ויקובץ מספר ראשון בתנאי שיהיה כאשר יתוסף עליו האחרון שבהם או יחוסק ממנו אשר לפניו יהיה המגיע אחר התוספת והמגיע אחר החסרון מספר ראשון הנה הכאת המגיע הנוסף עליו במגיע המחוסר אחר כן הכאת העולה באחרון שבמקובצים הוא מספר אשר לו אוהב ואוהבו הוא המספר אשר יהיה מתוספת הכאת מקובץ הנוסף והמחוסר הנזכרים באחרון שבמקובצים על המספר הנמצא ראשונה אשר הוא אוהב והם נאהבים
	ואמנם סגלות זוג הנפרד הנה כבר נודע בספר היסודות ממנו מה שנודע ונתבאר מכללם שהוא לא ימנהו זוג אלא במספר נפרד ולא נפרד אלא במספר זוג וחלקו הזוג נקרא בשם הנפרד כמו השנים שהם שלישית הששה יחלקו הנפרד נקרא בשם הזוג כמו השלשה שהוא חצי הששה ושתוספת הזוג הראשון והוא השנים עליו יוציא זוג הזוג * ודע שהתילדותו מכפל הנפרדים הנמשכים בשנים * שיחלק והנה תדע מזה שהנופל בין מדרגה ובין המדרגה הנמשכת אליה כפל מפעם הנופל אשר היה בנפרדים הטבעיים ויהיה העדף מדרגותיו בארבעה [...] לא ארבעה ושהוא אין נגדר בו ולא מעקב כי כל נגדר
	וכל מעקב אם הזוג נפרד ימנה בנפרד במספר נפרד ואם זוג ימנה בזוג במספר זוג וכבר [..] על ידעת זה לפי שהיה ההעדף בארבעה ארבעה וההתחלה אם מהשנים [ת]מיד [..] ואם מהששה כפי מה שיתבאר הענין בו והשנים כאשר נוסיף עליהם ארבעה יהיו ששה וכאשר נוסיף על הששה ארבעה יהיו עשרה וכאשר נוסיף עליהם ארבעה יהיו ארבעה עשר וכאשר נוסיף עליהם ארבעה יהיו שמנה עשר וכאשר נוסיף עליהם ארבעה יהיו שנים ועשרים והנה שבנו אל השנים חוזרים בסבוב יחויב שיהיה סבוב אחר האחרים זולת אלו ויחויב שיהיה כל זומה אל הראשון באחדים או גלגל הנקרא ציפרי וכאשר תשים התחלת המדרגות מהששה והששה להם שליש והם הנקראים על שם שם שלשה הנה כאשר תתחיל אחר הששה תמצא לשלישי אחריו והוא שמנה עשר שליש אמתי ולשלישי כאשר תתחיל אחר השמנה עשר והוא השלשים שליש אמתי ועל הדרך הזה אל בלתי תכלית ואחר הששה העשרה והחלק שלהם נקרא בשם הנפרד אשר אחר השלשה והוא החמשה כי לעשרה חומש אמתי והנה כאשר תתחיל אחר העשרה תמצא הנגזר לו השם מזה המספר והוא החמישי לו חומש אמתי ועל הדרך הזה עד מה שתרצה והמספר אשר אחר העשרה הוא הארבעה עשר וחלקו נקרא בשם הנפרד הנמשך אל החמשה כי הנה לו שביעית והנה נמצא השביעי כאשר תתחיל אחריו על הדרך הזה ומסגלת אלו המדרגו' שמקובץ השנים והוא הראשון שבזוג הנפרד עם כל מדרגה תהיה נקראת על שם מספר מרובע יוציא מספר מרבע כמו קבוצם עם הרביע מהם והוא ארבעה עשר ועם התשיעי מהם והוא ארבעה ושלשים והנמשך אל שנים והוא הששה והוא זוג הנפרד השני כאשר יקובץ אל מספר כל מדרגה מתחלת מן האחד שתהיה נקראת על שם מספר מרבע הנה יהיה המקובץ מרבע כמו הששה עם הרביעי והוא עשרה ועם התשיעי והוא שלשים ומזה שהכאת הנקרא בשם כל מדרגה בארבעה יהיה כאשר תגרע ממנו המספר הראשון יהיה מספר אותה המדרגה המשל בזה שהבית הרביעי נקרא בשם ארבעה וכאשר נכפל בארבעה יהיה ששה עשר תפיל מהם המספר הראשון והוא שנים הנה יהיה ארבעה עשר וכבר אפשר לך שתהפך זה ותאמר שכל מספר מהם כאשר תוסיף עליו שנים ותחלק על ארבעה הנה מה שיצא הוא מספר מדרגתו מן הראשון ומזה שכפל הכאת מספר המדרגות בעצמם שוה למקובץ מספרם והנה תהיינה המדרגות ארבעה וכפל הכאתם בעצמם שנים ושלשים והנה זה מקובץ שנים ששה עשרה ארבעה עשר ומזה * שמקובץ הראשון והשני מעקב ח' ואתה תדענו ותדע מדרגתו ממה * לא בלתי זאת הסגולה אולי שכבר ידעת ועוד מעקב מעקבו ועל הדרך הזה רצה שקבוץ כל מספרי זוג' והנה נבנה מזוג הנפרד הנמשכים מרבע ששה בששה נפרד על הסדר שוה לכפלי
	ומסגלות זה הלוח המרבע שאחדי ראשית התחלת המרובעי' הטבעיים על הסדר כל שורה ברוחב כמו אחדי הסוף ואם יהיה באחד מהם כי קבוץ מספרי' ב[........] גלגל הנקרא ספרא הנה באחר גלגל גם כן ומהם לכפל מרבע בין קבוץ ג' ו' י' שוה לכפל מרובע [..] קבוץ ב' ו' י' י"ד שוה כפל מרובע ד' כן תמיד על זה הסדר א"ב ד"ל שמקובץ שני קצוות הקטר האחר שוה למקובץ שני קצות הקטר האחר כמו ב' עם קמ"ב שהם שני קצות הקטר וכ"ב עם קכ"ב והם קצות הקטר האחר ומהם שמקובץ קצות הקטר נגדר לעולם ומהם שכל שני מספרים מרחקם משני קצות הקטר מרחק אחד הנה מקובצם שוה למקובץ שתי קצות הקטר והוא לזה נגדר גם כן ומזה שתוספת כל שורה על התחלת זאת השורה אחר כי תוספת כ"ב על מ"ו כתוספת מ"ו על כ"ב
	ואמנם עניני זוג הזוג והנפרד הנה נדבר בהם ונאמר שהוא דומה לזוג הנפרד באשר הוא איננו מקבל ההחצות ההולך בהדרגה בהתמדה עד האחד מזולת שבר וידמה לזוג הזוג באשר הוא לא יחצה החצותו הראשון אל שני נפרדים ולא יעמד החצותו אצל חלוקה אחרת
	ואמנם התילדותו הנה הוא מהכאת זוג הזוג המתחילים מן הארבע בנפרדים הנמשכים וכל מה שהיה זה הזוג יותר רב יהיה קבלתו להחצות יותר וכבר יהיו בו הנוסף והחסר והשלם כי השמנה וששים מספר חסר והוא מכללו
	ואמנם השלם הנה כמו השמנה ועשרים והנוסף בו הרבה כמו השנים עשר וכבר יפלו בו המרבעים ג"כ והתילדות אלו המרבעים אשר יפלו במספריהם הוא שנכה הזוג הראשון בנפרד הראשון עד שיהיה ששה והנה הוא גדר המרבע הראשון אח"כ נכה אותו בנפרד השני עד שיהיה עשרה והנה הוא גדר המרבע השני ועל הדרך הזה וכאשר תגרע הבית מאשר ימשך אליו יצא לך זוג הזוג כמו השנים עשר מהעשרים וזה במה שהתילדותו מהכאת הארבעה בנפרדים וכמו הארבעה ועשרים מן הארבעים וזה במה שהתילדותו מהכאת השמנה בנפרדים והנה זה מה שנאמר אותו בסגלות מיני זוג הזוג ונעתק אל מיני סגלות הנפרד וכבר נשאר עלינו הדבור בראשון ובמספרים והוא השנים האם הוא זוג הזוג או זוג הנפרד וכבר יחשב מצד שהוא לא יכלה בו ההחצות אל זוג שהוא זוג הנפרד והעבירו קצתם שיהיה זוג הזוג וזוג הנפרד יחד ושיהיה התחלה לשניהם והנראה אלי שזוג באמת הוא המספר המתחלק אל הנפרד אצל ההחצות וזוג הנפרד באמת הוא המתחלק אל הנפרד אצל ההחצות והנה הזוג הזוג הוא אשר חציו זוג וכל חצי יחצה אותו זוג זולת האחד ולא ימלט מהחצות זוג וזוג הנפרד הוא אשר חציו נפרד ולא יחצה והנפרד יהיה מספר או יהיה אחד אחד מצד שלא יחלק בשני חלקים והזוג לא יהיה ולא מספר אחר זה הנה ראוי שלא נקפיד בקריאת השמות ואם ירצה אחד שנשים השנים ראויים לשני השמות יחד הנה ראוי שנשים גדר זוג הזוג שהוא אשר לא יחצה אל מספר נפרד וכן הם השנים אמנם החלוקה לא תהיה על דרך היושר ואם רצה שנוציא השנים משני השמות יחד הנה ראוי שנשים גדר זוג הזוג שהוא שהוא הנחצה אל מספר זוג וגדר זוג הנפרד שהוא אשר יחצה אל מספר נפרד ולא יהיו השנים ראויים אל אחד משני השמות עם יושר החלוקה ונדבר עתה בעניני מיני הנפרד והנפרד ממנו ראשון וממנו מורכב והמורכב כבר יהיה ראשון בהקש אל זולתו וכבר ידעת כל זה וכאשר תרצה שתוציא מדרגות המורכבים בעצמם הנה תשוב אל לוחות המספרים הנפרדים הנמשכים והנה תמצא כל שלשה אחר השלשה מורכב וכל חמשה אחר החמשה מורכב וכן אל בלתי תכלית דמיון הראשון הט' והט"ו והכ"א דמיון השני הט"ו והכ"ה והל' וכמו כן כאשר תתחיל מן השבעה התשעה על הדרך הזה ותמצא שם דבר והוא שהשלשה מהם ימנה המורכב הראשון אשר במדרגותיהם במספר ראשון הנפרדים והוא בעצמו כמו התשעה והשני בנפרד אשר ימשך אליו כמו החמשה ר"ל ג' ימנה ט' בג' וימנה ט"ו בה' והשלישי בנפרד השלישי כמו השבעה והחמשה ג"כ ימנה אשר ימשך ימנה כ"א בז' אליו בראשון בנפרדים והוא השלשה כמו החמשה עשר והשני בעצמו כמו [...] ימנה ט"ו בג' וכ"ה בה' החמשה ועשרים והשלישי כמה שאחריו כמו החמשה ושלשים כי הוא ול"ה בז' ימנה אותם בשבעה
	ואמנם המורכב בעצמו וראשון אצל זולתו א"ב הנה הוא כל מרבע ראשון בהקש אל מרבע ראשון אחד מאלו הנפרדים ר"ל כל מרבע מספר ראשון הנמשכים והנה זה מה שנאמר אותו בעניני הזוג והנפרד בהקש אל מרבע מספר ראשון והמספר חלוקה אחרת ממנו נוסף וממנו חסר וממנו שלם וכבר ידעת כל זה וידעת איכות התילד המספר השלם מזוגי הזוגות מסוף ט' לאקלידס ודע שהמספר השלם לא יהיה אלא זוג לפי שהוא אמנם נתילד מהכאת נפרד בזוג ונזדמן שהנופל ממנו באחדים אחד והוא ששה ובעשרות אחד והוא שמנה ועשרים ובמאות אחד והוא תצ"ו ובאלפים אחד והוא שמנה אלפים וקכ"ח וכמו כן בכל מין אחד לא ימלט מאחדים הם ששה ושמנה ואם לא יתחיב אצל הנסיון בהם שיהיו חוזרים חלילה ומסגלות המספר השלם שכאשר הוכה בשמנה ונוסף עליו אחד יהיה נגדר וכאשר יחלק גדרו על ארבעה ויתוסף על מה שיתקבץ רביע יהיה זוג הזוג אשר הוכה בכפלו זולת אחד עד שיצא זה המספר השלם המשל בזה ששה בשמנה נוסף עליו אחד הוא מ"ט וגדרו שבעה ורביעיתו אחד ושלשה רביעיו' וכאשר יתוסף עליו רביע יהיה שנים והוא זוג הזוג אשר נפלה ההכאה בכפלו א"ב זולת אחד כאשר יצא ששה אמנם המספר הנוסף והחסר הנה יהיו כמו ר"ל כי פאת ששה היתה כאשר שכבר נתבאר בכל שער והנה בהוצאת השלם והחסר והנוסף בחינה נפלה לקחנו שנים זוג הזוג והאחד ונתקבץ לקצת האנשים והיא שכל זוג הזוג כאשר הוכה במספר ראשון איך שיהיה אחר שלושה מספר ראשון והכינו אותו שיהיה זוג הזוג יותר מחצי זה הראשון בחצי אחד הנה המתקבץ ממנו לעולם בשנים ויצא ששה מסוף ט' לאקליד' מספר שלם כמו השנים בשלשה והארבעה בשבעה ואם יהיה יותר מחציו ביותר מחצי אחד הנה המתקבץ ממנו לעולם מספר נוסף ואם יהיה פחות מחציו איך שיהיה הפחת הנה המספר חסר משל הראשון הנה ארבעה בחמשה ומשל השני הארבעה באחד עשר
	וכל מספר מהמספרים השלמים הוכה במספר ראשון ולא ימנה זה המספר הראשון זה המספר השלם כמו הששה כאשר הוכה בשבעה ונתחדש א"כ ולו מן החלקים החצי והוא כ"א ושליש והוא י"ד והששית והוא ז' והשביעית והוא ו' וחלק מי"ד והוא ג' וחלק מכ"א והוא ב' וחלק ממ"ב והוא א' וכלל זה נ"ד הנה מוסיף על מ"ב בי"ב והוא כפל ששה
	וכל מספר ימנהו שנים הנה הוא חסר לעולם
	וכל המספרים הראשוני' חסרי' בלי ספק
	וכל זוגי הזוג חסרים באחד
	וכל מספר זולת הששה ימנוהו השנים והשלשה הנה הוא נוסף לעולם
	וכל מספר ימנה אותו השנים ושני מספרים יהיה קריאת מקובצם עומדת מקום השליש רצוני שיהיה אחריתם כמו השליש רצוני שיהיה החבור משני יחסי חלקיהם בנכח המוסיף שליש כמו מקובץ שני יחסי המוסיף חומש והמוסיף שביעית אשר הוא לנכח המוסיף שלישית הנה הוא נוסף לעולם כמו השבעים כי הוא לפי שהוא נמנה עם השנים והחמשה והשבעה יהיה נוסף לעולם
	וכל זוג נפרד נמנה עם השנים והחמשה והשבעה יהיה נוסף
	וכל זוג נפרד מורכב מנפרד מורכב כמו השמנה עשר והשלשים הנה הוא נוסף תמיד ואם יהיה מורכב מנפרד ראשון הנה הוא חסר וכבר ימצאו בזוג הזוג והנפרד חסר ונוסף ושלם דמיון הנוסף ששה ושלשים ודמיון החסר ארבעים וארבעה ודמיון השלם שמנה ועשרים המספר הנפרד לא יהיה שלם כמו שידעת אבל יהיה חסר ולא יהיה נוסף אלא שיהיה מורכב מארבעה נפרדים נמשכים על הסדר הטבעי כמו מה שראשיתו שלשה אח"כ חמשה אח"כ שבעה אח"כ תשעה ומורכבם הוא תשע מאות וארבעים וחמשה והוא המספר הראשון שבנפרדים נוסף בשלישית ואם יניח זה ההמשך לא יתחיב שיהיה נוסף ונחתום הנה הדבור בזה האופן מחכמת המספר ונעתק אל האופן אשר יבחן ממנו בצרוף מספר אל מספר

Book Two	המאמר הב'
	כבר יעויין במספר עיון מצד ההשגחה בעצמו ובעניינים המתחייבי' לו במה שהוא מספר ומה שהוא מין מספר
	וכבר יעויין בו מצדדים אחדים מהם מצד היותו מצטרף אל מספר אחד וזה המספר האחד אם יהיה אחד ממנו במספר לא במין או חלק המין יהיה הצרוף צרוף השנוי
	וכל שני משתנים הנה אחד מהם מוסיף והאחר חסר
	וכאשר תדע עניני המוסיף אצל החסר תדע עניני החסר אצל המוסיף כפי מה שיחיבהו היושר בהצטרפות
	והמוסיף אם פשוט ואם בלתי פשוט
	והפשוט אם כפל ואם כפלים ואם מוסיף בחלק או חלקים
	והמורכב הוא המוסיף בכפל והחלק או המוסיף בכפל והחלקים או המוסיף בכפלים והחלק או המוסיף בכפלים והחלקים
	והחלקים כונתנו בהם מה שהוא יותר מכפל אחד או חלק אחד ואם היה שני כפלים או שני חלקים
	והחסר הנה כבר פשט המנהג שיורו עליו באשר הוא אשר תחת ככה כאמרם אשר תחת המוסיף חלק ולפעמים יהיה נגזר לו שם משם מספר הכפלים כמו השליש והרביע והחלק משנים עשר ולפעמים יקרא בשני יחסים כאמרם חצי הששית חומש עשירית
Doubles	והנה הנכפל הראשון הוא הנכפל השניי והוא אשר התוספת בו בדמיון האחד והתחלתו במספרים מן האחד והשנים
	ויתוסף החסר על סדר המספרים הנמשכים והמוסיף והוא הכפל על סדר הזוגות הנמשכים בהעדף שנים שנים
Triples	אח"כ הנכפל השלישיי והוא אשר התוספת בו בשני דמיונים והתחלתו מהשלשה והאחד
	ויתוסף החסר על סדר המספרים הנמשכים והנוסף בשלשה שלשה כמו שלשה וששה ותשעה ושנים עשר
	ועל הדרך הזה יתוסף החסר בכל היחסים בעלי הכפל באחד אחד והנוסף במספר הכפלים
	ותהיה התחלת החסר מן האחד והתחלת הנוסף מהמספר אשר על שמו יקרא מספר הכפלים
Sesquialter	והראשון אשר במוסיף חלק הוא המוסיף על האחד בכמו חציו והתחלתו מהשלשה והשנים
	ויתוסף החסר על סדר הזוגות הנמשכים לפי שיש להם חצי והמוסיף בשלשה שלשה כמו השנים עם השלשה אח"כ הארבעה עם הששה אח"כ הששה עם התשעה
Sesquitertian	ואחר המוסיף חצי הוא המוסיף שליש והתחלתו מן הארבעה והשלשה
	ויתוסף החסר בשלשה שלשה כמו השלשה והששה והתשעה והמוסיף בארבעה ארבעה
	ועל הדרך הזה ילך הענין תמיד על זה הסדר
	והנה כאשר נרשום לוח בעל טורים מרובע יתחיל מן האחד ויתוספו ראשי שורותיו בארך וברחב על סדר המספרים הטבעיים ועל הדרך הזה תניח כי אלה היחסים ומשפטים אחרים יוצאים מהם
	והנה יהיה זה הלוח הבעל טורים עשרה על עשרה
Doubles	והנה נמצא השורה השנית על יחס הכפל לשורה הראשונה
Triples	והשלישית על יחס השלשה כפלים
	ועל הדרך הזה נמצא ההעדף כפי מה שנאמר לך
Sesquialter	ונמצא השורה השלישית אל השנית על יחס המוסיף חצי
Sesquitertian	והרביעית אל השלישית על יחס המוסיף שליש
Sesquiquartan	והחמישית אל הרביעית על יחס המוסי' רביע
	ועל הדרך הזה הולך הענין תמיד ונמצא ההעדף כפי מה שנאמר לך
	ונמצא תוספת השורה השנית על השורה הראשונה יתחלף במספר ואם לא יתחלף ביחס
	ונמצא תוספת הבית הראשון ממנו על הבית הראשון מהשורה הראשונה באחד
	ותוספת הבית השני ממנו על הבית השני מהראשון בשנים
	ועל הדרך הזה על סדר א"ב המספרים הנמשכים
	ועל הדרך הזה ענין כל בית אצל הקודם אליו ר"ל שהבית הראשון מהשורה
	ונמצא זה כאשר יוקש בין השלישי והראשון בכל סדור על סדר הזוגות כי השלישי[.....] הראשון מהשנית הנה נמצא הראשון מכל שלישי יוסיף על ראשון מכל ראשון בשנים והשני מוסיף [........] על השני [.....] בארבעה והשלישי בששה ועל הדרך הזה
	ואמנם תוספת הבית הראשו' על סדר ה[מ]ספרי' הנמשכים מו[....]ביעי על הבית הראשון מכל ראשון הנה הוא בשלשה שלשה
	ותוספת ר"ל בשורה ה[....] מן הרביעי על השני מן הראשון בששה ששה
	ועל הדרך הזה תוספת הראשונה תמצא שכל שלישי לאי זה ראשון שיהיה יוסיף בשנים [...] ג' לא' וד' לב' וה' לג'
	ובשורה השנית יוסיף בארבעה
	ובשלישי' בששה
	תוספת כל בית יוסיף על תוספת הבית בשני צדדין בשלשה שלשה
	[.....] תוספת רביעי על השני וביניהם שורה אחת בתוספת השני על הראשון ביחס
	ותוספת הששי על השלישי וביניהם שתי שורות כתוספת השלישי על השני ביחס
	א"ב דע בזה שורה אחת כי יש טעות בלשון ובסברא אפשר לכוין הלשון על צדדים רבים ולכן לא תקננו כי לא יודע אל איזה כיון המחבר
	ועל הדרך הזה והנה תמצא כל מספר ממספרי הקטר מרבע כמו הד' והט' והי"ו ונמצא מקבץ כל שני מרבעים נמשכים ומקבץ השני שטחים אשר יפלו ביניהם על האלכסוניות מרבע כמו מקבץ הד' והט' עם הו' וו' שעולה כ"ה ונמצא מקבץ כל שני מרבעים נמשכים על מקבץ השני שטחים מוסיף באחד והנה יחויב שיהיה כפל מקובץ כל שני מרבעים נמשכים מחוסר ממנו אחד מרבע *. ונמצא הכאת כל מספר משורה במספר משורה לפי שמקובץ כפל השטחים אחרת שוה להכאת בן גילו בבן גילו כמו הב' והוא השני מן הראשונה מרבע בתוספת אחד בכ' והוא האחרון מן השנית אשר הוא כמו הד' אשר הוא השני מן השנית בי' אשר הוא האחרון מן הראשונה ונמצא הכאת כל מספר ממספרי הקטר בבן גילו מהצד האחד מזה הקטר כמו בני גילם אחד מהם באחר רצוני מן הקטר האחר כמו הכאת הא' בק' אשר הוא כמו הכאת הי' בי' וג"כ הכאת ד' בפ"א אשר הוא כמו הכאת י"ח בי"ח ועל הדרך הזה

	ואם אפשר זה זה ואם לא הנה השאלה בטלה
	ומה שיצא יחוסר הקטן מהגדול ממנו ומה שנשאר הנה הוא האמצעי
	ומסגלותיו שהכאת הגדול באמצעי כפל הכאת הגדול בקטן
	ומזה שהאמצעי מהם בהתיחסות הכפליי נגדר לעולם וגדרו הקטן
	והקצה הגדול קטן ממקבץ הנשארים באחד
	הששי שיהיה הגדול אצל האמצעי כמו מותר השני קטנים
	ודמיון זה והוצאת האמצעי כשנחסר הקטן מן הגדול כמה שיצטרך שיתוסף על הגדול והתוספת עד שיהיה הכאת זה בכל המקובץ מן השרש והשני תוספת כמו המושטח אשר שמר והנה מקובץ השני תוספות הוא האמצעי
	ואם נשבר הנה השאלה בטלה
	וג"כ הנה אתה כאשר תגרע ותכפול גדרו ותגרע ממנו המוכה ראשונה בעצמו ומה שנשאר תוסיף אותו על הקטן
	וכבר יחויב לו מן הסגלות שההתיחסות כשהיה על יחס הדמיון והחלק יהיה האמצעי נגדר
	וכאשר יצטרף אליו גדרו יהיה מקבצו הקצה הגדול והקצה הקטן קטן ממנו
	אמנם הארבעה אשר ידעת באחרונה הנה הראשון שבהם הוא השביעית שיהיה יחס המותר בין השתי קצוות אל המותר בין שני הקטנים כיחס הגדול אצל הקטן
	המשל בזה הששה והשמנה והתשעה
	והוצאת האמצעי שלו בהכאת הקטן במותר אשר בינו ובין הגדול וחלוקת המתקבץ על הגדול ותוספת היוצא על הקטן ומה שהגיע הנה הוא האמצעי
	והשמיני שיהיה יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר שתי הקצוות אל מותר השני גדולים
	המשל בזה ששה שבעה תשעה והוא הפך השביעית
	והוצאת האמצעי שלו הפך הוצאת זה האמצעי וזה בהכאת הקטן במותר אשר בין שתי הקצוות וחלוקת היוצא על הגדול ומה שיצא נגרע אותו מהגדול ומה שישאר הנה הוא האמצעי
	התשיעי שיהיה יחס מותר הקצוות אל מותר השני קטנים יחס האמצעי אל הקטן
	כמו הוצאת האמצעי שלו כשנגרע הקטן מהגדול ונחלק השני חלוקה תהיה אחד החלקים אל האחר כיחס האחר אל הקטן אם אפשר ונפיל החלק הראשון מהגדול ומה שישאר הנה הוא האמצעי
	ובידך שתקבץ הכאת המותר בקטן אל מרבע חצי הקטן ותקח גדרו ותוסיפהו על חצי הקטן וזה ההתיחסות כאשר יהיה על יחס הדמיון והחלק יהיה הקצה הקטן מרבע תמיד
	והתיחסות והאמצעי העשירי שיהיה יחס מותר השתי קצוות אל מותר השני גדולים
	כמו יחס האמצעי שלו שתקח מותר מה שבין הקצוות מוכה בקטן מחוסר ממרבע חצי הגדול ותקח גדר זה תוסיפהו על חצי הגדול אלו צריכים בשתי קצוות עם התשברתיי תמיד ולא עם השביעי והשמיני ולא עם החבוריית אל שיהיה הגדול הפך הקטן כמו הרביעי אלא שיהיה הגדול גם כן הפך הקטן והתשבריית לא השמיני ימצאו עם החבוריים ולא עם הרביעי ולא עם השביעי ולא עם השמיני ולא עם התשיעי
	וכאשר הונחו לנו השמנים והעשרים שני גבולים
	יהיו החמשים ביניהם אמצעי מספריי
	וארבעים אמצעי תשברתיי
	ושנים ושלשים אמצעי חבוריי
	ושמנה וששים אמצעי רביעי
	וחמשה ושלשים אמצעי שביעי
	וחמשה וששים אמצעי שמיני
	וכבר הוצאו החמישי והששי והתשיעי והעשירי והנה נניח ראשון גבולי ההתיחסות החמישי והם
	וכאשר חוסר מהקטן אחד ונוסף על הגדול היו והוא ההתיחסות הששי
	וכאשר נוסף על כל גבול שנים עד שיהיו יצא ההתיחסות התשיעי
	וכאשר מן האמצעי אחר זה מה שאמרנוהו בחכמת הארתמיטיקי
	וכבר הנחנו ענינים היה המנהג לחברם בזה המקום יוצאים מסדר המלאכה
	וכבר אצל המעשה כמו החבור וההקבלה והקבוץ והחלוק ההוריי ומה שירוץ מרוצתם
	והראוי בכמו אלו שיזכרו בענפים והנה נסתפק הנה על ההגעה הנזכרת ונקח בחכמת המוסיקי בע"ה
הנעשה במספר על זה ההצטרפות וההקש כשהוקש אחד משני מספרים אל האחר הנה לא ימלט מאשר יהיו שוים או מתחלפים ואם היו שוים היה היחס ביניהם יחס השווי והיושר וידמה שזה היחס הוא התחלה טבעית לשאר היחסים ושהוא אשר אליו יותך כל יחס ואיך יהיה זה בסדור הניחו בכלם נזכרהו עוד אחר זה ואם היו מתחלפים לא ימלט אם שיהיה יחס היותר רב שבהם אל היותר מעט יחס הדמיונים כעשרים והשלשים אצל העשרה או יחס הדמיון המוסיף חלק כעשרה אצל השמנה או יחס הדמיון המוסיף חלקים כעשרה אצל הששה או יחס הדמיונים המוסיף חלק כעשרה אצל השלשה או יחס הדמיוני המוסיף חלקים כחמשה עשר אצל הארבעה ואלו הם חלוקות היחסים היחסים המספרים כאשר הוקש בהם היותר רב אל היותר מעט וכאשר ידעת זה ידעת ענין המעט אצל הרב ויקרא היותר מעט המקביל ויקרא היותר מעט כיחס הדמיון המוסיף חצי דרך משל המקביל לדמיון המוסיף חצי וכיחס הדמיון המוסיף שליש המקביל לדמיון המוסיף שליש וכן בשאר וכבר יולץ ג"כ מן היותר מעט כאשר תחת פלוני ויאמר לו אשר תחת הדמיון המוסיף ככה או הדמיונים המוסיפים ככה והסדור בהמצאת אלו היחסים כלם כפי מה שנזכרהו אם הדמיונים הנה הענין בהם מבואר והראשון שבהם השניי אחר ימשך אליו השלישיי אחריו הרביעיי אחריו החמישיי וכן תמיד וזה היחס מתחיל מהשנים והולך על המשך המספר עד אין תכלית אולם היחס אשר זולתו זה הנה אתה תמצאהו בשתקח המספר אשר בשמו יקרא החלק המוסיף או החלקים ואם תרצה הדמיון המוסיף חלק תוסיף זה החלק על זה המספר אשר יקרא בשמו ויתקבץ לך מה שתרצה דמיון זה כשתרצה הדמיון ושמינית הנה תקח המספר אשר בשמו יקרא זה החלק והוא שמנה ותוסיף עליו שמיניתו וזה אחד ויתקבץ מהם תשעה ויהיה יחס תשעה אל שמנה יחס הדמיון המוסיף שמינית וכן ג"כ אם תרצה יחס הדמיון המוסיף חלקים כמו המוסיף שתי חמישיות הנה תקח חמשה כי בשמו נקראים ותוסיף שני חמישיותיו והוא שנים ויתקבץ שבעה ויחס שבעה לחמשה יחס הדמיון המוסיף שתי חמישיות ואולם הדמיונים המוסיפים חלק או חלקים הנה תמצאהו כשתכפול המספר אשר בשמו יקראו החלק או החלקים כמספר הדמיונים המונחים ותוסיף על מה שיתקבץ החלק המבוקש מזה המספר או החלקים ויהיה הכלל כמבוקשך דמיון זה אם תרצה השלשה דמיונים המוסיף חומש הנה תקח חמשה ותכפלהו במספר הדמיונים שהם שלשה ויעלה חמשה עשר ותוסיף על זה חומש החמשה שהוא אחד ויעלה ששה עשר והוא היותר רב ויחסו אל החמשה שהוא היותר מעט יחס השלשה דמיונים המוסיף חומש וכן תעשה ביחס הדמיונים המוסיף חלקים שתוסיף כאן שנים על החמשה עשר ויהיו שבעה עשר ויחסם אל חמשה השלשה דמיונים המוסיף שתי חמישיות וכאשר ישובו החלקים אל חלק אחד כמו שישובו השתי ששיות אל השליש והארבעה שמיניות אל החצי ומה שדומה לזה הנה משפטם בסדור משפט מה שישובו אליו וג"כ אם יהיו המוסיף על הדמיון או הדמיונים חלק חלק כמו שתות השתות וחומש החומש או כשליש העשור וחומש השביע ומה שהוא יותר דק מזה או אם היה חומש ושתות או שליש ורביע ומה שדומה לזה הנה אלה כלם ישובו אל החלק האחד או החלקים וזה כי חלק החלק הוא ג"כ חלק כמו שתות השתות שהוא חלק מששה ושלשים וחומש החומש שהוא חלק מחמשה ועשרים וכן שליש העשור שהוא חלק משלשים וחומש השביע שהוא חלק מחמשה ושלשים וכן השליש מהם והרביע שבעה חלקים משנים עשר והחומש והשתות אחד עשר חלקים משלשים ואולם הסדור אשר דברנו זכרנו בהשבת אלו היחסים אל יחס השווי הוא שנניח זה היחס בשלשה גבולים יהיה יחס הגדול מהם אל האמצעי הוא בעינו יחס האמצעי אל הקטן ונחסר לעולם מן הגדול כפל האמצעי מחוסר ממנו הקטן ונחסר מהאמצעי כמו הקטן ונניח הקטן כמו שהוא ואם יהיו שוים הגבולים השלשה הנה המבוקש ואם לא תשוב ותעשה כמו מה שעשינו ראשונה עד שיהיו שוים ודמיון זה ביחס הארבעה דמיוני שיהיה הגדול ס"ד והאמצעי י"ו והקטן ד' הנה כשכפלנו האמצעי ונחסר ממנו הקטן נשארו כ"ח וכאשר נחסר זה מן הגדול נשארו ל"ו וכשנחסר הקטן מן האמצעי נשארו י"ב ונשאיר הקטן בענינו ויהיו אלו המספרים השלשה אשר הם ל"ו י"ב ד' על יחס השלשה דמיונים וכשנשוב ונחסר ג"כ מן הל"ו כפל הי"ב מחוסר ממנו הד' וזה עשרים נשארו י"ו אחר כן נחסר מן הי"ב הד' נשארו ח' ונשאיר הד' כמו שהם ויהיו המספרים השלשה אחר זה י"ו ח' ד' על יחס הכפל וכשנשוב שלישית ונחסר כפל הח' מחוסר ממנו הד' וזה י"ב מן הי"ו אח"כ נחסר הד' מן הח' יהיו שוים הגבולים הנשארים ויהיה כל אחד מהם ארבעה ואתה רואה איך שב המרבע אל המשלש אשר הוא יותר פשוט ממנו אח"כ המשלש אל השניי אשר הוא יותר פשוט ממנו ואחר הותך אל יחס השווי עוד נמשיל ביחס הדמיון וחלק ויהיה החצי ונשים השלשה מספרים אשר הם על זה היחס י"ח י"ב ח' כפלנו הי"ב וחסרנו ממנו ח' נשארו י"ו וחסרנו זה מי"ח ונשארו ב' וכשנחסר ח' מן י"ב נשארו ד' ונניח ח' כמו שהוא ויהיה השלשה גבולים ב'ד'ח' על יחס הכפל ונשוב ונחסר מהח' שהוא הגדול כפל האמצעי שהוא ד' מחוסר ממנו הקטן שהוא ב' וזה ו' נשארו מהגדול ב' וכשנחסר מהאמצעי ב' נשאר גם כן ב' ונשאיר הקטן ב' כמו שהוא וזה יחס השווי ואתה רואה ג"כ איך שב יחס הדמיון והחלק אל יחס השווי ואיך יותך ראשונה אל יחס הכפל השניי ואחר יותך זה יחס אל יחס השווי ומיני המתיחסים אם שיהיו על צד הדבקות והם אשר יהיה האמצעי משותף בין שתי הקצוות ילקח בהתיחסות פעם נמשך ופעם קודם וגבוליו תמיד שלשה לא פחות ולא יתר כאמרנו יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ד' ואם שיהיה על צד ההבדל ולא יהיה בזה אמצעי אחר משותף אבל אמצעיים כאמרנו יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ח' והגבולים בזה היחס תמיד יותר משלשה ומיני המתיחסים רבים זכר מהם ניקומכוש בספרו עשרה מינים לבד ויחתרו כת מן הקדמונים בדרישת מה שנוסף עליהם ומצאו עשרה אחרים והיו בהם מיני היחס עשרים מינים והמועילים בהם בחכמות על הרוב שלשה לבד והם המתיחסים המספריי' והתשברתיים והחבוריים ונתעסק בזכרון אלו ראשונה אח"כ ימשך להם זכרון הנשארים מן העשרה מינים הראשונים והעשרה הנוספים אשר טרחו בהם הקדמונים אין לנו עסק בזכרונם הנה למעוט מציאותם ואולם המתיחסים המספריים הם המתיחסים הנופלים בין גבולים אם שלשה או יותר מזה נמשכים על שווי מה שביניהם מהתוספת והיתרון בשנים והשלשה והארבעה המוסיפים אחד אחד ובחמשה והשבעה והתשעה המוסיפים שנים שנים ואין היחס בין אלו המספרים אחד בכמות רצוני היתרון כי יחס הארבעה אל השלשה יחס הדמיון המוסיף שליש ויחס השלשה אל השנים יחס הדמיון המוסיף חצי ויחס התשעה אל השבעה חסר דמיון המוסיף שתי שביעיות ויחס השבעה אל החמשה יחס הדמיון המוסיף שתי חמישיות וכן יהיה ג"כ בנבדלים כמו השנים והחמשה והארבעה והשבעה והשמנה והאחד עשר כי היחס אשר בין אלו המספרים הששה יחס מספריי על צד ההבדל והגבולים בו מוסיפים בכמות אחת והוא השלשה ואולם ההתיחסות אינו אחד לפי שיחס האחד עשר אל השמנה יחס הדמיון המוסיף רביעית ושמינית ויחס השבעה אל הארבעה יחס הדמיון המוסיף חצי ורביעית ויחס החמשה אל השנים יחס הכפל המוסיף חצי ומסגלות אלו המתיחסים וזה האמצעיות שמקובץ הקצוות במתדבקים מהם כפל האמצעי ובנבדלים שוה למקובץ האמצעיים ומסגלותם גם כן שהיחס שבין שני הגבולים הקטנים במדובקים מהם והנבדלים יותר גדול תמיד מהיחס אשר בין שני גבולים הגדולים ומהם שהכאת אחת הקצוות באחרת יותר מעט תמיד ממרובע האמצעי במדובקים כמו מרבע התוספת ומאלו הסגלות וממה שקדם להם מהידיעה בסגלות המספרים יודע האמצעי באלו המתיחסים מצד שתי הקצוות וזה במתדבקים כאשר ילקח חצי מקבצם ומה שהיה הוא האמצעי לפי שכל מספר שוה לחצי מקובץ שתי פאותיו כמו שידעת ואמנם בנבדלים הנה לו יוגבלו שני האמצעיים מהידיעה בשתי הקצוות לבד אבל כבר אפשר שימצאו ביניהם אמצעיים רבים ואם יהיו האמצעיי' נעלמים יחד והיה מקובצם ידוע או מותר מה שביניהם ידוע ויחס אחד מהם אל האחר ידוע הנה אפשר מציאות כל אחד מהם על מנינו ואם לא יהיה דבר מאלו הדברים ידוע יהיה דרך הוצאתם ומציאות כל אחד מהם ממה שאין דרך לזכרו הנה ואולם המתיחסי' התשברתיים הם אשר יהיה היחס אשר בין גבוליהם אחד והמותרות מתחלפות בחלוף המספריים כמו האחד והשנים והארבעה במתדבקי' והאחד והשנים והשלשה והששה בנבדלים וזה שיחס ד"ב כיחס ב"א והמותר בין ד"ב יותר ממותר שבין ב"א וכן בז"ג וב"א שיחסם אחד ומותרם מתחלפים ומסגלות אלו המתיחסים וזה האמצעיות שהכאת אחת הקצוות תמיד באחרת שוה למרבע האמצעי במתדבקי' ולהכאת אחד האמצעיים באחר בנבדלים ולזה היה מציאות האמצעי והוצאתו אם במתדבקים הוא כאשר ילקח שרש הכאת אחת הקצוות באחרת ומה שהיה הוא האמצעי ואם בנבדלים הנה יצטרך עם הידיעה בכל אחת המקצוות שיהיה אחד משני האמצעיים ידוע כדי שנדע מזה הצד האמצעי האחר וזה בחלוק הכאת אחת הקצוות באחרת עליו ואם היו מוסכלים יחד יהיה מקובצים ידוע או מותר מה שביניהם ידוע או יחס אחד מהם אל האחר ידוע הנה אפשר מציאות כל אחד משניהם על מנינו ואם לא יהיה אחד מאלו הדברים [....] יהיה דרך הוצאותם ומציאות כל אחד מהם ממה שאין דרכים [....] הנה ואולם ההתיחסות החבוריי הוא אשר יהיה בו יחס גדול שבגבוליו אל הקטן כיחס מותר מה שבין הגדול והאמצעי אל מותר מה שבין האמצעי והקטן כמו השלשה והארבעה והששה כי יחס הששה הששה אל השלשה כיחס מותר מה שבין הששה והארבעה והוא שנים אל מותר מה שבין הארבעה והשלשה והוא אחד והצורך אל זה המין ממיני המתיחסים נוגע בחכמת חבור הלחנים הנקרא המוסיקי לפי שיחס המרחקים המסכימים בו אמנם ימצאו בזה המין לבד כפי מה שתאמר עליו אחרי זה ולכן נקרא חבוריי והוצאת הגבול האמצעי מגבולי ההתיחסות הזה הוא כשנכה לעולם מותר מה שבין הקצוות בקטן שבגבולים ונחלק מה שהתקבץ על מקובץ שתי הקצוות ונוסיף מה שיצא על גבול הקטן ומה שהתקבץ הנה הוא הגבול האמצעי דמיון זה אם נדע השלשה והששה הנה המותר שלשה נכה שלשה בשלשה יהיה תשעה ומקובץ הקצוות ג"כ תשעה וכשנחלק תשעה על תשעה יעלה אחד לבד נוסיף האחד על השלשה שהוא גבול הקטן ויהיה ארבעה והוא האמצעי הנה אלו השלשה ממיני המתיחסים הם הנעשי' בחכמות והמקובל תועלת בהם ואולם המין הרביעי הוא אשר יהיה בו יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר מה שבין שני הגבולים הקטנים אל מותר מה שבין שני הגבולים הגדולים כמו השלשה והחמשה והששה וזה המין מקביל למין החבוריי ויסגלהו שמוכה הגדול באמצעי כפל מוכה האמצעי בקטן כמו שיהיה בכאן מוכה ששה בחמשה והוא שלשים כפל מוכה שלשה בחמשה והוא חמשה עשר ואולם המין החמישי הוא אשר יהיה בו יחס האמצעי אל הקטן כיחס מותר מה שבין שניהם אל מותר מה שבין האמצעי והגדול כמו השנים והארבעה והחמשה ויסגלהו שמוכה הגדול באמצעי כפל הכאתו בקטן כמו שהכאת החמשה בארבעה והוא עשרים כפל הכאת חמשה בשנים אשר הוא עשרה ואולם המין הששי הנה הוא אשר יהיה בו יחס הגדול אל האמצעי כיחס מותר מה שבין האמצעי והקטן אל מותר מה שבין האמצעי והגדול כמו האחד והארבעה והששה ואולם המין השביעי הנה הוא אשר יהיה בו יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר מה שבין שניהם אל מותר מה שבין האמצעי והקטן כמו הששה והשמנה והתשעה ואולם המין השמיני הנה הוא אשר יהיה יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר מה שבין הקצוות אל מותר מה שבין הגדול והאמצעי כמו הששה והשבעה והתשעה ואולם המין התשיעי הנה הוא אשר יהיה בו יחס האמצעי אל הקטן כיחס מותר מה שבין הקצוות אל מותר מה שבין האמצעי והקטן כמו הארבעה והששה והשבעה ואולם המין העשירי הנה הוא אשר יהיה בו יחס האמצעי אל הקטן כיחס מותר מה שבין שני הקצוות אל מותר מה שבין האמצעי והגדול כמו השלשה והחמשה והשמנה הנה אלו הם המינים העשרה ממיני המתיחסים שיספיק לנו זכרונם כי אין לאחד מהם מבא בחכמה זולתי מה שזכרנום לפנים ואולם הביאונום על צד שלמות החלוקה והמשכתה וספירת מה שיגיעו אליו צדי ההתיחסות נשלם זה והתהלה לאל ית' שמו האופן הרביעי מן החלק השני בחכמת המוסיקי אמר אמיה בן עבד היקר אבו אלצלת הנה נסתם מה שקדם מאופני הלמודים באומר בחכמת המוסיקי וזה ספר כבר ספרנוהו לו כמו שעשינו בשאר אופנים וחלקנוהו חלקים שמנוהו הראשון מהם בהתחלות זה האופן ומה שירוץ מרוצת ההתחלות ויכנס בה מן ההכנות וההצעות והמשכנוהו במאמר בספירת הנעימות והמרחקים והסוגים והקבוצים מרובם והמזגתם ואיכות סדר הסוגים בקבוצים עוד בהמצאתם מוחשים בכלים המלאכותיים ובחלקי הכלים ובמיניהם עוד באומר בהעתקות וחלקי הנפילות ומיניהם והלכנו במה שהבאנוהו מזה צד הדרך אשר הלכנו בזה הספר מהבאת מה שאין די זולתו וחסר מה שאין צריך לו ובאל נעזר המאמר הראשון מזה האופן שני פרקי פרק ראשון בהתחלות זה האופן ומה שירוץ מרוצת ההתחלות ויכנס בה מן ההכנות למלאכת המוסיקא מלאכה נושאה הנעימות וכונתה העיון בם מצד מה שיתקרבו ויתרחקו ובאיכות חבורם כדי שיהיה מהם לחן ותתחלק אל עיונית ומעשית והעיונית היא אשר מדרכה שתחקר מהנעימות ומה המסכים מהם ובלתי מסכים ותעיין בחבור המסכים מהם עד יתכן שיהיה המחובר מהם לחן ותחקר מאי זה מהם יהיה יותר טוב ויותר שלם ומן הדברים אשר יהיו בם יותר טובות ויותר שלמות ותתן עלות זה כלו וסבותיו יתנו סבת ההוא הוא ולכן יתילדו מהם המרבעים והמעקבים וימצאו במדרגות הנפרדים מרבע ולא ימצאו במדרגות הזוגות כלל נשלם המאמר השלישי מן הארתמיטיקי ושבח לאל יתעלה שמו וכבר פשט המנהג לזכור בזה המקום היחסים ומיניהם וסגולותיהם ומן האנשים מי שיחדש להתיחסות פנים רבים ויגיעו בהם אל ב' פנים ומהם שנסתפקו על עשרה והוא המעתק מהקדמון ומכונתי שאסתפק בזכר אלו הי' ועם ההסתפקות בהם ונשלם הספר הזה ספר הארתימיטיקא לאמיה בן עבדו אבו אלצלת היקר תדרוש בסגולות המספרים קצר והוסיף על ספר ניקומאכוש הגרישיני הפיתגוריי לידי הצעיר באלפי הדל אליאו גבה בבר אליעזר יצ"ו בשנת