האנציקלופדיה של אבו אלצלת

	ספר ניקומאכוש בסגלות המספריות
	העתיקו בסרגוסא דארגו' השר דון בנבשת בן לביא נ"ע מלשון הגרי ללשון הקדש שנת קצ"ה ליצירה
	ובכל מקום הכתוב בגיליון א"ב ר"ל אמר בן בנשתי'
	חכמת המספר חכמה עיונית נושאה המספר המשולח אליו ומיניו והכונה בה העמידה על משיגיו ועל המתחייב אליו וסגלותיו ובכלל מקריו העצמיים
	ומהות המספר הנה תאמו המספר קבוץ אחדים וגדרו שהוא כמות מתחלק מתקיים מאחדים
	ויש לוקחין האחדותיות תמורת האחדים לפי שהוא יותר מורה על טבע המספר לפי שקבוץ האחדים אינו המספר עצמו המכוון הנה תאמו וגדרו ובכלל הודעת מהותו אבל הנספרים אשר הם נושאי המספר בקבוץ מהאנשים או מהסוסי' או זולת זה
	וקבוץ האחדותיות הוא המספר עצמו המקובץ מהכפלת האחדות אשר בה יאמ' לכל דבר מהנספרים אחד
	והמספר המשולח יתחלק ראשנה לשני מינים זוג ונפרד
	והזוג הוא כל מספר שיתחלק לשני חלקים שוים כשנים וארבע
	והנפרד הוא כל מספר שא"א שיחלק לשני חלקים שוים: כונתינו שנחבר אל מה שהקדמנו מהחכמות הלמודיות האופן הידוע בארתימטיקי ומה שפשט המנהג להביאו בו כפי האופן אשר פשט על ספר היסודות כבר נתן שרשים רבים בחכמת המספר והנחת זה האופן אצל ההגעה באותם השרשים. וכבר אפשר שתתחברנה הרבה מהתמונות התשברתיות אשר להם התלות בהכאה והחלוק ובענייני היחס אל המספר ושתישבו ממנו משפטי המספר זה הספר והנה זה אליך
	אמנם מהות המספר הנה כבר ידעת בספר קאטיגוריאש ממנו דבר מה ונרמז לך בספר היסודות אליו רמז עוד יבא אליך בחכמה העליונה ממנו אמתות וכמו כן הענין בשני חלקיו אשר הם הזוג והנפרד וכבר ידעת מספר היסודות הראשון וכמורכב מוחלטים והמורכב בצרוף וידעת הזוג והנפרד וזוג וזוג הנפרד וזוג הזוג וזוג הזוג והנפרד וידעת המספר החסר והשלם והנוסף ואיננו מחוייב אלינו הפשת זכרון אלה העניינים לך אבל שנשתדל להביא הסגלות אליך
	ונזכור סגלות המספר המשולח
	והנה ראשנה שבהם והיותר מפורסמת שכל מספר הנה הוא חצי שתי פאותיו והם שני המספרים הנלוים אליו מצד המעוט והרבוי במרחק שוה המשל בזה החמשה הנה הוא חצי ששה וארבעה וחצי שבעה ושלשה וחצי שמנה ושנים וחצי תשעה ואחד
	והנה יהיה כפלו שוה לשתי פאותיו וחציו לרביעית שתי פאותיו
	וכל מספר יהיה מרובעו שוה להכאת שתי פאותיו הקרובות אחת מהם באחרת עם תוספת אחד כמו מרובע שנים אשר הוא מהכאת שלשה באחד ותוספת אחד וכמו מרובע שלשה אשר הוא מהכאת ארבעה בשנים ותוספת אחד וכמו מרובע ארבעה אשר הוא מהכאת ג' בחמשה ותוספת אחד
	וגם נאמר שכל מספר הנה מרובעו יוסיף על מושטח שתי פאותיו הרחוקות מרחק שוה תהיינה מה שתהיינה אחת מהם באחרת כמרובע מספר המדרגות אשר ביניהם והנה אם תהיינה השתי פאות הקרובות והנה המדרגה היא הראשונה יוסיף כמרובע שלשה
	וכל מספר הנה מרחקו במדרגות מכפלו אם כשתקח אותו ראשון למדרגות הנה הוא כמו מספרו ותוספת אחד ואם כשתקח ראשית המדרגות המספר הנלוה אחריו הנה הוא כמספר מה שבו מן האחדים המשל בזה שבין ארבעה ושמנה לפעמים ד"הו"זח' והנה זה חמשה ולפעמים ה"וז"ח וזה כמו מספר מה שבו מן האחדים
	וכל מספר מרחקו משלשה כפליו הנה הוא בכמו שיעור אחדיו מוכים בשנים אם בתוספת אחד אם בזולת תוספת אחד כפי מה שידעת אותו כמו השנים אשר מרחקם מו' שהוא ג' דמיוניו הוא כמספר הכאתו בשנים בתוספת ובזולת תוספת
	וכל מספר מרחקו מד' כפליו הוא מהכאתו בג' מהמספר בתוספת ובזולת תוספת ובכלל הנה המרחק בכל מקום הוא שנגרע מקריאת הכפלים אחד ונכה המספר במה שנשאר ואח"כ נוסיף או לא נוסיף
	וכל מספר הנה מרחקו במרובעו בשעור הכאתו במספר אשר לפניו בתוספת אחד או בזולת תוספת כמו הכאת השנים באחד אשר הוא מרחקו ממרובעו כשלא נוסיף והכאת השלשה בשנים אשר הוא מרחק השלשה ממרובעו בשלא נוסיף
	וכמו כן כל מספר הנה מרובעו שוה להכאתו בתוספת אחד במספר אשר לפניו ותוספת אחד כמו מרובע השנים אשר הוא שוה להכאת השלשה באחד ותוספת אחד ומרובע השלשה אשר הוא שוה להכאת הארבעה בשנים ותוספת אחד
	וכל מספר הנה מרחקו מהכאתו במספר אשר לפניו הוא כמו מרבע המספר אשר לפניו כשלא יתוסף המשל בזה שמרחק השלשה מהכאתו בשלשה הוא כמו מספר מרבע השנים ומרחק הארבעה מהכאתו בשלשה הוא כמו מספר מרבע שלשה רצוני בזה כשלא יתוסף
	וכל מספר הנה מרחקו מהכאתו במספר אשר אחריו כמו מספר מרובעו
	וכל מספר הנה מרחקו ממעוקבו הוא כמו הנשאר ממעקבו אחר שיהיה בגרע ממנו כי בין השנים ומעקבו ששה וכמו בין מאלו והלאה עד אין תכלית
	וכל מספר הנה בינו ובין מעקבו מהמדרגות כמו הכאתו באשר ימשך אליו אחר כן הכאת זה כלו באשר לפניו כמו שנים בג' אחר כן באחד ושלשה בארבעה אחר כן בשנים
	וכל מספר הנה בינו ובין העולה מהכאתו הנקרא בערבי מאל מאלה כמו הכאת מרבעו מחובר אל המספר הנמשך לזה המספר במה שעלה מהכאתו עם המספר אשר לפניו כמו שבין מאל מאלה של שנים ושנים הוא י"ד ויתחדש מהכאת מרבע שנים מחובר עם שלשה שהוא ז' בהכאת שנים באחד וכמו כן מה שימשך והנה מה שנתקבץ בזה ונשוב אל בחינת סגלות המספרים הנמשכים
	וכל מספר מרבעו כאשר נכפל ונוסף עליו שנים הנה הוא שוה למקובץ שני מרובעי פאותיו הקרובות המשל בזה פי' הכאת עשרה בעצמו בתוספת שנים והוא מאתים ושנים הנה הוא שוה להכאת תשעה בעצמו והוא שמנים ואחד ולהכאת אחד עשר בעצמו והוא מאה ועשרים ואחד
	וכל מספר הנה מרובעו כאשר יכפל ויתוסף עליו שמנה הוא שוה למקובץ שני מרובעי שתי פאותיו השניות המשל בזה עשרה אשר מרובעו כשיעשה בו זה יהיה מאתים ושמנה והוא שוה להכאת שמנה בעצמו
	וכל מספר אשר יכפל מרובעו ויתוסף עליו שמנה עשר הנה יהיה שוה לשני מרבעי פאותיו השלישיות המשל בזה מאתים ושמנה עשר אשר הוא שוה להכאת שבעה בעצמו ושלשה עשר בעצמו ואמנם בשתי פאות הרביעיות הנה התוספת שנים ושלשי' ובשתי פאות החמישיות חמשים והסדר בזה שהתוספת הראשון הוא הכאת הזוג הראשון והוא שנים בנפרד הראשון והוא האחד והתוספת השני על זה התוספת הוא הכאת הזוג הראשון בנפרד אשר ימשך אל האחד והוא שלשה והתוספת השלישית על אלו התוספות המקובצות הוא הכאת שנים בנפרד השלישי אחר האחד
	וכמו כן כל מספר הנה מרובעו כאשר יכפל ויתוסף עליו ד' שוה לשני שטחי פאותיו היורדות ושתי פאותיו העולות כאשר יקובצו המשל בזה מאתים וארבעה אשר הוא שוה להכאת תשעה בשמנה ואחד עשר בשנים עשר ואמנם המושטחים הנמשכים לשני אלו מהכאת הפאה היורדת השנית ביורדת השלישית והעולה שנית בעולה שלישית הנה יוסיפו על כפל זה בשנים עשר ואשר ימשכו להם בעשרים וארבעה ואשר ימשכו להם בארבעים והסדר בזה שנכה התוספת הראשון בזוג הראשון ויהיה שמנה ותוסיפם אח"כ [ת]כה אותו במספר אשר ימשך אליו והוא שלשה ויהיה שנים עשר ותוסיף אותם אח"כ נכה אותו במספר אשר ימשך אליו והוא ארבעה והנה יהיה ששה עשר ותוסיף אותם
	וכל מספר הנה כפל מרבעו כאשר יתוסף עליו ששה הוא שוה למושטח פאתו היורדת הקרובה בפאתו היורדת השלישית ולמושטח פאתו העולה הקרובה בפאתו העולה השלישית המשל בזה מאתים וששה אשר הוא שוה להכאת תשעה בשבעה ואחד עשר בשלשה עשר וכאשר תכה הקרובה אשר בשני צדדיו ברביעית יהיה התוספת שמנה ולא יסורו התוספות להשתנות בשנים שנים ו}כל מספר הנה כפל מרבעו כאשר יתוסף עליו ששה עשר יהיה שוה למושטח הפיאה השנית היורדת ברביעית היורדת והשנית העולה ברביעית העולה המשל בזה מקובץ מושטחי שמנה בששה ושנים עשר בארבעה עשריו הנה זה מאתים וששה עשר וכאשר תכה השניות בחמישיות יהיה התוספת עשרים ואם תכה אותם בשלשיות יהיה התוספת עשרים וארבעה וכזה ילכו בהדרגה בהעדפת ארבעה ארבעה ואם תהיינה השתי פאות השלישיות הכאה ראשונה בחמישיות יהיה התוספת שלשים שלשים וכאשר תכה אותם בששיות יהיה התוספות שלשים ושבעה וששה ואם תכה אותם בשביעיות יהיה התוספות שנים וארבעים ולא יסורו התוספות מלכת בהדרגה ששה ששה ועל זה הסדר במה שאחר זה מהפאות

Sums	ונתחיל אליך בסגלות המספרים הנמשכים המשכם הטבעי ונאמר שמדרגותיהם הם לא ימלט אם שתהיינה נפרד ואם שתהיינה זוג ואם תהיינה נפרד ימצא להם אמצעי בלי ספק וזה האמצעי יהיה תמיד חצי שתי הפיאות מקובצות ורצוני בשתי פאות שני מספרים או מספר אחד מרחקם בסדר מהאמצעי מרחק שוה אחד מהם מצד החסרון והאחר מצד התוספת כמו התשעה והאחד אשר הם שתי פאות החמשה וחמשה חצי מקובצם והוא ג"כ חצי השמנה והשנים אשר הם ג"כ שתי פאותיו וחצי השבעה והשלשה והששה והארבעה והיותר הרחוקות התשעה והאחד
	וכל מספר הוא אמצעי הנה הוא חצאי חצים ואם תהיינה המדרגות זוג עד שיהיו תמורת האמצעי האחד שני אמצעיים יחד הנה יהיו שני האמצעיים מקובצים כמו השתי פאות מקובצות תהיינה מה שתהיינה המשל בזה הארבעה והחמשה בין האחד והשמנה הנה הם מקובצים שוים לאחד ושמנה ולשנים ושבעה ולשלשה וששה ויתחיב מכלל זה שתהיינה כל שתי פאות למספר מה [….]האחדות אשר בגילם ובו
	מהמסגלות הנתלות בקבוץ [….] המדרגות שאנחנו כאשר נוסיף על הגעת המספר האחרון המתחיל מן האחד אחד ונכה אותו בחצי מספר האחרון המדרגות יהיה העולה שוה לכלל כלם המשל בזה שיהיה ארבעה הוא האחרונה [..]מדרגות והנה אתה כשתוסיף אחד על הארבעה ויהיו חמשה ותכה בחצי מספר המדרגות שהם ארבעה וחציו שנים יהיה העולה עשרה מקובץ מה שבין האחד עד הארבעה ואם תרצה מן האחד עד [חמ]שה תוסיף על החמשה אחד ויהיו ששה בחצי מספר המדרגו' [הו]א שנים וחצי ויהיה העולה חמשה עשר וגם כן הנה מקובץ כל [..]קצוות הדרגה וסדר הן שתהיינה מן האחד או מן זולתו כאשר הוכה [בחצי] המדרגות או הוכה חציו בכל המדרגות הנה יהיה מה שיתקבץ כמו [...] מקובץ אותם המדרגות והנה תהיינה הראשונה שבמדרגות שנים [והאח]רונה ששה ונקבץ אותם ויהיו שמנה ונכה אותם בחצי מספר המדרגו' [...]שנים וחצי והנה הוא עשרים או נכה חצים במספר המדרגות על [...]מות [.]היה ארבעה בחמשה וזה עשרים והוא שוה למקובץ שנים ושלשה [....]עה חמשה ששה
	ומסגלות הנתלות בקבוץ שכל מספרים [....]בים ולא ימשך התוספת ב באחדים אבל על דרך השניות [....]שיות או זולת זה כל עוד שיהיו הולכים על הדרגה ומנהג אחד ותהיה [....]לתם איך שתהיה הנה הכאת מספר המדרגות מחוסר ממנו אחד [במס]פר אשר יפול בו ההעדף כמו השניות או השלישיות או זולת זה ממה [שיע]דיפו בו המדרגות מוסף עליו אשר ממנו ההתחלה הוא שוה למספר [.....] ואם יתוסף פעם אחרת והוכה במספר המדרגות כמות שהוא [....] יהיה כמו כפל כלל המקובץ המשל בזה אלו אמר לך אומר חמשה [מספ]רים נמשכים מתחילים מן הארבעה ובין כל שני מספרים שלשה [...] [...]ה ההעדף בארבעה ארבעה מה הוא האחרון שבהם וכמה מקובצם כשתגרע אחד מן החמשה עד שיגיע לך ארבעה ותכה אותו במספר [הה]עדף והוא ארבעה יהיה ששה עשר וכאשר תוסיף עליו הראשון שבהם [...] עשרים והנה כבר יצא לך המספר האחרון לפי שמדרגות המספרי[ם] [...]נה ארבעה אח"כ שמנה אח"כ שנים עשר אח"כ ששה עשר אח"כ עשרים [...] כאשר תוסיף על עשרים ארבעה ג"כ יהיה ארבעה ועשרים ואם [הנ]ה תכה אותו בחמשה ויהיה מאה ועשרים והנה תקח חציו יהיה מקובץ [המד]רגות ואם תרצה תכה חציו במדרגות או כלו בחצי המדרגות שיעשה הנה הוא תשובת השאלה
	ומהסגלות הנתלות [בקבו]ץ שכל מספרים נמשכים מתחילים מן האחד כאשר [....] מתחילים מן האחד עד האחרון שבהם ואחרי כן דרך חזרה מן האחרון שבהם אל האחד כמו אחד שנים שלשה ארבעה שלשה שנים אחד הנה מקובצם שוה למרובע המספר האחרון כי מקובץ מה שהמשלנו בו ששה עשר והנה יגיע זה לפי שמקובץ כפל המספרים אשר תחת הנמשכים האחרונים עם אשר במדרגה האחרונה שוה למרובע המספר האחרון
	ומהסגלות הנתלות בקבוץ שאתה כאשר תקבץ מספרים נמשכים מן האחד הנה המקובץ הראשון דמיון וחצי המספר האחרון והמקובץ השני כפל המספר האחרון והמקובץ השלישי כפל וחצי המספר האחרון והמקובץ הרביעי שלשה כפלי המספר האחרון והמקובץ החמישי שלשה כפלים וחצי המספר האחרון וכן לבלתי תכלית המשל בזה אחד ושנים הנה הוא דמיון וחצי השנים ואחד ושנים ושלשה הנה הוא כפל השלשה ואחד ושנים ושלשה וארבעה הנה הוא כפל וחצי הארבעה ואחד ושנים ושלשה וארבעה וחמשה וששה הנה הוא שלשה כפלים וחצי ששה וגם כן הנה כל המספרים הנמשכים יקובצו זה הקבוץ הנה המקובץ הראשון יהיה כמו המספר הנמשך אליו והמקובץ השני דמיון וחצי מהמספר הנמשך אליו והמקובץ השלישי כפל המספר הנמשך אליו וכמו כן אל בלתי תכלית והמשל בזה בהאחד והשנים כמו השלשה והאחד והשנים והשלשה כמו דמיון וחצי מן הארבעה וכאשר תוסיף הארבעה יהיה כפל חמשה וכאשר תוסיף חמשה יהיה כפל וחצי ששה וכן אל בלתי תכלית
	ומהסגלות הנתלות בקבוץ שאתה כאשר תקבץ נפרדים נמשכים מתחילים מן האחד ותקבץ אחריהם זוגות נמשכים מן השנים כמספרם הנה המקובץ הראשון מהזוגות יהיה דמיון וחצי המקובץ הראשון מהנפרדים והמקובץ השני דמיון ושלישיתו והמקובץ השלישי דמיון ורביעיתו ויהיה כל מקובץ יוסיף בחלק נקרא על שם מספר מדרגתו ויהיה מספרו מספר מדרגתו המשל בזה השנים והארבעה הנה יוסיף על האחד והשלשה החצי וכאשר תוסיף בזה ששה ובזה חמשה יהיה זה דמיון ושליש זה

Types of Numbers	ונשוב עתה אל הכאת סגלות החלוקה הראשונה מהמספר מצד איכות החלקו אל שוים ובלתי שוים והוא הזוג והנפרד ועוד נביא מה שדובר בו בספר היסודות וכבר יפול ביניהם שגוף נקנה מסוגם במה שימשך מהנפרדים והזוגו' [.....] טבעי המשכות מיני המספר וזה כלו שתהיינה המדרגות עודפות בהעדף אחד אם העדף ההמשכות הטבעי למיני המספר הנה באחד אחד ואם העדף הנפרדים והזוגות הנמשכים בטבע הנה בשנים שנים לפי שכל נפרד כאשר יתוסף עליו אחד יהיה זוג אחר כן כשיתוסף עליו אחד אחד יהיה נפרד אח"כ כשיתוסף עליו אחד יהיה זוג ויהיה בין הנפרד והנפרד אשר ילוה אליו שנים ובין הזוג והזוג אשר ילוה אליו שנים ויחויב שיהיה כל אמצעי במדרגות הנפרדים אשר על ההמשך הטבעי ומדרגות הזוגות אשר על זה ההמשך כמו חצי מקובץ איזה שתי פאות שתהיינה לפי שהן פאות זה האמצעי בעצמו בסדור האמצעי הטבעי למספר וכל שני אמצעיים מקובצים כמו כל שתי פאות מקובצות לפי שבאלה השני אמצעיים תהיינה שתי פאות למספר הנופל בסדר הנפרדים המספרים הטבעיים ביניהם והנה יחויב שיהיה שוה מקובצם למקובץ אלה שתי הפאות האחרות כפי מה שקדם באורו ואין זה הענין נמשך נוהג בין הנפרדים הנמשכים והזוגות הנמשכי' לבד אבל בין כל המספרים העודפים על השווי ולזה תמצא זאת הסגלה ג"כ בסדר מדרגות מני הנפרד והנה זה ההשתתפות ראוי שנאמר אותו קודם הסגלות ונתבודד עתה בזכרון הסגלות
Odd Number	ונתחיל בסגלות הנפרד ונאמר אמנם הסגלות הידועות והנזכרות מאשר הוא לא יתרכב מזוגות כלל ולא מנפרדים במספר זוג ושלא ימצא בו מסוגו מספר ישאיר מה שאחריו מסוגו ושלא ימצא בו מסוג מקבילו מספר ישאיר מה שאחריו מסוג מקבילו ומה שירוץ מרוצת אלו הסגלות הנה נסתפק במה שנאמר בספר היסודות ונדבר מסגלותיו סגלות נתלות בסדור היותם נתלים נמשכים על דרך ההמשך ומסגלותיו שמקובציו על דרך ההמשך מן האחד יהיה מרובע לעולם כמו האחד והשלשה ואח"כ האחד והשלשה והחמשה ואח"כ האחד והשלשה והחמשה והשבעה ומסגלותיו שכל מרבע מאלו הנה צלעו מספר המדרגות כמו הארבעה והוא מקובץ שתי המדרגות והנה גדרו שנים והתשעה והוא מקובץ שלשה מדרגות והנה גדרו שלשה
	ומסגלותיו שאתה כשתרצה לדעת הגעת מספר יפול במדרגה ידועה מן האחד כמו העשירית והאחת עשרה דרך משל וזולת זה הנה תכה מספר המדרגה ותהיה העשירית ומספרה שני עשרה בשנים ויהיו עשרים והנה תגרע מהם אחד ויהיו תשעה עשר והנה הוא מספר המדרגה העשירית ואמנם ענין האמצעי והשני אמצעיים עם השתי פאות הנה הוא ממה שידעת אותו
	ומסגלותיו שכל אחד מן האחדים ישוב בששי ממנו אליו המשל בזה שהאחד ישוב בששי והוא האחד עשר ועוד בששי אחר הששי והוא האחד ועשרים והשלשה ישוב לששי והוא השלשה עשר וכן על הדרך הזה
	ומסגלותיו שכל נפרד ראשון כאשר תוציא קוו על מספרו יכלה אל מורכב ימשכו אליו ראשונים הם חסרי' כמו השלשה כי הנה השלישי ממנו והוא תשעה מורכב והחמשה כי הנה החמישי ממנו והוא חמשה עשר מורכב וסגלה אחרת שהראשון שבמספרים הבלתי מורכבים והוא שלשה יביא כשתוציא ב"י קוו הראשון אל נגדר אחר כן לא יביא והשני והוא החמשה יביא אם רצה בזה שלא יביא אל בהקוות השני אל נגדר אצל עשרים וחמשה אח"כ לא יבוא ועל הדרך נגדר בהקוות השני או שלא הזה וסגלה אחרת שהרביעי אחר הנגדר הראשון והוא אחד א"ב יביא אל נגדר באי זה הקוות נגדר והוא תשעה והשמיני אחר הנגדר הראשון והשנים עשר למעלה שיהיה הוא נכון ואולם אם ועל הדרך הזה אחר הנגדר השני והששה עשר אחר הנגדר השלישי וכן קרא רצה בזה שלא יביא אל נגדר בתוספת ארבעה ארבעה וכל בית ומדרגה שתפול בו נגדר נגדר לעולם אין זה צודק כי השלשה הנה תהיה הכאת זה הנגדר שוה לכפל מספר הבידמהמדרגה מוסף ראשון אחר י"ג הקוויות יביא אל עליו אחד כי המספר המרובע הראשון הוא תשעה והוא במדרגה הרביעי' האחד נגדר אצל פ"א וגם זה יצדק מן המספרים הנפרדים וכפל הארבעה שמנה והנה תוסיף עליו אחד ובכאן בחמשה ושאר המספרים והבית השנים עשר מהשלשה יפול בו חמשה ועשרים והוא שוה לכפל שנים קרא כאשר תוציא קום עשר כשתוסיף עליו אחד וכאשר נניח מהנפרדים נגדר הנמשכים בטבע לוח מרובע יראו בו סגלות מצד התמונה וכן ראשון התשעה והוא הנכון כי האחד כאשר נניח לוח משלש ונתחיל במרובע ונשים אותו חמשה על חמשה אינו מספר ודבר למעלה דרך ונאמר שכל שתי וערב ממנו יהיה קטר התמונה או לא יהיה העברה והסדר הוא שהראשון [....] מקובץ שני קטריו הם שוים אם אשר על הקטר הנה שבנגדרים הנפרדים תשעה מקובץ כל אחד מהשני קטרים אשר בזאת התמונה קכ"ה והשני כ"ה והשלישי מ"ט ועל ואם אשר אינם על הקטר הנה כמו השתי וערב אשר בשתי הדרך הזה שורות שאחת מהן ג' ט"ו כ"ז והשנית ז' ט"ו כ"ג כי כל אחד משני אלו הקטרים ארבעים וחמשה ונמצא מקובץ שתי קצוות שורה כל שתי וערב שוה למקובץ שתי קצוות השורה האחרת ונמצא מקובץ [....] כל מרובע בנוי מאלה המספרים על המשכם שוה למרבע מרבע מספר בתי הצלע כי אתה כשתבנה מרבע צלעו שני בתים ויהיו מספריו כזה יהיה מקובץ זה ששה עשר והוא מרבע מרבע שנים וכאשר תהיינה צלעותיו משלשה בתים כזה עד שיהיו מספריו א' ג' ה' ז' ט' י"א י"ג ט"ו י"ז הנה יגיע מקובץ זה לשמנים ואחד והוא מרבע מרבע השלשה ונמצא הקטר בכל אלו שוה למעקב זה המספר המשל בזה בלוח הגדול אשר בתיו חמשה הנה קטרו קכ"ה ובשני קטרו שמנה ובשלישי קטרו כ"ז ועל הדרך הזה והנה כאשר תבנה מהם תמונה משלשת על זאת הצורה תמצא כל המספרים היורדים מן האחד אל נפילת העמוד מרבעים על הסדר ותמצא מקובץ מה שבטור אחד ברחב מעקב כמו מקובץ ג' וה' ומקובץ ז' ט' וי"א
Even Number	ואמנם מספר הזוג כבר ידעת בספר היסודות ממנו מה שידעת ונרמוז לך אל סגלות יתחיבו למדרגותיו מהן ואתה תמצא מקובץ מדרגותיו שוה למרבע מספר מצורף אליו צלעו המדרגות כמו שאתה כאשר תתחיל מהשנים ותצרף אליהם הארבעה יהיו ששה והוא כמו מרבע מספר המדרגות שהם שנים וכמו צלעו וכמו שאתה כאשר תתחיל מהשנים ותצרף אליהם הארבעה והששה יהיו שנים עשר והוא כמו מרבע השלשה וכמו צלעו
	ומסגלותיו שכל זוג יוסיף על הראשון מהנפרדים באחד הנה זה הזוג שוה למקובץ חלקי מרבע זה הראשון כמו המרבעה אשר הוא מוסיף על השלשה שהוא ראשון באחד ומרבע השלשה תשעה ולהם מהחלקים שני חלקים תשיעית ושלישית ומקובצם שוה אל הארבעה וג"כ הששה יוסיף באחד על החמשה שהוא נפרד ראשון ומרבע זה הראשון עשרים וחמשה ולו מן החלקים חומש וחומש החומש לא זולתם והגעתם ששה ואמנם אם יהיה הזוג באופן שכאשר נגרע ממנו שלשה ישאר נפרד ראשון הנה זה הזוג מורכב מחלקי כפל זה הנפרד כמו השמנה שהם כאשר נגרע מהם שלשה נשארו חמשה וכפלם עשרה ולהם חצי וחומש ועשירית ומקובץ זה שמנה רצוני מקובץ החמשה והשנים והאחד
	ונדבר עתה בסגלות מיני הזוג ומיני הנפרד
	ונתחיל בסגלות הזוג הזוג לפי שחלוקתם אל מינים יותר קרובה מחלוקת הנפרדים
	ונתחיל בסגלות זוג הזוג לפי שהוא יותר פשוט וכבר ידעת איכות התילדותו על דרך ההכפלה וסגלות אחרות מהסגלות אשר לו בספר בל"ד מט' היסודות והנה מסגלות זוג הזוג מה שהם סעיפים מסגלות נזכרו ביסודות שהוא אין חלק לו נקרא בשם מספר נפרד ולא * לפי זה יחויב זוג בלתי זוג הזוג ואין זוג הזוג שהוא פחות ממנו שלא ימנה אותו נמנים במד[.] וכל זוג זוג הנה מרבעו זוג הזוג וכאשר חוסר ממנו הזוג הראשון והוא שנים יצא זוג הנפרד כמו השמנה שנחסר מהם שנים ויצא זוג הנפרד והוא ששה וכל זוג הזוג הנה הוא חסר וחסרונו באחד
	ומסגלות זוג הזוג שמדרגותיו נמשכות על יחס מתדמה תשברתיי ירצה לפי שיש ג' מיני יחסי' לפי שהם נמשכות על דרך ההכפל והנה לא תהיינה העדפותיהם יחס מדותיי והוא שהשעורי' שוות אבל יהיה כל העדף שוה למועדף עליו ותהיינה ההעדפות מתיחסי' והמותרי' בלתי שוי' עודפות בזה שביניהם זה ההעדף בעצמו ויתחיב מהיות מדרגותיו ויחס מספרי והוא שהשעורי' על היחס האחד שתהיינה מתיחסות כשנחתוך אותם ומתיחסות כשנוסיף בלתי מתיחסי' והמותרי' שוים עליהם על השווי * ויתחיב שיהיה הכאת אי זה אמצעי שנקח בעצמו יחס מוסיף והוא שהשעורי' כהכאת אחת מהשתי פאות באחרת לפי שיחס הפאה הקטנה אל האמצעי בלתי מתיחסי' והמותרי' בלתי כיחס האמצעי אל הפאה הגדולה ויתחיב שתהיה הכאת אחד מהשני שוי' אבל יחס השעור הא' אמצעיים באחר כהכאת אחת מהשתי פאות באחרת לפי שיחס הפאה אל הג' כיחס מותר מה שבין הקטנה אל האמצעי הקטן כיחס האמצעי הגדול אל הפאה הגדולה השעור הא' אל הב' למותר והנה תהיינה המדרגות ב' ד' ח' י"ו ל"ב ס"ד ונמצא ד' בעצמו כמו ב' בח' מה שבין השעור [...] אל השעו' וח' בעצמו כמו ב' בל"ב וד' בי"ו ונמצא ד' בח' כמו ב' בי"ו וח' בי"ו כמו ד' בל"ב השלישי כמו מספרי' גדו' וב' בס"ד ולפי שהיו מספרי זוג הזוג מסודרים על יחס מתדבק א"ב ר"ל יחויב שיהיה למרבעים ולמעקבים מהם סדר באשר המרבע יהיה השלישי אליו מרבע והמעקב הרביעי אליו מעקב וילך על הדרך הזה
	ומסגלותיו שהמספרים השלמים יתילדו ממנו אמנם מל"ה מט' המספרים הנאהבים הנה הם המספרים אשר יתרכבו כל אחד מחלקי חברו כמו שיתרכב חברו מחלקיו כמו מאתים ועשרים ממאתים ושמנים וארבעה כי למאתים ושמנים וארבעה חצי והוא קמ"ב ב ד א להם רביעית והוא ע"א ולהם חלק מאחד ושבעים והוא ד' ולהם חלק א ז ממאה וארבעים ושנים והוא ב' ולהם חלק ממאתים ושמנים וארבעה והוא א' ד [.....] נקבץ אלה החלקים יהיו ר"כ ואמנם חלקי ר"כ הנה להם החצי והוא ק"י ורביעית והוא נ"ה וחמישית והוא מ"ד ועשירית והוא כ"ב וחלק מאחד עשר והוא עשרים וחלק מעשרים והוא י"א וחלק מכ"ב והוא עשרה וחלק ממ"ד והוא ה' וחלק מנ"ה והוא ד' וחלק מק"י והוא ב' וחלק מר"כ והוא א' וכאשר תקבץ אלה החלקים יהיו רפ"ד ואין לאחד מהם מן החלקים זולת מה שזכרנו ואופן התילדותם הוא כאשר תקבץ זוג הזוג והאחד עמהם ויקובץ מספר ראשון בתנאי שיהיה כאשר יתוסף עליו האחרון שבהם או יחוסק ממנו אשר לפניו יהיה המגיע אחר התוספת והמגיע אחר החסרון מספר ראשון הנה הכאת המגיע הנוסף עליו במגיע המחוסר אחר כן הכאת העולה באחרון שבמקובצים הוא מספר אשר לו אוהב ואוהבו הוא המספר אשר יהיה מתוספת הכאת מקובץ הנוסף והמחוסר הנזכרים באחרון שבמקובצים על המספר הנמצא ראשונה אשר הוא אוהב והם נאהבים