ספר המספר / אברהם אבן עזרא

	ראה ספר מחוקק באמונה‫
	ותמצא בו לכל מספר תכונה
	אשר חבר בנו מאיר למאיר
	קטן שנים וחכם בתבונה‫
	ספר המספר‫
Prologue
Numeration
The nine heavenly spheres revolving around the earth	בעבור כי השם הנשגב לבדו ברא בעולם העליון תשע עגולות גדולות סובבות את הארץ שהוא העולם השפל
Reference to the triple repetition of the word sefer in Sefer Yezira – interpretation of one of them as representing the concept of the nine numbers	ובעל ספר יצירה אמר כי נתיבות החכמה הם בִּסְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר‫ והנה הַסְּפָר תשעה מספרים
The resemblance of the ranks to the rank of units units – as foundations of all numbers	כי תשעה סוף כל חשבון ואלה יקראו האחדים שהם במעלה הראשונה‫
tens and their resemblance to the units	כי עשרה דומה לאחד ועשרים דומים לשנים שהם שני עשרות
the exceptional pronunciation of the number twenty	והיה ראוי שיקראוהו עֶשְׂרַיִם כאשר יקראו ממאה מאתים ומאלף אַלְפַּים רק בעבור חבריו הבאים אחריו שהם שלשים עד תשעים נהגו כמנהגם‫
	והנה שלשים מגזרת שלש וככה כלם‫
hundreds and their resemblance to the units	והנה מאה דומה לאחד גם לעשרה‫ ומאתים דומה לשנים גם לעשרים‫
thousand and upwards	וככה אלף ורבבה שהם ראשי כללים למספרים הבאים אחריהם שהם א'י'ק' ב'כ'ר‫'
The sign that the nine units are building all numbers – the presentation of the multiplication of units by nine through the arrangement of the nine units in a circle	והאות על זה כשתעשה עגול ותכתוב סביבו תשעה מספרים
	ותכפול תשעה על עצמו והטעם להיותו מרובע ארכו כרחבו תראה זה וככה הוא‫
$\scriptstyle9\times9={\color{blue}{8}}{\color{green}{1}}$	והנה המרובע אחד ושמונים והנה האחד לשמאלו של תשעה שהוא ראש האחדים וח' שהוא כנגד שמונים בכלל לימין תשעה
$\scriptstyle9\times8={\color{blue}{7}}{\color{green}{2}}$	ואם תכפול ט' על ח' יהיה המחובר ע"ב והנה ב' לשמאלו וז' שהוא כנגד ע' לימינו
$\scriptstyle9\times7={\color{blue}{6}}{\color{green}{3}}$	ואם תכפול ט' על ז' יהיה המחובר ס"ג והנה ג' לשמאלו וו' לימינו שהוא כנגד ס'‫
$\scriptstyle9\times6={\color{blue}{5}}{\color{green}{4}}$	ואם תכפול ט' על ו' יהיה המחובר נ"ד והנה ד' לשמאלו וה' שהוא כנגד נ' לימינו‫
	ובעבור כי חשבון חמשה הוא אמצעי בט' מספרים על כן נקרא חשבון עגול כי הוא מתגלגל על עצמו כי מרובעו יש בו חמשה‫
$\scriptstyle9\times5={\color{green}{4}}{\color{blue}{5}}$	וכאשר תכפול ט' על ה' יתגלגל הדבר בעגול כי האחדים יהיו לימין ט' והכללים לשמאלו כי המחובר הוא מ"ה והנה הה' מפאת ימין ט' והכלליםלשמאלו שהוא ד' במקום המ‫'
$\scriptstyle9\times4={\color{green}{3}}{\color{blue}{6}}$	וכאשר תכפול ט' על ד' יהיה המחובר ל"ו והנה ג' כנגד שלשים‫
$\scriptstyle9\times3={\color{green}{2}}{\color{blue}{7}}$	וכאשר תכפול ט' על ג' יהיה המחובר כ"ז והנה ב' כנגד עשרים‫
$\scriptstyle9\times2={\color{green}{1}}{\color{blue}{8}}$	וכאשר תכפול ט' על ב' יהיה המחובר י"ח והנה א' כנגד עשרה‫
Hence the checking scales are based on modulo 9	על כן מאזני מספר שהוא כפול על עצמו או על אחר הם ט‫'
The Positional Decimal System
The written numerals	‫על כן עשו חכמי הודו כל מספרם על תשעה ועשו צורות לט' מספרים ואני כתבתי במקומם א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט‫'
The written ranks and their writing order tens units and tens	והנה לעולם אם יש בידך מספר אחדים ותחלת הכללים שהם עשרות יכתוב בתחלה מספר האחדים ואחר כך מספר הכלל‫
tens	ואם אין לו מספר האחדים ויש לו מספר במעלה השנית שהם העשרות ישים כדמות גלגל בראשונה להורות כי אין במעלה הראשונה מספר ויכתוב המספר שיש לו בעשרות אחריו‫
hundreds tens and hundreds	ואם הכלל שלו מהמאות ומהעשרות יכתוב גלגל בראשונה ואחר כך מספר העשרות בשנית ומספר המאות בשלישית‫
thousands and upwards	ואם יש לו מספר אלפים ברביעית ומספר עשרת אלפים בחמישית ומספר מאות אלפים בששית‫
Threefold cycle of the decimal ranks – units, tens, hundreds	כי א'י'ק' יחזור ברביעית לאלפים ובשביעית לאלף אלפים ובעשירית לאלף אלפי אלפים וככה עד אין קץ‫
units and hundreds	ואם יש לו מספר אחדים ומאות ואין לו עשרות יכתוב מספר האחדים בראשונה וגלגל בשנית ומספר המאה בשלישית
zero – a placeholder digit	ועל זה הדרך ישים שנים גלגלים בראשונה או כפי מה שיצטרך עד אין חקר או באמצע‫
Table of Contents
	ואחר שהזכרתי זה אזכיר שערי זה הספר ונאמר שהם שבעה‫
Chapter One: multiplication of a number by itself or by other; multiplication of one number by two numbers or more; multiplication of multiple numbers by multiple [numbers]	השער הא' לכפול חשבון על עצמו או על אחר או כפל חשבון אחד על שנים חשבונות או יותר או כפל חשבונות רבים על רבים‫
Chapter Two: division of decades by units; two decades by units; large decades by small decades; decades and units by units; including a discussion on the checking of multiplication and division	השער הב' לחלק חשבון כלל על פרט או שנים כללים על פרט אחד או כללים גבוהים על כללים שפלים או כללים ופרטים על פרטים גם אדבר על המאזנים של שער הכפל והחלוק‫
Chapter Three: addition of a number to a number; units to decades or decades to decades	השער הג' בחבור מספר על מספר פרט עם כלל או כלל עם כלל‫
Chapter Four: subtraction of a number from a number; units from decades or decades from decades; including a discussion on the checking of addition and subtraction	השער הד' לחסר מספר ממספר פרט מכלל או כלל מכלל גם אדבר על מאזני שער החבור והמגרעת‫
	השער הה' על השברים והם על דרכים רבים שלמים על שלמים ונשברים עמהם או שלמים ונשברים עם שלמים ונשברים למיניהם או שברים עם שברים או שברים על שברי שברים או שברי שברים על שברי שברים בין לכפול בין לחלק בין לחבר בין לגרוע ומאזניהם‫
	השער הו' בערכים והוא שער נכבד מאד כי ממנו יוכל להוציא רובי השאלות הקשות ורוב הראיות מחכמת המזלות יצאו מזה הערך‫
	השער הז' על שרשי המרובעים והמאזנים שלהם כי הם רבים וחכמת המדות תלויה בשער הזה וזה השער חמור מכל השערים ואין כח במשכיל לדעת קדרות המאורות אם לא ילמד זה השער ויתרי קשתי העגול יצאו מהשער הזה‫
Chapter One – Multiplication	השער הראשון
Shortcuts
$\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)\times\left(b\sdot10^m\right)=\left(a\sdot b\right)\sdot10^{n+m}$	כבר הזכרתי איך הם מעלות המספר והנה כשיבואו לך שנים מספרים לכפול כלל על כלל בין שיהיה על עצמו‫ או על אחר‫ בקש דמיונו במעלה הראשונה וראה כמה המחובר מכפל זה על זה ושמור אותו‫ ואחר כך ראה כמה מעלות שני החשבונות בין שיהיה במעלה אחת או בשתים מעלות ודע כמה המחובר ממספר שתים מעלות וגרע לעולם אחד למוסד ובקש במספר המעלה הנשאר במספר השמור‫
	ועוד אדבר על טעם המוסד בדברי על סוד האחד בע"ה‫
$\scriptstyle30\times200$	דמיון רצינו לכפול שלשים על מאתים
	והנה דמיון שלשים שלשה ודמיון מאתים שנים‫ כפלנו ב' על ג' והנה עלו ששה וזהו החשבון השמור‫ ונשוב לבקש המעלות והנה שלשים מהמעלה השנית שהם עשרות והנה נקח לו שנים‫ ובעבור כי המאתים מהמעלה השלישית כי הם מאות נקח לו שלשה ונחבר עליו השנים ויהיה חמשה נחסר אחד למוסד ישארו ארבעה וכבר ידענו כי המעלה הרביעית היא לאלף‫ והמספר השמור היה ששה והנה העולה ששת אלפים‫
$\scriptstyle200\times700$	דמיון אחר בקשנו לכפול מאתים על שבע מאות
	והנה כפלנו שנים על שבעה והנה י"ד והוא השמור והנה מאתים מהמעלה השלישית וז' מאות גם כן מהמעלה השלישית נקח להם ששה ונחסר אחד הנה חמשה וראש המעלה החמישית עשרת אלפים והשמור היה י"ד הנה נקח במספר הזה עשרת אלפים ויהיה העולה מאה אלף וארבעים אלף‫
	ועל זה הסדר תוכל לעשות עד אין קץ‫
$\scriptstyle\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\times\left[\left(a\sdot10^n\right)+b\right]=\left(a\sdot10^n\right)^2-b^2$	ואם היו שנים מספרים מרחקם מחשבון כלל כמרחק שנים מספרים אחרים רק האחד במגרעת והשני בתוספת‫ דע כמה מרובע מספר הכלל וגרע ממנו לעולם מרובע החשבון היתר והחסר והנשאר הוא החשבון המבוקש
$\scriptstyle29\times31$	דמיון רצינו לכפול כ"ט על ל"א‫
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle29\times31&\scriptstyle=\left(30-1\right)\sdot\left(30+1\right)\\&\scriptstyle=30^2-1^2=900-1=899\\\end{align}}}$	והנה חשבון הכלל הוא שלשים ומרובעו ט' מאות כי שלשה על שלשה הם תשעה והיתרון והחסרון הוא אחד ומרובעו אחד חסרנום ממרובע הכלל והנשאר הוא המבוקש והוא תתצ"ט‫
$\scriptstyle66\times54$	דמיון אחר רצינו לכפול ס"ו על נ"ד‫
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle66\times54&\scriptstyle=\left(60+6\right)\sdot\left(60-6\right)\\&\scriptstyle=60^2-6^2=3600-36=3564\\\end{align}}}$	והנה חשבון הכלל ס' והחסרון והיתרון הוא ששה והנה מרובע הכלל ג' אלפים ות"ר נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע החסרון והיתרון והנשאר הוא המבוקש‫
$\scriptstyle250\times350$	‫דמיון אחר המספר האחד ר"נ והמספר האחר ש"נ
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle250\times350&\scriptstyle=\left(300-50\right)\sdot\left(300+50\right)\\&\scriptstyle=300^2-50^2=90000-2500=87500\\\end{align}}}$	והנה הכלל הוא ש' ומרובעו צ' אלף נחסר ממנו מרובע נ' שהוא החסרון והיתרון ומספרו אלפים ות"ק והנשאר הוא המבוקש‫
	ועל זה הסדר נוכל לעשות שאר המספרים הדומים לאלה שהחסרון כמו היתרון‫
$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}a\right)^2$	‫[note 21]דרך אחרת נכבדת שהוצאתי בדרך השלישית שנקח שלישית החשבון ונדע כמה מרובעו ונקח כמוהו בכלל הגבוה ממנו ונחסר מרובע השלישית ממנו והנשאר הוא המבוקש
$\scriptstyle3^2$	‫דמיון בקשנו לדעת כמה מספר מרובע ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle3^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot1^2\right)-1^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot1\right)-1=10-1=9\\\end{align}}}$	נקח שלישיתו שהוא אחד ומרובעו אחד ועשרה שהוא הכלל הקרוב אליו נחסר ממנו מרובע אחד שהוא השלישית וישאר ט' והוא המבוקש
$\scriptstyle15^2$	דמיון אחר בקשנו לדעת מרובע ט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle15^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot5^2\right)-5^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot25\right)-25=250-25=225\\\end{align}}}$	ושלישיתו ה' ומרובעו כ"ה והדומה בכלל הקרוב אליו ר"נ חסר ממנו מרובע ה' שהוא השלישית ישאר רכ"ה‫
$\scriptstyle24^2$	‫דמיון אחר בקשנו לדעת כמה מרובע כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot8^2\right)-8^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot64\right)-64=640-64=576\\\end{align}}}$	הנה שלישיתו ח' ומרובעו ס"ד ודמיונו במעלה הגבוהה ממנו תר"מ נחסר ממנו מרובע השלישית שהוא ס"ד ישאר תקע"ו והוא המבוקש
$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a-1\right)\right]^2+\left[a+\left(a-1\right)\right]$	ואם לא היה למספר שלישית שלמה ויהיה בו תוספת אחד‫ חסר האחד מהמספר והוצא המספר המבוקש כמשפט שהראיתיך ומה שיעלה הוסף עליו המספר שיש לו שלישית והמספר בעצמו והמחובר הוא המבוקש
$\scriptstyle7^2$	דמיון בקשנו לדעת מרובע ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(7-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(7-1\right)\right]^2+\left[7+\left(7-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2+\left(7+6\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot2^2\right)-2^2+13\\&\scriptstyle=\left(10\sdot4\right)-4+13\\&\scriptstyle=40-4+13=36+13=49\\\end{align}}}$	והנה אין לו שלישית חסרנו ממנו אחד שהוא נוסף והנה שלישית הנשאר שנים ומרובעו ארבעה והנה בכלל הקרוב הדומה אליו מ' נחסר ממנו ד' שהוא מרובע השלישית וישאר ל"ו שהוא מרובע ו' נחבר אליו הו' שיש לו שלישית והז' שהיה מספרנו בראשונה ושניהם י"ג יהיה המחובר מ"ט והוא מרובע ז‫'
$\scriptstyle22^2$	דמיון אחר רצינו לדעת כמה מרובע כ"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle22^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(22-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(22-1\right)\right]^2+\left[22+\left(22-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)^2+\left(22+21\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot7^2\right)-7^2+43\\&\scriptstyle=\left(10\sdot49\right)-49+43\\&\scriptstyle=490-49+43=441+43=484\\\end{align}}}$	והנה חסרנו אחד ונשאר כ"א ושלישיתו ז' ומרובעו מ"ט והנה בכלל הקרוב אליו ת"צ נחסר ממנו מ"ט שהוא מרובע השלישית נשארו תמ"א שהוא מרובע כ"א נוסיף כ"א גם כ"ב מחוברים שהם מ"ג יעלה המחובר תפ"ד וזהו מרובע כ"ב
$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+1\right)\right]^2-\left[a+\left(a+1\right)\right]$	ואם היו שנים בין המספר שלנו ובין המספר שיש לו שלישית‫ נעשה להפך שנוסיף על המספר שלנו אחד ונדע כמה מרובע מספר שיש לו שלישית ונחסר ממנו כמספר שיש לו שלישית וכמספר שהיה לנו והנשאר הוא המבוקש
$\scriptstyle23^2$	דמיון בקשנו לדעת כמה מרובע כ"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle23^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(23+1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(23+1\right)\right]^2-\left[23+\left(23+1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2-\left(23+24\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot8^2\right)-8^2-47\\&\scriptstyle=\left(10\sdot64\right)-64-47\\&\scriptstyle=640-64-47=576-47=529\\\end{align}}}$	והנה בעבור שאין לו שלישית שלמה נוסיף אחד יהיו כ"ד ושלישיתו ח' ומרובעו ס"ד והדומה לו תר"מ נחסר ממנו ס"ד שהוא מרובע השלישית ישאר תקע"ו והוא מרובע כ"ד גם נחסר מזה המספר מ"ז שהוא כ"ד עם כ"ג מחוברים ויהיה הנשאר תקכ"ט והוא המבוקש
The number of steps required for receiving the product:
units by units - one step	ודע כי אם יהיו שנים מספרים לכפול זה על זה יספיק לך פעם אחת
units by two-digit number - two steps	ואם היה מספר אחד על שנים מספרים אתה צריך לעשות זה פעמים‫
units by three-digit number - three steps	ואם על שלשה שלשה‫
	ועל זה המשפט הכל
two-digit number by two-digit number - four steps	ואם הם שני מספרים על שני מספרים אתה צריך לעשות זה ד' פעמים
$\scriptstyle13\times28$	דמיון רצינו לכפול י"ג על כ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle13\times28&\scriptstyle=\left(10\sdot20\right)+\left(10\sdot8\right)+\left(3\sdot20\right)+\left(3\sdot8\right)\\&\scriptstyle=200+80+60+24\\&\scriptstyle=280+84=364\\\end{align}}}$	והנה כפלנו י' על כ' שהוא כלל גם י' על ח' עלו ר"פ ואחר כפלנו ג' על כ' גם על ח' עלו פ"ד והנה הכל שס"ד
two-digit number by two-digit number with the same digit of tens - three steps	ואם היה כלל אחד כולל שני המספרים די לך בג' פעמים
$\scriptstyle13\times16$	דמיון בקשנו לכפול י"ג על י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle13\times16&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(3+16\right)\right]+\left(3\sdot6\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot19\right)+18\\&\scriptstyle=190+18=208\\\end{align}}}$	והנה י' כולל שני המספרים והנה נחבר ג' עם ו' עם י' והנה יהיה מספרינו י"ט נכפול אותו בעשרה עלו ק"צ נכפול שני המספרים הקטנים שהם ג' על ו' יעלו י"ח והנה הכל ר"ח‫
	ויש שיספיק לך שני פעמים לבדם
$\scriptstyle24\times26$	דמיון בקשנו לכפול כ"ד על כ"ו‫
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24\times26&\scriptstyle=\left[20\sdot\left(4+26\right)\right]+\left(4\sdot6\right)\\&\scriptstyle=\left(20\sdot30\right)+24\\&\scriptstyle=600+24=624\\\end{align}}}$	הנה כ' כולל שני המספרים חברנו ד' עם כ"ו שהוא הגדול עלה המספר ל' כפלנו כ' על ל' עלו ת"ר וכפלנו הקטנים זה על זה עלו כ"ד והנה המבוקש תרכ"ד‫
three-digit number by three-digit number - nine steps	ואם תכפול ג' מספרים על ג' אתה צריך לעשות זה ט' פעמים
	ועל זה הסדר כל החשבון‫
	וראה אם המספר אחד או רבים‫
Multiplication of evens and odds
even number by even number - the product is even $\scriptstyle2a\times2b$	אם הוא מספר זוג גם המחובר יהיה זוג‫
the digit of the units indicates if the number is even	וטעם הזוג הוא באחדים
every product of ten is even	כי כל כלל הוא זוג‫
even number by odd number - the product is even $\scriptstyle2a\times\left(2b-1\right)$	ואם המספר האחד זוג והשני נפרד והטעם שאינו זוג איזה מהם שיהיה גם המחובר יהיה זוג
odd number by odd number - the product is odd $\scriptstyle\left(2a-1\right)\times\left(2b-1\right)$	ואם המספר האחד נפרד וגם כן האחר גם המחובר יהיה נפרד‫
Written calculations
	ודע כי אם היו המספרים הנכפלים אלה על אלה רבים אתה צריך לכפול אותם במכתב ט' אותיות שהראיתיך‫
the multiplicand of which the highest rank is smaller is written on the top line	והדרך הסלולה שתשים טורי המספר המעט עליונים ופירוש המעט בחשבון הכלל ולא תחוש מן הפרטים
the multiplicand of which the highest rank is larger is written on the lower line	ותשים בטור אחר שפל למטה החשבון שהוא כללו גדול
the number that consists of a greater number of ranks is written on the top line	ואם החשבון שכללו קטן הם יותר מספרים מחשבון שכללו גדול שים אותם עליונים ולא תחוש
	ואלו היית עושה להפך לא יזיק רק יתבלבל מעט על התלמיד‫
	ואחר שתשים המספרים כמה שיהיו בטור העליון והאחרים בטור השפל כפול הראשון של הטור העליון על הראשון שבטור השפל והעולה כתוב אותו כנגד הטור הראשון העליון‫
	ואחר כן כפול המספר הראשון העליון על המספר השני השפל וכתוב בטור השלישי כנגד המספר השני העליון
	וככה לכל המספרים השפלים עם המספר העליון הראשון‫
The product of two digits is equal to units and tens	ואם כאשר תכפול הראשון העליון על שכנגדו בשפל ויתחבר במספר כלל ופרט תכתוב הפרט במקום הראוי לו והכלל במספרו תכתבנו בחשבון שהוא אחריו
	ואחר שתשלים לכפול החשבון הראשון של הטור העליון על כל מספרי הטור השפל תחל לכפול המספר השני של הטור העליון על מספר הראשון של הטור השפל והעולה כתבהו בטור השלישי כנגד השני העליון
	ואחר כן תכפול השני העליון על שני שבטור השפל ותכתבהו בטור השלישי במספר השלישי שהוא שני למספר שהחלות עתה ממנו‫
	ואחר כן תחל במספר השלישי העליון לכפול אותו על הראשון שבטור השפל והעולה תכתבהו כנגד טור השלישי שהחילות ממנו
	וככה המשפט לכלם עד אין קץ עם משפט הפרט להיות התחתון והכלל שיבא אחריו בטור השני לו
	ואם היה גלגל בין בטור העליון בין בטור השפל משפטו לכתבו במקום הראוי לו כמשפט כל המספרים שעליו‫
	ואחר כן תחל לחבר מה שעלה בטור העליון עם השפל‫
	אם אין בו עשרות תכתוב מה שהוא בחבור‫
	ואם יש בו עשרה כתוב אחד אחריו
	ואם יש בו יותר כתוב היותר מבחוץ בחבור שיש לך ובמקום העשרה כתוב אחד שני לו נוסף
	וכן תעשה לכל היוצאים מהטור העליון והשפל והוצא הנותר מעשרות מבחוץ
	ואחר שידעת כמה הוא המחובר בטור השלישי ספור מעלותיו וראה אם היו כמספר מעלות השנים טורים העליונים ממנו בחסרון אחד תדע כי חשבונך אמת‫
	ואם המספר האחרון בטור העליון הנכפל במספר האחרון בטור השפל ממנו יוצא אל כלל יהיה מספר מעלות הטור השלישי כמספר שני טורים העליונים בלי מגרעת אחד‫
Check: casting out by 9	‫ובחן באחרונה במאזנים‫
	וככה תעשה‫
	חשוב כל חשבון שתמצא בטור העליון באיזו מעלה שיהיה כאילו הם אחדים וחברם והוצא המחובר ט' ט' אם יותר ט' או פחות ממנו כתוב אותו לבדו והוא מאזני הטור העליון
	ככה תעשה למאזני הטור השפל עד שתדע כמה המאזנים שלו‫
	וכפול מאזני הטור העליון על מאזני הטור השני והנכפל הוציאהו ט' ט' והנשאר יהיה עמך שמור
	ואם מאזני אחד מהטורים יהיה ט' אל תיגע עצמך לבקש מאזני הטור האחר כי ט' יצא לעולם‫
	ואחר בדוק מאזני הטור השלישי וראה אם היה שוה לשמור חשבונך אמת ואם לאו הנה טעית‫
$\scriptstyle127\times355$	‫דמיון זה רצינו לכפול קכ"ז על שנ"ה
	וכתבנו קכ"ז בטור העליון כזה ומספר שנ"ה תחתיו אות אות במקומו כזה‫     א ב ז     ג ה ה   ב ג ג ה   א א ה     ו א     ג ה ה     המחובר ד ה 0 ח ה
127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times5}}={\color{blue}{35}}}$ 127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times5}}={\color{blue}{35}}}$ 127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times3}}={\color{blue}{21}}}$  127 355 355 355  355  35 335 2335    5   15	כפלנו ז' על ה' עלו ל"ה כתבנו ה' במעלה הראשונה וג' שהוא ל' במעלה השניה‫ עוד כפלנו ז' על ה' השני התחתון עלו ל"ה כתבנו ה' במעלה השנית תחת ג' וג' בשלישית‫ עוד כפלנו ז' הראשון על ג' התחתון עלו כ"א כתבנו א' בשלישית תחת ג' וב' ברביעית
$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}$  127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}$  127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times3}}={\color{blue}{6}}}$  127  355  355  355 2335 2335 2335  15  115  115   1    1   61	עוד כפלנו ב' האמצעי העליון על ה' הראשון מן התחתון עלו י' כתבנו א' בשלישית תחת הא‫' עוד כפלנו ב' העליון על ה' השנית התחתון היו גם כן י' כתבנו א' תחת ב' ברביעית‫ עוד כפלנו ב' העליון על ג' התחתון והיו ו' כתבנו אותו תחת א' ברביעית‫
$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}}$  127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}}$  127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times3}}={\color{blue}{3}}}$   127  355  355   355 2335 2335  2335  15  115   115  61   61    61    5   55   355	עוד כפלנו א' העליון האחרון על ה' הראשון התחתון עלו ה' כתבנוהו בשלישית‫ עוד כפלנו א' על ה' השני התחתון עלו ה' כתבנוהו ברביעית‫ עוד כפלנו א' העליון על ג' התחתון היו ג' כתבנוהו בחמישית אחר ב'‫
	והנה נשלם הכפל‫
	חברנו כל אלו המספרים כל מה שהוא ממעלה אחת יחד הכל ומה שיעלה יותר מעשרה או עשרה כתבהו אחר המעלה ההיא
$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{45085\ the\ result}}$	ויעלה המחובר מ"ה אלפים ופ"ה‫
P1050 marg. another method	דרך אחרת יותר קצרה עשויה בשליבה נק' בלשונ' ביריקוקלי ונעשית בזה הדרך שאין כותבי' רק האחדי' שבידך ושומרי' העשרו' לקבצם עם העשרו' מהמספר הבא אחריו וכן ממדרגה למדרגה עושין כן
	דמ' תרצה לכפול קכ"ז על שנ"ה תכפול ז' על ה' עלה ל"ה כתו' ה' במדרגת האחדי' ושמור בפיך ובלבבך ל' שהם ג' במדרג' השנית וכפול ז' על ה' עלו ל"ה וג' עשרו' וג' עשרו' היו בידך בין הכל עלו ל"ח כתו' ח' במדרגה השנית ושמור ג' מאות עוד כפול ז' על ג' שהם עלו כ"א וג' שהיו בידך היו כ"ד מאו' כתו' ד' במדרגת המאות והכ' שהם ב' אלפי' כתו' במדרגת האלפי' כי עתה אין עוד אות בטור השפל לכפול האות הראשון עמו
	עו' תשוב תכפול ב' עם ה' עלו י' והיה ראוי לכותבו תחת העשרות בשורה אחרת תחת הראשונה ולפי שהו' ר"ל י' עשרות שהם מאה כתו' עגול במדרגת העשרו' ושמור אחד שהוא מאה וכפול ב' על ה' השני עלו י' וא' שהיה שמור הנה י"א כתו' א' במדרגת המאות ובידך שמור א' שהוא אלף עו' כפול ב' על ג' הנה הם ו' וא' הנה ז' כתו' ו' במדרגת האלפי'
	עוד כפול א' על ע ה' וכתו' במדרגת המאות ה' וא' על ה' השני וכתו' במדרגת האלפי' ה' וכפול א' על ג' וכתו' במדרגת העשרת אלפי' ג' וראה ועשה
	ואח"כ קבץ הכל בדרך קבוץ וכתו' למטה כאשר אתה רואה
Chapter Two – Division	השער השני
Introduction - Preliminary definitions
Number = a sum of units	דע כי כל חשבון הוא חברת האחדים
One	והאחד לבדו לא יקבל שנוי ולא רבוי ולא חלוק
	והוא סבת כל רבוי ושנוי וחלוק
	והאחד קדמון לבדו וכל חשבון מתחדש בעבורו
Every number is half of the sum of the numbers on either side - one is half the sum of its one side	והוא יעשה בפאה אחת מה שיעשה כל חשבון בשתי פאותיו
	כי שנים לחשבון שלשה הפאה האחת שהיא לפניו וארבעה הפאה האחרת שהיא אחריו ושתי הפאות המחוברות ששה שהם כפל שלשה
	וככה כל מספר
	והנה האחד אין לפניו פאה ואחריו פאה אחת שהיא שנים והם כפל האחד‫
	ועתה אדבר על כל חשבון שיש לו אחדים שלמים בלי שבר
Sexagesimal Fractions
12 zodiac signs	ודע כי חכמי המזלות חלקו את הגלגל על שנים עשר חלקים
reason: 12 lunar months, & 12 is the smallest number that has a half, third, quarter, sixth and half sixth	ועשו זה בעבור ששנת השמש י"ב חדשי הלבנה ואין חשבון קטן מי"ב שיש לו חלקים רבים כמוהו כי יש לו אחדים שלמים בחציו ושלישיתו ורביעיתו וששיתו וחצי ששיתו‫
30 degrees in each sign	וחלקו המזל לשלשים מעלות
reason: 30 has a half, third, fifth, sixth and tenth	כי זה המספר יש לו אחדים שלמים יותר מי"ב כי יש לו חצי ושלישית וחמישית וששית ועשירית‫
360 degrees of the zodiac	והנה עלה מספר מעלות הגלגל ש"ס‫
reason: 360 is close to the number of days in one year & it has a half, third, quarter, fifth, sixth, eighth, ninth, and tenth	וזה המספר יש לו חצי ושלישית ורביעית וחמישית וששית ושמינית ותשיעית ועשירית והנה לא יחסר לו רק השביעית‫
	וכאשר תכפול זה המספר על ז' יהיה העולה אלפים ותק"כ וזה החשבון כולל כל החלקים עד עשרה‫
multiplication of degrees by degrees = degrees	והנה חכמי המזלות כאשר יכפלו מעלות על מעלות יהיה המחובר מעלות שהם אחדים שלמים
division of degrees by degrees = degrees	וככה כאשר יחלקו מעלות על מעלות יהיה העולה בחלוק מעלות שהם אחדים שלמים‫
Written calculations
	ועתה אתן לך כלל איך תחלק כל חשבון בין שיהיה אחד או שנים או מספרים רבים
	כתוב אותם בטור אחד כל אחד כפי מעלתו ואחר כך כתוב החשבון שתחלק עליו בטור אחר בין שיהיה מספר אחד או רבים כל אחד כפי מעלתו ויהיה כל חשבון לפי מעלתו כנגד כל חשבון כפי מעלתו בטור העליון וריוח תשים בין הטור העליון והטור השפל כדי שתוכל לכתוב טור אמצעי ביניהם בין שיהיה העולה מספר אחד או מספרים רבים כל אחד תשים כפי מעלתו‫
	וראוי להיות המספר שתחלק עליו פחות מהמספר המחולק ממנו וזה הדבר הוא בחלוק השלמים‫
	ולא כן בשברים כאשר אפרש בעזרת האל
	ובתקנך הטורים כאשר אמרתי תחל לחלק מהמספר האחרון שהוא בטור העליון
	ותחלק אותו על המספר האחרון שהוא בטור השפל
	וחשוב שנים המספרים אע"פ שהם כללים חשוב אותם כמו אחדים
	והעולה בחלוק ראה כמה מרחק המספר האחרון מהטור השפל מהמספר הראשון בין שיהיו בו אחדים או גלגל וכפי מספר המרחק תשיב אחורנית ושם תכתוב העולה בחלוק למעלה מהטור השפל שהוא למטה מהטור העליון
	ואם ישאר במספר האחרון חשבון שלא נתחלק ולא הגיע למעלת האחדים השב אחורנית המספר הנשאר למעלה הראשונה שהיא פחותה ממנו וחשוב כל אחד עשרה
	ואחר כך חלק על המספר שחלקת עליו והעולה בחלוק תכתוב אותו אחורנית מהמעלה הראשונה שכתבת לפני מה שעלה בחלוק בראשונה
	ככה תעשה תמיד עד שתגיע אל המספר שהוא פחות מהמחולק עליו ואותו הנשאר תכתבנו למעלה מהטור העליון כפי מעלתו ובשער החמישי אפרש לך מה שתעשה ממנו
	דמיון בקשנו לחלק ט' אלפים על ע' בזאת הצורה‫ 0 0     ב ו ד   ט 0 0 0   א ב ח     ז 0

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\div7={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{2}}}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20\div7={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{6}}}}}$ 0    $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{60\div7={\color{blue}{8}}+r{\color{green}{4}}}}}$ 00   2    26   264  9000 9000 9000 9000  1    12   128   70   70   70   70 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle128\ the\ result\\&\scriptstyle40\ the\ remainder\\\end{align}}}$

הנה נשים ע' בטור השפל כפי מעלתו ונחשוב כי הכל אחדים והנה נתן לו א' ונכתבנו במעלה השנית אחורנית מהמספר האחרון שהוא בטור הראשון כי ע' הוא שני לטור השפל ונכתבנו באמצע ונשארו לנו שנים נשיבם אחורנית והם עשרים נחלק על ז' והנה נתן לו ב' ונכתוב אותו אחורנית לפני הנכתב בראשונה ונשארו לנו ו‫' נשיבהו אחורנית יהיו ששים נחלקנו על ז' נתן לו ח' תכתבהו אחורנית ונשארו לנו ד' והם במעלה השנית והם מ' והמספר המחולק עליו גדול ממנו

	ואם היה המספר באחדים המחולק עליו גדול מהמספר האחרון בטור העליון תשיבהו אחורנית ותחשוב מאותו מקום וכפי מרחק המספר המחולק עליו תשיב אחורנית ועשה כמשפט
	דמיון בקשנו לחלק כ' אלף על צ' בזאת הצורה‫   0 0     0 ב ב ב   ב 0 0 0 0     ב ב ב       ט 0

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20\div9={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{2}}}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20\div9={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{2}}}}}$  0    $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20\div9={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{2}}}}}$  00   02    022   0222  20000 20000 20000 20000   2     22    222    90    90    90    90 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle222\ the\ result\\&\scriptstyle20\ the\ remainder\\\end{align}}}$	והנה בעבור כי מספר ט' גדול מב' נשיבהו אחורנית והם כ' נחלקם על ט' והנה ב' נכתבנו במעלה השלישית אחורנית שהיא שנית לחשבון שחלקנו ממנו ונשארו ב‫' נשיבם אחורנית במעלה השלישית והם כ' נחלקם על ט' והנה ב' ונשארו ב‫' נשיבם אחורנית במעלה השנית והם עשרים נחלק על ט' והנם ב' ונשארו ב' שהם עשרים כי הם במעלה השנית בטור העליון וזה המספר פחות ממספרנו על כן נכתוב גלגל אחורנית כי לא עלו אחדים כי לא יצא לחוץ
	ואם היה גלגל באחד המקומות ולא תוכל לחלק על המספר המחולק השב אחורנית מהגבוה ממנו
	דמיון בקשנו לחלק ד' אלפים ול"ב על שלשים‫ 0 0     א א א   ד 0 ג ב   א ג ד     ג 0

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4\div3={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{1}}}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10\div3={\color{blue}{3}}+r{\color{green}{1}}}}}$ 0    $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{13\div3={\color{blue}{4}}+r{\color{green}{1}}}}}$ 00   1    11   111  4032 4032 4032 4032  1    13   134   30   30   30   30 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle134\ the\ result\\&\scriptstyle12\ the\ remainder\\\end{align}}}$

חלקנו ד' על ג' ועלה בידינו א' וכתבנוהו אחורנית במעלת המאות כי הוא שני לו נשאר לנו עוד א‫' נשיבהו אחורנית במעלת המאות והיו י' נחלקנו על ג' ועלה בחלוק ג' נשאר לנו א‫' השבנוהו אחורנית במעלת העשרות ויהיו י' חברנו אותו עם הכתוב במעלה השנית היו י"ג חלקנו אותו על ג' ונתנו לו ד' נשאר לנו א‫' השיבונוהו אחורנית במעלה הראשונה היו י"ב שלא יתחלקו כי הנשאר פחות מאותו המחולק עליו וכבר יצא לחוץ

	וכאשר נרצה לחלק מספר אחד או שני מספרים או מספרים רבים על מספר אחד או על שני מספרים או על שלשה או על רבים על מנת שיהיו פחותים ממספרי הטור העליון ככה תעשה
	תן לאחרון שבטור השפל מן הטור העליון מה שתוכל לתת לו מהמספר האחרון שבטור העליון ותן לראשון מן הטור השפל שהוא ראשון לאחרון ככפל המספר שנתת לאחרון על מספר הטור השפל שהוא לפני האחרון
	ואם לא תוכל לעשות ככה שוב וגרע ממספרך שנתת לו בתחלה וכשאתה צריך לקחת מהטור שהוא לפני האחרון שום מספר השיבהו אחורנית לעשרות
	ככה תעשה לכל המעלות
	ואם היה באחת ממעלות הטור העליון גלגל השב מן הגבוה ממנו אחורנית בעשרות וקח ממנו מה שצריך לו
	ואם היו שני גלגלים במעלות הטור העליון ובמעלות הטור השפל מספרים תשיב אחורנית הגבוה שהוא כנגד החשבון שהוא אחר הגלגל האחרון ותקח מהם מה שתצטרך ומהנשאר תשיב אחורנית בעשרות ותקח ממנו מה שתצטרך בכפל המספר שהוא בטור השפל מן המעלה שהיא ראויה לקחת ממנה‫
	דמיון זה‫   0     0 א ט   א ב 0   ב א ה ד ח ב א ג     ב ג   ג ה ג

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8\div3={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{2}}}}}$   $\xrightarrow{\scriptstyle^{2-1={\color{green}{1}}}_{12-\left({\color{red}{2\times5}}\right)=12-10=2}}$ 1    $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{2-1={\color{green}{1}}}_{11-\left({\color{red}{2\times3}}\right)=11-6={\color{green}{5}}}}$ 1    2    2    215  8213 8213 8213 8213   2    2    2   353  353  353  353	ד'ט' שכתבנו הוא הנשאר מן החשבון שלא יתחלק‫ והנה כאשר חלקנו ח' שהוא אחרון בטור העליון על ג' שהוא אחרון בטור השפל והנה נתנו לו שנים ובעבור שהיה הג' שבטור השפל שלישי החזרנו לשלישי ממנו אחורנית והגיע למעלת העשרות ונשאר לנו במספר הח' שנים והנה הנחנו שם אחד כי אחד יספיק לנו והחזרנו האחד אצל השנים והיו י"ב וחסרנו ממנו י' שהוא כפל חמשה האמצעי שבטור השפל והנה נשארו ב' על הב‫' נניח שם אחד ונחזיר אחד אחורנית על אחד שהוא שלישי ויהיו י"א נסיר ממנו ו' לג' שהוא ראשון שבטור השפל נשארו ה‫' והנה לכל הג' השפלים מה שראוי להם
	נשוב לחלק כי נשאר לנו א' על ח' וא' על ב' וה' על א‫'
$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{11\div3={\color{blue}{3}}+r{\color{green}{2}}}}}$   $\xrightarrow{25-\left({\color{red}{3\times5}}\right)=25-15={\color{green}{10}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{10-1={\color{green}{9}}}_{13-\left({\color{red}{3\times3}}\right)=13-9={\color{green}{4}}}}$  0   0    01   019  12   120  120  215  215  2154 8213 8213 8213   23   23   23  353  353  353 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle23\ the\ result\\&\scriptstyle94\ the\ remainder\\\end{align}}}$	נשיב הא' שהוא על הח' אחורנית על א' אשר על הב' יהיו י"א נחלק אותם על ג' שהוא בטור השפל יהיו ג' ונכתבנו כנגד הטור הראשון שהוא לפני השנים ונשארו לנו ב‫' נשיבם על הה' אחורנית יהיו כ"ה נתן לחמשה האמצעי שבטור השפל ט"ו ונשארו עשרה נשיב אחד אחורנית על הג' וישארו ט' והא' עם הג' י"ג ונקח מהם ט' וישארו ד‫' וט' על הה' כי לא יכולנו לקחת בראשונה הג' מהי' אע"פ שיספיק לו כי אינו מעלתו עכשיו אע"פ שלקח ממנו בראשונה כי בראשונה היה שלישי לו כי האחרון שבטור השפל לקח מן הח' אבל עתה לקח מן הב' א' ואחר שהוא שלישי צריך הוא שיקח ממעלתו השלישית והנה הנשאר ד' ט‫'
	דמיון אחר   ב       ג 0   0 ה א   ג ו 0 ה ט ג ח א     ג א   ב ט ו
$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\div3={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{3}}}}}$   $\xrightarrow{\scriptstyle33-\left({\color{red}{3\times9}}\right)=33-27={\color{green}{6}}}$ 0    $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{6-1={\color{green}{5}}}_{18-\left({\color{red}{3\times6}}\right)=18-18={\color{green}{0}}}}$ 05   3    36   360  9381 9381 9381 9381   3    3    3   296  296  296  296	באנו לחלק ט' על שנים והנה לא יכולנו לתת לו ד' כי לא ישאר אלא א' וכאשר תשיבהו אחורנית הנה עם הג' י"ג וט' ד' פעמים ל"ו על כן נתן לו ג' נשארו ג‫' נשיבם כלם אחורנית לשני לו שהוא ג' ויהיו שם ל"ג נתן לט' ג' יהיו כ"ז נשארו ו' על הג‫' נקח מהם א' ונניח ה' נשיבהו על הח' שהוא שלישי לאחרון שבטור העליון ועם הח' יהיו י"ח נתן אותם כלם לו' שהוא שלישי שבטור השפל נכתוב על הח' גלגל לפי שלא נשאר על הח' מאומה
$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\div2={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{3}}}}}$   $\xrightarrow{\scriptstyle^{3-1={\color{green}{2}}}_{10-\left({\color{red}{1\times9}}\right)=10-9={\color{green}{1}}}}$  2   $\scriptstyle\xrightarrow{11-\left({\color{red}{1\times6}}\right)=11-6={\color{green}{5}}}$  2    3    3    30  05   051  051  360  360  3605 9381 9381 9381   31   31   31  296  296  296	נשוב לחלק שעדין לא יצא לחוץ נקח מן הה' שהנחנו על הג' שהוא שני בטור העליון שנים שהוא אחד נכתוב זה האחד על הו' אחרי הג' ששמנו על הט' בחלוק הראשון והוא שלישי בטור השפל וכבר יצא לחוץ נקח מן הג' שעל הג' אחד וישארו שנים נתן האחד על הגלגל והם י' נתן לט' שבטור השפל ט' נשאר על הגלגל א‫' נשיבהו אחורנית על הא' שהוא רביעי וראשון בטור העליון והם י"א נתן לו ו' נשארו ה' על הא‫'
$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle31\ the\ result\\&\scriptstyle205\ the\ remainder\\\end{align}}}$	הנה הנשארים על הטור העליון ה' וגלגל וב' שהם ר"ה ולא יתחלקו יותר שהג' שבטור השפל הם רצ"ו והנלקח לכל אחד ל"א
	דמיון אחר   א 0     0 ח א ח   ב ד ד ב   ג ה ו ד   ה ד 0 ט ג       א ח   ב ט ד ה

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\div2={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{3}}}}}$		$\xrightarrow{\scriptstyle^{3-1={\color{green}{2}}}_{14-\left({\color{red}{1\times9}}\right)=14-9={\color{green}{5}}}}$	2	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{5-1={\color{green}{4}}}_{10-\left({\color{red}{1\times4}}\right)=10-4={\color{green}{6}}}}$	24	$\scriptstyle\xrightarrow{9-\left({\color{red}{1\times5}}\right)=9-5={\color{green}{4}}}$	24
		3		35		356		3564
54093		54093		54093		54093		54093
		1		1		1		1
2945		2945		2945		2945		2945

בקשנו לחלק הטור העליון על הטור השפל לתת לו ב' לא נוכל שלא ישאר כי אם א' וד' והם י"ד ויש לנו לחלק על ט' ב' פעמים אך נתן לו א' ונשים אותו כנגד ט' שהם בטור העליון שהוא רביעי לה' אחורנית כשנים בטור השפל שהוא רביעי לה' ראש שבטור השפל נשארו ג' על הה‫' נקח מהם אחד ישארו ב' על הה' נשיבהו אחורנית על הד' יהיו י"ד יקח ט' ישארו ה‫' יש לד' שבטור השפל לקחת מן השלישי שבטור העליון למען כי שלישי הוא ולא נוכל כי השלישי שבטור העליון גלגל הוא נשיב מן הה' שהנחנו על הד' אחד על הגלגל יהיו י' יקח ד' ישארו ו' על הגלגל יקח הה' שהוא ראש בטור השפל והוא רביעי יקח מהרביעי שבטור העליון שהוא ט' ישארו על ט' ד‫'

נשוב לחלק כי עדין לא יצא והנשארים ג' מן הטור העליון שהוא ראשון וחמישי ועל הט' ד' ועל הגלגל ו' ועל הד' ד' ועל הה' ב‫'

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{24\div2={\color{blue}{8}}+r{\color{green}{8}}}}}$		$\xrightarrow{\scriptstyle^{8-7={\color{green}{1}}}_{76-\left({\color{red}{8\times9}}\right)=76-72={\color{green}{4}}}}$	1	$\scriptstyle\xrightarrow{44-\left({\color{red}{8\times4}}\right)=44-32={\color{green}{12}}}$	1	$\xrightarrow{\scriptstyle^{12-4={\color{green}{8}}}_{43-\left({\color{red}{8\times5}}\right)=43-40={\color{green}{3}}}}$	10
	08		08		081		0818
	24		244		2442		2442
	3516		3516		3516		3516
	54093		54093		54093		54093
	18		18		18		18
	2945		2945		2945		2945

	נשיב הב' על הד' והם כ"ד נתן לב' שהוא רביעי שבטור השפל ח' נשארו ח' על הד‫' נשיב מהם ז' על הו' אחורנית וא' נשאר על הד' ויהיו ע"ו נקח לט' ע"ב נשארו ד' במקום הו‫' אם נשיב מהם ג' ואמת כי הד' שבטור השפל יוכלו לקחת מהג' עם הד' שאחריהם שהם ל"ד אך לא ישאר כי אם שנים וכשנשיב אותו על הג' יהיו כ"ג לבד ויש לה' שיקחו מ‫' לפיכך נשיב כל הד' אחורנית על הד' ונכתוב גלגל במקום הו' כנגד הגלגל שבטור העליון והם מ"ד יקחו הד' ל"ב נשארו י"ב נקח מהם ד' כי לא יהיה די לנו בפחות וישארו ח' על הד' שהם על הט' ועם הג' הם מ"ג יקחו הה' מ‫'
$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle18\ the\ result\\&\scriptstyle1083\ the\ remainder\\\end{align}}}$	ישארו ג' על הג' וח' על הט' שהם פ' וגלגל להוציאו ממאות ולהכניסו לאלפים וא' על הרביעי שהוא על הד' שהוא אלף ואלה לא יתחלקו כי המחולק גדול מזה שהוא אלפים וט' מאות ומ"ה‫
	דמיון אחר בקשנו לחלק ס"ח אלפים וט' מאות וכ"א על ז' אלפים ונ"ג וזהו הדמיון‫       ד   0 ה ד ז ד ו ח ט ב א         ט   ז 0 ה ג

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{68\div7={\color{blue}{9}}+r{\color{green}{5}}}}}$		$\xrightarrow{\scriptstyle^{9-5={\color{green}{4}}}_{52-\left({\color{red}{9\times5}}\right)=52-45={\color{green}{7}}}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{7-3={\color{green}{4}}}_{31-\left({\color{red}{9\times3}}\right)=31-27={\color{green}{4}}}}$	4
		05		0547		05474
68921		68921		68921		68921
		9		9		9
7053		7053		7053		7053

	ז' שהוא רביעי בטור השפל לא יוכל לקחת מו' שהוא חמישי בטור העליון ומאחר שלא נוכל לתת לז' כל הצורך‫ נשיב אותו כלו אחורנית על הח' ויהיו ס"ח הנה חלקנו מן הח' שהוא רביעי לטור העליון נתן לז' ט' נוציאנו לחוץ על הג' שהוא רביעי בטור השפל נשארו ה' על הח‫' הנה השני לז' לא יקח מאומה כי הוא גלגל יש לה' שיקח מן ב' הרביעי בטור העליון שהוא שלישי לחלוק לא יוכל לקחת נקח מן הט' שאחריו ה' נשיבם על הב' יהיו נ"ב וד' נשאר על הט' והה' מנ"ב יקחו מ"ה ישארו ז' על הב‫' מן הז' נקח ג' ונשיבם אחורנית על א' והם ל"א יקחו ג' כ"ז נשאר ד' על א‫'
	דמיון אחר נרצה לחלק תר"פ אלפים ות"ב על אלפים וט‫'   0   ג       א א ד ו   0 ז ז ז ג 0 ו ח 0 ד 0 ב       ג ג ח     ב 0 0 ט
	מספרים על מספרים שיהיה בטור העליון ב' גלגלים וכן בטור השפל
	נתן לב' הרביעי בטור השפל ג' מהו' הששי בטור העליון
	הנה הגלגל שני בטור השפל יש לו שיקח מן הח' ולא יקח כלום
	והגלגל השלישי שבטור השפל יש לו שיקח מן הגלגל השלישי בטור העליון ולא יוכל לקחת
	יש לט' הראשון בטור השפל לקחת מד' שבטור העליון לא יוכל צריכין אנו שנשיב מן הח' השני בטור העליון מה שיספיק לו נשיב א' אחורנית כי די לנו בא' ונכתוב על הח' ז' והא' שהשיבונו אחורנית על הגלגל יצא לנו בעשרות ועוד לא יספיק נקח מהם ג' ונשיבם אחורנית ונשארו ז' על הגלגל והג' הם ל' על הד‫'
	נשארו ז' במקום ד' וגלגל ושנים הראשונים שבטור העליון וז' שעל הגלגל וז' שעל הח‫'
	עוד נשוב לחלק שהרי לא יצא נקח לו ג' מן הז' שעל הח' ונשימהו תחת הגלגל הראשון שהוא רביעי לח‫'
	ונשאר א' על הח‫'
	יש לגלגל שיקח מן הגלגל לא יוכל‫
	ויש לגלגל שאחריו שיקח ממעלתו שהיא הז' שעל הד' לא יוכל
	יש לט' שיקח מן הגלגל שהוא מעלתו לפי שהוא רביעי לחלוק ולא יוכל לפי שאין על הגלגל כלום וגם לא יוכל להשיב אותו אחורנית על השנים כי השנים אינם מעלתו נשיב מן הז' שעל הד' שלפניו ג' נשימם על הגלגל והם ל‫'
	נשארו ג' על הגלגל וד' על הד' לפניו וז' על הגלגל שהוא לפני הח' וא' על הח‫'
	נשוב לחלק שעדין לא יצא לחוץ הנה מן הא' לא יוכל לקחת האחרון שבטור השפל נשיב אותו אחורנית על הז' שהוא על הגלגל והם י"ז נתן לו ח' נוציאם לחוץ אחרי הג' כי הוא רביעי לחלוק כי מן הז' שעל הגלגל חלקנו
	ושם נשאר א‫'
	הנה יש לגלגל שיקח מן הד' ולא יקח
	גם יש לגלגל האחר שיקח מן הג' שעל הגלגל שבטור העליון ולא יקח‫
	ויש לט' שיקח מן הב' ולא יוכל נשיב אחורנית אם נאמר לג' שעל הגלגל שיתן לב' הראשון לגלגל אין לו מה שיספיק לו כי אין לו אלא ג' נקח מן הד' שבמקום הד' אחד ויהיה על הגלגל עם הג' י"ג נקח מהם ז' ונשיבם על הב' והם ע"ב יצאו הכל בט‫'
	ונכתוב גלגל על הב' שלא נשאר עליו כלום ועל הגלגל שהוא שני לב' נשארו ו' וג' על ד' וא' על הגלגל שהוא שני לח' ואלה נשארו שלא יתחלקו כי המחולק גדול מזה כי המספר הנשאר אלף וג' מאות וס' והמחולק עליו הוא אלפים וט‫'
	דמיון אחר נכבד וקשה מכל החשבונים שתחתיו מאין גלגל
	ובראשונה אפרש כי לעולם כשיתרחק חשבון מחשבון והטעם שיכתב גלגל באמצע כדמיון זה ג0ב לא נאמר נשיב הב' אל הג' או כמה שיצטרך לפי החשבון שבטור השפל לפי שגלגל באמצע אך נשיב הב' או האחד אל הגלגל ואז נחלק כמשפט‫
	ואומר לך כלל אחד מכל החשבונות שתחלק בין רבים בין מעטים לעולם יש לך לחלק חשבון העליון על התחתון עד שיצא לסוף החשבונות בא על סופו אם יש גלגל עליו לא יתחלק עוד‫
	כמו זה וזה צורת הנכבד והקשה‫
	דמיון בקשנו לחלק חשבון ט' שביעיות על ד' תשיעיות‫         0               0 א               א ה ה           0 ח ו ו           א ט ג 0           ז ה ה ה ה       0 ח ח ו ו ו       א ד ט ב ג 0       ז ז ה ה ה ה ו   0 ח ח ח א א ב 0   א ד ד ד ד ד ד ה ב ז ז ז ז ז ז ז ז ז         ז ז ז ח ה           ט ט ט ט
	הנה ראש כל דבר אוֹרְךָ איכה תחלק אחר שתראה שהז' פחות מהט‫'
First version
	תצטרך להשיבו אחורנית וזהו הדמיון ותחלה כשתחל לחלק תתן לט' ז' ותכתבנה אחורנית במעלת הד' שתחלק ממנו שהוא שני לט‫'
	והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר במעלת א' לחלוק ז' וכן בשני לחלוק ז' ובשלישי לחלוק ח' וברביעי לחלוק ד‫'
	נשוב לחלק נשיב הז' שהוא בשני אל השלישי אחורנית ונחלק ממנו ונכתוב ז' תחת ז' ששי שהוא ד' לחלוק והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר ז' ואחריו נכתוב ח' ואחריו ה' ואחריו ד‫'
	נשוב לחלק נשיב ז' על הח' ונשים אותה במערכת ד' והנותר ט"ו ומה שתשאיר ח' ואחריו ה' ואחריו ה' ואחריו ד' ותכתוב ז' תחת השלישי שהוא הרביעי לחלוק‫
	נשוב לחלק נשיב ח' על ה' ונתן ח' תחת השמיני שהוא ז' רביעי לחלוק ישאר ה' על ה' ואחריו ה' ואחריו ה' ואחריו ה‫'
	נשוב לחלק נתן ה' על ה' אחורנית ונתן ה' תחת ז' התשיעי והוא רביעי לחלוק והנשאר י' ומה שתשאיר ה' ואחריו ה' ואחריו ו' ואחריו ב‫'
	ועוד לא יתחלק כי כבר יצא לחוץ בה' וכי הנותר הוא ה' אלפים וה' מאות וס"ב והמחולק עליו ט' אלפים וט' מאות וצ"ט והמקובל ע"ז אלף וז' מאות ופ"ה‫
	וכלל חלוק החשבון ג' זיינין וג' חיתין וג' דלתין וט' ההין וו' אחת וב' אחת‫
	והכלל כי עם כל החלוקים ד' חוץ מן האחרון שנתמעט עד ג‫'
Second version
	לכן שימהו לאחור לז' ויהיו ע"ז וחלקם על ט' ולא תוכל ליתן לו יותר מז' לצורך שאר המספר וישארו י"ד תניח מהם ז' לחלוק השני וז' תשימהו לאחור על הז' השלישי ויהיו ע"ז וחלקם על ט' השני וישארו י"ד תניח מהם ז' לחלוק שני והז' תשימהו לאחור אל הרביעי יהיו ע"ז וחלקם על הט' השלישי וישארו י"ד תניח מהם ח' לחלוק שני והו' תשימהו לאחור אל הז' החמישי ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד‫'
	נמצא שנשארו לחלוק השני ז' ז' ז' ז' ז' ח' ז' ז‫'
	החלוק השני תשלח ז' לאחור ויהיו ע"ז וחלקם על הט' הראשון וישארו י"ד תניח מהם ז' לחלוק שלישי והז' שלחהו לח' שלפניו ויהיו ע"ח וחלקם על הט' השני ותן לו ז' כמו כן וישארו ט"ו תניח מהם ח' לחלוק שלישי וז' תשלחהו לאחור אל הד' ויהיו ע"ד וחלקם על הט' השלישי וישארו י"א תניח מהם ה' לחלוק שלישי והו' שלחהו אל הז' ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד‫'
	נמצא שנשארו לחלוק שלישי ז' ז' ז' ד' ה' ח' ז‫'
	החלוק השלישי תשיב ז' לאחור ויהיו ע"ח חלקם על ט' הראשון ותוכל לתת לו ז' ולא יותר וישארו ט"ו תניח מהם ח' לחלוק הרביעי והז' שימהו לאחור אל הה' ויהיו ע"ה וחלקם על ט' השני ותן לו ז' כמו כן וישארו י"ב תניח מהם ה' לחלוק רביעי והז' שימהו לאחור אל ד' ויהיו ע"ד וחלקם על ט' שלישי וישארו י"א תניח מהם ה' לחלוק הרביעי והו' שימהו אחורנית אל הז' ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד‫'
	ונמצא שנשארו לחלוק רביעי ז' ז' ד' ה' ה' ח‫'
	חלוק הרביעי שים ח' אחורנית על הה' ויהיו פ"ה תוכל לחלקם על הט' הראשון וליתן לו ח' וישארו י"ג תניח מהם ה' לחלוק חמישי והח' שלחהו אחורנית אל הה' ויהיו פ"ה וחלקם על הט' השני וישארו י"ג תניח מהם ה' לחלוק חמישי והח' שלחהו אחורנית אל הד' ויהיו פ"ד וחלקם על הט' השלישי ח' כמו כן וישארו י"ב תניח מהם ה' לחלוק חמישי והז' שלחהו לאחור אל הז' ויהיו ע"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ה‫'
	ונמצא הנשאר לחלוק חמישי ז' ה' ה' ה' ה‫'
	חלוק חמישי שים ה' אחורנית ויהיו נ"ה תן מהם ה' על הט' הראשון וישארו י' תניח מהם ה' בלתי מחולקים והה' תשלח אחורנית אל הה' השלישי ויהיו נ"ה ותן על הט' השני ה' כמו כן וישארו י' תניח מהם ה' בלתי מחולקים והה' שלחהו אל ה' הרביעי ויהיו נ"ה ותן על הט' השלישי ה' כמו כן וישארו י' תניח מהם ו' בלתי מחולקים והד' שלחהו אל הז' ויהיו מ"ז וחלקם על הט' הרביעי ה' כמו כן
	וישארו בלתי מחולקים ב' ו' ה' ה‫'
Check	והנה נשלים לדעת המאזנים אם חלקת נכונה‫
casting out by 9	דע מאזני המספר שחלקת עליו בין שיהיה אחד או רבים
	גם דע מאזני המספר שעלה בחלוק שכתבת בין שני הטורים בין שיהיה אחד או רבים
	וכפול זה על זה האמצעי על התחתון ודע כמה נשאר על ט' ט' והוא השמור אם לא נשאר לך מספר שנשאר שהוא פחות מהמספר שחלקת עליו‫
	כי אם נשאר קח המאזנים שלו וחבר אותו עם השמור שהיה לך והמחובר הוא השמור באמת
	וראה מאזני המספר הגדול שחלקת אותו שהיה בטור העליון אם היה שוה למאזני השמור תדע כי חשבונך אמת
inverse operation - multiplication	ואם תכפול מה שיעלה בחלוק על המספר שחלקת עליו אחר שתחבר אליהם מה שנשאר לחלק אז יהיה המחובר שוה למספרי הטור העליון וחלוק נכון‫
Additional excerpts	כלל החלוק
	אם המספר שתחלק עליו שני מספרים או יותר חלק סוף הטור העליון על סוף הטור השפל אם מספר העליון גדול מהשפל
	ואם השפל גדול מהעליון השב סוף העליון לעשרות אחורנית על המעלה הקודמת לה ותצרפם עם הנכתב בה
	ואם במעלה הקודמת לה גלגל ספור העשרות
	וקח ממנו מה שתוכל לתת למספר השפל האחרון וכתוב מה שתוכל לתת לכל מספרי השפל האחרים מה שתתן לאחרון והיוצא כתבהו באמצע שני הטורים רחוק מן המעלה שחלקת ממנה כמרחק סוף השפל מראשו
	וכן תעשה לכל החלוקים שתשוב עליהם בזה החלוק שתמנה מן המעלה שחלקת ממנה כמספר סוף השפל מראשו ושם תכתוב היוצא בחלוק ומהמספר השני לסוף השפל תקחנו מן הסמוך למעלה שחלקת ממנו כמספר הכתוב באמצע הטורים
	ואם לא יספיק לך תשיב מה שנשאר מן המעלה שחלקת תחלה אחורנית אל המעלה הקודמת לה ותצרף עם מה שנכתב בה וקח ממנה מספרך וכן תעשה לכלם
	דמיון רצינו לחלק פ"ג אלפים ותקכ"א על תתק"ג
	הנה הט' שבטור השפל יותר מח' שהוא סוף העליון על כן תשיב הח' אחורנית על הג' יהיו פ"ג ונתן לט' מהפ"ג ט' יהיו פ"א ונשארו ב' על הג'
	והגלגל לא יוכל לקחת מן הה' העליון
	והג' התחתון לא יוכל לקחת מן הה' העליון כי אינו מעלתו לכן השיב מן הה' שלשה על הב' יהיו ל"ב נסיר מהם כ"ז שהם ט' פעמים ג' שהוא ראשון השפל ונשארו ה' על הב' וב' על הה‫'
	ובעבור שהט' התחתון הוא במעלה השלישית וכבר יצא בחלוק ט' נכתבנו במעלה השנית שהוא שלישי לג' העליון שחלקת ממנו
	נשוב לחלק ונשיב ב' אשר על הג' אל הב' אשר על הה' יהיו כ"ב נסיר מהם ב' פעמים ט' כי ט' הוא השפל ונשארו ד' על הה' ונכתוב ב' במעלה הראשונה שהיא שלישית לה' העליון שחלקת ממנו בזה החלוק
	הנה הגלגל לא יוכל לקחת מאומה מן הה' אשר על הב‫'
	והג' השפל לא יוכל לקחת מן הא' העליון ב' כי אין בו רק אחד על כן נשיב אחד מן הה' שעל הב' אל הא' יהיו י"א ונקח מהם לג' התחתון ו' שהם ב' פעמים ג‫'
	ונשארו ד' על הה' וד' על הב' וה' על א' שלא יתחלקו‫
	דמיון אחר רצינו לחלק י"א אלף וש"נ על ק"י
	לקחנו א' מן הא' האחרון העליון וכתבנוהו במעלה השלישית תחת הג' העליון לפי שא' האחרון השפל הוא במעלה השלישית וככה נרחיק היוצא מסוף המספר שהחלות לחלק ממנו
	וכן קח מא' הרביעי העליון א' השני התחתון
	ובעבור שלא נשאר במעלה הרביעית מאומה ונצטרך לשוב לחלק מהג' העליון נקח מהם ג' לא' האחרון מהשפל
	ונכתוב ג' במעלה הראשונה שהיא שלישית לג' העליון שהחלנו עתה לחלק ממנו ולכן שמנו גלגל במעלה השנית
	וזה כי בחלוק הראשון החלונו מסוף העליון ולכן כתבנו היוצא בחלוק ברחוק ג' מעלות ממנו אחורנית כמספר מעלות סוף השפל
	אבל בחלוק השני הזה החלונו לחלק מהג' העליון ולכן נכתוב היוצא רחוק ג' מעלות אחורנית והגיע זה אל המעלה הראשונה
	וא' השני בטור השפל נקח מה' העליון ישארו ב' על הה' והם עשרים שלא יתחלקו‫
	והנה היוצא בחלוק ק"ג
from here proceeds to the check
Chapter Three – Addition	השער השלישי‫
Sums
	כתוב בספרי חכמי החשבון כי הרוצה לדעת כמה המחובר מן המספרים שיעברו על הסדר עד סוף מספר ידוע יכפול אותו על חציו בתוספת חצי אחד והעולה הוא המחובר
$\scriptstyle1+\ldots+11=\sum_{k=1}^{11} k$	דמיון רצינו לדעת כמה הם המספרים המחוברים מא' עד סוף י"א
	הנה ידענו כי חצי י"א ה' וחצי נוסיף חצי אחד הנה יהיו ו' והנה נכפול י"א על ו' יעלו ס"ו והוא המחובר‫
$\scriptstyle2+\ldots+18=\sum_{k=1}^{9} 2k$	דמיון אחר בזוגות כמה המחובר עד סוף י"ח
	והנה לקחנו חציו והוא ט' כפלנו י"ח עליו ועלו קס"ב ועוד יש לכפול חשבון י"ח על חצי אחד יעלו ט' חבר אותו עם קס"ב יעלו קע"א והוא המחובר
	ועל אלו שני הדרכים הולך כל חשבון‫
	דרך אחרת הוסף על סוף המספר אחד שלם וכפול על החצי מהמספר והעולה הוא המחובר
$\scriptstyle1+\ldots+11=\sum_{k=1}^{6} \left(2k-1\right)$	דמיון בנפרדים כמה המחובר עד סוף י"א
	הוספנו אחד והיו י"ב והנה חצי י"א ה' וחצי כפלנו י"ב על ה' וחצי עלו ס"ו וככה המחובר
$\scriptstyle2+\ldots+18=\sum_{k=1}^{9} 2k$	ובזוגות עד סוף י"ח
	הנה חציו הוא ט' הוספנו אחד על י"ח היו י"ט כפלנו י"ט על ט' עלו קע"א‫
	אמר אברהם המחבר
	מצאתי דרך אחרת תוסיף על מרובע סוף החשבון השרש שהוא בעצמו וראה כמה המחובר וחצי המחובר הוא המבוקש
	דמיון ידענו כי מרובע י"א קכ"א ואחר נוסיף על י"א שהוא השרש והוא סוף החשבון יעלו קל"ב וחציו ס"ו
	ומזה הדרך תוכל להוציא כל השאלות שהם בענין הזה‫
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=465$	דמיון שאל שואל חברתי מספרים עד שהגיעו למספר ידוע ועלה המחובר תס"ה כמה הוא סוף החשבון
	כפול לעולם החשבון המחובר וקח שרש הנכפל שעבר ובחון אותו כי אם נשאר בין המרובע ובין הנכפל כמו השרש בלי תוספת ומגרעת תדע כי החשבון נכון והחשבון בעצמו השרש‫
	והנה כפלנו תס"ה ועלה תתק"ל וידוע כי המרובע שעבר היה תת"ק ושרשו ל' והוא סוף המספרים המחוברים והנה אין בין המרובע והנכפל כי אם ל' והוא סוף החשבון
	דרך אחרת כוללת לזוגות ולנפרדים תכפול מרובע חצי המספר ותוסיף עליו שורש זה המרובע שהוא חצי החשבון והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{12} k$	דמיון רצינו לדעת כמה המחברים עד י"ב
	והנה חצי המספר ו' והמרובע ל"ו כפלהו יהיו ע"ב הוסיף על זה ו' שהוא השורש עלו ע"ח והוא המבוקש‫
	שאלה אחרת חברנו כל המרובעים שהם עד סוף החשבון שהוא ידוע כמה המחובר
	יש לך לדעת אותו החשבון שהזכיר כמה יעלה המחובר מהמספרים שלפניו ועמו נשים שם לאותו המספר הידוע ונקראנו סכום והנה נקח שתי שלישיות המספר שהזכיר עם תוספת שלישית אחד ונכפול זה המחובר על סכום המספר והעולה הוא המבוקש והוא המחובר מהמרובעים עד סוף המספר הנזכר
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{7} k^2$	דמיון רצינו לדעת כמה המרובעים שהם עד סוף שבעה‫
	וכבר ידענו שהמחובר כ"ח ונשוב לדעת כמה שתי שלישיות שבעה עם תוספת שלישית אחד והם חמשה כי שתי שלישיות ששה הם ארבעה ויש לנו עוד שתי שלישיות ועם תוספת שלישית אחד והנה נכפול על הסכום ה' ועלו ק"מ והוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{12} k^2$	דמיון אחר כמה המחובר מהמרובעים שהם עד סוף י"ב‫
	וידוע כי הסכום שלו ע"ח ושתי שלישיותיו ח' נכפלנו על ע"ח יעלו תרכ"ד נחבר אליו שלישית הסכום שהוא כ"ו יעלו תר"נ והוא המבוקש
	ועל זה הדרך תוכל להוציא כל השאלות שהם מזה הענין
Additional excerpts
	ואני מצאתי דרך נקלה לחבור המעוקבים
	שאם תרצה לידע המעוקבים שהם עד מספר ידוע דע המספר המחובר עד סוף המספר ההוא וקח מרובעו והוא יהיה חבור המעוקבים עד סוף החשבון ההוא‫
	דמיון רצינו לידע כמה מספר המעוקבים המחוברים עד ה‫'
	והנה מספר המחובר עד סוף ה' הוא ט"ו קח מרובעו יהיו רכ"ה והוא יהיה מספר המעוקבים עד ה‫'
	‫ענין אחר לדעת כמה המחובר מכל הנכפל והוא כפל האחרון במגרעת הראשון
	דמיון כי המחובר מן ג' ו' י"ב הם כ"ד בחסרון ג' הרי כ"א והוא המחובר
	דמיון אחר א' ב' ד' הם ח' במגרע א' הרי ז' והוא המחובר
	וכן אם לא יגיד כי אם סכום אחרון כמו אם ישאל כמה הם הכפולים זה על זה עד ל"ב
	כפול ל"ב יהיה ס"ד תחסר אחד שהוא ראשון ישאר ס"ג והוא המבוקש
	תמצא חבורו מראשו כמ' שהראיתיך עתה ויהיו כ"ח ושמרהו ועוד תקח מן הז' שני שלישיתיו ושליש והם ה' וכפול ה' בכ"ח ששמרת ויעלו
	אז תדע חבורו מראשו ועד י"ב והם כמ' שידעת ע"ח ושמרהו וחזור ותקח שני שלישי י"ב והם ח' ותכפלם על ע"ח יהיו תרכ"ד ועוד חבר לאלו שליש ע"ח והם
	ודע כי החבור הוא שתחל לחבר האחדים תחלה ואחר כן העשרות וכן בסדר וזה הפך החלוק שהוא יעשה אחורנית
	דרך אחרת קח המחובר מן י"ב והם ע"ח ותקח שני שלישי י"ג והם ח' וב' שלישים והסר מהם שליש אחד וישארו ח' ושליש ותכפלם על ע"ח תדע כי הם יעלו כמו כן תר"נ
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{8} k^2$	ואם יאמר כמה המחובר מהמרובעים עד ח‫'
	קח חבורו של ח' והם ל"ו ובקש שני שלישי ט' והם ו' ותכפלם בל"ו ויעלו רי"ו הסר מהם שליש ל"ו והם י"ב וישאר ר"ד והוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=4}^{9} k$	שאלה כמה הוא המחובר מד' עד ט‫'
	אז תעשה כמ' שלמדתיך למטה לכפול ה' בט' ויעלו מ"ה והסר מהם ב' פעמים ג' והם ו' וישארו ל"ט והוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=4}^{9} k^2$	ואם עוד ישאל כמה היא המחובר מהמרובעים כסדר מד' ועד ט‫'
	אז תעשה כמ' שצויתיך למעלה למצוא מחוברם מראשם והם מ"ה ושמרם וקח שני שלישי ט' והם ו' וכפלם במ"ה ויעלו ר"ע ועוד שליש מ"ה והם ט"ו ויעלו רפ"ה ותסיר מזה מרובע א' ב' ג' והם י"ד וישארו רע"א והוא המבוקש
	ועל הדרך הזה תוכל להוציא כל השאלות מזה הענין‫
	ואין צורך להזכיר כל זה רק אזכיר דרך המאזנים
Written calculations
	כשתחבר מספר אל מספר בין שיהיו רבים אלו ואלו שים המספר האחד בטור העליון כפי מעלותיו גם שים המספר השני כפי מעלותיו בטור השפל
	אחר כן חבר כל אחד אל מעלתו והמחובר כתוב אותו בטור שלישי
	אחר כן חבר מאזני הטור העליון אל מאזני הטור התחתון‫
	ואם היה העולה בין שניהם כמאזני הטור השלישי אז תדע כי חשבונך אמת
	ועתה אפרש היאך יכנס בלוחות חכמת המזלות והיאך יצרף שניים לראשונים וראשונים למעלות ומעלות למזלות‫
Addition of Sexagesimal Fractions	ועתה אתן לך דרך כוללת בחכמת המזלות
	חלקו הגלגל על י"ב מזלות והמזל על ל' מעלות
	והמעלות הם כמו אחדים במספר וכל מעלה מתחלקת על ששים יקראו ראשונים
	גם כל ראשון יתחלק לששים עוד ויקראו שניים
	ואין בלוחות המשרתים שברים יותר מאלה
	ודע כי לוחות המשרתים במהלך האמצעי על שני דרכים
	האחד על שנות השמש והם שנות הכלל מחוברים עשרים עשרים‫
	והדרך השנית על שנות הלבנה ושנות הכלל מחוברים שלשים שלשים
	ובספר טעמי הלוחות אפרש זה
	והנה ברצותם לדעת מקום איזה משרת שיבקשו באיזו שעה שירצו יכנסו בשנות הכלל שעברו ויכתבו מה שימצאו כתוב שם ממספר המזלות ויכתבו זה בתחלת הטור
	ואחר יכתבו מה שימצאו במעלות אחרי המספר הראשון באותו הטור בעצמו וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך
	אחר כן יכתבו מה שימצאו מן הראשונים אחרי המעלות והמזלות וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך באותו הטור בעצמו
	אחר כן ישימו השניים אחרי הראשונים באותו הטור בעצמו ויפרישו ביניהם בקו ארוך
	ואחר כן יכנסו בשנות הפרט שעברו ויכתבו מה שימצאו במזלות תחת המזלות והמעלות תחת המעלות והראשונים תחת הראשונים והשניים תחת השניים
	ואחר כן יכנסו כנגד החדשים שעברו ויכתבו כל מה שימצאו שם כל מין תחת מינו
	ואחר כן יכנסו בימות החדש שעברו אל החדש שלא נשלם ויכתבו כל מה שימצאו כנגדם כל מין תחת מינו
	וככה יעשו בשעות השלמות שעברו אחר חצי היום וככה בחלקי השעה שלא נשלמה
	ואחר כן יחל לחבר כל הששים ויקח לכל ששים שניים חלק ראשון ויכתוב כמה ראשונים יעלו מן השניים עם הראשונים שהם לפני השניים והנשאר מן השניים שהם פחותים מן הששים יכתבם לבדד במקום אחר
	ואחר כן ישוב לחבר כל הראשונים ויקח לכל ששים ראשונים מעלה אחת ומה שיתחבר מן המעלות כתוב אותם עם המעלות שהיו לפני הראשונים והראשונים הנשארים שהם פחותים מששים כתוב אותם בטור שכתבת שם השניים רק יהיו נכתבים לפני השניים
	ואחר כן שוב לחבר המעלות וקח לכל שלשים מעלות מזל אחד וכתוב המעלות העולים עם כל המעלות שהיו לך ומה שישארו מן המעלות שהם פחותים משלשים כתוב אותם לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד
	ואחר כן הוצא כל שנים עשר מזלות שתמצא והנשאר כתוב אותם לפני המעלות שכתבת לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד
	אז יהיה לך מקום המשרת בגלגל המזלות עם מעלותיו וחלקיו ושנייו
	ולעולם תחל לספור המזלות מראש מזל טלה
	ואם היה מספר המזלות שנים עשר כתוב אותם במקום הראוי להכתב שם מזלות גלגל להודיע כי המשרת עודנו במזל טלה כי לא נשלם רק עבר מן המזל כפי המעלות שתמצא כתובות ויהיו הראשונים מן המעלה הבאה
	כי אם היו המעלות י"ז יהיו הראשונים הם שעברו ממעלת י"ח ונחשוב כי הראשונים השלמים היו ט"ו שלמים ונאמר כי השניים היו מ"ה והנה הם שלש רביעיות החלק הראשון של ששה עשר ראשונים
Chapter Four – Subtraction	השער הרביעי
Written calculations
	לגרוע חשבון אחד מחשבון אחר קל הוא
	רק אתן לך דרך כוללת לגרוע חשבונים רבים מחשבונים רבים על דרך חכמי החשבון גם על דרך חכמי המזלות כי דרך אחרת יש להם
	וככה תעשה
	כתוב החשבון שתרצה לגרוע ממנו בטור העליון וכתוב המספרים שתחפוץ לגרעם בטור השפל
	ולעולם יהיה המספר האחרון בטור העליון גדול מהמספר האחרון שהוא בטור השפל ואל תחוש מן המספרים האחרים
	והנה אם מצאת באחת מן המעלות מספר הטור השפל גדול מהמספר שבטור העליון שהוא כנגדו השב אחורנית מהמספר שאחריו אחד לבדו כי יספיק לך וחשוב אותו עשרה על הדרך שאנו עושין בחלוק
	דמיון הטור העליון ב'ג'ד'ה' והטור השפל ט'ז'ג'ב‫'
	וראוי לגרוע כל אחד מהשפלים מן העליונים כל אחד ממעלתו ב' מה' וג' מד‫'
	ולא נוכל לחסר ז' מג' ולא ט' מב‫'
	ולעולם נחל לחסר אחורנית כדרך החלוק והנשאר נכתבנו בטור השלישי כנגד אותה המעלה שבטור השפל
	והנה גרענו ב' מה' נשאר לנו ג' כתבנו אותו תחת מעלה הרביעית‫
	חסרנו ג' מד' נשאר לנו אחד ולא כתבנוהו רק שמנו גלגל במקומו כי הוצרכנו להשיב אחד אחורנית כי המספר שבטור השפל לפניו גדול משכנגדו העליון והנה היו י"ג חסרנו ממנו ז' ונשארו ו' רק בעבור כי החשבון הראשון שבטור השפל גדול מן העליון שבטור העליון על כן הוצרכנו להשיב אחורנית אחד ונכתוב ה' בטור השלישי והנה היו למעלה י"ב נחסר ט' ונשארו ג‫'
	וזו היא הצורה‫
	וכאשר תרצה לדעת המאזנים
	תגרע מאזני הטור השפל ממאזני הטור העליון ותשמור הנשאר
	ותראה אם היו מאזני הטור השלישי כמוהו דע כי חשבונך אמת
	ואם היו מאזני הטור השפל גדול ממאזני הטור העליון הוסף לעולם על מאזני העליון ט' וגרע מהמחובר מאזני השפל ותעשה כמשפט‫
	דמיון החסרנו א' מב' נשאר א' השיבונו אחורנית על הגלגל והיו י' חסרנו ז' נשארו ג‫'
	והנה מאזני השפל ח' ומאזני העליון ב' הוספנו עליו ט' והיו י"א החסרנו ח' נשארו ג' וככה מאזני השפל
	עתה נדבר על דרך חכמי המזלות כי יותר צורך יש להם לשער הזה מחכמי החשבון
	וכבר הזכרנו כי כן תכון המזלות במעלה הראשונה והמעלות בשנית והראשונים בשלישית והשניים ברביעית
	ולעולם יחלו לגרוע אחורנית השניים בטור השפל מהשניים בטור העליון והנשאר יכתבהו בטור השלישי כנגד השניים העליונים
	ואם היו השניים השפלים רבים מהעליונים יקח מהראשונים העליונים אחד יחשבהו ס' שניים ויחבר אליהם השניים הנמצאים בטור העליון ואחר כן יגרע השניים השפלים כמשפט
	ואם לקח אחד מהעליונים יגרענו מהמספרים הראשונים שהיו שם
	ואחר כן יחסר הראשונים השפלים מהראשונים העליונים הנמצאים שם ויכתוב הנשארים כנגדם בטור השלישי
	ואחר כן יחסר מעלות ממעלות והנשארים יכתבם בטור השלישי כנגדם
	ואם היו המעלות בטור השפל רבות ממעלות הטור העליון יקח מהמזלות אחד ויחשבנו ל' ויחברם אל המעלות הכתובות שם ואחר כך יגרע וישמר שיגרע אחד ממספר המזלות הכתובים בראשונה
	ואחר כך יגרע מזלות ממזלות ויכתוב הנשארים בטור השלישי כנגדם
	ואם היו המזלות השפלים גדולים מהעליונים יוסיף לעולם על העליונים י"ב ואחר כן יגרע ויעשה כמשפט
	לדעת המאזנים
	יחל מהשניים ויגרע מאזני השניים השפלים ממאזני השניים העליונים וישמור הנשאר ויראה אם היה כמוהו מאזני השניים בטור השלישי חשבונו אמת
	ואם ראה שלקח ראשון אחד מן הראשונים ושם עם השניים יוסיף על מאזני השניים העליונים ו' ואחר כך יגרע כמשפט‫
	ויעשה למאזני הראשונים כאשר עשה לשניים
	ואם הוצרך לקחת מעלה והשיבה לס' ראשונים לחברם עם הכתובים שם הוסף על מאזני הראשונים שהיו שם ו' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט
	גם כן תעשה במאזני המעלות כמשפט הראשונים והשניים
	ואם לקחת מן המזלות אחד ששמת אותו עם המעלות הוסף על מאזני המעלות הכתובים בראשונה ג' ואחר כן תגרע ותעשה כמשפט
	ועשה במאזני המזלות כמשפט שעשית בכל אלה
	ואם הוספת על המזלות הראשונים י"ב הוסף על מאזני המזלות הכתובים בראשונה ג' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט
	כלל אומר לך דבר שהוא צורך למגרעת
	לעולם האחרון שבסוף הטור העליון יהיה גדול מהאחרון שבטור השפל כשהטורים שוים שהעליון כמו התחתון
	ואם אין הטורים שוים שהעליון גדול מן התחתון במספר אותיות כזה ישיב האחד אחורנית ודי לו‫
	‫דרך אחרת לגרוע חשבון מחשבון בהפך שכתוב למעלה שיחל לגרוע מן האחדים
	דמיון רצינו לגרוע ט' מב' והנו כזו הצורה
	נקח מג' שלפניו ויחזירנה לאחור ויהיו י"ב נשארו ג' ויכתבם בטור השלישי
	ועתה נרצה לגרוע ז' מג' ולא נוכל כי לא נשאר במקום הג' כי אם ב' נקח מן הד' א' ונחזירהו לאחור על הג' שהוא ב' ויהיו י"ב גרע מהם ז' וישארו ה' ונכתבנו בטור השלישי כנגד הז‫'
	ואחר כן נגרע ג' מד' שהוא ג' שכבר חסרנו ממנו א' ויצא זה כנגד זה לכן נכתוב גלגל בטור השלישי תחת הג‫'
	ואחר כן נגרע מה' וישארו ג' ונכתבנה בטור השלישי תחת הב‫'
Chapter Five - Fractions	השער הה' הוא שער השברים
	ידוע כי האחד כמו נקודה בתוך עגולה על כן לא יתכן להיות האחד נשבר רק בעבור שיקרא הכלל בשם אחד כמו הצורה שהיא כוללת כל הגוף והגוף מורכב משטחים ובעבור זה יעשה האדם מן האחד שברים במחשבה ושברי שברים
	וחכמי החשבון יקחו כל שבריהם מחשבון גדול שיהיו שבריו אחדים שלמים על כן יוציאו החצי משנים והשליש משלשה וככה עד סוף המערכת הראשונה בחשבון
	והדמיון שיקחו ממנו יקראוהו המורה כי על מרובעו יחלקו העולה בחשבון והנשאר שלא יתחלק יהיה חלק ממנו או חלקים שיוכל להזכירו בשם האחדים כמו רביעית שלישית והדומה להם
	ויש פעמים שיהיה המורה חשבון שאין לו חלקים שיוכל האדם לבטא בהם כי הוא חשבון ראשון איננו מורכב כמו י"א או י"ג והדומים להם
	וכבר הזכרתי כי המערכת הראשונה ט' מספרים
	והנה האחד מפאה אחד איננו מספר ומפאה אחרת הוא מספר
	והוא דומה לנפרד כי בחברך כל הנפרדים זה על זה על הסדר יולדו המרובעים
	ודברים רבים אין צורך להזכירם
	והנה נשארו במערכת הראשונה שמנה מספרים והנה חציים ראשונים וחציים מורכבים
	הראשונים הם שנים שלשה חמשה ושבעה
	והמורכבים ארבעה ששה שמנה ותשעה
	וכאשר יצטרכו לשנים שברים שאינם ממין אחד שלם שלא ידמה זה לזה יבקשו כל אחד מהשברים מאיזה חשבון יצא כל אחד מהם ויכפלו חשבון האחד על האחר והעולה בחבור הוא המורה
	ואם היה ג' מינים יכפול החשבון שיצאו ממנו השברים על החשבון השני שיצאו ממנו שברי השני והמחובר יכפלהו על המספר שיצאו ממנו שברי השלישי
	וככה יעשה אם היו ד' מינים או יותר כי יבקשו מורה אחד לכלם
	ונקרא בשם הזה בעבור כי הוא יורה הדרך הישר ואם תרצה קרא לו שם אחר כי לא יזיק
	ואחר שאומר לך דרכי זה המורה אומר לך איך תוכל להוציא שני שברים משני מורים כי הם יותר דרך קצרה
	ואחר שאשלים לדבר על שברי דרך חכמי החשבון ומחלוקותיהם אפרש לך שברי חכמי המזלות כי דרך אחרת להם
	ואחל לתת לך דמיונות מן הקלים ואח"כ אזכיר הכבדים
	ואומר לך כלל בתחלה כי כפלי השברים הפך כפלי השלמים
	כי האומר כפול חצי על חצי כאלו אומר קח חצי החצי והנה העולה רביעית אחד
	ידענו כי החצי יצא משנים והנה חציו אחד וחצי האחר גם הוא אחד והנה אחד על אחד אחד והנה מרובע המורה ד' והנה זה האחד הוא רביעי והוא חצי החצי
	והנה נעשה להפך מנהגנו בשלמים כי נבקש לעולם מהו ערך הנכפל ממרובע המורה
	וכפל שלישית על שלישית יהיה העולה תשיעית
	וכפל רביעית על רביעית יהיה העולה י"ו והנכפל אחד והנה הוא חצי שמינית
	ועל זה הדרך עד עשרה וככה למעלה ממנו
	כמו חלק אחד מי"א כפול על חלק אחד מי"א והנה חלק אחד מקכ"א שהוא המרובע
	ועל זה הדרך תכפול שברי מין האחד על שברי המין בעצמו בין שיהיו שוים או שיהיה אחד מהם גדול מהאחר ואח"כ תחלק על מרובע המורה הנכפל
Example: we wish to multiply 3 quarters by 3 quarters. $\scriptstyle\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}$	דמיון רצינו לכפול ג' רביעיות על ג' רביעיות
The denominator is 4	והנה המורה ד'
We take 3 for each of the 3 quarters - the product is 9 $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot4\right)\times\left(\frac{3}{4}\sdot4\right)=3\times3=9}}$	לקחנו לכל אחד מג' רביעיות ג' והנה הנכפל ט'
We divide it by 16, which is the square of the denominator - it is a half and half the eighth $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}=9\div4^2=9\div16=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	חלקנו אותם על י"ו שהוא מרובע המורה הנה הוא חציו וחצי שמיניתו
	ואם תרצה חלק ט' על ד' והדבר יצא שוה כי רביעית הרביעית חצי השמינית
Example: we want to multiply 3 fifths by 4 fifths. $\scriptstyle\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}$	דמיון בקשנו לכפול ג' חמישיות על ד' חמישיות
The denominator is 5	והנה המורה ה'
We take 3 for the 3 fifths and 4 for the 4 fifths, we multiply 4 by 3, the result is 12 and this is the product $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{5}\sdot5\right)\times\left(\frac{4}{5}\sdot5\right)=3\times4=12}}$	לקחנו בעבור הג' חמישיות ג' ובעבור הד' חמישיות ד' כפלנו ד' על ג' עלו י"ב והוא הנכפל
	והנה ב' חמישיות המרובע וב' חמישיות חמישית
	ואם אמר שברים מב' מינים
One says: multiply 2 thirds by 3 quarters. $\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}$	שיאמר כפול לי ב' שלישיות אחד על ג' רביעיותיו
We seek for a common denominator: we multiply 3 by 4 and this is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{3\times4}}$	נבקש המורה לשניהם ונכפול ג' על ד' והוא המורה
We take 8 for the 2 thirds and 9 for the 3 quarters, we multiply 8 by 9, the result is 72 and this is a half of 144, which is the square of the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{2}{3}\sdot\left(3\times4\right)\right]\times\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3\times4\right)\right]=8\times9=72=\frac{1}{2}\sdot144=\frac{1}{2}\sdot\left(3\times4\right)^2}}$	והנה נקח בעבור ב' השלישיות ח' וג' רביעיות ט' נכפול ח' על ט' יעלו ע"ב והוא חצי קמ"ד שהוא מרובע המורה
The result of multiplication is one half $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{2}}}$	ועלה בחשבון מחצית אחד שוה
	ואם תכפול ב' על ג' יהיה כמו כן מחצית המורה שהוא י"ב
	ואם עשית זה מב' מורים יהיה הדבר יותר קל ואין צורך למרובע המורה רק הסתכל לעולם אל הנכפל העולה מכפל המורה האחד על האחר וחשבהו כמו המרובע ועליו תחלק
	דמיון לקחנו המורה האחד ג' בעבור כי אמר שלישיות והמורה האחר ד' בעבור כי אמר רביעיות נכפול המורה האחד שהוא ג' על המורה האחר שהוא ד' ועלו י"ב והוא המבוקש כי העולה נקח ערכו אליו ונקח בעבור הב' שלישיות שנים כי מג' לקחנוהו ומג' רביעיות שלשה כי מד' לקחנוהו ונכפול ב' על ג' עלו ו' והוא חצי מספר הנכפל מהמורים
Question: how much are 4 sevenths multiplied by 7 ninths? $\scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{7}{9}$	שאלה כמה ד' שביעיות כפולים על ז' תשיעיות
We seek for a common denominator: it is 63 by the multiplication of 7 by 9 $\scriptstyle{\color{blue}{7\times9=63}}$	נבקש מורה אחד לשניהם והנו ס"ג בכפל ז' על ט'
Its 4 sevenths are 36, for the seventh is 9 and its 7 ninths are 49, since the ninth is 7, we multiply 36 by 49, the result is 1764 $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{7}\sdot63\right)\times\left(\frac{7}{9}\sdot63\right)=\left(4\sdot9\right)\times\left(7\sdot7\right)=36\times49=1764}}$	וד' שביעיותיו הם ל"ו כי השביעית ט' וז' תשיעיות מ"ט כי התשיעית ז' ונכפול ל"ו על מ"ט עלו אלף ותשס"ד
The square of the denominator is 3969 $\scriptstyle{\color{blue}{63^2=3969}}$	ומרובע המורה ג' אלפים וט' מאות וס"ט
	וכאשר חלקנו חשבוננו הראשון על ס"ג עלו כ"ח שהם ד' על ז' והם מן ס"ג ד' תשיעיות שלמות או אם תרצה לומר שהם ג' שביעיות ותשיעית שביעית
	ואם לקחנו בב' מורים יהיה הנכפל ס"ג והעולה בידנו בכפל כ"ח והנה הדבר שוה
	ואם היו שברים מג' מינים
$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}$	כמו ב' שלישיות וה' ששיות וד' שביעיות
	קח להם מורה אחד והוא שנכפול ג' על ו' עלו י"ח עוד נכפול י"ח על ז' עלה קכ"ו והוא המורה הנה ב' שלישיות קכ"ו פ"ד וה' ששיות ק"ה וד' שביעיות ע"ב כפלנו פ"ד על ק"ה והמחובר על ע"ב והעולה מהם בחלוק הוא חלק ממרובע קכ"ו והחלוק יהיה מ'
	ואם נקח להם ג' מורים מפני היותם ג' מינים לא תצטרך למרובע המורה אבל תקח המורה עליו תחלק הנכפל מהמספרים
	דמיון כפלנו ב' על ה' עלו י' כפלנו י' על ד' עלו מ' והוא חלק מקכ"ו שהם ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית
	או תעשה כן כפול ג' על ו' והוא י"ח והוא המורה וכפול ב' על ה' יהיו י' נקח ד' שביעיות מי' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית
	או כפול ו' על ז' והיו מ"ב והוא המורה וכפול ה' על ד' יהיו כ' נקח ב' שלישיות מכ' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית
	או כפול ג' על ז' עלו כ"א והוא המורה ואח"כ כפלנו ב' על ד' עלו ח' לקחנו ה' ששיות והעולה הוא חלק מכ"א
	ואם היה לנו שלמים עם מספר שאין שם שלמים כי אם שברים
	נקח השברים מהמורה ולכל שלם נתן לו מורה שלם כמספר המורה השלם ונחלק באחרונה על המורה
$\scriptstyle4\times\frac{3}{5}$	דמיון רצינו לכפול ד' שלמים על ג' חמישיות אחד
	והמורה ה' ובעבור שיש לנו ד' שלמים נקח להם כ' ונכפול ד' על ג' ונחלק בה' יעלו ב' שלמים וב' חמישיות
	ואם רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שהם ממין אחד
	נכפול בתחלה השלמים על השלמים ואח"כ הנשברים על השלמים של חשבון האחד גם השלמים של חשבון האחד על הנשברים של החשבון האחד ואח"כ הנשברים על הנשברים
	או נשיב הכל נשברים ונכפול אלה על אלה והעולה נחלקנו על מרובע המורה
$\scriptstyle\left(4+\frac{2}{5}\right)\times\left(5+\frac{3}{5}\right)$	דמיון רצינו לכפול ד' שלמים וב' חמישיות על ה' שלמים וג' חמישיות כזה
	נכפול תחלה השלמים על השלמים עלו כ' אח"כ נכפול ד' על ג' יהיו י"ב חמישיות שברים גם ב' על ה' יהיו י' שברים במיניהם והנה כ"ב שברים ואח"כ נכפול השברים על השברים ב' על ג' יעלו ו' והם שברי שברים במעלה השלישית השלמים נחלקם על ה' שהוא המורה עלה שבר אחד ונשאר לנו במעלה השלישית אחד שהוא שבר השבר והשבר שעלה בידנו נחברנו אל כ"ב שהיה לנו הנה כ"ג נחלקם על ה' עלו ד' שלמים ונשארו ג' והנה השלמים כ"ד והשברים ג' שהם ג' חמישיות שהם ט"ו מכ"ה שהוא המרובע ושבר השבר שהוא חומש החומש שהוא והם י"ו מכ"ה
	והדרך האחרת לקחנו לד' השלמים כ' הוספנו עליו ב' שהם השברים עלו כ"ב חומשין והוא החשבון האחד
	גם השני על הדרך הזאת כ"ח נכפול זה על זה ונחלק העולה על המרובע שהוא כ"ה יעלו כ"ד וישארו י"ו שלא יתחלקו
$\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\left(2+\frac{3}{5}\right)$	דמיון אחר רצינו לכפול ג' שלמים וד' חומשין על ב' שלמים וג' חומשין כזה
	נכפול תחלה שלמים על שלמים והם ו' ואח"כ נכפול שלמים על שברים האלכסונין ג' על ג' והם ט' וב' על ד' והם ח' ובין הכל י"ז שברים ממעלה העליונה ונכפול שברים על שברים ד' על ג' והם י"ב שברי שברים מהמעלה השנית נחלקם על ה' עלו בידנו ב' שברים והנשאר ב' שברי שברים שלא עלה בחלוק נחבר מה שעלה בחלוק עם השברים שהוא י"ז והם י"ט נחלק על ה' עלו ג' שלמים נחברם אל השלמים שהיו ו' והם ט' נשארו ד' שהם כ' שברי שברים ועם שנים שהיו לנו הם כ"ב והנה סך הכל ט' שלמים וכ"ב שברים מכ"ה השלם
	דמיון רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שאין השברים ממין אחד
$\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\left(6+\frac{7}{8}\right)$	הנה על הדרך הזה האחד ג' שלמים וד' חמישיות והשני ו' שלמים וז' שמיניות כזה
	כפול האחדים על האחדים שהם במספר הראשון
	גם כפול השברים על השברים כמשפט כי כפל השברים על השברים הם חלקי המורה
	רק יש לנו לשמור כשנכפול השלמים על השברים כי אין מחלקותם שוה
	והנה נכפול שלמים על שלמים ג' על ו' עלו י"ח ונכפול עוד אלו ג' על שברי החשבון שהם ז' יעלו כ"א נחלקם על ח' כי שמיניות הם יעלו ב' שלמים והנה ב' שלמים ונשארו ה' שמיניות ידענו כי המורה הוא מ' כי תכפול ה' על ח' ואלה הה' שמיניות כ"ה חלקים כי תכפול ה' על חמישיות שהם ה' ונשוב לכפול הו' על ד' חמישיות יעלו כ"ד נחלקם על ה' יעלו ד' שלמים והנה יהיו השלמים כ"ד וישארו ד' חמישיות והם ל"ב חלקים כשתכפול ד' על ח' נחבר אליהם הכ"ה חלקים שהיו לנו יעלו נ"ז חלקים נעשה מהם אחד שלם מארבעים ויהיו כ"ה שלמים ונשארו י"ז אח"כ נכפול ד' על ז' יעלו כ"ח חלקים נחבר אליהם י"ז יהיו מ"ה והנה נתן אחד שלם ממ' ויהיו השלמים כ"ו והנשאר ה' חלקים שהם שמינית אחד
	ודרך חכמי החשבון שיבקשו לשברים שאינם ממין אחד מורה אחד כולל שניהם ומספר המורה הוא אחד שלם
	ובעבור כי השברים הם חמישיות ושמיניות יהיה המורה ארבעים והנה נקח לחשבון שהוא ג' ק"כ ולד' חמישיות ל"ב הנה המספר קנ"ב וזה צורת האותיות ונקח לו' השלמים ר"מ ונחבר אליהם ל"ה שהם ז' שמיניות יהיה המספר השני רע"ה והנה נכפול זה על זה והנה עלה מ"א אלף וח' מאות וז' הצורה
	חלקנום על אלף ושש מאות שהוא מרובע המורה עלו כ"ו שלמים נשארו ר' שלא עלו בחשבון
	ובקש מהו ר' מן המרובע שהוא אלף ושש מאות והנה הוא שמיניתו
	ונוכל לדעת זה הנשאר בדרך אחרת שנחלק לעולם הנשאר מהמרובע על המורה בעצמו והעולה הם חלקים ממנו
	והנה נחלק ר' על מ' עלו ה' שהוא שמיניתו
	דרך אחרת מב' מורים
	הנה נשים החשבון האחד שהוא ג' ט"ו ונחבר אליהם ד' יהיה החשבון הראשון י"ט נקח לששה מ"ח נחבר אליהם ז' יעלו נ"ה והוא החשבון השני נכפול זה על זה יעלו אלף ומ"ה נחלק אותו על הנכפל שהוא כפל ה' על ח' והוא מ' ויעלו כ"ו שלמים נשארו ה' שהוא שמינית
	ועתה יש לנו לדבר על שלמים ונשברים שלא יוכל האדם לבטא בהם
	והנה אם היה אחד מהשברים שיוכל לבטא בהם והאחרים שלא יוכל לבטא בהם יעשה ככה
	דמיון כמה שלש שביעיות אחד על ה' חלקים מי"א כי הוא השלם ולא יוכל אדם לבטא בו
	והנה נכפול השברים על השברים והנה יהיה המורה ע"ז והנה יש לנו להשמר כי השברים יהיו להפך כי כל אחד מהז' יהיו י"א וכל אחד מהי"א יהיו ז' והנה נקח בעבור ג' שביעיות ל"ג ובעבור ה' חלקים מי"א נקח ל"ה והנה נכפול אלה על אלה עלו אלף קנ"ה נחלקם על ע"ז עד שנדע כמה הם השברים העולים מזה הכפל אל ערך ע"ז שהוא השלם והם ט"ו והנה מן ע"ז פחות מעט מחמישית אחד
	ועל דרך דקדוק יפה נחלק אלה ט"ו על י"א שהוא השביעית יעלה שביעית אחד שלם וד' חלקים מי"א
	ואם נחלק על ז' יעלו ב' חלקים מי"א ושביעית חלק
	דמיון אחר לב' שברים שלא יוכל האדם לבטא בהם
	נשים החשבון האחד י"ג והשני י"ט והנה בקשנו לכפול ט' חלקים מי"ג על י"ז חלקים מי"ט
	נבקש בתחלה המורה בזה הדרך שנכפול י"ג על י"ט ועלה המספר רמ"ז והוא המורה אח"כ כפלנו ט' בי"ט ועלה קע"א וכפלנו י"ז בי"ג ועלה רכ"א והנה כפלנו זה על זה והיה העולה ל"ז אלפים ותשצ"א חלקנום על רמ"ז והיה קנ"ג והנה העולה מכפלנו ט' בי"ז הוא ג"כ קנ"ג וערך זה אל רמ"ז כערך המספר הראשון אל המרובע רמ"ז והוא המבוקש
	ואם תרצה לדקדקנו חלק קנ"ג על י"ט ויהיו ח' חלקי' מי"ג וחלק אחד מי"ט בי"ג
	או אם תרצה חלקהו על י"ג ויהיו י"א חלקי' מי"ט וי' חלקים מי"ג בי"ט
	ואם היו לך שלמים עם שברים שהם בדרך זה עשה כדרך שהראיתיך כשיהיו לך שלמים עם שברים שתוכל לבטא בהם
	והזכרתי זה הדרך כי צורך גדול יש אליו ברובי השאלות ובדברי המרובעים לדעת שרשיהם כשהם נשברים ולא יוכל האדם לבטא בהם כמו שאפרש בשער השביעי
	ואומר לך דרך כוללת לשבר שברי הנשברים ואתן דמיון אחד ויספיק לך כי אין צורך לדבר הזה בערכים ולא בשרשים ולא בשאלות
$\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\times\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)$	דמיון כפלנו ב' שלישיות רביעית חמישית על שש (ד') שביעיות שמינית
	והנה השברים רבים אך אלמד לך דרך קצרה איך תעשה דע כי מאחר שיש לך ששיות ושמינית אין צורך לשלישית ורביעית והנה נבקש חשבון שיש לו חמישית וששית ושביעית ושמינית
	נכפול ה' על ו' יעלו ל' גם ל' על ז' יהיו ר"י גם ר"י על ח' יעלו אלף ו' מאות ופ'
	והנה נבקש המספר הראשון והנה חמישית המורה של"ו ורביעיתו פ"ד וב' שלישיותיו נ"ו וזהו החשבון האחד
	וכבר ידענו כי השמינית ר"י ושביעיתו ל' ובעבור שהם ד' שביעיות יהיה המספר השני ק"כ
	נכפול זה על זה יהיה המספר י' (ו') אלפים ופ' (תש"כ) חלקנו זה על אלף ו' מאות ופ' עלו ו' (ד') ואלה הו' (ד') הם חמישית שמינית (חצי ששית) השביעית שהשביעית ר"מ והשמינית ל' והחמישית ו'
	ועתה נשוב לדבר על חלוק השברים: עשה כדרך שהראיתיך שתשיב הנשברים אחדים שלמי'
	ואם היו שלמים עם השברי' עשה כמשפט
$\scriptstyle\left(3+\frac{2}{5}\right)\div\left(2+\frac{4}{7}\right)$	דמיון בקשנו לחלק ג' שלמים ושתי חמישיות על ב' שלמי' וד' שביעיות אחד
	והנה המורה ל"ה והג' שלמים ק"ה וב' חמישיות י"ד והנה החשבון קי"ט ונשיב הב' השלמים האחדים ע' והד' שביעיות כ' הנה צ' חלקנו קי"ט עליו עלה אחד שלם ונשארו כ"ט שהם שתי תשיעיות ועשירית אחד
Example for fractions alone: divide 7 ninths by 2 sevenths. $\scriptstyle\frac{7}{9}\div\frac{2}{7}$	דמיון לנשברים לבדם חלק ז' תשיעיות על ב' שביעיות
	והנה המורה ס"ג ושבע תשיעיותיו מ"ט וב' שביעיותיו י"ח חלקנו זה על זה עלו ב' וו' תשיעיות וחצי תשיעית
	ועל זה הדרך תעשה כי אין צורך גדול לחלק הנשברים
	ונשוב לדבר על חבורם
$\scriptstyle\frac{2}{5}+\frac{5}{7}$	חברנו ב' חמישיות אחד על ה' שביעיות אחד כמה העולה
	הנה המורה ל"ה וב' חמישיותיו י"ד וה' שביעיותיו כ"ה נחברם והנה ל"ט נקח בעבור ל"ה אחד שלם ונשארו ד' שהם ד' חמישיות מהשביעית שהם אחד מל"ה
How Much Problem - Money
$\scriptstyle X+\frac{1}{9}X+\frac{1}{10}X=50$	שאלה חברנו אל ממון תשיעיתו ועשירתו והיו נ'
$\scriptstyle{\color{blue}{90+\left(\frac{1}{9}\sdot90\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot90\right)=90+19=109}}$	נשים המורה צ' וידוע כי תשיעיתו ועשיריתו י"ט נוסיפם על צ' יהיו ק"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot9\sdot10=450\sdot10=4500}}$	והנה גם נשיב הנ' מערך התשיעית יהיו ד' מאות ונ' נשיב הד' מאות ונ' מערך העשירית יהיו ד' אלפים ות"ק
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{4500}{109}=41+\frac{31}{109}}}$	נחלק זה על ק"ט ויעלו מ"א שלמים גם ל"א חלקים מזה שחלקנו עליו
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(41+\frac{31}{109}\right)\right]+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(41+\frac{31}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(36+5+\frac{31}{109}\right)\right]+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(40+1+\frac{31}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[4+\frac{1}{9}\sdot\left(5+\frac{31}{109}\right)\right]+\left[4+\frac{1}{10}\sdot\left(1+\frac{31}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[4+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{\left(5\sdot109\right)+31}{109}\right)\right]+\left[4+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{109+31}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[4+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{545+31}{109}\right)\right]+\left[4+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{140}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[4+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{576}{109}\right)\right]+\left(4+\frac{14}{109}\right)\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left(4+\frac{64}{109}\right)+\left(4+\frac{14}{109}\right)\\&\scriptstyle=41+4+4+\frac{31+14+64}{109}=41+4+4+\frac{31+78}{109}\\&\scriptstyle=41+4+4+\frac{109}{109}=41+4+4+1=50\\\end{align}}}$	והנה נבחן אם זה אמת ידענו כי עשירית מ' ד' שלמים ונקח לאחד שנשאר ק"ט נחבר אליו ל"א שהם יתרים על השלמים הנה ק"מ ועשיריתם י"ד ואלה הם חלקי העשירית הנוספים על השלמים ונשוב לקחת התשיעית והנה מל"ו ד' שלמים ונשארו ה' שלמים נשים כל אחד ק"ט יהיו תקמ"ה נחבר אליהם ל"א היתרים על השלמים יהיו תקע"ו ותשיעיתם ס"ד נחבר אליהם י"ד שעלו מן העשירית יהיו ע"ח גם נחבר אליהם ל"א היתרים יהיו ק"ט והנה אחד שלם והנה הכל נ' שלמים
	שאלה אחרת לקחנו חמישית ממון גם שביעיתו ותשיעיתו כמה הוא מערך הממון
	תוכל להוציא שאלה זו על שני דרכים
	האחד שהתשיעית פחותה משאר השברים האחרים הנה נחשוב כי הם ג' תשיעיות והיתרון שיש בין החמישית והתשיעית ד' והיתרון שיש בין החמישית והשביעית ב' נכפול ב' על ד' יעלו ח' נעשה מן הז' תשיעית אחת יהיו ד' תשיעיות שלמות ונשאר אחד והיתרון בין השביעית (?) והתשיעית (?) ב' והנה הממון הוא ד' תשיעיות וג' חלקים שהם ג' חמישיות שביעית תשיעית
	והדרך האחרת שנבקש מורה שנכפול ה' על ז' יהיו ל"ה גם נכפול זה על ט' יעלו שט"ו והוא המורה ואח"כ נחבר חמישית זה המורה ושביעיתו ותשיעיתו יהיו קמ"ג נחלקם על ל"ה והנה הם ד' תשיעיות ונשארו ג' חלקים מל"ה כי ל"ה הוא התשיעית וה' הוא שביעית התשיעית ולכן ג' חלקים הם ג' חמישיות שביעית התשיעית
How Much Problem - Money
$\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X=40$	שאלה אחרת ממון הוספנו עליו מחציתו ושלישיתו וחמישיתו וששיתו ובין הכל היו מ' כמה היה הממון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1}}$	ידענו כי החצי והשלישית והששית הוא אחד שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=1+1+\frac{1}{5}=2+\frac{1}{5}}}$	ונחשוב כי היה לו אחד והנה שנים ויש לנו תוספת החמישית
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{40}{2+\frac{1}{5}}=\frac{40\sdot5}{\left(2\sdot5\right)+1}=\frac{200}{11}=18+\frac{2}{11}}}$	הנה יש לנו לחלק מ' על ב' וחמישית והעולה הוא הממון והנה נקח לכל אחד מהשלמים ה' ונשים עמהם א' שהוא החמישית יהיו י"א גם נכפול מ' על ה' עד שיהיו דרך אחד יהיו ר' נחלקם על י"א יעלו י"ח שלמים ועוד ב' חלקים מי"א

Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(18+\frac{2}{11}\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(18+\frac{2}{11}\right)+\left(9+\frac{1}{11}\right)+\left[6+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(15+3+\frac{2}{11}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(27+\frac{3}{11}\right)+\left[6+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[3+\left[\frac{1}{5}\sdot\frac{\left(3\sdot11\right)+2}{11}\right]\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[33+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{35}{11}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[33+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left(3+\frac{7}{11}\right)+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[36+\frac{10}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[39+\frac{10}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)=39+\frac{11}{11}=39+1=40\\\end{align}}}$

נבחן זה נקח חציו שהוא ט' שלמים וחלק אחד מי"א והנה יהיה לנו כ"ז שלמים וג' חלקים מי"א והשלישית ו' שלמים וב' שלישיות אחד והנה יהיו לנו ל"ג וג' חלקים וב' שלישיות והחמישית מט"ו נקח ג' שלמים היו לנו ל"ו שלמים ונשאר לנו לקחת חמישית ג' שלמים והנה נקח לכל אחד י"א ונחבר אליהם הב' חלקים היתרים יהיו ל"ה וחמישיתם ז' נחבר אליהם הג' חלקים שהיו לנו וב' שלישיות ונקח ששית י"ח יהיו ג' שלמים נחברם אל ל"ו יהיו ל"ט שלמים ושתי ששיות )שנים( הם שליש אחד נחברנו אל י' חלקים וב' שלישיות חלק שהיו לנו יהיו י"א חלקים והוא אחד שלם והכל מ'

How Many Problem - Group of People
A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us plus one will make 100 $\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100$	שאלה אדם עבר על אנשים אמר להם שלום עליכם מאה איש ענו לו אין אנחנו מאה רק אנחנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעיתנו ועמך נהיה מאה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{\left(4\sdot2\right)+3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}}}$	והנה נקח למספרם אחד ואחד כמוהו הנה שנים וחצינו חצי אחד הנה שנים וחצי נוסיף רביעיתנו הנה יהיו שנים וג' רביעית ובעבור שיש לנו רביעיות נקח לכל אחד שלם ד' יהיו ח' ונחבר אליהם הג' רביעים יהיו י"א
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot\left(100-1\right)}{11}=\frac{4\sdot99}{11}=\frac{396}{11}=36}}$	ובעבור שאמרו כי עמו יהיו מאה יהיה מספרם עם התוספת (ת)צ"ט נשיבם מדרך הד' יהיו שצ"ו נחלקם על י"א יהיו ל"ו וככה מספרם
Buy and Sell Problem
A man bought 100 liṭra for 100 zehuvim. He sold 50 [of them] at 1¼ liṭra for one zahuv, and the other 50 at (1‒¼) liṭra for one zahuv. We want to know: did he earn or lose? $\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100$	שאלה אדם קנה בק' זהובים ק' ליט' ואח"כ מכר הנ' ליט' ורביע בזהוב והנ' האחרים מכר ליט' פחות רביע בזהוב נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot50}{5}+\frac{4\sdot50}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left(\frac{200}{5}+\frac{200}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100\\&\scriptstyle=6+\frac{2}{3}\\\end{align}}}$	נשיב הנ' ראשונים ר' כי רביעיים הם נחלקם על ה' כי ליט' ורבי' ליט' מכר בזהוב ויהיו מ' זהובים גם נכפול הנ' האחרי' על ד' יהיו ר' נחלקם על ג' כי ג' רביעיי' מכר בזהוב והנה יהיו ס"ו זהובים ושתי שלישיות זהוב נחבר אליהם המ' יהיה הריוח ו' זהובים ושתי שלישיות
Buy and Sell Problem
A man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally? $\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1$	שאלה אחרת אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה ממונו
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}$	בקש המורה והוא ל"ה שהוא כפל ה' על ז'
$\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}$	והנה ג' חמישיותיו כ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}$	וד' שביעיותיו כ' והממון היה כ' והליט' י"ב
Buy and Sell Problem
Question: a man bought four sevenths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold five ninths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally? $\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+1$	שאלה אדם קנה ד' שביעיות ליט' בפשוט ומכר אותם ה' תשיעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}>\frac{5}{9}}}$	ידוע כי ד' שביעיות אחד יותר מה' תשיעיות אחד
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{63}}$	והנה המורה ס"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5}{9}\sdot63=35}}$	וה' תשיעיותיו ל"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{x+1\frac{4}{7}\sdot63=36}}$	וד' שביעיותיו ל"ו
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{4}{7}\sdot35}{\frac{5}{9}}=\frac{20}{\frac{5}{9}}=\frac{20\sdot9}{5}=\frac{180}{5}=36=35+1}}$	ותוכל לבחון זה כי אחר שקנה ד' שביעיות ליט' בפשוט וממונו ל"ה הנה יש לו כ' ליט' עשה מהם תשיעיות יהיו ק"פ חלק זה המספר על ה' כי ה' תשיעיות מכר בפשוט יעלה בידך ל"ו
If he earned two pešiṭim $\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+2$	ואלו אמר כי הרויח ב' פשוטים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2\sdot35=70}}$	כפלם על ל"ה יהיו ע'
If he earned three pešiṭim $\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+3$	ואם אמר ג' פשוטים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=3\sdot35}}$	יכפול על ל"ה ג' פעמים וככה עד סוף החשבון
Buy and Sell Problem
Question: a man bought 9/17 parts of a liṭra for one pašuṭ, then he sold 10/19 parts of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally? $\scriptstyle\frac{\frac{9}{17}X}{\frac{10}{19}}=X+1$	שאלה אדם קנה ט' חלקים מי"ז חלקי ליט' בפשוט ומכרם י' חלקים מי"ט חלקי ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{323}}$	בקש המורה והוא שכ"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{9}{17}\sdot323=171}}$	ידוע כי ט' חלקים מי"ז הם קע"א
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{19}\sdot323=170}}$	וי' חלקים מי"ט הם ק"ע וכך היה הממון והליט' צ'
	וזה דבר המגרעת קל הוא כי תשים מורה אחד לב' שברים והמורה תשימנו אחד שלם
Example: we wish to subtract 4 ninths from 5 sevenths. $\scriptstyle\frac{5}{7}-\frac{4}{9}$	דמיון רצינו לגרוע ד' תשיעיות מה' שביעיות
	המורה ס"ג וה' שביעיותיו מ"ה וד' תשיעיותיו כ"ח חסרנו כ"ח ממ"ה ישארו י"ז
	עתה נשוב לדבר על דרך חכמת המזלות
	ושים לבך להבין דרכיהם כי תלמי וחביריו לא מצאו דרך שרשי המרובעים אלא על פיהם
	ודע כי כל עגול ומה שאיננו עגול יכול האדם לחלקו על כמה חלקים שירצה כפי חפצו וצרכו
	והנה חכמי החשבון לא מצאו חשבון קטן שיש לו חלקים רבים שהם אחדים שלמים רק י"ב כי יש לו חצי ושלישית ורביעית וששית וחצי ששית
	והיה כן בעבור שאין חשבון פחות ממנו שיהיו חלקיו רבים ממנו רק הוא לבדו כי חלקיו יוסיפו עליו שלישית
	וק"כ דומה לו בעשרות על כן חלקיו כפל המספר בלי תוספת ומגרעת
	ע"כ חלקו חכמי המזלות הגלגל לי"ב
	וקראו כל מזל בשם צורת הכוכבים העליונים שהם קרובים לקו גלגל המזלות
	ועוד כי מצאו בשנת השמש שתתחדש הלבנה י"ב פעמים
	וחלקו הגלגל על ש"ס מעלות שזה המספר קרוב למספר ימי שנת החמה
	ואין מספר פחות ממנו שכל החלקים שיבטא אדם בהם יש לו חוץ מהשביעית
	ע"כ כשיכפול זה החשבון על ז' יעלה אלפַים וה' מאות וכ' וזהו המספר שיש לו כל החלקים
	ופעמים רבות שיצטרכו בעלי החשבון אליו
	כאומר חשבון חברנו אליו כל החלקים מחצי עד עשירית מה ערך המספר אליו
	כי יחשוב זה החשבון הכולל כי הוא אחד שלם
	וכאשר חלקנו הגלגל על י"ב עלה לכל מזל ל' מעלות ואין מספר פחות ממנו שיש לו חלקים רבים כמוהו כי יש לו חצי שלישית חמישית ששית ועשירית
	ובעבור שאין לו רביעית כפלו זה החשבון והיה ס' על כן חלקו כל מעלה ממנו שהיא כמו אחד על ששים חלקים וקראו אותם חלקים ראשונים וחלקו כל ראשון לששים וקראום שניים גם ככה עשו על כל שני על ששים והעולה יקראו שלישיים וככה יעשו עד עשרה כל אחד לששים ויותר אם יצטרכו
	ועתה יש לדבר איך יכפלו זה על זה
	ולעולם חשוב כי המעלות הם כמו אחדים שלמים
	והנה אם כפלת מעלות על מעלות יהיה הנכפל מעלות וכפל מעלות על ראשונים ראשונים ועל שניים שניים
	והכלל כפל מעלות על איזה מין שיהיה יעמוד אותו המין בעצמו
	וכפל ראשונים על ראשונים יהיה העולה שניים וראשונים על שניים יהיה העולה שלישיים ועל זה הדרך כל המינין
	וכפל שניים על שניים יהיה הנכפל רביעיים ועל שלישיים חמישיים
	וכפל שלישיים על ששיים ששיים עד שיהיה כפל שלישיים על רביעיים שביעיים
	וחמישיים על חמישיים או שלישיים על שביעיים עשיריים
	והנה אתן לך שנים דרכים נכונים
	הדרך האחד במכתב
	שתשים המעלות במעלה הראשונה והראשונים במעלה השנית וככה כל השברים זה אחר זה
	וזה המכתב בהפך מה שאנו עושים בכפל השלמים כי החשבון המעט הוא בראשונה
	ואם אין לך מעלות כתוב גלגל בראשונה ואם אין לך ראשונים כתוב גלגל במקומו וככה תעשה במקום כל שבר אם יש שבר אחריו פחות ממנו
	ובזה הדרך תוכל לדעת באיזו מעלה מן השברים יעמד איזה שבר שתרצה ועשה כדרך השלמי' רק יש לך להשמר שתשים קו באורך בין מיני השברים כלם
	ואם היו ב' חשבונים באיזה מין שיהיה מן השברים כגון כ"ב יש לך לעשות כשתכתבם שים אותם ברוחב שבין שני הקוים במעלתם על הדרך שאתה עושה בשלמים כזה
	הנה כבר שמנו קוים בין השברים והגענום עד שלישיים ככה הטורים העליונים וככה השפלים
	וכאשר כפלנו הטורים העליונים על השפלים עלה מספרם המספר הכתוב למטה
	חלקנו כל מעלה על ששים וחברנו העולה על ההוה במעלה הראשונה והנשאר כתבנו לבדד וככה עשינו מכל מעלה ומעלה עד שהגענו למעלות שהם כמו השלמים
	והנה נשארו מן הששיים ג'ג' ומן החמישיים ו'ה' ומהרביעיים א'ג' ומהשלישיים ד'ב' ומהשניים 0ג' ומהראשונים ז' ומהמעלות גם כן ז'
	והדרך השנית במבטא
	שתחבר השנים השברים ובמחברתם מעלות השברים
	וכאשר עשינו על דרך חכמי החשבון שהשיבונו הטורים העליונים אל שלישיים עלה החשבון כך ג' ד' ו' ד' ו' ד'
	ככה עשינו בשפלים עלה החשבון כך א' ה' ד' ה' א' ז'
	והנה כפלנו זה על זה ועלה המספר כזה ג'ט' ט'ח' ט'ב' ט'ב' ד'ב' ג'ג' והם י"ב טורים
	והנה כל אלה ששיים חלקנום על ס' ועלו חמישיים כזה ו' א' ג' ח'ח' ד'0 ד'ה'ה' ונשארו ל"ה ששיים במספר הראשון
	וככה עשינו על זה הסדר והיה המספר שעלה באחרונה גם הנשאר מכל מעלה ומעלה כמספר הדרך הראשונה
	והוצרכתי להראות דרך אלה החלקים שהם הראשוני' עד שלישיים כי על זה הדרך הוציא תלמי המלך יתרי הקשתות עד שהגיעם אל חמישיים והם בכפל עשיריים
	וכל זה עשה להוציא שרשי המרובעים שאין להם שורש נכון באמת רק יוציאוהו קרוב אל האמת כי לא ישארו בחלוק הכפל ראשונים ולא שניים ואפילו שלישיים כאשר אפרש בשער השביעי
	ודע כי יש בכל חכמה דברים נעלמו מעיני כל החכמים הקדמונים וגם מכל הבאים אחריהם
	כמו שרשי המספרים שאינם מרובעים בחכמת החשבון
	וככה בחכמת המדות לדעת הקו הסובב מאלכסון ידוע
	ולא יכול ארישמדס החכם לקרבו אל האמת רק שנתן ראיות מחכמת המדות כי הקו הסובב ראוי להיותו שלשה מהאלכסון ותוספת י' חלקים מע' במעלה אחת והביא ראיות שיפחתו מחלק אחד מאלו החלקים שניים ולא ידע כמה הם רק הביא ראיה כי התוספת ראויה להיות יותר י' חלקים מע' חלקים וחצי חלק
	ותלמי המלך תפס הדרך האמצעית על כן אמר כי התוספת היא ח' חלקים מס"ג גם ל' שניים ובסוף השער השביעי נדבר על זה
	וככה בחכמת התולדת מצאו חכמים בדרך נסיון בעשבים ובאבנים ובבתי אברי הגוף האדם והם אמת ואין אחד מהם יודע למה היה ככה רק השם ית' הנשגב לבדו
Chapter Six - Proportions	השער הו' הוא שער הערך
	מיני הערכי' על ג' דרכים
	האחד ערכי החשבון והם על הסדר
	כמו א' ב' ג'
	כי לא יתכן להיות הערך פחות מג' מספרים
	או ב' ד' ו'
	או ג' ו' ט'
	והטעם כי הערך בכלם שוה
	פי' כי כיתרון ד' על ב' כן יתרון ו' על ד'
	והערך השני ערכי המדות כמו ד' ו' ט' כי ערך ד' אל ו' כמו ערך ו' אל ט'
	כן כפל הקטן אל הגדול ככפל התיכון על עצמו שהוא מרובעו
	ודע כי אלה הג' מספרים הם כמו ד' כי האמצעי יחשב כאלו הוא מספר אחר
	על כן כל ד' מספרי' שערך הראשון אל השני כערך השלישי אל הרביעי אם תחבר מרובעי ארבעתן ותדע כמה יעלה ותחבר הראשון עם הרביעי ותקח מרובע המחובר ותוסיף עליו מרובע היתרון שיש בין השני ובין השלישי יהיה שוה כעולה בראשונה
	וככה אם תחבר השני והשלישי ותקח מרובע המחובר ותוסיף עליו מרובע היתרון שיש בין הראשון ובין הרביעי ימצא העולה שוה לראשון
	דמיון ערך ד' על ו' כערך ח' אל י"ב
	והנה מרובעיהם ר"ס והמחובר מן הראשון והרביעי י"ו ומרובעו רנ"ו והיתרון בין ו' וח' הוא ב' ומרובעו ד' והנה המספר שוה
	וככה המחובר מן השני והשלישי י"ד ומרובעו קצ"ו והיתרון בין הראשון והרביעי ח' ומרובעו ס"ד והנה המספר שוה
	ודע כי רוב חכמת המזלות ותקוני מקום המשרתים תלויים בחכמת ערכי המדות וככה רובי דיני השאלות בחשבון
	והדרך השלישי ערכי חכמת הנגינות
	והיא חכמה מפוארת מאד כי ערכיה מורכבים מערכי החשבון וערכי המדות
	כי לעולם יהיה הערך שבין הראשון לתיכון אל ערך שיהיה בין התיכון לאחרון כערך המספר הראשון למספר האחרון
	דמיון ב' ג' ו'
	ידענו כי הערך שבין ב' וג' אחד והערך שבין ג' ובין ו' שלשה וככה ערך ב' אל ו'
	דמיון אחר ג' ד' ו' או אם תרצה כ' ל' ס'
	והנה הערך שבין ג' וד' אחד והערך שבין ד' וו' שנים והנה הוא כפלו וככה ו' אל ג'
	והנה אם ידעת השנים מספרי' תוכל להוציא השלישי
	כי אם ידעת הראשון והשני ולא תדע השלישי כפול הראשון על השני והעולה חלקנו על הראשון אחר שתגרע ממנו פי' מהראשון היתרון שיש בינו ובין השני
	דמיון הראשון כפלנו ב' על ג' וחלקנו העולה על הראשון אחר שגרענו ממנו היתרון שבין הראשון והשני והוא אחד והנה היו ו' והוא השלישי
	ובדמיון השני כפל ג' על ד' היו י"ב והיתרון בין ג' וד' אחד גרענוהו מג' שהוא הראשון ונשארו ב' חלקנו עליו י"ב והם ו' לכל אחד והוא השלישי
	ונאמ' כי אם ידענו השני והשלישי ולא ידענו הראשון נכפול אלה הידועי' שהם השני והשלישי ונחלק העולה על המחובר מהמספר השלישי עם היתרון שיש בין השני והשלישי והעולה הוא הראשון
	והנה בדמיון הראשון כפלנו ג' על ו' והעולה י"ח והיתרון שבין השני והשלישי שלשה חברנום אל ו' והיו ט' חלקנו י"ח עליו עלו ב' והוא הראשון
	ובדמיון השני כפלנו ד' על ו' והיו כ"ד חלקנום על ח' שהוא כמספר החשבון השלישי עם היתרון שיש בין השני והשלישי עלו ג' והוא הראשון
	ואם לא ידענו האמצעי ונבקש לדעתו נכפול הראשון על השלישי ונחלק העולה על המחובר מן השנים מספרים והעולה בחלוק נכפלנו והוא המספר האמצעי
	דמיון הראשון כפלנו ב' על ו' עלו י"ב חלקנו על ח' שהוא המחובר משניהם עלה א' וחצי כפלנוהו עלו ג' וככה הוא השני
	ובדמיון האחר כפלנו ג' על ו' עלו י"ח חלקנו על ט' שהוא המחובר משניהם עלו ב' כפלנוהו ועלה ד' והוא המספר השני המבוקש
	וככה בערכי המדות אם לא ידענו האחד מן הד' נוכל להוציאו מן הג'
	ולעולם נשים שתי הקצוות שהם הראשון והרביעי חברים והשנים האמצעיי' שהם השני והשלישי חברים
	והנה אם לא ידענו אחד מן הקצוות איזה מהם שיהיה נכפול האמצעי על חבירו והעולה נחלקנו על אחד מהקצוות שהוא נודע והעולה הוא המבוקש
	ואם לא ידענו אחד מהאמצעיים נכפול אחד מהקצוות על חברו ונחלק העולה על האמצעי הנודע אז ימצא המבוקש
	ועל זה הדרך תעשה בכל השאלות ויש לך להשמר באיזה מקום תשים הגלגל
Word Problems
	ועתה אכתוב לך שאלות רבות כדי להרגילך
How Much Problem - Money
Question: a fifth, a sixth, and a seventh of an amount of money make 10, how much is the money? $\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+\frac{1}{7}X=10$	שאלה ממון חברנו חמישיתו וששיתו ושביעיתו והיו עשרה כמה הממון
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6\sdot7=30\sdot7=210}}$	בקשנו המורה שכפלנו ה' על ו' עלו ל' גם זה על ז' והיו ר"י והוא המורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot210\right)=42+35+30=107}}$	וחמישיתו מ"ב וששיתו ל"ה ושביעיתו ל' והנה שלשתם ק"ז
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{10:X=107:210}}$	הנה ערך הממון שהוא עשרה המחובר מהם אל כל הממון שאינו נודע כערך ק"ז אל ר"י פי' שהוא המורה
	ונעשה הדמיון כך
0 10 210 107	0 ‫0א ‫0אב ז0א
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot210}{107}=\frac{2100}{107}=19+\frac{67}{107}}}$	כפלנו הקצוות שהם י' על ר"י והיו אלפי' וק'‏ חלקנום על האמצעי שהוא ק"ז עלו י"ט שלמים ונשארו ס"ז חלקי' מן ק"ז והוא כל הממון
Replacing lines - the same result	ואלו היינו עושים להפך היה הדבר שוה כזה
210 107 0 10	‫0אב ז0א 0 ‫0א
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{1}{5}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{5}\sdot\left(15+4+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(18+1+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(14+5+\frac{67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\frac{1}{5}\sdot\left(4+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[3+\frac{1}{6}\sdot\left(1+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[2+\frac{1}{7}\sdot\left(5+\frac{67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{\left(4\sdot107\right)+67}{107}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{107+67}{107}\right)\right]+\left[2+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{535+67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{495}{107}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{174}{107}\right)\right]+\left[2+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{602}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{99}{107}\right)+\left(3+\frac{29}{107}\right)+\left(2+\frac{86}{107}\right)=3+3+2+2=10\\\end{align}}}$	ונבחן זה כי ג' שלמים חמישית ט"ו ונשארו ד' שלמי' שלא לקחנו חמישיתם נעשה מן כל אחד ק"ז ונחבר אל המחובר ס"ז יהיה הכל תצ"ה וחמישיתם צ"ט וששית י"ח ג' ונקח לא' הנשאר ק"ז נחבר אליו ס"ז יהיו קע"ד וששיתו כ"ט גם השביעית שנים שלמי' נשארו ה' שאין להם שביעית נקח לכל אחד ק"ז יהיו תקל"ה נחבר אליהם ס"ז יהיו תר"ב ושביעיתם פ"ו נחבר החלקים יהיו שנים שלמים נחברם אל השלמים והיו י'
An amount of money - its seventh and its ninth are 7. $\scriptstyle \frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=7$	דמיון אחר לקחנו שביעיתו ותשיעיתו והיו ז'
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=16}}$	המורה ס"ג והשביעית והתשיעית י"ו וככה הצורה
63 16 0 7	גו וא ‫0 ז
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x={\color{red}{\frac{7\sdot63}{16}}}=27+\frac{9}{16}}}$	הנה החשבון כ"ז שלמים וט' חלקי' מי"ו
First from Last Problem - Money
An amount of money - its seventh and its ninth are subtracted from it and 7 remain. $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X\right)=7$	ואם הפך הדבר ואמר: חסרנו מהממון שביעיתו ותשיעיתו נשארו ז'
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{63-16=47}}$	גם אנו נעשה המורה להפך כי המורה הוא אחד רק נחסר י"ו שהוא השביעית והתשיעית מהמורה ונשארו מ"ז ונכתבהו ככה
63 47 0 7	גו זד ‫0 ז
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot63}{47}=\frac{441}{47}=9+\frac{18}{47}}}$	כפלנו ז' על ס"ג והיו תמ"א חלקנו על מ"ז עלו ט' וי"ח חלקי' ממ"ז ועתה הוא
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(9+\frac{18}{47}\right)-\left[\left[\frac{1}{7}\sdot\left(9+\frac{18}{47}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(9+\frac{18}{47}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(9+\frac{18}{47}\right)-\left[\left(1+\frac{16}{47}\right)-\left(1+\frac{2}{47}\right)\right]=7\\\end{align}}}$	ושביעיתם כדרך שהראיתיך עלה אחד שלם גם י"ו חלקי' לקחנו תשיעיתו והוא אחד שלם וב' חלקי' ונשארו ז' שלמים
Partnership Problem - For the Same Time
Question: four people - one of them had 11 dinar, the second had 13 dinar, the third had 15 dinar, and the fourth had 17 dinar. They earned 19 dinar. How much should each of them take [from the profit]?	שאלה ד' אנשים יש לאחד מהם י"א דינ' ולשני י"ג דינ' ולשלישי ט"ו דינ' ולרביעי י"ז דינ' והרויחו י"ט דינ' כמה יקח כל אחד ואחד
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{11+13+15+17=56}}$	נבחר ראשי כל ממונם והיו נ"ו
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{a_i:56=x_i:19}}$	וכערך כל אחד אל נ"ו ככה יקח מי"ט ונעשה כך
56 18 19 0	וה חא ‫טא 0
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\frac{11\sdot19}{56}=\frac{209}{56}=3+\frac{41}{56}}}$	נכפול י"א על י"ט יעלו ר"ט נחלק על נ"ו עלו ג' שלמי' ונשארו מ"א חלקי‫'
	עשינו כן בי"ג
56 13 19 0	וה גא ‫טא 0
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\frac{13\sdot19}{56}=\frac{247}{56}=4+\frac{23}{56}}}$	עלו רמ"ז חלקנום על נ"ו עלו ד' שלמי' וכ"ג חלקי‫'
	עשינו כך בט"ו
56 15 19 0	וה הא ‫טא 0
$\scriptstyle{\color{blue}{x_3=\frac{15\sdot19}{56}=\frac{285}{56}=5+\frac{5}{56}}}$	ועלו רפ"ה חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמי' וה' חלקי‫'
	עשינו כך בי"ז
56 17 19 0	וה זא ‫טא 0
$\scriptstyle{\color{blue}{x_4=\frac{17\sdot19}{56}=\frac{323}{56}=5+\frac{43}{56}}}$	עלו שכ"ג חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמים ומ"ג חלקים
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{41}{56}\right)+\left(4+\frac{23}{56}\right)+\left(5+\frac{5}{56}\right)+\left(5+\frac{43}{56}\right)=19}}$	חברנו השלמי' ואלה החלקי' ועלו י"ט שלמי' כי אלה החלקי' חלקי נ"ו הם
Converting the dinar to pešuṭim	דרך אחרת השיבונו הריוח כלו פשוטים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{19\sdot12}{56}=\frac{228}{56}=4+\frac{4}{56}}}$	שכפלנו הי"ט דינ' בי"ב עלו רכ"ח חלקנום על נ"ו עלו ד' פשוטי' גם ד' חלקי' מנ"ו כי כל פשוט יתחלק לנ"ו שהם חצי שביעית פשוט לכל דינ'
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1=11\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=44+\frac{44}{56}=\left(3\sdot12\right)+8+\frac{44}{56}}}$	והנה כפלנו י"א על ד' עלו מ"ד פשוטי' שהם ג' דינ' ח' פשוטי' ומ"ד חלקי פשוט
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2=13\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=52+\frac{52}{56}=\left(4\sdot12\right)+4+\frac{52}{56}}}$	גם כפלנו י"ג על הד' והיו נ"ב שהם ד' דינ' וד' פשוטי' ונ"ב חלקי'
$\scriptstyle{\color{blue}{x_3=15\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=60+\frac{60}{56}=\left(5\sdot12\right)+\frac{60}{56}}}$	גם כפלנו ט"ו על ד' והיו ס' פשוטי' שהם ה' דינ' וס' חלקי' חברנו פשוט מנ"ו ושארו ד' חלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{x_4=17\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=68+\frac{68}{56}=\left(5\sdot12\right)+8+\frac{68}{56}=\left(5\sdot12\right)+8+1+\frac{12}{56}}}$	גם כפלנו י"ז על הד' והיו ס"ח פשו' שהם ה' דינ' וח' פשו' וס"ח חלקי' נחבר מהם פשוט ישארו י"ב חלקים

Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot12\right)+8+\frac{44}{56}\right]+\left[\left(4\sdot12\right)+4+\frac{52}{56}\right]+\left[\left(5\sdot12\right)+\frac{60}{56}\right]+\left[\left(5\sdot12\right)+8+1+\frac{12}{56}\right]=19\sdot12}}$

נחבר החלקים כלם יהיו ג' פשו' ונחבר הפשוטי' יהיו ב' דינ' נחברם אל החלק הגדול יהיו בין הכל י"ט דינ'

Purchase Problem – Moneychanger
Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind]. A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{6}X=12$	שאלה יש אצל המחליף שלשה המטבעים שוה הזהוב ממטבע האחד ג' דינ' וממטבע השני ד' דינ' וממטבע השלישי' ו' דינ' ובא אדם אחד ובקש למחליף שיתן לו מג' המטבעי' בזהוב ויהיה המספר בשוה מן היקרים כמו משאינם יקרים
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=9}}$	בקש חשבון שיש לו שלישית ורביעית וששית והוא י"ב והוא המורה וכל החלקים הנזכרים הם ט' והוא דינר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{9}=1+\frac{1}{3}}}$	ונבקש מה ערך י"ב אל ט' והנה הוא כמוהו ושלישיתו
$\scriptstyle{\color{blue}{X=12\sdot\frac{12}{9}=12\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=12+4=16}}$	והנה נוסיף על י"ב פשו' שהוא דינר ד' פשו' שהוא שלישיתו ועלו י"ו פשו' וככה לקח מכל מטבע
Check - is easy:	ולבחון דבר זה קל הוא כי הערכי' נמצאים במהרה
	והנה נשים המטבע של שלשה עקר
16 pešuṭim of coin 6 are 8 pešuṭim of coin 3: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{6}=\frac{2\sdot8}{2\sdot3}=\frac{8}{3}}}$	וידענו כי הי"ו ממטבע ו' הם ח' פשו' ממטבע ג' כי ו' כפל ג'
together they are 24 $\scriptstyle{\color{blue}{16+8=24}}$ [which are two dinar]	והנה בין שניהם כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{3:4=\frac{3}{4}}}$	וידוע כי ערך ג' אל ד' ג' רביעיות
16 pešuṭim of coin 4 are 12 pešuṭim of coin 3 which are one dinar: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{4}=\frac{12}{3}}}$	על כן יהיה חילוף י"ו פשו' ממטבע ד' הם י"ב פשו' ממטבע ג' והנו דינר אחד
the total is 3 dinar	וג' דינ' ממטבע האחד
	וככה תוכל להשיב חלוף מה שלקח לאיזה מטבע שתרצה ואין צורך להאריך
Purchase Problem – Moneychanger
The moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth five dinar of the first [kind of coins]; or seven of the second [kind]; or nine of the third [kind]. [A man] brought one zahuv and wanted to take from all [kinds of coins] for one zahuv equally $\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=1$	דמיון אחר קשה כי אין לו ערכים כי אם בקושי וזהו מחליף יש לו ג' מטבעים האחד ה' דינ' בזהוב והשני ז' והשלישי ט' והביא זהוב ורצה לקחת בשוה מספר שוה מכלם בזהוב אחד
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=35\sdot9=315}}$	עשה כמשפט וכפול ה' בז' והעולה ל"ה וכפול זה על ט' יהיו שט"ו והוא המורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot315\right)=63+45+35=143}}$	וחמישיתו ס"ג ושביעיתו מ"ה ותשיעיתו ל"ה והנה כשנחבר אלה שלשתם יהיו קמ"ג והוא הדינ'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}=2+\frac{29}{143}}}$	נחלק המורה על זה המספר יהיו ב' דינ' וישארו כ"ט חלקים מן קמ"ג וככה יקח מכל מטבע
Check - is difficult:	ולבחון זה קשה הוא כי אם על הדרך שאומר לך בעבור החלקים
	והנה נחל לבחון להשיב המספר הנזכר ממנו ממטבע ז' וממטבע ט' אל מטבע ה' וככה נעשה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}}}$	נשיב הדינ' חלקי' מקמ"ג ונשים עמהן החלקים שהם שט"ו והוא המורה
converting coin 7 to coin 5: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot5}{7}=\frac{1575}{7}=225}}$	ונבקש להחליף מטבע ז' אל ה' ונכפול שט"ו על ה' ויהיו אלף תקע"ה נחלקם על ז' יהיו רכ"ה חלקים ממטבע ה'
converting coin 9 to coin 5: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot5}{9}=\frac{1575}{9}=175}}$	גם אלף תקע"ה על ט' לדעת כמה יהיו מהמטבע השני והנה קע"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+225+175}{143}=\frac{715}{143}=5}}$	וכאשר תחבר אלה ג' מספרים שהם ממטבע אחד שט"ו גם רכ"ה גם קע"ה והנה הכל תשט"ו חלקנום על קמ"ג שהוא הדינ' עלו ה' דינ' שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{X=2+\frac{29}{143}}}$	או אם תרצה חשוב ככה כבר היו ממטבע ה' ב' דינ' וכ"ט חלקים
converting coin 7 to coin 5: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{225}{143}=1+\frac{82}{143}}}$	וכאשר החלפנו זה המספר ממטבע ז' יהיו רכ"ה חלקים שהם דינ' אחד ופ"ב חלקים
converting coin 9 to coin 5: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{175}{143}=1+\frac{32}{143}}}$	ואם ממטבע ט' יהיו קע"ה שהם דינ' אחד ול"ב חלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{29}{143}+\frac{82}{143}+\frac{32}{143}=\frac{143}{143}=1}}$	חברנו כל החלקים יהיו קמ"ג שהם דינ' אחד והנה המספר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}}}$	ועוד נשיב הכל למטבע ז' והנה כבר היו לנו שט"ו חלקים שהוא המורה
converting coin 5 to coin 7: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot7}{5}=\frac{2205}{5}=441}}$	ונרצה לדעת כמה חלקי' יהיו ממטבע ה' והנה נכפול שט"ו על ז' יעלו אלפים ור"ה נחלק על ה' יעלו תמ"א
converting coin 9 to coin 7: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot7}{9}=\frac{2205}{9}=245}}$	גם נחלק עוד זה המספר על ט' יהיה העולה רמ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+441+245}{143}=7}}$	נחבר כל אלה החלקים ונחלק המחובר על קמ"ג יהיו ז' דינ'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}=2+\frac{29}{143}}}$	ועוד נשיב הכל למטבע ט' והנה יש לו מהמטבע שלו שט"ו חלקים שהוא המורה שהם ב' דינ' גם כ"ט חלקי'
converting coin 5 to coin 9: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot9}{5}=\frac{2835}{5}=567}}$	ונשוב לכפול שט"ו על ט' יהיו אלפים ותתל"ה נחלק זה המספר על ה' יהיו תקס"ז
converting coin 7 to coin 9: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot9}{7}=\frac{2835}{7}=405}}$	גם נחלק זה על ז' שהוא המטבע האחר יהיו ת"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+567+405}{143}=\frac{1287}{143}=9}}$	וכאשר נחבר אלה החלקים של ג' מטבעים יהיו אלף רפ"ז וכאשר נחלק זה על קמ"ג יהיו ט' דינ' שלמים
	וככה תעשה אם היו מטבעים או יותר
explanation - the position of the zero [= representing the unknown]	עתה ארצה לבאר לך באיזה מקום תשים הגלגל והנה נעשה דמיון
Payment Problem
Question: Reuven hired Shimon to work with him 17 days and he will pay him 11 pešuṭim, but he worked 9 days. $\scriptstyle\frac{17}{11}=\frac{9}{X}$	שאלה ראובן שכר שמעון שיעבוד עמו י"ז ימים ויתן לו י"א פשו' והנה עבד ט' ימים
Rule of Four: (working days) : (total days) = (actual payment) : 11 pešuṭim	והוא אין ספק כי כערך הימים שעבד אל כל הימים שהיה התנאי שאותו הערך בעצמו יקח מי"א שהם הפשוטים
the zero is first	והנה נשים הגלגל הראשון והשני י"א והשלישי ט' והרביעי י"ז ככה
11 0 17 9	‫אא 0 זא ט
the zero is second	ואם נרצה נשים הגלגל שני ומספר הרביעי ט' שנעשה ככה
0 11 9 17	‫0 אא ט זא
if the greater number of pešuṭim is placed first, then the greater number of working days should be placed second	כי כאשר שמנו המספר הגדול בראשונה של פשוטים ככה נשים במספר השני המספר הגדול של ימי העבודה שלישי ראשון לשנים האחרונים
the zero is third	ונוכל לשום הגלגל שלישי כזה
17 9 11 0	זא ט אא 0
the zero is fourth	ונוכל לשום הגלגל רביעי ככה
9 17 0 11	ט זא ‫0 אא
all options are the same	והכל שוה
Payment Problem - Carrying Wheat
Question: Reuven hired Shimon to carry 13 measures of wheat on his beast [a distance of] 17 miles and his payment will be 19 pešiṭim, but he carried 7 measures for a distance of 11 miles. How much should be his payment? $\scriptstyle\frac{13\sdot17}{19}=\frac{7\sdot11}{X}$	שאלה ראובן שכר שמעון שיוליך לו על בהמתו י"ג מדות חטה מהלך י"ז מילין ויהיה שכרו י"ט פשוטים והוא הוליך שבע מדות מהלך י"א מילין כמה שכרו
the rule of four should be applied twice	ככה תעשה צריך אתה לעשות הערכים פעמים כי אין דרך אחרת להוציאם
	וחשוב כי הז' מדות הוליך אותם כל התנאי שהם י"ז והנה תעשה ככה הדמיון
13 7 19 0	גא ז טא 0
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot19}{13}=\frac{133}{13}=10+\frac{3}{13}}}$	הנה נכפול הקצוות שהם ז' וי"ט יהיו קל"ג נחלקם על י"ג יעלו י' שלמים ונשארו ג' חלקים מי"ג בפשוט אחד
	ובעבור שלא הוליך אלא ז' מדות רק י"א מילין אנחנו צריכים לעשות ערך אחר ודמיון אחר ונעשה ככה י"א י"ז גלגל י' גם ג' חלקים מי"ג וזה דמיונו
17 11 10 0	זא אא ‫0א 0
	ובעבור שאנו צריכין לכפול הקצוות ולחלק העולה על י"ז ויש לנו ברביעי ג' חלקים מי"ג צריכין אנו לבקש מורה אחד לשניהם וככה נמצאנו
$\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot17=221}}$	שנכפול י"ג על י"ז יעלו רכ"א והוא המורה והוא אחד שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{13}=\frac{51}{221}}}$	והנה ג' חלקים מי"ג יהיו נ"א מרכ"א
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{11\sdot\left(10+\frac{3}{13}\right)}{17}&\scriptstyle=\frac{11\sdot\left(10+\frac{51}{221}\right)}{17}\\&\scriptstyle=\frac{110+\frac{561}{221}}{17}\\&\scriptstyle=\frac{110+2+\frac{119}{221}}{17}\\&\scriptstyle=\frac{112+\frac{119}{221}}{17}\\&\scriptstyle=6+\frac{10+\frac{119}{221}}{17}\\&\scriptstyle=6+\frac{\frac{2329}{221}}{17}=6+\frac{137}{221}\\\end{align}}}$	ונשוב לכפול י"א על י' יהיו ק"י גם נכפול י"א שהם שלמים על נ"א שהם חלקים ויעלו תקס"א נחלקם על רכ"א שהוא האחד השלם יעלו ב' שלמים נחברם אל ק"י יהיו קי"ב וישארו קי"ט חלקים מרכ"א נחלק קי"ב על י"ז שלמים יעלו ו' פשוטים שלמים ונשארו י' פשוטים שלמים נשיבם על מנין רכ"א ונחבר אליהם קי"ט הנשארים שהם חלקים מפשוט אחד שהוא רכ"א חלקים ויהיו ט'ב'ג'ב' נחלקם על י"ז ויעלו ז'ג'א' וסך הכל ו' פשו' שלמים וקל"ז חלקים שהאחד רכ"א
Payment Problem - Digging a Hole
Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 10 in length, 10 in width and he will pay him 17 pešuṭim, but Shimon dug 5 in length and 5 in width	שאלה ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקע י' באורך וי' ברוחב ויתן לו י"ז פשו' ושמעון חפר ה' באורך וה' ברוחב
He will be paid a quarter :$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\frac{17\sdot5\sdot5}{10\sdot10}=17\sdot}}\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}={\color{red}{17\sdot}}\frac{1}{4}}}$	אין ספק כי הרביעית יקח כי כפל חצי על חצי רביעי אחד שלם
If he had dug a half of the length by the whole width or half of the width by the whole length, he would have been paid a half of the payment	כי אלו היה כופל חצי האורך על כל הרוחב או חצי הרוחב על כל האורך אז היה לוקח חצי הממון
Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 7 in length, 6 in width, 5 in depth, and he will pay him 11 pešiṭim, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth. How much should be his payment? $\scriptstyle\frac{7\sdot6\sdot5}{11}=\frac{6\sdot5\sdot4}{X}$	רק אם אמר שהסכים עמו שיחפור ז' באורך וו' ברוחב וה' בעומק ויתן לו י"א פשו' והוא חפר ו' באורך וה' ברוחב וד' בעומק כמה שכרו
$\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot6\sdot5=42\sdot5=210}}$	הנה אנחנו צריכים לערכים ונכפול המספר הראשון שהוא ז' על ו' הרי מ"ב כפלה על ה' שהוא העומק ויהיו ר"י
$\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot5\sdot4=30\sdot4=120}}$	גם נכפול המספר השני שהוא ו' על ה' והם ל' גם נכפול זה על ד' שהוא העומק יהיו ק"כ
	ועתה נעשה דמיון הערכים כזה
11 0 210 120	‫אא 0 ‫0אב ‫0בא
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11\sdot120}{210}=\frac{1320}{210}=6+\frac{60}{210}=6+\frac{2}{7}}}$	כפלנו האמצעיים הידועים והיו אלף וש"כ חלקנום על ר"י עלו ו' שלמים ונשארו ס' שהם שתי שביעיות פשוט
Pricing Problem - Find the Amount
Question: a man sells 13 measures of wheat for 23. How many measures will he sell for 7 [pešuṭim]? $\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{X}{7}$	שאלה אדם מוכר חטה י"ג מדות בכ"ג פשו' כמה מדות יתן בז' פשו'
	נעשה דמיון הערך כמשפט הזה
23 7 13 0	גב ז ‫גא 0
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot13}{23}=\frac{91}{23}=3+\frac{22}{23}}}$	הנה כפול הקצוות שהם נודעים יהיו צ"א נחלקם על כ"ג יהיו ג' מדות וכ"ב חלקים מכ"ג במדה אחת
Pricing Problem - Find the Price
How much will he get for 7 measures? $\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{7}{X}$	ועוד נהפוך הענין שנבקש לדעת בכמה יתן ז' מדות
	והנה נעשה הדמיון כזה
13 7 23 0	גא ז ‫גב 0
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot23}{17}=\frac{161}{17}=12+\frac{5}{13}}}$	נכפול הקצוות יהיו קס"א נחלקם על י"ג יהיו י"ב פשו' וה' חלקים מי"ג בפשו' אחד
Motion Problem – Pursuit
Question: a man sent a messenger to walk 29 miles a day. After 10 days of walking, he sent another messenger to walk after him 37 miles a day. When will he catch up with him? $\scriptstyle29X=37\sdot\left(X-10\right)$	שאלה אדם שלח רץ שילך בכל יום כ"ט מלין ואחר עשרה ימים שלח רץ אחר אחריו שילך בכל יום יום ל"ז מילין מתי ישיגנו
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{29\sdot10}{37-29}=\frac{290}{8}=36+\frac{1}{4}}}$	נכפול המילין שהלך בי' ימים יהיו ר"צ נחלקם על היתרון שבין שני המהלכים שהוא ח' והנו ל"ו ימים ורביעית יום
Give and Take Problem
Question: a man left his city and arrived to another country. He took an oath that if God will double his money he will donate two pešuṭim each day. After two days he ran out of money. How much did he bring? $\scriptstyle2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left(2X-2\right)-2\right]-2\right]=2$	שאלה אדם יצא מעירו ונכנס במדינה אחרת נדר אם יכפול המקום ממונו יתן בכל יום ב' פשו' לסוף ד' ימים הלך ממונו כמה הביא
He had $\scriptstyle{\color{blue}{2-\frac{1}{8}}}$	האמת כי היה לו ב' פשוטים פחות שמינית פשוט
Motion Problem – Encounter
Question: Reuven left his city, walking to his brother Shimon, to his city, on Sunday morning of the first of the month. Shimon left his city on that same day, walking to his brother Reuven, to his city. The distance between the two cities is 100 miles. Reuven is walking 19 miles a day and Shimon is walking 17 [miles a day]. When will they meet?	שאלה ראובן יצא מעירו ללכת לקראת שמעון אחיו לעירו בקר יום ראשון של ראש החדש ובעצם היום הזה יצא גם שמעון מעירו ללכת לקראת ראובן אחיו לעירו והמרחק בין שני הערים ק' מילין ומהלך ראובן ביום אחד י"ט מילין ומהלך שמעון ביום אחד י"ז מילין נשאל מתי יתחברו
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{100}{19+17}=\frac{100}{36}=2+\frac{28}{36}=2+\frac{7}{9}}}$	ככה תעשה חבר שני המהלכים והם ל"ו חלק עליו המאה מילין יהיה שני ימים ישארו כ"ח חלקים מל"ו ביום אחד שהם ז' תשיעיות יום
Converting the parts of the day to hours:	ותוכל להושיבם לשעות היום בדרך הערכין
12 0 9 7	‫בא 0 ט ז
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot12}{9}=\frac{84}{9}=9+\frac{3}{9}=9+\frac{1}{3}}}$	וככה תעשה כפלנו ז' על י"ב עלו פ"ד חלקנו על ט' עלו ט' והם שעות נשארו ג' שהם שלישית שעה
another way: $\scriptstyle{\color{blue}{12:9=1+\frac{1}{3}}}$	ועל דרך אחרת ידענו כי ערך י"ב אל ט' כמוהו ושלישיתו כי תשיעיות היו לנו
$\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\frac{12}{9}=7\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=7+\frac{7}{3}=7+\left(2+\frac{1}{3}\right)=9+\frac{1}{3}}}$	והנה נקח לז' תשיעיות ז' שלישיות נחלקם על ג' יהיו ב' שעות ושלישית שעה נחברם אל השבע שהיו לנו והנה הדבר שוה
If we wish to know: how many miles did Reuven walk?	ואם בקשנו לדעת כמה מילין הלך ראובן
in two days he walked 38 miles $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot19=38}}$	כבר ידענו כי בשני ימים הלך ל"ח מילין
	וכבר אמרנו כי ז' תשיעיות היום הלך והנה נעשה הערך כך
9 7 19 0	ט ז ‫טא 0
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot19}{9}=\frac{133}{9}=14+\frac{7}{9}}}$	כפלנו ז' על י"ט עלו קל"ג חלקנום על ט' עלו י"ד ושבע תשיעיות
total miles in $\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{7}{9}}}$ days: $\scriptstyle{\color{blue}{38+\left(14+\frac{7}{9}\right)=52+\frac{7}{9}}}$	והנה הכל נ"ב מילין וז' תשיעיות
Payment Problem - three workers, three different daily wages, the same actual payment
A man hired three brothers – Reuven, Shimon, and Levi – to do his work for 20 days from morning until evening, any one of them in turns so that the work will not cease. If Reuven works all the days he will pay him 5 zehuvim; if Shimon – 4, if Levi – 3. They all worked during the 20 days and he was sitting and watching over them: how many hours and parts of hours each of them is working a day. Finally, he paid each of them an equal share. How much is the share of each of them? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{5}{20}X=\frac{4}{20}Y=\frac{3}{20}Z\\\scriptstyle X+Y+Z=20\end{cases}$	שאלה אדם שכר ג' אחים ראובן שמעון ולוי שיעשו עבודתו כ' ימים מן הבקר עד הערב מאיזה מהם שתהיה ולא תשבות המלאכה והנה אם עבד ראובן כל הימים יתן לו ה' זהובים ואם שמעון ד' ואם לוי ג' והנה בין כלם עבדו הכ' ימים והיה יושב עליהם שומר כותב כמה שעות ביום עבד כל אחד מהם וכמה חלקי שעה והנה באחרונה נתן לכל אחד מהם חלק שוה נרצה לדעת כמה החלק מכל אחד מהם שלקח
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{20}{\frac{20}{5}+\frac{20}{4}+\frac{20}{3}}&\scriptstyle=\frac{20}{4+5+\left(6+\frac{2}{3}\right)}\\&\scriptstyle=\frac{20}{15+\frac{2}{3}}\\&\scriptstyle=1+\frac{4+\frac{1}{3}}{15+\frac{2}{3}}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{60}{3}}{\frac{47}{3}}\\&\scriptstyle=1+\frac{\frac{13}{3}}{\frac{47}{3}}=1+\frac{13}{47}\\\end{align}}}$	דע כי ראובן ישמש ד' ימים בזהוב אחד ושמעון ה' ימים ולוי ו' ימים וב' שלישיות יום והנה הכל ט"ו שלמים וב' שלישיות יום אחד נחלק כ' על זה המספר ועלה אחד שלם ונשארו ד' שלמים ושלישית אחד והנה בעבור השלישית נשיב הכל שלישיות והנה נשיב הכ' יום ס' שלישיות והט"ו וב' שלישיות מ"ז שלישיות והד' ושלישית יום י"ג והנה כל אחד לקח זהוב אחד וי"ג פשוטים ממטבע מ"ז בזהוב
	ועתה נבקש כמה חיוב כל אחד שיעבוד עד שישלימו הכ' יום
Levi:	והנה נחל מלוי שהוא חייב לשמש בזהוב שלקח ו' ימים וב' שלישיות יום ונעשה מאלה שלישיות ויהיו כ'
	ונבקש לדעת כמה יש לו לעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח ונעשה הערך כך
47 13 20 0	זד גא ‫0ב 0
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{20}{3}=\frac{20}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{20}{3}\right)\\&\scriptstyle=\frac{20}{3}+\frac{\frac{13\sdot20}{47}}{3}=\frac{20}{3}+\frac{\frac{260}{47}}{3}=\frac{20}{3}+\frac{5}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=\frac{25}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}\\&\scriptstyle=8+\frac{1}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot25}{47}}{12}=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{100}{47}}{12}\\&\scriptstyle=8+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}=8+\frac{6}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}\\\end{align}}}$	כפלנו י"ג על כ' והיו ר"ס חלקנום על מ"ז עלו ה' ונשארו כ"ה חלקים נוסיף הה' על הכ' ויהיו כ"ה שלישיות גם כ"ה חלקים ממ"ז וחלקנו אלה השלישיות על ג' עלו ח' שלמים ונשאר אחד נקח לו ד' שעות שהם שלישית יום גם נכפול כ"ה חלקים על ד' יעלו מאה נחלקם על מ"ז עלו שתי שעות ונשארו ו' חלקים והנה לוי עבד ח' ימים גם ו' שעות גם ו' חלקים
Shimon:	ונבקש לדעת כמה עבד שמעון והנה חייב לעבוד בעבור הזהוב ה' ימים שהם ט"ו שלישיות
	ונבקש לדעת כמה יעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח והנה נעשה הערך כך
47 13 15 0	זד גא ‫הא 0
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot5&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{15}{3}=\frac{15}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{15}{3}\right)\\&\scriptstyle=\frac{15}{3}+\frac{\frac{13\sdot15}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{\frac{195}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{4}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=\frac{19}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}\\&\scriptstyle=6+\frac{1}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot7}{47}}{12}=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{28}{47}}{12}\\\end{align}}}$	נכפול ט"ו על י"ג יעלו קצ"ה נחלקם על מ"ז עלו ד' ונשארו ז' חלקים נחבר הד' אל הט"ו כי שלישיות הם יעלו י"ט שלישיות נחלקם על ג' יהיו ו' ימים שלמים ונקח לאחד הנשאר ד' שעות גם נכפול ז' על ד' יהיו כ"ח והנה הם ו' ימים ד' שעות וכ"ח חלקים וככה עבד שמעון
Reuven:	ונבקש לדעת כמה עבד ראובן והנה עבד בשביל הזהוב ד' ימים שהם י"ב שלישיות
	ונעשה בעבור הי"ג פשוטים שלקח הערך כך
47 13 12 0	זד גא ‫בא 0
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot4&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{12}{3}=\frac{12}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{12}{3}\right)\\&\scriptstyle=\frac{12}{3}+\frac{\frac{13\sdot12}{47}}{3}=\frac{12}{3}+\frac{\frac{156}{47}}{3}=\frac{12}{3}+\frac{3}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}\\&\scriptstyle=5+\frac{\frac{15}{47}}{3}=5+\frac{\frac{4\sdot15}{47}}{12}=5+\frac{\frac{60}{47}}{12}=5+\frac{1}{12}+\frac{\frac{13}{47}}{12}\\\end{align}}}$	נכפול י"ג על י"ב יעלו קנ"ו נחלקם על מ"ז עלו ג' ונשארו ט"ו חלקים חברנו אלו הג' עם הי"ב שהיו לנו היו ט"ו והם שלישיות והנה עבר ה' ימים גם נכפול הט"ו חלקים על ד' עלו ס' חלקים נחלקם על מ"ז עלתה שעה אחת ונשארו י"ג חלקים משעה וככה עבד ראובן
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{6}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}\right)+\left(6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{28}{47}}{12}\right)+\left(5+\frac{1}{12}+\frac{\frac{13}{47}}{12}\right)=20}}$	וכאשר תחבר אלה החלקים יתחבר מהם שעה אחת בלי תוספת ומגרעת וכאשר תחבר זאת השעה אל השעות הנזכרות יהיו י"ב שעות שהוא יום אחד וכאשר תחבר היום לימים הנזכרים יהיו עשרים יום בלי תוספת ומגרעת
Boiling Problem
A man had 10 measures of must and he wanted to boil them so that only one third will remain. He started to cook [them] until eight measures remained of them. Then two measures overflow. Now he wants to boil [the remainder] until it will be reduced [as planned for] the original [amount] of must $\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}$	שאלה אדם היו לו י' מדות מתירוש ורצה לבשלם עד שלא ישאר מהם כי אם השלישית והנה החל לבשל עד שנשארו מהם ח' מדות ונשפך ב' מדות והנה ירצה לבשלם עד שיהיו כמשפט הראשון
Rule of Four:	והנה יש לך ג' מספרים ידועים הא' כמה שלישית י' ידוע כי הוא ג' ושליש וידוע כי שמנה יהיו המדות שיתבשלו וידוע כי ששה נשארו והנה תעשה הדמיון ככה
8 6 3 3 0	ח ו ‫ג ג 0
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\sdot\left(8-2\right)}{8}=\frac{\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot6}{8}=\frac{20}{8}=2+\frac{1}{2}}}$	והנה נכפול ו' על ג' ושליש יהיו כ' נחלקם על ח' יהיו שנים וחצי
	דמיון אחר היו לנו ט' מדות תירוש וירצה שיתבשלו עד שישאר השליש והוא נתבשל עד שנשארו ו' מדות ונשפכו ד' וב' נשארו
	וככה הערך
6 2 3 0	ו ב ‫ג 0
	כפול ב' על ג' עלו ו' יהיה אחד והנה המשפט להיות המבושל מדה אחת
How Much Problem - Money
Question: an amount of money, we summed its fifth, its seventh, and its ninth and they are 10, how much is the money? $\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=10$	שאלה ממון חברנו חמישיתו ושביעיתו ותשיעיתו והיו עשרה כמה הממון
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=315}}$	נבקש המורה והוא שט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)=63+45+35=143}}$	והחלקים הנזכרים הם קמ"ג כאשר תחלק שט"ו על ה' יעלו ס"ג וכשתחלק על ז' יעלו מ"ה ועל ט' יעלו ל"ה חברם יחד יעלו קמ"ג ונעשה הערך כך
315 143 0 10	האג גדא 0 ‫0א
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315\sdot10}{143}=\frac{3150}{143}=22+\frac{4}{143}}}$	נכפול שט"ו על י' יעלו ג' אלפים וק"נ נחלקם על קמ"ג עלו כ"ב שלמים וד' חלקים מקמ"ג
First from Last Problem - Money
An amount of money - we subtracted from it its fifth, its seventh and its ninth and 10 remain. $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X\right)=10$	נעשה להפך ממון חסרנו ממנו חמישיתו שביעיתו ותשיעיתו ונשארו י'
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{315-143=172}}$	נחסר קמ"ג שהם השברים מן שט"ו שהוא המורה ישארו קע"ב ונעשה הערך כך
0 15 315 172	0 הא האג בזא
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315\sdot10}{172}=\frac{3150}{172}=18+\frac{54}{172}}}$	כפלנו י' על שט"ו עלו ג' אלפים וק"נ חלקנום על קע"ב עלו י"ח שלמים ונ"ד חלקים מקע"ב
	לקחנו חמישית ושביעית ותשיעית זה המספר ישארו לנו י' שלמים ועל זה הדרך
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree
A tree, a third of it is in the water, a quarter of it is [ingrained] in the soil, and 10 cubits of it are up above the water, how much is the length of the whole tree? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+10=X$	שאלת האילן ששלישיתו במים ורביעיתו בעפר ולמעלה מן המים י' אמות כמה גבהות כל האילן
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=12-7=5}}$	נבקש מנין שיש לו שלישית ורביעית והוא י"ב ושלישיתו ורביעיתו מחוברים ז' נחסרם מי"ב ישארו ה'
	נעשה הערך כך
0 10 12 5	0 ‫0א בא ה
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot10}{5}=\frac{120}{5}=24}}$	הנה כפלנו הקצוות עלו ק"כ חלקנום על ה' עלו כ"ד וזהו גבהות כל האילן
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=24-8-6=24-14=10}}$	כי שלישיתו שמנה ורביעיתו ששה והמחוברים י"ד נחסרם מכ"ד ישארו י' שלמים לא פחות ולא יותר
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree
A tree, a seventh of it is in the water, a ninth of it is [ingrained] in the soil, and 8 [cubits] of it are up above the water $\scriptstyle\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X+8=X$	דמיון אחר אילן שביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה מן המים ח'
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{63-\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)-\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=63-16=47}}$	והנה המורה ס"ג נחסר ממנו י"ו שהוא השביעית והתשיעית נשארו מ"ז ונעשה הערך כך
0 8 56 47	0 ח נו זד
Rule of Four: :$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{63\sdot8}{47}=\frac{504}{47}=10+\frac{34}{47}}}$	הנה כפלנו הקצוות והיו תק"ד חלקנום על מ"ז עלו י' שלמים גם ל"ד חלקים
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left[\frac{1}{7}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]-\left[\frac{1}{9}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left(1+\frac{25}{47}\right)-\left(1+\frac{9}{47}\right)\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left(2+\frac{34}{47}\right)=8\\\end{align}}}$	ושביעית זה המספר אחד שלם וכ"ה חלקים ותשיעיתו אחד שלם וט' חלקים חברנו החלקים הנזכרים והם ל"ד והשלמים ב' חסרנום מהמספר הנזכר נשארו ח'
Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Inheritance
Jacob died. Reuven issued a deed with two witnesses, according to which his father Jacob has given him all the property he had and instructed so in case of death. His son Shimon issued a deed as well according to which half of his property should be granted to him. His son Levi also issued a deed according to which a third of his property should be given to him. His son Yehudah too issued a deed according to which a quarter of his property should be granted to him. All of them are writing this in Jerusalem in the same day, the same time, the same hour	שאלה יעקב מת והוציא ראובן בנו שטר בשני עדים כשרים שנתן לו לבדו יעקב אביו כל הממון שהיה לו וצוה כן מחמת מיתה ביום מותו גם הוציא שמעון בנו שטר שאביו צוה מחמת מיתה שינתן לו חצי ממונו גם לוי הוציא שטר שאביו צוה שינתן לו שליש ממונו ג"כ הוציא יהודה שטר שינתן לו רביעית מממונו ולכלם יום אחד וזמן אחד ושעה אחת בירושלם שכותבין בו שעות
Three methods to divide the property between the four sons each according to his relative portion:
The sages of Israel - according to the request of each	והנה חכמי ישראל מחלקים אותו על דרך בקשת כל אחד
The Gentile sages - according to the ratio of each share	וחכמי הגוים על דרך ערך הממון שלכל אחד
The arithmeticians - considering the property as a whole	וחכמי החשבון יחשבו כי הממון היה אחד
The division according to the arithmeticians: $\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=120$
$\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	וכאשר תחבר אליו חציו ושלישיתו ורביעיתו יהיה הכל שנים וחצי ששית
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot60=125}}$	והנה נשים האחד שלם ששים שיש לו כל החלקים הנזכרים והנה יהיה בין הכל קכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot12=12+13}}$	או נשים האחד שלם י"ב והשברים הנזכרים י"ג
	ושוה יצא המספר באחרונה איזה מהם שתקח
Suppose the property is 10 dinar i.e. 120 pešuṭim	והנה נבקש כמה יקח ראובן כפי ערך ממונו ונעשה הערך ככה על דרך ששים כי הוא מבקש כל הממון ונאמר כי הממון עשרה דינרים שהם ק"כ פשוטים
Reuven's share	וזה תורת ערך הממון שיקח ראובן
0 60 120 125	0 ‫0ו ‫0בא הבא
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot120}{125}=\frac{7200}{125}=57+\frac{75}{125}}}$	כפלנו הקצוות ועלו ז' אלפים ור' חלקנום על קכ"ה עלו נ"ז פשו' וע"ה חלקים וזה חלק ראובן
Shimon's share	וזו צורת ערך שמעון
0 30 120 125	0 ‫0ג ‫0בא הבא
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot120}{125}}}$	נכפול הקצוות ונחלק כמשפט
Levi's share	וזו צורת חלק לוי
0 20 120 125	0 ‫0ב ‫0בא הבא
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20\sdot120}{125}}}$	נכפול ונחלק כמשפט
Yehudah's share	וזו צורת חלק יהודה
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15\sdot120}{125}}}$
The division according to the Gentile sages:	ענין אחר בדרך קצרה
Shimon's share = ½ Reuven	יקח שמעון חצי חלק ראובן
Levi's share = ⅓ Reuven	גם יקח לוי שליש חלק ראובן
Yehudah's share = ¼ Reuven	גם יקח יהודה רביעית חלק ראובן
Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120	וכאשר תחבר כל אלה החלקים והשלמים יהיו ק"כ פשו' שהם י' דינ'
The division according the sages of Israel:	ועל דרך חכמי ישראל
Yehudah's share = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot30=7+\frac{1}{2}}}$	יאמרו הג' אחים הגדולים ליהודה אחיהם אין אתה מערער רק על ל' פשוטים וערעור כל אחד ממנו שוה בהם קח ז' וחצי שהוא הרביעית ולך מעמנו וכמו כן יקח כל אחד מהג' אחים
Levi's share = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{3}{6}\right)+\left(3+\frac{2}{6}\right)=10+\frac{5}{6}\\\end{align}}}$	ועוד יאמר ראובן ללוי אין אתה מערער רק על מ' פשו' וכבר לקחת חלקך מהל' שארבעתנו ערערנו עליהם קח אתה שלישית י' שהוא רביעית מ' ולך מעמנו והנה חלק לוי עשרה וחמש ששיות פי' כי החצי מן הו' והחצי שלקח כבר הם ג' ששיות ושליש אחד מן הי' הם ב' ששיות הרי ה' ששיות ת'
Shimon's share = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]=20+\frac{5}{6}}}$	גם יאמר ראובן לשמעון אין אתה מערער אלא על חצי הממון שהוא ס' והחצי האחר הוא כלו שלי וכבר לקחת חלקך מהמ' והנה נשאר ביני ובינך הערעור בעשרים קח חציים ולך מעלי והנה חלק שמעון עשרים וחמש ששיות פשו'
Reuven's share = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot120\right)=80+\frac{5}{6}}}$	וחלק ראובן שמונים גם חמש ששיות פשו' אחד
Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120	וכאשר תחבר אלו החלקים יהיו עשרה דינ'
Rule of Four in Astronomical Tables
	ועתה אפרש דרך חכמי המזלות בספרי הלוחות בתקון המשרתים
	כי בתקון הלבנה גם בתקון ה' המשרתים טור יקרא טור הערך וזה הערך הוא אל ס'
	כי אם היה כתוב בטור הערך ס' יהיה בטור אחריו שיקרא הטור החמשי או הכתוב בטור השביעי מה שיהיה כתוב באחד מהם ראשונים לבדם או ראשונים ומעלות הכל יקח וככה בתקון מקום הלבנה
	ואם היתה פחותה מס' יקח כפי הערך מהחלקים הכתובים בטור החמישי או השביעי
	דמיון יש חלקים יתרים על המעלות מ' ובטור הערך ט"ו
	ואתה צריך לכפול ט"ו על מ' והעולה תחלקנו על ס' והוא המבוקש ועשה דמיון הערך כזה
6 15 40 0	ו הא ‫0ד 0
	כפול ט"ו על מ' עלו ו' מאות חלקם על ס' יעלו י' חלקים
	ויותר קרוב מזה שתבקש מה ערך מ' אל ס' והם ב' שלישיות גם זה הערך קח מט"ו והנו י'
	או בקש מה ערך ט"ו אל ס' והנו רביעית ס' קח רביעית מ' והוא י'
	דמיון אחר המספר האחד ל' והשני מ"ה
	והנה ערך מ"ה אל ס' ג' רביעיות נקח שלש רביעיות ל' והם כ"ב וחצי שהם ל' שניים
	או נקח הערך מן הל' שהוא חצי ס' ג"כ נקח חצי מ"ה והנו כ"ב וחצי
	דמיון לב' מספרי' שהאחד יש לו ערך והשני אין לו ערך כמו המספר האחד כ' והשני ל"ג
	והנה ערך כ' אל ס' שלישית והנה נקח שלישית ל"ג והם י"א ראשונים
	וככה יבא בדרך הכפל כאשר תכפול כ' על ל"ג ותחלק העולה על ס' והעולה בחלוק יהיה י"א
	ובעבור כי ל"ג קרוב מחצי ס' נקח גם הערך ממנו והנו י' ראשונים שהוא חצי כ' ובעבור שיש לנו תוספת ג' על החצי נכפול ג' על כ' יהיו ס' ואין ספק כי הם שניים כי כפל ראשונים על ראשונים יעלו שניים כי אחד על אחד שנים והם ס' שניים והם חלק ראשון נחברם על י' והוא י"א
	דמיון אחר המספר האחד כ' והשני כ"ח
	והנה ערך כ' אל ס' שלישית ושלישית כ"ח ט' ראשונים וב' שניים
	ועוד נחשוב כי כ"ח חצי ס' כי הוא קרוב ממנו והנה חצי כ' י' ובעבור כי ב' יחסרו מהחצי נכפול ב' על כ' יהיו מ' שניים נחסרם מהראשון אחד יהיו הנשארים ט' ראשונים וב' שניים
	דמיון לחסר הערך שחשבונו האחד י"ד והשני כ"ט
	והנה נקח הערך מכ"ט ונחשוב כי הוא חצי ס' נקח חצי י"ד והם ז' ראשונים ובעבור כי אחד יחסר מהחצי נכפלנו על י"ד יהיו י"ד שניים נחסרם מחלק ראשון ישארו ו' ראשונים ומ"ו שניים
	דמיון אחר המספר האחד לחסר והשני להוסיף והנה נשים האחד י"ח והשני מ"ב
	והנה נקח הערך ממ"ב ונחשוב כי הוא שתי שלישיות נקח שתי שלישיות י"ח והנה י"ב ובעבור שיש לנו תוספת ב' נכפלם על י"ח יהיו ל"ו שניים וככה יהיה העולה בדרך הכפל
	וגם נקח הערך מי"ח ונחשוב כי הוא שלישית והנה שלישית מ"ב י"ד ובעבור שהוספנו ב' נכפלם על מ"ב והיו פ"ד שניים שהם חלק ראשון וכ"ד שניים נחסרם מי"ד ישאר כמספר הראשון שהוא י"ב גם ל"ו שניים
	ונוכל לקחת עוד הערך בתוספת משניהם שנחשוב י"ח שהוא רביעית ס' והנה נקח רביעית מ"ב יהיו י' ראשונים ול' שניים ובעבור שיש לנו תוספת ג' נכפול מ"ב על ג' יהיו קכ"ו שניים שהם ב' ראשונים וו' שניים נוסיף זה על המספר הנזכר יהיו י"ב ראשונים ל"ו שניים
	ואילו היינו חושבים כי מ"ב הם ג' רביעיות היה הדבר יוצא נכון
	ונוכל לעשות הערך מי"ד שנחשוב כי הוא רביעית ס' נקח רביעית כ"ט והם ז' ורביעית שהם שניים ובעבור כי החסרון מרביעית הוא חלק ראשון נכפול כ"ט על כ"ט יהיו כ"ט שניים נחסרנו מן המספר הנזכר ישארו ו' ראשונים
	וכלל אומר לך כי אם לא היה ערך לחלקים הנמצאים בטור הערך שוב לעשות על דרך הכפל כאשר הזכרתי בשברים
	ולעולם ראה אם היו חלקים נוספים על מעלות המוצק המתוקן והם פחותים מל' הניחם וקח הראשונים הכתובים בטור הערך כנגד המעלות שעברו
	ואם החלקים שהם עם המוצק המתוקן יותר מל' הוסף מעלה אחת על המעלות שעברו וקח מה שתמצא כנגדה בחלקי טור הערך בין שתהיה אחר המעלה השלמה או למעלה ממנה
	ואם מצאת המנה המתוקנת שהיא בין ד' מזלות עד ח' מזלות ומצאת כי יש הפרש בין חלקי טור הערך שהם כנגד המעלה שעברה ובין חלקי טור הערך שכנגד המעלה הנוספת ולא יהיה לעולם ביניהם רק חלק ראשון עשה כדרך הכפל שתתן לחלקים הנוספים על המעלה שעברה מה שראוי מהשניים
	וזה המעשה יש לך צורך בתקון מאדים או כוכב חמה רק בתקון שבתי וצדק אין לך צורך כי אם בטור החמישי גם בטור הז' אין מעלות כי אם ראשונים לבדם
Chapter Seven - Square Roots	השער הז' בהוצאת השרשים
	כל המספרים הם על שלשה דרכים
	האחד שרשים והשני מרובעים והשלישי לא שרשים ולא מרובעים
	והנה המרובע הוא המחובר מכפל שורש על עצמו
	כמו ט' כי הוא מרובע ארכו כרחבו ושרשו ג'
	ויש חשבון שאין לו שורש אמת כלל והוא הרוב
	כמו ב' במעלה הראשונה גם ג' וה' וו' וז' וח'
	ולעולם מרובע השלמים גדול מהשורש
	והפך הדבר במרובעי' הנשברי'
	והיה כן בעבור כי כפל שבר על שבר יהיה המחובר פחות מהשבר הנכפל
	והיה האחד לבדו שורש ומרובע כי הוא בין השברי' והשלמי'
Integers
	והנה נתן בתחלה מאזנים
	הסתכל אם לא היו מאזני המרובע ככפל מאזני השרש על עצמו אין המספר מרובע
	ואם היה כמוהו יתכן להיות מרובע
	דמיון המרובע קמ"ד והמאזנים ט' והשרש י"ב ומאזניו ג' וכפל על עצמו הוא ט' והוא מאזני השרש ת' מאזנים אחרים אם מאזני המספר ב' או ג' או ה' או ו' או ח' איננו מרובע
	ואם היו המאזנים אחד מהמרובעים שהם במעלה הראשונה שהם א' או ד' או ט' גם ז' עמהם יתכן להיות מרובע מאזנים אחרים אם היה במספר המבוקש ממספרי המעלה הראשונה ב' או ג' או ז' או ח' אין המספר מרובע
	ואם היה אחד מן המרובעים א' או ד' או ט' או מן המתגלגלים שהם ה' ו' יתכן שיהיה המספר מרובע
3) examing the digits of the number: If one of the digits of the number is 1 — one of the digits of the root of this number is 1 or 9	מאזנים אחרים שהם מאזני צדק אם מצאת במספר המבוקש מן המעלה הראשונה אחד דע שיש בשורש אחד או ט'
	ואם היה במספר ד' דע שיש בשורש ב' או ח'
	ואם היה במספר ו' דע שיש בשרש ד' או ו'
	ואם במספר ט' דע כי יש בשרש ג' או ז'
	ואם במרובע ה' דע שיש בשרש ה'
the roots of perfect squares are found in two ways:	ועתה אתן לך דרך שתוכל לדעת איזה מן השנים הנזכרים יהיה בשרש
1) units - three squares: 1; 4; 9	ועתה שים לבך כי המרובעים במעלה הראשונה הם ג' והם א' ד' ט'
2) tens - :six squares: 16; 25; 36; 49; 64; 81	ובמעלה השנית ו' והם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א
	וכל המעלות שהם אחר אלה השתים דרך אחת להן
every odd rank functions as the units	כי כל מעלה שאיננה זוג הולכת על דרך המעלה הראשונה
every even rank functions as the tens	וכל מעלה שהיא זוג הולכת על דרך המעלה השנית
	ולעולם יהיו המרובעי' הנמשלים למרובעים שהם במעלה הראשונה מספר אחד ואשר הם במעלה השנית וכל זוג הם שני מספרים גם כל הנמשלים ומהנמשלים תוכל לדעת כל המרובעים שהם לפניהם או לאחריהם
	וכאשר תדע שרש המעלה הראשונה או השנית ותרצה לדעת שרש הנמשל באיזו מעלה שיהיה ככה תעשה
root of the first rank - units root of its similar in the third rank - tens root of its similar in the fifth rank - hundreds root of its similar in the seventh rank - thousands root of its similar in the ninth rank - tens of thousands root of its similar in the eleventh rank - hundreds of thousands	דע כי ההוה במעלה הראשונה מהאחדים הם במעלה השלישית עשרות ובחמישית מאות ובשביעית אלפים ובתשיעית עשרת אלפים ובאחד עשר מאת אלף וככה עד אין קץ בדלוג
	כי ידלג ממספר שאיננו זוג אל מספר שאיננו זוג והאחדים שהם במעלה השנית בשרשים הם מעלה הרביעית עשרות ובששית מאות ובשמינית אלפים ובעשירית עשרת אלפים ובשנים עשר מאה אלף כי לעולם ידלג מזוג אל זוג
the perfect square closest to a number $\scriptstyle a^2+b$: $\scriptstyle n<\frac{b}{2a}\longrightarrow \left(a+n\right)^2=a^2+2\sdot a\sdot n+n^2$	ועתה אומר לך איך תעשה כאשר תדע המרובע הנמשל ותדע שרשו חסר המרובע מהמספר המבוקש אחר שתשמור שלא תקח לעולם כי אם המרבע שעבר שהוא קרוב אל מספר וראה המרחק שבין המרבע וחלקהו על כפל שרש המרבע שעבר וככה עשה שלא תתן לו כל מה שתוכל רק הנח ממנו שתוכל לקחת מרבע מה שעלה בחלוק וכאשר תראה שיהיה המרחק בין המרובע שעבר כמספר מה שעלה בחלוק אז תדע שהמרבע אמת
the perfect square closest to a number $\scriptstyle a^2-b$: $\scriptstyle \frac{b}{2a}<n\longrightarrow \left(a-n\right)^2=a^2-2\sdot a\sdot n+n^2$	ואם היה המספר המבוקש פחות מהמרבע הנמשל ראה כמה מרחק בין מספרך ובין המרבע הבא לפי שאתה צריך לתן לו מעט יותר ממה שתוכל בעבור היות מספרך לפני המרבע הנמשל כאשר אפרש ואל תכניס במספרך מרובע החלוק
	וראה אם היה המספר כמספר כפל השרש כפול אז תדע כי חשבונך אמת
	כי אם היה אחד חסר מן העשרות אחד וישארו ט'
	ובדרך הזה תוכל לדעת כשתמצא א' במרבע או ט' ראוי להיות בשרש כאשר תראה בדמיונות
the perfect square closest to 200	דמיון בקשנו לדעת מרובע שעבר קרוב אל מאתים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{200-10^2}{2\sdot10}=\frac{200-100}{20}=\frac{100}{20}=5>4\longrightarrow n=4}}$	והנה זה מהמעלה השלישית שאיננה זוג ונבקש זה מהמעלה הראשונה וכבר אמרנו כי המרבעי' שיש בה א' ד' ט' והנמשלי' אליהם מאה וד' מאות וט' מאות והנה מאה הוא המרבע שעבר ושרשו י' כי כן אמרנו מה שהם במעלה הראשונה אחדי' יהיו במעלה השלישית עשרות נחסר המרבע מחשבוננו ונשארו ק' וכבר אמרנו כי השרש י' וכפלו כ' והנה אם חלקנו ק' על כ' ונתן לו ה' לא ישאר כלום שנוכל לקחת ממנו מרבע מה שעלה בחלוק
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle14^2=\left(10+4\right)&\scriptstyle={\color{red}{200-\left[200-\left(10+4\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle=200-\left[100-\left(2\sdot10\sdot4\right)-4^2\right]\\&\scriptstyle=200-\left[100-\left(20\sdot4\right)-4^2\right]\\&\scriptstyle=200-\left(100-80-16\right)\\&\scriptstyle=200-\left(20-16\right)=200-4=196\\\end{align}}}$	והנה נתן לו ד' כפולים על כ' הם פ' נשארו כ' נחסר ממנו י"ו שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישאר ד' נחסרנו מהמאתים ישארו קצ"ו וזהו המרבע הקרוב אל מאתים ונוסיף ד' שעלה בחלוק על השרש הראשון שהיה י' יהיו י"ד וזהו שרש המרבע באמת
	והנה נבחן אותו במאזנים כמשפט ידוע כי מאזני י"ד ה' וכפלו על עצמו כ"ה והנה המאזני' ז' וככה בדרך קצ"ו ובמאזני' אחרי' בעבור שיש שם חשבון מתגלגל נכון להיותו מרבע ובמאזני' אחרי' בעבור שיש במרובעו ו' ראוי להיות בשרש ד' או ו' והנה המרחק מהמרבע הנמשל ק' וכפל (שורש) מרובע הנמשל כ' כפלנוהו על ד' עלו פ' נוסיף עליו מרובע ד' שהוא י"ו יהיו צ"ו והוא דרך אמת
the perfect square closest to 300	דמיון אחר במעלה הזאת בקשנו לדעת מרבע הקרוב אל ג' מאות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20^2-300}{2\sdot20}=\frac{400-300}{40}=\frac{100}{40}=2+\frac{20}{100}<3\longrightarrow n=3}}$	וג' מאות יותר קרובי' אל ד' מאות שהוא מרבע הנמשל במעלה הזאת ממרובע הראשון שהוא ק' והנה נסתכל המרחק מהמרבע הבא והוא ק' וידענו כי שרש ד' מאות הוא כ' וכפלו מ' נחלוק ק' עליו ונתן לו מעט יותר ממה שנוכל בעבור היות המספר לפני המרובע והנה אם נתן לו ב' ישאר כ' על כן נתן לו ג'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(20-3\right)^2&\scriptstyle=400-\left(2\sdot20\sdot3\right)+3^2\\&\scriptstyle=400-\left(40\sdot3\right)+9^2=400-120+9=280+9=289\\\end{align}}}$	וכאשר נכפול ג' על מ' שהוא כפל השרש יהיו ק"כ נחסר זה המספר מת' יהיו ר"פ נוסיף עליו מרובע ג' שהוא ט' בעבור שהחשבון הוא לפני המרבע הנמשל יהיה רפ"ט והוא המרבע
	והנה נחסר הג' מכ' שהוא שרש המרובע הנמשל וישארו י"ז והוא שרש זה המרובע
	ובעבור כי יש במרובעו ט' הנה התבאר שראוי שיהיה בשרש ז' ולא ג' כי לא יתכן להיות ג' במרובע רק אם היה קרוב אל המרובע הנמשל שעבר
	ועל זה הדרך תוכל לדעת במרובע ששם א' או ט' כפי המרחק מהמרובע שעבר ומהמרובע הנמשל העתיד
	ובזה תוכל להפריש אם מצאת במרובע ד' אם יש בשרש ב' או ח'
	וככה אם יש במרובע ו' תדע אם ראוי להיות בשרש ד' או ו'
	והנה אגלה לך קצת זה הסוד למה היה כך דע כי השתים המסיבות הגדולות אחת הולכת למזרח ואחת הולכת למערב וכח עליון הוא אחד בשתיהם והנה אחד מרובע אחד יש במרובע ט' אחד
	וכאשר הוא חשבון ב' שני לאחד ככה חשבון ח' שני לט' אחרונית כי מהלך זה הפך מהלך זה ומרובע ב' ד' וככה יש במרובע ח' ד' וכן דרך ג' אל ז' וד' עם ו'
	והנה נשאר חשבון ה' אמצעי וע"כ הוא מתגלגל על עצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300-10^2}{2\sdot10}=\frac{300-100}{20}=\frac{200}{20}=10>7\longrightarrow n=7}}$	ותוכל להוציא המרובע הנז' על הדרך הראשונה שהזכרתי במרובע קצ"ו שתחסר המרובע שהוא ק' מהמספר הנתון שהוא ש' יהיה המספר ר' וידוע כי שרש ק' י' וכפלו כ' והנה לא נוכל לתת לו י' כי לא ישאר מספר שנוכל לחסר ממנו מרובע מה שיעלה בחלוק גם לא נוכל לתת לו ט' כי מרובעו גדול ואפי' ח' כי גם מרובעו גדול והנה נתן לו ז'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+7\right)^2&\scriptstyle=100+\left(2\sdot10\sdot7\right)+7^2\\&\scriptstyle=100+\left(20\sdot7\right)+7^2=100+140+49=240+49=289\\\end{align}}}$	ונכפול ז' על כ' שהוא כפל השרש יהיו ק"מ נוסיף עליהם הק' שהוא המרובע יהיו ר"מ נחבר אליהם מ"ט שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיו רפ"ט והוא המרובע
	גם נוסיף שעלה בחלוק על י' שהיה השרש והנה יהיה שרש זה המרובע י"ז
the perfect square closest to 1200	דמיון במעלה הרביעית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל אלף ור'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200-30^2}{2\sdot30}=\frac{1200-900}{60}=\frac{300}{60}=5>4\longrightarrow n=4}}$	והנה בעבור שהוא מספר זוג נבקש במעלה השנית מספר דומה לזה והוא י"ב ומרובע שעבר הוא ט' וככה ט' מאות וכאשר שרש ט' ג' ככה שרש ט' מאות ל' וכפלו ס' והנה נחסר המרובע שעבר מן החשבון הנתון והנה המרחק ג' מאות נחלקם על ס' והנה לא נוכל לתת לו ה' בעבור מרובע העולה בחלוק נתן לו ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(30+4\right)^2&\scriptstyle=900+\left(2\sdot30\sdot4\right)+4^2\\&\scriptstyle=900+\left(60\sdot4\right)+4^2=900+240+16=1140+16=1156\\\end{align}}}$	נכפול ס' על ד' יהיו ר"מ נחברם אל המרובע הנמשל שעבר יהיה אלף וק"מ גם נחבר אליו מרובע מה שעלה בחלוק והוא י"ו והנה הכל אלף קנ"ו וזהו המרובע הקרוב אל המספר הנתון
	ובעבור שעלה בחלוק ד' נוסיפנו על שרש המרובע הנמשל שעבר שהיה ל' יהיה שרש זה המרובע ל"ד והוא אמת בכל המאזנים
the perfect square closest to 7500	דמיון אחר במעלה הזאת נבקש המרבע הקרוב לז' אלפים ת"ק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90^2-7500}{2\sdot90}=\frac{8100-7500}{180}=\frac{600}{180}<4\longrightarrow n=4}}$	והנה זה המספר דומה לע"ה כי הוא מן הזוגות ובעבור שהוא קרוב אל פ"א יותר מס"ד וידענו כי שרש פ"א ט' וככה יהיה שרש ח' אלפי' וק' צ' וכפלו ק"פ והנה המרחק ו' מאות נתן לו ד' אע"פ שאינו שלם בעבור שהחשבון הנתון הוא לפני המרובע הנמשל
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(90-4\right)^2&\scriptstyle=8100-\left(2\sdot90\sdot4\right)+4^2\\&\scriptstyle=8100-\left(180\sdot4\right)+4^2=8100-720+16=7380+16=7396\\\end{align}}}$	וכאשר נכפול כפל השרש על ד' יעלו תש"כ נחסר זה המספר מהמרובע הנמשל יהיה הנשאר ז' אלפים ש"פ נוסיף עליו מרובע החלוק שהוא י"ו יהיה הכל ז' אלפי' שצ"ו
	ושרשו פ"ו כי נחסר ד' וזהו המרובע באמת
	וגם אם עשינו בדרך האחרת שהזכרתי בדמיונים שעברו יהיה הדבר שוה
the perfect square closest to 23000	דמיון במעלה החמישית נבקש המרובע הקרוב אל כ"ג אלף
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{23000-100^2}{2\sdot100}=\frac{23000-10000}{200}=\frac{13000}{200}>50}}$	והנה זה דומה למעלה הראשונה כי איננו זוג והנה י' אלפים כמו אחד וכבר אמרנו מה שהוא במעלה הראשונה אחד יהיה במעלה החמישית מאה והנה המרובע שעבר י' אלפים נחסרנו מהמספר הנתון ישארו י"ג אלף נחלקנו על ר' שהוא כפל שרש המרובע הנמשל שעבר והנה נתן לו נ'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{23000-150^2}{2\sdot150}&\scriptstyle=\frac{23000-10000-10000-2500}{300}\\&\scriptstyle=\frac{3000-2500}{300}=\frac{500}{300}>1\longrightarrow n=1\\\end{align}}}$	נוסיפנו על השרש שעבר יהיה ק"נ ונשאר לנו עוד ג' אלפים נחסר ממנו אלפים ת"ק שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישארו ת"ק נחלקם על ש' שהוא כפל השרש שהיה לנו באחרונה הנה נתן לו אחד
	ויהיה המרובע כ"ב אלף ותת"א והשרש קנ"א ת' כאשר יכפול המספר אם יעלה לעשרות חבר עשרות עם עשרות לפי המעלות ואם יש שם אחדים שים במקום האחרים אשר כפלת ת'
the perfect square closest to 85000	דמיון אחר במעלה הזאת נבקש המרובע הקרוב אל פ"ה אלפים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300^2-85000}{2\sdot300}=\frac{90000-85000}{600}=\frac{5000}{600}<9\longrightarrow n=9}}$	והנה הוא קרוב אל המרובע הנמשל שהוא צ' אלף ושרשו ש' והנה המרחק ה' אלפים נחלקנו על כפל השרש שהוא ת"ר ונתן לו ט' הקרוב יותר ממה שנוכל
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(300-9\right)^2&\scriptstyle=90000-\left(2\sdot300\sdot9\right)+9^2\\&\scriptstyle=84600+81=84681\\\end{align}}}$	והנה יש לו תוספת ת' נחסרם מהמספר הנתון ישארו פ"ד אלפים ות"ר ועם תוספת פ"א שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיה פ"ד אלף תרפ"א וזה הוא המרובע באמת
	ושרשו רצ"א
the perfect square closest to 200000	דמיון במעלה הששית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל ר' אלף
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{200000-400^2}{2\sdot400}=\frac{200000-160000}{800}=\frac{40000}{800}>40}}$	ובעבור שזאת המעלה מן הזוגות היא דומה לעשרים והמרובע שעבר הוא י"ו וכבר אמרנו כי מה שהוא במעלה השנית אחדים יהיו במעלה הששית מאות והנה השרש ת' והמרובע שעבר ק"ס אלפים והנה המרחק מ' אלף נחלקנו על כפל השרש שהוא ת"ת והנה לא נוכל לתת לו ה' בעבור מרובע החלוק נתן לו ד' שהם מ'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{200000-440^2}{2\sdot440}&\scriptstyle=\frac{200000-\left(400+40\right)^2}{2\sdot440}\\&\scriptstyle=\frac{200000-160000-\left(40\sdot800\right)-40^2}{880}\\&\scriptstyle=\frac{40000-32000-1600}{880}=\frac{8000-1600}{880}=\frac{6400}{880}>7\longrightarrow n=7\\\end{align}}}$	ונכפול זה המספר על ת"ת יעלו ל"ב אלף ונשארו ח' אלף נסיר מהם אלף וו' מאות שהוא מרובע מ' ישארו ו' אלף וד' מאות ועתה יהיה השרש שלנו ת"מ וכפלו תת"פ נחלק המספר הנשאר על זה הכפול והנה נתן לו ז'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle447^2=\left(440+7\right)^2&\scriptstyle={\color{red}{200000-\left[200000-\left(440+7\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle{\color{red}{=200000-\left[200000-440^2-\left(2\sdot440\sdot7\right)-7^2\right]}}\\&\scriptstyle=200000-\left[6400-\left(2\sdot440\sdot7\right)-7^2\right]\\&\scriptstyle=200000-\left(240-7^2\right)=200000-191=199809\\\end{align}}}$	וישארו לנו ר"מ נחסר עוד מרובע ז' נשאר קצ"א נחסר זה המספר מהמספר הנתון ישארו קצ"ט אלף ותת"ט וזהו המרובע
	והשרש תמ"ז
the perfect square closest to 600000	דמיון אחר במעלה הזאת לדעת מרובע הקרוב אל ו' מאות אלף
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{800^2-600000}{2\sdot800}=\frac{640000-600000}{1600}=\frac{40000}{1600}<26\longrightarrow n=26}}$	בעבור כי המרובע הנמשל הוא אחרי החשבון נקח המרחק שהוא מ' כי ו' מאות אלף הם כמו ס' וכאשר חלקנום על אלף וו' מאות נתננו לו כל מה שיכולנו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle774^2=\left(800-26\right)^2&\scriptstyle=640000-\left(2\sdot800\sdot26\right)+26^2\\&\scriptstyle=600000+40000-41600+676\\&\scriptstyle=600000-1600+676\\&\scriptstyle=600000-924=599076\\\end{align}}}$	ואם יחסר מעט מהאמת חסרנו זה משרש המרובע הנמשל שהוא ח' מאות ושהם דומים לח' והנה השרש תשע"ד וכבר היה לנו מ"א אלף ות"ר והיה לנו מ' אלף שהוא המרחק והנה אין לנו לחסר כי אם אלף וו' מאות מהמספר הנתון ויש לנו להוסיף עליו מרובע כ"ו שעלה בחלוק שהוא תרע"ו והנה יצא ת"ר כנגד ת"ר והנה אין לחסר אלא תת"ק כ"ד כי ע"ו יש לנו נוספים במרובע החלוק והנה המרובע הוא ת"ק אלף וצ"ט אלפים וע"ו וזהו המרובע באמת
the perfect square closest to 5000000	דמיון במעלה השביעית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל ה' אלפי אלפים
	ונאריך לבאר זה הדמיון כהוגן עד שיהיה עקר להוציא המרובעים שהם במעלות אחרות עד אין קץ אע"פ שאין צורך להם בדברי החכמות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5000000-2000^2}{2\sdot2000}=\frac{5000000-4000000}{4000}=\frac{1000000}{4000}={\color{red}{250}>200}}}$	והנה המעלה הזאת דומה לראשונה והחשבון המבוקש כמו ה' והנה נסיר המרובע שהוא ד' ישאר לנו אלף אלפים והשרש שלנו שעבר אלפים וכפלו ד' אלפים נחלק עליו המספר הנשאר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{5000000-2200^2}{2\sdot2200}&\scriptstyle=\frac{5000000-4000000-\left(2\sdot2000\sdot200\right)-200^2}{4400}\\&\scriptstyle=\frac{1000000-800000-40000}{4400}\\&\scriptstyle=\frac{200000-40000}{4400}=\frac{160000}{4400}>30\\\end{align}}}$	יעלו ת"ת אלף ונשאר לנו ר' אלף נחסר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק שהוא מ' אלף נשאר לנו ק"ס אלף והנה שרש המספר שעבר אלפים ור' וכפלו ד' אלפים ות' נחלק המספר הנשאר עליו נתן לו ל'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{5000000-2230^2}{2\sdot2230}&\scriptstyle=\frac{5000000-2200^2-\left(2\sdot2200\sdot30\right)-30^2}{4460}\\&\scriptstyle=\frac{160000-\left(2\sdot2200\sdot30\right)-30^2}{4460}\\&\scriptstyle=\frac{28000-900}{4460}=\frac{27100}{4460}>6\longrightarrow n=6\\\end{align}}}$	ישאר לנו כ"ח אלף נסיר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק זה שהוא ל' והם תת"ק נשאר כ"ז אלף וק' והנה השרש שעבר יהיה אלפים ור"ל וכפלו ד' אלפים ות"ס נחלק עליו המספר הנשאר יעלו ו'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2236^2=\left(2230+6\right)^2&\scriptstyle={\color{red}{5000000-\left[5000000-\left(2230+6\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle{\color{red}{=5000000-\left[5000000-2230^2-\left(2\sdot2230\sdot6\right)-6^2\right]}}\\&\scriptstyle=5000000-\left[27100-\left(2\sdot2230\sdot6\right)-6^2\right]\\&\scriptstyle=5000000-\left(340-36\right)=5000000-304=4999696\\\end{align}}}$	נשאר לנו ש"מ נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע ו' ישאר ש"ד נחסרנו מהמספר הנתון בראשונה ישאר ד' אלפי אלפים ותת"ק אלף וצ"ט אלף ותרצ"ו וזהו המרובע באמת ושרשו אלפים ורל"ו
	ותבחן זה בכל המאזנים ותמצאנו נכון
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle4999696&\scriptstyle=4000000+999696=2000^2+999696\\&\scriptstyle=2000^2+800000+199696=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+199696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+120000+79696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+\left(2\sdot2000\sdot30\right)+79696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+\left(2\sdot2000\sdot30\right)+24000+55696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+\left(2\sdot2000\sdot30\right)+\left(2\sdot2000\sdot6\right)+55696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+40000+15696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+15696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+12000+3696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot30\right)+3696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot30\right)+2400+1296\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot30\right)+\left(2\sdot200\sdot6\right)+1296\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+900+396\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+30^2+396\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+30^2+360+36\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+30^2+\left(2\sdot30\sdot6\right)+36\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+30^2+\left(2\sdot30\sdot6\right)+6^2\\&\scriptstyle=2236\times2236\\\end{align}}}$	וככה בדרך כפל השרש על עצמו כי כפל אלפים על אלפים יהיו שנים על שנים במעלה השביעית שהם ד' אלפי אלפים ונשאר לנו המספר הנז' והנה נכפול אלפים במאתים פעמים יהיה ת"ת אלף ונשארו קצ"ט אלפים גם תרצ"ו נשוב לכפול אלפים על ל' פעמים יעלו ק"כ אלף נסירם מהמספר הנשאר ישארו ע"ט אלף וגם תרצ"ו נשוב לכפול אלפים על ו' פעמים יעלו כ"ד אלף נסירם מהמספר הנשאר וישארו נ"ה אלפים גם תרצ"ו וכבר כפלנו האלפים על כל המספרים עתה נחל לכפול מאתים על עצמו ועל האחרים שהם אחריו והנה כפלו על עצמו מ' אלפים חסרנום מהמספר הנשאר ישארו ט"ו אלפים תרצ"ו גם נכפול ר' על ל' פעמ' יעלו י"ב אלף נחסרנו מהמספר הנשאר ישארו ג' אלפים תרצ"ו ועוד נכפול ר' על ו' פעמ' יעלו אלפים ות' נסירם מהמספר הנשאר ישארו אלף ורצ"ו וכבר השלמנו לכפול ר' על כל המספרים שהם אחריו נחל מן ל' והנה כפלו על עצמו תת"ק נחסרנו מהמספר הנשאר ישארו שצ"ו נכפול עוד ל' על ו' פעמים יהיו ש"ס ונשארו ל"ו שהוא מרובע ו' והנה החשבון נכון
	וקודם שאדבר על המספרים שאין להם שרש אראה לך דרך איך תוכל לדעת מרובעים רבים ממרובע אחד גם שרשים רבים משרש אחד
$\scriptstyle a^2\times b^2=\left(a\times b\right)^2$	ודע כי כפל מרובע על מרובע לעולם יהיה מרובע והשורש יהיה כמו העולה מכפל שרש אחד מהמרובעים על שרש מרובע האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{5^2\times9^2=2025=45^2=\left(5\times9\right)^2}}$	דמיון כפלנו מרובע ה' על מרובע ט' ועלה אלפים וכ"ה וזה החשבון מרובע בקשנו לדעת כמה שרשו כפלנו ה' על ט' ועלו מ"ה והוא השרש באמת
	וערך מרובע אל מרובע גם הוא מרובע
	ואם חלקת הגדול על הקטן תמצא שרשו ת' השרש הקטן אל הגדול הוא שרשו ת'
	דמיון מה ערך מ"ט אל ק' הנה הוא כפלו וב' שביעיות שביעית בקשנו לדעת שרש זה המרובע חלקנו י' על ז' עלה אחד וג' שביעיות וזהו השרש כי אחד על אחד אחד וכפל אחד על ג' שביעיות פעמי' ו' שביעיות וכפל ג' שביעיות על ג' שביעיות ט' שביעיות שביעית והנה נעשה מן הז' שביעיות שביעית אחת ונחברנה אל הו' שביעיות שהיו לנו יעלו אחד שלם והנה יש לנו שנים שלמים וב' שביעיות שביעית בקשנו לדעת מרובע מספר ידוע ממרובע ידוע למספר ידוע חלקנו המספר הידוע הגדול על מספר הידוע הקטן שידענו מרובעו ונקח מרובעו ונכפלנו על המרובע הידוע והעולה הוא מרובע המספר הגדול שידענו
	דמיון בקשנו לדעת מרובע י"ט ממרובע ז' שהוא מ"ט חלקנו י"ט על ז' עלו ב' וה' שביעיות כפלנו מרובע זה והנה ב' על ב' ד' שלמי' וב' על ה' שביעיות פעמי' הם כ' שביעיו' וה' על ה' הם כ"ה שביעיות שביעית נעשה מהם ג' שביעיות נשאר לנו ד' שביעיות שביעית נחבר הג' שביעיות שהיו לנו על הכ' יהיו כ"ג נעשה מהם ג' שלמים והנה המרובע ז' שלמים וב' שביעיות וד' שביעיות שביעית והנה נכפול מ"ט על ז' יעלו שמ"ג נחבר אליהם י"ד שהם ב' שביעיות מ"ט יהיו שנ"ז גם נחבר אליהם ד' שביעיות שביעית שהם ד' ממ"ט יהיה הכל שס"א וזהו מרובע י"ט
	ואם חברנו ב' מרובעים בין שיהיו על הסדר או שיהיו מרוחקי' זה מזה נכפול המחובר ונחסר מזה הכפל מרובע היתרון שיש בין שני המספרי' שהם השרשים יהיה הנשאר לעולם מרובע והמחובר מהב' שרשים הוא השרש
	דמיון חברנו פ"א שהוא מרובע ט' עם תשכ"ט שהוא מרובע כ"ז יהיו תת"י וכפלו אלף ותר"כ וידענו כי שרש המרובע הקטן ט' ושרש המרובע הגדול כ"ז והיתרון ביניהם י"ח ומרובעו שכ"ד חסרנום מהכפול נשאר אלף ורצ"ו והוא מרובעו ושרשו ל"ו שהוא מחובר מט' עם כ"ז ואם חברנו ג' מרובעי' ונכפלם ג' פעמים ונחסר מהעולה באחרונה מרובעי הג' יתרונים שיש בין שרשי הג' מספרים והעולה באחרונה יהיה גם הנשאר מרובע וכאשר תחבר הג' שרשים יהיה המחובר שרש הנשאר
	דמיון חברנו ל"ו שהוא מרובע ו' עם ס"ד שהוא מרובע ח' ועם ד' מאות שהוא מרובע כ' והנה המחובר מג' מרובעי' הוא ת"ק כפלנוהו ג' פעמים עלו אלף ות"ק שמרנו זה החשבון נשוב לחפש היתרוני' והנה היתרון בין הו' ובין הח' ב' ומרובעו ד' והיתרון בין הו' ובין הכ' י"ד ומרובעו קצ"ו היתרון בין הח' ובין הכ' י"ב ומרובעו קמ"ד והנה מרובעי אלה הג' הם שמ"ד נחסרם מהכפול השמור ישארו אלף וקנ"ו והוא המרובע והמחובר מן הג' שרשים הוא ל"ד והוא שרש מרובע הנשאר
	ועל זה הדרך אם חברת ד' מספרים או ה' ותכפלם כך פעמ' והכלל שהכפול כפי מספר המרובעי' שחברת ותחסר לעולם מרובעי היתרוני' כמה שיהיו מהמחובר יהיה הנשאר מרובע ויש לך להישמר לדעת היתרונים ואומר לך שתוכל לדעת ממנו כמה מספר היתרונים חסר לעולם אחד ממספר המרובעי' ודע כמה מספר המחובר שלפני אותו המספר כאשר הראיתיך וכמספר המחובר יהיה המספר היתרונים
	דמיון חברנו ו' מרובעי' ונרצה לדעת מספרי היתרוני' נחסר אחד כאשר דברנו ישארו ה' והמספרי' שהם לפניו יהיו ט"ו וככה יהיו מספרי היתרוני'
Fractions
	עתה נחל לדבר על הנשברי' המרובעי' שיש להם שרש אמת ונאמ' דבר כולל לנשברי' המרובעי' שהם לבדם או שהם עם שלמי' הסתכל אם היה הנשבר חצי או שלישית או חמישית או ששית או שביעית או שמינית אינו מרובע והיה כן בעבור כי אלה המספרי' בשלמי' אינם מרובעי' רק אם היה בו רביעית או חמישית חמישית או ששית ששית או שביעית שביעית או שמינית שמינית או חצי שמינית כי הוא חלק מי"ו והנה הסתכל אם היה במרובע רביעית דע כי בשרש חצי ואם שם תשיעית דע כי יש בשרש שלישית ואם יש שם חצי שמינית דע כי יש בשרש רביעית ונחל לדבר על המרובעי' נשברי' לבדם שאין עמהם שלמי' וכבר אמרנו כי הנשברי' הפך השלמי' וכאשר תכפול חשבון שלם על חשבון שלם בין יהיה על עצמו או על אחר יהיה העולה גדול מהמספרי' והפך זה בנשברי' וכאשר המרובעי' השלמי' גדולי' משרשיהם יהיו המרובעי' הנשברי' להפך בי' שרשיהם גדולים ממרובעיהם ולהוציא המרובעי' משרשיהם דבר קל כי כפל חצי על חצי הוא רביעית אחד והוא המרובע וככה שלישית על שלישית תשיעית אחת וב' שלישיות על ב' שלישיות שלישית אחת ושלישית שלישית תשיעית וד' חומשי' על ד' חומשי ג' חומשים וחומש החומש והוא המרובע ועל זה הדרך הכל רק הקשה להוציא השרש מהמרובע
	ואתן לך דרך כוללת על דרך חכמי המזלות שיוציאו כל חשבונם מחשבון ס'
$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}$	אם ישאל אדם כמה הם ב' שלישיות כפולות על ב' שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{\frac{2}{3}\sdot60}{60}\sdot\frac{\frac{2}{3}\sdot60}{60}=\frac{40}{60}\sdot\frac{40}{60}=\frac{\frac{40\sdot40}{60}}{60}=\frac{\frac{1600}{60}}{60}=\frac{26}{60}+\frac{40}{60^2}=\frac{4}{9}}}$	תכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר חלקם על ס' יהיו כ"ו חלקי' ראשוני' ונשארו מ' שניים והכל ד' תשיעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}=\frac{20}{180}=\frac{20}{3\sdot60}=\frac{20}{3}\sdot\frac{1}{60}=\frac{6}{60}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{60}\right)=\frac{6}{60}+\frac{40}{60^2}}}$	כי תשיעית ו' ראשוני' גם מ' שניים שהם שתי שלישיות ראשון ואם עשינו מזה המספר שלישיות יהיו כ' גם נכפול ס' על ג' יהיו ק"פ והכל יהיו ממתכונת אחת וכאשר נחלק זה המספר על כ' עלו ט' שהוא תשיעית אחת
$\scriptstyle\sqrt{\frac{4}{9}}$	ואם הפך השואל השאלה ואמר כי המרובע ד' תשיעיות אחד כמה השרש
	הפוך גם אתה הדבר שתדע כמה הם ד' תשיעיות ס' וכבר אמרנו שהם כ"ו ראשוני' ומ' שניי' עשה מן הראשוני' שני' ושים השניי' עמהם יהיו הכל אלף ת"ר וזה המספר בזוגות דומה לי"ו וחשוב שהם שלמי' והנה השרש מ' שוב וחשוב כי הם ראשוני' וככה הוא השרש
$\scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{4}{7}$	דמיון בחשבון שלא יתחלק על ס' כפלנו ד' שביעיות על ד' שביעיות
	והוא על דרך חכמי החשבון נכפול ד' על ד' יהיו י"ו נחלקם על ז' יהיו ב' שביעיות וב' שביעיות שביעית
	ועל דרך הדומה לחכמי המזלות יהיו חלקיו ע' והנה ד' שביעיות הם מ' נכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר נחלקם על ע' יהיו כ"ב ראשוני' גם ס' שניים והוא המרובע
$\scriptstyle\sqrt{\frac{22}{70}+\frac{60}{70^2}}$	ואם השואל יהפוך השאלה ויאמר כמה שרש זה המרובע שהוא ככה
	גם אנחנו נהפוך הכ"ב ראשוני' ונעשה מהם שניי' ונוסיף עליהם הס' שניים שהיו לנו יהיו אלף ות"ר נחשוב כי הם שלמי' ושרשם מ' ונחשוב כי הם ראשוני' וזהו השרש באמת ואם רצינו להשיב ממתכונת ע' אל מתכונת ס' נכפול מ' על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו ל"ד וישארו כ' נכפלם פעם אחרת על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו י"ז וישאר לנו זה שאמר שהוא אחד הוא עשרה לכן החשבון אינו מדקדק נעשה ממנו ס' ובעבור כי ע' גדול מס' נכפלנו עוד ויהיו ג' אלפים ות"ר נחלקם על ע' עלו נ"א ויספוק לנו זה
$\scriptstyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}$	דמיון אחר כפלנו שלישית על שלישית
	עלה תשיעית אחד והוא המרובע ונעשה חלקיו צ' ושלישיתו ל' כפלנו אותו על עצמו עלו תת"ק נחלקנו על צ' ועלה י' חלקים והוא המרובע
$\scriptstyle\sqrt{\frac{10}{90}}$	והפך זה בקשנו לדעת השרש מזה המרובע
	עשינו מהי' חלקים שניים והם תת"ק חשבנו שהם שלמי' וכמספר הזה יהיו ראשוני' והוא השרש
	וכל זה נכון אם יש מרובע אמת ושרש אמת רק אם אמר חשבון חלקים שאין להם שרש אמת בין שיהיה להם ערך אל ס' או לא יהיה כי אם אמר י"ב חלקים הוא המרובע כמה השרש ידענו כי י"ב הוא חמישית ס' וכבר אמרנו כי לא יתכן להיות במרובע חמישית וככה אם אמר כי המרובע י' חלקים שהוא ששית אחת לא יתכן להיות רק אם אמר כי המרובע חלק אחד ומ' שניים שהוא ששית הששית הוא הנכון והנה במספר שיש לו ערך אל ס' לא יתכן להיות רובי המספרים מרובעים אף כי המספרים שאין להם ערך כלל כמו י"א י"ג ט"ו י"ז י"ט ואחרים רבים שאין להם ערך
	ועוד אתן לך דרך שתוכל להוציא לכל מרבע נשבר שרשו בדרך שהיא קרובה אל האמת
Integers and Fractions	ועתה אדבר על השלמים שיש בהם נשברים והם מרובעים
$\scriptstyle\sqrt{11+\frac{1}{9}}$	דמיון אמר אומר מרובע שהוא י"א ותשיעית כמה השרש
	אחר שאמר שיש בו תשיעית נכון הוא להיותו מרובע ובשרשו שלישית נכח התשיעית חסר ממנו התשיעית שהוא מרובע שבר השבר נשארו י"א שלמים והנה המרחק מהמרובע שעבר ב' שלמים נשיבם ראשונים יהיו ק"כ נחלקם על כפל השרש שעבר שהוא ו' יהיו כ' והנה השרש ג' שלמים וכ' חלקים ושליש
$\scriptstyle\sqrt{7+\frac{50}{60}+\frac{24}{60^2}}$	דמיון אחר המרובע שהוא ז' שלמים ונ' חלקים ראשונים וכ"ד שניים
	הנה בעבור ששם כ"ד שניים ידענו שיש בחשבון חומש החומש שהוא ב' חלקים וכ"ד שניים נחסר זה מרובע השבר מהמספר הנתון ישאר ז' שלמים ומ"ח ראשונים והנה המרחק מהמרובע שהוא אחריו אחד שלם וי"ב חלקים שהם ע"ב ראשונים נחלקם על כפל השרש שהוא אחריו והוא ו' ויעלו י"ב נגרעם מג' שהוא השרש ישארו ב' שלמים ומ"ח חלקים והנה נבחן זה בכפל כי הנה ב' על ב' ד' שלמים וידענו כי ב' על מ"ח פעמים יהיו קצ"ב ומ"ח הם ד' חמישיות יהיו י"ו חמישיות נעשה מהם ג' שלמים וישאר חמישית אחת וישארו לנו לכפול ד' חמישיות על ד' חמישיות יהיו י"ו חמשיות חמישית נעשה מט"ו ג' חומשין ונחבר אליהם החומש שהיה לנו יהיו ד' חומשין גם חומש החומש והנה ד' חומשין הם מ"ח ראשונים וחומש החומש ב' ראשונים וכ"ד שניים והנה הכל נ' ראשונים וכ"ד שניים וז' שלמים
$\scriptstyle\sqrt{44+\frac{4}{9}}$	דמיון מרובע שהוא מ"ד וד' תשיעיות
	ידענו כי התשיעיות מן השלישיות יצאו והנה נסיר זה המרובע שהוא לשברי שברים ונבקש כמה מרחק השלמים מן המרובע שעבר והנה ח' נשיבם ראשונים יהיו ת"פ נחלקם על י"ב שהוא כפל שרש המרובע שעבר יהיו מ' חלקים ראשונים והנה השרש ו' שלמים ומ' חלקים כי מ' הם השברים ומ' מס' הם ב' שלישיות והנה נכפול ב' על ב' יהיו ד' נחלקם על ג' יעלה שלישית אחת ונשאר שלישית השלישית והנה הם ד' תשיעיות ובדרך חכמי המזלות נכפול ו' על ו' והם ל"ו ונכפול ו' על מ' ומ' על ו' והם ת"פ ראשונים נחלקם על ס' ועלו ח' שלמים נחברם עם הל"ו ויהיו מ"ד נכפול מ' על עצמו ונחלק העולה על ס' ומה שישאר הם שניים והם כ"ו ומ' והם ד' תשיעיות כי ערכם אל ס' כערך ד' אל ט'
	ואחר שהזכרתי אלה הדמיונים תעשה כדרך הזה בכל המעלות
Approximations
	ועתה אומר לך דרך כלל לכל המספרים שיש להם שרש אמת או אין להם דע כי לעולם יהיה בין ב' מספרים שהם על הסדר כמספר השנים שרשים והנה הסתכל במספר שתרצה כמה מרחקו מהמרבע שעבר אם היה המרחק בין מספרך ובין המרובע שעבר כשרש המרובע שעבר הוא מספר האמצעי וכל מספר שיהיה פחות מהאמצעי הוציאהו מהמספר המרובע שעבר ואם היה יותר מהשרש שעבר הוציאהו אחורנית מהמרובע שלפניו
$\scriptstyle\sqrt{20}$	דמיון המספר עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20-4^2}{2\sdot4}=\frac{4}{8}=\frac{\frac{60\sdot4}{8}}{60}=\frac{30}{60}=\frac{\frac{1}{2}\sdot60}{60}}}$	והנה מרחקו מן המרובע שעבר ד' ואם תשיבם ראשונים ותחלקם על ח' שהוא כפל השרש יהיו ל' שהוא חצי ס'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5^2-20}{2\sdot5}=\frac{5}{10}=\frac{\frac{60\sdot5}{10}}{60}=\frac{30}{60}}}$	ואם לקחנו מרחק הכ' מהמרובע הבא יהיה כמספר השרש נשיבם ראשונים ונחלקם על י' שהוא כפל השרש יהיו ל'
	על כן אמרתי כי כ' הוא חשבון אמצעי
	ועתה שים לבך אם היה מספרך קרוב אל המרובע שעבר ראה המרחק שיש ביניהם ועשה ממנו ראשונים
	ואם יש בחשבונך ראשונים הוסיפם על הראשונים שעשית
	ואם יש עמך שניים השב הכל במערכת השניים
	או קח דרך קצרה אם היו השנים פחותים מל' הניחם ואם יותר הוסף ראשון אחד עליהם
	וכאשר תדע כמה הראשונים של המרחק חלקם על כפל השרש שעבר וההוה הוסיפנו על השרש שעבר והמחובר יקרא שרש ראשון
	ואם חשבונך היה במאות ואלפים זה השרש יספיק לך במדות כי לא יזיק
	רק אם המספר היה קטן אתה צריך לשרש שני שהוא יותר מדוייק
	ולהוציא היתרים והקשתות אתה צריך לשרש שלישי שמדוייק יותר
	וככה יהיה הדקדוק כשיהיו לך הראשונים של המרחק דע כמה מרובעם וחלקהו על כפל השרש הראשון ודע העולה כמה הם ובאיזה מעלה הם בראשונים או בשניים כאשר הראיתיך בשער השברים וההוה חסרהו מן השרש הראשון והנשאר הוא השרש השני
	ואם תרצה לדקדקו עוד קח מרובע זה שעלה בחלוק וחלקהו על כפל השרש השני
	ועתה אתן לך דמיון על דרך חכמי החשבון בדרך קרוב
$\scriptstyle\sqrt{200}$	בקשנו לדעת שרש מאתים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{200}\approx14+\frac{200-14^2}{2\sdot14}=14+\frac{200-196}{28}=14+\frac{4}{28}=14+\frac{1}{7}}}$	והנה המרובע שעבר קצ"ו והמרחק ד' שלמים כשתחלקם על כ"ח שהוא כפל השרש תעלה שביעית אחת והנה השרש י"ד ושביעית אחת
$\scriptstyle\sqrt{20000}$	ואם רצית לדעת שרש עשרים אלף
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}=10\sdot\sqrt{200}\approx10\sdot\left(14+\frac{1}{7}\right)=141+\frac{3}{7}}}$	כפול זה השרש על י' יעלה קמ"א וג' שביעיות
$\scriptstyle\sqrt{2}$	ואם בקשנו לדעת כמה שרש שנים משרש מאתים שהוא י"ד ושביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}=\frac{1}{10}\sdot\sqrt{200}&\scriptstyle\approx\frac{1}{10}\sdot\left(14+\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{10}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot4\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{4}{10}+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(\frac{8}{60}+\frac{34}{60^2}\right)\right]\\&\scriptstyle=1+\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{514}{60^2}\right)\approx1+\frac{24}{60}+\frac{52}{60^2}\\\end{align}}}$	נקח עשיריתו והנה מי' נקח אחד שלם ועשירית ד' והם ד' עשיריות וידענו כי ד' עשיריות הם ב' חמישיות שהם כ"ד ראשונים ויש לנו לקחת עשירית השביעית והנה שביעית ס' כבר אמרנו שהוא ח' ל"ד שניים נשיב הכל שניים יהיו תקי"ד ועשיריתם נ"ב והנה יהיה השרש הראשון א' כ"ד נ"ב והוא כמעט קרוב אל האמת
	נשוב להוציא זה השרש מכ' אלף וידענו כי זה החשבון הוא דומה לאחדים וי' אלפים כמו אחד והוא המרובע הנמשל והנה נחסר י' הפירוש שתקח הראשונים של המרחק אחר שלקחת אותם על כפל השרש שעבר והם הראשונים אשר עלו לך בשרש
	או אם תרצה אמור שתקח השרש הראשון ותרבעהו ותראה כמה יהיה הקרוב והתוספת אשר בו על מספרך הראשון והתוספת ההוא תחלק על כפל השרש הראשון והיוצא בחלוקה תחסר מהשרש הראשון והנשאר הוא השורש השני ת"ו אלפים ממספרנו ישארו י' אלפים נחלקם על כפל השרש שהוא ר' ולא נתן לו כל מה שנוכל אך נניח כפי מרובע החלוק והנה נתן לו מ' וישארו לנו אלפים נסיר מהם אלף ות"ר שהוא מרובע החלוק נשאר ת' והשרש שלנו ק"מ וכפלו ר"פ נחלק הנשאר עליו נתן לו אחד נשארו ק"כ נחסר ממנו א' שהוא מרובע א' נשאר קי"ט והשרש שלנו קמ"א נעשה מהנשארים ראשונים יהיו ז' אלף וק"מ נחלקם על רפ"ב שהוא כפל השרש שלנו עלו כ"ה חלקים ראשונים וי"ט שניים נחלק כל מה שאמרנו מן השלמים והשניים על ק' יהיה העולה אחד שלם כ"ד נ"א י"א וזהו מדוקדק יותר מן הראשון שהזכרנו
	ואם תקח כל חשבון שהוא כפל מרובע ותכפול שרש המרובע על זה השרש יצא לך שרש החשבון מדוקדק
$\scriptstyle\sqrt{18}$	דמיון רצינו לדעת כמה שרש י"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{18}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot3^2}=3\sdot\sqrt{2}\\&\scriptstyle\approx3\sdot\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=4+\frac{14}{60}+\frac{33}{60^2}+\frac{33}{60^3}\\\end{align}}}$	והנה כפלנו שרש המרובע שזה המספר כפלו ועלה ד' שלמים י"ד ראשונים ל"ג שניים ל"ג שלישיים
$\scriptstyle2\sdot\sqrt{18}=\sqrt{2^2\sdot18}=\sqrt{72}$	ואם כפלנו זה המספר יהיה שרש ע"ב שהוא כפל כפל י"ח
$\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{18}=\sqrt{\frac{1}{2}^2\sdot18}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot18}=\sqrt{4+\frac{1}{2}}$	ואם לקחנו חצי זה שרש יהיה שרש ד' וחצי שהוא רביעית י"ח
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sqrt{7200}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot60^2}\\&\scriptstyle=84+\frac{51}{60}+\frac{11}{60^2}\\&\scriptstyle=60\sdot\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}\right)+\frac{11}{60^3}=60\sdot\sqrt{2}\\\end{align}$	ואם נקח מרובע ז' אלפים ור' שהוא כפל מרובע ס' יהיה השרש פ"ד שלמים נ"א ראשונים י"א שניים וזהו שרש שנים בעצמו כי השיבונום בדרך ראשונים והנה חשוב אלה פ"ד שהיו שלמים חשבם ראשונים והראשונים שניים והשניים שלישיים
	ואם תכפול זה המספר על עצמו אחר שתשיבם שלישיים ותחלקם במשפט שתשיבם אל המעלה הראשונה לא ישאר לך שני אחד ואף כי ראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2-1^2}{2\sdot1}=1+\frac{2-1}{2}=1+\frac{1}{2}=1+\frac{\frac{60\sdot1}{60}}{60}=1+\frac{30}{60}}}$	נשוב להוציא שרש שנים להיותו דמיון לאחדים הנה המרובע שעבר הוא אחד והמרחק בין חשבוננו ובינו הוא אחד נשיבנו ראשונים יהיו ס' נחלקם על כפל השרש שהוא שנים יהיו ל' ראשונים והנה השרש הראשון א' ול' ראשונים
	ואינו נכון בעבור שהוא בחשבון קטן כי הנה כאשר הוציאנו אותו מחשבון ר' היה קרוב אל האמת ומהחשבון כ' אלף יותר מדוקדק
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{\left(\frac{30}{60}\right)^2}{2\sdot\left(1+\frac{30}{60}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{\frac{900}{60^2}}{3}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{\frac{15}{60}}{3}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{5}{60}=1+\frac{25}{60}\\\end{align}}}$	ויספיק לנו השרש הראשון והנה עלה לנו בחלוק ל' חלקים ראשונים ומרובעו ט"ו ראשונים כי כפל ראשונים על ראשונים שניים והם ט' מאות נחלקם על ס' יהיו ט"ו ראשונים נחלקם על כפל השרש שהיה לנו הוא ג' יעלו ה' נחסרם מן השרש שהיה לנו יהיה השרש השני א' שלם וכ"ה ראשונים ועודנו אינו מדוקדק בעבור היותו חשבון קטן
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\left(\frac{5}{60}\right)^2}{2\sdot\left(1+\frac{25}{60}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{25}{60^2}}{2+\frac{50}{60}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{25}{60^2}}{2+\frac{5}{6}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{6\sdot25}{17}}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{150}{17}}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{14}{17}}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{60\sdot14}{17}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{840}{17}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{49}{60^3}+\frac{\frac{7}{17}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{49}{60^3}\right)=1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\\\end{align}}}$	נשוב ונקח מרובע החלוק שהוא כ"ה והם שניים והשרש השני שהיה לנו שהיה אחד שלם וכ"ה ראשונים יהיה כפלו ב' שלמים נ' ראשונים נחלק השניים על זה ובעבור שיש לנו ה' ששיות נשיב הכל מערך ו' והנה נכפול כ"ה על ו' יהיו ק"נ נחלקם על י"ז נתן לו ח' ונשארו י"ד נשיבם ממערכת ס' יהיו תת"מ נחלקם על י"ז עלו מ"ט והם שלישיים ונשארו ז' מי"ז נשליכם כי אין צורך אליהם כי יש לנו עוד לחסר מרובע שעלה בחלוק עתה והנה כאשר נחסר ח' שניים גם מ"ט שלישיים מהשרש השני יהיה הנשאר אחד שלם כ"ד ראשונים נ"א שניים י"א שלישיים ואילו עשינו על דרך חכמי המזלות יהיה הדבר שוה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\right)-\frac{\left(\frac{8}{60^2}+\frac{49}{60^3}\right)^2}{2\sdot\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\right)}\\&\scriptstyle\approx1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{17}{60^3}+\frac{54}{60^4}\\\end{align}}}$	ואם היינו מדקדקים עוד מדרך מרובע ח' שניים מ"ט שלישיים שאמרנו היה יוצא השרש מדוייק שאין דיוק כמוהו א' כ"ד ראשונים נ"א שניים י"ז שלישיים נ"ד רביעיים
$\scriptstyle\sqrt{10}$	בקשנו להוציא שרש י'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\approx3+\frac{10-3^2}{2\sdot3}=3+\frac{1}{6}=3+\frac{\frac{60\sdot1}{6}}{60}=3+\frac{\frac{60}{6}}{60}=3+\frac{10}{60}}}$	והנה המרחק מהמרובע שעבר אחד נשיבנו ראשונים יהיו ס' נחלקנו על ו' שהוא כפל השרש שעבר יהיה י' והנה השרש הראשון ג' שלמים י' ראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{10}&\scriptstyle\approx\left(3+\frac{10}{60}\right)-\frac{\left(\frac{10}{60}\right)^2}{2\sdot\left(3+\frac{10}{60}\right)}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\frac{\frac{100}{60^2}}{6+\frac{1}{3}}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\frac{\frac{3\sdot100}{19}}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\frac{\frac{300}{19}}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{\frac{15}{19}}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{\frac{60\sdot15}{19}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{\frac{900}{19}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{47}{60^3}+\frac{\frac{7}{19}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle\approx\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{47}{60^3}\right)=3+\frac{9}{60}+\frac{44}{60^2}+\frac{13}{60^3}\\\end{align}}}$	נשיב לדקדקו והנה נקח הק' שהוא מרובע החלוק ונחלקנו על ו' ושלישית שהוא כפל השרש הראשון ונשיב הכל מערך ג' ויש לנו לחלק ש' על י"ט ועלו ט"ו ונשארו ט"ו נשיבם שלישיים מערך ס' יהיו תת"ק נחלקם על י"ט עלו מ"ז והנה יש לנו לחסר זה מי' חלקים שהיה לנו הנה נחסר ט"ו שניים גם ט"ו שלישיים יהיה הנשאר ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים והנה השרש השני הוא ג' שלמים ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים
	ואם נדקדקנו יותר יהיה ג' שלמים ט' ראשונים מ"ד שניים י"ב שלישיים
	וכשנכפול זה החשבון על י' יהיה העולה ל"א שלמים ל"ז ראשונים כ"ב שניים וזהו שרש אלף
	ואם נכפלנו על אלף נמצא שרש עשרת אלפי אלפים
$\scriptstyle\sqrt{18}\div\sqrt{8}$	שאלה חלקנו שרש י"ח על שרש ח' כמה יעלה בחלוק
	ידענו כי אין לי"ח שרש ג"כ לח' והנה נעשה דרך אחרת שנחלק י"ח על ח' ויעלה בחלוק ב' ורביע וזה החשבון מרובע ושרשו אחד וחצי והנה כאשר נוסיף על כפל שרש ב' חציו תמצא שרש י"ח מדוקדק
	שאלה הצבנו סולם אל קיר י' אמות גבהותו וככה גבהות הסולם הורדנו ראש הסולם מלמעלה ב' אמות נבקש לדעת כמה יהיה מרחק הסולם מיסוד הקיר
	אתן לך כלל בדבר זה לעולם יהיה מרובע הנשאר מראש הסולם עם מרובע מרחק הרגל מן היסוד שוים אל מרובע הסולם והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ומרובעו ס"ד נחסרנו מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה הוא מרחק הסולם למטה מן היסוד
	דמיון אחר הורדנו הראש אמה כמה המרחק מן היסוד
	חסרנו א' מי' ונשארו ט' ומרובעו פ"א נחסרנו מק' ישארו י"ט וזהו מרובע המרחק וככה נוציא שרשו ידענו כי המרחק מי"ו הוא ג' נשימם ראשונים יהיו ק"פ נחלקם על ח' שהוא כפל השרש שעבר יעלה בחלוק כ"ב ראשונים ל' שניים והנה השרש הראשון ד' שלמים כ"ב ראשונים ל' שניים נקח מרובע החלוק ונחלקנו על ח' שלמים מ"ה ראשונים שהוא כפל שרש הראשון יעלו נ"ח שניים נחסרנו מן השרש הראשון יהיה ד' שלמים כ"א ראשונים ל"ב שניים ואין צורך לדקדקו יותר מזה
	ועתה נחל לדבר בעגול יען שהוא תלוי בשרש
	דע כי יש בעגול דברים רבים האחד קו העגול והשני האלכסון והשלישי הכפל והרביעי היתר והחמישי החץ והששי השברים ותוכל להוציא אחד מהם שאינו ידוע מב' שהם ידועים ויש מהם שיוכל לדעת אחד מהם שאינו ידוע מאחר כאשר אפרש ואתן דמיון לכל אחד ואחד
	נחשוב עגול אלכסונו י' וחצי היתר ד' והחץ ב' כמה האלכסון
	חלקנו מרובע חצי היתר על החץ והוספנו החץ בעצמו על מה שעלה בחלוק והמחובר הוא האלכסון
	דמיון אחר באלכסון י' והחץ ג' ומרובע חצי היתר כ"א חלקנוהו על החץ עלה ז' והוספנו עליו ג' והנה הוא האלכסון
	דרך להוציא היתר מן החץ ומן האלכסון
	הנה חצי האלכסון ה' והחץ אחד נחסרנו מה' ישאר ד' אל הנקודה ומרובעו י"ו נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי אלכסון ישארו ט' ושרשו ג' וככה חצי היתר והנה כל היתר ו'
	וזה הדבר יהיה לך יסוד כי לעולם מרובע מה שנשאר מן החץ אל הנקודה עם מרובע חצי היתר יהיו שוים אל מרובע חצי האלכסון
	דרך אחרת להוציא היתר כפול החץ על כל הנשאר מן האלכסון והעולה הוא מרובע חצי היתר קח שרשו וכפלהו ותמצא כל היתר
	דרך אחרת ראה כמה ערך החץ אל כל האלכסון וככה תקח ממרובע האלכסון והוא המחובר ממרובע החץ וממרובע חצי היתר וערך מרובע החץ אל מרובע החץ ומרובע חצי היתר כערך החץ אל כל האלכסון
	דמיון בעגול הנזכר החץ ב' והנה ערכו אל כל האלכסון החמישית והנה חמישית ק' שהוא מרובע כל האלכסון כ' וזה המספר כולל מרובע החץ ומרובע חצי היתר וראוי להיות מרובע החץ חמישית כ' שהוא ד' נחסרם מהכ' ישארו י"ו והוא מרובע חצי היתר
	דמיון אחר בחשבון שיש לו חלקים ונאמר כי החץ ג' שלמים וכ' חלקים וזה ערכו אל י' שלישית הנה נקח שלישית ק' שהוא מרובע האלכסון והוא ל"ג שלמים וו' ראשונים ומ' חלקים שניים והוא מרובע החץ נחסרם מל"ג וישארו כ"ב י"ג כ' והוא מרובע חצי היתר
	ואתן לך דרך כלל בדברי העגול ידענו כי ב' אלכסונים שוים מחלקים העגול ואם החץ שלישית האלכסון יהיה מרובע חצי היתר כפלו בין שניהם הם ג' ואם החץ רביעית האלכסון יהיה מרובע חצי היתר ג' כפל מרובע החץ ועל זה הדרך כל החשבון
	שאלה אם אמר החץ ב' חלקים זה הערך תוכל לקחתו על שני דרכים האחד שתשיב האלכסון כלו ראשונים יהיו ת"ר ותעשה הערך כך
600 20 100 0	‫00ו ‫0ב ‫00א 0
	והנה נכפול ב' בק' מרובע האלכסון יהיו אלפים נחלקם על ת"ר יהיו ג' שלמים ושלישית אחד שהם ב' חלקים ומספר זה הוא הכולל שני המרובעים ואם שבנו עוד להפריד מרובע החץ ממרובע חצי היתר נקח מג' ב' ערך ג' ב' אל ק' והיה ו' מ' והוא מרובע החץ וישאר מרובע היתר ג' י"ג ב'
	ובדרך אחרת ידענו כי כ' חלקים מי' שלמים הוא שליש העשירית נקה מק' שהוא מרובע האלכסון שליש העשירית יהיה ג' שלמים וכ' חלקים דרך להוציא החץ מהיתר גרע מרבע חצי היתר ממרובע חצי האלכסון וקח שרש הנשאר וגרעהו מחצי האלכסון והנשאר הוא החץ
	דמיון אמר כי היתר ו' נקח מרובע חציו שהוא ט' נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי האלכסון וישארו י"ו ושרשו ד' נחסרנו מחצי האלכסון שהוא ה' ישאר אחד וככה הוא החץ
	להוציא קו העגול מן קו האלכסון
	חכמי המדות אמרו כי הקו הסובב הוא ג' מהאלכסון ויותר שביעית והנה הוא בחשבון ז' אל כ"ב ואם כפלת האלכסון על ג' ושביעית יהיה העולה הקו הסובב או אם תכפול האלכסון שתרצה על כ"ב ותחלק העולה על ז' תמצא הקו הסובב
	והפך זה אם ידעת הקו הסובב ותרצה לדעת האלכסון כפול הקו על ז' וחלק העולה על כ"ב תמצא האלכסון והנה על דעת אלה אם היה האלכסון אחד יהיה הקו הסובב ג' שלמים ח' הראשונים ל"ד שניים י"ז שלישיים
	וארישמדס החכם נתן ראיה כי הוא פחות מזה המספר כי אמר שהנוסף פחות מי' חלקים מע' גם הביא ראיה כי הנוסף יותר מי' חלקים מע' וחצי והנה הנוסף על השלשה שלמים ח' ראשונים כ"ד שניים ל"ה שלישיים ונתן ראיה כי ראוי להיות יותר מזה המספר
	ותלמי עשה חשבונו אמצעי כי התוספת ח' ראשונים ל' שניים
	וחכמי הודו אמרו כי אם היה כ' אלף יהיה הקו הסובב ס"ב אלף ותתל"ח
	וכאשר תסתכל זה תמצאנו קרוב מדברי תלמי ואין ביניהם כי אם ג' שלישיים
	ובעבור כי י' דומה לאחד והעגול יסובבהו קו אחד הנה אם שמנו האלכסון י' יהיה מרובע היתר כשלישית האלכסון במספר הקו בלי תוספת ומגרעת וככה אם עשית מרובע בשלישית העליונה ובשלישית השפלה יהיו שבריו במספר הקו רק המרובע נוכל לדעת שהוא תת"ק פ"ז וה' תשיעיות וד' שמיניות תשיעית שהם נ"ג חלקים מן פ"א והנה אם שמנו האלכסון י' ונוציא יתר בשלישית ונעשה עליו משולש יהיה רבוע המשלש בקו הסובב וכל מספר שהוא לפני י' יהיה ערך המשלש בשלישית אל הקו המקיף בערכו אלי' ואם הוא יותר מעשרה יהיה ערך הקו המקיף אל המשלש בשלישית כערך י' אל הקו
	וכאשר נחפש הקו הסובב כמה יהיה אם היה האלכסון אחד יהיה הקו הסובב ג' שלמים ח' ראשונים ל"ג שניים מ"ב שלישים גם ל' רביעיים על כן שברי עגול שאלכסונו ט"ו שרש חמשת אלפים בלי תוספת ומגרעת ובמדות ובחכמת המזלות אין צריך לדקדק זה
	והנה הוא כאשר אמר ארישמדס שהוא יותר מי' חלקים מע' וחצי וקרוב מאד לדברי חכמי הודו שאין ביניהם רק דבר שאין בו ממש
	ולדעת הקשתות והמיתרים על דעת חכמי המזלות אדבר עליהם בספר טעמי הלוחות כי הם מבקשים למוד הקו הסובב מהיתרים וחכמי המדות מבקשים לדעת כמה שברים יכילו בעגול ולפי דעתם אם ידעת האלכסון כפול מרובעו על י"א וחלק העולה על י"ד אז תמצא שברי העגול
	והפך זה אם ידעת כמה שברי העגול ותרצה לדעת כמה האלכסון כפול השברים על י"ד וחלק העולה על י"א והעולה בחלוק הוא מרובע האלכסון ושרשו הוא האלכסון
	ועתה אשוב לדבר למה יחסרו חכמי החשבון אחד ליסוד
	דע כי אחד עד ט' הם המספרים באמת שהם כנגד ט' עגולות וכל המספרים אחריהם הם נמשלים להם והנה הנמשלים הם ראויים לקחת המעלות מהם והי' ראוים אל מעלה ראשונה והק' בששית והאלף בשלישית והי' אלף ברביעית וק' אלף בחמישית ואלף אלפים בששית וככה עד אין קץ
	וחכמי החשבון שמו המספרים הראשונים במעלות על כן הוצרכו לגרוע אחד ליסוד וברור זה
	ותראה בדמיון בקשנו לכפול ר' על ש' והנה הנמשלים ב' וג' כפלנו זה על זה והיו ו' והמעלות גם כן הם ו' נחסר אחד למוסד ישאר ה' ותחלתם י' אלפים והנה הם ששים אלף וכבר הזכרתי כי בחשבון האמת תחלת הארבעה לי' אלפים הוא והנה הדבר שוה
	אך עשו כן כדי להקל על התלמידים
	תם ונשלם תהלה לאל עולם סלה

ראה ספר כליל שפר יסוד מספר שמו נקרא לאברהם בנו מאיר ספרדי אבן עזרא

Abziehen (מן), חסר (מן) גרע addieren חבר (אל, עם, על), הוסיף (על) Addition חבור Arithmetik חכמת המספר, חכמת החשבון Arithmetiker חכמי המספר, חכמי החשבון Astronomen חכמי המזלות Astronomie חכמת המזלות Aufgabe שאלה ausrechnen הוציא ausziehen (z. B. Wurzel) הוציא Beispiel דמיון Bogen קשת Bruch שבר Centrum נקודה Decimen עשיריים Dekade מספר) כלל) Differenz מרחק (מן) Dividendus (מספר) המחולק dividieren חלק (על) Division חלוק Divisor (מספר) המחולק עליו Doppelbruch שבר השבר Doppelte כפל Dreieck משולש Dnrchmesser אלכסון Einer פרטים, אחדים Figur צורה Flächeninhalt שברים ganz שלם Geometrie חכמת המדות gerade Zahl מספר זוג gesucht מבוקש gleich שוה gleichschenklig שוה השוקים Grad מעלה herauskommen עלה, יצא Kreis עגול Messkunde חכמת המדות Million אלף אלפים Minuten ראשונים Mittelpunkt נקודה Multiplikation כפל multiplizieren כפל (על) Musik חכמת הנגינות Nenner מורה Null סיפרא, גלגל Oktaven שמיניים Paarzahl מספר זוג Peripherie הקו הסובב Pfeil חץ Primzahl מספר ראשון Probe מאזנים Probezahl מאזנים Produkt המחובר Proportion (s.Verhältnis) ערך Quadrat מרובע Quadratwurzel שרש מרובע Quarten רביעיים Quinten חמישיים Quotient היוצא בחלוק rechnen חשב Rechnung חשבון Rest הנשאר Resultat העולה, היוצא Schema דמיון Schenkel שוק Sehne יתר Seitenzahl פאה Sekunden שניים Septimen שביעיים Sexten ששיים Stelle מעלה Sternknnde חכמת המזלות Stufe מעלה subtrahieren חסר (מן), גרע (מן) Subtraktion חסור, מגרעת Summe סכום, מחובר Teil חלק teilen חלק (על) Terzen שלישיים Überschuss תוספת, יתרון überschüssig נוסף ungerade Zahl מספר נפרד unpaar נפרד verdoppeln כפל vervielfältigen כפל Verhältnis ערך arithmetische Verhältnisse ערכי החשבון geometrische Verhältnisse ערכי המדות harmonische (musikalische)Verhältnisse ערכי הנגינות Viereck מרובע Wurzel שרש Zahl חשבון, מספר Zahlenlehre חכמת החשבון, חכמת המספר Ziffer אות, חשבון, מספר zusammengesetzte Zahl מספר מורכב

Additional Excerpt

F14649 ל"ז1

	שאלה ג' אנשים רצו לקנות דג במחיר י"ז פשיטים אמר אחד מהם אני אתן כל מה שיש בידי ואתם תנו חצי מה שיש בידכם אמ' השני אני אתן מה שבידי ואתם שליש שניכם ענה השלישי אני אתן את שלי ואתם תנו רביעית שניכם כמה יש ביד כל אחד ואחד
	תשובה נבקש מאמר שנוכל להוסיף עליו עד שיהיה המספר ההוא אחר התוספת חציו ושני שלישיותיו ושלש רביעיותיו והוא המורה ובעבור כי מחיר הדג י"ז פשוטים והנה יותר מי"ב
	והנה המספר המבוקש פחות מי"ב וכאשר חברנוהו י"ב והוא המורה עם מחיר הדג שהם י"ז יעלו כ"ט
	תסיר מהם הי"ז ישארו י"ב נמצאו ביד שנים מהם י"ב פשוטים
	וכאשר נוסיף על י"ב חצי הכפל הנשאר שהם ה' מי"ב ועד י"ז וכפלם כ"ה וחציו י"ב וחצי יהיו כ"ד וחצי ויש לך עוד כ"ט ה' וככה ממון ראשונים
	וכאשר הוספת על י"ב ו' שיהיה י"ב שתי שלישיותיו היו י"ח הנה יש להשלים עד כ"ט י"ח והוא הממון השני
	וכאשר הוספנו על י"ב ד' בלבד עד שיהיו י"ב ג' רביעיותיו והנה היו י"ו וממנו עד כ"ט י"ג והוא הממון השלישי
	דבר אחר ממה שיצטרך ידיעתו בחכמה הזאת הוא שהבדל גדול יש בין אמרנו ערך מספר קטן אל הגדול ובין אמרנו ערך מספר גדול אל הקטן
	והוא המוזכר אחרון בערך יהיה הראשון הנזכר חלק ממנו ולא יתהפך זה עד שיהיה האחרון חלק מן הראשון וזה יתברר בשני מספרים שאין חלקיהם שוים
	המשל בזה כי כאשר אמרנו ערך ג' אל ה' הרצון בו שג' הוא שלשה חלקי הה' ר"ל ג' חמישיותיו
	והפך זה אמרנו ערך ה' אל ג' הרצון בו שהחמשה יש בו פעם אחת ג' ושני שלישיותיו
	וככה ערך י' אל י"ו הכונה בו שהוא חמש שמיניות של י"ו אבל אמרנו ערך י"ו אל י' הכונה בו שהוא פעם אחת מספר י' וג' חמישיותיו של י'
	דבר אחר דע כי כפל מניין על מניין הוא כפל האורך על הרוחב אם שיהיה מרובע רבוע שא' שארכו כרחבו כאמרנו ד' על ד' הם י"ו וגם שיהיה ארכו יותר מרחבו כאמרנו י"ו שהם אמות אומדות שארכם כרחבם כזה או מרובע ארוך כזה
	על כן כפל המספר שלמים על שלמים יוסיפו ובו תדע תשבורת הכל אבל כפל שברים על שברים יהיה היוצא ממין השברים
	וכשתכפול השברים על השלמים כאמרנו כפול ד' על חצי הוא כאמרנו כפול ד' על חצאים כלומ' שיהיה ארכו ד' אמות ורחבו חצי אמה כזה
	כפול שברים על שברים כאמרנו חצי על חצי ויהיה רביעית כלומ' יהיה חצי אמה אורך וחצי אמה רוחב ושברו הוא רביעית
	וכאשר נכפול שלמים על שלמים כאמרנו כפול ד' על ד' יהיה מרובעו י"ו מרובעות וכאשר תכפול ב' על ב' יהיה מרובעו ד'
	ככה הענין בשברים על כן שלישית על שלישית יהיה תשיעית וכן כל השאר
	אבל החלוק הוא שתחלק האורך על הרחב כי לעולם הגדול נחלק על הקטן כי אם חלקנו הקטן על הגדול אותו יקרא ערך ואינו חילוק כי הוא כאמרנו ערך מספר קטן אל מספר גדול
	ועל כן כשנחלק שלמים על שלמים יצא בחלוק שלמים כמו שאמרנו
	דמיון חלקנו י"ו על ב' עלה ח' הוא שתשבורת הכל השיבונו על קו שיהיה רחבו ב' אם כן יהיה ארכו ח'
	ואם חלקנו שלמים על שברים כאמרנו חלקנו י"ו על חצי אחד הנה יהיה ארכו ל"ב ורחבו חצי אחד
	ועל כן נחלקנו שברים על שברים ממינם יהיו שלמים
	כאמרנו חלקנו ג' רביעיות על ב' רביעיות הוא שנעשה קו ארכו אחד וחצי ורחבו ב' רביעיות כי מה שהיה תשברתו שלשה ו' רביעיות באורך וברוחב חלקנו על הרחב ושמנו רחבו חצי אמה וארכו אמה וחצי
	על כן כשנחלק מעלות על מעלות או על ראשונים או על שניים או על איזה חלקים שנרצה יצא בחלוק מעלות שהשיבונו התשבורת כולו אל האורך וקצרנו ברחב
	ואם חלקנו ראשונים על שניים יצא בחלוק מעלות גם כן
	כי נשיב הראשונים אל השניים ויהיו דומים וישובו מעלות באורך ושניים ברחב ומה שיהיה ישובו מעלות
	ואם תחלק הקטן על הגדול ישוב היוצא אל מין אחד גבוה על הקטן והקטן מן הגדול ומזה תבין כל מיני החלוק
	שאלה שלשה אנשים באו לקנות דג שמחירו י"ב פשיטי' ומחצה הראשון יתן כל מה שבידו והשני רביעיות והאחרים רביעיתם או השלישי כל מה שבידו והאחרים חמישיתם נרצה לדעת כמה ביד כל אחד
	תשובה שמחיר הדג למעלה מי"ב הנה י"ב הוא מספר מכוון שיהיה לנו אחר התוספת שלישית והוא י"ח ורביעית והוא י"ו וחמישית והוא ט"ו הנה כאשר חברנו י"ב על מחיר הדג יהיה כ"ד פשוטים ומחצה
	הנה מי"ח עד כ"ד ומחצה הוא ו' מחצה וככה ממון הראשון
	ומי"ו עד כ"ד ומחצה ח' ומחצה והוא ממון השני
	ומט"ו עד כ"ד ומחצה ט' ומחצה והוא ממון השלישי
	ולהוציא אל השאלות והדומות אליהן דע כי חלקי האנשים הן כפי חלקי המורה מחובר עם המחיר
	וכאשר רצינו לחדש שאלה דומה לזו הוא שיקח המורה מחובר עם המחיר
	ולכן כשנרצה להוסיף עליהם החלקים שנוכל להוסיף עליו ונחבר כל החלקים עמו ונראה כמה עולה עם החלקים וגם החלקים לבד נקח כל העולה והעולה הוא מחיר הדג או מחיר דבר קנוי
	דמיון לחלקים כשהם ב' אנשים לבד
	נקח ד' על דרך משל המורה וכאשר נכפלהו היו ח' וכאשר נוסיף על ד' שלישית מלבד יהיו ו' הנה הוספנו על זה האחרון ב' על ד'
	וכאשר נחבר ב' על ח' עלו י' והוא מחיר הדג
	והנה המורה ד' כמו שאמרנו נחברהו על המחיר שהוא י' ויהיו י"ד והנה הראשון שכפל המורה והיו ח' הנה מח' עד י"ד הם ו' והוא ממון הראשון
	והב' שליש וד' יהיו ו' והנה מו' עד י"ד ח' וככה ממון השני
	הנה בזה אמ' הראשון לשני אני אתן מה שבידי ואתה שליש מה שבידך
	וכן תעשה לעולם על הדרך הזה בשני אנשים
	ודמיון לשלשה ככה שתקח חצי העולה מן המורה כל החלקים השלשה ותדע להם המחיר והוא שתקח למשל השאלה הראשונה י"ב והוא המורה
	וכאשר חברנו אליו כפלו ושלישיתו מלבד שהוא חציו מלגיו והוא ו' ורביעיתו מלבד והוא שלישיתו מלגיו והם ד' וחמישיתו מלבד שהוא רביעיתו מלגיו והם ג' יעלו הכל כ"ה וחצאים י"ב וחצי וככה מחיר הדג
	אחר כן תוסיף חלק כל אחד מהם כפי מה שהראיתיך למעלה
	וכאשר רצינו לעשות כזה לד' אנשים נקח המורה שנרצה ונחבר אליו כל הד' שנרצה להוסיף עליו ומן המחובר קח השלישית והוא המחיר
	וכאשר תרצה לעשות זה בה' אנשים קח הרביעית ולו' קח החמישית וכן עד אין קץ
	שאלה שלשה אנשים רצו לקנות דג ואמרו שיתן כל אחד כמה שיש לו . אם כן כמה היה מחירו . וכמה היה לכל אחד ואחד
	תשובה דע כי דמי הדג דמי הדג היו י"ז פשוטים והיו לראשון ה' ולשני י"א ולשלישי י"ג
	וכיצד הוצאת החשבון נבקש תחלה המורה וככה תעשה תחשוב איזהו חשבון שאם תטול ממנו רביעיתו ישאר ג' מניין האנשים והנה הוא ד'
	אחר כן תחשוב מספר אשר תטול ממנו שלישיתו וישאר ג' תמצא שהוא ד' ומחצה
	אחר כך תחשוב מספר אשר תטול ממנו חציו וישאר ג' תמצא שהוא ו'
	וכדי שלא יהיה שברים בחשבון תכפלם ויהיה המספר הראשון ח' והשני ט' והשלישי י"ב ונמצא שעולין כ"ט
	עתה קח מספר האנשים שהוא ג' וחסר ממנו אחד ישארו ב' כפול הי"ב באלו הב' יעלו כ"ד תוציאם מכ"ט וישארו ה' וזהו ממון הראשון
	עתה כפול הט' בב' הנזכרים ויעלו י"ח תוציאם מכ"ט וישארו י"א והוא ממון השני
	עתה תכפול הח' בב' הנזכרים ויעלו י"ו תסירם מכ"ט ישארו י"ג והוא ממון השלישי
	וכולם על זה הדרך
	חשבון האצבעות הנקרא בערבי אל גבאר
	אלה שמות האצבעות גודל אצבע אמה קמיצה זרת
	פרק אמצעי של זרת קרוי א'
	אמצעי של קמיצה קרוי ב'
	אמצעי של אמה עמהם קרוי ג'
	כשתסיר הזרת קרוי ד'
	כשתסיר הקמיצה קרוי ה'
	כשתסיר האמה ותשפיל הקמיצה לבד קרוי ו'
	זרת שוכב קרוי ז'
	קמיצה עמו קרוי ח'
	אמה עמהם קרוי ט'
	הרי באלו הג' אצבעות משתמש האדם מא' ועד ט'
	גודל ואצבע משתמשין מי' ועד ק'
	כיצד יסודו של אצבע בסוף פרק אמצעי של גודל קרוי י'
	גודל ואצבע מחוברין זה עם זה קרוי כ' בשרשיהם זה עם זה קרוי ל'
	גודל על אצבע מ'
	גודל על הכף קרוי נ'
	פרק אמצעי של אצבע על פרק ראשון של גודל קרוי ס'
	גודל פשוט ופרק אמצעי של אצבע כנגד חודו קרוי ע'
	פרק אמצעי של אצבע על פרק ראשון של גודל קרוי פ'
	אצבע בתוך וגודל סביבו קרוי צ'
	עד כאן ביד ימין
	וביד שמאל משתמשין מאות ממאה ועד מאה אלף
	כיצד חודו של אצבע בסוף פרק אמצעי של גודל קרוי ק'
	גודל ואצבע מחוברין זה עם זה קרוי ר'
	שרשיהם מנשקים זה עם זה קרוי ש'
	גודל על אצבע קרוי ת'
	גודל כפוף ביד שמאל קרוי רבבה שהם י' אל אלפים
	כמו שחשבנו ביד ימין לאחדים כן נחשוב ביד שמאל למאות וסימניך יפול מצדך אלף ורבבה מימנך
	והמשכילים יזהירו כזוהר הרקיע
	שאלה חלק ס' על ג' בני אדם לאחד השליש ולאחד הרביע ולאחד החומש ולא ישאר מהס'
	תשובה נשים המורה והוא שנחבר השליש והרביע והחומש מס' הנה שליש ס' הם כ' ורביעיתם ט"ו וחמישיתם י"ב נחברם ויעלו מ"ז והוא המורה
	עתה כפול המספר הראשון המתחלק שהוא ס' על כל אחד מהשלשה חלקים שהם השלישית והרביעית והחמישית והעולה בכפל תחלקהו על המורה והיוצא מהחלוק הוא חלק כל אחד מהשלשה כפי החלק שיש לו לקחת
	וככה תעשה כפול ס' על כ' יעלו ת"ר תחלקם על מ"ז שהוא המורה ויעלו י"ג בקרוב כי הנה בדקדוק הם י"ב שלמים ול"ו שברים וזה חלק בעל השליש
	עתה נכפול ס' על ט"ו יעלו תת"ק נחלקם על מ"ז ויצא מן החלוק י"ט והוא חלק בעל הרביע
	עתה נחזור לכפול ס' על י"ב יעלו תש"כ תחלקם על מ"ז יצא בחילוק י"ח והוא חלק בעל החומש
	והבחינה בזה שתחבר הכל יחד ויעלו ס'
	וכן כל כיוצא בזה
	ושאלה זו יוצאה משאלת ד' אנשים שהרויחו י"ט דינרי' שהוא שאלה שנייה משער ו'
	שאלה ממון לקחנו ממנו שלישיתו ורביעיתו ועוד ב' ונש' ונשארו עשרה כמה הוא הממון
	תשובה נאמר כי השאלה היא כ"ד
	נקח ממנו שלישיתו ורביעיתו שהוא השליש ח' והרביע ו' עלו י"ד ונשארו י'
	נסיר ב' מי' ונשארו ח' ועדיין לא יצא אמתי
	אם כן נעשה הרביע ובתחלה נעשה המורה והוא שנכפול ג' בד' ויעלו י"ב והוא המורה
	נסיר מהם שלישיתו ורביעיתו שהם ז' וישארו ה' והנה יש לנו שלשה מספרים ידועים והם המורה שהוא י"ב ומה שנשאר ממנו אחר הסרת שלישיתו ורביעיתו שהם נשארים ה' והג' הידוע הוא הי"ב של השאלה והד' נעלם
	מעתה נשים האמצעיים חברים שהם הי"ב והי"ב ונכפול זה על זה ויעלו קמ"ד נחלקם ה' ויצא בחילוק כ"ד שלמים וד' חומשים
	ואם תבדוק תמצאנו אמתי
	שאלה היו לשר אחד עשרים משרתים בין זכרים בין נקבות ונתן להם עשרים ככרי לחם ואמר להם מאלו עשרים ככרות תקחו כל א' זכר בכם ב' ככרות וכל נקבה חצי ככר כדי שיבא ככר אחד לשתי נקבות ותשאירו לי ככר לחם אחד יש לשאול כמה היו הזכרים וכמה היו הנקבות
	תשובה האנשים היו ששה והנשים י"ד לקחו האנשים הששה י"ב ככרות והנשי' הי"ד לקחו ז' ככרות הרי י"ט ככרות נשאר אחד לאכילת השר
	שאלה היו לשר אחד עשרים בהמות בין סוסים ופרדים וחמורים ונתן לעבדו עשרים עמרים של שעורים וצוה לו שיתן לכל סוס מהם ב' עמרים ולכל פרד עמר אחד ולכל חמור חצי עמר כמה בהמות היו לו מכל מין
	תשובה הסוסים היו ד' והפרדים היו ח' והחמורים היו ח' ונתן לד' הסוסים ב' עמרים לכל אחד הנה ח' עמרים נתן לח' פרדים עמר לפרד הנה ח' עמרים הרי י"ו עמרים נתן לח' החמורים ד' עמרים הרי כ'
	שאלה תגר אחד אמר למשרתו הנני נותן לך ק' פשיטים קנה לי בהם ק' עופות שיהיו מג' מינים תרנוגלין ואווזים וצפרים והיה שוה האווז ה' פשיטים והתרנגול ג' פשיטים והצפרים עשרים מהם בפשוט כמה לקח מכל מין
	תשובה מן האווזים לקח י"ח ומן התרנוגלין ב' ומן הצפרים פ' נתן בי"ח אווזים צ' פשיטים ונתן בב' תרנוגלין ו' פשיטים הנה צ"ו פשיטים וכ' עופות נתן עוד ד' פשיטים בפ' צפרים הרי ק' עופות וק' פשיטים
	שאלה אדם אחד אהב אשה ואמרה לו אם תתן לי תפוח אחד מגנת המלך אהיה נכבשת לך ואם לאו לא אכבש לך והלך לשוער הגן ושאל לו תפוח והוא השיב לו אכניסך לגן ללקוט על מנת שתתן לי מחצית התפוחים אשר תוציא וחצי תפוח יותר ולא יתחלק שום תפוח ולא ישאר בידך אלא אחד והאיש אמר לו כן דברת נכנס ומצא שוער שני ואמר לו הכניסיני בגן השיב השוער על מנת שתתן לי חצי התפוחים אשר תוציא וחצי תפוח יותר ולא יתחלק שום תפוח נכנס עוד ומצא שוער שלישי והשיב כאשר השיב השוער השני ואז נכנס בגן וליקט תפוחים ונתן לכל אחד כפי דברו ונשאר בידו תפוח אחד א"כ כמה תפוחים לקט מן הגן
	תשובה מאשר שאלו כל אחד מחצית שבידו וחצי תפוח יותר ושלא יתחלק שום תפוח מזה ידענו שליקט נפרדים
	ועתה נוציא מספרים הוא הוציא לחוץ תפוח אחד והוסיף לשוער הראשון חצי תפוח ממה שהיה בידו אם כן תפוח וחצי היה מחצית מה שנשאר לו מן השוער השני
	נכפלם ועולים ג' וחצי תפוח שהוסיף לשני הרי ג' וחצי וזהו החצי שנשאר לו מן השוער הפנימי
	נכפלם ויהיו ז' וחצי תפוח שהוסיף לשוער הפנימי הרי ז' וחצי וזהו חצי מה שליקט
	[נכפלם] ועולים ט"ו עתה נ
	כלל אם תרצה לידע תשבורת העגולה
	קח רביע הקו המקיף וכפול אותו על הקוטר ומה שיצא הוא תשבורת העגולה
	דמיון הקו המקיף שיעורו כ"ב מעלות הנה הקוטר ז'
	כפול ז' על ה' וחצי והנה המבוקש ל"ח וחצי והוא התשבורת
	וכל זה בעגולה השטחית
	אבל בכדור יצטרך לכפול כל הקוטר על כל הקו המקיף ואז ידע תשבורת כל הקף הכדור
	דמיון נכפול ז' שהוא הקוטר על כ"ב שהוא הקו המקיף ויעלה קנ"ד והוא תשבורת הכדור
	ולדעת שטח כל הכדור נכפול כל התשבורת בששית הקוטר ונשיג המבוקש
	כלל כשתרצה להוציא שורש מספר אחד ממספר אחר
	קח כפלו וכפל כפלו ותקח שרש העולה וחצי השורש ההוא הוא שרש מבוקשך
	דמיון תרצה למצוא שורש ט'
	קח כפלו והוא י"ח וכפל י"ח שהוא כפלו של ט' ויעלו ל"ו, תקח שרשם והוא ו' וחציו ג' וזהו שרש ט'
	דמיון אחר רצינו למצוא שרש י"ו
	קח כפלו והוא ל"ב וכפלם ועלו ס"ד ושרשם ח' וחציו ד' והוא שרש י"ו
	שאלה ראובן לקח משמעון בהלואה תיבה אחת מלאה חטה והיתה מכילה ח' מדות בחשבון מעוקב רוצה לומ' ח' מדות מדות באורך וח' ברוחב וח' בגובה ולקץ שנה רצה לפרוע והביא תיבה אחרת שהיתה מכילה ד' על ד' באורך וברחב ובגובה עתה נדע כמה השיב לו אם חצי החצ החטה או שלישית או רביעית
	ונעשה החשבון ככה נכפול ח' על ח' עלו ס"ד ונכפול ח' על ס"ד למצוא המעוקב ועלו תקי"ב והוא מה שלקח שמעון בהלואה
	עתה נמנה מה שהשיב לו כמה הוא נכפול ד' על ד' עלו י"ו ונכפול ד' על י"ו עלו ס"ד וזהו מה שהשיב לו
	עתה ניחס אותו לדעת אלו הס"ד כמה חלקים הם מתקי"ב מצאנו שהם שמיניתם ואם כן השיב לו שמינית החטה והשאר במעות
	ז'ל'ל ש'ל'ע'

Notes
Apparatus
Chapter One
Chapter Two
Chapter Three
Chapter Four

Appendix: Bibliography

Abraham ben Meir Ibn ‛Ezra
b. 1089, Tudela, Spain – d. 1167
Sefer ha-Mispar (The Book of Number)
Lucca, Italy, between 1142 and 1145

Manuscripts:

1) Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Oct. 244/13 (IMHM: f 1996), ff. 60r-112r (15th-16th century)

[B244]

2) Cambridge, University Library Add. 670, 2 (IMHM: f 16999) (15th-16th century)

3) Cambridge, University Library Add. 1015, 2 (IMHM: f 15886; f 17024), f. 92v (14th-15th century)

4) Cambridge, University Library Add. 1527, 2 (IMHM: f 17464) (15th century)

5) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Or. 489/5 (IMHM: f 19164), ff. 137r-147v (1443)

6) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.28/1 (IMHM: f 17849), ff. 1r-48v (14th-15th century)

[F88.28]

7) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.46/1 (IMHM: f 17970), ff. 1r-45v (14th century)

[F88.46]

8) Halle, Universitätsbibliothek Yb Qu. 5/1 (IMHM: f 71790), ff. 88r-92v (15th century)

9) Jerusalem, Museum of Italian Jewish Art 30 (IMHM: f 5069; f 45045) (16th century)

10) Leeuwarden, Tresoar, the Frisian Historical and Literary Centre B.A. Fr. 21/1 (IMHM: f 3481), ff. 1r-51r (14th-15th century)

11) London, British Library Add. 27153/7 (IMHM: f 5826), ff. 13v-37r (cat. Margo. 1085, 7) (Siena, 1431)

[Lo27153]

12) London, British Library Or. 10785 (IMHM: f 8100) (Verona, 1647)

[Lo10785]

13) London, Montefiore Library 419 (IMHM: f 5352) (15th century)

14) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 30/1 (IMHM: f 6711), ff. 2r-38r (1503)

[Mo30]

15) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 1383 (IMHM: f 48474) (Paris, 18th-19th century)

16) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. Hebr. 43/8 (IMHM: f 1150), ff. 103v-146r (16th century)

[Mu43]

17) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. Hebr. 150/5 (IMHM: f 1168), ff. 83v-108v (15th century)

[Mu150]

18) New York, Columbia University X 893 Sh 4 (IMHM: f 16483) (16th-17th century)

19) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2561, (IMHM: f 28814) (17th century)

short excerpt from Chapter VI - Proportions

[N2561]

20) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2624/1 (IMHM: f 28877), ff. 1r-10v (16th century)

partial: mid. Chapter I - mid. Chapter IV

[N2624]

21) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2627/1 (IMHM: f 28880), ff. 1r-48v (17th century)

[N2627]

22) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 213/1 (IMHM: f 19304), ff. 1r-9v (cat. Neub. 2019, 1) (15th century)

23) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 213/2 (IMHM: f 19304), ff. 14r-66r (cat. Neub. 2019, 2) (16th century)

24) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 319/1 (IMHM: f 19303), ff. 1r-64v (cat. Neub. 2018, 1) (14th century)

25) Oxford, Bodleian Library MS Opp. 697/9 (IMHM: f 19364), ff. 46v-52v (cat. Neub. 2079, 9) (1428)

26) Oxford, Bodleian Library MS Poc. 187/2 (IMHM: f 19350), ff. 49r-86r (cat. Neub. 2065, 2) (1503)

[O187]

27) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/3 (IMHM: f 15721), ff. 45r-71v (15th-16th century)

[P1029]

28) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1049/1 (IMHM: f 27767), ff. 1r-34v (14th century)

starts from Chapter IV - Subtraction

[P1049]

29) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1050/2 (IMHM: f 14646), ff. 1v-29v (15th century)

[P1050]

30) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1051/2 (IMHM: f 14656), ff. 2r-40v (1482)

[P1051]

31) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1052/1 (IMHM: f 14649), ff. 1r-41v (15th century)

[P1052-1]

32) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1052/4 (IMHM: f 14649), ff. 55r-58r (15th century)

[P1052-4]

33) St. Petersburg, Inst. Of Oriental Studies of the Russian Academy B 13/5 (IMHM: f 52914), ff. 155r-163r (18th-19th century)

34) St. Petersburg, Inst. Of Oriental Studies of the Russian Academy B 454 (IMHM: f 53740) (17th -18th century)

35) St. Petersburg, Russian National Library Evr. I 374/1 (IMHM: f 50951), ff. 1r-2v (18th century)

two short excerpts: (1) from Chapters III-IV; (2) from Chapter II

[St.P374]

36) St. Petersburg, Russian National Library Evr. II A 569 (IMHM: f 70777) (14th-15th century)

two short excerpts: (1) from Chapters II-IV (ff. 10, 2-9, 1v); (2) from Chapter II (f. 11r-v)

[St. Petersburg569]

37) St. Petersburg, Russian National Library Evr. II A 1385 (IMHM: f 66722) (17th century)

short excerpt from Chapter VI - Proportions

[St.P1385]

38) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 171/18 (IMHM: f 8630), ff. 98r-101r (Canea, 1493)

[V171]

39) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 386/3 (IMHM: f 468), ff. 137v-206v (14th century)

[V386]

40) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 397/2 (IMHM: f 475), ff. 3r-49r (Murcia, 1384/1385)

[V397]

41) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 398/1 (IMHM: f 476), ff. 1r-2v; 9r-30v; 118r-123v (14th century)

[V398]

42) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 530/11 (IMHM: f 2707; f 18511), ff. 101r-v (26.fs.0000) (14th century)

short excerpt from Chapter VII - Square Roots

[V530]

43) Warszaw, Żydowski Instytut Historyczny 288/2 (IMHM: f 12013), ff. 24r-64v (15th century)

44) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 152/2 (IMHM: f 1422), ff. 4r-34v (18th-19th century)

[W152]

45) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 194/7 (IMHM: f 1456), ff. 90v-99v (16th century)

[W194]

Edition:

• Ibn ‛Ezra, Abraham. Sefer ha-Mispar, Das Buch der Zahl: ein hebräisch-arithmetisches Werk. Ed. Moritz Silberberg. Frankfurt a. M.: J. Kauffmann, 1895.

Bibliography:

• Langermann, Tzvi and Shai Simonson. 2000. The Hebrew Mathematical Tradition. In: Helaine Seline ed. Mathematics Across Cultures. Dordrecht: Kluwer, pp. 167–188.
• Sarfatti, Gad ben ‛Ami. 1968. Mathematical Terminology in Hebrew Scientific Literature of the Middle Ages. Jerusalem: Magnes Press, pp. 130-155.
• Sela, Shlomo. 2000. Encyclopedic Aspects of Abraham Ibn Ezra’s Scientific Corpus. In: Steven Harvey ed. The Medieval Hebrew Encyclopedias of Science and Philosophy. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publisher, pp.154-170
• Sela, Shlomo, and Gad Freudenthal. 2006. Abraham Ibn Ezra’s scholarly writings: a chronological listing, Aleph 6, pp. 13-55.
• Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, pp. 87-91 (d38-d42); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.
  

– Commentary on Sefer ha-Mispar–
Anonymous

Manuscript:

• Genève, Bibliothèque de Genève, MS héb. 10/2 (IMHM: f 2320), ff. 39r-65r (14th-15th century)